Text
А. Киселевъ.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
АЛГЕБРА.
Въ предыдущихъ изданіяхъ Уч. Ком. М. И. Пр. допущена въ качествѣ
руководства для гимназій, мужскихъ и женскихъ, и рёальныхъ училищъ
(„Журн. М. Н. Пр.“, 1905, май), Рекомендована Учѳбн. Ком. при Св. Синодѣ
для употребленія въ духовныхъ семинаріяхъ въ качествѣ учебнаго пособія
(„Цѳрк. Вѣд.“, 1893, № 32).
Въ программахъ кадетскихъ корпусовъ (утвержденныхъ въ маѣ 1898 г.)
указана, какъ руководство.
Изданіе семнадцатое.
Цѣна 1 руб. 10 коп.
Изданіе книжнаго магазина
В. В. ДУМНОВА.
подъ фирмою
,Наслѣлн. бр. Силаевыхъ*.
•&
МОСКВА.
Т—во «Печатня С. П. Яковлева».Москва, Петровка, Салтыковскій п., д. Т—ва,}$ 9.
1906.
Предисловіе къ восьмому изданію.
Въ недавнее время намъ пришлось составить „Краткую
алгебру для женскихъ гимназій и духовныхъ семинарій";
при этомъ естественно было стремиться къ возможному
упрощенію изложенія различныхъ частей курса. Приступая
затѣмъ къ подготовленію восьмого изданія „Элементарной
алгебры % мы сравнивали изложеніе этого учебника съ из-
ложеніемъ „Краткой алгебры" съ цѣлью опредѣлить, нельзя
ли безъ вреда для научности и систематичности курса упро-
стить изложеніе первой по примѣру второй. Это оказалось
иногда возможнымъ. Такимъ образомъ, въ восьмомъ изданіи
„Элементарной алгебры" въ нѣкоторыхъ мѣстахъ устранена
излишняя краткость изложенія, мѣстами отвлеченность за-
мѣнена конкретностью, кое-гдѣ добавлены нѣкоторые практи-
ческіе примѣры и т. п. Эти измѣненія, правда, невелики,
по все-таки, какъ намъ кажется, они улучшаютъ учебникъ,
дѣлая его болѣе доступнымъ для усвоенія.
По примѣру той же „Краткой алгебры" мы добавили въ
восьмомъ изданіи „Элементарной" третье значеніе положи-
тельныхъ и отрицательныхъ чиселъ, какъ орудія для вы-
раженія величинъ противоположныхъ (стр. 20-я). Такое до-
полненіе главнымъ образомъ полезно въ томъ отношеніи,
что сразу даетъ ученику нѣчто конкретное въ представленіи
отрицательнаго числа, тогда какъ безъ того эта конкретность
отлагается вплоть до изслѣдованія уравненій.
Помимо этого общаго характера измѣненій укажемъ еще
слѣдующія.
Для формулы размѣщеній мы даемъ другой выводъ (стр.
300), который, какъ показалъ намъ опытъ и указанія мно-
гихъ преподавателей, усвоивается учениками лучше, чѣмъ
изложенный въ прежнихъ изданіяхъ.
Мы указали также (въ выноскѣ, стр. 306) другой способъ
вывода произведенія биномовъ, отличающихся вторыми чле-
нами; этотъ способъ приводитъ къ результату съ большей
легкостью и быстротой и, быть-можетъ, преподаватели пред-
почтутъ его общепринятому способу, изложенному въ текстѣ.
Считаю долгомъ принести глубокую благодарность всѣмъ
гг. рецензентамъ и преподавателямъ, дѣлавшимъ мнѣ замѣ-
чанія о желательныхъ измѣненіяхъ въ курсѣ алгебры.
IV
Девятое и десятое изданія печатаны безъ перемѣнъ съ
восьмого. Въ одиннадцатомъ изданіи, согласно замѣчаніямъ
Уч. Ком. М. Нар. Пр., изложено подробнѣе понятіе о значе-
ніи безконечной непрерывной дроби (§ 320).
Двѣнадцатое изданіе печатано безъ перемѣнъ съ одинна-
дцатаго. __________
Въ тринадцатомъ изданіи, помимо многихъ мелкихъ улуч-
шеній, были сдѣланы слѣдующія измѣненія и дополненія:
1) Подробнѣе разъяснено, почему произведеніе оказывается
положительнымъ, когда число отрицательныхъ сомножите-
лей четное, и отрицательнымъ, когда число таковыхъ сомно-
жителей нечетное (стр. 27).
2) Въ выноскѣ (стр. 46) приведено иное доказательство тео-
ремы объ остаткѣ, получаемомъ при дѣленіи многочлена
Ахт 4~ Вхт~г Схт~2 . на х — а.
3) Въ выноскахъ (стр. 51 и 57) указано иное доказатель-
ство основного свойства дроби и правила умноженія дробей.
4) Улучшено опредѣленіе отношенія (стр. 61).
5) Улучшено доказательство двухъ основныхъ теоремъ объ
уравненіяхъ (стр. 71 и 73).
6) Въ § 275 свойство: „при положительномъ основаніи, не
равномъ 1, всякое положительное число имѣетъ логариѳмъ",
разъяснено п] и помощи безконечной геометрической про-
грессіи, а не принято безъ доказательства, какъ было раньше.
7) Улучшены опредѣленія размѣщеній, перестановокъ и
сочетаній (§ 301 и слѣд.).
8) Помѣщенъ новый исправленный рисунокъ къ задачѣ о
двухъ источникахъ свѣта (§ 203).
9) Всѣ примѣры набраны обыкновеннымъ, а не мелкимъ
шрифтомъ.
10) Терминъ „однозначащія уравненія“ вездѣ замѣненъ
другимъ: „равносильныя уравненія44.
Въ четырнадцатомъ изданіи, помимо нѣкоторыхъ редакціон-
ныхъ улучшеній, мы сочли полезнымъ помѣстить въ концѣ
книги, въ видѣ необязательнаго для прохожденія „Прило-
женія44, статью „О предѣлѣ погрѣшности, совершаемой при
вычисленіяхъ помощью пятизначныхъ логариѳмическихъ таб-
лицъ 44. __________
Въ пятнадцатомъ изданіи, помимо нѣкоторыхъ мелкихъ
измѣненій, улучшено изложеніе § 320, въ которомъ подроб-
нѣе, чѣмъ прежде, устанавливается „понятіе о безконечной
непрерывной дроби44.
Шестнадцатое и семнадцатое изданія печатаны безъ пере-
мѣнъ съ пятнадцатаго.
ОГЛАВЛЕНІЕ.
Стр.
Предисловіе.
Отдѣлъ I. Предварительныя понятія.
1. Алгебраическое знакопсложеніе............................. 1
2. Главнѣйшія свойства первыхъ четырехъ дѣйствій......... 6
3. Одночленъ и многочленъ................................ 8
4. Приведеніе подобныхъ членовъ.......................... 9
Отдѣлъ II. Первыя четыре алгебраическія дѣйствія.
1. Алгебраическое сложеніе и вычитаніе.................. 14
2. Отрицательное число и нуль........................... 18
3. Алгебраическое умноженіе............................. 22
4. Умноженіе отрицательныхъ чиселъ.................... 26
5. Умноженіе расположенныхъ многочленовъ................ 29
6. Частные случаи умноженія двучленовъ.................. 32
7. Алгебраическое дѣленіе............................... 35
8. Нѣкоторые случаи дѣленія многочленовъ................ 45
9. Разложеніе многочленовъ на множителей................ 48
10. Алгебраическія дроби............................... 50
11. Отрицательные показатели......................... 59
12. Отношеніе и пропорція................................ 61
Отдѣлъ III. Уравненія первой степени.
1. Общія начала рѣшенія уравненій....................... 68
2. Уравненія, содержащія въ знаменателяхъ неизвѣстныя.... 77
3. Уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ ................... 80
4. Два уравненія съ двумя неизвѣстными.................. 84
5. Три уравненія съ тремя неизвѣстными.................. 89
6. Уравненія со многими неизвѣстными.................... 91
7. Частные случаи системъ уравненій....•............... 93
8. Способъ неопредѣленныхъ множителей................... 95
9. Уравненія неопредѣленныя, несовмѣстныя и условныя .... 99
10. Изслѣдованіе уравненій первой степени:
Одно уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ................... 101
Два уравненія съ двумя неизвѣстными................ 114
VI
Стр.
Отдѣлъ IV. Степени и корни.
1. Возвышеніе въ степень одночленовъ.................. 119
2. Возвышеніе въ квадратъ многочленовъ................ 121
3. Извлеченіе корня изъ одночленовъ................... 123
4. Извлеченіе квадратнаго корня:
Извлеченіе квадрат. корня изъ наибольшаго цѣлаго квадра-
та, заключающагося въ данномъ числѣ................. 127
Извлеченіе приближенныхъ квадратныхъ корней......... 135
Извлеченіе квадратныхъ корней изъ дробей............ 138
Извлеченіе квадратнаго корня изъ многочленовъ....... 140
5. Извлеченіе кубичнаго корня:
Извлеченіе кубичнаго корня изъ наибольшаго цѣлаго куба,
заключающагося въ данномъ числѣ........................ 144
Извлеченіе приближенныхъ кубичныхъ корней........... 140
Извлеченіе кубичныхъ корней изъ дробей.............. 153
6. Понятіе о несоизмѣримомъ числѣ..................... 154
7. Дѣйствія надъ радикалами........................... 162
Отдѣлъ V. Уравненія степени выше первой.
1. Квадратное уравненіе............................... 173
2. Нѣкоторые частные случаи квадратныхъ уравненій... 185
3. Изслѣдованіе квадратнаго уравненія................. 188
4. Мнимыя количества................................ 195
5. Освобожденіе уравненія отъ радикаловъ.............. 198
6. Уравненія высшихъ степеней, приводимыя къ квадратнымъ
или къ уравненіямъ первой степени .................... 204
7 Нѣкоторыя замѣчанія объ алгебраическихъ уравненіяхъ... 214
8. Система уравненій второй степени................... 216
птдѣлъ VI. Неравенства и неопредѣленныя уравненія.
1. Неравенства........................................ 223
2. Неопредѣленное уравненіе первой степени съ двумя не-
извѣстными ........................................ .*. 234
3. Два уравненія первой степени съ тремя неизвѣстными .... 247
Отдѣлъ VII. Обобщеніе понятія о показателяхъ.
Дробные показатели.......................................... 249
Отдѣлъ VIII. Прогрессіи и логариѳмы.
1. Прогрессіи:
Ариѳметическая прогрессія............................. 254
Геометрическая прогрессія........................... 259
Безконечная геометрическая прогрессія............... 262
VII
2. Логариѳмы:
Предварительныя понятія.............................. 266
Логариѳмъ произведенія, частнаго, степени и корня... 270
Десятичные логариѳмы................................. 274
Устройство и употребленіе таблицъ ................... 279
Показательныя и логариѳмическія уравненія............ 290
Сложные проценты, срочныя уплаты и срочные взносы ... 292
Отдѣлъ IV. Дополненія.
1. Соединенія......................................... , 299
2. Виномъ Ньютона...................................... 305
3. Одно изъ примѣненій бинома Ньютона.................. 311
4. Непрерывныя дроби............*...................... 313
5. Нѣкоторыя приложенія непрерывныхъ дробей............ 327
6. Наибольшее и наименьшее значеніе трехчленѣ второй сте-
пени .............................................. 332
Приложеніе.
Предѣлъ погрѣшности, совершаемой при вычисленіи помощью
пятизначныхъ логариѳмовъ............................. 339
ОТДѢЛЪ I.
Предварительныя понятія.
ГЛАВА I.
Алгебраическое знакоположеніе.
1. Употребленіе буквъ. Если желаютъ указать, какъ рѣ-
шаются задачи, различающіяся только величиною данныхъ
чиселъ, то обыкновенно поступаютъ такъ: обозначаютъ дан-
ныя числа буквами (латинскаго или французскаго алфавита)
и, разсуждая совершенно такъ, какъ если бы данныя были
выражены числами, указываютъ посредствомъ знаковъ, какія
дѣйствія надо произвести надъ данными числами и въ какой
послѣдовательности, чтобы получить искомое число. При
этомъ, обозначивъ одно число какою - иибудь буквою (без-
различно какою), надо другія числа обозначить иными бук-
вами, чтобы не смѣшать одного числа съ другимъ.
Пусть, напр., желаемъ указать, какъ рѣшаются задачи,
сходныя съ такой: 15 рабочихъ окончили нѣкоторую работу
въ 20 дней. Во сколько дней окончили бы ту же работу 10
человѣкъ? Для этого предлагаемъ задачу въ общемъ видѣ:
а рабочихъ окончили нѣкоторую работу въ і дней. Во
сколько дней окончатъ ту же работу Ъ рабочихъ?
Рѣшимъ эту задачу приведеніемъ къ единицѣ. Если а
раб. оканчиваютъ работу въ і дней, то 1 рабочему на вы-
А. Киселевъ. Алгебра. 1
2 —
полненіѳ той же работы понадобится дней, а Ъ рабо-
/ X а
чимъ ----- дней. Обозначивъ искомое число дней буквою х,
Ъ
можемъ написать:
«Л/- —————
ъ
Изъ этого выраженія видно, что для рѣшенія задачи надо
число дней умножить на число рабочихъ, данное въ условіи
задачи, и раздѣлить на число рабочихъ, данное въ ея вопросѣ.
/ С 2. Алгебраическое выраженіе. Совокупность чиселъ, выра-
женныхъ буквами и соединенныхъ посредствомъ знаковъ,
указывающихъ, какія дѣйствія и въ какой послѣдователь-
ности надо произвести надъ этими числами, называется
алгебраическимъ выраженіемъ. Таково, напр., выраженіе:
IX &
~Ь~
Вычислить алгебраическое выраженіе для данныхъ чис-
ленныхъ значеній буквъ значитъ подставить въ него на
мѣсто буквъ эти значенія и произвести указанныя дѣйствія;
число, получившееся послѣ этого, наз. численною величиною
алгебраическаго выраженія (для данныхъ значеній буквъ).
3. Тождественныя выраженія. Два алгебраическія выраже-
нія наз. тождественными, если при всякихъ численныхъ
значеніяхъ буквъ они имѣютъ одну и ту же численную ве-
личину. Таковы, напр., выраженія:
і X а х х а
-X- и X-
ь ъ
4. Предметъ алгебры. Алгебра указываетъ способы, по-
средствомъ которыхъ можно одно алгебраическое выраженіе
преобразовать въ другое, тождественное ему. Цѣль такого
преобразованія различна:
иліи 1) упрощеніе алгебраическаго выраженія, т.-е. замѣна
одного выраженія другимъ, содержащимъ меньшее число
дѣйствій, или болѣе простыя дѣйствія;
- 3 -
или 2) приведеніе алгебраическаго выраженія къ виду,
удобному для обнаруженія какихъ-либо свойствъ его;
или 3) приведеніе алгебраическаго выраженія къ виду,
удобному для запоминанія.
О другихъ сторонахъ алгебры будетъ сказано впослѣдствіи.
5. Дѣйствія, разсматриваемыя въ алгебрѣ, слѣдующія: сло-
женіе, вычитаніе, умноженіе, дѣленіе, возвышеніе въ сте-
пень и извлеченіе корня.Опредѣленія первыхъ четырехъ
дѣйствій, извѣстныя изъ ариѳметики, слѣдующія:
Сложеніе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго нѣсколько
данныхъ чиселъ соединяются въ одно число, называемое
ихъ суммой.
Вычитаніе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго по дан-
ной суммѣ (уменьшаемому) и одному слагаемому (вычитаемо-
му) отыскивается другое слагаемое (остатокъ или разность).
Умноженіе на цѣлое число есть дѣйствіе, посредствомъ
котораго одно данное число (множимое) повторяется слагае-
мымъ столько разъ, сколько единицъ въ другомъ данномъ
числѣ (во множителѣ).
Умноженіе на дробь есть дѣйствіе, посредствомъ котораго
отыскивается такая дробь множимаго, какую множитель со-
ставляетъ отъ единицы.
Эти два опредѣленія умноженія обыкновенно соединяютъ
въ одно общее опредѣленіе, выражаемое такъ:
Умноженіе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго изъ одного
даннаго числа (множимаго) составляютъ новое число (произ-
веденіе) такъ, какъ другое данное число (множитель) со-
ставлено изъ единицы.
Дѣленіе есть дѣйствіе, посредствомъ котораго по данному
произведенію (дѣлимому) и одному сомножителю (дѣлителю)
отыскивается другой сомножитель (частное).
Два остальныя дѣйствія опредѣляются такъ:
^Возвышеніе въ степень вторую, третью и вообще въ п-ую
есть дѣйствіе, посредствомъ котораго данное число повто-
ряется сомножителемъ 2 раза, 3 раза и вообще п разъ.
Произведеніе одинаковыхъ сомножителей называется сте-
пенью^ а число этихъ сомножителей—показателемъ степени.
1*
-4 - !
Такъ, возвысить 2 въ четвертую степень значитъ найти
произведеніе 2.2.2.2 (оно равно 16); 16 есть четвертая сте-
пень 2-хъ, 4 — показатель этой степени. Вторая степень
называется иначе квадратомъ, третья—кубомъ. Первою сте-
пенью числа называютъ само это число.
Извлеченіе корня второй, третьей и вообще п-ой степени
есть дѣйствіе, посредствомъ котораго отыскивается такое
число, котораго вторая, третья и вообще п-ая степень рав-
няется данному числу. Напр., извлечь изъ 8 корень третьей
степени значитъ найти число, котораго 3-я степень рав-
няется 8; такое число есть 2, потому что 2.2.2 —8; корень
второй степени изъ 100 есть 10, потому что 10.10 = 100.
Корень второй степени называется иначе квадратнымъ, а
корень третьей степени—кубичнымъ.ѵ
6. Знаки, употребляемые въ алгебрѣ. Формула. Въ алгебрѣ
для обозначенія первыхъ четырехъ дѣйствій употребляются
тѣ же знаки, какъ и въ ариѳметикѣ; только знакъ умноже-
нія обыкновенно не пишется, если оба сомножителя или
одинъ изъ нихъ выражены буквами; напр., вмѣсто того,
чтобы писать а.Ь, обыкновенно пишутъ аЬ и вмѣсто З.а
просто За.
Возвышеніе въ степень обозначается помѣщеніемъ пока-
зателя степени надъ возвышаемымъ числомъ, съ правой
стороны; напр., 24 означаетъ, что 2 возвышается въ 4-ю
степень.
При всякомъ числѣ можно подразумѣвать показателя 1;
напр., а все равно, что а1, потому что первая степень чи-
сла, по опредѣленію, есть само число.
Извлеченіе корня обозначается знакомъ )/ ; подъ его
горизонтальной чертой пишутъ то число, изъ котораго надо
извлечь корень, а надъ отверстіемъ угла ставятъ показателя
корня; напр., |/ 8 означаетъ корень 3-й степени изъ 8.
Квадратный корень пишутъ безъ показателя, т.-е. такъ:)/ 25,
]/100 и т. д.
Какъ знаки соотношеній между численными величинами
употребляются: знакъ равенства ~ и знакъ неравенства ^>,
— 5 —
обращаемый отверстіемъ угла къ ббльшему числу. Напр.,
выраженія:
5 + 2 = 7; 5-|-2>6; 5 + 2<10
читаются такъ: б-|-2 равно 7; 5+2 больше 6; 5+2 меньше 10.
Иногда помѣщаютъ два знака другъ подъ другомъ; напр.,
выраженія:
1) а2) а++ 3) а+Ь
означаютъ: 1) а больше или равно д; 2) а больше или
меньше 5; 3) а плюсъ или минусъ Ъ.
Употребительны еще знаки +, >, <, получаемые пере-
черкиваніемъ знаковъ равенства или неравенства. Такое пе-
речеркиваніе означаетъ отрицаніе того значенія, которое
придается знаку неперечеркнутому. Такъ, знакъ + озна-
чаетъ: „не равно", знакъ > означаетъ „не больше" и т. п.
Два алгебраическія выраженія, соединенныя между собою
знакомъ равенства или неравенства, образуютъ формулу.
7. Скобки. Если желаютъ выразить, что, совершивъ какое-
либо дѣйствіе, надо надъ полученнымъ результатомъ произ-
вести снова какое - либо дѣйствіе, то обозначеніе перваго
дѣйствія заключаютъ въ скобки. Напр., выраженіе:
20-(10 + 2)
означаетъ, что изъ 20 вычитается не 10, а сумма отъ сло-
женія 10 съ 2; слѣд., при вычисленіи этого выраженія надо
сначала сложить 10 и 2 (получимъ 12) и затѣмъ полученную
сумму вычесть изъ 20 (получимъ 8).
Когда приходится заключить въ скобки такое выраженіе,
въ которомъ есть свои скобки, то новымъ скобкамъ при-
даютъ какую-нибудь другую форму для отличія ихъ отъ
прежнихъ. Напр., выраженіе:
а {ъ — [с + (й-е)1‘
означаетъ, что изъ д, вычитается е, полученная разность
прикладывается къ с, полученная сумма вычитается изъ Ъ
и на эту разность умножается а.
— 6 —
Въ нѣкоторыхъ случаяхъ принято скобки опускать. Напр.,
скобки не ставятся при обозначеніи послѣдовательныхъ сло-
женій, вычитаній, умноженій; такъ:
вмѣсто [(а-[-д)-|-с]-|-й пишутъ а^-Ъ-\-с-\-(1
„ [(а—й)-|-с]—й „ а—Ъ^-с—й
„ [(а6)с]й „ аЪсд,
Въ этихъ случаяхъ порядокъ дѣйствій указывается самимъ
выраженіемъ (слѣва направо).
Г Л А В А II.
Главнѣйшія свойства первыхъ четырехъ
дѣйствій.
8. 1) Сумма не измѣняется отъ перемѣны, порядка сла-
гаемыхъ.
Такъ: 7-1-34-2=7-1-24-3—2-|-7+3=2-|-3+7— . .
Вообще: а^Ъ^с^аАгс^Ъ=Ъ^а^с^Ъ~\-с-\~а=^ . .
2) Чтобы прибавить сумму, достаточно прибавить ка-
ждое слагаемое одно за другимъ.
Такъ: 104-(54-24-3)=104-5-424-3
Вообще: а-4(&4~Н_^=аН_М~с4~^
3) Чтобы отнять сумму, достаточно отнять каждое
слагаемое одно за другимъ.
Такъ: 20 - (3-]-8-|-2)=20—3—8—2
Вообще: а~(Ъ-\-с-\-<Ч)=а—Ъ—с—сі
Эти истины настолько очевидны, что доказательство ихъ
излишне.
4) Чтобы прибавить разность, достаточно прибавить
уменьгцремое и вычесть вычитаемое.
Такъ: 84-(5—3)=84-5—3
Вообще: а-[-(Ь — с)=а-\-Ъ—с
Дѣйствительно, если второе слагаемое увеличимъ на с,
т.-е. вмѣсто Ъ—с возьмемъ й, то получимъ сумму а-[-б;
— 7 -
но отъ увеличенія слагаемаго на с сумма увеличивается
также на с; слѣд., искомая сумма должна быть меньше а + Ъ
на с, т.-е. она будетъ а-\-Ъ—с.
5) Чтобы отнять разность, достаточно прибавить вы-
читаемое и затѣмъ отнять уменьшаемое.
Такъ: 4—(5—2)=4-|-2—5
Вообще: а—(Ь —с)=а-|-с— Ъ,
Дѣйствительно, если мы увеличимъ уменьшаемое и вычи-
таемое на с, то разность не измѣнится; но тогда уменьшае-
мое будетъ а-^-с, а вычитаемое д; слѣд., разность будетъ
Укажемъ еще слѣдующія свойства умноженія и дѣленія,
извѣстныя изъ ариѳметики:
6) Произведеніе не измѣняется отъ перемѣны порядка
сомножителей,
Такъ: 2.4.3=2.3.4=4.3.2=...
7 7 7
Вообще: аЪс=асЪ^=саЪ—,,.
7) Чтобы умножить на произведеніе, достаточно умно-
жить на перваго сомножителя, полученный результатъ на
второго сомножителя, затѣмъ на третьяго и т, д.
Такъ, чтобы умножить 10 на произведеніе 3. 2. 4 (т.-е,
на 24), достаточно умножить 10 на 3 (получимъ 30), потомъ
умножить полученное произведеніе на 2 (получимъ 60) и
послѣ этого на 4 (получимъ 240).
Такимъ образомъ: 10.(3.2.4)=10.3.2.4
Вообще: а{Ъс(І)~-обей
8) Сомножителей произведенія можно соединять въ какія
угодно группы,
Напр., въ произведеніи 2. 5. 3. 4. 7 можно перемно-
жить числа 2 и 5 между собою, потомъ перемножить числа
3, 4 и 7 между собою и первое произведеніе умножить на
второе; или можно соединить сомножителей въ какія-либо
другія группы.
9) Чтобы раздѣлить на произведеніе, достаточно раздѣ-
лить на перваго сомножителя, полученный результатъ на
второго, потомъ на третьяго и т. д.
— 8 —
Такъ: 400 : (4.2.5)=[(400 : 4) : 2] : 5=(100: 2) : 5=50 : 5=10
Вообще: а : (&сй)=[(а : й) : с] : й
10) Чтобы умножить произведеніе, достаточно умножить
какого-либо одного сомножителя.
Такъ, чтобы умножить произведеніе 10.2 на 5, достаточно
умножить на 5 или множимое 10, или множителя 2; въ пер-
вомъ случаѣ получимъ 50.2=100 и во второмъ случаѣ будемъ
имѣть: 10.10=100.
11) Чтобы раздѣлить произведеніе, достаточно раздѣлить
какого-либо одного сомножителя.
Такъ, чтобы раздѣлить произведеніе 10.8 на 2, доста-
точно раздѣлить на 2 или 10, или 8; въ первомъ случаѣ
получимъ 5.8=40 и во второмъ случаѣ 10.4=40.
9. Полезно замѣтить, что многія изъ изложенныхъ выше
истинъ можно, такъ сказать, перевернуть; напр., истину:
„чтобы прибавить сумму, достаточно прибавить каждое сла-
гаемое одно за другимъ можно высказать обратно: „чтобы
прибавить нѣсколько чиселъ одно за другимъ, достаточно
прибавить за разъ ихъ сумму*) или. истину: „чтобы умножить
на произведеніе, достаточно умножить на перваго сомножи-
теля, полученный результатъ на второго сомножителя и т. д.“,
можно высказать обратно: „вмѣсто того, чтобы умножать
послѣдовательно на нѣсколько чиселъ, мооюно умножить
сразу на произведеніе этихъ чиселъ* и т. п.
ІО. Изложенныя истины позволяютъ дѣлать нѣкоторыя
простѣйшія преобразованія алгебраическихъ выраженій;
напр. *):
1) а-^-бб——а-^-а-^~Ъ——сі 2——2б^~|~^
2) т-\-(а—п^—т^а—т—а-\-т~~т—а
3) р-^-р^р-^р-у^р-у
4) аРа?—(аа) (ааа)=аасіаа=а5
б) 3ааахху=3(ааа) (хх)у=3а'іхіу
ѲаЪ 9 7 „ ,
6) аЪ—ЗаЪ
О О
*) Всѣ эти примѣры рекомендуется основательно разобрать и объяснить;
вообще, какъ показываетъ опытъ, для успѣшнаго прохожденія основъ
алгебры надо возможно лучше усвоить содержаніе этой главы.
— 9 —
адс (
аѢ*\
ГЛАВА III.
Одночленъ и многочленъ.
11. Одночленъ. Всякое алгебраическое выраженіе, въ кото-
ромъ послѣднее по порядку дѣйствіе не есть сложеніе или
вычитаніе, а какое-нибудь иное, наз. одночленомъ. ‘
Напр., слѣдующія выраженія суть одночлены:
(а—Ъ)с... послѣднее дѣйствіе—умноженіе;
• • послѣднее дѣйствіе—дѣленіе;
С
(а4~5)2--- послѣднее дѣйствіе—возвышеніе въ степень;
совсѣмъ нѣтъ дѣйствій сложенія и вычитанія.
Наоборотъ, слѣдующія выраженія не одночлены, потому
что въ нихъ сложеніе или вычитаніе занимаетъ послѣднее
по порядку мѣсто въ числѣ другихъ дѣйствій:
а2_|_^2о е послѣднее дѣйствіе—сложеніе;
ах—Ъу послѣднее дѣйствіе—вычитаніе.
Отдѣльное число, выраженное буквою или цыфрами, так-
же наз. одночленомъ*, напр., а, х., 5, 3/4.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что одночленъ можетъ предста-
влять собою: отдѣльное число, произведеніе, частное, сте-
пень, корень..., но не сумму и не разность.
Одночленъ изз. раціональнымъ, если онъ не содержитъ извле-
ченія корня; въ противномъ случаѣ онъ наз. ирраціональнымъ.
Напр., ах* раціональный одночленъ; )/аЪ ирраціональный
одночленъ. .
Раціональный одночленъ наз. цѣлымъ, если не содержитъ
буквенныхъ дѣлителей; въ противномъ случаѣ онъ наз. дроб-
нымъ*, напр.: (а2#3)2 цѣлый одночленъ, -^-дробный одночленъ.
с
Въ началѣ курса мы будемъ разсматривать лишь раціо-
нальные и притомъ цѣлые одночлены.
; Число буквенныхъ множителей, составляющихъ цѣлый одно-
членъ, наз. его измѣреніемъ*, такъ, одночленъ За25с есть
четвертаго измѣренія, одночленъ ІО#3—третьяго измѣренія.
— 10 —
12. Коэффиціентъ. Численный сомножитель, стоящій передъ
буквеннымъ выраженіемъ, наз. коэффиціентомъ этого выра-
женія. Такъ, въ одночленѣ баЪс число 6 есть коэффиціентъ
при аЪс.
Цѣлый коэффиціентъ означаетъ, сколько разъ повторяет-
ся слагаемымъ буквенное выраженіе, къ которому онъ отно-
сится. Напр., ЗаЬ=ад.З=аЬ-\-аЬ-[-аЬ.
Дробный коэффиціентъ означаетъ, какая дробь берется отъ
буквеннаго выраженія, къ которому онъ относится. Такъ,
въ выраженіи 3/4ж2 коэффиціентъ означаетъ, что отъ я?2 бе-
рется 5/4, потому что 8/4ж2=ж2.б/4, а умножить на б/4 значитъ
взять б/4 отъ множимаго.
При одночленѣ, не имѣющемъ коэффиціента, можно под-
разумѣвать коэффиціентъ 1; такъ, аЪ все равно, что ІаЬ.
Въ цѣлый одночленъ вообще могутъ входить: коэффиціентъ,
буквенные множители и показатели при этихъ буквахъ; напр.:
За2й8с.
13. Многочленомъ называется алгебраическое выраженіе,
составленное изъ нѣсколькихъ одночленовъ, соединенныхъ
между собою знаками Д-- или —. Таково, напр., выраженіе:
(ай)—(а2)4Д362)--(2&с) или короче: а6—а2-|-362—26с.
Одночлены, изъ которыхъ составленъ многочленъ, наз.
членами его. Обыкновенно члены многочлена разсматри-
ваются вмѣстѣ съ тѣми знаками, которые стоятъ передъ
ними; напр., говорятъ: членъ—а2, членъ-}-3&2 и т. п. Тѣ
члены, передъ которыми стоитъ знакъ—, наз. отрицатель-
ными, оста л ыіые—положительными.
Многочленъ, состоящій изъ двухъ членовъ, наз. двучле-
номъ (или биномомъ), изъ трехъ членовъ—трехчленомъ и т. д.
Многочленъ наз. раціональнымъ, если всѣ его члены ра-
ціональные, и цѣлымъ, если всѣ его члены цѣлые.
Цѣлый многочленъ наз. однороднымъ, если всѣ его члены
имѣютъ одинаковое измѣреніе. Напр., выраженіе: 2аЬ2ч~а3—
—ЪаЪс есть однородный многочленъ третьяго измѣренія.
14. Численная величина многочлена. Пусть требуется вы-
числить многочленъ:
1
Ж~аЪ + &--~а-[-Ъ
л
— 11 —
при такихъ значеніяхъ буквъ: а = 4 и 5 = 3. Для этого пред-
варительно вычислимъ каждый членъ многочлена отдѣльно:
2а2 = 2.4.4 = 32 ай = 4.3=12
1 1
52 = 3.3 = 9 — а = —• 4 = 2
Затѣмъ надъ полученными числами произведемъ указанныя
въ многочленѣ дѣйствія сложенія и вычитанія:
32 — 12-|-9 — 2 + 3 = 30
Можно считать очевиднымъ, что численная величина мно-
гочлена не зависитъ отъ порядка его членовъ. Такъ, распо-
лагая члены нашего многочлена въ какомъ-нибудь иномъ по-
рядкѣ (сохраняя, конечно, при членахъ ихъ знаки и беря
первый членъ, когда передъ нимъ не стоитъ никакого знака,
со знакомъ+), мы всегда получимъ въ окончательномъ ре-
зультатѣ число 30.
Часто употребляемый пріемъ при вычисленіи многочлена
состоитъ въ слѣдующемъ: чтобы найти чгьсленную величину
многочлена, складываютъ всѣ положительные члены между
собою и всѣ отрицательные между собою и изъ первой сум-
мы вычитаютъ вторую. Такъ, во взятомъ нами примѣрѣ
численная величина равна:
(32 + 9 + 3) - (12 + 2)=44 — 14 = 30.
Замѣчаніе. Если станемъ переставлять члены многочлена
наудачу (сохраняя, конечно, при нихъ ихъ знаки), то
иногда можемъ расположить ихъ въ такомъ порядкѣ, въ ка-
комъ невозможно сдѣлать вычисленіе. Напр., было бы невоз-
можно произвести дѣйствія въ такомъ порядкѣ: 3 —12 — 2—}—
+ 32 + 9, потому что нельзя изъ 3 вычесть 12. Въ подоб-
ныхъ случаяхъ надо или поступить по указанному выше пра-
вилу, т.-е. сложить всѣ положительные члены, потомъ всѣ
отрицательные и изъ первой суммы вычесть вторую, или же
переставить члены въ такомъ порядкѣ, при которомъ не
встрѣчалось бы невозможнаго вычитанія.
Можетъ, однако, случиться, что многочленъ невозможенъ
при всякомъ порядкѣ его членовъ, а именно тогда, когда
— 12 —
сумма положительныхъ членовъ меньше суммы отрицатель-
ныхъ. Напр., многочленъ: 2 — 1 3 — 8 невозможенъ, какъ бы
мы ни переставляли его члены, потому что 2-|-3<^1-[-8-
ГЛАВА IV.
Приведеніе подобныхъ членовъ.
15. Опредѣленіе. Члены многочлена, отличаюгціеся толь-
ко коэффиціентами или знаками, или же не отличающіеся
ничѣмъ, наз. подобными. Напр., въ такомъ многочленѣ:
4а2й*- За&4-О,ба263 + За*с8аЪ
первый членъ подобенъ третьему, потому что отличается отъ
пего только коэффиціентомъ, второй членъ подобенъ пятому,
потому что отличается отъ него только знакомъ и коэффиціен-
томъ. Членъ За2с не имѣетъ себѣ подобныхъ, потому что онъ
отличается отъ остальныхъ буквами и показателями при нихъ.
16. Когда въ многочленѣ встрѣчаются подобные члены, то
его можно упростить, соединяя всѣ подобные между собою
члены въ одинъ. Такое соединеніе наз. приведеніемъ подоб-
ныхъ членовъ. Разсмотримъ сначала:
1-й случай, когда всѣ подобные члены имѣ-
ютъ одинаковые знаки.
I. За2 + 2аб2 + 5а&2 + 0,6а&2
Примѣры: п 10^3 _ Зтх _ 7тх _
Вмѣсто того, чтобы прибавлять или отнимать числа от-
дѣльно, мы можемъ прибавить или отнять ихъ сумму; поэтому
данные два многочлена можемъ написать такъ:
I. За2 Ц- (2а62 + бай2 + 0,бай2)
II. 10а:3 — (Зтх Ітх ^тх)
Но 2 какихъ-нибудь числа, да 5 такихъ же чиселъ, да 0,6
такого же числа составляютъ 7,6 такихъ же чиселъ; поэтому:
2ай2 + бай2 + 0,6а62 = 7,6ай2
Точно такъ же Зтх^Чтх^Урпх — ІО^рпх
- 13 —
Теперь данные многочлены могутъ быть написаны такъ:
I. 3«2 + 7,6«52 II. 10ж3 —103/4жс
Правило. Чтобы соединить въ одинъ нѣсколько подобныхъ чле-
новъ съ одинаковыми знаками, надо сложить ихъ коэффиціен-
ты, оставить то же самое буквенное выраженіе и поставить
тотъ же знакъ, какой имѣли отдѣльные члены.
17. 2 й случай, когда подобныхъ членовъ два и они имѣютъ
разные знаки.
Примѣры: I. а-\-8Ъ — ЗЪ II. « — 85 + 35
Въ многочленѣ I прибавляется 8 нѣкоторыхъ чиселъ, а
отнимается 3 такихъ же числа; это все равно, что приба-
вляется 8 — 3, т.-е. 5 такихъ же чиселъ; значитъ, члены
+ 85 — 35 можно замѣнить однимъ + 55. Въ многочленѣ II отни-
мается 8 нѣкоторыхъ чиселъ, а прибавляется 3 такихъ же
числа; это все равно, что отнимается 8 — 3, т.-ѳ. 5 такихъ же
чиселъ; значитъ, члены — 85+35 можно замѣнить однимъ — 55.
Такимъ образомъ данные многочлены можно переписать такъ:
I. а + 55 II. а-55
Правило. Чтобы соединить въ одинъ два подобные члена
съ разными знаками, надо изъ большаго коэффиціента вы-
честь меньшій, оставить то же самое буквенное выраженіе
и поставить знакъ большаго коэффиціента.
Если коэффиціенты двухъ подобныхъ членовъ одинаковы,
а знаки разные, то такіе члены, сокращаются, т.-е. ихъ
можно отбросить; напр.: « + 35 — 35 = а.
18. Общій случай, когда въ многочленѣ встрѣчается бо-
лѣе двухъ подобныхъ членовъ съ различными знаками. Тогда
поступаютъ такъ: соединяютъ всѣ положительные подоб-
ные члены въ одинъ, а отрицательные въ другой, и затѣмъ
полученные два члена соединяютъ въ одинъ. Напр.:
I. Ог-\-Ьтх—2т+-7тх-8тх=а-}-(Ътх-\-7тх)—(2тх-^8тх)=
=«+12тж—10тх=а-^2тх
II. 4«а>-[-52— 7ах— Зах-}-2ах= (^ах-\-2ах) — (7«я+3«я;)+52 =
= вах—10«^+52= — 4«я+52=52—4«я?
ОТДѢЛЪ II
Первыя четыре алгебраическія дѣйствія.
Общее замѣчаніе. Всѣ алгебраическія дѣйствія предста-
вляютъ собою преобразованіе одного алгебраическаго выра-
женія въ другое, тождественное первому. Такъ, сложеніе
многочленовъ есть преобразованіе суммы многочленовъ въ
одинъ многочленъ, тождественный съ суммою данныхъ мно-
гочленовъ; умноженіе одночленовъ есть преобразованіе про-
изведенія одночленовъ въ новый одночленъ, тождественный
съ этимъ произведеніемъ, и т. п.
ГЛАВА I.
Алгебраическое сложеніе и вычитаніе.
19. Сложеніе цѣлыхъ одночленовъ состоитъ лишь въ ука-
заніи этого дѣйствія знакомъ-]-и въ приведеніи подобныхъ
членовъ, если они окажутся. Напр., сумма одночленовъ: За,
56, 0,2а, 76 и с выразится такъ: За -|- 56 0,2а 1Ъ с,
что послѣ приведенія подобныхъ членовъ дастъ: 3^а^12Ъ-^-с.
20. Сложеніе многочленовъ. Пусть требуется къ какому-
нибудь числу А приложить многочленъ а—*)
А + (а-& + с-^ [1]
Желая преобразовать это выраженіе, разсуждаемъ такъ:
многочленъ а —6-]"с — й есть разность, въ которой уменьшае-
мое равно а —- 6 4“ ^5 а вычитаемое й; но чтобы прибавить
*) Предполагаемъ, что члены многочлена расположены въ такомъ по-
рядкѣ, при которомъ не встрѣчается невозможнаго вычитанія.
— 15 —
разность, достаточно прибавить уменьшаемое и вычесть вы-
читаемое; поэтому выраженіе [1] можно преобразовать такъ:
2 + (а —6 + с)~й [2]
Многочленъ а—Ъ-\-с есть сумма двухъ слагаемыхъ: а — Ъ
и с; чтобы прибавить сумму, достаточно прибавить каждое
слагаемое отдѣльно одно за другимъ; поэтому выраженіе [2]
преобразуется такъ:
Л + [3]
Наконецъ, чтобы прибавить къ А разность а — Ъ, доста-
точно къ А прибавить а и вычесть 6; поэтому выраженіе [3]
можно представить такъ:
А-\-а— Ъ-\-с — сІ
Правило. Чтобы прибавить многочленъ къ какому-нибудь
числу* достаточно приписать къ этому числу всѣ члены
многочлена одинъ за другимъ съ ихъ знаками (при чемъ предъ
тѣмъ членомъ, при которомъ не стоитъ никакого знака, должно
подразумѣвать знакъ -[“)•
Примѣръ: (За2 - ЪаЪ + &2) + (4а5 — 62 4- 7а2).
То, что мы обозначали прежде буквой Л, дано теперь въ
видѣ многочлена За2 — 5а&4"^2* Примѣняя указанное пра-
вило сложенія, найдемъ:
(За2—5аі+^2)+(4ай-й24-7а2)=(За2---5а5+62)-}-4а5—&2-{-7а2
Въ полученномъ результатѣ скобки могутъ быть отброше-
ны, потому что отъ этого смыслъ выраженія не измѣнится:
За2 - 5а& + 62 4- 4а6 — 62 Ц- 7а2
Приведя въ этомъ многочленѣ подобные члены, получимъ
окончательно:
10а2 — аЪ
21. Если данные многочлены содержатъ подобные члены.*
то полезно писать слагаемыя одно подъ другимъ такъ, чтобы
подобные члены стояли подъ подобными; напр.:
Г Заж2 — Ѵ2а2^
4~ / — 5аж2 4“ Ча*х ~ а3
4 3/4а#2 — 4-°>3а3
— 11/4ая?24~4у2а2^4“І5^а3
— 16 —
22. Вычитаніе цѣлыхъ одночленовъ состоитъ въ указа-
ніи этого дѣйствія знакомъ — и въ приведеніи подобныхъ
членовъ, если они окажутся. Такъ, разность отъ вычитанія
Зт2 изъ 8тп2 выразится: 8?п2— Зт2 = бт2.
23. Вычитаніе многочлена. Пусть требуется изъ какого-
нибудь числа А вычесть многочленъ а — Ъ с *):
А—{а — & + с) [1]
Желая преобразовать это выраженіе, разсуждаемъ такъ:
многочленъ а—есть сумма двухъ слагаемыхъ: а—Ъ и с;
чтобы вычесть сумму, достаточно вычесть каждое слагаемое
одно за другимъ; поэтому выраженіе [1] преобразуется такъ:
А - (а - 5) - с [2]
Чтобы вычесть разность а — Ъ, достаточно прибавить вы-
читаемое и вычесть уменьшаемое; поэтому выраженіе [2]
преобразуется такъ:
А & — а — с или А — а Ъ — с.
Правило. Чтобы вычесть многочленъ, достаточно припи-
сать къ уменьгиаемому всѣ члены вычгьтаемаго съ обратными
знаками.
Если въ многочленахъ есть подобные члены, то вычи-
таемый многочленъ полезно писать подъ уменьшаемымъ, пе-
ремѣняя у вычитаемаго многочлена знаки на обратные; напр.,
вычитаніе:
(7а2 — 2аЪ + 62) — (ба2 — 2&2 + 4а6)
всего удобнѣе располагать такъ:
7а2 —2а& + &2
±-_ ба2 ± 4а6 2&2
2а2 —6а& + 3&2
(въ вычитаемомъ многочленѣ верхніе знаки поставлены тѣ,
какіе были даны, а внизу они перемѣнены на обратные).
24. Раскрытіе скобокъ, предъ которыми стоитъ знакъ +
или — . Пусть требуется раскрыть скобки въ выраженіи:
2а-|—(а—ЗЪ—|—с)—(2а—Ъ—2с).
*) Предполагаемъ, что члены многочлена расположены въ такой послѣ-
довательности, при которой не встрѣчается невозможнаго вычитанія.
- 17 —
Это надо понимать такъ, что требуется надъ многочле-
нами, стоящими внутри скобокъ, произвести тѣ дѣйствія,
которыя указываются знаками передъ скобками. Произведя
эти дѣйствія пй правиламъ сложенія и вычитанія, получимъ:
2а—36— 2а4~6—• 2с = а-- 26 —с
Изъ правилъ сложенія и вычитанія многочленовъ слѣдуетъ,
что, раскрывая скобки, предъ которыми стоитъ мы не Дол-
жны измѣнять знаковъ внутри скобокъ, а раскрывая скобки,
предъ которыми стоитъ знакъ—, мы должны передъ всѣми чле-
нами, стоящими внутри скобокъ, измѣнить знаки на обратные.
Пусть еще требуется раскрыть скобки въ выраженіи:
Юр - [Зр + (5р - 10) - 4].
Для этого раскроемъ сначала внутреннія скобки, а затѣмъ
внѣшнія:
Юр — [Зр-|-бр—10 — 4]=10р — Зр — 5р4-10+4г=2р+14.
Можно поступать и въ обратномъ порядкѣ, т.-е. сначала
раскрыть внѣшнія скобки, а потомъ внутреннія. Раскрывая
внѣшнія скобки, мы должны принимать многочленъ, стоящій
во внутреннихъ скобкахъ, за одночленъ и поэтому не дол-
жны измѣнять знаковъ внутри этихъ скобокъ:
Юр — [ЗрД- (5р —10) — 4] = Юр — Зр — (5р — 10) + 4 =
Юр - Зр —5р4-Ю4-4 = 2р + 14.
25. Заключеніе въ скобки. Для преобразованія многочлена
часто бываетъ полезно заключить въ скобки совокупность
нѣкоторыхъ его членовъ, причемъ передъ скобками иногда
желательно поставить 4"? т-“е- изобразить многочленъ въ
видѣ суммы, а иногда —, т.е. изобразить многочленъ въ
видѣ разности. Пусть, напр., въ многочленѣ а~}-Ъ — с мы
желаемъ заключить въ скобки два послѣдніе члена, поста-
вивъ передъ скобками знакъ Д- Тогда пишемъ такъ:
а & __ с — а (5 __ с) ?
т.-е. внутри скобокъ оставляемъ тѣ же знаки, какіе были
въ данномъ многочленѣ. Что такое преобразованіе вѣрно,
убѣдимся, если раскроемъ скобки по правилу сложенія; тогда
получимъ снова данный многочленъ.-
А. Киселевъ. Алгебра.' 2
— 18- —
Пусть въ томъ же многочленѣ а Ъ — с требуется заклю-
чить въ скобки два послѣдніе члена, поставивъ передъ скоб-
ками знакъ минусъ. Тогда пишемъ такъ:
с = а~ (~Ь-\ж^ = а— (с~Ь')>
т.-е. внутри скобокъ передъ всѣми членами перемѣняемъ
знаки на обратные. Что такое преобразованіе вѣрно, убѣ-
димся, если раскроемъ скобки по правилу вычитанія; тогда
получимъ снова данный многочленъ.
ГЛАВА II.
Отрицательное число и нуль.
26. Заключая въ скобки часть многочлена, мы можемъ
иногда встрѣтить затрудненіе, а именно тогда, когда эта
часть многочлена представляетъ собою невозможную раз-
ность. Напр.. нельзя написать безъ особыхъ условій:
104-2~5 = і0 + (2-5),
потому что разность 2 — 5 невозможна.
Чтобы имѣть возможность заключать въ скобки какую
угодно часть многочлена независимо отъ численныхъ значе-
ній буквъ, а также и для другихъ цѣлей, которыя выяснятся
впослѣдствіи, въ алгебру вводятъ нѣкоторыя условія.
27. Условія. 1) Разность между одинаковыми числами
принимается равной 0. Такъ: 7 — 7=0.
2) Разность между меньшимъ числомъ и большимъ прини-
мается равной избытку большаго числа надъ меньшимъ, взя
тому со знакомъ минусъ. Такъ: 7—10= — 3; р-(р-]-д)=—д
Число съ предшествующимъ ему знакомъ минусъ называет-
ся отрицательнымъ', абсолютной величиной отрицательнаго
числа наз. это число, взятое безъ знака. Такъ, абсолютная
величина числа—-3 есть 3. Обыкновенное число часто называ-
ютъ положительнымъ'^ передъ нимъ иногда ставятъ знакъ
Слѣдствія. 1) Придать къ числу 0 значитъ оставить это
число безъ измѣненія.
— 19 —
Дѣйствительно, изъ условія 7—7=0 по опредѣленію вы-
читанія слѣдуетъ:
вычитаемое остатокъ уменьшаемое
7 + 0 = 7
2) Придать отрицательное число значитъ вычесть его
абсолютную величину.
Дѣйствительно, изъ условія 7—10——3, по опредѣленію
вычитанія, слѣдуетъ:
вычитаемое остатокъ уменьшаемое
10 + (—3) = 7
3) Вычесть изъ числа 0 значитъ оставить это число
безъ измѣненія', такъ, 7—0=7.
Дѣйствительно, по опредѣленію вычитанія, вычесть 0 изъ
7 значитъ найти такое число, которое при сложеніи съ 0
даетъ въ суммѣ 7; а такое число есть само 7.
4) Отнять отрицательное число значитъ придать его
абсолютную величину*, такъ, 7— (—3)=7 —[—3=10.
Дѣйствительно, вычесть—3 изъ 7 значитъ, по опредѣле-
нію вычитанія, найти такое число, которое при сложеніи
съ—3 даетъ въ суммѣ 7; такое число есть 10, такъ какъ
10-|-(-3) = 7.
28. Первое значеніе этихъ условій. При помощи поставлен-
ныхъ нами условій можно заключать въ скобки какую угодно
часть многочлена при всякихъ значеніяхъ буквъ. Напр., ра-
венство:
Ю-4-2 — 5=10-|-(2 — 5)
вѣрно, потому что лѣвая его часть составляетъ 7 и правая
равна 10—(—3)=10 —3—7. Точно такъ же вѣрно равенство:
Ю —2-4-5=10-(2 —5),
потому что 10 —2-1-5 = 13 и 10 - (2 - 5) = 10 - (— 3) =
104-3=13.
Вообще, формулы сложенія и вычитанія: а4~(6—с)—а-\-
4-6 — с и а—(б — с)—а — Ь-\-с остаются вѣрными и въ томъ
случаѣ, когда Ъ<^с или Ъ=с.
2*
— 20 -
29. Второе значеніе этихъ условій. При помощи отрица-
тельныхъ чиселъ всякій многочленъ можно представить въ
видѣ суммы. Напр., 20— 5—{—3—7 можно написать такъ:
20+(-5)+3+(-7) или: Ц-20+(-б)+(+3)+(-7)
Наоборотъ, сумму можно представить въ видѣ разности*,
такъ, сумму 8-|-2 можно написать:
8—(—2) или. (-4-8)—(—2).
Впослѣдствіи мы увидимъ, что возможность изображать
сумму въ видѣ разности или разность въ видѣ суммы имѣетъ
весьма большое значеніе въ алгебрѣ.
Замѣтимъ, что сумма, въ которой слагаемыя могутъ быть
числами положительными, отрицательными и равными нулю,
наз. алгебраическою суммою въ отличіе отъ ариѳметической,
въ которой слагаемыя всегда числа положительныя. Подобно
этому алгебраическою разностью называется такая разность,
въ которой уменьшаемое и вычитаемое могутъ быть числами
положительными, отрицательными и равными нулю.
Вообще, буквенное выраженіе, въ которомъ буквы могутъ
означать числа положительныя, отрицательныя и равныя
нулю, называется алгебраическимъ количествомъ.
Алгебраическая сумма, какъ и ариѳметическая, обладаетъ
свойствомъ перемѣстительности, т.-е. она не зависитъ отъ
порядка слагаемыхъ; такъ: 3-|-(—2)=(—2)-(-3.
30. Третье значеніе этихъ условій При помощи положи-
тельныхъ и отрицательныхъ чиселъ есть возможность раз-
сматривать совмѣстно такъ называемыя противоположныя
величины, напр., выигрышъ и проигрышъ, прибыль и убы-
токъ, имущество и долгъ, температуру выше 0° и темпера-
туру ниже 0°, движеніе впередъ и движеніе назадъ и т. п.
Для уясненія возьмемъ нѣкоторые примѣры.
Примѣръ 1. Нѣкто сыгралъ 4 игры. Въ первую онъ вы-
игралъ 2 руб., во вторую проигралъ 5 руб., въ третью про-
игралъ 4 руб., въ четвертую выигралъ 3 руб. Спрашивается
сколько игрокъ выигралъ или проигралъ за 4 игры?
При обыкновенномъ способѣ рѣшенія этой задачи прихо-
дится совершать два дѣйствія: сложеніе и вычитаніе. Отри-
цательныя числа позволяютъ замѣнить эти два дѣйствія
— 21 —
однимъ: сложеніемъ. Условимся обозначать выигрышъ поло-
жительными числами, а проигрышъ отрицательными, и раз-
сматривать проигрышъ, какъ отрищліпельный выигрышъ.
Тогда мы можемъ высказать нашу задачу такъ:
Нѣкто сыгралъ 4 игры. Въ первую онъ выигралъ-[-2 руб.,
во вторую выигралъ—5 руб., въ третью выигралъ—4 руб.,
въ четвертую выигралъ -{-3 рубля. Какъ великъ весь вы-
игрышъ?
> Для рѣшенія задачи сложимъ всѣ выигрыши:
4-2+(-4)-|-(-{-3)=(-і-5)-|..(- 9)=—4
Выигрышъ оказался —4 руб., т.-е., другими словами, за
4 игры было проиграно 4 рубля.
Примѣръ 2. Купецъ велъ три торговыя дѣла; въ первомъ
онъ получилъ прибыли 4000 рублей, во второмъ—убытка
3500 руб., въ третьемъ—прибыли 2700 руб. Сколько при-
были или убытка получилъ купецъ во всѣхъ трехъ дѣлахъ?
Условимся обозначать прибыль положительными числами,
а убытокъ отрицательными, и' разсматривать убытокъ, какъ
отрицательную прибыль. Тогда мы можемъ высказать за-
дачу такъ:
Купецъ велъ три торговыя дѣла; въ первомъ онъ полу-
чилъ прибыли 4-4000 руб., во второмъ — 3500 руб., и въ
третьемъ -{-2700 руб. Сколько всего получилъ онъ прибыли?
Для рѣшенія задачи надо сложить всѣ три прибыли:
^_|_4000-|-(—3500)^-(-|~270С))=~І--67()0--|_(—3500)=
—6700—3500=1-3201)
Такимъ образомъ, купецъ получитъ прибыли 3200 руб,
Примѣръ 3. Старшій братъ имѣетъ имущества на 15000
рублей; младшій братъ не имѣетъ имущества, а, наоборотъ,
состоитъ должнымъ 2000 руб. Насколько старшій брать
имѣетъ болѣе, чѣмъ младшій?
Условимся обозначать имущество положительными числа-
ми, а долгъ отрицательными, и разсматривать долгъ, какъ
отрицательное имущество. Тогда мы можемъ высказать за-
дачу такъ:
Старшій братъ имѣетъ имущества па 15000 руб., а млад-
шій на—2000 руб. На сколько у старшаго больше, чѣмъ у
младшаго?
— 22 —
Для рѣшенія задачи надо изъ имущества старшаго брата
вычесть имущество младшаго:
15000—(—2000)=15000+2000—17000
Старшій братъ имѣетъ болѣе младшаго на 17000 руб.
Возможность разсматривать совмѣстно противоположныя
величины позволяетъ во многихъ случаяхъ обобщать вопро-
сы, т.-е. нѣсколько отдѣльныхъ частныхъ вопросовъ соеди-
нять въ одинъ общій.
30, а. Обобщеніе правилъ сложенія и вычитанія. Выведенныя нами правила
сложенія и вычитанія распространяются и на многочлены алгебраическіе,
т.-е. такіе, у которыхъ буквы означаютъ числа какія угодно. Въ этомъ
легко убѣдиться провѣркою. Пусть, напр., требуется доказать, что ра-
венство:
Ь—с)-—-А—^--а—]—&—с
остается вѣрнымъ и въ томъ случаѣ, когда подъ буквами а, Ъ и с бу-
демъ разумѣть числа отрицательныя или равныя нулю. Предположимъ,
напр., что а~—3, —2 и с=—8. Подставивъ эти значенія въ обѣ части
написаннаго выше равенства, получимъ:
И+[-3+(-2)-(-8)]=Л+(-3)+(-2)-(-8)
что, согла/^о условіямъ о сложеніи п вычитати отрицательныхъ чиселъ,
дастъ:
2—{—8]=^1—3—2—8
Это равенство вѣрно, потому что, приложивъ къ А многочленъ —3—2-)-8
дѣйствительно получимъ А—3—2-|-8.
Такъ же убѣдимся, что равенство:
А— с)—А—-а-~- Ъ-\-с
остается вѣрнымъ и въ томъ случаѣ, когда подъ буквами а, Ъ и с будемъ
нодразумѣвать числа отрицательныя или равныя нулю,
ГЛАВА III.
Алгебраическое умноженіе.
31. Основныя истины. Алгебраическое умноженіе цѣлыхъ
одночленовъ основывается на слѣдующихъ извѣстныхъ изъ
ариѳметики истинахъ (§ 8):
— 23 —
1) Произведеніе не измѣняется отъ перемѣны мѣстъ со-
множителей.
2) Чтобы умножить на произведеніе, достаточно умно-
жить на перваго сомножителя, полученный результатъ на
второго сомножителя и т. д.
3) Сомножителей произведенія можно соединять въ какія
угодно группы.
32. Умноженіе степеней одного и того же числа. Пусть надо
умножить а4 на а3; другими словами, требуется умножить
а4 на произведеніе трехъ сомножителей: ааа. Для этого до-
статочно умножить а1 на а, полученный результатъ еще на
а и что получится—снова на а. Слѣд.:
аіа9—а\ааа)-=ааааааа—аі+3—а'1
”» разъ « разъ
Вообще: атап=ааа....а . ааа....а—ат+п
Правило. При умноженіи степеней одного и того же
числа показатели ихъ складываются.
Примѣры: 1) аав=а6+1=а7; 2) ті0т3—ті0+3==т1!і
3) --^2п-}-Зп-діЪп
4) рг-^рг^-2—р(г-2)^-(г-\-2)—уг—2-НЧ-2—р2г
33. Умноженіе цѣлыхъ одночленовъ. Пусть дано умножить
3&2й3с на 5а364й2. Такъ какъ 5а3&4й2 есть произведеніе
5.а3.64.й2, то для умноженія За263с на 5^364й2 достаточно
умножить множимое на 5, результатъ на а3 и т. д. Зна-
читъ:
(За2й3с)(5^3й4бг2)=(За2г>3с)5б^3*4бг2=За2г?3с 5а3й4й2
Въ полученномъ произведеніи мы можемъ соединить со-
множителей въ такія группы:
(3.5)(а2а3)(&364)сй2=15а557сбг2.
Правило. Чтобы перемножить цѣлые одночлены, доста-
точно перемножить ихъ коэффиціенты, сложить показа-
телей одинаковыхъ буквъ, а тѣ буквы, которыя входятъ
только въ' одного сомножителя, перенести въ произведеніе
съ ихъ показателями.
— 24 -
Примѣры: 1) (О,7а3«у2)(3а4 * *ж2)=2,1а7«3у2;
3) (1.2€Гт’!~4)(3/,а??г)=0,9б4,'+1ти.
84. Умноженіе многочлена на одночленъ и обратно. Пусть
дано умножить многочленъ Ог\-Ъ—с па одночленъ т:
(а-^-Ь—срп
Желая преобразовать это выраженіе, разсмотримъ отдѣль-
но слѣдующіе 3 случая:
1) т есть цѣлое число, напр., т=3. Умножить а-\-Ъ—с
на 3 значитъ повторить а-\-Ъ—с слагаемымъ 3 раза; поэтому-
(^Дб--с)з^(«-д&--с)-Д(«-Дб-—с)-Д(«-Дб—с)
—а-\-Ъ—с-До-Дб—с-\-а-\-Ъ—с^За-^ЗЪ—Зс.
2) т есть дробь, у которой числитель равенъ 1, напр.,
т—1).. Умножить а-+-Ъ—с па 1/3 значитъ найти Д3 отъ
о-Дб—с. Докажемъ, что Д- отъ о-Дб—с равна 7В-ДД5—7в-
Чтобы убѣдиться въ этомъ, посмотримъ, что получится, когда
мы умножимъ 78~Д7в—7в иа если въ произведеніи полу-
чимъ а-\-Ь—с, то, значитъ, пятая часть отъ а-Дб—с есть
дѣйствительно аІ--,-\-ъІь—СІ5- Такъ какъ 5 есть число цѣлое,
то для умноженія многочлена в/5-ДѴ5—7в на & достаточно
умножить па 5 каждый членъ этого многочлена (какъ слѣ-
дуетъ изъ перваго случая):
(и , Ь с\ н а Ъ „ с „ ,,
—------I . 5 = — . о Д—. э-. э = д-Дб— с
\5 1 5 5/ 5.5 5
„ . .... 1 а , Ъ с 1 , . 1 1
Значитъ: (ар-о—с)- = — -]--- — а . До . —.— с . —
•і о 5 о 5 о о
3) т есть дробь какого угодно вида, напр., т==Чъ. Умно-
жить а-\-Ь —с иа 7/5 значитъ найти 7/5 отъ «-Д6—с, для чего
достаточно найти отъ а-\-Ъ—с и результатъ умножить на 7.
Но ‘/5 отъ а-Дб—с, по доказанному, равна 7в4-}/5—'"/&> слѣд.,
7/3 отъ а-Дб—с равны (75-Д75—7в) Ч такъ какъ 7 есть число
цѣлое, то для умноженія 75-Д7в—7б на ? достаточно умно-
жить на 7 каждый членъ этого многочлена:
— 25 —
74~— •
5 Г5
г- с 7 . . 7
7 — _. 7 = а. --к-б.----------------с.
5 5 ' 5
Значитъ: (а-|-б— с) — — а. —рб.---с. —
5 5 5 5
Такимъ образомъ, какова бы ни была численная величина
одночлена т, всегда:
(а4- Ь — с) т = аті Ът — ст
Правило. Чтобы умножить многочленъ на положительный
одночленъ, достаточно умножить на этотъ одночленъ ка-
ждый членъ многочлена (причемъ знаки множимаго не измѣ-
няются) .
Такъ какъ произведеніе пе измѣняется отъ перемѣны
мѣстъ сомножителей, то это правило примѣнимо также и къ
умноженію одночлена на многочленъ.
Примѣры.
1) (а2—аб4-б2)3а=а2(3а) - (аб)(3а)+б2(3о)=3а3-3«2б-|-3аб2
2) (7®8-р/4а®-0,3)(2,1аг®)=(7®8)(2,1а2ж)-|-(3/4аж)(2,1а2®)—
—(О,3)(2,1а2ж)=:14,7а2ж5-4-1,575а3ж2—0,63а2®
35. Умноженіе многочлена на многочленъ. Пусть дано
умножить:
(а б — с) (й — е)
Разсматривая множимое, какъ одночленъ, можемъ сдѣлать
умноженіе по правилу умноженія одночлена на многочленъ:
(аЦ-б — с)(с? — е) — (а-\-Ъ — с) й — (а-|-б — с)е
Разсматривая теперь а-\-Ъ— с, какъ многочленъ, можемъ
вторично примѣнить правило умноженія многочлена на одно-
членъ:
(а-\-Ь—с) (й—е)=асік-|-бй—сд,—(ае-)-бе—се)
Наконецъ, раскрывъ скобки по правилу вычитанія, получимъ:
(а+ Ь—с)(й—е)=ай-Ь Ъ<1—сЛ—ае—Ъе+се
Всматриваясь въ полученный результатъ, можемъ замѣ-
тить слѣдующее правило:
Правило. Чтобы умножить многочленъ на многочленъ, до-
статочно каждый членъ множимаго умножить на каждый
— 26 —
членъ множителя и тѣ произведенія, которыя произошли
отъ умноженія положительныхъ или отрицательныхъ чле-
новъ, взять со знакомъ-]-, а тѣ, которыя произошли отъ
умноженія положительнаго члена на отрицательный или
отрицательнаго на положительный, взять со знакомъ—.
Правило знаковъ сокращенно выражаютъ такъ: при умно-
женіи одинаковые знаки даютъ-]-, разные знаки даютъ—.
Замѣчаніе о порядкѣ умноженія. Чтобы при умноженіи
многочленовъ не пропуститъ ни одного произведенія, полезно
всегда держаться одного какого-нибудь порядка умноженія,
напр., умножить сначала всѣ члены множимаго на 1-й чл.
множителя, затѣмъ всѣ члены множимаго на 2-й членъ мно-
жителя и т. д.
Примѣры: 1) (а—&)(т—п—р) =ат—Ът—ап-]-Ъп—ар-]-Ър;
2) (х'і-уі)(х-]-у') = х-х—у2х-]-х2у—угу —
— х3-уЬ)-]-х2у—у3:>
3) (Зап4~2н2—4а2) (п2—5ап)=(Зап)п2-|-(2п2)'п2—
—(4а2)п2— (Загі) (бап)—(2п2) (бап)-|-(4а2) (багі) —
4а2п2—15а2п2—10ап3-]-20а3п =
== — 7ап3-)-2и4—19а2п2-|-20а3п;
4) (2а2—З)2 = (2а2—3)(2а2—3) = (2а2)2-3(2а2) —
—3(2а2Н~9=4а4—6а2—6а2+9==4а«—12а2-|-9.
36. Для упражненія въ примѣненіи правила знаковъ ино-
гда задаютъ примѣры умноженія отрицательныхъ членовъ,
взятыхъ отдѣльно, а также примѣры умноженія многочле-
новъ на отрицательные члены, взятые отдѣльно. Напр.
1) (4ая&3)(—7а6«)= - 28ап+Ѣ”+3-, 2) (—3,5«2?/)(3/4ж3)= — 21/8®3?/;
3) (бж”-1—3.г'и-2-|-1)(—2ж)= — 10хп-]-6хп~і—2х.
ГЛАВА IV.
Умноженіе отрицательныхъ чиселъ.
37. Условія. 1) Перемножить два какія угодно числа зна-
читъ перемножить ихъ абсолютныя величины и произведе-
ніе взять со знакомъ-]-, если оба, сомножителя имѣютъ
— 27 —
одинаковые знаки, и со знакомъ—, если они имѣютъ раз-
ные знаки.
Такъ: (+3)(-2)= - 6; (—2) (4-5)=: — 10; (-4) (~6)=+24;
(+2)(+3)—+6-
2) Если одинъ или оба сомножителя нули, то произ-
веденіе принимается равнымъ нулю, т.-е. а. 0=0, 0. а—0,
0.0=0.
Замѣтимъ, что эти условія находятся въ согласіи съ пе-
ремѣстительнымъ свойствомъ умноженія, по которому про-
изведеніе не измѣняется отъ перемѣны мѣстъ сомножителей;
дѣйствительно:
( +$)( —Ь)=—аЪ и ( —-&)( -\-сі)=—Ъа——аЪ
( — а)( и ( —а)=~^Ъа~чгад
0.а=0 и а.0=0
38. Значеніе этихъ условій. При соблюденіи этихъ усло-
вій правила умноженія многочленовъ можно примѣнять и
въ томъ случаѣ, когда численная величина многочлена отри-
цательна или равна 0. Умножимъ, напр., разность 5—7 на
3 по правилу умноженія многочлена на одночленъ:
(5—7)3=5.3—7.3
Это равенство вѣрно, потому что
(5—7)3=(~—2)3=—6 и 5.3—7.3=15—21=—6
Умножимъ еще 7—10 на 3—5 по правилу умноженія мно-
гочлена на многочленъ:
(7—10)(3—5)=7.3—10.3—7.5+10.5
Это равенство тоже вѣрно, потому что (7—1<3) (3—5)=
=(—3)(— 2)=+6 и правая часть равенства равна: 21—30—
—35+50=+6.
39. Знакъ произведенія. Когда перемножается нѣсколько
чиселъ, изъ которыхъ нѣкоторыя (или всѣ) отрицательныя,
то произведеніе окажется со знакомъ + въ томъ случаѣ,
когда отрицательныхъ сомнозюителей четное число, и со
знакомъ—въ томъ случаѣ, когда этихъ сомножителей не-
четное число. Пусть, напр., дано вычислить произведеніе:
— 28 —
( —-2)( +3)( — 5)( —10) ( —4)( — 2), въ которомъ отрицатель-
ные сомножители входятъ въ четномъ числѣ. Произведя
послѣдовательно умноженія по даннымъ выше правиламъ,
найдемъ: ( — 2)(Ц-3)= -6; ( -6)( -б) = 4-30; (4-30)(4-10) =
=4-300; (4-300) (-4) = —1200; (—1200) ( — 2)=Ц- 2400.
Пусть теперь дано вычислить произведеніе: (— 2)(—1)
(4~3) (—4), въ которомъ отрицательные сомножители вхо-
дятъ въ нечетномъ числѣ; произведя послѣдовательно умно-
женія, получимъ:
(-2)(-1)=4-2; (+2) (+3)=+б; (+6) (-4)=-24
Чтобы убѣдиться въ общности этого свойства, примемъ
во вниманіе слѣдующія два свойства произведенія:
1) Отъ умноженія на положительное число знакъ мно-
жимаго не измѣняется (4“ на даетъ 4ъ — на 4“ даетъ
—), а отъ умноженія на отрицательное число онъ перемѣ-
няется (4- на — даетъ —; — на — даетъ Ц-)?
2) Не измѣняя пи величины, ни знака произведенія, мы
можемъ въ началѣ его приписать множителя 4" 4 такъ,
произведенія (4~2)(—3) и (—2)(—3) одинаковы съ такими:
(+1)(4-2)(-3) и (+1)(-2)(-3).
Замѣтивъ это, возьмемъ произведеніе:
4|-1)а6сй........................ '
въ которомъ нѣкоторые сомножители числа отрицательныя.
Отъ умноженія 4*1 послѣдовательно на а, знакъ
4~ перемѣнится столько разъ, сколько встрѣтится отрица-
тельныхъ множителей; значитъ, если этихъ множителей чет-
ное число, то знакъ 4" перемѣнится четное число разъ, а
если ихъ нечетное число, то и знакъ 4“ перемѣнится не-
четное число разъ. Но, очевидно, что знакъ 4"? измѣнив-
шись четное число разъ, остается 4ъ а измѣнившись не-
четное число разъ, онъ дѣлается —. Отсюда выводится
указанное выше свойство.
40. Обобщеніе правила умноженія многочленовъ. Легко также показать, что
правила умноэюенія многочленовъ примѣнимы и къ такимъ много*
— 29 —
членамъ, у которыхъ члены числа отрицательныя или равныя нулю.
Въ этомъ легко убѣдиться повѣркою. Возьмемъ, напр., два многочлена
а—Ъ и с—и умножимъ ихъ по извѣстному правилу:
(а—Ъ) (с—(Іу=ас—Ъс—а&\-Ъй
Теперь предположимъ, что какой-нибудь членъ, напр., &, сдѣлался отри-
цательнымъ числомъ. Пусть, напр., Ъ~—3. Подставивъ—3 на мѣсто & въ
обѣ части равенства, получимъ:
[а-(—3)] (с-О)=ас-(—3)с—а<Ц- (—3)й
или: ($~]—3) (с—а)=^ас—(—Зс)—ай—]—(—Зй)
наконецъ: —б?)=$С-|-Зс—ай—3(1.
Это равенство вѣрно, потому что, умноживъ аЦ-3 на с—й, получимъ,
дѣйствительно, ас-\-Зс—ай—Зй.
41. Обобщеніе правила умноженія одночленовъ. Легко убѣдиться, что пра-
вило умноженія одночленовъ примѣнимо и въ томъ случаѣ, когда
буквы означаютъ числа отрицательныя или равныя нулю. Разъ-
яснимъ, напр., что истина, на которой основанъ выводъ этого правила,
именно неизмѣняемость произведенія отъ перемѣны мѣстъ сомножителей,
остается вѣрною и тогда, когда сомножители будутъ числа отрицательныя
или равныя нулю.
Пусть имѣемъ произведеніе аЪсй, въ которомъ всѣ сомножители—числа
обыкновенныя. Тогда, какъ мы знаемъ, сомножителей можно переставлять
какъ угодно, не измѣняя произведенія, т.-ѳ. можно написать:
аЪсй=асЪй=айЪс=сЪай....
Положимъ теперь, что одинъ изъ сомножителей, напр. Ъ, сдѣлался отри-
цательнымъ числомъ. Отъ этого написанное выше равенство не нарушится,
потому что всѣ произведенія сдѣлаются отрицательными, а абсолютныя ве-
личины у нихъ будутъ равны. Если другой сомножитель, напр. с, сдѣлается
отрицательнымъ, то равенство опять не нарушится, потому что отъ этого
всѣ произведенія перемѣнятъ знакъ (т.-ѳ. сдѣлаются теперь положитель-
ными), а абсолютныя величины у нихъ будутъ равны. Такъ же убѣдимся,
что равенство не нарушится, если и другіе сомножители сдѣлаются отри-
цательными. Оно, очевидно, не нарушится и тогда, когда одинъ или нѣ-
сколько сомножителей сдѣлаются равными 0.
Г Л А В А V.
Умноженіе расположенныхъ многочленовъ.
42. Опредѣленіе. Расположить многочленъ по степенямъ
какой-нибудь буквы значитъ написать его члены въ такомъ
порядкѣ^ чтобы показатели этой буквы увеличивались или
уменьшались отъ перваго члена къ послѣднему
— 30 —
Такъ, многочленъ 1-]-2а;-|2Зж2—х*—і/^хі расположенъ по
возрастающимъ степенямъ буквы х. Тотъ же многочленъ
будетъ расположенъ по убывающимъ степенямъ буквы х, если
члены его напишемъ въ обратномъ порядкѣ: — і/2хі-х3-\-
4-Зж4-2я4-1.
Буква, по которой расположенъ многочленъ, наз. главною
его буквой. Когдачлены многочлена содержатъ нѣсколько буквъ
и ни одной изъ нихъ не приписывается какого-либо особен-
наго значенія, то безразлично, какую изъ нихъ считать за
главную.
Членъ, содержащій главную букву съ наибольшимъ пока-
зателемъ, наз. высшимъ членомъ многочлена; членъ, содер-
жащій главную букву съ наименьшимъ показателемъ, или не
содержащій ея вовсе, наз. низшимъ членомъ многочлена.
Чтобы расположить такой многочленъ, въ которомъ есть нѣсколько
членовъ съ одинаковыми показателями главной буквы, надо заключить эти
члены въ скобки и вынести за скобку общимъ множителемъ главную букву
съ ея показателемъ. Напр.:
Ъах*~4а2о;2—У2аж2-^8а3#-|-1
= 2аж3™(4а2^2Ц-1/2аж2)~-8а3^-|-1
= 2аж3— (4а2-|-1/2а)ж2--8а3а;-|-1
Двучленъ 4а2-}-1/2а должно въ этомъ случаѣ разсматривать, какъ коэф-
фиціентъ при ж2.
43. Умноженіе расположенныхъ многочленовъ всего удобнѣе
производить такъ, какъ будетъ указано на слѣдующемъ при-
мѣрѣ:
(Зх—5-рж2—ж3) (2—8я;2-Нг)
—ж3-{-7ж2“]-Згц—5
—8ш24-яЧ~2
8ж3—ббя;4—24ж3-|-40ж2...........произв. множимаго на—8ж’
— ж44~ 7ш3-|- Зш2 — 5х.......произв. множимаго на-]-ж
— 2х3Ц-14о:24-6ж—Ю... произв. множимаго на-)-2
8ж3—57ж4—19ж3-)-57^24- #—10... полное произведеніе.
Расположивъ оба многочлена по убывающимъ степенямъ
одной и той же буквы, пишутъ множителя подъ множимымъ
и подъ множителемъ проводятъ черту. Умножаютъ всѣ члены
— 31 -
множимаго на 1-й членъ множителя и полученное частное
произведеніе пишутъ подъ чертою. Умножаютъ затѣмъ всѣ
члены множимаго на 2-й членъ множителя и полученное вто-
рое частное произведеніе пишутъ подъ первымъ частнымъ
произведеніемъ такъ, чтобы подобные члены стояли подъ по-
добными. Такъ же поступаютъ при умноженіи всѣхъ членовъ
множимаго на слѣдующіе члены множителя. Подъ послѣд-
нимъ частнымъ произведеніемъ проводятъ черту; подъ этою
чертою пишутъ полное произведеніе, складывая всѣ частныя
произведенія.
Можно также оба многочлена расположить по возрастаю-
щимъ степенямъ главной буквы:
— б-І-За?-}- 7а;2— х3
2 х—8х*
—ЮЦ-бж-рПж2— 2а;3
—ба;-}- За;2Ц- 1х3—х*
-]-40а;2—24а;3—Ьбх 4-|-8а;3
“10-4- а?+б7а;2—19а;3—б7^4-)-8а;5
Удобство этихъ пріемовъ, очевидно, состоитъ въ томъ,
что подобные члены располагаются другъ подъ другомъ и,
слѣд., ихъ не нужно отыскивать.
Когда въ данныхъ многочленахъ не достаетъ нѣкоторыхъ
промежуточныхъ членовъ, то на мѣстахъ этихъ членовъ
полезно оставлять пустыя пространства для болѣе удобнаго
подписыванія подобныхъ членовъ; напр.:
а3 „ -[“ба —3... (нѣтъ члена съ а2)
а2 ~\-2а —1
а3 4-ба3—За2
+2а4 +10а2- 6а
—а3 — ба-|—3
' а5+2а4+4а34-7а2 —11а-|-3 ’
44. Высшій и низшій члены произведенія. Изъ разсмо-
трѣнія примѣровъ умноженія расположенныхъ многочленовъ
слѣдуетъ:
Высшій членъ произведенія равенъ произведенію высшаго
члена множимаго на высшій членъ множителя; низшій членъ
— 32 —
произведенія равенъ произведенію низшаго члена множимаго
на низшій членъ множителя.
Остальные члены произведенія могутъ получиться отъ со-
единенія нѣсколькихъ подобныхъ членовъ въ одинъ. Можетъ
даже случиться, что въ произведеніи, послѣ приведенія въ
немъ подобныхъ членовъ, всѣ члены сократятся, кромѣ выс-
шаго и низшаго. Напр.:
х^-ах^-а^х^а^х-^-а1
х—а
х?-\-ах !і~\-а^х 3-|-а
—ах4—а^х3— а Зх2—а г^х—а*
__// 5
«Л/ „ ,, „ „ и/
45. Число членовъ произведенія. Пусть во множимомъ 5,
а во множителѣ 3 члена. Умноживъ каждый членъ множимаго
на 1-й членъ множителя, получимъ 5 членовъ произведенія;
умноживъ каждый членъ множимаго па 2-й членъ множителя,
получимъ еще 5 членовъ произведенія, и т. д.; значитъ всѣхъ
членовъ произведенія будетъ 5.3, т.-е. 15. Такимъ образомъ,
число членовъ произведенія, до соединенія въ немъ подобныхъ
членовъ, равно произведенію числа членовъ множимаго на
число членовъ множителя.
Такъ какъ высшій и низшій члены произведенія не могутъ
имѣть подобныхъ членовъ, а всѣ прочіе могутъ сократиться,
то наименьшее число членовъ произведенія, послѣ приведенія
въ немъ подобныхъ членовъ, равно 2.
ГЛАВА VI.
Нѣкоторые случаи умноженія двучленовъ.
46. Полезно обратить особое вниманіе на слѣдующіе 5
случаевъ умноженія двучленовъ;
I. Произведеніе суммы двухъ чиселъ на ихъ разность
равно разности квадратовъ тѣхъ же чиселъ; т.-е.
(а+6) (а—5)=а2—&2
Дѣйствительно: (а-]-&)(а—&)=а2-|-д&——Ъ\
П. Квадратъ суммы двухъ чиселъ равенъ квадрату пер-
— 33 —
ваго числа, плюсъ удвоенное произведеніе перваго числа на
второе, плюсъ квадратъ второго числа; т.-е.
(а+&)2= а2+2аЬ+Ь2.
Дѣйствительно: (а-^б)2=(а-]-б)(а4-б)==а24-а&-)-а&-|-52
=а2+2а6-р2.
III. Квадратъ разности двухъ чиселъ равенъ квадрату пер-
ваго числа, минусъ удвоенное произведеніе перваго числа на
второе, плюсъ квадратъ второго числа-, т.-е.
(а—Ъ')2=а2—2аЬЧЪ\
Дѣйствительно: (а—ЪУ—іа—б)(а—ЪУ—а^—аЬ—аЪ-\-Ъ2
=а*-2аб-\-Ь2- ~ ~
ГѴ*. Кубъ суммы двухъ чиселъ равенъ кубу перваго числа,
плюсъ утроенное произведеніе квадрата перваго числа на
второе, плюсъ утроенное произведеніе перваго числа на ква-
дратъ второго, плюсъ кубъ второго числа; т.-е.
(аЧ-Ь)3=а3+За2& -Н?а&2+&3.
Дѣйствительно:
=а34-2а2^-}-а52+а2й4-2а52+^8=:а8-|-За2г>-]-Заг>2-4-г>3.
V. Кубъ разности двухъ чиселъ равенъ кубу перваго числа,
минусъ утроенное произведеніе квадрата перваго числа на
второе, плюсъ утроенное произведеніе перваго числа на ква-
дратъ второго, минусъ кубъ второго числа; т.-е.
{а—Ьу^а?—За2ЪЧЗаЬ2—Ь2.
Дѣйствительно: (а—Ъ}3=(а—Ъ)\а—б)=(а2— 2аб-)-б2)(а—&)=
=а3-2а2г>4-а52-а2б4-2а&2-&3з=а3—3а2б-|-3аб2-б3
46,а. Обобщеніе этихъ формулъ. При помощи отрицатель-
ныхъ чиселъ каждая пара формулъ:
( {а-У-Ъ^а^аЪ-уЪ3 ( (а-уЬ^а^За^ЗаЪ^д3
\ (а-б)2=а2-2аб-[-д2 и 1 (а-д)3=а3-За2г>4-За&2—б3
можетъ быть приведена къ одной формулѣ. Въ самомъ дѣлѣ,
разность а—Ъ мы можемъ разсматривать, какъ сумму а-)-(— 6).
Если эту алгебраическую сумму возвысимъ въ квадратъ и въ
А. Киселевъ. Алгебра. 3
— 34 —
кубъ по правиламъ, относящимся до суммъ, и затѣмъ рас-
кроемъ скобки по правиламъ дѣйствій надъ отрицательными
числами, то получимъ формулы квадрата и куба разности:
[а+(-д)] 2=а2+2а( ~Ь)^-Ъу=а^—2аЪУ\-Ъ*==
—а^-^аЬД-Ъ^
(а-Н-й)] 3=а3+3а2(-6)+3а( - б)?+(-6)3
=а3+(-За2&)-ра62+(-63)
=а3—3а2д-|-3й52-б3
Условившись всякій двучленъ разсматривать, какъ сумму,
мы можемъ правила, приведенныя выше, замѣнить такими:
Квадратъ двучлена равенъ квадрату перваго члена, плюсъ
удвоенное произведеніе перваго члена на второй, плюсъ ква-
дратъ второго члена.
Кубъ двучлена равенъ кубу перваго члена, плюсъ утроен-
ное произведеніе квадрата перваго члена на второй, плюсъ
утроенное произведеніе перваго члена на квадратъ второго,
плюсъ кубъ второго члена.
47. Примѣненіе этихъ формулъ. При помощи этихъ фор-
мулъ можно иногда производить умноженіе многочленовъ
проще, чѣмъ обыкновеннымъ путемъ, какъ это видно изъ
слѣдующихъ примѣровъ.
Примѣры: 1) (4а3—1)2=(4о3)2—2(4а3). 1-|-12=16ав—8а3-ф-1
2) (ж-Н/)(2/—®)=(?/+ж)(«/—а:2
(71 з \ / і \
з) (— ж2т“Ч/3-|— ] 2= [ — ж2"1”1?/3) *-|~
\3 4 / \3 /
1 \ / 3 \ / з \
— &2т--Ч/3 ] “хт~^іу\і=
1 19
—. __ хІт~ЪуЬ __ хЪѣ+%у2
4) («-Н/4-і)(«-Я-і)=4(яН-і)-Н/] [(«+!)-?/]=
=(жЦ-1)2-?/2=а:2+2а;+1 -у*
5) (а-&+с)(аф>-с)=[а-(&-с)] с)]=
=а2-дЧ-23с-са.
6) (2а-)-1)3=(2а)3-|-3(2а)21--|-3(2а)12--)-13==
=8а34-12а2-|-6«+1 •
7) (1—Зж2)3=13—3. 12.3ж24-3. 1.(3ж2)2-(3ж2)3=
=1—9ж24-27«‘-27жв.
— 35 —
ГЛАВА ѴП.
Алгебраическое дѣленіе
4 48. Предварительныя замѣчанія. 1) Дѣлимое можетъ
быть 0, причемъ и частное должно быть 0. Въ самомъ
дѣлѣ, раздѣлить 0 на какое-нибудь число а значитъ найти
такое число, которое, умноженное на а, даетъ въ произве-
деніи 0. Такое число есть и только одно, именно 0; зна-
читъ, 0 : а=0.
2) Дѣлитель не можетъ быть нулемъ, если только дѣли-
мое не равно 0, потому что, какое бы число мы ни пред-
положили въ частномъ, оно, умноженное на 0, даетъ въ
произведеніи 0, а не какое-либо другое число.
3) Всѣ правила дѣленія выводятся на основаніи того, что
это дѣйствіе обратно умноженію.
49. Правило знаковъ при дѣленіи остается то же самое,
что и при умноженіи, т.-е. при дѣленіи одинаковые знаки
даютъ 4~5 разные —. Въ самомъ дѣлѣ, пусть дѣлимое имѣетъ
знакъ тогда дѣлитель и частное должны имѣть (какъ
сомножители) одинаковые знаки; напр.:
(4-10) : (4-2)=4"^ потому что 4~Ю=(4-2)(4-5);
(4-10) : (—2)=—5, потому что 4“Ю=(— 2)(—5).
Если же дѣлимое имѣетъ знакъ —, то дѣлитель и частное
должны имѣть разные знаки, напр.;
(—8) : (4-2)=—4, потому что — 8=(4-2)(—4);
(—8) : (-—2)=4~4э потому что —8=(—2)(4~4).
50. Дѣленіе степеней одинаковыхъ буквъ. Пусть дано раз-
дѣлить а8: а5. Такъ какъ дѣлимое равно дѣлителю, умно-
женному на частное, а при умноженіи показатели одинако-
выхъ буквъ складываются, то а8: а5=а8~5=а3; дѣйстви-
тельно: а8=а5.а3.
Правило. При дѣленіи степеней одного и того же числа
показатель дѣлителя вычитается изъ показателя дѣли-
маго .
.51. Нулевой показатель. Когда показатель дѣлителя равенъ
показателю дѣлимаго, то частное равно 1; напр.: а5 : а5=1,
3*
36 —
потому что а’==бЛ1. Условимся производить вычитаніе по-
казателей и въ этомъ случаѣ; тогда получимъ въ частномъ
букву съ нулевымъ показателемъ: а5:а5—5=а°. Этотъ по-
казатель не имѣетъ того значенія, какое мы придавали по-
казателямъ раньше, такъ какъ повторить число множите-
лемъ 0 разъ, очевидно, нельзя. Условившись подъ видомъ
а0 разумѣть частное отъ дѣленія одинаковыхъ степеней
числа а, мы должны принять, что а°=1. Въ этомъ смыслѣ
обыкновенно и разсматриваютъ это выраженіе.
Букву съ пулевымъ показателемъ, какъ равную единицѣ,
мы можемъ приписать ко всякому выраженію въ видѣ мно-
жителя или дѣлителя^ напр., располагая многочленъ Зх—
— 4ж24-74-2іс3 по степенямъ буквы х, мы можемъ членъ ЦЛ
разсматривать, какъ 4“^° и писать: 2ж3—кх2-\-Зх-{-1х\
51,а. Отрицательный показатель *). Если показатель дѣли-
теля больше показателя дѣлимаго, то частное не можетъ
быть выражено цѣлымъ одночленомъ; такъ, частное а2 : а5
не равно никакому цѣлому количеству, потому что цѣлое
количество, умноженное на а5, не можетъ составить а2. Если
условимся производить вычитаніе показателей и въ этомъ
случаѣ, то получимъ въ частномъ букву съ отрицатель-
нымъ показателемъ; напр.: а2 : а5—а~3. Этотъ показатель
не имѣетъ того значенія, которое придается положительнымъ
показателямъ, такъ какъ, очевидно, нельзя повторить число
сомножителемъ —2 раза, —3 раза и т. д. Число съ отри-
цательнымъ показателемъ условно употребляютъ для обо-
значенія частнаго отъ дѣленія степеней этого числа въ
томъ случаѣ, когда показатель дѣлителя превосходитъ по-
казателя дѣлимаго на столько единицъ, сколько ихъ нахо-
дится въ абсолютной величинѣ отрицательнаго показателя.
Такъ, ат” означаетъ частное ат : ат+п.
52. Дѣленіе цѣлыхъ одночленовъ. Пусть дано раздѣлить
12а'768с2й3 на 4а4й3й3. Предположимъ, что частное выразится
цѣлымъ одночленомъ. По опредѣленію дѣленія этотъ одно-
*) Этотъ §, при желаніи преподающаго, можетъ быть проходимъ ниже,
совмѣстно съ § 71.
— 37 —
членъ, умноженный иа дѣлителя, долженъ составить дѣлимое.
Но при умноженіи одночленовъ коэффиціенты ихъ перемно-
жаются, а показатели одинаковыхъ буквъ складываются.
Отсюда слѣдуетъ, что у искомаго частнаго коэффиціентъ
долженъ быть 12 : 4, т.-е. 3, а показатели у буквъ апЪ по-
лучатся вычитаніемъ изъ показателей дѣлимаго показателей
тѣхъ же буквъ дѣлителя. Буква с должна перейти въ част-
ное съ своимъ показателемъ, а буква й совсѣмъ не должна
войти въ частное, или войдетъ въ него съ показателемъ О,
Такимъ образомъ:
12а7й5сМ3: 4<2453й3=Зст3б2с2с?()=За352с2.
Что найденное частное вѣрно, можно убѣдиться повѣркой:
умноживъ За362с2 иа 4а463й3, получимъ дѣлимое.
Правило. Чтобы раздѣлить цѣлый одночленъ на цѣлый
одночленъ, достаточно коэффиціентъ дѣлимаго раздѣлить
на коэффиціентъ дѣлителя, изъ показателей буквъ дѣли-
маго вычесть показателей тѣхъ же буквъ дѣлителя и пе-
ренести въ частное, безъ измѣненія показателей, тѣ буквы
дѣлимаго, которыхъ нѣтъ въ дѣлителѣ.
Примѣры: 1) ^т^хАт^пх^і^тп^—^і^пп2
.2) ахпут^І±аху^%а'№^
3) 0,6а3(ж+?^
53. Невозможное дѣленіе. Когда частное отъ дѣленія цѣ-
лыхъ одночленовъ не можетъ быть выражено цѣлымъ одно-
членомъ, то говорятъ, что дѣленіе невозможно. Это бываетъ
въ двухъ случаяхъ:
1) когда въ дѣлителѣ есть буквы, какихъ нѣтъ въ дѣли-
момъ;
2) когда показатель какой-нибудь буквы дѣлителя больше
показателя той же буквы въ дѣлимомъ.
Пусть, напр., дано раздѣлить 4а2& на 2ас. Всякій цѣлый
одночленъ, умноженный на 2ас, даетъ въ произведеніи та-
кой одночленъ, который содержитъ букву с; такъ какъ въ
нашемъ дѣлимомъ нѣтъ этой буквы, то, значитъ, частное
не можетъ быть выражено цѣлымъ одночленомъ.
— 38 —
Также невозможно дѣленіе 10а3#2: бай3, потому что всякій
цѣлый одночленъ, умноженный на ба#3, даетъ въ произве-
деніи такой одночленъ, который содержитъ' букву Ъ съ по-
казателемъ 3 или большимъ, тогда какъ въ нашемъ дѣли-
момъ эта буква стоитъ съ показателемъ 2.
54. Дѣленіе многочлена на одночленъ. Пусть требуется
раздѣлить многочленъ Ог}~д—с на одночленъ т. Искомое
частное выразится такъ:
(а+ Ъ—с) :ш= — -4-———
т т пъ
Чтобы убѣдиться въ вѣрности этого равенства, умножимъ
предполагаемое частное на дѣлителя т. Если въ произведе-
ніи получимъ дѣлимое, то частное вѣрно. Примѣняя правило
умноженія многочлена на одночленъ, получимъ:
(а > Ь с\ а , Ъ с . ,
—।— — _ 772, —т----------------ч ш = а-|-#— с
\т т т/ т т т
Значитъ, предполагаемое частное вѣрно.
і Правило. Чтобы раздѣлить многочленъ на одночленъ, до-
; статочно раздѣлить на этотъ одночленъ каждый членъ
дѣлимаго.
Примѣры: 1) (20а3#2—8а2х3—ах^\-3а3хг): &ах*=
= ба2 — 2ах — ~ ~ а2х
4 4
2) (14т*—21т*-1) : 7т2=2т*~2—Зт*-3
/1 \
3) (-^х^—О^Зх^у1-^-! \ : 2х2у^=
— -ху—ОДЬуЧ------—
55. Дѣленіе одночлена на многочленъ. Частное отъ дѣленія
одночлена на многочленъ не можетъ быть выражено ни
цѣлымъ одночленомъ, ни цѣлымъ многочленомъ. Дѣйстви-
тельно, если предположимъ^ что частное а : (#4"с—равно
какому-нибудь цѣлому одночлену или цѣлому многочлену,
то произведеніе этого частнаго на многочленъ дало
— 39 —
бы тоже многочленъ, а не одночленъ а, какъ требуется
дѣленіемъ.
56. Дѣленіе многочлена на многочленъ. Частное отъ дѣле-
нія многочлена на многочленъ можетъ быть выражено въ
видѣ многочлена лишь въ рѣдкихъ случаяхъ. Въ этомъ мы
убѣдимся, когда разсмотримъ на примѣрѣ, какъ можно на-
ходить это частное.
Примѣръ 1. Пусть требуется раздѣлить:
(5а;2—19а;3-]-17а;-|-6а;4—4) ; (1—б^Д-За;2)
Напишемъ оба многочлена по убывающимъ степенямъ
буквы х и расположимъ дѣйствіе такъ, какъ оно распола-
гается при дѣленіи цѣлыхъ чиселъ:
6х4—19гг3—5ж24-17^~4 |3х2—5^4-1
2а;2 2а;2—Зх—4
1-й остатокъ „ — 9х3-]- За;2-|-17а;—4
гр 9ж3±15а;2+ Зх
2-й остатокъ „ —12х2-|-20а;—4
3-й остатокъ.... О
Предположимъ, что искомое частное есть многочленъ и
что члены его расположены тоже по убывающимъ степе-
нямъ буквы х. Чтобы найти этотъ многочленъ, разсуждаемъ
такъ.
Дѣлимое есть произведеніе дѣлителя на частное. Изъ умно-
женія расположенныхъ многочленовъ извѣстно (§ 44), что
высшій членъ произведенія равенъ произведенію высшаго
члена множимаго на высшій членъ множителя. Въ дѣлимомъ
высшій членъ есть первый, въ дѣлителѣ и частномъ высшіе
члены тоже первые. Значитъ: 1-й членъ дѣлимаго (6а;4)
долженъ быть произведеніемъ 1-го члена дѣлителя (За;2) на
1-й членъ частнаго. Отсюда слѣдуетъ: чтобы найти 1-й
членъ частнаго, достаточно раздѣлить 1-й членъ дѣлимаго
на 1-й членъ дѣлителя. Раздѣливъ, находимъ 1-й членъ
частнаго 2а;2. Пишемъ его подъ чертою.
Умножимъ всѣ члены дѣлителя на 1-й членъ частнаго и
полученное произведеніе вычтемъ изъ дѣлимаго. Для этого
— 40 —
напишемъ его подъ дѣлимымъ такъ, чтобы подобные члены
стояли подъ подобными, и у всѣхъ членовъ вычитаемаго
перемѣнимъ знаки на обратные. Получимъ послѣ вычитанія
1-й остатокъ.
Дѣлимое есть произведеніе всѣхъ членовъ дѣлителя на
каждый членъ частнаго. Мы вычли изъ дѣлимаго произве-
деніе всѣхъ членовъ дѣлителя на 1-й членъ частнаго; слѣд.,
въ 1-мъ остаткѣ заключается произведеніе всѣхъ членовъ
дѣлителя на 2-й, 3-й и т. д. члены частнаго. Высшій членъ
въ остаткѣ есть 1-й; высшій членъ дѣлителя тоже 1-й; выс-
шій членъ въ частномъ (не считая 1-го) есть 2-й членъ.
Значитъ, 1-й членъ остатка (—9ж3) долженъ быть произве-
деніемъ 1-го члена дѣлителя на 2-й членъ частнаго. Отсюда
заключаемъ: чтобы найти рі-й членъ частнаго, достаточно
раздѣлить 1-й членъ 1-го остатка на 1-й членъ дѣлителя.
Раздѣливъ, находимъ второй членъ частнаго —Зх. Пишемъ
его подъ чертою.
Умножимъ на 2-й членъ частнаго всѣ члены дѣлителя и
подученное произведеніе вычтемъ изъ 1-го остатка. Полу-
чимъ 2-й остатокъ.
Второй остатокъ есть произведеніе всѣхъ членовъ дѣли-
теля на 3-й, 4-й и т. д. члены частнаго. Такъ какъ изъ
этихъ членовъ частнаго высшій есть 3-й, то, подобно пре-
дыдущему, 3-й членъ частнаго найдемъ, если 1-й членъ 2-го
остатка раздѣлимъ на 1-й членъ дѣлителя. Раздѣливъ, на-
ходимъ —И. Умноживъ на —4 всѣ члены дѣлителя и вычтя
произведеніе изъ остатка, получаемъ 3-й остатокъ. Въ на-
шемъ примѣрѣ этотъ остатокъ оказался нулемъ; это пока-
зываетъ, что въ частномъ другихъ членовъ, кромѣ найден-
ныхъ, не можетъ быть. Если бы 3-й остатокъ былъ не О,
то, подобно предыдущему, надо было бы дѣлить 1-й членъ
этого остатка на 1-й членъ дѣлителя; отъ этого получился
бы 4-й членъ частнаго и т. д.
Подобнымъ же образомъ можно выполнить дѣленіе, распо-
ложивъ оба многочлена по возрастающимъ степенямъ глав-
ной буквы:
— 41 —
~4+17^+5ж2—19^3+^4
=г4±20іГчг12іг2
„ — ЗХ-4-17Я72—19^3+б^4
ч=3ж±15ж2чг 9ж3
2х2—Ю^Ч-бо;4
±2ж2=г10ж3±6жі
_
| 1—5^4-3^
—4—Зж-|-^2
При такомъ расположеніи первые члены въ дѣлимомъ,
дѣлителѣ, частномъ и остаткахъ будутъ низшіе. Такъ какъ
низшій членъ произведенія (дѣлимаго) долженъ равняться
произведенію низшаго члена множимаго (дѣлителя) на низ-
шій членъ множителя (частнаго), то ходъ разсужденій и
порядокъ дѣйствія остаются тѣ же самые, какъ и въ томъ
случаѣ, когда дѣлимое и дѣлитель расположены по убываю-
щимъ степенямъ главной буквы.
Вотъ еще нѣкоторые примѣры дѣленія многочленовъ:
Примѣръ 2. 28#4—• 13с#3—26с2#2-]-15с3# | 7#2-|-2^—бе2
„ ± 8с#3ч^20с2#2 4#2—Зс#
—21с#3-6с2#2-|-1бс3#
„ гр6с2#2:±15с3#
-
Нѣтъ надобности писать произведенія 1-го члена дѣлителя
на 1-й, 2-й и т. д. члены частнаго, потому что эти произ-
веденія всегда равны тѣмъ членамъ, подъ которыми они
подписываются, и при вычитаніи
5 47
Примѣръ 3. —~ + —#—З#2-]-^3
б
всегда сокращаются.
|—3-|-2#
б 3 . 1 о
6 4Ж+2Ж"
3.
+>
3 2 | о
—-х х 24~#
. /у»3
О
- 42 —
Подписывая вычитаемыя, можемъ писать ихъ прямо съ
обратными знаками. Къ остатку нѣтъ надобности сносить
всѣ члены дѣлимаго.
Примѣръ 4. «5—а” . \х—а_________________
,,-|-аж4 х^-ах^а^х^-^-а^х-^а^
ах1~а*
„ -|-а2ж3
а2ж3—а8
„ -|-а3ж2
а3ж2—а8
„ -\-а1х
аЧс—а*
о
Подобнымъ образомъ можемъ убѣдиться, что разности:
ж3—а3, ж4—а4, ж6—а6... и вообще ж™— ат дѣлятся безъ
остатка на разность ж—а, т.-е. разность одинаковыхъ сте-
пеней двухъ количествъ дѣлится безъ остатка на разность
тѣхъ же количествъ.
Примѣръ 5. (-23а362+12а4-20а463ЦЛ2а262—10а26—9аЬ):
(іаЪ—3)
По какой бы буквѣ мы ни располагали, въ дѣлимомъ
встрѣчаются члены съ одинаковыми показателями главной
буквы. Такіе члены соединяютъ въ одинъ, вынося главную
букву за скобку. Расположимъ по буквѣ а:
2063а4—2362а3+(1262—106)а4-(12-96)а | 46а—3
„ 4-1562»3 б62а3—26а2Ц-(36—4)а
_862а3+(1262—106)а2
„ — 66а2
(1262—166)аЧ-(12—96)а
—(96—12)а
О
Примѣръ 6. х^Ах^А-ВхА-С | х—а
„-}-ах‘і ж24ЧМ~^)ж4ЧаЧ~^а~Ь®)
(о-І-ДіжЧ-Бж
„ —(а*-]-Аа)х
(аЧ-Ло+В)ж-|-С
„ -На’+ЛаЧ-Ва)
оЦ_^4-Ба4-а
— 43 —
57. Признаки невозможности дѣленія многочлена на мно-
гочленъ. Эти признаки слѣдующіе:
1) Если показатель главной буквы въ высшемъ членѣ дѣ-
лимаго меньше показателя той же буквы въ высшемъ членѣ
дѣлителя, то дѣленіе невозможно, потому что тогда нельзя
получить низшаго члена частнаго въ цѣломъ видѣ.
2) Если показатель главной буквы въ низшемъ членѣ дѣ-
лимаго меньше показателя той же буквы въ низшемъ членѣ
дѣлителя, то дѣленіе невозможно, потому что тогда нельзя
получить низшаго члена частнаго въ цѣломъ видѣ.
3) Если показатели главной буквы въ высшемъ и низ-
шемъ членахъ дѣлимаго не меньше соотвѣтственно показа-
телей этой буквы въ высшемъ и низшемъ членахъ дѣлителя,
то еще нельзя сказать, чтобы дѣленіе было возможно. Въ
этомъ случаѣ, чтобы судить о возможности дѣленія, надо
приступить къ выполненію самаго дѣйствія и продолжать его
до тѣхъ поръ, пока окончательно не убѣдимся въ возмож-
ности или невозможности получить цѣлое частное. При этомъ
надо различить два случая:
I. Когда многочлены расположены по убывающимъ степе-
нямъ главной буквы, то продолжаютъ дѣйствіе до тѣхъ поръ,
пока въ остаткѣ не получится 0 (тогда дѣленіе возможно),
или пока не дойдутъ до такого остатка, первый членъ кото-
раго содержитъ главную букву съ показателемъ меньшимъ,
чѣмъ первый членъ дѣлителя (тогда дѣленіе невозможно).
II. Когда многочлены расположены по возрастающимъ сте-
пенямъ главной буквы, то сколько бы ни продолжать дѣ-
ленія, нельзя получить такого остатка, у котораго первый
членъ содержалъ бы главную букву съ показателемъ мень-
шимъ, чѣмъ у перваго члена дѣлителя, потому что при такомъ
расположеніи показатели главной буквы въ первыхъ членахъ
остатковъ идутъ, увеличиваясь (см. ниже примѣръ 4-й).
Въ этомъ случаѣ поступаютъ такъ: предположивъ, что цѣ-
лое частное возможно, вычисляютъ заранѣе послѣдній членъ
его, дѣля высшій членъ дѣлимаго (т.-е послѣдній) на высшій
членъ дѣлителя (на послѣдній). Найдя высшій членъ част-
наго, продолжаютъ дѣленіе до тѣхъ поръ, пока въ частномъ
— 44 —
не получится члена, у котораго показатель главной буквы
равенъ показателю вычисленнаго члена. Если при этомъ по-
лучится остатокъ, то дѣленіе невозможно, потому что цѣлое
частное не должно содержать членовъ выше того, который
получается отъ дѣленія высшаго члена дѣлимаго на высшій
членъ дѣлителя.
Примѣръ 1. (Зж24~5ж—8): (2ж8—4)
Дѣленіе невозможно, потому что Зж2 не дѣлится на 2ж3.
Примѣръ 2. (д*4-5д3—3&4-26) : (63-263).
Дѣленіе невозможно, потому что 26 не дѣлится на 26\
Примѣръ 3. 10а4—2а3 „ —3<&-|-4 | 2д2—1
„ +5«2 ЧЧ Г5
—2а34~5а2-|-3а... а а~^~ 2
—а
ба2Н-2а+4
2а+б1
Дѣленіе невозможно, потому что мы дошли до такого ос-
татка, у котораго первый членъ не дѣлится на первый членъ
дѣлителя.
Примѣръ 4. 4-]-За „ — 2а3-|-10а4 | —
„ —[—За2 — 4—За-—8а2
ЗаЦ-ба2—2а3
+ба3
8а24-4а34-10а4
„ —16а4
4а3—26а4
Дѣленіе невозможно, потому что, продолжая дѣйствіе, мы
получили бы въ частномъ членъ—4а3, тогда какъ послѣдній
членъ цѣлаго частнаго, если бы оно могло существовать,
долженъ быть ба2.
57,а. Повѣрка дѣленія. Пусть дѣлимое будетъ какой-
нибудь многочленъ дѣлитель Р, частное и остатокъ Р.
Между этими количествами существуетъ такая же зависимость,
45 —
какъ и при ариѳметическомъ дѣленіи, т.-е. дѣлимое равно
дѣлителю, умноженному на частное, плюсъ остатокъ. Дѣй-
ствительно, остатокъ Р получился отъ вычитанія изъ много-
члена Ѣ всѣхъ членовъ произведенія Р(Ц Значитъ: К—
откуда: Л—РС^Ц-К. Поэтому, чтобы повѣрить дѣленіе,
умножаютъ частное на дѣлителя и прибавляютъ къ произве-
денію остатокъ, если онъ есть; при правильномъ выполненіи
дѣйствія въ результатѣ должно получиться дѣлимое.
Примѣръ. Повѣримъ правильность дѣленія въ примѣрѣ
4-мъ предыдущаго параграфа:
—4—За—8а2
-1-|-2а2
—4—)—За—8а2
—8а2—6а3—16а4
4-ф-За —6а3—16а4
4-4а3+26а4
4-|-За — 2а3-|-10а4
ГЛАВА VIII.
Нѣкоторые случаи дѣленія многочленовъ.
58. Теорема. Многочленъ, цѣлый относительно ъ и расположенн ый
по убывающимъ степенямъ этой буквы:
Агс’в-|-Вж’ге-14-С®’в-24-.-ф-К
при дѣленіи на х—а, гдѣ а есть какое угодно положительное или
отрицательное число, даетъ въ остаткѣ такой многочленъ:
Аат-\-Ват~ 1+Са’в~2-[-....-ЦК,
который получится изъ дѣлимаго, если въ немъ х замѣнимъ на а.
Назовемъ для краткости дѣлимое буквою Р. Дѣленіе Р на х—а можно
продолжать до тѣхъ поръ, пока не получится остатокъ, не содержащій
буквы х (потому что дѣлитель содержитъ х лишь въ первой степени).
Назовемъ этотъ остатокъ В, а цѣлое частное, получившееся при этомъ,
Тогда:
Р=(х—а) (ЦЦВ
Это равенство есть тождество, такъ какъ правая его часть, послѣ
совершенія въ ней дѣйствій умноженія, сложенія и приведенія подобныхъ
членовъ, дастъ тотъ же самый многочленъ, какой стоитъ въ лѣвой части
равенства. Если же это равенство есть тождество, то оно вѣрно при все-
-не-
возможныхъ значеніяхъ буквъ, входящихъ въ него. Поэтому оно остается
вѣрнымъ, если положимъ въ немъ щ=а. Отъ такой замѣны остатокъ В не
измѣнится, такъ какъ онъ не содержитъ а?; дѣлимое же и частное превра-
тятся въ многочлены І\ и которые получатся изъ Р и если въ
ихъ х замѣнимъ на а. Слѣд.:
рі=(а—а)
Но (а—а) 0=й', поэтому т.-е.
Л=Лат4--Ват-14-С'а®“2-]-........-\-К
Замѣчаніе. Коэффиціенты Л, В, С....К могутъ быть числами положитель-
ными, отрицательными и равными нулю
Примѣры: 1) х3-{-Ах2-І-Вх-]-С при д леніи на х—а даетъ остатокъ:
а^Аа^Ва-^-С (см. примѣръ 6-й на стр. 42).
2) ж3—Вх2-\~С при дѣленіи на х-{-т. т.-е. на х—(—т), даетъ остатокъ:
(—т)3—В{—т)2+С=—т3—Вт2-\-С. Предлагаемъ учащимся убѣдиться въ
этомъ непосредственно дѣленіемъ.
3) ж5—Зж2+5ж—1 при дѣленіи на х—2 даетъ остатокъ: 25—3.22-}-
+5.2—1=29.
4) Тотъ же многочленъ при дѣленіи на »+2, т.-ѳ. на ’х—(—2), даетъ
остатокъ: (—2)5—3(—2)2+5(—2)—1=—55.
Слѣдствіе. Если многочленъ Ах^-ув^—^А-^.-ук обращается въ нуль
при х=а, то он/ъ дѣлится на х—а. Если же этотъ многочленъ обра-
щается въ нуль при х=—а, то онъ дѣлится на х—(—а)=х+а.
Примѣры: 1) ж8—4ж2+9 дѣлится на х—3, потому что остатокъ отъ дѣ-
ленія=33—4.32+9=0.
2) 2х2-}-х—45 дѣлится на,. я?+5, потому что остатокъ = 2 (—5)2+
+(—5)—45=0.
Б9. Слѣдуетъ обратить особенное вниманіе на слѣдующіе случаи дѣли-
мости двучленовъ:
*) Въ вѣрности доказываемой теоремы мы можемъ убѣдиться также,
наблюдая процессъ дѣленія даннаго многочлена х—а:
Ахт-\-Вхт~1-\-Схт~2-}-.....-\-К | х~а
„ -{-Аах™-1 Ахт~1-{~(Аа-[-В)хт~~2^...
1-й остатокъ....(Аа-]-В)хт^1-^-Схт~2-]-,..
„ -]~(Аа2-^Ва\хт~2
2-й остатокъ.... +-(Ла‘^Ва-(-С}х,т-2-^Лжт~3--|-...
Всматриваясь въ остатки, легко замѣтимъ законъ ихъ составленія; по
этому закону можемъ написать:
3>й остатокъ . .=(Аа3-{-Ва2-]~Ссі-]-І))хт-3-^-...-|-.АГ
т-й, послѣдній остатокъ..
==(Аат-^Ват~1~^-Сат~2~^,. .-\-К)хт-т
—Аа^Ва^-^-Са^2^-... .-{-К
— 47 —
1) Разность одинаковыхъ степеней двухъ количествъ дѣлится на
разность тѣхъ же количествъ, такъ какъ хт—ат при дѣленіи на х—а
даетъ остатокъ ат—
2) Сумма одинаковыхъ степеней двухъ количествъ не дѣлится на
разность тѣхъ же количествъ, такъ какъ хт-ігат при х=а даетъ остаг
токъ ат-\-ат=2ат, что при не равно 0.
3) Разность одинаковыхъ четн/ыхъ степеней двухъ количествъ
дѣлится, а нечетныхъ не дѣлится на сумму этихъ количествъ, такъ
какъ хг*—ат при х=і—а даетъ (—а)т—ат, что при т четномъ равно нулю,
а при т нечетномъ равно—2ат.
4) Сумма одинаковыхъ нечетныхъ степеней двухъ количествъ дѣ-
лится, а четныхъ не дѣлится на сумму этихъ количествъ, такъ какъ
аит-\-ат при х=:—а даетъ (—а)т-\-ат, что при т нечетномъ равно нулю,
а при т четномъ равно 2ат.
Замѣчаніе. Полезно имѣть въ виду слѣдующее простое соображеніе,
посредствомъ котораго легко возстановить въ памяти указанные четыре
случая дѣлимости. Пусть, напр., мы желаемъ вспомнить, когда х?п-{-ат
дѣлится на х-\-а. Для этого разсуждаемъ такъ: х1-^а1 дѣлится на х-^-а,
а ж2-|-а2 не дѣлится на значитъ, сумма нечетныхъ степеней дѣ-
лится, а сумма четныхъ не дѣлится на х-]-а. Подобнымъ же образомъ
легко можемъ воспомнить дѣлимость или недѣлимость и въ остальныхъ изъ
указанныхъ случаевъ.
60. Полезно замѣтить частныя, которыя получаются въ этихъ случаяхъ:
х^—ат \х~а___________________________________
хт—і-\-ахт~і^-аі1хт~г-]-..
1-й ост.
2-й ост.
3-й ост.
. . ах™-1—ат
Многочленъ, получившійся въ частномъ, со-
, ^2^-2___ат держитъ т членовъ; сумма показателей въ ка-
ждомъ членѣ при а и х есть величина постоянная,
равная т—1; показатели х идутъ, уменьшаясь
на 1 отъ т—1 до 0, показатели а идутъ, увѳли-
„-[-а3 *^-3
. . а?хт~3—ат
т—1 ост.
т-й ост.
ат~*х—ат чиваясь на 1 отъ 0 до т—1; коэффиціенты у
ат—ат=.О всѣхъ членовъ равны 1; знаки всѣ-|-.
Чтобы получить частное отъ дѣленіе ж™—ат на х-\-а, при т четномъ,
достаточно въ полученномъ выше частномъ замѣнить а на—а. То же
самое можно сказать о частномъ (жш-|-а™) : (ж-|-а) при т нечетномъ. Та-
кимъ образомъ:
1) —а™=(х—а')(хт~і-\-ахт~2Ха‘і^т—3+- • • .-р-а”*-1)
2) X”—ат=(х-}-а)(хт~1—ахт~2-^-аіхт—8—. . . .—а”*-1)
(при т четномъ)
3) хт-[~ат=(х~1-а)(хт-1—ахт~*-{-а2х”—8—. . .
(при т нечетномъ)
— 48 —
Разложеніе многочленовъ на множителей.
61. Укажемъ нѣкоторые простѣйшіе случаи, когда много-
членъ можетъ быть разложенъ на цѣлыхъ множителей:
I. Если всѣ члены многочлена содержатъ общаго множи-
теля, то его можно вынести за скобку, такъ;
ат-уЪт-\-ст^{а-\-Ъ-\-б)т
Примѣры: 1) 16а2й3ж—4а3й2ж2=4а262ж(45—ах)
2) х”+1-2хп-}-Зх”-1=хп-1(х2—2х-(-3)
3) 4т(а—1)—3п(а—1)=(а—1)(4т—3п)
II. Если данный трехчленъ представляетъ сумму квадра-
товъ двухъ количествъ, увеличенную или уменьшенную удво-
еннымъ произведеніемъ этихъ количествъ, то его можно за-
мѣнить квадратомъ суммы или разности этихъ количествъ-,
такъ: а2±2ай-|-62=(а±6)2.
Примѣры: 1) а24-2оН“1=аЧ-2я-1+1^(а+1)2
2) ж4-]-4—4ж2==(ж2)2-|-22—2(2ж2)=(ж2—2)2
3) -®+25ж2+0,01=(5ж)2+(0,1)2-2(5ж.0,1)=
—(5ж—0,1)2
4) (бН-ж)2+2(«^)+1=[(а-]-Ж)+1]2=(а4-«-|-1)2
5) 4жя—ж2м—-4— — (®2и4-4—4ж”)=г—(хп—2)2
Ш. Если данный двухчленъ представляетъ собою квадратъ
одного количества безъ квадрата другого количества, то его
можно замѣнить произведеніемъ суммы этихъ количествъ
на ихъ разность-, такъ: а2—62=(а-|-&)(а—&).
Примѣры: 1) т4—п4=(т2)2—(п2)2=(т2-|--га2)(т2—п2)
—(т^-[-т2)(т-}-п)(т—п)
2) 25ж2—4=(5ж)2-22=(бж-|-2)(5ж—2)
3)
4) ж2-(ж-1)Ѵ=[ж+(ж— 1)] [ж—(ж-1)]
=(ж-|-ж—1)(ж—жЦ-1)—2ж—1
IV. Иногда можно замѣтить, что данный четырехчленъ
представляетъ собою кубъ суммы или разности двухъ коли-
чествъ.
— 49 —
Примѣры: 1) а8+За^За4-1==^3-|-За2.1-]-За.12-|-13—
=(<Н-1)8
2) 8ж3 — 36ж2-|-54ж—27—(2ж)3—3(2ж)2.3+
+3(2ж).32-33=(2ж—З)3
V. Иногда многочленъ, состоящій изъ 4-хъ или болѣе
членовъ, можно привести къ виду а2—&2 или а2+2ай-|-й2,
разбивъ его предварительно на части.
Примѣры: 1) т-~\-п-—%тп—р<^(ті-\гп-—2тгі)~р‘,~=
—(т—гі) 2—р 3=(т—п-\-р)(т—п—р)
2) ж2—у^Ыіу--9=ж2—(у3—6т/4-9)=ж2—{у—З)^
=[«+(«/-3)] [®-(г/-3)]=(ж-Н/—3)(ж—Н-3)
3) а2+г>^с2+2ай+2ас+2йс=(а2+&2+2аг>)+сЧ-
-|-(2бгс-|-26с)—(с5--|-д)24'С2“[-2(а-|-&)с=(а-|-&-|-с)2
VI. Иногда многочленъ можно разбить на части, изъ ко-
торыхъ каждая разлагается на множителей; если въ числѣ
этихъ множителей окажутся общіе, то ихъ можно вынести
за скобки.
Примѣры: 1) ас~\-лі(1АЪс^Ъ(1=Уал:Ллл(І)л-\Ъс^ЪсІ)-^
=а(с-|-4)4-^Сс+с0—(<Н-Жа~Н')
2) 12—4ж—Зж24-ж3=(12—4ж) -(Зж2—ж3)=
=4(3—ж)—ж2(3—ж)=(3—ж)(4—ж2)=
=(3-ж)(2-]-ж)(2-ж)
VII. Иногда бываетъ полезно ввести вспомогательные чле-
ны, или какой-нибудь членъ разложить на два члена.
Примѣры: 1) а3—1=а3—1Ц-а2—а3=а3—а2-(-а2—1=
=а2(а-1)+(а2—1)=а2(а-1)+(а+1)(а—1)=
=(а—1)(а2+а4-1);
2) 2ж2-^зж^-4^2=2ж2Н_2«у4"ж?/4_?/2=2а:(а;_Н/)_Ь
(ж-р7)(2ж-|-?/).
VIII. Полезно еще замѣтить слѣдующія разложенія .раз-
ности или суммы двухъ кубовъ и разности или суммы пя-
тыхъ степеней двухъ чиселъ:
А. Киселевъ. Алгебра. 4
— 50 —
а3—Ь3=(а—Ъ) (а2+а&+&2)
а3+Ь3=(а+&) (а2—аЬ+&2)
а3-&в=(а-й)(а‘+а3&4-а2д4ч^Ч-64)
ав4-йв=.(а4-&)(а«-а8&4-а252-ай8+й4)
Въ вѣрности этихъ формулъ можно убѣдиться непосред-
ственно умноженіемъ или дѣленіемъ.
ГЛАВА X.
Алгебраическія дроби.
62. Опредѣленіе. Алгебраическою дробью называется част-
ное отъ дѣленія двухъ алгебраическихъ выраженій въ томъ
случаѣ, когда дѣленіе только указано. Такъ:
аЛ-Ъ
-----И ТО-7
С — с/
а
V
му подобныя выраженія суть алгебраическія дроби. Въ та-
кихъ выраженіяхъ дѣлимое наз. числителемъ^ дѣлитель—
знаменателемъ^ а то и другое—членами дроби.
Алгебраическая дробь отличается отъ ариѳметической тѣмъ,
что члены ариѳметической дроби всегда числа цѣлыя поло-
жительныя, тогда какъ члены алгебраической могутъ быть
числами какими угодно. Напр., 3/4 ость ариѳметическая дробь,
2/
а выраженіе —представляетъ собою частный случай алгеб-
—— о
раической дроби.
Однако, несмотря на это различіе, съ дробями алгебраи-
ческими можно поступать по тѣмъ же правиламъ, какія
указаны въ ариѳметикѣ для дробей ариѳметическихъ. Дока-
жемъ это.
63. Основное свойство дроби. Значеніе дроби не измѣ-
нится, если оба ея члена умножимъ или раздѣлимъ на одно
и то же число. '
Пусть имѣемъ дробь^ и какое-нибудь положительное или
т а ат
отрицательное число т. Требуется доказать, что —=-^- •
— 51
Для доказательства умножимъ обѣ части этого предпола-
гаемаго равенства на Ът и сравнимъ полученные результа-
ты. Чтобы умножить на произведеніе Ът> достаточно умно-
жить на Ъ и результатъ на т; отъ умноженія дроби %
на Ъ получимъ а; отъ умноженія на т получимъ ат. Пра-
вая часть доказываемаго равенства отъ умноженія на Ът
даетъ также ат (такъ какъ дѣленіе на Ът и умноженіе на
Ът взаимно уничтожаются). Если же дроби а]ь и ат/Ът отъ
умноженія на одно и то же число даютъ равныя числа, то
эти дроби равны *).
Переходя въ доказанномъ равенствѣ отъ правой части къ
лѣвой, заключаемъ, что значеніе дроби не измѣняется отъ
дѣленія ея членовъ на одно и то же число.
64. Приведеніе членовъ дроби нъ цѣлому виду. Умножая
оба члена дроби на подходящее количество, всегда можемъ
преобразовать данную дробь такъ, что числитель и знаме-
натель ея будутъ количествами цѣлыми.
Примѣры.
3
~ а о
. \ 4: Зб?
1) -—= —(оба члена умножены на 4)
*) Укажемъ еще слѣдующее доказательство, которое нѣкоторые пред-
почитаютъ. Пусть частное отъ дѣленія а на Ь есть а, а частное отъ дѣ-
ленія ат на Ът есть т.-е. положимъ, что
а ' ат , го_
а [Ц М
Докажемъ, что По опредѣленію дѣленія изъ равенствъ [1] и [2]
выводимъ:
[3] ат^Лупщ' [4)
Умноживъ обѣ части равенства [3] на т, получимъ:
ат~Ъцт [5]
Изъ сравненія [4] и [5] выводимъ:
Ътгщ'^Ъцт
Раздѣливъ обѣ части этого равенства на Ъ и т, находимъ:
ат а
4*
— 52 -
і а ЗЪа , 2\ 3^134 <и6> 5 2 16 3 а 24« 1ба 7 21 216 (На 24) — 0
5 2а + б 12а4-5 . 4) —, = -р—тг- (на 6) ' 1—а 6—ба 4 ' 8 24 к. ах—1 ож2—х , . 6) (на X
65. Перемѣна знаковъ у членовъ дроби. Перемѣнить знаки
на обратные передъ числителемъ и знаменателемъ дроби—
это все равно, что перемѣнить знаки у дѣлимаго и у дѣли-
теля (другими словами: умножить дѣлимое и дѣлителя на—1);
отъ этого значеніе частнаго не измѣняется.
„ _ — 8 8 Л — 10 10
Примѣры. 1) ^=4=2 2)-—2Г = ^2 = — 5-
10—2_ — (10—2)_2—10_ — 8
7ТІ3' — —Щ=ЗУ ~ 3—7 ~^4 —
—Зж За 1—а а—1
Замѣтимъ, что перемѣна знака передъ какимъ-нибудь од-
нимъ членомъ дроби равносильна перемѣнѣ знака передъ
самою дробью; такъ:
— а а а а ъ ъ —ъъ
потому что нусъ даютъ при дѣленіи минусъ на плюсъ н плюсъ на ми- минусъ.
Примѣръ: т^—п2 т^—гі* т2—п2 , . ч = —- -= = — (т-\-гі) п—т — (т—п) т—п 1
66. Сокращеніе дроби. Если числитель и знаменатель
имѣютъ общаго множителя, то на него можно сократить
дробь (потому что значеніе дроби не измѣнится отъ дѣленія
обоихъ ея членовъ на одно и то же количество). Разсмот-
римъ отдѣльно слѣдующіе два случая сокращенія дробей.
— 63 —
1-й случай, когда числитель и знаменатель
одночлены.
Примѣры: 1) = (сокращено на 3«ж2)
54а”6””3 За””1 , но ,
2) —г = Ліо— (сокращено на 18абп”3)
Изъ этихъ примѣровъ видно, что когда числитель и зна-
менатель цѣлые одночлены съ цѣлыми коэффиціентами, то,
желая сократить дробь, мы предварительно составляемъ та-
кое выраженіе, которое можетъ быть названо (по аналогіи
съ цѣлыми числами) общимъ наибольшимъ дѣлителемъ чле-
новъ дроби. Для этого надо найтгь общаго наиб. дѣлителя
коэффиціентовъ и приписать къ нему множителями всѣ
буквы, которыя входятъ одновременно въ числителя и зна-
менателя дроби, причемъ каждую изъ этихъ буквъ надо
взять съ наименьшимъ показателемъ, съ какимъ она входитъ
въ члены дробщ составивъ такое произведеніе и раздѣливъ
на него оба члена дроби, получимъ дробь несократимую.
2-й
случай, когда числитель или знаменатель
многочлены.
Примѣры:
__ж2(Ж—1) — (х -1)_(х—1) (ж2—1)_
хТ— 2хЩІ ~ (ж2—I)2 ~~ (ж2—1)(ж2-1) “
1
1)
2)
(я2—I)2
X—1 X—1
ж2-і ~ (ж-|--1)(ж—1)— х-\-1
п—т —(т—гі) --1 1
т2—п2 (т-[-п)(т—п) ~ т-\-п т-\-п
Такимъ образомъ, чтобы сократить дробь съ многочлен-
нымъ числителемъ или знаменателемъ, надо предварительно
разложить ихъ на множителей и затѣмъ сократить на
общихъ множителей*).
*) Обращаемъ вниманіе учащихся на ошибку, которую иногда дѣлаютъ при
сокращеніи дробей: нельзя сокращать часть числителя съ частью знаме-
бмт2'~І—Ъ , а-рй
нателя. Напр., было бы вообще ошибочно сократить дробь такъ‘
— 54 —
пателеи
Примѣры: 1)
2)
67. Приведеніе дробей къ общему знаменателю. Умножая
оба члена каждой дроби на одно и то же количество, мы
можемъ сдѣлать знаменателей всѣхъ данныхъ дробей оди-
наковыми. При этомъ могутъ представиться тѣ же случаи,
какъ и для дробей ариѳметическихъ, а именно:
1-й случай, когда знаменатели данныхъ дробей, попарно,
не имѣютъ общихъ множителей. Въ этомъ случаѣ оба
члена каждой дроби надо умножить на произведеніе знаме-
осталыіыхъ дробей.
а с е ай/ сЪ/ еЬй
ъ’ а’ 7......ьаГ /ъа
х у я хп2рц ут2р% %т2п2
п2’ рд т2п2рц* т2п2рд’ т2п2р%
а Ъ а(а—Ь) Ъ(а-{-Ь)
аЛЛ’ аЛ'" ЧѢЛё ’ а2-д2
2-й случай, когда одинъ изъ знаменателей дѣлится на
всѣхъ остальныхъ. Этотъ знаменатель и будетъ общимъ.
Дробь, имѣющую этого знаменателя, надо оставить безъ пе-
ремѣны, а члены каждой изъ остальныхъ дробей надо умно-
жить на соотвѣтствующаго дополнительнаго множителя,
т.-е. на такое количество, которое получится отъ дѣленія
общаго знаменателя на знаменателя этой дроби.
х у г
* ‘ а—Ъ а-\-Ъ а2—Ъ2
Знаменатель а2—Ъ2 дѣлится на а—Ъ и на Дополни-
тельный множитель для первой дроби есть а-{-Ь, для второй
а—Ь°, послѣ приведенія къ общему знаменателю дроби ока-
жутся: ;
х(а-\~Ъ) у {а - Ъ) 0
1^-Ъ2 ' ~а^~Ь2 ’ а^д2
3-й случай, когда знаменатели, всѣ или нѣкоторые, имѣютъ
общихъ множителей. Чтобы найти въ этомъ случаѣ простѣй-
шаго общаго знаменателя, достаточно составить произведе-
ніе изъ всѣхъ различныхъ множителей, на которые разла-
гаются знаменатели, взявъ каждаго множителя съ наи-
большимъ показателемъ, съ какимъ онъ входитъ въ составъ
— 55 —
знаменателей (такое произведеніе, по аналогіи съ цѣлыми
числами, можно назвать наименьшимъ кратнымъ всѣхъ зна-
менателей).
_ . .. аз и2 аз
Примѣры: 1) . —5
15ж2?/3 12ж3з2 18жу2
Общій знам. =180ж3у3г2
Дополн. мн.: для 1-й: 12жг2, для 2-й: 15у3, для 3-й: ІОж'Ѵ'г/
12ажг3 15?/5 10аж2?/23
18Ож3?/802 ’ іЖѴл7’ 180ж3?/322
ОХ 1 4 5
} ж2-)-2ж-р-1 ’ ж-|-2ж2-|-ж3 ’ 2х-^-2х2
на множителей:
доп. ми. 2%
55 55 Я/-|—1
Разлагаемъ знаменателей
»2+2®4-1=(«+1)2
ж-]-2ж2-|-ж3=ж(®-]-1)2
2х-]-2х2—2х(х-[-1)
Общ. знам.=2ж(ж-|-1)2
2х
8
2ж(ж+1)2’ 2ж(ж-[-1)2’
3) 2 1 ____
> х2—а2 ’ а—х ’ х-\-а
Перемѣнимъ знаки въ знаменателѣ 2-й дроби на обратные,
а чтобы не измѣнилось значеніе дроби, измѣнимъ знакъ и
у ея числителя:
_5(х±1)
2х(х^-'1)2
3
2—13
х2—а2' х—а' х-\-а
Общ. зн._-ж2--а2; доп. мн.: для 2-й дроби х-\-а, для 3-й х—а:
2 —х—а 3(«—а)
х2—а2 ’ х2—а2 ’ х2— а2
68. Сложеніе и вычитаніе дробей. По правилу дѣленія
многочлена на одночленъ (§ 54) можемъ написать:
а-\-Ъ-\-с а .Ъ । с а—Ъ_а Ъ
т ' т ' т 1 т’ т т т
Читая эти равенства справа налѣво, замѣчаемъ слѣдующі я
правила:
1) чтобы сложить дроби съ одинаковыми знаменателями,
достаточно сложить ихъ числителей и подъ суммою подпи-
сать того же знаменателя-,
56 —
2) чтобы вычесть дроби съ одинаковыми знаменателями,
достаточно изъ числителя уменьшаемаго вычесть числителя
вычитаемаго и подъ разностью подписать общаго знамена-
теля.
Если данныя для сложенія или вычитанія дроби имѣютъ
разныхъ знаменателей, то предварительно ихъ слѣдуетъ при-
вести къ одинаковому знаменателю.
Примѣры (надъ дробями надписаны
жители):
а/ Ь? Ъй 2Ъ
.. а । с । е асІ/-\-сЪ/-\-еЪ(і Зт2
ПГПС М/ ’ 2 І^Ьс
яЧ-1 , 2х—3
2х—2=2(ж—1)
ж-|-1
2ж2-2==2(ж-|-1)(«—1)
Общ. знам.=2(ж—
с™ия (Ж+1)(а:4-1)+(2Ж-3)2(Ж-1)-(Ж2+3)
Сумма_-----------------------------------
ж2-4~2^-|~1-|-(4ж2 — 6х—4ж-|-6)—х*—3 4я?2—_____
“ 2(ж2—1) “
_4(ж-1)(ж-1)_2(^-1) *)
~2(4>-1)"~ х-\Л
дополнительные мно-
2х—2 г ®4-1
2ж2—2
оса
5п2 6&т2 — 25«сп2
2Оа2й2с
хЦ-3
=2(ж—1)
=1.
*) Замѣчаніе. Обращаемъ вниманіе учащихся на ошибку, которую иногда
дѣлаютъ при вычитаніи дробей. Пусть, напр., дано:
а
т т
Подписывая общаго знаменателя, мы должны помнить, что знакъ ми-
нусъ относится ко всему числителю Ъ-\-с, а не къ одному члену д; поэтому
было бы ошибочно написать такъ:
а Ь-\-с а—Ь-^с
т т т
Правильный результатъ будетъ:
а^Ъ-\-с а—(&-)-с)а—Ъ—с
т т т т
— 57 —
69. Умноженіе дробей. Чтобы перемножить нѣсколько
дробей^ достаточно произведеніе всѣхъ числителей раздѣ-
лите на произведеніе всѣхъ знаменателей.
Требуется доказать, что
а с е_____асе
~Ь,1> У~~Ъді
Для доказательства умножимъ обѣ части этого предпола-
гаемаго равенства на произведеніе знаменателей Ъй/. Правая
часть равенства, послѣ умноженія, обратится въ асе, потому
что дѣленіе на Ьсі/ и умноженіе на М/ взаимно уничтожают-
ся. Посмотримъ, во что обратится лѣвая часть равенства.
Чтобы умножить на произведеніе М/, достаточно умножить
на й, полученный результатъ —на й и затѣмъ на/*; поэтому:
а
~Ь
а & @ 7 Л ~Р
— . — . —.Ъ.сІ.Т
ъ а г
Переставимъ въ этомъ произведеніи сомножителей и сгруп-
пируемъ ихъ такъ:
(а , \ [с /е л\
/ \а / \г )
Но--. 6=а, -т. й=с и -у. т—е, значитъ, въ окончатель-
Ъ ’ й І
номъ результатѣ получимъ асе.
Оказывается, что обѣ части доказываемаго равенства послѣ
умноженія на Ъй/ обращаются въ одно и то же количество
асв) значитъ, это равенство вѣрно *).
*) Вотъ еще иное доказательство. Положимъ, что
а с , е
7=3
Отсюда: с—йц' е~йі"
Перемноживъ почленно эти равенства, получимъ:
асе=(&7) (<&/)
Въ правой части этого равенства сгруппируемъ множителей такъ:
шасе=(М/?)
л асе , „ Ъ с е
Отсюда: =а” 7
- 58 -
Цѣлое количество можно представить въ видѣ дроби, под-
писавъ подъ нимъ знаменателемъ 1. Поэтому правило умно-
женія дробей распространяется и на цѣлыя количества;
напр.:
Ъ а Ъ аЪ
а — = —
с 1 с с
а а с ас
— . с = — . — =—
Ъ Ъ 1 ъ
70. Дѣленіе дробей. Чтобы раздѣлить дробь на дробь,
достаточно умножить числителя первой дроби на знаме-
нателя второй, а знаменателя первой дроби на числителя
второй и первое произведеніе раздѣлить на второе, т.-е.
а - с_асі
Ъ й Ъс
И дѣйствительно, умноживъ предполагаемое частное на
дѣлителя по правилу умноженія дробей, получимъ дѣлимое:
ай с асіс а
Ъс й Ъсй Ъ
т ай а й
Гакъ какъ —то можно высказать другое правило:
чтобы раздѣлить дробь на дробь, достаточно первую дробь
умножить на обратную второй.
Правило дѣленія дроби на дробь заключаетъ въ себѣ
также и правила дѣленія дроби на цѣлое и цѣлаго на
дробь:
Ъ а Ъ ас
а : —=— : —-
с 1 с Ъ
а аса
— : с=— : —- = —
Ъ Ъ 1 Ъс
— 69 —
ГЛАВА XI.
Отрицательные показатели *).
X
71. Простѣйшее значеніе отрицательнаго показателя. Мы ви-
дѣли (§ 51,а), что выраженіе а~п, гдѣ — п есть отрицатель-
ное число, означаетъ частное, происходящее отъ дѣленія
степеней а въ томъ случаѣ, когда показатель дѣлителя
больше показателя дѣлимаго на п единицъ. Пользуясь свой-
ствами дробей, докажемъ теперь, что количество съ отрица-
тельнымъ показателемъ равно дроби, у которой числитель
есть 1, а знаменатель—то же количество съ положитель-
нымъ показателемъ.
Дѣйствительно, сгм, согласію нашему условію, предста-
вляетъ собою частное ат: которое можно выразить
а1п
дробью: Сокративъ эту дробь на ат, найдемъ:
ат-[-п. ап
11 1
Такимъ образомъ: а~1=—, х~~^=—, (а~\-х)~3=------ит.п.
а х2 (а4~я;)8
72. Приведеніе дробнаго выраженія къ виду цѣлаго. При
помощи отрицательныхъ показателей дробное алгебраиче-
ское выраженіе можно представить подъ видомъ цѣлаго;
для этого стоитъ только всѣхъ множителей знаменателя пе-
ренести множителями въ числителя, взявъ ихъ съ отрица-
тельными показателями. Напр.:
-“-За,—. ^-=ЗаЬ^с-3
ЪѴ- № с3
Само собою разумѣется, что такое преобразованіе дроб-
наго выраженія въ цѣлое есть только измѣненіе одного
внѣшняго вида этого выраженія, а не его содержанія.
*) Эта статья, при желаніи преподающаго, можетъ быть проходима не-
посредственно передъ статьей „Дробные показатели", т.-ѳ. передъ § 258.
Въ такомъ случаѣ къ статьѣ „Отрицательные показатели" должно добавить
§ 51, а, § 140, а и конецъ § 140, гдѣ говорится также объ отрицательныхъ
показателяхъ.
— 60 —
73. Умноженіе и дѣленіе степеней съ отрицательными по-
казателями. Такое измѣненіе внѣшняго вида имѣетъ однако
важное значеніе, такъ какъ дѣйствія надъ степенями съ
отрицательными показателями можно выполнять по тѣмъ
же правиламъ, какія были выведены для показателей по-
ложительныхъ. Докажемъ это.
Умноженіе. Разсмотримъ отдѣльно три случая: 1) когда
только множимое имѣетъ отрицательнаго показателя, 2) ко-
гда только множитель имѣетъ отрицательнаго показателя и
3) когда оба сомножителя съ отрицательными показателями.
Предстоитъ доказать, что во всѣхъ этихъ случаяхъ показа-
тели одинаковыхъ буквъ складываются. Для этого поступимъ
такъ: вмѣсто количества съ отрицательнымъ показателемъ
подставимъ дробь, у которой числитель есть 1, а знамена-
тель—это же количество съ положительнымъ показателемъ,
затѣмъ произведемъ дѣйствіе по правилу, относящемуся до
дробей, и полученный результатъ сравнимъ съ тѣмъ, кото-
рый предстоитъ доказать.
1) Требуется доказать, что а~т.ап=а~т+п.
ап
Доказательство: а~тап— —. ап~ — —ап-™^а~т+п.
ат ат
2) Требуется доказать, что ат.а~п=ат^~п\
Доказательство то же самое.
3) Требуется доказать, что а~т.а~п^=а~т^~~пК
11 11
Док.: а~~т.а~~п——. —=----=—й~"М(-я),
ат ап атап ат~^п
Дѣленіе. Разсмотримъ также три случая:
1) Требуется доказать, что а~~т :
1 11
Док.: а~т : ап=— : ап=---^=~-^ = а-(т^==а-~т-п>
ат а,п.ап ат^п
2) Требуется доказать, что ат : а~п=ат~^п\
1
Док.: ат : а~~п^ат : —=ат.ап—ат^п=ат~^п\
ап
3) Требуется доказать, что а~т : а—и=а“т“(“м).
1 1 ап
Док.: а~т : а~п—— : ———=ап^т^а^т~^~п).
ат ап ат
— 61 —
Такимъ образомъ, при дѣленіи степеней одинаковыхъ ко-
личествъ показатель дѣлителя вычитается изъ показателя
дѣлимаго и въ томъ случаѣ, когда эти показатели отрица-
тельны.
Примѣры: 1)
1
2) : (Ьх^у^"п)—^х2пу~т~^п+-.
о
ГЛАВА XII.
Отношеніе и пропорція.
75. Отношеніе. Отношеніемъ одного значенія величины
къ другому значенію той же величины наз. число, на ко-
тороенадо умнозюить второе значеніе, чтобы получить
первое *).
Такъ, отношеніе 15 арш. къ 3 арш. есть число 5, потому
что 15 арш.=3 арш.Х^; отношеніе 1 фунта къ 1 пуду есть
число 740, потому что 1 ф.=1 п.ХѴю-
Отношеніе именованныхъ чиселъ всегда можетъ быть за-
мѣнено отношеніемъ отвлеченныхъ чиселъ^ для этого доста-
точно выразить именованныя числа въ одной и той же еди-
ницѣ и взять отношеніе получившихся отвлеченныхъ чи-
селъ. Напр., отношеніе 10 фун. 16 лот. къ 3 лот. равно
отношенію 336 лот. къ 3 лот., а это отношеніе равно отно-
шенію отвлеченныхъ чиселъ 336 къ 3.
Въ послѣдующемъ изложеніи мы будемъ говорить только
объ отношеніи отвлеченныхъ чиселъ.*
Значенія величины, между которыми разсматривается отно-
шеніе (или числа, которыми выражены эти значенія), на-
зываются членами отношенія, причемъ первое значеніе
*) Указанное отношеніе наз. часто геометрическимъ или кратнымъ
въ отличіе отъ другого отношенія, называемаго ариѳметическимъ или
разностнымъ, йодъ которымъ разумѣютъ разность двухъ чиселъ.
- 62 —
есть предыдущій членъ, а второе значеніе—послѣдующій
членъ.
Изъ опредѣленія видно, что отношеніе можно разсматри-
вать, какъ частное отъ дѣленія предыдущаго члена на по-
слѣдующій. Поэтому отношеніе обозначается знакомъ дѣле-
нія; такъ, отношеніе а къ Ь обозначается а : Ъ или
Зависимость между членами отношенія и самимъ отноше-
ніемъ та же самая, какая существуетъ между дѣлимымъ,
дѣлителемъ и частнымъ; такъ, обозначивъ отношеніе а : Ъ
черезъ получимъ:
а=^, Ъ=а : д
Напр., изъ отношенія 40 : 8 = 5 находимъ: 40 = 8 . 5,
8 = 40:5.
79. Пропорція. Равенство двухъ отношеній составляетъ
пропорцію', таково, напр., равенство:
о / 8 40\ . _/ а с\
8 : 4=40 : 20 или —=— и вообще а : Ъ=с : а или — = — ]
\ 4 20) \ ъ а)
Числа а и 4 наз. крайними, Ъ и с — средними, а и с—
предыдущими, Ъ и й—послѣдующими членами пропорціи.
80. Теорема. Въ пропорціи произведеніе крайнихъ чле-
новъ равно произведенію среднихъ. Для доказательства назо-
вемъ буквою д каждое изъ отношеній пропорціи а : Ъ—с : й;
тогда а=іщ и й=~. Перемноживъ эти два равенства, найдемъ:
ай=&#.—=-^=&с. Что и тр. док.
Ч «
Отсюда слѣдуетъ: крайній членъ равенъ произведенію сред-
нихъ, дѣленному на другой крайній', средній членъ равенъ
произведенію крайнихъ, дѣленному на другой средній.
81. Обратная теорема. Если произведеніе двухъ чиселъравнЪ
произведенію двухъ другихъ чиселъ, то изъ этихъ 4-хъ чи-
- селъ можно составить пропорцію, беря сомножителей
одного произведенія за крайніе, а сомножителей другого за
средніе члены пропорціи. -
— 63 —
Док. Пусть дано: тп—рд. Раздѣливъ обѣ части этого
равенства на каждое изъ 4-хъ произведеній: тр, т%, пр и
пд, получимъ:
тп__рд9 тп___рд. тп__рд. тп____рд
тр тр’ тд тд’ пр пр’ пд пд
Сокративъ каждую дробь, найдемъ:
п___д. п___рл т__т__Р.
р т' д т’ р п’ д п
что и требовалось доказать.
82. Перестановки членовъ. Въ каждой пропорціи можно
переставлять члены: 1) средніе, 2) крайніе и 3) крайніе на
мѣсто среднихъ. Отъ такихъ перестановокъ пропорція не
нарушится, потому что не нарушится равенство между про-
изведеніемъ крайнихъ и произведеніемъ среднихъ. Выпол-
нивъ всѣ возможныя перестановки, получимъ изъ одной
пропорціи 8 пропорцій. Такъ, если данная пропорція есть
а: Ь=с: Л, то эти 8 пропорцій окажутся такія:
1) а : Ъ=с : й
’2) а : с=& : сі
3) сі: Ь-^-с : а
4) й : с=Ь : а
5) Ъ : а=(1: с
6) с : а=й: Ъ
7) Ъ : <і=а : с
8) с : й=а : Ъ
Переставивъ въ 1-й данной пропорціи средніе члены, по-
лучаемъ 2-ю пропорцію; переставивъ въ каждой изъ этихъ
двухъ пропорцій крайніе члены, получаемъ 3-ю и 4-ю про-
порціи; наконецъ, переставивъ въ каждой изъ 4-хъ пропор-
цій крайніе на мѣсто среднихъ и, наоборотъ, получаемъ
еще 4 пропорціи.
83. Непрерывная пропорція. Среднее геометрическое. Про-
порція наз ^непрерывной, если у нея одинаковы оба сред-
нихъ или оба крайнихъ члена. Такова, напр., пропорція:
36 :12=12 : 4 или 12 : 4=36 :12
Повторяющійся членъ непрерывной геометрической про-
порціи наз. среднимъ геометрическимъ числомъ двухъ осталь-
ныхъ членовъ пропорціи. Изъ пропорціи а: Ь=Ь : с нахо-
димъ:
откуда: 5=|/ас
— 64 —
т.-е. среднее геометрическое двухъ чиселъ равно корню ква-
дратному изъ произведенія ихъ.
Вообще, среднимъ геометрическимъ и данныхъ чиселъ наз.
корень п-й степени изъ произведенія всѣхъ этихъ чиселъ;
напр., среднее геометрическое чиселъ 8, 32 и 2 есть у/8.32.2—
=|/~512=8.
83,а. Среднее ариѳметическое. Иногда разсматриваютъ
такъ называемое среднее ариѳметическое нѣсколькихъ чи-
селъ, подъ которымъ разумѣютъ частное отъ дѣленія суммы
всѣхъ чиселъ на число ихъ. Такъ, среднее ариѳметическое
4-хъ чиселъ: 10, 2, 8 и 12 равно:
10-4-2+84-12 __ 32 _ й
4 —^-—8.
Изъ этого опредѣленія видно, что если въ суммѣ данныхъ
чиселъ замѣнимъ каждое слагаемое среднимъ ариѳметиче-
скимъ, то сумма не измѣнится; такъ: 10+2+8+12 равно
8+8+8+8=32.
84. Сложныя пропорціи. Пусть имѣемъ двѣ пропорціи:
а с а1 с1
—=— и —=—
ъ а ѵ а
Перемноживъ и раздѣливъ почленно эти два равенства,
получимъ новыя пропорціи, которыя паз. сложными:
.. ааг ссг аЪ* сді!
1) —.=— и 2) —=—
ъи ая агъ с(а
85. Производныя пропорціи. Пусть имѣемъ пропорцію:— —
о а
Прибавимъ къ обѣимъ частямъ этого равенства или отни-
мемъ отъ нихъ по 1, отчего, конечно, равенство не нару-
шится:
а . с .
— ±1= — ±1
ъ а
— 65 —
Приведемъ 1 къ общему знаменателю съ дробью:
Получилась пропорція, которую можно прочесть такъ:
Сумма... или разность членовъ перваго отношенія относится
къ послѣдующее^ того же отношенія, какъ сумма
или^азносч^ отношенія относится къ по-
слѣдующему члену этого отношенія.
Раздѣлимъ равенство (1) на данное равенство
* о а
тогда знаменатели Ъ и й сократятся, и мы получимъ:
амЪ__с±й
а Т ' *
т.-е. сумма или разность членовъ перваго отношенія отно-
сится къ предыдущему члену того же отношенія, какъ сум-
ма или разность членовъ второго отношенія относится къ
предыдущему члену этого отношенія.
Равенство (1) представляетъ собою двѣ пропорціи:
а-\-Ъ_______________с—|—й а—Ь___с—(%
~7Г~~~1Г и~ъ~~~~а~
Раздѣливъ первую на вторую, найдемъ:
а—Ъ с—д 1
т.-ѳ. сумма членовъ перваго отношенія относится къ ихъ
разности, какъ сумма членовъ второго отношенія относится
къ ихъ разности.
Переставимъ средніе члены въ пропорціяхъ (1), (2) и (3),
получимъ еще 3 пропорціи, которыя полезно замѣтить:
а±Ъ__Ъ амЪ___а а~\~Ъ_а—Ь
с+й й с±сІ с суаі с—(1
Пропорціи, получаемыя изъ одной данной посредствомъ
какихъ-либо дѣйствій надъ ея членами, наз. производными.
А. Киселевъ. Алгебра. 5
— 66 —
85,а. Примѣненія. Производными пропорціями иногда можно
пользоваться для скорѣйшаго нахожденія неизвѣстнаго числа
X. Приведемъ примѣры.
п . 4 3—х 40
Примѣръ 1. -7Г=^Г
Составимъ производную пропорцію: сумма членовъ пер-
ваго отношенія относится къ послѣдующему члену того же
отношенія, какъ... Тогда получимъ:
3 47 21
Й=Т’ откуда х=-^
Примѣръ 2. а-\-х т
а—х п
Составимъ производную пропорцію: сумма членовъ перваго
отношенія относится къ ихъ разности, какъ... Тогда полу-
чимъ:
2а т-\-п а т-\чг
2» т—п х т—п
а(т—гі)-
Откуда =
86. Свойство равныхъ отношеній. Пусть имѣемъ нѣсколь-
ко равныхъ отношеній:
съ (\ съ^
ъ~ъ~ ъ~ъ3
Обозначимъ черезъ д, каждое изъ этихъ отношеній;
тогда у = #, у = <? и т. д. Такъ какъ предыдущій членъ равенъ
послѣдующему, умноженному на отношеніе, то:
а = Ьд, ах—Ъ^ и т. д.
Сложимъ эти равенства почленно:
а-\-аг -|-«2 • • • = .... = <7(&Ч’АЧ‘АЧ-- • •)
Раздѣлимъ обѣ части этого равенства на б-^^іЧ^зЧ-- • •:
д-4~о1-|-а2-|-..._ _а_аг___
б-ІАЧАЧ---- \
— 67 —
т.-е. сумма предыдущихъ членовъ нѣсколькихъ равныхъ от-
ношеній относится къ суммѣ ихъ послѣдующихъ, какъ
какой-нибудь изъ предыдущихъ относится къ своему послѣ-
дующему.
Замѣчаніе. Такъ какъ пропорція представляетъ собою два
равныя отношенія, то это свойство примѣнимо также и къ
пропорціи.
86 ,а. Примѣненія. Этимъ свойствомъ равныхъ отношеній
можно иногда пользоваться для скорѣйшаго нахожденія не-
извѣстнаго числа х.
„ . а—х х
Примѣръ. . ----------
х Ъ—х
Составимъ новую пропорцію: сумма предыдущихъ отно-
сится къ суммѣ послѣдующихъ, какъ...:
а_а—а;
Ь х
Теперь составимъ производную пропорцію: сумма членовъ
перваго отношенія относится къ послѣдующему, какъ...:
аА-Ъ а аЪ
откуда: х — —г-у
Ь х* 4 аА-Ъ
Б*
отдвдъ ІП.
Уравненія первой степени.
Г Л А В А I.
Общія начала рѣшенія уравненій.
87. Опредѣленія. Два алгебраическія выраженія, соединен-
ныя между собою зиакомъ=, составляютъ равенство.
Равенство состоитъ изъ двухъ частей: лѣвой и правой;
напр., въ равенствѣ: Ог]~2а=3а лѣвая часть есть а-|-2а,
а правая За. Части уравненія можно мѣнять мѣстами; напр.,
если Ог^-Ъа—За, то и За=а-[-2а.
Равенства раздѣляются на тождества и уравненія. Тож-
дества подраздѣляются на буквенныя и числовыя.
Буквенное тождество есть такое равенство, содержащее
буквы, у котораго обѣ части имѣютъ одинаковыя численныя
величины при всевозможныхъ значеніяхъ этихъ буквъ; дру-
гими словами, такое равенство, у котораго обѣ части суть
тождественныя алгебраическія выраженія *(§ 3). Таковы,
напр., равенства:
(а-\-Ъ)т=ат-\-Ът\ (а-{-1)2=а2-4"2аН"1
Числовое тождество есть такое равенство, содержанье
только числа, выраженныя цыфрами, у котораго обѣ части
имѣютъ одинаковую численную величину; напр. (2-[-1)2=9.
Уравненіемъ наз. такое равенство, содержащее одну или
вЬсколько буквъ, у котораго обѣ части имѣютъ одинаковую
численную величину не при всякихъ значеніяхъ этихъ
буквъ, а только при нѣкоторыхъ. Напр., равенство:
Зж~|-5=2аЦ-7
— 69 —
есть уравненіе, потому что части его Зя>4-5 и 2х-^7 рав-
ны не при всякомъ значеніи буквы ж, а только при ж=2;
точно такъ же равенство:
2х^у=10х-- у
есть уравненіе, потому что части его имѣютъ одинаковую
численную величину не при всякихъ значеніяхъ буквъ х
и у (напр., при <г=2, у=3 оно невозможно, тогда какъ
при а^=2, у=8 оно вѣрно).
Такія буквы въ уравненіи, которымъ нельзя приписы-
вать всевозможныхъ численныхъ значеній, а только нѣкото-
рыя, наз. неизвѣстными уравненія; эти буквы берутся обык-
новенно изъ послѣднихъ алфавита: а?, у, я...
Уравненія могутъ быть съ однимъ неизвѣстнымъ, съ двумя,
тремя и болѣе неизвѣстными. Такъ, уравненіе За?4“5=2а;4-7
есть уравненіе съ 1 неизвѣстнымъ, а уравненіе 2х-]-у—10х—у
есть уравненіе съ 2 неизвѣстными.
Числа, которыя, подставленныя въ уравненіе вмѣсто его
неизвѣстныхъ, обращаютъ это уравненіе въ тождество, наз.
корнями уравненія или его рѣшеніями; о такихъ числахъ
принято говорить, что они удовлетворяютъ уравненію.
Напр., 2 есть корень уравненія Зж-)-5=2^-4-7, потому что
при іс=2 это уравненіе обращается въ тождество3.24-5=2.2-|-7.
Уравненіе 2а?4-у=;10а;—у имѣетъ корни а^=2, у=8 и многіе
другіе. Иногда уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ имѣетъ
два корня и болѣе; напр., уравненіе а?24~2=3а; удовлетво-
ряется при х—2 и х=1.
рѣшить уравненіе значитъ найти всѣ его корни.
(88. Многія задачи можно рѣшать помощью уравненій.
Возьмемъ для примѣра такую задачу:
Старшему брату 15 лѣтъ, а младшему 9, Сколько лѣтъ
тому назадъ первый былъ втрое старше второго?
Назовемъ неизвѣстное число лѣтъ буквою х. Предположимъ
теперь, что х найдено, и мы желаемъ повѣрить, удовлетво-
ряетъ ли найденное число требованіямъ задачи. Тогда раз-
суждаемъ такъ: х лѣтъ тому назадъ старшему брату было не
15 лѣтъ, какъ теперь, а 15—а?; младшему брату тогда было
не 9 лѣтъ, какъ теперь, а 9—х. Условіе задачи требуетъ,
чтобы 15—х было втрое болѣе 9—а;; значитъ, если 9—а;
— 70 —
умножимъ на 3, то мы должны получить число, равное 15—х\
поэтому для х можно взять только такое число, которое удо-
влетворяетъ уравненію:
(9-я)3=15-- х
Если сумѣемъ рѣшить это уравненіе, то задача будетъ
рѣшена. Мы вскорѣ укажемъ весьма простые способы рѣ-
шенія нѣкоторыхъ уравненій. Теперь же замѣтимъ, что
полученное нами уравненіе можно, между прочимъ, рѣшить
такими соображеніями. Такъ какъ произведеніе (9—а?)3 тожде-
ственно равно 27—Зх, то это уравненіе можно написать такъ:
27—Зя=15-я
Въ этомъ видѣ лѣвая и правая части уравненія суть
разности. Сравнивая ихъ между собою, замѣчаемъ, что
уменьшаемое въ лѣвой части, т.-е. 27, болѣе уменьшаемаго
въ правой части, т.-е. 15-и, на 12; чтобы разности были
равны, необходимо и достаточно, чтобы и вычитаемое въ
лѣвой части, т.-е. Зх, было болѣе вычитаемаго въ правой
части, т.-е. х> тоже на 12; но Зх болѣе х на 2ж; слѣд.,
2^=12, откуда х=$.
Значитъ, 6 лѣтъ тому назадъ старшій братъ былъ втрое
старше младшаго.
Только практика научаетъ, какъ, исходя изъ вопроса и усло-
вій задачи, составить одно или нѣсколько уравненій; алгебра
имѣетъ цѣлью указать способы рѣшенія уже составленныхъ
уравненій. Въ этомъ состоитъ другое назначеніе этой науки,
еще болѣе важное, чѣмъ преобразованіе алгебраическихъ вы-
раженій (см. § 4).
89. Равносильныя уравненія. Два или нѣсколько урав-
неній наз. равносильными *), если они имѣютъ одни и тѣ
же корни. Напр., уравненія:
ж2-(-2=Зж и а;2—Зж-|-2=0
равносильны, потому что имѣютъ одни и тѣ же корни
(именно х=% и х=Ѵ).
*) Употребительны также названія: эквивалентныя, тождественныя,
однозначащія.
— 71 —
90. Теорема 1. Если къ обѣимъ частямъ уравненія при-
бавимъ, или отъ нихъ вычтемъ, одно и то же число или
одно и то же алгебраическое выраженіе, то получимъ новое
уравненіе, равносильное первому.
Пусть имѣемъ уравненіе А=В, гдѣ для краткости лѣвая
часть обозначена одною буквою А, а правая буквою В (если,
напр., уравненіе будетъ такое: 2х^у=іих—у, то А озна-
чаетъ 2х-\-у, а В означаетъ Ѵдх—у\, пусть еще т есть
какое-нибудь число, положительное или отрицательное (напр.,
4,-3 и т. и.), или какое-нибудь'алгебраическое выраженіе,
содержащее неизвѣстныя уравненія, или не содержащее ихъ
(напр., З-Д-ба;, или 2а—Ь и т. п.). Требуется доказать, что
уравненія:
А=В [1] и А-\-т=В-\-т [2]
равносильны, т.-е. имѣютъ одни и тѣ же корпи. Для этого
убѣдимся, что всѣ корни уравненія [1| принадлежатъ и ур.
[2], и обратно: всѣ корни уравненія [2] принадлежатъ'и у р. [1].
Пусть х=а, у=Ь... будутъ корпи ур. [1]. Это значитъ,
что при этихъ значеніяхъ неизвѣстныхъ выраженія А. и В
дѣлаются равными; но въ такомъ случаѣ очевидно, что и
суммы А-\-т и В-\-тп при тѣхъ же значеніяхъ неизвѣстныхъ
сдѣлаются равными другъ другу (такъ какъ т всегда равно
тр, слѣд., всѣ корни уравненія [1] удовлетворяютъ и урав
ненію [2].
Обратно: пусть х~а*, у=Ѵ... будутъ корни уравненія [2].
Это значитъ, что при этихъ значеніяхъ неизвѣстныхъ суммы
А-\-т и В-\-т дѣлаются равными; но въ такомъ случаѣ оче-
видно, что при тѣхъ же значеніяхъ неизвѣстныхъ сдѣлаются
равными выраженія А и В', значитъ, всѣ корпи уравненія [2]
принадлежатъ и уравненію [1].
Отсюда слѣдуетъ, что уравненія [1] и [2] имѣютъ одни
и тѣ же корни, т.-е. эти уравненія равносильны.
Такъ какъ вычитаніе какого-нибудь числа равносильно
прибавленію этого числа съ обратнымъ знакомъ, то изложен-
ное разсужденіе примѣнимо и къ тому случаю, когда отъ
обѣихъ частей уравненія отнимается одно и то же число
или алгебраическое выраженіе.
— 72 —
Слѣдствія. I. Члены уравненія можно переносить изъ
одной его части въ другую, перемѣнивъ передъ такими чле-
нами знаки на обратные.
Напр., если къ обѣимъ частямъ уравненія —2
прибавимъ по 2, то получимъ:
—2
—2 -р2
8-|-ж2-]-2=7ж
Такимъ образомъ, членъ — 2 изъ правой части даннаго
уравненія перешелъ въ лѣвую съ обратнымъ знакомъ-]-.
Вычтя изъ обѣихъ частей послѣдняго уравненія по ж2, по-
Л^ЧаеМЪ: 8+жЧ-2=7ж
_ /у» 2 ____ /у* 2
сЛУ еЛУ
8-р2=7ж-ж2
Такимъ образомъ, членъ 4~^2 перешелъ изъ лѣвой части
уравненія въ правую съ обратнымъ знакомъ.
II. Если два одинаковые члена съ одинаковыми знаками
стоятъ въ разныхъ частяхъ уравненія, то такіе члены
можно уничтожить. Пусть, напр., даны уравненія:
6х-1-3=х2-1-3 Чх2~х=3—х ,
Отнявъ отъ обѣихъ частей перваго уравненія по 3 и при-
ложивъ къ обѣимъ частямъ второго уравненія по х, полу-
чимъ:
6гг=гг2 7ж2=3
Такимъ образомъ, одинаковые, члены -|-3 и -|“3 въ пер-
вомъ уравненіи и одинаковые члены—х и — х во второмъ
уравненіи уничтожились.
III. Передъ всѣми членами уравненія можно перемѣнить
знаки на обратные, потому что это равносильно перенесе-
нію всѣхъ членовъ изъ лѣвой части въ правую, а изъ пра-
вой въ лѣвую. Напр., сдѣлавъ такое перенесеніе членовъ
въ уравненіи 8-1-х2=1х -2, получимъ:
.... .. — 7^4-2=— 8—х2 или —8—ж2=— 7ж-|--2
Сѳі. Замѣчаніе. Истина, изложенная въ предыдущемъ §, не теряетъ силы и
тог^т, когда какой-нибудь корень ур. А—В обращаетъ въ со выраженіе,
прибавляемое къ обѣимъ частямъ уравненія.
— 73 —
Пусть, напр., къ частямъ уравненія 2ж-|-1=3 мы приложили по-^—
1 1
1) 2^+1=3 2) 2#-(-1-)-----=3 + ^—
Уравненіе 1) имѣетъ корень х=1; это значеніе х обращаетъ выраженіе
-——въ—=со и уравненіе 2-ѳ при х=1 принимаетъ видъ со=со; поэто-
му возникаетъ вопросъ: можно ли въ этомъ случаѣ утверждать, что ко-
рень ур. 1-го есть также и корень ур. 2-го? Чтобы отвѣтить на этотъ
вопросъ, надо условиться, какъ слѣдуетъ понимать равенство со=гсо, не
имѣющее смысла само по себѣ. Въ математикѣ это равенство принимаютъ
за тождество лишь въ томъ случаѣ, когда обѣ части уравненія, изъ ко-
тораго оно получилось, увеличиваясь безпредѣльно, безгранично прибли-
жаются къ равенству между собою; другими словами, когда по мѣрѣ без-
предѣльнаго увеличенія обѣихъ частей уравненія разность между
ними неограниченно уменьшается.
Условившись въ этомъ, допустимъ, что х=.а есть корень у. Л=В,
обращающій выраженіе т въ со. Посмотримъ, къ чему стремится разность
между обѣими частями ур. А+т—В+т по мѣрѣ приближенія х къа:
{А-\^—{В^т)=А~\-т—В—т—А—В
Такъ какъ, по условію, а есть корень ур. Л=В, то при х=а разность
А—В—0\ значитъ, равенство со=со, получаемое изъ ур. А-{-т—В-\-т при
х=.а, должно быть принимаемо за тождество, и потому аг~а есть корень
ур. АА~пі-В-\-т.
Обратно, пусть при х=Ѣ уравн. А-\-т~В-|-т обращается въ 'тожде-
ство*. со“сс; въ такомъ случаѣ Ъ должно считать за корень уравненія
Не трудно видѣть, что Ъ будетъ и корень уравненія А=В.
Въ самомъ дѣлѣ, если равенство со=со есть тождество, то разность
(А+т)—(В+т) должна безгранично уменьшаться по мѣрѣ приближенія
х къ& и, слѣд., при х=Ъ должна обратиться въ пуль. Но (А-\-т)—(В-{-т)=
=А.—В; значитъ, при х^=Ь, разность А—В дѣлается равной нулю, т.-ѳ. А
становится равнымъ В.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что уравненія: и А.-}-т—В-]-т равно-
сильны при всякомъ т, какъ зависящемъ, такъ и независящемъ отъ х.
92. Теорема 2. Если обѣ части уравненія умножимъ
или раздѣлимъ на одно и то же число или алгебраическое
выраженіе, не равное нулю и не содержащее неизвѣстныхъ,
то получимъ новое уравненіе, равносильное первому.
Пусть т есть какое-нибудь число или алгебраическое вы-
раженіе, не равное 0 и не содержащее неизвѣстныхъ; тре-
буется доказать, что уравненія:
А=В [1] и Ат—Вт [2]
— 74 —
имѣютъ одни и тѣ же корни. Для этого достаточно убѣдиться,
что всѣ корни ур. [1] принадлежатъ ур. [2] и, наоборотъ,
всѣ корни ур. [2] принадлежатъ ур. [1].
Пусть х—а, у=Ъ.... будутъ корни ур. [1]. Это значитъ,
что при этихъ значеніяхъ неизвѣстныхъ выраженія А и В
дѣлаются равными; но въ такомъ случаѣ очевидно, что при
тѣхъ же значеніяхъ неизвѣстныхъ сдѣлаются равными и
произведенія Ат и Вт (такъ какъ т всегда равно т); зна-
читъ, всѣ корни ур. [1] удовлетворяютъ и ур. [2].
Обратно: пусть х=а^ будутъ корни ур. [2],
т.-е. при этихъ значеніяхъ неизвѣстныхъ Ат дѣлается рав-
нымъ Вт, и слѣд.:
Ат—Вт—О или (А—В)т=О
Но произведеніе равняется нулю только тогда, когда по
крайней мѣрѣ одинъ изъ сомножителей равенъ нулю; зна-
читъ, равенство (А—В)т=О возможно только тогда, когда
или ~т=0, или А—В=0^ но т, по условію, не равно нулю;
слѣд., при х—а', у=Ъ^... разность А—В равна нулю, т.-е.
А=В. Такимъ образомъ, всѣ корни ур. [2] должны удовле-
творять и ур. [1].
Отсюда слѣдуетъ, что уравненія А=В и Ат=Вт имѣютъ
одни и тѣ же корни, т.-е. оии равносильны.
Такъ какъ дѣленіе на какое-нибудь число равносильно
умноженію на обратное число, то изложенное разсужденіе
относится и къ дѣленію обѣихъ частей уравненія йа одно
и то же число или выраженіе, не равное нулю и не содер-
жащее неизвѣстныхъ *).
Почему нельзя умножать части уравненія на 0. Если обѣ
части уравненія А=В умножимъ на нуль, то получимъ:
*) Теорема имѣетъ еще исключеніе: если выраженіе, на которое умно-
жаемъ или дѣлимъ, не равно ни со, ни Дѣйствительно, отъ умноженія
0 0
на такое выраженіе уравненіе принимаетъ видъ равенства: со=со или-^=~,
которое, по изслѣдованіи его, можетъ оказаться не тождественнымъ данному
уравненію.
- 75 —
Л.о=В.о. Это равенство есть тождество, вѣрное при всевоз-
можныхъ значеніяхъ неизвѣстныхъ, такъ какъ произведенія
А. о и В.о равны 0 при всякихъ значеніяхъ А и В; тогда
какъ равенство 4=В есть уравненіе, обращающееся въ тож-
дества только при нѣкоторыхъ значеніяхъ неизвѣстныхъ;
значитъ, отъ умноженія частей уравненія на нуль полу-
чается другое равенство, не равносильное первому.
Почему нельзя умножать части уравненія на алгебраическое
выраженіе, содержащее неизвѣстныя. Возьмемъ для примѣра
какое-нибудь уравненіе, напр., такое:
2х—1=3я—3 [1]
и умножимъ обѣ его части на выраженіе, содержащее не-
извѣстное, напр., на х—3:
(2х—1)(х—3)=(3ж—3)(ж-~3) [2]
Уравненіе [1] имѣетъ только одинъ корень х=2; этотъ
корень удовлетворяетъ и уравненію [2]. Но послѣднее урав-
неніе имѣетъ еще особый корень х=3. Дѣйствительно, при
х~3 множитель х—3 обращается въ пуль и уравненіе [2]
при х=3 даетъ тождество:
5.0=6.0, т.-е. 0=0
Значитъ, отъ умноженія обѣихъ частей уравненія на вы-
раженіе, содержащее неизвѣстное, мы можемъ ввести такъ
называемыя постороннія рѣшенія, т.-е. рѣшенія, не удовле-
творяющія данному уравненію; эти рѣшенія суть тѣ, при
которыхъ выраженіе., на которое умножаемъ, обращается
въ нуль.
Обратно, при дѣленіи частей уравненія на выраженіе,
содержащее неизвѣстныя, мы можемъ потерять нѣкоторые
корни уравненія, именно тѣ, которые обращаютъ въ 0 это
выраженіе; такъ, уравненіе [2] при дѣленіи его частей на
х—3 теряетъ одинъ корень ж=3.
Замѣчаніе. Если т есть алгебраическое выраженіе, содержащее
неизвѣстныя, то умноженіе или дѣленіе обѣихъ частей уравненія па т
приводитъ вообще къ уравненію, не равносильному данному, еще и по
другой причинѣ.
— 76 —
Можетъ случиться, что нѣкоторые корни ур. А=В обращаютъ т въ со или
О 0 0
въ-у, причемъ равенство: со=со или ——получающееся изъ уравн.
Ат~Вт, можетъ и не оказаться тождествомъ; въ этомъ случаѣ нѣкоторые
корни ур. А~В не удовлетворяютъ ур. Ат~Вт. Напр.:
1) х^=4-, т=-А^ 2) =
7 ’ х~ 2 7 х—2 х—2
Ур. 1) имѣетъ 2 корня: ж=2 и ж==—2; первый изъ нихъ обращаетъ т
въ со, и ур. 2) даетъ: со=со. Чтобы узнать, тождество ли это, или нѣтъ,
надо найти разность между лѣвою и правою частями ур. 2). Эта разность
X2 4 х2—4
равна--х—~—н=------о==^+2, что при х=2 даетъ не 0, а 4; слѣд.,
X—л X—Ж X—Л
ж=2 не есть кор. ур. 2).
Слѣдствія. I. Если всѣ члены уравненія-имѣютъ общаго
множителя, не равнаго нулю и не содержащаго неизвѣст-
ныхъ, то уравненіе можно на него сократить. Напр.:
60ж—160=340—40ж
Раздѣливъ всѣ члены на 20, получимъ уравненіе болѣе
простое:
Зж—8=17—2ж
П. Уравненіе можно освободить отъ дробныхъ членовъ.
Напр.:
1666...
6 4
Обративъ число" 7,166... въ обыкновенную дробь, полу-
43
чимъ -=, теперь приведемъ всѣ члены къ оощему знаменателю:
14ж—6 Зж—15 86 14ж—6—(Зж—15) 86
12 12 12 12 12
Отбросивъ общаго знаменателя, мы тѣмъ самымъ умно-
жимъ обѣ части уравненія на одно и то же, не равное
нулю, число 12; отъ этого получимъ уравненіе, равносиль-
ное данному:
14^—6—(За;—15)=86 или: 14^—6—3^+15=86
93. Исключенія изъ теоремы предыдущаго параграфа
имѣютъ важное значеніе при рѣшеніи уравненій, содержа-
щихъ неизвѣстное въ знаменателяхъ. Чтобы рѣшить такія
— 77 —
уравненія, надо привести ихъ къ цѣлому виду. Если при
этомъ поступать по обыкновенному пріему, т.-е. привести
всѣ члены уравненія къ одинаковому знаменателю и затѣмъ
его отбросить, то можно иногда получить уравненіе, не
равносильное данному; въ самомъ дѣлѣ, отбрасываніе зна-
менателя равносильно умноженію на него обѣихъ частей
уравненія, а мы видѣли, что умноженіе частей уравненія
на выраженіе, содержащее неизвѣстныя, можетъ привести
къ уравненію, не равносильному данному.
Ниже приведены примѣры (стр. 82 и 83), на которыхъ
уясняется, какъ слѣдуетъ поступать въ такихъ случаяхъ.
ГЛАВА П.
Уравненія, содержащія въ знаменателяхъ
неизвѣстныя.
94. Изложимъ здѣсь болѣе подробно, какъ слѣдуетъ поступать съ
уравненіями, содержащими въ знаменателяхъ неизвѣстныя. Для простоты
будемъ говорить лишь объ уравненіяхъ, содержащихъ одно неизвѣстное х.
Перенеся всѣ члены уравненія въ лѣвую часть и приведя ихъ къ общему
знаменателю, получимъ уравненіе вида:
—=0,
в
гдѣ А и В суть вообще многочлены, цѣлые относительно х. Дробь
можетъ равняться нулю только въ слѣдующихъ двухъ случаяхъ: или 1)
когда А=О, или 2) когда В~оо. Разсмотримъ сначала первое предполо-
женіе. Положимъ, что, рѣшивъ уравненіе А—О, мы нашли корни: х^-а,
х^==Ь и т. д. Подставимъ эти корни въ В. Если ни одинъ изъ нихъ не
обратитъ В въ нуль, то всѣ эти корни годны для даннаго уравненія. Если
же какой-нибудь изъ нихъ, напр. Хі=а, обратитъ В въ нуль, этотъ корень
. 0
должно подвергнуть испытанію, такъ какъ неопредѣленное выраженіе
А
получаемое въ этомъ случаѣ для дроби можетъ оказаться не равнымъ О.
в
Чтобы раскрыть истинный смыслъ неопредѣленнаго выраженія, замѣтимъ,
что въ этомъ случаѣ многочлены А и В дѣлятся на х—а (§ 58, слѣдствіе),
. А
л потому мы можемъ сократить дробь на х—а; тогда получимъ новую
в
— 78 —
дробь^
’» если при яг=а числитель равняется 0, а знаменатель В} не
равенъ О, то коренъ х=а годится; если при и и равны О,
то этотъ корень надо испытать (по предыдущему); если же при х=^а чи-
слитель Аі не равенъ 0, то этотъ корень надо отбросить.
Разсмотримъ теперь второе предположеніе, т.-ѳ. допустимъ, что В=оо.
Такъ какъ В есть цѣлый многочленъ, то онъ можетъ обратиться въ со
только при ах=со. При этомъ значеніи х дробь принимаетъ неопрѳдѣ-
в
ленный видъ—. Чтобы раскрыть истинный смыслъ этого неопредѣлен-
наго выраженія, предположимъ сначала, что степень В выше степени А
Пусть, напр., А=хс2—Зя;-1-2 и В=а?3-|-4х‘2—Зя?-|-1, т.-ѳ. дробь имѣетъ видъ:
ж2—Зж-1- 2 0
X3-1-4ж2—Зж-|-1
_ .со
Въ этомъ случаѣ можно доказать, что истинное значеніе — есть нуль.
Дѣйствительно, раздѣливъ числителя и знаменателя на я?2, получимъ:
1-3/ж_р/Ж*
7Ж+Ѵ«2
Положивъ теперь х=аоі получимъ тождество: 0—0. Вообще: когда сте-
. А
пень знаменателя выше степени числителя, уравненіе сверхъ
в
корней ур. А~О имѣетъ еще особый корень х=со *).
Пусть теперь степень знаменателя не выше степени числителя. Напр.:
А X*—ЗжЦ-2
В ~ 2я;2—5 ~
Раздѣливъ числителя и знаменателя на я?2, получимъ:
2— ’/ж2
*) Было бы ошибочно полагать, что значеніе я?=со не должно быть вклю-
чаемо въ число корней уравненія. Во-первыхъ, въ нѣкоторыхъ случаяхъ такое
рѣшеніе уравненія даетъ вполнѣ опредѣленный отвѣтъ на вопросъ задачи;
напр., когда отыскиваютъ разстояніе точки пересѣченія двухъ прямыхъ отъ
нѣкоторой постоянной точки, рѣшеніеж=соозначаетъ, что линіи должны быть
параллельны другъ другу. Во-вторыхъ, безконечное рѣшеніе означаетъ, что
по мѣрѣ безпредѣльнаго увеличенія х обѣ части уравненія неограниченно
стремятся къ равенству другъ съ другомъ, что иногда имѣетъ весьма цѣн-
ное значеніе.
— 79 —
Положивъ ж=со, получимъ невозможное равенство 1/з=0. Слѣд.: когда
А
степень знаменателя не выше степени числителя, ур. ^т не имѣетъ
Іо
иныхъ корней, кромѣ тѣхъ, которые принадлежатъ ур. А=&.
111
Примѣръ 1.------1-----=-------
х—2 Д5-|—2 х2—і
Перенеся всѣ члены въ лѣвую часть и приведя ихъ къ общему знаме-
нателю, получимъ:
2з>-1^0
ж2—4
Дробь, стоящая въ лѣвой части уравненія, несократима. Отбросивъ
знаменателя получимъ:
2х—1=0, откуда: ^=т/2
Такъ какъ степень знаменателя выше степени числителя, то данное
уравненіе имѣетъ еще особый корень х=хх>. Дѣйствительно:
111
— -----1-----—=—-—, т.-е. 04-0=0
ОО—2. ОО4~2 ОО2 —4
Растимъ, что если бы въ этомъ примѣрѣ мы не обратили вниманія
на о і орошеннаго знаменателя, то не замѣтили бы одного корня, именно
„ . о х* 2 1 . 2я4-2
Примѣръ 2.----------------=------------1—
(ж—2)2 1 (ж—2)2 х—2 1 (ж—2)«
Перенеся всѣ члены въ лѣвую часть и приведя ихъ къ общему знаме-
нателю, получимъ:
Ж2—Згс-|-2_д
(#-2)2 ~
Числитель дроби представляетъ произведеніе, (х—2) (х—1); поэтому
дробь можно сократить на х—2; послѣ сокращенія получимъ:
-----=0, X—1=0, откуда ®=1
Х—2
Особаго корня въ этомъ примѣрѣ нѣтъ, такъ какъ степень знаменателя
не выше степени числителя.
Замѣтимъ, что, если бы въ этомъ примѣрѣ мы отбросили общаго зна-
менателя, не перенося всѣхъ членовъ въ одну часть уравненія, то полу-
чили бы лишній корень х=2.
— 80 —
ГЛАВА III.
Уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ.
95. Подраздѣленіе уравненій. По числу неизвѣстныхъ уравне-
нія раздѣляются на уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ, съ
двумя неизвѣстными, съ тремя и болѣе неизвѣстными. Кромѣ
того, уравненія раздѣляются по степенямъ неизвѣстныхъ:
уравненія первой степени, уравненія второй степени и т. д. А
Чтобы судить о степени даннаго уравненія, въ немъ нужно
предварительно сдѣлать слѣдующія преобразованія: раскрыть
скобки, уничтожить знаменателей, перенести всѣ неизвѣст-
ные члены въ одну часть уравненія и сдѣлать приведеніе
подобныхъ членовъ. Когда всѣ эти преобразованія выпол-
нены (на самомъ дѣлѣ или только въ умѣ), то
степенью уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ наз. показа-
тель при неизвѣстномъ въ томъ членѣ уравненія, въ кото-
ромъ этотъ показатель наибольшій;
степенью уравненія съ нѣсколькими неизвѣстными наз.
сумма показателей при неизвѣстныхъ въ томъ членѣ урав-
ненія, въ которомъ эта сумма наибольшая.
Такимъ образомъ, ур. 3#=4 есть уравненіе, второй
степени съ однимъ неизвѣстнымъ, ур. 5х2у—Зху-\-8х=0 есть
уравненіе третьей степени съ 2 неизвѣстными.
96. Покажемъ на слѣдующемъ примѣрѣ, какъ рѣшается
уравненіе первой степени съ однимъ неизвѣстнымъ:
2(Ж-5)_3(2-ж)
3 ~ 2
Чтобы рѣшить это уравненіе, выполняютъ слѣдующія
преобразованія:
.. 2а?~10 6—Зх
1) раскрываютъ скобки: —~~-----------х
о
2) освобождаютъ ур. отъ знам.: 4ж—20=18—9я—баг,
3) переносятъ извѣстные члены въ одну часть, а неиз-
вѣстные въ другую: 4х~9а>{-6:&=18-|-20;
4) дѣлаютъ приведеніе подобныхъ членовъ: 19ж=38;
5) дѣлятъ обѣ части уравненія на коэффиціентъ при не-
извѣстномъ:
— 81
Такъ какъ каждое изъ этихъ преобразованій приводитъ
къ уравненію, равносильному съ уравненіемъ не преобра-
зованнымъ, то, значитъ, и послѣднее уравненіе (х=2)
равносильно съ даннымъ; по послѣднее уравненіе, очевидно,
имѣетъ корень 2; значитъ, и данное уравненіе должно имѣть
тотъ же корень.
Найдя корень уравненія, полезно повѣрить правильность,
рѣшенія; для этого подставляютъ въ данное (не преобразо-
ванное) уравненіе вмѣсто х найденное число; если послѣ
подстановки получится тождество, то уравненіе рѣшено пра-
вильно. Такъ, въ нашемъ примѣрѣ, подставивъ на мѣсто х
найденное число 2, получимъ:
3 2
Значитъ, уравненіе рѣшено правильно.
Само собою разумѣется, что не во всѣхъ случаяхъ по-
требны всѣ пять указанныхъ преобразованій.
Для уясненія нѣкоторыхъ особенностей при рѣшеніи урав-
неній разсмотримъ еще слѣдующіе 5 примѣровъ.
Примѣръ 1. Знаменатели не содержатъ неизвѣстнаго.
8ж_ . _ ж—3
з * 5ж—3 . 2 8
=--------------
Для рѣшенія этого уравненія сначала приведемъ члены
каждой дроби къ цѣлому виду (см. § 64):
8х—12 5х~3 . 14—ж4-3 8
“эт--------------------------9
Найдя общаго знаменателя 54, надписываемъ надъ каждымъ
членомъ уравненія дополнительнаго множителя:
2 9 54 9 6
8^ — 12 бж—3 ____17—я 8
27 ~ 6 Vх—ё -9
А. Киселевъ. Алгебра. 6
— 82 —
8—4
Повѣрка: —-----2-|-3
Затѣмъ приводимъ къ общему знаменателю всѣ члены
уравненія, отбрасываемъ его и поступаемъ далѣе, какъ обык-
новенно:
16®— 24—45®+27-|-54®= 153 - 9х—48
16®—45®+54®+9®=153-48-}-24—27; 34ж=102; х=3.
78 13 13
3 9’Т‘е‘9~9
Примѣръ 2. Знаменатели содержатъ неизвѣстное; отбрасы-
ваніе общаго знаменателя не вводитъ посторонняго корня.
2а?4~1 , 8 ___2х—1
2х—1 1—4а?2 2а?—|—1
Чтобы удобнѣе привести всѣ члены этого уравненія къ
общему знаменателю, перемѣнимъ въ знаменателѣ второй
дроби знаки на обратные, а чтобы отъ этоуо не измѣнилось
значеніе дроби, перемѣнимъ знакъ передъ дробью (см. § 65):
2х-[-1 8 ___2а;—1
2х—1 4а?2—1 2а?4~1
Такъ какъ 4а?2—1=(2а;Ц-1)(2а?—-1), то это и есть общій
знаменатель; дополнительные множители будутъ: для первой
дроби 2а?-|-1> для третьей 2а? ~ 1:
(2#4-1)2~-8=(2ж—I)2; 4щ24"4а?Ц-1-—8=4а?2—4а;-|-1;
8а;=8; Х—1.
Такъ какъ для освобожденія уравненія отъ знаменателей
намъ пришлось откинуть общаго знаменателя 4а?2—1, т.-е.,
другими словами, пришлось обѣ части уравненія умножить
на выраженіе 4а?2—1, содержащее неизвѣстное, то слѣдуетъ
убѣдиться, не будетъ ли найденный корень х=1 посторон-
нимъ^ т.-е. не обращаетъ ли онъ въ 0 выраженіе 4а?2—1,
на которое намъ пришлось умножить обѣ части даннаго урав-
ненія. Подставивъ 1 вмѣсто х въ выраженіе 4а?2—1, мы
получаемъ 3, а не 0. Значитъ, найденный корень не есть
посторонній. И, дѣйствительно, данное уравненіе при х—1
обращается въ тождество:
3 I 8 -Ч 22-1- И
Гг—:: 3’ з 3’ 3“3 ’
*) Это уравненіе имѣетъ еще корень ах=^со (см. § 94).
— 83 -
Примѣръ 3. Знаменатели содержатъ неизвѣстное; отбра-
сываніе общаго знаменателя вводитъ посторонній корень.
3 . 1 __кх—Ч
' ^2“~^2
Освободивъ уравненіе отъ знаменателей, получимъ:
Зж—6-|-1=4а?—7; За?—4ж=—7+6—1; — х=—2.
Умноживъ обѣ части уравненія на—1, найдемъ: х=2.
Такъ какъ для освобожденія уравненія отъ знаменателей
намъ прдшлось умножить обѣ части его на выраженіе х—2,
содержащее неизвѣстное, то слѣдуетъ рѣшить, не будетъ ли
найденный корень постороннимъ. Подставивъ 2 вмѣсто х
въ выраженіе х—2, получаемъ 0. Изъ этого заключаемъ,
что корень х=2 можетъ быть постороннимъ. Чтобы рѣшить
это окончательно, надо сдѣлать подстановку:
1_ 1
0~0
Въ такомъ видѣ равенство ничего не выражаетъ, такъ какъ
дѣленіе на 0 невозможно. Но если въ данномъ уравненіи
перенесемъ всѣ члены въ одну часть, то получимъ:
. 1 4:Х—Ч ~ Зх—6—|—1 — 4х-|—7 —х-^—2 _
*~х^2 х^2 ’ х^2 ’
х—2
Сокративъ дробь въ лѣвой части уравненія на х—2, окон-
чательно получимъ:—1=0, что представляетъ невозможное
равенство. Значитъ, данное уравненіе не имѣетъ корня.
Примѣръ 4. Уравненіе, приводящееся къ тождеству.
х I х 5 .
-(ж—зо)
По освобожденіи отъ знаменателей, получимъ:
Зо?+2о?—15О=5(я?—30)
или Ѣх—150=5а?—150
или бо;—5о:=150—150, т.-е. 0=0
6*
— 84 —
Это равенство есть тождество, т.-е. оно вѣрно при вся-
комъ значеніи х. Значитъ, уравненіе имѣетъ произвольные
корни.)
Примѣръ 5. Уравненіе, приводящееся къ нелѣпому равенству.
X . X__(х х\ . -
2+3 \ 4~ 12у *
По раскрытіи скобокъ и освобожденіи отъ знаменателей,
находимъ:
6х-[-4х=1 Ъх—4
или 1Оа;=1Оа;-]- 84
или 10а;—10а2=84, т.-е. 0=84
Такъ какъ это равенство невозможно, то уравненіе не
имѣетъ ни одного корня.
ГЛАВА IV.
Система двухъ уравненій съ двумя неиз-
вѣстными.
97. Одно уравненіе съ двумя неизвѣстными. Такое урав-
неніе имѣетъ безчисленное множество корней. Для примѣра
возьмемъ уравненіе:
Зх—Ьу=Л
Если вмѣсто одного неизвѣстнаго, напр., у, будемъ под-
ставлять произвольныя числа: 0, 1, 2, 3,., то послѣ
всякой подстановки будемъ получать уравненіе съ однимъ
неизвѣстнымъ х\ рѣшивъ это уравненіе, найдемъ для х число,
соотвѣтствующее взятой величинѣ у. Если, нанр., ?/=0,
тѳ получимъ: За;=2:г откуда а2=2/3; если то За;—5=2,
откуда ж=7/35 и т. д.
Уравненіе, имѣющее безчисленное множество корней, паз.
неопредѣ леннымъ.
98. Система уравненій. Совокупность нѣскойькпхъ урав-
неній, въ которымъ неизвѣстныя означаютъ одни и тѣ же
числа, наз. системою уравненій. Если, напр., два уравненія:
2а;—5=3?/—2 и Зх—?/=2?/-|-21
разсматриваются при томъ условіи, что неизвѣстныя х и у
— 85 —
должны имѣть одинаковыя численныя значенія для обоихъ
уравненій, то такія уравненія образуютъ систему.
Для показанія того, что данныя уравненія образуютъ си-
стему, ихъ обыкновенно пишутъ одно подъ другимъ и слѣва
отъ нихъ ставятъ скобку такимъ образомъ:
( 2ж—5=3?/ — 2
| —у=2у^-21
Рѣшить систему уравненій значитъ найти всѣ числа, ко-
торыя удовлетворяютъ этой системѣ (корни уравненій), т.-е.
найти всѣ числа, которыя, подставленныя въ данныя урав-
ненія вмѣсто неизвѣстныхъ, обращаютъ ихъ въ тождества.
Совокупность этихъ чиселъ наз. рѣшеніемъ системы.
99. Для рѣшенія системы двухъ уравненій съ двумя
неизвѣстными существуетъ нѣсколько способовъ. Всѣ они
имѣютъ цѣлью привести два уравненія съ двумя неизвѣст-
ными къ одному уравненію съ однимъ неизвѣстнымъ или,
какъ говорятъ, исключить одно неизвѣстное.
1ОО. Способъ подстановки. Пусть имѣемъ систему:
( 8х — 5у=—16
| 10^4-3?/=—17
и желаемъ исключить х. Для этого разсуждаемъ такъ: если
бы число у было найдено, то х мы могли бы найти, под-
ставивъ въ одно изъ уравненій вмѣсто у найденное число
и рѣшивъ получившееся отъ этого уравненіе съ однимъ не-
извѣстнымъ х. Напр., если бы найденное для у число мы
подставили въ первое уравненіе, то получили бы для х
(предполагая у извѣстнымъ):*
__5?/—16
Такъ какъ второе уравненіе должно удовлетворяться тѣми
же значеніями неизвѣстныхъ, какъ и первое, то мы можемъ
подставить въ него вмѣсто х найденное для него выраже-
ніе, отчего получимъ уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ у:
10 Д6)+32/=І7
Рѣшимъ это уравненіе:
1 Ь)4-з^—17- 25і/-80-|-12^=68; 37?/=148; у=А
— 86 —
5//-16 5.4—16. 1
тогда: =_
Мы могли бы, предположивъ х найденнымъ, опредѣлить
изъ одного уравненія у въ зависимости отъ х и полученное
для у выраженіе подставить въ другое уравненіе.
Правило. Чтобы рѣшить систему двухъ уравненій съ 2
неизвѣстными способомъ подстановки, опредѣляютъ изъ
какого-либо уравненія одноме^Звѣсрі^ое въ зависимости отъ
другого и полученное выраженіе вставляютъ въ другое ура-
вненіе; отъ этого получается одно уравненіе съ однимъ
неизвѣстнымъ; рѣшивъ его, опредѣляютъ это неизвѣстное;
подставивъ найденное число въ формулу, выведенную раньше
для перваго неизвѣстнаго, опредѣляютъ и это другое неиз-
вѣстное.
Замѣчаніе. Этотъ способъ особенно удобенъ тогда, когда
коэффиціентъ при исключаемомъ неизвѣстномъ равенъ 1.
101. Способъ сравненія. Пусть имѣемъ ту же систему:
( 8х—5у= —16
I 10я;4-3^= 17
Желая исключить х, ‘предположимъ, что у найдено. Опредѣлимъ х изъ
каждаго уравненія:
5т/—16 Г41 17-Зз/ го.
[1] [2]
(Гакъ какъ въ обоихъ уравненіяхъ неизвѣстныя должны означать одни
и тѣ же числа, то мы можемъ полученныя для х два выраженія соединить
знакомъ равенства (сравнить ихъ между собою):
51/—16_17-3у
8 ~ 10
Откуда: 251/—80—68—12?/; 37?/=148; ?/=4
Подставивъ это число въ одну изъ формулъ [1] или ТСС найдемъ ж:
5.4— 16 1 17—3.4 1
Ж ~8~= 2 или: “ІО—=2
Неизвѣстное х мы могли бы также найти, исключивъ способомъ сравненія у.
Такимъ образомъ, чтобы изъ двухъ ураненій исключить одно неиз-
вѣстное по способу сравненія, надо изъ каждаго уравненія опредѣлить
одно и то же неизвѣстное въ зависимости отъ другого и полученныя два
выраженія соединить знакомъ равенства,
102. Способъ сложенія и вычитанія. Предположимъ сна-
чала, что въ данной системѣ уравненій коэффиціенты при
— 87
какомъ-нибудь одномъ и томъ же неизвѣстномъ, напр. при
у, будутъ одинаковы. При этомъ могутъ представиться два
случая: или знаки передъ такими коэффиціентами разные,
или они одинаковые. Пусть, напр., данныя системы будутъ
такія:
1-я система.
2-я система.
( 7х—2у=27
| 5я4-2?/=33
( 5ж+8у=31
\ 3^-877=25
Сложимъ почленно уравненія первой системы и вычтемъ
почленно уравненія второй системы:
7х—2у=27
• Ьх~]-2у—33
12я =60
5гг4-8?/=31
—Згц^8т/=—25
2х =6
Такимъ образомъ, одно неизвѣстное исключилось. Изъ
полученныхъ уравненій находимъ:
Вставивъ въ одно изъ данныхъ уравненій вмѣсто х най-
денное для него число, найдемъ у:
7.5—2у—27 | 5.3-|-8?/=31
I у—2
Возьмемъ теперь систему двухъ уравненій, въ которыхъ
коэффиціенты при одномъ и томъ же неизвѣстномъ не оди-
наковы, напр. такую:
7'г4-б7/=29
—5#4-8?/= 10
Пусть желаемъ исключить у. Для этого преобразуемъ
уравненія такъ, чтобы передъ у коэффиціенты оказались
одинаковы. Чтобы достигнуть этого, достаточно всѣ члены
перваго уравненія умножить на коэффиціентъ при у во вто-
ромъ уравненіи, т.-е. на 8, а всѣ члены второго уравне-
нія умножить на коэффиціентъ при у въ первомъ уравненіи,
т.-ѳ. на 6:
7х-[-6г/=29 (на 8)
—5+~8?/=10 (на 6)
56^+48^=232
—30я+48т/= 60’
— 88 —
Такимъ образомъ, этотъ случай всегда можно привести
къ первому. Послѣ этого остается только сложить или
вычесть преобразованныя уравненія. Въ нашемъ примѣрѣ
знаки передъ у въ обоихъ уравненіяхъ одинаковы, а по-
тому для исключенія у надо уравненія почленно вычесть:
56^4-48?/= 232
^30^48?/=-- 60
86ж = 172; откуда ж=2
Другое неизвѣстное мы можемъ найти или посредствомъ
подстановки въ одно изъ данныхъ уравненій вмѣсто х
найденнаго для него числа, или тѣмъ же путемъ, какъ
нашли х.
Замѣчаніе. Чтобы коэффиціенты передъ у оказались не
только равными, но и наименьшими > слѣдуетъ найти наи-
меньшее кратное коэффиціентовъ у, т.-е. 6-и и 8-ми (это
будетъ 24), раздѣлить его на каждый изъ этихъ коэффи-
ціентовъ (24 : 6=4; 24 : 8=3) и на полученныя частныя
умножить соотвѣтственно всѣ члены данныхъ уравненій:
7я4~6у=29 (па 4) 28^7-|-24?/=116
—5я4-8у=10 (на 3) —30
Вычтя почленно уравненія, получимъ: 43^=86, х—2.
Правило. Чтобы изъ двухъ уравненій исключить одно не-
извѣстное по способу сложенія или вычитанія, надо урав-
нять въ обоихъ уравненіяхъ коэффиціенты при исключаемомъ
неизвѣстномъ, а потомъ сложить оба уравненія, если знаки
передъ этимъ неизвѣстнымъ разные, или изъ одного уравне-
нія вычесть почленно другое, если знаки передъ исключаемымъ
неизвѣстнымъ одинаковые.
103. Основная теорема. Всѣ изложенные способы основываются на
слѣдующей теоремѣ: если въ системѣ двухъ уравненій одно изъ нихъ
замѣнимъ уравненіемъ, которое получится отъ почленнаго сложенія
или вычитанія данныхъ уравненій, то получимъ другую систему,
равносильную данной {т.-е. имѣю'Щ/ую тѣ же корни).
Пусть имѣемъ систему:
Л=в [1]
Требуется доказать, что эта система равносильна такой:
А±А1=В=^В1 Ар~В± [2]
- 89 —
Для доказательства допустимъ, что система [1] имѣетъ корни х=а,
у^=Ь. Это значитъ, что при этихъ значеніяхъ неизвѣстныхъ А дѣлается
равнымъ В и Аі равнымъ Вѵ Въ такомъ случаѣ очевидно, что при тѣхъ
же значеніяхъ неизвѣстныхъ А±А1 дѣлается равнымъ В±ВІ, т.-ѳ. корни
системы [1] удовлетворяютъ системѣ [2]. Положимъ теперь, что система [2]
допускаетъ корни: ж=с, у—(1. Это значитъ, что при этихъ значеніяхъ не-
извѣстныхъ А±Аі дѣлается равнымъ В+Д и Аг равнымъ В{. Въ такомъ
случаѣ очевидно, что при тѣхъ же значеніяхъ неизвѣстныхъ А сдѣлается
равнымъ В, т.-ѳ. корни системы [2] удовлетворяютъ системѣ [1]. Изъ этого
слѣдуетъ, что системы эти равносильны.
Уравнявъ коэффиціенты при одномъ неизвѣстномъ и сложивъ или вычтя
почленно оба уравненія, получимъ одно уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ.
Взявъ его вмѣстѣ съ однимъ изъ данныхъ, получимъ систему, равносильную
данной. Въ новой системѣ одно неизвѣстное опредѣляется прямо; подста-
вивъ его величину во второе уравненіе, найдемъ другое неизвѣстное.
Способы сравненія и подстановки могутъ быть разсматриваемы, какъ
слѣдствія изъ способа сложенія или вычитанія. Положимъ, напр., мы
имѣемъ систему: 2х—Зу~ 1 и 5а?-|-72/=:17. Ее можно замѣнить другою:
ж-17~7у
2 5
. потому что уравненія послѣдней системы равносильны съ уравненіями
первой. Вычтя почленно уравненія второй системы, мы можемъ, по дока-
занному, замѣнить ее такою:
1+Зу 0_1+3?/ 17-7?/
Х 2“ 5~~
Эту послѣднюю систему можно представить двояко:
14-Зт/ 17-77/
—-— = &— (способъ сравненія)
1—1—Зт/ .
5' —------[_ (у—11 (способъ подстановки).
2х—Зу=1
1-4-3?/
пли: х— —
Г ЛАВА V.
Система трехъ уравненій съ тремя
неизвѣстными.
104. Одно или два уравненія съ тремя неизвѣстными до-
пускаютъ вообще безчисленное множество корней, потому что
въ первомъ случаѣ двумъ неизвѣстнымъ, а во второмъ—
одному неизвѣстному можно придавать произвольныя значенія,
число которыхъ, очевидно, безконечно велико.
— 90 —
Система трехъ уравненій съ тремя неизвѣстными вообще
имѣетъ лишь одно рѣшеніе для каждаго неизвѣстнаго и рѣ-
шается тѣми же способами, какіе указаны выше для систе-
мы двухъ уравненій. Покажемъ примѣненіе этихъ способовъ
на слѣдующемъ примѣрѣ:
' Зх—2т/-|-52=7
< 7я>-|-4г/—8г=3
ч Ьх-Зу—42=—12
105. Способъ подстановки. Изъ одного уравненія, напр.
изъ перваго, опредѣлимъ какое-нибудь неизвѣстное, напр. х,
въ зависимости отъ другихъ неизвѣстныхъ:
7+2?/-52
сДУ- ~
О
Подставимъ это выраженіе въ остальныя уравненія:
7 ( 7+2|~5г^4-4»-8г=3
5
Мы приходимъ такимъ образомъ къ двумъ уравненіямъ
съ двумя неизвѣстными.
Рѣшивъ ихъ по какому-нибудь изъ способовъ, указанныхъ
прежде, найдемъ: у=3, з=2; подставивъ эти величины въ фор-
мулу для х, выведенную раньше, найдемъ и это неизвѣстное:
74-2.3—5.2 л
X—---!--------=1
о
106. Способъ сравненія. Изъ каждаго уравненія опредѣлимъ одно и то
же неизвѣстное въ зависимости отъ двухъ другихъ неизвѣстныхъ. Отъ этого
получимъ 3 выраженія для одного и того же неизвѣстнаго. Соединивъ
знакомъ=первоѳ выраженіе со вторымъ и первое съ третьимъ (вообще,
одно изъ этихъ выраженій съ каждымъ изъ остальныхъ), получимъ два
уравненія съ 2 неизвѣстными:
___74“2т/—5^... 3—4т/4~3^ Зт/4-^—12
3 7 = 5
74-27/ -52 _3-4-г/-р82. 7-]-2//-б2 З^Ц-42-12
3 ~ 7 ’ 3 ~ 5
Рѣшивъ эти два уравненія, получимъ: у=3, &=2, Вставивъ эти значенія
въ одну изъ трехъ формулъ, выведенныхъ раньше для х, найдемъ: х=1.
- 91 —
107. Способъ сложенія или вычитанія» Взявъ 1-е уравненіе
со 2-мъ, исключимъ изъ нихъ какое-нибудь неизвѣстное
способомъ сложенія или вычитанія; отъ этого получимъ одно
уравненіе съ 2 неизвѣстными. Взявъ потомъ 1-е ур. съ 3-мъ
(или 2-е съ 3-мъ), тѣмъ же способомъ исключимъ изъ нихъ
то же неизвѣстное; отъ этого получимъ еще одно уравненіе
съ 2 неизвѣстными. Пусть, напр., желаемъ исключить 2:
1) Зж—2у+5з=7 (на 8)
2) 7ж+4у—82=3 (на 5)
1) Зж—2//+б2=7 (на 4)
3) 5ж—Зу—42=—12(на 5)
24ж—16^+402=56
35ж+ 20у—402=15
59ж+ ±у =71 '
12ж— 8т/+202=28
25ж—15?у—202=—60
37ж— 23у =—32
Рѣшивъ полученныя два уравненія, найдемъ: ж=1, і/=3.
Вставивъ эти числа въ одно изъ данныхъ уравненій, напр'.,
въ первое, получимъ:
3.1-2.3+52=7; 52=10; 2=2.
Замѣчаніе. Для исключенія одного неизвѣстнаго мы брали
въ этомъ примѣрѣ 1-е уравненіе со 2-мъ, потомъ 1-е съ
3-мъ; но нѣтъ надобности держаться такого порядка. Можно
взять 1-е ур. со 2-мъ, потомъ 2-е съ 3-мъ; или 1-е съ 3-мъ,
потомъ 2-е съ 3-мъ,—однимъ словомъ, надо взять какое-
нибудь изъ трехъ уравненій съ каждымъ изъ остальныхъ.
ГЛАВА VI.
Система уравненій со многими неизвѣстными.
108. Общее замѣчаніе. Рѣшеніе системы п ур. съ п не-
извѣстными состоитъ въ томъ, что посредствомъ исключенія
одного неизвѣстнаго приводятъ эту систему къ другой, въ
которой однимъ уравненіемъ и однимъ неизвѣстнымъ мень-
ше; изъ этой системы снова исключаютъ одно неизвѣстное,
отчего получаютъ еще однимъ уравненіемъ и однимъ неиз-
вѣстнымъ меньше. Продолжаютъ такое послѣдовательное
исключеніе до тѣхъ поръ, пока не получатъ одного уравне-
нія съ однимъ неизвѣстнымъ.
— 92 —
109. Способъ подстановки. Изъ одного уравненія опредѣ-
ляютъ какое-нибудь неизвѣстное въ зависимости отъ дру-
гихъ неизвѣстныхъ; полученнное выраженіе вставляютъ
вмѣсто исключаемаго неизвѣстнаго въ остальныя уравненія.
Отъ этого получаютъ п—1 уравненій съ п—1 неизвѣстны-
ми. Съ этою системой поступаютъ точно такъ же. Продол-
жаютъ исключеніе неизвѣстныхъ до тѣхъ поръ, пока не по-
лучится одно уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ. Рѣшивъ
его, находятъ значеніе этого неизвѣстнаго. Вставивъ это
значеніе въ формулу, выведенную для того неизвѣстнаго,
которое исключали въ послѣдній разъ, получаютъ значеніе*
другого неизвѣстнаго. Вставивъ эти два значенія въ фор-
мулу, выведенную для того неизвѣстнаго, которое исклю-
чали въ предпослѣдній разъ, находятъ значеніе третьяго
неизвѣстнаго. Продолжаютъ такъ до тѣхъ поръ, пока не
будутъ получены значенія всѣхъ неизвѣстныхъ.
110. Способъ сравненія. Изъ каждаго уравненія опредѣляютъ одно не-
извѣстное въ зависимости отъ остальныхъ. Получаютъ такимъ образомъ
для одного и того же неизвѣстнаго столько выраженій, сколько уравненій,
положимъ п. Соединивъ знакомъ=одно изъ этихъ выраженій со всѣми
остальными, получаютъ п—1 ур. съ п—1 неизвѣстными. Съ этою системою
поступаютъ точно такъ же.
Замѣчаніе. Нѣтъ надобности соединять знакомъ=непремѣнно одно й
то же выраженіе со всѣми остальными; можно, напр., 1-е выраженіе со-
единить со 2-мъ, 2-ѳ съ 3-мъ, 3-ѳ съ 4-мъ и т. д., или какъ-нибудь иначе;
надо лишь заботиться о томъ, чтобы всѣ п—1 равенствъ были независимы
одно отъ другого. * ;
111 Способъ сложенія или вычитанія. Берутъ два уравненія,
напр. первое и второе, исключаютъ изъ нихъ одно неиз-
вѣстное способомъ сложенія или вычитанія (конечно, урав-
нявъ предварительно коэффиціенты передъ исключаемымъ
неизвѣстнымъ). Отъ этого получаютъ одно уравненіе съ п—1
неизвѣстными. Потомъ берутъ одно изъ взятыхъ прежде урав-
неній, напр. второе, вмѣстѣ съ какимъ-нибудь изъ остальныхъ,
напр. съ третьимъ, и тѣмъ же способомъ исключаютъ изъ нихъ
то же неизвѣстное; отъ этого получаютъ другое уравненіе
съ п—1 неизвѣстными. Затѣмъ берутъ одно изъ ранѣе взя-
тыхъ уравненій, напр. третье, вмѣстѣ съ однимъ изъ осталь-
— 93 —
пыхъ, напр. съ четвертымъ, и исключаютъ изъ нихъ то же
самое неизвѣстное; отъ гтого получаютъ третье уравненіе съ
п—1 неизвѣстными. Перебравъ такимъ образомъ всѣ п урав-
неній, получаютъ п—1 ур. съ п—1 неизвѣстными. Съ этой
системой можно поступать точно такъ же, какъ и съ первой.
не всѣ неизвѣстныя входятъ
въ каждое
Въ этомъ случаѣ система
быстрѣе, чѣмъ обыкновенно,
въ нѣкоторыхъ уравненіяхъ сами собой
рѣшается
такъ какъ
ГЛАВА VII.
Нѣкоторые частные случаи системъ уравненій.
112. Разсмотримъ нѣкоторые случаи, когда при рѣшеніи
системы уравненій полезно отступать отъ общихъ пріемовъ.
I. Случай, когда
уравненіе; напр.:
' 10^—2/—[—3^=5
4г—Ьх=6
2?/4-Зз=6
3?/-[-2г—4 исключены тѣ или другія неизвѣстныя.
Надо только сообразить, какія неизвѣстныя изъ какихъ урав-
неній слѣдуетъ исключить, чтобы возможно быстрѣе доити
до одного уравненія съ однимъ
въ нашемъ примѣрѣ % изъ 1-го
4-го, получимъ два уравненія съ
Югг—у-]~3я=5
— 2?/—Зз=—6
ІОж—Зу——1
неизвѣстнымъ. Исключивъ
и 3-го ур. и ѵ изъ 2-го и
х и у*.
4г—Ъх=6
—4г— 6?/=:—8
— 5х—6у=—2
Рѣшивъ эти уравненія, найдемъ сг=О, у=гІ^.
Вставивъ эти значенія во 2-е и 3-е уравненія, получимъ:
II. Случай, когда неизвѣстные входятъ въ уравненія подъ
видомъ дробей: 1/х, 1/у, Напр.:
' 1 , ! 1_7
х 1 у г 6
1)
1 1 1_ 5
------Положимъ, что:
1 1 1_1
У X 2 6
~=Ъ
У
1
-=с
я
— 94 —
Тогда получимъ три уравненія съ вспомогательными неиз-
вѣстными а, Ъ и с:
' а+ъ-с=--
6 Рѣшивъ эту систему, найдемъ
< сі—Ъ—с=—&—“^-5 о—"з
1 6 1 1 1 „ 1 I
Ь-а~с=- 2’ у~ ’ з~3
Откуда: «=2, у—1, г=3.
□э & 1 со - — -— — 13 у 3 1 1 Дроби -1, 2 У л т. п. можно
2)' X X 1 \ I |СЯ г-і [СЧ ю со II II I I « см I ) I г* I разсматривать, дѳнія 3.4, 2 . какъ произве- “ и т. д.
Поэтому, положивъ ^—а, 4=6 и т = с’ получимъ:
' За-|-25—4с=—13
6а—36— с =5 і
1
(-5а4-7г>4-2с=3 4
Изъ этихъ уравненій находимъ:
а=2, 6=4? с=5, послѣ чего полу
чимъ: у—2,
III. Сложеніе и вычитаніе уравненій. Напр.:
х-\-у=а Сложивъ всѣ три уравненія, найдемъ сумму
трехъ неизвѣстныхъ; вычитая изъ этой суммы
каждое уравненіе, найдемъ неизвѣстныя от-
дѣльно:
2(«+?/-Н)=«+6+с;
а4-б4-с т а-\-Ъ-\-с
2'"--Ж~~2-----------Ьг ----С
— 95 —
ГЛАВА VIII.
Способъ неопредѣленныхъ множителей.
(Способъ Везу).
113. Два уравненія съ 2 неизвѣстными. Возьмемъ систему двухъ ура-
вненій съ двумя неизвѣстными въ общемъ видѣ:
ах -\-Ъу=с
а’х-]-Ъ'у=с! [1]
Умножимъ всѣ члены одного уравненія, напр., второго, на нѣкотораго
множителя т и затѣмъ сложимъ его съ другимъ уравненіемъ:
{а^а'т)х^(Ь^Ь'т)у=^-{-с!т [2]
Желая опредѣлить изъ этого уравненія а?, придадимъ множителю т та-
кое значеніе, чтобы коэффиціентъ при у обратился въ нуль. Для этого на-
до для ш назначить величину, опредѣляемую уравненіемъ:
Ъ-уЬ'т—О, откуда: т=—
Тогда уравненіе [2] даетъ:
(а^-\-а(т)Х=С-\гС,т^ откуда: Х—~
тл ѵ . Ъ
Вставивъ на мѣсто т его значеніе—получимъ:
. .( Ъ\ сгЬ сУ-сЧ)
с-н-с-----” с----г-----------
V ‘Т ѵ « сѵ-еъ
-сгт
-а!т
ж==-
V
, ,1 Ь\ а’Ь аѴ~а'Ь аѴ—М
Ог\-а!\ —•— а----
1 \ &7 V
Для опредѣленія у дадимъ т такое значеніе, которое въ ур. [2] обра-
титъ въ нуль коэффиціентъ при х, т.-ѳ. положимъ, что:
откуда:
Тогда (&Ц-Ь'т) 2/=с-[-с'т, откуда:
। ,( а\
С-|--СЧ--я
с-4-с'т \ а' со!—с'а ас'—а/с
У——!-----=-------------—----------=-------_
Ъ-\-Ъ’т / а\ ЪаІ—Ъ'а аЪ'—а'Ъ
6+й\~' а')
- 96 —
114. Способъ составленія окончательныхъ формулъ. Полезно замѣтить,
какъ можно составить окончательныя формулы для неизвѣстныхъ, не при-
бѣгая каждый разъ къ ихъ выводу. Знаменатель аЬ'—а/Ь, одинаковый для
обѣихъ формулъ, составленъ изъ коэффиціентовъ:
а Ъ
а! У
перемноженіемъ ихъ крестъ-накрестъ, причёмъ одно произведѳціѳ взято
съ+, другое съ—. Числители формулъ получаются изъ знаменателя замѣ-
ною въ немъ коэффиціентовъ опредѣляемаго неизвѣстнаго соотвѣтственно
свободными членами с и с'. Чтобы получить, напр., числителя формулы ж,
надо въ знаменателѣ аУ—а'Ъ замѣнить иксовы коэффиціенты а и а' соот-
вѣтственно на с и с', отъ этого получимъ: сЪ'—с’Ъ,
115. Три уравненія съ 3 неизвѣстными. Пусть имѣемъ систему трехъ уравненій:
Г ах -\-Ъу -4-сз
< а!х—Ѵу-~с^—д!
[1]
Умножимъ всѣ члены одного уравненія, напр., перваго, на неопредѣлен-
наго множителя ш, а всѣ члены другого уравненія, напр., второго, на не-
опредѣленнаго множителя п и затѣмъ сложимъ всѣ три уравненія:
Желая опредѣлить ж, выберемъ для т и п такія значенія, чтобы въ
послѣднемъ уравненіи коэффиціенты при у и г обратились въ нули. Такія
значенія найдутся, если рѣшимъ уравненія:
сш-|-с'п-]-с^=0 [3]
Тогда уравненіе [2] даетъ [4]
Отсюда видно, что х найдется, если рѣшимъ систему [3] относительно
т и п. Такимъ образомъ, рѣшеніе системы трехъ уравненій съ 3 нѳизв.
приводится къ рѣшенію системы двухъ уравненій 2 нѳизв.
Перенеся въ уравненіяхъ [3] члены Ьи и с" въ правую часть и поль-
зуясь формулами § 114, получимъ:
_ Ъ’с"~Ъ"с!
т М—Ѵс М—Ѵс
п= Ъ(-сІГ)—(~Ъ^с _ Ѵ'с—Ы"
М—Ѵс Ъд—Ѵс
— 97 —
Подставивъ эти величины въ равенство [4], находимъ:
ЛЬ'с"—Ъ"с'\ . ,, (Ѵс—Ъс"\ , л„
+а (-ІГ--ѴІ) +а
+а' !>Л^Ъ<А +„„
\ Ъс'-Ѵс ) 1 \М-Ъ'с) 1
Раскроемъ скобки и умножимъ числителя и знаменателя на Ьс'—Ь'с:
дЬ'с'І—№Ч~уд!Ѵ'с—д!Ъс''-\-й"М-аѢ'с
я^аЬ'с"—аЬ"с'-\~а'Ь"с~а'1)с"-Іга”дс'—а!'Ѵс
Остальныя неизвѣстныя можно найти тѣмъ же способомъ, а именно
для опредѣленія у надо т и п выбрать такими, чтобы:
(ат-4~а/п-4-а^^=О йт-\-д!п-А-в!г
I ст-^-с'п-^-с^—О Т0І Да У
Для опредѣленія г надо рѣшить систему:
(ат^а!п-\-а’ 0 йт-^йп-^-сѴ1
Выполнивъ это, получимъ:
__й'с7—-аРс—&ас- дУа?с
У Ьа!с"—Ъаус^ЪЧі''С—ЪІасп-^гЪпасі~~Ьпа!с
___
% са*Ьп— санд'-}-сгаггЪ~~с,аЬи-\- с"аЬ'~ спа'Ъ
116. Способъ составленія окончательныхъ формулъ. Разсматривая зна-
менателей трехъ формулъ, выведенныхъ для сс, у и 2, замѣчаемъ, что они
представляютъ собою одинъ и тотъ же
многочленъ (въ формулѣ для у надо пред-
варительно умножить числителя и знаме-
нателя на—1). Чтобы составить этотъ
многочленъ, расположимъ коэффиціенты:
а, Ь, с, а', Ъ{, с', а", Ъ", с" въ три гори-
зонтальныя строки другъ подъ другомъ,
а затѣмъ повторимъ еще 1-ю и 2-ю строку;
тогда получимъ всего 5 горизонтальныхъ
строкъ (см. черт. рядомъ).
Затѣмъ перемножимъ числа по діа-
гоналямъ, указаннымъ на чертежѣ, беря
три произведенія: аЬ'с", а’Ъ"^ а"Ъсг со
знакомъ-]-, а остальныя три, а именно:
а"Ь'с, аЪ"с' и а'Ъс", со знакомъ—.
Соединивъ эти шесть произведеній въ одинъ многочленъ, получимъ зна-
менателя формулъ для я?, у и г. Для полученія числителя х замѣнимъ въ
А. Киселевъ. Алгебра. 7
— 98 —
нашихъ 5-ти строчкахъ иксовы коэффиціенты, т.-ѳ. а, а*, а", а и а*, на
соотвѣтствующіе свободные члены: <2, сГ, <2", й, д! и составимъ по тому
же правилу шесть произведеній. Для полученія числителей у и з замѣнимъ
въ строчкахъ свободными членами игрековы, а потомъ зетовы коэффиціенты.
117. п уравненій съ п неизвѣстными. Пусть вообще имѣемъ п уравненій
1-й ст. съ п неизвѣстными. Умножимъ какія-нибудь п—1 уравненій соот-
вѣтственно на п—1 неопредѣленныхъ множителей: ть т%, т$... тп—і
и затѣмъ сложимъ всѣ уравненія. Отъ этого получимъ одно уравненіе съ п
неизвѣстными. Желая затѣмъ опредѣлить какое-нибудь неизвѣстное,
напр. ж, придадимъ неопредѣленнымъ множителямъ такія значенія, чтобы
коэффиціенты при всѣхъ остальныхъ неизвѣстныхъ обратились въ нули.
Для этого придется рѣшить п—1 уравненій съ п—1 неизвѣстными. Эту
систему, въ свою очередь, можемъ привести къ системѣ п—2 ур. съ п—2
неизвѣстными и т. д.
118. Замѣчаніе. Рѣшая численныя уравненія по способу Везу, мы
можемъ иногда встрѣтиться съ затрудненіемъ, сущность котораго уяснится
на слѣдующемъ примѣрѣ. Пусть мы рѣшаемъ систему уравненій:
{5ж-|-2.Ѵ~Нг==21 способомъ неопредѣленныхъ множителей. Умноживъ
ж-ф-4?у—|—8^=33 первое уравненіе на т, второе на п и сложивъ три
Зх-\-2у— &= 4 уравненія, получимъ:
(5т-^п^З)х^(2т-^п^2)у^(4т-]-8п—1)®=21т-|_ЗЗп-{-4
Желая найти х, положимъ, что:
2??г--р4п-|--2=О и 4т-(-8п—1=0
Рѣшая эти два уравненія, находимъ, что они несовмѣстны, т.-ѳ. нѳ
существуетъ такихъ значеній для т и п, при которыхъ коэффиціенты
у и г обращались бы въ нули. Въ этомъ и состоитъ возможное иногда
затрудненіе.
Встрѣтивъ такое обстоятельство, мы нѳ должны еще заключать, что и
данная система невозможна; такъ, въ нашемъ примѣрѣ существуетъ рѣ-
шеніе х=1, у~2, з=3, которое мы можемъ получить или посредствомъ
окончательныхъ формулъ, выведенныхъ выше, или жѳ помощью одного
изъ извѣстныхъ требъ способовъ рѣшенія системы уравненій *).
*) Указаннаго затрудненія можно также избѣжать умноженіемъ каждаго
изъ данныхъ уравненій на неопредѣленнаго множителя (подробности объ этомъ
см. Алгебра для гимназій и,реальныхъ училищъ, составилъ Л. Билибинъ,
изданіе третье, стр. 284, и слѣд.).
— 99 —
ГЛАВА IX.
Уравненія неопредѣленныя, несовмѣстныя и
условныя.
119. Система, въ которой число уравненій меньше числа не-
извѣстныхъ, допускаетъ вообще безчисленное множество рѣ-
шеній. Пусть, напр., имѣемъ 3 уравненія съ 5-ю неизвѣст-
ными: х, и ѵ. Назначивъ для 2 неизвѣстныхъ, напр.,
для х и у, произвольныя числа и подставивъ ихъ въ данныя
уравненія, получимъ 3 уравненія съ тремя неизвѣстными г, I
и г; рѣшивъ ихъ, найдемъ значенія этихъ неизвѣстныхъ, соот-
вѣтствующія взятымъ числамъ для х и. у. Назначивъ какія-ни-
будь другія числа для а; и ?/, снова найдемъ соотвѣтствующія
значенія для остальныхъ неизвѣстныхъ. Такимъ образомъ, ка-
ждой парѣ произвольно выбранныхъ значеній для х и у най-
демъ соотвѣтствующія значенія остальныхъ трехъ неизвѣст-
ныхъ; значитъ, всѣхъ рѣшеній можетъ быть безчисленное
множество. Система, допускающая безчисленное множество
рѣшеній, наз. неопредѣленною.
120. Система, въ которой число уравненій больше числа
неизвѣстныхъ, можетъ имѣть рѣшеніе лишь при нѣкоторыхъ
соотношеніяхъ между коэффиціентами уравненій. Положимъ,
напр., имѣемъ систему 7-ми ур. съ 4 неизвѣстными. Взявъ
изъ всѣхъ уравненій какихъ-нибудь 4 и рѣшивъ ихъ, най-
демъ значенія для всѣхъ 4 неизвѣстныхъ. Подставивъ эти
значенія въ остальныя 3 уравненія, получимъ 3 равенства,
которыя могутъ оказаться невозможными. Въ этомъ случаѣ
данныя уравненія несовмѣстны.
Примѣры:
(Зх—2у= 3
1) ря4-4//=59
—Зт/=10
Рѣшивъ два первыя уравненія, найдемъ:
х=5, у=6. Вставивъ эти значенія въ
3-е уравненіе, получимъ невозможное
равенство: 12=10; значитъ, данныя уравненія несовмѣстны.
7 __ Изъ двухъ первыхъ уравненій находимъ:
2) { тхІпу^р х= сп~ЬР , у=:аР~ст
( дх-[-гу----8 ап—Ьт ап—Ьт
7*
— 100 —
Вставивъ эти формулы въ третье уравненіе, получимъ слѣ-
дующую зависимость между коэффиціентами:
сп—Ър , ар—ст
-----------------г—8
ап—Ът ап—Ът
1) {
Если коэффиціенты таковы, что удовлетворяютъ этой за-
висимости, то система возможна; въ противномъ случаѣ
уравненія несовмѣстны.
Равенства, которымъ должны удовлетворять буквенные ко-
эффиціенты данныхъ уравненій для того, чтобы система могла
имѣть рѣшеніе, называются условными уравненіями (для этой
системы).
121. Иногда система можетъ оказаться невозможной или не ’
с пре дѣленной и тогда, когда въ ней число уравненій равно
“чйслу неизвѣстныхъ, а именно: система невозможна, если
одно или нѣсколько уравненій протііворѣчатъ остальнымъ,
в неопредѣленна, если одно или нѣсколько уравненій пред-
ставляютъ слѣдствіе остальныхъ.
Примѣры:
2ж—Зт/=14 Второе уравненіе противорѣчитъ пер-
4ж— 6т/=20 вому: лѣвая часть 2-го уравненія въ
два раза больше лѣвой части 1-го, а правая хотя и больше,
но не въ два раза. Если станемъ рѣшать эти уравненія, то
невозможность обнаружится тѣмъ, что получимъ нелѣпое
равенство.
{2ж~-Зу+ 2=5 Третье уравненіе есть слѣдствіе
Ъх-\-2у—42=—1 двухъ. Въ самомъ дѣлѣ, если чле-
9^ ѣу—22 9 пы перВаго уравненія умножимъ на
2, потокъ сложимъ его со вторымъ уравненіемъ, то полу-
чимъ третье уравненіе; слѣд., если два первыя уравненія
удовлетворяются какими-нибудь значеніями неизвѣстныхъ,
то тѣми же значеніями удовлетворяется и третье уравненіе.
Но первыя два уравненія, содержа три неизвѣстныя, имѣютъ
безчисленное множество рѣшеній; значитъ, система неопре-
дѣленна.
Если станемъ рѣшать эти уравненія, то неопредѣленность
обнаружится тѣмъ, что въ концѣ рѣшенія всѣ неизвѣстныя
исключаются и получится равенство: 0=0.
— 101 —
ГЛАВА X.
Изслѣдованіе уравненій первой степени.
Одно уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ.
122. Что значитъ изслѣдовать уравненіе. Изслѣдовать урав-
неніе съ буквенными коэффиціентами значитъ разсмотрѣть
всѣ особенные случаи, которые могутъ представиться при
рѣшеніи его, въ зависимости отъ частныхъ значеній буквъ,
и уяснить значеніе этихъ случаевъ для той задачи, изъ
условій которой уравненіе выведено.
123. Общій видъ уравненія. Уравненіе первой степени съ
однимъ неизвѣстнымъ послѣ раскрытія въ немъ скобокъ,
уничтоженія знаменателей и приведенія подобныхъ членовъ
въ каждой его части отдѣльно, всегда приведется къ такому
виду, при которомъ лѣвая и правая части уравненія будутъ
состоять, каждая, не болѣе какъ изъ двухъ членовъ: члена,
содержащаго неизвѣстное въ 1-й степени, и члена, не содер-
жащаго неизвѣстнаго. Что касается знаковъ передъ этими
членами, то могутъ представиться различные случаи. Усло-
вія, принятыя въ алгебрѣ относительно отрицательныхъ чи-
селъ, позволяютъ выразить всѣ эти случаи однимъ общимъ
уравненіемъ:
ах-\-Ь=а1х-}-Ъ1
если подъ буквами а, 6, а1? будемъ разумѣть числа не
только положительныя, но и отрицательныя и даже равныя
нулю. Полагая, напр., а=3, 6=—2, ^=0 и ^=10, полу-
чимъ изъ общаго уравненія слѣдующій частный случай:
Зж-|-(—2)=0. ж-|-10, т.-е. Зж—2=10
124. Рѣшеніе уравненія. Перенеся члены, содержащіе а?,
въ одну часть уравненія, а извѣстные члены въ другую
(причемъ условія объ* отрицательныхъ числахъ позволяютъ
не стѣсняться невозможнымъ вычитаніемъ), получимъ:
ах~а1х=Ь1-—Ь или: (а—а^х^Ъ^Ъ
Ь.—Ь
х—-1----
Откуда:
а—аі
— 102 -
Разсмотримъ теперь, какого рода рѣшенія получаются изъ
этой общей формулы при частныхъ значеніяхъ входящихъ
въ нее буквъ.
125. Положительное рѣшеніе. Такое рѣшеніе получается
тогда, когда разности —Ь и а—обѣ положительны, или
обѣ отрицательны.
Положительное рѣшеніе вообще показываетъ, что предло-
женная задача возможна. Впрочемъ, иногда случается, что
не всѣ условія задачи выражены въ уравненіи; въ этомъ
случаѣ положительное рѣшеніе можетъ и не удовлетворить
требованіямъ задачи и задача окажется невозможной. При-
ведемъ этому примѣръ.
Задача. Общество, состоящее изъ 20 человѣкъ, устроило
сборъ съ благотворительной цѣлью, причемъ каждый муж-
чина внесъ по 3 рубля, а каждая женщина—по 1 руб.
Сколько было въ этомъ обществѣ мужчинъ и сколько жен-
щинъ, если весь сборъ составилъ 55 руб.?
Искомое число мужчинъ х\ число женщинъ 20—х\ сборъ со
всѣхъ мужчинъ За?, съ женщинъ 20—х\ по условію задачи:
Зя>-|-(20—а;)=55; откуда: іг=1772
Это рѣшеніе удовлетворяетъ уравненію, но не удовлетво-
ряетъ задачѣ, такъ какъ по смыслу ея искомое число должно
быть цѣлымъ. Различіе между уравненіемъ и задачею про-
изошло здѣсь оттого, что уравненіе выражаетъ не всѣ тре-
бованія задачи, а именно: въ немъ не содержится подразу-
мѣваемаго въ задачѣ требованія, чтобы искомое число было
цѣлое. Предложенная задача невозможна.
126. Отрицательное рѣшеніе. Такое рѣшеніе получается
тогда, когда одна изъ разностей: Ьх—Ь и а—аг положитель-
на, а другая отрицательна.
Чтобы показать, какое значеніе имѣетъ отрицательное рѣ-
шеніе для задачи, докажемъ предварительно слѣдующую
теорему.
Теорема. Если данное уравненіе имѣетъ отрицательный
корень, то абсолютная величина этого корня удовлетворяетъ
другому уравненію, которое получится изъ даннаго замѣною
въ немъ х на — х.
103 —
Пусть данное уравненіе
ах-}-Ъ=ахх~\-Ъх [1]
имѣетъ отрицательный корень х=—т\ требуется доказать,
что абсолютная величина этого корня, т.-е. число тп, удовле-
творяетъ другому уравненію
н(—(—• &)4А
т.-е. —ах-}-Ь=—агх-}~Ъх [2]
которое получается изъ даннаго замѣною въ немъ х на —х.
Для доказательства подставимъ въ уравненіе [2] на мѣсто
х число т:
—ат-\-Ъ~—[3]
Равенство это должно оказаться тождествомъ,. такъ какъ
оно получается и тогда, когда въ уравненіе |1] на мѣсто х
подставимъ число —ш, которое, по условію, есть корень
ур. [1]. Если же равенство [3] есть тождество и оно полу-
чается изъ ур. [2] замѣною въ немъ х иа т, то это зна-
читъ, что есть корень уравненія [2].
Основываясь на этой теоремѣ, можемъ поступить такъ:
получивъ отрицательное рѣшеніе—т, измѣнимъ въ уравне-
ніи х на —ж; отъ этого получимъ новое уравненіе, которое
имѣетъ положительное рѣшеніе х~~т. Новое уравненіе, ко-
нечно, не соотвѣтствуетъ предложенной задачѣ; всматри-
ваясь въ него, мы легко опредѣлимъ, какъ па до измѣнить
задачу, чтобы она соотвѣтствовала этому новому уравненію
и, слѣд., имѣла бы положительное рѣшеніе х=т. При этомъ,
какъ увидимъ изъ прилагаемыхъ ниже задачъ, приходится
измѣнить или предположеніе, которое мы сдѣлали при со-
ставленіи уравненія, или вопросъ задачи, пли ея условія;
причемъ предположеніе, вопросъ или условія приходится
измѣнять въ смыслѣ обротномъ тому, какой они имѣютъ
при положгтельномъ рѣшеніи; такъ, если положительное
рѣшеніе означаетъ время послѣ нѣкотораго событія, то от-
рицательное означаетъ время раньше этого событія; если
первое означаетъ разстояніе вправо, то послѣднее—разстоя-
ніе влѣво отъ нѣкоторой точки и т. п.
Задача 1. Два курьера ѣдутъ въ направленіи отъ М къ
2Ѵ (см. чертежъ иа слѣд. страп.); въ каждый часъ одинъ
курьеръ проѣзжаетъ 15 верстъ, другой 12 верстъ. Перваго
— 104 —
замѣтили на станціи А въ 12 часовъ дня, а второго видѣли
въ 2 часа того же дня на станціи В, отстоящей отъ А на
25 верстъ. Опредѣлить мѣсто встрѣчи двухъ курьеровъ.
Изъ условій задачи прямо не видно, гдѣ произошла встрѣ-
ча: налѣво отъ А, или между А и В, или направо отъ В.
Предположимъ, что курьеры встрѣтились направо отъ В
Сг А. С,..х,. В .С
ЭД-і----е------ѳ---4—К
въ нѣкоторой точкѣ С, отстоящей отъ В на х верстъ. Пер-
вому курьеру отъ А до С пришлось проѣхать 25-|-# верстъ,
2 5-Не
на что ему понадобилось * - часовъ. Второму курьеру отъ
1 о
В до С пришлось проѣхать х вер., на что ему понадобилось
~ часовъ. Изъ условій задачи видно, что число часовъ, въ
теченіе которыхъ первый курьеръ проѣхалъ отъ А до С,
больше числа часовъ, употребленныхъ вторымъ курьеромъ
па проѣздъ отъ В до С, на 2; поэтому
254-ж х
15 12~2 Ш
откуда: 100—|—5гг=120; — я=:20; 20
Чтобы найти смыслъ этого отрицательнаго рѣшенія, измѣ-
нимъ въ уравненіи х на — х\
15 '12
Это уравненіе имѣетъ положительное рѣшеніе: &=20.
Не трудно видѣть, что оно соотвѣтствуетъ той же задачѣ,
только иному предположенію. Дѣйствительно, допустимъ, что
курьеры встрѣтились въ нѣкоторой точкѣ лежащей между
А и В, на разстояніи х верстъ отъ В. Тогда первый курь-
еръ проѣхалъ пространство отъ А до С1? т.-е. 25 — х
25—х
верстъ, въ . часовъ, а второй курьеръ проѣхалъ путь
отъ Сх до В, т.-е. х верстъ, въ часовъ- такъ какъ пер-
— 105 —
вый выѣхалъ изъ А въ полдень, а второй пріѣхалъ въ В
въ 2 часа того же дня, то
25— х . х__0
”~15~ ' 12~^
а это и есть уравненіе [2]. Итакъ, задача наша получаетъ
такой отвѣтъ: курьеры встрѣтились за 20 верстъ до стан-
ціи В.
Задача 2. Отцу 40 лѣтъ, а сыну 10 лѣтъ. Черезъ сколько
лѣтъ отецъ будетъ въ 7 разъ старше сына?
Обозначимъ искомое число черезъ х. Черезъ х лѣтъ отцу
будетъ 40-]-^, а сыну 10-}-х лѣтъ. По условію:
40-)-#=7(10--]~#); откуда: х=—5
Замѣнивъ въ уравненіи х на -х^ получимъ новое уравне-
ніе 40—-#=7(10—#), которое отвѣчаетъ той же задачѣ, но
съ измѣненнымъ вопросомъ; а именно вопросъ долженъ быть
такой: сколько лѣтъ тому назадъ отецъ былъ въ 7 разъ
старше сына?
Задача 3. Въ двухъ кошелькахъ было 100 руб. Вынувъ
изъ одного х/2, а изъ другого х/8 денегъ, находившихся въ
нихъ, замѣтили, что въ. обоихъ осталось 70 руб. Сколько
было денегъ въ каждомъ кошелькѣ?
Въ первомъ кошелькѣ денегъ х руб.; въ другомъ 100—х
руб. Когда изъ перваго вынули % его денегъ, то въ немъ
осталось У2#; когда изъ другого вынули х/8 его денегъ, то
въ немъ осталось 2/з (Ю0—по условію
1 . 2
-#-}-^ (100—#)=70
2 о
3&Ц-400—4ж=420; откуда: —ж=20; х=—20
Перемѣнимъ въ-данномъ уравненіи х на—ж:
12 2 1
— =- х 4- (100-|-ж)=70 или: ^(100-Н»)— =- ж=70
2 о о 2
Это уравненіе соотвѣтствуетъ такой задачѣ съ измѣнен-
ными условіями: въ двухъ кошелькахъ было нѣкоторое ко-
личество денегъ, причемъ во второмъ было болѣе, чѣмъ
въ первомъ, на 100 руб. Вынувъ изъ 1-го кошелька Уа, а
— 106 —
изъ 2-го Ѵ8 находившихся въ нихъ денегъ, замѣтили, что
въ первомъ осталось менѣе, чѣмъ во второмъ, на 70 руб.
Сколько было денегъ въ каждомъ кошелькѣ?
127. Нулевое рѣшеніе. Если въ формулѣ х=- ——
а—
число Ъх сдѣлается равнымъ д, причемъ а не равно то
0 х
х принимаетъ видъ —, что, по опредѣленію дѣленія, должно
??2
равпяться 0. Дѣйствительно, уравненіе, при этихъ предпо-
ложеніяхъ, не можетъ имѣть никакого иного корня, кромѣ
х=(\ такъ какъ при Ъ—Ьх^ оно обращается въ равенство:
ах=а1х, которое, при неравныхъ а и возможно только
тогда, когда х=0.
Нулевое рѣшеніе въ нѣкоторыхъ случаяхъ даетъ отвѣтъ
на вопросъ задачи, иногда же показываетъ невозможность ея.
Задача 1. Отцу 40 лѣтъ, сыну 10. Черезъ сколько лѣтъ
отецъ будетъ въ 4 раза старше сына?
40+^=(10+гг)4
откуда: За;=0 х=^=0
о
Это рѣшеніе даетъ прямой отвѣтъ на вопросъ задачи: „въ
настоящее время отецъ въ 4 раза старше сына".
Задача 2. Найти знаменателя дроби, имѣющей числите-
лемъ 3, при томъ условіи, чтобы произведеніе этой дроби
на обратную ей равнялось 2.
Обозначивъ знаменателя дроби черезъ х, получимъ:
X д
Въ этомъ примѣрѣ нулевое рѣшеніе показываетъ невоз-
можность задачи, потому что дробь 3/о невозможна.
Ъ__Ъ
128. Безконечное рѣшеніе. Если въ формулѣ х—-1--- зна-
а—ак
менатель обратится въ нуль, а числитель въ какое-нибудь
число ш, не равное 0, то х представится подъ видомъ
т х
• Въ этомъ случаѣ уравненіе не удовлетворяется никакимъ
- 107
числомъ, потому что, при а=а^ оно при всякомъ значеніи
X принимаетъ видъ равенства которое невозможно,
если ЪфЪ. Невозможность удовлетворить уравненію, конечно,
означаетъ невозможность задачи, изъ условій которой выве-
дено это уравненіе.
Однако недостаточно сказать, что задача въ этомъ случаѣ
невозможна. Можно предложить при этомъ вопросъ: какія
значенія будетъ получать неизвѣстное, если измѣнимъ усло-
вія задачи такъ, чтобы знаменатель дроби, выведенной для
іг, не равнялся нулю, а только уменьшался бы, прибли-
жаясь къ нулю? Чтобы отвѣтить на этотъ вопросъ, посмот-
римъ, какъ будетъ измѣняться величина дроби, если знаме-
нателя ея сзанемъ уменьшать редѣлонио, а числителя
оставимъ безъ перемѣны (или будемъ измѣнять, но такъ,
чтобы онъ оставался всегда больше какого-нибудь постоян-
наго числа).
Положимъ, что въ дроби знаменатель принимаетъ все
меньшія и меньшія значенія, напр., такія: Ѵ10, Ѵюо? Ѵюоо
и т. д. Тогда дробь получаетъ все большія и большія зна-
ченія:
-^-=100р;1? - ІОѲО Р И Т. Д.
/|0 /100 1000
Отсюда видно, что если только р больше какого-нибудь по-
стояннаго, хотя бы и очень малаго, числа, то дробь ?/д, при
неопредѣленномъ уменьшеніи ея знаменателя, можетъ пре-
взойти какое угодно большое число.
Это свойство дроби сокращенно выражаютъ такъ: дробь, у
которой знаменатель равенъ 0, а числитель не равенъ 0,
равна безконечности.
Фразу эту нельзя понимать буквально, такъ какъ дробь
перестаетъ существовать, когда у нея знаменатель обратится
въ 0; фраза выражаетъ только то, что дробь безпредѣльно
увеличивается, если ея знаменатель уменьшается, прибли-
жаясь какъ угодно близко къ нулю, а числитель или не
измѣняется вовсе, или при своемъ измѣненіи остается всегда
больше какого-нибудь постояннаго числа.
- 108 —
Свойство это письменно выражаютъ такъ:
а
0=О°
гдѣ знакъ 00 обозначаетъ собою безконечность.
Если знаменатель, приближаясь къ нулю, имѣетъ одина-
ковый знакъ съ числителемъ, то дробь, увеличиваясь без-
предѣльно, все время остается положительной; если же зна-
менатель, приближаясь къ нулю, имѣетъ знакъ, обратный
знаку числителя, то дробь все время отрицательна, а обсо-
лютная величина ея увеличивается безпредѣльно. Письменно
а
это выражаютъ такъ: ~=±=оо
Изъ свойства дроби находимъ также, что -----=<
т.-е если
абсолютная величина знаменателя возрастаетъ безпредѣль-
но, а числитель остается постояннымъ *), то дробь прибли-
жается какъ угодно близко къ нулю.
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что безконечное рѣшеніе не
только означаетъ невозможность задачи, но вмѣстѣ съ тѣмъ
и показываетъ, что, по мѣрѣ приближенія къ нулю знаме-
нателя дроби, выведенной для х, значеніе х безпредѣльно
увеличивается.
Задача. Къ двумъ окружностямъ, у которыхъ радіусы суть
г и и разстояніе между центрами й, проведена общая
внѣшняя касательная АВ (см. черт. на слѣд. стр.). Опре-
дѣлить точку пересѣченія касательной съ линіей центровъ.
Обозначимъ черезъ х разстояніе точки пересѣченія до
центра ближайшаго круга. Проведя изъ центровъ радіусы
къ точкамъ касанія, получимъ два подобныхъ прямоуголь-
ныхъ треугольника ОСВ и О^АВ, изъ которыхъ имѣемъ:
х:($~[нк)—г; гіх=(іг-]-гх99
' (ІГ
г. х—гх—аг9, х=---------
1 5 — г
*) Или хотя и измѣняется, но такъ, что онъ остается меньше нѣкотораго
постояннаго числа*
109 —
Если предположимъ, что разность радіусовъ данныхъ кру-
говъ уменьшается, приближаясь къ нулю, то дробь---------
г
будетъ безпредѣльно увеличиваться, т.~е. точка пересѣченія
будетъ все далѣе и далѣе отходить отъ центра ближайшаго
круга, и общая касательная АВ будетъ все болѣе и болѣе
приближаться къ параллельности съ линіей центровъ; если
сдѣлается вполнѣ равнымъ г, то точки пересѣченія со-
всѣмъ не будетъ; другими словами, общая касательная бу-
детъ въ этомъ случаѣ параллельна линіи центровъ.
129. Замѣчаніе. Уравненіе можетъ получить рѣшеніе въ двухъ
существенно различныхъ случаяхъ, смотря по тому, будутъ ли коэффѳ-
ціенты уравненія величины перемѣнныя или постоянныя.
Въ первомъ случаѣ уравненіе получаетъ безконечное рѣшеніе тогда,
когда въ дроби, выведенной изъ уравненія для величины неизвѣстнаго,
при нѣкоторыхъ Частныхъ значеніяхъ коэффиціентовъ, числитель обра-
щается въ конечное число, а знаменатель въ нуль (какъ это было
въ задачѣ, разсмотрѣнной выше). Въ этомъ случаѣ, какъ мы видѣли, рѣ-
шеніе ж=со означаетъ только то, что величина неизвѣстнаго безпредѣльно
увеличивается по мѣрѣ того, какъ знаменатель приближается къ нулю.
Подобнаго вывода, очевидно, не можетъ быть для уравненія съ постоян-
ными коэффиціентами. Это послѣднее можетъ имѣть рѣшеніе лишь
въ томъ смыслѣ, что по мѣрѣ безпредѣльнаго возрастанія величины, обо-
значенной х, обѣ части уравненія неопредѣленно стремятся къ равен-
ству, иначе сказать, по мѣрѣ безпредѣльнаго возрастанія величины х,
разность между лѣвою и правою частями уравненія безпредѣльно умень-
шается, Возьмемъ, напр., такое уравненіе съ постоянными коэффиціентами:
10 =10(ж~1)
х
Рѣшеніе показываетъ, что хотя это уравненіе невозможно, одна-
ко, увеличивая безпредѣльно х, мы можемъ сдѣлать правую его часть какъ
— 110 —
угодно близкой къ лѣвой. Чтобы обнаружить это, найдемъ разность между
лѣвой и правой частями уравненія:
10х~ 10 1(Ь—10^4-10 10
X XX
Ни при какомъ значеніи х дробь 10/ж нѳ можетъ равняться нулю, и
слѣд., уравненіе нѳ удовлетворяется никакими значеніями ж; но при
безпредѣльномъ увеличеніи х дробь 10/д. приближается какъ угодно
близко къ 0, и равенство становится все болѣе и болѣе точнымъ* Это и
разумѣютъ, когда говорятъ, что предложенное уравненіе имѣетъ корень
ж~<х>.
Не трудно понять, что уравненіе съ постоянными коэффиціентами мо-
жетъ имѣть корень только въ томъ случаѣ, когда неизвѣстное вхо-
дитъ въ знаменателей дробей.
130. Неопредѣленное рѣшеніе. Если въ формулѣ х—~—-
а' аі
число сдѣлается равнымъ Ь и число а равнымъ то
0 _т 0 к
X представится водя» видомъ-^-* Частное - > по опредѣленію
дѣленія, должно означать такое число, которое, умноженное
на дѣятеля 0, даетъ дѣлимое 0. Но всякое число отъ
умноженія на 0, даетъ 0. Слѣд., частное °/0, по опредѣле-
нію дѣленія, равняется какому угодно числу. И изъ уравне-
нія видно, что въ этомъ случаѣ неизвѣстное можетъ имѣть
всевозможныя, знаменія, такъ какъ уравненіе принимаетъ видъ
ах~\~Ь=ах-^Ь, что представляетъ тождество. Итакъ, рѣгиеніе
0 • 3
а—-^служитъ признакомъ, что уравненіе и задача неопре-
дѣленны , т.-е. допускаютъ безчисленное множество рѣшеній.
Задача. Отцу 40 лѣтъ, сыну 10. Черезъ сколько лѣтъ
отецъ будетъ па 30 лѣтъ старше сына?
40 .1 < >--{—гг-ф-; 404-а^===40-(-х.
Обѣ части уравненія тождественны, и поэтому х можетъ
имѣть ироизвольныя значенія, т.-е. задача неопредѣленна.
Рѣшая это уравненіе но общему пріему, получаемъ:
40; ж\1—1)=0; 0.^=0;
— 111
131. Кажущаяся неопредѣленность. Выраженіе - иногда
представляетъ только кажущуюся неоиредѣленіюсть, такъ
какъ можетъ случиться, что оно получилось только отъ того,
что числитель и знаменатель дроби не были сокращены на
нѣкотораго множителя, который обраищется въ нуль при
частныхъ значеніяхъ буквъ.
гт
Пусть, напр., мы вывели, что х= --—допустивъ, что
, О
0—а^ получимъ х=-\ однако это не значитъ, чтооы вели-
чинѣ х можно было приписывать произвольныя значенія:
сокративъ дробь на Ь—а, найдемъ: х-~~Ьг{~а, что при Ь^а
даетъ х—2а.
Изъ этого примѣра видно, что слѣдуетъ прежде сократить
дробь, выведенную для неизвѣстнаго, а потомъ дѣлать пред-
положенія относительно частныхъ значеній буквъ *).
О со
132. Подобно частному выраженія: 0. со и нѣкоторыя другія
суть тоже неопредѣленныя. Ихъ должно вообще понимать, какъ преАгъ.іы,
къ которымъ стремятся численныя величины выраженій по мі.рѣ при-
ближенія ихъ частей къ нулю или безконечности. Напр., есть предѣлъ
дроби, у которой числитель и знаменатель увеличиваются безпредѣльно*
Этотъ предѣлъ можетъ быть различенъ. Напр., три дроби:
жД-2' 2х — 1.
жД-З ’ х
*) Точнѣе говоря, выраженіе означаетъ всегда неопредѣленность (такъ
какъ сокращеніе дроби не есть процессъ обязательный). Но въ большинствѣ
0
случаевъ въ задачахъ, изъ рѣшенія которыхъ получилось выраженіе х ——,
прямо или скрыто требуется найти не какое-либо значеніе для ж. атотъ'ПреЭѵ&лъ,
къ которому величина х стремится, когда числитель и знаменатель дроби, опре-
дѣляющей х, стремятся къО. Этотъ предѣлъ принима ютъ за истинное значеніе
дроби™. Одинъ изъ способовъ найти этотъ пред ѣлъ есть сокращеніе дроби (см.
Воигіеі, Іхропз сі’ АІдёЬге ёіётепіаіге).
- 112 —
при &=хх> всѣ обращаются въ одинъ и тотъ жѳ видъ —, однако истин-
ное значеніе ихъ при этомъ различно, въ чемъ убѣдимся, раздѣливъ оба
члена каждой дроби на ж:
1+7. 2-7. дЧ-7.
«+Ѵ.’ і+7.’ і
Увеличивая безпредѣльно а?, найдемъ, что первая дробь имѣетъ предѣ-
ломъ 0, вторая 2 и третья увеличивается неопредѣленно.
133. Задача о курьерахъ. Въ заключеніе этой статьи при-
ведемъ изслѣдованіе задачи о курьерахъ, въ которой вто-
рично прослѣдимъ значеніе всѣхъ случаевъ рѣшенія, раз-
смотрѣнныхъ выше. Эта задача въ численномъ видѣ была
рѣшена раньше. Предложимъ теперь ее въ общемъ видѣ
(см. чертежъ стр. 104):
Два курьера ѣдутъ въ направленіи отъ М къ одинъ
курьеръ въ каждый часъ проѣзжаетъ ѵ верстъ, другой щ вер.
Послѣдняго видѣли на станціи В спустя Ь часовъ послѣ
того, какъ перваго замѣтили на станціи А, отстоящей отъ
В на а верстъ. Опредѣлить мѣсто встрѣчи двухъ курьеровъ.
Встрѣча могла произойти налѣво отъ А, или между А и
В, или направо отъ В. Предположимъ послѣднее и обозна-
чимъ черезъ х разстояніе точки встрѣчи О отъ В. Курьеру,
движущемуся со скоростью г\, отъ В до С пришлось про-
ѣхать х вер., на что ему понадобилось — часовъ; курьеру,
ѣдущему со скоростью ѵ вер., отъ А до С пришлось про-
ѣхать сІ-]-х верс., на что ему потребовалось часовъ. Изъ
условій задачи видно, что:
++_——ъ, " [11
ѵ Ѵі 1
Отсюда: «Ц+^ж—ѵх=Нѵѵх\ (ѵ1~ѵ)х=1іѵѵ1—йг\;
__ІіѵѴі — сіі',_ѵг (ѵК—О)
ѵг—ѵ ѵх—ѵ
1. Положительное рѣшеніе будетъ тогда, когда л
или тогда, когда и Оно означаетъ, что
задача возможна въ томъ предположеніи, какое мы .сдѣлали,
— 113 —
т-е., что курьеры встрѣтились направо отъ В. Что въ
данномъ случаѣ дѣйствительно возможно только это предпо-
ложеніе, видно изъ слѣдующихъ соображеній. Произведеніе
ѵк означаетъ пространство, которое проѣхалъ 1-й курьеръ
въ к часовъ; значитъ, оно показываетъ, на какое разстояніе
этотъ курьеръ удалился отъ станціи А до того момента, когда
второй курьеръ былъ замѣченъ въ В, Если ѵк'>(Ь> то изъ этого
выводимъ, что, когда второй курьеръ былъ въ В, первый
уже проѣхалъ эту станцію, и такъ какъ при этомъ то
очевидно, что второй курьеръ догонитъ перваго гдѣ-нибудь за
станціей В, а не раньше. Точно такъ же, если ѵк<^ то это
значитъ, что, когда второй курьеръ пріѣхалъ въ В, пер-
вый еш;е не доѣхалъ до этой станціи, и такъ какъ при
этомъ ^<4?, то очевидно, что первый курьеръ догонитъ
второго гдѣ-нибудь направо отъ В, а не раньше.
2. Отрицательное рѣшеніе будетъ тогда, когда ѵк^хі^ но
или же тогда, когда но Это рѣшеніе
обнаруживаетъ невозможность предположенія, будто курьеры
встрѣтились направо отъ В. Дѣйствительно, перемѣнивъ въ
уравненіи [1] х на—ж, получимъ новое уравненіе:
х х (3/ х і х 7 ГЛ1
=/г и л и: и __ = іі [2
ѵ ѵх--------------------------------------ѵ 1 ѵх 1
которое удовлетворяется полоэхгтельнъшъ рѣшеніемъ, рав-
нымъ по Абсолютной величинѣ рѣшенію ур. [1] (теор. § 126).
Легко замѣтить, что новое уравненіе соотвѣтствуетъ 'пред-
положенію, что встрѣча курьеровъ произошла налѣво отъ
В или въ точкѣ С\, или въ точкѣ С2. Въ самомъ дѣлѣ,
при первомъ предположеніи, 1-й курьеръ отъ А до Сг про-
ѣхалъ й—-х вер. въ —часовъ, второй курьеръ отъ Сх до
X
В проѣхалъ х вер. въ — часовъ; изъ условій задачи видно,
что сумма этихъ временъ должна равняться Л, что и выра-
жается ур. [2]. Если теперь предположимъ, что встрѣча
была въ С2, то первый курьеръ отъ С2 до А проѣхалъ
х—й вер. въ —— часовъ, а
2-й отъ С2 до В проѣхалъ
А. Киселевъ. Алгебра.
— 114 —
х вер. въ—часовъ; изъ условій задачи видно, что— должно
быть болѣе “—- на Л, т.-е.:
ѵ ’
х х—Л 7 х —(й—х) 7 х . (і~~х ,
- =/гили:-- т.-е. —------— &
V, V---------------------------------------ѵх V-’ V. ' V
а это и есть уравненіе [2].
Легко показать и независимо отъ отрицательнаго рѣшенія
ур. [1], что при допущенныхъ условіяхъ встрѣча должна
произойти налѣво отъ В. Если ѵіъ^хі^ то второй курьеръ
находился въ В тогда, когда 1-й уже проѣхалъ эту стан-
цію, и такъ какъ при этомъ то 2-й курьеръ не мо-
жетъ догнать 1-го за станціей В, а встрѣтился съ нимъ гдѣ-
нибудь раньше. Также если ѵІК^сЦ то 2-й кур. былъ въ В,
когда 1-й еще не доѣхалъ до В, и такъ какъ при этомъ
то очевидно, что встрѣча произошла налѣво отъ В.
3. Нулевое рѣшеніе получится, когда Въ
этомъ случаѣ встрѣча произошла на станціи В.
4. Безконечное рѣшеніе получится, если а ѵ^=ѵ.
Въ этомъ случаѣ встрѣчи не могло быть, потому что оба
курьера ѣдутъ съ одинаковой скоростью, и когда второй изъ
нихъ былъ въ В, первый или не доѣхалъ до этой станціи,
или уже проѣхалъ ее.
Безконечное рѣшеніе еще означаетъ, что если ѵ неогра-
ниченно приближается къ равенству съ ѵ19 то мѣсто встрѣчи
безпредѣльно удаляется отъ В.
5. Неопредѣленное рѣшеніе получится, если ѵк = сі и
ѵх=ѵ. Въ этомъ случаѣ каждую точку пути можно считать
заточку встрѣчи, такъ какъ курьеры все время ѣдутъ вмѣстѣ;
другими словами, задача при этихъ предположеніяхъ стано-
вится неопредѣленной.
Система двухъ уравненій съ двумя неизвѣстными.
134. Общій видъ уравненія. Всякое уравненіе первой сте-
— 115 —
пени съ 2-мя неизвѣстными, послѣ надлежащихъ преобра-
зованій, можетъ быть приведено къ слѣдующему виду:
ахД-Ьу=с
гдѣ а, Ъ и с означаютъ числа но только положительныя, но
и отрицательныя.
135. Рѣшеніе уравненій. Пусть имѣемъ систему:
Г ах-\-Ъу—с
) а*х-\-Ъ'у=д
Умноживъ члены перваго уравненія на У, а члены вто-
рого на 6, вычтемъ второе уравненіе изъ перваго:
аУх-\-ЪѴу=сѴ
—а'Ьх-~ЪѴу——дЪ „ сЪ’—дЪ
(аІ)'—а^)х—сЬ' -дЪ Х аѴ—а’Ъ
Умноживъ члены перваго уравненія на а', а второго па
а, вычтемъ уравненія почленно:
ааіх-\-ЪаІу=са^
—аа'х—Ь'ау~—да _________со!—да
{Ьа!—У а)у~са!—да Ъа’—аЪ'
Знаменателей обѣихъ формулъ можно сдѣлать одинако-
выми, если оба члена дроби для у умножимъ на—1; тогда
получимъ:
__ СЪ'—СЪ _ (1(д—а'с
— аЪ'-а’Ъ* Ѵ ~~ аЪ^ь
136. Изслѣдованіе. Разсмотримъ особо слѣдующіе 2 случая:
I. Знаменатель аЪг—а'Ь не равенъ нулю.
Въ этомъ случаѣ рѣшенія могутъ быть положительныя,
отрицательныя и равныя нулю. О значеніи этихъ рѣшеній
здѣсь можетъ быть сказано то же самое, что говорилось при
изслѣдованіи одного уравненія съ однимъ неизвѣстнымъ.
Замѣтимъ, что нулевыя рѣшенія для обоихъ неизвѣстныхъ
могутъ получиться лишь тогда, когда оба свободные члена
с и с' равны нулю; это можно видѣть непосредственно изъ
уравненій, которыя, при х=.О и у—0, даютъ: 0=с и 0=д.
8*
— 116 —
II. Знаменатель аЪ'—а'Ъ равенъ нулю.
Предположимъ, что ни одинъ изъ коэффиціентовъ: а,
а', й, Ь’ не равенъ нулю. Докажемъ, что при этомъ пред-
положеніи если одно неизвѣстное представляется подъ ви-
домъ ~ 5 то и другое неизвѣстное представляется подъ тѣмъ
же видомъ.
Пусть, напр., • Для этого нужно, чтобы
сЬ 1=с'Ъ и аЪ'=-а!Ъ
Умноживъ лѣвую часть перваго равенства на правую
часть второго, а правую перваго на лѣвую второго, полу-
чимъ:
сЪ'а’Ъ—с'ЪаЪ1^ откуда сЪ'а'Ъ — с!ЬаЪ'~~О или ЪЪ\а'с--асг)=О
Такъ какъ Ъ и Ъ’ не равны нулю, то послѣднее равенство
, а 0
возможно только тогда, когда ас—ас=О; но тогда у——•
Также, если допустимъ, что у~~ ? т.-е. ас'—а'с и аЪ(—аЪ^
то, перемноживъ эти равенства крестъ-накрестъ, найдемъ:
ас'аЪ—а'саЬ', откуда: аа'(с'6—с6')=0. Такъ какъ а и а' не
равны 0, то послѣднее равенство даетъ: с'Ь—сЬ'—О, а, тогда
О -
ж~~б
ТТ Г-Г У 0 0
Легко убѣдиться, что рѣшенія; и у — означаютъ
неопредѣленность зада ’ і и.
Дѣйствительно, умноживъ всѣ члены перваго уравненія
па а члены второго на Ъ (что можемъ сдѣлать, такъ какъ
Ъ и 6' по предложенію не равны 0). получимъ:
аЬ,х~\-ЬЪ,у~-сЪ'
а'Ьх-}-ІУІ)у=сЪ [Л]
-И 0 0 7' О 7' '7
Если х ~ и у — -, то ао —а сЪ =с тогда два урав-
— 117
ненія [Л] представляютъ собою одно уравненіе съ 2 неиз-
вѣстными; а въ этомъ случаѣ, какъ мы знаемъ (§97), не-
извѣстныя могутъ имѣть безчисленное множество значеній.
Пусть теперь одно неизвѣстное представляется подъ ви-
домъ тогда другое неизвѣстное должно представиться так-
же подъ видомъ ~; дѣйствительно, если бы оно приняло
О у у
видъ то и первое неизвѣстное, по доказанному, имѣло бы
у т
тотъ же видъ, а мы предположили, что оно имѣетъ видъ--*
т, г . . т п
Рѣшенія: х—— и у = означаютъ несовмѣстность урав-
неній. Въ самомъ дѣлѣ, если аЬ'—а'Ь, а сЪ’^с^ то лѣвыя
части уравненій [Л] имѣютъ одинаковыя численныя величи-
ны, а правыя—разныя; значитъ, уравненія несовмѣстны, и
задача невозможна.
О О
Полезно замѣтить, что рѣшенія: и нельзя по-
51 0 О
нимать въ томъ смыслѣ, что обоимъ неизвѣстнымъ можно
придавать совершенно произвольныя значенія: выбравъ зна-
ченіе одного изъ нихъ произвольно, мы тѣмъ самымъ опре-
дѣлимъ другое неизвѣстное, такъ какъ значенія ихъ должны
удовлетворять уравненію ах-{-Ьу=с или а'х-\-Ь'у~~с'.
Изъ всего сказаинагЪ заключаемъ: система двухъ урав-
неній первой степени съ 2 неизвѣстными допускаетъ или
одно опредѣленное рѣшеніе, или безчисленное множество
рѣшеній, или же ни одного рѣшенія.
137. Частный случай. Если нѣкоторые изъ коэффиціентовъ: а, а', Ъ и V
равны нулю, то могутъ представиться особые случаи. Положимъ, напр.,
что оба коэффиціента при одномъ и томъ же неизвѣстномъ равны нулю.
Пусть Ь = У = 0; тогда а'Ъ — аЬ‘ — 0 и сЪ' — с'Ь — 0; слѣд., х = -у, &
— 118 —
У—-ц или -у> смотря по тому, будетъ ли ас/ не равно или равно а'с.
Уравненія въ этомъ случаѣ даютъ:
' ах-|-О. у—с . ___с
а
< откуда: <
а'ж4~0. у—с ' а>
С С'
Если ас{ не равно а'с, то ~~ не равно т уравненія невозможны, по-
тому что для х получаются два различныя значенія; между тѣмъ, въ этомъ
„ у „ 0 т _ . .
случаѣ формулы для неизвѣстныхъ даютъ: У~ ^* Если же ас~а/с,
с с'
то———у, тогда для х получается опредѣленное рѣшеніе, а у можетъ
а а
«мѣть всевозможныя значенія, хотя общія формулы въ этомъ случаѣ
О О
даютъ:шг_—и
Изъ этого разбора слѣдуетъ, что когда нѣкоторыя изъ чиселъ: а, а',
Ь и равны нулю, не слѣдуетъ полагаться на общія формулы, выведен-
ныя для неизвѣстныхъ, а должно подвергать каждый случай особому из-
слѣдованію.
ОТДѢЛЪ IV.
Степени и корни.
ГЛАВА!.
Возвышеніе въ степень одночленовъ.
138. Опредѣленія, п-овою степенью числа а наз. произведе-
ніе п одинаковыхъ сомножителей, равныхъ а.
Такъ, 3-я степень 2-хъ есть произведеніе 2.2.2, равное 8;
5-я степень */2 есть произведеніе ѴѵѴз-Ѵа-Ѵг-Ѵг, равное Ѵзз-
Вторая степень наз. иначе квадратомъ. а третья—кубомъ.
Дѣйствіе, посредствомъ котораго находится ?г-ная степень
числа а, назг возвышеніемъ а въ п-ую степень.
п-ная степень числа а обозначается такъ: ап. Изъ опре-
дѣленія видно, что ап равносильно произведенію а.а.а...а
(п разъ).
Число п одинаковыхъ сомножителей, образующихъ сте-
пень, наз. показателемъ степени; по смыслу опредѣленія
видно, что число это цѣлое, положительное, не.равное 0.
Впрочемъ, ради обобщенія вопросовъ, условились допус-
кать степени съ показателемъ 0 (§ 51) и съ показателями
отрицательными (§ 51, а), разумѣя при этомъ, что при вся-
комъ а выраженіе аѵ равно 1, а выраженіе а~~п равносильно
Дроби 1 (§ 71).
139. Правило знаковъ. Мы видѣли (§ 39), что произведеніе
оказывается положительнымъ въ томъ случаѣ, когда въ него
входитъ четное число отрицательныхъ множителей и отри-
цательнымъ въ томъ случаѣ, когда число такихъ множителей
нечетное; поэтому:
Отъ возвышенія отрицательнаго числа въ степень съ чет-
нымъ показателемъ получается положительное число, а съ
нечетнымъ показателемъ—отрицательное.
Такъ: (—а)2=(—а) (—а)—-\~а\ (—а)3=(—а)2(—а)—
(-|-а2) (—а)——а3 и т. д.
140. Теоремы. 1) Чтобы возвысить въ степень произве-
деніе, достаточно возвысить въ эту степень каждаго со-
множителя отдѣльно.
Пусть, напр., требуется возвысить произведеніе аЬс въ
квадратъ. Это значитъ, что требуется аЬс умножить на аЬс.
Но чтобы умножить на произведеніе, достаточно умножить
на перваго сомножителя, полученный результатъ на второго
сомножителя и т. д. Поэтому:
(а&с) 2=(айс). (аЬс)=(аЬс)аЪс=аЬсаЪс
— 120 —
Сомножителей произведенія мы можемъ соединить въ ка-
кія угодно группы. Соединимъ ихъ такъ:
(аІ)С)2—(аа}(Ьй)(сс)—а-б-с2
Вообще: (аЬс)п~(адс) (аЬс)( аЬс).. .—аЬсаЬсаЪс.. .=
=(ааа...) (ІМ)...) (ссс.. .)=апйпсп.
2) Чтобы возвысить степень въ другую степень, доста-
точно перемножить показателей этихъ степеней.
Пусть, напр,, требуется возвысить а2 въ кубъ, т.-е. тре-
буется найти произведеніе а2.а2.а-. При умноженіи показа-
тели одинаковыхъ буквъ складываются; поэтому:
(а2у—а2т2.а^а^2+2—^
Вообще: (а/п)п—атаіиат.. .=ат^т~^',п^—~атп
3) Чтобы возвыхить въ степень дробь, достаточно возвы-
сить въ эту степень отдѣльно ч'ислителл и знамхна-теля.
Это слѣдуетъ изъ правила умноженія дробей. Напр.:
а\'>__ а а а_а.а.а__а2
ь) ~Ч' Ь Ь~~д1Л)~^3
[а\п__а а а _ата....__а*
Вообще: йу ~Ъ' Ъ' Ъ""~ЬЬЬ7^~Ьп
140,а. Эти теорэмы остаются вѣрными и для отрицатель-
ныхъ показателей. Для доказательства примемъ во вниманіе,
что количество съ отрицател ьнымъ показателемъ равно дроби,
у которой числитель есть 1, а знаменатель то же коли-
чество съ положитсяьнымъ показателемъ (§ 71); вслѣдствіе
этого и па основаніи правилъ о положительныхъ показате-
ляхъ можемъ писать:
1 1 111
1) _=а-«6-пс-И>
7 (аЪс)п апЬпсп ап Ьп сп
/ 1 \ « 1 1
2) (а~т)п= — =- ——=а-тм=а<~т)л
7 Д ' I ат/ утп
1 1
(ат}-п=—а-тп=ап^~п>
ѵ 7 (а’п)п атп
11 1
й-ш)-ге=- „ =| . -—атп=а(-т) (-»)
,,А (О,—т\п / 1 \ п (р,ъп
(сеп /
— 121 —
/ а\ 1 . ап Ъп 1 1 „ , „
3) - =-/-<..-~1: : —=а~п : Ъ~п=—-
у Ъ) ( Ьп ап ап Ъп Ъ~~п
\ Ь)
Легко также убѣдиться, что теоремы эти примѣнимы и къ
случаю, когда показатель степени есть 0. Напр.:
(л,йс)0=а°йѴ=1.1.1=1.
141. Примѣненіе этихъ теоремъ къ возвышенію въ степень
одночленовъ. Пусть требуется возвысить цѣлый одночленъ
За2й3с въ п-ую степень. Примѣняя теорему 1-ю, а затѣмъ
2-ю, получимъ:
фдаѢ^с}п—оп(а^
Правило. Чтобы возвысить въ степень иіълый одночленъ,
достаточно возвысить въ эту степень его коэффиціентъ, а
показателей буквъ умножитъ на показателя степени.
Дробные одночлены возвышаются въ степень по теоремѣ
3-й, т.-е. числитель и знаменатель возвышаются отдѣльно;
напр.:
/ __ 27а*пЪ*
\ 4Ш'-1 ) ~ (4ыГ~Д{ ~~64сМ3г“3 ~
ГЛАВА II.
Возвышеніе въ квадратъ многочленовъ.
142. Теорема. Квадратъ многочлена равенъ квадрату 1-го
членаф-удвоенное произведеніе 1-го члена на 2-й-\~квадратъ 2-го
чл.-фу двоенное произведеніе суммы первыхъ двухъ членовъ на
3-й-фквадра?пъ 3-го чл.-ф у двоенное произведеніе суммы пер-
выхъ трехъ членовъ на 4-йф-квадратъ 4-го члена и т. д.,
т.-е. (СЬ + 1)ф-Сф-СІ Д-.. .)2—(12-\-^СіЬ Д- & ф- -ф Ь)с ~Ф с2 Д-
Д- 2( (ъ Д-1) Д- с) (1/Д-(1? Д-...
Док. Возьмемъ сначала двучленъ аД-й и возвысимъ его
въ квадрать (§ 46):
(а+й)2=а2Д-2«&Д-й2
Теперь приложимъ къ аД-й третій членъ с и возвысимъ
въ квадратъ сумму «Д-йД-с, разсматривая ее, какъ двучленъ,
въ которомъ первый членъ есть а-ф-Ь, а второй членъ с:
(иД-йД-с) 2^^[(<іД-й) Д-с] Ѣ^ДіД~й) Д-2(ДДй)сД~с2
— 122 —
Замѣнивъ въ этомъ выраженіи (а-[-5)4 черезъ аі-\~2а^-\-Ъ'і,
получимъ:
(а+&+с) —аЧ-2о5+&г+2(а+6)с+с*
Приложивъ затѣмъ четвертый членъ й, получимъ, подобно
предыдущему:
(а4^с+й)2=[(а4-д4^)+^4=(а+^)4+2(а+5+с)й+й4=
=а4-2а&4^»+2(а4-й)с4^44-2(а4-д-}-с)(Н-й2
Продолжая такимъ образомъ прикладывать по одному чле-
ну, убѣдимся, что доказываемая теорема примѣнима къ мно-
гочленамъ съ какимъ угодно числомъ членовъ.
142,а. Другое выраженіе квадрата многочлена. Раскрывъ
скобки въ правой части послѣдняго равенства и измѣнивъ
порядокъ членовъ, получимъ:
(а+&+с+<02=а44-??4+с4+йЧ-
—|—2й$—|—2(хс~-|-2иб/—|—2дс—|-2&(/—ЧсИ
т.-е. квадратъ многочлена равенъ суммѣ квадратовъ всѣхъ
его членовъ, сложенной съ удвоенными произведеніями:
перваго члена на второй, перваго члена на третій, перваго
члена на четвертый и т. д.; затѣмъ второго члена на тре-
тій, второго члена на четвертый и т. д.; затѣмъ третьяго
члена на четвертый и т. д. Короче сказать:
квадратъ многочлена равенъ суммѣ квадратовъ всѣхъ его
членовъ, сложенной съ удвоенными произведеніями каждаго
члена на всѣ послѣдующіе.
143. Замѣчаніе о знакахъ. Многочленъ а^-б-^-с.... пред-
ставляетъ собою алгебраическую сумму, т.-е. члены его мо-
гутъ быть числами отрицательными. Въ этомъ случаѣ по-
лезно замѣтить, что въ окончательномъ результатѣ положи-
тельными членами окажутся: 1) квадраты всѣхъ членовъ и
2) тѣ удвоенныя произведенія, которыя произошли отъ умно-
женія двухъ положительныхъ или двухъ отрицательныхъ
членовъ. Напр.:
(Зж2—2ж-[-1) 2=(3ж2) 2+(2ж) «-|-14—2 (3® *) (2®)4-2 (3® *) .1-2 (2ж) .1=
=9®4-4®«-|-1—12®»4-6ж2—4®=9®4—12®Ц-10®4—4х-|-1
— 123
ГЛАВ А III.
Извлеченіе корня изъ одночленовъ.
144. Опредѣленіе. Корнемъ (или радикаломъ) п-й степени
изъ числа а называется такое число, п~ая степень котораго
равна а.
Такъ, корень второй степени изъ 49-и есть 7, потому что
72=49; корень третьей степени изъ 125 есть 5, потому что
53=125.
Дѣйствіе, посредствомъ котораго отыскивается корень изъ
даннаго числа, наз. извлеченіемъ корня; это дѣйствіе обратно
возвышенію въ степень. Число п, означающее, какой сте-
пени корень извлекается изъ числа а, наз. показателемъ
корня (или радикала).
Извлеченіе корня обозначается знакомъ у/ (знакъ ра-
дикала)', подъ горизонтальной чертой его пишутъ число,
корень изъ котораго отыскивается, а надъ отверстіемъ угла
ставятъ показателя корня; такъ, выраженіе ]/27 означаетъ,
что изъ 27 извлекается корень третьей степени. Показателя
корня второй степени принято опускать; напр., |/16 замѣ-
няетъ обозначеніе |/16.
Корень второй степени наз. иначе квадратнымъ, а третьей
степени—кубичнымъ. Число, стоящее подъ знакомъ радикала,
называютъ подкореннымъ числомъ.
Изъ опредѣленія корня слѣдуетъ, что (^/~а)^—а, (|/а)3=а
и вообще (|/а)п=а.
145. Правило знаковъ. Изъ условій, принятыхъ въ алгебрѣ
относительно умноженія отрицательныхъ чиселъ, слѣдуетъ:
1) Корень нечетной степени изъ положительнаго числа
есть полозюительное число, а изъ отрицательнаго числа—
отрицательное; напр., ]/~8=2 и }/—8=—2, потому что
23=8 и (—2)3=—8.
2) Корень четной степени изъ положительнаго числа
имѣетъ два значенія съ одинаковой абсолютной величиной,
но съ разными знаками. Такъ, ]/ 4=-|-2 и ]/ 4=—2, по-
тому что (—[—2)2=4 и (—2)2=4; также |/81=-|-3 и —3, по-
тому что (-1-3)4=81 и (-— 3)4=81. Двойное значеніе корня
- 124 —
обозначается постановкой двухъ знаковъ передъ абсолютной
величиной корня; такъ, пишутъ: |/81=±=3.
3) Корень четной степени изъ отрицательнаго числа
представляетъ невозможное выраженіе, потому что всякое
число, положительное и отрицательное, возвышенное въ
четную степень, даетъ положительное, а не отрицательное
число. Напр., |/—9 не можетъ равняться ни -у-З, ни —3 и
никакому иному числу.
Корень четной степени изъ отрицательнаго числа наз.
мнимымъ количествомъ; въ противоположность такимъ ко-
личествамъ всякій корень изъ положительнаго числа и ко-
рень нечетной степени изъ отрицательнаго числа наз.,тш?-
ственнымъ или дѣйствительнъімъ количествомъ.
Въ нашемъ изложеніи знакомъ ]/ мы будемъ обозна-
чать большею частью только ариѳметическое значеніе кор-
ня, т.-е. положительное значеніе корня изъ положительнаго
числа.
146. Теоремы. 1) Чтобы извлечь корень изъ произведенія,
достаточно извлечь его изъ каждаго сомножителя отдѣльно.
Требуется доказать, что: У^Ьс=У'а]/~д]/'с.
Для доказательства возвысимъ правую часть этого пред-
полагаемаго равенства въ п-ую степень (причемъ примемъ
во вниманіе теорему: чтобы возвысить произведеніе въ сте-
пень, достаточно....):
Но . (Уа)п=а, (УТУ=Ь и -
Значитъ: (р'а|/У|/с')’’=^с.
Если же ?г~ая степень произведенія У~а’У1)’угс равна
аЪс, то оно представляетъ собою корень п-ой степени изъ адс.
Примѣръ: 012=-|/87б4=|/87|/б4=2.4=8.
2) Чтобы гьзвлечь корень изъ степени, показатель кото-
рой дѣлится безъ остатка на показателя корня, доста-
точно раздѣлить показателя степени на показателя корня.
Такъ, |/ас—а2, потому что (а2)3=а6.
— 125 —
Докажемъ это въ общемъ видѣ.
Пусть въ выраженіи число т дѣлится на п безъ
остатка; тогда, назвавъ частное отъ дѣленія т на п буквою
Ру можемъ положить, что т~пр. Требуется доказать, что:
п /--------------------п /---
Для доказательства возвысимъ ар въ п-ую степень (чтобы
возвысить степень въ другую степень, достаточно....):
(ар)п=арп=ат
Если же п~ая степень количества ар равна ат, то это зна-
читъ, что -|/г[т-&р
Примѣръ:
Замѣчаніе. Эта теорема остается вѣрною и для отрица-
тельнаго показателя степени, изъ которой извлекается ко-
рень; напр.:
1/11 =?
1-—-=а~3~а 3
а2
3) Чтобы извлечь корень изъ дроби, достаточно извлечь
его изъ числителя и знаменателя отдѣльно.
п Г п /----
Требуется доказать, что |/ ^—У а.
Для доказательства возвысимъ правую часть этого пред-
полагаемаго равенства въ «-ую степень (чтобы возвысить
дробь въ степень, достаточно....):
У а ) __ ѵр а ) _а
что доказываетъ вѣрность предполагавшагося равенства.
„ . /"9 1/~9 3
Г 16 ]/І6
147. Примѣненіе этихъ теоремъ къ извлеченію корня изъ
одночленовъ. Пусть дано извлечь корень 3-й степени изъ
цѣлаго одночлена 8н9&вс12. Примѣняя теорему 1-ю, а затѣмъ
2-ю, получимъ:
У ЗаЧ'с^уЪУ&У&У^^аЧЖ
— 126 —
Правило. Чтобы извлечь корень изъ цѣлаго одночлена, до-
статочно извлечь его изъ коэффиціента и раздѣлить пока-
зателей буквъ на показателя корня, если это дѣленіе воз-
можно нацѣло.
Чтобы извлечь корень изъ дробнаго одночлена, достаточно
примѣнить теорему 3-ю, т.-е. извлечь корень изъ числителя
и знаменателя отдѣльно; напр.:
8 /~~27н^^_)/ 27а6ж8я_ За2ж”
|/ т3п3 у т3п3 т3п
148. Вынесеніе множителей за знакъ радикала. Когда пока-
затели всѣхъ или нѣкоторыхъ буквъ въ подкоренномъ вы-
раженіи больше показателя корня, но не дѣлятся на него
безъ остатка, тогда можно разложить подкоренное выраже-
ніе на множителей и извлечь корень изъ тѣхъ множителей,
изъ которыхъ это возможно; такое преобразованіе корня
называютъ вынесеніемъ множителей за знакъ радикала.
Примѣры: 1) У а^Уа-а^^У а3 У а—а У а
2) а3а— |/ а3]/ а=а У~а
3) У^—Ух'^—Ух^Ул^—^У х3
4) |/24а^г==у/4.6а‘ж2яі=2а^с у вх
< 149. Подведеніе множителей подъ знакъ радикала. Иногда
бываетъ полезно, наоборотъ, подвести подъ знакъ радикала
множителя, стоящаго передъ пимъ; для этого надо возвы-
сить его въ степень, показатель которой равенъ показателю
радикала, и написать множителемъ подъ радикаломъ.
Примѣры: 1) а3У а=У(аі)3а=У а3а=У а3
2) Зж2г/ у ху~У(Зх2у)3ху=У 27х1у1
— 127 —
Г Л А В А IV.
Извлеченіе квадратнаго корня изъ чиселъ.
Извлеченіе корня изъ наибольшаго цѣлаго квадрата, заключающагося
въ данномъ цѣломъ числѣ.
150. Предварительныя замѣчанія. 1) Если станемъ возвы-
шать въ квадратъ числа натуральнаго ряда: 1, 2, 3, 4___
то получимъ безконечный рядъ возрастающихъ квадратовъ;
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100....
Очевидно, что всякое цѣлое число, не находящееся въ
этомъ ряду (напр. 40), не можетъ быть квадратомъ цѣлаго
числа.
Пусть намъ дано какое-нибудь цѣлое число, напр., 4082,
и требуется изъ него извлечь квадратный корень. Допустимъ,
мы не знаемъ, находится ли это число въ рядѣ квадратовъ
цѣлыхъ чиселъ, и потому заранѣе не знаемъ, можно ли изъ
него извлечь цѣлый корень. Въ такихъ случаяхъ условимся,
что извлечь квадратный корень изъ даннаго числа значитъ:
извлечь этотъ корень или изъ самаго числа (если оно ока-
жется квадратомъ цѣлаго числа), или же изъ наибольшаго
квадрата цѣлаго числа, какой заключается, въ данномъ числѣ.
2) Замѣтимъ еще, что всегда легко опредѣлить заранѣе,
сколько будетъ цыфръ въ квадратномъ корнѣ изъ наиболь-
шаго квадрата, заключающагося въ данномъ числѣ. Для
этого примемъ во вниманіе слѣдующую таблицу:
12=1 102=100 1002=10000
10002=1000000 100002=100000000 и т. д.
Положимъ, напр., что требуется найти ]/4082. Такъ какъ
4082<Д00005 то и наибольшій квадратъ цѣлаго числа, заклю-
чающійся въ 4082, менѣе 10000; съ другой стороны, такъ какъ
4082^>100, то наиб. квадратъ, заключающійся въ 4082, болѣе
(или равенъ) 100. Значитъ, квадратный корень изъ наиб. квад-
рата, заключающагося въ 4082, долженъ быть менѣе 100 и болѣе
(или равенъ) 10, т.-е. онъ долженъ состоять изъ двухъ цыфръ.
— 128 —
Подобными разсужденіями мы можемъ опредѣлить, если
нужно, число цыфръ корня изъ всякаго даннаго числа.
151. Свойство числа десятковъ корня. Если данное число
меньше 100, то квадр. корень изъ него выражается одною
цыфрою и потому его легко найти по таблицѣ умноженія.
Когда данное число болѣе 100, то квадратный корень изъ
него болѣе (или равенъ) 10 и, слѣд., состоитъ изъ двухъ
или болѣе цыфръ. Сколько бы цыфръ въ немъ не было,
условимся разсматривать его, какъ сумму только десятковъ
и единицъ; если, напр., корень будетъ число 358, то мы
будемъ его представлять такъ: 35 десятковъ-|-8 ед.
Пусть требуется извлечь кв. корень изъ какого-нибудь
числа, напр. изъ числа 4082. Обозначимъ число десятковъ
корня черезъ х (все равно, будетъ ли оно однозначное или
многозначное), а число его единицъ черезъ у. Такъ какъ
въ каждомъ десяткѣ содержится 10 ед., то искомый корень
выразится 10ж-|-^. Квадратъ этой суммы долженъ быть наи-
большимъ квадратомъ цѣлаго числа, заключающимся въ
4082; въ этомъ числѣ можетъ быть еще нѣкоторый избы-
токъ надъ наиб. квадратомъ, который назовемъ остаткомъ
отъ извлеченія корня; поэтому можемъ написать:
4082=(10х-\-у) 2-|-ост.=100^2-|-2жт/10--|-?/2-|-осгг-
Чтобы найти число ж, возьмемъ изъ обѣихъ частей этого
уравненія только однѣ сотни. Въ лѣвой части сотенъ за-
ключается 40; посмотримъ, сколько ихъ будетъ въ правой
части. Въ первомъ членѣ (ЮОя;2) сотенъ, очевидно, заклю-
чается х% въ суммѣ остальныхъ трехъ членовъ сотни мо-
гутъ быть, но могутъ и не быть (что зависитъ отъ вели-
чины чиселъ х и у и остатка отъ извлеченія); значитъ, мо-
жемъ только утверждать, что въ правой части уравненія
всѣхъ сотенъ будетъ или я:2, или больше я;2. Такъ какъ
число сотенъ въ лѣвой части уравненія должно равняться
числу сотенъ въ правой, то
40^.г2
Изъ этого слѣдуетъ, что х2 есть такой квадратъ цѣлаго чи-
сла, который содержится въ 40; но такихъ квадратовъ есть
— 129 —
нѣсколько, а именно: 36, 25, 16, и т. д. Докажемъ, что за ж2
надо принять наибольшій изъ этихъ квадратовъ, т.-е. 36. Дѣй-
ствительно, если бы мы взяли за ж2, положимъ, 25, то иско-
мый корень содержалъ бы въ себѣ 5 десятковъ съ нѣсколь-
кими единицами; но число, состоящее изъ 5 десятковъ съ
единицами (хотя бы этихъ единицъ было и 9), меньше 6-ти
десятковъ; между тѣмъ квадратъ 6 дес. составляетъ только
36 сотенъ, что меньше 4082, а такъ какъ мы ищемъ квадр.
корень изъ наибольшаго квадрата цѣлаго числа, какой только
заключается въ 4082, то не можемъ взять для корня 5 дес.
съ единицами, когда и 6-ти десятковъ оказывается немного.
Если же за ж2 надо взять число 36, то х—1/36.
Такимъ образомъ, мы доказали слѣдующее свойство числа
десятковъ корня: число десятковъ искомаго корня равно квад-
ратному корню изъ наибольшаго цѣлаго квадрата, заклю-
чающагося въ числѣ сотенъ даннаго числа.
Когда данное число, какъ взятое нами, менѣе 10000,
тогда число сотенъ въ немъ менѣе 100; въ этомъ случаѣ
десятки корня находятся по таблицѣ умноженія.
152. Свойство числа единицъ корня. Положимъ, что мы
нашли десятки корня; тогда мы можемъ вычислить квадратъ
десятковъ, т.-е. членъ 100ж2; для нашего примѣра х—6 и
100а;2 составитъ 3600. Вычтемъ это число изъ 4082:
4082 Для этого достаточно изъ 40 сотенъ вычесть
—36 36 сотенъ и къ остатку снести цыфры 82. По-
482 лучившееся число 482 назовемъ первымъ остат-
комъ. Въ немъ заключается: удвоенное произведеніе десят-
ковъ корня на его единицы, квадратъ единицъ и остатокъ
отъ извлеченія, если онъ есть, т.-е.
48 2—2ху10~Н/2-|-ост.
Чтобы найти у, возьмемъ изъ обѣихъ частей этого ура-
вненія только одни десятки. Въ лѣвой части ихъ 48, а въ
правой Ъху, или больше (если въ суммѣ у2-|-ост. окажутся
десятки); поэтому:
48
48^2жу; откуда:
А. Киселевъ. Алгебра. 9
— 130 —
Такимъ обровомъ, мы приходимъ къ слѣдующему свойству
числа единицъ корня: число единицъ корня равно или меньше
цѣлаго частнаго отъ дѣленія числа десятковъ перваго остатка
на удвоенное число десятковъ корня.
Пользуясь этимъ свойствомъ, мы можемъ найти единицы
корня, если его десятки уже найдены. Такъ, въ нашемъ
примѣрѣ, подставивъ на мѣсто х найденное прежде число 6
найдемъ, что у^ь. Отсюда слѣдуетъ, что у равенъ или 4,
или 3, или 2, или 1, или 0. Здѣсь мы не можемъ утверждать
заранѣе, что у равняется наибольшему изъ этихъ чиселъ;
это иногда бываетъ, а иногда и нѣтъ. Чтобы узнать оконча-
тельно, какому изъ этихъ чиселъ равняется у^ станемъ испы-
тывать эти цыфры, начиная съ большей, т.-е. съ 4. Для
этого вычислимъ 2гг?/10—]—т/2 и сравнимъ полученное число
съ 482; если сумма 2іп/10-|“?/2 дастъ число, большее 482, то
испытуемая цыфра не годится; тогда подвергнемъ испытанію
слѣдующую меньшую цыфру.
Вычислить сумму 2^7/ІОД-?/'2 всего проще можно такъ:
2а;у10+у2=(2х10+г/)у===(2.6.10+4)4^:
—(1204-4)4=124.4=496
т.-е. чтобы получить заразъ удвоенное произведеніе десят-
ковъ на единицы и квадратъ единицъ, слѣдуетъ къ удвоен-
ному числу десятковъ (къ 12) приписать справа цыфру еди-
ницъ (4) и на эту же цыфру умножить получившееся число.
Такъ какъ 4964>482, то цыфра 4 не годится; надо испы-
тать цыфру 3 подобнымъ же способомъ: 123. 3=369.
Такъ какъ 369<482, то цыфра 3 годится. Искомый ко-
рень есть 63.
Вычтя 369 изъ 482, получимъ окончательный остатокъ
отъ извлеченія корня: 482—369=113, такъ что можемъ
написать:
4082=6324-113.
153« Расположеніе дѣйствія. На практикѣ извлеченіе корня
обыкновенно располагаютъ по слѣдующему правилу:
— 131 —
/40,82=63
36
123 48,2
3 36 9
113
Отдѣливъ въ подкоренномъ числѣ сотни,
извлекаютъ квадр. корень изъ наибольшаго цѣ-
лаго квадрата, заключающагося въ числѣ ихъ;
найденное число (6) пишутъ въ корнѣ на мѣ-
стѣ десятковъ. Вычитаютъ квадратъ десятковъ
корня (36) изъ сотенъ даннаго числа и къ остатку отъ со-
тенъ сносятъ двѣ остальныя цыфры. Налѣво отъ остатка
проводятъ вертикальную черту, за которою пишутъ удвоен-
ное число десятковъ корня (12). Отдѣливъ въ остаткѣ де-
сятки, дѣлятъ число ихъ на удвоенное число десятковъ кор-
ня, т.-е. на число, поставленное раньше налѣво отъ верти-
кальной черты. Цѣлое число, получившееся отъ этого дѣле-
нія, подвергаютъ испытанію. Для этого приписываютъ его
справа къ удвоенному числу десятковъ (за вертикальной
чертой) и на него же умножаютъ получившееся отъ этого
число (123 умн. на 3). Если произведеніе окажется больше
остатка, то испытуемая цыфра не годится; тогда подвергаютъ
испытанію слѣдующую меньшую цыфру. Получивъ произве-
деніе, не большее остатка, подписываютъ его подъ остат-
комъ и вычитаютъ, а испытуемую цыфру пишутъ въ корнѣ
на мѣстѣ единицъ.
154. Извлеченіе кв. корня изъ чиселъ, большихъ 10000.
Пусть теперь требуется извлечь квадратный корень изъ
какого-нибудь числа, большаго 10000, напр. изъ 35782.
По доказанному выше, число десятковъ корня равно квадр.
корню изъ наибольшаго цѣлаго квадрата, заключающагося
въ числѣ сотенъ, т.-е. въ 357; значитъ, прежде всего надо
извлечь квадр. корень изъ этого числа.
Такъ какъ число 357 имѣетъ только 3 цыфры, то этотъ
корень найдется по предыдущему:
/ЗТ57=18 Значитъ, въ искомомъ корнѣ изъ 35782 за-
1 ключается 18 десятковъ. Чтобы найти единицы
28’25,7 его, надо, согласно доказанному прежде, предва-
8 22 4 рительно изъ 35782 вычесть квадратъ 18 де-
3 3 сятковъ, для чего достаточно изъ 357 вычесть
9*
— 132 —
у/ 3,57,82=
1
28 25,7
8 22,4
36913 38,2
9(3 32 1
61
квадратъ 18 и къ остатку снести цыфры 82. Остатокъ отъ
вычитанія квадрата 18 изъ 357 у насъ уже есть: это 33.
Значитъ, для полученія остатка отъ вычитанія квадрата 18
десятковъ изъ 35782, достаточно къ 33 приписать справа
цыфры 82. Дѣйствіе мы можемъ продолжать тамъ же, гдѣ
находили|/357;
189 Отдѣливъ десятки въ остаткѣ 3382, дѣлимъ,
согласно доказанному, число ихъ (338) на
удвоенное число десятковъ корня (на 36);
цыфру (9), полученную отъ дѣленія, подвер-
гаемъ испытанію, для чего еѳ приписываемъ
справа къ удвоенному числу десятковъ корня
(къ 36) и на нее умножаемъ получившееся
_____ ѵ на 9). Такъ какъ произведеніе оказалось меньше
второго остатка, то цыфра 9 годится; еѳ пишемъ въ корнѣ
па мѣстѣ единицъ.
Вообще, чтобы извлечь квадр. корень изъ какого угодно
числа, надо сначала извлечь корень изъ числа его сотенъ;
если это число болѣе 100, то придется искать корень изъ
числа сотенъ этихъ сотенъ, т.-е. 'изъ десятковъ тысячъ дан-
наго числа; если и это число болѣе 100, придется извле-
кать корень изъ числа сотенъ десятковъ тысячъ, т.-ѳ. изъ
милліоновъ даннаго числа, и т. д.
Правило. Чтобы извлечь квадр. корень изъ даннаго числа,
разбиваютъ его, отъ правой руки къ лѣвой, на грани по 2
цыфры въ каждой, кромѣ послѣдней, въ которой можетъ
быть и одна цыфра Чтобы найти первую цыфру корня,
извлекаютъ квадр, корень изъ первой грани. Чтобы найти
вторую цыфру, изъ первой грани вычитаютъ квадратъ пер-
вой цыфры корня, къ остатку сносятъ вторую грань и
число десятковъ получившагося числа дѣлятъ на удвоенную
первую цыфру корня; полученное цѣлое число подвергаютъ
испытанію. Слѣдующія цыфры корня находятся по тому же
пріему.
Вотъ примѣры извлеченія квадр. корня изъ чиселъ, со-
стоящихъ изъ многихъ граней;
— 133 —
У 3,50,34,87,59=18717 1 . . . . /9,51,10,56=3084 9 . . .
28 25,0 . . . 8 224 . . . 3671263,4 . . 7|256 9 . . 6081511,0 . 8І486 4 . 616412465,6 412165 6
3741 658,7 1 374 1 37427128465,9 7 26198 9 22670 0
155. Число цыфръ въ корнѣ. Въ началѣ этой главы (§ 150,2)
мы уже говорили о томъ, какъ можно заранѣе опредѣлить
число цыфръ искомаго квадратнаго корня; теперь, ознако-
мившись съ процессомъ нахожденія этихъ цыфръ, приходимъ
къ таковому простому выводу: въ корнѣ столько цыфръ,
сколько въ подкоренномъ числѣ заключается граней по 2
цыфры каждая, кромѣ послѣдней, которая можетъ имѣть
и 2 и 1 цыфру; другими словами: если въ подкоренномъ
числѣ четное число цыфръ, то въ корнѣ вдвое меньше цыфръ;
если же въ подкоренномъ числѣ нечетное число цыфръ, то
въ корнѣ цыфръ вдвое меньше этого числа, увеличеннаго на 1.
Напр., квадр. корень изъ 6-зиачпаго числа содержитъ 3 цыф-
ры, квадр. корень изъ 7-значнаго числа имѣетъ 4 цыфры.
156. Какъ узнать, не мала ли цыфра, взятая въ корнѣ. Можетъ слу-
читься, что, находя какую-нибудь цыфру корня, мы по ошибкѣ взяли
цыфру меньшую, чѣмъ слѣдовало бы. Существуетъ признакъ, по которому
©то легко обнаружить.
Если въ корнѣ взята цыфра меньшая, чѣмъ слѣдуетъ, то остатокъ
окажется больше удвоеннаго корня плюсъ единица» или равенъ этому
числу. Пусть, напр., мы взяли въ корнѣ число а, когда слѣдовало бы взять
больше, положимъ, а-|-1. Въ такомъ случаѣ подкоренное число больше
или равно (а-ф-І)2, и потому избытокъ его надъ а2, т.-ѳ. остатокъ отъ из-
влеченія, долженъ быть больше или равенъ разности («-ф-І)2—«2, которая
равна 2п-|-1.
Обратно, если остатокъ отъ извлеченія больше удвоеннаго корня
плюсъ единица, или равенъ этому числу, то въ корнѣ взято меньше»
чѣмъ слѣдуетъ. Дѣйствительно, если остатокъ больше или равенъ 2а-1-1,
то подкоренное число больше или равно а2-|-(2а-|-1.), т.-е. оно больше или
равно (а-1-1)2, и потому квадр. корень изъ наиб. цѣлаго квадрата, заклю-
ченнаго въ данномъ числѣ, будетъ не а, а, по крайней мѣрѣ, а-)-!.
— 134 —
1) /23,45=47
16
87 74,5
7 60 9
13 6
2) /23,45=48
16
88 74,5
8 70,4
41
Примѣры.
Остатокъ 136 больше 2.474-1; значитъ, взятая для
испытанія цыфра 7 мала.
Остатокъ 41 меньше 2.484-1; значитъ, взятая для
испытанія цыфра 8 не мала.
157. Когда искомый корень содержитъ много цыфръ, то при нахожде-
ніи его полезно руководствоваться слѣдующей истиной:
Теорема. Когда найдено болѣе половины. всѣхъ цыфръ корня, то
остальныя его цыфры найдутся дѣленіемъ остатка на удвоенную
найденную часть корня.
Положимъ, что цѣлая часть / № стостоитъ изъ 2п4~1 цыфръ, и пер-
выя п4-1 цыфръ найдены; остается найти послѣднія п цыфръ. Назовемъ
черезъ а найденную часть корня, т.-ѳ. число,/изображенное первыми п4~1
цыфрами корня съ п нулями на концѣ; если, напр., найдены цыфры: 4567
и остается еще найти три цыфры, то а означаетъ 4567000. Пусть х озна-
чаетъ число, которое надо приложить къ а, чтобы получить точную вели-
чину корня. Тогда:
2Ѵ=(а-|-®) і^аг-\-2ах-\-х‘і
°ткда: -2^-^+^ Ц]
Такъ какъ въ цѣлой части х должно быть п цыфръ, то ж<ПО и
ж2<^Ю2п; такъ какъ а состоитъ изъ п-\Л значащихъ цыфръ, сопровождаѳ
ж2
мыхъ п нулями, то а>102п. Отсюда слѣдуетъ, что — есть правильная
а
1
дробь, и потому 2^<у
Вслѣдствіе этого, изъ равенства Щ находимъ, что х отличается отъ
частнаго —-—- менѣе, чѣмъ на 1/2, и потому, взявъ за х цѣлое число,
ЛСЬ
заключающееся въ этомъ частномъ, сдѣлаемъ ошибку менѣе чѣмъ на 1.
Такъ какъ Я— а2 есть остатокъ, полученный послѣ нахожденія п4~1
цыфръ корня (взятый со всѣми еще не снесенными гранями), а 2а есть
удвоенная найденная часть корня, то теорема доказана.
Примѣръ: пусть мы нашли первыя 4 цыфры квадратнаго корня изъ
35,72,08,00л0(),00,00, а именно: &976, и при этомъ получили остатокъ 8224.
— 135 —
Чтобы найти остальныя три цыфры, сносимъ къ остатку послѣднія три
грани и дѣлимъ полный остатокъ 8224000000, на 2.5976000 т.-ѳ. на 11952000;.
находимъ въ частномъ 688; это и будутъ послѣднія три цыфры корня.
Извлеченіе приближенныхъ квадратныхъ корней.
158. Теорема 1. Если цѣлое число не есть квадратъ дру-
гого цѣлаго числа, то оно не можетъ быть и квадратомъ дроби.
Пусть есть такое цѣлое число, которое не равно ква-
драту никакого цѣлаго числа; требуется доказать, что оно не
можетъ быть и квадратомъ дроби. Предположимъ противное:
пусть нѣкоторая несократимая дробь будучи возвышена
въ квадратъ, даетъ число .У, т.-е.
27=3 (у) ’ откуда:
Послѣднее равенство возможно только тогда, когда а8 дѣ-
лится на Ъ\ но этого нѳ можетъ быть, такъ какъ числа
а и Ъ не имѣютъ общихъ множителей. Слѣдовательно, число
не можетъ быть квадратомъ дроби.
Теорема 2. Если числитель или знаменатель несократи-
мой ариѳметической дроби не представляютъ собою квадра-
товъ цѣлыхъ чиселъ, то такая дробь не можетъ быть ква-
дратомъ ни цѣлаго, ни дробнаго числа.
Пусть есть такая несократимая дробь, у которой или
а, или 5, или оба эти числа, не суть квадраты цѣлыхъ чи-
селъ. Дробь не можетъ быть квадратомъ цѣлаго числа, по-
тому что цѣлое число въ квадратѣ даетъ тоже цѣлое число,
а не дробное. Предположимъ, что ~ есть квадратъ нѣкото-
Г)
рой дроби, которая, по сокращеніи, пусть будетъ Тогда:
(р\* а р* а
— = т-~е- \
уду Ь у* Ъ
Но двѣ несократимыя дроби могутъ равняться другъ другу
только тогда, когда равны ихъ числители между собою и
знаменатели между собою. Поэтому изъ написаннаго выше
равенства выводимъ:
р*— а п д?=Ъ .
- 136 —
Но этого быть не можетъ, такъ какъ, по условію, а или Ъ
не суть квадраты. Значитъ, нельзя допустить, чтобы данная
дробь была квадратомъ другой дроби.
Числа, изъ которыхъ квадратный корень можетъ быть вы-
раженъ цѣлымъ или дробнымъ числомъ, наз. точными ква-
дратами; всѣ остальныя числа могутъ быть названы неточ-
ными квадратами.
Изъ неточныхъ квадратовъ можно извлекать только при-
ближенные квадратные корни.
159. Опредѣленіе приближеннаго корня. 1) Приближен-
нымъ квадратнымъ корнемъ изъ даннаго (цѣлаго или дроб-
наго) числа съ точностью до 1 наз. каждое изъ двухъ та-
кихъ цѣлыхъ чиселъ, которыя различаются одно отъ другого
на 1 и между квадратами которыхъ заключается данное
число; меньшее изъ этихъ чиселъ наз. приближеннымъ кор-
немъ съ недостаткомъ, а большее—приближеннымъ корнемъ
съ избыткомъ.
Напр., приближенный квадратный корень изъ 5672 съ
точностью до 1 есть или 7, или 8, потому чго эти цѣлыя
числа различаются на 1 и между квадратами ихъ заклю-
чается ббу2, такъ какъ 72=49, а 82=64 и слѣд.:
72<56І<82
хи
2) Приближеннымъ квадратнымъ корнемъ изъ даннаго
(цѣлаго или дробнаго) числа съ точностью до 1/п наз. ка-
ждая изъ двухъ такихъ дробей съ знаменателемъ п, кото-
рыя различаются одна отъ другой на 1/п и между квадра-
тами которыхъ заключается данное число; меньшая изъ
этихъ дробей наз. приближеннымъ корнемъ съ недостаткомъ,
а большая—-приближеннымъ корнемъ съ избыткомъ.
Напр., приближенный квадратный корень изъ 27,5 съ
точностью до 7ю есть или 5,2 или 5,3, потому что эти
дроби, имѣя знаменателя 10, различаются на 7ю и между
квадратами ихъ заключается 27,5, такъ какъ 5,22=27,04
и 5,32=28,09 и слѣд.:
5,22<27,5<5,32
— 137 —
160. Правило 1. Чтобы найти приближенный квадрат-
ный корень съ недостаткомъ, съ точностью до I, доста-
точно извлечь квадратный корень изъ наибольшаго цѣлаго
квадрата, заключающагося въ цѣлой части даннаго числа.
Дѣйствительно, пусть, напр., требуется найти приближен-
ный квадратный корень съ точностью до 1 изъ 1503/7. Для
этого извлечемъ квадр. корень изъ наиб. цѣлаго квадрата,
заключающагося въ 150; это будетъ 12. Такъ какъ 122<А50,
то и подавно 122<Д503/7; съ другой стороны, 13г>150, и
такъ какъ 3/7 не составляютъ цѣлой единицы, то. 13^>1503/7;
кромѣ того, разность между 13 и 12 есть 1; отсюда слѣдуетъ,
что каждое изъ. этихъ двухъ чиселъ есть приближенный
квадратный корень изъ 1503/7 съ точностью до 1, при чемъ
12 есть приближенный корень съ недостаткомъ, а 13—при-
ближенный корень съ избыткомъ.
Примѣры:
1) |/~Б—2 или 3 2) |/5?375—2 или 3
оч . / 487 . /ТГб „ „ . Гъ Л
3) У “ІЗ=Г 3713=^ ИЛИ 7; 4) У ~15=о или 1
Правило 2. Чтобы найти приближенный квадратный ко-
рень съ недостаткомъ съ точностью до достаточно умно-
жить данное число на п2, изъ полученнаго произведенія
извлечь квадратный корень съ недостаткомъ съ точностью
до 1 и раздѣлить его на п.
Дѣйствительно, пусть искомые приближенные корни изъ
1 жж -4— 1
даннаго числа А съ точностью до — будутъ дроби— и ——.
п * п п
Тогда, по опредѣленію, имѣемъ:
/ жѴ . /ж-4-1\2 ж2 . Л Аж-4-1)3
— А <4 —!— или: — А < -—2-
\п/ \ п / п2 п2
Умноживъ всѣ члены неравенства на ?г2, получимъ:
ж2<Ап2<(жЦ-1)2
Изъ этихъ неравенствъ видно, что числа ж и жЦ-1 суть
приближенные квадр. корни съ точностью до 1 изъ произ-
веденія Ап2. Найдя эти корни такъ, какъ было показано
— 138 —
рапЪте, получимъ числителей дробей — и а раздѣливъ
ихъ на п, найдемъ и самыя дроби.
Примѣры: 1) Найти /12 съ точностью до 1І^:
12.1^=12.49=3528
/----------- ,— 59 1
/3528=59 (до 1); /72=^ (Д<>/
2) Найти / 2 до сотыхъ долей:
2.100^=20000; /20000=141 (до 1); /"2=1,41 (до Ѵ190)
3) Найти съ приближеніемъ до 710000:
1000^5-^—= 428571 /428571=654; |/|=0,654
4) Найти /0,3 до г/іМ:
0,3,1002=3000; /3000=54; /0^=0,54 (до ‘/1в0). А
5) Найти /о,38472 до 710:
0,38472.102=38,472; /38=6; / 0,38472=0,6 (до ‘/10).
6) Найти / 465 съ какимъ-нибудь десятичнымъ прибли-
женіемъ:
/4,65=21,56 Сначала извлекаемъ корень съ точностью
до 1; получаемъ 21. Чтобы найти цыфру
41 65 десятыхъ (иначе сказать, чтобы найти при-
—... ближенный корень до надо было бы
^5 2125 умножить 465 на 102, т,-е. приписать къ
4306 27500 Два пуля. Очевидно, это все равно, что
6 25836 приписать къ остатку два нуля. Найдя
--------1664 ЧЫФРУ десятыхъ, можемъ снова приписать
къ остатку 2 нуля и искать цыфру сотыхъ
и т. д.
Извлеченіе квадратныхъ корней изъ дробей.
161. Точный квадратный корень изъ несократимой дроби
можно извлечь лишь въ томъ случаѣ, когда оба члена дроби
суть точные квадраты (§ 158, теор. 2). Въ этомъ случаѣ
— 139 —
достаточно извлечь корень изъ числителя и знаменателя
отдѣльно; напр.:
И9|/ 9 3
Приближенные квадратные корни изъ дробей находятся
обыкновенно такъ, какъ указано въ предыдущемъ параграфѣ
(см. примѣры 3, 4, и 5)'. Впрочемъ, можно поступить и
иначе. Объяснимъ это на примѣрахъ:
1) Найти приближенное значеніе
Сдѣлаемъ знаменателя точнымъ квадратомъ. Для этого до-
статочно было бы умножить оба члена дроби на знамена-
теля; но въ этомъ примѣрѣ можно поступить проще. Разло-
жимъ знаменателя на простыхъ множителей: 24=2.2.2.3.
Изъ этого разложенія видно, что если 24 умножить на 2 и
еще на 3, тогда въ произведеніи каждый простой множи-
тель будетъ повторяться четное число разъ, и, слѣд., зна-
менатель сдѣлается квадратомъ; поэтому:
5_ / 5 __./б.2.3_}/30_|/30
2.2.2.3-Р 2‘.3»~Т2.3—"12
Остается вычислить ]/30 съ какою-нибудь точностью и
результатъ раздѣлить на 12. При этомъ надо имѣть въ виду,
что отъ дѣленія на 12 уменьшится и дробь 7М, показываю-
щая степень точности. Такъ, если найдемъ |/30 съ точ-
ностью до Ѵіо? то получимъ 6,4 (съ нед.) и 5,5 (съ избыт-
комъ). Раздѣливъ эти числа на 12, найдемъ 54/120 (съ неД-)
и б3/і2о (съ изб.). Это будутъ приближенные корни изъ дро-
би 8/24 съ точностью до 7120.
2) Найти приближенное значеніе ]/0,378.
. /"3780 т/3780 61 62 ( 1 \
Г0’3 8~|/ ЮОО-'У 10000~ 100“Гоо или Юб^ІОб/
— 140 —
Извлеченіе квадратнаго корня изъ многочлена.
162. Въ нѣкоторыхъ случаяхъ квадратный корень изъ
многочлена можетъ быть выраженъ въ видѣ раціональнаго
многочлена. Покажемъ это на слѣдующемъ примѣрѣ:
|/ 16а4й2—24а3&8413а%‘—Зай54-ій«
Мы расположили данный многочленъ по убывающимъ сте-
пенямъ буквы а, такъ что высшій членъ въ немъ есть пер-
вый, а низшій—послѣдній.
Предположимъ» что существуетъ раціональный многочленъ,
квадратъ котораго равенъ данному многочлену. Пусть этотъ
многочленъ тоже расположенъ по убывающимъ степенямъ
буквы а, такъ что высшій членъ въ немъ первый.
Мы знаемъ, что квадратъ многочлена=квадрату 1-го члѳ-
на-|-удвоенноѳ произведеніе 1-го чл. на 2-й-|-квадратъ 2-го
члѳна-|-удвоѳнноѳ произведеніе суммы первыхъ двухъ чле-
новъ на 3-й-|-квадратъ 3-го члена и т. д. Если возвышае-
мый многочленъ расположенъ по убывающимъ степенямъ
главной буквы, то очевидно, что высшій'членъ въ квадратѣ
этого многочлена есть квадратъ перваго его члена. Въ под-
коренномъ многочленѣ высшій членъ есть 16а4д2; значитъ,
это и есть квадратъ 1-го члена искомаго многочлена; по
этому 1-й членъ корня=]/ 16а4Ь2=:±:4а2д.
Такимъ образомъ, чтобы найти 1-й членъ корня, доста-
точно извлечь квадр. корень изъ перваго члена подкореннаго
многочлена (предварительно расположеннаго). Изъ найден-
ныхъ двухъ значеній перваго члена возьмемъ пока одно:
-]-4а26, а впослѣдствіи примемъ во вниманіе и другое.
т/16а4&2-~24а363+13а2д4-~3а&3+1/4д6=4а2&--3а52+1/2б3
—16а462________________
8а2&—Заб2 „ —24а3й3--|-13а2й4.... первый остатокъ.
—Зай2 „ -)-24азг>3— 9а264
8а2&—6а62-р/263 „ + 4а2б4—За&5-р/466.... второй остат.
— 4а2д44-Зад8--Ѵ466
О
— 141 —
Найдя первый членъ корня (4а2&), возвысимъ его въ ква-
дратъ и вычтемъ изъ подкореннаго многочлена. Въ остаткѣ
(первомъ) должны получиться всѣ члены многочлена, кромѣ
перваго. Мы написали только 2 члена остатка, потому что
остальные пока не нужны. Въ этомъ первомъ остаткѣ должны
содержаться: удвоенное произведеніе 1-го члена на 2-й—(—
квадратъ второго члена-}-удвоенное произведеніе суммы пер-
выхъ двухъ членовъ на 3-й-|-квадратъ 3-го и т. д. Изъ всѣхъ
этихъ членовъ высшій будетъ удвоенное произведеніе 1-го
чл. на 2-й, а въ остаткѣ высшій членъ есть—24а 3й3; слѣд.,
—24а3#3 и есть удвоенное произведеніе 1-го члена на 2-й.
А потому, чтобы найти 2-й членъ корня, достаточно раз-
дѣлить первый членъ перваго остатка на удвоенный первый
членъ корня.
Для этого налѣво отъ остатка (или направо отъ него) про-
водимъ вертикальную черту: за нею пишемъ удвоенный пер-
вый членъ корня (8а26). Раздѣливъ—24а363 на 8а2&, полу-
чимъ одночленъ—Зай2, который и записываемъ въ корнѣ на
мѣстѣ второго члена, и вмѣстѣ съ тѣмъ приписываемъ его
за вертикальной чертой къ удвоенному первому члену (полу-
чаемъ за чертой 8а26—За&2). Это дѣлается для того, чтобы,
умноживъ 8а26—За№ на —За#2, заразъ получить: удвоенное
произведеніе 1-го-члена на 2-й и квадратъ 2-го члена. Умно-
живъ на самомъ дѣлѣ 8а2&—Зад2 на ~3аб2, пишемъ произ-
веденіе подъ остаткомъ и изъ него вычитаемъ (для чего пе-
ремѣняемъ знаки у вычитаемаго многочлена на обратные);
получимъ второй остатокъ: -(-4а2&4—ЗаЬ*-]-'I .
Во второмъ остаткѣ должны содержаться: удвоенное про-
изведеніе суммы первыхъ двухъ членовъ корня на 3-й чл.-{-
квадратъ 3-го члена и т. д.; другими словами: удвоенное
произведеніе 1-го чл. на 3-йЦ-удвоенное 'произведеніе 2-го
члена на 3-й-|-квадратъ 3-го чл. и т. д. Изъ всѣхъ этихъ
членовъ высшій есть удвоенное произведеніе 1-го члена на
3-й; а въ остаткѣ высшій членъ есть--|-4а2і4. Значитъ, 4а2#4
и есть удвоенное произведеніе 1-го члена корня на 3-й его
членъ. Поэтому, чтобы найти 3-й членъ корня, достаточно
раздѣлить первый членъ второго остатка на удвоенный 1-й
членъ корня.
— 142 —
Пишемъ 8а25 за вертикальною чертою и дѣлимъ на это
количество 4а2#4, получаемъ пишемъ этотъ резуль-
татъ въ корнѣ на мѣстѣ 3-го члена. Теперь намъ нужно со-
ставить удвоенное произведеніе 1-го чл. на 3-й-]-удвоенноѳ
произведеніе 2-го чл. на 3-й-[-квадратъ 3-го члена и полу-
ченную сумму вычесть изъ второго остатка. Чтобы удобнѣе
найти эту сумму, къ удвоенному 1-му члену припишемъ (за
вертикальной чертой) удвоенный 2-й членъ и еще 3-й членъ
корня (получимъ 8а26—ба#2-]-1/^3) и образовавшійся отъ
этого многочленъ умножимъ на 3-й чл., т.-е. на 1І^Ъ\ полу-
ченное произведеніе подписываемъ подъ остаткомъ и изъ
него вычитаемъ (для чего перемѣнимъ знаки у вычитаемаго
многочлена).
Въ нашемъ примѣрѣ 3-й остатокъ оказался 0; если бы по-
лучился остатокъ, не равный 0, то мы продолжали бы дѣй-
ствіе далѣе, разсуждая такъ, какъ и раньше.
Для перваго члена искомаго корня мы взяли лишь одно
значеніе |/ 16а4&2, именпо-}~4а26; но мы могли бы также взять
и —4а26; въ этомъ случаѣ остальные члены корня тоже пе-
ремѣнили бы знаки на обратные, потому что для полученія
ихъ пришлось бы дѣлить первые члены остатковъ не на 8а2д
а на —8а2&. Значитъ, квадратный корень изъ многочлена
имѣетъ два значенія; въ нашемъ примѣрѣ одно=4а2й—Зай2
ДРУТоѳ =—4а2р-3яй2— %^3? оба эти значенія можно
выразить такъ:
^а^-Зай2^-1/^8).
Мы могли бы подкоренный многочленъ расположить по
возрастающимъ степенямъ главной буквы; члены корня на-
шлись бы тогда совершенно такъ же, какъ сейчасъ было
объяснено; только въ объясненіи слово „высшій* должно
замѣнить словомъ „низшій*.
163. Правило. Чтобы извлечь квадратный корень изъ мно-
гочлена, предварительно располагаютъ его по убывающимъ
или возрастающимъ степенямъ одной и той же буквы.
Извлекаютъ квадратный корень изъ і-го члена многочлена;
полученный результатъ есть 1-й членъ корня.
Возвысивъ этотъ членъ въ квадратъ, вычитаютъ его изъ
даннаго многочлена.
— 143 —
Дѣлятъ 1-й членъ перваго остатка на удвоенный первый
членъ корня; полученное частное есть 2-й членъ корня.
Приписавъ этотъ членъ къ удвоенному 1-му члену корня, ,
умножаютъ полученный двучленъ на 2-й членъ корня и про-
изведеніе вычитаютъ изъ остатка.
Дѣлятъ 1-й членъ 2-го остатка на удвоенный 1-й членъ
корня; полученное частное есть 3-й членъ корня.
Приписавъ этотъ членъ къ суммѣ удвоеннаго 1-го чл. и
удвоеннаго 2-го чл., умножаютъ полученный трехчленъ на
3-й членъ корня и произведеніе вычитаютъ изъ 2-го остатка.
Продолжаютъ дѣйствіе такъ же и далѣе.
164. Признаки невозможнаго извлеченія: 1) Если данный
многочленъ есть двучленъ, то корень квадратный изъ него
не можетъ быть выраженъ раціонально (т.-е. безъ знака ра-
дикала), такъ какъ всякій многочленъ въ квадратѣ даетъ по
меньшей мѣрѣ 3 члена, а не 2.
2) Если высшій или низшій члены многочлена неточные
квадраты, то корень квадратный изъ многочлена не можетъ
быть выраженъ раціонально.
Это прямо слѣдуетъ изъ правила нахожденія высшаго и
низшаго члена корня.
3) Если высшій и низшій члены многочлена суть точные
квадраты, то возможность или невозможность извлеченія
корня обнаружится посредствомъ самаго дѣйствія; при этомъ
если многочленъ расположенъ по убывающимъ степенямъ
главной буквы, то продолжаютъ дѣйствіе до тѣхъ поръ,
пока въ остаткѣ не получится 0, или пока не получится
остатокъ, у котораго первый членъ не дѣлится на удвоен-
ный первый членъ корня; въ послѣднемъ случаѣ извлеченіе
невозможно. Если же многочленъ расположенъ по возрастаю-
щимъ степенямъ главной буквы, то, вычисливъ предвари-
тельно послѣдній членъ корня (который равенъ корню квадр.
изъ послѣдняго члена многочлена), продолжаютъ дѣйствіе до
тѣхъ поръ, пока въ корнѣ не получится членъ, у котораго
показатель главной буквы равенъ показателю этой буквы
въ вычисленномъ послѣднемъ членѣ корня; если при этомъ
есть остатокъ, то извлеченіе невозможно.
— 144 —
165» Замѣчаніе. Когда изъ даннаго многочлена нельзя
извлечь точнаго квадратнаго корня, все-таки иногда бы-
ваетъ полезно начать извлеченіе съ тѣмъ, чтобы, прекративъ
его па какомъ-нибудь членѣ корня, представить данный мно-
гочленъ въ видѣ суммы квадрата съ остаткомъ отъ извлеченія.
Напр.:
4ж3-|-3=^2—2х
—хк
2я2—2ж „ — 4ж3-]-3
—2х „ -\-4х3—4х2
-4x^3
Прекративъ извлеченіе на второмъ членѣ корня, можемъ
написать:
^-4^4-3=^2^2х)2^(—4х^З)=(х^2х)2^4х^З
ГЛАВА V.
Извлеченіе кубичнаго корня.
Извлеченіе кубичнаго корня изъ наибольшаго цѣлаго
куба, заключающагося въ данномъ числѣ.
166 Предварительныя замѣчанія. 1) Если возвысимъ въ
кубъ числа натуральнаго ряда: 1, 2, 3, 4, 5..., то получимъ
безконечный рядъ кубовъ:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000...
Очевидно, что всякое цѣлое число, не находящееся въ
этомъ ряду (напр. 500), не можетъ быть кубомъ цѣлаго
числа.
Пусть намъ дано какое-нибудь цѣлое число, напр. 56842,
и требуется изъ него извлечь кубичный корень. Допустимъ,
что мы не знаемъ, находится ли это число въ рядѣ кубовъ цѣ-
лыхъ чиселъ, и потому заранѣе не знаемъ, можно ли изъ него
извлечь цѣлый корень. Въ такихъ случаяхъ условимся, что
извлечь кубичный корень изъ даннаго числа значитъ извлечь
его или изъ самаго числа (если оно окажется кубомъ цѣ
— 145 —
лаго числа), или же изъ наибольшаго куба цѣлаго числа,
какой заключается въ данномъ числѣ.
2) Замѣтимъ еще, что легко опредѣлить заранѣе, сколько
будетъ цыфръ въ искомомъ корнѣ. Для этого примемъ во
вниманіе слѣдующую таблицу:
1*=1 Ю3=1000 1003=1000000
10003=1000000000 и т. д.
Пусть, напр., требуется найти |/ 571810. Такъ какъ под-
коренное число меньше 1000000, то и наибольшій кубъ,
заключающійся въ немъ, меньше 1003; съ другой стороны,
такъ какъ подкоренное число больше 1000, то наибольшій
кубъ, заключающійся въ немъ, больше (или равенъ) ІО3.
Значитъ, кубичный корень изъ наибольшаго цѣлаго куба,
заключающагося въ 571810, долженъ быть менѣе 100 и
болѣе (или равенъ) 10, т.-е. онъ долженъ состоять изъ
двухъ цыфръ.
167. Свойство числа десятковъ корня. Если данное число
меньше 1000, то кубичный корень изъ него выражается од-
ною цыфрою и потому легко находится по таблицѣ кубовъ
первыхъ 9-ти чиселъ (ее надо заучить). Если данное число
болѣе 1000, то кубичный корень изъ него болѣе (или равенъ)
10-ти и, слѣд., состоитъ изъ 2-хъ или болѣе цыфръ. Изъ
сколькихъ бы цыфръ онъ пи состоялъ, мы условимся раз-
сматривать его, какъ сумму только десятковъ и единицъ.
Пусть требуется извлечь куб. корень изъ какого-нибудь
числа, напр., изъ числа 571810. Предположимъ, что въ иско-
момъ корнѣ десятковъ будетъ х (число это можетъ быть од-
нозначное или многозначное, все равно), а единицъ у\ тогда
искомый корень выразится 10^-|-і/, и слѣдовательно:
571810—(10^-4"У)34~ост.=1000ж3-^3.100^2у-|-3.10д;7/2-]-7/3-|-ост.
Чтобы найти число х, возьмемъ изъ обѣихъ частей этого
равенства однѣ только тысячи. Въ лѣвой части этого ра-
венства находится 571 тысяча, а въ правой тысячъ или я;3,
или болѣе (если тысячи окажутся въ суммѣ остальныхъ чле-
новъ), поэтому:
571^я;3.
А. Киселевъ. Алгебра.
10
— 146
Изъ этой формулы слѣдуетъ, что х3 есть одинъ изъ цѣ-
лыхъ кубовъ, заключающихся въ 571. Докажемъ, что за х3
надо взять наибольшій изъ этихъ кубовъ, т.-ѳ. 512. Въ
самомъ дѣлѣ, если бы мы взяли за х3 не 512, а. положимъ,
343, то х равнялся бы 7, а потому искомый корень былъ бы
7 десятковъ съ единицами. Но 7 десятковъ съ единицами
(хотя бы единицъ было и 9) меньше 8-ми десятковъ, а 8
десятковъ въ кубѣ составляютъ только 512 тысячъ, что
меньше даннаго числа; поэтому мы не можемъ взять 7-ми
десятковъ съ единицами, когда и 8-ми десятковъ оказывается
не много.
Если же х3 —512, то ж =|/ 512=8. Отсюда слѣдуетъ:
число десятковъ искомаго корня равно кубичному корню изъ
наибольшаго цѣлаго куба, заключающагося въ числѣ тысячъ
даннаго числа.
Когда данное число, какъ взятое нами, меньше 1000000,
тогда число тысячъ въ немъ меньше 1000; въ этомъ слу-
чаѣ десятки корня легко находятся по таблицѣ кубовъ діер-
выхъ 9-и чиселъ.
168. Свойства числа единицъ корня* Найдя десятки корня,
вычислимъ членъ ІОООж8 и вычтемъ изъ даннаго числа;
тогда получимъ первый остатокъ. Чтобы найти его, доста-
точно вычесть х\ т.-е. 512, изъ 571 и къ остатку снести
остальныя три цыфры:
571810
—512
59810=3.1 ООж Ѵф-3.10^2ЦѴ-|-ост.
Чтобы найти уь возьмемъ въ обѣихъ частяхъ этого ра-
венства только однѣ сотни. Въ лѣвой части сотенъ 598,
а въ правой Зх^у или больше (если сотни окажутся въ суммѣ
послѣднихъ трехъ членовъ); поэтому:
598
; откуда
т.-е. число единицъ корня равно или меньше цѣлаго част-
наго отъ дѣленія числа сотенъ перваго остатка на утроен-
ный квадратъ чахла десятковъ корня.
— 147 —
Подставивъ вмѣсто х найденное для него число 8, полу-
чимъ:
598_598 22
У=С3.82~192 192
Отсюда видно, что у есть или 3, или 2, или 1, или 0.
Чтобы опредѣлить, какое изъ этихъ чиселъ надо взять за ?/,
испытаемъ сначала большую цыфру, т.-е. 3. Для этого вы-
числимъ сумму членовъ: 3.100ж2?/-|-3.10гг?/24~і/г при х=8
и у~3; если получится число, не большее перваго остатка
69810, то испытуемая цыфра годится; въ противномъ случаѣ
надо испытать слѣдующую меньшую цыфру:
ЧхЧу. 100=3.64.3.100=57600
Зху\ 10=3. 8.9. 10= 2160
т/^З3.........= 27
59787
Испытуемая цыфра годится. Искомый корень 83. Чтобы
найти окончательный остатокъ отъ извлеченія, надо изъ
59810 вычесть 59787; вычтя, получимъ 23; вслѣдствіе чего
можно написать:
У 571,810=83
512
598,10
576
216
27
59787
571810=833-|-23
Вычисляя члены Зх2у, 100 и Зху*. 10, мы можемъ нѳ
писать на концѣ нулей, а только, при подписываніи слага-
емыхъ другъ подъ другомъ, имѣть въ виду, что произвѳде-
• ніе За;2у означаетъ сотни, а Зху2—десятки.
169. Расположеніе дѣйствія. На практикѣ извлеченіе куб.
корня располагается обыкновенно по слѣдующему правилу:
отдѣливъ въ данномъ числѣ тысячи
(571), извлекаютъ куб. корень изъ
наибольшаго цѣлаго куба, заклю-
чающагося въ числѣ ихъ. Получен-
ное число пишутъ въ корнѣ; это
будутъ десятки искомаго корня. Воз-
высивъ найденное число въ кубъ,
вычитаютъ результатъ изъ числа
къ остатку (59) сносятъ остальныя
3.82=192
3.82.3=
8.8.32=
28=
23
тысячъ даннаго числа,
три цыфры подкоренного числа. Отдѣляютъ въ этомъ остаткѣ
10*
— 148 —
сотни; налѣво отъ него проводятъ вертикальную черту, за
которой пишутъ утроенный квадратъ числа десятковъ корня.
На это число дѣлятъ сотни остатка. Полученную цыфру (3)
подвергаютъ испытанію. Для этого вычисляютъ отдѣльно три
слагаемыя: утроенное произведеніе квадрата десятковъ на
единицы, утроенное произведеніе десятковъ на квадратъ еди-
ницъ и кубъ единицъ. Подписавъ эти слагаемыя другъ подъ
другомъ (причемъ второе и третье сдвигаютъ на одно мѣ-
сто вправо), находятъ ихъ сумму (59787). Если эта сумма
оказывается не болѣе остатка, то ее вычитаютъ изъ него;
въ противномъ случаѣ подвергаютъ испытанію слѣдующую
меньшую цыфру.
170. Извлеченіе куб. корня изъ чиселъ, большихъ 1000000.
Пусть требуется извлечь кубичный корень изъ числа, боль-
шаго милліона, напр., изъ 53820756. Чтобы найти десятки
корня, надо, по доказанному, извлечь куб. корень изъ наи-
большаго цѣлаго куба, заключающагося въ числѣ тысячъ
даннаго числа, т.-ѳ. въ 53820. Такъ какъ это число менѣе
1000000, то корень изъ него найдемъ описаннымъ ранѣе
пріемомъ:
1/5^820756=377
27
3.32=27
3.32.7=
3.3.72=
78=
268,20
189
441
343
23653
Цыфры 9 и 8, по испытаніи
ихъ,оказываются велики. Та-
кимъ образомъ въ искомомъ
корнѣ оказывается 37 десятокъ.
3.372=4107
3.372.7_
3.37.7°—
73=
31677,56
28749
5439
343
238123
Чтобы найти единицы корня, надо, по доказанному прежде,
найти предварительно первый остатокъ, т.-ѳ. изъ даннаго
числа вычесть кубъ десятковъ, 373.1000. Для этого доста-
точно изъ 53820 вычесть 373 и къ остатку приписать по-
— 149 —
слѣднія три цыфры даннаго числа, т.-е. 756. Остатокъ отъ
вычитанія 373 изъ 53820 у насъ уже есть, именно 3167.
Припишемъ къ этому числу цыфры 756; получимъ остатокъ
3167756 отъ вычитанія 373. 1000 изъ всего даннаго числа.
Отдѣлимъ въ этомъ остаткѣ сотни и раздѣлимъ число ихъ
на 3.372; тогда получимъ, по доказанному, число, или равное
числу единицъ корпя, или большее его. Испытаніемъ убѣ-
димся, какая цыфра будетъ надлежащая. Дѣйствіе можно
продолжать тамъ же, гдѣ мы находили десятки корня.
Вообще, чтобы извлечь куб. корень изъ какого угодно
большого числа, надо сначала извлечь кубичный корень изъ
числа его тысячъ. Если это число болѣе 1000, то придется
извлекать куб. корень изъ числа тысячъ этихъ тысячъ, т.-е.
изъ милліоновъ даннаго числа; если и это число болѣе 1000,
то придется извлекать корень изъ числа тысячъ милліоновъ,
т.-е. изъ билліоновъ даннаго числа, и т. д. Другими сло-
вами, данное число придется разбить на грани, отъ правой
руки къ лѣвой, по три цыфры въ каждой, кромѣ послѣдней,
въ которой можетъ быть одна или двѣ цыфры. Чтобы найти
первую цыфру корня, надо извлечь куб. корень изъ первой
грани. Чтобы найти вторую цыфру, надо изъ первой грани
вычесть кубъ первой цыфры корня, къ остатку снести вто-
рую грань и число сотенъ получившагося числа раздѣлить
на утроенный квадратъ найденной цыфры корня; полученное
отъ дѣленія число надо испытать. Слѣдующія цыфры корня
находятся по тому же пріему.
Если послѣ снесенія грани число сотенъ получившагося
числа окажется меньше дѣлителя, т.-е. утроеннаго квадрата
найденной части корня, то въ корнѣ ставятъ нуль и сно-
сятъ слѣдующую грань.
171. Число цыфръ норня. Изъ разсмотрѣнія способа на-
хожденія кубичнаго корпя слѣдуетъ, что въ корнѣ столько
цыфръ, сколько въ подкоренномъ числѣ граней по три цыф-
ры каждая, кромѣ послѣдней, которая можетъ имѣть и двѣ
цыфры, и одну.
172. Теорема. Когда найдено двумя цыфрами болѣе половины всѣхъ
цыфръ корня, то остальныя его цыфры найдутся дѣленіемъ остатка
на утроенный квадратъ найденной части корня.
— 150
Положимъ, что цѣлая частьсостоитъ изъ 2пЦ~2 цыфръ и что пер-
выя п-{-2 цыфры его уже найдены; остается найти послѣднія п цыфръ.
Назовемъ черезъ а найденную часть корня, т.-ѳ. число, изображенное пер-
выми п-{-2 цыфрами корня съ п нулями на концѣ; если, напр., найдены
цыфры 45678 и остается найти еще 3 цыфры, то а будетъ означать число
45678000. Пусть х означаетъ число, которое надо приложить къ а, чтобы
получить точную величину корня. Тогда:
IV—а* х*
Откуда: - 3^2— ~4“з^ Ц]
Легко
х* . х* А
доказать, что сумма —— •
Дѣйствительно, такъ какъ ж<П0п, то ж2<П02п и ж3<Т03*; съ другой сто-
ж2 1 ж3 1
роны, а^ІОМ-1 и а2>104п+2; слѣд., и отсюда очевидно,
ж2 , ж3 . 1
Вслѣдствіе этого, изъ равенства [X] находимъ, что х отличается отъ
V— а* ..
частнаго —чѣмъ на 1/2, и потому, взявъ за ж цѣлое число,
заключающееся въ этомъ частномъ, сдѣлаемъ ошибку менѣе, чѣмъ на 1.
Извлеченіе приближенныхъ кубичныхъ корней.
173. Теорема 1. Если цѣлое число не есть кубъ другого
цѣлаго числа, то оно не можетъ быть и кубомъ дроби.
Пусть 27 есть цѣлое число, нѳ равное кубу цѣлаго числа;
требуется доказать, что оно нѳ можетъ быть и кубомъ дроби.
Предположимъ противное: пусть нѣкоторая несократимая
дробь “5 будучи возвышена въ кубъ, даетъ число 27, т.-ѳ.
,т /а\3 ,г а3
’ 0ТКУДа: АГ=у»
Такое равенство возможно только тогда, когда а* дѣлится
па &3; но этого нѳ можетъ быть, такъ какъ числа а и Ъ не
имѣютъ общихъ множителей. Слѣд., число IV нѳ можетъ
быть кубомъ дроби.
Теорема 2. Если числитель или знаменатель несократи-
мой ариѳметической дроби не представляютъ собою кубовъ
— 151 —
цѣлыхъ чиселъ, то такая дробь не можетъ бы/ть кубомъ
ни цѣлаго, ни дробнаго числа.
Пусть ~ есть такая несократимая дробь, у которой или
а, или &, или оба эти числа не суть кубы цѣлыхъ чиселъ.
Предположимъ, что
а
д
есть кубъ нѣкоторой несократимой
дроби • Тогда:
3___а
О* Ъ
( р\*_р
V/
а
и несократимы, то ихъ равенство
возможно только тогда, когда
собою и знаменатели между собою:
Такъ какъ дроби
р*
О2
у нихъ равны числители между
Но это невозможно, такъ какъ, по условію, а или Ъ не
суть кубы цѣлыхъ чиселъ.
Съ другой стороны очевидно, что дробь не можетъ быть
кубомъ и цѣлаго числа; слѣд., теорема доказана.
Числа, изъ которыхъ кубичный корень можетъ быть вы-
раженъ цѣлымъ или дробнымъ числомъ, наз. точными ку-
бами; всѣ остальныя числа могутъ быть названы неточными
кубами.
Изъ неточныхъ кубовъ можно извлекать только прибли-
женные кубичные корни.
174. Опредѣленіе приближеннаго кубичнаго корня. 1) При-
ближеннымъ кубичнымъ корнемъ изъ даннаго числа (цѣлаго
или дробнаго) съ точностью до 1 наз. каждое изъ двухъ
такихъ цѣлыхъ чиселъ, между кубами которыхъ заключается
данное число и которыя различаются одно отъ другого на
1; меньшее изъ этихъ чиселъ наз. приближеннымъ корнемъ
съ недостаткомъ, а большее—приближеннымъ корнемъ съ
избыткомъ.
Такъ, если А есть данное число, то приближенные кубич-
ные корни изъ А съ точностью до 1 будутъ два такія цѣлыя
числа х и которыя удовлетворяютъ неравенствамъ:
іс3<ГЛ<(ж+1)3
— 152 —
2) Приближеннымъ кубичнымъ корнемъ изъ даннаго числа
1
(цѣлаго или дробнаго) съ точностью до — наз. каждая изъ
двухъ такихъ дробей съ знаменателемъ п, между кубами •
которыхъ заключается данное число и которыя различаются
1
одна отъ другой на ~; меньшая изъ этихъ дробей наз. при-
ближеннымъ корнемъ съ недостаткомъ, а большая прибли-
женнымъ корнемъ съ избыткомъ.
Такъ, если данное число есть А, то приближенные
кубичные корни изъ А съ точностью до ~ будутъ двѣ такія
дроби ~ и 5 которыя удовлетворяютъ неравенствамъ:
175. Правило 1. Чтобы найти приближенный куб. ко-
рень съ недостаткомъ съ точностью до 1, достаточно из-
влечь куб. корень изъ наибольшаго цѣлаго куба, заключаю-
щагося въ цѣлой части даннаго числа.
Пусть, напр., требуется найти приближенный куб. корень
съ точностью до 1 изъ числа 500,6. Для этого находимъ
куб. корень изъ наибольшаго цѣлаго куба, заключающагося
въ 500; это есть 7. Такъ какъ 73<ЪОО, то, и подавно,
78<Ъ00,6; съ другой стороны, 83^>500, и такъ какъ 0,6 не
составляютъ ни одной цѣлой единицы, то 88^>500,6. Слѣд.,
каждое изъ чиселъ: 7 или 8, есть приближенный куб. корень
съ точностью до 1 изъ числа 500,6; первое есть приближен-
ный куб. корень съ недостаткомъ, второе—съ избыткомъ.
Примѣры: 1) -|=0 или 1; 2) ]/б607/8=8 или 9;
2) С22«±=6 или 7.
Правило 2. Чтобы найти приближенный куб. корень съ
1
недостаткомъ съ точностью до — , достаточно умножить
•И 1 ”
— 153 --
данное число на п3, изъ полученнаго произведенія извлечь
куб. корень съ недостаткомъ съ точностью до 1 и раздѣ-
лить его на п.
Дѣйствительно, пусть искомые приближенные корни изъ
1 х ^с~~і______________________________________1
даннаго числа А съ точностью до — будутъ — и --. Тогда,
по опредѣленію, имѣемъ:
- <Л< —Ь- или -< Л<- 1
\п/ \ п / п* п*
Откуда: хъ<^Ап^<^х-^-1)ъ
1
3.1«=3 10,00
3.1«.2= 6
3.1.2»= 12
2®= 8
728
3.12°"= 432 2720,00
3.12». 5= 2160
9.12.5»= 900
Б3= 125
225125
Изъ этого неравенства видно, что числа х и х-^-1 суть
приближенные кубичные корпи изъ числа тіп3, съ точностью
до 1. Найдя эти корни такъ, какъ было указано ранѣе, по-
X X 1 1
лучимъ числителей дробей ~ и —, а раздѣливъ ихъ на п,
найдемъ и самыя дроби.
Примѣры: 1) Найти |/ 5 съ точностью до У8.
5.88=2560; |/2560=13 или 14; или (до х/8).
2) Найти ]/% до сотыхъ долей.
4/9.1003=4444444/9; |/444444=76 или 77; |ЛД=0,76 или 0,77,
3) Найти |/ 2 съ десятичнымъ приближеніемъ:
|/~2 =1,25...
Сначала извлекаемъ корень съ точ-
ностью до 1; это будетъ 1. Чтобы
найти цыфру десятыхъ, надо было бы
умножить 2 на 103, т.-е. къ 2 припи-
сать три нуля. Очевидно, это все рав-
но, что приписать къ остатку три
нуля. Найдя цыфру десятыхъ, мо-
жемъ снова приписать къ остатку
три нуля и искать цыфру сотыхъ,
и т. д.
46875
— 154 —
Извлеченіе кубичныхъ корней изъ дробей.
176. Точный кубичный корень изъ несократимой дроби
можно извлечь лишь въ томъ случаѣ, когда оба члена дроби
точные кубы (§173). Въ этомъ случаѣ достаточно извлечь
корень изъ числителя и знаменателя отдѣльно, напр.:
Г 125 |/125 5
Приближенные куб. корни изъ дробей обыкновенно нахо-
дятся такъ, какъ указано въ предыдущемъ параграфѣ (при-
мѣръ 2). Впрочемъ, можно поступать иначе. Объяснимъ это
на слѣдующемъ примѣрѣ:
Наити приближенное значеніе I/
Изъ разложенія: 24=2.2.2.3 видимъ, что если оба члена
дроби умножимъ на З2, то сдѣлаемъ знаменателя точнымъ
кубомъ; сдѣлавъ это, извлечемъ корень изъ числителя и зна-
менателя отдѣльно:
V 2І"У 24.3«~Г 23.3»~ 2.3“’ 6
Найдя |/45 съ какою-нибудь точностью до Уя и раздѣливъ
результатъ на 6, мы получимъ приближенный куб. корень
изъ дроби б/а* съ точностью до Ѵбм-
ГЛАВА VI.
Понятіе о несоизмѣримомъ числѣ.
177. Общая мѣра. Общею мѣрой двухъ значеній одной и
той же величины наз. такое значеніе этой же величины,
которое въ каждомъ изъ нихъ содержится цѣлое число разъ.
Два значенія величины наз. соизмѣримыми, если они
имѣютъ общую мѣру; въ противномъ случаѣ они наз. несо-
измѣримыми *).
*) Существованіе несоизмѣримыхъ величинъ доказывается, между про-
чимъ, въ геометріи.
— 155 —
178. Понятіе объ измѣреніи. Чтобы имѣть ясно© предста-
вленіе о томъ или другомъ значеніи величины (напр., о длинѣ
комнаты), его измѣряютъ при помощи другого значенія той
же величины, которое принято за единицу (напр., помощью
аршина). При измѣреніи могутъ представиться два различ-
ныхъ случая: 1) когда измѣряемое значеніе величины соизмѣ-
римо съ единицей и 2) когда оно несоизмѣримо съ единицей.
1) Измѣрить значеніе величины, соизмѣримое съ единицей,
значитъ опредѣлить, сколько разъ въ немъ содерэюится еди-
ница или какая-нибудь доля единицы.
Чтобы узнать это, находятъ общую мѣру между измѣряе-
мымъ значеніемъ и единицей и узнаютъ, сколько разъ она
содержится въ измѣряемомъ значеніи и въ единицѣ. Тогда,
если общей мѣрой будетъ служить сама единица, то въ ре-
зультатѣ измѣренія получится цѣлое число; если же общая
мѣра въ единицѣ повторяется п разъ, а въ измѣряемомъ
значеніи т разъ, то результатъ измѣренія выразится
т
ДРобью —•
О числѣ иногда говорятъ, что оно представляетъ мѣру
того значенія величины, отъ измѣренія котораго получилось
это число. Цѣлыя и дробныя числа наз. соизмѣримыми
числами.
2) Когда измѣряемое значеніе величины несоизмѣримо съ
единицей, то о немъ составляютъ представленіе, какъ о
предѣлѣ нѣкоторой перемѣнной соизмѣримой величины.
Объяснимъ это на примѣрѣ. Пусть АВ и СИ два несоизмѣ-
римые между собою отрѣзка прямой:
Е
и одинъ изъ нихъ, напр., СИ, принятъ за единицу. Желая
измѣрить АВ при помощи СО, узнаемъ сначала, сколько
разъ цѣлая единица содержится въ АВ, пусть окажется, что
СО укладывается въ АВ 3 раза съ остаткомъ ЕВ<^СИ.
Теперь опредѣлимъ, сколько разъ въ ЕВ содержится какая-
нибудь доля единицы, напр., х/1(>. Положимъ, 7 разъ съ ка-
— 156 —
кимъ-нибудь новымъ остаткомъ, меньшимъ 710 доли СВ.
Далѣе узнаемъ, сколько разъ въ этомъ остаткѣ содержится
болѣе мелкая доля единицы, напр., */100; положимъ, 8 разъ
съ новымъ остаткомъ. Сколько бы мы ни продолжали этого
процесса, никогда не дойдемъ до конца; дѣйствительно, если
предположимъ, напр., что послѣ укладыванія 7100 доли СВ
нѳ получилось никакого остатка, то отрѣзокъ АВ былъ бы
равенъ 3,78 СВ и, слѣд., между АВ и СВ была бы общая
мѣра, именно 7100 С7), что, по условію, невозможно.
Вообразимъ себѣ теперь, что описанный процессъ измѣ-
ренія продолжается все далѣе и далѣе безъ конца. Тогда
мы будемъ имѣть перемѣнную длину, принимающую без-
численное множество соизмѣримыхъ значеній, выражаемыхъ,
напр., такими числами:
3; 3,7; 3,78; 3,782; 3,7826;...
Эта перемѣнная длина, по мѣрѣ продолженія процесса измѣ-
ренія, приближается все ближе и ближе къ АВ такъ, что
разность между АВ и этой перемѣнной длиной дѣлается
и остается меньше какой угодно малой длины. Это вы-
ражаютъ, говоря, что АВ есть предѣлъ этой перемѣнной
длины.
Каждое изъ полученныхъ выше чиселъ можно назвать
приближеннымъ результатомъ измѣренія отрѣзка АВ, при-
чемъ, такъ какъ они выражаютъ длины, меньшія АВ, эти
результаты измѣренія будутъ съ недостаткомъ. Если же мы
увеличимъ послѣдній знакъ каждаго числа на одну единицу,
то получимъ новый рядъ чиселъ:
4; 3,8; 3,79; 3,783; 3,7827,...
представляющихъ соизмѣримыя значенія длины, большія АВ.
Эти числа тоже можно назвать приближенными результатами
измѣренія длины ЛВ, но съ избыткомъ. Степень приближе-
нія этихъ результатовъ становится все больше и больше, По
мѣрѣ продолженія процесса измѣренія. Такъ, число 3 (или 4)
выражаетъ длину АВ съ точностью до 1; число 3,7 (или 3,8)
выражаетъ эту длину съ точностью до і/і(і и т. д.
179. Несоизмѣримое число. Результатъ измѣренія всякаго
значенія величины вообще наз. числомъ. Когда измѣряемое
— 157 —
значеніе соизмѣримо съ единицей, получившееся послѣ измѣ-
ренія число наз. соизмѣримымъ; такія числа, какъ мы ви-
дѣли, суть цѣлыя и дробныя. Когда же измѣряемое значеніе
несоизмѣримо съ единицей, результатъ измѣренія наз. не-
соизмѣримымъ числомъ (или ирраціональнымъ). Его раз-
сматриваютъ, какъ предѣлъ, къ которому стремится при-
ближенный результатъ измѣренія по мѣрѣ увеличенія сте-
пени приближенія.
Обыкновенно несоизмѣримое число выражается десятич-
ною дробью, у которой число десятичныхъ знаковъ предпо-
лагается безконечно большимъ.
Каждый приближенный результатъ измѣренія принимается
за приближенное значеніе несоизмѣримаго числа съ недо-
статкомъ или съ избыткомъ, съ большею или меньшею сте-
пенью точности.
Несоизмѣримое число считаютъ извѣстнымъ, если извѣ-
стенъ способъ получать его приближенныя значенія съ ка-
кою бы то ни было степенью приближенія.
Два числа, соизмѣримыя или несоизмѣримыя, считаются
равными или неравными, смотря по тому, равны или не
равны значенія величины, выражаемыя ими (при одной и
той же единицѣ измѣренія). Въ случаѣ неравенства то число
считается большимъ, для котораго соотвѣтствующее значе-
ніе величины больше.
Введя въ математику понятіе о несоизмѣримомъ числѣ,
мы можемъ сказать, что всякое значеніе величины можетъ
быть выражено числомъ, соизмѣримымъ или несоизмѣри-
мымъ.
180. Значеніе дѣйствій надъ несоизмѣримыми числами. Усло-
вились производить надъ несоизмѣримыми числами тѣ же
дѣйствія, какъ и надъ числами соизмѣримыми, согласно
слѣдующему опредѣленію: произвести то или другое дѣй-
ствіе надъ несоизмѣримыми числами значитъ найти пре-
дѣлъ, къ которому стремится результатъ этого дѣйствія,
если вмѣсто несоизмѣримыхъ чиселъ будемъ брать ихъ при-
ближенныя значенія все съ большею и большею степенью
— 158 —
приближенія *). Пусть, напр., М я будутъ несоизмѣри-
мыя числа, выражаемыя безконечными десятичными дро-
бями (законъ составленія которыхъ извѣстенъ):
М=2,180354... 27=5,714832...
Тогда умножить М на значитъ найти предѣлъ, къ ко-
торому стремится рядъ такихъ произведеній:
2.5; 2,1.5,7; 2,18.5,71; 2,180.5,714; 2,1803.5,7148; и т. д.
Несоизмѣримыя значенія радикаловъ.
181. Въ предыдущихъ параграфахъ было показано, что
квадратные и кубичные корни изъ многихъ чиселъ не мо-
гутъ быть выражены точно ни цѣлымъ, ни дробнымъ чи-
сломъ. Докажемъ теперь, что то же самое можно сказать о
корняхъ всякой степени.
Теорема 1. Если цѣлое число не есть точная т~ая
степень другого цѣлаго числа, то не можетъ бить
выраженъ ни цѣлымъ, ни дробнымъ числомъ.
Что не выражается цѣлымъ числомъ—слѣдуетъ изъ
условія теоремы. Положимъ теперь, что существуетъ несо-
кратимая дробь ~, ?п-ая степень которой равна Тогда
Но это равенство невозможно, такъ какъ ат и Ьт суть
числа взаимно простыя, и потому частное не можетъ рав-
няться цѣлому числу 27.
Теорема 2. Если числитель или знаменатель ариѳмети-
ческой несократимой дроби ~ не есть точная ѵх-ая степень
т /~п
цѣлаго числа, то і / — не можетъ быть выраженъ ни цѣ-
лымъ, ни дробнымъ числомъ.
*) Здѣсь не мѣсто подробно излагать теорію дѣйствій надъ несоизмѣ-
римыми числами. Основательное изложеніе этого вопроса можно найти въ
книгѣ „Н. Билибинъ. Алгебра для гимназій и реальныхъ училищъ,
изданіе третье 1899 г.“, стр. 130 и слѣд.
— 159 —
Очевидно, что у/не можетъ быть выраженъ цѣлымъ
числомъ. Предположимъ теперь, что ~ равняется несо-
кратимой дроби Тогда:
а / р\т рт
Ь уду д”
Это равенство возможно только тогда, когда р”^а и дт=Ъ‘,
но этого быть нѳ можетъ, согласно условію теоремы.
181,а. Приближенное значеніе |/л. Пусть А означаетъ по-
ложительное цѣлое или дробное число, и т цѣлое положи-
тельное число. Назовемъ приближеннымъ значеніемъ ”\/~А
1 - х
съ точностью до — каждую изъ двухъ такихъ дрооей съ
знаменателемъ п, которыя различаются одна отъ другой на
1 .
— и между яг-ыми степенями которыхъ заключается А;
% х а:—1—1
такъ что, если дроби эти обозначимъ черезъ — и то чи-
сло х должно удовлетворять неравенствамъ:
/ж\КІ _ . , /'ж-|-1\ет
| — -а- I-----
- \П/ \ П /
Докажемъ, что такія приближенныя значенія существуютъ,
какъ бы ни было велико число п *).
Для доказательства предположимъ, что числа натураль-
наго ряда возвышены въ т-ую степень:
О, Iя», 2т, Зт, 4я»,.... а,п, (а-4-1)“....
Теперь составимъ произведеніе Апт, и будемъ его искать
въ написанномъ выше ряду. Такъ какъ этотъ рядъ возра-
стаетъ, очевидно, безпредѣльно, то мы всегда въ немъ встрѣ-
тимъ два такія сосѣднія числа, что одно изъ нихъ меньше
и ни равно, а другое больше Апт. Пусть эти числа будутъ
ат и такъ что
ат-^Апт<^(а-^-1)’п
Откуда: а” (а-}--!)”*
__________П'п
*) Двойной знакъ поставленъ для того, чтобы нѳ дѣлать изъятія для
случая, когда дробь х/п есть точное значеніе у А. При указанныя
приближенныя значенія будутъ съ точностью до 1.
— 160 —
или:
—А <
п) \ п /
Такимъ образомъ, всегда могутъ быть найдены два числа:
~ и представляющія собою приближенныя значенія ^/~А
съ точностью до первое съ недостаткомъ, а второе съ
избыткомъ *).
182. Истинное значеніе ’р/'З въ томъ случаѣ, когда А не
есть точная ш-ая степень. Для простоты разсужденія возь-
мемъ какой-нибудь частный случай |/2., напр., }/2. Пред-
ставимъ себѣ, что мы вычислили различныя приближенныя
значенія этого корня, причемъ степень приближенія все
болѣе и болѣе увеличивается; напр., положимъ, что мы
нашли |/ 2 сначала съ точностью до 1/10, затѣмъ до */100
И т. д. Тогда получимъ два ряда приближенныхъ значеній:
Прибл. значенія съ нед. 1,4 1,41 1,414 1,4142
Прибл. значенія съ изб. 1,5 1,42 1,415 1,4143 ...
Числа перваго ряда представляютъ собою рядъ увеличи-
вающихся значеній величины, а числа второго ряда—рядъ
уменьшающихся значеній; значенія второго ряда всегда боль-
ше значеній перваго, и разность между соотвѣтствующими
значеніями все уменьшается и можетъ быть сдѣлана какъ
угодно малою. Изъ этого слѣдуетъ, что существуетъ нѣко-
торое значеніе величины, которое представляетъ собою общій
предѣлъ для увеличивающихся значеній перваго ряда и для
уменьшающихся значеній второго ряда. Число, измѣряющее
этотъ предѣлъ, принимается за истинное значеніе ]/~2. .
*) Изложенное доказательство, обнаруживая существованіе приближен-
ныхъ значеніи корня, вмѣстѣ съ тѣмъ указываетъ и способъ ихъ нахож-
денія. На практикѣ однако этотъ способъ не примѣняется по причинѣ
его утомительности. Существуютъ другіе болѣе удобные способы.
— 161 —
Чтобы сдѣлать нагляднымъ существованіе этого предѣла,
вообразимъ себѣ, что числа нашихъ рядовъ представляютъ
собою нѣкоторыя разстоянія, откладываемыя па прямой Р(^
въ одну и ту же сторону отъ одной точки О:
Р О А А, А2 X В2 В, В О
-- ———I 1 1 ѳ 1 1 >. , —
Пусть 04=1,4, 0^=1,41, 0А2=1,Ш и т. д.; ОВ=1,5,
01^=1,42, ОВ2=1,415 и т. д. Такъ какъ разности: ОВ—О А,
ОВ1— О41? 0В2—ОА2 и т. д. могутъ быть сдѣланы какъ
угодно малы, то, очевидно, существуетъ нѣкоторая точка X,
которая составляетъ предѣльное положеніе дня точокъ А и
точекъ В. Число, выражающее длину ОХ, есть истинное
значеніе ]/2. Это число несоизмѣримое, такъ какъ ]/2не
можетъ быть выраженъ соизмѣримымъ числомъ.
Подобно этому можно разъяснить, что вообще ]/А, когда
А не есть точная ж-ая степень, есть несоизмѣримое число,
представляющее собою предѣлъ, къ которому стремятся при-
ближенныя значенія этого корня при неограниченномъ уве-
личеніи степени приближенія.
182, а. Дѣйствія надъ несоизмѣримыми значеніями радика-
ловъ имѣютъ тотъ смыслъ, который былъ указанъ прежде
(§ 180) для несоизмѣримыхъ чиселъ вообще. Напр., возвы-
сить ]/ 2 въ квадратъ значитъ найти предѣлъ, къ которому
стремится квадратъ приближеннаго значенія |/ 2 при неогра-
ниченномъ увеличеніи степени приближенія. Возвышая въ
квадратъ числа:
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;...
представляющія приближенныя значенія |/ 2 съ недостат-
комъ, или числа:
1,5; 1,42; 1,415; 1,4143;...
представляющія приближенныя значенія ]/ 2 съ избыткомъ,
мы замѣтимъ, что квадраты ихъ стремятся къ общему пре-
дѣлу 2: *
1,42=1,96; 1,4^1,9881; 1,414^=1,099396;...
1,5»=2,25; 1,42^=2,0164; 1,415«=2,002225,...
А. Киселевъ. Алгебра. 11
— 162 —
Вообще, можно доказать, что продѣлъ т-ой степени при-
ближеннаго значенія |/ Л, при неограниченномъ увеличеніи
степени приближенія, равенъ А, такъ что всегда можно
писать:
(у А )т=А !
Такимъ образомъ, будетъ ли А точная или неточная т-ая
степень, всегда можно сказать, что ’]/ А есть такое число,
т-ая степень котораго равна А. Поэтому всѣ свойства ради-
каловъ, основанныя па этомъ опредѣленіи корня (§ 146),
примѣнимы и къ несоизмѣримымъ ихъ значеніямъ; такимъ
образомъ, каковы бы ни были числа а, Ьлс, всегда можемъ
писать:
Г— »/—
|/ а
ГЛАВА VII.
Дѣйствія надъ радикалами.
183. Ариѳметическое значеніе корня. Мы будемъ въ этой
главѣ говорить только о положительномъ значеніи радикала
изъ положительнаго числа; такое значеніе наз., какъ мы
говорили прежде (§ 145), ариѳметическимъ.
Ариѳметическое значеніе корпя изъ даннаго числа можетъ
быть только одно, Въ самомъ дѣлѣ, если допустимъ, что
^/77 имѣетъ два различныя ариѳметическія значенія а и й,
то получимъ: ат=Ьт^ но это равенство невозможно, такъ
какъ разныя положительныя числа, будучи взяты сомножи-
телями одинаковое число разъ, не могутъ дать одинаковыхъ
результатовъ.
Изъ этого слѣдуетъ, что если равны два числа, то равны
и ариѳметическія значенія ихъ корней одинаковой степени.
Замѣтимъ, что корень изъ отрицательнаго числа, если онъ
нечетной степени, приводится къ ариѳметическому значенію,
— 163 —
взятому со знакомъ—; напр., ]/ — 8 ——|/ 8; если же онъ
чётной степени, то представляетъ собою мнимое количество
(§ 145).
184. Теорема. Значеніе корня не измѣнится, если пока-
зателя его и показателя подкоренного количества умножимъ
на одно и то же цѣлое и положительное число.
Доказательство. Требуется доказать, что, напр., |/ а2 =
а~у аь—.... и вообіце.
п .—. Пр ------------------------
у ат-=. у атр,
гдѣ р есть какое-нибудь цѣлое положительное число. Для
доказательства возвысимъ обѣ части этого предполагаемаго
равенства въ пр-ю степень. Отъ возвышенія правой части
равенства получимъ атр (такъ какъ извлеченіе корня пр-й
степени и возвышеніе въ пр-іо степень суть дѣйствія, вза-
имно уничтожающіяся). Чтобы возвысить лѣвую часть равен-
ства въ пр-ю степень, возвысимъ ее сначала въ п-іо степень,
а потомъ въ р-іо (§ 140, теор» 2):
Мы видимъ, что два числа: у/о^и отъ возвышенія
въ одну и ту же пр-ю степень даютъ одно и то же число
атр\ отсюда слѣдуетъ, что оба возвышаемыя числа суть кор-
ни пр-ъі степени изъ атр и потому должны быть равны (если
числа равны, то равны и ихъ ариѳметическіе корни одина-
ковой степени).
Читая доказанное равенство справа налѣво, видимъ, что
значеніе корня не измѣняется отъ дѣленія его показателя и
показателя подкоренного количества на одно и то же число
(конечно, если дѣленіе возможно нацѣло).
Слѣдствіе 1-е. Показателя корня и показателя подкорен-
ного количества можно сократить на ихъ общаго множи-
теля, если онъ есть. Напр.:
|/ а6=|/ а3 |/(1-|-^)3=]/1+ж-
Слѣдствіе 2-е. Если подкоренное числа, представляетъ со-
бою произведеніе нѣсколькихъ степеней съ различными по-
11*
— 164 —
казателями и если эти показатели имѣютъ одного и' того
же общаго множителя съ показателемъ корня, то на этого
множителя можно сократить всѣхъ показателей. Для при-
мѣра возьмемъ 1|/б4а12№18. Представимъ это выраженіе такъ
У 64а”1У (2а2йг3)6
Теперь иа основаніи слѣдствія 1-го. можемъ написать:
У(2а2&я8У^у2а25я8
Слѣдствіе 3-е. Показателей нѣсколькихъ корней можно
сдѣлать одинаковыми подобно тому, какъ знаменателей нѣ-
сколькихъ дробей можно сдѣлать равными. Для этого доста-
точно найти общее кратное (лучше всего наименьшее) по-
казателей всѣхъ радикаловъ и помножить показателя каждаго
изъ нихъ и показателя подкоренного количества на соотвѣт-
ствующаго дополнительнаго множителя (т.-е. на частное отъ
дѣленія общаго кратнаго на показателя радикала). Пусть
даны, напр., радикалы:
]/щг, ]/а2, 'Ух
Наименьшее кратное показателей этихъ радикаловъ есть
12; дополнительные множители суть: для перваго радикала 6,
для второго 4 и для третьяго 1; на основаніи доказанной
теоремы можемъ написать:
Уах=У(ах/=Уа^х^ Уа^=уй^ іух=іух
185. Подобные радикалы. Подобными радикалами наз.
такіе, у которыхъ одинаковы подкоренныя количества и оди-
наковы показатели радикаловъ (различаться могутъ, слѣд.,
только множители, стоящіе передъ знакомъ радикала, и зна-
ки передъ ними). Таковы, напр., выраженія: -\~‘&аУху и
— ЪЪУ ху.
Чтобы опредѣлить, подобны ли между собою данные ра-
дикалы, слѣдуетъ предварительно упростить ихъ, т.-е. если
возможно:
1) вынести изъ-подъ знака радикала тѣхъ множителей,
изъ которыхъ возможно извлечь корень (§ 148);
— 165
2) понизить степень радикала, сокративъ показателей
корня и подкоренного количества на общаго множителя;
3) освободиться подъ радикалами отъ знаменателей дробей
(какъ будетъ указано на второмъ приводимомъ ниже при-
мѣрѣ).
Примѣръ 1. Радикалы: |/8а.г3, |/б4а2у12 окажутся подобны-
ми, если ихъ упростимъ такъ:
У 8ах*~2х 'Уа; |/б4а2і/12=2?/2)/а2—2у2У а
/^х / 6 /—
Примѣръ 2. Три радикала!/ у — иубж окажутся по-
добными, если освободимся подъ радикалами отъ знаменателей:
18Ѳ. Разсмотримъ теперь, какъ производятся различныя
дѣйствія надъ ирраціональными одночленами.
Сложеніе и вы иганіе. Чтобы сложить или вычесть ирра-
ціональные одночлены, соединяютъ ихъ знаками-/или—и,
если возможно, дѣлаютъ приведеніе подобныхъ радикаловъ.
Примѣры:
1) а^Ьс -]-6 У ад1с-\-с |/п6с10=а2|/аЪс--]-63|/обс/'-с4]/аЬс—
=(а24-^3+с4)І// а1)С
2) 1б|/Ч—3 р32—16|/--|“- ]/І08^=15]/4— б|/4—4]/4
—3|/4=2}/4
3) х2^/-^--2х^/ ж-|-3ж)/ ж—ж]/ ж—
=4ж|/ х.
Умноженіе. Такъкакъ|/^6с...=у«|/б|/с...(§ 146, теор. 1),
то и наоборотъ: ]/а]/б|/с...=]/а6с... Отсюда слѣдуетъ: чтобы
перемножить нѣсколько радикаловъ съ одинаковыми показате-
лями, достаточно перемножить ихъ подкоренныя количества.
— 166 —
Если для перемноженія даны радикалы съ различными по-
казателями, то ихъ предварительно приводятъ къ одинако-
вому показателю.
Если передъ радикалами есть коэффиціенты, то ихъ пе-
ремножаютъ.
Примѣры:
<. Дѣленіе. Такъ какъ
+-= (§ ^46, теор. 3), то и
/б
наоборотъ: Р-“== 8/ ~т, т.-е., чтобы, раздѣлить радикалы
Ѵ& г
съ одинаковыми показателями, достаточно раздѣлить ихъ
подкоренныя количества.
Радикалы съ различными показателями предварительно
приводятъ къ одинаковому показателю.
Если есть коэффиціенты, то ихъ дѣлятъ.
Примѣры:
:./2о^2й 4./а^Ъ_ 15. /2(а=3)2^2_
' У ж'2 2Ьх^ ~
=-15/ Ь
’ У а-\-Ъ у а-\-Ь У ат^о у а-]Ч>
За2,4/"^5" 2ар /^г_15«?7> Уа2(гГ-^__ 3 4/а=ж
' 25/? у а—х'эбу а—х 50а/>|' (а—ж)4а6 іо|/ 4
Возвышеніе въ степень. Чтобы возвысить радикалъ въ ств- \
пень, достаточно возвцсшѣь~въ эту степень подкоренное ко-
личество. Дѣйствительно, если показатель степени есть цѣ-
«ое положительное число т, то:
(]/а)’"—'}/а.’\/а. /а.. .=\/ааа.. .=]/ат
Если показатель степени есть цѣлое отрицательное число
—т, то:
.пг. 1 1 п /Т п._________
(у а) ~т = —---- =---— і / —— і/а~т
(]А)” /а- У а- /а '
— 107
Наконецъ, если показатель степени есть 0, то:
(]/а)°г=1 и |/ав = |/і=1
Примѣры: 1) (|/2а63я2)3=|/Ѵ2а63ж2)3=|/8а:1&9ж11
Извлеченіе корня. Чтобы извлечь корень изъ радикала, до-
статочно перемножить ихъ показателей.
Требуется доказать, чтор7 У а--]/а,^/^/а —|/а и вообще:
Для доказательства возвысимъ обѣ части этого предпола-
гаемаго равенства въ тп-ую степень. Отъ возвышенія пра-
вой части получимъ, по опредѣленію корня, а; чтобъ возвы-
сить лѣвую часть въ тп-ую степень, достаточно возвысить
ее сначала въ п-ую степень, потомъ результатъ въ т-ую
степень:
/ » /т ,-\ Г / » /,Т7=Л «1 т /т ,-\т
(у / V а) ] =(Ѵа) =а.
Отсюда видно, что предполагаемое равенство вѣрно.
Слѣдствіе 1-е. Результатъ нѣсколькихъ послѣдовательныхъ
извлеченій корней не зависитъ отъ порядка дѣйствій; такъ:
п ,------- т ,----------- п --------------- т Л-----
-- / т / ѵпп ,— / п , тп , -- / ѵі > / п / —•
у V а= у а -а у у а ~ у а-, слѣд. у у а =У у а.
Слѣдствіе 2-е. Извлеченіе корня, у котораго показатель
есть число составное, сводится къ послѣдовательному извле-
ченію корней, у которыхъ показатели суть простые множи-
тели этого составного числа. Такъ:
|/а=)/у/а; ]/ а=у/Ѵ]/а^ |/’а==|/
4 /——---------
Примѣръ. Преобразовать выраженіе!/ «V2ж2|/8/4ж3
— 168 —
Подведемъ множителя 2ж2 подъ знакъ квадратнаго ради-
кала, для чего предварительно возвысимъ его въ квадратъ;
тогда получимъ:
Теперь подведемъ множителя х подъ знакъ радикала 6-й
степени; тогда получимъ:
]/|/-ЗжГз=2|/ЗжГз. X
187. Дѣйствія надъ ирраціональными многочленами произво-
дятся по тѣмъ же правиламъ, какія были выведены раньше
для многочленовъ раціональныхъ. Напр.:
пх2—
1
п2
2) Ііц/пх2—2п2х
1
=-----2х
п
188. Приведеніе знаменателя дроби къ раціональному виду.
При вычисленіи дробныхъ выраженій, знаменатели кото-
рыхъ содержатъ радикалы, бываетъ полезно предварительно
преобразовать дробь такъ, чтобы знаменатель ея былъ коли-
чество раціональное. Чтобы указать пользу такого преобра-
зованія, положимъ для примѣра, что намъ нужно вычислить:
[1]
]/ 3 -1/ 2
Мы можемъ производить вычисленія или прямо по этой
формулѣ, или же предварительно сдѣлать ея знаменателя
раціональнымъ, для чего достаточно умножить оба члена
дроби [1] на сумму ]/ 3 -}-}/ 2:
(/ 3—]/ 2Х]/'34-]/2) 3-2 І2]
— 169 —
Очевидно, для вычисленія формула [2] удобнѣе формулы [1]*).
Приведемъ простѣйшіе примѣры освобожденія знаменателя
дроби отъ радикаловъ:
т .—
1) —/=• Умноживъ числителя и знаменателя на і/ а, по-
пу а г ’
лучимъ:
т ____тп]/а
72}/ а па
Когда а есть число цѣлое составное, то полезно разложить
его иа простыхъ множителей съ цѣлью опредѣлить, какихъ
множителей недостаетъ въ немъ для того, чтобы а было
точнымъ квадратомъ. Тогда достаточно умножить оба члена
дроби на квадратный корень изъ произведенія только недо-
стающихъ множителей; такъ, напр.:
т т ти]/2.5 ______________ттг}/10_тга}/10_т}/10
а
2) Умноживъ числителя и знаменателя на а—у Ь,
будемъ имѣть:
т т(а—у/ й) та—ж]/ Ь
3) Подобно^ этому для освобожденія отъ радикала зла-
т
менателя дроби----достаточно умножить оба ея члена
—"У @
на а-\-д/Ъ.
*) Удобнѣе не только потому, что оиа содержитъ 3 дѣйствія, а не 4,
какъ формула [1], но также и потому, что при вычисленіи, которое по
необходимости можетъ быть только приближенное, степень прогрѣишости
результата сравнительно просто опредѣляется по формулѣ [2]. Такъ, вы-
числивъ -|/3 и |/2 съ точностью до 1/юоол т.-ѳ. положивъ |/ 3=1,732... й
у7 2=1,414..., мы получимъ по формулѣ [2] число 3,146..., которое, какъ
легко сообразить, точно до 2/1000 (слѣд., въ этомъ числѣ нельзя ручаться
ва правильность цыфры тысячныхъ).
— 170 —
т
4) Умножимъ числителя и знаменателя на
]/"анй|/&7 ~
т ______ т(У а—]/ 5) __ш]/ а—тУ~Ъ
|/~а4~]/”& (|/Ъ-1-]/&)(]/Ъ—У Ь) а~ь
т ______ т(У~а-^-У Ъ) _____тУ~~а-}~т'УЪ
У~а—У~Ъ (]/а—|/б)(|/’а4-]/'б) а~^
т
5) /ТГ/й УУ^ ^елая спачала освободить знаменателя
отъ радикала У с, примемъ совокупность остальныхъ чле-
новъ за одночленъ-; тогда знаменатель приметъ видъ
(]/ ^-УУ~Ѵ)-УУ с* Умножимъ теперь числителя и знаменателя
дроби на (]/ а~УУ Ъ)-~У с. Тогда въ знаменателѣ получимъ:
(|/ а~і~У &)2—с=(п-}~&—*с)-|-2р/а&. Умноживъ опять числи-
теля и знаменателя на (а-уЪ—с)—*2]/а6, получимъ въ зна-
менателѣ раціональное выраженіе —с)2—4п&.
6) Подобнымъ пріемомъ можно уничтожить въ знамена-
телѣ сколько угодно квадратныхъ радикаловъ. Пусть, напр.,
знаменатель есть: ]/ а^~У аЪу~У ас-УУЬс. Представивъ его
въ видѣ: У а~УУ аУ Ъ~У\/ аУ с~У\/- ъу с, замѣчаемъ,_что
имѣемъ дѣло съ тремя различными радикалами: У а, У Ъ и
У с. Желая освободиться отъ радикала |/ а, вынесемъ его
за скобки изъ всѣхъ членовъ, гдѣ онъ встрѣчается: |/ €х(1-]—
’УУЬ~УУс)-УУЪс. Теперь, очевидно, что для уничтоженія
У а достаточно умножить знаменателя (а слѣд. и числителя)
па ]/а(1-УУ 6у]/с)---УЪс; тогда въ знаменателѣ получимъ:
а(1-У]/ Ъ-Уі/с)*—Ъс=ау-аЪ~\--асУ-2аУ Ь~у2аУ сУ-2аУЪс—Ъс.
Желая теперь освободиться отъ |/ &, представимъ знаме-
нателя въ видѣ двучлена:
У~Ъ (2а-|-2п|/ с)У~{аг-\~аЪ-:уас---Ъс-У^аУ с)
и умножимъ числителя и знаменателя дроби на разность
этихъ членовъ; тогда въ знаменателѣ получимъ:
6(2а4“2п’]/с)2—-{аУ-аЪу~ас--Ъс-\--с1аУ с)^
Раскрывъ скобки и поступая съ |/ с совершенно такъ же,
освободимся и отъ него.
— 171 —
7) Если знаменатель имѣетъ видъ: у/^а+д, или
или |/ Ь, то мы можемъ сдѣлать его раціональнымъ,
основываясь на тождествахъ:
(а-&Ха2+о5-|-&2)—а» - й*
(а-Н)(а2-«7>+*'2)=а;,+*3 (§ 61, ѴШ)
апр,: уЪ-|/б~(уЪ-|/&)[(Уа)2+]/Ъ]/ ЖѴЖ
а—Ь ‘ ' •- /
8) Вообще, когда знаменатель дроби есть биномъ, представляющій сумму
или разность двухъ радикаловъ какой угодно степени, то его можно сдѣ-
лать раціональнымъ, основываясь на тождествѣ (§ 60):
(х—• *-\-уп~~ 1)=Хп—уп
Пусть, напр., знаменатель имѣетъ видъ:
у/а—|/ Ь~х—у, гдѣ ж=|/а, ут=^/ь. Умноживъ числителя и знаменателя
на хп~^ухп~24-^/2жп-3-|-...4-7/п“1, получимъ въ знаменателѣ хп—уп--~а—Ь.
Если знаменатель есть |/ «+|/ б, то, представивъ его въ видѣ:|/а—
—(——У, гдѣ ж=|/а, у~——|/ Ъ, введемъ этотъ случай на преды-
дущій.
Подобнымъ же образомъ поступаемъ, когда знаменатель имѣетъ видъ
гп±|/ Ъ.
а± 1/ Ъ, то можно предварительно
привести эти радикалы къ одинаковымъ показателямъ:
]/ а+у о— уа‘,1± уУ
и потомъ поступать по предыдущему.
„ . М М 4
Примѣръ: ^7=----—7-7==
Ѵа-^Ъ
~ а2—!)* .. Д
М(а]/«2+«]/б’І/ ^^^-&|/^|/&+й2|/7Д-й2|/й):(а2—&3)
Объ общемъ способѣ освобожденія знаменателя отъ радикаловъ см.
ниже, § 215,
— 172 —
Примѣры.
_ 'І __ _ 1 ___ _ 9 _____ __
]/“2—~з|/6 (У 2-з]/6)(2/2--|/б) 4-^]/12-|/12+2
1)__==___=—=------------------—-----------------
2/2+]/с 8-^ 2
=3—1]/12
2) _4/~2 4|/~2(24-у2-]/б) 8]/~2+ 8 - 4]/12
2+/2+/б~ (2+}/2)2-(]/б)2 ~ 44-4^2+2-6'“
^8|/^+8-8Уз^16+81/^-8|/~6^2 !
3) 1-~ст — (1~~а _(1—а)Ѵ/1+Ѵ/а
У1 — уИ, у1 — У~ау 1 +]/Ъ У1—а
=]/1—а]/1+]/ а=|/ (1—а)(1+|/а)
4) 5 г=5(КЗ+2у/3)_5(Уз+2]/3)(]/~3+12)
}|/’3-2уз У~3—12 ' " —141
ОТДѢЛЪ V.
Уравненія степени выше первой.
ГЛАВА I.
Квадратное уравненіе.
189. Общій видъ квадратнаго уравненія. Предположимъ,
что въ данномъ уравненіи мы сдѣлали слѣдующія преобра-
зованія: раскрыли скобки, если онѣ есть, уничтожили зна-
менателей, если въ уравненіи есть дробные члены, пере-
несли всѣ члены въ лѣвую часть уравненія и сдѣлали при-
веденіе подобныхъ членовъ. Если послѣ этого въ лѣвой
части уравненія окажется членъ, содержащій неизвѣстное
въ квадратѣ, и не будетъ членовъ, содержащихъ неизвѣст-
ное въ болѣе высокой степени, то уравненіе наз. квадрат-
нымъ. Общій видъ такого уравненіи есть:
ах^Ъх-}-с=Ъ
гдѣ а, & и с суть данныя положительныя или отрицатель-
ныя числа, или же алгебраическія выраженія, составленныя
изъ данныхъ количествъ; а, Ъ и с называются коэффиціен-
тами квадратнаго уравненія; изъ нихъ с наз. также свобод-
нымъ членомъ.
Замѣтимъ, что коэффиціентъ а мы всегда можемъ сдѣлать
положительнымъ., перемѣнивъ* въ случаѣ надобности передъ
всѣми членами'уравненія знаки на обратные.
п д. і в . х 5(хД-1)
Примѣръ 1. —4-—
е X о 1
тэ 6 . х 5х-1-5
Раскрываемъ скобки: —
Уничтожаемъ знаменат. 72-}-2ж2=15а,2-}-15ж
Переносимъ всѣ члены въ лѣвую часть:
724-2ж2—15ж2~15ж=0
— 174 —
Дѣлаемъ приведеніе: —1 Зж2—15ж-|-72=0
Перемѣняемъ знаки: 13ж2-]-15ж—72=0
Коэффиціенты Ъ и с общаго вида квадратнаго уравне-
нія приняли въ этомъ примѣрѣ такія частныя значенія:
а=13, 6=15 и с=—72.
/у» 4
Примѣръ 2. —г - —/=-----=0;
_ 0-6 2у а—х
х(2 |/ а—х)—(а—д)=0; 2хуга~х2—(а—Ъ)=О
х2— 2х)/~а-І-(а—д)=0.
Коэффиціенты общаго вида квадратнаго уравненія здѣсь при-
няли такія частныя значенія: а=1, &=—2|/ а, с=а—Ъ*).
» 190. Болѣе простой видъ квадратнаго уравненія. Урав-
ненію а®2-|-^«4-с=0 часто придаютъ болѣе простой видъ,
раздѣливъ всѣ его члены на коэффиціентъ при а?2. Обозна-
Ъ с
чивъ для краткости — черезъ р, а — черезъ получимъ:
(Ь О/)
? х2-^рх^-д=0.
Такъ, уравненіе Зх2-15жЦ-2=0, по раздѣленіи всѣхъ
его членовъ на 3, приметъ видъ: х2—5я-|-2/3=0. Здѣсь
2*=-б,
191. Рѣшеніе неполнаго квадратнаго уравненія. Квадратное
уравненіе наз. неполнымъ^ когда въ немъ нѣтъ ддона, со-
держащаго х^ или"*иѣтъГсвободнаго члена. Неполныя квад-
ратныя уравненія могутъ быть только трехъ слѣдующихъ
видовъ:
1) аж2-)-с=0 2) ах^Ъх=& и 3) аж2=0. у
Разсмотримъ рѣшеніе каждаго изъ нихъ.
I. Изъ уравненія аж2-]-с=0 находимъ:
9 9 с
шг2=—с и ж2=-------
а
*) Такъ какъ въ этомъ примѣрѣ намъ пришлось отбросить общаго зна-
менателя (а—6) (2у/а—ж), содержащаго неизвѣстное, то надо рѣшить во-
просъ, не ввели ли мы этимъ посторонняго рѣшенія, обращающаго въ нуль
отброшеннаго знаменателя (см. § 93 и 94). Такимъ рѣшеніемъ можетъ быть
только ж=2р/ а (если а не равно Ъ). Подставивъ это количество на мѣсто ж
въ получившееся квадр. уравненіе, находимъ, что оно ему не удовлетворяетъ;
слѣд., отбрасываніе знаменателя не ввело посторонняго рѣшенія.
— 175 —
Это равенство требуетъ, чтобы квадратъ неизвѣстнаго
равнялся количеству—значитъ, неизвѣстное должно рав-
няться квадратному корню изъ этого количества. Это воз-
можно только тогда, когда выраженіе—7«Даетъ положительное
число, что будетъ тогда, когда буквы с и а означаютъ числа
съ противоположными знаками (если, напр., с=—8,а=4~2,
__д __
то----— —----= Ч~4). Условимся обозначать знакомъ 1/
а -|~2 г
только ариѳметическое значеніе квадратнаго корня и примемъ
во вниманіе, что квадратный корень изъ положительнаго
числа имѣетъ два значенія (§ 145, 2); тогда можемъ написать:
с
х =
Обозначая одно значеніе черезъ х^ а другое черезъ х^
можемъ то же самое подробнѣе выразить такъ:
Хі~~У ^2—(/ “
Если же буквы спа означаютъ числа съ одинаковыми
знаками, то выраженіе—СІ<. представляетъ собою отрицатель-
ное число; тогда уравненіе ах2~]~с~~0 не можетъ быть удо-
влетворено никакимъ вещественнымъ числомъ; въ этомъ
случаѣ говорятъ, что уравненіе имѣетъ два мнимыхъ корня.
Примѣръ 1. Рѣшить уравненіе Зж2—27—~0.
Зж2—27; ж2=9; ж—9=±3 (подробнѣе: жх=3,
ж2——3).
Примѣръ 2. Рѣшить уравненіе ж2-]-25=0.
ж2=—25; ж——25; корни мнимые.
П. Чтобы рѣшить уравненіе аж^6ж=0, представимъ его
такъ: х (аж-{-6)—0. Произведеніе можетъ равняться нулю
только тогда, когда кажой-нибудь изъ сомножителей равенъ
нулю; слѣд., разсматриваемое уравненіе удовлетворяется,
если положимъ, что х—0 или аж-|-&=(). Второе равенство
даетъ: х=^--ь!а. Итакъ, уравненіе ах*-\-Ъх=& имѣетъ два
корня ж^О и Хъ=—~ьІа.
Примѣръ. 2ж2—7ж=0, ж(2ж—7)=0; ж^О; ж2=7/2.
III. Наконецъ, квадратное уравненіе аж^-0 имѣетъ, оче-
видно, только одно рѣшеніе: ж—0.
— 176 —
2
192. Рѣшеніе уравненія вида х24 рх | ч~0- Перенеся сво-
бодный членъ въ правую часть, получимъ: — д.
Двучленъ х^А-рх можно разсматривать, какъ «2-]-2. р/2 х,
т.-е. какъ сумму квадрата х съ удвоеннымъ произведеніемъ
х на ^/2. Отсюда заключаемъ, что если къ этому двучлену
придадимъ количество (*/2)2, то получимъ трехчленъ, пред-
ставляющій собою квадратъ суммы а>-р’/2. Замѣтивъ это,
приложимъ къ обѣимъ частямъ уравненія по (-^Д)2:
іс24-рж+^ =— >или ~ (т)
п IV \ 2
Если же квадратъ числа равенъ ~ —д, то это зна-
читъ, что первое есть корень квадратный изъ второго. Обо-
значая попрежнему знакомъ |/ только ариѳметическое
значеніе квадратнаго корня, получимъ:
- х+р=± Еус;
р
2
2
и слѣд.:
'Или подробнѣе:
2
-д =
хл —
2
-3.
Замѣтимъ, что количество-—— представляетъ половину ко-
эффиціента при неизвѣстномъ въ первой /степени, взятаго
съ обратнымъ знакомъ; поэтому выведенную для неизвѣст-
наго формулу мы можемъ высказать такъ:
Неизвѣстное квадратнаго уравненія, у котораго коэффи-
ціентъ при х2 есть 1, равно половинѣ коэффиціента при
неизвѣстномъ въ 1-й степени съ обратнымъ знакомъ, плюсъ,
минусъ корень квадратный изъ квадрата этой половины безъ
свободнаго члена.
Замѣчаніе. Если р есть число отрицательное, то количе-
к Р *
ство —~ должно быть числомъ положительнымъ; точно такъ
же если д число отрицательное, то количество—д число по-
ложительное.
— 177 —
Примѣры: 1) ®2—7ж-}-10=0; здѣсь р~ — 7, д=-}-10;
7 * //7Ѵ 1П 7 /^ 7 3
поэтому: ~10=2 "И 4^2 ~ 2
Слѣд.: ®1=-|-{-|- = 5, ж2=у—1- = 2
Повѣрка: 52-/.5-|-10=0; 22—7.2-|-10=0.
2) ®2—х—6=0; здѣсь р— —і, д= —6, поэтому:
1 _./1 і «_1 і/25_О
Ж-~2-|/ 1+6-2_|/ 4 2~2
1 , 5
2^2
х — 1. 2. — 9
2“ 2 2 ~ ~
Повѣрка: З2—3—6=0; (—2)2—(—2)™6=0
3) ж2—2а?-]-о=0; —4. Корни мнимые.
4) а2—18я-Ц-81=0; %=9~~і/ '81—81=9. Уравненіе имѣетъ
только одинъ корень.
Другой пріемъ рѣшенія. Лѣвую часть уравненія а?2-р2?,9?-1-0'“О можно
разложить на множителей первой степени относительно ш слѣдующимъ ч
образомъ:
Данное уравненіе требуетъ, чтобы это произведеніе равнялось нулю; для
этого необходимо, чтобы какой-нибудь сомножитель равнялся нулю; слѣд.,
мы должны положить, что
ЕЛИ аз+у — д==0, или ж+|-+|//^- — 7~°- .
Такимъ образомъ рѣшеніе квадратнаго уравненія приводится къ рѣше-
нію двухъ уравненій первой степени. Изъ нихъ находимъ:
- у+|/т~? и |/т
Это и есть тѣ два корня, которые мы выше нашли инымъ путемъ.
Изъ этого пріема рѣшенія можно вывести два слѣдствія:
1. Квадратное уравненіе не можетъ имѣть долѣе двухъ корней,
потому что оно приводится къ двухъ уравненіямъ первой степени, а уравне-
ніе первой степени не можетъ имѣть болѣе одного корня.
А Киселевъ. Алгебра.
12
- 178 —
2. Трехчленъ х24-рх4-д разлагается на два множителя первой сте-
пени относительно х. Эти множители могутъ быть представлены такъ:
2-й множитель: |/ А — =Я—0?
если черезъ а и р обозначимъ корпи уравненія ж24-рж4~#==0. /
193. Когда корни бываютъ вещественные и когда мнимые.
Разсматривая выведенныя нами формулы:
замѣчаемъ, что:
1) Если количество # есть число положительное, то
оба корня вещественны и различны; •
......" гі*
2) если количество — ц есть число отрицательное, то
оба корпя—мнимые (другими словами, уравненіе не имѣетъ
корней);
3) если количество — нравно пулю, той —дг—0;
X V ѵ
въ этомъ случаѣ ~ , т.-ѳ. уравненіе имѣетъ одно
.. —„А 2?
рѣшеніе.
194. Рѣшеніе уравненія вида ах^Ьх-^-С—0. Раздѣливъ всѣ
члены этого уравненія на а, получимъ:
«2-4- — х 4-- — 0.
' а ' а
Примѣнимъ къ этому виду/ уравненія формулу, выведен-
ную раньше для уравненія х^рх-^-ц—0, и- упростимъ ее:
__ Ь ./№ с________ Ъ ./№ — 406____
Х 2а4п2 а 2а~~у ’ 4а2
—. _ А н- уА —4ос _—ь ± уъ-—4ас
' 2а~ 2а 2а ’
— 179 —
т.-ѳ. неизвѣстное квадратнаго уравненія равно дроби, у ко-
торой числитель есть коэффиціентъ при неизвѣстномъ въ
1-й степени съ обратнымъ знакомъ, плюсъ, минусъ корень
квадратный изъ квадрата того же коэффиціента безъ учет-
вереннаго произведенія коэффиціента при неизвѣстномъ во
2-й степени на свободный членъ, а знаменатель есть удвоен-
ный коэффиціентъ при неизвѣстномъ во 2-й степени.
__& -н ~і/ ір_4ас
Замѣчанія. 1) Формула: х—-------------- представляетъ
&а
собою самое общее рѣшеніе квадратнаго уравненія, потому
что изъ нея можно получить какъ рѣшеніе упрощеннаго
уравненія хф~рх~фд=О (полагая а—1), такъ и рѣшеніе не-
полныхъ квадратныхъ уравненій (полагая 6=0 или с=0).
2) Общая формула упрощается, когда коэффиціентъ Ь есть
четное число. Пусть, напр., Ь=2к, т.-е. уравненіе имѣетъ
видъ:
аа;^-|-27га;-|-с=О.
Примѣняя общую формулу, получимъ:
_ — 2й^/4А”2—4ас Чк±/4(7с2-ас)
Х Ча Ча
__—Чк^Чу/^—ас_____—к ± /к2— ас
2а а
Примѣры:
1) Зж2—7ж-]-4=0; здѣсь а=3, Ъ— — 7, с=4.
7)± /(_7)2-4.3.4_7±/49=48_7± /"1
Х~ 2.3 ~ 6 ~ 6
8 4
жі= (5=3 ; Ж2=1.
2) ба;2—8а;—2=0; здѣсь а=б? Ъ= — 8= — 2.4, с= —2.
Примѣняя сокращенную формулу, выведенную для Ъ чет-
наго, получаемъ:
_ 4± /16-{-1д_4± /26
а~ 5 “ 5
9 по _1 00
/26=5,09 (до у100); ^=-/— = 1,818; ж2=—== - 0,218
7 о о
12
— 180 —
3) 2ж2—За?-|-10=0; здѣсь а=2, Ъ~— 3; с=10.
3+/^7і 3-)/—1
’ ? ^2-
Оба корпя оказываются мнимыми.
4) Рѣшимъ еще слѣдующее уравненіе съ буквенными
коэффиціентами:
(а2~-й2)^2-2(2а2™&2)ж+4а2—Ъ*=0
2а2-й2±|/(2а2-й2)2—(а2-й2)(4а2—й2)
а-—Ь-
Подкор.вѳличина=4«4—4а2йя-|-йі—4а4Д-4а2й8-|-а2й3—й*==а2й2
_2а2~й*Ъай.__________2а2—Ъ2—аЪ
Хі~~ а--№ а2—Ъ2
О2_^2 і а2_і_а^ (аЛ-Ъ^а—Ь^-Ѵ-аіа^Ь} 2а—Ь
Ж‘ а2—й2 (а-|-й)(а—Ъ) а—Ь
_ а3—Ъ'ра1— аЪ_____(а~\-Ъ)(а—й)Ц-а(я—й)__2а-\-Ь
Ж<2~“ а2—й2 ~~ (аЦ-й)(а—й) а-|4>
! 195. Теорема. І&адратное уравненіе не можетъ имѣть болѣе двухъ
корней; въ противномъ случаѣ всѣ его коэффиціенты равны нулю.
Док. Положимъ, что уравнейіѳ ах2ДЪхДс===.О имѣетъ три ко^ня: а, р и у.
Въ такомъ случаѣ мы должны имѣть 3 тождества:
аа3-р(За -і-с—0; а^р-др-с=О-, арР&р-с~=0.
Вычитая изъ перваго равенства второе, затѣмъ третье, получимъ:
а(а2—р2)-—&(а—р)=0 / [а(а-ф-р)-4-й](а—
а(а2—у2)-|-&(а—у)=0 или |[а(а-|-у)Х&](а—у)=0
Такъ какъ а—и а—у не равны нулю (ибо а, по предположенію, не
равно ни р, ни у), то изъ послѣднихъ равенствъ выводимъ:
а{а-]-(3)-|--6=О и й(а-4-у)+&~“0.
Откуда вычитаніемъ получимъ: а($—ѵ)=0.
Такъ какъ р—7 не равно 0, то послѣднее равенство даетъ: а~0.
Вставивъ это значеніе а въ предшествующія равенства, находимъ
наконецъ, изъ даннаго уравненія, положивъ въ немъ а==Ь~0,
имѣемъ с=0.
Итакъ, если а, Ъ и с одновременно не равны 0, то квадратное уравне-
ніе не можетъ имѣть болѣе двухъ корней; если же а=^=сг=0, то уравне-
ніе, очевидно, имѣетъ безчисленное множество корней.
— 181 —
Слѣдствіе. Если трехчленъ аж24-дя?-(~с обращается въ 0 болѣе, чѣмъ
при двухъ значеніяхъ х, то онъ равенъ 0 при всякомъ значеніи х, потому
что всѣ его коэффиціенты равны нулю./
196. Число корней квадратнаго уравненія. Разсматривая
рѣшеніе квадратныхъ уравненій, видимъ, что эти уравненія
иногда имѣютъ "два корня, иногда одинъ, иногда ни одного.
Однако согласились приписывать квадратнымъ уравненіямъ
во всѣхъ случаяхъ два корня, разумѣя при этомъ, что корни
могутъ быть иногда равными, иногда мнимыми. Причина
такого соглашенія состоитъ въ томъ, что формулы, выра-
жающія мнимые корни уравненія, обладаютъ тѣми же свой-
ствами, какія припадлезкатъ вещественнымъ корнямъ, стоитъ
только, совершая дѣйствія надъ мнимыми количествами,
руководиться правилами, выведенными для вещественныхъ
количествъ, принимая притомъ, что(]/—а)2=—а. Точно такъ
же, когда уравненіе имѣетъ одинъ корень, мы можемъ,
разсматривая этотъ корень, какъ два одинаковыхъ, приписать
имъ тѣ же свойства, какія принадлежатъ разнымъ корнямъ
уравненія. Простѣйшія изъ этихъ свойствъ выражаются въ
слѣдующей теоремѣ:
197. Теорема. Сумма, корней квадратнаго уравненія, у ко-
тораго коэффиціентъ при неизвѣстномъ во 2-й степени есть
1, равна коэффиціенту при неизвѣстномъ въ первой степени,
взятому съ обратнымъ знакомъ; произведеніе корней этого
уравненія равно свободному члену.
Док. Обозначивъ черезъ а и /3 корни уравненія х2-\-рх-\-^—0,
будемъ имѣть (каковы бы пи были эти корни):
Это произведеніе можно найти сокращеннымъ путемъ
основываясь на равенствѣ: (о-|-6)(а—Ь)=а2— 62:
— 182 —
Если а и р будутъ корни уравненія аж^4-5л:4-с=О, или,
что то же, уравненія ж24-'~ +~ —то будемъ имѣть:
, п Ъ л с
а-4-р=-----; ар = - •
1 г а? г а
Обратная теорема. Если количества а, р, р и 7 таковы, что оД-р——р
и аф=дь то а и р суть корни уравненія ж2-|^рж+т=О.
Док. Требуется доказать, что каждое изъ количествъ а,и ? удовлетво-
ряетъ уравненію Изъ равенства а~|-^—р имѣемъ: —р—?,
послѣ чего равенство а$=д даетъ:
—рр—р^~д или: р2-]^р^ц=().
Значитъ, р есть корень ур. ж2-|-рж4-^=0; подобнымъ же образомъ убѣ-
димся, что и а есть корень того же уравненія.
Слѣдствіе 1-ѳ. По даннымъ корнямъ можно составить
квадратное уравненіе. Пусть требуется составить уравненіе,
котораго корни были бы 2 и—3. Положивъ, что 2~|-(—3)=
~—р и 2. (—3)г=^, находимъ: р=.1, — 6. Значитъ, ис-
комое уравненіе будетъ:
Х^-^-Х—б^згО.
Подобно этому найдемъ, что —2 и —2 будутъ корнями
уравненія ж2-|-4ж-|-4—О, 3 и 0 будутъ корни уравненія
ж2—За?=О, и т. п.
Слѣдствіе 2-е. Не рѣшая квадратнаго уравненія, можно
опредѣлить знаки, его корней, если эти корни веществен-
ные. Пусть, напр., имѣемъ уравненіе я;2-|-8а?+10“0. Такъ
ѵ у ' . /т?Ѵ
какъ въ этомъ примѣрѣ выраженіе —§ даетъ положи-
тельное число, то оба корня должны быть вещественные.
Опредѣлимъ, нѳ рѣшая уравненія, знаки этихъ корней. Для
этого разсуждаемъ такъ: обращая вниманіе сначала на сво-
бодный членъ (-Д-10), видимъ, что онъ имѣетъ знакъ зна-
читъ, произведеніе корней должно быть положительное, т.-ѳ.
оба корня имѣютъ одинаковые знаки. Чтобы опредѣлить,
какіе именно, обратимъ вниманіе на коэффиціентъ при х,
(т.-е. на-|-8); онъ имѣетъ знакъ-}-; слѣд., сумма коэффиціеи-
183 —
товъ отрицательна', поэтому одинаковые знаки у корней
должны быть минусы.
Подобными разсужденіями не затруднимся опредѣлить зна-
ки у корней и во всякомъ другомъ случаѣ. Такъ, уравненіе
х^-^-Вх—10=0 имѣетъ корни съ разными знаками (потому
что ихъ произведеніе отрицательно), причемъ отрицательный
корень имѣетъ большую абсолютную величину (потому что
ихъ сумма отрицательна); уравненіе ж2і-8ж—10=0 имѣетъ
тоже корни съ разными знаками, но большая абсолютная
величина принадлежитъ положительному корню.
198. Разложеніе трехчлена второй степени на множителей
первой степени. Выраженіе ахч-~\-Ьх~х-с, гдѣ х означаетъ про-
извольное число, а а, Ь и с какія-нибудь данныя числа, наз.
трехчленомъ 2-й степени. Значенія х, обращающія трех-
членъ въ 0, наз. его корнями-, эти корпи суть корни уравне-
нія ахі-\-дх-{-с=(і, или ж2-]-6/аа:-р/а=0 *). Зная эти корпи,
мы можемъ разложить трехчленъ на множителей 1-ой сте-
пени относительно х. Дѣйствительно, пусть эти корни бу-
дутъ а и р. По свойству корней имѣемъ:
афз= — ~ и ар = ^; откуда: ~= — (а+р) и^=а&
поэтому:
Ъ с
х2 “Ь а Х + а
~х(х—а)—$(х—а)=(ж—а)(х—р).
Умноживъ обѣ части равенства на а, получимъ:
ах 2-^йххгс-—а(х — а)( х—р).
Такимъ образомъ, трехчленъ ліс2-|-^-4"с разлагается на
три множителя, изъ которыхъ первый равенъ коэффиціенту
при ж2, второй есть разность между х и однимъ корнемъ
трехчлена, а третій—разность между х и другимъ его кор-
немъ.
*) Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что не должно смѣшивать трехчлена
а&Ч-ЪсС'і-с съ лѣвою частью уравненія О, такъ какъ въ трех-
членѣ буква х означаетъ какое угодно число, тогда какъ въ уравненіи
она означаетъ только тѣ числа, которыя удовлетворяютъ уравненію.
- 184 —
Трехчленъ х^-^рх-У-д, у котораго коэффиціентъ при а?* есть 1,
разлагается на 2 множителя первой степени относительно х:
х*-]-рх-\-д—(х-- а)(ж—р)
Слѣдствіе: по даннымъ корнямъ можно составить ква-
дратное уравненіе; напр., уравненіе, имѣющее корни 4 и 5,
есть (х—5) (ж—4)=0; раскрывъ Скобки и сдѣлавъ приведе-
ніе подобныхъ членовъ, получимъ хг—9ж-}-20=0. Уравненіе,
имѣющее корпи —2 и—1, есть: [х—(—2)][іс—(—1)]==0, т.-е.
(ж-у-2) (Ж-ф-'1)=:0 ИЛИ ®2-|-3®-|-2=:0.
Примѣръ 1. Разложить 2ж2—2,с—12.
Такъ какъ корни трехчлена суть 3 и —2, то:
2®2— 2х~12—2(х—3)[ж—(—2)]=2(ж—3)(ж-|~2).
Примѣръ 2. Разложить Зж’-рг+і.
Такъ какъ корни трехчлена суть
. -1-]/=11 та;
6 6
Зх^х-^-І—ЗІ х— Д) ( х _
/бж-Н-/=іі\ /6ж4-і+|ЛлТ\
~6 Д 6 ) ч
= ~ (6ж+1 (бж+1+-|/=11).
Примѣръ 3. Разложить ваЬх*—(Зі3-|_2аг)ж-ра262.
Найдя корни этого трехчлена, получимъ:
й2 а2
Ж11“ЗЙ
/ />2\ / д2\
Поэтому: ба&ж2—(3634-2а3)ж-|-а2&2=6а5 (х—^~ ) ( х— ) —
„ , /2а® — й2\ /ЗЪх—а2\
^бйй (^-2^—] (^—зу-^=(2^-й2ХЗЙ®-а2).
Примѣръ 4. Разложить (а2—1)(й2-|-1)-~2&(а2—}-1).
Замѣтивъ/ что дашюѳ выраженіе есть трехчленъ 2-п
степени относительно буквы представимъ его въ такомъ
видѣ: -
(а2- 1)д2- 2(а4Л)&+(а2~1)
— 185 —
Корни этого трехчлена будутъ (§ 194, зам. 2):
__а4-1'4-|/(а2+1)2--(«'2-1)2_а2+1+2а_а4-1
1 а-—1 а2—1 а—1
__а24-1— ]/(аЧ-1Т— («2~1)2_а2+1—2а_а—1
11 а2—! а2—і а—(-1
Слѣдов., данный трехчленъ представится такъ:
О2-!)^ - ?±А ^_е=1Ѵ[6(а_і)_(а+і)][б(а+і)_(а_і)]
\ а—1 / \ а-1-1 /
=(аЬ~Ь—а—1)(а&-|-6—а-Ц-І).
Примѣръ 5. Найти истинное значеніе дроби:
2а2—2а—12
> За'Ч- а 10
при а~—2.
Подставивъ на мѣсто а число—2, находимъ, что дробь
принимаетъ неопредѣленный видъ %• Чтобы раскрыть истин-
ный смыслъ этого выраженія, разложимъ числителя и зна-
менателя па множителей и затѣмъ, если можно, сократимъ
дробь. Такъ какъ корни числителя суть 3 и —2, а корни
знаменателя ’/» и —2> то дробь представится такъ:
2(а—3) (а+2)_2а-б
3(а-5/3)(а+2)“За—5’
что при а——2 даетъ число 10/п.
Г Л А В А II.
Нѣкоторые частные случаи квадратныхъ
уравненій.
199. Случай, когда коэффиціентъ а очень малъ. Вычисленіе корней ур.
по общей форхмулѣ, выведенной выше, затруднительно въ
томъ случаѣ, когда коэффиціентъ а очень малое число сравнительно съ
Ь м с. Въ самомъ дѣлѣ, вычисляя корни по формулѣ:
__—&±]/і2—4ас
2а
мы въ большинствѣ случаевъ должны довольствоваться приближенной вѳ*
личиной |/62—4ас, а слѣд., и всего числителя. Раздѣливъ эту приближен-
— 186 —
ную величину на 2а, мы тѣмъ самымъ раздѣлимъ на 2а и погрѣшность,
съ которой вычисленъ числитель формулы. Но такъ какъ, по предположе-
нію, 2а очень малая дробь, а дѣленіе на малую дробь равносильно умно-
женію на большое число, то погрѣшность значительно возрастаетъ, вслѣд-
ствіе чего окончательный результатъ будетъ далекъ отъ истиннаго. Если
напр., 2о=0,00001, и мы вычислили |/б2—4ас до четвертаго десятичнаго
знака, то предѣлъ погрѣшности въ окончательномъ результатѣ будетъ
0,0001 : 0,00001-10.
Для вычисленія корней уравненія въ этомъ случаѣ употребляется болѣе
удобный способъ такъ называемаго послѣдовательнаго приближенія.
Замѣтимъ, что при очень малой величинѣ а одинъ изъ корней уравне-
нія немного отличается отъ—с/$, а другой—весьма большое число (но абсо-
лютной своей величинѣ). Дѣйствительно, уравненіе аа?а4-Ьа;-|-с=:0 равно-
сильно такому уравненію:
ах^-Ъх^-с_____„
х* ~
ктоующ можно придать видъ.
1 Л । с\
— &+— = —а.
х\ х)
Такъ какъ—а близко къ нулю, то послѣднее уравненіе можетъ быть
удовлетворено такими значеніями ш, при которыхъ одинъ изъ сомножите-
лей- лѣвой части уравненія окажется очень малымъ числомъ, а другой—
не очень большимъ; это будетъ имѣть мѣсто или тогда, когда придадимъ
х весьма большое абсолютное значеніе, или же тогда, когда х будетъ бли-
зокъ къ—еІ&.
Покажемъ, какъ вычислить тотъ изъ корней, который мало отличается
отъ—с/л (другой корень найдемъ, вычитая первый изъ—ь/а).
Изъ уравненія выводимъ:
с ахі
х==—т-------Г-.
Ъ Ь
[1]
Такъ какъ а очень малое число, а х и & не очень велики и не очень
малы, то абсолютная величина дроби ах2!ь очень мала. Пренебрегая этимъ
членомъ, получимъ для х первое приближеніе*.
С
Х~ Ъ'
Вставивъ это значеніе въ правую часть ур. [1], получимъ второе при-
ближеніе, болѣе точное, чѣмъ первое:
с ас*
х—-—Г------
ъ Ъ*
Вставивъ эту величину въ первую часть ур. [1], получимъ третье при»
ближеніе, еще болѣе точное. Подобнымъ же путемъ можемъ получить
если нужно, четвертое и слѣдующія приближенія.
— 187 —
Примѣры: 1) Рѣшить уравненіе О,00Цх3-І~5х—2=0.
О () ()03 г2
— ~^±2±=0 л_о/)ОО6Л
5 5
Перво© приближеніе—0,4. Это число болѣе истиннаго значенія х, пото-
му что намъ пришлось отброситъ отрицательный членъ—0,0006а?2.
Второе приближепіѳ=О,4—0,0006(0,4)2==0,399904. Это число менѣе истин-
наго значенія ж, потому что для полученія его мы подставили вмѣсто х2
число, большее я?2, отчего вычитаемое увеличилось, а разность умень-
шилась.
Третье приближеніе оказалось бы больше истиннаго значенія я?, четвер-
тое меньше и т. д.
Такъ какъ 0,4>ж>0 399904, то, взявъ вмѣсто х одно изъ этихъ прибли-
женій, сдѣлаемъ ошибку менѣе 0,4—О,3999о4, т.-ѳ. менѣе 0,0001. Другой
-—5
корень получится вычитаніемъ найденнаго корня изъ —1666,(6).
Если для перваго корня возьмемъ число 0,4, то другой——1667,0(6).
2) Рѣгаить уравненіе 0^007х2—ж-|-а=0.
іГ=24-0?007ж2.?
Первое приближѳніѳ=2 (съ недостаткомъ)
Второе приближеніе—2--]-0,007 (2)2=2,028 (съ нѳдост.)
Третье приближеніе—2,028789-188 (съ нѳдост.)
Сравнивая второе приближеніе съ третьимъ, видимъ, что у нихъ пер-
вые три десятичные знака одинаковы; отсюда заключаемъ, что, положивъ
я?—2,028, сдѣлаемъ ошибку менѣе 0,001.
200. Случай, когда с очень малое число. Способъ послѣдовательнаго
приближенія примѣнимъ и тогда, когда свободный членъ уравненія очень
малое число сравнительно съ а и Ь. Въ этомъ случаѣ одинъ изъ корней
близокъ къ—ь/а, а другой—весьма малое количество. Въ этомъ нетрудно
убѣдиться, если уравненію придать такой видъ:
х(ах~\-Ъ)——с.
Такъ какъ, по предположенію, абсолютная величина—с очепъ мала, то
уравненіе, очевидно, удовлетворится при х, или очень близкомъ къ 0, или
мало отличающемся отъ—ьІа.
Чтобы найти корень, имѣющій очень малую величину, представимъ
уравненіе снова въ видѣ:
с ах*
Х—Ъ~~Ъ [1]
Такъ какъ а и Ъ суть числа не очень большія и не очень малыя, а
абсолютная величина х2 очень мала, то для перваго приближенія можно
пренебречь членомъ ах2І&; тогда получимъ:
- 188 —
Вставивъ это значеніе на мѣсто х въ правую часть уравненія [1], по-
лучимъ второе приближеніе; подобнымъ же образомъ найдемъ, если нужно,
и слѣдующія приближенія.
Примѣръ. Рѣшить уравненіе —0,003—0.
х—0,003—2я2
Первое приближеніе—0,003 (съ избыткомъ).
Второе приближѳніѳ=0,003—2(0,003)2=0,002982 (съ нодост.)
Третье приближеніѳ=0,002982215352 (съ изб.)
Положивъ ®=0,002982, сдѣлаемъ ошибку менѣе 1 милліонной. Другой
корень уравненія^—0,5—0,002982=—0,502982.
ГЛАВА III.
Изслѣдованіе квадратнаго уравненія.
201. Когда корни бываютъ вещественные, неравные и рав-
ные, и когда они бываютъ мнимые. Значеніе этихъ корней.
Мы видѣли, что корни уравненія ах~^Ъх-\-&==$ выражаются
формулами:
—64-1/ 62—4ас —6—1/ 62—4ас
х =----ьх-------и жп=----------------
1 2а 11 2а
Такъ какъ въ этихъ формулахъ число а можно всегда
предполагать положительнымъ (§ 189), то:
если с число отрицательное, то оба корня вещественные,
потому что при этомъ условіи выраженіе 62—4ас даетъ по-
ложительное число;
если с чгісло положительное, то корни могутъ быть или
оба вещественные (когда &^Лас), или оба мнимые (когда
№<^4:ас). Въ послѣднемъ случаѣ задача, изъ условій которой
выведено уравненіе, должна быть признана невозможною.
Вещественные корни могутъ быть неравные и равные (по-
слѣднее, когда 62—4ас=0), оба положительные, оба отрица-
тельные, или одинъ положительный, а другой отрицатель-
ный. О значеніи этихъ рѣшеній здѣсь можетъ быть сказано
то же самое, что говорилось при изслѣдованіи уравненія
1-й степени.
— 189 —
202. Значеніе общихъ формулъ корней квадратнаго уравне-
нія при а=0. При выводѣ общей формулы для корней урав-
ненія а#24~^4“с=0> МЬІ приводили его въ виду ,
для чего намъ нужно было раздѣлить всѣ члены уравненія
па а (§ 194). Но дѣленіе на а возможно лишь въ томъ слу-
чаѣ, когда а не равно 0. Слѣд., формулы:
—&2—4ас —5—]/ &2-4ас
2а ‘"11 2а
выведены въ предположеніи, что а не равно 0, и потому
нельзя заранѣе требовать, чтобы онѣ давали вѣрные ре-
зультаты при а=0. Однако посмотримъ, во что онѣ обра-
тятся при этомъ предположеніи. Подставивъ въ нихъ на
мѣсто а нуль, получимъ:
_-5+]/У2 __-5-]/У2
Ж1— 0- Х11— о~
Такъ какъ знакомъ ]/~~ мы условились обозначать только
ариѳметическое значеніе корпя, то равенъ Ъ въ томъ
случаѣ, когда Ъ есть число положительное; если же Ъ чи-
сло отрицательное, то |/й2:=—напр., если Ъ——5, то
]/(—5)2—у/25=5——(-—5). Поэтому:
При Ъ положительномъ
При Ъ отрицательномъ <
.„„й+б О
Ж1_ - 0
25
®ц— о — О
—Ъ~Ь -25
жі—' о — О
х о
0 О
Значитъ, при а=0 одинъ изъ корней обращается въ '
а другой, въ ОО.
Выраженіе % можетъ иногда означать, какъ мы видѣли,
кажухцуюся неопредѣленность, вслѣдствіе присутствія въ
числителѣ и знаменателѣ нѣкотораго множителя, обращаю-
щагося въ 0. Въ разсматриваемомъ случаѣ такой множи-
— 190 —
тель, дѣйствительно, существуетъ. Чтобы сдѣлать его яв-
нымъ, уничтожимъ ирраціональность въ числителѣ того
выраженія, изъ котораго получилось неопредѣленное выра-
женіе. Положимъ, что выраженіе % получилось для хі (при
Ъ положительномъ); тогда умножимъ числителя и знамена-
теля дроби, дающей величину для х1, на количество
1/ б2—4ас:
—4ас)(—Ъ—]/ Ь'1—4ас)_ б2—(52—4ас)
2а(—Ь—]/ді—4ас) 2а(—Ъ—]/б2—4ас)
__ 4ас
2а(—Ъ—у/ІР—іасУ
Сокративъ полученную дробь наі 2а, будемъ имѣть:
____________________ 2с
1 — Ъ—]/Э^4ас’
Положивъ теперь а=0, получимъ:
Если неопредѣленное выраженіе получается для жп (при
Ь отрицательномъ), то числителя и знаменателя дроби для
«11 придется умножить на —й-|-]/ тогда, снова со-
кративъ на 2а, получимъ:
2с
Л* ______________
“ -НУ’2-4^’
_ 2с 2с 2с с
что при а=0 даетъ: »,,=--------7==------=------~-----•
г 11 -ъ-ъ -2Ъ ъ
Итакъ, при а=0 общая формула даетъ два значенія:
с
х, или х.< ——-г-, щ. или Щ—со.
1 11 А х 11 1
Первое изъ этихъ значеній есть то самое, какое мы по-
лучаемъ прямо изъ уравненія ах^-ЪхА~с=$, сдѣлавъ въ
немъ а=0, т.-е. изъ уравненія Ъх-[-с—0. Второе значеніе
х должно понимать такъ: если въ уравненіи ах2-]-Ъх-|-с=0
коэффиціентъ а уменьшается, приближаясь какъ угодно
близко къ 0, то абсолютная величина одного изъ корней
безпредѣльно увеличивается.
191 —
203. Задача о двухъ источникахъ свѣта. Чтобы на при-
мѣрѣ указать значеніе различныхъ случаевъ, какіе могутъ
представиться при рѣшеніи квадратнаго уравненія, изслѣ-
дуемъ слѣдующую задачу о двухъ источникахъ свѣта:
На прямой МХ въ точкахъ А. и В находятся два источ-
ника свѣта. На разстояніи одного метра сила свѣта пер-
ваго источника равна а свѣчамъ, а второго равна о свѣчамъ.
Разстояніе между А и В равно (1 метр. Найти на прямой
\ і X такую точку, въ которой освѣщеніе отъ обоихъ источ-
никовъ бѣло бы одинаковое.
Искомая точка можетъ находиться: или между Л и В, или
налѣво отъ А, или же направо отъ В. Сдѣлаемъ предполо-
женіе, что опа лежитъ между А и В; напр., пусть это бу-
детъ точка С, отстоящая отъ А на х футовъ.
М Сі А,-----------------С._-------..В Г. я
—---.....................
Изъ физики извѣстно, что степень освѣщенія, при одина-
ковыхъ прочихъ условіяхъ, обратно пропорціональна ква-
драту разстоянія отъ источника свѣта, т.-е., если освѣщае-
мы й предметъ удалить отъ источника свѣта на разстояніе
въ 2, 3, 4 и т. д. раза большее, то степень освѣщенія умень-
шится въ 4, 9, 16 и т. д. разъ. Принявъ этотъ закопъ во
вниманіе, будемъ разсуждать такъ: если бы точка С отстояла
отъ А только на 1 метръ, то она освѣщалась бы этимъ
источникомъ такъ, какъ будто на нее падали лучи отъ а
свѣчей; но такъ какъ опа отстоитъ отъ А на х метр., то
степень ея освѣщенія этимъ источникомъ будетъ ~. Подоб-
лымъ же разсужденіемъ найдемъ, что точка С, отстоя отъ
источника свѣта В на сі—х метр., будетъ освѣщаться имъ
съ силою Вопросъ задачи требуетъ, чтобы
а Ъ
х'1 (й—хУ
[1]
- 192 —
Откуда: а(й—ж)2=&гс2, т.-ѳ. аіР—^аЛх-Д-ах^—Ъх^—О
(а—Ъ)х*—^айх^а^—Ъ.
Такъ какъ коэффиціентъ при х дѣлится на 2, то (§ 194,
вамѣч. 2):
_ай±д/а^—^а—Ща^________асІ±й )/аЪ
а—-Ъ а—Ь
__ й]/ а(д/а±д/Ъ)
(]/^^у/~б)(]/а~--у/Ъ)
~ ѵ сй/ а йі/ а *)
Слѣдовательно: х.~—-------—= ’
)/«-]/*
Изслѣдованье. Такъ какъ а и Ъ числа положительныя, то
мнимыхъ рѣшеній, въ этой задачѣ быть не можетъ.
1) Если а^>Ьу то оба корня полооюительнъье, при чемъ,
такъ какъ |/ а—д/ Ъ<^д/ а<д/ МѴ Ь , то х^>^ а #п</^
Второе рѣшеніе соотвѣтствуетъ предположенію, что иско-
мая точка находится между А и В; первое же рѣшеніе ему
•противорѣчитъ. Чтобы принять или отвергнуть это рѣшеніе,
мы должны разсмотрѣть, какое уравненіе получится, если
сдѣлаемъ предположеніе, что искомая точка находится на-
право отъ В (напр., въ Ц), на разстояніи х отъ А. Тогда,
попрежнему, степень освѣщенія ея источникомъ А будетъ
*)• Уравненіе [1] можно было бы рѣшить иначе. Извлекая изъ обѣихъ
частей уравненія квадратные корни, получимъ:
±]/ а н ]/ Ъ .
X СІ-—Х
Не трудно видѣтъ, что это уравненіе приводится къ 2 уравненіямъ
первой степени:
X й—Х' X (І~Х х—(1
Первое даетъ: СІд/ а—хд/~а—хд/ Ъ\ откуда: X——
у а-ру Ъ
Второе даетъ: хд/ а — (ід/ а=хт/ д; откуда: х^-—, /_з,
у а — уЬ
— 193 —
вы-
отъ источника В точка Сх находится на разстояніи х—(і
X “
метр.; поэтому степень освѣщенія ея этимъ источникомъ
Ъ
разится;---и
х (ж—й)2’
уравненіѳ будетъ:
а Ъ
х2 (х—сіу-
уравненіе съ ур. [1], находимъ, ’тто
ка къ (сі —х)~(х—(I)2. Замѣтивъ это,
что оба поло7кительныя рѣшенія ур.
НИ
МО-
[1]
Сравнивая это
одинаковы, такъ
жемъ утверждать,
удовлетвори ютъ задачѣ.
2) Если а<Ь, то хг отріщательное число. поло-
жительное^ причемъ хп <А1. Положительное рѣшеніе соот-
вѣтствуетъ предположенію, что искомая точка находится между
А и В. Чтобы уяснить смыслъ отрицательнаго рѣшенія, пе-
ремѣнимъ въ ур. [1] х на—х:
а ___ Ъ „_„а'_______ Ь
(—ж)2 ж)2 ИЛИ X- (иЩс)*
[3]
Уравненіе [3] имѣетъ тѣ же корпи, что и ур. [1ф только
съ обратными знаками. Значитъ, отрицательное рѣшеніе ур.
[1] равно но абсолютной величинѣ положительному рѣшенію
ур. [3|. Но это послѣднее соотвѣтствуетъ той же задачѣ,
только иному предположенію, а именно, что искомая точка на-
ходится налѣво отъ А. Дѣйствительно, если допустима,,
искомая точка есть С2, отстоящая отъ А на х футовъ.
что
то
, .а
найдемъ, что степень освѣщенія ея источникомъ Л равна--,
ж2
а источникомъ В равна--у -ъ: слѣд., ур. (3) удовлетворяетъ
это му п ре дп < >л ожені ю.
Итакъ, отрицательное значеніе, полученное для хХУ озна-
чаетъ, что абсолютное число метровъ, выражаемое формулой
А. Киселевъ. Алгебра.
13
— 194 —
должно откладывать въ направленіи, противоположномъ тому
въ какомъ считается положительное рѣшеніе.
3) Если а=Ь, то х1=±сю и хп=72- Первое рѣшеніе
означаетъ, что по мѣрѣ того, какъ а приближается къ ра-
венству съ 6, искомая точка безпредѣльно удаляется или
направо отъ Я, или налѣво отъ Л, смотря по тому, будетъ
ли а, приближаясь къ 5, оставаться больше или меньше Ъ.
Второе рѣшеніе показываетъ, что при равенствѣ силъ источ-
никовъ свѣта искомая точка лежитъ посрединѣ между ними.
4) Если (1=0, причемъ а=^Ъ, то х1=х11=0. Это зна-
читъ, что если разстояніе между двумя неравными источни-
ками свѣта уменьшается, приближаясь къ 0, то обѣ равно
освѣщенныя точки неограниченно приближаются къ источ-
нику А.
5) Есліъ (1=0, и а=Ь, то жи=0. Такъ какъ числи-
тель и знаменатель дроби, опредѣляющей величину х1У не
содержитъ никакого общаго множителя, обращающагося въ
0 при сдѣланныхъ предположеніяхъ, то надо ожидать, что
значеніе хІ означаетъ неопредѣленность задачи. И дѣйстви-
тѳльно^ если источники свѣта одинаковой силы и помѣщены
въ одномъ мѣстѣ, то всякая произвольная точка будетъ ими
одинаково освѣщена.
Замѣчаніе. Такъ какъ ур. [1] содержитъ въ знаменателяхъ неизвѣст-
ное, то, приводя его къ цѣлому виду, мы должны рѣшить вопросъ, не
имѣетъ ли оно особаго корня ж=со (см. § 94). Приведя члены уравненія
къ одному знаменателю и перенеся ихъ въ одну часть, получимъ ^урав-
неніе:
а((1—х\*—Ьх* 0 (а—Ъ)2—2а(іх-]-асР
х\а-ху ~ ИЛИ’ я‘—
Такъ какъ степень знаменателя выше степени числителя, то уравненіо
сверхъ корней, разсмотрѣнныхъ выше, имѣетъ еще корень я=±со. Это
третье рѣшеніе разсматриваемой задачи означаетъ, что если брать точки,
все болѣе и болѣе удаленныя отъ Л, вправо или влѣво, то разность освѣ-
щеній въ этихъ точкахъ двумя источниками свѣта будетъ вс^болѣѳ и болѣо
уменьшаться, приближаясь къ 0. . =Но
— 195 —
ГЛАВА ГѴ.
Мнимыя количества.
204. Цѣль введенія въ алгебру мнимыхъ количествъ. Корень четной
степени изъ отрицательнаго числа представляетъ собою, какъ мы видѣли
(.§ 145,3), такъ называемое мнимое количество. Разсмотримъ подробнѣе
такія мнимыя количества, которыя выражаются корнемъ квадратнымъ изъ
отрицательнаго числа.
Введеніе въ алгебру мнимыхъ количествъ вызвано соображеніями, по-
добными тѣмъ, по которымъ въ нее допущены отрицательныя числа: и
тѣ, и другія имѣютъ цѣлью обобгцить нѣкоторыя алгебраическія предло-
женія или формулы. Напр., допустивъ мнимыя количества, мы можемъ
утверждать, что квадратное уравненіе имѣетъ всегда два корня; также,
что трехчленъ 2-й степени разлагается всегда на два множителя 1-й сте-
пени. Особенно важное значеніе -имѣютъ мнимыя количества въ теоріи
уравненій высшихъ степеней.
205. Условія, подъ которыми вводятъ мнимыя количества. Этихъ условій
два:
1) Согласились разсматривать у/— а, гдѣ—а отрицательное число, какъ
такое количество, квадратъ котораго равенъ—а.
2) Согласились производить надъ мнимыми количествами дѣйствія по
тѣмъ же правиламъ, по какимъ они производятся надъ количествами
вещественными, принимая всегда, что (т/—а)2^—а
206. Приведеніе —а къ виду |/«|/—1 • Мнимое количество вида
.у—а можно замѣнить другимъ: у ау—1. Дѣйствительно, у/—«, со-
гласно 1-му условію, есть такое количество, квадратъ котораго равенъ—а.
Но —1 также есть такое количество, квадратъ котораго равенъ—а,
потому что, примѣняя къ этому выраженію правило о возвышеніи въ сте-
пень произведенія, получимъ:
(]/”«)/— а)2(]/—1)2=а(—1)==—а.
Условились сокращенно обозначать у/—1 одною буквою і (начальная
буква слова ітадіпаіге, что значитъ мнимый). Такимъ образомъ пишутъ:
/=3=/31/=1 =г/з:
Приведеніе мнимаго количества къ виду, содержащему множителя г,
яснѣе обозначаетъ мнимость радикала, которая иногда можетъ быть не
вполнѣ явною. ___
207. Различныя степени |/—1. Замѣтимъ, что, возвышая і вт> раз-
личныя степени, мы можемъ получить только слѣдующія 4 различныя
значенія:
р-і, і^=—1? г3=Л'=(—1)г=—і, 1)(—
13*
— 196 —
Дѣйствительно, пусть требуется возвыситъ і въ п-уто степень; раздѣ-
ливъ п на 4, мы можемъ получить въ остаткѣ только одно изъ слѣдую-
щихъ 4 чиселъ: о, 1, 2, 3: поэтому, обозначивъ частное отъ дѣленія п на
4 черезъ т, можемъ положить:
Но
п~4пг, п—-4т-|-1; тг=4т-|-2; п—іт-^-З.
Цт —і у„ —-(_|_1 у» іт +1—Iіт
2 ііп -|- 2 2* -----1’ 4~ 3 4т 2* 3 /
Такимъ образомъ: г27—і4,6+3=І3=—
208. Комплексное количество. Общій видъ всякаго вещественнаго или
мнимаго количества есть а-\-Ы, гдѣ а и Ъ суть вещественныя числа,
положительныя или отрицательныя, а і есть сокращенное обозначеніе
р/—1. Такое выраженіе наз. комплекснымъ количествомъ. Если Ь—О,
комплексное количество обращается въ вещественное; при а=0 оно даетъ
мнимое количество.
Два комплексныхъ количества вида: а-\-Ы, а—Ы, наз. сопряженными.
Подъ такимъ видомъ представляются, какъ мы видѣли, корня квадратнаго
уравненія, когда они мнимые.
209. Основное начало, которому должны быть подчинены комплексныя коли-
чества. Условившись надъ комплексными количествами производить дѣй-
ствія и преобразованія по правиламъ, выведеннымъ для вещественныхъ
количествъ, при условіи что і2=—1, мы должны будемъ подчинить ихъ
слѣдующему на чалу:
Для- того, чтобы количество а-|-Ьі равнялось нулю, необходимо и
достаточно, чтобы &=0 и Ь=ДѢ
Дѣйствительно, совершая надъ равенствомъ а-\-Ъі~0 преобразованія,
дозволительныя для равенствъ съ вещественными членами, и принимая
і2™—1? будемъ имѣть:
Такъ как'ь а2 и № суть числа положительныя, а сумма двухъ положи-
тельныхъ чиселъ равняется 0 только тогда, когда каждое изъ нихъ от-
дѣльно ровно 0. то заключаемъ: а~0, Ь~0. Обратно, если положимъ, что
а=О и то и П-4-/Я—0 (принимая умноженіе і наОвъ томъ же услов-
номъ смыслѣ», въ какомъ оно понимается для вещественныхъ количествъ).
Слѣдствіе: для того, чтобы количества а-рЬі и а'-рЬ'і были равны,
необходимо и достаточно, чтобы а=а' и Ь—Ь'.
Дѣйствительно, изъ равенства: а~{-Ы^а'-\-д'і выводимъ:
(а—Ь')і=О
откуда, на основаніи доказаннаго начала, получимъ:
а—Ь—Ь'~05 т.-е. а—а', Ъ=ЪГ.
И обратно: если а~а' и Ъ~Ъ', то а+Ы—а'-УЪ’і, такъ какъ оба количества
въ этомъ случаѣ ничѣмъ другъ отъ’ друга не отличаются.
— 197 —
210. Результатъ дѣйствій надъ комплексными количествами. Производя
дѣйствія падь комплексными количествами но правиламъ, выведеннымъ
для количествъ вещественныхъ, придемъ къ слѣдующему важному выводу:
результатъ дѣйствій надъ комплексными количествами есть также
комплексное ко. ьичество.
Мы въ этомъ убѣдимся, разсмотрѣвъ сложеніе, вычитаніе, умноженіе,
дѣленіе, возвышеніе въ степень и извлеченіе квадратнаго корня:
1) Сложеніе: Ъі}—|—)—(6—|—д| уі-—гДГЬ
Д=а-|-а1 и В—Ь-\-дх.
Если сумма двухъ комплексныхъ количествъ есть комплексное коли-
чество, то и сумма какого угодно числа комплексныхъ количествъ подчи-
няется этому правилу.
2) Вычитаніе: (а~ігЬг)—(ах-]-Ь1'і)^=(а——Ьі)і=А-}-Ві, гдѣ
А~а—а, и В=Л>—Д.
3) Умноысениі: (сі—|—Ы} —|—0—аах—|—ахЪі—|—аЪхЪ—|—~~
—Ьді )Д(а, ІЛ аЬх )г=Л4-Ві
гдѣ А=аах—ЬЪХ и В~ахЪ-\-аЪх.
Если произведеніе двухъ комплексныхъ количествъ есть комплексное
количество, то и произведеніе какого угодно числа комплексныхъ коли-
чествъ подчиняется этому правилу.
4) Дѣленіе-. °^ЬІ = ^Ьі^ау-Ь^ =(аах^-ЪЪЖ(ахЬ-аЪхУі,
' " ' ах-\-Ьхі Ьхі) —(Іді)*
__аа,х±ЬЪхщЬ-аЪ,
~ ар4:ѵ + Ѵ+Ѵ Ы’
. аа,-\-ЬЪ, аД — аЬ.
гдѣ А=—и В=-Цгт-Г4.
5) Такъ какъ возвышеніе въ степень (цѣлую, положительную) есть
частный случай умноженія, то и оно подчиняется тому же правилу.
6) Извлеченіе квадратнаго корня изъ комплекснаго количества будетъ
разсмотрѣно ниже (§ 218).
211. Приведемъ здѣсь два примѣра, показывающіе, какъ просто иногда
доказываются нѣкоторыя истины при помощи комплексныхъ количествъ.
Теорема 1. Если данное число есть сумма двухъ квадратовъ, то и
квадратъ его есть также сумма двухъ квадратовъ.
Доказ. Пусть .У—а2-)-^2; замѣтивъ, что а^ДЬ'^^а^-Ъі^а—Ы), можемъ
писать:
№=(а+6г)2(а—(а?—ЪЦДаЪі}
4-4а^2=(^2~ 62)2+(2ай)2.
Теорема такимъ образомъ доказана.
Теорема 2. Произведеніе двухъ чиселъ, изъ которыхъ каждое есть
сумма двухъ квадратовъ, также равно суммѣ двухъ квадратовъ.
— 198 —
Д^каз. Пусть ^=а24-&2=(а+ѣг)(«—Ъг) и 7Ѵ1=а12+&12=(а1+&1г)(аі—Ърр
Въ такомъ случаѣ:
КД—(а-[-Ъі) (а—Ы) (а^Ъ^ (а^Ьрі).
Помноживъ въ этомъ произведеніи перваго сомножителя на третьяго,
а второго на четвертаго, найдемъ:
—&Д-|-(а^іЧ~^аі)Л Іааі —(ад1-]-&а1)г1=
—(ааі-ЪЬ^ЩаЪ'+Ъа^ [1]
Теорема такимъ образомъ доказана.
Если въ томъ же произведеніи помножимъ перваго сомножителя на
четвертаго, а второго на третьяго, то получимъ:
1^^=[0/^-|-АД-(-(«!ай^г] —(а^—аЪ^—
^аа^Ь^^а^—аЬ^ И
Равенства [1] и [2] показываютъ, что произведеніе можетъ быть
разложено на сумму двухъ квадратовъ двоякимъ образомъ.
ГЛАВА V.
Освобожденіе уравненія отъ радикаловъ.
212. Теорема. Отъ возвышенія обѣихъ частей уравненія
въ одну и ту же степень получаемъ новое уравненіе, кото-
рое сверхъ корней перваго уравненія можетъ имѣть посто-
ронніе корни.
Док. Пусть имѣемъ уравненіе А—В. Возвысивъ обѣ его
части въ квадратъ, получимъ: А^—В\ Представимъ это урав-
неніе въ такомъ видѣ:
или (4-В) (Л+В)=О
Послѣднее уравненіе удовлетворяется, во 1, такими зна-
ченіями неизвѣстныхъ, при которыхъ А—В=0 (т.-ѳ. А=В),
во 2, такими, при которыхъ Л4~В=0 (т.-ѳ. А——В). Пер-
выя значенія представляютъ собою корни даннаго уравне-
нія; вторыя значенія будутъ для него посторонними корнями.
Вообще, возвысивъ обѣ части уравненія А~В въ п-ую степень, по-
лучимъ:
ЛП=ВП или Ап—Вп=0.
Разность одинаковыхъ степеней двухъ чиселъ можетъ быть предста-
влена въ видѣ произведенія двухъ множителей (§§ 59 и 60):
— 199 —
Слѣд., данное уравненіе распадается на два уравненія:
А-В=Л и Л"-1+Бхі“-4-В2Лм-34-...-|-Б»-—-О
Первое изъ нихъ есть данное уравненіе; второе доставляетъ посторон-
нія рѣшенія.
Слѣдствіе. Если для рѣшенія уравненія приходится обѣ
его части возвысить въ одну и ту же степень, то, найдя
корни полученнаго уравненія, мы должны особымъ изслѣдо-
ваніемъ опредѣлить, какіе изъ нихъ годятся для даннаго
уравненія; для этого каждый изъ корней подставляемъ въ
данное уравненіе и такимъ образомъ находимъ тѣ изъ нихъ,
которые обращаютъ это уравненіе въ тождество.
213. Рѣшеніе уравненія, въ которомъ неизвѣстное входитъ
ПОДЪ знаки радикаловъ. Чтобы рѣшить такое уравненіе, его
должно предварительно освободить отъ радикаловъ. Укажемъ,
какъ можно это сдѣлать въ нѣкоторыхъ простѣйшихъслучаяхъ.
Замѣтимъ, что во всѣхъ приводимыхъ ниже примѣрахъ
знакъ |/ означаетъ ариѳметическое значеніе корня.
Случай 1, когда уравненіе содержитъ только одинъ ра-
дикалъ какой угодно степени. Переносятъ всѣ раціональные
члены въ одну часть уравненія, оставивъ радикалъ въ дру-
гой (уединяютъ радикалъ); затѣмъ возвышаютъ обѣ части
уравненія въ степень, показатель которой равенъ показателю
радикала.
Примѣръ 1. ]/Ъ4-7—ж—1=0. Уединимъ радикалъ: ]/ ж-]-7=
=ж-{-1. Возвысимъ обѣ части уравненія въ квадратъ: ж-4-7=
=ж2-|-2ж4-1. Рѣшивъ это уравненіе, получимъ: щ=2, жп=
=—3. Испытавъ эти значенія, находимъ, что данному урав-
ненію удовлетворяетъ только хр, второе рѣшеніе принадле-
житъ уравненію:—|/ ж-^7=ж-{-1.
2
Примѣръ 2. 1 -{-7-7=^-=- = 0. Приведя уравненіе къ цѣ-
у х2—9
лому виду и уединивъ радикалъ, получимъ: |/ж*~9 = —2.
Возвысивъ обѣ части въ четвертую степень, найдемъ:
х2—9=16; откуда ж=±5.
Ни одно изъ этихъ рѣшеній не удовлетворяетъ данному
уравненію.
— 200 —
1 і 1
Примѣръ 3. х |- а:
1
а2ж2 гж4
Возвысилъ обѣ части уравненія въ квадратъ и отбросимъ
въ обѣихъ частяхъ одинаковые члены
Послѣ вторичнаго возвышенія въ квадратъ, получаемъ: 14 4 _ 1 5 ж4 аж3 ' а-х2 а2х2 х1
Откуда: Зх *-\-4ах—4а ,0
Слѣд., —2а ±|/ 4а2-|-12а2 —2а±4а 3 3 2а о хг——жи— 2а
Подстановкою убѣждаемся, что только ж1 удовлетворяетъ
данному уравненію.
Случай 2-й, когда уравненіе содержитъ только одни квад-
ратные радикалы. Напр., пусть уравненіе, приведенное къ
цѣлому виду, содержитъ три радикала: |/ а, ~\/~Ъ п цЛс^гдѣ
а, Ъ и с обозначаютъ какія-либо алгебраическія выраженія,
содержащія неизвѣстныя. Желая освободить уравненіе отъ
]/сГ, вынесемъ этотъ радикалъ за скобки изъ всѣхъ членовъ,
гдѣ онъ встрѣчается, затѣмъ уединимъ его и возвысимъ обѣ
части уравненія въ квадратъ; этимъ освободимъ уравненіе
отъ |/ а и не введемъ никакихъ новыхъ радикаловъ. По-
добно этому освобождаемъ уравненіе отъ ]/ Ь и затѣмъ
угъ |/ с.
Примѣръ: }/ж-{-ж2-]-]/1—ж2-[-}/ж—ж2+]/1-|-ж=0.
Такъ какъ ж-|-ж2=ж(1-4-ж), 1 —ж2=(1-|-ж)(1—ж), х—ж2=ж(1 —ж),
то, положивъ для краткости: 1-|-ж=а, х—Ъ, 1—х~с, полу-
чимъ уравненіе такого вида:
|/об4-)/'ас4“1/Л^+1/ а=0
Выносимъ |/ а за скобки и уединяемъ его:
]/ а(|/ 6+]/ Н-1)——]/ йс
— 201 —
Возвышеніе въ квадратъ даетъ:
а(^4^4~1+2}/^+2]/й+2]/ с)~Ъс
Выносимъ ]/& за скобки и уединяемъ его:
2а|/&(!-[- ]/с)~дс—аЬ—ас—а—2а ]/с~А—2а]/ с
гдѣ Л=6с—аЬ—ас—а
Возвышеніе въ квадратъ даетъ-
4.а2д(1-^с~^-2]/ с)~~А2—4а А]/ с/-4а2с
Выносимъ за скобки ]/с и уединяемъ его:
4н]/ с(2аЪ/-А)=А2/^а2с~^
Возвысивъ въ квадратъ, окончательно находимъ:
16а2с(2а6Ц-Л)2=(Л24-4^2с--4а2і---4а2йс)2
Подставивъ вмѣсто а, Ъ и с ихъ выраженія, получимъ ра-
ціональное уравненіе съ неизвѣстнымъ х.
214. Общій способъ освобожденія уравненія отъ знаковъ радикала. Пусть
данное уравненіе содержитъ |/ д (гдѣ д есть выраженіе, заключающее
неизвѣстныя), причемъ этотъ радикалъ можетъ входить въ уравненіе въ
различныхъ степеняхъ, т.-ѳ. въ немъ могутъ встрѣчаться: ]/д,]/д*=
^(]/^)3,]/ д3~~~(]/~д)3 и т. д. Обозначивъ для краткости |/ д черезъ а?,
можемъ положить:
пу~^.х*,
Предположимъ далѣе, что, замѣнивъ въ уравненіи различныя степени
1/ д соотвѣтственными степенями ж, мы получимъ уравненіе вида раціо-
нальнаго и цѣлаго относительно х. Къ такому виду всегда можетъ
быть приведено уравненіе. Въ самомъ дѣлѣ, если бы въ немъ были члены,
дробные относительно ]/д, мы могли бы предварительно освободить его
отъ знаменателей: далѣе, если бы у д стоялъ подъ знакомъ другого ра-_
дикала (т.-ѳ. уравненіе содержало бы сложные радикалы), мы тогда обо-
значили бы черезъ х этотъ сложный радикалъ, съ цѣлью предварительно
освободиться отъ него.
Если въ уравненіи встрѣтятся члены, содержащіе х съ показателемъ
большими» или равнымъ п, мы можемъ въ каждомъ изъ нихъ сдѣлать до-
казателя меньшимъ п, основываясь на равенствѣ: хпл~ср Такъ:
жп+1=жвж=2«; ж«4-2—хплі=д_хі а т. д.
— 202 —
Понизивъ такимъ образомъ показателей при х вездѣ, гдѣ можно, мы
приведемъ уравненіе къ виду:
ажп-і_|_йж”-а-)-с«п_8-}-...+Л®-|-/=0 [1]
гдѣ а, Ъ, с... к и I могутъ содержать другіе радикалы (нѣкоторыя изъ
этихъ количествъ могутъ равняться 0).
Чтобы освободить это уравненіе отъ всѣхъ степеней радикала х, умно-
жимъ обѣ его части на многочленъ степени п—1:
въ которомъ всѣ п—1 коэффиціентовъ оставимъ пока неопредѣленными.
Послѣ умноженія правая часть уравненія будетъ 0, а лѣвая обратится
въ многочленъ:
ѵ ‘ 1 ьф2и~4+---+^
Понизивъ въ этомъ многочленѣ показателей при а? во всѣхъ членахъ,
гдѣ эти показатели больше или равны п, и соединивъ въ одинъ всѣ члены,
содержащіе одинаковыя степени х, получимъ уравненіе вида:
. .+^+^=0 [2]
гдѣ М, №... и 8 суть выраженія первой степени относительно неопредѣ-
ленныхъ коэффиціентовъ Л, В, С.,. К (какъ легко видѣть изъ разсмотрѣнія
процесса полученія этихъ выраженій).
Составимъ теперь п—1 уравненій первой степени съ п—1 неизвѣстными
Л, Б, С... К:
7И=0, №=0,... В=0.
Рѣшивъ эти уравненія и вставивъ найденныя значенія неопредѣленныхъ
коэффиціентовъ въ ур. [2], получимъ уравненіе, не содержащее
8=0
Полезно замѣтить, что это уравненіе обладаетъ вообще посторонними
рѣшеніями, именно тѣми, которыя удовлетворяютъ уравненію:
Если въ уравненіи встрѣчаются другіе радикалы, мы тѣмъ же пріе-
момъ уничтожимъ послѣдовательно и ихъ.
Примѣръ 1. 1/ ат|-&=9; У~а=х‘,
(хЦ-я-Н>)
+ (Л +1 )а+(В+А +
+&)«2+(В4-&Л+а)я;+дВ+(Л+1)а=0.
(В+-Л+&=0 [В4- А=—Ъ
’ (-В-Г а=0 |В-]-6Л=—а
. Ъ—а а—Ъ*
найдемъ: Л=т—т -#=т—л—
— 203 —
Послѣ этого данное уравненіе приметъ видъ:
Ща—Ь2) . /Ь~ а .
Цб-Г^
1 а—О
Примѣръ 2.|/а*—]/б+6—0;]/а=«;)/а2=жі
(ж2-ж-Н>) (ж84-Лж2-|-Вж+С)=«5+(А -1 )ж‘+(В-Л+&)ж’+
-НС-Б-Н»^)жЯ-(-а-^65)ж4-6С=аж+(Л-1 )а-Ь-• •=
~-(В—Л-Р)ж3+(С-5+5Л)ж24-(—СЧ-6В+а)ж+іС-Н^-1)а=О.
|В-4-Н>=0 . (—1.4+1 ,В+0.СЪ=-6
Положимъ: іС—В+^4=0 т.-о. &-А—1 ,В--\-А.С=А)
С+6В+«=О ( 0.4+&.В—1.С=—а —
находимъ по формуламъ § 116:
. —Ъ—а-А-Ъ2 Ъ-А-а—Ъ2
—а — Ъ2 а+&2
1+26=1—26
р-—а—Ъ^-аЪ а^Ы~~аЪ
Данное уравненіе окончательно приметъ видъ:
ЪГк— 2аЬ
215. Приведеніе знаменателя дроби къ раціональному виду. Для этой
дѣли можетъ служить тотъ же пріемъ, который былъ указанъ для осво-
божденія уравненія отъ знаковъ радикала. Въ самомъ дѣлѣ, очевидно, что
если для уничтоженія различныхъ степеней у д въ уравненіи А~~0 до-
статочно умножить обѣ его части на прилично выбранный многочленъ
то для уничтоженія различныхъ степеней уЛд въ знаменателѣ дроби
— достаточно умножить М и А на А^.
Пусть, напр., имѣемъ дробь вида:
-Л-__________м____
]/+—|7 «+& х2 — х-\-Ъ
Множитель, обращающій знаменателя въ раціональное количество, есть
о^-УАх^Вх-^-С, гдѣ А, В и С опредѣляются такъ, какъ было указано
въ примѣрѣ 2-мъ предыд. §. Умноживъ числителя и знаменателя на этого
множителя и упростивъ результатъ, получимъ окончательно:
ЛІ[(1—26)У а8+ (&+д-6г)]/аЧ-(а+ 62) р+у«+&8- аб]
64—2а62+а2—«+4а6
— 204 —
Г Л А В А VI.
Уравненія высшихъ степеней, приводимыя къ
квадратнымъ или къ уравненіямъ первой сте-
пени.
216. Биквадратное уравненіе. Такъ наз. уравненіе четвер-
той степени, содержащее неизвѣстное только въ четкихъ
степеняхъ. Общій видъ его слѣдующій:
ах^-Ъх^с==.() [1]
Такое уравненіе легко приводится къ квадратному посред-
ствомъ вспомогательнаго неизвѣстнаго. Положимъ, что
тогда и уравненіе приметъ видъ:
а?у2+іг/+с—0 [2]
Уравненіе это имѣетъ два корня:
—&+і/~ 4ас — Ъ—т/б2 — 4ас
Уг=~2а---------- У^~----- 2а-----
Подставивъ каждое изъ этихъ значеній въ уравненіе х^=у^
найдемъ, что биквадратное уравненіе имѣетъ слѣдующіе 4
Если корпи ух и вспомогательнаго квадратнаго уравне-
нія [2] окажутся мнимыми (что будетъ при &2—4ас<4)), то
всѣ 4 корня биквадратнаго уравненія [1] будутъ также мни-
мые. Если уА и у2 окажутся вещественные неравные (что
будетъ при —4сщ>0), то могутъ представиться слѣдующіе
3 случая: 1) одинъ изъ корней у^ и у2 положителенъ, другой
отрицателенъ; въ этомъ случаѣ 2 корня биквадратнаго ура-
вненія вещественные, а два мнимые; 2) оба корня уі и у2
положительны; тогда всѣ 4 корня биквадратнаго урав-
ненія вещественные; 3) оба корня уг и у2 отрицательны;
тогда всѣ 4 корня биквадратнаго уравненія мнимые. Нако-
нецъ, если корни ух и у2 равны (что будетъ при д2—4ас=0),
— 205 —
то 4 корня биквадратнаго уравненія дѣлаются попарно
равными:
2
+|/ 2а ; «2—«4— у 2а
и будутъ или всѣ вещественные, или всѣ мнимые.
Примѣръ: хі—ІЗж’-І-Зб^.
х-=у х^=у, у2—13?/Ц-36=0
ѵ—™. / 169 _ 13 . /25 13*5
13+5 _ 13-5 .
Уі— 2 — 9? Уъ — 2
х2=—1/9=~3; ж3=+}/4=2?
сг4----|/4=--2
217. Преобразованіе ]/а4~|/ В. Корни квадратнаго уравненія, какъ мы
видѣли, выражаются подъ видомъ сложнаго радикала А+у/ В- Такой
радикалъ въ нѣкоторыхъ случаяхъ возможно представить въ видѣ суммы
или разности двухъ простыхъ радикаловъ. Чтобы показать это, пред-
варительно докажемъ слѣдующую истину:
/Іемма. Равенство*, а + р/ + гдѣ а, ап Ъ и Іц суть числа
соизмѣримыя, а у/Ъ и у^і числа несоизмѣримыя, возможно только
тогда, когда а=а{ и 6=1)^
Доказ. Перенеся ах изъ правой части въ лѣвую и возвысивъ обѣ части
равенства въ квадратъ, получимъ:
(а—у )2+&+2(бі—а, )]/&=&,
Правая часть этого равенства есть число соизмѣримое; поэтому и лѣ-
вая его часть также должна быть числомъ, соизмѣримымъ, что возможно
только тогда, когда а—аг~0, т.-е. а~а±, вслѣдствіе чего то же равенство
даетъ Ъ—Ь^.
Подобнымъ же образомъ убѣдимся, что равенство:
а—}/&=«!—]/І>і
при тѣхъ же условіяхъ относительно чиселъ а, Ь и возможно только
тогда, когда а~аг и &_*).
*) Легко также провѣрить, что при тѣхъ же условіяхъ равенства:
а+]/&=а1—]/Д и а—і/^^+у/б,
невозможны. Дѣйствительно, поступая съ ними такъ, какъ указано въ
текстѣ, мы опять приходимъ къ выводу, что а=.ах, и тогда эти
равенства приводятся къ виду: а~ру/ Ь =а—|/ Ъ, или4-|/ Ь ~—у/ Ъ, что
возможно только тогда, когда Ъ—о', но это противорѣчитъ условію, фчто
|/ Ь есть несоизмѣримое число.
— 206 —
Возьмемъ теперь сложный радикалъ у въ которомъ А и В
суть числа соизмѣримыя, а |/ В число несоизмѣримое (и слѣд., В число
положительное). Зададимся вопросомъ, нельзя ли вычисленіе этого слож-
наго радикала замѣнить вычисленіемъ нѣсколькихъ простыхъ радикаловъ.
Допустимъ, что имѣемъ равенство.
|/ Л+|/
Опредѣлимъ, при какихъ условіяхъ числа х и у окажутся положитель-
ными соизмѣримыми. Возвысивъ обѣ части этого равенства въ квадратъ,
получимъ:
А-\~У В=Х
Такъ какъ, по условію, |/ В есть число несоизмѣримое, то и у/ху
долженъ быть также числомъ несоизмѣримымъ; поэтому, на основаніи
доказанной выше леммы, будемъ имѣть:
' л &
х-\-у=А ху—-^-
Изъ этихъ равенствъ видно, что х и у можно разсматривать, какъ
корни такого квадратнаго уравненія, у котораго коэффиціентъ при неиз-
вѣстномъ во 2-й степени есть 1, коэффиціентъ при неизвѣстномъ въ 1-й
степени есть—А, а свободный членъ равенъ ~ (§ 197). Значитъ, рѣшивъ
уравненіе:
2«-^3-[-4=0
1 4
найдемъ х и у:
1
Д* 2 В А-\-у А^—В
4 2
_А_.А-і/А^В
у------у~І/-------—------------
2 у 4 4 2
х и у только тогда будутъ числа соизмѣримыя по-
1) А есть число положительное и 2) А2—В есть
значитъ, только при этихъ условіяхъ радикалъ
Отсюда видно, что
ложитѳльныя, когда
точный квадратъ;
V А+^В можно представить въ видѣ суммы двухъ простыхъ
радикаловъ:
Подобнымъ же образомъ выведемъ, что при тѣхъ же условіяхъ:
А—}Ав=]/ж—]/у=^/у/а—д/а^—в
2—В
— [1]
Примѣры: 1)
|/34+/ 6
2
— 207 —
(Извѣстная геометрическая формула удвоенія числа сторонъ правильнаго
®2п---
|/^2±ѵ_
вписаннаго многоугольника).
Здѣсь Л=2г2, В—^—а\г2-, |/Л2—В=апг; поэтому
Замѣчаніе. Равенства [1] и [2] остаются вѣрными и тогда, когда А2—В не
есть точный квадратъ и даже тогда, когда А и В не суть числа соизмѣ-
римыя; но тогда эти равенства не представляютъ практическаго интереса.
218. Преобразованіе ]/а-|-Ь|/—1. Не трудно убѣдиться, что равенства
[1] и [2] предыдущаго § остаются вѣрными и тогда, когда В замѣнимъ
на—В. Дѣйствительно, въ этомъ предположеніи равенство [1] даетъ:
Чтобы провѣрить это равенство, возвысимъ обѣ его части въ квадратъ:
=а-|-р'Б]/=л
Подобнымъ же образомъ убѣдимся въ вѣрности и равенства (2).
Вслѣдствіе этого можемъ написать:
Примѣры: ЕІШіУД.
+/ к2Емй-5у,-1=р^,|/Л|/=т=3+2/2ГІ
— 208 —
219. Возвратное уравненіе 4-й степени. Такъ наз. уравненіе:
ах!^Ьх3^сх^^Ъх^сі=^
у котораго коэффиціенты, равностоящіе отъ начала и конца, одинаковы.
Чтобы рѣшить такое уравненіе, раздѣлпмъ обѣ его части на х* (мы имѣемъ
право это сдѣлать, такъ какъ х нѳ равно 0):
/ 1 \ / 1 \
или: а । х^—!—, ] — I— Ъ । х~4— ) —0,
у 1 X1] 1 \ -X ]
Положимъ, что х-^-~~у, тогда: ж2-ф-2-(—^==і/2 и, слѣдовательно, аАр
X X*
—2; подставивъ эти величины въ уравненіе, получимъ:
а(?/2—2)-|-д?/+с^=0.
Рѣшивъ это квадратное уравненіе, найдемъ два значенія для у\ пусть
это будутъ: т/х—а и г/п=ф; тогда: >
, 1 . 1
Х-\----—а н х3-----=а
1 X X
или: х*—ая^-|~1=0 и х2—(Зж--|-1=0.
Изъ этихъ двухъ уравненій найдемъ л рѣшенія даннаго уравненія.
220. Болѣе обіцій случай уравненія 4-й степени. Подобнымъ же пріемомъ
можно рѣшить уравненіе 4-й степени:
ах ^~]-Ьх 3-|~сж2+б/гг-(-е=О
если коэффиціенты а, Ъ. (I и е удовлетворяютъ пропорціи:
а : е=#2: й2
Въ самомъ дѣлѣ, изъ этой пропорціи находимъ: е=
асР
и, слѣд., уравненіе принимаетъ видъ: ах^Ьх^-сх^іІхч--- - ™0
Раздѣливъ всѣ члены на ж3, можемъ уравненіе представить такъ:
а (ж2+тт (ж+г+с=°
1 1 (Лс2 у ' 1 Ьхг'
— 209 —
Если положимъ, что ж-{-——у, то жН-^г—2/2—у» и Уравненіе прѳвра»
щается въ квадратное:
Найдя у, легко опредѣлимъ потомъ и ж.
Примѣръ. Рѣшить уравненіе 2хі—15а$-\-4(№—45х-\-18=0
Замѣтивъ, что 2 : 18—(—15)2 : (—45)2, раздѣлимъ всѣ члены уравненія
на ж2 и представимъ его въ видѣ:
Откуда:
Если положимъ, что ж-|—у, то ж2-|-~т—у2—6, и уравненіе будетъ:
ж хл
2(2/2—6)—152/4-40=0 или: 2?/—152/4-28=0.
л 7
2/і=4 и 2/іі= 2‘
Значенія х продѣлаются уравненіями:
>3 ,3 7
а? 4--=4:11®------=тг
1 х 1 ж 2
3
изъ которыхъ находимъ: Жі=1, ж2=3, ж3—2, ж4~-^.
Л
221 Уравненія, у которыхъ лѣвая часть разлагается на мно-
жителей, а правая есть 0. Такъ какъ произведеніе можетъ
равняться 0 только тогда, когда, ио крайней мѣрѣ, одинъ
изъ сомножителей равенъ 0, то рѣшеніе уравненія вида:
АВС...=0 приводится къ рѣшенію уравненій болѣе низкихъ
степеней: А—О, В~0, (7=0...
Примѣры.
1) ахяА-Ъх2-і-сх=0. Представивъ уравненіе въ видѣ:
®(«.ж24-^®-|-с)=0
замѣтимъ, что оно распадается на два уравненія:
®=0 и ах2Хдх->гс=0.
2) «®3 * * * * 84-й®'4-5®4“°—0- Это уравненіе можно представить
такъ:
а(ж8-|-1 )-|-6ж(ж-|-1 )--0
А. Киселевъ. Алгебра.
14
210 -
Но #84~1 — х*-\-х2 — #24"1 ХКХ + 1) — (х + 1) (х —-1)
—(#4~1) (#2—#+1); поэтому уравненіе можемъ написать:
(#Ц-1) [^(х2—х~^-1 )-|-&#] =0
Слѣд.3 оно распадается на два уравненія:
#4-1=0 и ах2 — (а~Ъ)х-\-а~0
Откуда легко получимъ три значенія для х.
222. Зная одинъ корень уравненія, можемъ понизить его степень на 1.
Пусть имѣемъ уравненіе: аж^4-^^і~1+сжт““2+--= О и положимъ, что
одинъ коренъ его извѣстенъ, папр., .ъ—ъ Въ такомъ случаѣ лѣвая часть
уравненія дѣлится на х—а (§ 58, слѣдствіе). Раздѣливъ въ самомъ дѣлѣ,
получимъ въ частномъ многочленъ степени (т—1)-й. Такъ какъ дѣлимое
равно дѣлителю, умноженному на частное, то предложенное уравненіе
можно представить такъ: (х—а) ()=(), гдѣ есть частное отъ дѣленія
лѣвой части уравненія на х—а. Теперь очевидно, что данное уравненіе
распадается на два: х—и ф~0. Послѣднее уравненіе есть т—1
степени.
Примѣръ. ж8—15ж2-ф-56ж—-60=0
Замѣтивъ, что уравненіе удовлетворяется при ж=10, дѣлимъ его лѣвую
часть на х—10; въ частномъ получаемъ я;2—5ж-|-6; послѣ этого уравненіе
представляемъ такъ:
откуда:
(ж—Ю)(ж2--5ж-|-6)=0
^=10, ж2=2, ж3=3
' 223. Двучленныя уравненія. Такъ наз. уравненія вида:
ахт-\-Ь=0*)._ При помощи вспомогательнаго неизвѣстнаго
эти уравненія всегда можно освободить отъ коэффиціента
при неизвѣстномъ и, кромѣ того, обратить свободный членъ
въ ± 1.
Въ самомъ дѣлѣ, раздѣливъ обѣ части уравненія на а и
г * Ь
обозначивъ абсолютную величину дроби - черезъ д, полу
сь
чимъ:
жт±д = 0
Положимъ теперь, что х=у”\/ д, гдѣ р/ д есть ариѳмети-
ческое значеніе корня яг-й степени изъ д; тогда хт^=уут, и
, уравненіе приметъ видъ:
ду™ ±д=0, т.-е. у™ ±1=0.
*) Когда двучленное уравненіе имѣетъ видъ ах^^Ъх^==й9 гдѣ
то его можно представить такъ: жи(аж7И—п-|-6)=0 и, слѣдов., оно равна’
дается на два уравненія: ах=О и ахт~п-\-Ь~Ѵ.
211 —
Найдя у, опредѣлимъ потомъ и х изъ равенства: х-уд/І^
Итакъ, рѣшеніе двучленныхъ уравненій приводится къ
рѣшенію уравненій вида уот±:1=0. Рѣшеніе уравненій этого
вида элементарными способами можетъ быть выполнено только
въ нѣкоторыхъ частныхъ случаяхъ. Общій пріемъ, употребля-
емый при этомъ, состоитъ въ разложеніи лѣвой части
уравненія на множителей, послѣ чего уравненіе приводится
къ виду 4ВС...--0, разсмотрѣнному нами раньше. Покажемъ,
напр., какъ рѣшаются двучленныя уравненія третьей степени:
Замѣтивъ, что
ж3— 1=ж8—ж2Ц-ж2“~ 1—1)4-(хЧ-1)(ж---1 )=(т—1 -І-Ж--4-1)
ж8-4-1^^84-^2-“-.г2-|-1 =ж2(ж-1-(х'1- 1)---.(ж4-4)(ж2--”Сс4~1)
можемъ предложенныя уравненія написать такъ:
(ж—-1) (а;Ц"іГ+1)"-0 и (х’-|~1) (ж2—ж-И )=().
Значитъ, первое изъ нихъ имѣетъ корни, удовлетворяющіе
уравненіямъ:
х—1=0 и
а корни второго должны удовлетворять уравненіямъ:
й’--|-1=0 и ж2—а?“}-1=0.
Рѣшивъ эти уравненія, находимъ, что уравненіе х*~1=0
имѣетъ слѣдующее 3 корня:
—іц-у""—з _^_л_4тѣ
г ^—1, х2---- — • хз-----
изъ которыхъ одинъ вещественный, а два мнимыхъ; уравне-
ніе ш34-1=0 имѣетъ три слѣдующіе корпя:
_____
хі— 1, х% — 2 х3 — - %
224. Вотъ еще нѣкоторые примѣры двучленныхъ уравненій, разрѣшимыхъ
элементарно:
1) ж4—1=0; ѳто уравненіе можно написать такъ:
(ж2—1)(ж24-1)=0.
Слѣд., оно распадается на два: ж2—1=0 и ж2+1=0; отсюда находимъ
ж=±1 и ж=±|/—1.
2) ж4-|-1=0; уравненіе можно написать такъ:
(ж2+1)« - 2x^0, или: жу/Т) (ж2+1+жр1)== 0
14*
— 212 —
Слѣд., оно распадается на 2 уравненія второй степени.
3) хъ—ІгзЮ; уравненіе можно написать такъ:
(х—1 4Ц-Ж3-|-Ж2-4-Ж-4-1 )=0
Слѣд., оно распадается на два уравненія, изъ которыхъ послѣднее есть
возвратное уравненіе 4-й степени, рѣшаемое элементарно.
4) 0; уравненіе можно написать такъ:
(ж+1)(ж4~Ж3+ж2-ж4-1)=0
Слѣд., оно распадается на два уравненія, изъ которыхъ послѣднее есть
возвратное 4-й степени.
Подобнымъ же образомъ рѣшаются уравненія:
Жб±1=0; яЛ±1=0; я9+1=0
и нѣкоторыя другія. Общій пріемъ рѣшенія состоитъ въ томъ, что лѣвая
часть уравненія разлагается на множителей, изъ которыхъ каждый, будучи
приравненъ 0, представляетъ уравненіе, разрѣшимое элементарно.
225. Различныя значенія корня. Рѣшеніе двучленныхъ
уравненій имѣетъ тѣсную связь съ нахожденіемъ всѣхъ зна-
ченій корня изъ даннаго числа. Въ самомъ дѣлѣ, если че-
резъ х обозначимъ какое угодно значеніе |/Л, то, согласно
опредѣленію корня, мы будемъ имѣть хт=А и, слѣд. ж771—
поэтому сколько это уравненіе имѣетъ различныхъ рѣшеній,
столько]/ А имѣетъ различныхъ значеній.
Основываясь на этомъ замѣчаніи, докажемъ, что корень
кубичный изъ всякаго числа гімѣетъ три различныя значенія.
Пусть требуется найти всѣ значенія ]/Д т.-ѳ. рѣшить урав-
неніе х3—А=0. Обозначивъ ариѳметическое значеніе |/ А
черезъ д, введемъ вспомогательное неизвѣстное у. связанное
съ х такимъ равенствомъ: х=цу. Тогда ур, х3—-А—0 пред-
ставится такъ: у3у3—Л=0;но $^А\ поэтому у3у3—А=А (у3—1);
слѣдов., уравненіе окончательно приметъ видъ: у3—1=0. Мы
видѣли, что это уравненіе имѣетъ три корня:
У у—+ Уъ — 2 ’ Уз— 2
Каждое изъ этихъ значеній, удовлетворяя уравненію у3^!
представляетъ собою кубичный корень изъ 1. Такъ какъ
х—ду, то:
. -1+1/ -3
— 213 —
Это и будутъ три значенія ]/Л; одно изъ нихъ веществен-
ное, а два мнимыя. Всѣ они получатся, если аръ е метиче-
ское значеніе ]/~Л умножимъ на каждое изъ трехъ значеній
кубичнаго корня изъ 1. Напр., кубичный корень изъ 8-ми,
ариѳметическое значеніе котораго есть 2, имѣетъ слѣдующія
три значенія:
2; 2.=І±у_=^=-1+]/^Щ 2. ^_і_і/-7=з
Въ высшей алгебрѣ доказывается, что уравненіе хт—А~0 имѣетъ т
различныхъ корней; вслѣдствіе этого т/ А имѣетъ т различныхъ значеній
причемъ, если т число четное и А отрицательное, то всѣ эти значенія
мнимыя; если т четное число и А положительное, то два значенія веще-
ственныя (изъ нихъ одно положительное, другое отрицательное, съ одина-
ковой абсолютной величиной); наконецъ, если т нечетное число, изъ
т
всѣхъ звачетй т/ А только одно вещественное.
22Ѳ. Трехчленное уравненіе. Такъ наз. уравненіе вида:
ахгп-ЪЬх^-\-с=^, т. ѳ. уравненіе съ однимъ неизвѣстнымъ,
содержащее 3 члена: одинъ свободный (с), другой съ неиз-
вѣстнымъ въ произвольной степени п и третій съ неизвѣст-
нымъ въ степени, которой показатель вдвое больше п. Та-
кое уравненіе приводится къ квадратному, если положимъ,
что Xя—у, тогда х^—у^, и уравненіе приметъ видъ:
, , , । л —Ъ±л/ Ъ^—іас
ау*-]-^4-с=0; откуда: у=---------------
и, слѣд., Xя—---------------
Рѣшивъ это двучленное уравненіе, найдемъ всѣ значенія х.
Примѣръ. Рѣшить уравненіе 9ж3-|-8—0.
о /йі О-+-7
У2—9у4~8—0; 2/=-±|/ ——8=—
^=8, у2= 1, слѣд.: и
Рѣшивъ эти двучленныя уравненія, получимъ слѣдующія
6 значеній для х:
х2 = — 1+ ]/ —3; X,, = — 1 —
_-1-1Л=3
--1» 2 ’ ' 2
2а
— 214 —
227. Уравненія, сходныя съ трехчленными. Подобно трехчленнымъ рѣша-
ются также уравненія вида:
а^2~і-Ь^-\-с=0 и
если есть такое выраженіе, содержащее х, которое, будучи приравнено
данному количеству, составитъ уравненіе, разрѣшимое элементарно. Въ
самомъ дѣлъ, положивъ (?=?/, получимъ квадратное или биквадратное
уравненіе относительно у. Найдя всѣ значенія у и подставивъ каждое изъ
ішхъ въ ур. 0^уу найдемъ изъ этого уравненія всѣ значенія х.
Примѣръ: (ж2—5ж4~11)2—12(ж2—5ж-]-11)4~35“0.
Положивъ: я?2—5ж4~И=-Ѵ> получимъ: у*—12?/4-35=Ю
откуда: у^І у^~Ь
слѣд.: ж2—5ж4-11~-7 и ж2—5ж4~11=5
Рѣшивъ эти уравненія, находимъ: ж^-4, ж^І, Жз=3, ж^З.
228. Введеніе вспомогательныхъ неизвѣстныхъ. Иногда уравненіе удается
рѣшить посредствомъ введенія двухъ или болѣе вспомогательныхъ неиз-
вѣстныхъ; въ такомъ случаѣ данное уравненіе приводится къ системѣ
* уравненій съ вспомогательными неизвѣстными.
Примѣръ: (ж4-«)44~(ж4-^)4—с*
Положимъ, что ж4~а~^, ж-|-д=г; тогда рѣшеніе даннаго уравненія сво-
дится къ рѣшенію такой системы:
г/‘-|-2‘=:с; у—%—а—Ь.
Чтобы рѣшить эту систему, возвысимъ второе уравненіе въ 4-ю степень
п вычтемъ изъ него первое; тогда получимъ.
—4?/32-|-6г/2Л—4?/г3—(а—Ъ)1—с
пли 2уг{2уг—Зт/г-р222)=с—(а—6)‘
т.-е. 2у^2(у—2)2-]4/2]—с—(а—й)‘
Но у—&=а—Ъ; подставивъ, найдемъ:
2уз[2(а —6)2-|-у2)=с—(а—Ъ)1
Изъ этого уравненія опредѣлимъ уя; зная уя и у—я, легко затѣмъ най-
демъ у и я.
ГЛАВА VII.
Нѣкоторыя замѣчанія объ алгебраическихъ
уравненіяхъ.
229. Общій видъ всякаго алгебраическаго уравненія. Мы видѣли (§ 94),
что всякое уравненіе, содержащее неизвѣстное въ знаменателяхъ, можетъ
быть приведено къ цѣлому виду. Далѣе мы знаемъ (§ 214), что уравненіе,
содержащее неизвѣстное подъ знакомъ радикала, можетъ быть приведено
къ раціоналі ному виду. Вслѣдствіе этого можемъ утверждать, что всякое
уравненіе, въ которомъ неизвѣстное связано съ данными величинами
— 215 —
посредствомъ конечнаго числа 6-ти алгебраическихъ дѣйствій (сложенія,
вычитанія, умноженія, дѣленія, возвышенія въ степень и извлеченія корня),
можетъ быть приведено къ такому цѣлому и раціональному виду:
ахпг-{Ъхт-г~\гсхт~^-\г.. .-]-кх-\-1:=$
а, й, с... к и I называются коэффиціентами уравненія, а т есть показа-
тель его степени. Нѣкоторые коэффиціенты въ частныхъ случаяхъ могутъ
равняться 0.
У равненіе такого вида паз. алгебраическимъ. Алгебраическія уравненія
степени выше 2-й наз. уравненіями высшихъ степеней-
229,а. Нѣкоторыя свойства алгебраическаго уравненія Уравненія высшихъ
степеней составляютъ предметъ высшей алгебры.', элементарная же раз-
сматриваетъ только нѣкоторые частные случаи эгихъ уравненій.
Высшая алгебра устанавливаетъ слѣдующую важную истину объ уравне-
ніяхъ: всякое алгебраическое уравненіе имѣетъ вещественный или мни-
мый корень (теорема Коши). Допустивъ эту истину (доказательство которой
въ элементарной алгебрѣ было бы затруднительно), не трудно показать,
что алгебраическое уравненіе имѣетъ столько корней, вещественных ъ
или мнимыхъ, сколько единицъ въ показателѣ его степени. Дѣй-
ствительно, пусть имѣемъ уравненіе:
ахт^Ъхтдл~\~схт~^-}~.. .~}-кх~\-1—0 [1)
По указанному выше свойству это уравненіе должно имѣть веществен-
ный или мнимый корень; пусть этотъ корень будетъ а. Тогда многочленъ,
стоящій въ лѣвой части уравненія [1], долженъ дѣлиться на х—а (§ 58,
слѣдствіе). Если сдѣлаемъ дѣленіе, то въ частномъ получимъ многочленъ
степени т—1, у котораго первый коэффиціентъ будетъ а. Обозначивъ
другіе его коэффиціенты соотвѣтственно буквами: Іц, сл,...кі и принимая
во вниманіе, что дѣлимое равно дѣлителю, умноженному на частное, мо-
жемъ представить уравненіе [1] такъ:
(ж—а)(ажя,_1-р&1жот~2-(-с1 хт~Х-.. .Ц-к, )=0 [21
Приравнявъ 0 многочленъ, стоящій во вторыхъ скобкахъ, получимъ но-
вое уравненіе, которое, по тому же свойству, должно имѣть нѣкоторый
корень вслѣдствіе этого лѣвая ѳго часть можетъ быть разложена на
два множителя: х—? и многочленъ степени т—2, у котораго первый
коэффиціентъ попрежнему будетъ а. Поэтому уравненіе [1] можно пере-
писать гакъ:
(х—а)(х—₽)(ажш“2-|-А і ^~3+.. .)=0 [3]
Продолжая эти разсужденія далѣе, дойдемъ, наконецъ, до того, что
многочленъ, заключенный въ послѣднихъ скобкахъ, будетъ 2-й степени,
причемъ первый ѳго коэффиціентъ останется а. Разложивъ этотъ много-
членъ на множителей (§ 198), приведемъ уравненіе [1] окончательно
къ виду:
а(х—аДа;—&)(х— }).. дх—Л)=0 [4]
— 216 —
гдѣ всѣхъ разностей: х—а, х—₽... будетъ т. Очевидно, что ур. [4] обра«
щаѳтся въ тождество при каждомъ изъ значеній ж=а, ж=ф, ж^=у,...ж=Х и
не удовлетворяется никакими иными значеніями ж; значитъ, уравненіе [1]
имѣетъ т корней; і, р, у,... к. Въ частныхъ случаяхъ нѣкоторые или всѣ
корни могутъ оказаться одинаковыми.
Полезно замѣтить еще слѣдующія истины, доказываемыя въ высшей
алгебрѣ:
Если алгебраическое уравненіе съ вещественными коэффиціентами
имѣетъ мнимые корпи, то число этихъ корней четное (примѣромъ можетъ
служить биквадратное уравненіе).
Если алгебраическое уравненіе съ вещественными коэффиціентами
имѣетъ п корней вида р-\-ді, то оно имѣетъ п корней вида р—ді (примѣ-
ромъ можетъ служить биквадратное уравненіе, мнимые корни котораго
всегда сопряженные), и такъ какъ: [х—(р+ді)] [ж—(р—ді)]~[(х—р)—ді]
[(ж—р)+<р]—(ж—р)2~—д2і2^=(х—рУ*+д(*=х'*—2ряН-(р2+<72), т0 лѣвая часть
т равненія содержитъ въ этомъ случаѣ п вещественныхъ множителей вида
ах*-У~Ъх-у-с.
Алгебраическое уравненіе нечетной степени съ вещественными коэффи-
ціентами имѣетъ, по крайней мѣрѣ, одинъ вещественный корень.
Уравненія съ произвольными буквенными коэффиціентами степени 3-й
и 4-й разрѣшены алгебраически, т.-ѳ. для корней этихъ уравненій найдены
общія формулы, составленныя изъ коэффиціентовъ уравненія посредствомъ
алгебраическихъ дѣйствій.
Въ этомъ смыслѣ уравненія съ произвольными буквенными коэффиціен-
тами степени выше 4-й не могутъ быть разрѣшены алгебраически (теорема
Абеля); однако, когда коэффиціенты уравненія какой угодно степени выра-
жены числами, всегда есть возможность вычислить съ желаемой степенью
приближенія всѣ его корни, какъ вещественные, такъ и мнимые. Указаніе
способовъ такого вычисленія составляетъ важную часть предмета высшей
алгебры.
ГЛАВА VIII.
Система уравненій второй степени.
230. Общій видъ уравненія второй степени съ двумя неиз-
вѣстными х и у послѣ упрощенія его есть слѣдующій:
ахі-\Ъху-^-суі-}хІхД-еу-^ /=о
гдѣ коэффиціенты а, Ь, с, й, е и / суть данныя числа,
положительныя или отрицательныя; нѣкоторыя изъ нихъ
могутъ равняться 0.
Одно уравненіе съ двумя неизвѣстными допускаетъ бѳз-
217 —
численное множество рѣшеній, т.-ѳ. принадлежитъ къ числу
неопредѣленныхъ (см. § 97).
231. Система двухъ уравненій, изъ которыхъ одно первой, а
другое второй степени. Пусть имѣемъ систему:
ах^-^хуД-су^йх-^-еу-^-/—^
тх-\-пу==р
Чтобы рѣшить еѳ, опредѣлимъ изъ уравненія первой сте-
пени одно неизвѣстное въ зависимости отъ другого, напр., у
въ зависимости отъ. х, и вставимъ полученное выраженіе -
въ уравненіе второй степени:
р— тх
ах^х +<. +г=0.
\ п у \ п ) \ П )
Послѣднее уравненіе есть квадратное съ однимъ неиз-
вѣстнымъ®. Рѣшивъ его, найдемъ для х два значенія: хг
и хп, соотвѣтственно которымъ получимъ и два значенія
для другого неизвѣстнаго: уг и уп. Такимъ образомъ, пред-
ложенная система имѣетъ двѣ пары рѣшеній: (®1? уг) и
(хіі’ Уіі)'
232. Искусственные пріемы. Указанный пріемъ примѣнимъ
всегда, коль скоро одно уравненіе первой степени, но въ
нѣкоторыхъ случаяхъ удобнѣе пользоваться искусственными
пріемами, для которыхъ нельзя указать общаго правила.
Приведемъ нѣкоторые примѣры:
Примѣръ 1. х-\-у=а-> ху:~Ъ.
Первый способъ. Такъ какъ предложенныя уравненія даютъ
сумму и произведеніе неизвѣстныхъ, то ж и у можно раз-
сматривать, какъ корни такого квадратнаго уравненія (§ 197):
г2—ая-\-Ь=&
л а , . /й* ? а . /а2 '
слѣд.: «=^=--1-1/ у—3і1=^-1/ і>.
— 218 —
Второй способъ. Возвысимъ первое уравненіе въ квадратъ
и вычтемъ изъ него учетверенное второе *):
х^2ху-[-у2=а*
—4-ху=—45
ж2—2ху~\~у2—а2—45
т.-ѳ. (ж—у)2—а*--45; откуда: ж—у=±|/а2—45-
- Теперь имѣемъ систему:
| х-]-у~а Сложивъ и вычтя эти уравненія,
і ж—у=:±у/а?—45 получимъ:
2ж=а^]/ а2—45 2у—а+уга2—ѢЪ
а±і/ а2—4В а=рі/ а2—45
гдѣ знаки ± и т находятся въ соотвѣтствіи другъ съ другомъ,
т.-е. верхнему знаку въ формулѣ для ж соотвѣтствуетъ верх-
ній знакъ въ формулѣ для у, а нижнему знаку въ первой
формулѣ соотвѣтствуетъ нижній знакъ второй формулы.
Такимъ образомъ, данная система имѣетъ двѣ пары рѣ-
шеній: *
Вторая пара отличается отъ первой только тѣмъ, что зна-
ченіе ж первой пары служитъ значеніемъ у второй пары, и
наоборотъ. Это можно было бы , предвидѣть а ргіогі, такъ
какъ данныя уравненія таковы, что они не измѣняются отъ
замѣны ж на у, а у на ж. Замѣтимъ, что такія уравненія
наз. симметричными.
Примѣръ 2. ж—• у—а, ху=Ъ.
Первый способъ. Представивъ уравненія въ видѣ:
Мч—У}—а х(—у)——Ъ
*)< Подобныя фразы употребляются часто, ради краткости, вмѣсто „воз-
высимъсийб части уравненія въ квадратъ*, „умножимъ одѣ части уравненія
на 4“ и’т. п.
— 219 —
замѣчаемъ, что х и —у суть корни такого квадратнаго
уравненія:
е“—аз—Ъ—0
X а I /«2 I 7 / « /«* I Л
слѣд., -+&; у==_0п=_^__^/ __р)
Второй способъ. Возвысивъ первое уравненіе въ квадратъ
и сложивъ его съ учетвереннымъ вторымъ, получимъ:
(х-±у)^.а*-\-4Ъ:, откуда: х-^-у—^Уа^-^АЪ
Теперь имѣемъ систему:
( х-}-у—±У а'-^АЪ Сложивъ и вычтя эти уравненія,
( х—у—а найдемъ:
а±і/ а2—-АЬ —а±У а 4-46
*= 2------ -------4-І-
гдѣ знаки ± въ обѣихъ формулахъ находятся въ соотвѣтствіи.
Примѣръ 3. х-\-у=а, ж2-|-у2=6
Возвысивъ первое уравненіе въ квадратъ и вычтя изъ него
второе, получимъ:
_ . , а2—Ъ
Чху—аг—Ъ, откуда: ху~—
Л
Теперь вопросъ приводится къ рѣшенію системы:
, а^-Ъ
И~Г=а,
которую мы уже разсмотрѣли въ примѣрѣ первомъ.
233. Система двухъ уравненій, изъ которыхъ каждое второй
степени. Такая система въ общемъ видѣ нѳ разрѣшается
элементарно, такъ какъ она приводится къ полному уравне-
нію 4-й степени.
Въ самомъ дѣлѣ, въ общемъ видѣ эта система представляется такъ:
( а х^А-д хуА-с у2А-(і х-^-е уА-/" =0
| а'хі—і>'ху-ус'уі-]-(і/х-]-е'у-]~^'—О
Чтобы исключить одно неизвѣстное, достаточно было бы изъ какого-
либо уравненія опредѣлить одно неизвѣстное въ зависимости отъ другого
и вставить полученное выраженіе во второе уравненіе; но тогда пришлось
бы освобождать уравненіе отъ знаковъ радикала. Можно постудить проще:
— 220 —
умножимъ первое уравненіе на с', а второе на с, и вычтемъ почленно
одно изъ другого; точка исключите# 2/2, и уравненіе приметъ видъ:
или
Откуда
Г7"—0
тх*~-\-рх-\-т
у—---------Ц-------
47 пх-]-у
Вставивъ это значеніе въ одно изъ данныхъ уравненій и освободивъ
полученное уравненіе отъ знаменателей, будемъ имѣть въ окончательномъ
результатѣ полное уравненіе 4-й степени, которое въ 'общемъ видѣ элемен-
тарными способами не разрѣшается.
Разсмотримъ нѣкоторые частные случаи, которые можно
рѣшить элементарнымъ путемъ.
Примѣръ 1. х2^у*==а. ху—Ъ.
Первый способъ (подстановки). Изъ второго уравненія
опредѣляемъ одно неизвѣстное въ зависимости отъ другого,
Ъ т>
напр.,#——. Вставимъ это значеніе въ первое уравненіе и
У
освободимся отъ знаменателя; тогда получимъ биквадратное
уравненіе: у1—а?/2^-й2=О. Рѣшивъ его, найдемъ для у че-
тыре значенія. Вставивъ каждое изъ нихъ въ формулу, вы-
веденную ранѣе для х, найдемъ четыре соотвѣтствующія
значенія для х.
Второй способъ. Сложивъ первое уравненіе съ удвоеннымъ
вторымъ, получимъ:
х^Д-.у^2ху—Ог}-2Ъ:> т.-е. (х^у)2=а-}-2Ъ
Откуда: х~}-у=±^а-^-ЪЪ [1]
Вычтя изъ перваго уравненія удвоенное второе, найдемъ:
х2~\~у2—2ху—а—2Ь, т.-е. \х-±-у)*=а—2Ь
Откуда: х~у=±^а—2Ь [2]
Не трудно видѣть, что знаки ± въ уравненіяхъ [1] и [2]
не находятся въ соотвѣтствіи другъ съ другомъ, и потому
вопросъ приводится къ рѣшенію слѣдующихъ 4-хъ системъ
первой степени:
, /а>Н/—(яН-у= {
' у=уа—2Ь ' |х—у=—]/а—2Ъ
3) ]ЛН"2й /х-Н/——У Н~2г>
' \х—у= ]/а—2Ь ' ?/=—]/а—2й
— 221
Каждая изъ нихъ рѣшается весьма просто посредствомъ
сложенія и вычитанія уравненій.
Третій способъ. Возвысивъ второе уравненіе въ квадратъ,
получимъ слѣдующую систему:
ж2г/2=-4>2
Отсюда видно, что ж2 и у2 суть и корни такого квадрат-
наго уравненія:
22—
V Л О/ . а / О,' , « о П а / О' г с
Слѣд.: ж2^^+|/ у-=гп=-^ — у —- ІР
и ж=±|/ -2+|/^__62, у=^у^-у
гдѣ знаки ± въ обѣихъ формулахъ не находятся въ соотвѣтствіи.
Примѣръ 2. ж2—у2=а, ху~=Ь.
Способомъ постановки легко приведемъ эту систему къ
биквадратному уравненію. Вотъ еще искусственное рѣшеніе:
Возвысивъ второе уравненіе въ квадратъ, будемъ имѣть
систему:
ж2—?/2—а, ж2?/2=&2
или: х2-[-(-~у~)=а, ж2(—?/-')-=—&2
Отсюда видно, что ж2 и—?/2 суть корни такого уравненія:
а2—аз—&=О
Слѣд.: ж^^+і/^Н-й*,
Отсюда найдемъ ж и у.
Ппимѣпъ Э і^-уЪху-Усу^йх^еу-у^
примѣръ 4.
Раздѣливъ второе уравненіе па у2, получимъ:
/ 'Т* \ 2 / /у» \
а' -)+6'(-)4-</=0
\У/ \У/ ‘
Рѣшивъ это квадратное уравненіе относительно —, пай-
У
демъ два значенія: -=т и —=п; откуда; х~ту и х—пу.
— 222 —
Подставивъ въ первое данное уравненіе на мѣсто х эти ве-
личины, получимъ квадратное уравненіе относительно у.
234. Системы трехъ и болѣе уравненій второй степени, а
также системы уравненій высшихъ степеней могутъ быть
рѣшены элементарными способами только въ нѣкоторыхъ
частныхъ случаяхъ посредствомъ искусственныхъ пріемовъ.
Примѣръ 1.
Г х(х^у-^%)=а
<у(х~\-у^)=д Сложивъ всѣ три уравненія, получимъ:
Откуда: х-\~у-{-2—^}/
Послѣ этого изъ данныхъ уравненій находимъ:
а Ъ с
р/ ]/ ]/
(знаки ± находятся въ соотвѣтствіи).
Примѣръ 2.
* да==а, хз=Ъ, ху=с
Перемноживъ всѣ уравненія почленно, получимъ: х*у*2*=г
—аЬс^ т.-е. (ху2У= аЬс, откуда: ху%~±]/аЪс. Раздѣливъ это
уравненіе почленно на данныя, найдемъ:
(знаки ± находятся въ соотвѣтствіи).
ОТДѢЛЪ VI.
Неравенства и неопредѣленныя уравненія.
Г Л А В А I.
Неравенства.
235. Сравненіе чиселъ по величинѣ. Понятіе о томъ, ка-
кое изъ двухъ чиселъ больше или меньше, въ примѣненіи
къ такимъ символамъ, какъ отрицательныя числа, можетъ
имѣть лишь условный смыслъ. Оно выражается въ слѣдуіб-
щемъ опредѣленіи:
Опредѣленіе. Каковы бы ни были знаки чиселъ а и Ъ, а
считается большимъ Ь, когда разность а—Ъ есть положи-
тельное число, а считается меньшимъ Ъ, когда разность
а—Ь есть отрицательное число, и а считается равнымъ
Ь, когда разность между ними равна нулю.
Изъ этого опредѣленія, не противорѣчащаго нашему по-
нятію о большемъ и меньшемъ въ примѣненіи къ обыкно-
веннымъ ариѳметическимъ числамъ, можно вывести слѣдую-
щія слѣдствія:
1) Всякое положительное число больше всякаго отрица-
тельнаго, потому что разность между первымъ и вторымъ
всегда положительна; такъ, П0ТОМУ что разность
3—(—2), равная 3—|—2, есть число положительное.
2) Всякое положительное число больше нуля по той же
причинѣ.
3) Всякое отрицательное число меньше нуля, потому что
разность между первымъ и вторымъ всегда отрицательна.
— 224 —
Основываясь на слѣдствіяхъ 2-мъ и 3-мъ, когда жела-
ютъ выразить, что число а положительное, обыкновенно
пишутъ такъ: сГ>0; если же желаютъ выразить, что а отри-
цательное число, то пишутъ: а<4).
4) Изъ двухъ отрицательныхъ чиселъ то больше, у кото-
раго абсолютная величина меньше; напр.,—7 больше—9,
такъ какъ разность (—7)—(—9), равная 9—7, есть число
положительное.
б) Если А^>В, то В<^А, такъ какъ если разность А—В
положительна, то разность В—-А отрицательна.
6) Если А^>В и В>С, то А^>С, такъ какъ если раз-
ности А—В и В—0 положительны, и сумма этихъ разностей
положительна, а эта сумма равна А—С.у
236. Неравенства и ихъ подраздѣленія. Два алгебраиче-
скія выраженія, соединенныя между собою знаками^>или<^,
составляютъ неравенство.
Неравенство состоитъ изъ двухъ частей: лѣвой и правой.
Подобно равенствамъ, неравенства бываютъ двоякаго рода:
•1) неравенства тождественныя, вѣрныя при всякихъ числен-
ныхъ значеніяхъ буквъ, входящихъ въ нихъ, и 2) неравен-
ства, соотвѣтствующія уравненіямъ, вѣрныя только при нѣ-
которыхъ значеніяхъ буквъ (этп буквы наз. тогда неизвѣст-
ными неравенства; онѣ обыкновенно бѳрутея изъ послѣднихъ
буквъ алфавита). Напр., неравенство:
выражающее, что среднее ариѳметическое двухъ положитель-
ныхъ чиселъ больше ихъ средняго геометрическаго, вѣрно
при всякихъ положительныхъ значеніяхъ буквъ а и д, не
равныхъ другъ другу *); тогда какъ неравенство:
Зя+2<#+10
вѣрно не при всякихъ значеніяхъ а только для такихъ,
которыя меньше 4.
Неравенства второго рода, подобно уравненіямъ, раздѣ-
ляются по числу неизвѣстныхъ и по степенямъ ихъ.
*) Доказательство ©того приведено ниже въ § 244, примѣръ 1,
— 225 —
Два неравенства, удовлетворяющіяся одними и тѣми же
значеніями буквъ, наз. равносильными */
237. Два рода вопросовъ относительно неравенствъ. Отно-
сительно неравенствъ (какъ и равенствъ) могутъ быть пред-
лагаемы вопросы двоякаго рода:
1) доказать тождественное неравенство, т.-е. обнаружить
его вѣрность при всевозможныхъ значеніяхъ буквъ, или
ограниченныхъ заданными напередъ условіями;
2) рѣшить неравенство, т.-е. опредѣлить, между какими
предѣлами должны заключаться численныя значенія неизвѣ-
стныхъ, входящихъ въ неравенство, чтобы оно было вѣрно,
т.-е. больше чего, или меньше чего должны быть эти зна-
ченія неизвѣстныхъ.
Рѣшеніе вопросовъ того и другого рода основывается на
нѣкоторыхъ теоремахъ подобныхъ тѣмъ, которыя служатъ
основаніемъ для рѣшенія уравненій.
238. Теорема 1. Если къ обѣимъ частямъ неравенства
придадимъ (или отъ нихъ вычтемъ) одно и то же число или
алгебраическое выраженіе, то получимъ новое неравенство,
равносильное первому.
Обозначимъ черезъ т какое угодно число или алгебраи-
ческое выраженіе и докажемъ, что два неравенства:
4>В [1] и А+т>В-{-т [2]
равносильны. Положимъ, что первое неравенство удовлетво-
ряется при нѣкоторыхъ значеніяхъ буквъ. Это значитъ, что
при этихъ значеніяхъ разность А—В положительное число;
но тогда, при тѣхъ же значеніяхъ буквъ, и разность (ЛЦ-т) —
(В-{-т) положительное число, такъ какъ эта разность (по
сокращеніи -Л-т и —т) тождественно равна А—В. Обратно,
если для нѣкоторыхъ значеній буквъ, разность (А-^-т)—(В-\-т)
положительна, то для тѣхъ же значеній буквъ и разность А—В
положительна. Изъ этого слѣдуетъ, что разсматриваемыя два
неравенства равносильны.
♦) Также тождественными, эквивалентными, однозначащими.
А. Киселевъ. Алгебра. 15
— 226 —
Слѣдствіе. Члены неравенства можно переносить изъ одной
части въ другую съ обратными знаками. Если, напр., имѣемъ:
(
то > отнявъ отъ обѣихъ частей по С, получимъ: А— С^>В.
Замѣчаніе. Истина, изложенная въ этомъ §, не теряетъ своей силы и
тогда, когда къ обѣимъ частямъ неравенства прибавляется алгебраиче-
ское выраженіе, содержащее неизвѣстныя. Но. чтобы устранить всякія
недоразумѣнія, должно разсмотрѣть особо тотъ случай, когда какія-нибудь
значенія буквъ, удовлетворяющія неравенству А^>В, обращаютъ въ со
выраженіе, прибавляемое къ обѣимъ частямъ неравенства. Пусть, напр.,
къ частямъ неравенства: 2ж-]-1>3 мы приложили по —:
а—ж
2ж+і>з [1] [2]
Неравенство [1] удовлетворяется, между прочимъ, при это значе-
ніе х обращаетъ выраженіе въ со, и неравенство [2] при х=^2 при-
—х
нимаетъ видъ: со>со. Возникаетъ вопросъ, можно ли утверждать, что
значеніе х=.2 удовлетворяетъ неравенству [2]? Чтобы отвѣтить на этотъ во-
просъ, надо условиться, въ какомъ смыслѣ понимать неравенство ео>оо.
Это неравенство принимаютъ за тождество лишь въ томъ случаѣ, когда,
по мѣрѣ безпредѣльнаго увеличенія обѣихъ частей неравенства, раз-
ность между лѣвой и правой его частями имѣетъ предѣломъ положи-
тельное число (ср. § 91). Если такъ, то можемъ утверждать, что неравен-
ство [2] удовлетворяется и при х=2, такъ какъ по мѣрѣ безпредѣльнаго
увеличенія ѳго частей (что будетъ при неограниченномъ приближеніи х къ
2) разность между его лѣвою и правою частями, равная 2х—2, стремится
къ положительному числу .
Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что неравенства:
А>В и А-\-т^>В-\-т
равносильны во всѣхъ случаяхъ безъ исключенія.
239. Теорема 2. Если обѣ части неравенства умножимъ
(или раздѣлимъ) на одно и то же положительное число, не
равное 0, то получимъ новое неравенство, равносильное пер-
вому.
Докажемъ, что два неравенства:
А^>В [1] и Ат^>Вт [2]
равносильны, если только т положительное число, не рав-
ное 0.
— 227 —
Пусть при нѣкоторыхъ значеніяхъ буквъ разность А—В
положительное число; тогда, при тѣхъ же значеніяхъ буквъ,
и разность Ат—Вт будетъ тоже положительное число, такъ
какъ эта разность равна т (А—В), т.-е. представляетъ про-
изведеніе двухъ положительныхъ множителей: т и А—В.
Обратно, если при нѣкоторыхъ значеніяхъ буквъ разность
Ат—Вт, равная т (А—В), есть положительное число, то
при тѣхъ же значеніяхъ буквъ и разность А—В должна
быть положительное число (такъ какъ множитель т положи-
теленъ). Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что разсматриваемыя не-
равенства равносильны.
Слѣдствіе. Если обѣ части неравенства содержатъ поло-
жительнаго общаго множителя, то на него можно сократить
неравенство. Напр., въ обѣихъ частяхъ неравенства:
1) >(ж—5)2(3—х)
есть общій множитель (х—5)2. Этотъ множитель при х~о
обращается въ 0, а при всѣхъ остальныхъ значеніяхъ есть
число положительное. Рѣшеніе х=5 не удовлетворяетъ дан-
ному неравенству. Желая рѣшить, удовлетворяется ли оно
при другихъ значеніяхъ х, мы можемъ сократить обѣ части
неравенства на (х—5)2, какъ на число положительное; послѣ
сокращенія получимъ неравенство:
х—1>3—х
Всѣ значенія а?, удовлетворяющія этому неравенству, за
исключеніемъ х=Ѣ, удовлетворяютъ и данному неравенству.
240. Теорема 3. Если обѣ части неравенства умножимъ
(или раздѣлимъ) на одно и то же отрицательное число и
при этомъ перемѣнимъ знакъ неравенства на обратный, то
получимъ новое неравенство, равносильное первому.
Требуется доказать, что неравенства:
А>В [1] и Ат<Вт [2]
равносильны, если только т есть отрицательное число. Дѣй-
ствительно, разность Ат—Вт, равная пр(А—В), можетъ
быть отрицательна, при т отрицательномъ, только при та-
кихъ значеніяхъ буквъ, при которыхъ А—В положительное
15*
— 228 —
число. Значитъ, неравенства [1] и [2] удовлетворяются одними
и тѣми же значеніями буквъ, т.-е. они равносильны.
Слѣдствія. 1) Перемѣнивъ у всѣхъ членовъ неравенства
знаки на обратные (т.-е. умноживъ обѣ его части на—1), мы
должны измѣнить знакъ неравенства на обратный.
2) Нельзя умножать обѣ части неравенства на буквеннаго
множителя, знакъ котораго неизвѣстенъ.
( 3) Неравенство съ дробными членами можно привести къ
цѣлому виду. Пусть, напр., имѣемъ:
—[1]
в^в 11
Перенесемъ всѣ члены въ лѣвую часть и приведемъ ихъ
къ общему знаменателю; тогда получимъ:
Ав~ва г-21
ВВ
Если ВВ положительное число, то мы можемъ его отбро-
сить, не измѣняя знака неравенства, потому что отбросить
ВВ все равно, что умножить на это количество обѣ части
неравенства; тогда получимъ:
АВ-ВСГ>0
Если ВВ отрицательное число, то мы можемъ его отбро-
сить, перемѣнивъ знакъ неравенства на обратный; тогда
получимъ:
АВ-ВС<А)
Но когда знакъ ВВ неизвѣстенъ (что бываетъ вообще
тогда, когда В и В содержатъ неизвѣстныя), мы не можемъ
умножать обѣ части неравенства на ВВ, Тогда разсуждаемъ
такъ: чтобы дробь была положительна, необходимо и доста-
точно, чтобы у нея числитель и знаменатель были одновре-
менно или положительны, или отрицательны. Слѣд., нера-
венство [2] удовлетворится при такихъ значеніяхъ буквъ,
при которыхъ
(АВ-ВСУ>0 (АВ-ВС<0
I ВВ>0 ИЛИ I ВВ<АУ
Такимъ образомъ, рѣшеніе неравенства [1] сводится къ рѣ-
шенію системъ неравенствъ, не содержащихъ знаменателей.
— 229 -
241. Теорема 4. Если сложимъ почленно два неравенства одинако-
ваго смысла, то получимъ новое неравенство, удовлетворяющееся
всѣми значеніями буквъ, способными удовлетворить двумъ первымъ
неравенствамъ одновременно.
О двухъ неравенствахъ говорятъ, что они одинаковаго смысла, если
одновременно въ обоихъ лѣвыя части или больше, или меньше правыхъ; въ
противномъ случаѣ говорятъ, что неравенства противоположнаго смысла.
Требуется доказать, что значенія буквъ, удовлетворяющія одновременно
двумъ неравенствамъ:
АуВ и АІ'^>В1
удовлетворяютъ также и слѣдующему неравенству:
А+А^В^В,
Дѣйствительно, при такихъ значеніяхъ буквъ обѣ разности: А—В и
должны быть положительны; слѣд., должна быть положительна
и сумма этихъ разностей, т.-ѳ. (А—В)-\-(Аі—Вг); но эта сумма равна
(АА~Аі)—(В+В{); слѣд.: .
242. Теорема 5. Если вычтемъ почленно два неравенства противо-
по. южнаго смысла, оставивъ знакъ того неравенства, котораго части
были приняты за уменыиаемое, то получимъ новое неравенство,
удовлетворяющееся всѣми значеніями буквъ, способными удовле-
твщущть двумъ первымъ неравенствамъ одновременно.
Требуется доказать, что Значенія буквъ, удовлетворяющія одновременно
двумъ неравенствамъ противоположнаго смысла:
А>В и Д<5,
удовлетворяютъ также и слѣдующему неравенству:
Дѣйствительно, при такихъ значеніяхъ буквъ обѣ разности А—В и
—А1 должны быть положительны; слѣд., и сумма этихъ разностей должна
быть положительна; но эта сумма равна ('А-А^— (В—В{); значитъ»
А- АС>В~В{.
243. О неравенствахъ, у которыхъ части суть числа положительныя,
можно высказать еще слѣдующія, почти очевидныя, истины: >
1) Если А>В и то АС>ВВ-, \
2) Если АЗ>В, то А^В*., А^^В3 и т. д.
3) Если А^>В, то ]/Л>|/ В, и т. д. (гдѣ раз-
сматривается только ариѳметическое значеніе корня).
.4) Если АЗ>В п С^В, тоА^>у\-
С 1)
244. Доказательство неравенства. Нельзя установить какихъ-либо общихъ
правилъ для обнаруженія вѣрности предложеннаго неравенства Замѣлимъ
— 230 -
только, что для этой цѣли или преобразовываютъ неравенство такъ, чтобы
оно сдѣлалось очевиднымъ, или же, наоборотъ, исходя изъ какого-либо
очевиднаго неравенства, путемъ логическихъ разсужденій доходятъ до
предложеннаго. Приведемъ нѣкоторые примѣры:
I. Доказать, что среднее ариѳметическое двухъ неравныхъ поло-
жительныхъ чиселъ больше ихъ средняго геометрическаго, т.-е.,
что
Предположимъ, что данное неравенство вѣрно. Въ такомъ случаѣ бу-
дутъ вѣрны и слѣдующія неравенства:
—!~!—^>аЪ; а^-\-2аЪ-{-Ъ^>^аЪ;
а2—2аб-р2>0; (а—6)2>0.
Такь какъ (а — при всякихъ значеніяхъ а и Ъ, не равныхъ другъ
другу, есть число положительное, то послѣднее неравенство безспорно.
Переходя отъ него послѣдовательно къ предыдущимъ, убѣдимся, что и
предложенное неравенство вѣрно *).
II. Доказать, что величина дроби:
аіН~'аг4'аз4~- -4~ап
4А+-
заключается между большею и меньшею изъ дробей:
21 21 Ѣ ѣ
Ъ ’ Ъ 5 Ъ ’ Ъ ’
иі из ип
если аь а2,... ап,... Ъъ Ъ%,... Ьп положительныя числа.
Пусть будетъ дробь, которая не больше никакой изъ остальныхъ дро-
бей, 1і ~ будетъ дробь, которая не меньше никакой изъ остальныхъ
дробей. Положимъ, что 71 и ?-==%. Тогда согласно предположенію:
01 оп
ТГ—Чп^т—^Чп •••
ип ип-\
*) Полезно замѣтить, что неравенство это становится нагляднымъ, если
придадимъ ему геометрическій смыслъ. На произвольной прямой отло-
жимъ отрѣзокъ АВ, содержащій а линейныхъ единицъ, и въ томъ же на-
правленіи отрѣзокъ ВС, содержащій Ь такихъ же линейныхъ единицъ.
На отрѣзкѣ АС, равномъ а-\-Ь, построимъ, какъ на діаметрѣ, полу-
окружность и изъ В возставимъ къ АС перпендикуляръ ВВ до пересѣче-
нія съ полуокружностью. Тогда, какъ извѣстно изъ геометріи, ВВ есть
средняя геометрическая АВ и ВС, т.-ѳ. ВВг^ад; средняя ариѳметическая
АВ и ВС равна, очевидно, радіусу. Такъ какъ хорда меньше діаметра, то
ВВ меньше радіуса, если только ВВ не совпадаетъ съ радіусомъ, т.-ѳ.
если а=^=д.
— 231 —
Отсюда:
и <Ѵ=А&„ аи-і^и-і& ••• б^Ч>
Сложивъ почленно неравенства 1-й строки между собою и неравенства
2-й строки между собою, получимъ:
°1 +®44_°з+- • • •+а»^:(Л_Н'2_Н’з • • • •~Н,и)<71
И аі-|~а2~НІ3'-В • • • • • •~Н*Я)(7Я
Откуда, раздѣливъ обѣ части неравенствъ на положительное число
Ьі+&2~Н>з* ••+&«, окончательно найдемъ;
а, -{-а,, -|-аз 4~.-Нѵ~. „
^і4Л4Л+..........4-б„^’
что и требовалось доказать.
245. Рѣшеніе одного неравенства первой степени съ однимъ
неизвѣстнымъ. Общій видъ неравенства первой степени съ
однимъ неизвѣстнымъ, послѣ раскрытія въ немъ скобокъ и
освобожденія отъ дробныхъ членовъ, есть слѣдующій:
ах+Ъ^Ыіх+Ъі
Перенеся неизвѣстные члены въ лѣвую часть, а извѣстные
въ правую, получимъ:
(а——Ъ
Когда а—а^О, то, раздѣливъ на а—ах обѣ части нера-
венства, найдемъ:
^а—а^
Если же а—а± <^0, то получимъ:
а—
Такимъ образомъ, одно неравенство первой степени даетъ
для неизвѣстнаго одинъ предѣлъ *), ограничивающій значе-
ніе неизвѣстнаго или сверху (ж<^ж), или снизу (х^>т). По-
этому вопросы, рѣшеніе которыхъ приводится къ рѣшенію
*) Здѣсь слово „предѣлъ“ пѳ имѣетъ того значенія, которое придается
ему, когда говорятъ о „предѣлѣ* перемѣннаго числа; здѣсь, какъ и въ
нѣкоторыхъ другихъ случаяхъ (напр., въ выраженіи „предѣлъ погрѣшно-
сти") слово „предѣлъ" означаетъ число, больше котораго или меньше ко-
тораго разсматриваемая величина нѳ можетъ быть.
— 232 —
одного неравенства первой степени, принадлежатъ къ во-
просамъ неопредѣленнымъ.
Примѣръ Рѣшить неравенство 2х(2х—5)—27<^(2х-{-1)2.
Раскрываемъ скобки: 4ж2—10ж—27<^х2-\Лх-\-1.
Переносимъ члены и дѣлаемъ приведеніе:—14ж<^28.
Дѣлимъ обѣ части на—14: х^>—2.
246. Два неравенства первой степени съ однимъ неизвѣст-
нымъ. Иногда случается, что вопросъ приводится къ рѣше-
нію двухъ неравенствъ:
ах-\-Ь^>агх-\-ІУ и сх-}~(Г>с!х-\-сѴ
Рѣшивъ эти неравенства, получимъ изъ каждаго по одному
предѣлу для неизвѣстнаго. При этомъ могутъ представиться
3 случая:
1) Предѣлы одинаковаго смысла; тогда достаточно взять
одинъ изъ нихъ. Если, напр., х>7 и х'уЛ2, то достаточно
взять только яГ>12, потому что, если ж^>12, то, и подавно,
х^>7\ или если, напр., х<^Ъ и ях^8, то достаточно положить,
что потому что тогда, и подавно, я;<^8.
2) Предѣлы противоположнаго смысла и не противорѣ-
чатъ другъ другу; напр.: яГ>10 и х<Л5. Въ этомъ случаѣ
для неизвѣстнаго можно брать только такія значенія, кото-
рыя заключены между найденными предѣлами.
3) Предѣлы противоположнаго смысла и противорѣчатъ
другъ другу, напр.: х<^> и х^>7. Въ этомъ случаѣ неравен-
ства, взятыя совмѣстно, невозможны.
3
Примѣръ. Найтпи число,котораго, сложенныя съ 5, мень-
ше половины искомаго числа, а 5 разъ взятое число меньше
суммы 60-ти съ удвоеннымъ искомымъ числомъ.
Обозначивъ искомое число черезъ х, получимъ согласно
условіямъ задачи:
3 1
и бж<^60-2х
Откуда: яГ>25 и я;<^20
Слѣд., задача невозможна.
— 233 —
246а. Рѣшеніе неравенства второй степени съ однимъ неизвѣстнымъ. Общій
видъ такого неравенства, по упрощеніи его, есть слѣдующій:
Такъ какъ знакъ <всегда можетъ быть приведенъ къ знаку> (умно-
женіемъ обѣихъ частей неравенства на—1), то достаточно разсмотрѣть
неравенство вида:
ааз2-г&ж-гс>о
въ которомъ число а можетъ быть. и положительнымъ, и отрицательнымъ.
Рѣшеніе этого неравенства основано на свойствѣ трехчлена ах2~\~Ъх-\-с
разлагаться на множителей 1-й степени относительно х (§ 198). Обозна-
чивъ черезъ а и корни этого трехчлена, имѣемъ: ах2-^Ъх-^-с~а(х—а)
(х—[У, и, слѣд., неравенство можно написать такъ:
а(х—а) (3)>0
Разсмотримъ отдѣльно три случая:
I. Корни а и ? вегцественные неравные. Пусть «>?• Если сС>0, то
произведеніе а(х—а) (х—очевидно, тогда положительно, когда каждая
изъ разностей: х—а и х—р положительна или каждая отрицательна. Для
этого достаточно, чтобы х было больше а (тогда подавно х больше- р),
или же чтобы х было меньше 3 (тогда подавно х меньше а). Сліід., въ
этомъ случаѣ неравенство получаетъ рѣшеніе:
или
т.-е. х должно быть или больше большаго корня, или меньше меньшаго
корня.
Если же а<Д то произведеніе а(х—а) (х—тогда положительно, когда
одна изъ разностей: х—а и х—? отрицательна, а другая положительна.
Для этого достаточно, чтобы х удовлетворяло неравенствамъ:
х<іа и
т.-ѳ. чтобы величина х заключалась между корнями трехчлена.
II, Корни а и $ вещественные равные. Если а=$, то неравенство
принимаетъ видъ:
а(гг~а)24>0
Такъ какъ при всякомъ вещественномъ значеніи ж, не равномъ а, ве-
личина (х а)2 положительна, то при а>0 неравенство удовлетворяется
всевозможными вещественными значеніями о?, за исключеніемъ сс=а, а при
а<^0 это неравенство невозможно.
III. Корни а и $ мнимыя количества. Пусть а^т^У^-п; въ такомъ
случаѣ {і—т~V—п.
— 234 —
Тогда: ж—а=ж——п)=(х—т)—]/ — п.
и х—р=ж—(ш—]/—п)=(ж—т)-\-р—п.
Слѣд.: а(х—а) (ж—р)=а[(ж—т)а—(|/—п)'2]=а[(ж—т)2Ц-п]
и неравенство можно написать такъ:
а [(Ж—т)2-рп] >0.
Такъ какъ сумма (х—?п)2-|-п, при всякомъ вещественномъ значеніи х9
есть число положительное, то при а>0 неравенство удовлетворяется все-
возможными значеніями ж, а при оно невозможно.
Примѣры: 1) Рѣшить неравенство: ж2-|-3ж—28>0. Корни трехчлена:
а=4, —7. Слѣд., неравенство можно написать: (ж—4) [ж—(—7)]>0.
Отсюда видно, что ж^>4, или ж<^—7.
2) Рѣшить неравенство: 4ж2—28ж-|-49<Х). Корни суть:
Поэтому:
4(ж—3*/2)2<0.
Откуда видно, что неравенство невозможно.
3) Рѣшить неравенство: х*—4ж-|-7>0. Корни суть: а=2-{-}/—-3
2—Ѵ~3; поэтому неравенство можно написать такъ:
(ж—2)2-|-3>0
Отсюда видно, что оно удовлетворяется всевозможными вещественными
значеніями ж.
ГЛАВА II.
РѢптРіпе въ цѣлыхъ и положительныхъ числахъ
неопредѣленнаго уравненія первой степени съ
двумя неизвѣстными.
Задачи. 1) Сколько нужно взять монетъ въ 2 коп. и въ 3 коп.,
чтобы составилась сумма 25 коп.?
Вопросъ приводится къ рѣшенію въ цѣлыхъ и положительныхъ
числахъ неопредѣленнаго уравненія 2х-\-Зу~25.
2) Въ обществѣ, состоящемъ изъ мужчинъ и женщинъ, былъ сдѣ-
ланъ въ складчину сборъ, причемъ каждый мужчина платилъ по 5
руб., а каждая женщина по 2 руб. Сколько было въ этомъ обществѣ
мужчинъ и сколько женщинъ, если сборъ составилъ 1.00 руб.?
Вопросъ приводится къ рѣшенію въ цѣлыхъ и положительныхъ
числахъ уравненія 5ж-}-22/=100.
— 235 —
247. Предварительное замѣчаніе. Какъ было прежде разъ-
яснено (§ 97), одно уравненіе съ двумя неизвѣстными имѣетъ
безчисленное множество рѣшеній и потому иаз. неопредѣ-
леннымъ. Но бываютъ вопросы, когда требуется найти не
какія бы то ни было рѣшенія неопредѣленнаго уравненія,
а только цѣлыя и притомъ положительныя^ при этомъ усло-
віи можетъ случиться, что одно уравненіе съ двумя неизвѣ-
стными окажется опредѣленнымъ (а ичогч.а невозможнымъ).
Разсмотримъ сначала, какъ можно находить двлыя рѣшенія,
а потомъ цѣлыя и положительныя.
1. Нахожденіе цѣлыхъ рѣшеній.
248. Когда неопредѣленное уравненіе не имѣетъ цѣлыхъ
рѣшеній. Всякое уравненіе первой степени съ двумя неиз-
вѣстными, послѣ надлежащихъ преобразованій, можетъ быть
приведено къ виду: СІХ-]~1)у=С, гдѣ а, э и с суть дан-
ныя цѣлыя числа, положительныя пли отрицательныя. Мы
предположимъ, что эти числа не имѣютъ никакого обшаго
дѣлителя, кромѣ 1, потому что въ противномъ случаѣ мы
могли бы сократить на него уравненіе. Если при этомъ ко-
эффиціенты а и Ь имѣютъ какого-нибудь общаго дѣлителя,
кромѣ 1, то уравненіе не можетъ имѣть цѣлыхъ рѣіиеній.
Въ самомъ дѣлѣ, если допустимъ, что а и Ь имѣютъ общаго
дѣлителя т>1, а с на него подѣлится, то, при цѣлыхъ зна-
ченіяхъ х и у, лѣвая часть уравненія представляетъ число,
дѣлящееся на ?п, а правая часть даетъ число, не дѣлящееся
на т\ значитъ, уравненіе невозможно при цѣлыхъ значеніяхъ
х и у.
Напр., уравненіе 6х— 21?/=19 не удовлетворяется ника-
кими цѣлыми числами, такъ какъ при цѣлыхъ значеніяхъ
х и у разность &х—21у дѣлится па 3, тогда какъ 19 не дѣ-
лится на 3.
Итакъ, разсмотримъ рѣшеніе уравненія ах ^ Ьу—с въ пред-
положеніи, что числа а и Ъ взаимно простыя.
249. Частный случай, когда а или Ь равно 1. Уравне-
ніе ах-\-Ьу — с рѣшается весьма просто, если а или Ъ
равно 1»
— 236 —
Пусть, напр., 6=1, д. ѳ. уравненіе имѣетъ видъ:
ах-\-/у=с\ откуда у=с—ах
Изъ послѣдняго равенства видимъ, что, подставляя вмѣ-
сто х какія угодно цѣлыя числа (положительныя или отри
дательныя), будемъ получать и для у цѣлыя числа. Число
этихъ рѣшеній, очевидно, безконечно; всѣ они заключены
въ равенствѣ: у=с—ах, которое поэтому можно разсматри-
вать, какъ рѣшеніе предложеннаго уравненія.
Примѣръ. Рѣшить уравненіе: х—Ѣу=П.
Рѣшеніе: х=Ъу-\-11.
Подставляя вмѣсто у произвольныя цѣлыя числа: 0, 1, 2,
3... —1, )—2, —3..., получимъ для х соотвѣтствующія
значенія, выставленныя въ слѣдующей таблицѣ:
У= 0 1 2 3 4 .... .... —1 —2 —3 —4
х= 17 22 27 32 37 .... .... 12 7 2 —3
250. Частный случай, когда с=0. Чтобы рѣшить урав-
неніе: ах-\-Ьу=(), гдѣ а и Ъ суть цѣлыя числа взаимно про-
стыя, опредѣлимъ какое-нибудь одно неизвѣстное въ зависи-
мости отъ другого неизвѣстнаго; напр.:
Ъу
Изъ этого равенства видно: чтобы х было цѣлое число,
необходимо и достаточно, чтобы произведеніе бу дѣлилось
на а; но Ь и а суть числа взаимно простыя; поэтому для дѣ-
лимости Ъу на а необходимо и достаточно, чтобы у дѣлилось
па а, т.-е., чтобы частное у!а было цѣлое число. Приравнявъ
это частное произвольному цѣлому числу і, получимъ:
у л оаі ,
~=1, у=аі и х=-------=—61
а ’ * а
Такъ какъ I означаетъ произвольно цѣлое число, какъ
положительное, такъ и отрицательное, то мы можемъ замѣ-
— 237 —
нить I на — тогда получимъ для неизвѣстныхъ другія
формулы:
у—~аі\ х—Ы
Такимъ образомъ, уравненіе ах-\-Ъу—§ имѣетъ рѣшенія,
выражаемыя формулами:
/ х=—Ы ( х=Ы
или \ у=аі или \ у=-аі
Формулы эти можно высказать такъ: каждое неизвѣстное
уравненія ах-|-Ьу=О, равно одному и тому же произволь-
ному цѣлому числу, умноженному на коэффиціентъ при
другомъ неизвѣстномъ, причемъ какой-нибудь одинъ изъ
этихъ коэффиціентовъ долженъ бить взятъ съ обратнымъ
знакомъ.
Примѣры: 1) 11х-}-Ъу~0; х——5^, ?/=17^ или ж=5/, у——111.
2) *дх—13т/=0; у=.^і\ или х=—у=.—МІ, м
251. Общій случай. Когда ни одинъ изъ коэффиціентовъ
а и Ъ не равенъ 1, и с не равно 0, данное уравненіе, по-
средствомъ нѣкоторыхъ преобразованій, приводятъ къ дру-
гому уравненію, у котораго коэффиціенты меньше сравни-
тельно съ первымъ; это уравненіе, въ свою очередь, при-
водятъ къ третьему, у котораго коэффиціенты еще меньше
и т. д.? пока не получатъ уравненія, у котораго коэффи-
ціентъ при какомъ-нибудь неизвѣстномъ равенъ 1. Такое
уравненіе, какъ мы видѣли, рѣшается непосредственно.
Пусть имѣемъ уравненіе: ах^Ьу=ж [1]. Чтобы привести
его къ другому, у котораго коэффиціенты меньше, употре-
бимъ послѣдовательно такіе три пріема:
1) Опредѣлимъ изъ уравненія то неизвѣстное, у котораго
коэффиціентъ меньше^ пусть, напр., тогда опредѣлимъ у:
с—ах
У=~1Г-
2) Исключимъ изъ полученной неправильной дроби цѣлое
число. Пусть отъ дѣленія с на Ь частное и остатокъ соот-
вѣтственно будутъ сл и д, а отъ дѣленія а на Ь частное
и остатокъ будутъ а^ и г; тогда:
. а—гх
у—С1—аххЛ
- 238 -
Разсматривая это уравненіе, заключаемъ: если х и у числа
ѵ д~ тх
цѣлыя, то и частное^—т—
также должно быть числомъ цѣ-
г а—гх у х
лымъ; обратно, если частное —&— число цѣлое, при цѣломъ
значеніи х^ то и у будетъ цѣлымъ числомъ; значитъ, для того,
чтобы х и у были числа цѣлыя, необходимо и достаточно,
. а—гх * *
чтобы выраженіе —— было числомъ цѣлымъ при цѣломъ х.
Поэтому:
3) приравниваемъ произвольному цѣлому числу I дробь, по-
лучившуюся послѣ исключенія цѣлаго числа:
12Ь тогда: Ѵ=^ — а^хД-і [Л]
Если мы найдемъ цѣлыя значенія для х и I, удовлетво-
ряющія ур. [2], то, подставивъ ихъ въ [Л], найдемъ и для у
соотвѣтствующее цѣлое число. Такимъ образомъ, рѣше-
ніе ур. [1] сводится къ рѣшенію ур. [2], которое можно
написать такъ:
Ы~\-гх=ц
Коэффиціенты этого новаго уравненія меньше коэффиціен-
товъ даннаго уравненія, потому что одинъ изъ нихъ равенъ
меньшему коэффиціенту даннаго уравненія (именно 6), а дру-
гой (г) равенъ остатку отъ дѣленія большаго коэффиціента
даннаго уравненія на его меньшій коэффиціентъ.
Тѣмъ же способомъ мы приведемъ уравненіе [2] къ треть-
ему, у котораго коэффиціенты еще меньше; это—къ четвер-
тому, у котораго коэффиціенты еще меньше и т. д., пока,
наконецъ, не получимъ уравненія, у котораго одинъ изъ
коэффиціентовъ будетъ 1.
Примѣръ. Рѣшить въ цѣлыхъ числахъ уравненіе:
2вх—7у=АЗ
— 239 —
Прилагая къ этому уравненію указанные три пріема, на-
ходимъ:
26я—-43 „ о . &х—1
У=----? =3ж—6-|-----.
[2] [Л]
Изъ уравненія [2] опредѣляемъ а?, у котораго коэффи-
ціентъ меньше:
, 1+^
Приравниваемъ —~— произвольному цѣлому числу :
ЦД=4 [3] х=Ц-і, [В]
Изъ уравненія [3] опредѣляемъ і, у котораго коэффи-
ціентъ меньше:
I__X
Приравниваемъ-Цу— произвольному цѣлому числу ^2:
л
^-=4 [4] 1=2і++ [С]
Въ уравненіи [4], которое можно написать такъ: —1—
—.2^, коэффиціентъ при одномъ неизвѣстномъ равенъ 1, а
потому оно рѣшается непосредственно:
4=14-24 [В]
Здѣсь можетъ принимать произвольныя цѣлыя зна-
ченія. Положивъ, напр., /2 = 0, найдемъ: ^ = 1; подста-
вивъ эти числа въ ур. [С], получимъ 2=2; изъ ур. [В]
находимъ: х=3, и, наконецъ, ур. [Л] даетъ у=5. Назна-
чивъ для какое-нибудь другое цѣлое число и переходя
послѣдовательно черезъ уравненія [Л], [С], [5] и [Л], най-
демъ соотвѣтствующія значенія х и у.
Впрочемъ, предпочитаютъ составлять формулы, выражаю-
щія х и у въ прямой зависимости отъ окончательнаго про-
извольнаго цѣлаго числа. Переходя послѣдовательно отъ ур.
- 240 —
[Р] къ [С], отъ [С] къ [В] и отъ [В] къ [Л], найдемъ по-
средствомъ подстановокъ:
^=1-{-2^; ^(1 +2/2)+/2=2+5/2;
Я?=(2-[-5^2)-{-(1 -{-2^ )=3-(-7;
^3(34-7/2)~-6-Н24-5/2)=5^2В4;
Равенства: <г=3-|-7/2 и ^=5-|-2622
представляютъ собою общее рѣшеніе даннаго уравненія,
такъ какъ, подставляя вмѣсто ^2 произвольныя цѣлыя числа,
какъ положительныя, такъ и отрицательныя, будемъ полу-
чать всевозможныя цѣлыя значенія х и ?/, удовлетворяющія
данному уравненію. Нѣкоторыя изъ этихъ значеній помѣ-
щены въ слѣдующей таблицѣ:
^2 0 1 2 .... — 1 — 2 — 3
X 3 10 17 — 4 — 11 — 18
У 5 31 57 .... — 21 — 47 — 73
252. Когда неопредѣленное уравненіе имѣетъ цѣлыя рѣ-
шенія. Разсмотрѣвъ описанный способъ рѣшенія, мы замѣ-
чаемъ, что коэффиціенты послѣдовательныхъ уравненій нахо-
дятся такъ: большій коэффиціентъ даннаго уравненія дѣлится
на меньшій, и остатокъ принимается за меньшій коэффи-
ціентъ второго уравненія; затѣмъ меныпій коэффиціентъ
даннаго уравненія дѣлится па остатокъ, и остатокъ отъ
этого дѣленія принимается за меньшій коэффиціентъ третья-
го уравненія; далѣе, первый остатокъ дѣлится на вто-
рой, второй па третій и т. д., причемъ остатокъ отъ каж-
даго изъ этихъ дѣленій принимается за коэффиціентъ слѣ-
дующаго уравненія. Изъ ариѳметики извѣстно, что такимъ
способомъ послѣдовательнаго дѣленія находится общій наи-
большій дѣлитель двухъ чиселъ. Но такъ какъ коэффиціен-
ты даннаго уравненія суть числа взаимно простыя, то ихъ
общій паиб. дѣлитель есть 1; поэтому, дѣля большій коэф-
— 241 —
фиціентъ на меньшій, потомъ меньшій на первый остатокъ,
первый остатокъ на второй и т. д., мы непремѣнно дойдемъ
до остатка, равнаго 1, т.-е. получимъ уравненіе, у кото-
раго одинъ изъ коэффиціентовъ равенъ 1, а такъ какъ по-
слѣднее уравненіе всегда рѣшается въ цѣлыхъ числахъ, то
данное уравненіе въ этомъ случаѣ допускаетъ цѣлыя рѣшенія.
Принявъ во вниманіе сказанное раньше (§ 248), приходимъ
къ слѣдующему заключенію:
Для того, чтобы, уравненіе ах-|-Ьу=с, гдѣ а, Ь и с суть
цѣлыя числа, не имѣющія дѣлителя, общаго всѣмъ .имъ,
имѣло цѣлыя рѣшенія, необходимо и достаточно, чтобы
коэффиціенты а и Ь были числа взаимно простыя.
253. Нѣкоторыя упрощенія. I. Если въ уравненіи ах+Ьу=о числа
а « с, или Ъ и с имѣютъ общаго дѣлителя, то на него уравненіе
можно сократить.
Пусть, иапр., а и с дѣлятся на нѣкоторое число р, такъ что а=а'р и
с=з'р. Раздѣливъ на р всѣ члены уравненія, получимъ:
а'х-\-~=с'-,
'р
Ъу * ѵ
откуда видно, что частное должно быть числомъ цѣлымъ; но Ь и р
суть числа взаимно простыя (въ противномъ случаѣ всѣ три числа: а, Ь и с
имѣли бы общаго дѣлителя, большаго 1, и уравненіе могло бы быть
сокращено); поэтому Ъу раздѣлится на р только тогда, когда у раздѣ-
лится на р. Положивъ у—ру', найдемъ:
. ура»»»
Рѣшивъ это уравненіе, найдемъ х и у'\ умноживъ на р выраженіе, по-
лученное для у', найдемъ у.
Примѣръ 1. Рѣшить уравненіе 12х—7у~15.
Положивъ у=3у' и сокративъ уравненіе на 3, получимъ:
4ж—7?/'=5
Откуда найдемъ: ж=3+7/, у'=\-Ді
слѣД- г/==(14-4#)3=ЗН-12і.
Примѣръ 2. Рѣшить уравненіе 8х-\-21у==28.
Замѣтивъ, что 8 и 28 дѣлятся на 4, положимъ у=4у' и сократимъ
уравненіе на 4:
2^+21у'=7
А. Киселевъ. Алгебра.
16
— 242 —
Въ этомъ уравненіи 21 и 7 дѣлятся на 7; поэтому, положивъ а?=7а?',
сократимъ уравненіе на 7:
2а/-[-32/'=1.
Рѣшивъ это уравненіе, получимъ:
х'=—г/=1~ 21
Слѣд.: о=—7-{-212; у=4—82
II. При исключеніи цѣлаго числа изъ неправильной дроби можно
пользоваться отрицательными остатками.
Примѣръ. 7ж— .192/—23
,=щ=3+2у+2±^.
Отъ дѣленія 19 на 7 получается остатокъ 5, большій половины 7-и; но
если мы возьмемъ въ частномъ нѳ 2, а 3, то получимъ отрицательный
остатокъ—2, абсолютная величина котораго меньше половины 7-и. Оче-
видно, слѣдующее уравненіе будетъ съ меньшими коэффиціентами, если мы
воспользуемся этимъ отрицательнымъ остаткомъ, т.-ѳ. положимъ;
23+19?/ о , 2—27/
X=-^--4=3+ ЗуН--------------
III. Если числгітель дроби, которую надо приравнять произвольному
цѣлому числу, содержитъ нѣкотораго множителя, то полезно его вы-
2— 2у
ключить. Такъ, въ предыдущемъ примѣрѣ числитель дроби —содер-
житъ множителя 2; поэтому можно написать:
ж^з-ьз^-2(1“1у).
Такъ какъ 2 есть число взаимно простое съ 7, то для дѣлимости
произведенія 2 (1 — у) па 7, необходимо и достаточно, чтобы 1—у
1—ц \
д (.лилось на 7. Приравнявъ произвольному цѣлому числу і, получимъ:
1—?/—72 и ж—ЗДЗу-|-22
Откуда: |^=1-72 и х==3-{-3(1~7іЦ-2і=&—192.
254. Зная одну пару цѣлыхъ рѣшеній, найти остальныя.
Пусть какимъ-нибудь способомъ (напр., догадкой) мы нашли,
что уравненіе ах-}-Ъу~с удовлетворяется при ж—а и у—%
тогда, нѳ рѣшай уравненія, легко составить общія формулы,
— 243 —
включающія въ себѣ всевозможныя цѣлыя рѣшенія. Для
этого разсуждаемъ такъ: если а и (3 есть пара рѣшеній урав-
ненія ах-\-Ьу=с^ то мы должны имѣть тождество:
аа-^Ър~с
Вычтя почленно это тождество изъ'даннаго уравненія,
получимъ:
а(х—а)+&(?/—₽)—О
Примемъ въ этомъ уравненіи х~ а за одно неизвѣстное,
а у — р за другое; тогда свободный членъ уравненія будетъ 0,
и потому мы можемъ воспользоваться формулами, выве-
денными для этого частнаго случая (§ 250):
(х—а——Ы (х—а=Ы
\у-^~-аі или [у—р=—аі
ІХ—а—Ы (ж—а-\-Ы
ткуда:
Эти общія формулы можно высказать такъ: каждое неиз-
вѣстное уравненія ах-\гЪу=с равно своему соотвѣтствующему
частному значенію, слоэюенному съ произведеніемъ произволь-
наго цѣлаго числа на коэффиціентъ при другомъ неизвѣст-
номъ, причемъ какой-нибудь одинъ изъ этихъ коэффиціен-
товъ долженъ бить взятъ съ обратнымъ знакомъ.
Примѣръ 1. Уравненіе удовлетворяется значе-
ніями у=1\ Поэтому общія формулы будутъ:
я=3-~42, ^=14-3^
или: ^=34-44, у—1—31
Примѣръ 2. Уравненіе 7х—2т/=11 имѣетъ пару рѣшеній:
х~ 1, у——2; поэтому общія формулы будутъ:
а:^=1.-4“22? —2—
или: х=1—22, у~—2—72
Замѣчаніе. Выведенныя въ этомъ параграфѣ формулы должны быть
тождественны тѣмъ 'общимъ формуламъ, которыя получаются въ результатѣ
обыкновеннаго рѣшенія неопредѣленнаго уравненія. Однако, вслѣдствіе
произвольности числа і, эти формулы могутъ разниться по своему внѣш-
нему виду. Дѣйствительно, замѣняя і на і±1, і±2, мы будемъ полу-
чать другія формулы:
(Г#=(а+2&)=р&2 (х=(а.^=ЗЬ)^Ы
\у=(р^а)±аі \у=(^±.2аЦаІ \у=.(^^.3а)^аі и д‘ т’
16*
— 244 —
которыя, отличаясь внѣшнимъ видомъ, даютъ одинаковые результаты (ко-
нечно, не при одинаковыхъ значеніяхъ і). Полезно замѣтить, что во всѣхъ
этихъ формулахъ коэффиціентъ при I одинъ и тотъ же; это обстоятельство
можетъ, до нѣкоторой степени, служить повѣркою правильности рѣшенія:
если въ результатѣ рѣшенія получается для какого-нибудь неизвѣстнаго
формула, въ которой коэффиціентъ при произвольномъ цѣломъ числѣ но
равенъ коэффиціенту при другомъ неизвѣстномъ, то рѣшеніе выполнено
неправильно.
255. Теорема. Если въ уравненіи ах±Ъу==с коэффиціенты а и Ь суть
числа цѣлыя, положительныя и взаимно простыя, то, подставляя
вмѣсто х числа: 0, 1, 2, 3... (Ъ—1), или вмѣсто у числа: 0, 1, 2, 3...
{а—Г), м/ы найдемъ для другого неизвѣстнаго цѣлое значеніе и прія-
томъ только одно.
Доказательство. Изъ уравненія выводимъ:
с—ах
Предварительно убѣдимся, что подставляя въ с—ах вмѣсто х числа;
О, 1, 2... (Ъ—1) и дѣля результаты на Ъ, мы не можемъ получить двухъ
одинаковыхъ положительныхъ остатковъ * *). Предположимъ обратное,
напр., что с—ат и с—ап, гдѣ т и п суть два числа изъ ряда: 0, 1, 2...
(Ъ—1), при дѣленіи на Ь даютъ одинъ и тотъ же положительный остатокъ
г. Назвавъ частное отъ дѣленія с—ат на Ъ черезъ д и с—ап на Ь черезъ
р, получимъ:
и с—ап=Ър-\-г
Вычтя эти равенства почленно, найдемъ:
а(п—р)
а(п—т)
откуда: -------—Ц—р
Такъ какъ д—р есть число цѣлое, то а (п~т) должно дѣлиться на Ъ;
но этого быть не можетъ, такъ какъ а и Ъ числа взаимно простыя, а
п~~т<Д)', значитъ, с—ат и с—ап не могутъ дать одного и того же поло-
жительнаго остатка.
Итакъ, подставляя въ с—ах вмѣсто х числа: 0, 1, 2... (Ь—1) и дѣля
результаты на &, мы должны получать различные положительные остатки.
Такъ какъ каждый остатокъ долженъ быть меньше Ъ и число этихъ остат-
ковъ есть Ь, то одинъ изъ нихъ долженъ равняться 0; другими словами,
при одной изъ этихъ подстановокъ у окажется цѣлымъ числомъ.
Точно так^> же можно доказать теорему и относительно х.
Доказанная теорема позволяетъ найти пару рѣшеній посредствомъ
нѣсколькихъ испытаній, число которыхъ тѣмъ меньше, чѣмъ меньше одинъ
изъ коэффиціентовъ а и Ъ.
Примѣръ: 5ж—Зт/=17.
*) Если при какой-нибудь изъ этихъ подстановокъ выраженіе с—ах
дало бы отрицательное число, мы могли бы увеличить частное на 1, чтобы
и въ этомъ случаѣ получить положительный остатокъ.
— 245 —
Такъ какъ въ этомъ примѣрѣ коэффиціентъ при у меньше коэффиціента
при ж, то для уменьшенія числа испытаній выгоднѣе дѣлать подстановки
на мѣсто ж:
е=2.
Такимъ образомъ пара цѣлыхъ рѣшеній найдена: ж~1, 2/=—4; значитъ
общія формулы будутъ:
#=1-43/; у=—44-5/.
2. Нахожденіе цѣлыхъ и положительныхъ
рѣшеній.
256. Всѣ цѣлыя рѣшенія уравненія ах-\-Ьу=с выража-
ются, какъ мы видѣли, формулами:
х=а—Ы у=$-\-аІ
Для того, чтобы х и у были числа положительныя, необ-
ходимо и достаточно, чтобы I удовлетворяло двумъ нера-
венствамъ:
а-— Ъі^>$ и 04-^4°
Рѣшивъ эти неравенства, найдемъ для I два предѣла,
которые ограничатъ произвольность въ выборѣ значеній
этого числа. При этомъ могутъ представиться слѣдующіе
2 случая, смотря по тому, будетъ ли Ъ положительно или
отрицательно (а мы всегда можемъ сдѣлать положительнымъ,
умноживъ, въ случаѣ надобности, всѣ члены уравненія
на—1):
1. іГ>0. Изъ неравенствъ находимъ:
Ы<^а и аГ>—р
Откуда: и Г>—
Въ этомъ случаѣ уравненіе имѣетъ конечное число цѣлыхъ
положительныхъ рѣшеній, именно столько, сколько есть цѣ-
лыхъ чиселъ между ~ и —~. Можетъ случиться, что между
— 246 —
этими предѣлами нѣтъ ни одного цѣлаго числа; тогда урав-
неніе не имѣетъ ии одного цѣлаго положительнаго рѣшенія.
И. &<0. Въ этомъ случаѣ неравенства даютъ:
'о а
(при дѣленіи на отрицательное число знакъ неравенства из-
мѣняется). Такъ какъ эти предѣлы одинаковаго смысла, то
достаточно взять изъ нихъ только одинъ, большій. Значитъ,
въ этомъ случаѣ уравненіе имѣетъ безчисленное множество
цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній.
Примѣръ 1. Найти цѣлыя положительныя рѣшенія ур.
7&-]-9у=5.
Такъ какъ коэффиціентъ при у положительное число, то
утверждаемъ й ргіогі, что уравненіе имѣетъ конечное число
цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній, или не имѣетъ ихъ вовсе.
Дѣйствительно, рѣшивъ уравненіе, найдемъ:
ж=2-9/э ^=—14-7^
Неравенства: 2—9(>0 и —-1-|-7С>0 даютъ:
К9 и *>7-
Уравненіе не имѣетъ ни одного положительнаго цѣлаго
рѣшенія.
Примѣръ 2. Найти цѣлыя положительныя рѣшенія ур.
41—13х~Ьу.
Сдѣлавъ коэффиціентъ при х положительнымъ, получимъ:
13я4-5у==41
Рѣшивъ уравненіе, найдемъ: х~2—5^, у=3-1-13^.
Неравенства: 2—оГр>0 и 3—13^4>О даютъ:
і<5 и <>-із-
Между этими предѣлами заключается только одно цѣлое
число 0. Положивъ / • найдемъ: ж=2, у=3.
Примѣръ 3. Найти цѣлыя положительныя рѣшенія ур.
29ж—30г/=5.
— 247 —
Утверждаемъ й, ргіогі, что это уравненіе имѣетъ безчис-
ленное множество цѣлыхъ положительныхъ рѣшеній. Дѣй-
ствительно, рѣшивъ уравненіе, находимъ:
х=— 5Ц-30і!>0 у——5Ц-29^>0
І'>6 ^>29
Такъ какъ то достаточно положить, что
Слѣд., 2=1, 2, 3, 4...
ГЛАВА III.
Два уравненія первой степени съ тремя неиз-
вѣстными.
257. Пусть требуется рѣшить въ цѣлыхъ числахъ си-
стему:
2^+Зу—7^=21; бя—4?у-{-б2=48
Исключивъ одно неизвѣстное, напр., получимъ одно
уравненіе съ 2 неизвѣстными:
47^—10у=462
Рѣшивъ это уравненіе, найдемъ:
0^64-ІОг, д=—18Ц-472,
гдѣ I есть произвольное число, пока рѣчь идетъ только
о томъ, чтобы х и у были цѣлыя. Чтобы опредѣлить, какія
значенія можно давать для 2, чтобы и % было также цѣлымъ
числомъ, вставимъ полученныя выраженія вмѣсто х и у въ
одно изъ данныхъ уравненій, напр., въ 1-е; отъ этого полу-
чимъ одно уравненіе съ неизвѣстными і и 2:
1612—72=63, или: 232—2=9
Рѣшивъ это уравненіе, найдемъ:
0=232—9
— 24ь —
Для полученія положительныхъ рѣшеній надо рѣшить не-
равенства:
б4-10<>0; —18-[~47Г>0, 23/—9>0.
Откуда находимъ: />~р ^47И^23’
Слѣд., для I можно брать числа: 1, 2, 3, 4...
Такимъ образомъ рѣшеніе системы 2-хъ уравненій пер-
вой степени съ 3-мя неизвѣстными сводится къ двукратному
рѣшенію одного уравненія съ 2 неизвѣстными.
ОТДѢЛЪ VII.
Обобщеніе понятія о показателѣ.
Дробные показатели*).
258. Опредѣленіе дробнаго показателя. Мы видѣли (§ 146,
теор. 2-я), что при извлеченіи корня изъ степени показатель
подкоренного количества дѣлится па показателя корпя, если
такое дѣленіе выполняется нацѣло. Теперь мы условимся
распространить это правило и на тотъ случай, когда пока-
затель подкоренного количества не дѣлится нацѣло на пока-
зателя корня. Въ такомъ случаѣ въ результатѣ извлеченія
мы получимъ количество съ дробнымъ показателемъ; напр.:
выразится
п
„ а”
Такимъ образомъ, выраженіе ап, согласію условію, есть
только иной видъ радикала, у котораго показатель подко-
ренного количества есть т, а показатель радикала есть п.
Дробные показатели могутъ быть и отриіщтельнъьмгь въ
томъ же смыслѣ, въ какомъ вообще употребляются отрица-
тельные показатели; такъ:
259. Ирраціональному выраженію придать видъ раціональ-
наго. Дробные показатели даютъ возможность предста-
*) Передъ этою статьей полезно повторить все, относящееся до отрица-
тельныхъ показателей (см. §§ 51а, 71, 72, 73, 140а, часть § 146 и часть
§ 186).
— 250 —
вить ирраціональное выраженіе подъ видомъ раціональнаго;
напр., выраженіе 3|/ а |/ х* можно представить такъ: За'Х*.
Конечно, такое преобразованіе измѣняетъ только внѣшній
видъ выраженія, а не содержаніе его; однако подобное из-
мѣненіе имѣетъ важное значеніе, такъ какъ съ количествами^
имѣющими дробныхъ показателей, можно поступать по
тѣмъ же правиламъ, какія были выведены для цѣлыхъ по-
казателей. Докажемъ это.
260. Основное свойство дробнаго показателя. Если дроб-
„ т т!
ныи показатель ~ замѣнимъ равнымъ ему показателемъ,
то величина степени не измѣнится.
т
т т ^ — — _
Пусть —= —; требуется доказать, что а п —а п . Для дока-
зательства замѣнимъ степени съ дробными показателями
ихъ настоящими значеніями:
тп ті
—--п /---- —--п? /--
ап -~уат, ап,~ уа^
Приведя эти радикалы къ одинаковому показателю, по-
лучимъ:
тт т т! . , .
Но изъ равенства: —=— слѣдуетъ, что тпг=пт'\ зна-
читъ:
т.-е.|/ат=м|/а^; или: а~п~а~ы
Основываясь на доказанномъ свойствѣ, мы можемъ пре-
образовывать дробнаго показателя совершенно такъ, какъ
обыкновенную дробь, лишь бы только преобразованіе не из-
мѣняло величины показателя; напр., мы можемъ числителя
и знаменателя дробнаго показателя умножить или раздѣлить
на одно и то же число.
261. Дѣйствія надъ количествами съ дробными положитель-
ными показателями. Предстоитъ доказать, что къ дробнымъ
показателямъ примѣнимы правила, выведенныя раньше для
— 251 —
цѣлыхъ показателей. Ходъ доказательства для всѣхъ дѣй-
ствій одинъ и тотъ же: количества съ дробными показате-
лями замѣняемъ радикалами; производимъ дѣйствіе по пра-
вилу о радикалахъ; результатъ выражаемъ дробнымъ пока-
зателемъ и затѣмъ его сравниваемъ съ тѣмъ, что требова-
лось доказать.
т р т р
Умноженіе. Требуется доказать, что апая =ап+ я
Док.: а” а* =і/а”]/ат?а>т—’'Уа”^+^=
тд-\-рп тдъп т р
=а пд --а пд'пд-дУГ* д
Полагая п=1, или 7=1, найдемъ, что правило о сложе-
женіи показателей распространяется и на тотъ случай, когда
одинъ изъ показателей—дробь, а другой—цѣлое число.
т р т р
Дѣленіе. Требуется доказать, что ап: а9 =ап 9
т р
— — П -- д -- пд - пд .- Пд----пд ------
Док.: ап :аі—у ап:у ар— у атя: у а?п— уа^:а^= у а™>-п2==
тд—рп тд рп т р
—а «у —пд— ап 9
Доказательство ие теряетъ силы, если положимъ п=1 или
7=1.
Возвышеніе въ степень. Требуется доказать, что
Доказательство нѳ теряетъ силы, если положимъ п—1 или
Извлеченіе корня. Требуется доказать, что
— 252 —
Докажемъ еще, что теоремы о возвышеніи въ степень
произведенія и дроби (§ 140) остаются вѣрными и для дроб-
ныхъ показателей.
I. Требуется доказать, что (аЪс)п=апЪпсп
Ш п ______п ,______п .____п _„ ._ тпп
Док.: (аЪс) п=у (адсД=у атЬтст=уату Ьту ст=апЪпсп
т т
II. Требуется доказать, что (—Ай
V /
т
Д°п--\ъ) |/ \#/
262. Дѣйствія надъ количествсми съ дробными отрицатель-
ными показателями. Если показатели не только дробные, но
и отрицательные, то и въ этомъ случаѣ къ нимъ можно
примѣнять правила, относящіяся до положительныхъ пока-
зателей. Покажемъ это для какого-нибудь одного дѣйствія,
напр., для умноженія.
_т р т / т? \
Пусть требуется доказать, что а п.а ѵ~а п ѵ
__™ _р_ 11 1 (т । р )
Док.: а п.а п 9
а” а? ап+ѵ
—а п к *
Подобнымъ же образомъ убѣдимся, что и всѣ дѣйствія
можно совершать по правиламъ, относящимся до положи-
тельныхъ показателей.
263. Понятіе о несоизмѣримомъ показателѣ. Показателями
могутъ быть и числа несоизмѣримыя; въ этомъ случаѣ
истинное значеніе степени есть предѣлъ, къ которому стре-
мится степень съ соизмѣримымъ показателемъ, все болѣе и
болѣе приближающимся къ величинѣ несоизмѣримаго пока-
зателя; такъ, аУ 2 есть предѣлъ, къ которому стремится рядъ
степеней: а1'4, а1*41, а1'414, а1'4142, въ которыхъ показатели
— 253 —
суть приближенныя значенія |/~2, вычисленныя все съ боль-
шей и большей степенью приближенія.
263,а. Радикалы съ дробными и отрицательными показа-
телями. Въ этой книгѣ разсматриваются радикалы только
съ цѣлыми положительными показателями. Но можно обоб-
щить понятіе о радикалѣ на показателей какихъ угодно.
Напр., ~|/ а, означаетъ такое количество, которое, возвы-
шенное въ степень съ показателемъ —3, даетъ подкоренное
количество а; подобно этому |/а означаетъ количество, ко-
тораго степень съ показателемъ 3/4 равна а. Такъ какъ при
возвышеніи въ степень показатели отрицательные и дроб-
ные подчиняются тѣмъ же правиламъ, какъ и показатели
цѣлые положительные, то отсюда легко вывести заключеніе,
что дѣйствія надъ радикалами съ показателями какими
угодно производятся такъ же, какъ и надъ радикалами съ
показателями положительными цѣлыми.
Примѣры на дѣйствія съ дробными показателями.
2а25~3. 5дтМ 2«3й~3 5аУ _
За~Ѵ’5 ЗсГѢ* ичЛ
_ 10дІ2Ѵ^_10а^-у^10і2 /^.эт 10а3 12 /~а_
3 3К д«~г“36т|/
/ 1 .1 1 1
21 2 I 7 2 2 2 7 2 ( 2
> \а -\-Ъ —с ]\а —Ъ -|-с ) =
у)]=-„-(.>-г) =
=а—Ъ—с-}-2&Ѵ=а—Ъ—с-|-2}/ Ъс.
3) і/і Ца-4^3- I й" 4—і 1 зѴа-3
7 уі2А О. I — ^2,з3а-«&3 --! ,
3
ОТДѢЛЪ VIII.
Прогрессіи и логариѳмы.
ГЛАВА I.
Прогрессіи.
Ариѳметическая прогрессія.
264» Опредѣленіе. Ариѳметической прогрессіей наз. рядъ
чиселъ, въ которомъ каждое число, начиная со второго, рав-
няется предшествующему, сложенному съ однимъ и тѣмъ
же числомъ, положительнымъ или отрицательнымъ.
Такъ, два ряда:
~-2, 5, 8, 11, 14, 17, 20
-т-12, 10, 8, 6, 4, 2, 0, —2, —4
составляютъ ариѳметическія прогрессіи, потому что каждое
число въ нихъ, начиная со второго, равно предшествую-
щему, сложенному съ однимъ и тѣмъ же для каждаго ряда
числомъ, именно: въ первомъ ряду съ числомъ 3, а во вто-
ромъ съ числомъ —2.
Числа, составляющія прогрессію, наз. ея членами. Поло-
жительное или отрицательное число, которое надо прибавить
къ предшествующему члену, чтобы получить послѣдующій,
наз. разностью прогрессіи.
Прогрессія наз. возрастающею, когда членьі ея увеличи-
ваются по мѣрѣ удаленія отъ начала ряда; она наз. убываю-
щею, когда члены ея уменьшаются по мѣрѣ удаленія отъ
— 255 —
начала ряда; разность первой прогрессіи—положительное
число, второй—отрицательное.
Для обозначенія того, что данный рядъ представляетъ со-
бою ариѳметическую прогрессію, ставятъ иногда въ началѣ
ряда знакъ н~.
Обыкновенно принято обозначать: первый членъ а, послѣд-
ній I, разность й, число всѣхъ членовъ п и сумму ихъ з.
265. Теорема. Всякій членъ ариѳметической прогрессіи,
начиная со второго, равенъ первому ея члену, сложенному
съ произведеніемъ разности прогрессіи на число членовъ,
предшествующихъ опредѣляемому.
Доказательство. Пусть имѣемъ прогрессію:
—а, Ь, с, д....к, I,
у которой разность й. Изъ опредѣленія прогрессіи слѣдуетъ:
2-й членъ 6, имѣющій передъ собою 1 чл.=а-|-й
3-й „ с, я „ 2 „ =:д~і-й~а-\-2(і
4-и „ д, „ „ „ 3 „ —с—<1—п—1“3(/
• • • •....... •....................... П . ...........
Этотъ законъ обладаетъ общностью, потому что, переходя
отъ одного членикъ слѣдующему, мы должны увеличить на
1 число предшествующихъ членовъ и вмѣстѣ съ тѣмъ при-
бавить 1 разъ разность.
Такимъ образомъ, 10-й членъ прогрессіи равенъ аД-9й;
вообще, т-й членъ равенъ оД-фга —1).
Слѣдствіе 1-е. Примѣняя доказанную теорему къ послѣд-
нему члену прогрессіи, т.-е. къ п-му, получимъ:
а4-й(п—-7)
т.-е. послѣдній членъ ариѳметической прогрессіи равенъ пер-
вому ея члену, сложенному съ произведеніемъ разности про-
грессіи на число всѣхъ членовъ безъ единицы.
Примѣръ 1. Опредѣлить 12-й членъ прогрессіи: 3, 7, 11...
Такъ какъ разность данной прогрессіи равна 4, то 12-й
членъ ея будетъ:
ЗД-4.11—47.
— 256 —
Примѣръ 2. Найти 10-й членъ прогрессіи: 40, 37, 34...
Такъ какъ разность этой прогрессіи равна—3, то 10-й
членъ ѳя будетъ:
40+(—3).9=40—27=13.
Слѣдствіе 2-е. Ариѳметическую прогрессію, у которой пер-
вый членъ есть а, разность й и число членовъ п, можно
изобразить такъ:
~—<2, (х—]—<?, бр|—2б?5 <х—|—3<й. .. . бх—4{п—1)»
266. Лемма. Сумма двухъ членовъ ариѳметической про-
грессіи, равноотстоящихъ отъ концовъ ея, равна суммѣ край-
нихъ членовъ.
Доказательство. Пусть имѣемъ прогрессію:
~-а, Ъ....е....1ъ....к, I
съ разностью й и положимъ, что е есть т-й членъ отъ на-
чала, а 1і есть ш-й членъ отъ конца прогрессіи. Тогда, по
доказанному, имѣемъ:
е=аД-й(т—1) [1]
Для опредѣленія члена Н замѣтимъ, что если данную про-
грессію напиніемъ съ копца:
к...Н...е...Ъ, а
то получимъ тоже прогрессію, у которой первый членъ есть
I, а разность равна—Въ этой прогрессіи членъ Л есть гп-й
отъ начала, а потому:
й^+(-й)(т.-1)=г-й(т—1) [2]
Сложивъ равенства [1] и [2], получимъ:
е-^-й^^аД-1
Напр., въ прогрессіи: 12, 7, 2, —3, —8, —43, —18
имѣемъ: . '
12-|_(_18)=-6; 7-|-(-13)=:-6; 2+(-8)=-6.
267. Теорема. Сумма всѣхъ членовъ ариѳметической про-
грессіи равна полусуммѣ крайнихъ ея членовъ, умноженной на
число всѣхъ членовъ.
— 257
Доказательство. Сложивъ почленно два равенства:
. .-Н4-Й-4-/
—1~ /с—|—ъ,.. с~у~ Ъ—а
получимъ: 2з=^а4-0Ч“(^+^НЧс4^)+- • •Ч~(И“а)-
Двучлены, стоящіе внутри скобокъ, представляютъ собою
суммы членовъ, равно отстоящихъ отъ концовъ прогрессіи;
по доказанному, каждая изъ этихъ суммъ равна а-}-/; подста-
вивъ, найдемъ:
28=(а44)4Ч&+0ЧЧМ~0~Н • • [п разъ]
т.-ѳ
2з--=(аДІ)п^ откуда: $=
Замѣчаніе. Если въ формулу для суммы вмѣсто I вставимъ
равное ему выраженіе а-\-(1(п—1), то получимъ:
Эта формула опредѣляетъ сумму въ зависимости отъ пер-
ваго члена, разности и числа членовъ данной прогрессіи..
Примѣръ 1. Опредѣлить сумму натуральныхъ чиселъ отъ
1 до п включительно.
Рядъ: 1, 2, 3,... (п—1), п представляетъ собою ариѳме-
тическую прогрессію, у которой первый членъ есть 1, раз-
ность 1, число членовъ п, послѣдній членъ тоже п; по-
этому:
Примѣръ 2. Найти сумму первыхъ п нечетныхъ чиселъ.
Рядъ: 1, 3, 5, 7,... есть ариѳметическая прогрессія, у
которой первый членъ есть 1 и разность 2. Если возьмемъ
п членовъ, то послѣдній членъ будетъ 1)=2/ъ—-1.
Поэтому:
Примѣръ 3. Найти сумму 10-и членовъ прогрессіи: 3,
2К, 2...
А. Киселевъ. Алгебра.
— 258 —
Въ этой прогрессіи разность равна —*/,; поэтому 10-й
членъ будетъ 3 — г/2.9=—1*/2, и искомая сумма выра-
зится:
[3+(-1‘/2)]10 1
2 2'
Дѣйствительно: З+г^+ІН-І-Ьі+О-т-і-іі^т-
268. Такъ какъ для Б-ти величинъ а, I, й, п и 8 мы
имѣемъ два уравненія:
1) г=сН-й(п—1) и 2) 8=^^,
то по даннымъ значеніямъ трехъ изъ этихъ величинъ мы мо-
жемъ находить значенія остальныхъ двухъ. Рѣшимъ для
примѣра слѣдующую задачу.
Задача. Опредѣлить число членовъ ариѳметической про-
грессіи, у которой сумма равна 12, первый членъ 7, а раз-
ность есть—2.
Для этой задачи уравненія даютъ:
2=7—2(п—1)=9—2п и
2і
Откуда подстановкою находимъ:
(7-1-9—2п)п ,о .
12==-!—5----------------^-=(8—п)п
или и2—8п-|-12=0,
слѣд.: п=4±]/іб—12=4+: 2
значитъ: 7^=6, п2=2.
Такимъ образомъ, предложенная задача имѣетъ два отвѣта:
число членовъ прогрессіи или 6, или 2'. И дѣйствительно,
двѣ прогрессіи:
5, и -?7, 5, 3, 1, —1, —3
имѣютъ одну и ту же сумму 12.
— 259 —
Геометрическая прогрессія.
269.. Опредѣленіе. Геометрической прогрессіей наз. рядъ
чиселъ, въ которомъ каждое число, начиная со второго, рав-
няется предшествующему, умноженному на одно и то же
число. Такъ, три ряда:
-Н-2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458
44-8, — 16, 32, —64, 128, —256, 512
44-20, 10, 5, ’/2, ’/., ’/„ ’/ів, ’/з2
представляютъ геометрическія прогрессіи, потому что въ
этихъ рядахъ каждое число, начиная со второго, получается
изъ предшествующаго умноженіемъ: въ первомъ ряду на 3,
во второмъ на—2, въ третьемъ на */2.
Числа, составляющія прогрессію, наз. ея членами. Посто-
янное для каждой прогрессіи число, на которое надо умно-
жить какой-нибудь членъ прогрессіи, чтобы получить слѣдую-
щій членъ, наз. знаменателемъ прогрессіи.
Геометрическая прогрессія наз. возрастающею или убы-
вающею, смотря по тому, увеличивается ли или уменьшается
абсолютная величина членовъ прогрессіи по мѣрѣ удаленія
отъ начала ряда; такъ, изъ трехъ указанныхъ выше про-
грессій первая и вторая—возрастающія, а третья—убывающая.
Въ возрастающей прогрессіи абсолютная величина знамена-
теля больше 1, въ убывающей меньше 1.
Для обозначенія того, что данный рядъ есть прогрессія
геометрическая, иногда ставятъ въ началѣ его знакъ -Н-
Обыкновенио принято обозначать: первый членъ а, послѣд-
ній I, знаменателя число всѣхъ членовъ п и сумму ихъ 8.
270. Теорема. Всякій членъ геометрической прогрессіи,
начиная со второго, равенъ первому ея члену, умноженному
на степень знаменателя, показатель которой равенъ числу
членовъ, предшествующихъ опредѣляемому.
Доказательство. Пусть имѣемъ прогрессію:
44-а, Ъ, с,....й....і, к, I,
у которой знаменатель есть д. По опредѣленію прогрессіи
имѣемъ:
17*
— 260 —
2-й членъ &, имѣющій передъ собою 1 чл.
3-и „ с? „ „ „ 2 „
4-й „ 5, Л п 3 „
—ац
=Ъд—ад*
=сд—ад^
Этотъ законъ обладаетъ общностью, такъ какъ, переходя
отъ какого-нибудь члена къ слѣдующему, мы должны увели-
чить на 1 число предшествующихъ членовъ и вмѣстѣ съ тѣмъ
умножить еще 1 разъ на знаменателя прогрессіи.
Вообще, если члену Н предшествуетъ т членовъ, то 1і=адт.
Слѣдствіе 1-е. Примѣняя доказанную теорему къ послѣд-
нему члену прогрессіи, т. е. къ п-му, получимъ:
т.-е. послѣдній членъ геометрической прогрессіи равенъ первому
ея члену, умноженному на степень знаменателя, показатель
которой равенъ числу всѣхъ членовъ безъ единицы.
Примѣръ 1. Опредѣлить 6-й членъ прогрессіи, у которой
первый членъ 3, а знаменатель 4.
6-й членъ =3.4”.=3072.
Примѣръ 2. Опредѣлить 10-й членъ прогрессігі^-20,10...
Такъ какъ знаменатель этой прогрессіи есть */4, то 10-й
членъ =20. С/8)*=20.
Примѣръ 3. Опредѣлить 4-й членъ прогрессіи:
.. /14-1 1.
”/1-Г2-/1’”
і чЛ2+і_ /і—і __тЛ2—і
Зиам. -2 (2_^-2)у2+1) -у*
. „ /1+1//1-1Ѵ (/2-|-1)(/!-!)’
4-и членъ = . г =_Г----------!—
/ 2—1\/2 / 2/ 2
) __/1-1^2 —/1
2/1 2/1 4 ‘
Слѣдствіе 2-Ѳ. Геометрическую прогрессію, у которой пер-
вый членъ есть а, число членовъ п и знаменатель д, можно
изобразить такъ:
-Н а, а?,, ад\
— 261 —
271. Теорема. Сумма всѣхъ членовъ геометрической Прогрессіи
равна дроби, у которой числитель есть разность между про-
изведеніемъ послѣдняго члена на знаменателя прогрессіи и пер-
вымъ членомъ, а знаменатель есть разность между знамена-
телемъ прогрессіи и единицею, т.-е.
8=
Ід—а
<1—1
Доказательство. По опредѣленію геом. прогрессіи имѣемъ:
Ъ=аа ~
с Сложимъ эти ^равенства почленно; тогда въ
а—сд лѣвой части получается сумма всѣхъ членовъ
- . . . . безъ перваго, а Ѣъ правой-—произведеніе зна-
• • • • менателя д на сумму всѣхъ членовъ безъ по-
слѣдняго:
Остается рѣшить это уравненіе относительно $:
8—а=^зд—1д\ Ід~а—8д—&==$(д—1)
______________Ід—а
8~1тС [і]
271,а. Два Другія выраженія для суммы. 1) Умноживъ
числителя и знаменателя формулы [1] на—1, придадимъ
другой видъ выраженію суммы:
а - Ід
1—д [2]
Послѣдняя формула удобна для прогрессіи убывающей,
потому что тогда а'ДІд и 1^>#.
2) Замѣнивъ I въ равенствахъ [1] и [2] равнымъ ему вы-
раженіемъ адп~1, найдемъ:
аап—а а—аап
или
д~1 1—#
Эти формулы удобно употреблять тогда, когда послѣдній
членъ неизвѣстенъ.
— 262 —
Примѣръ 1. Опредѣлить сумму 10-и членовъ прогрес-
сіи 1,2,22... Въ этой прогрессіи а=1, д=2, 1=1.2*=29;
поэтому:
?9 9_-1
21Ѳ—1=1023.
2—1
Примѣръ 2. Опредѣлить сумму 8-и членовъ прогрессіи:
щ.1 л
. . ••••
Здѣсь а=1, 1=1. (ѴзУМѴз)7, поэтому:
„-І-САГ-ЗЗВО
о-—- :
1—’/8 2187‘
272. Два уравненія: І^ад"-1 и а=М—содержатъ 5 ве-
личинъ и потому позволяютъ по даннымъ значеніямъ трехъ
изъ нихъ найти значенія остальныхъ двухъ. Рѣшимъ для
примѣра слѣдующую задачу.
Задача. По даннымъ 8, ц и п найти а и 1.
Изъ уравненія:
находимъ:
адп—а
8(2-1)
дп—1
Послѣ чего получимъ: 1=адп~1=^і—
Безконечная геометрическая прогрессія.
273. Если рядъ чиселъ, составляющихъ прогрессію, мо-
жетъ быть продолжаемъ безъ конца, то прогрессія паз. без-
конечной. Относительно такихъ прогрессій докажемъ слѣ-
дующія истины.
Теорема 1. Абсолютная величина членовъ безконечной
геометрической возрастающей прогрессіи, по мѣрѣ удаленія
отъ начала ряда, можетъ превзойти какое угодно большое
число.
Если ц есть абс. величина знаменателя геометрической
— 263 —
прогрессіи и а абс. величина ея перваго члена, то абс. ве-
личина членовъ прогрессіи выразится такъ:
Требуется доказать, что при неограниченномъ возраста-
ніи п членъ адп, если д^>1, можетъ превзойти какое угодно
большое число, напр., данное число А. Для этого возьмемъ
сумму п членовъ такой прогрессіи:
14^-И+.
Такъ какъ ?^>1, то каждое слагаемое этой суммы, начи-
ная со второго, больше 1, а потому вся сумма больше 1,
повторенной п разъ, т.-е больше п; значитъ:
откуда:
Умноживъ обѣ части этого неравенства на положительное
число а, мы не измѣнимъ знака неравенства; поэтому:
ацп^а(ц--1)п-\-а.
Чтобы адп сдѣлалось больше числа Л, достаточно взять
п такимъ, чтобы удовлетворялось неравенство:
а(д-1)п-}~а>А.
А—а у
откуда: что вполнѣ возможно, такъ какъ п воз-
растаетъ безпредѣльно.
Примѣръ. Пусть а=1, #=1,2 и Л=1000. Тогда
ЮОО—1 . 999
”>І(1^Г)’ ““ п>4995-
Значитъ, можемъ ручаться, что всѣ члены, слѣдующіе за
4995-мъ членомъ, окажутся болѣе 1000.
Теорема 2. Абсолютная величина членовъ безконечной гео-
метрической убывающей прогрессіи^ по мѣрѣ удаленія отъ
начала ряда, можетъ сдѣлаться меньше какого угодно ма-
лаго положительнаго числа.
— 264 —
Если безконечная прогрессія:
-Н-а, ау, ад2, ау9..
есть прогрессія убывающая, т.-е. если абс. величина ея зна-
менателя то рядъ:
1 1 1 _1_
а ’ ау> ад2’ ау9.
представляетъ собою геометрическую прогрессію возрастаю-
щую, такъ какъ знаменатель ея есть 1/г и? слѣд., абс. ве-
личина этого знаменателя больше 1. По доказанному^ абс.
величина членовъ второй прогрессіи увеличивается безпре-
дѣльно; это можетъ быть толькр тогда, когда абс. величина
знаменателей дробей: —, —.....
уменьшается безпредѣльно.
Такъ какъ эти знаменатели суть члены данной убывающей
прогрессіи, то теорема доказана.
Теорема 3. Сумма членовъ безконечной геометрической убы-
вающей прогрессіи равна частному отъ дѣленія перваго члена
на разность между 1 и знаменателемъ прогрессіи,
1—
Подъ суммою 8 членовъ безконечной прогрессіи разумѣютъ
предѣлъ, къ которому стремится сумма первыхъ ея п чле-
новъ при неограниченномъ возрастаніи п.
Для доказательства возьмемъ въ убывающей прогрессіи п
членовъ отъ начала; тогда сумма взятыхъ членовъ будетъ:
Предположимъ теперь, что число п неограниченно увели-
чивается. Тогда въ дроби
ауп
1-9’
ПО
доказанному,
абс. ве-
личина числителя можетъ сдѣлаться какъ угодно мал< й,
вслѣдствіе чего и сама дробь можетъ сдѣлаться по абс. ве-
личинѣ какъ угодно малою; значитъ, взятая сумма будетъ
— 265 —
&
при этомъ приближаться къ постоянному числу —- какъ
угодно близко; а это и требовалось доказать.
Примѣръ 1. Найти сумму: 1~Н а+Ч
1
Здѣсь а=1, поэтому -—~=2.
* А
Примѣръ 2. Найти сумму: 3/2+(~2/з)+8/2г-
Здѣсь а=3/25 —%; поэтому:
8А 3Л__27
Примѣръ 3. Опредѣлить точное значеніе чистой періоди-
ческой дроби: 0,232323...
4 23
Точное значеніе этой дроби есть предѣлъ суммы
93 23
+ і7кюд+10бб()0(Н'....’ котоРая’ очевидно, представляетъ
собою сумму членовъ геометрической прогрессіи; у нея пер-
вый членъ есть 23/10Ѳ,
а знаменатель =1/І00; поэтому:
23 23/ 9о
|<К)_100____
| Г/ й ЩГ
1 іло юо 1
Такое же число мы получили бы по правилу, указываемому
въ ариѳметикѣ.
Примѣръ 4. Опредѣлить точное значеніе смѣшанной пе-
ріодической дроби 0,3646464...
Точное значеніе этой дроби есть предѣлъ суммы:
3 54 54 ____54____
10 ’ ’100(П"100000 ’ 10000000 ' " “
Слагаемыя этой суммы, начиная со второго, суть члены
безконечной геометрической убывающей прогрессіи, у кого-
54 1
рои первый членъ есть и знаменатель
х КДМ) Іоѵ
Поэтому предѣлъ написанной выше суммы равенъ:
з | 4^0 _3 54 _3.99+54
10 1 1 —*/І00 10 1 990 990
3.100—3-|-54 354-3
8
990 990 ’
Такое же число мы получили бы по правилу ариѳметики.
— 266 —
ГЛАВА II.
Логариѳмы.
Предварительныя понятія.
Замѣчаніе. Возьмемъ такое равенство: Если числа а и & извѣстны,
а требуется найти с, то дѣйствіе, потребное для этого, называется, какъ
мы знаемъ, возвышеніемъ въ степень. Обратимъ теперь вниманіе на
дѣйствія, обратныя возвышенію въ степень. Такихъ дѣйствій можетъ
быть два, смотря по тому, какое изъ двухъ чиселъ а или Ь неизвѣстно.
Если дапы^с и Ь, а требуется отыскать а, то это дѣйствіе, какъ мы зна-
емъ, иаз. извлеченіемъ корня; число а есть корень &-й степени изъ с и
можно писать: а=:і/с. Предположимъ теперь, что даны с и а, а требуется
найти показателя Ь. Тогда мы получаемъ новое дѣйствіе, которое въ эле-
ментарной алгебрѣ подробно нѳ разсматривается. Мы укажемъ въ этой
главѣ главнѣйшія свойства этого дѣйствія, имѣя въ виду его практиче-
скія примѣненія.
274. Опредѣленіе логариѳма. Логариѳмомъ числа по
основанію а называется показатель степени, въ которую надо
возвыситъ а, чтобы получить
Такъ, если имѣемъ равенство: Н=ах, то можемъ сказать,
что х есть логариѳмъ числа К по основанію а; это можно
выразить также такимъ обозначеніемъ:
Іод^=х или Ід №==х, или 1ЛЯ=х,
гдѣ знаки: Іод, Ід и Ь сокращенно обозначаютъ слово „ло-
гариѳмъ6'. Иногда для обозначенія того, по какому основанію
берется логариѳмъ, внизу этихъ знаковъ ставятъ букву или
число, означающее основаніе; напр., равенство Іода№^х
означаетъ, что логариѳмъ числа 2\Г по основанію а есть х.
Примѣры. 1) Возьмемъ за основаніе число 4; тогда:
Іод 16=2, потому ЧТО 42=16
Іод 64=3, ѵ- п 4®=64
Іод 4=1, п 4‘= 4
1 і
Іод 2=^, •п 42=]/4=2
, 1
Іод-^-1, п 55 4 =4
, 1 1 .-і 1 1
»
— 267 —
2) Подобно этому найдемъ, что если основаніе равно 10,
то: Іод 10=1, Іод 100=2, Іод 1000=3; Іод 0,1=—1, Іод 0,01=
=—2; Іод 0,001=—3; и т. д.
3) Іод* 4096=4, потому что 84=4096; Іод^ 8=1/^ потому
что 64^=|/б4=8; и т. п.
275. Нѣкоторыя свойства логариѳмовъ. Замѣтимъ прежде
всего, что если х есть дробь, то ах представляетъ собою
корень, котораго показатель равенъ знаменателю дроби. Но
корни, какъ мы видѣли (§ 225), имѣютъ нѣсколько значе-
ній, изъ которыхъ только одно—ариѳметическое. Условимся
въ этой статьѣ придавать степенямъ съ дробными показате-
лями только одно ариѳметическое значеніе; при этомъ усло-
віи степень ах обладаетъ многими замѣчательными свой-
ствами. Укажемъ тѣ изъ нихъ, которыми намъ придется
пользоваться впослѣдствіи. Въ примѣненіи къ логариѳмамъ
эти свойства можно выразить такъ:
I. При положительномъ основаніи отрицательныя числа
не имѣютъ логариѳмовъ; другими словами равенство №==ах
невозможно, если есть ^отрицательное число, а а положи-
тельное.
Для этого достаточно показать, что какія бы значенія мы
ни давали логариѳму выраженіе ах, при а положитель-
номъ, всегда даетъ только положительныя числа.
Это очевидно, когда х есть цѣлое и положительное число.
Когда х есть положительная дробь, напрЛ, то ах—ая =
=|/о*, а изъ всѣхъ значеній корня мы условились брать
только ариѳметическое, т.-е. положительное.
Если х есть положительное несоизмѣримое число, то ах,
представляя собою предѣлъ перемѣннаго положительна!»
числа, должно быть и въ этомъ случаѣ положительное
число.
Наконецъ, когда х отрицательное число, напр.,— т, то
„ ™ ™ 1
ах—а~т=—; такъ какъ ат положительное число, то и дробь—
ат 1 ат
также положительное число.
— 268 —
П. Когда основаніе больше I, то логариѳмы чиселъ, боль-
шихъ единицы, положительны, а логариѳмы чиселъ, мень-
шихъ единицы, отрицательны.
^Длл этого достаточно показать, что если въ выраженіи ах,
гдѣ а>л, давать показателю х положительныя значенія, то
будутъ получаться числа, большія единицы; а если въ томъ
же выраженіи давать х отрицательныя значенія, то будутъ
получаться числа, меньшія единицы.
Когда х есть цѣлое положительное число, то ах=а.а.а... л
такъ какъ отъ каждаго умноженія на а, большее единицы,
число увеличивается, то а.а.а...^>а^>1.
Когда х есть положительная дробь, напрЛ, то ах=а%~
Такъ какъ ар^>1, то и 1, т.-е.|/а^>1.
Когда х есть положительное несоизмѣримое число, то ах,
представляя собою предѣлъ перемѣннаго числа, большаго 1,
не можетъ быть меньше 1 *).
Если же х есть отрицательное число, напримѣръ—т, то
1 1
аж=а_т=—. Такъ какъ а”О>1, то—<"1, т.-е. а~т<1.
ат < ’ ат^
III. Если основаніе больше 1, то большему логариѳму со-
отвѣтствуетъ большее число и наоборотъ.
( Для этого достаточно показать, что если въ выраженіи ах,
гдѣ а>Г, увеличимъ показателя, то увеличится и численная
величина степени.
Увеличимъ х на какое-нибудь положительное число Л и
возьмемъ частное ах=ак. Такъ какъ аА^>1 (по доказан-
ному выше)? то дѣлимое больше дѣлителя, т.-е. ах^~к^>ах.
IV. При всякомъ основаніи логариѳмъ самого основанія ра-
венъ 1, а логариѳмъ единицы есть 0.
Это видно изъ равенствъ: а{=а и аА=1, откуда:
Іодиа—1', Іод 1=0 **)
*) Въ теоріи предѣловъ доказывается, что этотъ предѣлъ больше 1.
**) Мы приняли безъ доказательства, что основываясь на значе-
ніи, нулевого показателя, приданномъ ему условно въ статьѣ о дѣленіи
одинаковыхъ степеней одного и того же количества 51). Но выраженіе
а0 можно разсматривать въ другомъ значеніи, а именно, какъ предѣлъ,
къ которому спѵре,мится ах по мѣрѣ приближенія х къ 0. Въ теоріи
предѣловъ доказывается, что этотъ предѣлъ равенъ 1. (См. Н. Билибинъ.
„Алгебра для гимназій и реальныхъ училищъ, ІЬЭЭ г.“, стр. 512).
— 269 —
V. Когда основаніе больше единицы, то при увеличеніи
логариѳма отъ 0 до 4~ОО числа возрастаютъ отъ 1 до 4~оо,
а при уменьшеніи логариѳма отъ 0 до —оо числа умень-
шаются отъ 1 до 0.
Чтобы убѣдиться въ этомъ, достаточно разсмотрѣть двѣ
безконечныя геометрическія прогрессіи:
а0, а1, а2, а3,....ам, 6Г+1,....
а0, а-1, а~2,
Когда а>1, то первая прогрессія возрастающая (потому
что ея знаменатель б/>1), а вторая—убывающая (потому что
1
ея знаменатель По мѣрѣ удаленія отъ начала
ряда, какъ мы видѣли въ статьѣ о безконечныхъ прогрессіяхъ
(§ 273), члены первой прогрессіи увеличиваются безпредѣль-
но, а члены второй приближаются къ предѣлу 0; это можно
символически выразить такъ:
а+°° =4-оо; а”00 =0
т.-е. Іод (4~ОО)=4~ОО; Іод 0=—оо
VI. При положительномъ основаніи, не равномъ 1, всякое
положительное число имѣетъ логариѳмъ (соизмѣримый или
несоизмѣримый) и притомъ единственный.
/Строгое доказательство этого свойства выходитъ изъ пре-
дѣловъ элементарной алгебры *). Ограничимся разъясненіемъ,
что при положительномъ а, не равномъ 1, для всякаго по-
ложительнаго числа можно найти такое соизмѣримое число,
которое или въ точности равняется логариѳму Лд или отли-
чается отъ него такъ мало, какъ угодно. Для этого, пред-
положивъ что а означаетъ какую-нибудь очень малую со-
измѣримую дробь (напр. 7юоѲ)э возьмемъ неограниченный въ
обѣ стороны рядъ чиселъ:
.....а~3а, а-23, а“а, а0, аа, а2а, а*1,.
Если въ этомъ ряду возьмемъ числа, слѣдую:п,ія вправо
за а°=1, то получимъ безконечную геометрическую прогрес-
*) Доказательство, основанное на теоріи предѣловъ, можно найти въ
подробныхъ курсахъ алгебры, напр., въ книгѣ: „Н. Е>илибинъ. Алгебра для
гимназій и реальныхъ училищъ. Изд. третье, 16ЭЭ г.“, стр. 514 и слъд.
— 270 —
сію, возрастающую при а^Л (такъ какъ тогда №>>1) и убы-
вающую при а<^1 (такъ какъ тогда ла<^1). Если же въ
этомъ ряду будемъ переходить отъ а0 влѣво, то будемъ имѣть
безконечную геом. прогрессію, убывающую при аД>1 и воз-
растающую при а<Л. По свойству безконечныхъ геометри-
ческихъ прогрессій (§ 273) по мѣрѣ удаленія отъ а0 члены
возрастающей прогрессіи могутъ превзойти всякое большое
число, а члены убывающей прогрессіи могутъ сдѣлаться
меньше всякаго малаго положительнаго числа. Изъ этого
слѣдуетъ, что каково бы ни было положительное число
(очень велико, или очень мало), пробѣгая написанный выше
рядъ, мы или встрѣтимъ въ немъ нѣкоторое число, напр.,
въ точности равное 27, или найдемъ два рядомъ стоящія
числа, напр., а*а и такія, что
Въ первомъ случаѣ ка будетъ точнымъ логариѳмомъ 27;
во второмъ случаѣ числа ка. и (й4“1)а будутъ приближен-
ными соизмѣримыми значеніями Іод К съ точностью до а.
Такъ какъ число а можетъ быть какъ угодно мало, то, зна-
читъ, приближенный значенія Іод существуютъ съ какою
угодно степенью приближенія.
Логариѳмъ произведенія, частнаго, степени и корня. *
276. Теорема 1. Логариѳмъ произведенія равенъ суммѣ ло-
гариѳмовъ сомножителей.
Док. Пусть хѴ, 27х, 272 будутъ какія-нибудь числа, имѣю-
щія соотвѣтственно логариѳмы: ж, х2 по одному и тому
же основанію а. По опредѣленію логариѳма можемъ поло-
жить:
27—а*, ^—а^ 272==агз.
Перемноживъ эти равенства, получимъ
27271272=ая? ах* ах*—ах+х*+ъ
Откуда Іод(ДД ^2)=^Ц-ж14нг2
По х=ІодД х^іод^ х2=ІодН\
Поэтому: Іод(ДМ\ 272 }^ІодЫД-ІодД -^ІодМ^.
— 271
Очевидно, это разсуждёніѳ вполнѣ примѣнимо къ какому
угодно числу сомножителей.
Теорема 2. Логариѳмъ дроби равенъ логариѳму числителя
безъ логариѳма знаменателя.
Док. Раздѣливъ почленно два равенства:
получимъ: ^=ах* К а* „ „
Откуда: 2Ѵ г ч ' 1од^=х—Х'~Іод1<Г— ІодЦ\.
Теорема 3. Логариѳмъ степени, равенъ логариѳму возвы-
шаемаго числа, умноженному на показателя степени.
Док. Возвысимъ обѣ части равенства въ п-ую сте-
пень, гдѣ п можетъ быть цѣлымъ и дробнымъ, положитель-
нымъ и отрицательнымъ:
^==(аа?)Л==ая,я
Откуда: ^од^п^=xп=^^!од^уп.
Теорема 4. Логариѳмъ корня равенъ логариѳму подкорен-
ного числа, дѣленному на показателя корня.
Эта теорема есть слѣдствіе предыдущей. Дѣйствительно:
п ,- 1 И ЛП 1
Іоду Ы=1од1К= (Іод
277. Логариѳмированіе алгебраическаго выраженія. Логариѳ-
мировать данное выраженіе значитъ выразить логариѳмъ его
посредствомъ логариѳмовъ отдѣльныхъ чиселъ, составляю-
щихъ выраженіе. Пусть требуется логариѳмировать слѣдую-
щее выраженіе, которое обозначимъ одною буквой №
^=-------^у=г—
4тау у
— 272 —
Замѣтивъ, что это выраженіе представляетъ собою дробь,
пишемъ, на основаніи теоремы 2-й:
1м^=Іод(Ъа2Ъ]/х)— Іод(4тзуу\
Затѣмъ, примѣняя теорему 1-ю, получимъ:
Іод^^дЗ+Ід^НуѴ Ъу/х~ №—Ідт*—Іду^
и далѣе, по теоремѣ 3-й и 4-й:
Ід№^д3^21даг-\-^ Ід (Ъ]/х) —Ід4—31дт —~1ду=
1 / 1 \ 1
—( ІдЬ-\-—Ідх \ -Ід±—31дт—^9У—
11 1
ІдЗ^ІдаЗг^ІдЬЗ-уЗдх—Іді—Зідт—-^Іду.
Логариѳмировать можно только такія выраженія, кото
рыя представляютъ собою произведеніе, частное, степень или
корень, но не сумму и не разность.
Когда желаютъ логариѳмировать сумму или разность, то,
если возможно, предварительно приводятъ ихъ къ виду, удоб-
ному для логариѳмированія^ напр.:
Іод(а2 - 62)=/г/([(а4-Ь}(а^Іі}\^д(а-^Ь}-\4д(а - Ь);
' ІО0(аЧ-2а4-1 —62)=йу[(п4-1 )2-62]=4/|(а+1-46)(а4-1—6)]=
_/ — Ід{а-^-146) ]-Ід(а р 1 — 6).
Умѣя логариѳмировать алгебраическія выраженія, мы мо-
жемъ, обратно, по данному результату логариѳмированія найти
выраженіе х, логариѳмъ котораго заданъ; такъ, если:
1
Іод х—іод а-\-Іод 6 — 3 Іод с—^Іод <іу
то на основаніи тѣхъ же теоремъ не трудно найти, что иско-
мое выраженіе будетъ:
аЬ
су а
— 273 —
278. Системы логариѳмовъ. Совокупность логариѳмовъ раз-
личныхъ чиселрь, вычисленныхъ по одному и тому же осно-
ванію, образуетъ систему логариѳмовъ. Употребительны
двѣ системы: система, такъ называемыхъ, натуральныхъ лога-
риѳмовъ и система десятичныхъ логариѳмовъ. Въ первой, по
нѣкоторымъ причинамъ, которыя уясняются только въ выс-
шей математикѣ, за основаніе взято несоизмѣримое число
2,718281828... (обозначаемое обыкновенно буквою е)\ во
второй за основаніе принято число 10. Логариѳмы первой
системы, называемые также Неперовыми, по имени изобрѣ-
тателя логариѳмовъ шотландскаго математика Непера (1550—
1617), обладаютъ многими теоретическими достоинствами.
Логариѳмы десятичной системы называются иначе обыкновен-
ными^ а также Бригговымщ по имени профессора Бригга
(современника Непера), который первый составилъ таблицы
этихъ логариѳмовъ. Эта система весьма удобна для практи-
ческихъ цѣлей.
279. Переходъ отъ одной системы логариѳмовъ къ другой. Имѣя логариѳмы
чиселъ, вычисленныхъ по одному какому-нибудь основанію а, можемъ
найти логариѳмы, вычисленные по новому основанію Ь. Пусть Дт какое-
нибудь число и
откуда:
ІодаЪТ—х год^=у
№=ах и
ах—Ъѵ
Логариѳмусмъ ѳто равенство по основанію а:
7 7 1
а—уІодиЪ, откуда: у~х.~--^
Г
Такимъ образомъ, чтобы получить новый логариѳмъ, достаточно преж-
ній логариѳмъ умножить на число, равное 1, дѣленной на логариѳмъ но-
ваго основанія, взятый по старому основанію; такое число наз. модулемъ
поной системы относительно старой. Для перехода отъ десятичныхъ лога-
риѳмовъ къ натуральнымъ модуль оказывается 2,3025851..., а для обратнаго
перехода отъ натуральныхъ логариѳмовъ къ десятичнымъ модуль есть
0,4342945...
А. Гиселевъ. Алгебра.' -- 18
— 274 —
280. Значеніе логариѳмическихъ таблицъ. Имѣя таблицы, въ
которыхъ помѣщены логариѳмы цѣлыхъ чиселъ по одному
и тому же основанію, отъ 1 до какого-нибудь большого числа,
мы можемъ выполнять дѣйствія умноженія, дѣленія, возвы-
шенія въ степень и извлеченія корня проще, чѣмъ обыкно-
веннымъ путемъ. Предположимъ, напр., что надо вычислить
]/ЛВС, гдѣ Л, В и С суть данныя числа. Вмѣсто того, что-
бы производить умноженіе и затѣмъ извлеченіе кубичнаго
корня, мы можемъ, пользуясь таблицами логариѳмовъ, найти
сначала Іод УАВС, основываясь на разложеніи:
ІодуАВС=~(ІодА-{-ІодВ~\-ІодО.
Найдя въ таблицахъ отдѣльно Іод Л, ІодВ^ ІодС, сложивъ
ихъ и раздѣливъ сумму на 3, получимъ Іод У АВС. По этому
логариѳму, пользуясь тѣми же таблицами, можемъ найти со-
отвѣтствую щее число.
Такимъ образомъ, руководствуясь изложенными выше тео-
ремами о логариѳмѣ произведенія, частнаго, степени и корня,
мы можемъ, помощью логариѳмическихъ таблицъ, свести умно-
женіе на сложеніе, дѣленіе на вычитаніе, возвышеніе въ
степень на умноженіе и извлеченіе корня на дѣленіе.
На практикѣ употребительны таблицы десятичныхъ лога-
риѳмовъ. Чтобы понять устройство и употребленіе этихъ таб-
лицъ, предварительно разсмотримъ нѣкоторыя свойства деся-
тичныхъ логариѳмовъ. .
Свойства десятичныхъ логариѳмовъ.
281. Теорема 1. Логариѳмъ цѣлаго числа, изображаемаго
единицею съ нулями, есть цѣлое число, заключающее столько
единицъ, сколько нулей въ числѣ.
„ Док. Такъ какъ 101=Ю, 102=100, ІО3—1000, 10*=10000,....
т пулей.
и вообще ІО’"—10... .00
то Іод 10=1, Іод 100=2, Іод 1000=3, Іод 10000=4
т нулей.
и вообще Іод 100.... 00—т.
— 275 —
Теорема 2. Логариѳмъ цѣлаго числа, не изображаемаго
единицею съ нулями, не можетъ быть выраженъ точно ни
цѣлымъ числомъ, ни дробнымъ.
Док. Пусть есть такое цѣлое число, которое не выра-
жается 1 съ нулями, и допустимъ, что Іод Ы можетъ быть
выраженъ точно, напр., пусть онъ равенъ дроби гдѣ р
и д цѣлыя числа. Въ такомъ случаѣ
р_
10 или: 10* = М.
По такое равенство невозможно, потому что число 10* раз-
лагается только на множителей 2 и 5, повторенныхър разъ,
а число X9 не можетъ дать такого разложенія; поэтому не-
возможно допущеніе, что Іод X выражается точно.
Логариѳмъ цѣлаго числа, которое не есть 1 съ пулями,
есть число несоизмѣримое и, слѣд., при помощи соизмѣри-
мыхъ чиселъ, онъ можетъ быть выраженъ только прибли-
женно-. Обыкновенно выражаютъ его въ видѣ десятичной
дроби съ 5-ю или 7-ю десятичными знаками. Цѣлое число
логариѳма наз. его характеристикой, а дробная десятичная
часть—мантиссой.
Теорема 3. Характеристика логариѳма цѣлаго числа или
цѣлаго числа съ дробью содержитъ столько единицъ, сколько
въ цѣлой части числа находится цыфръ безъ одной.
Док. Пусть, напр., имѣемъ число 5683, 7. Такъ какъ:
10000>5683,7>1000
то Іод ІООООуіод 5683,7> Іод 1000
т.-е. 4>Н 5683,7>3
значитъ Іод 5683,7—3-|-полож. дробь
т.-е. характеристика Іод 5683,7—3.
Пусть вообще число ТѴ въ цѣлой своей части содержитъ т
цыфръ; тогда
іо^л^іо™-1
слѣд. Іоді0™>Іод Х^>1од 10м"1
откуда т^>1од 1
значитъ: Іод 7Ѵ—(77г—1)-|-полож. дробь
т.-е. характ. Іод Х~-т—1.
18*
- 276,—
Такимъ образомъ: характ. Іод 7,3=0; характ. Іод 28’/4=1;
характ. Іод 4569372=6, и т. п.
282. Нанъ у отрицательнаго логариѳма сдѣлать мантиссу
положительной. Прежде, чѣмъ излагать другія свойства де-
сятичныхъ логариѳмовъ, сдѣлаемъ слѣдующее разъясненіе.
Мы видѣли, что логариѳмъ дроби, меньшей 1, есть число
отрицательное; значитъ, онъ состоитъ изъ отрицательной
характеристики и отрицательной мантиссы (напр.—2,08734).
Такой логариѳмъ всегда можно преобразовать такъ, что у
него будетъ отрицательна только одна характеристика, а
мантисса положительна. Для этого достаточно прибавить къ
его мантиссѣ положительную единицу, а къ характеристикѣ
отрицательную (отъ чего, конечно, величина логариѳма не
измѣнится). Если, напр., мы имѣемъ логариѳмъ—2,08734, то
можно написать:
—2,08734=—2—1-4-1—0,08734=-(2+1)+(1—0,08734)=
=—3+0,91266
-14-1 _
или сокращенно: —2,08734= — 2,08734=3,91266
Для указанія того, что у логариѳма отрицательна только
одна характеристика, ставятъ надъ ней минусъ; такъ, вмѣсто
того, чтобы написать:—3+0,91266, пишутъ короче: 3,91266.
Очевидно, что при такомъ преобразованіи абсолютная величина харак-
теристики увеличивается на 1, а вмѣсто данной мантиссы берется ея
дополненіе до 1 (т.-е. то число, которое получается отъ вычитанія данной
мантиссы изъ 1). Это дополненіе получится, если послѣднюю значащую
цыфру данной мантиссы вычтемъ изъ 10, а всѣ остальныя изъ 9. Замѣтивъ
это, можемъ прямо писать:
—2,56248=^43752, —0,00830=1~99170 и т. п.
На практикѣ логариѳмы чиселъ, меньшихъ 1, всегда пред-
ставляютъ такъ, чтобы у нихъ мантиссы были положительны.
283. Какъ логариѳмъ съ отрицательной характеристикой и
положительной мантиссой превратить въ отрицательный. Для
— 277
этого достаточно къ положительной мантиссѣ приложить отри-
цательную единицу, а къ отрицательной характеристикѣ
положительную; такъ, очевидно, можно писать:
7;83026=—7-4-0,83026=—7+1—1+0,83026=(—7+1)—
—(1—0,83026)=—6 - 0,16974=—6,16974
________ -Нт1
или сокращенно: 7,83026=7,83026=—6,16974 *)*
Очевидно, что при такомъ преобразованіи абсолютная величина харак-
теристики уменьшается на 1, а вмѣсто данной мантиссы берется ея
дополненіе до I. Замѣтивъ это, можемъ прямо писать:
3^57401=—2,42599; Г,70830=—0,29170 и т. п.
284. Теорема 4. Отъ умноженія или дѣленія числа на
ІО” полооюительная мантисса логариѳма остается безъ из-
мѣненія, а характеристика увеличивается или уменьшается
на п единицъ,
Док, Такъ какъ
ІодДА№)—Іод П-\-Іод№, Іод^~=1од П-~ІодЮп
и Іод 10м=п
2\Г
то Іод(ДМп)—Іод Іод^=1од И—п
Такъ какъ п есть цѣлое число, то прибавленіе или вы-
читаніе п не измѣняетъ мантиссы, а только увеличиваетъ
или уменьшаетъ характеристику на п единицъ.
Слѣдствія. 1) Положительная мантисса логариѳма деся-
тичнаго числа не измѣняется отъ перенесенія въ числѣ за-
пятой, потому что перенесеніе запятой равносильно умно-
♦) Замѣчаніе для памяти. Для выполненія преобразованій, указанныхъ въ
двухъ послѣднихъ параграфахъ, приходится прибавлять -{-1 и —1, одно
изъ этихъ чиселъ къ характеристикѣ, а другое къ мантиссѣ. Чтобы не
ошибиться, къ чему прибавить 4-1 и къ чему —1, полезно всегда обращать
вниманіе на мантиссу заданнаго логариѳма и разсуждать такъ: пусть въ
заданномъ логариѳмѣ мантисса отрицательна, а надо ее сдѣлать положи-
тельной; тогда къ ней, конечно, слѣдуетъ прибавить ~|-1, а потому къ
характеристикѣ надо прибавить —1; пусть въ заданномъ логариѳмѣ ман-
тисса будетъ положительна, а надо ее сдѣлать отрицательной (весь лога-
риѳмъ долженъ быть отрицательный); тогда къ ней слѣдуетъ добавить —1,
а слѣдовательно къ характеристикѣ -|-1.
— 278 —
женію или дѣленію на степень 10-и. Такимъ образомъ, ло-
гариѳмы чиселъ:
0,00423 0,0423 0,423 4,23, 42,3 423
отличаются только характеристиками, но не мантиссами, при
условіи, что мантиссы положительны.
2) Мантиссы чиселъ, имѣющихъ одну и туже значащую
часть, но отличающихся только нулями на концѣ, одинаковы;
такъ, логариѳмы чиселъ: 23, 230, 2300, 23000 отличаются
только характеристиками.
Теорема 5. 1) Когда десятичная дробь выражается 1 съ пред-
шествующими нулями (0,1; 0,01; 0,001; и т. д.), то лога-
риѳмъ ея состоитъ изъ одной характеристики, содержа-
щей столько отрицательныхъ единицъ, сколько есть нулей
въ изображеніи десятичной дроби, считая въ томъ числѣ
и 0 цѣлыхъ.
2) Логариѳмъ всякой другой правильной десятичной дроби
состоитъ изъ отрицательной характеристики и положи-
тельной мантиссы, причемъ характеристика содержитъ
столько отрицательныхъ единицъ, сколько есть нулей въ
изображеніи десятичной дроби передъ первой значащей цыф-
рой, считая въ томъ числѣ и 0 цѣлыхъ.
Доказательство. 1) Такъ какъ
1 1 1
-10" -іо^0’1’ 10~ -іоо=0’01’ 10~ -1ОЦ6=0’001’ -
т иѵлеи
и вообще:
т нулей
то: Ід 0,1=—1; Ід 0,01=-2; Ід 0,001=—3;...
іп пулей
и вообще: Ід 0,00....01=—т
т нулей
2) Пусть имѣемъ десятичную дробь Л = 0.00........ОаЗ...
у которой передъ цервой значащей цыфрой стоитъ т нулей,
— 279 —
считая въ томъ числѣ и 0 цѣлыхъ (а(3... суть какія-нибудь
значащія цыфры). Тогда очевидно, что:
т—1 нулей т нулей т нулей
о/ю77)і>бУо7?ар>оУ()7?оі
т— 1 нулей т нул-и
Слѣд.: Ід 0700...0А^>1д 0,00...01
откуда: —(т—1)^>1од А^>— т
значитъ: Іод Л=—т-|-полож. дробь
т.-е. хар. Іод А=—т.
Такимъ образ. хар, Іод 0,25=—1, хар, Іод 0,0000487=—5
и т. и.
285. Изъ доказанныхъ теоремъ слѣдуетъ, что характе-
ристику логариѳма цѣлаго числа и десятичной дроби мы мо-
жемъ находить безъ помощи таблицъ; вслѣдствіе этого въ
логариѳмическихъ таблицахъ помѣщаются только однѣ ман-
тиссы; кромѣ того, такъ какъ нахожденіе логариѳмовъ дро-
бей сводится къ нахожденію логариѳмовъ цѣлыхъ чиселъ
(логариѳмъ дроби=логариѳму числителя безъ логариѳма зна-
менателя), то въ таблицахъ помѣщаются мантиссы логариѳ-
мовъ только цѣлыхъ чиселъ.
Устройство и употребленіе таблицъ.
28Ѳ. Устройство таблицъ. Опишемъ вкратцѣ устройство
и употребленіе пятизначныхъ таблицъ, изданныхъ Прже-
вальскимъ, какъ наиболѣе употребительныхъ въ курсѣ сред-
нихъ учебныхъ заведеній. Эти таблицы содержатъ логариѳмы
чиселъ отъ 1 до 10009, вычисленные съ 5-ю десятичными
знаками, причемъ послѣдній изъ этихъ знаковъ увеличенъ
на 1 во всѣхъ тѣхъ случаяхъ, когда 6-й десятичный знакъ
долженъ бы оказаться 5 или болѣе 5-и; слѣд., пятизначныя
таблицы даютъ приближенные логариѳмы съ точностью до
х/2 стотысячной доли *).
*) Для большей точности вычисленія пользуются иногда семизначными
таблицами (напр., таблицами Я. Бремикера), содержащими приближенные
логариѳмы чиселъ до 1ѲОѲѲ9 съ точностью до 1 2 десятимиллюнной доли.
Способъ пользованія такими таблицами объясненъ во введены къ. таблицамъ.
— 280 —
На первой страницѣ помѣщены числа отъ 1 до 100 въ
столбцахъ съ надписью (питегиз— число). Противъ ка-
ждаго числа, въ столбцахъ съ надписью Ьод, находятся ман-
тиссы, вычисленныя съ 5-ю десятичными знаками.
Слѣдующія страницы устроены иначе. Въ первомъ столбцѣ,
подъ рубрикою помѣщены числа отъ 100 до 1000, а
рядомъ съ ними въ столбцѣ, надъ которымъ стоитъ цыфра 0,
находятся соотвѣтствующія мантиссы; первыя двѣ цыфры
мантиссъ, общія нѣсколькимъ логариѳмамъ, написаны только
разъ, а остальныя три цыфры помѣщены рядомъ съ числомъ,
находящимся въ столбцѣ .У. Эти же мантиссы принадлежатъ
числамъ, которыя получатся, если къ числамъ, стоящимъ
подъ рубрикою У, приписать справа О. Такъ, мантисса
логар. 5690 будетъ та же, что и у числа 569, т.-е. 75511
(ст. 17-я). Слѣдующіе столбцы съ надписями надъ ними
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, служатъ для нахожденія лога-
риѳмовъ четырехзначныхъ чиселъ (и пятизначныхъ до 10009),
оканчивающихся на эти значащія цыфры, причемъ первыя
три цыфры каждаго изъ этихъ чиселъ помѣщены въ столбцѣ
У, а послѣднюю надо искать наверху, въ ряду цыфръ 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Напр., чтобы найти мантиссу лога-
риѳма числа 5673, надо отыскать въ столбцѣ число 567
(стр. 17) и наверху цыфру 3; въ пересѣченіи горизонталь-
ной линіи, идущей отъ 567, съ вертикальной линіей, опу-
щенной отъ цыфры 3, находятся три послѣднія цыфры
мантиссы (381), первыя же ея цыфры надо искать въ столбцѣ
подъ цыфрою 0, на одной горизонтальной линіи, или выше;
такъ для числа 5673 первыя двѣ цыфры мантиссы будутъ
75, а послѣднія 381, такъ что всѣ 5 знаковъ будутъ 75381.
Если передъ послѣдними тремя цыфрами мантиссы стоитъ
въ таблицахъ звѣздочка, то это значитъ, что первыя двѣ
цыфры надо брать ниже горизонтальной линіи, на которой
расположены послѣднія цыфры мантиссы Такъ, для числа
5758 мантисса будетъ 76027 (стр. 17).
287. По данному числу найти логариѳмъ. Характеристику
логариѳма цѣлаго числа или десятичной дроби мы выставля-
емъ непосредственно, руководствуясь указанными нами свой-
ствами десятичныхъ логариѳмовъ. При нахожденіи мантиссы
— 281 —
мы примемъ во вниманіе, что положеніе запятой въ деся-
тичномъ числѣ, или число нулей на концѣ цѣлаго числа,
не оказываетъ вліянія на мантиссу.
Если значащая часть числа не превосходитъ 10009, то
мантисса находится прямо изъ таблицъ. Приведемъ примѣры:
Іод 82=1,91381; Іод 0,082=2,91381 (стр. 1)
Іод 2560=3,40824; Іод 256000=5,40824 (стр. 7)
Іод 7416=3,87017; Іод 74,16=1,87017 (стр. 23)
Если значащая часть числа превосходитъ 10009, то мантисса
находится на основаніи слѣдующей истины, которую мы при-
мемъ безъ доказательства: если числа болѣе 1000, и разности
между ними не превосходятъ I, то безъ чувствительной
ошибки можно принять, что разности между числами про-
порціональны разностямъ между ихъ логариѳмами *).
Принявъ это, положимъ, что требуется найти Іод 74,2354.
Такъ какъ величина мантиссы не зависитъ отъ положенія
запятой, то перенесемъ запятую на столько знаковъ, чтобы
въ цѣлой части образовалось наибольшее число, какое только
можно найти въ таблицахъ; въ нашемъ примѣрѣ для этого
достаточно перенести запятую вправо на два знака. Теперь
будемъ искать логариѳмъ числа 7423,54.
Выписываемъ изъ таблицъ (стр. 23) логариѳмъ числа 7423
и рядомъ ставимъ (въ скобкахъ) такъ наз. табличную раз-
ность, т.-е. разность между взятымъ логариѳмомъ и слѣдую-
щимъ большимъ. Для этого вычитаемъ (въ умѣ) изъ 064
число 058; находимъ 6 (стотысячн.):
Іод 7423=3,87058 (6)
*) Справедливость этого предложенія до нѣкоторой степени можетъ
быть провѣрена просмо громъ самыхъ логариѳмическихъ таблицъ. Въ этихъ
таблицахъ, начиная со 2-й страницы, помѣщены четырехзначныя цѣлыя
числа въ ихъ натуральномъ порядкѣ, т.-е. числа эти возрастаютъ на 1.
Если бы разности между числами были строго пропорціональны разностямъ
между ихъ логариѳмами, то при возрастаніи чиселъ на 1 ихъ логариѳмы
возрастали бы на одно и тоже число. Просматривая таблицы, замѣчаемъ,
что разности между сосѣдними мантиссами, хотя и не остаются одинако-
выми на протяженіи всѣхъ таблицъ, однако измѣняются очень медленно;
напр., для всѣхъ чиселъ, помѣщенныхъ на страницахъ 19, 20, 21 и 22
таблицъ, разности между сосѣдними мантиссами оказываются только или
$, или 7 стотысячныхъ. Если же эти разности почти постоянны для чи-
селъ, отличающихся на 1 (и превосходящихъ 1( 00), то онѣ должны быть
еще болѣѳ постоянными для чиселъ, отличающихся менѣе, чѣмъ на 1 (и
превосходящихъ 1000).
— 282 —
Обозначимъ буквою Д разность между искомымъ логариѳ-
момъ и логариѳмомъ, взятымъ изъ таблицъ. Эта разность
соотвѣтствуетъ разности между числами 0,54, тогда какъ
6-и стотысячнымъ соотвѣтствуетъ разность между числами
1 единица; такимъ образомъ:
Разности между Разности между
числами: логариѳмами:
1 . . ............ 6 стотыс.
0,54 ............... А „
На основаніи указанной выше истины можемъ написать:
Д : 6=0,54 : 1; откуда: Д=6.0,54=3,24 (стотыс.).
Приложивъ къ 3,87058 найденную разность, найдемъ
Іод 7423,54. Такъ какъ мы ограничиваемся 5-ю десятич-
ными знаками мантиссы, то въ числѣ 3,24 можемъ отбро-
сить цыфры 2 и 4, представляющія собою милліонныя и
десятимилліонныя доли; при этомъ, для уменьшенія ошибки,
полезно руководствоваться слѣдующимъ правиломъ: если от-
брасываемая часть больше или равна 5 милліоннымъ, то,
откидывая ее, мы должны увеличить на 1 оставшееся число
стотысячныхъ.
Такимъ образомъ, Іод 7423,54 = 3,87058 -(-3 стотыс. =
= 3,87061. Такъ какъ Іод 74,2354 долженъ имѣть ту же
самую мантиссу, а характеристика его должна быть 1, то
Іод 74,2354=1,87061
Правило. Чтобы найти мантиссу даннаго числа, имѣющаго
б или болѣе цыфръ, выписываютъ изъ таблицъ мантиссу
числа, составленнаго первыми 4 г^ыфрами даннаго числа, и
къ ней прибавляютъ произведеніе табличной разности на де-
сятичную дробь, образованную остальными цыфрами дан-
наго числа, причемъ вмѣсто точной величины этого произ-
веденія берутъ ближайшее къ нему цѣлое число.
288. Употребленіе пропорціональныхъ частей. Мы видѣли,
что для полученія искомой мантиссы надо къ ближайшей
меньшей мантиссѣ, найденной изъ таблицъ, приложить про-
изведеніе табличной разности на десятичную дробь, образо-
ванную цыфрами даннаго числа, стоящими послѣ 4-й его
цыфры. Это умноженіе можно производить весьма просто
при помощи такъ называемыхъ рагіез ргорогііопаіез (про-
порціональныхъ частей), помѣщенныхъ въ таблицахъ въ
— 283 —
крайнемъ правомъ столбцѣ съ надписью Р.Р. Такъ, на стр.
23-й мы находимъ въ этомъ столбцѣ двѣ колонки, надъ ко-
торыми стоятъ цыфры: надъ одной 6, надъ другой 5. Эти
цыфры означаютъ табличныя разности (въ стотысячныхъ
доляхъ) между двумя рядомъ стоящими мантиссами, помѣ-
щенными на этой страницѣ. Подъ каждой изъ этихъ таблич-
ныхъ разностей выписаны произведенія ея на 0,1, на 0,2,
на 0,3...., наконецъ, на 0,9. Гакъ, найдя въ колонкѣ, надъ
которою стоитъ разность 6, съ лѣвой стороны цыфру 8,
означающую 0,8, и взявъ справа отъ этой цыфры число
4,8, мы получимъ произведеніе 6.0,8.
Чтобы при помощи этихъ Р.Р. умножить, положимъ, 6 па
0,54, достаточно найти въ іюлопкѣ произведеніе 6.0,5 и по-
томъ произведеніе 6.0,04. Первое находимъ прямо: оно равно
3,0; чтобы получить второе, примемъ во вниманіе, что про-
изведеніе 6.0,04 въ 10 разъ меньше произведенія 6.0,4; это
послѣднее находимъ въ Р.Р.; оно равно 2,4; слѣд. 6.0,04=
0,24. Сложивъ 3,0 и 0,24, найдемъ полно.е произведеніе 6.0,54.
Вычисленіе всего удобнѣе располагать такъ:
Ч ис.< ю. Логариѳмъ.
7423 .................. 87058 (6)
-5...................... 30
4...................... 24
Іод 74,2354..............=1,87061
Подъ числомъ 7423 мы подписали цыфру 5, отступивъ па
одно мѣсто вправо, потому что эта цыфра означаетъ 0,5;
точно такъ же цыфра 4 отодвинута еще на одно мѣсто
вправо, такъ какъ опа означаетъ 0,04. Подъ мантиссой
87058 подписаны числа 30 и 24, причемъ каждое изъ нихъ
отодвинуто на одно мѣсто вправо, такъ какъ 30 означаетъ
3,0 стотысячныхъ, а 24 означаетъ 0,24 стотысячныхъ. На-
право помѣщена табличная разность 6.
Приведемъ еще примѣръ: найти Іод 28739,06.
Число. Логариѳмъ.
2873 .................. 45834 (15)
9..................... 135
0...................... ^0
___________6 90
Іод 28739,06 =4,45848
— 284 —
289. По данному логариѳму найти число. Пусть требуется
найти число, соотвѣтствующее логариѳму 1,51001. Не обра-
щая пока вниманія на характеристику, отыскиваемъ въ та-
блицахъ сначала первыя двѣ цыфры мантиссы, а потомъ и
остальныя три. Оказывается, что въ таблицахъ есть ман-
тисса 51001, соотвѣтствующая числу 3236. Принявъ во вни-
маніе характеристику, окончательно пишемъ:
1,51001=?^ 0,3236
Чаще случается, что данная мантисса не находится въ
таблицахъ. Пусть, напр., имѣемъ логариѳмъ: 2,59499, ман-
тиссы котораго не находимъ въ таблицахъ. Тогда беремъ
изъ таблицъ мантиссу, ближайшую меньшую къ данной,
выписываемъ число, соотвѣтствующее ей, и ставимъ (въ
скобкахъ) табличную разность:
Мантисса. Число.
59494.....................3935 (12)
12 стотысячныхъ есть разность между логариѳмами, соот-
вѣтствующая разности между числами 1. Разность между
данной мантиссой и ближайшей меньшей есть 5 стотыс.;
эта разность соотвѣтствуетъ неизвѣстной разности между
числами; обозначимъ ее Д; такимъ образомъ:
Разности между Разности между
логариѳмами. числами.
12 стотыс...............1
5 „ Д
На основаніи допущенной нами пропорціональности между
разностями чиселъ и соотвѣтствующихъ логариѳмовъ пи-
шемъ:
5-
Д : 1=5 ; 12 откуда: Д==—0,4
г &
Значитъ, число, соотвѣтствующее мантиссѣ 59499, равно
3935-|-0,4=3935,4; а такъ какъ характеристика даннаго ло-
гариѳма есть 2, то искомое число есть 393,54.
Правило. Чтобы найти число по данному логариѳму, на-
ходятъ въ таблицахъ ближайшую меньшую мантиссу и
— 285 —
соотвѣтствующее ей число и къ этому числу прибавляютъ
частное, выраженное десятичной дробью^ отъ дѣленія раз-
ности между данной мантиссой и ближайшей меньшей на
соотвѣтствующую табличную разность. *)
290. Употребленіе пропорціональныхъ частей. Обращеніе Д
въ десятичную дробь можетъ быть выполнено при помощи
Р.Р. Такъ, когда Д=^, то при дѣленіи 5 на 12 мы за-
даемся вопросомъ: на какое число десятыхъ надо умно-
жить 12, чтобы получить 5, или число, ближайшее къ 5?
Это число десятыхъ мы найдемъ въ колонкѣ, надъ которою
стоитъ число 12; отыскиваемъ въ ней съ правой стороны
число, ближайшее къ 5; это будетъ 4,8. Слѣва отъ 4,8 сто-
итъ цыфра 4, которая представитъ собою число десятыхъ
долей.
Вычисленіе всего удобнѣе располагать такъ:
Логариѳмъ. Число.
2,59499 (12)
. .94.................3935
5.................... 4
2,59499............—Іод 393,54
к291. Дѣйствія надъ логариѳмами съ отрицательными харак
теристиками. Сложеніе и вычитаніе не представляютъ ни-
какихъ затрудненій, какъ это видно изъ слѣдующихъ при-
мѣровъ:
2,97346 ! 3,83846 _1,03842 _ 6,00523
+1,83027 5,98043 5,9(5307 ' ~ 4,57369
0,80373 7,81889 7,07535 3,43154
*) Частное ото достаточно вычислить съ точностью до 1/2 десятой, такъ
какъ большая точность все равно не достигается по причинѣ погрѣшно-
сти, заключающейся въ принятіи пропорціональности между разностями
чиселъ и разностями ихъ логариѳмовъ (см. Приложеніе).
— 286 -
Не представляетъ никакихъ затрудненій также и умноже-
ніе логариѳма на положительное число; напр.;
3,58376 2,47356
X 9 X 34
22,25384 189424
___142068
16,10104
— 68
52,10104
Въ послѣднемъ примѣрѣ отдѣльно умножена положитель-
ная мантисса на 34, затѣмъ отрицательная характеристика
на 34.
Если логариѳмъ съ отрицательной характеристикой и по-
ложительной мантиссой умножается на отрицательное число,
то поступаютъ двояко: или предварительно данный лога-
риѳмъ обращаютъ въ . отрицательный, или же умножаютъ
отдѣльно мантиссу и характеристику, и результаты соеди-
няютъ вмѣстѣ; напр.:
1) 3,56327.(—4)=-2,43673.(—4)=9,74692.
2) 3,56327.(—4)=-{-12—2,25308=9,74692.
При дѣленіи могутъ представиться два случая: 1) отри-
цательная характеристика дѣлится и 2) не дѣлится на дѣ-
лителя. Въ первомъ случаѣ отдѣльно дѣлятъ характеристику
и мантиссу:
10,37846 ; 5=2,07569.
Во второмъ случаѣ прибавляютъ къ характеристикѣ столь-
ко отрицательныхъ единицъ, чтобы образовавшееся число дѣ-
лилось на дѣлителя; къ мантиссѣ прибавляютъ столько же
положительныхъ единицъ:
3,76081 : 8=(—8-|-5,76081) : 8=1,72010.
Это преобразованіе надо совершать въ умѣ, такъ что дѣй-
ствіе располагается такъ:
3,76081 : 8=1,72010 или 3,76081 [8
1,72010.
— 287 —
292. Замѣна вычитаемыхъ логариѳмовъ слагаемыми. При
вычисленіи какого-нибудь сложнаго выраженія помощью ло-
гариѳмовъ приходится нѣкоторые логариѳмы складывать,
другіе вычитать; въ такомъ случаѣ, при обыкновенномъ
способѣ совершенія дѣйствій, находятъ отдѣльно сумму сла-
гаемыхъ логариѳмовъ, потомъ сумму вычитаемыхъ и изъ
первой суммы вычитаютъ вторую. Напр., если имѣемъ:
Іод ж=2,73058—2,074064-3,54646—8,35890,
то обыкновенное выполненіе дѣйствій расположится такъ:
2,73058 2,07406 __ 0,27704
'3,54646 ‘ 8,35890 6,43296
0,27704 6,43296 7,84408^00 х.
Есть однако возможность замѣнить вычитаніе сложе-
ніемъ. Дѣйствительно, если с есть характеристика (поло-
жительная или отрицательная), а ш мантисса (положитель-
ная) даннаго вычитаемаго логариѳма, то можно, очевидно,
писать:
гп~—с—14-1—(с4~1)4Ч^—ж)-
Такъ какъ с4~1 есть цѣлое число, а 1—т положительная
дробь, то число —(с4"1) можно взять за характеристику, а
1—т за мантиссу новаго логариѳма, который можно напи-
сать такъ:
+[_(с+1)+(1_то)]
и, слѣд., можно разсматривать его, какъ слагаемое.
Отсюда выводимъ такое правило: чтобы вычесть лога-
риѳмъ, достаточно прибавить другой логариѳмъ, который
составляется изъ даннаго такъ: характеристика увели-
чивается на 1 и результатъ берется съ обратнымъ зна-
комъ, а всѣ цыфры мантиссы вычитаются изъ 9, кромѣ
послѣдней справа значащей цыфры, которая вычитается
изъ 10.
— 288 —
Руководствуясь этимъ правиломъ, можемъ прямо писать:
—2,07406=1,92594 —8,35890=9,64110
и расположить вычисленіе въ нашемъ примѣрѣ такъ:
2,73058
1,92594
4-3,54646
9,64110
7^4408=^00 «
293. Примѣры вычисленій помощью логариѳмовъ.
Примѣръ 1.
„ 36,7452і/-0Т17'
Вычислить х=————
2|/А.(82)\
ри о
Логариѳмируемъ это выраженіе:
1 11
Іод х—21од 36?745-|-о-^0? 17 — Іод'1-гІодо-^-^Іодб—Ыод 82.
о 2 2
Теперь производимъ вычисленіе Іод х:
Предварительныя вычисленія.
Число. Логариѳмъ.
3674. . . .56614 (12)
5 60
Іод 36,745 =1,56520
Н 0,17 =1,23045
Н 2 =0,30103
И 5 =0,69897
1, %юд 5 =0,34948
Іод 6 =0,77815
Іод 82 =1,91381
Ыод 82 =9,56905'
Окончательныя вычисленія.
2 Іод 36,745 3,13040
1 , з 109 0,17 = 1,74348
—Іод 2 = 1,69897
1, “2^ 5 = 1,65052
1 , 2 і°д 6 = 0,38907
—Ъіод 82 =10,43095
Іод X = 7,04339
— 289 —
По этому логариѳму находимъ число:
Логариѳмъ. Число.
7,04339
...36...............1105 (40)
3............... 1
7,04339 11051 ж—0,00000011051 '
Примѣръ 2. Вычислить ж=(—2,31)* 1 * 3 * 5 * *|/72=—(2,31)3]/72
Такъ какъ искомое число отрицательное, а отрицательныя
числа не имѣютъ логариѳмовъ, то предварительно находимъ
положительное число —ж=(2,31)3]/72, а потомъ и ж;
1
Іод (—ж)=3 Іод 2,31-]—^Іод 72
Іод 2,31=0,36361 3 Іод 2,31=1,09083
іо„ 72=1,85733 1 ,2=0.н147
5 •' .
~Іод (—ж)=1,4623®
Логариѳмъ. Число.
1,46230
25..........2899 (15)
5............. 3
'1,46230= ^28,993; ж=—28,993
Примѣръ 3. Вычислить: ]/ 8+]/3
Сплошного логариѳмированія здѣсь примѣнить нельзя,
такъ какъ подъ знакомъ корня стоитъ сумма. Въ подобныхъ
случаяхъ вычисляютъ формулу по частямъ. Сначала нахо-
димъ #=|/ 8, потомъ #,=|/ 3; далѣе простымъ сложеніемъ
опредѣляемъ #+#х и, наконецъ, вычисляемъ '|/#+#і:
1
Іод ^-Іод&=і0,18062; #=1,5157
О
1
Іод ^—-^Іод3=0,11928; #,=1,3160
#+#1=2,8317
гой'|/#+#і= ^Іод 2,8317=0,15068; |/#+#і=1,41470
А. Киселевъ. Алгебра.
19
— 290 —
293,а. Замѣчаніе о погрѣшности при вычисленіи. Такъ какъ табличные
логариѳмы только приблизительные, то отъ сложенія большого числа
логариѳмовъ или отъ умноженія логариѳма на большое число ошибка мо-
жетъ значительно возрасти, такъ что послѣднія цыфры мантиссы, найден-
ной для искомаго числа, могутъ оказаться невѣрными. Напр., при вы-
численіи формулы о?=2100 мы должны логариѳмъ 2-хъ умножить на 100.
Но пятизначный логариѳмъ 2-хъ, т.-е. 0,30103, точенъ только до і/з сто-
тысячной; значитъ, произведеніе 100 Іод 2, равное 30,10300, точно только
до Ѵз тысячной, т.-е. въ мантиссѣ только первыя три цыфры вѣрны. Про-
сматривая въ таблицахъ мантиссы» у которыхъ первыя три цыфры суть
103, мы видимъ, что онѣ соотвѣтствуютъ числамъ, у которыхъ первыя
три цыфры суть 126 или 127; значитъ, мы можемъ только ручаться
за то, что
31 цыфра 31 цыфра
ж>12600Т?0 и ^<12800Т?0.
Болѣе подробныя свѣдѣнія о предѣлѣ погрѣшности, совершаемой при
вычисленіяхъ помощью пятизначныхъ таблицъ, помѣщены въ особомъ при-
ложеніи въ концѣ этой книги.
Показательныя и логариѳмическія уравненія.
294. Показательными уравненіями называются такія, въ
которыхъ неизвѣстное входитъ въ видѣ показателя, а лога-
риѳмическими—такія уравненія, въ которыхъ неизвѣстное
входитъ подъ знакомъ Іод. Такія уравненія могутъ быть
1 разрѣшаемы только въ частныхъ случаяхъ, причемъ при-
ходится основываться на свойствахъ логариѳмовъ и на томъ
началѣ, что если числа равны, то равны и ихъ логариѳмы
(когда основаніе не равно 1), и обратно: если логариѳмы
равны, то равны и соотвѣтствующія имъ числа.
Примѣръ 1. Рѣшить уравненіе: 2ж=1024.
і п 7 и Аол іод 1024 3,01030
х іод 2=1од 1024; ^-^-—=^^=10
/1\ж2—2х
Примѣръ 2. Рѣшить уравненіе:]—) =5
Подобно предыдущему находимъ:
1
(я;2—2х)Іод-~-—Іод 5; (я2—2ж)(—Іод 3)==1од б
О
я;2-2яН-^4=0; я=1±|/13^Е_|
1 Іод 3 э у Іод 3
— 291 -
Такъ какъ то уравненіе невозможно при веще-
ственныхъ значеніяхъ х.
і*
Примѣръ 3. Рѣшить уравненіе: 0,001 =0,3
Логариѳмируя въ первый разъ, получимъ:
9в_ к>д 0,3 _Т,47712 _-0,52288
~1од 0,001“ —3 “ — 3 ’
Логариѳмируя еще разъ, найдемъ:
Іод 0,17429_Т^24128 _ -0,75872 _
Х~ Іод 2 “0,30103“ 0,30103 “ ’
Примѣръ 4. Рѣшить уравненіе: а'іх—ах—1.
Положивъ ах=у, получимъ квадратное уравненіе:
У8-?/-1=0, откуда: ^„=^—•
л , А
„ X , 1—1/^
Слѣд.: а®=——и ах =----------?—
а 2і
Такъ какъ 1—|/б<^0, то послѣднее уравненіе невозмож-
но, а первое даетъ:
Іод(1-і-)/5)—Іод 2
Іод а
Примѣръ 5. Рѣшить уравненіе Іод{а-\-х)-]-Іод(Ь-{-х)=
=іод{с-\^х)
Уравненіе можно написать такъ:
Іод[(а-}-х) (д~1~х)]=іод(с-^х).
Изъ равенства логариѳмовъ заключаемъ о равенствѣ чи-
селъ:
(я-і-ж) (&-]-ж)=с--|-®
Это есть квадратное уравненіе, рѣшеніе котораго не пред-
ставляетъ затрудненій.
5
Примѣръ 6. Рѣшить систему: ху—а*, Іод‘іх-\-Іод‘іу=-^.Іод2а:і
А
Первое уравненіе можно замѣнить такимъ:
Іод х-[-Іод у=1од а*
19*
— 292 -
Возвысивъ это уравненіе въ квадратъ и вычтя изъ него
второе данное, получимъ:
5 3
2 Іод х Іод у=1од^а2 — ^О02а2, откуда: Іод х Іод у=-~'-Іод*а*.
л ~г
Зная сумму и произведеніе логариѳмовъ, легко найдемъ
и самые логариѳмы:
з ____
Іод х—^іод а^ІодуЪ^У—Іод а\ х~а*
а
Примѣръ 7. Вычислить выраженіе ІО1-^ гдѣ знакъ
Іод означаетъ десятичный логариѳмъ.
Такъ какъ 1 можно замѣнить черезъ Іод 10, то:
Ю1-^ 1,(3)=1О^ ы-го^/з =10^(Ы: Ѵз) = 1О^зо/4 =52=7 5
4 ’
Сложные проценты и срочныя уплаты.
295. Основная задача на сложные проценты. Говорятъ,
что капиталъ отданъ по сложнымъ процентамъ, если причи-
тающіяся на него процентныя деньги не берутся изъ банка,
а присоединяются въ концѣ каждаго года къ капиталу для
наращенія ихъ процентами. Замѣтивъ это, предложимъ себѣ
такую задачу:
Въ какую сумму обратится капиталъ а рублей, отдан-
ный въ ростъ по р сложныхъ процентовъ, по прошествіи і
лѣтъ (і цѣлое число)?
Обозначивъ черезъ г ежегодную прибыль на 1 рубль,
т.-е. положивъ р/ш=г, будемъ разсуждать такъ: черезъ
1 годъ каждый рубль капитала обратится въ І-р руб.
(напр., если капиталъ отданъ по 5%, то каждый рубль его
черезъ годъ обратится въ І-р/юо? т-"е- въ рубля);
слѣд., а рублей обратятся черезъ 1 годъ въ а(1-|-г) руб.
Еще черезъ годъ, т.-е. черезъ 2 года отъ начала роста,
каждый рубль изъ этихъ а(1-р) руб. обратится снова въ
— 293 —
1-|-г руб.; значитъ, весь капиталъ обратится въ а(1-]-г)2 руб.
Такимъ же образомъ найдемъ, что черезъ три года капиталъ
будетъ а(1-|-г)3, черезъ 4 года а(14”^)4--. вообще черезъ
I лѣтъ, если і цѣлое число, онъ обратится въ а(1-]-г)* руб.
Такимъ образомъ, обозначивъ черезъ А окончательный ка-
питалъ, будемъ имѣть слѣдующую формулу сложныхъ про-
центовъ:
А—а(14-г)* [1]
Напр., если а=2300? р=5°/0, 2=10, то найдемъ:
г=^=0,05; 4=2300(1,05)4
Чтобы вычислить Л, пользуемся логариѳмами:
Іод А—Іод 23004-10 Іод 1,05=3,361734-0,21190=3,57363
Л=3746,54 руб.
296. Случай, когда время есть дробное число лѣтъ. Если время, на кото-
рое отданъ капиталъ, состоитъ изъ і полныхъ лѣтъ и еще к дней, то
можно сдѣлать два предположенія: 1) капиталъ а нарастаетъ сложными
процентами за все время, или 2) сложные проценты считаются только за
цѣлое число лѣтъ, а за к дней счетъ прибыли идетъ на простые проценты.
Первое имѣетъ мѣсто въ тѣхъ случаяхъ, когда нарастаніе, не завися отъ
условій, принятыхъ человѣкомъ, идетъ непрерывно по одному и тому же
закону (напр., при увеличеніи съ теченіемъ времени численности населенія
въ какой-нибудь странѣ). Второе имѣетъ мѣсто въ банковыхъ операціяхъ.
Легко убѣдиться, что въ первомъ случаѣ законъ нарастанія выражается
тою же формулою [1], которую мы вывели для і цѣлаго. Предположимъ въ
самомъ дѣлѣ, что і—р)у лѣтъ, и допустимъ, что 1 рубль черезъ 1/^ часть
года обращается въ 1-|-ж руб. Тогда черезъ ѵ/д частей, т.-е. черезъ 1 годъ,
онъ обратится въ (1~|-ж)?, а черезъ р/д года—въ (1-|-а?)р. Но, по смыслу
задачи, имѣемъ:
(1-|-®р=1-Рт
откуда: 14-#=(14“^)д и )
т.-е. Д=а(14“/)*
Для случая, когда нарастаніе за часть года разсчитывается по про-
стымъ процентамъ, > можно составить другую формулу такимъ образомъ:
черезъ і полныхъ лѣтъ капиталъ, нарастая сложными процентами, обра-
тится въ а(1-(-г)# руб.; въ к дней каждый рубль принесетъ, считая про-
стые проценты, руб. процентныхъ денегъ (годъ при коммерческихъ
расчетахъ считается въ 360 дней); каждый рубль изъ «(!-{-/)* рублей
— 294 —
обратится черезъ к дней въ 14-к^к руб. Поэтому окончательный капи-
оЫ)
талъ будетъ:
Л=а(1+Г)‘(1+з§б) [2]
Если, напр., 05=2300, р=&, #=10 и Л=36, то найдемъ:
4=2300(1,05)«(14-0,005)
Іод А=1од 23004-10 Іод 1,05-\-Іод 1,005=3,57580
4=3765,33
297. По даннымъ тремъ изъ величинъ: А, а, г и I опре-
дѣлить четвертую. Формула (1) примѣнима и къ рѣше-
нію такихъ задачъ, въ которыхъ неизвѣстно или а, или г,
или і при прочихъ данныхъ величинахъ. Такъ, изъ нея на-
и слѣд.:
ходимъ:
Для опредѣленія начальнаго капитала: а=^
и слѣд.: Іод а=1од А—і Іод (14-г).
* /Т
Для опредѣленія процента: 14^г=|/-----
у 64
Іод (і4-г)=|(#о0 4—Іод а)
V
Вычисливъ по таблицамъ 1-р*, найдемъ потомъ г, т.-е.
Ѵюо, а слѣд. и р.
Для опредѣленія времени будемъ имѣть:
Іод А=1од а-\-і Іод (І-^)
откуда:
. А—Іод а
~~ #од(14-г)
При рѣшеніи задачъ по формулѣ [2] могутъ представиться нѣкоторыя
затрудненія. Такъ, для опредѣленія процента эта формула даетъ уравненіе
степени 4+1-й относительно г, которое вообще не разрѣшается элемен-
тарно. Въ этомъ случаѣ можно удовольствоваться приближеннымъ рѣше-
ніемъ, которое находятъ слѣдующимъ образомъ. Назначивъ для г произ-
вольное число, вычисляютъ по формулѣ [2] капиталъ А; если найденное
значеніе окажется менѣе даннаго, то, замѣтивъ, что съ увеличеніемъ г
увеличивается и Л, даютъ для г другое произвольное значеніе, большее
прежняго, и снова вычисляютъ А; если это значеніе окажется все-таки
меньше даннаго, то еще увеличиваютъ г. Послѣ нѣсколькихъ испытаній
— 295 —
находятъ для г такое число, при которомъ вычисленное значеніе А будетъ
весьма мало отличаться отъ даннаго.
Затрудненіе представляется также и тогда, когда по формулѣ [2] опре-
дѣляется время, Потому что въ этомъ случаѣ получается одно уравненіе
съ двумя неизвѣстными і и к. Затрудненіе это обходятъ, пользуясь сна-
чала формулой [1] для вычисленія цѣлаго числа лѣтъ, а потомъ форму-
лой [2] для вычисленія к. Чтобы уяснить это на примѣрѣ, рѣшимъ такую
задачу:
На какое время надо отдать капиталъ 5000 рублей по 6 сложныхъ
процентовъ, чтобы вмѣсто него получить 6000 рублей?
Мы нѳ знаемъ, будетъ ли искомое число цѣлое или дробное. Предполо-
жимъ, что оно будетъ цѣлое. Въ такомъ случаѣ можемъ воспользоваться
формулою [1], которая даетъ:
6000=5000.1,06і или 6=5.1,06*
откуда, логариѳмируя, найдемъ:
Іод 6—Іод 5_0,77815—0,69897_0,07918
Іод 1,06 “ 0,02531 —0,02531“ ’
Значитъ, нельзя предположить, что і есть число цѣлое, и потому, если
только въ задачѣ подразумѣваѳтся условіе, что за часть года нарастаніе
идетъ по закону простыхъ процентовъ, мы нѳ имѣемъ права пользоваться
формулою [1]. Но нетрудно понять, что найденный изъ этой формулы ре-
зультатъ нѳ вѣренъ только относительно части года, а нѳ цѣлаго числа
лѣтъ. Такимъ образомъ мы можемъ въ формулѣ [2] на мѣсто і подставить
найденное число 3, послѣ чего получимъ:
6000=5000.1,06^14-4?^ или 6 = 5.1,06^14-4^
I 1 ЗоО у \ 1 60 у
(О 01к\
1-]—~--]=Іод 6—Іод 5-3 Іод 1,06=0,00325
По таблицамъ находимъ: = 1 0075; откуда й = 45.
Слѣд., искомое время есть 3 года 45 дней.
298. Основная задача на срочныя уплаты. Нѣкто за-
нялъ а рублей по р% съ условіемъ погасить долгъ, вмѣстѣ
съ причитающимися на него процентами, въ ѣ лѣтъ, внося въ
концѣ каждаго года одну и ту же сумму. Какова должна
быть эта сумма?
Сумма х, вносимая ежегодно при такихъ условіяхъ, наз.
срочною уплатою. Обозначимъ опять буквою г ежегодныя
процентныя деньги съ 1 рубля, т.-е. число р!ім. Тогда къ
— 296 —
концу 1-го года долгъ а возрастетъ до а (1-}-г)9 а за упла-
тою х рублей онъ сдѣлается а(1-|-г)—х. Къ концу 2-го
года каждый рубль этой суммы снова обратится въ 1-(-г
рублей, и потому долгъ будетъ [а(1-|-^)—#](1-1-г)=а(1-рг)2—
—а за уплатою х> рублей окажется: а(1-|-г)2—
—гг(І-рг)—х. Такимъ же образомъ убѣдимся, что къ концу
3-го года долгъ будетъ: а(1-|-г)3—ж(1-|-г)2—х(1-^-г)—х и
вообще къ концу 2-го. года онъ окажется:
х(1—гу~2.. ,—х(1-уг)—х
или гг[1+(1-^)+(1^)2+...+(14^У“24-(1^)#--1]
Многочленъ, стоящій внутри скобокъ [ ], представляетъ
сумму членовъ геометрической прогрессіи, у которой первый
членъ есть 1, послѣдній (іЦ-г)^"*1, а знаменатель (1-1-г).
По формулѣ для суммы членовъ геометрической прогрессіи
(§ 271) находимъ, что этотъ многочленъ равенъ:
___ Ід-а_ (ІЦ-гу- ЧІ+г)—1 _ (1-|-г)#—1
8 д-Л (1-|-г)—1 г
Вслѣдствіе этого величину долга послѣ 2-ой уплаты можно
написать такъ:
По условію задачи долгъ въ концѣ 2-аго года долженъ
равняться 0; поэтому:
м । ѵ 1 А а(14-г)*г
«(1-М ----=°; откуда: [1]
При вычисленіи этой формулы срочныхъ уплатъ помощью
логариѳмовъ мы должны сначала найти число И=(1-^гу по
его логариѳму: Іод Іод (1-|-г); найдя вычтемъ изъ
него 1* тогда получимъ знаменателя формулы для ж, послѣ
чего вторичнымъ логариѳмированіемъ найдемъ:
Іод х—іод Ог-\-Іод т~уіод И—Іод (2Ѵ—1).
299. По даннымъ тремъ изъ величинъ: х, а, г и і опре-
дѣлить четвертую. Та же формула можетъ служить для
рѣшенія и такихъ задачъ, въ которыхъ извѣстна срочная
- 297 —
уплата, а отыскивается или занятая сумма, или время, или
величина процента. Изъ нея находимъ:
для опредѣленія долга: а—
для опредѣленія времени; . (1-1-гу=—— ;
X—ат
__Іод х—іод (х—аг)
~ Іод (14-г)
откуда:
Въ послѣднемъ случаѣ задача окажется невозможною,
если х^ат, такъ какъ отрицательныя числа не имѣютъ ло-
гариѳмовъ, а Іод 0=— оо (слѣд., г=з4-оо); невозможность
задачи видна и а ргіогі, такъ какъ произведеніе ат означаетъ
ежегодныя процентныя деньги, а если срочная уплата меньше
процентныхъ денегъ, или равна имъ, то, конечно, долгъ не
можетъ быть погашенъ ни въ какое число лѣтъ. Задача
также невозможна, если для I получается дробное число;
заключающееся въ этомъ дробномъ числѣ цѣлое число, п
означаетъ, что п срочными уплатами долгъ не покрывается
вполнѣ, а п-рі уплатами онъ покрывается съ избыткомъ.
Когда неизвѣстна величина процента, мы получаемъ урав-
неніе (степени которое элементарно можетъ быть
рѣшено только приблизительно, посредствомъ подстановки
въ формулу [1 ] на мѣсто г произвольныхъ чиселъ до тѣхъ
поръ, пока не получится для х числа, близкаго къ задан-
ному.
299,а. Основная задача на срочные взносы. Нѣкто взно-
ситъ въ банкъ въ началѣ каждаго года одну и ту же
сумму а руб. Опредѣлить, какой капиталъ образуется изъ
этихъ ежегодныхъ взносовъ по прошествіи 1 лѣтъ, если банкъ
платитъ по р сложныхъ процентовъ.
Обозначивъ черезъ г ежегодныя процентныя деньги съ 1
рубля, т.-е. */100, разсуждаемъ такъ: къ концу 1-го года ка-
питалъ будетъ а(1+г); въ началѣ 2-го года къ этой суммѣ
прибавится а руб.; значитъ, въ это время капиталъ ока-
жется а(14^*)4"а’ Къ концу 2-го года онъ будетъ а(14^’)24‘
— 298 —
-}-а(14-г); въ началѣ 3-го года снова вносится а руб.; зна-
читъ, въ это время капиталъ будетъ
къ концу 3-го года онъ окажется
Продолжая эти разсужденія далѣе, найдемъ, что къ концу
2-го года искомый капиталъ А будетъ:
2=а(14-г)<-|-а(1-Н’У_1+о(1-Н’)<_2+- • •+а(1+г")
I 1_а(1-Н-)[(1-Нг)г-1]
( ' ' (і-Н—і
г
Такова формула срочныхъ взносовъ.
ДОПОЛНЕНІЯ.
ГЛАВА I.
Соединенія.
ЗОО. Опредѣленіе соединеній и ихъ раздѣленіе. Различныя
группы, составленныя изъ данныхъ предметовъ и отличаю-
щіяся одна отъ другой или порядкомъ предметовъ, или са-
мими предметами, называются вообще соединеніями. Пред-
меты, входящіе въ соединенія, наз. элементами и обозна-
чаются буквами а, &, с, й...
Соединенія могутъ быть трехъ родовъ: размѣщенія (аггап-
^етепіз), перестановки (регтпіаііопз) и сочетанія (сотЪі-
паізопз). Разсмотримъ ихъ отдѣльно.
301. Размѣщенія. Размѣщеніями изъ данныхъ пі элемен-
товъ по н, гдѣ гпст, называются такія соединенія, изъ
которыхъ каждое содержитъ п элементовъ, взятыхъ изъ
данныхъ т элементовъ, и которыя отличаются одно отъ
другого или порядкомъ элементовъ, или самими элементами.
Напр., слѣдующія соединенія представляютъ собою раз-
мѣщенія изъ 4 элементовъ а, Ъ, с, Л по 2:
аЪ ас аЛ Ъс Ы с&
Ъа са (Іа сЪ Ш) йс
Изъ нихъ нѣкоторыя, напр., аЪ и Ъа, отличаются только
порядкомъ элементовъ, а другія, какъ аЪ и ас, отличаются
элементами.
Размѣщенія изъ данныхъ т элементовъ могутъ быть по
1, по 2, по 3..., и, наконецъ, по т.
Иногда бываетъ нужно знать число всевозможныхъ размѣ-
щеній изъ т элементовъ по п, не составляя самихъ размѣ-
щеній. Условимся это число обозначать символомъ А^ (здѣсь
— 300 —
А есть начальная буква слова аггап^етепі). Чтобы найти
это число, разсмотримъ пріемъ, посредствомъ котораго можно
составлять всевозможныя размѣщенія.
Пусть намъ дано т элементовъ:
а, 6, с,...*, 7
Сначала составимъ изъ нихъ всѣ размѣщенія по одному.
Ихъ будетъ, очевидно, т. Значитъ: А?п—т. Теперь соста-
вимъ всѣ размѣщенія по 2. Для этого къ каждому изъ раз-
мѣщеній по одному будемъ приставлять послѣдовательно
всѣ остающіеся элементы по одному:
аЪ) ас.> аск...аку аі (т—1 разм.)
6а, ЬСу Ъй,.,.Ък^ ЪІ (т—1 разм.)
7а, 76, 7с.......Ік (т—1 разм.)
Такъ, къ элементу а приставимъ послѣдовательно остаю-
щіеся элементы: 6, с, с7... 7г, 7, къ элементу Ъ приставимъ
послѣдовательно остающіеся элементы: а, с, й... А, 7 и т. д.
Такъ какъ всѣхъ элементовъ то каждому размѣщенію
по 1 эл. соотвѣтствуетъ т—1 оставшихся элементовъ, и по-
тому изъ каждаго размѣщенія по одному элементу мы по-
лучимъ т—1 размѣщеній по 2 эл., а всего ихъ будетъ
т(т—1). Очевидно, что другихъ размѣщеній по 2 элемента
быть не можетъ. Такимъ образомъ:
Лт—т(т-~ 1)
Чтобы составить теперь размѣщенія по 3, беремъ каждое
изъ размѣщеній по 2 и приставляемъ къ нему послѣдова-
тельно по одному всѣ т—2 оставшіеся элемента. Тогда по-
лучимъ слѣдующія соединенія:
абс, сМ....аЪк^ аЪІ (т—2 разм.)
асб, асс7....асА:, асі (т—% разм.)
77га, ІкЪ......... (т—2 разм.)
Такъ какъ число размѣщеній по 2 равно т(т—1) и изъ
каждаго размѣщенія по 2 получается т—2 размѣщенія по
3, то всѣхъ такихъ размѣщеній окажется т(т-~—2).
— 301
Другихъ размѣщеній по 3 элемента, очевидно, быть не
можетъ. Такимъ образомъ:
Ат=т(т—1) (т—-2)
Переходя такимъ же путемъ отъ размѣщеній по 3 къ раз-
мѣщеніямъ по 4, отъ размѣщеній по 4 къ размѣщеніямъ по
5 и т. д., послѣдовательно найдемъ:
2^=?п(т—-1)(т—-2)(т—3)
2)(т—3)(тп—4) и т. д.
Такимъ образомъ, мы получаемъ произведенія, составлен-
ныя по слѣдующему закону: во-1) наибольшій множитель ра-
венъ числу всѣхъ элементовъ, во-2) множители идутъ, умень-
шаясь на 1, и, въ-3) число всѣхъ множителей равно числу
элементовъ, входящихъ въ каждое размѣщеніе.
Законъ этотъ обладаетъ общностью, такъ какъ процессъ
перехода отъ размѣщеній изъ т элементовъ по р къ размѣ-
щеніямъ изъ т эл. по одинъ и тотъ же для всякой ве-
личины р.
Замѣтивъ это, можемъ писать вообще:
Л”=т(ш—1)(ш—2)... [ш—(п—1)]
Такова формула размѣщеній; ее можно выразить такъ:
число всевозможныхъ размѣщеній изъ т элементовъ по п
ѵавно произведенію п послѣдовательныхъ цѣлыхъ чиселъ
изъ которыхъ большее есть т.
Такимъ образомъ, 2* = 4 . 3 = 12, 2| = 4 . 3 . 2 = 24,
2|=8.7.6.5.=1680, и т. п.
Примѣръ. Въ классѣ 10 учебныхъ предметовъ и б разныхъ
уроковъ въ день. Сколькими способами могутъ быть распре-
дѣлены уроки въ день?
Всевозможныя распредѣленія уроковъ въ день предста-
вляютъ собою, очевидно, всевозможныя размѣщенія изъ 10
элементовъ по 5; поэтому всѣхъ способовъ распредѣленія
будетъ:
2^=10.9.8.7.6=30240.
302. Перестановки. Перестановками изъ данныхъ т эле-
ментовъ наз. такія соединенія, изъ которыхъ каждое со-
держитъ всѣ т элементовъ и которыя отличаются одно
отъ другого только порядкомъ ихъ. Напр., перестановки
-- 302 —
изъ трехъ элементовъ а, & и с будутъ такія соединенія:
аЬс, асд, Ъас, дса, саЪ, сЬа.
Изъ опредѣленія видно, что перестановки представляютъ
собою частный случай размѣщеній, а именно: перестановки
изъ т элементовъ суть размѣщенія изъ т элементовъ по т.
Число всевозможныхъ перестановокъ изъ т элементовъ
обозначается символомъ Рт (здѣсь Р есть начальная буква
слова регтиШіоп).
Такъ какъ Рт==А2, то формула перестановокъ есть слѣ-
дующая:
]Рт=т(т—1)(т—2) ...3.2.1=1.2.3... (Ш—1)Ш
т.-е. число всевозможныхъ перестановокъ изъ т элементовъ
равно произведенію натуральныхъ чиселъ отъ 1 до т *).
Примѣръ. Сколько девятизначныхъ чиселъ можно написать
девятью разными значащими цыфрами?
Искомое число есть Р9=1.2.3.4.5.6.7.8.9=362880.
303. Сочетанія. Сочетаніями изъ данныхъ т элементовъ
по п, гдѣ п^ш, наз. такія соединенія, изъ которыхъ ка-
ждое содержитъ гі элементовъ, взятыхъ изъ данныхъ т эле-
ментовъ, и которыя отличаются одно отъ другого по край-
ней мѣрѣ однимъ элементомъ.
Напр., изъ 4 элементовъ а, Ъ, с и Л сочетанія по 3 будутъ:
аЪс, аЫ, ас(і, Ъсй.
Сочетанія изъ т элементовъ могутъ быть: по 1, по 2, по
3... и, наконецъ, по т.
Изъ опредѣленія видно, что сочетанія представляютъ со-
бою тѣ размѣщенія, которыя отличаются одно отъ другого
элементами. Это обстоятельство позволяетъ найти число
всѣхъ сочетаній изъ т элем. по п, обозначаемое символомъ
С” (здѣсь С есть начальная буква слова сотЬшаізоп). Въ
самомъ дѣлѣ, если, найдя всѣ сочетанія изъ т элем. по п,
мы сдѣлаемъ въ каждомъ изъ нихъ всевозможныя переста-
новки, то получимъ всѣ размѣщенія изъ т элем. по п.
Напр., сдѣлавъ въ каждомъ изъ написанныхъ выше сочета-
*) Произведеніе натуральныхъ чиселъ отъ 1 до т включительно обо-
значается иногда сокращенно такъ: ш/
— 303 —
пій изъ 4 элем. по 3 всевозможныя перестановки, получимъ
всевозможныя размѣщенія изъ 4-хъ элементовъ по 3:
аЪс аЪд ассі Ъсд
асЪ аЛЬ асіс Ьгіс
Ъас ЬаЛ сасі сМ
Ъса Ъсіа ссіа ссІЬ
саЪ сІаЪ <1ас дЬс
сЪа дЪа Аса дсЪ
Дѣйствительно: во-первыхъ, эти соединенія суть различ-
ныя размѣщенія, такъ какъ они отличаются одно отъ дру-
гого или порядкомъ элементовъ, или самими элементами;
во-вторыхъ, въ этихъ соединеніяхъ должны встрѣтиться всѣ
размѣщенія изъ 4 элементовъ по 3, такъ какъ, если бы
могло быть размѣщеніе, не встрѣчающееся въ полученныхъ
соединеніяхъ, то оно отличалось бы отъ нихъ или поряд-
комъ, или элементами; если порядкомъ, то это значило бы,
что мы не сдѣлали всевозможныхъ перестановокъ; если эле-
ментами, то это значило бы, что мы не сдѣлали всевозмож-
ныхъ сочетаній.
Изъ этого слѣдуетъ, что число всѣхъ размѣщеній изъ т
элем. по п равно числу всѣхъ сочетаній изъ т элем. по п,
умноженному на число всѣхъ перестановокъ, какія можно
сдѣлать изъ п элементовъ; другими словами:
Дп=:Рп Р
откуда выводимъ слѣдующую формулу сочетаніи:
1) .. .[ш—(п—1)]
Ст~Рп 1.2.3... п [і]
Такимъ образомъ С|=^|=6; и т. д.
1,2 1,
Примѣръ. Изъ 10 кандидатовъ на одну и ту же должность
должны, быть выбраны трое. Сколько можетъ быть разныхъ
случаевъ?
Искомое число, очевидно, представляетъ число всевозмож-
ныхъ сочетаній изъ 10 элементовъ по 3, т.-ѳ.
10^
сі°— І.2.З.-
— 304 —
804. Другой видъ формулы сочетаній. Формулѣ [1] можно
дать иной видъ, если умножимъ числителя и знаменателя ея
на произведеніе: 1. 2. 3... (т—п); тогда въ числителѣ полу-
чимъ произведеніе натуральныхъ чиселъ отъ 1 до т, а въ
знаменателѣ—произведеніе натуральныхъ чиселъ отъ 1 до
п, умноженное на произведеніе натуральныхъ чиселъ отъ
1 до т—п:
гп— 1.2.3...(т-1> _ Рт
т 1.2.3... «.1.2.3.. \т—гі)~~ РпРт_* М
305. Свойство сочетаній. Замѣняя въ этой формулѣ п на
т—п, получаемъ:
1-2-3-(от—1)та Рт
Ьт 1.2.3...(т—«).1.2.3...« Р^Р'
Сравнивая эту формулу со [2], находимъ:
СП--/ч?п—п
т
т.-ѳ. число сочетаній изъ т элем. по п равно числу соче-
таній изъ т элем. по т—п.
Къ этому жѳ выводу приводитъ и такое простое разсу-
жденіе: если изъ т элементовъ отберемъ какіе-нибудь п, чтобы
составить изъ нихъ одно сочетаніе, то совокупность остав-
шихся элементовъ составитъ одно сочетаніе изъ т—п эле-
ментовъ. Такимъ образомъ, каждому сочетанію, состоящему
изъ п элем., соотвѣтствуетъ одно сочетаніе изъ т—п элем.,
и наоборотъ; отсюда слѣдуетъ, что
Выведенное соотношеніе позволяетъ упростить нахожде-
ніе числа сочетаній изъ т эл. по п, когда п превосходитъ
т. Напр.:
э?—0 з—161700
^100-^100- 1 2 3 —
Замѣчаніе. Такъ какъ С” есть число цѣлое, то формула [1]
показываетъ, что. произведете п послѣдовательныхъ цѣлыхъ
чиселъ дѣлится на произведеніе п первыхъ чиселъ.
- 305 -
ГЛАВА П.
Биномъ Ньютона.
306. Произведеніе биномовъ, отличающихся вторыми чле-
нами. Обыкновеннымъ умноженіемъ находимъ:
(я?-1—(ж~рб)—х Ъх-аіЬ^=х ;
"(ж-|-а) (жД-с)=[ж2-|-(а-|-6)ж-(-а&] (»-]-с)=
==^34-(а+5)ж2-^а5ж-|--сж!!--|-(ас-}-&с)ж--|-а&с==
==^з4Ч<Н_^+с)ж24Ча^4*ас4~^с)ж"Ьа^с
Подобно этому умноженіемъ найдемъ:
(ж-|-а)(ж-і-&)(ж-|-с)(ж-р<і)=жі-І-(а-р5-|-с-|-с/)ж3-|-
^(аЪ^ас^ай-уЬс^Ь^-сй^^аЪісД-аЬй^асдг^Ъс^х-^-аЪсЛ
Разсматривая получившіяся произведенія, замѣчаемъ, что
всѣ они составлены пб одному и тому же закону, а именно:
Произведеніе представляетъ многочленъ, расположенный
по убывающимъ степенямъ буквы х.
Показатель перваго члена равенъ числу перемножаемыхъ
биномовъ; показатели при х въ слѣдующихъ членахъ посте-
пенно убываютъ на 1; послѣдній членъ не содержитъ х.
Коэффиціентъ 1-го члена есть 1; коэффиціентъ 2-го члена
есть сумма всѣхъ вторыхъ членовъ перемножаемыхъ биномовъ;
коэффиціентъ 3-го члена есть сумма произведеній вторыхъ
членовъ, взятыхъ по два; коэффиціентъ 4-го члена есть сумма
произведеній вторыхъ членовъ, взятыхъ по три.
Послѣдній членъ есть произведеніе всѣхъ вторыхъ членовъ.
Докажемъ, что этотъ закопъ примѣнимъ къ произведенію
какого угодно числа биирмовъ. Для этого предварительно
убѣдимся, что если онъ вѣренъ для произведенія т биномовъ:
(жД-а) (ж-'гг) (ж-|-с)....(ж-р{:),
то будетъ вѣренъ и для произведенія т-Л-1 биномовъ:
(ж-Да) (жД-й) (ж4-с)...(ж-рс) (жД-і)
Итакъ, допустимъ, что:
. (а?+?г)=а?т+^і х™--8$ст~ 2~Ь • • 8т
к. Киселевъ. Алгебра. 21
— 306 —
гдѣ 81 означаетъ сумму всѣхъ вторыхъ членовъ, 8%—сумму
произведеній изо всѣхъ вторыхъ членовъ, взятыхъ по два,
$3—сумму произведеній изо всѣхъ вторыхъ членовъ, взятыхъ
по три, и т. д.; наконецъ, 8т есть произведеніе всѣхъ вто-
рыхъ членовъ.
множивъ обѣ части этого равенства на биномъ х-\-1,
найдемъ:
+^) ,+8тх
=^’и+1+('8і+0ж’а+(^+^1)х-™-1+.. .+(8т+18т_і)х+№
Разсматривая это новое произведеніе, убѣждаемся, что оно
подчиняется тому же закону, какой мы предположили вѣрнымъ
для т биномовъ. Дѣйствительно: во 1) этому закону слѣ-
дуютъ показатели буквы х; во 2) коэффиціентъ 2-го члена
представляетъ сумму всѣхъ вторыхъ членовъ перемно-
жаемыхъ биномовъ, включая сюда й I, коэффиціентъ 3-го
члена есть сУмма парныхъ произведеній всѣхъ вто-
рыхъ членовъ, включая сюда и I, и т. д.; наконецъ, 18т есть
произведеніе всѣхъ вторыхъ членовъ: а, й, С...А, /.
Мы выше видѣли, что разсматриваемый законъ вѣренъ
для 4 биномовъ; слѣд., по доказанному теперь, онъ вѣренъ
для 4-|-15 т.-е. для 5-ти биномовъ; если же онъ вѣренъ для 5-ти
биномовъ, то онъ вѣренъ и для 6-ти биномовъ, и т. д.
Изложенное разсужденіе представляетъ такъ называемое
„доказательство отъ т къ Оно часто употребляется для
показанія общности какого-нибудь правила или свойства*). ;
*) Приводимъ здѣсь другой выводъ, который, быть-можетъ, нѣкоторые
преподаватели предпочтутъ изложенному въ текстѣ. Этотъ выводъ основы-
вается на слѣдующемъ свойствѣ произведенія многочленовъ.
Произведеніе ш многочленовъ есть такой многочленъ, у котораго
каждый членъ представляетъ собою произведеніе т множителей, а
именно: одинъ множитель есть какой-нибудь членъ перваго много-
члена, другой множитель — какой-нибудь членъ второго многочлена,
третій множитель—какой-нибудь членъ третьяго многочлена и т. д.
Въ вѣрности этого свойства легко убѣдимся, принявъ во вниманіе, что
при умноженій многочленовъ каждый членъ одного многочлена умножается
на каждый членъ другого многочлена; значитъ, послѣ умноженія двухъ
многочленовъ получаемъ такой многочленъ, у котораго каждый членъ со-
стоитъ изъ двухъ множителей: какого-нибудь члена перваго многочлена и
— 307 —
307. Биномъ Ньютона и его свойства. Предположимъ, что
въ доказанномъ нами равенствѣ:
. \х^к)=хт^~8іхт~1-}-82хт-2--[-83хт-3.. .-р?ш
всѣ вторые члены биномовъ одинаковы, т.-е. а—Ь=с~...=к.
Тогда лѣвая часть его будетъ (х-\~а)т. Посмотримъ, во что
обратятся коэффиціенты 8^ 8^ ...8т.
Коэффиціентъ равный а-Ъ-1-с-1-..)-7г, обратится въ
та. Коэффиціентъ 8^ равный а&-|-ас-}-ай-|-...? обратится
въ а2, повторенное столько разъ, сколько можно составить
сочетаній изъ т элементовъ по два, т.-е. онъ обратится въ
~а2. Коэффиціентъ &3, равный аЪс-\-аЪй-\- ...........
какого-нибудь члена второго многочлена. Когда затѣмъ это произведенъ)
умножимъ на третій многочленъ, то получимъ такой многочленъ, у ко-
тораго каждый членъ состоитъ изъ трехъ множителей: одинъ—-какое-
нибудь членъ перваго многочлена, другой—какой-нибудь членъ второго
многочлена и третій—какой-нибудь членъ третьяго многочлена и т. д.
Примѣнимъ это свойство къ составленію произведенія т биномовъ:
(ж-Да) 04-6) (жЦ-с)....(ж-|-^) (®-|Л)
Расположимъ члены произведенія по степенямъ буквы х. Членъ съ
наивысшимъ показателемъ при х можетъ быть только одинъ, именно тотъ,
который получается отъ перемноженія первыхъ членовъ всѣхъ биномовъ;
этотъ членъ есть хт. Членовъ, содержащихъ хт~С будетъ нѣсколько.
Такіе члены получатся, если изъ одного бинома, все равно какого, возьмемъ
второй членъ, а изо всѣхъ остальныхъ т—1 биномовъ возьмемъ первые
члены. Если второй членъ возьмемъ у перваго бинома, то получимъ аж™-1;
если второй членъ возьмемъ у второго бинома, то получимъ Ьх!П~А и т. д.
Соединивъ всѣ эти члены въ одинъ, найдемъ (а~ігЬ-'гс^...-\-к-гІ)хт—і.
Членовъ, содержащихъ хт~2, тоже будетъ нѣсколько. Такіе члены получатся,
если изъ двухъ биномовъ, все равно какихъ, возьмемъ вторые члены, а
изо всѣхъ остальныхъ т—2 биномовъ возьмемъ первые члены. Если вторые
члены возьмемъ изъ перваго и второго биномовъ, то получимъ аЪх™-2;
если вторые члены возьмемъ изъ перваго и третьяго биномовъ, то получимъ
асхт—2 и т. д. Такихъ членовъ, очевидно, будетъ столько, сколько можно
составить сочетаній изъ т элементовъ, а, Ъ, с...к, I по 2. Соелпттнръ всѣ
эти члегы въ одинъ, получимъ (аЬ^ас-^а(1^....ухт-<і. Подобными же раз-
сужденіями убѣдимся, что члены, содержащіе жш~8, будутъ < ль,>у к щщ:
аЬсх™—3, аЬд,хт~3... Ъскхт~3... Число этихъ членовъ равно числу сочетаній
изъ т элементовъ по 3. Соединивъ ихъ въ одинъ членъ, получимъ
(аЪс-]-аЪа-\-...)Хп1—31ті. т.д. Наконецъ, будетъ одинъ членъ, не содержащій х.
Онъ равенъ произведенію вторыхъ членовъ всѣхъ биномовъ, т.-е. аЪс..кІ.
Такимъ образомъ, если для краткости обозначимъ черезъ сумму
всѣхъ вторыхъ членовъ, черезъ $2 сумму произведеній изо всѣхъ вторыхъ
членовъ, взятыхъ по 2, черезъ сумму произведеній всѣхъ вторыхъ
членовъ, взятыхъ по 3, и т. д. и, наконецъ, черезъ 8т произведеніе всѣхъ
вторыхъ членовъ, то получимъ:
(а?4-а) (Х-\-Ъ) (ССЦ-С) .... (Ж Ц-й) (Х^І)~:Хт^БіХт-^-82Хт-^83Хт"3-^
+...............................
20*
— 308 —
обратится въ а3, повторенное столько разъ, сколько можно
составить сочетаній изъ т элементовъ по 3, то-есть въ
1) (т—2) „ тт ~ »
—--- аа-----и Те д. Наконецъ, равное аос.... /с,
1.2.0
обратится въ а”.
Такимъ образомъ мы получимъ:
. , \ , , , ж(ш—1) „ .
(аН~а)” —хт+тахт~ Ч—— а*хт +
. ш(ш-1) (т—2) „ т ,.
_I________— л » О/улПІ— 3
1 12 3 ѵ€/ I •••
- —ьгЗ^Г-------------.
')то равенство извѣстно подъ именемъ бинома Ньютона.
Разсмотримъ особенности многочлена, стоящаго въ его пра-
вой части (называемаго разложеніемъ бинома):
1) Показатели буквы х постепенно уменьшаются на 1 отъ
перваго члена къ послѣднему, причемъ въ первомъ членѣ
показатель х равенъ показателю степени бинома, а въ послѣд-
немъ онъ есть 0; наоборотъ, показатели а постепенно уве-
личиваются на 1 отъ перваго члена къ послѣднему, причемъ
въ первомъ членѣ показатель при а есть 0, а въ послѣд-
немъ онъ равенъ показателю степени бинома. Вслѣдствіе
этого сумма показателей при ж и а въ каждомъ членѣ равна
показателю степени бинома. *
2) Число всѣхъ членовъ разложенія есть т-І-1, такъ какъ
разложеніе содержитъ всѣ послѣдовательныя степени а отъ
О до т включительно.
3) Коэффиціентъ 1-го члена равенъ 1; коэффиціентъ 2-го
члена есть показатель степени бинома; коэффиціентъ 3-го
члена представляетъ число сочетаній изъ т элементовъ по 2;
4-го члена—число сочетаній изъ т элем. по 3; вообще,
коэффиціентъ ?г-|-1-го члена есть число сочетаній изъ т эле-
ментовъ по п. Наконецъ, коэффиціентъ послѣдняго члена
равенъ числу сочетаній изъ т элементовъ по т, о т.-е. 1.
- 309 —
Замѣтимъ, что всѣ эти коэффиціенты наз. биноміальными
коэффиціентами.
4) Обозначая каждый членъ разложенія буквою Т со зна-
комъ, указывающимъ мѣсто его въ разложеніи,, т.-е. первый
членъ 715 второй членъ Т2 и т. д., можемъ напцЬать:
' ж(ш—(п—ІЯ „ „
/ТУ _п----------------- --г________
— 12 3 П
Эта формула представляетъ собою общій членъ разложенія,
потому что изъ нея модемъ получить всѣ члены (кромѣ пер-
ваго), подставляя на мѣсто п числа: 1, 2, 3... т.
5) Коэффиціентъ 1-го члена отъ начала разложенія равенъ
1, коэффиціентъ 1-го члена отъ конца есть С™, т.-е. тоже 1.
Коэффиціентъ 2-го члена отъ начала есть СА, т.-е. ко-
эффиціентъ 2-го члена отъ конца есть С'"-1; но
(§ 305); коэффиціентъ 3-го члена отъ начала есть Сй, а
3-го члена отъ конца есть но С2=С^~2; и т. д. *). Та-
кимъ образомъ, коэффиціенты членовъ, одинаково удаленныхъ
отъ концовъ разложенія, равны между собою.
6) Разсматривая биноміальные коэффиціенты:
т(т—-1) т(т—1)(т-—-2) т(т—-1)(ш—2)(т-— 3)
і, т, 5^—5 1?2ЛГ ’ 1.2.3.4 '''
замѣчаемъ, что при переходѣ отъ одного коэффиціента къ
слѣдующему числители умножаются на числа все меньшія и
меньшія (на т— 1е на т~-2, на т—3 и т. д.), а знаме-
натели умножаются на числа все большія и большія (на 2,
па 3, на 4 и т. д.). Вслѣдствіе этого коэффиціенты сначала
возрастаютъ (пока множители въ числителѣ остаются боль-
шими соотвѣтственныхъ множителей въ знаменателѣ), а за-
тѣмъ убываютъ. Такъ какъ коэффиціенты членовъ, равно-
отстоящихъ отъ концовъ строки, одинаковы, то членъ съ
*) Вообще, у п-|-1-го члена отъ начала коэффиціентовъ есть п-|-1-й
членъ отъ конца занимаетъ отъ на чала ряда мѣсто(т-р 1)—(п-(-1 —пЦЛ;
поэтому его коэффиціентъ есть С™""”; но слѣд., коэффиціенты
у этихъ членовъ одинаковы.
— 310 —
наибольшимъ коэффиціентомъ долженъ находиться посрединѣ
разложенія. При этомъ надо различать два случая: первый,
когда показатель бинома число четное, и второй, когда онъ
число нечетное, Въ первомъ случаѣ число всѣхъ членовъ
разложенія нечетное; тогда посрединѣ будетъ одинъ членъ
съ наибольшимъ коэффиціентомъ. Во второмъ случаѣ число
всѣхъ членовъ четное, и такъ какъ коэффиціенты членовъ,
одинаково удаленныхъ отъ концовъ разложенія, одинаковы,
то посрединѣ должны быть два члена съ одинаковыми наи-
большими коэффиціентами.
Примѣры: 1) (ж4-а)4=ж4^4а^3Д-6а2іг24-4а3а?-|-а4
2) 0а2я3-Н 0а3ж2-|-5а^+а5
7) Изъ сравненія двухъ рядомъ стоящихъ членовъ:
_от(от-1)...[т-(п-1)]
1.2.3.. .п
_^(от-1)...[от-(л-1)](т-^-п)
и+2— 1.2.3...п(гН~1)
слѣдуетъ: чтобы получить коэффиціентъ слѣдующаго члена,
достаточно коэффиціентъ предыдущаго члена умножить на
показателя буквы х въ этомъ членѣ и раздѣлить на число
членовъ, предшествующихъ опредѣляемому.
Это свойство коэффиціентовъ значительно облегчаетъ раз-
ложеніе; такъ, пользуясь имъ, можемъ сразу писать:
(х^а)1=х1-^1ах6-]-21а2хп-]-Зба2х 4-[-...
Написавъ члены до середины ряда, остальные получимъ,
основываясь на свойствѣ 5-мъ:
...+35а4а;3+21а^24-7а6х+а7
8) Сумма всѣхъ биноміальныхъ коэффиціентовъ равна 2т.
Дѣйствительно, положивъ въ формулѣ бинома по-
лучимъ:
। ...+і
А.2 1.2.0
9) Замѣнивъ въ формулѣ бинома Ньютона а на—а, по-
лучимъ: *
— 311 —
(х—а)т==хт-\~т(—а)«’п-1-]—_4Ь(—а)2жт-2-|~.. .(—а)1”
т.-е. (х—а)т=хт—тахт~~1-\—а^хт~2—.1)тат
10) Положивъ, въ послѣднемъ равенствѣ х=а=1, нахо-
димъ:
о—і—т ।
т.-е. сумма биноміальныхъ коэффиціентовъ, стоящихъ на не-
четныхъ мѣстахъ, равна суммѣ биноміальныхъ коэффиціен-
товъ , стоящихъ на четныхъ мѣстахъ.
308. Практическій пріемъ. Когда х и а означаютъ какія-либо сложныя
алгебраическія количества, то для удобства приложенія формулы бинома
обыкновенно поступаютъ такъ: пишутъ въ одной строкѣ коэффиціенты
разложенія; подъ ними, въ другой строкѣ, соотвѣтствующія степени
х, т.-е. хт, яя-1, хт~2.х, 1; подъ ними, въ третьей строкѣ, соотвѣт-
ствующія степени а, т.-ѳ. 1, а, а2, а3,...»”1; затѣмъ перемножаютъ соот-
вѣтственные члены трехъ строкъ и полученныя произведенія соединяютъ
знакомъ +, если было дано (хЦ-а)т, и поперемѣнно знаками 4- и —,
если было дано (х—а)т.
Для примѣра отыщемъ разложеніе (4а2ж3—Зд)4:
1 4 6 4 1
256а8я?12 64 а6ж9 ІбаАя8 4а2ж3 1
1_________36____9Ь2 2763 81М
256а8я;12— 7 68 а6дж94~864 а Ѵ/2а;6—432а263я?34~81 Ь4
309. Примѣненіе бинома къ многочлену. Формула бинома Ньютона позво-
ляетъ возвышать въ степень трехчленъ и многочленъ. Такъ:
(а+г>+с)і=[(а+&)+с]4=(а+б)і+4с(а4-6)3-|-6с2(а+6)2+
4с3(а-(-6)-(-с4
Разложивъ (а^-Ь)4, (а-|-&)3, (а4-&)2, окончательно получимъ:
(а4-&+с)4=а44-4а3&4-6а262+4ай3+64+4а3с+12а2&с
4-12а^2с-|-4^3с-]-6а2с2-)-12айс2-|-6і2с2-|-4«с3-|-46с3-|-сі-
ГЛАВА III.
Одно изъ примѣненій бинома Ньютона.
310. Сумма одинаковыхъ степеней членовъ ариѳметической прогрессіи.
Пусть имѣемъ ариѳметическую прогрессію, содержащую пЦ-1 членовъ:
— 312 —
Если разность ея й, то Ь=а-^й, с=Ъ-\-Л,..Л=к-\-й. Возвысивъ Эти ра-
венства въ ягЦ-1 степень, получимъ п слѣдующихъ равенствъ:
-к • ^2
ст+'=. .й«+і .
Ів>+і=(^4-й)и‘+1=7^+14-(т4-1)7^й44^^/сИг~1й2+- . •+«!«+1
А. 2л
Сложивъ эти равенства и положивъ для краткости:
5то=ат+й”+с”'+- • -^т
8т_і==ат~ 1^-Ьт- 1-^-ст~ ‘4-- • ^т~1
получимъ (члены: Ьет+і)...Л'в+1 сократятся):
7^і=аот+1+(т+1)^Ѵг^й^^2^-і+- • -±пат^
Изъ этого уравненія опредѣлимъ 8.т, если извѣстны 8Ш_1} $т-2’•••$!•
Полагая послѣдовательно ш—1,2,3..., найдемъ 8і, потомъ 8%, затѣмъ 83,
и т. д.
311. Сумма одинаковыхъ степеней чиселъ натуральнаго ряда. Примѣнивъ
выведенное уравненіе къ прогрессіи:
-4- 1, 2/3, 4,...п, п-\-1
получимъ:
(«+і)*н^і.-.ідт-.|л)ди4. .+п
Полагая »і=1, найдемъ:
(п-(-1)2=1-|--2Доткуда: 5',---—
А
При т~.2 получимъ:
(п+1)3=1+3^+3^-Нг=1+3^+—
откуда: 8 =^іу-(п+1) 3й(п4-1)=2п^3п2+п
2 3 6 6
__?г(2гі2^2п-|г7г4-1)_я(п^1)(27і4-1)
~ 6 ~ 6
»і=3 даетъ:
(п-І-1)‘=:1-|-488-і-6^+4^1+п=14-4^3-4-п(п+1) (2п4-1)+
4—2ті(/і—і-
— 313 —
.ѵм. а _п*+2те8-(-п2_?г2(п-|-1)2_/ п(?Н-1)\2 2
о3— 4 — 4 —I 2 / —
Такимъ образомъ имѣемъ:
^1==1_|-2+3+..
^2=124-24-34-.. -ЬВ
#а=і 2.424-34-.. .-і-п8= ( Ч4 2
ГЛАВ А IV.
Непрерывныя дроби.
312. Опредѣленіе непрерывной дроби. Непрерывною или
цѣпною дробью называется дробь вида:
а2.1-1
гдѣ цѣлое число а складывается съ дробью, у которой числи-
тель есть 1, а знаменатель цѣлое число а13 сложенное съ
дробью, у которой числитель есть 1, а знаменатель цѣлое
число а2, сложенное съ дробью,., и т. д. (всѣ цѣлыя числа
предполагаются положительными).
1
— и т. д. наз. составляющими дробями
аз
или звеньями. Непрерывная дробь наз. конечною или безко-
нечною, смотря по тому, будетъ ли у нея число звеньевъ
конечное или безконечное. Мы будемъ разсматривать сначала
только дроби конечныя.
Написанную выше непрерывную дробь сокращенно изобра-
жаютъ такъ:
тг а 1 1
Дроби:
Л- ѵѵ-і 1^2
{а, «15 а„, «„...)
— 314 —
Напр., дроби: 3
3
1
2-|-1____
1-|-1_
17
сокращенно изображаются: (3, 2, 1, 3) и (0, 2, 1, 17).
313. Обращеніе конечной непрерывной дроби въ обыкновен-
ную. Всякую конечную непрерывную дробь можно обратить въ
обыкновенную; для этого достаточно произвести, по прави-
ламъ ариѳметики, всѣ дѣйствія, указанныя въ изображеніи
непрерывной дроби. Пусть, напр., имѣемъ такую дробь;
(2, 3, 1, 4)=2+|^-
4
ТТ ’ А I 1 5 1 5 4
Производимъ указанныя дѣйствія: І-р-1 :
о , 4 19 19 5 Л , 5 43
3-+-———; 1 : —, 2-4-^--=---. Это и есть обыкновенная
о о о 19 19 19
дробь, представляющая точное значеніе данной непре-
рывной.
314. Обращеніе обыкновенной дроби въ конечную непрерывную.
Наоборотъ, всякую обыкновенную дробь можно обратить въ
Л
конечную непрерывную. Пусть, напр., дана дробь Исклю-
чивъ изъ нея цѣлое число, получимъ:
А__ , г
в~а^в
гдѣ а есть цѣлое частное, а г остатокъ отъ дѣленія А на В
А
(если дробь-д правильная, то и г=И).
т
Раздѣливъ оба члена дроби на г, получимъ:
г__1 ____ 1
В В: г . г.
аі+“
і і г
гдѣ а1 есть цѣлое частное, а остатокъ отъ дѣленія В на г.
— 316 —
Раздѣливъ оба члена дроби на гх, получимъ;
1 1
г г: г. . п
2~ГГі
гдѣ а2 есть цѣлое частное, а г2 остатокъ отъ дѣленія г
на гх. Продолжая этотъ пріемъ далѣе, будемъ послѣдова-
тельно получать:
г2^ 1 =1 т9= 1 = 1
Л а іЬ; г* г*'г* а 4-^ и т’ Д‘
Такъ какъ В^г^г^г^т^........., то, продолживъ этотъ
пріемъ достаточно далеко, дойдемъ, очевидно, до нѣкото-
раго остатка, который будетъ равенъ 0. Пусть гм=0, т.-е.
П-2 ап
Тогда путемъ подстановки получимъ:
А . г । і .1 . 1
^~а^-^===аА-------=а-\---у-т- =а4---~г
В 1 В 1 . гѵ 1 ах-|-1__ 1 ах+1____
‘г М~г2 а2 + ...+1
Ъ ап
Замѣчаніе. Изъ разсмотрѣнія этого пріема слѣдуетъ, что
а, ах, а*.. ап суть цѣлыя частныя, получаемыя при по-
слѣдовательномъ дѣленіи А на В, потомъ В на первый
остатокъ, перваго остатка на второй и т. д.; иначе ска-
зать, это суть цѣлыя частныя, получаемыя при нахожденіи
общаго наиб. дѣлителя между А и В способомъ послѣдо-
вательнаго дѣленія. Вслѣдствіе этого числа а, а^... ап наз.
частными непрерывной дроби.
Примѣры.
40
1) Обратить въ непрерывную дробь число
Такъ какъ 40|17
17^6 "2
6| 5 2
5|1 1
05
40 о
топ=2
1
2+у
1 —|-1
1>
— 316 —
2) Обратить въ непрерывную дробь число
Такъ какъ 7[120 7 __1
120 рГ~"б Т° 12б“І7+ 1
7рГп т
0~7
815. Подходящія дроби. Если въ непрерывной дроби
возьмемъ нѣсколько звеньевъ съ начала, отбросивъ всѣ
остальныя, и составленную ими непрерывную дробь обра-
тимъ въ обыкновенную, то получимъ такъ называемую
подходящую дробь. Первая подходящая дробь получится,
когда возьмемъ одно первое звено; вторая—когда возьмемъ
два первыхъ звена, и т. д. Такимъ образомъ, для непре-
рывной дроби:
, 1 3
ЗЧЧгг? первая подход. дробь есть...
2.-4—1 1
іТТ і 1 7
। _ вторая „ „ „
третья „ „ „ ;і : 9^ । 10
'1=4Г
Четвертая подходящая дробь представитъ въ этомъ при-
27
мѣрѣ точную величину непрерывной дроби
Когда въ непрерывной дроби нѣтъ цѣлаго числа, то пер-
вая подходящая дробь есть 0.
,1 на. 4-1
2) а \———4-*-—
1 а1 аі
. аа^Д-а-^-а^
316. Законъ составленія подходящихъ дробей. Составимъ
для непрерывной дроби (а, а2, а3...) первыя три подхо-
дящія дроби:
1) ~
1 1
3) а~\-----I . 1------Г 4 ѴѴ—|— | . | 4
а|а2-|-1
(аа1Ч~'^)а2~І~а
— 317 —
Сравнивъ третью подходящую дробь съ двумя первыми,
замѣтимъ, что числитель третьей подходящей дроби полу-
чится, если числителя второй подходящей дроби умножимъ
па соотвѣтствующее частное (т.-е. на а2) и къ полученному
произведенію приложимъ числителя первой подходящей дроби;
знаменатель третьей подходящей дроби получится подобнымъ
же образомъ изъ знаменателей предыдущихъ двухъ подхо-
дящихъ дробей.
Докажемъ, что этотъ законъ примѣнимъ ко всякой подхо-
дящей дроби, слѣдующей за третьей, т.-е. мы докажемъ, что
вообще числитель (п-|~І)-й подходящей дроби получится, если
числителя п-й подходящей дробгі умножимъ на соотвѣтству-
ющее частное (т.-е. на аД и къ произведенію приложимъ
числителя (п—1)-й подходящей дроби, и что знаменатель
(пД-І)-й подходящей дроби подобнымъ же способомъ полу-
чится изъ знаменателей п-й и (п—1)-й подходящихъ дро-
бей. Употребимъ доказательство отѣ п къ (пД-1), т.-е.
докажемъ, что если этотъ законъ примѣнимъ къ п-й подхо-
дящей дроби, то онъ примѣнимъ и къ (пД-І)-й подходящей
дроби.
Обозначимъ 1-ю, 2-ю, 3-ю и т. д. подходящія • дроби по-
слѣдовательно черезъ
Р, Р. Р. Р^ Рп
и замѣтимъ, что соотвѣтствующія имъ частныя будутъ
а, еь^, сіц,—2, а^-^і, ап..»
Допустимъ, что вѣрны равенства:
Р-Рп~іап-—^^п~1ап—^-^^п—2 [1]
Р„ Рп—уСІп-ГрРп—2
И слѣдовательно: ----Ед— [2]
Тъ-іпп—і" । —2
Требуется доказать, что въ такомъ случаѣ и
Р'Х'Ю_ГО 1
— 318 —
Изъ сравненія двухъ подходящихъ дробей:
=а I 1
___ (?м-і аі~М_________
•4“І 6І2"4~* • •Ц~1
<Ъг-1 Сіп—1 4~ 1
усматриваемъ, что (п4~1)-я подходящая дробь получится
изъ п-й, если въ послѣдней замѣнимъ число ап-і на сум-
1
му &П-14----• Поэтому равенство [2] даетъ:
ап
скобки и умноживъ оба члена дроби на ап,
Раскрывъ
получимъ:
Рп-|-1_Рп—161%—1^п 4” Рп—1 4” Рп—2^п_(Рп-—1^'п~1 4" Р«—2^ббп 4~ Рп—1
1®п 4~ 1 4~ {$п-1СЬп—-1 4- 4“ ^п—^
Принявъ во вниманіе равенства [1], можемъ окончательно
написать:
Рп-І-1 Рпип 4~ Рп~1
&+1 ^пап 4- ^п-^
Это и есть равенство [3], которое требовалось доказать.
Такимъ образомъ, если доказываемый законъ вѣренъ для
п-й подходящей дроби, то онъ будетъ вѣренъ и для (?г-р)“й
подходящей дроби. Но мы непосредственно видѣли, что онъ
вѣренъ для 3-й подходящей дроби; слѣд., по доказанному,
онъ примѣнимъ для 4-й подходящей дроби; а если для 4-й,
то и для 5-й и т. д.
Пользуясь этимъ закономъ, составимъ всѣ подходящія
дроби для слѣдующаго примѣра:
1
ж=2+Т4Л =<2’ 3’ 2’ 3’ 5)>
' 3+А
2-Д1_
з-Н_
1 +1
5
— 319 —
Вычисленіе всего удобнѣе расположить такъ:
Цѣлыя частныя: [ 31 2 [ 3 [ 1 | 5
Подход. дроби: |11125|8(5|111|641.
Г 1| 11 4 | 9 |31| 40 [231
Первыя двѣ подходящія дроби найдемъ непосредственно;
2 3
это будутъ: -у и—. Остальныя подходящія дроби получимъ,
основываясь на доказанномъ законѣ. Для памяти размѣ-
щаемъ въ верхней строкѣ цѣлыя частныя, съ 3-го до по-
слѣдняго.
317. Теорема. Точное значеніе конечной непрерывной дроби
заключается между двумя послѣдовательными подходящими
дробями, при чемъ оно ближе къ послѣдующей, чѣмъ къ пре-
дыдущей.
Док. Пусть имѣемъ конечную непрерывную дробь
(а, а±і а2... ап—і, ап+і*** а$)—~А
точную величину которой обозначимъ черезъ А. Возьмемъ
какія-нибудь три послѣдовательныя подходящія дроби:
Рп-1 Рп Рп-\-1
По доказанному въ предыдущемъ параграфѣ имѣемъ:
-РпЧ-1 Р^Л^
Если въ правую часть этого равенства вмѣсто ап вста-
вимъ у—(ап, ап+і.-.а8), то въ лѣвой части получимъ точную
величину А непрерывной дроби; значитъ:
л РѵУ^гРп-і
откуда: Адпу-\-Адп-і=РгуДРп-ъ или: А()пу—Рпу=Рп-і--
—А(^„-і и, значитъ, у(^п ( А — -" П^-А )
\ Ѵп/ \У»-і у
Изъ послѣдняго равенства можемъ вывести два слѣдующія
заключенія:
— 320 —
1) Такъ какъ числа у, (*)п и (Д~і положительныя, то раз-
ности, стоящія внутри скобокъ, должны быть одновременно
положительны, или одновременно отрицательны; значитъ:
1 если А—~р>0 | то и * Уп-1 ( р если АДД т.-е. < Ъп Рп-1 \ А то ъ >Л 1 А Р^К если А—ту<^0 или < *п то И Д-А<0, ѵ Ч/п-1 I А ^РП если АД~ или то -—^ДА
Слѣд., А заключено между всякими двумя послѣдова-
тельными подходящими дробями.
2) Такъ какъ уДІ и причемъ числа Уп и
положительныя, то изъ того же равенства выводимъ:
абс. вел. ( А— абс. вѳл. —Л)
СІѴС. 1 XX
Р Р
Отсюда слѣдуетъ, что ближе къ Л, чѣмъ —, что и
У« У«—і
требовалось доказать.
Р
Замѣчаніе. Такъ какъ, очевидно, А^>а, т.-е. А~^>-^-, то
Уі
р р р
А<ДД Х>уА и т- Д-? т-“е- точное значеніе непре-
У 2 Уз У 4
рывной дроби, болѣе всякой подходящей дроби нечетнаго по-
рядка и менѣе всякой подходящей дроби четнаго порядка.
т.
318. Теорема. Разность между двумя рядомъ стоящими
подходящими дробями равназД дѣленной на произведеніе
знаменателей этихъ подходящихъ дробей.
Док. Такъ какъ:
»--М__Рп___
(^п
то очевидно, что знаменатель этой разности удовлетворяетъ
требованію теоремы. Остается доказать, что числитель ра-
венъ ±2І.
— 321 —
Такъ какъ: Рп^і~Рпап-[-Рп-і и ^п+1—^пап^^п-.1
ТО. Рп^-^п ^п^1Рп:=(Рп(^п-^-Рп—1)^п 1)^п:=
П- 9п-1Рп— (Р-П&П—1 Р№-1(?л)
Выраженіе, стоящее въ скобкахъ, представляетъ собою
Р
числителя дроби, которая получится отъ вычитанія изъ™дроби
ъп
~124_. Слѣд., мы доказали, что абсолютная величина числителя
Уп-1
р р
дроби, получаемой отъ вычитанія—* изъ равна абсолют-
чп Ум-і
пой величинѣ числителя дроби, получаемой отъ вычитанія
Рп-~\ Р
— изъ другими словами, абсолютная величина числи-
Ѵп—1 Ѵя
теля дроби, получаемой отъ вычитанія одной изъ другой двухъ
рядомъ стоящихъ подходящихъ дробей, есть величина постоян-
ная для всѣхъ подходящихъ дробей. Но разность между
2-й и 1-й подходящими дробями есть:
7 । і\ 1
а 4----—а=—
Слѣд. г числитель разности между всякими двумя рядомъ
тоящими подходящими дробями, по абсолютной своей ве-
личинѣ, равенъ 1.
Такъ, если взять примѣръ, приведенный на стр. 319, то
найдемъ:
3 2_1 11 3 __— 1 25 1І_1 86 25_—1
Г 3~Г 4 Т—“Г’ "9 4 ~ 36’ 31 ~9—279ИТ,П‘
Слѣдствія. 1. -Всякая подходящая дробь есть дробь несо-
р
кратимая, потому что если бы -^могла быть сокращена на
ХП
нѣкотораго дѣлителя ж^>1, то Ри§п-і—дѣлилось бы
на ш, что невозможно, такъ какъ эта разность равна +1.
II. Есліь вмѣсто точной величины непрерывной дроби возь-
Р
мемъ подходящую дробь—* то сдѣлаемъ ошибку .меньшую каж-
даго изъ трехъ слѣдующихъ чиселъ'.
1 1
1
А. Киселевъ. Алгебра.
24
— 322 —
Дѣйствительно, если А есть точное значеніе непрерывной
Р Р Р
дроби, то А—— численно меньше разности абсо-
Уп Уя4-1
1
лютная величина которой, по доказанному, равна -р—р.—. Съ
другой стороны, такъ какъ ^п+1=^пап+^п-ъ гдѣ
то (?я+і^=фя4-(?я_і; слѣд.:
1
1
1
р
и потому абсол. велич. разности А—меньше ------д-——
Наконецъ, такъ какъ ф»4-і>фя, то С^і и потому
1 1
^2
Р 1
Слѣд., абсолютная величина разности А—
Изъ трехъ указанныхъ предѣловъ погрѣшности самый мень-
1 . ,
шіи есть ; но его вычисленіе предполагаетъ извѣстнымъ
знаменателя подходящей дроби, слѣдующей за той, которую
мы приняли за приближеніе, что не всегда имѣетъ мѣсто.
1
Вычисленіе предѣла.. ~~——-можетъ быть выполнено толь-
УяІѴп + Уя-1)
ко тогда, когда извѣстенъ знаменатель предшествующей подхо-
дящей дроби. Когда же извѣстна одна подходящая дробь
1
возможно только указаніе предѣла погрѣшности
Чп
Напр., если мы знаемъ, что нѣкоторая подходящая дробь
45 45
данной непрерывной есть^у, то можно сказать, что точно до
1 1
ГГ9=289‘ ^сли’ КРОМ^ того, знаемъ, что знаменатель пред-
шествующей подходящей дроби есть, напр., 8, то можемъ
45 1 1 тт
сказать,чтоточно Наконецъ, когда зна-
— 323 —
ѳмъ, еще что знаменатель слѣдующей подходящей дроби есть,
О1_ 45
напр., 37, то можемъ ручаться, что разнится отъ точнаго
1 1
значенія непрерывной дроби менѣе, чѣмъ на-^-=-5=-=
1 і .о і
319. Теорема. Подходящая дробь ближе къ точному значенію непре-
рывной дроби, чѣмъ всякая другая дробь съ меньшимъ знаменателемъ.
Док. Допустимъ, что существуетъ дробь менѣе отличающаяся отъ
Р
точнаго значенія непрерывной дроби А, чѣмъ подходящая дробь п
Ѵл
р
пусть Ъ<У2п. Докажемъ, что это предположеніе невозможно. Такъ какъ —-
X П
* А X, Рп~1 а ' А Л. РП Я''
ближе къ л, чѣмъ и-=- ближе къ А, чѣмъ то, и подавно,-у олижо
СМ-і д <Эп . Ъ
ѵ Л Рп—\ Рп
такъ какъ, кромѣ того, А заключается между —51 и —,
Ѵ«“і Ѵп
Р Рп—1
то абсолютная величина разности — больше абсолютной величины
V» С»-і
а Рп-л *
разности ~т—~; значитъ, обращая вниманіе только на абсолютныя ве-
0 Цп—1
личины, можемъ написать:
. „ Рп—1
къ А, чѣмъ уг--;
фп-1
1 —1 ЪРп—1
Перемноживъ почленно эти неравенства (боря только абсолютныя вели-
чины), получимъ:
1 ^Рп—1
Такъ какъ а(2п—і и ЬРп—і суть числа цѣлыя, то это неравенство воз-
можно только при условіи:
а(?я-і—&Р»-і=0; откуда
О ѵ/п—1
тт .а *
Но это равенство невозможно, такъ какъ, по предположенію, — ближе
Р Рп—1
подходитъ къЛ, чѣмъ тогда какъпо доказанному (§ 317), больше
Р
разнится отъ Л, чѣмъ Невозможность равенства доказываетъ нѳвоз-
' V»
можность сдѣланнаго предположенія.
Изъ доказанной теоремы слѣдуетъ, что подходящія дроби представляютъ
простѣйшіе виды приближеній къ точному значенію непрерывной дроби.
21*
— 324 —
320. Понятіе о безконечной непрерывной дроби. Въ предыдущихъ §§ мы
разсматривали непрерывныя дроби конечныя. Относительно непрерывныхъ
дробей безконечныхъ ограничимся установленіемъ слѣдующихъ истинъ.
I. Теорема. Всякое положительное ирраціональное число х можетъ
быть представлено въ видѣ выраженія:
! 1
х = —
1 Л
'2 Т"__
«»+••• +1
въ которомъ буквы а, аі9 а% ... ап—і означаютъ числа цлълыя, поло-
жительныя, не равныя 0 (за исключеніемъ а, которое есть 0, если
х<Д) и число п которыхъ можетъ быть какъ угодно велико; буква
же хп означаетъ нѣкоторое положительное ирраціональное число,
большее 1.
Док. Пусть наибольшее цѣлое число, заключающееся въ х, есть а (если
х<Д, это цѣлое число равно 0). Тогда х можно выразить суммою аДх',
гдѣ х' есть нѣкоторое положительное ирраціональное число, меньшее 1.
Введемъ новое число хь связанное съ х' уравненіемъ: Тогда Хі
Хі
должно быть положительное ирраціональное число, большее 1, и мы бу-
демъ имѣть:
, 1
[1]
•ч
Преобразуя х, такъ, какъ было сейчасъ сдѣлано съ х, получимъ:
. 1
,//2
И
гдѣ а! есть наибольшее цѣлое число, заключающееся въ хг (это число
больше 0), а х2 нѣкоторое ирраціональное число, большее 1. Въ свою оче-
редь можемъ положить:
1 1
И . ІЯ
^3 ^4
и т. д. безъ конца (такъ какъ всегда будемъ приходить къ положитель-
ному ирраціональному числу Хк, большему 1).
Ограничиваясь п такими равенствами и сдѣлавъ подстановки, найдемъ
для х то выраженіе, которое требовалось доказать.
— 32Ь —
Такъ какъ число звеньевъ съ цѣлыми знаменателями: а, аь а2. . .ап-і
можно сдѣлать какъ угодно большимъ, то говорятъ, что всякое ирраціо-
нальное число х обращается въ безконечную непрерывную дробь: (а, аь
а* а3.
II. Выраженіе (а, а± а^.^ап^-і, хп), выведенное нами для ирраціональ-
наго числа а?, отличается отъ разсмотрѣнныхъ раньше конечныхъ непре-
рывныхъ дробей только тѣмъ, что въ послѣднихъ всѣ знаменатели числа
цѣлыя, а въ этомъ выраженіи знаменатель хп есть иррагііональное число,
большее 1. Но, просматривая доказательства теоремъ §§ 316, 317 и 318,
мы видимъ, что въ нихъ нигдѣ не требуется допущенія, чтобы знаменатели
отдѣльныхъ звеньевъ были непремѣнно цѣлыми; поэтому можемъ сказать,
что теоремы эти примѣнимы и къ выраженію, выведенному нами теперь
для ирраціональнаго числа х. Въ частности, напр., мы можемъ утверждать,
что величина х заключается между каждыми двумя подходящими дробями,
и что если вмѣсто точной величины х возьмемъ какую-нибудь подходящую
р 1
дробь то сдѣлаемъ ошибку, меныпую - Такъ какъ
-|-фп__2, гдѣ всѣ числа 9 и а не меньше 1, то при неограниченномъ уве-
личеніи п число 9М возрастаетъ неограниченно и, слѣд., дробь уменъ-
Чп
гиается безпредѣльно. Отсюда слѣдуетъ, что ирраціональное число х можно
разсматривать, какъ предѣлъ, къ которому стремится неограниченный рядъ
Р< Р% Ра
подходящихъ дробей: тг- • составленныхъ для безконечной не-
Ѵі Ѵ2 Ѵз
прерывной дроби: (а, а1} а2, а3...), въ которую обращается это число х.
321. Періодическая непрерывная дробь. Такъ наз. безконечная непре-
рывная дробь, у которой частныя повторяются въ одной и той же послѣ-
довательности. Таковы, напр., дроби:
Чистая періодическая:
2'1
Т’3-|-1
24-1
34-1
24-...
Смѣшанная періодическая:
1
64-1
24-1
34-1
14-1
3-4-1
14-...
Точное значеніе періодической непрерывной дроби можно опредѣлить
такимъ образомъ:
— 326 —
Пусть намъ извѣстно, что нѣкоторое* ирраціональное число х даетъ
безконечную періодическую непрерывную дробь х — (а, аи а^.,..апі а, аь
а2....ая...). Тогда очевидно, можемъ написать:
х=(а, аг, аг...ап, х)
Р 1
Допустимъ теперь, что есть та подходящая дробь, которая полу-
ѴмЧ-і _
„ „ , Рп
чится, если мы остановимся на послѣднемъ звенѣ перваго періода, а
Ѵи
р —
и - двѣ предшествующія подходящія дроби. Очевидно, что точное зна-
Ѵп-1
тэ і
чѳніѳ данной непрерывной дроби получится изъ у”—, если въ послѣд-
1
ней на мѣсто ап подставимъ сумму »я-|—. Но
х
т» тъ 7-* --.
7^ ~ ’ слѣдов • ж== —7----Г\---------
<?и+1 ^п(ап+^)+ря_^
г_и. (Рл+Рп-і^+Р,, Л-н^+Л.
Отсюда видно, что х есть корень квадратнаго уравненія:
фм-Н^2-Н(?п
Это уравненіе имѣетъ гещественныѳ корни; изъ нихъ только одинъ по-
ложительный; этотъ корень и есть значеніе данной періодической дроби.
Подобнымъ же образомъ можемъ опредѣлить точное значеніе смѣшан-
ной періодической дроби. Пусть «?==(«,а1...апД,д2..Ьт,&1Д..дад...), гдѣ пе-
ріодъ образуютъ частныя: б2, б3... Ьт. Тогда предварительно найдемъ:
у—(ѣр 62-«- &»•»•)» какъ указано выше, послѣ чего х опредѣлимъ
изъ равенства:
ѵ -Ри+іУ~НР»
«и+^+2„
Примѣръ. Найти значеніе періодической дроби:
ж=2+ні
14-1
34-1
54-1
34-1
54-...
— 327 —
Опредѣлимъ сначала
.3+1
5+-”
„_оі У _15?/+3+і/_16?/+3 '
у- ++1- 5у+1 - 51/+1
к . о п 15±т/225+60 15±/285
5?/-15?/-3=0; у—----------------------
Слѣд.: =++_і=2+з+12++1
1+1 у-\~^-
У
_7(15+]/285)+50 _ 155+7/285 _ 409—/285
~3(15+/285)+20 ~~ 65+3/285 ~ 166
Г Л А В А V.
Нѣкоторыя приложенія непрерывныхъ дробей.
322. Приближеніе данной ариѳметической дроби. Когда чи-
слитель и знаменатель данной несократимой ариѳметической
дроби выражены большими числами, часто является потреб-
ность выразить эту дробь въ болѣе простомъ, хотя и при-
ближенномъ видѣ. Для этого достаточно обратить данную
дробь въ непрерывную и найти ту или другую подходящую
дробь, смотря по желаемой степени приближенія.
Примѣръ. ЗнаЯ) что число іг, представляющее отношеніе
окружности къ ея діаметру^ заключено между двумя дро-
бями: 3)141592653 и 3)141592654) найти простѣйшія при-
ближенія тс.
Обративъ обѣ дроби въ непрерывныя и взявъ только общія
неполныя частныя, найдемъ:
к=(3, 7, 15, 1...)
— 328 —
Подходящія дроби будутъ:
‘ | | 15 | 1 -
3|22| 333| 355...
1| 7| 1061 113
.22
Приближеніе — было найдено Архимедомъ; оно вѣрно до
I
Л 1 э ^5
7 'іпс~7ло> значитъ, и подавно вѣрно до Ѵ100. Число было
І . ЛѵЮ I 42; ЛЛ4
указано Адріаномъ Меціемъ; взявъ это число вмѣсто -гс, сдѣ-
1 1
лаемъ ошибку меньшую 11д- 33]02 = т--ѳ- во вся'
комъ случаѣ меньшую 1 милліонной.
Приближенія Архимеда и Мѳція, какъ четнаго порядка,
болѣе тс.
323. Извлеченіе квадратнаго корня. Пусть требуется найти
)/41 при помощи непрерывныхъ дробей. Разсуждаемъ такъ:
наибольшее цѣлое число, заключающееся въ |/41, есть 6;
поэтому можемъ положить:
уЛЬАН-- [1]
<,</
1 /тт і- 1 1/4.1—[—6
Откуда:-=/41-6; 5
х у/ 4.1.— о °
Такъ какъ ]/41-|-6 равняется 12 съ дробью, то наиболь-
1/41 _1-6
шеѳ цѣлое число, заключающееся 'въ 1—/— есть 2; поэтому
О
можемъ положить:
2Ц-- ’ [2]
5 У
1 /4І/-6 ]/41—4
Откуда: - = -----2=*—р;
•’ у 5 о
5 __5(|/4І-|-4)_]/ 41-/4
^~-]/41—4 25 5
Такъ какъ |/41-/4 равняется 10 съ дробью, то паиболь-
— 329 —
піѳѳ цѣлое число, заключающееся въ ——, есть 2; поэто-
О
му можемъ положить:
[3]
1 |/4Т-6 5 5(/41+6)
Откуда: 3----=У«+в
Наибольшее цѣлое число, заключающееся въ )/41-]-6, есть
12, поэтому можемъ положить:
;з=|/41+6=12-|-1 [4]
1 — 1
Откуда: -= |А1 - в;
Сравнивая формулу для ѵ съ формулой для х, находимъ,
что ѵ=х. Пользуясь равенствами [1], [2], [3] и [4], по-
лучимъ:
____ 11
Ѵ41:==6+'2+1 ==6+24-1
2-4- 1 24- 1
1 124-1 124-1
х 2-|-1
2-Ь1
124-...
Такимъ образомъ, ]/41 выразился періодическою непре-
рывною дробью. Найдя подходящія дроби, получимъ при-
ближенныя значенія ]/41:
| | 2 12| 2| 2 |...
6|13|32 397|826|2049|.'..
1| 2| о 62|129| 32(4.4
Подобнымъ же образомъ найдемъ:
]/І2=(3, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1...); 2, 1, 1, 2, 10...)
324. Нахожденіе пары рѣшеній неопредѣленнаго уравненія.
Непрерывныя дроби даютъ средство найти одну пару рѣ-
— 330 —
шеній неопредѣленнаго уравненія ах-\-Ъу—С. Покажемъ это
на слѣдующихъ двухъ примѣрахъ:
Примѣръ 1:
Возьмемъ
„ 43
дробь
43ж+15?/=8
и обратимъ ее въ непрерывную:
43 1
із=2+і+і
Н1
2
Найдемъ теперь предпослѣднюю подходящую дробь; это
20
будетъ -у. Такъ какъ послѣдняя подходящая дробь есть
43 20
точное значеніе непрерывной дроби, т.-е. у-, а -=- есть ПОД-
ЛО <
ходящая дробь нечетнаго порядка^ то на основаніи теоремъ
§§ 317 (замѣчаніе) и 318, можемъ написать:
43 20 1
°™УДа: 43.7-15.20=1
10 / 10.4
Чтобы уподобить послѣднее тождество данному уравненію
умножимъ всѣ его члены на 8 и представимъ его такъ:
43.56Ц-15(—160)=8
Сравнивъ теперь это тождество съ нашимъ уравненіемъ,
находимъ, что въ послѣднемъ за х можно принять число 56,
а за у число—160. Тогда всевозможныя рѣшенія выразятся
формулами (§ 254):
сг=56—15/; у=—1604-43/
Эти формулы можно упростить, замѣнивъ / на /4-3 (что
можно сдѣлать вслѣдствіе произвольности числа /):
ж=56—15(/4-3)=11—15/; ?у=—1604-43(/4^)=—314-43/
Примѣръ 2: 7ж—19т/=5.
7
Обративъ дробь тк въ непрерывную, найдемъ:
іѵ
— 331 —
7 1
І9=0~НЦ-1
1+1
2+1
2
Предпослѣдняя подходящая дробь бу-
3
детъ -=. Такъ какъ она четнаго по-
о
рядка, то
7 з ____і
19-8=10 °ТК^ 7-8-19-3—1
Умноживъ всѣ члены этого равенства на 5, получимъ:
7.40—19.15=—5 илц: 7.(—40)—19.(—15)=5
Сравнивая послѣднее тождество съ даннымъ уравненіемъ,
находимъ, что въ послѣднемъ за х можно принять число
—40, а за у число—15. Тогда
^=—40+19; у=— 154-7І
Эти формулы можно упростить, замѣнивъ I на ^4-2:
ж=_40-]-19(^4-2)=-24-19і5; 15+7(^+2)=-1-|-7^.
325. Вычисленіе логариѳма. Пусть требуется вычислитъ Іод 2 по осно-
ванію 10; другими словами, требуется рѣшить уравненіе 10^=2. Сначала
находимъ для х ближайшее цѣлое число. Такъ какъ Ю°=1, а ІО1—10, то
1 і
х заключается между 0 и 1; слѣд., можно положить, что ж=—; тогда 10+= 2,
или 10=2*. Нѳ трудно видѣть, что 2 заключается между 3 и 4; слѣд., можно
положить; г=3-|-^-; тогда
і
3-|— —
10=2 *1=23.2*4=8.2*<
откуда:
т.-ѳ.
- Ю 5 ,
2*і——'
8 4
Испытаніемъ находимъ, что заключается между 3 и 4, потому можно
* пМ
южить: ^х=3-|—— тогда
2 и
2 \4/ “\4/ \4/
і
/бѴн . /Л\3 128 /128\’“ 5
откуда: (-Л =2:Ы = ^5 или; І^Л
— 332 —
Снова испытаніемъ находимъ, что заключается между 9 и 10. Этотъ
пріемъ можно продолжать далѣе. Довольствуясь приближенной величиной
2И, можемъ доложить гіх=і9; слѣд.:
1 1 1
31=3+^; и ж—д р
9 3+1
9
Обративъ эту непрерывную дробь въ обыкновенную, получимъ:
28
—--—0,30107; этотъ результатъ вѣренъ до 4-го десятичнаго знака; болѣе
точныя изысканія даютъ: ж=0,3010300.
ГЛАВА VI.
Наибольшее и наименьшее значеніе трехчлена
второй степени.
326. Иногда встрѣчается надобность узнать, при какомъ
значеніи перемѣннаго числа х трехчленъ ах2-\-ЪхА-с полу-
чаетъ наибольшее или наименьшее изъ всѣхъ возможныхъ
значеній. Этотъ вопросъ можетъ быть рѣшенъ различными
способами. Укажемъ одинъ изъ нихъ, основанный на рѣше-
ніи неравенства.
Пусть данъ, напр., трехчленъ Зх — х2-^-5, въ которомъ
буква х означаетъ нѣкоторое перемѣнное число, измѣ-
няющееся непрерывно отъ —оо до Ц-ОО; требуется опредѣ-
лить: 1) имѣетъ ли этотъ трехчленъ наибольшее или наи-
меньшее значенія, 2) чему равны эти значенія, если они
существуютъ, и 3) при какой величинѣ х эти значенія имѣ-
ютъ мѣсто. Для этого приравняемъ данный трехчленъ не-
опредѣленному количеству т и зададимся вопросомъ, можетъ
ли это количество, при измѣненіи х отъ —ОО до по-
лучать всевозможныя значенія, или же оно заключено въ
нѣкоторыхъ границахъ. Рѣшивъ уравненіе:
3^~^2-|-б=т? т.-е. х2—Зх-\-(т—5)~-0
3
находимъ: х—-^
. /9 , р.
у 4~(т-5):
— 333 —
Изъ этой формулы видимъ, что не всякому значенію т
соотвѣтствуетъ вещественное значеніе х, потому что при
нѣкоторыхъ значеніяхъ т подкоренное число —т) дѣ-
лается отрицательнымъ и величина х мнимой; значитъ, ко-
личество т должно быть подчинено ограниченію, выражен-
ному условіемъ:
29 Л 29
——откуда:
Такимъ образомъ оказывается, что при вещественныхъ
значеніяхъ х величина т, т.-ѳ. величина даннаго трехчлена,
никогда не можетъ быть больше 29/4, но можетъ равняться
этому числу и всякому иному, меньшему этого числа; зна-
читъ, наибольшее значеніе даннаго трехчлена есть 29/4, а
наименьшаго значенія онъ не имѣетъ. Величина при ко-
торой трехчленъ дѣлается равнымъ 29/4, опредѣляется изъ
выраженія для х> когда въ него на мѣсто т вставимъ число
29/4. При этомъ подкоренная величина обратится въ 0, и х
сдѣлается равнымъ 3/2.
327. Вообще, приравнявъ трехчленъ ах^Ьх-4-с неопре-
дѣленному количеству т и рѣшивъ полученное отъ этого
уравненіе, находимъ:
ах2^Ъх-]-с—т; ах^Ъх^с—т)=0^ х=—
2а
Чтобы х было вещественное количество, необходимо и
достаточно условіе:
&2—4а(с—т)^0, т.-е. &2—
откуда находимъ (§§ 239 и 240):
при а положительномъ
4ас—№
т'^ —і---
4а
при а отрицательномъ
4ас—Ъ*
т^—------
4а
4:(%С_№
Въ первомъ случаѣ количество—- будетъ наименьшимъ,
а во второмъ случаѣ наибольшимъ изъ всѣхъ значеній т,
т.-е. даннаго трехчлена; и то, и другое значеніе имѣетъ
х ~ъ
мѣсто при х=-~ —.
&а
— 334 —
328. Задача 1 *). Норманское окно имѣетъ фигуру прямо-
угольника, завершеннаго полукругомъ. Найти высоту и ши-
рину такого окна, при условіи, чтобы периметръ этой фи-
гуры равнялся данной величинѣ р, а количество свѣта, про-
пускаемаго окномъ, было наибольшее.
Обозначимъ основаніе прямоугольника черезъ 2а?, а его
высоту черезъ у; тогда площадь окна выразится: 2а?^-|>1/«та2?
а его периметръ 2а?4-2у-|-'п:а?. Такъ какъ количество про-
пускаемаго свѣта пропорціонально площади окна, то вопросъ
сводится къ нахожденію наиб. значенія выраженія Ъху-^/^х^
при условіи, что 2х-\-2у~\-^х=р. Изъ послѣдняго уравненія
опредѣляемъ у въ зависимости отъ х:
р—Ъх—г.х
У=------о-----
Эту величину вставляемъ въ выраженіе площади:
2ху-]-і/^х2=рх—2х^^тсх^і/^х2=рх--(2,-{-і/^)х1
Приравнявъ полученное выраженіе количеству ш, рѣшимъ
образовавшееся уравненіе:
рх— ^^/^х^рх-^-т^О
4(2+‘/2к и
х— 4^
Для вещественности х необходимо и достаточно, чтобы
рг—4(24-1/2'гс)™Эг:0> откуда: т^——
. р%
Такимъ образомъ наиб. значеніе для т есть сгттгі при
о——Л і і,
— . При этомъ значеніи х величина у выразится:
ртс __ р
4—]—тс 4—|-'к
т.-е. высота прямоугольника равна радіусу полукруга.
1 /О I \ Р 1
^2іР~(2^)ВД=2
*) Эта задача и многія изъ приложенныхъ ниже взяты изъ сборника задачъ
на наибольшія и наименьшія величины, составленнаго А. Бѣляевымъ.
Москва, 1881 года.
— 335 —
829. Задача 2. Разложить число а иа два слагаемыя, ко-
торыхъ произведеніе было бы наибольшее.
Пусть одно слагаемое есть х; тогда другое слагаемое вы-
разится а—х. Произведеніе (а—х)х, равное—х2-\-ах, пред-
ставляетъ частный случай трехчлена 2-й степени. Примѣняя
къ нему указанный нами способъ, находимъ:
—х2-\-ах=т; х2—ай-^гт=0\ — I/ — т
а2 п а2
-л—т^0‘ т^-г
4 5 4
а
Наиб. значеніе произведенія есть -? при х=-х. Замѣтивъ,
4с Л
что второе слагаемое также равно а/2, заключаемъ: произве-
деніе двухъ перемѣнныхъ чиселъ, которыхъ сумма постоянна,
получаетъ наибольшее значеніе тогда, когда эти числа равны
другъ другу.
330. Этотъ выводъ полезно запомнить, такъ какъ, поль-
зуясь имъ, можно въ нѣкоторыхъ случаяхъ находить наи-
большее значеніе проще, чѣмъ какимъ-либо другимъ спосо-
бомъ. Если, напр., требуется найти наибольшее значеніе
выраженія ху/а2—х2, гдѣ х есть положительное число, то
можемъ разсуждать такъ: наибольшее значеніе этого выра-
женія и наибольшее значеніе его квадрата получаются, оче-
видно, при одномъ и томъ же значеніи х; но квадратъ, рав-
ный х2(а2—х2), представляетъ произведеніе двухъ перемѣн-
ныхъ чиселъ (х2 и а2—х2), которыхъ сумма постоянна (рав-
на а2); слѣд., наиб. значеніе этого произведенія окажется
при равенствѣ сомножителей, т.-е. при условіи х2~а2—х2,
откуда находимъ:
Н //"1-------9 я /я2 1 /я2
^=\/ 2-(/ 2 = 2
831. Полезно еще замѣтитъ, что для нахожденія наиб. или
наим. значенія даннаго выраженія иногда бываетъ доста-
точно взять только часть его и тѣмъ значительно упростить
вопросъ; если, напр., дана дробь, у которой числитель есть
— 336 —
постоянное положительное число, а знаменатель перемѣнное
количество, то очевидно, что наибольшему значенію такой
дроби соотвѣтствуетъ наименьшее значеніе ея знаменателя
и наоборотъ; поэтому вопросъ приводится къ нахожденію
наиб. или наим. значенія только одного знаменателя.
Задачи. 1) Изъ всѣхъ прямоугольниковъ, вписанныхъ въ
данный кругъ, какой имѣетъ наибольшую площадь? Отвѣтъ:
квадратъ.
2) Въ данный треугольникъ вписать прямоугольникъ съ
наибольшею площадью такъ, чтобы основаніе прямоуголь-
ника лежало на основаніи тр-ка, а вершины двухъ угловъ
лежали на боковыхъ сторонахъ тр-ка. Отвѣтъ: высота прямо-
угольника равна половинѣ высоты тр-ка.
3) Изъ всѣхъ треугольниковъ съ даннымъ периметромъ
Др и даннымъ основаніемъ а какой имѣетъ наибольшую
площадь? Отвѣтъ: равнобедренный.
4) Найти наибольшее значеніе произведенія ху при усло-
віи Ѣх^7у=2&. Отвѣтъ: а?=2,
5) Данная прямая АВ раздѣлена на 2 части въ точкѣ С
и на отрѣзкахъ АО и ВС построены равносторонніе тр-ки.
Опредѣлить положеніе точки О при условіи, чтобы сумма
объемовъ двухъ тѣлъ, получаемыхъ вращеніемъ равносто-
роннихъ тр-ковъ вокругъ АВ, была наибольшая. Отвѣтъ:
точка О дѣлитъ прямую АВ въ отношеніи 1:2.
6) Дана длина 1г вертикальнаго столба. На какой высотѣ
въ данномъ разстояніи а отъ столба онъ будетъ казаться
наиболѣе длиннымъ? Отвѣтъ: искомая высота^Д Л.
7) Нѣкто, будучи въ лодкѣ въ 3 миляхъ отъ ближайшей
точки берега., желаетъ въ кратчайшее время достигнуть
мѣста, находящагося въ 5 миляхъ отъ этой точки, считая
вдоль берега; опредѣлить мѣсто, къ которому онъ долженъ
пристать, если извѣстно, что онъ можетъ проходить по 5
миль въ часъ, а проплывать только по 4. Отвѣтъ: на раз-
стояніи одной мили отъ конечнаго пункта.
8) Два желѣзнодорожные пути сходятся въ городѣ подъ
угломъ 60°. Со станціи, находящейся на первомъ пути въ
разстояніи 32 верстъ отъ города, вышелъ по направленію
— 337 —
къ нему поѣздъ А. Въ то же время со станціи, находя-
щейся на второмъ пути на разстояніи 50 верстъ отъ города,
вышелъ другой поѣздъ В по направленію къ тому же го-
роду, со скоростью вдвое большей скорости перваго поѣзда.
Найти, гдѣ будетъ поѣздъ В во время наименьшаго раз-
стоянія между нимъ и поѣздомъ А и опредѣлить это раз-
стояніе. Отвѣтъ: въ самомъ городѣ; наименьшее разстоя-
ніе-7 верстамъ.
9) Даны п гальваническихъ элементовъ; электродвижу-
щаяся сила каждаго равна А, внутреннее сопротивленіе г.
Какъ слѣдуетъ соединить эти элементы, чтобы получить наи-
выгоднѣйшеѳ дѣйствіе тока, если внѣшнее сопротивленіе
равно Л?
Рѣшеніе. Предположимъ, что всѣ элементы соединены въ
х группъ, по п/х элементовъ въ каждой группѣ, и пусть въ
каждой группѣ элементы соединены параллельно, а группы
между собою послѣдовательно. Зная, что при параллельномъ
соединеніи электродвижущая сила не измѣняется, а внутрен-
нее сопротивленіе уменьшается пропорціонально числу эле-
ментовъ, мы найдемъ, что въ каждой группѣ электродви-
жущая сила будетъ равна Л; а внутреннее сопротивленіе
г: —т.-е. —• Далѣе, принявъ во вниманіе, что при послѣдо-
X ѵь
нательномъ соединеніи электродвижущая сила и внутреннее
сопротивленіе возрастаютъ пропорціонально числу элемен-
товъ, мы найдемъ, что въ цѣпи электродвижущая сила бу-
7 . гх гх*
детъ кх, а внутреннее сопротивленіе — • х— — • Согласно
формулѣ Ома сила тока выразится:
кх кпх х
гх* . гх*-^пк 'гх*-\тк
п '
Очевидно, что наибольшая сила тока окажется при такомъ
каченіи X, при которомъ дробь получаетъ наиболь-
22
— 338 —
птее значеніе. Приравняемъ эту дробь количеству т и рѣ-
шимъ образовавшееся отъ этого уравненіе:
——-=7п; тгх2--х-4-тпй=0
гх2-\-п!і ’ 1
__|/1 —4т2лгЛ
Х 2тг
Для вещественности х необходимо и достаточно, чтобы
1—4т2пгЛ^=0;
. 1
Мт
п - /“Г“
Значитъ, наиб. значеніе для т есть / -- —; при этомъ
значеніи т величина х выразится:
а=~~=1 : 2гІ/ :1/ =\/ —
2тт у Ыіп у Нп у г
Найдемъ, чему равно въ этомъ случаѣ внутреннее со-
противленіе батареи. Оно, какъ мы видѣли, есть Под-
ставивъ сюда на мѣсто х найденное для него выраженіе,
получимъ:
——г I/ — : п=п1ъ : п=к
п \г г /
Такимъ образомъ мы приходимъ къ слѣдующему важному
физическому закону:
Наивыгоднѣйшее дѣйствіе батареи оказывается тогда,
когда ея внутреннее сопротивленіе равно внѣшнему.
ПРИЛОЖЕНІЕ
Предѣлъ погрѣшности, совершаемой при вычисленіи помощью
пятизначныхъ логариѳмовъ *).
I. Предѣлъ погрѣшности при нахожденіи логариѳма даннаго числа.
Какъ мы видѣли (§ 286) пятизначныя таблицы даютъ для всякаго цѣлаго
числа, не превосходящаго 10009, приближенный логариѳмъ съ точностью
до Ѵз стотысячной доли. Съ тою же точностью таблицы даютъ логариѳмъ
и для всякаго такого десятичнаго числа, которое, по отбрасываніи въ немъ
запятой или нулей, стоящихъ на концѣ, превращается въ цѣлое число,
содержащееся въ таблицахъ. Такъ, мантиссы логариѳмовъ чиселъ:
74,16 7,416 0,7416 741600
одинаковы съ мантиссою Іод 7416, и если для этого цѣлаго числа таблицы
даютъ приближенную мантиссу 87017 стотысячныхъ съ погрѣшностью до
*/з стотысячной, то и для всѣхъ написанныхъ выше чиселъ приближенная
мантисса должна быть та же самая съ тою же погрѣшностью (до 1/з сто-
тысячной).
Разсмотримъ теперь, какъ велика окажется погрѣшность въ томъ слу-
чаѣ, когда помощью таблицъ вычисляется логариѳмъ десятичнаго числа,
которое, по отбрасываніи въ немъ запятой или нулей, стоящихъ па концѣ,
обращается въ цѣлое число, выраженное болѣе, чѣмъ 4-мя цыфрами.
Способъ полученія приближеннаго логариѳма такого числа слѣдующій.
Такъ какъ положеніе запятой въ десятичномъ числѣ не вліяетъ ни на
величину приближенной мантиссы, ни на величину ея погрѣшности, то мы
можемъ предположить, что въ данномъ десятичномъ числѣ занятая стоитъ
послѣ 4-й цыфры слѣва, т.-ѳ. что данное число имѣетъ видъ п-\-й, гдѣ п
*) Изложено съ нѣкоторыми измѣненіями и въ примѣненіи къ пяти-
значнымъ таблицамъ по /Тгаііё й’АІд'еЬге ёіётепіаіге раг М. Сог еі 7.
Еіетапп*. (Рапз, 1898).
— 340 —
есть цѣлое число, выраженное 4-мя цыфрами, а Н есть десятичная дробь,
меньшая 1. Найдя съ помощью таблицъ мантиссу М, соотвѣтствующую
числу п, и табличную разность мы будемъ имѣть:
Числа*.
п...
Приближ. логариѳмы*.
34
м
103
п+1
. ;М+С?
105 ‘
Допустивъ далѣе, что разности между логариѳмами пропорціональны
разностямъ между числами, мы получаемъ:
1оц(п+й)—Іо&п Н
Іо^ОН-І)—Іо§п 1 9
откуда: 1о^(п+Л)—1о&п=Л[1о§(п+1)—Іо&п] [1]
и слѣд., 1о^(п+7і)=1о^п+Л[1о^(п+1)—1о§п]—
. м+м
—3+ 105 ‘
Произведеніе М рѣдко есть цѣлое число; ббльшею частью оно есть
цѣлое число съ дробью; въ этомъ случаѣ, такъ какъ мы довольствуемся
5-ю десятичными знаками мантиссы, вмѣсто точной величины произведенія
М мы беремъ ближайшее къ нему цѣлое число (если, напр., Л=О,26 и
<2=6, то, вмѣсто произведенія 6.0,26—1,56, мы беремъ ближайшее цѣлое
число 2). Обозначивъ это цѣлое число черезъ 8, будемъ имѣть слѣдующую
приближенную величину логариѳма даннаго числа:
1ое(п+Д)=3+-^.
Предстоитъ теперь опредѣлить степень погрѣшности этого результата.
Погрѣшность его обусловливается тремя причинами: 1) изъ таблицъ мы
взяли нѳ точные, а приближенные логариѳмы чиселъ п и п+1; 2) вмѣсто
произведенія Ікі мы брали его приближенную величину 8 и 3) равенство [1],
которымъ мы пользовались выше, нѳ вполнѣ вѣрно. Чтобы устранить всѣ
эти причины, возьмемъ слѣдующія точныя равенства:
1 о і м+а
1О^ = 3+-105-
гдѣ абсол. величины
і / । л । М+-Й+
1о§(йг-|-1) _ 3-— а> и аѵ меныпѳ 1/2.
Ы = 8 4-а" )
- 341 —
Съ другой стороны, помощью высшей математики, можетъ быть до-
казано, что если п^ІООО и то равенство [1] въ точномъ видѣ пред-
ставится такъ:
1О8(п-)-й)-1орп=Л [1ое(п4-1)—іовп] 4--І,
гдѣ абсолютная величина 1 меньше х/10 *).
Пользуясь этими точными равенствами, получимъ:
Ю6(Л+Л)=3 + М+а+^+±72Ш
__. М-4-3 . —Ти-рр
— ^-Г-уО5"Н 105
Сравнивая эту точную величину съ найденной раньше приближенной
величиной, находимъ, что погрѣшность приближенія равна
]г а_рр ___ а( 1 —Л )4-а"4- П а'4-р
1()5 ІО5
и, слѣд., она меньше
±(і-й+л)+і+і і+і
105 “105
Такимъ образомъ оказывается, что, когда логариѳмъ даннаго числа не
находится прямо въ таблицахъ, а получается изъ нихъ помощью обще-
принятаго вычисленія, погрѣшность результата не только но менѣе */а сто-
тысячной, но даже нельзя ручаться, чтобы она была менѣе цѣлой сто-
тысячной; однако, во всякомъ случаѣ она менѣе І-Н/ао стотысячной.
II. Предѣлъ погрѣшности при нахожденіи числа по данному логариѳму.
Предположимъ сначала, что характеристика даннаго логариѳма есть 3.
Находимъ въ таблицахъ ближайшую меньшую мантиссу М, табличную раз-
ность (і и разность Д между данной мантиссой и ближайшей меньшей,
взятой изъ таблицъ. Тогда будемъ имѣть:
Приближ. логариѳмы: Числа:
« . М
3 -4--........................ П
1 10э
3+~гцг........................п+1
О > М+Л , 7
3+-т&-.................... ••”+*•
*) Доказательство, изложенное по „Тгаііе' (ГаІдёЬгераг Сот еі ТНетапп“,
можно найти въ „Вѣстникѣ опытной физики и элементарной математики*,
1903 г., № 341.
— 342 —
Предстоитъ найти Л. Изъ приближеннаго равенства:
1о$(п-|-7г)—1о&п=7фо^(п 1)—Іодп]
Д М. Д
находимъ: 105 ^ІО^’ откУДа: н —
и, слѣд., искомое число будетъ:
п
п+1
п-\-к
Не обращая пока дробь -—у- въ десятичную, опредѣлимъ погрѣшность
(л
найденнаго приближенія. Для этого возьмемъ точныя равенства;
Точные логариѳмы: Числа:
О I М-Н
3+ 105 ......................
М+гі+а'
3+ 105 ......................
. м+^+«>
3 +------105..........................
и Іое(пН-Л)—1оея=Л[1ое(п+1)—ІО8П] + -^,
гдѣ (обозначая заключеніемъ въ скобки числа его абсол. величину):
І«І<| І“'І <4 І₽І<4
и (о есть число стотысячныхъ, содержащееся въ погрѣшности даннаго при-
ближеннаго логариѳма. Подставляя въ послѣднее изъ этихъ равенствъ точ-
ныя величины логариѳмовъ, находимъ (по отбрасываніи общаго знаме-
нателя ІО5):
Д-{-(0—ас=к(сІ-\-а.'—а)-|-$,
откуда:
И, слѣд.* погрѣшность, совершаемая тогда, когда вмѣсто точной вели-
чины к беремъ найденное выше приближенное значеніе -—т-, равна:
а
Д_|_(о—а — Д <Я(о—йа—с/?—Да'-|-Да
(1 (^4-а'—а)^
. (йо—а(й?—Д)—с??—Да'
(^+а'—а)(/
- 343 —
и, слѣд., она меньше:
^І(0І + "2"(^—Н +У+40
Величина эта превосходитъ Ѵіоо- Дѣйствительно, она, очевидно, больше
числа:
2 ' 40__ 21
(1—1 40($-1) ’
которое, въ свою очередь, больше 1/юо» такъ какъ изъ равенства:
21 1
40^-1)^100
л 2100 ,/КО1
находимъ: д—1<—гтг-; ^<^53-^,
40 Л
что имѣетъ мѣсто на всемъ протяженіи пятизначныхъ таблицъ, въ кото-
рыхъ наибольшее значеніе й есть 44.
Итакъ, беря для искомаго числа приближенное значеніе мыне
можемъ быть увѣрены, что ошибка меньше Ѵюо- Поэтому, обращая дробь
Л
въ десятичную, безполезно находить цыфры сотыхъ и слѣдующихъ
низшихъ долей, а достаточно ограничиться одною цыфрою десятыхъ.
Если при этомъ мы имѣемъ предосторожность брать ближайшую цыфру
десятыхъ (т.-ѳ. увеличивать цыфру десятыхъ на 1 всякій разъ, когда цыфра
сотыхъ была бы 5 или болѣе), то, отбрасывая въ десятичной дроби, полу-
чаемой отъ обращенія разряды, слѣдующіе за десятыми долями, мы
а
совершаемъ еще ошибку, меньшую десятой, т.-ѳ. меньшую Ѵзо» и тогда
окончательная погрѣшность найденнаго числа будетъ менѣе
ііі 1 і 1
М+т+іо 1
д,—1 *~20*
Въ частномъ случаѣ, когда |<о|'=0, т.-ѳ. когда данный логариѳмъ есть
точный, погрѣшность окажется менѣе
2 т40 1
а—і + 20 ‘
Число это меньше Ѵіо только въ томъ случаѣ, когда $>12. Значитъ,
только въ этомъ случаѣ и притомъ, когда данный логариѳмъ точенъ, мы
можемъ ручаться, что цыфра десятыхъ, полученная отъ дѣленія Д на $
окажется вѣрною; въ общемъ случаѣ ж за это ручаться нельзя.
— 344 —
Мы предполагали до сего времени, что характеристика даннаго лога-
риѳма есть 3, и что, слѣд., въ искомомъ десятичномъ числѣ запятая стоитъ
послѣ 4-й цыфры слѣва. Когда характеристика будетъ иная, то въ найден-
номъ выше числѣ запятую придется перенести влѣво или вправо, т. е.
раздѣлить число или умножить его на нѣкоторую степень 10-и. При этомъ,
конечно, погрѣшность результата также раздѣлится или умножится на ту
же степень 10-и.
Приложимъ все сказанное къ слѣдующему примѣру, на которомъ, между
прочимъ, мы увидимъ, что, сверхъ указанныхъ выше неточностей, при-
ходится иногда вводить и другія.
Примѣръ. Вычислить выраженіе,
А2і/~В
если А=32,41275, 8=7,185363 и 0=6791,834
Вспомогательныя вычисленія:
1. Вычисленіе Іод А2.
3241 ..... 51068 (13)
2..............26
7............ .91
5.............65
108 32,41275 =1,51071
ІО8А2=В,О2142
2. Вычисленіе Іод 1/В.
7185 . . . . 5 85643 (6)
3..............18
6.............36
3..............18
108 7,185363 __ =0,85645
ІО81/ В=0,28548
3. Вычисленіе доп. Іоді/С.
6791 ......... 83193 (7)
8..............56
2 ....... .14
4..............28
108 6791,824 =3,83199
1О8]/С=<ч9579(10)
_=0.95800
доп. Іо 81/ С=І,04200
Окончательныя вычисленія:
108 А2=3,02142
І08|/ В=0,28548
доп. І08|/~С==І,04200
Іо^ж =2,34890
108^=3,34890
1082233=3,34889 (<2=9)
0,1— - Ѵэ
0^=2233,1
X =223,31
— 345 —
Найдемъ сначала предѣлъ погрѣшности числа хь Для этого предва-
рительно надо найти предѣлъ погрѣшности ю приближеннаго Іодх^ или—
что все равно—Іодх.
Предѣлы погрѣшности:
въ ІодА........................стотысячной
въ іодл^...............(2+І)
въ 1°ѵв................(1+І)
въ Іоду~В . . . . «
Въ послѣдней строкѣ мы прибавили */%, такъ какъ, дѣля Іод В на 3,
мы отбросили цыфры, слѣдующія за стотысячными долями, изъ которыхъ
первая меньше 5. По той же причинѣ ниже прибавлена і/з къ погрѣшности
въ Іоду/С,
Въ Іод С....................С/ГОТЬТСЯЧІІОЙ
^ыод\/с........................4{1+й)+т ’
вь доп. Іоду~С...............”
Предѣлъ погрѣшности въ Іодх^ (въ стотысячныхъ доляхъ):
2| 1 I 1 1 | 1 I | 1 1 _ 3 311
' 2О~Г 3 ’г 120 ' 2'4 ЧбСР 2 480 4 '
Предѣлъ погрѣшности въ меньше:
о 3 І 1 П
_4 Ч- 2 '40 1 _ 40 1 _171 1 _207
19—1 Ч-20— 18 ' 2О~'72оЧ-2О~72О~0’ ’
Такъ какъ ж въ 10 разъ меньше а?ь то предѣлъ погрѣшности въ х
также въ 10 разъ меньше предѣла погрѣшности въ х[} т.-ѳ. онъ меньше
0,03,
и потому величина х заключается въ предѣлахъ:
223,34 > х >223,28.