ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА
КУРСЪ СИСТЕМАТИЧЕСКІЙ
ВЪ ДВУХЪ ТОМАХЪ.
МОСКВА. ‘
Типо-литографія Т-ва И. Н. Кушнеревъ и К°, Пименовская улв| соб. дожъ, 1ѲОЗ.

О ГЛ А В Л Н Н I Е.
ОТДѢЛЪ ПЕРВЫЙ.
Алгебраическія дѣйствія.
Предисловіе..........
Глава I.
Стр, .
, V	Глава IX.
Алгебраическія дроби * .
107
Предварительныя понятія и опредѣленія ............................. 1
Глава II.
Положительныя и отрицательныя количества........................ 10
Глава Ш.
Цѣль алгебраическихъ дѣйствій.— Законъ Ганкеля.— Сложеніе и вычитаніе ............................ 17
Глава ІѴ.
Умноженіе  ..................... 34
Глава V.
Дѣленіе  ....................... 51
Глава VI.
Разложеніе на множителей.—Умноженіе и дѣленіе многочленовъ съ буквенными коэффиціентами ......	69
Глава ѴП.
О дѣлимости на биномы х а. — Основаніе способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ ................... 77
Глава ѴШ.
Общій наивысшій дѣлитель и наин. кратное............................93
Глава X. Возвышеніе въ степень............120
Глава XI.
Извлеченіе корня (общія правила) . 126 Глава ХП.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ..............130
Глава XIII.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ чиселъ и многочленовъ .............  159
Глава XIV.
Объ ирраціональныхъ числахъ. . . 170
Глава XV.
Объ ирраціональныхъ выраженіяхъ . 186 Глава XVI. Степени и корни съ дробными и отрицательными показателями . .	. 199
Глава XVII.
Замѣчательныя формы алгебраическихъ выраженій..................  209
ОТДѢЛЪ ВТОРОЙ.
Уравненія и неравенства первой степени.
Глава XVIII.
Уравненія первой степени съ одппмъ неизвѣстнымъ .....................221
Глава XIX.
Уравненія первой степени съ двумя неизвѣстными......................245
Глава XX.
Рѣшеніе системы трехъ уравненій съ 3 неизвѣстными.......... .	. 258
Глава XXI.
Рѣшеніе системы уравненій первой степени съ какий^ъ угодно числомъ неизвѣстныхъ......................266
Глава XXII.
Составленіе уравненій со многими неизвѣстными......................277
Глава XXIII. Теорія пропорцій.................283
Глава XXIV. Неравенства первой степени. . . . 300
Глава XXV. Изслѣдованіе уравненій первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ. , . . 331
Глава XXVI.
Изслѣдованіе уравненій первой степени съ 2 неизвѣстными ...... 359
Глава XXVII.
Неопредѣленный анализъ первой степени..........................  385
ОТДѢЛЪ ТРЕТІЙ,
Уравненія и неравенства второй и высшихъ степеней.
Стр.
Глава XXVIII.
Мнимыя величины и дѣйствія надъ ними ............................  414
Глава XXIX.
Геометрическое представленіе мнимыхъ величинъ...................	. 421
Глава XXX.
Рѣшеніе квадратныхъ уравненій . . 432
Глава XXXI.
Связь между коэффиціентами и корнями квадратнаго уравненія.........460
Глава XXXII.
Квадратный триномъ................4Я
Глава XXXIII.
Сіпр. Глава XXXV.
Раціональныя уравненія, приводимыя къ квадратнымъ (продолженіе). . 538 Глава XXXVI.
Ирраціональныя уравненія .... 552 Глава XXXVII.
Системы уравненій высшихъ степеней 578 Глава XXXVIII.
Неравенства высшихъ степеней и прраніонаіьныя .......... 502
Глава XXXIV, Раціональныя уравненія, приводимыя къ квадратнымъ.................524
Уравненія; кубичное и четвертой степени.............................594
Глава XXXIX.
' Численные вопросы высшихъ степеней 604 і	Глава ХЬ.
Изслѣдованіе измѣненій нѣкоторыхъ функцій ♦...........................609
1	Глава ХЫ.
; Образцы изслѣдованія вопросовъ : второй степени (24 задачи).........634
і	Глава ХЫІ.
| Махіта и тіпіта въ задачахъ . . 709
ОТДѢЛЪ ЧЕТВЕРТЫЙ.
Анализъ соединеній и его приложенія.
Глава ХЫП.	Глава ХЫѴ.
Соединенія безъ повтореній и съ по-	Биномъ Ньютона..........790
втореніями............. 778
ОТДѢЛЪ ПЯТЫЙ.
Теорія рядовъ и логариѳмовъ.
Глава ХЬѴ.
Прогрессія ариѳметическая .... 810 Глава ХЬѴІ,
Прогрессія геометрическая . . - . 814 Глава ХЬѴІІ.
Элементарная теорія рядовъ . . . 834 Глава ХЬѴІІІ.
Формула бинома для всякаго показателя ............................852
Глава ХІЛХ.
Логариѳмы...............  •	. . 866
Глава Ь.
Вычисленіе логариѳмовъ посредствомъ рядовъ...................  876
Глава Ы.
О десятичныхъ логариѳмахъ,—Таблицы .............................885
Глава ЫІ.
Приложеніе логариѳмовъ къ рѣшенію показательныхъ уравненій и къ финансовымъ операціямъ..............896
ОТДѢЛЪ ШЕСТОЙ.
Непрерывныя дроби и ихъ приложенія.
Глава ЬПІ.
Непрерывныя дроби. .
Глава ЫГ,
. . 922
Неопредѣленный анализъ второй степени........................  950

ПРЕДИСЛОВІЕ.
Выпуская вл свѣтъ 2-е изданіе своею курса элементарной алгебры. авторъ позаботился тщательно исправитъ всякіе случайные недосмотры и промахи, почти неизбѣжные въ первомъ изданіи. Весь курсъ снлонгь былъ внимательно пересмотрѣнъ, причемъ, введены всѣ усовершенствованія и всѣ новинки, какія успѣли накопиться со времени появленія 1-ю изданія. Изложенію, при полной ею ясности и простотѣ,, авторъ старался придать совершенную научную строгость, съ устраненіемъ всякихъ мнимыхъ доказательствъ и недомолвокъ, обычныхъ въ нашихъ ходовыхъ курсахъ. Подъ мнимыми доказательствами мы разумѣемъ такіе пріемы, какъ, напримѣръ, выводъ разложеніи функцій въ безконечные ряды но способу неопредѣленныхъ коэффиціентовъ и т. п. Къ, особенностямъ курса, отличающимъ сю отъ другихъ аналогичныхъ явленій, принадлежитъ широкое развитіе одной стороны дѣла, весьма существенной и, несмотря на то, обыкновенно почти игнорируемой учебниками, именно изслѣдованія вопросовъ 1-й и 2-й степени. Въ связи съ этимъ дано и болѣе широкое развитіе статьямъ о неравенствахъ и объ измѣненіи простѣйшихъ функцій, куда примыкаютъ и элементарные способы нахожденія максимальныхъ н минимальныхъ значеній функцій. Благодаря этому, въ нашемъ курсѣ элементарная алгебра приведена въ болѣе тѣсную связь съ аналитическою геометріею и съ высшимъ анализомъ', читатель исподволь подготовляется къ этимъ высшимъ частямъ математики. Что касается новинокъ, введенныхъ во 2-е изданіе, но і.зъ числа ихъ важнѣе другихъ усовершенствованія въ менадахъ изслѣдованія вопросовъ 2-й степени: я разумѣю яла-
VI
ны Ніирода, и особенно Тартэнвилля. Расположеніе изслѣдованія, предложенное Тартэнвиллемъ, вноситъ- въ это нелегкое дгьло необыкновенную ясность, стройность, порядокъ и относительную простоту. Изъ числа другихъ новинокъ стоитъ упомянутъ: объ особомъ методѣ разложенія на множители симметричныхъ функцій; о новыхъ пріемахъ для отличенія паразитныхъ корней резольвента ирраціональнаго уравненія отъ корней, удовлетворяюгцихъ этому уравненію; о безукоризненно строгихъ доказательствахъ теоремы о тахітипі’ѣ произведенія, данныхъ Дарбу и Гурза; о преданномъ было забвенію, но возстановленномъ въ новыхъ курсахъ» Эйлеровомъ доказательствѣ формулы Ньютонова бинома и т. д. Кромѣ того, прибавлены двѣ новыя главы, изъ коихъ въ одной разсматривается ргьшеніе полныхъ уравненій 3-й и 4-й степени. въ другой—рѣшеніе неопредѣленнаго ур—нІя 2-й степенгг съ двумя перемѣнными.
Количество задачъ значительно увеличено введеніемъ тамъ и сямъ задачъ новыхъ типовъ и, кромѣ того, прибавленіемъ 400 смѣшанныхъ задачъ, носящихъ Характеръ болѣе трудныхъ» упражненій, на которыхъ могутъ пытать свои силы болѣе успѣвающіе и болѣе талантливые учащіеся старшаго возраста.
Такъ какъ авторъ имѣлъ въ виду не только учениковъ, обучающихся въ учебныхъ заведеніяхъ, гдѣ они всегда найдутъ опору въ своихъ наставникахъ, но и такихъ лицъ, которыя обстоятельствами вынуждены готовишься дома, гдгь они по большей части лишены опытныхъ руководителей,—въ виду этого, въ настоящемъ изданіи всѣ задачи снажбены отвѣтами, а болѣе трудныя—и полными рѣшеніями; вслѣдствіе этого, пришлось весг» матеріалъ задачъ соедингітг» въ особыіг томъ. Такимъ образомъ, весг» курсъ раздгьленъ на два тома: I—Теорія; 11—Задачи.
Въ видахъ удобства покупателей каждый томъ продается огпдпільно.
Составы ніел і».
Одесса,
I ноября Х902
. ОТДЪЛЪ ПЕРВЫЙ.
I
АЛГЕБРАИЧЕСКІЯ ДѢЙСТВІЯ.
ГЛАВА I.
Предварительныя понятія и опредѣленія.
1. Ньютонъ назвалъ алгебру	ариѳмепшкой*.
Называя ее ариніетикой, онъ хотѣлъ этимъ выразить, что предметъ алгебры тотъ же, что и ариѳметики,—изученіе чиселъ, слѣдовательно, что алгебра есть какъ бы продолженіе ариѳметики. Называя ее всеобщей, онъ этпмъ самымъ указалъ, что цѣль алгебры заключается въ обойлияш какъ самихъ вопросовъ  о числахъ, такъ и способовъ ихъ рѣшенія.
Возьмемъ задачу: найти два числа, которыхъ сумма равна 105, а разность 15?	*
Рѣшая эту задачу а/жбисеетшческгбнв	мы стали бы разсуждать
такъ: если бы оба искомыхъ числа были равны, то мы нашли бы ихъ, раздѣливъ пополамъ ихъ сумму. Но мы можемъ уравнять меньшее съ большимъ, если къ первому придадимъ 15, и если эту прибавку сдѣлать къ суммѣ обоихъ чиселъ, то результатъ 105 -р 15, иля 120, будетъ ни что пное, какъ удвоенное большее число, которое и найдемъ, раздѣливъ 120 на 2. Итакъ, большее число = 120:2, или 60; а слѣдовательно, меньшее найдемъ, уменьшивъ 60 на 15, что дастъ 45.
Для повѣрки достаточно числа 60 и 45 сложить, чтобы убѣдиться, составитъ ли ихъ сумма 105; повѣрка по отношенію къ разности (15) не нужна, такъ какъ меньшее число найдено вычитаніемъ этой разности изъ большаго.
Можно бы было идти ииымъ путемъ: приравнивая большее число меньшему, можно уменьшить для этого большее число на 15. Если уменьшить 15-ью сумму, то результатъ, 105 — 15 = 90, представлялъ бы удвоенное меньшее число; п слѣдовательно, раздѣливъ 90 пополамъ, нашли бы въ результатѣ меньшее число — 45; а придавъ къ нему 15, нашли бы большее.
Рѣшеніе задачи значительно і/яуэосяшяіся, если искомыя мы обозначимъ буквами, что сокращаетъ рп>чь, а дѣйствія будемъ обозначать зяатлш, что сокращаетъ письмо. Этого рода сокращенія допускаетъ и ариѳметика.
Итакъ, обозначимъ меньшее число буквою х; тогда большее число будетъ
__ о ____
#-р!5, а оба вмѣстѣ составятъ #4-#4-15, или, короче, 2#4-15, что* по условію, равно 105; записываемъ
2# 4"	= 105.
Неизвѣстное слагаемое (2#) опредѣляется вычитаніемъ изъ суммы (105) извѣстнаго слагаемаго (15); слѣд. 2# = 105 —15 = 90. Отсюда # — 90:2 = = 45. Придавъ 15 къ 45, найдемъ большее число.
Отсюда видно, какимъ образомъ введеніе знаковъ для обозначенія дѣйствій, и буквы # для обозначенія искомаго соіфаиюетв и письмо, н этимъ самымъ ускоряетъ рѣшеніе задачи. Чѣмъ сложнѣе задача, тѣмъ важнѣе введеніе этихъ, сокращающихъ запись и рѣчь, знаковъ.
2. Окончательные результаты, полученные нам при рѣшеніи задачи, т.-е. числа 45 и 60, не носятъ на себѣ слѣда данныхъ чиселъ и тѣхъ дѣйствій, путемъ которыхъ эти результаты найдены. Въ самомъ дѣлѣ, по мѣрѣ выполненія дѣйствій, данныя числа замѣнялись новыми; потому-то найденные результаты не даютъ никакого понятія о томъ, какія дѣйсшя и въ какомъ порядкѣ нужно совершить надъ данными числами для полученія искомыхъ. Чтобы это было видно, нужно только обозначать дѣйствія знаками, воздерживаясь отъ всякихъ вычисленій. Поступая такъ въ предыдущей задачѣ, мы нашли бы для меньшаго числа выраженіе
изъ котораго можно заключить, что для нахожденія меньшаго числа нужно изъ заданной суммы вычесть данную разность и остатокъ раздѣлить на 2. Но чтобы такая	формула служила отчетливымъ выраженіемъ правила
для рѣшенія даннаго вопроса, нужно, чтобы она удовлетворяла нѣкоторымъ требованіямъ. Необходимо: 1) чтобы данныя величины были выражены небольшими числами, иначе формула будетъ не достаточно я/юсяш; 2) чтобы числа эти были разнообразны: иначе формула будетъ* лишена яснястм. Но если эти условія и будутъ удовлетворены, то все-таки неизбѣжное выполненіе нѣкоторыхъ дѣйствій (каково, нанр», было соединеніе вмѣстѣ нѣсколькихъ #—совъ) можетъ ввести въ формулу числа одинаковыя съ' данными, а вслѣдствіе этого формула потеряетъ совершенную ясность. Неудобства подобныя этому, очевидно, будутъ возрастать вмѣстѣ съ сложностью задачъ. Но они легко устранимы. и легко видѣть—какими средствами.
Наша цѣль состоитъ въ томъ, чтобы достичь возможности выражать формулами правила для рѣшенія сколькихъ угодно задачъ одного рода, т.-е. разнящихся не условіями, а лишь числовыми значеніями данныхъ въ задачѣ величинъ. Пусть, напр., мы хотимъ найти правило для рѣшенія задачи: иаймш два числа по даннымъ суммѣ ихъ и разности, каковы бы ни были &та сумма и эта разность. Легко видѣть, что такое общее рѣшеніе для всѣхъ задачъ одного рода найти возможно* Въ самомъ дѣлѣ, дѣйствія, которыхъ требуетъ рѣшеніе задачи, зависятъ адсодечит&ияо отъ соотношеній между данными въ задачѣ числами, но никоимъ образомъ ‘ не отъ частныхъ значеній этихъ чиселъ. А слѣдовательно, эти данныя числа можно обозначить й/кгалш; но буквы не могутъ сливаться, не могутъ исчезать, замѣняясь другими; дѣйствія надъ ішмн можно только обозначать, но не выполнять; сл. полученное выраженіе будетъ ясно указывать, какія дѣйствія и въ какомъ порядкѣ нужно совершать надъ данными для нахожденія искомыхъ во всѣхъ задачахъ одного рода.
Итакъ, пусть данная сумма равна а, а данная разность гё. Пусть, далѣе, меньшее число = #; большее будетъ	по условію,	= идя
2x^(1 = $, откуда 2# = $— и слѣд.
5	&	/1 \
Х = ^~. . . (1)
$ (I
Формула (1) опредѣляетъ меньшее число, большее число будетъ ——рг?, или-----—г или, наконецъ,
Ч-- • 
Формулы (1) и (2) ясно показываютъ правило: для нахожденія большаго числа надо къ данной суммѣ придать данную разность и результатъ раздѣлить на 2; а для нахожденія меньшаго числа слѣдуетъ изъ данной суммы вычесть данную разность и остатокъ раздѣлить на 2.
Разъ такія буквенныя формулы найдены, мы при ихъ помощи можемъ рѣшать какія угодно задачи, однородныя съ данною; стоитъ только вмѣсто буквъ подставлять числа и выполнять указанныя дѣйствія.
Такъ, если данная сумма = 500, а разность 200, то, подставивъ 500 вмѣсто 5 и 200 вмѣсто (7, найдемъ, что:
500 — 200 большая часть =---------
500—200
а меньшая часть = -—~---
700
350,
Преимущества буквенныхъ формулъ передъ числовыми, какъ видно изъ вышеизложеннаго, заключаются въ слѣдующемъ:
1)	Подъ буквами можно разумѣть какія угодно числа, поэтому рѣшеніе, выраженное буквенною формулою, пригодно для всѣхъ однородныхъ задачъ: буквенная формула даетъ общее рѣшеніе цѣлаго класса задачъ.
2)	Алгебраическая формула даетъ наиболѣе ясное рѣшеніе задачи, ибо въ ней наиболѣе ясно изображаются порядокъ и послѣдовательность дѣйствій, которыя надо совершить надъ данными для нахожденія искомыхъ; между тѣмъ какъ въ ариометической формулѣ эта ясность, какъ мы видѣли, иногда теряется.
3)	Результатъ, представленный алгебраическою формулою, выражается обык
новенно коротко и потому дозволяетъ легко удержать въ памяти правило рѣшенія вопроса.
Но это еще не все. Алгебраическая формула, указывая связь между количествами задачи, позволяетъ вывести рядъ другихъ формулъ, дающихъ рѣшенія ряда другихъ задачъ, если брать послѣдовательно за неизвѣстное каждое изъ количествъ, входящихъ въ формулу. Для примѣра выведемъ общую формулу, которая давала бы рѣшеніе всѣхъ вопросовъ о простыхъ процентахъ.
Найти прибылъ, приносимую капиталомъ а, помѣщеннымъ на I лѣтъ по ^дъ, считая простые проценты?
100 руб. даютъ въ годъ прибыль руб.; слѣд. 1 р. дастъ въ то же время прибыль во 100 разъ меньшую, или р., а капиталъ а р. дастъ прибыль въ
а разъ большую, или
ар 100
* Это есть прибыль, приносимая капиталомъ « въ
1 годъ; прибылъ въ і лѣтъ будетъ въ і разъ больше, такъ что, назііівая эту прибыль Л получимъ соотношеніе
•-?Й-   О)
Это равенство связываетъ 4 количества: а, г и даетъ рѣшеніе 4 задачъ, позволяя по даннымъ тремъ количествамъ вычислить четвертое. Формула (1) позволяетъ находить прибыль, когда извѣстны—капиталъ, время и проценты.
Разсматривая а какъ одинъ изъ сомножителей, мы его найдемъ, раздѣливъ произведеніе (») на другого сомножителя так’ обр.
. рі	100»
а=':іоб’ или а = ^Г
Формула (2) даетъ рѣшеніе задачи: какой капиталъ надо помѣститъ по р* е на * лп»тэ7 что&ы яолумпть і руб. прибыли?
Подобныхъ хе образомъ, щншмхая въ формулѣ (1) за неизвѣстное А мы найдемъ этотъ сомножитель, раздѣливъ произведеніе (») на другой сомножитель аі 
100*
. аі	100»
Р=,:іоб’ или2’ = -^-  • (3)
аі
Формула (3) даетъ рѣшеніе задачи: На какіе проценты надо помѣститъ капиталъ а, чтобы онъ въ і лѣтъ далъ .прибыль і руб.?
Принимая, наконецъ, въ равенствѣ (1) за неизвѣстное і, найдемъ
і =	. (4)
ар 7
Такова формула, по которой рѣшается вопросъ: на сколько лѣтъ надо отдать капиталъ а по чтооь» онъ принесъ і да#. прибы.ш?
Подставляя въ формулы (1), (2), (3) н (4) вмѣсто буквъ числа, мы можемъ рѣшить любую числовую задачу на простые проценты. Напрл «а сколько % надо яожлапить капшпалъ 3000 р., чтобы въ 4 года получитъ 360 р. прибыли?
Положивъ въ формулѣ (3)
а —3000, * = 4, І =360, найдемъ
_ КЮ X 360 _
Р 3000X4 — 3'
Такимъ образомъ возможно обобщеніе какъ самыхъ вопросовъ, такъ н способовъ ихъ рѣшенія.
Наука,* занимающаяся обобщеніемъ вопросовъ о числахъ и способовъ ихъ /тѣшенія, называется алівброю.
3. Знаки, употребляемые въ алгебрѣ, частью тѣ же самые, что и въ ариѳметикѣ, частью другіе. Ихъ можно раздѣлить на три группы: 1) знаки, употребляемые для изображенія чиселъ; 2) для изображенія дѣйствій надъ числами^ п 3) для изображенія соотношеній между числами.
1.	Знаки для изображенія чиселъ. Числа изображаются въ алгебрѣ не цифрами, какъ въ ариѳметикѣ, а буквами; это обозначеніе было введено фран
цузскимъ математикомъ второй половины XVI вѣка Въетомъ (1540—1603). Вьетъ употреблялъ большія литеры; малыя буквы введены англійскимъ математикомъ Томасомъ ]\ярріотомъ (1560—1621).
Для обозначенія извѣстныхъ чиселъ употребляются первыя буквы латинской азбуки: а, 5, с, й, е, для обозначенія неизвѣстныхъ — послѣднія буквы: и, у, х, я, ...
Иногда при буквахъ ставятъ значки или указатели (индексы), когда хотятъ сохранить въ обозначеніи аналогію, существующую между изображаемыми количествами.
Такимъ образомъ пишутъ: а1, а11, аПІ, аІѴ,или: а1,
<!ъ тою же цѣлью употребляютъ еще буквы греческаго алфавита, соотвѣтствующія латинскимъ: а, [3, 7, 5, е, ...
Числа, изображенныя буквами, называются общими числами, нотому-что подъ каждою буквою разумѣютъ не одно какое-либо число, но какія-угодно числа.
2.	Знаки для изображенія дѣйствій.
Сложеніе обозначается знакомъ Ц- (плюсъ); такъ а + Ъ означаетъ сумму количествъ а и Ъ.
Вычитаніе обозначается знакомъ — (минусъ); такъ а — 5 означаетъ разность между а и 6.
Знаки — и — введены во всеобщее употребленіе нѣмецкими математиками XV столѣтія. Полагаютъ, что первый началъ ихъ употреблять ІТурбахъ (1423—1461). Въ «Алгебрѣ*	напечатанной въ 1525 г. подъ
заглавіемъ «Со8>>, і въ «Агійппеііса іпіегтаэ	напечатанной въ
1544 г., примѣнены уже эти знаки.
обозначается знакомъ X* или • (точкою), пли же между сомножителями не ставится никакого знака; такимъ образомъ а X - Ь, и аЬ одинаково означаютъ произведеніе а на 6.
Нужно замѣтить, что знакъ умноженія нельзя опускать, когда числа изображены цифрами; произведеніе 4 иа 7 нельзя представить въ видѣ 47, такъ какъ 47, по принятому способу изображенія чиселъ, означаетъ не произведеніе 4 на 7< а число сорокъ семь.
Опущеніе всякаго знака умноженія между различными факторами произведенія впервые встрѣчается у Стифеля (АгііЬтеііса 1544); знакъ X (косой крестъ) введенъ Ойшредолго (Он^Ьіге^), въ сочиненіи Сіаѵіз шаПіет. 1631; знакъ • (точка) введенъ Лейбницемъ во второй половинѣ XVII столѣтія.
Дѣленіе обозначается пли двоеточіемъ, или чертою; такъ а: Ь и ~ одинаково означаютъ частное отъ раздѣленія а на Ь.
Полагаютъ, что знакъ : введенъ во всеобщее употребленіе Лейбницемъ; знакъ — (черта) встрѣчается уже въ сочиненіи Фибоначчи Пизанскаго (1202 г.)
3.	Знаки соотношеній. Соотношенія между величинами могутъ быть двоякаго рода: двѣ величины могутъ быть или равны между собою, или неравны одна другой. Для изображенія равенства двухъ количествъ употребляется знакъ =; такъ, выраженіе
А —В означаетъ: А равно В.
Знакъ равенства (=) введенъ англійскимъ математикомъ Рекордомъ, который въ первый разъ употребилъ его въ своемъ сочиненіи «Брусокъ для ума*
(ТЬе ЖіеЫопе о( ѴѴіі), изданномъ въ 1557 г. Во всеобщее употребленіе знакъ этотъ вошелъ сто лѣтъ спустя.
Слово оолыае изображается’знакомъ >, слово .меямае знакомъ <. Такъ а _> Ь означаетъ: а больше Ь; а < 6 означаетъ: а меньше Ь.
Когда ютятъ выразить, что два количества не равны, не указывая, которое изъ нихъ больше, ихъ отдѣляютъ знакомъ такъ означаетъ, что а неравно &. Вмѣсто этого также пишутъ
Чтобы выразить, что а не меньше Ь, пишутъ а >6.
Такимъ же образомъ означаетъ, что а не больше Ъ,
Знаки > и <С введены англійскимъ математикомъ Гарріоточъ.
Коэффиціентъ. — Если какое-нибудь произведеніе, напрнм., аЬ, требуется повторить слагаемымъ нѣсколько разъ, напрім.. ^ліъ. то сумма будетъ аЬаЪаЬаЬ ~ аЪ. Очевидно, что тзт іі Хъ г? Сраженія суммы неудобенъ, когда число слагаемыхъ велико: письмец у- г	суммы заняло бы въ этомъ случаѣ много времени и И ъѴ* Л-?	_ - 2_лЪІі ь -граненія такого
неудобства ввели сокращенное обозначеніе стхш ч.тш слагаемыхъ, усло-
вившись слагаемое писать одинъ разъ, а перех^ ставить число, показы-
вающее. сколько разъ взятое выраженіе повторяется слагаемымъ. Такимъ образомъ наша сумма сокращенно выразятся въ видѣ 5аЬ.
Число 5. показывающее. сколько разъ слѣдующее за нимъ выраженіе повторяется слагаемымъ, называется коэффиціентомъ пли юредв-тояадыла. Коэф-
фиціенту можно дать и другое опредѣленіе. Въ самомъ дѣлѣ, повторить аЬ пять разъ слагаемымъ,—это все равно, что аЬ умножить на 5; слѣд. коэффиціентъ есть числовой множитель, стоящій передъ буквеннымъ выраженіемъ.
Такъ, въ выраженіяхъ 7аЬ,
множители 7 и суть, коэффиціенты.
Иногда и буквенные производители разсматриваются какъ коэффиціенты по отношенію къ слѣдующимъ за ними произведеніямъ; такъ, въ выраженіи аЬс можно а считать коэффиціентомъ произведенія Ьс. Если произведеніе состоитъ изъ однихъ буквенныхъ сомножителей, то коэффиціентъ его есть 1; вапр. коэффиціентъ произведенія аЬс есть 1, такъ какъ это произведеніе можно написать въ видѣ 1. аЪс.
Степень, — Степенью называется произведеніе равныхъ множителей.
Если число берется множителемъ два раза, то произведеніе называется второю степенью пли квадратомъ этого числа; такъ 5)-/5 иди 25 есть . квадратъ пяти. Когда число берется множителемъ три раза, то произведеніе называется третъею степенью или кубомъ этого числа; такъ 5.5.5 или 125 есть кубъ пяти. Произведеніе четырехъ равныхъ множителей паз. четвертою степенью; папр. а.а.а.а есть четвертая степень числа а. — Очевидно, что если число равныхъ множителей велико, то письменное изображеніе степени займетъ много времени и мѣста. Для устраненія этого неудобства введено слѣдующее сокращенное изображеніе степени: перемножаемое само на себя количество пишутъ одинъ разъ, а надъ нимъ справа ставятъ число, показывающее, сколько разъ это количество берется множителемъ. Согласно этому условію, квадратъ количества а, т.-е, произведеніе а. а, сокращенно пишется въ видѣ: а*; кубъ а, т.-е. произведеніе а.а.а, сокращенно изображается въ видѣ: а3; четвертая степень а, т.-е. а.а.а.а — въ видѣ а* и т. д. — Каждый изъ равныхъ множителей называется основаніемъ степепи; такъ въ формулѣ основаніе есть а — Числа 2, 3, 4 и т. д., стоящія надъ основаніемъ, называются показателями
степени. Итакъ, яолчттель степени есть число, которое ставится надъ буквою и означаетъ, сколько разъ эта буква берется множителемъ.
Показатель 1 не пишется, а подразумѣвается; такъ, вмѣсто 51 пишутъ Ь.
На основаніи сказаннаго, произведеніе ааааЬЪЪсаІ сокращенно пишутъ въ видѣ	Обратно, а253 есть сокращенно написанное произведеніе ааЬЬЬЬЬ.
Дѣйствіе нахожденія степени даннаго числа называется возвышеніемъ въ степень. Такъ, возвысивъ 7 въ кѵбъ, т.-е. взявъ 7 множителемъ
I	1
три раза, получимъ 343. Возвысивъ -у въ четвертую степень, т.-е. взявъ у
1 множителемъ четыре риза, найдемъ и т. д.
Полезно зпатъ на намять квадраты и кубы, по крайней мѣрѣ, первыхъ десяти чиселъ, которые мы и помѣщаемъ въ слѣдующей таблицѣ:
Числа:	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10.
Квадраты:	1,	4,	9,	16,	25,	36,	49,	64,	81,	100.
Кубы:	1,	8,	27,	64,	125,	216,	343,	512,	729,	1000.
Корень. — Корнемъ второй степени или квадратнымъ изъ даннаго числа называется такое число, квадратъ котораго равенъ данному числу. Такъ, квадратный корень изъ 9 равенъ 3, потому что квадратъ трехъ даетъ 9.
Кубическимъ корнемъ изъ даннаго числа называется такое число, котораго кубъ равенъ диплому числу. Напр., кубическій корень изъ 64 равенъ 4, пото-му-что кубъ четырехъ равенъ 64.
Корнемъ четвертаго порядка изъ даннагд числа называется такое, четвертая степень котораго равна данному числу. Такъ, корень четвертаго порядка изъ 16 равенъ 2, ибо 24 = 16.
Вообще, корнемъ п-іо порядка изъ даннаго числа наз. такое число, котораго п-ая степень равна данному числу. Такимъ образомъ корень п-го порядка изъ ад есть а.	_
Для обозначенія корня употребляютъ знакъ , подъ которымъ ставятъ данное число, называемое поэтому подкореянм.нъ тшело.мь. Въ отверстіе этого знака ставятъ число, которое показываетъ, въ какую степень должно возвысить корень для полученія даннаго числа: его называютъ	корня.
Такъ, чтобы обозначить письменно, что корень четвертаго порядка изъ 16 равенъ 2, пишутъ: |/16 = 2; здѣсь 2 есть самый корень, 16 — подкоренное число, 4 — показатель корня.
Если показатель корня равенъ 2, то его не пишутъ, а подразумѣваютъ. Такъ, для обозначенія, что квадратный корень изъ -у- равенъ пишутъ: і X—±
4	2 _
Коренной знакъ (К ) называется также рай«кало.н&. Дѣйствіе нахожденія корня называется извлеченіемъ корня.
Первые слѣды употребленія показателей находятся у Лароша (Агізшеііцие еі (іоотеігіе, 1520); онъ употребляетъ показатели 1, 2, 3. — Знакъ ]/ находимъ впервые у Христіана Рудольфа (1524).— Окончательно же эти знаки введены Деяар/но.иь. — Знакъ есть ни что иное, какъ искаженная буква г начальная буква слова гшііх — корень).

Скобки.—Для обозначенія дѣйствій употребляютъ еще особые знаки, называемые скобками. Имъ даютъ видъ: ( )т иля [ ], илп {	}, Скобки
перваго вида называютъ — простыла, второго — ксайраягпыла, третьяго — і/шгдакыла.
Такъ, для обозначенія, что разность а~Ь нужно умножить на с, пишутъ:
(а — Ь). с
Если это выраженіе написать безъ скобокъ, т.-е. въ видѣ
а — Ь . с.
то смыслъ его былъ бы иной, именно: оно выражало бы требованіе — вычесть изъ а произведеніе Ь на с, между тѣмъ какъ требуется раяосп» а — Ь умножить на с.
Если бы требовалось сумму а -4- Ь воівькггь въ кубъ і результатъ умножить на разность с — то слѣдуетъ сказанныя дѣісткіі обозначить такъ:
(а —	— й).
Если опустить скобки, т,-е, написать ♦
— с/,
то смыслъ новаго выраженія но былъ бы согласенъ съ требованіемъ, потому что послѣднее выраженіе означало бы слѣдующее требованіе: къ а придать произведеніе куба Ъ па с п изъ полученной суммы вычесть й.
Скобокъ не ставятъ всякій разъ, когда и безъ нихъ обозначеніе дѣйствій не представляетъ недоразумѣній, или когда для обозначенія дѣйствій вводится особый знакъ, устраняющій необходимость скобокъ. Напр., если бы требовалось выраженіе а2 -р (а — Ь)с раздѣлить на т2 — я2, то, обозначая дѣленіе знакомъ двоеточія, необходимо п дѣлимое и дѣлитель заключить въ скобки, написавъ:
[а2 (а -— Ь) с]: (т2 — п2).
Но если вмѣсто двоеточія знакомъ дѣленія взять черту, проведя ее подъ всѣмъ дѣлимымъ, то она устранитъ необходимость заключенія дѣлимаго и дѣлителя въ скобки; частное изобразится въ такомъ случаѣ въ видѣ
дЗ + (« —Ь)С
Точно также для обозначенія, что изъ выраженія а Ъ — с надо извлечь кубичный корень, слѣдуетъ данное выраженіе заключить въ скобки, написавши:
У'іаЦ-Ь — с).
Но если протянемъ горизонтальную черту радикала надъ всѣмъ даннымъ выраженіемъ, то послѣдняя устранитъ необходимость заключенія выраженія — с въ скобки; дѣйствіе изобразится слѣд. обр-:
з,___________
— с.
I
Употребленіе скобокъ въ первый разъ встрѣчается въ сочиненіи Ллъберта Жирара: «Іпѵепііоп поѵеііе <іапя ГаІ^еЬге еісл, изданномъ въ іѴмстердамѣ въ 1629 г.
4. Классификація алгебраическихъ формулъ.—Лліебраичшшлп шряже-яіачк или формулою называютъ совокупность буквъ, чиселъ и знаковъ, указывающую рядъ дѣйствій надъ числами, которыя иодразумѣваются подъ данными буквами. Такимъ образомъ:
8д2 —4^
а* — 63
3 /
6’(Р/а+ Гс)
суть алгебраическія выраженія или формулы*
Всякое алгебраическое выраженіе, ие содержащее корней изъ буквенныхъ выраженій, называется раціональнымъ; оно называется	если
содержитъ буквенные радикалы. Первыя два изъ вышеприведенныхъ выраженій раціональны, третье — ирраціональное. Нужно замѣтить, что выраженіе можетъ быть раціонально относительно нѣкоторыхъ буквъ, и ирраціонально относительно другихъ буквъ. Такъ, выраженіе	раціонально по отношенію къ а
н .г, но ирраціонально относительно Ь.
Раціональныя выраженія раздѣляются на цлиыя и гіробныя; цѣлымъ называютъ раціональное выраженіе, пе содержащее буквенныхъ дѣлителей; дробнымъ, — выраженіе, содержащее буквенныхъ дѣлителей. Такъ, выраженія
ІаѢ + ІаЬ* -!а*Ь*,	19а‘ — А „зЬ । &
1	1 і ’	3	1 о
суть алгебраическія цѣлыя, хотя второе и третье и содержатъ числовыхъ дѣлителей: выраженія же
а -|- 6	Яа2 — 4аб + ЗЬ2
а —	а3 — 63
алгебраически дробныя, такъ какъ имѣютъ буквенныхъ дѣлителей.
Одночленомъ называютъ такое выраженіе, въ которомъ послѣднее дѣйствіе есть умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ степень илн извлеченіе корня, но не сложеніе и не вычитаніе. Такъ выраженія
/аЬс’ 4^+7р*	(а2 — Ь8) (с + <0,	(х —у+*)‘, ра?» — у2
суть одночлены.
Многочленомъ наз. выраженіе, соединенныхъ знаками -|- или —.
Такъ, выраженія
состоящее изъ нѣсколькихъ одночленовъ,
а«~3«^ + 3аб2 —Ь3,
Зя*|/Ь _ 7а^	баідас
с 4с-	3
суть многочлены.
Одночлены, составляющіе многочленъ, называются его чдеяалш. Зпакъ, предшествующій одночлену, считается составною частью члена; такъ, члены перваго многочлена спь
4-а3,	— За2Ь, +Зй&2,
Если передъ первымъ членомъ не поставлено знака, то нужно подразумевать
Многочленъ, состоящій изъ двухъ членовъ, напр. «2 —Ь2, наз. бнноліожь или двучленомъ; состоящій изъ трекъ членовъ, какъ а2 —	— трино-
момъ или трехчленомъ; если же число членовъ больше, то многочлену не даютъ особаго названія.	і
Измѣреніе. — Число буквенныхъ множителей цѣлаго одночлена называется его ш-клреяі'елъ; такъ, одночленъ 4а3Ь2с будетъ шести измѣреній, потому что, представивъ его въ видѣ іаааЬЪс, видимъ,* что онъ содержитъ шесть буквенныхъ множите лей. Сложивъ показателей, получимъ 3 —2 —|—1 или 6; сл. для опредѣленія измѣренія цѣлаго одночлена нужно взять сумму показателей его буквъ.
Цѣлый многочленъ. состоящій изъ членовъ одинаковаго измѣренія, называется однороднымъ: измѣреніе каждаго члена такого многочлена называется также измѣреніемъ самого многочлена. Напр., выраженіе а* — За-6-^ЗаЬ2 — Ь3 есть однородный многочленъ третьяго измѣренія ілі трехъ измѣреній. Многочленъ, которого члены не*-инаковаго измѣренія. иаз.	напр. многочленъ
а* — За1 — аЛ1 — с — разнородныя.
Степенью многочлена относительно одной какой-либо буквы называется высшій показатель этой буквы въ многочленѣ. Такъ
Зах* - 2а2#2 Ц- ?а3;27 Н~
есть многочленъ третьей степени относительно буквы х.
5. Числовое значеніе формулы. — Числовымъ значеніемъ формулы называется то число, которое получится, если буквы замѣнимъ числами и выполнимъ указанныя знаками дѣйствія.
Такъ, если требуется вычислить числовое значеніе выраженія
2а* +
Зс
при а = 4, Ь = 3 и с =х1, то, подставивъ вмѣсто буквъ данныя числа, пай демъ
2 X 42 4-/4’2 + 3*2 = 2 X 16 + /16 -/9 _ 32 + /25 3X1	—	3	“	3
12— и есть числовое значеніе данной формулы.
О
ГЛАВА II.
Положительныя и отрицательныя количества.
6. Изображеніе количествъ буквами вмѣсто цифръ не составляетъ еще существеннаго отличія алгебры отъ ариѳметики: и ариѳметика, при доказательствѣ теоремъ и при рѣшеніи задачъ, также пользуется для изображенія чиселъ буквами, хотя въ ней употребленіе буквъ и не такъ систематично какъ въ алгебрѣ. Существенная разница между этими науками состоитъ въ томъ, что въ разсмотрѣніе величинъ алгебра вводитъ идею о направленіи, совершенно чуждую ариѳметикѣ.
Все, что можетъ увеличиваться или уменьшаться я быть измѣряемо, вазы-вается ,-ма-те.мат«ческою величиною, .Такъ — вѣсъ, объемъ, время, темпера-
тура, скорость, сила и т. п. суть величины.
Измѣритъ веля чину значитъ сравнить ее съ другою однородною съ нею величиною, называемою при этомъ едшшцею. лпъры; точнѣе говоря, это значитъ найти кутное отношеніе измѣряемой величины къ единицѣ мѣры. Такъ, измѣряя вѣсъ тѣла, мы узнаемъ, сколько въ немъ содержится единица вѣса (пудъ, Фунтъ і т. п.), пли какая-нибудь доля ея. Поэтому результатомъ измѣренія всегда является число отялсчекяое. Цѣлое или дробное отвлеченное
число, измѣряющее данную величину, называется абсолютнымъ числомъ; вмѣстѣ
съ названіемъ е
ГП !•
лл мѣры оно дастъ намъ точное понятіе о разсматриваемой
величинѣ, ёгл ш опредѣленія величины достаточно знать только ея размѣры.
Величины. <ъ которыми имѣетъ дѣло	вполнѣ опредѣляются,
какъ скоро г-в&лі* мхъ отношеніе къ 1-цѣ мѣры и самая эта единица; таковы — плошадѵ «йьеть. вѣсъ, капиталъ и т. и. Ихъ называютъ абсолютными
величиначи йххж>ы».
Но есть піл величины. для полнаго опредѣленія которыхъ недостаточно зпать. каково жгъ -тжшеніе къ единицѣ мѣры н какова самая эта единица. Такъ, ес.и я тт находясь сначала у двери, я отошелъ отъ нея на 4 аршнна. то >тмтъ м ** положеніе относительно двери еще не будетъ вполнѣ онреНме; і	указать — егг> какую сторону относительно
двери я удалился:	и въ такую-то комнату, или вышелъ изъ нея. Еще
примѣръ. Если мы кдх-іъ. что часы измѣнили свой ходъ въ теченіи сутокъ на 2 минуты, іѵ та ве даетъ ьпчлиѣ яснаго понятія о величинѣ измѣненія; въ саиьмъ дѣлѣ, ш должны указалъ еце направленіе измѣненія, т.-е. сказать, ускорили іл замедлили часы евмй іодъ на 2 минуты. Третій примѣръ. Если мы скажетъ, что температура воздуіа измѣнилась на 10 градусовъ, то этимъ мы не опредѣлимъ еще вполнѣ это измѣненіе; для полнаго опредѣленія измѣненія температуры надо указать —повысилась она на 10 градусовъ или понизилась. т.-е. опять надо указать направленіе измѣненія.
Большинство величинъ, существующихъ въ природѣ, имѣютъ два противоположныя направленія, и потому называются противоположными величинами;
таковы — зре.ия, которое можно считать въ направленіи будущаго и прошедшаго относительно даннаго момента; пространство. проходимое прямолинейно движущимся тѣломъ; ускореніе и замедленіе движенія; температура, потому что она можетъ быть выше нуля и ниже пуля; п/жоыль и убытокъ, ибо они измѣняютъ капиталъ въ двухъ противоположныхъ направленіяхъ; суммы иосшу-ншомря въ кассу банкира и суммы выдаваемыя кассою; наконецъ мм’м, наносимыя на неограниченной прямой отъ нѣкоторой постоянной точки, называемой
началомъ.
Такого рода величины, взятыя въ одномъ направленіи, называются юоложм-а въ противоположномъ — отрицательными. Отъ насъ зависитъ, въ какомъ направленіи считать противоположныя величины положительными и въ какомъ — отрицательными; если условимся считать положительными: ^разстояніе вправо отъ начала, 2) время будущее, 3) ускореніе, 4) прибыль, 5) капиталъ, 6) температуру высшую нуля, то противоположныя этимъ величины, т.-е. разстояніе влѣво отъ начала, время прошедшее, замедленіе, убытокъ, долгъг температуру ниже нуля, нужно принимать отрицательными.
7. Существуютъ два способа изображенія противоположныхъ величинъ—графическій и а.иебраичеекйі.
1<- Условимся каждую единицу разсматриваемой величины изображать прямой линіей опредѣленной длины, напри*. линіей аЪ (черт. 1); отложивъ линію <іЬ на неограниченной прямой столько разъ, сколько въ разсматриваемой вели-

Черт. 1.
чинѣ находится единицъ, мы и получимъ графическое изображеніе абсолютнаго значенія этой величины.
Для изображенія противоположныхъ величинъ, какого бы рода онѣ ни были, условимся представлять нхъ прямыми, наносимыми на неограниченной прямой (называемой осью) хх\ начиная отъ нѣкоторой точки о (^е называютъ ло.иь); при чемъ положительныя величины будемъ наноситъ въ направленіи отъ хг къ х; а отрицательныя въ направленіи отъ х къ х’. т.-е. въ противоположную сторону (черт. 2).
Черт. 2.
Итакъ, абсолютныя значенія противоположныхъ величинъ можно представлять длинами извѣстныхъ линій, а направленія — положеніе.^ этпхъ линій относительно начала.
При такомъ представленіи противоположныхъ величинъ каждая изъ ннхъ имѣетъ опредѣленное начало и конеиа. Отрѣзки прямой, конечныя точки которыхъ играютъ различную роль, одна — начала, другая — конца, называются векторами.
Примѣчаніе. Графическимъ представленіемъ противоположныхъ величинъ пользуются при доказательствахъ тамъ, гдѣ чисто алгебраическіе методы трудно примѣнимы. Къ преимуществамъ графическихъ методовъ принадлежитъ ихъ наглядность, позволяющая легко усвоятъ истины весьма отвлеченнаго характера. Ниже мы воспользуемся этимъ методомъ при доказательствѣ теоремъ, относящихся къ свойствамъ суммы.
2. Для изображенія противоположныхъ величинъ, очевидно, можно поступать еще такъ. Взявъ ариеметическое число, выражающее абсолютное значеніе взятой величины, можно снабдить это число какимъ-либо условнымъ значкомъ, который служилъ бы указаніемъ направленія величины. На первый взглядъ кажется, что такой значокъ можно бы было выбрать произвольно; для указанія температуръ, напрнм., можно бы было, обозначивъ число градусовъ цифрою, ставить возлѣ этой цифры букву в для обозначенія градусовъ выше нуля, и букву н для обозначенія градусовъ ниже нуля. Такимъ образомъ, обозначало бы 8 градусовъ выше нуля, а обозначало бы 5 градусовъ ниже пуля. Можно бы было условиться обозначать градусы выше нуля знакомъ ударенія, градусы ниже нуля—двумя такими значками; при такомъ условіи вышеуказанныя температуры были бы выражены знаками: 8' и 5". Однако, болѣе глубокое изученіе вопроса привело къ заключенію, что изъ всѣхъ различительныхъ знаковъ, которыми можно пользоваться для обозначенія направленія противоположныхъ величинъ, всего лучше служатъ этой цѣли, и даже почти необходимы, знаки -|-и —, которыми въ ариеметикѣ указывается сложеніе и вычитаніе, при чемъ по-
ложительпыя величины обозначаютъ знакомъ -р, а отрицательныя—знакомъ —. Такимъ образомъ. вмѣсто того чтобы писать „8 градусовъ выше нуля“ или «8д> пишутъ 8 градл и произносятъ шлюсь $ градусовъ». Вмѣсто вы-раженія «5 градусовъ ниже нуля» или «5,<» пишутъ <— 5 гр.», произнося $ минусъ 5	Точно также, вмѣсто того чтобы писать «5 футовъ
вправо» пишутъ <-р 5 фут.», произнося «гмюеь 5 </»-»; вмѣсто выраженія «семь лѣтъ тому назадъ», пишутъ <— 7 лѣтъ», говоря: «зшн^сь 7 4>ьят, и т. п.
Въ отвѣтъ на вопросъ: почему для обозначенія направленія величинъ взяты знаки: — и —, т.-е. знаки дѣйствій сложенія и вычитанія, замѣтимъ пока слѣдующее. Положительныя величины одного рода слѣдуетъ разсматривать какъ слагаемыя между собою; дѣйствительно, имѣя какую-нибудь прибыль, мы всякую новую прибыль будемъ прикладывать къ прежней, такъ какъ опа служитъ къ увеличенію уже имѣющейся прибыли; если точка, находящаяся на прямой, перемѣщена вправо, то всякое новое перемѣщеніе вправо будетъ прикладываться къ прежнему в т. д. Потому-то положительныя величины, какъ слагаемая между собою, и сопровождаются знакомъ плюсъ. Отрицательныя величины одного рода, по отношенію къ положительнымъ, слѣдуетъ разсматривать какъ вычитаемыя. Дѣйствительно, имѣя капиталъ, мы всякій долгъ будемъ изъ него вычитать, такъ какъ долгъ служитъ къ уменьшенію капитала. Всякій проигрышъ, служа къ уменьшенію капитала, должно разсматривать какъ вычитаемое. Всякое перемѣщеніе точки влѣво, служа къ уменьшенію существующаго перемѣщенія вправо, есть вычнтамое и т. д. Потому-то отрицательныя величины, какъ вычитаемыя по отношенію къ положительнымъ, и сопровождаютъ знакомъ минусъ. Нулю также иногда приписываютъ тотъ или другой знакъ, когда въ изслѣдованіи задачи нужно, чтобы оставался какой-нибудь слѣдъ, показывающій происхожденіе этого нуля. Наприм., когда температура низшая нуля увеличивается, дѣлаясь наконецъ нулемъ, то, очевидно, нужно ее обозначить знакомъ (— 0), Тригонометрія представляетъ множество примѣровъ этого рода.
8.	Мы обобщили понятіе объ ариѳметическомъ количествѣ, введя въ это понятіе новый элементъ--яаяраоемге, при чемъ самое обобщеніе вывели изъ разсматриванія величинъ. Но къ тому же обобщенію можно придти еще другимъ путемъ—изъ разсмотрѣнія дѣйствій надъ числами.
Пусть изъ нѣкотораго числа а требуется вычесть Ь: разность выразится формулою а — Ь. Здѣсь слѣдуетъ разсмотрѣть три случая:
1)	Когда « больше Ь, то-есть уменьшаемое больше вычитаемаго^ то вычитаніе такое всегда возможно. Такъ, если а =10 и 4, то численная величина разности а — Ь равна 6,
2)	Если а=?\ т -е. вычитаемое равно уменьшаемому, то вычитаніе снова возможно, потому что отъ а всегда можно отнять столько единицъ, сколько ихъ въ немъ находится; но остатокъ вычитанія уже не представляетъ никакого числа: онъ есть нуль, выражающій отсутствіе всякой величины. Однако, уже и въ ариѳметикѣ принято н нуль называть числомъ.
3)	Когда а<^6, т.-е. вычитаемое больше уменьшаемаго, то вычитаніе не всегда возможно; разсмотримъ, когда оно возможно п когда пѣтъ.
Разсмотримъ сначала величину ариѳметическую, т.-с. такую, для которой не существуетъ противоположной. Различныя состоянія такой величины можно представлять графически разстояніями точекъ прямой, неограниченно простирающейся '• иько въ одну сторону отъ своей начальной точки, наприм., отъ точки О і~: іво (по направленію О.г).
Вычитаніе Ъ изъ а выразится графически нанесеніемъ линіи а вправо отъ точки О — въ направленіи возрастающихъ разстояній, а вычитаемой линіи Ъ отъ конца М линіи 0М = а въ направленіи, противоположномъ направленію возрастающихъ разстояній, т.-е. влѣво отъ М (черт. 3). Самое построеніе показы-
О м И н--_----------------------------------х
Ъ
Черт. 3.
ваетъ: что вычитаніе возможно до тѣхъ поръ, пока Ь —Если же Ь больше а, то построеніе укажетъ яеоо&ножяость дѣйствія. потому что конецъ линіи МХ — Ь упадетъ въ этомъ случаѣ влѣво отъ точкя 0. такъ ска-
зать, въ пустоту, ибо линія Ол, простираясь только
точекъ влѣво отъ 0.
Пусть а = 5, 6 = 7; тогда
а — 6 = 5 — 7;
разность 5 — 7 можно выразить однимъ числомъ; въ самомъ -7 изъ 5 все равно что сперва вычесть 5, а затѣмъ 2, слѣд.
дѣлѣ, вычесть
о і — о — 5	2;
но 5 — 5 = 0, слѣд. 5 — 7 = 0 — 2; опуская О, получимъ въ остаткѣ —2. Разность выражается отрицательнымъ числомъ — 2; во это отрицательное число въ данномъ случаѣ ничего не представляетъ, не имѣетъ никакого реальнаго значенія.
Но если разсматриваемая прямая простирается не только вправо, но п влѣво отъ точки 0, представляя такимъ образомъ величины, имѣющія два противоположныя направленія, то дѣйствіе вычитанія большаго числа изъ меньшаго, бывшее въ первомъ случаѣ невозможнымъ, теперь становится возможнымъ, ибо ли-
М о'р “ г::>.. М
6
Черт. 4.
нія л’х имѣетъ точки влѣво отъ 0, и разность &—Ъ = — 2 имѣетъ совершенно реальное значеніе, представляя линію ОМ, лежащую влѣво отъ начала 0.
Итакъ, при вычитаніи большаго числа изъ меньшаго получается отдогде-. желъноя число; оно не имѣетъ никакого реальнаго значенія въ случаѣ абсолютныхъ величинъ и, напротивъ, имѣетъ совершенно реальное значеніе въ случаѣ величинъ противоположныхъ.
Самое правило вычитанія большаго числа изъ меньшаго легко видѣть изъ приведеннаго примѣра
именно: нужно изъ большаго числа вычесть меньшее и передъ остаткомъ поставить знакъ (—).
Въ противоположность отрицательнымъ числамъ, числа, получаемыя при всегда возможномъ вычитаніи меньшаго числа изъ большаго, называются положительными п обозначаются знакомъ -|—
Такъ, если а = 5. с = 3; то
а — с = 5 — 3 = 4~--
Легко видѣть на чертежѣ, что значеніе положительнаго числа противоположно
значенію отрицательнаго: въ то время какъ отрицательное число а — Ъ = — 2
ОХ,_ лежащую влѣво отъ точки О, положительное число
означаетъ
С
а — с = —2. выражаетъ линію Ор, лежащую вправо отъ начала (черт. 4).
9.	Алгебраическое количество.—Количество, состоящее изъ двухъ элементовъ: 1) изъ численной величины, которая можетъ быть цѣлая или дробная, и 2) знака і —) или (—), указывающаго направленіе величины, и называется собственно аліебраическгімъ количествомъ. Такъ
5, -6,	+а, -а, +3а*, -5а*
суть количества алгебраическія.
Если къ количествѣ отбросить знакъ, то получится ариѳметическое число, которое называется абсолютнымъ или ч-ислоодлса зяаченіе-иь, также—модулемъ количества. Такъ, количества -{-8 н - имѣютъ абсолютными значе-с 1 ніями ын модулями числа Ь и у.
Для обозначенія абсолютнаго значенія или модуля числа ставятъ это число между двумя вертикальными чертами. Такъ, | а | означаетъ абсолютное значеніе нл модуль алгебраическаго числа а. Такимъ же образомъ:
| -|-5 | =5; | — 3 | =3,
Иногда ставятъ число въ квадратныя скобки; такъ [а] означаетъ модуль числа а.
10.	Выгоды, происходящія отъ, введенія отрицательныхъ количествъ.— Введеніе отрицательныхъ количествъ въ алгебру имѣетъ чрезвычайно большое значеніе, такъ какъ оно даетъ математическимъ выводамъ ту общность, которая безъ отрицательныхъ величинъ была бы недостижима. Пояснимъ это примѣрами.
Примѣръ I. Купленъ товаръ за а руб., а проданъ за Ь руб. Какое измѣненіе произошло отъ этого оборота въ капиталѣ?
Для опредѣленія измѣненія капитала вычтемъ изъ Ъ руб. а руб., найдемъ
Ъ — а.
Здѣсь могутъ быть три случая.
1)	Если Ь > а, то разность Ь — а будетъ положительная и выразитъ собою побылъ, полученную при продажѣ товара, потому что цѣна (Ь), за которую проданъ товаръ, больше цѣны (а), за которую онъ купленъ.
2)	Если Ъ = а, то разносгь Ь — а равна 0 и означаетъ, что при продажѣ не получено ни прибыли, ни убытка, что очевидно.
3)	Если Ь < а. то разность Ь — а будетъ отрицательная и выразитъ
убытокъ, полученный при продажѣ товара, потому что цѣна (&), которую купецъ беретъ, продавая товаръ, меньше цѣны (а), которую онъ самъ заплатилъ за товаръ*
Итакъ, всѣ частные случаи, которые могутъ встрѣтиться при рѣшеніи данной задачи, можно соединить въ одной формулѣ: 6 — », которая и выражаетъ собою измѣненіе капитала во всѣхъ случаяхъ, при чемъ положительный результатъ означаетъ прибыль, а отрицательный—-убытокъ. Правда, мы могли бы избѣжать полученія отрицательныхъ выводовъ, еслибы при Ъ<а стали дѣлать вычисленіе по формулѣ.» — й; но такое дробленіе задачи и формулы на нѣсколько отдѣльныхъ задачъ и формулъ соотвѣтственно частнымъ значеніямъ буквъ не соотвѣтствовало бы духу алгебры, стремящейся обобщать какъ самые вопросы, такъ и ихъ рѣшенія.
Примѣръ II, Нѣкоторое событіе случилось спустя і лѣтъ послѣ Р. Х,^ а другое событіе п годами раньше. Хоіда имѣло мѣсто второе событіе?
Время второго событія найдемъ, вычтя я ки> ?: сдѣь ов»» выразится фор- * мглою
/ — я.
Здѣсь опять возіомы три случая:
1)	Если * > я, разность і — п положительная; папр., если первое событіе имѣло мѣсто спустя 600 лѣтъ послѣ Р, X.. а второе 400 годами раньше, то подставивъ въ формулу < — я вмѣсто / число 600 п 400 вмѣсто п, найдемъ
— я = 600 — 400 = + 200,
Очевидно, этотъ положительный результатъ означаетъ, что второе событіе имѣло мѣсто черезъ 200 лѣтъ послѣ р, X.
2)	Если 2 = п,’то разность і — п = 0. Нулевое рѣшеніе, очевидно, означаетъ, что второе событіе совершилось въ самое Р. X.
3)	Если, наконецъ., *О, то разность / — п будетъ отрицательная. Если положимъ, что первое событіе совершилось спустя 600 лѣтъ послѣ Р. X., а второе за 800 лѣтъ до перваго, то подставляя въ формулу і — п этп числа, найдемъ
і—	п = 600 — 800= — 200 л.
Ясно, что отрицательный результатъ означаетъ, что второе событіе совершилось за 200 л. до Рг X,
Итакъ, замѣтивъ, что положительный результатъ означаетъ время послѣ Р. X., а отрицательный — время до Р. X,, мы въ формулѣ і— я имѣемъ рѣшеніе всѣхъ частныхъ случаевъ данной задачи. И здѣсь мы могли бы избѣжать отрицательнаго вывода, если бы вторую задачу рѣшили по пной формулѣ: ю — I; но такое дробленіе задачи и формулы не соотвѣтствовало бы духу общности, составляющей отличительный характеръ алгебры.
Итакъ, введеніе отрицательныхъ количествъ даетъ возможность какъ самые вопросы давать въ совершенно общей формѣ, такъ п рѣшенія всѣхъ частныхъ случаевъ выводить изъ одной общей формулы.
11.	Свойства положительныхъ и отрицательныхъ количествъ. — Если имѣемъ нѣсколько примѣровъ вычитанія, въ которыхъ уменьшаемыя равны, то остатки будутъ тѣмъ меньше, чѣмъ больше вычитаемыя. Такъ, вычитая изъ 5 послѣдовательно 1, 2, 3,..., получимъ остатки

5 — 1 = 4~ 4
5 —2=4-3
5 —3 = + 2 5 —4 = 4-1 5 — 5 = О
5 — 6 = — 1 5 —7 = —2
5 — 8 = — 3 и т. д.
величина которыхъ становится все меньше и меньше. Сравнивая между собою остатки. іаіодимъ такимъ образомъ, что
— 4
слѣдуетъ, что:
1)	Всякое положительное количество больше нуля;
2)	Изъ двухъ положительныхъ чиселъ то больше, - у котораго модуль боль»:
3)	Всякое отрицательное количество меньше нуля;
4)	О составляетъ границу, отдѣляющую положительныя количества отъ отрицательныхъ;
5)	Изъ двухъ отрицательныхъ количествъ то больше, котораго абсолютное значеніе меньше.
Въ поясненіе выводовъ — третьяго и пятаго приведемъ слѣдующіе при-мѣры. Пусть изъ двухъ лицъ, А и В, первое ничего не имѣетъ (ни имущества пи долга), а второе, не имѣя никакого имущества, имѣетъ долгъ въ 50 руб. Долгъ и имущество величины противоположныя, при чемъ, согласно съ вышеприведеннымъ условіемъ, долгъ есть величина отрицательная, а имущество — положительная. Такимъ образомъ, состояніе А равно 0, состояніе В равно — 50 р. Лицо, имѣющее только долгъ, имѣетъ менѣе лица, ничего не имѣющаго, поэтому мы въ правѣ сказать, что отрицательное имущество В (— 50 р.) меньше пулеваго имущества А: отрицательное количество меньше нуля. Положимъ теперь, что А и В не имѣютъ никакого имущества, но А имѣртъ долгу 30 р+, а В — 80 р.; состояніе перваго выразится отрицательнымъ числомъ —30 р., второго—отриц. числомъ —80 р. Очевидно, что лицо, имѣющее долгу 30 р., богаче лица, долгъ котораго равенъ 80 р., слѣд. —30 р, >—80 р.: шъ двухъ отрицательныхъ количествъ то больше, котораго численное значеніе меньше. ч
ГЛАВА III
Цѣлъ алгебраическихъ дѣйствій.—Законъ Ганкеля.—Свойства суммы и разности.—
Свойства полинома. —Сложеніе и вычитаніе
12.	— Цѣль ариѳметическихъ дѣйствій состоитъ въ нахожденіи окончательно результата. Иное дѣло въ алгебрѣ. Количества, выраженныя буквами, не жгутъ сливаться, поэтому никакое алгебраическое дѣйствіе не можетъ быть до-до копца. Такимъ образомъ, алгебраическія дѣйствія имѣютъ цѣлью: указать знаками производимыя дѣйствія и преобразоеатъ полученный ре-сз тѣмъ. чтобы сдѣлать выраженіе его болѣе короткимъ
илм болѣе яснымъ. Въ самомъ дѣлѣ, очевидно, что далѣе идти нельзя. При этомъ, такъ какъ алгебраическое количество состоитъ изъ двухъ элементовъ—абсолютной величины и знака, то и правило каждаго алгебраическаго дѣйствія должно состоять изъ двухъ частей- правила абсолютныхъ величинъ и правила знаковъ.
13.	— Приступая къ какому-либо дѣйствію, надо прежде всего опредѣлить смыслъ его. При этомъ, уже въ ариометикѣ мы видѣли, что обобщеніе понятія о числѣ ведетъ къ обобУцемзю опредѣленій самыхъ дѣйствій, въ тѣхъ видахъ, чтобы избѣжать накопленія частныхъ случаевъ и всѣ эп случаи соединить въ одно общее выраженіе. Такъ, опредѣленіе дѣйствія умноженія расширяется при переходѣ отъ цѣлыхъ чиселъ къ дробнымъ. При этихъ послѣдовательныхъ обобщеніяхъ могутъ иногда утратиться тѣ или другія сдойст дѣйствій. Такъ, мы увидимъ далѣе, что извлеченіе корня. — дѣйствіе. ар^еігтеекомъ смыслѣ дающее одинъ результатъ, въ алгебраическомъ смыслѣ ”і<»«іггъ жъ нѣсколькимъ различнымъ результатамъ; въ данномъ случаѣ, слѣ^еательн-?. обобщенное дѣйствіе теряетъ свойство давать ойкні результатъ.
Но если, въ видахъ обобщенія, и можно откинуть то или другое свойство операціи, необходимо условиться не прибавлять никакихъ новыхъ свойствъ къ тѣгь. которыя имѣли мѣсто для дѣйствій надъ количествами менѣе общими, и это въ тѣхъ видахъ, чтобы всякое правило, установленное для обобщеннаго дѣйствія, было приложимо и къ менѣе общему случаю, содержа въ себѣ, какъ частный случай, правило, найденное ранѣе для дѣйствія, разсматриваемаго въ болѣе узкомъ смыслѣ, совершенно такъ же, какъ менѣе общій видъ количествъ содержится какъ частный случай въ количествахъ обобщенныхъ.
Это начало, которое слѣдуетъ соблюдать при обобщеніи опредѣленій количествъ и дѣйствій надъ ними, названо Ганкелемъ началось постоянства правилъ вычисленія. Въ силу этого начала всякое правило, относящееся къ количествамъ обобщеннымъ, должно прилагаться п къ количествамъ низшаго порядка, такъ какъ обобщеніе не вводитъ новыхъ свойствъ, а стало быть п не даетъ мѣста такимъ правиламъ, которыя не вытекали бы уже изъ свойствъ ранѣе принятыхъ.
14.	— Установленіе правилъ вычисленія зависитъ единственно отъ свойствъ дѣйствій; отсюда необходимость предварительнаго изученія этихъ свойствъ. Ознакомимся прежде всего съ фундаментальными свойствами суммы и разности.
При выводѣ этихъ свойствъ мы будемъ означать противоположныя величины — каждую одною буквою; такимъ образомъ подъ буквами: а, с, гі, ... будемъ представлять противоположныя величины, т.-е. абсолютныя значенія съ сопровождающими ихъ знаками.
Свойства суммы.
15.	Понятіе о сложеніи есть основное, а потому и не поддается никакимъ опредѣленіямъ.
Мы видѣли, что каковы бы ни были противоположныя величины (скорости, времена, температуры), ихъ всегда можно представлять прямыми линіями, наносимыми на неограниченной прямой въ томъ пли другомъ направленіи. Поэтому, если мы желаемъ сложить нѣсколько вели чипъ, то должны помѣстить пхъ одну за другой, каждую въ направленіи, опредѣляемомъ ея знакомъ, т.-е. начало второй помѣстить въ концѣ первой, нанося ее въ направленіи, указываемомъ ея знакомъ, и т. д. Суммою будетъ разстояніе отъ начала первой до конца послѣдней. Это геометрическое представленіе сложенія полезно какъ облегчающее средство при доказательствѣ нѣкоторыхъ изъ нижеслѣдующихъ теоремъ.
Теорема. 1. — Придать къ данному количеству послѣдовательно ^сколько другихъ—все равно, что придать ихъ сумму; т.-е, 
а —|— Ъ —р- с = а 4~ (Ь —с).
Этою теоремою выражается такъ называемый законъ сочетательный въ сложеніи.
Доказательство.—Пусть, напр., а — -}-я, Ъ = — р, с = + у, гдѣ а, 5 і у суть абсолютныя величины. На линіи х'х отъ точки 0 вправо нанесемъ «ачала а: придемъ въ нѣкоторую точку М. Затѣмъ наносимъ — р, сообразно съ лакомъ этого количества, влѣво отъ точки М: придемъ въ точку И. Наконецъ,
.__________________О М -А М Р
X----—-------------------------------7^------7^------------
Черт. 5. « «гь точки К вправо наносимъ отрѣзокъ у: приходимъ въ точку Р. Сумма а 4“ + Ь с выразится линіей ОР отъ начала перваго слагаемаго до конца третьяго.
Но &4“с составляетъ въ то же время сумму МР, ибо М есть начало слагаемаго Ь, а Р — конецъ слагаемаго с; сл. представляя линію ОР суммою ОМ 4~ МР» і замѣчая, что 0М = а, а МР = Ь4“С, имѣемъ:
0Р = а4-(&4-с)‘...(1),
А раньше мы нашли, что
0Р = а4~^4“с (2)-
Изъ (1) и (2) заключаемъ, что
а4“Ь"Ьс = а4” Ф + СХ
такъ какъ оба эти выраженія представляютъ одну и ту же линію ОР.
Теорема П.— Сумма не измѣнится отъ перемѣны порядка слагаемыхъ.	Ь- сО
Этою теоремою выражается законъ перемѣстительный въ сложеніи.
Доказательство. — I. Докажемъ эту теорему сначала для двухъ сла-гэемыхъ, т.-е. что
а 4“" Ь =г= 6 4~
Доказательство это, въ свою очередь, распадается на нѣсколько случаевъ, смотря по знакамъ количествъ а и Ъ.
о ...С о м р
X-----------------------------------------------------&
» "а .......а‘
Черт. 6. с
I * Пусть а и Ь — положительныя количества. Наносимъ а по линіи Оя, нкш отъ точки 0: придемъ въ точку ,М. Затѣмъ, отъ точкй М въ томъ же
2*
направленіи наносимъ Ъ, и такимъ образомъ приходимъ въ точку Р. Сумма равна линіи ОР отъ начала перваго слагаемаго до конца второго:
а-}-Ь = 0Р...(1).
Если теперь на линіи ОР отложимъ часть 0($ = Ь, то остальная ея часть <}Р будетъ равна а; слѣдов. линію ОР можно разсматривать также какъ сумму .линій Ь и а:
6-|-а —ОР... (2).
Изъ (I) и (2) слѣдуетъ, что ।	а —1"“ Ъ	Ь в.
2) Составимъ сумму полагая, что а положительно и равно -|-а, а Ь отрицательно и равно — положимъ сверхъ того, что а > 3-
Нанесемъ а на линію Оя: придемъ въ точку М: отъ точки М наносимъ ли-, нію 6, сообразно съ ея знакомъ, влѣво: придемъ въ точку Р* Сумма а^-Ъ выразится линіей ОР отъ начала перваго до конца второго слагаемаго:
а + Ь = 0Р.........(3).
X
Черт., 7.
, Нанесемъ теперь Ь, сообразно съ знакомъ этой линіи, влѣво отъ 0: придемъ въ точку ф очевидно, что линія (}Р = ОМ (ибо каждая состоитъ изъ 6, сложеннаго съ ОР); а потому, нанося а отъ точки вправо, придемъ въ точку Р, и сумма & + « выразится линіей ОР отъ начала слагаемаго Ъ до конца а,
Ь-4-а^ор..........(4).
Изъ равенствъ (3) и (4) находимъ опять, что
ибо та и другая сумма выражаетъ одну и ту же линію ОР-
Пусть Нанеся а на линію О# вправо отъ начала, придемъ въ точ-
О	Р О -----------------------м
X -------4------------------Ч-ГТТ7--------------------------------------------
Черт* 8.
ку М; отъ точки М папосимъ Ь въ направленіи Оа/; такъ какъ 8 > я, то придемъ въ нѣкоторую точку Р, лежащую влѣво отъ 0. Сумма выразится линіей ОР, отъ начала перваго до конца второго слагаемаго:
а + й = ОР. . . . : (5).
Отложимъ отъ точки 0 влѣво линію — МР ~ Ь; очевидно, что <^Р
рапа ОМ или а. Слѣд., линія ОР будетъ выражать сумму линій: — Ь і	= -1- а, т.-е.
Ь-|~а = ОР........(6).
??ъ равенствъ (5) и (6) заключаемъ:
О- —&----Ъ —(2.
3» Есл бы количества а и Ъ были оба отрицательны, то доказательство йі то же самое, что и въ случаѣ, 1-мъ, только обѣ линіи пришлось бы <^пщмать влѣво отъ начала.
Втакъ. теорема доказана для двухъ слагаемыхъ.
П- Докажемъ теперь, что если имѣемъ сумму трехъ слагаемыхъ, то можно
ть порядокъ двухъ послѣднихъ. Въ самомъ дѣлѣ, на основаніи теоремы
л 1
. пгѣемъ:
а Ь + с = а -|- (і + с);
мгѣигь въ скобкахъ порядокъ слагаемыхъ, отъ чего, по теоремѣ II для двухъ сотыхъ, сумма ихъ не измѣнится, находимъ
а4-Ь4-с = а + (с + 1>);
замѣняя, на основаніи теоремы I, выраженіе а 4~ (с 4“ равнымъ ему « — *4-6, получаемъ
а4-г>4-с = а4-с + Ь.
Ш. Въ суммѣ, состоящей изъ сколькихъ угодно слагаемыхъ, можно измѣнить медокъ двухъ послѣднихъ. Въ самомъ дѣлѣ, такую сумму можно разсматри-вп какъ состоящую изъ трехъ слагаемыхъ.
П\ Во всякой суммѣ можно перемѣнить мѣста двухъ послѣдовательныхъ сла-тнпъ, гдѣ бы они ни находились.
Въ самомъ дѣлѣ, на основаніи пункта III имѣемъ
о 4- Ь + с 4- == а 4- д 4“ $ 4-
отбавляя къ равнымъ величинамъ поровну (по і), получимъ равныя, слѣд.
а 4~ ь 4- с 4~ $ + &== а + ~Н $ ~Н & 4~
•жада такимъ же образомъ
а4-ь4"с4~^4“б +/"=а4~^4'^“Ьс4~е+А «л д.
V. Можно измѣнить какъ угодно мѣста слагаемыхъ въ суммѣ.
Въ самомъ дѣлѣ, перемѣщая два послѣдовательныхъ члена одинъ на мѣсто можно всякое слагаемое помѣстить на какомъ угодно мѣстѣ.
Тморей а III. сколько «лаш&мът ложно	суммою
чкжпи ее), и наоборотъ—одно слагаемое можно замѣнитъ нѣскѳлъ-которыхъ сумму оно представляетъ.
іоказательств о.—I. Помѣстимъ въ началѣ всѣ слагаемыя,,которыя мы ъ*евгъ суммировать; вычислимъ ихъ сумму, сообразно съ нхъ знаками; наконецъ, жетгаый результатъ помѣстимъ тамъ, гдѣ хотимъ. Эти преобразованія, закончись догорыхъ выше доказана, доказываютъ первую часть теоремы.
X Помѣстимъ на первомъ мѣстѣ слагаемое, которое желаемъ разложить; уяпвжпгъ его на части, сумму которыхъ оно составляетъ; наконецъ, размѣ
стимъ какъ угодно эти части въ данной суммѣ. Всѣ эти преобразованія, которыя по вышедоказанному всегда можно сдѣлать, служатъ доказательствомъ второй части теоремы.
Свойства разности.
16. Опредѣленіе вычитанія.—Вычитаніе есть дѣйствіе обратное сло- • жепію, Вычесть изъ первой величины вторую значитъ найти такую третью величину, которая будучи сложена со второю, давала бы первую, Итакъ, вычитаніе служитъ для рѣшенія слѣдующей задачи: «по данной суммѣ а двухъ количествъ и одному изъ нихъ Ъ найти другое*.
Дѣйствіе вычитанія и результатъ его, называемый остатка#^ или разностью, обозначается слѣдующимъ образомъ:
а — Ъ,
Назвавъ остатокъ буквою по опредѣленію вычитанія имѣемъ
а = Ь—
Теорема I.—Вычитаніе какой угодно величины всегда можно замѣнить приданіемъ величины ей противоположной (т.-е. противоположнаго знака).
Доказательство. Замѣтимъ сначала, что сумма двухъ количествъ а и а*) одинаковой абсолютной величины, но противоположныхъ знаковъ, равна нулю, т.-е.
а-}-а = 0.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть, наприм., а есть количество положительное и выражается отрѣзкомъ ОМ; придать а значитъ отъ точки М влѣво отложить линію МО; придемъ въ точку 0. Такнмъ образомъ сумма, т.-е. разстояніе отъ начала перваго до конца второго слагаемаго, равна 0. (См. черт. 3.)
Состояніе лица, имѣющаго 5 р. капитала и 5 р. долга, очевидно, равно нулю, сл. -|” 5 р. + ( — 5 р.) = 0; и т. и.
Пусть теперь изъ а нужно вычесть I). По опредѣленію вычитанія, это значитъ: найти такое третье количество, которое, будучи сложено съ Ьт давало бы а. Такимъ свойствомъ обладаетъ количество а4-Ь; въ самомъ дѣлѣ:
а4“&4“^ = а4~І^4“М
I
по теоремѣ 1 свойствъ суммы. Но, въ силу только^что сдѣланнаго замѣчанія, количество въ скобкахъ равно нулю; слѣд.
а — Ь = &4~^
что и требовалось доказать.
Теорема И.— Уяіо&д вычесть	кужяо вычесть послѣдова-
тельно всѣ ея члены.
Доказательство.—Въ самомъ дѣлѣ, пусть нужно вычислить выраженіе
М — (д 4- Ъ + с — сі)*.
*) Въ этой теоремѣ и въ теоремѣ ГѴ* мы обозначаемъ равныя, по противопс* ложныя количества одинаковыми литерами разныхъ начертаній.
разность буквою 8, мы, по опредѣленію вычитанія, имѣемъ равенство 5 —|— (<х —|— Ь	с —
Лт
. по теоремѣ I свойствъ суммы,
К = 8 —р а —р & —с с?1
і перемѣнивъ мѣста слагаемыхъ:
Х = а-|-5-|-й-|-с4-Ь, ши, по той же теоремѣ:
И	(5 —[- й —|- с —|-
Здѣсь И есть сумма, 8-|~^4“сЧ“^~одно слагаемое, а—другое; по опредѣленію вычитанія (по данной суммѣ Й и одному слагаемому, а, другое опредѣляется вычитаніемъ) имѣемъ:
К —— а = 8 —|- б? —с Ь,
Такимъ же точно разсужденіемъ изъ послѣдняго равенства находимъ послѣдовательно:
И — а — Ъ = с (5 <0»
К — а — Ь — €= 5 Л;
К -— а — Ъ — с — сі — і.
Подставивъ вмѣсто 8 равную ему величину, находимъ
К —	+	= — а— Ъ — с —
что и требовалось доказать.
Принципъ, выражаемый этою теоремой, служитъ, между прочимъ, основаніемъ теоріи вычитанія цѣлыхъ чиселъ: изъ уменьшаемаго послѣдовательно отнимаютъ всѣ части вычитаемаго, разсматривая его какъ сумму единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д.
Теорема Ш.-—Чтобы придать разность^ нужно придать уменьшаемое и изъ результата отнять вычитаемое.
Доказательство/—Пусть будетъ дана разность
а — Ъ = 8;
по опредѣленію вычитанія, имѣемъ
(і = с Ъ.
Придавая равныя къ равнымъ, получимъ равныя величины (приданіе 8 -|- Ь означаемъ скобками); сл.
Н4-а = Я-|-(8 + Ь);
отсюда, по теор. I св. сум., имѣемъ:
К -р а = И + 8 + Ь,
а во опредѣленію вычитанія:
или,* замѣнивъ 2 его величиною, получаемъ
Х-І-а —Ь = К + —6), что и требовалось доказать.
Теорема IV.— Чтобы вычесть разность, нужно вычесть уменьшаемое и къ результату придать 'вычитаемое.
Доказательство.—Изъ равенства
а — 6 = 8, имѣемъ
а = Ь + Ъ,
Придавая къ обѣимъ частями по Ь, имѣемъ:
а4_Ь = ? + Ь + Ь = 8; вычитая равныя изъ равныхъ, получимъ:
Х-(а^Ь) = Х-г;
отсюда, по теор. П св. рази., имѣемъ
X — а — Ь = X — 8
но вычесть Ь — то же самое, что придать 6; слѣд.
К_а-4_Ь = Х-§ = Х_(а —Ь), что и требовалось доказать.
Слѣдствіе. Придавая или вычитая разность, всегда можемъ измѣнить порядокъ двухъ производимыхъ дѣйствій.
Доказательство. — Чтобы доказать теорему для случая приданія разности, напишемъ равенство
Х4”а — 6 = а Ц- X — 6, справедливое потому, что въ суммѣ К-ра можно перемѣнить порядокъ слагаемыхъ.
Вторую часть равенства, на основаніи теоремы III св. разн., можно представить въ видѣ: а 4- (К — 6); слѣд.
Х4-а — 6 = а + (Х-6);
перемѣнивъ снова мѣста слагаемыхъ во второй части, получимъ х 4"* & — 6 ^=5 (х — 6)
опустивъ скобки, такъ какъ и безъ нихъ смыслъ дѣйствій ясенъ, имѣемъ
И -I- а — Ь = И — Ъ а. »
Для случая вычитанія разности, па основаніи случая приданія прямо имѣемъ: X — а Ц- Ъ = X’ Ъ — а.
Теорема V. — Разность не измѣнится, если къ уменьшаемому и вычитаемому придать или изъ нихъ вычесть одно и то же количество.
I
Доказательство. — Въ самомъ дѣлѣ, изъ равенства
а — Ь = 5,
♦
ж опредѣленію вычитанія, имѣемъ
а = 8 Ь.
Предавая къ равнымъ поровну, получимъ количества равныя, слѣд.
а 4- ~ 8 Ц- Ь 4*
ни по теоремѣ 1 св. суммы:
а т= 2 Ц- (Ь -|~ т)-
Отсюда по опредѣленію вычитанія,
(а 4“ т) — (Ъ	т) = 8,
ли, замѣнивъ 8 его величиною, имѣемъ
(а 4* т) — (Ъ т) = а — 6.
Совершенно аналогичнымъ пріемомъ докажемъ, что
(а — т) — (Ь — т) — а — Ь.
Слѣдствіе. — Всякая разность ртвна обращенной разности, взятой со знакомъ минусъ.
Доказательство. — Имѣя разность а — Ь, мы не измѣнимъ ее, вычтя изъ обоихъ членовъ ея по а; поэтому
а — Ь = (а — а) — (Ъ — а); ли
а — Ь = О — (Ь — а);
опустивъ ноль, получимъ окончательно
а — Ъ = — (Ь — а). >
Теорема VI. — Количество не измѣнится, если къ нему придать и затѣмъ вычесть одну и ту же величину,
Доказательство. — Въ1 самомъ дѣлѣ, по теоремѣ ІП о приданіи разности имѣемъ:
р_)_а _ а ==Р-4(«-«) = ₽ + О = Р.
Свойства полинома.
17. Выраженіе вида
а-\-Ъ —	— е
газывающее рядъ сложеній и вычитаній, называется полиномомъ или многочле-шлъ, Члены, предшествуемые знакомъназываются положительными, а ^едшествуемые знакомъ—, отршдетелъяылш. Если передъ первымъ членомъ ж иходится никакого знака, надо подразумѣвать -р. Члены полинома суть жтетва, которыя сами по себѣ могутъ быть или положительныя, или отри-
дательныя. Отдѣльный членъ, называемый одночленомъ или лонялола, всегда можно разсматривать какъ двучленъ или биномъ; въ самомъ дѣлѣ:
а = а О = О а — а — О.
18. Теорема.'—Во всякомъ полиномѣ можно какъ угодно измѣнятъ порядокъ членовъ^ сохраняя передъ ними ихъ знаки: величина полинома отъ этого не измѣнится.
Доказательство. — I. Сначала докажемъ, что можно измѣнить порядокъ двухъ послѣднихъ членовъ; т.-е., назвавъ совокупность предшествующихъ членовъ буквою Р, докажемъ справедливость равенствъ:
р^а_р = Р„Ь —
Р — а — Ь — Р — Ь — а.
Р -к а — Ь = Р — Ь — а. ] » л
. Въ самомъ дѣлѣ, по теоремѣ П свойствъ суммы, величина суммы не измѣнится отъ перемѣны мѣстъ слагаемыхъ: слѣд. 1-е равенство доказано.
Для доказательства второго припомнилъ, что на основаніи теоремы II свойствъ разности имѣемъ
Р — а — Ь = Р — (а 4- &);
измѣнивъ въ суммѣ мѣста слагаемыхъ, получимъ
Р — а — 6 = Р — (і а);
отсюда, основываясь опять на теор. II св. разн., вторую часть замѣняемъ формулою Р — Ъ — а, послѣ чего окончательно находимъ
Р — а— 6 = Р— Ь— а.
Наконецъ, на основаніи слѣдствія теоремы IV св. разн., прямо имѣемъ
Р + а — Ъ = Р — Ъ -|- а ,
и третье равенство доказано.
II. Докажемъ теперь, что можно измѣнить порядокъ двухъ послѣдовательныхъ (рядомъ стоящихъ) членовъ полинома.
Въ самомъ дѣлѣ, всякіе два рядомъ стоящіе члена суть послѣдніе члены полинома, составленнаго изъ нихъ и имъ предшествующихъ членовъ; а по 1 пункту нашей теоремы такіе два члена могутъ быть переставлены одинъ на мѣсто другого.
III. Можно измѣнить какъ угодно порядокъ членовъ. Въ самомъ дѣлѣ, пере-. ставляя два послѣдовательные члена одинъ на мѣсто другого, можно какой , угодно членъ полинома перевести постепенно на какое угодно мѣсто.
19. Приведеніе подобныхъ членовъ полинома. — Два члена, состоящіе изъ одинаковыхъ буквъ и надъ одинаковыми буквами имѣющіе одинаковыхъ показателей, а коэффиціенты и знаки которыхъ могутъ быть какіе угодно, называются подобными. Короче, гсойооншш	называются такіет у кото-
рыхъ буквенная частъ одинакова. Такъ, ЗоЧі3с и — 7а3Ь®с — подобны; также 4 (х — у)2#3 н — у (х — у)3#3 — подобны между собою.
Когда многочленъ содержитъ подобные члены, его можно упроститъ, соеди-
шъ подобные члены въ одинъ. Соединеніе подобныхъ членовъ въ одинъ назы-пется приведеніемъ.
При выводѣ правилъ приведенія нужно разсмотрѣть слѣдующіе случаи.
1) Знака подобныхъ членовъ одинаковы. Пусть данъ двучленъ, состоящій «п> положительныхъ членовъ, напр., ЗааЬ-|-5«я&. Знакъ подразумеваемый жредъ членомъ ЗааЬ, показываетъ, что слѣдуетъ придать Заа6; 4~ передъ ггорымъ членомъ означаетъ, что придается 5а*&; но придать За*й, а затѣгь
— все равно что сразу придать 8а2Ь, слѣдовательно
Зайі ~р 5а4Ь —	8а3Ь.
Возьмемъ двучленъ — 4аЬ3— 5аЬ3. Знакъ (—) передъ первымъ членомъ иѵказываетъ, что нужно отнять 4аЬ3; тотъ же знакъ передъ вторымъ членомъ означаетъ, что нужно отнять 5аЬ8; но отнять 4аЬ3 и затѣмъ 5аЬ® — все равно что сразу отнять 9аЬ3; итакъ
— 4аЬ3 — 5аЬ3 = — 9а63й
Отсюда правило: ее-ш знаки подобныхъ членовъ одинаковы, то для приве-аенія членовъ въ одинъ нужно буквенное выраженіе оставитъ безъ перемѣны, коэффиціенты сложить, а знакъ поставитъ общій,
2) Знаки приводимыхъ членовъ различны. Возьмемъ выраженіе, состоящее изъ двухъ подобныхъ членовъ съ разными знаками, напр., 5а*Ь3 — За3Ь3. Знакъ (-}-), подразумѣваемый передъ первымъ членомъ, означаетъ, что нужно придать 5аЧ3; (—) передъ вторымъ членомъ показываетъ, что нужно вычесть ЗааЬ®. Придать 5 разъ а2і3, а затѣмъ вычесть 3 раза а*Ь3 — все равно что придать 2 раза а263; сл.
5ааЬ3 _	= + 2айЬ3.
Въ выраженія: —5а3Ь3-|-2а*Ь3 заакъ (—) передъ первымъ членомъ показываетъ, что нужно 5 разъ вычесть а2й3; (+) передъ вторымъ члепомъ показываетъ, что нужно придать 2 раза а2Ь3; по это — все равно что отнять 3 рана аа&3, Слѣд.
— 5а2Ь3 -к 2аЧ>3 = — За3Ь3.
<)тсюда правило: /ми да знаки подобныхъ членовъ разные, иго для соединенія членовъ въ одинъ нужно — буквенное выраженіе оставить безъ измѣненія, изъ большаго коэффиціента вычесть меньшій и передъ разностью поставитъ знакъ большаго коэффиціента,
Можетъ случиться, что подобные члены имѣютъ одинаковые коэффиціенты, но разные знаки, напр., ^-1— 2а — 2«; очевидно, что такіе члены взаимно уничтожаются, т.-е. даютъ въ результатѣ ноль. Слѣд.
4~ 2а — 2а — О.
При помощи этихъ правилъ можно дѣлать приведеніе подобныхъ членовъ по-лнома, сколько бы ихъ ни было. Въ самомъ дѣлѣ, примѣняя первое правило, іы соединимъ въ одинъ членъ всѣ подобные члены, имѣющіе одинаковые знаки; і’ <лѣ этого придется сдѣлать приведеніе членовъ съ разными знаками, примѣ-Аіл второе правило. Пусть, напр., данъ полиномъ
7а6 — 5аЧ>2 + 5аЧ>* — За162 + 8а*63 - 13а*Ьа+ а4Ь3 - Ь6.
Членъ 7а®, не имѣющій себѣ подобнаго, остается неприводимымъ. Члены: — 5а4Ьа и 5а46я, какъ подобные члены съ разными знаками и равными коэффиціентами, взаимно уничтожаются. Затѣмъ: —За4і* и —13а*Ь3 даютъ, по первому правилу, — 16а46*; члены:	и	по тому же правилу, лаютъ	Члены: — 16аЧ>3 и	по второму правилу, даютъ
— 7а*№. Наконецъ — 6®, какъ не имѣющій себѣ подобнаго, остается не приводимымъ. Такимъ образомъ данный полиномъ приводится къ слѣдующему сокращенному виду:
7а® — ІаЧ)* — Ъ'.
20.	Расположеніе многочлена по степенямъ главной буквы. — Когда показатели нѣкоторой буквы въ послѣдовательныхъ членахъ идутъ постоянно уменьшаясь или увеличиваясь, то говорятъ, что полиномъ расположенъ по степенямъ этой буквы, которая въ такомъ случаѣ называется моеной.
Такъ, полиномъ
3 — 5х -Ь 6-г1 — х* — х1
расположенъ по возрастающимъ степенямъ буквы х. Многочленъ
62	6’5
расположенъ по убывающимъ степенямъ буквы х.
Многочленъ
$ах*у — 14 4- 7«вх2^в
расположенъ одновременно по убывающимъ степенямъ буквы х и по возрастающимъ буквы у.
Многочленъ называется полнымъ, если показатели главной буквы идутъ увеличиваясь или уменьшаясь постоянно на единицу и если имѣется членъ, не содержащій главной буквы. Таковъ, наприм., многочленъ
ах1 -|- Ьх1 сх* + Лг 4“ *
это есть полный многочленъ относительно буквы х.
Если же нѣкоторыхъ степеней главной буквы недостаетъ, многочленъ называется неполнымъ, Наприм., 3^4-2х-рі
есть неполный многочленъ четвертой степени относительно буквы х: въ немъ недостаетъ члена, содержащаго
Сложеніе.
21,	Сложеніе полиномовъ. Теорема. — Чтобы придать полиномъ къ какому-нибудь количеству, надо всѣ члены полинома приписать къ этому количеству — каждый съ тѣмъ знакомъ, какой передъ нимъ находится.
Первое доказательств о.—Опо основано па правилѣ приданія суммы или разности. Пусть требуется къ Р придать полиномъ а — Ъ с — й; дѣйствіе обозначаемъ, заключивъ многочленъ въ скобки:
Разсматривая й какъ .количество вычитаемое изъ а — обозначаемъ хго дѣйствіе, заключивъ «— Ь-|-с въ новыя скобки; такимъ образомъ полупимъ:
Р 4- (а — Ь	с —(?) = Р + [(« — Ь 4" с) —1 й].
Разсматривая а — Ъ с какъ одинъ членъ разности, а (I какъ другой, и припоминая, что по теор, III св. разы., дли приданія разности надо придать первый членъ и отнять второй, найдемъ:
Р 4- (а — 6 4“ с — й) = Р 4~ О* — Ь 4- с) — й.
Разсматривая а — Ь какъ одинъ членъ суммы, а с какъ другой, что обозначаемъ соотвѣтствующими скобками, имѣемъ:
Р -р (4 — Ъ 4- с — й) = Р 4~ [(« — Ь) 4~ С1
На основаніи теоремы III св. суммы можно членъ [(«— Ь)4*с] замѣнить уммою составляющихъ его членовъ; так. обр.
Р 4- (а — 6 4“ г — (?) = Р 4~ (а — Ь) 4“ с
Наконецъ, по теоремѣ о приданіи разности получимъ окончательно
р 4“ (4 — Ь 4" с —й) — Р 4“ а — Ь 4" *с —
Второе доказательство, — Оно проще перваго. Разсматривая прида-яьемый полиномъ какъ одинъ членъ, мы, перемѣняя мѣста слагаемыхъ, можемъ шисать:
Р -1- (а — 6 4~с— й) = (а —	— (?)4~Р-
Вторая часть равенства означаетъ, что изъ а надо вычесть Ь, затѣмъ прилить с, вычесть й и, наконецъ, придать Р: но тотъ же смыслъ будетъ имѣть выраженіе, если въ немъ опустить скобки; сл. имѣемъ право написать
Р 4~ (« — Ь 4~ е — (I) = а — Ь 4~ * — й 4- Р.
Переставивъ затѣмъ послѣдній членъ второй части па первое мѣсто, полу-«гь окончательно
Р4~(4 — &4“с — й) = ?4^а —
Итакъ, для сложенія многочленовъ надо члены одного многочлена приписать «ъ другому, каждый съ тѣмъ знакомъ, какой передъ нимъ находится, и, еслп сдѣлать приведеніе. Па практикѣ, для удобства приведенія, пишутъ чле-ж одного многочлена подъ другимъ, наблюдая, чтобы подобные члены пахо-шоиь въ одномъ вертикальномъ столбцѣ. Такъ, пусть требуется сдѣлать сло-
•г* — 5аЪг 4" 7я#2 — а3 4“ (^а3 — х2 4“	— ЗЛг) 4“	— 2яа 4“
Располагая многочлены сказаннымъ образомъ, имѣемъ:
Г 4я3
I «з
— 5л^4“ 7 л#*— — ЗаЪ; — 4а.г4^-
8а3
а3
Слагаемыя < — я3 — За*я
Сѵмма. . , *
х3 —	4~ 11 “р 8а3
или, располагая члены по убывающимъ степенямъ буквы а:
8а® — 4аЪ?4“ Пси?1-(-о?®.
22.	Сложеніе мономовъ.—Правило этого дѣйствія можетъ быть выведено на основаніи правила сложенія полиномовъ, такъ какъ всякій мономъ можно разсматривать какъ биномъ.
Пусть къ какому-нибудь количеству Р, подъ которымъ будемъ подразумѣвать или полиномъ, или мономъ, требуется придать -[--а* Разсматривая 4~а какъ биномъ 0 4- а, иа основаніи правила сложенія полиномовъ, получимъ
Р4-(4-в)=Р+(о-Н)=Р+о-Н;
опуская 0, имѣемъ: Р^(-|-а) = Р + а............................(1).
Разсматривая —а какъ биномъ о — а, подобнымъ же образомъ найдемъ:
Р + (— а) = Р — (0 — а) = Р4-0-а = Р-а...........(2).
Итакъ.	одночленъ надо приписывать къ данному коли-
честву съ ею знакомъ.
Такъ, наприм.
(— 11а®ЬЪ?) = 5а3Ьия —11а8^вх;
по приведеніи же найдемъ: — 6а863хф
Такимъ же образомъ найдемъ:
1.	-|- 5 4’(4"7) = 4~ 5 4~ 7 — 4“ 12, ибо 5 положительныхъ единицъ да 7 такихъ же единицъ даютъ 12 положительныхъ единицъ или 4“ 12.
2.	— 5 4~(— 7) = — 5 — 7 5= — 12, ибо 5 отрицательныхъ да 7 отриц. единицъ даютъ всего 12 отрицательныхъ единицъ или —12.
3.	4-8 4-(—5) = 4-8 — 5 = 4~ 8, ибо 8 положительныхъ да 5 отриц. единицъ даютъ въ совокупности 3 положительныхъ единицы или 4“3-
Примѣчаніе, — Изъ послѣднихъ примѣровъ заключаемъ, что съ алгебраическимъ сложеніемъ не всегда соединяется понятіе объ увеличеніи: приданіе положительнаго числа означаетъ увеличеніе, приданіе отрицательнаго — уменьшеніе.
Теорема. — Всякій полиномъ можно разсматривать какъ сумму членовъ, ею составляющихъ.
Такимъ образомъ:
а —Ь4-с-Л = (-}-«) + ( —6) 4-(+ с) + (—й).
Въ самомъ дѣлѣ, примѣняя правило сложенія мономовъ ко второй части равенства, найдемъ выраженіе, стоящее въ первой его части; заключаемъ, что преобразованіе, указываемое этимъ равенствомъ, законно.
Вычитаніе,
23. Вычитаніе многочленовъ. Теорема.— Чтобы вычесть мноючленъ изъ какого-нибудь количества, надо къ этому количеству приписать всѣ члены вычитаемаго съ обратными знаками.
Первое доказательство. — Оно основано на правилахъ вычитанія
тупы пли разности. Пусть требуется изъ Р вычесть многочленъ а — 6 с — оГ; гкігтвіе обозначаемъ, заключивъ вычитаемое въ скобки:
Р — (а~ Ь4~с — ^).
Разсматривая (I какъ количество, вычитаемое изъ а — Ь с, обозначаемъ тѣйствіе этого вычитанія, заключивъ а—>Ь-|-е въ скобки. Такимъ образомъ
Р — (а — Ь с — — Р — [(а — Ъ с) — Л]. ,
Разсматривая а —&4~с какъ одинъ членъ разности, а какъ другой, на стованіи теоремы IV св. разности, имѣемъ:
Р — [(а — & 4“ с) — <4 = Р — (а — Ь 4* с) +
Выраженіе въ скобкахъ разсматриваемъ какъ сумму двухъ слагаемыхъ, изъ вторыхъ одно=а—й, а другое с; обозначая это соотвѣтствующими скобками, пемъ второй части послѣдняго равенства видъ
Р-[(а-Ь) + с] + (/.
Это выраженіе примѣненіемъ теоремы II св. раза, преобразовываемъ въ слѣдующее:
Р — (а — Ь) — с 4-
Примѣняя сюда теорему IV свойствъ разности, находимъ
Р — а + Ь — <? 4-
Итакъ, указанныя преобразованія приводятъ къ равенству:
Р — (а — & 4~с — ^) = Р — а4~&~ +
то и требовалось доказать*
Второе доказательство.—Эту теорему можно доказать иначе, осно-шваясь на опредѣленіи вычитанія и на правилѣ сложенія многочленовъ.
Вычесть изъ Р многочленъ а — Ь 4~ с — й, значитъ найти такой многочленъ, задавъ къ которому вычитаемое, нашли бы уменьшаемое Р. Полиномъ, имѣю-жіі такое свойство, есть
Р — а 4“ Ь с 4“
гь самомъ дѣлѣ, придавая къ нему данное вычитаемое, для чего надо всѣ члены ькдѣдняго приписать съ ихъ знаками, паходимъ
Р — а 4~Ь — с + й + а — Ь 4“ € — Ф
'Хілавъ въ этомъ выраженіи приведеніе, находимъ въ результатѣ Р. Стало дѣйствительно Р — а4”& — с 4" есть остатокъ вычитанія многочлена
* — Ь4~с — & изъ Р, т*-е.
Р — (а — Ь 4~ с — (1) = Р — а 4~ Ъ — с 4- й.
Итакъ, для вычитанія многочленовъ надо къ уменьшаемому приписать члены сжигаемаго съ обратными знаками и, если можно, сдѣлать приведеніе.
На практикѣ, для удобства приведенія, пишутъ члены вычитаемаго подъ жи^Ььзаеіымъ, наблюдая, чтобы подобные члены находились въ одномъ верти-и^ъ-ть столбцѣ.
Такъ, пусть требуется сдѣлать вычитаніе:
(5а36а _ 7аз6з  Ь5) _ (2а36* — 7аѢ* + Заі4 — 66й).
Располагая многочлены сказаннымъ образомъ и перемѣняя въ вычитаемомъ знаки на противоположные (измѣненные знаки поставлены на верху), имѣемъ:
Уменьшаемое. ....	5а362 —7а263 + 8а&4— Ь5
Вычитаемое............—2а362 + 7а263 ч- ЗяЬ4 Ч- 663
Остатокъ................ За362	+ баб4 + 56я
24. Вычитаніе мономовъ.—Правило вычитанія одночленовъ можно вывести на основаніи правила вычитанія многочленовъ, такъ какъ всякій одночленъ можно разсматривать какъ двучленъ.
Пусть изъ какого-нибудь количества Р, подъ которыхъ можно подразумѣ-вать или многочленъ, или одночленъ, требуется вычесть — а. Разсматривая + а какъ биномъ на основаніи правила вычитанія многочленовъ находимъ
Р — (—а) = Р — (О —а) = Р — О —а;
опустивъ О, имѣемъ:
Р —(+«) = Р —а. . . . (1).
Разсматривая — а какъ биномъ О — а, подобнымъ же образомъ найдемъ:
Р —(— а) = Р—(О —а) = Р — 0 + « = Р + а . . .(2).
Такимъ образомъ, вычитаемый одночленъ надо приписывать къ уменьшаемому съ обратнымъ знакомъ.
Напримѣръ
5а362с — (— 2а362с) = 5а361*с + 2а36'2с = 7а363с.
Такимъ же образомъ найдемъ:
1) 3 —(4-5) = 3 — 5 = — 2.
2) з — (— 5) = 3 + 5 =4-8.
Замѣчая, что остатокъ перваго вычитанія (—2) меньше уменьшаемаго, между тѣмъ какъ остатокъ второго (+8) больше уменьшаемаго, заключаемъ, что съ алгебраическимъ вычитаніемъ не всегда соединяется понятіе объ уменьшеніи: вычесть положительное число—значитъ уменьшить, вычесть отрицательное—значитъ увеличить.
Примѣчаніе.—Правило вычитанія одночленовъ можно бы было вывести непосредственно, основываясь на опредѣленіи этого дѣйствія; такой выводъ ничѣмъ не отличается отъ второго доказательства правила вычитанія многочленовъ, потому мы его и опускаемъ.
Употребленіе скобокъ.
25. Если многочленъ пли нѣсколько его членовъ заключены въ скобки, то можно ихъ опустить, написавъ многочленъ безъ скобокъ. Дѣйствіе это назыв. раскрытіемъ скобокъ, а правила его непосредственно вытекаютъ изъ правилъ сложенія п вычитанія многочленовъ. При этомъ слѣдуетъ разсмотрѣть два случая. V
1. Если передъ скобками стоитъ знакъ +, то можно опустить скобки вмѣ--гі съ знакомъ, который передъ нями находится, переписавъ члены, стоявшіе жъ скобкахъ, съ ихъ знаками. Такъ, выряженіе
а -|- (— Ь -}- с — -|- е), в» раскрытіи скобокъ, дастъ, по правилу сложенія, а — 6 4~ с —
2. Если многочленъ или часть его заключены иъ скобки, передъ которыми Т'<гь знакъ —, то можно опустить скобки вмѣстѣ съ знакомъ, который имъ і^ішествуетъ, перемѣнивъ знаки у всѣхъ членовъ, стоящихъ въ скобкахъ. Такъ, мзогочленъ
а —& — (—₽ + /•—А),
•• гласно съ правиломъ вычитанія, по раскрытіи скобокъ дастъ: а — Ь € — /’4~ Л.
Если многочленъ содержитъ нѣсколько паръ скобокъ, то ихъ можно уничто-вть послѣдовательно, начиная или съ внутреннихъ, или съ наружныхъ, руко-згитвуясь каждый разъ вышеприведенными правилами. Такъ, въ выраженіи х —[6 4"(С — Ф] раскрывъ сперва наружныя скобки, найдемъ •
а— Ь — (с —’ Й), пенимая на время с — за одинъ членъ. Раскрывая оставшіяся скобки, нахо-итъ окончательно
а — Ъ — с + й.
Наоборотъ, раскрывая сначала внутреннія скобки, т.-е. вида ( ), въ выжженіи
а —I——(<? — е)]|, вотчимъ
а - | - Ь + [с —
шарывъ затѣмъ квадратныя скобки, найдемъ
а — | — Ь 4“ с —- (7 4~ & 11
шаривъ, наконецъ, фигурныя скобки, получимъ окончательно: а 4- Ъ — <? 4-
Наоборотъ, можно многочленъ или часть его заключитъ вг> скобки, такъ чвмі передъ иими былъ опредѣленный знакъ. Здѣсь опять надо разсмотрѣть ж случая.
1. Если многочленъ или часть его желаемъ заключить въ скобки со зна-жп — передъ ними, то у членовъ, вносимыхъ въ скобки, слѣдуетъ сохранить къ жаки. Такъ въ выраженіи а4~Ь—с — внося три послѣдніе члена * скобки со знакомъ 4~ передъ ними, получимъ
а4~^“Ь(——е);
этого преобразованія подтверждается тѣмъ, что. раскрывъ скобки, вввнгъ іанное выраженіе а-\-Ь — с 4* — е.
2. Если же многочленъ или часть его требуется заключить въ скобки со знакомъ — передъ ними, то у членовъ, заключаемыхъ въ скобки, надо знаки перемѣнить на обратные. Такъ, если три средніе члена многочлена а — Ь-}-/— — А 4- к нужно заключить въ скобки со знакомъ -— передъ ними, то найдемъ:
(Ъ — /*4“ А) —к;
справедливость преобразованія доказывается тѣмъ, что, раскрывъ скобки, находимъ данное выраженіе
а — Ь —|— / — А —к.
Можно въ данный многочленъ вводить и нѣсколько паръ скобокъ. Такът наприм.. многочленъ а— 6-|-е — й4"е—/* можно написать въ видѣ
Л —[ — Ь 4“ С — — О 4*/)]'
ГЛАВА IV*
Умноженіе,
Опредѣленіе.—Правило знаковъ.—Законъ перемѣстительный. — Умноженіе одночленовъ.—Умноженіе многочлена на одночленъ и обратно.—Умноженіе многочленовъ.— Замѣчательные случаи умноженія.
26. Опредѣленіе. — Если для умноженія даны два ариѳметическія цѣлыя числа, иапр. 5 и 4, то умножить первое на второе значитъ взять первое сла-
»	4
гаемымъ 4 раза. Но если бы требовалось умножить о на -у, то данное опредѣленіе теряетъ смыслъ въ примѣненіи къ этомѵ случаю, потому что нельзя
4	"
взять 5 слагаемымъ у раза. Такимъ образомъ, опредѣленіе дѣйствія умноженія, въ случаѣ умноженія на дробь, должно быть измѣнено, но такъ, чтобы оно не противоречило опредѣленію умноженія на цѣлое число. Умножая 5 на 4. мы повторяемъ множимое слагаемымъ четыре раза, т.-е. составляемъ изъ множимаго новое число такъ, какъ множитель составленъ изъ единицы. Распространяя такое понятіе объ умноженіи па случай дробнаго множителя, т.-е.
г 4	,
понимая подъ умноженіемъ наприм. э па у —составленіе изъ э новаго числа такъ, какъ у составлено изъ единицы, мы даемъ такое опредѣленіе умноженія. которое, осмысливая случай умноженія на дробь, не противорѣчитъ въ то же время опредѣленію дѣйствія умноженія на цѣлое число. Распространяя это опредѣленіе и на алгебраическія количества, Лакруа даетъ слѣдующее общее опредѣленіе умноженія: умножитъ одно количество на другое значитъ— изъ множимаго составить новое количество такъ, какъ множитель составленъ изъ положительной единицы.
27, Правило знаковъ. — Примѣнимъ это опредѣленіе къ выводу правила знаковъ при умноженіи.
Пусть требуется положительное количество (4~ 5) помножить на положительное количество (4-4). Это значитъ: изъ -|-5 составить новое количество такъг какъ множитель 4“ 4 составленъ изъ положительной единицы. Но для составле-
ал — 4 изъ 4" 1 надо 4' 1 повторить слагаемымъ четыре раза; въ самомъ лл (4-1) 4“ (“Ь і) А- (4* 0 4* (4~ 0=+14" 14~14~1 = 4~ п по-^ку для нахожденія произведенія надо и 4"5 взять слагаемымъ четыре раза. Ъд~дімъ
5 .(+4) = (+5)4-(+5) + (^г5) + (+о) = + 5 + 5 + 5 + 5=х + 20 . . .(1).
Пусть требуется (—5) помножить на (Н-4), По опредѣленію, это значитъ іх~> і — 5) составить новое количество такъ, какъ (4~ 4) составлено изъ поло-хтт*льной единицы, т.-е. надо (— 5) повторить слагаемымъ четыре раза. На-
— 5і . (4-4) = (—5) + (— 5) + (— &) + (— 5) = —5 —5 — 5 — 5 = — 20. . .(2).
Дано:	помножить на (— 4). По опредѣленію, надо изъ (4" 5) госта-
«в новое количество такъ, какъ (—4) составлено изъ (4 1). По для соста-ояія (—4) изъ (4~ О нужно у (4“1) перемѣнить знакъ на обратный, я съ тжъ измѣненнымъ знакомъ взять ее слагаемой четыре раза; дѣйствительно: - в-|_(_ і) + (_ 1)_|_(_ 1) = -4.
'Свершая надъ множимымъ тѣ же дѣйствія, что и надъ (4~1), должно: у — 5) перемѣнить знакъ на обратный, вслѣдствіе чего получимъ (—5), а за-"Лжъ — 5 повторить слагаемымъ четыре раза. Найдемъ
-	.(-4)-(~5) + (-5) + (—5) + (— 5) = — 5 5 — 5-5 = —20. . . (3).
Пусть, наконецъ, требуется (— 5) помножить на (— 4). Согласно опредѣ--ря». нужно у ( — 5) перемѣнить знакъ на обратный, и съ этимъ измѣненнымъ жкдгь взять его слагаемымъ четыре раза. Получимъ
— 5 • * (— 4) — (+ 5) + (+ о) 4- (+ 5) + (Н- 5) —|- 5 + 5 }- 5 -(- 5 = |- 20 . . . (4).
Результаты: (1), (2), (3) и (4) приводятъ къ слѣдующему правилу: при ѵлхаженіи двухъ количествъ надо перемножитъ ихъ абсолютныя вели-«мы и передъ результатомъ поставитъ знакъ 4~> есл*{ множимое и лвь+зеителъ имѣютъ одинаковые знаки, и (—), если оба сомножителя знаки разные.
При выводѣ этого правила мы брали числа цѣлыя. Возьмемъ теперь дробію жда; пусть, паприм., требуется	уѴ Но опредѣленію умно-
ж’яьг надо изъ I — уі составить новое количество такъ, какъ
ілм» взъ (4'0- Но Для составленія уизъ (+1) надо: 1) 4~ 1 раздѣлить ян _ вслѣдствіе чего получимъ 14" у)? въ самомъ дѣлѣ, помноживъ на
* повторивъ слагаемымъ 7 разъ, найдемъ \4"у)4~(4"уу 4“ ’ ’ ' =Н”у ля—1; 2) затѣмъ слѣдуетъ (“Ьу) повторить слагаемымъ пять разъ; сдѣ-мі тгв. найдемъ —у; н 3) въ результатѣ перемѣнить знакъ на обратный,
і летъ	Поступая съ І~уу| такъ,екакъ сейчасъ мы поступали
2	2
• >—-1дѣлимъ, во-первыхъ. —у на 7, вслѣдствіе чего находимъ —;
соста-
х 2	>	2X5
повторяемъ, затѣмъ, — ^слагаемымъ пять разъ, что даетъ —3-77-?; нако
нецъ, въ результатѣ перемѣняемъ знакъ и находимъ
Итакъ:
/ П /	_.2 1
3 / Д 7 / —3* ‘ 7
что согласно съ вышеприведеннымъ правиломъ.
Такимъ образомъ, обозначая буквами а и абсолютныя числа, цѣлыя или дробныя, имѣемъ:
(+а) • (4“ = 4" н*
а). (+?) = — 2-?• (+ а).(— =І) = — а.?. (— з).(— =і) = 4-я.>.
28. Обобщеніе правила знаковъ — Пусть о и Ь будутъ два количества, которыя сами по себѣ представляютъ числа положительныя или отрицательныя; и распространимъ правило знаковъ и на этотъ случай. Докажемъ, напр., что каковы бы ни были знаки а и б, всегда (—а), (—й) =-|-яЬ. Разсмотримъ четыре случая:
1. Пусть а —-|-а,	гдѣ а и —числа абсолютныя, цѣлыя или
дробныя. Въ такомъ случаѣ: — а = — (4~ а) = — а, — Ъ = ~ (-{- }) = — ^ слѣдовательно
(— а). (— Ь) = -- а. —
Съ другой стороны
аЬ = -{* (+ * * 4” ?) = 4“ (+ °Ф) = 4“ яЗ.
Итакъ, количества (—а)(—б) и 4“^Л какъ равныя порознь одному и тому же количеству -р равны между собою, слѣд.
(—• (—&) = + а^
II. Пусть а =— а, Ь — + ^, гдѣ а и рі числа абсолютныя.
Въ этомъ случаѣ: —а = -(— а) = 4~я, и —Ь = — (4“?) —— слѣд.
(— а) . (— &) = + я • —? = —-а?-
Съ другой стороны
-I- аЬ — + (—і. 4-	— + (-а?) = — д?.
Заключаемъ опять, что и въ этомъ случаѣ
(— а) . (— 1)) = -}-аЬ.
Ш. Пусть а — + а, Ь — — отсюда: — а = — (-(- а) = — а, и — Ъ = = — (— ?) =+ ?; слѣд. (— а) . (—&) = — а . + ^ = — зф.
Но 4-аЬ = + (4-а. -?) = + (-!>) = -а?-
Опять находимъ, что
( — а) . (—* Ь) =
?т Пусть, наконецъ, а= — а, Ь = — въ такомъ случаѣ:
— а = — (— 1) — + 7; — 6 = — (— 3 — + 3? СЛѢД.
(—а) . (— Ь)=-|~а • + ?= +а?-
Я> і —а/, = + (~а . — 2)= + (+а?)==-Н2-
•'та имѣемъ
(— л) • (—	=+«6.
Итакъ, каковы бы пи были знаки количествъ а и &, всегда имѣемъ:
(— а) . (— 6) — а/л
Такимъ же точно образомъ можно убѣдиться, что вышедоказаиное правило жы<*въ распространяется и на три остальные случая; такъ что, каковы бы ни Чии количества а и Ь — положительныя или отрицательныя, и каковы бы ни •*л игъ абсолютныя величины — цѣлыя пли дробныя, всегда имѣемъ:
(+ а) • 0+ Ь) — + (“ а) • (+&) = — (+«) . (— Ь)=^аЬ;
(— а) , (— 6) = -}“
Правило знаковъ при умноженіи, въ сокращенной формѣ, выражаютъ такъ:
-«хшитяе знаки даютъ въ произведеніи плюсъ, а разные — минусъ.
Слѣдствія. — Укажемъ нѣкоторыя слѣдствія правила знаковъ:
1)	Произведеніе положительныхъ количествъ всегда положительно; такъ.
(-1- 2) . (+ 3) . (4- 4) = + 24.
-) Знакъ произведенія отрицательныхъ множителей зависитъ отъ числа ихъ, иенно: если число ихъ четное, то произведеніе будетъ положительное, потому ттѵ въ такомъ случаѣ его можно разбить на нары, изъ которыхъ каждая даетъ яакъ (+); еели же число отрицательныхъ множителей нечетное, то произведете будетъ отрицательное, такъ какъ въ этомъ случаѣ будетъ одинъ отрица-’-іьный множитель, для котораго пѣтъ нары. Такъ:
1) (+ 8) . (- 5). (- 2) = (~ 40) . (- 2) = + 80;
2)	(+ 8) . (- 5) . (- 2) . (- 3) = (+ 80) . (- 3) = - 240;
3)	(-}-8).(~5).(— 2) .	3) , (— 7^ = (— 240) .(-7) = +1680 и
под.
Примѣчаніе. — Правило знаковъ встрѣчаемъ уже у Діофанта (365 по ?. X.), но безъ' доказательства. Знаменитый Эйлеръ въ своей алгебрѣ даетъ лііующее доказательство: (—а) . (—Ъ) равно или + + или —аЬ, третьяго ^ультата быть не можетъ. Этимъ результатомъ не можетъ быть —аЬ, потому что такое произведеніе происходитъ илп Отъ (—а)(+Ь). или отъ — &).(+я). Поэтому, произведеніе будетъ = + «/>. Очевидно, это доказа-т-иіггво, какъ и доказательство Крампа. не выдерживаетъ критики. Крампъ гъ своей Всеобщей Аргюметикѣ говоритъ: «Теорема, въ силу которой два от-жіательные множителя даютъ произведеніе со знакомъ, противоположнымъ лш-•ку, и слѣд. положительное, сводится къ извѣстному правилу грамматики: шмеі пеШіо аГіігтаЬ.
29. Теорема.'— Произведеніе не измѣняется отъ перемѣны порядка сомножителей. Эта теорема составляетъ такъ называемый законъ перемѣстительности въ умноженіи. Докажемъ ее:
1)	для цѣлыхъ положительныхъ сомножителей;
2)	для дробныхъ положительныхъ производителей;
3)	для отрицательныхъ, цѣлыхъ или дробныхъ производителей.
1. Имѣемъ два цѣлыхъ положительныхъ числа а и Ъ; умножить а на Ь1 значитъ повторить а слагаемымъ Ь разъ; сл.
а # Ъ — Я1 4~~ а ~I- я 4~ а —, но а — 1 -р 1 4~ 1 4~ 1	,
д . Ъ = 1 4” 1 1	1 4”
— (1 4“ 1 + 1 ~~ 1 4~
+ (і + і-н + і +
. (6 разъ):
. (а разъ); слѣд.
... а разъ)
... Ш)
... й) 
... И) )
Число горизонтальныхъ строкъ = 6.

Приходится составить сумму единицъ, содержащихся въ этигь Ь строкахъ. Это можно сдѣлать двоякимъ образомъ^
1) Складывая единицы въ каждыхъ скобкахъ, число которыхъ равно Ь9 мы получимъ Ъ слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое = я; такимъ образомъ нужно я повторять Ъ разъ слагаемыхъ, что и даетъ намъ произведеніе я.Ь,
2) Можно взять сумму единицъ, составляющихъ первый вертикальный рядъ и равняющуюся Ь; затѣмъ сумму единицъ второго вертикальнаго ряда, равную также Ь, и т. д., а какъ всѣхъ вертикальныхъ рядовъ а, то приходится Ъ повторить я разъ слагаемымъ: найдемъ.
й 4“ & 4“ Ь 4““ • -  (а разъ) = Ь. я.
Итакъ, сумма одного и того же числа единицъ можетъ быть представлена произведеніями а . Ь и Ь , я; т.-е.
аЬ = Ьа.
Возьмемъ теперь произведеніе нѣсколькихъ цѣлыхъ положительныхъ сомножителей и назовемъ буквою Р произведеніе всѣхъ ихъ, кромѣ двухъ послѣднихъ; можно доказать, что въ произведеніи Ршп можно перемѣнить мѣста двухъ послѣднихъ множителей, не измѣняя этимъ величины произведенія, т.-е. что Ртпв ~ Въ самомъ дѣлѣ
Рт = р	р 4- Р -|- . . . (т разъ\
1 а . ?
’Л
Произведеніе Ря»я- представляетъ сумму п ждое — Рш или, что тоже, = Р 4~ Р 4" Р Ч- *
слагаемыхъ, изъ. которыхъ ка-. . (т разъ); слѣдовательно
Ртн = (р 4- Р 4- р 4- .
. (т разъ) ій) И)
Число горизонтальныхъ строкъ = п.
Эту сумму можно вычислить двоякимъ образомъ:
I) Въ каждыхъ скобкахъ имѣемъ ж слагаемыхъ, изъ которыхъ каждое
= ?: поэтому каждыя скобки даютъ Риі; это количество повторяется слага-мйкхъ п разъ, сл. сумма = Рти.
2) Иначе: въ каждомъ вертикальномъ ряду имѣемъ п слагаемыхъ, изъ кожъ каждое — ₽; сл. каждый вертикальный рядъ даетъ Ри; а какъ всѣхъ вер-чаиальныхъ рядовъ т, то общая сумма = Рпт, Итакъ
Ртп =рпт
Основываясь на этомъ выводѣ, докажемъ, что если дано произведеніе изъ гѴколькихъ цѣлыхъ положительныхъ' чиселъ, то каждое изъ нихъ можно помѣ-"гтть на каждомъ мѣстѣ.
Такъ, имѣя произведеніе аЬссІе^ можемъ, на основаніи предыдущей теоремы, замѣнить его произведеніемъ аЪсесі. Затѣмъ, разсматривая сіи какъ два по-лѣдніе множителя произведенія аЪсе, замѣняемъ послѣднее равнымъ ему произведеніемъ аЪес, такъ что аЬсеЛ ~ аЬес(і. Разсматривая Ь и е какъ два по-<^ѣдніе множителя произведенія дЬе, замѣняемъ послѣднее равнымъ ему произведеніемъ аеЬ, такъ что аЬесгі—аеЬсй, Наконецъ, перемѣняя мѣста множителей произведенія не, находимъ аеЪссІ — еаЪгіІ. Такимъ образомъ, послѣдовательно имѣемъ
аЬссІе =*= а Ъсесі = аЬеаІ — аеЪссІ = еаЬсЗ,
 ъкуда видимъ, что множитель # можетъ быть поставленъ на каждомъ мѣстѣ произведенія, ие измѣняя величины его.
. Это справедливо относительно каждаго множителя; слѣд. въ произведеніи цѣлыхъ положительныхъ множителей можно каждаго изъ нихъ помѣстить послѣ-ховательно па каждое мѣсто, не измѣняя этимъ величины произведенія.
II. Пусть множители будутъ положительныя дроби. Означая буквою Р про-взведеніе, предшествующее двумъ послѣднимъ множителямъ -- и нрипоми-іхя правило умноженія дробей и замѣчая, что правило знаковъ доказано и для дробныхъ множителей, находимъ
Такимъ образомъ и здѣсь произведеніе не измѣняется отъ перестановки двухъ послѣднихъ множителей. А отсюда, примѣняя вышеприведенныя разсужденія, находимъ, что
а
Ь
с	е	к	т	а	с	е	т	к	а	с е	к
(і	[	і	п	Ь	сі	г	ѣ	і	Ь	&	п ?	і
___ д т с е к_____________________т д с е к
Ь п ' <і * 7 ♦* і п' Ь ' (Г [ і
т.-е. въ произведеніи нѣсколькихъ дробныхъ положительныхъ множителей можно послѣдній изъ нихъ помѣстить на какомъ угодно мѣстѣ произведенія, не взмѣняя величины послѣдняго. Правило это справедливо и для всѣхъ дробныхъ юдожительныхъ множителей.	*
III. Если множители произведенія будутъ отрицательные, дробные или цѣлые, то произведеніе, по абсолютной величинѣ, равно будетъ произведенію тѣхъ же множителей, но взятыхъ съ положительными знаками. Но. по доказанному, гь произведеніи положительныхъ множителей можно измѣнять порядокъ ихъ какъ угодно, не измѣняя этимъ величины произведенія. Поэтому абсолютная величина
нашего произведенія не измѣнится отъ перемѣны мѣсгь множителей. Слѣдовательно, если измѣненіе порядка множителей можетъ оказать какое-нибудь вліяніе на величину произведенія, то это вліяніе можетъ простираться только на его знакъ. По выше было показано (§ 28, р. 2), что знакъ произведенія отрицательныхъ множителей зависитъ только отъ ихъ числа, но не отъ порядка, въ которомъ они размѣщены; а какъ число ихъ при производимыхъ перестановкахъ остается то же самое, то и знакъ произведенія всегда будетъ одинъ и тотъ же. Итакъ, измѣняя порядокъ множителей въ произведеніи отрицательныхъ чиселъ, мы этимъ не измѣнимъ ни величины, ни знака произведенія.
С л ъ д с т в і я [. Чтобы умножить данное количество на произведеніе нѣсколькихъ другихъ, нужно его послѣдоватЛьио умножить на множители этого произведенія. Это—такъ-пазываемый законъ сочетательный въ умноженіи.
Въ самомъ дѣлѣ:
т(аЪс) = (о&срн,
по закону перемѣстительному: выраженіе во второй части показываетъ, что а нужно умножить на Ъ> произведеніе на с, и новое произведеніе на лГ; опустивъ, для сокращенія скобки, найдемъ
т(«6с) = абст,
но по закону перемѣст., аЬсш = юш&с, сл. окончательно
лЦабс) = таЬс.	•
II- Чтобы умножить произведеніе на нѣкоторое количество, нужно на это количество помножить одного изъ производителей.
Въ самомъ дѣлѣ:
(аЬсЛ)т = аЬаІт (опустивъ скобки)
= стаМ (по закону перемѣстительности) = (ст)аЪ(1 (цо смыслу скобокъ) — аЬ(ст)(1 (по закону перемѣст.).
ІИ. Во всякомъ произведеніи можно: нѣсколько множителей запѣнить ихъ • вычисленнымъ произведеніемъ и обратно, какой угодно множитель другими, которыхъ произведенію онъ равенъ.
Въ самомъ дѣлѣ:
1) Всегда возможно разсматриваемые множители перемѣстить такъ, чтобы они стояли рядомъ; составить затѣмъ ихъ произведеніе; и помѣстить послѣднее куда угодно какъ множителя.
2) Всегда возможно множителя, который желаемъ разложить, помѣстить на первомъ мѣстѣ; замѣнить его сомножителями, произведеніи» которыхъ онъ равнялся бы; и наконецъ расположить этихъ множителей, какъ угодно.
30. Правило показателей. — Разсмотримъ умноженіе степеней одного и того же основанія. Пусть, напр., требуется умножить л1 на а3. Мы знаемъ, что а* = а.а,а.а.а и а5 = а.а.а; слѣдовательно аѴ —а.а.«.а,а.«д.а = а8. Отсюда заключаемъ, что произведеніе имѣетъ то же самое основаніе^ а показатель его равенъ суммѣ показателей множителей. Пусть вообще дано помножить ат на гдѣ а какое-нибудь количество: а т и и — числа цѣлыя и положительныя.
Замѣчая, что ам = а.а.а . . . гдѣ « повторяется множителемъ т разъ, и аи = алі.аа . . . . гдѣ а берется множителемъ п разъ,
находимъ, что т разъ	» ризъ
ат,аи = а.а.а ....... а.а.а • •	. . =
— а.а. а......................=ат-г*г
роп
Итакъ: а^.а" — ат+л. Слѣд. имѣемъ правило:
Произведеніе двухъ степеней одного и тою же основанія есть другая степень тою же самаго основанія^ которой показателъ равенъ суммѣ показателей сомножителей.
31. Умноженіе одночленовъ. — Пусть дано перемножить одночлены
:;	6а562с3</4 X эа*Ь*ср.
Перемѣнивъ порядокъ множителей 6,а\д2,с3/?\5,аа и т. д., отъ чего величина произведенія не измѣнится, даемъ произведенію видъ
6.5.а\а2.ЬѴАс8.сл/4./^;
4	«
примѣняя сюда правило показателей 30), имѣемъ
6.5.а7Ь8с4йу2.
> №Ь*с9(1' X 5»*ЬV2 = 30а ѴсМУ2.
Отсюда вытекаетъ слѣдующее правило умноженія одночленовъ:
1)	перемножить.
2) Затмись яаписать одну за другою вегъ различныя буквы, входящія въ оба одночлена, и при каждой поставитъ показателъ, равный суммѣ показателей этой буквы въ сомножителяхъ; если же буква вхо-  дитъ только въ одинъ изъ сомножителей, ее пишутъ въ произведеніи съ тѣмъ показателемъ, какой она имѣетъ.
Примѣръ. Умножить: —7ж”*удя2(и— я)8 на |	— ѵ)3.	।
Замѣчая, что знакъ произведенія долженъ быть (—), и примѣняя найденное правило, получимъ въ произведеніи
Умноженіе многочлена на одночленъ.
32. Пусть требуется умножить — с на с7, гдѣ подъ буквами а, Ь и с можно разумѣть какія угодно числа. Что же касается множителя (I, то слѣ-іуетъ различать нѣсколько' случаевъ.
1. Пусть <1 есть цѣлое положительное число, напр., б/~4. Припоминая •шредѣленіе умноженія и замѣчая, что 4 составлено повтореніемъ положительной
единицы, какъ слагаемаго, четыре раза, заключаемъ, что и множимое надо повторить слагаемымъ столько же разъ* Получимъ
(а —Ь — с). 4 = (д 6 — с) —|— (а —|— Ь — с)	(а -|— Ь — с) —(а —|" & — с) =
= 4а 46 — 4с.
4 Результатъ показываетъ, что для умноженія многочлена на цѣлое положительное число нужно каждый членъ множимаго отдѣльно помножить на это число, соблюдая правило знаковъ.
3
2.	Пусть сі равно нѣкоторой положительной дроби, напр. По опредѣле-
нію, умножить а 4- Ь — с на — значитъ изъ множимаго составить новое коли-і	4
честно такъ, какъ множитель составленъ изъ 4-1. Но для составленія А изъ 4-1,  і!	*	•	;	। і
надо отъ взять четверть, вслѣдствіе чего получимъ 4~"ра затѣмъ + у
'	3
помножить на 3, что и даетъ дѣйствительно 4--^- Итакъ, мы должны: 1) взять четверть отъ а 4~6 — с и 2) полученный результатъ умножить на 3.
Можно доказать, что для раздѣленія многочлена а 4~6 — с на 4 нужно каждый его членъ раздѣлить на 4, удерживая передъ каждымъ изъ отдѣльныхъ частныхъ тотъ знакъ, какой имѣетъ дѣлимый членъ, т.-е. что
а + 6 — с	а । Ь	с
-	«__.«•	•» «	ф
4	4’4	4
Для доказательства помножимъ частное на 4; по извѣстному уже правилу ум-. ноженія многочлена на цѣлое положительное число найдемъ:
(Л_1_ А_ 4 = — . 44-^ ‘4— — • 4.
\4 ’ 4	4 /	4	4*4*’
п »	а 1	. .	4
Замѣчая, что д- или -д-а, умноженная на 4, даетъ -*-а или а и т. д., находимъ, что
. _	4-^ — -^.4 = а4~Ь — с.
Итакъ, помноживъ частное на дѣлителя, мы нашли въ результатѣ дѣлимое, а потому дѣйствительно
Это выраженіе надо умножить на 3. По извѣстному уже правилу умноженія на цѣлое положительное число получаемъ
/ 1-а4-1Ь — -У • 3 = 1я • 3 + 4-і • 3 - -{-с . 3,
\ 4	1 4	4/	4	4	4 т
или, относя з множителемъ къ А, найдемъ окончательно:
*ж
•	/17	\ з ___ 3	। 31	3
(а 4- ь _ С). _ = _.а_|_	— тс,
I	X
т.-е. для умноженія многочлена на положительную дробь нужно каждый членъ множимаго умножить отдѣльно на эту дробь, соблюдая правило знаковъ.
3.	Пусть Л равно нѣкоторому отрицательному цѣлому числу, напр., = — 3. По опредѣленію умноженія, нужно съ множимымъ поступать такъ, какъ съ —Р 1 при составленіи изъ нея —3, т.-е. перемѣнить у множимаго знакъ, что даетъ — (« —|—6— с), и затѣмъ повторить это выраженіе слагаемымъ три раза. Итакъ
(а-|- Ъ — с) . —3 = —	— с) — (« + Ь — с) — (а-|-Ь — с).
По раскрытіи скобокъ и по приведеніи, находимъ
{а + Ь — с) . —3 — — За —3& + 3с.
Результатъ этотъ приводитъ къ тому же заключенію, какъ и два первые случая. 2
4.	Пусть наконецъ д=—	т.-е. отрицательной дроби. Замѣтивъ, что
2	2 ѵ і
— у = у X — 1 > имѣемъ:
(а4-ь — с). - Л =[(а4-г>—с).	— 1.
Отсюда видно, что иуждо а-1-Ь — с умножить сперва на положительную дробь 2
у> а затѣмъ результатъ п отрицательное цѣлое число — 1. Производя эти двѣ операціи, для которыхъ иравила уже найдены, находимъ послѣдовательно (а-р_с)._|=[(в_^б —	=	— |с). - 1 =
~ 3е Т* ‘ 3€‘
Отсюда тоже заключеик. что и прежде.
Итакъ, каково бы п было имѣемъ

откуда правило: для умноженія многочлена на одночленъ нужно каждый членъ множимаго помножитъ на множителя, соблюдая правило знаковъ.	-
Этимъ правиломъ выражается законъ распредѣлительный.—
Примѣръ I. Ь* — 4с2-Д?а^ -з). — |а4с = — Ь4 V |а»е-|-
4“ 4с2 X ъа*с — "аеР X	3 . ~а2с = — а*Ъ*с -4~ $ а2сэ1 —	-4-
о э о 1	□	1 а	Іо ’
-|- 2а4с.
Примѣръ И. {а*(г»-|-1)₽ — За(ж»4-1)>-1 + 5(х1-{-1)Р-г| X
—2ая(а;»-|-1)>+3=—2а»+г(а;»-|-1 )2Р4-84-6а“+І(х44-1 )4р+4— 10а"(х4-|-1)4Р+1.
4
Умноженіе одночлена на многочленъ.
33. Пусть требуется одночленъ умножить на многочленъ: <2 на а — Замѣчая, что отъ перемѣны мѣстъ производителей произведеніе не измѣняется, имѣемъ:
д(а — Ь-|-с) = (а —
— 44 —
На основаніи § 32, (ы —	. д — а<1 — Ьд-\-с<1; измѣняя въ каждомъ
членѣ этого произведенія порядокъ сомножителей, получимъ
с?(а — Ь -]- с) = да — дЬ
откуда правило: йлл ужяожея/я одмочлеил на многочленъ надо одночленъ помножитъ на каждый «ленъ многочлена, соблюдая правило знаковъ.
Такъ.
^2р-т-4-1 ,
Умноженіе многочлена на многочленъ.
34. Пусть требуется умножить а — на р — </+>'. Представивъ себѣ на время, что буквы множителя замѣнены опредѣленными числами, и выполнивъ указанныя въ немъ дѣйствія, мы представимъ множителя нѣкоторымъ числомъ. Означивъ это число буквою V, приводимъ вопросъ къ умноженію многочлена на одночленъ, н ло извѣстному уже правилу находимъ:
(а — & с) . V — аѴ — ІА’ *-|-сѴ.
Подставляя сюда вмѣсто V данное выраженіе р — <[ г, имѣемъ:
(а — Ь-\-с)(р — (? + »•) = «(/* — з + Н — Ъ(Р — 7 + 0 + ^/’ — 2 + г).
Но по правилу § 33 имѣемъ:
г)= ар—	Ь(р— ц-^г) = Ьр — с(р—^-Н*) =
= ср — су ег.
Слѣдовательно
(а —	—?Ч~Г) = ар — а$-]-аг—(Ьр—Ьу-\-йг)-\-(ср — с«/ -р сг) =
= ар — ау	-|- 6^ — />г-р ер — сд сг.
Разсматривая составъ произведенія, замѣчаемъ, что первые три члена его представляютъ произведеніе перваго члена множимаго на каждый членъ множителя, слѣдующіе три члена — произведеніе второго члена множимаго ва каждый членъ множителя, а три послѣдніе — произведеніе третьяго члена множимаго на множителя. Полное произведеніе состоитъ, слѣдовательно, изъ частныхъ произведеній каждаго члена множимаго на каждый членъ множителя, составленныхъ съ соблюденіемъ правила знаковъ; такъ членъ сг, представляющій произведеніе членовъ, имѣющихъ одинаковые знаки, является въ произведеніи съ знакомъ а членъ — — произведеніе членовъ, имѣющихъ разные знаки, является въ произведеніи со знакомъ —. Итакъ, имѣемъ
Правило, — Для умноженія многочлена на многочленъ нужно каждый членъ множимаго помножитъ на каждый членъ множителя, соблюдая правило знаковъ, и если окажется возможно, сдѣлать приведеніе, —
Существенное въ этомъ правилѣ то, что каждый членъ множимаго слѣдуетъ помножить на каждый членъ множителя съ соблюденіемъ правила знаковъ; порядокъ же частныхъ умноженій члена на членъ остается совершенно произвольнымъ.
Но во избѣжаніе ошибокъ (повтореніи или пропусковъ) соблюдаютъ опредѣленный порядокъ, поступая двоякимъ образомъ:
 і. Дѣлаютъ умноженіе въ томъ порядкѣ, па который мы натолкнулись при Кммдѣ правила, т.-е, умножаютъ сначала первый членъ множимаго на каждый множителя, затѣмъ второй членъ множимаго па каждый членъ множите-ж і т. д, Или
2. Умножаютъ каждый членъ множимаго сначала на первый, затѣмъ па вто-ін<. и т. д. члены множителя.
Если многочлены содержатч> одну и ту же букву, то для облегченія приве-міз подобныхъ членовъ удобнѣе расположить оба многочлена или по убынаю-
возрастающимъ степенямъ этой буквы. Затѣмъ, подписываютъ
или по
м» »
изъ многочленъ подъ другимъ, проводятъ горизонтальную черту, умножаютъ в»-жнчое на первый членъ множителя и подписываютъ это частное произведете подъ чертою.
Умножаютъ множимое на второй членъ множителя, и второе частное произ-жіеніе пишутъ подъ первымъ такъ, чтобы подобные члены находились въ одномъ ^тикальномъ столбцѣ.
Составляютъ и располагаютъ такимъ же образомъ и другія частныя произ-біенія; наконецъ, дѣлаютъ приведеніе.
Примѣръ І-. Умножить
— ЗаЛг2 — 2аЗя -р Зах3 4- а1 на 2л.г2	7а3 — 6а’2л\
Расположивъ оба сомножителя по убывающимъ степенямъ буквы ж, и со-•Сражаясь съ сказаннымъ, производимъ умноженіе такъ:
Ізожимое:
Іяожнтель:
8.Г1 За#3 — 5а2#*— 2аЪЦ-а4 2а#2— 6 а2# 4- 7а3
__йт2
30а4#8--12а*#2— ба6# 21а 4#3—35ая#2—14а®#4-7 а7
части, произв. 16а#в4- ба2#5—10а3#4— 4а4#84- 2айх
--ое части, произв. —48а3#5— 18а3#1-
*-ье части, произв.	4-56а3#4-
І-лное произв.	16а#6 — 42а2#я-|-28а3#4-‘-47а4#8—21а5#2—20ае#4-7а7
3	4	5	9
Примѣръ И. Умножить —^а3#	-|--а2#2 ~4#4 — ^а#3 на #й4~
Располагаемъ оба сомножителя по возрастающимъ степенямъ главной буквы ' н производимъ дѣйствіе слѣдующимъ образомъ:
II р и м г р ъ III. Умножить — За3^2 — 5а4я а5 на 7я2 — -р °2*
Располагая дѣйствіе такимъ же образомъ какъ и въ предыдущихъ примѣ’ рахъ, оставляя пустое мѣсто тамъ, гдѣ во множимомъ должны* бы были находиться члены, содержащіе и лт\ имѣемъ:
8#п	— ЗаАг2 — 5а*л; -р а5
7#2 —• 8ая -р а2
56.г7	21а3х1 — ЗЗа1^3^ 7а5х2
— 64ахк	ч- 24а	— 40а эх'2 — 8авх
4~ йа’2^:і	— За3х2 — 5а*я а1
56я7 — 64ая°	8а2#5 — 2 Іа3?1 — 1 Іа*^ — 44а5х2 — 1 За6#-^- а7.
Свойства произведенія двухъ полиномовъ.
35. І. Число членовъ произведенія. — Умножая множимое на первый членъ множителя, получаемъ первое частное произведеніе, имѣющее столько членовъ, сколько ихъ и во множимомъ. Произведеніе множимаго на второй членъ множителя содержитъ опять столько членовъ, сколько имъ во множимомъ, и т. д, Поэтому. если частныя произведенія не содержатъ подобныхъ членовъ, то число членовъ произведенія равно будетъ произведенію числа членовъ множимаго на число членовъ множителя. Напр., если множимое имѣетъ 7 членовъ, а множитель 5, то въ произведеніи будетъ 7 X или 35 членовъ.
Но произведеніе двухъ многочленовъ можетъ содержать члены подобные; вслѣдствіе соединенія нѣсколькихъ подобныхъ членовъ въ одинъ, число членовъ произведенія можетъ уменьшиться, но никогда не можетъ сдѣлаться меньше двухъ. Въ самомъ дѣлѣ, легко доказать, что въ произведеніи двухъ полиномовъ, содержащихъ одну п ту же букву всегда есть по крайней мѣрѣ два члена, которые не имѣютъ себѣ подобныхъ между другими членами произведенія, и потому неприводимы. Для доказательства замѣтимъ, что всякій членъ произведенія происходитъ отъ умноженія какого-либо члена множимаго на одинъ изъ членовъ множителя; и показатель главной буквы въ немъ равенъ суммѣ показателей той же буквы въ членахъ множимаго и множителя, отъ которыхъ онъ произошелъ. Слѣдовательно, помноживъ высшій относительно главной буквы членъ множимаго па высшій членъ множителя, мы получимъ членъ произведенія. въ которомъ показатель главной буквы будетъ равенъ суммѣ наибольшихъ показателей той же буквы, какіе имѣются въ сомножителяхъ; очевидно, что такой членъ произведенія будетъ имѣть главную букву съ показателемъ большимъ ея показателей въ другихъ членахъ произведенія; поэтому означенный членъ не можетъ имѣть себѣ подобныхъ между остальными членами произведенія и слѣд. есть членъ неприводимый. — Помножая низшій относительно главной буквы членъ множимаго на низшій членъ множителя, получимъ членъ произведеніи, въ которомъ главная буква будетъ имѣть показатель, равный суммѣ наименьшихъ показателей той же буквы въ сомножителяхъ, слѣд. показатель главной буквы этого члена будетъ меньше чѣмъ въ другихъ членахъ произведенія, а потому это будетъ также членъ неприводимый. Заключаемъ, что произведеніе двухъ многочленовъ содержитъ, по меньшей мѣрѣ, два неприводимыхъ члена — высшій низшій относительно главной буквы. Итакъ:
наибольшее число членовъ произведенія равно произведенію числа членовъ множимаго на число членовъ множителя, наименьшее же — два члена.
Примѣчаніе, Когда множимое и множитель расположены по нисходящимъ ш «сходящимъ степенямъ главной буквы, то неприводимые члены (высшій и нежеіі занимаютъ крайнія мѣста произведенія.
Нжжеслѣдующій примѣръ представляетъ одинъ изъ случаевъ, когда произве-мл имѣетъ только два члена,
х* 4-* хз -]“#2 -}~х "Ь і
х5 4~ х* 4” 4-	$
— ХІ~Х3 — Х1 — X-1
X3	— 1
II Свойство произведенія однородныхъ многочленовъ. — Произведеніе двухъ однородныхъ многочленовъ есть многочленъ однородный, а измѣреніе его равно суммѣ измѣреній множителей. Въ самомъ дѣлѣ, произведеніе двухъ какихъ-нибудь членовъ множимаго и множителя имѣетъ измѣреніе равное суммѣ показателей перемножаемыхъ членовъ; но оба многочлена однородны, слѣд. эта сумма во всѣхъ членахъ произведенія будетъ одинакова, т.-е. произведеніе само будетъ однородно, а его измѣреніе равно суммѣ измѣреній сомножителей.
Такъ, многочленъ аІ4-а8#4-«2яа4“ад?3_кй'< есть однородный многочленъ четырехъ измѣреній; а — х есть однородный двучленъ одного измѣренія; произведеніе же ихъ а$ — х5—однородное выраженіе пяти измѣреній.
Замѣчательные случаи умноженія.
36. Разсмотримъ нѣкоторые часто встрѣчающіеся особенные случаи умноженія.
I. Пусть требуется сумму а 4"^ возвысить въ квадратъ. Для этого надо в помножить само на себя:
а 4- Ь
а 4“ Ь аа 4" 4“ аі 4~ Ъ'2
аа 4"2ай 4- Ь*.
Итакъ: («4" й)а = аі4~ 2а64“^, т.-е.
квадратъ суммы двухъ количествъ равенъ: квадрату перваго члена, 4“ удвоенное произведеніе перваго члена на' второй, 4" квадратъ второго.
Наприм., (5й?а 4“	= (5ха)'2 4“ 2 . Зя1.2у4_(2#)а = 25х<4“20;Л/4’^2‘
11. Возвысимъ въ квадратъ разность а— Ь* т
а — Ь а — Ь а3 — аЬ
—- && 4-аа — 2а& 4“ ’ лѣдовательно: (а —	== а* — 2аЬ 4-	т.-е.
квадратъ разности двухъ количествъ равенъ квадрату перваго члена, — удвоенное произведеніе перваго на второй, 4~ квадратъ второго.
Напр. (О,За.?*—я2)2=ЦО,Зая)2— 2 . От3ая # л?3-|-(ж2)2—
Ш. Умножить сумму двухъ количествъ а и Ь на ихъ разность:
н-[-Ь
х	а — Ъ
а2 -[-аЪ
— аЪ — Ь*
а*
Итакъ: (а ~4 &)(а — />) = а2 — т-е.
произведеніе суммы двухъ количествъ на ихъ разность равно разности ихъ квадратовъ.
Напр. (4х2у тг Ху*#-!.*1# — і я#2) = (4х*у)2 — (І ху*Ѵ=16х>*—і х^у*.
IV. Найдемъ кубъ суммы а 4- Ь. Замѣчая, что (а 4" &)3 = (а ”Ь &)*.(« 4~ &), 'и что, (а 4“ ^4 — а‘2а&4"^ мы найдемъ искомый результатъ, умноживъ а2 4“ 4; № на а 4 Л:
а*4-2аЛ 4-йа а 4"^	,
а8—2а'21>—а№
ч .	4- а*& + 2аЬ24-Ь3
а84-3а^4-3а6а4-63, • Слѣдовательно: (а 4~ &)3 = а34* Зл26 4"	4"	т-‘е-
кубъ суммы двухъ количествъ равенъ: кубу перваго члена, 4” утроенное произ-' веденіе квадрата перваго члена на второй, 4" утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ второго, 4~ кубъ второго.
Напр. (2а2 4- 4/?2)3 = (2а2)3 + 3 . (2а2)2.46* 4- 3 . (2а2)(4Л2)2 4- (4Ь2)3 = = 8а€ 4-48а*62 + 96а2Ь* 4-646е.
V. Такимъ же образомъ найдемъ (а — Ь)8, умноживъ (а — Ь)2 или а2 — 2а&4~ 4~ Ь* на а — 6:
а2 — 2аЬ 4-а — Ь
а3 — 2а2Ь ~р аЬ2
— а2/; — 2ай& — Ь3
аЗ-^За26 + За62_Ь\
Слѣдовательно: (а — &)3 = а3 — За26 — Заі2 — Ь3Т т.-е.
кубъ разности двухъ членовъ равенъ кубу перваго члена, минусъ утроенное произведеніе квадрата перваго члена на второй, 4“ утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ второго, минусъ кубъ второго члена.
Напр. — 3x4= (4)’— 3. |дГ- +:} • |	| “
9	,
— -г х24~ я* — 27іс8.
4	1 2
37.	Формула № II можетъ битъ выведена изъ формулы № I, если ~ въ по-<гимей положить Ь — — V; находить
।	[а 4_(_Ь')]»==аі 4-2а (-&')+(-&')»•
I
г	Замѣтивъ, что а (— Ь')—а — У; затѣмъ, что 4“ М— &*) = — 2аУ, и что
I	—У)* = + имѣемъ
Г	(а — У)« = а’ — 2аУ-|-У».
І Такимъ же образомъ, подставляя въ формулу № IV вмѣсто 5 количество — Ь', і случаемъ
I	+ (“ ь')13 = а3 + За2(— Ю + За (- У)2 (— У)«.
Замѣчая, что а -{•(— У) = а — Ь\ что 4- За2( —У) = — За’У, что За(—У)1 = 4~ЗаУ2 и что (—У)3 =— У3, имѣемъ
(а — У) * = а* — За2У + ЗаУ2 - У«.
Приложенія.
38.	Приложимъ формулы § 36 къ нѣсколькимъ примѣрамъ.
Примѣръ I. Возвысить 79 въ квадратъ.
По формулѣ Л? I имѣемъ:
79’ = (70 -|- 9)* = 4900 + 1260 + 81 = 6241.
Примѣръ II. Возвысить 97 въ квадратъ.
По формулѣ № II имѣемъ:
97’ = (100 — 3)3 = 10000 — 600 + 9 = 9409.
Примѣръ ІП. Помножить 103 на 97.
По формулѣ № III находимъ:
103 X 97 = (ЮО + 3)(Ю0 - 3) = 10000 — 9 = 9991.
Примѣръ IV. Преобразовать:
(За2 — 2ай + ЗЬ2) (За2 + 2аЬ — ЗЬ2).
Первый множитель можно представить въ видѣ За2 — (2аЬ — ЗЬ2); второй въ видѣ За2-|-(2аЬ— ЗЬ2); примѣняя формулу № Ш, получимъ:
(За2)2 — (2аЬ-3&2)2,
или, выполняя дѣйствія:
9а4 — 4а262 + 12аЪ* — 9М.
Примѣръ V. Умножить	— * на + у
Представивъ данныя выраженія въ видѣ
(«+») + (* —О П («4-у) — (в — і)
и примѣняя формулу № III, находимъ
(ау-ру)» —(ж — 0».
4
Прилагая сюда теоремы I и II, получимъ
(ж5 2жу + у4) — (г4 — 2гІ 4- і3), или. раскрывъ скобки;
х2 4“ 2яу 4“ У® — #2 4-
Примѣръ VI- Составить произведеніе
(д + & 4~ с) (& 4г	’ ^)(а—ь Н-* ^)(— 4~^ 4~ с) *
Первые два множителя можно представить въ видѣ
(о + ь) 4- с и ихъ произведеніе =
(а4“^)а — с2 или а*-|-2и6 4_^2 — с3». (1).
V
Третій и четвертый множители
ІГ.ІИ
емъ въ видѣ
с 4- (а — і) и с — (а — 6);
ихъ произведеніе равно
с2— (а — 6)2 или с2 -—а®4’2а6 — й2... (2).	* -
Представивъ (1) и (2) въ формѣ
2аЬ 4~ (а2 + Ь2 — ^2) и 2аЬ — (а2 4~ &® — с2) 1
и перемноживъ эти выраженія! имѣемъ:
(2аЬ)2 — (а2 4- Ь2 — с2)2 или 4а2Ь2 — (а8 + &2 — с2)2.
Чтобы триномъ а2-|~Ь2—й® возвысить въ квадратъ, разсматриваемъ на-время а24"&3 какъ одинъ членъ; положивъ, что а24-Ь2 = $, имѣемъ:
(а2 4- Ь* —	= (,9 — С2)3 = 52 — 2зс* 4- <Л
Подставляя вмѣсто 5 его величину а24-&\ получимъ
з2 — 2л . с2 + с* = (а2 4- Ь2)2 — 2(а2 4- Ь2)с24~ = а* 4~ 2а%2 + &< — — 2аѴ — 2&2е24-е4.
Итакъ, искомое произведеніе равно
4а2Ь2 — а1 — 2аЧ>2 —4“ 2а2с24’ 2Ь2с2— с4, или 2а*Ь24' 2а2с2 4“ 2Ь2с2 — — а1 — Ъ* — с4.
Примѣръ VII. Возвысить въ квадратъ многочленъ 1 4~х — ^3 + гг3-
Въ предыдущемъ примѣрѣ намъ пришлось возвышать въ квадратъ триномъ ая4“Ьа — с2; для этого мы обозначили двучленъ а2 4“ 6® одною буквою и черезъ это получили возможность примѣнить къ данному случаю формулу квадрата бинома. Вообще указанный пріемъ можно съ удобствомъ примѣнять при возвышеніи многочленовъ въ квадратъ и кубъ. Такъ, въ данномъ выраженіи положимъ на время 14~х — #® = 5; данный многочленъ приметъ видъ $4"#8; возвышая въ квадратъ, получимъ
($ 4~ #а)® = “Ь 25. ж® 4-	— (1 4” % — я2)2 4“ 2(1 4“ х — #2)#а ^6*
Полагая въ членѣ (1-р^ — х2)2 на время = найдемъ:
.14-я — х2)2 = (І — х2)2 = Г2 — 2^а 4-з* = (1 + з)2 — 2 (1 4-л>24-— х* = I 4- 2з 4- з2 — 2х* — 2з34~^‘- Слѣд., данное выраженіе равно I 4“ 2з 4“ х* — 2я2 — 2з3 4“ з14“ -•г3 4~ 2з* — 2зй -|- хс, или 1 4” 2з — — х14" Зя* — 2зв + з6.
ГЛАВА V.
Дѣленіе.
опредѣленіе.—Правило знаковъ.—Правило показателей; значеніе символовъа~ѵ и а6.— .Дѣленіе одночленовъ; признаки невозможнаго дѣленія ихъ.—Дѣленіе многочлена на пноч ленъ.—Дѣленіе многочлена на многочленъ.—Признаки невозможнаго дѣленія многочленовъ.—Дѣленіе полинома послѣдовательно на нѣсколько данныхъ полиномовъ.—Замѣчательные случаи дѣленія (теорема Безу).
39.	Опредѣленіе. — Раздѣлить одно количество на другое значитъ найти такое третье количество, которое, будучи умножено на второе, дало бы въ про-юведеніи первое.— Первое данное количество называется дтьлгисьма, второе — Лълителеліз, а искомое количество—часткыль.
Если дѣлимое есть А. дѣлитель В, а частное Ч, то, по опредѣленію дѣйствія, связь между этими тремя количествами выразится равенствомъ:
40.	Правило знаковъ.—Основываясь на опредѣленіи дѣленія и на правилѣ знаковъ при умноженіи, легко найти правило знаковъ при дѣленіи.
Пусть требуется (4-«) раздѣлить па (4" Ь)* По опредѣленію дѣленія, част-юе, умноженное на дѣлителя, должно давать дѣлимое; но только количество, предшествуемое знакомъ 4“» при умноженіи на (-|-Ь) можетъ дать (4~а)* Слѣдов.
(“Ь а): (“К — 4"
При дѣленіи (—а) на (4“Ь), въ частномъ должно быть (—®), потому что только количество, предшествуемое знакомъ —, при умноженіи на (-|-6) можетъ дать (—а). Итакъ
(— а):(+ Ь) = —2-
Дѣля (+«):(—Ь), мы ищемъ количество, которое, будучи умножено на — Ь), давало бы (4~“); но какъ только количество со знакомъ —, при умноженіи на (—6), можетъ дать (-|-а), то
(+«):(— 6) = —2-
Наконецъ, припоминая, что при умноженіи (—) на (-{-) даётъ (—), наіо-имъ:
(—а);(—Ь) = -}-д.
Итакъ:
(~Ь а): (“1“ — “Ь 2-(— а): (+ Ь) = — 2-(+«):(— Ь) = — д_. (—а): (—*) = + 2-
Отсюда вытекаетъ правило* при дѣленіи количествъ съ одинаковыми знаками, въ частномъ получается (~р), при дѣленіи же количествъ съ разными знаками (—).
Правило это — совершенно общее: оно относится и къ тому случаю, когда знаки предшествуютъ абсолютнымъ значеніямъ количествъ, и къ тому — когда а и Ь сами суть количества положительныя или отрицательныя. Въ самомъ дѣлѣ, выводъ правила основанъ на правилѣ знаковъ при умноженіи, а это послѣднее правило доказано для какихъ угодно количествъ.
41.	Правило показателей.—Разсмотримъ дѣленіе степеней одного итого же основанія: пусть требуется раздѣлить а'п на а" гдѣ а — какое угодно количество, а т н п — числа цѣлыя и положительныя. Замѣтивъ, что въ частномъ должна получиться нѣкоторая степень буквы а, назовемъ неизвѣстнаго показателя этой степени буквою -е, такъ что частное выразится формулою ах:
а :а =а ... (1).
По опредѣленію дѣленія, частное, умноженное ва дѣлителя, должно давать дѣлимое, слѣд.
а*. а* — а";
но, по правилу показателей при умноженіи, аг.ап = ах+я, слѣд. имѣемъ равенство:
(Г-И = аш.
Но степени одного и того же основанія тогда будутъ равны, когда показатели ихъ равны, а потому должно быть
Чтобы по извѣстной суммѣ (т) и извѣстному слагаемому (п) найти другое слагаемое (#), нужно изъ суммы вычесть извѣстное слагаемое. Итакъ
х — т — п.
Подставляя въ равенство (1) вмѣсто & найденную величину, имѣемъ:
ат; ап =	... (2).
Отсюда правило: при дѣленіи степеней одною и тою же основанія нужно: основаніе въ частномъ написать то же самое, а изъ показателя дѣлимою вычесть показатель дѣлителя.
Изслѣдованіе. — Формула (2) даетъ мѣсто слѣдующимъ случаямъ:
1) т > я; 2) т = п; 3) т < н.
1-й случай, — Если т > п, то разность т — п даетъ положительное (цѣлое) число, и частное подходитъ подъ вышеданное опредѣленіе степени какъ произведенія равныхъ количеству « множителей. Такъ, если т = 8, а п = 5, то ат :ап = а*-* = а3, т.-е. «.а. а., и т. д. Этотъ случай не представляетъ, слѣдовательно, ничего особеннаго.
2-й случай. Если т = п, то разность т — п равна нулю, и частное принимаетъ видъ а0. Выраженіе само но себѣ не имѣетъ никакого смысла, т.-е, его нельзя разсматривать въ смыслѣ степени, ибо показатель долженъ означать, сколько разъ основаніе берется множителемъ. Значеніе символа а9 откроется,
если мы обратимъ вниманіе на его происхожденіе. При т = я дѣлимое аЛІ н дѣлитель а" дѣлаются равными, а частное отъ раздѣленія количества самого на себя есть 1; поэтому
а°=1,
а такъ какъ а означаетъ какое угодно количество, то заключаемъ, что всякое количество въ нулевой степени даетъ единицу.
Такимъ образомъ: 7° = 1; гг°— I; (а2 — ??2)а = 1 и т. п.
Здѣсь самъ собою возникаетъ вопросъ: если мы знаемъ, что а"*: ат есть ни что иное какъ 1, то для чего замѣняютъ 1 особымъ символомъ я®, имѣющимъ только видъ степени, но не имѣющимъ смысла какъ степень? Это дѣлается для того, во-первыхъ, чтобы въ правилѣ показателей не дѣлать исключенія для случая юд = и, другими словами, — въ видахъ обобщенія этого правила; и, во-вторыхъ, чтобы имѣть возможность сохранить въ частномъ букву а, которая иначе не вошла бы въ частное, ибо была бы замѣнена единицею.
3-й случай. — Если ш < п, то разность т — и отрицательна; напр: если п превышаетъ т на д единицъ, то т — п = — д, и частное имѣетъ видъ Выраженіе а~ч опять не имѣетъ значенія степени, ибо а нельзя взять множителемъ отрицательное число разъ. Чтобы выяснить значеніе символа а-’, постараемся частное въ случаѣ т<п выразить въ иной формѣ.
Полагая, что « больше т на ? единицъ, т.-е. п = т-|-д, можемъ частное ат: а* представить въ видѣ ат:	Обозначивъ его буквою х* имѣемъ
ат :	— я.
По опредѣленію дѣленія, имѣемъ отсюда
= ат.
Раздѣливъ обѣ части этого равенства на а™, находимъ:
х‘а»*-Н__ат
ат ~ ат*
Замѣтивъ, что частное -7-^ равно (ибо, умноживъ его на дѣлителя
X* ам находимъ въ результатѣ дѣлимое и что—^ = 1, получаемъ равенство
а
ж . а?= 1, откуда
1 х = -=•
Но то же самое частное было представлено въ формѣ а-*: поэтому
Такъ какъ а означаетъ какое угодно количество, то заключаемъ, что всякое количество съ отрицательнымъ показателемъ равно единицѣ, дѣленной на то же количество съ положительнымъ показателемъ.
Такимъ образомъ:
О"’ = І; («а —	и т. п.
Отрицательные показатели введены для того, чтобы: во-первыхъ, въ правилѣ показателей не дѣлать исключенія для того случая, когда показатель дѣлимаго меньше показателя дѣлителя, т.-е. въ видахъ обобщенія этого правила; и, во-вторыхъ, чтобы имѣть возможность дробь (какъ^ изображать безъ знаменателя, т.-е. въ формѣ цѣлаго алгебраическаго выраженія.
Итакъ, вводя показатели — нуль и отрицательный, іы можемъ всѣ случаи дѣленія степеней одного и того же основанія совершать по одному общему правилу: основаніе писать въ частномъ безъ перемѣны, а надъ нимъ показателя, равнаго разности показателей дѣлимаго и дѣлителя.
Дѣленіе одночленовъ.
42.	Пусть требуется раздѣлять	ва — 9а4Ь5с. Знакъ частнаго
долженъ быть (—), потому что дѣлимое і дѣятель ммѣжть разные знаки. По опредѣленію дѣленія, въ частномъ должно быть талое количество, которое, будучи умножено на дѣлителя, дажак* бы дѣлимое: слѣд., коэффиціентъ частнаго есть такое число, которое, по умноженіи на 9. давало бы 63; такое число мы найдемъ, раздѣливъ 63 на 9: получимъ 7. Далѣе, чтобы въ произведеніи имѣть а*, надо а1 умножить на а5: слѣд. буква а войдетъ въ частное съ показателемъ равнымъ разности показателей этой буквы въ дѣлимомъ и дѣлителѣ. Такимъ же точно образомъ убѣдимся, что буква Ь войдетъ въ частное — съ показателемъ 3. а буква с — съ показателемъ 4. Наконецъ, чтобы въ произведеніе вошло с?2, необходимо, — такъ какъ буквы Л нѣтъ въ дѣлителѣ, — чтобы опа вошла въ частное съ тѣмъ показателемъ, какой она имѣетъ въ дѣлимомъ. Итакъ
63а°6Ѵгі2; — 9^1б5с = — 7а5б3сМ2
Отсюда имѣемъ
Правило. — Чтобы найти частное отъ раздѣленія одного одночлена па другой, нужно: 1) коэффиціентъ дѣлимаго раздѣлитъ на коэффиціентъ дѣлителя; 2) а затѣмъ написать всѣхъ множителей дѣлимаго — каждаго съ показателемъ, равнымъ разности его показателей въ дѣлимомъ и дѣлителѣ.
Въ частномъ случаѣ, если какой-либо множитель находится только въ дѣлимомъ, онъ входитъ въ частное безъ измѣненія показателя; если же какой-либо множитель имѣетъ въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ одинаковаго показателя, то въ частное войдетъ ^съ нулевымъ показателемъ. Напримѣръ
4а2Ьэс5: 2аЬ3с — 2айѴ.
Но, какъ = I, то можно частное представить въ видѣ 2ос*, Примѣняя это правило, найдемъ, что:
1)	9 2а3Ь Г,х2у9: 2 За2Ь *х2у ” = ѢаЪу \
2)	35а3іа(й?-|“у)1(л? — 2у)3:—7а2(л:-|-у)э(#— 2у)=—5аі2(ж-|-у)(#—2у)2.
3)	— 24а8М(а* —	4. Зу)*: — 86^ + Зу)2 = За>(а* — Ь*)(х + Зу)3.
43.	Признаки невозможнаго дѣленія одночленовъ. — Дѣленіе цѣлыхъ одночленовъ называется возможнымъ, если частное можетъ быть выражено цѣлого формулою, т.-е. не содержащею буквенныхъ дѣлителей; въ противномъ случаѣ,
у.-т. когда частное получается въ формѣ алгебраической дроби, дѣленіе считает-
Изъ самаго опредѣленія невозможнаго въ алгебраическомъ смыслѣ дѣленія *л г дуетъ, что если не дѣлятся другъ на друга только численные коэффиціенты, то дѣленіе слѣдуетъ считать алгебраически возможнымъ* Напр. дѣля 4а®5*с на 4
За*Ь, получимъ въ частномъ у аЪс— выраженіе алгебраически цѣлое, такъ какъ оно не содержитъ буквенныхъ дѣлителей.
Дѣленіе одночленовъ невозможно въ слѣдующихъ двухъ случаяхъ:
1)	Когда показатель хотя одной буквы дѣлителя больше показателя той же буквы въ дѣлимомъ. Такъ дѣленіе 6а3Ь* на 2аЪ* невозможно, потому что на какой бы цѣлый одночленъ пи умножили дѣлителя, всегда въ произведеніе буква Ь войдетъ съ показателемъ, большимъ 2: частное не можетъ быть, поэтому, выражено цѣлымъ одночленомъ.
Въ такомъ случаѣ дѣленіе только обозначается, и получается дробь
6«3?>2
2аЬ*'
послѣдняя, какъ будетъ показано далѣе, можетъ быть упрощена сокращеніемъ.
2)	Когда дѣлитель содержитъ такую букву, которой пѣтъ въ дѣлимомъ; напр. 4а3Ь не дѣлится на За2М\ Въ самомъ дѣлѣ, на какой бы цѣлый одночленъ мы ни умножили дѣлителя, въ произведеніе непремѣнно войдетъ буква с?, которой нѣтъ въ дѣлимомъ, а слѣд. частное не можетъ быть представлено цѣлымъ одночленомъ.
Обозначая дѣленіе, получимъ дробь
4а?д Заадг
которая также подлежитъ сокращенію.
Дѣленіе многочлена на одночленъ.
44.	Пусть требуется раздѣлить многочленъ а—6-рС—<7 на одночленъ т. Частное не можетъ быть одночленомъ, потому что умноживъ одночленъ на одночленъ (т), въ произведеніи найдемъ одночленъ, между тѣмъ какъ должны получить многочленъ а —— & Итакъ, частное должно быть—многочленъ, для нахожденія котораго имѣемъ слѣдующее
Правило. — Чтобы найти частное отъ раздѣленія многочлена на одночленъ, нужно каждый членъ дѣлимаго раздѣлитъ на дѣлителя, соблюдая привило знаковъ.
Это правила доказывается а ровіегіогі. Мы говоримъ, что
а — Ь-\-с — (і а 6 । с
т	т т'т т
Для доказательства умножаемъ частное многочлена на
на дѣлителя: по правилу умноженія
одночленъ находимъ:
а
т
о । с	а \ а
----Н----------------	.	— яі 1 т-------------------т	т
. т—	. т.
т
Но частное	умноженное на дѣлителя т, даетъ дѣлимое, слѣд. ш — а;
точно такъ же:	• т = Ь; — • т = с; и ~~ - т = Л. Такимъ образомъ
Я4	т/І
--------и------ — . юг = а — 6 4- с — а. т т 1 т ш /	1
т.-е. частное, умноженное на дѣлителя, воспроизвело дѣлимое, слѣд. это частное составлено вѣрно, и правило доказано.
Примѣры:
1)	(8а»Ь’ — За8Ь*4-12ааЬ‘): 4а*Ь»=2а’ — |аЬ-}-ЗЬ».
2)	{28а*Ь’(ж — у)’+ 12аяЬ’(ж* — у*)— 8вЬ’(х-|-у)(я:*—у1)’} ;
4аЬ8 (х — у) — 7аЬ (х — у)1 -|- За’ (х4" У)1 ~ 2(Л+?)*(* — У). «
Дѣленіе многочлена на многочленъ.
45,	Частное отъ раздѣленія нѣкотораго многочлена А на многочленъ В есть выраженіе алгебраически дробное, вида
А в'
Въ большинствѣ случаевъ такое выраженіе нельзя замѣнить другимъ — простѣйшимъ. Но когда цѣлые многочлены А и В содержатъ одну и ту же букву, то возможенъ такой третій многочленъ С, цѣлый относительно той же буквы, который, будучи умноженъ на дѣлителя, даетъ дѣлимое. Въ такомъ случаѣ говорятъ, что дѣленіе полинома А на В возможно.
Укажемъ, какъ въ этомъ исключительномъ случаѣ находятъ частное.
Допуская, что многочленъ
8*в4- ІО*1 — 31**4* 22*'2 — 29* + 12
дѣлится на многочленъ
4** — 5*® 4“ Зя — 4, постараемся опредѣлить члены частнаго.
Написавъ дѣлитель справа отъ дѣлимаго, отдѣляютъ ихъ вертикальною чертою; затѣмъ, дѣлителя отдѣляютъ горизонтальною чертою отъ частнаго, котораго члены, по мѣрѣ ихъ нахожденія, и пишутъ подъ этою чертою.
Дѣлимое... 8*в4“^іС<—31*84~22*а—29*4-12 4*1—5*34~^—4... дѣлитель
—8*в4-1О*і=ь 6*84- 8*3	2*‘2-45* —3,.ф частное
1-й остатокъ . .. 20**—37*84”ЗО*3—29*4“ 12
—20*4=25*4= 15*4=20*
2-й остатокъ .....—12*84”1^2— 9*4-12
4=12**4=15*4= 9*4=12
О
По опредѣленію, дѣлимое есть произведеніе дѣлителя на частное.
Но по свойству произведенія двухъ многочленовъ 35), высшій членъ про-
дежи происходитъ.
безъ п^жвеЭенУя,
отъ умноженія а
высшихъ членовъ со-
иььхжтелей, т.-е. въ нашемъ случаѣ отъ умноженія высшаго члена дѣлителя на мкжіі членъ частнаго. Поэтому, назвавъ высшій членъ частнаго буквою ?, имѣ->-с3 = 4я3 Х Ъ откуда, замѣчая, что неизвѣстный сомножитель (?) опредѣляется дѣленіемъ произведенія (8$5) на извѣстнаго сомножителя (4а?3), на-
і-іжігь:
? — 8#я: 4а:3 — 2а:2.
Итакъ, чтобы найти высшій членъ частнаго, нужно высшій членъ дѣлимаго раздѣлить на высшій членъ дѣлителя.
Для нахожденія слѣдующаго члена частнаго руководствуемся такими соображеніями. Дѣлимое есть произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго; а потому если изъ дѣлимаго вычесть произведеніе дѣлителя на первый членъ частнаго, то остатокъ будетъ представлять произведеніе дѣлителя на сумму остальныхъ членовъ частнаго- Умноживъ дѣлителя на высшій членъ частнаго и вычтя произведеніе 8х5— ІОя14- 6$3— В#2 изъ дѣлимаго, находимъ остатокъ, равный 20л1 — 37а;34“ ЗОл2 — 29$ 4" Такъ какъ этотъ остатокъ есть произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго, начиная со второго, то его высшій членъ (20$*) произошелъ безъ приведенія отъ умноженія высшаго члена дѣлителя (4а:3) на высшій изъ ненайденныхъ членовъ частнаго. Называя послѣдній буквою ?\ имѣемъ такимъ образомъ: 2О$* = 4$8. откуда
?' = 20$1: 4$3 = 4- 5л.
Итакъ, для нахожденія второго члена частнаго нужно высшій членъ перваго остатка раздѣлить на высшій членъ дѣлителя.
Замѣчая, что первый остатокъ есть произведеніе дѣлителя ва всѣ члены частнаго, начиная со второго, заключаемъ, что если вычтемъ изъ этого остатка произведеніе дѣлителя на второй членъ частнаго, то новый (второй) остатокъ будетъ представлять произведеніе дѣлителя на всѣ члены частнаго, начиная съ третьяго. Умноживъ въ самомъ дѣлѣ дѣлителя на второй членъ частваго и вычти произведеніе изъ перваго остатка, находимъ второй остатокъ: —12$3--415о?3—9$-{-12. По свойству произведенія, высшій членъ этого остатка произошелъ безъ приведенія отъ умноженія высшаго члена дѣлителя на высшій изъ ненайденныхъ членовъ частнаго. Слѣдоват., если назовемъ послѣдній буквою то найдемъ равенство: — 12$3 — 4х3, откуда д" = — 12$3: 4$3 — = — 3. Отсюда заключаемъ, что для нахожденія третьяго члена частнаго надо высшій членъ второго остатка раздѣлить на высшій членъ дѣлителя.
Такими же разсуженіями какъ и прежде убѣдимся, что для нахожденія четвертаго члена частнаго, въ предположеніи что онъ существуетъ, надо дѣлителя умножить на третій членъ частнаго и произведеніе вычесть изъ второго остатка. Сдѣлавъ это, находимъ въ новомъ остаткѣ 0. Это значитъ, что дѣленіе окончено, и послѣдній членъ частнаго равенъ —3. Все же частное равно 2$а 4" — 3.
Что частное найдено вѣрно, въ этолт» убѣждаемся, помноживъ дѣлителя на частное: въ произведеніи получается дѣлимое.
Припоминая ходъ дѣйствія, заключаемъ, что для отысканія послѣдовательныхъ членовъ частнаго намъ приходилось дѣлить высшіе члены дѣлимаго и каждаго остатка на высшій членъ дѣлителя. Чтобы имѣть эти высшіе члены всегда на первомъ мѣстѣ, а также для удобства приведенія, до начала дѣйствія располагаютъ дѣлимое и дѣлителя по нисходящимъ степенямъ главной буквы.
Соображая все сказанное, приходимъ къ слѣдующему правилу дѣленія многочлена на многочленъ:
Правило.—Когда частное отъ раздѣленія двухъ цѣлыхъ полиномовъ можно представитъ въ формѣ цѣлаго полинома, члены частнаго находимъ слѣдующимъ образомъ:
Располагаемъ дѣлимое и дѣлителя по нисходящимъ степенямъ главной буквы.
Первый членъ дѣлимаго дѣлимъ на первый членъ дѣлителя: получаемъ первый членъ частнаго.
Вычитаемъ изъ дѣлимаго произведеніе дѣлителя на первый членъ частнаго и получаемъ первый остатокъ.
Первый членъ этою остатка дѣлимъ на первый члент* дѣлителя: находимъ второй членъ частнаго.
Вычитаемъ изъ порвало остатка произведеніе дѣлителя на второй членъ частнаго и получаемъ второй остатокъ.
Дѣлимъ первый члена огтшлкл на яг/жын члена (йълнтедя; находимъ третій членъ частнаго, и т, д., продолжая до тѣхъ поръ, пока въ остаткѣ получится налъ.
Вотъ еще примѣръ:
— 12лН: 15аей^21 аа62^24аі&3гЬ27а^1
-20а^- За^+54а*Ь3+ 29а^і-н7^Я-ЗІаДО+Зб^
Эа^нЖзб^Ъ^НЗ 1 аЬН 3657
____
:Ч6^+20«э&»+28а2&я--32адН36&’
±І 6аЧ^2^з^і^28й2&5±:32ог^36^
О
4а5а8^—7дД6Д+8аЬЗ—9Ь4
За®—оа^Ь—7аб®-- 4Ь®
(Измѣненные знаки вычитаемыхъ членовъ поставлены сверху).
46.	Такъ какъ низшій членъ дѣлимаго есть также членъ неприводимый и происходитъ отъ умноженія низшихъ членовъ дѣлителя и частнаго, то можно начать дѣйствіе съ опредѣленія низшаго члена частнаго, который мы найдемъ, раздѣливъ низшій членъ дѣлимаго па низшій членъ дѣлителя.
Далѣе, дѣля низшій членъ перваго остатка на низшій членъ дѣлителя, най-демъ нисшій изъ ненайденныхъ еще членовъ частнаго и т. д. Однимъ словомъ, дѣленіе многочленовъ можетъ быть выполнено въ порядкѣ, обратномъ вышеизложенному, т.-е. начиная съ низшаго и восходя послѣдовательно до высшаго члена частнаго.
Приводимъ примѣръ такого расположенія дѣйствія:
6 —15я4-13і;*4-54я3 — 67а4-р&г— 9я6—56х7 3—4ха-|-5х3 —7.г*
—6 4г	14я*	2—5# 4“7гг2-|-7,т3
— 15^21л:»+44^3 —33і%38л:5— 9я* —56.т7
±15х	4=20а;3+25^І4:з5д?в	_______
21х2-р24а:3“28х<-р 3#й— 9я6—56л:7
— 21х*	Ч-28хІ4=35а;й-(-49хв
24я3	—32я54-4бяв'—56х7
— 24ж3	± 3 2#П=Р 40л6 ± 5 6я7
..О
47.	Когда дѣлимое есть многочленъ неполный, т.-е. содержитъ не всѣ степени главной буквы, то сохраняютъ мѣста недостающихъ членовъ, чтобы можно было писать подобные члены одинъ подъ другимъ.
Примѣръ. Раздѣлить 14х8 -|- 54х8 — 39х* — 7х 2 на 2#1 -|- 8х3 — — 5** —Зх+1.
Въ дѣлимомъ недостаетъ членовъ, содержащихъ ж3 и сохраняя мѣста, на которыхъ должны бы были находиться эти члены, располагаемъ дѣйствіе такъ:
14л76 —{— 54хк — 39#1	— 7х Ц- 2 і 2#18л:3—5я2 — Згг-|~ 1
—	+	+	+	7х2 7я*~ X +~2
— 2ггв — 4-я* -[- 21х3 — 7я*—7х-1- 2
Ч- 2#8-4- 8л:4 н- 5г3^р 3.таЧ- х
4я* +16ж3 — 1 Ох2— 6л: + 2
— 4ж1н=16г3і:10а:2±6жн=2 - —
Признаки невозможнаго дѣленія многочленовъ.
48. Когда частное отъ раздѣленія одного цѣлаго многочлена на другой можетъ йпъ шражеде цѣлымъ многочленомъ относительно входящихъ въ него бпагк. т» гин^іігь. «ого жѣмное возможно: если же частное нельзя представить гъ фвржѣ кѣлаги пвгѵтвежж, дѣлеае называется невозможнымъ.
Ізго мю а ртіогі питъ, совершается дѣленіе нацѣло, или нѣтъ; въ йлжпсгаі же случаевъ узиатъ этого нельзя, не совершая ня самомъ дѣлѣ дѣленія.
I.	Если дѣлитель содержитъ букву, которой нѣтъ въ дѣлимомъ, то на какой бы цѣлый многочленъ ни умножили дѣлителя, эта буква остается въ произведеніи, которое поэтому никогда не будетъ равняться дѣлимому. Значитъ, въ этомъ случаѣ частное не можетъ быть представлено въ формѣ цѣлаго многочлена. и дѣленіе невозможно. Напримѣръ.
8а* 4~ ^аЪ —
не можетъ раздѣлиться нацѣло на 4 «4-^. Такъ какъ дѣлитель содержитъ букву с, которой пѣтъ въ дѣлимомъ. Частное изображаютъ въ видѣ дроби, означая дѣленіе горизонтальною
чертою:
8а2 4- 5аЬ — Ь2
4а + Ьс
II.	Когда дѣлимое есть одночленъ, а дѣлитель — многочленъ, то частное не можетъ быть выражено ни цѣлымъ одночленомъ, пи цѣлымъ многочленомъ. Одночленомъ оно не можетъ быть выражено потому, что произведеніе многочленнаго дѣлителя на одночленное частное дало бы многочленъ, между тѣмъ какъ дѣлимое одночленъ. Многочленомъ оно не можетъ быть выражено потому, что произведеніе многочлена — дѣлителя на многочленъ — частное содержитъ по меньшей мѣрѣ два неприводимыхъ члена, между тѣмъ какъ дѣлимое—-одночленъ.
Такъ, дѣленіе а2 на а-|-Ь невозможно, и частное имѣетъ видъ дроби
III.	Если возможенъ цѣлый полиномъ (частное), который, будучи умноженъ на дѣлителя, давалъ бы дѣлимое, то высшій членъ дѣлимаго долженъ быть произведеніемъ высшихъ членовъ дѣлителя и частнаго, а низшій членъ дѣлимаго— произведеніемъ ихъ низшихъ членовъ. Поэтому, высшій членъ частнаго долженъ равняться частному отъ раздѣленія высшаго на высшій, а низшій членъ частнаго “частному отъ раздѣленія низшаго на низшій членовъ дѣлимаго и дѣлителя. Отсюда прямо слѣдуетъ, что если не дѣлятся нацѣло высшій членъ дѣлимаго па высшій членъ дѣлителя, или низшій на низшій, то дѣленіе невозможно.
Такъ, многочленъ
8х: — 6я64" &г3 — 4г4 — 2Н — "х* не дѣлится на
5х* — 2х4
потому что низшій членъ 7х* дѣлимаго не іѣлгтея на низшій членъ х* дѣлителя.
Точно такъ же многочленъ
не дѣлится на
X4 -р Д72-[- 1,
такъ какъ высшій членъ дѣлимаго (Зж3) не дѣлится на высшій членъ (я4) дѣлителя.
IV.	Но если высшій членъ дѣлимаго дѣлится на высшій членъ дѣлителя и низшій на низшій, то изъ этого еще никакъ не слѣдуетъ заключать, что дѣленіе возможно. Совершая въ этомъ случаѣ дѣленіе и продолжая его достаточно далеко, всегда можно открыть—возможно оно или нѣтъ.
При этомъ слѣдуетъ различать два случая:
1. Дѣлимое и дѣлитель расположены по нисходящимъ степенямъ главной буквы.
Въ этомъ случаѣ степень высшихъ членовъ послѣдовательныхъ остатковъ идетъ понижаясь. Для возможности дѣленія необходимо, чтобы высшій членъ каждаго остатка дѣлился на высшій членъ дѣлителя; поэтому, если дойдемъ до остатка, въ которомъ высшій членъ содержитъ главную букву въ меньшей степени чѣмъ высшій членъ дѣлителя, и слѣдовательно не дѣлится на высшій членъ дѣлителя, то заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Такъ, пусть требуется раздѣлить
2х4 4~ я3 — ж2 -|-	4
на
х2 — х 4-1 й
Высшій членъ дѣлимаго дѣлится на высшій членъ дѣлителя и низшій на низшій. Попробуемъ, не совершается ли дѣленіе на-цѣло:
2^*4" х3— #а4"’7хг4"4 — 2^4 +
Зз* —	4“ 4
— Зіг® -4" Зх2 4^ Зя
2х2 4- Зя
Высшій членъ второго остатка не дѣлится на высшій членъ дѣлителя: заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Иногда, прежде чѣмъ дойдемъ до такого остатка, можно ранѣе убѣдиться, возможно дѣленіе или пѣтъ. Въ самомъ дѣлѣ, предполагая, что дѣленіе возможно, можно напередъ опредѣлить—каковъ долженъ быть низшій членъ частнаго. Именно, если дѣленіе возможно, то дѣлимое будетъ произведеніемъ дѣлителя на частное, а потому низшій членъ дѣлимаго долженъ быть произведеніемъ низшихъ членовъ дѣлителя и частнаго; слѣдовательно, раздѣливъ низшій членъ дѣлимаго на низшій членъ дѣлителя, мы узнаемъ, каковъ долженъ быть низшій членъ частнаго. Совершая дѣленіе, пусть мы дошли въ частномъ до члена той степени, какую мы ранѣе нашли для послѣдняго члена частнаго; для того чтобы дѣленіе было возможно, необходимо: 1) чтобы членъ, найденный нами въ частномъ, былъ равенъ частному отъ раздѣленія послѣдняго члена дѣлимаго на послѣдній членъ дѣлителя; 2) чтобы слѣдующій остатокъ былъ равенъ нулю. Если хотя одно изъ этихъ условій не осуществляется, заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Приводимъ примѣры.
Раздѣлить х7 — Зх® — 4хя 4“ 2х4 на х* — 5х -|“ 1.
Высшій членъ дѣлимаго дѣлится на высшій членъ дѣлителя и низшій на низшій; при этомъ, если дѣленіе возможно, то послѣднимъ членомъ частнаго долженъ быть: 4“ 2х* ;	1 = 4"
Совершаемъ на самомъ дѣлѣ дѣленіе:
х1 — Зх® — 4х5 -4- 2х*, х4 —5х 4^ І — х~ -4- 5хв 4г х3 х* Ч- 2х*
2хе— ох3—2-г1
— 2х*— 10г5 = 2 х*
Раздѣлимъ жысѵіі члегь іерваго остатка на высшій членъ дѣлителя, находить -^-Зх1. т.-е. икъ разъ такой членъ, какимъ долженъ быть послѣдній членъ частшл»: но какъ слѣдующій остатокъ не равенъ нулю, то заключаемъ, что дѣленіе невозможно.
Другой примѣръ: раздѣлить
8х*4“ 10х“-— 32х4 — Зх8-р$4хЧ— 20х на 4х34“5х2 — 2х.
Первый членъ дѣлимаго дѣлится на первый членъ дѣлителя, и послѣдній на послѣдній; притомъ, частное отъ этого послѣдняго дѣленія есть — 20х; — 2 х или 4“ Ю- Членъ 4” Ю долженъ быть послѣднимъ въ частномъ, если дѣленіе совершается нацѣло, -
Выполняемъ дѣйствіе:
8х«-[-10хя -32х4 — Зх3 + 54ха —20х 4х34-5ха —2х
— 8х®	1 Ох5 =4 4х4	"зхв _7Ж"47з
- 28х* —~~ЗхГ+ 54х2 — 20х~
~Ь 28х* Ч- 35х3 4- 14х *
32х34-40х^ 20х”
— 32х3 Ч2 40хя Ч- 16х
Членъ частнаго, несодержащій буквы х, оказывается равнымъ 4"®і а не 10, какъ должно бы быть при возможномъ дѣленіи: заключаемъ, что дѣленіе невозможно. Вычтя изъ второго остатка произведете (4л34~Зл2—2х), 8, находимъ послѣдній остатокъ: — 4х*
2. Дѣлимое и дѣлитель расположены по восходящимъ степенямъ главной буквы.
Въ этомъ случаѣ степень низшаго члена послѣдовательныхъ остатковъ идетъ постепенно увеличиваясь, а потому низшіе члены остатковъ всегда будутъ дѣлиться на низшій членъ дѣлителя. Невозможность дѣленія открываемъ слѣдующимъ образомъ. Раздѣливъ высшій членъ дѣлимаго на высшій членъ дѣлителя, мы узнаемъ, каковъ долженъ быть высшій членъ частнаго, въ предположеніи, что дѣленіе возможно. Если, дойдя въ частномъ до члена, содержащаго главную букву въ степени, равной избытку показателя главной буквы въ послѣднемъ членѣ дѣлимаго надъ ея показателемъ въ послѣднемъ членѣ дѣлителя, найдемъ, что этотъ членъ отличенъ отъ члена, получаемаго дѣленіемъ послѣдняго члена дѣлимаго на послѣдній членъ дѣлителя, или если этотъ членъ будетъ и = указанному частному, но слѣдующій затѣмъ остатокъ не будетъ О, то дѣленіе— невозможно.
Пусть, напри*.. требуется раздѣлить
4 — Зх4“5ха-(-^а—19л1 на 1 — 2л — л2.
Здѣсь первый членъ дѣлимаго дѣлится на первый членъ дѣлителя и послѣдній членъ дѣлимаго на послѣдній дѣлителя.
Если дѣленіе возможно, послѣднимъ членомъ частнаго долженъ быть
(— 19^1) ; ( — д;2) =	19^
4 — 3x4“ 5л34~ л3 — 19л1	1—‘2л —	х*
— 4 4=83?	4л2	4-р5а?Ц-19#2
5 л9х24“ х3 — 19а4
— 5л + Юл2 =Н 5л8
19л2 + 6х3 — 19 л1
— 19л2 ± 38л3 =Ь 19л1
44л3
Третій членъ частнаго дѣйствительно =-|-19х2, но затѣмъ остатокъ не есть ноль: заключенъ, что дѣленіе невозможно*
Еще примѣръ: раздѣлить
— 2 4~ я — 5х3 4- 4л1 на —* 1 — 2л -|- л2.
Если дѣленіе возможно, послѣднимъ членомъ частнаго долженъ быть 4“ 4л2,
— 2л — 5 л8 Ц- 4л1 —1—2л+
+ 2 + 4л=ь 2х2	_	~ 2 —5х'фі2х2
5х — 2л2 — 5л3 4- 4л1
— 5 л 4" Юл2 + 5л3
— 12л2	+ 4л1
+ 12л2 ± 24л3 =р 12л*
івѣгтъ находимъ въ частномъ + 12яа; кромѣ того, соотвѣтствую-яй «татокъ долженъ бы быть нулемъ, а онъ равенъ 24х3— 8х4. Значитъ, .Йкѵж невозможно.
і*э4енность случая дѣленія цѣлыхъ полиномовъ, расположенныхъ но воз-рк-амимъ степенямъ главной буквы (при соблюденія условія дѣлимости край-К5 діеновъ дѣлимаго на крайніе члены дѣлителя), заключается въ возмож-жнш полученія въ частномъ неограниченнаго числа цѣлыхъ членовъ. Обусло-мвается это тѣмъ, что степени низшихъ членовъ остатковъ идутъ, постоянно мышаясь. Такъ, въ послѣднемъ примѣрѣ, продолжая дѣленіе, получили бы ^тьертый членъ — 24т8 и т. д.
49.	Когда частное отъ раздѣленія цѣлыхъ относительно х полиномовъ однога п другой не можетъ быть въ точности выражено цѣлымъ полиномомъ съ копеч-шхъ чцеломъ членовъ, то оно можетъ быть представлено въ видѣ суммы, состоящей изъ нѣкотораго цѣлаго относительно х полинома (когда таковой су-шествуетъ и не сводится къ нулю), и дроби, имѣющей числителемъ одинъ изъ остатковъ, а знаменателемъ — дѣлителя.
Въ самомъ дѣлѣ, пусть А и В будутъ два цѣлые по буквѣ х полинома, расположенные или по восходящимъ, пли но нисходящимъ степенямъ буквы т, — въ послѣднемъ случаѣ пусть степень А не ниже степени В, — и положимъ, что въ частномъ получился цѣлый по буквѣ # многочленъ Ц, а въ остаткѣ В. Замѣчая, что остатокъ К происходитъ послѣ вычитанія изъ А произведенія В<і, находимъ:
Н —А —В(),
или, выражая уменьшаемое посредствомъ вычитаемаго и остатка, находимъ а=вч+в...(і), отсюда, раздѣливъ обѣ части на В, имѣемъ
В = Ч+е-<2)-
Различаемъ теперь два случая: 1) А и В расположены по восходящимъ степенямъ буквы х\ 2) А и В расположены по нисходящимъ степенямъ я-са.
Въ первомъ случаѣ преобразованіе, указанное равенствомъ (2), возможно выполнить безчисленнымъ множествомъ способовъ. Въ самомъ дѣлѣ, число цѣлыхъ но буквѣ х остатковъ въ этомъ случаѣ неограниченно, и мы можемъ остановиться на какомъ угодно изъ нихъ. Такъ, дѣля 1 на 1 — я, и, останавливаясь послѣдовательно на 2-мъ, на 3-мъ, на 4-мъ и т. д, остаткахъ, найдемъ преобразованія:
Пусть теперь полиномы А и В расположены но нисходящимъ степенямъ буквы х, и пусть степень А не ниже степени В; то число преобразованій, выражаемыхъ равенствомъ (2), будетъ ограниченное. Степени послѣдовательныхъ остатковъ въ этомъ случаѣ идутъ, все понижаясь, и обыкновенно останавливаются па томъ остаткѣ, котораго степень по крайней мѣрѣ на 1-цу ниже степени дѣлителя. Пусть К ц будетъ такой именно остатокъ, а — цѣлая часть частнаго; при этомъ ограниченіи преобразованіе, указанное равенствомъ (2),
— 64
возможно исполнить только однша единственна^ способомъ; т*-е* при огра-X пиченіи, что степень К нвже степени В, существуетъ только одна пара цѣлыхъ полиномовъ Ч и К, дающихъ равенство (2), или, что то же (1). Чтобы доказать сто, допустимъ, что существуетъ другая пара цѣлыхъ по буквѣ х полиномовъ, Ц' и К\ гдѣ степень IV ниже степени В, такихъ, что
*
А = ВЦ' + К';
если это такъ, тополиному ВЦ -4 И и ВЦ'4^ IV, какъ равные одному и тому же полиному Ат должны быть совершенно одинаковы, или. какъ говорятъ, тождественны:
ВЦ + В = В<І' -4- К\
т-е* что, по выполненіи указанныхъ дѣйствій, по обѣ стороны знака = • должны получиться совершенно одинаковые полиномы, откуда, вычитая отъ равныхъ равныя К ВЦ', найдемъ ВЦ — ВЦ' = В' — В. что можно написать въ видѣ В(Ц — Ц')= = В'— К. Но такое равенство возможно только тогда, когда Ц = Ц' и вмѣстѣ съ тѣмъ К = К'; ибо въ противномъ случаѣ Ц — Ц', будучи цѣлымъ но буквѣ х полиномомъ или, въ крайнемъ случаѣ, будучи независимымъ отъ .г числомъ, по умноженіи на В дастъ полипомъ степени или высшей, или, по меньшей мѣрѣ, равной степени полинома В, между тѣмъ какъ К и В', будучи по степени лг-са ниже В, дадутъ въ разности полиномъ необходимо низшей степени, чѣмъ степень В; и такимъ образомъ полиномы В(Ц — Ц') ц К' — В были бы неодинаковой степени и, слѣдовательно, не могли бы быть тождественны между собою.
Итакъ, необходимо должно быть Ц' тождественно съ Ц и IV тождественно съ К; и потому при указанныхъ условіяхъ преобразованіе, представляемое равенствомъ (1), а слѣдовательно и (2), возможно выполнить только однимъ способомъ *
Такъ, если А = бх1 -|- 5#3 — 14~ 25% 4^ 4, В =	•—2я -|-1, то
полное частное отъ раздѣленія А па В будетъ
Л « । о л ।	14^4-8
4“ Зя 4 4“ Зх4 _ 2^ р
п, по доказанному, выразить полное частное въ такой формѣ (т.-е. въ формѣ цѣлаго полинома 4^ дробь) возможно только однимъ этимъ способомъ, если желаемъ, чтобы степень остатка была ниже степени дѣлителя.
Такимъ же образомъ найдемъ:
въ иной формѣ преобразованіе и не можетъ быть выполнено, если хотимъ, чтобы степень остатка была ниже степени дѣлителя*
50.	Раздѣлить полиномъ X послѣдовательно на полиномы В, С, О,... значитъ раздѣлить А на В, потомъ частное иа С, затѣмъ частное этого новаго дѣленія на В и т* д*
Теорема* Если полиномъ А раздѣлить послѣдовательно на полиномы В, С, I),... (не необходимо различные между собою), то послѣднее полученное частное есть вмѣстѣ съ тѣмъ частное отъ раздѣленія А на произведеніе ВСВ.
Въ самомъ дѣлѣ, полагая, что полиномы расположены по убывающимъ степенямъ главной буквы, имѣемъ тождества:
А — Яр
Чі = ($а 4-ма = п+к3*
причемъ всѣ полиномы Вп К?, В3, необходимо, низшей степени сравнительно съ В, С, И. Подставляя въ первое тождество вмѣсто равное ему выраженіе С9а4“В-а, имѣемъ
А-ВСС^ + В^ + В.,
а сюда вмѣсто подставляя П(?а -|—В3, найдемъ
А = В[С(В(4 + В3) + К2]+Вр
ИЛИ	А = Ю ,<І3 + (ВСВЭ 4-ВВз-НВ,).
Легко убѣдиться, что степень полинома въ скобкахъ ниже степени произведенія ВСИ. Слѣдовательно, послѣднее тождество показываетъ, что, раздѣляя А на ВСП, находимъ въ частномъ и въ остаткѣ ВСН3-|-’ ВВ24* ®і5 теорема доказана. Если послѣдовательныя дѣленія совершаются на-цѣло, то, значитъ, А дѣлится на ВСВ, и частное отъ раздѣленія А на ВСО есть послѣднее полученное частное. Обратно, если А = ВСВ. Ц, то А дѣлится на В, и въ частномъ получится СІКН это частное, въ свою очередь, дѣлится па С, и частнымъ этого новаго дѣленія будетъ ТК|: это частное дѣлится на В, и частнымъ этого третьяго дѣленія будетъ <}.
Слѣдствіе. — Основываясь на этомъ, если требуется узнать, дѣлится ли полиномъ А на (х — а)р (гдѣ р — цѣлое положительное число), можно поступать такъ. Дѣлимъ А на х— а; пусть дѣленіе совершается безъ остатка; частное этого дѣленія дѣлимъ опять на х — а и т. д. Если всѣ р дѣленій совершаются безъ остатка, то заключаемъ, что А дѣлится на (ж — а)р, и частное послѣдняго дѣленія будетъ частнымъ отъ раздѣленія А на (я? — а)р.
Замѣчательные случаи дѣленія.
51.	Приведемъ нѣкоторые частные случаи дѣленія, заслуживающіе особаго вниманія вслѣдствіе частаго ихъ примѣненія.
I. Разность одинаковыхъ степеней двухъ количествъ дѣлится безъ остатка на разность основаній.
Пусть требуется раздѣлить х'п — ат па я —а. Совершая дѣленіе, имѣемъ: хт — ат х — а
— хт -4-а#"*-1 я”1-1	...
аз™-1 — ат
—ахт~} -4- а2#”*-2
а2д;т-2---ат
— а2х™ 4? а3#™"3
аЗдмм-з — агл
— ат
— а^1х ат
О
Расположивъ дѣлимое и дѣлителя по убывающимъ степенямъ буквы я, дѣлимъ первый членъ дѣлимаго па первый членъ дѣлителя и находимъ первый членъ частнаго, въ которомъ показатель буквы какъ равный разности показателей той же буквы въ дѣлимомъ и въ дѣлителѣ, будетъ —т — 1. Первый членъ частнаго есть т*'1. Умноживъ его на дѣлителя и вычтя произведеніе изъ дѣлимаго, получаемъ первый остатокъ: ажт 1 — а". Раздѣливъ аят-1 на а?, находимъ второй членъ частнаго: а#”1-2. Умноживъ его на дѣлителя и вычтя произведеніе изъ перваго остатка, получимъ второй остатокъ: а2х”*-2 — ат. Подобнымъ же образомъ найдемъ, что третій членъ частнаго <Лгт”3, а третій остатокъ а3#"1-3 — ат.
Не продолжая дѣйствія, разсмотримъ законъ (.оставленія послѣдовательныхъ остатковъ, Сравнивая ихъ между собою, замѣчаемъ, что всѣ остатки—двучлены, которыхъ вторые члены одинаковы и равны —а" первые же члены представляютъ произведенія степеней буквъ а и х. при четь показатели буквы а идутъ послѣдовательно увеличиваясь на 1, а показатели буквы х уменьшаясь на 1, сумма же обоихъ показателей всегда равна ш. Изъ этого слѣдуетъ, что, продолжая дѣленіе, мы непремѣнно дойдетъ до такого остатка, первый членъ котораго будетъ имѣть букву а съ показателемъ т—' 1, а слѣдовательно букву х съ показателемъ 1. такъ какъ сумма показателей должна равняться т. Этотъ остатокъ будетъ слѣдовательно: а"-1 я — а"1. Дѣля первый его членъ на я, найдемъ въ частномъ членъ а"1-1; а умноживъ этимъ членомъ дѣлителя и вычтя произведеніе изъ остатка, находимъ, что слѣдующій остатокъ есть 0: значитъ. х1*— а** дѣлится безъ остатка на х— а.
Мы не могли выполнить всѣхъ частныхъ дѣленій вслѣдствіе неопредѣленности числа т; мѣста, гдѣ надо подразумѣвать промежуточные остатки и члены частнаго, обозначены точками.
Законъ частнаго. — Всматриваясь въ составъ частнаго, замѣчаемъ, что оно имѣетъ слѣдующія свойства:
1.	Всѣмъ его членамъ предшествуетъ знакъ (-р), потому что они происходятъ отъ дѣленія первыхъ членовъ остатковъ, предшествуемыхъ знакомъ (-1-), па первый членъ дѣлителя, имѣющій тотъ же знакъ.
2.	Первый членъ частнаго есть послѣдній «гл-1; что же касается промежуточныхъ членовъ, то они представляютъ произведенія степеней обѣихъ буквъ х н а, причемъ показатели буквы х идутъ послѣдовательно уменьшаясь на 1, а показатели буквы а— послѣдовательно увеличиваясь на 1; такъ что сумма показателей въ каждомъ членѣ равна —1. Если въ первомъ членѣ подразумѣвать множителемъ а0, а въ послѣднемъ х°, то можно сказать, что члены частнаго расположены по убывающимъ степенямъ буквы я, которой показатели идутъ, уменьшаясь на I, начиная съ — 1 и кончая нулемъ; и но возрастающимъ степенямъ буквы а, которой показатели идутъ, увеличиваясь на 1, начиная съ О и кончая — 1.
3.	Число членовъ частнаго равно я», т.-е. степени дѣлимаго.
Въ самомъ дѣлѣ, показатели буквы а, наприм., идутъ послѣдовательно увеличиваясь на 1, начиная съ О и кончая ш — 1; но послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ отъ О до — 1 включительно ровно т. Столько же членонч, и въ частномъ.
При помощи выведенной нами формулы
іТт-1
4-ахт~2
Ц- ... 4~ ат~2х 4“
..ДА)
(12Хт~~^
4-а3я™~4

можно прямо писать частное отъ раздѣленія разности одинаковыхъ степеней двухъ количествъ па разность основаній. Вотъ примѣры:
3. Раздѣлить, по формулѣ (А), 125а3 — 863 на 5а — 26.
Замѣчая' что 125а3 = 5.5.5.а.а,а = 5а. 5а. 5а = (5а)8, и что 863= = 2.2.2.6. Ь. Ъ = 26.26.26 = (26)э, имѣемъ:
(5 5а=2І~ = (5а)“ +(5а) •(2Ь) + (26)3 = 25а* + 10а6+ 4Л1-
4. Подобнымъ же образомъ найдемъ;
— т4 = а* 4- а3™ -|-1 а*т* + І ат3 4" ***.
Слѣдствія. — Такъ какъ х і а означаютъ какія угодно количества, то можно положить а =—а'. Подставмвъ въ формулу (А) вмѣсто а количество—а', м замѣтивъ, что дѣлимое обращается въ лГ — ( — а*)"*, а дѣлитель въ х — (— а') или въ	находимъ:
4~ (— а')хт~2 4- (— а')*#т*3 4" ... 4- (— а')м-Лг 4^
4-(-а')”-1.
Изъ правила знаковъ при умноженіи заключаемъ, что (—а')*=(—а').(—а')= = + а'*; ( д')а = (-«>(- а') = (+ а'*)( - а')=-а'3; (-а')4 = ^а'\— — а'= 4-а'4 и т. д. Однимъ словомъ: четныя степени количества—а' даютъ знакъ 4^ а нечетныя—знакъ —. Замѣтивъ это, различаемъ два случая: т— четнаго и т— нечетнаго.
1. ш — число четное. — Въ такомъ случаѣ будетъ: т — 1 — число нечетное, т — 2 •— четное, т — 3 — нечетное п т. д. А потому найдемъ, что: (—а)т = 4»аУт; (—а')т“1 = — а^”1; ( - а')”—2 =	а'м~2 и т. д. При-
нимая это въ соображеніе, найдемъ, что послѣднее равенство принимаетъ видъ
М4
Отсюда заключаемъ, что разность одинаковыхъ четныхъ степеней дѣлится безъ остатка и на сумму основаній, при чемъ законъ составленія частнаго отличается отъ вышеуказаннаго только чередованіемъ знаковъ.
Напримѣръ, хв —а3 дѣлится не только на х — а, но и на #4“аі причемъ частное будетъ
2. т — число нечетное. — Въ такомъ случаѣ, т — 1 будетъ число четное, т — 2 — нечетное и т. д. Поэтому: (— а')щ — — сл. Дѣлимое будетъ хт — (— а,щ) = а?” а"Л; затѣмъ, (— а')"1-1 будетъ — -р а'”1”1; (— а')т-2= = — а'*1-2 и т. дм и мы получимъ:
---У г- = г*1-1 — ахт~2 я -|- а
а*хт~3 — а'Ъ?™-4— ат~2х а'1”-1... (С),
Равенство (С) показываетъ, что сумма одинаковыхъ нечетныхъ степеней двухъ колгічествъ дѣлится безъ остатка на сумму основаній,•причемъ въ частномъ знаки чередуются.
Напримѣръ:
II. Сумма одинаковыхъ степеней двухъ количествъ не дѣлится безъ остатка на разность этихъ количествъ.
Пусть требуется раздѣлить сумму яш-|-аад на х — а:
мт ( _т	„
х -|- а х — а
— &т ± а#”-1 #т—1	ад?т*-2а2#1”-3	... -|- а”**1
ахт~1 -|- а”1
— ахт Ч~ а2я:т“2
— аЪ;т~-2 Ч- а8д;го~3
а8#"1”3 Ч- а”  ♦
I
V ѵ  *  « •
с » * * * Ф • ат-1я: -]“»** — ат—хх Ч— ат
2а”
Дѣленіе будетъ возможно, если, найдя въ частномъ членъ — ат-\ получимъ въ остаткѣ 0; но совершая дѣленіе, мы нашли въ частномъ членъ Ц-а”-1 и затѣмъ въ остаткѣ 2а”: заключаемъ, что дѣленіе не совершается безъ остатка. Что касается цѣлой части частнаго, то она составлена совершенно по тому же закону, какъ и въ первомъ случаѣ. Полное частное будетъ
х— а
— ж1"'1	а^‘“2
2ат я—а
... (0).
Слѣдствія. — Полагая въ этой формулѣ а = — а\ находимъ
4- Г
~г -а' ==ж"~1 + (~а>и,-2+ (- ^“-3+...+(-аГ-Ч“Ч4^
Іц ь*	.	«и •“ I ^“14 !
Разсмотримъ опять два случая: т — четнаго и т — нечетнаго.
1-й случай. — т — число четное» Въ этомъ случаѣ «я» і „гт	ч-ля
—а'^ + Д—, ...(Е).
Я? |	(К
Откуда заключаемъ, что сумма одинаковыхъ четные степеней двухъ количествъ не дѣлится на сумму тѣхъ же количествъ, и что остатокъ равенъ удвоенному второму члену дѣлимаго.
Такъ, г4-г я4 .	, т * о I 2а*
—;— = х1 — ах3 + а*х — €г -4- —;— • я	1	1 а? + а
2-й случай. — т — нечетное число. Въ этомъ случаѣ
Xм-ДГ1" х Ц-а'
—	— алхет“2 Ч-а'3#**-3 —... -4- а'*”-1
2а,от х + а'
(Р).
Слѣдовательно, разность одинаковыхъ нечетныхъ степеней двухъ количествъ не дѣлится на сумму этихъ количествъ, и остатокъ равенъ удвоенному второму члену дѣлимаго.
Такъ, х5 — а5 *	» । » о я ।	*	2ав
—, — = х* — ах3 ч- а 2х3 — а Зх + а4--------= 
х + а	’	1	х + «
Выдѣляя изъ разсмотрѣнныхъ случаевъ тѣ, когда дѣленіе совершается безъ остатка, приходимъ къ слѣдующему выводу: раз«ос?п& одг/яакояът степеней двухъ количествъ всегда дѣлится на разность основаній; разность одинаковыхъ четныхъ степеней дѣлится 9 кромѣ того, и на сумму основаній; сумма же одинаковыхъ нечетныхъ степеней — на сумму основаній.
Теорема, доказанная въ этомъ параграфѣ, извѣстна подъ именемъ теоремы Везу (Вегопі).
ГЛАВА VI-
Разложеніе алгебраическихъ выраженій на множители.—Умноженіе и дѣленіе многочленовъ съ буквенными коэффиціентами"
52.	Разложить выраженіе на множители — значитъ представить его въ формѣ произведенія, иначе говоря, въ формѣ одночлена. Опредѣленнаго неизмѣннаго правила для такого преобразованія нѣтъ; знаніе теоремъ и навыкъ въ преобразованіяхъ позволяютъ въ нѣкоторыхъ случаяхъ открыть, каковы множители даннаго выраженія.
Естественно, первое, что нужно сдѣлать — это выдѣлить множителя, общаго всѣмъ членамъ даннаго выраженія, если таковой имѣется. Затѣмъ, дальнѣйшее разложеніе совершается примѣненіемъ одного изъ слѣдующихъ трехъ пріемовъ: 1) формулъ замѣчательныхъ случаевъ умноженія в дѣленія; 2) метода опредѣленной группировки членовъ; 3) метода двухчленныхъ дѣлителей. Откладывая взлаженіе послѣдняго метода до слѣдующей главы, ознакомимся въ этой главѣ съ остальными изъ указанныхъ пріемовъ.
53.	Вынесеніе за скобки общаго множителя членовъ даннаго многочлена. — Пусть всѣ члены многочлена имѣютъ общаго множителя, напр,,
АВ — ВБ + СП;
замѣтивъ, что величина многочлена не измѣнится, если мы его помножимъ и раздѣлимъ на одно и то же количество, множимъ и дѣлимъ на В; находимъ
АВ — ВО 4- СО = |)^АВ-ВВ.+ср),
Выполнивъ дѣленіе АВ — ВВ —[— СВ на В по правилу дѣленія многочлена на одночленъ, найдемъ въ частномъ А — В + С; слѣд.
АБ — ВВ + СВ = В(А — В + С).
Отсюда видимъ, что если всѣ члены многочлена имѣктъ общаго множителя, то этотъ множитель можно вынести за скобки, написавъ въ скобкахъ частное отъ раздѣленія даннаго многочлена на общій множитель его членовъ.
Такъ, всѣ члены многочлена 356М — 76с3ййЦ- 49а/?<?й4~34363с3 имѣютъ общимъ множителемъ 76са, который и выносимъ за скобки; въ скобкахъ же пишемъ частное отъ раздѣленія многочлена на 7/и?; такимъ образомъ найдемъ:
356 V — 7/>сМ* + 49а/?<Л?+ 3436Ѵ = 76с2(56с2 — есР + 7аМ + 49/?с).
Иногда выраженіе, получившееся въ скобкахъ, бываетъ способно къ дальнѣйшему разложенію, либо къ другимъ преобразованіямъ, могущимъ его упростить. Напр., 14а8/? — 28а4/?-|- І4аЧ>\ по вынесеніи за скобки общаго множителя 14а3/?, приводится къ виду 14аЧ?(аа— 2а6&2); замѣчая затѣмъ, что а2 — 2а6	/? = (а — Ь)*. замѣняемъ данное выраженіе простѣйшимъ
14а3/?(а — 6)2.
54,	Методъ примѣненія замѣчательныхъ формулъ умноженія и дѣленія.— Можно иногда съ успѣхомъ примѣнять къ разложенію на множители формулы замѣчательныхъ случаевъ умноженія и дѣленія.
Простѣйшая изъ этихъ формулъ есть
А3 — В2 = (А + В)( А — В)... (1).
Замѣтивъ далѣе, что
^в!=а*+ав+в’ и ^Нг = а’-ав+в»,
и опредѣляя изъ того и другого равенства дѣлимое но дѣлителю и частному, имѣемъ:
А» — В* = (А— В)(А* + АВ + В’)... (2)
А» + В* = (А-Ь В)(А8 - АВ 4- В»)... (3)
Затѣмъ имѣемъ:
А* -В»=(А8)8~(В8)8=(А8+В8) (А8 -В8)=(А»+В’)(А 4~ В)(А - В)...(4).
А» — В* = (А8)8 — (В8)8 = (А8 + В8) (А8 — В8) — = (А + В) (А - В) (А8 + АВ + В8) (А8 — АВ 4- В8)... (5).	.
Вотъ примѣры примѣненія этихъ формулъ:
1)	4х8 — 9у8 = (2л)8 - (Зу)8 = (2«4- Зу) (2х - Зу).
2)	(а + Ь — с)*— (а — 2Ь 4~ Зс)8 = (2а — Ь	2с) (ЗЬ — 4с).
3)	а8—Ь8=(«‘)8—(6‘)8=(а‘-Н>‘)(а‘—6‘)=(а8-|-д‘) (а8-|-Ь8) (а-|-Ь) (а—6).
4)	Вж8-|- 27у8 = (2х)8 + (Зу)8 = (2л 4 Зу) (4л8 — бжу + 9у8).
5)	8л8 — 27у8 = (2ж)8 — (Зу)8 = (2л - Зу) (4х8 -|- бжу 4~ 9у8).
6)	Разложить на множители
2а8Ь8 -(- 2Ь8с8 -|- 2а8с8 — а* — (>* — с*.
Придавъ къ этому выраженію и вычтя изъ него 2а8Ь8, находимъ:
АаѢ* — 2а868	268с8 -|- 2а8с8 — а‘ — — с* =
(2аЬУ — (а* 4- 2аѢ* 4~ 6‘) 4~ 2 (а8 4- 6») с8 - - с‘ =
(2аі)8 — (а8 4- 68)8 4- 2 (а8 4- 6») с2 - с‘
(2аі)8 — {(а8 4- 68)8 — 2 (а8 -}- Ь8) с8 4- с*} =
(2а/>)8 — I (а8 4- і8) — с8|8 = (2аЬ 4~ а8 4- Ь8 — с8) (2аЬ — а^ — Ь^ с8) = [(а 4- Ь)' - с8] [ — (а — Ь)* 4- с8] =
= (а 4"" 4~ № “І” — е) (а — Ъ 4~ с) (—* а 4~ &	с).
Разсмотримъ еще разложеніе выраженій А‘4-В‘, А*4-В* 4-А8В8, А‘4“ 4- В* — &А8В8
Придавая къ первому изъ этихъ выраженій и вычитая изъ него 2А8В8, находимъ:
А« 4- В* = А‘ 4- 2А8В8 4- В‘ — 2А^В8 = (А8 4~В8)8 — (УІ. АВ)8 = = (А8 4- В8 4- АВ У2) (А8 4- В8 — АВ У2).
Такимъ же образомъ найдемъ:
А* 4- В* 4- А8В8 = (А8 4- В8)8 - А8В8 =(А2 4- В8 4- АВ) (А8 4~В8 — АВ).
А‘ 4- В‘ - *А8В8 = (А8 4- В8)8 — (к 4- 2) А8В8 = = (А8 + В8 + АВ }/* + 2) (А8 4-В8 - АВ	+ 2).
55.	Методъ группировки членовъ. — Если всѣ члены многочлена не имѣютъ общаго множителя, то иногда возможно бываетъ разбить иіъ на группы такъ, чтобы*всѣ группы имѣли общаго множителя, который и. выносится за скобки. Общихъ правилъ для такихъ преобразованій нѣтъ; какъ ихъ совершать, укажутъ нижеслѣдующіе примѣры.
1.	Разложить на множителя выраженіе а*-\-Ьс — ас — аЬ. Разбиваемъ многочленъ на двѣ группы: а2 —ас и -рбс — аЬ; вынося въ первой группѣ за
скобки а, находимъ а(а—с); вынося во второй группѣ—6, получимъ —6(а—с). Слѣд. данное выраженіе = а(а — с) — Ь (а — с); вынося здѣсь за скобки а — с, получаемъ окончательно (а — с) (а — Ь).
2.	Взявъ трипомъ х2 4" (а 4“ Ь) х4"	раскроемъ скобки и сгруппируемъ
члены попарно; найдемъ
х* 4“ ах 4~ Н-* = х Iх Н~ а) Н- Ь (х 4“ а) = 4" а) &)•
Подобно этому, найдемъ
(х — а) (х — Ь) = х* — (а 4~ Ь) х 4~ а&, (х— а) (^4” Ь) = ха4^(—а +	— ай.
Отсюда заключаемъ, что всегда можно перейти отъ тринома вида ха4^Р^4^ къ произведенію двухъ биномовъ (#4“а) (х4“ &)• какъ скоро удастся подыскать два такихъ числа а и 6, произведеніе которыхэ равнялось бы а алгебраическая сумма давала бы р. Вотъ примѣры.
Пусть нужно разложить триномъ х5— 10x4“ 24, Пробуемъ, нельзя ди свободный членъ -|-24 разложить на два такихъ множителя, — эти множители должны быть одинаковаго знака, — алгебраическая сумма которыхъ давала бы коэффиціентъ при первой степени х, т.-е. —10. Во 24 можно разложить на слѣдующія пары множителей:
+ ІХ + 24, — 1 X—24,
2Х 12, ЗХ 8, 4Х О,
— 2Х”12т ~ЗХ — 8, —4X^6.
Изъ нихъ только послѣдняя пара даетъ въ суммѣ — 10. Такимъ образомъ прямо'находимъ, что искомые множители будутъ
х— 4 и х — 6; слѣд., х2 — 10х-|- 24 —(х — 4) (х — 6).
Пусть еще требуется разложить триномъ х2 -4- 2х — 35. Такъ какъ передъ свободнымъ членомъ стоитъ знакъ —то пытаемся, нельзя ли разбить — 35 на два такихъ множителя съ противоположными знаками, чтобы ихъ произведеніе было —35, а алгебраическая сумма -|-2. Множители—35 будутъ: +1 н + 35, + 5 и требованію удовлетворяютъ: 4”? и —5. Слѣд., искомые множители будутъ:
#4“ 7 и х— 5, и х‘24-2х — 35 = (х — 5) (х 4" 7).
3.	Взявъ асх2-\-(а(1-^Ьс)х-\-Ъс11 раскрывъ скобки и сгруппировавъ члены по два, имѣемъ
асх* 4- адх 4“ Ьсх -\-Ь(1=ах(сх-\- (I) 4“ Ь (сх 4- =(ах 4- Ь) (сх 4^ <0-
Отсюда видно, что разложеніе тринома рх2(?х 4~ ** на множители вида их-\-Ь и сх4-с? будетъ возможно, какъ скоро удастся разложить р па два множителя а и с, а г — на два множителя Ь и (I такъ, чтобы средній коэффиціентъ ц равнялся а<і~\-Ьс.
Пусть, напр., требуется разложить трипомъ Зх24~7х — 6. Коэффиціентъ 3 разлагается только на 1 и 3. Послѣдній членъ — 6 можетъ быть произведеніемъ: — 6 на 1. 4~г* на — 1. —2 на-4" + - на —3. Составляемъ те-
перь множители ая-|-Ь и	причемъ для коэффиціентовъ а и с при х
должно брать комбинаціи разложенія 3, а для Ъ и д— комбинаціи разложенія — 6, Такимъ образомъ испытываемъ комбинаціи:
(Зя+еНя + І), (За?Ч=1)(л±6),(Зя? + 2)(я;±3), (Зя + 3) (х ± 2).
Изъ этихъ комбинацій даетъ 4"?х для средняго члена —третья, если взять въ ней верхніе знаки; требуемое разложеніе будетъ, слѣдовательно,
(За; —2) (а; 4-3)
Триномы вида ая2 4“ 4“€ можно иногда легко разлагать способомъ дополненія первыхъ двухъ членовъ до полнаго квадрата, съ тѣмъ чтобы привести выраженіе къ разности двухъ квадратовъ. Вотъ примѣры.
Найти множители х2-|-7а:4_ 12. Обращаясь къ формулѣ (а6)2 = а2 4" 4~ 2аЬ-|-Ь2, замѣчаемъ, что х2 можно разсматривать какъ квадратъ перваго члена пока неизвѣстнаго бинома; помноживъ и раздѣливъ 7х на 2, что даетъ
2.x. —, мы можемъ іх разсматривать какъ удвоенное произведеніе перваго
члена (я) искомаго бинома на второй, который, слѣд., равенъ у Отсюда пря-
&
мо видно, что если къ данпомѵ трипому придать квадратъ этого второго члена. /7 V
[у) , при чемъ, понятно, нужно и вычесть столько же, т.-е. если написать данный трмвогь въ видѣ
то первые три члена даютъ квадратъ бинома а?4“Ѵ* такъ что данный триномъ можно написать въ видѣ
I і 7Ѵ	/49	I	। 'V	/IV
2/	\4	1 ИЛИ \ + 2/	\2/ д
а это, по формулѣ а2 — 62 = (а 4” &) (а “ равно
Еще примѣръ, легко рѣшаемый этимъ способомъ: разложить.
(а:2 4- 7х + 6) (я2 4- 7х + 12) — 280.
Раскрывая произведеніе, причемъ х24-'/^ считаемъ за одинъ членъ, имѣемъ
(х2 4- 7а?)* 4-18 (я2 4- 7л) + 72 — 280.
Замѣтивъ, что второй членъ можно написать въ видѣ 2. (а?24^7#) • на-юдимъ, что для требуемаго преобразованія надо придать и вычесть 92, и тогда выраженіе будетъ
(х2 + 7я4-9)а+72—280 —81=(г34-7я?+9)2 - 289 = (л2 +7x4-9)* — — (17)а = (ха4-7^ + 26)(х24-7х — 8) = (ж* + 7я4-26) (х— 1)(а?4-8).
4,	Иногда разложеніе группировкой удается, если расположить данное выраженіе по убывающимъ степенямъ одной и той же буквы. Такъ, въ выраженіи
а® (/> — с) 4- (с — а) + (а — Ь) мы не замѣчаемъ общаго множителя; но, расположивъ по убывающимъ степенямъ а, находимъ
а2 (& — с) — а (Ь2 — с*) + Ьс (і — с), откуда прямо виденъ множитель Ь — с. Вынося его за скобки, получимъ (Ь — с) [аа — а (Л Ц- е) + Ьс] = (Ь — с) [(а* — аЬ) — (ас — 1>с)] = = (& — с) [а (а — Ъ) — с (а — Ь)] = (Ь — с) (а — Ь) (а — с).
5.	Разложить па множители (а — 6) — аѴ(а — с) 4- Ь2с2 (Ъ — с). Можно бы было начать такъ, какъ указано въ предыдущемъ примѣрѣ. Но можно идти еще такимъ путемъ.
Имѣемъ послѣдовательно:
{6я (о — Ь) - е*0і —е)}4-іѴ(Ь- е)
= а2 \аІ>* — асэ + с> — М| + ЬѴ (Ь - с)
—- аа ] а (Ь2 — с2) — (6* — с*)| 4- Ъ2с* (Ь — с)
= а2 {а (6 — с) (Ь 4~ с) — (Ь — с) (Ь* 4“	^с2 (6 — с)
= ая (& — с) {а (Ь 4” с)— (^3 + + ^2)} + с)
= (Ь — с) (а3 (Ь + с) ~* я1 0* 4"	+ ^) +
= 0—с) {а*6(а — /;)4~л'Ма — й) + #2 № — а*)|
= (6 — с) (а — Ь) \а2Ь 4- а2с — ся 4 + Ь)}
= (& — е) (а — 6) {Ь(аа — са) + ас(а С)І
= (Ь — с) (а — 6) (а — с) (аЬ 4" +ас)-
6.	Разложить на множители ах+* — аѵ//' + 46Л— Ь*+|Г.
Замѣчая, что показатели складываются при умноженіи степеней одной и той же буквы, замѣняемъ 1-й и 4-й члены произведеніями ах. 4 и ЬХЬУ, послѣ чего данное выраженіе приметъ видъ ахау — аУЪ9 4~ а^*х — ЪХЬ\ или ау (ах — Ьѵ) 4“ 4- Ьх (а* — &ѵ). и наконецъ (ах — 4 (а* 4“ &*).
7.	Разложить на множители ж3 + 4я;* + я;— ®- Представивъ второй членъ въ видѣ Зх2 4- я2, а третій — въ видѣ Зх — 2х, получаемъ выраженіе
х3 4“ Зя* + я2 + Зя — 2х — 6 = а;2 4 + 8) + я 4 + 3) — 2 4 4“ 3) = = 44-3) 424’Л? и 2) = 44- 3) 424“2^—х—2) _ 44- з) 4 4+2)“ — 44-2)1 =4 + 3) {4 +2) 4- 1)1=4 + 3)44-2)4—1).
Умноженіе и дѣленіе многочленовъ съ буквенными коэффиціентами.
56. Если въ данныхъ для умноженія многочленахъ встрѣчаются члены,
содержащіе одинаковыя степени главной буквы, то такіе члены разсматриваютъ
х 4 + 3) — 2 4 + 3) =
...ЛЧ^-т^ЛКЙМЪ
Пусть, напр.,
. х3 + Зя2 + х2 + Зл; — 2х — 6 = а;2 4 + 8)4
образомъ полученный, считаютъ коэффиціентомъ этой степени, требуется умножить
36* на
ах3  6я3 — а‘4‘2 + а3х — Забл2 —	- + /Д& — а1 -н
ах* + а2х — Ь2х — Ьх2 -4- а3 — 24
Сдѣлавъ вынесеніе за скобки, представимъ первый многочленъ въ видѣ
(а + Ь)я3 - (а* + ЗаЬ +	+ (а* + Ь8)я — а* ЗЬ\
а второй въ видѣ
(а — 6)х2 4“ (а* — 6а)ж-(“ а3 — 2б3.
Разсматриваемъ первый многочленъ какъ четырехчленъ, а второй какъ трехчленъ; а -|-&т	и а:іЦ-63—какъ коэффиціенты при степеняхъ х
перваго многочлена. —а44~^^4 какъ свободный членъ этого многочлена: а — Ь и а* — Ь1 — какъ коэффиціенты, и а3 — 27/ — какъ свободный членъ второго многочлена.
Чтобы многочлены уписались въ одной строкѣ, скобки замѣняютъ вертикальною чертою, справа отъ которой пишутъ степень буквы х, а слѣва одинъ подъ другимъ члены коэффиціента, каждый съ его знакомъ. Дѣйствіе располагаютъ слѣдующ. образ.
о* о	о- а	ж3 — а8 — Заб — Ъ1 х* 4-а1 — 6»	х* -|-а* 4-6* х 4-а» — 2Ь* .	х — а1 4-36* . 	*	й	« * « • 			множимое множитель
а» — Ь* 1 1	х* — а* — 2а*й -|-2а6’ 4-6» +“* 4-а«Ь — аЬ* — Ъ*	х* -а‘ ’ — аѢ • -г-аЬ* — а* — За3Ь 4-Заб* Ха‘ 4-а3/? — 2а68 — 2Ь*	X3 — а* ’ Ч-а'Ь । 4-Заб1 - 368 4“ а3 — а3//2 1 -4 а263 — а3 — За4/; —а36* 4^2а363 -|- баб* 4-26*	х3 — а* -!-а‘Ь» ' За3М — 36* 4-«* — а863 — 26* ]	X	— а’) - 2а*63 - За*6* — 66"	Произведеніе до приведенія.
а’ -6*	х* — а*Ъ 4~аЬа	х* -4- а‘ — За36 4-2а63 — 26*	х3 — а” — 2а*6 — 2а363 + За363 і 4-9а6* і — 26я	1 х34-а‘63 '	- а*6’ ; 4-За*6‘ — 56* 1	X 1	— а71 - 2а*Ь3 - За8// — 6//	1	'X' і	и	и 1	*=с	*=с 1	ф У	и	я □ ® ® я с-Ы о
Сперва умножаютъ всѣ члены множимаго на ах2, потомъ на — 6х2, затѣмъ на 4“^ и т. д., располагая и произведеніе вертикальными колоннами по степенямъ буквы х; соединивъ, наконецъ, подобные члены въ каждой колоннѣ, получаютъ окончательное произведеніе.
57.	Пусть требуется раздѣлить многочленъ съ многочленными коэффиціентами на другой такого же рода. Дѣйствіе располагаютъ какъ обыкновенно, съ тою разницею, что вмѣсто скобокъ употребляютъ вертикальныя черты. Дѣленія
коэффиціентовъ совершаютъ отдѣльно, называя эти дѣйствія частными дѣленіями. Все это указано въ нижеслѣдующемъ примѣрѣ.
і I
X*
х* -ф-4а» і х -|-4а1
-|-10а6« I — 96»
а* -ф-а»6» ' '"/ +&*; а' -ф- а«6» + ь‘	х» -4-4а* -ф-ІОаб* 4~5а26 — 5а&2 ; Н-ЗЬЭ	х — 9Ь* X
ч	•	2а3 — 5аЧ -1- 5а&2 — 36* 2а3 — 5а2Л	х -|-4а* — 96» ♦ і х -4-4а» — 96»
-|- 5а6»
— 36»
О.
Частныя дѣленія, служащія для опредѣленія
1-ое частное дѣленіе.
а* — а
— а»6» + аЬ* — 6* — а»6«
коэффиціентовъ частнаго:
2-ое частное дѣленіе.
6‘	а2 — аЬ ~|- 6а	а* '	+6*	а2—аЪ-\~Ь*
	а» —6»	а4—		
-аб» — 6* б
аѢ	-4-6'
а»6-а»6»4-а6* ______	I
а*6»—а6»-|-6* а*6»—аб»
Ъ*
О
3-ье частное дѣленіе. 2а» - 5а»6 -ф- 5а6» — 36» а»
і
2а —36
_3а»г,_|_3а6»_ 36» — За»6—Заб» — 36»
О
ГЛАВА VII.
О дѣлимости на биномы вида х а. — Основанія способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ.— Различныя приложенія предыдущихъ теоремъ.
58.	Теорема I,— Если раціональный цѣлый относительно буквы х полиномъ, расположенный по убывающимъ степенямъ этой буквы, раздѣлимъ на биномъ х — а, то въ остаткѣ получимъ результатъ подстановки въ этотъ полиномъ буквы а вмѣсто х.
Приводимъ доказательство д'Аламбера.
Всякій полипомъ, цѣлый и раціональный относительно -с, можно представить въ видѣ
А,Х" +	4-	4-... + А,®* 4- А,® 4- А„.
разумѣя подъ т какое-нибудь цѣлое положительное число, а подъ А,н, Ат-і, ... АІГ Ао— нѣкоторые коэффиціенты, т.-е. выраженія, не содержащія буквы х. Если такой многочленъ раздѣлить на х — а, то окончательный остатокъ долженъ быть выраженіемъ, но содержащимъ буквы х; въ самомъ дѣлѣ, если допустить, что остатокъ содержитъ букву х хотя только въ первой степени, то можно бы было продолжать дѣленіе, потому что дѣлитель содержитъ также букву х въ первой степени. Означивъ этотъ, не содержащій буквы я, окончи-тъііныз остатокъ черезъ К, постараемся опредѣлить К, Назвавъ для этого част-эое. которое, какъ і дѣтое, должна быть многочленомъ, расположеннымъ но иисходящііъ стхпейжгь буквы х, черезъ 9, и замѣтивъ, что дѣлимое = произведенію дѣлителя на частное, сложенному о> остаткомъ, получимъ
А^х*Ат_ >л?ж 1	...	А|іК-|— Ао = (х—&). у-|—В.
Замѣчая, что обѣ части этого равенства представляютъ лишь различныя формы одного и того же выраженія, убѣждаемся этимъ, что равенство наше есть ничто иное какъ тождество, т.-е. равенство, справедливое при всякой величинѣ входящихъ въ него буквъ. Слѣдовательноѵ оно будетъ справедливо и тогда, когда, въ частности, положимъ х = а, Но при такой подстановкѣ первая часть приметъ видъ
А„«"‘ 4- Ап,-іап‘-1 + - + М 4- Ао ... (1).
и слѣд. не будетъ содержать буквы х, такъ какъ и коэффиціенты Ат,,.., Ап Ао не содержатъ х, Что касается второй части, то въ выраженіи 9 буква х также исчезнетъ; разность х—а, при подстановкѣ а вмѣсто х, обратится въ а — а, или въ ноль, а слѣд. и произведеніе	котораго одинъ мно-
житель равенъ О, также обратится въ 0. Во второй части останется, поэтому, только выраженіе К, которое не измѣнится отъ указанной подстановки, такъ какъ совсѣмъ не содержитъ буквы х. Итакъ, дѣлая х=а. мы вмѣсто прежняго равенства получимъ слѣдующее
АХ' + А™-^"'-1
Аі« + Ао — В,
которое и доказываетъ, что остатокъ имѣетъ форму даннаго многочлена, въ которомъ буква х замѣнена буквою а.
59.	Если бы дѣлитель былъ х то этотъ случай легко привести къ
разсмотрѣнному, замѣтивъ, что можно представить въ видѣ разности — а). Отсюда прямо вытекаетъ
Теорема П, служащая дополненіемъ первой:	родгональ-
кым относительно буквы х полинома раздѣлимъ на биномъ х + а, то въ остаткѣ получимъ результатъ подстановки въ этотъ полиномъ буквы (—а) вмѣсто х.
Примѣры. I. Найти остатокъ отъ раздѣленія многочлена
Зх5 — 4х4 — 2х2 -р 7 на я — 2.
Подставляя въ данный полиномъ 2 вмѣсто х. находимъ окончательный остатокъ
Н = 3.25— 4.21- 2.22 +7 = 96 — 64 — 8 + 7 = 31.
II, Найти остатокъ отъ раздѣленія тринома
х1 — 8х + 15 на х+5.
Подставляя въ данный триномъ (— 5) вмѣсто х, получимъ (— 5)2 — 8 . (— 5) + 15 = 25 + 40 + 15 = 80. Окончательный остатокъ = 80.
60.	Изъ доказанныхъ теоремъ вытекаютъ такія слѣдствія:
Слѣдствіе і. — Если многочленъ обращается въ ноль послѣ замѣны въ немъ буквы х буквою а, то онъ дѣлится на х — а; если многочленъ обращается въ ноль послѣ замѣны буквы х буквою ( - а), то онъ дѣлится на х-|-а.
Въ самомъ дѣлѣ, многочленъ, полученный послѣ замѣны буквы х буквою а или (— а)тесть ни что иное какъ окончательный остатокъ отъ раздѣленія даннаго многочлена въ первомъ случаѣ на х— а, во второмъ — на # + а. Но если оковчат. остатокъ равенъ нулю, то это значитъ, что многочленъ дѣлится безъ остатка — въ первомъ случаѣ на х — а, во второмъ на х + а.
Слѣдствіе II, обратное предыдущему. Если многочленъ дѣлится па х — а или иа х + а, то результатъ подставки въ него — въ первомъ случаѣ буквы а, а во второмъ (—а) вмѣсто х—долженъ быть равенъ нулю.
Въ самомъ дѣлѣ, такъ какъ, по условію, многочленъ дѣлится на х — а или то остатокъ въ обоихъ случаяхъ долженъ быть равенъ нулю; но этотъ остатокъ есть результатъ подстановки вмѣсто х буквы а или (— а); стало быть, этотъ результатъ долженъ быть равенъ нулю.
II р и м ѣ р ы. I. Трехчленъ х- — 2х + 1 обращается въ 0, если вмѣсто х подставить 1; слѣд. онъ дѣлится на х — 1.
ТІ. Многочленъ 4ах3—7а*х2— ба^ + ^а1 обращается въ 0 при х = а. а потому онъ дѣлится на х—-а.
Ш. Триномъ х* + 5х + 6 обращается въ 0 при х^— 3, слѣд. онъ дѣлится на х + 3,
61,	Законъ составленія частнаго отъ раздѣленія цѣлаго относительно буквы х полинома на биномъ х — а.
Легко вывести законъ, но которому составляется частное дѣленія многочлена
А„/м +	+... + А+ +	+ Аа на х — а.
Въ самомъ дѣлѣ, совершая дѣленіе, найдемъ:
Рх*-|- А *_ і	1+Ал_2^і-3+„ .
— РхЧ-ра#*"1
я^Н-А*-^*-2-)-,,.
Найдя первые три члена частнаго, замѣчаемъ, что частное есть полиномъ степени т — 1, при чемъ:
Коэффоіектъ перваго члена частнаго равенъ коэффиціенту 1-го члена дѣтаго:
Коэффиціентъ 2-го члена частнаго равенъ произведенію предшествующаго коэффиціента на а, сложенному со вторымъ коэффиціентомъ дѣлимаго;
Коэффиціентъ третьяго члена частнаго равенъ произведенію предшествующаго коэффиціента на лц сложенному съ третьимъ коэффиціентомъ дѣлимаго.
Докажемъ, что этотъ законъ общій. Пусть, слѣдуя обыкновенному правилу дѣленія, мы нашли въ частномъ членъ Рх*”1. Онъ получился отъ раздѣленія перваго члена соотвѣтствующаго остатка на х; сл. первый членъ остатка есть Рх\ а потому весь остатокъ будетъ РяЛ + Аь-ія*”1 + Лі-г#*”2 -р... Умножая членъ частнаго Ря;*-*1 на дѣлителя и вычитая это произведеніе изъ сказаннаго остатка, въ новомъ остаткѣ получимъ
(Ра + А*-і)ж*“1 -ф- А*_2^2 + ...
Раздѣливъ первый членъ этого остатка па находимъ слѣдующій членъ частнаго
(Р« +#*-2.
*	4
Коэффиціентъ его равенъ произведенію предшествующаго коэффиціента на а, сложенному съ коэффиціентомъ того же порядка дѣлимаго. Общность закона коэффиціентовъ такимъ образомъ доказана.
Если окажется, что дѣлимый полиномъ неполный, т,-е. въ немъ недостаетъ членовъ съ какими либо промежуточными степенями главной буквы, то для приложенія предыдущаго правила слѣдуетъ возстановить недостающіе члены, внося ихъ съ коэффиціентомъ 0.
62.	Если дѣлитель будетъ	то разсматривая его какъ х— (—а)*
заключаемъ, что для нахожденія частнаго нужно только въ частное § 61 вмѣсто а подставить (— а); сдѣлавъ это, найдемъ
Атят”1 —Аота  .тт“2 + Ата® . .тт“а . . .
+ Лт~1 ;	-—Ат-1&
+ Ат—2
62- Примѣры. I. Найти частное и остатокъ отъ раздѣленія
5х* — 23#* + 3я: — 58 на х—2.
Дополняя данный полиномъ членомъ съ х\ имѣемъ 5х4 Ц- 0 + х* — 23х« — Зх —58.
Коэфф. 1-го чл/частнаго = 5	а 1-й чл. частнаго = 5х3
»	2-го	>	»	~ 5.2 +	0	т.-е.	-р	10	>	2-й	»	>	+	10х3
»	3-го	»	>	+ Ю.2 —	23	т.-е.	—	3	>	3-й	>	»	—— Зх
»	4-го	»	> = (—3).2-|-	3,	—	3	>	4-й	>	>	=— 3
Искомое частное, поэтому. = 5-г3 + ІОх* — Зх — 3.
Остатокъ В = 5 . 2* — 23.2*+3 . 2 — 58 = 80 — 92 + 6— 58 = — 64.
Итакъ: ^Аг-^ + Зх-эв = 5д.а ] Оал _ За. _ 3 .тіД X *— х	’	X —- х
П. Такимъ же образомъ найдемъ
= дЛ _ 2жа -4- 2х — 2 Н-------
4~ 1	1	1 х -р 1
III. Найти частное и остатокъ отъ раздѣленія
х3 — Зха+2х — 1 на 2х—3.
Для приложенія нашего правила нужно дѣлимое расположить по степенямъ 2х, разсматривая 2х какъ главную букву. Множа и дѣля первый членъ на 8, изображаемъ его г въ видѣ (2л:)8; множа и дѣля второй членъ на 4, пишемъ 3
его въ видѣ д (2х)а. Дѣлимое так. обр. будетъ
§(2*)» —|(2*)»+(2*)-1.
Затѣмъ, прилагая правило, найдемъ
п
,г*-~3.г2 + 2я —1 _ х?_3	1	8
2ж — 3	~ 2 Iх	8	2.г —3
63.	Обобщеніе теоремы § 58. ~ Способомъ, указаннымъ въ § 58, докажемъ, что остатокъ отъ раздѣленія цѣлаіо по буквѣ х полинома на биномъ вида рх±у есть результатъ подстановки въ этотъ полиномъ • ‘такою значенія х, кояго/хьнь биномъ рх^у обращается въ ноль.
Разсмотримъ, наприм., случай дѣленія на да + д, и пусть частное будетъ <і> а остатокъ, который не будетъ содержать буквы х* пусть будетъ В; имѣемъ
+ Ат-1*”*-14- • • • + Ао = (Рж+«) • 4 + В’
Дадимъ ж-у значеніе—при которомъ + з обращается въ ноль; при лтомъ В. какъ не содержащій буквы х, останется безъ измѣненія, и получимъ
тѣть теорема и доказывается. Подобнымъ же образомъ докажемъ теорему и для сіучм. когда дѣлителемъ будетъ рл' —
Слѣдствія. — Отсюда непосредственно вытекаетъ: 1) если полиномъ обра-шстсі въ ноль по замѣнѣ въ немъ буквы х количествомъ —то онъ дѣ--итсі на	и 2) если полиномъ дѣлится на	то результатъ под-
ошавки въ него количества вмѣсто х равенъ нулю.
64.	Теорема III, — Для того чтобы цѣлый относительно х поли-я**хъ дѣлился на х — а или на #4"^; необходимо, чтоды низшій (свободный) членъ его дѣлился на а.
Въ самомъ дѣлѣ, если полипомъ 1* дѣлится, наприм., на х— а, то
Р = (2г —а) , ч(
гдѣ Ч — цѣлый относительно х полиномъ; изъ этого равенства слѣдуетъ, что низшій членъ полинома Р, какъ произведенія, равенъ произведенію а на низшій членъ частнаго Ч» а слѣд. долженъ дѣлиться на а.
65.	Теорема IV.—Нели полиномъ Р, цѣлый относительно х, дѣлится на каждый изъ биномовъ х — а, х— Ъ, х — с, гдѣ а, Ъ и с неравны между собою, то онъ дѣлится и на ихъ произведеніе.
По условію, полиномъ Р дѣлится на х — а: пусть частное будетъ Ч, гдѣ Ч есть также цѣлый относительно х полиномъ; въ такомъ случаѣ
Р= (я —а) , Ч . . . (1).
Но полиномъ Р, по условію, дѣлится и на х — Ь, слѣдов. при х = б онъ обращается въ ноль. Итакъ, если въ предыдущее равенство вмѣсто х подставимъ Ь, то первая часть его обратится въ ноль; слѣдов. и вторая, при подстановкѣ въ нее Ь вмѣсто х, должна обратиться въ ноль, т.-е. должно быть
(Ь — а). Чь = 0, .
гдѣ Чд означаетъ выраженіе Ч, въ которомъ х замѣненъ буквою Ь. Мы имѣемъ произведеніе двухъ множителей: Ь — а и Чм равное 0; для этого необходимо, чтобы по крайней мѣрѣ одинъ изъ нихъ былъ нулемъ. Но множитель Ь — а не есть 0, ибо, по условію, Ь неравпо слѣд. Чъ должно быть нулемъ. Итакъ, Ч обращается въ поль при х — Ь, слѣд. оно дѣлится па х — Ъ. Означивъ частное этого дѣленія черезъ Ч\ гдѣ Ч* есть цѣлый относит. х полиномъ, имѣемъ
Ч = (Я-Ь). Ч'. . .(2).
Вставляя вмѣсто Ч его величину въ равенство (1), получаемъ
Р = (я —а)(я —Ь)Ч'. . • (3).
По условію, Р дѣлится на х — с, слѣд. полиномъ Р, при х=с, обращается г» ишь; поэтому и вторая часть равенства (3)тпри# = с, должна обращаться п жиь, т.-е. должно быть:
(с — а) (с — Ь) Ч'с = 0.
гт /. *-ть значеніе полинома Ч" при х — с. Но разности с — а и с — Ъ пе-ъаж» ібо, по условію, а, Ь и с различны, слѣдов. чтобы произведеніе
было нулемъ, нужно чтобы было —0. Это значитъ, что <}' дѣлится на я — с; обозначивъ частное этого дѣленія черезъ имѣемъ
<Г= (* - с) . (Г
Внося величину. Ц' въ равенство (3), получаемъ
р =	— а) (а? — Ь) (х — с). Ч".
Теорема такимъ образомъ доказана.
Примѣр ъ. Доказать, что полиномъ
+ Лсг —	— уѴ — №
дѣлится на произведеніе (# — у) (-г — г) (у — г
Подставляя въ данный полиномъ у вмѣсто т, находимъ, что онъ обращается въ 0; слѣдоват. онъ дѣлится на х— у. Такимъ же образомъ убѣждаемся, что какъ при = такъ и при у —л полиномъ обращается въ 0; слѣдов. дѣлится какъ па х — такъ и на у — Дѣлясь на каждый изъ биномовъ х — у, х — з, у - г въ отдѣльности, онъ, въ силу теоремы IV, дѣлится и на ихъ произведеніе.
66.	Предыдущія теоремы служатъ для нахожденія цѣлыхъ дѣлителей вида х — а нѣкотораго даннаго цѣлаго относительно х полинома. При помощи теоремы III можно опредѣлить, какіе цѣлые биномы этого вида лсогушь ймь дѣлителями, а при помощи теоремы П, слѣдствіе I. опредѣляемъ тѣ изъ нихъ, которые въ самомъ дѣлѣ служатъ дѣлителями даннаго полинома.
Очевидно, что число дѣлителей полинома не можетъ превышать его степени; иначе, въ силу теоремы IV, онъ долженъ бы былъ дѣлиться на полиномъ, котораго степень выше его собственной, а это невозможно.
Приводимъ примѣры.
1. Найти всѣхъ цѣлыхъ двучленныхъ дѣлителей полинома
.г1 - 17.г3 + 98я?« — 232л:
192.
если таковые имѣются.
Находимъ дѣлителей числа 192; это будутъ числа 2, 3, 4, 6, 8 н т. д. По теоремѣ третьей, искомые дѣлители, если только они существуютъ, будутъ вида #±2, # + 3. я + 4т #±6, . . .
Подставляя въ данный полиномъ вмѣсто я число 2, легко убѣдимся, что полиномъ обращается въ ноль; стало быть онъ дѣлится на х—2,
Подставляя вмѣсто я число — 2, убѣдимся, что полиномъ не обращается въ ноль; слѣд. #-|-2 не есть его дѣлитель.
Подставляя вмѣсто х число 3, убѣдимся, что полиномъ обращается въ ноль; слѣд. дѣлится на х — 3.
Подставивъ вмѣсто х число — 3, замѣтимъ, что поликомъ не обращается въ ноль; слѣд. не дѣлится на я^З,?
Продолжая такимъ же образомъ, найдемъ, что данный полиномъ имѣетъ дѣлителями х— 4 и я — 8.
Мы уже нашли четыре дѣлителя: х — 2, х — 3^ х 4, .с —8; другихъ цѣлыхъ дѣлителей не можетъ быть, такъ какъ данный полиномъ — четвертой степени.
II. Найти цѣлыхъ двучленныхъ дѣлителей полинома
хэ — (а -|- Ь 4- с) х* -р (аЬ 4~ «с 4~ М х — аЬс,
еси таковые существуютъ.
Въ силу теоремы III, искомыми дѣлителями могутъ быть только
х — а, — Ь, х— с; я 4” ^4“	4“ с.
Но при х = а полиномъ обращается въ
а3 — (а Ь 4~ с)а* 4" (а& 4“ ас 4“ М а —
что, какъ легко видѣть, приводится къ нулю. Слѣдоват. х— а есть искомый дѣлитель.
Такимъ же образомъ убѣдимся, что х — Ъ и х — с также суть дѣлители даннаго полинома.
Нашъ полиномъ — третьей степени; мы нашли трехъ дѣлителей; другихъ не можетъ быть; слѣд. задача рѣшена.
67.	Такимъ же образомъ, какъ мы доказали теорему IV, докажемъ, что если полиномъ дѣлится въ отдѣльности на каждый изъ биномовъ рх
/ г / і //	«	.	о а и'1
рх-]-$, р , при условіи, что значенія х : —	уь при кото-
рыхъ эти дѣлители обращаются въ ноль, .всѣ различны, то онъ дѣлится и на ихъ произведеніе.
68.	Слѣдствія теоремы IV.
1* Если полиномъ Р, цѣлый относительно х. т-й степени:
4" Ат-і^-14- . . . 4" М + Ао
обращается въ ноль при т различныхъ значеніяхъ буквы х : а, 6, с, . . . А, А, то онъ можетъ быть представленъ въ видѣ
Ат (я — а) (я — А) (я — с) , . . (я — і) (я —А).
Въ самомъ дѣлѣ, пусть полиномъ четвертой степени
Р —	+ Аэя3 4“ А*#* 4- ^х 4“ Ав
обращается въ ноль при четырехъ различныхъ значеніяхъ я: а, с и й. Въ такомъ случаѣ, по теоремѣ IV» онъ дѣлится на произведеніе
(х — и) (х — Ъ) (х — с) (х — й),
которое само четвертой степени; стало быть частное не содержитъ я и есть нѣкоторое число; пусть это число будетъ А. Данный полиномъ равенъ произведенію А (я — а) (я — Ъ) (х — с) (х — й). Если выполнить умноженіе и расположить члены во убывающимъ степенямъ то полученный многочленъ долженъ быть тождественъ заданному, т.-е. состоять изъ совершенно такихъ же членовъ, і потому и высшіе члены обоихъ должны быть равны, т.-е. А^1 ~ Ах\ откуда А = А|: теорема доказана, и
Р — А4 (х — а) (# — Ъ) (х — с) (я — е?).
И_ Опредѣленіе. Если цѣлый относительно х полиномъ обращается въ ноль ~тл ютомъ значеніи х^ то говорятъ, что онъ тождественно равенъ нулю.
6*
Докажемъ, что если цѣлый относительно х .полиномъ, «т-ой степени, обращается въ ноль нри нѣсколькихъ значеніяхъ х, число которыхъ превышаетъ иі, то онъ тождественно равенъ нулю (т.-е. равенъ нулю при всякомъ я).
Пусть, наприм., полиномъ
Р = А^1 + А3х* Аах2 +	+ А0
•
обращается въ ноль при пяти различныхъ значеніяхъ х: а, б, с, е, Мы доказали, что если полиномъ Р обращается въ ноль при четырехъ значеніяхъ х: а, Ь, с и то онъ беретъ видъ
Р = А4 (х — а) (х — 6) (х — с) (х — й) . . . (1).
Но. по условію,’Р обращается въ ноль также и при х=.е; слѣдов, А4 (е — а) (е — 6) (е — с) (<? — гі) = О;
но какъ множители е— а* е — &, . . . отличны отъ нуля, то чтобы произведеніе равнялось нулю, необходимо, чтобы А4 равнялось нулю. Но если А4 = От то изъ (1) видно, что каково бы пи было х, всегда будетъ Р = О.
Итакъ, Р равно О при всякомъ х, т.-е. тождественно равняется нулю.
69.	Теорема V. цѣлый относительно х полиномъ [ (х) йіь-лится въ отдѣльности на (х —- а)1, (х — 6/, (х — с)\ . . . а, М . . , неравныя между собою числа* то онъ дѣлится и на произведеніе
(х — а)1. (х — &)?. (х — с)ч
Пусть /* (х) = (х — а)1. ср (х) и /Дх) = (х — 6)?. ф (х), гдѣ и (х) и ф (х) частныя отъ раздѣленія /Дх) на (х — а)а и (х — Ь)?. Имѣемъ
(х — а)1 «р (х) = (х — &)?ф(х) , . , (1).
Замѣнивъ въ атомъ тождествѣ х буквою Ъч получимъ
(6-а)*ф(6) = О
и какъ Ь — а, по условію, не есть О, то должно быть ф (6) = 0; другими словами, результатъ подстановки буквы Ъ вмѣсто х въ ф (х), обращаетъ эту’функ-цію въ О, слѣд. ср(х) дѣлится на нѣкоторую степень/^' разности (х — Ь), такъ что должно быть
? (х) = (х — &)₽' .	(х), . . .
съ условіемъ	Докажемъ, что Для этого подставимъ въ\тождество (1) (х — />)?	(х) вмѣсто ^(х); найдемъ
(х — а)а (х — б)?	(х) ~ (х — б)? ф (х).	•
Если бы было то обѣ части можно бы было раздѣлить на (х— и положивъ въ частныхъ х = 6, нашли бы
(Ь - а)* (&) = О,
но это невозможно, такъ какъ ни (Ъ — а)1, ни (6) не равны нулю. Заклю
чаемъ, что нельзя допустить, чтобы [Г было меньше Подобнымъ же образомъ докажемъ, что не можетъ быть и больше Слѣдовательно [*' ~ я потому
? (ж) = (х—г»)? (х),
п слѣдовательно
/(я:) = (х ~ а)’ (х — Ь)?	(®).
Продолжая подобныя же разсужденія, докажемъ, что (я) дѣлится на (х — е)?, а слѣд. Дл?) на (я — а)а (я—6)?(я — с)? и т. д. Теорема доказана.
70.	Теорема VI. Чтобы цѣлый относительно х полиномъ тождественно (т-е. при всякомъ значеніи х) равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы всѣ коэффиціенты его равнялись нулю.
Пусть данный полиномъ будетъ
Р = дж4 + Вл:« + С^4 В# + Е.
Такъ какъ этотъ полиномъ долженъ быть равенъ нулю при всякомъ х; стало быть, въ частности, онъ долженъ быть равенъ нулю и при х — 0. Но при х = О всѣ члены, содержащіе х, обращаются въ 0, слѣд. равенство
Кх* 4* в#3 -р с#2 -|- в = о . . „. (і) обращается въ
Е~0 . . . (И).
Откинувъ въ равенствѣ (І)Е, какъ количество, равное 0, а въ остальныхъ членахъ вынеся за скобки х, получимъ равенство
1> = ^Ая3 4-Вя24-{& + !>) = 0.
I
Для того, чтобы Р равнялось 0 при всякомъ я, необходимо, чтобы одинъ изъ его сомножителей всегда равнялся нулю; но х равняется нулю не всегда, а только при х = 0, слѣдовательно, необходимо, чтобы второй множитель всегда равнялся нулю. Такъ какъ Ля3 4" Вж*4“Са:Ч~® долженъ быть равенъ 0 при всякихъ значеніяхъ х, то онъ долженъ быть нулемъ и при я = 0. Но положивъ въ немъ х = Ъ, обратимъ его въ В, а равенство Лх34“В#*-4Ся:4" 4-1) — 0 въ
0 = 0. . . (III).
Откинувъ въ полиномѣ Р члены І)я и Е, какъ равные 0, а въ остальныхъ вынеся за скобки х8, получимъ произведеніе
Р = х4А^4-Вх + С),
которое должно быть равно 0 при всякомъ х. Отсюда, подобно предыдущему, докажемъ, что
0 = 0 . . . (IV)
і т. д. Такимъ образомъ всѣ коэффиціенты полинома Р должны быть равны 0. Доказали, что это условіе необходимо. Но оно и достаточно, потому что если всѣ коэффиціенты равны 0, то и полиномъ Р равенъ нулю.
71.	Теорема VII. Если два цѣлые относительно х полинома остаются равными при всякомъ значеніи х, то они тождественны.
Пусть полиномы
Ах5 4~ В#4 С#3 4* О#* 4“ Ея -^Р и о#3 -|- Ъх* -|"	"4 е
имѣютъ одинаковую численную величину при всякомъ тогда ихъ разность будетъ тождественно равна нулю. Но эта разность есть
Ая*-4 В#14- (С — а)#3 4“ (° —	4" (Е Н“ (Е — *):
слѣд., по теоремѣ V", имѣемъ:
А —О; В = О; с = а; О = Ь; Е — й; ? = С;
Изъ того, что А = О и В —О, заключаемъ, что члены Ахя и Вг4 исчезаютъ, такъ что число членовъ въ обоихъ полиномахъ одинаково; а какъ С = а, И = Ь, Е = й и Е = е, то коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ х равны. Оба полинома ничѣмъ не отличаются одинъ отъ другого, или, что тоже, тождественны.
Примѣчаніе. Теоремы VI и VII служатъ основаніемъ способа неопредѣленныхъ коэффиціентовъ, имѣющаго многочисленнѣйшія и разнообразнѣйшія приложенія въ алгебрѣ. Изобрѣтеніе этого способа приписываютъ знаменитому французскому математику и философу Декарту (Сагіеяіь).
Различныя приложенія предыдущихъ теоремъ.
72.	Приложеніе /.—Выведемъ условія дѣлимости суммы или разности одинаковыхъ степеней двухъ количествъ на сумму или разность основаній.
1. Пусть требуется раздѣлить хт— ат на х— а. Подставивъ въ дѣлимое букву а вмѣсто х, найдемъ окончательный остатокъ; онъ будетъ = а™ — ат или О, откуда заключаемъ, что дѣленіе совершается безъ остатка*
Для нахожденія частнаго представляемъ дѣлимое въ видѣ полнаго многочлена иг-ой степени;
хт 4- О . я"1'1 4- О .	+
4- О . х — а”1.
По правилу § 61, высшій членъ частнаго равенъ я”*-1. Второй членъ частнаго содержитъ ж®1’2; а коэффиціентъ его найдемъ, помноживъ коэффиціентъ перваго члена частнаго на а, что дастъ а, и придавъ сюда второй коэфф. дѣлимаго т.-е. О; итакъ, второй членъ частнаго ~ ахт~\ Продолжая такимъ образомъ, найдемъ
а.'М _
——— = Xя*"14~ал;т_24^ аЪ?та"34~ * * , 4^”’’  - . (1)*
2* Раздѣлить хт4“аШ па х — а, Подставляя въ дѣлимое вмѣсто х букву а, найдемъ окончательный остатокъ 4~	= 2аи. Отсюда заключаемъ, что
дѣленіе не совершается безъ остатка. Составляя частное по предыдущему, получимъ
4-«т-1
2ат
х — а
- (2).
3. Раздѣлить хт— ат на #4~а’ Подставивъ въ дѣлимое вмѣсто а? коли-
чество (— а), найдемъ окончат, остатокъ. Онъ будетъ: а)1 при ш четномъ равенъ (—«)т— ат = ат — а™ = 0. Частное же будетъ въ этомъ случаѣ
---------=	.-рат’2ж-а’п-1 . . . (3).
при т нечетномчэ остатокъ = (— я)ш — ыИІ = — ам — ат = — 2аш; частное же
= ят-1
2дт
-г -|-д
 (4).


4.	Раздѣлить «” + °™ ва ® + «. Подставляя въ дѣлимое вмѣсто х букву (— а), найдемъ окончательный остатокъ. Онъ будетъ: і) при т четномъ: (—а)“ 4" а"* — а"*-|-а"*= 2а“, такъ что
ггпі і цы	9лгм
—-±-	=	4-	— - . .	ат-2^ —	4- ——•. , 45).
х + а	1 х -р
р) при т нечетномъ: ( — а)" — а“ = —	= 0; слѣдов, дѣленіе совер-
шается безъ остатка я частное

. +ат-1 , . . (6).
Отсюда заключаемъ, что 1)	— аш всегда дѣлится на # — а; 2) а?л — ат
дѣлится на + если т четное; 3)	никогда не дѣлится наж — а,
но дѣлится па а? + а ПРИ т нечетномъ. Такимъ образомъ нашли тѣ же выводы, какіе получили раньше непосредственнымъ дѣленіемъ. Новый пріемъ далъ тѣ же результаты быстрѣе.
73.	Приложеніе II.—Мы видѣли, что — а™ всегда дѣлится на % — а; но ври четномъ дѣлится еще на Слѣдовательно, когда т четное, хт — а”\ дѣлясь на биномы + « и я —а, дѣлится, по теоремѣ 1Ѵ\ и на ихъ произведеніе (ж — а) (я -|- а), т,-е. на я* — Итакъ: разность одинаковыхъ четныхъ степеней двухъ количествъ дѣлится безъ остатка па разность квадратовъ тѣхъ же количествъ. Частное будетъ
__
—— — - = я™-2 4“	4“
74.	Приложеніе III. — 1, При какомъ численномъ значеніи К полиномъ
дѣлится безъ остатка на х — 3?
Чтобы полиномъ дѣлился на я — 3, нужно, чтобы результатъ подстановки въ него 3 вмѣсто х обращался въ пуль, т.-е, чтобы
З3—3 ф За+5.3 4-К = О, или 15 + К = О,
Послѣднее равенство возможно только при К = — 15.
2. При какомъ значеніи К полипомъ
дѣлится на ^4-3?
гг3 — Зя2 4“ 4“ К
Нужно, чтобы результатъ подстановки въ этотъ полиномъ числа (— 3) вмѣсто х былъ равенъ нулю, т.-е. чтобы
(— з)3-3 ,	3)» + 5. (-3) + К = О, или — 69-)-К = О;
а это возможно только при К = 69.
3, При какомъ значеніи К полиномъ
я3 — 3:сй —5 а: —|— К
раздѣлится на Зг — 2?
На оси, § 63, Слѣдств., заключаемъ, что необходимо, чтобы результатъ 2
подстановки въ данный полиномъ числа вмѣсто х былъ нулемъ, т.-е, чтобы-
ѵ 62
а это возможно только при К = —
75. Приложеніе IV.—Теорема IV, § 65 можетъ быть примѣнена къ разложенію многочленовъ на множители. Методъ разложенія, на ней основанный, называется методомъ двучленныхъ дѣлителей и состоитъ въ слѣдующемъ. Расположивъ многочленъ по степенямъ какой-либо буквы, # напримѣръ, стараются открыть двучленныхъ дѣлителей х— а, х — Ь, , . . , я—А; составляютъ изъ нихъ произведеніе (я —а) (я — Ь) . . . (я — &); дѣлятъ на него данный полиномъ Р, и если въ частномъ получается выраженіе то
р =	— д) (я; — Ь) , , . (# — &),($.
Разложеніе такимъ образомъ будетъ совершено.
Впрочемъ, слѣдуетъ замѣтить, что этотъ методъ не такъ удобенъ въ практическомъ отношеніи, какъ выше указанные методы разложенія; потому что въ случаѣ большого числа возможныхъ дѣлителей придется дѣлать слишкомъ много вычисленій, чтобы выбрать тѣ изъ нихъ, которые дѣйствительно служатъ дѣлителями даннаго полинома. Поэтому онъ употребляется лишь въ рѣдкихъ, исключительныхъ случаяхъ; такъ, наприм., онъ весьма удобенъ для разложенія смль метричныхъ выраженій.
Круговая перестановка. — Разсмотримъ выраженіе Ъс-\-еа~\- аЬ- членъ, несодержащій буквы а, поставленъ на первомъ мѣстѣ, а остальные члены можно получить послѣдовательно круговою перестановкою буквъ, т.-е, перемѣною а на Ь, Ь па с и с на а *). Такое же расположеніе буквъ легко видѣть и въ выраженіи	— а)-|-с3(а— Ь); въ самомъ дѣлѣ, изъ а2(Ъ — с)
*) Если а, Ъ и с поставить на окружности крута (черт. 9) и, выходя отъ нѣкоторой буквы, а, двигаться по окружности крута въ направленіи, указанномъ'стрѣл-конл то мы будемъ слѣдовать въ циклическомъ порядкѣ аЬс, Ьса, саЪ, Слѣдованіе атому порядку, важно въ задачахъ, гдѣ имѣютъ дѣло съ разностями трехъ буквъ. Такъ, когда мы пишемъ Ь—- с, е — а, а - мы слѣдуемъ циклическому порядку; но нарушаемъ этотъ порядокъ, когда пишемъ Ь — с, а — с, а — 6 или а — с, 6 — а, Ь — с. Если съ самаго начала слѣдовать циклическому порядку, то вычисленія сокращаются и дѣлаются легче.
крумж перестановкою получаемъ Ъ*(с—а), а отсюда снова круговою пере-спмбою выводимъ с*{а — 6). Тоже самое замѣчаемъ въ выраженіи
(у-я) (я —ж) (я —у).
Симметричныя выраженія.—Выраженіе, которое не измѣняется отъ пе-і*твовки какой угодно пары буквъ, въ него входящихъ, одной на мѣсто дру-г*с_ называется смлсчетрычяыль выраженіемъ. Такъ, выраженія «6, в’ —	аа-|-аЬ-Ь&1, а& + &а — суть симметричныя выраженія изъ двухъ
**хгь: а-|-Ь-|-с, Ьс-^са -^аЬ, а3 — 63с3 — Завс—симметричныя вира-жшя изъ трехъ буквъ; потому что, наприм., аЬ — Ьа, а* &2 = Ьа -ф- аа; а — & -|-с = а-|-с4-й = с-ЬаН“Ь=. . . Но а — 6, яР, очевидно, не-лмметричны, ибо, наприм., а — Ъ неравно Ь — а, и т. д. Замѣтимъ, что единственная симметричная функція первой степени относительно а, Ъ, с есть М(а -|- Ъ 4- с), гдѣ М—числовой коэффиціентъ.
Выраженія, которыя остаются безъ измѣненія величины при круговой перестановкѣ входящихъ въ нихъ буквъ, называются циклически^симметричными. Таково, наприм., выраженіе (Ь — с) (с — а) (а — 6), ибо величина его не измѣняется, если на мѣсто а поставить 6. с на мѣсто 6, и а на мѣсто с.
Очевидно, произведеніе, или частное двухъ симметричныхъ выраженій симметрично; ибо если ни то, ни другое не измѣняется при перестановкѣ двухъ буквъ одной на мѣсто другой, то и произведеніе, и частное останутся безъ измѣненія при такой перестановкѣ.
Ясно также, что произведеніе, или частное двухъ циклически-симметричныхъ выраженій суть также выраженія циклпчески-симметричныя.
Послѣ этих'р предварительныхъ указаній переходимъ къ примѣрамъ.
Примѣръ 1. Разложить на множители
а\Ь — с)-^~й3(с — а)4-с3(а — і) . . -(1).
Положивъ въ этомъ выраженіи Ь = с, убѣдимся, что оно обращается въ воль; слѣдов. Ь — с есть множитель этого выраженія. Такимъ же точно образомъ докажемъ, что и с — а, и а — Ъ суть множители даннаго выраженія. Слѣдовательно, оно содержитъ множитель (&—с)(с — а) (а — Ь).
По данное выраженіе есть выраженіе четвертой степени, слѣдоват., кромѣ трехъ найденныхъ множителей, оно должно содержать еще одного множителя первой степени. Кромѣ того, этотъ множитель долженъ быть симметричнымъ выраженіемъ относительно буквъ а, Ь и с. Заключаемъ, что этотъ множитель долженъ быть = а “Ь
Итакъ, данное выраженіе должно быть —
ЦЬ —с)(с —а)(а —й)(а-|-г> + с) . . .(2),
гдѣ Ь есть нѣкоторое ч^сло, остающееся безъ всякаго измѣненія, каковы бы ни были зпаченія О и с
Чтобы найти И, замѣтимъ, что (1) и (2) тождественны, а слѣдов. коэффиціенты, наприм.. при а3, должны быть равны. Въ (1) этотъ коэффиціентъ есть Ь — с; во (2) онъ есть—Ь(Ь — с); слѣдов. Ь = — 1; а потому выраженіе (1) разлагается въ формѣ
— (6 — с) (с — и) (а — Ь) (а;	Ь 4- с).
Для нахожденія Ъ можно еще дать частныя значенія буквамъ а, & и е. Положивъ, наприм,, а = 0, &=1, с = 2; (1) обратится въ —6, а (2) въ 61; слѣдов. 61 = — 6, откуда Ь = —1.
Примѣръ П. Разложить (у — #)в + (# — х)3 + (я — ^)\
Убѣждаемся, что данное выраженіе обращается въ 0 при у = я, слѣдоват. у — я есть множитель даннаго выраженія. Такимъ же точно образомъ убѣдимся, что множителями его будутъ я— х и х— ул А какъ данное выраженіе есть выраженіе 5-й степени и циклически-симметрично, то оно должно быть — (у — в)(г — х}(х — у) )Ь(жа +	+	+ +	. .(I)
гдѣ въ фигурныхъ скобкахъ написана самая общая форма циклически-симметрич-наго выраженія второй степени.
Для опредѣленія Ь, безъ труда найдемъ, что коэффиціентъ при хЧ/ въ данномъ выраженіи есть —5, а въ (1) это будетъ —Ь, слѣдов. 1 = 5.
Для нахожденія М, полагаемъ х = 0. у =	* = 2, п сравниваемъ данпое
выраженіе со (2); найдемъ
-1+32- 1=(- 1).2.( 1)[5.5 + 2М].
откуда М = —5. Искомое разложеніе будетъ
5(у — я) (я — х) (х	(х2 + ^ + #2 - -уя —ях— ху).
П р и м ъ р ъ1III. Разложить на множители
а(Ь —• с)5 + 5(с — а)3 + с(а — &)ь.
Легко убѣдиться, что 6—с, с а, а - -Ь служатъ множителями, Слѣдоват. данное выраженіе, будучи симметричнымъ выраженіемъ 6 степени. =
{Ъ — с)(с~а)( а —Ь) | Е(а3 + &3 +	+
+ М|я3(^ + сО + ?Лс + а) + с^(а + ^)]4_^аМ • - • ( +
Остается опредѣлить числовые коэффиціенты 1, М и X.
Коэффиціентъ при въ данномъ выраженіи равенъ —1, а въ (I) равенъ —Ь; слѣдов. 1=1.
Коэффиціенты при въ данномъ выраженіи 0. а во (2) есть 1— М;
слѣдов. 1 — М = О, 1 = М = 1.
Чтобы найти X, положимъ а=1, Ъ — 2. с = 3; сравнивая данное съ (1), находимъ
_ 1 + 64 — 3 = 2 (1 + 8 +27+ 5 + 16 4-27 + 6ЬТ),
откуда М = — 9. Итакъ, данное выраженіе —
(Ь-*— с) (с — а) (а — і)*{а3 + 5® + еа + + а2(Ь + с) + Ь\с + а) + с2(а + 1>) — 9аЬс}. *
Примѣръ IV. Разложить полиномъ
р = а2Ь2с2(а — 6) (а —>с) (Ь — с) — а2ЪЫ2(а — Ь) (а — <?) (Ь — сі) +	—- с) (а — й) (с - - г?) — - йй с2 — е) (5 — й)(с - : й).	*
Легко убѣдиться, что полиномъ Р обращается въ ноль при а•=+ а = а = г?, Ь = с и т. д.; потому онъ дѣлится на а 6, а - с, «	с/, Ь — с и
т. д, Попытаемся выдѣлить этихъ множителей. Вынося изъ первыхъ двухъ чле-новъ а*Ь*(а—&), а изъ двухъ другихъ с^й2^- -й), полупимъ:
Р = д2&2(д — Ь) | с2(д — с) (Ь — с) — й*(д — с?) (& — й)}
4~ с2Й2(с —й) {д2(я- с) (а й) 62(й - с) {Ъ — й)І,
Располагая первый членъ въ первыхъ фигурныхъ скобкахъ по убывающимъ степенямъ сЛ а второй по убывающимъ степенямъ буквы й; затѣмъ, первый членъ во вторыхъ фигурныхъ скобкахъ—по убывающимъ степенямъ буквы «, а второй—буквы Ь, имѣемъ:
р = дЧа(д — Ь) [с4 — ся(д 4" Ь) -|- с?аЬ - - й4 4 й3(д -|- Ъ) (РаЪ І 4-с3й2(с — й)|д* а3(с— й)-]-аасй — 64-|- бэ(с~{-й) 6ѴЙ| или
р ^=_ д3/?а( д 6) 5 с* — й4 — (с3 —> йа) (а 6) 4“ (с3 - йа {
+ с3й2(с - й) |д4 - V (а3  Ь3) (с + й) + (а4— Ь3)сй{
Теперь видно, что въ первыхъ фигурныхъ скобкахъ имѣется множитель с — й, а во вторыхъ а— 6; выиоея ихъ, имѣемъ:
р=(а—Ъ) (с — й) І (са+й2) (с	й) — (йг-|-сй-4- й3) (а 4~ Ь) 4~ аЬ (с й) |
-|- с2й2 (с—й)(а — Ь)) (а34~ Ь3) (а Ь) — (а*4“ 4“ ^а) (с 4“Ф “р сй (а !
Вынося теперь за скобки (а — Ъ) (с—й), и означивъ третій множитель буквою Р\ положимъ
Р = (а-6)(с-й),Р';
гдѣ
р' =	| (С2 + й2) (с + й) — (с3 + сй 4- й2) (д + Ь) 4- аЬ (с 4- й) (
4~ с*й3;(д3— №) (а— Ъ) — (а* — аЪ— Ь2) (е -|-й) -|- сй(д -|-й)}
= дйЬ*{(с3 + й3) (с - а) 4- й(с3 +Й3)—Ь(с2 4 й*)— сй(а4-і)+ай(с ^й) |
-р С2Й2{(а2—Й3) (д—с) — &2)—й(«24”&2)-- «&(с — Й) 4^Й(Й6) 5 = а3Л3|(а — с) (Ьс^-^й — с2 — й2 —-сй)4~й2(й—,Ь)|
4- с2й2{(а — с) (а2 4- аЪ + Ь* - ай— Ьй) — Ь2(й — Ь)]
= (а — с) |а3Ь*(Ас“Ьй — с2 — й2 — сй) 4^ЛЙа* ^4	62—ай — М)}
4-Ь2й2(й-6)(аа — с3).
Вынося а — с, положимъ
Р' = (« - с)Р", гдѣ
р'^а2^|с(&~с) + й(Ь —с)|_а2Ь2й^4- с^а^с3^{а(Ъ ^-й)4-6(Ь-й)!
4-62й2(й— Ь) (д4-с)
=	(с-^й) —с^-Ьс’й2^- й)(а-Ьі)-Ь63й2(й—&) (а^с)
= а*(Ь — с){Ь2(с4^Ф — <^(Ь-|-с)І 4-Й46 — й)5с2(д-4&) 63(а4"с)!
= О2(Ь _ с); с(Ъ* — й2) 4- &й(& — й) I + й2(6 — й) Iа (с* — Ь2) 4~ Ьс(с — 6) |.
Здѣсь мы можемъ вынести за скобки (Ь — с) (Ь — й); полагаемъ
р" = (^^с}(6-й)Г\
гдѣ
р”' = д2{с(Ь 4- й) 4-М| — Й^я^ + с) +^с|
-	- й‘) -|- д сй( д - й) 4 (л — й) — (д — й) (лЛг4- и й'Н’ асй4	.
Итакъ, окончательно
Р = (а — 6) (а — с) (а — й) (6— с) (6 —чі) (с— й) (абс + «с^4“ Ъссі).
76.	Приложеніе Г. При какихъ значеніяхъ буквъ а и Ъ полиномъ гг3-*-+ Ц- 5л; — а дѣлится безъ остатка на х* 4“	— Ъ?
Вопросъ можно рѣшить двоякимъ путемъ.
1-й методъ. Онъ состоитъ въ томъ, что совершаютъ на самомъ дѣлѣ дѣленіе, доводя его до остатка, степень котораго была бы ниже степени дѣлителя; затѣмъ выражаютъ, что остатокъ долженъ быть тождественно равенъ нулю.
Выполняемъ дѣленіе:
ж3 4" — а 4~ — &
— х3 -р Згс® + Ъх х ~р~ 5
5 | х — а
4~ 6
—	15л: + 56
Ь х — а
Чтобы дѣленіе совершалось безъ остатка, остатокъ долженъ быть тождественно равенъ нулю; а для этого, по теоремѣ VI, § 70, необходимо и достаточно, чтобы
6—10 = 0. . . (1) и 56 — а = 0, . .(2).
Равенство (1) возможно только при 6=10.
Подставляя 10 вмѣсто 6 въ равенство (2), имѣемъ
50 — а = 0,
что возможно только при а = 50,
Итакъ, искомыя значенія а и 6 суть: а = 50, 6=10.
Не трудно провѣрить, что я8 + 8яа 4” &х — 50 дѣлится безъ остатка на я«4-зя—ю.
2-й методъ (неопредѣленныхъ коэффиціентовъ). Выражаютъ, что дѣлимое равно произведенію дѣлителя на цѣлый полиномъ, котораго степень равна разности степеней дѣлимаго и дѣлителя, ибо такова должна быть степень частнаго.
Такимъ образомъ пишемъ:
я3 4- 8д;2 -{-5л; — а
(х5-|-3а; —і) (рх' + д),
такъ какъ общій видъ цѣлаго полинома первой степени есть до 4" Располагая вторую часть по степенямъ имѣемъ тождество
х3 4~ 8ягя -{-^ 5л; — & =.р - х* 4" 3-Р
2
Отсюда, ло теор> ѴП, § 71, приравнивая между собою коэффиціенты при одинаковыхъ степеняхъ буквы имѣемъ четыре условія для опредѣленія а, 6. р и а именно:
р=і;
3^ 4-д = 8;
— 6 .р
Здг=5;
Ъд = а.
Подставляя во второе равенство 1 вмѣсто р9 находимъ: 3 4“ $ = 8, откуда г; =5. Подставивъ въ третье равенство вмѣстои д ихъ величины, имѣемъ:
I
— Ь15 = 5, что.возможно только при 6 = 10. Наконецъ, вставляя въ четвертое равенство вмѣсто Ь и $ ихъ величины, находимъ: а = 50.
Итакъ: а = 50; Ь = 10; р = 1 и — 5.
Стало быть дѣленіе безъ остатка возможно только при а = 50 и‘ Л= 10; а частное	есть
77.	Приложеніе 1/. Въ какомъ случаѣ Xм —а** дѣлится на хр~а^ Выполняемъ дѣйствіе, чтобы найти законъ образованія послѣдовательныхъ
остатковъ:
хт — ат хр — ар____________________
хіп Ч— архт~? хт~р —ард;т—2р
р — ат
— архт~р Ч~
а2Ртт_2р — ат
„	2р дЗРдЛі—Зр
а’^-зр — ат
Итакъ, если А означаетъ нѣкоторое цѣлое число, одинъ изъ остатковъ будетъ имѣть видъ
д^т-Ар _ а«
Поэтому, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая цѣлая величина Л, при которой этотъ остатокъ тождественно равнялся бы нулю.
Онъ имѣетъ видъ многочлена, расположеннаго по убывающимъ степенямъ буквы я, и условія тождественности остатка нулю будутъ различны въ зависимости отъ того, будетъ ли т— кр равно 0, или отлично отъ нуля.
Если т — кр отлично отъ нуля, то коэффиціенты при степеняхъ х должны быть равны нулю, т.-е.
акр = 0 и а’" = 0;
это возможно только при а — 0. Но такой выводъ не соотвѣтствуетъ задачѣ.
Если т— кр = <\ то хт-Ар = 1; и остатокъ обратится въ ноль, когда акр = ат, т.-е. когда т = к . р.
Итакъ, необходимо и достаточно, чтобы т было кратнымъ числа р.
Въ такомъ случаѣ: и
.	- у = хт-р 4* архт-іі> 4- а*рхт-3р 4" • • • 4- а“_2р«р 4“ ат-І>-

ГЛАВА VIII.
Общій наивысшій дѣлитель и наинизшее кратное алгебраическихъ выраженій. *
78.	Дѣлителемъ цѣлаго алгебраическаго выраженія называется такое другое цѣлое выраженіе, на которое первое дѣлится на-цѣло. Такъ, есть дѣлитель выраженія 48.г8у*я; я— I есть дѣлитель тринома х* — 2я-|-1; х*— а* имѣетъ дѣлителями х— а,	— а2 и
Общимъ дѣлителемъ двухъ или нѣсколькихъ цѣлыхъ выраженій называется такое цѣлое выраженіе, которое дѣлитъ данныя на-цѣло или безъ остатка. Такъ, ^ураженія (а — 6)2 и а2— 62 имѣютъ общимъ дѣлителемъ а— Ь. Взявъ выраженія а3 4“— а№ — Ъ\а3 — ЗаЬ3 4- 263 и а3 — 2а26 — аЬ3 4^ 26е, и разложивъ ихъ на множители, находимъ:
а3 4“ а*Ъ — аЬ'1 — 63 — (а -)- Ь)2 (« — 6);
а3 — ЗаЪ3 4- 263 = (а — Ъ)3 (а + 26);
а3 _ 2а^ _ аъ* + 263 — (а + 6) (а — 6) а — 26);
откуда видно, что данные многочлены имѣютъ общимъ дѣлителемъ биномъ а—6.
Цѣлыя выраженія, не имѣющія никакихъ общихъ дѣлителей, называются первыми между собою или взаимно простыми. Такъ, а-\-Ъ и а — Ь— выраженія взаимно простыя.
Общимъ наивысшимъ дѣлителемъ цѣлыхъ алгебраическихъ выраженій называется произведеніе всѣхъ простыхъ дѣлителей, общихъ даннымъ выраженіямъ. Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ общій наивыстій дѣлитель есть а — 6, потому что иныхъ общихъ дѣлителей данныя выраженія и не имѣютъ. Взявъ выраженія х*— а* и #84-2ал;2- а3х — 2а3 и разложивъ ихъ на множители, находимъ:
х4 — а4 = (я 4~ а) — а) (^2 4" и2);
х3 4- 2ах3 — а3х — 2а3 — (я4~а) (# — й) (х 2«);
замѣчаемъ, что простые дѣлители, общіе этимъ выраженіямъ, суть: #4“а н х — а; ихъ произведеніе х3 — а3 и есть общій наивысшій дѣлитель двухъ данныхъ выраженій.
Очевидно, что если данныя выраженія раздѣлимъ на ихъ общаго наивысшаго дѣлителя, то черезъ это изъ нихъ исключатся общіе ихъ дѣлители, а потому частныя не будутъ имѣть уже никакихъ общихъ дѣлителей, т.-е. будутъ первыя между собою. Отсюда вытекаетъ другое опредѣленіе общаго наивысшаго дѣлителя: ото есть такой общій дѣлитель, по раздѣленіи на который данныхъ выраженій, получаются частныя первыя между собою. Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ, раздѣливъ выраженія я*—а4 и ^84~2ах2 — а2д?—2а3 на общаго дѣлителя х3 — а8, получаемъ частныя #2 4“ и х 4” 2а — первыя между собою. Заключаемъ, что, по опредѣленію, я2 — а2 и будетъ общій наивысшій дѣлитель данныхъ выраженій.
Примѣчаніе I.—Между алгебраическимъ общимъ наивысшимъ дѣлителемъ и общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чиселъ (въ ариѳметикѣ) есть существенное различіе. Общій наибольшій дѣлитель чиселъ есть такой ихъ общій дѣлитель, который по величинѣ больше всѣхъ другихъ общихъ дѣлителей. Отсюда и названіе его — наибольшій. Но общій наивасшій дѣлитель алгебраическихъ выраженій, какъ содержащій произведеніе всѣхъ общихъ дѣлителей, очевидно, будетъ по степени выше другихъ общихъ дѣлителей; но изъ этого еще не слѣдуетъ, чтобы онъ былъ больше но величинѣ: такъ а3 не необходимо больше а; папр.. если а есть положительное число меньшее 1, то «2 меньше а.
Примѣчаніе II.—Для краткости слова: общій дѣлитель будемъ означать начальными буквами о. д.; также слова: общій наивысшій дѣлитель — буквами о. н. д.
Переходимъ къ изложенію способовъ опредѣленія общаго напвысшаго дѣлителя алгебраическихъ выраженій.
79.	Способъ разложенія на множителей.—Пусть требуется найти о. н. а. одночленовъ
65а5Ь*с, ЗОаЧ® и 45а<Ьпй,
т.-е. такихъ выраженій, которыя пряно даны въ формѣ произведеній.
Согласно съ первымъ опредѣленіемъ, нужно составить произведеніе всѣхъ общихъ простыхъ дѣлителей — численныхъ и буквенныхъ. Произведеніе общихъ простыхъ числовыхъ дѣлителей есть о. н. д. коэффиціентовъ и = 5. Что касается буквенныхъ производителей, то нужно взять только общія буквы съ наименьшими показателями; общія буквы суть а и Ь; наименьшій показатель буквы а есть 4, буквы Ь—2, сл. о. н. д. = 5а*Ьа,
Выраженіе, такимъ образомъ составленное, удовлетворяетъ и второму ^опредѣленію общаго наиб. дѣлителя; въ самомъ дѣлѣ, раздѣливъ на него данные одночлены, получаемъ частныя: ІЗас, 6а3Ь и 9Ь9й — первыя между собою. Отсюда Правило. Для составленія о. н. д. одночленовъ нужно къ общему наив. дѣлителю коэффиціентовъ приписать всѣ общіе буквенные множители съ наименьшими показателями.
Что касается многочленовъ, то, когда онп легко разлагаются на множителей, и употребляютъ способъ разложенія на производителей, или, что то же, превращаютъ многочлены въ одночлены и прилагаютъ къ нимъ предыдущее правило. Вотъ примѣры.
I. Найти о. и. д. многочленовъ
9а2х* — 36 и 12а3х* 4> 48ая + 48.
Разлагая на множители, найдемъ:
9а*.г2 —36 = 3*. (ах 4= 2) (ах — 2);
12а^2 4-48а^-|-48 = 4,3(ал?+2)\
Взявъ произведеніе общихъ простыхъ множителей, найдемъ о. н. д. = 3 (аз -|- 2).
П. Найти о. и. д. многочленовъ
х'у3 — 3#3уа 4~ 2л;4у4 п х*у3 —
Разлагая на множители, находимъ:
.г4у* — Зт3у3 4” 2.г*у4 = #2у®(# — 2у) (я —у), — 4л V = л?ау*(х 4- 2у) (я — 2у);
слѣд. о. н. д. = #3у*(я:—2у).
Ш. Найти о. н. д. полиномовъ
х3 4~ 1 и х3 -|“ тх3 4- тх 1.
Разложивъ на множители, получимъ
#’4~ 1 — (#4“ 1)(#а —#4“ 1)-
х3 4~ тх3 4“1 ~ (^4- і)(#*—»-|-тх4~ О;
слѣд., о. н. д. = #4~ 1.
IV*. Найти о. н. д. полиномовъ ♦
Зх*у — За?8 Згу — Зхз п
I эх'*!/ — ЗОа?уя Ц- 15я*у — 15а;3 -|- 30а?ах? — 15хгЛ
Но разложеніи на множителей, найдемъ, что
1-й полиномъ = 3(а?а (у — а?),
2-й полиномъ = 3 . 5(у — а?) (а; — я)2.
Отсюда: о. п. д. = 3(# — а?).
80.	Способъ послѣдовательнаго дѣленія.—Такъ какъ многочлены только въ рѣдкихъ случаяхъ легко поддаются разложенію па простыхъ множителей, то и предыдущій способъ прилагается съ успѣхомъ только въ исключительныхъ случаяхъ. Вообще же, для опредѣленія о. н. д., полиномовъ пользуются общимъ способомъ, который носитъ названіе способа послѣдовательнаго дѣленія. Нахожденіе о. н. д, этимъ способомъ основывается на слѣдующихъ теоремахъ.
81.	Теорема I. — О. н. д. двухъ выраженій не измѣнится, если одно изъ нихъ помножимъ или раздѣлимъ на количество, первое съ другимъ.
Въ самомъ дѣлѣ, о. н. д. есть произведеніе множителей, общихъ тому и другому выраженію, а потому если введемъ (умноженіемъ), или уничтожимъ (дѣленіемъ) въ одномъ изъ нихъ множителя, не входящаго въ составъ другого выраженія, то отъ этого прибавится къ первому, или уничтожится въ немъ множитель, котораго нѣтѣ во второмъ, а слѣд. общіе множителп останутся тѣ же; значитъ не измѣнится н о. н. д.
Эта теорема облегчаетъ вычисленія, позволяя избѣгать дробныхъ коэффиціентовъ въ частныхъ.
82.	Теорема II.— О. н. д. у дѣлимаго и дѣлителя служитъ общимъ дѣлителемъ у дѣлителя и остатка.
Пусть данные многочлены суть М и Я; обозначивъ частное отъ раздѣленія М на И буквою а остатокъ К, и замѣтивъ, что дѣлимое=произведенію дѣлителя на частное, сложенному съ остаткомъ, имѣемъ
М = ^Х9 + И . . . (1).
Обозначивъ общаго дѣлителя многочленовъ М и К буквою А, раздѣлимъ на А обѣ части полученнаго равенства, найдемъ:
М
А
-уХУ + ѵ
Но, по условію, А есть общій дѣлитель многочленовъ М и X, слѣд. частныя М X	. и	-	,	V/
д и у суть выраженія цѣлыя; обозначивъ ихъ соотвѣтственно черезъ М и л , представимъ послѣднее равенство въ видѣ
М' = К'Х94-К, откуда 5 = М' —УХЧ-
Это равенство показываетъ, что *д есть выраженіе цѣлое, иоо равно цѣлому выраженію М' — У X Ч, значитъ, К дѣлится на-цѣло на А,
Итакъ, мы доказали, что всякій дѣлитель, общій дѣлимому и дѣлителю,
сііхггь общимъ дѣлителемъ у дѣлителя в остатка; а слѣд. и общій наив. дѣ-дѣлимаго и дѣлителя служитъ также общимъ дѣлителемъ у дѣлителя и •гзаста.
33. Теорема III, обратная. О* н. Э. у дѣлителя и остатка служитъ шгоге общимъ дѣлителямъ у дѣлимаго и дѣлителя.
Пусть \ будетъ общимъ дѣлителемъ выраженій X и К. Раздѣливъ обѣ ча--т равенства (1) па Лр получимъ
. Хт	.	К г
по условію, у есть цѣлое выраженіе, равно какъ и у; обозначивъ ихъ буі вами И' и В' нолучимъ
М ІТ, . .
М
Это равенство показываетъ, что т- равно суммѣ двухъ цѣлыхъ выраженій; значитъ, есть дѣлитель многочлена М.
Итакъ, мы доказали, что всякій дѣлитель, общій дѣлителю и остатку, слу
житъ также общимъ дѣлителемъ у дѣлимаго и дѣлителя; а слѣд. и общій наив. дѣлитель дѣлителя и остатка служитъ общимъ дѣлителемъ у дѣлимаго и дѣли-
теля.
Изъ этихъ двухъ теоремъ выводится слѣдующая
84. Теорема IV.—О. н. Э. ЭжАЫлам м джлмтіля равенъ о. м. дѣлителю дѣлителя и остатка.
Обозначимъ о. и. х жэогѵяжиовъ М  5 (т.-е. дѣлимаго и дѣлителя) буквою П: а о. х ъ у X і К у дѣлителя и остатка) буквою В'. Въ силу теоремы ІЕ шражесе Ь д	быть общимъ дѣлителемъ многочленовъ X и й,
слѣд. іи» дѣлпъ бт остатка выраженіе 1)' — общаго наив. дѣлителя
5 і К А. во теоремѣ III, выраженіе П' должно дѣлить на-цѣло «лгати I і -Ѵ а слѣд. и ихъ общаго наив. дѣлителя И. Такимъ образомъ В і IV должны дѣлить другъ друга на-цѣло; но это возможно только тогда, евсв ош равны. Итакъ
И = І)',  теорема доказана.
85, На послѣдней теоремѣ и основанъ способъ послѣдовательнаго дѣленія.
Пусть данные многочлены суть М и X. Ихъ общій наив. дѣл. можетъ содержать производителей одночленныхъ и многочленныхъ. Начинаютъ съ того, что отдѣляютъ въ многочленахъ М и X одночленныхъ производителей отъ многочленныхъ. Одночленный производитель многочлена М есть общій множитель всѣхъ членовъ этого многочлена; вынося его за скобки и означая черезъ а. а многочленъ, заключающійся въ скобкахъ, черезъ А, имѣемъ:
М —а. А.
Такъ же точно, вынося за скобки общаго множителя всѣхъ членовъ многочлена X и обозначая выраженіе, заключающееся въ скобкахъ, буквою В, получимъ:
х=?. в.
Производители — одночлены, общіе многочленамъ М и X, заключаются въ і и {І; а производители—многочлены, общіе многочленамъ М и X, содержатся въ А и В. Такъ какъ о. н. д. многочленовъ М и X есть произведеніе всѣхъ ихъ общихъ простыхъ множителей или дѣлителей, то очевидно, мы его найдемъ, если общаго наив. дѣлителя количествъ а и помножимъ на о. н. д. многочленовъ А и В. Обозначимъ о. н. д. многочленовъ М и X буквою А; о. н. д. одночленовъ а и [і—буквою п о. и, д. многочленовъ А и В—буквою И. На основаніи сказаннаго имѣемъ:
А = гі. П.
Пусть, напримѣръ:
М = 9аба#п — 30аЬа#3	45а6а# 4" 24а7А
X = ^аіЬісхй — 12(1^4^— ЖаіЬ2схі 4^ 24а46ас#34“ 78а46ас#а 4“
Вынося изъ всѣхъ членовъ перваго многочлена за скобки Заб®, а изъ всѣхъ членовъ второго 6а*&®сл:, получимъ:
М = ЗаЬа(Зх5 — ІО#3 -р 15# -1- 8),
X = 6а46ас#(#* — 2#4 — 6#3	4#а 4~ 13#	А).
Общ. н. д. й одночленовъ За6® п 6а*6асл есть За/А Теперь намъ слѣдуетъ опредѣлить Л, т.-е. о. н. д. многочленовъ
д — З.г5 — ІО#3 15#	8 и
В = #5 — 2#4 — 6#3 -|^ 4#а 4“ ІЗя + 6.
I
- Раздѣлимъ А на В. Если бы А раздѣлилось на В безъ остатка, то В и было бы о. н. дм потому что тогда всѣ производители В содержались бы въ А. Но если бы А не раздѣлилось на В безъ остатка, то все-таки рѣшеніе вопроса подвинется впередъ. Въ самомъ дѣлѣ, пусть дѣленіе А на В даетъ частное и остатокъ В; въ такомъ случаѣ
А = Вх(і + К . . . (I).
причемъ степень главной буквы остатка будетъ ниже чѣмъ въ дѣлителѣ В. Замѣтивъ теперь, что, по теоремѣ IV, о. н. д. многочленовъ А и В равенъ о. н. д. многочленовъ В и К, заключаемъ, что вопросъ сводится къ отысканію о. н. д. между прежнимъ дѣлителемъ и остаткомъ, т,-е. между многочленами съ меньшими степенями главной буквы, и слѣд, болѣе простыми. Если бы принтомъ В раздѣлилось на В, тогда В и было бы искомымъ общимъ наив. дѣлителемъ. Но пусть при дѣленіи В на К получается въ частномъ У' и въ остаткѣ IV; тогда
В = 3'ХН4-К'< * »(2)
Хотя дѣленіе В на В и не привело къ окончательному нахожденію о. п. д., но рѣшеніе задачи опять упростилось. Дѣйствительно, мы знаемъ, что о. н. д. между В и Н равеніі о. п. д. между Н и К', такъ что вопросъ приведенъ къ нахожденію о. н. д. между многочленами К и Н\ болѣе простыми, ибо показатель главной буквы въ В' меньше показатели ея въ В.
Пусть В дѣлится безъ остатка на Н' и даетъ въ частномъ такъ что
К = Ч"ХК' . . . (3).
Не трудно провѣрить, что послѣдній дѣлитель IV и есть искомый о. и. д. многочленовъ А и В. Въ самомъ дѣлѣ, равенство (3) показываетъ, что IV есть о. н. д. для самого себя и К; но о* н. д. остатка и дѣлителя (равенство (2)) ровенъ о. н. д. дѣлимаго и дѣлителя, т.-е. многочленовъ В и К; а отсюда, въ -•цт равенства (1) заключаемъ, что ІГ, будучи о. и. д. для В и В, служитъ вмѣстѣ съ тѣмъ (по теор. IV) и общ. каив, дѣлителемъ для А и В, что и требовалось доказать.
При послѣдовательныхъ дѣленіяхъ, здѣсь указанныхъ, возможны два слу-ш: 1) или мы дойдемъ до остатка равнаго нулю; въ такомъ случаѣ, какъ до-шаио, послѣдній дѣлитель и будетъ искомымъ о. п. д. многочленовъ А и В; іл 2| послѣ нѣсколькихъ послѣдовательныхъ дѣленій, дойдемъ до остатка, ко-не содержа главной буквы, не будетъ, однакоже, нулемъ. Что такой лучіі возможенъ, объясняется тѣмъ, что степень главной буквы въ послѣдо-«тельныхъ остаткахъ постоянно понижается; слѣд, непремѣнно дойдемъ до ос-тжтъх іе содержащаго главной буквы. Легко доказать, что если этотъ остатокъ ж еггъ воль^ то слѣдуетъ заключить, что многочлены А и В не имѣютъ обща-шх дѣлителя. т.-е. первые между собою. Дѣйствительно, мы видѣли, что * ь ь тѣжгъ остатки послѣ каждаго дѣйствія, а потому онъ долженъ бы Литъ і «сидокъ. ж содержащій главной буквы. Для этого о, н. д, самъ не малъ сыфпхь іляѵі буквы: но въ такомъ случаѣ, чтобы онъ могъ раз-Гі ііи 6» «ві кштоиесы А и В. онъ долженъ дѣлить каждый коэффи-гъ цж <лнжадъ гпг>і4 буквы въ этихъ полиномахъ, а это невозможно, жй	уже исключены (они заключаются въ а и ^).
Іп^мжзчг*	примѣру. Дѣлимъ А на В (могли бы.
Литъ ? к* і -тг- къ данномъ случаѣ полиномы—едина-~**ЗгЗЗ ЛЪ Г.
і —	—-1	— і аг — х	х* — 2л4 — 6л4 + 4л* 4-1 Зх-|-6=В
- -1Н= 6л4 —1>л*=12л*4=39л4=18'3
ІУ ъл* — ъл3—12л*—24л —10
Въ <тлткѣ степень буквы х ниже чѣмъ въ дѣлителѣ, поэтому первое дѣ-ж* окончено: оно показываетъ, что В не есть о. н. д.
слѣдуя теорій, теперь нужно дѣлителя раздѣлить па первый остатокъ. Но, ^мѣш. что члены остатка имѣютъ общаго множителя 2, перваго съ новымъ іЛ-шымъ. мы на основаніи теоремы 1 можемъ сократить этотъ остатокъ на 2, » измѣняя этимъ о. н. д. Черезъ это новый дѣлитель упростится и будетъ равенъ
. Зл4 4л8 — 6л:2 — 12л — 5.
Для избѣжанія дробныхъ коэффиціентовъ въ частномъ и въ остаткахъ, множитъ новое дѣлимое на 3, что возможно, такъ какъ 3 есть количество первое съ Зл*4-4л3 — 6х2—12л— 5, Совершаемъ дѣленіе
Злг>—6л1- 18л3 + 12^ + 39^+ 18
— Злп 4- 4л:1 + 6л3 + 12л*5л
— 10л* — 12л8 4“ 24л3 4“ 44л— 18 .
— 5л:4— 6л3 4“ 12л2--22л-- 9 , . — 15л*— 18л3 -|- 36ля--66л — 27 . , Ч- 15л* + 20 л3 4- 30л 60л 25
2І’4-^‘6л34Г 6л -РУ
Зл4 4л3 — 6л3 — 12л — 5 л\ — 5 . остатокъ
. остатокъ, но раздѣленіи иа 2 . остатокъ, но умноженіи на 3 ь
Степень главной буквы въ первомъ остаткѣ не ниже чѣмъ въ дѣлителѣ, а это даетъ возможность продолжать дѣленіе. Но такъ какъ коэффиціентъ перваго члена остатка не дѣлится на коэффиціентъ перваго члена дѣлителя, то мы условимся считать второе дѣленіе законченнымъ, и полученный остатокъ—окончательнымъ въ этомъ дѣленіи. Теперь, слѣдуя теоріи, мы должны искать о. н. д. между За? + 4д?— 6л?— 12$ — 5 и полученнымъ остаткомъ; принтомъ, остатокъ принимаемъ за дѣлимое, а дѣлителя оставляемъ прежняго. Приступая къ новому дѣленію, сокращаемъ дѣлимое па 2 и умножаемъ его на 3, что позволительно, потому что ни 2, ни 3 не входятъ множителями въ дѣлитель. Чтобы не переписывать дѣлителя, продолжаютъ дѣленіе въ томъ же столбцѣ, только членъ частнаго (— 5) отдѣляютъ отъ частнаго прежняго дѣленія запятою, чтобы этимъ показать, что — 5 не принадлежитъ къ числу членовъ одного и того же частнаго, а есть частное новаго, особаго, дѣленія.
Это дѣленіе даетъ остатокъ 2о?4-6л?4“&г4_ и вопросъ приведенъ къ отысканію о. н. д. между этимъ остаткомъ и дѣлителемъ. Во избѣжаніе дробныхъ коэффиціентовъ въ частномъ и остаткахъ, сокращаемъ дѣлителя на 2, и дѣлимъ
3^*4- 4г1— 6о?—12х—5 о4р За?-|- 3^4-1 — Зл?4-9я?нн 9а?4- За; ~3х — 5.
— 5а? — 15х’2 — 15а; — 5 — 5а? — 15а? — 15а:— 5
О
Послѣдній дѣлитель а? 4“ За? 4“ За; 4" 1 и есть о, н. д. многочленовъ А и В.
Итакъ, мы нашли, что	а I) = а? 4- За? 4- За; 4" 1; сл. о. п, д.
данныхъ многочленовъ М и К, или
А = & I) = Заі?(а? 4- Зл? + За?+ ] )=ЗаЪ*х*+$аЪ№ 4» ѴаЪ*х 4> Эаб*.
86. Приводимъ еще примѣры.
Г Найти о. н. д, многочленовъ:
М = 2а*а? — 28аяа? + 142а Ѵ — 308а2д? 4~ 240ааа; и К = Зао? —ЗОоа? 87ао; — 60 а,
Выносимъ за скобки общихъ множителей членовъ каждаго многочлена:
М = 2ааа?(х1 — 14л? + 7 Іа? — 154а;4- 120), И = За(я? — 10а? 4- 29ж — 20).
Отсюда имѣемъ: сІ — ал
Ищемъ о. н. д. многочленовъ, заключенныхъ въ скобки.
Первое дѣленіе.
а? —14а?4^71а?—154а:4-120 я? — 10а? + 29а: — 20
— а? + І Оа? + 29а? + 20а:	а; — 4
— 4я?4-42я? - 134а; + 120 ± 4а? + 40л? ± 116а: 4= 80 .
1
Сокративъ остатокъ па 2, принимаемъ я2 — 9#4~20 за дѣлителя слѣдующаго дѣленія.
Второе дѣленіе.
ж’_ 10х’4-29х —20	#а — 9х 4“ -0
#3 4з в#2 нР 20#	# — 1
—	_ у/р 20
— #2 4- 9# — 20
/о
Заключаемъ, что #2 — 9#4" 20 есть о. н. д. многочленовъ, содержащихся жъ скобкахъ. Итакъ.
Д = гі. В — а(#2 — 9я 4“ 20) = ах* — 9а# -|- 20а.
II.	Найти о. н. д. многочленовъ
М— #3 — 8#113#357#2—198#4~135 и
Х = 2г’~ 15#*4“37х ™ 15.
*к жп глувк. гі = 1. Постараемся опредѣлить 0. Умноживъ предвари-яя» шгг-ѵгі 1 в 1 іѣлимъ:
Первое дѣленіе.
ДН— Івх* —114?- 396г4- 27012#*— 15#24-37х - 15
— 1т3 — 15х* —37х* — 15#1	#2,— #, — 37
— г* — 11#1 — 129#’— 396#4~ -70, умноживъ на 2:
— 2-г1 — 22#»+258#а— 792#-р 540
4г 2#<=г15#’ Ч- 37#2=р 15#
— 37#* + 295#2 — 807#~4 540, умноживъ на 2: _74хз_^5до#»— 1614#+ 1080
Ч- 74#8^ 555#2Ч- ІЗбЭ^Ч2 555
35#2— 245#4~ 525
Сокративъ остатокъ на 35, дѣлимъ
2#3— 15#*4~37я —15
—7#4“ І5
2і — 1
Итакъ, I) —#а — 7#4" 15.
Д = й, Г) — #2—7#4“15.
111.	Найти о. н. д. многочленовъ
М= 4” 2#8 — З#24- 5# * 12. в -— 4#8 4“	— 6# 4~ 5.
Умноживъ предварительно М на 4, дѣлимъ
4** 4“ &г8 — 1 2*2 4“ 20* — 48 к4*э 4~ 6*3 — (ія 4~
— 4*4 4“ б^3 + б*2 + 5*	- Н“ 1
2*3— 6*2+15*~ 48, умноживъ на 2:
4*3 — 12*2 + 30* — 96
—4а;3 4- 6*2Ч- 6*4-
— 18*2 + 36* — 101
Умноживъ дѣлителя на 9, дѣлимъ его на послѣдній остатокъ:
36х8 4" э4*2— 54* + 45
36*3— 7 2*2 4^20 2а;
4~ 126а?2 — 256*4“ ^5
126*2— 252*+ 707
— 4* — 662
— 18*9 + 36* — 101
^^2*~— 7
Раздѣливъ остатокъ на (— 2), дѣлимъ
18*2 — 36* +	101 2* + 331
— 18 4= 2979*	9*2 — 3015
— 3015* +	101, умноживъ на 2:
— 6030* +	202
- 6030* — 997965
+ 998167
При послѣднемъ дѣленіи мы нашли остатокъ, не содержащій главной буквы, не равный нулю, то заключаемъ, что данные многочлены не имѣютъ никакого общаго дѣлителя.
IV.	Найти о. н. д. многочленовъ
а3(Ь2 + 2Ъс + с2) — ааЬ( 2Ьа + 36о + с2) + аЬ3(6 + с) и а2(Ь2 — с2) - «5(26* + Ьс — о2) + Ь3(Ь + с).
Принявъ а за главную букву, посмотримъ, не имѣютъ ли коэффиціенты каждаго многочлена общихъ множителей; и для этого разложимъ коэффиціенты на множителей. Имѣемъ
62 + 2Ья+с2 = (Ь + с)2;
2^+36с+с2 = 2/>2+2Ьс+&с+с2=2Ь(Ь+с)4-с(^+с) = (Ь+е)(2Ь+с); Ь2 — с2 = (& + с)(й — с);
2Ь2 + йс- с2=Ь2+^+&с—с2=Ь(& + с)+(&+с)(6 — с) = (й+с)(26 - с).
Такимъ образомъ находимъ, что всѣ члены перваго многочлена имѣютъ общаго множителя а(& + с), всѣ члены второго: (& + с); слѣд. можемъ представить многочлены въ видѣ:
а(?> + с)| (Ь + с)а2 — 6(26 + с)а Ь3| и (б с){(6 — с)а2— Ь(25 — с)а — 68|.
отсюда видно, что ^=й-|-с. Затѣмъ, сокративъ первый мноі’очленъ на «/6-гс), второй на Ь-рс, л помноживъ всѣ члены перваго на Ъ—с, дѣлимъ
— Ь3с
+ Ъ*\а*±2Ь*а^Ъ1
4-е? 4- йас і 4^ Ь8с
-р Ьс'2 I
26?с. а — 268с, или, по сокращеніи на 26?с: а— Ь
Затѣмъ, дѣлимъ
— с
Итакъ, І)=а — Ь. А потому
Д = гі. В = (Ь-Нс)(а- Ь).
87.	Изъ сказаннаго выводимъ слѣдующее
Правило,— Чтобы найти о. м. д. двухъ многочленовъ, нужно*. Сначала исключитъ общіе одночленные множители каждаго многочлена; причемъ, если случится, что означенные множители имѣютъ о. п, д,< то послѣдній слѣдуетъ впослѣдствіи ввести множителемъ въ составъ искомаго об, н. д.
Затѣмъ высшій многочленъ дѣлятъ на низшій, преобразовавъ предварительно днлимое такъ, чтобы первый членъ его (предполагая, что многочлены расположены по степенямъ одной буквы) дѣлился на первый членъ дѣлителя.
Въ полученномъ отъ дѣленія остаткѣ сокращаютъ всѣхъ множите-общихъ коэффиціентамъ главной буквы, и дѣлятъ прежняго дѣлителя на этотъ остатокъ, поступая попрежнему.
Затѣмъ дѣлятъ первый остатокъ на второй и т, д., продолжая *ти послѣдовательныя дѣленія до тѣхъ поръ, пока: илгі получится остатокъ нуль,— и тогда послѣдній дѣлитель есть искомый о. н. д,; или въ остаткѣ получится выраженіе, не содержащее главной буквы, — м ндоба данныя вы/іаж?ен/я суть кол^честйі	ліежгіу собою, еелде
не имѣютъ общаго множителя, независящаго отъ главной буквы, и не открытаго егце въ началѣ дѣйствія.
При выполненіи послѣдовательныхъ дѣленій слѣдуетъ умножать промежуточные остатки на такихъ множителей, чтобы, первые члены ихъ дѣлились на первый членъ дѣлителя,
88.	Иногда процессъ нахожденія о* и. д. можно ускорять на основаніи слѣдующей теоремы.
Теорема, О. «. д, гівіда ишішоліояа А и В, содержащихъ главную букву х, тотъ же, что и о, н. д. выраженій ^А-р^В г/ гД-рзВ, гйп> р, г/, г, я—мзшоторьгл	или отрицательныя количества,
независящія отъ х.
Во-первыхъ, очевидно, что всякій множитель общій полиномамъ А и В, будетъ также общимъ множителемъ н выраженій рА-р^В и гЛ-р$В.
Во-вторыхъ, очевидно, что всякій множитель, общій выраженіямъ ^А-р<уВ и гА-|-зВ, служитъ также множителемъ выраженія $СрА-р*?В) — д(гА + $В), пли выраженія (яр~^г)А. А какъ — дг не содержитъ я, то всякій множитель, общій выраженіямъ рА-р^В и гА — гВ. долженъ быть множителемъ полинома А, если только не будетъ лр — ?г = 0. Подобно этому, всякій множитель, общій выраженіямъ у?А + я г А -р $В. будетъ татсже множителемъ и выраженія г(рА -р^В) “ р(гА + 3В) т.-е. выраженія (гд—ря)Вт и слѣд. полинома В,
Такимъ образомъ доказано, что всякій множитель, общій полиномамъ А и В, служитъ общимъ множителемъ и для />Л-р^В и гА-р«В, и обратно, о, м. двухъ послѣднихъ выраженій будетъ также общимъ множителемъ и для А и В; а сл. и о. н. д. у А и В таковъ же какъ и у рА-рдВ и **Л“рзВ.
Примѣръ. Найти о. н. д. полиномовъ
Зяэ4- 10я2 -р7ж - 2 . . . (1) и 3х3+13^+ 17яг-Р6 . . .(2)
. Вычитая (1) изъ (2), имѣемъ ІОаг-Р 8 . . . (3)
Помноживъ (1) на 3 и сложивъ со (2), получимъ
х(12я2-Р43я~Р 38) ... (4)
Слѣд. искомый о. н. д. тотъ же, что у (3) и у 1	4Зг38 , . . (5)
Помноживъ (3) на 4 п вычтя изъ (4), имѣемъ 3(я-р2). Слѣд., пск. о. я. д. = о. н. д. (3) и я-р2.
Но (3) при х = — 2 обращается въ О, слѣдоват., искомый о. н. д. = х-р 2,
89.	Общій наивысшій дѣлитель нѣсколькихъ многочленовъ. — Пусть требуется найти о. н. д. нѣсколькихъ многочленовъ Р, Ч, К и 8. Найдемъ о. н. д. между какими-нибудь двумя изъ данныхъ многочленовъ, напр. Р и Ч, и назвавъ его буквою И, замѣчаемъ, что I) есть ничто иное, какъ произведеніе всѣхъ множителей, общихъ многочленамъ Р и Ч- — Если теперь найдемъ о. н. д. между В и К, то, назвавъ его буквою В', замѣчаемъ, что В' есть произведеніе всѣхъ множителей, общихъ В и Й; а какъ В есть произведеніе всѣхъ множителей, общихъ Р и Ч, то В' есть произведеніе всѣхъ множителей, общихъ Р, Ч и К. Найдя затѣмъ о. и. д. для В' и 8,—пусть онъ будетъ В",—убѣдимся, что онъ будетъ = произведенію всѣхъ множителей, общихъ многочленамъ Р, Ч< К и 8. Поэтому В" и будетъ о. п. д. данныхъ многочленовъ.
Отсюда
Правило.— Чтобы найти о. и. д. нѣсколькихъ многочленовъ, находятъ его сперва между какими-нибудь двумя многочленами; потомъ
лежоу найденнымъ о. н. д. и третьимъ даннымъ многочленомъ; затѣмъ лежду вновь найденнымъ о. н. д. и четвертымъ многочленомъ и т. д. П+елъдній о. н. д. и будетъ требуемый.
Примѣръ. Найти о. и. д. многочленовъ
Р = &са— 12#2у ~ Югед
Ц = 6яа-|-12я2 — Зх^у—18#у, К = 6я2 — 1 Ззд бу*. 8=4^э„
0, н. д. многочленовъ К и 8 равенъ 2я — 3^; о. н. д. многочленомъ Р и ±г — Зу есть 2д?— Зу- наконецъ о. н, д, для Ц и Зу есть также 2х — Зу. Слѣдов. о. и. д. всѣхъ четырехъ мнегочленовъ есть 2х — Зу.
90.	Наинизшее кратное алгебраическихъ выраженій. — Ііратнымъ даннаго цѣлаго выраженія наз. такое другое цѣлое выраженіе которое на данное дѣлится ващѣло. Такъ 12а4ж2у есть кратное выраженія 2а2х. Очевидно, что ’для даннаго выраженія существуетъ безчисленное множество кратныхъ.
Такъ, для х — у кратными будутъ: (я — у)*, (я — #)3, (я — у)\ . , . я2—Уэ, ф3™^3,	— у1 и т. д.
кратнымъ двухъ или нѣсколькихъ цѣлыхъ алгебраическихъ выраженій наз. такое, которое на всѣ данныя дѣлится безъ остатка. Такъ, если данныя выраженія суть:
2а26, 3(а - &)2, а2 - />3;
то общими кратными ихъ будутъ:
6а 2Ь (а “ &)2(а4~&);
12»463(а — Ь)4(а -|- &);
72а46*(а—і)3(а^-Ь)2 и т, д.
Очевидно, что для данныхъ выраженій существуетъ безчисленное множество общихъ кратныхъ.
Наинизшимъ кратнымъ данныхъ выраженій, расположенныхъ по степенямъ одной буквы, называется ихъ общее кратное, низшей степени относительно этой буквы.
Когда данныя выраженія — одночлены, то для составленія яаинизшаго кратнаго нужно перемножить всѣ простые множители, взявъ каждый изъ нихъ съ наибольшимъ показателемъ. Такъ, если даны одночлены 10ай6\ 12а^\ 6а4ЬсМ, то, взявъ всѣхъ простыхъ мпожит. въ высшихъ степеняхъ, т.-е, 2* 3, 5, а\ ѣэ, с2 и с?, найдемъ и. кр, 22.3,5.ай.&3.сі.^ или 60авЬ3сМ.
Такимъ же образомъ составляется и наинизшее кратное многочленовъ, когда послѣдніе легко разлагаются на множителей. Приводимъ примѣры,
I. Найти н. к. для — аа и Л73—-а1.
#2 — а2 = (я а)(# — а); х3 — а3 = (я — а)(#2 -|-.ш -|- а2)»
«
Н, кр. = (# + а)(ж — а)(#2 + ха -|- а1) = х* -|-	— а*г —а\
П. Найти и. кр. полиномовъ:
х3 2х-і/ — ху* — 2у3 и Л’3 — 2ла// — ху2 -|- 2?/3й
По разложеніи на множители, первый даетъ
_ у*) 4. 2і/(жа — у2) = (д ; Ц- 2//)(яа — у2); а второй
— у2) — 2у (х2 — у2) = (я —• 2*/)(#2 — у2).
Наин. кр. ™ (#а — з/2)(я 4- 2у)(я — 2у) — (х2 — уа)(я* — 4у2).
91. Если разложеніе многочленовъ па множители представляетъ затрудни ніе, то можно пользоваться слѣдующимъ пріемомъ.
Пусть А и В — данные многочлены, а 0 —ихъ о. н. д. Назвавъ частныя отъ раздѣленія многочленовъ А и В на В буквами А' и В', получимъ: А = А'И и.В = В'Ь. По свойству о. н. дѣлителя. А' и В' суть выраженія первыя между собою, а слѣд. ихъ наин. кр. = А'В'. Очевидно, что выраженіе наименьшей сте-' пени, дѣлящееся на А'П и ВІ), есть А'В'И. Итакъ, наин. кр. многочленовъ А и В есть А'В'П - - . (1). Это выраженіе можно также представить въ видѣ Л'В, если ВЧ) замѣнить черезъ В; или, въ видѣ В'А, замѣнивъ А'П черезъ А. Наконецъ, перемноживъ: А = А'В и В = В'Э найдемъ, А'В'В2=АВ; раздѣливъ
АВ
обѣ части на И, получимъ: А'В'І)=-^-* Итакъ, наин. кр. можетъ быть представлено въ каждой изъ слѣдующихъ формъ:
А'ВТ, АВ', ВА' и
Отсюда вытекаетъ слѣдующее правило нахожденія наинизшаго кратнаго двухъ многочленовъ: находятъ ихъ о. н. д.; дѣлятъ на него одно изъ данныхъ выраженій, и полученнымъ частнымъ умножаютъ другое; пли: произведеніе данныхъ многочленовъ дѣлятъ на ихъ о. н. д.; или: о. н. д. множатъ на частныя, происходящія отъ раздѣленія данныхъ многочленовъ на этого наив. дѣлителя.
Примѣчаніе I Раздѣливъ и. к. А'В'В на АФ (или А), находимъ въ частномъ В\ а раздѣливъ на В'И (или В), въ частномъ получаемъ А'; но А' и В' выраженія первыя между собою, сл. .можно дать наименьшему кратному такое опредѣленіе: это есть такое кратное данныхъ выраженій, которое по раздѣленіи на нихъ, даетъ частныя первыя между собою.
Примѣръ. Найти и. к. многочленовъ
а2 — аб — 1263 и	“Н 663.
0. н. д. ихъ = а 4” 36. Раздѣливъ первое выраженіе на а 4- 36, находимъ въ частномъ а — 46. Умноживъ второе выраженіе на это частное, найдемъ искомое н. к.
Итакъ, н. к. = (а2-|-5а6-|-662)(а—46) —	а1!) — 14а62 — 2463.
Примѣчаніе II Мы нашли, что наин. кр. для А н В равно отсюда, назвавъ наин. кр. буквою Ь, имѣемъ
Ь.Й = А.В,
фшзѵсОснге двухъ данныхъ выраженій равно произведенію ихъ наин. ф. « наив. дѣлитель,
Ж. Бел М есть н. к. для А и В, то очевидно, что всякое кратное колк-1 есть общее кратное для А и В.
53 Всякое общее кратное двухъ алгебраическихъ выраженій есть снявши ихъ наимизшаго кратнаго.
Ітгь А и В—два данныя выраженія, М—чіхъ н. к., и пусть К озна-«п какое-либо общее кратное. Допустимъ, если возможно, что при дѣленіи X * 1 волучается остатокъ В (при частномъ У). Въ такомъ случаѣ В = X — 9<М. 1* X і М дѣлятся на А, сл. и В дѣлится на А; X и М дѣлятся на В, сл. и 1 іѣлтся на В (§ 81), Но К есть выраженіе	степени чѣмъ М; сл.
♦смывается общее кратное количествъ А и В низшей степени, чѣмъ ихъ н. к. >> — нелѣпость: сл. остатокъ К не существуетъ, т.-е. X есть кратное количества М.
94.	Пусть требуется найти н. к. нѣсколькихъ многочленовъ, напр., трехъ: 1 В и С. Найдемъ н. к* двухъ изъ нихъ, напр. А и В: пусть опо будетъ М. Затѣмъ найдемъ н, к, для М и 0: пусть оно будетъ Ь, Докажемъ, что Ь и будетъ служить н. к. для А, В и С.
Назовемъ н. кр. А, В и С буквою х. Всякое общее кратное количествъ М і С есть общее кратное и для А, В и С (§ 92); слѣд, Ь должно дѣлиться на хЛ Всякое общее кратное А и В есть кратное и для М (§ 93); сл. всякое об-• щее кратное А, В и С есть общее кратное и для М и С; слѣд. .г должно дѣлиться на ѣ.
Итакъ, Ь должно дѣлиться на а х на Ь; поэтому х = Ь, и правило доказано.
Примѣчаніе. — Нахожденіе наин. кр, имѣетъ приложеніе въ приведеніи дробей къ общему знаменателю. 0. н. д. въ элементарной алгебрѣ прилагается къ сокращенію дробей; въ Высшей Алгебрѣ онъ имѣетъ другія, важнѣйшія примѣненія, именно въ теоріи уравненій.
ГЛАВА IX.
Алгебраическія дроби.
Опредѣленіе.—Основное свойство алгебраической дроби. —Сокращеніе алгебраическихъ дробей и приведеніе къ общему знаменателю.—Четыре основныя дѣйствія надъ дробями,
95.	Опредѣленіе. — Мы видѣли, что когда дѣленіе одного алгебраическаго выраженія на другое невозможно, то дѣйствіе только обозначается: дѣлителя пишутъ подъ дѣлимымъ, отдѣляя ихъ горизонтальною чертою. Такимъ образомъ частное отъ раздѣленія А на В изображается въ формѣ
А _ № В
Такое выраженіе называется алгебраическою дробью, причемъ дѣлимое получаетъ названіе ’шедоямм, а дѣлитель—зяалеиатіля» Итакъ: алгебраическая дробь есть частное отъ раздѣленія числителя на знаменателя.
Между дробями — ариѳметическою и алгебраическою есть существенная разница: въ самомъ дѣлѣ, числитель и знаменатель ариѳметической дроби суть числа цѣлыя и абсолютныя, между тѣмъ какъ члены алгебраической дроби могутъ быть какъ цѣлыми, такъ и дробными, какъ положительными, такъ н отрицательными, и вообще какими угодно алгебраическими выраженіями. Такимъ образомъ, понятіе объ алгебраической дроби обилье, нежели объ ариѳметической, а отсюда вытекаетъ необходимость вывода свойствъ алгебраической дроби и доказательства правилъ дѣйствій надъ этими дробями независимо отъ вывода этихъ свойствъ и правилъ для дроби ариѳметической.
Выводъ упомянутыхъ свойствъ и правилъ долженъ вытекать изъ самого опредѣленія алгебраической дроби какъ частнаго отъ раздѣленія числителя на знаменателя.
96.	Основное свойство алгебраической дроби состоитъ въ томъ, что величина ея не измѣнится, если числителя в знаменателя умножимъ или раздѣлимъ на одно и то же количество. Докажемъ это.
Пусть величина дроби равна У:
В=Ч - - .(О-
Замѣчая, что дѣлимое = произведенію дѣлителя па частное, имѣемъ
А = В . Ч.
Означивъ буквою М какое-ниб. количество, умножимъ на него каждую изъ равныхъ величинъ А и В . Ц, вслѣдствіе чего получимъ и произведенія равныя:
АМ = В^М;
или, перемѣнивъ мѣста производителей () и М во второй части,
АМ = ВМ X
Это равенство показываетъ, что (}, будучи умножено на ВМ, даетъ въ произведеніи АМ; слѣд. Ч есть частное отъ раздѣленія АМ на ВМ; такимъ образомъ:
ВМ
Но Ч есть ничто иное какъ [см. (I)]; слѣд.
АМ ,_. А
ВМ — В
П	✓ А.М	,	,	.
Это равенство показываетъ, что дробь эдд можетъ быть замѣнена дробью т.-е. что величина дроби не измѣнится, если числитель и знамена* шелъ раздѣлимъ на одно, и то же количество.
На этомъ свойствѣ основано упрощеніе дроби сокращеніемъ, .
А
Равенство (2) показываетъ также, что, наоборотъ, дробь можетъ быть
АМ
шівв дробью іэдр т.-е. что величина дроби не измѣнится, если числи- » игш • знаменатель помножимъ на одно и то же количество.
>гомъ свойствѣ основано приведеніе дробей къ общему знаменателю.
57- Сокращеніе.—Для сокращенія дроби нужно ея числителя и знамена-тм мздѣ лить на ихъ общаго наивысшаго дѣлителя: отъ этого величина ея аг йѣтатся, но дробь будетъ приведена въ простѣйшій видъ, такъ какъ част-вд *п> раздѣленія ея членовъ на ихъ о. н. д. будутъ количества первыя Ж23Т СОбОЮ.
Приводимъ нѣсколько примѣровъ.
Е Сократить дробь
48а»б8Л
’бба^я6 ‘
0. н. д. числителя и знаменателя есть 12а8Ьх4. Раздѣливъ па это коли-*<тво оба члена дроби, имѣемъ: • *
И. Сократить дробь
Зба’б2 — 36а»Ь»
54аЧ>з _ іО8дЗЬ» + 54а’Ь» ’
Когда ч. и з. суть многочлены, легко поддающіеся разложенію на множители, то о. н. д. для нихъ находимъ этимъ способомъ:
36«Ч>» — 36а2Ь‘	_	36аа62(а2 — Ь2)	_ 18а2Ь2(а—б).2а(а + Ь)
54а‘б3 — 108«’Ь‘ + 54аЧН> — 54а2Ь»(а2 — 2аб + Ь2) ~ 18аЧ>2(«~ ?>) ЗЬ(а — Ь)' *
Замѣчая, что о. н. д. членовъ дроби равенъ 18а2бя(а— Ь), мы, раздѣливъ на него числителя и знаменателя, получимъ:
2а(а + б)
$Ь(а — Ь)'
НЕ Сократить дробь
я18 + а12
я1 -рах4 а*х + а5
Знаменатель = л;4(х 4~ а) 4“	4" а) = 4" а)(#4 4- а4).
Числитель = (х4)3 4“ (а<)’ = (ж< ~Ь а<)[(л;4)2 — х4а4-- (а4)8] = = (х4 4- а*)(#8 — х4а4 4- дв)*
По раздѣленіи обоихъ членовъ дроби на о. н. д. х44-а\ находимъ:
х® — х4а4 + а8 х 4- а
Въ этомъ примѣрѣ о. н. д. былъ л44“а\ ибо я®— х4а4-^а8, не обращаясь въ ноль при х =— а, не дѣлится на х4~а*
IV. Сократить дробь
бс(б — с) — <м?(л - е) 4~ аЬ(а — б)
Ь'№(Ь — с) — бАЯ(а — с) 4- а868(а — 6) ’
Числитель — с) — а(а — с)§ 4~	&) = с(а — 6)(с — а — Ь)-|-
-^аЬ(а — ?>)—(а — 7>)|с(с — а)—&е-|- а/?} = (а — &)(а — с)(Ь — с).
Въ § 54, 5, мы видѣли, что знаменатель = (а— Ь)(а—с)(Ъ—с)(а&-|-ас4--|- Ьс). Итакъ, видно, что о. н. д. числителя н знаменателя есть (а—Ь)(а—	с):
раздѣливъ на него оба члена дроби, получимъ
______1 * аЪ + ас + бг’
V.	Сократить дробь
Оба члена числителя и оба члена знаменателя дѣлятся на	раздѣ-
ливъ ихъ на этотъ биномъ, получимъ дробь
+ //)‘ — (г4 — дДу + ду — ту»
0й + У)2 —	-г У2)
Раскрывъ скобки въ числителѣ и знаменателѣ и сдѣлавъ приведеніе, найдемъ
5«Л/ 4- 5л^2 + 5ту®
—--------о г~~—? или, сокративъ на
I (^ + «3/ + у4)-
VI.	Сократить дробь
2г» — 15л*+ 37® — 15
®» — 8®‘ + 13а* + 57а* — 198л | 135 '
Въ этомъ примѣрѣ, разложеніе числителя и знаменателя на множители пред-ставляетъ затрудненія; поэтому опредѣляемъ о. и. д. способомъ послѣдовательныхъ дѣленій. Такимъ образомъ найдемъ, что о. н. д = т3 — 7#-]-15. Сокративъ дробь, найдемъ
2л;— I
— я2 — 9а? + 9
98. Приведеніе дробей къ общему знаменателю.—Здѣсь слѣдуетъ различать тѣ же случаи какъ и въ ариѳметикѣ:
1.	Если каждые два знаменателя суть выраженія взаимно-простыя, нужно числителя и знаменателя каждой дроби помножать на произведеніе знаменателей прочихъ дробей. Черезъ это общимъ знаменателемъ всѣхъ дробей будетъ произведеніе всѣхъ знаменателей или ихъ наинизшее кратное, т.-е- общій знаменатель будетъ имѣть простѣйшую форму. -
Поступая сказаннымъ образомъ надъ дробями
3 т п
2а 36® И «-Н/
знаменатели которыхъ—количества взаимно-простыя, найдемъ:
. я . З.ЗЬ»(а + 0	9Ь»(«+6).
вмѣсто иервой дроби №^:б~у или -6аМ(я+ьг
х	ш. 2«(а 4“ Ь)	2ат(а + 6).
вмѣсто второй дроби ^2_2й(д-|-5)’ или вой®(« + ьу
,	я ,	п.2а.№	ЧаИ'-п
вмѣсто третьей дроби 2я-^о Ь), или
1- Когда знаменатели данныхъ дробей имѣютъ общихъ множителей, то наи-ѵнмве кратное знаменателей опять принимаемъ за общаго знаменателя; затѣмъ гт это наим. кр. на знаменателя, каждой дроби и полученнымъ частнымъ и пп числителя и знаменателя соотвѣтствующей дроби. Приводимъ примѣры.
к Привести къ общему знаменателю дроби:
а Ь с 4 4(1—^)’ 8(1—0!)’ 2(1 + х)' Г+^‘
Разлагая знаменателей на простые множители, получимъ:
4(1 —жа) = 2». (1—®)(1-|-а:); 8(1 — ж) = 23. (1 — х);
«гольные два знаменателя остаются въ данной формѣ. Ндм. кр. знаменателей, нлн об, знам. =
= 23. (1 -1-о;) (1—или 8(1—я4).
Раздѣливъ об, зн. на знаменателя первой дроби и умноживъ полученнымъ частнымъ 2(1-{-&*) оба члена первой дроби, получимъ:
2а(і + г3) 8(1 —г4)
Раздѣливъ об. зн. иа знаменателя второй дроби и помноживъ полученнымъ частнымъ (1 +#)(1 оба члена ея, найдемъ
6(1 + з)(1 + %2) 8(1—а?*)	*
Поступая подобнымъ же образомъ съ двумя остальными дробями, вмѣсто иигь получимъ:
4<1 —#)(1+^2)	8^(1 — я?)
8(1— х')	11 8(1—я1)
11. Привести къ общему знаменателю дроби:
1 1 _ 1
- 41	— За?-р^2’ я* + За?-р2
Разлагая знаменателей на множители, найдемъ:
х2 — 4 = О4~2) (я— 2);
х2 — Зл? 2 = (л? — 2) (# — 1) ^Ц-3^4-2=(а? + 2)(ж+1).  I
Наин. кратное знаменателей = (а; 4“ 2) (я — 2) (я -(--І) (я— 1) или (я?1—4) — 1). Поступая какъ въ примѣрѣ I, найдемъ слѣдующія, соотвѣтственно равныя даннымъ, дроби: •
я2 — 1	(д? 4- 2) (ж + 1)	(аз —- 2) (а? — 1)
4) (Э~Г/ ^ — 4) (я2— !)’ (ж^ —4) (^ —1)' «в
ПК Привести къ общему знаменателю дроби:	*
а	Ъ	с	(1
Ьі (а - с) (а—4)	(6—с}(Ь—4) (6 - а/ (с—гі) (с—а) (с—-а) (гі—6) (гі—с)'
Здѣсь знаменатели уже дани въ формѣ произведеній простыхъ множителей. Замѣтивъ, что « — Ь, а — с, а — Л и т. д. получаются изъ Ъ — а, с—а, (і — а, . . . умноженіемъ на —1, замѣняемъ данныя дроби слѣдующими:
а _______	_____— Ь________	с ____	—<2
(«—Ь) (а—с) (а—гі)’ (6—с)	(я - &)’ (с—<0 (а—с) (д—
Общій знаменатель = (а — Ь) (а — с) (а — Л) (Ъ — с) (Ъ — й) (с — гі). Дѣля его на знаменателя каждой дроби поочередно, и умножая частнымъ оба члена соотвѣтствующей дроби, найдемъ искомыя дроби:
а(6-с)(д—ф(с—ф___________.	____ — Ыа—с)
' (а—Ь) (а—с) (а—й) (6—с) (Ь—гі) (с—4)’ («—*) (а—с) (а—Ф	(с—
_______с(а—Ь) (а—ф (Ь—4) _______>_______—6) (а—с) (Ь—с)
(а—6) (г?—с) (а—А) (Ь—с) (&—ф (о—чі)’ (а—Ъ) (а—г) (а—гі)”ф—<0 (6 - </) (с - ф ’ *
НЕ Можетъ случиться, что одинъ изъ знаменателей дѣлится на всѣхъ остальныхъ, т.-е. служитъ наин. кратнымъ всѣхъ знаменателей; онъ и будетъ общимъ знаменателемъ.
Примѣръ. Привести къ общему знаменателю дроби:
а Ъ с
4- &2’	«<—М‘
Замѣчая, что а1 — Ь* = (а2	Ь2) (а* — Ь2), находимъ, что знаменатель
третьей дроби есть наин. кр. всѣхъ знаменателей; онъ и будетъ общимъ знаменателемъ. Третью дробь, какъ уже имѣющую общаго знаменателя, оставляемъ безъ перемѣны, а первыя двѣ приводимъ къ общему знаменателю пріемомъ, указаннымъ въ пунктѣ 2. Такимъ образомъ найдемъ, что данныя дроби могутъ быть замѣнены слѣдующими:
а(„2 — Ъ(а* + 62) с 0І_ &Г’	«4— М ’ «4—
39. Сложеніе и вычитаніе дробей.—Различаемъ два случая:
1. Сложить или вычесть дроби съ равными знаменателями:
а . Ь с т т т
Положимъ, что а_________________________ Ъ______	__
т т ж
Зная, что дѣлимое — произведенію дѣлителя на частное, имѣемъ
а = тд^	с = тц3.
Придавая къ равнымъ (а и равныя количества (& и получимъ и суммы равныя; слѣд.
а 4- Ь = • вычитая изъ равныхъ (а-|-Ь и *и#і4“7П^) равныя, найдемъ и остатки равные; слѣд.
а 4~ Ь — с =	4- тд* —
кж. авва за скобки т,
«+& — с = ($ -{- — &) . т-
ніСііЛіЛ Л3і
Залѣжия д2 и Ц3 ихъ величинами, находимъ: а г Ъ__________________________с___а-\-Ь— с
т т т т
-т^вда правило: чтобы сложитъ или вычесть дроби съ равными зна лшялелями, надо сложить или вычесть числители и подъ результа-ш; «т подписать общаго знаменателя *
— Когда данныя дроби имѣютъ различныхъ знаменателей, то сперва при-адп ихъ къ общему знаменателю, а затѣмъ поступаютъ по предыдущему*
Примѣры. I. Найти сумму дробей
а2 — аЬ  а2 4~ аЬ  д* — Ъ* а^-д ‘ а — Ъ ' а *
В» приведеніи къ общему знаменателю, имѣемъ
(д2—дд) (а—5) «-|-(ав-РаЬ) (д*-|~&)	—Ь2) (#+&) (а—&)
(а+Ь)(а—Ъ)а
яі_2лзг>+^2+(лі+2д^+д^2) + (а*”2«2&2+дІ)	Зд<+М
(а2—&2)а	— да-ад2’
И. Выполнить дѣйствія:	е
X	1	|	1
(х — 1) (д: + 2) (я — 3) ~ Я2 — I ‘ (я—2)(я—3)‘
Во приведеніи къ общему знаменателю (#а — 1) (х2— 4) (# — 3), имѣемъ шоѣіовательно:
х(х + 1) (я — 2) — (я2 —4) (я — 3) + (я2 — 1) (а?-|-2) _ (я2 — 1)02 — 4) (я — 3)	~
Н — х® — 2г — (я® — Зя2 — 4я 4~ 12) + (я® + 2я2 — х — 2) __ я3 + 4я2 -|-я —14 Оа— 1) 02 — 4) 0 — 3)	—	— (де2— 1 )(^— 4) (ж—3)'
Числитель не обращается въ ноль при х= 1, —1, -р2, —2 и +3, -ь ж дѣлится ни на одного множителя знаменателя, а потому результатъ не ъцежжтъ дальнѣйшему упрощенію.
Ш. Упростить выраженіе о®_____________________।_______________।_____с3
(д — 6) (а — с) ' (& — а) (Ь — с)	(с — а) (с — &)‘
• *«іі знаменатель = (а — Ъ)(Ь — с) (с — а); дѣля его на каждаго изъ зна-по порядку, получаемъ частныя:
— (Ь —с), — (с — а), —(а —6).
По приведеніи къ общему знаменателю, получимъ
— л3ф — с) — 6а(с — а) — ^(а — 6) (а — Ъ) (Ь — ё) (с — а)
Полагая въ числителѣ послѣдовательно а = Ъ* Ъ = с и с — а, замѣчаемъ, что онъ въ каждомъ случаѣ обращается въ ноль, а потому дѣлится на (а — І) (Ь — с) (с — а). Это произведеніе открываемъ въ числителѣ разложеніемъ 'на множители:	’	__
а*с— а’і — Ьас-|-аЬ3’— с3(а —	с(а3—Ь*) —аЬ(а* — Ьа) — с3(а — Ь) =
— (а — Ь)|с(а2-|-аі-|-Ьа) — а6(а-[“ Ь) —са| =
= (а — Ь)|(а8—с*)е — а6(а — с) — 6а(а — е)} =
— (а — 6) (а — с))(а — с)с — аЬ — Ьа| —
= (а - Ь) (а - с)|аф - Ь) + (& + с)(с - Ь)| =
— (а — Ь) (а —с)(е —&)(аН“Ь + <?) = (а —*} СЬ — с) (с — а) (а-НЬ-|-с).
Итакъ, данное выраженіе равно
(д-6)ф —с)(г —а) ф + 6 + е) _ і , । (л — &) (Ь —е) (с —л)
IV, Упростить выраженіе
4І>+<І=М
1 а
Если дробь соединена (плюсомъ или минусомъ) съ цѣлымъ выраженіемъ, то, помноживъ цѣлое и раздѣливъ на знаменателя дроби, получимъ сумму или разность двухъ дробей. Такъ, данное выраженіе умноженіемъ и дѣленіемъ 46 на а превращаемъ въ
4д6  (а—Ь)?_______6)а 4 дб+аа—-2_ а2-1-2аЬ-(-6* _ (а+6)а
а ' а	а ~ а	а ~ а
100.	Умноженіе дробей,— Перемножить дроби и
Положивъ а	с
д=* и ^ = д, имѣемъ отсюда *
а = Ьр и с —
Помноживъ равныя количества а и Ър па равныя с и найдемъ и произведенія равныя; слѣд.
ас = Ьр . гй/.
Перемѣнивъ во второй части мѣста сомножителей, получимъ
ас = М . 2^,
откуда
ас
Р-* = ы'
а ,	с ,
іл, подставивъ у вмѣсто А и вмѣсто
__ ас ~Ы '
•О).
Отсюда правило: чтобы умножитъ дробь на дробь* надо числителя «ервоы фобы полжожытъ на числителя второй. знаменателя первой на знаменателя второй* и первое произведеніе раздѣлитъ на второе.
Если въ равенствѣ *(1) положимъ 1, оно обратится въ
а ч / с__ ас
Ь’/М ~Гхѵ
замѣтивъ, что у есть тоже, что с, а Ъ X 1 равно 5, имѣемъ:
Итакъ, чтобы умножить дробь на цѣлое выраженіе, надо числителя умножить на ото цѣлое* и произведеніе раздѣлитъ на знаменателя *роби.
Положимъ въ равенствѣ (1) Ъ= 1, получимъ
вс	с ас
тХ7=1X3’ или ЙХ й = г
гтіуда правило: для умноженія	выраженія на дробь, надо цѣлое
^множитъ на числителя дроби, и произведеніе раздѣлить на ея знаменателя.
п	, л* — 64 ѵ/ а — 6  	(«* — О4)(а —• 6)	_
Цримѣры. 1.	2аЬ^. & А аі аЬ (а’ — 2аЬ 4- 6») (дЗ -|- аЬ) ~
62)(а-кб) (а — 6) (а - 5) л	✓ г і іл / тл«
-----' Сокративъ дробь на (аЪ) (а — Ъ)\ получимъ
ггоюе произведеніе:
а*+& а
п- П2_г>2X(а + °) — (а^.ъ)(а—Ь)	а — Ъ'
ш. (о. _ і.) х	=_
\	/ / х д2	^2	би _|_ ^2
= (а2 —	. 2а,
Примѣчаніе.—Доказанное правило распространяется на какое угодно чнс-» іробей; такъ
г а ч / е ас ’	. е
и дѣлѣ, по доказанному:	= умноживъ эту дробь на -у
найдемъ помноживъ эту дробь на четвертую у, найдемъ окончательное произведеніе
. асед ЪсІПГ Примѣръ. Вычислить
х8 + У3 х—у \/ (х4~у)5—х5—у5
х3—	Зх2у— Згу2
Прилагая предыдущее правило, найдемъ
(х3+у3) (х—у) [(х+у? — х* — уі.
(я* — У3) (х + у) (&г*у — Зху2)
Замѣтивъ, что (х-|“У)3— х5 — у5 = (х-|-у)5— Сг54~у3) = (^+у)(5х3у4-5хѴ + 5ух,) = (х + у) . эху . (х2 + ху + уа),
представляемъ произведеніе въ видѣ
5ху(х* + У3) (х —у) (х + У) (х* + ху +у*)
Зху(х3 —уЗ) (ж + у) (х —у) л
откуда, до сокращеніи, найдемъ
Б^ + уВ)
3(х - у) *
101.	Дѣленіе дробей.—Пусть требуется раздѣлить
Положимъ у =7? и у = 7; имѣемъ отсюда
а = Ър и с = &р
Раздѣливъ равныя величины (а и Ьр)*на равныя (с и гід), получимъ равныя; слѣд.
а___Ър
~с~йд
Умноживъ обѣ части этого равенства на у, найдемъ
агі_Ър&
сЪ '
Сокративъ вторую дробь на Ь<7, найдемъ
_____р Ьс /
Подставивъ вмѣсто р и д ихъ величины, получимъ а с
Отсюда правило: чтобы раздѣлитъ дробь на дробь, надо числителя первой дроби умножитъ на знаменателя второй, а знаменателя пер~
«мі ш числителя второй, и первое произведеніе раздѣлитъ на вто/юе. Слагая въ равенствѣ (1) гі=1, найдемъ
а	с	а X1	а	а
~7“ г	~і~ — " і_'_ НЛП	’т ~	* С	ч ’
О	1	ОС	О	ОС
Отсюда слѣдуетъ, что для раздѣленія дроби на цѣлое выраженіе надо: чьсмтеля раздѣлитъ на произведеніе знаменателя на цѣлое выраженіе.
Положивъ въ равенствѣ (1) Ь —1, получихъ
а с ай
Г ; ” Гх<?
с
ЯЛН а : -д-
Слѣд., чтобы уа^ьлитъ цѣлое выраженіе на дробь* надо цѣлое умножатъ на знаменателя дроби и произведеніе раздѣлитъ на числителя.
Примѣчаніе I.—Двѣ величины А и В называются взашеко-о^атяшш, «ли ихъ произведеніе равно 1. Итакъ, когда А.В = 1, то А есть количество кратное величинѣ В, а В обратно количеству А, Изъ равенства АВ=1 нахо-ижъ
И Ь = 4-" А
откуда заключаемъ, что обратная данной величины равна частному отъ раздѣ* ленія 1 на эту величину.
Очевидно, что дроби -4 и -у взаимно-обратны, потому что
А В АВ
В X А — АВ ~
Имѣя въ виду это замѣчаніе, можемъ правило дѣленія на дроби выразить въ слѣдующей формѣ. Изъ правила умноженія дробей слѣдуетъ, что и
можно представить въ видѣ произведеній: уХ“ и °Х_; а потому равен-0 с	с
ства (1) и (2) можно написать въ видѣ:
а с а ч / д с	(I
т:т=Т"Х““ и «:-э- = «Х—; о а о с а ' ' с
отсюда видно, что для раздѣленія цѣлаго или дробнаго выраженія на дробь надо дѣлимое умножить па величину обратную дѣлителю.
Примѣчаніе	нашли, что
а с асі
— -- *
Ь * д~Ьс
Величина дроби не измѣнится, если ш сдѣлавъ это, найдемъ:
числителя и знаменателя раздѣлимъ
ад ед
а с
« с __	__
Ъс~ Т
сй д
Слѣд. при дѣленіи дроби на дробь можно поступать еще слѣдующимъ образомъ: числителя первой дроби раздѣлить на числителя второй, а знаменателя первой на знаменателя второй, п первое частное раздѣлить на второе.
Очевидно, что этотъ- пріемъ слѣдуетъ примѣнять только тогда, когда числнт. и знамен. дѣлимаго дѣлятся нацѣло на числ. и знам. дѣлителя.
т 2а(аЪ — №)	, « .съ	— 6)	26
Примѣры. I.	:а<а ъ ) — (а4-Ь)«а(а—6)(« + &)!(«4-6)»'
іт 14&# _7.5а#б0________56//
1Е х : ~5Ъу~ ~ТйшГ-1Г
„У я? — а2 (я? -|- «)2___(# — п)!(# + а) _ (# — а)2
я? —	— а)3 (ж —	+ а)2	ж-|-а
а34~~За2# + За#24~х3	(а-г#)2 ___ (а-|~#)3______ . (а4~#)2
я3—+	(я — у)(х* + #0 +	’ ^-ря^+02’
Здѣсь числитель и знаменатель первой дроби дѣлятся соотвѣтственно на числ. и знам. второй, с.і. частное =
(я +#)3 : (я + я)2	___а 4“ 37
[(# — 0) (#2 + #0 + У2)]: (я* + #// + 0'2) — х — У
102.	Приводимъ еще нѣсколько примѣровъ дѣйствій надъ дробями. I. Упростить выраженіе
а — Ь а— і;—?
а(а
Умножаемъ прежде всего числителя и знаменателя данной дроби на 1 -р °^ч * чтобы привести ихъ къ цѣлому виду; сдѣлавъ это, найдемъ:
а(1 + (іЬ) — (а — 6) 1 4~ аб + я(а — 6)
Раскрывъ скобки въ числителѣ и знаменателѣ и сдѣлавъ приведеніе, найдемъ
аѢ + 6	6(1 + а2)
Т+й*1 ЙЛИ “Г+^Г’ ИЛЙ
Данное выраженіе равно, слѣдовательно, 1>.
II. Упростить выраженіе
/ 2 а» +
11 а	- - -	т
а Д а + Ъ )
а -\-Ъ
Чтобы привести оба члена дроби къ цѣлому виду, множимъ ихъ на а(а-|-Ь); при чемъ въ числителѣ первый множитель умножаемъ на а, второй на а-[-Ъ. Такимъ образомъ найдемъ
(д2 — &2)(аЭ +	— а3 Д&2)
а{а + 6) —
(«2 — &2)а6(а— 6)	/
= к-----~ = («’—ЬЧ(« — ь).
119 —
II]. Помножить
Д.г3^2 Зл2уЗ 2ду1 у* 5л3 “ 2Й26 і“ Зоба ~“/7«
2х2у	Зху2	Зу3
За*	ЬаЬ	262
гдѣ оба сомножителя расположены по нисходящимъ степенямъ х>
4аЯР'___ Зэ^у*	і	2яу*	у*
эа3 "“	2а^7	За№~&
2&У _	3^2 _	З//3
За2	5аЪ	2Ь2
л4у4	।	Іх3?/5	2х2у*
15а*	' 9а^ “ ЗаФ /
__12#4//	।	9л*у*	2х*у*	।	Зху1
25й*Ь	’	10а362	5а2/Я	’	5а&4
Г2л'У . Эя4#6	ху1 । Зу*
___ — ТбаФ ‘	~‘2/7*
8г*?/3 37я4у4 I 13#у . 71 ^у6 Яку1 . Зу8 15й*	2аа*6 “Г Э67ДО ‘ ЙТда — 5оМ Т 2/3*
IV, Провѣрю юдученный результатъ: это будетъ примѣръ дѣленія дробинъ »тмцл. рас&хюженныіъ по степенямъ главной буквы.
ІЗ^5 23а Ч		71хУ ѲОаЗЗ	Зой4	, ЗИ 4т*у2 "2б> 5а3	Зт2//3 2«2б	 2ау* ‘ Заб2	Ъ3
15о* — а*5	— 4х*у* “^ЭяЧіі —	ЗаѢ*		а^у 3«г	_?Г^ 5аЪ	Зу» да’	
12д*у» 25а46 . 12^4у4 — 25а46	; ау । ЮаѢ^ ' — Эя’У1 . + Юа’Л2.—	37я2//> гада 2.г2у«	_ 2я^ 5абі 	Злу7 баЬ1		Г		
•	&Е*уВ , 5а%ч ’ ”г &»Ѵ і 5«3?;2 '	4?да ѲѵГ2//* 4а‘2/Я	аЬ1 	уу1 аЬ1	І_3у* г 2/>» 1 Зу8 । а»	4		
		О					
Опредѣленіе членовъ частнаго:
.	8^3 л 4я%2 _ 8зауа 4л4у2_________________ 2л2у
15а^ ’ 5а3	15а5 : 5а3 За-
9	12я**у2 . 4а,4у*	___12л;1?/1 : 4я3у1  Злу2
25а1/? ‘ 5а3	25а4б : 5а3	. 5аб”
~	в#3#5 ; 4а?//3   вя^З : 4л%2   Зу3
5а3І>2 * 5л3	5а3Ь2 : 5о3	2б\
ГЛАВА X.
Возвышеніе въ степень.
Опредѣленіе.—Правила: знаковъ и показателей.—Степень произведенія и дроби.— Возвышеніе одночлена въ степень.—Квадратъ п кубъ многочлена.
103. Опредѣленіе.—Въ этой главѣ мы разсмотримъ возвышеніе въ цѣлую положительную степень.
Возвысить количество ірьлую положительную степень значитъ повторитъ еіо множителемъ столько разъ, сколько въ показателѣ степени находится единицъ.
Такъ: а^ — а.а^ а3 = а . а . а; а" = а . а . а . . . (и разъ).
Такимъ образомъ, возвышеніе въ степень есть частный случай умноженія,— случай, когда всѣ производители равны. Количество, возвышаемое въ степень, . пазываетая оежтяіела степени. Такъ, въ формулѣ а8, а есть основаніе; въ выраженіи хл основаніе есть х.
104. Правило знаковъ. Правило знаковъ при возвышеніи въ степень вытекаетъ непосредственно изъ правила знаковъ при умноженіи; но послѣднее остается одинаковымъ, будутъ ли производители даны съ ихъ окончательными знаками, или же окончательные ихъ знаки неизвѣстны, поэтому и правило знаковъ при возвышеніи въ степень въ обоихъ случаяхъ будетъ одно и то же.
1, Случай возвышенія въ четную степень. Пусть требуется количества -[-а и — а возвысить въ четную степень 2п; это значитъ — то и другое основаніе надо повторить множителемъ 2п разъ. -|-а, взятое 2п разъ множителемъ, дастъ	взявъ (—а) множителемъ 2п разъ, можемъ все произведеніе
разбить на п паръ, изъ которыхъ каждая дастъ знакъ +, а потому и искомая степень имѣетъ знакъ
(—«)(—«) . (— а)(— а) . (— а)(— а) . . . (-а)(—а),
слѣд. (— а)2" = 4- а2в. Итакъ
(4- а)2п = -|-а2", т.-е. четная степень всегда даетъ знакъ будетъ ли передъ основаніемъ знакъ иля —.
2* Случай возвышенія въ нечетную степень. Если передъ основаніемъ находится знакъ+, то изъ правила знаковъ при умноженіи прямо слѣдуетъ, что и произведеніе будетъ имѣть тотъ же знакъ, слѣд.
(_^а)й«+1=_|_а.2п+1 . . .(1)
Если передъ основаніемъ будетъ знакъ —, то возвышая — а въ нечетную степень 2«—|—1, мы получимъ произведеніе 2п-|-1 множителей, изъ которыхъ составится п паръ, дающихъ знакъ и останется одинъ множитель (— &), вслѣдствіе чего произведеніе будетъ имѣть знакъ — :
(—«)(—а) . (—а)(—а) . (—а)(—а) . . . (—«)(—а) . (—а),
італ	(—	= — а2п+1 ... (2),
2гь (1) и (2) слѣдуетъ, что мечетная степень имѣетъ такой же знакъ сягі м основаніе.
Примѣры. (—3)3 = -|-9; (-(-5)4 =	625; (4'4)3 = + 64; (—4)3 =
— М; (±^)1 = + «4; (Ч-0)® = Ч~а5; (— а)3 = — ай, и т. д.
105. Правило показателей, — Пусть требуется ам возвысить въ степень2>, гіѣ а —какое угодно количество, а т и р— числа цѣлыя и положительныя. Возвысить аш въ степень значитъ повторить это выраженіе множителемъ р разъ; слѣд.
(ат)р = ат . ат . а™ . ат . . . а”4 (р разъ).
По при умноженіи показатели складываются, слѣд. вторую часть равенства можно представить въ видѣ ата+га+т»+*  гд^ т берется слагаемымъ р разъ; яі, повторенное слагаемымъ р разъ, даетъ юр; слѣд.
(ага/ = а”*
Отсюда правило: для возвышенія степени въ новую степень нужно показателя возвышаемаго количества помножить на показателя новой степени.
Такъ:	(а4)5 — а20; (ат-1)вд+1 = ат,_І и т. д.
* 106. Возвышеніе произведенія въ степень. — Пусть требуется произведеніе аЪс возвысить въ т-ую степень; это значитъ — повторить аЬс множителемъ т разъ; слѣд.
(айс)т = «Ьс . аЬс . аЬс . . . абс (гдѣ аЬс взято т разъ): перемѣняя мѣста производителей, имѣемъ
аЪс . аЬс . . . аЬс = ааа . . . а X ЬЬЪ , . . Ь X .  с;
здѣсь каждая изъ буквъ а, Ъ и с берется множителемъ т разъ. слѣд. послѣднее выраженіе въ сокращенномъ видѣ = атЬтст. Итакъ
(аЬс)т = аТс".
Отсюда правило: чтобы возвысить въ степень произведеніе должно каждало множителя отдѣльно возвысить въ требуемую степень и результаты перемножить.
107.	Возвышеніе въ степень дроби. — Пусть требуется дробь ~ возвы-снть въ ш-ую степень: это значитъ — дробь & повторить множителемъ т разъ. По правилу умноженія дробей имѣемъ
_ ааа а ѵ_______________________а.а.а . . . а(пі разъ)_а,я
~ Ъ ' Ъ ' Ъ	І^разъ; —Ё	разъу —
Итакъ	т =^>
т.-е. для возвышенія дроби въ степень слѣдуетъ возвысить въ данную степень числителя и знаменателя отдѣльно, и степень числителя раздѣлить на степень знаменателя.
,,	/ЗѴ 3*	9	/3\з	33	27
По этому правилу найдемъ: ІуІ	4/ =	п т’ [1’
108.	Возвышеніе одночлена въ степень. — Пусть требуется одночленъ 2а3/?Л? возвысить въ пятую степень. Для этого надо каждаго изъ множителей 2, а3, Ц и <1 возвысить въ данную степень и результаты перемножить, причемъ при возвышеніи степени въ данную степень — показателей перемножить. Такимъ образомъ, послѣдовательно найдемъ:
(2а36йсѴ)5 = 2й, (а3)3. (6Й)« . (с"У. <1* = 32а156аМ'^\
Итакъ, чтобы возвысить въ степень одночленъ, должно возвысить въ данную степень ею коэффиціентъ, а показателя каждаго изъ буквенныхъ множителей умножить на показателя степени.
При возвышеніи въ степень дроби нужно такимъ образомъ поступать съ числителемъ и знаменателемъ. Такъ, напр., послѣдовательно получимъ «
4аЗЬ'2сія—2\3	(4а!ОД»ш-2)3	6
7й/‘ ) ~— 7"$*? = 343^/15“ ’
109.	Для возвышенія многочлена въ какую угодно степень служитъ особая формула, извѣстная подъ именемъ формулы Ньютона. Оиа будетъ выведена впослѣдствіи; въ этой главѣ мы ограничимся выводомъ чаще употребляемыхъ формулъ квадрата и куба многочлена.
110,	Квадратъ многочлена—Мы видѣли, что каковы бы ни были количества а н Ь по знаку, всегда имѣемъ
(а -р 6)а = а2 -р 6й 4^ 2а6,
Взявъ триномъ а 4* 6 -1- с и разсматривая на время а-рб какъ одинъ членъ, найдемъ послѣдовательно
(бі + 64-с)я = [(а + б) + с]2 = (а + і)‘і4-2(а + Ь)с + с1 =
= а2 4~ Ъ* 4^ 2а6 4“ 2ас 4“ 26с 4“ с2 = а2 Ь2 4" с2 4“	4“	4” ^/С-
Послѣдняя формула показываетъ, что квадратъ тринома состоитъ изъ алгебраической суммы: квадратовъ всѣхъ его членовъ п удвоенныхъ произведеній каждаго члена на каждый, за нимъ слѣдующій. Докажемъ общность этого закона, т.-е. что онъ справедливъ для многочлена, состоящаго изъ сколькихъ угодно членовъ; а для этого, допустивъ, что законъ вѣренъ для многочлена, состоящаго изъ п членовъ, докажемъ, что окэ останется вѣренъ и для многочлена, содержагцаю однимъ членомъ больше.
Итакъ, допускаемъ, что замѣченный для квадрата тринома законъ вѣренъ для полинома а4_^4^4'^4--------Ь*4”^ состоящаго изъ п членовъ^ и возьмемъ полиномъ а~Р^4“с4-лН------4“ Ч содержащій п4~1 членъ.
Принявъ на время сумму а 4” Ь4“*”4’®4’^ нервыхъ п членовъ за одинъ членъ, а весь многочленъ а + Ъ 4---1- і 4" 4" за Двучленъ, по формулѣ квадрата бинома напишемъ: [(^ 4~ 4“ с 4“ 4----4 г 4~ О + Ч*==
= (а4-?>4'^4-^ + ^’+; + Ча4’2(^4'Ь + сН----------|-І-рЛ)й4-АЛ
Но, по допущенію, (а-^----------І-гЦ-АР состоитъ изъ: 1) суммы
квадратовъ всѣхъ членовъ отъ а до А включительно, т.-е. изъ а2 -|- Ь* с2 -р — й2-|_,*‘“Н-а Ч-^3; я -) суммы удвоенныхъ произведеній каждаго изъ чле-новъ Ъ, с, . . . г, А на каждый, за нимъ слѣдующій, т.-е. 2а& -^2ас-|-^2ай4’^^шЧ“2аАЧ_-^сЧ““^^Ч“***Ч_-1^ Всѣ эти члены написаны во второй части равенства (А) влѣво отъ вертикальной черты. Прибавивъ сюда 2(а-^&4"***4“	т.-е. алгебраическую сумму удвоенныхъ произведеній пер-
выхъ п членовъ на добавленный членъ А, и квадратъ ?ѵ3 этого новаго члена, получимъ:
(А) (<х—|—Ъ—с—б? -| -
ЛѴ| •— ІЛг	Ы Г *-> ] Ч-Ѵ | ’ ’ * I «' I г* 1 I	„ ч '-*/
-|~2а??-|~ 2ас—2а/?—*»*—~ 2аА|Ц~2аА. ..^)
-|-2іЛ Ч-2/А	7.)
^Ч- «аа	X)
Отсюда видно, что квадратъ новаго многочлена, содержащаго н-]-1 членъ, состоитъ: 1) изъ суммы квадратовъ всѣхъ его членовъ отъ перваго до послѣдняго включительно (строка а): 2) изъ алгебраической суммы удвоенныхъ произведеній — перваго члена па каждый за нимъ слѣдующій (строка ^). второго члена на каждый, слѣдуэл^іій лз нимъ (;р........третьяго члена отъ конца на
оба. стоящіе за имъ т>. и п^дп-хлѣдняго на послѣдній (а)- Однимъ словомъ, №> вто{ь>й часті умі>2<7ьл іЛі находятся алгебраическая сумма квадратовъ всѣхъ я — 1 иевокъ новаго многочлена п удвоенныхъ произведеній каждаго его члена нл каждый за нимъ слѣдующій.
Такихъ образомъ, допустивъ, что законъ вѣренъ для многочлена, содержащаго я членовъ, мы доказали, что онъ вѣренъ п для полинома, имѣющаго однимъ членомъ больше. Но вначалѣ мы видѣли, что законъ вѣренъ для трехчлена, слѣд., по доказанному, онъ вѣренъ и для четырехчлена; а будучи вѣренъ для четырехчлепа, онъ вѣренъ, по доказанному, и для пятичлена и т. д. — однимъ словомъ, для всякаго многочлена. Итакъ: явафат многочлена }>авенъ алгебраической суммѣ квад/штовъ всѣхъ его членовъ и удвоенныхъ произведеній каждаго члена на каждый за нимъ слѣдующій.
Новый методъ доказательства, съ которымъ мы здѣсь впервые встрѣтились, называется сиособола заключенія отъ п ка п -(-1; у англійскихъ математиковъ онъ извѣстенъ подъ именемъ метода математической или дамонсюумс-тивной индукціи., Изъ предыдущаго видно, что методъ этотъ состоитъ въ слѣдующемъ: сначала справедливость доказываемаго закона подтверждается на частномъ примѣрѣ, какъ напр. у насъ на трехчленѣ; затѣмъ,—и это существенная часть доказательства по этому способу, — доказывается, что если теорема вѣрна для какого-лпбо случая (папр. для п—члена), то она вѣрна и для ближайшаго случая (въ нашей теоремѣ—для нЦ-1—члена); отсюда слѣдуетъ, что будучи вѣрна въ одномъ случаѣ, она вѣрна въ ближайшемъ кіі нему, затѣмъ въ случаѣ —ближайшемъ къ послѣднему и т. д.; слѣдовательно, теорема вѣрна и для всѣхъ случаевъ, слѣдующихъ за тѣмъ, съ котораго мы начали.
Изобрѣтеніе этого способа приписываютъ швейцарскому математику
111.	Сгруппировавъ члены квадрата полинома иначе, можемъ дать ему слѣдующій видъ:
(аЦ-1* + с + й-|-Н + Л)* = а2 + 2аЬ-р^ + 2(а + Ь)е + са+2(а +
4“ ь 4- <0^ Ч- 4~ -(й “Р & +сЧ-“Ь Ч-Ч ^2*
Откуда видно, что квадратъ многочлена равенъ: квадрату 1-го члена, 4“ удвоенное произведеніе 1-го члена на 2-й, 4“ задрать 2-го, 4“ удвоенное произведеніе суммы первыхъ двухъ членовъ на 3-й, 4“КІіаДРатъ 3-го, Ч~ удвоенное произведеніе суммы первыхъ трехъ членовъ на 4-й, 4~ квадратъ четвертаго и т. д.
Въ этой формѣ квадратъ многочлена примѣняется при извлеченіи квадратнаго корня изъ многочлена.
112.	Примѣръ. Найти (4а*я3—7 аЗх2— 6а*г4’Д3)2.
Примѣняя первую формулу» найдемъ
16аЪг*4- 49а*^ + 36а*г»4- а10 — 56а3яга — 48а "хе1 4~ 8а’х3 4~ 84а\г® — 14а8#2
— 12а^;
сдѣлавъ приведеніе и расположивъ члены по убывающимъ степенямъ буквы получимъ
ІбаѴт*— 56«’Ъ’Г) ~4	4“ 92а7#3Ч“ 22а8ж*— 12аЗ.г4«10.
Примѣчаніе. Если сумму квадратовъ членовъ полинома изобразить сокращенно знакомъ -а2, а въ суммѣ удвоенныхъ произведеній вынести за скобки 2, выраженіе же въ скобкахъ, равное алгебраической суммѣ произведеній каждаго члена на каждый, за нимъ слѣдующій, изобразить въ формѣ ЕаЬ, то формулу квадрата многочлена можно представить въ сокращенной формѣ такъ:
(а 4^ 4” с Ч-----р і 4” Л)2 = 4“
113, Кубъ многочлена. — Въ § 36, IV мы нашли, что (а-4&)3 = я8 + ’ 4- За2&4'3аѣ24“&3- На основаніи этой формулы, взявъ триномъ «4“^ + ° и принявъ на время а -]-Ъ за одинъ членъ, имѣемъ:
(а-4г? + с)а = [(а + г?)4-с]3 = (а4»Ь)3 + 3(а4-Ь)2с4-3(а + Ь)с2 + е3 = а3 4- ЗаЧ 4~ ЗаЪ* + Ь3 + (За* 4~ 6а& + зг,*)с + Зас2 4- ЗЬс* + с3 = а3 4~ Ьа 4” с3 Ч~ За2Ь 4- За2с 4-	4~ ЗЪ2с 4” Зс2а 4~ Зс2Ь -4 6аЬс.
Такимъ же образомъ, взявъ четырех членъ и возвысивъ его въ кубъ, кашли бы:
(а 4“ & 4“ е 4“ ^)3 = а3 + &3 4“ сЭ "Ч- с^3
				- За2Ь -	-За2с -	НЗа’й
				-З^а-	-ЗЬ2с -	-Зі»»<7
-				- Зс2а -	-Зс2Ь -	-Зс»й
	к	7		- З^а-	- Згі2Ь -	гЗй2с
	№ *_ •			- баЬс -	- 6аМ -	- баей
				- 6 Ьсг7		
Изъ этихъ частныхъ случаевъ видно, что куб> взятыхъ въ нихъ полиномовъ -стоитъ изъ алгебраической суммы/ кубовъ всѣхъ членовъ, утроенныхъ произволеній квадрата каждаго члена на каждый , изъ остальныхъ, и ушестеренныхъ і^изведеній этихіі членовъ, взятыхъ но три.
Докажемъ теперь, что если этотъ законъ вѣренъ для полинома объ п чле-виъ а4-^4_<?_Р^Н------р^ + ^-рЛ, то онъ будетъ вѣренъ и для ноли-
>«13 объ п 4“ 1 членахъ а Ц- Ъ 4~ с 4~ с? р -р * -р А + й. Принявъ на фш а~р&-рсН--------рі4~^ за одинъ членъ, по формулѣ куба бинома по-
луляіъ
** — Ь~Р с.-р ---р^~р^ ~Р ^~р й)3 = (а-р & + с-р^^Р”'4мЧ_й)аН“
— 3(а-Р& + е-{---рЛ)аі 4- 3(а + & + с + ^4-рг‘-рЛ)^ +
Іьпо допущенію, (а — Ъ~с-рс?-------------!-і-рЛ)> состоитъ изъ: 1) сумма ку-
^гъ всѣхъ -ъ отъ а до А включительно. 2) суммы утроенныхъ произве-
квалра?* і-^діго члена а, Ь, , .., А на каждый изъ остальныхъ, н
гттт
3» уѵестерешгь крокзведеній этихъ членовъ, взятыхъ по три. Всѣ эти члены
пшпп ккасе влѣво отъ вертикальной черты; вправо же отъ нея прибавлены шжрытыл ^жжлешя:

«“И* й !Ѵ’
, «іркмп получимъ:
рі —р ь 4“ с 4~ 4-  *  4“ $ 4- ® ~Р ”Р ’
м 4~ с®4“” -4^3+7і3 і
— ’.лЧ — Заас 4~ *
— Зс*а 4- Зс2А
• * - 4~ За3А - . .~рзь2л  * - + ЗСЧ
— к*
— За*к
— З&к
4- Зс*к
“) ?) V)
4- ЗЬ’а 4- ЗКѢ 4-.........4-	Зк*і
4~ 6аЬс 4- ЪаЪ(14“.......4~
— 3/ЛЬ	х)
— ЗА*а-рзіЬ2&4-3^с-|-----РЗА2Л X)
4* 6аЬА4-6асА-р   • 4” и)
Отсюда видно, что кубъ новаго многочлена объ п 4~ 1 членахъ содержитъ: 1) сумму кубовъ всѣхъ членовъ отъ а до і включительно (строка а); 2) алгебраическую сумму утроенныхъ произведеній квадрата каждаго члена отъ а до к на каждый изъ остальныхъ (строки у,. .., X); 3) алгебр. сумму ушестеренныхъ произведеній всѣхъ членовъ а, Ь, с, ... , А, А, взятыхъ по три. Однимъ словомъ, законъ, предположенный вѣрнымъ для многочлена объ п членахъ, оказывается вѣрнымъ и для многочлена, имѣющаго однимъ членомъ больше.
Но прямое возвышеніе въ кубъ показало, что онъ вѣренъ для четырехчлена, слѣд. онъ вѣренъ и для пятичлена; а потому и для шестн