Элементарная алгебра. Курсъ систематическій. Часть 1 - Маракуева Н.Н.

Author: Маракуева Н.Н.
Tags: математика алгебра элементарная алгебра
Year: 1888
Similar
Элементарная алгебра. Систематическій курсъ. Томъ 1. Теорія
Элементарная алгебра
Энциклопедія элементарной математики. Томъ 1. Элементарная алгебра и анализъ
О преподаваніи элементарной алгебры. Начала алгебры
Text
                    шигііші і.іті'і
/'
- ли
КУРСЪ СИСТЕМАТИЧЕСКІЙ /

ПРЕДИСЛОВІЕ.
Появленіе предлагаемаго курса алгебры вызвано, съ одной стороны,
желаніемъ дать руководство, стоящее на уровнѣ современныхъ воззрѣній
на количество, опирающихся на изслѣдованія Гамильтона, съ другой сторо-
ны,—желаніемъ пополнить пробѣлы общепринятыхъ у насъ курсовъ (Да-
видова, Сомова п др.), не отвѣчающихъ современному состоянію препода-
ванія алгебры, какъ оно поставлено во Франціи, которая, пзъ всѣхъ странъ
Запада, является единственнымъ образцомъ, достойнымъ подражанія въ за-
нимающемъ насъ дѣлѣ.
Особенности нашего курса виднѣе будутъ изъ нижеслѣдующаго пе-
речня пхъ.
Въ началѣ курса (глава II) дается отчетливое изложеніе теоріи отри-
цательныхъ количествъ указаніемъ направленія величины, какъ элемента,
отличающаго количество алгебраическое отъ ариѳметическаго.
Выводу правилъ для~алгебраическихъ дѣйствій предшествуетъ предва-
рительное изученіе основныхъ свойствъ суммы п разности, а затѣмъ и
произведенія. Далѣе этп законы распространены на несоизмѣримыя числа,
и наконецъ па комплексы.
Статья о разложеніи многочленовъ на множители пополнена новымъ,
по сравненію съ другими курсами, способамъ двучленныхъ дѣлителей.
Дано указаніе объ употребленіи двойнаго знака при квадратномъ кор-
нѣ, къ сожалѣнію, обыкновенно опускаемое составителями учебниковъ.
Данъ строгій и ясный выводъ правилъ извлеченія кв. и куб. корней
изълиселъ: обьпщое наложеніе этбіт статьи, по несовершенству предла-
гаемыхъ пріемовъ объясненія, обыкновенно затрудняетъ учащихся.
Введена статья о предѣлахъ, обыкновенно непзлагаемая въ существую-
щихъ курсахъ.
Статьѣ объ уравненіяхъ предшествуетъ какъ введеніе глава, посвя-
щенная изученію особыхъ Формъ алгебраическихъ выраженій; ихъ изуче-
ніе, весьма важное для теоріи уравненій, обыкновенно опускается въ суще-
ствующихъ у насъ курсахъ.
Подробно уяснены начала, на которыхъ основываете я рѣшеніе уравненій.
Этотъ пунктъ, обыкновенно, излагается поверхностно, а теорема объ умно-
— II —
женіи уравненія на множитель съ неизвѣстнымъ даже обыкновенно излагается
неправильно. Неправильное выраженіе этой теоремы, кажется, впервые
появилось въ алгебрѣ Давидова, а оттуда перешло и въ другія руковод-
ства, между прочимъ даже и въ алгебру Шапошникова—лучшій изъ суще-
ствующихъ у насъ краткихъ курсовъ.
Съ большею полнотою, нежели обыкновенно принято, изложена у насъ
и статья о неравенствахъ: за общими началами, относящимися къ одному
и къ совмѣстнымъ неравенствамъ, указаны методы провѣрки задаваемыхъ
неравенствъ, затѣмъ кромѣ рѣшенія неравенствъ первой степени, указано
и рѣшеніе неравенствъ высшихъ степеней и ирраціональныхъ. Особенное
вниманіе на эту статью обращено въ виду того, что она находится въ тѣс-
ной связи съ изслѣдованіемъ вопросовъ.
Тщательно обработаны статьи, относящіяся къ изслѣдованію вопро-
совъ, приводящихъ къ ур—мъ первой степени и квадратнымъ. На изслѣдо-
ваніе ур—ній первой ст. приведено 12 примѣрныхъ подробно разобранныхъ
задачъ. Изслѣдованію вопросовъ 2-й ст. предшествуетъ подготовительное
изученіе измѣненій нѣкоторыхъ простѣйшихъ функцій (квадв. и бикв. три-
нома и нѣк. др.); самое же изслѣдованіе пояснено тщательнымъ разборомъ
23-хъ образцовыхъ задачъ, гдѣ и развиты надлежащія методическія ука-
занія. Методъ изслѣдованія систематически проведенъ новый, основанный
на свойствахъ квадратнаго тринома. Статья эта, даже въ курсахъ прило-
женія алгебры къ геометріи, излагается, обыкновенно, крайне неполно и
нашъ курсъ въ первый разъ въ русской литературѣ даетъ обстоятельныя
по этому предмету указанія. Самая статья о квадратныхъ ур—ніяхъ изло-
жена съ большою полнотою, сопровождаясь множествомъ различнаго рода
приложеній.
Въ статьѣ о шахіша и шіпіша Функцій приведены всевозможные эле-
ментарные пріемы опредѣленія максимальныхъ и минимальныхъ значеній
Функцій, съ графическимъ поясненіемъ и также съ большимъ числомъ при-
мѣрныхъ задачъ.
Анализъ соединеній, кромѣ обычнаго матеріала, содержитъ и статью
о соединеніяхъ съ повтореніями.
Въ элементарной теоріи рядовъ, въ видѣ приложенія теоріи, изложе-
ны элементарные методы ЖоФФруа для разложенія тс въ безконечные ряды.
Что касается разложенія Функцій (бинома, показательной и логариѳми-
ческой), въ безконечные ряды, то пріемы даны совершенно строгіе, т. е.
основанные не на способѣ неопредѣленныхъ коэффиціентовъ, примѣненія
котораго въ данномъ случаѣ слѣдуетъ избѣгать. Тамъ, гдѣ этотъ методъ
умѣстенъ, примѣненіе его разъяснено на задачахъ, въ различныхъ отдѣ-
лахъ курса.
Теоріи логариѳмовъ предшествуетъ предварительное изслѣдованіе
свойствъ показательной Функціи: теорія логариѳмовъ является непосред-
втвеннымъ королларіемъ этого изслѣдованія.
Наконецъ, теорія непрерывныхъ дробей пополнена изученіемъ періоди-
ческихъ дробей.
— III —
Изслѣдованія измѣненіи Функцій сопровождаются графическимъ пред-
ставленіемъ хода измѣненій.
Изложеніе сопровождается историческими примѣчаніями.
Доказательства выбраны безукоризненно—строгія.
Отдѣльныя главы сопровождаются богатымъ подборомъ примѣровъ и
задачъ, большею частію не встрѣчающихся въ нашихъ учебникахъ.
Что касается изложенія, то въ первыхъ главахъ доказательства изло-
жены съ надлежащею полнотою, въ виду того, что книга назначается не
для однихъ учениковъ, занимающихся подъ руководствомъ учителя, но и
для самостоятельнаго чтенія. Затѣмъ, постепенно, изложеніе принимаетъ
сжатый характеръ.
Отвѣты на задачи не приложены, съ цѣлію развитія въ читателяхъ
большей самостоятельности и надлежащаго навыка въ провѣркѣ получае-
мыхъ результатовъ.
Въ нашемъ курсѣ ничего не говорится о рѣшеніи кубичнаго уравненія
въ общемъ видѣ и о разложеніи тригонометрическихъ Функцій въ строки:
эти статьи войдутъ въ приготовляемый къ печати „курсъ тригонометріи^,
который будетъ составленъ въ томъ же духѣ, какъ и курсъ алгебры, являясь
такимъ образомъ естественнымъ дополненіемъ послѣдняго. Въ курсъ три-
гонометріи войдетъ и изслѣдованіе вопросовъ съ тригонометрическими
величинами, а также и шахіта и тіпіта тригонометрическихъ Функцій.
При составленіи курса, авторъ пользовался всѣми выдающимися сочи-
неніями по элементарной алгебрѣ (французскими, нѣмецкими и англійски-
ми), начиная съ Лакруа и кончая курсами восьмидесятыхъ годовъ.
1 Февраля 1888 г.
Н. Маракуевъ.
ЗАМѢЧЕННЫЯ ПОГРѢШНОСТИ:
Часть I.
Страница.	Строка.	Напечатано.	Должно быть.	
53	19 сверху	(« + &)3	(« + 03
78	1 снизу	А3 —В3	А34-В3
106	3 снизу	остатокъ	х	остатокъ К.
189		На черт.	9: въ пересѣченіи окружности съ діа-
		гональню	должна быть буква М.
206	10 сверху	— 2а/У	— 2а /У
215	2 снизу	4-ЗѴ2У2—1)	4-ЗѴ2(ѵ/2—1)	
217 Зад.	102 д. б. 24-Ѵ2+/2		/2+Ѵ2-У2	/2-Ѵ2-72 2	1 V	2
233	2 сверху	давно бы	дало бы
		*^в	Ѵв
238	8 сверху	Ѵ5	Ѵа’
ОТДЪЛЪ ПЕРВЫЙ.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНІЕ.
Т_
Предварительныя понятія и опредѣленія.
1. Пусть дана задача: найти два числа, которыхъ сумма равняется 138, а
разность 24?
Рѣшимъ эту задачу ариѳметическимъ путемъ. Такъ какъ разность иско-
мыхъ чиселъ, по условію, равна 24, то большее число равно меньшему, сло-
женному съ 24; поэтому сумма двухъ искомыхъ чиселъ состоитъ изъ меньшаго
числа, сложеннаго съ меньшимъ и съ 24, или изъ удвоеннаго меньшаго числа,
сложеннаго съ 24. Итакъ, мы имѣемъ сумму 138, которой одно слагаемое 24
извѣстно, а другое — удвоенное меньшее число — неизвѣстно; вычтя изъ суммы
извѣстное слагаемое,, находимъ остатокъ 114, равный удвоенному меньшему чи-
слу; раздѣливъ этотъ остатокъ на 2, получаемъ, что меньшее число равно 57.
Придавъ къ нему 24, находимъ большее число 81.
Повѣрка покажетъ намъ, чт'о искомыя числа найдены вѣрно.
Наши разсужденія значительно сократятся, если мы неизвѣстныя будемъ
обозначать особыми буквами, а дѣйствія особыми знаками, что допускается й
въ ариѳметикѣ.
Обозначимъ же меньшее число буквою ж; тогда большее, превышая мень-
шее на 24, изобразится суммою х -|- 24; обѣ же части вмѣстѣ равны х -|- х +
+ 24, или короче 2ж-]-24. Эта сумма, по условію, равна 138, слѣд.
2ж-|-24 = 138,
откуда неизвѣстное слагаемое 2ж=138— 24 = 114, а отсюда х = 114 : 2=57.
Придавъ 24 къ 57, найдемъ большее число 81.
Отсюда ясно, какимъ образомъ введеніе знаковъ для обозначенія дѣйствій
и буквы х для обозначенія неизвѣстнаго сокращаетъ рѣчь и этимъ самымъ ус-
коряетъ рѣшеніе задачи. Чѣмъ сложнѣе задача, тѣмъ важнѣе введеніе этихъ со-
кращающихъ рѣчь знаковъ.
2. Окончательные результаты, полученные нами при рѣшеніи задачи (т.
е. числа 57 и 81) не носятъ на себѣ слѣда данныхъ чиселъ, потому что при
1*
- 4 -
выполненіи каждаго дѣйствія данныя числа замѣнялись новыми; результаты 57
и 81 не даютъ намъ никакого понятія о томъ, какія дѣйствія надо произвести
надъ данными числами для нахожденія неизвѣстныхъ. Для того чтобы судить о
томъ, какія дѣйствія и въ какомъ порядкѣ слѣдуетъ произвести надъ данными
числами для опредѣленія неизвѣстныхъ, нужно только обозначать дѣйствія,
удерживаясь отъ всякихъ вычисленій. Поступая такъ, мы найдемъ, что мень-
шая часть въ рѣшенной нами задачѣ выразится слѣдующимъ образомъ:
138—	24
ж =----2---- •••• {1)-
Изъ этого выраженія видно, что для нахожденія меньшаго числа слѣдуетъ изъ
данной суммы вычесть данную разность и остатокъ раздѣлить на 2. Это пра-
вило будетъ служить для рѣшенія всѣхъ задачъ одного рода съ данной, т. е.
отличающихся отъ нея не содержаніемъ, а только иною величиною данныхъ чи-
селъ; это потому — что какимъ образомъ числа 138 и 24 входятъ въ составъ
выраженія (1), такимъ же точно образомъ будутъ входить и всякія другія чис-
ла, взятыя вмѣсто нихъ.
Такимъ образомъ выраженія, подобныя (1), служатъ общими рѣшеніями,
или выражаютъ общія правила для рѣшенія всѣхъ однородныхъ задачъ; ихъ
называютъ также ариѳметическими формулами.
Однако, для того чтобы ариѳметическая Формула ясно и отчетливо говорила
уму о тѣхъ дѣйствіяхъ, которая слѣдуетъ производить надъ данными числами
для опредѣленія неизвѣстныхъ, необходимо соблюденіе слѣдующихъ условій:
1)	чтобы данныя величины были выражены небольшими числами; ибо ина-
че Формула будетъ не достаточно проста-,
2)	чтобы числа эти были разнообразны, ибо иначе Формула будетъ лише-
на ясности-,
3)	вслѣдствіе выполненія нѣкоторыхъ дѣйствій, котораго избѣжать нельзя,
могутъ войти числа одинаковыя съ данными, а это влечетъ за собою опять не-
достаточную ясность Формулы. Примѣромъ можетъ служить слѣдующая задача:
сумма трехъ чиселъ равна 238; второе число больше перваго на 4 едини-
цы, а третье равно суммѣ двухъ первыхъ; найти первое число?
Пусть первое число — ж; тогда второе будетъ = ж-{- 4, а третье ж-|-ж-|-4
или 2ж-|-4, сумма же всѣхъ трехъ чиселъ будетъ х -|- х -|- 4 -|- 2хЛ- 4 или
4ж-|- 4 X 2. По условію 4ж-|-4 X 2 = 238, откуда 4ж = 238— 4x2, слѣд.
238 —4 X 2
Соединеніе вмѣстѣ всѣхъ ж-овъ ввело число 4—одинаковое съ даннымъ, й хбѣя
по происхожденію этого числа его не трудно отличить отъ даннаго^ НОв же Фор-
мула потеряла полную ясность.
Неудобства, подобныя этому, очевидно, будутъ возрастать вмѣстѣ СЪ усло-
жненіемъ задачъ. Въ виду устраненіи такихъ неудобствъ условились не только
искомыя, но и данныя числа обозначать буквами. Рѣшимъ нашу задачу, йбовна-
чая и данныя и искомыя числа буквами.
Сумма двухъ чиселъ равна з, а разность й; найти эти числа?
— 5 —
Пусть меньшее число = ж; тогда большее будетъ х-^-сі; по условію,
х х Л = 5, или 2х-[~й = 5, откуда 2х~з—сі, и слѣд.
5 ~
Формула (2) опредѣляетъ меньшее число. Большее число будетъ —-—(- <7,
8 — А 4- 2й
или -----, или наконецъ:
2
8 + Л
2
Изъ Формулъ (2) и (3) ясно вытекаетъ правило: для нахожденія большаго чис-
ла нужно къ данной суммѣ придать данную разность и результатъ раздѣлить
на 2; а для нахожденія меньшаго числа слѣдуетъ изъ данной суммы вычесть
данную разность и остатокъ раздѣлить на 2.
Выраженія, подобныя (2) и (3), указывающія порядокъ дѣйствій, которыя
нужно совершить надъ данными числами для нахожденія неизвѣстныхъ, служатъ
для рѣшенія всѣхъ задачъ, однородныхъ съ данною: для этого надо только
вмѣсто буквъ подставить числа и и выполнить указанныя дѣйствія. Такъ, если
данная сумма = 500, а разность 200, то, подставивъ 500 вмѣсто § и 200 вмѣсто
<7, найдемъ, что:
,	500 4-200	700	„,л
большая часть = ----------- = — = 350
500 — 200	зоо
а меньшая часть = -----------  —- — 150.
2	2
Преимущества буквенныхъ Формулъ передъ числовыми, какъ видно изъ выше-
изложеннаго, заключаются въ слѣдующемъ:
1)	Подъ буквами можно разумѣть какія угодно числа, поэтому рѣшеніе вы-
раженное буквенною Формулою, пригодно для всѣхъ однородныхъ задачъ: бук-
венная Формула даетъ рѣшеніе цѣлаго класса задачъ.
2)	Алгебрическая Формула даетъ наиболѣе ясное рѣшеніе задачи, ибо въ
ней наиболѣе ясно изображаются порядокъ и послѣдовательность дѣйствій, кото-
рыя надб совершить надъ данными для нахожденія искомыхъ; между тѣмъ какъ
въ ариѳметической Формулѣ эта ясность, какъ мы видѣли, иногда теряется.
3)	Результатъ, представленный алгебрическою Формулою, выражается обык-
новенно коротко.
4)	При помощи алгебрической Формулы легче запомнить самое правило.
Наука, занимающаяся обобщеніемъ вопросовъ о числахъ и способовъ ихъ
рѣшенія, называется алгеброю.
3. Знаки, употребляемые въ алгебрѣ, частію тѣже самые, что и въ ариѳ-
метикѣ, частію другіе. Ихъ можно раздѣлить на три группы: 1) знаки, упо-
требляемые для изображенія чиселъ; 2) для изображенія дѣйствій надъ числами;
и 3) для изображенія соотношеній между числами.
1.	Знаки для изображенія чиселъ. Числа изображаются въ алгебрѣ не циф-
рами, какъ въ ариѳметикѣ, а буквами-, это обозначеніе было введено Француз-
скимъ математикомъ второй половины XVI вѣка Въетомъ (1540—1603). Вьетъ
- 6 —
употреблялъ большія литеры; малыя буквы введены англійскимъ математикомъ
Томасомъ Гарріотомъ.
Для обозначенія извѣстныхъ чиселъ употребляются первыя буквы латин-
ской азбуки: а, Ъ, с, И, е, ф,.........; для обозначенія неизвѣстныхъ — по-
слѣднія буквы: і, и, ѵ, х, у, е,.......
Иногда при буквахъ ставятъ значки или указатели (индексы), когда хо-
тятъ сохранить въ обозначеніи аналогію, существующую между изображаемыми
количествами.
Такимъ образомъ пишутъ: а, а", а111, аѵ,...........; или: а,, а^, а3,
я4,.........Съ тою же цѣлью употребляютъ еще буквы греческаго алфавита,
соотвѣтствующія латинскимъ: а, (3, у §, е,..........
Числа, изображенныя буквами, называются общими числами, потому-что
подъ каждою буквою разумѣютъ не одно какое-либо число, но какія угодно
числа.
2.	Знаки для изображенія дѣйствій.
Сложеніе обозначается знакомъ (плюсъ); такъ «-]-& означаетъ сумму
количествъ а и Ь.
Вычитаніе обозначается знаковъ — (минусъ); такъ а — Ъ означаетъ раз-
ность между а и Ъ.
Знаки -|- и — введены во всеобщее употребленіе нѣмецкими математика-
ми XV столѣтія. Полагаютъ, что первый началъ ихъ употреблять Пурбахъ
(1423—1461). Въ «Алгебрѣ» Рудольфа, напечатанной въ 1525 г. и въ «АгИЬ-
шейса іпіе^га» Стифеля, напечатанной въ 1544 г., примѣнены уже эти знаки.
Умноженіе обозначается знакомъ X, или . (точкою), или же между со-
множителями не ставится никакого знака; такимъ образомъ а X Ъ, а .Ъ, и аЬ
одинаково означаютъ произведеніе а на Ъ.
Нужно замѣтить, что знакъ умноженія нельзя опускать, когда числа изоб-
ражены цифрами; произведеніе 4 на 7 нельзя представить въ видѣ 47, такъ
какъ 47, по принятому способу изображенія чиселъ, означаетъ не произведеніе
4 на 7, а число сорокъ семь.
Опущеніе всякаго знака умноженія между различными Факторами произ-
веденія впервые встрѣчается у СтиФеля (АгПЬгпеііса 1544); знакъ X (косой
крестъ) введенъ Ухтредомъ (Он^Ьігесі) въ сочиненіи (Сіаѵів шаіЬеш. 1631);
знакъ . (точка) введенъ Лейбницемъ во второй половинѣ XVII столѣтія.
Дѣленіе обозначаетстя или двоеточіемъ, или чертою; такъ а: Ъ и ~ оди-
наково означаютъ частное отъ раздѣленія а на Ъ.
Полагаютъ, что знакъ: введенъ во всеобщее употребленіе Лейбницемъ; знакъ
— (черта) встрѣчается уже въ сочиненіи Фибоначчи Пизанскаго (1202 г.)
3.	Знаки соотношеній. Для изображенія равенства двухъ количествъ упо-
требляется знакъ —, такъ, выраженіе
А = В
означаетъ: А равно В.
Зі^къ,, равенства (=) введенъ англійскимъ математикомч. Рекордомъ, ко-
торый въ' первый разъ употребилъ его въ своемъ сочиненіи «Брусокъ для ума»
— 7 -
(ТЬе ЧѴЬеШопе оі №іі), изданномъ въ 1557 г. Во всеобщее употребленіе знакъ
этотъ вошолъ сто лѣтъ спустя.
Слово больше изображается знакомъ >; слово меньше знакомъ <. Такъ
а > Ъ означаетъ: а больше Ъ\ а < Ъ означаетъ: а меньше Ъ.
Когда хотятъ выразить, что два количества неравны, не указывая, кото-
рое изъ нихъ больше, ихъ отдѣляютъ знакомъ такъ а Ъ означаетъ, что
а неравно Ъ.
Чтобы выразить, что а не меньше Ъ, пишутъ а^Ъ.
Такимъ же образомъ а-^Ь означаетъ, что а не больше Ъ.
Знаки > и < введены англійскимъ математикомъ Гарріотомъ въ 1623 г.
Коэффиціентъ.—Если какое нибудь произведеніе, наприм. аЪ, тре-
буется повторить слагаемымъ нѣсколько разъ, напр. пять, то сумма будетъ —
аЬ-]-аЬ-]-аЬ-{-аЬ-{-аЬ. Очевидно, что такй способъ изображенія суммы не-
удобенъ, когда число слагаемыхъ велико: письменное изображеніе суммы заня-
ло бы въ этомъ случаѣ много времени и мѣста. Въ видахъ устраненія такого
неудобства ввели сокращенное обозначеніе суммы равныхъ слагаемыхъ, усло-
вившись слагаемое писать одинъ разъ, а передъ нимъ ставить число, показы-
вающее, сколько разъ взятое выраженіе повторяется слагаемымъ. Такимъ обра-
зомъ наша сумма сокращенно выразится въ видѣ ЬаЪ.
Число 5, показывающее, сколько разъ слѣдующее за нимъ выраженіе по-
вторяется слагаемымъ, называется коэффиціентомъ или предстоящимъ. Коэф-
фиціенту можно дать и другое опредѣленіе. Въ самомъ дѣлѣ, повтрить аЪ пять
разъ слагаемымъ, — это все равно, что аЪ умножить на 5; слѣд. коэффиціентъ
есть числовой множитель, стоящій передъ буквеннымъ выраженіемъ.
2	2
Такъ, въ выраженіяхъ ІаЪ, ~^тп, множители 7 и -- суть коэффицісн-
О	о
ты. Иногда и буквенные производители разсматриваются какъ коэффиціенты по
отношенію къ слѣдующимъ за ними произведеніямъ; такъ въ выраженіи аЬс
можно а считать коэффиціентомъ произведенія Ъс. Если произведеніе состоитъ
изъ однихъ буквенныхъ сомножителей, то коэффиціентъ его есть 1; напр. ко-
эффиціентъ произведенія аЬс есть 1, такъ-какъ это произведеніе можно напи-
сать въ видѣ 1. аЪс.
Степень. — Степенью называется произведеніе равныхъ множителей.
Если число берется множителемъ два раза, то произведеніе называется
второю степенью или квадратомъ этого числа; такъ 5x5 или 25 есть квад-
ратъ пяти. Когда число берется множителемъ три раза, то произведеніе назы-
вается третьею степенью или кубомъ этого числа; такъ 5.5.5 или 125 есть
кубъ пяти. Произведеніе четырехъ равныхъ множителей наз. четвертою сте-
пенью; напр. а.а.а.а есть четвертая степень числа а. — Очевидно, что если
число равныхъ множителей велико, то письменное изображеніе степени займетъ
много времени и мѣста. Для устраненія этого неудобства введено слѣдующее
сокращенное изображеніе степени: перемножаемое само на себя количество пи-
шутъ одинъ разъ, а надъ нимъ справа ставятъ число, показывающее, сколько
разъ это количество берется множителемъ. Согласно этому условію,Жвадратъ
количества а, т. е. произведеніе а.а сокращенно пишется въ видѣ: а^Игубъ а,
т. е. произведеніе а.а.а сокращенно изображается въ видѣ: а3; ’^Лргая сте-
- 8 -
пень а, т. е. а.а.а.а — въ видѣ а* и т. д. — Каждый изъ равныхъ множите-
лей называется основаніемъ степени; такъ въ Формулѣ а* основаніе есть а. —
Числа 2, 3, 4 и т. д., стоящія надъ основаніемъ, называются показателями
степени. Итакъ, показателъ степени есть число, которое ставится надъ бук-
вою и означаетъ, сколько разъ эта буква берется множителемъ.
Показатель 1 не пишется, а подразумѣвается; такъ, вмѣсто Ь1 пишутъ Ъ.
На основаніи сказаннаго, произведеніе ааааЪЪЪсс& сокращенно пишутъ въ
видѣ аЧ^сЫ. Обратно, есть сокращенно написанное произведеніе ааЪЪЬЪЪ.
Дѣйствіе нахожденія степени даннаго числа называется возвышеніемъ
въ степень. Такъ; возвысивъ 7 въ кубъ, т. е. взявъ 7 множителемъ три раза,
получимъ 343. Возвысивъ -і- въ четвертую степень, т. взявъ множите-
2	2
телемъ четыре раза, найдемъ — и т. д.
Полезно знать на напять квадраты и кубы по крайиѣй мѣрѣ первыхъ де-
сяти чиселъ, которые мы и помѣщаемъ въ слѣдующей таблицѣ:
Числа:	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10.
Квадраты: 1,	4,	9,	16,	25;	36,	49,	64,	81,	100.
Кубы:	1,	8,	27,	64,	125,	216,	343,	512,	729,	1000.
Корень. — Корнемъ второй степени или квадратнымъ изъ даннаго числа
называется такое число, квадратъ котораго равенъ данному числу. Такъ, квад-
ратный корень изъ 9 равенъ 3, потому-что квадратъ трехъ даетъ 9.
Кубичнымъ корнемъ изъ даннаго числа называется такое число, котораго
кубъ равенъ данному числу. Напр., кубичный корень изъ 64 равенъ 4, пото-
му-что кубъ четырехъ равенъ 64.
Корнемъ четвертаго порядка изъ даннаго числа называется такое, четвертая
степень котораго равна данному числу. Такъ, корень четверто порядка изъ 16
равенъ 2, ибо 2‘ = 16.
Вообще, корнемъ, п-го порядка изъ даннаго числа наз. такое число, кото-
раго м-ая степень равна данному числу. Такимъ образомъ корень п-го порядка
изъ ап есть а.
Для обозначенія корня употребляютъ знакъ У , подъ которымъ ставятъ
данное число, называемое поэтому подкореннымъ числомъ. Въ отверстіе этого
знака ставятъ число, которое показываетъ, въ какую степень должно возвысить
корень для полученія даннаго числа; его называютъ показателемъ корня.
Такъ, чтобы обозначить письменно, что корень четвертаго порядка изъ 16
равенъ 2, пишутъ: V 16 = 2; здѣсь 2 есть самый корень, 16 — подкоренное
число, 4 — показатель корня.
Если показатель корня равенъ 2, то его не пишутъ, а подразумѣваютъ.
Такъ, для обозначенія, что квадратный корень изъ -і- равенъ пишутъ:
/Т_
V 4 "2*
Коренной знакъ (у/ ) называютъ также радикаломъ. Дѣйствіе нахожде-
нія корня называется извлеченіемъ корня.
- 9 -
Первые слѣды употребленія наказателей находятся у Лароша (Агізшеіі^ие
еі беошеігіе, 1520); онъ употребляетъ показатели 1, 2, 3. — Знакъ 7 нахо-
димъ впервые у Христіана Рудольфа (1524).—Окончательно же эти знаки вве-
дены Декартомъ. — Знакъ ф~~ есть ничто иное какъ искаженная буква г
(начальная буква слова габіх — корень).
Скобки. — Для обозначенія дѣйствій употребляютъ еще особыя знаки,
называемые скобками. Имъ даютъ видъ: ( ), или [ ], или {	}. Скобки
перваго вида называютъ простыми, втораго — квадратными, третьяго —
фигурными.
Такъ, для обозначенія, что разность а — Ъ нужно умножить на с, пишутъ:
(а — V). с
Если это выраженіе написать безъ скобокъ, т. е. въ видѣ
а — Ъ . с
то смыслъ его былъ бы иной, именно: оно выражало-бы требованіе — вычесть
изъ а произведеніе Ъ на с, между тѣмъ какъ требуется разность а — Ъ умно-
жить на с.
Если бы требовалось сумму возвысить въ кубъ и результатъ умно-
жить на разность с — А, то слѣдуетъ сказанныя дѣйствія обозначить такъ:
(« + &).3(с —й).
Если опустить скобки, т. е. написать
а-|-Ь.’с — А,
то смыслъ новаго выраженія не былъ бы согласенъ съ требованіемъ, потому
что послѣднее выраженіе означало-бы слѣдующее требованіе: къ а придать про-
изведеніе куба Ъ на с и изъ полученной суммы вычесть А.
Скобокъ не ставятъ всякій разъ, когда и безъ нихъ обозначеніе дѣйствій
не представляетъ недоразумѣній, или когда для обозначенія дѣйствій вводится
особый знакъ, устраняющій необходимость скобокъ. Напр., еслибы требовалось
выраженіе а2-(-(«— Ѵ)с раздѣлить на т*—п\ то обозначая дѣленіе знакомъ
двоеточія, необходимо и дѣлимое и дѣлитель заключить въ скобки, написавъ:
[а2 -(- (а — &) с]:(»г2—п2).
Но если вмѣсто двоеточія знакомъ дѣленія взять черту, проведя ее подъ
всѣмъ дѣлимымъ, то она устранитъ необходимость заключенія дѣлимаго и дѣ-
лителя въ скобки; частное изобразится въ такомъ случаѣ въ видѣ
а2 -|- (а — Ъ)с
иі* — и*
Точно также для обозначенія, что изъ выраженія а4-Ъ— с надо извлечь
кубичный корень, слѣдуетъ данное выраженіе заключить въ скобки, написавши:
Ѵ(а4~& —с)-
Но если протянемъ горизонтальную черту радикала надъ всѣмъ даннымъ
выраженіемъ, то послѣдняя устранитъ необходимость заключенія выраженія
а-\-Ъ-с въ скобки; дѣйствіе изобразится слѣд. обр.:
^/а Ъ — с.
10 -
Употребленіе скобокъ въ первый разъ встрѣчается въ сочиненіи Альберта
Жирара: «Іпѵепііоп понѵеііе бапз 1’аІ^еЬге еіс.», изданномъ въ Амстердамѣ
въ 1629 г.
4.	Классификація алгебраическихъ формулъ. — Алгебраическимъ выраженіемъ
или формулою называютъ совокупность буквъ, чиселъ и знаковъ, указывающую
рядъ дѣйствій надъ числами, которыя подразумѣваются подъ данными буквами.
Такимъ образомъ:
8 4-	8а2 —4а6 + 36а	18д4
2 ’	а3—Ьз ’	62(74 — ѴёУ
суть алгебраическія выраженія или Формулы.
Всякое алгебраическое выраженіе, не содержащее радикаловъ, называется
раціональнымъ-, оно называется ирраціональнымъ, если содержитъ радикалы.
Первыя два изъ вышеприведенныхъ выраженій раціональныя, третье — ирра-
ціональное.
Раціональныя выраженія раздѣляются на цѣлыя и дробныя-, цѣлымъ на-
зываютъ раціональное выраженіе, не содержащее буквенныхъ дѣлителей; дроб-
нымъ, — выроженіе, содержащее буквенныхъ дѣлителей. Такъ, выраженія
^аѢЛ-1аЬ\	19а‘
і	о	о
суть алгебраическія цѣлыя, хотя второе и третье и содержатъ числовыхъ дѣли-
телей; выраженія же
а 4- Ъ	8а2 — 4а6 4~ 362
а — ъ"1	а3— Ъ3
алгебрически дробныя, такъ-какъ имѣютъ буквенныхъ дѣлителей.
Одночленомъ называютъ такое выраженіе, въ которомъ буквы не соедине-
ны знаками 4 - и — . Такъ, выраженія
_	7а3Ь2	За«Ѵ^
’	4с2	с
суть одночлены.
Многочленомъ наз. выраженіе, состоящее изъ нѣсколькихъ одночленовъ,
отдѣленныхъ одинъ отъ другаго знаками 4~ или — •	<•
Такъ, выраженія
а3 — За*Ь + Зай2—63,	3а'^Ъ — —— 4- с — 1 
1	’ с 4с2 1	3
суть многочлены.
Одночлены, составляющіе многочленъ, называются его членами. Знакъ,
предшествующій одночлену, считается составною частью члена; такъ члены пер-
ваго одночлена суть
4 -За3, — ЗаЧ, 4~3а62, — Ь3.
Если передъ первымъ членомъ не поставлено знака, то нужно подразумѣ-
вать 4- .
Многочленъ, состоящій изъ двухъ членовъ, напр. а2 — 62, наз. биномомъ
пли двучленомъ-, состоящій изъ трехъ членовъ, какъ а2 — 2а6 4-^2— трино-
момъ или трехчленомъ- если же число членовъ больше, то многочлену не да-
ютъ особаго названія.
—11 -
Измѣреніе. — Число буквенныхъ множителей цѣлаго одночлена назы-
вается его измѣреніемъ-, такъ, одночленъ 4а3Ь2с будетъ шести измѣреній, по-
тому-что, представивъ его въ видѣ 4 аааЪЪс, видимъ, что онъ содержитъ шесть
буквенныхъ множителей. Сложивъ показателей, получимъ 3-|-2-|-1 или 6; сл.
' для опредѣленія измѣреннія цѣлаго одночлена нужно взять сумму показателей
г его буквъ.
Цѣлый многочленъ, состоящій изъ членовъ одинаковаго измѣренія, называет-
ся однороднымъ-, измѣреніе каждаго члена такого многочлена называется также
измѣреніемъ самого многочлена. Напр. выраженіе а3— За2Ь-]-ЗаЬ2— Ъ3 есть
однородный многочленъ третьяго измѣренія или трехъ измѣреній. Многочленъ,
котораго члены неодинаковаго измѣренія, наз. разнороднымъ-, напр. многочленъ
а4 — За2 4- аЪ3 о — разнородный.
Степенью многочлена относительно одной какой-либо буквы называется
высшій показатель этой буквы въ многочленѣ. Такъ
8ах3 — 2а2ж2 -|- 1а3х а4
есть многочленъ третьей степени относительно буквы х.
5.	Числовая величина формулы.—Числовою величиною Формулы называет-
ся то число, которое получится, если буквы замѣнимъ числами и выполнимъ
указанныя знаками дѣйствія.
Такъ, если требуется вычислить числовую величину выраженія
2а2 + х/аЧ-^
Зс
при а = 4=, = 3 и с — 1, то, подствавивъ вмѣсто буквъ данныя числа, най-
демъ
2 х 42-|-5/4НГз2 2 х 16 + ѵ'І6 + 9_32-|-х/25_32 + 5_37_12^
3X1	3	3	2	3	3’
12-і- и есть числовая величина данной Формулы.
6.	Задачи.
1.	Пароходъ въ стоячей водѣ и въ тихую погоду проходитъ д, сажень въ мину-
ту; теченіе рѣки сообщаетъ ему скорость з сажень въ минуту, а вѣтеръ — скорость
гѵ саж. въ то же самое время. Какое разстояніе пройдетъ пароходъ въ минуту: а)
по теченію рѣки и по вѣтру; Ь) по теченію рѣки, но противъ вѣтра; с) противъ те-
ченія, но по вѣтру, и <1) противъ теченія и противъ вѣтра?
Для числоваго приложенія взять: й = 491; з = 71; и; =100.
2.	Нѣкто начинаетъ играть, имѣя а руб. Онъ выигрываетъ Ъ партій и въ ка-
ждую по с Руб.; но затѣмъ проигрываетъ <7 партій, п въ каждую по / руб. Сколько
онъ имѣлъ въ концѣ игры?
3.	Найти прибыль, приносимую въ і дней капиталомъ с, отданнымъ по го-
довыхъ? Коммерческій годъ принимается въ 360 дней.
Для числоваго выраженія взять: с=2348 р.; 2 = 56; р = 5%.
4.	Два поѣзда вышли въ одно время изъ Москвы и Петербурга навстрѣчу другъ
другу. Поѣздъ, идущій изъ Москвы, дѣлаетъ а верстъ въ часъ, а поѣздъ, идущій
- 12 -
изъ Петербурга, Ъ верстъ. На какомъ разстояніи отъ Петербурга оба поѣзда встрѣ-
тятся, если между Москвою п Петербургомъ с верстъ?
Для численнаго приложенія взять: а = 24; Ь = 36; с=600.
5.	Нѣкто дооженъ проѣхать путь въ а верстъ; отъѣхавъ Ъ верстъ отъ начала
пути, онъ окончилъ остальной путь, дѣлая каждый день по с верстъ. Во сколько
дней окончилъ онъ остальной путь?
Для численнаго приложенія взять: а = 1000; Ъ— 150; с = 50.
6.	Смѣшано а фунтовъ табаку по Ъ руб. за фунтъ съ с фунтами по Л руб. за
фунтъ. Почемъ нужно продавать фунтъ смѣси, чтобы на всемъ получить прибыли
рублей?
Для численнаго приложенія взять: а = 10; 6 = 4, 5; с= 12; Л = 3; /"=5.
7.	Купецъ имѣлъ а аршинъ сукна н продалъ его за Ь руб. Сколько онъ полу-
чилъ прибыли, если ему самому каждые с аршинъ стоили Л рублей?
8.	Написать общія формулы всякаго четнаго н всякаго не четнаго числа.
9.	Написать число, состоящее изъ а сотенъ, Ъ десятковъ и с единицъ.
10.	Написать вычитаемое, если уменьшаемое есть а, а разность Л.
11.	Періодическія дроби а,ЬЪЪ.... и а,Ъсссс...., гдѣ а, Ъ и с цѣлыя однозначныя
числа, обратить въ обыкновенныя.
12.	Дѣлимое а, дѣлитель Л, частное д, остатокъ г.
Выразить каждое изъ этихъ четырехъ чиселъ посредствомъ трехъ остальныхъ.
Упростить слѣдующія выраженія:
13.	аа аЪ аЪ + ЪЪ.
14.	аааааб ааЪ -{- ааЪ аЪЪ аЬЪ -{- аЪЪ ЪЪЪ.
1 еі 4 1	4 1 I аб 1 а& I аб
15.	4-аз + а + у + у + у.
16.
тттрр тттрр -|- тттрр
аа + аа+аа + аа
Написать безъ коэффиціентовъ выраженія
17.	5а6с; 4аЬ Зой — 5рд.
Написать безъ коэффиціентовъ и показателей:
18.	За2Ь; 5Ь3е2; 6а362с; Зж^/22ж2; 4»г2г/ — Зигг/2.
19.	Найти числовыя величины степеней:
/ 3 \3	/ 1	/ 3 \5
ІО3; 25; 0,012; О,ОЗ2; ; 0,23;	; (у) ; 10
Найти числовыя величины корней:
ПІ~ІГ
у а .
21.	Указать смыслъ выраженій:
а—Ъ(с — Л); (»г2— п2)(ж2-]-и2); а-|- ЗЬ3(с—6?); За5; (За)5;
а(Ь2_(_сй)— 1Щ — /); ^а2 —62; а —	— Л; т — {п — [> — (г-р)]};
ж—[(У+ *):*]•
22.	Написать:
Произведеніе разности чиселъ а и Ъ на сумму ихъ квадратовъ.
— 13 —
Произведеніе куба суммы чиселъ а и Ъ на разность ихъ квадратовъ.
Частное отъ раздѣленія разности кубовъ чиселъ р и д на квадратъ ихъ суммы.
Утроенный квадратъ разности чиселъ а и Ъ.
Квадратъ утроенной разности квадратовъ чиселъ а и Ъ.
Разность кубовъ суммъ а Ъ и
Утроенный корень пятаго порядка изъ произведенія суммы чиселъ х и у па
кубъ ихъ разности.
Кубичный корень изъ частнаго отъ раздѣленія разности кубовъ чиселъ р и д на
квадратъ нхъ суммы.
23.	Найти числовую величину слѣдующихъ выраженій при а=1, Ь = 2, с = 3,
й = 4 и е = 5.
. &2с2 . Ле 32
4а"' Ь2"" Ы'
8а24-3&«	4с«4-61>«	с«4-й«
' с2 —Ь2 с2
3)		28____ 12	_______4
’ а2Ь2с2 ' й2 — с2 — Ь2 ' а2е2 — с2 — й2
ес4-Ь°
4'	5) Ь2-|-й2 —М’
Найти числовую величину:
а24-Ь2 — с24-2а&
а2 —&« —е2+2йс
при а = 4, Ъ=—,
а
с=1.
7)	а^а;2 — За «7«2 + За при « = 5. а — 8-
а2 /1-4-а , 1-^-а	1	,	1
’ Ъ*	V1 — & ~ 1—Ъ	г 4	5
9)	(Ъ — ж)(^а+&)-[- у/(а — Ъ)(х у) и
(а — у)[у/26» -|-я2]-}-/(а — х)(Ъ-}-у) при а = 16, Ь = 10, х = 5, у=Л.
10)	Ѵ(а + 6)2 • У + Ѵ(« + Ж)(У — 2а)-|-Ѵ(У — &)2.а при а=2, Ь = 3, «=6
ГЛАВА ГС_
Положительныя и отрицательныя количества.
7. Изображеніе количествъ буква»» вмѣсто цжеръ не составляетъ еще су-
щественнаго отличія алгебры отъ ариѳметики: и ариѳметика, при доказатель-
ствѣ теоремъ и при рѣшеніи задачъ, также пользуется для изображенія чиселъ
бунвами, хотя въ ней употребленіе буквъ и не такъ систематично какъ въ ал-
гебрѣ. Существенная разница между этими науками состоитъ въ темъ, что въ
разсмотрѣніе величинъ алгебра вводитъ идею о направленіи, совершенно чуж-
дую ариѳметикѣ.
- 14 -
Все, что можетъ увеличиваться или уменьшаться и быть измѣряемо, назы-
вается математическою величиною. Такъ — вѣсъ, объемъ, время, темпера-
тура, скорость, сила и т. п. суть величины.
5- Измѣрить величину значитъ сравнить ее съ другою однородною съ нею
величиною, называемою при этомъ единицею мѣры-, точнѣе говоря, это значитъ—
найти кратное отношеніе измѣряемой величины къ единицѣ мѣры. Такъ, измѣ-
ряя вѣсъ тѣла, мы узнаемъ, сколько разъ въ немъ содержится единица вѣса
(пудъ, Фунтъ и т. п.) или какая нибудь доля ея. Поэтому результатомъ измѣ-
ренія всегда является число отвлеченное. Цѣлое или дробное отвлеченное чис-
ло, измѣряющее данную величину, называется абсолютнымъ числомъ-, вмѣстѣ
съ названіемъ единицы мѣры оно даетъ намъ точное понятіе о разсматриваемой
величинѣ.
Есть величины, для полнаго опредѣленія которыхъ достаточно знать ихъ
отношеніе къ единицѣ мѣры и значеніе самой единицы; таковы — площадь,
объемъ, вѣсъ, капиталъ и т. п. Ихъ называютъ абсолютными величинами.
Часть математики, изучающая свойства абсолютныхъ чиселъ и дѣйствія надъ
ними, называется ариѳметикою.
Но есть такія величины, для полнаго опредѣленія которыхъ недостаточно
знать ихъ отношеніе къ единицѣ мѣры и значеніе самой единицы. Такъ, если
. мы скажемъ, что точка Л, находившаяся въ началѣ въ нѣкоторомъ мѣстѣ на
прямой МИ, удалилась изъ своего прежняго положенія на 3 дюйма, то этимъ
новое положеніе точки еще не будетъ вполнѣ опредѣлено; надо еще указать —
въ какую сторону относительно своего первоначальнаго положенія удалилась
точка, — вправо или влѣво. Еще примѣръ. Еслы мы скажемъ, что часы измѣ-
нили свой ходъ въ теченіи сутокъ на 2 минуты, то этимъ мы не даемъ вполнѣ
яснаго понятія о величинѣ измѣненія; въ самомъ дѣлѣ, мы должны указать
еще направленіе измѣненія, т. е. сказать, что часы ускорили или замедлили
свой ходъ на 2 минуты. Третій примѣръ. Если мы скажемъ, что температура
воздуха измѣнилась на 10 градусовъ, то этимъ мы не опредѣлимъ еще вполнѣ
это измѣненіе; для полнаго опредѣленія измѣненія температуры надо указать —
повысилась она на 10 градусовъ или понизилась, т. е. опять надо указать
направленіе измѣненія.
Большинство величинъ, существующихъ въ природѣ, имѣютъ два противо-
положныя направленія, и потому называются противоположными величинами-,
таковы — время, которое можно считать въ направленіи будущаго и прошед-
шаго относительно даннаго момента; пространство, проходимое прямолинейно
движущимся тѣломъ; ускореніе и замедленіе движенія; температура, потому
что она можетъ быть выше нуля и ниже нуля; прибыль и убытокъ, ибо они
измѣняютъ капиталъ въ двухъ противоположныхъ направленіяхъ; наконецъ
линіи, наносимыя на неограниченной прямой отъ нѣкоторой постоянной, точки,
называемой началомъ.
Такого рода величины, взятыя въ одномъ направленіи, называются поло-
жительными, а въ противоположномъ — отрицательными. Отъ насъ зави-
ситъ, въ какомъ направленіи считать противоположныя величины положитель-
ными, и въ какомъ — отрицательными; но, во избѣжаніе недоразумѣній на
этотъ счетъ, условились считать положительными: 1) разстояніе вправо отъ
— 15 —
начала, 2) время будущее, 3) ускореніе, 4) прибыль, 5) капиталъ, 6) темпе-
ратуру высшую нуля. Противоположныя этимъ величины, т. е. разстояніе
влѣво отъ начала, время прошедшее, замедленіе, убытокъ, долгъ, температуру
ниже нуля — будемъ принимать отрицательными.
Существуютъ два способа изображенія противоположныхъ величинъ — гра-
фическій и алгебраическій.
1. Условимся каждую единицу разсматриваемой величины изображать пря-
мой линіей опредѣленной длины, нпр. линіей аЪ (черт. 1); отложивъ линію аЪ
а|-------------1 і
Черт. 1.
на неограниченной прямой столько разъ, сколько въ разсматриваемой величинѣ
находится единицъ, мы и получимъ графическое изображеніе абсолютнаго зна-
ченія этой величины.
Для изображенія противоположныхъ величинъ, какого бы рода они не
были, условимся представлять ихъ Прямыми, наносимыми на неограниченной
Черт. 2.
прямой (называемой осью') хх', начиная отъ нѣкоторой точки 0 (ее называютъ
началомъу, причемъ положительныя величины будемъ наносить по направленію
Ож, а отрицательныя по Ож', ибо линіи Ож и Ож' сами суть величины противо-
положныя (черт. 2).
И такъ, абсолютныя значенія противоположныхъ величинъ можно пред-
ставлять длинами извѣстныхъ линій, а направленія — положеніемъ этихъ ли-
ній относительно начала.
При такомъ представленіи противоположныхъ величинъ каждая изъ нихъ
имѣетъ опредѣленное начало и конецъ.
Примѣчаніе. Графическимъ представленіемъ противоположныхъ величинъ
пользуются при доказательствахъ тамъ, гдѣ чисто-алгебраическіе методы трудно
примѣнимы. Къ преимуществамъ графическихъ методовъ принадлежитъ ихъ на-
глядность, позволяющая легко усвоятъ истины весьма отвлеченнаго характера.
Ниже мы воспользуемся этимъ методомъ при доказательствѣ теоремъ, относя-
щихся къ свойствамъ суммы.
2. Другой способъ изображенія противоположныхъ величинъ состоитъ
въ слѣдующемъ. Абсолютное значеніе величины изображается или цифрою или
буквою, направленіе же знаками: и —, причемъ положительныя величины
означаютъ знакомъ -|-, а отрицательныя знакомъ —. Такимъ образомъ, вмѣ-
сто того чтобы говорить: «пять Футовъ вправо», говорятъ: «плюсъ пять Фу-
товъ», (письменно: -|-5 ®ут.); вмѣсто: «семь лѣтъ тому назадъ» говорятъ:
«минусъ семь лѣтъ» (письменно: —7 лѣтъ), и т. п.
Здѣсь самъ собою возникаетъ вопросъ: почему для обозначенія направленія
величинъ взяты знаки: и —, т. е. знаки дѣйствій сложенія и вычитанія?
Въ отвѣтъ на это замѣтимъ, что положительныя величины одного рода слѣ-
дуетъ разсматривать какъ слагаемыя между собою; дѣйствительно, имѣя какую
-16 -
нибудь прибыль, мы всякую новую прибыль будемъ прикладывать къ прежней,
такъ какъ она служитъ къ увеличенію уже имѣющейся прибыли; если точка,
находящаяся на прямой, перемѣщена вправо, то всякое новое перемѣщеніе
вправо будетъ прикладываться къ прежнему, и т. д. Потому-то положительныя
величины, какъ слагаемыя между собою, и сопровождаются знакомъ плюсъ.
Отрицательныя величины одного рода, по отношенію къ полижительнымъ, слѣ-
дуетъ разсматривать какъ вычитаемыя. Дѣйствительно, имѣя капиталъ, мы
всякій долгъ будемъ изъ него вычитать, такъ какъ долгъ служитъ къ умень-
шенію капитала. Всякій проигрышъ, служа къ уменьшенію капитала, должно
разсматривать какъ вычитаемое. Всякое перемѣщеніе точки влѣво, служа къ
уменьшенію существующаго перемѣщенія вправо, есть вычитаемое, и т. д.
Потому-то отрицательныя величины, какъ вычитаемыя по отношенію къ поло-
жительнымъ, и сопровождаютъ знакомъ минусъ.
8. Мы обобщили понятіе объ ариѳметическомъ количествѣ, введя въ это
понятіе новый элементъ — направленіе, причемъ самое обобщеніе вывели изъ
разсматриванія величинъ. Но къ тому же обобщенію можно придти еще другимъ
путемъ—изъ разсмотрѣнія дѣйствій надъ числами.
Пусть изъ нѣкотораго числа а требуется вычесть Ъ: разность выразится
Формулою а — Ъ. Здѣсь слѣдуетъ разсмотрѣть три случая:
1)	Когда а больше Ь, то-есть уменьшаемое больше вычитаемаго, то вычита-
ніе Такое всегда возможно. Такѣ, если а = 10 и 6 = 4, то численная величина
разности л — ъ равна 6.
2)	Если а=Ъ, т, е. вычитаемое равйо уменьшаемому, То вмЧЯйіе снова
возможно, потому-что отъ а всегда можно отнять столько единицѣ, сколько ИХъ
въ немъ находится; но остатокъ вычитанія уже не представляетъ никакого
числа: ойъ есть нуль, выражающій отсутствіе всякой величины. Однако, уже и
въ ариѳметикѣ принято и нуль называть числомъ.
3)	Когда а < 6, Т. е. вычитаемое больше уменьшаемаго, то' НйчНТЯйіе не
всегда возможно', разсмотримъ, когда оно возможно и Когда йѣТЪ.
Разсмотримъ сначала* величину арвеметическую, т. & такую$ для Которой
йе существуетъ прОТвв'о’йоЛожйой. Различныя состояній Такой величины можно
представлять графически разстояніями Точекъ прямой, Неограниченно простира-
ющейся только одну сторону отъ своей начальной точки, напр. отъ точки
О вправо (йо направленію 0«).
Черт. 3.
Вычитаніе Ъ изъ а выразится Графически нанесеніемъ линіи а вправо отъ
точки 0 — въ направленіи возрастающихъ разстояній, а вычитаемой линіи Ъ
отъ конца М линіи 0М = а въ направленіи, противоположномъ направленію
возрастающихъ разстояній т. е. влѣво отъ М (черт. 3). Сайое построеніе по-
казываетъ, что вычитаніе возможно до тѣхъ поръ, пока Ь = илИ<«. Еслй же
Ъ больше а, то построеніе укажетъ невозможность дѣйствія, потому-чТо ко-
нецъ Е линій МЕ = 6 упадетъ въ этомъ случаѣ влѣво отъ точки 0, такъ
— 17 -
сказать въ пустоту, ибо линія Ох, простираясь только вправо отъ 0, не
имѣетъ точекъ влѣво отъ 0.
Пусть а = 5, Ь — 1\ тогда
а —6 = 5 —7;
разность 5 — 7 можно выразить однимъ числомъ; вч. самомъ дѣлѣ — вычесть
7 изъ 5 все равно что сперва вычесть 5, а затѣмъ 2, слѣд.
5 —7 = 5 —5 —2;
но 5 — 5 = 0, слѣд. 5 —7 = 0 —2; опуская 0, получимъ въ остаткѣ —2.
Разность выражается отрицательнымъ числомъ — 2; но это отрицательное число
въ данномъ случаѣ ничего не представляетъ, не имѣетъ никакого реальнаго
значенія.
Но если разсматриваемая прямая простирается не только вправо, но и
влѣво отъ точки 0, представляя таквмъ образомъ величины, имѣющія два
противоположныя направленія, то дѣйствіе вычитанія большаго числа изъ мень-
шаго, бывшее въ первомъ случаѣ невозможнымъ, теперь становится возмож-
нымъ, ибо линія я/х вмѣетъ точки влѣво отъ 0, и разность « —Ъ — — 2 имѣетъ
- ,г е ..& Л
ѵ -	*--------—1—:----Г-2--1- - < 	---------------X
--------——
Черт. 4.
совершенно реальное значеніе, представляя линію ОК, лежащую влѣво отъ
начала 0.
Итакъ, при вычитаніи большаго числа изъ меньшаго получается отрица-
тельное число', оно не имѣетъ никакого реального значенія въ случаѣ абсолют-
ныхъ величинъ, и напротивъ имѣетъ совершенно реальное значеніе въ случаѣ
величинъ противоположныхъ.
Самое правило вычитанія большаго числа изъ меньшаго легко видѣть изъ
приведеннаго примѣра
5—7 = —2,
именно: нужно изъ большаго числа вычесть меньшее и передъ остаткомъ по-
ставить знакъ (—).
Въ противоположность отрицательнымъ числамъ, числа, получаемыя при
всегда возможномъ вычитаніи меньшаго числа изъ большаго, называется поло-
жительными и обозначаются знакомъ
Такъ, если а = 5, с = 3, то
а — с = 5 — 3 = 4-2.
Легко видѣть на чертежѣ, что значеніе положительнаго числа противоположно
значенію отрицательнаго: въ то время какъ отрицательное число а — Ъ — — 2
означаетъ линію ОЯ, лежащую влѣво отъ точки 0, положительное число
а — с = 4~2, выражаетъ линію ОР, лежащую вправо отъ начала.
9.	Алгебраическое количество. — Количество, состоящее изъ двухъ элемен-
товъ: 1) мзъ численной величины, которая можетъ быть цѣлая или дробная,
2

— 18 -
и 2) знака (Ц-) или (—), указывающаго направленіе величины, и называется
собственно алгебраическимъ количествомъ. Такъ
4-5, —6, +у’ — 4’ ~Ьа’ —а"> Ч-^2, —5а2
суть количества алгебраическія.
Если въ количествѣ отбросить знакъ, то получится ариѳметическое число,
которое называется абсолютной величиной или числовымъ значеніемъ количе-
ства. Такъ, количества 4-8 и —~ имѣютъ абсолютными величинами 8 и
10.	Выгоды, происходящія отъ введенія отрицательныхъ количествъ. —
Введеніе отрицательныхъ количествъ въ алгебру имѣетъ чрезвычайно большое
значеніе, такъ какъ оно даетъ математическимъ выводамъ ту общность, которая
безъ отрицательныхъ величинъ была бы недостижима. Пояснимъ это примѣрами.
Примѣръ I. Купленъ товаръ за а руб-, а проданъ за Ъ руб.;
Какое измѣненіе произошло отъ этого оборота въ капиталѣ?
Для опредѣленія измѣненія капитала вычтемъ изъ Ъ руб. а руб.; найдемъ
Ъ — а.
Здѣсь могутъ быть три случая.
1)	Если &>а, то разность Ъ — а будетъ положительная и выразитъ
собою прибыль, полученную при продажѣ товара, потому что цѣна (&), за
которую проданъ товаръ, больше цѣны (а), за которую онъ купленъ.
2)	Если Ъ = а, то разность Ъ — а равна 0, и означаетъ, что при продажѣ
не получено н^> прибыли, и®, убытка, что очевидно.
3)	Если Ъ < а, то разность Ъ — а будетъ отрицательная и выразитъ
убытокъ, полученный при продажѣ товара, потому-что цѣна (Ь), которую ку-
пецъ беретъ, продавая товаръ, меньше цѣны (а), которую онъ самъ заплатилъ
за товаръ.
И такъ, всѣ частные случаи, которые могутъ встрѣтиться при рѣшеніи
данной задачи, можно соединить въ одной Формулѣ: Ъ — а, которая и выра-
жаетъ собою измѣненіе капитала во всѣхъ случаяхъ, причемъ положительный
результатъ означаетъ прибыль, а отрицательный — убытокъ. Правда, мы могли
бы избѣжать полученія отрицательныхъ выводовъ, еслибы при Ъ<а стали
дѣлать вычисленіе по Формулѣ а — Ъ\ но такое дробленіе задачи и Формулы на
нѣсколько отдѣльныхъ задачъ и Формулъ соотвѣтственно частнымъ значеніямъ
буквъ не соотвѣтствовало-бы духу алгебры, стремящейся обобщать какъ самые
вопросы, такъ и ихъ рѣшенія.
Примѣръ II. Нѣкоторое событіе случилось спустя і лѣтъ послѣ
Р. X., а другое событіе п годами раньше. Когда имѣло мѣсто вто-
рое событіе?
Время втораго событія найдемъ, вычтя п изъ слѣд. оно выразится
Формулою
і — п.
Здѣсь опять возможны три случая:
- 19 —
1)	Если і>п, разность і — п положительная; напр., если первое событіе
имѣло мѣсто спустя 600 лѣтъ послѣ Р. X., а второе 400 годами раньше, то
подставивъ въ Формулу I — ѣ вмѣсто і число 600 и 400 вмѣсто и, найдемъ
і — п — 600 — 400 = 4-200.
Очевидно, этотъ положительный результатъ означаетъ, что второе событіе имѣло
мѣсто черезъ 200 лѣтъ послѣ Р. X.
2)	Ё$и і~п, то разность і — п = 0. Нулевое рѣшеніе, очевидно, озна-
чаетъ, что второе событіе совершилось въ самое Р. X.
3)	Если, наконецъ, і < п, то разность і — п будетъ отрицательная. Если
положимъ, что первое событіе совершилось спустя 600 лѣтъ послѣ Р. X., а
второе за 800 лѣтъ до перваго, то подставляя въ Формулу і — п эти числа,
найдемъ
^ — « = 600 -800=-200 л.
Ясно, что отрицательный результатъ означаетъ, что второе событіе соверши-
лось за 200 л. до Р. X.
И такъ, замѣтивъ, что положительный* результатъ означаетъ время послѣ
Р. X., а отрицательный — время до Р. X., мы въ Формулѣ і — п имѣемъ рѣ-
шеніе всѣхъ частныхъ случаевъ данной задачи. И здѣсь мы могли бы избѣжать
отрицательнаго вывода, если бы вторую задачу рѣшили по иной Формулѣ:
и — і\ но такое дробленіе задачи и Формулы не соотвѣтствовало бы духу
общности, составляющей отличительный характеръ алгебры.
И такъ, введеніе отрицательныхъ количествъ даетъ возможность какъ самые
вопросы давать въ совершенно общей Формѣ, такъ и рѣшеніе всѣхъ частныхъ
случаевъ выводить изъ одной общей Формулы.
11. Свойства положительныхъ и отрицательныхъ количествъ. — Если имѣемъ
нѣсколько примѣровъ вычитанія, въ которыхъ уменьшаемыя равны, то остатки
будутъ тѣмъ меньше, чѣмъ больше вычитаемыя. Такъ, вычитая изъ 5 послѣдо-
вательно 1,2,3,........,	получимъ остатки
5 —1 = 4-4
5-2 = 4-3
5-3 = 4-2
5 —4 = 4-1
5 — 5= О
5 — 6= — 1
5 —7 = — 2
5 — 8 = — 3 и т. д.
величина которыхъ становится все меньше и меньше. Сравнивая между собою
остатки, находимъ такимъ образомъ, что
4-4>4-3>4-2>4-1>0>-1>-2>-3 и т. д.
Отсюда слѣдуетъ что:
1)	Всякое положительное количество больше нуля;
2;	Всякое отрицательное количество меньше нуля;
3)	0 составляетъ границу, отдѣляющую положительныя количества отъ
отрицательныхъ;
2»
— 20 —
4)	Изъ двухъ отрицательныхъ количествъ то больше, котораго абсолют-
ная величина меньше.
Въ поясненіе выводовъ — втораго и четвертаго приведемъ слѣдующіе при-
мѣры. Пусть изъ двухъ лицъ А и В первое ничего не имѣетъ (ни имущества
ни долга), а второе, не имѣя никакого имущества, имѣетъ долгъ въ 50 руб.
Долгъ и имущество величины противоположныя, причемъ, согласно съ выше-
приведеннымъ условіемъ, долгъ есть величина отрицательная, а имущество —
положительная. Такимъ образомъ, состояніе А равно 0, состояніе В равно
— 50 р. Лицо, имѣющее только долгъ, имѣетъ менѣе лица, ничего не имѣющаго,
поэтому мы вправѣ сказать, что отрицательное имущество В (— 50 р.) мень-
ше нулеваго имущества А. Въ этомъ мы имѣемъ новое подтвержденіе вывода:
отрицательное количество меньше нуля. Положимъ теперь, что А и В не
имѣютъ никакого имущества, но А имѣетъ долгу 30 р., а В — 80р.; состоя-
ніе перваго выразится отрицательнымъ числомъ — 30 р., втораго отриц. чис-
ломъ— 80 р. Очевидно, что лицо, имѣющее долгу 30 р., богаче лица, долгъ
котораго равенъ 80 р., слѣд. — 30 р. > — 80 р. Въ этомъ — новое подтвержде-
ніе вывода: изъ двухъ отрицательныхъ количествъ то больше, котораго чис-
ленная величина меньше.
ГЛАВА III.
Цѣль алгебраическихъ дѣйствій. — Законъ Ганкеля. — Свойства суммы и разности.—
Свойства полинома.—Сложеніе и вычитаніе.
12.	—Цѣль ариѳметическихъ дѣйствій состоитъ въ нахожденіи окончатель-
наго результата. Иное дѣло въ алгебрѣ. Количества, выраженныя буквами, не
могутъ сливаться, поэтому никакое алгебраическое дѣйствіе не можетъ быть до-
ведено до конца. Такимъ образомъ, алгебраическія дѣйствія имѣютъ цѣлью: ука-
зать знаками производимыя дѣйствія и преобразовать полученный резуль-
татъ, съ тѣмъ чтобы сдѣлать выраженіе его болѣе короткимъ или болѣе
яснымъ Въ самомъ дѣлѣ, очевидно, что далѣе идти нельзя. Принтомъ, такъ
какъ алгебраическое количество состоитъ изъ двухъ элементовъ — абсолютной
величины и знака, то и правило каждаго алгебраическаго дѣйствія должно состо-
ять изъ двухъ частей: правила абсолютныхъ величинъ и правила знаковъ.
13.	— Приступая къ какому-либо дѣйствію, надо прежде всего опредѣлить
смыслъ его. Приэтомъ, уже въ ариѳметикѣ мы видѣли, что обобщеніе понятія
о числѣ ведетъ къ обобгценію опредѣленій самыхъ дѣйствій, въ тѣхъ видахъ
чтобы избѣжать накопленія частыхъ случаевъ и всѣ эти случаи соединить въ
одно общее выраженіе. Такъ, опредѣленіе дѣйствія умноженія расширяется при
переходѣ отъ цѣлыхъ чиселъ къ дробнымъ. При этихъ послѣдовательныхъ обо-
бщеніяхъ могутъ иногда утратиться тѣ или другія свойства дѣйствій. Такъ, мы
увидимъ далѣе, что извлеченіе корня, — дѣйствіе, въ ариѳметическомъ смыслѣ
дающее одинъ результатъ, въ алгебраическомъ смыслѣ приводитъ кгь нѣсколькимъ
— 21 —
различнымъ результатамъ; въ данномъ случаѣ, слѣдовательно, обобщенное дѣй-
ствіе теряетъ свойство давать одинъ результатъ.
Но если, въ видахъ обобщенія, и можно откинуть то пли другое свойство
операціи, необходимо условиться не прибавлять никакихъ новыхъ свойствъ къ
тѣмъ, которыя имѣли мѣсто для дѣйствій надъ количествами менѣе общими, и
это въ тѣхъ видахъ, чтобы всякое правило, установленное для обобщеннаго
дѣйствія, было приложимо и къ менѣе общему случаю, содержа въ себѣ, какъ
частный случай, правило, найденное ранѣе для дѣйствія, разсматриваемаго въ
болѣе узкомъ смыслѣ, совершенно такъ-же, какъ мемѣе общій видъ количеетвъ
содержится какъ частный случай въ количествахъ обобщенныхъ.
Это начало, которое слѣдуетъ соблюдать при обобщеніи опредѣленій коли-
чествъ и дѣйствій надъ ними, названо Ганкелемъ началомъ постоянства правилъ
вычисленія. Въ силу этого начала, всякое правило, относящееся въ количествамъ
обобщеннымъ, должно прилагаться и къ количествамъ нисшаго порядка, такъ
какъ обобщеніе не вводитъ новыхъ свойствъ, а стало быть и не даетъ мѣста
такимъ правиламъ, которыя не вытекали бы уже изъ свойствъ ранѣ^ принятыхъ.
14.	— Установленіе правилъ вычисленія зависитъ единственно отъ свойствъ
дѣйствій; отсюда необходимость предварительнаго изученія этихъ свойствъ. Озна-
комимся прежде всего съ Фундаментальными свойствами суммы и разности.
При выводѣ этихъ свойствъ мы для краткости будемъ означать противо-
положныя величины — каждую одною буквою; такимъ образомъ подъ буквами:
а, &, с, й,.. будемъ представлять противоположныя величины, т. е. абсолют-
ныя величины съ сопровождающими ихъ знаками.
Свойства суммы.
15.	Понятіе о сложеніи есть основное, а потому и не поддается никакимъ
опредѣленіямъ.
Мы видѣли, что каковы бы ни были противоположныя величины (скорости,
времена, температуры), ихъ всегда можно представлять прямыми линіями, нано-
симыми на неограниченной прямой въ томъ или другомъ направленіи. Поэтому,
если мы желаемъ сложить нѣсколька величинъ, то должны помѣстить ихъ одну
за другой, каждую въ направленіи, опредѣляемомъ ея знакомъ; т. е. начало
второй помѣстить въ концѣ первой, нанося ее въ направленіи, указываемомъ ея
знакомъ, и т. д. Суммою будетъ разстояніе отъ начала первой до конца послѣд-
ней. Это геометрическое представленіе сложенія полезно какъ облегчающее сред-
ство при доказательствѣ нѣкоторыхъ изъ нижеслѣдующихъ теоремъ.
Теорема I. — Придать къ даннному количеству послѣдовательно
нѣсколько другихъ — все равно что придать ихъ сумму] т. с.
а Ъ —с -— а —|— (Ъ —|— с).
Этою теремою выражается такъ называемый законъ сочетательный въ
сложеніи.
Доказательство. — Пусть напр. а =	Ъ = — {3, с = -}-у, гдѣ а,
и у суть абсолютныя величины. На линіи Х'Х отъ точки 0 нанесемъ снача-
— 22 —
ла а: придемъ въ нѣкоторую точку М. Затѣмъ наносимъ — (3, сообразно съ
знакомъ этого количества, влѣво отъ точки М: придемъ въ точку И. Наконецъ
’	О -Л ---й	.. Р
। х—--------------------------------------------1----—-<•
+ я.
Черт. 5.
отъ точки Н вправо наносимъ отрѣзокъ у: приходимъ въ точку Р. Сумма а 4
4* Ъ 4 с выразится линіей ОР отъ начала перваго слагаемаго до конца третьяго.
Но Ъ 4- с составляетъ въ тоже время сумму МР, ибо М есть начало слагае-
маго 6, а Р — конецъ слагаемаго с; сл. представляя линію ОР суммою ОМ-]МР,
и замѣчая, что 0М = а, а МР = Ъ 4 с, имѣемъ:
0Р = а4-(&4-С).........(1).
А раньше мы нашли, что
*	0Р = а4-& + с..........(2).
Изъ (1) и (2) заключаемъ, что
а -1 - ъ 4- с — 4- (ь 4- с),
такъ какъ оба эти выраженія представляютъ одну п туже линію ОР.
Теорема II.— Сумма не измѣнится отъ перемѣны порядка сла-
гаемыхъ.
Этою теоремою выражется законъ перемѣстительный въ сложеніи.
Доказательство. I. Докажемъ эту теорему сначала для двухъ сла-
гаемыхъ, т. е. что
а 4~	Ъ —|— а
Доказательство это, въ свою очередь, распадается на нѣсколько случаевъ,
смотря по знакамъ количествъ а и Ъ.
1)	Пусть а и Ъ — положительныя количества. Наносимъ а по линіи ОХ,
начиная отъ точки 0: придемъ въ точку М. Затѣмъ, отъ точки М въ томъ же
, (У Я С' Л -I
у _ _	~	— । _	।	।	—	-_У
~с(~ ' а.
Черт. 6.
направленіи наносимъ &, и такимъ образомъ приходимъ въ точку Р. Сумма рав-
на линіи ОР отъ начала перваго слагаемаго до конца втораго:
а4& = 0Р...........(1).
Еслп теперь на линіи ОР отложимъ часть 00 = Ъ, то остальная ея часть
ОР будетъ равна а; слѣдов. линію ОР можно разсматривать также какъ сум-
му линій Ъ и а:
Ь-\а~()Ѵ.........(2).
Изъ (1) и (2) слѣдуетъ, что
а-\-Ь — Ъ-\- а.
— 23 —
2)	Составимъ сумму «4-6, полагая, что а положительно и равно а
Ъ отрицательно и равно — Р; положимъ сверхъ того, что а > (3.
Нанесемъ а на линію ОХ: придемъ въ точку М; отъ точки М наносимъ
линію 6, сообразно съ ея знакомъ, влѣво отъ точки М: придемъ въ точку Р.
Сумма а-|-6 выразятся линіей ОР отъ начала перваго до конца втораго сла-
гаемаго:
а4-г>=ор...........(3).
, О С	9 Л
Л —-----------—  г.. _ --:------------------- <
Черт. 7.
Нанесемъ теперь 6, сообразно съ знакомъ этой линіи, влѣво отъ 0: при-
демъ въ точку 0; очевидно, что линія (Д1 —ОМ /пбо каждая состоитъ изъ 6,
сложеннаго съ ОР/, а потому, нанося а отъ точки Ц вправо, придемъ въ точ-
ку Р, и сумма Ъ-\-а выразится линіей ОР отъ начала слагаемаго Ь до конца а:
Ъ + а = в?.........(4).
Изъ равенствъ (3) п (4) находимъ опять, что
а —|— Ь -1) —|— «,
ибо та и другая сумма выражаютъ одну и туже линію ОР.
Пусть а < р. Нанеся а на линію ОХ вправо отъ начала, придемъ въ точ-

Черт. 8.
ку М; отъ точки М наносимъ Ъ въ направленіи ОХ1; такъ какъ [1 > а, то при-
демъ въ нѣкоторую точку Р, лежащую влѣво отъ 0. Сумма «-(-6 выразится ли-
ніей ОР, отъ начала перваго до конца втораго слагаемаго:
а.-[-г> = ОР........(5).
Отложимъ отъ точки О влѣво линію О0, = МР = 6; очевидно, что ОР
будетъ равна ОМ или а. Слѣд. линія ОР будетъ выражать сумму линій:
00. = —{3 и 0Р = 4-а, т. е.
64-а = 0Р...........(6).	•
Изъ равенствъ (5) и (6) заключаемъ:
а-\-Ь — Ъ-]-а.
3)	Если бы количества а и Ъ были оба отрицательны, то доказательство
было бы тоже самое, что и въ случаѣ 1), только обѣ линіи пришлось бы от-
кладыватъ влѣво отъ начала.
Итакъ, теорема доказана для двухъ слагаемыхъ.
II.	Докажемъ теперь, что если имѣемъ сумму трехъ слагаемыхъ, то можно
измѣнить порядокъ двухъ послѣднихъ. Въ самомъ дѣлѣ, на основаніи теоремы
I имѣемъ:
« —|— Ъ —с — а	(Ъ —*,
— 24: —
измѣнивъ въ скобкахъ порядокъ слагаемыхъ, отъ чего, по теоремѣ II для двухъ
слагаемыхъ, сумма ихъ не измѣнится, находимъ
а Ъ —|— с — а —|— (с “|~ бу,
отсюда, замѣняя, на основаніи теоремы I, выраженіе а -|- (с -|-Ь) равнымъ ему
а	получаемъ
сі —|— Ъ —с.— а —с ~|~ Ъ.
III.	Въ суммѣ, состоящей изъ сколькихъ угодно слагаемыхъ, можно измѣ-
нить порядокъ двухъ послѣднихъ. Въ самомъ дѣлѣ, такую сумму можно раз-
сматривать какъ состоящую изъ трехъ слагаемыхъ.
IV.	Во вской суммѣ можно перемѣнить мѣста двухъ послѣдовательныхъ
слагаемыхъ, гдѣ бы они ни находились.
Въ самомъ дѣлѣ, на основаніи пункта III имѣемъ
а —Ъ “I- с —|— <7 — а —|— Ъ —|— а с;
прибавляя къ равнымъ величинамъ по-ровну (по е), получимъ равныя, слѣд.
отсюда такимъ же образомъ
о- —|— Ъ —|— с —|— а —|— е —|—	а —|— I) а с е —|— /*, и т. д.
V.	Можно измѣнить какъ угодно мѣста слагаемыхъ въ суммѣ.
Въ самомъ дѣлѣ, перемѣщая два послѣдовательныхъ члена одинъ на мѣсто
другаго, можно всякое слагаемое помѣстить на какомъ угодно мѣстѣ.
Теорема. III. Нѣсколько слагаемыхъ можно замѣнить ихъ сум-
мою (вычисливъ ее), и наоборотъ — одно слагаемое можно замѣнить
нѣсколькими, которыхъ сумму оно представляетъ.
Докательство.— I. Помѣстимъ въ началѣ всѣ слагаемыя, которыя
мы хотимъ суммировать; вычислимъ ихъ сумму, сообразно съ ихъ знаками;
наконецъ, полученный результатъ помѣстимъ тамъ, гдѣ хотимъ. Эти преобра-
зованія, законность которыхъ выше доказана, доказываютъ первую часть тео-
ремы.
II. Помѣстимъ на первомъ мѣстѣ слагаемое, которое желаемъ разложить;
разложимъ его на части, сумму которыхъ оно составляетъ; наконецъ, размѣ-
стимъ какъ угодно эти части въ данной суммѣ. Всѣ эти преобразованія, кото-
рыя по вышедоказанному всегда можно сдѣлать, служатъ доказательствомъ вто-
рой части теоремы.
Свойства разности.
16. Опредѣленіе вычитанія. — Вычитаніе есть дѣйствіе обратное сло-
женію. Вычесть изъ первой величины вторую значитъ найти такую третью
величину, которая будучи сложена со второю, давала бы первую. Итакъ,
вычитаніе служитъ для рѣшенія слѣдующей задачи: «по данной суммѣ а двухъ
количествъ и одному изъ нихъ Ъ найти другое».
— 25 —
Дѣйствіе вычитанія и результатъ его, называемый остаткомъ пли раз-
ностью, обозначается слѣдующимъ образомъ:
а — Ъ.
Назвавъ остатокъ буквою 3, по опредѣленію вычитанія имѣемъ
а — & —[— о.
Теорема I. — ѣычитаніе какой угодно величины всегда можно за-
мѣнитъ приданіемъ величины ей противоположной (т. е. противопо-
ложнаго знака).
Доказательство. Замѣтимъ сначала, что сумма двухъ количествъ а и а*)
одинаковой абсолютной величины, но противоположныхъ знаковъ равна нулю;
т. е.
а-]-а = о
Въ самомъ дѣлѣ, пусть наприм. а есть количество положительное и вы-
ражается отрѣзкомъ ОМ; придать а значитъ отъ точки М влѣво отложить ли-
нію МО: придемъ въ точку 0. Такимъ обр. сумма, т. е. разстояніе отъ начала
перваго до конца втораго слагаемаго равно 0. 'См. черт. 3).
Состояніе лица, имѣющаго 5 р. капитала и 5 р. долга, очевидно, равно
нулю, сл. 5р. -|- (— 5р) = 0; и т. п.
Пусть теперь изъ а нужно вычесть Ь. По опредѣленію вычитанія, это
значитъ: найти такое третье количество, которое, будучи сложено съ Ь да-
вало-бы а. Такимъ свойствомъ обладаетъ количество а -|- Ъ\ въ самомъ дѣлѣ:
а+& + Ь = а + {& + Ь}
по теоремѣ I свойствъ суммы. Но, въ силу только — что сдѣланнаго замѣчанія,
количество въ скобкахъ равно нулю; слѣд.
а — Ь — а -I- Ь,
что и требовалось доказать.
Теорема II. — Чтобы вычесть сумму, нужно вычесть послѣдова-
тельно всѣ ея члены.
Доказательство. — Въ самомъ дѣлѣ, пусть нужно вычислить выраженіе
К — (а і 4“ с -1 <7); — '
назвавъ разность буквою 5, мы, по опредѣленію вычитаніи, имѣемъ равенство
П = о + (а
или, по теоремѣ I свойствъ суммы,
а перемѣнивъ мѣста слагаемыхъ:
X = « -}- 5 —р <2	с ь,
*) Въ этой теоремѣ и въ теоремѣ IV мы обозначаемъ равныя, но противополож-
ныя количества одинаковыми литерами разныхъ начертаній.
- 26 -
или, по той же теоремѣ:
Здѣсь К есть сумма, §4'^ + с4* Ь—одно слагаемое, а — другое; по опредѣле-
нію вычитанія (по данной суммѣ К и одному слагаемому, а другое опредѣляется
вычитаніемъ) имѣемъ:
И — а — § й с Ъ-
Такимъ же точно разсужденіемъ, изъ послѣдняго равенства находимъ послѣдо-
вательно:
Б—а —Ь = с4-(§4-гі);
И — а — Ъ — с =
Ъ — а — Ь — С — СІ:=8.
Подставивъ вмѣсто § равную ему величину, находимъ
К — (аЬ4" с— а — Ъ — с —И,
что и требовалось доказать.
Принципъ, выражаемый этою теоремой, служитъ, между прочимъ, основаніемъ
теоріи вычитанія цѣлыхъ чиселъ: изъ уменьшаемаго послѣдовательно отнима-
ютъ всѣ части вычитаемаго, разсматривая его какъ сумму единицъ, десятковъ,
сотенъ и т. д.
Теорема III. — Чтобы придать разность, нужно придать умень-
шаемое и изъ результата отнятъ вычитаемое.
Доказательство. — Пусть будетъ дана разность
а — Ъ = §;
по опредѣленію вычитанія, имѣемъ
а = § 4' & с ’
Придавая равныя къ равнымъ, получимъ равныя величины (приданіе о4*&
означаемъ скобками); сл.
К + а = К4-(«4-Ь);
отсюда, по теор. I св. сум. имѣемъ:
П4-а = К4-§4-6,
а по опредѣленію вычитанія:
П4-а-Ь = К4-$,
или, замѣнивъ <5 его величиною, получаемъ
К	а —- Ъ — К 4- (® — ^),
что и требовалось доказать.
Теорема IV.— Чтобы вычесть разность, нужно вычесть умень-
шаемое и къ результату придать вычитаемое.
Доказательство. — Изъ равенства
а — Ь=:8.
имѣемъ
а = &4~&'
— 27 -
Придавая къ обѣимъ частями по Ь. имѣемъ:
аЬ = о4~ Ь — о;
вычитая равныя изъ равныхъ, получимъ:
X — (®Н-Ь) — X — 3;
отсюда, по теор. II св. разн., имѣемъ
X-а—Ь—К—§
но вычесть Ь — тоже самое, что придать Ь; слѣд.
Х-а4-б = Х-5 = Х~ (а —Ь),
что и требовалось доказать.
Слѣдствіе. Придавая или вычитая разность, всегда можемъ измѣнитъ
порядокъ двухъ производимыхъ дѣйствій.
Доказательство. — Чтобы доказать теорему для случая приданія раз-
ности, напишемъ равенство
= а-і-И-Ь,
справедливое потому, что въ суммѣ X а можно перемѣнить порядокъ слагаемыхъ.
Вторую часть равенства, па основаніи теоремы III св. разн , можно пред-
ставить въ видѣ: а-|- (X — Ъ)\ слѣд.
К4-а — Ь = «4-(Х — Ъ)\
перемѣнивъ снова мѣста слагаемыхъ во второй части, получимъ
К-і-а-Ь— (И -Ь)4-а;
опустивъ скобки, такъ какъ и безъ нихъ смыслъ дѣйствій ясенъ, имѣемъ
> X Ь — X — Ъ а.
Для случая вычитанія разности, на основаніи случая приданія прямо имѣемъ:
X — а-Ь& = Х + Ь-а.
Теорема Г. — Разность не измѣнится, если къ уменьшаемому
и вычитаемому придать или изъ нихъ вычесть одно и тоже коли-
чество.
Доказательство. — Въ самомъ дѣлѣ, изъ равенства
а — Ъ — 8,
по опредѣленію вычитанія, имѣемъ
а~8-]-Ъ.
Придавая къ равнымъ по-ровну, получимъ количества равныя, слѣд.
а -|- т = § б -р т,
или по теоремѣ I св. суммы:
а ~І~т —
Отсюда по опредѣленію вычитанія,
(а 4~ «’) — (Ь 4" т) =
- 28 —
или, замѣнивъ 3 его величиною, имѣемъ
(л —[— т} — (Ъ ж) а — Ъ.
Совершенно аналогичнымъ пріемомъ докажемъ что
(а — т) — (Ь — т) = а — Ъ.
Слѣдствіе. — Всякая разность равна обращенной разности, взятой
со знакомъ минусъ.
Доказательство. —Имѣя разность а — Ъ, мы не измѣнимъ ее, вычтя
изъ обоихъ членовъ ея по а; поэтому
а — Ъ^.(а — а) — (Ъ — а’;
пли	а—Ь = 0 —(Ь —а);
опустпвъ ноль, получимъ окончательно
а — Ъ = — (Ъ — а).
Теорема VI. — Количество не измѣнится, если къ нему придать
и затѣмъ вычесть одну и туже величину.
Доказательство. — Въ самомъ дѣлѣ, по теоремѣ III о приданіи раз-
ности имѣемъ:
Р —|— а — а Р —|— (а — а^
= Р-|-0
= Р.
Свойства полинома.
17. Выраженіе вида
а-\ Ъ — с-~-(1 — с
указывающее рядъ сложеній и вычитаній, называется полиномомъ или много-
членомъ. Члены, предшествуемые знакомъ называются положительными,
а предшествуемые знакомъ —, отрицательными. Если передъ первымъ членомъ
не находится никакого знака, надо подразумѣвать -|-. Члены полинома суть
количества, которыя сами по себѣ могутъ быть или положительныя, или отри-
цательныя. Отдѣльный членъ, называемый одночленомъ или мономомъ, всегда
можно разсматривать какъ двучленъ или биномъ; въ самомъ дѣлѣ:
а— а	0 = 0 -|- а — а — 0.
18. Теорема.—Во всякомъ полиномѣ можно какъ угодно измѣ-
нятъ порядокъ членовъ, сохраняя передъ ними ихъ знаки: величина
полинома отъ этого не измѣнится.
Доказательство. — I. Сначала докажемъ, что можно измѣнить поря-
докъ двухъ послѣднихъ членовъ; т. е., назвавъ совокупность предшествующихъ
членовъ буквою Р, докажемъ справедливость равенствъ:
Р	Ь = Р -|- Ь -|~ а,
Р — а — & = Р — Ъ — а,
Р-|-а — & = Р —
Въ самомъ дѣлѣ, по теоремѣ II свойствъ суммы, величина суммы не измѣ-
нится отъ перемѣны мѣстъ слагаемыхъ; слѣд. 1-е равенство доказано.
— 29 -
Для доказательста втораго припомнимъ, что на основаніи теоремы II
свойствъ разности имѣемъ
Р —а-Ь —Р — (« + &);
измѣнивъ въ суммѣ а-}-Ь мѣста слагаемыхъ, получимъ
Р — а — Ъ = Р —
отсюда, основываясь опять на теор. II св. разн., вторую часть замѣняемъ
Формулою Р — Ъ — а, послѣ чего окончательно находимъ
Р — а — Ь—: Р — Ъ — а.
Наконецъ, на основаніи слѣдствія теоремы IV св. разн., прямо имѣемъ
Р -|- л — Ъ = Р — Ъ-^-а,
и третье равенство доказано.
II. Докажемъ теперь, что можно измѣнить порядокъ двухъ послѣдователь-
ныхъ (рядомъ стоящихъ) членовъ полинома.
Въ самомъ дѣлѣ, всякіе два рядомъ стоящіе члена суть послѣдніе члены
полинома, составленнаго изъ нихъ и имъ предшествующихъ членовъ; а по I
пункту нашей теоремы такіе два члена могутъ быть переставлены одинъ на
мѣсто другаго.
III. Можно измѣнить 'какъ угодно порядокъ членовъ. Въ самомъ дѣлѣ,
переставляя два послѣдовательные члена одинъ на мѣсто другаго, можно какой
угодно членъ полинома перевести постепенно на какое угодно мѣсто.
19. Приведеніе подобныхъ членовъ полинома. — Два члена, состоящіе изъ
одинаковыхъ буквъ и надъ одинаковыми буквами имѣющіе одинаковыхъ по-
казателей, а коэффиціенты и знаки которыхъ могутъ быть какіе угодно, назы-
ваются подобными. Короче, подобными одночленами называются такіе, у ко-
торыхъ буквенная частъ одинакова. Такъ, За2Ь3с и — 7а263с — подобны; также
4(ж— ^)Ѵ и —І(з5 — у')-г3— подобны между собою,
ы
Когда многочленъ содержитъ подобные члены, его можно упростить, соеди-
нивъ подобные члены въ одинъ. Соединеніе подобныхъ членовъ въ одинъ
называется приведеніемъ.
При выводѣ правилъ приведенія нужно разсмотрѣть слѣдующіе случаи.
1) Знаки подобныхъ членовъ одинаковы. Пусть данъ двучленъ, состоящій
изъ положительныхъ членовъ, напр. За2Ь-|-5а2Ь. Знакъ подразумѣваемый
передъ членомъ За2й, показываетъ, что слѣдуетъ придать	передъ
вторымъ членомъ означаетъ, что придается ЬаЧг, но придать За2&, а затѣмъ
5«26 — все равно что сразу придать 8а2і, слѣдовательно
За2Ь4-5а2і = 4-8а2&.
Возьмемъ двучленъ —4«63 — ЬаЪ3. Знакъ (—) передъ первымъ членомъ
показываетъ, что нужно отнять 4аЬ3; тотъ же знакъ передъ вторымъ членомъ
означаетъ, что нужно отнять 5а&3; но отнять 4аЪ3 и затѣмъ ЬаЬ3 — все равно
что сразу отнять 9а63; итакъ
— 4аЬ3 — 5аЬ3 = — 9«Ь3.
Отсюда правило: если знаки подобныхъ членовъ одинаковы, то для приведенія
- 30 -
членовъ въ одинъ нужно буквенное выраженіе оставитъ безъ перемѣны, коэф-
фиціенты сложитъ, а знакъ поставитъ общій.
2) Знаки приводимыхъ членовъ различны. Возьмемъ выраженіе, состоящее
изъ двухъ подобныхъ членовъ съ разными знаками, напр. 5а2Ь3 —За2Ь3.
Знакъ (-{-), подразумѣваемый передъ первымъ членомъ, означаетъ, что нужно
придать 5а2Ь3; (—) передъ вторымъ членомъ показываетъ, что нужно вычесть
За2Ь3. Придать 5 разъ а^Ъ3, а затѣмъ вычесть 3 раза а’Ь3 — все равно что
придать 2 раза а2Ь3; сл.
5а2Ь3 — За2Ь3 = -|-2а2Ь3.
Въ выраженіи: — 5«*Ь34~ 2а2Ь3 знакъ (—) передъ первымъ членомъ по-
казываетъ, что нужно 5 разъ вычесть а2Ь3; (-|~) передъ вторымъ членомъ
показываетъ, что нужно придать 2 раза а2Ь3; но это — все равно что отнять
3 раза а’Ь3. Слѣд.
— 5а’Ь3 2а2Ьл — — За*63.
Отсюда правило: Когда знаки подобныхъ членовъ разные, то для соединенія
членовъ въ одинъ нужно — буквенное выраженіе оставитъ безъ измѣненія,
изъ большаго коэффиціента вычесть меньшій и передъ разностью поставить
знакъ большаго коэффиціента.
Можетъ случиться, что подобные члены имѣютъ одинаковые коэффиціенты,
но разные знаки, напр. -|-2а— 2а; очевидно, что такіе члены взаимно уничто-
жаются т. е. даютъ въ результатѣ ноль. Слѣд.
-}-2а— 2а=0.
При помощи этихъ правилъ можно дѣлать приведеніе подобныхъ членовъ
полинома, сколько бы ихъ ни было. Въ самомъ дѣлѣ, примѣняя первое прави-
ло, мы соединимъ въ одинъ членъ всѣ подобные члены, имѣющіе одинаковые
знаки; послѣ этого придется сдѣлать приведеніе членовъ съ разными знаками,
примѣняя второе правило. Пусть, напр., данъ полиномъ
7а6 — 5а4Ь2 + 5а‘Ь2 — За‘Ь»	8а‘Ь» — 13а‘Ь2 + аѴ — Ъ6.
Членъ Іа6, не имѣющій себѣ подобнаго, остается неприводимымъ. Члены:
— 5а‘&2 и -}-5а‘Ь*, какъ подобные члены съ разными знаками и равными
коэффиціентами, взаимно уничтожаются. Затѣмъ: —За‘Ь2 и —13аЧ>2 даютъ,
по первому правилу, — члены: 8а‘Ь2 и -|- ®‘Ь’» по тому же правилу,
даютъ -|-9а‘Ь2. Члены: —16а*62 и -}-9а‘Ь2, по второму правилу, даютъ
— 7аЧА Наконецъ —Ъ6, какъ не имѣющій себѣ подобнаго, остается не при-
водимымъ. Такимъ образомъ данный полиномъ приводится къ слѣдующему
сокращенному виду:
7а6 — 7а‘Ь» — Ъ6.
20. Расположеніе многочлена по степенямъ главной буквы. — Когда пока-
затели нѣкоторой буквы въ послѣдовательныхъ членахъ идутъ постоянно
уменьшаясь или увеличиваясь, то говорятъ, что полиномъ расположенъ по
степенямъ этой буквы, которая въ такомъ случаѣ называется главной.
Такъ, полиномъ
3 — -|- 6.ъ,г -|- а-'3 — тг3’4
расположенъ по возрастающимъ степенямъ буквы х.
— 31 -
Многочленъ
г> « ба ,	6а2 „ । За* .
За?’---— -г-ж2 -і--=-х — 1
ІЛ о ' 5
расположенъ по убывающимъ степенямъ буквы х.
Многочленъ
9аа?8?/ — 12а?6?/4 ЧаѴу*
расположенъ одновременно по убывающимъ степенямъ буквы х и по возраста-
ющимъ буквы у.
Многочленъ называется полнымъ, если показатели главной буквы идутъ
увеличиваять или уменьшаясь постоянно на единицу и если имѣется членъ не
содержащій главной буквы. Таковъ напр. многочленъ
па?1 -|- Ъх3 сх‘3 4~	4~ е:
это есть полный многочленъ относительно буквы х.
Если же нѣкоторыхъ степеней главной буквы недостаетъ, многочленъ
называется неполнымъ. Напр.
а?‘ — Зж2 4- 2а?	1
есть неполный многочленъ четвертой степени относительно буквы х: въ немъ
недостаетъ члена, содержащаго а?3.
21. Задачи.
Сдѣлать приведеніе въ слѣдующихъ многочленахъ:
1.	Зй2& + 7а&с — й2& 4- ІбйМс 4- 9й2& — 4й2&с — 5а2&.
2.	8а;3 — бх^у — 7ху- 4~ 4а:2?/ — 9?/3 — бх3 — 14ху* -|- 28а:?/2 — 60а:2?/ 4" 20а?3.
„ _ 1	. 1	1	, „1	5.1	17	. 15 .	1
3.	7-а?4--?/-Г + 3-.а;--?/+-^-а:+ -?/4-2^.
4.	12,49т2п — 3,72и2-|-7-і-т2??-|-2,9р3 — 6,39и2-|-бр3-|-3,72??2.
17	2
5.	9 ~х—~~у + 3,6^4-2,7#-|“0,125т/ — 4—г.
А о	э
Слаженіе.
22.	Сложеніе полиномовъ. Теорема. Чтобы придать полиномъ къ
какому нибудъ количеству, надо всѣ члены полинома приписать къ
этому количеству — каждый съ тѣмъ знакомъ, какой передъ нимъ на-
ходится.
Первое доказательство. — Оно основано на правилѣ приданія сум-
мы или разности. Пусть требуется къ Р придать полиномъ а — Ъ-\-с — й; дѣй-
ствіе обозначаемъ, заключивъ многочленъ въ скобки:
Р4~(« — Ъ 4- с—Л).
Разсматривая сі какъ количество вычитаемое изъ а — Ъ 4- с, обозначаемъ
это дѣйствіе, заключивъ а — Ъ 4- с въ новыя скобки; такимъ образомъ полу-
чимъ:
Ь4-с-/7) = Р4-	4-г) — й].
32 —
Разсматривая а — Ъ-^с какъ одинъ членъ разности, а сі какъ Другой, и
припоминая, что по теор. III св. разн. для приданія разности надо придать пер-
вый членъ и отнять второй, найдемъ:
Р -}-- (а — & 4~ с — = Р —с) — Л.
Разсматривая а — Ъ какъ одинъ членъ суммы, а с какъ другой, что обоз-
начаемъ соотвѣтствующими скобками, имѣемъ:
Р (а — & —с — й) = Р 4~ [(« — Ъ) с] — сі.
На основаніи теоремы III св. суммы можно членъ [(а — V) с] замѣнить
суммою составляющихъ его членовъ; так. обр.
Р-|-(а—Ъ-\-с—й) = Р-|-(« — 4'~ГС—
тт	О ,
Наконецъ по теоремѣ о приданіи разности получимъ окончательно ^7
Р(а — Ъ с — (1) = Ѵ-]-а — Ъ-{-с — й.	у?
Второе доказательство. — Оно проще перваго. Разсматривая прида- •
ваемый полиномъ какъ одинъ членъ, мы, перемѣняя мѣста слагаемыхъ, мо- ’
жемъ написать:	і
Р-}-(« —	— (і) = (а— &4~с— й)-[-Р.
Вторая часть равенства означаетъ, что изъ а надо вычесть &, затѣмъ при-
дать с, вычесть Л и наконецъ придать Р; но тотъ же смыслъ будетъ имѣть это
выраженіе, если въ немъ опустить скобки; сл. имѣемъ право написать
Р —(а — & -|~с —	&	— й-[-Р.
Переставивъ затѣмъ послѣдній членъ второй части на первое мѣсто, по-
лучимъ окончательно
Р(а — &	— й) = Р-[-а — Ь с — сі.
Итакъ, для сложенія многочленовъ надо члены одного многочлена припи-
сать къ другому, каждый съ тѣмъ знакомъ, какой передъ нимъ находится и,
если можно, сдѣлать приведеніе. На практикѣ, для удобства приведенія, пишутъ
члены одного многочлена подъ другимъ, наблюдая, чтобы подобные члены на-
ходились въ одномъ вертикальномъ столбцѣ. Такъ, пусть требуется сдѣлать
сложеніе:
4ж3 — 5а2ж Іах3 — а3 4~ (8а3 — х3 4~ 4аж2 — За2#) 4- (4а2ж —2х3 4- а3).
Располагая многочлены сказаннымъ образомъ, имѣемъ:
Слагаемыя
Сумма . .
іх3—5а2# 4~ Чах3— а3
— х3 — За‘2#4~ 4а#24~8а3
— 2#34~4а2ж	4- а3
х3 — 4а2# 4~ 11а#2 4- 8а3
или, располагая члены по убывающимъ степенямъ буквы а:
8а3 — 4а2# 4“ 11а#2 4~ х3.
23.	Сложеніе мономовъ. — Правило этого дѣйствія можетъ быть введено на
основаніи правила сложенія полиномовъ, такъ-какъ всякій мономъ можно раз-
сматривать какъ биномъ.
— 35 —
Уменьшаемое...........5а3Ь2 — 7а263 № — Ь8
Вычитаемое..........—2а3Ь2±7а2Ь3^Зай4±6Ь8
Остатокъ..............За’Ь2	5аЬ‘ 5Ь5
25.	Вычитаніе мономовъ. — Правило вычитанія одночленовъ можно вывести
на основаніи правила вычитанія многочленовъ, такъ какъ всякій одночленъ мож-
но разсматривать какъ двучленъ.
Пусть изъ какого нибудь количества Р, подъ которымъ можно подразумѣ-
вать или многочленъ, или одночленъ, требуется вычесть 4-а- Разсматривая«
какъ бинонъ о-[-а, на основаніи правила вычитанія многочленовъ находимъ
Р — (-|- а) = Р — (о 4- а) — Р — о — а;
опустивъ о, имѣемъ:
Р-(4-а) = Р-а. . . .(1).
Разсматривая — а какъ биномъ о — а, подобнымъ же образомъ найдемъ:
Р-(-а) = Р —(о —а)=Р —о4-а = Р4-а . . .(2).
Такимъ образомъ, вычитаемый одночленъ надо приписывать къ уменьшае-
мому съ обратнымъ знакомъ.
Напримѣръ
5а362с — (— 2а3Ь2с) = Ьа^с 4- 2а3Ь2с = 7а3Ь2с.
Такимъ же образомъ найдемъ:
1) 3 — (4-5) = 3 — 5~ — 2.
2) 3-(—5) = 34-5 = 4-8.
Замѣчая, что остатокъ перваго вычитанія (—2) меньше уменьшаемаго,
между тѣмъ какъ остатокъ втораго (4-8) больше уменьшаемаго, заключаемъ, что
съ алгебраическимъ вычитаніемъ не всегда соединяется понятія объ уменьшеніи:
вычесть положительное число — значитъ уменьшить, вычесть отрицательное —
значитъ увеличить.
Примѣчаніе. — Правило вычитанія одночленовъ можно-бы было вывести
непосредственно, основываясь на опредѣленіи этого дѣйствія; такой выводъ ни-
чѣмъ не отличается отъ втораго доказательства правила вычитанія многочленовъ,
потому мы его и опускаемъ.
Употребленіе скобокъ.
26. Если многочленъ или нѣсколько его членовъ заключены въ скобки, от
можно ихъ опустить, написавъ многочленъ, безъ скобокъ. Дѣйствіе это наз. рас-
крытіемъ скобокъ, а правила его непосредственно вытекаютъ изъ правилъ сло-
женія и вычитанія многочленовъ. При этомъ слѣдуетъ разсмотрѣть два случая.
1. Если передъ скобками стоитъ знакъ 4~, то можно опустить скобки вмѣс-
тѣ съ знакомъ, который передъ ними находится, переписавъ члены, стоявшіе
въ скобкахъ, съ ихъ знаками. Такъ, выраженіе
а 4- (— Ъ 4~ с — й 4- е),
по раскрытіи скобокъ, дастъ, по правилу сложенія,
а — Ь4~с — И-\-е.
3»
— 36 -
2. Если многочленъ или часть его заключена въ скобки, передъ которыми
стоитъ знакъ —, то можно опустить скобки вмѣстѣ съ знакомъ, который имъ
предшествуетъ, перемѣнивъ знаки у всѣхъ членовъ, стоящихъ въ скобкахъ.
Такъ, многочленъ.
а — ъ — (— е-]-/ — /»),
согласно съ правиломъ вычитанія, по раскрытіи скобокъ дастъ:
а — б -]~е — /4~^-
Если многочленъ содержитъ нѣсколько паръ скобокъ, то ихъ можно уничто-
жать послѣдовательно, начиная или съ внутреннихъ, или съ наружныхъ, руко-
водствуясь каждый разъ вышеприведенными правилами. Такъ, въ выраженіи
а— [^“Ь(с — ^)] раскрывъ сперва наружныя скобки, найдемъ
а — Ъ — (с — й),
принимая на-время с — й за одинъ членъ. Раскрывая оставшіяся скобки, нахо-
димъ окончательно
а — Ъ —
Наоборотъ, раскрывая сначала внутреннія скобки, т. е. вида ( ), въ вы-
раженіи
а— { — & + [с — (й — е)]},
получимъ
а—{ —& + О —й + е]Ь
раскрывъ затѣмъ квадратныя скобки, найдемъ
а— { —Ъ-^-с—
раскрывъ, наконецъ, Фигурныя скобки, получимъ окончательно:
а-^-Ъ — с-^-сІ — е.
Наоборотъ, можно многочленъ или часть его заключитъ въ скобки, такъ-
чтобы передъ ними былъ опредѣленный знакъ Здѣсь опять надо разсмотрѣть
два случая.
1. Если многочленъ или часть его желаемъ заключить въ скобки со зна-
комъ -|- передъ ними, то у членовъ, вносимыхъ въ скобки, слѣдуетъ сохранить
ихъ знаки. Такъ въ выраженіи а + Ь — с й — е внося три послѣдніе члена
въ скобки съ знакомъ 4- передъ ними, получимъ
а —|— Ъ —|— — с —|— <7 -— в) *,
справедливость этого преобразованія подтверждается тѣмъ, что, раскрывъ скобки,
находимъ данное выраженіе а-[-Ъ— с-[-<і — е.
2. Если же многочленъ или часть его требуется заключить въ скобки со
знакомъ — передъ ними, то у членовъ, заключаемыхъ въ скобки, надо знаки
перемѣнить на обратные. Такъ, если три средніе члена многочлена а — Ъ 4-/—
— нужно заключить въ скобки съ знакомъ — передъ ними, то найдемъ:
а — (Ъ — /4-/») 4-А;
справедливость преобразованія доказывается тѣмъ, что, раскрывъ скобки, нахо-
димъ данное вырнженіе

— 37 —
Можно въ данный многочленъ вводить и нѣсколько паръ скобокъ. Такъ
напр. многочленъ а — Ъ-\-с— й-|-е — /можно написать въ видѣ
а-Ь [ Ъ-\-с — (А — е-[“/)].
27.	Задачи.
Сложить многочлены:
1.	4а3ж — 15а2жг/ 4~ ТаяРу 4" (9аая/2 — 7у3х) -(- (4а2ж2 -(- бах2у — 8«/4).
2.	7х3 — 4ж3г/2 -(- 1 Іжг/4 4" (9г/3 — 2ж2г/3 -|- 4жг/4) 4~ (Зх*у3 — ІОу5 -(- 9ж3«/2).
3.	9ж4 + 7ж2 — 1 + бх + (2ж3 — 4ж 4~ 11ж2) + (3 — 5ж2 + 7х — ж4).
3	5	1
4.	О,8а2 —3,47а&—17,25ас4-3,756с4-(—-а24-0,47а&4-12- ас — 7~Ъс).
5.	ж6 — 6ахя -(- За2ж4 — 28а3х3 -|- 9а4ж2 — 54а5ж -(- 27а6;
3	3
— Зж6 -|- 7ах3 —-а2х9 — а3х3 4~ — а4ж2 -|- 27а5ж — а6;	•’
1	5
12л;6 +	+ 34а3#3--—а№ — а$х — 28а6;
3	о
2	1
— 7ж64- — ах5-^- —а2#4— 11а3ж3— 7а4ж2 + 1ба5х — 7ав;
о	12
к	к
— Зж6 — 2аж8 — —а2ж4 -|- 6а3ж3 — -^-а9х2 -|- 13а№х За6.
6.	4ж4«/8.г6 — Зж3г/4^3 -|- 17ж2г/3й4 — 8жг/2^3-(- (14ж2г/3й44жг/2й35ж3г/4й5
— Зж4«/8^6) -|- (— ж4г/8й6 — 2ж3^4л8 -(- 4ж«/2г3 + 19ж2г/3.г4) -(- (2ге3?/-(- 5жг/2^3 — 7хіу3гв
9ж2г/3г4) -|- (— 12жг/2Л'3 -|- 4ж4г/8г6 — 15жгг/3г4 — ж3г/4г5) -(- (Зж4г/Зй6 -(- 4Іж2)/3^4
— х3у9г3 -|- 7жг/2^3).
7.	ат + бат-іг>+10ат-2г>2 + бат-зг>3 + г>4;
— 7Ът — Зат~2Ъ2 + 7ат-3Ь3 + 8ат + 4ат~1&;
8ат-2Ь2 + Зап~Ѣ3 — бат + ЗЬ4 + 6ат~4&;
— Зат~Ѣ 4- 5ат~2Ь2 + Зат — 5Ь4 — Зап~Ѣ3.
8.	хр -|- у9 + — іт + (АЬхр — тпзк -|- ату11 -|- Ъіт) -(- (— баЪх? -(- ЗаЪу9 -(-
-(- 8іт — азк) 4“ (аіт — ЗЪгк 4- іпхр 4- 14«/5) 4- (ЗЪсхр — ^у9 4- Зтик 4- піт).
9.	Изъ х9 4- Заж3 — 2Ьж2 4~ Зеж — 4й вычесть Зж4 4- ах3 — 4Ьж2 — Зсж 4- А.
10.	Изъ 72ж4 — 78х3у—10ж2г/24“ 17ж^3 4- Зу9 вычесть — х9-\-38х3у—17ху3 —
— З^у9 4- Юж2^2.
11.	Изъ 10а“ — 15Ь” — ср-^-5А9 вычесть — 9ат 4- %Ьп 4~ ср — 6А9.
12.	Изъ 7~х^у — 4,45?/2г 4“ 19 ~ и3 4- 0,85а2Ь—1,75ж— 8-|-^—9,5 вычесть
5	11
47,5а2Ь — “Ь	0,25жгг/ — 4 -^У^ — 0,625м3.
13.	Изъ многочлена 4ж4 — Заж34~8а2ж2—9а3ж — 4а4 вычесть сумму многочле-
новъ: 2ж44-5аж3 — 12а2ж2—а3ж — За4, 5ж4 — 2аж34-8а2ж2 — 7а3ж — а4 и Зж44-
4~аж3 —а3ж.
14.	Изъ многочлена 9ж4 — 2аж34-а2ж2 — Ь3ж 4-Ь* вычесть сумму многочленовъ:
бх9-\-„ЗЪх3—баЪх2—а3ж4-64, 2ж4 — ах3-\-7Ъ2х2 — 2Ь3х — а9, х9 — 4аж34-3а2ж2—
— 4а2Ьж — 2а2Ь2.
— 38 -
15.	Вычислить вырарженіе: Р — Р‘ 4- Р" — Р" + ? ' — Р\ въ которомъ
Р = я;3яз2 4~ »2я;
Р1 —у3— Ъу2-\-Ъ2у,
Рп = я3 4~ с«2 + с2г;
Рш=я3— у3 4-1®3’
РІѴ= а»2 + 5г/2 + сг2;
Рѵ = а2х — Ъ2у с2г.
16.	Упростить выраженіе:
44» 4~ [48г/ — (6г 4* %У — 7») 4- 4г] — [48г/ — 8х 4- 2г — (4х 4- г/)].
17.	Упростить выраженіе
6а 4- { 4а — [85 — (2а 4~ 45) — 22Ь] } — { 75 4~ [9а — (35 4- 4а) 4- 85] 4 6а } .
18.	Вычислить выраженіе
у— {*—Iх — & + 0]}>
въ которомъ
х = 3а2—2а5 4~552; у— 7а2 — 8а5 4~552;
2 = 9а2 — 5а5 4-352; і= 11а2 —За54~ 452.
19.	Найти числовую величину выраженія
а4~2я —[5 4~’/ — {« — х — (Ь — 2г/)}],
если а = 2, 5 = 3, х=6, у = 5.
20.	Упростить выраженіе
9я32/ — 7х2у2 4~ 2/1 — [4г/4 — 2я3# — } 3«2у2 — 2г/4 — (5»3г/ — 2»г/3)} ].
21.	Представить въ видѣ суммы, различными способами, каждый изъ слѣдую-
щихъ полиномовъ:
(1)	а — 5 — с — й	(2) 14~«Ь — а — Ъ
(3)	х3— 7х2— 4^4-1	(4) я3 — &2г/4жг/24~4г/3.
22.	Представить въ видѣ разности, различными способами, каждый изъ слѣдую-
щихъ полиномовъ:
(1) а3 — а25 4~ аб2 — 53
(3) хі — 7х3 4- 4ж2 — 5х 4-1
23. Въ каждой изъ слѣдующихъ шести
одинъ — въ видѣ суммы двухъ полиномовъ,
точно полиномовъ.
(2) ау3 — 2аху 4- 5г/ — 25»
(4) х3у — х2у2 4- 4жг/ — 4г/4.
группъ представить полиномы Р и ():
другой — въ видѣ разности такихъ же
(1) Р = 1 4- аЪ 4-а4- 5
(2) Р = а — 5 4- с — А
(3) Р = »34-4»2 — 4» 4-і
(4) Р = а34-За254-За524-53
(5) Р = а2 4~ 52 4~ с2 — 2аЪ 4- 2ас — 25с
(6) Р = х'* — Зх3у — 4»2#2 4- З»г/3 4“ У4
<3=1 — аЪ-\-а — Ъ.
(3. .. а —|— 5 — с — г?.
<2 = я3 — 4»2 — 4х — 1.
(3 = а3 — За25 4- ЗаЬ2 — 53.
ф = а2 52 4~ с2 4~ 2аЪ — 2ас — 2Ъс
<2 = »4 4~ Зх3у — 4х2у2 — Зху3 4- г/4.
— 39 —
ГЛАВА І-Ѵ-
Умноженіе.
Опредѣленіе. — Правило знаковъ.—Законъ перемѣстительный. — Умноженіе одночле-
новъ.—Умноженіе многочлена на одночленъ и обратно.—Умноженіе многочленовъ.—
Замѣчательные случаи умноженія.—Задачи.
28. Опредѣленіе. — Если для умноженія даны два ариѳметическія цѣлыя
числа, напр. 5 и 4, то умножить первое на второе значитъ взять первое сла-
4
гаемыъ 4 раза. Но если бы требовалось умножить 5 на то данное опре-
дѣленіе теряетъ смыслъ въ примѣненіи къ этому случаю, потому-что нельзя
взять 5 слагаемымъ у раза. Такимъ образомъ, опредѣленіе дѣйствія умноже-
нія, въ случаѣ умноженія на дробь, должно быть измѣнено, но такъ, чтобы
оно не противорѣчило опредѣленію умноженія на цѣлое число. Умножая 5 на
4, мы повторяемъ множимое слагаемымъ четыре раза,, т. е. составляемъ изъ
множимаго новое число такъ, какъ множитель составленъ изъ единицы. Распро-
страняя такое понятіе объ умноженіи на случай дробнаго множителя, т. е.
понимая подъ умноженіемъ наприм. 5 на у— составленіе изъ 5 новаго числа
4
такъ, какъ — составлено изъ единицы, мы даемъ такое опредѣленіе умноже-
нія, которое осмысливая случай умноженія на дробь, не протпворѣчитъ въ тоже
время опредѣленію дѣйствія умноженія на цѣлое число. Распространяя это
опредѣленіе и на алгебраическія количества, Лакруа даетъ слѣдующее общее
опредѣленіе умноженія: умножитъ одно количество на другое значитъ — изъ
множимаго составитъ новое количество такъ, какъ множитель составленъ
изъ положительной единицы.
29. Правило знаковъ. — Примѣнимъ это опредѣленіе къ выводу правила
знаковъ при умноженіи.
Пусть требуется положительное количество (4-5) помножить на положи-
тельное количество (4 4)- Это значитъ: изъ 4-5 составить новое количество
такъ, какъ множитель 4-4 составленъ изъ положительной единицы. Но для
составленія 4- 4 изъ 4-1 надо 4“ 1 повторить слагаемымъ четыре раза; въ са-
момъ дѣлѣ: (4-+(4-1)4-(4-1)4-(4-і)=4-14-14-14-1=4-4; а
потому для нахожденія произведенія надо и 4-5 взять слагаемымъ четыре
раза. Находимъ
(4-5). (4-4) = (4-5) 4-(4-5)4-(4-5) 4-(4-5)^4-54-5 4-54-5 = 4-20.(і).
Пусть требуется (—5) помножить на (4-4). По опредѣленію, это значитъ
пзъ (—5) составить новое количество такъ, какъ (4-4) составлено изъ поло-
жительной единицы, т. е. надо (— 5) повторить слагаемымъ четыре раза.
Находимъ
(-5).(4-4) = (-5)4-(-5)4-(-5)4-(-5) = -5-б-5-5 = -20.......(2).
- 40 -
Дано: (+&) помножить на (—4). По опредѣленію, надо изъ (+5) соста-
вить новое количество такъ, какъ (—4) составлено изъ (+1). Но для соста-
вленія (—4) изъ (+1) нужно у (4-1) перемѣнить знакъ на обратный, и съ
этимъ измѣненнымъ знакомъ взять ее слагаемой четыре раза; дѣйствительно:
(—1)+ (—1)+ (—1) + (—1) = — 4.
Совершая надъ множимымъ тѣже дѣйствія, что и надъ (+1), должно: у
(+5) перемѣнить знакъ на обратный, вслѣдствіе чего получимъ (—5), а за-
тѣмъ — 5 повторить слагаемымъ четыре раза. Найдемъ
(+5).(_4) = (_5) + (_5) + (-5)+(-5) = -5-5-5-5 = -20..........(3).
Пусть, наконецъ, требуется (—5) помножить на (—4). Согласно опредѣ-
ленію, нужно у (—5) перемѣнить знакъ на обратный, и съ этимъ измѣнен-
нымъ знакомъ взять его слагаемымъ четыре раза. Получимъ
(_5).(_4) = (+5) + (+5) + (+5) + (+5) = + 5 + 5 + 5+5 = 420.....(4).
Результаты: (1), (2), (3) п (4) приводятъ къ слѣдующему правилу: при
умноженіи двухъ количествъ надо перемножитъ ихъ абсолютныя величины и
передъ результатомъ поставитъ знакъ +, если множимое и множитель
имѣютъ одинаковые знаки, и (—), если оба сомножителя имѣютъ знаки
разные.
При выводѣ этого правила мы брали числа цѣлыя. Возьмемъ теперь дроб-
ныя числа; пусть, напр., требуется (—X (—По опредѣленію умно
і 2\	/ 5\
женія, надо изъ (— —-) составить новое количество такъ, какъ (— —) состав-
\ о /	\	I '
лено изъ (+1). Но для составленія (—у) изъ(+1) надо: 1) +1 раздѣлить
на 7, вслѣдствіе чего получимъ (+у)і въ самомъ дѣлѣ, помноживъ +у на
7, т. е. повторивъ слагаемымъ 7 разъ, найдемъ (+у) + (+у) +......7
или +1; 2) затѣ^ слѣдуетъ (+у) повторить слагаемымъ пять разъ; сдѣ-
5
лавъ это, найдемъ + у; и 3) въ результатѣ перемѣнить знакъ на обратный,
что и даетъ (— — )• Поступая съ (—-=) такъ, какъ сейчасъ мы поступали
\ і /	\ о /
2	2
съ (+1), дѣлимъ, во-первыхъ, —— на 7, вслѣдствіе чего находимъ — —;
О	О» і
.	2	2X5
повторяемъ, затѣмъ, — —- слагаемымъ пять разъ, что даетъ ——нако-
0.7	о X 7
„ л	. 2x5	. 2 ѵ 5
нецъ, въ результатѣ перемѣняемъ знакъ и находимъ + х—или +
о X 7	о 7
Итакъ:
(-4НЧ)=+І+
что согласно съ вышеприведеннымъ правиломъ.
Такимъ образомъ, обозначая буквами а и р абсолютныя числа, цѣлыя или
дробныя, имѣемъ:
- 41 —
(+ а) • (+ Р) — + а • Р-
(— а; . (-{- Р) = — а. р.
Я~а/ • (~ р) = ~ а- р.
(— а)  ' — Р) = + а • р-
Обобщеніе правила знаковъ. — Пусть а и Ъ будутъ два количества, кото-
рыя саыи по себѣ представляютъ числа положительныя или отрицательныя; и
распространимъ правило знаковъ и на этотъ случай. Докажемъ напр , что
каковы бы ни были знаки а и Ь, всегда (—а).(-&) = -]- аЪ. Разсмотримъ
четыре случая:
I.	Пусть а = -)-а, Ъ = гдѣ а и {3 — числа абсолютныя, цѣлыя или
дробныя. Въ такомъ случаѣ: —« = — (-}-а) = — а, —Ъ — — (-|—13) = — Р;
слѣдовательно
(—а) . (—&) —— а._ р —-}-ар.
Съ другой стороны
4~ аб = 4- (4~ а- Р)= аР) — + аР-
Итакъ, количества (—а'/—V) и 4~ °б, какъ равныя порознь одному и тому
же количеству 4~аР» равны между собою, слѣд.
(— а).( — б) — 4- аЬ.
II.	Пусть а =— а, б = 4~Р5 гдѣ а и @ числа абсолютныя.
Въ этомъ случаѣ: — а— — (— а) = -]-а, и — б = — (-]- Р) = — {3; слѣд.
(— а).(— б) = 4-а. — 3 = — ар.
Съ другой стороны
+	а- + Р) ~ + (— ар) = — а{3.
Заключаемъ опять, что и въ этомъ случаѣ
(— а).(— Ъ) = -\-аЬ.
III.	Пусть а = а, Ъ — — ,3; отсюда: — а — — (4~ а) = — а, и
— б —— Р) = 4~іЗ; слѣд. (— а).(— б) = — а.4-3 = — а{3.
Но -)-«& =+(-1-а. — р) —аР) = — ар.
Опять находимъ, что
(—«).(— р) = 4-а{3.
IV.	Пусть, наконецъ, а =— а, Ъ~ — Р; въ такомъ случаѣ:
— а = —(—а) = 4-а; — Ъ = — (— р) = 4>Р; слѣд.
( а)-( б)=4~а- 4~Р=4~аР-
Но и 4~аб = 4-(— а. _р) = 4-(4а<3) —4-а^З.
Снова имѣемъ
(—а).(—б; = 4-аб.
Итакъ, каковы-бы нибыли знаки количествъ а и Ь, всегда имѣемъ:
(—«).(—Ъ) = -\-аЪ.
Такимъ же точно образомъ можно доказать, что вышедоказанное правило
знаковъ распространяется и на три остальныя случая; такъ-что, каковы бы ни
— 42 —
были количества а ъ Ъ — положительныя или отрицательныя, и каковы бы ни
были ихъ абсолютныя величины — цѣлыя или дробныя, всегда имѣемъ:
(+ «)•(+
(-а).(4-й) = -ай;
(4~а).(—й) =— ай;
(—а).(—й) = 4-ай.
Правило знаковъ при умноженіи, въ сокращенной Формѣ, выражаютъ такъ:
одинаковые знаки даютъ въ произведеніи плюсъ, а разные — минусъ.
Слѣдствія. — Укажемъ нѣкоторыя слѣдствія правила знаковъ:
1) Произведеніе положительныхъ количествъ всегда положительно; такъ,
(4-2).(+3).(+4) = + 24.
2) Знакъ произведенія отрицательныхъ множителей зависитъ отъ числа
ихъ, именно: если число ихъ четное, то произведеніе будетъ положитель-
ное, потому-что въ такомъ случаѣ его можно разбить на пары, изъ кото-
рыхъ каждая даетъ знакъ (-[-); если же число отрицательныхъ множителей не-
четное, то произведеніе будетъ отрицательное, такъ-какъ въ этомъ случаѣ бу-
детъ одинъ отрицательный множитель, для котораго нѣтъ пары. Такъ:
1)	(+ 8).(- 5)-(- 2) = (- 40).(— 2) = 4- 80;
2)	(4- 8).(— 5).(— 2).(— 3) = (4-80).(— 3) = — 240;
3)	(4-8).(-5).(-2).(— 3).(— 7) = (—240).(— 7) =4-1680 и т. под.
Примѣчаніе. — Правило знаковъ встрѣчаемъ уже у Діофанта (365 по
Р. X.), но безъ доказательства. Знаменитый Эйлеръ въ своей алгебрѣ даетъ
слѣдующее доказательство: (—а).(—й) равно или -\-аЪ, или —аЪ\ третьяго
результата быть не можетъ. Этимъ результатомъ не можетъ быть — ай, потому-
что такое произведеніе происходитъ или отъ (—а)(4~й) или отъ (—й).(-}-а).
Поэтому, произведеніе будетъ = 4~ай. Очевидно, это доказательство, какъ и
доказательство Крампа, не выдерживаетъ критики. Крампъ въ своей всеобщей
Ариѳметикѣ, говоритъ: «Теорема, въ силу которой два отрицательные множи-
теля даютъ произведеніе со знакомъ, противоположнымъ минусу, и слѣд. по-
ложительное, сводится къ извѣстному правилу грамматики: йнріех пе^аііо аі-
Гігшаі».
30.	Теорема. — Произведеніе не измѣняется отъ перемѣны по-
рядка сомножителей. Эта теорема составляетъ такъ называемый законъ
перемѣстительности въ умноженіи. Докажемъ ее:
1)	Для цѣлыхъ положительныхъ сомножителей;
2)	Для дробныхъ положительныхъ производителей;
4)	для отрицательныхъ, цѣлыхъ или дробныхъ, производителей.
Имѣемъ два цѣлыхъ положительныхъ числа а и й; умножить а на й зна-
читъ повторить а слагаемымъ й разъ; сл.
а. й — а —|— а 4~ а 4— а —|— .«•••.• (й разъ);
ноа = 14-14~1 + 1+.(®	разъ); слѣд.
— 43 —
а.ъ =(14-1 + 14-14-
+ (1 + 1 + 1 + 1 +
+ (1 + 1 + 1 + 1 +
а разъ)
Ій)
ій)	Число горизонталь-
• • •	ныхъ строкъ —Ъ.
+ (1 + 1 + 1 + 1 +
. Ій)
Приходится составить сумму единицъ, содержащихся въ этихъ Ъ строкахъ.
Это можно сдѣлать двоякимъ образомъ:
1) Складывая единицы въ каждыхъ скобкахъ, число которыхъ равно Ъ,
мы получимъ Ъ слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое = а; такимъ образомъ нуж-
но а повторить Ъ разъ слагаемымъ, что и даетъ намъ произведеніе а.Ъ.
2) Можно взять сумму единицъ, составляющихъ первый вертикальный
рядъ и равняющуюся Ъ-, затѣмъ сумму единицъ втораго вертикальнаго ряда,
равную также Ъ, и т. д., а какъ всѣхъ вертикальныхъ рядовъ а, то прихо-
дится Ъ повторить а разъ слагаемымъ; найдемъ
& + & + &+...........(а разъ) = й.а.
Итакъ, сумма одного и того же числа единицъ можетъ быть представлена
произведеніями а.Ъ. и Ъ.а\ т. е.
аЪ = Ъа.
Возьмемъ теперь произведеніе нѣсколькихъ цѣлыхъ положительныхъ со-
множителей, и назовемъ буквою Р произведеніе всѣхъ ихъ, кромѣ двухъ по-
слѣднихъ; можно доказать, что въ произведеніи Ртп можно перемѣнить мѣста
двухъ послѣднихъ множителей, не измѣняя этимъ величины произведенія, т.
е. что = Въ самомъ дѣлѣ
Рт = Р + ? + Р+................(т разъ).
Произведеніе Ртп представляетъ сумму п слагаемыхъ, изъ которыхъ каж-
дое=Р»і или, что тоже, =Р + Р + Р+.................(т разъ); слѣдовательно
+ (? + ? + ? +
+ (? + ? + ? +
.........(т разъ) )
.................іб)
.................Ій)
Число горизонталь-
ныхъ строкъ =п.
Эту сумму можно вычислить двоякимъ образомъ:
1) Въ каждыхъ скобкахъ имѣемъ т слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое
= Р; поэтому, каждыя скобки даютъ Рт-, это количество повторяется слага-
емымъ п разъ, сл. сумма = Риги.
2) Иначе: въ каждомъ вертикальномъ ряду имѣемъ п слагаемыхъ, изъ
коихъ каждое =Р; сл. каждый вертикальный рядъ даетъ Рга; а какъ всѣхъ
вертикальныхъ рядовъ »г, то общая сумма — Рпт. Итакъ
Ртп —Рпт.
Основываясь па этомъ выводѣ, докажемъ, что если дано произведеніе изъ
нѣсколькихъ цѣлыхъ положительныхъ чиселъ, то каждое изъ нихъ можно по-
мѣстить на каждомъ мѣстѣ.
— 44 —
Такъ, имѣя произведеніе аЪс&е, можемъ, на основаніи предъидущей теоремы,
замѣнить его произведеніемъ аЪсеЛ. Затѣмъ, разсматривая с и е какъ два послѣдніе
множителя произведенія аЬве, замѣняемъ послѣднее равнымъ ему произведеніемъ
аЪес, такъ-что аЪсей = аЪессІ. Разсматривая Ъ и е какъ два послѣдніе множите- 
ля произведенія аЪе, замѣняемъ послѣднее равнымъ ему произведеніемъ аеЪ,
такъ-что аЪесй — аеЪсй. Наконецъ, перемѣняя мѣста множителей произведенія
ае, находимъ аёЬсй=.еаЪсй. Такимъ образомъ, послѣдовательно имѣемъ
аЪсЛе — аЪсесІ = аЪесЛ = аёЬсЛ = еаЪссІ,
откуда видимъ, что множитель е можетъ быть поставленъ на каждомъ мѣстѣ
произведенія, не измѣняя величины его.
Это справедливо относительно каждаго множителя; слѣд. въ произведеніи
цѣлыхъ положительныхъ множителей можно каждаго изъ нихъ помѣстить по-
слѣдовательно на каждое мѣсто, не измѣняя этимъ величины произведенія.
II Пусть множители будутъ положительныя дроби. Означая буквою Р про-
•	ж т
изведеніе, предшествующее двумъ послѣднимъ множителямъ — и —, припоми-
ная правило умноженія дробей и замѣчая, что правило знаковъ доказано и для
дробныхъ множителей, находимъ
РХ - Х- = Р X ~ =РХ —= Р X -Х-.
п з	пз	зп	3 п
Такимъ образомъ и здѣсь произведеніе не измѣняется отъ перестановки
двухъ послѣднихъ множителей. А отсюда, примѣняя вышеприведенныя разсуж-
денія, находимъ, что
а	с	е	к	т	а	с	е	т	к	а	с	т	е к	а	т	с	е	к
Ъ	(I	/	і	п	Ъ	д,	і	п	і	Ъ	А	п і	Ъ	п	<і	/	і
___т а с	е	к
п Ъ д, /' і
т. е. въ произведеніи нѣсколькихъ дробныхъ положительныхъ множителей мож-
но послѣдній изъ нихъ помѣстить на какомъ угодно мѣстѣ произведенія, не
измѣняя величины послѣдняго. Правило это справедиливо и для всѣхъ дробныхъ
положительныхъ множителей.
III. Если множители произведенія будутъ отрицательные, дробные или цѣ-
лые, то произведеніе, по абсолютной величинѣ, равно будетъ произведенію тѣхъ
же множителей, но взятыхъ съ положительными знаками. Но, по доказанному,
въ произведеніи положительныхъ множителей можно измѣнять порядокъ ихъ
какъ угодно, не измѣняя этимъ величины произведенія. Поэтому абсолютная
величина нашего произведенія не измѣнится отъ перемѣны мѣстъ множителей.
Слѣдовательно, если измѣненіе порядка множителей можетъ оказать какое ни-
будь вліяніе на величину произведенія, то это вліяніе можетъ простираться
только на его знакъ. Но выше было показано (§ 29, Сл. 2), что знакъ произ-
веденія отрицательныхъ множителей зависитъ только отъ числа, но не отъ по-
рядка, въ которомъ они размѣщены; а какъ число ихъ при производимыхъ пере-
становкахъ остается тоже самое, то и знакъ произведенія всегда будетъ одинъ и
тотъ же. Итакъ, измѣняя порядокъ множителей въ произведеніи отрицательныхъ
чиселъ, мы этимъ не измѣнимъ ни величины, ни знака произведенія.
- 45 —
Слѣдствія. I. Чтобы умножить данное количество на произведеніе нѣ-
сколькихъ другихъ, нужно его послѣдовательно умножить на множители этого
произведенія.
Въ самомъ дѣлѣ:
т(аЪс) = (аЪс)т,
по закону перемѣстительному; выраженіе во второй части показываетъ, что а
нужно умножить на б, произведеніе на с, и новое произведеніе на т; опустивъ,
для сокращенія, скобки найдемъ
т(аЪс) — аЪст,
но по закону перемѣст., аЪст =таЪс, сл. окончательно
гп('іЪс') = таЪс.
II. Чтобы умножить произведеніе на нѣкоторое количество, нужно на это
колич. помножить одного изъ производителей.
Въ самомъ дѣлѣ:
(аЬсііут  = аЪсйт (опустивъ скобки)
= стаМ (по закону перемѣстительности)
-=(ст)аМ (по смыслу скобокъ)
= аЪ(ст)<1 (по закону перемѣст).
III. Во всякомъ произведеніи можно: нѣсколько множителей замѣнить ихъ
вычисленнымъ произведеніемъ, и обратно, какой угодно множитель — другими,
которыхъ произведенію онъ равенъ.
Въ самомъ дѣлѣ:
1). Всегда возможно разсматриваемые множители перемѣстить такъ, чтобы
они стояли рядомъ; составить затѣмъ ихъ произведеніе; и помѣстить послѣднее
куда угодно какъ множителя.
2). Всегда возможно множителя, который желаемъ разложить помѣстить на
первомъ мѣстѣ; замѣнить его сомножителями, произведенію которыхъ онъ
равнялся бы; и наконецъ расположить этихъ множителей, какъ угодно.
31.	Правило показателей. — Разсмотримъ умноженіе степеней одного и того
же основанія. Пусть, напр., требуется умножить а3 на а3. Мы знаемъ, что а9
— а.а.а.а.а и а3 = а.а.а-, слѣдовательно а9.а3 = а.а.а.а.а.а.а.а = а,і. Отсюда
заключаемъ, что произведеніе имѣетъ то же самое основаніе, а показатель его
равенъ суммѣ показателей множителей. Пусть вообще дано помножить ап на а”,
гдѣ а какое нибудь количество; а т и п — числа цѣлыя и положительныя.
Замѣчая, что
ат = а.а.а......................гдѣ	а повторяется множителемъ т разъ,
и ап = а.а.а.а.  .....................,	гдѣ а берется множителемъ п разъ,
находимъ, что
т разъ	п разъ
ат.ап = а.а.а.....................а.а.а	......... =
= а.а.а........................................=	ат+п.
тч-п разъ
Итакъ: ат.ап=:ат+п. Слѣд. имѣемъ правило:
Произведеніе двухъ степеней одною и того же основанія есть другая
сметенъ того же самаго основанія, которой показателъ равенъ суммѣ пока-
зателей сомножггтелей.
— 46 —
32.	Умноженіе одночленовъ. — Пусть дано перемножить одночлены
6а36Ѵ«!4 X ЬаѴсР.
Перемѣнивъ порядокъ множителей 6,а3,62,с3,<74,5,а2 и т. д., отъ чего величина
произведенія не измѣнится, даемъ произведенію видъ
6.5.а3.а2.62.66.с3.с .й4./2;
примѣняя сюда правило показателей (§ 31), имѣемъ
6.5.а’63с4й4/’2.
Итакъ
6а3б2с3й4 X 5а2?/’ср = ЗОа’бМй4/2.
Отсюда вытекаетъ слѣдующее правило умноженія одночленовъ:
1)	Коэффиціенты слѣдуетъ перемножитъ.
2)	Затѣмъ написать одну за другою всѣ различныя буквы, входящія въ
оба одночлена, и при каждой поставитъ показателъ, равный суммѣ показа-
телей этой буквы въ сомножителяхъ', если же буква входитъ только въ одинъ
изъ сомножителей, ее пишутъ въ произведеніи съ тѣмъ показателемъ, какой
она имѣетъ.
3
Примѣръ. Умножить: —— ѵ)8 на —х^іи— г?)5.
Замѣчая, что знакъ произведенія долженъ быть (—), и примѣняя найден-
ное правило, получимъ въ произведеніи
— ^х^уЧ^и — ѵ)^.
Умноженіе многочлена на одночленъ.
33.	Пусть требуется умножить а-\-Ъ — с на д, гдѣ подъ буквами а, Ъ и
с можно разумѣть какія угодно числа. Что же касается множителя Л, то слѣдуетъ
различать нѣсколько случаевъ.
1.	Пусть Л есть цѣлое положительное число, напр. <7 = 4. Припоминая опре-
дѣленіе умноженія и замѣчая, что 4 составлено повтореніемъ положительной еди-
ницы, какъ слагаемаго, четыре раза, заключаемъ, что и множимое надо повто-
рить слагаемымъ столько же разъ. Получимъ
(съ —Ъ — с) .4 = (а —Ъ — с) —(а —[— Ъ *— с) (а Ъ — с) (а	Ъ — с) —• 4<х
4-46 —4с.
Результатъ показываетъ, что для умноженія многочлена на цѣлое положительное
число нужно каждый членъ множимаго отдѣльно помножить на это число, соблю-
дая правило знаковъ.
2.	Пусть й равно нѣкоторой положительной дроби, напр. —• По опредѣ-
। т.	з
ленпо, умножить а -4- Ъ — с на —значитъ изъ множимаго составить новое коли-
4
з
чество такъ, какъ множитель составленъ изъ -|-1. Но для составленія— изъ 1,
— 47 —
надо отъ 4-1 взять четверть, вслѣдствіе чего получимъ 4- а затѣмъ
4	4
3
помножить на 3, что и даетъ дѣйствительно у Итакъ, мы должны: 1) взять
четверть отъ а-\-Ъ — с, и 2) полученный результатъ умножить на 3.
Можно доказать, что для раздѣленія многочлена а-\-Ъ — с на 4 нужно каж-
дый его членъ раздѣлить на 4, удерживая передъ каждымъ изъ отдѣльныхъ
частныхъ тотъ знакъ, какой имѣетъ дѣлимый членъ, т. е. что
а-\-Ъ— с____ а , Ъ с
Для доказательства помножимъ частное на 4; по извѣстному уже правилу
умноженія многочлена на цѣлое положительное число найдемъ:
/а	.	Ь	с \	. а	л ।	Ъ	. с
(-------------) • 4 =— '44----"4-------‘4.
\4	*	4	4/	4	’	4	4
Замѣчая, что ~ или ~а, умноженная на 4, даетъ -і- а или а, и т. д.,
находимъ, что
Итакъ, помноживъ частное на дѣлителя, мы нашли въ результатѣ дѣлимое, а
потому дѣйствительно
а-4-Ъ — с	1	, 1т 1
—Н---- = Та +	~ Vе-
4	444
Это выраженіе надо умножить на 3. По извѣстному уже правилу умноженія на
цѣлое положительное число получаемъ
+ Т6 -	•3 = \а- 3 + Т6- 3 - Іс- 3’
\ 4	‘ 4	4/	4	‘4	4
или, относя 3 множителемъ къ-^, найдемъ окончательно:
4
/іт \	3	3	। 3,	3
(а-4-Ъ — с) . ~ = —а-\-—Ъ — --с,
4 1	'	4	4'4	4
т. е. для умноженія многочлена на положительную дробь нужно каждый членъ
множимаго умножить отдѣльно на эту дробь, соблюдая правило знаковъ.
3.	Пусть А равно нѣкоторому отрицательному цѣлому числу, напр. А=.— 3.
По опредѣленія умноженія, нужно съ множимымъ поступать такъ, какъ съ 1
при составленіи изъ нея — 3, т. е. перемѣнить у множимаго знакъ, что даетъ
— (а -\-Ъ — с), и затѣмъ повторить это выраженіе слагаемымъ три раза. Итакъ
(а 6 — с).— 3 = — (а	6 — с) — (а 6 — с) — (а Ъ — с.)
По раскрытіи скобокъ и по приведеніи, находимъ
(а-]-6— с).— 3 = — За — З6 + Зс.
Результатъ этотъ приводитъ къ тому же заключенію, какъ и два первые случая.
4.	Пусть наконецъ А —— т. е. отрицательной дроби. Замѣтивъ, что
О
2	2 ч
— V —тХ—1, имѣемъ:
О	О
— 48 —
О Г	О
(., + 6_ с)._± -=[(а4-&_ С).~] X - 1
Отсюда видно, что нужно а-^-Ъ—с умножить сперва на положительную дробь
а затѣмъ результъ на отрицательное цѣлое число — 1. Производя эти двѣ
операціи, для которыхъ правила уже найдены, находимъ послѣдовательно.
(«+»-«).-4=[(Я+ь-4|].-мі»+46-Н-і=
2	2 , . 2
= -
Отсюда тоже заключеніе, что и прежде.
Итакъ, каково-бы нибыло й, имѣемъ
(а —|— 1) — Су . Й  йЙ —— &Й	СЙ,
откуда правило: для умноженія многочлена на одночленъ нужно каждый
членъ множимаго помножитъ на множителя, соблюдая правило знаковъ. —
Этимъ правиломъ выражается законъ распредѣлительный. —
П р и мъ р ъ I. б2 — 4с2 -4— ѵ-ай* — ЗІ. — -|-а2с = — -|й>2 X -|-а2с 4~
4- 4с2 X -|а2с — |«й2 X |~«2с + 3. |а2с = — а2б2с 4- а2с3 — «Зсй2 +
4- 2а2с.
Примѣръ II. {а2(ж24~1)р — За(«24-1)Р-14-5(а;24-1)’’-2} X
— 2а”(ж24-І)^^ — 2а”+2(а;2-{-1)2^34-6а’1+,(ж24-1)2Р+2— 10а“(ж24-1)2’’*'.
Умноженіе одночлена на многочленъ.
34. Пусть требуется одночленъ умножить на многочленъ: й па а— Ъ-\-с.
Замѣчая, что отъ перемѣны мѣстъ производителей произведеніе не измѣняется,
имѣемъ:
й(а — 6-]~с) = («—Ъ-]-с).(1.
Па основаніи § 33, (а — Ь-\-с).д — ад— Ъд-\-сЛ, измѣняя въ каждомъ
членѣ этого произведенія порядокъ сомножителей, получимъ
й(а — Ъ 4~ с) — йа — ЛЬ 4- йс,
Откуда правило: для умноженія одночлена на многочленъ надо одночленъ по-
множить на каждый членъ многочлена, соблюдая правило знаковъ.
Такъ
-|у2₽-“+,.[70у
65у2-3“-2Р 4- 5«/2р+“ = 42ур — 39(/-4иі+3 4- 3^₽+’.
Умноженіе многочлена на многочленъ.
35. Пусть требуется умножить « — Ь-^-с на	Представивъ себѣ
на время, что буквы множителя замѣнены опредѣленными числами, и выпол-
— 49 —
нивъ указанныя въ немъ дѣйствія, мы представимъ множителя нѣкоторымъ чис-
ломъ. Означивъ это число буквою V, приводимъ вопросъ къ умноженію мно-
гочлена на одночленъ, и по извѣстному уже правилу находимъ:
(а - г» 4-с).V = «V — г»Ѵ + сѴ.
Подставляя сюда вмѣсто V данное выраженіе — 2 + »', имѣемъ:
(а — Ь 4- с){р — д + г) = а(р — гу -|- г) — Ъ(р — 7 + г) с(р — д + г).
Но по правилу § 34 имѣемъ:
а{р — д-\-г} — ар — ад -|- аг\Ъ{р — д-\-г) = Ър — Ъд -|- Ъг\с(р — д у) =
ср — сд -|- сг.
Слѣдовательно
(а — Ъ <=)(₽ — д 4-») = ар — адД-аг — (Ър — Ъд 4-Ъг) 4- (СР — СО. 4" сг)-
= ар — адД-аг — Ър Д-Ъд — Ъг ср — {сд 4- сг.
Разсматривая составъ произведенія, замѣчаемъ, что первые три члена его
представляютъ произведеніе перваго члена множимаго на каждый членъ множи-
теля, слѣдующіе три члена — произведеніе втораго члена множимаго на каждый
членъ множителя, а три послѣдніе — произведеніе третьяго члена множимаго
на множителя. Полное произведеніе состоитъ, слѣдовательно, изъ частныхъ про-
изведеній каждаго члена множимаго на каждый членъ множителя, составленныхъ
съ соблюденіемъ правила знаковъ; такъ членъ сг, представляющій произведеніе
членовъ, имѣющихъ одинаковые знаки, является въ произведеніи съ знакомъ
4-, а членъ —сд — произведеніе членовъ, имѣющихъ разные знаки, являет-
ся въ произведеніи со знакомъ —. Итакъ, имѣемъ
Правило. — Для умноженія многочлена на многочленъ нужно каждый
членъ множимаго помножитъ на каждый членъ множителя, соблюдая пра-
вило знаковъ, и если окажется возможно, сдѣлать приведеніе. —
Существенное въ этомъ правилѣ — то, что каждый членъ множимаго слѣ-
дуетъ помножить на каждый членъ множителя съ соблюденіемъ правила зна-
ковъ; порядокъ же частныхъ умноженій члена на членъ остается совершенно
произвольнымъ.
Но во избѣжаніе ошибокъ (повтореній или пропусковъ) соблюдаютъ опре-
дѣленный порядокъ, поступая двоякимъ образомъ:
1. Дѣлаютъ умноженіе въ томъ порядкѣ, на который мы натолкнулись
при выводѣ правила, т. е. умножаютъ сначала первый членъ множимаго на
каждый членъ множителя, затѣмъ второй членъ множимаго на каждый членъ
множителя, и т. д. Или
2. Умножаютъ каждый членъ множимаго сначала на первый, затѣтъ на
второй, и т. д. члены множителя.
Если многочлены содержатъ одну и туже букву, то для облегченія приве-
денія подобныхъ членовъ удобнѣе расположить оба многочлена или по убываю-
щимъ, или по возрастающимъ степенямъ этой буквы. Затѣмъ, подписываютъ
одинъ многочленъ подъ другимъ, проводятъ горизонтальную черту, умножаютъ
множимое на первый членъ множителя и подписываютъ это частное произве-
деніе подъ чертою
4
— 50 -
Умножаютъ множимое на второй членъ множителя, и второе частное про-
изведеніе пишутъ подъ первымъ, такъ чтобы подобные члены находились въ
одномъ вертикальномъ столбцѣ.
Составляютъ и располагаютъ такимъ же образомъ и другія частныя про-
изведенія; наконецъ, дѣлаютъ приведеніе.
Примѣръ I. Умножить
8ж4 — 5а2:?2 — 2а3ж -|- Заж3 а* на 2аж2 -|- 7а3 — 6а2ж.
Расположивъ оба сомножителя по убывающимъ степенямъ буквы ж, и со-
ображаясь съ сказаннымъ, производимъ умноженіе такъ:
Множимое:	8ж4	Заж3—5а2ж2 — 2а3ж-|-а*
Множитель:	2аж2— 6а2ж -|-7а3
1-ое части, произв. 16аж6 6а2ж:і — 10а3ж* — 4а‘ж34- 2а8ж2
2-ое части, произв. — 48а2ж3— 18а3ж4 -|- 30а4ж3-]- 12а3ж2— 6авж
3-ье части, произв.	-|- 56а8ж4	21а*ж3 — 35а8ж2 — 14а“ж -|- Іа1
Полное произв. Ібаж6 — 42а2ж8	28а3ж4	47а4ж3 — 21а8ж2 — 20а6ж	7 а7
Примѣръ II. Умножить —-^-а’ж4--^а*4-4-а2ж2 + ж*—^-аж3 на ж2 4-
4'5'2	' о	'
| 2 а । 3
•
Располагаемъ оба сомножителя по возрастающимъ степенямъ главной бук-
вы ж и производимъ дѣйствіе слѣдующимъ образомъ:
^-а* — 7~а3ж-|-4-а2ж2— -|-аж3 -[-ж1
0	4	2	О
2 « । 3	. ,
^а6 — ^а!>х + у®*®2 —	-|- ^аіх*
4- -|-а3ж-^-а*ж2 4- ^а3ж3 — а2ж4 4- -^-«ж8
1 5	8	1 4	1 2
4- 4-а*ж2 — -^-а3ж3	-^-а2ж4 — ~ахя -|- ж6
5	4	2	о
8	с	। 7 к	।	161 » л । 23 тзі	13 а . I 5	г	।
15й	+ ІОа Х + І20® Х + У а Х +	"б “ Ж + ~ваХ + Х '
Примѣръ ІП. Умножить 8ж5 — За3ж2— 5а‘ж-|-«8 на 7ж2— 8аж-]-а2.
Располагая дѣйствіе такимъ же образомъ какъ и въ предъидущихъ при-
мѣрахъ, оставляя пустое мѣсто тамъ, гдѣ во множимомъ должны бы были на-
ходиться члены, содержащіе ж4 и ж3, имѣемъ:
8ж8	— За3ж2— 5а’ж -|-а8
7ж2— 8ая^-|-а2	___
Ьбж1	— 21а3ж‘ — З5а4ж3 7а8ж2
— б4аж6	-|- 24а4ж3 -|- 40а8ж2 — 8а6ж
-|- 8а2ж8	— За!іж2 — 5а6ж -|- а7
56ж7 — 64«ж68а2ж!і — 21а3ж4— 11а4ж3-}- 44айж2—13а8ж-{- а7.
- 51 —
Свойства произведенія двухъ полиномовъ.
36. I. Число членовъ произведенія. — Умножая множимое на первый членъ
множителя, получаемъ первое частное произведеніе, имѣющее столько членовъ
сколько ихъ и во множимомъ. Произведеніе множимаго на второй членъ множителя
содержитъ опять столько членовъ, сколько ихъ во множимомъ, п т. д. Поэтому,
если частныя произведенія не содержатъ подобныхъ членовъ, то число членовъ
произведенія равно будетъ произведенію числа членовъ множимаго на число
членовъ множителя. Напр., если множимое имѣетъ 7 членовъ, а множитель 5,
то въ произведеніи будетъ 7x5 или 35 членовъ.
Но произведеніе двухъ многочленовъ можетъ содержать члены подобные;
вслѣдствіе соединенія нѣсколькихъ подобныхъ членовъ въ одинъ, число членовъ
произведенія можетъ уменьшиться, но никогда не можетъ сдѣлаться меньше
двухъ. Въ самомъ дѣлѣ, легко доказать, что въ произведеніи двухъ полино-
мовъ, содержащихъ одну и ту-же букву х, всегда есть по крайней мѣрѣ два
члена, которые не имѣютъ себѣ подобныхъ между другими членами произведе-
нія, и потому неприводимы. Для доказательства замѣтимъ, что всякій членъ
произведенія происходитъ отъ умноженія какого-либо члена множимаго на одинъ
изъ членовъ множителя, и показатель главной буквы въ немъ равенъ суммѣ по-
казателей тойже буквы въ членахъ множимаго и множителя, отъ которыхъ онъ
произошелъ. Слѣдовательно, помноживъ высшій относительно главной буквы
членъ множимаго на высшій членъ множителя, мы получимъ членъ произве-
денія, въ которомъ показатель главной буквы будетъ равенъ суммѣ наиболь-
шихъ показателей той-же буквы, какіе имѣются въ сомножителяхъ; очевидно,
что такой членъ произведенія будетъ имѣть главную букву съ показателемъ
большимъ ея показателей въ другихъ членахъ произведенія; поэтому означен-
ный членъ не можетъ имѣть себѣ подобныхъ между остальными членами про-
изведенія и слѣд. есть членъ неприводимый. — Помножая нисшій относительно
главной буквы членъ множимаго на нисшій членъ множителя, получимъ членъ
произведенія, въ которомъ главная буква будетъ имѣть показатель, равный
суммѣ наименьшихъ показателей тойже буквы въ сомножителяхъ, слѣд. показа-
тель главной буквы этого члена будетъ меньше чѣмъ въ другихъ членахъ про-
изведенія, а потому это будетъ также членъ неприводимый. Заключаемъ, что
произведеніе двухъ многочленовъ содержитъ, по меньшей мѣрѣ, два неприводи-
мыхъ члена — высшій и нисшій относительно главной буквы. Итакъ:
. наибольшее число членовъ произведенія равно произведенію числа членовъ мно-
жимаго на число членовъ множителя, наименьшее же — два члена.
Примѣчаніе. Когда множимое и множитель расположены по нисходящимъ
или восходящимъ степенямъ главной буквы, то неприводимые члены (высшій и
низшій) занимаютъ крайнія мѣста произведенія.
Нижеслѣдующій примѣръ представляетъ одинъ изъ случаевъ, когда произ-
веденіе имѣетъ только два члена,
4*
— 52 —
х}-{- X3 -]- х2 х -|-1
X — 1
Ж5 4- а-4 ~Ь X3 -4- X2 X
— X* — X3-------X2------X----1
II. Свойство произведенія однородныхъ* многочленовъ. — Произведеніе двухъ
однородныхъ многочленовъ есть многочленъ однородный, а измѣреніе его равно
суммѣ измѣреній множителей. Въ самомъ дѣлѣ, произведеніе двухъ какихъ-ни-
будь членовъ множимаго и множителя имѣетъ измѣреніе равное суммѣ показа-
телей перемножаемыхъ членовъ; но оба многочлена однородны, слѣд. эта сумма
во всѣхъ членахъ произведенія будетъ одинакова, т. е. произведеніе само будетъ
однородно, а его измѣреніе равно суммѣ измѣреній сомножителей.
Такъ, многочленъ а3а3ха2х2ах3 х3 есть однородный многочленъ
четырехъ измѣреній; а — х есть однородный двучленъ одного измѣренія; произ-
веденіе же ихъ а3 — х3— однородное выраженіе пяти измѣреній.
Замѣчательные случаи умноженія.
37. Разсмотримъ нѣкоторые часто встрѣчающіеся особенные случаи умно-
женія.
I.	Пусть требуется суму а -]- Ъ возвысить въ квадратъ. Для этого надо а Ъ
помножить само на себя:
а-\-Ъ
а2-\-2аЪ-\-Ъ2.
Итакъ: (а-]-Ь)2 = а2-]-2аЬ-|-Ь2, т. е.
квадратъ суммы двухъ количествъ равенъ: квадрату перваго члена,-]-удвоенное
произведеніе перваго члена на второй, -]- квадратъ втораго.
Напримѣръ, (5а;2 + 2у)2 = (5а:2)2 -]- 2.5а:2.2у + (2у)2 = 25а:4 + 20а:2у +
II.	Возвысимъ въ квадратъ разность а — Ъ:
а — Ъ
а — Ъ
а3 — аЪ
— аЪ + Ъ2
а2 — 2аЪ-\-Ъ2.
Слѣдовательно: (а — і)2=а2— 2аЪ-\-Ъ*, т. е.
квадратъ разности двухъ количествъ равенъ квадрату перваго члена, — удвоен-
ное произведеніе перваго на второй, -]-квадратъ втораго.
Напр. (О,3аа; — а;2)2 = (0,Заа:)2 — 2.0,Заа:.а;2-|-(а:2)2 = 0,09а2а;2—	]-а:4.
— 53 —
III.	Умножимъ сумму двухъ количествъ а и Ъ на ихъ разность:
а -|- Ъ
а — Ъ
а2-}-аЪ
— аЪ — Ь2
—62Г
Итакъ:	— Ъ — а2— Ь2, т. е.
произведеніе суммы двухъ количествъ на ихъ разность равно разности ихъ квад-
ратовъ.
Напр. (4ж2«/ 4- ^ху2)(іх2у —	= (4ж2«/)2 — (-|ЖУ2 )’ =	— -^х3у*.
IV.	Найдемъ кубъ суммы а-\-Ъ. Замѣчая, что (а4-Ь)3 =(«4_^)а*(а4"^>
и что (а-)-&)2 = а2-]-2Ь-]-Ьа, мы найдемъ искомый результатъ, умноживъ
а2-\-2Ъ-|-62 на а-\-Ъ\
а24-2аЬ-]-&2
а -|- Ъ
а9 4- 2аѢ 4- аЪ*
4-а2г> + 2аЬ24-Ь3
а3 4- За2Ь 4- 'іаЪ2 4- Ъ3,
Слѣдовательно: (а-^-Ъ^^а^-^-ЪаѢ-уЗаЪ^-уЪ9, т. е.
кубъ суммы двухъ количествъ равенъ: кубу перваго члена, 4- утроенное произ-
веденіе квадрата перваго члена на второй, 4- утроенное произведеніе перваго
члена на квадратъ втораго, 4- кубъ втораго.
Напр. (2а2 4-4&2)3 = (2а2)3 4- 3.(2а2)2.4Ь2 4- 3.(2а2)(4Ь2)2 4- (4Ь2)3 = 8а6 4-
4- 48а4Ь2 4- 96а2Ь’ 4- 646е.
V. Такимъ же образомъ найдемъ (а — Ь)3, умноживъ (а — Ь)2 или а2 — 2аЪ
-|-Ьв на а — Ъ:
а2 — 2аЪ 4- Ь2
а — Ъ
а9 — 2а2Ъ 4- аб2
— а*Ь4-2аг>2 —Ь3
а3 — За*Ъ-]-ЗаЪ* — Ъ9,
Слѣдовательно: (а — Ъ)9 = а9— За^ЪЗаЪ2 — Ъ9, т. е.
кубъ разности двухъ членовъ равенъ кубу перваго члена, минусъ утроенное
произведеніе квадрата перваго члена на второй, 4- утроенное произведеніе пер-
ваго члена на квадратъ втораго, минусъ кубъ втораго члена.
Напр. (4 - Зж’^У = (4/ - 3 . (|)2. Зх2 4- 3.1 • (Зж;2—(Зж2)3 = |
+ ^хі — 27х6.
38.	Формула н° II можетъ быть выведена изъ Формулы п° I, если въ пос-
лѣдней положить Ъ = — Ъ'; находимъ
[а + (- У)]2 = а2 4- 2а (- У) 4- (- У)2.
— 54 —
Замѣтивъ, что —Ь')~а— Ъ'\ затѣмъ, что-{-2а(—Ъ')~ — 2аЪ', и что
(—= имѣемъ
(а—Ъ'У — а2 — 2аЬ'4Ь'2.
Такимъ же образомъ, подставляя въ Формулу п° IV вмѣсто Ъ количество — Ь',
получаемъ
_|_ (_ У)]з _ аз _|_ За2(_ у) За (_	у)з.
Замѣчая, что «-|-(—Ъ') — а — Ъ', что-|-3м2(—У) =—За2У,что -}-За(—Ь')2
= 4 ЗаЪ'* и что (—Ъ'У — — У3, имѣемъ
(а — У)3 = а3 — За26' 4 ЗаЬ'4 — У3.
Приложенія.
39.	Приложимъ Формулы § 37 къ нѣсколькимъ примѣрамъ.
Примѣръ I. Возвысить 79 въ квадратъ.
По Формулѣ п° I имѣемъ:
792 = (70 4-9)2 = 4900 4-1260-Ь 81 = 6241.
Примѣръ II. Возвысить 97 въ квадратъ.
По Формулѣ п° II имѣемъ
972 = (100 — З)2 = 10000 — 600 4 9 = 9409.
Примѣръ III. Помножить 103 на 97.
По Формулѣ п° III находимъ:
103 X 97 = (100 4- 3)(100 - 3) = 10000 - 9 — 9991.
Примѣръ IV. Преобразовать:
(За2 — 2аЪ 4 ЗЬ2)(За24 2аЪ — 3&2).
Первый множитель можно представить въвидѣ За2—(2аЬ — ЗЬ2); второй —
въ видѣ За24 (2аЬ — ЗЬ2); примѣняя Формулу п'1 III, получимъ:
(За2)2 —(2аЬ —3&2)2,
или, выполняя дѣйствія:
9а1 —4а'262412а63 —96'*.
Примѣръ V. Умножить х-\~у-\-з— і на х-\-у—
Представивъ данныя выраженія въ видѣ
('4?/) + (> — и (х + ѵ) —(* — *')
\и примѣняя Формулу п° ІП, находимъ
^-\-уУ — ^ — іу.
Прилагаяя^сюда теоремы пп. I и II, получимъ
(г2 4 2ху 4у2) -	- 2гі 4 г2),
или, раскрывъ скобки:
ж2 4 %ху 4~ у*—И-
Примѣръ VI. Составить произведеніе
(а 4 4 сХа “Ь — с)(а — 4 с)(— а 4 & 4 с)-
— 55 -
Первые два множителя можно представить въ видѣ
и («4”^)— сі
ихъ произведеніе =
{а-уъу — с2 или а2 + 2а&-Н>2-с2.............(1)
Третій и четвертый множители пишемъ въ видѣ
с-]-(а — &) и с — (а — &);
ихъ произведеніе равно
с2 — (а — Ъу или с2 — а2-]-2аЬ — &2.........(2).
Представивъ (1) и (2) въ Формѣ
2аЪ	(р* + Ь2—с2) и 2аЬ— (а24-Ь2— с2)
и перемноживъ эти выраженія, имѣемъ:
{2аЪу - (а2 + й2 — с2)2 или 4а2й2 — (а2 + Ъ* — с2)2.
Чтобы триномъ а2-|-Ь2 — с2 возвысить въ квадратъ, разсматриваемъ на-
время а2-)-62 какъ одинъ членъ; положивъ, что а24-Ь2 = з, имѣемъ:
(а2 ъі _ е*у — (5 _ с«)«=_ 2зс2 + с*.
Подставляя вмѣсто з его величину а24-Ь2, получимъ
5*_25.с*_]_с«—(а»_]-&2)2_2(а2^Ь2)с24-с4=а‘+2а2Ь24-&‘—2а2с2—2Ь2с24-с4.
Итакъ, искомое произведеніе равно
4а262—а4—2«‘26*-Ь4+2а2с2+262с2-с4, или 2а2&24-2а2с24-2б2с2—а4-6’—с4.
Примѣръ VII. Возвысить въ квадратъ многочленъ 1 ж — ж2 4- ж3.
Въ предыдущемъ примѣрѣ намъ пришлось возвышать въ квадратъ триномъ
а2-)-&2 — с2; для этого мы обозначили двучленъ а24~&2 одною буквою з, и
черезъ это получили возможность примѣнить къ данному случаю Формулу ква-
драта бинома. Вообще указанный пріемъ можно съ удобствомъ примѣнять при
возвышеніи многочленовъ въ квадратъ и кубъ. Такъ, въ данномъ выраженіи
положимъ на время 1-]-ж — ж2 = з; данный многочленъ приметъ видъ
возвышая въ квадратъ, получимъ
(з 4- ж3)2 = з2 + 2з.ж3	ж6 = (1 ж — ж2)2 4- 2(14- х — ж2)»3 4* ж6.
Полагая въ членѣ (14~ж— ж2)2 на время 14-ж = #, найдемъ:
(1 + X — Ж2)2 = (і- Ж2)2 = і* - - 2*ж2 4- ж4 = (1 + ж)2 — 2(14-ж)ж2 +Х=
= 1 -|- 2ж 4~ ж2 — 2ж2 — 2ж3 4- ж4. Слѣд., данное выраженіе равно 1-(-2ж4-ж2--
—2ж2—2ж34-ж44-2ж34-2ж4—2ж54-ж6, или 1-]-2ж—ж24~3ж4—2ж’4-ж6.
40.	Задачи.
Перемножить одночены:
1.	—5жМ на 0,02мж1г5.
2.	—0,44....ах~1Ъѵ+р г3 на 0,54аі6і'_Р+3ЛЛ
о
3.	Произведеніе —2—(а2 — Ь2)₽+1(с — й)’+29+1ж5 и 5(а2 — 62)р-!(с— с?)’8-2?+1
3
з
умножить на произведеніе —5,0333....(а2—62)6(с—Л)1"’’»8 и г-(а2—Ь2)р+2(с—й)2ж«/7.
О
- 56 —
Произвести умноженіе:
4.	(2а26 — За?2 4- -іас2 — 5) х — 0,6аА?2.
о
5.	(8с2 4- 4с<?3 — 2с3ж — 3) х----а”с”.
О
я
6.	(Зж2®-1 — у?/3"-3 4- ж2Юг/зп — У41 — 3) х

7.
8.
25ж2-«-2’1 X (24ж’я+2я—1 — 42ж2”,-3"+2 4~ 25ж2я+3'“-2).
___з
—~?/2р—т-ьі х (70г/т—1 — 65?/2-3"-2Р-|-5з/2^_ьт).
9.	(ж3 — бсж4 4- 4 с2ж3 — 9с3ж2 4* 4-с4ж) • (8ж34“ 7сж2 — УГс2х — с3)-
О	4	У
10.	(0,7а8 — 0,4а6 4~ 0,2а4 — 0,6а2 + 0,3).(0,4а3 — 2а3 — 0,6а).
11.	(2,44...жг/4 — ^-х»у3— 0,66...ж3г/24--|-жі^)-(^2 — 0,4жг/-Тж2)-
12.	(ар — За?-14- 4а₽~2 — 6а₽-3 4- 5аР~4).(2а3 — а2 4- а).
13.	(Зж4я+1 — 4ж3“ 4- 2ж2я_1 — жп-2).(2ж4я-1 — 5жзя — 2Ж2"-14- ж"-2).
,, /ж2 ж4 . ж3 х\ / х3 х ж2\
14' (1 + в+1-5—зМ2-в-5~ V
15.	(бж — 2г/)(ж2 — 2ху + Зг/2 — 8) 4“ (2ж2 4“ ^ХУ — ^У2 4* Ю)(5ж — 2г/) —
— (Зж2 — 2 г/2 4* 2)(5ж — 2у).
16.	(2ж5— Зж34~ж2— 4).(ж4— ж24*ж—1).
17.	(ж4-1)(ж4-2)(ж4-3)(ж4-4).
18.	(ж — 5)(ж4-6)(ж — 7)(ж4-8).
19.	(ж2 — ж 4- 1)(ж2 4- Зж 4- 1)(ж2 4- бж 4- 1)(ж2 — 7ж 4-1).
20.	Возвысить въ квадратъ каждый изъ слѣдующихъ биномовъ:
2ж3—1; За26 4-сй2; баж2— 2Ь3; 4аж — 7б2: —О^х^у 4~ 4ж3.
21.	Возвысить въ квадратъ выраженія:
аЪ-[-Ъе—ас- а4-64с-Ь<7>' а-\-Ь—с—Л', 2#24*3ж4—2ху—у2-, а2—5634~2а—362;
12	1
—ж2 — 4г/ 4* ~^У* 4-	0,6т2----—и 4* 0,8#3 — Зж5.
А	О	А
22.	Возвысить въ кубъ биномы:
2ж24~1; бж2—1; Зж — 46; 6с2 — аб2; т2п-\-р2у-, 8еі— 9.
23.	Возвысить въ кубъ выраженія:
ж24-ж4-1; 2ж2 — ж4"4-; х3~І~2х2у—2ху2 — у3.
О
24.	Примѣнить формулу (а 4- 6)(а — 6) = а2 — 62 къ умноженію въ слѣдующихъ
примѣрахъ:
(а24~3ж)х[—(Зж — а2)]; (б — 6ж2).(6ж24~ 5); (6т4-7и4).(7и4 — 6т);
(а — 64-с).(а—6—с); (х2-]-у2 — ху).(х2-^-у2-^-ху); (2х — у—Зя).(2х — у4*3^);
(а4* 26 4- Зс 4- й).(а — 26 4* Зс — й); (14* ж — Зж3 — 2ж2).(1 4* # 4~ 2ж2 4" З^3),
(2 4- а2 4- За3 4- й2).(2 — а2 4- За3 — й2); (а4 4~ а262 4- 64).(а4 — а262 4- 64).
{(1 4~«6)ж4~ (а — 6) }•.{(! — а6)ж— (а-|- 6)|.
— 57 -
[а2 + Ъ*(х — 1) + сЦу — 1)].[а« — Ъ*(х + 1) — с\у +1)].
(а2 + 962)(а 4- 36)(а — 36)(а4 — 8164).
(а3 + За26 4- Заб2 4- 63)(а3 — За26 4- Заб2 — 63).
(х — а)(х 4- а)(ж2 — ах 4- а2)(ж2 4~	4~ а2)
(а 4~ Ъ	с — й)(а 4-6 — с -|- й)(а 4- с 4~ А — 6)(6 4* с -|- й — а).
(Зх3 — 7ахі -|- 5а3х3 — а3)(3х3 4- 7ах1 — 5а3ж2 — а3).
(а 4~2ж 4~ 3^)(а 4~ 2» — Зу)(а — 2я 4~ 3«/)(— а 4* 2ж Н-
25.	Приложить теоремы I, И, III и др. § 37 къ слѣдующимъ примѣрамъ:
5882; 4892; 4082; 6982; 305 х 306; 9992; 312 X 288; 101 х 99; 911 х 889; .
520 х 480; 209 х 191; 84 х 76; 125 х 115; 423; 1043; 983; 1013; 9993.
26.	Упростить выраженіе
(х 4- У + О3 — 3(2/ 4- Х\У + О(ж + «)•
27.	Прилагая правило умноженія, доказать справедливость равенствъ
(Р2 - Рй 4- <}*).(? -}- (}) = Р3 4- <23
П (Р2 4-Р(Э4^2)(Р — (2)=рз—<^3;
п примѣнить пхъ къ умноженію въ слѣдующихъ примѣрахъ:
(4«2 — 2жг/ 4- 2/2)-(2ж 4- У)
(4ж2 -|- 6х	9). (2х — 3)
(9а2«2 — 21аху 4* 49г/2).(3а« -|- 7у)
(а*у* — аЪху 4- 62ж2). (ау -|- Ъх)
(хі 4~ я2//2 4" 2/4)(ж2 — г/2)
[а2ж2 4- аху(х -}~«/) 4~ УКХ + 2/)2]-[«« — у(х 4- г/)].
| а2ж2 4- аЪх(х — а) 4~ Ъ3(х — а)2 }. { х(а — 6) 4* «Ь }.
{а2(« 4* 2/)2 — «6(ж2 — г/2) 4* 62(« — 2/)2} • {х(а 4“ Ь) 4* У(а'~ &)} •
28.	При помощи теоремъ I и II § 37 доказать справедливость равенствъ
(Р 4- (2)2 4- (Р - ())2 = 2(Р2 4- <22)..................(1)
(Р4-(»2-(Р-^)2 = 4Р<і...................(2)-
Изъ (2) вывести:
(Р + <2)2_4Р(2-(р_д)2...............(3)
(Р —9)24-4Р<2 = (Р4-<2)2............(4).
При помощи формулъ (1) и (2) доказать справедливость преобразованій, указан-
ныхъ въ слѣдующихъ равенствахъ:
(а4-6 —с4-й)24-(а —64-с-|-й)2 = 2{(а4-й)24-(6 —с)2}.
(«4*^— с4-й)2 — (а— 6 4* с 4- й)2 = 4(а 4"	— с)«
(14- аЬ 4- а4- 6)2 4- (1 — аЪ -|- а — 6)2 =; 2 {(14- а)2 4- (аЬ 4- 6)2}.
(1 4-аб 4-а + 6)2 — (1 — аб 4-а — 6)2 = 4(14-а)(а6 4-6) = 46(14-а)2.
При помощи формулъ (3) и (4) доказать справедливость равенствъ
(ай 4* 6с)2 — 4аЪсй — (ай — 6с)2
(Зах 4* Ъу)3 — 12аЬху — (Зах — 6г/)2
(ай — ЪсУ* 4- 4а6с/? = (ай 4* 6с)2.
{ Ъс(а - й) 4- ай(Ъ — с)} 2	4а6сй(а -}- 6)(с -|- й) = { аЪ(с 4~ й) 4" сй(а + ь)} *•
— 58 —
29.	Приложить равенства (1) и (2) къ слѣдующимъ выраженіямъ:
(а— Ь4-с + й)2 + (а + Ь — с-Ь й)2.
(а -|- Ъ -]- с й)2 + (а — Ъ — с й)2.
(а24-Ь2)24-(а2—Ь2)2.
(ж8 + ху г/2)2	(ж8 — ху 4- г/2)2.
{ а(х 4- у) 4- Ъ(х — у)}8 4- { а(х — у) 4~ Ь(х 4- у)}8.
Взять тѣ-же равенства съ знакомъ — между полиномами.
30.	Приложить равенство (3) къ преобразованію слѣдующихъ выраженій:
(ж8 4~ й2)2 — 4ж8?/8.
(2а 4- Ъ 4~ с)8 — 4(а 4- Ь)(а 4- с).
36а8 — 4(3а 4~ Ь — с)(с 4~ За — 6).
| а(Ъ 4- с) 4- Ь8 4- с8} 8 — 4[а8 4~ а(Ь 4~ с) Ъс].Ъс.
31.	Приложить равенство (4) къ преобразованію выраженій:
(ж3 — г/3)2 4~ 4Ж3!/3.
(1 — аж — а 4- Ь)8 4- 4(а 4- аЬ)(1 4- ж).
(а 4~ 26 4~ с)2 + 4(а — Ь)(2а 4~ & 4~ с)-
(4а8 — баб — Ь8)2 4- 20а(а3 — Ь3).
32.	Доказать справедливость слѣдующихъ равенствъ, изъ которыхъ послѣднее
извѣстно йодъ именемъ равенства .Тагранжа.
(МА 4- ХВ)2 4- (ХА — МВ)2 = (А8 4- В2)(М2 4- №).
(МА — ХВ)8 — (ХА — МВ)2 = (А8 — В2)(М2 — №).
(А8 + В8 4- С2)(А12 4- Ві8 + Сі8) - (АА' 4- ВВі + СС,)2 = (АВі - ВА,)8 +
+ (ВСі - СВ.Р4- (СА, - АС48.
33.	Упростить выраженіе
(ж — у)3 4- (ж 4- у)3 4- 3(ж — у)'2(х 4-у) 4- 3(ж 4- г<)8(ж — у).
34.	Даны четыре полинома
А = а 4-
В — а 4~ Ъ — с — й,
С = а — Ъ 4~ с — й,
Т) — а—Ъ —
составить выраженіе АВ(А24~В2)— СП(С24~І>2), и провѣрить результатъ.
35.	Если въ триномѣ
Аж8 4~ Вжг/ 4- Сг/8
положить; ж = аж'4_6г/' п у^^Ъх! — ау', то получимъ полиномъ вида
А,ж'84-В,ж'г/4-СУ8;
доказать, что
Ві8 — 4АіСі = (В8 — 4АС (а8 4- Ь8)8.
36.	Представить
(а« 4- ь8 4- сз 4. й8)(аі8 4- г»,8 4- ч8 4- й,8) — (ай14- ъЪі 4-	4- йй')8
въ видѣ слѣдующей суммы шести квадратовъ:
(аѴ — ЪаГ)’2 4- (ай — со! 8 4- (ай' — йа')8 4- (Ьй — сЪ^ 4- (Ьй' — йй)8 4- (сй' — йй)2.
— 59 —
37.	Провѣрить равенство:
15^2(2/2 _ #2)2	152/2(о;2 _ #2)2 4. 15#2(ж2 _ 2/2)2	^2(20:2 — 2/2 — #2)2
+ у\2у* — Ж« — #2)2 + #2(2#2 _ о;2 — 2/2)2 — 4(з2 _|_ уі #2)3 _ юв^я».
38.	Провѣрить равенство:
4 { (а2 — №)ху	(«2 — 3/)2«Ь } 2	{ (а2 — &2)(з2 — ^2) — ДахЪу 12 —
(а2 4-Ь2)2.(з2_|-2/2)2.
-V.
Дѣленіе.
Опредѣленіе. — Правило знаковъ-Правило показателей; значеніе символовъ а~ч и
а°.—Дѣленіе одночленовъ; признаки невозможнаго дѣленія пхъ.—Дѣленіе многочлена
на одночленъ.—Дѣленіе многочлена на многочленъ.—Признаки невозможнаго дѣленія
многочленовъ.—Замѣчательные случаи дѣленія ('«еорема Безу).—Задачи.
41.	Опредѣленіе. — Раздѣлить одно количество на другое значитъ найти
такое третье количество, которое, будучи умножено на второе, дало бы въ про-
изведеніи первое. — Первое данное количество называется дѣлимымъ, второе —
дѣлителемъ, а искомое количество — частнымъ. —
Если дѣлимое есть А, дѣлитель В, а частное 0,, то, по опредѣленію дѣй-
ствія, связь между этими тремя количествами выразится равенствомъ:
йХВ = А.
42.	Правило знаковъ. — Основываясь на опредѣленіи дѣленія и на пра-
вилѣ знаковъ при умноженіи, легко найти правило знаковъ при дѣленіи.
Пусть требуется (+«) раздѣлить на (+&). По опредѣленію дѣленія, част-
ное, умноженное на дѣлителя, должно давать дѣлимое; но только количество,
предшествуемое знакомъ при умноженіи на (+&) можетъ дать (-]-«).
Слѣдов.
(4-6) = 4-2.
При дѣленіи (— а) па (4~6), въ частномъ должно быть (—з), потому -
что только количиство, предшествуемое знакомъ —, при умноженіи на (4-6)
можетъ дать (—а). Итакъ
(-а):(4-6) = -3.
Дѣля (4-в).(—Ь) мы ищемъ количество, которое, будучи умножено на
(—V), давало-бы (-]-«); но какъ только количество со знакомъ —, при умно-
женіи на (—6), можетъ дать (4-«), то
(4-а):(—Ь) = —
Наконецъ, припоминая, что при уможеніи (—) на (-{-) даетъ (—), нахо-
димъ:
(-а):(-6) = -Н.
— 60 —
Итакъ:
(+«):(+Ь)=4-2.
(—в):(+Ь) = —2.
(+«):(-Ь) = -2.
(— а):(— Ь) =
Отсюда вытекаетъ правило: при дѣленіи количествъ съ одинаковыми зна-
ками, въ частномъ получается (-|-), при дѣленіи же количествъ съ разными
знаками (—).
Правило это — совершенно общее: оно относится и къ тому случаю, когда
знаки стоятъ передъ абсолютными величинами количествъ, и къ тому — когда
а и Ъ сами суть количества положительныя или отрицательныя. Въ самомъ
дѣлѣ, выводъ правила основанъ на правилѣ знаковъ при умноженіи, а это по-
слѣднее правило доказано для какихъ угодно количествъ.
43.	Правило показателей.—Размотримъ дѣленіе степеней одного и того же
основанія: пусть требуется раздѣлить ат на ап, гдѣ а — какое угодно коли-
чество, а т и п — числа цѣлыя и положительныя. Замѣтивъ, что въ частномъ
должа получиться нѣкоторая степень буквы а, назовемъ неизвѣстнаго показа-
теля этой степени буквою х, такъ-что частное выразится Формулою ах:
9 ат-.ап = ах......(1)
По опредѣленію дѣленія, частное, умноженное на дѣлителя, должно да-
вать дѣлимое, слѣд.
ах.ап — ап-,
но, по правилу показателей при умноженіи, ах. ап = ах+п, слѣд. имѣемъ ра-
венство:
аІС+п = ат.
Но степени одного и того же основанія тогда будутъ равны, когда пока-
затели ихъ равны, а потому должно быть
х -[-п = т.
Чтобы по извягной суммѣ (т) и извѣстному слагаемому (и) найти другое
слагаемое (ж), нужно изъ суммы вычесть извѣстное слагаемое. Итакъ
х — т— п.
Подставляя въ равенство (1) вмѣсто х найденную величину, имѣемъ:
ат:ап = ат-п.......(2).
Осюда правило: при дѣленіи степеней одного и того же основанія нуж-
но: основаніе въ частномъ написать тоже самое, а изъ показателя дѣлима-
го вычесть показатель дѣлителя. —
Изслѣдованіе. — Формула (2) даетъ мѣсто слѣдующимъ случаямъ:
1)иг> и;2)иг = и;3)иг<и.
1-й случай. — Если т > п, то разность т — п даетъ положительное (цѣ-
лое) число, и частное ат~п подходитъ подъ вышеданное опредѣленіе степени
какъ произведенія, равныхъ количеству а, множителей. Такъ, если т — 8, а
и = 5, то ат: ая = и8-5 = а3, т. е. а.а.а., и т. д. Этотъ случай не представ-
ляетъ, слѣдовательно, ничего особеннаго.
— 61 —
2-й случай. Если т = п, то разность т— п равна нулю, и частное при-
нимаетъ видъ а0. Выраженіе а° само по себѣ не имѣетъ никакого смысла, т.
е. его нельзя разсматривать въ смыслѣ степени, ибо показатель долженъ оз-
начать, сколько разъ основаніе берется множителемъ. Значеніе символа а9 от-
кроется, если мы обратимъ вниманіе на его происхожденіе. При т = п дѣли-
мое ат и дѣлитель ап дѣлаются равными, а частное отъ раздѣленія количест-
ва самого на себя есть 1; поэтому
м° = 1,
а такъ какъ а означаетъ какое угодно количество, то заключаемъ, что всякое
количество въ нулевой степени даетъ единицу.
Такимъ образомъ: 7° = 1; ж° = 1; (аа—	и т. п.
Здѣсь самъ собою возникаетъ вопросъ: если мы знаемъ, что ат:ат есть
ничто иное какъ 1, то для чего замѣняютъ 1 особымъ символомъ а’, имѣющимъ
только видъ степени, но не имѣющимъ смысла какъ степень. Это дѣлается для
* того, во-первыхъ, чтобы въ правилѣ показателей не дѣлать исключенія для
случая т — и, другими словами, — въ видахъ обобщенія этого правила; и, во-
вторыхъ, чтобы имѣть возможность сохранить въ частномъ букву а, которая
иначе не вошла-бы въ йастное, ибо была бы замѣнена единицею.
3-м случай. — Если иг<и, то разность т — п отрицательна; напр: если
м превышаетъ т на единицъ, то т — п — — д, и частное имѣетъ видъ а~ч.
Выраженіе а~9 опять не имѣетъ значенія степени, ибо а нельзя взять множи-
телемъ отрицательное число разъ. Чтобы выяснить значеніе символа а*8, поста-
раемся частное, въ случаѣ иг<и, выразить въ иной Формѣ.
Полагая, что п больше т на д единицъ, т. е- п — т-^-д, можемъ част-
ное ат:ап представить въ видѣ ат:ат+і. Обозначивъ его буквою ж, имѣемъ
ат:ат+<1 = х.
По опредѣленію дѣленія, имѣемъ отсюда
хап+і — ап.
Раздѣливъ обѣ части этото равенства на ат, находимъ:
хат+9 _ ат
ат ат
Замѣтивъ, что частное 	- равно ха9 (ибо, умноживъ его на дѣлителя ат,
ат
находима, въ результатѣ дѣлимое хат+1), и что ^» = 1, получаемъ равенство
ж.а«—1,
откуда
1
Но то-же самое частное было представлено въ Формѣ а-8; поэтому
»-=^
Такъ-какъ а означаетъ какое угодно количество, то заключаемъ, что вся-
кое количество съ отрицательнымъ показателемъ равно единицѣ, дѣленной на
тоже количество съ положительнымъ показателемъ. >. іь а. , ' [. ,.
- 62 —
Такимъ образомъ;
а~3==і;	(а* — &2)~3 —	1 и т. п.
а3	ѵ 7	(а2 — Ь2)э
Отрицательные показатели введены для того, чтобы: во первыхъ, въ пра-
вилѣ показателей не дѣлать исключенія для того случая, когда показатель дѣ-
лимаго меньше показателя дѣлителя, т. е. въ видахъ обобщенія этого правила;
и во-вторыхъ, чтобы имѣть возможность дробь (какъ изображать безъ зна-
менателя, т. е. въ Формѣ цѣлаго алгебраическаго выраженія.
Итакъ, вводя показатели — нуль и отрицательный, мы можемъ всѣ случаи
дѣленія степеней одного и того-же основанія совершать по одному общему пра-
вилу: основаніе писать въ частномъ безъ перемѣны, а надъ нимъ показателя,
равнаго разности показателей дѣлимаго и дѣлителя.
Дѣленіе одночленовъ.
44. Пусть требуется раздѣлить 63а9&8сМ2 на — 9аг'Ь-'с. Знакъ частнаго
долженъ быть (—), потому что дѣлимое и дѣлитель имѣютъ разные знаки. По
опредѣленію дѣленія, въ частномъ должно быть такое количество, которое, буду-
чи умножено на дѣлителя, давало-бы дѣлимое; слѣд., коэффиціентъ частнаго
есть такое число, которое, по умноженіи на 9, давало бы 63; такое число мы
найдемъ, раздѣливъ 63 на 9: получимъ 7. Далѣе, чтобы въ произведеніи имѣть
а9, надо а4 умножить на а8; слѣд. буква а войдетъ въ частное съ показателемъ
равнымъ разности показателей этой буквы въ дѣлимомъ и дѣлителѣ. Такимъ
же точно образомъ убѣдимся, что буква Ъ войдетъ въ частное — съ показате-
лемъ 3, а буква с — съ показателемъ 4. Наконецъ, чтобы въ произведеніе вош-
ло й2, необходимо, — такъ какъ буквы й нѣтъ въ дѣлителѣ,— чтобы она во-
шла въ частное съ тѣмъ показателемъ, какой она имѣетъ въ дѣлимомъ. Итакъ
63а9&8с8й2: - 9«4&3с —— 7а8&:Ш2.
Отсюда имѣемъ
Правило. — Чтобы найти частное отъ раздѣленія одною одночлена на
другой нужно'. I) коэффиціентъ дѣлимаго раздѣлитъ на коэффиціентъ дѣли-
теля; 2) а затѣмъ написать всѣхъ множителей дѣлимаго — каждаго съ гго-
казателемъ, равнымъ разности ею показателей въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ.
Въ частномъ случаѣ, если какой либо множитель находится только въ
дѣлимом», онъ входитъ въ частное безъ измѣненія показателя; если же ка-
кой либо множитель имгьетъ въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ одинаковаго пока-
теля, то въ частное войдетъ съ нулевымъ ггоказателемъ. Напримѣръ
±аіЪіс:".‘).1аЪіс ~ ^аб^с'.
Но, какъ —1, то можно частное представить въ видѣ 2ас4.
Примѣняя это правило, найдемъ, что:
1)	92а3Ь8®2г/9:23а2Ь4я:2;г/:і = 4аЪу*.
2)	3.'>«1Ь*(я: -|-з/)\х — 2г/)3: — Іа^х -|- у)*(х — 2г/) =— 5оЬ2(.т: у)(х — 2г/)2.
3)	— 24гЛ‘(«2 - й2)(ж-|- Зг/)8: - 8&‘(ж + Зг/)2 = За3(«2 — &2)(ж + Зг/)3.
— 63 —
45. Признаки невозможнаго дѣленія одночленовъ. — Дѣленіе цѣлыхъ одно-
членовъ называется возможнымъ, если частное можетъ быть выражено цѣлою
Формулою, т. е. не содержащею буквенныхъ дѣлителей; въ противномъ случаѣ,
т. е. когда частное получается въ Формѣ алгебраической дроби, дѣленіе считает-
ся невозможнымъ.
Изъ самого опредѣленія невозможнаго въ алгебраическомъ смыслѣ дѣленія
слѣдуетъ, что если не дѣлятся другъ на друга только численные коэффиціенты,
то дѣленіе слѣдуетъ считать алгебраически возможнымъ. Напр. дѣля 4лЛ2с на
За2&, получимъ въ частномъ ~аЬс — выраженіе алгебраически цѣлое, такъ какъ
О
оно не содержитъ буквенныхъ дѣлителей.
Дѣленіе одночленовъ невозможно въ слѣдующихъ двухъ случаяхъ:
1) Когда показатель хотя одной буквы дѣлителя больше покателя той же
буквы въ дѣлимомъ. Такъ дѣленіе 6а3&* на 2о&‘ невозможно, потому что на
какой-бы цѣлый одночленъ ни умножили дѣлителя, всегда въ произведеніе бук-
ва Ъ войдетъ съ показателемъ, большимъ 2: частное не можетъ быть, поэтому,
выражено цѣлымъ одночленомъ.
Въ такомъ случаѣ дѣленіе только обозначается, и получается дробь
ба3Ьа.
2аЬ4 ’
послѣдняя, какъ будетъ показано далѣе, можетъ быть упрощена сокращеніемъ.
2) Когда дѣлитель содержитъ такую букву, которой нѣтъ въ дѣлимомъ;
напр. 4а3& не дѣлится па ЗаЗД'2. Въ самомъ дѣлѣ, на какой-бы цѣлый одно-
членъ мы ни умножили дѣлителя, въ произведеніе непремѣнно войдетъ буква
й, которой нѣтъ въ дѣлимомъ, а слѣд. частное не можетъ быть представлено
цѣлымъ одночленомъ.
Обозначая дѣленіе, получимъ дробь
4а3Ь
которая также подлежитъ сокращенію.
Дѣленіе многочлена на одночленъ.
46. Пусть требуется раздѣлить многочленъ а — &-|-с—й на одночленъ т.
Частное не можетъ быть одночленомъ, потому что умноживъ одночленъ на одно-
членъ (т), въ произведеніи найдемъ одночленъ, между тѣмъ какъ должны по-
лучить многочленъ а — Ь-\с— сі. Итакъ, частное должно быть — многочленъ,
для нахожденія котораго имѣемъ слѣдующее
Правило. — Чтобы найти частное отъ раздѣленія многочлена на одно-
членъ, нужно каждый членъ дѣлимаго раздѣлитъ на дѣлителя, соблюдая
правило знаковъ.
Это правило доказывается а розіегіогі. Мы говоримъ, что
а — Ь -]- с — <1 а	Ь	с	(I
*----------—------------------- •
т т	т	т
— 64 —
Для доказательства умножаемъ частное на дѣлителя; по правилу умноже-
нія многочлена на одночленъ находимъ:
г а	Ъ	. с	Л\	а	Ъ	. с	Л
—---------------} • т= -  т-------• т-І--- т---- т.
\т	т	' т	т /	т	т	1 т	т
Но частное —, умноженное на дѣлителя т, даетъ дѣлимое, слѣд. — -т—сг,
точне такъ же: —т = Ъ\ -~-т = с: и — -т — сі. Такимъ образомъ
т	т	т	г
т. е. частное, умноженное на дѣлителя, воспроизвело дѣлимое, слѣд. это частное
составлено вѣрно, и правило доказано.
Примѣры:
1)	(8а‘2>2 — За’й’-Н 12а2г>‘):4а2г>2 = 2а* - ^-аЪ + 3&2.
2)	{28и2&3(®—у)34-12а3й2(.г-2—у'2)(ж—|—у)—8а&2(ж-|-у)(ж2— г/2)2}:4аб2(®—у) —
1аЪ(х — у)2 4~ За2(® у)2 — 2(® ,ѵ)3(® — у}-
Дѣленіе многочлена на многочленъ.
47. Частное отъ раздѣленія нѣкотораго многочлена А на многочленъ В
есть выраженіе алгебраически дробное вида
А
В‘
Въ большинствѣ случаевъ такое выраженіе нельзя замѣнить другимъ —
простѣйшимъ. Но когда цѣлые многочлены А и В содержатъ одну и ту-же
букву, то возможенъ такой третій многочленъ С, цѣлый относительно той же
буквы, который, будучи умноженъ на дѣлителя, даетъ дѣлимое. Въ такомъ
случаѣ говорятъ, что дѣленіе полинома А на В возможно.
Укажемъ, какъ въ этомъ исключительномъ случаѣ находятъ частное.
Допуская, что многочленъ
8®! + ІО®4 — 31®3 + 22®2 — 29® +12
дѣлится на многочленъ
4®3 — 5®2 3® — 4,
постараемся опредѣлить члены частнаго.
Написавъ дѣлитель справа отъ дѣлимаго, отдѣлаютъ ихъ вертикальною
чертою; затѣмъ, дѣлителя отдѣляютъ горизонтальною чертою отъ частнаго,
котораго члены, по мѣрѣ ихъ нахожденія, и пишутъ подъ этою чертою.
Дѣлимое...8®5 -{-ІО®4 — 31®34~22®2— 29® 4“ 12 I 4®3— 5®2 -1- 3® — 4 ....дѣлитель
— 8®3=*=10®4=р 6®3=Ь 8®2	| 2®24~5® —3.........частное
1-й остатокъ.....20®4 — 37®3 -|- ЗО®2 — 29® 4- 12
2О®4 =Ь 25®3	15®2± 20®
2-й остатокъ.........— 12®3 —15®2 — 9® -|- 12
±12®3—15®2± 9®й=12
О
По опредѣленію, дѣлимое есть произведеніе дѣлителя на частное.
— 65 —
Но по свойству произведенія двухъ многочленовъ (§ 36), высшій членъ
произведенія происходитъ, безъ приведенія, отъ умноженія высшихъ членовъ
сомножителей, т. е. въ нашемъ случаѣ отъ умноженія высшаго члена дѣлителя
на высшій членъ частнаго. Поэтому, назвавъ высшій членъ частнаго буквою у,
имѣемъ: 8®5 —4®3Х7, откуда, замѣчая, что неизвѣстный сомножитель (^)
опредѣляется дѣленіемъ произведенія (8®5) на извѣстнаго сомножителя (4®3),
находимъ:
2 = 8®5 : 4®3 = 2®2.
Итакъ, чтобы найти высшій членъ частнаго, нужно высшій членъ дѣли*
маго раздѣлить на высшій членъ дѣлителя.
Для нахожденія слѣдующаго члена частнаго руководствуемся такими со-
ображеніями. Дѣлимое есть произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго; а
потому если изъ дѣлимаго вычесть произведеніе дѣлителя на первый членъ
частнаго, то въ остаткѣ будетъ заключаться произведеніе дѣлителя на сумму
остальныхъ членовъ частнаго. Умноживъ дѣлителя на высшій членъ частнаго,
и вычтя произведеніе 8®8 —10®*-]-6®3—8®2 изъ дѣлимаго, находимъ оста-
токъ, равный 20®* — 37®34~30®2— 29®-]-12. Такъ какъ этотъ остатокъ есть
произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго, начиная со втораго, то его
высшій членъ (20®*) произошелъ безъ приведенія отъ умноженія высшаго члена
дѣлителя (4®3) на высшій изъ ненайденныхъ членовъ частнаго. Называя по-
слѣдній буквою д', имѣемъ такимъ образомъ: 20®* = 4®3. </', откуда
д' = 20®*: 4®3 — 5®.
Итакъ, для нахожденія втораго члена частнаго нужно высшій членъ перваго
остатка раздѣлить на высшій членъ дѣлителя.
Замѣчая, что первый остатокъ есть произведеніе дѣлителя на всѣ члены
частнаго, начиная со втораго, заключаемъ, что если вычтемъ изъ этого остатка
произведеніе дѣлителя на второй членъ частнаго, то въ новомъ (второмъ)
остаткѣ будетъ заключаться произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго,
начиная съ третьяго. Умноживъ въ самомъ дѣлѣ дѣлителя на второй членъ
частнаго и вычтя произведеніе изъ перваго остатка, находимъ второй остатокъ:
—12®3-]—15®2— 9® +12. По свойству произведенія, высшій членъ этого
остатка произошелъ, безъ приведенія, отъ умноженія высшаго члена дѣлителя
па высшій изъ ненайденныхъ членовъ частнаго. Слѣдоват., если назовемъ
послѣдній буквою д", то найдемъ равенство: —12®3 = 4®3. з", откуда
д” ——12®3:4®3 = —3. Отсюда заключаемъ, что для нахожденія’третьяго
члена частнаго надо высшій членъ втораго остатка раздѣлить на высшій членъ
дѣлителя.
Такими же разсужденіями какъ и прежде убѣдимся, что для нахожденія
четвертаго члена частнаго, въ предположеніи что онъ существуетъ, надо дѣли-
теля умножить на третій членъ частнаго и произведеніе вычесть изъ втораго
остатка. Сдѣлавъ это, находимъ въ новомъ остаткѣ 0. Это значитъ, что дѣле-
ніе окончено, и послѣдній членъ частнаго равенъ — 3. Все же частное равно
2®2-|- 5® — 3.
Что частное найдено вѣрно, — въ этомъ убѣждаемся, помноживъ дѣлителя
на частное: въ произведеніи получается дѣлимое.
5
— 66 —
Припоминая ходъ дѣйствія, заключаемъ, что для отысканія послѣдователь-
ныхъ членовъ частнаго намъ приходилось дѣлить высшіе члены дѣлимаго и
каждаго остатка на высшій членъ дѣлителя. Чтобы имѣть эти высшіе члены
всегда на первомъ мѣстѣ, а также для удобства приведенія, до начала дѣйствія
располагаютъ дѣлимое и дѣлителя по нисходящимъ степенямъ главной буквы.
Соображая все сказанное, приходимъ къ слѣдующему правилу дѣленія
многочлена на многочленъ:
Правило. — Когда частное отъ раздѣленія двухъ цѣлыхъ полиномовъ
можно представитъ въ формѣ цѣлаго полинома, члены частнаго находимъ
слѣдующимъ образомъ:
Располагаемъ дѣлимое и дѣлителя по нисходягцимъ степенямъ главной
буквы.
Первый членъ дѣлимаго дѣлимъ на первый членъ дѣлителя-, получаемъ
первый членъ частнаго.
Вычитаемъ изъ дѣлимаго произведеніе дѣлителя на первый членъ част-
наго и получаемъ первый остатокъ.
Первый членъ этого остатка дѣлимъ на первый членъ дѣлителя: нахо-
димъ второй членъ частнаго.
Вычитаемъ изъ перваго остатка произведеніе дѣлителя на второй членъ
частнаго и получаемъ второй остатокъ.
Дѣлимъ первый членъ этого остатка на первый членъ дѣлителя: нахо-
димъ третій членъ частнаго, и т. д., продолжая до тѣхъ поръ, пока въ
остаткѣ получится ноль.
Вотъ еще примѣръ.
12а7—35а6Ь—24а3Ь2-|-78а4Ь3-|- ^Ъ^ПаЧ^ЗІаЪ^ЗбЪЩіаі-баѢ-Іа^+баЬ»-^
—12а7гЫба6ЬгЬ21а3Ь22р24а4Ь3±27а3Ь4	|3а3—ба2Ь—7аЬ2—4Ь3
—20а6Ь— За3Ь24-54а4Ь&4-29а3Ь4+17а263-|-31 аЬ«+36 Ь7
±20а6Ь2ь25а3Ь22рЗба4Ь3±40а3Ь42р4ба2Ь3
—28а3Ь2-|-19а4Ь3-|-69а3Ь4—28а«Ь3-|-31аЬ«-]-36Ь'7
^ва^^ЗбаФ^Эа^+ббаЧ^бЗаЬ6
—16а4Ь3-|-20а3Ь4-|-28а2Ь3—32аЬ64-36Ь7
±16а4Ь3гр2Оа3Ь4^28а2Ь3=Ь32аЬ«гр36Ь7
О
(Измѣненные знаки вычитаемыхъ членовъ поставлены сверху).
48. Такъ какъ нисшій членъ дѣлимаго есть также членъ неприводимый и
происходитъ отъ умноженія нисшихъ членовъ дѣлителя и частнаго, то можно
начать дѣйствіе съ опредѣленія нисшаго члена частнаго, который мы найдемъ,
раздѣливъ нисшій членъ дѣлимаго на нисшій членъ дѣлителя.
Далѣе, дѣля нисшій членъ перваго остатка на нисшій членъ дѣлителя, най-
демъ нисшій изъ ненайденныхъ еще членовъ частнаго, и т. д. Однимъ словомъ,
дѣленіе многочленовъ можетъ быть выполнено въ порядкѣ, обратномъ вышеиз-
ложенному, т. е. начиная съ нисшаго и восходя послѣдовательно до высшаго
члена частнаго.
— 67 -
Приводимъ примѣръ такого расположенія дѣйствія:
6 — 15х + 1 За;2 4- 54а;3 — 67а;4 + 38а;3 — 9а;6 — 56а;7 1 3 — 4а;2 4-5а;3 — 7а;4
— 6	± 8а;2 р: 10»3± 14л4	2 — 5а;	7я2 4-8я3
•— 15а; 4“ 21ж24-44я;3 — 53а;4 4~ 38а;8 — 9а;6 — 56а;7
± 15а; рг 20а;3 ± 25а;4 зг 35а;3
21а;2 4~ 24а;3 —28а;4 4~ За;3— 9а;6— 56а;7
— 2 Іа;2 ± 28а;4 :35а;3 ± 49а;6
24а;3	— 32а;3 4- 40а;6 — 56а;'
— 24а;3	± 32а;3 гр 40а;6 ± 56а;7
49.	Когда дѣлимое есть многочленъ неполный, т. е. содержитъ не всѣ сте-
пени главной буквы, то сохраняютъ мѣста недостающихъ членовъ, чтобы мож-
но было писать подобные члены одинъ подъ другимъ.
Примъръ. Раздѣлить 14жг‘4-54ж5 — 39ж4— 7а-4“2 на 2ж44-8ж3—
-5а;2-За; 4-1,
Въ дѣлимомъ недостаетъ членовъ, содержащихъ х3 и я;2; сохраняя мѣста,
на которыкъ должны бы быть написаны эти члены, располагаемъ дѣйствіе такъ:
14я!6-|-54а;8 — 39а;4	—7х~І~2  2а;4 4-За;3 — 5«2 — За; 4-1
— 14а;6рг 56а;3 ± 35а;4 ± 21а;3гр 7 а;2	7а;2— х -}-2
— 2а;3— 4а;4-}-21а;3— 7 а;2—7а;-]-2
±2а;3± 8а;4 гр 5а;3 ір За;2±а;
4а:4 + 1 ба:3 — 10а:2 — 6ж 4- 2
— 4а;4 гс 16а;3 2= 10а;2 ± 6а:2
Признаки невозможнаго дѣленія многочленовъ.
50.	Когда частное отъ раздѣленія одного цѣлаго многочлена на другой мо-
жетъ быть выражено цѣлымъ многочленомъ относительно входящихъ въ него
буквъ, то говорятъ, что дѣленіе возможно; если же частное нельзя представить
въ Формѣ цѣлаго многочлена, дѣленіе называется невозможнымъ.
Иногда можно й ргіогі узнать, совершается дѣленіе на цѣло, или нѣтъ; въ
большинствѣ же случаевъ узнать этого нельзя, не совершая на самомъ дѣлѣ
дѣленія.
I.	Если дѣлитель содержитъ букву, которой нѣтъ въ дѣлимомъ, то на ка-
вой-бы цѣлый многочленъ ни умножили дѣлителя, эта буква остается въ произ-
веденіи, которое поэтому никогда не будетъ равняться дѣлимому. Значитъ, въ
этомъ случаѣ частное не можетъ быть представлено въ Формѣ цѣлаго многочле-
на, и дѣленіе невозможно. Напримѣръ,
8а2 4- 5аЬ — Ь2
не можетъ раздѣлиться на — цѣло на ±а-\-Ъс, такъ какъ дѣлитель содержитъ
букву с, которой нѣтъ въ дѣлимомъ. Частное изображаютъ въ видѣ дроби, оз-
начая дѣленіе горизонтальною чертою:
8а2 4- 5аЪ — 5*
4а 4- Ъс
ьг
— 68 —
II.	Когда дѣлимое есть одночленъ, а дѣлитель — многочленъ, то частное не
можетъ быть выражено ни цѣлымъ одночленомъ, ни цѣлымъ многочленомъ. Одно-
членомъ оно не можетъ быть выражено потому, что произведеніе многочленнаго
дѣлителя на одночленное частное дало бы многочленъ, между тѣмъ какъ дѣли-
мое одночленъ. Многочленомъ оно не можетъ быть выражено потому, что произве-
деніе многочлена — дѣлителя на многочленъ — частное содержитъ по меньшей
мѣрѣ два неприводимыхъ члена, между тѣмъ какъ дѣлимое — одночленъ.
Такъ, дѣленіе а2 на а-\-Ъ невозмно, и частное имѣтъ видъ дроби
а —"Ь
III.	Если возможенъ цѣлый полиномъ (частное), который, будучи умноженъ
на дѣлителя, давалъ-бы дѣлимое, то высшій членъ дѣлимаго долженъ быть про-
изведеніемъ высшихъ членовъ дѣлителя и частнаго, а нисшій членъ дѣлимаго —
произведеніемъ ихъ нисшихъ членовъ. Поэтому, высшій членъ частнаго долженъ
равняться частному отъ раздѣленія высшаго на высшій, а нисшій членъ част-
наго— частному отъ раздѣленія нисшаго на нисшій членовъ дѣлимаго и дѣли-
теля. Отсюда прямо слѣдуетъ, что если не дѣлятся на — цѣло высшій членъ
дѣлимаго на высшій членъ дѣлителя, или нисшій на нисшій, то дѣленіе невоз-
можно.
Такъ, многочленъ
8ж’— 6жв + Зяг’— 4ж* -	+ 7ж2
не дѣлится на
5ж5 — 2ж4	ж3,
потому-что нисшій членъ 7ж2 дѣлимаго не дѣлится на нисшій членъ ж3 дѣлителя.
Точно также многочленъ
Зж2— ж —|—І
не дѣлится на •
хі -|-ж2 -|- 1,
такъ-какъ высшій членъ дѣлимаго (Зж4) не дѣлится на высшій членъ (ж4) дѣ-
лителя.
IV.	Но если высшій членъ дѣлимаго дѣлится на высшій членъ дѣлителя и
нисшій на нисшій, то изъ этого еще никакъ не слѣдуетъ заключать, что дѣле-
ніе возможно. Совершая въ этомъ случаѣ дѣленіе и продолжая его достаточно
далеко, всегда можно открыть — возможно оно или нѣтъ.
При этомъ слѣдуетъ различать два случая.
1. Дѣлимое и дѣлитель расположены по нисходящимъ степенямъ главной
буквы.
Въ этомъ случаѣ степень высшихъ членовъ послѣдовательныхъ остатковъ
идетъ понижаясь. Для возможности дѣленія необходимо, чтобы высшій членъ
каждаго остатка дѣлился на высшій членъ дѣлителя; поэтому, если дойдемъ до
остатка, въ которомъ высшій членъ содержитъ главную букву въ меньшей степе-
ни чѣмъ высшій членъ дѣлителя, и слѣдовательно не дѣлится на высшій членъ
дѣлителя, то заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
— 69 -
Такъ, пусть требуется раздѣлить
2ж4 ж3 — ж2 7ж 4
на
ж2 — ж -|-1.
Высшій членъ дѣлимаго дѣлится на высшій членъ дѣлителя и нисшій на
нисшій, Попробуемъ, не совершается-ли дѣленіе на цѣло:
2ж4-|- ж3— ж»4-7ж-{-4	ж2— ж4-1
— 2ж4±2ж3=р2ж2	2ж2-|-3ж
Зж3 —Зж24-7ж-|-4
— Зж3±Зж2^рЗж
4ж-|-4
Высшій членъ втораго остатка не дѣлится на высшій членъ дѣлителя: заклю-
чаемъ, что дѣленіе невозможно.
Иногда, прежде чѣмъ дойдемъ до такого остатка, можно ранѣе предвидѣть,
возможно дѣленіе или нѣтъ. Въ самомъ дѣлѣ, предполагая, что дѣленіе возмож-
но, можно напередъ опредѣлить — каковъ долженъ быть нисшій членъ частнаго.
Именно, если дѣленіе возможно, то дѣлимое будетъ произведеніемъ дѣлите-
ля на частное, а потому нисшій членъ дѣлимаго долженъ быть произведеніемъ
нисшихъ членовъ дѣлителя и частнаго; слѣдовательно, раздѣливъ нисшій членъ
дѣлимаго на нисшій членъ дѣлителя, мы узнаемъ, каковъ долженъ быть нисшій
членъ частнаго. Совершая дѣленіе, пусть мы дошли въ частномъ до члена той
степени, какую мы ранѣе нашли для послѣдняго члена частнаго; для того что-
бы дѣленіе было возможно, необходимо: 1) чтобы членъ, найденный нами въ
частномъ, былъ равенъ частному отъ раздѣленія послѣдняго члена дѣлимаго на
послѣдній чл. дѣлителя; 2) чтобы слѣдующій остатокъ былъ равенъ нулю. Если
хотя одно изъ этихъ условій не осуществляется, заключаемъ, что дѣленіе не-
возможно.
Приводимъ примѣры.
Раздѣлять ж7— Зж8 — 4ж3-|-2ж4 на ж2 — 5ж-|-1.
Высшій членъ дѣлимаго дѣлится на в. ч. дѣлителя и нисшій на нисшій;
при этомъ, если дѣленіе возможно, то послѣднимъ членомъ частнаго долженъ
быть: -|-2ж4:4-1 = -|-2ж4.
Совершаемъ на самомъ дѣлѣ дѣленіе:
ж7 — Зж6— 4ж3-|-2ж4 ж2 — 5ж 1
— ж7± 5ж6ср ж5 ж34-2ж4
2ж6 — 5ж3 -|- 2ж4
— 2ж8 ± 10ж3	2ж4
5ж3
Раздѣливъ высшій членъ перваго остатка на высшій членъ дѣлителя, нахо-
димъ -1- 2ж4, т. е. какъ разъ такой членъ, какимъ долженъ быть послѣдній
членъ частнаго; но какъ слѣдующій остатокъ не равенъ нулю, то заключаемъ,
что дѣленіе невозможно.
Другой примѣръ: раздѣлить
8ж8-|-10ж:і — 32ж4 — Зж34~54ж2 — 20ж на 4ж3-|~5жг— Зж.
70 -
Первый членъ дѣлимаго дѣлится на первый членъ дѣлителя, и послѣдній
на послѣдній; притомъ, частное отъ этого послѣдняго дѣленія есть — 20ж:
— 2ж или 4-Ю- ЧленъЮ долженъ быть послѣднимъ въ частномъ, если дѣ-
леніе совершается на-цѣло.
Выполняемъ дѣйствіе:
8ж6 4~ Юж5—32ж4— Зж34~54ж2— 20ж 1 4ж34~5ж2— 2ж
— 8ж6^ 10ж5± 4ж4	_____I 2ж3— 7ж 4~&
— 28ж4— Зж’4-54®2 — 20ж
±28ж4±35ж32р14ж2
32ж3 4- 40ж2 — 20ж
— 32ж3^40ж2±16ж
— 4ж
Членъ частнаго, несодержащій буквы ж, оказывается равнымъ 4-8, а не
4-10, какъ должно бы быть при возможномъ дѣленіи: заключаемъ, что дѣленіе
невозможно. Вычтя изъ втораго остатка произведеніе (4ж34-5ж* — 2ж).8, нахо-
димъ послѣдній остатокъ: — 4ж.
2. Дѣлимое и дѣлитель расположены по восходащимъ степенямъ главной
буквы.
Въ этомъ случаѣ степень нисшаго члена послѣдовательныхъ остатковъ идетъ
постепенно увеличиваясь, а потому нисшіе члены остатковъ всегда будутъ дѣ-
литься на нисшій членъ дѣлителя. Невозможность дѣленія открываемъ слѣдую-
щимъ образомъ. Раздѣливъ высшій членъ дѣлимаго на высшій членъ дѣлителя,
мы узнаемъ, каковъ долженъ быть высшій членъ частнаго, въ предположеніи,
что дѣленіе возможно. Если, дойдя въ частномъ до члена, содержащаго ілавную
букву въ той степени, какую мы предвидѣли для послѣдняго члена частнаго,
мы не получимъ затѣмъ въ остаткѣ нуль, — это будетъ признакомъ невозмож-
ности дѣленія.
Пусть напр. требуется раздѣлить
4 — Зж4-5ж24-ж3 — 19ж4 на 1 — 2ж — ж2.
Здѣсь первый членъ дѣлимаго дѣлится на первый членъ дѣлителя и послѣд-
ній членъ дѣлимаго на послѣдній дѣлителя.
Если дѣленіе возможно, послѣднимъ членомъ частнаго долженъ быть
(— 19ж4):(— ж2) = 4-19ж2.
4 — Зж 4~ 5ж2 4- ж3 — 19ж‘ 1 — 2ж — ж2
— 4 ± 8ж ± 4ж2	4 4- 5ж 4- 19ж2
5ж4~ 9ж24~ ж3— 19ж4
— 5ж ± 10ж2 ± 5ж3
19ж24~ бж3 — 19ж4
— 19ж2 ± 38ж3 ± 19ж4
44ж3
Третій членъ частнаго дѣйствительно = 4~ 19ж2, но затѣмъ остатокъ не
есть ноль: заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Еще примѣръ: раздѣлить
— 2 4~ х — 5ж3 4- 4ж‘ на — 1 — 2ж 4- ж2.
— 71 —
При возможномъ дѣленіи послѣднимъ членомъ частнаго долженъ быть4~4ж2.
— 2 4~ х — 5ж3 4~ 4ж41 — 1 — 2х 4~ х2
± 2 ±4ж^2ж2________________і 2 — 5» 4- 12ж2
5ж — 2ж* — 5ж3 4- 4х*
— 5х гр 10ж2 ± 5ж3
— 12ж2	-|~ 4х*
±12«8±24ж3^Ш*
24«3 — 8ж4
Вмѣсто 4«* находимъ въ частномъ -|- 12ж2; кромѣ того, соотвѣтствующій
остатокъ долженъ бы быть нулемъ, а онъ равенъ 24ж3 — 8ж4. Значитъ, дѣле-
ніе невозможно.
Особенность случая дѣленія цѣлыхъ полиномовъ, расположенныхъ по воз-
растающимъ степенямъ главной буквы (при соблюденіи условія дѣлимости край-
нихъ членовъ дѣлимаго на крайніе члены дѣлителя) заключается въ возмнож-
ности полученія въ частномъ неограниченнаго числа цѣлыхъ членовъ. Обуслов-
ливается это тѣмъ, что степени нисшихъ членовъ остатковъ идутъ постоянно
повышаясь. Такъ въ послѣднемъ примѣрѣ, продолжая дѣленіе, получили-бы чет-
вертый членъ — 24ж3, и т. д.
51. Когда частное отъ раздѣленія цѣлыхъ относительно х полиномовъ
не есть полиномъ цѣлый, то оно можетъ быть представлено въ видѣ суммы,
состоящей изъ нѣкотораго цѣлаго относительно х полинома и дроби, имѣющей
числителемъ остатокъ, степень котораго меньше степени дѣлителя, а знаменате-
лемъ — дѣлителя.
Въ самомъ дѣлѣ, пуста А и В будутъ два цѣлые относительно х полино-
ма, расположеные по нисходящимъ степенямъ буквы х\ и пусть степень А не
ниже степени В. Совершая дѣленіе и продолжая его до тѣхъ поръ, пока въ ос-
таткѣ не получится цѣлый по буквѣ х полиномъ, котораго степень ниже сте-
пени дѣлителя, назовемъ частное 0, и остатокъ В. Замѣчая, что остатокъ В про-
исходитъ послѣ вычитанія изъ А произведенія ВО,, находимъ:
В=А-В4;
выражая уменьшаемое посредствомъ вычитаемаго и остатка, имѣемъ
А = ВД+В;
отсюда, раздѣливъ обѣ части на В, получаемъ
Примѣняя преобразованіе, указываемое этимъ равенствомъ, къ первому при-
мѣру пункта IV § 50, находимъ, что полное частное отъ раздѣленія 2ж‘-|-ж3 —
— х2-р 1х~|- 4 на х2 — х-^-1 равно
2«*4- Зх 4-
1	1 х2—«4-і
Продолжая дѣленіе х1 — Зж6 — 4ж:і 4- 2ж4 на х2— 5«4-1 до тѣхъ поръ
пока не дойдемъ до остатка, степень котораго ниже степени дѣлителя, находимъ:
— 72 —
Замѣчательные случаи дѣленія.
52. Приведемъ нѣкоторые частные случаи дѣленія, заслуживающіе особаго
вниманія вслѣдствіе частаго ихъ примѣненія.
I. Разность одинаковыхъ степеней двухъ количествъ дѣлится безъ остат-
ка на разность основаній.
Пусть требуется раздѣлить хт — ат на х — а. Совершая дѣленіе имѣемъ:
4-а™-1
ажт-1 —
— жа”1*1 ±
а2жт-2 — а»
— а2жт~2
т-3
а3жт~3 — а
ат~'х — ат
— ат~'х ± а
О
Расположивъ дѣлимое и дѣлителя по убывающимъ степенямъ буквы ж, дѣлимъ
первый членъ дѣлимаго на первый членъ дѣлителя, и находимъ первый членъ
частнаго, въ которомъ показатель буквыж, какъ равный разности показателей тойже
буквы въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ ,будетъ = ж— 1. Первый членъ частнаго есть
ж”1-1. Умноживъ его на дѣлителя и вычтя произведеніе изъ дѣлимаго, получаемъ
первый остатокъ: аж™-1— ат. Раздѣливъ аж”1-1 на ж, находимъ второй членъ
частнаго; аж”1-8. Умноживъ его на дѣлителя и вычтя произведеніе изъ перваго
остатка, получимъ второй остатокъ: а2жт-2 — ат. Подобнымъ же образомъ най-
демъ, что третій членъ частнаго = а2жм-3, а третій остатокъ а3жт-3 — ат.
Не продолжая дѣйствія, разсмотримъ законъ составленія послѣдовательныхъ
остатковъ. Сравнивая ихъ между собою, замѣчаемъ, что всѣ остатки — двучле-
ны, которыхъ вторые члены одинаковы и равны — а”; первые же члены пред-
ставляютъ произведенія степеней буквъ а и ж, причемъ показатели буквы а
идутъ послѣдовательно увеличиваясь на 1, а показатели буквы ж уменьшаясь
па 1, сумма же обоихъ показателей всегда равна т. Изъ этого слѣдуетъ, что
продолжая дѣленіе, мы непремѣнно дойдемъ до такого остатка, первый членъ
котораго будетъ имѣть букву а съ показателемъ т — 1, а слѣдовательно букву
ж съ показателемъ 1, такъ какъ сумма показателей должна равняться т. Этотъ
остатокъ будетъ елѣдовательно: ате-1ж— ат. Дѣля первый его членъ на ж най-
демъ въ частномъ членъ ага_|; а умноживъ этимъ членомъ дѣлителя и вычтя
произведеніе изъ остатка, находимъ что слѣдующій остатокъ есть 0: значитъ,
ж“— ат дѣлится безъ остатка на ж — а.
Мы не могли выполнить всѣхъ частныхъ дѣленій вслѣдствіе неопредѣлен-
ности числа і»; мѣста, гдѣ надо подразумѣвать промежуточные остатки и чле-
ны частнаго, обозначены точками.
— 73 —
Законъ частнаго.—Всматриваясь въ составъ частнаго, замѣчаемъ, что оно
имѣетъ слѣдующія свойства:
1.	Всѣмъ его членамъ предшествуетъ знакъ (-]-), потому что они происхо-
дятъ отъ дѣленія первыхъ членовъ остатковъ, предшествуемыхъ знакомъ (-]-),
па первый членъ дѣлителя, имѣющій тотъ же знакъ.
2.	Первый членъ частнаго есть ж“-‘, послѣдній ат~'; что жрнйіса^ся про^
межуточныхъ членовъ, .то они представляютъ произведенія с'пшей'ей, 6бѣръ\
буквъ х и а, причемъ показатели буквы х идутъ послѣдовательна^е&йшЙв? \
на 1, а показатели буквы а — послѣдовательно увеличиваясь1 на X. такѣ,
сумма показателей въ каждомъ членѣ равна т— 1. — Если въ первомъ членѣ
подразумѣвать множителемъ а0, а въ послѣднемъ ж°, то можемъ сказать, что
члены частнаго расположены по убывающимъ степенямъ буквы ж, которой по-
казатели идутъ, уменьшаясь на 1, начиная съ т — 1 и кончая нулемъ; и по
возрастающимъ степенямъ буквы а, которой показатели идутъ, увеличиваясь на
1, начиная съ о и кончая т—1.
3.	Число членовъ частнаго равно ш, т. е. степени дѣлимаго.
Въ самомъ дѣлѣ, показатели буквы а, наприм., идутъ послѣдовательно
увеличиваясь на 1, начиная съ о и кончая т— 1; но послѣдовательныхъ цѣ-
лыхъ чиселъ отъ о до т — 1 включительно ровно т. Столько же членовъ и
въ частномъ.
При помощи выведенной нами Формулы
= хт~1 а»®-2	а2#®-3	а3^®-5	...-Ь а®-2®	о™-*...(А)
можно прямо писать частное отъ раздѣленія разности одинаковыхъ степеней
двухъ количествъ на разность основаній. Вотъ примѣры:
1.	---№-=х'‘ах3а^х*а3х 4-а3.
х — а 1	1	1	1
2.	~—^==%6-]-х!і-]-хі-[-х3-]-х2-]-х-[-1.
3.	Раздѣлить, по Формулѣ (А), 125а3 — 863 на 5а — 2Ъ.
Замѣчая, что 125а3 = 5.5.5.а.а.а=з5а.5а.5а = (5а)3, и что 8б3 = 2.2.2.
Ъ.Ь.Ь — 2Ъ.2Ъ,2Ъ = (25)3, имѣемъ:
= (5»)’ + (5»)-(Щ + (*)•=«•»+ Ю«Н ІЬ'.
4.	Подобнымъ же образомъ найдемъ:
га*-”', „. і .
------— —3-------~Ѵза) +(за)-ш+Ѵза)‘ш +-за-ш 3+’«•*=
„ а — т	-—а — т
и	3
—	тга2>»2-1- -^-аиі34-т’1.
Слѣдствія. — Такъ какъ х и а означаютъ какія угодно количества, то
можно положить а—. — а'. Подставивъ въ Формулу (А) вмѣсто а количество — а',
- 74 —
и замѣтивъ, что дѣлимое обращается въ хп — (— а')™, а дѣлитель въ я - (- а')
или въ х-[-а', находимъ:
— хт~' 4- (_	4. (_ а') V-3 .............(— й')™-»# 4-
4" (—й,)я,_1-
Изъ правила знаковъ при умноженіи заключаемъ, что (— а')2 = (— а').(— а')
— 4- а'2;(— а')3 = (— а')\— а') = (+ а'*)(—а') = - а'3;(- а')4 = — а'3. — а'
= 4-а'4 и т. д. Однимъ словомъ: четныя степени количества — а'даютъ знакъ
4-, а нечетныя знакъ —. Замѣтивъ это, различаемъ два случая: т — четнаго
и т — нечетнаго.
1.	т — число четное.—Въ такомъ случаѣ будетъ: т— 1 — число не-
четное, т— 2— четное, т— 3 — нечетное и т. д. А потому найдемъ, что:
(—а')™ = 4~й/”‘4~ а')т_1= —	а')т~2 = 4-а'™-2 и т. д. Принимая это
въ соображеніе, найдемъ, что послѣднее равенство принимаетъ видъ
——г—— — ж™-1 — а'.хт~'і А-а'1 .хт~3 — а^.х™^ 4-..4~	«/Я1-2ж —	...(В).
Отсюда заключаемъ, что разность одинаковыхъ четныхъ степеней дѣлится
безъ остатка и на сумму основаній, причемъ законъ составленія частнаго от-
личается отъ вышеуказаннаго только чередованіемъ знаковъ.
Напримѣръ, ж6—а6 дѣлится не только на х—а, но и на х 4- а, причемъ
частное будетъ
-—г— = ж3 — ахк 4- а2ж3 — а3ж2 4~ а'х — а*.
х-^-а	1	1
2.	т— число нечетное.—Въ такомъ случаѣ, т— 1 будетъ число
четное, т — 2— нечетное и т. д. Поэтому: (—а')т — — ат, сл. дѣлимое бу-
детъ хт — (— а'т) — ж™4~затѣмъ, (— а')1®'1 будетъ = 4~	а,')т~і =
— а'”‘-2 и т. д., и мы получимъ:
= жга~1 — а'хт~2 4- а'2жт-3 — а,3ж“-4 4~..—	а,,в-2ж 4~
Равенство (С) показываетъ, что сумма одинаковыхъ нечетныхъ степеней
двухъ количествъ дѣлится безъ остатка на сумму основаній, причемъ въ ча-
стномъ знаки чередуются.
Напримѣръ:
1.	а- — ж6 — аж5 4- а2ж4 — а’ж5	а*ж2 — а!іж 4~ а8.
зс —|— а
2. ^-2 —ж4— ж34-ж2 — ж4~1-
Ж -4- 1
II. Сумма одинаковыхъ степеней двухъ количествъ не дѣлится безъ ос-
татка на разность этихъ количествъ.
Пусть требуется раздѣлить сумму ят~[-а"‘ на ж — а-.
— 75 -
ж* ат і х — а	_______________
— хп± ахт~' ] ж7®-1 аж"-2 а2жго-3 4"....................4"	а"*"1
аж™-1 ат
— ахт~' ± агж™~2
а2жт"2 4" ат
—а2ж™~2 ± а3жя*-3
а3ж™'3 -4- а™
х ат 1 ат
— х а™-1 ±а™
'	2а”‘
Дѣленіе будетъ возможно, если, найдя въ частномъ членъ — а”11, полу-
чимъ въ остаткѣ 0; но совершая дѣленіе, мы нашли въ частномъ членъ -|-ат'1;
и затѣмъ въ остаткѣ 2а’“: заключаемъ, что дѣленіе не совершается безъ остат-
ка. Что касается цѣлой части частнаго, то она составлена совершенно по тому
же закону, какъ и въ первомъ случаѣ. Полное частное будетъ
I	9лт
——— = жго_’ -4-ая:™-2-4- а2ж”‘-34-.-4-«“Лс-4-ат~> -4---• • • (Б.)
ж — а	ііі	ііі х— а \ /
Слѣдствія. — Полагая въ этой Формулѣ а = — а', находимъ
~	=хт-'+(- «')^2+(- «Т^-3+ +(-«г1 4—7(5)’
Разсмотримъ опять два случая: т - четнаго, и т— нечетнаго.
1-й случай. — т— число четное. Въ этомъ случаѣ
,,т	а,.'т
—,- = ж™-1— а'хт~і-Х-а''2хт~3— а'3хт~і-\-.. .. — а/го-,-4------------;—- • • *(Е.),
я-]-а'	1	1	1
Откуда заключаемъ, что сумма одинаковыхъ четныхъ степеней двухъ ко-
личествъ не дѣлится на сумму тѣхъ же количествъ, и что остатокъ равенъ
удвоеннону второму члену дѣлимаго.
Такъ
ж4 4- а4 „
—і---— х3
х-\-а
2а*
ж4~а
— ах3 а?х — а3 -|-
2-й случай. — т — нечетное число. Въ этомъ случаѣ
—і—т— =ж”-1 — а'ж™-2-4- а'2жте_3 —...........-4-	а'”1-1-і—- • • • (Е).
ж 4-«	1	1 ж 4- а
Слѣдовательно, разность одинаковыхъ нечетныхъ степеней двухъ коли-
чествъ не дѣлится на сумму этихъ количествъ, и остатокъ равенъ удвоенно-
му второму члену дѣлимаго. Такъ
—:— = ж4 — ах3 4- а3х3 — а3х -4- а'-----;—
х-\-а	1	1	ж-|-а
Выдѣляя изъ разсмотрѣнныхъ случаевъ тѣ, когда дѣленіе совершается безъ
остатка, приходимъ къ слѣдующему выводу: разность одинаковыхъ степеней двухъ
— 76 —
количествъ всегда дѣлится на разность основаній', разность одинаковыхъ чет-
ныхъ степеней дѣлится, кромѣ того, и на сумму основаній', сумма же оди-
наковыхъ нечетныхъ степеней — на сумму основаній.
Теорема, доказанная въ этомъ параграфѣ, извѣстна подъ именемъ теоре-
мы Везу (Вегопі).
53. Задачи.
Выполнить дѣленіе одночленовъ:
9	6
1.	О,(72)...а4Ь7с8: —^а&3с4;	—Ь2л3.г8 : 0,(54)... Ьх'1; О.ЭаѴс’:—О^аѴс»-1;
'і+3пь+3: •і^тапІ>;	4-жр+і+іув-'1+2 :— ^ж2?-1^21*-2*; х3(а: 5жа(а4~ 6)4;
За3(&— жа)”‘: — 2а2і&— ж2)"; 4ж3(8— »и2)г : 0,44....ж3(та— 8);15та(1 —ж2)4:
з
13--т'>(х3 — I)3; 156(а — Ь)3л2г/4(ж — у)*: 13ж2(ж — у).
1
Раздѣлить:
2.	32а8Ьіс3ж,г/2—96а!,6:|с3ж3?/:|-|-60«І(І&;|саж2і71 — 48аІ2Ьс2жг/3 на 4а86сажг/а.
3.	12а3(а	Ь)3х'‘—15(а4* Ь)3х3(ху)3(х — у) — 48(«	Ь)4(а — Ь)х3(х — у) на
3(а-}-6)2ж2.
4.	35(а	й)3(х — у)3 — 15аа(аЬ)3ж2(ж у)3(х — У)1 4" 25(а	Ь)2(ж — уУ на
5(аЪ)3(х — уу.
1	5	3
5.	0,7ар— «р 'ж1-]—а>'~2жі'+3— 0,2121...ар-3.с?+3— ~аі'-4л2'г на —- а/,-:|ж2«-1.
6.	5л7— 22лЛ/12ж3#2—бж4//3— 4л3//14* 8лаг/3 на ж3— 4ж2г/	2у3.
7.	о я’' 4“ п4в‘& — |^а3Ьа 4* 1	— 1 ^-«Ь4 4“ о ' на Т д2 4” 2а^ —| &2-
і Л	4	«7	У	4	О
8.	0,06т7 — 0,02»Л» — 0,16т3»2	0,76ж4»3 — 0,8т3»4	0,58т2»3—0,06т»6
на 0,2ш2— 0,4т»-|"0,6»га.
9.	0,ба3-|-|^аі&4--і-аЬ2—1,35аа&3—^|а&'14-0,2863 на^а24-0,7аЬ-------1 62.
60	420	700	1	2	1	5
10.	х'1-\-х3у— 8ж2//2-]- 19ж,//3—Ібу1 на жа4-3жг/— 5,г/2.
11.	—(а2&44-За4Ь24-&6— а6) на аа&4‘^34“а3—
12.	8ж2г/3— Зу34”&34- 15л г/4 на Зл//4-я24- Зг/2.
13.	20а2&34-12&3 —25а&'*—16а3Ьа4-«3 на іаЪ + а3~ 3&2.
14.	і4-ж84'ж4 на &а4-і — х.
15.	—ж4 —	4- х3у 4- у'4 на г/а4-^ — хі-
16.	2,88ж4?/ — 7,2г/3 4~ 14,94жг/4 4~ 2,88ж3 — 10,8х3у3 на 0,8л3 — 0,4»а^ —
1,4»г/а4- 1,6г/3.
17.	х3 4~ У3 4- 3»2/ — 1 на х~У~у — 1.
18.	х3-[-у3-У г3 — 3хуг на х-\-у-\-г.
19.	«т+а — ат+34~37ат+3— 55ат+6 + 50ат+7 на а3— 3«3-[- 10а4.
20.	6&І+«+2 4- &І+р+1 — 9&*+У 4- 11&х+у_ 1 — 6ЪХ+^~3 4"^х+у~3 на 2&р+а4~ 3&»+|—Ь».
21.	6л3"+а — 23ж7я+1 4- 18ж6'* — ж3’-1 — Зж4"-2 4- 4ж3я-3 — ж2»-4 на 2ж4"+| —
ож3" — 2ж2п-1 4- ж"-2.
-Т1-
Въ нижеслѣдующихъ примѣрахъ представить частное подъ видомъ суммы, со-
стоящей изъ цѣлаго по буквѣ х полинома и дроби, имѣющей числителемъ цѣлый
по буквѣ х полиномъ, степень котораго ниже степени дѣлителя, а знаменателемъ —
дѣлитель.
22.	(2ж6 — 4ж3 4- 5ж4 — Зж2 — Зж 4-1):(«4	2ж — 3).
23.	(Зж3 4- 2аж4 — а2ж3 — 4а3ж2 8а4ж — а3):(аж2— 2а2ж За3).
24.	(Зж4 — 5ж3 4- 2ж2 4- 8х — 1):(х—3).
Въ слѣдующихъ примѣрахъ написать частное по формуламъ § 52.
25.	(32ж3-|-243):(2ж-|-3).
27. (т3— и3):(иг-}-и).
29. (1+ «’):(! 4-ж).
31. (81—г/4):(3 — у)
33. (1 4- а5Ь3):(1 4- аЬ).
35. [ж2—(а— &)2]:(ж — а-}-&).
37. [(ж + з<)в + <3]:(ж4-(4-.Ѵ».
39. [(а—Ь)4— ж4):(а — &-}~ж).
41 • [а6 — (р — 9)6]:(а — І’ + в)-
43
45. (а10 — т1!):(а2— т3)
47. («/’* — *4):(у34-я).
49. (ж4” — 1):(ж” — 1).
51. [(а* — 2ас)3-|-с6]:(а—с)2.
26. (а4&4 — ж4?/4): (аЪ — ху).
28. (а» + Ь»):(а4-Ь).
30. (16 —ж4):(2 4-ж).
32. (625м4 — г!4):(5м — г,).
34. [(а + Ь)2—с2]:(г> —с + а).
36. [(а4-Ь)2 —(с —й)2]:(а-|-Ь+с —й).
38. [(»г -п)3—^?3]:(иг	п — р).
40. \р — (х — у)і}-.(і'-1гх—у).
и. (і„,_ 44(4.444
46. («®4-^3):(а:2 + ^).
48. (т3— п12):(т2— п3).
50. (125ж« — 64г/3):(5ж2 — 4у).
52. [(ж-Ьу+лО3—(2«—у)3]:(2у—яН-«).
53.	Показать, что (ж2 — ху 4~ у2)3 4" (ж2 4“ ХУ 4~ У4)3 Дѣлится на 2ж24~2.ц2.
54.	Раздѣлить (а2—Ъс)3 -1- 8Ь3с3 на а2-^-Ъс.
55.	Раздѣлить а252-]-2аЬс2—а2с2 — Ь2с2 на аЪ-^-ас— Ъс.
56.	Указать, въ какихъ изъ слѣдующихъ примѣровъ дѣленіе совершается безъ
остатка.
(х^а^х—а)-, (ж7 —а7):(ж4-а); (ж7 4~ в7):(ж + а); (а8Ь2):(«-}-&);
(ж8 — а8):(ж—а); (ж8 — а8):(ж4~а); (ж84~а8):(ж4- а); (ж8-}-а8):(ж — а);
(а43— ?и43):(а2— т2); (а40 — »г43):(а24-№2); (а404*»и1(>):(а2-}-иг2);
(а43 4~ »»,0):(а2 — №2)-
ГЛАВА -VI.
Разложеніе алгебраическихъ выраженій па множители.—Умноженіе п дѣленіе много-
членовъ съ буквенными коэффиціентами.
54.	Разложить выраженіе на множители — значитъ представить его въ
Формѣ произведенія, иначе говоря, въ Формѣ одночлена. Такое преобразованіе
- 78 -
возможно далеко не всегда: оно удается вообще только тогда, когда данное вы-
раженіе представляетъ нѣкоторую правильность, нѣкоторую симметрію.
Естественно, первое, что нужно сдѣлать — это выдѣлить множителя, об-
щаго всѣмъ членамъ даннаго выраженія, если таковой имѣется’. Затѣмъ, даль-
нѣйшее разложеніе совершается примѣненіемъ одного изъ слѣдуюхъ трехъ прі-
емовъ: 1) Формулъ замѣчательныхъ случаевъ умноженія и дѣленія; 2) метода
опредѣленной группировки членовъ; 3) метода двухчленныхъ дѣлителей. Откла-
дывая изложеніе послѣдняго метода до слѣдующей главы, ознакомимся въ этой
главѣ съ остальными изъ указанныхъ пріемовъ.
55.	Вынесеніе за скобки общаго множителя членовъ даннаго многочлена.—
Пусть всѣ члены многочлена имѣютъ общаго множителя, напр.
АО — ВП + СБ;
замѣтивъ, что величина многочлена не измѣнится, если мы его помножимъ и
раздѣлимъ на одно и тоже количество, множимъ и дѣлимъ на П; находимъ
АО — ВП + СП = О(-АІ)~Вц^СР).
Выполнивъ дѣленіе АО — ВО -[-‘СП на О по правилу дѣленія многочлена
на одночленъ, найдемъ въ частномъ А —В-)-С; слѣд.
АО — ВО + СО = П(А — В -}-С).
Отсюда видимъ, что если всѣ члены многочлена имѣютъ общаго множи-
теля, то этотъ множитель можно вынести за скобки, написавъ въ скобкахъ
частное отъ раздѣленія даннаго многочлена на общій множитель его членовъ.
кахъ частное отъ раздѣленія даннаго многочлена на общій множитель его членовъ.
Такъ, всѣ члены многочлена 35Ь2с4— 7ЬсМ2 -|- 49аб2с2<? 343ЬѴ имѣютъ
общимъ множителемъ 74с2, который и выносимъ за скобки; въ скобкахъ же пи-
шемъ частное отъ раздѣленія многочлена на 7Ьс2; такимъ образомъ найдемъ:
35Ь3с* — 7бсМ2 -}- 49аЬ2с2й -[- 343Ь3с3 = 76с2(56с2 — сй2 -[- 1М -[- 49Ь2с).
Иногда выраженіе, получившееся въ скобкахъ, бываетъ способно къ даль-
нѣйшему разложенію, либо къ другимъ преобразованіямъ, могущимъ его упро-
стить. Напр., 14а5і2 — 28а4&3-|- 14«3&4, по вынесёніи за скобки общаго мно-
жителя 14а3Ь2, приводится къ виду 14а3Ь2(а2— 2аб-)-62); замѣчая затѣмъ, что
л2 — 2аб-|-&2 = (а — Ьу*, замѣняемъ данное выраженіе простѣйшимъ
14а3б2(а — Ь)2.
56.	Методъ примѣненія замѣчательныхъ формулъ умноженія и дѣленія.
Можно иногда съ успѣхомъ примѣнять къ разложенію на множители Формулы
замѣчательныхъ случаевъ умноженія и дѣленія.
Простѣйшая изъ этихъ Формулъ есть
А2 — В2 = (АВ)(А — В)...........(1).
Замѣтивъ далѣе, что
А3 — В3	А3 4- В3
дт=в —:А2-[-АВВ2 и -^^«-АВ + В*.
и опредѣляя изъ того и другаго равенства дѣлимое по дѣлителю и частному,
имѣемъ:
А3 —В3 —(А — В)(А2 4-АВ-[-В2)..........(2)
А’-|-В3 = (А4-В)(А2-АВ-[-В‘2)..........(3)
- 79 —
Затѣмъ имѣемъ:
А4 — В4 = (А2)2 — (В2)2=:(А24-В2)(А2 — В2) = (А2+В2)(А4-В)(А — В) . . . (4).
А6—В6=(А3)2—(В3)2=(А34-В3)(А3—В3)=(А-{-В)(А—В)(А2+АВ+В2)(А2—АВ+В2) .(5).
Вотъ примѣры примѣненія этихъ Формулъ:
1)	4ж2 — 9у2 = (2ж)2 - (За)2 = (2х + ЗуХ2® — Зу).
2)	(а + & — с)2 — (а - 2Ь + Зс)2 = (2а — & 4- 2с)(ЗЬ — 4с).
3)	а8-&3=(а4)2-(Ь4)2=(а44-&4)(а4 —&4) = (а44-&4)(а2-|-/>2)(а-|-Л)(а-/>).
4)	8ж3 + 27у3 = (2ж)3 4- (Зу)3 = (2х + Зу)(4ж2 — Ъху + 9у2).
5)	8»’ — 27у3 — (2ж):) - (Зу)3 — (2х — Зі/)(4ж2	4-9у2).
6)	Разложить на множители
2а5Ь2 4- 2&2с2 4- 2а2с2 — а* — Ь4 — с4.
Придавъ къ этому выраженію и вычтя изъ него 2а2Ь2, находимъ:
4а2&2 — 2а2Ь2 4- 2&2с2 4- 2а2с2 — а4 — Ь4 — с4
(2а&)2 - (а4 4- 2а2Ь2 4- Ь4) 4~ 2 (а2 4- Ь2) с2 — с4 =
(2а&)2- (а24-&2)2-|-2(а24-Ь2) с2 —с4 =
(2аі)2 - {(а2 4- Ь2)2 — 2(а2 4- &2)с2 4- с4} =
(2аЛ)2 — {(а2 4- Ь2) — с2}2 = (2а& 4~ а2 4- Ь2 — с2) (2аЪ — аі — Ъі + с*)
1(а4 &)2 — с2][ — (а — Ь)2 4- с2] — (а 4- Ъ 4~ с) (а 4- Ъ — с)(а — Ъ 4-«)(— а 4~
?, + с)-
Разсмотримъ еще разложеніе выраженій А44-В‘, А44-В44~А2В2, А4-)-
4-В‘-М2В2.
Придавая къ первому изъ этихъ выраженій и вычитая изъ него 2А2В2,
находимъ:
А4 4- В4 = А4 4- 2А2В2 4- В4 — 2А2В2 = (А2 4-В*)« — (ДГАВ)2 =
(А24-В24- АВ УГ)(А24-В2 - АВ уі).
Такимъ же образомъ найдемъ:
А4 4- В4 4- А2В2 = (А2 4- В2)2 — А2В2 = (А2 4- В2 4- АВ)(А2 4- В2 - АВ).
А4 4- В4 - 7сА2В2 = (А2 4- В2)2 — (к 4- 2)А2В2=
=(А24-В24-АВ#4^2) (А24-В2 - АВ #4-2).
57. Методъ групиированія членовъ. — Если всѣ члены многочлена не имѣ-
ютъ общаго множителя, то иногда возможно бываетъ разбить ихъ на группы
такъ, чтобы всѣ группы имѣли общаго множителя, который и выносится за
скобки. Общихъ правилъ для такихъ преобразованій нѣтъ; какъ ихъ совершать,
укажутъ нижеслѣдующіе примѣры.
1. Разложить на множители выраженіе а*-}-Ъс — ае— аЬ. Разбиваемъ много-
членъ на двѣ группы: а2 — ас и 4^'с— вынося въ первой группѣ за скоб-
ки а, находимъ а(а— с); вынося во второй группѣ —&, получимъ—Ъ(а — с).
Слѣд. данное выраженіе = а(а— с) — Ъ(а — с); вынося здѣсь за скобки а —с,
получаемъ окончательно (а— с)(а— &).
2 Для разложенія на множители тринома ж2 —10^4-24, разобьемъ снача-
ла членъ —ІО.т на два члена: —и —4х, послѣ чего данное выраженіе
- 80 -
превратится въ ж2 — бж — 4ж 4- 2'4. Вынося въ первыхъ двухъ членахъ за скоб-
ки ж, а въ третьемъ и четвертомъ — 4, получимъ ж(ж— 6) — 4(ж— 6) =
(ж— 6)(ж — 4).
Этотъ примѣръ есть частный случай триномаж2 —	+ Раскрывъ
сначала скобки, послѣ чего получимъ ж2 — ах— Ъх-\-аЪ, поступаемъ затѣмч.
какъ и въ предыдущемъ примѣрѣ; такимъ образомъ сперва найдемъ ж(ж—а) —
— Ъ(х— а), а потомъ (ж — а)(ж — Ъ).
3.	Разложить на множители бж2-}-# —12. Замѣнивъ средній членъ раз-
ностью 9ж — 8ж, находимъ 6ж2-|-9ж — 8ж —12. Взявъ за скобки въ первыхъ
двухъ членахъ Зж, а въ третьемъ и четвертомъ — 4, имѣемъ: З.ж(2ж-|- 3)—
— 4(2ж + 3) = (2ж 4- 3)(3ж—4).
4.	Разложить на множители агЪ\а— Ъ) — агс\а~ с) —&2с2(Л — с).
Имѣемъ послѣдовательно:
а2{&2(а — 6) — с2(а— с)} —— с)
= «2{а&2 — ас2-|-с3 — &3} -|~^2с2(^ — с)
— а2 { а(&2 — с2) — (Ъ3 — с3)} 4- Ъ*с*(Ъ — с)
= а2{а(& — с)(Ь 4-с) — (Ъ — с)(&2 4-Ъс 4- е2)}- 4~'ЪЩЪ - с)
= а\Ъ — с) { а(Ъ + с) — (б2 4- Ъс 4- с2)} 4- Ъ*с*(Ъ - с)
= (Ъ — с){ а\Ь + с) — а2(&2 4- Ъс 4- с2) 4- № }
= (Ъ — с) { аѢ(а - Ъ) 4- а2с(а — Ь) 4- с2(&2 — а2)}
= (Ъ — с)(а — V) { а2Ь 4~ ®2с — с2(а 4" &)}
= (Ъ — с)(а — Ъ) {&(а2 — с2) 4* ас(а — с)}
~(Ъ — с)(а — Ь)(а — с)(а& -}-&с4-ас)-
5.	Разложить на множители — ауЪу 4- ахЪх— Ъ^.
Замѣчая, что показатели складываются при умноженіи степеней одной и той
же буквы, замѣняемъ 1-й и 4-й члены произведеніями ах.ау и ЬѴ, послѣ чего
данное выраженіе приметъ видъ аѴ — ауЪу 4- ахЪх — ЪХЪУ, или ау(ах — Ъу) -|-
4-6ж(а® — Ъу), и наконецъ (ах— Ъ^аУ 4-6ж).
6.	Разложить на множители ж34-4ж2-|-ж — 6. Представивъ второй членъ
въ видѣ Зж24~ж2, а третій— въ видѣ Зж — 2ж, получаемъ выраженіе ж3 4-Зж2
4“ ж2 4“ Зж — 2ж — 6 = ж2(ж 4- 3) 4- ж(ж 4- 3) — 2(ж 4" 3) = (ж 4* 3)(ж2 -[-ж —
— 2) = (ж 4- 3)(ж2 4- 2ж - ж — 2) = (ж 4- 3) {ж(ж 4- 2) - (ж 4- 2)} = (ж 4- 3)
{ж4-2)(ж-1)}=(ж4-3)(ж4-2)(ж-1).
Умноженіе и дѣленіе многочленовъ съ буквенными коэффи-
ціентами.
58. Если въ данныхъ для умноженія многочленахъ встрѣчаются члены,
содержащіе одинаковыя степени главной буквы, то такіе члены разсматриваютъ
какъ подобные по отношенію къ главной буквѣ и соединяютъ въ одинъ, выно-
ся за скобку общую степень главной буквы, а многочленный множитель, такимъ
— 81 —
образомъ полученный, считаютъ коэффиціентомъ этой степени. Пусть, напр.,
требуется умножить
аж3 Ъх3 — а3х3 а3х — ЗаЪх3 — Ъ3х3 -]- Ъ3х — а4 4* ЗЬ4 на
ах3 а2ж — Ъ3х — Ъх3 4~ а3 — 2Ь3.
Сдѣлавъ вынесеніе за скобки, представимъ первый многочленъ въ видѣ
(а 4*	— (а8 4- ЗаЬ 4* Ь2)ж2 4~ (а3 4" &3)ж — а4 4"
а второй въ видѣ
(а — Ь)ж2 4- (а2 — Ь2)ж 4~ а3 — 2Ь3.
Разсматриваемъ первый многочленъ какъ четырехчленъ, а второй какъ трех-'
членъ; а 4- Ь,а2 4- За& 4* Ъ3 и «3 4~^3—какъ коэффиціенты при степеняхъ х пер-
ваго многочлена, — а44-ЗЬ4 какъ свободный членъ этого многочлена; а — Ъ и
а8 — Ь2 — какъ коэффиціенты, и а3 — 2Ь3 — какъ свободный членъ втораго
многочлена.
Чтобы многочлены уписались въ одной строкѣ, скобки замѣняютъ верти-
кальною чертою, справа отъ которой пишутъ степень буквы ж, а слѣва одинъ
подъ другимъ члены коеФФиціента, каждый съ его знакомъ. Дѣйствіе распола-
гаютъ слѣдующ. образ.
а +* а — Ъ	х3 — а3 — ЗаЪ — Ь3 х3 4-а2 —Ъ3	ж2 4-а3 4-ь3 ж 4~ а3 —2Ь3	ж — а4 4- ЗЬ4				множимое множитель
а3 — Ь3	ж5 — а3 — 2а3Ъ 4-2аЬ2 4-ь3 4- а3 4-а2Ь - аЪ3 — Ъ3	ж‘ 4~1а* — а3Ъ 4-аЬ3 — Ь4 — а4 — За3Ь 4~ ЗаЬ3 4-ь4 +«* 4-а3Ь — 2аЪ3 — 2Ь4	ж3 —а3 4-аЧ> За&4 -ЗЬ5 4- а3 — а3Ъ3 4-а2Ь3 — Ъ3 - а3 — За4Ь — а3Ъ3 4- 2а2Ь3 4~6аЬ4 4-263	ж2 — а3 4-аЧ>2 4-За2й4 — 36® 4- а3 — а3Ъ3 -2Ъ3	ж — а7 4-2аЧ>3 4- За®Ь4 -6Ь7	Произведеніе	Произведеніе до приведенія, по приведеніи.	г
а3 — Ъ3	ж3 — а3Ъ 4-аЬ2	Ж4 4“ ®4 — іа3Ь 4-2аЬ3 — 2Ь4	ж3 —а3 — 2аЧ> — 2а3Ь2 4- За2Ь3 4-9аЬ4 — 2Ъ3	ж2 4-а4Ь2 — а3Ъ3 4- За2Ь4 — 56® 1	ж — а7' 4- 2аЧ>3 4- За3Ь<* -6*>7	
Сперва умножаютъ всѣ члены множимаго на аж2, потомъ на — &ж2, затѣмъ
на -)-а2ж ит. д., располагая и произведеніе вертикальными колоннами по сте-
6
— 82 —
пенямъ буквы х\ соединивъ, наконецъ, подобные члены въ каждой колоннѣ, по-
лучаютъ окончательное произведеніе.
59. Пусть требуется раздѣлить многочленъ съ многочленными коэффиціен-
тами на другой такого же рода. Дѣйствіе располагаютъ какъ обыкновенно, съ
тою разницею, что вмѣсто скобокъ употребляютъ вертикальныя черты. Дѣленія
коэффиціентовъ совершаютъ отдѣльно, называя эти дѣйствія частными дѣленія-
ми. Все это указано въ нижеслѣдующемъ примѣрѣ.
а4
— аѢ
4~аб3
— б4
-|-а4 I ж2 4*^®’
4-2а3 4-1 Оаб2
4-За2Ь
— 2аб2
— Зб3
а4 ж3 4~2а3
— а3Ъ	4- За2б
4-аб3	— 2аЪ*
— б‘|	— Зб3
а4 і ж2 4~4а3
4-а2б2 4-ІОаб2
4-б‘
+ 4а2
— 9б2
а4 ж2 4-2а31 х
4- а2б2	4- ЬаѢ
4-Ь4	-|-5аб2
4-ЗЬ3
2а3 х 4-4а2
— 5а2б — 9б2
4-5аб2
— Зб3
2а3 < х
— 5а2Ъ |
4-5аб2।
— Зб3|
~~ 67
4-4а2
— 9б2
Частныя дѣленія, служащія для опредѣленія коэффиціентовъ частнаго:
1-ое частное дѣленіе.
а4 — а3Ъ 4- аЪ3 — Ъ* | а2 — аЪ 4- б2
а4 — а3б 4- а2б2	| а2 — б2
— а2б24-аб3 — б4
_ а2б2 4- аб3 — б4
9
2-ое частное дѣленіе.
а4 4-а2б2	4-64 а2—аб4~б2
а4 — а3Ъ 4~ ааб2____ а2 аЪ  б2
а3Ъ	4- б4
аз?)_а2б24-аб3
а2б2 —аб34-б4
а№ — аб34-б4
О
— 83 —
3-ье частное дѣленіе.
2а3 - 5а2Ь + 5аЬ2 — ЗЬ31 а2 -- аЪ + Ь2
2а3 — 2а2Ь-|-2аЬ2	12а — ‘ІЪ
— За2Ь-|-ЗаЬ2 — ЗЬ8
— За2Ь + ЗаЬ2 —ЗЬ*
О
60. Задачи.
Разложить на множители выраженія:
1.	15а3Ъях3у2	27аіЪ2х*у3 — 12аяхяу2.
2.	12аяхяу2 — Іба^х^3 — 48а2Ь3*2т/54- 6ОаЬ4*?/6.
3.	24а3Ь2(а2 — Ь2)*3 — 1ба2Ь3(а 4~ Ъ)2х2у — 18аЪя(а 4~ Ъ)ху2.
4.	(а4-Ь)(а24-аг>4-г>2) — (а34-ЬЗ).
5.	х3 -\-у3— (ж2— у2)х (х у) *2.
6.	ж(*34-?/8)— х2(х2— у2).
7.	(а1 — Ъ2)(хі — уі) 4~ (« — 5)2(*3 — у3)х — а(а — Ъ)(х2 — у2)х2.
8.	а(а3 — Ъ3)(х3 — у3) — [(а2 4- Ь2)2 — а2Ь2](*2 — у2)2 4- (а24~ аЪ 4- Ь2)(*6 — у3).
9.	(а2 — Ь2)(®6 — у3) 4- (а4 — Ь4)(*4 — уя) 4- (а6 — 56)(*2 — у2).
10.	(ас 4~ с2)2 4~ («2 4-ас)2,
11.	(х3 4- ах2 4~ Ъх)2 4~ (ах 4- Ъ)(х2 4- ах 4- &)2.
12.	— 26.
13.	(3*4-2?/ —4г)2—(2ж —бу —7г)2.
14.	(«4-Ь — с4-й)2 — (а — &4-с4-й)2.
15.	(14~«&4_а4~Ь)2—(1 — аЪ-^-а— Ъ)2.
16.	(а24-аЬ)2— (Ь24-аЬ)2.
17.	а2 — с24-Ь(2а4-Ь).
18.	(а2-Н2)2— (с2 — 2аЪ)2.
19.	[а2х2 — с2у2 4- Ъ2(х2 — г/2)]2 — 4Ь2(а*2 — су2)2.
20.	4*4?/4— (хі-\-уі — ж2^2)2.
21.	4(ай4-Ьс)2 —(а2 —Ь2 —с24-й2)2.
22.	а84-а4Ь44-Ь«.
23.	Разложить на два множителя, цѣлыхъ и раціональныхъ относительно а и 5,
выраженіе а8-|-Ь8, и на пять множителелей а16 — з16.
24.	Разложить а32 — Ь32 на девять множителей, цѣлыхъ и раціональныхъ отно-
сительно а и Ъ.
25.	Разложить ж94~1 и х2—1.
26.	(а2 4- Ъ2 4- с2 — А2 — 2аЪ)2 — 4е2(а — Ъ)2.
27.	ас 4~ Ъй 4- ай -}- Ъс.
28.	ас2-уЪй2 — ай2 — Ъс2.
29.	а2с2 4- Ъ2й2 — а2й2 — Ъ2с2.
30.	а24-6с — Ъ2 — ас.
6*
- 84 —
31.	аЪ(а— Ъ)— ас(а 4- с) -}- Ъс(2а с — Ъ).
32.	ае(а с) — Ъс(Ъ 4- с)»-)- аЪ(а — Ь).
33.	Ь(а2 -}- с2) — ас(а + с) — Ь2(Ь 4“ с) 4“ Ьс(а + &)•
34.	Ъсй(Ъ — с)(с — й)(й — Ь)	аЬй(а—Ъ)(Ъ—сГ)(сІ—а) — аЪс(а—Ъ)(Ъ— с)(с—а).
35.	а {(Ь — й)(с2 — й2) — (с — Й)(Ь2 — й2)} — Ь {(а — й)(с2 — й2) —
(с — й)(а2 — й2)} 4- с {(а — й)(Ь2 — й2) — (Ъ — й)(а2 — й2)}.
36.	(а 4- Ь) {(а2 4- с2)(а3 4- й3) — (а2 4- й2)(а3 4- с3)}
— (а 4- с) {(а2 4- Ь2)(а3 4- й3) — (а2 4- й2)(а3 4- Ь3)}
4- (а 4- й) {(а2 4- Ь2)(а3 4- с3) — (а2 4- с2)(а3 4- Ь3)}.
37.	а[(Ь2	4-	й2)(с2 — й2) — (с2 4- й2)(Ь2 — й2)]
_ Ь[(а2 4- й2)(с2 — й2) — (с2 4- й2)(а2 — й2)]
4- с[(а2	Й2)(Ь2 _ й2) _ (Ь2	й2)(а2 _ й2)].
38.	а[ас(а2 4- Ь2) — аЬ(а2 4- с2)] — Ь[Ьс(а2 4- Ь2) — аЬ(Ь2 4- с2)]
4- с[Ьс(а2 4- с2) — ас(Ъ2 4~ с2)].
зэ. 14~ «ь 4~«(« 4? &) — («Ч-?))—ж(і4-«Ь).
40. ж2Ч-3«4-2.
42. ж24-10ж4-21.
44. 4ж24- 8ж4- 3.
46. 6ж24~5ж— 4.
48.	«24~«(^ —
50.	12а4 4- а2»2 — ж4.
52.	ж6—5ж3$/3 4~ 7ж2$/4 — 3^с.
54.	Доказать, что полномъ
ж7 4“ ж° 4" Ч~ Ч~ х3 4“ хі “I- х 4“1
можно представить въ видѣ произведенія
41. ж2 — 5х 4- 6.
43. ж2 —8ж4-15.
45. 4ж24-11ж —3.
47. а3—7а4-6.
49. ж44~3$/2ж2— 4^4.
51. 9ж2г/2— Зж«/3— 63/4.
53. а3(Ъ — с)4-Ь3(с—а)4~с3(4 — Ь).
(я*+1)(ж2+1)(ж + 1).
55.	атЪк+іст+і 4- Ьтст+Аат+і4- стат+іЪт+2 — ал+2Ът+іст — Ът+2ст+1ат
— ст+2ат+1Ът представить въ видѣ: атЬтст(а — Ъ)(Ъ — с)(с — а).
56.	Показать, что полиномъ
ж7 — ж6 — ж5 4- ж4 — ж3 4~ ж2 4~ я — 1
можно представить въ видѣ
(ж4 — 1)(ж3 — ж2 — ж 4- 1) или (ж2 4-1)(ж 4" І)2^ —I)3-
57.	(а2 4~ Ь2)(аЬ 4~ ей) — аЬ(а24-Ь2 — с2 — й2) представить въ видѣ (аЛ 4- Ъс)
(ас-^-ЪЛ).
58.	а3Ьсй 4- Ь3асй 4- с3аЬй 4- й3аЬс 4- а2с2й2 4* а2Ь2й2 4- а2Ь2с2 4- Ь2с2й2 предста-
вить въ видѣ (а?)4-<?й)(ай-| Лс)(ас4*^^)•
59.	(а4-Ь4~с)3—(а34-Ь34~с3) представить въ видѣ 3(Ь4'с)(гЧ*а)(аЧ_^)-
60.	Полиномъ ж3 4- аж2 — Ь«2 4“ са;2 — а^х — ^сх 4" асх — а^с представить въ ви-
дѣ произведенія трехъ множителей.
61.	(аж 4- Ъу 4- с^)2 4- (ау — Ъх)^ 4- (Ъв — су)2 4- (сх — а^)2 представить въ видѣ
(а24-г>24-с2)(ж24-^24-^.
— 85 —
62.	Разложить на два множителя выраженіе .
хР+9 _ хЧут
63.	Выраженіе; (а 4- Ъ 4- с)4 — (а 4- Ь)4 — (Ъ 4- с)4‘— (с 4~ «У14“ ®4 4~ &4 4“ с*
представить въ видѣ 12аЬс(а4“^4~с)-
Перемножить полиномы:
64.	(а 4“	4- («2 4~4“ ъ3)х3 4- (а3 4*аіъ 4-а^2 4- ъз)х 4- аі 4~ ®зь 4“ ®2^2 4~
аЬ3 4- Ь4 на (а — Ъ)х2 4~ (а2 4" №)х 4“а3 — Ь3-
65.	(а 4- Ь>4 4- (а2 4- аЬ 4- Ъ3)х3 4- (а3 4- а*Ь 4- аЬ2 4- Ъ3)х3 4- (а4	а3Ь 4- а2Ь2 4~
4-аЬ34-Ь4)а:4-а34-а4Ь4а3Ь24-а2Ь34-аЬі4-Ь3 на
(а—Ь)ж24-(<22 — оЪ 4“ Ь3)х 4- а3 — а3Ь-\-аЬ3— Ь3, и провѣрить дѣйствіе, положивъ
а~ 2, 6 = 1, х~ 1.
66.	х3 4- (а — Ь)а:2 4~ (®2 4- ЗаЪ 4- Ь2)» 4“а3 —	— Ь3 на
(а 4- Ь)х3 4- (а2 — Ь3)х 4- 2а3 4" Ъ3.
67.	(а-рб)»2— (а2 4* Ь2)« 4“ а3 4~ ^3 на (а — Ь)х2 — (а2— Ь2)а:4-«3— Ь3.
68.	х3 — 5а;2(а — Ъ) 4~ »(а2 — Ь2) — За3 на х3 4- 2х3(Ъ — а) — а:(а2 4" Ь2) — 2Ь3.
69.	я:34-#2(2/ — л)(а4-Ь)— Х(У3 4“ ^2)(й2 — Ь2) 4- (г/3 — я3)(а34~Ь3) на
х3 — х\у 4- я)(а — Ь) 4- »<У2 — я2)(а2 4- Ь2) — (у3 4“ «3)(«3 — Ь3).
Раздѣлить:
70.	х1— |а(а-]-2)4-Ь(Ь4"2)}а:34_ {2(а4-Ь)(а24-Ь2)4"(а4“^)24~а^};в2
— { (а + &)2(а2 4- Ь2) 4- аЬ(а2 4- &2 4- а 4- Ь)} з 4- аЬ(а + Ь)(а2 4- Ь2) на х3 — (а 4- Ь)
х-]-аЪ.
71.	(а3— За24- За — 1>34- (За4 — ба34- 2а2 — За 4- 3>44- (а4 — 4а3 — 2а2 4~
4- За 4- 4)х3 — (За6 — а3 — 10а3 4- За2 — а 4* б)»2 4- (»’ ф- а'‘ 4"2д4 — 6а3 — 2а24~ 2а
4-1)»—За8 4- 2а» 4- За2—2а на
(а2 — 2а 4" 1>34- (2а3 — 4)а;2 — (а44~«2— 1)»4" За2 — 2а.’
72.	(а3 — 1)ж3 — (а3 4- а2 — 2)а:2 4- (4а2 4~ За 4~ 2> — За — 3 на
(а— 1)ж2 — (а—1)05-4-3.
73.	(а3 — Ь3)х3 — (2а3Ь — 2Ь4)»2 4~ (а3Ь2	<х2Ь3 — 2Ья)05 — а6 — а°Ь 4“ а^3 4“ на
(а2 4- аЪ 4- Ь2)ж2 4- (а3 — Ъ3)х 4- а4 4- а3Ъ 4- а2Ь2 4- аЪ3 4- Ь4.
74.	20(а4- Ь)3 — 46(а 4~ б)4» 4“ ®4(а 4~ Ь)3:»2 — 78(а4~ Ь)2»3+ 64(а4~ Ь)а:4 —
32а:3 на б(а4~Ь)3—4(а -{- Ь)3х 4- б(а -{- Ь)хй—4а:3.
ГЛАВА VII.
О дѣлимости на биномы вида х ± а. — Основанія способа неопредѣленныхъ коэффи-
ціентовъ. — Различныя приложенія предыдущихъ теоремъ. — Задачи.
61.	Теорема I. — Если раціональный цѣлый относительно бук-
вы х полиномъ, расположенный по убывающимъ степенямъ этой бук-
— 86 —
вы, раздѣлимъ на биномъ х — а, то въ остаткѣ получимъ результатъ
подстановки въ этотъ полипамъ буквы а вмѣсто х.—
Приводимъ доказательство д' Аламбера.—
Всякій полиномъ, цѣлый и раціональный относительно а;, можно предста-
вить въ видѣ
Агаж"+АгаЧ»га-і4-А1п_2»т-24-..........4-а2ж2н-а1« + а.„
разумѣя подъ т какое нибудь цѣлое положительное число, а подъ Ага, А^,,
. . . . А,, Ао — нѣкоторые коэффиціенты, т. е. выраженія —не содержащія
буквы х. Если такой многочленъ раздѣлить на х— а, то окончательный оста-
токъ долженъ быть выраженіемъ, не содержащимъ буквы х\ въ самомъ дѣлѣ,
если допустить, что остатокъ содержитъ букву х хотя только въ первой степени,
то можно бы было продолжать дѣленіе, потому что дѣлитель содержитъ также
букву х въ первой степени. Означивъ этотъ, не содержащій буквы х, оконча-
тельный остатокъ черезъ Е, постараемся опредѣлить Е. Назвавъ для этого ча-
стное, которое, какъ и дѣлимое, должно быть многочленомъ, расположеннымъ
по нисходящимъ степенямъ буквы «, черезъ Ц, и замѣтивъ, что дѣлимое=
произведенію дѣлителя на частное, сложенному съ остаткомъ, получимъ
Агажт4- А^Ж»'14-........4~ А,ж 4- Ао = (х — а). Ц 4~Е.
Замѣчая, что обѣ части этого равенства представляютъ лишь различныя Фор-
мы одного и того же выраженія, убѣждаемся этимъ, что равенство наше есть
ничто иное какъ тождество, т. е. равенство, справедливое при всякой вели-
чинѣ входящихъ въ него буквъ. Слѣдовательно, оно будетъ справедливо и тог-
да, когда, въ частности, положимъ х = а. Но при такой подстановкѣ первая
часть приметъ видъ
АХ* + А„_1а’-‘4-..........4-А1«4-А0.........(1),
и слѣд. не будетъ содержать буквы х, такъ какъ и коэффиціенты ...........
Аи Ао не содержатъ х. Что касается второй части, то въ выраженіи Ц буква
х также исчезнетъ; разность х — а, при подстановкѣ а вмѣсто х, обратится
въ а — а или въ ноль, а слѣд. и произведеніе Ц(ж — а), котораго одинъ мно-
житель равенъ О, также обратится въ 0. Во второй части останется, поэтому,
только выраженіе Е, которое не измѣнится отъ указанной подстановки, такъ
какъ совсѣмъ не содержитъ буквы х. Итакъ, дѣлая ® = а, мы вмѣсто прежня-
го равенства получимъ слѣдующее
Ат®ад 4" Ат_іат+|.......4- А,а 4~ Ао = К,
которое и доказываетъ, что остатокъ имѣетъ Форму даннаго многочлена, въ ко-
торомъ буква х замѣнена буквою а.
62.	Если бы дѣлитель былъ х-]-а, то этотъ случай легко привести къ
разсмотрѣнному, замѣтивъ, что х-^а можно представить въ видѣ разности
х — (—а). Отсюда прямо вытекаетъ
Теорема П, служащая дополненіемъ первой: Если цѣлый раціо-
нальный относительно буквы х полиномъ раздѣлимъ на биномъ х 4~ а,
— 87 —
то въ остаткѣ получимъ результатъ подстановки въ этотъ полиномъ
буквы (—а) вмѣсто х.
Примѣры. I. Найти остатокъ отъ раздѣленія многочлена
Зж5_4жі_2ж2_|_7
на х — 2.
Подставляя въ данный полиномъ 2 вмѣсто ж, находимъ окончательный ос-
татокъ
В= 3.23 —4.28 — 2.22 +7 = 96 — 64 — 8 + 7 = 31.
II. Найти остатокъ отъ раздѣленія тринома
х2 — 8®+ 15
на & + 5.
Подставляя въ данный триномъ (— 5) вмѣсто ж, получимъ (— 5)2 — (8.—
— 5) +15 = 25+ 40 +15 = 80. Окончательный остатокъ =80.
63.	Изъ доказанныхъ теоремъ вытекаютъ такія слѣдствія.
Слѣдствіе I. — Если многочленъ обращается въ ноль, послѣ замѣны
въ немъ буквы х буквою а, то онъ дѣлится на ж — а; если многочленъ обра-
щается въ ноль послѣ замѣны буквы х буквою (—а), то онъ дѣлится на
х +* а.
Въ самомъ дѣлѣ, многочленъ, полученный послѣ замѣны буквы х буквою
а или (— а), есть ничто иное какъ окончательный остатокъ отъ раздѣленія дан-
наго многочлена въ первомъ случаѣ на х — а, во второмъ—на & + а. Но если
окончат. остатокъ равенъ нулю, то это значитъ, что многочленъ дѣлится безъ
остатка — въ первомъ случаѣ на ж —а, во второмъ на х-^-а.
Слѣдствіе II, обратное предыдущему. Если многочленъ дѣлится на х — а
или на х + а, то результатъ подставки въ него — въ первомъ случаѣ буквы
а, а во второмъ (—а) вмѣсто х, долженъ быть равенъ нулю.
Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ, по условію, многочленъ дѣлится на х — а или
& + а, то остатокъ въ обоихъ случаяхъ долженъ быть равенъ нулю; но этотъ
остатокъ есть результатъ подстановки вмѣсто х буквы а или а); стало быть
этотъ результатъ долженъ быть равенъ нулю.
Примѣры. I. Трехчленъ х1 — 2х +1 обращается въ 0, если вмѣсто х
подставить 1; слѣд. онъ дѣлится на х — 1.
II. Многочленъ 4ах'' — 7а‘іх'- — 6а3;с + 9а1 обращается въ 0 при х = а,
а потому онъ дѣлится на х — а.
III. Триномъ ®2 + 5® + 6 обращается въ 0 при ж =— 3, слѣд. онъ дѣ-
лится на & + 3.
64.	Законъ составленія частнаго отъ раздѣленія цѣлаго относительно буквы
х полинома на биномъ х—а.
Легко вывести законъ, по которому составляется частное дѣленія многочле-
на Ага^ + Аю_13,’-’ + Ага_2Ж’»-2+..........+А2®2	+ А1® + Ав на х-а.
- 88 -
Въ самомъ дѣлѣ, совершая на самомъ дѣлѣ дѣленіе, найдемъ:
Атжт4-Ат_1я:т~14А„1_2а:“-г4-..+А2а:і!4-А4+А0 х — а_________________
ктхт -|- Атаж"1’1	іАЯіжт-,+Атоа а:т"24-Ата* ж"'3
 !»—2
т-Т
Л ж™-2
а
ш-2
Хк~ 2 4- . .

т-2
Ра? 4~	+ А^а? 2	. .
— Ра? ± Рая?-* ________________
Ц-Ра я?-* 4~ Аім®"’2 + • • • •
+ А/с-і
Найдя первые три члена частнаго, замѣчаемъ, что частное есть полиномъ
степени т— 1, причемъ:
Коэффиціентъ перваго члена частнаго равенъ коэффиціенту 1-го члена
дѣлимаго;
Коэффиціентъ 2-го члена частнаго равенъ произведенію предшествующаго
коэффиціента на а, сложенному со вторымъ коэффиціентомъ дѣлимаго;
Коэффиціентъ третьяго члена частнаго равенъ произведенію предшествую-
щаго коэффиціента на а, сложенному съ третьимъ коэффиціентомъ дѣлимаго.
Докажемъ, что этотъ законъ общій. Пусть, слѣдуя обыкновенному правилу
дѣленія, мы нашли въ частномъ членъ Ра?-1. Онъ получился отъ раздѣленія
перваго члена соотвѣтствующаго остатка на ж; сл. первый членъ остатка есть
Рж\ а потому весь остатокъ будетъ Рл?4- Ама?-1-|-А^а?-2-^ • • . . Умножая
членъ частнаго Ра?-1 на дѣлителя и вычитая это произведеніе изъ сказаннаго
остатка, въ новомъ остаткѣ получимъ
(Ра + А^)®*-! А^2 4-.................
Раздѣливъ первый членъ этого остатка на х, находимъ слѣдующій членъ
частнаго
(Ра4-А)і_1).ак-«.
Коэффиціентъ его равенъ произведенію предшествующаго коэффиціента на
а, сложенному съ коэффиціентомъ того же порядка дѣлимаго. Общность закона
коэффиціентовъ такимъ образомъ доказана.
Если окажется, что дѣлимый полиномъ неполный, т. е. въ немъ недостаетъ
членовъ съ какими либо промежуточными степенями главной буквы, то для при-
ложенія предыдущаго правила слѣдуетъ возстановить недостающіе члены, внося
ихъ съ коэффиціентомъ 0.
65.	Если дѣлитель будетъ х-\-а, то разсматривая его какъ х—(—а),
заключаемъ, что для нахожденія частнаго нужно только въ частное § 64 вмѣ-
сто а подставить (— а); сдѣлавъ это, найдемъ
— 89 -
АиЖ™-1 — кта
х™-2 + А,па2 | ж”1'3
— кт-іа
Ч~ Ага-2 I
66.	Примѣры. I. Найти частное и остатокъ отъ раздѣленія
5гс4 —23іс2-Н Зж — 58 на х-2.
Дополняя данный полиномъ членомъ съ ж3, имѣемъ
5х4 + 0.x3— 23ж2-|~3я — 58.
Коэфф. 1-го чл. частнаго = 5	а 1-й чл. частнаго = 5а;3
<	2-го <	< = 5.2+ 0 т. е.+Ю < 2-й <	«	+10а;2
<	3-го	<	+10.2 —23 т.	е. — 3	< 3-й	«	<	=— За;
<	4-го	<	—3).2+ 3,	— 3	< 4-й	<	«	=— 3
Искомое частное, поэтому, = 5х3 + 10ж2—За; — 3.
Остатокъ В = 5.24 - 23.22+ 3.2 - 58 = 80 — 92 + 6 — 58 = — 64.
Итакъ: ——23ж2±3ж—— 5жз 10а;* - Зж - 3 -—
х— 2	1	х— 2
II. Такимъ же образомъ найдемъ
а:4 —ж’+1	, п .	3
------і+— = а;3 — 2а;2 + 2а; — 2 + —т— •
х-]-1	1	1 « +1
Ш. Найти частное и остатокъ отъ раздѣленія
а;3 — За;2 + 2а; — 1 на 2а; — 3.
Для приложенія нашего правила нужно дѣлимое расположить по степенямъ
2а;, разсматривая 2а; какъ главную букву. Множа и дѣля первый членъ на 8,
изображаемъ его въ видѣ і(2а;)3; множа и дѣля второй членъ на 4, пишемъ
з
его въ видѣ —(2а;)2. Дѣлимое так. обр. будетъ
1(2а;)3-4(2а;)2 + (2ж)-1.
Затѣмъ, прилагая правило, найдемъ
и
ж3 —Зж2+2а;—1__ а;2	3	1	’8
2ж —3	~ 2“	8"	2ж —3‘
Примѣчаніе I.—Пріемомъ, указаннымъ въ §61, докажемъ, что остатокъ
отъ раздѣленія цѣлаго раціональнаго по буквѣ х полинома на биномъ вида
рх + д есть результатъ подстановки въ данный полиномъ количества (— —)
вмѣсто х. Слѣдуетъ лишь замѣтить, что вынеся р за скобки, получимърх + 2
Примѣчаніе II.—Отсюда непосредственно вытекаетъ: 1) если полиномъ
обращается въ ноль по замѣнѣ въ немъ буквы х количествомъ — —, то онъ
— 90 —
дѣлится на рх и 2) если полиномъ дѣлится на рх-}-д, то результатъ под-
становки въ него количества (—вмѣсто х равенъ нулю.
67.	Теор ема III.—Для того чтобы цѣлый относительно х по-
линомъ дѣлился на х— а или на х-|-а,, необходимо чтобы нисшій
(свободный) членъ его дѣлился на а. —
Въ самомъ дѣлѣ, если полиномъ Р дѣлится, напр., на х — а, то
Р = (ж —а)4,
гдѣ 0, —цѣлый относительно х полиномъ; изъ этого равенства слѣдуетъ, что
нисшій членъ полинома Р, какъ произведенія, равенъ произведенію а на нис-
шій членъ частнаго (}, а слѣд. долженъ дѣлиться на а.
68.	Теорема IV. — Если полиномъ Р, цѣлый относительно х,
дѣлится на каждый изъ биномовъ х — а, х — Ъ, х — с, гдѣ а, Ь м с
неравны, въ отдѣльности, то онъ дѣлится и на ихъ праизведеніе.
По условію полиномъ Р дѣлится на х — а\ пусть частное будетъ Ц, гдѣ
О, есть также цѣлый относительно х полиномъ; въ такомъ случаѣ
Р = (ж-а) Л............(1)
Но полиномъ Р, по условію, дѣлится и на х — Ъ-, сл. при х = Ъ онъ об-
ращается въ ноль. П такъ, если въ предыдущее равенство вмѣсто х подставимъ
Ъ, то первая часть его обратится въ ноль; слѣд. и вторая, при подстановкѣ
въ нее Ъ вмѣсто х, должна обратиться въ ноль, т. е. должно быть
(Ь — а)Л6 = 0,
гдѣ І)6 означаетъ выраженіе 0,, въ которомъ х замѣненъ буквою Ъ. Мы имѣемъ
произведеніе двухъ множителей: Ъ — а и (^ь, равное 0; для этого необходимо,
чтобы по крайней мѣрѣ одинъ изъ нихъ былъ нулемъ. Но множитель Ъ — а
не есть 0, ибо по условію Ъ неравно а; слѣд. ()6 должно быть нулемъ. Итакъ,
О, обращается въ ноль при х = Ъ, сл. оно дѣлится нагс—Ъ. Означивъ частное
этого дѣленія черезъ 0/, гдѣ (У есть цѣлый относит. х полиномъ, имѣемъ
о=(Ж-ь).а'...........(2).
Вставляя вмѣсто 0, его величину въ равенство (1), получаемъ
Р = (ж-а)(Ж~Ь)а' ...... (3).
По условію Р дѣлится на х—с, сл. полиномъ Р, при х = с, обращается
въ ноль; поэтому и вторая часть равенства (3), при ж = с, должна обращаться
въ ноль, т. е. должно быть:
(с —а)(с —Ь)Ц'с=О.
гдѣ 0,'е есть значеніе полинома 0,' при х=с. Но разности с — а ъ е — Ъ не-
равны нулю, ибо, по условію, а, Ъ и с различны, слѣд. чтобы произведеніе
было нулемъ, нужно чтобы было Ц,с=0. Это значитъ, что 0,' дѣлится на х — с;
обозначивъ частное этого дѣленія черезъ О", имѣемъ
Внося величину О/ въ равенство (3), получаемъ
Р = (ж — а)(х-Ъ)(х~с)$'.
Теорема такимъ образомъ доказана.
— 91 —
Примѣръ. Доказать, что полиномъ
жУ -]- уѴ	2дхг — хту'1 — угвд — з’х4-
дѣлится на произведеніе {х— у}{х— 2}(у— г).
Подставляя въ данный полиномъ у вмѣсто ж, находимъ, что онъ обращает-
ся въ 0; слѣд. онъ дѣлится на х— у. Такимъ же образомъ убѣждаемся., что
какъ при х — г, такъ и при = полиномъ обращается въ 0; сл. дѣлится
какъ на х— г, такъ и на у — з. Дѣлясь на каждый изъ биномовъ х — у,
х— У —3 въ отдѣльности, онъ, въ силу теоремы IV, дѣлится и на ихъ
произведеніе.
69.	Предыдущія теоремы служатъ для нахожденія цѣлыхъ дѣлителей вида
х — а нѣкотораго даннаго цѣлаго относительно х полинома. При помощи теоре-
мы III можно опредѣлить, какіе цѣлые биномы этого вида могутъ бытъ дѣли-
телями, а при помощи теоремы II, слѣдствіе I, опредѣляемъ тѣ изъ нихъ, ко-
торые въ самомъ дѣлѣ служатъ дѣлителями даннаго полинома.
Очевидно, что число дѣлителей полинома не можетъ превышать его степе-
ни; иначе, въ силу теоремы IV, онъ долженъ бы былъ дѣлится на полиномъ,
котораго степень выше его собственной, а это невозможно.
Приводимъ примѣры.
I. Найти всѣхъ цѣлыхъ двучленныхъ дѣлителей полинома
х* - 17ж3 + 98л;2 - 232ж -]-192.
если таковые имѣются.
Находимъ дѣлителей числа 192; это будутъ числа 2,3,4,6,8, и т. д. По
теоремѣ третьей, искомые дѣлители, если только они существуютъ, будутъ вида
х±2, ж±3, ж±4, ж±6,.......................
Подставляя въ данный полиномъ вм. х число 2, легко убѣдимся, что по-
линомъ обращается въ ноль; стало быть онъ дѣлится на х — 2.
Подставляя вм. х чпсло — 2, убѣдимся, что полиномъ не обращается въ
ноль; слѣд. х -]-2 не есть его дѣлитель.
Подставляя вмѣсто х число 3, убѣдимся, что полиномъ обращается въ ноль;
сл. дѣлится на х—3.
Подставивъ вмѣсто х число — 3, замѣтимъ, что полиномъ не обращается
въ ноль, сл. не дѣлится на ж-]-3.
Продолжая такимъ же образомъ, найдемъ, что данный полиномъ имѣетъ
дѣлителями ж —4 и х — 8.
Мы уже нашли четыре дѣлителя: х— 2,ж—3,ж— 4,ж— 8; другихъ цѣ-
лыхъ дѣлителей не можетъ быть, такъ какъ данный полиномъ — четвертой степени.
II. Найти цѣлыхъ двучленныхъ дѣлителей полинома
ж3 — (а 4~ Ъ с)ж2 4- (аЬ 4~ ас	Ьс)хі— аЬс,
если таковые существуютъ.
Въ силу теоремы III, искомыми дѣлителями могутъ быть только
х—а, х — Ъ, х — с; х-^-а, х-^Ь, х-^-с.
Но при х = а полиномъ обращается въ
а3 — (а 4~- Ъ 4- с)а2 4" (н^ 4" ас 4" ^с)а — а^сі
— 92 —
что, какъ легко видѣть, приводится къ нулю. Слѣд. х — а есть искомый дѣ-
литель.
Такимъ же образомъ убѣдимся, что х — Ъ и х — с также суть дѣлители
даннаго полинома.
Нашъ полиномъ — третьей степени; мы нашли трехъ дѣлителей; другихъ
не можетъ быть; сл. задача рѣшена.
70. Такпмъ же образомъ, какъ мы доказали теорему IV, докажемъ, что если
полиномъ дѣлится въ отдѣльности на каждый изъ биномовъ рх-[-ц, р'ж-}-/,
р”х-[-ц", при условіи, что значенія х : —— р, при которыхъ эти дѣ-
лители обращаются въ ноль, всѣ различны, то онъ дѣлится и на ихъ про-
изведеніе.
71. Слѣдствія теоремы IV.
I. Если полиномъ Р, цѣлый относитально х, ж-й степени:
А,кж™ + А^ж”-1 +...........-І-А^Н-А,,
обращается въ ноль при т различныхъ значеніяхъ буквъ х : а, Ъ, с, . . . .
7г, і, к, то онъ можетъ быть представленъ въ видѣ
Кт{х — а (х — Ъ^х — с)...........(ж — г)(ж — &).
Въ самомъ дѣлѣ, пусть полиномъ четвертой степени
Р = А4ж4 А3ж3 4- А2ж2 4- к{х 4- Ао
обращается въ ноль при четырехъ различныхъ значеніяхъ х: а, Ъ, с, и Л.
Въ такомъ случаѣ, по теоремѣ IV, онъ дѣлится на произведеніе
(ж — а)(х — 7>)(ж — с)(ж — сі),
которое само четвертой степени; стало быть частное не содержитъ х и есть чис-
ленное, а сл. оно сводится къ частному отъ раздѣленія А4ж4 на высшій членъ
ж1 дѣлителя; это частное равно, слѣдов., А4. Приравнявъ дѣлимое произведенію
дѣлителя на частное имѣемъ
Р = А4(ж— а)(ж— Ъ)(х— с)(х— й).
II. Опредѣленіе. Если цѣлый относительно х полиномъ обращается въ ноль
при всякомъ значеніи ж, то говорятъ что онъ тождественно равенъ нулю.
Докажемъ, что если цѣлый относительно х полиномъ, т-ой степени обраща-
ется въ нуль при нѣсколькихъ значеніяхъ ж, число которыхъ превышаетъ т,
то онъ тождественно равенъ нулю (т. е. равенъ нулю при всякомъ х).
Пусть, напр., полиномъ
Р = А4ж4 4- А3ж3 4- А2жа 4- А(ж 4- Ао
обращается въ ноль при пяти различныхъ значеніяхъ ж: а, Ъ, с, й, е. Мы
доказали, что если полиномъ Р обращается въ ноль при четырехъ значеніяхъ
ж: а, Ь, с, и й, то онъ беретъ видъ
Р —А4(ж — а)(ж— Ъ)(х— с)(х — д).........(1)
Но, по условію, Р обращается въ ноль также п при ж = е; слѣд.
А4(е — а)(е — Ъ)(е — с)(е — й) = 0;
цо какъ множители е—а, е— Ъ, . . . отличны отъ нуля, то чтобы произведе-
— 93 —
ніе равнялось нулю, необходимо, чтобы А4 равнялось нулю. Но если А4 = 0,
то изъ (1) видно, что каково бы ни было ж, всегда будетъ Р = 0.
Итакъ, Р равно 0 при всякомъ х, т. е. тождественно равняется нолю.
72.	Теорема V. Чтобы цѣлый относительно х полиномъ тож-
дественно (т. е. при всякомъ значеніи х) равнялся нулю, необходимо
и достаточно, чтобы всѣ коэффиціенты его равнялись нулю.
Пусть дано, что полиномъ
Р = Аж44- Вж3 4- Сж2 4- Вж 4- Е
равенъ нулю при всякомъ ж; стало быть, въ частности, онъ будетъ равенъ
нулю и при ж = 0. Но при ж = 0 всѣ члены, содержащіе ж, обращаются въ О,
сл. равенство
Аж’4-Вж34-Сж2Вж4-Е = 0 . . . . (I)
обращается въ
Е = 0 . . . . (II).
Откинувъ въ равенствѣ (І)Е, какъ количество, равное 0, а въ остальныхъ чле-
нахъ вынеся за скобки ж, получимъ равенство
Р = ж(Аж3 4- Вж2 4- Сж 4- В) = О.
Для того, чтобы Р равнялось 0 при всякомъ ж, необходимо, чтобы, мно-
житель Аж3 4- Вж2 4- Сж 4~ В равнялся нулю при всякомъ ж, кромѣ, можетъ
быть, ж-са равнаго нулю, ибо при ж = 0, для того чтобы Р равнялось О —
нѣтъ необходимости, чтобы второй множитель равнялся нулю, потому-что пер-
вый (ж) уже = 0. Но такъ какъ Аж3 4~Вж24-Сж4~О равенъ 0 для числа зна-
ченій ж, превышающаго степень этого полинома, заключаемъ, на основаніи §
71, II, что полиномъ этотъ равенъ нулю и при всякомъ ж, сл. и при ж = 0.
Но положивъ въ немъ ж = 0, обратимъ его въ В, а равенство Аж34~Вж24~
4-Сж4-В = 0 въ
В = 0 . . . . (III).
Откинувъ въ полиномѣ Р члены Вж и Е, какъ равные 0, а въ остальныхъ
вынеся за скобки ж2, получимъ произведеніе
Р = ж°4Аж24-Вж4-С),
которое должно быть равно 0 при всякомъ ж. Отсюда, подобно предыдущему,
докажемъ, что
С = О .... (IV)
и т. д. Такимъ образомъ всѣ коэффиціенты полинома Р должны быть равны 0.
Доказали, что это условіе необходимо. Но оно и достаточно, потому-что если
всѣ коэффиціенты равны, 0, то и полиномъ Р равенъ нулю.
73.	Теорема VI. Если два цѣлые относительно х полинома
остаются равными при всякомъ значеніи х, то они тождественны.
Пусть полиномы
Аж3 4~ Вж4 4- Сж3 4- Вж2 4~ Еж 4~ Р
и йж3 4~	-\-дх 4-е
имѣютъ одинаковую численную величину при всякомъ ж; тогда ихъ разность
будетъ тождественно равна нулю. Но эта разность есть
- 94 —
Аж5 4- Вж4 + (С — а}х* + (0 - Ь>2 + (Е - ф Ц- (Е - е);
слѣд., по теоремѣ V, имѣемъ;
А = 0; В = 0; С = а; Т> — Ъ\ Е = с?; Е — е.
Изъ того, что А = 0 и В = 0, заключаемъ, что члены Аж8 и Вж4 исчезаютъ,
такъ-что число членовъ въ обоихъ полиномахъ одинаково; а какъ С = а, И = 5,
Е = й и Е = е, то коэффиціѳнты при одинаковыхъ степеняхъ х равны. Оба
полинома ничѣмъ не отличаются одинъ отъ другаго, или что тоже, тождественны.
Примѣчаніе. Теоремы V и VI служатъ основаніемъ способа неопредѣ-
ленныхъ коэффиціентовъ, имѣющаго многочисленнѣйшія и разнообразнѣйшія
приложенія въ алгебрѣ. Изобрѣтеніе этого способа приписываютъ знаменитому
Французскому математику и философу Декарту (Сагіезіпв).
Различныя приложенія предыдущихъ теоремъ.
74.	Приложеніе /.—Выведемъ условія дѣлимости суммы или разности оди-
наковыхъ степеней двухъ количествъ на сумму или разность основаній.
1. Пусть требуется раздѣлить хп— ап на х — а. Подставивъ въ дѣлимое
букву а вмѣсто «, найдемъ окончательный остатокъ; онъ будетъ =«“ — ат или
О, откуда заключаемъ, что дѣленіе совершается безъ остатка.
Для нахожденія частнаго представляемъ дѣлимое въ видѣ полнаго много-
члена яг-ой степени;
жт4-0.ят-14-0.жт“іі4_’...........4~0.ж	— ап.
По правилу § 64, высшій членъ частнаго равенъ хт~'. Второй членъ част-
наго содержитъ ж™-2; а коэффиціентъ его найдемъ, помноживъ коэффиціентъ
перваго члена частнаго на а, что дастъ а, и придавъ сюда второй коэф. дѣли-
маго т. е. 0; итакъ, второй членъ частнаго ~ахт-і. Продолжая такимъ обра-
зомъ, найдемъ
— аП ~ д.м-1	оа;«-2	...........дВ_1 . . , . (1).
2, Раздѣлить ж” 4“ на х — а. Подставляя въ дѣлимое вмѣсто х букву
а, найдемъ окончательный остатокъ ат-\-ап = 2а№. Отсюда заключаемъ, что
дѣленіе не совершается безъ остатка. Составляя частное по предыдущему, по-
лучимъ
Х..~^~а = ж”'~14~ ахт~2 4~ а2хт~3 4~ • • • • 4-а’“”,4_ ~— .... (2).
х — а	1	1	1	' х — а ѵ '
3. Раздѣлить жв —а” на х-]-а. Подставивъ въ дѣлимое вмѣсто х коли-
чество (—а), найдемъ окончат. остатокъ. Онъ будетъ: а) при т четномъ ра-
венъ ( — а)“ — ап=аЛ— аи = 0. Частное же будетъ въ этомъ случаѣ
хП — а\ —	_ ажт-2 I а2хт-3 __........ ат-іх _ а«-1.......(3),
®4'°
— 95 —
Р) при т нечетномъ остатокъ = (— а)" — ат = — ат — ат = — 2ат; частное-же
Хт ат ---- ._____1 „ ои-3________	I „т-1___ 2аП , . .	/'Д'|
«4~а	1	1	х-}-а	4 7
4. Раздѣлить х* а™ на х -|- а. Подставляя въ дѣлимое вмѣсто х букву (—а),
найдемъ оконч. остатокъ. Онъ будетъ: а) при т четномъ: (—а)га 4* а" = а" 4“
4-а“ = 2аад, такъ-что
—І—=жт-* — ахт~2 -I- а2#®-3—...........-4- ат~2х — ат-1 4 .—-• • • (5).
х-{-а	1	1	1 х-[~а ѵ '
Р) при т нечетномъ: (-—4* =— а“-|-а“ = 0; слѣд. дѣленіе соверша-
ется безъ остатка и частное
—— — х1»-'—ажя,-24-а2х”~3—........................-і-ат~1 . . . .(6).
Отсюда заключаемъ, что 1) «" — а" всегда дѣлится на х— а\ 2) хт— ат дѣ-
лится на х а, если т — четное; 3) х* 4- а” никогда не дѣлится на х — а,
но дѣлится на х а при т — нечетномъ. Такимъ образомъ нашли тѣже вы-
воды, какіе получили раньше непосредственнымъ дѣленіемъ. Новый пріемъ
далъ тѣже результаты быстрѣе.
75.	Приложеніе II. — Мы видѣли, что хп — ат всегда дѣлится на х — а\
но при т четномъ дѣлится еще на х-\-а. Слѣдовательно, когда т—четное,
хп—ат, дѣлясь на биномы х-\-а и х — а, дѣлится, по теоремѣ IV, и на ихъ
произведеніе (х — а)(х 4-«), т. е. на «2 —а2. И такъ: разность одинаковыхъ
четныхъ степеней двухъ количествъ дѣлится безъ остатка на разность квадра-
товъ тѣхъ же количествъ. Частное будетъ
—а__~ = хт~аа^х”1'1 а*хт~6 ........................-^-а^х2-^	ат~2.
76.	Приложеніе III.— 1. При какомъ численномъ значеніи К полиномъ
х3 — Зж2 5х к
дѣлится безъ остатка на х— 3?
Чтобы полиномъ дѣлился на х — 3, нужно, чтобы результатъ подстановки
въ него 3 вмѣсто х обращался въ нуль, т. е. чтобы
З3 — 3.324- 5.3 4-К = 0, или 154-К = 0.
Послѣднее равенство возможно только при К=—15.
2.	При какомъ значеніи Е полиномъ
х3 — 3«24-5ж4-Е
дѣлится на «4~3?
Нужно, чтобы результатъ подстановки въ этотъ полиномъ числа (— 3) вмѣ-
сто х былъ равенъ нулю, т. е. чтобы
(—ЗУ —3.(—3)24-5.(—3)4-Е = 0, или — 69 4-К = О;
а это возможно только при Е = 69.
3.	При какомъ значеніи Е полиномъ
х3 — Зж2 4- 5« 4- Е
раздѣлится на 3«— 2?
- 96 —
На осн. § 66, Примѣч. II, заключаемъ, что необходимо, чтобы результатъ
2
подстановки въ данный полиномъ числа -г- вмѣсто х былъ нулемъ, т. е. чтобы
О
- (4)‘-3(4),+б"І+І{=0-ия ё+к=°-
т, 62
а это возможно только при К =— — •
I
77.	Приложеніе IV.—Теорема IV, § 68 можетъ быть примѣнена въ раз-
ложенію многочленовъ на множители. Методъ разложенія, на ней основанный,
называется методомъ двучленныхъ дѣлителей, и состоитъ въ слѣдующемъ. Рас-
положивъ многочленъ по степенямъ какой либо буквы, х напримѣръ, стараются
открыть двучленныхъ дѣлителей х — а, х — Ъ,............ х — /^составляютъ
изъ нихъ произведеніе (х — а)(х — Ъ).......(ж— А); дѣлятъ на него дан-
ный полиномъ Р, и если въ частномъ получается выраженіе 0,, то
Р — (х — а)(х — Ъ) . . . . (х — К). О,.
Разложеніе такимъ образомъ будетъ совершено.
Впрочемъ, слѣдуетъ замѣтить, что этотъ методъ не такъ удобенъ въ прак-
тическомъ отношеніи, какъ выше указанные методы разложенія; потому-что въ
случаѣ большаго числа возможныхъ дѣлителей, придется дѣлать слишкомъ мно-
го вычисленій, чтобы выбрать тѣхъ изъ нихъ, которые дѣйствительно служатъ
дѣлителями даннаго полинома. Кромѣ того, этотъ методъ и не такъ изященъ
какъ тѣ, съ которыми мы уже ознакомились. Поэтому онъ употребляется лишь
въ рѣдкихъ, исключительныхъ случаяхъ; практическое значеніе его — руково-
дить въ томъ, какихъ множителей слѣдуетъ искать въ данномъ полиномѣ. Вотъ
примѣръ: разложить
Р = а262с2(а — Ъ)(а — с")(Ъ — с) — а262й2(а — 6)(а —	— й)
4-	а2с2й2(а — с)(а — й)(с — й) — 62с2й2(6 — с)(6 — й)(с— й).
Легко убѣдиться, что полиномъ Р обращается въ ноль при а = Ъу а = с,
а~д, Ъ = с и т. д.; потому онъ дѣлится на а — Ъ, а — с, а — й, Ъ — с, и
т. д. Попытаемся выдѣлить этихъ множителей. Вынося изъ первыхъ двухъ чле-
новъ а262(а— Ъ), а изъ двухъ другихъ с2й2(с— й), получимъ:
Р = аѢ\а — 6) { с2(а — с)(Ъ — с) — й\а —	— й)}
с2й2(с— й){а2(а — с)(а — й) — 62(6 — с)(6 — й)}.
Располагая первый членъ въ первыхъ Фигурныхъ скобкахъ по убывающимъ
степенямъ с, а второй по уб. степ. буквы й; затѣмъ, первый членъ во вто-
рыхъ Фигурныхъ скобкахъ — по убывающимъ степенямъ буквы а, а второй —
буквы Ъ, имѣемъ:
Р = а262(а — 6){с4 — с3(«4' &) 4" с2а& — & 4" ^’(®4"^) — ^2а^}
4~- с2й2(с — й){а4 — а3(с4~ + ®2с^ — + 6’(с +
или
Р = аѢ\а — 6){с4 — й4 — (с3 — й3)(а 4- Ь) 4- (с2 —	}
4-	сЧ\с — (?) {а4 — 64 — (а9 — Ь’)(с 4- (?) 4~ (а2 — &2)с(?}
- 97 -
Теперь видно, что въ первыхъ Фигурныхъ скобкахъ имѣется множитель
с — й, а во вторыхъ а — Ъ\ вынося ихъ, имѣемъ:
Р = аѢ^а -Ъ\с - И) {(с2	й2)(с + й) — (с2 4- ей 4~ й2)(а 4- б)4-аб(с + й)}
4~с2й2(с — й)(а — б){(а24~б2)(а4~&) — (а?-}-аЪ 4~б2)(с4- й)-|-сй(а-]-&)}
Вынося теперь за скобки (а — Ъ)(с — сГ), и означивъ третій множитель бук-
вою Р', положимъ
Р = (а — б)(с — й).Р';
гдѣ
Р' = а*Ъ*{ (с2 + й2)(с + й) — (с2 + сй + й2)(а + 6) + аЬ(с + й)}
+ с2й2{(а2 + б2)(а 4- б) - (а2 + аЪ + б2)(с 4~ й) 4~ сй(а + Ъ)}
= а2Ь2{ (с2	й2)(с — а) й(с2 й2) — б(с2 й2) — сй(а Ъ) 4~аЪ(с -|- й)}
4~с2й2{(а24~б2)(а — с) —Ь(а2 4~б2) — й(а24~б2) — аб(с4~й) -|- сй(а-|- &)}
= а2б2{(а — с](Ъс 4-Ъй — с2 - й2 — сй) 4- й2(й — Ъ)}
4- с'й2{ (а — с)(а2 4- аЪ 4~ б2 — ай — Ъсі) —	—	Ъ)}
= (а — с){а2б2(бс4- ^й — с2 — й2 — с&) 4“ с2й2(а2 4~ аб 4~ б2—
4-^й2(й —&)(а2-с2).
Вынося а — с, положимъ
Р' = (а- с)Р",
гдѣ
Р" = а2б2 { с(Ъ — с) 4- й(г> — с)} — а2б2й2 4- с2й2а2 4~ с2й2 { а(б — й) 4~ Ъ(Ъ — й)}
4-г>2й2(й-г>)(а4-с)
= а *Ь\Ъ — с)(с 4- й) — а2й2(б2 — с2)4-с2й2(г> — й)(а 4- Ь)-\-ЪЧ\а — б)(а 4~ С)
= а\Ь — с) { Ъ\с 4- й) — Л\Ъ 4- с)} 4- й2(б — й) { с\а 4- Ъ} - Ъ\а 4- с)}
= а\Ъ — с) { с(г>2 — й2) 4- 6й(Ь — й) }4- й2(г> — й) { а(с2 — 62) 4- Ъс[с — Ъ')}.
Здѣсь мы можемъ вынести за скобки (Ъ— с)(Ь — Л')\ полагаемъ
Р"=(6-с)(& —Й)Р'",
гдѣ
Р"' = а2{с(Ь 4- й) 4- ъа} — й2{а(Ь 4- с) 4- Ьс}
= &с(а2 — й2)4~йсй(а — й) 4- аЪа{а — а)—(а — а)(аЪс 4~аЪа 4~ аса 4- бей).
Итакъ, окончательно
Р = (а — Ъ)(а — с}(а — а)(Ъ — с)(Ь — а)(с — а){аЬс 4~ аЪа 4- аса 4- бей).
78. Приложеніе К. — При какихъ значеніяхъ буквъ а и б полиномъ ж3
4~ 8ж2 4- Ьх — а дѣлится безъ остатка па ж2 Зж — б?
Вопросъ можно рѣшить двоякимъ путемъ.
1-й методъ. Онъ состоитъ въ томъ, что совершаютъ на самомъ дѣлѣ дѣ-
леніе, доводя его до остатка, степень котораго была бы ниже степени дѣлителя;
затѣмъ выражаютъ, что остатокъ долженъ быть тождественно равенъ нулю.
7
— 98 —
Выполняемъ дѣленіе:
хл -{- 8ж2 -{- 5ж — а і ж2 Зж — Ъ
— Ж3 = Зж2±:&Ж	। х -(- 5
5ж2	5  х — а
+ &;
— 5ж2^й15ж±56
Ь х — а
— 10 Н-5&
Чтобы дѣленіе совершалось безъ остатка, остатокъ долженъ быть тожде-
ственно равенъ нулю; а для этого, по теоремѣ V, § 72, необходимо и доста-
точно, чтобы
Ъ — 10 = 0..(1) и 56 —а = 0. . . .(2).
Равенство (1) возможно только при 6 = 10.
Подставляя 10 вмѣсто Ъ въ равенство (2), имѣемъ
50 — а— 0,
что возможно только при а = 50.
Итакъ, искомыя значенія п и 6 суть: а = 50, 6 = 10.
Не трудно провѣрить, что ж3 -{- 8ж2 5х — 50 дѣлится безъ остатка
на ж2-]- Зх — 10.
2-й методъ (неопредѣленныхъ коэффиціентовъ):—Выражаютъ, что дѣлимое
равно произведенію дѣлителя на цѣлый полиномъ, котораго степень равна раз-
ности степеней дѣлимаго и дѣлителя, ибо такова должна быть степень частнаго.
Такимъ образомъ пишемъ:
хя8ж2-]-5ж — а= (ж2-]- Зх — 6)(рж-]-д),
такъ какъ общій видъ цѣлаго полинома первой степени есть рх
Располагая вторую часть по степенямъ ж, имѣемъ тождество
ж3—8ж2-|- 5ж — а—р.хя -]- Зр | ж2 — Ър | ж — 6д.
+ О.\ -)-Зд|
Отсюда, по теор. VI, § 73, приравнивая между собою коэффиціенты при
одинаковыхъ степеняхъ буквы ж, имѣемъ четыре условія для опредѣленія а, 6,
р и д; а именно:
^ = 1; Зр + д = 8;	—6,^-}--Зд = 5;	Ъ^~а.
Подставляя во второе равенство 1 вмѣсто р, находимъ; 3 -]-д = 8, откуда д = 5.
Подставивъ въ третье равенство вмѣсто р и д ихъ величины, имѣемъ: —Ъ
Ц-15 = 5, что возможно только при 6 = 10. Наконецъ, вставляя въ четвертое
равенство вмѣсто Ъ и д ихъ величины, находимъ: а =50.
Итакъ: а = 50; 6 = 10; р — 1 и д=5.
Стало быть дѣленіе безъ остатка возможно только при а = 50 и 6 = 10;
а частное (рж-|-д) есть ж-]-5.
79. Приложеніе VI. — Въ какомъ случаѣ ж® — ат дѣлится на хр— ар?
Выполняемъ дѣйствіе, чтобы найти законъ образованія послѣдовательныхъ
остатковъ:
— 99 —
хп — ат хр — ар
— хт ± архт р ^хт~ѵ -Д- архт~ір ѣірхт~*р
ар хт~р — ат
— архт~р ± аірхт~ір
аірхт~ір — ат
— аірхт~‘ір ± а3рхт~зр
азрхт~3р — ат
Итакъ, если 1ъ означаетъ нѣкоторое цѣлое число, одинъ изъ остатковъ будетъ
имѣть видъ
аіірх™-'# — ат.
Поэтому, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая цѣлая величина
/г, при которой этотъ остатокъ тождественно равнялся-бъг нулю.
Онъ имѣетъ видъ многочлена, расположеннаго по убывающимъ степенямъ
буквы ж, и условія тождественности остатка нулю будутъ различны въ зависи-
мости отъ того, будетъ-ли т — Іір равно 0, или отлично отъ нуля.
Если т — Іір отлично отъ нуля, то коэффиціенты при степеняхъ х должны
быть равны нулю, т. е.
аЛР==0 и =
это возможно только при а = 0. Но такой выводъ не соотвѣтствуетъ задачѣ.
Если т — 7»р = 0, то жя-/'р = 1; и остатокъ обратится въ ноль, когда
а,ч> — ат^
т. е. когда т — 1і.р.
Итакъ, необходимо и достаточно, чтобы т было кратнымъ числа р.
Въ такомъ случаѣ:
__ат
----- _ х™-р і архп-ъ> і.........................................................._ . 4- пт-"-ѵхр -I- ат
хр— ар	1	1	1	1	1
80.	Задачи.
1.	Доказать что полиномъ
Зж3 + 2ж4 — бж3 + 4ж2 — Юж + 339
дѣлится на ж-{-3, п написать частное по правилу § 64.
2.	Тотъ же вопросъ для
(ж3 — З&ж4 -}-	— 813ж2 -|- бЬ4ж — 4Ь3):(ж — 2Ъ).
3.	Тотъ же вопросъ для
(9ж3 -|- бж4 — 12ж3-|- 12ж2 -|- 15ж — 6):(3ж — 1).
Написать, не совершая дѣленія, частное и остатокъ въ каждомъ изъ слѣдующихъ
примѣровъ дѣленія:
4.	Зж4 — 2ж3-|-бж—1 на биномы
ж—1, жД-2, 2ж —1, Зж-|-2.
5.	(8ж3 — 7ж3-|- 4ж2-|- 36ж—1}:(ж-|-3)
6.	(Зж4 — 7ж3— 5ж24~4ж — 1):(ж— 2).
7*
— 100 —
7.	(7ж44-8ж3-{-4):(ж— 3).
8.	(10ж64-4ж3-|~ ох—1):(ж-|~2).
9.	(ж3 — 2аж2-|-4а2ж— а3):іх— а).
10.	(ж5 — аж4 За3ж2 а5):(ж 2а).
11.	(ж3—10а2ж6-|-5а6ж2-[-а8):(ж5а).
12.	х5 — Зсхі 4~ 5с2ж3 — 8с3ж2 6с4ж — 4с8 на биномы
х— 2с и х—2а.
13.	Доказать, что полиномъ
х*у — хут — хтя 4~ жг™ + у*г — увт
дѣлится на (х — у)(х— я).
Найти всѣхъ цѣлыхъ двучленныхъ дѣлителей, если такіе существуютъ, для по-
линомовъ:
14.	а3—7а-(-6.	15- хі-\-х(у — я)—уя.
16.	ж4	Зж2г/2— 4«/4.	17. ж3 — 4ж2— 31ж-(-70.
18.	ж6—5ж3г/3-}-7ж2г/4 — 3«/6.
19.	а3 — а2(Ь — с Л) а(Ьй — Ъс — ссГ) Ъсй.
20.	ж3 — 2(а 4~ Ь)ж2 + ж[(° Н- &)2 Н- аЬ] — а6(а 4~ Ь).
21.	ж3 — ж2(3а — с) ж|3а2 — Ь2 — 2ас Ье} — а(а2 — Ь2) — аЪс -|- а2с.
22.	ж3 — ж2(2й -\-Ъ — с) 4~ ж(2йЬ — Ъс — 2сй) -ф- 2ЪссІ.
23.	Опредѣлить т подъ условіемъ, чтобы полиномъ а3-(-Ь3-|-с3— таЪс дѣлил-
ся на а-(-Ь-(-с.
24.	Доказать, что (а-^-Ь-^-с)3— а3 — Ъ3— с3, и вообще что (а-ф-Ь-^-с)11—
— ак — Ък — ск, при нечетномъ к, дѣлится на (а Ъ)(Ъ с)(с а).
25.	Дѣлится-ли полиномъ
ж4— 11ж34~41ж2— 61ж4-ЗО.
на (ж — 1)(ж — 2)(ж — 3).
26.	Опредѣлить к подъ условіемъ, чтобы 4ж3—6ж-(-А дѣлилось на ж-(-3.
27.	Опредѣлить к подъ условіемъ, чтобы полиномъ
ж4 — 5ж2-(-4ж — к дѣлился на 2ж—1.
28.	Опредѣлить р и с[ такъ, чтобы триномъ ж4 -(-_рж2 -ф- с[ дѣлился на ж2 2ж 5.
29.	Опредѣлить р, д и г подъ условіемъ, чтобы полиномъ ж4 -ф- Зж3 4~_рж2 -|-
дх -ф- г дѣлился на (ж2 — 1)(ж -ф- 2).
30.	Доказать, что полиномъ
хтупяѵ -ф- У‘.епжр	«тж V — х^упяп — у*я*хт — яѵхнут
дѣлится на (ж—у)(у— я)(г— ж).
31.	Найти такія значенія для р и у, при которыхъ полиномъ ж4 — Зж3-}-.рж-|-</
дѣлится безъ остатка на ж2 — 2ж-(-4.
Рѣшить задачу двумя способами: 1) примѣняя непосредственное дѣленіе; 2) спо-
собомъ неопредѣленныхъ коэффиціентовъ.
32.	Тѣмп же пріемами опредѣлить, при какихъ значеніяхъ а и Ъ полиномъ ж3-ф-
-) аж24-Ьж — 3 дѣлится безъ остатка на ж2 — ж-]-1.
— 101 —
33.	При какомъ а возможно дѣленіе (о;1-}- 1):(жа + аа:+ 1)?
34.	При какихъ р и ц возможно дѣленіе (ж44- 1):(ж2+іР«4-2)?
35.	Указать условія, при которыхъ возможно дѣленіе на-цѣло въ выраженіяхъ:
хп 4~ ат.	хт -|- ат _	хт — ат.
ж2 Д- а2 ’	х3 а3 ’	х3 — а3
36.	Найти условія, необходимыя и достаточныя для того, чтобы триномъ Аж44-
2Вж2г/2 Д- С«/4 былъ полнымъ квадратомъ.
37.	Найти условія, необходимыя и достаточныя для того, чтобы частное
аж2 4~ Ъх -|- с
а'х2 Ъ'х -|- с'
имѣло величину, независящую отъ х.
38.	Опредѣлить р и # такъ, чтобы полипомъ
хі -|- Зж3 — 5ж2 -^-рх 4~ д
дѣлился ва (х — 1)(ж 4~ 2).
39.	Опредѣлить р п у такъ, чтобы полиномъ ж4-|-За;24-ІР^+^-лѣлился на
ж2 — х — 1
40.	Въ какомъ случаѣ хт-\-ат дѣлится безъ остатка на хѵ-'гар?
41.	Какое соотношеніе должно существовать между т и р (гдѣ т и р—числа
четныя), для того чтобы полиномъ
хт—жт-14- хт~г—хт~3 4-................4"	і
дѣлился безъ остатка на полиномъ
д;Р_Л;1’-14.Л;Р-2_а;?-3 4..........1е
42.	При какомъ условіи полиномъ
хт-[-хт~1-\-.............................4~а:4~1
дѣлится безъ остатка на полиномъ
........4~ж + 1?
43.	Опредѣлить значенія т и п, при которыхъ триномъ ж3 4- тх 4- п дѣлится
безъ остатка на (х — а)(х—Ъ).
44.	Опредѣлить, какія соотношенія должны существовать между коэффиціентами
полинома.
Аж* 4- Вж3 4- Сж2 4- І)ж 4- Е,
для того чтобы овъ дѣлился безъ остатка на ж2 — а2.
45. Доказать, что
иж"4-1 — (и 4* 1)жп 4-1
дѣлится на (ж — I)2, и найти частное.
Приложеніе: п = 5.
46. (ж4-1)‘ — ж4=65, и ж есть число цѣлое. Найти ж?
47. Произведеніе четырехъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, уменьшенное ихъ
суммою, даетъ 818. Найти эти числа.
48.	Произведеніе трехъ послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, увеличенное суммою
ихъ квадратовъ, даетъ 320. Найти эти числа.
— 102 —
ГЛАВА -VIII.
Общій наибольшій дѣлитель и наименьшее кратное алгебрическихъ выраженій.
81.	Дѣлителемъ цѣлаго алгебраическаго выраженія называется такое другое
цѣлое выраженіе, на которое первое дѣлится на-цѣло. Такъ, 4ж2у есть дѣлитель
выраженія 48ж3«А; ж— 1 есть дѣлитель тринома ж2 — 2ж-|—1; ж4 — а4 имѣетъ
дѣлителями ж — а, ж-]-а, ж2 — а2 и ж2-|-а2.
Общимъ дѣлителемъ двухъ или нѣсколькихъ цѣлыхъ выраженій назы-
вается такое цѣлое выраженіе, которое дѣлитъ данныя на-цѣло или безъ остатка.
Такъ, выраженія (а— &)2 и а2 — Ъ* имѣютъ общимъ дѣлителемъ а — Ъ. Взявъ
выраженія а3 -]- а2& — аб2 — 63,а3 — Заб2 -]- 263 и а3 — 2а26 — аб2 -|- 263, и раз-
ложивъ ихъ на множители, находимъ:	—
а3 _|_ аіЪ _ аЪг —	— Ъу(а _ &).
а3 — ЗаЬ2 + 2Ь3 = (а — Ъ)\а -}- 26);
а3 — 2аЧ — аЬ9- + 263= (а-|- Ъ)(а — Ь)(а —26);
откуда видно, что данные многочлены имѣютъ общимъ дѣлителемъ биномъ а — Ъ.
Цѣлыя выраженія, не имѣющія никакихъ общихъ дѣлителей, называются
первыми между собою или взаимно простыми. Такъ, а-\-Ъ и а— Ъ —выра-
женія взаимно простыя.
Общимъ наибольшимъ дѣлителемъ цѣлыхъ алгебраическихъ выраженій
называется произведеніе всѣхъ простыхъ дѣлителей, общихъ даннымъ выраже-
ніямъ. Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ, общій наибольшій дѣлитель есть а — 6,
потому-что иныхъ общихъ дѣлителей данныя выраженія и не имѣютъ. Взявъ
выраженія ж4 — аі и ж3 -|- 2аж2 — а2ж — 2а3 и разложивъ ихъ на множители,
находимъ:
хі — а4 = (ж -]-а)(ж — а)(ж2-]- а2);
ж3 -]- 2аж2 —а2ж— 2а3= (ж-|- а)(ж — а)(ж~|- 2а);
замѣчаемъ, что простые дѣлители, общіе этимъ выраженіямъ, суть: хД -а и
ж — а; ихъ произведеніе ж2 — а2 и есть общій наибольшій дѣлитель двухъ дан-
ныхъ выраженій.
Очевидно, что если данныя выраженія раздѣлимъ на ихъ общаго наиболь-
шаго дѣлителя, то черезъ это изъ нихъ исключатся общіе ихъ дѣлители,
а потому частныя не будутъ имѣть уже никакихъ общихъ дѣлителей, т. е.
будутъ первыя между собою. Отсюда вытекаетъ другое опредѣленіе общаго наи-
большаго дѣлителя: это есть такой обгцій дѣлитель, по раздѣленіи на ко-
торый данныхъ выраженій, получаются частныя первыя между собою.
Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ, раздѣливъ выраженія ж4 — а4 и ж3-|- 2аж2
— а2ж — 2а3 на общаго дѣлителя ж2 — а2, получаемъ частныя ж2 а2 и ж -|- 2а
— первыя между собою. Заключаемъ, что по опредѣленію, ж2 — а2 и будетъ
общій наиб. дѣлитель данныхъ выраженій.
Примѣчаніе I. — Между алгебраическимъ общимъ наиб. дѣлителемъ и общимъ
наиб. дѣлителемъ чиселъ (въ ариѳметикѣ) есть существенное различіе. Общій
наиб. дѣлитель чиселъ есть такой ихъ общій дѣлитель, который по величинѣ
больше всѣхъ другихъ общихъ дѣлителей. Отсюда и названіе его — наибольшій.
— 103 —
Но алгебраическія выраженія различаются вообще не своею величиною, ибо бук-
вамъ, въ нихъ входящимъ, вообще не приписываютъ частныхъ числовыхъ зна-
ченій; общій наиб. дѣлитель алгебраическихъ выраженій, какъ содержащій
произведеніе всѣхъ общихъ дѣлителей, очевидно, будетъ по степени выше дру-
гихъ общихъ дѣлителей; поэтому, лучше было бы дать ему наименованіе высшаго
общаго дѣлителя. Однакоже, за нпмъ удержано названіе общаго наибольшаго
дѣлителя.
Примѣчаніе II.—Для краткости слова: общій дѣлитель будетъ означать
начальными буквами о. д.; также слова: общій наибольшій дѣлитель--бук-
вами о. н. д.
Переходимъ къ изложенію способовъ опредѣленія общаго наиб. дѣлителя
алгебраическихъ выраженій.
82.	Способъ разложенія на множителей. — Пусть требуетстя найти о. н. д.
одночленовъ
6эа5&2с, ЗОа’й3 и 45аЧ>,1<2,
т. е. такихъ выраженій, которыя прямо даны въ Формѣ произведеній.
Согласно съ первымъ опредѣленіемъ, нужно составить произведеніе всѣхъ
общихъ простыхъ дѣлителей — численныхъ и буквенныхъ. Произведеніе общихъ
простыхъ числовыхъ дѣлителей есть о. н. д. коэффиціентовъ, и = 5. Что ка-
сается буквенныхъ производителей, то нужно взять только общія буквы съ на-
именьшими показателями; общія буквы суть а и Ъ\ наименьшій показатель
буквы а есть 4, буквы Ъ — 2, сл. о. н. д. = 5а462.
Выраженіе, такимъ образомъ составленное, удовлетворяетъ и второму опре-
дѣленію общаго наиб. дѣлителя; въ самомъ дѣлѣ, раздѣливъ на него данные
одночлены, получаемъ частныя: ІЗас, ЪаяЬ и 9й9й —первыя между собою.
Отсюда Правило. Для составленія о. н. д. одночленовъ нужно къ общему
наиб. дѣлителю коэффиціентовъ приписать всѣ общіе буквенные множители
съ наименьшими показателями.
Что касается многочленовъ, то когда они легко разлагаются на множителей,
то и употребляютъ способъ разложенія на производителей, или, что тоже,
превращаютъ многочлены въ одночлены и прилагаютъ къ нимъ предыдущее
правило. Вотъ примѣры.
I.	Найти о. н. д. многочленовъ
9а2®2—36 и 12а2®2 48а® -]- 48.
Разлагая на множители, найдемъ:
9а2®2 — 36 = З2.(а® 2)(аж — 2);
12а2®2 4- 48а® -|- 48 = 4.3(а® -|- 2)2.
Взявъ произведеніе общихъ простыхъ множителей, найдемъ
о. н. д. = 3(а®-|- 2).
II.	Найти о. н. д. многочленовъ
®!у2 —3®3#3-|-2®Ѵ' и — 4®Ѵ.
— 101 -
Разлагая на множители, находимъ:
х*у* — Зх3у3 -]- 2х*у* = х*у\х — 2у)(х — у),
х'у* — іх^у1 = х*у\х 4- ЭД(ж — 2у\,
слѣд. о. н. д. = х*у\х— 2у).
III.	Найти об. н. д. полиномовъ
гс3 —1 и х3 -|- тх* -|- тх -|-1.
Разложивъ на множители, получимъ	\
х3 4-1 = (х 4- 1)(«2 — х 4-1),
х3 4- тх* 4- тх 4~ 1 = (« 4" 1)(ж2 — х 4" тх 4~ 1) >
слѣд. о. н. д. = «4-1.
IV.	Найти о. н. д. полиномовъ
3«2г/ — Зж3 4" ^--У — и
15&2# — 30«г/г 4- 154г/ —15«3 4- ЗОж‘4 — 15x4.
По разложеніи на множителей, найдемъ, что
1-й полиномъ = 3(«2-|-^)(«/— «),
2-й полиномъ = 3.5(«/— х){х— я)2.
Отсюда: о. н. д. = 3(«/—«).
83.	Способъ послѣдовательнаго дѣленія. — Такъ какъ многочлены только
въ рѣдкихъ случаяхъ легко поддаются разложенію на простыхъ множителей,
то и предыдущій способъ прилагается съ успѣхомъ только въ исключительныхъ
случаяхъ. Вообще же, для опредѣленія о. н. д. полиномовъ пользуются общимъ
способомъ, который носитъ названіе способа послѣдовательнаго дѣленія. На-
хожденіе о. н. д. этимъ способомъ основывается на слѣдующихъ теоремахъ.
84.	Теорема I. — О. н. д. двухъ выраженій не измѣнится, если
одно изъ нихъ помножимъ или раздѣлимъ на количество, первое съ
другимъ.
Въ самомъ дѣлѣ, о. н. д. есть произведеніе множителей, общихъ тому и
другому выраженію, а потому если введемъ (умноженіемъ), или уничтожимъ
(дѣленіемъ) въ одномъ изъ нихъ множителя, не входящаго въ составъ другаго
выраженія, то отъ этого прибавится къ первому или уничтожится въ немъ
множитель, котораго нѣтъ во второмъ, а слѣд. общіе множители останутся тѣ-же;
значитъ не вмѣнится п о. н. д.
Эта теорема облегчаетъ вычисленія, позволяя избѣгать, дробныхъ коэффи-
ціентовъ въ частныхъ.
85.	Теорема II. О. н. д. у дѣлимаго и дѣлителя служитъ общимъ
дѣлителемъ у дѣлителя и остатка.
Пусть данные многочлены суть М п П; обозначивъ частное отъ раздѣле-
нія М на Я буквою а остатокъ В., и замѣтивъ, что дѣлимое = произведенію
дѣлителя на частное, сложенному съ остаткомъ, имѣемъ
М=Пха4-В............(!)
- 105 -
Обозначивъ общаго дѣлителя многочленовъ М и X буквою Д, раздѣлимъ
на Д обѣ части полученнаго равенства; найдемъ:
Но, по условію, Д есть общій дѣлитель многочленовъ М и И, слѣд. частныя
м к
-д и — суть выраженія цѣлыя; обозначивъ ихъ соотвѣтственно черезъ М' и П',
представимъ послѣднее равенство въ видѣ
ІЫхНг откуда *=м'-я'хц.
Это равенство показываетъ, что есть выраженіе цѣлое, ибо равно цѣ-
лому выраженію М' —К'х 0,, значитъ В дѣлится на-цѣло на Д.
Итакъ, мы доказали, что всякій дѣлитель, общій дѣлимому и дѣлителю,
служитъ общимъ дѣлителемъ у дѣлителя и остатка; а слѣд. и общій наиб. дѣ-
литель дѣлимаго и дѣлителя служитъ также общимъ дѣлителемъ у дѣлителя и
остатка.
86.	Теорема Ш, обратная. О. н. д. у дѣлителя и остатка слу-
житъ также общимъ дѣлителемъ у дѣлимаго и дѣлителя. —
Пусть Д| будетъ общимъ дѣлителемъ выраженій П и В. Раздѣливъ обѣ
части равенства (1) на Д15 получимъ
м _ х п | к
А,-др
X	.	В ,
но, по условію, -т- есть цѣлое выраженіе, равно какъ и —; обозначивъ ихъ
буквами № и В', получимъ
м
^=К'Хц+В'.
Это равенство показываетъ, что — равно суммѣ двухъ цѣлыхъ выраже-
ній; значитъ Д( есть дѣлитель многочлена М.
Итакъ, мы доказали, что всякій дѣлитель, общій дѣлителю и остатку, слу-
житъ также общимъ дѣлителемъ у дѣлимаго и дѣлителя; а слѣд. и общій наиб.
дѣлитель дѣлителя и остатка служитъ общимъ дѣлителемъ у дѣлимаго и дѣлителя.
Изъ этихъ двухъ теоремъ выводится слѣдующая
87.	Теор Ема IV. — О. н. д. дѣлимаго и дѣлителя равенъ о. н.
дѣлителю дѣлителя и остатка.
Обозначимъ о. н. д. многочленовъ М и X (т. е. дѣлимаго и дѣлителя) бук-
вою й; а о. н. д. у X и В (т. е. у дѣлителя и остатка) буквою И'. Въ силу
теоремы II, выраженіе В должно быть общимъ дѣлителемъ многочленовъ И и В,
слѣд. оно должно дѣлить безъ остатка выраженіе Н'—общаго наиб. дѣлителя
многочленовъ И и В. А, по теоремѣ III, выраженіе Б' должно дѣлить на-цѣло
количества М и X, а слѣд. и ихъ общаго наиб. дѣлителя В. Такимъ образомъ
- 106 —
В и В' должны дѣлить другъ друга на-цѣло; но это возможно только тогда, ког-
да они равны. Итакъ
В = В',
и теорема доказана.
88.	На послѣдней теоремѣ и основанъ способъ послѣдовательнаго дѣленія.
Пусть данные многочлены суть М и К. Ихъ1 общій наиб. дѣл. можетъ со-
держать производителей одночленныхъ и многочленныхъ. Начинаютъ съ того,
что отдѣляютъ въ многочленахъ М и К одночленныхъ производителей отъ мно-
гочленныхъ. Одночленный производитель многочлена М есть общій множитель
всѣхъ членовъ этого многочлена; вынося его за скобки, и означая черезъ а,
а многочленъ, заключающійся въ скобкахъ, черезъ А, имѣемъ:
М = а. А.
Такъ же точно, вынося за скобки общаго множителя @ всѣхъ членовъ мно-
гочлена И, и обозначая выраженіе, заключающееся въ скобкахъ, буквою В, по-
лучимъ:
И={3. В.
Производили — одночлены, общіе многочленамъ М и К, заключаются въ а
и 0; а производители — многочлены, общіе многочленамъ М и И, содержатся въ
А и В. Такъ — какъ о. п. д. многочленовъ М и И есть произведеніе всѣхъ ихъ
общихъ простыхъ множителей или дѣлителей, то очевидно, мы его найдемъ,
если общаго наиб. дѣлителя количестъ а и р помножимъ на о. н. д. много-
членовъ А и В. Обозначимъ о. н. д. многочленовъ М и К буквою Д; о. н. д.
одночленовъ а и р — буквою и о. н. д. многочленовъ А и В — буквою В.
На основаніи сказаннаго имѣемъ:
д=а. п.
Пусть, напримѣръ:
М = $аЪ-х° — ^а&х* 45аб2« -]- 24аб2;
Н = 6а4б2со:в — 12а4б2с«5 — Зба’бЪ? -|- 24а4б2сж3-|-78а4г>2сж2 -|- 36а‘г>2аг.
Вынося изъ всѣхъ членовъ перваго многочлена за скобки Заб2, а изъ всѣхъ
членовъ втораго 6а‘б2с«, получимъ:
М = ЗаЬ2(Зж3 — 10ж3 15ж 8),
Н = 6а4Ь2сж(я;5 — 2ж4 — 6ж3-{- 4«2 -|- ІЗж -|- 6).
Общ. н. д. Л одночленовъ Заб2 и 6а462сж есть Заб?. Теперь намъ слѣду-
етъ опредѣлить В, т. е. о. н. д. многочленовъ
А = 3ж3 — 10ж3-|-15« + 8 и
В = ж3 — 2®1 - 6«3 + 4«213« + 6.
Раздѣлимъ А на В. Если бы А раздѣлилось на В безъ остатка, то В и бы-
ло бы о. н. д., потому-что тогда всѣ производители В содержались-бы въ А.
Но если-бы А не раздѣлилось на В безъ остатка, то все-таки рѣшеніе вопроса
подвинется впередъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть дѣленіе А на В даетъ частное О, и
остатокъ^; въ такомъ случаѣ
А = ВхЩ-В. . . .(1)
причемъ степень главной буквы остатка будетъ нище чѣмъ въ дѣлителѣ В. За-
- 107 -
мѣтивъ теперь, что, по теоремѣ IV, о. н. д. многочленовъ А и В равенъ о. н.
д. многочленовъ В и В, заключаемъ, что вопросъ сводится къ отысканію о. н.
д. между прежнимъ дѣлителемъ и остаткомъ, т. е. между многочленами съ мень-
шими степенями главной буквы, и слѣд. болѣе простыми. Если бы приэтомъ В
раздѣлилось на В, тогда В п было бы искомымъ общимъ наиб. дѣлителемъ. Но
пусть при дѣленіи В на В получается въ частномъ 0,' и въ остаткѣ В'; тогда
В = й'хВ-|-В'. ... (2)
Хотя дѣленіе В на В и не привело къ окончательному нахожденію о. н. д.,
но рѣшеніе задачи опять упростилось. Дѣйствительно, мы знаемъ, что о. н. д.
между В и В равенъ о. н. д. между В и В', такъ-что вопросъ приведенъ къ
нахожденію о. н. д. между многочленамп В и В', болѣе простыми, ибо показа-
тель главной буквы въ В' меньше показателя ея въ В.
Пусть В дѣлится безъ остатка на В' и даетъ въ частномъ О,", такъ что
В = й"хВ'. . . .(3).
Не трудно провѣрить, что послѣдній дѣлитель В' и есть искомый о. н. д.
многочленовъ А и В. Въ самомъ дѣлѣ, равенство (3) показываетъ, что В' есть
о. н. д. для самого себя и В; но о. н. д. остатка и дѣлителя (равенство (2))
равенъ о. н. д. дѣлимаго п дѣлителя, т. е. многочленовъ В и В; а отсюда, въ
силу равенства (1) заключаемъ, что В', будучи о. н. д. для В и В, служитъ
вмѣстѣ съ тѣмъ (по теор. IV) п общ. наиб. дѣлителемъ для А и В; что и тре-
бовалось доказать.
При послѣдовательныхъ дѣленіяхъ, здѣсь указанныхъ, возмножны два слу-
чая: 1) или мы дойдемъ до остатка равнаго нулю; въ такомъ случаѣ, какъ до-
казано, послѣдній дѣлитель и будетъ искомымъ о. н. д. многочленовъ А и В;
или 2) послѣ нѣсколькихъ послѣдовательныхъ дѣленій, дойдемъ до остатка, ко-
торый, не содержа главной буквы, не будемъ, однако же, нулемъ. Что такой
случай возможенъ, объясняется тѣмъ, что степень главной буквы въ послѣдо-
вательныхъ остаткахъ постоянно понижается; слѣд. непремѣнно дойдемъ до ос-
татка, не содержащаго главной буквы. Легко доказать, что если этотъ остатокъ
не есть ноль, то слѣдуетъ заключить, что многочлены А и В не имѣютъ обща-
го наиб. дѣлителя, т. е. первые между собою. Дѣйствительно, мы видѣли, что
о. н. д. дѣлитъ остатки послѣ каждаго дѣйствія, а потому онъ долженъ бы дѣ-
лить и остатокъ, не содержащій главной буквы. Для этого о. н. д. самъ не дол-
женъ содержать главной буквы; но въ такомъ случаѣ, чтобы онъ могъ раздѣ-
лить безъ остатка многочлены А и В, онъ долженъ дѣлить каждый коэффиціентъ
при степеняхъ главной буквы въ этихъ полиномахъ, а это невозможно, ибо об-
щіе дѣлители коэффиціентовъ уже исключены (они заключаются въ а и (3).
Приложимъ эту теорію къ пашему примѣру. Дѣлимъ А на В (могли бы,
наоборотъ, дѣлить В на А, потому-что въ данномъ случаѣ полиномы — одина-
ковой степени отн. &.)
А = Зж3 - 10ж3 15ж 8	| — 2ж‘ — 6ж3 4-	4-130=4- 6=В
— Зж3 ± 6хі ± 18ж3 — 12ж2 йг 39ж йг 18 ( 3
В= 6ж*4-8ж3 —По;* —24ж—10.
Въ остаткѣ степень буквы х ниже чѣмъ въ дѣлителѣ, поэтому первое дѣ-
леніе окончено; оно показываетъ, что В не есть о. н. д.
- 108 —
Слѣдуя теоріи, теперь нужно дѣлителя раздѣлить на первый остатокъ. Но,
замѣчая, что члены остатка имѣютъ общаго множителя 2, перваго съ новымъ
дѣлимымъ, мы на основаніи теоремы I, можемъ сократить этотъ остатокъ на 2,
не измѣняя этимъ о. н. д. Черезъ это новый дѣлитель упростится и будетъ равенъ
За;1 4ж3 — бж8 — 2х — 5.
Для избѣжанія дробныхъ коэффиціентовъ въ частномъ и въ остаткахъ,
множимъ новое дѣлимое на 3, что возможно, такъ-какъ 3 есть количество пер-
вое съ За;*—}— 4ж3— бж8— 2а; —5. Совершаемъ дѣленіе
Зж5 _ бж»18а;3 -}- 12ж8 + 39ж -}-18 Зж1-}-4ж3 - бж8 — 12ж — 5
— Зж8ч=4ж‘± бж3 ± 12ж8 ± 5ж ж,— 5
—	1 Ож4 — 12ж3 -|- 24ж8 -]- 4 4ж -}-18.остатокъ
—	5ж4 — бж3 -}- 12ж8 22ж -}- 9.........остатокъ, по раздѣленіи на 2
—	15а;* — 18а;3 —|—36а;266а;27......... > по умноженіи на 3
±15ж4± 20ж3гр 30ж8ч= 60а;25
2а;3—}— 6а;8-}- бж-}- 2
Степень главной буквы въ первомъ остаткѣ не ниже чѣмъ въ дѣлителѣ,
а это даетъ возможность продолжать дѣленіе. Но такъ какъ коэффиціентъ пер-
ваго члена остатка не дѣлится на коэффиціентъ перваго члена дѣлителя, то мы
условимся считать второе дѣленіе законченнымъ, и полученный остатокъ — окон-
чательнымъ въ этомъ дѣленіи. Теперь, слѣдуя теоріи, мы должны искать о. н. д.
между Зж4-}-4ж3— бж8— 12ж— 5 и полученнымъ остаткомъ; приэтомъ, оста-
токъ принимаемъ за дѣлимое, а дѣлителя оставляемъ прежняго. Приступая къ
новому дѣленію, сокращаемъ дѣлимое на 2 и умножаемъ его на 3, что позво-
лительно, потому что ни 2, нп 3 не входятъ множителями въ дѣлитель. Чтобы
не переписывать дѣлителя, продолжаютъ дѣленіе въ томъ-же столбцѣ, только
членъ частнаго (— 5) отдѣляютъ отъ частнаго прежняго дѣленія запятою,
чтобы этимъ показать, что — 5 не принадлежитъ къ числу членовъ одного и
того же частнаго, а есть частное новаго, особаго, дѣленія.
Это дѣленіе даетъ остатокъ 2а;3-}- бж8-}-бж-}-2, и вопросъ приведенъ къ
отысканію о. н. д. между этимъ остаткомъ и дѣлителемъ. Во избѣжаніе дроб-
ныхъ коэффиціентовъ въ частномъ и остаткахъ, сокращаемъ дѣлителя на 2,
и дѣлимъ
Зж1 -}- 4ж3 — бж8 — 12ж — 5 ж3 -}-Зж8-}-Зж-|-1
Зж1 рр9ж3 9ж8 йр Зж Зж —5.
— 5ж3 — 15ж8 — 15ж — 5
— 5ж3 — 15ж8 — 15ж — 5
б
Послѣдній дълитель ж3-}-Зж8-)-Зж-}-1 несть о.н.д. многочленовъ АиВ.
Итакъ, мы нашли, что й = ЗаЬ8, а Б = ж3 -}- Зж8 -}- Зж 1; сл. о. н.
д. данныхъ многочленовъ М п К, или
Д = А. Б = ЗаЬ8(ж3 -}- Зж8 -|- Зж -}-1) = 3«Ь8ж3 -}- 9а68ж8 -}- 9а68ж -}- ЗаЬ8.
89. Приводимъ еще примѣры.
— 109 —
I.	Найти о. н. д. многочленовъ:
М = 2а2®3 — 28а2®4 -|- 142а2®3 — 308а2®2 240а2® и
К = Зах3 — 30а®2 -|- 87а® — 60а.
Выносимъ за скобки общихъ множителей членовъ каждаго многочлена:
М = 2а2х(хі — 14®3 -|- 71ж2 — 154® -|- 120),
За(®3— ІО®2-1- 29® — 20).
Отсюда имѣемъ: й = а.
Ищемъ о. н. д. многочленовъ, заключенныхъ въ скобки.
Первое дѣленіе.
ж4_і4®3-|-71®2 —154®-|-120 ж3 — ІО®229®-20
ж* ± Ю®3 йн 29.г2 ± 20®	® — 4
— 4®3+ 42®2 — 134® +120
±4®3 г^40®2 ±116®	80
2®2— 18® 4- 40
Сокративъ остатокъ на 2, принимаемъ ®2 — 9® 4- 20 за дѣлителя слѣду-
ющаго дѣленія.
Второе дѣленіе.
®3 — ІО®24~ 29®—20 ®2 — 9® 4" 20
ж3 ± 9®2^й20® ж —1
— ж2 —|— 9® — 20
— ®2 4- 9® — 20
Заключаемъ, что ж2— 9® -|~ 20 есть о. н. д. многочленовъ, содержащихся
въ скобкахъ. Итакъ,
Д = й. П = а(®2 — 9® 4" 20) = а®2 — 9а®-|~20а.
II.	Найти о. н. д. многочленовъ
М = ®5 — 8®‘4-13®34-57®2— 198® 4-135 и
Б = 2®3 —15®2 4- 37® —15.
Въ этомъ случаѣ, й=1. Постараемся опредѣлить В. Умноживъ предвари-
тельно многочленъ М на 2, дѣлимъ:
Первое дѣленіе.
2®3 — 16®4 4- 26®3 4-114®2 — 396® 4- 270 12®3 —15®2 -|- 37® —15
— 2®3±15®4^37®3± 15®2_________________| ж2, — ж, — 37
— ж4 —11®34-129®2— 396® 4- 270, умноживъ на 2:
— 2®4 — 22®34-258®2— 792® 4- 540
±2®4 —15®3± 37®2	15®
— 37ж34_295®2— 807®4~ 540, умноживъ на 2:
— 74®3 4- 590®2 —1614® 4-1080
±74®3 — 555®2 ±1369®	555
'	35®2— 245® 4- 525
— но —
Сокративъ остатокъ на 35, дѣлимъ
2ж3 — 15ж24~37ж —15 ж2 —7ж4~15
— 2ж3 ± 14ж2 грЗОж 2ж— 1
— ж2 + 7ж—15
— ж24~ 7ж —15
О
Итакъ, И = ж2 — 7ж-|-15.
А = й. И = ж2 — 7ж -1-15
III.	Найти о. н. д. многочленовъ
М = ж4 -|-2ж3 — Зж24-5ж—12, и
Н = 4ж3-|-6ж2 — 6ж —5.
Умноживъ предварительно М на 4, дѣлимъ
4ж* -(- 8ж3 — 12ж2 -|- 20ж — 48 4ж3 4~ 6ж2 — 6ж 4- 5
4ж4 ^2 6ж3 ± 6ж2 5ж ж* 4~1
2ж3— 6ж2-|-15ж — 48, умноживъ на 2:
4ж3 — 12ж2 4- ЗОж — 96
— 4ж3 ^2 6ж2 ± 6ж 5
— 18ж24-36ж —161
Умноживъ дѣлителя на 9, дѣлимъ его на послѣдній остатокъ:
36ж3-|-54ж2— 54ж -1- 45 I — 18ж24~36ж—101
36ж3 — 72ж2 + 202ж	— 7
Н-126ж2 — 256ж-|-45
126ж2 —252ж-|-707
— 4ж — 662
Раздѣливъ остатокъ на (— 2), дѣлимъ
18ж2— 36ж т|-	101 !2ж 4- 331
— 18ж2^ 2979ж	І9ж2 — 3015
— 3015ж -|-	101, умноживъ на 2:
— 6030ж 4- 202
_6030ж — 997965
+998167
При послѣднемъ дѣленіи мы нашли остатокъ, не содержащій главной буквы,
не равный нулю, то заключаемъ, что данные многочлены не имѣютъ никакого
общаго дѣлителя.
IV.	Найти о. н. д. многочленовъ
а3(62 4- 26с 4- с2) — а26(262 4- ЗЪс 4- с2) 4- аЪ\Ъ 4- с) и
а2(62 — с2) — а6(262 4- Ъс — с2) 4- Ъ\Ъ 4- с).
Принявъ а за главную букву, посмотримъ, не имѣютъ ли коэффиціенты
каждаго многочлена общихъ множителей; и для этого разложимъ коэффиціенты
на множителей. Имѣемъ
- 111 -
г>24-22>с4-с2=(г>4-сУ;
2Ъ* + 3 Ъс + с2 = 2Ь2 + 2Ъс + Ъс + с2 = 2Ъ(Ъ + с) + с(Ъ + с) = (Ъ + с)(2Ъ + с);
Ъ- — с2 = (Ъ с)(Ъ — с)-,
2Ъ* + Ъс — с2 = Ь2 + 62 + Ъс — с2 = Ъ(Ъ + с) + (Ъ + с)(Ъ—с) — (г>4- с)(2Ь- с).
Такимъ образомъ находимъ, что всѣ члены перваго многочлена имѣютъ
общаго множителя а(Ъ-\-с), всѣ члены втораго: (Ъ-\-с)-, слѣд. можемъ пред-
ставить многочлены въ видѣ:
а(Ь с) { Ч" е)а* ~ с)а —|-Ь3} и
(Ь~|~ с){(6 — с)а2— Ъ(2Ъ — с)а-(- Ъ3}.
Отсюда видно, что й = Ъ -]- с. Затѣмъ, сокративъ первый многочленъ на
а(Ъ~ус), второй на Ь-(-с, и помноживъ всѣ члены перваго па Ъ — с, дѣлимъ
4 &21а2 — 2Ъ3 а-\-Ъ1
— с21	4- Ъ~с ; — Ъ3с
4-бе2
4- Ъ |а2 — 2Ь2 а 4- Ь3
— с I 4- г>с і
±с2
а2 ± 2Ъ3
± &2е
&с2
2&2с. а — 2Ъ3с , или, по сокращеніи на 2Ъ2с;
а — Ъ
Затѣмъ, дѣлимъ
а2 — 2Ь2
4- Ъс
^6 |а2± Ь2 а
± с | Ъс
— Ъ\а 4- Ъ3
— г>2.а 4- ъ3
Итакъ, И = а — Ъ. А потому
Д = О = (64-с)(а —Ь).
90.	Изъ сказаннаго выводимъ слѣдующее
Правило. — Чтобы найти о. н. д. двухъ многочленовъ, нужно: Сначала
исключитъ общіе одночленные множители каждаго многочлена", причемъ, если
случится, что означенные множители имѣютъ о. н. д., то послѣдній слѣ-
дуетъ впослѣдствіи ввести множителемъ въ составъ искомаго об. н. д.
Затѣмъ высшій многочленъ дгълятъ на нисшій, преобразовавъ предвари-
тельно дѣлимое такъ, чтобы первый членъ ею (предполагая, что многочлены
расположены по степенямъ одной буквы') дѣлился на первый членъ дѣлителя.
Въ полученномъ отъ дѣленія остаткѣ сокращаютъ всѣхъ множителей
общихъ' коэффиціентамъ главной буквы, и дѣлятъ прежняго дѣлителя на
этотъ остатокъ, поступая по прежнему.
- 112 —
Затѣмъ дѣлятъ первый остатокъ на второй и т. д., продолжая эти
послѣдовательныя дѣленія до тѣхъ поръ, пока: или получится остатокъ
нуль, —и тогда послѣдній дѣлитель есть искомый о. н. д.-, или въ остат-
кѣ получится выраженіе, не содержащее главной буквы, — и тогда данныя
выраженія суть количества первыя между собою, если не имѣютъ общаго
множителя, независящаго отъ главной буквы, и не открытаго егце въ нача-
лѣ дѣйствія.
При выполненіи послѣдовательныхъ дѣленій слѣдуетъ умножать про-
межуточные остатки на такихъ множителей, чтобы первые члены ихъ дѣ-
лились на первый членъ дѣлителя.
91.	Общій наибольшій дѣлитель нѣсколькихъ многочленовъ. — Пусть тре-
буется найти о. н. д. нѣсколькихъ многочленовъ Р, О,, В и 8. Найдемъ о. н.
д. между какими-нибудь двумя изъ данныхъ многочленовъ, напр. Р и 0., и на-
звавъ его буквою В, замѣчаемъ, что В есть ничто иное какъ произведеніе всѣхъ
множителей, общихъ многочленамъ Р и 0,. — Если теперь найдемъ о. н. д.
между В и В, то, назвавъ его буквою В', замѣчаемъ, что В' есть произведеніе
всѣхъ множителей, общихъ В и В; а какъ В есть произведеніе всѣхъ множи-
телей, общихъ Р и Ц, то В' есть произведеніе всѣхъ множителей, общихъ Р,
О, и В. Найдя затѣмъ о. н. д. для В' и 8,—пусть онъ будетъ В",—убѣдимся,
что онъ будетъ = произведенію всѣхъ множителей, общихъ многочленамъ Р, О,,
В и 8. Поэтому В" и будетъ о. н. д. данныхъ многочленовъ.
Отсюда
Правило. — Чтобы найти о. н. д. нѣсколькихъ многочленовъ, находятъ
его сперва между какими нибудь двумя многочленами', потомъ между найден-
нымъ о. н. д. и третьимъ даннымъ многочленомъ-, затгъмъ между вновь най-
деннымъ о. н. д. и четвертымъ многочленомъ и т. д. Послѣдній о. н. д. и
будетъ требуемый.
Примѣръ. Найти о, н. д. многочленовъ
Р--8ж3 — 12«2г/~10«г/ 4-15 г/2,
О, — 6ж3-|-12ж2 — 9ж2г/—18 ху,
В=6ж2 — 13жг/ -|- 6г/2,
8 = 4ж2— 9г/2.
0. н. д. многочленовъ В и 8 равенъ 2ж — Зг/; о. н. д. многочленовъ Р и 2«—
— Зу есть 2х—Зу; наконецъ о. н. д. для Ц и 2х— Зу есть также 2х — Зу.
Слѣдов. о. н. д. всѣхъ четырехъ многочленовъ есть 2х — Зу.
92.	Наименьшее кратное алгебраическихъ выраженій. — Кратнымъ дан-
наго цѣлаго выраженія наз. такое другое цѣлое выраженіе, которое на данное
дѣлится на-цѣло. Такъ 12айж2г/ есть кратное выраженія 2а2ж. Очевидно, что
для даннаго выраженія существуетъ безчисленное множество кратныхъ.
Такъ, для х — у кратными будутъ: (ж— г/)2, (х — у)3, (х — уУ, ....
ж2 — «А .«3 — У3, хі — уі и т. д.
Общимъ кратнымъ двухъ или нѣсколькихъ цѣлыхъ алгебраическихъ вы-
раженій наз. такое, которое на всѣ данныя дѣлится безъ остатка. Такъ, если
данныя выраженія суть:
2аЧ>,	3(а —б)2, а2 —б2;
— 113 —
то общими кратными ихъ будутъ:
6а2& (а — Ъ)\а -|- V) ;
12а4&3(а— Ъ)і(а-{-Ъ') ;
72а’&2(а— &)3(а-|-&)2; и т. Д.
Очевидно, что для данныхъ выраженій существуетъ безчисленное множество об-
щихъ кратныхъ.
Наименьшимъ кратнымъ данныхъ выраженій, расположенныхъ по степе-
нямъ одной буквы, называется ихъ общее кратное., нисшей степени относитель-
но этой буквы.
Когда данныя выраженія — одночлены, то для составленія наименьшаго
кратнаго нужно перемножить всѣ простые множители, взявъ каждый изъ нихъ
съ наибольшимъ показателемъ. Такъ, если даны одночлены 10а6&2, 12а5&3,
6а‘&с2й, то, взявъ всѣхъ простыхъ множителей въ высшихъ степеняхъ, т. е.
22, 3, 5, а“, &3, с2 и й, найдемъ н. кр. 22.3.5.а6.&3.с2.й или 60а6&3с2й.
Такимъ же образомъ составляется и наименьшее кратное многочленовъ,
когда послѣдніе легко разлагаются на множителей. Приводимъ примѣры.
I.	Найти н. к. для ж2 —а* и х3— а3.
х3 — а3 — (х + а)(ж — а);
х3 — а3 = (х— а)(х3-^-ха-^-а3).
Н. кр — (х а)(а; — а)(х3 ха а2) = а? ах3 — а3х — а1.
И. Найти н. кр. полиномовъ:
х3-1- 2ж2«/— ху3— 2г/3 и х3— 2х3у— ху3-]-2у3.
По разложеніи на множители, первый даетъ
Ф* — у3}	2у(х3 — у3} = (х + 2у)(ж2 — г/2);
а второй
ф2 — «Л) — Ъу О2 — «/*) =ф — Ъу)(х3—у3).
Наим. кр. = (х3 — у3)(х^Ъу^х — 2у) = (®! — у3)(х3 — 4г/2).
93.	Если разложеніе многочленовъ на множители представляетъ затрудне-
ніе, то можно пользоваться слѣдующимъ пріемомъ.
Пусть	А и В —	данные многочлены, а-Б —	ихъ о. н. д. Назвавъ част-
ныя отъ раздѣленія	многочленовъ А и	В на В	буквами	А' и В', получимъ:
А = АЪ и	В = ВЪ.	По свойству о. н.	дѣлителя,	А' и В'	суть выраженія пер.
выя между	собою, а	слѣ. ихъ наим. кр.	— А'В'. Очевидно,	что выраженіе наи-
меньшей степени, дѣлящееся на АЪ и ВЪ, есть А'ВЪ. Итакъ, наим. кр. много-
членовъ А и В есть А'ВЪ .... (1). Это выраженіе можно также представить
въ видѣ А'В, если ВЪ замѣнить черезъ В; или, въ видѣ В'А, замѣнивъ АЪ
черезъ А. Наконецъ, перемноживъ: А = АЪ и В = ВЪ найдемъ, А'ВЪ2 = АВ;
АВ
раздѣливъ обѣ части на Б, получимъ: А'ВЪ= р - Итакъ, наим. кр. можетъ
быть представлено въ каждой изъ слѣдующихъ Формъ:
А'ВЪ,	АВ',	ВА' и
Отсюда вытекаетъ слѣдующее правило нахожденія наименьшаго кратнаго двухъ
8
- 114 -
йногочленовъ: находятъ ихъ о. н. д; дѣлятъ на него одно изъ данныхъ выра-
женій, и полученнымъ частнымъ умножаютъ другое; или: произведеніе данныхъ
многочленовъ дѣлятъ на ихъ о. н. д.; или: о. н. д. множатъ на частныя, про-
исходящія отъ раздѣленія данныхъ многочленовъ на этого наиб. дѣлителя.
Примѣчаніе. Раздѣливъ н. к. А'ВЪ на А1) (или А), находимъ въ част-
номъ В'; а раздѣливъ на В'В (или В), въ частномъ получаемъ А'; но А' и В'
выраженія первыя между собою, сл. можно дать наименьшему кратному такое
опредѣленіе: это есть такое кратное данныхъ выраженій, которое по раздѣленіи
на нихъ, даетъ частныя первыя между собою.
Примѣръ. Найти н. к. многочленовъ
а2_аЬ —и аа4-5аЬ-[-6Ь8.
0. н. д. ихъ =а-|-ЗЬ. Раздѣливъ первое выраженіе на а-|-ЗЬ, находимъ въ
частномъ а — 46. Умноживъ второе выраженіе на это частное, найдемъ иско-
мое н. к.	0
Итакъ, н. к. = (а35аЬ6Ь2)(а — 46) = а3а3Ь— 14а63— 2463.
94.	Если М есть н. к. для А и В, то очевидно, что всякое кратное коли-
чества М есть общее кратное для А и В.
95.	Всякое общее кратное двухъ алгебраическихъ выраженій есть крат-
ное ихъ наименьшаго кратнаго.
Пусть А и В — два данныя выраженія, М — ихъ н. к.; и пусть И озна-
чаетъ какое либо другое общее кратное. Допустимъ, если возможно, что при дѣ-
леніи Н на М получается остатокъ В (при частномъ 0,). Въ такомъ случаѣ
В = Н — 0..М. Но И и М дѣлятся на А, сл. и К. дѣлится на А; К и И дѣлят-
ся на В, сл. и К дѣлится на В (§ 85). Но В есть выраженіе нисшей степени
чѣмъ М; сл. оказывается общее кратное количествъ А и В нисшей степени
чѣмъ ихъ н. к. Это — нелѣпость; сл. остатокъ В не существуетъ, т. е. И
есть кратное количества М.
96.	Пусть требуется найти н. к. нѣсколькихъ многочленовъ, напр. трехъ:
А, В и С. Найдемъ н. к. двухъ изъ нихъ, напр. А и В: пусть оно будетъ М.
Затѣмъ найдемъ н. к. для М	и С: пусть	оно будетъ Ь.	Докажемъ,	что	Ь и бу-
детъ служить н. к. для А, В	и С.
Назовемъ н. кр. А, В и С буквою х. Всякое общее кратное количествъ
М и С есть общее кратное и для А, В и С (§ 94); слѣд. Ь должно дѣлиться
на х. Всякое общее кратное А и В есть	кратное и	для М (§ 95);	сл.	всякое
общее кратное А, В и С есть	общее кратное и для	М и	С; слѣд. х	должно дѣ-
литься на Ь.
Итакъ, Ь должно дѣлиться на х, а х на Ь; поэтому ж = Ь, и правило до-
казано.
Примѣчаніе. — Нахожденіе наим. кр. имѣетъ приложеніе въ приведеніи
дробей къ общему знаменателю. 0. н. д. въ элементарной алгебрѣ прилагается
къ сокращенію дробей; въ Высшей Алгебрѣ онъ имѣетъ другія, важнѣйшія при-
мѣненія, именно въ теоріи уравненій.
97.	Задачи.—
Найти о. н. д. способомъ разложенія на множители въ примѣрахъ!
1. 35а3Ь3а;3у4 и 49а364а;4^3.
— 115 —
2.	Зба:4^/5^6 и 48«6г/3й4і2.
3.	432а4Ь2а:г/, 270а2Ь3«2г и 90а3Ьа:3.
4.	7а2Ь(»і— и)3 п 21Ь2(*п—и)2.
5.	іс2 —]—8іс —]—15 и іс2 —{— 9ж —{—20.
6.	а:2—15а:4-36 и а:2 —9а: —36.
7.	а:3 4~ 2а:2 4~ 2а: 4~ 1 и а:3— 2х—1.
8.	«4-]-а3л: — ах3— а4 и х3—а3.
9.	4а:3(а 4" 42 и Ю(а2ж— ж3)2.
10.	(а2-]-а)2 и а3(а2— а — 2).	*
11.	і(х3-[-а3) и 6(а:2— 2ах— За2).
12.	а3(х2	12хс —11) и а2»2 — 11а2х — 12а2.
13.	а22аѣ + Ь2; а2 — Ъ2 и а32а2Ь + 2аЬ2 + Ъ3.
14.	ж34~аж2 — аху— у3 и хі-^-2х3у— а2х2-[-х2у2— 2аху2— у*.
15.	аЪ2~І~ аЪ2сЛ — аЪсіІ2 — ай2 ЪсЛ -}- Ъ — сЛ2 — сі и
ъ2-\-ъ2са — ъса2—а2.
Найти о. н. д. способомъ послѣдовательныхъ дѣленій:
16.	20ж4ж2—1 и 75а:44~—3®—3.
17.	За:4— а:2?/2— 2у^ н Юо;4-]-Іба:3^ — 10х2у2—15ху3.
18.	Xе—За:5 4-6а:4— 7х3-^-6х2—За:-|-1 и
а:6 — Xя4- 2хі — х3 4" 2а:2 — а:
19.	7х3-2х2у — 63ху2-}-18у3 и
5а:4 — За:3?/ — 43х2у2	27ху3 — 18г/4.
20.	ху-\-2х2—Зу2іувхе— г2 и
2х2 — 9хв — 5ху	4г2 — 8уг — 12 г/2.
21.	7а:4 — 10аа:3-]-За2а:2—4а3а:-]-4а4 и
8а:4 — ІЗах3 5а2х2 — За3х 4* За4.
22.	(Ъ— с)х2~І~2(аЬ — ас)х~І~а2Ъ— а2с и
(аЬ — ас 4- Ъ2 — Ъс)х -}- а2с 4* лЬ2 — а*Ъ — аЪс.
23.	За:24- (4а — 2Ъ)х — 2аЬ а2 и
х3 4- (2а — Ѵ)х2 — (2аЪ — а2)х — а2Ъ.
24.	а;3	(5»г — 3)х2	(6»г2 — 15т)х — 18т2 и
х3 (т — 3)а:2 — (2т2 4- 3»г)а: -}- 6»г2.
25.	а;4 — (а2	Ъ2)х2 -}- а2Ъ2 и а;4 — (а 4- Ѵ)2х2 2аЪ(а -}- Ъ)х — а2Ь2.
26.	ах3 + (а + Ъ)х3 + (а + Ъ + с)а>4 + (а + Ъ + с й)а:3 + (Ъ + с + а)х2
4- (с 4" ^>а: 4- Л и ах3 + (а + Ь)аз4 + (а + + с)а:3 -}-(« + & Н" с)хі
+ (Ь -}- с)х + с.
27.	Зх3—7х^ 4~ Ьху2 — у3; х^ 4- Зху2 — Зх3 — у3 и Зх35х^ху2 — у3.
Найти наим. кр. посредствомъ разложенія на множители:
28. 25а364с3 и 20а5Ь2с5.
8*
— 116 —
29.	432а4Ь2»?/, 270а2Ь3»2д: п 90а3Ь»3.
30.	6»2 — х — 1 и 2ж2 + 3ж—2.
31.	Зж2 — 5» -1- 2 и 4«3— 4»2— «4-1.
32.	«3 4~ 2»2г/ — ху* — 2у3 и ж3 — 2«2г/ — ху* 4~ 2г/3.
33.	»2—4а2, »32а»2 4" 4а2»?а3 н ж3— 2ах*4а*х— 8а3.
34.	х*—(а4-ь)»4~а&; ж2 — (ь 4- с)ж 4- &с; ж2—(с4-«)ж4~са-
35.	»2 4-3» 4-2; «24-4»4-з п ж2-Ь^жН“6,
36.	»2—і, »24-і, »44-і и «8—1.
37.	«2—і, «34-і, »3 —і и »с4 і.
Найти и. к. общимъ пріемомъ:	*
38.	6«24-5« —6 и 6»2— 13» 4-6.
39.	»34- 5«24- 7» 4- 2 и »2-]-6»4-8.
40.	а3—9а2 4~ 23а—15 и а2 — 8а4~7.
41.	15»3 4~ Ю»4?/ 4- 4х3у* 4- 6»2?/3 — 3»г/4 и
12»32/2-]- 38ж2г/34~ 16»г/4— 10г/3.
42.	»* — (р2	I)»2 4~1’2 и «* — 04- 1)«24- 2(р4“ і)р®—Р*-
43.	»2-]-2» — 3; »3-|-3«2 — » — 3 и «34-4»24“ж—6.
44.	а3 —6а24-11а—6; а3 — 9а24-26а — 24 и а3—8а24-19а — 12.
45.	»3 — З»2 -]- 3»—1; »3—»2 — »4~1; я4—2»3-|-2»—1 и
»‘—2»34-2»2 —2»4-1.
ГТГ^-ВА. IX.
Алгебраическія дроби.
Опредѣленіе. — Основное свойство алгебраической дроби. — Сокращеніе алгебраиче-
скихъ дробей и приведеніе къ общему знаменателю. — Четыре основныя дѣйствія
надъ дробями.— Задачи.
98.	Опредѣленіе. — Мы видѣли, что когда дѣленіе одного алгебраическаго
выраженія на другое невозможно, то дѣйствіе только обозначается: дѣлителя пи-
шутъ подъ дѣлимымъ, отдѣляя ихъ горизонтальною чертою. Такимъ образомъ,
частное отъ раздѣленія А на В изображается въ Формѣ
А
в’
Такое выраженіе называется алгебраическою дробью-, причемъ дѣлимое по-
лучаетъ названіе числителя, а дѣлитель— знаменателя. Итакъ: алгебраичес-
кая дробь есть частное отъ раздѣленія числителя на знаменателя.
Между дробями — ариѳметическою и алгебраическою есть существенная раз-
ница; въ самомъ дѣлѣ, числитель и знаменатель ариѳметической дроби суть чис-
— 117 —
ла цѣлыя и абсолютныя; между тѣмъ какъ члены алгебраической дроби могутъ
быть какъ цѣлыми, такъ и дробными, какъ положительными, такъ и отрица-
тельными, и вообще какими угодно алгебраическими выраженіями. Такимъ обра-
зомъ, понятіе объ алгебраической дроби общѣе, нежели объ ариѳметической, а
отсюда вытекаетъ необходимость вывода свойствъ алгебраической дроби и дока-
зательства правилъ дѣйствій надъ этими дробями независимо отъ вывода этихъ
свойствъ и правилъ для дроби ариѳметической.
Выводъ упомянутыхъ свойствъ и правилъ долженъ вытекать изъ самаго
опредѣленія алгебраической дроби, какъ частнаго отъ раздѣленія числителя на
знаменателя.
99.	Основное свойство алгебраической дроби состоитъ въ томъ, что вели-
чина ея не измѣнится, если числителя и знаменателя умножимъ или раздѣлимъ
на одно и тоже количество. Докажемъ это.
А
Пусть величина дроби равна Ц:
4=1..............(«
Замѣчая, что дѣлимое = произведенію дѣлителя на частное, имѣемъ
А = В.Ц.
Означивъ буквою М какое ниб. количество, умножимъ на него каждую изъ
равныхъ величинъ А и В. Ц, вслѣдствіе чего получимъ и произведенія равныя:
АМ = В0,М;
или, перемѣнивъ мѣста производителей Ц и М во второй части,
АМ = ВМХ О,-
Это равенство показываетъ, что Ц, будучи умножено на ВМ, даетъ въ про -
изведеніи АМ; слѣд. О, есть частное отъ раздѣленія АМ на ВМ; такимъ образомъ:
ВМ 4
Но есть ничто иное какъ ~ (см. (1)); слѣд.
4А—А.............гоу
вм~ в
Это равенство показываетъ, что дробь ~ можетъ быть замѣнена дробью
ВМ
А
, т. е. что величина дроби не измѣнится, если числитель и знаменатель
раздѣлимъ на одно и тоже количество.
На этомъ свойствѣ основано упрощеніе дроби сокращеніемъ.
Равенство (2) показываетъ также, что, наоборотъ, дробь можетъ быть
АМ
замѣнена дробью —р т. е. что величина дроби не измѣнится, если числитель
и знаменатель помножимъ на одно и тоже количество.
На этомъ свойствѣ основано приведеніе дробей къ общему знаменателю. —
— 118 -
100.	Сокращеніе.—Для сокращенія дроби нужно ея числителя и знамена-
теля раздѣлить на ихъ общаго наибольшаго дѣлителя: отъ этого величина ея
не измѣнится, но дробь будетъ приведена въ простѣйшій видъ, такъ-какъ ча-
стныя отъ раздѣленія ея членовъ на ихъ о. н. д. будутъ количества первыя
между собою.
Приводимъ нѣсколько примѣровъ.
I. Сократить дробь
48а362ж4^
60а26ж6
0. н. д. числителя и знаменателя есть 12а26ж4. Раздѣливъ на это коли-
чество оба члена дроби, имѣемъ:
4аЪг
5ж2	<’
И. Сократить дробь
36а5Ь2 —36а3Ь4
54а4й3 — 108а3Ь4 + 54а268 ’
Когда ч. и з. суть многочлены, легко поддающіеся разложенію на мно-
жители, то о. н. д. для нихъ находимъ этимъ способомъ:
36а3Ь2 — 36а3Ь4	__	36а362(а2 — Ь2)	_ 18а262(а — Ь).2а(а+ Ъ)
54а4Ь3 — 108а3Ь4 -|- 54а265 — 54а2Ь3(а2 — 2аЪ -|- Ь2) — ’ 18а262(а —й).3й(а — Ь) ‘
Замѣчая, что о. н. д. членовъ дроби равенъ 18а262(а—6), мы, раздѣливъ
на него числителя и знаменателя, получимъ:
2а(а Ь)
ЗЬ(а — Ъ)
III.	Сократить дробь
ж12	а12
ж5 4- аж4 4- а4ж 4- а5
Знаменатель=ж4(ж 4- а) ~Ь а\х 4" а) — (ж 4" а)(ж4 4- «*)•
Числитель — (ж4)34- (а4)3 — (ж4 4- а4)[(ж4)2— хіаі 4“ (а4)2] — (ж4 4“ а*)(ж8 —
ж4 а44~а8).
По раздѣленіи обоихъ членовъ дроби на о. н. д. ж4 4- а4, находимъ:
ж8 — ж4а4 4- а8
ж 4* а
Въ этомъ примѣрѣ о. н. д. былъ ж44-а\ ибо ж8 — ж4а44-а8, не обра-
щаясь въ ноль при ж = — а, не дѣлится на х-\-а.
IV.	Сократить дробь
Ъс(Ъ — с) — ас(а — с) <Л(а — Ъ)
Ь2с2(Ь — с) — а2с2(а — с) 4~ а262(а — Ъ)
Числитель = с{6(6 — с) — а(а — с)} -]-а6(а— 6) = с(а— 6)(с — а—6)4
аЪ(а — Ъ) = (а — 6) { с(с — а) — 6с4-«Ь} — (а — Ъ)(а — с)(6 — с).
Въ§ 57, 4, мы видѣли, что знаменатель = (а—6)(а—с)(Ь—с)(а6 4_ас4_^6')-
Итакъ, видно, что о. н. д. числителя и знаменателя есть (а—6)(а-с)(6—с);
раздѣливъ на него оба члена дроби, получимъ
______1
лЬ —|— ас —|— Ъс
— 119 —
V.	Сократить дробь
(М-^)3-(^+г).
(ж + у)3 — (ж3 + у3)
Оба члена числителя и оба члена знаменателя дѣлятся на х-{-у, раздѣ-
ливъ ихъ на этотъ биномъ, получимъ дробь
(ж -(- у')і — (хі — х3у -]- х2у3 — ху3 -]- у4)
(ж у)2 — (ж2 — ху + у*)
Раскрывъ скобки въ числителѣ и знаменателѣ и сдѣлавъ приведеніе, найдемъ
5ж у + 5х3у 4- бжу > или, сокративъ на ху, -|-(ж2-|-яу -р-у2).
бху	о
VI.	Сократить дробь
2ж3—15ж24-37ж —15
ж5 —8ж4 4- 13ж3 + 57ж2 — 198ж +135
Въ этомъ примѣрѣ разложеніе числителя и знаменателя на множители
представляетъ затрудненія; поэтому опредѣляемъ о. н. д. способомъ послѣдова-
тельныхъ дѣленій. Такимъ образомъ найдемъ, что о. н. д. = х'і— 7ж-]-15.
Сокративъ дробь, найдемъ
2ж —1	.
ж3 — ж2 — 9ж 4- 9
101.	Приведеніе дробей къ общему знаменателю. — Здѣсь слѣдуетъ разли-
чать тѣже случаи какъ и въ ариѳметикѣ:
1.	Если знаменатели дробей суть выраженія взаимно-простыя, нужно чи-
слителя и знаменателя каждой дроби помножать на произведеніе знаменателей
прочихъ дробей. Черезъ это общимъ знаменателемъ всѣхъ дробей будетъ произ-
веденіе всѣхъ знаменателей или ихъ наименьшее краткое, т. е. общій знаме-
натель будетъ имѣть простѣйшую Форму.
Поступая сказаннымъ образомъ надъ дробями
з т п
2а’ ЗЬ2 И а-\-Ъ’
знаменатели которыхъ — количества взаимно-простыя, найдемъ:
вмѣсто первой дроби	З.ЗЬ2(а4-Ь)	9&2(а + &) . 2а.ЗЬ2(а4-6)	6аЬ2(а 4- V) ’
вмѣсто второй дроби	йі.2а(а 4- V}	2ат(а 4~ Ъ) ЗЬ2.2а(а 4-Ь) ПЛИ 6аЬ2(аЬ) ’
вмѣсто третьей дроби	и.2а.ЗЬ2	6аЪ*п
	2а.ЗЬ2(а4-Ь) ИЛИ 6аЬ2(а4-Ь)
2. Когда знаменатели данныхъ дробей имѣютъ общихъ множителей, то
наименьшее кратное знаменателей опять принимаемъ за общаго знаменателя;
затѣмъ дѣлимъ это наим. кр. на знаменателя каждой дроби и полученнымъ
частнымъ множимъ числителя и знаменателя соотвѣтствующей дроби. Приводимъ
примѣры.
I. Привести къ общему знаменатетю дроби:
а	Ъ	с	Л
4(1 — ж2)’ 8(1 — ж)’ 2(14-ж)’ 14-ж2 '
— 120 —
Разлагая знаменателей на простые множители, получимъ:
4(1 — ж2) = 22.(1 — ж)(1 + ж); 8(1 - ж) = 23.(1 — ж);
остальные два знаменателя остаются въ данной Формѣ.
Наим. кр. знаменателей или об. знам. = 23.(1	ж)(1 — ж)(1	ж2) или 8(1 — ж4).
Раздѣливъ об. зн. на знаменателя первой дроби, и умноживъ полученнымъ
частнымъ 2(1-|-ж2) оба члена первой дроби, получимъ
2а(1 + ж2)
8(1 — ж4) '
Раздѣливъ об. зн. на знаменателя второй дроби и помноживъ полученнымъ
частнымъ (1-)-^;(1+ ж2) оба члена ея, найдемъ
Ь(1+ж)(і+ж2)
8(1 — ж4)
Поступая подобнымъ же образомъ съ двумя остальными дробями, вмѣсто
нихъ получимъ:
4с(1 — ж)(1 + ж2)	8й(1 — ж2)
8(1 — ж4) И ~ 8(1 — ж4)
II.	Привести къ общему знаменателю дроби:
1 1 1
ж2 —4 1 -ж2^Зж+-2 ’ ж2 + Зж + 2 '
Разлагая знаменателей на множители, найдемъ:
ж2 — 4 = (ж 2)(ж — 2);
ж2 — Зж 2 — {х — 2)(ж — 1)
ж2 —Зж-|-2 = (ж-|-2)(ж4-1)>
Наим. краткое знаменателей = (ж2)(ж —2)(ж-|-1)(ж—1) или (ж2 — 4)
(ж2 — 1). Поступая какъ въ примѣрѣ I, найдемъ слѣдующія, соотвѣтственно
равныя даннымъ, дроби:
ж2—1	(ж + 2)(ж +1) (ж — 2)(ж — 1)
(ж2 —4)(ж2^1У’ (ж2-^)^2 —І)’ (ж2 —і^ж2^!)’
III.	Привести къ общему знаменателю дроби:
а	Ь	с	Л
(а — Ь)(а—с)(а—<!)' (Ъ—с)(Ь — <И)(Ъ — а)' (е—<У)(с—а)(с—Ъ)' (Л — а)(й—6)(<7—с)
Здѣсь знаменатели уже даны въ Формѣ произведеній простыхъ множителей.
Замѣтивъ, что а — Ъ, а — с, а — А и т. д. получаются изъ Ъ — а, с — а,
умноженіемъ на — 1, замѣняемъ данныя дроби слѣдующими:
а	— Ь	с	—й
(а — Ь)(а— с)(а—сГ)’ (Ъ — с)(Ъ — й)(а — Ъ)’ (с—й)(а — с)(Ь — с)’ (а—й)(Ь — й)(с — й)
Общій знаменатель = (а— &)(а — с)(а — й)(6 — с)(® — й)(с — й). Дѣля
его на знаменателя каждой дроби поочередно, и умножая частнымъ оба члена
соотвѣтствующей дроби, найдемъ искомыя дроби:
- 121 -
а(Ъ — с)(Ъ — й)(с — й)	— Ь(а — с)(а — й)(с — д)
(а — Ь)(а — с)(а — сІ)(Ъ — с)(Ь — й)(с — й)’ (а — Ь)(а — с)(а — сГ)(Ъ — с)(Ъ— <1)(с—й) ’
с(а — Ъ)(а — Л)(Ъ— сі)	—сЦа, — Ь)(а — с)(Ь — с)
(а — Ь)(а — с)(а—й)(& — е)(& — й)(с — й)’ (а — Ь)(а — с)(а — й)(Ь — с)(& —й)(с—й)
3.	Можетъ случиться, что одинъ изъ знаменателей дѣлится на всѣхъ
остальныхъ, т. е. служитъ наим. кратнымъ всѣхъ знаменателей: онъ и будетъ
общимъ знаменателемъ.
Примѣръ. Привести къ общему знаменателю дроби:
а	Ъ	с
Замѣчая, что а^— Ъі — {аіД-Ъ'і'){аі— находимъ, что знаменатель
третьей дроби есть наим. кр. всѣхъ знаменателей; онъ и будетъ общимъ зна-
менателемъ. Третью дробь, какъ уже имѣющую общаго знаменателя, оставляемъ
безъ перемѣны, а первыя двѣ приводимъ къ общему знаменателю пріемомъ,
указаннымъ въ пунктѣ 2. Такимъ образомъ найдемъ, что данныя дроби могутъ
быть замѣнены слѣдующими:
а(а2 — Ь2) Ь(а2 Ь2) с
а* — Ь* ’ а4 — Ь4 ’ а4 — Ь4
102.	Сложеніе и вычитаніе дробей. — Различаемъ два случая:
1.	Сложить или вычесть дроби съ равными знаменателями:
а . Ъ	с
т ‘ т	т
Положимъ, ЧТО
а	Ъ	с
---— &'> --= <к'> ---= <Ъ-
т ‘ , т * т 1
Зная, что дѣлимое = произведенію дѣлителя на частное, имѣемъ
а — ту^	Ъ — тц*,	с = тд3.
Придавая къ равнымъ (а и етгд,) равныя количества (Ъ и яг^), получимъ
и суммы равныя; слѣд.
а-\-Ъ = тді -|- яг^;
вычитая изъ равныхъ (а-|-6 и ягд^ 4~ равныя, найдемъ и остатки равные;
слѣд.
а-\-Ъ — с = т<і, -\-тцг — тц3,
или, вывода за скобки я»,
а Ъ — с = д2 — 2з).т;
откуда
Замѣняя г,, д2 и д3 ихъ величинами, находимъ:
а . Ь.с ______а-\-Ъ — с
т * т ' т т
Отсюда правило: чтобы сложитъ или вычесть дроби съ равными знаме-
— 122 —
нателями, надо сложитъ или вычесть числители и подъ результатомъ под-
писать общаго знаменателя.
2.	Когда данныя дроби имѣютъ различныхъ знаменателей, то сперва при-
водятъ ихъ къ общему знаменателю, а затѣмъ поступаютъ по предыдущему
правилу.
Примѣры. I. Найти сумму дробей
а8 — аЪ	а2 аЪ . а2 — &2
а-\-Ъ а — Ъ ' а
По приведеніи къ общему знаменателю, имѣемъ
(а2 — аЪ)(а — Ь) а 4~ (а2 -|- а&)(а Ц- &)а	(а2 — Ь2)(а	&)(а — Ъ _
(а-]-&)(а — &)а
а4 — 2а3Ъ + а2&2	(а4 + 2аѢ а2&2) + (а4 — 2а2Ь2 Ц- &4) _ За4 + &4
(а2 — &2)а	а3 — аЬ2
II.	Выполнить вычисленія
_ х	___1___________1
(х — 1)4 4- 2)4 — 3) ж2 — 1 * (х — 2)(х — 3)
По приведеніи къ общему знаменателю (ж2 — 1)(ж2— 4)(ж— 3), имѣемъ
послѣдовательно:
х(х -1-1)4 — 2) — (ж2 — 4)4 — 3) 4- (ж2 — 1)4 4- 2)_
42 —і)42 — і)(х — 3)
ж3 — ж2 — 2х — (х3 — Зж2 — 4х Ц-12)	43	2ж2 — х — 2)___х3 4 4ж2 х — 14
42—ТУ42 —4Хж — з)	~42—і)(ж2— 4)4—3) ’
Числитель не обращается въ ноль при ж —1,— 1, -1- 2, — 2 и 4-3, сл. не
дѣлится ни на одного множителя знаменателя, а потому результатъ не подле-
житъ дальнѣйшему	упрощенію.
III.	Упростить	выраженіе
а3 .	Ъ3	.	с3__.
(а —	&)(а — с) * (& — а)(Ъ — с) *	(с — а)(с — V)
Общій знаменатель — (а —Ь)(Ь — с)(с — а); дѣля его на каждаго изъ зна-
менателей по-порядку, получаемъ частныя:
— (Ъ — с), — (с —а), — (а—Ь).
По приведеніи къ общему знаменателю, получимъ
— а3(Ъ — с) — Ъ3(с — а) — с3 (а — Ъ) .
(а — Ѵ)(Ъ — с)(с — а)
Полагая въ числителѣ послѣдовательно а = Ъ, Ъ — с, и с~а, замѣчаемъ,
что онъ въ каждомъ случаѣ обращается въ ноль, а потому дѣлится на (а — V)
(Ь— с)(с — а). Это произведеніе открываемъ въ числителѣ разложеніемъ на мно-
жители:
а3с — а3Ъ —- й3с 4- аЪ3 — с3 (а — Ъ)~с (а3 — Ь3) — аЪ (а2 — 4) — с3 (а — Ъ')—
— (а — &{с(м24-аЬ4-й2) — аЬ (а4-Ь) — с3}— (а — Ъ) {(а2 — с2)с — аЪ(а— с)
— 4 (а — с)}=(а — Ь)(а — с){(« + с) с —	~ (а — Ь)(а — с) {а (с —
— &) + (&4- с)(с — Ь)}= (а— й)(а— с)(с — Ь)(а4~	= (а — ^*)(^ — с)
(с —а)(«-|-Ь4-с).
- 123 -
Итакъ, данное выраженіе равно
(а — Ъ)(Ъ — с)(с — «)(« + Ь + с) . ъ ।
(а — Ь)(Ь — с)(с — а)	“Г ' '
IV. Упростить выраженіе
1 а
Если дробь соединена (плюсомъ или минусомъ) съ цѣлымъ выраженіемъ,
то, помноживъ цѣлое и раздѣливъ на знаменателя дроби, получимъ сумму или
разность двухъ дробей. Такъ, данное выраженіе умноженіемъ и дѣленіемъ 46
на а превращаемъ въ
4аЬ .	(а—Ь)2 4аЬ -|- (а — &)2__4аЬ а* — 2аЬ + Ь2____а2 + 2аЬ	Ь2____(а-|-Ь)2
а ' а	а	а	а	а
103.	Умноженіе дробей. — Перемножить дроби ~ и 4 
О (м
Положивъ
а	с
имѣемъ отсюда
а — Ър и с = йд.
Помноживъ равныя количества а и Ър на равныя с и йд, найдемъ и произ-
веденія равныя; слѣд.
ас — Ър.ду.
Перемѣнивъ во второй части мѣста сомножителей, получимъ
ас = Ъй.рц,
откуда
ас
а	с
или, подставивъ у вмѣсто р, и вмѣсто
01 С	№С	і \
У х ~л~ы ’ ‘
Отсюда правило: чтобы умножитъ дробь на дробь, надо числителя пер-
вой дроби помножить на числителя второй, знаменателя первой на знаме-
нателя второй, и первое произведеніе раздѣлить на второе.
Если въ равенствѣ (1) положимъ й = 1, оно обратится въ
а с ____ ее
У Х 1~6х1’
замѣтивъ, что есть тоже что с, а Ъ X 1 равно Ъ, имѣемъ:
Итакъ, чтобы умножить дробь на цѣлое выраженіе, надо числителя
умножить на это цѣлое, и произведеніе раздѣлить на знаменателя дроби.
Положивъ въ равенствѣ (1) Ь — 1, получимъ
а с ас	., с ас
Т Х 7 “ Гх7’ ИЛИ “ Х ~
— 124 —
откуда правило: для умноженія цѣлаго выраженія на дробь, надо цѣлое по-
множитъ на числителя дроби, и произведеніе раздѣлитъ на ея знаменателя.
Л	У аі — &4 а — Ь __________	(«‘ — Ь4)(а — Ь) __
іримъры. 1.	__ ш X _ряЬ —	_ 2аЪ _|_ аЪ) —
(«24-Ь)(а — Ъ)(а—Ъ) п	,	, .
----—(а — Ау2„са	' Сокративъ дробь на (а-]-Ь)(а — Ь)2, получимъ
искомое произведеніе:
«24~ &а
а
И. X (« + ») =	» •
а2 — о2 1 7	(а + Ь)(а — Ъ)	а — Ъ
ІП Г„4	А4', у 2в («4 —Ь4).2а_(я2 + &2)(в2 —ь2).2я_, 2 , „
* Ь і < ^+-^ = -^4 Ъг~ ~---------~(а ~Ь
Примѣчаніе. — Доказанное правило распространяется на какое угодно чи-
сло дробей; такъ
4 у	1	ѵ е_	ѵ	4- псгід-
Ъ А	а	Л Г	Л	Л — МА’
_ ,	а с ас:	с е
въ самомъ дѣлѣ, по доказанному: ,~Х ,	= г,з умноживъ эту дробь на -у
О	(І ОС»	/
« асе	Я
найдемъ —помноживъ эту дробь на четвертую -р найдемъ окончательное
произведеніе
асед
ЪЛ/Іі
Примеръ. Вычислить
ж3 + з/3	х — у	(ж4-у)3 —ж3 —у8.
ж3 — уі	х-\-у Зх^у — Зху*
Прилагая предыдущее правило, найдемъ
(ж3 4- у3)(х — у)[(х 4- у)« — ж3 — у3]
(ж3 — у3)(х 4- у)(3х*у — Зху^)
Замѣтивъ, что (&-|-^)3 — х3 — у3 = (х~І-у)3—(&5-|-2/,і) =
(ж 4-^)(5ж3^ 4- 5ж2^2 4- 5ж^3) = (ж 4-у).5ху.(х2 4-ху 4-^2),
представляемъ произведеніе въ видѣ
5жу(ж3 4- у3)(х — у)(х 4- у)(ж2 4~	+ у2)
Зху(х3 — у3)(х 4- у)(х — у)
откуда, по сокращеніи, найдемъ
5(ж3 4- у3}
Цх — у)
104.	Дѣленіе дробей. — Пусть требуется раздѣлить у : у-
Положивъ = р и с = у, имѣемъ отсюда
о г а
а=Ър и с = дц.
— 125 —
Раздѣливъ равныя величины (а и Ър} на равныя (с и получимъ рав-
ныя; слѣд.
с
Умноживъ обѣ части этого равенства на
ай Ърй
сЬ йдЪ
Сокративъ вторую дробь на Ьй, найдемъ
_ Р .
о.
величины,
ай
а __Ър
йд
й
, найдемъ
получимъ
(1).
с а х 1 а	а
ѵ— или -г- : с =
ос Ъ	ос
ай
Ъс
Подставивъ вмѣсто р и д ихъ
а с ________________________
Ъ ' й Ъс
Отсюда правило: чтобы раздѣлитъ дробь на дробь, надо числителя пер-
вой дроби умножитъ на знаменателя второй, а знаменателя первой на чи-
слителя второй, и первое произведеніе раздѣлить на второе.
Полагая въ равенствѣ (1) й = 1, найдемъ
а
ъ ' 1
Отсюда слѣдуетъ, что для раздѣленія дроби на цѣлое выраженіе надо’,
числителя раздѣлитъ на произведеніе знаменателя на цѣлое выраженіе.
Положивъ въ равенствѣ (1) Ъ = 1, получимъ
а с ай	с ай
= я---- илиа:-т = —...........(2)
1 а 1 х с	а с	4 '
Слѣд., чтобы раздѣлитъ цѣлое выраженіе на дробь, надо цѣлое умно-
житъ на знаменателя дроби и произведеніе раздѣлитъ на числителя.
Примѣчаніе I. — Двѣ величины А и В называются взаимно-обратными,
если ихъ произведеніе равно 1. Итакъ, когда А. В=1, то А есть количество
обратное величинѣ В, а В обратно количеству А. Изъ равенства АВ = 1 находимъ
А в и В —
откуда заключаемъ, что обратная данной величины равна частному отъ раздѣ-
ленія 1 на эту величину.
д В
Очевидно, что дроби — и — взаимно-обратны, потому-что
15 А.
А В АВ .
В ХА=АВ = 1-
Имѣя въ виду это замѣчаніе, можемъ правило дѣленія на дробь выразить
въ слѣдующей Формѣ. Изъ правила умноженія дробей слѣдуетъ, что ~ и у
й
а х —; а потому равенства
можно представить въ видѣ произведеній:
(1) и (2) можно написать въ видѣ:
а с ай
-т-: — = — х — и
Ъ й Ъ с
а	й
-Г X —
Ъ	с
и
с
а: -^- = а
а
а
х7’
— 126 —
отсюда видно, что для раздѣленія цѣлаго или дробнаго выраженія на дробь на-
до дѣлимое умножить на величину обратную дѣлителю.
Примѣчаніе II. — Мы нашли, что
а ' с  ай
Ъ ' й	Ъс'
Величина дроби не измѣнится, если числителя и знаменателя раздѣлимъ
на сй: сдѣлавъ это найдемъ:
ай	а
а	с  сй  с
Ъ ' й	Ъс	Ъ
сй	й
Слѣд. при дѣленіи дроби на дробь можно поступать еще слѣдующимъ обра-
зомъ: числителя первой дроби раздѣлить на числителя второй, а знаменателя
первой на знаменателя второй, и первое частное раздѣлить на второе.
Очевидно, что этотъ пріемъ слѣдуетъ примѣнять только тогда, когда числит.
и знамен. дѣлимаго дѣлятся на-цѣло на числ. и знам. дѣлителя.
т 2а(аЪ — &2)	. ,	7,,	2аЬ(а— &)	26
Примѣры I.	: а(а- — V) = .	—г
' (а-рЬ)2а(а—Ъ)(а-\-Ъ)
п _ 14аж__________7.5ахЪу______ЪЪу
Н. Іах :	— ~2-
ттт х* — а1 (х -|- а)2____________(х — а)4(ж -р а) ____(х — а)2
ж2 — іах а2 ‘ (х — а)3 (х — а)2(ж	а)2	х-\-а
у-у* а3 “I- Зя2ж Зиж2 -|— ж3. (а -р- ж)2   (а х')3	, (а —р ж)2
х3 — у3 ' х* -|- ху ~р у* (ж — у)(х* -р- ху	?/2) ’ ж2 ху -рг/2
Здѣсь числитель и знаменатель первой дроби дѣлятся соотвѣтственно на
числ. и знам. второй, сл. частное =
(а-Рж)3 : (а-рж)2	___а-)-х
[(ж — ?/)(ж2 + ху + ?/2)] : (ж2 + ху + ?/2) ж — у
105.	Приводимъ еще нѣсколько примѣровъ дѣйствій надъ дробями.
I. Упростить выраженіе
а — Ъ
а 1 -]-аЪ
. . а(а — Ъ)
1 "і_Т=нГ
Умножаемъ прежде всего числителя и знаменателя данной дроби на 1 -р аЬ,
чтобы привести ихъ къ цѣлому виду; сдѣлавъ это, найдемъ:
а(1 ~Р аЪ) — (а — V)
1 —|— аЪ —р а(а — Ъ~)
Раскрывъ скобки въ числителѣ и знаменателѣ и сдѣлавъ приведеніе, найдемъ
а*Ъ + Ъ
1 + «2 ’
Ь(1 + а2)	,
-Ѵѵ или Ь-
1 —а2
Данное выраженіе равно, слѣдовательно, Ъ.
— 127 —
II. Упростить выраженіе
а3 аЬ3
1-------г
Чтобы привести оба члена дроби къ цѣлому виду, множимъ ихъ на а(а-\-Ъ);
причемъ въ числителѣ первый множитель умножаемъ на а, второй на а-\-Ъ.
Такимъ образомъ найдемъ
(а4 — &4)(а3 + а3Ъ — а3 — аЬ3)(а3 — Ь3)аЬ(а — б)
а(а -|- Ь) — а3
III. Помножить
4®3?/2	3®4г/3 [ 2®г/4	у3
5а3	2а3Ъ ' ЗаЪ3	Ъ3
аЪ
—Ъ3)(а — Ъ).
2х3у Зху3 Зг/3
На Іа4 “ баГ ~ 2Ь2’
гдѣ оба сомножителя расположены по нисходящимъ степенямъ х.
4х3у3	Зх3у3 . 2ху^ у3
~5а3	2а3Ь ‘ Заб4 ~ Ъ3
2х3у ' Зху3 Зу3
~За3~5аЬ ~~ 2Р______________________________________
8®3?/3	®4^4 . 4х3у3	2х3у6
15а3	аѢ “Г Эа3^4	За4^
12®4#4	[	9®3#3	2х3у3	.	Зху1
25а*Ъ	'	10а3&4	5а3Ъ3 ~Г~ 5а&4
12®3г/3	।	9®4^/6	ху1 ।	Зг/8
1Оа3Ь4	'	4а3Ъ3	аЪ1 '	2&3
8ж3г/3	37ж4з/4 [ 13ж3г/3 [ 71жаг/6	2жг/7 . Зу3
15а3 — 25а4Ь “I- 90а3У4“’~ 60а4&3 ~~ баб4 + 2&3
IV. Провѣримъ полученный результатъ: это будетъ примѣръ дѣленія дроб-
ныхъ многочленовъ, расположенныхъ по степенямъ главной буквы.
37®4у* । ІЗж3?/3 [ ТІ®4^6 2ХУ1 . Зу314®3?/4	Зж4?/3 . 2ху^	у3
2&31 5а3	2а4& ' ЗаЬ4	Ъ3
2х3у Зху3 Зу3
“За4"- ІаЬ" 2Ъ3'
Опредѣленіе членовъ частнаго:
8®3г/3 _ 4я:3г/4_8я;3г/3 : 4х^3_2х3у.
Іба3' ’ ба3 ~ 15а3: 5а3” Іа4"
12®4?/4 4х3у3_____	12®4г/4: 4ж3#4 Зху3
25аіЬ ' 5а3	25а4&: ба3 5а&
б®3^5 . 4®3г/2_	6я:3г/3 : 4®3г/4_ Зу3.
5а3Ъ3 ‘ Іа3""-	5аѢ3-.5а^~~~1Ь3
8л;3#3
15а3 — 25а4& “И ѲОа^2^ бОаФ “ бай4 “Г
8®3г/3	хіуі	4х3у3	2ж4^6
~ І5а3 а^Г	9а3Ъ3 ± ЗаІІ3_______________
12®*^* Зх3у3 [ ЗТх^3 Ъху1
~ 25аѢ ~ І0а3&4 + 20а4Ь3 ~ 5аР
! 12®4г/4__ 9х3у3 ! 2х3у3_____Зху1
25а4& ’+” 1Оа3&4	5а4&3'+' 5а&4
Зх3у3 . 9®4г/6 ху1 ( Зг/8
5а3Ъ3	4а3Ъ3
Зх3у3 . 9®4г/6
5а3Ъ3	4а3Ъ3
ЧУ I ЧУ п ____
аЫ' 2&3
г э 
а&4 ' 2&3
О
106- Задачи.
Сократить дроби:
108а3Ъ3с3<13
’ 96а%сЗД ‘
84т3гг4р
35тіпр3
— 128 —
39а2Ь3 — ЗбаЬ3
65а36с — 60а2Ьс
т3а3 и3а2
а(иі2 и2) — тап
5 ж(ж3 + У3Хж—
(а:2— ^8)(«г4~^2 — ХУ)
(т- — 4а2)(иг2 -]- ат — 2а2)
(иі2 — а2) (иі2 — ат — 2а2)
„ а3 — а2х — аж2 — 2ж3
7. -----------------------.
а3 — 2а4а; — аж4 2а;3
а:4 + За;3 + х 4- 3
а>3 — 8х + 3
За4с 4~ 5а3Ъс — 2а3с2
2аЬ2с2 — За2Ь2с — 5аЪ3с
21а3Ь3с3—•35а3Ь3с3— 49а3Ь3с3
35а2Ь4с6— 15а4Ь4с4-|- 25а4Ь2с6
11 асЪхахЪс
ау 4~ 2Ъх 4~ 2ах Ъу
і2 2аг2 4- 26г2 4- За3 За2Ь
аЬ2 4- Ь3 —• 2аа;2 — 2бж2
1 5ас2 — 4аЬ2 — 12Ь2а; 4-1 5с*х
8а3 — 4М& 4~ 24а2ж — 12&2» "
14а3а>5 4~ 9а266—664ж4—21а862ж
12а464^28а7ж 4- 21а36ж4—968аГ3
і5 _а34~(14~«)а&4-&2
а3 4~ (1 — Зс2)аЬ — За3с2
6а2с2 — 2а4 4- 186с2 — 6а26
' 4а4 4-- 2а2с2 + 12а2Ь 4~ бЪс3'
ж4 —у2
х3-\-ху
9ж3— 4ж
6а;2//2 — 4г/2
З5а3 4- 24а2Ь2 — 21а3Ь 4“ 1эа362 — 40а4Ь — 9аЬ3
' 28а3Ь2 — 42а4 — 18а262 — 32а‘-634~’48а^4Н2аЬ4''
20.	ж4?/4 — а3	29.	х*+у2+^2 4~ %ху+^хг 4-
	15а:2г/2— Іоа^ху		а:2 — у3 — г3 — 2уг
21	243а:1(|г/2а:4 — 4 8ж2^/14	30.	х3 — 4а;	4
	21ж4^3^4 4~ 14ж2г/3х:3		х3—5а: 4~ 6
22.	135а3Ь4(а4 — Ь4)(а3 4- Ь3)	31.	а:2 — 7х 4-12
	153а3Ь«(а24-Ь2)(а3—Ь»)		ж2 — 8ж-(-15
23.	15а2 — 21 аЪ	32.	а:2 — х — 20
	25а2 —90аЬ 4-81Ь2		а:2 х — 30
24.	За4ж 4~ 6а3ж2 4~ За2а:3	33.	2а2 — аЪ — ЗЬ2
	5а3а;2 4~ 15а2а:3 4~ 15аа:4 4~ 5а;3		2а2—5а&4-ЗЬ2
25.	ж2 — (а— Ъ)х — аЪ	34.	За:2—10а:#4-8з/2
	х3 4- Ъх3 4~ ах	аЪ		5а:2 — ІЗху 4=- бу2
26.	ж2 4~ (Ь — с — а)х— (Ъ — с)а	35.	ж4-—х3 — ж4- 1
	а;2 — Ь2 4~ 2Ъс — с2		ж4 — 2х3 — а:2 — 2ж 4~ 1
27.	аж2 4~ (Ъс — аЪ — ас)х~\-аЪс— Ъ^с.	36.	ж4—16
	Ь2^2 — 2аЬс2 4~	— я8#2		а:3 4- 2а:2	4~ 8
по а3Ъс— Ь3с4~2&2с2 — Ъс3
8' 4аЗД2 — (а2+Ь2^с2)2’'
а2(Ь2 — с2) — аЬ(2Ь2 4- Ъс — с2) 4- Ъ\Ъ 4- с)
37- аз(г>2 2Ьс 4- с2) — а2Ь(2Ь2а4- ЗЬс + с2) 4~ аЪ\Ъ 4*с) ‘
(с — й)а2 4- 6(Ьс — ЪЛ)а 4- 9(Ь2с — Ь2й)
8' (Ъс — ЪЛ 4~ с2 — сй)а 4- 3(Ь2с 4~ Ьс2 — ЪЫ — ЪсЛ)
аЪ(х'і-\-уі)-\-ху(аі-[-Ъі)	8а;3—12л24~ 6«—1
3 ' аЪ(х* — у3) 4~ ху(а? — Ь2)	'	4ж2 — 1
а9 * * — ах3 4~ а3х — х3
а3 — ах14- а1х — х3 4~ \І2(а3х — а3х3 4- «3#2 — аж4)
41.
— 129
л/ ___2»2-7»4~3	.
2»3 — II»2-}-17»— 6
»3—З»2 —4»4-12
44‘ »3 — ІО»2 4-31» — 30 ’
»2 — 3»у 4- 2уа 4- »^ — 2уг
»24-2^ — у2 — ал-
а3'— й(Ь2	с2) 4~ 2а6с
43• 2а262 4- 2&2с2 4- 2а2с2 — а4 * 6 — — с1 ’
хі _ хз _ 32»2 — 12» — 144
45.--------------------------------
»3 — 7» 4-6
47 (ж + у)7 —ж7 —?/7 .
(»4-?/)3 — х*— у3
Привести къ общему знаменателю дроби:
2»2г/	З»3	4«/3	5»г/2
48‘ *3й3’’ 4<Л’ бйЬ2’ 6Ъ3'
49. _____*_____________к_____________*_______
4а3(а 4~ х) 4а3(а — »)	2а2(й2 — »2)
г л	х ху	х”'уі .
° ‘ »2 — у^ х3— у3' (»4-Ю(жі — У*)
а Ъ с (а4-^4~с)3
й 4—	& 4—	с 4— ® («4—^0(^4—с)(с4—^9
52.		?______________Ь______, __________‘_______
(а — &)(а — с)	(Ъ — с)(Ь — а) (с — а)(с — Ъ)
а*	&2	с2
53-	&2с2(й2 —&2)(й2 —с2)’ аѴ(Ь2^а2)(^—сУ)’ а%2(с2 — а2)(с2 — 62) ’
Сдѣлать сложеніе и вычитаніе въ слѣдующихъ примѣрахъ:
54.		г______і__---г.	кк	_-------___.
аЬ ‘ ас ‘ Ъс	' а*—&2 ‘ а-]-Ъ а—Ъ
~ _____1_____।___1____।_____1__
4(1 4- ») ”* 4(1 — ») ”* 2(14- »2)
5	1	24
*’7" 2(»4-1)	10(» —1)	5(2»4-3)’
58. _1____Г 6	/2	16 чі
1 4~ х	1і—х	\1 4-2® 2» — 1/1
59 _________*________I_____________ _і_________І_____.
й(й — &)(а — с) ‘ Ъ(Ъ — а)(Ъ — с) ‘ с(с — а)(с — &)
а	Ъ	с
(а — Ъ)(а — с)(» — а) ‘ (Ъ — а)(Ъ — с)(» — Ъ) ‘ (с — а)(с — &)(» — с)
Ъс(а-^-<2)	йс(&4~^)	।	аЬ(с4~<2)
(а — 6)(а — с) ‘ (Ъ — а)(Ь — с) ‘ (с — а)(с — 6)
й2 — (Ъ — с)2 . &2—(с —а)2 с2 —(а—Ь)2
6“’ (а4-с)2 — &2+(а4-й)2 — с2'т'(&4-с)2 — а2 ’
(и 4- М(а2 4- 62 — с2) (Ъ 4- с)(&2 4- с2 — а2) (а 4- с)(а2 4- с* — Ь2)
63‘	аЪ"	+	Ъс	+	ас
64	+ а Ь
аЪ(а—Ъ)* Ъ а
а1	Ь*	.	с1
(а — &)(а — с)(а — й) ~ (6 — а)(& — с)(& — й) ~ (с — а)(с — &)(с — й)
(Л —а)(й —Ь)(й —с)'
9
- 130 -
Ж2^2	(Ж2 — Ь^2_Ь2)(^_Ь2)	^х2 — С2)(у2 — С2)^2 — С2)
66-	&2С2 +	Ъ\Ъ2 — С2) "	С2(^Т^с2)	’
а262с2	а2&2б?2	а2с2а2
6'’ (а — <7)(Ь — й)(с — а) + (а — с)(Ъ — с)(а— с) + (а — Ъ)(с — Ъ)(а — Ъ)
____________Ь2С2<?2_______
‘ (Ъ — а)(с — а)(а — а)
68 (ж~^)2 + (у-^)2+(^-^)2 ।	2 ,______2_	2 .
(ж— «/)(«/—г)(г — ж)	~г X— у'' у— г "г г — х
2	ж —3	. ж2
69‘ ж_|_4	& — 4ж4-16 ‘ ж34-64 ’
2а '	1___.	1	.
1 ' а1 — а24-1	«2 — а4-1‘«2 + а4-1
71.	1	।______2__________1________
а2—7а-}-12 ' а2 — 4а-}~3 а2 — 5а-}-4
(а-}~Ь)2	2а2-}-а — 3 ,	25 — 2а5	а-^-баЪ— 36
'2- а2_42 ~6а2 4- 5а—6 1 За2 — 2а — ЗаЪ -±-2Ъ ~ 9а26а — 9аЪЦ-7;І ’
ж -}— 3 ж2 — 5	2ж3 — ж — 3
”3' 2ж — 1 ~4ж2 —4ж4-1 ~ 8ж3 —12ж2-Рбж—1 ’
пі	г* —2г2 —3	г2 —4г 4-1
74 ’ 15г6—17г2—18 4~ 25г4	12г5 —г2—6 '
Ж .	Ж24-»4-1 I ж2 — ж — 1 ж3
1 ‘ ж2—і "г" жз—ж2 4~ Ж — і ‘ ж3 4~ ж2 4- ж 4~ і	хі — і
Сдѣлать умноженіе дробей:
ба352	14а9»г” 5и1Ц»к бат-
* 7тіпі Х 25и!і&11 Х 6а15543 Х Ъ3п
_____ ж5 — г/5 ж — у
77______________<_ _ _ ѵ ________К—.
ж2 — 2жг/ 4~ У* ж2 -}- ху
_ а6 — б6 а2 -}- 62 а 4~ Ь
/8, а54--2а2624-Ті Х а2 —а54-Ь2 Х а^-Ь3'
Ж2—(т 4- и)ж 4~	х ж2—у>2
ж2 — (т 4- р)х 4~ ИФ	хг — п2
яо ХІ+ЖУ /__4___________
ж2-}-?/2 ‘ \ж — у х-\-у’
а2 — ж2 а2—Ь2 / . аж \
81.		. . х---;—; • (а4-------)
а -}- Ъ	ах 4- ж2 \ а — ж/
82.	(а	‘Ъ	с	2>)	("1 2с У
\Ъс	ае	аЪ	а/	\	аД-Ъ-^с/
84 *2 + 4ж4-3 ж2 —7ж-}-10
ай- ж24-10ж4-21 ж2 —8ж4-15
я. __1______/1 , 1\ , . 2	/1 1у
(р 4- з)2' \Р2 з - ' (р+з)3	ч'
/а4-х , Ъ—х\ ,а — ж . 5-}-^
85.	(----4“ 5—і— ) • (—।—	і--) *
\а — ж 1 Ъ-\-х/ \а-}-®	о — х/
131 —
ж2 —2ж4-1 ж24~Зж4-2 ж2 —4,
ж2 2ж 1 Х ж2 — Зж 4~ 2 Х ж2 — 1
89 ж3 + у3 х х~У х (ж4~у)3 —ж3 —у3.
ж3 — у3 ж 4~ У Зж2у 4~ Зжу2
Сдѣлать дѣленіе въ слѣдующихъ примѣрахъ:
14а2&3с . 35«?7/Ѵ
У0‘ ЗЭйѴѴ : 9а4&8с2 '
91 ж2 4~ У2 4~ 2жу — г2 . ж4~у4-^ .
&— ж2 — у24~2жу ’ у4~« — ж
а4 — За3ж 4- За2ж2 — аж3 а4 — 2а3ж 4- а2ж2
а3& — &4	’ а2&2 4- «б3 4"
93. |5Л 5^ + 5абг_ая + ^_м|.^_^ + ^.
94. ( тВ — 32^У/' _ 2 \ .
К32и«	243/‘\2и2	3^7
а2&2. га^.г&М асі.гаЬ . &сп
Н5‘ 4Г'1 гГ-ь а ’ Г2Мс2 ’ а2.!/ '
97 /ж4-у ж —у\./ж24-у2 ж2 —у2\
\Ж — у"4 Ж4~у/\Ж8 — у2 Ж24-У2/
99	ж8+1 _ ± • Ж(2 + а!)
2ж —1	2  1—2ж ’
юо. (І1+2.+і-1):(» + 1 + і).
101. Провѣрить равенство
1 1 1 1
а	2>4~с . Ъ	а4~с  2е
1 .	1	‘ 1 	1 — а +	"
а ‘ &4~с	‘ а4~с
102.	Упростить выраженіе:
103.	Упростить выраженіе
1+1тт^г
і4-«4~ ч—•
1	1 1— а
- 132 —
.., „	ЗаЬс а ' Ъ ' с
104.	УПРОСТИТЬ 7-:-----7---------------------
Ьс-^-са—аЪ	1	1	1
а ‘ Ъ ‘ с
-+-І-
105.	Упрос,™	+ ‘ . / 1	.
1	1 і 1	26с I
а Ь-|-с
106.	Упростить
Г<а+Ь)\	1І
I іаЪ 1 Л іаЬ "і- ] [(а-1-6)2— а6][(а— 6)2-|-а6]
(аЦ-6)3 —3«26 —Заб2 х	—	"
110.	Опредѣлить дробь, имѣющую свойство не измѣнять своей величины отъ
прибавленія къ ея числителю 6, а къ знаменателю 15. Обобщить вопросъ.
111.	Доказать, что если къ обоимъ членамъ дрооби придать поровну, то она увели
чится, когда она <1, и уменьшится, если величина ея > 1.
112.	Если квадраты двухъ сторонъ треугольника пропорціальны проэкціямъ этихъ
сторонъ на третью, то доказать, что даиный треугольникъ есть илп равнобедренный,
или прямоугольный.
ГЛАВА X.
Возвышеніе въ степень.
Опредѣленіе.— Правила: знаковъ н показателей. — Степень произведенія и дроби.—
Возвышеніе одночлена въ степень.—Квадратъ и кубъ многочлена.—Задачи.
107.	Опредѣленіе. — Въ этой главѣ мы разсмотримъ возвышеніе въ цѣ-
лую положительную степень.
Возвыситъ количество въ цѣлую положительную степень значитъ повто-
рить его множителемъ столько разъ* сколько въ показателѣ степени нахо-
дится единицъ.
Такъ: а2 = а.а; а3 — а.а.а^ ап = а.а.а.........(п разъ).
— 133 -
Такимъ образомъ, возвышеніе въ степень есть частный случай умноженія,
— случай, когда всѣ производители равны. Количество, возвышаемое въ сте-
пень, называется основаніемъ степени. Такъ, въ Формулѣ а3, а есть основаніе;
въ выраженіи хп основаніе есть х.
108.	Правило знаковъ. Правило знаковъ при возвышеніи въ степень вы-
текаетъ непосредственно изъ правила знаковъ при умноженіи; но послѣднее
остается одинаковымъ, будутъ-ли производители даны съ ихъ окончательными
знаками, или же окончательные ихъ знаки неизвѣстны, поэтому и правило
знаковъ при возвышеніи въ степень въ обоихъ случаяхъ будетъ одно и тоже.
1. Случай возвышенія въ четную степень. Пусть требуется количества
4- а и — а возвысить въ четную степень 2»; это значитъ — то и другое осно-
ваніе надо повторить множителемъ 2п разъ. -)-а, взятое 2п разъ множителемъ
дастъ а2п; взявъ (— а) множителемъ 2п разъ, можемъ все произведеніе
разбить на п паръ, изъ которыхъ каждая дастъ знакъ 4~, а потому и иско-
мая степень имѣетъ знакъ
аХ~ «)• (— д)(—.......................(-«)(-	а),
слѣд. (—а)2', = 4_®2п- Итакъ
(± «)”> = + а”,
т. е. четная степень всегда даетъ знакъ , будетъ-ли передъ основаніемъ
знакъ или — .
2.	Случай возвышенія въ нечетную степень. Если передъ основаніемъ
находится знакъ то изъ правила знаковъ при умноженіи прямо слѣдуетъ,
что и произведеніе будетъ имѣть тотъ же знакъ, слѣд.
.......(1)
Если передъ основаніемъ будетъ знакъ —, то возвышая — а въ нечетную
степень 2п-|-1, мы получимъ произведеніе 2п 1 множителей, изъ которыхъ
составится п паръ, дающихъ знакъ и останется одинъ множитель (— а),
вслѣдствіе чего произведеніе будетъ имѣть знакъ —:
С~ .....................'~а^
Итакъ:	(—а)’п+1 =— а2|,+*...........(2).
Изъ (1) и (2) слѣдуетъ, что нечетная степень имѣетъ такой же знакъ
какъ и основаніе. —
Примѣры. (-3)2 = 4-9; (4-5)‘=4-625-, (-}-4)а = + 64; (-4)3 =
— 64;	= -|- а’; (4~ а)5 —4"	(—а)3;= —	и т. д.
109.	Правило показателей. — Пусть требуется ат возвысить въ степень р,
гдѣ а — какое угодно количество, а т и р — числа цѣлыя и положительныя.
Возвысить ат въ степень р значитъ повторить это выраженіе множителемъ р
разъ; слѣд.
(атУ — ат. ат. ат. ат............ат (р разъ).
Но при умноженіи показатели складываются, слѣд. вторую часть равенства
— 134 —
можно представить въ видѣ а“ + “*і“ +..........,	гдѣ т берется слагаемымъ
р разъ; т, повторенное слагаемымъ р разъ, даемъ гпр-, слѣд,
(ат)ѵ = атр.
Отсюда правило: для возвышенія степени въ новую степень нужно пока-
зателя возвышаемаго количества помножить на показателя новой степени.—
Такъ: (а4)8 = а20; (ат~ 1)га + і = ат‘- 1 и т. д.
110.	Возвышеніе произведенія въ степень. — Пусть требуется произведеніе
аЪс возвысить въ нг-ую степень; это значитъ — повторитъ аЪс множителемъ т
разъ; слѣд.
(абс)ж = абс. аЪс. аЪс............аЪс	(гдѣ аЪс взято т разъ); перемѣняя мѣ-
ста производителей, имѣемъ
аЪс. аЪс.......аЬс — ааа..........а X ЪЪЬ........6 X ссс........с;
здѣсь каждая изъ буквъ а, Ъ и с берется множителемъ т разъ, слѣд. послѣднее
выраженіе въ сокращенномъ видѣ = атЬтст. Итакъ
(абс)™ = атЪтст.
Отсюда правило: чтобы возвысить въ степень произведеніе должно каж-
даго множителя огпдгьльно возвыситъ въ требуемую степень и результаты
перемножитъ. —
111.	Возвышеніе въ степень дроби. — Пусть требуетстя дробь ~ возвысить
въ т-ую степень; это значитъ — дробь — повторить множителемъ т разъ. По
правилу умноженія дробей имѣемъ
/а\т____ ааа	а ,	,____а.а.а...... а(т разъ)_____а”‘
\Ь)	Ъ Ъ Ь	Ь 'т	Разъ'	Ъ.Ь.Ь...... Ъ(т разъ)	Ьп
/ а\т ат
гт	I _ I ——----
т. е. для возвышенія дроби въ степень слгьдуетъ возвысить въ данную сте-
пень числителя и знаменателя отдѣльно, и степень числителя раздгьлить
на степень знаменателя. —
„	я /3\2 З2 9 /3\3 З3 27
По этому правилу найдемъ:	)	= — и т. п.
112.	Возвышеніе одночлена въ степень. — Пусть требуется одночленъ
2аѴст<і возвысить въ пятую степень. Для этого надо каждаго изъ множителей
2, а3, б5, ст и й возвысить въ данную степень и результаты перемножить,
причемъ при возвышеніи степени въ данную степень — показателей перемножить.
Такимъ образомъ, послѣдовательно найдемъ:
(2а3Ь*стауі = 23. (а3)3. (б3)8. (с“)3. й3 = 3 2а13623с3тай3.
Итакъ, чтобы возвысить въ степень одночленъ, должно возвысить въ дан-
ную степень ею коэффиціентъ, а показателя каждаго изъ буквенныхъ мно-
жителей умножить на показателя степени. —
При возвышеніи въ степень дроби нужно такимъ образомъ поступать съ
числителемъ и знаменателемъ. Такъ, напр., послѣдовательно получимъ
/ 4а3б2ст~2\3 _ (4а3б2ст~2)3 _ 64а3б6с:)т~6
к	~ -('м/'4)з~ — ~~з43й3/12 ’
— 135 —
113.	Для возвышенія многочлена въ как-ую угодно степень служитъ особая
Формула, извѣстная подъ именемъ Формулы Ньютона. Она будетъ выведена
впослѣдствіи; въ этой главѣ мы ограничимся выводомъ чаще употребляемыхъ
Формулъ квадрата и куба многочлена.
114.	Квадратъ многочлена. — Мы видѣли, что каковы бы ни были количе-
ства а и Ъ по знаку, всегда имѣемъ
(а б)2 = а2 + Ъг 4~ 2аЪ.
Взявъ триномъ а Ч~ с и разсматривая на-время а 4- Ъ какъ одинъ членъ,
найдемъ послѣдовательно
(а + Ъ + с)2 = [(а 4- &) 4- ср = (й 4- б)2 + 2(а + б)с с2 == «2 4- б2 4- 2«б -|-
2ас 4- 25с 4- с2 = а* 4~ б2 4~ с2 4~ 2аб 4- 2ас 4- 2Ъс.
Послѣдняя Формула показываетъ, что квадратъ тринома состоитъ изъ алге-
браической сумы: квадратовъ всѣхъ его членовъ и удвоенныхъ произведеній
каждаго члена на каждый, за нимъ слѣдующій. Докажемъ общность этого за-
кона, т. е. что онъ справедливъ для многочлена, состоящаго изъ сколькихъ
угодно членовъ; а для этого, допустивъ, что законъ вѣренъ для многочлена,
состоящаго изъ п членовъ, докажемъ, что онъ останется вѣренъ и для мно-
гочлена, содержащаго однимъ членомъ больше.
Итакъ, допускаемъ, что замѣченный для квадрата тринома законъ вѣренъ
для полинома а4- б 4- с4- й.........4-г4-^ состоящаго изъ п членовъ,
и возьмемъ полиномъ а4-б4-с-Нг+ • • • • + 7 4- 4- содержащій п 4-1
членъ. Принявъ на-время сумму а 4-6 4~ • • • • 4-7 4-6 первыхъ п членовъ
за одинъ членъ, а весь многочленъ а-}-5-}-. • • 4-74~^4~6 за двучленъ, по
Формулѣ квадрата бинома напишемъ: [(а & + с 4“й ~г.....4“7 4-6)4"^2
= («4-64-с4-с?-Н .... -^г4-Л)24-2(а4-64-с-Ь . . . 4-г4-Л)й4-і2.
Но, по допущенію, (а4-^4-с4_^4_............4-7 4-?г)2 состоитъ изъ:
1) суммы квадратовъ всѣхъ членомъ отъ а до 7г включительно, т. е. изъ а2-]-
4-&’-4-с24-й24- . . . . 4-г24- Л2; и 2) суммы удвоенныхъ произведеній
каждаго изъ членовъ а, Ъ, с, . . . . . г, 1ъ на каждый, за нимъ слѣдующій,
т. е. 2аб 4~ 2ас 4~ 2ай 4~......2аіД-2а1і + 2Ъс-{-2ЪЛ-\- . . . . 4-276.
Всѣ эти члены написаны во второй части равенства (А) влѣво отъ верти-
кальной черты. Прибавивъ сюда 2(а-|~б4- • • •  4-6)6, т- е- алгебраическую
сумму удвоенныхъ произведеній первыхъ п членовъ на добавленный членъ 1\
и квадратъ 62 этого новаго члена, получимъ:
(А) (а4-&4с4-й4-. . . . 4-і47г4-А:)2=а24-б24-с24-сг24- . . . .4-і24-Л2
4-2аЬ4~2«с4-2ай4- • • • .4~2аі74-2а5
4-2бс4*2М4- .... 4-2Ьг4-2Ь/і
4-2сй4~ .... 4- 2сг4~2с7г
4-&2........а)
4“ 2л/і} .... р)
4-25Й .... 7)
4~2с6 . ... й)
-|-2 Пі 4-276	»)
[4-256 X)
Отсюда видно; что квадратъ новаго многочлена, содержащаго п4-1 членъ,
состоитъ: 1) изъ суммы квадратовъ всѣхъ его членовъ отъ перваго до послѣд-
— 136 -
пяго включительно (строка а); 2) изъ алгебраической суммы удвоенныхъ про-
изведеній — перваго члена на каждый за нимъ слѣдующій (строка |3), втораго
члена на каждый, слѣдующій за нимъ (у), . . . . , третьяго члена отъ кон-
ца на оба, стоящіе за нимъ (х), и предпослѣдняго на послѣдній (X). Однимъ
словомъ, во второй части равенства (А) находится алгебраическая сумма квад-
ратовъ всѣхъ п 4-1 членовъ новаго многочлена и удвоенныхъ произведеній
каждаго его члена на каждый за нимъ слѣдующій.
Такимъ образомъ, допустивъ, что закопъ вѣренъ для многочлена, содержа-
щаго п членовъ, мы доказали, что онъ вѣренъ и для полинома, имѣющаго од-
нимъ членомъ больше. Но вначалѣ мы видѣли, что законъ вѣренъ для трех-
члена, слѣд., по доказанному, онъ вѣренъ, и для четырехчлена; а будучи вѣ-
ренъ для четырехчлена, онъ вѣренъ по доказанному, и для пятичлена, и т.
д. — однимъ словомъ, для всякаго многочлена. Итакъ: квадратъ многочлена
равенъ алгебраической суммѣ квадратовъ всѣхъ его членовъ и удвоенныхъ
произведеній каждаго члена на каждый за нимъ слѣдующій.
Новый методъ доказательства, съ которымъ мы здѣсь впервые встрѣтились,
называется способомъ заключенія отъ н къ н—{— 1; у англійскихъ математиковъ
онъ извѣстенъ подъ именемъ метода математической или демонстративной
индукціи. Пзъ предыдущаго видно, что методъ этотъ состоитъ въ слѣдующемъ:
сначала спргведливость доказываемаго закона подтверждается на частномъ при-
мѣрѣ,’ какъ напр. у насъ на трехчленѣ; затѣмъ, — и это существенная часть
доказательства по этому способу, — доказываетса, что если теорема вѣрна для
какого либо случая (напр. для п члена), то она вѣрна и для ближайшаго слу-
чая (въ нашей теоремѣ — для п-{-1-го члена); отсюда слѣдуетъ, что будучи
вѣрна въ одномъ случаѣ, она вѣрна въ ближайшемъ къ нему, затѣмъ въ слу-
чаѣ — ближайшемъ къ послѣднему и т. д; слѣдовательно, теорема вѣрна и для
всѣхь случаевъ, слѣдующихъ за тѣмъ, съ котораго мы начали.
Изобрѣтеніе этого способа приписываютъ швейцарскому математику Бер-
нулли.
115.	Сгруппировавъ члены квадрата полинома иначе, можемъ дать ему слѣ-
дующій видъ:
(а Ь с	. _^г4-71)2=аз_^2«6-ЬЬ2-Ь2(а-4Ь)с + с24-2(а4-6
ір)й-|_сг»_|_2(а-Ь64--с-Ь^е-Н2+. . . .-}-7Л
Откуда видно, что квадратъ многочлена равенъ: квадрату 1-го члена,
удвоенное произведеніе 1-го члена на 2-ой, квадратъ 2-го, удвоенное про-
изведеніе суммы первыхъ двухъ членовъ на 3-ій, -|- квадратъ 3-го, удвоен-
ное произведеніе суммы первыхъ трехъ членовъ на 4-ый, квадратъ четвер-
таго, и т. д.
Въ этой Формѣ квадратъ многочлена примѣняется при извлеченіи квадрат-
наго корня изъ многочлена.
116.	Примѣръ. Найти (4а‘<г3 — 1аях2 — ба'.у-)-»3)2.
Примѣняя первую Формулу, найдемъ
16а4ж649а6ж‘4-ЗбаѴа10
— 56Л3 — 48а"я:* -}- 8а"‘х3
4* 84а\с3 — 14аѴ
— 12а9а;;
- 137 -
сдѣлавъ приведеніе и расположивъ члены по убывающимъ степенямъ буквы х,
получинъ
ІбаѴ — 56а3а;3 -{- а6хі 92а'ж3 -|- 22а8ж2 — 12а9х	а10.
Примѣчаніе. Если сумму квадратовъ членовъ полинома изобразить сокращен-
но знакомъ 2а2, а въ суммѣ удвоенныхъ произведеній вынести за скобки 2,
выраженіе же въ скобкахъ, равное алгебраической суммѣ произведеній каждаго
члена на каждый, за нимъ слѣдующій, изобразить въ Формѣ 2а&, то Формулу
квадрата многочлена можно представить въ сокращенной Формѣ такъ:
(а Ъ с ................+ г + 7г}2 = 2а2 + 22а&.
117.	Кубъ многочлена. — Въ § 37, IV мы нашли, что (а+ 3а’б
+	Ь9. На основаніи этой Формулы, взявъ триномъ а-\-Ъ-\-с и принявъ
на-время а-\-Ъ за одинъ членъ, имѣемъ:
(а	[(а + &) +	— (а + 43 + 3(а4 6)2с-|- 3(а + б)с2 + с3 = а3
+ За2& + ЗаЬ2 + б3 + (За2 + 6аЬ + 362)с Зас2 + З&с2 + с3 =
а3 Ъ3 + с3 4- За2Ь + За2с + З&’а + Зб2с + Зс2а + Зс2Ь + ба&с.
Такимъ-же образомъ, взявъ четырехчленъ, и возвысивъ его въ кубъ, нашли-бы.
аз _|_ Ъз сз Лз
+ За2Ь 4- За2с + За2(7
4-3&2а-|-ЗЬ2с4-3&-4
4-Зс2а4-Зс’&4-Зс2й
-43й2а4-3й2&4-3й2с
4- бабс 4- 6аМ 4- бас<7
+ бЪссІ.
Изъ этихъ частныхъ случаевъ видно, что кубъ взятыхъ въ нихъ полино-
мовъ состоитъ изъ алгебраической суммы: кубовъ всѣхъ членовъ, утроенныхъ
произведеній квадрата каждаго члена на каждый изъ остальныхъ, и ушестерен-
ныхъ произведеній этихъ членовъ, взятыхъ но три.
Докажемъ теперь, что если этотъ законъ вѣренъ для полинома объ п чле-
нахъ а4-&4-с4-й4- . . . . 4-$г-|-г4-^, то онъ будетъ вѣренъ и для по-
линома объ п4-1 членахъ а-4&4-с4~^ - • • .4/7 4*4^4^- Принявъ
на-время а + &4с+- •  .+«4^ за одинъ членъ, по Формулѣ куба би-
нома получимъ
(а4Ь4с4^+......4/74~*4^4^)3=(а4^4б4^+........4 /4^)34^(^4 ^4^4.....+л)2/ь
43(а4&4с4й+..-..4г47^247г3.......(1)
Но по допущенію, (а + & + с + й+ . . . . +7 + ?г)3 состоитъ изъ: 1) суммы
кубовъ всѣхъ членовъ отъ а до 1і включительно, 2) суммы утроенныхъ произ-
веденій квадрата каждаго члена а, Ъ, ... , 1і па каждый изъ остальныхъ,
л 3) ушестеренныхъ произведеній этихъ членовъ, взятыхъ по три. Всѣ эти
члены написаны ниже влѣво отъ вертикальной черты; вправо-же отъ нея при-
бавлены раскрытыя произведенія:
3(а + &+. . . . -|-7г,)7з + 3(а + б + с+ . . . . + Д^2 + *'.
Такимъ образомъ получимъ:
— 138 -
(Я4-&4-С + Й4-................+^4-і4-7г4-7<;)3	=
а3 Ъ3 + с3 + . . 4-г3 4-7і3Л;3
За2&-|-3а2с-]-...........-)-3<Л	4~3а2^
4- з&’а+з&2с +.............4-3&% 4" 3&2й
Зс2а 4~ Зс^ +.............+3с2А	+ Зс^
а)
0)
т)
+ 37і8а + ЗД2Ь +............4- 37і2і + 3№	х)
!+ЗА2а-]-ЗЛ;2&-ЬЗ&2с	. 4-37сШ)
4- баЬс -|- баМ 4-..........4" бдік баЪк 4- баск 4- . . . 4~ 67й7м а)
Отсюда видно, что кубъ новаго многочлена объ и-|-1 членахъ содержитъ: 1) сум-
му кубовъ всѣхъ членовъ отъ а до к включительно (строка а); 2) алгбераиче-
скую сумму утроенныхъ произведеній квадрата каждаго члена отъ а до к на
каждый изъ остальныхъ (строки у,....,Х); 3) алг. сумму ушестеренныхъ
произведеній всѣхъ членовъ «, Ъ, с,.,к, к, взятыхъ по три. Однимъ словомъ,
законъ, предположенный вѣрнымъ для многочлена объ п членахъ, оказывается
вѣрнымъ и для многочлена, имѣющаго однимъ членомъ больше.
Но прямое возвышеніе въ кубъ показало, что онъ вѣренъ для четырех-
члена, слѣд. онъ вѣренъ и для пятичлена; а потому и для шестичлена, и т.
д. Общность закона такимъ образомъ доказана.
Сокращенно законъ этотъ выражается Формулою:
(а4-&4-с4-с74-. . . . 4-г4-7»4-7<;)3 = 2а34-32а2&4-62а&с.
118.	Сгруппировавъ иначе члены второй части, можно написать:
(а4-&4-с4-. . . . 4-г4-7»4-7:):, = а34-За2&4-За&24-&34-3(а4-&)2с4-
4-	3 (а 4- Ь)с8 4- с3 4- з («4-	4-.........4- к3.
Въ этой Формѣ теорема примѣняется при извлеченіи кубичныхъ корней
изъ многочленовъ.
119.	Примѣръ. Найти (5ж3—Заа;24~2а2а;— а3)3.
Примѣняя правило § 117, найдемъ;
125а;3 — 27аѴ4- ЗаѴ —
— 225а х3 4~ 150а9«7 — 75аАг6
4~135а2а;74- 54а4а;5— 27а!іа;4
4" 60а4я:3— Зба’а;4— 12а7ж2
4-	15а6я;3— 9а7я;24- бая:3 —180а3жв 4- ЭОа’а;3 — 60а:іа;44~ 36а6а;3.
Сдѣлавъ приведеніе и расположивъ члены по убывающимъ степенямъ буквы а;,
получимъ:
125а;9 — 225ая;8 4- 285а2я;7 — 282а3ж6 4- 204а4^5 — 12Зааж1 + 59а6а;3 — 21а7я;2
6а8а? — а9.
120.	Задачи.
Выполнить указанныя дѣйствія въ примѣрахъ:
1.	(2а2Ь^і)7.	3. (5аз^і)4.
2.	(6а8Ьс3л;5)3.	4. (—Зя2Ь3а;)4.
- 139 -
б. (— ЗаМЯх)*.
6.	(—ж)3.(—л')1.
7-	(— г/)2п+‘.(— у}3.
8.	(—а)2“~<.(—а)».
9.	(—«)2"+1.(—г)2®-*.
10.	(—ж)2™.(—ж)7.
11.	(— а&)2®. (— аЪуіп~1
12.	(—да/)2’1-,.(—да/)3.
із.(_лу. (_лу.
\ У >	\ У I
17.	Показать, что при р — четномъ:
(а — Ъ)Р=(Ъ—а)», и
(а— Ъ)₽+1~ — (Ъ— а)р+І.
18.	(5я—6#)р.(25з2+36^2)Ч5да|-6^)₽-
19	/т+№У . /р + у\х (Р — Я\х .
\Р—О/ \т-\-п) Хт— п/
,4хР+1\к /125т/п-1\'1
к зуп ) ‘ к 8хР )
14	.(— ±\іа.
\	2 /	\ Р '
2т-1
I) \2т+і
У — X \2»-І
п— т)
28.
'4 — у \2®+1 . — зу х2я
'.Ш — 1 / 'у--------
а2— Ь2\3 ,х1 — //4Ѵ
.я4— у У \б2 — а2/
'а2 — &2\3 /Xй—/А 4
я3 — У3' 'й2 — а2/
а4 — Ь4\5 /у3 — ж3\7
Х.С6 — у6)	\&2 — а2 /
гт3—и8|2п /у,а — жІ0\т
\ л‘3 — у3 >	\ п4 — ш4 /
31. (7а2л;п~2г/"+93’
32.	•
Цт2»3/
4а"Ь"-і \3
3^э»-і /
4ап-’Ь2с3-га х2 Вда/2"-2?1
9лѴл’2?<і ) ' 2апЬіс3=’"'
т
(64мг2 — 49п2)2
(8т — 7п)9
/а+&)3и+1 /	)2’л'3 /а + бУ*"1-7
38,	\ с /	\аГ'
- 140
39.	(бх*у — Зж2г/2 + 4ху* + 2г/4)2.
40.	(4ж3 7х*у — 5ху% -{- у3)2.
41.	(7а4 4-За3& 4-5а2&2 — 2аЪ3 — 364)2.
42.	(А х« — А хЧу* + А ж2г/‘ — у3
43.	(5аж34-3а2ж24-4а3ж4-2а4)2.
44.	(1 + Зж 4- Зж2 + ж3)2 + (1 — Зж 4- Зж2 — ж3)2.
45.	(2ат —3&П+І —4с24’)2.
46.	(ж2*+1 — 2г/3т+2 4-^и+п)2.
47.	(1 4~2ж4-ж2)3.	49. (ж24-2)ж4-<і)3.
48.	(За2 4~ 4аЬ — 2Ь2)3.	50. (ж3 4- 2ж2г/ — 2жг/2 — ?/3)3.
XI.
Извлеченіе корня.
Опредѣленіе.—Правило знаковъ.—Правило показателей.-—Корень изъ произведенія и
дроби.—Извлеченіе корня изъ одночленовъ.—Задачи.
121. Опредѣленіе. — Мы видѣли, что корнемъ п-ю порядка изъ А на-
зывается такое количество г, которое, будучи возвышено въ п-ук> степень,
даетъ А.— Выражая это количество знакомъ VА, имѣемъ, по опредѣленію, два
равенства:
’(/А ~-г и гЛ— А,
имѣющія одинаковое значеніе.
Символъ V называется радикаломъ порядка и; п — показателемъ корня;
если показатель п равенъ 2, его не пишутъ.
Дѣйствіе нахожденія корня называется извлеченіемъ корня.
Въ этой главѣ мы займемся выводомъ основныхъ правилъ извлеченія корпя
цѣлаго положительнаго порядка.
122. Правило знаковъ. — Слѣдуетъ разсмотрѣть 4 случая, смотря по тому,
будетъ ли подкоренное количество положительное, или отрицательное, а показа-
тель корпя — четный пли нечетный.
1.	Коренъ четнаго порядка изъ положительнаго количества имѣетъ два
значенія, одинаковыя по абсолютной величинѣ, но противоположныя по
знаку. —
Такъ квадратный корень изъ4-Э имѣетъ двѣ величины: 4~3 и —3. Та
и другая удовлетворяетъ данному выше опредѣленію корня, потому-что какъ
('4-3)22=4-9, такъ и (—3)2 = 4-Э. Такимъ образомъ можно написать, что
^4-9 = —3 (читается: квадр. корень изъ -[~9 равенъ плюсъ или минусъ 3).
- 141 -
Корень четвертаго порядка изъ -[-16 также имѣетъ двѣ величины-[-2 и
— 2, потому-что какъ (—[-2)4 = —16, такъ и (—2)4 = 4-16. Итакъ V16
= ±2. Вообще.
потому-что и (4- а)2п = -[- а2", и (—а)2’1 = -[-а2’1.
2.	Коренъ нечетнаго порядка изъ положительнаго количества есть вели-
чина положительная.
Такъ V + 8 = + 2, потому-что (-[- 2)3 = -[- 8. Также VЦ-125 — 5, такъ-
какъ (-[-5)3 = -)-125. Очевидно, что первый корень не можетъ равняться
— 2, а второй —5, ибо эти числа не удовлетворяютъ опредѣленію корня;
въ самомъ дѣлѣ, — 2 и — 5, будучи возвышены въ кубъ, даютъ — 8 и —125.
Вообще.
2п+ѵ -ь	1 ~+а,
потому-что (-[-а)'2”+’ = -[-а2п+1; между тѣмъ какъ (—а)2п+І = — а2п+1.
3.	Корень нечетнаго порядка изъ отрицательнаго количества есть вели-
чина отрицательная.
Такъ V — 8 = — 2, потому-что (—2)3=і—8; V — 64 — — 4, ибо( — 4)3
— — 64. Вообще
ибо (—а)2я+1 =— а2”-*-1; между тѣмъ какъ (-|-а)2п+1 = -[-а2”+1.
4.	Корень четнаго порядка изъ отрицательнаго количества есть вели-
чина мнимая.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть требуется извлечь У —25. Искомый корень, еслибъ
онъ былъ возможенъ, по абсолютной величинѣ долженъ быть равенъ 5; но
ни-[-5, ни — 5, будучи возвышены въ квадратъ, не даютъ — 25, такъ-что
У — 25 не можетъ быть выраженъ никакимъ положительнымъ, и никакимъ отри-
цательнымъ числомъ. Такія величины называютъ мнимыми. Въ противополож-
ность имъ, обыкновенныя положительныя и отрицательныя количества, съ ко-
торыми мы до сихъ поръ имѣли дѣло, называются дѣйствительными. —
Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что правило знаковъ при извлеченіи корня
можетъ быть выражено такъ:
Корень нечетнаго порядка имѣетъ знакъ подкореннаго количества; корень
четнаго порядка изъ положительнаго количества имѣетъ двойной знакъ (±);
корень четнаго иорАдка изъ отрицательнаго количества есть величцна мнимая.
123.	Относитьльно двойнаго знака необходимо замѣтить, что его слѣдуетъ
ставить только тогда, когда происхожденіе подкореннаго количества остается
неизвѣстнымъ. Иапр., а2 — 2аЪ-\-Ъ2 можетъ явиться какъ результатъ возвы-
шенія въ квадратъ или разности а — 6, или Ъ — а, такъ что У»2 — 2аЬ 62
= —(« — &). Но если требуется извлечь квадратный корень изъ (а — &)2, то
не должно полагать У іа — &)2 = ±(а— &), но приписывать ему только одно
значеніе а — Ъ. Точно такъ же: У(-[-«)2 = только -[-а, а —“)9 только—а.
Относительно правила знаковъ при извлеченіи корня слѣдуетъ еще замѣтить,
что данное нами въ предыдущемъ § правило — далеко неполное. Въ теоріи ура-
— 142 -
«неній мы увидимъ, что кубичный корень изъ даннаго числа имѣетъ три
различныя величины, корень четвертаго порядка — четыре, корень пятаго по-
рядка— пятъ различныхъ значеній и т. д.; вообще — корень изъ какого угодно
числа имѣетъ столько различныхъ алгебраическихъ значеній, сколько единицъ
въ показателѣ корня.
Примѣчаніе. Въ предстоящемъ намъ изложеніи преобразованій корней мы
будемъ разсматривать только такъ называемыя ариѳметическія величины корней,
т. е. какъ подкоренныя количества, такъ и самые корни будемъ брать поло-
жительные. —
124.	Правило показателей. — Пусть требуется извлечь корень п-«> порядка
изъ ар, гдѣ а — нѣкоторое положительное количество, а п и р, сверхъ того,
числа цѣлыя. Искомый корень долженъ представлять нѣкоторую степень буквы
а; назвавъ неизвѣстнаго показателя этой степени черезъ х, имѣетъ равенство
у ІЛ — (л .
По опредѣленію корня, послѣдній, будучи возвышенъ въ степень, изобра-
жаемую показателемъ корня, даетъ подкоренное количество, а потому
(а*У = ар-,
или, по правилу возвышенія степени въ степень:
ахп = ар.
Чтобы это равенство было возможно, необходимо, чтобы показатели обѣихч.
частей были равны, т. е. хп — р, откуда
Р
х= — •
п
р
Итакъ	пу/а? = ап.
Отсюда правило: для извлеченія корня изъ степени должно показателя
степени раздѣлить на показателя корня. —
Такъ напр. ,/а? = а3-, ^/аѵ* = аі-,	и т. д.
125.	Корень изъ произведенія. — Пусть требуется извлечь корень п-и> по-
рядка изъ произведенія АВС. Докажемъ, что для этого должно извлечь корень
даннаго порядка изъ каждаго производителя отдѣльно, и результаты пере-
множить, т. е. что
Ѵавс =ѵа X Ѵв X ѴС ....(1)
Дѣйствительно, если окажется, что вторая часть равенства, будучи возвы-
шена въ п-ѵю степень, даетъ АВС, то, согласно съ опредѣленіемъ корня, этимъ
и будетъ доказано, что она въ самомъ дѣлѣ представляетъ корень порядка
изъ АВС. Итакъ, возвышаемъ ѴА X VВ X V С въ пню степень; замѣтивъ,
что для этого каждаго производителя отдѣльно нужно возвысить въ п-ѵю степень
и результаты перемножить, найдемъ
(VI хѴв х Ѵ"с)”=(ѴА)”-(Ѵв)п-("/су.
- 143 -
Йо, по опредѣленію корня, (УА)П= А,("/В)П=В и(Ус)п = С, слѣд.
(УІХ ѴВХ"/С)Я = АВС,
чѣмъ справедливость теоремы (1) и доказана.
Очевидно, что способъ доказательства не зависитъ отъ числа множителей,
а потому теорема доказана для какого угодно числа множителей подкореннаго
выраженія.
12в. Корень изъ дроби. Пусть требуется извлечь корень п-,-° порядка изт,
А
дроби • Докажемъ, что для извлеченія корня изъ дроби дожно извлечь ею
отдѣльно изъ числителя и знаменателя, и первый раздѣлить на второй,
т. е. что
"/~а = у т
у в у в"
д
Если окажется, что и-а» степень второй части равенства равна — этимъ
справедливость равенства будетъ доказана. По правилу возвышенія въ степень
дроби имѣемъ
/утѵ (Уд)я.
\ув/ — (увЭя*
по, по опредѣленію корня, (УА)П=:А, (ув)” = В, слѣд. въ самомъ дѣлѣ
Ѵа\" А
.У в") ~ в ’
и испытуемое равенство доказано.
Теоремы о корнѣ изъ произведенія и дроби доказаны не прямымъ путемъ—
способомъ повѣрки. Впрочемъ, что касается второй теоремы, то опа можетъ быть
доказана и прямымъ путемъ. Въ самомъ дѣлѣ пусть
;/?=«..........т
возвысивъ обѣ части въ п-уп степень, имѣемъ
А —
в —Л ’
откуда	А = В.«П;
извлекая изъ обоихъ частей корень и-го порядка, и примѣняя ко второй части
теорему § 125, найдемъ
’/А^уТУ®*, или ѴА=УВ? ж.
Послѣднее равенство показываетъ, что х есть частное отъ раздѣленія УА на
ѴТВ, сл.
У а
7,—
Подставляя вмѣсто х въ равенство (1) его величину, находимъ
_Ѵа
V В ” V в ’
127. Извлеченіе корня изъ одночлена. — Цѣлый одночленъ есть произведе-
ніе, а потому для извлеченія изъ него корня нужно извлечь корень изъ кажда-
го производителя и результаты перемножить. Такъ
V^5а’866 ~	=х/й х \/а12х \А6 х \І^х~уУ'=
Отсюда правило: Чтобы извлечь коренъ изъ одночлена должно извлечь его
изъ коэффиціента, а показателей всѣхъ буквенныхъ множителей раздѣлитъ
на показателя корня.
При извлеченіи корня изъ дроби слѣдуетъ, примѣняя это правило, извлечь
требуемый корень отдѣльно изъ числителя и знаменателя, и первый раздѣлить
на второй. Такъ
5/ 32аі<>г>із _ Ѵ32а»»г>»а _ 2а?Ь3
\ (С2 — Й2)» ~ Ѵ(с2 —Й2)5~С'2 —^ '
128. Задачи.
Извлечь квадратный корень изъ:
1. 4а2&М; 49а^2; ІООс^Ѵ;	~ •
’ 25^ ’	64а2 ’ іба2с12
2. »г2 4~ я2 — 2»ии; 1 — 2ж 4~~ ж2; (— ж)2; (— 13)2; ж1.
Извлечь кубическій корень изъг
8а3у\ 64Ь6с9 _	216а3Ь3с13_	1
27ж9 ’ 125а12’	343	’	8’	’	512’
Извлечь корни, указанные въ слѣдующихъ примѣрахъ:
4.	Ѵ-(а-Ь)3; Ѵ^^3?
6/б4ж12г/6
V 729^18'
5.	Вычислить	ес-’ІИ ж = (+4)2! и ж = (—5).2
6.	Вычислить х— фх при ж = (—4)2 и при х =. (-б)2.
7.	Вычислить х— (а-рЬ) фх прп х — (Ъ— а)2 и при х = (—2а)2.
8.	Вычислить ж-^-\/25~-І-ж при ж = (—14)2—25.
9.	Вычислить ж 4~ 2 (а + Ь)х/З(а2 4-Ь2) 4-при х=(Ъ—За)2—3(а24-62).
ГЛАВА 3111.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ.
Опредѣленія; предварительныя теоремы.—Извлеченіе квадратнаго корня: изъ цѣлаго
числа и изъ дроби съ точностью до 1 и до і.— Сокращенный способъ. Задачи. —
п
Извлеченіе квадратнаго корня изъ многочленовъ; приложенія.—Задачи.
129.	Когда число есть квадратъ другаго числа, то первое называется
точнымъ квадратомъ, а второе точнымъ квадратнымъ корнемъ изъ перваго.
— 145 —
Такъ, 49 есть точный квадратъ 7-ми; число же 7 — точный квадратный ко-
рень изъ 49.
130.	Т е о р е м а. Когда цѣлое число не есть точный квадратъ, то
квадратный коренъ изъ него не можетъ быть выраженъ точнымъ
образомъ ни въ цѣлыхъ единицахъ, ни въ какихъ-либо доляхъ еди-
ницы.
Пусть данный неточный квадратъ будетъ П. Такъ какъ цѣлое число К не
есть квадратъ другаго цѣлаго числа, то очевидно, что квадратный корень изъ
П не можетъ быть равенъ ни какому цѣлому числу. Посмотримъ, нельзя-ли выра-
зить точно нѣкоторою дробью у, которую всегда можно представлять при-
веденною къ виду несократимой дроби. Допустивъ возможность равенства
• • •  (1),
мы, возвысивъ обѣ его части въ квадратъ, нашли-бы
„ а2
Но дробь ~ = “у, сл. числитель ея содержитъ только тѣхъ множителей, кото-
рые находятся въ а, а знаменатель только тѣхъ, которые заключаются въ й;
но а и Ъ суть числа первыя между собою, слѣдовательно на а2 и й2 не имѣютъ
общихъ множителей, а потому дробь -у несократима. Такимъ образомъ, допу-
щеніе, выражаемое равенствомъ (1), привело къ ложному заключенію, что цѣ-
а2
лое число И равно несократимой дроби -у, а потому это допущеніе невозможно.
Итакъ, квадратный корень изъ числа, не представляющаго точнаго квадра-
та, нельзя точно выразить ни повтореніемъ цѣлой единицы, ни повтореніемъ
какой-либо ея доли. Такіе корни называютъ несоизмѣримыми съ единицею, въ
отличіе отъ цѣлыхъ чиселъ и конечныхъ дробей, которыя можно точно выра-
жать въ частяхъ единицы, и которыя называются поэтому соизмѣримыми съ
единицею.
Такъ квадратные корни изъ чиселъ 2, 7, 10 и т. п. суть корни несоиз-
мѣримые. Далѣе мы увидимъ, что такіе корни можно вычислять съ какою угод-
но точностью. Когда приближенный корень разнится отъ истинной величины
меньше чѣмъ на 1, то онъ называется точнымъ до единицы.
131.	Опредѣленія. Квадратный коренъ изъ цѣлаго числа, точный до
единицы, есть коренъ изъ наибольшаго квадрата, заключающагося въ этомъ
числѣ, или этотъ корень, увеличенный на 1.
Пусть К есть неточный квадратъ, и А2 — наибольшій квадратъ, заключаю;
щійся въ этомъ числѣ; въ такомъ случаѣ, очевидно, К будетъ ^содержаться
между двумя послѣдовательными квадратами: А2 и (А -|-1)2, т. е.
(А +1)* > И > А2,
іо
— 146 —
откуда, извлекая корни, находимъ:
А--|- 1>7Г>А.
Но разность между А1 и А равна единицѣ; а потому разности между
ѴІГи А — съ одной стороны, и между А 4-1 и — съ другой, меньше 1;
слѣдовательно, какъ А, такъ и А 4-1 выражаютъ /ІГсъ точностью до 1. Но
А есть квадратный корень изъ А2, т. е. изъ наибольшаго квадрата, содержа-
щагося въ И, а А4-1 есть этотъ корень, увеличенный не. 1: этимъ данное
опредѣленіе оправдывается.
А называется квадратнымъ корнемъ изъ Н ’— точнымъ до 1 по недостат-
ку, А 4~ 1 — по избытку.
Такъ, замѣчая, что наибольшій квадратъ, содержащійся въ 109, есть 100,
заключаемъ, что квадратный корень изъ 109, точный до 1 по недостатку есть
10, а по избытку —11.
132.	Остаткомъ квадратнаго корня называютъ разность между даннымъ
числомъ и квадратомъ его корня, точнаго до 1 по неоостатку. Такъ, въ преды-
дущемъ примѣрѣ остатокъ корня будетъ
109 — ІО2 или 9.
Вообще, если данное число есть К, и корень изъ него, точный до 1 по
недостатку, равенъ А, а остатокъ К, то, по опредѣленію остатка, В = П —А2,
откуда
К = А2 4- к.
Въ частномъ случаѣ, когда число есть точный квадратъ, остатокъ корня
равенъ нулю.
Теорема. Остатокъ корня не больше удвоеннаго квадратнаго
корня изъ даннаго числа, точнаго до 1 по недостатку.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть А есть квадратный корень изъ К, точный до 1 по
недостатку. Въ такомъ случаѣ К содержится между А2 и (А4~1)2, а потому
разность между И и А2 меньше разности (А-|-1)2- А2 или 2А4~1; СЛ^Д-
К-А2<2А4-1
Н —А2^2А,
ибо К —А2 — число цѣлое. Но И — А2 есть ничто иное какъ В,; слѣд.
Слѣдствіе.—Если между цѣлыми числами К, А и В, имѣютъ мѣ-
сто соотношенія:
Н = А24-В и В^2А,
то это значитъ, что А есть квадратный коренъ изъ И, точный до 1 по
недостатку, и что К есть остатокъ этого корня.
- 147 -
Въ самомъ дѣлѣ, равенство доказываетъ, что А2 содержится въ К, а не-
равенство доказываетъ, что П не содержитъ въ себѣ (А-|-1)2, ибо В не состав-
ляетъ 2А 1-
Изв .теченіе квадратнаго корня изъ цѣлаго числа съ точностью
до единицы.
133.	Теорію втого дѣйствія мы подраздѣляемъ на три случая.
134.	Первый случай. Данное число меньше 100.
Въ этомъ случаѣ квадратный корень находятъ при помощи таблицы квад-
ратовъ первыхъ девяти чиселъ.
Числа: 123456789
Квадраты: 1 4 9 16 25 36 49 64 81.
Пусть, напр., требуется найти квадратный корень изъ 58 съ точностью
до 1. Изъ таблицы квадратовъ видимъ, что 58 содержится между 49 и 64,
сл. ^/58 заключается между 7 и 8, поэтому искомый корень, точный до 1 по
недостатку, равенъ 7, а остатокъ = 58 — 49 или 9.
135.	Второй случай. — Данное число содержится между 100 и 10000.
Пусть данное число будетъ 7865; оно содержится между 100 и 10000 или
между ІО2 и 1002, а потому квадратный корень изъ 7865 заключается между
10 и 100. Но между этими предѣлами находятся двузначныя числа, а потому
искомый корень, точный до 1, состоитъ изъ десятковъ и единицъ: пусть число
десятковъ его будетъ й, а простыхъ единицъ м; искомый корень выразится
Формулою Юй -1- м, и если остатокъ корня назовемъ буквою В, то замѣчая,
на основаніи § 132, что данное число равно квадрату своего корня, точнаго
до 1 по недостатку, + остатокъ, получимъ:
7865 = (Юй + м)2 + В = ЮОй2 + 2.10й.м + м2 + В... .(1)
Чтобы найти цифру (й) десятковъ корня, замѣчаемъ, что слагаемое ЮОй2,
какъ цѣлое число, оканчивающееся двумя нулями, есть цѣлое число сотенъ, и
потому должно содержаться въ 7800 суммы, а слѣд. й2 содержится въ 78.
Докажемъ, что квадратный корень изъ наибольшаго квадрата, заключающагося
въ 78, и дастъ намъ й. Въ самомъ дѣлѣ, изъ таблицы квадратовъ видимъ,
что 78 заключается между 64 и 81, или между 82 и 92.
8’<78<92.
Помножая эти числа на 100, мы не измѣнимъ неравенствъ; сл.
802 < 7800 < 902
Если къ 7800 прибавимъ 65, то этимъ не измѣнимъ смысла неравенствъ.
Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ 802 меньше 7800, то оно и подавно будетъ меньше
7865. Но 7865 будетъ также меньше 902. Дѣйствительно 7800 и 902 (или 8100)
суть два цѣлыя числа сотенъ; и какъ второе больше перваго, то оно превосхо-
дитъ первое, по крайней мѣрѣ, на одну сотню. Слѣд. прибавляя къ первому
10’
- 148 -
65 —число меньше 100, получимъ результатъ, во всякомъ случаѣ, меньшій 90й.
Итакъ
80й < 7865 < 90й.
а отсюда, извлекая квадратный корень, получимъ:
80 < /7865 < 90.
Эти неравенства показываютъ, что искомый корень больше 8 десятковъ,
но меньше 9 десятковъ, т. е. что онъ содержитъ цѣлыхъ десятковъ 8, и, мо-
жетъ быть, нѣсколько простыхъ единицъ, число которыхъ никакъ не больше 9
(ибо величина корня меньше 9 десятковъ). Такимъ образомъ, й = 8, т. е.
цифра десятковъ корня равна квадратному корню изъ наибольшаго квадрата,
содержащагося въ числѣ сотенъ даннаго числа.—
Подставляя въ равенство (1) 8 вмѣсто й, найдемъ:
7865 = 6400 +2.80м 4-
а вычтя изъ обѣихъ частей по 6400:
1465 = 2.80м + «» + В..........(2)
Постараемся теперь опредѣлить цифру и единицъ корня. Для этого замѣ-
тимъ, что слагаемое 2.80.и суммы 1465, т. е. удвоенное произведеніе 8 десят-
ковъ на простыя единицы и корня, есть цѣлое число, оканчивавшееся нулемъ,
и потому представляющее цѣлое число десятковъ. Число 2.80м заключается,
поэтому, необходимо въ 146 десяткахъ суммы. Но въ составъ этихъ 146 десят-
ковъ могутъ входить также десятки отъ слагаемаго ма (квадрата единицъ корня)
и отъ возможнаго остатка В. Въ виду этого мы не можемъ утверждать, что
членъ 2.80м равняется 1460: онъ можетъ быть и меньше числа 1460. Итакъ:
2.80м < 1460.
Сокративъ на 10 и раздѣливъ обѣ части на 2x8, получимъ
Цифра единицъ м есть число цѣлое, а потому изъ послѣдняго неравенства
заключаемъ, что раздѣливъ 146 на 2.8 и взявъ цѣлую часть частнаго, мы
найдемъ число — равное цифрѣ единицъ корня, либо ее превышающее: однимъ
словомъ, найдемъ высшій предѣлъ цифры единицъ корня. Замѣтивъ, что число
1465 называется первымъ остаткомъ, выводимъ ивъ сказаннаго слѣдующее
провило для нахожденія цифры единицъ корня: отдѣливъ въ первомъ остаткѣ
правую ггифру запятой, и раздѣливъ находящееся влѣво отъ запятой число
на удвоенную цифру десятковъ корня., въ цѣлой части частнаго будемъ имѣть
высшій предѣлъ цифры единицъ корня.
Въ данномъ случаѣ, цѣлая часть частнаго отъ раздѣленія 146 на 16 есть 9;
заключаемъ, что цифра единицъ корня 'будетъ или 9, или число меньшее 9.
Чтобы испытать, годится ли 9, мы должны корень 89 возвысить въ квадратъ
и вычесть изъ даннаго числа: если вычитаніе будетъ возможно, то цифра 9
будетъ требуемая, въ противномъ случаѣ, т. е. если окажется, что 89й больше
- 151 -
Итй къ
а2 < 786581 < (а 4-1)2;
Помножая эти три числа на 100, найдемъ:
(10а)2 < 78658100 < [(а -]-1). 10]2.
Придавъ къ среднему числу 43, мы этимъ нарушимъ возможное ра-
венство, обративъ его въ неравенство (10а)2 <78658143, усилимъ первое не-
равенство, увеличивъ его большую часть; и, наконецъ, не нарушимъ втораго
неравенства. Послѣднее обстоятельство объясняется тѣмъ, что 78658100 и
[(а-4-1).Ю]2 суть цѣлыя числа сотенъ, и какъ второе больше перваго, то оно
превосходитъ первое по меньшей мѣрѣ на одну сотню; слѣдовательно, увеличивъ
меньшее число на 43, т. е. менѣе чѣмъ на сотню, получимъ результатъ все-
таки меньшій [(а4-1).ІО]2. Такимъ образомъ имѣемъ
' (10а)2 < 78658143 < [(а 4-1)ДО]2,
откуда, извлеченіемъ квадр. корня, найдемъ
10а </78658143 < (а4-1).1О.
Эти неравенства доказываютъ, что искомый корень, будучи больше а десят-
ковъ, содержитъ въ себѣ эти а десятковъ, и однакоже не содержитъ а 4-1 де-
сятка, такъ какъ онъ меньше этого числа десятковъ (въ силу втораго неравен-
ства). Слѣдовательно, опредѣляемый корень состоитъ изъ а десятковъ, и, мо-
жетъ быть, нѣсколькихъ простыхъ единицъ, число которыхъ не больше 9; од-
нимъ словомъ, цѣлыхъ десятковъ въ немъ будетъ а. Замѣтивъ же, что а есть
квадратный корень изъ а2, т. е. изъ наибольшаго квадрата, заключающагося
въ числѣ сотенъ даннаго числа, заключаемъ, что теорема доказана.
139.	Итакъ, число десятковъ квадратнаго корня изъ
78658143
есть квадратный корень изъ наибольшаго квадрата, заключающагося въ числѣ
сотенъ этого числа, или, что то же, — квадратный корень, точный до 1 по не-
достатку, изъ 786581.
Число десятковъ этого корня, или, что все равно, число сотенъ перваго,
есть, на основаніи теоремы § 138, квадратный корень, точный до 1 по недо-
статку, изъ 7865.
Число десятковъ этого корня, т. е. число тысячъ перваго, по той же те-
оремѣ, есть квадратный корень, точный до 1 по недостатку, изъ 78.
Такимъ образомъ, отдѣляя отъ правой руки къ лѣвой по двѣ ци®ры, мы
убѣдились, что искомый корень состоитъ изъ четырехъ ци®ръ, что для нахож-
денія старшей его цифры нужно извлечь, съ точностью до 1 по недостатку, квад-
ратный корень изъ первой грани слѣва, и что число граней равно числу цифръ
искомаго корня.
Прилагал теорему § 138, мы видимъ, что число сотенъ искомаго корня рав-
но, точному до 1 ио недостатку, квадратному корню изъ 7865; находимъ этотъ
корень по правилу § 136;
— 152 —
78,65|8143|88
64
168 Ж
X 8 1344
121
88 есть число десятковъ квадратнаго корня изъ 786581; чтобы найти цифру
единицъ этого корня, или, что то же, ци®ру десятковъ искомаго корня, нужно
изъ 786581 вычесть квадратъ 880. Вычитаніе это, по частямъ сдѣланное, дало
въ остаткѣ 12100-4-81 или 12181 —число, которое находимъ, снеся 81 къ
остатку перваго корня. Этотъ остатокъ заключаетъ, слѣдовательно, удвоенное
произведеніе 88 десятковъ на единицы и квадратъ единицъ корня изъ 786581.
Совершенно такимъ же образомъ, какъ было указано въ § 135, можно доказать,
что, раздѣливъ число десятковъ 1218 новаго остатка на удвоенное число 88 де-
сятковъ, т. е. на
2.88 или на 176
мы найдемъ въ цѣлой части частнаго высшій предѣлъ ци®ры единицъ корня
изъ 786581. Этотъ предѣлъ есть 6; для испытанія этой ци®ры, удвоиваемъ 88,
къ 176 приписываемъ справа 6 и множимъ 1766 па 6. Произведеніе 1766 X
X 6 = 10596 не превышаетъ 12181, а потому ци®ра 6 годится.
Итакъ цифра десятковъ искомаго корня есть 886. Остается найти ци®ру
единицъ. Для этого изъ заданнаго числа слѣдуетъ вычесть 8860. Вычитавіе 880
десятковъ въ квадратѣ сдѣлано и дало въ остаткѣ 1218100, который, въ сово-
купности съ 43 составляетъ 1218143. Вычитая отсюда остальныя двѣ части
2
8860 т. е. 10596 сотенъ, находимъ 158543.
Въ этомъ остаткѣ заключается удвоенное произведеніе 8860 на простыя
единицы искомаго корня и квадратъ единицъ. Раздѣливъ число десятковъ этого
остатка или 15854 на 2.886 = 1772, въ цѣлой части этого частнаго будемъ
имѣть высшій предѣлъ для ци®ры простыхъ единицъ искомаго корня. Предѣлъ
этотъ есть 8; для испытанія ци®ры 8, приписываемъ ее къ 1772 и множимъ
17728 на 8. Произведеніе 143824 можно вычесть изъ 158543, сл. 8 есть дѣй-
ствительно цифра единицъ искомаго корня. Итакъ, корень = 8868, а остатокъ =
158543 — 143824 = 16719.
Дѣйствіе располагается слѣдующимъ образомъ:
^/78,65,81,43 = 8868
64
168 146,5 ................... 1-й частный остатокъ.
X 8 1344
1766:1218,1...................2-й
X 6 10596
17728 115854,3 .............. 3 ій »
X 8 ;141824
16719	окоцчат. остатокъ.
- 183 —
Окончательный остатокъ меньше 2 x 8868 = 17736, слѣдовательно 8868
есть дѣйствительно корень изъ даннаго числа, точный до 1 по недостатку.
Отсюда выводимъ
140.	Правило извлеченія квадратнаго корня точнаго до 1 по недостатку
изъ гггълаго числа. —
Раздѣляютъ данное число на грани по двѣ цифры, отъ правой руки къ
лгъвой (послѣдняя гранъ слѣва можетъ имѣть и одну цифру); число граней
равно числу цифръ корня.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекаютъ квадратный коренъ изъ
наибольшаго квадрата, заключающагося въ первой грани (слѣва).
Чтобы найти вторую цифру корня., вычитаютъ изъ первой грани квад-
ратъ первой цифры корня и къ остатку сносятъ слѣдуюгцую гранъ: гголуча-
ютъ такъ называемый первый частный остатокъ. Отдѣляютъ въ немъ одну
цифру справа запятой, а стоягцее влѣво отъ запятой число дѣлятъ на уд-
военную первую цифру корня: частное дастъ илгі вторую цифру корня, или
больше ея. Для повѣрки приписываютъ эту ггифру съ правой стороны дѣ-
лителя и гголученное число умножаютъ на ту-же цифру: если произведеніе
возможно вычесть изъ перваго частнаго остатка, то испытуемая цифра и
будетъ второю цифрою корня', въ противномъ случаѣ ее уменьшаютъ на 1, и
дѣлаютъ новую повѣрку такимъ же точно образомъ, какъ и первую', продол-
жаютъ такимъ образомъ до тѣхъ поръ, пока вычитаніе сдѣлается возможнымъ.
Чтобы найти третью цифру корня, къ остатку послѣдняго вычитанія
сносятъ третью грань, и получаютъ второй частный остатокъ; отдѣляютъ
въ немъ одну цифру справа запятой, а оставшееся влѣво отъ зап'ятдй чубло
дѣлятъ на удвоенное число, образуемое первыми двумя цифрами корня: ча-
стное дастъ высшій предѣлъ для третьей цифры корня. Провѣряютъ цифру
частнаго такимъ же образомъ какъ и въ предыдугцемъ случаѣ.
Такимъ образомъ продолжаютъ поступать до тѣхъ поръ, пока не будутъ
снесены вегъ грани, и не будетъ опредѣлена поелгъднимъ дѣленіемъ цггфра про-
стыхъ единицъ корня и окончательный остатокъ.
141.	При міры.
I. Найти 728164249.	II. Извлечь 7583749876429.
728,16,42,49 = 5307 25 103 ІЗІ/Г X 3 !30 9 1060 > 74,2 X О; ООО 10607 7424,9 X 77424 9 б '	758,37,49,87,64,29 = 764035 49 146 93,7 Х 6 87 6 1524 :614,9 Х4 609 6 152803 і 53876,4 X 3 45840 9 1528065 1 803552,9 X 5 764032 5
	39520 4
Такъ какъ остатокъ меньше удвоеннаго корня, то 764035 есть корень
точный до 1 по недостатку; слѣд. 764036 есть корень, точный до 1 по избытку.
— 154 -
142.	Опредѣлимъ, который изъ двухъ корней, точныхъ до 1,—корень
по недостатку, или по избытку, точнѣе выражаетъ истинную величину несо-
измѣримаго корня. Можно доказать, что если, найдя корень точный до 1 по
недостатку, окажется, что остатокъ корня не болѣе самаго корня, то этотъ ко-
рень ошибоченъ менѣе чѣмъ на і-; если же остатокъ окажется больше корня,
то корень по избытку будетъ ошибоченъ менѣе чѣмъ на у •
Пусть данное число есть Е; корень, точный до 1 по недостатку, пусть
будетъ а\ остатокъ выразится разностью Е — а2.
Первый случай. — Имѣемъ
а2 < \ < (а 4~ I)'2;
по условію, остатокъ И — слѣд. И — а2 <&-]--> откуда
но а’4-а+ Т = (а"^ 1”) ’ а ПОТОМУ
К<(“ + 4) '
Итакъ
откуда
а < У У < а Ц-	•
Такъ какъ разность между крайними величинами равна -1-, то разность между
УК и а меньше • Слѣд. а есть корень, точный до і по недостатку, т. е.
2	2
истинная величина ^Е отличается отъ а менѣе, чѣмъ отъ аЦ-1.
Второй случай. Если окажется, что
Е — а8 > а,
то заключаемъ отсюда, что Е — а2>а-\-~, потому-что (Е —а8) есть число
цѣлое; слѣд.
Е>а34-<<Н’ или > (а + у)
Итакъ
«+і) <Е<(а + 1)'\
откуда
А
— 155 -
Но разность между крайними числами равна слѣд. разность между
(» + 1) и И меньше -і- Заключаемъ, что «4-1 отличается отъ корня изъ Н
меньше нежели на т. е. этотъ корень ближе лежитъ къа4~1> чѣмъ къ а.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что выгоднѣе братъ коренъ по избытку только
тогда, когда остатокъ превышаетъ величину корня, взятаго по недо-
статку.
Такъ въ примѣрѣ И, § 141, получился остатокъ меньшій корня по недо-
статку, и потому 764035 точнѣе выражаетъ величину искомаго корня, чѣмъ
число 764036. Въ примѣрѣ § 139 остатокъ больше найденнаго корня, и потому
число 8869 ближе къ истинной величинѣ корня чѣмъ число 8868.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ дробей съ точностью до 1.
143.	Теорема. Корень квадратный изъ несократимой дроби не-
соизмгъримъ, если его нельзя извлечь отдѣльно изъ числителя и зна-
менателя.
Пусть — есть данная несократимая дробь, равенство
4 / а -Ъ
\! ъ —к,
гдѣ 1і — число цѣлое, невозможно, потому-что, возвысивъ обѣ части въ квадратъ,
нашли-бы
Т =
т. е. что несократимая дробь равна цѣлому числу. Итакъ, квадратный корень
изъ несократимой дроби не можетъ быть выраженъ цѣлымъ числомъ. По-
смотримъ, нельзя-ли его выразить дробью, т. е. не будетъ-ли возможно ра
венство
Іа с
гдѣ подъ ~ всегда можно разумѣть дробь несократимую. Возвысивъ обѣ части
испытуемаго равенства въ квадратъ, найдемъ
а __ с*
Т
с2
гдѣ есть дробь несократимая, такъ какъ, по условію, с и А — числа вза-
имно— первыя. Но двѣ несократимыя дроби могутъ быть равны только тогда,
— 156 ~
когда числителя ихъ равны между собою, а знаменатели — между собою *), т. е.
когда а=сі и Ь = аГ2, что означаетъ, что а и Ъ должны быть точными ква-
дратами. Итакъ, корень квадратный изъ несократимой дроби только тогда можетъ
быть точно выраженъ дробью, когда оба члена данной дроби суть точные квад-
раты. Въ противномъ случаѣ корень изъ дроби нельзя точно выразить ни цѣ-
лымъ числомъ, ни дробнымъ; поэтому онъ будетъ число несоизмѣримое.
Такъ, квадратный корень изъ извлекается точно, потому-что 64 и 81 —
оі
точные квадраты. Имѣемъ
) 64 _ /б4 _ 8
V 81 ~ ѵ'ЗІ ~ 9
\/у’ \/1Г И \/т — несоизмѣримы, потому-что у первой дроби знаменатель,
у второй — числитель, а у третьей — оба члена суть неточные квадраты.
144. Теорема.— Квадратный коренъ изъ дробнаго числа, точ-
ный до ], есть квадратный коренъ изъ наибольшаго квадрата, заклю-
чающагося въ цѣлой части даннаго числа, или этотъ коренъ, сложен-
ный съ 1.
Пусть данное дробное число будетъ а -}-&, гдѣ а —цѣлое число, иЬ—пра-
вильная дробь. Разсмотримъ два случая.
Первый случай-, а — точный квадратъ, напр. а = тогда, очевидно, что
а-|-Ь > г3.
Съ другой стороны:	< (г-(- I)2, ибо, допустивъ противное, т. е.
что	нашли бы: а -1- Ъ >	2г 1; отнимая отъ обѣихъ
частей по-ровну —отъ первой а, и отъ второй г2, получимъ: &^-2г-]-1, т. е.
что правильная дробь больше 1. Итакъ:
.2.
откуда, извлеченіемъ корня изъ всѣхъ трехъ чиселъ, находимъ:
г.
(1).
♦) Пусть у н р будутъ двѣ несократимыя дроби, и посмотримъ, при какихъ
условіяхъ возможно равенство
а____а1
Т “ Г1
Опредѣляя а, имѣемъ: а = ~; такъ какъ а — число цѣлое, то а1Ь должно дѣ-
о1
литься на Ь1; но а1 не дѣлится на Ь1, сл. Ъ должно дѣлиться на Ь1. Опредѣляя изъ
аЬ1
(1) а1, имѣемъ: а1 — откуда такимъ же точно образомъ заключаемъ, что Ь!
должно дѣлиться на Ъ. Но два числа только тогда могутъ дѣлить взаимно другъ друга,
когда они равны; слѣд, Ъ = ЪХ. Но въ такомъ случаѣ изъ равенства (1) слѣдуетъ,
что и а = а'. Итакъ, чтобы двѣ несократимыя дроби были равны, необходимо, чтобы
числители ихъ были равны п знаменатели. Это условіе, очевидно, есть и вполнѣ до-
статочное.
- 157 -
Разность крайнихъ чиселъ: г-|-1 и г равна 1, а потому
\/а -}-& — г<1 и (г-(-1) — \/а-{-Ъ<Л,
слѣд. какъ г, такъ и г 4-1 выражаютъ величину 7а4-^ съ ошибкою, мень-
шею 1; но г есть квадратный корень изъ а, а г 4-1 — этотъ корень 4-1, сл.
для этого случая теорема доказана.
Второй случай', а — неточный квадратъ, и пусть наибольшій квадратъ,
содержащійся въ а, будетъ г2; въ такомъ случаѣ
г2 < а < (г 4-1)2.
По первому неравенству: а>г2, а потому и подавно
а 4- Ъ > г2.
Въ силу втораго неравенства, изъ двухъ цѣлыхъ чиселъ: (г 4-1)2 и а,
первое больше втораго, сл. оно больше, по крайней мѣрѣ, на 1; а потому раз-
ность ихъ больше правильной дроби Ъ:
(г4~1)2—«>Ь, откуда
(г4-1)2>а4-Ь.
Итакъ, имѣемъ:
(г4-1)2>а4-Ь>г2;
извлекая квадратный корень, находимъ:
(г4-і)>Уа4-г»>г,
откуда опять заключаемъ, что такъ-какъ (г 4-1) — г = 1, то
(г 4-1) — \/а-\-Ь<Л и ^а-\-Ь— г<1,
а потому числа г и г 4-1 выражаютъ у/а-\-Ь съ ошибкою, меньшею 1. Но г
есть корень изъ цѣлой части а числа «4~&> точный до 1 по недостатку, а
г 4-1 — этотъ корень 4-1, слѣд. теорема ' Доказана и для втораго случая.
Отсюда
145. Правило. Для извлеченія квадратнаго корня изъ дробнаго числа точ-
но до 1, слѣдуетъ отброситъ дробь и извлечь, съ точностью до 1, коренъ изъ
цѣлой части. —
Примѣчаніе. Такъ какъ у правильной дроби цѣлая часть равно нулю, то
очевидно изъ предыдущаго, что квадратный корень изъ такой дроби, точный до
1 равенъ: 0—по недостатку, и 1 — по избытку.
Примъры I. Найти 4/72—точно до 1.
V 52
Откидывая дробь, извлекаемъ </12 съ точностью до 1; находимъ, что корень
изъ данной дроби, съ требуемой точностью, равенъ: 8 — по недостатку, и 9 —
по избытку.
И. Найти /761,215 съ точностью до 1.
- 158 -
Откидывая дробь, извлекаемъ /761 съ требуемою точностью.
/7^бГ=27
4
47 36,1
X 7 329
32
Заключаемъ, что искомый корень равенъ: 27—по недостатку, и 28 —по
избытку.
III. Найти, съ точностью до 1, * /3417,31
’ V 0,452 .
Прежде всего нужно выполнить указанное дѣленіе, ограничиваясь нахож-
деніемъ цѣлой части частнаго, и извлечь изъ нея корень съ точностью до 1.
Дѣйствіе располагаютъ такъ:
3417310	452
3164	75,60 = 86.
2533	64
2260	166 ) 1160
2731	х 6 I 996
2712	164
190
Итакъ, искомый корень равенъ: 86 — по недостатку, и 87 — по из-
бытку.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ цѣлыхъ чиселъ и изъ
дробей съ точностью до — —
ѵь
14в. Извлечь квадратный корень изъ цѣлаго или дробнаго числа А съ точ-
ностью до — значитъ найти такую приближенную величину для искомаго кор-
ня, которая отличалась-бы отъ его истинной величины менѣе чѣмъ на —
Пусть требуется извлечь /А, гдѣ А — цѣлое или дробное число, представ-
ляющее неточный квадратъ, съ точностью до —, причемъ дробь — называет-
ся степенью приближенія. Помноживъ и раздѣливъ /А, на п, мы не измѣнимъ
его величины, слѣд.
*	п
По «=/>?; поэтому числителя можемъ представить въ видѣ/и2 х/С или,
по правилу извлеченія корня изъ произведенія, въ видѣ /Ап2.
— 159 —
Такимъ образомъ
гдѣ Аи2—неточный квадратъ, потому что таково А. Извлекаемъ, по извѣст-
нымъ уже намъ правиламъ, съ точностью до 1; найдемъ двѣ величины —-
г по недостатку, и г-|-1 по избытку, такъ что
г-(-1 >уАи2>г.
Раздѣливъ эти три числа на п, и замѣтивъ что ^^ ^УА, найдемъ
п ѵ п
Разность между крайними числами, —— ~~ > равна ~, слѣд. каждая изъ
разностей: ^/А—и —/А, меньше -1; это значитъ, что каждая изъ
дробей: и Г--~ выражаетъ величину съ ошибкою, меньшею •
Отсюда выводимъ
147. Правило. Чтобы изъ даннаго цѣлаго или дробнаго числа извлечь
квадратный коренъ съ точностью до нужно умножить это число на
квадратъ знаменателя степени приближенія, изъ полученнаго произведенія
извлечь квадратный коренъ съ точностью до 7, и раздѣлитъ его на знаме-
нателя степени приближенія.
Примѣры. I. Найти \/32	съ точностью до •
V Іо	2 /о
«у
По правилу должны 32— умножить на (273)2, что даетъ 2425059; из-
1 о
влечь изъ этого числа квадратный корень съ точностью до 1, и раздѣлить его
на 273. Квадратный корень изъ 2425059, точный до 1 во недостатку, есть
1557, а по избытку — 1558; раздѣливъ тотъ и другой на 273, найдемъ;
с 192 Е 193
5 273 й 5 273’
/ 7	192	193
Такимъ образомъ \/32— заключается между числами 5-^ и 5—, от-
уіо	2 / о	2 / О
м	1
личаясь отъ каждаго изъ нихъ менѣе чѣмъ на •
II. Найти ^3 съ точностью до 0,001.
Помноживъ 3 на 10002 извлекаемъ ^/3000000 до 1; получимъ числа: 1732
и 1733. Раздѣливъ каждое на 1000, найдемъ
1,732 и 1,733.
Первая дробь выражаетъ ^/3 съ точностью до 0,001 по недостатку, вторая —
съ тою же точностью по избытку.
— 160 -
III. Найти
3,1415926
0,53
СЪ ТОЧИ. ДО^-
Помноживъ подкоренное число на 1002, извлекаемъ квадратный корень
изъ	съ точностью до 1. Цѣлая часть частнаго есть 59275, а корень
изъ нея, точный до 1 по недостатку, есть 243, а по избытку 244. Раздѣливъ
каждый изъ нихъ на 100, получимъ для искомыхъ приближеній, точныхъ до
ібо’ числа:
2,43 (но нед.) и 2,44 (по изб.)
Сокращенный способъ извлеченія квадратнаго корня.
148. Предыдущія правила показываютъ, что извлеченіе квадратнаго корня
всегда приводится къ извлеченію его изъ цѣлаго числа съ точностью до 1. Это
послѣднее дѣйствіе дѣлается тѣмъ сложнѣе, чѣмъ больше цифръ содержитъ под-
коренное число; въ такихъ случаяхъ дѣйствіе значительно упрощается при по-
мощи такъ называемаго сокращеннаго способа.
Пусть будетъ А цѣлое число, изъ котораго требуется извлечь квадратный
корень съ точностью до 1. Искомый корень можетъ имѣть или нечетное, или
четное число цифръ.
1-й случай', коренъ имѣетъ нечетное число ѵ.ифръ. Пусть въ немъ на-
ходится 2и-|-1 цифръ; найдемъ обыкновеннымъ способомъ больше половины
его цифръ, въ данномъ случаѣ п-^-1 цифръ, и буквою а обозначимъ число,
образуемое этими цифрами, сопровождаемыми столькими нулями, сколько цифръ
осталось найти, т. е. п нулями (напр., если корень долженъ содержать 5 цифръ и
найденныя три первыя его цифры будутъ 234, то буквою а мы обозначаемъ число
23400); такимъ образомъ, а будетъ чясло (2й-}-1) — значное. Далѣе, назовемъ
буквою х то, что слѣдуетъ придать къ а, чтобы получить истинный корень
(х состоитъ изъ цѣлой части, имѣющей п цифръ и, можетъ быть, еще изъ не-
соизмѣримой десятичной дроби); полный корень выразится суммою а -\-х. Наша
цѣль —дать правило для вычисленія цѣлой части ж-са, т. е. для нахожденія
х съ точностью до 1 сокращеннымъ путемъ.
По опредѣленію корня имѣемъ:
А = (а ж)2 = а2 4- 2ах ж2,
гдѣ а уже извѣстно; вычтя а2 изъ обѣихъ частей, и раздѣливъ ихъ на 2а,
найдемъ
А—а2 есть остатокъ послѣ нахожденія части а корня (назовемъ его буквою В.);
— 161 —
раздѣливъ его, какъ указываетъ Формула, ни 2а, назовемъ частное этого дѣле-
нія буквою а остатокъ — г, такъ что
В . г
2а~^ ‘ 2а’
подставимъ это выраженіе въ первую часть равенства (1); найдемъ;
. г	. ж2
о 4-	= ж4-	>
7 1 2а	1 2а
откуда
Г X3
Х ~ ~ Ил~~ 2а '
Докажемъ, что ц и выражаетъ величину х съ ошибкою, меньшею 1. Такъ какъ
разница между х и <] выражается Формулою — ^4; то и слѣдуетъ доказать, что
г___________________________________в9 і
2а 2а
Дѣйствительно, такъ какъ г есть остатокъ дѣленія, въ которомъ 2а есть дѣли-
тель, а остатокъ меньше дѣлителя, то ~ < 1. Съ другой стороны, въ цѣлой
части х находится п ци®ръ, а потому х меньше наименьшаго (п-|-1) — знат-
наго числа 10я; а слѣд. ж2 < 102я; затѣмъ, а есть (2п-|-1) — значное число,
сл. оно > 102я, а слѣд. 2а>2.ІО2". Составивъ двѣ дроби
ж2 1О2п
— и-----------,
2а 2 х ІО2"
и замѣчая, что числитель первой меньше числителя второй, а знаменатель пер-
вой равенъ или больше знаменателя второй, заключаемъ, что первая дробь мень-
ше второй:
ж2 102п	ж2 1
— <Г-------—- пли -- <'' —•
2а 2 х ІО2"’ 2а 2
Итакъ, каждая изъ дробей разности ------— меньше 1, слѣд. и самая раз-
ность<1, т. е. ошибка, происходящая отъ замѣны х частнымъ ?, если толь-
ко ошибка эта существуетъ, непремѣнно меньше 1, такъ-что а-\-д есть вели-
чина корня, точная до 1
2-й случай', коренъ имѣетъ четное число цифръ 2п. — Найдемъ опять обык-
новеннымъ способомъ больше половины всѣхъ ци®ръ корня, т. е. п-^1 ци®ръ;
остается найти п — 1 ци®ръ. Въ цѣлой части Xе'1 находится (п — 1) — значное
число, а потому х меньше наименьшаго п— знатнаго числа, т. е. «<10”-',
откуда ж2<102П~2. а есть 2п— знатное число, слѣд. оно = или > наименьшаго
2п — знатнаго числа, т. е. а^ІО’"-’, откуда 2а^-2.102"-’. Итакъ
ж2 102и~2	Ж2 1
— —	—-------— ИЛИ ~	- а
2а 2 х ІО2"-1’ 2а2хЮ
и заключеніе относительно у прежнее.
Если цѣлая часть корня, состоя изъ четнаго числа цифръ, имѣетъ первою
цифрою 5 или больше 5, то достаточно обыкновеннымъ способомъ пайти ровно
IX
— 162 —
{Головину всѣхъ цифръ корня. Въ самомъ дѣлѣ, въ этомъ случаѣ х < 10й, а
потому .г2 < ІО2*; съ другой стороны а, какъ 2п — знатное число, начинающе-
еся цифрою 5 или большею, будетъ > упятереннаго наименьшаго 2п — знат-
наго числа, т. е. а^ 5 X ІО®"-1, откуда 2а^10.102я~І, или 2а ІО2”, а слѣ-
довательно
ІО2» Ж2
2а<108” ИЛИ 2а <1,
Прежнее заключеніе относительно ? и здѣсь имѣетъ мѣсто.
Изъ сказаннаго выводимъ слѣдующее
Правило. — Для извлеченія квадратнаго корня изъ цѣлаго числа съ точ-
ностью до 1 сокращеннымъ способомъ, находятъ обыкновеннымъ способомъ бо-
лѣе половины всѣхъ цифръ корня, или же ровно половину, если, при четномъ
числѣ цифръ корня, первая его цифра не меньше 5; остальныя цифры най-
демъ, раздѣливъ полный остатокъ на удвоенную найденную часть корня. —
149.—Примѣръ. Найти квадратный корень съ точностью до 1 изъ числа
7316723456713.
Корень имѣетъ семь цифръ; находимъ четыре первыя прямымъ путемъ:
^,31,67,23,'457І7ДЗ| 2704
4
47 33,1
X 7 32 9
5404 |2672,3
Х4 21616
5107456713 ;5408000
48672000	'944
24025671
21632000	а = 2704000;
23936713	12 =	5107456713.
21632000	2 = 944.
2304713	«- = 2304713.
Найдя первыя четыре цифры корня (2704), находимъ съ точностью до 1
частное отъ раздѣленія полнаго остатка 5107456713 на удвоенный найденный
корень 2704000, т. е. на 5408000. Это частное = 944; слѣд. искомый корень,
точный до 1, есть
2704944.
150. По величинѣ частнаго у и остатка г дѣленія, можно всегда узнать,
будетъ-ди найденный корень а-\-у точный, имъ приближенный; и въ послѣд-
немъ случаѣ — опредѣлить, будетъ-ли онъ ошибоченъ по недостатку, или по
избытку.
Въ самомъ дѣлѣ, мы имѣемъ равенство
А — а8 = В, откуда А = а2-|-В;
но В = 2ад»-1- г, слѣдовательно
А = а2-|-2а9 -\-г\
- 163 —
Съ другой стороны
(а 7)’ = а2 2а^ д-.
Отсюда:
1)	Если г>§2, то
а 2ад -}- г > а? 4” 2,ад д\
или	А > (а #)2,
откуда	у/к>а-\-д,
т. е. а-\-д будетъ приближеніе, точное до 1 по недостатку.
2)	Если г = ді, то
а2 2ад г = а2 4~ 2ау 4“ ?2,
или	А = (а-]~ дУ,
откуда	у/к = а-\-д,
т. е. а 4- д есть точный корень изъ А.
3)	Если, наконецъ, г<д2, то
а2 2ад г < а2 2ад 4~ д\
или	А < (а 4- дУ,
откуда	^к<а-]-д,
и потому а д есть приближеніе, точное до 1 по избытку.
Итакъ: корень а 4- д будетъ приближенный по недостатку, точный, или же
приближенный по избытку^ смотря по тому, будетъ-ли остатокъ г дѣленія боль-
ше, равенъ или меньше квадрата частнаго.
Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ, остатокъ 2304713 больше квадрата числа
944; поэтому корень 2704944 ошибоченъ менѣе чѣмъ на 1 по недостатку.
151. Опредѣлимъ такъ называемый остатокъ корня, предполагая, что для
нахожденія корня примѣняется сокращенный способъ; при этомъ различаемъ
два случая, смотря потому, имѣетъ-ли найденный этимъ способомъ корень приб-
лиженіе по недостатку, или по избытку.
1. а 4- д есть приближеніе по недостатку. Обыкновенный способъ далъ
бы ту же величину, а потому, называя остатокъ корня буквою р, получимъ
р = А~ (а-Н)2.
Замѣтивъ, что
к — а*-\-2ад-\-г, и (а,/р — а2 4" 2«7 4"
вычитая второе равенство изъ перваго, найдемъ:
А — (а-^7)2 = г — ?2,
Т. е.	р = г— д*.
Итакъ, въ разсматриваемомъ случаѣ: остатокъ корня равенъ избытку ос-
татка отъ дѣленія надъ квадратомъ частнаго.
2. а 4- д — приближеніе по избытку. Обыкновенный способъ далъ бы для
корня величину
а 4-^ — 1.
11*
— ш —
Имѣя равенства
к = аі-\-2ад-\-г, и (а 4?— 1)’== я2-{-2а(г/— 1)(7 —1)\
находимъ, что остатокъ отъ обыкновенной операціи былъ бы
р — А —(а-}-?-1)2 = г4-2а —?24-2{ —1
= г + 2(а + ?)-^4-1).
Заключаемъ, что въ данномъ случаѣ остатокъ корня найдется, если къ остат-
ку дѣленія придать удвоенный найденный сокращеннымъ способомъ корень, и
изъ результата вычесть сумму квадрата частнаго съ единицей. —
152.	Сокращенный способъ, вмѣстѣ съ указанными замѣчаніями, даетъ
средство находить сколько угодно ци®ръ корня. Пусть напр. требуется найти
у/ 2 съ неограниченнымъ приближеніемъ. Напишемъ справа отъ 2 вдвое больше
нулей, чѣмъ сколько желаемъ найтп десятичныхъ знаковъ, и вычислимъ три
первыя цифры корня обыкновеннымъ способомъ.
2,00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.06.00 1,41
1
24 110,0
X 4 | 96
281 :400
хі ] 281
119
Мы нашли 141 въ корнѣ и 119 въ остаткѣ. Такимъ образомъ, 141 суть
три первыя цифры корня изъ 200000000; двѣ слѣдующія находимъ сокращен-
нымъ способомъ. Для этого нужно полный остатокъ, равный 1190000, раздѣ-
лить на удвоенную найденную часть корня, т. е. на 28200
119000.0 |28200
112800 42 62000 56400 5600 — 1764	42 X 42 84 168 1764
3836
Находимъ въ частномъ 42 и въ остаткѣ 5600. Чтобы узнать, въ какую
сторону ошибоченъ корень 14142, нужно полученный остатокъ сравнить съ квад-
ратомъ частнаго: 5600 > 422, сл. 14142 есть приближеніе по недостатку, и
потому послѣднюю его ци®ру (2) уменьшать не слѣдуетъ.
Имѣя пять цифръ корня, можно сокращеннымъ способомъ найти слѣдующія
четыре цифры. Для этого надо знать остатокъ, который дала бы обыкновенная
операція послѣ нахожденія части 141420000 корня изъ 20000000000000000,
т. е. остатокъ корня р. Такъ какъ а 4? =14142 есть приближеніе по недо-
статку, то р = г —?2 = 5600 —1764 = 3836. Приписавъ сюда 8 нулей, дѣлимъ
Полученное число на 2« = 282840000
— 165 —
38360000)0000 [28284(0000
28284! =	1356
100760!
84852 = 5
159080 •:
141420(
176600
169704
68960000
— 1838736
67121264
1356
1356
8137
6780
4068
1356
1838736.
Находимъ въ частномъ 1356, а въ остаткѣ 68960000. Такъ какъ этотъ
остатокъ больше 13562, корень снова ошибоченъ по недостатку: онъ равенъ
141421356.
Зная девять цифръ корня, можемъ сокращеннымъ способомъ найти слѣду-
ющія восемь; для этого опредѣляемъ остатокъ корня:
23730950
р = 68960000 — (1356)2 = 67121264.
Приписавъ къ остатку корня 16 нулей, а къ удвоенному найденному корню
8 нулей, дѣлимъ
6712126400000000|00000000 ,282842712(00000000
1055272160 : І
2067440240!! Н
875412560 И Ь
2688442400! =
1428579920[
143663600
Въ частномъ мы нашли 23730950, и какъ остатокъ дѣленія больше квад-
рата частнаго, найденный результатъ ошибоченъ по недостатку; имѣемъ
74 = 1,4142135623730950,
съ точностію до 1 шестнадцатаго десятичнаго мѣста. Очевидно, можно продол-
жать такимъ образомъ находить сколько угодно новыхъ цифръ корня.
153.	Извлеченіе квадратнаго корня изъ числа, мало разнящагося отъ 1. —
Возвысивъ въ квадратъ 1+—, найдемъ: (1 + —) ==1 + е+ ~г') Ре*
зультатъ, мало разнящійся отъ 1Ц-е, если г есть весьма малая дробь; отки-
/г \8
нувъ — і получимъ приблизительное равенство +	= 1+г, откуда,
извлекая изъ обѣихъ частей квадратный корень, найдемъ:
71+4=1 +
а
приблизительно. Опредѣлимъ предѣла, погрѣшности этого приближенія, т е.
разности
\	4 і
—166 —
Умноживъ и раздѣливъ это выраженіе на сумму
+ е>
находимъ;
(1+т) ~(1+Е) Т
а =  -----------——— =-----------------------
14~-^- + ?1 + е 1+"^ + У1 + г
Откинувъ въ знаменателѣ малыя дроби и е (подъ знакомъ корня), мы
этимъ знаменателемъ уменьшимъ, а слѣд. выраженіе второй части увеличимъ,
такъ-что будетъ
а <.___ __> пли а < _ .
і+ѵ'і	8
Отсюда заключаемъ, что для извлеченія квадратнаго корня изъ числа 1 Ц- е,
мало превышающаго 7, достаточно прибавитъ къ 1 половину избытка г: най-
демъ результатъ, точный до — по избытку. —
8
Примѣръ. Найти приближенно /1,000694.
Но правилу имѣемъ:
/1,000694 = 1 + °^°69А = 1,000347
72	1
съ точностью до д-уоі или до Заключаемъ, что ошибка не вліяетъ на по-
слѣдній десятичный знакъ приближенія 1,000347.
154.	Признаки неточныхъ квадратовъ. — Въ заключеніе укажемъ нѣкото-
рые признаки неточныхъ квадратовъ.
1.	(2и)2 = 4я2, т. е. квадратъ всякаго четнаго числа (2п) дѣлится на 4,
а слѣд. обратно, четное число только тогда можетъ бытъ квадратомъ, когда
оно дѣлится на 4. Само собою разумѣется, что изъ этого не слѣдуетъ, чтобы
всякое число, дѣлящееся на 4, было необходимо точнымъ квадратомъ; такъ, 40
есть неточный квадратъ.
2.	(2и-|-1)2 = 4п2-|- 4п-}-1, т. е. всякое нечетное число имѣетъ квад-
ратъ вида 4п2-]-4п-(-1, т. е. такой, который, будучи уменьшенъ на 1, дѣ-
лится на 4; слѣд. обратно, нечетное число только тогда можетъ бытъ точнымъ
квадратомъ, когда оно, уменьшенное на 1, дѣлится на 4.
3.	Изъ умноженія цѣлыхъ чиселъ извѣстно, что произведеніе двухъ такихъ
чиселъ оканчивается тою же цифрою, какою и произведеніе ихъ простыхъ еди-
ницъ. Но квадраты чиселъ 1,2,3, ... .,9 оканчиваются цифрами 1,4,5,6,9, но
не оканчиваются цифрами 2,3,7 и 8. Нзъ этого слѣдуетъ, что всякое цѣлое
число, оканчивающееся одною изъ цифръ: 2,3,7 и 8, не можетъ быть точнымъ
квадратомъ. Здѣсь опять слѣдуетъ замѣтить, что если число оканчивается одною
изъ цифръ: 1,4,5,6 и 9, то оно не есть необходимо точный квадратъ; такъ,
625 есть точный, а 15 —неточный квадратъ.
- 167 -
4.	Если число оканчивается 5-ью, его квадратъ долженъ оканчиваться 25-ью.
Въ самомъ дѣлѣ, разсматривая число какъ сумму десятковъ и простыхъ еди-
ницъ, находимъ, что квадратъ десятковъ оканчивается двумя нулями, удвоенное
произведеніе десятковъ на единицы, въ данномъ случаѣ, будетъ оканчиваться
также двумя нулями, сл. квадратъ числа, оканчивающагося 5-ью, необходимо
оканчивается 25-ью. Слѣд., всякое число, оканчивающееся 5-ью, котораго пред-
послѣдняя цифра не есть 2, не м. б. точнымъ квадратомъ.
5.	Квадратъ числа, оканчивающагося нулями, имѣетъ нулей вдвое больше,
т. е. четное число ихъ. Слѣд., число, оканчивающееся нечетнымъ числомъ ну-
лей, не есть точный квадратъ.
155. Задачи.
Извлечь квадратный корень изъ чиселъ:
1.	961. 2. 3136. 3. 4096. 4. 5625. 5. 6889. 6. 8649. 7.9801. 8. 15376.
9. 45369.	10. 106929.	11. 207936.	12. 622521.	13. 185761.	14. 163216.
15. 40000.	16. 1841449.	17. 846398.	18. 2619761.	19. 2717741.	20. 1019918.
21. 67848169. 22. 6031936. 23. 25482304. 24. 97377424. 25. 150229108836.
26. 1848999439. 27. 15968016. 28.	29;	30.	31.
2Э	1У0	ІйУО	ООоУ
32-^іг- 33.34.^1^-. 35.13,69.36. 5760,81.37.33708,96.38.227,7081.
324	45369	784
39. 4762,104064. 40. 0,09. 41. 0,2209. 42. 0,013689. 43. 0,00056644.
1	19	13	1
44. 10955 — • 45. 750^| - 46. 14121^- 47. 29355 — 48.0,010816.
У	20	Оѵ	У
49. 0,00008649.
Вычислить квадратный корень изъ слѣдующихъ чиселъ съ указаннымъ прибли-
женіемъ:
50. 38 до 4- 51. 46 до 52. 112 до— 53. 95 до 54. 213 до 0,1.
5	4	8	11
55. 27 до 0,001. 56. 82 до 57. 315 до 0,0001. 58. 61 до 0,001. 59. 75
до 0,0001. 60. 18 до 0,00001.
61.	Найти корни изъ чиселъ: а) 3; р) 5; 7) 7;	11; О 12 съ пятью десятич-
ными знаками.
2	5
62.	Найти корни изъ чиселъ: а) —; ^3) 5,5; 7) 3 —; 6) 0,9; е) 0,209 съ 6-ью
0	О
десятичными знаками.
355	1	97	103
63.	1)	; 2) —-; 3) 97 - ; 4) —; 5) 317,6; 6) 145,3 съ 5-ю десятич-
НО	1/1У	ѴѴ	ійѴ
ными знаками.
64.	Приложить правило § 153 къ нахожденію приближенныхъ корней изъ чиселъ:
1) 1,00004; 2) 1,0003; 3) 1,00118; 4) 1,000708; 5) 1,000000556; 6) 1,00037;
7) 1,00000000013924.
65.	Главныя планеты, вращающіяся вокругъ солнца, сутй: Меркурій, Венера,
Земля, Марсъ, Юпитеръ, Сатурнъ, Уранъ и Нептунъ. Ихъ среднія разстоянія отъ
солнца суть: Меркурія — 0,3871; Венеры— 0,7233; земли— 1; Марса— 1,5237; Юпи-
тера— 5,2028; Сатурна — 9,5389; Урана— 19,1826; Нептуна — 30,0370. Продолжи-
тельность сидерическаго обращенія земли вокругъ Солнца равно 365,2563744 сутокъ.
— 168 —
Вычислить времена сидерическихъ обращеній другихъ планетъ, зная, что, по треть-
ему закону Кеплера, квадраты этихъ временъ относятся между собою какъ кубы сред-
нихъ разстояній?
Извлеченіе квадратнаго корня изъ многочлена,
156. Корень изъ многочлена только въ исключительныхъ случаяхъ извле-
комъ, т. е. можетъ быть выраженъ въ Формѣ раціональнаго многочлена.
Для возможности извлеченія квадратнаго корня изъ многочлена, послѣдній
долженъ содержать не менѣе трехъ неприводимыхъ членовъ. Въ самомъ дѣлѣ,
если данный многочленъ есть двучленъ, то корень изъ него не м. б. выраженъ
точно ни одночленомъ, ни многочленомъ, потому-что квадратъ одночлена есть од-
ночленъ, а квадратъ простѣйшаго многочлена — двучлена, содержитъ три непри-
водимыхъ члена.
Пусть данный многочленъ будетъ точный квадратъ:
2ааѴ — 20а3ж5	74а4ж4 — 48а!ж3 57а6ж2 — 28а7ж -|- 4а8,
расположенный по убывающимъ степенямъ главной буквы ж, и пусть
І’-Н + г-Н +.....................
будетъ квадратный корень изъ него, также расположенный по убывающимъ сте-
пенямъ х. Данный многочленъ, какъ квадратъ своего корня, будетъ = (р	у
-[г -{-$+• • -)3; или, раскрывъ этотъ квадратъ, получимъ равенство
25а2жс—20а3ж3-}-74а4ж4—48а3ж34-б7асж2—28а7ж-{-4а8=р24_21,24‘22_Ь
-|-2(.р-]-з)г-]-г2
4-2(р+2+г)5+52+ • •  • О)
Вторая часть этого равенства, по раскрытіи скобокъ и по приведеніи, должна
давать первую часть, поэтому равенство это есть тождество, а слѣд. высшіе
члены въ обѣихъ частяхъ должны быть равны. Но вторая часть есть произ-
веденіе (/> + ?+ • • • )(р + ^+ • - • )> а потому высшій членъ ея равенъ про-
изведенію высшихъ членовъ сомножителей, т. е. = р.р или р*. Итакъ р* =
— 25а2ж6, откуда
р = у/25а2ж6.
Слѣд. чтобы найти высшій членъ корня, нужно извлечь квадратный
корень изъ высшаго члена даннаго полинома.
\/25а’ж'і = ±5аж3. Возьмемъ для р его значеніе со знакомъ т. е. поло-
жимъ # = -|-5аж3. Вычтя изъ первой части равенства (1) 25а2ж6, а изъ вто-
рой р2, найдемъ тождество
—20а3ж’-{-74а4ж4—48а3ж3-{- .... =2р^-|н/2-|-2(2Н-у)г-{-г2-{-- .... (2),
а потому высшіе по буквѣ х члены его должны быть равны; но высшій членъ
второй части есть 2ру, потому-что р и у суть высшіе члены корня. Слѣд.
2ру ——20а3ж3, или, такъ какъ # = 5аж3, то: 10аж3.(/ =— 20а3ж3, откуда
д = — 20а3ж3:10ажг = — 2а2ж2,
Отсюда: чтобы найти второй членъ корня, нужно вычесть изъ даннаго
иолинома квадратъ перваго члена корня, и высшій членъ перваго остатка
раздѣлить на удвоенный первый членъ корня.
- 171 -
Долженъ-бы быть нулемъ — В, а корень—-И; такъ какъ остатокъ получился по
вычитаніи изъ Р всѣхъ членовъ квадрата многочлена II, то Р —П2=К, откуда
Р=П8 + В,
Эта Формула и служитъ для преобразованія неточнаго квадрата.
Примѣръ I. Возьмемъ полиномъ, расположенный по убывающимъ степе-
нямъ главной буквы, напр.
9аѴ — 24а3ж3	46а’ж2 — 20а:іж 13а6.
Если этотъ многочленъ есть точный квадратъ, то нисшій членъ корня долженъ
быть равенъ ДЗа6, а слѣдующій затѣмъ остатокъ долженъ быть нулемъ. Если
оба эти условія окажутся невыполненными, то должно заключить, что данный
полиномъ не есть точный квадратъ. Примѣняемъ правило § 157.
9а2ж4 — 24а3ж3 4ба*ж2 — 29а*х	13а6
± 24а3ж3 гр 1 6а4ж2
30а‘ж2 — 20а:'ж	13а6
— ЗОа’ж2 ±40а5ж гр25а6
20а:'ж— 12а6
Заж2 — 4а2ж 5а3
(баж2 — 4а2ж)( — 4а2ж)
(баж2 — 8а2ж 5а3) .5а3
Найдя въ корнѣ членъ -|-5а3, и замѣчая, что: 1) онъ не равенъ у/13а6, а 2)
что слѣдующій остатокъ не есть 0, заключаемъ, что данный полиномъ не есть
точный квадратъ. Примѣняя Формулу Р = П2-]-В., можемъ его представить въ
видѣ
(Заж2 — 4а2ж 5а3)2	20а:іж— 12а6.
Примѣръ II. Пусть данный полиномъ расположенъ по восходящимъ сте-
пенямъ главной буквы, напр.
1 — 5ж 4ж2 — 6ж3 -|- 8ж4.
Если этотъ многочленъ — точный квадратъ, то дойдя въ корнѣ до члена, со-
держащаго ж2, и получивъ затѣмъ остатокъ неравный 0, должны заключить,
что данный полиномъ есть неточный квадратъ.
1 — 5ж 4ж2 — 6ж3	8ж4
. г 25 2
±5ж=р—ж2
4
— -|-ж2 — 6ж3 -|- 8ж’“
, 9 ,	45 ,	81 <
ж2=р-ж3=р—ж1
4	8	64
93 , . 431 .
-8» +«’
93 ч 465 ,	837
- 8 Х 16 Х 64 '
1429 .	837 ..	8649 .1
- 64-а?-І4Ж	-256	। ИТ. Д.
.	5	9 2 93 3
1-_ж_-ж2--ж3
(2 — 5ж —
8649 6
256 Х
/« к	9 о 9а 3
(2—5ж-----ж2 ——ж3
\	4	16
Разница этого сличая отъ предыдущаго заключается въ томъ, что степени
главной буквы въ послѣдовательныхъ остаткахъ повышаются, а это ведетъ за
собою возможность полученія въ частномъ неограниченнаго числа членовъ цѣ-
- 172
лыхъ относительно главной буквы, такъ что разложеніе многочлена по Формулѣ
Рз=1)2-)-В, гдѣ И и В —цѣлыя относительно х выраженія, — неопредѣленно.
160.	Приложенія. — I. Найти условіе, необходимое и достаточное для
гпого, чтобы квадратный триномъ
ах* -|- Ъх с
былъ точнымъ квадратомъ.
1-й методъ. Найдемъ остатокъ квадратнаго корня изъ даннаго тринома.
ах*-\-Ъх-\-с ! х^/а~\—
।	2\]а
Чтобы триномъ былъ точнымъ квадратомъ, необходимо и достаточно чтобы
остатокъ быЬъ равенъ нулю, т. е. чтобы
'	&2	72	4
с------= 0, или о2— 4ас = о.
4а
2-й методъ. Положивъ
аж2 с = (аж Р)2
и раскрывъ вторую часть, найдемъ тождество
аж2 -{~ Ъх	с— а2ж2 2а^ж -|- Р2;
приравнивая коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ ж, найдемъ три условія:
а = а2; Ь = 2ар; с = р2.
Эти три условія должны существовать совмѣстно, а потому величины а и р,'
выведенныя изъ 1-го и 3-го, должны удовлетворять второмуд
Такимъ образомъ найдемъ: & = гЬ2Уа .^с , или Ь2 = Іас.
Примѣчаніе. Еслибы а равнялось нулю, то изъ условія 62 = 4ас, слѣ-
дуетъ, что и Ъ должно — о; триномъ приводится въ этсмъ случаѣ къ с: это есть
квадратъ количества ^с. Поэтому можно сказать, что каково бы ни было а, ис-
комое условіе есть &2 — 4ас = о.
II.	Найти условіе, необходимое и достаточное для того, чтобы триномъ
ах* 2Ъхусу*
былъ точнымъ квадратомъ.
Различаемъ два случая: 1) а —о- 2) а не равно о.
Когда а = о, то, какъ триномъ не можетъ имѣть высшею степенью ж —
первую, необходимо положить и Ъ = о. Это условіе, будучи необходимымъ, вмѣстѣ
съ тѣмъ и достаточно; ибо, если оно выполнено, то триномъ приводится къ су2:
а это есть точный квадратъ количества у.
- 173 -
Пусть а не равно нулю. Извлеченіе корня даетъ:
ах* -|- 2&«г/ сг/2 <$а.х -|-
Ѵа
2Уй.я:-|--^ . ^=у
у/а / у/а
— 2Ъху ~у* і
Заключаемъ, что если — — с, или —-— не равно нулю, т. е. если &2—
ас отлично отъ нуля, триномъ не есть точный квадратъ. Итакъ, необходимо,
чтобы 62 — ас равнялось нулю. Этого условія, вмѣстѣ съ тѣмъ, и достаточно;
ибо равенство
/ __	\ 2 ас__№
ах*-у2Ъху-^-су* = иа.х-\--ру \ -(------— у*
\	іа*	®
что какъ скоро Ъ*=ас, данный триномъ превращается въ точ-
количества
показываетъ,
иый квадратъ
/—	. Ъ	ах-\-Ъу
у/а. х	—= у, ИЛИ ----7— ’
\/а	Ѵа
III.	Найти условія, необходимыя и достаточныя для тою, чтобы полиномъ
ах* ау*	а" г*	2Ъу,г' -|- 2Ѵгх -|- 2Ъ''ху
былъ точнымъ квадратомъ.
Къ этому примѣру можно приложить общій методъ, которымъ мы пользо-
вались въ двухъ предыдущихъ примѣрахъ. Но мы выведемъ искомыя условія
изъ условій, найденныхъ въ предыдущемъ примѣрѣ.
Различаемъ опать два случая: а = о и а не равно о.
Первый случай. Когда а = о, то, какъ данный полиномъ, чтобы быть точ-
нымъ квадратомъ, не долженъ содержать членовъ съ первою степенью х, мы
должны при всякихъ у и г имѣть
Ъ'г-\-Ъ"у — о,
откуда, извѣстнымъ уже путемъ, заключаемъ, что
Ѵ—о и Ѵ'—о.
Полиномъ приводится къ
ау* 21>уз -|- а"з*.
Изъ предыдущаго примѣра знаемъ, что триномъ этого вида будетъ точнымъ
квадратомъ при условіи
а'а" — Ъ* — о.
Итакъ, искомыя условія суть:
Ь' — о, Ъ" — о, аа"—Ѵ — о.
Второй случай. — Пусть а пе равно о. Дадимъ полиному видъ
ах* -|- 2(Ъ"у -|- Ѵя)х -|- ау* -|- 2Ъуг -|- а"г*.
Его можно разсматривать какъ квадратный относительно х триномъ, кото-
- 174 -
раго первый коэффиціентъ а отличенъ отъ нуля. Прилагая сюда доказанное въ
предыдущемъ примѣрѣ условіе, найдемъ
{Ь"у ^)8 — «(«У + %Ьуг -|- а"^2).
Такъ какъ это равенство должно быть тождествомъ, оно должно имѣть мѣ-
сто при всякомъ у и при всякомъ откуда извѣстнымъ образомъ найдемъ условія:
&"2 — аа'\ Ъ'Ъ" — аЪ\ Ъ'2 — аа".
Этихъ условій, вмѣстѣ съ тѣмъ, и вполнѣ достаточно. Въ самомъ дѣлѣ,
изъ нихъ имѣемъ:
,	Ь"8 ..	Ъ’2 7 Ъ'Ъ"
а — —• а" ~—-Ъ =------------
а ’ а' а
Подставляя эти значенія а',а" и & въ данный полиномъ, дадимъ ему видъ
о . ъ,,2у2 . Ь'М . 2Ъ’Ъ"уе .	„
ах2 “I---а • а-------*------а • *°гх “Г ХУ —
а2а:8	Ь"2«/2 Ь'М 2Ь'Ь"«/^ 2аЪ’гх 2аЪ"ху____________
а
/ах Ъ"у Ь’л \ 2
\ /•
Отсюда видно, что при найденныхъ условіяхъ данный полиномъ есть пол-
ный квадратъ количества
ах -{- Ъ"у -{- Ъ'г
161.	Задачи.
Извлечь квадратный корень изъ многочленовъ:
1.	4а:6 — 12а:6 -{-25а:4— 24а:3-{- 16 а:8.
2.	а2 — 2аЪ -{- бас -{- &2 — 6Ьс-{-9с8.
3.	9р4 — Зр3д -{- 6р3г -{-	---р2дг -{-рМ.
4а4а;2	4а2йа:2г	8а3Ъх^2 .	,
4.	— ---------------[------[- Ъ2х2г2 — 4аЪ2х^3 -4- 4а8о2^4.
9 о	3
5.	4 -}- 13а2-{- 9а1 — 4а — ба3.
6.	9а1 -{- 25Ь8 -|- 64т2 -{- г2 — 30а2Ь	48а2т — ба2# — 8О6ш -{- 1Оі« — І6»и^.
7.	25а2а:*—40а4а:3-{-30а3а:7—10аа;3-[-16а6а:2—24а3а:6-[-8а3а;4-)-9а4а:10—6а2а;8-[-а;6.
9т6п4	12яг3а3	332яг4и6	16ш3іг.~ [ 16?»2»»8
8’ 25р«28 ~ 35рѴ — 735р8д10	бфАр 1 81рѴ2’
9.	р8 -{- 2рдх -|- (2рг -{- 22)ж8 -{- 2(рз -{- цг)х3 -{- (2дз -{- г^а;1 -|- 2гзх3 -{- з2а;6.
Ю 253	2°Ж I 9у2	15у I 4Ж2
'	7	Чу 16а;2	2х ' 4<ду2'
1К + 1 )+ + 1 ) + 3‘
12.	а1 -{- Ь1 -{- с* + й4 — 2а2(Ь8	й2) + 2Ь2(й2 — с2) — 2с2(й2 — а2).
13.	а:1 — (4а	2)а:3 -|- (4а8 -|- 10а — 3)ж2 — (12а2 — 2а — 4)а; + 9а2 — 12а -|- 4.
— 175 —
4Ь2 : 4- 8Ь2 1 а3 -{-24Ь2 а2 420Ь« а 425Ь2.
14.	—4Ьс —2с2	—18Ьс —2Ьс —30с
-{-с2	.	413с2 4И 49с2.
15.	*«—(2а42Ь)*34(За2—&242аЬ)*2—(2а34а26—аЬ2—г>3)*4а‘4&4—2а2і2.
1	Г 1 \	пЛ	4
16.	*2-!—,—2Іх-------) — 1.	17. ** 4- *34 ---4*— 2 4—„
‘ хг \ х /	1	1 4	1 ж2
14	1
х3 ‘ а2 “ \ х а ?
19.	(а — 2Ь)2*4 — 2а(а — 2&) х3 4 (а2 4- 4а6 — 6а — 8Ь2 4- 12Ь) ж2 — (4аЬ — 6а)х
4- 4Ь2 —12&4-9.
20.	Опредѣлить остатокъ квадратнаго корня изъ полинома
я8 — 6ах~ — ЗаѴ> 4* 7 а6*2 — а8.
21.	Вычислить по шести членовъ квадратнаго корня изъ слѣдующихъ биномовъ:
х2 4~ а; а2—1; а2 — х-, 14&
22.	Опредѣлить, при какомъ значеніи к полиномъ
х'1 4- 6*3 4 7*2 — 6* 4~ к
будетъ полнымъ квадратомъ.
23.	Опредѣлить а подъ условіемъ, чтобы триномъ За;2 — 5ах — 1 былъ йоднымъ
квадратомъ.
24.	Найти связь между коэффиціентами р, ди г, при которой полиномъ х3-4-рх’4
4 а®2 4’’ есть точный квадратъ.
25.	Таже задача относительно полинома
*’4- 4р*3 4~ бдл:2 4~ 4рх-~ г.
26.	При какой зависимости между р, д и т полиномъ
4хі — 4рх3 4-- 4й*2 — 2^(ти 4- 1)*4 (т 4- I)2
представляетъ точный квадратъ?
27.	Доказать, что полиномъ ахі -1 - Ъх3 4- с*2 4 йя 4“ с представляетъ точный
квадратъ, если
,	Ъ(4ас— I2)	(4ас— Ь2)2
/7   _4------' II р   4_______ «
8а2	64а3
28.	Доказать, что условія, необходимыя и достаточныя для того, чтобы поли-
номъ ахі-\-2Ъху 4- сг/24~ 2й*4 2е.г/4" Т былъ точнымъ квадратомъ, суть:
Ь2— ас = О,	й2 — а/'=О,	е2—с/"—0.
29.	Доказать, что произведеніе четырехъ послѣдовательныхъ чиселъ, увеличенное
на 1, всегда есть точный квадратъ.
30.	Какому условію должны удовлетворять коэффиціенты а, Ь и с, чтобы поли-
номъ а^х14~ а*3 4~ Ъхг 4- сх 4 с2 былъ полнымъ квадратомъ?
31.	Доказать, что каждый изъ полиномовъ:
24(24* — 1)(12* — 1)(8* — 1)(6* —1)4-1,
36*(6* 4- 1)(3* 4-1)(2* 41)4-1,
*(*4а)(*4Ь)(*4а4Ь)4——
есть точный квадратъ.
— 176 —
ГЛАВА ЗСІІІ.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ.
Опредѣленія; предварительныя теоремы.—Извлеченіе кубичнаго корня изъ цѣлыхъ п
дробныхъ чиселъ съ точностью до 1 п до — .—Сокращенный способъ.—Задачи.—
Извлеченіе кубичнаго корня пзъ многочленовъ.—Задачи.
162.	Когда число есть кубъ другаго числа, то первое называется точнымъ
кубомъ, а второе — точнымъ кубичнымъ корнемъ изъ перваго. Такъ 125 есть
точный кубъ 5-ти, а 5—точный кубичный корень изъ 125.
163.	Разсужденіями, приведенными въ § 130, докажемъ, что:
Когда цѣлое число не есть точный кубъ, то кубичный корень изъ нею
нельзя выразитъ точно ни въ цѣлыхъ единицахъ, ни въ какихъ либо доляхъ
единицы.
Такіе корни называются несоизмѣримыми съ единицею; такъ, кубичные
корни изъ чиселъ: 3, 10, 15 и т. д. суть числа несоизмѣримыя.
164.	Опредѣленія.—Кубичный коренъ изъ цѣлаго числа, гпочный до еди-
ницы, есть коренъ изъ наибольшаго куба, заключающагося въ этомъ числѣ,
или этотъ коренъ 1.
Первый называется корнемъ, точнымъ до 1 по недостатку, второй — по
избытку. Такъ, замѣчая, что наибольшій кубъ, заключающійся въ 70, есть 64
заключаемъ; что кубичный корень изъ 70, точный до 1 по недостатку, есть 4,
а по избытку — 5.
165.	Остаткомъ кубичнаго корня пзъ цѣлаго числа называется избытокъ
этого числа надъ кубомъ его корня, точнаго до 1 по недостатку. Напр., оста-
токъ кубичнаго корня изъ 70 есть разность 70— 64 или 6.
Вообще, если данное число есть X, кубичный корень изъ него, точный до
1 по недостатку, равенъ А, а остатокъ — В, то, по опредѣленію остатка,
В = X — А3, откуда
Х = А34~В.
Въ частности, когда X есть точный кубъ, остатокъ корня равенъ пулю.
Теорема. — Остатокъ кубичнаго корня не больше утроеннаго
произведенія корней изъ даннаго числа, точныхъ до 1 по недостатку
и по избытку.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть А есть кубичный корень изъ И, точный до 1 по
недостатку; въ такомъ случаѣ X содержится между А3 и (А-(-1)8, п слѣд. раз-
ность между И и А3 меньше разности (А--{-1)3 — А3 или ЗА(А —1) —1, т. е.
В<ЗА(А +1)4-1.
Но К я ЗА(А4-1)4~1 суть числа цѣлыя, и В—меньшее изъ нихъ, то оно
меньше втораго по-крайней мѣрѣ на 1, т. е.
К^ЗА(А4-1;.
— 177 —
Слѣдствіе. Условія, необходимыя и достаточныя для того, чтобы
А было кубичнымъ корнемъ изъ К, точнымъ до 1 по недостатку, суть:
К = А3 + К и Е<ЗА(А + 1).
Въ самомъ дѣлѣ, равенство выражаетъ, что кубъ числа А содержится въ
К, а неравенство означаетъ, что К не заключаетъ въ себѣ куба числа А -{-1.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ цѣлаго числа съ точностью
до 1.
Эту теорію подраздѣляемъ на три случая.
166.	Первый случай. Данное число меньше 1000.
Въ этомъ случаѣ кубичный корень находятъ прямо при помощи таблицы
кубовъ первыхъ девяти чиселъ.
Числа: 123456789
Еубы:	1	8	27	64	125	216	343	512	729.
Пусть требуется извлечь кубичный корень, съ точностью до 1, изъ 427.
Изъ таблицы кубовъ видно, что это число содержится между 343 и 512, слѣд.
наибольшій кубъ, въ немъ заключающійся, есть 343; поэтому искомый корень
= 7, а остатокъ есть 427 — 343 или 84.
167.	Второй случай. Данное число содержится между 1000 и 1000000.
Пусть дано число 341254; оно больше 1000 или ІО3, но меньше 1000000
или 1003, а потому квадратный корень изъ него больше 10,'но меньше 100,
т. е. состоитъ изъ десятковъ и единицъ: пусть число его десятковъ будетъ <7,
а простыхъ единицъ — и\ искомый корень будетъ 10с7-|- и, и если возможный
остатокъ назовемъ буквою В, то получимъ равенство:
341254=(10й+и)3+ІІ=1000й3+3.100й2.м+3.10й.м2+“3+к...(1)-
Чтобы найти цифру десятковъ корня, замѣчаемъ, что слагаемое 1000с73 есть
цѣлое число тысячъ, а потому необходимо содержится въ 341000 суммы, а слѣд.
<73 заключается въ 341. Докажемъ, что кубичный корень изъ наибольшаго куба
заключающагося въ 341, и дастъ намъ с7. Въ самомъ дѣлѣ, изъ таблицы ку-
бовъ замѣчаемъ, что 341 содержится между 216 и 343, или между 63 и |73:
63<341<73.
Помножая эти числа на 1000, мы не измѣнимъ неравенствъ, такъ-что:
бо’< 341000 < 703 •
Прибавивъ къ 341000 число 254, мы усилимъ первое неравенство. Что касает-
—з
ся втораго, то какъ 341000 и 70 суть цѣлыя числа тысячъ и первое меньше
втораго, то оно меньше его по крайней мѣрѣ на 1000; слѣд., увеличивъ пер-
вое на 254 — число, меньше 1000, получимъ результатъ, во всякомъ случаѣ,
--------3
меньшій 70, такъ что и второе неравенство не нарушится. Итакъ
------------------------3	---3
60 <341254 <70 ,
12
— 176 —
откуда, извлекая кубичный корень, имѣемъ:
60 < ^341254 < 70.
Эти неравенства доказываютъ, что искомый корень больше 6 десятковъ, но
не заключаетъ въ себѣ 7 десятковъ, т. е. что онъ содержитъ 6 цѣлыхъ десят-
ковъ, и, можетъ быть, нѣсколько простыхъ единицъ, число которыхъ не боль-
ше 9. Итакъ, й = 6, т. е. цифра десятковъ корня равна кубичному корню
изъ наибольшаго куба, содержащагося въ числѣ тысячъ даннаго числа.
Подставивъ въ равенство (1) 6 вмѣсто й, получимъ:
341254 = 2160004-3.3600.и + 3.60.м2 + «3 + В...................(2)
а вычтя изъ обѣихъ частей по 216000, найдемъ
125254= 3.3600 .и 4- З.бО.м2 4-м3 4- В.
Для нахожденія ци®ры и единицъ корня замѣчаемъ, что слагаемое З.ЗбОО.м
есть цѣлое число сотенъ, а потому необходимо заключается въ 1252 сотняхъ
суммы. Но въ составъ этихъ сотенъ суммы могутъ входить сотни и отъ осталь-
ныхъ членовъ ея (т. е. отъ З.бО.м2, и3 и В). Поэтому, членъ 3.3600м или
равенъ, или меньше 125200. Итакъ
3.3600м< 125200,
откуда
Но цифра единицъ и есть число цѣлое, а потому, раздѣливъ 1252 на 3.36, и
взявъ цѣлую часть частнаго, найдемъ высшій предѣлъ ци®ры единицъ корня.
Замѣтивъ, что 125254 называется первымъ остаткомъ, выводимъ изъ сказан-
наго слѣдующее правило для нахожденія ци®ры единицъ корня: отдѣливъ въ
первомъ остаткѣ двѣ цифры справа запятою и раздѣливъ оставшееся влѣ-
во отъ запятой число на утроенный квадратъ цифры десятковъ корня,
въ цѣлой части частнаго будемъ имѣть высшій предѣлъ цифры единицъ
корня.
Въ данномъ случаѣ, цѣлая часть сказаннаго частнаго есть 10; слѣд, циф-
ра единицъ корня будетъ 9 или меньше 9. Для испытанія ци®ры 9, мы долж-
ны составить сумму 3.3600.9 4-3.60.924~93 и вычесть ее изъ перваго остат-
ка: если вычитаніе будетъ возможно, то ци®ра 9 будетъ требуемая; въ против-
номъ случаѣ ее надо послѣдовательно уменьшать на 1 до тѣхъ поръ, пока вы-
читаніе сдѣлается возможнымъ. Сумму, подлежащую вычитанію можно написать
такъ:
[3 х 3600 4-(3 х 60 4-9) х 9] х 9.
3 X 3600 = 10800; ЗХ 604-9=189; 189 X 9 = 1701; 10800 4-1701 = 12501;
12501 X 9 = 112509, что меньше 125254.
Итакъ, цифра единицъ равна 9; искомый корень =69, а остатокъ корня =
= 125254 - 112509 = 12745.
- 179
Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:	
7341,254 216 108 |1252~54 1125 09 12 745	69	189 Х9 1701 +10800 12510 	Х9 112509
168.	Общій случай. — Этотъ случай приводится къ двумъ предыдущимъ
при помощи слѣдующей теоремы.
Теорема. — Число десятковъ кубичнаго корня изъ даннаго числа
равно кубичному корню изъ наибольшаго куба, содержащагося въ числѣ
тысячъ этого числа.
Пусть данное число будетъ 495864349, и пусть а3 будетъ наибольшій кубъ,
содержащійся въ числѣ тысячъ этого числа, т. е. въ 495864; въ такомъ слу-
чаѣ имѣемъ:
а3< 495864 < (а +1)3:
откуда, умноживъ всѣ числа на 1000, получимъ:
(10а)3495864000 < [10 (а +1)]3;
или, придавая къ среднему числу 349, что не измѣнитъ смысла неравенствъ,
но обратитъ возможное равенство въ неравенство:
(10а)3 < 495864349 < [10 (а +1)]3.
Слѣдовательно, извлекая корень изъ всѣхъ трехъ чиселъ, найдемъ:
10а < Ѵ495864349-< (а +1).10.
Итакъ, искомый корень заключается между а десятками и а +1 десяткомъ,
а потому содержитъ а десятковъ, и нѣкоторое число единицъ, не большее 9.
Теорема такимъ образомъ доказана.
169.	Мы нашли, что число десятковъ кубичнаго корня изъ числа 495864349
есть корень кубичный изъ 495864; число же десятковъ этого послѣдняго корня,
или число сотенъ перваго, равно куибчному корню изъ 495 (по той же теоре;
мѣ). Отсюда заключаемъ:
1.	Чтобы найти цифру высшаго разряда кубичнаго корня изъ цѣлаго
числа, достаточно раздѣлить его на грани, отдѣляя по три цпфры отъ
правой руки къ лѣвой, и извлечь кубичный корень изъ первой грани слѣва.
2.	Число цифръ корня, точнаго до 1 по недостатку, изъ цѣлаго числа
равно числу сказанныхъ граней.
170.	Извлечемъ квадратный корень изъ 495864349.
Извлекая кубичный корень изъ 495864 такъ, какъ указано въ § 167,
найдемъ число десятковъ искомаго корня: оно будетъ 79. Назвавъ ци®ру еди-
ницъ корня буквою и и возможный остатокъ черезъ К, имѣемъ:
.-3	--2
495864349 = 79 .1 000-4- 3.79 .ІОО.адЦ- 3.790.м2 + «3+ И .
12*
- 180 -
__3
Вычитая изъ обѣихъ частей этого равенства по 79 .1000, получимъ'
2825349 = 3.792.100.ы 4- 3.790.Ы2 4~ м»4- В.
Отсюда, извѣстными разсужденіями убѣдимся, что высшій предѣлъ цифры еди-
ницъ и найдемъ, опредѣливъ цѣлую часть частнаго отъ раздѣленія 28253 па
-----2
3. 79 , т. е. на 18723. Цѣлая часть этого частнаго равна 1; поэтому ци®ра
единицъ корня будетъ или 1 или 0.
Для испытанія 1, составляемъ остальные три члена куба корня, т. е.
--2
3. 79 .100 X 1-|-3.790 X 1’4"1\ что Даетъ 1874671; такъ какъ это число не
превышаетъ остатка 2825349, заключаемъ, что ци®ра единицъ корня есть 1,
самый корень =791, а остатокъ корня =2825349 —1874671, или 950678.
Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:
^495,864,349
343
147 9 |1528,64
1500 39
18723 1 |28253,49
18746 71
9506 78
791
49 X 3 = 147, 219 X 9 = 1971
14700
4-1971
16671 X 9 = 150039
1971
16671
81	—2
18723 = 3 X 79 , 2371 X 1 = 2371.
1872300
2371
1874671 X 1
Отсюда выводимъ:
171.	Правило извлеченія кубичнаго корня съ точностью до 1 изъ цѣлаго
числа.
Раздѣляютъ данное число на грани по три цифры отъ правой руки къ
лѣвой, причемъ первая гранъ слгъва можетъ имѣть и двѣ цифры и даже одну.
Первую цифру корня найдемъ, извлекая кубичный коренъ изъ первой гра-
ни слѣва.
Чтобы найти вторую цифру, вычитаютъ изъ первой грани кубъ первой
цифры корня, и къ остатку сносятъ вторую гранъ: такимъ образомъ полу-
чается первый частный остатокъ. Отдѣляютъ съ правой стороны ею двѣ
цифры, а оставшееся влѣво отъ запятой число дѣлятъ на утроенный квадратъ
первой цифры корня: 'цѣлая частъ частнаго дастъ высшій предѣлъ для вто-
рой цифры корня.
Чтобы узнать, годится-ліі эта цифра, приписываютъ ее справа къ
утроенной первой цифрѣ корня, и умножаютъ полученное число на испытуе-
мую цифру, къ произведенію придаютъ утроенный квдраатъ первой цифры
корня (служившій сейчасъ дѣлителемъ), приписавъ къ нему справа два нуля,
и умножаютъ полученную сумму на испытуемую цифру. Если это произве-
деніе не превышаетъ перваго остатка, испытуемая цгіфра годится-, въ про-
тивномъ случаѣ уменьшаютъ ее на 1 и снова исполняютъ указанное испы-
— 181 —
таніе, и т. д. пока испытаніе не дастъ произведенія, не превышающаго
первый частный остатокъ. Найденную цифру приписываютъ справа отъ
первой цгіфры корня.
Для нахожденія третьей цифры корня, вычитаютъ составленное про-
изведеніе изъ перваго остатка, и къ разности сносятъ третью гранъ: полу-
чится второй частный остатокъ. Съ правой стороны его огпдѣляютъ двѣ
цифры, и дѣлятъ оставшееся влѣво отъ запятой число на утроенный квадратъ
числа, найденнаго въ корнѣ: цѣлая часть частнаго будетъ представлять
высшій предѣлъ третьей цифры корня: испытываютъ эту цифру вышеука-
заннымъ способомъ.
Такимъ образомъ продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока будутъ снесены всѣ
грани.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ дробей съ точностью до 1.
172.	Теорема. — Кубичный коренъ изъ несократимой дроби несо-
измѣримъ, если его нельзя извлечь отдѣльно изъ числителя и знамена-
теля.
Тоже доказательство какъ въ § 143.
Такъ, члены дроби — точные кубы, поэтому кубичны корень изъ нея
извлекается точно:
3/1Г_Ѵ8 __ 2
V 125~Ѵ125_— 5 ‘
Кубичные корни изъ дробей	и -|- — несоизмѣримы.
У	о
173.	Теорема. Кубичный коренъ изъ дроби, точный до 1, есть
корень изъ наибольшаго куба, заключающагося въ цѣлой части даннаго
числа, или этотъ коренъ -\-1.
Доказательство аналогично § 144. Отсюда
Правило. Чтобы извлечь кубичный корень изъ дроби точно до 1, надо
отбросить дробную часть, и извлечь кубичный корень изъ цѣлой части
гпочно до 1.
Примѣръ. Извлечь кубичный корень изъ 2896,75 съ точностью до 1.
Откидывая дробь, извлекаемъ, съ указанною точностью, корень изъ 2896;
находимъ результаты: 14 — по недостатку и 15 — по избытку.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ цѣлыхъ чиселъ и изъ дро-
. „ 1
бей съ точностью до —.
п
174.	Правило. Чтобы извлечь кубичный корень изъ цѣлаго или изъ дроб-
, 1
наго числа съ точностью до —, нужно умножить это число на кубъ знамена-
— 182 —
теля степени приближенія, изъ произведенія извлечь корень точно до 1, и
раздѣлить ею на знаменателя степени приближенія.
Доказательство такое же какъ въ § 146.
Примѣръ. Вычислить ^/3 съ точностью до •
Для этого надо извлечь кубичный корень изъ ЗхЮО3т. е. изъ 3000000
съ точностью до 1; и раздѣлить результатъ на 100.
ѴООЩООО, 144
1	I	34X4 = 136
34 | 20,00	I	300
1744	!	136
| 2560,00 і	436	X 4 = 1744
2419 84’, 136	424 X4 = 1696
14016	436
____16
58800
1696
60496 X 4 = 241984
Искомый корень =1, 44 — по недостатку, и 1,45 — по избытку.
Сокращенный способъ извлеченія кубичнаго корня.
175.	Пусть требуется извлечь кубичный корень съ точностью до 1 изъ цѣ-
лаго числа А — случай, къ которому приводятся всѣ остальные. Положимъ, что
корень имѣетъ 2?» 4-1 ци®ръ, и что обыкновеннымъ способомъ найдено т 4-1
цифръ, т. е. больше половины всѣхъ ци®ръ корня, а остается найти послѣднія
т цифръ. Обозначимъ буквою а число, составленное найденными >и4-1 цифра-
ми, сопровождаемыми т нулями, а буквою « остальную часть корня, которая
вообще есть число несоизмѣримое: истинный корень выразится суммою а-]-а.
Итакъ:
А = (а 4~ ж)3 = а3 4- За2« 4“ ^ах’!‘ 4~ ж’ >
откуда
А — а3____	. ж2 , ж3
За2 Х ' а ‘За2
Найдемъ цѣлую часть у частнаго отъ раздѣленія А — а3 на За2, и пусть
остатокъ дѣленія будетъ г-, слѣд. получимъ равенство:
А — а3 	! г
-За2~ — 2' + За2
тт	•	А — а3 „
Приравнивая два выраженія частнаго —, найдемъ:
ОЙ»
+ //,2	Л>»3	А*
«л/	|	<Л/	>	/
«+®г>=«+да’
откуда
। г ж2/ л । ж \
Ж-^+за2~	+
— 183 -
Докажемъ, что абсолютная величина разности — ~(1 +^)меньшей,
и что слѣд. д выражаетъ величину х съ ошибкою, меньшею 2 единицъ.
Замѣтивъ, что г есть остатокъ дѣленія, въ которомъ дѣлитель равенъ За8,
заключаемъ, что ^-=<1. Затѣмъ, въ цѣлой части х находится т цифръ, по-
этому х меньше наименьшаго (»г1) значнаго числа, т. е. х < 10®, а пото-
му ж2 < 102®; съ другой стороны а состоитъ изъ 2т-[-1 цифръ, слѣд. а^ 102”;
я? 1	•
а потому—<1. Наконецъ, 8а>3.102®, а потому — < г- й. Отсюда видно,
Д	062 О.Ю
что + и слѣдовательно
?а+з-^<2’
а значитъ и абсолютная величина разности — —(1 р) также меньше 2.
ОСЬ* (I '	ОЙ1
Отсюда вытекаетъ слѣдующее заключеніе:
чтобы извлечь, съ точностью до 1, кубичный коренъ изъ цѣлаго числа, нахо-
дятъ обыкновеннымъ способомъ больше половины всѣхъ цифръ корня', затѣмъ
остальныя, съ точностью до 2, находятъ, раздѣливъ полный остатокъ на
утроенный квадратъ найденной части корня (т. е. числа, состоягцаго изъ
т 1 первыхъ цифръ съ т нулями). —
Слѣдуетъ замѣтить, что лишь въ исключительныхъ, рѣдкихъ, случаяхъ
приближеніе будетъ ошибочно болѣе чѣмъ на 1; обыкновенно же, ошибка быва-
етъ меньше 1; во всякомъ стучаѣ, найдя указаннымъ сокращеннымъ способомъ
„	ѵ	г хѴ. . х \
корень, слѣдуетъ прямо вычислять предѣлъ разности — ’а’ѵ^ + за/
176.	Можно всегда опредѣлить, будетъ-ли корень, вычисленный сокращен-
нымъ способомъ, т. е. а-\-д— точный, или приближенный; а въ послѣднемъ
случаѣ —въ какую сторону сдѣлана ошибка.
Въ самомъ дѣлѣ, назовемъ остатокъ по нахожденіи части а корня, буквою
К; имѣемъ равенство:
А-а3 = В, откуда А = а3-{-В.
Раздѣливъ В на За2, въ частномъ получимъ д, и въ остаткѣ г; слѣд.
К — За2.д-[-г,
а потому
А = а3 %а2д -|- г.
Отсюда:
1)	Если г > (За д)д\ то А>(а-]-д')3, и слѣд. а-}-д будетъ прибли-
женіе по недостатку.
2)	Если г = (За д)д\ то А = (а-]-2)3, сл. а-\-д будетъ точный ко-
рень.
3)	Если же п<(За-}-д)ді, то А < (а-|- д)3, а слѣд. а д будетъ приб-
лиженіемъ по избытку.
177. Извлечь кубичный корень изъ 96428639457679. Первыя три цифры
опредѣляемъ обыкновеннымъ способомъ.
— 184 -
96,428,639,457,679 324,28 5303639 356727	458	
	4800 125 625	5	607500 1358 10864	8
	5425 25	618364 64
	6075	629292
Находимъ 458. Остатокъ В, = 356727457679; а = 45800; За2 = 6292920000.
Раздѣливъ К на За2, находимъ въ частномъ 56. Искомый корень = 45856.
Вычисляемъ предѣлъ разности— —(14~5~\ Такъ какъ а >4.10*, и
. . X
 За
г х*
И —-------
За2 а
легко убѣ-
®<102, то^<і. Затѣмъ, За >12.10*, сл. ~ <	1 а потому 1 + ^
Сѵ 4	ОД 1^ X
<1 + шоі- Отсю«а: +	’• ’-<1- Сл-
(1 + ^)<1 Корень 45856 ошибоченъ меньше чѣмъ на 1, и какъ
диться — по недостатку.
178. Задачи.
Извлечь кубичный корень изъ чиселъ:
1. 4913. 2. 12167. 3. 32768. 4. 132651. 5. 74088. 6. 238328. 7. 405224.
8. 778688. 9. 3652264. ІО. 9663597. 11. 71473375. 12. 30959144. 13. 137388096.
14. 91733851. 15. 622835864. 16. 849278123. 17. 6118445789. 18. 134453795867.
19. 29704594907. 20.	21. Щ?. 22. 2460-|-- 23. 151^. 24. 1815^-
оо7э УлЫ	о	і	1^0
25. 0,000729. 26. 0,017576. 27. 0,000068921. 28. 0,010503459. 29. 0,055306341.
30. 0,000614125.
Извлечь кубичные корни изъ слѣдующихъ чиселъ съ указаннымъ приближеніемъ:
31. 4 до -і-. 32. 15 до і. 33. 88-|- до 34. 34-|- до 35. 410 до
У	іэ	о о	4	11	Іо
36. 3 ДО 0,01. 37. 24 до 0,01. 38. 7 до 0,001. 39. 547,91 до 0,001. 40. 950,35
217	7	20
до 0,0001. 41. 0,36 до 0,0001. 42. — до 0,001. 43. 56— до 0,001. 44. —
25	9	47
75 745
ДО 0,01. 45. п’  ДО 0,01.
1).ОЛ
Извлеченіе кубичнаго корня нзъ многочленовъ.
179.	Пусть требуется извлечь кубичный корень изъ многочлена
— 125а9®’2 + 150а8®’’	165а7®” - 172а9®9 — 99а8®8 + 54а*®7 + 27а3®6,
расположеннаго по убывающимъ степенямъ буквы ®, которую мы принимаемъ
за главную. Допуская, что многочленъ этотъ есть точный кубъ, и что корень
изъ него, также расположенный по убывающимъ степенямъ буквы ®, есть р 4~ д
г 4-з-]-. . . ., замѣчаемъ, что данный многочленъ долженъ быть равенъ ку-
- 185 -
бу овоего корня, т. е. (р4’7Чг4'54’--- )’• Такимъ образомъ имѣемъ тож-
дество:
— 125а9®’2 4-150а8®11 + 165а7®10 — 172а6®9 — 99а3®8 -|- 54а5®7	27а3®6 =
р* 4- %р\ 4- з^?2 4- г3 4- 3(р 4- д)9-г + 3(і? 4- ?>2 4- г3 4-....(1).
По свойству тождества, высшіе члены обѣихъ частей должны быть равны,
а потому р3 = — 125а9®12, откуда
р = — 125а9®12 = — 5а3®*.
Отсюда заключаемъ: для нахожденія высшаго члена корня нужно извлечь
кубичный корень изъ высшаго члена даннаго многочлена.
Вычитанія изъ первой части тождества (1) — 125а9®12, а изъ второй — рав-
ное этому количество р3, найдемъ тождество:
150а8®114- 165а7®10 — 172а6®9 — 99а3®8 4- 54а*®74~27а3®6=:32)224-Зі>?2-|-9'34-
4- 3(р 4- і 4- 3(р 4- чУ+г3 4-.........(2).
а потому высшіе по буквѣ ® члены обѣихъ частей должны быть равны, т. е.
'ір^-Ч = 150а8®1', или, такъ-какъ р — — 5а3®4, то 3.25а6®8.? = 150а8®11,
откуда
? = 150а8®":75а6®8 = 2а2®3.
Отсюда заключеніе: чтобы найти второй членъ корня, нужно изъ данна-
го гголинома вычесть кубъ перваго члена и высшій членъ перваго остатка
раздѣлить на утроенный квадратъ высшаго члена корня.
Вычтемъ изъ второй части тождества (2) 3?з2? 4- 3?з?2 4- ч\ а изъ первой
равное этому выраженіе: 3.(— 5а3®*)2.2а2®34-3(— 5а3®4).(2а2®3)24~ (2а2®3)3
или 150а8®11 — 60а7®10 4-8а6®?; найдемъ тождество
225а7®10 — 180а6®9 — 99а3®8 4- 54а*®7 4- 27а3®6 = 3(р 4~	4~
4- зо4-4-гз4-... .(3).
Приравнивая снова высшіе члены обѣихъ частей, получимъ равенство
ЗрѴ = 225а7®10, или 3.25а6®8.г = 225а7®10, откуда
г — 225а7®’°:75а6®8 = За®2.
Отсюда заключаемъ: чтобы найти третій членъ корня, нужно изъ пер-
ваго остатка вычесть утроенное произведеніе квадрата 1-го члена корня на
2-ой утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ втораго и кубъ
втораю, и первый членъ втораго остатка раздѣлить на утроенный квадратъ
1-го члена корня.
Вычтемъ изъ второй части тождества (3) выраженіе 3(р4~?'),'І9’4-3(р4-?)
г24~г3, а изъ первой равное ему количество: 3(—5а3®4 4-2а2®3)2. За®2 4-
3(- 5а3®*4-2а2®3).(3а®2)24-(3а®2)3 = 225а7®10 —180а6®94- 36а3®8 — 135а3®8
4- 54а4®7 4- 27а3®6 = 225а7®10 — 180а6®9 — 99а3®8 4- 54а4®7 4~ 27а3®6. По вы-
читаніи въ остаткѣ въ 1-ой части получается ноль; поэтому, данный полиномъ
есть точный кубъ, и искомый корень = — 5а3®4 4- 2а9®3 4- За®2.
Дѣйствіе располагаютъ слѣдующимъ образомъ:
- 186 -
—125«9л:,2+150а8л;11+165а7л;10—172а6/с9—99а3л;8+б4а4а;7+27а3а;6 —5а3л;4+2а2й;3+3аа;2
±125а9ж12	75а6а;8	’ '
+ 150а8ж11+165а,;г;10—172а6ж9—99а3ж8+54а4я7+27а3ж6і3.25а6ж8.2а2а;3+3.(—боАг^ЛаА^+^Лс3)’
—1б0а8лиі:60а7а:,0+8а6л9	75а6іс8	$
2 2 ба7#10—180а6ж9—99а3ж8+54а4а;,+27а3а;6 3(—5а3л;4+2а2ж3)2.Заж2-|-
—225а7а;10±18Оа6«9^г36а5ж8чг54а4а;7^27а3а;6 +3(—5а3ж4+2а2ж3).9оАс4+27а3а;6
^13ба5а;8
Отсюда выводимъ слѣдующее
180.	Правило. Расположивъ полиномъ по убывающимъ степенямъ глав-
ной буквы, извлекаемъ кубичный коренъ изъ перваго ею члена: получаемъ пер-
вый членъ корня.
Вычтя кубъ его изъ даннаго полинома, найдемъ первый остатокъ^ раз-
дѣливъ первый членъ этого остатка на утроенный квадратъ перваго члена
корня, въ частномъ получимъ второй членъ корня.
Вычтя изъ перваго остатка утроенное произведеніе квадрата перваго
члена корня на второй, утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ
втораго и кубъ втораго члена корня, получимъ второй остатокъ. Раздѣливъ
первый его членъ на утроенный квадратъ перваго члена корня, получимъ въ
частномъ третій членъ корня.
Вычтя изъ втораго остатка утроенное произведеніе квадрата сум-
мы первыхъ двухъ членовъ корня на третій, утроенное произведеніе сум-
мы первыхъ двухъ членовъ на квадратъ третьяго и кубъ третьяго члена,
найдемъ третій остатокъ. Раздѣливъ первый его членъ на утроенный ква-
дратъ перваго члена корня, гюлучимъ въ частномъ четвертый членъ корня
и т. д.
Дѣйствіе продолжаютъ до тѣхъ поръ, пока въ остаткѣ получгтся
ноль.
181.	Когда неизвѣстно, представляетъ-ли данный полиномъ точный кубъ
или нѣтъ, примѣняютъ къ нему правило § 180, замѣчая, что будетъ-ли поли-
номъ расположенъ по нисходящимъ, или по восходящимъ степенямъ главной
буквы, всегда можно предвидѣть степень послѣдняго члена корня, въ предполо-
женіи, что данный многочленъ есть точный кубъ; она должна быть втрое мень-
ше степени послѣдняго члена его. Когда данный полиномъ есть точный кубъ,
послѣдній членъ корня долженъ равняться кубичному корню изъ послѣдняго
члена полинома, а слѣдующій остатокъ долженъ быть нулемъ. Въ противномъ
случаѣ данный многочленъ не есть точный кубъ.
182.	Задачи.
Извлечь кубичный корень изъ многочленовъ:
1.	8^3ж12-[- 12 л;4?/2.
2.	8а3-}- 36а2Ь — 12а2с -(- 27Ь3 -}- 54аЬ2 -(- бас2 — 27Ь2с -}- 9Ьс2 — с3 — ЗбаЬс.
3.	147ж2у—126хиѵ-^-343х9—441л;2а—27а3-|-?>3-}-189я;м2-{-21л;ѵ2-}-27гЛ—9аі>2.
4.	8а9 -}- 36а8й -}- 102а7і2 -}- 159а6Ь3 -(- 168а3Ь4 -}- 69а4&5 — 2а3&« — 39а2Ь7 -}-
-}-12а&8— Ъ9.
- 187 -
5.	4-	“ 8Ь32/6 4- 366^ 4- 4-	4" 27гѵ — 18ь6^6 + 6Ь4г4-
4	О	4
27
— Ь8г/7 — 54&7?/8.
а3Ь3	а3Ь3 . За8&4 . За4&8	5а666
х3	у3 ' х3у ху3	х3у3
ГЛА.ВД. XIV.
Объ ирраціональныхъ числахъ.
Происхожденіе ирраціональныхъ чиселъ.— Несоизмѣримыя величины въ геометріи.—
Способъ предѣловъ. — Распространеніе основныхъ законовъ дѣйствій на числа не-
соизмѣримыя.
183.	Изученіе обратныхъ дѣйствій служитъ источникомъ для открытія но-
выхъ разрядовъ величинъ. Такъ, три прямыя ариѳметическія дѣйствія надъ цѣ-
лыми числами, т. е. сложеніе, умноженіе, которое есть только частный случай
сложенія, и возвышеніе въ степень — частный случай умноженія, даютъ въ
результатѣ всегда только цѣлыя числа. При изученіи же трехъ обратныхъ дѣй-
ствій — вычитанія, дѣленія и извлеченія корня, открываются новые роды вели-
чинъ, а именно: вычитаніе приводитъ къ открытію отрицательныхъ величинъ,
дѣленіе — къ открытію дробныхъ, а извлеченіе корня приводитъ къ двумъ
новымъ разрядамъ величинъ — несоизмѣримыхъ и мнимыхъ. Въ этой главѣ
мы займемся изученіемъ чиселъ несоизмѣримыхъ или ирраціональныхъ.
184.	Происхожденіе ирраціональныхъ чиселъ при извлеченіи корня.
Обобщимъ теоремы §§ 130, 143,163 и 172 для корня какого угодно порядка.
Теорема I. Если цѣлое число А есть неточная п-ая степень,
то корень п-го порядка изъ него — несоизмѣримъ.
Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ А не есть точная п-ая степень другаго цѣла-
го числа, тоУА пе можетъ равняться никакому цѣлому числу. Допустивъ же,
что этотъ корень равняется несократимой дроби -у, т. е. допустивъ возмож-
ность равенства
имѣли-бы отсюда, что
А = ^-
Но р есть число первое съ д, слѣд. рп — первое съ дп, а потому не мо-
жетъ равняться цѣлому числу А, и допущенное равенство невозможно. Итакъ,
корень и-го порядка изъ цѣлаго числа, не представляющаго точной и-ой степе-
ни, несоизмѣримъ съ единицею.
- 188 -
д
Теорема II. Коренъ п-го порядка изъ несократимой дроби
несоизмѣримъ, если его нельзя извлечь отдѣльно изъ числителя и зна-
менателя.
число цѣлое, невозможно
С ж С ,
-р, гдѣ-р-— дробь не-
Въ самомъ дѣлѣ, равенство
ибо оно приводитъ къ равенству = РЯ, выражающему, что несократимая дробь
равна цѣлому числу. Такимъ образомъ, искомый корень не можетъ быть выра-
женъ цѣлымъ числомъ. Но онъ не можетъ быть точно выраженъ и конечною
дробью. Въ самомъ дѣлѣ, доі
А Ся
сократимая; имѣемъ: = гдѣ вторая часть — также дробь несократимая.
Равенство этихъ дробей возможно только тогда, когда А = СЯ, и В = В", т. е.
Я /“д*
когда А и В суть точныя и-ыя степени; если же этого нѣтъ то, \/— нельзя
ѵ в
точно выразить ни въ цѣлыхъ единицахъ, ни въ доляхъ единицы, слѣд. ко-
рень этотъ будетъ несоизмѣримъ.
3
Таковы:
и т. п.
185.	Хотя ирраціональныя числа нельзя вычислять точно, но всегда можно
ихъ опредѣлять съ какою угодно степенью точности.
Пусть, напр., требуется вычислить гдѣ А есть цѣлое число, не пред-
ставляющее точной 7і-ой степени, съ ошибкою меньшею -^-> гдѣ р—какъ угод-
но большое цѣлое число. Умноживъ и раздѣливъ данный корень на рь получимъ
(подведя множителя р подъ знакъ корня):
п/Ѵ—рп>! А __
л/ Д 1	— --	•
ѵ р р
Если наибольшая м-ая степень, содержащаяся крп будетъ цѣлое число г*, то
г —1 > ’УДр* > г, откуда, раздѣливъ всѣ три числа на р,
и замѣтивъ, что —’І/А? найдемъ
Р
ш >ѴТ>
откуда прямо слѣдуетъ, что какъ такъ и выражаютъ \/А"прибли-
женно, съ ошибкою меньшею — • требуемое доказано.
”/ДГ А
Точно также, если гдѣ дробь несократимая, нельзя вычислить
точно, то можно найти его съ какимъ угодно приближеніемъ. Въ самомъ дѣлѣ,
поиноживъ числ. и знам. на Вя-1, найдемъ:
— 18$ -
Я/Т п/ав"-‘ "Дв«-і
V в~ ~ V ~в ~ ~ в ’
но, по предыдущему, всегда можно найти двѣ дроби, рознящіяся меньше чѣмъ
на ~ отъ ѴАВ»-’; пусть эти дроби будутъ и ——такъ что
^±±>ѴАВ^>*;
р у	р
раздѣливъ всѣ три числа на В, найдемъ.
&4-1	«/а-
ѣр V Вр’
откуда заключаемъ, что крайнія дроби выражаютъ искомый корень съ ошибкою,
1
меньшею ♦
Вр
186.	Несоизмѣримыя величины въ геометріи. Геометрія также представляетъ
примѣры несоизмѣримыхъ величинъ; извѣстнѣйшія изъ нихъ: окружность кру-
га и діаметръ, діагональ квадрата и сторона. Чтобы показать, какимъ образомъ
можно убѣдиться геометрически въ несоизмѣримости двухъ линій, докажемъ а
ргіогі, — сравненіемъ на самомъ дѣлѣ этихъ линій, что діагональ квадрата
несоизмѣрима съ его стороной.
Проведемъ діагональ АС квадрата АВСБ
и продолжимъ ее за точку А. Изъ А; какъ
изъ центра радіусомъ АВ опишемъ полу-
окружность, которая пересѣчетъ діагональ и
ея продолженіе въ точкахъ М и 1 Для до-
казательства, что АС несоизмѣрима съ АВ,
постараемся измѣрить первую изъ этихъ ли-
ній помощію второй.
„	. АС
Итакъ, составимъ отношеніе •
Мы имѣемъ: АС = АМ МС = АВ	МС,
откуда
АС . . МС . , 1
ав = 1 + ав = 1+лв
МС
. . . .(1).
АВ
Вопросъ приводится къ опредѣленію отношенія^. Замѣчая, что СВ есть
касательная, а СП — сѣкущая къ окружности имѣемъ:
---2	----2
АВ = СВ = СМ X СП,
откуда
АВ__СЛ
МС~АВ
•Но СИ = ПА + АМ + МС = 2АВ МС, поэтому
АВ __ 2АВ4-МС __ 9	4іс—9 I 1
МС— АВ ~	' АВ--' АВ‘
МС
— 190 —
Внося эту величину въ равенство (1), находимъ
АС 1_____________
АВ 1 ' 2 + 1
/АВч
\мс/
Итакъ, снова приходится опредѣлять отношеніе —  Но эта величина
намъ извѣстна: она опредѣляется равенствомъ (2); такимъ образомъ снова мы
АВ	_	„
введемъ —, которое опять нужно будетъ замѣнить его величиною изъ (2), и
т. д. Такія подстановки будутъ продолжаться неограниченно, такъ-что дѣйствіе
никогда не можетъ быть закончено, потому что всегда будемъ получать отно-
. АВ „	.АС
шеніе • итакъ, отношеніе представляется въ видѣ
АѴЛ	л. а
АС_1	। 1____
АВ~ 1	' 2-|-1
2 + 1___
2 4- • .
такъ-что оно никогда не можетъ быть вычислено съ точностію: линіи АС и АВ—
суть, слѣдовательно, линіи несоизмѣримыя.
187.	Дѣйствія надъ несоизмѣримыми числами подчинены тѣмъ же зако-
намъ, какъ и дѣйствія надъ числами соизмѣримыми. Доказательство этого поло-
женія основано на особомъ способѣ, называемомъ способомъ предѣловъ, съ на-
чальными основаніями котораго намъ необходимо, поэтому, теперь-же ознако-
миться.
Способъ предѣловъ.
188.	Количество называется постояннымъ, если въ данномъ вопросѣ оно
не измѣняетъ своей величины. Такъ: радіусъ въ данномъ кругѣ есть величина
постоянная, также сумма угловъ треугольника и т. п.
Количество наз. перемѣннымъ, если оно не имѣетъ одной опредѣленной ве-
личины, но измѣняется въ болѣе или менѣе широкихъ границахъ. Напр., углы
треугольника, хорда круга, и т. п.
Если перемѣнная величина, измѣняясь, приближается къ нѣкоторой посто-
янной, такъ-что разность между ними можетъ быть сдѣлана какъ угодно малою,
то постоянная называется предѣломъ перемѣнной. Для выясненія понятія о пре-
дѣлѣ приводимъ слѣдующіе примѣры.
Примѣръ I.—Разсмотримъ выраженіе 14-—-, въ которомъ буквѣ ж бу-
демъ послѣдовательно давать цѣлыя положительныя значенія: 1,2,3,. . . ^тог-
да 14-— будетъ принимать величины: 14"т, 1 +4-, 14~4'ѵ • • • воете-
X	і	Л	о
пенно уменьшающіяся и приближающіяся къ 1.
191 -
блѣд. І — будетъ количество перемѣнное, приближающееся къ постб-
Ж
явному числовому значенію — къ 1.
Принтомъ, разность между перемѣннымъ 1-|-— и постояннымъ 1 выра-
жается дробью -і-, которая можетъ быть сдѣлана какъ угодно малою; въ самомъ
дѣлѣ, желая, чтобы эта разность была меньше —нужно только х — су
дать величину, большую 100000.
Заключаемъ, что предѣломъ перемѣнной 1 въ данномъ случаѣ, будетъ 1.
Слово предѣлъ означаютъ буквами Ііт (отъ ®ранц. слова Іітііе — предѣлъ),
такъ —что можемъ предыдущій результатъ письменно выразить такъ:
\ X /
Примѣръ II.—Разсмотримъ еще величину а, выраженную линіей АВ.
Раздѣлимъ эту линію пополамъ, потомъ одну изъ половинъ еще пополамъ
и т. д. до безконечности. Величина АВ будетъ имѣть два выраженія: одно
?
< %
Черт. ІО.
а — постоянное, другое
ст । ст । ст ।	। а । а ।
"2" і 2? і 2з‘"Г* *	’ ТрГ "Г 2п+і"Г.........
состоящее изъ безконечнаго числа членовъ: это будетъ величина перемѣнная,
увеличивающаяся съ возрастаніемъ и, и все болѣе и болѣе приближающаяся
къ а. Если взять въ этой суммѣ п первыхъ членовъ, то она будетъ меньше
а на чѣмъ больше будетъ п, тѣмъ эта разница будетъ ближе къ нулю,
никогда, однако, его не достигая. Итакъ а есть предѣлъ перемѣнной +
..........при неограниченномъ увеличеніи п.
189.	Замѣтимъ, что одного приближенія перемѣнной величины къ посто-
янной еще недостаточно для того, чтобы постоянную принять за предѣлъ пере-
мѣнной: необходимо, чтобы разность между ними могла быть сдѣлана какъ угод-
но малою. Такъ, періодическая дробь 0,9898. . . ., по мѣрѣ увеличенія числа
десятичныхъ знаковъ, увеличивается, приближаясь къ 1, но 1 не есть предѣлъ
этой дроби, ибо разность между 1 и данною дробью, сколько-бы въ послѣдней
1	98
ни взяли десятичныхъ знаковъ, всегда больше — • Предѣлъ данной дроби есть дд.
190.	Выясняя понятіе о предѣлѣ, мы встрѣтились съ особаго рода вели-
чинами: перемѣнными, имѣющими свойство неограниченно уменьшаться, приб-
лижаясь къ нулю. Перемѣнная величина, неограниченно приближающаяся къ
— 192 —
Пулю и слѣдовательно имѣющая предѣломъ нуль, получаетъ названіе безконечно
малой, если ее разсматривать въ состояніи близкомъ къ нулю. Такъ, разность
между перемѣнною и ея предѣломъ, когда перемѣнная приближается къ своему
предѣлу, есть безконечно — малая величина.
Нужно остерегаться смѣшивать понятія — безконечно — малое и весьма малое:
эти понятія не имѣютъ ничего общаго между собою. Названіе весьма — малой
примѣняется къ постоянной величинѣ, настолько малой, что она ускользаетъ
отъ оцѣнки ея нашими чувствами. Напротивъ, безконечно — малая, будучи су-
щественно перемѣнною, не имѣетъ опредѣленной величины, и слѣд. величина
ея ни чѣмъ не связана съ нашими Физическими средствами оцѣнки величинъ.
Сущность безконечно-малой заключается въ томъ, что она имѣетъ свойство не-
ограниченно уменьшаться, становясь какъ угодно близкою къ нулю.
191.	Безконечно — большою величиною наз. такая перемѣнная, которая мо-
жетъ быть сдѣлана болѣе всякой напередъ заданной величины, какъ бы послѣд-
няя ни была велика.
Примѣромъ безконечно — большой величины можетъ служить дробь —, гдѣ
х безконечно малая величина,- Въ самомъ дѣлѣ, -і- можетъ быть сдѣлана боль-
ше всякой заданной величины: желая, напр., сдѣлать эту дробь больше 100000,
достаточно взять х меньше 0,00001.
Понятіе о безконечно — большой величинѣ не слѣдуетъ смѣшивать съ по-
нятіемъ о весьма большой величинѣ. Такъ, 1000000 верстъ есть величина весь-
ма большая, но не есть безконечно — большая, ибо можно задать величину, ко-
торой она меньше. Названіе весьма большой дается величинѣ постоянной; на-
противъ, безконечно — большая — есть величина существенно перемѣнная.
Не слѣдуетъ также смѣшивать понятіе о безконечно — большомъ съ абсо-
лютною безконечностью, взятою въ обыкновенномъ смыслѣ. Абсолютная безко-
нечность исключаетъ всякую идею ограниченія и численнаго опредѣленія, и
потому не можетъ служить предметомъ математическаго изслѣдованія. —
192.	Свойства безконечно - малыхъ. — I. Сумма безконечно - малыхъ, взя-
тыхъ въ ограниченномъ числѣ, есть величина безконечно-малая.—
Возьмемъ п безконечно - малыхъ величинъ:	......,а„; требуется
доказать, что сумма ихъ можетъ быть сдѣлана меньше всякой произвольно ма-
лой величины а. Такъ-какъ а,,^,. . . суть величины безконечно - малыя, то
каждая изъ нихъ можетъ быть сдѣлана меньше поэтому имѣемъ рядъ
неравенствъ:
аі<-^- [ Сложивъ ихъ, найдемъ:
й2<“	аі+а8+«з+...........+ап<Т‘
аз<~ \ такъ какъ берется слагаемымъ п разъ; или
:	аі “И а2 аз+........-|-ап<а.
а | Итакъ, сумма а14-а24~. . . .-|-а„ можетъ быть сдѣлана меньше а,
а" п I и требуемое доказано.
— 193 —
11.	Разность двухъ безконечно-малыхъ есть величина безконечно-малая.
Дѣйствительно, если и а2 суть величины безконечно - малыя, то умень-
шивъ а1 на а2, получимъ разность а, — а2 меньшую аи а потому и подавно
безконечно - малую.
III.	Произведеніе нѣсколькихъ безконечно • малыхъ, взятыхъ въ опредѣ-
ленномъ числѣ, есть величина безконечно - малая.
Возьмемъ п безконечно-малыхъ: а,,а2,азѵ . . .,а„ и докажемъ, что про-
изведеніе ихъ можетъ быть сдѣлано меньше произвольно малаго количеста а.
а„«2, а3,......,а„, будучи безконечно - малыми, могутъ быть сдѣланы мень-
ше Ѵа ; поэтому имѣемъ:
а^’Уа Перемноживъ эти неравенства, найдемъ:
а2<\/а	а, . а2 . а3....а„ < ^/а . ’^/оГ. ^/а~. . . .”/а ,
аз<Ѵа или а,.а2.а3. . . . ая < С/ГУ і
но, по опредѣленію корня, (Ѵа~У = а, слѣд.
Ѵ«	а, . а2 . а3....ап < а,
что и требовалось доказать.
Слѣдствіе. Такъ-какъ степень есть произведеніе равныхъ множителей,
то изъ предыдущей теоремы прямо слѣдуетъ, что степень съ конечнымъ цѣлымъ
положительнымъ показателемъ безконечно-малой есть величина безконечно-малая.
IV.	Произведеніе безконечно - малой на величину конечную — безконечно
мало.
Пусть а, — безконечно - малое, а п — конечное количество; доказать, что
можетъ быть сдѣлано меньше произвольно малаго количества а. Такъ какъ
а( безконечно-мало, то всегда можно положить а, < —, откуда а,и<— . и,
или Я|И < а.
V.	Частное отъ раздѣленія безконечно - малой величины на конечную
есть безконечно - малая величина.
Въ самомъ дѣлѣ, если а, безконечно - мало, то всегда можно сдѣлать
а,< па, гдѣ п— конечно, а а — произвольно мало; а отсюда — < а.
VI.	Корень съ конечнымъ цѣлымъ положительнымъ показателемъ изъ без-
конечно-малой величины есть величина безконечно-малая.
Сохраняя прежнія обозначенія, имѣемъ; а, < а”, ибо а, безконечно-мало;
а извлекая корщіьп-ой степени изъ обѣихъ аастей^найдемъ Ѵа, <а.
~^І'9з7*Способъ находить постоянную величину, служащую предѣломъ пере- л
мѣнной, называется способомъ предѣловъ. Онъ основанъ на нижеслѣдующихъ*
теоремахъ.
194.	ТворЕма I. — Если постоянная величина К заключается
между двумя перемѣнными и и ѵ (т. е. если и < К < ѵ, или и > К > ѵ),
разность которыхъ безконечно малаі то К служитъ общимъ предѣломъ
перемѣнныхъ и и ѵ.
13
— 194
Въ самомъ дѣлѣ, такъ-какъ К заключается между и и «, то разности К — и
и К — ѵ численно меньше разности и — ѵ, т. е. безконечно - малой, а потому
также безконечно - малы; отсюда, па основаніи опредѣленія предѣла, заключаемъ,
что К служитъ общимъ предѣломъ перемѣнныхъ и а ѵ.
Примъръ. Окружность круга заключается между периметрами правильныхъ
одноименныхъ многоугольниковъ описаннаго и вписаннаго, разность между ко-
торыми при неограниченномъ удвоеніи числа сторонъ становится безкопечпо-ма-
лою; заключаемъ, что окружность есть общій предѣлъ для обоихъ периметровъ.
195.	Теорема II. Если перемѣнная величина ѵ заключается меж-
ду перемѣнною и и ея предѣломъ К, то ѵ имѣемъ тотъ же предѣлъ К.
Въ самомъ дѣлѣ, К есть по условію предѣлъ перемѣнной и, слѣд. разность
К — и есть величина безконечно малая; но ѵ заключается между и и К, слѣд.
разность К — ѵ численно меньше разности К — г/, т. е. и подавно безконечно-
мала, а потому К есть предѣлъ перемѣнной ѵ.
196.	Теорема III. Если двѣ перемѣнныя величины и и ѵ связа-
ны между собою такъ, что при всѣхъ измѣненіяхъ остаются равны
между собою, или же разнятся одна отъ другой на безконечно-малую
величину, если, притомъ, одна изъ нихъ стремится къ опредѣленному
предгълу, то и другая перемгънная стремится къ тому же предѣлу.
Дѣйствительно, пусть и и ѵ будетъ двѣ перемѣнныя, разность между ко-
торыми равна нулю или безконечно-малой, тогда
и = ѵ §,
гдѣ 8 равно о или безконечно мало; пусть, кромѣ того, и стремится къ предѣ-
лу К; тогда, по опредѣленію предѣла, можно положить
м = К-Н,
гдѣ г безконечно-мало. Сравнивая оба выраженія и, имѣемъ
^3 —К-р,
откуда
ѵ-К = г-8.
Вторая часть равенства, какъ разность двухъ безконечно-малыхъ, безко-
нечно-мала, слѣд. такова же и первая часть: значитъ ѵ имѣетъ предѣломъ К —
ту-же постоянную, что п г/.
197.	Теор ема IV. Еслгі двгъ перемѣнныя и и ѵ гъмѣютъ общій
предгълъ К, то всякая перемѣнная хѵ, заключающая между и гі ѵ, имѣ-
етъ тотъ же предгълъ.
Въ самомъ дѣлѣ, если К служитъ предѣломъ для гі и г, то
гі = К 8 и « = К-|-г,
гдѣ о и г безконечпо-малы. Вычитая второе равенство изъ перваго, имѣемъ:
и — ъ' — б — г,
т. е. и — ѵ есть безконечно-малая величина. Но гс заключается между и и ѵ,
слѣд. разности « — ?е и ?г — ѵ- численно меньше безконечно-малой 8 — г, а ію--
тому также безконечно-малы. Значитъ, перемѣнныя и и гѵ — съ одной стороны,
— 195 —
и іѵ и ѵ — съ другой, связаны между собою такъ, что разнятся между собою
на безконечно-малую величину, а потому, по теор. III, заключаемъ, что го имѣ-
етъ тотъ же предѣлъ, что и и ѵ, т. е. К.
198.	Теорема V. Предѣлъ суммы конечнаго числа перемѣнныхъ
равенъ суммѣ ихъ предѣловъ.
Пусть имѣемъ п перемѣнныхъ (гдѣ п— конечное число): и2,...,м„, ко-
торыхъ предѣлы соотвѣтствено равны: К,, К2,....,КВ. По опредѣленію предѣла
имѣемъ:
К, — и, = а1
К2 —г<2 = а2
К3 и.і — а3 <
К„	—• ап
Здѣсь а,, а2, а3 . . . безконечно-малы. Складывая эти равен-
ства, находимъ:
(Кі-НС2-|-К3-{-... -4-Кп)—
Вторая часть этого равенства, какъ сумма конечнаго числа
безконечно-малыхъ, безконечно мала, слѣд. равенство это по-
казываетъ, что разность между постоянной К, -{- К2 . . . 4- К„ и перемѣнной
иі + ич 4 • • • 4-м« безконечно-мала, а слѣд. по опредѣленію предѣла, посто-
янная К, 4- К2 4-. . . 4- К„ служитъ предѣломъ перемѣнной «,	+ • • • 4~мя>
и теорема доказана.
199.	Теорема VI. Предѣлъ суммы, перемѣнной и постоянной ра-
венъ суммѣ постоянной и предѣла перемѣнной.
Пусть перемѣнная и имѣетъ предѣлъ К; по опредѣленію предѣла имѣемъ:
м —К = а, гдѣ а — безконечно-малая величина. Прибавивъ и вычтя въ первой
части постоянную а, найдемъ: (/«4* а) — (К4'«)=::а- Это равенство показы-
ваетъ, что разность между перемѣнною и 4- а и постоянною К4-а безконечно ма-
ла, а потому К-{-а есть предѣлъ перемѣнной и-]-а, и теорема доказана.
200.	Теорема VII. .<Дредѣлъ разности двухъ перемѣнныхъ равенъ
разности ихъ предѣловъ.
Пусть перемѣнныя гі, и и2 имѣютъ предѣлы К, и К2; по опредѣленію пре-
дѣла имѣемъ:
м, — К1 = аІ и «2— К2 = а2,
гдѣ а, и а2 безконечно-малы. Вычитая 2-е равенство изъ 1-го, имѣемъ:
(г/, — и2) — (К, — К2) = а, — а2.
Но а, — а2 —величина безконечно-малая; отсюда, по опредѣленію предѣ-
ла, заключаемъ, что перемѣнная и,—и* имѣетъ предѣломъ К, —К2, и теоре-
ма доказана.
201.	Теорема VIII. Предѣлъ разности между перемѣнной и по-
стоянной равенъ разности между предѣломъ перемѣнной и постоянною.
Если перемѣнная и имѣетъ предѣломъ К, то, по опредѣленію предѣла,
и — К = а, гдѣ а — безконечно-мало. Вычтя и придавъ къ 1 й части равенства
постоянную а, имѣемъ: (г< — а) — (К — а) = а. Этимъ равенствомъ и доказы-
вается, что предѣлъ величины и— а равенъ К —а.
202.	Теорема IX. Предѣлъ произведенія конечныхъ перемѣнныхъ,
взятыхъ въ конечномъ числѣ, равенъ произведенію ихъ предѣловъ.
13»
— 196 -
Пусть двѣ перемѣнныя м, и м2 имѣютъ предѣлы К, и К2; въ такомъ слу-
чаѣ: и1 = К1-!~0(і и и2г=К24~«2, гдѣ «] и а2 безконечно-малы. Перемножая
оба равенства, имѣемъ
,м2 = (К, 4- а,)(К2 4- а2) = К,.К2 4- а, .К2 4- а2.К, 4- а, .а2.
Произведенія а,.К4 и а4.Кп въ силу пункта IV §192, а а,.а2— въ силу
п. III того же §, безконечно-малы, а потому послѣднее равенство показываетъ,
что перемѣнная и,.иг разнится безконечно-мало отъ постоянной К,К2, сл. эта
постоянная и есть предѣлъ перемѣнной и,и2.
Теорема справедлива для сколькихъ угодно множителей; это можно доказать,
разсматривая произведеніе нѣсколькихъ перемѣнныхъ какъ одну перемѣнную и
прилагая сюда теорему о двухъ перемѣнныхъ. Такимъ образомъ найдемъ:
пред. (к1г/4и3м4) = пред. (?<|и2и3). пред. м4 — пред. пред. и3. пред. и4—
пред, м,. пред. м2. пред. и3. пред. м4.
203.	Теорема X. Предѣлъ произведенія перемѣнной на посто-
янную равенъ произведенію этой постоянной на предѣлъ перемѣнной.
Пусть и есть перемѣнная, предѣлъ которой = К, и а — данная постоянная.
По опредѣленію предѣла имѣемъ гг = К4-«, гдѣ а — безконечно-мало. По-
множивъ обѣ части равенства на а, получимъ: гі.а = К.а-[- а.а; но аа есть
величина безконечно-малая (§192, IV), сл. Ка разнится безконечно-мало отъ ма,
а потому пред. (ма) = К.а, и теорема доказана.
204.	Теорема XI. Если двѣ перемѣнныя при всѣхъ своихъ из-
мѣненіяхъ сохраняютъ постоянное, конечное, отношеніе, то и предѣ-
лы ихъ имѣютъ то-же самое отношеніе.
Пусть и, п г/, двѣ перемѣнныя, отношеніе которыхъ всегда остается равнымъ
постоянному т, т. е. = Отсюда: м1=г»4.»г; но по предыдущей теоремѣ:
/ \	/ \	пред. (иЛ
пред.	х пред. откуда: —-----------±-Ц-=т, и теорема доказана.
пред. (и%)
205.	Теор ема XII. Предѣлъ отношенія двухъ конечныхъ перемѣн-
ныхъ И] и п2 ^авена отношенію ихъ предѣловъ К! и К2
Пусть —=х, откуда иі=иі.х. Пзъ этого равенства, на осн. теор. III
§196 и теор. IX §202 имѣемъ: пред. (и,) = пред. (м2). пред. (ж), а отсюда,
раздѣливъ обѣ части на пред. (и2), получимъ	= пред. (ж) или =
ч*
206.	Теорема XIII. Предѣлъ частнаго отъ раздѣленія перемѣн-
ной на конечную постоянную равенъ частному отъ раздѣленія предѣла
перемѣнной на эту постоянную.
Пусть предѣлъ перемѣнной и равенъ К, а постоянная =т. Положимъ
откуда и = тх, гдѣ х— перемѣнная. По теор. III і§196 и теор. X
— 197 -
К
§203 имѣемъ пред. (и) или К = т. пред. (ж), откуда цред. (ж)=—, или
пред. (— )= — і что и требовалось доказать.
207.	Теорема XIV. Предѣлъ частнаго отъ раздѣленія конечной
постоянной на конечную перемѣнную равенъ частному отъ раздѣленія
этой постоянной на предѣлъ перемѣнной.
Пусть данная постоянная = а, перемѣнная—-и, и пусть = гдѣ х
перемѣнная; отсюда а = их. Пусть пред. (м) = К, а пред. (ж) = Ь; по опре-
дѣленію предѣла: м = К±а, ж = гдѣ а и р— безконечно-малы. Пере-
множая эти равенства, имѣемъ: м.ж = (К±а)(Ь±р)=;КЬ±1а=ЬКР±ар. Три
послѣдніе члена, представляя алгебраическую сумму безконечно малыхъ, могутъ
давать въ результатѣ или безконечно-малую или нуль. Въ первомъ случаѣ вто-
рая часть была-бы перемѣнная величина, а этого не можетъ быть, потому-что
первая часть (их) равна постоянной а; слѣдовательно ± Іа ±Кр±а8 обращает-
ся въ ноль, а потому «ж = К.1, или замѣняя их равной ей величиной а, на-
ходимъ: а = К.Ь, откуда Ь = что и треб. доказать.
208.	Теорема XV. Предѣлъ степени перемѣнной равенъ той же
степени предѣла этой перемѣнной, полагая показателъ цѣлымъ и
положительнымъ числомъ.
Пусть ит есть данная степень; при т цѣломъ положительномъ она пред-
ставляетъ произведеніе т перемѣнныхъ множителей и.и ....«; если пред.
(м) = &, то по теор. IX § 202 имѣемъ: пред. (ии ... . и)=к.к . ... к, или
пред. (мт) = 7сго.
209.	Теорема XVI. Предѣлъ корня съ цѣлымъ положительнымъ
показателемъ изъ перемѣнной равенъ корню того же порядка изъ пре-
дѣла этой перемѣнной.
Пусть имѣемъ т/и, гдѣ и — перемѣнное и т — цѣлое положительное чи-
сло. Замѣтивъ, что м=(я(/и)т, по предыдущей теоремѣ имѣюемъ: пред.(м) =
[пред. СУй-)]”*; извлекая изъ обѣихъ частей корень т-го порядка находимъ:
пред. (’Уи ) = "Ѵпред. (и),
что и требовалось доказать.
Распространеніе основныхъ законовъ на несоизмѣримыя числа
210.	Такъ какъ несоизмѣримыя числа суть такія, которыхъ величина не
можетъ быть опредѣлена точно, то ихъ выражаютъ особыми знаками или сим-
волами, какъ л, ^/2 и т. п.
Всякое несоизмѣримое число есть предѣлъ, къ которому стремится нѣ-
которое перемѣнное десятичное число, котораго десятичные знаки, въ не-
ограниченномъ числѣ, слѣдуютъ опредѣленному закону (только не закону не-
— 198 —
ріодичности, ибо въ этомъ случаѣ предѣломъ десятичнаго числа, какъ доказы-
вается въ ариѳметикѣ, служитъ соизмѣримая дробь).
Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ Ь — нѣкоторая линія, несоизмѣримая съ
единицею X. Нанеся X на Ь столько разъ, сколько возможно, мы разобьемъ I
па двѣ части: одна изъ нихъ А будетъ равна, напр., а разъ взятой X, дру-
гая Ь) будетъ <Х. Нанеся столько разъ, сколько возможно, па Ьп мы
разложимъ Ь| на двѣ части: одна изъ нихъ А, будетъ равна ал разъ дру-
гая I., - меньше уу • Повторяя эту операцію, нанесемъ —5 па к, получимъ
А.2=а2разъ А и Ь3<~ит. д.
Десятичное число а, а1а2а3.........ап имѣетъ предѣломъ мѣру линіи
Ь. Въ самомъ дѣлѣ, разность Ь — (Ах —|- А.2-|- . • • 4~А„) равна Ьп+1: слѣд ,
х „ *
она меньше уу • Но уу стремится къ нулю при неограниченномъ возрастаніи
п, слѣд. Ь есть предѣлъ суммы А, + А3-[- . . . 4-А», когда п пеограниченпо
возрастаетъ.—Съ другой стороны, длины А, Аи А2, . . . , Ап имѣютъ мѣра-
ми: а,	. . . , слѣд. сумма этихъ длинъ имѣетъ мѣрою десятич-
ное число а, а2 . . . ап. Предѣлъ суммы А-|-А1—А„, когда п
неограниченно возрастаетъ, т. е. 1, имѣетъ, слѣд., мѣрою предѣлъ этого деся-
тичнаго числа, когда п увеличивается неограниченно.
Отсюда слѣдуетъ, что всегда имѣются два десятичныя числа, разнящіяся
между собою менѣе чѣмъ на заключающія между собою опредѣленное не-
соизмѣримое число: это несоизмѣримое число будетъ общимъ предѣломъ сказан-
ныхъ приближеній до ~ по недостатку и по избытку, при неограниченномъ
увеличеніи п.
Совершая дѣйствія надъ несоизмѣримыми числами, необходимо дать этимъ дѣй-
ствіямъ опредѣленія, ибо точный смыслъ дѣйствій извѣстенъ только въ отношеніи
соизмѣримыхъ чиселъ. Достаточно дать опредѣленія сложенія и умноженія; за
обратными дѣйствіями мы сохранимъ ихъ общія опредѣленія.
211.	Опредѣленіе суммы. Пусть требуется опредѣлить, что слѣдуетъ разу-
мѣть ПОДЪ суммою несоизмѣримыхъ чиселъ тг и ^2 .
Взявъ ихъ приближенныя величины точпыя до	,.........
по недостатку и по избытку, получимъ:
3,1<тг<3,2	1,7<Д<1,8
3,14<тг<3,15	1,73 <ѵ/Г< 1,74
3,141 < т: < 3,142	1,732 < ѵ/Г< 1,733
- 199 —
Отсюда, взявъ суммы, найдемъ два ряда: (А) и (В):
(А)	[ 3,1-4- 1,7 3,14+ 1,73 3,141 + 1.732	3,2 + 3,15 + 3,142 +	1,8 1,74 1,733	1 1	(В)
	1		....			
Суммы группы (А) идутъ постоянно увеличиваясь, но всегда оставаясь конеч-
ными, ибо ихъ слагаемыя конечны; слѣд, эти суммы стремятся къ нѣкоторому
предѣлу. Суммы группы (В) идутъ уменьшаясь, но оставаясь конечными, ибо
ихъ слагаемыя конечны; слѣдовательно суммы и этой группы стремятся къ
опредѣленному предѣлу. Каковы же этп предѣлы? Взявъ разность двухъ суммъ
въ группахъ (А) и (В), соотвѣтствующихъ приближенію > находимъ, что
о
эта разность равна ; слѣд. при неограниченномъ возрастаніи и, она стре-
мится къ нулю. Это значитъ, что оба сказанные предѣла равны. Этотъ общій
предѣлъ группъ (А) и (В) и называютъ суммою несоизмѣримыхъ тс и 3 и изо-
бражаютъ ее въ видѣ тг + ^З.
212.	Свойства суммы. I. Сумма двухъ несоизмѣримыхъ, чиселъ не измѣ-
няется отъ перемѣны порядка слагаемыхъ.
По опредѣленію суммы несоизмѣримыхъ чиселъ имѣемъ
тс + пред. (« + &),
называя буквою а—приближенную величину числа к, а буквою Ъ—числа ^2;
точно также
./2-[ к = пред. (7>а\
Но приближенія а и Ъ суть числа соизмѣримыя, слѣд. по теор. II § 15,
а-\-Ъ всегда равно Ь-|~а; если же перемѣнныя величины при своихъ измѣне-
ніяхъ остаются равными, то по теор. III § 196 и предѣлы ихъ равны; слѣд.
II. Придать сумму двухъ соизмѣримыхъ чиселъ — все равно что при-
дать послѣдовательно каждое изъ нихъ.
По опредѣленію суммы несоизмѣримыхъ чиселъ имѣемъ:
С* +ѵ/2 ) = пред. [« + (& + с)],
гдѣ а, Ь и с суть приближенныя величины чиселъ: +>, «т и ч/2.
Точно такъ же
+> + к+/Г—пред. (а + Ъ + с);
но, какъ а, Ъ и с соизмѣримы, то всегда
а + (Ъ с} — а + Ъ + с;
— 200 —
предѣлы-же равныхъ перемѣнныхъ равны, слѣд.
213.	Опредѣленіе произведенія. Опредѣлимъ произведеніе "X \/З.Для это-
го составимъ произведенія приближеній чиселъ л и ^/3, точныхъ до ,
1
юоо ’ ' • • •
по недостатку, а также по избытку; такимъ образомъ полу-
чимъ двѣ группы произведеній:
(А)
( 3,1 X 1,7
| 3,14 X 1,73
73,141 X 1,732
I.............
I.............
3,2 х 1,8 ’
3,15 X 1,74
3,142 X 1,733 >
(В)
Произведенія группы (А) постепенно увеличиваются; но, оставаясь конеч-
ными, стремятся къ нѣкоторому предѣлу. Произведенія группы (В) идутъ умень-
шаясь, но какъ онѣ остаются конечными, то приближаются также къ нѣкото-
рому предѣлу. Докажемъ, что предѣлъ обоихъ произведеній одинъ и тотъ же.
Въ самомъ дѣлѣ, взявъ
для тг и УЗ приближенія,
а_________, а 4-1
10й < Л < 10я
іо" <ѵ 6 ю"
1
точныя до — найдемъ
Перемножая, получимъ:
и Ъ	(а —|-1)	1)
10“ Х 10“ И 10я	' ~ 10я
Разность между этими приближенными произведеніями равна
±(.± -±-
ю"\іо"^ ю“/ ~ ю2“
Членъ , по мѣрѣ неограниченнаго возрастанія п, стремится къ нулю,
а . ь	. ,гг
сумма —	— стремится къ ~-|-ѵЗ , т. е. остается конечною, множитель-
і	і і а , Ь '
же стремится къ нулю, а потому произведеніе	стремится
къ нулю. Итакъ разность между перемѣнными приближенными произведеніями
стремится къ нулю, а слѣд. сказанные предѣлы равны.
Этотъ об'іи.іѵ предѣлъ рядовъ А и В н называютъ произведеніемъ тг
на уЗ.
214.	Свойства произведенія. I. Произведеніе двухъ несоизмѣримыхъ чиселъ
не измѣняется отъ перемѣны мѣстъ сомножителей.
— 201 —
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленію произведенія несоизмѣримыхъ чиселъ,
имѣемъ:
71.^2 =пред. (а.6) и .іт = пред. (Ъ.а)
гдѣ а и 6 соизмѣримыя приближенія чиселъ тс и ^/2. Но по свойству произведе-
нія соизмѣримыхъ чиселъ всегда аЪ — Ъа\ сл. и предѣлы этихъ перемѣнныхъ
равны, т. е.
к.
II. Чтобы умножить на произведеніе двухъ множителей, достаточно
умножить послѣдовательно на каждый изъ нихъ.
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленію (§ 213), имѣемъ:
УЦтеуГ) = пред. [а (6с)];
и также	^/5. =пред. (аіс).
Но, а, Ъ и с соизмѣримы; слѣд. а(Ьс) = аЬс, а потому и предѣлы этихъ
перемѣнныхъ равны, т. е,
У5 (•7с/Т) = ѵ/э.іт. /2?
111. Въ произведеніи сколькихъ уіодно несоизмѣримыхъ множителей мож-
но какъ уіодно измѣнять порядокъ ихъ.
Докажемъ сперва, что можно измѣнить порядокъ двухъ послѣднихъ. Пусть
а есть произведеніе всѣхъ множителей, за исключеніемъ двухъ послѣднихъ: У 2
и ^5. Полное произведеніе будетъ
а. /2 . ^5,
пли, въ силу пункта II,
а. (/2 . /5);
но, въ силу п. I, это выраженіе =
а. (д/5 • /2) ,
а, на оси. п. II, это произведеніе равно
а. У5 . \/2.
Итакъ:	а. /2 . /5= а /5 . /2,
т. е. можно измѣнить порядокъ двухъ послѣднихъ множителей.
Отсюда слѣдуетъ, что можно измѣлить порядокъ всякихъ двухъ смежныхъ
множителей, ибо ихъ можно разсматривать послѣдними въ произведеніи, состав-
ленномъ изъ нихъ и имъ предшествующихъ.
Изъ этого слѣдуетъ, что переставляя послѣдовательно смежные сомножите-
ли, можно каждый изъ нихъ помѣстить на какомъ угодно мѣстѣ произведенія.
Слѣд. порядокъ сомножителей не вліяетъ на величину произведенія.
IV. Чтобы умножить данное число на сумму двухъ несоизмѣримыхъ чи-
селъ, нужно умножить ею на каждое слагаемое отдѣльно и результаты сло-
жить.
— 202 —
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленіямъ, имѣемъ
>/5~. + )==пред. [а(Ь
съ другой стороны:
^/5 • >/2=пред. |а& ас] = пред. [а (А ~|- с)].
Слѣдовательно
7Г. (іт + Д) = 7Г. іт +	Д.
Итакъ, вообще, основные законы дѣйствій, доказанные для соизмѣримыхъ
чиселъ, распространяются и на несоизмѣримыя.
ГЛАВА Х’Ѵ.
Объ ирраціональныхъ выраженіяхъ.
Происхожденіе ирраціональныхъ выраженій. — Преобразованіе ихъ п дѣйствія надъ
нпмп. — Ирраціональныя дроби. — Примѣры. — Задачи.
215. Происхожденіе ирраціональныхъ выраженій. — Дѣйствіе извлеченія кор-
ня пзъ алгебраическихъ выраженій не всегда возможно. Такъ, когда показатель
подкореннаго количества не дѣлится на показателя корня, то извлеченіе корпя
можно только обозначить, но нельзя выпознить па самомъ дѣлѣ, папр. 7“7
ѵ/«а и т. д. Точно также, корень изъ многочлена, не представляющаго точной
степени, не можетъ быть извлеченъ, а потому его только обозначаютъ при по-
мощи знака У ; примѣромъ можетъ служить ^/а2-}-^2. Подобнаго рода выра-
женія, которыя неѵьзя привести къ раціональному виду, называютъ ирра-
ціональными, также радикальными или коренными.
Не слѣдуетъ смѣшивать ирраціональныхъ выраженій съ несоизмѣримыми
числами: ирраціональное выраженіе можетъ представлять и соизмѣримыя и пе.
соизмѣримыя числа, смотра по числовому значенію входящихъ въ пего буквъ.
Такъ, уГ представляетъ соизмѣримое число 3 при а = 9, и несоизмѣримое число
/Гпри а = 7; точно также, у/аі-\-Ъ'і представляетъ соизмѣримое число 5 при
а = 3 и 6 = 4, и несоизмѣримое число ^5 при а = 1 и 6 = 2.
Впослѣдствіи мы увидимъ, что имѣетъ т различныхъ значеній, имѣ-
ющихъ одну и ту-же абсолютную величину; вч> этой главѣ мы изучимъ пре-
образованіе корней, ограничиваясь разсмотрѣніемъ ихъ абсолютныхъ значеній.
216. Преобразованіе ирраціональныхъ выраженій помощію выведенія множи-
телей изъ подъ знака корня и введенія множителей подъ коренной знакъ.
I.	Есл и въ выраженіи ”УА подкоренное количество А разлагается на та-
кіе два множителя, изъ которыхъ одинъ представляетъ точную степень съ
— 203 —
показателемъ, равнымъ показателю корня, то этотъ множитель — извлече-
ніемъ изъ нею корня — можетъ быть вынесенъ изъ - подъ знака корня.
Пусть А = Р”ха, гдѣ 0. уже не есть точная т-ая степерь; въ такомъ
случаѣ
7а=7г7ц;
примѣняя правило извлеченія корня изъ произведенія, и замѣчая, что 7₽т = Р,
найдемъ:
ѴГ=7РЕГи =	х 7й=Р х 7й •
Прпмъры. — 1. Упростить, выведеніемъ множителя пзъ - подъ знака кор-
пя, выраженіе /50аѵ&"’ .
Подкоренное количество разлагается на два множителя 25а8і'° х 2а, изъ
которыхъ первый есть квадратъ 5«*&3; слѣд.
/5(.Іа!'<'>Ів = у/25а8&” х 2а — (5а‘Ь:’)2 х у/2а =5а4&г’. /2а .
2.	Подобнымъ же образомъ получимъ:
== 764^*72^ = Ѵ(4а3&,)3.2аѴ = 4а:'Ь4. 3у/2аѴ.
3.	Точно такпмъ-же образомъ:
4. /(ж + ?/)2(ж'г4- «/2у2(жі-«?) =	=
+	+	— у) — (ж+ «/)(«’ +У2) Ѵж~ У-
_ т__ т Іаті>.аЗ^Гі)Ъ т Ід^Ѣтч а^з арЪ'1 т ІаѢ3
у	“ V стг7Гг1Г~ ~ \ стТЛтг ' д ~ сТдг' \1 ^(Г'
II. Если передъ радикаломъ находится множитель, то этотъ множите іь
можно внести подъ знакъ корня, возвысивъ въ степень, изображаемую пока-
зателемъ корня.
Требуется доказать, что Р7<1 — 7^7 
Замѣтивъ, что Р = 7Р”, п что, по правилу извлеченія корня пзъ произве-
денія (§125): 7А.В =7А х 7В . откуда обратно: 7А*>7^ — 7^В, имѣемъ:
р х 7й= 7^ х 7й = 7р^;
требуемое, такимъ образомъ, доказано.
П р и м ъ р ы.—Сдѣлать внесеніе множителей подъ знакъ корпя въ примѣрахъ:
і-'“- ч- =Vй®/52=
2. х-^ . ’ Г ЛЕ+ІЕ:* і^+у^у?3	[х'-и*
х~}-у V Я2 — 2яг/4-^2 V (ж—у^х_!^уу у\ +Л(-/ У)	У-
- 204 —
Дѣйствія надъ ирраціональными выраженіями.
217. Подобныя ирраціональныя выраженія; ихъ приведеніе. — Два ирраці-
ональныя выраженія называются подобными, если у нихъ показатели корня
и подкоренныя выраженія одинаковы', такъ напр. 2Ьфіс и — Зхфіс суть ир-
рац. выраженія подобныя; а ^/ііДс ъ ф2ас — неподобны. — Иногда корни, кажу-
щіеся на первый взглядъ не — подобными, могутъ быть приведены къ виду по-
добныхъ ирраціональныхъ выраженій: для этого ихъ нужно упростить, сдѣлавъ,
гдѣ возможно, вынесеніе множителей пзъ-подъ знака корня. Напр. выраженія
\/27а*ж3 и У12а2»3, имѣющія одинаковыхъ показателей корня, но неодинаковыя
подкоренныя количества, кажутся съ перваго раза не-подобными; но сдѣлавъ въ
ппхъ вынесеніе изъ подъ знака корня, приведемъ ихъ къ виду
За’ж^Зж и 2аж\/3ж, —
подобныхъ выраженій. Множители За?х и 2аж4 при радикалахъ называются
коэффиціентами.
Соединеніе нѣсколькихъ подобныхъ ирраціональныхъ выраженій въ одно
называется ихъ приведеніемъ. Дѣйствіе это состоитъ въ томъ, что коэффиціенты
подобныхъ иррац. выраженій заключаютъ въ скобки, къ которымъ и припи-
сываютъ множителемъ общій корень. Примѣры:
I. Выраженіе: У27а*ж3— ^12аіхі -^фіѣа'х приводится къ
За’ж^/Зж — 2аж2 \/Зж 4~ ба’УЗж;
вынося въ немъ общій корень и а за скобки, получимъ:
(Зах — 2жа 5а2)ауЗж.
II. Сдѣлать приведеніе въ выраженіи
ѵ/ІОж3-]- і/20у — фЪу ѵ40ж3 — У<80//.
Вынесеніемъ множителей изъ-подъ радикаловъ выраженіе приводится къ виду
х/10х 4- 2 /Зу — ^Ьу 4- 2^10» — 4^5
приведя подобные члены, получимъ
Зяд/Юж — 3\/5г/.
218.	Сложеніе и вычитаніе. — При сложеніи иррац. выраженій ихъ пишутъ
рядомъ съ тѣми знаками, какіе они имѣютъ; при вычитаніи же приписываютъ къ
уменьшаемому члены вычитаемаго съ обратными знаками; затѣмъ члены суммы
или разности приводятъ къ простѣйшему виду, и, если окажутся въ числѣ ихъ
подобные члены, дѣлаютъ приведеніе.
Іиі».. I. ,'уЯ + 7і-^) + (-|\/1+0-5Ѵ/?+7б1)
= Ѵ2Т72 + </іх2 -ѴІ2Гх“2-4\/|х2 + 0,8</-?х2 + \/?х2
у 4	4 у У	у У	уо
— 205 -
= ЗѴ2Ч-1#-5ѴГ- 1^+4Л-+|Ѵ2
А	*х	О	аі
— тгі^Ьу -|- Зтп^ъу — ітп^/Ьу-^-'ІІ1~~^Ьу —	= — тгі^^/Ьу.
219.	Умноженіе. — Въ §125 было доказано, что
ѴаХС=ѴА.ѴВ.ѴГ;
написавъ это равенство въ обратномъ порядкѣ, найдемъ:
ѴГ X Ѵв X Ѵс = ѴАХС;
Отсюда правило: чтобы перемножитъ нѣсколько иррац. выраженій оди-
наковаго порядка, надо перемножитъ подрадикалъныя количества и изъ про-
изведенія извлечь коренъ того-же порядка.
Примѣры. I. у/2аа;^’ х ^6Л^3 = уі2а4ж!г/7 = 2а2ж«/3ѵ/3^.
П. ^ах-^-х^.^аЪ Ъх = ^{ах	х^іаЪ —}—Ьж) = ^Ъх(а -]- ж)2=(а-|-ж)ѵ/бй'.
III.	у/а -{- У«2 — Ь3 х а — ,/а* — Ъ3 —^а* — (а,* — Ъ3) = ^/Ъ3 = Ъ.
IV.	[а^а —~а2\/а3-|-3а\/а7)х(— 6\/а3)=—ба^/а*Ц-За2/^—
— 18аѴ^® = - ба3 4- За5 — 18а3.
220.	Дѣленіе.—Въ §126 было доказано, что
Написавъ это равенство въ обратномъ порядкѣ, имѣемъ:
Ѵа_ іТ
пѴв"~ѵ в
Отсюда правило: чтобы раздѣлитъ одинъ на другой два корня съ оди-
наковыми показателями, надо первое подрадикалъное количество раздѣлить
на второе, и изъ частнаго извлечь коренъ того же порядка.
Примѣры. I. 14 ^97’ :	
4 ѵ у 4а V 4	V 4
II. а : \/а3 =^/а3 : а3 = ^/а®: а3~\[а^.
- 206 -
III. у а3 — а* у/аЬа^Ъ-]-^.аЪ^аЪ | 2а/а-|-уа \/&
— 4 а3 н= -і- а2 ^аЪ	' ~ а ^а — 2а^Ь-\-3~Ъ /а
— 4а2 </аЬ -|- а2&
тЬ 4а2 </аЪ ± -^- а2Ь
А
Іаіь+Тс,иь^аь
— ~ а?Ъ тр аЪ фіЪ
б
1)	Вычисленіе 1-го члена частнаго: -|-а3: 2а ѵ/а~=-|-а2/а2 : 2а а =
О	о
2 /—
2)	Вычисленіе 2-го члена частнаго: — 4а2 У«Ь : 2а/а = — 2а/$.
з	__ з __________	___
3)	Вычисленіе 3-го члена частнаго: -г- а26 : 2а /а = —- аЪ ‘.2а^а —
~ Ъ .
4 ѵ
221. Возвышеніе въ степень.—Пусть требуется ”(/а'с возвысить въ ^-ую сте-
пень, гдѣ т, к и р — цѣлыя положительныя числа. Это значитъ—данный корень
взять множителемъ р разъ; слѣд.
(“Уа'1)’’ — т/ак X	т^пк.............(всѣхъ	множителей р);
но, по правилу перемноженія корней (§ 219), вторая часть равна
ту]а1і.ак.а1і.......(р разъ) =яУ(а'І)р.
Итакъ:
(ѵ^)” =7^7.
т. е. чтобы коренъ возвыситъ въ степень, нужно въ эту степень возвы-
ситъ подрадикальное выраженіе, и изъ результата извлечь корень даннаго
порядка.
Примѣры: I. (‘(/ж4?/3.?)3 = г(/(ж4^/3^)3 = \]х'— х*у\Іхіуіе'
/Зж\ 3/жЧ4_ 81®4* . ’/ж171 81ж4к+3 3Лё~~
\ 5?/ V У^’	625?/1 у X/20	6 25«/10 у уг
222. Извлеченіе норня.—Пусть требуется извлечь корень яг-го порядка изъ
VА; положимъ, что результатъ этого дѣйствія будетъ х, т. е. что
= ............(1).
Возвышая обѣ части равенства въ степень т и замѣчая, что извлеченіе
корня т-го порядка изъ и возвышеніе результата въ т-уго степень, какъ
два противоположныя дѣйствія, взаимно уничтожаются, найдемъ:
Р\) А = жга.
- 207 —
Возвышая обѣ части этого равенства въ степень р, получимъ
А =
а извлекая изъ обѣихъ частей корень порядка тр, пайдемъ:	.
’В7Г=Ж.
Подставивъ эту величну вмѣсто ж въ равенство (1), получимъ:
’ѴѴХ = Я,ѴГ............(2).
Отсюда правило: чтобы извлечь корень изъ корня, нужно подкоренное
количество оставить безъ перемѣны и извлечь изъ него корень, котораю по-
казатель =: произведенію показателей данныхъ корней.
Примѣры. I. Ѵу2«ж2 = у/2ахЪ
П. = з«2 Ж-
Если равенство (2) прочесть въ обратномъ порядкѣ, то найдемъ, что извле-
ченіе корня, показатель котораго разлагается на мпожптели, можно замѣнить
послѣдовательнымъ извлеченіемъ корней, которыхъ показатели равны этимъ
множителямъ. Напр.
1) =
2) 4096^6^=	— 2л2Ж^
223. Теорема. Величина корня не измѣнится, если показателъ
подкореннаго количества и показателъ корня помножитъ гіли раздѣ-
литъ на одно и тоже число.
Мы видѣли, что если тѵ/а'; возвысить въ степень р, то получится акр-,
извлекая изъ полученнаго выраженія корень порядка р, па осн. § 222 найдемч,
т\]акѴ. Такъ какъ надъ выраженіемъ мы произвели два противоположныя
дѣйствія, то величина его не измѣнилась, а потому
Итакъ: 1) данное выраженіе можно замѣнить равнымъ ему: ’”Ѵ«^',т. е. ве-
личина ирраціональнаго выраженія не измѣняется отъ умноженія показателей
корня и подкореннаго количества на одно и тоже число; 2) обратно, т\!акѵ ра-
венъ ’Ѵа'1, слѣд. величина корня не измѣнится отъ раздѣленія показателей кор-
ня и подкореннаго количества на одно и тоже число.
Слѣдствія.—I.Па первомъ изъ этихъ свойствъ основано приведеніе ир-
раціональныхъ количествъ къ общему показателю корня. Для этого нужно со-
ставить наим. кратное всѣхъ показателей корней; оно и будетъ общимъ показа-
телемъ; послѣдній дѣлятъ на показателей каждаго корня и соотвѣтствующими
частными множатъ показатели корней и подкоренныхъ количествъ. При этомъ
могутъ быть тѣ-же случаи, какъ и при приведеніи дробей къ общему знаменателю.
1.	Всѣ показатели корней числа взаимно первыя, напр.
у!а, у]1аЪ ,	\/ 9 3,
— 208 —
Общій показатель = 2 X 3 X 5 = 30; раздѣливъ его поочередно на 2, на
3 и на 5, множимъ показатели корней и подрадикальныхъ выраженій: перваго —
на 15, втораго — на 10, третьяго на 6; найдемъ:
^ = 21^ = 30^. ’
Ѵ(2б^у =31 Ѵ(2аЬ'2)10 =
6// 3"3Ѵ —5 6// За3 V = 30/ 3<;-"18
V Ѵ2с^7	V \ 2сѴ	V 2°с12й!в.
2.	Одинъ изъ показателей — число кратное, для остальныхъ, напр.
Ж	^/|а2В,
Общій показатель корня =12; имѣемъ:
Ж = 7(217"= ’ѴібА4 •
77^=7^7=777
77остается безъ перемѣны
3.	Показатели корней имѣютъ общихъ множителей; напр.
12/в“ 3К
Общій показатель = 180; получимъ:
15Д = 15ЛѴА12 = 180ДГ8 . пув-=,і2.і5у^Г3 = 18О/5Т5 . зв/5^ зв.ь/^
Примѣчаніе. Правила, данныя въ §§ 219 и 220 для умноженія корней,
относятся къ случаю корней съ одинаковыми показателями; если же показа-
тели корней различны, то ихъ сначала приводятъ къ общему показателю, а
затѣмъ уже производятъ умноженіе и дѣленіе по упомянутымъ правиламъ.
Примѣры.—I. Составить произведеніе: ^аЬ3с X	X Ѵ^3Ь2с2.
Приведя корни къ общему показателю 6, получимъ;
Ѵа3Ь9с3 X Ж* X Ж2с2 =
Ѵа‘°&’3с8 = 6/аг6,2 Х а46с5 = аЬ2. 7777
II. Составить частное	Приведя корни къ общему показателю, получимъ
_ 6ЖГ_
ѴаЗ&Ѵ асУа с
И. Вторая часть теоремы § 223 даетъ возможность сокращать ирраціональ-
ныя выраженія; для этого нужно показателя корня и показателей подкореннаго
выраженія раздѣлить на ихъ общаго наиб. дѣлителя.
Такъ:	=	’ѴІба4^ =’Ж2.
— 209 —
Ирраціональныя дроби.
224. Когда числитель, или знаменатель, или оба — ирраціональны, дробь
называется ирраціональною. Въ видахъ упрощенія вычисленій, дроби съ зна-
менателями ирраціональными выгодно замѣнять равными имъ дробями, но имѣю-
щими раціональные знаменатели. Такъ, если бы требовалось вычислить вели-
чину дроби
то найдя у/і =1,732.... и у/ѣ = 1,412..., мы должны-бы были раздѣлить 1
па приближенное число 0.320.... Но если умножимъ предварительно числителя
и знаменателя дроби на УЗ -|-у/2, то найдемъ
ж = /3 +\/2,
и простое сложеніе чиселъ 1,732.... и 1,412.... дастъ величину х,
« = 3,144....
Такимъ образомъ дѣйствіе дѣленія приведено къ простѣйшему дѣйствію —
сложенію; другая выгода указаннаго преобразованія состоитъ въ томъ, что най-
денная для х величина 3,144.... допускаетъ непосредственное опредѣленіе пре-
дѣла погрѣшности, которая меньше 0,002, потому что каждое слагаемое оши-
бочно менѣе чѣмъ на 0,001.
Уничтоженіе ирраціональности въ знаменателѣ дроби возможно далеко не
всегда, а лишь въ исключительныхъ случаяхъ. Разсмотримъ главнѣйшіе изъ нихъ.
225. Укажемъ пріемы, которыми можно уничтожить ирраціональность въ
знаменателѣ, содержащемъ только квадратные корни.
1.	• Умножая числитель и знаменатель на ѵ/с, получимъ
оус
а ______ ау]с __ ау/~с~
Ъу/с
а	__ _
2.	-=г-— Умножая числитель и знаменатель на у]Ъ — у}с, найдемъ:
V 6 + V с	___
а ______	а(\]Ъ — у[с~)	____ а(у/Ь— у/с) _____ а(у/Ъ — у[с)
у/Ъ 4-ѵ'с	(\/Ь у/с )(у/Ъ — у/с} (>/& )2 — (\/с )а Ъ — с
а	___ _______
3.	—==	-=. Умножая числ. и знам. на ту/Ь -I- Пу/с, получимъ:
ту/Ь — пу/с
а _______ а(т\]Ъп у]с )  а(т,у/Ъ пу/с )
ту/Ь— Пу/с (ту/ъ)* — {пу/с')і т^Ъ — пгс
4.	“—==. Умножая числ. и знам. на у/Ъ -\-у/с — у/Л, найдемъ:
у/Ъ “т~уС 4" у Л
Д	4“— \](I )	__ а(у/Ъ —[-) 
х]Ъ у[с~у/<1	(у/ъ ~\-у/с 4~	-\-у[с~—у/а )	4“\/с )2 —
__-|-УС —у/(1
ь с — 4*	1
14
— 210 —
умножая оба члена этой дроби на Ь —с — й—	, получимъ:
а _______ а( ДГ-|- Д~ — \!й )(б + с — А — 2у/Ъс )
Д+ДГН-Д" ~	(& + с — а^—4Ъс
Общій способъ исключенія изъ знаменателя квадратныхъ корней, каково
бы ни-было ихъ число, заключается въ слѣдующемъ. Если у/к есть одинъ изъ
радикаловъ, который мы хотимъ исключить, выносимъ его за скобки изъ всѣхъ
членовъ, его содержащихъ; знаменатель приметъ видъ Р (ІД, гдѣ Р и (і —
раціональныя или ирраціональныя выраженія, не содержащія Д. Если теперь
умножимъ оба члена дроби на Р — (іД, то новый знаменатель Р2 — ^к уже
не будетъ содержать Д. Такъ какъ произведенное умноженіе не вводитъ но-
выхъ радикаловъ, то очевидно, что примѣняя указанный пріемъ послѣдователь-
но къ каждому изъ нихъ, мы исключимъ всѣ радикалы.
Этотъ именно способъ мы и прилагали въ предыдущихъ примѣрахъ; при-
ложимъ его еще къ дроби, содержащей въ знаменателѣ пять радикаловъ:
т
-]-д	Д -І_Д—
Умноживъ оба члена ея на Д + Д + Д + Д^ — Д , получимъ новый
знаменатель, въ которомъ / есть раціональная часть:
2( Д Д -|- V* “ Д + Д Д) + 2(ДГ+Д + Д )Д~........(1)
Умножая оба члена полученной дроби на выраженіе, выведенное изъ (1)
перемѣною Д на —Д, получимъ новый знаменатель, въ которомъ д представ-
ляетъ раціональную часть:
2й)Да’Д4-4[(/Ч-2Ь-2й)Д'+(Г4-2а - 2й)Д']Д'....(2).
Помножая оба члена новой дроби на выраженіе, выведенное изъ предыду-
щаго перемѣною Д на — Д, получимъ новый знаменатель, котораго раціональ-
ная часть обозначена буквою А,
к + [8Х/Ч- 2с - 2й) - 32с(/Ч- 2а — 2й)(Г+ 26 — 2й)]Дб...(3)
Умножая, наконецъ, оба члена послѣдней дроби на выраженіе, выведенное
изъ предыдущаго перемѣною Дб на — Дб, и означая числителя  новой дроби
буквою А, найдемъ
А
62— [8</(Г+ 2с — 2й) — 32с(Г4-’2а — 2й)(/ + 26 — 2й)]2.аб’
дробь, которой знаменатель раціоналенъ.
Примѣчаніе I. —гВзявъ, напр., дробь
_____________________________1______
~ дг+д+дг
и примѣняя къ ней указанный пріемъ, мы должны начать исключеніе съ боль-
шаго корня, такъ какъ вычисленія при этомъ будутъ проще. Умножая, по-
этому, оба члена на Д-|-Д — Дц найдемъ:
г-.д~+д~-д~
2Д
— 211 —
Умножая оба члена этой дроби на получимъ окончательно:
Примѣчаніе II.—Нерѣдко можно значительно упрощать вычисленія, поль-
зуясь слѣдующимъ замѣчаніемъ.
Выраженіе у/и 4-^4“	состоящее изъ четырехъ радикаловъ, раз-
лагается на два множителя вида </Х~-1- у/В, если числа а, Ъ, с и й составляютъ
кратную пропорцію.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть напр.
— = 4- = й, откуда ^ = 4^ =А>ислѣд.и Л =^Ій.уІк.
с и	\/е	* А
Знаменатель приметъ видъ
у/с. у//Г4- у/йГу^ -|- у/с -|- \[й=.\[с (1 -|- #) 4"^ (1+Л ) —	)(Ч"Ѵ^)
или — (у/с4~/й )(у/а4- у/7).
у/с
Примѣнимъ это замѣчаніе къ дроби
__________________________________1__________
~ у/іо 4- у/15 4- у/14 4- у/21
Такъ-какъ 10 х 21 = 15 х 14, то, согласно сказанному, найдемъ:
_ 1
ж-(у/Г4-/з)(У54-у/7);
умноживъ числ. и знам. на (у/3 — у/2)(у/Т- у/5), сразу уничтожимъ ирраці-
ональность въ знаменателѣ, и найдемъ:
ѵ _ (у/Г-у/Г)(у/7"-у/Г)
226. Пусть знаменатель содержитъ только радикалы кубичные.
1.	3	А3,—• Положивъ: \]а = х и ^/Ь = з/, имѣемъ: а ='ж3, Ъ — у3.
ча 4~ ѵ &
Взявъ разложеніе х3-\-у3—(х-\-у)(х3— ху-^у2), и подставивъ вмѣсто
х и у ихъ величины, найдемъ:
а 4- Ь—ѴаЬ + ѴН,
откуда видно, что отъ умноженія знаменателя дроби на ]/а3—	онъ
обращается въ раціональное выраженіе, равное а-\-Ъ. Итакъ, умноживъ числ.
и знам. на указанный триномъ, получимъ
ж- ----------------
д
2.	з/——з/=” Подобнымъ же образомъ, пользуясь разложеніемъ: х3 — у3~
— у О
(х—у)(хі-^-ху-^-у2), найдемъ:
____А    А(Ѵ^~ 4- Зу@4-
\~а — 7 Ъ	а — Ъ
14*
- 212 —
3.	Положивъ въ равенствѣ
уД—уд у С
ж3 -|- у* ф г* — Зхуг — (ж -(- у -]- ^)(ж2 -|- у2 я2 — ху — хе — уе)
х = 3у/аГ,у=^/Ь ,е~^/с~, найдемъ
«-|- Ъ с — з\]аЪс = (1/а -|- Зу/Ъ Vе Ѵ^2 Ч~	— Уас — Ѵ^с) і
отсюда, умноживъ числителя и знам. данной дроби на
Ѵа2 -|- ѵ^2 + Vе2 —	— Ѵас — Ѵ^с>
пяйп_. А _А(Ѵ^+Ѵ^+Ѵ^-Ѵ^-Ѵ^-Ѵ^
Д  Ѵ« + 3# + Ѵс	а+ъ + с-З^аЪс
Если аЬс есть точный кубъ, то преобразованіе окончено: новый знамена-
тель раціоналенъ; если же аЪс не есть точный кубъ, то представивъ знамена-
тель въ видѣ
У(а + ^+с)3—ѵгж;
приводимъ вопросъ къ предыдущему случаю.
*• >г , зк Ѵ^г ,' ѵГ> съ Усяовіемъ> что у = 4 • Не трудно убѣдить-
ся -|- уо ус уй	с а
ся, что знаменатель можно представить въ видѣ произведенія двухъ множителей
вида 3\]и	, и вопросъ приводится къ примѣру 1.
227. Если знаменатель дроби есть сумма или разность двухъ радикаловъ
какого угодно порядка, то ихъ можно привести къ общему показателю корня;
такимъ образомъ знаменатель будетъ вида’Ѵ<Г:+-’7&. Отсюда два случая*.
I_____ѣ
уСІ> —
и замѣчая, что при всякомъ т— четномъ, или нечетномъ, имѣемъ:
ж” — ут — (ж — У)(жга-1 хт~чу Ж™-3?/2 -}-............-}- ж«/я-2	ут~і),
подставивъ сюда вмѣсто ж и у ихъ величины, найдемъ:
а — Ъ =(77-п^')(Ѵ^Г'+7®^ + т^^=Ѣі +..................+	•
Это равенство показываетъ, что если числит. и знай, данной дроби помно-
жимъ на ’Уа’”"1	+.........~г То знаменатель обратится въ
раціональное выраженіе а — Ь; такимъ образомъ получимъ:
А _ аС’Ѵ®*75 + т^а^Ь +	+...........+
а — Ъ
^-=^‘ Положивъ уа —х и у]Ъ=у, откуда а = хт и Ъ—ут,
А
И. —=——=. Если т—число четное, то замѣчая, что разность одинаковыхъ
Четныхъ степеней двухъ количествъ дѣлится безъ остатка на сумму первыхъ
степеней, имѣемъ:
ж" — у"1 — (ж 2/)(жт-’ — Ж“-2^	жп-8«/2 -(-............—
Подставляя сюда ""[/а вмѣсто ж, и п^Ь вмѣсто у, дадимъ равенству видъ:
а — Ъ = (Ѵа + ѴП(Ѵ«^ ~ т^а^Ѣ +	........—	.
— 213 —
Отсюда видно, что для уничтоженія ирраціональности въ знаменателѣ дроби
при т четномъ, надо оба члена ея помножить на "Цап~'— т^ат~''Ъ ....
— т^Ьт-'. Сдѣлавъ это, найдемъ:
А  АСѴо^’—.......................— ту/Ь^)
~	а-Ъ
Если т — число нечетное, то припомнивъ, что сумма одинаковыхъ нечет-
ныхъ степеней двухъ количествъ дѣлится на сумму первыхъ степеней, имѣемъ
равенство:
ж™ 4~ ут — (ж 4~ 7/)(ж™_| — хп~гу -]- Ж™-3?/2 —...............Ц-	2/Я_1);
положивъ въ немъ ж = ”Ца и у = имѣемъ:
а + Ъ = (4-	-................+	•
Отсюда слѣдуетъ, что для уничтоженія ирраціональности въ знаменателѣ
данной дроби, при т нечетномъ, надо оба ея члена умножить на ту/ат~1 —1у/а’л-іЪ
4-.........4'’Ѵг*т'1; сдѣлавъ это, найдемъ;
а _____аСѴо^і — ”Ѵ«^-^4~.........4-”Ѵ&'»-1)
^ГруТ—	«+&
Примѣръ.	.Приводя корни къ общему показателю 6, полу-
V а 4-
чимъ дробь
1
Множитель, обращающій знаменатель въ выраженіе раціональное, въ дан-
номъ случаѣ есть
+Ѵ(«Т(Н2—ЖЖУ’+
4- /73./і2 — аЪ 4- у/а^Ь* — /Ь».
Умноживъ имъ числитель и знаменатель дроби получимъ:
1	__ /а3 — а* ѴТ4- а/У.уд2 — аЬ 4- у/о? Ь У Ь — Ь У б2
/74- У’Ь ~	а3 — &
228. Въ заключеніе этой главы приведемъ нѣсколько примѣровъ дѣйствій
надъ ирраціональными выраженіями.
1.	Провѣрить равенство:
. А + Уд2^ + < Д- ^8~ Ь /а 4- /у .
у 2	у 2
Провѣрка равенства двухъ данныхъ выраженій приводится къ провѣркѣ
равенства ихъ квадратовъ, т. е. что
ИЛИ что
а 4 Уа2 —
__ ---- -
4-^ѵ^НЕ 4-2	= а 4- ѵ/ЬГ
1	2	V 4
а 4~~ / — и 4- / •
— 214 -
Но это равенство вѣрно; слѣд. вѣрно и предложенное.
2.	Упростить выраженіе:
УР + УРу2 — 2 Уж^
У«4 Ужу3—У^ — У у4
Это выраженіе можно представить въ видѣ
Уй3 (уй3 + У^— 2 У^)_ .
Уж4 — Уу4 + Ужу (У у3 — У ж3)
или	_
(У Ж3 — у у«)(У Ж3 + Уу3 — У«у)
или, по сокращеніи на \]х — ^у-.
У^(Уж-У7)
(Уй-ЖѴй*+Уу3-УжуГ
т. е.	ж-Уй^
« + «/
3.	Разложить на множители выраженіе:
Уй*Р+урр+урр _ (ур? ур^+урь5).
Назвавъ это выраженіе буквою Р, имѣемъ послѣдовательно:
Р= урр(ур- уР) + у?(ур - ур) + У?(УР - Зу^)
= (УР3 _ ур){ у?(ур _|_ ур) _ урр - ур}
= (УР - ур){у?(ур - ур) - УР(У^ - у?)}
= (У^ - ур)(ур - ур)(ур - у^)
229.	Задачи.
Ввести коэффиціенты подъ знакъ радикала:
VЬ3 — 2Ьс-|-с3	6. (а-|-6 с)‘уа2_|_^аЬ— ’2ас-\-Ъ'і—2Ьс-|-с3
7 (2ж I 3Ун7(4я2"9у2)	8 3\/1\/-і/Л7Т7
• (. + У)-\/ (2ж + Зу)3	8’ 3Ѵ зѴ З.Ѵ зѴ з
Вынести изъ-подъ радикала множителей, какихъ возможно, оставляя подъ ради-
каломъ цѣлыя выраженія:
3/125>»3.
‘ ѵ 216п5 ’
?,	3/(ж3 —3ж2+3ж—І>3
V 512
13 —7	. .7 (^8~9У6)Г .
2ж + Зу3 V 343(2ж — Зу3)
4/ж5и6
10. <	
V 1296
14.
4/(9^10 _ 25гб)5
V 81(3у5 — 5И) '

— 215 -
3/ж3/5а3	„ \ 25(і3— а3)2	, „	/аж2— 2ах-\-а
15- ѴзЬ’-Ч’-------9»--- 16- Ѵ^+ЗжЯ^-
_	/ а’&^е2— а2с4
V а2Ь — 2аЬ2 -)- Ъ3
Сдѣлать приведеніе въ примѣрахъ:
18.	7а2х/ЗЬ2 — За/2а2Ь2 + 17/18 — б ^75 .
19.	13^24—2 /Йб — -1754 + 4 ^384 •
о	4
20.	8ѵ/‘Г7а3&4 — бай/іЬ2 + 8аѢ3у/і8а — 2&2798а3.
..	+^+71-71-
22.	Ѵб4+7і—1\/1 + О’5 Ѵѵ+'У6 Т *
23.	|^+1^Лр_2^_б|-4уд^н4^°^-о.зѴ^оЖ
24.	4- уі&МІ— ^12»^+ Л\/27ЛЧ— —	+ ~\/За«с2й.
а2сѵ	ас2 ’	1 Засѵ	т V а4с2 а
І(х3 — у3\х~у)3	/(4ж2-9^2)2(ж—«О	я.,и/(ж + 2')2 I
25-	V ^у “ -+Ѵ	(2Ж-ЭД2-----& ~У>\1 х- у +
%ху /(ж2—2/3)3
х—уУІ (® + ^)3
Перемножить радикальныя выраженія:
27. (2/8 + 3 /б — 7 у/ 2 )(/72 — 5/20 — 2 /г-).
28. \^2а—/іа3 • \/2а + ^ба3. 29. (а*/+—а/в3-«-^-\/ж3) .(4 \/ж—^-/іі3).
лі	а
30. \/1 + аЪ + а + Ь • у/1 + а- 31. /і& +с2 +ас+Ьс • \]а-\-с • \]Ъ-\-с>
32.	а + і]~Ъ +	Ъ + у]~с— /а^)(/с + у/~а — у/ Ъ )(^ а + ^/Ь — с •)
„„Г	Іаі—а , п / а /а2 + атѵ /а+1
33.	а </—г-г+2аі/-г   — і/ —+ хі/—Н •
•- V а + 1 1 V а* — 1 У а — 1л ѵ а — 1
М.
36.	(жѴІ2ж» — 2ж3Ѵ4ж2 +5ж8Ѵ9ж’).0>бѴ18ж7
37.	{ж2 + [6 + V 2 Ц2- 1)]ж + 9 + /2 + ЗѴ ^Г-1)}.
{ж2 + [6 —V 2(Д—1)] ж + 9 + УГ— 3\/2 (УГ— 1)}.
— 216 —
Сдѣлать дѣленіе въ слѣдующихъ примѣрахъ:
38.	7®» + &»Г7а2 + а&/	39. (12712 — 135^/5) : (2/3 — у/45).
40. (а2 — Ь^х^у — 9да/3: (а + Ѵ)\]ху(х-\-Ъу)-
41. 127а4 + а3Ь + аЬ3+М : (а + Ь)7«2 — «5 + Ь2
“ Ѵгту : Ѵіст	43- С^-*«=(ѴУ-Ѵ»:
“ [у -»)+(т-~)'/і’+^гг‘]  (уѴ-+|7?)-
« +<"’+*<
2а2/; з,-^ а3ру 3/а2-| / „ 3/ а 3/а2	3/а‘х
-ьУ'/“’-^ѴТ*Г- ( ѴУ*_ ѴУ‘_,ѴИ'
Возвышеніе радикаловъ въ степень:
46. (ѴѴ«^)И-	47. (Ѵ(ж —?02)‘.	48. (2^712^—у 2 718г)2.
49. (ж^а2 —«237а‘ 4-я:з37а3)2.
Извлеченіе корня изъ радикаловъ:
50. \/1287243а70.	51. ^іу^т,3% ^Ѵ^ш2 х у/^т3 х х^Ѵ”1’0-
52.	53. І/^сР. 54. УІ^у^у7
’а4Ь3^аЬ27а353.	тп^т3п>!тьп^т3п3.
Приведеніе къ общему показателю корня.
61. 7^-Ь; !а + Ь- 7аа-Ь\ 62. М/_2_; 7—1__________; 7 1
у г	\ г ’ \ г3	\ х—1 у (ж—і)’ V (ж—I)2
63.	З73(ж —I)4; 67а(«—2)2. 64. Ѵ74(ж—I)»;
Выполнить указанныя дѣйствія въ примѣрахъ:
65. (2’710 + 3/2 — 437 5) . Ѵ10?	66. (7’5 — 2Ѵ15 + V?)2.
67. (Ѵ^+^-^^)-7Ж	68. (аТ^-Ь47^- 237^)Х
7 і— 12
69’ ѵ с3 :\/с^"	(Зиги7и4_4иі7»г): б^ииЛ
71. (а3 —	—	+ ЭЪ1]/!») : (77— ѴЬ)?
72. (1074®2— 1277+1у2)3.
— 217 —
Разложить на множители выраженія:
73. а 5/06 4“ \!ас.
75. \/а3Ъ-[-2аЪ-[-^аЪ3.
77. (а — Ъ — с)\]аЬс — 2Ъс^/а.
74. у/аЪ^с3 /а863с 4- у/аРЬс*.
76. «4-а4'\/ж8 —
78.	(а8—6с)4бс4-(68—ос)/с-|-(с2—о6)/і6?
79.	(а4- Ъ 4-с)3^аЬс— (6с4-са4-о6).
Опредѣлить множитель, обращающій каждое изъ слѣдующихъ выраженій въ ра-
ціональное:
80.	ту[а— Пу/Ъ.	81.а-}-\ІЪ — 7С> у/ау/Ъс.
82.	о4" >] 54~ у/ с 4^7	^а-\-у/ Ь — \Лс~4_	83. о 4“У
Знаменатели слѣдующихъ дробей сдѣлать раціональными:
34-5/2“	7 у[2 — 4/3	3 —а/5
84-	5-^4-718 '	85, 744-7’8-7'2 '	86‘ 720-5/184-5/27'
15___________ 2 7І^-~а8—З5/І —с8
/54-3/24-773—7б“	88, 7і—^4-7/=^
4-Г—7^гі _ 7^4-4+7Уі^і и	т-п_ .
5/^*4-14“ 5/у8—14-5/®8+1 4-5/ж8 — 1	5/З-/5/5	у/а,—5/6*
1	гі*	а	1
92’	93- 7а4-8/^ '	94'Ѵ^'	95‘ а 4-/6
___________1___________ _______________________~1__________
у/аР-^-у/Ъ3— 5/0*6—7а68	* 97’ аЪ~}-Ъ^ас—ау/Ъс—с^аЪ
1 1 1
98- / « 4- /б-	'	"• ^а2 - 3у/аЬ -{- /б2 ' 10°’ /24- Зу/ 6/- Зу/І8 '
Провѣрка равенства:
101. Ѵэ 4- 5/45=^(5/154-73)
а
-------------- / 0	__
79 — 745 = V [5/15 — а/з].
а
__	2 I--— —  ~П=	і---- -- =
102. V 2 4- V 2 4-	\ 2~^~^—-- 4- \І ~	2 •
2	V 2
о 4- 5/а8 —1>8	а — 7а8 — 68	4о/а8 — 62
108‘ а—7а« — 62 а -|- 7а8 — 62	62
тпл . / /= г а Іаі — 4	/ [—	/а2 — 4 5/2а4“4
104. \/ѵа4-Ѵ-------г \ІУ/а — 1/-- = 4/—
V V а 1 уѵ V а уа
24-/3	2-7У
105- /2^2 4-7У + / 2 -Ѵ^/Т 7 2 *
юб. 1 .^~аі .^Л/ -і
4 «2 — а2	а V х*
' а2
107. (5Л® 4-5/а)8 .(Ѵж4- Ѵа )3 = (ЖН- а)2 4-25/^(«4-«)4-3/оа; (/ »4“\/а).
(7Г4-/а)8.
— 218 -
108. Упростить
109. Упростить
ПО. Упростить
111.	Упростить
112.	Упростить
а— у/аЪ — у/ас
а — Ъ — с — 2у^с
с	— а2 + я2 — (а + Ъ)х 4- иЪ
Ъ у/х3 — а* 4- ®2 — (а 4~ с)ж 4- 00
3 Ѵж*4~ ^43>ІУІ—5 Ѵу* — х4 у— уу/х
п3 — Зи 4“ (и1 — 1)\/и2-—4 — 2
п3 — Зи 4~ (и2 — 1)Уи4 — 4 4- 2
113.	Доказать, что триномъ ал3-\-Ъх-^-с обращается въ ноль при
— Ъ -\-у/Ь3 — 4лс
х~--------1л--------, а также при х—-----------===== .
2а	— &4Ѵ&1 —4ас
114.	Доказать, что триномъ а;4 4_.Р'с2 4~ 2 обращается въ ноль при
х --
115.	Доказать, что триномъ х3~]-Зх-]-2 обращается въ ноль при
Х=3у/у/Г— 1— —1=.
ѴУ2-1
116.	Доказать, что триномъ ж34~.Р®4-2 обращается въ ноль при
2
>—3
а также при
3/----
2
V 2
Р.
3
2
117.	Доказть, что х3 4- ЗАхс2 4~ ЗВж 4* С обращается въ ноль при
2/	3/п
х — \ ЗА2 — 2В 4- (ЗА2 4- В) \/
V	1	V 4А2 ,
полагая ^^(3 А2 — 2В)2= ЗВ2— 2АС.
118.	Доказать, что	(-А_)2
обращается въ п(п — 1) при
_ /»» — 1
х— Ѵ«4-1 ’
_	у}а 4- х 4~ 4а—х л	х	2аЬ
119.	Доказать, что . -=---. = - обращается въ о при х~-------
у]а-\-х — у^а — х	Ь24~1
- 219 —
120. Доказать, что
2а ^1
а? —{- 1 —{- а?2
обращается въ а-)-Ъ при
121.	Во что обращается -—-г ' . ------рп-^-
Ѵ'І-^я’ + ѵі—ж
2аЪ
122. Во что обращается
-Ч)+ѴК‘->-4)ПРОІ=
а3 -{- аЪ + Ь4
аЪ
123. Уничтожить
а
при условіи, ЧТО —5
а
ирраціональность въ знаменателѣ дроби
1
\/ а —{- \/ Ъ—|— \[~с-|— у] о! —|— ^У~—{-	,
Ъ____ с
Ѵ~~ё'
Примѣчаніе. Индусамъ уже были извѣстны методы извлеченія корней —
квадратнаго и кубичнаго. — Омаръ Алкхайями (средина XI вѣка) доказалъ
точность этихъ методовъ и указалъ пріемы для нахожденія корней высшихъ
порядковъ. Правила дѣйствій надъ коренными количествами находимъ уже въ
ариѳметикѣ Алъкалъцади (-{-1477).
Степени и корни съ дробными и отрицательными показателями.
Дробные показатели.
230.	Происхожденіе степеней съ дробными показателями. — Для извле-
ченія корня изъ степени надо показатель подкореннаго количества раздѣлить на
15
показателя корня; такимъ образомъ: ’Д^а3 = а3. Но если показатель под-
кореннаго количества не дѣлится на показала корня, какъ напр. въ случаѣ
V	2
Ѵ«2, то, примѣняя указанное правило, мы найдемъ выраженіе а3,неимѣющее
смысла степени какъ произведенія множителей, равныхъ основанію а: въ са-
2
момъ дѣлѣ, очевидно, что нельзя а повторить множителемъ — раза. Однако,
О
вполнѣ позволительно допускать подобныя выраженія, если только подъ ними
разумѣть ничто иное какъ новый особый способъ изображать ирраціональныя
- 220 -
2	1	7
выраженія. Такимъ образомъ пишутъ: а3 вмѣсто Уа2, а2 вмѣсто , а5
т
вмѣсто V®7 и т. д. Вообще, выраженіе ап есть ничто иное какъп^ат, и, на-
зывается количествомъ съ дробнымъ показателемъ. Итакъ: количество съ дроб-
нымъ показателемъ есть коренъ, показателъ котораго равенъ знаменателю
дробнаго показателя, изъ количества въ степени, равной числителю дробна-
го показателя.
Условное обозначеніе ирраціональныхъ выраженій въ видѣ дробныхъ сте-
пеней, распространяя правило показателей при извлеченіи корня и на тотъ слу-
чай, когда показатель подрадикальнаго количества не дѣлится на показателя кор-
ня, т. е. обобщая это правило, вполнѣ соотвѣтствуетъ духу алгебры, стремя-
щейся къ обобщеніямъ.
Разсматривая правила дѣйствій надъ дробными степенями, мы придемъ къ
тому важному заключенію, что правила эти остаются тѣми же самыми, какія
мы нашли раньше для показателей цѣлыхъ. Обстоятельство это, говоритъ
Лакруа въ своей алгебрѣ, «служитъ однимъ изъ замѣчательнѣйшихъ примѣровъ
пользы знаковъ, когда они удачно выбраны. Чѣмъ дальше мы подвигаемся въ
алгебрѣ, тѣмъ болѣе узнаемъ безчисленныя выгоды, какія повело за собою вве-
деніе показателей.»
Дробные показатели были введены Ньютономъ. —
231.	Теорема. Двѣ дробныя степени равны, если показатели
т р
ихъ равны; т. е. если — то ап=а%-
Дѣйствительно, по опредѣленію степени съ дробнымъ показателемъ имѣемъ:
т	р
а* = п^п и аё=№.
Приводя корни къ общему показателю, найдемъ
т	р
а п^пу/ап=п9^..........(1) и а2=......................(2);	-
но изъ условія — — — имѣемъ: ту = пр, слѣд. вторыя части равенствъ (1)
и (2) равны, а потому равны и первыя. Итакъ
т р
а^=аЯ .
т р
232.	Умноженіе. — Умножить а п на а 2. По опредѣленію дробныхъ сте-
пеней имѣемъ
т	р
а™ — пу/ап и а
т р
откуда ап х = Ѵа’=пѴа“’х(по приведеніи корней къ общему
показателю). Такъ-какъ ну, ту и пр — числа цѣлыя и положительныя, то при-
- 221 —
мѣняя правила — умноженія корней п степеней, доказанныя для такихъ пока-
зателей, получимъ:
х пІЦаПр= пУатд.апр= .
Такъ какъ пд н тд-\-пр — цѣлыя положительныя числа, то раздѣливъ
въ послѣднемъ выраженіи показатель подкореннаго количества на показателя кор-
ня, найдемъ:
тд 4- пр тд пр т р
— а	= а”* ”Я = а”+ Я-
Итакъ:
т	р т р
а™ х аЯ —а^ + А......(1).
Положивъ въ этомъ равенствѣ сперва п = 1, потомъ д = 1 (на что имѣ-
емъ право, такъ какъ п и д — цѣлыя положительныя числа) найдемъ,
въ первомъ случаѣ:
* т +
ат х а, У = а ®..(2).
а во второмъ
т	т .
—	--1- р
ап хар = ап ......(3).
Равенства (1), (2) и (3) показываютъ, что: будутъ-ли оба показателя
дробные, или одинъ цѣлый, а другой дробный, при умноженіи степеней од-
ного и тою-же основанія показатели складываются.
з і ЛАИ А з + А И
Такъ: 1) а5 х а 2 = а 5 + 2 = а10; 2) а3 х а 5 = а 5 =аь •
т р
233.	Дѣленіе. — Раздѣлить ап на а®, полагая, что
Послѣдовательно имѣемъ:
а* :аЛ —.:а"р =
По приведеніи обѣихъ частей неравенства ~>А къ общему знаменателю,
найдемъ:	откуда: тд > пр, а слѣдовательно разность тд — пр поло-
жительна. Но при цѣлыхъ положительныхъ показателяхъ имѣемъ
іид—пр тд пр т р
= а	Итакъ
т р т р
:а^=а”'~Т.......(1).
Положивъ п—1, находимъ изъ этого равенства:
р _р_
ат : а® ~а 3...................(2).
- 222 —
Положивъ въ равенствѣ (1) 2=1, найдемъ:
т	т
—	---р
ап'.а?~ап'~	........(3).
Равенства (1), (2) и (3) доказываютъ, что правило показателей при дѣле-
ніи, доказанное первоначально для цѣлыхъ показателей, остается справедливымъ
и тогда, когда оба или одинъ изъ показателей — числа дробныя.
3	5	3	5	4	2
Примѣръ: а2	: а6	— а2	6	=а6	=а3	.
т
234.	Возвышеніе въ степень. — Пусть требуется ап возвысить въ степень
ш\ р
ап \ . Замѣняя каждую изъ степеней съ дроб-
нымъ показателемъ — корнями, получимъ:
(=(7^.)I = Ѵ(Ѵ^)₽=ѴѴ«^=
Такъ какъ показатели пс/ и тр — числа цѣлыя и положительныя, то
порядка ~, т. е. опредѣлить
•тр іп р
а^=а^ Слѣд.
,	Ж р
\а^=аѴі'^.......(1).
Полагая сперва 2=1, а затѣмъ п=1, найдемъ:
/	™.р	т.Р.
\ап) =ап ....(2); и (аю)2=а	2...(3).
Отсюда слѣдуетъ, что правило показателей при возвышеніи въ степень, вы-
веденное въ §109 для показателей цѣлыхъ, распространяется и на тѣ случаи,
когда одинъ или оба показателя — дробные.
/ 3 5 %
Примъръ. \а4)6 = я4 6 =а .
235.	Возвышеніе въ дробную степень произведенія и дроби.—
р_	і>
, (Л\«	''//А?	?/А”	А« о
1.	I— =\/(—) = *,' —= ^7—= —=• Заключаемъ, что для возвыше-
\в/	Ѵв₽
нія дроби въ дробную степень нужно отдѣльно возвысить въ данную степень
числителя и знаменателя и первый результатъ раздѣлить на второй: то же са-
мое правило, что и для возвышенія дроби въ цѣлую степень.
_____	______ _	_ р Р_
2.	(А.В)2 = 'У(АВ/=: ѵ/А’’.Вр = УА’’-ѴВ’’ = А«.В«, слѣд. правило возвы-
шенія произведенія въ дробную степень — такое же какъ и въ цѣлую степень.
р
порядка ~ изъ
236.	Извлеченіе корня. — Пусть требуется извлечь корень
р ________________
т	9 I _т
пп т. е. найти \а'“. Распространяя опредѣленіе корня и па этотъ случай,
— ш —
т
условимся подъ корнемъ порядка ~ изъ а п разумѣть такое количество, ко-
т
торое, будучи возвышено въ степень порядка давно бы ап. Согласно это-
му опредѣленію, назвавъ искомый корень буквою х, т. е. положивъ
«Г»
\!ап=х.............(1)
V т,
найдемъ, что х9 — ап, откуда, возвышая обѣ части въ степень ~ , полу-
т^	т п
чимъ: х9Р = аіпр, или х=ап 9. Подставивъ въ равенство (1) вмѣсто х
найденное выраженіе, получимъ:
р
Ч I	т	. р
\ап	= ап	‘ 9..(2).
Полагая здѣсь сначала $=1, а потомъ »=1, имѣемъ:
я	т:±
\/а« = ап . . . (3);9^=а	9 . . . . (4)
Такимъ образомъ, будутъ-ли показатели - корня и подвореннаго количества
оба дробные, или одинъ — цѣлый, а другой — дробный, надо для извлеченія
корня — показатель подрадикальнаго количества раздѣлить на показатель корня:
правило то-же самое, что и для цѣлыхъ показателей.
2
3 А  2	15
Примѣръ, у а4 =а'1	3 — а[і.
237.	Корень дробнаго порядка изъ произведенія, дроби и корня съ дроб-
нымъ показателемъ.
1.	ѴА.В= Ѵ(АВ)' = (АВ)1: 9 (§236,4)1= (АВ)р = Ар -В'1 (§235,2)
1.	Р г . Р _Р _Р
= А ’ 9 .В " = ѴА X ^В (§236,4).
Заключаемъ, что правило извлеченія корня дробнаго порядка изъ произве-
денія — такое-же точно какъ и корня съ цѣлымъ показателемъ.
_Р 2*	і Р	і  р Л._
9ГХ	9/ТаГі	/Ач  9 /Л\р А* п А ’ 9 _ Ѵа
2.	Ѵв=ѵ(в) =(в)	=(в) =т5§236-1)—
вр в 9 Ѵв
т	т	т_
пІ~р	п/	р п I кц кц т кдп в тр тр
3.	ѵ ѴА^ѴА '"9 = У Ат = Ау: ” = Арві=а‘:	(§236):
и въ этомъ случаѣ для извлеченія корня изъ корня нужно показатели корней
перемножить.
Итакъ, всѣ правила, доказанныя для показателей цѣлыхъ, распространя-
ются и на дробные показатели. Замѣняя радикалы дробными показателями, мы
получаемъ возможность совершать преобразованія ирраціональныхъ выраженій
— 224 —
по тѣмъ же правиламъ, какія имѣемъ для выраженій раціональныхъ, а это ве-
детъ къ упрощенію вычисленій и болѣе быстрому полученію результатовъ.
238. Приводимъ примѣры преобразованій выраженій съ дробными показа-
телями.
I. Упроститъ выраженіе
и.+«М)-+(і-+«М)К
4	4
Вынося въ первыхъ скобкахъ общаго множителя а3, а во вторыхъ Ъ3,
имѣемъ
возвышая каждаго множителя отдѣльно въ степень —, находимъ
А
—і 2 А\А А/ 2 А\А
« 3 (а.3 Ь 3 7 2 4-6 3	3 +&3/2 ;
/ А А\А
взявъ общимъ множителемъ \«3 Ь 3 /2, имѣемъ
(г + і^ + ьі\
или, выполнивъ умноженіе:
/А 2.x3
(а3 -р? ) 2 .
II. Провѣритъ равенство
2 2 [2а + (а2 — Ъѵ)2 ][а — (а* — Ь2) 2 ] 2	! — (« — Ь) 2 .
Для облегченія повѣрки положимъ:
х = а-\-Ъ . , . (1) и у— а— Ъ .... (2).
Сложивъ эти равенства, получимъ
2а = ж-|-у, а отсюда а = х-^~-\
А
перемноживъ (1) со (2), найдемъ
і	і
а2— ^ — ху, откуда (а2 — &2)2 = (ху]2 .
Первая часть даннаго равенства послѣ подстановки приметъ видъ:
(а-|-&)2 — (а- 6)2 ,
что и требовалось найти.
— 225 —
Отрицательные показатели
239. Въ §43 мы нашли, что а “ = —, но тамъ Формула эта установле-
на была для случая т цѣлаго. Если въ равенствѣ
т р т р
ап : аТ=ап“Т,
доказанномъ въ §233 при условіи	условимся не дѣлать послѣдняго
т
ограниченія, и положимъ т — о, то ап обратится въ а0 или въ 1, а самое ра-
р _ р
венство въ 1: а 9 = а 9 . Итакъ
ѵ
а 7
т. е. степень съ отрицательнымъ дробнымъ показателемъ равна единицѣ, дѣ-
ленной на тоже основаніе съ положительнымъ показателемъ, равнымъ по абсо-
лютной величинѣ отрицательному. Такимъ образомъ, будетъ-ли т — цѣлое или
дробное, всегда имѣемъ:
агт — —
ат
Отрицательные показатели даютъ возможность изображать дробь въ Формѣ
_	,	.г,	, 5а2Ь3
цѣлаго выраженія (безъ знаменателя). Такъ дробь можно написать въ ви-
дѣ: 5ааба. і замѣтивъ, чтоЛ = с~3 и і = ^7, найдемъ, что
С СІ*	С?	и1
— ЬаѢЧ-Ч--.
с?(Г
Такимъ образомъ, чтобы дробь представить безъ знаменателя, надо всѣ мно-
жители знаменателя перенести въ числитель съ отрицательными показателями.
Наоборотъ, всѣ множители числителя можно перенести въ знаменатель, на-
писавъ ихъ съ отрицательными показателями; въ самомъ дѣлѣ, напр.
аѢ _	1	_	1
с3й3 1	1	,,,	а~2Ь-1сМ3
-.•у с3й5
а2 Ъ
Перейдемъ теперь къ изученію дѣйствій надъ количествами съ отрицатель-
ными показателями.
240. Умноженіе. — I. Пусть требуется помножить ар на а-’; замѣтивъ, что
-в 1
а — получимъ
р -О	р 1 ____
а9 а”
15
- 226 -
такъ-какъ р н у— числа положительныя, то, будутъ-ли они цѣлыя или дроб-
ныя, нужно при раздѣленіи а? на а’ вычесть у изъ р\ слѣд.
^ = а^’ = ар+(-’), слѣдовательно
аР.а-’ = ар+(-’),
т. е. показатель произведенія равенъ алгебраической суммѣ показателей- мно 
жимаго гі множителя. —
2. Пусть оба показателя — отрицательны; найдемъ
то-же самое заключеніе, что и въ предыдущемъ случаѣ.
241. Дѣленіе. — I. Пусть будетъ одинъ изъ показателей — положительный,
а другой — отрицательный.
«-':«• = і :«<= ^ = -1, = <.-(«) =	= «--Г'),
ІЛ/	ѵ* яКЛ	Іл/
т. е. изъ показателя дѣлимаго вычитается показатель дѣлителя.
2.	а~р: а ’ = -і ’	— а4 р = а~р+ч = а-р~( ’): то-же заключеніе.
ар а4 аѵ
242. Возвышеніе въ степень. — 1.
(а~тУ~[~)П—(—, по правилу воз-
вышенія дроби въ положительную степень; далѣе:
2.	(а’)-»	= =атп = а’
- '	(а)	а*"
Всѣ три результата приводятъ къ общему заключенію: при возвышеніи сте-
пени въ новую степень показатели перемножаются, будутъ ли они цѣлые или
дробные, положительные или отрицательные.
или
мпо-
243.	Возвышеніе въ отрицательную степень произведенія и дроби.
.	/д	і ____ } . . 1 _Д-я т»-т
1.	іа.п; (дв)" Ат.В’л А”1 Вт ,и '
Заключаемъ, что для возвышенія въ отрицательную степень (цѣлую
дробную) произведенія нужно отдѣльно возвысить въ эту степень каждаго
жителя и результаты перемножить.
 А\'ж 1	1	В"‘ А-и
2.	(в) =7Ач5"~ А”~ А™ ~ В^”’ по пеРенесеиіи А“ Бъ числителя, а
В“
Вт— въ знаменателя. Заключеніе: для возвышенія дроби въ отрицательную сте-
пень нужно въ эту степень возвысить отдѣльно числителя и знаменателя, и пер-
вый результатъ раздѣлить на второй.
— 227 —
Я)
ат, т. е. показатель подкореннаго
корня.
244. Извлеченіе корня. I. Пусть требуется извлечь корень положительнаго
порядка изъ степени съ отрицательнымъ показателемъ: т\/а~г, гдѣ т и р — цѣ-
лыя или дробныя числа. Имѣемъ:
і—	р
а"	-У-
а т
количества нужно раздѣлить на показатель
2. Разсмотримъ теперь извлеченіе корня съ отрицательнымъ показателемъ.
Опредѣленіе корня, данное для цѣлаго положительнаго показателя и распростра-
ненное затѣмъ на корень дробнаго порядка, распространяютъ и на корни от-
рицательнаго порядка. Такимъ образомъ, корнемъ минусъ тго порядка изъ А
называютъ количество, которое по возвышеніи въ минусъ т-ую степень даетъ
А; согласно этому опредѣленію:
если -яуА = В, то В"“ = А.
Докажемъ, что
т. е. что коренъ съ отрицательнымъ показателемъ равенъ единицѣ, раздѣлен-
ной на корень съ тѣмъ же по величинѣ, но положительнымъ по знаку, по-
казателемъ.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть ' "(/А = х\ по опредѣленію корня найдемъ: х'
или ^ = А, откуда хт =-^> а извлекая изъ обѣихъ частей корень т-го
ложительнаго) порядка, получимъ
— А,
(по-
х
и требуемое доказано.
Пусть теперь требуется извлечь корень (— т)-ой степени изъ аУ, гдѣ
положительно; въ силу только-что доказаннаго предложенія имѣемъ:
р р
т~а~т, т. е. и въ этомъ случаѣ показатель
Р -
под-
Ѵ ат
радикальнаго количества надо раздѣлить на показатель корня.
Пусть, наконецъ, оба показателя отрицательны; найдемъ, что
з?
~п^аггно’Ѵа“'' = а т (§244,1); слѣдовательно
а
р - р
~‘”Ц(ГГ——= ат = а~т: прежнее заключеніе.
а “
Итакъ, во всѣхъ случаяхъ, при извлеченіи корня нужно показатель
радикальнаго количества дѣлитъ на показатель корня, будутъ ли оба пока-
зателя— цѣлые пли дробные, положительные или отрицательные.
3
-3/---3-	- Т:-3
под-
4
= а
= а
15*
- 228 -
245. Извлеченіе корня отрицательнаго порядка изъ произведенія, дроби
и корня съ отрицат. или положит. показателемъ.
 1-‘7й=^в=ѴлЖ=^х^='
" Й='7ІГ’мѣ"-
-ЖДВ =~ѴА X "ТВ,
т. е. для извлеченія корня отрицательнаго порядка изъ произведенія нужно
извлечь его отдѣльно изъ каждаго производителя и результаты перемножить.
2 ~П/1= 1 =. 1
V В т / А Ѵа і/в
У в Ѵв‘
х Ѵв • Но ~= ѴА , а изъ ра-
Ьенства ’У1Г—имѣемъ: = подставляя, найдемъ
ѵВ
-т/А_..т/Г	1	"^А
\/ В ѵ X _,у-
т. е. для извлеченія корня отрицательнаго порядка изъ дроби нужно извлечь
его отдѣльно изъ числителя и знаменателя, и первый раздѣлить на второй.
3. Пусть, наконецъ, требуется извлечь корень (—т)-го порядка изъ
____ “"/ к _ Л _	к
VА~Р = А. р : т = ктр = тр/^=^~рІ/Ѵ\ Т.е. пока-
затели корней слѣдуетъ перемножать.
Итакъ, всѣ правила, относящіяся къ вычисленіямъ надъ количествами съ
положительными показателями, относятся и къ отрицательнымъ показателямъ.
Отрицательные показатели были введены раньше дробныхъ; ихъ введеніе
приписываютъ Михаилу Стифслю (1509 — 1567).
246. Задачи.
1. Представить безъ знака радикала выраженія
—ж«)з;	;	— \/т3 -|- Уая3.
2. Сложить
/4	3	__ 2 .	/	_ 3	___і_ _______2_\
\х & — 2ах ь 4*	5 / + \3аж 3 — тх 5 — сх 5 / 4*
-(-(&& 5 + Ах 5 —2х 5 ).
2.	Изъ перваго полинома вычесть сумму остальныхъ:
4	_2_	4	__ А. }	4
х 5 —Зх'іу 3 — 1; 4— 2х 5 4~О,Зя;_,г/ 3 ; Зи 2 — 1-5- 4* 2х 5;
О
2	1
х~ху 3 + 0,5 4* п 2 •
Умножить
А _А_ _2	_ Л ± Л
3.	т 3 п 2 с . гп 7 п 5 с 5 .
— 229 -
і і і	і	і
4.	2у-\-Зхіу2 —х2 на 1х 4 —бу 2 .
і	1	іі
5.	х + 2у 2 + Зг 3 на х — 2у 2 Зг 3 .
6.	а * а2 Ъ 2а* Ъ-{-Ъ 2 на а4 — Ъі.
5	_2_ ± 7 _±	_2_ А г _±
7.	— « + 3а 3 « 2—-^а 3 на 2х— а Зх2----3 .
2	«э
32_1	3	32	1	 3_
8.	а2	— а3 -|- а	3	— а 2 на а2	а3 — а 3 — а 2 .
Раздѣлить
3	3	11
9.	а5	—х3 на	а3 —хъ .
і і
10.	х — а на х п — ап.
і	і	і
11.	х — 2х 2	1 на х3—2» 6 -|-1.
і і
12.	16» — у2 на 2х 4—у2 •
13.	а 10— а 15-|- а 20-|- а 3 — а 2 а 13— а 8 + а 2І— а 8 на а 2 — а3 а* .
р р	і і
14.	а®—Ь9 на а9 — Ь9.
_і -і	*
15.	х —у на х 3 —у 3 .
Зп _ зп	п	п
16.	х 2—х 2 на х2—х 2.
з___і_ 1_2_ і _ і ___________к
17.	12» — 20» 4 у 3-|-27»2у 3—18» 4 у ~{~4у 3 на
і	і_1_	2
4» 2 — 4х* у 3 у 3 .
__з_ _ _і_ 2_ / _ і _і_.	___і__і_ / _ і ___і_\
18.» 5+2» 5 у 5 \і/ 5—х 5 /3» 5 г 5 к» 5—2 5 /-|-
_________і 2_/ _ 1	1 \	3	3	___к ______к 	к
-4-6у & г 6 \у 5	г 5 / — 4у	3	— 9г 5	на » 5 —2у	5 -|-3г_6 .
Возвысить въ квадратъ полиномы
_ т ______і_ і	_ 4 з
19. а -]-Ь 2-|-с 3-	20. 7» 5—бу2
Возвысить въ кубъ полиномы
і і	.	2_ і	_ т
21. а 2 — Ъ 2.	22. » 3 — у 3 .	23. х — х
24. ех — е~х. 25. а3Ъ~1-4-а~~3Ъ.	26. -^-хту~ 3 — ~х 3у3.
О	<и
Извлечь квадратный корень изъ полиномовъ
27.	1 — а» 2 — ~^аіх ~Ь 2а3» 2 4" 4аіхі.
— 230 —
4	1
28.	а;3 — 4а?+8ж3-]-4.
29.	(а;-]-®'1)8 — ^(х— х~і\
9	— —	179	4 А А 4
30.	- а;3 — 5х 2 у 2 + —х2у——х 2 у 2 Н~—жу2.
4	43	О	^3
2	1	1	11
31.	х 3	2ж 2	Зж 3—2ж 6 ~І~х 3—1.
32.	(ж-(-агі)—г(аА — аГ~0—1.
Упростить выраженія
А	А гя4 ^4	, 2.
33.	[(а — &)2 + 4а5] 2 . [(а + 5)« — 4аЬ] 2 . -г + 2аЪ(а + Ь) 3 .
ь и	ѵ	и
а;3-}-а2®2— ах — а3
34.	-	— •
а;2 — ах-^-а3 х — а 2
і
35 ж3—Зж —2 + (ж2—1)(а;2 —4)Т
х3 — За; + 2 -}- («« — Г)(х2 — 4)'г
„с х 3 + х 3 у 3 — 2ху 3
4	1	1	2_’
х3 -\-ух3 —ху3 —у3
1 1
Ж-}"(ж2—1)2 х — (ж2—1) 2
3/.	-----------ѵ*
х — (а;2 — 1) 2 х + (ж2 — 1) 2
К2______2__з\___і_іб	_і_ / А
а2 Ъ 3 с*) 2 ] .	39. х~'у 2 Д/ хуг 3 .
40. {у/а ) 3	6 — —\а 2 Ъ\]а~'Чг2 ) 4 .
і
41. (аЪ~3 . ^аЬ3.	. ЦаЪ3) 5 .
|3а-2а;25а-1а:—12
а3а;3 — 8а^2х2 — 12а~*х	63
2 А
, „ Зах3 — 2а 3 х2 — а 3
----А-----А---------
6а 3 х2 — а 3 х — 1
44.	Показать, что если х-^-х^—р, то х3-^-х^3 = р3 — Зр.
45.	Доказать, что величина
Г	1 і А Г	Аі А
а;=[-д4-(а2+2>3Г ] 3+1-з-(42 + 2>3)2 1 3
обращаетъ триномъ х3 Зрх -|- 2^ въ ноль.
46.	Показать, что (х ж~1)2 — (У 4“У-1)2 = (ХУ —	•
— 231 —
47.	Опредѣлить числовую величину выраженія
если 4а = 5Ь — 1.
„	,/2а	, \ѵ
48.	Доказать, что при ж = а ---------1 } выраженіе
і	____
(1 — ах).(1	-}-&&)2 .(1 — Ъх) 2
обращается въ 1.
і & і
49.	Доказать, что ври х —	2—(а/ ] выраженіе
2а(1 + х2)2 [ж (1 + ж2)2 ]
обращается въ а + Ъ.
, & 2/І'?
50.	Доказать, что при х = (^^-^‘1~р выраженіе
обращается въ
Г<7ІУХ.В2\
Замѣчательныя Формы алгебраическихъ выраженій.
,	0 т оо	0 . со	т, •	, „
Формы: — , - , — , — . —, Охсо,—-, со — со.—Раскрытіе пеопредѣленно-
т 0 т со ' 0 со
стей.—Задачи.—
247. Въ силу общности алгебраическихъ Формулъ они могутъ представлять
замѣчательныя Формы при частныхъ предположеніяхъ относительно количествъ,
входящихъ въ составъ ихъ. Займемся изученіемъ этихъ особыхъ, замѣчатель-
ныхъ Формъ.
т , О
I.	Форма: — •
г т
248.	Численная величина алгебраическаго выраженія равна нулю, если
оно является въ видѣ частнаго отъ раздѣленія нуля на конечное количество
отличное отъ нуля. Такимъ образомъ, если т есть конечное количество, отлич-
ное отъ нуля, то
— 232 —
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленію частнаго, оно есть такое количество, ко-
торое, по умноженіи на дѣлителя, даетъ дѣлимое; но только ноль, умноженный
на количество отличное отъ нуля, можетъ дать въ произведеніи ноль.
Примѣръ,— Дробь
Зж — іо
ж2 -|- 5
при х = 1 обращается въ ноль; въ самомъ дѣлѣ, подставляя вмѣсто х число
2, находимъ т. е. 0.
тт лч	т
II.	Форма: — •
249.	Численная величина алгебраическаго выраженія равна безконечности,
если оно является подъ видомъ частнаго отъ раздѣленія числа отличнаго отъ
нуля на нуль.
Въ самомъ дѣлѣ, взявъ дробь—, которой числитель т есть нѣкоторое
•С
конечное число отличное отъ нуля, станемъ уменьшать ея знаменателя, не-
ограниченно приближая его къ нулю: дробь будетъ безпредѣльно возрастать.
у = 1	Такъ, дѣля 1 послѣдовательно на 1, на	у—,.........
=10	будемъ въ частномъ получать: 1, 10, 100, 1000, . . . . , т. е.
/10
_1- = 100 числа возрастающія, такъ-что когда численная величина знаме-
/100
—— = 1000 нателя будетъ менѣе всякой величины, т. е. 0, то численная
1'1000
и т. д. величина дроби будетъ больше всякой величины, т. е. будетъ
безконечно-велика.
Такъ-какъ безконечность не можетъ быть выражена никакимъ числомъ, то
для письменнаго изображенія ея необходимъ особый знакъ; такимъ знакомъ
служитъ со. Итакъ.
т
^ = 0°,
если т отлично отъ нуля.
Знакъ со предложенъ Валлисомъ въ XVII столѣтіи.
Примѣръ. Дробь
ж2 1
ж2 — Зж — 4
обращается въ ос, если положить х = 4; въ самомъ дѣлѣ, тогда получимъ
17
— ИЛИ со.
Когда числитель и знаменатель дроби имѣютъ одинаковые знаки, то при
постепенномъ уменьшеніи численной величины знаменателя до нуля, дробь будетъ
оставаться положительною, и потому она стремится къ положительной безконечное-
— 233 —
ти. Если же числитель и знаменатель имѣютъ разные знаки, то по мѣрѣ при-
ближенія знаменателя къ нулю, дробь стремится къ отрицательной безконеч-
ности. Положительная безконечность изображается знакомъ Ц-оо, отрицатель-
ная—знакомъ — со. Такъ, если въ дроби ь, х, будучи больше 3, прибли-
жается къ 3, то х— 3 будетъ оставаться величиною положительною; а потому,
когда х, въ концѣ своего измѣненія, обратится въ 3, дробь обратится въсо.
Если-же х, будучи меньше 3, приближается къ 3, то разность х — 3 все вре-
мя будетъ оставаться отрицательною; а потому, когда х достигнетъ своего нре-
ж2-І-2
дѣла 3, дробь обратится въ — со. Но въ дроби.	будетъ-ли х при-
ближаться къ 1 уменьшаясь, или увеличиваясь, въ обоихъ случаяхъ дробь при
х = 1 обращается въ -]-оо, потому-что и въ томъ и въ другомъ случаѣ ея
числитель и знаменатель остаются положительными.
III.	Формы:	и —.
г»и со
250.	Частное отъ раздѣленія безконечности на конечное количество—
есть безконечность; т. е.

если т конечно.
Въ самомъ дѣлѣ, по опредѣленію частнаго,—это послѣднее, будучи умно-
жено на конечное количество т, должно дать безконечность; но никакое конеч-
ное количество, умноженное на конечное т, не можетъ дать безконечности;
поэтому частное — безконечно велико.
251.	Частное отъ раздѣленія конечнаго количества на безконечно боль-
шое равно нулю; т. е.
- = 0,
если т конечно.
Въ самомъ дѣлѣ, если дѣлимое конечно, то при неограниченномъ возраста-
ніи дѣлители частное неограниченно приближается къ нулю, сл. при безконеч-
но-большомъ дѣлителѣ численная величина частнаго будетъ нуль.
252.	Частное отъ раздѣленія
ное отъ раздѣленія безконечности
- = 0
нуля на безконечность есть ноль, а част-
но нуль есть безконечность; т. е.
И О
Въ самомъ дѣлѣ, ~ есть 0 по двоякой причинѣ: съ одной стороны по-
тому, что числитель =0 (§ 248), съ другой потому, что знаменатель равенъ
безконечности (§ 251). — Подобнымъ-же образомъ убѣдимся и въ томъ, что
оо
—- —оо.
253.	Теорема. Численная величина цѣлаго по буквѣ х полинома
съ конечными коэффиціентами,—конечна при х конечномъ, и безко-
нечно-велика при х безконечномъ.
- 234 -
Пусть имѣемъ полиномъ
цѣлый относительно х, съ конечными коэффиціентами а, Ъ, с, й, е, причемъ а
отлично отъ нуля; понятно, что при всякомъ конечномъ значеніи х каждый
членъ полинома конеченъ, а алгебраическая сумма конечнаго числа конечныхъ
слагаемыхъ конечна.
Пусть теперь х будетъ безконечно—велико; вынеся ж* за скобки, дадимъ
полиному видъ
. / । Ъ , с , Л . е \
-----——дЧ-—;);
\ 1 х 1 ж2 1 х4 1 жѴ ’
при х = сс> каждый изъ членовъ въ скобкахъ, содержащій х въ знаменателѣ,
обратится въ 0 (§ 251), такъ-что въ скобкахъ останется о; поэтому произведе-
ніе, т. е. данный полиномъ, обращается въ а X со, т. е. представляетъ про-
изведеніе конечнаго числа а, отличнаго отъ нуля, на безконечность; а такое
произведеніе, очевидно, есть безконечность. Очевидно, знакъ этой безконечности
будетъ такой, какой имѣетъ членъ ах' — высшій членъ полинома.
тт я,	О
. Форма —.
о	*
254.	Выраженіе —, разсматриваемое само-по-себѣ, означаетъ какое угодно
число. Въ самомъ дѣлѣ, раздѣлить 0 па 0 значитъ найти такое число, кото-
рое, будучи умножено на 0, давало-бы 0; но вснкое конечное число имѣетъ
это свойство (такъ: 5x0 = 0, —2x0 = 0 и т. д.), слѣд. означаетъ пе
,	тт о
одно какое-либо число въ частности, но какія угодно числа. Поэтому у назы-
ваютъ символомъ неопредѣленности.
Пзъ этого слѣдуетъ, что еслп два количества А и В равны третьему С,
то нельзя еще заключить, что А = Ві пе увѣрившись предварительно, что С
О
не есть —.
255.	Теорема. Когда алгебраическая дробь, которой числитель
и знаменатель суть цѣлые раціональные относительно х полиномы,
принимаетъ при нѣкоторомъ частномъ значеніи х неопредѣленную
форму —эта неопредѣленность—только кажущаяся, на самомъ
же дѣлѣ дробь имѣетъ совершенно опредѣленную величину.
А
Въ самомъ дѣлѣ, пусть будетъ дробь —, которой числитель и знамена-
тель обращаются въ ноль при х = а\ это доказываетъ, что и А, и В, дѣлятся
на х — а (§ 63). Пусть частное отъ раздѣленія А на х — а будетъ А'; въ
такомъ случаѣ
А = (х — а) А';
цѣлый относительно х полиномъ А' можетъ также обращаться въ ноль при
ж = а; тогда онъ будетъ имѣть видъ
— 235 —
А' = (х — а) А",
а слѣд.	А = (ж — а)2 А".
А", въ свою очередь, также можетъ обратиться въ ноль при ж = а и т. д.
Такимъ образомъ можно написать:
А = (х-а)т.Р,
гдѣ Р есть цѣлый относительно х полиномъ, не обращающійся въ ноль при
х — а; онъ можетъ быть и нулевой степени, т. е. вовсе не содержать буквы х.
Такимъ-же образомъ можемъ написать:
В = (х — а)₽. О,,
гдѣ — цѣлый относительно х полиномъ, который можетъ быть и нулевой
степени, не обращающійся въ ноль при х=а. Данная дробь имѣетъ, такимъ
образомъ, видъ:
(х — а)га. Р
(ж — а)”. (4 ’
Изслѣдуемъ всевозможные случаи, полагая послѣдовательно:
т>р, т=р, т<.р.
Первый случай, —т~>р. Положивъ х — а, найдемъ, что дробь обращается
въ Но, сокративъ ее на (х— а)₽, дадимъ ей видъ
(ж— а)*"-?. Р
О ’
гдѣ т—^ — положительно; положивъ х = а, найдемъ, что (а — «)т'р = 0, а
Р и 0, — отличны отъ нуля; поэтому, истинная величина дроби при х — а
есть ноль.
Примъръ. Дробь
(ж-3)‘(ж4-1)
(® — 3)2 (ж2)
при х — 3 принимаетъ видъ —; но, сокративъ ее на (х—3)’, найдемъ
(* - З)2 (ж 4-1)
(а-4-2)	’
и положивъ ж=3, найдемъ
Второй случай. т=р. Положивъ х — а, найдемъ, что дробь обращается
въ а сокративъ ее па (ж — а)” =. (ж — а)”, получимъ
А_ 14
В — (Г
д
а какъ Р и 0, не обращаются при х—а въ ноль, то представляетъ нѣ-
которое опредѣленное число.
1
- 236 —
Примѣръ. Дробь
(х— 1)з (а; 4-2)
(а;- І)®(і + 3)
при ж~1 обращается въ —; но, по сокращеніи на (ж — I)3, она обращается въ
Положивъ въ этой дроби ж=1, найдемъ вполнѣ опредѣленное число
Третій случай.—т<р.—Положивъ х = а, найдемъ
варительно сократимъ дробь на (ж — а)м, то найдемъ
А_ Р
В ~ (« —а)Р-»^’
такъ-какъ р— т — положительно, то при х — а знаменатель
ноль; а какъ числитель отличенъ отъ нуля, то дробь обратится
Примѣръ. —Дробь
по сокращеніи на (ж-|-1)\ принимаетъ видъ
х — 2
но если пред-
обратится въ
въ со.
. ,	о
при х — — 1 обращается въ —; но,
(ж-|-1)2.(ж— 3)’
__з
положивъ х — — 1, найдемъ = оо. Такимъ образомъ, истинное зна-
ченіе дроби при х — — 1 есть безконечность.
256.	Первый способъ опредѣленія истиннаго значенія неопредѣленности
о
вида — •
Изъ предыдущаго § слѣдуетъ, что для опредѣленія истиннаго значенія не-
опредѣленности, или какъ говорятъ, для раскрытія неопредѣленности, надо
въ числителѣ и знаменателѣ дроби выдѣлить общаго множителя, обращающаго-
ся въ ноль при частномъ предположеніи, сократить дробь на этого множителя
и потомъ сдѣлать сказанное предположеніе.
Примѣръ I. Найти истинное значеніе дроби
аа —За-І-2
при а = 2.
Замѣняя а числомъ 2, получаемъ -у, т. е. неопредѣленность; тѣмъ не
менѣе, мы утверждаемъ, что при а = 2 данная дробь имѣетъ совершенно опре-
дѣленную величину. Въ самомъ дѣлѣ, мы знаемъ уже, что если числитель и
знаменатель обращаются при а = 2 въ ноль, то они дѣлятся на а — 2, откуда
находимъ, что дробь можно представить въ видѣ
(а—2) (д —1).
(а — 2)
сокративъ на а — 2, находимъ
а — 1
- 239 -
260.	Такимъ образомъ, когда алгебраическое выраженіе принимаетъ видъ
О х со, при частномъ значеніи какой либо буквы, то является вопросъ объ
опредѣленіи истинной величины этого выраженія.
Примѣръ. Найти истинную величину выраженія
(«’ + ^ + Чх^3-^
при х =— 2.
Подставивъ (— 2) вмѣсто х, находимъ: О х со. Представивъ данное выра-
3(ж24-5« + б)
женіе въ видѣ	ф
приводимъ вопросъ къ раскрытію неопредѣленности у» при ж = — 2.
Примѣняя пріемъ § 256, находимъ:
3(ж4~2)(ж4~3) _ з (ж 4- з)
(ж 4- 2) (ж -}- 1) ж 4-1
Истинное значеніе будетъ:
3(—24-З) з „
« —,=-з.
VI. Форма: |^-
1
261.	Если въ равенствѣ	положить А = 0 и В = 0, то полу-
1	А.
“в
1
оо оо о	„ ,	со
чимъ: —— = —	или —-	= —.	Слѣдовательно,	символъ —,	разсматри-
X	О	О
оГ
ваемый самъ по себѣ, означаетъ неопредѣленность.
Неопредѣленность эта можетъ быть только кажущеюся. Такъ:
1)	^- = 2ж; положивъ .т = ос, найдемъ: ^=ос.
2)	-^- = 2 ; положивъ я = се, найдемъ въ этомъ случаѣ, что — = 2.
3)	-^=—; положивъ ж = ос, въ этомъ случаѣ найдемъ: ^=0.
Итакъ, подъ видомъ неопредѣленности можетъ скрываться или оо,
или конечное количество, или ноль. Отсюда задача о раскрытіи неопредѣлен-
ности разсматриваемаго вида.
262.	Въ § 253 мы видѣли, что величина цѣлаго раціональнаго по буквѣ
х полинома равна безконечности при ж = оо, если коэффиціенты его конечны.
Отсюда слѣдуетъ, что алгебраическая дробь, числитель и знаменатель которой
суть цѣлые относительно х полиномы, обращается въ ~| прп х = со. Дока-
жемъ, что истинная величина такой дроби, при х безконечномъ, равна: нулю,
если степень знаменателя выше степени числителя^ безконечности — если,
- 240 —
наоборотъ, степень знаменателя ниже степени числителя- и Частному отъ
раздѣленія коэффиціентовъ при высшихъ степеняхъ буквы х, если степень
знаменателя равна степени числителя.
Первый случай. Найти истинную величину дроби
Ж2 — X 1
2ж34-3ж2 —4
при х = сс.
Дробь принимаетъ видъ чтобы раскрыть эту кажущуюся неопредѣлен-
ность, раздѣлимъ числ. и знам. на высшую степень х, въ данномъ случаѣ на
а;3. Найдемъ
1_141 ІЛ-АцП
X X2 1 X3	Х\ X ' ж2/
-	- ИЛИ	-	-
2 + ---3	2 + - - ~
' X	X*	XX*
Если положить х =. со, каждый членъ, содержащій х въ знаменателѣ обра-
тится въ ноль, а дробь въ -г- или въ 0.
Второй случай. Найти истинное значеніе дроби
Зж3 2» — 1
5«3 — 2ж2	3
при Х — СО.
со
Дробь принимаетъ видъ —. Раздѣливъ оба члена ея на высшую степень
х, въ данномъ случаѣ на х3, найдемъ:
При х = со дроби:	А, ~ и обращаются въ ноль, и данная дробь
X X X X
3
равна —, т. е. отношенію коэффиціентовъ при высшихъ степеняхъ х.
э
Третій случай. Найти истинное значеніе дроби
х3 — х 1
— 2ж2 + 5
при х = оо.
Раздѣливъ числителя и знаменателя на ж3, получимъ: 
При х=оо, числитель обращается въ 1, а знаменатель въ 0 X — 2 или
въ — 0; истинная величина дроби = — со.
- 241 —
VII. Форма: со — со.
263.	Сумма двухъ безконечностей одного знака, очевидно, равна безконеч-
ности съ тѣмъ же знакомъ; разность двухъ безконечностей съ противоположными
знаками равна безконечности; но разность двухъ безконечностей одного знака, и
сумма двухъ безконечностей противоположнаго знака суть Формы неопредѣленныя.
Т)	XX	V 1	1 В А	* _ Л
Въ самомъ дѣлѣ, если въ равенствѣ — — —-	, положимъ А — () и
Ап Ап
п п	я	1	1 О	О
В = О, то найдемъ: — — — = —, или со—-00= —•
Укажемъ, какъ раскрывать кажущуюся неопредѣленность этого вида.
Примѣръ I. Найти истинное значеніе выраженія
х3 — х2
при х — ±оо.
При х = 4~ со данная разность принимаетъ видъ со — со. Вынося х3 за
скобки, мы дадимъ ей видъ: ж3(1 —что при х — -\-со обращается въ-{-оо.
При х = — со данное выраженіе = — со — со или —со.
Примѣръ. II. Найти истинное значеніе разности
(х -}-1) — ^'іх2 — За; 1
при а; = ±со.
При а; =— со данная разность обращается въ —со — со или въ —со.
При х = -]-со, х -|-1 равняется 4-00, равно какъ и 2а;8— За; 4-1; сл.
мы получаемъ разность двухъ положительныхъ безконечностей—выраженіе не-
опредѣленное. Чтобы раскрыть эту кажущуюся неопредѣленность, множимъ л
дѣлимъ данное выраженіе на сумму х -}-1	\/2а;2 — За; -}-1, и получаемъ
(а?4~ 1 — \/2а;8— Зж-|- 1)(ж4- 1 4~ \/2а;2 — За:Г)?
«4-1 4~\/2а;8— За; 4-1
(а; 4~ I)8 — (2а:2 — За; 4~ 1)
или .	--!-------------- —=,
а; 4- 1 4~ У 2я8 — За; 4- 1
— а:2 4~ ба;
ИЛИ	—---------;.	..- •
х 4- 1 4- 4 2 а:2 — За; -4- 1
Раздѣливъ числ. и знам. на а;8, находимъ
или
х ' х2 1 V х2 х3^ х*
Положивъ здѣсь х = 4- оо, находимъ
о7Г+> прв -°°’

— 242 —
Примѣръ III. Найти истинное значеніе разности
при х — 4г оо.
Прп х — ~ оо находимъ — оо.
При х — оо разность принимаетъ неопредѣленный видъ оо — со.
Чтобы раскрыть неопредѣленноэть, множимъ и дѣлимъ дапное выраженіе
на й’4~2 ]- /г2— 5^4-1; находимъ:
(х 4- 2)2 — (®2 — Ъх 4-1)
или
9» 4-3
х 4- 2 4- у/®2 — ъх 4-1
Раздѣливъ числителя и знаменателя на х, получаемъ
п । з
б . 1
9	о
Положивъ ж —4- оо, находимъ --------или — • Итакъ, истинная величина
14-1/1	2
,	9
даннаго выраженія, при х ~ 4“ равна ѵ •
264. Задачи.
Опредѣлить величины нижеслѣдующихъ выраженій прп указанныхъ въ каждомъ
случаѣ условіяхъ:	. . *	_ »*?
я:4 — 2а:2 4-1
х3 — х* — «4-1
прп х— 1.
х3 — а5
2.	—5 при Х=г — а.
х3-{-а3
„ х3 4- ба»2 — 4а2» — 2а3
3. —-----—5-------------при х = а.
х*— а2
, х3 4" ах1 — а4« — а3
а:4 -[- 2ах3 — 2а2»2 — 2а3х 4~ а4 ПРИ % Я'
2а24~3а — 2	1
5‘ 4^+І6а2^Т9«+5 ПР" “= 2 •
Тба^+ИО^22^ + 92«-12	2 н 1
45а:4 —93а:3 4~ 65а:2 —19а: 4~ 2	1	5	3
_ а:2 4- х
7. -ГО----о ПРП ж = °
х3 4- ®2
8.
а(а:2 4- с2) — 2асх
=-,—~—4-------, - при х~с
Ь(а:2 4- с2) — 2Ъсх
1 — (п 4-1)®“ 4“ пхп+1
9>
— е21 — х	п
ю------1---------п₽и х=°-
— 1
— 243 —
11.
«4 + ІО®3 + 35®2 4- 50» 4- 24
®‘ —2®3 —13®2	14®-р~24 Х~ ~ 1; Х~ ~ 3; Х~ 2; Х~ ~2’
® = 4; ® =— 4.
,	®4 — 5®3 4~ б®2 4~ 4® — 8
2‘ ®‘ — 7®3 4-18®2 — 20® 4-~8 ирн ж —2-
х3 — ®2(а 4~ 2Ь) 4~ ®(а2 4~ Ь2) — а(а — Ь)2
10. ----------------------І--------------->- при ® = а.
®2--- а2	г
14.
®3 4~ У* — х*у — хуі
X3 — у3
при х — у.
16.
17.
18.
19.
і/®24-®4~1 — ѵЗ®2 — 5
1	1__ ѵ ,____= при х = 2.
у4®2— 5х 7 — Уз«24-1
у/®3-|-а3— у/хЦа—Ь) — а®(а— Ь) ~[-2а3	и
у/х3 4~ а2» — Ъ3— \/а®2 -|- 2а2® — (а3 4~ Ь3)
7®3 — 4®24~ 1
2^-3®4-5 П₽И Ж = О°-
2®2—5®-І-1 2®44-4®-|-1 5®3 —х	,
--------•__ • __!____*__ • ----- ПТІП ---г- гѵѵ
®3 4~ 2	’ х — 3
а®4 — (а — Ь)2®3 4~ а3Ь2
Зх— а	__
(а — Ь)®4— а3®24~а2Ь3 ’ ®2— Ъх-\-аЪ ПРИ Х ССі'
21 Х~Ѵ^\ІХ . 2у/ж4~ 3^®4~1 . Зж4~У^ . %УХ -ЬА/#2— д24~а
7\/®4-2®	5\/®~—1	У»2 — а2-]-®	5^®3-]-\/®4-а
Зх 4- у/2®2—Г \4в6 4~ б»3 4~ 8®4 4- 9« 4-14- V®8 4- б®’ 4~ ѳ®3 + 4
эх — у/ 4®2 4- 1 ’	х — 14- у/хі-\-Зх— 15
при х = со.
20.
„„	2	1
22.	-=--;--------г при ®=1.
®2 — 1 X — 1
„„ 2® — 5-|-\/4®24-2	/-г-----г—
23.	-------------1; 3® — ѵ'®2 — ®4~1 ПРП Х = -ОО-
и
24.	®-|-2—У®2-|-4®4-3; 3® — У®2-[-2 прп ® = -|-ОО-
«и	х
25.	х-------- при х=со-
26.	У®2 4~ 7® 4- 5—У®2 — 5®-[-3 при х — со-
27.	У®2 4-19®—7 — У®2-[-3®5 при х = со-
28.	Показать, что ^®34~1 —®, при ®=оо, равняется 0.
29.	у/хі — 7®34-2®-|-1—>/я!4 — 7®3З®2 — 4 при ® = со-
30.	\/®34~а3 — у/х3 — Ъ3 при ® = оо-
31.	у/х3 — а2®-}-»2^—у/х* — а® 4- а2 при ® = оо-
16*
— 244 —
32.	у/аРх^-^-Ьх-^- с— ах при « = со.
33.	Показать что дробь	при хг=со, равна 0.
1
2у/я: — а	1
34.	Показать, что дробь —-------, при х = а, обращается въ—
__х_____ /2а
у/х* — а?
35.	Найти величину ^4я-2—Зіс—[—2— /х* + 3 при ® = оо.
36.	Во что обращается а — /г*—Ь8 при а—оо и Ь — со, если при этихъ ус-
Ъ* <
ловіяхъ — обращается въ т.
37.	Даны соотношенія
' г ~Ь а і / —г
а — —, г' = \/га''у
найти величину дроби 1	— при г —а.
1’ —__ /т
ОТДЪЛЪ ВТОРОЙ.
УРАВНЕНІЯ И НЕРАВЕНСТВА ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ.
ГЛАВА
Уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Опредѣленія: равенство, тождество, уравненіе.—Уравненія тождественныя.—Пре-
образованія уравненія въ другое ему тождественное. — Рѣшеніе уравненія первой
степени съ однимъ неизвѣстнымъ.—Примѣры.
Опредѣленія.
265. Соединеніе двухъ равныхъ количествъ знакомъ = (знакъ равенства)
называется равенствомъ. Такъ 7 = 5 -{-2 есть равенство; общій видъ равен-
ства есть
А = В.
Количество А, находящееся влѣво отъ знака равенства, наз. первою частью,
количество же В, стоящее вправо отъ этого знака, второю частью равенства.
Равенства бываютъ двоякаго рода: тождества и уравненія.
Всякое очевидное равенство называютъ тождествомъ.
Такъ, равенства
5 = 5; Ю = 74-2-|-1; (а + &/ = (а 4- й/
суть тождества.
Тождествомъ называютъ также всякое равенство двухъ буквенныхъ выра-
женій, вѣрное при всѣхъ, какихъ угодно, значеніяхъ входящихъ въ него
буквъ. Такимъ образомъ, равенства
(«4-&)2 = а24-2а6-|-Ь5!,
а2 — Ь8 = (а-|-&)(а — Ь),
ат Хая — а,т+п
суть тождества.
Но если возмемъ равенство 2х —10 = 0, то легко убѣдимся, что оно бу-
детъ вѣрно не при всякихъ частныхъ значеніяхъ буквы да; въ самомъ дѣлѣ,
чтобы первая часть была нулемъ, нужно чтобы 2да равнялось 10, а это воз-
— 246 —
можно только при х равномъ 5, и ни при какомъ другомъ значеніи буквы х.
Точно такъ-же равенство я2 =16 возможно не при всякомъ значеніи буквы ж,
а лишь при двухъ частныхъ значеніяхъ этой буквы, именно: при ж = -|-4 и
при ж = —4; въ самомъ дѣлѣ, какъ (-(-4)’ = 16, такъ и (— 4)2 = 16.
Такія равенства, которыя вѣрны не при всѣхъ, а лишь при нѣкоторыхъ
частныхъ значеніяхъ входящихъ въ нихъ буквъ, называются уравненіями.
Тѣ буквы, которымъ нужно дать особыя значенія для того чтобы существо-
вало равенство между обѣими частями ур—нія, иначе говоря, тѣ буквы при
частныхъ значеніяхъ которыхъ уравненіе въ самомъ дѣлѣ обращается въ тож-
дество, называются неизвѣстными количествами уравненія, или просто неизвѣ-
стными. Прочія-же количества, входящія въ уравненія, наз. извѣстными.
Такъ, если мы ищемъ, при какомъ значеніи х равенство
а —|2ж — с
будетъ справедливо, т. е. обратится въ тождество, то х будетъ неизвѣстнымъ
этого уравненія. Легко видѣть, что ур. это обратится въ тождество, если ж-су
_	« а * | - & * I - с	-
дать значеніе —; въ самомъ дѣлѣ, вторая часть обращается при этомъ
въ 2 х _— с или въ а Ъ с — с, что равно а Ь, ур—ніе-же
дѣйствительно дѣлается тождествомъ
а -|- Ъ = а -|-Ь.
Тѣ частныя значенія неизвѣстныхъ, при которыхъ ур—ніе обращается въ
тождество, называются рѣгиеніями или корнями уравненія. Въ вышеприведен-
ныхъ примѣрахъ:
ур—ніе 2х—10 = 0 имѣетъ одинъ корень =5;
ур—ніе ж2=16 имѣетъ два корня: -|-4 и —4:
. ,	„	.	а-і-64-с
ур—ніе а о = 2х — с имѣетъ одинъ корень: —-	—
Л
Рѣшитъ уравненіе значитъ найти его корни, т. е. тѣ значенія для не-
извѣстныхъ, которыя обращаютъ уравненіе въ тождество.
Принято говорить, что корень удовлетворяетъ уравненію; этимъ сокра-
щенно выражаютъ, что уравненіе обращается въ тождество, если замѣнить въ
немъ неизвѣстныя корнями.
Для отличія неизвѣстныхъ количествъ ур—нія отъ извѣстныхъ, принято
неизвѣстныя обозначать послѣдними буквами азбуки: х, у, я, і, и, ѵ, . . . . ;
извѣстныя же первыми: а, Ъ, с, (I, . . . . , т, п, . . .
Такъ, въ уравненіи а-\-Ъ = 2х — с неизвѣстное есть х, извѣстныя же:
а, Ъ и с.
266. Классификація уравненій. — Уравненіе наз. алгебраическимъ, если въ
немъ надъ неизвѣстными не совершается иныхъ дѣйствій кромѣ сложенія, вы-
читанія, умноженія, дѣленія, возвышенія въ степень и извлеченія корня.
Во всѣхъ другихъ случаяхъ ур. называется трансцендентнымъ.
Такъ уравненіе 10т = 8 есть трансцендентное; оно называется показа-
телънымъ, ибо въ немъ неизвѣстное является показателемъ.
— 247 —
Всѣ алгебраическія уравненія раздѣляются на два класса: на' раціональ-
ныя и ирраціональныя.
Алгебраическое ур. называется раціональнымъ, если въ немъ неизвѣстныя
не входятъ подъ знакомъ корня-, если же въ уравненіи неизвѣстныя встрѣчают-
ся подъ знакомъ корня, то оно наз. ирраціональнымъ.
Такъ, уравненіе
— 4~ я2 — 1 = /э
X 1	ѵ
есть раціональное, ибо въ немъ неизвѣстное не встрѣчается подъ знакомъ корня.
Уравненіе же
</5® —1 = 2® — 3
есть ирраціональное, ибо членъ Ѵ*5® — 1 содержитъ неизвѣстное подъ знакомъ
корня.
Раціональныя уравненія, въ свою очередь, раздѣляются на цѣлыя и
дробныя.
Цѣлымъ наз. такое раціональное ур., которое не содержитъ неизвѣстное
въ знаменателѣ; напр. уравненія
ж2 — 5х— 4 = 0 и -|-®— 10 = 5®— 1
О
суть цѣлыя.
Если же уравненіе содержитъ неизвѣстныя въ знаменателѣ, то оно наз.
дробнымъ. Уравненіе.
3 — 5®
Т+аГ ~4
есть ур. дробное.
Такимъ образомъ обѣ части цѣлаго алгебраическаго уравненія суть поли-
номы цѣлые относительно неизвѣстнаго.
ч Степенью цѣлаго уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ называется выс-
шій показатель при неизвѣстномъ въ этомъ уравненіи. Такъ:
ур—ніе а®-)-?» = 0 есть ур—ніе первой степени;
ур—ніе а®3 -{- Ъх -{- с= 0 — второй степени;
ур—-ніе 4®3— 2а®25® — 1 = 0— третьей степени.
Если же цѣлое ур. содержитъ нѣсколько неизвѣстныхъ, то степенью его
наз. наибольшая сумма показателей при неизвѣстныхъ въ одномъ и томъ же
членѣ.
Такъ ур— ніе
ах &г/ ег = й
есть ур. первой степени съ тремя неизвѣстными (ж, у и е).
Ур.	4® — Ьху ~ 9 = 4г/ -11®
есть ур. второй степени съ двумя неизвѣстными, ибо наибольшая сумма пока-
зателей при неизвѣстныхъ равна 2 іѣъ членѣ — 5ж?/).
Ур-	/с=2
— 248 —
есть ур. седьмой степени, такъ какъ наибольшая сумма показателей при не-
извѣстныхъ въ одномъ и томъ же членѣ равна 7 (въ первомъ членѣ).
Понятно, что нельзя говорить о степени ур—нія, если оно не есть
раціональное цѣлое. Такъ мы не можемъ говорить о степени ур—ній
х	—О,
, х — Ъ
-Ч-----і— — с
а 1 ж-|-«
ибо они содержать члены или дробные, или ирраціональные относительно не-
извѣстныхъ.
Уравненія раздѣляютъ еще на численныя и буквенныя:, численнымъ ур—мъ
называютъ такое, коэффиціенты котораго суть опредѣленныя числа, а буквен-
нымъ такое, коэфиціенты коего суть буквенныя выраженія. Такъ
ур—ніе	Зж—у* -|- 5 = 0 есть численное;
ур—ніе	агх—йі~5ж2 — 2 = й есть ур. буквенное.
Если два ур—нія имѣютъ одинаковые корни, то они наз. тождествен-
ными ур—ми. Итакъ, уравненія
А = В .... (1) и А'=В' .... (2)
будутъ тождественны, если всякій корень ур—нія (1) удовлетворяетъ (2), и
обратно, каждый корень (2) удовлетворяетъ (1).
Такъ напр., ур—нія
2жД-1 = 7. . . . (1) и 2ж-|-4 = 10. . . . (2)
тождественны, ибо какъ то, такъ и другое удовлетворяются однимъ и тѣмъ же
корнемъ, равнымъ 3.
267.	Процессъ рѣшенія ур—нія заключается въ томъ, что отъ даннаго
уравненія, путемъ послѣдовательныхъ преобразованій, стараются придти къ
такому уравненію, первая часть котораго есть само неизвѣстное; понятно, что
вторая часть такого ур—нія и будетъ искомымъ корнемъ, если послѣднее то-
ждественно съ даннымъ.
Сказанныя преобразованія основаны на слѣдующихъ началахъ.
268.	Первое начало. Придавая къ обѣимъ частямъ уравненія поровну,
или отнимая отъ обѣихъ частей равныя количества, получимъ уравненіе
тождественное съ даннымъ.
Пусть данное уравненіе будетъ
А = В...........(1)
гдѣ А и В суть нѣкоторыя алгебраическія выраженія, содержащія одно или
нѣсколько неизвѣстныхъ. Пусть будетъ, далѣе, М нѣкоторое произвольное ко-
личество, содержащее или несодержащее неизвѣстныя. Требуется доказать, что
уравненіе
А + М=В + М..............(2)
тождественно съ даннымъ. Это значитъ нужно доказать, что всякій корень
— 249 —
ур—нія (1) служитъ также	корнемъ и	для (2), и обратно	—	всякій	корень
ур—нія (2) удовлетворяетъ	и ур—нію	(1). Въ самомъ дѣдѣ:
1°. Пусть х = 5 будетъ корнемъ ур—нія (1); это значитъ, что при подста-
новкѣ числа 5 вмѣсто х въ	уравненіе	(1) количества А и В	дѣлаются	равны-
ми; но такъ какъ М всегда	остается равнымъ самому себѣ, то	очевидно, что
при я = Ь, и А4~М будетъ равно В-|~М, т. е. подстановка 5 вмѣсто х въ
уравненіе (2) обращаетъ его въ тождество, а это и значитъ, что 5 есть ко-
рень уравненія (2). Такимъ образомъ, мы доказали, что всякій корень уравне-
нія (1) удовлетворяетъ необходимо и уравненію (2).
2°. Наоборотъ: пусть х = а. будетъ корнемъ уравненія (2), т. е. что при
подстановкѣ количества а вмѣсто х въ уравненіе (2), А-|-М дѣлается равнымъ
В 4~ М; но какъ М всегда равно самому себѣ, то равенство суммъ А-|-М и
В —М требуетъ равенства выраженій А и В. Итакъ, при х = а имѣемъ А = В,
т. е. х = а. служитъ корнемъ ур—нія (1).
Итакъ, доказано, что уравненія (1; и (2) имѣютъ совершенно одинаковые
корни, т. е. что эти уравненія тождественны.
Если отъ обѣихъ частей ур—нія (1) отнять по М, то уравненіе А — М —
= В — М также тождественно съ уравненіемъ А = В. Въ Самомъ дѣлѣ, отнять
М все равно что придать (—М) къ обѣимъ частямъ даннаго ур—нія; но уже
доказано, что приданіе равныхъ количествъ къ обѣимъ частямъ уравненія при-
водитъ къ уравненію, тождественному съ даннымъ.
269.	С лѣдствіе I.—Всякій членъ уравненія можно перенести изъ
одной части уравненія въ другую, написавъ его въ этой другой части съ
обратнымъ знакомъ.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть данное уравненіе будетъ
ах — Ъ = сх-^~д . . . . . (1)
придавая къ обѣимъ частямъ по —сх, имѣемъ
ах — сх — Ъ = сх — сх-\-(1, или ах — сх — Ь = -\-Л. . . .(2)
причемъ, на основаніи доказаннаго начала, ур. (2) тождественно съ (1). При-
давая, затѣмъ, къ обѣимъ частямъ ур. (2) по находимъ
ах — сх — Ъ -|- Ъ = Ъ сі, или ах — сх = Ъ-^-сІ . . .(3),
причемъ это ур. тождественно со (2), а слѣд. и съ (1).
Сравнивая ур. (3) съ (1), замѣчаемъ, что членъ сх перешелъ въ первую
часть съ знакомъ —, между тѣмъ какъ во второй части ур. (1) этотъ членъ
имѣлъ знакъ членъ Ъ перешолъ во вторую часть съ знакомъ между
тѣмъ какъ въ первой части уравненія этому члену предшествовалъ знакъ —.
Отсюда выводится заключеніе: перенося члены изъ одной части уравненія въ
другую, слѣдуетъ у переносимыхъ членовъ мѣнять знаки на противоположные.
270.	С лѣдствіе II.—Всякое уравненіе можно привести къ виду
Р —0.
Въ самомъ дѣлѣ, перенеся всѣ члены изъ второй части уравненія въ пер-
вую, очевидно, будемъ имѣть во второй части 0.
Напримѣръ, уравненіе
4жа —7ж + 2 = 3ж —6
— 250 -
тождественно съ уравненіемъ
4ж2 —10ж4-8 = 0.
Если имѣемъ уравненіе первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ, то пе-
ренеся всѣ члены въ первую часть и сдѣлавъ приведеніе, дадимъ такому
ур—нію видъ
ах-рЪ — (),
гдѣ а п Ъ суть выраженія, не содержащія х. Это и есть, слѣд., самый общій
видъ уравненія первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Точно такъ же уравненіе
аж24~	—|— с = О,
въ которомъ а, Ъ и с не зависятъ отъ ж, есть самый общій видъ ур—нія
второй степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Уравненіе.
ах^ Ъх1 -|- сх -|- Л— О
представляетъ общій видъ ур—нія третьей степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Наконецъ, уравненіе
Агожго 4-	4- Ам_2жи~2 4-..........4-	Ааж2 4- К,х 4- Ао = о
есть общій видъ ур—нія ;н-ой степени съ 1 неизвѣстнымъ.
271.	Слѣдствіе III.—Можно перемѣнить знаки у всѣхъ членовъ
уравненія на обратные.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть дано уравненіе
19 — 7х = 5-4х .... (1)
Замѣтимъ прежде всего, что всегда можно переставить части уравненія, т. е.
паписать вторую часть уравненія влѣво отъ знака равенства и наоборотъ; ибо
очевидно, что ур—ніе М = $, тождеств. съ Б = М *). Сдѣлавъ это, найдемъ
5 —4ж = 19 —7ж.
Затѣмъ перенесемъ члены второй части въ первую и наоборотъ; получимъ
— 19 4-7ж= — 5 4~ 4® .... (2).
Сравнивая это ур. съ (1), замѣчаемъ, что оно отличается отъ (1) знаками
при всѣхъ членахъ.
272.	Второе начало. Помноживъ обѣ части уравненія на одно и тоже
количество, получимъ уравненіе тождественное съ даннымъ, если только взя-
тый множитель не есть ни нёль, ни безконечность, и не содержитъ не-
извѣстнаго.	ѵ
Пусть дано уравненіе
А = В. . . . (1),
и М — количество, не равное ни 0, ни со и не обращающееся ни въ 0, ни-
въ со. Требуется доказать, что при такомъ ограниченіи относительно М, урав-
неніе
А.М = В.М. . . . (2)
4 Дѣйствительно, всякое значеніе неизвѣстнаго, дѣлающее М раввымъ К, дѣ-
лаетъ, наоборотъ, и X равнымъ М.
— 251 -
тождественно съ уравненіемъ А —В, т. е. что всякій корень перваго удовле-
творяетъ второму и наоборотъ.
Для удобства доказательства замѣнимъ уравненія (1) и (2) тождествен-
ными имъ
А —В = 0 . . . .(I) и (А —В). М=0. . . .(II)
ур. (I) тождественно съ (1), и (И) со (2), ибо перенесеніе членовъ изъ одной
части въ другую приводитъ всегда къ тождественнымъ съ данными уравненіямъ.
Итакъ, докажемъ, что (I) тождественно со (II).
1°. Пусть я = а будетъ однимъ изъ корней уравненія (I); это значитъ,
что при подстановкѣ а вмѣсто х въ ур. (I), это ур. обращается въ тождество,
т. е. А —В —въ ноль. Подставимъ теперь а вмѣсто х въ ур. (II); при этомъ
А — В, какъ уже знаемъ, обратится въ 0; а произведеніе двухъ множителей:
А-ВиМ, изъ коихъ одинъ равенъ нулю, само равняется 0, если только
другой множитель пе обращается въ со; но, по условію, М не естьи не обра-
щается въ со, сл. произведеніе (А — В) М, при х — а, дѣйствительно обра-
щается въ 0, а ур. (II) въ тождество 0 = 0. Значитъ х — а служитъ кор-
немъ ур—нія (И).
2°. Пусть ж = р есть одинъ изъ корней ур—нія (II); это значитъ, что
при подстановкѣ р вмѣсто х въ ур—ніе (II) произведеніе (А —В)М дѣлается
нулемъ; но чтобы произведеніе двухъ множителей было =0, необходимо,
чтобы одинъ изъ множителей равнялся 0, и какъ М, по условію, не есть 0,
то А — В должно обращаться въ ноль. Итакъ, при подстановкѣ р вмѣсто ж,
выраженіе А — В обращается въ 0, а сл. х = @ служитъ корнемъ и (I) урав-
ненія.
Итакъ, мы доказали, что при сдѣланномъ ограниченіи относительно М,
всякій корень 1-го уравненія служитъ корнемъ и втораго, и наоборотъ; а слѣд.
ур—нія (I) и (II) тождественны, и одно изъ нихъ можетъ быть замѣнено
другимъ.
273.	Можно раздѣлить обѣ части ур —нія на одно и тоже количество М,
лишь бы оно не было = ни нулю, ни безконечности; полученное ур. будетъ
тождественно съ даннымъ. Въ самомъ дѣлѣ, раздѣлить на М — все равно что
помножить на -і; но если М не есть 0 или оо, то не есть ни со, ни0;а
такой множитель, по доказанному, приводитъ къ тождественному съ даннымъ
уравненію.
274.	Приложеніе. На этомъ началѣ основано уничтоженіе дробей въ урав-
неніи, когда знаменатели этихъ дробей не содержатъ неизвѣстныхъ. Пусть,
напр., требуется освободить отъ дробей уравненіе
3 ___ 1 |	...
8	4~ 6 ' 12..............
Для этого нужно помножить обѣ части ур—нія, или, что тоже, всѣ чле-
ны ур—нія на наименьшее краткое знаменателей, и затѣмъ въ каждомъ членѣ
сократить общихъ множителей числителя и знаменателя; такъ-какъ каждый зна-
менатель входитъ множителемъ въ составъ наименьшаго краткаго, то очевидно,
— 252 —
что указаннымъ сокращеніемъ всѣ дробные члены будутъ приведены къ цѣлому
виду.
Наименьшее краткое знаменателей ур—нія (1) есть 23хЗ = 24; умножа-
емъ всѣ члены на 24; имѣемъ
7х X 24	3 х 24 _ 24 . 5я X 24
8	4~— Т '	12 ’
или, сокращая первую дробь на 8, вторую на 4, третью на 6 и четвертую на
12, находимъ
7ж X 3 — 3 X 6 = 4-|-5ж X 2,
или, наконецъ
21ж — 18 = 4 + 10»............(2).
Это ур. (2) тождественно съ (1), ибо множитель въ данномъ случаѣ не
содержалъ неизвѣстнаго, поэтому онъ не могъ измѣнять своей величины, а
слѣдовательно и не могъ обратиться ни въ 0, ни въ со: это была конечная
величина 24.
Возьмемъ еще примѣръ: освободить отъ дробей уравненіе
х-\-а . х— Ъ_____________________ х х
Ъ ' а а — Ъ а-|-&
Наименьшее кратное знаменателей — аЬ(а— 6)(а-|-Ь); умноживъ на него
всѣ члены уравненія, получимъ:
(х -}- а)аЪ(а — Ь)(а + Ь) . (х — Ь) аЬ(а —	__хаЬ(а — Ъ)(а-]- Ь)
Ъ	'	а	а— Ъ
хаЬ(а — Ъ)(а -]- Ь)
а + Ъ
Сокративъ дроби, по-порядку, на Ь, а, а—Ъ и а-\-Ъ, получимъ:
(«+ а)а(а® — Ь2) (ж — Ь)Ь(а2 — Ь2) = х.аЪ(а + Ь) — хаЪ(а — Ъ}.
Такъ какъ множитель въ данномъ случаѣ = аЬ(а2— Ь2), т. е. количеству,
не зависящему отъ неизвѣстнаго, то послѣднее ур. тождественно съ даннымъ.
275.	Примѣчаніе относительно множителя, содержащаго неизвѣстное.
При доказательствѣ предыдущей теоремы мы сдѣлали ограниченіе относитель-
но величины множителя М, разумѣя подъ М количество опредѣленное, не содер-
жащее неизвѣстнаго и не обращающееся нивъ 0, ни въ со. При этомъ ограни-
ченіи умноженное ур. всегда тождественно съ даннымъ. Но если множитель М
есть выраженіе, содержащеене извѣстное, то при нѣкоторыхъ частныхъ значеніяхъ
послѣдняго, оно можетъ обращаться или въ 0, или въ со; напримѣръ если М =
= ж-|-2, то при ж =— 2, М дѣлается нулемъ; если М = ——., то при х=1,
М обращается въ со. Въ такомъ случаѣ разсужденія, служившія намъ при до-
казательствѣ теоремы, становится уже неприложимыми, и мы не вправѣ заклю-
чить, что умноженное ур. будетъ непремѣнно тождественно съ даннымъ. Во-
просъ этотъ требуетъ поэтому особаго изслѣдованія. Послѣднее, для большей
ясности изложенія, мы подраздѣлимъ на три случая.
1-й случай. Выраженіе А — В и множитель М — цѣлые относительно не-
извѣстнаго.
— 253 —
Доказать, что ур-нія
А —В = 0 .... (1) и М(А —В) = 0 .... (2).
не тождественны между собою.
Здѣсь прежде всего необходимо замѣтить, что ур. Р = 0, гдѣ Р цѣлый
относительно х многочленъ съ конечными коэффиціентами, не можетъ имѣть без-
конечнаго корня, ибо цѣлый отн. х многочленъ съ конечными коэфми обра-
щается при ж = со въ со, а не въ 0, какъ требуетъ ур. Р = 0. Сл, ур. (1)
имѣетъ конечные корни, и, въ частности, равные нулю.
Переходимъ къ доказательству теоремы.
Всякій корень ур-нія (1), обращая А — В въ ноль, дѣлаетъ нулемъ мно-
жителя А — В въ ур-ніи (2); выраженіе же И, какъ цѣлое относительно ж. при
корняхъ ур-нія (1), какъ конечныхъ количествахъ, не можетъ обратиться въ
со, а будетъ конечнымъ количествомъ; поэтому произведеніе М(А— В) обратит-
ся въ ноль, а ур. (2; въ тождество 0=0.
Итакъ, всякій корень ур-нія (1) удовлетворяетъ и уравненію (2).
Но корни уравненія (2) не необходимо удовлетвс ряютъ и первому уравненію.
Въ самомъ дѣлѣ, кромѣ значеніи ж-са, обращающихъ А—В въ ноль, ур (2)
удовлетворяется еще такими 'значеніями ж, при котерыхъ М обр.щается въ О,
ибо эти значенія, какъ неравныя ос, не могутъ обратить А — В въ со. По
значеніе яса, обращающія въ ноль выраженіе Л, вообще не обратятъ въ О
количество А — В. Итакъ этотъ второй родъ корней ур-нія (2) вообще не удовле-
творяетъ первому ур-нію, такъ что второе ур-ніе имѣетъ, вообще говоря,
большее число корней чѣмъ первое, а потому оно и не тождественно первому.
Итакъ, въ разсматриваемомъ случаѣ: умноженіе [ур-нія на множитель, со-
держащій неизвѣстное, вообще, приводитъ къ ур нію. имѣвшему лишніе корни
сравнительно съ даннымъ; при чемъ эти лишніе корни суть тѣ значенія не-
извѣстною, при которыхъ множитель Ы обращается въ ноль.
Примѣръ. Пусть дано ур-ніе
2х — 4 = Зж — 6,
коренв котораго есть ж=2. Умноживъ обѣ части па ж — 1, найдемъ новое
уравненіе
(2ж — 4)(ж — 1) = (Зж— 6)(ж—1).
Значеніе х = 2, удовлетворяющее первому, удовлетворяетъ и второму ур-нію,
ибо обращаетъ обѣ его части въ 0. Но второе ур. имѣетъ еще корень ж —1,
не удовлетворяющій первому. Слѣд. второе ур. не тождественно съ первымъ.
2-й случай. А — В выраженіе цѣлое относительно неизвѣстнаго, М - дроб-
ное. Въ этомъ случаѣ ур-нія
А —В = 0...(1) и М(А —В) = 0 . . . (2)
могутъ также не быть тождественными.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть х — а будетъ одинъ изъ корней ур нія (1). Об-
ращая, при подстановкѣ во (2), множителя А — В въ воль, корень этотъ ло-
- 254 —
жетъ обратить М въ со; тогда первая часть ур-нія (2) приметъ видъ сох О
что можетъ и не быть нулемъ. Такимъ образомъ второе ур. можетъ не имѣть
нѣкоторыхъ корней перваго, т. е. ур-нія могутъ и не быть тождественными.
Примъръ 1-й. Пусть данное ур. есть
(« — !)(«-)-2) = О .... (О
Корни его, какъ легко видѣть, суть: = 1 и «"= —2.
тт	1
Помноживъ ур-ніе на ------ , получимъ
*с —— 1
*гЧ’^-1)(а:+2)=0  • • -
Подставивъ въ это ур. 1 вмѣсто х, замѣчаемъ, что оно принимаетъ видъ
соХ0 = 0.
Если теперь истинная величина неопредѣленности оо х О, при ж = 1, бу-
детъ 0, то х=1 будетъ служить корнемъ ур-нія (2); въ противоположномъ
случаѣ ур. (2) не имѣетъ корня равнаго 1.
Для опредѣленія истинной величины неопредѣленности, даемъ выраженію
(»— 1Хя>4-2)	,	.
видъ: 21---- ,—сокращаемъ дробь на х — 1: и затѣмъ въ полученномъ
выраженіи «4-2 полагаемъ ж = 1; въ результатѣ получаемъ 3. Значитъ ур.
(2,, при х = 1, беретъ видъ
3 = 0,
а потому х — 1 не есть его корень.
Но х — — 2 служитъ корнемъ и 2-го ур-нія. Итакъ, вслѣдствіе умноженія
на М дробное, ур. потеряло одинъ изъ корней.
Примъръ 2-Й. Пусть данное ур. будетъ
х- + 12 = 7«,
имѣющее корни «'=3 и «" = 4.
Умноживъ обѣ части на1— , находимъ
X О
О724—12 7х х*— 7а;4-12	,,	1	,	.п/	,/ ..
—'	=------,или- ---------—=0, или---------5 х (х— 3)(ж — 4) = 0
х — 3 х — 3	х—3	х—3	4	>
Это ур. удовлетворяется при х — 4. Но подставивъ ж=3, находимъ со X
ХО = О: и какъ истинная величина неопредѣленности оо X 0, при 3,
есть —1, то ур. второе не имѣетъ корня = 3. Здѣсь опять отъ умноженія на
1	9
ур. потеряло корень «=3.
3-й случай. А — В — выраженіе дробное относительно неизвѣстнаго, М—
цѣлое.
Мы видѣли, что когда А — В и М были выраженія цѣлыя относительно
«, то ур. М(А — В) = 0 имѣло больше корней чѣмъ ур. А — В = 0, и эти
лишніе корни были тѣ значенія неизвѣстнаго, при которыхъ М обращалось въ
нуль. Но если при цѣломъ М, А — В будетъ дробное, то значенія х, обращаю-
— 255 —
щія въ ноль выраженіе М, могутъ обратить А — В въ безконечность, а потому
произведеніе М(А — В) не будетъ необходимо равно 0, а это означаетъ, что умноженіе
на М, въ данномъ случаѣ, можетъ и не ввести постороннихъ рѣшеній, т. е.
умноженное ур. можетъ быть тождественно съ даннымъ.
276. Случай дробнаго ур—нія п цѣлаго множителя особенно важенъ, ибо
онъ встрѣчается при освобожденіи ур—нія отъ дробей; поэтому мы должны раз-
смотрѣть съ особеннымъ вниманіемъ всѣ представляемыя имъ обстоятельства.
Приэтомъ, для большаго удобства, предположимъ, что всѣ члены перене-
сены въ первую часть, приведены къ общему знаменателю и соединены въ одну
р
дробь тг-, гдѣ Р и 0, — цѣлые относительно х полиномы. Ур. приметъ видъ,
ч
оно всегда м. б. приведено къ этому виду.
Рѣшить это уравненіе — значитъ найти для неизвѣстнаго такія величины,
р
при которыхъ дробь обратилась бы въ ноль: но дробь можетъ обратиться
ч
въ ноль только при слѣдующихъ обстоятѳятельствахъ.
1°. Если числитель обращается въ ноль, а знаменатель при этомъ остается
отличнымъ отъ нуля.
2°. Если знаменатель обращается въ безконечность, а числитель не дѣлает-
ся безконечностью.	;
3°. Если числитель и знаменатель обращаются: оба въ ноль, или же оба
въ со, но истинная величина полученныхъ неопредѣленныхъ Формъ равна 0.
Разберемъ эти обстоятельства.
1°. Во первыхъ, числитель обращается въ ноль при значеніяхъ ж, равныхъ
корнямъ ур—нія Р = 0. Поэтому, приравнявъ числителя нулю, опредѣляемъ всѣ
корни уравненія Р = 0. Затѣмъ, каждый изъ найденныхъ корней подставляемъ
въ знаменателя 0,: всѣ корни ур—нія Р = 0, не обращающія знаменателя 0,
р
въ ноль, обращаютъ въ ноль дробь уг, поэтому удовлетворяютъ данному урав-
ч
р
—- = 0; если-же при какомъ либо корнѣ х=а ур—нія Р~0
ч
р
0, обратится въ 0, такъ что дробьприметъ неопредѣленный
ч
будетъ найти истинное значеніе этой неопредѣлености; если это
ненію
натель
и знаме-
о
видъ -,
истинное
нужно
значеніе будетъ ноль, то х = а. удовлетворяетъ данному ур—пію; если же истин-
ная величина неопредѣленности, при х=а., будетъ отлична отъ нуля, корень
а слѣдуетъ отбросить.
2°. Во вторыхъ, такъ какъ знаменатель (1 есть полиномъ цѣлый по буквѣ
х, то онъ можетъ обратиться въ оо только при х = со- но при этомъ и чис-
литель, какъ цѣлый полиномъ относительно ж, также обратится въ оо, дробь-же
приметъ видъ —; истинная величина этой неопредѣленной Формы будетъ
Ч	со
— 256 —
нулемъ только тогда, когда степень знаменателя выше степени числителя. Въ
Р
этомъ, и только въ этомъ случаѣ, ур.-=- = 0 будетъ имѣть безконечный корень.
Это изслѣдованіе приводитъ къ слѣдующему заключенію: для рѣшенія ур-
нія, содержащаго неизвѣстное въ знаменателяхъ дробей, собираемъ всѣ члены
въ первую часть, приводимъ ихъ къ общему знаменателю и соединяемъ въ одну
дробь; приравнявъ числителя этой дроби пулю, рѣшаемъ уравненіе Р = 0. Если
окажется, что ни одинъ изъ корней этого ур. не обращаетъ знаменателя 0, въ
ноль, то заключаемъ что ур. Р = 0 тождественно данному, если оставить въ
сторонѣ безконечные корни.
Если же окажется, что какой-либо изъ корней ур-нія Р = 0 обращаетъ и
А	е Р
знаменателя 0, въ ноль, то истинная величина дроби при этомъ частномъ
значеніи х покажетъ, слѣдуетъ-ли его удержать или отбросить.
Приведемъ нѣсколько примѣровъ въ поясненіе этого правила.
Примѣръ I. — Рѣшить уравненіе
(«—1)9(« + 2)(ж—3)	...
(х - 1)(ж2/(0:-|-3)2	' ‘ ‘ к '
Приравнивая числителя нулю, рѣшаемъ уравненіе:
(ж-1)2(ж-|-2)(ж — 3)=0 . . Л. (2)
Чтб. произведеніе равнялось нулю, нужно чтобы одинъ изъ множителей рав-
нялся 0, а ни одинъ изъ остальныхъ не обращался при этомъ въ оо. Первый
множитель (ж—1)‘- обращается въ ноль при ж = 1, а остальные два остаются
при этомъ конечными; второй обращается въ ноль при ж = — 2, а третій при
ж = 3, причемъ въ каждомъ случаѣ остальные два конечны. Слѣд. ур. (2) имѣ-
етъ три корня:
ж'=1; х" = — 2; ж"'=3.
Подставляемъ каждый изъ нихъ, поочередно, въ знаменателя. При ж = 1
знаменатель обращается въ 0, а вся первая часть въ но сокративъ дробь
на х — 1, и положивъ затѣмъ ж —1, находимъ, что истинная величина пер-
вой части ур-нія (1) есть 0. Заключаемъ, что ж' = 1 есть одинъ изъ корней
У₽-нія (1).
При х = — 2, знаменатель снова обращается въ 0, а первая часть ур-нія
(1) въ но истинная величина этой неопредѣленности, при ж = — 2, естьоо,
слѣд. корень х" — — 2 не удовлетворяетъ данному ур-нію.
Наконецъ, корень ж"'=3 обращая числителя въ 0, знаменателя — дѣлаетъ
конечнымъ, а потому удовлетворяетъ ур-нію (1).
Замѣчая, наконецъ, что степень знаменателя ур. (1) выше степени числи-
теля (числитель 4-й степени относительно х, а знаменатель 6-й), заключаемъ,
что данное ур. имѣетъ еще безконечный корень.
Итакъ, данное ур. имѣетъ три корня:
1, 3 и оо.
— 257 —
Примѣръ И. — Рѣшить уравненіе
Собравъ всѣ члены въ Г-ую часть и соединивъ ихъ въ одну дробь, най-
демъ уравненіе
а?2—7ж -(- 6_
или разложивъ числитель на множители и умноживъ обѣ части на —1, получимъ
(ж —1)(ж—6) _ „	\ ‘
(ж-і)	~и-
Приравнивая числитель нулю, находимъ уравненіе (ж — 1)(ж — 6) = 0, ко-
торое имѣетъ, какъ легко видѣть, два корня: ж' = 1 и %"=('>. Пзъ нихъ вто-
рой, какъ обращающій знаменателя въ конечную величину 5, удовлетворятъ и
данному уравненію. Первый же, т. е. 1, обращаетъ дробь -—' въ о"і
истинная величина этой неопредѣленности, при ж = 1, есть не 0, а — 5, сл.
корень ж = 1 не удовлетворяетъ предложенному уравненію.
Наконецъ, данное ур. не имѣетъ безконечнаго корня, ибо степень числи-
теля дроби —— выше степени ея знаменателя.
Итакъ, данное ур. имѣетъ одинъ корень: х — 6.
Рѣшеніе уравненія І-й степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
277. Доказанныхъ началъ совершенно достаточно для рѣшенія уравненій
первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Механизмъ рѣшенія укажемъ на нѣс-
колькихъ примѣрахъ.
Примѣръ I.—Рѣшить уравненіе
1 —4_5_?..............гп
6	4 —4	3
Освобождаемъ уравненіе отъ дробей, умножая обѣ части его на общаго зна-
менателя 12; получимъ
7x12 ж х 12___5ж х 12
6	4	~3	’
или, по сокращеніи,
14 —Зж = 48 —20ж....(2).
Перенеся, затѣмъ, неизвѣстные члены въ первую часть, а извѣстные во
вторую, найдемъ ур.
20ж — Зж — 48 —14;
сдѣлавши приведеніе въ той и другой части,
17ж —34;.....(3).
17
— 258 -
наконецъ, раздѣливши обѣ части на коэффиціентъ 17 при неизвѣстномъ, имѣемъ:
34	п
или # = 2.......(4).
Уравненія (1), (2), (3) и (4) всѣ тождественны между собою; въ самомъ
дѣлѣ, каждое изъ нихъ мы выводимъ изъ предыдущаго или умноженіемъ, или
дѣленіемъ обѣихъ частей на одно и то-же число, или перенесеніемъ членовъ
изъ одной части въ другую; а всѣ эти преобразованія не измѣняютъ корней _
ур-нія. Но ур-ніе (4), очевидно, можетъ быть удовлетворено лишь • величиною
х равною 2; слѣд. 2 служитъ и корнемъ уравненія (1), тождественнаго съ (4).
Изъ предыдущаго выводимъ слѣдующее
Общее правило. — Для рѣшенія уравненія первой степени съ однимъ не-
извѣстнымъ нужно:
1.	Освободитъ ур-ніе отъ дробей, если таковыя имѣются’,
2.	Перенести всѣ члены, содержащіе неизвѣстное, въ одну частъ, а всѣ
извѣстные члены въ другую’,
3.	Сдѣлать приведеніе подобныхъ членовъ, т. е. всѣ члены, содержащіе '
неизвѣстное, соединитъ въ одинъ членъ, а также и члены извѣстные’
4.	Раздѣлитъ обѣ части полученнаго так. обр. уравненія на коэффи-
ціентъ при неизвѣстномъ’ частное и будетъ корнемъ предложеннаго уравненія.
Примѣръ II.—Рѣшить уравненіе
Мг1+4'ж+2)=16 - 4+3>
Умноживъ обѣ части на 12 —общаго знаменателя дробей, получимъ
Ѵх 4-1) 4- 4(ж + 2) = 192 — 3(ж 4-3);
раскрывъ скобки, найдемъ
бж -{-6 4ж4* —192 — Зж — 9;
сдѣлавъ приведеніе въ каждой части уравненія, получимъ болѣе простое ур-ніе
10ж4-14 = 183-Зж;
по перенесеніи членовъ, имѣемъ
10ж4-Зж —183 —14,
по приведенія:
13ж —169.
Отсюда, раздѣливъ обѣ части на 13, имѣемъ
х — 13.
Повѣрка. Подставивъ вмѣсто ж въ данное ур. 13, получимъ
13±1+1(13 + 2) = 16-|(13 4-3), или 7 4-5 = 16 — 4, или 12 = 12.
Слѣд. найденное рѣшеніе въ самомъ дѣлѣ удовлетворяетъ данному уравненію.
Примѣръ III. — Рѣшить уравненіе
5Ж_9_4? —7ж —19.
О
— 259 -
Освободивъ отъ дробей, получимъ
15а-27 — 4а = 21а — 57;
по перенесеніи членовъ имѣемъ:
15а —4а —21а = 27 -57;
по приведеніи:
— 10а = -30.
Умноживъ обѣ части на—1, найдемъ
10а — 30;
откуда
х — 3.
Повѣрка не представляетъ никакого затрудненія.
Примѣръ IV. — Рѣшить уравненіе
ба 7 2а — 2___________________2а -}- 1
15	7а — 6 ~~	5............
Умножаемъ обѣ части на 15(7а —6) и рѣшаемъ полученное уравненіе;
если найденный корень не обращаетъ въ нуль знаменателя, то онъ удовлетво-
ряетъ данному уравненію. Но знаменатель 15(7а — 6) обращается въ нуль при
х—~\ сл. если корень освобожденнаго отъ дробей уравненія будетъ отличенъ
6
отъ онъ удовлетворяетъ предложенному ур-нію.
Освобожденное отъ дробей ур-ніе есть
(6а + 7)(7а - 6) - (2а — 2)15 = 3(2а + 1)(7а — 6)
или, собирая всѣ члены въ первую часть и въ двухъ изъ нихъ выводя за скоб-
ки 7х — 6, находимъ
(7а-6) .4 — 30 (а —1) = 0, или
28а — 24 — 30а	30 = 0, или
— 2а = —6, откуда
а = 3.
Итакъ, данному уравненію удовлетворяетъ значеніе а, равное 3, въ чемъ
не трудно убѣдиться повѣркою.
Примѣръ V.—Рѣшить уравненіе
__________1______і	_1____х . — 4______
а2-|-3а-|-2п^а2 + 4а-|-3 * а«4-5а-|-6____________а-|-3 ѵ ''
Для нахожденія общаго знаменателя, разлагаемъ на множителей знамена-
тели первой части уравненія; находимъ:
а2 За -|- 2 = (а 1)(а 4- 2);
а2 4- 4а 4- 3 = (а 4- 1)(а 4“ 3);
а2 4- 5а 4~- 6 = (а 2)(а 4- 3);
общій знаменатель = (а 4-1)(® + 2)(а 4- 3).
17*
— 260 -
Умноживъ обѣ части на общаго знаменателя и сдѣлавъ надлежащія сокра-
щенія въ дробныхъ членахъ, имѣемъ:
х + 3 + 2ж(ж + 2) + ж2 + ж = 4(ж + 1)(ж + 2)(ж + 3)—(9+4ж) (ж-|-1)(ж + 2),
или
Зж2 + 6ж —3 = 4ж3 + 24ж2 + 44ж + 24 — 4ж3— 21ж2— 35ж—18,
или, по приведеніи во второй части и по отнятіи отъ обѣихъ частей по Зж2,
имѣемъ:
6ж-(- 3 = 9ж -(- 6 . . . . (2).
Это уравненіе не необходимо тождественно данному, такъ какъ оно полу-
чено умноженіемъ даннаго на выраженіе (ж-|-1)(ж-|-2)(ж-|-3), содержащее не-
извѣстное. Но если корень (2) не обращаетъ въ нуль общаго знаменателя, то
онъ удовлетворяетъ и ур-нію (1); общій же знаменатель обращается въ 0 при
значеніяхъ ж, равныхъ —1,— 2 и —3; поэтому, если корень ур-нія (2) не
равенъ ни одному изъ этихъ чиселъ, то онъ необходимо уд-тъ данному ур-нію,
если же равенъ одному изъ этихъ чиселъ, то необходимо дальнѣйшее изслѣдованіе.
Рѣшая ур. (2) имѣемъ:
6ж — 9ж = 6 — 3
или	—3ж=3,
откуда	ж = — 1.
Перенеся всѣ члены даннаго ур-нія въ первую часть и соединивъ ихъ въ
одну дробь, имѣемъ
_____~3а!~3 ______— о или________~3(?+1)________0
(ж+1)(ж + 2)(ж + 3) —" или (ж+і)(а; + 2)(ж + 3)~и-
Первая часть, при ж = —1, обращается въ -5-; но, сокративъ на ж-[-1,
и положивъ затѣмъ ж= —1, найдемъ
—5, что не = О,
а
слѣд. — 1 не есть корень даннаго ур-нія. Но какъ степень знаменателя дроби
— з(ж-І-і)
-—। іѵ і оѵ । сп выше степени числителя, то данное ур. имѣетъ корень— оо.
(ж -(- ІдЖ 2)(х	3)
Примѣръ VI. — Рѣшить уравненіе
2»+76__________________________ ж+а
2а + 6	1 2а — 6
Умноживъ обѣ части на общаго знаменателя (2а + 6)(2а — 6), найдемъ
(2ж + 7Ъ)(2а — Ъ) = (2а + Ь)(2а - 6) + (ж + а)(2а + Ъ),
или, выполнивъ указанныя дѣйствія,
4аж + 14аЬ — 26ж — 762 = 4а2 — 62 + 2аж + 2а2 + Ъх + аЪ,
а по перенесеніи членовъ,
4аж — 2Ъх — 2аж — Ъх — 4а2 — 62 + 2а2 + аЪ — 14аЪ + 762, или
(2а — 36)ж=6а2—ІЗаЬ —6Ь2, откуда
6а2 — ІЗаб + 662
2а — 36
— 261 —
Совершивъ дѣленіе, найдемъ окончательно
х— 'За — 2Ь.
Если значенія, данныя буквамъ а и обращаютъ одного изъ знаменате-
лей въ ноль, тогда мы уже не имѣли бы права умножать ур. на произведеніе
'2а-]-?») (2а —б), какъ равное 0; но въ этомъ случаѣ самое ур., содержа дробь
съ знаменателемъ равнымъ 0, не имѣло бы никакого смысла.
Примѣръ VII.—Рѣшить уравненіе
— -----1--------|__3_____________ — о, . . .(1).
х — ва 1 х За  х — 2а х — а	4 '
Приводя къ общему знаменателю, имѣемъ:
х-[-За)(х—2а)(^-а)-]-2(х — 6а')(х—2а')(х—а)-}-3(х—ва')(х-]-За)(х—а')—6(х—6а')(х-]-За')(х—2а)_
(х—6а)(ж-|-3а)(ж—2а)(х—а)
Числитель м. б. упрощенъ; вынося въ первыхъ двухъ членахъ общій мно-
житель (ж— 2а'/'х — а), а въ двухъ послѣднихъ 3(ж— 6а)(ж-|-3а), найдемъ
х — 2а}(х — а) [жЗа 2х —12а]	3(ж — 6а)(жЗа)[а; — а — 2х -}- 4а] =
(х — 2а}{х — а)(3ж — 9а)	3(ж — 6а)(ж	За)(— х За) =
3(ж — 2а] (ж — а'/х — За)— 3(ж —6а)(ж-|- За)(ж— За) =
3)л — За)[(ж — 2а)(ж — а) — (х — 6а)(ж -|- За)] = З'х — За) X 20а11.
Уравненіе принимаетъ, поэтому, видъ
_________60а2(х—За)__________
(ж — 6а)(ж За)(ж — 2а)(ж — а)
Числитель обращается въ 0 только при ж = 3а; и какъ это значеніе х не
обращаетъ въ ноль знаменателя, то оно уд— тъ и ур—нію (1). Кромѣ того
данное ур. имѣетъ еще безконечный корень, ибо степень знаменателя выше
степени числителя. Итакъ ур. имѣетъ два корня
х’ =3а, и ж" = со.
Повѣрка. Подставляя За вмѣсто х въ данное ур., находимъ
1.2.3	6	„
°’ °И
_1.±+А_А=о
За'За ' а а ’
что вѣрно.
Подставивъ оо вмѣсто ж, замѣчаемъ, что каждый членъ первой части
обращается въ 0, сл. ур. также обращается въ тождество 0 = 0.
278. Задачи.
1. 5 —3(4 —ж)-{-4(3 —2ж)=О.
2. 3(х — 3) — 2(ж — 2) (х — 1) = х + 3 + 2(ж	2) + 3(ж	1).
. 7х — 8 Іэж-І-8
*
— 262 —
7ж4~б	16 -|- 4х _3x4-9
_	__	|_ 6 _ 2
х — 3 . ж-|-9 _ За 4-7
8	12	20
_ б 24 — 8х ж „ Зх -I-1
' г-----8~=4-3 + -Г-
х 2х Зх 4х_бж бж
10.	(«-4) + ^=»+^-^
12.	4х-]~(х — 2)— 2^2х — [1ж — ^{16 —4 (ж+4) })] = у (^+2)-
25—4-ж 16x4-4-4-	оч
13-	-ж-4^-+^+^=5+#і-
374_ 77т.
14-	<№-2)'5гё=Пій=11”!-28-
, к 1 — 2ж б — бж 8	1 — Зх2
3 —4ж 7 —8ж 3	21—52ж-|-32ж2
ж — 9	ж — 7	ж — 9_ж — 8	ж — 7	ж — 8
ж—5	ж — 2	ж — 4	ж — 5	ж — 4	ж— 2
17. -______к-= -±_______I- .
Ж4-3	ж4-5	ж4~2	ж4~1
18	2	3 —	4	11
 Ж —1 я 4-2	7(ж—3)	7(ж4-4)’
ю 0.125(0,1x4- 0,5)_
0,05(7ж — 30)	и’°‘
2(ж4-1,5) _15
5(0,8ж — 1) — 19 ‘
х 2(ж—18)	2(ж4-1О)
21.	9 ж—18	, „	23
-----8---------’---------------і-----
,25	й 10 — Зж
22. Х 3 26	2(1 — Зж) _ Х 4
2	13	~‘Х	39
23.
24.
ж« •— ж 4~ і . ж2 4~ ж 4
Ж — 1 I ж4-1
6 ж 4~ 2 , ж2______
ж4~2 ж — 2 ж2 — 4
— 2ж-
9ж4-б Зж2 —біж —71_1бж —7
’ 6(ж—1)+	18(ж2— 1) —9(ж4-1)’
— 263 —
4x4-3	11х—5	375х —86x2 — 35
26.--------------------—-------------------
15х —35	‘Эх-г-21	10(9х'2 — 49)
27. [12(13580 — х) — 9]2[5(13580 — х) — I]2 = [13(13580 — х) — 8]2.
Положить 13580 — х = ^.
28.
29.
х2 4~ 2х 4~ 2 хг 4~ 8х 4~ 20 х2 4~ 4х 4~ 6 х2 4~ бж 4~ 12
&-|-1	'	х-]^4	х~1~2	'	х-[-3
8x4- 55
“х + Г
>?+ЦЬ|. 31	=29
30.
х	!	а(х — V}_ х	!	Ъ(х —	а)
а	' Ь	Ъ	' а
з і.	14~ і — г 4~ —і—г •
а-\-Ъ 1 а—Ь а—Ъ 1 «4-5
,?о х(а— 5) , аЪ _____х(а-\-Ъ) , аЪ
32‘ (а4- г^ + (^4^ —(Я_	+
х(а— 5) 4~ а2 4“ 52 । ах 4" 52_Ьх4~«2 х(«4~5)— 2а5
Зо. _ । _ _ _ &
(х 4~ а)(х 4~ 5)  (х — а)(х — Ъ)(х — а)(х 4-5)(х 4~ а)(ж — 5) .
а	Ъ	а	Ъ
36.
38.
39.
40.
,___5 _	а24-52
х-^-а ' х~1~Ъ х2 4~ (а-|-5)х 4~ а5
х — а х — Ъ х — с________х — (а 4~ 5 4~ с)
Ъ ' с	' а	аЪс
х2 4~ а» — 52	х2 — (а — іух — аЪ „
х—Ъ	х-^-Ъ	а’
х2 — (а 4“ 5)х 4- а5 х2 — (а — Ъ)х — аЪ 
х-^-Ь
ах	<> 5х
~г—г	2«5 — я2 =------ — №.
4-о	а — Ь
а 5 .
_ (л — Ь).
Сѵ
XXX
а * Ъ ’ с
х — а
41. —г	-------— —--------•
ао — ах 1 Ъс — Ъх	ас — ах
42.
«4-5 а Ъ
х — с х — а’х— Ъ
43.	^^4_5й-Н1^ = ^^^_-^_2х.
«4-5	а — Ъ	а2 — о2
,, ЗаЬс .	а2№	, (2а-|-5)Ь2х	_	. Ъх
•А4. —гі4“7—гтть+ / । т^—^сх-\---
а-}-Ъ (а4-г>)2 1 а(а 4~5)2	। а
х	1	__ 25х	.	4а
45• 2а^_ЗаГ4- 52 +	~^а^—№)(2а^Ъ) ' 9«;| + 9а2& — а52 — 5»’
Зх 	х — а  5х ~1~ а
а3 — а3 — 2а	а3 — а	а3 — 2а2 — «4-2
х — а	х4~5	_ х х -[- а — 5
471 я« + 4«5 + 352 — а3 — аЪ — 6№ ~“ 42 + 4а& 4- 352*
— 264 —
1 + » 1 — х
1 — »	1 + »_____	3
1 + »	14 — »
1 — х
12» — 17
5і______
49.	+	1 “5
3 • ,
4 — х
х ~1~ Ъ
х — Ъ ___Зх—ЪЪ— 8
5Е »—2б~	Ъ
1 х — Ъ
х 4(2» — 3) — 3(3» — 1)_ 3 /Ж2 + 2\
52# 2	6(» —1)	~2ѴЙ^2Л
Рѣшеніе слѣдующихъ уравненій принести къ ур-мъ І-й степени:
«о 4	।	7	__	37
°3’ » + 2 + » + З'“»3+5»4- б‘
3 + 2»	5 + 2»	4»2 — 2
54’ 1 +2»	7 + Зх ~ 1	++ 16» + 4»2 ’
Е_ ,	28 .	45»	483	6» —2
’	5» + 2(5» — 1)	50 Х »
е/? (» — а)3_» — 2а — Ъ
56’ (++Ър— х + а + 2Ь'
Сказать, не рѣшая ур-ній, корпи слѣдующихъ ур-ніп:
57. [»—(а+&)](с+й)—0.	58. (7»—42).13 = (7»—42).15.
59.	(а — Ь) Г— -----— 1 = (с — V) Г- Х------—1 •
Іт — п р — у! 4	' іт — п р — дО
60.	(3»— 12)(5» — 25)(7»— 42) —0.
61.	(» — а — Ь)(» — «+Ь)(» +а+Ь) = 0.
62.	Какія значенія нужно дать количеству я, чтобы нижеслѣдующія ур-нія
были удовлетворены:
» , тх + п х
---	!— = — значеніемъ » = 1,
а 1	2« п
X А- а , х — а х
а ур.	----------?— — ——г значеніемъ » = 2о.
1	а 1 Ъ а + 6
Задачи, приводящія къ уравненіямъ первой степени съ
однимъ неизвѣстнымъ.
279.	Рѣшеніе алгебраической задачи состоитъ изъ четырехъ частей:
1)	составленія уравненій или неравенствъ изъ условій, связывающихъ
данныя величины съ неизвѣстными;
2)	рѣшенія полученныхъ уравненій или неравенствъ-,
3)	изслѣдованія задачи, т. е. разсмотрѣнія представляемыхъ ею особен-
ностей и опредѣленія условій, которымъ должны удовлетворять данныя, для
того чтобы задача была возможна (въ случаѣ, когда данныя величины изобра-
жены буквами). Слѣдуетъ замѣтить, что не всякая задача представляетъ мате-
ріалъ для изслѣдованія.
— 265 —
4)	повѣрки найденныхъ рѣшеній, служащей удостовѣреніемъ въ пра-
вильности рѣшенія задачи.
Въ этой главѣ мы займемся рѣшеніемъ только такихъ задачъ, которыя
приводятъ къ уравненіямъ первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ; а
изслѣдованіемъ рѣшеній займемся въ отдѣльной главѣ, не касаясь пока этого
вопроса.
Что касается составленія уравненій изъ условій задачи, то на этотъ счетъ
нѣтъ никакихъ общихъ правилъ; все, что можно сказать по этому предмету,
сводится къ слѣдующему: назвавъ неизвѣстное (мы ограничиваемся здѣсь слу-
чаемъ одного неизвѣстнаго) буквою ж, обозначаютъ при помощи этой буквы и
данныхъ задачи всѣ дѣйствія, какія должно бы было произвести надъ ними
для повѣрки рѣшенія, предполагая, что неизвѣстное найдено; такимъ образомъ
получатся выраженія, которыя, по условію задачи, должны быть равны: соеди-
няя ихъ знакомъ равенства, и получимъ искомое уравненіе.
Укажемъ примѣненіе этого правила на нѣсколькихъ вопросахъ.
280.	Первая задача. Часовая и минутная стрѣлки находятся вмѣстѣ,
показывая полдень. Въ которомъ часу произойдетъ слѣдующая ихъ встрѣча?
Составленіе уравненія. Циферблатъ часовъ раздѣленъ на 60 равныхъ
частей, каждое изъ которыхъ большая стрѣлка проходитъ въ минуту времени,
и пусть отъ полудня до встрѣчи стрѣлокъ малая стрѣлка прошла х такихъ
дѣленій. Минутяая стрѣлка, чтобы догнать часовую, должна обойти весь цифер-
блатъ, т. е. пройти 60 дѣленій, да еще х дѣленій, пройденныхъ часовою,
всего 60 4- х дѣленій, Но въ то время какъ часовая проходитъ 5 дѣленій
(отъ XII до I), минутная стрѣлка проходитъ 60 такихъ дѣленій, сл. въ 12
разъ большее число пхъ. Изъ этого слѣдуетъ, что въ одно и тоже время путь
пройденный минутною стрѣлкою въ 12 разъ больше пути, пройденнаго часовою,
т. е. 60 -}-ж въ 12 разъ больше х.
Итакъ, имѣемъ уравненіе
60 4* ж —12®.
Рѣшеніе уравненія. Перенеся х во вторую часть, находимъ
60 = 11ж;
Откуда	х=™=5^-
Слѣд., до встрѣчи стрѣлокъ часовая должна пройти 5— минути, дѣленій,
т. е. встрѣча произойдетъ въ 1 ч. 5^ мин.
Повѣрка. Пространство, пройденное минутною стрѣлкою, должно быть въ
12 разъ больше разстоянія, сдѣланнаго часовою; п въ самомъ дѣлѣ
л- 5	„ б 720	60
65ІТ: 5ІІ=Т1: п=12
281.	Вторая задача. Въ трехзначномъ числѣ цифра десятковъ вдвое
больше цифры сотенъ, цифра же единицъ втрое больше цифры сотенъ', если
къ искомому числу придать 396, найдемъ число обращенное, т. е. ссстав-
— 266 —
ленное тѣми-же цифрами какъ и искомое, но написанными въ обратномъ
порядкѣ. Опредѣлитъ неизвѣстное число?
Составленіе уравненія. Пусть цифра сотенъ искомаго числа будетъ х\
тогда цифра десятковъ выразится черезъ 2х, а цифра единицъ Формулою Зк.
Все число единицъ въ искомомъ числѣ будетъ
ІООж-{-20ж 4*
Число единицъ въ обращенномъ числѣ будетъ
ЗООж-{- 20ж-{-ж.
Придавъ къ первому 396, найдемъ число обращенное; слѣдов.
100# 20л; -{- Зя -{- 396 = ЗООж 4- 20л; 4- х.
Рѣшеніе уравненія. Отнявъ отъ обѣихъ частей по 20ж, собравъ не-
извѣстные члены въ одну часть и сдѣлавъ приведеніе, получимъ
396 = 198ж,
откуда
Птакъ, число сотенъ искомаго числа равно 2; слѣд. число десятковъ = 4,
а число единицъ 6. Поэтому искомы число есть 246.
Повѣрка. Придавъ къ найденному числу 396, должны получить обращен-
ное число, т. е. 642; и дѣйствительно
246 4-396 = 642.
282.	Третья задача. Два капитала составляютъ въ совокупности 167380
руб. Первый, помѣщенный, на принесъ-бы въ 3 м. прибылъ вдвое боль-
шую той, какую можетъ принести второй капиталъ, помѣщенный на 5°/0,
въ 7 мѣсяцевъ. Опредѣлитъ оба капитала!
Составленіе уравненія. Пусть первый капиталъ = я; тогда второй бу-
детъ = 167280 — х руб. Каждая сотня перваго капитала, принося въ 1 годъ
4 руб. прибыли, дастъ въ 1 мѣсяцъ въ 3 мѣсяца 4X3 или 1 руб.;
1Л	1 л
слѣд. каждый рубль перваго капитала принесетъ руб. прибыли, а х руб-
лей ~юо'
Такимъ же точно образомъ найдемъ, что капиталъ 167280 -- х р., при
5%, дастъ въ 7 мѣсяцевъ
(167280 — ж)х 5 X 7	(167280 — я) X 35
100 х 12	ИЛИ	х 12
р. прибыли.
По условію, первая прибыль вдвое больше второй, слѣд.
х _ (167280 — х) X 35 X 2
ІОО	100 X 12
— 267 —
Рѣшеніе уравненія. Освободивъ это ур. отъ дробей, имѣемъ
12® = 167280 X 70 — 70® ,
12®+ 70® = 167280 X 70 ,
82® = 167280 X 70 ,
х — 167280°-—— = 142800 р.
82	г
Итакъ: капиталъ, помѣщенный на 4%, =142800 р.; капиталовъ, помѣ-
щенный на 5%, =167280 — 142800 = 24480 р.
„	„ ,	142800X3x4
Повѣрка. Прибыль, приносимая первымъ капиталомъ, равна ——
= 1428 р.; вторымъ — 24480 х 5 * 7 — 714. Дѣйствительно, 1428 больше
12 X 100
714 въ 2 раза.
283.	Четвертая задача. Лисица., преслѣдуемая собакою, находится впе-
реди послѣдней на 60 своихъ скачковъ, и дѣлаетъ 9 скачковъ въ то время,
въ какое собака дѣлаетъ только 6; но 3 скачка собаки равны 7 скачкамъ
лисицы. Сколько скачковъ должна сдѣлать собака, чтобы догнать лисицу?
Когда въ задачѣ рѣчь идетъ о разстояніяхъ, полезно изображать ихъ ли-
ніями; этимъ путемъ мы яснѣе представимъ себѣ зависимость между величина-
ми и скорѣе съумѣемъ составить ур—ніе.
Предложенная задача представляетъ примѣръ этого рода.
Составленіе уравненія. Пусть И (см. черт. 3) означаетъ мѣсто, въ кото-
ромъ находится собака; 0 — мѣсто, въ которомъ въ тотъ-же самый моментъ на-
ходится лисица; М — точка, въ которой собака настигаетъ- лисицу. Пусть, за-
тѣмъ, собака должна сдѣлать х скачковъ, чтобы догнать лисицу, т. е. чтобы
пробѣжать разстояніе М.
Выразимъ черезъ х число скачковъ, которое должна сдѣлать лисица на
разстояніи ОМ. Въ то время какъ собака дѣлаетъ 6 скачковъ, лисица дѣлаетъ
9	3
ихъ 9, сл. пока собака дѣлаетъ 1 скачекъ, лисица дѣлаетъ -у или —скач-
ка; поэтому, въ то время какъ собака дѣлаетъ ® скачковъ отъ П до М, лиси-
3	Зж
ца сдѣлаетъ х разъ — или — скачковъ отъ 0 до М.
2	2
Итакъ, на одномъ и томъ же разстояніи ПИ, собака дѣлаетъ х скачковъ,
Зж
а лисица 60+ — (60 скачковъ на разстояніи отъ ПдоО).
Примемъ скачекъ лисицы за единицу мѣры; тогда разстояніе ИМ, выра-
С3ж\	Зж
60 + —) ИЛИ 60 + — принятыхъ
единицъ.
Съ другой стороны, 3 скачка собаки равны 7 скачкамъ лисицы, сл. 1 ска-
7	7ж
чекъ собаки =— скачка лисицы; а потому х скачковъ собаки =-=- припя-
О	о
тымъ единицамъ: это другая Формула, выражающая разстояніе ПМ въ тѣхъ-же
Зж
единицахъ, какъ и Формула 60+ ~ •
2
— 268 —
Приравнивая одну Формулу другой, имѣетъ ур—ніе
Рѣшеніе уравненія;—Освобождая ур. отъ дробей умноженіемъ обѣихъ ча-
стей на 6 получаемъ
14» = 360+ 9»,
5« = 360,
я—^=72.
5
Итакъ, собака сдѣлала 72 скачка, чтобы догнать лисицу.
Повѣрка не представляетъ затрудненій.
284.	Пятая задача. Два поѣзда выходятъ одновременно со станцій А и
В и идутъ на встрѣчу другъ другу, первый все разстояніе АВ можетъ прой-
ти въ 4 ч. 20 м.', второй на прохожденіе того же пути употребляетъ Зч.
30 м. Разстояніе отъ А до В равно 211 верстамъ. На какомъ разстояніи
отъ А оба поѣзда встрѣтятся, полагая, что каждый движется все время
съ одинаковою скоростью?
Составленіе уравненія. Пусть будетъ х искомое разстояніе, т. е. число
верстъ отъ А до мѣста встрѣчи; разстояніе отъ мѣста встрѣчи до В равно, по-
этому, 211 — ж.—Такъ какъ оба поѣзда выходятъ со станцій одновременно, то
до встрѣчи они находятся въ дороги одинаковое время-, выразивъ эти времена
и приравнявъ полученныя выраженія, и найдемъ искомое уравненіе.
Первый поѣздъ въ 4 ч. 20 м. или въ 260 м. можетъ пройти 211 верстъ,
„ й «	260
сл. чтобы пройти одну версту, времени нужно — мин., а для прохожденія х
31 1
260ж	_	.	_
верстъ —— мин. Такимъ же разсужденіемъ убѣдимся, что второму поѣзду для
311
прохожденія 211 —ж верстъ потребуется ———мин. Сл. ур—ніе есть
311
260» _ 210(211 — ») .
211 —	211
Рѣшеніе уравненія. Освобождая отъ дробей, имѣемъ
260» = 210(211-я);
выполняя умноженіе и перенося члены:
260»-]-210» = 44310;
470» = 44310;
44310 п.із
»= — =944; версты.
Итакъ, встрѣча произойдетъ въ разстояніи 94” версты отъ А.
Провѣрить рѣшенія нетрудно.
285.	Шестая задача. Раздѣлить 5600 р. между пятью лицами такъ,
чтобы 2-е имѣло вдвое больше 1-го и еще 200 р.- 3-е втрое больше 1-го
безъ 400 руб.\ 5-е полусумму частей 2-го и 3-го и еще 150 р.; наконецъ,
5-е четверть суммы сстальныхъ четырехъ и еще 475 руб.
- 269 -
Составленіе уравненія. Пусть будетъ х часть перваго; часть выразится
выразится Формулою 2®-[- 200; 3-го Зх— 400.
„	„	2® 4- 200 4- Зх — 400 .	бж Ч- 100
Четвертый получитъ ------!----------------[- і50 или --------•
Сумма частей четырехъ первыхъ лицъ =
х + 2® + 200 + Зж — 400 + 5* + 100> или бж - 200 + 5ж + 100>
п „ л 17® —300 .	17® 4- 3500
Пятый получитъ-----з-----і-47о, т. е. --------•
о	о
По условію задачи части всѣхъ пяти лицъ въ совокупности составляютъ
5600 р.; отсюда уравненіе
17® — 300 . 17®+ 3500
---------+-------8-----= 0600.
Рѣшеніе уравненія. Освобождая уравненіе отъ дробей, находимъ
68® -1200 +17® + 3500 = 44800;
85® = 44800 + 1200 — 3500,
85® = 42500,
Итакъ: часть 1-го =500 р.; часть 2-го =1200; 3-го =1100; 4-го =
1300; 5-го —1500 р.
Повѣрка. Дѣйствительно, сумма 500 + 1200 + 1100 + 1300 + 1500 =
= 5600.
Примѣчаніе. Задача эта приведена какъ примѣръ, указывающій, насколь-
ко полезно сокращать и приводить въ простѣйшій видъ сложный результатъ,
прежде чѣмъ переходить къ слѣдующему.
Приводимъ примѣры съ буквенными данпыми.
286.	Седьмая задача. Число а раздѣлить на двѣ части, .которыя от-
носилисъ-бы между собою какъ т: п?
Составленіе уравненія. Пусть первая часть = ж; тогда вторую можно
выразить при помощи ® изъ пропорціи
х : второй части = т : п,
откуда	вторая часть =	•
Отсюда уравненіе
. пх
«4---~а .
1 т
Рѣшеніе уравненія. Умноживъ обѣ части на т, найдемъ
тх-\-пх=ат\
{т-\-п)х = ат-,
ат
х~ —:—•
т-\-п
- 270 -
т,	п	п	та па
Вторая часть = — «= — • —7—
г	т	т т-\-п	т-\- п
Повѣрка. Обѣ части должны въ суммѣ составлять а,
И дѣйствительно
та । па ________та 4~ па____(т 4~ гі)а__
т-\-п~^~ т -\-п т п 4~ м
а
287.	Восьмая задача. Нѣкто долженъ уплатить своему заимодавцу нѣ-
сколько суммъ въ различные сроки, а именно: з руб. черезъ т мѣсяцевъ, з'
руб. черезъ т' ми., з" руб. по истеченіи т" мѣсяцевъ, наконецъ з"' руб.
черезъ т'" мѣсяцевъ. Заимодавецъ желаетъ получитъ всю сумму
разомъ. Черезъ сколько мѣсяцевъ должна быть произведена эта уплата, что-
бы ни та ни друіая сторона не потерпѣли убытку?
Составленіе уравненія. Допустимъ, что каждые сто руб. приносятъ заимо-
давцу р °/0 въ мѣсяцъ; тогда прибыль, которую заимодавецъ получилъ-бы съ
,	.	зрт
перваго капитала при уплатѣ его черезъ т мѣсяцевъ, составляетъ р; при-
быль, доставляемая вторымъ капиталомъ, при уплатѣ его черезъ т’ мѣсяцевъ,
з'рт'	&'рт"	8"’тп"'	.	,	,
равна -у^-; третьимъ-------и четвертымъ ^00 ; слѣдов. общая прибыль,
зрт , з'рт1 , з''пт" ,
которую долженъ получить заимодавецъ, составляетъ ।	і—Ню"”'-
. з"'рт'" п	.	, . , . ...
4—р. Время по истеченіи котораго вся сумма । 5 -г5 должна
быть уплачена разомъ, должно быть таково чтобы вся сумма давала прибыль
равную вышеозначенной. Пусть это время — х мѣсяцамъ; прибыль, достав-
ляемая капиталомъ 5 4~з'4-з"4~ з'" по истеченіи этого времени, составляетъ
(з 4- з14- з'' 4- &")рх	,
- Го<) — и®-
Поэтому, уравненіе будетъ
(з 4* з7 4* з" -|- з"')рх зрт । з'рт' ( з'рм" । з'"рт!"
' Тоо — іоо “г* Тоо ' юо “г* Лоо- ’
Рѣшеніе уравненія. Сокращая обѣ части на общаго множителя на-
ходимъ
(з 4- з' 4- з" 4- з'")х — зт-\- з'т' 4~ з"т" 4- з'"т'",
откуда
__зт 4- з'т' 4* з?'т" 4~ з!"т'"
Х~ з + з7 4- з" 4-з"'
Повѣрка не представляетъ затрудненій.
288.	Задачи.
1.	Найти вмѣстимость трехъ бочекъ по слѣдующимъ условіямъ: если всю воду,
содержащуюся во второй, перелить въ первую бочку, то во второй
2
останется — ея
содержимаго; если вторую бочку наполнить водою, содержащеюся въ третьей, то въ
послѣдней останется -у ея содержимаго; наконецъ, если всю воду перелить изъ 1-й
въ третью, то для наполненія третьей недостанетъ 50 ведеръ.
- 271 -
2
2.	Опредѣлить число, которое, будучи помножено на 10, даетъ — сноего квад-
О
рата.
3.	Купецъ удерживаетъ изъ всей суммы, находящейся въ оборотѣ, ежегодно
1000 р. на свое содержаніе. Прпэтомъ ежегодно его капиталъ увеличивается на
О
остающейся суммы, и въ концѣ третьяго года капиталъ удвопвается. Сколько онъ
имѣлъ въ началѣ перваго года.
4.	Я издержалъ па одну покупку 4 рублями меньше той суммы, какую имѣлъ;
па другую покупку 3 руб. больше четверти остатка; наконецъ, на третью—1 р. 20 к.
2
больше — новаго остатка. Послѣ
5
я вначалѣ?
этого у меня осталось 24 р. Сколько руб. имѣлъ
X	•	1
своего капптала въ желѣзно-дорожныя акціи, —
О
а остальную сумму на разработку рудниковъ.
2
5.	Капиталистъ помѣстилъ —
5
его употребилъ на покупку земли,
Первая часть капитала приноситъ ему ежегодно прибыли 13%, вторая—9%, между
тѣмъ какъ разработка рудниковъ требуетъ ежегодной прибавки нъ 3°|°. Какъ великъ
его капиталъ, если въ общей сложности онъ даетъ 888 руб. ежегодной прибыли?
6.	Найти шестизначное число такого свойства, что если первую цифру справа,
равную 2, поставить на первое мѣсто слѣва даннаго числа, то получится число, со-
ставляющее і перваго?
О
7.	Съ вершины горы, высота которой =412 метр., поднимается воздушный
,	л.	1
шаръ на нѣкоторую высоту надъ вершиною, затѣмъ опускается на — этой высоты,
4
1
а потомъ снова поднимается на — той высоты, на которой находился, переставъ
19
опускаться. Затѣмъ онъ падаетъ у основанія горы, пройдя прп этомъ паденіи —
достигнутой въ первый разъ высоты. Опредѣлить эту послѣднюю?
8.	Корабль, плывущій изъ А въ В, не дойдя 4 миль до мѣста назначенія, былъ
отброшенъ противнымъ вѣтромъ на часть пройденнаго пути. Затѣмъ вѣтеръ сно- »
ва сдѣлался попутнымъ и корабль, проплывъ по направленію къ В ~ часть разстоя-
нія, накоторомъ онъ находился отъ А, снова былъ отброшенъ назадъ на часть сво-
его разстоянія отъ А. Послѣ этото, сдѣлавъ послѣдняго своего разстоянія отъ А,
онъ пришолъ въ В. Опредѣлить: сколько миль между А и В, и какое пространство
въ сложности прошолъ корабль?
9.	Обобщить предыдущую задачу, взявъ вмѣсто чиселъ 4, 19, 24, 20 и 9 общіе
знаки п, а, Ъ, с и й?
§
10.	Изъ бочки, наполненной виномъ, было взято — всей находившейся въ ией
12
4
жидкости и 40 литровъ, затѣмъ прибавлено 20-ю литрами меньше — оставшагося
- 272 -
вина, и наконецъ взято изъ нея 20-ю литрами меньше — новаго остатка. Послѣ
этого въ бочкѣ осталось 700 литрами меньше, чѣмъ было вначалѣ. Сколько литровъ
содержала бочка вначалѣ?
11.	Резервуаръ, наполненный водою, можно опорожнить двумя кранами различ-
ной величины. Открывъ первый кранъ, выпускаютъ ~ всей воды; послѣ чего от-
крываютъ и второй кранъ, такъ-что вода вытекаетъ пзъ обоихъ; прп этомъ черезъ
оба крана
5 «
резервуаръ опоражнивается въ теченіи времени, --ми часа большаго то-
го, какое потребно, чтобы первый кранъ, будучи открытъ одинъ, выпустилъ бы
всей воды. Если бы съ самаго начала были открыты оба крана, резервуаръ
былъ бы опорожненъ — -ью часа скорѣе. Сколько времени нужно, чтобы весь ре-
зервуаръ былъ опорожненъ: 1) однимъ первымъ краномъ; 2) однимъ вторымъ кра-
номъ; 3) обоими кранами вмѣстѣ?
12.	Отецъ, умирая, раздѣлилъ свое имущество слѣдующимъ образомъ: старшему
сыну завѣщалъ 1000 р. и шестую часть остатка: второму 2000 р. и шестую часть
остатка; третьему 3000 р. п шестую часть остатка; п т. д. Принтомъ оказалось, что
всѣмъ сыновьямъ досталось поровну. Опредѣлить величину всего. цаслѣдства, часть
каждаго и число наслѣдниковъ?	\
13.	Обобщить предыдущую задачу, взявъ вмѣсто 1000, 2000, 3000, .... колп-
„ „ 1 х 1
чества а, 2а, За,.....и — вмѣсто — •
п	6
14.	Сосудъ содержитъ смѣсь воды съ виномъ. Отливши четверть смѣси, замѣ-
няютъ ее водою; отлпвши -і- новой смѣси, опять замѣняютъ ее водою. Сдѣлавши то-
4
же самое третій разъ, находятъ, что сосудъ содержитъ втрое больше воды, чѣмъ вина.
Спрашивается, въ какомъ отношеніи находилось количество воды въ количеству вина
въ первой смѣси?
15.	Нѣкто помѣстилъ на проценты 150255 р., часть по 3°'о и по курсу 66 р.,
а часть по 41!2°|0 по курсу 96,75. Въ концѣ года онъ купилъ на вырученныя про-
центныя деньги трехпроцеитныя бумаги по курсу 69,3 р. Послѣ этого весь доходъ
его составлялъ 7230 р. Найти величину каждой пзъ трехъ суммъ, помѣщенныхъ па
проценты.
16.	Шесть мѣстечекъ А, В, С, й, Е и Г, расположенныхъ одно за другимъ
3	5
въ рядъ и находящихся въ разстояніяхъ: А отъ В — равномъ —, В отъ С —, С
о	1Ь
5	11
отъ И —, Б отъ Е — и Е отъ Е — мили, согласились построить па общія сред-
8	4	8
ства училище, съ условіемъ, чтобы оно находилось между С и П и чтобы сумма его
разстояній отъ А, В п С равнялась суммѣ разстояній отъ П, Е и Г. Въ какомъ
разстояніи отъ С долженъ находиться училищный домъ?
17.	Купецъ получилъ бочку масла и бочку риса одинаковаго вѣса брутто. Вѣсъ
нетто перваго товара, при опредѣленномъ процентѣ тара, вычтенномъ пзъ вѣса
7
брутто, составилъ 536 фунтовъ; вѣсъ нетто втораго товара при 6%-мп меньшей
О
тарѣ, составплт 580 фунтовъ. Сколько % состайляла тара вербой бочкп?
— 273 -
18.	Я долженъ заплатить двѣ равныя суммы, одну черезъ 9, другую черезъ 15
мѣсяцевъ. Но если я уплачу ихъ сейчасъ, съ опредѣленнымъ, одинаковымъ для обѣ-
ихъ суммъ, учетомъ, то вмѣсто первой суммы долженъ отдать 1208, а вмѣсто второй
1160 руб. Какъ велика каждая сумма п по скольку процентовъ дѣлается учетъ?
19.	Нѣкоторое предложеніе, подвергнутое голосованію въ собравін, состоявшемъ
изъ 600 лицъ, было отвергнуто. Будучи подвергнуто голосованію во второй разъ въ
томъ же собраніи, оно было принято, при чемъ число голосовъ рго на этотъ разъ было
вдвое больше числа голосовъ сопіга при первомъ голосованіи; большинство же голо-
совъ рто во второй разъ относилось къ числу голосовъ рго при первомъ голосованіи
какъ 8:7. Сколько лицъ перемѣнили свое мнѣніе?
20.	Въ 4 часа утра изъ А выѣзжаетъ почтовая карета, ѣдущая въ В, дѣлая по
8 верстъ въ часъ. Въ 11 ч. 40 м. изъ В въ А отправляется поѣздъ, идущій по же-
лѣзной дорогѣ, проложенной рядомъ съ шоссейной, и дѣлающій по 32 версты въ часъ.
Поѣздъ пришелъ въ А 30-ю минутами позже чѣмъ карета пріѣхала въ В. Опредѣлить
разстояніе между А и В?
21.	Два тѣла движутся на-встрѣчу другъ другу по линіи АВ, одно изъ Авъ В,
другое изъ В въ А, проходя въ каждую единицу времени первое ѵ единицъ разстоянія,
второе ѵ', при чемъ второе начинаетъ движеніе п единицами времени позже перваго;
оба достигаютъ конечныхъ точекъ въ одно время. Найти разстояніе АВ?
22.	Въ догони»за курьеромъ, ѣдущимъ всегда съ одинаковою скоростью, черезъ
5 дней послѣ егохютъѣзда посланъ другой, который, чтобы догнать перваго черезъ 8
дней, долженъ проѣзжать ежедневно 2 -і милями больше перваго. Сколько миль про-
ѣзжаетъ въ день первый курьеръ?
23.	Обобщить предыдущую задачу.
24.	Пѣшеходъ, проходящій въ каждые 7 часовъ по 4 мили, выходитъ изъ нѣко-
тораго мѣста В. Въ догонку за нимъ, въ тоже самое время, отправляется верховой
изъ мѣста А, отстоящаго отъ В на 8 миль, проѣзжая по 4 мили въ каждые 3 часа.
Черезъ сколько часовъ верховой догонитъ пѣшехода, полагая, что каждый изъ нихъ
употребляетъ на отдыхъ по 1 ~ часа во время всего пути?
25.	Если солнце проходитъ ежедневно дугу въ 1°, а луна въ 13°, и если солнце
въ извѣстный моментъ находится въ началѣ рака, а черезъ 3 дня послѣ этого луна
въ началѣ овиа, то опредѣлить мѣсто ихъ перваго соединенія?
Примѣчаніе. Оба свѣтила движутся съ Запада на Востокъ; знаки же зодіака въ
томъ же направленіи слѣдуютъ другъ за другомъ въ такомъ порядкѣ: овенъ, телецъ,
близнецы, ракъ, .... на разстояніи 30° одинъ отъ другаго.
26.	Передъ полнымъ центральнымъ солнечнымъ затмѣніемъ, согласно вычисленію,
разстояніе центровъ солнечнаго и луннаго дисковъ въ 9 ч. 13 м. до полудня равня-
лось 5 ~ ширины луннаго диска. Оба свѣтила имѣли одинаковую кажущуюся вели-
чину и двигались въ одномъ направленіи съ Запада на Востокъ. Луна проходила по
своей орбитѣ въ каждый часъ 1	а солнце въ тоже самое время лишь	ширины
луннаго диска. Въ которомъ часу имѣло мѣсто совпаденіе центровъ обоихъ дисковъ
(полное затмѣніе)? Въ которомъ часу произошло первое прикосновеніе (т. е. начало
затмѣнія) и второе прикосновеніе (т. е. конецъ затмѣнія)?
Примѣчаніе. Затмѣніе наз. цеягира.здиыліг, если имѣетъ мѣсто совпаденіе цент-
ровъ соли, и лун. диска; оно м. б. -полнымъ, пли же кольцеобразнымъ.
18
— 274 -
27.	Пароходъ и корабль плывутъ изъ М въ К; первый совершаетъ въ каждые 3
часа 7 миль, второй въ такое же время только 2 мили. Когда пароходъ вышелъ изъ
М, корабль прошелъ уже 3 мили, ио въ К послѣдній прибылъ 5 часами позже
перваго. Сколько часовъ пароходъ употребилъ на переѣздъ разстоянія МХ, и какъ
велико это разстояніе?
28.	Два парохода плывутъ изъ С въ С внизъ по теченію, причемъ второй прошелъ
уже мили, прежде чѣмъ первый вышелъ пзъ пристани. Первый прибылъ въ Б,
остался здѣсь 1 -і- часа, п, плывя противъ теченія со скоростью вдвое меньшею
чѣмъ по теченію, возвратился въ С въ то самое время, когда второй прибылъ въ
Б. Первый дѣлалъ въ часъ 2 -і- мили, а второй только м. по теченію. Опредѣ-
лить разстояніе между С п Б?
29.	Пароходъ вышелъ изъ А и плыветъ въ В противъ теченія. Черезъ часъ по-
слѣ этого вышелъ пароходъ изъ В, направляясь въ А. Первый въ каждые 4 часа дѣла-
етъ 5 миль, второй въ каждые 3-|- ч. 8~ миль. Когда оба парохода встрѣтились,
то оказалось, что второй прошелъ путь вдвое большій чѣмъ первый. Опредѣлитъ раз-
стояніе между А и В?
30.	Мѣста М и X, находящіяся подъ одною и тою же географическою широтою,
причемъ X лежитъ къ западу отъ М, соедивены рельсовымъ путемъ. Поѣздъ, выйдя
изъ М, проходитъ въ каждый часъ 32 англ. мплп. Вслѣдствіе разницы въ мѣстномъ
времени поѣздъ выигрываетъ 1 минуту времени на каждыя 10 миль. Опредѣлить раз-
стояніе между А п В, если извѣстно, что поѣздъ, выйдя изъ М въ 9 часовъ утра по
мѣстному времени, прешелъ въ X въ 4 ч. 6 м. по-полудни по времени этого мѣста.
31.	Дилижансъ, дѣлающій 5 миль въ каждые 4 часа, выѣхалъ пзъ А въ В, про-
былъ въ В 1 часъ и отправился въ обратный путь. Пѣшеходъ, проходящій по 2 мили
въ каждые 3 часа, вышелъ изъ А въ одно время съ дилижансомъ н встрѣтилъ его
черезъ 9 часовъ возвращающимся въ А. Каково разстояніе между А и В, и сколько
пѣшеходу осталось пройти?
32.	Изъ водоема вмѣстимостью въ 1054 лптра и до половины наполненнаго, вода
вытекаетъ черезъ трубу, уносящую по 51 литру въ каждые 7 минутъ. Черезъ другую
трубу вливается въ него по 47 л. въ каждыя 4 минуты. Въ какое время водоемъ
будетъ наполненъ, если вторая труба открыта 11-ью минутами позже первой?
33.	Изъ двухъ неравныхъ трубъ водоема вытекаетъ вода съ различною скоростью.
Если величины отверстій относятся какъ 5:13, а скорости истеченія какъ 8:7, и одна
труба выпускаетъ въ извѣстное время 561 куб. футомъ больше воды, чѣмъ другая,
то спрашивается: какое количество воды вытечетъ въ это время изъ каждой трубы?
34.	Для выкачиванія воды изъ шахты поставлены въ двухъ мѣстахъ 2 паровыя
Машины, работающія непрерывно днемъ и ночью. Первая поднимаетъ въ каждыя 5
мпнутъ 11 гектолитровъ воды съ глубины 155 метровъ; вторая въ каждые 10 м. под-
нимаетъ 31 гектолитръ на высоту 88 метровъ. Длн замѣны обѣихъ паровыхъ машинъ
нужно бы было 54 лошади. Сколько лошадей замѣняетъ каждая паровая машина въ
отдѣльности?
35.	Для выкачиванія воды изъ шахты съ глубины 276-- метра поставлены 2
паровыя машпны, изъ которыхъ одна, поставленная подъ землею, поднимаетъ воду
на извѣстную высоту, накачпван ее въ большой резервуаръ; другая же, находящаяся
- 275 -
ва поверхности земли, поднимаетъ воду пзъ этого резервуара наружу. Первая машина
въ каждые 6 минутъ можетъ поднять 13 гектолитровъ воды на высоту 168 метровъ,
другая въ каждыя 3 м. 10 гект. на высоту 72 метровъ. На какомъ разстояніи надъ
дномъ должно помѣстить резервуаръ?
36.	Для добыванія каменнаго угля поставилп въ каменоугольной шахтѣ 2 пар.
машины. Первая въ каждые 5 часовъ поднимала 2880 центнеровъ угля на высоту
125 метровъ, вторая въ каждые 3 часа 1600 цеитн. на высоту 180 метровъ. Обѣ
машины поставили въ одно мѣсто; и прп этомъ оказалось, что хотя первая работала
уже 1 часа прежде чѣмъ вторая начала дѣйствовать, но послѣдняя черезъ 7 часовъ
подняла 225 центнерами больше первой. Опредѣлить, съ какой глубины обѣ машины
поднимали уголь?
37.	Для выкачиванія воды изъ каменоугольноЯ копи поставлены были 3 паровыя
машины: первая можетъ въ каждыя 2 минуты поднять 7 гектолитровъ воды съ глу-
бины 87 метровъ, вторая въ каждыя 5 м. 12 гектолитровъ съ глубины 145 метровъ,
а третья въ каждыя 3 мин. 7 ~ гектолитровъ съ глубины 108 метровъ. Въ какое
время исѣ 3 машины вмѣстѣ могутъ поднять 2436 гектолитровъ воды на высоту 270
метровъ?
38.	Четыре причины, дѣйствуя отдѣльно, могутъ во времена іг, і", іт и іІТ про-
извести дѣйствія е1, е11, еш, е’т. Въ какое время всѣ четыре причины, дѣйствуя одно-
временно, произведутъ дѣйствіе Е?
39.	Нѣкто, имѣя вино двухъ сортовъ, хочетъ смѣшать нхъ въ отношеніи 3:2.
Ведро перваго сорта стоитъ 48 руб. Какой цѣны вино втораго сорта, если ведро смѣ-
си стоитъ 42 руб.?
40.	Имѣется 94-і- фунта сплава, въ которомъ на 3 части сереба приходится
4 части мѣди. Сколько нужно прибавить мѣди, чтобы на 7 частей ея приходилось 2
части серебра?
41.	Имѣется 255 фунтовъ спирта, въ которомъ отношеніе вѣса воды къ вѣсу
алкоголя равно 2:3. Сколько воды нужно извлечь пзъ этой смѣси дистиллированіемъ,
чтобы отношеніе вѣса воды къ иѣсу алкоголя равнялось 3:17?
42.	Какое количество солянаго раствора, содержащаго 24% соли, нужно приба-
вить къ 3715 фунтамъ 6%-го разсола, чтобы смѣсь содержала 16% соли?
43.	Серебреникъ имѣетъ два различные сплава золота съ серебромъ. Въ одномъ
сплавѣ оба металла находятся въ отношеніи 1:2; въ другомъ сплавѣ иъ отношеніи
2:3. Изъ обоихъ сплавовъ желаютъ сдѣлать новый сплавъ въ 11 лотовъ вѣсомъ, въ
которомъ бы золото и серебро входили бы въ отношеніи 17:27. Сколько надобно взять
отъ каждаго сплава?
44.	Нѣкто долженъ уплатить: 1013 р. черезъ 3-і- мц., 431 р. 4-мя мѣсяцами
позднѣе, и еще нѣкорорую сумму опять 4 мц. позднѣе. Какова эта послѣдняя сумма,
если всѣ три суммы онъ можетъ уплатить разомъ черезъ 6 мѣсяцевъ, безъ прибы-
ли и убытку?
45.	Нѣкто долженъ уплатить 1980 р. черезъ мѣсяцевъ; но какъ онъ не
можетъ внести эту сумму разомъ, то уплачиваетъ черезъ 3 мц. 440 р», 1 — мѣся-
18*
- 276 -
цами позднѣе 550 р., а еще черезъ 2 мѣсяца 770 р. Сколько мѣсяцевъ онъ можетъ
удерживать у себя остальные 220 р.
46.	Нѣкто долженъ уплатить 2000 р. черезъ 14 мѣс., но условился со своимъ
заимодавцемъ уплачивать по частямъ въ 5 сроковъ, каждый изъ которыхъ 1Ч2 мѣ-
сяцами больше всего предыдущаго срока, внося въ первую уплату 200 р., а въ каж-
дую слѣдующую 100 рублями больше. Черезъ сколько мѣсяцевъ должно произвести
первую уплату, если ни та, ни другая сторона не должны терпѣть убытку, ни полу-
чать прибыли?
47.	Если А можетъ исполнить нѣкоторую работу въ 2иі дней, В и А вмѣстѣ
въ п дней, и А и С, вмѣстѣ работая, въ т -ф- ~ дней, то сколько дней имъ по-
2,
требуется на окончаніе, если всѣ трое будутъ работать вмѣстѣ?
48.	Нѣкто, живя на дачѣ близъ станціи желѣзной дороги, выходя изъ дому за
20 мин. до отхода поѣзда, всегда во-время поспѣвалъ на поѣздъ. Однажды, будучи
задержанъ въ домѣ нѣсколько болѣе обыкновеннаго, онъ отправился на поѣздъ, идя
со скоростью — обыкновенной скорости своей походки, и все-таки опоздалъ на
поѣздъ 2-мя минутами. Сколько минутъ онъ былъ задержанъ въ домѣ?
49.	Нѣкто незадолго до своей смерти отказалъ одной вдовѣ, жившей въ дру-
гомъ отдаленномъ городѣ, 3800 р., распорядившись, что если она имѣетъ сына, то
взяла бы себѣ -у, а сыну отдала бы — завѣщанной суммы, если же имѣетъ дочь,
то чтобы себѣ взяла а дочери отдала-у названной суммы. Но оказалось, что
вдова имѣетъ сына н дочь, что было неизвѣстно завѣщателю. Спрашивается, какимъ
образомъ сумма 3800 р. должна быть раздѣлена согласно съ волею завѣщателя?
50.	Въ одной древней китайской ариѳметикѣ, называемой Кіу-чангъ, написан-
ной ученымъ Цзинь-Кіу-чау за 2600 лѣтъ до Р. X., помѣщены, между прочимъ, слѣ-
дующія двѣ задачи: 1) въ центрѣ квадратнаго пруда, имѣющаго 10 фут. въ длину
и въ ширину, растетъ тростникъ, возвышающійся на 1 футъ надъ поверхностью во-
ды. Притянутый къ берегу, къ срединѣ стороны пруда, онъ достигаетъ своей вер-
хушкой берега. Опредѣлить глубину пруда? 2) Бамбуковый стволъ въ 10 фут. выши-
ною переломленъ бурею такъ, что если верхнюю часть его нагнуть къ землѣ, то
верхушка касается землп въ разстояніи 3 футовъ отъ основанія ствола. На какой
высотѣ дерево переломлено?
51.	Вывести формулу математическаго учета, если занятая сумма есть а, валю-
та А, срокъ займа і лѣтъ, и годовые проценты і?
52.	Выразить разность между коммерческимъ учетомъ и математическимъ? Ка-
ково ихъ отношеніе?
53.	Въ которомъ часу секундная стрѣлка дѣлить пополамъ уголъ, образуемый
часовою и минутною стрѣлками?
54.	Три кубическіе сосуда А, В и С, объемы которыхъ относятся какъ 1:8: 27,
частію наполнены водою, причемъ количества воды относятся какъ 1:2:3. Изъ
А въ В и изъ В въ С переливаютъ столько воды, чтобы глубина ея во всѣхъ со-
судахъ была одинакова. Послѣ этого переливаютъ 128 у куб. ф. воды изъ С въВ,
а поіомъ изъ В въ А столько, чтобы глубина воды въ А была вдвое больше чѣмъ
— 277 -
ся глубина въ В. Вслѣдствіе этого количество воды въ А дѣлается на 100 куб. фут.
меньше чѣмъ было первоначально. Сколько содержалъ каждый сосудъ первоначально?
55.	Три лошади А, В п С бѣгутъ но бѣговому пути длиною въ 1-1- мили.
Когда В пробѣжала -1- мили, она находилась впереди А, и разстояніе ея отъ А
было втрое больше чѣмъ отъ С. Затѣмъ лошади бѣжали равномѣрно до того момен-
та, когда В находилась на -і- мили отъ призоваго столба, причемъ въ это время С
находилась на столько позади А, па сколько А позади В, а разстояніе между А и
В составляло только -I- часть того, какое было между иимп въ то время, когда В
пробѣжала первую полумилю. Послѣ этого С ускоряетъ свой бѣгъ иа ~ прежней
величины, и проходитъ мимо В на 176-мъ ярдѣ разстоянія отъ столба, а скорости.
А п В остаются безъ перемѣны. Каково было разстояніе между А п С въ концѣ
гоикп?
Примѣчаніе. Миля = 1760 ярдамъ.
56.	Пароходъ, отплывъ изъ Таганрогскаго порта въ 1Ѵ|8 часовъ утра для рейса
въ Аѳины, проходилъ: въ первыя сутки 6 верстъ и долю оставшагося пути, во
вторыя сутки 12 верстъ п опять остальнаго разстоянія, п т. д., т. е. дѣлая въ
каждыя новыя сутки 6 верстами больше противъ предшествовавшихъ и еще оста-
ющейся дороги до Аѳинъ. Требуется узнать: въ которомъ часу пароходъ проходилъ
мимо Константинополя, если морской путь между этимъ городомъ п Аѳинами состав-
ляетъ -1| разстоянія между Таганрогомъ п Аѳинами и если пароходъ шелъ постоян-
но съ одинаковою скоростью?
ГЛАВА 32132.
Уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными.
Опредѣленія. — Начала и методы. — Задачи.
289.	Опредѣленія. Одного уравненія со многими неизвѣстными недостаточ-
но для опредѣленія этихъ неизвѣстныхъ.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть два неизвѣстныя х и у связаны однимъ уравне-
ніемъ, наприм.
4-х— 5у=12.
Выражая отсюда х, имѣемъ
12 + 5?
- 278 -
откуда видно, что величина ж-са зависитъ отъ у, самый же ?/ остается вполнѣ				
произвольнымъ,	такъ-что ему можемъ	давать какія угодно	значенія:	; такъ,
положивъ				
		124-5x0	„		
	у —И, находимъ, что	ж_	_3,		
		124-5 х 1	17		
	У— 1,	2	»	#— < — <; 4	4		
		124-5x2	11		
	3/ = 2,	>	>	х—	4	~ 2’	и т. д.	
Итакъ, одно ур. съ 2 неизвѣстными имѣетъ безчисленное множество
паръ рѣшеній, и слѣд. неопредѣленно.
Если уравненіе содержитъ три неизвѣстныя, то двумъ изъ нихъ можно
Дать произвольныя значенія, а третье неизвѣстное получитъ совершенно опре-
дѣленное значеніе; ур. будетъ имѣть опять безчисленное множество рѣшеній.
Вообще, одно уравненіе съ нѣсколькими неизвѣстными имѣетъ безчисленное
множество рѣшеній и называется поэтому неопредѣленнымъ.
Система совмѣстныхъ уравненій. Когда нѣсколько неизвѣстныхъ должны
удовлетворять одновременно нѣсколькимъ уравненіямъ, то совокупность урній
составляетъ то, что называется системою совмѣстныхъ уравненій.
Простѣйшую систему составляютъ, очевидно, два уравненія съ двумя не-
извѣстными.
Рѣшитъ систему нѣсколькихъ уравненій со многими неизвѣстными зна-
читъ найти значенія неизвѣстныхъ, удовлетворяющія одновременно всѣмъ
уравненіямъ. Такъ, система
4ж — Зу = 8,
7ж-|-2^ = 43
имѣетъ рѣшеніемъ ж = 5, у = 4. потому-что при этихъ значеніяхъ неизвѣ-
стныхъ и то и другое уравненія обращаются въ тождества.
Двѣ системы уравненій называются тождественными, если они прини-
маютъ одни и тѣже рѣшенія.
Начала и методы.
290.	Начало первое. Если р, у, р' и (/ суть количества конечныя, т. е.
не равныя ни 0, ни со, если притомъ р<[ —р'([ неравно нулю, то системы
А = ° ( (1)
В=011'
рА-|-гВ=о < ,9.
тождественны.
Доказательство. Въ самомъ дѣлѣ:
1) Пусть х = а. и у = $ суть рѣшенія системы (1): это значитъ, что при
подстановкѣ въ А и В вмѣсто х количества а и вм. у количества |3, А и В
— 279 —
обращаются въ пули; но какъ р, д,/ и /, по условію, конечны, а произве-
деніе конечнаго количества на ноль равно 0, то при тѣхъ-же значеніяхъ х и
у выраженія _?зА—|-<гВ и _рлА —ог'В обращаются въ нули. Слѣд. х — а. и ?/ = (3
удовлетворяютъ системѣ (2).
2) Пусть теперь х = а и у — Ъ будутъ рѣшенія системы (2), т. е. пусть
при этихъ величинахъ х и у выраженія рА-ідН и УА-^'В обращаются въ
нули; въ такомъ случаѣ и выраженіе
№А4-2В)-^УА + 5'В). . . .(3)
въ которомъ у' и у конечны, а рА-І-дВ и //А-|-д'В равны нулю, обращается
въ ноль; но выраженіе (3) равно
слѣд. и это послѣднее равно нулю; но по условію ру'—р'у отлично отъ нуля,
слѣд. А должно быть равно нулю прн х=а и у—Ъ. Но тогда и рА = О, а
потому ур. рА -1- = 0 обращается въ <?В = 0; а какъ у конечно, то должно
быть В = 0. Итакъ рѣшенія системы (2) удовлетворяютъ уравненіямъ си-
стемы (1).
Мы доказали, что системы (1) и (2) тождественны.
На этомъ началѣ основанъ
291. Методъ уравниванія коэффиціентовъ при неизвѣстныхъ или методъ
сложенія и вычитанія.
Пусть имѣемъ систему двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными
-Ь4у = 76
11ж —9// = 43
Исключимъ изъ этихъ уравненій неизвѣстное «; для этого помножимъ
обѣ части 1-го ур. на коэффиціентъ при х во второмъ уравненіи, а обѣ части
2-го ур. на — 7, т. е. на взятый съ обратнымъ знакомъ коэф. при х въ пер-
вомъ ур-ніи, и полученныя уравненія сложимъ. Такимъ обр. получимъ
Пх-^Щу —	836
— 77ж-|-63?/ = —301
107?/ =	535.
Для исключенія у изъ системы (1), множимъ обѣ части перваго ур-нія на
9, а обѣ части втораго на 4 и складываемъ почленно полученныя уравненія:
63»+36?/= 684
44х — 36?/ = 172
107ж	=856.
На основаніи доказаннаго начала, система ур-ній
107?/ = 535 п 1О7ж = 856 . . . . (2)
тождественна данной системѣ; поэтому рѣшенія системы (2) будутъ удовлетво-
рять и (1). Рѣшая ур-нія (2), находимъ.
535 Е	856	0
?/ = — = 5:	х = — = о,
7	107	’	107
- 280 -
Нетрудно провѣрить, что рѣшенія
х =8 и у — 5
дѣйствительно удовлетворяютъ даннымъ уравненіямъ.
Отсюда
Правило. Для нахожденія одного изъ неизвѣстныхъ, напр. х, умножа-
емъ данныя уравненія на такія количества, чтобы коэффиціенты при дру-
гомъ неизвѣстномъ (у) сдѣлались равными, но имѣли бы противоположные
знаки', затѣмъ полученныя новыя ур-нія почленно складываемъ. Такимъ
обр. неизвѣстное у исключится приведеніемъ и получится ур-ніе съ однимъ
неизвѣстнымъ х, которое уже легко опредѣлить. Подобнымъ же образомъ
найдемъ у, исключивши х.
На практикѣ нужно пользоваться всѣми обстоятельствами, ведущими къ
упрощенію вычисленій. Пояснимъ это примѣрами.
1.	Рѣшить уравненія
Ьх — Пу —17
3®4- 8^ = 71.
Для исключенія у замѣчаемъ, что нѣтъ надобности множить первое ур. на
8, а второе на 12. Въ самомъ дѣлѣ, наим. кратное чиселъ 12 и 8 есть 24, и
для того чтобы коэффиціенты при у сдѣлались равными 24, достаточно первое
ур. помножить на 2, а второе на 3. Сдѣлавъ это, найдемъ:
10» — 24?; = 34
9» 4- 24г/ = 213;
сложивъ почленно оба ур-нія, найдемъ
19® = 247;
откуда
х = 13.
Умноживъ 1-ое ур. на 3, а второе на — 5, имѣемъ
15® — 36г/ =	51
—15® — 40і/ — — 355;
сложивъ эти уравненія, получимъ
— 4^ = — 304,
откуда
2.	Рѣшить уравненія
5® 4~ 2г/ — 40
11® — іу — 4.
Для исключенія г/ достаточно первое ур. умножить на 2, а второе оста-
вить безъ перемѣны (или, что тоже, умножить на 1); найдемъ
10® 4- 4г/ = 80
11® —4у= 4;
- 281 —
сложивъ эти уравненія, получимъ
21а = 84, откуда х = 4.
Умноживъ первое ур. на 11, а второе на — 5, находимъ
55ж4-22у = 440
— 55г 4~ 20у — — 20;
сложивъ, имѣемъ;
42^ — 420, откуда у = 10.
3.	Рѣшать ур-ніл
4ж 4~ 9у = 127
8г — Зу = 23.
Умноживъ второе ур. на 3 и сложивъ съ первымъ, найдемъ
28г = 196, откуда х — 1.
Умноживъ первое на — 2 и сложивъ со вторымъ, получимъ
— 21у = — 231, откуда у = 11.
4.	Рѣшить уравненія
х -}- у = а
х — у — Ъ.
Рѣшеніе этой системы встрѣчается на каждомъ шагу, и весьма просто.
Складывая почленно оба ур-нія, получимъ
2х — а 4- о, откуда	;
ли
вычитая изъ перваго второе, имѣемъ:
П	г	а — Ъ
2у = а — Ъ, откуда у = - —
ли
5.	Рѣшить систему уравненій
(а 4~ ^)х 4- (а — &)у = а2 4~ 2аЬ — Ъ”-
(а3 4- &3)г + (а3 — 63)у = а4 — &4 4- а&(а2 4- Ь2).
Для исключенія у замѣчаемъ, что а3 — 63 = (а — Ь)(а24-«Ь4-^;\ откуда
видно, что достаточно первое ур. помножить на а24-«&4~^25 второе на 1, и
изъ перваго вычесть второе.
Сдѣлавъ это, найдемъ
{(а4- Ь)(а24- 4- &2) — (а3 4- Ь3) }х — (а24- 2аЬ — й2)(а2 4- аЪ 4-	—
{а4 —й44-а&(а24-й2)}
или
2аЪ(а 4- Ъ')х = 2а26(а 4~ &)»
откуда
х~а.
Для исключеніи х, т. е. для нахожденія у, замѣчаемъ, что а3 4~ &3 =
= (а4~&)(а2 — а&4_^2)> и СД,ЬД- достаточно, умноживъ первое уравн. на
- 282 —
а1 — аЪ У\ а второе на 1, вычесть второе изъ перваго. По упрощеніи,
найдемъ
У = Ъ.
6.	Рѣшимъ общія уравненія
ах Ъу — с . . .- . . (1)
а'х-\-Ъ'у — с'........(2).
Для исключенія у умножаемъ 1-е ур. на Ъ', а второе на — Ъ и склады-
ваемъ почленно; так. обр. найдемъ
(аУ — а'Ъ)х = сѴ — Ъс',..........(3)
откуда
__сЪ' — Ъс’
Х аЪ' — а'Ъ
Для исключенія х, съ цѣлію опредѣлить у, умножимъ 1-ое ур. па — а',
второе на -]-а; сложивъ почленно оба ур., найдемъ
(аЪ' — а'Ъ)у = ас' — ас, ....	(4)
откуда
__ ас/ — а'с
У аЪ' — а'Ъ
Уравненія (3) и (4) тождественны уравненіямъ (1) и (2); въ самомъ дѣ-
лѣ, множители р, у, р', у' имѣютъ здѣсь частныя значенія
V, — Ъ, — а!,	о;
поэтому тождество обѣихъ системъ имѣетъ мѣсто всякій разъ, когда аѴ — а'Ъ
не равно нулю. Птакъ: если (аЪ' — а'Ъ') отлично отъ нуля, система ур-ній
ах -\-Ъу = с
а'х Ъ'у = с' I
и.нѣемъ единственное конечное и опредѣленное рѣшеніе'.
сЪ' — Ъс'	ас' — са'
аЪ — аЪ 17 аЪ—аЪ
292.	Начало второе. Если р и д суть количества конечныя и отличныя
отъ нуля, то уп-ніе
М + = О
можетъ замѣнитъ одно изъ ур-ній
А = 0,	В = 0;
то есть системы
А.— 01.,.	А — 0	1 /о\
8 = 0/^ И рА-НВ = 0р2)
тождественны.
Доказательство. Дѣйствительно:
1°. Всякое рѣшеніе системы (1), обращая А и В въ нули, обращаетъ рк
и д'В въ нули, ибо р и у конечны, а слѣд. удовлетворяетъ системѣ (2).
2°. Всякое рѣшеніе системы (2), обращая А въ ноль, тѣмъ самымъ удовле-
творяетъ первому ур-нію системы (1); но если А обращается въ 0, то и рк
- 283 -
равно нулю, а какъ сумма _рА4-дВ, которой одно слагаемое равно 0, также
обращается въ ноль, то должно и другое слагаемое дВ обратиться въ 0; но д
конечно, слѣд. В должно равняться 0. А этимъ доказано, что всякое рѣшеніе
системы (2), удовлетворяетъ и второму ур-нію системы (1).
Тождественность системъ (1) и (2) такимъ образомъ доказана.
На этомъ началѣ основаны методы: подстановленія, сравненія величинъ
неизвѣстныхъ и методъ неопредѣленныхъ множителей или методъ Безу (Везопі).
293.	Методъ подстановленія. Пусть даны уравненія
ах-\-Ъу = с..........(1)
ах-\-Ъ'у = (!........(2)
Опредѣлимъ изъ ур нія (1) х, принимая на время у за извѣстное; находивъ
д.  с — Ьу
а
Подставляя эту величину въ ур-ніе (2), находимъ ур.
.с — Ъу\ . 7/	,
а + =
\ ІЛ /
которое и рѣшаемъ:
а'с — а’Ьу аЪ'у = ас'
(аЪ' — а'Ъ}у = ас! — а'с........'4)
ас! — а'с
у= ..................
Подставляя эту величину у-ка въ Формулу (3), получимъ
, «с7 — а'с
с—Ъ. -г-,---------------------------------„
а о — ао
х —-------------- 
а
саЪ' — Ъа'с — Ъас' Ъа'с.
а(аѴ — а'Ь)
__ а(сЪ' — Ъс') _сЪ' — Ъс!
а(аЪ' — а'Ь) аЪ' — а'Ъ
Нужно доказать, что найденныя такимъ образомъ величины х и у удовле-
творяютъ предложенной системѣ (1) и (2).
Въ самомъ дѣлѣ, перенесеніемъ ах и Ъу въ другую часть замѣняемъ ур.
(1) тождественнымъ ему ур-емъ.
— ах (с — Ъу) = О
и слѣд. вмѣсто системы (1) и (2) можемъ взять ей тождественную:
— ах 4- (с — Ъу) — 0.....(!')
а'х 4- Ъ'у = с'......(2).
Помножая обѣ части ур-нія (1') на ~, а (2) на 4~ 1 п складывая почлен
по, имѣемъ
— ах 4- (с — Ъу)^ 4- а'х 4- Ъ'у = с!\
или	а' (—4- Ъу — с!.
- 284 —
А потому, на основаніи начала втораго, можемъ систему (Г), (2), а сл.
и данную, замѣнить системою
которая и даетъ искомыя рѣшенія.
Ур-нія (6) позволяютъ Формулировать слѣд. правило'. Выводимъ изъ одно-
го ггзъ предложенныхъ ур-ній величину одного изъ неизвѣстныхъ, принимая
другое за извѣстное, гі ггодставляемъ эту величину во второе уравненіе. Изъ
полученнаго так. обр. уравненія опредѣляемъ то неизвѣстное, которое въ
немъ содержится- а внеся найденное неизвгъстное въ первое ур., получимъ изъ
него величину и втораго неизвгъстнаго.
Нужно, впрочемъ, замѣтить, что (4) можно замѣнить ур-мъ (5) лишь то-
гда, когда аЬ' —Ьа'^0.
Приводимъ примѣры.
1. Рѣшить систему уравненій
Зж — Ьу — 2
4®
Рѣшая первое ур-ніе относительно ж, причемъ гу принимаемъ на время за
извѣстное, находимъ:
.... (1)
Подставляя эту величину х во второе уравненіе, имѣемъ:
+	........(2).
Такимъ образомъ получаемъ систему уравненій (1) и (2), которая, по дока-
занному, тождественна съ данною. Рѣшая ур. (2), находимъ
1.
подставляя у вмѣсто у въ ур. (1), получаемъ
2. Рѣшить систему уравненій
(а2 — й2)(5ж Зу) — 2аЦ±а — Ъ)............................(1)
+	=	+	........(2).
Выводимъ изъ перваго ур-нія х, принимая на время у за извѣстное; на-
ходимъ
___2аЬ(4« — Ь) — 3(«2 — й2)у
Х~ 5(а2 —й2)
— 285 —
Подставляя это выраженіе х въ ур-ніе (2), имѣемъ:
+ (« + + с) Ь.[2аЬ(4а-гр-3 -ЬЗД = Ъ*у + аЪ (а^Ь).
а-|-Ь 1	5(а2 — Iя-)	1 ѵ '	'
Освобождаемъ это ур. отъ дробей, помножая обѣ его части на 5(а2 —52);
найдемъ
5а2(а2 — 52) у — 5аЪ*с(а — 5) + 2аЪя- (« + ?> + с)(4а — 5) - 3 (а2 — 52)(а + &+
+ с) Ъу ~ 5(а2 — Ъ^у + і>аЪ!а + 2&)(а2 - 52).
Перенося неизвѣстные въ первую часть, а извѣстные члены во вторую п
вынося за скобки найдемъ.
[5а2 (а2 — 52) — 3 (а2 — Ъ^а + Ъ + с) Ъ - 5 (а2 — ??) Іг] .у =
ЪаЬ (а + 25)(а2 — Ъу + 5а52с (а — 5) — 2а52 (а + Ь + с)(4а — Ъ),
или
(а2 — 52)[5а2—852—ЗаЬ—ЗЬс]у—аЬ^а? + 2а4— 11а54 — За5с — 853 — 352с)
откуда	у —	
Внося эту величину у въ Формулу для ж, найдемъ
аЪ
х = г- ѵ •
а + Ъ
294. Методъ сравненія величинъ неизвѣстныхъ. Пусть требуется рѣшить
уравненія
ах-\- Ъу = с . . . . (1)
ах -\-Ъ'у = с' .... (2).
Выражая изъ каждаго уравненія одно неизвѣстное черезъ другое, папр. х
черезъ у, найдемъ:
. .(3) И	. • .(4)
а	'	а
Вставивъ въ (4) на мѣсто х его величину изъ (3), находимъ уравненіе
с—Ъу_с* — Ъ'у . . . . „х
а	а'	'' '
которое вмѣстѣ съ (3) и составитъ систему, тождественную съ данной. Рѣшая
(5), найдемъ у\ а подставивъ величину у въ (3), опредѣлимъ х.
Итакъ, надо доказать, что система уравненій (3) и (5) тождественна съ
системой (1) и (2). Въ самомъ 'дѣлѣ, перенеся Ъу и Ъ'у во вторыя части дан-
ныхъ ур-ній, найдемъ имъ тождественныя:
ах = с— Ъу...........(1')
а'х — с! — Ъ'у.......(2!)
Помпоживъ (1') на и (2') на--------и сложивъ, получимъ
.... (6).
а а'	х '
а это ур. вмѣстѣ съ (!'), на основаніи начала втораго, можетъ замѣнить систе-
— 286 —
му (Iх) и (2х), а слѣдовательно данную. Умноживъ обѣ части ур-нія (Iх) на
1
— получимъ
С — Ъу.
х =-------,
а
а перенеся------— изъ второй части ур-нія (6) въ первую, находимъ
с7 — Ъ'у__с — Ъу .
а’	а
ур-нія, тождественныя ур-мъ (Г) п (6). Такимъ образомъ даппая система тож-
дественна съ
_ с — Ъу	с—Ъу — Ъ'у .
Я/ —	И		.	*
а а	а
требуемое доказано.
Примѣненіе этого метода, согласно началу II, требуетъ, чтобы а и а' были
количества конечныя, отличныя отъ нуля; а рѣшеніе ур-нія (5) требуетъ кромѣ
того, чтобы аЪ'.— а'Ь было отлично отъ нуля.
Изъ сказаннаго выводимъ третій пріемъ рѣшенія:
Выводимъ изъ обоихъ данныхъ ур-ній величину одною и того же ніиз-
вгъстнаго, напр. х и полученныя выраженія сравниваемъ] такимъ образомъ
получаемъ одно ур. съ однимъ неизвѣстнымъ у, которое и опредѣляемъ. Внеся
найденную для у величину въ одну изъ формулъ для х, находимъ и это не-
извѣстное.
Примѣръ. Рѣшить систему
(3®-У - 1) = ~ + (.У - 1),
— (4ж -}- Зу) = -|- 2.
Освобождаемъ ур-нія отъ дробей, и для этого множимъ обѣ части перваго
на 4, а втораго на 10.—Находимъ:
4х + 2(3ж-у -1) = 1 + 3 {у- 1),
2(4«+ Зу) = 7?/ + 20.
По перенесеніи членовъ и по упрощеніи, имѣемъ
10& — 5?/= 0, или 2«—?/ = 0,
8« — у = 20.
Опредѣляя изъ каждаго ур-нія «/, получаемъ:
у — 2х и у~8х— 20.
Сравнивая оба выраженія для у, находимъ
2х = 8х — 20, или — 6х = — 20; откуда
— 287 -
Вставляя найденное для х число въ Формулу у = 2», найдемъ
«	10	20	«2
’=2><тг=з-=аз-
295. Методъ Безу. Этотъ методъ но существу одинаковъ съ методомъ срав-
ненія коэффиціентовъ или сложенія и вычитанія. Онъ состоитъ въ слѣдующемъ.
Помноживъ одно изъ данныхъ уравненій на произвольнаго множителя, склады-
ваютъ съ нимъ или вычитаютъ изъ него другое, и получаютъ такимъ образомъ
уравненіе, содержащее оба неизвѣстныя и произвольный множитель. Произволомъ
послѣдняго пользуются для исключенія одного изъ неизвѣстныхъ, и слѣд. для
полученія одного уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ.
Приложимъ этотъ методъ къ системѣ
6«4-7у = 4б...........(1)
Ъх + Зу = 27..........(2).
Помножимъ первое ур. на произвольнаго множителя т и изъ полученнаго
ур-нія вычтемъ второе (или, что тоже, придадимъ (2), помноженное на — 1);
получимъ
бтх — 5х 7ту — Зу — 46т — 27, или
(6 т — 5)« -{- (7ж — 3)у = 46ж — 27.
Это ур., въ соединеніи съ однимъ изъ данныхъ, напр. съ (2), составляетъ,
въ силу начала втораго, систему, тождественную съ данною. Такимъ образомъ
вопросъ приводится къ рѣшенію ур-ній
(6ш — 5)&-|- (7т— 3)г/=46т— 27 ... (3)
и	5х -|-3у= 27...........(4)
Произволомъ количества т воспользуемся для исключенія одного изъ не-
извѣстныхъ, напр. у. Для этого опредѣлимъ т подъ условіемъ, чтобы коэффи-
ціентъ при у обратился въ ноль, т. е. чтобы
7т —3 = 0.........(5)
Но значеніе т, обращающее 7т— 3 въ ноль, есть корень ур-нія (5); его
найдемъ, рѣшивъ это ур:
з
т— у •
з
Подставивъ въ ур-ніе (3) — вмѣсто т, получимъ ур. съ однимъ неизвѣ-
стнымъ л, именно:
(6.-|-— 5)х = 4б.у — 27, откуда ж=3.
Подставивъ найденную для х величину въ ур. (4), найдемъ
5.3	Зу = 27, откуда у — і.
Приложимъ способъ Безу къ рѣшенію системы двухъ уравненій въ общемъ
видѣ:
ах-}-Ьу=с
а'х-\-Ъ'у = с!.
- 288 -
Множимъ первое уравненіе на произвольнаго множителя т и вычитаемъ изъ
него второе уравненіе; найдемъ
'ат — а')х	(Ът — Ъ'\у — ст — с!.
Ъ'
Для исключенія у положимъ Ът — Ъ' = О, откуда т = у
Вставивъ это значеніе т въ предыдущее уравненіе, получимъ:
аѴ	,\ сЪ'
-т----а Іх — -=-с :
Ъ	/ Ъ	'
умноживъ обѣ части на 6, находимъ:
(аѴ—а'Ъ)х = сЪ'— с'Ь, откуда « =
Для исключенія х, полагаемъ ат — а' = 0, откуда яг = —; вставивъ эту
СГ
величину т въ то же самое ур., имѣемъ:
/Ъа' ,д са' ,
(-----о іУ—-------с \
Ха га ’
умноживъ обѣ части на — а, получимъ:
(аЬ' — а!Ъ')у=ас' — а'с, откуда У — ^гЕ^'
Полученныя Формулы для х и у имѣютъ одинаковаго знаменателя, который
легко получить, не рѣшая ур-ній, слѣдующимъ искуственнымъ пріемомъ: вы-
писываемъ коэффиціенты при неизвѣстныхъ изъ перваго уравненія, и подъ ни-
ми пишемъ коэффиціенты втораго ур-нія:
затѣмъ перемножаемъ эти коэффиціенты на-крестъ, какъ указываютъ стрѣлки,
причемъ въ произведеніи, взятомъ слѣва на право не измѣняемъ знака (это ука-
зывается знакомъ а въ произведеніи справа на лѣво перемѣняемъ знакъ
на противный (это указано знакомъ минусъ). Такимъ образомъ составится выра-
женіе
аѴ— а'Ъ,
представляющее общаго знаменателя корней. Изъ знаменателя легко составить
числителей; для этого нужно только въ знаменателѣ коэффиціенты опредѣляема-
го неизвѣстнаго замѣнить извѣстными членами изъ соотвѣтствующихъ ур-пій;
т. е. для составленія числителя неизвѣстнаго х нужно вмѣсто а и а' подставить
с и с7, а для составленія числителя у, надо въ знаменателѣ буквы Ъ и V за-
мѣлить соотвѣтственно буквами с и с'.
Такъ, если имѣемъ ур-нія
7 а; -Ьу — КО
13а;— 11у —10,
— 289 —
то знаменатель рѣшеній найдемъ, составивъ табличку,
изъ которой имѣемъ: 7/—11) — 5x13.
Подставивъ въ это выраженіе вмѣсто 7 и 13 соотвѣтственно 60 и 10, и
вмѣсто 5 и —11 числа 60 и 10, найдемъ числителей: для ж: 60.(—11)— 5 X 10,
а для у: 7.10— 60 X 13. Итакъ:
6О.(— 11) — 5.10	— 660 — 50	—710 Е
7.(— 11) — 5.13 ~ — 77 —65 “—142
7.10 — 60.13 _70 —780_ —710_ к
7.(—11) — 5.13 “ —142 “ — 142“
296. Всѣ четыре метода рѣшенія ур-ній имѣютъ одну и туже цѣль: изъ
двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными исключитъ одно изъ неизвѣстныхъ и
получить такимъ образомъ одно уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ, поэтому
всѣ четыре методы суть методы исключенія.
Изъ всѣхъ четырехъ способовъ исключенія — способъ уравниванія коэффи-
иіентовъ самый удобный и всего чаще употребляемый; онъ ведетъ къ болѣе
симметричнымъ вычисленіямъ; но неудобенъ, когда коэффиціенты при неизвѣ-
стныхъ выражаются большими числами или десятичными дробями. Въ послѣд-
немъ случаѣ удобнѣе примѣнять способъ подстановленія- этотъ же способъ удо-
бопрвмѣнимъ и тогда, когда коэффиціентъ при одномъ изъ неизвѣстныхъ равенъ
единицѣ, такъ какъ въ этомъ случаѣ выраженіе неизвѣстнаго черезъ другое не
имѣетъ знаменателя. Способъ сравненія неизвѣстныхъ имѣетъ то неудобство,
что какъ и предыдущій способъ, вводитъ въ уравненія дроби; но при большомъ
числѣ неизвѣстныхъ имѣетъ то преимущество, что дѣлаетъ рѣшеніе уравненій
однообразнымъ. Наконецъ, способъ Везу имѣетъ скорѣе теоретическое, нежели
практическое, значеніе.
297. Задачи.
Рѣшить уравненія:
1.	6ж— у — 34
5х— 4у~3.
2.	7ж— 4?/ = 13.
Зж + 2у — 13.
3.	11ж—13«/ = 25
8ж Зу =:68. 
4.	21«-|-12?/— 87
Збж — 18?/=69.
г 4ж 2у_____Зх 19?/
3 “1Г“4 + 40
х-\-2у 4ж— Зу_11
6’ “б 4	“30
бу — Зх ! 7» — бу_ 37
8	1	6	“144 ’
у—1.3 — 2у х-—8	138
----------іі- = йо
5ж — 1 ! 4«/ — бх_Зу — 8ж_29
1	‘ ІО “ 4 ЗОО'
2х .у + ^х 9у —10 Зж+7
8- у+~у—8-----12~+ 4
ж і У _ 1
3'4	4 *
у — Зх 25
‘------=--------2ж.
6	6
19
— 290 —
Зж 4у + 3 2ж-{-7—у_к у—8
9.	..	-Н- 5
10	15	1
9у-\-Ьх — 8	ж4~У 7» +6
12	4~ — 11
10. 1,2345»+ 1,3579^ = 97,657
7,447ж	5,225у = 54,815.
іі 11+г/Л !—«Л 2
у2—1я;-{-л"2\	1-і-х/ 3(1-|-ж)
3 —Зж 9—у2 3
6 — 2у 1 — ж2 2
14.	= 1- *
а 1 Ъ	с
а ' о ' с
15. ах-)-Ьу — с2
а Ъ
16.	ах — Ъу — а2
(ж-{-а)(у4-&)=(ж — &)(у + а)+а6.
17.	аху — с(Ьх -|- ау)
Ъху — с(ах — Ьу).
18.	(а2—Ъ2)х-[-Ь(а-\-Ъ-[-с)у—аЬ(а-}-2Ь)
. аЪ2с
12. (а — Ъ)х (а -|- Ъ)у = с
(а2 — &2)(ж у) = сі.
2ах 5Ьу_____аЪ
1 ’ 3	~2
іЬх „	6(62 — а2)
___2ад=__—
_2Ъс(а3 — 2а2Ъ За2е)
19. х-\-у— А_й2с_і_з+
а(ж — а2) + 6(у + Ь2) = аЬ(а	6) -|- (а — Ъ)2.
9П о..- 4(415у) __ 16жу — 107
Зж —1 ~ 2ж-|-5
,	. г. 27у2—12ж2-}-38
2 + 6Ж + 9^- Зу-2ж+1	•
21 о । 6 —8у_10 —7ж
2 ‘	' 3 — 2у 4 — ж
бж — 4у 9	Зж — 2у — 1 22(ж 4~ у)2 — 90жу 4~ 23у ® 4~ 1
4ж—бу	Зу — 2ж	(4ж — бу)(2ж — Зу)
21	,	105
ѳѳ___________I__________— л
Зж-|-4у—17~8ж —7у4-22	’
Зж 4у — 17 8ж—7у-{-2
(а2 — &2)(3ж -|- бу) — 8л2Ь — 2аб2.
3
5
1
2
23.		Ц---------
1 —ж-}-у
1
1 1
1—ж4-у 1—ж — у
ж	1 а— о'-
24.	— =------------------ ------
у	а2	Ъ3
а 4- & ' а2 4- + Ь2
25.	(а2 — аЬ Ъ2)х 4- (а2 4~ «Ь4“	= а3(а	~
(а + Ъ)х _ (а — Ъ}у _
Ь	а	'
3
4’
Ъ(а 6) \
в2 + а& + Ь2/	п.„
---!---'---; х — у~2Ъ\
- 291 -
26,	^^ — а^а^Ь2==аЪ
+ а2 —аЬ+Та ~ а^а +
27.	(а4-&)ж4-(а24-Ь2)2/ = а34-Ь3
(а — Ь)х 4- (а2 — Ь2)?/ — а3 — Ь3.
^_і_У_	х х
28.	—Я + Ь . аЬ + -Х1^ = (±±±К±
1	1	1______1	2«Ь2
а -|- Ь ' а — Ь а — Ъ а-^-1)
Ъх-\- ау = 2а2Ь.
29.	(арт -(- Ъс/т)х	(арт+і -|- Ьдт+Г)у — арт+і -]- &2Ш+2
(арп -{- &дя)ж 4- (а_ря+14" Ьд'1+1)2/ — арп+і 4” Ъдп+-.
30.	а(х4-у) 4" Ку 4-2с) — Ъх 4- 2ат
а(х — у) 4- Ь(х — т) = с(2а 4- Ь 4~ 1) 4” У — т-
ГЛАВА 2К32-
Рѣшеніе системы трехъ уравненій съ тремя неизвѣстными.
Опредѣленія. — Начала п методы. — Задачи.
298.	Опредѣленія. Всякое ур. первой степени съ тремя неизвѣстными
можно привести къ виду
ах 4- Ъу 4~ сз — А,
гдѣ а, Ъ, с и й суть нѣкоторыя цѣлыя количества. Если ж, у и г должны
удовлетворять только одному уравненію, то очевидно, что такое ур. будетъ не-
опредѣленно, потому-что двумъ неизвѣстнымъ можно давать совершенно про-
извольныя значенія. Тоже самое будетъ и въ томъ случаѣ, когда три неизвѣст-
ныя должны удовлетворять двумъ уравненіямъ. Такъ, система
ах —|— Ъу 4—	— 
а'х 4- Ѵу 4- с'# == А'
неопредѣленна, потому-что одному изъ неизвѣстныхъ можно давать произволь-
ныя значенія: тогда система послужитъ для опредѣленія остальныхъ двухъ не-
извѣстныхъ.
Но если неизвѣстныя должны удовлетворять тремъ уравненіямъ
ах -|- Ъу 4~ ы — И
а'х 4- Ъ'у 4~ с'я — (Т
а"х 4- Ъ"у 4- с"'г ~
то существуетъ, вообще, одна система рѣшеній, удовлетворяющихъ этимъ ур-мъ.
19*
— 292 —
Двѣ системы называются тождественными, если они удовлетворяются од-
ними и тѣми же рѣшеніями.
299.	Начало I. Система трехъ уравненій
А = 0, В = 0, С = 0...................(1)
тождественна съ системою
А = О, ^АЦ-^В —О, УА 4-2'0 = 0..................... (2)
если количества р, д, р\ д' конечны и отличны отъ нуля.
Въ самомъ дѣлѣ: 1) значенія неизвѣстныхъ, удовлетворяющія системѣ
уравненій (1), обращаютъ каждое изъ выраженій А, В и 0 въ ноль; стало
быть эти значенія обратятъ въ ноль и произведенія рк, дВ, #А и д'С, ибо
р, д, р' и д' конечны; слѣдовательно, величины неизвѣстныхъ, удовлетворяю-
щія системѣ (1), удовлетворяютъ и системѣ (2).
2)	значенія неизвѣстныхъ ж, у, удовлетворяющія уравненіямъ (2),
обращая въ ноль выраженіе А, обратятъ въ ноль и рк и У А, такъ какъ р и
р' конечны; но эти значенія обращаютъ въ ноль суммы рк 4- дВ и р'к 4- д'С,
слѣд. они обращаютъ въ ноль и дВ и д'С; но д и д' отличны отъ нуля, слѣд.
В и С обращаются въ нули при сказанныхъ значеніяхъ неизвѣстныхъ. Итакъ,
корни системы (2) удовлетворяютъ уравненіямъ системы (1).
Примѣчаніе. Можно выбрать р, р', д и д' такъ, чтобы уравненія
рк 4- дВ — 0 и р'к 4- д'С = О
содержали только два изъ трехъ неизвѣстныхъ; т. е. можно исключитъ одно
изъ трехъ неизвѣстныхъ изъ одного изъ данныхъ ур-ній и каждаго изъ двухъ
остальныхъ.
На этомъ началѣ основаны способы исключенія: чрезъ уравниваніе коэффи-
ціентовъ, чрезъ нодстановленіе и чрезъ сравненіе величинъ неизвѣстныхъ.
ЗОО.	Способъ уравниванія коэффиціентовъ. Пусть требуется рѣшить ур-нія
Зж— 2у 4- 5е =13 . . . . (1)
5х 4- ку — З# = 25 . . . . (2)
11ж —6«/ —8^ = 24 .... (3)
удобнѣе исключить изъ этихъ уравненій у.
Для исключенія у изъ (1) и (2), множимъ первое на 2 и складываемъ со
(2), помноженнымъ на 4-1; получимъ
Иж 4-7^=51. . . .(4).
Подобнымъ же образомъ, для исключенія у изъ (1) и (3), множимъ (1)
на — 3, (3) на 4-1 и складываемъ; находимъ
2ж—23# = —15 .... (5).
На основаніи начала I, система уравненій (1), (4) и (5) тождественна съ
данной; и какъ уравненія (4) и (5) содержатъ только два неизвѣстныхч. х и я;
то и опредѣляемъ изъ нихъ эти неизвѣстныя. Для этого множимъ (4) па 2,
(5) на —11 и складываемъ; получаемъ
267^=267,
— 293 —
откуда
2=1.
Подставивъ вмѣсто 2 найденную величину въ ур. (5), имѣемъ
2ж —23 =—15, откуда 2ж = 23 —15 = 8,
и слѣд.	х = 4.
Подставивъ въ ур. (1) найденныя для х и г величины, имѣемъ
12 — 2 г/ 5 = 13,
откуда	У — Ъ.
Итакъ, искомыя рѣшенія суть:
« = 4; у = 2; 2 = 1.
Легко убѣдиться прямою подстановкою ихъ въ ур-нія, что они дѣйстви-
тельно удовлетворяютъ даннымъ уравненіямъ.
301.	Способъ подстановленія. Пусть требуется рѣшить уравненія
ах Ъу С2 = (I . . . . (1)
а'х-\-Ъ'у-]-с2 = й'. . . . (2)
а”х-]-Ъ"у-]-с,2 = й" . . .(3).
Принимая на-время у и 2 за извѣстныя, рѣшаемъ ур. (1) относительно х\
й — Ъу — св	...
*=—і—    т-
Подставивъ вмѣсто х это выраженіе въ уравненія (2) и (3), получаемъ:
= . . . . (5)
а^а~^~с^^-Ъ”у^-с,'2 = й/' . . .(6).
Рѣшаемъ уравненія (5) и (6) относительно у и 2. Освободивъ нхъ отъ
дробей и отъ скобокъ, имѣемъ:
а'й — а'Ъу — а'ся аЪ'у ас'я = ай'
а"й — а!'Ъу — а!'ся -}- аЪ"у -|- ас"в = ай",
или
{аЪ’ — а'Ъуу {ас' — а'с]2 = ай' — а'й
(аЪ" — а"Ъ)у (ас" — а"с)я = ай" — а"й.
Примѣняя Формулы § 291, 6, имѣемъ
__{ай' — а'й){ас” — а’'с) — {ай” — а''й){ас' — а'с)
У	{аЪ' — а'Ъ')(ас" — а"с) — {аЪ" — а"Ъ){ас' — а'с)
___{аЪ' — а'Ъ){ай” — а” А) — {аЪ" — а”Ъ) {ай' — а'й)
2__{аЪ' — а'Ъ){ас" — а”с) — {аЪ" — о!'Ѵ){ас' — а'с)
Раскрывая скобки въ знаменателѣ и въ обоихъ числителяхъ, получаемъ:
для знаменателя выраженіе:
а^Ъ'с!’ — аа!Ъ” — аа"Ъ'с -{- а!а”Ъс — а^Ѵ'чі -|- аа"Ъс' аа'Ъ"с — а'а"&с;
- 294 -
по приведеніи и по вынесеніи за скобки общаго множителя а, этотъ многочленъ
принимаетъ видъ
а{аЬ'с" — а,'Ьс"—а"Ъ'с— аУс' 4~ а"Ъс' 4~ а'Ѵ'с) . . . . (7).
Для числителя Формулы у находимъ
агс"(И — аа'УЛ — аУиѴ -{- а'а!'аІ — аУй" 4~ «'А/й Ц- аа'оИ" — а'аі'сіі,
пли, вынеся за скобки а:
а(ас"й' — а'с"сІ — а'ссі' — (У О"а"с'йа'сй"; . . . . (8).
Раскрывъ скобки въ числителѣ Формулы г, получимъ:
а’Ь'й" — аа!1м" — аа!'ѴсІ а!а"Ъ<1 — а^Ъ"^' 4~ аа"ЪсН	аа'Ѵ'й — а'а"ЪІІ,
пли, по приведеніи и по вынесеніи за скобки а:
а(аЪ'(1" — а'Ы" — а"Ѵ(1 — аЬ"й' + аѢА' + а'Ь"(1) . . . , (9).
Внося выраженія (7), (8) и (9) въ Формулы для у п з, и сокращая на
а, найдемъ:
___аУд! — а'Уй — а"аІ' — ас'й" 4- а"с'(1 4- я'сй"
V аЪ'^' — а!Ъс" — а"Ъ'с — аѴ'с' 4-	4’ л'Ѵ'с
___аЪ'Л" — а'ЪЛ" — а"ѴЛ — аЪ"(1' 4- а"Ы' 4~ а'Ъ"д
2 ~ аШ^1і!Ъс" — а"Ъ’е — аУѴ + а,гЪ<Г^~УУс'
Подставляя найденныя для у п # выраженія въ уравненіе (4), находимъ
Ъ(а^'Л'—а’с"Л—о!'сд!—а,с!й"-\-о!'с'й-\-аІсЛ") с(аЪ'Л’'—а'ЪЛ"—а"Ъ'с1,—(Л"сР-]-а"ЪіІ'-^-а'Ь"ді
ак'с"—а'ЪУ—а!'Ъ'с—аЪ"с'~лга"Ъс'^га'Ъ"с	аЪ'с"—ѴЪУ—а"Ъ'с—аЪ"Ѵ-]-а"Ъс'-\-а,Ус
а
аЬ'с"сІ—а'Ъс"д,—а"Ъ'сЛ—аЪ"Ѵй--а"Ъс’й-\-а'Ъ"ссІ~аЪс"й'~\-а'Ъс"сІ-\а'ІЪсЛ'
___-\-аЬс'Л"—а"ЪѴ й—а'ЪсЛ"—аѴсУ'-\ ()'ЪыІ"-\ а"Ѵсд.^гаѴ'сЛ'—а"Ъсй'— а'Ѵ'сЛ
а{аѴ<і'—а'Ъс"—а"Ь'с—аЪ"с' -^-а"Ъс'-\-а'Ъ"с).
Сдѣлавъ приведеніе и сокративъ на а, получимъ
* _ у у а—і"еа — ъУй’ 4- ъуі" — Ѵеа" 4- Уся
Х аЬ'с" — а'Ъс" — а"Ъ'с — аѴ'с' 4~ а.''ЪУ 4- а'У'с
302. Докажемъ теперь, что уравненія (4), (5) и (6) тождественны даннымъ.
Уравненіе (4) получено изъ (1) перенесеніемъ членовъ Ъу и ся во вторую
часть п дѣленіемъ обѣихъ частей на а, котброе предполагается отличнымъ отъ
нуля; сл. это уравненіе тождественно съ (1).
Помножая уравненіе
А —Ъу — с?____
--------— ОС
а
на а' и складывая со (2), найдемъ, по упрощеніи:
а'
— (Л — Ъу — се) 4- Уу 4~ — И'.
а
Умножая тоже самоеур. на а" и складывая съ (3), по упрощеніи найдемъ
п"
- (Л — Ъу ~ сг) 4- Ъ"у 4~	= й".
А, въ силу начала I, эти три ур-нія тождественны съ данными: требуемое
доказано.
— 295 —
303. Способъ сравненія величинъ неизвѣстныхъ.
Пусть требуется рѣшить уравненія:
5ж —2у4-3г = 35..........................(1)
8ж4-7у —5г = 67..........(2)
9ж — Зу+ 2^ = 58.........(3).
Опредѣляя изъ каждаго ур-нія г, причемъ х и у на-время считаемъ извѣ
стными, найдемъ
35 — бж -(- 2у	...
г~--------...............Ф
— 67 —1~ 8а; -4- Ту	. „
* —-------... (о)
, __ 58 — 9.г + Зу
" ~	2	.........
Приравнивая первое выраженіе г поочередно—второму и третьему, полу-
чаемъ:
35 — 5ж 2у____— 67 4-8я7 у	35 — 5ж 4-	___58 — 9ж4~3у	, о-,
-	_	-	. (/);	_	—	_	.	(й)
уравненія съ двумя неизвѣстными х ъ у.
Докажемъ, что система уравненій: (4), (7) и (8) тождественна данной. Съ
этою цѣлью перенесемъ въ данныхъ уравненіяхъ всѣ члены, за исключеніемъ
содержащихъ г, во-вторую часть; такимъ образомъ найдемъ:
3^ = 35 — 5ж 4~ 2у
— 5г —67 — Зх — Іу
2г — 58 — 9ж 4~ Зу.
Помножая первое изъ этихъ ур-ній на -4’ второе на 4-» и третье на
О	о
1	ж
—и сложивъ первое сначала со вторымъ, а потомъ съ третьимъ, имѣемъ:
„ _ 35 — 5» 4~ 2у . 67 — 8» — 7у
О _	— •	[	-
а_35 — 5»4-2у	58 —9ж4~3у
~	3	~	2
или, по перенесеніи:
35 — 5«4-2у	—674-8ж-|-7у	_ 35 — 5» 4~ 2у _ 58 — 9х 4~ Зу
-----~	“5"------ и ---------3	“	2
Эти два ур-нія, вмѣстѣ съ (4), на осн. начала I, составляютъ систему,
тождественную съ данной. Освобождая ур-нія (7) и (8) отъ дробей, перенеся
извѣстные члены въ одну часть, а неизвѣстные въ другую, и сдѣлавъ приве-
деніе, дадимъ имъ видъ
— 49ж —11у = — 376; 17 ж — 5у = 104.
Рѣшивъ эти ур-нія, найдемъ: ж = 7, а у — 3. Подставивъ эти числа въ
ур. (4), найдемъ: г = 2.
— 296 —
304.	Начало II.— Система уравненій
А = 0, В = 0, С=0......(1)
тождественна съ системою
А = 0
В = 0
»гА + йВ+рС = О........(2)
гдѣ т, п и р—количества конечныя, отличныя отъ нуля.
Въ самомъ дѣлѣ: 1) Всякое рѣшеніе системы (1), обращая въ ноль выра-
женія А, В и С, обратитъ въ ноль и выраженія »гА, иВи^С, такъ какъ мно-
жители т, п и р конечны; слѣд. рѣшеніе первой системы удовлетворяетъ второй.
2)	Обратно: всякое рѣшеніе второй системы, обращая А и В въ нули, удо-
влетворяетъ первымъ двумъ уравненіямъ системы (1). Затѣмъ при А = 0 и
В = 0, произведенія »гА и Вга также обращаются въ нули, потому-что т и п—
конечны; но какъ разсматриваемое рѣшеніе обращаетъ въ ноль выраженіе
тк. иВ 4~рС, котораго два первые члена—нули; то и рС должно обращаться
въ ноль; но р конечно, поэтому С должно обращаться въ ноль; т. е. рѣшеніе
системы (2) удовлетворяетъ и третьему ур-нію системы (1).
На этомъ началѣ основанъ способъ Везу.
305.	Способъ Безу. — Способъ этотъ состоитъ въ употребленіи множителей,
которые затѣмъ опредѣляютъ подъ условіемъ исключенія двухъ какихъ-нибудь
изъ трехъ неизвѣстныхъ. Приложимъ этотъ способъ къ общей системѣ:
ах Ъу 02 — д, . . . .(1)
а х Ъ'у ’сг ~ д! . . . . (2)
а"х-\-Ъ"у-\-с"2=сІ" .... (3).
Помноживъ ур. (1) на произвольный множитель А, ур. (2) па [л, а третье
на 1, и сложимъ пхъ почленно; получимъ ур.
(Ха р-а7 4~а")х 4- № р^'4~ у + 9х + у-с' с")2	4~	• •(4).
Это ур., въ силу начала II § 304, можетъ замѣнить въ данной системѣ
одно изъ трехъ уравненій.
Располагаемъ произвольными множителями X и |л такъ, чтобы исключить
пзъ ур-нія (4) неизвѣстныя у и г. Для этого, очевидно, надо, чтобы коэффи-
ціенты при у и 2 обращались въ нули, т. е. надо положить;
Х& 4~ ц.Ъ' 4~ Ъ" = 0	л&4-іл2/ = — Ъ" 1
^+'^ + <,- = 0 “ Хо+^С' = —е"
Значенія X и а, удовлетворяющія ур-мъ (5) найдемъ, рѣшивъ эти урав-
ненія относительно X и |х; примѣняя правило § 295, получимъ:
_ Ус" _ с’і"	_ сі" — Ьс"
Л~ Ъс' — сѵ^' —
Подставляя эти значенія X и и. въ ур. (4), мы исключимъ этимъ самымъ
у и г, и получимъ ур-ніе съ однимъ неизвѣстнымъ х:
откуда
(Ус" — с'У') й 4- (сЪ" — Ъс") сі' 4- (ЬУ — сУ) й"
(Ус" — УУ') а 4- (сЪ" — Ъс") а' + (Ъс' — сЪ') а" ’
— 297 -
или, по раскрытіи скобокъ:
_ аъ'с"—ас'Ъ'' 4- аі'ѵ — ъа'с" 4- Ъс?а"—сЪЧ"
Х аЪ'с" — ас'Ъ" са'Ъ'' — Ъа'с!' Ъс'а" — сЪ'а"
Приравнивая въ ур-ніи (4) коэффиціенты при х и г нулю, найдемъ у\ а
опредѣливъ для X и и. такія значенія, при которыхъ обращаются въ ноль коэф-
фиціенты при х и уь найдемъ г\
___аЛ'с’’ — ас!й"	са'сі" — Ла'с" йс’а" — сй’а"
V аЪ'с" — ас'Ъ"	са'Ъ" — Ъа'с" -}- Ъс'а" — сЪ'а1' ’
_ _ аЪ'сІ" — аД'Ъ"	аа'Ъ" —Ъа'О," -{- Ы'а!' — сІЪ'а"
а аЪ'с' — ас'Ъ" са'Ъ" — Ъас"-±- Ъса" — сЪ'а"
306.	Разсмотрѣніе общихъ Формулъ предыдущаго параграфа приводитъ къ
къ слѣдующему правилу механическаго рѣшенія трехъ ур-ній съ 3 неизвѣст-
ными (такъ называемое правило Сайпса).
Для составленія общаго знаменателя неизвѣстныхъ, выписываютъ коэффи-
ціенты при неизвѣстныхъ изъ всѣхъ трехъ уравненій, и подъ ними еще разъ
коэффиціенты изъ двухъ первыхъ ур-ній; такимъ образомъ получается табличка:
Затѣмъ перемножаютъ выписанныя буквы наклонно: сначала слѣва на пра-
во, не измѣняя знаковъ этихъ произведеній (что указывается знакомъ а
потомъ справа налѣво, перемѣнивъ прп каждомъ произведеніи знакъ (что ука-
зывается знакомъ —). Такимъ образомъ получается общій знаменатель искомыхъ
рѣшеній:
аЪ'с" а'Ъ"с 4~ а"Ьс' — сЪ'а" — с'Ъ"а — с"Ъа'.
Для полученія числителей; 1) неизвѣстнаго х—нужно въ знаменатель вмѣ-
сто коэффиціентовъ этого неизвѣстнаго	т. е. вмѣсто а,	а'	и	а" подставить из-
вѣстные члены изъ соотвѣтствующихъ	ур-ній, т. е. сі,	&!	и	0,''\ 2) неизвѣст-
наго у—вмѣсто его коэффиціентовъ: б,	V и Ъ" подставить	й,	й' и й"\ 3) нако-
нецъ, неизвѣстнаго .г—вмѣсто с, с' и	с" подставить й,	й'	и	сі".
Примѣръ. Примѣнимъ этотъ механическій пріемъ къ рѣшенію системы:
4ж — 5у .г ~ 6
7ж — 11г/ 4- 2^ = 9
ж4~ г/4-3-? = 12.
Общій знаменатель Б, составляемъ указаннымъ способомъ при помощи таб-
лички:
— 298 —
найдемъ:
0 = 4.(—11).3 + 7.1.1 4-1.(-5).2 -1.(-11).1 - 2.1.4 - 3.(— 5).7
= — 132 4- 7 —10 +11 — 8 +105 — 27.
Назвавъ числителей неизвѣстныхъ ж, у и соотвѣственно буквами
+ и Кг, найдемъ:
= 6(- 11).3 4- 9.1.1. +12.(— 5).2 —12.(— 11).1 — 2.1.6 -3.(- 5).9
= —198 + 9 -120 +132 — 12 +135 = — 54.
Иг/ = 4.(9).34-7.12.1 + 1.6.2 —1.9.1 - 2.12.4 — 3.6.7
= 108 + 84 + 12-9-96 —126 =-27.
И- =4(—11). 12 + 7.1.6 +1.(— 5).9 — 1.(—11),6 — 9.1.4 -12.С- 5).7
= -528 + 42- 45 + 66— 36+420 = —81.
Птакъ:
ж =
Р
_ — 54_
— — 27 “
— 27
— 27
=1;
к2
р
__ — 81_
~ —27“
307.	Задачи.
Рѣшить уравненія
1.	Зх — 2у + 4в = 9
ох — 4у — &8 = 1
х + у — 38 — 1
2.	ох— Зу-{-28 = 19
4х -}-5у— 38—31
Зх + Чу — 48 = 31
3.	5а:— 2у + 3г =12
4х~І~ Зу-]- 78= 19
7х— 4^ + 88 = 25
'4. 23а:—35г/ + 52=118
24а + 75у — 42г =53
— 51» +67т/+32^ = 183
5х— 7^ + 2	8ж+3г— 4
а:	у .78___147
~2~ Т ‘ 40“ Т
6. 13 а: — Зу + 7:2=58
15а: + 4г/ — Зг= 97
Зх +8^=31.
7. 1,5»—2,52/+2г = 2]5
3,5а+ у—1,5й=1.
23+1,5?/—0,5=3,5.
11г/ — 58 — 4х + 18
14
11ж — 5г+12	3^ + 7г — 2х 88 — Зх-^-82
14	18	~	21
За;—у — 2г = 16.
о
аж 4- Ъу св = №2
(а 4- 7г) х 4- (Ъ 4- 1і) у 4- (с 4- А) г = п*
(а 4- 27г) х 4- (Ъ 4- 27?) 3/ 4~ (с 4~	2
— ЗОО —
«	XXI.
Рѣшеніе системы уравненій первой степени съ какимъ угодно
числомъ неизвѣстныхъ.
Общій методъ. — Методъ Безу. — Случаи упрощенія; искуственные пріемы. — О си-
стемахъ уравненій, въ которыхъ число неизвѣстныхъ не равно числу уравненій: слу-
чаи несовмѣстности (условныя уравненія) и неопредѣленности. — Задачи.
Общій методъ.
308. Начало.— Пустъ дана система р уравненій первой степени, съ р
неизвѣстными:
А = 0, В О, С = 0, П = 0,...............К	= 0, 1 = 0 ... (1)
если дап ?и2, и2,........... тр_1, пр_х суть количества конечныя и
отличныя отъ нуля, то система р уравненій
А=0,
да,А4-»1в=о,
да2А-|-и2С = О,
игр-іА + мр-іЬ = О
тождественна данной.
Въ самомъ дѣлѣ: 1) рѣшенія системы (1), какъ обращающія въ нули вы-
раженія А, В, С, . . . , К, Ь, обращаютъ въ нули и произведенія т^К, «,В,
№2А, и2С, . . . . , тр_Д, прЧ1, такъ какъ количества тх, пх, . . . конеч-
ны; слѣд. эти рѣшенія удовлетворяютъ системѣ (2).
2) Рѣшенія системы (2), обращая въ нуль А и (да^ + ^В), обращаютъ
въ ноль и В, такъікакъ тх конечно, и и, отлично отъ нуля; такимъ же обра-
зомъ они обратятъ въ нуль и С, Б, . . .1; слѣд. эти рѣшенія удовлетворя-
ютъ системѣ (1).
309. Методъ. — Количества тх, пх, . . . . , да ъ выбираютъ та-
кимъ образомъ, что исключить одно и тоже неизвѣстное изъ (р — 1) уравненій,
напр. изъ послѣднихъ; такимъ образомъ данная система (1) замѣнится новою:
А = 0, В, = 0, С, = 0, О, — 0,..............  К,	= 0, Ь1==0 ... (2)
тождественною съ (1); но въ ней ур. А = 0 содержитъ всѣ неизвѣстныя, а
остальныя р—1 уравненій содержатъ только р — 1 одинаковыхъ неизвѣстныхъ.
Подобнымъ же образомъ систему (2) замѣняютъ системою
А = 0, В, = 0, С2 = 0, В2 = 0,..........., К2 = 0, Ь, = 0 ... (2)
тождественною со (2), а слѣд. и съ (1); но въ этой новой системѣ уравненіе
А = 0 содержитъ всѣ неизвѣстныя, В,=0 только р — 1 неизвѣстныхъ, а
остальныя уравненія содержатъ однѣ и тѣ-же неизвѣстныя въ числѣ р — 2.
— 301 -
Продолжая такимъ же образомъ, достигнемъ наконецъ того, что данная си-
стема будетъ замѣнена новою, ей тождественною системою
А = 0, В, = 0, С2 = 0, И3 = 0,............... Н„_3 = 0, Кр.2 = 0, 1^ = 0,
въ которой уравненіе 1^ = 0 содержитъ только одно неизвѣстное, Кр_2 = 0
содержитъ это-же самое неизвѣстное и еще одно, Нр_3 = 0 содержитъ эти два
неизвѣстныя и новое, и т. д., наконецъ ур. А = 0 содержитъ всѣ неизвѣстныя.
Рѣшивъ ур. Ьр_, = 0, опредѣлимъ то неизвѣстное, которое въ немъ со-
держится. Внеся его величину въ ур. Кр_2, найдемъ изъ него еще одно неизвѣ-
стное. Внеся величины этихъ двухъ неизвѣстныхъ въ ур. Нр_3 = 0, найдемъ
третье неизвѣстное, и т. д. всѣ неизвѣстныя будутъ послѣдовательно найдены.
Примѣръ. — Рѣшить уравненія
1)	Зж — 4г/ -[- Зг	3?" — би —11 1
2)	Зж — Ъу -|- 2г — 4м = 11	|
3)	10г/— Зг— 2®-[-Зм = 2	> I.
4)	— 2ж	Ъг -[- 2г’ 4м = 3
5)	4ж — 2г/	— Зг1 -[- Ъи — 6
Исключаемъ изъ данныхъ уравненій неизвѣстное ж; для этого комбиниру-
емъ ур. (1) съ каждымъ изъ остальныхъ, за исключеніемъ (3), которое уже
не содержитъ ж. Вычтя (2) изъ (1), находимъ:
у г -[- Зг’ — 2м = 0.
Помноживъ (1) на 2, а (4) на 3, и сложивъ ихъ, имѣемъ
— 8г/21г-[-12® = 31.
Наконецъ, умноживъ (1) на 4, а (5) на — 3, и сложивъ, получимъ:
— 10г/ -[-12^— 42м -[- 21® = 26.
Такимъ образомъ, на основаніи общаго начала, замѣняемъ данную систему
ей тождественною:
1)	Зж— 4г/ Зг -)- Зѵ— 6м = 11
2)	у	г	Зѵ — 2м = 0 |
3)	— 8г/ 4- 21г +12®	=31	I Ц.
4)	— 10г/+ 12г + 21® —42м = 26 |
5)	Юг/— Зг — 2®+ Зм= 2 )
Исключаемъ теперь у изъ (2) уравненія системы II и каждаго за нимъ
слѣдующаго; для этого множимъ ур. (2) на 8 и складываемъ съ (3); затѣмъ
множимъ (2) на 10 и складываемъ съ (4); наконецъ, помноживъ (2) на 10,
вычитаемъ изъ него (5). Такимъ образомъ найдемъ систему ІИ, тождественную
II, а слѣдовательно и предложенной:
Зж — 4г/ Зг 3® — 6м =	11 ]	
г/ 4~ г Ц- 3® — 2м =	0	
29г 4~ 36® — 16м = 22г -[-51® — 62м = 13г 4-32® — 23м =	31 26 - 2	> III.
— 302 —
Исключая в изъ трехъ послѣднихъ уравненій, найдемъ:
З.г — 4і/3^4~	Зѵ— 6?і =	11	)
у -[- я-\- Зі? —	О I.
13*4- 32«— 23м = — 2 I іу.
— 4601? 459м = 461
41і? +300м = —382
систему, тождественную данной.
Исключая наконецъ и изъ послѣднихъ двухъ уравненій системы IV, на-
ходимъ тождественную ей систему;
1)	Зх— 4і/ -[- 3 г-[- Зі?— 6м =	11 }
2)	у 4- # 4" Зі? — 2и — О 1
3)	13^4-321?— 23м =	—2 I у.
4)	4-411? 4-30011=	- 382 I
5)	1568191? = - 313638 )
Послѣднее ур. этой системы прямо даетъ: і?= — 2. Подставляя вмѣсто г
число —2 въ ур. (4), находимъ: « = — 1. Подставляя найденныя для и и ѵ
величины въ ур. (3), находимъ: *=3. Наконецъ, изъ втораго и перваго ур.
получаемъ: у = 1 и ж = 2.
Методъ Безу.
310.	Начало. — Если а, (8, у, . . . . , X суть количества конечныя и
отличныя отъ нуля, то уравненіе
аД 4- рВ 4-уС + . . . .4-ХЕ = 0
можетъ замѣнить одно изъ п уравненій системы
А = 0, В = 0, С = 0,...............  Ь	= 0,
т. е. системы
аА4-0В4-уС4- .
и
4~хь=о
в=о
0 = 0
II
1=0	ь=о
тождественны.
Въ самомъ дѣлѣ: 1) всякое рѣшеніе системы I удовлетворяетъ уравненіямч.
системы II, такъ какъ В, 0, , . . , Ь, а также и сумма аА4~рВ + . . 4~ХЬ
обращаются въ нули; 2) обратно, всякое рѣшеніе системы II, обращая вч,
нуль выраженія В, 0, . . . , Ь, удовлетворяетъ всѣмъ уравненіямъ системы
I, кромѣ ур-нія А = 0; а обращая въ нуль, вмѣстѣ съ выраженіями В, 0, . . , Ь,
также и выраженіе аА4-рВ4~уС4- • . • 4_^5 приводитъ первое ур. систе-
мы II къ виду аА = 0, откуда и А = 0, ибо а отлично отъ нуля.
- 303 —
311.	Примѣненіе метода Безу состоитъ въ выборѣ неопредѣленныхъ мно-
жителей такъ, чтобы изъ ур-нія аА	. 4~ ХЬ = 0 исключить всѣ
неизвѣстныя, за исключеніемъ одного; а это всегда возможно, потому-что при-
равнивая нулю коэффиціенты этихъ п — 1 неизвѣстныхъ, получимъ п — 1
уравненій, которыя умѣемъ рѣшать.
Примѣръ. — Рѣшить систему уравненій:
х-\-2у-\-	Зг-|-4м=27	(1)
Зж + 5</+	7г-|- и —48	(2)
5ж-|-8г/-|-10г—2м = 65	(3)
1х-\-^у-1-	5г-|- 4м = 53	(4).
Помноживъ первое ур. на т, второе на и, третье на р, четвертое на 1
и сложивъ ихъ, найдемъ:
(иг-|-Зи-|-5^-|-7)ж-|-(2т+5и+82)+6)у-|-(Зт+7и+10^-|~5)^-|-(4»г-|-и—2р-|~ 4)«
=27ш-}-48и+65^+53.............................................(5).
Приравнивая нулю коэффиціенты при ж, у и г, находимъ первую вспомо-
гательную систему уравненій:
т -1- Зи -|- Ър~— 7
2т 4- 5и -|- 8р = — 6
Зт -1- 7и -1- Юр = — 5.
Рѣшивъ эту систему, найдемъ: т = 17, п = — 8, р = 0. Подставивъ этп
величины въ уравненіе (5), получимъ: 64» = 128, откуда м = 2.
Подставивъ найденную для и величину въ первыя три изъ данныхъ урав-
неній, найдемъ систему уравненій съ тремя неизвѣстными:
ж-|-2у-|- Зг = 19	(6)
Зж-|-5у-{- 7г = 46	(7)
5ж -4-8?/ 4- Юг = 69	(8).
Умноживъ первое изъ этихъ уравненій на г, второе на у, третье на 1 и
сложивъ ихъ, имѣемъ:
(»-+32+5)ж4-(2г4-524-8)?/-|-(Зг4-574-10>=19г4-4б7469 .... (9).
Приравнивая нулю коэффиціенты при х и у, получаемъ другую вспомога-
тельную систему уравненій:
г 4~ іу =— 5
2г 4- 5? = - 8;
рѣшая ее, находимъ: г = 1, у = — 2. Подставляя эти величины г и у въ
уравненіе (9), находимъ: г = 4.
Подставивъ найденную для г величину въ ур-нія (6) и (7), имѣемъ
ж4-2з/= 7. . . .(10)
Зж-|- 5р = 18 .... (11).
Умноживъ ур. (10) па 8 и сложивъ съ (11), имѣемъ:
(а-|-3)ж-|-(2.?-]-5)у = 78-|-18 . . , .(12).
— 304 —
Положивъ 8-}-3 = 0, откуда «= — 3, и подставивъ эту величину 8 въ
ур. (12), имѣемъ
— у —— 3, или у = 3.
Подставивъ 3 вмѣсто у въ уравненіе (10), найдемъ: « = 1.
312.	Случаи упрощенія. — Пзъ предыдущаго видно, что процессъ рѣшенія
системы уравненій вообще довольно сложенъ, особенно если число неизвѣстныхъ
велико. Но иногда его можно упростить; случаи для упрощенія представляются
тогда, когда не всѣ неизвѣстныя входятъ въ каждое уравненіе, или же когда
уравненія представляютъ нѣкоторую симметрію по отношенію къ неизвѣстнымъ.
Когда не всѣ уравненія содержатъ всѣ неизвѣстныя, тогда начинаютъ съ
исключенія того неизвѣстнаго, которое входитъ въ наименьшее число уравненій,
ибо тѣ уравненія, въ которыя это неизвѣстное не входитъ, можно считать ре-
зультатами его исключенія.
Примѣръ I. — Рѣшить систему уравненій
2ж — 5г-[-4м = 7
-- У~\~6г — 3« = 3
— 7«4-4?/	=10
— 5»	-|-6г	=20.
Исключая и, которОе входитъ только въ первыя два уравненія, получаемъ
ур-піе
6« — 4«/	= 33,
которое вмѣстѣ съ уравненіями
 у —6г — Зи = 3
— 7ж + 4?/	=10
— 5«	-{- 6г =20
составляетъ систему, тождественную съ данною.
Исключая во второй системѣ у изъ перваго и третьяго уравненій, полу-
чаемъ систему
— ^-|~6г—Зг<= 3
— х	+ 9г	=43
— Чх-^-іу	=10
— 5ж	4-6г	=20
тождественную со второю, а слѣд. и съ данною.
Исключая въ ней х изъ втораго и четвертаго уравненій, находимъ тожде-
ственную данной систему:
  у —|— 6г  Зи —. ~ 3
— 7«4-4?/	= 10
— х 9г =43
39г	=195.
Изъ послѣдняго уравненія находимъ: г—Ь. Вставивъ вмѣсто г его вели-
чину въ третье уравненіе, найдемъ: ж = 2; затѣмъ изъ втораго урав. полу-
чимъ: у — 6\ наконецъ, изъ перваго: и — Ч.
— 305 -
Примѣръ II. — Рѣшить систему уравненій
х 4~ 2у = 5
у + & =
г 4и= 19
и Ы = 29
24- б.т=и.
Выражая изъ пятаго уравненія і черезъ х, имѣемъ: 2 = 11 — 6х. Встав-
ляя вмѣсто і его величину въ четвертое ур,, получимъ: ?/ = 29 — 5(11 — 6а?) =
— 26 4-30 х. Вставляя вмѣсто и полученную величину въ третье ур., най-
демъ: я = 123— 120а?. Подобнымъ же образомъ, изъ втораго ур. имѣемъ:
?/ =— 358 4- 360а?. Вставивъ вмѣсто у найденное выраженіе въ 1-оеур., най-
демъ изъ него: а? = 1. Всѣ остальныя неизвѣстныя выражены черезъ а?, а
потому ихъ легко теперь вычислить. Найдемъ: у = 2, я=3, « = 4 и 2 = 5.
Примѣръ. III. — Рѣшить систему уравненій:
а; 4~ У 4~4" м =
у —||— и —|— 2 — Ь
г 4 «4~ 4-^— с
4~ 2 4-а? 4 ?/—6,7
2 ~-а?4-?/4 ,г = е.
Въ этой системѣ неизвѣстныя выходятъ симметрично—каждое одинаковое
число разъ; это обстоятельство позволяетъ найти сумму всѣхъ неизвѣстныхъ:
для этого стоитъ только сложить всѣ уравненія и результатъ раздѣлить на 4.
Такимъ образомъ получимъ
х-\-уД-^і^и=	• • • .(1).
А какъ въ каждое уравненіе не входитъ по одному только неизвѣстному,
то вычитая изъ 'уравненія (1) послѣдовательно каждое изъ данныхъ, опредѣ-
лимъ всѣ неизвѣстныя. Получимъ:
Ъ —р с 4 б2 4~ е — Ва
_ . ,
«4 <?4'62 -ре — ВЪ
а 4 & 4* 4~е — зг
4
а 4* & 4е 4 е —
I
а -Р Ъ -р с 4 $—Зе
Здѣсь сумма всѣхъ неизвѣстныхъ, съ опредѣленія которой мы начали,
представляла вспомогательное неизвѣстное, позволившее скорѣе опредѣлить
каждое неизвѣстное въ отдѣльности. Вотъ еще примѣры употребленія вспомо-
гательныхъ неизвѣстныхъ.
2 =
х —
У =
% —
и —
20
— 306 —
Примѣръ. IV. — Рѣшить систему уравненій
а	.	Ъ
х + у	1	х	—	у
й	!	е	__
« + У	1	х	—	У
Освобождая уравненія отъ дробей, мы нашли бы уравненія, въ которыхъ
нѣкоторые члены содержали бы вторыя степени неизвѣстныхъ; но легко избѣ-
жать полученія уравненій второй степени, введя вспомогательныя неизвѣстныя,
и именно полагая:
1 1
—. — — и, --------— ѵ.
х + у х — у
Данныя уравненія примутъ видъ:
аи -|- Ъѵ — с, сіи -|- еѵ =
Рѣшая ихъ, найдемъ:
се — ЪГ	а/—ей
и =------=-7 и ѵ =-----------=-г •
ае — Ъа	ае — Ьа
Подставивъ вмѣсто и и ѵ ихъ выраженія черезъ х и у, найдемъ
1 а/—сН
х — у ае — Ъ(1>
1 ______се — Ъ/
х -|- у ае — Ъ<1
и
откуда
ае — ЪН
се — Ъ/
и
ае — ЪН
х-У = ^Тй-
Сначала складывая, а потомъ вычитая эти ур-нія, найдемъ:
__ 1 (ае—Ъй । «е — Ъй\	_ 1 (ае— ЪН ае —
Х 2 Ісе—Ъ/' а/—сЛ) И	2 \се — Ъ/ аТ—
Примѣръ V. Рѣшить систему уравненій
ах т (у -|- г -|- и) = а
Введемъ вспомогательное неизвѣстное, положивъ:	+ + м = дан-
ныя уравненія примутъ видъ:
Ни т(8 — и) — 8.
Выводя изъ перваго ур-нія х, изъ втораго у и т. д., найдемъ:
й— ти8
А— т'
а — ти8 /3 — ти8
х —-----, у — -----
а — т Ь —т
7 — »і8
с — т
(!)•
и —
Складывая почленно эти уравненія и замѣчая,
с « — »і8 . /5 — т8 । 7 — »п8
О =-------н --------------
а —т 1 о — т 1 с — т
что въ первой части полу-
й — ®.8
й — т
- 307 -
Изъ этого уравненія—первой степени относительно 8, найдемъ это вспо-
могательное неизвѣстной; зная его, изъ уравненій (1) найдемъ ж, у, г и и.
Приведемъ еще примѣры искуственныхъ пріемовъ, облегчающихъ рѣшеніе
уравненій.
Примѣръ VI. Рѣшить систему уравненій:
ху _________________ 1 Х2 ________ 1 у 8	___ 1
ау-\-Ъх	с'	аг -\-сх	Ь ’	Ъя-\-су	а
Обращая дроби, найдемъ:
Складывая эти уравненія и обозначая, для краткости, сумму «4~^4~сче'
разъ 28, находимъ
—4"~—
X 1 у 1 8
Вычитая отсюда поочередно каждое изъ предыдущихъ уравненій, находимъ:
с г,	Ъ	«	а	 г,
— — 8 — с: — = 8 — Ь: — — 8 — а\
8	У	х
откуда
а	Ъ	с
х=^------’ У=ъ------г’ # — н-----
8 — а '}	8 — Ь 8 — с
Примѣръ VII. Рѣшить систему уравненій:
я 4" ау 4~ а^х 4- а3 = О
я 4~ Ъу 4- Ъіх + № — О
4~ су 4- 4- с3 = о.
Можно-бы было рѣшить эти уравненія способомъ исключенія черезъ сло-
женіе и вычитаніе, но проще употребить слѣдующій искуственный пріемъ. Дан-
ныя уравненія выражаютъ, что полиномъ
Х34-жХ2+*/Х + ^
обращается въ нуль при подстановкѣ вмѣсто X количествъ а, Ъ и с; слѣд. онъ
дѣлится на произведеніе (X — а)(Х — Ь)(Х — с), причемъ частное равно 1, по-
тому-что первый членъ дѣлителя есть X3. Итакъ, имѣемъ тождество:
X3 4-жХ2 4-г/Х 4-г = (X — а)(Х — Ь)(х - С),
или, по раскрытіи произведенія:
хз 4- жХ2 4- г/Х 4- =хз — (а ь 4~ с)Х2 4- (°$ 4-ас 4-	—а^с>
откуда, приравнивая коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ X, находимъ:
х — — (а4~^4~с)і у~аЪ-\-ас-\-Ъс\ я= — аЪс.
313.	О системахъ уравненій, въ которыхъ число неизвѣстныхъ не равно
числу уравненій. Когда число уравненій равно числу неизвѣстныхъ, то система
имѣетъ, вообще, одно опредѣленное рѣшеніе. Разсмотримъ теперь случаи, когда
число неизвѣстныхъ не равно числу уравненій.
314.	Теорема.—Система уравненій, которыхъ число меньше чи-
сла неизвѣстныхъ, неопредѣленна.
20*
— 308 —
Пусть имѣемъ т уравненій, содержащихъ т-\-р неизвѣстныхъ. Можно
дать произвольныя значенія р неизвѣстнымъ; тогда получится система т урав-
неній, изъ которой опредѣлятся остальныя т неизвѣстныхъ. Слѣд., система
имѣетъ безчисленное множество рѣшеній, что выражаютъ однимъ словомъ, го-
воря, что система неопредѣленна.
315.	Теорема.— Система уравненіи, число которыхъ больше чи-
сла неизвѣстныхъ, вообще невозможна.
Пусть число уравненіи превышаетъ число неизвѣстныхъ; пусть напр. имѣ-
емъ т-\-р уравненій съ т неизвѣстными. Взявъ т изъ числа данныхъ урав-
неній, въ которыя входили бы т неизвѣстныхъ, и рѣшивъ ихъ, опредѣлимъ
эти т неизвѣстныхъ. Если окажется, что найденныя величины удовлетворяютъ
и остальнымъ р уравненіямъ, то заключаемъ, что система имѣетъ одно опредѣ-
ленное рѣшеніе. Если же окажется, что значенія, найденныя для т неизвѣст-
ныхъ, не удовлетворяютъ остальнымъ р уравненіямъ, это будетъ значить, что
система не имѣетъ рѣшеній; въ такомъ случаѣ говорятъ, что она невозможна,
или что уравненія несовмѣстны.
Примѣръ I. Рѣшить систему трехъ уравненій съ двумя неизвѣстными:
За; 4" 2у — 5 = 0
Чх — Зу+ 2 = 0
_ж_|_ 7^-12 = 0.
Рѣшаемъ послѣднія два уравненія и находимъ, что имъ удовлетворяютъ:
11	41
х — ~ и у—-. Вставивъ эти величины въ первое уравненіе, замѣчаемъ,
до	2 о
что оно обращается въ тождество. Слѣд. система возможна и имѣемъ рѣшеніе:
11	41
Х 23’ У 23'
Примѣръ II. Рѣшить систему
Чу — 46
5ж4-3*/=27
х-\- 2у = 14.
Первыя два уравненія имѣютъ рѣшеніе: ж=3, у = і. Но эти значенія не
удовлетворяютъ третьему уравненію, слѣд. предложенная система несовмѣстна.
Когда число уравненій превышаетъ число неизвѣстныхъ, и ур-нія имѣютъ
буквенные коэффиціенты, то можно предложить себѣ вопросъ: при какой зави-
симости между коэффиціентами найденныя дла пг неизвѣстныхъ величины бу-
дутъ удовлетворять и остальнымъ р уравненіямъ? Эти р условій обыкновенно
называютъ условными уравненіями.
Примѣры. I. 6«-1-Чу = 46, 5а?4~3«/—27, аж4~2у=14.
Первыя два уравненія удовлетворяются при а? = 3 и у = 4.
Для того чтобы всѣ три уравненія были совмѣстны, необходимо, чтобы тѣ
же значенія х и у удовлетворяли и третьему уравненію, т. е. чтобы существо-
вало тождество
За8 = 14, откуда а = 2.
Птакъ, система совмѣстна при а = 2.
— 309 —
II. ах-^Ьу-^с — О:, а'х-\-Ъ'ус'—	а"х~\-Ъ"у -{- с" = 0.
Рѣшая первыя два уравненія, найдемъ:
Ъс' — сѴ	со! — а<!
X — Т7---Г-7’	У ~ ~Г7---ГТ'
аЪ — Ъа'	•’ аЪ — Ъа
Для того чтобы система была совмѣстна, необходимо, чтобы тѣ же рѣше-
нія обращали въ тождество и третье уравненіе, т. е. чтобы (по освобожденіи
отъ знаменателя)
а"(Ъс' — сѴ) 4~ Ъ"(са' — ас') с"(аЬ' — Ъа') = О,
или	аУс" — ас!Ѵ са'Ъ" — Ъа!с" йсѴ'' — сЬ'а!' = 0.
Легко видѣть, что первая часть этого условія есть ничто иное какъ знаме-
натель значеній неизвѣстныхъ, удовлетворяющимъ тремъ уравненіямъ съ 3 не-
извѣстными въ общемъ видѣ.
III. Пусть даны шесть уравненій съ 3 неизвѣстными:
8— 9
Зж — у-\- 2^ = 10
2х-\-1у — Зя = 8
ах — Ъу-\-сг = 2^
ах-\-Ъусг — 44
Юах ЗЪу — сг = 26.
и требуется опредѣлить, при какихъ значеніяхъ коэффиціентовъ а, Ъ п с эти
шесть уравненій будутъ удовлетворены одними и тѣми же значеніями не-
извѣстныхъ.
Рѣшивъ первыя три уравненія, не содержащія а, Ъ и с, найдемъ: х = 1,
у — 3, #=5. Эти величины должны удовлетворять тремъ послѣднимъ уравне-
ніямъ, т. е. должны существовать равенства
а— 365с = 20
а 4- 36 4- ^с = 44
10а 4- 9& — 5с = 26.
Рѣшивъ эти уравненія относительно а,
творяются при а = 2, 6 = 4, с = 6: прп
шесть предложенныхъ уравненій совмѣстны.
& и с, находимъ, что они удовле-
этихъ значеніяхъ коэффиціентовъ
316. Задачи.
Рѣшить уравненія:
1.	я:4-3?/4-2г=11
2ж-|-«/4- 3^ = 14
Зж 4- 2у 4~ &1— 11.
2.	5ж—6г/-|-4г= 15
7ж 4- 4у— 3^=19
2ж-}-г/-|-б2 = 46.
3.	х2уЗг = 6
 2х-)- 4у~)-2г = 8
Зх 4~ 4~	101’
4.	бу— 4х = 3г— 7
5г — х = 2у — Зг
у — 2г —Зу — 2х.
5-	І+1+т=58
х у .1г___174
{Г ^40~’б ‘
— 310 —
8.
6. 3,14ж—7,13г/4~2,05г= 7,431
0,9ж + 4,21г/ — 1,04г = 3,993
2,57ж—0,84г/-[-2,11г=10,418.
7. Зж —4г/-{-5г=13
9ж— 15 — Зг= 6м
7у — 8г іи — 21
19 — Зж іи = 10г.
8ж—2г/ 19 — Зж -|- іу Зж — 2г/ -{-4г	5
6	~4	“	5	"З
5ж—8г  8г/—Зж	4г—Зг/—13 13
4~	2	5	“20
21ж—5г/	14—Зг	7г—5ж  п 17
~15	~~6	4	—9 — 48 '
9.	7ж —2г 4~ Згг = 17
4г/ — 2г -{- і = 11
5г/— Зж — 2м = 8
4г/ — Зм -{- 2і = 9
Зг -|- 8м = 33.
10.	2ж — Зг/-{-г=5
2и — Зж -|- у — 5
5г/ — 2г 32 = 6
4г — Ы и = 6
2і — Зм — 4ж = — 17.
11.	2ж—3г-|-м=3
Зг/-|-2г —2 = 17
4г — у — 2м = 4
оу— 8гг-|-22 = 6
ІА	12 2ж-|-3г/	7,5 _ Зж-|-4г 1
30	4- 37	з
Зж-)-4г	1 5г/4-9г
222	8	5
5г/4“ 9^	2ж 4~ Зг/
17. і = ж-|-г/	1 Т
	1
х-\-в	"б
уз _	1
у+з~	7
хи
18.	—=т-=20
4г/— Зж
-15
2ж — Зг
уз
. -г . —12.
4г/ — 5г
19.	ж-|-г/-{-г = а-|-Ь-|-с
Ъх	су -|- «г = а2	Ь2 -{- с2
сх -{- ау Ьг = а2	Ь2 с2.
20.	ах	Ъу 4~ сг = (Ь -{- с)2 — а2
Ъх	су аг = (с	а)2 — Ь2
сх ау -{- Ьг = (а -{- Ь)2 — с2.
21.	ах-\-Ъу— св = 2аЪ
Ъу-\- сг — ах = 2Ъс
сз-\-ах — Ъу — 2ас.
г-{-2гі = 7.
12. 2ж — Зг/ = 2
оу 4г — 9н = 3
22. ах -|- Ъу -{- сг = 0
а2ж-{-Ь2г/-[-с2г=а2(Ь—с)-|-Ь2(с—й)Ц-с2(а—Ъ)
(Ъ + с)ж -{- (с -{- а)у -{- (а -|- Ь)г = 0
6г —7гг=9
8м — Зж = 12.
13.	4ж—Зг = 10
2у — 5гі = 5
г-|-3гг = 19
Зж4- у = 13
2у — Зм= 11.
..	2	5	1	4
14.	з—------— 3 —
ж	Зг/	г	27
±4_і+і=6и
4ж	у	з	72
1-1 + ±=131.
бж у ‘ г 36
15.	Зг-|-2м — 5г/= 18
Зж-|- У — 4м = 9
ж 7г — бу = 33
5г — 2ж— 8^/4~2м— 15-
23. ах Ъу сг = 3
(6 4- с)ж (с а)у -{- (а + Ь)г =
Ьс(Ь 4- с) 4- са(с а) 4- аЪ(а Ъ)
аЪс
(Ъ — с)х 4- (с — а)у 4- (а — Ь)г =
Ъс(Ъ — с) 4- са(с — «) 4~ аКа —
аЪс
ж—а	_ у—Ъ __ в — с
 (&4-с)2—а2-(с4-а)2—Ь2 ' (д4-/))2— С2
х + У + 3 = Ка + ь + с).
25. ж4-г/-|-г = 0
(64-с— а')х-\-(с-\-а—Ѵ)у+(«- ( Ъ—с)г=0
а2ж-{-Ь2г/4-с2г=а2(і—с) -{- Ь2(с— а) -{- с2(а—&).
26. ж-|-г/ 4- г = 0.
ах Ъу сг _
а__й‘Ь6_й + с—а~с1(а Ь)(Ь С^С а^‘

— 312 —
40. Указать, какія изъ нижеслѣдующихъ системъ неопредѣленны, п какія несо-
: мѣстны:
I. Зх— 2у 4- 52=14
2х-$~ у— 82 = 10
6ж — ку + 102 = 27
IV. Зх — 2у + 52 = 14
6х — 4у — 2г — 15
Зх — 6г/ — 1г = 20.
II. Зх— 2у 4- 52=14
2«4“ У— 82=10
6х— 4у— 102 = 28
V. 2х— Зу 4- 2 = 20
6х — 9у 4~ 32 = 60
8х—12г/ 4- 42 = 79.
III. Зх — 2у~1~5г — 14
2« + У — 82=10
8х— 3«/4“22 = 38.
VI. 5х 4- 4г/ — 72 = 4
Зх — у 4~ 22 = 5
іи 4-2г/ —32=12.
41. При какомъ условіи уравненія
6х 4~ 7 г/= 46,
совмѣстны?
42. Доказать, что уравненія
у~ах-\-Ъ,
совмѣстны при условіи
5ж+Зг/ = 27, и
ах 4- Ъу = 14
у = а'х 4- Ъ',
г/ = а"«4~гг"
аЪ' — Ъа' 4- Ъа" — аЪ" 4- а'Ѵ' — Ъ'а" = 0.
43.	Показать, что уравненія
ах — Ъу — с,	Ьх — ау — <1,
совмѣстны при условіи Ь2(с2 4~ ^2) = 2аЪсіІ.
44.	При какомъ условіи совмѣстны уравненія
2х 4- Зу 4- с = о, 4ж — 5г/4~ с' = 0,
45.	При какомъ условіи совмѣстны уравненія:
2Аг/4~®я: + І)==0>	Вг/+ 2С« + Е = О,
46.	Тотъ же вопросъ относительно системы
ах-\-Ъу — с, а^хД-Ъ^у^с^,
а(сх — (Іу) = с2 4~
Іх — 4г/ + с" = О?
Пг/ 4- Ех 4- 2Г = О?
а3х 4- Ъ3у — с3.
47.	Тотъ же вопросъ относительно системы
(? — т)х-у- (т — гі)у 4- п —1 — 0,
Іх 4- ту 4- п = О
Ъпх 4~ тпу 4- пі = 0.
48.	Опредѣлить коэффиціенты а, Ъ п с такъ, чтобы слѣдующія шесть уравненій
удовлетворялись одними и тѣми же значеніями х, у и 2:
ах — Ъу^-сг — 3	5ж — Зу — 12г —1
сх — ау-4-Ъг-= 25	Іх — бу + 8г = 42
Ъх — ау — сг — 39	Зх 4- 8у — 152 = 34.
49.	При какомъ условіи совмѣстны уравненія:
х = аг-[-р, у — Ъг-{-у,	Х — а'г-\-р',	у = Ѵг-\-</,
50.	При какомъ условіи совмѣстны уравненія
(А —8>4-В"г/4-В'=0,
В"®4-(А'— 8)г/4~В = 0,
В'ж 4-Вг/4-А" — 8= 0.
51.	Найти при какихъ условіяхъ 5 слѣдующихъ уравненій
А __ А' _ А" _ В __ В' _ Б"
1 4- ж2 14~ 2/2	14- 22 у г хг ху
удовлетворяются одною и тою же системою неизвѣстныхъ х, у и 2-
— 315 -
полное количество серебра — Формулою
6	,5	. 65
й*+ Г/+ І5ог гр';
а количество мѣди равно
8.7.9
Гя* + В9 + Пг г’'
Но по условію, четвертый слитокъ долженъ содержать 79 гр. золота, 118-
серебра и 162—мѣди; такимъ обр. имѣемъ три уравненія:
5	. 3	. 35
1Ѵ+й9+і5ог='9-
6	।	5	।	6э ___« «о
І9*+1Ѵ+1Г0*-118-
8	,	7	.	9	., . с.
й*+й9+г/=16г’
пли, по освобожденіи отъ дробей:
50а;4-382/4- 35^ = 15010,
36^4 38г/4 39^ = 13452,
1Ж4-133г/4-135^ = 46170.
Исключивъ изъ первыхъ двухъ уравненій у, получимъ ур:
7« — 2^ =^79,
а исключивъ у изъ втораго и третьяго:
4» 4-'г—608.
Рѣшая эти уравненія, находимъ
х = 133, ^ = 76 гр.
Подставивъ эти величины въ первое уравненіе, получимъ:
у —150 гр.
Примѣръ II. Въ бассейнъ проведены три трубы:
1-ая и 2-я, будучи открыты вмѣстѣ, наполняютъ бассейнъ въ 12 ч.-
2-ая и 3-ъя,	«	«	«	«	«	«	20 ч.,
3-я и 1-я,	«	«	г	«	«	<	15 ч.
Во сколько часовъ всѣ три трубы, открытыя одновременно, наполнятъ
бассейнъ!
Пусть первая труба, будучи открыта одна, наполняетъ бассейнъ въ х ча-
совъ; вторая, дѣйствуя также отдѣльно, наполняетъ бассейнъ въ у ч., а тре-
тья— въ г часовъ. Въ такомъ случаѣ
1-ая труба въ	1 ч.	наполнитъ	1 — часть X 1	бассейна;
2-ая «	«	«	— « У і	« ;
3-я	«	<	<	— < г	« .
— 316 —
слѣдовательно, всѣ три трубы, дѣйствуя вмѣстѣ, наполнятъ въ 1 часъ часть
бассейна, равную
.	х ' у 1 г ’
а потому весь бассейнъ наполнится во столько часовъ, сколько разъ дробь
— Н~ —+ ~ заключается въ объемѣ цѣлаго бассейна т. е. въ 1. Итакъ, время
х у 2
необходимое для наполненія бассейна тремя трубами, выражается Формулою:
1
это и есть искомое задачи.
Для его опредѣленія мы изъ условій задачи имѣемъ три уравненія
1 + ? = Г2’
| + 7=4о’
14-1=1.
2 1 X 15
Складывая ихъ, находимъ:
' х ~ у ' г /	12 ~ 20 ' 15
откуда
1 + ? + 7 = Го’
а поточу	1;(1 + 1+1)=ю.
Для наполненія бассейна нужно 10 часовъ, что нетрудно провѣрить.
Примѣръ III. Опредѣлить время изобрѣтенія Гуттенбергомъ книгопе-
чатанія на основаніи слѣдующихъ данныхъ'. 1) цифра десятковъ года, въ ко-
торый совершилось это событіе, вдвое меньше цифры единицъ-, 2) цифра
тысячъ равна разности между цифрою сотенъ и цифрою десятковъ-, 5) сумма
всѣхъ четырехъ цифръ искомаго числа равна 14-, 4) если увеличить искомое
число на 4905, то получится число обрагценное.
Обозначимъ, по порядку, цифры единицъ, десятковъ, сотенъ и тысячъ бук-
вами х, у, г, і. Первыя три условія прямо даютъ слѣдующія уравненія:
2у = х........(1)
І = 2—у. . . (2)
х 4	—	. (3)
Искомое число изображается Формулою: х100^ 4-10004 обращен-
ное число — Формулою 1 ОООж 100? 10* + і. Четвертое условіе выражается
уравненіемъ
х+ю? +1 оо* н-1 оо о; 4- 4905юооя 4-1 оо? 4- іо* 4- 4
— 317 —
или, короче:
Нія-1-10«/-Ш-1Ш = 545 .... (4).
Вычтя (2) изъ (3), находимъ
ж + ’/ + 'г=14 — +
откуда	х —14 — 2^.
Въ такомъ случаѣ ур. (1) дастъ
2у = х ’ 14 — 2я,
откуда	?/ = 7—
а слѣд.	і = 2 — у — 2и— 7.
Подставивъ въ ур. (4) вмѣсто х, у и I ихъ выраженія черезъ я, находимъ:
111(14 - 2г) +10(7 - г) — 10г -111(2г - 7) = 545,
откуда	^ — 4;
а потому: ж = 6, у = 3, і = 1. Итакъ, книгопечатаніе изобрѣтено было въ
1436 году.
Примъръ IV. Два свѣчныхъ завода конкуррируютъ другъ съ другомъ.
Второй открытъ 40 днями позже перваго, и на немъ работаетъ 70 че-
ловѣкъ по 12 часовъ въ день, между тѣмъ какъ на первомъ только 60 рабо-
чихъ, занятыхъ по 10 часовъ въ день. Черезъ сколько дней оба завода приго-
товятъ одинаковое число свѣчей, полагая, что каждый рабочій на той и дру-
гой фабрикѣ изготовляетъ одинаковое число свгъчей въ часъ?
Пусть искомое число дней, считая со времени открытія перваго завода, бу-
детъ х\ пусть, кромѣ того, каждый рабочій изготовляетъ въ часъ у свѣчей. 60
рабочихъ перваго завода, работая по 10 часовъ въ день, изготовятъ въ х дней
З/.ІО.ж.бО свѣчей; 70 рабочихъ втораго завода, работая по 12 часовъ въ день,
изготовятъ въ х — 40 дней у.12.(х— 40). 70 свѣчей. По условію, оба числа
свѣчей равны, слѣд. получается уравненіе съ двумя неизвѣстными:
і/.10.®.60 = у.12.(ж — 40).70.
Обѣ части уравненія дѣлятся на произведеніе у. 10.12; это дѣленіе позво-
лительно, такъ какъ у, по смыслу задачи, отлично отъ нуля. Сокративъ, найдемъ
5ж=7(ж —40),
откуда	х = 140.
Примѣчаніе. Для составленія уравненія пришлось ввести вспомогательное
неизвѣстное у, котораго величина остается неопредѣленною.
Приводимъ еще одну задачу, въ которой составленіе уравненій требуетъ
введенія двухъ вспомогательныхъ неизвѣстныхъ-, это — исторически извѣстная
задача Ньютона.
Примъръ V. Задача Ньютона.—Плогцади трехъ луговъ равны соотвѣт-
ственно: 3^- десятинамъ, ІО и 24 десятинамъ-, причемъ на всѣхъ трехъ лу-
О
гахъ трава имѣетъ одинаковую высоту и растетъ равномѣрно съ одинаковою
быстротою. Первый лугъ прокормилъ 12 быковъ въ продолженіи четырехъ не-
— 318 -
дѣлъ, второй 21 быка въ теченіи 9 недѣль. Сколько быковъ можетъ прокор-
мить третій лугъ въ теченіи 18 недѣль"!
Пусть искомое число быковъ равно х. Для облегченія составленія уравне-
ній нужно ввести два вспомогательныхъ неизвѣстныхъ, именно: высоту травы
на каждомъ лугу, которую обозначимъ буквою у, и скорость, съ которою трава
растетъ, т. е. количество, на которое увеличивается ея высота въ недѣлю; пусть
это неизвѣстное будетъ г.
На первомъ лугу количество травы вначалѣ было ?/ХЗ-і или ~у, а при-
О	о
ростъ ея въ 4 недѣли равенъ гхЗ^-х4, или Полное количество травы,
О	о
съѣденной 12-ью быками въ 4 недѣли, равно
10 ,40	10ОЧ-4^)
\1) + о ПЛП ~~5----------’
О	О	о
слѣд. одинъ быкъ въ 1 недѣлю съѣдалъ
10(г/ + 4г)	5(у -}- 4г)
3X4X12’ ИМ ~1Г~ •
Подобнымъ же образомъ найдемъ, что объемъ травы, съѣденной однимъ бы-
комъ въ одну недѣлю на второмъ лугу, равенъ
10(2/ +9г) ипп 10(2/+ 9г).
“9Ѵ21~’ ИЛИ ~189	’
а на третьемъ онъ равенъ
2 4 (г/ + 18г)	4(у + 18г).
ІЗхж ’	Заз
Выражая, что количество травы, поѣдаемой на каждомъ лугу однимъ бы-
комъ въ одну недѣлю, одно и тоже, получимъ уравненія:
5(з/ + 4г) 10(т/ + 9г)
72	~	189	’
5(7/ + 4г)4(т/ + 18г)
72	За:
Такимъ образомъ получили два уравненія съ тремя неизвѣстными, сл. имѣ-
емъ случай неопредѣленности; но здѣсь неопредѣленны только у и г, между
тѣмъ какъ главное непзвѣсное х имѣетъ величину вполнѣ опредѣленную. Въ
самомъ дѣлѣ, два полученныя уравненія даютъ возможность опредѣлить отно-
шеніе вспомогательныхъ неизвѣстныхъ ~ и главное неизвѣстное х. Дѣйстви-
тельно, раздѣливъ обѣ части каждаго уравненія на г и положивъ —= и, най-
демъ два уравненія съ двумя неизвѣстными а; и и:
5(74 + 4)__10(т4 + 9)
Т2.	189
5(зд + 4) 4(зд + 18)
+2 ~ Зж ’
— 319 —
изъ которыхъ и можно опредѣлить эти неизвѣстныя. Изъ перваго уравненія най-
демъ: м = 12; вставивъ вмѣсто и его величину во второе, найдемъ: х — Зй.
Слѣд., третій лугъ могъ прокормить 36 быковъ въ теченіи 18 недѣль.
318.	Задачи.
1.	Нѣкоторую сумму денегъ дѣлятъ поровну между нѣсколькпмп лицами. Если-
бы было 3 лицами больше, каждое получило бы 1 рублемъ меньше; а еслибъ было 2
лицами меньше, каждое получилобы 1 рублемъ больше. Сколько было лицъ и какъ
велика раздѣленная между ними сумма?
2.	Двузначное число втрое больше суммы своихъ цифръ, а квадратъ этой суммы
равенъ утроенному искомому числу. Найти это число?
3.	Изъ двухъ игроковъ А и В, А выигрываетъ въ первую игру 8-ыо рублями
меньше того, что онъ имѣетъ; и такимъ образомъ у него оказывается вдвое больше
денегъ, нежели остается у В. Во вторую игру В выигрываетъ 4 рублями меньше то-
го, что у него осталось; и такимъ образомъ у него оказывается столько же денегъ,
сколько и у А. Сколько денегъ имѣлъ каждый: 1) начиная игру, и 2) окончивъ ее.
4.	Два лица А и В должны уплатить равныя суммы: А — черезъ 3, В—черезъ
II мѣсяцевъ; вмѣсто этого они теперь же платятъ: А—3523 р. 50 к., аВ—3319 р.
50 к., при одинаковомъ % учета. По скольку руб. должны были опи заплатить, и
сколько °/0 годовыхъ составляетъ учетъ?
5.	Два капитала, изъ которыхъ одинъ отданъ былъ по 5%, а другой по 4-^-%,
А
принесли въ годъ 284 р. 12 к. процентныхъ денегъ. Но еслибы первый капиталъ
былъ отданъ по стольку °/0, по скольку второй, а второй—по сколько первый, то
процентныхъ денегъ получилось бы 4 р. 50 к. меньше. Какъ велики были оба ка-
питала?
6.	Хозяйка наняла двухъ служанокъ съ жалованьемъ по 40 р. въ годъ, и съ
обязательствомъ давать ежегодно каждой но 1 платью и по 1 парѣ обуви опредѣлен-
ной стоимости. Одна изъ служанокъ, получивъ впередъ платье, оставила службу че-
резъ 8 мѣсяцевъ, причемъ по расчету ей пришлось получить жалованья 26^-руб.
Вторая, получившая впередъ пару обуви, оставила службу черезъ 9-^- мѣсяцевъ, при-
чемъ жалованья ей пришлось получить 35-5- руб. Во сколько цѣнилось платье и во
сколько пара обуви?
7.	Разстояніе между точками А п В равно 301 метру. Нѣкоторое тѣло движет-
ся съ равномѣрною скоростью изъ А въ В, п не останавливаясь въ В, возвращает-
ся въ А, съ тою же скоростью. 11-ю секундами позже второе тѣло начинаетъ дви-
женіе пзъ точки В въ А, съ равномѣрною, но меньшею, скоростью, и черезъ 10 се-
кундъ отъ начала своего движенія встрѣчаетъ первое тѣло въ первый разъ, а черезъ
45 секундъ отъ начала своего движенія встрѣчается съ нимъ во второй разъ. Сколь-
ко метровъ въ секунду проходитъ каждое тѣло?
8.	Купецъ, имѣя два сорта нѣкотораго товара, продаетъ одинъ сортъ съ при-
былью въ 8%, а другой съ убыткомъ въ 12°/0. Опредѣленныя количества того и дру-
гаго сорта продаетъ онъ купцу В, получая приэтомъ 20-ью рублями больше, чѣмъ
ему стоили проданныя количества товара. Другому купцу С онъ продаетъ перваго
сорта втрое, а втораго въ семь разъ больше количества, проданнаго лицу В, приэтомъ
получаетъ 84-мя рублями меньше, чѣмъ эти количества товара стоили ему самому.
Сколько заплатилъ ему В за оба сорта товара?
— 320 -
9.	Къ 300 фунтамъ сплава, состоящаго изъ 2 частей цинка, 3 частей мѣди и 4
частей олова, прибавлено 200 ф. другаго сплава, состоящаго изъ тѣхъ же металловъ;
въ полученномъ сплавѣ оказалось: цинка—3 части, мѣди 4, а олова 5 частей. Въ ка-
комъ отношеніи были эти три металла въ прибавленномъ сплавѣ?
10.	Водоемъ, содержащій опредѣленное количество воды, черезъ одну трубу на-
полняется водою, между тѣмъ какъ другая служитъ для спуска воды. Черезъ первую
трубу въ каждую минуту втекаетъ 4-мя ведрами больше, чѣмъ изъ второй вытекаетъ.
Если открыть обѣ трубы, но первую часомъ раньше второй, то въ извѣстное время
водоемъ получитъ 1760 ведеръ. Если же вторую трубу открыть часомъ раньше пер
вой, то въ тоже самое время водоемъ потеряетъ половину того количества воды, ка-
кое онъ въ первомъ случаѣ получилъ. Какое количество воды даетъ каждая труба въ
минуту, и сколько времени оба раза каждая труба была открыта?
11.	Найти трп числа, которыхъ сумма, разность и произведеніе находятся въ
отношеніи 5 : 1 : 18?
12.	Два купца А и В въ разное время вели совмѣстную торговлю. Въ первый
разъ капиталъ А находился въ оборотѣ 4 мѣсяца, а капиталъ В пять мѣсяцевъ, при-
чемъ общая прибыль составляла 3458 р. Во второй разъ капиталъ А находился въ
оборотѣ 7 мѣсяцевъ, а капиталъ В—4 мѣсяца, общая же прибыль была 3591 р. На-
конецъ, въ третій разъ капиталъ А, съ прибавленіемъ 500 р., былъ въ оборотѣ 7-1-
мѣсяца, а В—11 мѣсяцевъ, общая же прибыль составляла 7651 р. Опредѣлить ка-
питалы А и В, если извѣстно, что во всѣхъ трехъ случаяхъ прибыль была, относи-
тельно, одинакова?
13.	Четыре игрока А, В, С и Н играютъ на слѣдующихъ условіяхъ: каждый про-
игравшій платитъ всѣмъ остальнымъ по столько рублей, сколько каждый пзъ нихъ
имѣетъ въ концѣ этой игры. Первую игру проигралъ А, вторую В, третью С и чет-
вертую Н, послѣ чего у каждаго оказалось по 32 р. Сколько каждый имѣлъ перво-
начально?
14.	Нѣкто, помѣстивъ свой капиталъ на извѣстные %, черезъ годъ прибавляетъ
къ капиталу 1000 р. и получая 1% больше, увеличиваетъ этимъ получаемую прибыль
на 80 р. Еще черезъ годъ онъ прибавляетъ къ капиталу 500 р., получаетъ еще 1%
больше, и увеличиваетъ такимъ образомъ доходъ 70-ю рублями. Опредѣлить первона-
чальные—капиталъ п проценты?
15.	Капиталистъ помѣстилъ капиталы х, у и я слѣдующимъ образомъ; на пер-
вый капиталъ онъ пріобрѣлъ 3-хъ процентныя бумаги по курсу 69 р., на второй—4-—
процентныя бумаги по курсу 94,5, на третій капиталъ—желѣзнодорожныя облигаціи,
приносящія каждая по 15 р. дохода, по курсу 285 р. Весь доходъ его составлялъ
8425 р. Если-бы на пріобрѣтеніе перваго рода бумагъ онъ употребилъ капиталъ г,
на покупку вторыхъ х, а на покупку третьихъ у, то его доходъ былъ бы 8375 р.
Наконецъ, еслп бы капиталъ х онъ употребилъ на покупку 5%-хъ бумагъ, капиталъ
у на покупку желѣзнодорожныхъ облигацій, приносящихъ каждая 25 р. ренты, по
курсу 475 р , а капиталъ е на покупку пятипроцентныхъ бумагъ по курсу 70 р., его
доходъ былъ бы 10292 р. Опредѣлить х, у и г.
16.	Опредѣлить четырехзначное число на основаніи слѣдующихъ условій: 1) циф-
ра сотенъ равна суммѣ цифръ десятковъ и единицъ; 2) цифра десятковъ равна удво-
енной суммѣ цифръ тысячъ и единицъ; 3) раздѣливъ число на сумму его цифръ, на-
ходимъ въ частномъ 109, а въ остаткѣ 9; 4) вычтя искомое число изъ обращеннаго
числа, находимъ въ остаткѣ 819.
— 321 —
17.	Пассажирскій поѣздъ идетъ изъ А черезъ В въ С, останавливаясь въ"В на
5 минутъ. Черезъ 14 минутъ послѣ выхода изъ В онъ встрѣчаетъ курьерскій поѣздъ,
идущій ему на-встрѣчу со скоростью вдвое большею. Курьерскій поѣздъ вышелъ изъ
точки С въ тотъ моментъ, когда пассажирскій находился въ 25 верстахъ отъ А. Извѣ-
стно, что курьерскій поѣздъ употребляетъ 2 часа на переѣздъ изъ С въ В, и что,
еслибы, придя въ А, онъ, не останавливаясь въ этой точкѣ, тотчасъ же отправился
3
бы въ обратный путь, то пришелъ-бы въ С черезъ — часа послѣ прихода туда пас-
сажирскаго поѣзда. Сколько верстъ каждый поѣздъ дѣлаетъ въ часъ и какъ велики
разстоянія между станціями А, В и С?
18.	Нѣкто, умирая, оставилъ четыремъ своимъ сыновьямъ, изъ коихъ первому
было 11 лѣтъ, второму 17, третьему 19, а четвертому 20 лѣтъ, сумму въ 46200 р.,
съ тѣмъ, чтобы части всѣхъ четверыхъ наслѣдниковъ, помѣщенныя тотчасъ же на 5о/'о,
составили равныя суммы ко времени совершеннолѣтія ихъ, т. е. ко времени, когда
каждому исполнится 21 годъ. Какъ раздѣлить завѣщенную сумму?
19.	Разстоянія планетъ: Марса, Цереры и Юпитера отъ солнца можно вычислить
приблизительно слѣдующимъ образомъ: вообразимъ, что сперва Марсъ и Церера, за-
тѣмъ Марсъ и Юпитеръ, наконецъ Юпитеръ и Церера отодвигаются отъ солнца на
столько, на сколько они удалены отъ него; и что въ тоже время третья планета каж-
дый разъ на столько миль приближается къ солнцу, на сколько двѣ другія планеты
вмѣстѣ удаляются. Такою перемѣною всѣ три планеты были бы приведены къ оди-
наковому разстоянію отъ Солнца, равному 64 милліонамъ геогр. миль.
20.	Поѣздъ и почтовая карета выѣзжаютъ изъ двухъ мѣстъ А иВ, послѣдняя 2-мя
часами раньше перваго, на-встрѣчу другъ другу, и встрѣчаются черезъ 6 часовъ пос-
лѣ выхода поѣзда. Если бы они дѣлали въ каждый часъ -і-ю мили больше,то встрѣ-
ча произошла бы черезъ 5-^ часовъ; а еслибы проѣзжали въ часъ ю мили мень-
ше, и карета выѣхала бы 2-мя часами позже, то они встрѣтились бы черезъ 7 ч. 5 м.
послѣ выхода поѣзда. Сколько проходитъ поѣздъ и сколько карета въ часъ, и сколь-
ко миль между А и В?
21.	4 металла сплавлены въ отношеніи 1 : 3 : 5 : 7. Если къ этому сплаву при-
бавить другой, вѣсящій въ 2-|- разъ больше и состоящій изъ тѣхъ же металловъ
сплавъ, то отношеніе металловъ будетъ = 3 : 4 : 5 : 6. Въ какомъ отношеніи нахо-
дятся металлы въ прибавленномъ сплавѣ?
22.	Въ бассейнъ, наполненный до нѣкоторой высоты, проведены три трубы; пер-
вая труба можетъ его наполнить въ 7, вторая въ 5, третья въ 8-5- часа. Если бу-
детъ открыта первая труба и если брать по 28 ведеръ въ часъ, то бассейнъ опорож-
нится въ 40 часовъ. Если же открыть вторую трубу и брать по 39 ведеръ въ часъ,
то онъ опорожнится въ 120 часовъ. Черезъ сколько часовъ бассейнъ будетъ опорож-
ненъ, если открыть третью трубу и брать по 23 ведра въ часъ? Сколько ведеръ со-
держитъ бассейнъ и сколько ведеръ даетъ первая труба въ часъ?
23.	Учитель предложилъ тремъ ученикамъ перемножить два числа. По умноженіи
множимаго на различныя цифры множителя, одинъ изъ учениковъ при сложеніи ча-
стныхъ произведеній забылъ удержать въ умѣ одну единицу нѣкотораго разряда; раз-
дѣляя, при повѣркѣ, результатъ на меньше число, онъ нашолъ въ частномъ 971, а
въ остаткѣ 214. Второй въ сказанномъ разрядѣ не сдѣлалъ ошибки, но при сложеніи
цифръ слѣдующаго высшаго разряда забылъ придать двойку; дѣлая повѣрку такимъ
21
— 322 —
же образомъ какъ и первый, онъ получилъ въ частномъ 965, а въ остаткѣ; 198. Тре-
тій сдѣлалъ подобную же ошибку на 1 при сложеніи цифръ слѣдующаго высшаго раз-
ряда, и получилъ при повѣркѣ—въ частномъ 940, а въ остаткѣ 48. Опредѣлить дан-
ныя для умноженія числа, и указать, на какихъ мѣстахъ были сдѣланы ошибки?
24.	На двухъ колесахъ, которыхъ окружности относятся какъ 5 : 3, намотаны
двѣ веревки; разность между длинами веревокъ 28-ью метрами больше разности меж-
ду окружностями; сверхъ того, большая веревка дѣлаетъ на большемъ колесѣ 12-ю
оборотами больше, чѣмъ меньшая веревка на своемъ колесѣ. Наконецъ, если первое
колесо будетъ вертѣться втрое скорѣе другаго, то обѣ веревки размотаются въ оди-
наковое время. Найти длины: веревокъ и окружностей колесъ.
25.	Пакетботъ, выйдя изъ Дувра съ попутнымъ вѣтромъ, пришелъ въ Кале че-
резъ 2 часа. На возвратномъ пути дулъ противный вѣтеръ, вслѣдствіе чего судно дѣ-
лало въ часъ одною милею меньше, чѣмъ въ предыдущемъ переѣздѣ. Пройдя поло-
вину пути, оно снова пошло съ попутнымъ вѣтромъ, увеличившимъ его скорость на
4 мили. Благодаря этому, судно пришло въ Дувръ скорѣе, нежели оно могло бы прид-
ти туда въ томъ случаѣ, еслибы вѣтеръ не измѣнился во второй разъ въ отношеніи
5 : 7. Каково разстояніе между Дувромъ и Кале и каковы скорости пакетбота на об-
ратномъ пути?
26.	Государственныя подати увеличились по случаю войны въ отношеніи 2-|- : 1
и чрезъ это, по уплатѣ расходовъ по взыманію и процентовъ съ долговъ, государ-
ственный доходъ увеличился въ отношеніи 3-^ : 1. Но еслибы, при тѣхъ же обсто-
ятельствахъ, подати уменьшились бы въ отношеніи 1-д- : 1, то по исключеніи рас-
ходовъ, доходъ уменьшился бы въ отношеніи 7-|- : 1 и составлялъ бы 4 милліона
рублей. Какъ велики были первоначально подати и проценты долга, если принять,
что расходы по взыманію пропорціональны квадратнымъ корнямъ изъ увеличенныхъ
податей?
27.	Числю И имѣетъ первоначальными множителями два послѣдовательныя цѣ-
лыя числа. Если показатель перваго множителя увеличить на 2, а показатель втора-
го на 4, то новое число К' будетъ имѣть 50-ью дѣлителями больше. Если же первый
показатель уменьшить на 3, а второй увеличить на 5, то новое число К" будетъ имѣть
только десятью множителями больше чѣмъ К. Найти К, и К".
ГЛАВА ЗСЗСТІІ.
Теорія пропорцій.
Пропорція ариѳметическая. — Пропорція геометрическая; производныя и сложныя
пропорціи; свойства ряда равныхъ отношеній. — О пропорціональности величинъ. —
Гармоническая пропорція. — Приложенія. — Задачи.
319.	Въ этой главѣ мы займемся изученіемъ особаго вида равенствъ, на-
зываемыхъ пропорціями-, изученіе свойствъ этихъ равенствъ важно въ виду
многочисленныхъ и разнообразныхъ ихъ примѣненій.
— 323 —
Пропорція ариѳметическая.
320.	Разность двухъ количествъ а и Ъ называется разностнымъ или ариѳ-
метическимъ ихъ отношеніемъ-, письменно оно выражается такъ: а — Ъ. Коли-
чества а и Ъ называются членами отношенія: а — предыдущимъ, Ъ — послѣду-
ющимъ: числовая величина а — Ъ наз. разностью отношенія.
Если два ариѳметическія отношенія а — Ъ и с — д, равны, то соединяя ихъ
знакомъ равенства, получимъ равенство
а —Ъ — с — <1,
называемое разностною или ариѳметическою пропорціею.
Пропорція читается такъ: а относится къ Ъ, какъ с къ &. Количества а,
Ъ, с п <1 называются членами пропорціи: а — первымъ, Ъ — вторымъ, с —
третьимъ, & — четвертымъ; кромѣ того, а и & называются крайними, Ъ и с—
средними.
321.	Главное свойство ариѳметической пропорціи, — Если въ равенствѣ
а — Ъ = с — д
перенесемъ <1 въ первую, а & во вторую часть, то получимъ
а —И — Ъ —с,
т. е. во всякой ариѳметической пропорціи сумма крайнихъ членовъ равна
суммѣ среднихъ.
Обратно: взявъ равенство
а —д — Ъ —с
и перенеся Ъ въ первую, а й во вторую часть, найдемъ
а — Ъ — с — И,
т. е. если сумма двухъ количествъ равна суммѣ двухъ другихъ, то эти че-
тыре количества ариѳметически пропорціональны.
322.	Опредѣленіе неизвѣстныхъ членовъ. — Перенеся въ пропорціи
а — Ъ — с — д,
членъ Ъ во вторую часть, найдемъ:
а=.(Ъ-\-с) — д,......(1).
Опредѣляя изъ той-же пропорціи Ъ, находимъ
& = (а-|-й) —с.......(2).
Равенство (1) показываетъ, что крайній членъ ариѳм. пропорціи равенъ
суммѣ среднихъ безъ другаго крайняго- а равенство (2), что средній членъ ра-
венъ суммѣ крайнихъ безъ другаго средняго.
323.	Непрерывная пропорція. Ариѳметическая средина.—Если въ ариѳмети-
ческой пропорціи равны оба крайніе, или оба средніе члена, то пропорція на-
зывается непрерывною. Таковы напр. пропорціи: 5 — 3 = 7 — 5; 2 —10 = 10 —
— 18; вообще
а — Ъ—Ъ — с и р — у —г —р
21»
— 324 —
суть пропорціи непрерывныя. Въ первой Ъ, а во второй р называются ариѳме-
тическими срединами двухъ другихъ членовъ.
Примѣняя главное свойство къ одной изъ этихъ пропорцій, напр. къ пер-
вой, находимъ:
п7 ।	7	а> —I— С.
2Ъ = а~{-с, откуда Ъ = —,
т. е. ариѳметическая средина между двумя количествами равна ихъ полусуммѣ.
Обобщая этотъ выводъ, называютъ ариѳметическою срединою нѣсколькихъ
количествъ—сумму ихъ, дѣленную на число ихъ.
Такимъ образомъ, если имѣемъ п количествъ
аі, а2, а3’..........э @п-1> ап
то ариѳметическая средина ихъ будетъ
а1 Ч~ а2 Ч~ а3 Ч~.......+ а п -1 + ап.
П
Опредѣленіе ариѳметическихъ срединъ весьма важно для наблюдательныхъ
наукъ. Пусть напр., опредѣляя угломѣрнымъ приборомъ нѣкоторый уголъ въ
нѣсколько пріемовъ, нашли: при первомъ измѣреніи 28’52'36", при двухъ слѣ-
дующихъ 28’51'52" и при четвертомъ измѣреніи 28’51'24". Какова величина
угла? Такъ какъ всѣ четыре измѣренія не согласуются между собою, то остается
одно средство—взять среднюю величину:
28’52'36" 4-28’51'52" X 2 4- 28’51'24" пОпС.,сс„
х —-------------------------!---------= 28’51 56 .
Пропорція геометрическая.
324.	Частное отъ раздѣленія двухъ количествъ ~ наз. кратнымъ или гео-
метрическимъ отношеніемъ а къ &; численная величава отношенія наз. знаме-
нателемъ отношенія.
Равенство двухъ геометрическихъ отношеній называется кратною или гео-
метрическою пропорціею, напр.
ъ а * '•
325.	Главное свойство геометрической пропорціи. —-Ѣо всякой геометриче-
ской пропорціи произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ.
Въ самомъ дѣлѣ, приведя въ вышенаписанной пропорціи дроби къ общему
знаменателю и откинувъ его, найдемъ
ад — Ъс. . . (2).
Наоборотъ, еслгг произведеніе двухъ количествъ равно произведенію двухъ
другихъ количествъ, то такія четыре количества пропорціональны.
Въ самомъ дѣлѣ, раздѣливъ обѣ части равенства ад, — Ъс на М, найдемъ:
а___ с
Ь <1
— 325 —
•	• (3).
находимъ
•	• (<)•
326. Опредѣленіе неизвѣстныхъ членовъ. Если обѣ части равенства (2),
вытекающаго изъ пропорціи (1), раздѣлимъ на д, то найдемъ:
Іс
а = -- 
а
Раздѣливъ же обѣ части (2) на с,
. ад,
Ъ — — 
с
Равенство (3) показываетъ, что во всякой геометрической пропорціи край-
ній членъ равенъ произведенію среднихъ, дѣленному на другой крайній', а ра-
венство (4), что неизвѣстный средній равенъ произведенію крайнихъ, дѣлен-
ному на другой средній.
Опредѣленіе неизвѣстнаго члена, когда остальные три члена извѣстны, на-
зывается рѣшеніемъ пропорціи.
327. Непрерывная пропорція. Геометрическая средина. Когда равны оба
крайніе, или оба средніе члена, пропорція называется непрерывною-, напр.
12:6 = 24:12, или 2: 4 = 4:8.
Каждый изъ равныхъ членовъ непрерывной пропорціи наз. среднимъ гео-
метрическимъ между двумя другими. Приравнявъ въ непрерывной пропорціи
а-.Ъ=.Ъ'.д произведеніе среднихъ произведенію крайнихъ, получимъ &2— ад,
откуда
Ъ = ^ад',
слѣд. геометрическая средина двухъ количествъ равна квадратному корню изъ
ихъ произведенія.
По аналогій съ этимъ выводомъ, среднимъ геометрическимъ нѣсколькихъ
количествъ называютъ корень порядка, равнаго ихъ числу, изъ ихъ произведе-
нія. Потому, геометрическая средина п количествъ: а„ а2, а3, . . . , ап будетъ
V * ^2 ’	• • ' • • •
328. Производныя пропорціи. Если пропорція получается изъ другой про-
порціи посредствомъ нѣкоторыхъ преобразованій, то первая называется произ-
водною отъ второй. Ознакомимся съ различными видами производныхъ пропорцій.
I. Взявъ пропорцію
_ — Ѣ . - - (1)
ъ а 1 1
приравняемъ въ ней произведеніе крайнихъ произведенію среднихъ, и раздѣлимъ
полученное равенство ад^Ъс послѣдовательно на: сд, аЪ и ас, по сокращеніи
найдемъ:
а	Ъ	Л	с	<1	Ъ	...
т = р • • • (2) Т = Т • (3	*
С	(л	О	(л	ѵ	<л
Переставивъ въ каждой изъ этихъ четырехъ пропорцій самыя отношенія,
найдемъ еще четыре пропорціи:
с а	Ъ а .... с <1	Ъ й
-3=ъ • ' • И 7 = 7 '  • И 7=7  • • Р) 7=7  • • <8>-
— 326 —
Такимъ образомъ въ каждой пропорціи можно перемѣнять мѣста: сред-
нихъ членовъ, киайнихъ, и тѣхъ и другихъ вмѣстѣ. Чрезъ это всякую пропор-
цію можно представить въ восьми различныхъ видахъ.
II.	Придавъ къ обѣимъ частямъ равенства	= ~ • • • (1) по 1, а по-
томъ вычтя по 1, получимъ по приведеніи каждой части къ общему знаменателю:
а-рЬ с + й	,л\	а — Ъ с — й
~1Г ~а~ ’ ’ * и —ъ~—~~а~ ’ ’ '
Пропорціи (2) и (3) показываютъ, что: сумма или разность членовъ пер-
ваго отношенія относится къ своему послѣдующему такъ, какъ сумма или
разность членовъ втораго отношенія къ своему послѣдующему.
Раздѣливъ цочленно каждую изъ пропорцій (2) и (3) на (1), найдемъ:
а —I— Ъ с —I— й	.. - а — Ъ ’с —— д /г •,
—!— = —!— • • • (4) и----------~------• • • (5)
а с	' а с	'
т. е.: сумма или разность членовъ перваго отношенія относится къ преды-
дущему того же отношенія такъ, какъ сумма или разность членовъ втораго
огпношенія къ предыдущему гпого же отношенія.
Перемѣнивъ въ пропорціяхъ (2), (3), (4) и (5) мѣста среднихъ членовъ,
имѣемъ:
аА-Ъ Ъ	а—Ъ Ъ	а-^-Ъ а /о. а — Ъ а
с-{-й й ѵ с — й й ѵ с-І-й с 47 с — й с Ѵ 7
т. е. сумма или разность членовъ перваго отношенія относится къ суммѣ
или разности членовъ втораго отногиенія такъ, какъ предыдущій къ преды-
дущему или послѣдующій къ послѣдующему.
Раздѣливъ пропорцію (2) на (3), найдемъ
^4=^5 • • • (Ю)
а — Ъ с — й	4 '
т. е. сумма членовъ перваго огпношенія относится къ ихъ разности, какъ
сумма членовъ втораго отношенія къ ихъ разности.
Перемѣнивъ въ пропорціи (1) мѣста среднихъ членовъ и примѣнивъ къ новой
пропорціи —=%- преобразованія, указываемыя равенствами (2), (3) ит. д., найдемъ:
с а
<	(11),	(12)	(13)	(Н),
с а 4 с Л ' па Ъ ѵ '' а 6 ѵ
^=4(15), ±±=4(16), “-±-' = 4(17), ±± = 4(18).
Ъ-{-Л й 4	Ъ — й	й	7 Ъ — й Ъ ‘
Изъ сравненія же (15) съ (16) имѣемъ
а4~е	а—с	а-і-с Ь-ѣй
ігт—7—і.—откуда —, •
Ъ — й ' а — с Ъ — й
Результаты, выражаемые этими равенствами, нетрудно выразить словесно.
329. Сложныя пропорціи. Пропорція, выводимая изъ нѣсколькихъ другихъ
пропорцій, называется сложною.
— 327 —
I.	Посмотримъ, при какихъ условіяхъ возможно почленное сложеніе или
вычитаніе двухъ пропорцій. Пусть данныя пропорціи будутъ
а   с а!  А.
Т~~а а
изслѣдуемъ, при какихъ условіяхъ возможна пропорція
а±а'___ с±й	,..
ъ±Ѵ~а±аг' ’
гдѣ знакъ (-[-) относится къ почленному сложенію, а (—) къ почленному вы-
читанію. Преобразуемъ испытуемое равенство, приравнявъ произведеніе край-
нихъ членовъ произведенію среднихъ; сдѣлавъ это, найдемъ:
(а ± а')(^ — — (Ъ — Ъ')[с ± с').
Выполняя умноженіе и замѣчая, что верхніе знаки надо брать съ верхними,
а нижніе съ нижними, находимъ:
а А ± а'А ± ай'	а'А' = Ъс±. Ъ'с ± Ъс' Ъ'с'.
Но изъ данныхъ пропорцій имѣемъ: ай = &с и а!й' = Ъ'с!-, отнявъ по-ровну
изъ обоихъ частей, найдемъ
± а'А ± ай' = ±Ъ'с± Ъс'.
Здѣсь совокупно написаны два равенства: въ одномъ членамъ предшеству-
етъ знакъ въ другомъ — всѣмъ членамъ предшествуетъ (—); помноживъ
обѣ части втораго на (—1), увидимъ, что оно ничѣмъ не отличается отъ пер-
ваго, такъ-что оба равенства приводятся къ одному
а'А	аА! — Ъ'с &</,
а это значитъ, что почленное сложеніе и почленное вычитаніе двухъ пропорцій
возможны при однихъ и тѣхъ же условіяхъ. Затѣмъ, пользуясь данными про-
порціями, исключимъ изъ послѣдняго равенства А и А', чтобы уменьшить этимъ
число входящихъ въ него буквъ и такимъ образомъ упростить его. Съ этою
цѣлью опредѣлимъ изъ данныхъ пропорцій А и А' и ихъ выраженія подставимъ
въ предыдущее равенство; такимъ образомъ найдемъ:
а'йс , аЬ'й ,, , , ,
--------— = Ъ'с -4- Ъс',
а 1 а	1
или, освободивъ отъ дробей,
а'-Ъс иРЪ'с' = аа'Ъ'с	аа'Ъс'.
Перенеся всѣ члены въ первую часть и вынося за скобки въ 1-мъ и 3-мъ
членахъ а'с, а во 2-мъ и 4-мъ «с', найдемъ
а'с(а'Ъ — аЪ')— ас'(а'Ъ— аЪ'~) — О, или (а'Ъ — аЪ')(и'с— ас') = 0 ... (2)
Это равенство замѣняетъ собою испытуемое, а потому при какихъ услові-
яхъ возможно (2), при такихъ же условіяхъ возможно и (1).
Но равенство (2) требуетъ, чтобы произведеніе двухъ множителей равнялось
нулю; а это возможно только тогда, когда одинъ изъ нихъ равенъ нулю, по-
этому слѣдуетъ положить
или а'Ъ — аЪ' — 0, или а'с — ас'—^.
— 328 -
Обративъ ихъ въ пропорціи, имѣемъ
а'	а	а' а
Ъ	Ъ	сс
Итакъ, почленное сложеніе или вычитаніе двухъ пропорцій возможно только
тогда, когда будетъ удовлетворено или первое, или второе изъ этихъ равенствъ.
Замѣтивъ, что и у суть знаменатели отношеній данныхъ пропорцій, заклю-
чаемъ, что: почленное сложеніе или вычитаніе двухъ пропорцій возможно, когда
ихъ знаменатели отношеній равны. Замѣчая, что ~ и у суть знаменатели
отношеній пропорцій, выведенныхъ пзъ данныхъ перемѣщеніемъ среднихъ чле-
новъ, заключаемъ, что искомое преобразованіе возможно еще тогда, когда зна-
менатели отношеній равны въ пропорціяхъ, выведенныхъ изъ данныхъ пере-
мѣщеніемъ среднихъ членовъ.
Если знаменатели отношеній данныхъ пропорцій равны, то, назвавъ общую
ихъ величину буквою у, имѣемъ
у = 2 и -^- = 3, откуда: а = Ъу и а' — Ѵц
Складывая или вычитая эти равенства, находимъ:
а±а' — ^±Ъ'}<і, откуда -^^ = <1=
Отсюда слѣдуетъ, что (какъ есть зн. отн. сложной пропорціи ) зна-
менатель отношенія сложной пропорціи, полученной чрезъ почленное сложе-
ніе или вычитаніе двухъ пропорцій, имѣющихъ равныхъ знаменателей отно-
шеній, равенъ знаменателю отн. дан. пропорцій.
и	т т	_	10	30	5	15
Примѣръ I. Іакъ изъ пропорцій: — = и г'=:‘б П0ЛУчаемъ чРезъ
15	45	.5	15
почленное сложеніе: — = —, а чрезъ почленное вычитаніе: -- = у —пропор-
ціи, имѣющія такого же знаменателя отношенія какъ и данныя.
и	тт	тт	«. ю	30	7	21
Примѣръ II. Пзъ пропорцій — = — и = получаемъ чрезъ почлен-
4:	1«3	2	О
17	51	3	9
ное сложеніе и вычитанія вѣрныя пропорціи: — = г- и — = — •
О	Іо	о
II.	Можно перемножатъ почленно какія угодно пропорціи1, знаменатель
отношенія полученной сложной пропорціи будетъ равенъ произведенію знамена-
телей отношеній данныхъ пропорцій.
Пусть даны пропарціи
а с	„
которой знаменатель отношенія равенъ у,
а!____с'
й7’
а"_____с"
4
4'
«
<
а

«
— 329 —
Помножая почленно эти равенства по правилу умноженія дробей, найдемъ
а.а'-а"__________________________ с.с'.с"
ълИг ~ а.а.а"'
п	.	аа'а" а о! а!'	, ,,
Знаменатель отношенія этой пропорціи равенъ = у у '
т. е. произведенію знаменателей отношеній данныхъ пропорцій.
III.	Можно одну пропорцію раздѣлитъ почленно на другую-, знаменатель
отношенія сложной пропорціи будетъ равенъ частному отъ раздѣленія зна-
менателей отношеній данныхъ пропорцій.
Раздѣливъ пропорцію 4-=-4 на = по правилу дѣленія дробей
О (ѵ	О Сѵ
найдемъ:
аІУ__________________________________сді
а'Ъ бд,
Раздѣливъ оба члена первой части на а'Ъ', а оба члена второй на с'бГ, по-
лучимъ
а-.а'________________________________с-.б
ЫѴ~~0йІ’’
Знаменатель отношенія полученной пропорціи равенъ
а-.а'______________аЪ'___ а Ъ' ____ а а'____	,
ЪЛ'~~а^~~ТХѴ~~~Ъ : Ѵ~
если знаменатели отношеній данныхъ пропорцій обозначить соотвѣтственно бук-
вами С[ и ц'.
IV.	Если въ двухъ пропорціяхъ предыдущіе члены равны, то изъ послѣ-
дующихъ можно составитъ пропорцію; если же послѣдующіе равны, то
предыдущіе пропорціональны.
Въ самомъ дѣлѣ, если въ пропорціяхъ
а_______________________ с	а ___ с
~ъ~~а и ь7' — Т
перемѣнимъ мѣста среднихъ, то найдемъ
а	Ъ	а	Ь'
— = ~7 и — = т
с	а	с	а
откуда •
ъ	Ъ'	ъ	а
-у — ИЛИ 47 — "V '
а	а	Ъ	а
Такимъ же образомъ, взявъ двѣ пропорціи съ равными послѣдующими членами
а_______________________ с	а!____ б
~ъ~~л и Т~ И
и перемѣстивъ въ нихъ средніе члены, найдемъ
	а	Ъ		аг		ъ
	с	~ а	и		а
откуда	а		а!		а	с
	с	с'	или		с
— 330 —
V. Если имѣемъ рядъ равныхъ отношеній, то сумма всѣхъ предыдущихъ
относится къ суммѣ всѣхъ послѣдующихъ, какъ любой изъ предыдущихъ къ
своему послѣдующему.
Пусть даны равныя отношенія
аі  аі  а3   __________________________ап.
&3	Ъп'
если назовемъ общаго знаменателя этихъ отношеній буквою д, то:
Выражая дѣлимое чрезъ дѣлителя и частное, имѣемъ:
=	аі—-Ъ.2д-, а3 = Ъ3д-,..........,	ап = Ъпд . . . . (1).
Сложивъ почленно эти равенства и во второй части вынеся за скобки д,
найдемъ;
®і 4" а2 ~І~ аз ”1“ • • • • 4" ил — (Ъ, Ъ.2 -|- Ь3 4~ . • . . 4_Мй'’
Раздѣливъ обѣ части на Ъі 4- Ъ2 4" • • • . 4~ я сокративъ вторую часть
„	„	а а!
на это выраженіе, получимъ во второй части д, или -у, у и т. д:
Д| 4~ 4~ Дз 4~ • • • • 4~    а' а2 
4~ \ 4~ ^8 4~ • • • • 4~ ъл	ъ'	ъ3
что и требовалось доказать.
VI. Если имѣемъ рядъ равныхъ отношеній, то сумма всѣхъ предыдущихъ,
умноженныхъ на какія угодно количества, такъ относится къ суммѣ всѣхъ
послѣдующихъ, умноженныхъ соотвѣтственно на тѣ-же самыя количества,
какъ любой изъ предыдущихъ относится къ своему послѣдующему.
Умноживъ равенства (1) пункта V соотвѣтственно на тх, т3,т3, ...,тп,
а затѣмъ поступая по предыдущему, найдемъ:
а3т^ а3т3 —.... аппіп а^	а3  
4- Ъ3т3 + Ъ3т3	Ъптп	Ъ,	&
VII. Возвысивъ равныя отношенія у- = у- = ....	въ иг-ую
степень, найдемъ
а™____а3т__а3т __	__апт
’	~ѵ’
откуда (на оси. V), получаемъ
аіга4-Оі,а4-азга4- • • • • 4-
ь1я* + Ѵ4-Ьз”4-• • • • 4-V
а по извлеченіи корня т-го порядка:
ІУаі”*4~я2та4~ дз”*4~ • • • • 4~ал”*_аі_^2__	. .
7&Л4-Ѵ+Ѵ + • • •
- 331 -
О пропорціональности величпнъ.
330. Опредѣленія. I. Когда двѣ величины А и В зависятъ одна отъ другой
такъ, что отношеніе двухъ какихъ угодно значеній первой равно отношенію со.
отвѣтствующихъ значеній второй, то такія величины называются прямо пропор-
ціональными или просто пропорціональными.
Согласно этому опредѣленію, если изобразимъ буквами «, а', а", а'",..
послѣдовательныя значенія величины А. а буквами Ь, У, Ъ", Ь"’,.... соотвѣт-
ствующія значенія величины В, то А и В—прямо пропорціональны, если
а __ Ъ а ____ Ъ а _____ Ъ	а __а'__а"___
а! ~Ѵ ’	• • • • или -у ——	—
Примѣры. Цѣна провизіи пропорціональна ея вѣсу; жалованье рабочаго
пропорціонально времени его работы; окружность круга пропорціональна его діамет-
ру; вѣсъ однороднаго тѣла пропорціона ленъ его объему, пространство, проходимое
равномѣрно движущимся тѣломъ, пропорціонально времени движенія; и т. н.
II. Когда двѣ величины А и В находятся въ такой зависимости одна отъ
другой, что отношеніе двухъ какихъ либо значеній первой равно обратному от-
ношенію соотвѣтствующихъ значеній второй,—такія величины называются обрат-
но пропорціональными.
Согласно этому опредѣленію, если буквами а, а' а!' а'", .... назовемъ
нѣкоторыя значенія величины А, а буквами Ь, У, Ъ", V, , . . . соотвѣтствую-
щія значенія величины В, то А и В обратно пропорціональны, если
а	У	а	У'	а	Ъ'"	,	,, т
-г=-т-,	.... или а.Ъ = а\Ъ = а.Ъ == а.Ъ = ... .
а	Ъ1	а	Ъ	а	Ъ ’
Примѣры. Время, необходимое для окончанія нѣкоторой работы, вообще
обратно пропорціонально числу рабочихъ; скорость равномѣрнаго движенія обрат-
но пропорціональна времени, необходимому для прохржденія опредѣленнаго раз-
стоянія; объемъ газа, при постоянной температурѣ, обратно пропорціоналенъ
давленію, подъ которымъ газъ находится; и т. н.
331. Какимъ образомъ доказывается пропорціональность величинъ. Въ нѣко-
торыхъ случаяхъ пропорціональность величинъ очевидна, или принимается за
таковую, напр. пропорціональность капитала и прибыли, платы рабочаго и вре-
мени, въ теченіи котораго онъ работалъ. Затѣмъ, пропорціональность нѣкоторыхъ
величинъ строго доказывается въ тѣхъ наукахъ, къ которымъ величины эти
спеціально принадлежатъ; такъ въ геометріи доказывается пропорціональность
сходственныхъ сторонъ подобныхъ треугольниковъ, пропорціональность окружно-
стей ихъ радіусамъ, и т. и.; въ Физикѣ доказывается цропорціональность плот-
ности газа и давленія, и т. п.
Если же изученіе разсматриваемыхъ величинъ не подлежитъ спеціально ни-
какой наукѣ, то въ ихъ пропорціональности (прямой или обратной) убѣждаются
слѣдующимъ образомъ.
I. Если окажется, что въ то время какъ величина А принимаетъ значенія
въ два, три, четыре, .... разъ большія или меньшія, другая величина В,
— 332 —
соотвѣтственно этому, принимаетъ значенія также въ два, три, четыре, ....
разъ большія или меньшія, то величины А и В прямо пропорціональны.
Въ самомъ дѣлѣ пусть соотвѣтственно значеніямъ А, равнымъ я, 2а, За,
•  • - , — а, ~а, •  • • величина В принимаетъ значеніе Ь, 2Ъ, ЗЬ,
А о
1 , 1 , ,
•	’	•	~Ъ, > • 	; требуется доказать, что если А приметъ значе-
А о
•	5	5
ніе равное — а, то соотвѣтствующее значеніе В будетъ у Ъ. Для доказательства
5
можно принять, что А получаетъ значеніе равное у а въ два пріема, т. е.что
11	5
сперва изъ а обращается въ у а, а затѣмъ изъ у а превращается въ —а. Но
по условію когда А получиетъ значеніе у а, въ 7 разъ меньшее а, то В по-
лучаетъ значеніе у 6, въ 7 разъ меньшее Ъ. Затѣмъ, опять по условію, когда
1	5
А изъ у а превращается въ у а, увеличиваясь въ 5 разъ, то В увеличивается
1	5
во столько же разъ, и слѣд. изъ -~Ъ обращается въ у Ъ. Такимъ образомъ тео-
рема доказана для всѣхъ случаевъ, когда одна изъ величинъ измѣняется въ со-
измѣримое число разъ. Но если величина А изъ а обращается въ а. измѣ-
няясь въ несоизмѣримое число разъ, то легко доказать, что соотвѣтственно это-
му и В изъ Ъ обратится въ Ъ. ^/2; въ самомъ дѣлѣ, замѣняя У 2 приближен-
ными соизмѣримыми дробями (1, 4; 1, 41; 1, 414 и т. д.) неограниченно при-
ближающимися къ предѣлу ^/2, каждый разъ будетъ находить, что во сколько
разъ измѣняется А, во столько же разъ и В; это заключеніе вѣрно, слѣд., и
въ предѣлѣ.
II. Если окажется, что соотвѣтственно значеніямъ А, равнымъ а, 2а, За,
11	т,
• * • ‘	‘	’ величина В принимаетъ значенія, во столько
А о
же разъ меньшія или большія, т. е. Ъ, ~Ъ,	... • 26, 36, .... ,
А о
то величины А и В обратно пропорціональны.
5
Требуется доказать, что если А приметъ значеніе у а, то соотвѣтствующее
значеніе В будетъ у-Ъ. Въ самомъ дѣлѣ, когда А, вначалѣ имѣвшее величи-
ну а, обращается въ у а, т. е. уменьшается въ 7 разъ, то В, по условію,
во столько же разъ увеличивается, и слѣд. изъ Ъ превращается въ 76; за тѣмъ,
1	5
когда А изъ у а обращается въ у а, увеличиваясь въ 5 разъ, то В, соотвѣт-
7
ствеино этому, уменьшается въ 5 разъ, и потому изъ 76 превращается въ ѵ-6..
Теорема такимъ образомъ доказана для всѣхъ случаевъ, когда отношеніе соизмѣ-
— 333 —
римо; а отсюда, по способу предѣловъ, легко заключить, что она распростра-
няется и на случай отношеній несоизмѣримыхъ.
Примѣры. 1. Если принять, что для исполненія работы въ два, три,
четыре и т. д. разъ большей или меньшей нужно рабочихъ въ два, три, че-
тыре и т. д. разъ больше или меньше, то заключаемъ, что и во всѣхъ слу-
чаяхъ количество исполненной работы пропорціонально числу рабочихъ.
2. Въ Физикѣ доказывается, что когда давленіе, подъ которымъ газъ на-
ходится, увеличивается или уменьшается въ два, три и т. д. разъ, объемъ га-
за уменьшается или увеличивается во столько-же разъ; заключаемъ, что во всѣхъ
случаяхъ объемъ газа обратно пропорціоналенъ давленію.
332. Пусть будутъ X и У двѣ прямо—пропорціональныя величины, напр.
вѣсъ товара и цѣна его. Пусть будутъ, затѣмъ, х и ж" два частныя значенія
первой, а / и у" два частныя значенія второй величины, соотвѣтствующія х
и х'. По опредѣленію прямо пропорціональныхъ величинъ, отношеніе двухъ
какихъ-либо значеній первой величины равно отношенію соотвѣтствующихъ
значеній второй, слѣд.
__у\
х" у"'
перемѣнивъ мѣста среднихъ членовъ, имѣемъ
х' х”
у' ~ У' ’
Такъ какъ разсматриваемыя значенія совершенно произвольны, то можно
сказать, что отношеніе двухъ какихъ угодно соотвѣтственныхъ значеній про-
порціональныхъ величинъ постоянно. Обозначивъ эту постоянную величину
буквою К, имѣемъ
^- = К, откуда Х = К.У,
т. е. изъ двухъ прямо—пропорціональныхъ величинъ одна равняется другой^
умноженной на постоянное количество, называемое коэффиціентомъ пропор-
ціональности.
Опредѣливъ изъ опыта или наблюденія два соотвѣтственныя частныя зна-
ченія разсматриваемыхъ величинъ, и взявъ ихъ отношеніе, найдемъ коэффи-
ціентъ пропорціональности, т. е. числовую величину отношенія, связывающаго
двѣ величины.
Если X и У—величины обратно-пропорціональныя, то, по опредѣленію,
имѣемъ
У___
Ф'
или приравнявъ произведеніе крайнихъ произведенію среднихъ:
х'.ф — х".ф'.
Такъ какъ взятыя значенія произвольны, то можно сказать, что произве-
деніе двухъ какихъ угодно соотвѣтственныхъ значеній двухъ обратно—пропор-
ціональныхъ величинъ — постоянно. Обозначивъ это постоянное буквою К,
имѣемъ
Х.У = К, откуда X = ѵ’
— 334 —
т. е. изъ двухъ обратно-пропорціональныхъ величинъ одна равна постоян-
ному коэффиціенту, дѣленному на другую.
Коэффиціентъ опредѣляется опытомъ или наблюденіемъ.
Разсмотримъ теперь нѣсколько величинъ. Когда измѣненіе величины зави-
ситъ отъ измѣненія нѣсколькихъ другихъ величинъ, то, говоря, что разсматри-
ваемая величина прямо или обратно пропорціональна другой, разумѣютъ при
этомъ, что всѣ другія величины въ моментъ сравненія двухъ взятыхъ вели-
чинъ остаются постоянными.
Примѣръ I. Говоря, что простыя процентныя деньги прямо—про-
порціональны капиталу и времени обращенія, разумѣютъ подъ этимъ, что
процентныя деньги, приносимыя въ опредѣленное время, измѣняются въ томъ
же отношеніи, какъ и капиталъ, и что процентныя деньги, приносимыя однимъ
и тѣмъ же капиталомъ, измѣняются въ томъ же отношеніи какъ продолжи-
тельность обращенія его.
Примѣръ II. — Говоря, что объемъ газа прямо пропорціоналенъ ею вѣ-
су и биному расширенія и обратно пропорціоналенъ давленію, разумѣютъ
подъ этимъ, что: при данныхъ—температурѣ и давленіи объемъ газа измѣняет-
ся въ томъ же отношеніи какъ его вѣсъ; при данныхъ—температурѣ и вѣсѣ
объемъ газа находится въ обратномъ отношеніи къ давленію; наконецъ, при
данномъ давленіи и данномъ вѣсѣ, объемъ газа прямо пропорціоналенъ биному
расширенія.
Обозначимъ разсматриваемыя величины буквами х, А, В, Р и 0,, и пусть
х прямо пропорціоналенъ А и В и обратно пропопорціоналенъ Р и О,. Пусть
два ряда соотвѣтственныхъ частныхъ значеній этихъ величинъ будутъ
< а', V, р', ф
х",а", Ѵ',р',ф',
и выразимъ х" черезъ остальныя величины.
Разсматривая величины ж и А, полагаемъ, что остальныя величины оста-
ются безъ перемѣны, т. е. въ то время какъ ж и А измѣняются, тѣ величины
сохраняютъ неизмѣнныя значенія V, р, и ф. Въ то время какъ А изъ а' пе-
реходитъ въ а", величина х переходитъ изъ х' въ такую величину X, которая
удовлетворяетъ равенству
__а.	ѵ а* ,................... \
откда ...................................
ибо х и А прямо пропорціональны.
При измѣненіи ж и В другія величины сохраняютъ значенія а", р' и ф\
при переходѣ В изъ Ь' въ Ъ", х переходитъ изъ X, соотвѣтствующаго количе-
ству Ъ', въ такое значеніе X', которое удовлетворяетъ пропорціи
X' V	Ъ" ѵ
- = откуда	X............(2),
такъ какъ ж и В прямо пропорціональны.
Разсмотримъ х и Р. Другія величины сохраняютъ значенія а", Ъ", ф\ при
переходѣ Р изъ р' въ р", х перейдетъ изъ X', соотвѣтствующаго р', въ X"—
удовлетворяющее пропорціи
— 335 —
откуда Х"=^. X'......................(3),
ибо х и Р обратно пропорціональны.
Наконецъ, разсмотримъ х и 0., причемъ остальныя величины сохраняютъ
значенія а", Ъ", р". При переходѣ 0, изъ д въ д", х переходитъ изъ X" въ
такую величину х", которая соотвѣтствуетъ ряду а", Ъ'\ р", д". Эта величина
х" удовлетворяетъ пропорціи
откуда	х".............(4),
ибо ж и 0, величины обратно пропорціональныя.
Для исключенія вспомогательныхъ неизвѣстныхъ X, X', X", перемножимъ
почленно равенства (1), (2), (3) и (4); найдемъ
Х.Х'.Х".ж" = Х.Х'.ХѴ. - С • С-
« ъ р 4
Сокративъ на Х.Х'.Х", получимъ
„	, а!' Ъ" У д'
а Ъ р д
Положивъ
а'.Ь'	’
гдѣ х', а!, V, р' и д представляютъ рядъ соотвѣтственныхъ частныхъ зна-
ченій разсматриваемыхъ величинъ, найдемъ
Такъ какъ это равенство относится къ ряду какихъ угодно соотвѣтствен-
ныхъ значеній взятыхъ величинъ, можно замѣнить эти частныя значенія об-
щими символами, и написать
Опредѣливъ изъ опыта или наблюденія рядъ частныхъ соотвѣтственныхъ
значеній данныхъ величинъ, найдемъ численную величину коэффиціента К,
связывающаго данныя величины.
Если-бы разсматриваемыя величины были только х, А и В, то имѣли-бы
х — К.АВ,
т. е. если величина прямо пропорціональна нѣсколькимъ другимъ, то она рав-
на ихъ произведенію, умноженному на постоянный коэффиціентъ.
Если бы взяты были только величины ж, Р и 0,, то имѣли-бы
т. е. величина, обратно пропорціональная нѣсколькимъ другимъ, равна постоян-
ному коэффиціенту, дѣленному на произведеніе этихъ величинъ.
— 336 —
Наконецъ, изъ Формулы
ж —К- р<э
слѣдуетъ, что величина, прямо пропорціональная одному ряду величинъ, и об-
ратно—пропорціональная другому, равна постоянному коэффиціенту, помножен-
ному на произведеніе перваго ряда величенъ, и дѣленному на произведеніе
втораго ряда.
Гармоническая пропорція.
333. Если три количества а, & и с удовлетворяютъ пропорціи
а: с — (а — Ъ)'-(Ъ — с),
т. е. если первое такъ относится къ третьему, какъ разность между первымъ
и вторымъ къ разности между вторымъ п третьемъ, то они называются гармо-
нически — пропорціональными1, прпэтомъ Ъ называется гармоническою среди-
ною между а и с.
Приравнявъ произведеніе крайнихъ произведенію среднихъ, найдемъ аЬ —
— ас = ас — Ъс-, а раздѣливъ обѣ части этого равенства на аЬс, найдемъ
_1______________1_
с Ь Ь а'
1 1 /1 । 1
0ТК^а	Т = ТІа+7/
Изъ этого слѣдуетъ, что если Ъ есть гармоническая средина между а и с, то
1 11
есть ариѳметическая средина между — и — •
334. Теорема. Ариѳметическая, геометрическая и гармониче-
ская средины двухъ какихъ-нибудь чиселъ составляютъ непрерывную
геометрическую пропорцію.
Пусть ж, у и г будутъ: гармоническая, геометрическая и ариѳметическая
средины чиселъ а и Ъ\ т. е.
а:Ъ=(а— ж) : (ж— &);	=
Приравнявъ въ первой произведеніе крайнихъ произведенію среднихъ на-
ходимъ
ах — аЪ = аЪ — Ъх\
прибавивъ къ обѣимъ частямъ по Ъх-\-аЪ, находимъ
ах-\-Ъх = 2аЪ-, или 22Х = 2у\ или	гх — у*,
откуда	х у = у 2.
Примѣчаніе. Поводомъ къ названію разсматриваемой пропорціи гармони-
ческою послужило замѣчаніе, что числа 1, — и — > представляющія длины
Э	О
струнъ, дающихъ совершенный аккордъ (мі, ті, воі), удовлетворяютъ этой
пропорціи.
- 337 —
Приложенія.
335. I. Раздѣлить число А на части пропорціональныя даннымъ числамъ
а, Ъ, с?
Это значитъ найти три такія числа, которыхъ сумма равнялась бы А, и'
которыя удовлетворяли бы равенствамъ
X  У  
а	Ь	с
По свойству равныхъ отношеній имѣемъ:
х   у  г х-\-у г,
а	Ь	с
но ж-|-— А, слѣд. для опредѣленія х, у и г имѣемъ три равенства
х А	у А	г А
.	---------------*	---- 1	—------і’	---- ----------------}
сь Ъ с' Ь а —Ъ —с* с а Ъ —|— с
откуда
__ Аа	___ АЬ	_ Ас
Х а-\-Ъ-\-с'	III. * У а-\-Ъ-\-с‘‘	8	а4-&~Ьс
II. Три купца внесли для общей торговли капиталы: А, А' и А", находив-
шіеся въ оборотѣ: первый — і лѣтъ, второй—третіи — И' лѣтъ. Сколько
каждый купецъ долженъ получить изъ общей прибыли В?
Части каждаго должны быть прямо пропорціональны капиталамъ и време-
намъ ихъ обращенія; а слѣд. эти части должны быть пропорціональны про-
изведеніямъ капиталовъ на соотвѣтствующія времена; итакъ, имѣемъ
I | т>	ж ___ У __ “
+ — В и	кі~ А7—А"Г’
откуда, подобно предыдущему, найдемъ
_ в.Аі .__________________~ В.А'г' .	, В.А'Г
Х~ АІ^РАТ-І-А'Г’ У — Аі 4- АТ 4- А'7"’	8 ~ Аі 4~ А'і' 4~ А'Т' '
III. Рѣшить уравненія
, ,	,	X	у	&
ах-\-Ъу-\-сё — а, — — -— = — •
1 17 1	’ т п р
Умноживъ оба члена перваго отношенія на а, втораго на Ъ, третьяго на
с, получимъ
ах Ъу с0
ат	Ъп	ср
Отсюда, по свойству равныхъ отношеній, выводимъ:
х  у 0	яж -\ Ъу 4- С0 _	<1_____
т	п	р	аяг4~ Ъп 4-ср ат 4~ Ъп 4~ ср
а отсюда:
4т	4п	4р
ат 4~ Ъп 4-ф’ я ат4- Ъп 4- ср' ат4- Ъп4- ср
22
- 338 -
IV. Рѣшить систему уравненій
ах = Ъу — св = Ни............................(1)
= 1................(2).
х 1 у 1 в 1 и т	'
Уравненія (1) можно представить въ видѣ
а  Ъ  с  И,
\х/	\ у / \В /	\ М /
Но въ ряду равныхъ отношеній сумма всѣхъ предыдущихъ членовъ отно-
сится къ суммѣ послѣдующихъ, какъ одинъ изъ предыдущихъ къ своему по-
слѣдующему; такимъ образомъ, замѣчая, что въ силу ур-нія (2), сумма послѣ
1
дующихъ членовъ равна —, получимъ:
а -|- Ъ -1- с -1- И, а  Ъ  с сі
т	х	у	в	и
откуда
У = (® + & + с +
^=(а+г>+с+^
и = (а -|- Ъ	с 4~ й) ~ •
V. — Рѣшить уравненіе
5/а4-«-рѵа — х  Ъ
\]а-\-а — \/а — х с
Во всякой пропорціи судка членовъ перваго отношенія относится къ ихъ
разности такъ, какъ сумма членовъ втораго отношенія къ ихъ разности; слѣ-
довательно
\/а х Ь-рс
\]а — х	Ь — с
Возвысивъ обѣ части въ квадратъ, для освобожденія неизвѣстнаго изъ подъ
радикала, получаемъ
а -|- х_(Ъ -(- с)2
а — х (Ъ — с)2
Примѣнивъ снова тоже самое свойство пропорцій, найдемъ
а _(& + с)2-}-(& —с)2_&« + с2
~ (& 4-с)2 — (Ь — с)2— 2Ьс '
откуда
•	2аЬс
Х~Ъ^'
339
336.	Задачи.
, „	. а с	.	.
1.	Изъ пропорціи	вывести слѣдующія:
аЪ (а-р)2	та-^-пс у/ас	(а — с)(Іа2-}-тае,-^-пс^) а3 — сл
са ~ (с+й)«’	тъ+па~ /ъа' 0>—а)(№/-тьа 4-»а*)
2.	Если имѣемъ пядъ равныхъ отношеній
а __ с ___ /__ 1і __ г
Ъ	а	д	7г	I	'
то доказать, что
/ аь 4— у/са 4" /Та Н~	4- ^7 — у/4~ Т ~Н Н— 4~ а 4~ О'
3.	Доказать, что пропорція
та 4* по___т'а 4* п'с
тЪ-\-па т'Ъ 4-и'й
имѣетъ слѣдствіемъ одну изъ пропорцій:
4.	Найти два числа, которыхъ разность равнялась бы Н, и которыя были бы
пропорціональны а и Ь.
5.	Найти три числа, которыя были бы пропорціональны а, Ъ и с, п которыхъ
сумма квадратовъ равнялась бы данному числу И.
6.	Опытъ показываетъ, что если на вертикальный стержень, котораго одинъ
конецъ укрѣпленъ, дѣйствуетъ нѣкоторый грузъ, растягивая стержень, то перемѣнное
сопротивленіе, противопоставляемое стержнемъ, пропорціонально его сѣченію и отно-
шенію приращенія длины къ первоначальной длинѣ. Составить алгебраическое выра-
женіе сопротивленія Е для нѣкотораго сѣченія А, если первоначальная длина = Ь,
а перемѣнное удлинненіе =х.
7.	На желѣзной дорогѣ тяга локомотива должна побѣждать треніе колесъ о
рельсы и сопротивленіе воздуха. Треніе пропорціонально вѣсу поѣзда, но не зави-
ситъ отъ его скорости^ сопротивленіе воздуха, будучи независимо отъ вѣса поѣзда,
пропорціонально квадрату его скорости* Составить формулу, которая выражала бы
тягу для какихъ угодно—вѣса п скорости, если величина тренія для даннаго вѣса
Р равна Г, а величина сопротивленія воздуха для скорости V равна В.
22*
- 340 -
ГѴЕУѴВ/к XXIV.
Неравенства первой степени.
Опредѣленія. — Общія начала. — Начала, относящіяся къ совмѣстнымъ неравен-
ствамъ. — Провѣрка неравенствъ. — Доказательство нѣкоторыхъ замѣчательвыхъ не-
равенствъ. — Рѣшеніе неравенствъ первой степени съ однимъ и со многими неизвѣ-
стными- — Задачи.
Опредѣленія.
337.	Если разность двухъ количествъ а ъ Ъ равна положительному числу р,
то изъ равенства а — Ъ — р находимъ: а — Ъ-\-р, откуда видно, что количе-
ство а превышаетъ Ъ на р единицъ.
Если же разность между а и & равна отрицательному числу —р, то изъ
условія а—Ь — —р находимъ: а — Ь—р, откуда видно, что а меньше Ъ на
р единицъ.
Отсюда вытекаетъ опредѣленіе', количество а считается большимъ Ъ,
каковы-бы ни были ихъ знаки, если разность а — Ъ положительна-, наобо-
ротъ, а считается меньшимъ Ъ, если разность а — Ъ отрицательна.
Обратно: если а больше Ъ, то это значитъ, что а равно Ъ, сложенному съ
положительнымъ числомъ р-. а~Ъ-\-р, откуда а — Ъ = р-, если а меньше Ъ,
то это значитъ, что а равно Ъ безъ нѣкотораго положительнаго числа р, т. е.
а-=~-Ъ— р, откуда а — Ъ = — р.
Итакъ: каковы-бы ни были знаки количествъ а и Ъ, если а больше Ь,
разность а — Ъ положительна, если же а меньше Ъ, эта разность отри-
цательна.
Слѣдствія. Ивъ данныхъ опредѣленій можно вывести всѣ свойства от-
носительно сравнительной величины положительныхъ и отрицательныхъ чиселъ.
1.	Изъ двухъ положительныхъ чиселъ то больше, котораго абсолютная
величина больше.
Такъ, 4-10 больше —6, потому-что разность -}-10—(4-6) равна поло-
жительному числу 4-4.
2.	Всякое положительное число больше нуля.
Такъ, 4-5>0, потому-что разность -}-5—О равна положительному
числу 4-5-
3.	Всякое положительное число больше всякаго отрицательнаго.
Такъ, 4-2>-7, ибо разность 4-2—(—7) положительна и равна 4-9.
4.	Изъ двухъ отрицательныхъ чиселъ-то больше, котораго абсолютная ве-
личина меньше.
Напр. —3 больше —8, ибо разность —-3—(—-8) равна положительно~му
числу 4-5.
5.	Ноль больше всякаго отрицательнаго числа.
Такъ, 0> — 4, ибо разность 0 — (—4) равна 4-4, числу положительному.
- 341 —
Отсюда вытекаетъ, что если написать рядъ положительныхъ и отрицатель-
ныхъ чиселъ, такъ чтобы ихъ абсолютныя величины шли возрастая въ обѣ
стороны отъ нуля:
— оо, . . . , —4, —3, —2, —1, 0, -{-1, 4-2, 4"8, 4"з • • • 4-°°,
то любое число, взятое въ этомъ ряду, больше каждаго числа, находящагося
влѣво отъ него, и меньше каждаго числа, стоящаго справа отъ него.
Если подразумѣвать въ этомъ ряду между цѣлыми числами и дроби и не-
соизмѣримыя числа, то получимъ рядъ всевозможныхъ дѣйствительныхъ чиселъ.
Такъ какъ всякое положительное число больше нуля, а всякое отрицатель-
ное меньше нуля, то желая выразить, что число а положительно, пишутъ, что
опо больше нуля:
а > 0;
а желая выразить, что число Ь отрицательно, пишутъ, что оно меньше нуля:
Ъ < 0.
338.	Соединеніе двухъ неравныхъ величинъ знакомъ неравенства назы-
вается неравенствомъ', такъ
7 > а, а < Ъ
суть неравенства. Выраженія, находящіяся по ту и по другую сторону знака
неравенства, называются частями неравенства: находящееся слѣва отъ этого
знака, называется первою частью неравенства, а стоящее справа — второю
частью его.
Подобно равенствамъ, неравенства бываетъ двоякаго рода: одни, какъ напр.
а2 -|- Ь2 > 2«б, имѣютъ мѣсто при всякихъ частныхъ значеніяхъ буквъ, въ нихъ
входящихъ; другія, каково напримѣръ '2ахі-^Ъх-^-с> 0, имѣютъ мѣсто толь-
ко при нѣкоторыхъ частныхъ значеніяхъ этихъ буквъ.
Такимъ образомъ, по отношенію къ неравенствамъ подлежатъ рѣшенію два
вопроса: 1) провѣрка такихъ неравенствъ, которыя справедливы при всѣхъ
значеніяхъ буквъ; и 2) опредѣленіе тѣхъ значеній неизвѣстныхъ, которыя
удовлетворяютъ неравенству, имѣющему мѣсто при частныхъ значеніяхъ буквъ.
Рѣшеніе этихъ вопросовъ основано на слѣдующихъ началахъ.
Общія начала.
339.	Опредѣленіе. — Два неравенства называются тождественными меж-
ду собою, если второе есть слѣдствіе перваго, и обратно—первое есть слѣдствіе
втораго.
340.	Начало I. — Неравенства
А > В .... (1) и А - В > 0 .... (2)
тождественны, каковы бы ни были знаки количествъ А. и В.
Въ самомъ дѣлѣ: 1) если А больше В, то разность А — В положительна
т. е: больше нуля; слѣд. неравенство (2) вытекаетъ изъ (1); 2) обратно, если
разность А —В больше нуля, т. е. положительна, то количество А больше В:
- 342 -
значитъ, неравенство (1) есть слѣдствіе неравенства (2). Тождественность не-
равенствъ (1) и (2) доказана.
Подобнымъ же образомъ доказывается, что неравенства
а	и а — 6 < О
тождественны, каковы бы ни были знаки количествъ а и Ъ.
341.	Начало II. — Придавая къ обѣимъ частямъ неравенства одно и
тоже количество, положительное или отрицательное, и не перемѣняя знакъ
неравенства, получимъ новое неравенство, тождественное съ даннымъ.
То-есть, если данное неравенство есть
А>В.............(1)
и М — произвольное количество, положительное или отрицательное, то требует-
ся доказать, что неравенство
А + М > В + М.............(2)
тождественно съ (1). Въ самомъ дѣлѣ:
1) Если дано, что
А > В,
то это значитъ, по опредѣленію, что разность А — В положительна, и слѣд.,
изъ (1) вытекаетъ неравенство
А — В > 0;
прибавивъ къ первой части М и вычтя изъ нея М, мы не измѣнимъ разности
А — В, а потому и
(АМ) — (ВМ) > 0,
откуда, по опредѣленію, имѣемъ
А-]-М> ВН-М.
Итакъ, неравенство (2) есть слѣдствіе перваго.
2) Если дано, что
А -ь М > В + М,
то разность между первою и второю суммою положительна, т. е.
(А 4- М) - (В + М) > 0,
или	А — В > О,
откуда, по опредѣленію,
,	А > В,
т. е. неравенство (1) есть слѣдствіе втораго.
Тождественность неравенствъ (1) п (2) доказана.
Подобнымъ же образомъ доказали бы, что вычтя изъ обѣихъ частей одно
п тоже количество, найдемъ неравенство тождественное данному.
Слѣдствіе I. — Ложно переноситъ члены изъ одной части неравен-
ства въ друіую, перемѣняя у переносимыхъ членовъ знаки.
Такъ, имѣя неравенство
ах — Ъ>сх-^-Л..............................(1)
— 343 —
и придавъ къ обѣимъ частямъ его по — сх &, найдемъ
ах — Ъ — сх-{-Ъ> сх-^-й — сх-\-Ь,
или, по приведеніи подобныхъ членовъ,
ах— сх>й-\-Ъ............(2).
По доказанному, неравенство (2) тождественно (1) и слѣд. можетъ его замѣ-
нять. Сравнивая ихъ, замѣчаемъ, что членъ — Ъ перешолъ изъ первой части во
вторую со знакомъ а членъ сх изъ второй части въ первую со знакомъ —.
Такимъ образомъ, правило перенесенія членовъ изъ одной части неравенства въ
другую ничѣмъ не отличается отъ правила перенесенія членовъ изъ одной ча-
сти уравненія въ другую.
Слѣдствіе И. — Всякое неравенство можно привести къ виду
А>0,
т. е. къ неравенству, вторая часть котораго есть ноль.
Въ самомъ дѣлѣ, достаточно для этого всѣ члены собрать въ первую часть.
Такъ, неравенство
5ж'2 — 7х -|-1 > 2х2 -|- Зх 4
тождественно неравенству
Р	Зх2 —10х —3>0.
342. Начало III. Помножая обѣ ча&пи неравенства на одно и тоже ко-
личество — существенно — положительное, и не перемѣняя знакъ неравенства,
получимъ новое неравенство, тождественное съ даннымъ.
Требуется доказать, что неравенство
А>В...........(1)
тождественно съ неравенствомъ
АМ > ВМ..............(2)
при условіи: М > 0.
Въ самомъ дѣлѣ: 1) неравенство А > В тождественно съ
А-В > 0;
помноживъ положительное количество А — В на положительное количество М,
получимъ и произведеніе положительное, слѣд.
(А— В)М > 0, или АМ — ВМ>0,
откуда	АМ > ВМ.
Итакъ, доказано, что изъ неравенства (1) слѣдуетъ (2).
2} Обратно: перенеся въ неравенствѣ АМ>ВМ вторую часть въ первую,
найдемъ
АМ-ВМ>0, плп (А —В)М>0;
но множитель М положительнаго произведенія (А—В)М положителенъ, слѣд. и дру-
гой множитель долженъ быть положителенъ, т. е.
А — В > 0, откуда А > В;
т. е. изъ неравенства (2) вытекаетъ (1).
- 344 -
Тождественность неравенствъ (1) и (2) такимъ образомъ доказана.
Слѣдствіе I. — Помножая обѣ части неравенства на одно и тоже
существенно — отрицательное количество и перемѣнивъ знакъ неравенства, по-
лучимъ новое неравенство, тождественное съ даннымъ.
Т. е. неравенство
А>В...........(1)
тождественно съ неравенствомъ
АИ<ВМ . . . . (2)
при условіи: М<0.
Въ самомъ дѣлѣ, если М отрицательно, то — М положительно, а потому,
на основаніи начала III, помноживъ обѣ части неравенства (1) на —М и со-
хранивъ тотъ же знакъ, получимъ неравенство
— АМ> —ВМ, .... (3)
тождественное съ (1). Перенеся въ (3) члены изъ одной части въ другую, да-
димъ ему видъ
ВМ>АМ, или АМ<ВМ.
Заключаемъ, что неравенство (1) тождественно со (2).
Слѣдствіе И. Умножая обѣ части неравенства на такого множи-
теля, котораго знакъ неизвѣстенъ, получимъ неравенство, котораго смыслъ
неизвѣстенъ, т. е. неизвѣстно—болъше-ли его первая частъ второй, или меньше.
Это очевидно, потому-что знакъ неравенства сохраняется, когда множитель
положителенъ, и измѣняется въ противный, когда множитель отрицателенъ.
Итакъ: Нельзя умножатъ обѣ часгпи неравенства на такого множите-
ля, котораго знакъ неизвѣстенъ.
Слѣдствіе III. Раздѣливъ обѣ части неравенства на одно и тоже
количество М, и не перемѣнивъ знакъ неравенства при М > 0, и перемѣнивши
его знакъ при М < О, найдемъ неравенство тождественное съ даннымъ.
Въ самомъ дѣлѣ, раздѣлить на М — все равно-что помножить на а для
случая умноженія теорема доказана.
343. Приложенія. Начало III съ вытекающими изъ него слѣдствіями имѣ •
етъ важныя приложенія при вычисленіяхъ надъ неравенствами, а именно при
сокращеніи неравенствъ и при освобожденіи ихъ отъ дробей.
Пусть, напр., требуется освободить отъ дробей неравенство
(2	8
Собравъ его члены въ первую часть, найдемъ тождественное ему неравенство
Р В „ Р8 —	„	....
д~8>0’ или —08^>0 • • •
Умножить обѣ его части на 08 нельзя, когда знаки количествъ О и 8 не-
извѣстны, потому-что въ такомъ случаѣ неизвѣстенъ и знакъ произведенія 08.
Но каковы бы ни были знаки 0, и 8, квадратъ произведенія 0,8 всегда будетъ
- 345 -
положителенъ, а потому умноживъ обѣ части неравенства (2) на 0,983 и со-
хранивъ знакъ неравенства, найдемъ
-^^>0, или Ц8(Р8 - ЦВ) > О,
неравенство — тождественное съ (1) и представленное въ цѣломъ видѣ.
Пользуясь слѣдствіемъ III, можно сокращать неравенство, дѣля обѣ части
его на общаго множителя; но эта операція возможна, когда извѣстенъ знакъ
того множителя, на который сокращаемъ. Такъ напр. если въ неравенствѣ за-
мѣчаемъ множителя, имѣющаго видъ квадрата, или суммы квадратовъ, такихъ
множителей можно сократить, не измѣняя знака неравенства; въ самомъ дѣдѣ,
квадратъ всякаго количества и положительнаго, и отрицательнаго — всегда по-
ложителенъ, а слѣд. и сумма квадратовъ — такова-же. Такъ, имѣя неравенство
8(ж2 — 2х + 2)(ж24- 2х 4- 1)(ж - 5) > 0.
Замѣчаемъ, что множитель аз2 -|- 2ж 1 есть ничто иное какъ (ж 1)2, и
потому существенно — положителенъ; затѣмъ, множитель а;2—2х -{- 2 равенъ
(а;2 — 2»-]-1) -р 1, или (аз—1)2-|-1, т. е. представляетъ сумму двухъ квад-
ратовъ, а потому, при всякомъ аз, существенно-положителенъ. Заключаемъ, что
и произведеніе 8(аз2 — 2а;-{- 2)(/с2 ~Р 2ж-I-1), при всякихъ значеніяхъ аз, су-
щественно-положительно; сокративъ на него данное неравенство, замѣнимъ его
простѣйшимъ неравенствомъ
аз — 5 > 0.
Имѣя неравенство
— 5а2(аз — 2) < О,
и замѣчая, что а2, какъ квадратъ, всегда положителенъ (каковъ бы знакъ ни
имѣло количество а), заключаемъ, что —5а2—существенно отрицательно; а по-
тому, раздѣливъ неравенство на —5а2 и перемѣнивъ знакъ < на >, найдемъ
неравенство
аз — 2 > О,
тождественное съ даннымъ, но имѣющее простѣйшій видъ.
344. Начало IV. Если обѣ части неравенства положительны, то возвы-
шая ихъ въ одинаковую цѣлую положительную степень и не перемѣняя знакъ
неравенства, получимъ неравенство тождественное данному.
Разсмотримъ сначала простѣйшій случай—возвышенія въ квадратъ. Если
дано неравенство
А>В,............(1)
въ которомъ А > 0 и В > 0, то доказать, что неравенство
А2>В2...........(2)
тождественно данному.
Въ самомъ дѣлѣ: 1) Изъ неравенства (1) выводимъ:
А-В>0;
но какъ А и В положительны, то и
А-і-В >0.
— 346 —
Перемноживъ два положительныя количества, найдемъ и произведеніе по-
ложительное, слѣд.
(А — В)(А 4-В) > О, или А8-В8>0,
откуда
А8>В8.
2) Обратно, если А8>В8, то
А8-—В8>0, или (АВ)(А — В) > 0;
слѣдовательно оба множителя: А —В и А — В должны быть одного знака; но
какъ А-4-В положительно (ибо А>0 и В> 0), то и А — В > 0, окуда'
А>В.
Тождественность неравенствъ (1) и (2) доказана.
Слѣдствіе I. Если обѣ части неравенства отрицательны, то возвы-
сивъ ихъ въ квадратъ и измѣнивъ знакъ неравенства, получимъ неравенство,
тождественное данному.	у /
То-есть, если дано неравенство	- ѵ
А>В, . ... (1)	1
причемъ А<0 и В<0, то доказать, что неравенство
А8<В8 . . . . (2)
тождественно данному.
Въ самомъ дѣдѣ, умноживъ обѣ части (1) на — 1, найдемъ ему тождествен-
ное неравенство
— А< — В,
гдѣ уже — Ап — В положительны, а потому, по доказанному, ^возвысивъ въ
квадратъ и не измѣнивъ знака неравенства, получимъ
А8<В8,
тождественное съ —А< — В, а слѣд. и съ А>В.
Слѣдствіе II. Если обѣ части неравенства имѣютъ противополож-
ные знаки, то нельзя ихъ возвышать въ квадратъ, не зная ихъ численной
величины.
Въ самомъ дѣдѣ, пусть имѣемъ неравенство
А>В,
гдѣ А>0 и В <0, и требуется доказать, что результатъ возвышенія въ квад-
ратъ можетъ быть иди А8>В8, пли А8 = В8, или А’<В8.
Дѣйствительно:
А8 — В8 = (А + В)(А- В);
при условіи: А>0 и В<0 будетъ А —В положительно; номы не знаемъ зна-
ка суммы А В, а потому неизвѣстенъ и знакъ разности А8 — В8; поэтому не
можемъ сказать, будетъ-ли А8>В8, или А4 = В8, или А8 <[В8.
- 347 -
Напримѣръ:
неравенство -)-3>— 2 приводитъ къ -}-9>-]-4;
<	4-3>-5	«	«	4-9<4-25;
<	+3> — 3	<	«	+9—4-9-
Слѣдствіе III. Нельзя возвышать въ квадратъ такое неравенство, въ
которомъ знаки частей неизвѣстны.
Это непосредственно очевидно изъ предыдущаго.
345. Обобщеніе. Если обѣ части неравенства положительны, то воз-
вышая ихъ въ одинаковую цѣлую положительную степень и неизмѣняя при
этомъ знакъ неравенства, получимъ неравенство тождественное данному.
Требуется доказать, что если А>0 и В>0, а т — цѣлое положительное
число, то неравенства
А>В .... (1) и А”‘>ВИ..............(2)
тождественны.
Въ самомъ дѣлѣ, такъ-какъ В > 0, то раздѣливъ обѣ части на Б, найдемъ
что означаетъ, что есть неправильная дробь; но от-ая степень неправильной
дроби есть также дробь неправильная, слѣд.
ди
—> 1
откуда, множа обѣ части на положительное количество В“, находимъ
А“>В“.	/
Обратно, изъ неравенства (2) можно вывести (1). Въ самомъ дѣлѣ:
А“ —Вт = (А — В)(А“-1 + А“-ХВ+ . . . .+В-*).
Въ силу неравенства (2) это произведеніе > 0; но второй множитель, какъ
сумма положительныхъ членовъ, положителенъ, слѣд. и А — В>0, откуда
А>В.
Слѣдствія. — I. Если количества А и В оба отргіцательны^ то воз-
вышая обѣ части неравенства А > В въ цѣлую положительную степень т,
и не измѣняя знакъ неравенства при т нечетномъ, и напротивъ измѣняя ею
при т четномъ, получимъ неравенство^ тождественное съ даннымъ.
Дано неравенство
А>В,. . . .(1)
въ которомъ А<0 и В<0. Положивъ А = — А' п В = — В', гдѣ уже А' и
В' положительны, помножимъ обѣ части неравенства (1) на —1; найдемъ
— А < — В, или А' < В'.
Такъ какъ А' и В' положительны, то по предыдущей теоремѣ имѣемъ
А'” < В'т.
— 348 -
Изъ равенствъ А=—А' и В==—В' имѣемъ: А'=(— 1).А и В'=(—1).В,
откуда, по возвышеніи въ »г-ю степень, находимъ: А/то~(-~ 1)“А“ и В'“ =
(— 1)т.Вт. Подставляя въ послѣднее неравенство, получимъ
(—1)“.Ат<(-1)то.В’“.
Если т— четное, то (— 1)" есть число положительное; а потому, раздѣ-
ливъ на него послѣднее неравенство, не должны перемѣнять знакъ неравенства;
напротивъ, при т нечетномъ, (— 1)" < 0 и дѣленіе неравенства на это число
поведетъ за собою перемѣну знака неравенства. Такимъ образомъ, неравенство
(1), въ которомъ А<0 и В<0, тождественно съ
Ат<В“
при т — четномъ; и съ
А«>в’»
при т — нечетномъ.
II. Когда части неравенства имѣютъ различные знаки, то слѣдуетъ разли-
чать два случая:
1) когда возвышаемъ неравенство въ нечетную степень, то степени сохра-
нятъ тѣ знаки, какіе имѣли части неравенства, а потому и знакъ неравенства
сохранится. Напр.
изъ	—7 слѣдуетъ (+2)3>(—7)3, или -]-8> — 343.
2) Когда возвышаемъ неравенство въ четную степень, то нельзя дать ни-
какого правила: знакъ неравенства можетъ измѣниться, или же сохраниться^
пли даже неравенство можетъ перейти въ равенство. Такъ:
+ 3 > — 2	приводитъ	къ	(4~ 3)‘> (—2)1,	или	+ 81> + 16;
4-2> —5	>	>	(4-2)’<(—5)1,	или	4-16< + 625;
+ 2> — 2	>	»	(+2)4 = (— 2)‘,	или	+16—+ 16.
III. Если обѣ части неравенства положительны, то возводя ихъ въ цѣ-
лую отрицательную степень и перемѣняя знакъ неравенства, получимъ не-
равенство, тождественное съ даннымъ.
Требуется доказать, что если
А>В, . . .(1)
гдѣ А>0 и В>0, то неравенство
А‘п < В-" . . . . (2)
тождественно съ (1).
Такъ какъ п — число положительное, то неравенство
А’>ВП .... (3)
тождественно съ (1). Раздѣливъ обѣ части на положительное количество АП.ВП,
найдемъ неравенство
1 1
в- >ТГ
или В~п > А-**, или, наконецъ,
А-" < В’,
тождественное съ (3), а потому и съ (1).
- 349 -
346. Начало V. — I. Каковы бы ни были знаки обѣихъ частей неравен-
ства^ извлекая корень нечетнаго порядка, должно сохранятъ знакъ нера-
венства.
Это есть прямое слѣдствіе правила знаковъ при извлеченіи корня.
Такъ:
Изъ неравенства 4-27 > 4- 8 имѣемъ: Ѵ4~27>Ѵ+ 8, или -|-3 >4-2;
>	4~2§.>— 8	»	^/_|-27>7—8, или-[-3> — 2;
>	— 8 > - 27	»	> Ѵ=^27, или - 2 > — 3.
2. Если же показатель корня—четный, то во-первыхъ необходимо, чтобы
обѣ части неравенства были положительны (въ противномъ случаѣ корни были-
бы мнимые, и не могло бы быть рѣчи о ихъ сравненіи); въ такомъ случаѣ
каждый корень имѣетъ два значенія, равныя по величинѣ, но противоположныя
по знаку; и неравенство сохраняетъ знакъ, или измѣняетъ его, смотря потому,
беремъ-ли положительныя, пли отрицательныя значенія корней. Такъ:
неравенство	4~ 49 > 4~ 25
ивг.і	•/+*• т +’>+6;
I—	)+49< — У+25, ап — 7< — 5.
Но если взять корпи съ различными знаками, то очевидно, что отрица-
тельный корень всегда будетъ меньше. Такъ
неравенство
4- 49 > + 25
даетъ (
і —
ѵ/49 > - ѵ/25,
#9<+ѵ/25,
или 4- 7 > — 5;
или —7 <4-5.
Начала, относящіяся въ совмѣстнымъ неравенствамъ.
347.	— Еслп въ двухъ или нѣсколькихъ неравенствахъ первыя части
больше вторыхъ, или первыя части меньше вторыхъ, то они называются не-
равенствами одинаковаго смысла. Такъ, неравенства
3> — 2 и а>Ъ
суть два неравенства одинаковаго смысла.
Если же въ одномъ неравенствѣ первая часть больше второй, а въ другомъ
первая меньше второй части, то. ихъ называютъ неравенствами противоположи
наго смысла. Таковы
а > Ъ и с < И.
348.	Начало VI. — Складывая почленно два или нѣсколько неравенствъ
одинаковаго смысла, получимъ неравенство того же смысла-, но оно не мо-
жетъ замѣнитъ одного изъ данныхъ.
Пусть данныя неравенства будутъ	Ч
А>В и А'>В'.	.-Г;
- 350
Изъ нихъ слѣдуетъ, что разности А — В и А'—В' положительны, а по-
тому и сумма ихъ положительна; слѣд.
А-В-І-А'-В'Х),
откуда, перенеся В и В' во вторую часть, найдемъ
А + А' > В + В'.
Но это неравенство не можетъ замѣнить одного изъ данныхъ, иначе гово-
ря, система:
А>В 1
А + А'>В + В' /
не имѣетъ необходимымъ слѣдствіемъ:
А'>В'.
Въ самомъ дѣлѣ, изъ неравенства
А —|—А'> В —|—В',
перенесеніемъ членовъ въ первую часть выводимъ:
(А-В) + (А'-В')>0;
и хотя изъ условія А > В мы и знаемъ, что А — В > 0, однако отсюда нель-
зя заключить, чтобы и
А'— В'>0.
Слѣдствіе. Нельзя почленно складывать два неравенства различнаго
смысла, ибо нельзя предвидѣть, которая сумма будетъ больше. Дѣйствіе въ
этомъ случаѣ возможно только въ численныхъ примѣрахъ. Такъ:
1) 5 >3	2) 5 > 3	3) 5 > 3
2 < 3	1 < 7	3< 5 .
7 >6	6 < 10	8 = 8
349.	Начало VII.—Можно сдѣлать почленное вычитаніе двухъ нера-
венствъ различнаго смысла', полученное неравенство будетъ одинаковаго смыс-
ла съ первымъ-, но оно не можетъ замѣнить одною изъ данныхъ.
Пусть данныя неравенства суть:
А > А' и В < В'.
Мы заключаемъ изъ нихъ, что разности: А —А' и В' — В обѣ положи-
тельны, а потому и сумма ихъ положительна; слѣд.
А-А'Н-В' —В>0,
или:	А — В > А' — В'.
Но система
А>А' 1
А —В>А' —В' |
не имѣетъ необходимымъ слѣдствіемъ В<В', и потому не необходимо тожде-
ственна данной.
Въ самомъ дѣлѣ, изъ неравенства А — В > А' — В' имѣемъ
(А-А') + (В'-В)>0,
— 351 —
и хотя знаемъ, что А — А' > 0, но отсюда нельзя заключить, чтобы необходи-
мо было и В'—В> 0.
Слѣдствіе.—Нельзя дѣлать почленнаго вычитанія двухъ неравен-
ствъ одинаковаго смысла, ибо нельзя напередъ знать относительную величину
разностей; такъ
1) 7 > 5	2) 7 > 5	3) 7 > 5
3 >2	3 >1	3> —6
4>3.	4 = 4.	4< 11.
350.	Начало VIII.—Перемножая почленно два или нѣсколько неравен-
ствъ одинаковаго смысла, части которыхъ положительны, получимъ пера,
венство того же смысла; но оно не можетъ замѣнить одною изъ данныхъ.
Пусть данныя неравенства суть:
А > В	и	А' > В',
причемъ: А, А', В, В'—положительны. Изъ данныхъ неравенствъ имѣемъ:
А — В>0	и	А' —В'>0,
а такъ-какъ А' и В положительны, то и
(А —В)А'>0 и (А' — В')В>0;
складывая, находимъ
(А-В)А'4-(А' —В')В>0, или АА' — ВВ'>0,
откуда	АА' > ВВ'.
Но изъ того, что
А>В |
и	АА'>ВВ' |
нельзя заключить, что и А'>В', ибо сумма (А — В)А'-{-(А'— В')В можетъ быть
положительна, хотя бы А' — В' и было отрицательно.
Эта теорема справедлива для какого угодно числа неравенствъ.
Докажемъ ее, напр., для трехъ неравенствъ
А>В, А'>В' и А">В",
примѣняя новый пріемъ доказательства, который полезенъ намъ будетъ и впо-
слѣдствіи. Пріемъ этотъ основанъ, на томъ замѣчаніи, что неравенство А>В
всегда можно замѣнить равенствомъ А = В4~Ж1 гдѣ ж>(); въ самомъ дѣлѣ,
это равенство означаетъ, что А больше В на х. Итакъ, данныя неравенства мо-
жемъ замѣнить равенствами
А = В-)-ж
А'=В'+®'
А"=В"-|~ж".
Перемноживъ ихъ, имѣемъ:
АА'А"=(В + ж)(В'+а/)(В" + ®");
откуда, раскрывъ скобки и перенеся членъ ВВ'В" въ первую часть, имѣемъ:
А А'А" — ВВ'В" = В'В"я -|- ВВ'У + В"«ж' + ВВ'ж"	Ъ'хх" Ъх'х" + хх'х".
- 352 —
Такъ-какъ вторая часть, какъ сумма положительныхъ членовъ, положи-
тельна, то и заключаемъ, что
АА'А">ВВ'В".
Примѣчаніе. Для другихъ случаевъ нельзя Формулировать никакого об-
щаго правила.
351.	Начало IX. — Можно раздѣлитъ почленно одно на другое два нера-
венства разнаго смысла, если всѣ четыре части положительны, сохранивъ
такой знакъ неравенства, какъ въ дѣлимомъ', но новое неравенство не можетъ
замѣнитъ одного гізъ данныхъ.
Пусть даны неравенства
А>В п С<0,
гдѣ А, В, С и В — положительны. Помноживъ А>В на В>С, по предыду-
щей теоремѣ найдемъ:
АВ > ВС;
откуда, раздѣливъ обѣ части на положительное количество СВ, имѣемъ:
Д в
с > ю ’
Другое доказательство. Замѣнивъ первое изъ данныхъ неравенствъ равен-
ствомъ: А = В х, а второе равенствомъ С — В — у, и раздѣливъ первое ра-
венство на второе, имѣемъ:
А В + ж
вычтя изъ обѣихъ частей по получимъ:
А В______в В
С — —	— В’
А_В Р»+ВУ
С р- СР
Вторая часть положительна, слѣд. больше 5.
С	1)
Примѣчаніе. Для другихъ случаевъ нельзя Формулировать общаго правила.
Провѣрка заданныхъ неравенствъ.
352.	Для провѣрки данныхъ неравенствъ не существуетъ никакого общаго
правила; укажемъ методы наиболѣе употребительные.
I. Методъ возвышенія въ степень. Если въ подлежащемъ провѣркѣ не-
равенствѣ встрѣчается радикалъ, его изолируютъ и затѣмъ возвышаютъ обѣ
части неравенства въ степень, изображаемую показателемъ корпя. Пусть напр.
требуется доказать, что среднее ариѳметическое двухъ положительныхъ количествъ
а иЬ больше ихъ средняго геометрическаго, т. е. "что
2
— 353 -
Такъ какъ обѣ части неравенства положительны, то возвысивъ ихъ въ
квадратъ и сохранивъ знакъ неравенства, замѣнимъ данное неравенство ему
тождественнымъ
ЦЛ’ХЙ,;
или, умноживъ обѣ части на А и собравъ всѣ члены въ первую часть:
(а-]-Ь)2— 4аЬ>0, или (а — &)2>0.
Такъ какъ квадратъ всякаго количества положителенъ, то послѣднее нера-
венство вѣрно; поэтому вѣрно и тождественное съ нимъ данное неравенство.
353.	II. Методъ разложенія на множителей. Переносятъ всѣ члены въ одну
часть и разлагаютъ полученный полиномъ на множителей: справедливость про-
вѣряемаго неравенства дѣлается очевидною.
Пусть, напр., требуется доказать, что
3(1 + а2 + а4) > (1 + а + а2)2.
По перенесеніи въ первую часть, по раскрытіи скобокъ и по приведеніи
замѣняемъ данное неравенство ему тождественнымъ:
2а4 — 2а3 — 2а 2 > О,
или, по разложеніи на множителей, неравенствомъ:
2(«-1)2(а2 + « + 1)>0;
или, придавъ къ триному а*-[-а-\-1 и вычтя изъ него -р найдемъ
2(а- 1)*{(« + |)2 + {}> О’
2(а — I)2, очевидно, положительно; биномъ +	> какъ еУмма
двухъ положительныхъ количествъ, также положителенъ, а отсюда справедли-
вость послѣдняго неравенства, а потому и тождественнаго съ нимъ перваго,
очевидна.
354.	III. Методъ превращенія полинома въ сумму квадратовъ. Переносятъ
всѣ члены въ одну часть и разлагаютъ полученный полиномъ въ сумму квад-
ратовъ: справедливость неравенства дѣлается очевидною.
Примеръ I. Доказать справедливость неравенства
а2 -]- &2 -]- с2 — а& — ас — &с -]-1 > 0.
Его можно представить въ видѣ;
і(а2 - 2аЬ + &2) +1(&2 — 2Ъс + с2)	1(с2 — 2ас + «2) -1 -1 > 0,
А	Л	2)
или	+	+	+
4	а	4
что очевидно.
Примеръ И. Доказать, что если Ь2 — 4«с < 0, то справедливо неравенство
{ЪЪ' — 2(са' + ас')}2 — (і2 — 4ас)(Ь'2 — 4аУ) > 0.
23
— 354 —
Раскрывая и располагая по степенямъ количества //, можемъ этому нера-
венству дать видъ:
асЪ'* — Ь(са' ас')Ъ'-^ (са'ас')2	— 4ас) > О,
или
ас ІѴ - Ь(сй, + ^Н2 +(4ЛС ~ І2) СС«' - ас')2 > 0.
I	2ас ) 1 4ас
Изъ даннаго условія &2 — 4ас < 0 выводимъ, что 4ас > Ь2, а потому ас > 0,
равно и 4ас— Ь2>0; отсюда видно, что первая часть послѣдняго неравенства
положительна, и стало быть оно вѣрно; поэтому вѣрно и тождественное ему
заданное неравенство.
355.	IV. Неравенства симметричныя относительно данныхъ буквъ. Когда нера-
венство симметрично относительно нѣкоторыхъ буквъ а, Ъ, с, то предваритель-
но условливаются въ относительной величинѣ этихъ буквъ; пусть, напр., а
есть наименьшее пзъ трехъ данныхъ количествъ: въ такомъ случаѣ, Ь и с мо-
жно представить въ видѣ: Ъ — а-[-х, с = а-]-у^ гдѣ х>0 и ?/>0.
Пусть, напр., требуется доказать, что если а, & и с положительны, то имѣ-
етъ мѣсто неравенство:
аЪс > (а-\-Ъ — с){Ьс — а)(а + с — &)•
Положивъ Ъ~а-\-х ъ. с = а-]-у, и подставивъ въ испытуемое неравен-
ство, приводимъ задачу къ провѣркѣ неравенства
а(« + ^)(а + ?/)>Са + ® —+ Ж +	+ — или
а(а2 -\-а{х-\-у)-\-ху}—{а2 — (л~ — 2/)3} (« —[— ж -]— ?/) > 0, или
аху + (а х + у)(х — у)* > 0;
справедливость этого неравенства очевидна, такъ какъ оба его члена положи-
тельны.
356.	V. Иногда справедливость заданнаго неравенства можно доказать, по-
казавъ, что оно есть слѣдствіе равенствъ или неравенствъ уже доказанныхъ или
легко доказуемыхъ.
Примѣръ. Доказать, что если а, Ъ и с положительны, то имѣетъ мѣсто
неравенство
аз _|_ _|_ сз >
Такъ какъ а, Ъ и с входятъ въ это неравенство симметрично, то мы Мо-
гли бы примѣнить къ нему предыдущій способъ. Но можно доказать справедли-
вость даннаго неравенства, исходя изъ неравенствъ:
а24-г>2>2а^ (1),	Ь3-]-с2 > 2Ьс (2),	с2-/ а2 > Ъас (3).
Справедливость этихъ неравенствъ легко обнаружить; въ самомъ дѣлѣ изъ
очевиднаго неравенства (а — &)2>0 или а2-|-Ь2— 2а&>0 прямо имѣемъ
а2-}-Ь2>2аЬ. Такимъ же образомъ докажемъ (2) и (3).
Сложивъ неравенства (1), (2) и (3), получимъ:
а2 -}- Ь2 с2 > аЪ Ъс ас;
— 355 —
помноживъ обѣ части этого неравенства на положительное количество а 4~ Ъ с1,
найдемъ, по упрощеніи:
а3 Ь3 4~ с3 > Зайс,
что и требовалось доказать.
357.	VI. Методъ заключенія отъ п къ п 4~1 м наоборотъ. Пусть требуется
доказать, что если а и Ъ положительны, всегда имѣютъ мѣсто неравенства
2	+	+
22.(а3 + &3)
23.(а4+ &*)>(« 4-&)4,
и вообще	2”*’. (ап &”) > (® + &)",
гдѣ п— цѣлое положительное число.
Первое неравенство доказать нетрудно; въ самомъ дѣлѣ, перенеся
въ первую часть, раскрывъ скобки и сдѣлавъ приведеніе, найдемъ:
а2 — 2аЬ Ь2 > 0 иди (а — &)2 > О,
что вѣрно.
Второе неравенство приводится къ виду
4(а3-|-&3) — (« -}- Ь)3 > О,
или, замѣтивъ, что
а3 4-Ь3 = («-!-&) (а2 —	И (а4-&)3 = (а4-&)(а24-2оЬ4-Ь2),
даемъ неравенству видъ
4(а4-Ь)(а2—а& + &2)—(а4-Ь)(а24-2а&4-62) > 0, или 3(а-]-Ь)(а2-2й&Н-&2) > О,
или	3(а4~&)(а — &)2>0,
что очевидно.
Чтобы доказать общность закона, выражаемаго этими неравенствами, допу-
стимъ, что онъ вѣренъ для показателя п, т. е. что неравенство
2»-'(ап4-&»)>(а4-г>)« . . . . (1)
справедливо; и докажемъ, что въ этомъ предположеніи будетъ вѣрно и неравен-
ство для показателя п4~1, т. е.
2"(ав+,4-г>’м-1)>(а4-Ь)"+1 . • . .(2).
Въ самомъ дѣлѣ, умножая обѣ части (1) на положительное количество «4^,
найдемъ
4-	ъп)(а 4-&) > (а 4- Ъ)п+І.
Слѣдовательно, достаточно показать, что
2“(ая+1 6#+і) > 2»-«(а» 4- ьп)(а 4- Ъ).
По сокращеніи на 2”-1, по раскрытіи скобокъ во второй части и по упро-
щеніи, получимъ
ап+1 &П+1 >
или	а"(а — 6) -ѵ- &”(а — &) >0,
23*
- 356 —
или	(а" — Ь”)(а —і) > 0,
неравенство очевидное, потому-что оба множителя ап — Ъп и а — Ь всегда имѣ-
ютъ одинаковые знаки.
Итакъ, какъ скоро неравенство (1) провѣрено для нѣкотораго значенія п,
мы можемъ заключить, что оно также вѣрно и для величины я, на единицу
большей. Но мы доказали, что оно вѣрно для п = 2; слѣд. оно вѣрно и для
я=3; будучи же вѣрно для и = 3, оно вѣрно и для п = ^ и т. д.
Доказанное неравенство можно написать въ видѣ
ап + Ь"	/а + Ь\".
2	> \ 2 ) 1
въ этой Формѣ оно показываетъ, что ариѳметическая средина п-хъ степеней
двухъ чиселъ больше п-ой степени ариѳметической средины этихъ чиселъ.
Можно распространить эту теорему на какое угодно число р положитель-
ныхъ количествъ а, Ъ, с, сі, . . . А, I.
Взявъ четыре количества а, Ъ, с, й, имѣемъ тождество:
,а Ъ . с йч п
2	।	2 |
і	2	/
а + Ь -|- с 4- д \п
, I )
и слѣд. по предыдущей теоремѣ имѣемъ:
,№+ь + е+у <	,
4	2
ж	/а4-Ь\и ап + Ъп (с~4-д\п сй + йп
но мы имѣли:	( -у-.) < 4— и (-4-) <	% ; слѣд.
/а4-Ь + с4-й.и ап4-Ьи + сп + йп
\	4	' <	4
Такимъ же точно образомъ докажемъ, что предложеніе вѣрно для 8,16,.., 2*
положительныхъ количествъ. Чтобы доказать справедливость теоремы вообще,
употребимъ пріемъ, впервые введенный Французскимъ математикомъ Коши', прі-
емъ этотъ разнится отъ пріема Бернулли тѣмъ, что дѣлается заключеніе не отъ
р къ а обратно: отъ р-[-1 къ р. Итакъ, допустивъ, что теорема спра-
ведлива для р4"1 чиселъ, докажемъ, что она будетъ вѣрна и для р чиселъ.
Имѣемъ тождество
_^-(а+&+с+---+Л) а4-&4-с+...-Р4—~
‘	“------р + 1------“------------?+і-----------
слѣдовательно
/а 4-Ь4-с4~ 
\	р
Но, по допущенію, теорема вѣрна для р-}-! количествъ; поэтому вторая
часть равенетва (3) меньше
а* + ь*4-с* + ...4-+^ + ь + ^4- - • .4^у
— 357 —
а слѣд. и
/« + г>4-с . . . 4-Лч^ак + Ък + ск + . . . + 7?-і(а + Ь + с+- • • +--)
а потому и
/« + &+ . . • 4-7Ай ^4-7? + ?+ . . . +??
\ р /	р
358.	Доказательство нѣкоторыхъ замѣчательныхъ неравенствъ. Приведемъ до-
казательство нѣкоторыхъ теоремъ, имѣющихъ примѣненіе въ элементарной мате-
матикѣ, или же представляющихъ интересъ въ самомъ способѣ ихъ доказатель-
ства.
359.	I. Если дроби р	• • • • , которыхъ знаменатели по-
ложительны, идутъ увеличиваясь, то дробь	заключается
между крайними дробями, т. е. между наименьшею и наибольшею изъ нихъ.
Пусть	=
Въ такомъ случаѣ:
^>2, ^>25 • • • • , Помножая обѣ части перваго неравенства
на Ь2, втораго—на Ъ3 и т. д. и замѣчая, что умноженіе на положительное
количество не измѣняетъ смысла неравенствъ, найдемъ:
«і =М,	«2>М,	«3>М..................  •	-ап>Ъпі-
Складывая почленно эти неравенства и придавая почленно равенство
найдемъ:
й1+й2 4 йз+  • • • • • + «» > (&1 + \	+...............+
или, раздѣливъ обѣ части на положительное количество Ъ, Ь2 Ъ3 4- . . . 4~ЬЯ,
получимъ:
аі 4~ аа аз Ч~
7>і -|- Ь2 + +
• + К
• + «»
, а,
у, т. е. больше ~ •
Положивъ т2 —выводимъ отсюда
у < /, у < /» у- <	...............откуда
«!<&,/,	«3<М\....................... йп-1<А-1<Л	—
Складывая и дѣля обѣ части полученнаго неравенства на	• • •
-{-5Я, найдемъ:
Требуемое такимъ образомъ доказано.
360.	II. Теорема Коши. Среднее ариѳметическое п положитель-
ныхъ количествъ аи а2, а3, . . . а„, которыя не всѣ равны между со
бою, больше ихъ средняго геометрическаго.
— 358 —
Для двухъ количествъ теорема уже доказана выше; слѣд.
“і
2
Затѣмъ, имѣемъ тождество
3Й4 у/<1^(1
слѣд.
аі Ч- аг । аз Ч~ аі
2
'3“4
итакъ:
2	1	2
2
іГп1ГП „ й» Ч- Я2 Ч~ й3 4“ й4 .
ѴЙ1Й2Й3Й4 "
4
Такимъ же образомъ, замѣчая, что
бХ, Й2Й3Й4Й3Й6Й7Й8	\/йій2йЗй4*\^йэй6й7й8і
докажемъ, что теорема вѣрна для 8 количествъ; и вообще, что она справедлива
для 2к чиселъ.
Чтобы доказать, что теорема справедлива для какого угодно числа данныхъ
количествъ, Коши доказываетъ, что если теорема вѣрна для р-]-1 количествъ,
то она вѣрна и для р количествъ.
Имѣемъ тождество:
. . •  бХр	Й|Й2Й3 • . бХр,	 • • • Лр,
но, по условію, теорема вѣрна для р-|-1 количества, слѣд.
Замѣчая, что первая часть =Ѵйій2йз--->йР> находимъ:
Р Ѵйі«2йз
йр < йі Ч-й2 Ч-вз Ч- • • • • Ч“ар’
откуда
'сіцСЬ 2Й3 • • • • йр
йі Ч~ йз Ч~ Дз Ч~ • • • • Ч~ й?
р
что и слѣдовало доказать.
Впрочемъ, обобщеніе теоремы для случая, когда число п данныхъ количествъ
не есть степень двухъ, можетъ быть сдѣлано инымъ пріемомъ. Пусть 7 будетъ
цѣлое число, которое надо прибавить къ п, чтобы получить степень двухъ.
Обозначимъ ариѳметич. средину ^Ь-2	‘ ‘ '	-^+5» данныхъ п чи-
селъ буквою Ъ. Присоединивъ къ этимъ числамъ д чиселъ, изъ которыхъ каж
дое равнялось-бы 6, получимъ п-^-д чиселъ;
й4, «2, й3...............«п	Ь, Ь, Ъ,...........Ъ
п	’	д
Такъ-какъ число п-\-д есть степень двухъ, то по доказанному
«і Ч-ЯаЧ- •  • •	а~Ѵ
Ѵ
— 359 —
Но а,а2 + йз + • - • • + «« = ».&; подставивъ въ послѣднее неравен-
ство, найдемъ:
п <цп а .	или Ъ >п*'уІаха„ . . . . ап.Ьч->
^4-2 ѵ 1 2	хі-
откуда
&*,+’>а1а2а3..........ая.б’,
а по сокращеніи на по замѣнѣ Ъ его величиною и по извлеченіи изъ обѣ-
ихъ частей и-го корня, находимъ:
аі+а2 + аз+  • • • +ап._	7Г
361.	III. Формула дѣленія при цѣломъ положительномъ т\
в^^‘ — а™-,-Ра“-«&4-ага-3&24-....................+	аЪ^ + Ь"1'1
позволяетъ вывести слѣдующія неравенства. Если а > & > О, то подставивъ во
вторую часть вмѣсто Ъ количество а, мы этимъ вторую часть увеличимъ; слѣд.
Напротивъ, подставивъ во второй части Ъ вмѣсто а, мы ее уменьшимъ, и
получимъ
Помноживъ неравенство (1) на положительное количество а — & и вынеся
за скобки а”-1, найдемъ:
\а — т(а — &)]«“'* < Ът .... (3).
Подобнымъ же образомъ изъ неравенства (2) найдемъ:
ат^>\Ъ-\-т(а —	. . . . (4).
Если а — т(а— &) будетъ количество положительное, то раздѣливъ нера-
венство (3) на а — т(а — &), найдемъ:
ът
"______•
а — т{а — V)
слѣд. это неравенство возможно при условіи
.	,	7 X	, т — 1
а > т(а — Ь), или о > ----------.а 
Положивъ ш =	получимъ:
Ап+1
.......................
ГДѢ а> & > —г~-.а
п-\-1
Воспользуемся неравенствомъ (3), въ которомъ а >6, для вывода слѣдую-
щаго неравенства:
8к	( 2
ІТ2? 'зГІГТТТ". . 7 іі	уу)
гдѣ & произвольное, а к — цѣлое положительное число.
- 360 -
Положивъ въ (3): а = т-^-1 и Ъ = т, найдемъ:
(ш_|_	< тт, откуда	Г— < (т +1)-2
Подставляя сюда вмѣсто»» послѣдовательной, 3, 4, . . . . к — 1, имѣемъ:
22 = 22
— З2
22<3
— <42
З3 '
Перемножая эти неравенства, получимъ
&ь< 22.32.42................................к\
откуда, по извлеченіи квадратнаго корня, находимъ:
или
Отсюда ясно, что
1. 2. 3. . . .
^<1. 2. 3. 4. ... к
(Д*<1. 2. 3. 4. . . . к-
или і?2. з/.: ; л ѵт/ ‘
Рѣшеніе неравенствъ первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
362.	Нерѣдко случается, что неизвѣстное вопроса, по свойству самой за-
дачи, должно заключаться между извѣстными предѣлами, и слѣд. должно удовле-
творять нѣкоторымъ неравенствомъ. Отсюда задача о рѣшеніи неравенствъ.
Рѣшить неравенство значитъ найти предѣлы, между которыми должны за-
ключаться значенія неизвѣстнаго, для того чтобы неравенство было удовлетворено.
363.	Рѣшеніе одного неравенства первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ.
Всякое неравенство первой степени съ 1 неизвѣстнымъ, по уничтоженіи дробей,
по перенесеніи извѣстныхъ членовъ въ одну часть, а неизвѣстныхъ въ другую
и по приведеніи, можетъ быть представлено въ видѣ
аж > & . . . . (1)
Чтобы найти отсюда предѣлъ значеній ж, нужно обѣ части раздѣлить на а,
а приэтомъ нужно знать знакъ коэффиціента а. Отсюда два случая:
I. Если а>0, то раздѣливъ обѣ части на а., слѣдуетъ сохранить знакъ не-
равенства; такимъ образомъ найдемъ
ъ
ж '  — •
а
Заключаемъ, что въ этомъ случаѣ неравенству (1) удовлетворяютъ всѣ зна-
,	. ъ	ъ	,
ченіяж, большія —, а потому — называется нисшимъ предѣломъ неизвѣстнаго ж.
- 361 —
II. Если а<0, то раздѣливъ обѣ части неравенства (1) на отрицательное
количество а, должны перемѣнить смыслъ неравенства; найдемъ
т. ѳ. что неравенству удовлетворяютъ всѣ значенія ж, меньшія-; въ этомъ слу-
чаѣ будетъ высшимъ предѣломъ неизвѣстнаго.
Приводимъ примѣры:
Примѣръ I. Какъ нужно взять ж, чтобы удовлетворить неравенству:
±ж-1 + 3<5ж-^-19.
Для освобожденія неравенства отъ дробей множимъ обѣ части на положи-
тельное число 24: знакъ неравенства отъ этого не измѣнится и мы получимъ
32ж — 6-|-72<120ж- ж —456,
или	32ж 66 < 119ж — 456.
По перенесеніи членовъ и по приведеніи, найдемъ:
522 < 87ж
откуда, раздѣливъ обѣ части на положительное число 87, имѣемъ
ж > 6.
Итакъ, всѣ числа большія 6 удовлетворяютъ данному неравенству.
Примѣръ II. Рѣшить неравенство
х а х Ъ
а^-Ъ а — а — Ь аЬ
Для уничтоженія дробей нужно бы было умножить обѣ части неравенства
на (« -{-— 6) или а2 —Ь2; но какъ мы не знаемъ знака этого количества,
то помножимъ обѣ части на (а2 — Ь2)2, т. е. на положительное количество; при-
этомъ знакъ неравенства не перемѣнится, и мы получимъ:
(а2 — Ь2)(а — &)ж — а(а2 — Ь2)(а Ц- 6) > (а2 — Ь2)(а -]- Ъ)х — Ь(а2 — Ь2)(а — V).
Перенеся неизвѣстные члены въ первую часть, а извѣстные во вторую и
сдѣлавъ надлежащія упрощенія, найдемъ:
. — 2Ь(а2-г>2)ж>(а2 —Ь2)(а2 + 62).
Далѣе приходится дѣлить обѣ части на коэффиціентъ при ж, а при этомъ
надо знать знакъ количества &(а2 — Ь2); отсюда два случая:
1) Если Ь(а2 —Ь2) < 0, то — 26(а2 — &2) будетъ количество положитель-
ное, и слѣд. дѣля па него обѣ части неравенства, слѣдуетъ сохранить знакъ
неравенства; такимъ образомъ получимъ
(а2_Ь2)(а2 + Ь2)
*	— 2Ь(а* — №) ’ ’
или, по сокращеніи дроби на а2 — Ь2:
а2И2
ж>--------!---
2Ъ
— 362 —
2) Если Ь(а2 — Ь2) > 0, то раздѣляя обѣ части неравенства на отрицатель-
ное количество — 2Ь(а2 —Ь2), нужно измѣнить смыслъ неравенства, такъ-что
въ этомъ случаѣ, по сокращеніи, найдемъ:
а2 + &2
Провѣримъ найденные для х предѣлы на самомъ неравенствѣ.
Мы нашли, что при условіи: Ь(а2— Ь2)<0 неравенству удовлетворяютъ
всѣ значенія ж, большія —
—сл. для повѣрки должны положить
—	«2+62 I 7.
ж—-------2Ь
подставить въ данное неравенство. Сдѣлавъ это,
гдѣ Л>0, и это значеніе х
найдемъ:
а2 + &2
2Ь
а-\- Ь
___2Ъ
а — Ь
ъ
а
а — Ь
•. (1)
— (й2_|_Ьа)^2№________а _(й2_^г,2)-|_2Ь7і________
ИЛП’ 2&(а-]-Ь) а—Ъ	2Ь(а—Ь)	а-]-Ъ'
помноживъ обѣ части на количество 2Ь(а-|-Ь)(а— Ь), по условію, меньшее ну
ля, найдемъ по упрощеніи
— 2Ь*7і< + 268й..........(2)
Но 1ь и Ь* положительны, слѣд. —2Ь2Д отрицательно, а-|-2Ь2Д положи-
тельно, и потому неравенство (2), а слѣд. и тождественное съ нимъ (1) вѣрно.
Такимъ же образомъ убѣдимся, что при условіи — Ь2)> 0 данному не-
ж	•	•	«2 + 62
равенству удовлетворяютъ всѣ значенія ж, меньшія-------
364.	Рѣшеніе нѣсколькихъ неравенствъ 1-й степени съ 1 неизвѣстнымъ.
Пусть, напр., имѣемъ два неравенства 1-й степени съ однимъ неизвѣ-
стнымъ:
ах > Ъ и а'х > Ъ'.
1.	Пусть мы нашли: изъ перваго: ж>ж, а изъ втораго: х>р.
Если, приэтомъ, р>т, то очевидно, что даннымъ неравенствамъ удовлет-
воряютъ всѣ значенія ж, большія р-, такимъ образомъ р есть нисшій предѣлъ ж.
2.	Если, рѣшая неравенства, найдемъ
ж < т и х < р,
и если р < т, то очевидно, что всѣ значенія ж, меньшія р. удовлетворяютъ
даннымъ неравенствамъ, ибо такія значенія будутъ меньше и т. Въ этомъ слу»
чаѣ р есть высшій предѣлъ неизвѣстнаго.
3.	Если найдемъ
Ж_>777 и х<_р,
— 363 —
то когда р > т, очевидно, что даннымъ неравенствамъ удовлетворяютъ всѣ зна-
ченія ж, заключающіяся между т и р\ т есть нисшій, а р высшій предѣлъ для х.
4.	Если же, найдя	'
х~>т и х<.р,
окажется, что т>р, то предѣлы будутъ противорѣчащіе; а это значитъ, что
не существуетъ такихъ значеній ж, которыя удовлетворяли-бы совмѣстно дан-
нымъ неравенствамъ. Самыя неравенства въ такомъ случаѣ называются несов-
мѣстными.
365.	Если бы даны были три неравенства, то рѣшая ихъ, мы нашли бы:
1)	или х>р ,	ж></, ж>г;
2)	или	х~>р	,	х~>д	,	ж<г;
3)	или	ж > р	,	ж < <?	,	ж < г;
4)	или	ж<р	,	ж < <?	,	ж<г.
Легко видѣть, что въ первомъ случаѣ даннымъ неравенствамъ удовлетво-
ряютъ всѣ значенія ж, большія большаго изъ трехъ количествъ р, д и г.
Во второмъ случаѣ даннымъ неравенствамъ удовлетворяютъ значенія ж,
большія большаго изъ двухъ чиселъ р и <?, но въ тоже время меньшія г, если
только такія значенія существуютъ.
Въ третьемъ случаѣ надо взять ж больше р, но меньше меньшаго изъ двухъ
чиселъ д и г, если это возможно.
Въ четвертомъ случаѣ, даннымъ неравенствамъ удовлетворяютъ всѣ зна-
ченія ж, меньшія меньшаго изъ трехъ чиселъ р, д и г.
Подобнымъ же образомъ рѣшаются системы трехъ, четырехъ и т. д. нера-
венствъ съ однимъ неизвѣстнымъ ж.
Рѣшеніе совмѣстныхъ неравенствъ первой степени съ нѣс-
колькими неизвѣстными.
366.	Когда имѣемъ нѣсколько неравенствъ первой степени съ нѣсколькими
неизвѣстными, то не всегда можно найти предѣлы для каждаго неизвѣстнаго.
Для нахожденія этихъ предѣловъ употребляютъ или методъ сравниванія
величинъ неизвѣстныхъ, или методъ уравниванія коэффиціентовъ при одномъ
и томъ же неизвѣстномъ.
367.	Методъ сравненія величинъ неизвѣстныхъ. Пусть требуется рѣшить
два неравенства съ двумя неизвѣстными:
5ж — Зу > 4,
8ж 4-2р>25.
Выводя предѣлы для ж, находимъ: изъ перваго неравенства
ж>
- 364 —
а изъ втораго
. 25 — 2«
Такъ какъ получились два нисшіе предѣла для неизвѣстнаго, то нельзя ска-
зать, который изъ нихъ больше, и нельзя так. обр. исключить х. Если же рѣ-
шимъ неравенства относительно у, то найдемъ.
• • • (1) и У> 	5 • • $)•
и исключеніе у возможно. Въ самомъ дѣлѣ, первая дробь, какъ большая коли-
чества у, очевидно, больше второй дроби, какъ меньшей того же самаго у\ слѣд.
ох — 4	25 — 8ж
3	>	2
Рѣшивъ это неравенство, находимъ
.83	о15
ж>—, или ж>2—
34	34
Давая х какое угодно значеніе, большее 2||, найдемъ, что каждому изъ
нихъ соотвѣтствуютъ два предѣла для у, изъ неравенствъ (1) и (2). Такъ, взявъ
х = 3, найдемъ, что
_,,2	-1
7/<Зд, НО У>~
Взявъ я = 4, найдемъ
2/<5у, но у> — 3—•
Такимъ образомъ, данныя неравенства могутъ быть удовлетворены безчис-
леннымъ множествомъ значеній х и у.
Пусть требуется рѣшить три неравенства съ 3 неизвѣстными:
2х — у-\-> О,
х 4~ 2у — з — 2 < 0,
Зж4- 2у — з — 1 > 0.
Рѣшивъ ихъ относительно ж, находимъ:
« —$ —1	\
2 —’
(1)
X < # л — Ау
3 — 27/4- 1
х>—3^-
(2)
Очевидно, что з-[-2 ~-2у, какъ выраженіе бельшее х, больше каждой изъ
дробей, меньшихъ ж; слѣд. у и з удовлетворяютъ двумъ неравенствамъ:
-4 2-2у>*~ 2- + 1- | (3?
“7 * — ^у з I
- 365 -
Рѣшая эти два неравенства относительно у, найдемъ:
2/^-5-, и у<- X- • • . (4)
Давая г произвольное значеніе, напр. 8 = 0, изъ послѣднихъ неравенствъ
находимъ:
?/<1 и у<~-,
взявъ теперь какое угодно значеніе, меньшее 1, для у, положивъ напр. у = — 1,
мы удовлетворимъ неравенствамъ (4).
Внося въ систему (2) у =— 1 и 8 = 0, найдемъ
х> — 1, ж < 4, х~> 1.
Слѣд., взявъ 1 < х < 4, мы удовлетворимъ этимъ тремъ неравенствамъ.
Такъ напр.
х = 2, у — 1, я = 0; « = 2-|-, у=—1, 8 = 0; х = 3, у=—1, 8 = 0; и т. п.
удовлетворяютъ даннымъ неравенствамъ.
368. Методъ уравниванія коэффиціентовъ. Пусть требуется рѣшить не-
равенства:
5® — Зу > 4,
8ж4~ 2у > 25.
Желая исключить х, мы должны умножить первое неравенство на 8, а вто-
ро# на 5, послѣ чего получимъ
40®— 24у>32 и 40® +10?/ > 125.
Затѣмъ слѣдовало-бы вычесть одно неравенство изъ другаго; но такъ какъ
мы не имѣемъ права вычитать неравенства одинаковаго смысла, то и нельзя
этимъ пріемомъ исключить х. Но можно исключить у, помноживъ первое нера-
венство на 2, а второе на 3, и сложивъ ихъ, что позволительно; такимъ об-
разомъ найдемъ:
34® >83, откуда ®>2^|-
Затѣмъ, продолжаемъ такъ, какъ указано въ § 367.
Когда предложенныя неравенства противоположнаго смысла, можно мето-
домъ уравниванія коэффиціентовъ исключить неизвѣстное, имѣющее въ обѣихъ
неравенствахъ одинаковый знакъ. Такъ, имѣя неравенства
2® + 3?/>23,
Зх -}-2у < 22,
можно исключить х, умноживъ первое на 3, второе на 2 и вычтя второе изъ
перваго. Такимъ путемъ найдемъ
у> 5.
Давая у какое угодно значеніе, большее 5, напр. 7, найдемъ два предѣла
для х:
х > 1, х < 2^- •
О	’’
— 366 —
Подобнымъ образомъ можно бы было исключить и у; вычитая утроенное
второе изъ удвоеннаго перваго неравенства, нашли бы
X' 4 
Затѣмъ, для х < 4, можно изъ данныхъ неравенствъ найти предѣлы для у.
Примѣчаніе. Не всякую систему неравенствъ можно рѣшить.
Пусть, напр., даны неравенства
Зя; —> 7,	4ж-|-аг/>9.
Замѣчаемъ, во-первыхъ, что нельзя исключить у, такъ — какъ непозволи-
тельно дѣлать почленное вычитаніе неравенствъ одинаковаго смысла. Также, не-
примѣнимъ въ данномъ случаѣ и способъ подстановленія, потому-что рѣшивъ,
напр., первое неравенство относительно у, найдемъ нисшій предѣлъ для у, а
замѣнивъ у этимъ предѣломъ въ выраженіи 4ж 5і/, мы послѣднее уменьшимъ,
а слѣд. останется неизвѣстнымъ, будетъ-ли оно необходимо больше 9. Такимъ
же точно образомъ убѣдимся, что нельзя исключить и х.
Вообще, можетъ случиться, что нельзя найти предѣловъ ни для одного не-
извѣстнаго; или же можно найти предѣлъ для одного неизвѣстнаго, или, нако-
нецъ, и для обоихъ.
369. Задачи.
1.	Умножить обѣ части каждаго изъ нижеслѣдующихъ неравенствъ на указан-
ные множители:
а)	—9<1 на 2;	Ь) 3>0,5 на —2;	с) а2>Ь на —Ь;
б)	4а >— х на —2; е) —7 <— 2 на —4;	і) т—1>а на —т;
18 — ?/2<5 на а2.
2.	Раздѣлить обѣ части каждаго изъ слѣдующихъ неравенствъ на указанныя ко-
личества:
а)	36 <48 на — 6; Ь) а3 < а5 на а2; с) а2—Ъ2 > а—Ъ па а—Ъ;
б)	5а8 < 15а2 па —5а; е) 13ж2-[-26Ь > 91ж2 па -—13.
3.	Возвысить въ указанныя степени неравенства:
а)	а-|-Ь>а— х въ кубъ; Ь) а — Ь<ш-[-1 въ квадратъ;
с)	х -|-1 < у въ четвертую степень; б) 1 -|- х — а > х — Ъ въ квадратъ;
е) 3> — 2 въ кубъ;	Г) а — 1 <_Ъ — 2 въ пятую степень;
§)	—1> — 2 въ пятую степень; Ь) 1—х<_—а въ кубъ;
і)	3 — е > — 1 въ седьмую степень;
4.	Извлечь корни:
а)	изъ 27 >8—кубичный; Ь) изъ —125 <-[-64— кубичный.
с)	изъ 729 > 343 — кубичный; 6) изъ —7776 < — 243 —пятой степени;
е)	изъ —729<—343—кубичный;	Г) изъ 625<2401—четвертаго порядка.
5.	Упростить неравенства:
а)	(а—я:)3-|-2>2а3— 2ах(а— х)‘
Ь)	х3-у3<(х~у)(х2-[-у2);
с)	а® — х3 > (а2 — х2)(аі	хі Ц- 2).
- 367 —
6.	Которая изъ двухъ суммъ: у/7 4~х/1О и у/З-Ру/19 больше?
7.	Тотъ-же вопросъ относительно я/ 8 —|— >/12 и у/ 2 4* ѵ^О.
8.	Тотъ-же вопросъ относительно у/І О-}-у/8-{-у/б	и 2 —у/3 —у/24.
9.	Доказать неравенство.
^[Ѵ10 + 2у/Т + Ѵз — Ѵ1б]+4ѵіо —2у/т 4-Ѵ2+Ѵз<7.
10.	Если а, Ъ и с положительны, то доказать, что
(а 4~ Ъ с)3 — (а3 + Ь3 + с3) > (а -|- Ъ)(Ь -|- а)(с -|- а).
11.	Провѣрить неравенство
(а-|- Ъ -|- с)2 > а(Ъ + с — а)	Цс 4-а — Ъ) -р с(а -|- Ъ — с).
12.	Доказать, что
а;6 — х?у -|- 4ж4«/2	2«3г/3	ж2г/4 — у*х у& > 0.
13.	Доказать, что если а, Ъ, с, х, у, 8— количества положительныя, то
ах -|- Ъу -|- се < у/а2 4* 52 + с2 X у/я2 -|- у2 4~
и что неравенство превращается въ равенство, если
а____________________________________Ъ ___с
х~ у ~ г'
14.	Доказать, что при положительныхъ а, Ъ и с-.
8аЪс < (а 4" 5)(5 + с)(с -|- а).
15.	Доказать, что при томъ-же условіи
бабс < аЪ(а 4-5) 4" ас(а Ч- с) Ч- 5с(5 4* с) < 2(а3 Ч- &3 Ч- с3)-
16.	Доказать, что при всякихъ а, Ъ и с:
а2 4- 52 4- с2 > ай 4" ас Ч- 5с;
если же а, Ъ и с представляютъ стороны прямоугольнаго треугольника, то
а2 4- Ъ2 4- с2 < 2(а5 4“ас Ч~ 5с).
17.	Доказать, что если а, Ъ п с и т. д. положительны, то:
1)	а3 —Ь3 —с3 > ЗаЬс;
О
2)	(а + Ъ}(Ъ + с)(с + а) < | (а3 + б3 + с3);
О
3)	(а 4- 5 4- с)(®а Ч- &2 Ч~ с2)<3(а3 Ч~ 53 4" с3)>(а-|-5-|-с)(аМ' ас-\-Ъс).
4)	а4 4~ 4~ с4 > а5с(« 4~ 5 4~ с).
5)	уЧ““ Ч~~^4~...........п, гдѣ п есть число буквъ а, 5,..., 1.
7)	1.2.3.4............. и>у/ия.
8)	27а6с < (а Ъ 4- с)3 < 9(а3 Ч~ 53 4"с3)-
9)	(аЬ ас -|- Ъс)(а Ч~ Ь 4~ с) > 9аЬс.
10)	(а Ъ — с)2 4~ (а 4~ с — Ъ)2 (Ъ -|- с — а)2 > аЪ Ц- Ъс 4- са.
— 368 —
/ а‘і\ 1	/ 7М 1	__	—
п) I уу 2 4дуу 2 >\М 4*\/ь •
18.	Если а, Ъ, с и сі суть четыре положительныя числа, то доказать, что третье
и четвертое изъ неравенствъ
62— 4ас>0, ай2—М-|-с>0, 2а<1—6>О и ай2—с>0.
суть слѣдствія трехъ остальныхъ.
19.	Если
?2 ’н2 4* «2 — 1 и ?і24*ті24*иі2 — 1>
то	И1тт1пп1 < 1.
20.	Показать, что я2 — 8»-]- 22 не можетъ быть меньше 6, какова бы ни была
величина х.
/21. Что больше: 2ж3 * * * или «4-1?
/22. Доказать, что при всякомъ х, отличномъ отъ 1,
1 -|- 2®* > «2 4* 2«3,
а при « —1 неравенство обращается въ равенство.
/ 23. Если п > 1, то х 4- — >14-—. когда х > 1 пли < — •
1 пх ' п	и
/24. Если изъ двухъ положительныхъ чиселъ а и Ъ, а >6, то
ѵ/а2 — 62 4- ѵ'гйб^Б2 > а.
25.	Если а, Ъ и с, или Ъ, с и а, пли с, а и Ъ идутъ убывая, то
а2Ь 4- 62с 4* с2а > с&с 4- 62а 4- <?Ъ;
если же онѣ идутъ возрастая, то
аЧ> 4* Ь2с 4~ с^а < а2с 4~ Ь2а 4* с2&>
полагая, что а, Ъ и с — положительны.
26. Доказать неравенство
(а2 4- в2 4- с24-........х«2	4- ь2 4- с2 4-
каковы бы ни были количества А, В, . .
27.
28.
дробью,
29.
. . .) > (Аа4-вг>4-Сс4-
а, Ъ, . . . .
При положительныхъ а, Ъ и с имѣемъ:
9а6с < (а 4* Ъ 4~ с)(а2 4* &8 4* с2) •
Доказать, что всякая дробь у (гдѣ а и Ъ полож.), сложенная съ обращенною
даетъ сумму, большую
Доказать, что если а,
)2,
2.
1)
Ъ и с положительны, то
2а , 26 , 2с о
7,	4" .. г?. 4* „ г т. >
2)
дз-|_ Ъ3 ая_|_
а2 4* Ь2 а 4* Ъ
30. Доказать, это и3 4* 1 > и24-«-
31. Которое изъ двухъ количествъ: *Цп и 71+1^г4*1 больше другаго, полагая
п > 0.
— 369 —
32.	Доказать, что разность между ариѳметическою и геометрическою срединами
двухъ положительныхъ
1	X
чиселъ меньше — квадрата разности этихъ чиселъ, раздѣлен-
8
ной па меньшее число,
большее число.
но больше
1.
8
квадрата той же разности,
раздѣленной на
33.	Доказать, что неравенство
а2(6 4- с) а(62 + с2 — Ъс) > О
справедливо ирп всякихъ величинахъ а, Ъ п с.
34.	Которая изъ двухъ дробей
ат — Ът	ап — №
И ~ап^Ьп
больше, въ предположеніи, что а > Ъ, гдѣ а и Ъ положительны.
35.	Если гк9 = а2 —|— Ь2 и г/2 = с24*^21 то показать, что
ху > ас Ъсі илп аЛ 4- Ъс.
36.	Если х~>у, то показать, что
Я4 — уі	хі — уі
4-у3 ^>Х	4я3
37.	Еслп а, Ъ и к— числа иоложиоельныя, то доказать, что
ири а < Ъ имѣемъ:
а при а > Ъ
а — к а а 4~ Ъ _
Ъ — к Ъ <Ъ
а — к а а 4* Ъ
Ъ — к> Ъ > Ъ к
38.	Если числа а и Ъ одинаковаго знака, то всегда
(14~ ®)(14- Ь) > 14~ аЬ.
Обіцѣе, если а, Ъ, с, . . . . , I числа положительныя, то всегда
(і4-а)(і4-ъ). . . . (і4-г)>і4-а4-ь4-с4-. . . .і.
39.	Гармоническою срединою р чиселъ а, Ъ, с, . . . ., к, 1. называютъ число
х, удовлетворяющее равенству
—4- —4--~4- • • • • 4-— +—•
х а'Ъ'с^'к'І
Доказать, что гармоническая средина нѣсколькихъ положительныхъ чиселъ всегда
меньше ихъ геометрической средины.
т 1
40.	Доказать, что въ треугольникѣ отношеніе < — (г есть радіусъ вписан-
наго, а К — описаннаго круга).
41.	Доказать, что въ прямоугольномъ треугольникѣ сумма гипотенузы и высоты
больше полупериметра.
42.	Доказать, что во всякомъ треугольникѣ
Л <	— а).
24
- 370 -
43.	Изъ геометріи извѣстно, что если А и А' означаютъ площади двухъ пра-
вильныхъ вписанныхъ многоугольниковъ о и и 2п сторонахъ, а В и В'—площади
подобныхъ имъ описанныхъ многоугольниковъ, то
А'гз/Ев и В' —
. В' —А'
Доказать, что отношеніе •=--—
В — А
меньше но что когда В' — А' и В — А
приближаются къ 0, то это отношеніе
. 1
приближается къ — •
и Р'—съ другой, означаютъ перимет-
изъ геометріи извѣстно, что;
44. Если р п р' съ одной стороны, и Р
ры многоугольниковъ предыдущей задачи, то
р,__ Я?р
И
Р' = \/ рРг.
*	х 1
приближается къ предѣлу —, когда
4
іг	Р' — р'
Доказать, что	всегда
Р —р и Р' —р' стремятся къ нулю.
45. Изъ геометріи извѣстно, что если
правильнаго вписаннаго многоугольника, а В'
съ тѣмъ же периметромъ, но съ двойнымъ числомъ сторонъ, то
и г суть радіусъ круга н апоѳема
и / радіусъ и апоѳема многоугольника
1
4 ’
и
К
и 14' = ^/.
*)
_	. В'—/	1	1
Доказать, что отношеніе , всегда меньшее —> стремится къ когда
Н — г	4	4
К'—г' и В — г стремятся къ нулю.
46.	Доказать, что объемъ усѣченнаго параллельно основанію конуса больше
объема цилиндра, имѣющаго туже высоту, а основаніемъ — среднее сѣченіе усѣчен-
наго конуса.
47.	Если буквою 7г обозначить высоту бочки, г — радіусы ея основаній, а бук-
вою В — радіусъ средняго сѣченія, то объемъ бочки вычисляется по одной изъ слѣ-
дующихъ приблизительныхъ формулъ:
Ѵ = -\2В*+ >•«),
О
Доказать, что V > V'.
48.	Доказать, что объемъ сферическаго слоя меньше объема цилиндра, имѣю-
щаго ту-же высоту, а основаніемъ — среднее сѣченіе слоя.
49.	Два неравныхъ шара лежатъ одинъ внѣ другаго, не имѣя общихъ точекъ.
Точки пересѣченія ихъ съ линіей центровъ принимаютъ за вершины двухъ конусовъ,
касательныхъ къ шарамъ. Доказать, что поверхность сегмента, отдѣляемаго кону-
сомъ, касательнымъ къ большему шару, больше поверхности, отдѣляемой другимъ
конусомъ на меньшемъ шарѣ.
50.	Доказать, что если ав, ..... суть числа положительныя, то
дЗ —- 1	____ _______ ______ .
—2— («і + «а + «з + •••+«»)>	+ х/а8а3 -ф- . . . + х/ап Аа„ •
*) Первая — формула Ухтреда (Оп^Ьгей); вторая — Деца (Вех).
— 371 —
51.	Доказать, что
(«і + «2 + “з+ • • • • +«п)8 <«(«і2 + а? + йз‘2+- • • • +«?)•
52.	Если два количества а и Ъ связаны условіемъ
/1 дЬ\8
\ а 4- Ь } ' ’
то одно пзъ нихъ численно больше, а другое меньше 1.
Рѣшить слѣдующія неравенства первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ:
53.	(ж-[-1)2 < ж84- Зх—5.
54.	0,2а; — 3-^- > 1-| — >
-и 2ж * Зж . _	। 1
“•	+8-2»+й-
5а; 6а; — 1	4а; -1 - 1	1
5Ь 4-------8	^ 12-----"Г
58.	(а4-«)84-3«8<(2х: —1)84-7.
59.	(а;8— аі)х<(х— а) (а;2— 2аіх-^2).
60.	Между какими предѣлами должно измѣнять х, чтобы разность ж8 — я8 оста-
валась отрицательною?
Ж 	1
61.	Между какими предѣлами должно измѣнять х, чтобы дробь --- была от-
рицательна?
62.	Рѣшить неравенство
2ах -I - ЗЪ
----’--<Г 4
56а; — 4а
63.	Рѣшить неравенство
2с8а; а8 Зх Ь8
«8 2Ъ> 2 * а
64.	Опредѣлить зависимость между р и ц, прн которой совмѣстно имѣемъ
х ~ ~ и	х3 —рх + 2 < О,
причемъ р — положительно.
65.	Между какими предѣлами слѣдуетъ измѣнять х, чтобы удовлетворить не-
равенству
. 3ж__ + 1--2______?-•
X — 1'2	X — 1
Опредѣлить всѣ цѣлыя значенія х, удовлетворяющія каждой изъ слѣдующихъ
системъ двухъ неравенствъ съ 1 неизвѣстньГмъ:
66.	2х — 5 >31 и Зх—7 <~2х-{-13.
67.	7х — 15 >4» 4- 30 и ѵ —><:і-	’ "
А о	X
в8-Ч^+а>4-2+І>Ч-+4-	'
24* И
- 372 -
. 2ж	ж	ж
69. ~ — 61502 + — > 18100 — — 4- 397 к
3	4	12
Д-1І2*+і?в
1839 -®5
-о 5ж - 9 - 2ж_і_3
' ' 6	4'3'
П Т-1 Ск-
рѣпить слѣдущія совмѣстныя неравенства:
^'71. 4х— 3?/ ,-11 и 7//—2ж>3.
72.	8х— Зг/< 10 и —5«4-2у> 3.
73.	2х 4- у <20 и бх— Зу<10.
74.	Зх—	и «•(І—Зж)>4ж—Зж2— 2у.
75.	(а-^-х)*— у < Зая—5 4 я"2 и ® 4“ 2а# <15— Зх.
76.	Разстояніе между точками А п В равно 2с; сумма разстояній точки М отъ
А п В равна постоянной величинѣ 2а, причемъ а > с. Между каками предѣлами
могутъ измѣняться МА и МВ?
77.	Пусть будутъ х и у два какіе нибудь положительныя числа, цѣлыя или
дробныя, причемъ х< у. Доказать, что существуетъ безчисленное множество системъ
значеній для двухъ цѣлыхъ чиселъ р и д, удовлетворяющихъ условію
2# + 1	2і? 4- 1
’ 2д4-1 2д '
Приложить къ случаю: х = 10, у = 11.
78.	Сколько монетъ въ кошелькѣ, если извѣстно, что двойное число ихъ, умень-
шенное шестью, не больше 2, а пятерное ихъ число, уменьшенное 7-ю, не меньше 3.
ГЛАВА
Изслѣдованіе уравненія первой степени съ однимъ неизвѣ-
стнымъ
Рѣшенія: положительныя, отрицательныя, нулевыя, безконечныя, неопредѣленныя.—
Примѣры изслѣдованія буквенныхъ вопросовъ. — Задачи.
370.	Выразивъ условія задачи уравненіемъ и рѣшивъ это уравненіе, найденное
рѣшеніе изслѣдуютъ. Прпэтомъ надо различать два случая.^
1.	Когда задача дана въ числахъ, я. е. въ формѣ частной задачи, то получен-
ное рѣшеніе, удовлетворяя уравненію, не всегда представляетъ вмѣстѣ съ этимъ и
отвѣтъ на вопросъ, алгебраическимъ выраженіемъ котораго служитъ уравненіе. Такъ,
напр., если въ задачѣ требуется опредѣлить число людей, и мы, составивъ уравненіе
3	1
и рѣшивъ его, найдемъ, что искомое число равно — илп 10—, то подобныя числа,
удовлетворяя уравненію, никоимъ образомъ не могутъ служить отвѣтомъ па предло-
— 373 —
женную задачу, пбо число людей можетъ выражаться только цѣлыми числами. Другой
примѣръ. Если въ задачѣ требуется опредѣлить сторону треугольника, п рѣшивъ
уравненіе, вытекающее изъ условій задачи, мы найдемъ, что длина стороны треуголь-
ника равна —3 ф., то подобное рѣшеніе, удовлетворяя ур-нію, очевидно не можетъ
выражать длину стороны треугольника. Подобн'ыя рѣшенія, не соотвѣтствующія
смыслу задачи, указываютъ на ея невозможность. Разысканіе — гдѣ кроются причи-
ны невозможности вопроса, составляетъ задачу изслѣдованія.
Затѣмъ, иногда искомыя рѣшенія являются въ особыхъ формахъ — нуля, без-
конечности пли неопредѣленности. Изслѣдованіе значенія подобныхъ формъ по отно-
шенію къ задачѣ также составляетъ предметъ изслѣдованія.
2.	Когда данныя вопроса выражены буквами, т. е. задача предложена въ общемъ
видѣ, то значенія неизвѣстныхъ выразятся формулами, составленными изъ этпхъ
буквъ. Опредѣленіе условій, которымъ должны удовлетворять данныя для того чтобы
задача была возможна; а также изученіе всѣхъ замѣчательныхъ обстоятельствъ, какія
можетъ представить разсматриваемая формула прп всевозможныхъ предположеніяхъ
относительно данныхъ, составляетъ также предметъ изслѣдованія.
371.	Если задача приводятъ къ уравненію первой степени съ однимъ неизвѣ-
стнымъ, то это ур., по освобожденіи отъ дробей, по перенесеніи членовъ п по
прнведевіи, всегда можетъ быть приведено къ виду
ах — Ъ............(1).
Для рѣшенія его, мы должны обѣ частп раздѣлить на коэффиціентъ а при х.
Если а есть количество конечное и отличное отъ нуля, то сказанное дѣленіе
позволительно, и мы получимъ ур.
Ъ
х =— • • • •
а
тождественное съ (1). Такъ какъ ур. (2) удовлетворяется только при « = —, то
а
заключаемъ, что и тождественное съ нимъ (1) имѣетъ въ данномъ случаѣ одно един-
Ь
ственное рѣшеніе, равное —> которое можетъ быть или положительное, или отрица-
тельное, смотря по тому, будутъ-ли а и Ъ имѣть знаки одинаковые плц разные. При
Ь —0 это рѣшеніе обращается въ 0.
Но если положить а = 0, то мы уже не имѣемъ права множить обѣ части
ур-нія (1) на дробь , которая въ этомъ случаѣ равна ОО, пбо мы не можемъ
(I
утверждать, что новое уравненіе будетъ въ данномъ случаѣ необходимо тождественно
данному. Цѣль изслѣдованія — розыскать, каково будетъ рѣшеніе уравненія (1) въ
частомъ случаѣ а = 0, причемъ Ъ можетъ быть или отлично отъ нуля, или также
равно нулю.
Изъ сказаннаго заключаемъ, что намъ предстоитъ разсмотрѣть слѣдующіе случаи:
1)	а и Ъ конечны п имѣютъ одинаковые знакп;
2)	а п Ъ конечны и имѣютъ противоположные знаки;
3)	а — конечно, Ь = 0;
4)	а = О, Ъ — конечно;
5)	а = 0 и Ъ — 0.
372.	I. Положительныя рѣшенія. — Когда а и Ъ конечны и имѣютъ одинако-
Ъ	л. 
вые знаки, то х ——, какъ частное отъ раздѣленія двухъ конечныхъ количествъ
(I
одинаковаго знака, означаетъ конечное положительное число. Это же самое не-
— 374 —
посредственно видно и изъ ур. (1); въ самомъ дѣлѣ, будутъ-ли а и Ъ оба положи-
тельны или оба отрицательны, выраженія ах и Ъ могутъ быть уравнены только
выборомъ опредѣленнаго положительнаго значенія для х.
По отношенію къ задачѣ, положительныя значенія, получаемыя для неизвѣстнаго,
въ большинствѣ случаевъ представляютъ вполнѣ опредѣленвый и ясный отвѣтъ на
нее, н этимъ самымъ показываютъ возможность задачи. Подтвержденіемъ этому служатъ
всѣ задачи, рѣшенныя нами въ §§ 280—287.
Но есть случаи, когда положительныя рѣшенія, удовлетворяя уравненію, не
представляютъ, однако, удовлетворительнаго отвѣта иа задачу и этимъ обнаруживаютъ
ея невозможность. Это бываетъ именно тогда, когда неизвѣстное вопроса, по самому
смыслу задачи, должно удовлетворять такимъ условіямъ, которыя не могутъ быть
выражены уравненіемъ; напр., когда неизвѣстное должно быть цѣлымъ числомъ,
или ие должно выходить изъ опредѣленныхъ предѣловъ. Въ такихъ случаяхъ поло*
жительиое рѣшеніе, не удовлетворяющее этимъ особымъ условіямъ, укажетъ намъ,
что задача невозможна.
Въ поясненіе приводимъ слѣдующіе примѣры.
Примѣръ I.—Партія рабочихъ, состоящая изъ мущинъ и женщинъ, въ числѣ
50 человѣкъ, заработала въ 6 дней 170 руб., причемъ каждый мущина получалъ въ
день по 1 рублю, а каждая женщина по 50 копѣекъ. Сколько было мущинъ и жен-
щинъ?
Пусть мущинъ было х; слѣд. число женщинъ равнялось 50 — х; каждый мущи-
на получалъ въ день 1 р., слѣд. х мущинъ въ 6 дней заработали 6» руб.; 50— х
женщинъ, получая въ день по р. каждая, въ 6 дней получили 6.^.(5о—х) или
А	А
3(50— х) руб. По условію задачи:
6а -}- 3(50 — х) = 170.
Рѣшая ур., найдемъ, что число мущинъ
а число женщинъ
50 — а=4зі-
О
Изслѣдованіе. — Эти дробныя рѣшенія суть единственныя рѣшенія, удовле-
творяющія уравненію; но уравненіе представляетъ точное и полное выраженіе условія
задачи. Слѣд. другихъ рѣшеній задача не можетъ имѣть. Но по смыслу задачи рѣ-
шенія должны быть числами цѣлыми; а какъ уравненіе дало дробныя рѣшенія, то
заключаемъ, что задача невозможна.
О невозможности задачи можно судить по самымъ условіямъ; въ самомъ дѣлѣ,
суммы, заработанныя мущинами и женщинами, суть числа кратныя 3, слѣд. и полная
сумма должна выражаться числомъ кратнымъ 3; между тѣмъ, 170 ие имѣетъ этого
свойства. Въ этомъ и состоитъ несообразность условій, выразившаяся полученіемъ
дробныхъ рѣшеній.
Примѣръ П.—Опредѣлить двузначное число, въ которомъ сумма цифръ равна
14, если извѣстно, что придавъ къ числу 72, найдемъ число обращенное?
Пусть цифра единицъ равна и, тогда цифра десятковъ выразится формулою
14 — и, самое же число формулою (14 — «).10-}-м; обращенное будетъ: 10а-}-
(14 — и). По условію:
(14 — ?л). 10 -ф- а-}- 72 = Юи-ф 14 — и.
Рѣшая уравненіе, найдемъ: м=11, (1=3.
- 375 —
Изслѣдованіе. Это цѣлое положительное рѣшеніе есть единственное рѣше-
ніе, удовлетворяющее уравненію; слѣд. задача' не можетъ имѣть другаго рѣшенія.
Но свойство вопроса требуетъ, чтобы искомыя числа ни превышали 9; и какъ одно
нзъ нпхъ превышаетъ этотъ предѣлъ, то заключаемъ, что задача невозможна.
О невозможности задачи можно судить по самымъ условіямъ. Въ самомъ дѣлѣ,
двузначное число, котораго сумма цифръ равна 14, можетъ быть: или 59, или 68,
пли 77, или 86, или 95. Къ какому бы изъ этихъ чиселъ ни придали 72, никогда не
получимъ обращеннаго числа, такъ какъ каждый разъ будутъ получаться числа трех-
значиыя.
373.	II. Отрицательныя рѣшенія. — Когда а и Ъ конечны и имѣютъ протпво-
,	ъ	,
положные знаки, то формула х = — даетъ для неизвѣстнаго конечное отрицатель-
а
ное число. Это непосредственно видно н пзъ уравненія ах—Ъ; въ самомъ дѣдѣ,
пусть напр. а > 0, а Ъ < 0: очевидно, что ур. не можетъ быть удовлетворено ни-
какимъ положительнымъ значеніемъ х, ибо произведеніе положительныхъ чиселъ а и
х не можетъ дать отрицательнаго числа; но обѣ части могутъ быть уравнены выбо-
ромъ отрицательнаго значенія для х, нбо произведеніе положительнаго а на отрицаг
тельное х дастъ отрицательное количество Ъ, при опредѣленномъ числовомъ значеніи а.
По отношенію къ отрицательнымъ рѣшеніямъ докажемъ слѣдующую теорему,
примѣненіе которой тотчасъ же найдетъ себѣ мѣсто.
374.	Теорема. — Два уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ, разнящіяся между
собою только маками членовъ, содржаиьихъ неизвѣстное, имѣютъ рѣшенія равныя
по величинѣ, но противоположныя по знаку.
Въ самомъ дѣлѣ, возьмемъ два уравненія
ахЪ ~ схЛ . . . . (1) п —ах-\-Ъ = — сх-\-сІ ... . (2).
Рѣшая первое, найдемъ
рѣшая второе, имѣемъ:
Сравнивая обѣ формулы для х, замѣчаемъ, что опи имѣютъ одинаковую величину,
но противоположные знаки, такъ-что если рѣшеніе 1-го ур. положительно, то рѣше-
ніе 2-го отрицательно, и наоборотъ.
Итакъ, если уравненіе 1-й степени съ однимъ неизвѣстнымъ имѣетъ отрицатель-
ное рѣшеніе, то такое же точно по абсолютной величинѣ рѣшеніе, но взятое съ по-
ложительнымъ знакомъ, удовлетворяетъ уравненію, которое получается изъ перваго
уравненія перемѣвою я: на —х.
375.	Перейдемъ теперь къ разсмотрѣнію вопроса о томъ, какое значепіе мо-
жетъ имѣть отрицательное рѣшеніе по отношенію къ задачѣ, отвѣтомъ на которую
оно служитъ. Разборъ нижеслѣдующихъ задачъ покажетъ намъ, что отрицательное
рѣшеніе всегда служитъ указаніемъ иа одно пзъ слѣдующихъ обстоятельствъ: 1) или
на нѣкоторую несообразность. въ .условіяхъ„задачи,—несообразность, которую, впро-
чемъ, можно исправить; 2) или на неправильную постановку вопррса;. 3) или на не-
правильное предположеніе, сдѣланное прп составленіи уравненія пзъ условій задачи
и обусловленное не вполнѣ опредѣленною формою вопроса; или, наконецъ, 4) на
абсолютную невозможность задачи.
— 376 —
376.	Примѣръ I. — Найти цѣну одною фунта нѣкотораго товара, зная,
что цѣна 3 фунтовъ его, уменьшенная 5-ю рублями, равна цѣнѣ 7 фунтовъ, увели-
ченной двумя рублями?
Пусть цѣна фунта будетъ х руб. Изъ условія задачи непосредственно получаемъ
уравненіе
Зх — 5=7а + 2,
рѣшивъ которое, получаемъ
Изслѣдованіе. — Получили отрицательное рѣшеніе; но искомая величина—
цѣна фунта товара, по существу своему, положительна; заключаемъ, что отрицатель-
ное рѣшеніе должно указывать на несообразность въ самыхъ условіяхъ задачи. Въ
данномъ случаѣ эта несообразность прямо бросается въ глаза: въ самомъ дѣлѣ, цѣна
3 фунтовъ, уменьшенная 5-ю рублями, никакъ не можетъ равняться большей цѣнѣ
(7-мп ф.), да еще увеличенной 2-мя рублями.
Попытаемся исправить несообразныя условія задачи; п для этого замѣтимъ, что
если въ уравненіе, составленное по этимъ условіямъ, вмѣсто х подставимъ — х, то
новое уравненіе
— Зх — 5 = — 7»+ 2,...........(1)
будетъ имѣть рѣшеніе, по абсолютной величинѣ равное прежнему, а по знаку поло-
жительное, т. е. новому ур-нію удовлетворяетъ
- 1.
Оно будетъ представлять прямой отвѣтъ на задачу, соотвѣтствующую измѣнен-
ному ур-нію (1); поэтому, если окажется возможнымъ слегка измѣнить условія данной
задачи, не измѣняя численной величины данныхъ, такъ-чтобы новая задача соотвѣт-
ствовала ур-нію (1), то положительное рѣшеніе и будетъ служить прямымъ отвѣтомъ
на измѣненную задачу. Помноживъ обѣ части ур-нія (1) на —1, дадимъ ему впдъ
3«-[-5 = 7л’ — 2, . . . . (2).
Такъ какъ здѣсь къ Зх придается 5, а не вычитается 5, какъ было въ перво-
начальномъ ур-ніи; затѣмъ изъ 1х вычитается 2, а не придается, какъ въ первонач.
ур-ніи, то очевидно, что ур. (2) есть алгебраическое выраженіе условій слѣдующей
задачи:
„найти цѣну фунта нѣкотораго товара, зная, что цѣна '3 фунтовъ его, увеличенная
5-ю рублями, равна цѣнѣ 7 фунтовъ, уменьшенной 2-мя рублями?"
Отвѣтъ: 1 р. 75 к. удовлетворяетъ этой задачѣ, какъ нетрудно убѣдиться по-
вѣркою.
Возможность исправленія задачи въ данномъ случаѣ обусловливалась тѣмъ, что
хотя искомое п есть здѣсь величина положительная, но данныя (5 р. п 2 р.) могутъ быть
принимаемы въ двухъ противоположныхъ значеніяхъ — въ смыслѣ придаваемыхъ п
вычитаемыхъ величинъ.
Примѣръ Ц.—Найти лѣта нѣкотораго лица, зная, что если изъ пять разъ
взятаго числа его лѣтъ вычесть удвоенный возрастъ, который оно имѣло 20 лѣтъ
тому назадъ, то въ остаткѣ получится число лѣтъ, какое оно будетъ имѣть че-
резъ 12 лѣтъ?
Пусть будетъ х — требуемый возрастъ. Изъ условій задачи непосредственно
получаемъ уравненіе
5х — (х — 20).2 = «+12..........(1).
— 377 —
Рѣшивъ уравненіе, паходпмъ
х — —14.
Изслѣдованіе. —Искомая величина—число лѣтъ лица, по существу своему,
положительная; а потому отрицательное рѣшеніе указываетъ на невозможность зада-
чи. Эту невозможность легко обнаружить слѣдующимъ образомъ. Если изъ упятерен-
наго числа лѣтъ лица вычесть удвоенное число лѣтъ, которое лицо это имѣло 20
лѣтъ тому назадъ, то получится 5»— (х— 20).2 или 3» + 40; при положительномъ
х, каково это количество и должно быть по существу своему, Зя-|-40 никоимъ
образомъ не можетъ равняться а-|-12, т. е. условія задачи невозможны. Попытаем-
ся теперь измѣнить условія задачи, не измѣняя величины данныхъ, такъ, чтобы
задача сдѣлалась возможною и имѣла рѣшеніемъ положительное число 14. Съ этою
цѣлью измѣнимъ въ уравненіи (1) а; въ —х; найдемъ:
— 5» — (— х — 20)2 = — х	12,
или, помноживъ обѣ части на —1:
5х — (х 20)2 = х — 12.
По извѣстной теоремѣ, рѣшеніе этого ур-нія есть ж = + 14; оно представляетъ
прямой отвѣтъ на задачу, соотвѣтствующую этому ур-нію. Задача эта, очевидно,
такова:
„Найти'возрастъ лица, зная, что если изъ упятереннаго числа его лѣтъ вычесть
удвоенное число лѣтъ, какое оно будетъ имѣть черезъ 20 лѣтъ (а не: какое оно
имѣло 20 л. тому назадъ, какъ было въ условіи данной задачп), то въ остаткѣ по-
лучится число лѣтъ, какое это лицо пмѣло 12 л. тому назадъ (вмѣсто: будетъ имѣть
черезъ 12 л., какъ дано было въ условіи задачи).
Легко провѣрить, что число 14 удовлетворяетъ условіямъ этой измѣненной задачп.
Примѣръ III.—Отцу 40 лѣтъ, а сыну 13; черезъ сколько лѣтъ отецъ будетъ
вчетверо старше сына?
Положимъ, что черезъ х лѣтъ отъ настоящаго времени отецъ будетъ вчетверо
старше сына; слѣд. отцу будетъ 40 -(- х, а сыну 13 +а; лѣтъ; и по условію задачп
имѣемъ ур-ніе
40 + « = 4(134-»). • • • 0)-
Рѣшивъ это ур., найдемъ
х = — 4,
Изслѣдованіе. — Прямымъ отвѣтомъ на вопросъ должно бы было служить
положительное рѣшеніе; отрицательное рѣшеніе указываетъ, что вопросъ невозможенъ
въ томъ смыслѣ, въ какомъ онъ заданъ. Невозможность вопроса можно обнаружить
слѣдующимъ образомъ. Отношеніе лѣтъ отца къ лѣтамъ сыва въ настоящее время
выражается неправильною дробью
40
13’
которой величина меньше 4, и требуется уз-
нать, сколько нужно придать къ числителю и знаменателю, чтобы дробь сдѣлалась
равна 4, т. е. чтобы она увеличилась. Но легко видѣть, что отъ приданія по-ровну
къ членамъ неправильной дроби величина ея не увеличивается, а уменьшается; въ
самомъ дѣлѣ, взявъ неправильную дробь ~
(гдѣ, слѣд,, а >6), и придавъ къ чле-
, а + т
намъ ея по т, получимъ дробь -——;
Ь-\-т
приведя обѣ дроби къ общему знаменателю,
_	аЪ + ат	аЪД-Ът
найдемъ, чго первая ==7, '-------, , а вторая , /7+-сравнивая числителей, и
о(о + т)	Ь(Ь + т)
— 378 —
замѣчая, что ат > Ът, такъ-какъ а > Ъ, находимъ, что дробь дѣйствительно умень-
шилась. Итакъ, постановка вопроса сдѣлана неправильно, что и обнаружилось въ
рѣшеніи полученіемъ отрицательнато отвѣта.
Это отрицат. рѣшеніе указываетъ вмѣстѣ съ тѣмъ — какъ слѣдуетъ правильно
поставить вопросъ, именно, что слѣдуетъ спросить: сколько лѣтъ тому назадъ отецъ
былъ вчетверо старше сына?
Что вопросъ долженъ быть измѣненъ въ этомъ смыслѣ,—это показываетъ и тотъ
пріемъ, который служилъ для исправленія несообразныхъ условій въ двухъ предыду-
щихъ задачахъ. Подставивъ въ ур. (1) — х вмѣсто х, найдемъ ур.
40 — х = 4(13 — х),
которое, очевидно, служитъ алгебраическимъ выраженіемъ условій вопроса:
„Въ настоящее время отцу 40, а сыну 13 лѣтъ; сколько лѣчъ тому назадъ отецъ
былъ вчетверо старше сыпа?“ Положительное рѣшеніе х — 4 и служитъ прямымъ
отвѣтомъ на эту задачу, какъ легко убѣдиться въ этомъ повѣркою.
Примѣръ IV.—Изъ двухъ игроковъ А гі В первый имѣетъ 400 р., а второй
120 р.; послѣ нѣсколькихъ гігръ у А оказалось втрое боъѣе, чѣмъ у В. Сколько вы-
игралъ А?
Пусть А выигралъ х рублей; ур-ніе будетъ
400 + х = 3(120 — х),
откуда	х — — 10.
Изслѣдованіе. Прямымъ отвѣтомъ на вопросъ служило бы положительно
рѣшеніе; отрпцательное рѣшеніе показываетъ, что вопросъ невозможенъ въ томъ
смыслѣ, въ какомъ онъ заданъ. Невозможность вопроса легко обнаружить. Лицо А,
имѣя до начала игры больше чѣмъ втрое лица В, послѣ выиграша, очевидно, не
можетъ имѣть втрое больше денегъ чѣмъ у В. Поэтому, вопросъ: „сколько выигралъ
А?“ поставленъ неправильно. Отрицательный знакъ рѣшенія указываетъ—какъ долж-
но правильно поставить вопросъ, именно, что нужно спросить: „сколько руб. А про-
игралъ?“ Къ тому же заключенію приведетъ и указанный выше пріемъ истолкованія
отрицательныхъ рѣшеній; въ самомъ дѣлѣ, подставивъ въ ур-піе — х вмѣсто х,
найдемъ:
400 — х = 3(120 + х);
положительное рѣшеніе х —	10 этого ур-нія и служитъ прямымъ отвѣтомъ на
вопросъ, ему соотвѣтствующій: „пзъ двухъ игроковъ А имѣлъ 400 р., В — 120 р.;
послѣ нѣсколькихъ пгръ у А оказалось втрое болѣе чѣмъ у В. Сколько проигралъ А?“
Примѣръ V.—Два поѣзда идутъ равномѣрно въ одномъ направленіи къ стан-
ціи, отстоящей отъ мѣста выхода перваго поѣзда на 200 верстъ, а отъ мѣста
выхода втораго на 90 верстъ. Первый поѣздъ проходитъ 25 верстъ въ часъ, второй
14 верстъ. Опредѣлить разстояніе точки встрѣчи поѣздовъ отъ станціи, полагая,
что оба поѣзда выходятъ въ одно время?
л	в	а с д.
‘---------------------------------------1—-—I—
Черт. 11.
Пусть поѣзда выходятъ пзъ А и В и ѣдутъ къ станціи С; такъ какъ нельзя
заранѣе сказать, встрѣтятся ли поѣзды недоѣзжая станціи С, или проѣхавши ее, то
для составленія уравненія необходимо сдѣлать то или другое допущеніе. Итакъ, пред-
положимъ, что точка встрѣчи находится въ разстояніи х верстъ недоѣзжая до стан-
ціи С, въ нѣкоторой точкѣ К. Первый поѣздъ, выходящій изъ А, проходитъ раз-
— 379 —
стояніе АВ, равное 200 — х вер., дѣлая по 25 верстъ въ часъ, а потому пройдетъ
2оо________________________х
все разстояніе АВ въ-----—----часовъ; второй, дѣлая въ часъ по 14 в., пройдетъ
20
разстояніе ВВ =90 — х в., въ ---------- час. Выходя со станцій А и В въ одно
14
время, они употребляютъ на прохожденіе разстояній АВ и ВВ одинаковое число
часовъ, а потому
200 — х____90 — х
25	”	14~’ ’ * • *
откуда х = — 50 верстамъ.
Изслѣдованіе. — Прямымъ отвѣтомъ на вопросъ служило-бы положительное
рѣшеніе; посмотримъ, какъ объяснить въ данномъ случаѣ происхожденіе отрицатель-
наго отвѣта? Обращаясь къ условіямъ задачи, не находимъ въ нихъ никакой несо-
образности: поѣздъ, выходящій со станціи А, двигаясь скорѣе поѣзда, выходящаго
изъ В, долженъ догнать его гдѣ нибудь вправо отъ точки В. Слѣд., не въ условіяхъ
задачи должно искать источникъ отрицательнаго отвѣта. Обращаясь затѣмъ къ во-
просу, замѣчаемъ, что онъ поставленъ не вполнѣ опредѣленно, такъ какъ въ немъ
не указано, гдѣ искать точку встрѣчи — не доѣзжая станціи С, нлп за нею. Въ
виду этой неполной ясности требованія, пришлось прп составленіи ур-вія сдѣлать
одно изъ двухъ предположеній: или что поѣзда встрѣтятся влѣво отъ С, или что
встрѣча ихъ произойдетъ вправо отъ С. Мѣ сдѣлали первое предположеніе, н полу-
чили отртцательный отвѣтъ, который и указываетъ, что слѣдовало сдѣлать противное
этому предположеніе. Предположивъ, что встрѣча произойдетъ вправо отъ С, въ нѣ-
которой точкѣ К', отстоящей отъ С на а: верстъ, получимъ ур-ніе
200	х 90 +«	, .
25	~ 14.............и
котораго положительное рѣшеніе х —	50 и служитъ прямымъ отвѣтомъ па во-
просъ: „въ какомъ разстояніи за станціей С оба поѣзда встрѣтятся?“ Замѣтимъ, что
и здѣсь ур. (2) получается изъ (1) перемѣною я: въ — х.
Въ данномъ примѣрѣ отрицательное рѣшеніе получилось не отъ несообразности
задачи, но отъ ложнаго предположенія, сдѣланнаго при составленіи ур-нія. Абсолют-
ная величина отрнц. рѣшенія, взятая съ положительнымъ знакомъ, представляетъ
отвѣтъ на задачу, но представляетъ неизвѣстное съ значеніемъ, прямо противополож-
нымъ тому, какое ему придавали при составленіи уравненія.
Примѣръ VI.— Три точки А, В и С находятся на одной прямой, причемъ
точка В лежитъ между двумя другими; разстояніе АВ = 5 фут ; АС = 5 ф. На
продолженіи прямой, соединяющей точки А и С, найти такую точку М, которой
разстояніе отъ точки В было бы среднимъ пропорціональнымъ между ея разстоянія-
ми отъ точекъ А и С?
Л в	г
—-------------1------I———,--------I------------_
Черт. 12.
Точка М можетъ находиться пли вправо отъ точки С, или влѣво отъ точки А,
п а ргіогі нельзя сказать, какое нзъ этихъ двухъ положеній она должна занимать.
Допустимъ, что она должна находиться вправо отъ С, и обозначпмъ разстояніе ея
отъ А буквою х. Уравненіе задачи будетъ
(х — 2)2 = х(х — 5). . . . (1)
Рѣшивъ уравненіе, найдемъ: х ~ — 4.
- 280 —
Изслѣдованіе. — Прямымъ отвѣтомъ на вопросъ было бы положительное
рѣшеніе; затѣмъ, такъ какъ условія задачи не содержатъ никакой несообразности,
то заключаемъ, что отрицательное рѣшеніе обусловливается единственно ложнымъ
предположеніемъ, сдѣланнымъ при составленіи уравненія. Поэтому, положимъ, что
искомая точка находится влѣво отъ А, п обозначимъ по прежнему разстояніе АМ'
буквою х. Уравненіе задачи будетъ нъ этомъ предположеніи такое:
(ж-|-2)4 = я;(я;4-5)........(2).
Но если въ ур. (1) перемѣнимъ х въ —х, то найдемъ
(—х— 2)2~— х(—х — 5), или (ж-[-2)2 = а;(а;-]-5),
т. е. ур. (2). Изъ этого прямо заключаемъ, что корень ур-нія (2) отличается отъ
корня ур-нія (1) только знакомъ, п потому равенъ 4. Итакъ, точка М находится
влѣво отъ А, въ разстояніи — 4 ф. отъ этой точки.
Такимъ образомъ н въ этой задачѣ отрицательное рѣшеніе указывало только на
ложное предположеніе, сдѣланное относительно положенія пскомой точки при состав-
леніи уравненія.
Примѣръ ѴП.—Имѣемъ двухъ сортовн чай въ 5 р. и въ 8 р. фунтъ. Сколь-
ко нужно взять каждаго сорта, чтобы составить 6 фунт. цѣною въ 10 р. за фунтъ?
Если перваго сорта возьмемъ х ф., то втораго нужно взять 6—х ф. Цѣна пер-
ваго будетъ 5х р., цѣна втораго 8(6 — х) р., цѣна всей смѣси 5ж 8(6 — ж); по
условію;
5ж 8(6 — ж) — 60,
откуда	х =. — 4.
Изслѣдованіе. — Искомое данной задачи есть величина существенно поло-
жительная, а потому отрицательное рѣшеніе здѣсь не имѣетъ смысла. Измѣнивъ въ
ур-ніи х на —х, найдемъ ур., котораго рѣшеніе будетъ -|-4, но подобрать задачу,
соотвѣтствующую измѣненному ур-нію, и однородную съ данной, нъ этомъ случаѣ
нельзя. Обстоятельство это указываетъ на то, что задача абсолютно невозможна. И
дѣйствительно, изъ двухъ сортовъ чаю — въ 5 и въ 8 р. за фунтъ нельзя составить
смѣси, цѣна одного фунта которой превышала бы эти цѣны.
Примѣръ ѴПІ.—За входъ въ музей взимается плата двоякаго рода, а именно:
20 коп. (причемъ сборъ этого рода назначается на содержаніе богадѣльни), и кромѣ
этого взимается плата, пропорціональная числу часовъ, проведенныхъ посѣтмгпелемъ
въ музеѣ, прггчемъ за каждый часъ берется по 5 коп. (этотъ сборъ назначается на
новыя пріобргьтенгя). Однажды 60 человіькъ вошли въ музей въ полдень, и выш.ш вегъ
въ одно время. Во сколько часовъ отъ оставили музей, еслгі весь сборъ былъ равенъ
9 рублямъ?
Пусть х — будетъ число часовъ отъ полудня до момента выхода посѣтителей
изъ музея. Сборъ равенъ, съ одной стороны, 900 коп., а съ другой (20-1-5ж).6О к.
Уравненіе задачи есть
(20 + 5ж). 60 = 900,
откуда	х = — 1.
Изслѣдованіе. — Хотя неизвѣстное въ данной задачѣ есть время, которое
можно считать въ двухъ противоположныхъ направленіяхъ (до полудня и по-полудни),
но очевидно, что въ иредложенной задачѣ рѣчь идетъ объ абсолютномъ количествѣ
часовъ, проведенныхъ посѣтителями въ музеѣ. Поэтому задача требуетъ положитель-
наго рѣшенія.Подставивъ въ ур-ніе •—х вмѣсто х, мы конечно получимъ ур-ніе, которое
будетъ имѣть положительное рѣшеніе ж = -|- 1; но измѣнить задачу такъ, чтобы
- 381 -
она соотвѣтствовала измѣненному ур-нію, оказывается невозможно. Такимъ образомъ,
отрицательное рѣшеніе указываетъ, въ данномъ случаѣ, на абсолютную невозмож-
ность задачи. Невозможность задачи состоитъ въ томъ, что полный сборъ (9 руб.)
меньше даже суммы, получаемой отъ одного 20-ти копѣечнаго сбора со всѣхъ 60
лицъ, составляющей 12 р., а это, очевидно, нелѣпо.
377.	Заключеніе. — Разобранные примѣры приводятъ къ тому заключенію,
что полученіе отрицательныхъ рѣшеній указываетъ: 1) пли на несообразность са-
мыхъ условій задачи, какъ въ примѣрахъ I и II; 2) илн на неправильную постанов-
ку вопроса, какъ въ примѣрахъ III и IV; 3) или на неправильное' предположеніе,
сдѣланное при составленіи ур-нія, какъ въ примѣрахъ V н VI; 4) илн наконецъ,
на абсолютную невозможность задачи (примѣры VII и VIII).
Для истолкованія смысла отрицательнаго рѣшенія всегда употребляется одинъ
и тотъ же пріемъ: въ уравненіе, вытекающее изъ условій задачи, вмѣсто х подстав-
ляютъ — х, и получаютъ такимъ образомъ новое ур-ніе, корень Котораго имѣетъ
прежнюю абсолютную величину, но положительный знакъ. Затѣмъ пытаются, не
измѣняя численнаго значенія данныхъ, подобрать задачу, которая соотвѣтствовала-бы
измѣненному уравненію. Если эта попытка будетъ имѣть успѣхъ, то слѣдуетъ заклю-
чить, что отрицательное рѣшеніе означало только нѣкоторую неправильность въ
условіяхъ, либо въ постановкѣ вопроса, либо въ предполженіи прп составленіи ур-нія,
п положительное рѣшеніе измѣненнаго ур-нія будетъ служить прямымъ отвѣтомъ на
исправленную задачу. Если же сказанная попытка будетъ безуспѣшна, то слѣдуетъ
заключить, что задача абсолютно невозможна.
378.	III. Нулевыя рѣшенія. Когда а конечно, а Ь — 0, тогда ж = —; а такъ
(лі
какъ частное отъ раздѣленія нуля на конечное количество есть ноль, то
а; = 0.
Обращаясь къ уравненію, находимъ, что при’ 6 = 0, оно принимаетъ видъ
ах = 0; но чтобы произведеніе двухъ множителей, одинъ изъ которыхъ конеченъ,
равнялось 0, необходимо, чтобы другой множитель равнялся 0; и такъ, ур. не мо-
жетъ быть удовлетворено никакимъ инымъ значеніемъ неизвѣстнаго, кромѣ нуля.
Такое рѣшеніе называютъ нулевымъ.
Если по смыслу задачи неизвѣстное можетъ быть нулемъ, то нулевое рѣшеніе
дастъ удовлетворительный отвѣтъ на вопросъ; если же искомое, по смыслу вопроса,
означаетъ число неравное нулю, то полученіе нулеваго рѣшенія укажетъ на невоз-
можность задачи.
Примѣръ I.—Отцу 57 лѣтъ, а сыну 19; черезъ сколько лѣтъ отецъ будетъ
втрое старше сына?
Обозначивъ искомое буквою х, будетъ имѣть ур-ніе
57 х — 3(19 + х),
или	57 4- х =. 57 Зх, или 2ж=0, откуда ж = 0.
Отвѣтъ этотъ даетъ удовлетворительное рѣшеніе вопроса, показывая, что уже
въ настоящее время отецъ втрое старше сына; дѣйствительно: 57 = 19 х 3.
7
Примѣръ П.—Знаменатель дроби равенъ — ея числителя; если же къ чгіелгі-
О
телю придать 5, а къ знаменателю 10, то дробь обратится въ -і-. Найти дробь?
&
— 382 —
Означивъ числителя искомой дроби буквою х, имѣемъ ур-иіе
х 4- 5	1	г
---— —, откуда х = О.
Т^+10	2
Этотъ отвѣтъ обнаруживаетъ, что такой дроби, какъ требуется въ задачѣ, не
существуетъ.
379.	IV. Безконечныя рѣшенія. — Если а = О, Ъ^О, общая формула при-
нимаетъ видъ
это значитъ, что х безконечно—велико; обращаясь къ уравненію, находимъ, что оно
въ данномъ случаѣ принимаетъ видъ
О X х — Ъ,
н требуетъ нахожденія такого числа, которое, будучи умножено на ноль, давало-бы
конечное произведеніе Ъ. Но мы знаемъ, что ноль, умноженный на конечное коли-
чество, даетъ всегда ноль; а между тѣмъ вторая часть ур-нія отлична отъ пуля, и
слѣд. невозможно удовлетворить уравненію никакимъ конечнымъ значеніемъ х. Итакъ,
безконечныя рѣшенія служатъ признакомъ невозможности удовлетворить ур-вію ко-
нечнымъ значеніемъ неизвѣстнаго.
Но не всегда такія рѣшенія означаютъ невозможность задачи. Когда, по смы-
слу задачи, неизвѣстное должно быть конечнымъ количествомъ, то безконечное рѣ-
шеніе укажетъ невозможность задачи.
Примѣръ. — Найти число, котораго половина, сложенная съ его третью,
превыгиала-бы на 6 едгінгщъ пять разъ взятый ггзбытокъ четверти этого числа надг>
его двѣнадцатою долею.
Называя искомое число буквою х, получимъ уравненіе
Освобождая это^ур. отъ дробей находимъ
10»=: 10а; —72, плн (10—10)ж = 72,
72	72
откуда ж=1о^го=о=сс-
Полученное безконечное рѣшеніе означаетъ невозможность задачи. О невозмож-
ности задачи можно заключить йргіоп, измѣнивъ нѣсколько форму заданія. Въ са-
11	5
момъ дѣлѣ, — и — какого нибудь числа составляютъ вмѣстѣ — его; а избытокъ
2	3	о
1 1
4 НЙДЪ 12
жена такъ:
1 .
числа составляетъ — этого числа; а потому задача можетъ быть выра-
о
5	5
„найти число, -тг котораго превышаютъ на 6 единицъ — того же числа?'1
о	6
Въ этой формѣ нелѣпость задачи становится очевидною.
Когда неизвѣстное есть величина вспомогательная, то случается, и именно въ
вопросахъ геометрическихъ, что безконечное значеніе х не указываетъ невозможно-
сти задачи. Такъ, когда для опредѣленія положенія прямой, удовлетворяющей раз-
личнымъ геометрическимъ условіямъ, принимаютъ за неизвѣстное-разстояніе между
точкою пересѣченія этой прямой съ данною прямою и точкою, взятою на этой вто-
рой прямой, то очевидно, что безконечное значеніе неизвѣстнаго укажетъ на парал-
лельность обѣихъ прямыхъ.
— 383 -
П р и м ѣ р ъ.—Къ двумъ кругамъ, которыхъ радіусы равны К и г, провести об-
щую внѣшнюю касательнуго (Чсрт. 16).
Задача будетъ рѣшена, если мы опредѣлимъ положеніе точки Т, въ которой ис-
комая касательная встрѣчаетъ линію центровъ. Примемъ за неизвѣстное-разстояніе
точки Т отъ центра О; изъ подобія треугольниковъ ОАТ и оаТ имѣемъ пропорцію
ТО : То = ОА : оа,
или, положивъ: ОА = В, оа~г, Оо — д. и ОТ = ж:
,	_	йВ
ж : (ж — а)~ В : г, откуда х — ——-•
Сдѣлавъ В = г, найдемъ:	= со. Но это безконечное рѣшеніе отнюдь
не означаетъ невозможности задачи: оно показываетъ только, что при данномъ ус
ловіи (В — г) точка Т удалилась въ безконечность, иными словами, что общая каса
тельная приняла особое положеніе относительно линіи центровъ, а именно: сдѣлалась
параллельна этой линіи. И въ самомъ дѣлѣ, прп В = г, фигура ОАао обращается въ
прямоугольникъ, и слѣдовательно линія Аа дѣлается параллельна Оо.
380.	V. Неопредѣленныя рѣшенія.—При а—о и Ъ = о общая формула при-
нимаетъ видъ
О
ж_ о>
означающій неопредѣленность. Обращаясь къ ур-нію, находимъ, что оно беретъ видъ:
охх~о. Какова бы ни была величина ж, первая часть всегда равна нулю, а слѣд.
ур-ніе обращается въ тождество прп всякомъ ж, а потому оно дѣйствительно неопре-
дѣленно.
Неопредѣленныя рѣшенія указываютъ на неопредѣленность задачп, т.
что условія вопроса не ограничиваютъ произвола неизвѣстнаго.
Прнмѣръ.—Найти возрастъ лица, зная, что если изъ утроеннаго
лѣтъ вычесть удвоенное число лѣтъ, какое лицо это будетъ имѣть черезъ
то въ результатѣ получгітся то число лѣтъ, какое лгіцо имѣло 20 лѣтъ тому назадъ.
Обозначивъ искомое число лѣтъ буквою ж, прямо имѣемъ ур-ніе
Зж — 2(ж +10) = ж — 20,
е. на то,
числа его
10 лѣтъ,
20 — 20 О
или х—20г=ж— 20, или (1 — 1)жг=20—20, откуда х~—^~— •
Это рѣшеніе указываетъ на полную неопредѣленность задачи; нъ самомъ дѣлѣ,
легко видѣть, что условія данной задачи—только кажущіяся и не ограничиваютъ про-
извола неизвѣстнаго. Дѣйствительно, такъ какъ Зж — 2(ж -|- 10), по упрощеніи, об-
ращается въ ж — 20, то задачу можно выразить такъ: „найти возрастъ лица, зная,
что число лѣтъ, какое это лицо имѣло 20 л. тому назадъ, равно возрасту, какой оно
имѣло 20 л. тому назадъ“. Очевидно, что этому условію удовлетворяетъ всякое чис-
ло, й что задача ничѣмъ не ограничиваетъ величину неизвѣстнаго.
Если въ формулѣ х — ~ выраженія а я Ъ суть цѣлые полиномы относитель-
но одной и той же буквы у, то можетъ случиться, что при нѣкоторомъ ^частномъ
значеніи у этой буквы полиномы Ъ и а обращаются нъ нули; тогда х представится
подъ видомъ неопредѣленности Но отсюда не слѣдуетъ заключать, что задача не-
опредѣленна въ этомъ частномъ случаѣ. Неопредѣленность эта, какъ мы уже знаемъ,
— 384 —
только кажущаяся, и зависитъ отъ того, что въ уравненіе ах—Ъ введенъ множитель,
обращающійся въ ноль въ разсматриваемомъ частномъ случаѣ, вслѣдствіе чего окон-
чательное ур-ніе, изъ котораго выведенъ х, »е тождественно первоначальному урав-
ненію. Поэтому нужно вернуться къ первоначальнымъ вычисленіямъ и уничтожить этотъ
обращающійся въ ноль множитель, прежде чѣмъ будетъ сдѣлано частное предполо-
женіе.
Впрочемъ, можно это сдѣлать и въ самой формулѣ х т. е. раскрыть ея неопре-
дѣленность. Мы знаемъ, что если Ъ обращается въ О прп у = у', то оно дѣлится
на у — у’, такъ-что можно его представить въ видѣ: (у —у').Ѵ, полагая, что V уже
не обращается въ О при у = «/'; точно такимъ же образомъ а — (у — у').а, гдѣ
уже а' не содержитъ множителя у — у. Такимъ образомъ
(У — !/)Ъ' __ V.
(у—?/'Х а'
Положивъ теперь у — у', мы и найдемъ истинное значеніе кажущейся неопре-
дѣленности формулы х.
Если бы оказалось, что Ъ и а содержатъ у — у' въ степени высшей первой, то
должвы бы были выдѣлить эту степень въ обоихъ членахъ дроби, сдѣлать сокраще-
ніе н потомъ уже положить у = у.
двухъ тре-
ггересѣченія
Примѣръ.—Вычислить плошадь трапеціи, которой основанія равны соотвѣт-
ственно а и Ъ, а высота=к, разсматривая ее какъ разность площадей
угольниковъ, составляемыхъ основаніями трапеціи и продолженными до
непарамельнѣмгі ея боками.
8, имѣемъ:
Пока а отлично отъ Ь,
Обозначивъ искомую площадь буквою
о __ ахЕО ЬхЕГ
— 2	~2
Изъ подобія треугольниковъ ОЕС и АЕВ находимъ
ЕП_ а
ЕЕ — Ъ ’
слѣд.
ЕЕ 1і__а
ЁЕ
— откуда
ЕЕ =
а — о
Ее=ЕЕ-Н =
Такимъ образомъ:
Ък
а — Ъ
аіі
а — Ъ
]і а* — Ъ‘*
8 < — х---------, •
2 а — Ъ
эта формула даетъ для площади трапеціи вполнѣ опредѣ-
ленную величину. Но если положить а = Ъ, формула принимаетъ видъ 8 = у, и
задача, повидимому, дѣлается неопредѣленною. Но эта неонредѣленность-только ка-
жущаяся, и зависитъ отъ того, что числитель и знаменатель 8 содержатъ общаго
множителя а — Ъ, который въ частномъ предположеніи а = Ъ обращается въ ноль.
Сокративъ предварптельно дробь -	& на а — Ъ, найдемъ 8 = (а -[- Ь); поло-
живъ, затѣмъ, а = Ъ, найдемъ 8 — аіі — величину вполнѣ опредѣленную. И дѣй-
ствительно, при а — Ъ трапеція превращается въ параллелограммъ, котораго площадь
равна аіі.
381.	Заключеніе. Уравненіе первой степени съ однимъ неизвгьстнымъ;
ах — Ъ
имѣетъ единственное и конечное рѣшеніе, когда а отлично отъ нуля; когда а _= о,
а Ь о. уравненіе невозможно, въ томъ смыслѣ, что оно не имѣетъ конечныхъ рѣ-
шеній; наконецъ, когда а = Ь = о, уравненіе неопредѣленно, причемъ неопредѣлен-
ность можетъ бѣтъ или дѣйствительная, илгі только кажущаяся.
Укажемъ теперь методы изслѣдованія общихъ вопросовъ, со всѣмп деталями, и
для этого выберемъ нѣсколько типичныхъ примѣровъ.
Первый примѣръ изслѣдованія.
382.	Отцу а, а сыну Ъ лѣтъ; черезъ сколько лѣтъ отецъ будетъ въ п разъ
старше сына?
Пусть это случится черезъ х лѣтъ отъ настоящаго времени; уравненіе задачи,
очевидно, будетъ:
а -[- ®	» (Ъ я5);
откуда
Изслѣдова ніе.—п есть число большее 1; слѣд. знаменатель всегда отличенъ
отъ нуля и положителенъ. Относительно числителя возможны три предположенія:
а>Ъп; а = пЪ; а<_пЪ.
1.	а>иЬ.—При этомъ условіи и числитель, а слѣд. и х, положителенъ.
Это положительное значеніе х даетъ прямой отвѣтъ на вопросъ, т. е. что въ бу-
дущемъ, но истеченіи числа лѣтъ, выражаемаго формулою х, отецъ будетъ въ п разъ
старше сына. И въ самомъ дѣлѣ, отношеніе лѣтъ отца къ лѣтамъ сына въ настоящее
время равно ~ (непр. дроби); требуется, чтобы это отношеніе уменьшилось, ибо
.	,	а
ивъ условія а>ио находимъ ; по отъ приданія поровну къ членамъ непра-
вильной дроби величина ея дѣйствительно уменьшается.
2.	а — пЪ. Въ этомъ случаѣ числитель формулы х обращается въ ноль, а вмѣ-
стѣ съ этимъ и ж 0. Это рѣшеніе показываетъ, что искомое событіе имѣетъ мѣ-
» ѵ а
сто въ настоящее время, что очевидно, такъ-какъ изъ даннаго условія имѣемъ у—и,
т. е. что уже теперь отношеніе лѣтъ отца и сына вмѣемъ требуемую величину и.
3.	а<иЬ. Числитель х, а слѣд. и х въ этомъ случаѣ отрицателенъ.
Отрицательное рѣшеніе означаетъ, что вопросъ въ прямомъ смыслѣ невозможенъ.
Въ самомъ дѣлѣ,
въ настоящее время отношеніе лѣтъ отца н сына равно —;изъ
ус-
ловія же имѣемъ, что и > у, т. е. Требуется, чтобы это отношеніе увеличилось;
очевидно, что это невозможно въ будущемъ, потому что отъ приданія поровну къ чле-
намъ непр. дроби ея величина не увеличивается, а уменьшается.
Абсолютная величина отрицательнаго рѣшенія удовлетворяетъ уравненію, полу-
ченному изъ первоначальнаго перемѣною х на—х, т. е. ур нію:
а — х = п(Ъ — х),
а потому служитъ прямымъ отвѣтомъ на задачу: „отцу а, а сыну Ь лѣТъ; сколько
лѣтъ тому назадъ отецъ былъ въ п разъ старше сына?“
25
- 386 -
Въ этой формѣ ирк даййомъ условіи: п
задача возможна, потому что отъ
вычитанія по-ровну изъ членовъ неирав. дроби величина ея дѣйствительно увеличи-
вается.
Заключеній. Изъ предыдущаго слѣдуетъ, что если дать предложенной задачѣ на-
иболѣе общую форму: „отношеніе лѣтъ отца къ лѣтамъ сына есть
опредѣлить
эпоху, въ которую это отношеніе имѣетъ величину я?“ то формула (1) дастъ для
всѣхъ случаевъ рѣшеніе задачи, если найденное число лѣтъ считать: въ будущемъ,
когда оно положительно, и въ прошедшемъ, когда оно отрицательно.
Второй примѣръ изслѣдованія.
383. Три точки А,В и С лежатъ на прямой, причемъ точка В находится
между двумя другими; разстояніе АВ = а, АС = Ъ. Найти на продолженіи прямой
АС такую точку М, которой разстояніе отъ точки В было бы среднимъ пропор-
ціональнымъ между ея разстояніями отъ точекъ А и С? (Черт. 14 ).
Обозначимъ разстояніе АМ буквою х, и положимъ, что искомая точка лежитъ
вправо отъ С; въ этомъ предположеніи уравненіе будетъ
(х— а)а = х(х—Ъ)........(1).
Предполагая же, что точка М находится влѣво отъ А, получимъ ур.
(ж4-а)2:=ж(ж4-Ь).......(2).
Ур. (2) выводится изъ (1) перемѣною х въ — х; слѣд. можно ограничиться рѣ-
шеніемъ ур-нія (1), помня, что если оно имѣетъ отрицательный корень, то этотъ ко-
рень, по перемѣнѣ у него знака, будетъ корнемъ ур-нія (2), и слѣд. дастъ точку,
лежащую влѣво отъ А; однимъ словомъ, корень ур-нія перваго всегда представляетъ
разстояніе искомой точки отъ А, причемъ это разстояніе нужно брать вправо отъ А,
если корень положителенъ, и влѣво отъ А, если онъ отрицателенъ.
Сдѣлавъ этн подготовительныя замѣчанія, рѣшаемъ ур. (1) и находимъ
а2
Х~~2а — Ъ '
Изслѣдованіе. Формула х даетъ мѣсто слѣдующимъ случаямъ:
2а— 6>о; 2а—6<о; 2а — Ъ — о.
1.	Если 2а — Ь > о, корень ур-нія положителенъ, а потому искомая точка на-
ходится вправо отъ А; но задача требуетъ кромѣ того, чтобы эта точка была вправо
и отъ С, т. е. чтобы величина х была больше Ъ. Итакъ, нужно разсмотрѣть, удов-
летворяется-ли неравенство
а2
2а —Ь"'
такъ какъ 2а — Ъ положительно, то умножая обѣ части неравенства на 2а—Ь и не
перемѣняя знакъ неравенства, замѣняемъ послѣднее ему тождественнымъ
а2>2аЬ— Ь2, или а2 — 2аЬ4-Ь2>о, или (а—Ь)2>о;
послѣднее неравенство всегда удовлетворено, потому-что квадратъ всегда положителенъ;
слѣд. справедливо и тождественное ему первое неравенство. Такимъ образомъ, при
условіи 2а—Ь>о, ур-ніе имѣетъ положительный корень большій Ъ, опредѣляющій
точку М вправо отъ С, какъ того требуетъ заданіе.
— 387 —
2.	Если 2а — Ъ < о, корень ур-нія перваго отрицателенъ, и согласно вышеска-
занному, опредѣляетъ точку, находящуюся на продолженіи линіи АС, влѣво отъ точ-
^2
кп А и въ разстояніи отъ нея, равномъ --------— •
3.	Наконецъ, если 2а — Ъ~ о, количество х обращается въ СО. Это значитъ,
что х неограниченно возрастаетъ по мѣрѣ того какъ Ъ приближается къ 2а; точка М
удаляется отъ А, и когда Ъ дѣлается равнымъ 2а, точка М дѣлается безконечно да-
лека отъ А, п задача о нахожденіи такой точки невозможна.
Построеніе. Пусть 2а — 5>о. Отложивъ отъ точки В линію ВП = а, най-
демъ, что длина линіи СО =2
2а — Ъ. Проведя подъ произ-
вольнымъ угломъ къ прямой АС
линію АН, отложимъ на ней
ЛР = 2а— Ъ и АН = а; со-
единивъ затѣмъ точки Г и В,
проводимъ изъ точки Н пря-
мую НМ || ГВ; точка М будетъ
требуемая. Въ самомъ дѣлѣ,
подобіе ДА АВГ и АМН даетъ:
АО : АН —АВ ; АМ, пли (2а — Ь) : а —а : АМ, откуда
АМ
а2
----= — Х.
2а— Ъ
Примѣчаніе. Если 2а — Ъ уменьшать, приближая къ нулю, линія ВЕ прибли-
жается къ совпаденію съ ВА, а линія НМ — къ параллельности съ АВ; вслѣдствіе
этого, точка М удаляется отъ С, и когда 2а — Ъ обратится въ О, НМ сдѣлается па-
раллельна АВ, и точка М удалится въ безконечность.
Третій примѣръ изслѣдованія.
384. Задача О фонтанахъ. Два фонтана наполняютъ бассейнъ: первый, дѣй-
ствуя одинъ, можетъ наполнитъ бассейнъ въ а часовъ; другой, будучи открытъ одинъ,
наполнитъ бассейнъ въ Ь часовъ. Иранъ, находящійся въ днѣ, можетъ опорожнгітъ
бассейнъ въ с часовъ. По сколько часовъ бассейнъ, вначалѣ пустой, будетъ наполненъ,
если оба фонтана и кранъ будутъ открыты одновременно?
Пусть бассейнъ наполняется въ х часовъ. Первый фонтанъ, наполняя бассейнъ
1	,	ж
въ а часовъ, въ 1 часъ наполнитъ — часть бассейна, а въ ж час. — частей его.
’	а	а
Другой фонтанъ въ тоже самое время - наполнитъ у- частей бассейна. Нако-
нецъ, кранъ выпуститъ въ х час. -у частей бассейна. — Такъ какъ разность меж»
ду приходомъ воды и ея расходомъ въ х часовъ, по условію, равна емкости бассей-
на, то имѣемъ уравненіе
х . х х ____
а+Т~Т~1>
1
откуда	х — ---------- •
_А
а'Ъ с
25»
- 388 —
ИзслѢдованіе. Здѣсь слѣдуетъ разсмотрѣть три случая:
; — + — = — •
а 1 Ъ с
Іікі ._1_і ±^2
а ' Ь с ’ а ' Ъ с
т т, 1,1
I. Когда--1——
1	а
—; величина х конечна п положительна. Это значитъ, что
с
задача возможна, т. е. что бассейнъ черезъ нѣсколько часовъ дѣйствительно будетъ
наполненъ. Въ самомъ дѣлѣ, -4-4- есть часть бассейна, наполняемая въ I часъ
а ' Ь
обоими фонтанами, а —количество воды, уносимой въ 1 ч. краномъ; такъ-какъ
первое количество, по условію, больше втораго, то очевидно, что по истеченіи нѣ-
сколькихъ часовъ бассейнъ наполнится.
Сверхъ того, если увеличивать с, т. е. уменьшать отверстіе крана, величина х
,	X	1
также будетъ уменьшаться, стремясь къ предѣлу ---------, котораго она достигаетъ
—-4- —
а'Ъ
при с = ОО, т. е. когда кранъ будетъ закрытъ.
_ „ 1 , 1 1
И. Когда-----н — < —, величина х становится
а о с
ное рѣшеніе означаетъ невозможность задачи, т. е.
нпться. Въ самомъ дѣлѣ, неравенство —-|--у	—
доставляемое въ 1 часъ обоими фонтанами, меньше
дящій кранъ можетъ унести въ часъ. Очевидно, слѣд., что бассейнъ не можетъ быть
наполненъ: задача невозможна въ томъ смыслѣ, въ какомъ она предложена. Для ис-
толкованія отрицательнаго рѣшенія, перемѣняемъ х въ — х въ уравненіи задачи, и
получаемъ.
отрицательной. Это отрицатель-
что бассейнъ не можетъ напол-
означаетъ, что количество воды,
количества воды, которое отво-
1	1 I 1	1	1	1	/1	, 1 \	1
-----=-----Ь-т----—, илп — =-----------(---Ьт-) (1), откуда х~	
х а'Ъ с	х с \а 1 &/''’	4	1	/1 ) 1
Ур. (1) соотвѣтствуетъ слѣдующей задачѣ: бассейнъ наполняется краномъ, кото-
рый, дѣйствуя отдѣльно, налголнилъ-бы бассейнъ въ с часовъ; изъ двухъ крановъ, нахо-
дящихся въ днѣ бассейна, одинъ, будучи открытъ, можетъ опорожнить бассейнъ въ
а часовъ, а другой, дѣйствуя отдѣльно, въ Ъ часовъ. Бо сколько часовъ наполнится
бассейнъ, вначалѣ пустой, если будутъ открыты всѣ три крана? Такимъ образомъ,
для исправленія задачи слѣдуетъ предположить, что питательные краны становятся
опоражнивающими, п наоборотъ.
III. Если — -I-	, то ж = 4- — ОО и задача невозможна. Въ самомъ дѣ-
а о с	О
лѣ, равенство — 4*4- — -- означаетъ, что количество воды, приносимой въ часъ обо-
а о с
ими фонтанами, равно количеству воды, уносимой въ тоже самое время краномъ, сл.
бассейнъ никогда не можетъ наполниться: задача абсолютно невозможна.
Четвертый примѣръ изслѣдованія.
385. Какое Число нужно прибавитъ къ четыремъ даннымъ числамъ а, Ь, с, й,
Чтобы составитъ кратную пропорцію?
- 389 —
Пусть искомое число будетъ х; ур-ніе будетъ, очевидно:
а + х_с-\-х	,
&4" х Й4’45............
рѣшая его, находимъ:
х _
(2).
Ъс — ай
(« + й)~(і> + с)
Члены искомой пропорціи суть;
а+осг: (Д—ь) (а~с). ъ । „ (я-Ь) (Ь-а). ,	(а~с) (с-й\	(с-й) (й-Ъ)
а-|-й—(Ь-]-с)’ '	а-\-й—(Ь-]-с)’ '	а-]-й—(&4С)’ '	а-]-й—(Ь-|-с)'
Изслѣдованіе. Слѣдуетъ различать два главные случая: знаменатель формулы
х отличенъ отъ нуля, или же этотъ знаменатель равенъ нулю; и въ каждомъ изъ
этихъ главныхъ случаевъ дѣлать возможныя предположенія относительно числителя.
I.	Если а	с и при этомъ Ъс > ай, или же а-^-й < 6 —с и при этомъ
Ъс < ай, то для х найдемъ величину положительную, которою вопросъ рѣшается въ
прямомъ смыслѣ.
II.	Если а -|- й > Ъ -|- с и Ъс < ай, или же а 4- й < Ъ -|- с и Ъс > ай, то для х
получается величина отрицательная, представляющая, очевидно, отвѣтъ на вопросъ:
какое число нужно вычесть изъ чиселъ а, Ъ, с и й, чтобы остатки образовали крат-
ную пропорцію?
III.	Если а й	Ь -ф- с, во ай—Ъс, то х — О.
Но условію ай = Ъс то же, что пропорція:
а___ с
Ъ й’
откуда имѣемъ теорему: ес-
ли четыре числа составляютъ пропорцію, то нѣтъ такого числа, которое будучи при-
дано къ каждому изъ нихъ, дало-бы пропорцію.
IV.	Если а-^-й-=Ъ-\- с и Ъс^ай, іо х = — =ОО и задача, невозможна,
т. е. не существуетъ конечнаго числа, рѣшающаго вопросъ. Въ самомъ дѣлѣ, для того
чтобы четыре числа а-\-х, Ъ-$-х, с-^-х, й-$-х составляли пропорцію, необходимо,
чтобы произведеніе крайнихъ равнялось произведенію среднихъ, т. е. чтобы
(а -|- х)(й + «) = (Ъ «)(с 4" «).
или	ай4’(а + ^)а,==^с4_^ + с)ж-
Но, по условію, ай отлично отъ Ъс, а а-\-й — Ъ 4-с, слѣд. ни при какомъ ко-
нечномъ значеніи х равенство невозможно.
V. Если, наконецъ, а-^-й = Ъ-{-с и ай — Ъс, то ж = т. е. задача неопредѣ-
ленна. Въ самомъ дѣлѣ, для того чтобы четыре числа а-]-х, Ъ-\-х, с-)-х и й-$-х
составляли кратную пропорцію, необходимо, чтобы произведеніе крайнихъ равнялось
произведенію среднихъ; т. е., какъ выше -указано, чтобы
ай 4- (« + й)х = Ъс 4- (Ъ с)ж;
по какъ ай — Ъс и а-^-й — Ъ-^-с, это уравненіе есть тождество, а потому удовле-
творяется при всякомъ значеніи х: неопредѣленность полная.
Неопредѣленность задачи при данныхъ условіяхъ можно обнаружить еще слѣдую-
щимъ образомъ.
Изъ условія а-]-й = Ь4’с имѣемъ й = Ъ-\-с— а; подставляя эту величину й
въ другое условіе ай — Ъс или ай—Ьс=О, имѣемъ: а(&-]-с — а) — Ъс — О, или
а2 — а(Ъ 4- с) 4- Ъс = 0, или (а — Ъ){а — с) == 0.
— 390 -
Этому равенству можно удовлетворить двояко: пли положивъ а~Ъ, или а~с.
При а = &, имѣемъ й = с, п искомая пропорція беретъ видъ
аД-х__________________________________аД-х. 
а —х 3 4~ х
При а = с имѣемъ сІ — Ъ; и искомая пропорція будетъ
аД-х____аД-х .
ЗД-х 3 4-®
И та, п другая пропорціи — ничто иное какъ тождества, и стало быть удовле-
творяются прп всякомъ х.
Пятый примѣръ изслѣдованія.
386. Задача 0 курьерахъ. Два курьера выѣхали въ одно время изъ мѣстъ А
и В, разстояніе между которыми равно А верстамъ, и ѣдутъ равномѣрно въ направ-
леніи АВ, при -чемъ первый дѣлаетъ ѵ верстъ, второй V верстъ въ часъ. Въ какомъ
разстояніи отъ точки А внѣ встрѣтятся?
С’________Л__..4.--------?____________
~ ~ Х~
Черт. 15.
Пусть точка встрѣчи находится на разстояніи х верстъ отъ А. Такъ какъ, по
условію, курьеры выѣзжаютъ изъ точекъ А и В одновременно, то время, въ которое
первый проѣзжаетъ разстояніе АС, равно времени, въ которое второй проѣзжаетъ ВС.
Первый, дѣлая ѵ верстъ въ часъ, проѣдетъ разстояніе АС ж въ часовъ; второй,
проѣзжая по ѵ' верстъ въ часъ, на проѣздъ всего разстоянія ВС~ж — 3, употребитъ
х — а тт .	__
—— часовъ. Уравненіе будетъ
.........(1)
V V	'
V
откуда	х = 3 х ѵ__ѵ’...........(2).
Изслѣдованіе. Замѣтивъ, что 3, какъ разстояніе между двумя точкамп,
есть величина положительная, могущая въ частномъ случаѣ равняться нулю, заклю-
чаемъ, что между данными величинами могутъ быть слѣдующія соотношенія:
1) й>0,	2) й>0, «;<?/, 3) й = 0,	4) й>0,	5) й=0; ѵ~ѵ'.
(ІѴ
I. Когда й>0 п «>і/, оба члена дроби -----положительны, сл. и х есть вс-
ѵ — ѵ
личина положительная', кромѣ того, «>(?, потому что 3 умножается на дробь ——,
ѵ — ѵ
бблыпую 1, пбо — #. Это положительное п бблыпее 3 значеніе х означаетъ, что
встрѣча курьеровъ произойдетъ вправо отъ точки В, т. е. оно даетъ прямой отвѣтъ
на вопросъ. И въ самомъ дѣлѣ, оба курьера выѣзжаютъ изъ точекъ А и В одно-
временно и догоняющій ѣдетъ быстрѣе передняго слѣд. первый непремѣнна
догонитъ втораго.
- 391 -
II. Когда й>0 и «<(/, числитель йгі>0, а знаменатель ѵ — «'<0, слѣд. вели-
чина х отрицательна. Это отрицательное рѣшеніе указываетъ на то, что при данныхъ
условіяхъ задача невозможна въ томъ смыслѣ, въ какомъ она предложена, т. е. что
встрѣча не можетъ произойти въ направленіи АВ (вправо отъ В). Дѣйствительно,
такъ какъ оба курьера выѣзжаютъ въ одно время и первый ѣдетъ медленнѣе втораго,
то онъ никогда не догонитъ послѣдняго.
Чтобы исправить задачу, подставимъ въ ур. (1) — х вмѣсто х; найдемъ:
— х — х — й	х х-І- сі
---=--------—,	пли	—=—Ц— .... (3).
и ѵ	ѵ ѵ
Рѣшеніе уравненія (3) по абсолютной величинѣ таково-же какъ и (1), но по зна-
ку положительно, п потому даетъ прямой отвѣтъ на вопросъ, соотвѣтствующій ур-
нію (3). Но послѣднее можетъ служить алгебраическимъ выраженіемъ слѣдующихъ
двухъ задачъ.
1. х есть разстояніе, проѣзжаемое курьеромъ А; х-^-сІ — курьеромъ В, такъ-что
второй проѣзжаетъ Л верстами больше перваго. Это возможно, если предположить,
что оба ѣдутъ не въ направленіи АВ, а въ направленіи ВА, такъ-что курьеръ, вы-
ѣзжающій изъ В, догоняетъ курьера, выѣзжающаго изъ А. Обозначивъ точку встрѣчи
буквою С' и положивъ АС' = х, найдемъ ур. (3), котораго корень и будетъ служить
отвѣтомъ на новую задачу.
Дѣйствительно, такъ какъ г/> ѵ, то при движеніи въ направленіи ВА, курьеръ
В и догонитъ курьера А въ нѣкоторой точкѣ С', лежащей влѣво отъ А. Такимъ обра-
зомъ, для истолкованія отрицательнаго рѣшенія, мы измѣнили направленіе движенія
курьеровъ.
2. Но легко видѣть, что ур. (3) можно также разсматривать какъ выраженіе
условій задачи, отличающейся отъ данной не направленіемъ движенія, а допущеніемъ,
что движеніе имѣетъ мѣсто неопредѣл. время, и что встрѣча произойдетъ не въ бу-
дущемъ, а что она уже имѣла мѣсто рапыпе того момента, въ который курьеры про-
ѣзжаютъ — одинъ черезъ А, а другой чрезъ В, въ нѣкоторой точкѣ С', отстоящей
влѣво отъ А на х~ верстъ. Что задача и въ этомъ смыслѣ возможна, пря-
мо слѣдуетъ изъ того, что при «'>’«, курьеръ В, догнавъ А въ точкѣ (У, обгоняетъ
послѣдняго и ѣдетъ впереди его.
III.	Когда й = 0 п то	=
'	V — V
Такъ какъ й = 0, то оба курьера выѣзжаютъ изъ одного мѣста, притомъ одно-
временно; но ови Ѣдутъ съ разными скоростями (г> «/), слѣд. одинъ постоянно бу-
детъ впереди другаго, такъ-что никакая точка пути, кромѣ мѣста выѣзда, не можетъ
быть пхъ общимъ мѣстомъ. Это п выражается рѣшеніемъ х = 0.
IV.	Когда сі > 0, а ѵ = то х = ~ = со •
Безконечное рѣшеніе служитъ въ данномъ случаѣ, признакомъ полной невозмож-
ности задачи, т. е, невозможности встрѣчи курьеровъ. Дѣйствительно, они выѣзжа-
ютъ одновременно изъ двухъ разныхъ точекъ н ѣдутъ съ одинаковою скоростью:
понятно, что разстояніе между нимп всегда будетъ = в слѣд. встрѣча пхъ не-
возможна.
V.	При сі = 0 и ѵ=ѵ'
О . ѵ О
х =
О — О
— 392 —
Это рѣшеніе означаетъ полную неопредѣленность задачи. Дѣйствительно, условія
А — 0 п ѵ = означаютъ, что курьеры выѣзжаютъ пзъ одного мѣста (одновременно)
и ѣдутъ съ одинаковою скоростью; очевидно, что они всегда будутъ вмѣстѣ: каждая
точка пути будетъ служить мѣстомъ встрѣчи.
Примѣчаніе. Если положить, что курьеры ѣдутъ не въ одну сторону, а навстрѣ-
чу другъ другу, то направленія скоростей будутъ противоположны; слѣд. если одну
изъ нихъ, напр. ~'ѵ, будемъ считать положительною, то другую слѣдуетъ принять за
отрицательную; обЬзначивъ ее черезъ — найдемъ
Аѵ Аѵ
х ~----7---7л= —і—7 •
V —(— V)	V V
Не трудно было бы вывести эту формулу и непосредственно. Заключаемъ, что
формула (2) прилагается и къ этому случаю, а потому она — вполнѣ общая.
Шестой примѣръ изслѣдованія.
387. Провести общую касательную къ двумъ кругамъ.
А. Проведеніе общей внѣшней касательной.
Черт. 16.
Пусть разстояніе ОТ точки встрѣчи общей внѣшней касательной съ линіей цент-
ровъ отъ центра О перваго круга будетъ ж; радіусъ ОА=Е; оа=^'; Оо = й. Изъ
подобія треугольниковъ ОАТ в оаТ находимъ пропорцію: ОТ : оТ = ОА : оа или
ж: (ж — й) В : В,', откуда
_ й.В
Ж—Е —В' ' ' ‘ ‘
Изслѣдованіе подраздѣляется на три главные случая, смотря потому, будетъ
ли знаменатель В — В' положителенъ, отрицателенъ или равенъ нулю.
I.	В — Е'>0, или Е>Е'. Величина ж въ этомъ случаѣ положительна, конечна
К
и> А, вотому-что —------57 > 1> а слѣд. точка Т находится на продолженіи линіи Оо.
К — к
Сверхъ того, необходимо, чтобы ж > А В', или	> А В'. Такъ какъ
АЪ 11 ‘ АЪ
В — Е'>0, то, умножая обѣ части на эту разность, мы не измѣнимъ знака не-
равенства, слѣд. йВ > (А В')(В— В'), откуда
А > К — К'.
Неравенство удовлетворяется, когда: 1) круги расположены одинъ внѣ другаго,
ве имѣя общихъ точекъ, пбо тогда А > даже В -{- В,'; 2) круги имѣютъ' внѣшнее
касаніе; 3) они пересѣкаются. Равенство же удовлетворяется при внутреннемъ каса-
«	«	— В')в
Ніи; въ послѣднемъ случаѣ ж =	= В, и точка Т совпадаетъ съ точкою
К — к
касанія круговъ.
— 393 -
Когда В' = О, т. е. малая окружность сводится къ своему центру, условіе вов-
можности приводится къ й > В, а х — <1,— результаты, сами собою понятные.
II.	В — В' < О, пли В < В'. Въ этомъ случаѣ х отрицателенъ, слѣдовательно
точка Т находится влѣво отъ 0. Въ этомъ случаѣ безполезно повторять изслѣдованіе,
приведенное выше; ибо для опредѣленія различныхъ положеній точки Т, очевидно,
достаточно перевернуть предыдущій чертежъ, такъ-чтобы меньшій кругъ помѣщался
влѣво отъ большаго.
III.	В — В'~О, или В = В', т. е. оба круга равны. При этомъ возможны слѣ-
дующіе случаи:
а)	Если й > О, х = — = со, т. е. точка Т удаляется въ безконечность. Въ
самомъ дѣлѣ, въ этомъ случаѣ линіи ОА и оа равны и параллельны, слѣдоват. пря-
мая АаЦОо и не встрѣчаетъ ее. Безконечное рѣшеніе означаетъ, такимъ образомъ,
параллельность общей касательной линіи центровъ. Разсматривая вопросъ съ другой
точки зрѣнія, можно замѣтить, что еслибы радіусы, будучи сначала неравными, раз-
нились бы незначительно, точка Т находилась бы иа очень большомъ разстояніи отъ
точки О, и что если радіусы будутъ стремиться къ равенству, разстояніе ОТ будетъ
неограниченно возрастать; слѣд. когда радіусы будутъ строго равны, точка Т уда-
лится въ безконечность и х — оо.
Ъ)	Если, прп В — В' = О, и й = О, тогда х ~	,
и задача становится дѣй-
ствительно неопредѣленною. Въ самомъ дѣлѣ, оба круга имѣютъ въ этомъ случаѣ об-
щій центръ и равные радіусы, сл. они сливаются; ни линія Аа, ни Оо, не имѣютъ
въ такомъ случаѣ опредѣленнаго положенія, а потому и точка ихъ встрѣчи абсолют-
но неопредѣленна.
с)	Наконецъ, если В = В' =0, х также принимаетъ неопредѣленный
О
видъ — •
Неопредѣленность — опять дѣйствительная, и легко объясняется: оба крута приво-
дятся къ своимъ центрамъ, линія Аа сливается съ Оо, и точка Т можетъ быть взя-
та произвольно иа линіи Оо.
Построеніе. Формула (1) даетъ пропорцію: (В—В'):В = й:а, изъ которой
видно, что х есть четвертая пропорціональная къ тремъ линіямъ В — В', В и й-
Проведя произвольный радіусъ ОХ въ кругѣ центра О, откладываемъ на немъ линію
ХМ = В'; получимъ ОМ = В — В'. Соединивъ точку М съ о,проводимъ линію ХТ |] Мо:
точка Т будетъ требуемая. Проведя изъ нея касательную ТА къ кругу О, убѣдимся,
что эта линія коснется и круга о.
В. Проведеніе обшей внутренней касательной.
Обозначивъ разстояніе ОТі буквою х,
имѣемъ:
X Й — X
в-= -в^’ 0ТЕ"а
изъ подобія треугольниковъ ОВ'І^ п
оЬТі
ЙВ
х~ В4-ІЦ
• • (2)
В
В4-Ві
Изслѣдованіе. Такъ какъ
< 1, то всегда о: <й, т. е. точка Т( на-
ходится между центрами. Кромѣ того, разстояніе точки Т( отъ О не должно быть < В,
т. е. должно имѣть _	> В, откуда й > В -4- В', т. е. окружности должны быть
одна внѣ другой. Въ крайнемъ случаѣ, т. е. при внѣшнемъ касаніи, й = В К,
и ж=:В, т. е. точка совпадаетъ съ точкою касавія круговъ.
— 394 —
Когда В' = О, х — й, т. е. точка Ті совпадаетъ съ центромъ О', къ которому,
въ данномъ случаѣ, приводится второй кругъ.
Наконецъ, если Н^К'пО, = точка Ті неопредѣленна, п въ самомь
дѣлѣ, въ этомъ случаѣ прямая Аа совпадаетъ съ линіей центровъ.
Построеніе аналогично предыдущему.
Седьмой примѣръ изслѣдованія.
ь Г
в1
Черт. 17.
I г\
/I'
I I
ТТгГ
388. Въ точкѣ А. данной внутри круглаго билліарда, помѣщенъ упругій гиа-
рггкъ. Въ какомъ направленіи нужно его ггустггтъ, чтобы, огпразившисъ три раза отъ
бортовъ, онъ возвратился снова въ точку А?
По закону отраженія, уголъ паденія ра-
венъ углу отраженія, при чемъ угломъ паде-
нія будетъ уголъ, составляемый направленіемъ
паденія (напр. АВ) съ радіусомъ, проведен-
нымъ въ точку В, а угломъ отраженія —
уголъ, образуемый направленіемъ отраженнаго
движенія (ВС) съ тѣмъ же радіусомъ. Зная
—;>ІС это, п замѣчая, что фигура расположена сим-
метрично относительно діаметра ВС, прохо-
дящаго черезъ точку А, усматриваемъ, что
задача приводится къ слѣдующей: въ какомъ
направленіи надо пуститъ щарикъ А, чтобы,
отразившись отъ боргпа, онъ ударился въ ко-
нечную гггочку С діаметра БС?
Пусть ОС = В, ОА = а, В — искомая
точка; проведя хорду ВВ' перпендикулярно
къ діаметру БС, замѣчаемъ, что какъ скоро извѣстно будетъ разстояніе ІО этой хор-
ды отъ центра, то будетъ извѣстно п положеніе искомой точки В. Поэтому за не-
извѣстное принимаемъ 01 = х. Углы: паденія АВО, и отраженія—ОВС, равны, слѣд.
ОВ есть бпссектрпсса угла АВС треугольника АВС; по свойству ея, имѣемъ пропорцію:
АВ_ АО
ВС-ОС’
возвысивъ обѣ части въ квадратъ, находимъ:
-------------------------------------2
АВ^_«2.
—2	В.2’
ВС
затѣмъ, на основаніи теоремъ о квадратѣ стороны треугольника, имѣемъ:
АВ2 = АО2 + ВО2 — 2А0.0І — а* -|- В2 — 2а.х;
ВС2 = ОС2 + ОВ2 + 20С.0І = 2К2 + 2В.х;
подставивъ эти величины въ предыдущую пропорцію, находимъ:
а2 -{- К2 — 2ах а*
2В.24-2іи — В2..........
пзъ этого ур-нія, по сокращеніи сначала на К, а затѣмъ на К — а, имѣёмъ:
_ К(В — а)
Х 2а
— 395 -
Изслѣдованіе. Такъ какъ а<В (точка А находится внутри круга О), то
предыдущее выраженіе даетъ для х всегда величину положительную; но для возмож-
ности задачи этого недостаточно: необходимо еще, чтобы было х В, пли
В(В— а) _	. В
—^В, откуда а •
Итакъ, чтобы задача была возможна, нужно, чтобы а имѣло величины въ пре-
К
дѣлахъ между В и —; слѣд. задача невозможна, когда шарикъ А находится внутри
О
круга, концентричнаго билліарду и описаннаго радіусомъ, равнымъ трети радіуса бил-
ліарда.
К
Когда а измѣняется непрерывно отъ В до —, х измѣняется непрерывно отъ
О
О до В; въ частности:
прп
х = О: шарикъ опишетъ половину контура квадрата;
В
х : шарикъ опишетъ полуперпметръ равно-
а — В,
В
2 ’
при
в
а— 3 ,
при
сторонняго треугольника:
я: = В, шарикъ оцищетъ діаметръ ВС.
Построеніе, формула х даетъ пропорцію:
В ,т .
а; —- — (В — а): х,
& г
и
и
и
К
или а : — = (В — а):01, откуда и видно, что 01 — х.
В
такъ-что нужно построить четвертую пропорціональную къ тремъ линіямъ: а, —
В — а. Взявъ на діаметрѣ ОЕ, перпендикулярномъ къ ОА, часть ОА' ~ ОА = а,
К
0Е= затѣмъ на діаметрѣ ВС часть ОВ' = АВ В — а, соединимъ точки В'
ы
А' и черезъ точку Е проводимъ линію ЕІ параллельную А'Б': эта линія и дастъ ис-
комую точку I. Въ самомъ дѣлѣ, изъ подобія треугольниковъ А'ОВ' и ЕОІ имѣемъ:
ОА':ОЕ == ОВ':ОІ,
Обобщеніе за-
дачи. Когда шарикъ
А находится внѣ кру-
га, напр. въ А' (черт.
18) задача будетъ-
возможна, если уда-
лить матеріальную по-
луокружность Е'Б'бг',
обращенную своею вы-
пуклостью къ шарику.
Въ самомъ дѣлѣ, въ
такомъ случаѣ шарикъ
А' можетъ удариться
въ такую т^чку В'
другой половины кру-
га, что по отраженіи
попадетъ въ точку С',
а слѣдовательно от-
сюда, по 'симметріи фигуры относительно линіи А'С' возвратится въ А'. Для опре-
— 396 —
дѣленія точки В', положимъ 0Т = &'; въ такомъ случаѣ, подобно предыдущему,
найдемъ ур.
а» + В2 + 2алГ _ а» <9.
2В3 — 2ВУ — К« ’ ‘
отличающееся отъ (1) только перемѣною а; на — х'\ а потому корень его отличается
отъ корня ур-нія (1) только знакомъ; итакъ
, В а— В В/ В\
а/=Тх—= ѵ(1-т)'
К
Чтобы а/ было положительно, необходимо, чтобы было — < 1, пли а > В;
слѣд. а можно измѣнять отъ В до оо. При этомъ л/ будетъ измѣняться отъ О до
К
—, т. е. по мѣрѣ того какъ точка А удаляется отъ точки I)', точка паденія В'
приближается къ точкѣ В", отстоящей на 60° отъ точки С'.
Итакъ, ур. (1) всегда даетъ рѣшеніе задачп, когда шарикъ находится внѣ круга
а знакъ —,предшествующій корню, указываетъ ту область, которая заключаетъ точ-
ку паденія.
Построеніе аналогично предыдущему и указано на чертежѣ.
Восьмой примѣръ изслѣдованія.
889. Тѣло, состоящее изъ двухъ призмъ, сложенныхъ равными основаніями, по-
гружено въ ванну, состоящую также изъдвухъ жидкостей, находящихся одна поверхъ
другой. Опрашгівается, въ какомъ разстояніи надъ поверхностью раздѣла жгідкостей
находится площадь соприкосновенія призмъ? Плотности гь высоты призмъ равны: въ
верхней призмѣ О гі Н, въ нижней В' и Н'; плотность верхней жидкости равна (I,
нижней (Г.
Пусть требуемая высота будетъ х. По закону Архимеда: „вѣсъ плавающаго тѣла
равенъ вѣсу вытѣсненной жидкости". Зная это и припоминая, что Р =. ПБд (гдѣ Р —
вѣсъ тѣла, И — его объемъ, Б — плотность п д — вѣсъ кубическій единицы воды),
мы, обозначивъ буквою 8 площадь основанія каждой призмы, имѣемъ уравненіе
8(НБ 4-Н'Б') = 8(Н+«)й+8(Н' — й;)й'.........(1)
Н(Й — Б)4-Н'(Й'—Б')
откуда	х — —-------—----ѵ------- •
А' — Л
Изслѣдованіе. Величина х можетъ быть или положительною, или отрицатель-
ною: если она положительная, то можетъ быть рѣшеніемъ предложенной задачи, если
же отрицательна, то дастъ отвѣтъ на слѣдующій вопросъ: „въ какомъ разстояніи подъ
поверхностью.......“?
Съ другой стороны, никогда количество х, по абсолютной величинѣ, не можетъ
быть больше
Н', если х положительно,
п Н, если х отрицательно:
иначе тѣло не погружалось бы заразъ въ обѣ жидкости, и ур-ніе (1) не было бы уже
уравненіемъ задачи.
Наконецъ, по законамъ равновѣсія жидкостей, й' не можетъ быть меньше Л, такъ-
что относительно знаменателя можетъ быть только два предположенія: сГ — А > 0 и
(X — й = О. Итакъ:
— 397 —
I.	— сі > 0. При этомъ относительно числителя возможны 3 предположенія:
1)	Н(Л — П)4~ Н'(й'— I)') > О. Въ этомъ случаѣ, для того чтобы величина х
дѣйствительно служила рѣшеніемъ задачи, необходимо, чтобы она была слѣд.
нужно чтобы
Н(й — О) 4- Н'(<Г — В') < Н'(<Г — й),
т. е.	НІ) Н'ІУ > (Н 4- Н'Х.
2)	Н(<7—І))4~Н'(й' — В') <0. Въ этомъ случаѣ х отрицателенъ, и для того
чтобы онъ служилъ рѣшеніемъ задачи, необходимо чтобы абсолютная величина его
была < Н, т. е. чтобы
_ Н(Д-Р)4-Н'(сГ-Р') < н
й' — й	’
т. е. чтобы	НІ)4-НТ>' < (Н4-Н'Х.
3)	Н(Л — Р) 4~ Н'(й' — П7) — 0- Въ такомъ случаѣ х = 0, и площадь соприкосно-
венія призмъ совпадаетъ съ поверхностью раздѣла жидкостей.
тт ,,	,	. „	.	т .
11.	а — а — 0. Если при этомъ числитель не =0, то х— —: эта форма озна-
чаетъ дѣйствительную невозможность: тѣло не можетъ быть въ равновѣсіи внутри
жидкости.
Если же НР4-Н'Р' — й(ІІ4~Н/)> т0 х = ®та Ф°Рма означаетъ дѣйствитель-
ную неопредѣленность: такъ и должно быть, ибо въ данномъ случаѣ тѣло будетъ въ
равновѣсіи въ какомъ угодно положенія.
390. Задачи.
сі. Сумма цифръ двузначнаго числа равна 14, еслп же къ нему прибавить 27
то получится число обращенное. Найти это число?
2.	Найти трехзначное число по слѣдующимъ условіямъ: сумма его цифръ равна
18; цифра единицъ вдвое больше цифры сотенъ; если же прибавить къ нему 390, то
получится число обращенное.
?3. Въ двузначномъ числѣ цифра единицъ составляетъ цифры десятковъ, а
разность этихъ двухъ цифръ равна 4. Найти это число?
4.	Училище состоитъ изъ трехъ классовъ; въ первомъ классѣ 18 учениками
меньше чѣмъ во второмъ, а во второмъ 25 меньше чѣмъ въ третьемъ; если же утроить
число учениковъ перваго класса, то получится число учениковъ третьяго. Опредѣлить,
сколько было учениковъ въ каждомъ классѣ?
5.	Найти стороны треугольника на основаніи слѣдующихъ условій: разность
между наибольшею и наименьшею стороною равна 9 ф.; сумма большей и средней
стороны равна 24 ф.; еслп же сложить удвоенную большую съ утроенною среднею и
учетверенною меньшею, получится 84 ф.
6.	Нѣкто нанялъ рабочаго, которому платилъ за каждый лѣтній день 2 рублями
больше чѣмъ за зимній день; зимою рабочій находился у него 12 дней, а лѣтомъ 15,
и получилъ за зимнюю работу 8 р. награды, за лѣтнюю же у него былъ сдѣланъ
вычетъ 13 р., причемъ оказалось, что въ оба раза онъ получилъ по-ровну. Опредѣ-
лить плату за 1 рабочій день лѣтомъ?
7.	Въ ванну, содержащую 342 грамма воды при температурѣ 11° С, опущенъ
кусокъ мѣди вѣсомъ въ 120 гр. Окончательная температура смѣси равнялась 10°.
— 398 —
Опредѣлить зачальную температуру мѣди, зная, что удѣльная теплота Этого металла
равна 0,095.
8.	Требуется на протяженіи метра помѣстить рядомъ 40 монетъ, частію пяти-
франковыхъ, частію двуфранковыхъ, зная, что діаметръ первыхъ равенъ 0,037 метра,
а вторыхъ 0,027 метра.
9.	Метръ пеньковой веревки, при 8 квадр. мил.тим. поперечнаго разрѣза, вѣ-
ситъ 12 граммовъ; веревка намотана на валъ ворота, а къ свободному концу ея при-
вязанъ грузъ въ 50 килогр. На сколько метровъ нужно размотать веревку, чтобы она
оборвалась подъ дѣйствіемъ собственнаго вѣса и привязаннаго груза? Извѣстно, что
при разрѣзѣ въ 5 кв. мм. веревка разрывается отъ груза въ 5 кплогр.
10.	Вычислить основаніе п высоту прямоугольника, зная, что сумма ихъ равна
30 метрамъ, и что еслп увеличить основаніе на 5 метровъ, а высоту на 4 м., то пло-
щадь прямоугольника увеличится на 160 квадр. метровъ.
11.	За провозъ нѣкотораго товара желѣзная дорога беретъ 12 к. съ 1000 фун-
товъ, п съ версты; кромѣ того, за нагрузку взимается 1 р. 85 к. съ 1000 фунтовъ.
На какое разстояніе можно перевезти 50000 фунт. за 80 руб?
12.	Найти число, котораго половина, сложенная съ его третью, превышала бы
на 54 единицы упятеренный остатокъ?
13.	Найти число, которое, будучи увелнчино своими и 7-ю единицами, давало
бы треть суммы, происходящей отъ сложенія 21 единицы съ упятереннымъ искомымъ
числомъ?
інуі Одинъ работникъ дѣлаетъ въ день а аріи, сукна, другой, въ такое же время,
Ъ арш. Первый уже выткалъ с аршинъ, а второй т аріппнамн больше. Спрашивается
черезъ сколько дней отъ настоящаго времени количества аршинъ, вытканныхъ тѣмъ
и другимъ рабочимъ, сравняются?
15.	Желѣзная дорога взимаетъ за провозъ а коп. съ пуда и 1000 верстъ; сверхъ
того за нагрузку каждаго вагона вѣсомъ р пуд. платится Ъ руб. На какое разстояніе
можно провезти с тысячъ пуд. за т рублей?
16.	Найти число, котораго половина, сложенная съ третьею, превышала бы на
6 единицъ т разъ взятый избытокъ четверти эгого числа надъ его двѣнадцатою долею?
17.	Какое число х надо прибавить къ числителю п знаменателю дроби у , для
того чтобы она была равна дроби -^-?
18.	Имѣется т фунт. морской воды, въ которыхъ содержится р ф. соли; сколь-
ко фунтовъ чистой воды надо прибавить, чтобы т фунтовъ смѣси содержали только
р' фунтовъ соли?
]іѳ] Два бассейна наполняются водою, каждый изъ особаго крана. Первый кранъ
можетъ наиолнить бассейнъ, вмѣстимость котораго равна а, въ т часовъ; второй
кранъ наполняетъ бассейнъ вмѣстимостью Ь въ п часовъ. Послѣ того какъ первый
кранъ былъ открытъ уже въ теченіи р часовъ, открываютъ и второй. Черезъ сколько
часовъ оба бассейна будутъ содержать одинаковое количество воды?
20.	Въ двухъ мѣстахъ А и В, находящихся одно отъ другаго въ разстояніе п
верстъ, продаютъ каменный уголь по а и Ъ руб. за 100 пудовъ. Спрашивается, въ
какомъ пунктѣ разстоянія АВ уголь взятый изъ А и изъ В будетъ въ одинаковой
цѣвѣ, зная, что перевозка обходится въ с руб. со 100 пуд. на 100 верстъ?
- 399 -
бы
21.	Опредѣлить: 1) на прямой АВ; 2) на ея продолженій такую точку С, что-
АС___т
ВС~ п '
22.	Продолживъ непараллельныя стороны трапеціи, составимъ треугольникъ, вы-
соту котораго требуется опредѣлить. Даны: основанія трапеціи а п Ъ п высота Л.
23.	Провести параллельно основаніямъ трапеціи прямую, которой отрѣзокъ: 1) меж-
ду непараллельными боками; 2) между діагоналямм, имѣлъ бы данную величину 7.
Извѣстны: основанія а и Ъ трапеціи и одна изъ непараллельныхъ сторонъ с.
24.	Въ треугольникѣ АСВ проводятъ биссектрису внѣшняго угла ирп вершинѣ
С; пусть эта линія встрѣчаетъ продолженіе стороны АВ въ точкѣ Б. Вычислить АП.
Даны стороны треугольника: а, Ъ п с.
25.	Параллельно сторонѣ ВС треугольника АВС провести прямую, отрѣзокъ ко-
торой между сторонами АВ и АС имѣлъ бы данную длину I.
26.	Даны: кругъ О радіуса В,, прямая ху и на ней точка А. Вычислить радіусъ
х круга, касательнаго къ кругу О н къ прямой ху въ точкѣ А. Извѣстны: 1) раз-
стояніе ОВ = Л центра О отъ прямой ху, 2) разстояніе АВ ~ а точка А отъ осно-
ванія В перпендикуляра ОВ.
27.	Даны: прямая ху, кругъ О радіуса В. и точка А на немъ. Вычислить раді-
усъ х круга, касательнаго къ кругу О въ точкѣ А и къ прямой ху. Извѣстны: 1) раз-
стояніе ОВ — У центра О отъ прямой ху; 2) разстояніе ВБ = а точки В отъ точки
встрѣчи П прямой О А съ ху; кромѣ того, для краткости полагаемъ а2-}- с72=с2.
28.	Даны: кругъ О, прямая ху касательная къ этому кругу въ точкѣ С, и на
ху двѣ точки А н В, которыхъ разстояніе равно 2Ь; кромѣ того, извѣстно разстоя-
ніе средины П прямой АВ отъ точки С, равное Л. Вычислить радіусъ х круга, ка-
сательнаго къ О и проходящаго черезъ точки А и В.
29.	Катеты прямоугольнаго треугольника суть Ъ и с, гипотенуза а. Найти на ней
такую точку, чтобы сумма ея разстояній отъ катетовъ равнялась данной линіи т.
30.	Дана точка А, находящаяся въ разстояніи а отъ центра О окружности ра-
діуса г; точку А соединяютъ съ точкою В окружности. Зная длину Ъ прямой АВ,
опредѣлить длину хорды, отсѣкаемой окружностью на этой прямой.
31.	Данъ прямой уголъ ХОХ н точка Р внутри его; провести сѣкущую МРХ
такъ, чтобы -ф-	— і, гдѣ К — данная прямая.
32.----На гипотенузѣ ВС прямоугольнаго треугольника АВС найти такую точку М,
------2
чтобы АМ ВМ х СМ — К2, гдѣ К—данная прямая.
33.	Разсѣчь шаръ плоскостью такъ, чтобы разность поверхностей двухъ сегментовъ
равнялась бы данному кругу.
34.	На полуокружности АМВ найти такую точку, что если провести пзъ нея ка-
сательную МР до встрѣчи съ продолженіемъ діаметра АВ, провести радіусъ ОМ и
обернуть фигуру около АР, то чтобы объемы, описанные секторомъ АОМ и треуголь-
никомъ: 1) ОМВ, 2) ОМР имѣли данное отношеніе т.
35.	На какой высотѣ слѣдуетъ помѣстить глазъ надъ шаромъ, чтобы обозрѣть
поверхность данной величины?
36.	Въ какомъ разстояніи отъ центра нужно пересѣчь шаръ, чтобы боковая по-
верхность прямаго конуса, касающагося къ шару цо окружности сѣченія, находилась
- 400
Въ данномъ отношеніи т съ поверхностью того илп другаго сегмента, на которйе
раздѣляется шаръ сѣкущею плоскостью.
37.	Данъ кругъ и въ немъ діаметръ АВ. На какомъ разстояніи отъ центра нуж-
но провести хорду БЕ, перпендикулярную къ діаметру, чтобы боковая поверхность
конуса, произведеннаго обращеніемъ хорды АБ около діаметра, составляла поверх-
ности, описываемой малымъ сегментомъ АБ?
38.	На горизонтальной плоскости находятся: шаръ и конусъ, котораго основаніе
совпадаетъ съ этою плоскостью, а высота равна діаметру шара. Разсѣчь оба тѣла
горизонтальною плоскостью такъ, чтобы площади сѣченій находились въ данномъ
отношеніи.
39.	Даны: неограниченная прямая ху и двѣ точки А и В, расположенныя по
одну сторону ея. Требуется найти на прямой ху такую точку С, чтобы треугольникъ
АВС имѣлъ данную площадь Л4. Даны: длины перпендикуляровъ АР и В<3, опущен-
ныхъ изъ точекъ А и В на прямую ху, именно АР = а, В() = Ъ, и разстояніе РО=Л
между основаніями этихъ перпендикуляровъ.
40.	Два бассейна, изъ которыхъ одинъ содержитъ уже а литровъ, а другой Ъ
литровъ воды, получаютъ соотвѣтственно: первый с литровъ, а второй Л литровъ въ
часъ. Спрашивается, черезъ сколько часовъ первый бассейнъ будетъ содержать вдвое
болѣе жидкости чѣмъ второй?
41.	Два курьера ѣдутъ равномѣрно по прямой со скоростями ѵ и г/; первый
проѣзжаетъ черезъ точку А въ Т часовъ, второй черезъ точку В въ Т' часовъ (счи-
тая отъ общаго начала времени); спрашивается, въ какое время произойдетъ ихъ встрѣ-
ча, если извѣстно, кромѣ того, что разстояніе АВ = гі?
Разсмотрѣть два случая; когда скорости ѵ п ѵ' имѣютъ одинаковый знакъ, и ког-
да знаки ихъ противоположны.
ІГЛГАВ-А. XXVI.
?
Изслѣдованіе уравненій первой степени с^ двумя неизвѣст-
ными.
Изслѣдованіе двухъ уравненій съ 2 неизвѣстными въ общемъ видѣ.—Примѣры изслѣ-
дованія буквенныхъ вопросовъ.—Задачи.
391.	Рѣшая два уравненія первой етепенп съ двумя неизвѣстнымп
ах-\~Ъу~с 1
а'х -І~Ъ'у^=с'і
мы нашли формулы:
сѴ — Ъ<?	а<! — со!
Х аѴ — Ъа! и	аЬ' —- Ъа’ ‘ ‘
предполагая, что коэффиціенты а и а', или Ъ п V отличны отъ нуля, и что принтомъ:
аЬ' — Ъа! отлично отъ нуля. Цѣль изслѣдованія заключается въ томъ, чтобы показать
- 401 -
во всѣхъ ли случаяхъ эти формулы дадутъ рѣшенія ур-ній, или же, напротивъ, есть
такіе случаи, когда они не примѣнимы.
Мы должны разсмотрѣть два случая, смотря по тому, будетъ-ли знаменатель въ
формулахъ х и у. 1) отлпченъ отъ нуля, или: 2) равенъ нулю, причемъ или одинъ
изъ числителей, пли оба — равны нулю.
Это раздѣленіе основывается на слѣдующихъ свойствахъ биномовъ аЪ'— Ъа',
сЪ' — Ъс' и ас' — са'.
Первое свойство. Если коэффиціенты при одномъ и томъ же неизвѣстномъ, или
свободные члены с и с' оба не нули, и если два изъ биномовъ аЪ' — Ъа', сЪ' — ЪС и
ас — са!, равны нулю, то и третій равенъ нулю.
Пусть сѴ — Ъс' — О и ас' — са' = 0; отсюда СЪ' = ЪС п ас1 — са': перемноживъ
эти равенства, найдемъ аЪ'сс'=а'Ъсс', пли (аЪ' — а'Ъ)сс' — 0; но сс' не равно нулю,
слѣд. должно быть аЪ' — а'Ъ — О. Если же с = 0, въ такомъ случаѣ, по условію,
с' % 0; а потому изъ равенствъ сЪ’— ЪС и аС — са' имѣемъ: а = 0, 6 — 0, и слѣд.
аЪ' — Ъа' — 0.
Второе свойство. Условія необходимыя и достаточныя для того, чтобы два изъ
этихъ биномовъ были нулями, а третій былъ бы отличенъ отъ нуля, состоятъ въ томъ,
чтобы буквенныя количества общія этпмъ двумъ биномамъ, были нулями.
Очевидно, что этихъ условій достаточно; затѣмъ, если имѣемъ сЪ’ — Ъс’ = О,
ас' — са' — 0, п аЪ’ — Ъа’^О, то равенства даютъ: сС(аЪ' — Ъа') — 0, а слѣд.сс' = 0.
Пусть с~=0, тогда ЪС = 0 и ас'= 0, а потому и с' = 0: ибо положивъ с'^ 0, 6 = 0
п а — 0, нашли бы аб' — 6а' — 0, что противно условію: аб' — 6а'	0.
392.	I. Общій знаменатель аЬ'—Ьа' отличенъ отъ нуля.
Въ этомъ случаѣ система ур-ній имѣетъ конечное и опредѣленное рѣшеніе, пред-
ставляемое формулами (1).
Въ самомъ дѣлѣ, эти рѣшенія составляютъ систему тождественную съ данной,
потому-что дѣлитель аб' — 6а' не есть ноль.
Въ случаѣ, когда числитель ас' — са' равенъ нулю, что возможно при одномъ изъ
трехъ условій: если = или если а = 0 и с = 0; или с = 0 и </ = 0 (предпо-
с
ложеніе а—0 и а' —0 повело-бы къ: аб' — Ъа' = 0, что противно условію), замѣчаемъ,
что у обращается въ ноль; а ирп третьей группѣ условій, именно при с=0 и с'=0,
и х дѣлается нулемъ.
Въ силу втораго свойства, условія необходимыя и достаточныя для тоГо. чтобы
оба неизвѣстныя были нулями: « = 0 и у~0, суть с — 0 и с'=0.
Итакъ, когда общій знаменатель аб' — Ъа' отличенъ отъ нуля, система имѣетъ
конечно опредѣленное рѣшеніе; при этомъ или оба неизвѣстныя будутъ положительны,
или оба отрицательны, или одно положительно, а другое отрицательно; наконецъ, или
одно, или оба могутъ быть нулями. Послѣднее имѣетъ мѣсто только въ томъ исклю-
чительномъ случаѣ, когда свободные члеиы-оба нули.
Положительныя рѣшенія въ большинствѣ случаевъ даютъ прямой отвѣтъ на воп-
росъ; отрицательныя же или служатъ признакомъ невозможности задачи, или непра-
вильной постановки ея. Истолкованіе отрицательныхъ рѣшеній основано иа теоремѣ,
аиалогпчной той, которая была доказана для ур-нія съ однимъ неизвѣстнымъ.
393.	Теорема. Двѣ системы двухъ ур-ній съ двумя неизвѣстными, отличаю-
щіяся только знакомъ при одномъ или при обоихъ неизвѣстныхъ, имѣютъ рѣшенія:
равныя по абсолютной величинѣ, но разнящіяся знаками — для тѣхъ неизвѣстныхъ,
знаки при которыхъ въ обѣихъ системахъ различны; и рѣшенія, одинаковыя по ве-
26
— 402 —
личинѣ и по знаку — для неизвѣстныхъ, предшествуемыхъ общимъ знакомъ въ обѣихъ
системахъ.
Въ самомъ дѣлѣ, сравнимъ системы:
(1)	„	“47 = 4 (2)
а х Ъ'у= с )	4 7	а х — Ъ'у — сі ѵ ’
разнящіяся только знакомъ при у, докажемъ, что эти системы имѣютъ одинаковое
рѣшеніе для х, и рѣшенія, равныя по абсолютной величинѣ, но противоположныя по
знаку, для у.
Въ самомъ дѣлѣ, положивъ —у — 8, система (2) обратится въ
ах + Ъз: = с'>
а'х-1~Ъ'^ = с'і
Замѣчая, что система (2^ ничѣмъ не отличается отъ (1), заключаемъ, что рѣ-
шенія системы (1): а/ и у' удовлетворяютъ п (2'); такъ что система (2') имѣетъ рѣ-
шенія: х — а? и ^ — у'-, или, такъ кткъ 8 =— у, то (2'), а потому и (2) имѣетъ
рѣшенія:
ж = я/,	у — — у'.
Примѣръ. Куплено нѣсколько аршинъ матеріи по опредѣленной цѣнѣ. Если
бы было куплено 3 аршинами больше, а за аршинъ было заплачено 1 руб. меньше,
то на всю покупку издержали-бы 11 рублями меньше. Если же было бы куплено 8
аршинами меньше, а за аршинъ платили бы 2 руб. дороже, то издержали бы 12
руб. больше. Сколько аршинъ куплено и сколько платили за аршинъ?
Пусть было куплено х арш. по у руб. за аршинъ. Получаемъ ур-нія:
(ж-|-3)О— 1) = ху— 11
О — 8)0 4- 2) = ху 4-12;
откуда	х — —10; у = — 6.
Слѣд. задача невозможна въ томъ смыслѣ, какъ она дана.
Подставивъ въ ур-нія: — х вмѣсто х, и — у вмѣсто у, найдемъ:
(х — 3)0 4-= ХУ —11
(х 8)0 — 2) = ху 4-12,
которымъ, на осн. доказанной теоремы, удовлетворяютъ рѣшенія: х= 10, у = 6.
Они служатъ прямыми отвѣтами на слѣдующую задачу:
„Куплено извѣстное число аршпнъ матеріи по опредѣленной цѣвѣ. Еслп бы было
куплено тремя аршинами лгеимае, а за аршинъ было заплочено 1 рублемъ дороже, то
на всю покупку издержали бы 11 руб. меньше. Если же было-бы куплено 8-ю арши-
нами больше, а за аршинъ платили бы 2 рублями меньше, то издержали бы 12 рубля-
ми больше. Сколько аршинъ куплено и сколько платили за аршппъ?“
394. II. Общій знаменатель. аЬ' —Ьа' = О, а одинъ изъ числителей, напр.
сЪ'- Ьс' 0.
Равенство аЪ' — Ъа' — О можетъ имѣть мѣсто при слѣдующихъ обстоятельствахъ:
]) 4 =	2) а = 0, 6 = 0;	3) а = 0, а'=0.
' а' Ъ1
Предположеніе 6 = 0, Ъ' — О, обращающее также въ полъ биномъ аѴ — Ъа1, слѣ-
дуетъ устранить, потому что при немъ обращается въ ноль п числитель сЪ’—Ъс', по
условію, неравный нулю.
- 403 -
Первый случай: — Оба неизвѣстныя представляются въ этомъ случаѣ подъ
(Ь о
т
видомъ — или
что безконечныя рѣшенія представляютъ единственно возможное рѣ-
въ разсматриваемомъ случаѣ.
Докажемъ,
шеніе системы
Такимъ образомъ нужно доказать, что въ данномъ случаѣ уравненія не допуска-
ютъ конечныхъ рѣшеній; а затѣмъ, что безконечныя рѣшенія дѣйствительно удовле-
творяютъ системѣ.
„	а Ъ ,	а'Ъ
Изъ условія	имѣемъ: а——; подставивъ въ первое ур., находимъ:
Й> ѵ	О
а'Ь
у х	Ъу = с, или
Но второе ур. есть
а'»4-Ь'«/ = -у
а’х Ъу' = с';
двухъ ур-ній, которыхъ первыя части
сІУ \
но условію же сЪ'— Ъс' ^0, откуда — ^с7.
Отсюда видно, что система состоитъ изъ
одинаковы, между тѣмъ какъ вторыя неравны; очевидно, слѣдовательно, что всякія
конечныя значенія х и у, обращающія въ тождество одно пзъ уравненій, не могутъ
обратить иъ тождество и другое. Такія ур-нія, которыя не имѣютъ общихъ конеч-
ныхъ рѣшеній называютъ несовмѣстными (противорѣчащимп одно другому).
Покажемъ теперь, что безконечныя значенія х и у удовлетворяютъ системѣ, и
для этого разсмотримъ два случая, смотря потому, пмѣютъ-ли коэффиціенты а и Ъ
одинаковые знаки, или противоположные.
Пусть а и Ъ имѣютъ одинаковые знаки; пусть, прпэтомъ, сЪ'—6с7>0, и аЪ'—Ъа'
стремится къ нулю, уменьшаясь; въ такомъ случаѣ
Умноживъ обѣ части неравенства сЪ' > Ъс' на —— количество положительное,
аЬ'с , аЪ' ,	,	
получимъ > ас'; но -у = а , слѣд. а'с > ас7, или ас — а с < 0; поэтому
У- — со.
Замѣтивъ, что у, .видимъ, что а7 п V также имѣютъ одинаковые знаки;
слѣд., подставивъ въ ур-нія вмѣсто х и у ихъ величины найдемъ
а.оо— Ь.со= с
а7, со— Ь7.со = с7,
е.	оо —оо = с и со-—оо = с7,
что возможно, потому-что разность двухъ безконечностей можетъ быть какимъ угодно
количествомъ.
Если а и Ъ имѣютъ противоположные знаки, напр. а > 0 и Ъ < 0, то оставивъ
остальныя предположенія безъ измѣненія, найдемъ:
«=4-оо.
Умноживъ обѣ части неравенства сЪ'^>Ъс' на —количество положительное,
26’
- 404 —
получимъ:----->—ас7; но -=- — а', слѣд. —а'с~с>— ас!, или ас7 — а7с>0; а
о	Ъ
потому и
«/ = + со-
Замѣтивъ, что а7 и V имѣютъ противоположные знаки, подставивъ вмѣсто х и
у ихъ значенія, получимъ:
а. со — (— Ь).со = с,
а.'со — (—Ь').оо = с7,
или со — со = е и со — оо=с7, — тождества.
Второй случай. а = 0, Ъ = 0. И въ этомъ случаѣ: х~со и у —со; значенія
эти приличествуютъ уравненіямъ. Въ самомъ дѣлѣ, подставляя, имѣемъ;
О.оо4~0-оо = с
а', со -|-Ь'.ОС —(!.
Но произведеніе 0 . оо есть символъ неопредѣленности, сл. первое равенство
можемъ разсматривать какъ тождество. Что касается втораго, первая часть его есть
разность двухъ безконечностей; ибо
сѴ	—са'
а
откуда
а'х + Ъ'у = а'Ъ'с — і),
и равенство а'Ь'с (со — оо) = с, есть тождество.
Съ другой стороны, очевидно, что всякая иная система
жетъ соотвѣтствовать ур-мъ:
О.х-]-О.у = с и а'х-\-Ъ'у — <!.
Третій случай. а = 0, а! = 0. х и у принимаютъ видъ:
сЬ7—Ьс7	О
О—= оо; 2'=0"
значеній х и у не мо-
х —
Итакъ, х безконеченъ, а у неопредѣлененъ. И въ самомъ дѣлѣ, очевидно, что ни-
какая система конечныхъ значеній х и у не можемъ удовлетворить уравненіямъ.
0.x Ъу — с, О.х-]~Ъ'у = с',
,	с	(/
ибо по УСЛОВІЮ -ѵ-	-Г, •
О о’
Съ другой стороны, если вмѣсто х подставимъ ОС, то какъ О.оо изображаетъ
количество неопредѣленное, усматриваемъ, что существуетъ безчисленное множество
значеній у, удовлетворяющихъ заразъ предыдущимъ уравненіямъ, въ которыхъ 0.x
замѣненъ количествами а и а7, лишь-бы произвольныя количества “ и а7 удовлетво-
С — а С7 — а'
ряли соотношенію: —=—=—— -
о о
Примѣчаніе. I. Если кромѣ а — 0 и а'~0 было-бы и Ъ ~ 0, у имѣло бы опре-
дѣленную величину, -р, ибо тогда слѣдовало бы положить «~с и а =0.
Примѣчаніе П. Въ разсмотрѣнныхъ трехъ случаяхъ, если уравненія’Твытекаютъ
изъ условій задачи, нужно еще разсмотрѣть, можетъ-ли быть истолковано чисто алге-
браическое рѣшеніе уравненій; если да—это будетъ единственно возможное рѣшеніе
задачи; если нѣтъ—задача невозможна’, невозможность эта во всякомъ случаѣ, будетъ
з&висить отъ несовмѣстности данныхъ между собою и съ неизвѣстными. Потому-то и
— 405 —
говорятъ, какъ и по отношенію къ ур-мъ съ 1 неизвѣстнымъ, что символъ ОО есть
признакъ невозможности задачи.
395.	III. Знаменатель и оба числители — нули.
аЪ' — а'Ъ = 0, сЪ' — с'Ъ = 0,	ас7 — а'с = 0.
Эти равенства могутъ имѣть мѣсто при слѣдующихъ обстоятельствахъ:
1) -^- = 4; = -^: 2) а = 0, Ь=0, с = 0; 3) а — 0, а' —0, сЪ'— Ъс' — О.
' а! V с! '
Первый случай.
а   Ъ  с
о!	V	с!"
Значенія х и у берутъ видъ
О
х~ О’
О
у= о"
Неопредѣленность эта—дѣйствительная. Въ самомъ дѣлѣ, назвавъ общую вели-
,	7	« Ь с 7	,
чину равныхъ отношеніи буквою к, т. е. положивъ	= к, имѣемъ от-
сюда: а — а'к, Ъ — Ъ!к, с — (!к; подставивъ въ первое ур., получимъ
к (а'х Ъ'у) = кс' или а'х Ъ'у = с'.
Такимъ образомъ, первое ур-ніе ничѣмъ не отличается отъ втораго, такъ-что въ
сущности два неизвѣстныя связаны однимъ уравненіемъ, которое принимаетъ безчис-
ленное множество рѣшеній: неопредѣленность дѣйствительная. Однако же, значенія х
и у не вполнѣ произвольны, такъ какъ, въ силу того, что они связаны уравненіемъ
ах-\-Ъу—с, произвольному значенію одного неизвѣстнаго соотвѣтствуетъ вполнѣ
опредѣленное значеніе другаго.
Примѣчаніе. Если бы было с —0, а потому и с' = 0, х и у были бы неопредѣ-
ленны, какъ и прежде, съ тѣмъ отличіемъ, что отношеніе ихъ — сохраняло-бы по-
Зі
а	, ,
стоянную величину, равную-что прямо видно изъ уравненія ах-\-Ъу=О, къ
которому въ этомъ случаѣ приводятся оба ур-нія.
Второй случай, а — О, Ъ — 0, с — 0. Въ этомъ случаѣ
О	О
ж=о’ у=о-
Но первое ур. обращается въ тождество 0 = 0, слѣд. система сводится къ одному
ур-нію съ двумя неизвѣстными: неопредѣленность дѣйствительная.
Третій случай. а = 0, а' = 0, сЪ' Ъс' — О. Оба неизвѣстныя опять принима-
,	О
ютъ неопредѣленный видъ —, а система
О.ж —Ъу — с, О.х-\-Ъ'у — с!,
показываетъ, что ж въ самомъ дѣлѣ неопредѣлененъ, во у—~~^п т. е. имѣетъ
вполнѣ опредѣленную величину. Но это противорѣчіе между результатами, получаемыми
изъ формулъ для неизвѣстныхъ, и результатами, непосредственно выводимыми изъ ура-
вненій, только кажущееся; оно зависитъ отъ того, что дробь, дающая значеніе у:
__ас! — са'
У ~ аЪ'— Ъа'’
въ данномъ случаѣ содержитъ въ числителѣ и знаменателѣ общаго множителя, обра-
— 406 —
щающагося въ ноль при данныхъ предположеніяхъ. Въ самомъ дѣлѣ, вынося за скоб-
ки: въ числителѣ с, а въ знаменателѣ Ъ, имѣемъ:
— а'
б/ ъ?
но пзъ условія сѴ— с'Ъ = О имѣемъ — = —: слѣд.
с Ъ
с
Ь
У —
Если бы сѴ—Ъс' = О имѣли вслѣдствіе предположеній Ь = 0, Ъ' =:0, то ва-
шли-бы: ж=у, у —со’, эти рѣшенія отвѣчали бы ур-мъ, ибо, какъ 0.00 есть сим-
волъ неопредѣленности, то равенства
0 4-0.оо=:с и 0 4-О.со —с'
суть тождества.
396.	Примѣчаніе. Раскрытіе неопредѣленности дроби, принимающей видъ
при частныхъ значеніяхъ нѣсколькихъ буквъ, въ нее входящихъ, можно дѣлать еще
А
слѣдующимъ общимъ пріемомъ. Если дробь —, въ составъ которой входятъ коли-
В
 О
чества х, у, в, . . . . принимаетъ видъ — при х = а, у — Ъ, в — с,
то,
положивъ
х ‘ а 7г, у — Ъ -\-р!і, в = с д7г, • • • •
подставляютъ эти величины въ числит. и знам., п сокративъ дробь, полагаютъ 1і — 0:
д
тогда и пелучится истинное значеніе дроби — при х — а, у — Ъ, в — с, ... Оно
В
можетъ быть или опредѣленно или неопредѣленно, см. потому, будетъ-ли независимо
отъ р, у, . . . . или же, послѣ всевозможныхъ упрощеній, будетъ еще содержать
одно или нѣсколько изъ этихъ количествъ, располагая которыми произвольно, можно
дать дроби какую угодно величину.
Такъ, мы видимъ, что при а = 0, а' — 0 и сѴ — Ъс?—О, дроби
____ас' — са'
V аЪ' — Ъа'
сѴ — Ъс1
Х=~Г,----гГТ п
аЪ — Ъа
О тт
принимаютъ видъ —. Полагаемъ
а — к, а'—ріі,
с' = ^4-У2Л;
находимъ
ЪЪ'у
----Т7’
Ър — Ъ'
сл. х дѣйствительно неопредѣленъ, потому-что выбирая извѣстнымъ образомъ р и у,
можно ему давать произвольныя значенія.

— 407 —
Для у находимъ
Л Ъ'діъ )—сріг	Л
ѵ о	/	; совративъ на п, а потомъ положивъ п — 0:
кЪ' — Ърк
с(Ь' — Ър)с	,	,
—— ——---------величину вполнѣ опредѣленную.
397.	Сдѣланное изслѣдованіе можно резюмировать такъ: система двухъ уравне-
ній первой степени съ двумя неизвѣстными имѣетъ одно рѣшеніе конечное или без-
конечное, если изъ трехъ биномовъ
аЬ' — Ъа',	сЪ' — Ъс!,	ас' — со/
обращается въ ноль не болѣе одного; рѣшеніе неопредѣленно, если два изъ нихъ дѣла-
ются нулями, за исключеніемъ случая, когда: с=0, с' = 0.
Приводимъ нѣсколько задачъ съ полнымъ изслѣдованіемъ.
Первый примѣръ изслѣдованія.
398.	Два курьера ѣдутъ равномѣрно и въ одну сторону, отъ х къ у, по пря-
мой ху, со скоростями ѵ и ѵ7; въ данный моментъ одинъ находится въ А, другой въ
А.', въ разстояніяхъ 0А~<1 и ОА'=:(Г отъ точки 0. Спрашгівается: въ какомъ
разстояніи отъ точки 0 и черезъ сколько часовъ отъ даннаго момента произойдетъ
встрѣча.
V /	.
V	О Д Л А'	Д
г _/<, н---------------#-------*----1— --------і-------------1—	_
Черт. 19.
Пусть встрѣча произойдетъ въ будущемъ, т. е вправо отъ А' на разстояніи отъ
О, равномъ ОВ — х, н черезъ і часовъ отъ даннаго момента. Уравненія задачи будутъ
слѣдующія: ОВ. =: ОААВ,, ОВ = О А'-}- А'В пли
х = аД-ѵі г
х^Д'Д-ѵ'іі 1 2
Если допустить, что встрѣча имѣетъ мѣсто между О и А, въ нѣкоторой точкѣ
В' т. е. вправо отъ О, но до того момента, когда курьеры проѣзжаютъ—одинъ черезъ
А, другой черезъ А', то уравненія, прп сохраненіи прежнихъ обозначеній, будутъ:
ОВ' = ОА —В'А, ОВ'— ОА'— • В'А', или
х = 3 — ѵі |
Х = СІ'— ѵ'і }	' '
Такъ какъ эта система отличается отъ первой знакомъ при і, то заключаемъ об-
ратно, что если система (1) дастъ положительное рѣшеніе для х и отрицательное для
і, это служитъ признакомъ того, что встрѣча имѣла мѣсто вправо отъ О, по раньше
даннаго момента, и что время, протекшее отъ встрѣчи до этого момента равно абсо-
лютной величинѣ отрицательнаго рѣшенія.
Наконецъ положимъ, что встрѣча имѣла мѣсто въ точкѣ В", влѣво отъ точки
О: уравненія, при сохраненіи прежнихъ обозначеній, будутъ: В"О = В"А— ОА,
В"0 — В"А' — ОА', или х = ѵі — й, х = ѵ'і — сР, или
— х — 3 — ѵі
—х — д!—ъЧ
- 408 —
Эта система выводится изъ (1) перемѣною х и і па — ж и — і. Слѣдовательно,
обратно, если система (1) даетъ отрицательныя значенія для х и і, это будетъ при-
знакомъ того, что встрѣча имѣла мѣсто влѣво отъ О, въ разстояніи, равномъ абсо-
лютной величинѣ х, н что время протекшее отъ момента встрѣчи равно абсолютной
величинѣ і.
399. Послѣ этого предварительнаго изслѣдованія рѣшаемъ систему (1):
ѵИ' — аѵ
X — -----
V— V
а’—а
ѵ— ѵ'
Дѣлаемъ всевозможныя предположенія относительно общаго знаменателя; эти
предположенія суть:
, ѵ = «/,	ѵ <х ѵ’.
Приэтомъ, такъ какъ числители могутъ получать какія угодно величины, разло-
жимъ каждый изъ предыдущихъ случаевъ на три другіе случая:
й'>й,	а'—&, й' <й.
Отсюда уже вытекаютъ опредѣленныя предположенія относптельно другаго числи-
теля: ей'—ѵ'сі.
Въ самомъ дѣлѣ, если: при возьмемъ й'> й, то отсюда необходимо вы-
текаетъ, что ей'>е'й, но не можетъ быть: пи ей'~ е'й, ни ей'О'Ь. Но если при
ѵ >г/ взять й' < й, то другой числитель даетъ три возможныя предположенія
ѵд! > е'й, ей'=:е'й,	ей'<;е'й.
Поступая такимъ образомъ, получаемъ слѣдующую таблицу всевозможныхъ комби-
націй, въ числѣ тринадцати:
й'> й
й'<й
аг< й
ей' > йг/
V > е'<
ей'>• йг/
ей' > йг>'
ей' — йе'
ей' < йг/
ей' > йг/
ей' = йе'
ей' < йе'
ей' > йе'
. ей' = йг/
ей' йг-'
гй' = ііѵ'
ей' < йг/
Изслѣдуемъ поочередно каждый изъ этихъ случаевъ.
Первый случай. е > г/, а' > а, ѵа' > йг/.
Формулы для неизвѣстныхъ даютъ конечныя, опредѣленныя и положительныя
значенія для х и і, означающія, что встрѣча будетъ имѣть мѣсто въ будущемъ (счи-
тая отъ даннаго момента) и, слѣд., вправо отъ точки О и отъ А'.
Этотъ результатъ можно было предвидѣть: въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ е > е',
т. е. догоняющій курьеръ ѣдетъ скорѣе передняго, слѣд. долженъ необходимо встрѣ-
титься съ ннмъ вправо отъ А'.
- 409 —
Второй случай.—ѵ >• у', &' — й, ѵ<1' > Лу'.
Формулы даютъ
х — й; і — о.
Это значитъ, что встрѣча имѣетъ мѣсто въ данный моментъ, что совершенно
очевидно. Въ самомъ дѣлѣ, при Л = Л' оба курьера въ разсматриваемый моментъ
находятся въ одной точкѣ (напр. А), а какъ «>г/, т. е. скорости ихъ неравны, то
они только въ этотъ моментъ и будутъ вмѣстѣ, а затѣмъ одинъ будетъ постоянно впе-
реди другаго.
Третій случай.—у > г/,	Л, у&'У>сіѵ'.
Формулы даютъ: х > о, і <^о.
Положительное значеніе х показываетъ, что встрѣча имѣетъ мѣсто вправо отъ 0;
отрицательное і означаетъ, что она произошла раньше того момента, когда одинъ
курьеръ проѣзжаетъ черезъ А, другой черезъ А', въ нѣкоторой точкѣ В' (подставивъ
въ систему (1) вмѣсто і...—і, находимъ систему (2), относящуюся къ точкѣ К').
Это можно видѣть изъ условій, при помощи чертежа:
О . .К- - - ---------Л' • - 
" "сѴ""'
Черт. 20.
Такъ какъ й'< Л, то курьеръ, ѣдущій со скоростью и', находится въ данный мо-
ментъ ближе другаго къ точкѣ 0; у > и', сл. курьеръ, ѣдущій со скоростью у, дол-
женъ былъ встрѣтить другаго раньше даннаго момента, т. е. влѣво отъ точки А';
затѣмъ, неравенство і/Л даетъ
г/ > ѵ ’
а это значитъ, что курьеръ (г/) ѣдетъ Л' верстъ большее время, чѣмъ курьеръ (да)
проѣзжаетъ Л вёрстъ; значитъ послѣдній проѣхалъ черезъ точку О послѣ перваго, и
какъ въ данный моментъ онъ обогналъ перваго, то и долженъ былъ встрѣтить его
вправо отъ 'точки О.
Четвертый случай. — ѵ > г/, й’ < й, ий' — сіѵ'.
Формулы даютъ: ж = о, і<Со.
Эти рѣшенія означаютъ, что встрѣча имѣла мѣсто^иг'точкѣ О раньше разсмат-
риваемаго момента. И въ самомъ дѣлѣ, равепствд^йС^ М даетъ
Л'__
чУ у’
т. е. времена, употребленныя на прохожденіе разстояній ОА' и ОА, равны (предыд.
чсрт.), сл. оба курьера прошли чрезъ точку О въ одинъ н тотъ же моментъ.
Пятый случай.-—ѵ > чУ,	<2 й, уд! <; йг/.
Формулы даютъ: х < о, і о.
Рѣшенія эти означаютъ, что встрѣча имѣла мѣсто раньше даннаго момента и
влѣво отъ точки 0 (см. систему (3) уравненій).
Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ курьеръ, находящійся впереди, въ А,(й > й') дви-
гается съ большею скоростью («>«'),—то встрѣча уже имѣла мѣсто. Затѣмъ, изъ
— 410 —
д! й
неравенства ѵд! < сіѵ' имѣемъ: — < — , а это значитъ, что курьеръ, ѣдущій ско-
рѣе, пропилъ черезъ точку О раньше другаго, слѣд. встрѣча его съ другимъ уже бы-
ла влѣво отъ точки О.
Шестой случай.—ѵ~ѵ', сі'^й, ѵсУ^сІѵ'.
Формулы даютъ: х = со, 4 = со.
Эти рѣшенія служатъ признакомъ дѣйствительной невозможности. Въ самомъ дѣ-
лѣ, въ данный моментъ курьеры находятся въ различныхъ точкахъ, скорости же ихъ
движенія равны, слѣд. разстояніе между ними всегда будетъ одинаково, и потому
они не могутъ встрѣтиться.
Седьмой случай.—ѵ =	Т — сі, ѵсі' — і/сі.
,	0	0
Формулы даютъ: х — і = —:
неопредѣленность дѣйствительная; вь чемъ нетрудно убѣдиться и изъ самыхъ условій.
Въ самомъ дѣлѣ, въ данный моментъ курьеры находятся вмѣстѣ («! — «!'), ѣдутъ они
съ одинаковою скоростью (« = «/), слѣд. постоянно они будутъ находиться вмѣстѣ.
Восьмой случай.—ѵ = іі, сТ < й, ѵЛ' < сіі/.
Формулы даютъ: х — оо, і = со, что объясняется такимъ же точно образомъ,
какъ и въ случаѣ шестомъ.
Девятый случай.—<Т^>сІ, ѵд/ > А о'.
Формулы даютъ: ж<о, 1<^о.
Рѣшенія эти означаютъ, что встрѣча уже имѣла мѣсто влѣво отъ 0 (Черт. 21 ).
КО	Л
1----!-----
Черт. 21.
Въ этомъ убѣждаемся разсужденіями, аналогичными приведеннымъ въ пятомъ
случаѣ.
Десятый случай.—ѵсІ' — сМ.
Формулы даютъ: ж = о, /<о.
Это значитъ, что встрѣча имѣла мѣсто въ точкѣ 0; въ чемъ убѣждаемся такимъ
же образомъ, какъ и въ четвертомъ случаѣ.
Одиннадцатый случай.—ѵ <^ѵ', (1' ^ (1, тд,' <	.
Формулы даютъ: х > о, 1<^о.
Встрѣча имѣла мѣсто вправо отъ точки О, но раньше настоящаго момента. Объ-
яспеніе-тоже самое, что для третьяго случая.
Двѣнадцатый случай.—ѵ < й' — сі, ѵТ <С сіѵ'.
Формулы даютъ: х — А = I = о.
Встрѣча имѣла имѣетъ мѣсто въ настоящій моментъ. Какъ и во второмъ случаѣ.
Тринадцатый случай.—ѵ С с’, сі' < сі, пі' < сіѵ'.
Формулы даютъ величины конечныя, опредѣленныя и положительныя; слѣд.
встрѣча имѣетъ мѣсто въ будущемъ. Какъ въ первомъ случаѣ.
- 411 -
400. Примѣчаніе, Уравненія
х = й I /А)
х = Л'^-^і I ( >
были выведены въ томъ предположеніи, что оба курьера ѣдутъ въ одну сторону, имен-
но въ направленіи отъ х къ у. Легко видѣть, что эти же уравненія могутъ служить
и для другихъ задачъ, аналогичныхъ первой, если только условиться подъ ѵ и «/ ра-
зумѣть отрицательныя количества, если направленіе движенія будетъ отъ у къ х, а
подъ йий' отрицательныя числа, если линіи ОА и ОА' будутъ находиться влѣво отъ 0.
Такъ, напр., еслп курьеры ѣдутъ по направленію отъ у къ х', и прп составле-
Черт. 22.
ніи уравненій мы допустимъ, что точка встрѣчи К лежитъ вправо отъ О, то уравне-
нія будутъ
т
х — а — ѵі |
Очевидно, что туже задачу можно выразить и уравненіями (А), если только подъ
буквами ѵ и ѵ1 въ системѣ (А) разумѣть отрицательныя числа.
Если-бы курьеръ, выѣзжающій изъ А, ѣхалъ въ направленіи ху, а выѣзжающій
изъ А'—въ направленіи ух, мы имѣли бы систему
х — а + ѵі\
х = а'—т/і^'
Вмѣсто нея мы могли бы взять также систему (А), разумѣя въ ней подъ «/ —
количество отрицательное.
Точки А и А', въ которыхъ находились курьеры въ настоящій моментъ, помѣща-
лись вправо отъ точки 0; задача будетъ еще общѣе, если дать этимъ точкамъ какія
угодно положенія на линіи ху, считая й и й' положительными, когда эти точки ра-
сположены вправо отъ О, и отрицательными, если точки А и А' находятся влѣво отъ О.
Такимъ образомъ, разумѣя подъ йий' абсолютныя количества, для чертежа (23)
найдемъ уравненія
Л	О Л’ . К
V———	1.	, ,	,	|__	*	I	- ___ .1.1 II 1
Черт. 23.
х = Л' + М / 1 ’
А для чертежа (24) уравненія
А' Л	О	К
--4-----(---------------ч----------------<— ----
Черт. 24.
х— й -}- ѵі\
х= —а'-І-ѵ'і I
— 412 —
Очевидно, что система (А) можетъ замѣнить собою каждую изъ системъ (В) и
(Е), если только въ первомъ случаѣ будемъ разумѣть въ системѣ (А) подъ Л число
отрицательное, а во второмъ-условимся подъ сі и д! разумѣть отрицательныя числа.
Итакъ, уравненія
имѣющія рѣшеніями:
х — 3/ —|— сі
х = й' ъЧ,
ѵсі' —’М	, й' — й
V — V '	V—&
служатъ выраженіемъ слѣдующей совершенно общей задачи:
Два курьера ѣдутъ равномѣрно по прямой со скоростями, равными, по величинѣ
и по знаку, количествамъ ѵ и въ настоящій моментъ они находятся отъ точки О,
лежащей на этой прямой, въ разстояніяхъ, изображаемыхъ, по величинѣ и по знаку,
буквами Л и й'. Найти разстояніе точки 0 до точки встрѣчи, и время встрѣчи.
Приэтомъ, разстоянія считаются положительными—вправо отъ О, отрицательны-
ми—влѣво отъ О; скорости—положительными въ направленіи ху, отрицательными въ
направленіи ух\ времена—положительными, когда они слѣдуютъ за даннымъ момен-
томъ, отрицательными—когда предшествуютъ этому моменту.
Числовой примѣръ.—Два курьера, ѣдущіе равномѣрно по прямой, находятся въ
настоящій моментъ: одинъ въ точкѣ А, отстоящей отъ О влѣво на 20 верстъ, дру-
гой въ А—въ разстояніи равномъ 35 верстамъ вправо отъ О. Они движутся на встрѣ-
чу другъ другу, первый со скоростью 4, а второй 6 верстъ въ часъ. Опредѣлить раз-
стояніе точки встрѣчи отъ О и время встрѣчи.
Для рѣшенія задачи нужно только въ формулы
-сй' — йг/ , й' — й
х =--------, і =--------,
ѵ — ѵ	ѵ — ѵ
подставить: вмѣсто й число — 20, вмѣсто й' число 35; затѣмъ: 4 вмѣсто ѵ и
— 6 вмѣсто г/. Найдемъ:
х = 2 вер.; # = 4 час. 30 мни.
Слѣд. точка встрѣчи находится вправо отъ О на 2 версты, а время встрѣчи че-
резъ 4 ч. 30 м. отъ настоящаго момента.
Второй примѣръ изслѣдованія.
401.	Изъ двухъ сплавовъ серебра, пробы которыхъ равны соотвѣтственно амЬ,
составитъ р фунтовъ новаго сплава пробы с. Сколько фунтовъ нужно взятъ отъ каж-
даго сплава?
Пусть отъ перваго сплава нужно взять х, отъ втораго у фунтовъ, По условію,
имѣемъ уравненіе
х-\-у=р ... . (1).
Въ одномъ фунтѣ перваго сплава находится а золотниковъ чистаго серебра, слѣд.
въ х фунтахъ его будетъ ах зол.; въ у фунтахъ втораго сплава Ъу зол.; слѣд. въ
я + у или въ р фунтахъ новаго сплава содержится ах Ъу зол., а въ одномъ фунтѣ
ах-\-Ъу	.	,
——— зол. чистаго серебра, что равно с; поэтому, второе ур. будетъ
ах -|- Ъу = ср . . . (2).
- 413 -
Рѣшивъ уравненія (1) и (2), найдемъ:
с — Ь	а — с
х =-------і  Р, У —------і 
а — Ъ у а — Ь
р-
Изслѣдованіи. По свойству вопроса, х и у немогутъ быть ни безконечными,
ни отрицательными, поэтому рѣшенія такого рода будутъ служить признакомъ абсо-
лютной невозможности задачи при тѣхъ условіяхъ,^ которыя ведутъ къ рѣшеніямъ
этого рода. Въ этомъ и заключается особенность разсматриваемой задачи; изъ всѣхъ
значеній х и у, какін допускаютъ найденныя формулы для этихъ количествъ, слѣду-
етъ удерживать только значенія конечныя, опредѣленныя и положительныя.
Относительно общаго знаменателя возможны 3 предположенія:
а > Ъ, а — Ь, а <_Ь.
Каждое изъ этихъ предположеній соединяемъ со всевозможными предположеніями
касательно одного изъ числителей, напр, перваго:
с > Ь, с~Ь, с <6.
Относительно втораго числителя нужно дѣлать такія предположенія, которыя бы-
ли бы совмѣстны съ прежде взятымп. Такъ, если возьмемъ предположеніе а > Ь и
с > Ь, то его можно сочетать съ каждымъ изъ трехъ возможныхъ предположеній от-
носительно другаго числителя: а>с, а = с, а<^с. Но если взять комбинацію а = Ь
и с>6, то ее можно соединить только съ предположеніемъ а<с, такъ-какъ с, бу-
дучи больше Ь, не можетъ быть ни равно, ни меньше количества а, равнаго Ъ. Та-
кимъ путемъ мы получаемъ слѣдующую таблицу изслѣдованія:
а > с
а = с
а
а > с
а с
а < с
а — с
а~> с
а < с
а с
а > с
а — с
а <2 с.
Первый случай. а^>Ь, с~>Ъ, а^>с.
Формулы даютъ для х и у рѣшенія конечныя, опредѣленныя и положительныя;
слѣд. задача возможна. Это слѣдуетъ и изъ условій: въ самомъ дѣлѣ, проба с иско-
маго сплава, по условію, больше нисшей пробы Ъ, но меньше высшей пробы а; оче-
видно, такой сплавъ всегда можно составить.
Второй случай. а>Ъ, с~>Ъ, а — с.
Формулы даютъ: х—р, у —о.
Это значитъ, что всѣ р фунтовъ должны быть взяты отъ сплава пробы а, и ни-
чего не нужно брать отъ сплава пробы Ъ. Это очевидно й, ргіогі, ибо проба с соста-
вляемаго сплава должна равняться, по условію, пробѣ а.
Третій случай.—а > Ъ, с>Ь, а с.
Формулы даютъ: х > 0, у < 0.
— 414 -
Заключаемъ, что задача невозможна. Это видно и й, ргіогі: въ самомъ дѣлѣ,
проба требуемаго сплава должна быть больше не только нисшей пробы Ь, но и выс-
шей а данныхъ сплавовъ; очевидно, что сплавляя послѣдніе, нельзя получить пробы с.
Четвертый случай. а^> Ь, с — Ь, а^> с.
Формулы даютъ: х = 0, у=.р.
Это значитъ, что всѣ р фуйтовъ должны быть взяты отъ сплава пробы Ъ,
что очевидно, ибо искомый сплавъ и долженъ имѣть пробу Ь (условіе с = Ь).
Пятый случай, а > Ь, с <6, а > с.
Формулы даютъ: х < 0, у > 0.
Отрицательное значеніе х указываетъ на невозможность задачи. И въ самомъ
дѣлѣ, задача невозможна, потому-что проба искомаго сплава должна быть меньше не
только а, но и нисшей пробы Ь одного изъ данныхъ сплавовъ.
Шестой случай, а — Ь, с > Ь, а < с.
Формулы даютъ: х — со, у = со-
Задача невозможна; и въ самомъ дѣлѣ, составляющіе сплавы—одинаковой пробы
(а~ 6), проба же требуемаго сплава, с, должна быть больше пробы а=Ь, что не-
возможно.
Седьмой случай, а ~ Ъ—с.
ж	0	0
Формулы даютъ: х = у = — •
Это значитъ, что задача неопредѣленна, въ томъ смыслѣ, что можно взять чис-
ло фунтовъ, не превышающее р, отъ одного изъ данныхъ сплавовъ, а недостающую
до р часть изъ другаго. Результатъ этотъ очевиденъ а ргіогі, потому-что всѣ три
сплава—одинаковой пробы.
Восьмой случай. а—Ъ, с < Ь, а > с.
Формулы даютъ: х = оо, у — оо.
Задача невозможна, какъ и въ шестомъ случаѣ.
Девятый случай. а<^Ъ, с^>Ъ, а<с,
Формулы даютъ: х < 0, у > 0; отрицательное значеніе х указываетъ на невоз-
можность задачи, подобно пятому случаю.
Десятый случай, а < Ь, с = Ь, а <^с.
Формулы даютъ: х — 0, у=р, какъ въ четвертомъ случаѣ.
Одиннадцатый случай. а<Ъ, с <^Ъ, а^> с.
Формулы даютъ: х > 0, у < 0; задача невозможна, какъ и въ третьемъ случаѣ.
Двѣнадцатый случай. а<Ъ, с<_Ь, а=с.
Формулы даютъ: х —р, у — §, какъ и во второмъ случаѣ.
Тринадцатый случай. а<Ъ, с<_Ь, и < е.
Формулы даютъ: для х п у величины конечныя, опредѣленныя и положительныя.
Задача, слѣд., возможна, какъ въ первомъ случаѣ.
— 415 -
Третій примѣръ изслѣдованія.
402.	Въ треугольникъ АВС, котораго
прямоугольчгжъ даннаго периметра 2 р.
Прямоугольникъ называется вписан-
нымъ въ треугольникѣ, когда двѣ его верши-
ны находятся на одной сторонѣ треуголь-
ника, а двѣ другія вершины на двухъ
другихъ сторонахъ; таковъ прямоугольникъ
БЕЕС. Если же эти двѣ послѣднія верши-
ны находятся не на самыхъ сторонахъ, а
на ихъ продолженіяхъ, то прямоугольникъ
называютъ внѣ-вписаннымъ- таковы прямо-
угольники В'Е'Е'СИ и В"Е"Е"С".
Внутренній вписанный прямоугольникъ
основаніе равно Ъ, а высота к, впгісать
403.	Пусть задача рѣшена и ВЕЕС есть требуемый прямоугольникъ; означимъ
сторону БЕ буквою х, сторону ЕР буквою у, основаніе АС буквою Ъ, высоту ВТІ
треугольника буквою к. Во-первыхъ имѣемъ ур-віе
х-\-у—р .... (1).
Въ подобныхъ треугольникахъ АВС и ВВЕ основанія относятся какъ высоты;
слѣдовательно
ВЕ	В.І	х	к — у
— Пп’ ИЛИ -у -— —=-—
АС ВН	о к
Рѣшая ур-нія (1) и (2), находимъ
ь(й —Р)	ь)
к — Ь ’ У~ к — Ъ
. (2).
. (3).
Изслѣдованіе. — Во первыхъ замѣтимъ, что х п у не могутъ быть одно-
временно отрицательными, потому-что сумма пхъ, въ силу ур-нія (1), равна положи-
тельному количеству р\ но одно пзъ этихъ количествъ можетъ быть отрпцательвымъ;
причемъ отрицательныя значенія х пли у, въ данномъ случаѣ, не могутъ быть отбра-
сываемы, какъ невозможныя, но подлежатъ истолкованію слѣдующимъ образомъ.
Если для у получается отрпцательное рѣшеніе, и слѣд. для х положительное, то
для истолкованія этого отрицательнаго рѣшенія перемѣнимъ въ уравненіяхъ (1) п
(2) у на —у, найдемъ:
ж к-\-у
х—у=р, ~ = —±— .... (рі).
Первое изъ этихъ уравненій означаетъ, что дается не сумма сторонъ прямоуголь-
ника, а разность между его основаніемъ п высотой. Второе уравненіе отвѣчаетъ пря-
моугольнику В'Е'Е'бг', котораго основаніе В'Е' находится подъ основаніемъ АС тре-
угольника; въ самомъ дѣлѣ, назвавъ В'Е' буквою х и Е'Е' буквою у, пзъ подобія
треугольниковъ Б'ВЕ' и АВС прямо находимъ ур-піе (т). Впрочемъ, непосредствен-
но видно, что высота І'Н этого прямоугольника имѣетъ противоположное положеніе,
по отношенію къ АС, высотѣ Я'Н перваго прямоугольника. Итакъ, отрицательное зна-
ченіе для у соотвѣтствуетъ слѣдующему видоизмѣненію даннаго вопроса: построить
внѣ-вписанный прямоугольникъ, котораго двгъ вергигіны находились бы на ггродолже-
— 416 —
. . (и).
ніяхъ сторонъ ВА и ВС треугольника подъ его основаніемъ, если извѣстна разность
между основаніемъ и высотою прямоугольника.
Рѣшеніе, соотвѣтствующее этому новому условію, будемъ называть рѣшеніемъ
втораго рода, называя рѣшеніе въ точномъ смыслѣ даннаго вопроса рѣшеніемъ пер-
ваго рода.
Если отрицательное рѣшеніе получится для х, то для истолкованія его перемѣ-
нимъ въ уравневіяхъ (1) и (2) х на —х-, найдемъ:
— х 1і — у	х г/ — 1г
у — х — р, —— ——или — = ~—
Ъ 1і	Ь к
Первое изъ этихъ уравненій означаетъ, что дается разность между высотою и осно-
ваніемъ искомаго прямоугольника. Второе ур-ніе отвѣчаетъ прямоугольнику П''Е"Е"СІ",
котораго основаніе' Е'П'' находится надъ вершиною В треугольника; въ самомъ
дѣлѣ, сохранивъ прежнія обозначенія, изъ подобія треугольниковъ П''ВЕ" и АВС тот-
часъ находимъ уравненіе (и). Впрочемъ, къ такому истолкованію отрицательнаго зна-
ченія х можно придти еще такпмъ образомъ: проектируя сторону Е"П" на линію
основанія тр-ка посредствомъ прямой Е"е", параллельной АВ, замѣчаемъ, что отрѣ-
зокъ Ае" имѣть положеніе отрицательныхъ ж-овъ (положительные ж-сы ПЕ и П'Е',
проектированные подобнымъ же образомъ на АС, займутъ положеніе вправо отъ точ-
ки А.) Итакъ, всякій разъ, когда будетъ получаться для х отрицательное значеніе,
мы его будемъ истолковывать какъ рѣшеніе слѣдующаго вопроса: поспгроигпъ внѣ-вті-
санныіі прямоугольникъ, котораго высота превыгиала бы основаніе на р, и двѣ вер-
гиины котораго лежали бы на продолженіяхъ сторонъ АВ и СВ за вершину тре-
угольника. Назовемъ это рѣшеніе рѣшеніемъ третьяго рода.
Послѣ этого подготовительнаго изслѣдованія, составляемъ таблицу всевозможныхъ
случаевъ, какіе могутъ представить формулы х и у. Вопервыхъ, относительно общаго
знаменателя этихъ формулъ можно сдѣлать три предположенія: к > Ъ, к <6 к — Ъ.
Каждое изъ этихъ предположеній можно комбинировать съ каждымъ изъ трехъ пред-
положеній относительно числителя формулы х:
кур, ^ = Р> к<ір.
Такимъ образомъ составится 9 комбинацій. Относительно втораго числителя при-
дется дѣлать такія предположенія, которыя не находились бы въ противорѣчіи съ
вышеуказанными. Такъ, взявъ Л>Ь и к^>р, можемъ это предположеніе комбиниро-
вать съ каждымъ изъ слѣдующихъ трехъ: р > Ь, р — Ь, р < Ъ; а взявъ комбинацію
к — Ъ, к—р, можемъ относительно втораго чпслптеля положить только р~Ъ. По-
ступая такимъ образомъ, имѣемъ слѣдующую таблицу изслѣдованія:
( \Р>Ъ
| Л > р -.р = Ь
1 р < Ъ
к _ _ р , р > Ъ
к < р, р > ъ.
' к^> р , р < Ъ
к = р , р <Ъ
(р>Ъ
к •< р ! р — Ъ
1_Р<Ь-
{’ к > р , р < Ъ
к—р, р = Ъ
к р , рі> Ь.
к > ъ
11 <ъ‘
- 417
Первый случай. ку>Ъ, к^>р^>Ъ.
Въ этомъ случаѣ: к— й>0, к—р~>0 и р— й>0; а слѣд.
я>0 и у~>0.
Но чтобы эти алгебраическія положительныя рѣшенія дали внутренній вписан-
ный прямоугольникъ, надо еще, чтобы было х < Ь, у <1і. Въ данномъ случаѣ
„	- = А—Р	Р — ь
такъ и есть, пбо каждая изъ дробей =---и ~5 меньше 1.
А — о А — о
Такимъ образомъ, при данныхъ условіяхъ имѣемъ рѣшеніе перваго рода.
Второй случай. к^>Ъ, к^>р, р = Ь.
Здѣсь имѣемъ: к— й>0, А—р~>0, р — Ъ — 0 слѣд.
х = Ь, у—0;
т. е. прямоугольникъ сливается съ линіей АС, обращается въ прямую.
Третій случай. йу>Ъ, ку>р<Ъ.
Въ этомъ случаѣ: к— А>0, к—у>>0, р — й<0; слѣд.
«>0 (и >А), у <0;
это рѣшеніе, какъ уже знаемъ, даетъ прямоугольникъ втораго рода.
Четвертый случай, р Ъ.
Здѣсь имѣемъ: А— й>0, А — Р—Ъ, р — й>0; слѣд.
х~0, у — к,
и прямоугольникъ обращается въ прямую ВН.
Пятый случай. р>к>Ь.
Это условіе даетъ: А—1><0, А — Ь>0, р — й>0; а потому
7)--I)
х < 0, у _> 0 (и > А, ибо дробь --------- > 1.)
Получаемъ рѣшеніе третьяго рода, т. е. прямоугольникъ В"Е"Г"СИ', въ кото-
ромъ разность между линіями Е"Е" п Е'Ф" равна р.
Шестой случай, р
Въ такомъ случаѣ: А —Ь<0, к—уэ>0, р—й<0; а потому
«<0, у>& (и больше А).
Имѣемъ, какъ и въ пятомъ случаѣ, рѣшеніе третьяго рода.
Седьмой, случай. р~к<Ъ.
Въ этомъ случаѣ: А—й<20, А — р — 0, р— й<0; слѣд.
х~0, у = к'
прямоугольникъ сливается съ высотою треугольника.
Восьмой Случай. р>Ъ>к.
Въ этомъ случаѣ: А — А<0, А —р<0, р— А>0.
«>0 (и больше А), у<.0:
Получаемъ рѣшеніе втораго рода, какъ въ третьемъ случаѣ.
27
418 -
Девятый случай. к<.р = Ъ.
Здѣсь имѣемъ: к— Ь<0, к—р<0, р— Ь~0; а потому
х — Ъ, у = 0:
Прямоугольникъ сливается съ основаніемъ треугольника.
Десятый случай, к <.р < Ъ.
Въ этомъ случаѣ: к — Ъ<0, к—р <0, р—Ь<0; а потому
ж>0 п р>0, причемъ х<Ъ, а у<к:
имѣемъ рѣшеніе перваго рода, какъ въ первомъ случаѣ.
Одиннадцатый случай, р <_Ъ = к. Находимъ:
Х = оО, у = со-
Эти рѣшенія означаютъ невозможность задачи. Въ самомъ дѣлѣ, положивъ въ
уравненіи (2) Ъ = к, имѣемъ: х — к — у, откуда х-\-у~к, т. е. когда въ треуголь-
никѣ основаніе равно высотѣ, полупериметръ вписан. прям-ка долженъ равняться
высотѣ; слѣд. какъ скоро р не равно к, задача невозможна.
Двѣнадцатый случай. кх=.Ъ —р. Въ этомъ случаѣ:
к—Ъ=к—р~р—Ъ=0, слѣд.
О	О
ж=-о’ &=о‘
Эта неопредѣленность дѣйствительная; въ самомъ дѣлѣ, тотчасъ мы видѣли, что
при Ь—к полупериметръ всякаго вписаиваго прямоугольника долженъ равняться к;
слѣд. если будетъ дано, какъ п есть въ данномъ случаѣ, р—к, всякій вписанный
прямоугольвикъ будетъ требуемый, и задача имѣетъ безчисленное множество рѣшеній.
Тринадцатый случай. р^>1г=Ъ. Въ этомъ случаѣ
х—ОО, у—СО:
задача невозможна, какъ въ одиннадцатомъ случаѣ.
Примѣчаніе I. Изслѣдованіе показало намъ, что рѣшеніе перваго рода получает-
ся въ томъ случаѣ, когда полупериметръ искомаго прямоугольника заключается между
основаніемъ и высотою треугольника, т. е. при если имѣемъ:	(пер-
вый случай) , а при к < Ъ, если дано, что к < р < Ъ (десятый случай) .Эти условія
можно найтн н геометрически. Проведя ПК параллельно ВС, найдемъ КС=ПЕ, и
слѣд.
р^пЕ+па=ск+П0.
Но вслѣдствіе подобія треугольниковъ АВС и АПК, необходимо имѣемъ
при 7»>Ь и ПСг>АК, а потому р>СК-{-АК или р>Ь;
а прн к<Ъ и ПСКАК, а потому р<СК-]-АК или р<Ъ.
Съ другой стороны
р —П&4-ПЕіхНі+ПЕ.
Но нзъ подобія треугольниковъ ВПЕ и ВАС необходимо имѣемъ
при 7»>Ь и ВІ>ПЕ, а слѣд. р<НІ-}~ВІ или р<Л;
а прн к<Ъ и ВІ<ПЕ, а слѣд. р > НІВІ нлнр>Л.
И такъ, для того чтобы рѣшеніе перваго рода имѣло мѣсто, необходимо н
достаточно, чтобы полупериметръ прямоугольника заключался между основаніемъ и
высотою даннаго треугольника.
— 410 —
Примѣчаніе II. Когда р мало отличается отъ й, получается прямоугольникъ
весьма растянутый въ направленіи высоты ВН; напротивъ того, если р близко къ
Ъ, прямоугольникъ получается сплюснутый; а измѣняя непрерывно р между этими
предѣлами, получимъ всѣ промежуточныя формы: слѣд. можетъ получиться, между
прочимъ, и квадратъ-, и для этого необходимо, чтобы было
х — у, илп Ь(Л—р) — к(р— Ъ), откуда
2Ък
Въ такомъ случаѣ, имѣя въ виду уравненіе х-]-у=:р, получимъ
Ък
*=у=г+к-
Построеніи. —Легко построить найденныя величины для х и у, построимъ,
, ,	,	ЫЪ—р)	,
напр., у въ случаѣ: 1і<рр<.Ъ. Изъ формулы у — -—имѣемъ пропорцію:
О “ ІЪ
(Ь— Л): (Ъ—р) = к:у, такимъ образомъ, слѣ-
дуетъ построить четвертую пропорціональную къ
тремъ линіямъ: Ъ — к, Ъ—р и к. Нанеся на
АС отрѣзки АМ = й, АЬ=^, имѣемъ
Ъ — Л = СМ, Ъ— р = СЬ.
Изъ точки С возставляемъ перпендикуляръ
СИ къ АС, равный к, соединяемъ М съ И н
проводимъ ЬО параллельно МИ; легко видѣть,
что ОС = у. Проведя изъ О линію ОВ парал-
лельно АС, получимъ верхнее основаніе ПЕ
прямоугольника, а опустивъ перпендикуляры ПЕ
и ЕСг, и самый прямоугольникъ.
Внѣ-вписанный прямоугольникъ.
404. I. Когда вершины П и Е прямоугольника находятся подъ основаніемъ
треугольника, имѣемъ прямоугольникъ В'Е'Е'Сг. Пусть требуется построить такой
прямоугольникъ по данному периметру 2р. Называя сторону ІУЕ' буквою х п ЕТ'
буквою у, имѣемъ уравненія:
,	х к4-у	...
....................(4)
Ъ-^-к	*	Ъ-\-к
Изслѣдованіе. — Такъ какъ знаменатель въ этихъ
быть нулемъ, то х и у не могутъ быть ии безконечными,
кромѣ того, х всегда положителенъ, а у можетъ быть или
откуда
,_(і Ж
формулахъ не можетъ
ни неопредѣленными;
положительнымъ, или
отрицательнымъ, или нулемъ, что зависитъ отъ знака разности р — Ъ. Итакъ:
1.	рі>Ъ. Въ этомъ случаѣ: ж>0 и ^>0; и кромѣ того, такъ какъ дробь
р ~ |" к
ѵ . , > 1, то х^>Ъ. Итакъ, въ данномъ случаѣ существуетъ впѣ-вписаипый прямо-
О -4-
угольникъ съ даннымъ периметромъ 2р, имѣющій такое положеніе какъ О'Е'Е'бг'.
2.	р = Ъ. Въ этомъ случаѣ: х — Ъ, у— О, и разсматриваемый прямоугольникъ
сливается съ основаніемъ треугольника.
27*
— 420 -
3.	р-і'Ъ. Въ этомъ случаѣ ж>0, но <7>; ^<0.
Вставляя въ уравненія (4) —у вмѣсто у, получаемъ
х Л- — у
х-у=р, Т = -1Г-
Легко видѣть, что эти уравненія соотвѣтствуютъ вписанному прямоугольнику
ВЕЕСг, въ которомъ разность между основаніемъ и высотой равна р.
Примѣчаніе. Чтобы въ разсматриваемомъ случаѣ прямоугольникъ былъ квадра-
томъ, надо, чтобы было х~у, или Ъ(рі-\-к) — к(р— Ъ), откуда
2Ък ,	Ък
р=к=г и слѣд-
Такъ какъ р — величина положительная, то к ие можетъ быть < Ъ; такимъ
образомъ нельзя получить внѣ-вписаннаго квадрата подъ основаніемъ треугольника,
для случая р > Ъ. Изъ пропорціи
если Ъ > к.
Построеніе. — Сдѣлаемъ построеніе
(г>4-Л);О — Ъ) = к-.у
видно, что построеніе у
сводится къ нахожденію
четвертой пропорціональной
къ тремъ даннымъ линіямъ
Ъ 4- к, р — Ъ и к; для чего
беремъ ВМ = й, ВЕ=р, и
слѣд.
СМ = Ь-|-й и СЬ— р~— Ъ.
Соединяемъ М съ К и
изъ Ь проводимъ линію ЬО,
параллельную МЫ: точка
О опредѣляетъ сторону Б'Е' искомаго прямоугольника, а вмѣстѣ съ тѣмъ и самый
прямоугольникъ.
Для
405. II. Когда вершины внѣ-вппсаинаго прямоугольника находятся на про-
долженіяхъ сторонъ ВА и ВС за вершину В, имѣемъ прямоугольникъ Э"Е"Г"С",
опредѣленія котораго послужатъ уравненія
,	х	У — к
х + у^р, Т =	......................
въ которЫхъ х означаетъ основаніе, а у — высоту новаго прямоугольника,
нихъ имѣемъ:
(5)
Изъ
, р— к
>	гі •
Ъ -(-А	Ъ-1-к
Изслѣдованіе. 1. р>к\ въ этомъ случаѣ: ж>0, ^>0 и >7і. Это рѣше-
ніе даетъ прямоугольникъ съ периметромъ 2р, имѣющій такое положеніе какъ
П"Е"Е"С".
2. р~к; въ этомъ случаѣ х — 0, у~к, и разсматриваемый прямоугольникъ
сливается съ высотою треугольника.
3. р<7»; въ этомъ случаѣ: ж<0, ^>0, но <_к. Подставивъ иъ ур-нія (5)
— х вмѣсто х, получимъ
х к — у
у-х^р, Т = ~К-
легко видѣть, что эти уравненія соотвѣтствуютъ вписанному прямоугольнику І)ЕРС,
въ которомъ разность между высотою и основаніемъ равна данной линіи р.
_ 421 -
Примѣчаніе. — Чтобы прямоугольникъ былъ квадратомъ, надо, чтобы было
х — у, т. е. Ъ(р— К) — ЫЪ~\-р), откуда
267г	,	Ък
ѵ=ъ=к> слѣд- х=У=ъ=к'
нельзя, слѣд., получить внѣ-вписаннаго квадрата въ разсматриваемомъ случаѣ, если
будетъ Ъ < к.
Построеніе. — Для
построенія у беремъ на про-
долженіи основанія ВС линіи
АМ = 7г, АЪ=уг, тогда
СМ = Ь + Л, СЬ = Ь-Н>.
Соединивъ М съ П, прово-
димъ ОЬ параллельно МП; за-
тѣмъ изъ точки О—параллель
къ линіи АС, которая и дастъ
вершины I)" и Е" искомаго
прямоугольника.
406. Заключеніе, — Обозрѣвая изслѣдованіе, не трудно усмотрѣть, что никогда
всѣ три рода прямоугольниковъ, имѣющихъ данный периметръ 2р, не появляются
совмѣстно на одномъ и томъ же чертежѣ, т. е. въ одномъ и томъ же треугольникѣ,
но являются попарно; а именно:
1)	Если р меньше меньшаго изъ количествъ Ъ и к, задача не имѣетъ рѣшенія.
2)	Если р заключается между Ъ и к, то внутренній прямоугольникъ является
совмѣстно съ однимъ изъ внѣшнихъ, а именно: съ I при 6<7г, и со II при 6>й.
3)	Если р больше большаго изъ количествъ Ъ и 7г, то внутренній прямоуголъ
никъ невозможенъ, но являются совмѣстно два внѣшнвхъ.
Четвертый примѣръ изслѣдованія.
407. Даны два прямоугольника: АВСП и ЕЕСгН, имѣющіе измѣренія: первый
Ь и Ь, причемъ Ь>Ь, второй ш и н, причемъ ш > п. Вписать въ первый изъ нихъ
прямоугольникъ Р(^В8 по-
добный второму.
Вершины Р, <3, В и
8 искомаго прямоуголь-
ника могутъ лежать или
на самыхъ сторонахъ
прямоугольника АВСП,
илп на ихъ продолже-
ніяхъ; въ первомъ слу-
чаѣ получается внутрен-
не-вписанный прямоуголь-
никъ, во второмъ внѣ-
вписанный.
408. I. Для по-
строенія прямоугольника
РфВ8 достаточно знать
разстоянія: АР = х,
А.$ = у точекъ Р и 8
- 422 -
прямой, то углы АР8 и ВР<2 дополнитель-
ны и тр-ки А8Р и ВР(^ подобны, а пото-
му сходственныя ихъ стороны пропорціо-
нальны:
АР _ А8 _ Р8
В<3 ~ ВР ~ Р<3 ’
т. е.
X ____ у _____ п
к — у Ь — х т
Приравнивая каждое изъ двухъ пер-
выхъ отношеній третьему, находимъ два
уравненія съ двумя неизвѣстными:
откуда
тх пу =. піі ....... (1)
пх -]- ту = пЬ.....(2)
п(тк— гіЬ) __п(тЪ— пк)
т* —• гі1 ’ У т? — гі* ’
слѣдовательно
ВР = 6 — х =
т(тЪ — пк)
»і2— п*
. т(тк — пЬ)
Ті0, = 7і. — 2/ =	„-;
т2— п2
нли, положивъ — = 7с:
п
Изслѣдованіе. — Если данные прямоугольники не квадраты, то достаточно
ограничиться разсмотрѣніемъ предположеній: Ъ > 1і и т > п, такъ что изслѣдованію
подлежатъ случаи:
при Ъ > к
при Ь — к.
к
9И Ъ
Первый случай. — к — — > —
п к
• — Изъ этого неравенства находимъ, что кк^>Ъ.
Затѣмъ, замѣчаемъ, что к, будучи больше —
болыпе и дроби ~ (которая
< —), а слѣдовательно и кЪ > к. Заключаемъ, что х > 0, у > О, Ъ — « > О,
Л
к— ?/>О; изъ послѣднихъ двухъ неравенствъ слѣдуетъ, что и у<1і. Такимъ
образомъ вершины искомаго прямоугольника находятся на самыхъ сторонахъ прямо-
угольника АВСВ, т. е. Р<^В,8 представляетъ дѣйствительно внутренній вписанный
прямоугольникъ.
- 423 —
Условіе — > ~ показываетъ, что всѣ вписанные прямоугольники имѣютъ
та к
форму болѣе удлиненную, нежели прямоугольникъ АВСВ.
Второй
случай. — к — ~ — ~ . — Это условіе даетъ: кк = Ъ, слѣд,
х — 0, у~к;
что вершины Р и В совпадаютъ — первая съ А, вторая съ С; а вер-
— первая
это значитъ,
шины 8 и
АВСВ.
съ В, вторая съ В, а потому прямоугольникъ Р<ІВ8 съ
к — — < — . — Изъ этого слѣдуетъ, что кк < о, а по-
та к
или у > к\ такимъ образомъ: х отрицателенъ, а у положн-
Третій случай. —
тому ж < О н к — у <0
теленъ и больше к. Эти результаты означаютъ, что вершина Р должна находиться
влѣво отъ точки А на продолженіи стороны ВА, а вершина В — вправо отъ точки
С на продолженіи стороны ВС; вершина 8 — вверхъ отъ В па продолжеиіи АВ, а
вершина <2 — внизъ отъ В на продолженіи
РЧУВ'8', обнимающій АВСВ.
Если составить уравненія для этой но-
вой задачи, положивъ А'Р' = ж и А'8'—у,
найдемъ:
х ___ у ______п
у — к х-$- Ъ т’
и эти уравненія мы получаемъ прямо изъ
ур-ній предшествующихъ перемѣною х на
Итакъ, первоначальныя уравненія
отвѣтъ на предложенную
ВВ;
т. е. получается прямоугольникъ
У
получимъ вто-
— X.
всегда даютъ
задачу: этимъ отвѣтомъ служитъ внутрен-
не-вписанный прямоугольникъ І^В,8, если
ЕЕСгН болѣе удлиненъ чѣмъ АВСВ, и внѣ-
вписанный прямоугольникъ Р^'К'8' (черт.
31), если ЕГСгН менѣе удлиненъ нежели
АВСВ.
Слѣдуетъ замѣтить, что взявъ ВР' = АР п В8'=А8 (черт. 30),
рой прямоугольникъ Р'О'В'В', удовлетворяющій условіямъ вопроса, но какъ онъ равенъ
Р(^В,8, то мы и не будемъ считать его новымъ рѣшеніемъ. То-же замѣчаніе отно-
сится къ внѣ-вписанному прямоугольнику Р"0"В"8", равному Р'О'В.'В' (черт. 31).
Четвертый случай. — к~1 и Находимъ:
х = — со, х — со.
Условіе к = 1 означаетъ, что прямоугольникъ ЕЕ6Н есть квадратъ; а полученное
рѣшеніе, въ которомъ х < 0, означаетъ, что для даннаго прямоугольника никогда
не можетъ быть полученъ внѣ-впнсанный квадратъ, но что внѣ-вписанный прямо-
угольникъ, какъ Р'(Й'В,'8', тѣмъ болѣе приближается къ формѣ квадрата, чѣмъ больше
становятся его размѣры.
Пятый случай. — Если к ~ 1 и Ъ = к, т. е. данные прямоугольники АВСВ и
НЕСИ — квадраты, формулы даютъ:
О	О
ж = — •	У — зг ;
о а о ’
эти рѣшенія означаютъ дѣйствительную неопредѣленность, потому-что въ квадратъ
- 424 -
можно вписать безчисленное множество квадратовъ; въ самомъ дѣлѣ, легко доказать,
что если нанести на каждой сторонѣ квадрата, начиная отъ каждой вершины, одну
и ту же произвольную длину, получимъ вершины новаго квадрата.
Примѣчаніе. — Здѣсь умѣстно сдѣлать слѣдующее замѣчаніе. Когда, какъ въ
данномъ случаѣ, неопредѣленность получается отъ нѣсколькихъ предположеній отно-
сительно частныхъ значевій буквъ, нужно всѣ эти предположенія вводить заразъ:
иначе могла бы ускользнуть изъ виду дѣйствительная неопредѣленность. Такъ, поло-
живъ въ формулахъ х и у заразъ к — 1 и Ь = 7«, тотчасъ обнаружимъ неопредѣлен-
ность; и если бы мы захотѣли найти истинное значеніе х и у, положивъ
Ъ —и
то, упростивъ формулы и положивъ затѣмъ « — О, нашли бы
1ь—р	1і-}~Р
Х = ~<Г'
выраженія, вслѣдствіе присутствія въ нихъ произвольнаго количества р, дѣйствительно
неопредѣленныя.
Но есдпбы оба предположенія мы ввели не совмѣстно, а положивъ сперва Ъ — 1і,
что позволяетъ удалить общаго множителя к—1, а затѣмъ к—1 въ упрощенныхъ
уже формулахъ
Ък	Ък
Х~к + Ѵ У~к^-1'
нашли бы опредѣленныя величины
слѣдовательно, мы удалили бы неопредѣленность, на дѣлѣ существующую.
Примѣчаніе это весьма важно, и его всегда слѣдуетъ имѣть въ виду при изслѣ-
дованіи вопросовъ, когда приходится дѣлать не одно частное предположеніе.
Если будемъ к неограниченно увеличивать, приближая его къ оо, хну будутъ
оо оо
стремиться къ пулю. Въ самомъ дѣлѣ, при й = со имѣемъ: =	, у — -^- ;
для раскрытія этихъ неопредѣленностей раздѣлимъ числителя и знаменателя формулъ
х и у на й2, что дастъ
Ъ
~к >
’=“Г
№
А
~к к*
№
а положивъ к — со, находимъ ж = О и у— И. прямоугольникъ Р()Е,8 обращается
въ діагональ АС, что совершенно понятно.
Построеніе. — Величины х и к — у можно представить въ видѣ
п / т	п , \
X— ---:-(---к---------Ъ ) ,
— п т — п /
_	т / т _ п , \
к~ у ——=—(--------к--------- Ъ ) ,
т п\т — п т — п /
И построить при помощи четвертыхъ пропорціональныхъ. Во-первыхъ, чтобы полу-
чить линію
тк 
т — п
достаточно взять (черт. 29) на продолженіи НЕ линію ЕК = А, затѣмъ на линіи
425 —
ЕЕ нанести Е&' = Е(х = п; соединивъ
линію ЕЬ параллельно &'К, найдемъ
точки 6' и К и проведя черезъ точку Е
ЕС' _ ЕК т — п _ к
ЕЕ — ЕЪ ’ Т> ®’ т ~~ ЕЬ
тіі
откуда ЕЬ —-----=
*	щ—п
8.
Такимъ же образомъ: чтобы построить отрѣзокъ
пЬ
----------------------------------------~ и,
т — п
беремъ ЕО = Ь, ЕН'~ЕН —и; соединивъ точки Н' и О, проводимъ пзъ точки 6'
параллель Сг'Т, и получаемъ
НЕ ЕО т — п Ь
не = ет’ т- е- = ет ОІКуда гт
Нанеся ЕТ отъ Ь до V, получимъ
ЕѴ = ЕЬ — ЬѴ —г — и,
п выраженія х и к — у примутъ видъ
х = П х ЕѴ,
т — н
И такъ, для опредѣленія х нужно взять Е(т" = Е& = и, провести прямую Сг"Ѵ
и черезъ точку Н' ей параллельную Н'Х; для полученія к — у проводимъ черезъ
точку Е линію ЕѴ параллельно Ѵ&"; найдемъ: ЕХ—ж и ЕЕ = Л— У-
Нанеся на стороны прямоугольника АВСВ
АР —ЕХ, Н8 = ѴЕ
получимъ и прямоугольникъ Р()В8.
Фигура Р'Суіх'8' строится такимъ же образомъ, ибо въ этомъ случаѣ
т. е.
пЬ
------= и.
т — п
т
и — у = —г
іи _____________________________________1__
х ЕѴ.
409. П. Вершины Р и 8 могутъ находиться въ Р" и 8" на ПРОДО^®^^
сторонъ ВА и СА; внѣ-вписаннып прямоугольникъ приметъ положеніе Г Ц К ь
(черт. 32). Положивъ
АР" = ж, А8" = 2/,
изъ подобія треугольниковъ Р"А8" и
Р"ВС)" найдемъ:
X _____ у _______ п _
к У Ъ-^х	т’
откуда
тх — пу — кп
ту — пх — Ьи;
рѣшивъ ихъ, находимъ:
___ п(тк-\-пЪ} _______п(тЪ^-п1і)
Х т^—	ш2 — «2
или
кк -4- Ь	ЛЬ 4~ к
- 426 —
Изслѣдованіе. — Задача всегда возможна, какова бы ни была величина 1с
въ предѣлахъ отъ оо до 1; тоже самое замѣчаніе, что и прежде прилагается и къ
случаю 1с — 1.
Что касается выраженій х и 1і-{-у, ихъ строимъ такимъ же образомъ какъ и
въ первомъ случаѣ, приведя къ виду
» = —+ и),	+ у =  ”*—(.? + «).
гдѣ в и и имѣютъ вышеуказанныя значенія; сверхъ того, построенія, уже исполнен-
ныя при нахожденіи х и 1і — у пли х и у — Н, позволяютъ быстрѣе опредѣлить х
и 1і -]- у, опредѣляющія новое рѣшеніе Р"<2"К"8".
Заключеніе. — И. такъ, задача, взятая въ самомъ общемъ смыслѣ, всегда имѣетъ
два рѣшенія: 1) прямоугольникъ енѣ-еписанный, какъ Р"(у'К"8"; 2) прямоугольникъ
такой какъ Р()Е8, или какъ Р^'В'З' (черт. 30) смотря потому, будетъ-ли — боль-
ъ
ше, или меньше — •
Н
410. Задачи.
1.	Рабочій въ теченіи 7 дней работы, въ которой 3 дня помогалъ ему его уче-
никъ, получилъ 29 руб. Въ слѣдующіе затѣмъ 11 дней, изъ которыхъ 4 дня помо-
галъ ему ученикъ, онъ заработалъ 47 руб. Сколько получалъ въ день рабочій и
сколько ему давала въ день работа его ученика?
2.	Нѣкто, купивши 3 аршина одной матеріи и 5 аршииъ другой, издержалъ на
это 50 р. Въ другой разъ, купивши 7 аршинъ первой и 10 аршинъ другой, издер-
жалъ на это 75 р. Сколько стоилъ аршинъ той н другой матеріи?
3.	Вычислить стороны прямоугольника, зная, что если одну изъ нихъ увеличить
на 6 ф., а другую на 15, то площадь увеличится на 128 квадр. футовъ; если же
первую сторону уменьшить на 2 ф., а вторую иа 5 ф., то площадь уменьшится на
25 кв. футовъ.
4.	Рѣшить и изслѣдовать систему
ах -|- Ъу -|- с =0
Ъх -|- ау -|- с' = 0.
5.	Бассейнъ можетъ быть наполненъ водою пзъ двухъ краповъ такимъ образомъ:
если первый кранъ будетъ открытъ і часовъ, и затѣмъ закрытъ, то второй, будучи
открытъ послѣ этого, дополнитъ недостающее количество воды въ Ѳ часовъ; если ж
первый будетъ открытъ і' часовъ, и затѣмъ закрытъ, то вторымъ краномъ, откры-
тымъ по закрытіи перваго, бассейнъ наполнится въ Ѳ' часовъ. — Во сколько часовъ
каждый кранъ, будучи открытъ одинъ, наполнилъ бассейнъ?
6.	Сосудъ, наполняемый послѣдовательно двумя жидкостями, которыхъ плотно-
сти соотвѣтственно равны й и й', вѣситъ р и р', включая сюда и вѣсъ стѣнокъ
сосуда. Найти вѣсъ сосуда и его вмѣстимость?
7.	Данъ треугольникъ АВС, котораго основаніе ВС=а, высота АІ) — 1і. Тре-
буется провести двѣ параллели МК и М'Я' къ основанію, такъ чтобы ихъ разность
равнялась й, а площадь трапеціи МХМ'Х' была бы равновелика данному квадрату
т2. За неизвѣстныя можно принять разстоянія пскомыхъ параллелей отъ вершины
треугольника.
— 427 -
8.	Найти стороны х н у прямоугольника, зная, что они относятся между собою
какъ т: п, и что если измѣнить ихъ на а н Ъ, то площадь измѣнится на р*, гдѣ
р—данная линія.
9.	Вписать въ данный треугольникъ — прямоугольникъ, въ которомъ извѣстна
разность двухъ смежныхъ его сторонъ.
10.	Въ данный треугольникъ, котораго основаніе = Ъ, а высота = 7г, вписать
прямоугольникъ, подобный данному прямоугольнику, имѣющему измѣренія н и и.
11.	Двѣ прямыя XX' и УУ' пересѣкаются въ точкѣ О подъ прямымъ угломъ;
двѣ другія данныя прямыя АВ и А'В' встрѣчаютъ первыя двѣ въ данныхъ точкахъ,
именно: прямую XX' въ точкахъ В и В', прямую УУ' въ точкахъ А н А', причемъ:
ОА = а, ОА' = а', ОВ = Ь, ОВ' = Ъ'.
Найти разстоянія точки пересѣченія М прямыхъ АВ и А'В' отъ линій XX' и УУ'.
12.	Даны два треугольника АВС и А'В'С', которыхъ основанія АС = Ъ, А.'С=Ъ’
находятся на одной и той же прямой ХУ, а высоты равны к и к'. Въ какомъ раз-
стояніи у отъ прямой ХУ нужно провести параллельную ей прямую МИМ'И' для
того чтобы отрѣзки ея МИ и М'И', заключающіеся внутри треугольниковъ, были
равны. Вычислить также Ъбщую длину х этихъ равныхъ отрѣзковъ.
13.	На прямой АВ берутъ точку С, лежащую между А и В и на отрѣзкахъ
АВ = 2Н, АС = 2Н', ВС = 2В", какъ на діаметрахъ, описываютъ три полукруга О,
О' и О". Вписать кругъ I въ криволинейный треугольникъ, заключающійся между О,
О' и О"; вычислить также радіусъ этого круга.
За неизвѣстныя принятъ перпендикуляръ ІР = я; изъ центра искомаго круга на
АВ, и ОР = «/.
14.	Данъ прямоугольникъ АВСН, въ которомъ АВ = а н АН = Ь, причемъ
а > Ъ. Требуется на сторонахъ АВ и АВ найти такія точки Н н I, чтобы прямыя
НН' и ІГ, проведенныя черезъ иихъ параллельно сторонамъ прямоугольника и пере-
сѣкающіяся въ точкѣ О, образовали съ сторонами два новыхъ прямоугольника АНОІ
и НОГС, въ которыхъ стороны были бы въ данномъ отношеніи —» т. е. чтобы
01 __р ОН'_________р
он—7 и ог-7’
ГЛАВА XXVII.
Неопредѣленный анализъ первой степени.
Рѣшеніе одного уравненія съ 2 неизвѣстными, въ цѣлыхъ числахъ.—Рѣшеніе систе-
мы уравненій, въ которой число неизвѣстныхъ однимъ больше числа уравненій.—
Рѣшеніе одного ур-нія съ 3 неизвѣстными.—Задачи.
1. Рѣшеніе въ цѣлыхъ числахъ одного ур-нія съ 2 неизвѣст-
ными.
411.	Когда число неизвѣстныхъ больше числа уравненій, послѣднія имѣ-
ютъ безчисленное множество рѣшеній и называются поэтому неопредѣленными.
— 428 —
Простѣйшій случай представляетъ одно ур. съ двумя неизвѣстными, напр.
ж — 3^ = 5. Опредѣляя изъ него ж, находимъ
х — іу -{-5.
Это ур. показываетъ, что х зависитъ отъ у, самый же у остается совер-
шенно произвольнымъ; поэтому мы можемъ давать ему какія угодно значенія.
Такъ, полагая
у = — 2,	находимъ:	ж =—	1,
у= 0,	«	х=	5,
у= 4,	«	х = 17;	и	т. д.
Иногда вопросъ, приводящій къ неопредѣленному уравненію, требуетъ, что-
бы неизвѣстныя были числа цѣлыя-, а нерѣдко къ этому присоединяется еще
требованіе, чтобы они были и положительныя (напр., если х и у означаютъ
числа лицъ въ извѣстномъ обществѣ, или ци®ры искомаго числа и т. п.); та-
кимъ образомъ является задача: изъ безчисленнаго множества рѣшеній цѣлыхъ
п дробныхъ, положительныхъ и отрицательныхъ, выдѣлить только цѣлыя и по-
ложительныя: такое ограниченіе значительно уменьшаетъ число рѣшеній.
Всякое неопредѣленное ур. съ двумя неизвѣстными, по освобожденіи отъ
дробей, по перенесеніи неизвѣстныхъ въ одну часть, а извѣстныхъ въ другую
п по приведеніи можетъ быть представлено въ видѣ:
ах-+-Ьу — с,
гдѣ а, Ъ и с—числа цѣлыя. Прежде всего мы должны рѣшить вопросъ о томъ,
всегда-ли подобное ур. можетъ быть рѣшеномъ цѣлыхъ числахъ? Отвѣтомъ на
это служатъ слѣдующія двѣ теоремы.
412.	Теорема. I. Если въ уравненіи ах-|-Ъу = с коэффиціенты
а и Ь при неизвѣстныхъ имѣютъ общаго множителя, не содержаща-
гося въ извѣстномъ членѣ с, то уравненіе не имѣетъ цѣлыхъ рѣшеній.
Пусть а и Ъ имѣютъ общаго дѣлителя т, который не дѣлитъ числа с; въ
такомъ случаѣ, по раздѣленіи а и Ъ на т, получимъ нѣкоторыя цѣлыя числа
а! и Ъ'.
а\т — а!, Ъ:т~Ъ'\ откуда а —та! и & = >пй'.
Подстановка въ уравненіе дастъ
а'тх Ѵту — с,
откуда
а'х -4- Ъ'у = —>
1 т
гдѣ по условію, дробь. Допустивъ что х и у могутъ быть цѣлыми числами,
мы получили бы въ первой части послѣдняго уравненія число цѣлое, тогда какъ
вторая часть его—дробь: равенство было бы невозможно. Итакъ, ур. не можетъ
быть рѣшено въ цѣлыхъ числахъ.
Примѣромъ можетъ служить ур. 15ж -|-21у = 29, въ которомъ коэффиціен-
ты 15 и 21 имѣютъ общаго множителя 3, на который 29 не дѣлится.
Если всѣ три коэффиціента «, Ъ и с имѣютъ общаго множителя, то по со-
кращеніи на него уравненія можетъ оказаться: или, что коэффиціенты а и Ъ
— 429 —
имѣютъ общаго иножителя, или что а и Ъ — числа первыя между собою. Въ
первомъ случаѣ, по предыдущей теоремѣ, ур. не имѣетъцѣлыхъ рѣшеній. Что
же касается втораго случая, то можно доказать, что ур. необходимо имѣетъ
цѣлыя рѣшенія.
413.	Теорема II. Когда коэффиціенты а и Ь суть числа первыя
между собою, то ур. ах-)-Ьух— с имѣетъ, цѣлыя рѣшенія.
Рѣшивъ ур. относительно х, напр., получимъ
_ с — Ъу
а
5
меньшія
а остат-
Докажемъ прежде всего, что если въ эту Формулу вмѣсто у будемъ под-
ставлять всѣ послѣдовательныя цѣлыя числа меньшія а, т. е._ 0, 1, 2/3, . . . .
а — 1, и каждый разъ совершать дѣленіе, то всѣ а остатковъ будутъ различны.
Въ самомъ дѣлѣ, подставимъ вмѣсто у какія нибудь два числа у' и у"
а (изъ ряда 0, 1, 2, ... . а — 1); получимъ два выраженія
с — Ьг/ с — Ъу"
а	а
Выполнивъ каждое дѣленіе и означивъ частныя буквами ф и фг,
ки г' и г", найдемъ:
с — Ъу' . . с — Ьа" , г"
а	1 . а ’ а .	1 а..
Допустивъ, что остатки / и могутъ быть равны, найдемъ по
ніи втораго равенства изъ перваго:
с — Ъу'  і —г>#"	„
а	+
вычита-
а
или	ф — ф'.
а .
Такъ какъ ф— ф', какъ разнбсѣь цѣлыхъ чиселъ, есть число цѣлое, то и
первая часть должна быть цѣлымъ числомъ, а потому фу" — у') должно на-цѣло
дѣлиться на а. Но Ъ и а —числа первыя между собою, слѣд. ф' — у' должно
дѣлиться на а, т. е. разность двухъ чиселъ, изъ которыхъ каждое меньше а,
должно бы дѣлиться на а, что невозможно. Невозможно, поэтому, и допущеніе,
что могутъ быть равные остатки.
Итакъ, мы доказали, что если вмѣсто у подставлять всѣ послѣдовательныя
цѣлыя числа отъ 0 до а — 1 включительно, и каждый разъ совершать дѣленіе
с — Ъу на а, то мы получимъ а остатковъ, которые всѣ различны и каждый
меньше а, (какъ дѣлителя). Но всѣ цѣлыя числа меньшія а, различныя между
собою, число которыхъ а, суть, очевидно, числа
О, 1, 2, 3, ... . а —1.
Слѣд. въ числѣ остатковъ будетъ непремѣнно одинъ и только одинъ, рав-
„	. с — Ъу
ный нулю. Значеніе у, подстановка котораго въ выраженіе —-— даетъ оста-
токъ 0, обращаетъ х=с-—— въ цѣлое число: цѣлому у соотвѣтствуетъ цѣлый
а
— 430 -
х. Итакъ, когда а и Ъ первыя между собою, уравненіе дѣйствительно допус-
каетъ цѣлыя рѣшенія, что и требовалось доказать.
414. Первый способъ рѣшенія ур-нія ах + Ъу = с въ цѣлыхъ числахъ. Выше-
приведенное доказательство даетъ также средство находить одну пару цѣлыхъ
рѣшеній. Пусть, напр., дано уравненіе
Чх -}-5у = 232.
Такъ-какъ коэффиціенты при х и у суть числа первыя между собою, то
ур-ніе допускаетъ цѣлыя рѣщенія. Для опредѣленія одной пары ихъ рѣшаемъ
ур. относительно, напр., у, находимъ
232 — 7ж
--------
Подставляемъ сюда вмѣсто х послѣдовательно цѣлыя числа, меньшія 5,
т. е. О, 1, 2, 3, 4; находимъ;
при ж=0, у = —=46 +у;
.	232 — 7
« х = 1, у = —-— = 4э,
’ 3	5
Итакъ, подстановка 1 вмѣсто х, даетъ для у цѣлое число 45; сл. ж'= 1
и у = 45 представляютъ одну пару цѣлыхъ рѣшеній, что нетрудно провѣрить.
Замѣтимъ, что въ видахъ ограниченія числа возможныхъ подстановокъ
слѣдуетъ всегда рѣшать уравненіе относительно неизвѣстнаго, имѣющаго мень-
шій коэффиціентъ..
Какъ скоро найдена одна пара цѣлыхъ рѣшеній, то легко найти сколько
угодно такихъ рѣшеній при помощи Формулъ, къ выводу которыхъ теперь и
переходимъ.
415. Теорема III. Если какимъ нибудь способомъ найдена одна
пара цѣлыхъ рѣшеній: х = а, у = р уравненія ах + Ьу = с, то всѣ
цѣлыя рѣшенія заключаются въ формулахъ
х = а + Ъі,	У — $ —
гдѣ ^ — произвольное цѣлое число.
Такъ-какъух = а ,и у — $, по условію, суть рѣшенія даннаго уравненія,
то подстановка ихъ въ это уравненіе дастъ тождество
аа+ Ъ@ = с.ѵ
Вычтя это тождество изъ даннаго уравненія, имѣемъ:
а(х — а) + Ъ(у — Р) = О,
откуда
Ъ(0-у)
х — а = —-----~і
, - а
.	і Ь(Р — У)
а слѣд.	ж=а^|— а ~
Выраженіе х состоитъ изъ: цѣлаго числа а и дробнаго выраженія '
Поэтому х только тогда можетъ быть цѣлымъ числомъ, когда Ь(Р — у) дѣлится
- 431 —
на а\ н07> и а— числа первыя между собою, слѣд; чтобы — у) дѣлилось
нацѣло на а, необходимо, чтобы р — у дѣлилось на а\ поэтому для у можно
брать только такія цѣлыя числа, при которыхъ ~~у обращается въ произ-
а
вольное цѣлое число і, т. е. условіе того, чтобы х было цѣлымъ, есть
? — У
----- —І, или
$ — у = аі> или
у=^, — аі\ а въ такомъ случаѣ
х — а -\-Ы.
Выраженія: х — а-\~Ы и у = @— аі даютъ сколько угодно цѣлыхъ рѣше-
ній; стоитъ только вмѣсто I подставлять какія угодно цѣлыя числа.
Такъ какъ і подчинено только одному условію, что оно должно быть цѣ-
лымъ, то въ Формулы х и у можно вмѣсто і подставить — I, и тогда они при-
мутъ видъ:
х — а. — Ъі,	у~^-^-аі.
Возьмемъ-ли группу Формулъ:
х = а-{-Ъі, У = $— аі-,
или	х — а — Ъі, у — Р аі,
замѣчаемъ, что вторые члены ихъ суть произведенія неопредѣленнаго цѣлаго і:
на коэффиціентъ при у въ Формулѣ х, и на коэффиціентъ при х—въ Формулѣ
у, причемъ одинъ изъ этихъ коэффиціентовъ берется съ тѣмъ знакомъ, какой
онъ имѣетъ въ уравненіи, а другой—со знакомъ противоположнымъ тому, какой
онъ имѣетъ въ уравненіи. Зная это правило, можно тотчасъ опредѣлить всѣ
цѣлыя рѣшенія уравненія, какъ скоро найдена одна пара такихъ рѣшеній.
Примѣръ I. Выше мы нашли, что одна пара цѣлыхъ рѣшеній уравненія
7х~І~ 5у=232 есть: х = 1, у=45; слѣд. всѣ цѣлыя рѣшенія заключаются
въ Формулахъ:
х = 14-5^,	?/ = 45— *1і\
или въ Формулахъ:
х — 1 — Ы, у = 45 И.
Взявъ, напр., первую группу Формулъ, и давая въ ней і какія угодно
цѣлыя значенія, положительныя и отрицательныя, найдемъ сколько угодно паръ
цѣлыхъ рѣшеній; такъ
при	г!=	0	имѣемъ:	X —	1,	У = 45;
<	І —	1	€	ж = — 4,	у = 52;
€	і =	2	<	х —— 9,	у = 59; и т. д.
<	і —	— 1	€	х~ 6,	У = 38;
<	І —	— 2	<	х= 11,	у = 31, и т. п.
Примѣръ II.	Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе				
8ж — 13у= 159.
— 432 -
Опредѣляя х, имѣемъ:
„ _ 13</+ 159
Х- 8	’
7	11
при «/ = 0, имѣемъ: х — 19—; при «/ = 1, ж = 21—; при ?/ = 2, х = 23—;
О	Л	О
3	3
при у—і, ж = 24—; при у=4, ж = 26 —; при у = 5, ж = 28.
4	о
Общія Формулы цѣлыхъ рѣшеній суть:
а; = 28 + 13#,	«/= 58#;
или-же	ж = 28 —13#, у = Ъ— Зі.
Примѣчаніе. Изъ самаго доказательства теоремы ІП слѣдуетъ что въ Фор-
мулахъ: х = а.-{-Ъі, .у = $ — аі содержатся всѣ цѣлыя рѣшенія уравненія
ах Ъу = с; непосредственною же повѣркою можно доказать, что эти выраженія
дѣйствительно удовлетворяютъ данному уравненію. Въ самомъ дѣлѣ, подстанов-
ка даетъ:
а(а Ъі) 6(3 — аі) = с, или аа 4- 6р = с;
а это есть тождество, потому-что, по положенію, а и 3 удовлетворяютъ данно-
му уравненію.
Указанный способъ рѣшенія неопредѣленныхъ уравненій въ цѣлыхъ чис-
лахъ очень простъ, и его слѣдуетъ употреблять всякій разъ, когда коэффиціен-
ты при неизвѣстныхъ, или, по крайней мѣрѣ, одинъ изъ нихъ—числа неболь-
шія. Въ противномъ случаѣ, могло-бы потребоваться большое число подстановокъ
для нахожденія одной пары цѣлыхъ рѣшеній, и способъ этотъ отнималъ-бы
много времени. По этому для рѣшенія ур-ній съ большими коэффиціентами пред-
почтительнѣе употреблять
416. Второй способъ рѣшенія уравненія ах-]-Ъу = с въ цѣлыхъ числахъ.
Сперва разсмотримъ два частныхъ случая:
1. Пусть одинъ изъ коэффиціентовъ заключается множителемъ въ извѣст-
номъ членѣ, напр. пусть с = та\ уравненіе будетъ
ах Ъу — та,
та—Ъу Ъу
откуда	х —----—— = т —	•
Чтобы х было цѣлымъ числомъ, необходимо (т. к. т—цѣлое число), что-
бы Ъу дѣмилось на а\ но Ъ и а—числа первыя между собою, слѣд. необходимо
у должно быть кратнымъ а, т. е. должно быть.
у — аі,
гдѣ і—какое угодно цѣлое число: тогда х выразится цѣлою Формулою
х = т — Ъі.
Формулы: х — ѵп — Ы, у = аі, гдѣ і—произвольное цѣлое число, и даютъ
всѣ цѣлыя рѣшенія предложеннаго уравненія.
2. .Есля одинъ изъ коэффиціентовъ равенъ 1, напр. а = 1, то ур.
х Ъу = с
— 433
даетъ х = с — Ъу\ давая у какія угодно цѣлыя значенія, будемъ и для х полу-
чать каждый разъ цѣлыя же величины. Рѣшеніе такого уравненія, слѣд., весьма
просто.
На этомъ замѣчаніи и основанъ общій способъ рѣшенія неопредѣленнаго
уравненія въ цѣлыхъ числахъ. Въ самомъ дѣлѣ, еслибы намъ удалось привести
рѣшеніе уравненія ах-]-Ъу — с къ такому уравненію, въ которомъ одинъ изъ
коэффиціентовъ равенъ 1, то задача была бы рѣшена. Но когда а и Ъ числа
первыя между собою,—такое приведеніе всегда возможно. Пусть напр., дано ур-ніе
8ж-]-1%/ = 159 .... (1)
Коэффиціенты 8 и 13 числа первыя между собою, слѣд. уравненіе можетъ
быть рѣшено въ цѣлыхъ числахъ. Опредѣливъ то неизвѣстное, у котораго коэф-
фиціентъ меньше, находимъ:
159 — 13«
Х 8	’’
х	159	13	й	,
исключая цѣлыя числа изъ — и — и соединяя дробные члены въ одну дробь,
О О
получимъ:
Выраженіе х состоитъ изъ двухъ частей: 19 — у, которая будетъ цѣлою
7___________________
при всякомъ цѣломъ у, и ——имѣющей дробный видъ; для того чтобы X
о
было цѣлымъ числомъ, необходимо между всѣми значеніями у выбрать такія,
при которыхъ —-— равнялась бы нѣкоторому цѣлому числу і. Итакъ, нахож-
деніе цѣлыхъ значеній для х приводится къ рѣшенію въ цѣлыхъ числахъ
уравненія
— или 7 —5^ = 82... . (2)
О
Въ такомъ случаѣ будетъ
ж = 19 — у-{-і .... (а).
Замѣтимъ, что въ уравненіи (2), или все равно, 5у-(-8іі = 7, меньшій
коэффиціентъ есть остатокъ отъ раздѣленія большаго коэффиціента въ данномъ
ур-ніи на меньшій; а большій коэффиціентъ равенъ меньшему коэффиціенту
даннаго ур-нія; вслѣдствіе этого ур-ніе (2) проще даннаго. Кромѣ того, коэф-
фиціенты его 5 и 8 числа первыя между собою: это необходимо вытекаетъ изъ
того, что если дѣлимое (13) и дѣлитель (8) первые между собою, то остатокъ
(5) будетъ первый съ дѣлителемъ; такимъ образомъ ур. (2) имѣетъ необходимо
цѣлыя рѣшенія. Опредѣляя изъ него неизвѣстное, имѣющее меньшій' коэффи-
ціентъ, получимъ:
7 —	.	. 2 — Зі
— — 1 — И	_- •
28
- 434 —
Чтобы цѣлому і соотвѣтствовалъ цѣлый у, необходимо, чтобы выраженіе
2__$$
—-— было числомъ цѣлымъ; обозначивъ это цѣлое число буквою I', находимъ
у — І-і + і’, .... (а')
причемъ
5
Такимъ образомъ нахожденіе цѣлыхъ значеній у приводится къ рѣшенію
въ цѣлыхъ числахъ уравненія = і', или
3^4- 5^ = 2 .... (3).
Выводя изъ него неизвѣстное съ меньшимъ коэффицістомъ, имѣемъ
,	2 — 5/'	, 2 — 21'
= —3—=	3—
Разсуждая по предыдущему, убѣдимся, что нахожденіе цѣлыхъ значеній для
і приводитъ къ рѣшенію въ цѣлыхъ числахъ ур-нія	\
или 2<4-ЗГ = 2 .... (4),
О
причемъ
.... (а").
Рѣшая ур. (4) относительно имѣемъ
Чтобы было цѣлымъ, необходимо, чтобы было цѣлымъ положивъ
~—і"\ гдѣ і!"—неопредѣленное цѣлое, имѣемъ
а
.... (5)
причемъ
І — \ — —	.... (а'").
Итакъ, мы пришли къ ур-нію (5), въ которомъ коэффиціентъ при I" есть
1; давая і'" какія угодно цѣлыя значенія, будемъ каждый разъ получать и для
і" цѣлыя значенія.
Такимъ образомъ мы нашли рядъ соотношеній
1)	19 — у-^-і,
2)	у—
3)	і — — I' +і"
4)	1 —Г —Г
5)	і"=2Г.
Давая произвольное цѣлое значеніе количеству мы изъ ур. 5) получимъ
цѣлое же значеніе и для V. Цѣлыя значенія V* и подставленныя въ ур.
4), дадутъ цѣлое значеніе для Цѣлыя значенія і" и г/, подставленныя въ
— 435 —
3), дадутъ цѣлое значеніе для і. Эти цѣлыя значенія і и /, подставленныя
въ 2), дадутъ цѣлое значеніе для у. Наконецъ цѣлыя значенія і и г/, подстав-
ленныя въ 1), дадутъ соотвѣтствующее цѣлое значеніе х. Но во избѣжаніе не-
удобства, представляемаго такими послѣдовательными подстановками, выражаютъ
х и у непостредственно чрезъ произвольное количество і"'. Подставляя въ 4)
вмѣсто I" его величину 2/", найдемъ
И — 1 — 2і"' - I"' = 1 — 3/";
подставляя это выраженіе I' и вмѣсто его величину въ 3), получимъ
* = - 1 + 3*"'4-2Г = - 15*"';
подстановка значеній і и / во 2) дастъ
у — 1 1 — 5Г +1 - 3/" = 3 — 8/";
наконецъ, подстановка найденныхъ выраженій для у и і въ 1) дастъ:
х = 19 — 3 4- 8/" — 14- 5Г = 15 4- 13Г.
Итакъ общія Формулы цѣлыхъ рѣшеній^ нашего ур. суть:
®=15 4-13Г, у = 8 — 8/".	- 
Они имѣютъ совершенно тотъ же составъ, какой указанъ въ § 415.
417. Докажемъ, что указанный въ предыдущемъ § пріемъ рѣшенія ур-нія
всегда приводитъ къ полученію цѣлыхъ рѣшеній. Въ самомъ дѣлѣ, мы полу-
чили рядъ уравненій:
1)	8х 4-13«/ = 159,	
2)	5^4-	8і — 7,
3)	8і 4-	Ы'= 2,
4)	2/4-	8^’— 2,
5)		2/"= 0,
причемъ во 2) меньшій коэффиціентъ 5 есть остатокъ отъ раздѣленія большаго
коэффиціента даннаго ур. 13 на меньшій 8. Въ ур-ніи 3) меньшій коэффиціентъ
3 есть остатокъ отъ дѣленія 8 на 5, т. е. дѣлителя на первый остатокъ. Въ
ур-ніи 4) меньшій коэффиціентъ 2 есть остатокъ отъ дѣленіи 5 на 3, т. е.
перваго остатка на второй; и т. д. Изъ этого видно, что процессъ рѣшенія
приводитъ въ данномъ случаѣ къ такому же ряду дѣйствій, какой имѣлъ бы
мѣсто при нахожденіи общаго наиб. дѣлителя между коэффиціентами даннаго
уравненія. Но какъ эти коэффиціенты—числа первыя между собою, то въ ука-
занномъ рядѣ дѣленій непремѣнно дойдемъ до остатка равнаго 1, который и
явится коэффиціентомъ при одномъ изъ неизвѣстныхъ въ одномъ изъ уравне-
ній (въ нашемъ примѣрѣ—коэффиціентомъ при I" въ ур. 5) ). Такимъ обра-
зомъ, цѣль будетъ достигнута.
Для полученія цѣлыхъ рѣшеній въ опредѣленныхъ числахъ стоитъ только
произвольному цѣлому і’" давать какія угодно цѣлыя значенія—положительныя
или отрицательныя: 0, 1, 2, 3, . . . . , — 1, —2; — 3, . .
При і—	О1	1!	2’	31	4'	5
ж = 154-13/"= 15 28і 41' 54 67і 80
У= 3- 8/" = 3| — 5[—13 —21 —29|—37.
й
я
— 1!- 2— 3—4
2*—11 —24 —37
11; 19- 27 35
28*
- 436 —
418. Упрощенія Общаго споба.—При рѣшеніи неопредѣленнаго уравненія
слѣдуетъ пользоваться всѣми обстоятельствами, которыя ведутъ къ упрощенію
вычисленій и слѣд. къ скорѣйшему достиженію цѣли. Укажемъ эти упрощенія.
1.	Рѣшая уравненіе 19ж-|-15г/= 23, находимъ
23—19а:	.	. 8—4ж
Приравнявъ і дробный членъ, получили-бы уравненіе съ коэффиціентами
4 и 15; но можно получить ур. съ меньшими коэффиціентами, замѣтивъ, что
8 — іх 4(2 — х) „
= И МѣД-
очевидно, что у будемъ цѣлымъ при такомъ цѣломъ ж, который обращаетъ
2 — х
въ цѣлое число і; поэтому полагаемъ
2 — х,
откуда	2 — я = 152, и ж = 2 —152; затѣмъ
—	—	2Н-152-|-42 = —1-|-192.
Указанный пріемъ быстро привелъ къ цѣлымъ Формуламъ для х и у.
2.	Упрощеніе рѣшенія всегда возможно въ томъ случаѣ, когда одинъ изъ
коэффиціентовъ при неизвѣстныхъ и извѣстный членъ имѣютъ общаго множи-
теля. Пусть дано ур-ніе.
6ж — Ъу = 21;
раздѣливъ обѣ части на общаго множителя 3 чиселъ 6 и 21, получимъ:
2*-4’ = 7.
Такъ какъ 2ж и 7—числа цѣлыя, то Ъу должно дѣлиться на 3; но 5 не
дѣлится на-цѣло на 3, слѣдовательно — должно быть цѣлымъ. Обозначивъ
О
это цѣлое буквою /, имѣемъ: -^-=/, откуда у = ЗУ, и данное ур. прини-
маетъ простѣйшій видъ
2ж —5і/'=7;
рѣшая его, послѣдовательно находимъ:
а.=5»1±2;=2!/,+ 3+У±1. У±1=(. /+1 = 2І; /=- 1 + 2і;
Л	А	А
х — 1у 3	і ^2^ — 2 “I- 42 4~ 3 —і *— 1	52; и наконецъ
у - Іу = 3(—1 -ь ЪІ}= - 3 + Ъі.
3.	Однимъ изъ полезнѣйшихъ упрощеній служитъ введеніе отрицатель-
ныхъ остатковъ. Такъ рѣшая ур-ніе,
7ж4 26і/= 111,
— 437 —
имѣемъ
х —	— 154-1 — 32/ — ^.
7	1 7 я 7
Здѣсь каждый изъ остатковъ: 6 и 5 отъ дѣленія 111 и 26 на 7 больше
половины дѣлителя; но ихъ можно уменьшить, если каждое изъ частныхъ уве-
личить на 1. Взявъ при дѣленіи 111 на 7 въ частномъ 16, получимъ отри-
цательный остатокъ —1, численная величина котораго меньше 6; точно та-
кимъ же образомъ взявъ при дѣленіи 2(5 на 7 въ частномъ 4, найдемъ отри-
цательный остатокъ —2, численно меньшій прежняго остатка. Формула «при-
метъ видъ
« = 16--і-(42/-^) = 16-4// + ?^;
2ѵ— 1
полагая —- — — имѣемъ:
« = 16—
Затѣмъ: 2у = 1 -4- И, у =	= Зі 4~	полагая —
2	2	2
имѣемъ:	у = Зі-]-і', і = —Наконецъ:
у — — 3 4-7*; « = 27-26*'.
419. Рѣшеніе въ цѣлыхъ положительныхъ числахъ.—Иногда вопросъ, при-
водящій къ неопредѣленному уравненію, требуетъ не только цѣлыхъ, но вмѣс-
тѣ съ этимъ и положительныхъ рѣшеній. Слѣдующая теорема позволяетъ, при
одномъ взглядѣ на уравненіе, опредѣлить, имѣетъ ли уравненіе ограниченное
число цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній, или неограниченное, или совсѣмъ не
имѣетъ такихъ рѣшеній.
420. Теорема. Уравненіе ах-\-Ъу=с имѣетъ ограниченное чис-
ло рѣшеній въ цѣлыхъ положительныхъ числахъ, или совсѣмъ не имѣ-
етъ такихъ рѣшеній, когда коэффиціенты а и Ъ имѣютъ одинаковый
знакъ; напротивъ, оно имѣетъ неограниченное число сказанныхъ рѣше-
ній, когда а и Ъ имѣютъ противоположные знаки.
Мы видѣли, что цѣлыя рѣшенія уравненія ах-\~Ъу=2с выражаются Фор-
мулами
х ~ а 4~ Ъі, у = @ — аі,
гдѣ а и р представляютъ одну пару цѣлыхъ рѣшеній, а і произвольное цѣлое
число, положительное или отрицательное.
Условившись коэффиціентъ а считать всегда положительнымъ (еслибъ было
«<0, то умноживъ все уравненіе на —1, мы сдѣлали бы коэф. при х поло-
жительнымъ), и обозначая абсолютныя величины количествъ а, Ъ и с буквами
а', V и с', убѣдимся, что въ отношеніи знаковъ ур. ах-\~Ъу — с можетъ пред-
ставлять только слѣдующіе случаи:
а'х -\-Ъ'у = -\-с'.(1).
а'х 4~ Ъ'у = — </..(2).
а'х — Ъ'у=^с', . » . .(3).
- 438 —
I. Цѣлыя рѣшенія ур-нія (1) изображаются Формулами:
х — а -}- Ь'і, У — Р — а'^‘і
чтобы х и у были положительны, цѣлое і должно удовлетворять неравенствамъ;
а-1- Ь7>0, р — а7>0;
рѣшая эти неравенства, находимъ:
г> * #<д,
о	а
т. е. ограничивающіе предѣлы для і. Если между этими предѣлами находятся
цѣлыя числа, то уравненіе имѣетъ столько паръ цѣлыхъ положительныхъ рѣ-
шеній, сколько существуетъ такихъ цѣлыхъ значеній і; если 5§е между прёдѣ- ,
а 3
лами— и — нѣтъ цѣлыхъ чиселъ, то ур-ніе совсѣмъ не имѣетъ цѣлыхъ
положительныхъ рѣшеній. Вотъ примѣры;
1. Рѣшая ур. Зх 13?/ = 159, мы нашли
ж = 15-}-13^, у=3 — 8#;
рѣшая неравенства 15 4-13# > О и 3 — Зі > 0, находимъ:
_ . 15	_ ч 2	,	3
или #>-1^; и і<~.
Между предѣлами —1-4 и — заключаются только два цѣлыя числа;
13 о
— 1 и 0; полагая і = —1, находимъ: ж = 2, у = 11; положивъ ^ = 0, полу-
чимъ: ж = 15, т/ = 3. Данное ур. допускаетъ, такимъ образомъ, только двѣ
пары цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній.
2. Рѣшая ур. 2ж-|-3?/=1, находимъ
х = — 14-3^, у = 1—
откуда находимъ предѣлы для і:	^<4-- Но какъ между і и -і-
О	Л	О Л
нѣтъ цѣлыхъ чиселъ, то заключаемъ, что данное уравненіе не имѣетъ цѣлыхъ
положительныхъ рѣшеній. Это видно изъ самаго уравненія; въ самомъ дѣлѣ,
сумма коэффиціентовъ при х и у больше извѣстнаго члена, а потому даже при
самыхъ малыхъ цѣлыхъ положительныхъ значеніяхъ неизвѣстныхъ, при х — 1
и ^ = 1, первая часть уравненія больше второй. Вообще, если въ уравненіи
а'х -\-Ъ'у — с' имѣемъ а'-\-М>с\ оно не имѣетъ цѣлыхъ положительныхъ
рѣшеній.
II. Уравненіе а'х 4- Ъ'у = — с', въ которомъ коэффиціенты при неизвѣ-
стныхъ положительны, а извѣстный членъ отрицателенъ, не имѣетъ положи-
тельныхъ рѣшеній, не цѣлыхъ, ни дробныхъ, ибо сумма положительныхъ чи-
селъ не можетъ равняться отрицательному числу.
III. Цѣлыя рѣшенія уравненія а'х— Ъ'у^с, гдѣ с^О, выражаются Фор-
мулами:
х=.а-\-Ъ'і, у=^-\-а'і\
- 439 —
чтобы выбрать изъ нихъ только положительныя, надо рѣшить неравенства
а	5
откуда	, ^> — 4;
о	а
отсюда очевидно, что всякое цѣлое значеніе і, большее большей изъ дробей —
а $
-у и —-,> дастъ цѣлыя положительныя рѣшенія; а такъ какъ такихъ значеній
і безконечно много, то ур. допускаетъ безчисленное множество цѣлыхъ положи-
тельныхъ рѣшеній.
П р и м ъ р ъ. — Выше мы нашли, что цѣлыя рѣшенія» уравненія
бж — Ьу = 21 выражаются Формулами:
ж = 1~|~5^, у =—34-6^;
а предѣлы для і опредѣляются неравенствами
і4-5г>о, — 34-61! > о,
откуда:
Заключаемъ, что всѣ цѣлыя числа, большія т. е. 1, 2, 3, 4, . . .
Л
до 4-со даютъ цѣлыя положительныя значенія х и у.
421. Примѣчаніе. Когда число цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній ограни-
ченное, его можно опредѣлить, съ точностью до 1, не рѣшая уравненія.
Этотъ случай представляется тогда, когда а и Ъ имѣютъ одинаковые зна-
ки, и для і получается два предѣла—нисшій и высшій, именно
откуда видно, что уравненіе ах-\-Ъу = с имѣетъ столько цѣлыхъ положитель-
ныхъ рѣшеній, сколько есть цѣлыхъ, положительныхъ или отрицательныхъ
«	0
чиселъ, между—у и — •
ОС 3
I случай. — Числа — и — — дробныя.
Пусть будутъ--^ — / и — 4-Д цѣлыя числа, изъ которыхъ первое
О	л
а	„	3	а
меньше —&>. второе больше — • Между двумя цѣлыми числами — у~/ и
— 4“/і содержится столько послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ, сколько еди-
(Л>
ницъ безъ одной заключается въ ихъ разности. Слѣд. число п цѣлыхъ поло-
жительныхъ рѣшеній уравненія будетъ
»Ч+М-іН <) -1=+>+г, -1.
Но какъ а и р суть рѣшенія даннаго ур нія, то число аа-^-Ъ^ равно с,
и потому
«=4+/'+А-1-
аЬ '	1,1
- 440 -
Пусть цѣлая часть частнаго-^- равна у, а дополнительная дробь тогда
п=г+А+АЧ'А—1.................................(1)’
Такъ какъ, по положенію, — у и у не цѣлыя числа, то А и суть
числа положительныя, отличныя отъ нуля, и меньшія 1, а потому число
А+А+А —1, будучи цѣлымъ, можетъ равняться только 0 или 1, такъ что
п равно д1 или 2 + 1-	4
II случай. — Одно изъ чиселъ'. — ~ и — или оба — цѣлыя,
о а
Если — у число цѣлое, то можно взять і равнымъ — у > и х будетъ
равенъ нулю, между тѣмъ какъ у будетъ имѣть величину положительную и
цѣлую, равную частному отъ раздѣленія с на Ъ. Въ такомъ случаѣ при дока-
зательствѣ беремъ цѣлое число, предшествующее —у» т, е. полагаетъ А=1-
Подобное же замѣчаніе относится и къ случаю когда — будетъ цѣлое число;
а
и тогда, при этихъ новыхъ условіяхъ, Формула (1) всегда примѣнима.
Полагая, что только одно изъ чиселъ —у и -у — цѣлое, цѣлое число
А+ А + А — 1 приводится къ- суммѣ двухъ чиселъ, отличныхъ отъ нуля и
меньшихъ, каждое, единицу;., одо .равйц, слѣд., 1, а потому число рѣшеній бу-
детъ <[ 4-1.	/	”.
а	3
Пусть, затѣмъ, оба числа: —;-у. и — цѣлыя. Числа А и А будутъ
о	а
оба равны 1, и легко показать, что А рйвно. 0. Въ самомъ дѣлѣ, какъ ска-
ОС	д
зано выше, — у есть цѣлое число, слѣд. с дѣлится на -у есть цѣлое чис-
ло, слѣд. с дѣлится на а, а потому и на аЪ. Такимъ образомъ А = 0,
А—А = 1, слѣд. А+А+А — 1 равно 1, и и = і?4-1. Итакъ, число цѣ-
лыхъ положительныхъ рѣшеній уравненія ах-\-Ъу — с равно у или у-}-1, на-
зывая буквою у цѣлую часть частнаго отъ раздѣленія с на аЪ. (Приэтомъ О
принимается числомъ положительнымъ).
Напр. для ур-ній Ъх іу = 2 и Іх зу — 39 число рѣшеній — у, для
уравненій 4ж-}-3«/=11 и 7ж гіу = 61 оно равно
422. Для примѣненія изложенной теоріи рѣшимъ слѣдующія три задачи.
I задача. — Выдать 78 рублей одними 5-ти и 3-хъ рублевыми биле-
тами^ не имѣя никакихъ другихъ.
Положимъ, что для этого нужно выдать пятирублевыхъ билетовъ х, а
трехрублевыхъ у-, уравненіе, очевидно, будетъ:
5«4-Зг/ = 78.
Задача требуетъ цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній; и по коэффиціентамъ
при х и у видно, что ур-ніе имѣетъ цѣлыя рѣшенія. Раздѣливъ все ур. на 3,
находимъ
7-Н = 26;
- 441 -
полагая ѵ = гдѣ і— цѣлое число, тотчасъ имѣемъ:
ѵ	х — Зі, «/ = 26 — аі.
Чтобы х и у были положительными, необходимо, чтобы
З# > О (если 0 включить въ число положит. :  > ' .У,
26 — 5#>0, откуда і<^ или 51
О
Итакъ, полагая	*
і — 0,	1,	2,	3,	4,	5,	Ни'•	,
-	ж= 0,	3,	6,	9,	12,	15,
«/ = 26,	21,	16,	11,	6,	1.
Отсюда видно, что выдать 78 руб. требуемымъ образомъ можно шестью
различными способами, именно:									
1)	Давая	26 билетовъ въ		3 рубля	И	ни одного въ		5 рублей;	или
2)		21		»	>	3	билета	> •	или
3)	>	16	>	>		6	>		или
4)		11	>	>	>	9	>	> ;	или
5)		6	>	>	>	12	>	> ’	или
6)	>	1	>		>	15	>		
II ЗАДАЧА.		Извѣстно, что		пріемами элементарной геометріи					(ш. е. по-
средствомъ циркуля и линейки} можно раздѣлитъ окружность какъ на 6,
такъ и на 5 равныхъ частей. Какъ и сколькими способами можно съ помо-
щію этихъ частей найти і часть окружности!
Очевидно, что нужно найти такія двѣ дроби съ знаменателями 5 и 6, ко-
торыхъ разность равнялась-бы назвавъ числители этихъ дробей буквами
13
х и «/, имѣемъ:
®______________________ У __ 1 ГЛ X. У_______1 /ПХ
6	5 “15 '	5	6 “15 Л
Рѣшаемъ ур. (1); по освобожденіи отъ знаменателей имѣемъ:
5х — бу = 2;
раздѣливъ обѣ части на 2 и положивъ -^ = х', получимъ ур-ніе
А
5х'— Зу = 1,
откуда х' = — 14- 34 а слѣд.
х — — 2 4~ 64
затѣмъ	у= — 2-}-Ъі.
1	2
Чтобы х и у были >0, нужно чтобы было: і> -д, і>-^- Полагая
і = 1,	2,	3,.............
находимъ:	ж = 4, 10, 16,..............
2/ = 3,	8, 12,..............
- 442 —
Итакъ, наименьшія значенія ж и у, дающія простѣйшее рѣшеніе задачи,
4	2	3
суть:	4 и г/ = 3, т. е.: отъ — или у окружности нужно отнять'у ея,
и остатокъ дастъ окружности.
1 о
Рѣшая ур-ніе (2), или, по освобожденіи отъ дробей, уравненіе: 6г/ — 5ж = 2,
находимъ:
х — 2 — 62,
«/ = 2 — 52,
1	2
предѣлы для і суть: і<-^ і<~^' Полагая.
3	о
имѣемъ:
і=0,
ж = 2
У = 2
— 1,
8,
7,
- 3,
20,
17,
- 2,
14,
12,
Итакъ, при этомъ способѣ, простѣйшее рѣшеніе задачи будетъ х = 2 и
2	1
г/ = 2, т. е. вычтя изъ дуги, равной — окр. дугу = у окр., получимъ въ
О	О
Ж 1
остаткѣ — окружности.
III задача. Зубчатое колесо съ 17-ю зубцами захватываетъ зубцы дру-
гаго колеса съ 13-ю зубцами. Сколько оборотовъ должно сдѣлать каждое изъ
нихъ, чтобы каждый зубецъ перваго побывалъ въ каждомъ промежуткѣ
втораго ?
Пусть первое колесо должно сдѣлать х оборотовъ, а второе у. Когда пер-
вое обернется одинъ разъ, его 17 зубцовъ зацѣпятъ послѣдовательно столько
же промежутковъ втораго; слѣд. при х оборотахъ 17ж зубцовъ зацѣпятъ 13г/
промежутковъ между зубцами втораго. Но при х оборотахъ каждый зубецъ дол-
женъ зацѣпить каждый промежутокъ, слѣд.
17ж = 13г/,
откуда: ж = 132, г/ = 172.
Чтобы х и у были положительны, нужно і давать всѣ цѣлыя значенія,
начиная съ 1. Такимъ образомъ, требуемое будетъ имѣть мѣсто черезъ 13 обо-
ротовъ (вообще 132) перваго, или 17 (вообще 172) оборотовъ втораго.
2. Рѣшеніе системы уравненій, въ которой число неизвѣ-
стныхъ однимъ больше числа уравненій.
423.	Возьмемъ 2 ур-нія съ 3 неизвѣстными:
ах -[- Ъу	св — й.........(1)
и'х	Ъ'у -р бг = (Т .... (2).
Если въ каждомъ изъ нихъ или въ одномъ всѣ четыре коэффиціента имѣ-
ютъ общаго множителя, то предварительно на него сокращаютъ уравненіе; пусть
это сдѣлано, и оба уравненія приведены въ простѣйшій видъ.
— 443 —
Чтобы каждое ур-ніе въ отдѣльности принимало цѣлыя рѣшенія, необхо-
димо, чтобы въ каждомъ всѣ три коэффиціента: при х,у и # были первые меж-
ду собою, т. е. а, Ъ и с — первые между собою, и а', Ъ' и с'—между собою.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть напр. а, Ъ и с имѣютъ общаго множителя ш, на ко-
торый Л не дѣлится; въ такомъ случаѣ частныя
Л I, Ь	С
— — а" , — — У и — = с
т	т	т
будутъ цѣлыя; отсюда
а = а"т, Ъ = Ъ'гт, С — ^'т.
Подставляя въ ур. (1) и сокращая на т, найдемъ
а!'х -{- Ъ"у с"# = •
При цѣлыхъ ж, у и # первая часть представляетъ число цѣлое, тогда какъ
вторая есть дробь; слѣд. ур-ніе не имѣетъ цѣлыхъ рѣшеній.
Рѣшая одно ур-ніе съ 2 неизвѣстными: ах-\-Ъу = с мы видѣли, что когда
а и Ь — числа первыя между собою, ур-ніе необходимо имѣетъ цѣлыя рѣшенія;
слѣд. условіе, что для цѣлыхъ рѣшеній коэффиціенты а и Ъ должны быть пер-
выми между собою, было въ этомъ случаѣ условіемъ необходимымъ и доста-
точнымъ.
Что же касается взятой системы 2-хъ ур-ній съ 3 неизвѣстными, то въ
каждомъ ур-ніи коэффиціенты могутъ быть числами первыми между собою, а
ур-нія могутъ и не имѣть цѣлыхъ рѣшеній; слѣд. условіе это для данной си-
стемы, будучи необходимымъ, можетъ быть еще недостаточнымъ (см. далѣе слу-
чай II).
424.	Пріемъ рѣшенія состоитъ въ исключеніи одного изъ неизвѣстныхъ;
исключивъ, напр., найдемъ:
(ас' — а'с}х 4- (Ьс' — Ъ'с)у — дс' — д'с . . . . (3).
При этомъ могутъ представиться слѣдующіе 3 случая;
425.	Первый случай. — Если коэффиціенты при х и у въ ур-ніи (3) —
числа первыя между собою, то, какъ извѣстно, ур-ніе это необходимо имѣетъ
цѣлыя рѣшенія. Если одна пара этихъ рѣшеній будетъ а и [3, то всѣ цѣлыя
рѣшенія выразятся Формулами:
х — а-\-(Ъс'— Ъ'с).і,
у = @ — (ас' — а'с).і.
Подставивъ ихъ въ ур. (1), найдемъ
сг — с(аЪ' — а'Ъ)і = д — аа — Ъ$.
Первая часть дѣлится на с; если раздѣлится и вторая часть, то ур. бу-
детъ имѣть цѣлыя рѣшенія, въ противномъ случаѣ—нѣтъ. Пусть дѣленіе й —
аа— Ъ? на с совершается безъ остатка и пусть
... (4)
тогда
г — (аЪ' — Ъа’)і = у,
— 444 —
откуда	я — у + (аЬ' — Ъа') і-
[Изъ (4) имѣемъ: аа. 4- &Р + су = й, т. е. а, |3 и у обращаютъ 1-ое ур-
ніе въ тождество, а потому составляютъ систему цѣлыхъ рѣшеній этого ур-нія].
Итакъ, имѣемъ симметричныя Формулы
х — а -|- (Ь</ — Ь'с)+
у — р -|- (са' — ас')і,
я — у (аУ — Ьа'у:
цѣлыя і дадутъ цѣлыя же значенія и для х, у и я.
Положивъ для краткости:
Ьс'— Ъ'с—р, са' — а'с = у, аЪ'— а'Ъ —г,
найдемъ
х = «+^, У = Р + 9^> йг=у + ^.
Если бы по смыслу задачи требовалось найти для ж, у, я цѣлыя положи-
тельныя числа, то пришлось бы рѣшить совмѣстныя неравенства
а-[+>о, Р+<^>о, у-1- гі>о,
которыя дадутъ три предѣла для і.
Если всѣ эти предѣлы одного смысла, то: 1) когда всѣ они нисшіе, то
нужно давать і всѣ цѣлыя значенія, большія большаго изъ нихъ; 2) если всѣ
три предѣла высшіе, то надо давать і всѣ цѣлыя значенія, меньшія меньшаго
изъ нихъ; въ томъ и другомъ случаѣ ур-ніе имѣетъ безчисленное множество
цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній. Если предѣлы не всѣ одного смысла, то
нужно давать і всѣ цѣлыя значенія, содержащіяся между этими предѣлами: чи-
сло цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній будетъ, слѣдовательно, ограниченное На-
конецъ, если предѣлы получатся противорѣчащіе, то ур-нія не имѣютъ цѣлыхъ
положительныхъ рѣшеній.
Примъръ. — Рѣшить ур-нія
15ж +35^+35^=385,
6»+9у+ 8^ = 104.
Всѣ коэффиціенты перваго ур-нія имѣютъ общаго множителя 5, на кото-
рый и сокращаемъ это ур-ніе, послѣ чего получимъ систему
Зж+7г/+ 7^ = 77,
6« + 9г/+ 8я = 104.
Въ каждомъ изъ этихъ ур-ній въ отдѣльности коэффиціенты при неизвѣ-
стныхъ числа первыя между собою; стало быть, возможно, что ур-нія имѣютъ
цѣлыя рѣшенія. Предварительно сдѣлаемъ нѣкоторыя упрощенія. Въ первомъ
ур-ніи коэффиціенты 7, 7 и 77 дѣлятся на 7; раздѣливъ обѣ части на это чи-
сло, найдемъ ур-ніе
Зе .	.	..
у + «/ + ^=11;
замѣчая, что у должно быть цѣлымъ, полагаемъ у = ж', откуда
ж = 7я/,
а уравненіе принимаетъ видъ
За/4-^4-я = 11. . . . (1')
Во второмъ уравненіи коэффиціенты 6, 8 и 104 дѣлятся Па 2; по сокра-
щеніи на это число, получимъ
3^4- ^4-4^ = 52;
такъ какъ — должно быть цѣлымъ, то положивъ ~—у', откуда у =2/, имѣемъ
4	а
Зх4~9г/'4^ 4^ —52 . . . . (2')	>
Внося въ ур. (1') 2/ вмѣсто у, а во (2х) Іх' вмѣсто х, найдемъ:
Зх' 4- 2г/ 4- 2 = 11,
;21я/4-9/4-4г = 52.
Умноживъ первое изъ этихъ ур-ній на 4 и вычтя второе, мы исключимъ
г и получимъ (по умноженіи на —1):
9х' -\-у'— 8,
откуда	у—%— 9х’.
Отсюда видно, что всякому цѣлому ж' соотвѣтствуетъ цѣлый у'. Внося эту
величину у' въ ур-ніе Зх'4~ 2/4“^ — И> находимъ
— 15ж'4-^ = —5,
откуда	2 = — 5 4-15а/,
слѣд. цѣлому я/ соотвѣтствуетъ и цѣлый 2. Такимъ образомъ, у' и 2 выражены
черезъ самый же я/ произволенъ. Находимъ теперь Формулы для х, г/,
они будутъ
х = 7х',
у = 16 — 18х',
2 — — 5 4~15я/,
гдѣ я?'—произвольное цѣлое число.
Если надо имѣть цѣлыя положительныя величины неизвѣстныхъ, то рѣ-
шаемъ неравннства
7а/> О, 16 —18х'>0 и — 5 4-15х'>0,
откуда	ж'>0, х'<^, х'>~>
У	о
Предѣлы одного свойства (о и приводятся къ одному, і слѣд. дол-
жно быть:
а какъ между этими предѣлами нѣтъ цѣлыхъ чиселъ, то заключаемъ, что урав-
ненія не допускаютъ цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній.
426.	Второй случай. — Если коэффиціенты ас' — са' и 6с' — сЪ' имѣютъ
общаго множителя к, который не дѣлитъ Ас'— сА', ур. (3) не будетъ имѣть
цѣлыхъ рѣшеній, а слѣд. и данныя уравненія не будутъ ихъ имѣть.
- 446 -
Примѣръ. Такъ, уравненія
5ж-[-4г/ — 3^ = 11,
4ж+ 7г/4- 9^ = 26
имѣютъ, каждое, коэффиціенты при х, у, # первые между собою, но не допус-
каютъ цѣлыхъ рѣшеній. Въ самомъ дѣлѣ, умноживъ первое на 3 и сложивъ
со вторымъ, найдемъ
19»4-19у = 59,
въ которомъ коэффиціенты при х и у имѣютъ общаго множителѣ 19, на кото-
рый 59 не дѣлится.
Точно также не имѣютъ цѣлыхъ рѣшеній и ур-нія, выводимыя изъ дан-
ныхъ исключеніемъ х или у. Первое было бы
19і/ -]- 57^ = 86, или 1/4'3^=“'
1 У
а второе
19®— 57# =— 27, или х — 3^ = —
оба неразрѣшимы въ цѣлыхъ числахъ.
427.	Третій случай. Если всѣ три количества ас' — са', Ъс'—сѴ и
дх' — сд.' имѣютъ общаго множителя й, то раздѣливъ все ур-ніе на к и назвавъ
частныя отъ раздѣленія этихъ количествъ на к буквами т, п ар, получимъ ур.
ті-^- пу—р.
Если т и п — числа первыя между собою, то найдемъ цѣлыя рѣшенія
для х и у вида:
х — а— пі, у = @-]-ті.
Подставляя въ одно изъ данныхъ уравненій, напр. въ 1-ое, получимъ
ур-ніе въ и и і; если оно допускаетъ цѣлыя рѣшенія, онѣ будутъ вида:
^ = у4'^,> И І =
Подставляя выраженіе для і въ Формулы х и у, выразимъ всѣ три не-
извѣстныя черезъ г'; итакъ
х — (а — по) — пгі’\
у = (р 4"4" тг^ і
* = у 4 дИ.
Цѣлыя значенія И дадутъ таковыя же и для ®, у п г.
Примѣръ. Пусть даны ур-нія
бж- 71/4-2^ = 21 .... (1)
8® 4- 51/4'6^ = 49 .... (2).
Исключивъ находимъ
10® — 26і/= 14,
или, по сокращеніи на 2:
5® —13і/ = 7,
откуда:	х = 4 —13г, і/ = 1 —5/.
- 447 -
или
Подстановка въ (1) дастъ:
— 43*4-2.2 = 4,
-ѵ + " = 2-
Положивъ 4- = *', откуда * = 2*', получимъ
Л
— 43*' 4-.2 = 2;
г = 2 -1- 43*', * = 2*'.
. (1)
• (2).
слѣд.
Окончательно:
ж = 4 —26*', у = 1—10*', .2 = 24-43*'.
Легко видѣть, что данная система не допускаетъ цѣлыхъ положительныхъ
рѣшеній.
428.	Задача. Найти число, которое при раздѣленіи на 11, на 17 и на
23, давало-бы послѣдовательно, остатки 4, 9 и. 10.
Обозначивъ частныя соотвѣтственно буквами х, у и г, а искомое число
буквою К, имѣемъ:
К ,4 X .9 К ,10
І1 = *+іг И = !/+і7'	23 = ^23’
К = 11ж4-4, К = 17^4-9, К = 23^4-10,
откуда получаемъ два уравненія:
11^4-4 = 172/4-9 и 11» 4-4 = 23^4-10,
которыя можно представить въ видѣ:
11х — 17у = 5 . .
11х— 23.2 = 6 . .
Изъ (1) имѣемъ:
5 + 17?/	«	. ।
® =	= 2?/4--
2 — «
полагая —^ ^ = *, откуда 2/ = 1 — И*-
Подставляя вмѣсто у его величину въ выраженіе х, получимъ
ж = 2 —17*,
и	2/ = 1—11^-
Подставляя выраженіе х въ ур. (2), находимъ
11(2 —17*) —23^ = 6, или 187*4-23^ = 16 .... (3).
л	16 — 187* о± .16 — 3* о, ।
Отсюда г— —----------= — 8* 4- —-—= — 8*4-*,
^0	АО
полагая — 4?ЗІ=*', или 3*4-23*'= 16, откуда
АО
І _ 16 — 23*' 5 _	1-4-/'_ 5 _	полагая _ 2".
^^ = 22/4-5*,
Изъ послѣдняго ур-нія имѣемъ: *' = — 1 -|- 3*". Обратная подстановка да-
етъ послѣдовательно:
*	= 5-8( — 14-3*") 4-*" = 13 — 23*";
г=— 8(13 - 23*") — 1 + 3*" = —105 +187*".
Остается х и у выразить въ зависимости отъ *"; получимъ:
х = — 219 4-391*",
«/ = — 1424-253*",
^ = — 1054-187*".
Взявъ для К одну изъ трехъ Формулъ этого числа, напр. К = 11«4- 4
и подставивъ вмѣсто х найденное выраженіе, имѣемъ:
К = 11( — 219 4- 391*") 4- 4 = — 2405 -|- 4301*".
Это и есть общая Формула всѣхъ чиселъ, имѣющихъ то свойство, что при
дѣленіи на 11, 17 и 23, они даютъ остатки, соотвѣтственно ровные 4, 9 и 10.
Полагая *" = 0, 1, 2, . . . . , —1, —2, . . . . находимъ цѣлый рядъ чи-
селъ этого свойства. Такъ:	~
*	= 0 даетъ К = —2405;
*	= 1 даетъ ТЧ = 1896; и т. д.
Если бы требовалось найти наименьшее положительное число даннаго свой-
ства, то оно соотвѣтствовало бы наименьшему цѣлому *", дающему для К —
положительное значеніе. Такое *" опредѣляется изъ условія: — 2405-|-4301*">0,
и есть *"=1; соотвѣтствующая величина К равна 1896.
429. Подобнымъ же образомъ рѣшается всякая система ур-ній, въ кото-
рой число неизвѣстныхъ однимъ больше числа уравненій, потому-что послѣдо-
вательныя исключенія неизвѣстныхъ всегда приведутъ къ одному ур-нію съ 2
неизвѣстными. Пусть для примѣра дана
Задача. Найти число, которое при раздѣленіи на 5, 6, 7 и 8 давало-бы
послѣдовательные остатки 3, 1, 0 и 5.
Обозначивъ искомое число буквою К, а частныя по порядку буквами х, у,
г и и, находимъ:
К = 5«-|-3, К=6«/4-1, Е = 7^, П = 8«4-5; откуда 3 ур-нія
1.	5х — 6у = — 2,
2.	5х — 7г = — 3,
3. 5«— 8и = 2.
Въ данномъ случаѣ нѣтъ даже надобности въ исключеніи неизвѣстныхъ,
ибо и безъ того каждое ур-ніе содержитъ только два неизвѣстныя.
Рѣшай ур-ніе 5х— бу — — 2, находимъ:
у — 2-|-5*, « = 24-6*.
Вставляя « = 24-6* въ уравненіи (2), получаемъ ур-ніе
12 — 30* = 13,
изъ котораго находимъ
в——114-30*', *=-34-7*/.
- 449 —
Выразивъ х и у черезъ имѣемъ
х = —16 —42*\ у= -13 + 35?
Вставляя вм. х его выраженіе черезъ і' въ ур. 3., имѣемъ
210*'-8м = 82,
откуда:	*' = 1 + 4*", м = 16 + 105*".
Выражая и остальныя неизвѣстныя черезъ *", получаемъ
а; = 26+ 168*",
у = 22 + 140*",
г = 19 + 120*",
и = 16 + 105*".
Вычисляя К, проще всего по Формулѣ Я = 7.г, находимъ:
Я = 133+ 840*".
Итакъ, искомыя числа имѣютъ видъ 133 + 840*; изъ нихъ наименьшее
положительное = 13 3.
3.	Рѣшеніе въ цѣлыхъ числахъ уравненія, содержащаго бо-
лѣе двухъ неизвѣстныхъ.
430. Ограничимся разсмотрѣніемъ случая одного уравненія съ 3 неизвѣ-
стными.
Пусть будетъ ах-\-Ъусг =: (I такое ур., въ которомъ а, Ь, с и й—чис-
ла цѣлыя. Прежде всего необходимо, чтобы коэффиціенты а, Ъ и с не имѣли
такого общаго множителя, который не заключается въ й; иначе ур. не могло
бы быть рѣшено въ цѣлыхъ числахъ. Если же эти коэффиціенты имѣютъ об-
щаго множителя, содержащагося въ й, то его удаляютъ сокращеніемъ; затѣмъ
могутъ представиться два случая: 1) изъ трехъ коэффиціентовъ а, Ъ и с, по
крайней мѣрѣ, два—первые между собою (или а и Ъ, или я и с, или Ъ и с),
какъ напр. въ ур-ніи 12а? + 11я/+15^ = 141, гдѣ 12 и 11 — числа первыя
между собою; 2) или каждые два коэффиціента имѣютъ общаго множителя, такъ-
что нѣтъ ни одной пары коэффиціентовъ первыхъ между собою; таково ур-ніе
12^ + 152/ + 2(Ь = 181,
въ которомъ 12 и 15 дѣлятся на 3; 12 и 20 — на 4, а 15 и 20 — на 5.
431. Первый случай. Пусть а и Ъ—числа первыя между собою; перене-
семъ сг во вторую часть и приложимъ къ ур-нію
ах + Ъу = й — сг
пріемъ § 416, принимая на-время г за извѣстное; такимъ образомъ мы най-
демъ Формулы
гс = а — Ь*, 2/ = ^ + а*,
въ которыхъ а и 0—цѣлые относительно г полиномы первой степени. Давая
г и * произвольныя цѣлыя значенія, найдемъ цѣлыя значенія и для х и у.
29
— 450 —
Если неизвѣстныя должны быть, сверхъ того, положительными, то даемъ
г произвольное, но цѣлое и положительное, значеніе, и полагаемъ
а — Й>0 и
откуда получимъ для і два предѣла; смотря по тому, будутъ-ли эти предѣлы
одного смысла или разнаго, согласные между собою или противорѣчащіе, полу-
чится неограниченное число цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній для х и у, или
же ограниченное, или же такихъ рѣшеній совсѣмъ не будетъ. Такимъ образомъ
поступаютъ по отношенію ко всякому цѣлому положительному значенію г.
Примѣръ. Пусть дано ур-ніе
5^4- Зу — Пг = 41.
Такъ какъ 5 и 8 числа первыя между собою, то указанный пріемъ при-
мѣнимъ къ этому уравненію. Итакъ
5®4-8у = 41 -4-12^,
______________414- 12я — 8у__о і п п і 14“	+ ^У
откуда	ж=—=!—-- = 8-4-2^ — 2у-\-—-----А
О	э
или	ж = 8 4-^ —2у4-^
полагая —!—— = і, или 2у — Ы = — 1 — 2^. Отсюда
О
— 1 — 2# —|- Ы	. п, I —1	і л. I
У=--------’— = —	-— = — ^4 2*4-г,
Л	А
полагая = или 2=14-2^.
Это значеніе, подставленное въ у^ даетъ
у= — 4~ 2 4-4^4-/' или у ——Н- 2 4- 5^.
Подставляя найденныя для у и і величины въ Формулу х, получимъ
ж = 8 4-2^4-2^—4 — 10^4'1 + 2^ = 54-4^ — 8^. '
Если ищемъ для х, у и г только положительныя цѣлыя значенія, то
опредѣляя предѣлы для получимъ
^>^2 и ^<^+5.
5	8
„	4^4-5^ в — 2	.	41	,
Отсюда: —, слѣд.	а какъ для в беремъ только
о	5	12
положительныя значенія, то, включая сюда и 0, имѣемъ:
^ = 0, 1,2. . . . до 4-°°-
2	5
При г = 0 находимъ V > — — и , слѣд. можно положить только
Э	О
і! = 0, что дастъ: х = 5 и у = 2.
При я=1 имѣемъ і’> — у и V < 1-і-; сл. можно взять ^ = 0 и і'—І,
что дастъ:
^=0.............У-і-і х = 9-,
У=1.............у = 6, ж=1.
5
При * = 2 находимъ і' > 0 и И < 1—; слѣд. можно взять /' = О (ибо
О
условіе і! > 0	не	исключаетъ равенства) и	і’ — 1.
При	і' =	0	имѣемъ:	у = 0,	х —	13;
при	і' —	1	»	у — Ь,	а; =	5.
При	—	3	получаемъ	і! > ѵ	и і' <	2-^-,	слѣд. можно взять: і' = 1 и
5	о
і' = 2, что дастъ:
/' = 1 . . . . і/=4, ж = 9; /'=2. . . . і/ = 9, * х = 1.
Продолжая такимъ образомъ, получимъ сколько угодно системъ цѣлыхъ
положительныхъ рѣшеній.
432. Второй случай. Положимъ теперь, что между тремя коэффиціентами
нѣтъ ни одной пары взаимно-первыхъ. Назовемъ буквою к общаго наиб. дѣли-
теля, напр., для а и Ъ\ и пусть а' и V будетъ частныя отъ раздѣленія а и Ъ
на к. Ур. будетъ
ка'х кЬ'у ся ~ й,
откуда	а'х -]- Ъ'у —	•
Полагая, что первая часть есть чесло цѣлое, необходимо, чтобы и вторая
равнялась цѣлому числу, напр. і\ въ такомъ случаѣ
а'х -|- Ъ'у — і.....(1)
" СИ .	I 7 , т	/П\
и	—— — Ъ,	или	си-\-кі~й...........(2).
Но а' и Ъ' первыя между собою, какъ частныя отъ раздѣленія а и Ь на
ихъ общ. наиб. дѣл. Л; а потому ур. (1) имѣетъ цѣлыя рѣшенія вида:
х = а. — Ъ'і' и у а'І' ... (3)
въ которомъ а и Р суть цѣлые полиномы первой степени относительно /.
Затѣмъ, замѣчая, что с и А —первыя между собою числа, потому — что
множитель Л, будучи общимъ для а и Ъ, не дѣлитъ с; ур. (2) имѣетъ, слѣд.,
цѣлыя рѣшенія вида
г ~ у — кі" и I = § 4~	• • • (^)
подставляя эту величину і въ Формулы х и у, мы представимъ эти неизвѣ-
стныя цѣлыми полиномами первой степени въ I" и между тѣмъ какъ г за-
виситъ только отъ I".
Если вопросъ требуетъ еще, чтобы х, у и г были положительными, то дол-
жно выразить, что величины ихъ больше нуля; въ полученныхъ неравенствахъ
нужно отдѣлить і' и Г' и такимъ образомъ получить предѣлы для этихъ не-
опредѣленныхъ; изъ теоріи неравенствъ мы знаемъ, что это не всегда возможно.
Примѣръ. — Пусть дано ур-ніе
6ж —101/4-15* = 37.
Замѣчая, что 6 и 10 имѣютъ общаго дѣлителя 2, даемъ ур-нію видъ'.
9 с 37 —15*
Зж —5у = — —,
29*
— 452 —
и полагаемъ, что
Зж—5у = * и 37	= * или 15,г + 2* = 37.
Изъ перваго находимъ
у=1— Зі' и ж = 2/—5/'.
Изъ втораго имѣемъ
— 21" и 1—11 + 1Ы".
Вставляя эту величину I въ выраженія у и ж, получимъ
2/= 11+ 15/"—ЗГ и ж= 22 4-30/" — Ы'.
достаточно дать И и У какія угодно цѣлыя величины и такимъ образомъ по-
лучатся цѣлыя значенія ж, у и г.
Чтобы выдѣлить только положительныя, полагаемъ
1 —2*">0; 11 + 15*" —ЗГ>0; 22 +30*" - 5Г> 0.
Первое даетъ *" < — • Два другія можно написать такъ:
3*7 —15*" <11 и 5*' — 30*" <22,
или, умноживъ первое на 2:
6*' —30*" <22 и Ы — 30*" <22.
Изъ условія 2*"<1 имѣемъ 30*" <15. Складывая это неравенство съ каж-
дымъ изъ двухъ предыдущихъ, находимъ условія
6Г < 37 и 5^ <37,
изъ которыхъ второе заключеется въ первомъ. Итакъ, количеству V можно да-
вать только значенія
—[- 6, -]- 5, -]- 4,.............до	— оо
Изъ неравенствъ въ Г и *" находимъ
6*' —22	±„	б*' —22
г>~5Г ' ‘ >-зо—
При положительныхъ *' первый предѣлъ больше втораго, поэтому нужно
удержать первый предѣлъ. При отрицательныхъ Г — наоборотъ, причемъ для і"
слѣдуетъ брать только величины между 0 и этимъ вторымъ предѣломъ.
Такимъ образомъ находимъ:
Для Г = 6; 5; 4 — нѣтъ соотвѣтствующихъ значеній для *".
При:
	3	имѣемъ: *'' = 0;	откуда	х= 7;	У =	2;	г = 1.
а—	2	<	*" = 0;	С	12;		5;	1.
а—	— 2	<	^'=0;	<	ж = 32;	У =	17;	^ = 1.
		< — 1;	<	2;		2;	3.
і'—	-3	<	0;	с	37;		20;	1.
		<	—і;	«	7;		5;	3.
	-8	<	*"=0;	с	ж=62;	У =	;35;	2—1.
		« -1;	<	32;		20;	3.
		<	-2;		2.		5;	5.
й т. д.
— 453 —
433. Задачи.
Рѣшить въ цѣлыхъ положительныхъ числахъ уравненія:
1. б«4-7«/ + 4 = 56.	3.	бх 4- 8у = 29.
4 2. // = 134-=(15 — х). 10	4.	17л 4- 53// — 123 = 441 — 19» 4-16//.
5. 17а; = 11«/4-86.	6.	11» — 13?/ = 36?/ — За; — 133.
7. 89» — 144// = 1.	8.	73»-|-17_58у —56 19	21
9. 16а;-|-4// = 1830.	10.	2373 = 13» 4- 24//.
11. 123»	567//= 5028.	12.	7» 4-3//= 1000.
13. 3875» 4-2973^ =122362.
* 14. х 3// Ъг — 44: 3» + Ъу "Ь — 68-
ІЙ. х 4-2// 4-Зг = бО; іх—бу— бе  -—66.
16.	2х4-бу — 7г =22; 3»4-4?/ —8г = 0.
17.	3« + 5^ + 7г=560; 9« +25^4-49г = 2920.
18.	6а; 4- 7^ + 4г= 122, 1 Іх4- 8у — 6г = 145.
19.	2а;14// —7г = 341; 10» 4- іу-{- 9г = 473.
20.	я>4- 2^ + Зг= 14; 2х + Зу4і = 24; 3» 4-4г 4-52 = 35.
21.	7ж + 4у 4- 9г = 89.	22. 8х 4- 13// 4- 17г = 89.
23.	Зх — 18«/+бг = — 47.	24. 10®+ 13//4-8г = 143.
25.	Дробь Щ представить въ видѣ суммы двухъ положительныхъ дробей съ зна-
менателями 9 и 13.
26.	Найти двѣ положительныя дроби съ знаменателями 11 и 13, разность кото-
рыхъ была бы •
27.	Какъ раздѣлить окружность круга на такія двѣ дуги, чтобы число градусовъ
одной дѣлилось на 7, а второй, прп раздѣленіи на 12, давало бы остатокъ 11.
28.	Въ трехзначномъ числѣ крайняя лѣвая цифра составляетъ числа, обра-
зуемаго двумя другими цифрами, а крайняя правая цифра числа, образуемаго
остальными двумя цифрами. Опредѣлить это трехзначное число?
29.	Садовникъ долженъ разсадить деревья, число которыхъ меньше 1000. Если
онъ посадитъ ихъ рядами по 37 штукъ въ каждомъ ряду, то у него останется 8
штукъ; еслп же онъ разсадитъ пхъ по 43 дерева въ каждомъ ряду, то у него оста-
нется 11 штукъ. Сколько у него деревьевъ?
30.	Нѣкто уложилъ въ ящикъ 100 книгъ, вѣсившихъ 2 -і- пуда. Каждый фолі-
антъ вѣсилъ 4 фунта, каждая книга іп—4° по 2 ф., а каждая іп—8° вѣсила фун-
та. Сколько книгъ каждаго рода положено было въ ящикъ?
31.	Нѣкто купилъ на биржѣ 48 тоннъ хлѣба за 10000 марокъ, причемъ тонна
пшеницы обошлась ему въ 260 марокъ, тонна ржи въ 190, а тонна овса въ 170
— 454 —
марокъ; при этомъ оказалось, что число тоннъ ржп дѣлилось на 10. Сколько зерна
каждаго рода онъ купилъ?
32.	Дробь представить въ видѣ суммы трехъ положительныхъ дробей’, такъ
чтобы сумма чпслптелей равнялась суммы цифръ, пзъ которыхъ составлены знаме-
натели.
33.	Владѣлецъ фабрики, желая наградить рабочихъ, расчиталъ, что если каждому
мужчинѣ дать по б р., каждой женщинѣ по 4 р., а каждому пзъ несовершеннолѣт-
нихъ рабочихъ по 2 р., то потребуется на все 156 р. Если же каждому пзъ рабочихъ
дать однимъ рублемъ меньше, то потребуется только 118 р. Сколько работаетъ на
фабрикѣ мужчинъ, сколько женщинъ и сколько дѣтей?
34.	У однаго хозяина работали на четырехъ фермахъ: 12 рабочихъ на первой,
9 на второй, 8 на третьей и 6 на четвертой. Плата всѣмъ равнялась 1350 руб.
Плата рабочимъ на второй и третьей фермахъ равнялась въ сложности платѣ рабо-
чимъ первой, а каждый рабочій этой послѣдней получалъ вдвое больше рабочаго чет-
вертой фермы. Какова могла быть плата каждому рабочему на каждой фермѣ, если
извѣстно, что эти платы составляли цѣлыя числа рублей?
35.	Углы остроугольнаго Д-ка дѣлятся: одинъ на 7, другой на 9, третій на 11.
Сколько градусовъ можетъ содержать каждый уголъ?
36.	Для починки водопровода на протяженіи 131 метра имѣются въ запасѣ трубы
трехъ сортовъ: въ 1 въ 2 и въ 3 метра длиною. Сколькпми способамп можно
сдѣлать поправку трубами всѣхъ трехъ родовъ?
37.	Дробь 4400~ разложить на сумму трехъ положительныхъ дробей съ знамена-
телями 11, 16 и 25?
ОГЛАВЛЕНІЕ.
-ч: .а. с т ъ і_
ОТДѢЛЪ ПЕРВЫЙ.
Глава I.	Стр.
Предварительныя понятія и опредѣ-
ленія...............................  1
Глава II.
Положительныя и отрицательныя ко-
личества ....................• . .	13
Глава III.
Цѣль алгебраическихъ дѣйствій.—За-
конъ Ганкеля.—Сложеніе и вычитаніе .	20
Глава IV.
Умноженіе ........................ 39
Глава V.
Дѣленіе........................ .	59
'	Глава VI.	'
/ Разложеніе па множителей,—Умпоже-
/ піе п дѣленіе многочленовъ съ буквен- /
/ нымп коэффиціентами............... 77
.Глава VII.
О дѣлимоети на биномы хія.—Осно-
ванія способа неопредѣленныхъ коэффи-
ціентовъ.............................   85
Глава VIII.
Общій наибольшій дѣлитель и наим.
кратное. ....	........... 102
е исчисленіе.
Глава IX.	Стр.
Алгебраическія дроби. ......	116
Глава X.
Возвышеніе въ степень............. 132
Глава XI.
Извлеченіе корня (общія правила). .	140
Глава XII.
Извлеченіе квадратнаге корня изъ чи-
селъ и многочленовъ.............  .	144
Глава XIII.	/
Извлеченіе кубичнаго корпя изъ чи-
селъ и многочленовъ. .	.............176
Глава XIV.
Объ ирраціональныхъ числахъ . . .	187
Глава XV.
Объ ирраціональныхъ выраженіяхъ .	202
Глава XVI.
Степени и корпи съ дробными и отри-
цательными показателями. ......	219
Глава XVII.
Замѣчательныя Формы алгебраиче-
скихъ выраженій......................231
ОТДѢЛЪ ВТОРОЙ.
Уравненія и неравенства первой степени.
Глава XVIII.		
Уравненія первой степени неизвѣстнымъ .	...	съ однимъ	245
Глава XIX.		
Уравненія первой степени неизвѣстными . . . . -	съ двумя	277
Глава XX. Рѣшеніе системы трехъ съ 3 неизвѣстными.	уравненій	291
Глава ХХІі
Рѣшеніе системы уравненій первой
степени съ какимъ угодно числомъ не-
извѣстныхъ .......................... 300
Глава ХХІІ.
Составленіе уравненій со многими не-
извѣстными .......................... 313
Глава XXIII.
Теорія пропорцій................... 322
Глава XXIV.
Неравенства первой степени. . . .	340
Глава XXV.
Изслѣдованіе уравненій первой сте-
пени съ однимъ неизвѣстнымъ . . .	372
— II —
Глава XXVI.	Стр.
Изслѣдованіе уравненій первой сте-
пени съ 2 неизвѣстными............... 400
Глава ХХѴП.
Неопредѣленный анализъ первой сте-
пени............................... 427
ч: а с т ь и.
ОТДѢЛЪ ТРЕТІЙ.
Уравненія и неравенства второй и высшихъ степеней.
Глава XXVIII.
Мнимыя величины и дѣйствія надъ ними
Глава XXIX.
Геометрическое представленіе мни-
мыхъ величинъ.....................
Глава XXX"
Рѣшеніе квадратныхъ уравненій . .
XXXI.
Связь между коэффиціентами и корнями
квадратнаго уравненія ............
Глава XXXII.
Квадратный трппомъ..............
Глава XXXIII.
Неравенстпавысшихъ степеней и ирра-
ціональныя. ......................
Глава XXXIV.
Раціональныя уравненіи, приводимыя
къ квадратнымъ....................
Глава XXXV.
1 Раціональныя уравненія, приводимыя
къ квадратнымъ (продолженіе)..........	117
Глава XXXVI.
11 Ирраціональныя уравненіи............ 130
Глава XXXVII.
22 Системы уравненій высшихъ степеней. 142
Глава XXXVIII.
Численные вопросы высшихъ степеней. 160
51	Глава XXXIX.
Изслѣдованіе измѣиеиія нѣмшорыхъ
72 : Функцій..........................•'	ХЬі.
'	Глава ХЬ.
Образцы изслѣдованія вопросовъ вто-
83 : рой степени (23 задачи)............. 196
;	Глава ХЫ.
1 Махіта и гпіпігпа пъ задачахъ . .	276
103 ;
ОТДѢЛЪ ЧЕТВЕРТЫЙ.
Анализъ соединеній и его приложенія.
Глава ХЫІ.	Глава ХЫП.
Соединенія безъ повтореній и съ по- ; Биномъ Ньютона.....................357
втореніями......................... 345	;	,
ОТДѢЛЪ ПЯТЫЙ.
Теорія рядовъ и логариѳмовъ.
Глава ХЫѴ.	Глава ХЫХ.
Прогрессія ариѳметическая	 Глава ХЬѴ.	369 1 Вычисленіе логариѳмовъ посредствомъ 1 рядовъ	 441
Прогрессія геометрическая	 Глава ХЬѴІ. Элементарная теорія рядовъ. . .	385 |	Глава Ь. О десятичныхъ логариѳмахъ.—Таб- 398' ли цы	4іО
Глава ХЬѴІІ. Формула бинома для всякаго показа- теля	 		 Глава ХІ.ѴПІ.	Глава Ы. ‘ Приложеніе логариѳмовъ къ рѣшенію 417 . показательныхъ уравненій и къ ®инан- і совымъ операціямъ	462
Логариѳмы		430
ОТДѢЛЪ ШЕСТОЙ.
Непрерывныя дроби
Глава 1,11.
Непрерывныя дроби
485
ЗАМѢЧЕННЫЯ ПОГРѢШНОСТИ.
Страница.	Строка.	Напечатано.	Должно (Іытъ:
63	19 сверху	(а + Ъ)*	(аД-Ь)*
78	1 снизу	А3 —В3	А3 + В3
106	3 снизу	остатокъ х	остатокъ В.
176		Первая строка § 164 должна быть замѣнена словомъ: Опредѣленія.
189		На черт. 9: въ пересѣченіи окружности съ діа- гональю должна быть буква М.
206	10 сверху	— 2а у/ а	— 2а у/ Ъ
• 215	2 снизу	+ з V 2	+ з\/2 (\/2 — і)
		
217 Зад.	102 д. б: ^2 4	-Уз+??=	-УА+ 0 - Ѵзр/А
223	2 сверху	давно бы	дало бы
228	8 сверху	Ѵв	ув У в	Уа