ё.Зенгер
W i; Ж
fas
ракет
M1TTEILUNGEN AUS DLW
FORSCUCNGSlNSriTVT FOR PHYSIK DER STRAHLANTRIEBE E. V.
LEITUNG: DR.-ING. E. SANGER, DR. I. SAnGER-BREDT
STUTTGARГ
Eugen Sanger
ZLR MECHANIK
DER PHOTON EN STRAHLANTRIEBE
(Deutsche Fussung)
R. OLDE\BOL!RG VERLAG MONCHEM
Januar 1956
Е. Зенгер
К МЕХАНИКЕ
ФОТОННЫХ
РАКЕТ
Перевод с немецкого
В. М. ПАЦКЕВИЧА
Под редакцией
и. м. халатникова
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ титературы
Москва — 19 58
АННОТАЦИЯ
Книга содержит основы механики ракет, Приводимых
в движение реакцией потока фотонов, выбрасываемых
из ракеты. По мнению автора, фотонные ракеты позволят
совершать полеты в самые отдаленные области Галак-
тики.
Книга рассчитана на научных работников и инже-
неров, занимающихся вопросами реактивной техники и
космических полетов.
Редакция литературы
по вопросам математических наук
Заведующий редакцией
npotfi. А. Г. КУРОШ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
Космические путешествия и связанная с ними возмож-
ность встречи с разумными существами в других мирах —
все это давно волнует людей. Однако до последнего времени
весь круг вопросов, относящихся к таким путешествиям,
был лишь темой научно-фантастической литературы.
Научно-техническая революция, происшедшая за по-
следнее десятилетие и приведшая к бурному развитию
атомной энергетики и ракетной техники, позволила пере-
нести вопрос о космических путешествиях из области науч-
ной фантастики в область реального. В настоящее время,
после запуска советских спутников Земли, вряд ли кто-
нибудь может сомневаться в осуществимости космических
полетов. Реализация таких полетов под силу людям.
Однако на этом пути стоит немало научных и технических
трудностей, поскольку проблема космических полетов явля-
ется намного более сложной, чем все проблемы, с которыми
человечество встречалось до сих пор.
Простые оценки позволяют заключить, что колоссаль-
ное расстояние, которое необходимо преодолеть в косми-
ческом полете за время жизни одного поколения, потребует,
чтобы такой полет совершался с максимальной возможной
скоростью, близкой к скорости света. Таким образом, здесь
техника уже не может исходить из классической механики,
она вынуждена базироваться на законах релятивистской
механики (теории относительности).
Простые энергетические соображения позволяют также
заключить, что для приведения в движение космической
ракеты следует использовать реактивное действие фотонов
(световых квантов), обладающих равной нулю массой по-
коя. Механике ракет, использующих реактивное действие
фотонов, и посвящена книга известного немецкого ученого
и инженера Зенгера «К мех'анике фотонных ракет»,
6
Предисловие редактора
Автор не обсуждает технических аспектов фотонной
ракеты. Источники энергии и конкретные механизмы пре-
вращения масс покоя в излучение также не рассматри-
ваются. Автор подробно рассмотрел лишь одну из проб-
лем — механику полета релятивистской фотонной ракеты.
Такое рассмотрение может быть проведено в настоящее
время до конца на основе механики теории относительности.
Релятивистские эффекты — сокращение масштабов, от-
ставание движущихся часов — приводят к весьма своеоб-
разным свойствам полета фотонной ракеты1). Так, благо-
даря релятивистскому сокращению длин принципиально
возможна такая ситуация, при которой пассажиры ракеты,
проведя в полете несколько лет своей жизни, возвратятся
на Землю через несколько десятилетий (по земным часам)
и вместо современников застанут на Земле' лишь своих
потомков. Естественно, что такой «полет к потомкам» по-
требует решения колоссальных технических проблем, од-
нако принципиально он возможен. Автор рассматривает
подобную возможность, причем в расчетах фигурируют
лишь ускорения порядка величины земного ускорения2).
Книга Зенгера является первым полным исследованием,
в котором на базе теории относительности рассматривается
механика полета космических ракет. Она, несомненно,
даст толчок к дальнейшим исследованиям в этой области.
Книгу прочтут с интересом ученые и инженеры, рабо-
тающие в области ракетной техники.
И. М. Халатников.
О Автор иногда употребляет выражение «сверхсветовая скорость'),
понимая под этим скорость, вычисленную по расстояниям, измерен-
ным неподвижным наблюдателем (например, земным), и по промежут-
кам времени, измеренным по часам на движущейся ракете. Определен-
ная таким образом скорость, естественно, может превышать скорость
света.
2) Благодаря тому что движущиеся часы всегда отстают, противо-
речащий принципу причинности «полет в прошлое», естественно, не-
возможен.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Искусство высокоэффективного превращения массы по-
коя в энергию движения делает быстрые успехи, и поэтому
кажется оправданным изучать применение этого превра-
щения в реактивном приводе. Настоящее введение в меха-
нику фотонно-реактивного привода представляет собой
первую часть обширной программы научных работ в об-
ласти фотонно-реактивных приводов, за которой должны
последовать дальнейшие работы по физике горения, физике
излучения, отражению излучения и поглощению излучения
в фотонно-реактивных двигателях.
В настоящей работе сделана попытка дать основы воз-
можно более общей релятивистской механики реактивного
привода, в которой механика фотонно-реактивных приво-
дов содержится лишь как важнейший частный случай, в
то время как все другие примеры приводов средств пере-
движения, такие, как химические и ядернохимические ракет-
ные приводы, прямоточные реактивные, турбо-реактивные
и пропеллерно-реактивные приводы вплоть до приводов
водных и наземных экипажей и биологических приводов,
представляют собой другие частные случаи.
Количественная оценка важнейшего частного случая
фотонно-реактивного привода позволяет сделать следующее
заключение: полеты в столь далекие области Галактики, что
возникает конечная вероятность встречи с неземными разум-
ными существами, скорее всего могут быть осуществлены при
техническом сочетании принципа фотонно-ракетного привода
с принципом прямоточной фотонной ракеты.
Однако и для межпланетных полетов и полетов в атмо-
сфере фотонно-реактивные приводы обещают дать оконча-
тельное решение проблемы привода.
8	Предисловие автора
Предисловие автора	9
♦ ♦ ♦
Настоящая работа, в частности, приводит к следующему
существеннейшему выводу: если вместо теплотворной
способности горючей смеси ввести коэффициент превра-
щения массы покоя в энергию е и использовать парциаль-
ность л процесса выталкивания горючего и внутренний
коэффициент полезного действия »д, характеризующий по-
лезную передачу энергии направленной струе масс горю-
чего, то получаемый на единицу массы горючего импульс
можно представить как функцию скорости света с в самом
общем случае в виде
С /2с»/, (1 — л) — e2?j?(l — 2л/з?;).
Таким образом,' функциональная зависимость этого им-
пульса от расхода энергии выражается не параболой, как
это обычно принимается, а, строго говоря, окружностью.
Хотя в частном случае фотонной ракеты скорость вы-
талкивания всегда равна с, однако удельный импульс может,
в зависимости от величин е, л, принимать любое значе-
ние вплоть до верхнего граничного значения 30571 сектои/кг
для полной фотонной ракеты при полном превращении масс
в излучение ; это более чем в сто тысяч раз превышает
обычный удельный импульс современной химической ра-
кеты.
Можно ожидать, что скорости полета фотонных ракет
будут более высокими, чем скорости современных ракет,
в том же отношении, т. е. что они могут превзойти скорость
света.
При столь высоких скоростях полета мир ракеты и ее
экипажа будет иметь очень малое отношение к миру их
старта, и относительные различия кинематики полета и
динамики привода для системы отсчета, связанной с местом
старта, и для собственной системы отсчета экипажа ракеты
окажутся очень большими.
Поэтому экипаж в своем уединенном мире полета будет
пользоваться собственным счетом времени, он будет безот-
носительно к внешнему миру измерять свое собственное
время te и свое собственное ускорение Ье с помощью обычно
применяемых для этого приборов, находящихся на борту,
и путем механической интеграции этих двух измерений смо-
жет найти по законам классической механики собственную
скорость vf, которая может сделаться сколь угодно боль-
шей, чем скорость света, и собственный путь se, совершенно
отличный от того, который измеряют астрономы Земли, но
определяющий, однако, расход горючего в двигателе ра-
кеты. Вскоре после превышения скорости света экипаж
установит, что в галактическом пространстве сопротивление
межзвездного газа полету ракеты достигает значительной
величины и в короткое время полностью прекращает даль-
нейшее увеличение скорости ракеты только за счет работы
ракетного двигателя. В этом случае экипаж может прини-
мать в ракету натекающие межзвездные массы по способу
прямоточного реактивного двигателя, использовать их в
качестве топлива и с высокой скоростью выталкивать об-
ратно. Таким способом можно в большой степени умень-
шить сопротивление полету в межзвездной среде, однако
производить при помощи него заметные положительные
ускорения по принципу прямоточного реактивного привода
невозможно, так как разность между скоростями прини-
маемой и выталкиваемой масс стремится к нулю.
Таким образом, фактический расход горючего может
быть покрыт полностью из запаса масс, имеющегося на
борту ракеты (принцип чистого ракетного привода), или же
может быть пополнен в дороге посредством приема масс
из окружающей среды (принцип прямоточного реактивного
привода).
Последний принцип не годится, конечно, как сказано
выше, для ускорения ракеты; при помощи его можно
только устранить сопротивление межзвездного простран-
ства и благодаря этому сохранить без применения ракет-
ного привода имеющуюся скорость полета или сделать воз-
можным дальнейшее ускорение при помощи ракетного при-
вода, как в свободном от сопротивления пространстве.
Так как скорость встречи межзвездного газа с ракетой
представляет собой величину порядка скорости частиц пер-
вичного космического излучения, то, с одной стороны, соз-
даются благоприятные предпосылки для проведения далеко
идущих ядерно-химических реакций превращения вещества
в излучение и, с другой стороны, оказывается, что качество
современных строительных материалов ещё не достигло
10
Предисловие автора
уровня, который соответствовал бы современным представ-
лениям о действии этого ветра полета на граничные поверх-
ности. Постоянные собственные ускорения, которые целесо-
образно применять в таких межзвездных полетах, по
порядку величины совпадают с земным ускорением и поэ-
тому не вызывают никаких физиологических затруднений.
Применением простого ускорения, равного земному,
скорость света может быть достигнута через собственное
время в 3  107сек., или 0,95 года, при уменьшении перво-
начальной массы ракеты т*2 вследствие расхода горючего
в отношении	= е 1 = 0,368. Десятикратная ско-
рость света может быть достигнута, следовательно, спустя
9,5 года при отношении масс nieZlm*e2 — е 10 = 10 4 24.
Если бы экипаж при столь высоких собственных ско-
ростях вел наблюдения окружающего мирового простран-
ства, то он нашел'бы космос, в соответствии со своей соб-
ственной скоростью, в значительной мере уменьшенным и
искаженным как в пространстве, так и во времени, так что
более не существовало бы возможности ориентировки на
основе имеющихся собственных измерений.
Чтобы установить связь с метрикой мирового простран-
ства, определенной земными астрономами, экипаж должен
связать результаты своих собственных измерений с соответ-
ствующими величинами, полученными земным наблюда-
телем.
Такая связь, например, между значениями одного и того
же элемента времени, когда он измеряется земным наблю-
дателем (dt) и экипажем (dte), имеет вид dt/dt? = ch (гу/с);
следовательно, при собственном эйнштейновом числе
полета ve/c = 10 дилатация времени между земным наблю-
дателем и экипажем составляет уже dt/dt. = 0,5 с10 =
= Ю3 94, т. е. экипаж живет почти в десять тысяч раз
медленнее, чем земной наблюдатель. Собственное время
экипажа начинает течь все более и более медленно, и эки-
паж начинает приближаться к, безвременному состоянию,
которое должно быть приписано жителям фотона.
Соответствующая связь между скоростью v относительно
Земли и собственной скоростью ve ракеты есть v/c = th (ve/c).
Как пи велика будет собственная скорость ракеты, ее
относительная скорость, конечно, никогда не достигнет
скорости света.
Предисловие автора
11
Важнейшая связь существует между относительным
расстоянием s земных астрономов и измеряемым в ракете
собственным путем se; в общей форме эта связь имеет вид
ds/dse = (sh ve/c)l(velc) и, например, для постоянного собствен-
ного ускорения ракеты
s/sf = 2 [ch — 1 ]z(ve/c)2 
Таким образом, как только ve/c станет заметно больше
единицы, астрономическое расстояние s, определяющее коэф-
фициент полезного действия рейса, возрастет в огромной
степени по сравнению с собственным путем se, определяю-
щим расход горючего, так что в течение немногих лет жизни
экипажа и при конечном расходе горючего может быть
пройдено любое астрономическое расстояние. Для вооб-
ражаемых жителей фотона наш внешний мир сократился
бы до размеров нуля, так как их собственная скорость
бесконечно велика.
Самые большие собственные скорости ve, необходимые
для путешествия вокруг Вселенной, достигают примерно
25-кратной скорости света подобно тому как для движения
вокруг Земли по инерции необходима 25-кратная скорость
звука.
Время, необходимое для этого путешествия, составляет
при применении просто ускорения силы тяжести пример-
но 42 года и может быть снижено применением постоян-
ного трехкратного земного ускорения примерно до 15 лет,
причем, однако, полный расход горючего несколько повы-
шается.
В противоположность этим неожиданным связям кине-
матических собственных и относительных величин со-
ответствующие связи динамических величин менее сенса-
ционны.
Величина сопротивления пространства, производимого
соприкасающимися с ракетой массами пространства, зави-
сит, конечно, от скорости полета относительно этихмасс,
но не зависит от системы отсчета наблюдателя, следовательно,
°на одинакова для экипажа и для земного наблюдателя.
Напротив, величина ускорения ракеты, производимого
выталкиваемыми массами, не зависит непосредственно ни
от скорости полета, ни от системы отсчета наблюдателя.
12	Предисловие автора
* * *
Как с уединенной высоты последней горной вершины
видим мы бесконечную новую страну, лежащую перед нами,
и наука и техника вселяют в нас уверенность, что от нас
самих, от людей, будет зависеть, овладеть ли этой страной
или же пренебречь ею. Но пренебрегали ли мы когда-либо
обетованной землей?
Неисчислимые миллиарды часов человеческого труда,
затраченные в мире за последние десятилетия на обеспече-
ние национальной безопасности, могли бы превратить землю
в райский сад. Иногда можно прийти в отчаяние при мысли
о том, что этого не удалось достигнуть из-за раздоров между
дипломатами и государственными деятелями, которых, по-
жалуй, можно было бы избежать. Или, быть может, вели-
кая суровая природа этими болезненными средствами долж-
на достичь какой-то хорошей цели, которая нами, людьми,
остается неосознанной?
Мы, люди воздушных полетов, уже давно имеем малень-
кое утешение в том.'что эти миллиарды часов человеческого
труда помогали нам также натягивать над землею все более
плотную сеть воздушных сообщений, все более надежных
и более быстрых.
Мы, люди воздушных полетов, радуемся тому, что радар
и ядерная энергия уже вносят или скоро внесут в это свою
долю, что турбо-реактивные двигатели удваивают скорости
наших путешествий, а пря.моточные реактивные двигатели,
может быть, скоро сблизят для путешественников конти-
ненты на часовые расстояния.
Мы, люди полетов в пространстве, гордимся тем, что
уже посылаем наши ракетные зонды до крайних слоев
атмосферы и что многие науки извлекают из этого пользу.
Теперь в том же направлении появились две новые
и важные проблемы, решение которых стало возмож-
ным в результате последних успехов в развитии оружия
дальнего действия ; это — строительство над землею «внеш-
них станций» и привлечение всех наций к совместной работе
над объединенными таким образом научными проблемами.
В воздушных полетах и полетах в пространстве доля,
применяемая для мирного хозяйства и науки, еще очень
мала по сравнению с долей, применяемой для целей воору-
Предисловие автора
13
Жения. Но эта мирная доля в последнем десятилетии по-
стоянно росла и, кажется, в той же степени растет и дальше,
в то время как быстрое усовершенствование оружия не-
вероятной разрушительной силы показывает все большую
и большую бессмысленность его действительного приме-
нения для войны.
Мы имеем здесь замечательное историческое явление,
заключающееся в том, что развитие этого оружия дальнего
действия, как его двигателей и элементов, так и его при-
боров и боевых зарядов, является не чем иным, как разви-
тием по очень запутанному, сложному, но действенному
пути от полетов в воздухе к полетам в межзвездном
Пространстве.
В недалеком будущем все человечество должно будет
признать, что война не только морально, но и технически
бессмысленна ; но тогда связанные с войной гигантские
организации исследований, индустрии и армий могут рух-
нуть, вызвав тяжелейшее потрясение мирового хозяйства.
Еще более замечательно то, что естественным выходом
из этой дилеммы является «полет в пространство», который
мы не хотим считать ни гражданским, ни военным, но кото-
рый, во всяком случае, не будет иметь ничего общего с
архаическим понятием войн между людьми.
Полет в пространство гораздо лучше, чем современные
военные воздушные полеты, удовлетворит глубокую по-
требность людей в приключениях, в разрядке избытка
жизненных сил, в неведомых новых горизонтах.
Полет в пространство еще больше, чем современные
военные полеты в воздухе и пространстве, будет нуждаться
в исследовательских учреждениях, индустрии и военизи-
рованных организациях для его осуществления, но он
будет при этом выполнять культурные задачи, а не будет
угрожать человечеству ужасами.
Всматриваясь в завтра, мы видим пассажирские само-
леты с прямоточными реактивными двигателями, позволя-
ющими преодолевать расстояния между континентами в
течение немногих часов ; мы видим, как химические ракеты
сооружают «внешние земные станции»; мы видим термо-
ядерные • атомные ракеты, движущиеся на межпланетных
путях, и, наконец, ракеты с фотонно-ракетными при-
водами и прямоточными фотонно-реактивными приводами.
14
Предисловие автора
проникающие в крайние дали Космоса на поиски наших
братьев во Вселенной.
Для этих задач не хватит сил отдельной нации ; нам
нужны лучшие ученые, Лучшие инженеры, лучшие пилоты
и вся рабочая сила всех людей; нам нужно человечество,
созревшее для межзвездного пространства.
Есть ли это мечта? Есть ли это неосознанная нами и
внушенная нам природой цель человечества? Благосклон-
ная и суровая природа должна знать, почему опа не хочет,
чтобы мы превратили наш мир в скромный рай, и почему
она заставляет нас завоевывать новые миры —те последние и
крайние миры, ключом к которым должны стать фотонные
ракеты.
Штутгарт, 22 сентября 1955 г.
Е. Зенгер.
Глава 1
ФОТОННО-РАКЕТНЫЙ ПРИВОД И ПРЯМОТОЧНЫЙ
ФОТОННО-РЕАКТИВНЫЙ ПРИВОД
0-ги, сегодня еще гипотетические, реактивные при-
воды следует рассматривать как будущее окончательное
решение проблемы привода как для полета в воздухе, так
и для межпланетного и межзвездного полета, поскольку с
помощью их становится возможным достижение абсолют-
ного минимума расхода горючего на единицу импульса
вплоть до исчезающе-малого расхода горючего.
Все фотонно-реактивные приводы имеют то общее, что
они превращают массы горючего, находящиеся на борту,
полностью или частично в кванты излучения, которые из-
лучаются в выбранном направлении со скоростью света ;
тем самым, следовательно, эти приводы осуществляют макси-
мальную возможную для реактивного привода скорость
выталкивания.
Обе вышеупомянутые разновидности — фотонно-ракет-
ный привод и прямоточный фотонно-реактивный привод —
представляют собой только предельные случаи единого прин-
ципа фотонно-реактивного привода, которые отличаются
тем, что ракеты с фотонно-ракетным приводом берут на борт
массы горючего дискретно во время своего пребывания в
подходящих местах снабжения, для того, чтобы затем в пути
непрерывно их расходовать, в то время как ракеты с пря-
моточным фотонно-реактивным приводом берут массы горю-
чего из окружающей среды, например из окружающей
атмосферы или из окружающей межзвездной материи, не-
прерывно, для того чтобы также непрерывно их расходо-
вать.
Из этого определения тотчас вытекает, что уже обычный
химический прямоточный реактивный привод в атмосфере
нельзя считать чистым прямоточным реактивным приводом,
поскольку он непрерывно берет из окружающей среды,
16
Ё. Зенгер. К МеХаНике фотонных ракет
а именно из воздуха, только около 94—98% своего горю-
чего, а остальное берет в форме горючих веществ, дискретно
взятых на борт в подходящих местах снабжения, как это
делает, впрочем, всякий экипаж.
Техническое развитие фотонно-реактивных двигателей
будет, по-видиМому, стремиться к тому, чтобы одновременно
применять в самом двигателе оба принципа действия, причем
в зависимости от потребности будет преобладать в действии
один или другой. Например, во время относительно кратко-
временного периода ускорения или периода торможения
при атмосферном, межпланетном или межзвездном полете
предпочтительнее применять рабочий процесс фотонно-
ракетного привода, а во время длительного периода путе-
шествия Предпочтительнее применять рабочий процесс
прямоточного фотонно-реактивного привода, подобно тому
как это имеет место сегодня для самолетов воздушного по-
лета с химическим прямоточным реактивным приводом,
которые стартуют при помощи ракетного действия, а по-
леты проводят на 96% при помощи чистого прямоточного
реактивного действия.
Исследовательские работы по фотонно-реактивному при-
воду должны направляться прежде всего на следующие пять
основных пунктов :
aJ Общая релятивистская механика -реактивного привода
Для исследования механических процессов фотонно-
реактивного привода (например, толчка, расхода горючего,
коэффициента полезного действия, скорости выталкивания,
ускорения ракеты, ее скорости, проходимого ею пути и
т. д.) недостаточно законов классической механики, для
этого надо прибегнуть к релятивистской механике. С ее
помощью удается развить обширную теорию привода, ко-
торая охватывает все технические и природные процессы
приведения в движение — от прямоточных фотонно-реак-
тивных двигателей и фотонно-ракетных двигателей через
электрические, ядерно-химические и химические реактив-
ные двигатели вплоть до колесных двигателей и биологи-
ческого приведения в движение.
Этот первый пункт программы исследования фотонно-
реактивного привода является темой настоящей работы.
Гл. 1. Фотонно-ракетный привой и фотонно-реактивный привод 17
б)	Превращение вещества в излучение
На первый взгляд полное превращение вещества в излу-
чение, т. е. полное превращение массы покоя в энергию дви-
жения, представляется для фотонно-реактивных двигателей
наиболее подходящей реакцией сгорания. Выход энергии,
равный единице, в реакции масс искусственно достигнут
до сих пор только в известной реакции электрон—позитрон,
но при космических процессах и в космическом излучении
он, по-видимому, достижим также и для тяжелых частиц.
Так как при приеме масс очень быстрыми ракетами с пря-
моточным фотонно-реактивным приводом имеют место по-
хожие условия столкновения, для них кажется не исклю-
ченной возможность искусственного осуществления пол-
ного превращения в излучение тяжелых частиц, подобно
тому как это имеет место для электронов.
Этот идеальный процесс технически еще не осуществлен,
поэтому и реакции с меньшим выходом энергии, такие, как
термоядерные реакции или уже широко технологически
освоенные ядерные реакции деления, должны быть иссле-
дованы как источники энергии для фотонно-реактивных
приводов.
При выполнении весьма широкой программы исследо-
ваний фотонно-реактивных двигателей на испытательных
стендах можно даже возвратиться к классическим источни-
кам энергии химических реакций.
Во всех этих случаях энергия сначала существует, по-
видимому, не в желательной форме энергии фотонов средней
длины волны', а в форме электрической, тепловой, кинети-
ческой энергии или энергии фотонов очень малой длины
волны, так что необходимо также соответствующее превра-
щение одного вида энергии в другой.
в)	Излучение газа
Техническое применение фотонных лучей как средства
приведения в движение предполагает световое давление,
равное по порядку величины одной атмосфере, и, следо-
вательно, интенсивность излучения, равную по порядку
величины 1 млн. ккал/см2 • сек, что соответствует темпера-
туре черного излучения примерно в 150000°К.
Е. Зенгер
18
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Каким образом устанавливаются такие интенсивности
излучения, как равновесное излучение оптически беско-
нечно толстого раскаленного газового слоя или как люми-
несцентное излучение, в особенности спонтанное излучение
газов, — представляет собой дальнейшую фундаментальную
проблему фотонного привода.
г)	Отражение излучения
Фотоны, несущие импульс, выходят из источника излу-
чения сначала по всем направлениям пространства, так что
их результирующий импульс практически будет равен нулю.
Поэтому фотоны должны направляться подходящим ре-
флектором в одном желательном направлении, подобно тому
как это делается в прожекторе.
Управление излучением должно сводиться главным
образом к полному отражению от подходящей зеркальной
поверхности и составляет, таким образом, проблему физики
граничных поверхностей.
д)	Поглощение излучения
Нужные для фотонно-реактивных приводов высокие
интенсивности излучения ожидаются только от крайне
горячих газовых плазм. Эти газы могут быть доведены до
требуемой плотности только в сосуде с крепкими стенками,
подобно тому как это имеет место в известной газоразрядной
лампе.
В этом случае стенки сосуда должны, конечно, обладать
необычайно высокой степенью пропускания излучения,
чтобы в короткое время не нагреться в недопустимой сте-
пени поглощаемой частью излучения.
Исследование и конструкция таких, в высшей степени
пропускающих излучение, стенок сосуда составляют пятую
фундаментальную проблему фотонно-реактивного привода.
Проблемы (г) и (д) отражения и поглощения излучения
в этом существенно противоположны проблеме (в) излуче-
ния газа, поскольку в них оказываются благоприятными
лишь определенные длины волн излучения.
Гл. 7. Фотонно-ракетный привод и фотонно-реактивный привод 19
В то время как рассматриваемая в настоящей работе
первая фундаментальная проблема механики привода до-
ступна исключительно теоретическому исследованию сред-
ствами релятивистской механики, для остальных четырех
проблем к исчерпывающему теоретическому рассмотрению
методами релятивистской теории, квантовой физики, ядерной
физики и атомной физики должна быть присоединена об-
ширная программа экспериментальных исследований, де-
тали которой должны быть установлены в процессе пред-
варительных теоретических работ.
2*
Глава 2
ОБЩАЯ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
РЕАКТИВНОГО ПРИВОДА
Фиг. 1 схематически представляет процесс приведения
в движение и одновременно дает важнейшие применяемые
обозначения.
Во второй графе показана масса самой ракеты, справа
от нее (в графе 1) показаны массы, принимаемые в ракету
при процессе приведения в движение, слева от нее, раз-
дельно, массы, отдаваемые с борта при процессе приведения
в движение, а именно бортовые массы, отдаваемые без ско-
рости относительно ракеты (графа 4), и бортовые массы,
выталкиваемые ускоренно, со скоростью относительно ра-
кеты (графа 5).
Наконец, в графе 3 представлены эксцентрично (вне оси)
внешние массы, скользящие мимо ракеты, которые, однако,
при скольжении получают ускорение."
Некоторые конкретные примеры позволяют сделать эту
схему более наглядной.
Чистый ракетный двигатель в свободном от тяжести и
сопротивления пространстве работает только с массой ра-
кеты (графа 2) и бортовой массой (графа 5), отдаваемой с
ускорением.
В случае чистого ракетного двигателя в атмосфере играют
роль еще соускоряемая вследствие процесса сопротивления
воздуха внешняя масса части окружающего воздуха (графа 3)
и ускорение массы самой планеты.
Прямоточный реактивный двигатель в межзвездном
пространстве работает с принимаемой в ракету из окру-
жающего пространства межзвездной материей (графа 1),
собственной массой ракеты (графа 2) и с отдаваемой без
скорости (графа 4) или ускоренно (графа 5) бортовой мас-
сой. При сопротивлении полету в межзвездной материи мо-
жет также играть роль и графа 3.
Фиг. I. Схема приведения в движение.
22
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Для воздушно-реактивных двигателей в атмосфере все
соотношения в основном такие же, за исключением того,
что выпадает графа 4.
В работе колесного экипажа, приводимого в движение
двигателем внутреннего сгорания, участвуют массы воз-
духа, принимаемые в него из окружающей атмосферы
(графа 1), собственная масса экипажа (графа 2), масса
Земли, которой сообщается толчок от колес (графа 3), уско-
ряемые благодаря сопротивлению воздуха массы окружаю-
щей атмосферы (также графа 3) и, наконец, отдаваемые
наружу, практически без скорости, массы отработавшего
газа (графа 4).
Для обычного водного или воздушного экипажа имеют
место подобные же соотношения, только в механике процесса
приведения в движение вместо очень большой массы Земли
надо подставить соответствующие, гораздо меньшие, массы
воды или воздуха, которые, опять-таки, в конце концов,
передают изменения их импульса Земле.
Пешеход точно так же, как и каждое животное, работает
с массой собственного тела (графа 2), с массой всей Земли
(графа 3) и в некоторых случаях еще с сопротивлением
воздуха (также графа 3).
Мы и в дальнейшем не будем терять из виду это меха-
ническое единство всех процессов приведения в движение
пешехода, велосипедиста, гребной лодки, колесного эки-
пажа, винтового парохода, пропеллерного самолета, воз-
душно-реактивного самолета и ракеты вплоть до крайних
ее форм — ракеты с фотонно-ракетным двигателем и ракеты
с прямоточным фотонно-реактивным двигателем.
Прежде всего мы рассмотрим с помощью релятивист-
ской механики прием массы (графа 1) и отдачу массы (графа
4 и 5) как с точки зрения экипажа ракеты, так и с точки
зрения внешнего, например, жестко связанного с местом
старта наблюдателя.
Если установленная экипажем собственная масса ра-
кеты или масса покоя движется относительно внешнего
наблюдателя со скоростью вправо (положительное на-
правление скорости), то инертная масса или масса дви-
жения ракеты т2 в релятивистском смысле для наблю-
Гл. 2. Общая релятивистская механика реактивного привода 23
дателя в момент наблюдения может быть найдена из
соотношения
m2/mP2 = (1 — vl/c2) */»,	(2.1)
где с всегда означает скорость света.
Согласно принципу эквивалентности энергии Е и массы
in в формулировке Эйнштейна
Е=тс2,	(2.2)
собственной массе тела соответствует собственная энергия
Ее = ШеС2, к которой прибавляется кинетическая энергия
Екин по отношению к произвольной системе координат,
движущейся относительно тела со скоростью v.
Эта кинетическая энергия, которая имеется у рассмат-
риваемого тела только по отношению к системе координат
соответствующего наблюдателя, как известно, равна
Екин = {т — те) с2 = те с2 (т/т, — 1) =
= те с2 [(1 - г^/с2)-*/" - 1 ], (2.3)
или, после разложения в ряд,
Екин = 4 mevZ +	. —
= ~те^(1 + 4^/с2 + 4 тЛ/с* +	(2.3а)
Наличие массы Екин/с2, эквивалентной этой кинетической
энергии относительно соответствующего наблюдателя, при-
водит к тому, что этому наблюдателю масса движущегося
тела кажется увеличенной на Екин/с2 = т—те, что про-
исходит только вследствие определения нашего масштаба
длин и времени. Каждому другому наблюдателю в другой
системе координат кажется, конечно, что всегда остаю-
щееся тем же самым количество вещества того же самого
тела увеличивается на другую величину; с фотона, летя-
щего со скоростью света, та же самая масса показалась
бы даже бесконечно большой.
В действительности, т. е. если смотреть с самого тела,
вещество тела, конечно, вообще не изменяется.
Глава 3
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРИЕМ МАССЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
ЭКИПАЖА
Пусть окружающее ракету пространство содержит
однородно распределенные массы, собственная плотность
которых в находящейся относительно них в покое системе
координат равна дс-
Пусть эти массы движутся относительно ракеты так,
что составляющая их скорости в направлении движения в
момент наблюдения равна
Экипажу ракеты плотность этих масс кажется большей,
чем ре, с одной стороны, потому, что массы, содержащиеся
в собственной единице пространства, кажутся увеличиваю-
щимися в отношении (1—^2/с2)”1/а, согласно формуле (2.1),
с другой же стороны, потому, что собственная единица
объема Ve сама сокращается вследствие релятивистского
сокращения длин 1Це в направлении движения в отношении
//4 = (i -4W1- '	(3.1)
Благодаря этому плотность окружающих масс при дви-
жении р' для экипажа будет
0' -JU- JE£(1^7c2)z2L = о п _w'2/c2x-i	/32ч
? — jz — Ve(] — г>р/с2)-/2	V1 Iе )	 V4
Поэтому масса пространства, попадающая в единицу соб-
ственного времени te экипажа на приемную поверхность F
ракеты, равна с точки зрения экипажа
dffhldte = р' Fv\ = рс F^ (1 - ^/с2)-1.	(3.3)
Собственная масса этого количества, которая относительно
экипажа имеет скорость v'v согласно формуле (2.1), со-
ставляет
dmelldte — р' Fv[(1 — w'2/c2),/a = рг Fv{ (1 — v'2/^2)-’4 . (3.4)
Гл. 3. Релятивистский прием массы относительно экипажа 25
Когда эта масса будет принята в ракету и там задержана,
ее скорость v[ относительно ракеты изменится до нуля;
это значит, что она потеряет, согласно формуле (2.3), свою
кинетическую энергию относительно ракеты
Еки„ =dmel/dte  с2[(1 - ^2/с2)-’/2 - 1].	(3.5)
По обобщенному закону сохранения энергии, эта кине-
тическая энергия не может, однако, исчезнуть, а должна
проявиться в ракете в какой-либо форме, такой, как нагре-
вание, термическое возбуждение, ионизация, материали-
зация и т. п., так что эквивалентная ей масса Екнн/с2 проя-
вится в ракете как добавочная собственная масса.
Поэтому масса, принимаемая в ракету в одну секунду
и застопориваемая там в качестве массы покоя или собст-
венной массы, будет равна сумме собственной массы движу-
щейся относительно ракеты материи и массы, эквивалентной
ее кинетической энергии, а это и есть, согласно формуле
(3.3), как раз масса, попадающая на приемную поверхность
в одну секунду
dm'elldte = dfn’^dte =dfn<,1/dte+ dma/dte  [(1 — ^2/c2)~,/2— 1] =
= dmel/dte  (1 -	= Qe F«;(l -	=
= ?' Fv'i •	(3.6)
Импульс, передаваемый ракете в направлении полета
вместе с принимаемой массой, равен
dl'ldte = v{ dfn’1ldte = & Fv? (1 - vf/c2)-1 = Fv'2. (3.7)
Очень интересный предельный случай этого секундного
приема масс в ракету с точки зрения экипажа имеет место
тогда, когда принимаемые массы состоят из фотонов, или
квантов света, и, следовательно, vY = с.
Так как фотоны имеют, согласно уравнению (2.1), соб-
ственную массу, равную нулю, то собственная плотность
?« непременно будет равна нулю, между тем как плотность
Движения / излучения имеет конечную и определенную
величину, которая, например, для линейного одномерного
потока фотонов выражается через массу потока М в виде
9' = М/с, через импульс потока I в виде / = //с2 и через
26
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
энергию потока Е в виде / = Е/с3. Для трехмерного фотон-
ного газа соответствующие соотношения, как известно,
таковы : / = 4М/с = 47/с2 — 4Е/с3.
Это своеобразное соотношение между собственной плот-
ностью и плотностью движения р' фотонных масс, как
сразу видно, совместимо с соотношением (3.2).
Принятая в одну секунду в ракету масса, согласно фор-
муле (З.б), равна в этом случае
dm'el/dte = р' Fc.	(З.ба)
Когда дело идет об очень богатых энергией квантах излу-
чения, эти массы могут, как известно, проявляться в весьма
конкретной материальной форме, например, как электрон-
ные пары, мезоны, фотоны и, возможно также, как более
тяжелые частицы.
Длинноволновые фотоны, энергия которых по закону
эквивалентности соответствует массе, представляемой фор-
мулой (З.ба), будут, напротив, большей частью вызывать
только нагревание, термическое возбуждение, диссоциацию,
ионизацию и т. д.
Следовательно, импульс, передаваемый ракете в направ-
лении полета с принимаемой массой фотонов, составляет
dl'x!dte = cdm[/dte = Fc2.	(3.7а)
Глава 4
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ПРИЕМ МАССЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
ВНЕШНЕГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
L Li рассмотрим теперь тот же самый процесс приема
массы, но уже не с точки зрения экипажа ракеты, а с точки
зрения внешнего наблюдателя, относительно которого ра-
кета движется в рассматриваемый момент со скоростью v2,
причем каждая отложенная вправо скорость опять будет
рассматриваться как положительная.
Соотношения для новой системы получаются из соотно-
шений предыдущей главы с помощью известных преобразо-
ваний Лоренца. Из них следует, например, релятивистская
теорема сложения скоростей, которая позволяет вычислить
скорость невозмущенных масс среды относительно внеш-
него наблюдателя из измеренных в системе наблюдателя
скорости zh>j относительно ракеты и скорости ракеты v2:
v = v2 + Avi
1	• v2/ca + 1
(4.1)
В случае v2 = 0 величина	идентична величине
v'i предыдущей главы.
В случае Лч\ = с будет также гх= с, точно так же, как
в случае v2 = с.
В случае Лъ\ — 0 будет = v2.
Из уравнения (4.1) непосредственно следует
J®, — V,	,, , >
^ = -21^7^1-’	<4-,а>
Важнейшие частные случаи этого последнего уравнения
приведены в табл. 1. Например, если v1 и v2 равны и на-
правлены в одну сторону, то относительная скорость Avt

Гл. 4. Релятивистский прием массы относит, внешнего наблюоателя 29
непременно будет равна нулю, за исключением того случая,
когда = г>2 = с. В последнем случае, если обе скорости
направлены противоположно, то скорость Av1 масс среды
относительно ракеты, измеренная в системе наблюдателя,
равна, однако, только скорости света с точно так же, как
если бы они были направлены одинаково.
В соответствии с формулой (3.2) плотность невозмущен-
ных масс среды кажется нашему наблюдателю теперь рав-
ной
=	(4.2)
При г>2/с = 0 формула (4.2) переходит, естественно, в фор-
мулу (3.2).
В предельном случае Avjc = 1 плотность движения
фотонного газа должна быть одинакова для наблюдателя
в ракете и для внешнего наблюдателя, так как относительно
обоих наблюдателей газ имеет одну и ту же скорость, а
именно скорость света. Роль скорости света как предельно
большой скорости ясно выступает в явлении.
Масса среды, попадающая в единицу времени внешнего
наблюдателя на приемную поверхность F ракеты, кажется
этому наблюдателю равной
dmjdt =	= $Fv2 -У	FAVl (1 - ^/с2)-1 =
= о FAv	=
N (1 + Av^c*)* J
= ?е Fv2 q _ ^2) (V^C2 _ 1) •	(4-3)
Важнейшие частные случаи уравнения (4.3) приведены в
табл. 2.
Отрицательные знаки в табл. 2 означают, что массы среды
попадают на ракету спереди, положительные знаки — что
они попадают на нее сзади, согласно принятому определению
положительных направлений скоростей.
При v2/c = О соотношения (4.3) переходят, естественно,
в соотношения (3.3).
В предельном случае, когда vjc = ± 1, следовательно,
при/Ц/с = ± 1 будет dmjdt = ± qFc, кроме случая, когда

Гл. 4. Релятивистский прием массы относит, внешнего наблюдателя 31
одновременно также vjc = + 1 или —1, в котором знаки
drhi изменяются на обратные без изменения абсолютной
величины попадающих масс среды.
Так как эта попадающая в одну секунду масса среды
движется относительно наблюдателя со скоростью vlt то
соответствующая ей собственная масса, согласно формуле
(2.1), будет
dfhel/dt = dm1/dt • (1 — иЦс2)Уг —
1	(1 + Zll-i^/c2)
О (1 —	(1 --f’J/C2)!2 СЛ	1/
=	1= 9e 0 - ^1№)~/2 =
p 4. (i tzi^^/i2)8 J ~
= 0 fv ______________________(1 —	_______ 14 41
2 (i^/c2-1)(1-v?/c2)4 •
Важнейшие частные случаи уравнения (4.4) приведены в
табл. 3.
При vjc = ± 1, естественно, будет = 0, так как
тогда дело идет о фотонах, не имеющих собственной массы.
Если эта масса будет принята в ракету и там задержана,
то ее скорость относительно наблюдателя изменится на
величину vz относительно наблюдателя; это означает, что
происходит изменение ее кинетической энергии, согласно
формуле (2.3), на величину
ЛЕкин = ^c2{[(l-v2/c2)^-l]-[(l~v2/c2)-^- 1]} =
= 7- [(1 -	- (1 -	=
2 Г ( 1 - уЦс2 ) ’/«
dl [11 - tf/c2 J
= 0 Fc2vo______________________
Ve 2 (v1V2lc2-l)(l-v2,/c2)
1 — v2/c2
1 — I’s/c2
= pFc2w2
(1 - VlM
(«1 v2/c2 - 1)
1 — V2/c2 I
T^lfc2 J
Таблица 3
Частные случаи собственной массы dffieildt попадающих масс пространства dmjdt за секунду наблюдателя
Гл. 4. Релятивистский прием массы относит, внешнего наблюдателя 33
Изменение энергии равно энергии после события, умень-
шенной на энергию до события.
Важнейшие частные случаи соотношений (4.5) приве-
дены в табл. 4.
Согласно определению знаков наших скоростей, поло-
жительные знаки в табл. 4 означают увеличение энергии, а
отрицательные — уменьшение (относительно внешнего
наблюдателя).
Согласно обобщенному закону сохранения энергии, это
количество энергии проявляется в ракете как добавочная
собственная масса ЛЕкин/с2, так что, следовательно, прини-
маемая в ракету за секунду (по отношению к наблюдателю)
собственная масса составляет
dmel/dt = dm^ldt + dmel/dt [(1 —	— (1 — г^/с2)-54] =
= dma/dt •[!+(!- vf/c2)-^ - (1 -	=
(1- v,Jv2)
(г>1?’2/с2— О

(4-6)
X {- 1 + (1 - ^/С2)’-[(1 - «“’/г + 1]} =
- „ ГП-^Н1 -
X
X {+ 1 -
Г(1 — ^g/C2) (1 - d«?/C2)lT-И
L (1 + 4гд f2/c2)2 J ' '
v|/c2)_y2
Важнейшие частные случаи соотношений (4.6) приведены в
табл. 5.
Положительные знаки указывают только на то, что
масса принимается в ракету сзади, отрицательные знаки —
что она принимается в ракету спереди. Все представленные
в табл. 5 частные случаи очевидны.
С различных точек зрения экипажа и наблюдателя соб-
ственные массы, принимаемые в соответствующие им еди-
ницы времени, оказываются, согласно формулам (3.6) и
(4.6), различными.
Так как собственная масса движется со скоростью v2
относительно наблюдателя, ее инертная масса относительно
3 Е. Зенгер
Таблица 4
Изменение кинетической энергии Л Екин попадающих в секунду масс пространства dmv при приеме в ракету
^Х	1	положительное	0	отрицательное	—1
1	— оо	— оо	— ео		 сю	— со
пол о ж.	- 9 Ес3	< 1; отрицательное г^/г)2 = 1 ; Л Екин = 0 vilv2 > 1 > положительное	+ 9 Ес2 v2 X х[1 -(1 -«27с2)-!/2]	vjv2 < 1; отрицательное vilvi = 1; Екин = 0 1; положительное	+ 9 Ес3
О	— 9 Ес3	-дЕс2г>1[1-(1-г)?/с2)1/2]	0	+9 Fc2 г\[ 1 — (1 — г>?/с2)г12 ]	+ 9 Ес3
отриц.	— 9 Ес3	v1/v2 < 1; положительное vjv„ — 1; zl Екин = 0 v1/v2 > 1; отрицательное	- 9 Ес2 v2 X х [1 — (1 — И/с»)"1/®)]	vjv2 < 1; отрицательное г>1/г>2 = l;zl ЕКин = 0 vt/v2 > 1; положительное	+ 9 Ес3
-1	+ ~	+ “	+ “	+ ~	+ “
Таблица 5
Принимаемая в ракету за единицу времени наблюдателя собственная масса dmfl/dt
^г/с^Х	1	положительное	0	отрицательное	—1
1	+ qFc	— оо	— ее	— oo	— 9 Fc
полож.	+ Q Fc	vilvz < 1; отрицательное »1/«,2 = 1;~JZ- = 0 «i/«2> 1; положительное	— 9 Fv2 (1 — г>?/с2)-1'2	отрицательное	— $Fc
0	+ 9 Fc	+ 9 Fv±	0	- 9 Fvt	- 9 Fc
отриц.	+ 9 Fc	положительное	+ 9 Fi>2 (1 - a|/c3)-i/2	vilvz < 1> положительное , dm?, = i; = о vilvz > 1; отрицательное	- 9 Fc
- 1	+ 9 Fc	+ ~	+ ~	+ ~	— 9 Fc
3b
E. Зенгер. К механике фотонных ракет
него составляет, согласно формуле (2.1),
[1 + (1 - «2/с2)~
dm1/dt= dmel/dt  (1 — ^/с2)-54 =
== dmel/dt • (1 — ъЦс2у~'А [I + (1 — г>|/с2)-!/2 —
- (1 - ^/с2)~Ч =
- nFti J1	“ t?/c2)''-
У 2	- 1) (1 - г-1/с^
- (1 - V2/c2) *] =
„ .	(1 - ZM/c2)/2
= oFAvx	7—и—Г5Г- X
y 1 (1 + vjc2)
x {1 - (I -	- I ]} =
— n Fv C1—7/C2)—— (1 — г>?/са)—Xg]	.
*e 2	(г>1 v2/c2 - 1) (1 - tf/c2) '/2(1- vl/c2) Уг •	'	'
При v2/c = 0 соотношения (4.7) переходят в соотношения
(3.6).
Важнейшие частные случаи соотношений (4.7) приведены
в табл. 6.
В предельном случае, когда v2/c <1 и Avjc < 1, будет
иметь место соотношение dmjdt = gFAi^.
Если фотоны (у^с = ± 1) поглощаются движущейся
ракетой (у^с = ± 1) или при покоящемся наблюдателе
(у2/с = 0), то они должны, конечно, давать одну и ту же
принимаемую собственную массу ₽Ёс (табл. 5), и поэтому
они дают для покоящегося наблюдателя различные прини-
маемые массы движения, так как в зависимости от сос-
тояния движения ракеты одинаковые собственные массы
кажутся наблюдателю различными массами движения.
Эти последние предельные случаи vjc = ± 1 или Аъ\/с =
= ± 1 приема фотонов мы рассмотрим более подробно.
Если скорость поступающих масс среды относительно
ракеты/1^ равна скорости света, то из уравнения (4.1) тот-
час следует, что их скорость относительно внешнего наблю-
дателя также будет равна скорости света независимо от
того, как велика сама скорость полета v2.
Этот своеобразный закон сложения скоростей действи-
телен также и в том случае, когда скорость ракеты v2 сама
Принимаемая в ракету за единицу времени наблюдателя масса движения dm-Jdt
38
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
равна скорости света. В этом последнем случае сложение
двух скоростей света опять дает, согласно формуле (4.1),
скорость света, которая, как известно, не может быть пре-
вышена ни одним материальным телом.
Плотность д' или р прибывающего потока фотонов кажет-
ся экипажу и внешнему наблюдателю одинаковой и полу-
чается для обоих из написанного в главе 3 соотношения
(3.2); собственная плотность де потока равна в каждом
случае нулю, так что также выполняется соотношение (4.2).
Масса среды, попадающая в единицу времени на прием-
ную поверхность F ракеты, кажется как экипажу, так и
наблюдателю, согласно формулам (3.3) и (4.3), равной
dm'-Jdt = drn^/dt — д' Fc = gFc,	(4.3а)
хотя единица времени для обоих наблюдателей имеет раз-
личную величину, так как продолжительность определен-
ного события в ракете кажется экипажу в (1—vf/c2)111 раз
меньше, чем внешнему наблюдателю. Именно, если Г есть
продолжительность события, измеренная экипажем, и t —
продолжительность того же события, измеренная внешним
наблюдателем, относительно которого экипаж движется со
скоростью v2, то имеет место соотношение
t/t' = (1 - ^/с2)-*^ .	(4.8)
Покоящиеся для соответствующего наблюдателя часы идут
наиболее быстро, часы, движущиеся относительно него со
скоростью света, кажутся ему остановившимися, каждое
совершающееся в одном фотоне событие кажется нам
длящимся бесконечно долго, летящая частица света явля-
ется для нас принципиально не имеющей событий. Если
масса фотонов nhv/c2 принимается в ракету и там задержи-
вается, ее скорость с относительно наблюдателя изменяется
на величину v2; это означает, что происходит изменение ее
кинетической энергии, согласно формуле (2.3) или (4.5),
па величину
dEKltH/dt = drn[ c2/dt = dnh c2[dt = gFc3.	(4.5a)
Согласно обобщенному закону сохранения энергии (инер-
ция энергии), это количество энергии проявляется в ракете
Гл. 4. Релятивистский прием массы относит, внешнего наблюдателя 39
как собственная масса, так что собственная масса, принимае-
мая в ракету в одну секунду, равна
й£кин/с2Л = dmel/dt — din^/dt = dm1ldt = р' Fc = q Fc. (4.6)
Это соотношение должно, очевидно, быть действительным
даже в гипотетическом случае, когда скорость ракеты сама
равна скорости света, так как и в этом случае скорость
фотонов относительно ракеты остается равной скорости
света. В этом случае, следовательно, в противоположность
бесконечно большой массе ракеты прием массы будет ко-
нечным.
Так как собственная масса dmei движется после приема
в ракету со скоростью г>2 относительно наблюдателя, то ее
инертная масса кажется ему увеличенной на
dm^dt = qFc (1 — ?;|/с2)^,	(4.7а)
что также следует как частный случай при vjc = 1 из фор-
мулы (4.7).
Если в этом случае будет также и v2/c — 1, то инертная
масса бесконечно возрастет по сравнению с собственной
массой фотонов dmei, так как этой собственной массе надо
сообщать бесконечные количества энергии, чтобы она при-
обрела скорость света.
Вернемся снова к импульсу относительно внешнего
наблюдателя, передаваемому ракете вместе с принимаемой
массой. Этот импульс представляется как полный дифферен-
циал
di = d (mv) = mdv + vdm.	(4.8)
Импульс массы среды, попадающей в единицу времени
наблюдателя на приемную поверхность F ракеты, соста-
вляет, согласно равенству (4.3),
dlj.’dt = drrij vjdt = р v1 — pe FAvr v± (1 — wf/c2)-1 =
= 9e Fv2 - 1) (^v2/c2 — I)-1 • (1 - г^/с2)-1 =
= ₽F?;i	- О («j	- О-1 =
=	+ ^v^c2)-1 =
= qFv2 ' (! — viMvi vzlc2 — О 1 • (4-9)
40	Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Остающийся импульс принимаемой в ракету за одну
секунду инертной массы составляет, согласно равенству
(4.7), для наблюдателя
d l^dt = dmx v2/dt =
= qFv*	- W-h 4- (1 - V2IC2Y y,
г (!’i^№ - 1)0I '	2'C'
- (1 — vf/c2)-^] =
= QF&?--	*
1 ^”1/^2 ’ (1 + A l‘l ^/C2) X
x	(4|o)
При = 0 будет djjjdt — ₽FY|(1—isj/c2)-1. Разность обоих
импульсов есть, очевидно, переданный ракете импульс,
каким он кажется внешнему наблюдателю:
dljjdt = dljjdt — dljdt = v1dml/dt — v2dm1ldt =
= 0Pv2	[Fl _ I 1	y
? 2 («'•i^A2-1) (i’2 li-rJ/cd X
x [1 + (1 - ъЦс2)-* - (I - ^/c2)-^]) =
= <?FZFf (I + zli^/c2)-1 *(1 + Vzl/lvJ — v2!Avr x
х(1-лда^{1	.
(4-11)
При v2 = 0 или Vj = 0 соотношения (4.11) переходят в
соотношения (3.7).
Важнейшие частные случаи соотношений (4.11) приве-
дены в табл. 7.
Положительный импульс в табл. 7 есть импульс, напра-
вленный на фиг. 1 влево. В граничном случае v2/c < 1 и
< 1 будет dljjdt = gF/ivl — ^F (i\—v2)2. В граничном
случае приема фотонов vjc = ± 1 будет
dljdt = ₽Fc2 [1 Т v2/c • (1 - г1/с2)-^].
Передаваемый ракете в секунду импульс (UJdt с точки зрения внешнего наблюдателя
42
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Это последнее соотношение для приема фотонов можно
также легко понять непосредственно: импульс потока
фотонов перед попаданием получается из его инертной
массы dinjdt = ±gFc (по таблице 2) и его скорости ± с
в виде
dlt = ± cdmjdt = ± pFc2.
Импульс этого же потока фотонов после попадания полу-
чается из его инертной массы dmjdt = ± gFc (1—vf/c2) 1"
(по уравнению (4.7)) и его скорости ± v2 в виде
dljdt = ± v2dm1ldt = ± gFcv2(\ — v2lc2)-y>.
Разность обоих импульсов составляет передаваемый им-
пульс, полученный выше,
dljdt = dfjdt - dljdt = gFc2 [1 T v2/c  (1 - v2/c2) ^].
При v2/c = О будет далее dljdt = gFc2. При v2/c = 1 будем
иметь dljdt = — оо, при vjc = — 1 получим dljdt = + оо;
переданный импульс исчезает для v2/c = |/О,5. Если v? и с
направлены в противоположные стороны, то передаваемый
импульс не исчезает ни при какой скорости полета.
Глава 5
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОТДАЧА МАСС
ОТНОСИТЕЛЬНО ЭКИПАЖА
Взятые в ракету бортовые массы горючего и массы,
принимаемые в ракету из окружающей среды, большей
частью опять целиком или частично отдаются из ракеты в
процессе движения. При этом они претерпевают более или
менее полное превращение в энергию. Степень этого пре-
вращения, т. е. отношение количества активированной
энергии dE к эквиваленту энергии dme2c2 рассматриваемой
собственной массы dme2, мы назовем выходом энергии:
в — dE/dm^c2.	(5.1)
В отличие от дифференциального изменения dme2 собствен-
ной массы ракеты mf2 мы будем обозначать дифференциаль-
ный расход массы, который отличается от dme2 на приня-
тую массу dmel, в виде dmf2.
Активированными могут быть, во всяком случае, все
формы кинетической энергии, независимо от того, были ли
они связаны в собственных массах (энергия переноса, вра-
щения или колебания частиц с собственной массой) или нет
(фотоны).
Кроме того, активированными могут быть большей
частью еще также известные формы потенциальной энергии,
такие, как энергия диссоциации, ионизации, термического
возбуждения и т. д., у которых способность к переходу в
кинетическую энергию значительно больше, чем у энергии,
связанной в собственных массах.
Для освобожденной активированной энергии dE могут
быть рассмотрены следующие виды отдачи из ракеты.
Часть энергии dE2 = £2dme2c2 может теряться в про-
странстве диффузно, т. е. без результирующего импульса,
например в виде механической или тепловой потери, или
задерживаться в те2.
44
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Часть энергии dE3 = E3dmezC2 передается механическими
способами, такими, как биологический двигатель, колеса,
приводной винт или тому подобные, или через процессы
трения или сопротивления воздуха лежащим вне ракеты
системам масс (например, земле, воде, воздуху) и притом
так, что при этом возникает результирующий приводной
импульс или импульс сопротивления.
Часть энергии dEt = E4dfnc2c2 остается в'Отдаваемой
с борта без скорости относительно ракеты массе dmei как не
направленная энергия, например, содержится как тепло,
диссоциация, ионизация и т. д.
Следующая часть энергии dE& = E3dtnezC2 как напра-
вленная кинетическая энергия, принадлежит приводной
струе dtne3, направленной против движения ракеты, или
одна образует эту приводную струю.
Последняя часть энергии dE5 = Egt/meac2 содержится в
приводной струе как не направленная кинетическая энер-
гия (например, тепло) или как диссоциация, ионизация и
т. д.
Для отдельных составляющих выхода энергии должно
иметь место соотношение
f2 + Ез + е5 + е5 — Е •	(5-2)
Так как количества энергии, характеризуемые соста-
вляющими е3 и е5, могут рассматриваться как полезные
для процесса приведения в движение, а три другие не могут
так рассматриваться, то можно определить «внутренний»
коэффициент полезного действия привода в виде
= aE» + dE^ =	.	(5.3)
"	dE	е	'	’
Для расходуемого, но не превращаемого в энергию
остатка собственной массы горючего dm'e2 = (1—е) dme2
могут быть рассмотрены следующие виды отдачи из ракеты.
Доля dme5 =	= /л5 (1 —е) dfriez принадлежит при-
водной струе, направленной против движения ракеты.
Доля drnei = /л^1т'е2 =	(1—г) d’rnei отдается с борта
без скорости относительно ракеты.
Доля dme22 = n2dm'C2 = С1 —е)	остается на борту.
Гл. 5. Релятивистская отдача масс относительно экипажа 45
Для отдельных составляющих собственных масс, не
превращающихся в излучение, должно иметь место соот-
ношение
/z2 + Pi + Рз — 1 •
(5.4)
Для jw2, Рз И е2, е3, е4> еб, и е, должен, очевидно, иметь
место расширенный закон сохранения энергии в форме
соотношения
(е2+ Е3+е4+ е5+£5) dmn с2 + (/Z2 4- Л4 + Л5) (1 ~ f) dme2 с2 =
= dme2c2.	(5.5)
Так как собственные массы, отдаваемые с борта без скорости
или остающиеся на борту, не участвуют в процессе приве-
дения в движение, то мы должны подробнее заняться мас-
сами, сопровождающими приводную струю, ввиду того что
они вносят значительный вклад в процесс реактивного
приведения в движение.
Если собственная масса d/ne5 = /т5(1—E)dmffi имеет
относительно ракеты кинетическую энергию dE5 = E5dme2c2,
то относительно ракеты и, следовательно, относительно
экипажа она имеет инертную массу
dm'5 = dme2 [е6 + /z5 (1 - s)],	(5.6)
и так как по уравнению (2.1) должно быть
dm'a/dmes = (1 -	,
то скорость v' выталкиваемых масс относительно ракеты
или экипажа определяется равенством
___/(5<1 — «)
+ Рз (1 — е)
(5.7)
При е = 1 имеем, естественно, v'5 = с, и при е = О имеем
^5 = 0, точно так же как при одном е5 = 0.
Рассмотрим чистый (е3 = 0) реактивный привод без
потерь (е2 = е4 = es = 0, поэтому э], = 1) и соединим рас-
ходуемые, но не ускоряющие массы горючего и ^4:
46
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Лг + /*4 = 7Г> следовательно, /и5 = (1—л); тогда, так как
£5 = £, имеем
(J
Этот случай диабатического ускорения масс мы рассмотрим
позднее более подробно.
Предположим, наконец, что п =	+ /z4 = О, т. е. рас-
смотрим обычное адиабатическое ускорение масс в ракетах;
тогда
v'5/c = У2е - е2 	(5.76)
В случае чистого (е3 = 0) реактивного привода с внутрен-
ним коэффициентом полезного действия т;, = е5/е, и
А<5 = ——f (см. фиг. 4) При диабатическом
Ц Е)
рабочем процессе будет
^с = {1 - [—
— л) — е — я) I21
(1 — Л) + 8Л I )
(5.7в)
При tji = 1 это соотношение переходит в (5.7а).
При п = О (диабатический процесс с внутренним коэф-
фициентом полезного действия) (5.7в) переходит в
v's/c =	(2 — «?,).	(5.7г)
Импульс инертной массы йт'ъ выражается, согласно (5.6) и
(5.7), в виде
<//' = dm' = cdmei [е2 + 2л5 f5(1 - e] * .	(5.8)
При е = 1 имеем dl'5 = E5cdrritz — dE5/c. При е — О должно
также быть е5 = 0 и, следовательно, dl's = О
В случае чистого (е3 = 0) реактивного привода с внутрен-
ним коэффициентом полезного действия гр = е5/е, следо-
вательно,
1^1 ’
Гл. 5. Релятивистская отдача масс относительно экипажа 47
при диабатическом рабочем процессе из (5.8) следует
d!'& = cdme2 [е2$ + 2t>;, [(1 — п) — е (у, — л)]]У2. (5.8а)
При == 1 из этого следует
dl'o = cdme2 [2е (1 — л) — е2 (1 — 2я)] .	(5.86)
При л = 0,	=f= 1 (адиабатический процесс с внутренним
коэффициентом полезного действия) формула (5.8а) пере-
ходит в
dl'5 = cdfne2 [е2	(1 — г)]* .	(5.8в)
Предположим, наконец, что = 1; тогда формула
принимает вид
dl'5 = cdme2 [2г — г2]1/2.	(5.8г)
Из формул (5.8)—(5.8г) можно получить важный для ракет-
ной механики импульс на единицу массы или удельный
импульс drjdrnez.
Дальнейшие исследования диабатической и адиабати-
ческой отдач масс проводятся в следующей главе.
Здесь мы исследуем еще с точки зрения механики при-
вода до сих пор пренебрегавшуюся долю энергии г3, которая
посредством винтового или колесного двигателя, воздуш-
носмесительной камеры и т. д. передастся внешней опор-
ной массе dme3.
Эта опорная масса может быть мала по сравнению с
массой ракеты (например, окружающий воздух), но также
может быть почти бесконечно большой (например, масса
Земли).
Этот процесс также оценивается как отдача массы из
ракеты, поскольку отданному количеству энергии dEs со-
ответствует инертная масса dEs/c2.
Лежащая вне ракеты опорная собственная масса dmf3
может с самого начала иметь относительно экипажа состав-
ляющую скорости v'3 в направлении полета, так что ее
инертная масса кажется экипажу равной
dm3 = dtne3(\ -v'2lc2)^.
48
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
После получения количества энергии f3dme2 с2 эта инерт-
ная масса возрастет до
rfm"	dme3 (1 - ?>'2/с2)~^ + f3 dme2
и, согласно формуле (2.1), ее скорость — до
уз/с = {1 - К1 -	+ сз dme2/dm(:3\ 2}'л . (5.9)
Следовательно, изменение ее импульса будет
d/" = dm"v" - dm3v3 = cdme3({[(1 - г>;2/с3)~и +
+ Esdm^dm^ - lp - r'/c • (1 - v'2/c2)-^} (5.10)
По закону равенства действия и противодействия это коли-
чество импульса действует в равной степени как привод на
ракету.
Если для практически часто встречающегося случая
v'Jc < 1 разложить в ряд выражение в круглых скобках
в формуле (5.10) и ограничиться вторым членом разложе-
ния и если, кроме того, еще пренебречь величиной v32/c2 по
сравнению с 1, то получится
dr' = dme3v'J\\ +2г3-^^М1 4-A ^l]T/2_ Л (5.Юа)
3 ез 3 (L 3 г>'а dme3 t 1 2 dme3) J J '	'
Так как в этом классическом случае инерцией энергии
£3c3dmC2, сообщенной внешней массе, можно пренебречь,
то это соотношение еще упрощается и принимает вид
dl3 = dme3 v3 [(1 + 2е3 c2/v'32  dfhe2jdmC3y/2 — 1 ]. (5.106)
Это выражение можно также получить прямо следующим
образом.
Если присоединить к внешней массе dme3, которая имеет
относительно ракеты импульс v3dm[3 и кинетическую энер-
гию v32d/nf3/2, еще некоторое количество кинетической
энергии e3c2dmf2, то вся ее кинетическая энергия составит
dme3 v'2j2 + е3 с2 dm^ = dme3 v"2/2,
Гл. 5. Релятивистская отдача масс относительно экипажа 49
откуда для новой скорости получим выражение
vb = (v32 + 2f с2dm^/dm^)'-.
Отсюда получается изменение импульса, даваемое формулой
(5.Ю6).
В случаях пешеходов или колесных экипажей на поверх-
ности Земли передаваемая в рассматриваемый промежуток
времени dt энергия есть e3c2dme2, и, поскольку величина
уменьшающейся массы Земли drnC3 чрезвычайно велика, мы
можем в формуле (5.106) выражение в круглых скобках сно-
ва разложить в ряд, в результате чего получим известное
соотношение для приводной силы Р колесного привода
dl3 = Pdt = е3 с2 dmc2;v'3.	(5.1 Ов)
При этом v3 = v2 теперь, естественно, есть просто скорость
движения экипажа относительно поверхности Земли.
Известно, что в основе действия обычного колесного
привода средств передвижения (автомобилей, локомотивов,
самокатов и т. д.) и даже биологических органов движения
лежит не что иное, как механика реактивного привода, и
что биологический и колесный приводы представляют собой
частные случаи общей механики реактивного привода, так
же как и приводы посредством весел, корабельного винта,
воздушного винта или прямоточного фотонно-реактивного
двигателя.
В случае колесного привода ускоряемая при реакции
масса особенно велика ; в этом случае это — масса Земли.
4 Е. Зенгер
Глава 6
АДИАБАТИЧЕСКОЕ УСКОРЕНИЕ МАСС
ОТНОСИТЕЛЬНО ЭКИПАЖА
y~—drnes=(l-£7jj)dmt
Ф и г. 2. Адиабатическое уско-
рение масс.
U~£)dmez
или межзвездной
Это наиболее часто встречающийся сегодня частный
случай отдачи масс относительно экипажа или относи-
тельно ракеты в воздушных или пространственных ракетах.
При процессе приведения в движение всех наших обыч-
ных ракет и реактивных двигателей мы опять без труда
узнаем отдельные описанные
выше процессы отдачи массы
и энергии.
Независимо от того, бе-
рутся ли массы горючего на
борт дискретно, целиком или
частями при пребывании в
местах снабжения (например,
ракетные двигатели), или они
берутся на борт непрерывно
из окружающей материи, на-
пример из окружающей ат-
материи (прямоточные реак-
тивные двигатели), в каждом случае собственная масса
те2 ракеты отдает в элемент собственного времени dte
малую собственную массу горючего (1те%, которая после
этого частично превращается с выходом энергии г в ко-
личество энергии EC2dfne2 = dE.
В то время как остаток массы (1—d)dme2, ускоренный
приводной струей, полностью выталкивается (dme5), обра-
зующаяся энергия tc2drne2 делится на диффузные тепловые
потери e2c2drhe2 в окружающем пространстве, потери на
сопротивление воздуха или вообще потери на сопротивление
движению 83c2dme2, на направленную кинетическую энергию
струи E5c2dme2 и на бесполезно задерживаемую энергию,
например на задержанное тепло приводной струи ebc2dme2-
Гл. 6. Адиабатическое ускорение масс относительно экипажа 51
Так как используемые количества горючего полностью
выталкиваются с приводной струей и, следовательно, нет ни
части, задерживаемой на борту, ни части, отдаваемой с
борта без скорости, то здесь также выпадает часть массы
dmei и ее доля энергии ^Wm#.
Если пренебречь, как обычно, при исследовании чис-
того процесса приведения в движение еще потерями энергии
e2czdme2 и E3c2dtn№, то вся освобождаемая энергия ec^difi^ =
= (г5 + Ei)czdme2 остается, следовательно, в расходуемой,
но не превращающейся в энергию остаточной массе горю-
чего (1—f)dme2, так что процесс является приблизительно
адиабатическим.
Это адиабатическое ускорение масс относительно эки-
пажа мы рассмотрим здесь более подробно.
Из процесса ускорения данной собственной массы при
сообщении ей энергии, например ускорения электрона в
электронном ускорителе, известно, что с приближением
скорости движения v к скорости света с при неизменной
собственной массе dme как инертная масса dm = dme х
х(1—v2/c2)"1/2, так и кинетическая энергия и импульс стре-
мятся к бесконечности, следовательно, в конце концов,
приток энергии должен был бы стать бесконечно большим,
так что при этом процессе нельзя достигнуть скорости
света.
Существенно отличным от этого представляется обсуж-
даемый здесь случай адиабатического ускорения данной
собственной массы dine без внешнего притока энергии, сле-
довательно, исключительно за счет связанной энергии са-
мой массы покоя, как например при ракетном принципе.
При этом скорость движения v с уменьшением собственной
массы (1—г) dme также приближается к скорости света с
и фактически достигает ее при исчезающей собственной
массе, т. е. при е = 1, в то время как инертная масса dm —
= (1—e)dme + sdme, при всех е остается постоянной и рав-
ной начальной собственной массе dme, полностью не зави-
сящей от степени превращения энергии г.
В предельном случае, когда « = 1 и, следовательно,
(1—e)dfne = 0, мы говорим о полном превращении вещества
в излучение, т. е. о превращении вещества в чистую
кинетическую энергию, и называем возникающие быстрые
световые частицы квантами излучения или фотонами,
4*
52
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
у которых, очевидно, имеется инертная масса, но нет
никакой собственной массы.
Данная собственная масса горючего dme2 по принципу
эквивалентности массы и энергии в формулировке Эйн-
штейна содержит собственную энергию dEe = c2dme2-
Эта собственная масса достигает без внешнего притока
энергии скорости выталкивания v'5, так что часть edme2
этой собственной массы превращается в энергию ec2dme2,
доля которой eg/e остается в струе как не направленная
энергия (например, тепло, энергия диссоциации, энергия
ионизации и т. д.), в то время как остаток тр — е5/е будет
полезной направленной кинетической энергией, которая,
таким образом, достигает величины ?ji£C2</me2.
Собственная масса dme2 при этом уменьшается на вели-
чину edme2 — (е5 + е5) dme2, где е означает выход энергии
используемой реакции.
Итак, если, согласно предположению, не рассматривать
здесь другие доли активированной собственной энергии, в
частности Еа и е3, т. е. не принимать во внимание потери
энергии из масс горючего при строгом адиабатическом про-
цессе, то £ = е5 -j- е5 является здесь выходом энергии
используемой реакции
е = (dE5 + dE-5)ldEe = dE/dEe = dEl^dm^.	(6.1)
Очевидно, что этот выход энергии в форме безразмерного
числа выражается так же, как в классической технике
калорийность горючего. Выход энергии, равный единице,
соответствует, как известно, калорийности в 8,987 • Ю20
эрг/г = 2,148 • 1013 ккал/кг ; это примерно 1010-кратная
калорийность высокосортной горючей смеси химической
ракеты, выход энергии которой, таким образом, составляет
£ ~ 10 10.
С другой стороны, термоядерные реакции, находящие
применение в водородных бомбах, имеют выход энергии
около £ ~ 5 • 10-3 .
Реакции с более высокими выходами энергии еще очень
мало известны. Пока что считается, что реакция между
протоном и антипротоном имеет е~0,5, а известная реакция
электрон—позитрон £ = 1.
Гл. б. Адиабатическое ускорение масс относительно экипажа 53
Подобно тому как фотону приписывают инертную массу
//р/с2, энергию hv и импульс hv/c, где h — квант действия
Планка и v — частота фотона, точно так же данной собст-
венной массе dmc можно приписать не только скрытую соб-
ственную энергию dEe = c2dme, но также и скрытый импульс
dle = cdme.
В технике реактивного привода доли е и i скрытого
содержания энергии и импульса, которые можно сделать
технически полезными, играют основную роль.
При адиабатическом ускорении массы горючего <7т(2
до скорости выталкивания v'5 будет использоваться доля i
скрытого содержания импульса cdme2:
i = dl/dle = dl/cdme2,	(6.2)
и по закону действия и противодействия Ньютона будет
передаваться ракете.
Обычно в ракетной технике удельным импульсом назы-
вают
dl/dm^ = ic	(6.3)
и соответственно удельным расходом горючего на единицу
импульса (привода) величину
dme2ldl = l/ic.	(6.4)
Связь между выходом энергии е и выходом импульса i
для техники реактивного привода представляет интерес в
первую очередь.
Если активировать часть е = е5 + е5 = е^ скрытой
энергии czdme2 собственной массы dme2, но не отбирать эту
энергию от системы, а оставить долю eg в системе, например,
в форме тепла и превратить долю е5 полностью в направлен-
ную кинетическую энергию всей остаточной собственной
массы (1— E3)dmC2 = ^те5 (включая, конечно, также инерт-
ную массу превращаемой доли энергии Еъс2(1те2), то вся
инертная масса dm2 остается, очевидно, неизменной и рав-
ной первоначальной собственной массе drfie2. Возникающая
энергия, как известно, имеет инертную массу такую же, как
соответствующая доля собственной массы, из которой она
54
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
возникла, и сумма инертных масс непревращенного остатка
массы (1— E)dmez и образованных энергий е5с* dine2 и е~5сЧте2
постоянна и независима от е, поэтому
dm2/dme2 = 1.	(6.5)
Ф и г. 3. Адиабатическое ускорение масс до скорости
выталкивания г>'.
I—инертная масса	= 1; 2 — остаточная собственная
масса (1—в ц) + dine2pm„ = (1 — е %) ; 3 — удельный импульс,
скорость выталкивания, выход импульса dl'Jcdm,, = е'/с = * =
= « ш V — 1 ; 4 — направленная кинетическая энергия
dEJc’dme, = е гц ; 5 — расход энергии на единицу импульса
dElcdl' = 1/%У 2/srii— 1.
Как наглядно поясняет фиг. 3, инертная масса din2
при каждом произвольном выходе энергии е и каждом
произвольном внутреннем коэффициенте полезного дейст-
вия г], ==е5/е остается равной первоначальной собственной
массе dme2.
Напротив, остаточная собственная масса dme5=(l —«д)Х
х dme2 (которая включает также инертную массу, например
Гл. 6. Адиабатическое ускорение масс относительно экипажа 55
массу, задержанную как тепло) с ростом е уменьшается
линейно по соотношению
(1 - е^,)	= (1 - в»/,) .	(б.б)
Отношение достигаемой скорости выталкивания v'- к
скорости света с из условия адиабатичности
с3 dnie2 = с2 dm2 = (1 — s) с2 dmc2 + s5 с2 Лпе2 + е6 с2 <№<*. =
= С2^Ше2 [(1 — Е) + £??, + £ (1 — ??,)]	(6.7)
п известного отношения (1—г<2/с2)'* движущегося остатка
собственной массы dma = (1—-е»;,) dmc2 к инертной массе
dmc2 будет равно
v’-lc = Y'2Et]i е2у2 или £»;, = 1 — /1 — г/|/с2,	(6.8)
Где, следовательно, е5 = ет?,-.
На фиг. 3 эти значения v'Jc отложены в зависимости от
е 1ля различных
В случае у, = 1 отношение »'/с возрастает в зависимости
от е по дуге окружности ; для каждого абсциссы дуги
искажены в отношении 1/»д.
Направленная кинетическая энергия равна -кратной
активированной доле энергии и поэтому возрастает пропор-
ционально е5 = еэ], по соотношению
dE5 = е5 с2 dme2 = л/, е с2 dme2,	(6.9)
что также показывает фиг. 3.
Импульс, получаемый при этом процессе, равен произ-
ведению скорости выталкивания У5 на постоянную инертную
массу dni5 = dme2 :
dE,= dfne2 v’5 = dme2 с |/ 2вг/, — (e??,)2,	(6.10)
и, таким образом, выход импульса
i = dl’5ldme2 с = V2E?;,. — (с??,)2 = v’5/c .	(6.11)
Выход импульса i, следовательно, возрастает в зависимости
от выхода энергии е, точно так же как сам импульс и как
56
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
достигнутая скорость выталкивания v'a, по сжатой в отно-
шении l/rji дуге окружности, что видно также из фиг. 3.
Импульс на единицу массы или удельный импульс
будет, следовательно, равен
dI'^/dm^ = ic = va = с \2er)i — (er/,)2.	(6.12)
Импульс на израсходованную собственную массу равен,
следовательно, выходу импульса, умноженному на скорость
света, или скорости выталкивания v'5, поэтому он возрастает,
как и выход импульса, по дуге сжатой окружности, т. е.
с ростом выхода энергии сначала быстро, а потом более
медленно, до своего максимума dra/dme2 = с f2?/,— rfi при
е = 1. При yi = 1 этот максимум будет равен dl'Jdm^ = с
и вместе с тем v'5 — с, что соответствует удельному импульсу,
примерно в 2,998 • 1010 дин • сек/г, или 30571 сектон/кг.
Импульс на единицу энергии есть
dl’5l(dE5 + dEa) = dfne2 v'Jec2 dm,2 = ^,/£ -”^/c =
_ l)i Vi/C
c 1 - 1 1 — ^’/cs
С ростом выхода энергии e выход импульса на израсхо-
дованную массу будет все больше, а на израсходованную
энергию — все меньше.
Конечно, во всех этих рассуждениях очень большую роль
играет внутренний коэффициент полезного действия гр адиа-
батического ускорения масс.
Только что упомянутые соотношения для случая адиа-
батического ускорения масс представлены графически на
фиг. 3.
При безразмерном рассмотрении величины, обратной
импульсу на единицу энергии, а именно расхода энергии
на единицу импульса, этот расход возрастает с е монотонно
до своего максимума :
(dE5 4- dEa)lcdla = ^2?/,- - у? при е = 1,
следовательно, при »/,- = 1, т. е. при va — с до единицы.
На этом возрастании основывается известная принци-
пиальная трудность для реактивных двигателей с высокой
(6.13)
Гл. б. Адиабатическое ускорение масс относительно экипажа 57
скоростью выталкивания. Известно, что реактивные двига-
тели с ничтожной скоростью выталкивания находятся в энер-
гетически очень выгодной области, из которой, однако, очень
трудно выйти.
Итак, резюмируя, можно для практически столь важного
частного случая адиабатического ускорения масс считать
установленным, что при линейно возрастающем выходе
энергии е достигнутая скорость струи v'5/c, так же как и
удельный импульс, растет сначала быстро, а затем более
медленно по более или менее сжатой благодаря внутрен-
нему коэффициенту полезного действия дуге окружности
и одновременно ускоряемая непревращенная собствен-
ная масса (1—E)dme2 линейно уменьшается с г до тех пор,
пока она, наконец, не исчезает при полном превращении
горючих масс в излучение, в то время как инертная масса
dme2 остается все время одной и той же и независимой от
v'5/c. Соответственно этому выработанный импульс растет
как v/Jc.
В нерелятивистской области малых выходов энергии е
импульс растет с израсходованной энергией очень быстро,
привод (импульс) на израсходованную единицу энергии
выгоден, а на израсходованную единицу массы невыгоден.
При высоких выходах энергии е эти соотношения стано-
вятся обратными. Уже относительно малые выходы энергии
дают сравнительно высокие выходы импульса. В этом
случае выражения (6.8), (6.11) и (6.12) можно разложить
в ряд и, пренебрегая членами высоких порядков, получить
vb!c = 1 =	(6.12а)
следовательно, известную, не круговую, а параболическую,
зависимость от выхода энергии, которая соответствует из-
вестному классическому приближенному соотношению
' Va • ^52/С2-
При выходе энергии химических реакций, когда е ~10 10,
будем иметь t ~ 1,4 • 10 5, или удельный импульс dl'Jdm^^
~ с ]/ 2е = v'- — 4,2 • Ю3 м/сек, или 0,42 сектон/кг, если
ПОЛОЖИТЬ Т], — 1.
Глава 7
ДИАБАТИЧЕСКОЕ УСКОРЕНИЕ МАСС
ОТНОСИТЕЛЬНО ЭКИПАЖА
Наряду с рассмотренным выше известным адиабатиче-
ским ракетным процессом можно также представить себе
совершенно иной, диабатический, основной процесс.
Согласно до сих пор применявшейся терминологии, под
процессом диабатического ускорения масс понимается вся-
кий процесс, при котором освобождающаяся из собственной
массы dmc2 энергия ec2dtne2 переносится не на массы, из кото-
рых она возникает, а на другие, например на принимаемые
Ф и г. 4. Диабатическое ускорение масс.
из окружающего массы dmel, на массу самой ракеты та,
на соускоряемую внешнюю массу dme3, на отдаваемую с
борта без скорости массу dtnei или, наконец, на отдаваемую
ускоренно бортовую массу dme5.
Здесь, однако, исследуется только приведенный на фиг. 4
частный случай, когда освобождающаяся энергия ec2dme2
не распределяется равномерно на всю остаточную собствен-
fj. 7. Диабатическое ускорение масс относительно экипажа 59
Ную массу (1—e)dnie2, как при адиабатическом ускорении
масс, а доле л от (1—e)dme2 не сообщается никакой
энергии. Следовательно, только остаток (1—л) (1—e)dmc2
диабатически ускоряется со скоростью v'5, в то время
как доля г(1—c)dme2 остается в покое относительно дви-
гателя.	_
Если превращаемая в энергию доля edme2 данной соб-
ственной массы dme2 передается не всей остаточной массе
покоя (1—а только ее части (1—л) (1—то
процесс является, очевидно, неадиабатическим, или, короче,
диабатическим, так как энергия из части л(1—г) dm^ сис-
темы масс dme2 исчезает.
Превращаемое количество энергии £c2dme2 мы опять
делим на образующееся полезное количество ^еЛ/щ^ на-
правленной кинетической энергии и остальное количество
(1—которое превращается в тепло, в энергию
диссоциации, ионизации и т. д., но для процесса приведения
в движение не является непосредственно полезным.
Из условия, что сумма инертных масс в течение процесса
должна опять-таки оставаться постоянной и равной dme2
для достигаемой скрости v'., вытекает следующее сообра-
жение.
Часть edme2 начальной собственной массы dme2 превра-
щается в энергию, в то время как другая ее часть (1—ejdni^
остается непревращенной. Из этой остающейся массы часть
.-(1— е) dfne2 окончательно остается в покое относительно
двигателя, в то время как другая часть (1—л) (1—e)dme2,
увеличенная на эквивалент массы (1—э]^те2 бесполезно
превращаемой энергии с помощью полезной части тд прев-
ращаемого эквивалента энергии EC2dfne2, доводится до ско-
рости г?', причем вся ее инертная масса будет, следовательно,
(1 — л) (1 — е) dme2 + Edifie2 = [1 — л (1 — е)] dme2.
Таким образом, это есть начальная собственная масса dme2,
уменьшенная на находящуюся в покое часть л(1—c)dme2,
в то время как ее собственная масса включает также и
инертную массу бесполезной части (1—»?,) превращаемого
эквивалента энергии Ec2dme2, следовательно, вместе с ней
составл яет [(1 —л) — е(д,—л) ]dme2,
60	Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Так как отношение собственной массы к инертной массе
всегда равно (1—^52/с2)'/г, то
«2 _ V2eqi (1 — я) — ez q? (1 — 2тг/^)	.
с	1-л(1-ё)	v-i)
в соответствии с равенством (5.7в).
При 7г = 0 это соотношение непосредственно переходит
в соотношение (6.8).
При п = 1 будет v'5lc — ][тр(2— гр); в этом случае мы
имеем чистый поток фотонов, в котором часть фотонов
движется в одном направлении, а другая часть (1—?/() су-
ществует в форме диффузного излучения. Если в последнем
случае еще = 1, то будет v'5/c — 1.
Если при л = 1 принимающая энергию часть собствен-
ной массы становится равной нулю и, следовательно, выра-
ботанная энергия уходит в виде фотонов со скоростью света,
а остальная собственная масса (1—e)dmez остается в покое
относительно ракеты, то имеется налицо тот же самый про-
цесс, который, например, имеет место при излучении света
атомом или молекулой.
Равенство е = О означает л = 1.
Направленная кинетическая энергия получается как
тр -кратная активированная энергия ec2dme2 или из раз-
ности собственных масс перед ускорением [1—л(1—е) ]dzT?c2
и после ускорения [(1— л)—е(^,—тг)]</т₽2 в виде
dEs = гр dE = с2 dme2 [(1 — л + ел) — (1 — л) + е (тр— л)] —
= e>/,c2dmf2.	(7.2)
Она, таким образом, не зависит от парциальности л и опре-
деляется только величинами е и гр. Поэтому при диабати-
ческом ускорении ее значения совпадают с отложенными
на фиг. 3 величинами dE5lc2dme2 = етр.
При анализе уравнений (7.1) и (7.2) уже употреблялась
остаточная собственная масса после ускорения [(1—л)—е
(тр — л) ] dmt2. Эта масса вместе с неускоряемым остат-
ком л(1—e)dme2 собственной массы дает всю остаточную
собственную массу по отношению к начальной собственной
массе
(1 - ер,) dme2ldm. 2 = (1 - «?,).
(7.3)
Гл. 7. Диабатическое ускорение масс относительно экипажа 61
Таким образом, вся остаточная собственная масса после
сообщения ускорения также не зависит от парциалыюсти
определяется только величинами е и эд и изменяется в
зависимости от f точно так же, как показано на фиг. 3 для
случая адиабатического ускорения.
Для всей инертной массы din2 также имеет место то же
самое соотношение, что и в случае адиабатического уско-
рения :
dni^/dniet = 1.	(7.4)
Выработанный импульс dl'5 есть произведение скорости
выталкивания г>5 на ускоренную инертную массу [1 —т.(1 —
— t)]dme2:
dl':> = dme2 v'- [ 1 — n (1 — e)] =
= dme2 с \/2ед, (1 — л) — е2»/2 (1 — 2л/эд) , (7.5)
что также непосредственно следует из равенства (5.8а).
При л = 0 это соотношение переходит в равенство (6.10)
адиабатического случая.
При л = 1 выработанный импульс частичной фотонной
ракеты с внутренним коэффициентом полезного действия,
т. е. ракеты с диффузной частью излучения, равен dl’. =
= dme2 • сег^ |/ 2/эд — 1.
Выход импульса будет
' = dl'Jcdm^ = У2ет?, (1 - л) — f2?;?(1 — 2л,д,)
= [1-л(1-Е)]^С. (7.6)
При л = 0 это соотношение опять переходит в соответ-
ствующее соотношение (6.11) адиабатического процесса.
При л = 1 (частичная фотонная ракета) будет иметь
место равенство i = ед, У 2/эд- — 1 ; в частном случае гд = 1
будем иметь t = е; следовательно, выходы импульса и
энергии будут численно равны.
В то время как выход импульса в адиабатическом слу-
чае возрастает с е по кривой, представляющей собой дугу
окружности, в данном случае он равен выходу энергии.
Поэтому адиабатический выход энергии при очень малых е
кесравненно выше диабатического, однако преимущество
62
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
адиабатического процесса будет тем более ничтожным, чем
большим будет выход энергии е, до тех пор пока при е = 1
оба случая не станут идентичны.
Импульс на единицу массы, или удельный импульс,
будет
d/j/dzn^ = v'5 [1 - л (1 - е)] =
= с|^2е»?,(1 — л) —е2»;?(1 — 2л///,) = ic. (7.7)
При л = 0 получается равенство (6.12).
При л = I будет <1Г51(1те2 — сегц ]/ 2/г/, — 1 = ev'., в
частном случае >/, = 1 будем иметь dl'Jdmei = ес. В слу-
чае частичной фотонной ракеты удельный импульс равен,
таким образом, выходу импульса, умноженному на скорость
света.
Выход импульса » ’и вместе с тем также удельный им-
пульс представлены па фиг. 4 как функции выхода энергии
е и парциальности тс, причем ради наглядности только для
внутреннего коэффициента полезного действия »/,= !.
В граничных случаях л = 1 и л = О отношение выходов
импульса равно
_ 1 = !) = У 2~У‘	/7 ох
lad I (л = О) [ 2/е — гц ’	' ‘ '
или при rji = 1 idt/iad = 1/ |/2/е — г]/. В этом граничном
случае т/, — 1 отношение обоих выходов импульса равно,
следовательно, с точностью до постоянного множителя с,
безразмерному расходу энергии на единицу импульса при
адиабатическом процессе [см. (6.13)].
Этим важным соотношением мы еще будем впоследствии
специально заниматься.
Во всех случаях, отличных от случая е= 1, фотонная
ракета (л = 1) имеет, таким образом, худший выход энергии,
чем адиабатическая ракета (л = 0), если внутренние коэф-
фициенты полезного действия rji предполагать одинако-
выми.
На фиг. 5 парциальность л = О относится опять к слу-
чаю уже рассмотренной в предыдущей главе адиабатической
раке™1, в которой освобожденная энергия употребляется
для ускорения всей остающейся массы. Этот случай при
Гл. 7. Диабатическое ускорение масс относительно экипажа 63
равном выходе энергии и равном внутреннем коэффициенте
полезного действия дает всегда наивысший выход импульса.
Парциальность п = 1 означает, что освобожденная энер-
гия испускается в форуме фотонов, в то время как вся не пре-
Ф и г. 5. Выход импульса i частичной ракеты
с внутренним коэффициентом полезного дей-
ствия тц = 1 в зависимости от выхода энергии
е и нарциальности л.
Выход импульса у этой фотонной ракеты всегда наимень-
ший.
Различие в выходах импульса, естественно, оказывается
наибольшим, если выход энергии е остается малым, так как
тогда наибольшие количества масс остаются неиспользо-
ванными для импульса. В соответствии с этим различие
будет тем меньше, чем больше будет е.
При е= 1, т. е. при полном превращении масс в излу-
чение, выход импульса имеет свой абсолютный максимум,
равный единице, все значения п относятся здесь к одной и
той же исчезающе малой остаточной массе и, следовательно,
являются равноценными; это, очевидно, случай полной
фотонной ракеты.
64
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Пока в технике реактивного привода мы имеем в рас-
поряжении только ничтожные выходы энергии химических
реакций, представляет большой интерес передавать эти нич-
тожные энергии всей массе горючего. Поэтому выход им-
пульса в случаях л = 0 и л = 1 изменяется примерно как
Г2/е.
При £ ~ 10“10, как в случае химических реакций, мы
находим для л = О удельный импульс примерно равным
0,42 сектон/кг. В фотонной ракете при л = 1 он составлял
бы в этом случае только примерно одну стотысячную часть,
а именно 3 • 10 6 сектон/кг. Поэтому фотонная ракета на
базе химического горючего представляет интерес, возможно,
как прожектор, но не как двигатель.
При е= 7 • 10“3 в реакции водород—гелий удельный
импульс будет для л = 0 равен примерно *3,55 • 107 м/сек,
или 3550 сектон/кг; для л= 1, согласно равенству (7.7),
он равен примерно 2.1 • 10е м/сек, или 210 сектон/кг. Это
значит, что фотонно-реактивный водородно-гелиевый дви-
гатель имеет только примерно в семьдесят раз меньший
выход импульса, чем адиабатический водородно-гелиевый
двигатель.
Первый мог бы поэтому иметь практический интерес,
если бы его осуществление представляло меньше техни-
ческих трудностей, чем в случае соответствующего адиа-
батического двигателя.
Импульс на единицу энергии будет
drs/(dE6 + d£5) = K2«7,(l —л) — е2^(1 — 2л/г]1)/ес = i/CC .
(7.9)
При л = 0 получается равенство (6.13).
При л = 1 будем иметь равенство dl'J(dE5 + dE5) =
= r]i^2/r]i — l/c = v'5/c,следовательно, при»/, = 1 —просто i/c.
В случае частичной фотонной ракеты импульс на единицу
энергии, независящий от е, оказывается столь же малым,
как и в невыгодном случае адиабатических ракет.
Расход энергии на единицу импульса, приведенный с
помощью с к безразмерной форме, равен
(dE-o + dEb\cdl^ e/t = £f2^,
(7.Ю)
Гл. 7. Диабатическое ускорение масс относительно экипажа 65
При л = 0 будем иметь е//2 ег/,-— e2r]2lt как из равен-
ства (6.13).
При л = 1 будем иметь 1/ У 2т/, при гц — 1 далее
(с/£3 + dE^/cdl'^ = 1 ; таким образом, для частичной фотон-
ной ракеты это отношение, конечно, опять не зависит от е.
Отношение адиабатического расхода энергии на единицу
импульса к диабатическому равно, таким образом,
(dEldIQad _ ]i2r)t (1 — л) —	(1 — 2л/гц) /7 in
(dE/dlQdi Г
При л = 0 получается, естественно, единица.
При л = 1 будем иметь У (2— ??,)/(2/е—»;,).
При г],,= 1 получится У[2(11— л) — е(1—2л)]/(2—е).
При от = 1 и zj, = 1 получится 1/ ]Л2/е — 1.
Значения для частичной фотонной ракеты при л = 1
тождественны поэтому соответствующим значениям, да-
ваемым формулой (7.8) и для = 1 также формулой (6.13);
это значит, что в этом случае отношение адиабатического
расхода энергии на единицу импульса к диабатическому
численно равно безразмерному адиабатическому расходу
энергии на единицу импульса, так как соответствующий
диабатический расход равен единице и вместе с тем это от-
ношение также численно равно отношению диабатического
выхода энергии к адиабатическому, так как диабатический
выход импульса равен выходу энергии.
Рассматриваемый в процессе исследования диабатиче-
ского ускорения масс предельный случай диабатической
фотонной ракеты специально представлен графически на
фиг. 6 в качестве наглядной противоположности поведению
адиабатической ракеты на фиг. 3.
Прямые, представляющие инертную массу, остаточную
собственную массу и направленную кинетическую энергию
как функции от выхода энергии, одинаковы на обоих фигурах.
Удельный импульс и выход импульса также имеют в
этом случае одинаковый ход, но здесь, однако, при тех же
конечных значениях, что и в адиабатическом случае, они
возрастают с е линейно, в то время как в адиабатическом
случае они растут по дуге окружности, т. е. при малом е зна-
чительно быстрее, чем при диабатическо1М процессе.
Е. Зенгер
66
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Скорости выталкивания, напротив, изменяются здесь
в зависимости от е совершенно иначе по сравнению
Фиг. 6. Диабатическое ускорение масс до скорости света с
1 — инертная’'масса drnjdrn^ = 1 ; 2 — остаточная собственная
масса (1—£)ц) х drhe-i^inez = О—^0; 3—удельный импульс, выход
импульса dTjcdme- = * =	1'2/*д— 1 ; 4 — направленная кине-
тическая энергия dEs/cMm« =ед{; 5 — расход энергии на еди-
ницу импульса dElcdif = 1/% I' 2/% — 1 ; 6 — скорость выталки-
вания г?в/С = Щ V2/% — iГ; ? — ldi had = (dEldl'^aiMdE dl^u =
= K(2—^i)'(2'«—>й).
с адиабатическим процессом, поскольку здесь они совер-
шенно не зависят от выхода энергии.
Остается только одна привлекающая внимание зависи-
мость скорости выталкивания v'5 от внутреннего коэффи-
Гл. 7. Диабатическое ускорение масс относительно экипажа 67
циента полезного действия тд. Хотя при диабатическом
фотонном процессе скорости всех частиц будут, конечно,
равны скорости света, однако скорость струи равна ско-
рости света только при »;, = 1, т. е. для фотонов, движу-
щихся совершенно параллельно. Если, наоборот, конечная
доля (1—»?,) фотонов направлена диффузно, то результи-
рующая скорость выталкивания остается меньшей с.
Для рассматриваемого здесь второго, диабатического,
вида ракетных процессов важно также заметить еще, что
скорость выталкивания не является больше мерой удель-
ного импульса, как показывает также различие равенств
(6.12) и (7.7).
Из последнего равенства следует, например, что фотон-
ная ракета при л = 1 и »/, = 1 и, следовательно, v^c — 1
имеет удельный импульс
dl’5idme2 = sc,
который, таким образом, при постоянной скорости вытал-
кивания г>' = с зависит только от выхода энергии г горю-
чего.
Также и расход энергии на единицу импульса не зависит
здесь от выхода энергии и всегда больше, чем при адиабати-
ческом процессе.
Наконец, на фиг. 6 даны также отношения диабатиче-
ских выходов импульса к адиабатическим и тем самым
идентичные отношения адиабатических расходов энергии к
диабатическим на единицу импульса.
Оба эти отношения при »/, = !, как известно, идентичны
расходу энергии па единицу импульса адиабатического про-
цесса ПРИ 7]1; = 1.
5*
Глава 8
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ОТДАЧА МАССЫ
ОТНОСИТЕЛЬНО ВНЕШНЕГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
Рассмотрим опять процесс отдачи массы, что мы уже
делали в гл. 5, однако теперь не с точки зрения экипажа
ракеты, а с точки зрения внешнего наблюдателя, относи-
тельно которого ракета движется в рассматриваемый мо-
мент со скоростью vz.
Прежде всего опять имеют место общие результаты гл. 4
и 5. Например, скорость v-o выталкиваемых масс струи от-
носительно внешнего наблюдателя получается из той же
скорости относительно экипажа и из скорости движения
по уравнению (4.1)
___ valc v*lc	/с 1 \
с “ -v2^/ca+l ’	'
Вместо v'5/c можно, смотря по обстоятельствам, подста-
вить выражения (5.7) — (5,7г), или (6.8), или (7.1).
Инертная масса выталкиваемой собственной массы
dine-a = (1 — е) dmeZ = [(1 — л) — е (»;, — п) ] dme2
относительно внешнего наблюдателя составляет
dme = dme5 (1 — г</с2)~й,	(8.2)
и поэтому ее импульс равен
— г,5	= cdme2 /z5 (1 — е) р р vj/^)(i —	' (8’3j
При v2/c = 0 отсюда следует равенство (5.8).
При е=1 и, следовательно, v'5/c = 1 из уравнения (8.1)
следует прежде всего, что vjc = —1; далее отсюда и из
Гл. 8. Релятивистская отдача массы
69
уравнения (5.6) имеем drn° = e^dm^ и, таким образом,
dl5 = e5cdrne2, как и из уравнения (5.8).
При £ = 0, следовательно, «5 = 0 из уравнения (8.1)
следует v5 = «2, поэтому из уравнения (8.2)
dtn5 = Р6 dm(Z (1 — «|/с2)",/= и
d /5 = р5 «2 dme2 (1 — wf/c2)-1/’ ф 0.
В практически очень важном частном случае диабати-
ческого ускорения масс ускоренно выталкиваемая соб-
ственная масса, согласно фиг. 4, равна
= [0 ~ л) О ~ £) + (1 ~ ’У.) £]	==
= [(1 — л) - £ (??, - л)] dm^, (8.4)
причем, р-а = [(1 — л) — е	— л)]/( 1 — е).
Инертная масса этой выталкиваемой собственной массы
относительно внешнего наблюдателя опять есть
dm-a = dme& (1 - «!/с2)-Уг,	(8.5)
в то время как вместо v'Jc в уравнение (8.1) здесь можно
подставить выражение (7.1). В результате для импульса i в
этом диабатическом случае получаем выражение
1 = = [(1 “ Л) ~E(Vi ~ ~
_ [(1 - л) — е (у, - л)] (г2/с — v'Jc) _
[(1 — v2/c2)(l -^’/c2)]^
_ vt/c-[1 - я(1—e)J — [2«д(1 — л) —e^;(l—
(1— vl/c*)*	' * • '
При e == 0, t. e. л = 1, получается t = 0, т. e. произ-
водимый импульс исчезает.
При «а/с — 0 выход импульса относительно экипажа
получается, естественно, согласно равенству (7.6).
9 В дальнейшей части работы очень часто встречающийся корень
> 2е^,- (1 — л) — ег if (1 — 2л/?д) обозначается символом .
70
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
При «g/с = 1 выход импульса, отнесенный к собственной
массе dme2 горючего, будет больше единицы, а именно
бесконечен, ^ыход импульса, отнесенный к инертной массе
горючего, dme2(l—w|/c2)—’/•, остается, впрочем, равным нулю,
так как сама инертная масса становится бесконечно большой.'
При л = О (адиабатический процесс) получается
1 (1 — ^c2)Vi = v2/c — |/2е72, — е2 = (v2 — v'5)/c ;
это значит, что выход энергии, отнесенный к инертной массе
горючего, на число полета Эйнштейна г2/с больше, чем
кажется экипажу.
При it = 1 (частичный фотонный процесс) получается
1 (1 — рЦс2)1/г = е [v2/c — ih — 1 ] .
Выход энергии, отнесенный к инертной массе горючего
опять на одно слагаемое, здесь на е v2/c, больше, чем с точки
зрения экипажа.
Итак, импульс dl5 равен ускоренно, выталкиваемой
инертной массе после выталкивания, умноженной на
классическую разность ее- относительной скорости до
выталкивания и скорости выталкивания относительно
ракеты.
Глава 9
КИНЕМАТИКА ПРИВОДА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
ЭКИПАЖА
Релятивистская теория реактивного привода пред-
ставляет собой наиболее удовлетворительное теоретическое
построение постольку, поскольку она позволяет охватить
все соотношения, которые только можно себе представить,
и нет таких областей, которые находятся вне сферы ее
действия. Конечно, она требует от инженера прежде всего
приспособления его умственных навыков к релятивистской
механике.
Своего настоящего практического значения она дости-
гает, с одной стороны, при ускорениях масс струи относи-
тельно ракеты до скорости, более чем на Ю°/о приближаю-
щейся к скорости света, а с другой стороны, при таких
скоростях передвижения, когда скорость движения ракеты
относительно внешнего наблюдателя будет примерно больше
чем на Ю°/о превышать скорость света.
Например, в таких межзвездных полетах, в которых
ракета и ее экипаж образуют совершенно отдельный от
мира их старта изолированный мир, где Солнце стано-
»вится просто звездой среди других звезд, мир ракеты начи-
нает свой собственный счет времени с иной, чем земная,
мерой времени, и все электромагнитные связи с Землей
обрываются, так как ракета сама начинает двигаться
относительно места своего старта со скоростями, близкими
к скоростям электромагнитных сигналов.
Этот изолированный мир ракеты вместе с собственным
счетом времени будет иметь также свой собственный счет
скоростей, причем экипаж ракеты будет интегрировать
объективно измеримые ускорения ракеты по ее собствен-
ному времени, устанавливаемому обычными для этой цели
приборами.
Устанавливаемые экипажем в результате этой операции
72	Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
скорости полета будут во много раз превышать скорость
света и позволят, например, путешествие от Солнца к звезде
а Центавра сжать в недели, хотя астрономия Земли уста-
навливает расстояние между этими двумя звездами в четыре
с половиной световых года.
Собственная скорость ve ракеты в этом случае не имеет
больше ничего общего со скоростью относительно какой
бы то ни было внешней точки отсчета, она является в неко-
тором своеобразном смысле эгоцентрической. Ее соответ-
ствующее собственное время te в течение всего путешествия
не приходит в противоречие с внешним миром, так что
можно посетить чужую звездную систему и только при
возвращении на планету старта, на которой начат отсчет
времени, обнаружится несоответствие, так как окажется,
что там после, быть может, годичного отсутствия экипажа
оставленные им дети стали стариками или давно умерли.
И все-таки при этом дело идет не о сказочных фантазиях
вроде монаха из Хейстербаха, а о физических, а после их
применения также о технических реальностях.
Рассмотрим прежде всего кинематику прямолинейного
неускоренного процесса движения.
Пусть наблюдатель, находящийся в начальной точке
прямолинейной траектории, устанавливает, что измеренная
им длина пути s проходится ракетой с постоянной ско-
ростью v за время t, так что v = s/t.
Экипаж ракеты получает одновременно показание рас-
стояния s внешнего наблюдателя и измеряет с помощью
своих бортовых часов время полета te, за которое проходится
отрезок s. Тот же самый процесс кажется экипажу движу-
щейся ракеты протекающим в более короткое время tc,
причем имеет место соотношение
t te = (l - г2/с2)-^ ,	(9.1)
После этого экипаж устанавливает постоянную ско-
рость по собственному времени vez — s/te, с которой он
проходит тот же самый отрезок s и которая кажется ему
большей, чем измеренная внешним наблюдателем скорость г,
именно Тег = s//c = s/t(1 — «2/с2)й = г?(1 — т2/с2)~'А, так что
val'v = (I - т21?)-* .	(9.2)
Гл. д. Кинематика привода с точки зрения экипажа
73
Если бы экипаж еще расширил свои возможности
наблюдения и, кроме измерения собственного времени te
его бортовых часов, выполнил измерение всей длины пути
из движущейся ракеты, то он нашел бы этот путь s’e, изме-
ренный из движущейся ракеты, более коротким, чем изме-
ренный наблюдателем путь s, а именно он нашел бы, что
S/S'e = (1 — W2/c2) '== ,	(9.3)
т .е. отрезок пути казался бы укороченным в том же самом
отношении, что и время по сравнению с результатами изме-
рений наблюдателя.
Вследствие этого собственная скорость v№ = se/tc, уста-
новленная с борта, будет такой же, какой ее находит внеш-
ний наблюдатель,
Vee = se/te = s (1 — г?2/с2)’/г/7 (1 —«2/с2)!'2 = v.	(9.4)
Экипаж сталкивается, таким образом, с различием между
скоростью по собственному времени vez и относительной
скоростью v, выражаемым равенством (9.2).
На основании своего измерения отрезков экипаж считал
бы, что он прошел с относительной скоростью v отрезок s'e,
более короткий, чем воспринимаемый внешним наблюда-
телем отрезок s, и благодаря этому находился бы в пути
более короткое время, в то время как только на основании
измерения собственного времени tf и получаемой одновре-
менно длины пути s он сделал бы в том же случае вывод о
более коротком времени путешествия с более высокой ско-
ростью г>е2 по собственному времени.
Совокупность четырех основных кинематических вели-
чин s, s'e, t и te позволяет определить следующие скорости :
v ~ s/t; vez — s/te; vee — s'elte и, наконец, vew = s'c/t. Эту
последнюю скорость по собственному пути veH, мы находим
с помощью соотношения (9.3)
wfll, = s’ei't = s(l — г^/с2)4// = г>(1 — и2/с2)1'2,
Или
V^/v = (1 — v2/c2)'/:.	(9.5)
Скорость по собственному времени vez и скорость по
собственному пути ?>еи, являются формальными расчетными
74	Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
величинами, которые не представляют никакой физической
реальности в том смысле, что v = s/t, так как не существует
никакой системы координат, относительно которой они
могли бы быть измерены, и даже более того, по своему
определению они образованы из двух величин, относящихся
к различным системам координат, а именно из относитель-
ной величины и собственной величины. Поэтому скорость
по собственному времени vcz может, например, делаться
сколь угодно большей, чем скорость света с.
Так как собственное время te может измеряться на
борту ракеты безотносительно к окружающему и так как
для жизни экипажа оно является решающим, то оно имеет
большее практическое значение, чем собственный путь se.
Кроме того, в основе проектирования полетов в простран-
стве лежат прежде всего измеряемые наблюдателем рас-
стояния s, а не собственные расстояния s', изменяющиеся
вместе со скоростью ракеты.
Исключительно из этих практических соображений мы
будем для кинематических и динамических исследований
пути использовать наряду с относительной скоростью v
в большей степени скорость по собственному времени va
и в меньшей степени скорость по собственному пути vew.
Дальнейшие соображения показывают, что имеется,
кроме того, еще четвертая скорость, которая может быть
измерена на борту безотносительно к окружающему и по-
этому имеет еще большее практическое значение.
Распространим теперь наше исследование на процесс
прямолинейного ускоренного движения. В то время как
при рассмотрении скоростей в нашем распоряжении в
качестве единственной независимой от окружающего изме-
ряемой величины имелось собственное время te, так что
скорости, во всяком случае, должны были определяться
с помощью относительной измеряемой величины s, теперь
в форме собственного ускорения Ье выступает новая неза-
висимо от окружающего измеримая величина, которая
определяется обычным, основанным на инерции измери-
телем ускорения и воспринимается также физиологически.
Ввиду того что скорости, а в данном случае также и
ускорения, являются переменными, мы вынуждены теперь
обратиться к применению дифференциалов для всех кине-
матических величин.
Гл. 9. Кинематика привода с точки зрения экипажа
75
Ускорение ракеты относительно внешнего наблюдателя
мы определяем, как обычно, величиной b = dv/dt = dzs/dt2.
Для жестко связанной в момент наблюдения с ракетой
системы координат и вместе с тем также и для экипажа
при процессе приведения в движение в свободном от сопро-
тивления и тяжести пространстве у ракеты имеется, как
сказано, измеримое безотносительно к окружающему и
физиологически воспринимаемое собственное ускорение,
которое мы обозначаем Ьс и определяем как
Ье = dVe/dte .	(9.6)
Как скорость, так и путь относительно жестко связанной
с ракетой системы координат остаются, естественно, всегда
равными нулю.
Рассмотрим теперь для слабоускоряемой ракеты процесс
на малом элементе пути ds и выберем нашу систему коор-
динат таким образом, чтобы в начале элемента пути скорость
ракеты относительно системы координат была равна нулю
и чтобы эта система координат и вместе с тем ракета имели
в этот момент относительно внешнего наблюдателя ско-
рость V. Мы опять будем обозначать все кинематические
величины относительно системы, вначале жестко связанной
с ракетой, как собственные величины, буквами с индексом е,
а все величины относительно системы, связанной с внешним
наблюдателем, как относительные величины без индекса
или, если необходимо, с индексом 0. Если мы и впоследствии
оставляет*! эту систему связанной с ракетой и поэтому
ускоряем ее относительно системы внешнего наблюдателя,
то теряется ее свойство как инерциальной системы, и мы
покидаем область специальной теории относительности и
вступаем в область общей теории относительности.
На борту ракеты можно измерять безотносительно к
окружающему собственное время te (посредством бортового
хронометра) и собственное ускорение («ускорение покоя») Ье
(посредством обычного, основанного на действии инерции
акселерометра).
Поэтому можно прямо построить интегратор, который
интегрировал бы собственное ускорение по собственному
времени и таким образом безотносительно к окружающему
76
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
находил бы скорость, которую мы называем собственной
скоростью ve и которая определяется в виде
ve = $bedte.	(9.7)
Можно, далее, устроить наш интегратор так, чтобы он
интегрировал найденную из основных измеряемых величин Ье
и te скорость ve еще раз по собственному времени te и, следо-
вательно, давал собственный путь se, который определяется
равенством
sc = $vedte = J'J bedtedte.	(9.8)
Таким образом, величины te,be,ve,se все измеряются на
борту безотносительно к посторонней для ракеты системе
координат.
Для практически очень важного частного случая посто-
янного собственного ускорения Ьс формулы еще упрощаются
и приводятся к известным классическим соотношениям
ускоренного движения
ve = bete,	(9.7а)
se = bet*l2 = v*l2be.	(9.8а)
Прежде всего интересна связь этих интеграторных
величин с обычными кинематическими величинами теории
относительности, а именно с такими, как
/их («время» и «путь»),
v — ds/dt («скорость»),
vez — ds/dte («скорость по собственному времени», «чет-
вертая скорость»),
b = dv/dt = dzs/dtz («ускорение»),
Ьег — dvez/dte = d2s/dt2 («ускорение по собственному вре-
мени», «четвертое ускорение»).
Так как относительный и собственный элементы времени
dt и dte связаны друг с другом посредством известного
релятивистского соотношения (например, [7,], [10])
dt/dte = (1 - v*/cz)-y* = ch (velc)	(9.9)
через относительную скорость v или собственную скорость
vc, то можно написать следующие ниже соотношения.
Если соответственно содержанию настоящей главы огра-
ничиться при вычислениях измеряемой на борту величиной
Гл. д. Кинематика привода с точки зрения экипажа
77
то получим

/ = f ch (ye>c)dte, о	(9.10)
s/c = [ sh (velc) dte, о	(9.И)
dsfdse — (sh г>е/с) (ve/c),	(9.11a)
v/c = th (vjc),	(9.12)
dvidve = ch ”2 (wc/c),	(9.12a)
VeJc = sh (t’e/c) ,	(9.13)
b,be = ch'3(we/c),	(9.14)
bezlbe = Ch (vjc) .	(9.15)
Ф и г. 7. Кинематика с точки зрения экипажа ; связь
собственной (интеграторной) скорости ve с относитель-
ными кинематическими величинами.
78
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
На фиг. 7 величины t/te, s/se, v/c, veJc, bfbe и beJbe отложены
в зависимости от собственной скорости vjc.
При откладывании двух первых величин t/te и s/se соб-
ственное ускорение Ьс предполагается постоянным, бла-
годаря чему формулы (9.10) и (9.11) переходят соответ-
ственно в формулы (9.10а) и (9.11а) [7]:
t =	sh(^/c),
(9.10а)
при ve/c 1 это соотношение путем разложения в ряд пере-
ходит в t — ve/bc ~v/b ;
s= £ [chK/c)- 1].
(9.11a)
При ve/c << 1 последнее равенство путем разложения в ряд
переходит в s = v^/2.be ~ v2/2b.
Для частного случая постоянного собственного уско-
рения из этих соотношений вытекают следующие :
(9.юб)
=	.	(9.116)
Из уравнений (9.7а), (9.8а) и (9.116) следует, что соб-
ственное время te прохождения относительного отрезка s
с постоянным собственным ускорением определяется равен-
ством
tc — £ arch(l -bfteS/c2)	(9.16)
и, соответственно, относительный путь s, проходимый в
собственное время te, будет иметь длину
Г2
s = ^-[di(Me/0-П-	(9-1 ба)
Остальные отложенные на фиг. 7 величины ??/с, г>е2/с, b/bc,
bez/be действительны при произвольном собственном уско-
рении Ье.
Гл. д. Кинематика привода с точки зрения экипажа
79
Наибольшего внимания на фиг. 7 заслуживает то, в ка-
кой высокой степени возрастет лежащая в основе оценки
каждого полета относительная длина полета s по срав-
нению с показанием интегратора se, как только собственная
скорость ve превысит скорость света с.
Так как расход горючего в первую очередь определяется
собственным путем sP, а полезный эффект рейса относитель-
ным путем s, то отмеченное выше обстоятельство имеет
весьма большое практическое значение и указывает нам впер-
вые на значение полетов в пространстве со сверхсветовыми
скоростями, которые мы еще будем изучать подробно.
Родственным этому обстоятельству является быстрое
возрастание при сверхсветовых скоростях дилатации вре-
мени t/te, скорости по собственному времени тег/с и уско-
рения по собственному времени bez/be. Особенно заслужива-
ет внимания при этом то, как сильно отклоняется в сверх-
световой области скорость по собственному времени vez от
иитеграторной скорости и как быстро она достигает значе-
ний, превосходящих последнюю в очень большой степени.
По сравнению с этим более привычными являются пред-
ставленные на фиг. 7 зависимости, из которых видно,
что относительная скорость v при сколь угодно высоких
собственных скоростях ve не превышает скорости света
и относительное ускорение b с приближением относи-
тельной скорости к скорости света чрезвычайно быстро
уменьшается.
Итак, в то время как экипажу кажется, что он беско-
нечно приближается в течение произвольно долгого периода
ускорения с более или менее постоянным собственным уско-
рением Ьс к собственной скорости, внешний наблюдатель
устанавливает, что скорость ракеты асимптотически при-
ближается к скорости света с постоянно уменьшающимся
относительным ускорением Ь.
Таким образом, например, полет от Земли к удаленному
на 4,55 световых лет, или на S = 4,3 • 1013 км, Толиману
(а Центавра) представляется существенно различным для
экипажа, который может производить только внутренние
наблюдения в ракете, для экипажа, который располагает
также определенными возможностями для наблюдения
внешнего мира, и, наконец, для наблюдателя, остающегося
на Земле.
80	Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Допустим, что наша ракета удаляется от Земли с постоян-
ным собственным ускорением Ье = 30 м/сек2, которое физио-
логически еще возможно переносить длительное время.
Для кинематики процесса при применении собственных
величин ракеты прежде всего имеют место законы класси-
ческой механики. Например, с помощью соотношения
(9.7а) экипаж устанавливает, что собственная скорость г>е
после примерно четырех месяцев полета достигает скорости
света, после восьми месяцев — удвоенной скорости света
и т. д. Поэтому ракета, согласно классическому соотноше-
нию (9.8а), в первые четыре месяца прошла бы собственный
путь se = с2/2Ье =1,5- 1012 км и достигла бы собственной
скорости ve = с = 3 • Ю8 м/сек ; после восьми месяцев
пройденный собственный путь был бы равен se = 6 • Ю12 км
и собственная скорость оказалась бы равной ve = б • 108
м/сек и т. д.
Из соотношения (9.106) следует, что обе вышеупомянутые
точки пути для внешнего наблюдателя лежат на оси
времени не на расстояниях четырех и восьми месяцев,
а на расстоянии, в 1,1752 раза большем четырех месяцев,
и соответственно на расстоянии, в 1,8134 раза большем
восьми месяцев.
Из уравнения (9.116) следует, далее, что обе эти точки
пути для внешнего наблюдателя лежат на пространствен-
ной оси не на расстояниях в 1,5 • 1012 км и 6 • 1012 км,
а соответственно на относительных расстояниях, в 1,08616
раз и 1,3811 раз больших.
Измеряемая при соответствующей скорости ve из ракеты
длина S' пройденного собственного пути Se составляет,
согласно формулам (9.116) и (9.3),
с/1 с _о ch (ре/с) 1
е е (ре/с)2 ch (?>«/с)
или, при ve/c > 1,
S'e/Se =	.
' e (Pe/C)2
Половина расстояния Солнце—Толиман, равная S/2 ==
= 2,15 • Ю13 км, может быть, следовательно, пройдена при
Гл. 9. Кинематика привода с точки зрения экипажа
81
этом полете с постоянным собственным ускорением за
„	3-108	, 30-2,15-101("| im„„bOi7
^/2 = 3-10 arChU + —9-Ио^—J = ,° arch8’17 =
= 2,789- 107 сек.
или за 0,89 лет, причем конечная скорость
(i>Jmax = ье Те/2=30 2,789  107 = 8,38 - 108 м/сек
представляет собой, следовательно, 2,79-кратную скорость
света. В общем случае
(«е/Отах = ЯГСЙ (1 + S/2 С2) .	(9.17)
При beS/c2 1 соотношение (9.17) путем разложения
в ряд упрощается и приводится к классической формуле
(t’p/max =
При beSlc2 > 1 соотношение (9.17) упрощается и при-
водится к формуле (уе/с)тах — In beS/c2.
Если дальнейшее путешествие будет происходить с обрат-
ным, но равным по величине ускорением, т. е. с замедлением,
то процесс будет полностью симметричен и ракета прибудет
к удаленному на 4,55 световых лет Толиману за Те —
5,5788 • 107 собственных секунд, или за 1,77 световых лет
с собственной и относительной скоростями, равными нулю.
В общем виде все собственное время рейса составляет,
сагласно формуле (9.16),
Те = 2с/Ье - arch (1 + be S/2c2),	(9.18)
где S — астрономическое расстояние и Ье — собственное
ускорение. При /?е5/2с2 < 1 выражение (9.18) упрощается
путем разложения в ряд и приводится к виду Т = 2 |/ S/be.
При beS/2c2 1 формула (9.18) приводится к виду
Те = 2с/Ье  In (beS/c2).
Средняя собственная скорость рейса для обоих его
периодов есть
ve/c = S/Tec = (feeS/2c2) [arch (1 + kS/2c2)]-x, (9.19)
® E. Зенгер
82
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
и в рассмотренном нами примере эта формула дает значение
vf./c = 2,563. Отношение наибольшей собственной скорости
к средней есть
= S tarch ° + W^2)]2;	(9.20)
в нашем примере (ve/c)max/(we/c) = 1,087.
При feeS/2c2 <s 1 формула (9.20) упрощается путем раз-
ложения в ряд и приводится к виду (те)тах/г> = 2, что пред-
ставляет собой известный результат классической механики.
При feeS/2c2 1 формула (9.20) принимает вид (г>е/с)тах/
l(ve/c)= 1.
Ничтожная величина разницы между наибольшей и
средней собственными скоростями рейса при сверхсветовых
скоростях объясняется значительной дилатацией относи-
тельного пути s по отношению к собственному пути se при
ve/c > 1 (см. фиг. 7).
Дилатация времени, т. е. отношение всего времени рейса
Т с точки зрения наблюдателя к тому же времени Те с точки
зрения экипажа есть, согласно формуле (9.106),
Т ___ Sh (t>e/c)max	/ООП
Те ~ (»е/с)тах ’
причем (уе/с)тах можно взять из формулы (9.17).
Для нашего численного примера мы получаем Т/Те =
= 2,905; это значит, что, в то время как экипаж проживет
1,77 лет, внешний наблюдатель проживет 5,14 лет, т. е.
несколько больше, чем время, за которое свет доходит до
Толимана и которое равно 4,55 лет. Это последнее различие
не имеет ничего общего с релятивистской дилатацией вре-
мени, так как Те = 1,77 собственных лет относятся к сред-
ней собственной скорости ve/c = 2,563, следовательно, со-
гласно формуле (9.12), к средней относительной скорости
рейса v/c = 0,915 ; напротив, 4,55 световых лет относятся
к относительной скорости рейса v/c = 1, следовательно,
к средней собственной скорости рейса ve/c = со и поэтому
к собственному времени рейса Те = 0.
На фотоне, как известно, собственное время остается
постоянным.
Гл. 0. Кинематика привода с точки зрения экипажа
83
Рассмотрение показывает также, что в межзвездных
полетах экипаж будет страдать не от отсутствия силы тяже-
сти, а, наоборот, от продолжительных предельно допусти-
мых ускорений, так что физиологически еще допустимые
собственные ускорения как раз определяют допустимые
скорости полета, и задачи медицины полета в пространстве
будут в таких случаях концентрироваться на том, чтобы
создать приспособления, которые сделают длительные пре-
дельно возможные ускорения терпимыми для человеческого
организма.
На фиг. 8 с помощью соотношений (9.17) и (9.18) графи-
чески представлены максимальные собственные скорости
(«f/c)max и полные собственные времена рейса Те как функ-
ции от астрономического расстояния 8 до конечного пункта
для полетов в пространстве, которые на первой половине
расстояния происходят с постоянным ускорением Ье, а на
второй половине с точно таким же замедлением. По оси
абсцисс отложены логарифмы относительных расстояний 8
в метрах и в световых годах, так что на ней находят место
как расстояния земных путешествий, так и диаметр всей
Вселенной.
Картина становится более наглядной благодаря внесению
некоторых конкретных расстояний 8, таких, как расстояние
между двумя антиподами Земли (2 • 107 м), расстояния от
Земли до Луны (4 • 10® м), до Солнца (1,5 • 10п м), до звезды
и Центавра (4,3 • Ю16 м), до центра системы Млечного
пути (2,84  1020л<), до туманности Андромеды (7,1 • 1021 м)
и, наконец, предполагаемый диаметр всей Вселенной
(3,2 • 1025м).
Собственные времена полетов на эти семь дистанций,
согласно формуле (9.18), приблизительно составляют
для Ье = 10 м/сек2:
47,2 мин.; 3,5 часа; 2,83 дня; 3,60 года; 19,72 года,
25,9 года ; 41,9 года ;
для Ье = 30 м/сек2:
27,2 мин.; 2,03 часа ; 1,63 дня ; 1,77 года, 7,23 года ; 9,33
года ; 14,71 года ;
для Ье = 300 м/сек2:
8,8 мин.; 0,64 часа; 0,52 дня; 0,314 года; 0,873 года ;
1,079 года ; 1,62 года.
6*
Lg S (световые вода)
Ф и t. 8. Кинематика полетов в пространстве, в которых на первой половине S/2 расстояния
до конечного пункта происходит равномерное ускорение с в( = 10, 30 или 300 м/сек\ а на
второй половине пути точно такое же замедление.
Гл. 9. Кинематика привода с точки зрения экипажа
85
Эти числа, выражающие собственные времена полетов,
которые также графически представлены на фиг. 8, по-
зволяют сделать ряд интересных заключений :
1) В то время как при досветовых собственных ско-
ростях, следовательно при полете почти до Толимана,
собственное время полета по классическими законам растет
как квадратный корень из пути, при сверхсветовых ско-
ростях это соотношение коренным образом изменяется,
собственное время экипажа начинает течь все более и более
медленно, так что в течение умеренного собственного
времени могут быть пройдены гигантские расстояния;
пересечь всю Галактику можно немногим более чем за деся-
тилетие, а преодоление всей Вселенной потребует только
части человеческой жизни.
2) Все это достижимо при совершенно умеренных соб-
ственных ускорениях, например уже при ускорении порядка
земного, к чему человеческий организм привычен.
При применении более высоких ускорений собственное
время полета в досветовой области уменьшается как вели-
чина, обратная квадратному корню из собственного уско-
рения, а в сверхсветовой области примерно как величина,
обратная самому собственному ускорению.
3) Времена полетов внутри системы Земля—Луна исчи-
сляются часами, внутри солнечной системы — днями,
внутри Галактики — годами, во всей Вселенной — десяти-
летиями, так что для всех их достаточно продолжитель-
ности одной человеческой жизни.
Максимальные собственные скорости для особо отме-
ченных семи дистанций, согласно формуле (9.17), состав-
ляют в круглых числах
для Ье — 10 м/сек2:
4,7 • 10-5с ; 2,12 • 10~4с ; 4,1 • 10~3с ; 1,89с; 10,34с ; 13,59с;
22,0с; (1,41 • 10* м/сек) (6,32 • 10* м/сек) (1,23 • 10® м/сек);
для Ье = 30 м/сек2:
2,45 - 104 м/сек ; 1,10  10s м/сек ; 2,12 • 10е м/сек ; 2,79с ;
Н,40с; 14,69с; 23,10с;
для Ье = 300 м/сек2:
7,75 • Ю4 м/сек ; 3,47 • 105 м/сек ; 6,70 • 106 м/сек; 4,95с ;
13,71с; 17,00с; 25,40с.
86
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Эти ряды чисел, которые также отложены на фиг. 8
снова дают материал для некоторых заключений.
1)	В досветовой области максимальная скорость растет
в соответствии с классическими законами как квадратный
корень из длины рейса.
В сверхсветовой области, напротив, максимальная соб-
ственная скорость, определяющая расход горючего ракеты,
растет чрезвычайно медленно. Даже для полета через всю
Вселенную она увеличивается только примерно до 25-кратной
скорости света, что случайно приблизительно соответствует
наибольшему числу Маха, с которым возможен полет в
пространстве вдоль поверхности Земли. Все же ve/c ~ 25
соответствует, согласно формуле (9.13), скорости по собствен-
ному времени vez, равной примерно 1011-кратной скорости
света, что объясняет возможность прохождения гигантских
астрономических расстояний.
2)	То обстоятельство, что только ничтожные собствен-
ные скорости определяют расход горючего, но почти в бил-
лион раз более высокие скорости по собственному времени
vez определяют полезный путь ракеты, является ключом
к межгалактическим полетам.
3)	В досветовой области максимальная собственная ско-
рость растет как квадратный корень из собственного уско-
рения Ье ракеты, в сверхсветовой же области, напротив,
она растет примерно не более как собственное ускорение.
Если ограничиться сначала физиологически допусти-
мыми для людей собственными ускорениями порядка земного
ускорения, то наибольшая собственная скорость рейса,
достигаемая в конце периода ускорения и в начале периода
замедления, следовательно, в середине относительного пути,
составляет, например, при полете между антиподами Земли
14 100 м/сек.
Она, следовательно, больше, чем окружная скорость
на экваторе при вращении земли вокруг своей оси, равная
7900 м/сек, и, так как центробежная сила в этом случае
будет больше, чем вес, может быть достигнута только
при действии направленной вниз движущей силы, причем
направленный вверх избыток центробежной силы над весом
соответствует примерно удвоенному земному ускорению.
При полете Земля—Луна (^)max = 63 200 м/сек.
При полете Земля—Солнце, который дает среднюю меру
Гл. 9. Кинематика привода с точки зрения экипажа
87
для полетов к близким к Земле планетам солнечной системы,
(^)тах= 1.23 • IO» м/сек-
При расстояниях полета, больших 3 • 1014л!, наивысшая
достигаемая собственная скорость превышает скорость света.
При полете Земля — а Центавра (гд)тах = 5,67 • Ю8 м/сек;
это значит, что отношение собственной скорости полета к
скорости света, так называемое собственное число Эйн-
штейна, возрастает до (?>f/c)max = 1,89 ; соответствующее
число Эйнштейна по собственному времени, согласно фор-
муле (9.13), есть (vfZ/c)max = 3,23 и число Эйнштейна, со-
гласно формуле (9.12), есть (v/c)max = 0,955.
При полете от Земли к центру Галактики собственная
скорость полета возрастает до (^)max = 3,l • Ю9 м/сек;
это значит, что (ve/c)max= 10,34, (vez/c)max = 1,6 • 104, (v/c)max~
~ 1 и т. д.
Этот способ рассмотрения кинематики полета с точки
зрения экипажа с помощью собственных значений кинема-
тических величин и производимых в ракете безотноси-
тельно к окружающему измерений прост и особенно
приспособлен к физиологическим ощущениям экипажа.
Для дальнейших динамических исследований целесо-
образен также другой способ рассмотрения с точки зрения
экипажа, а именно способ рассмотрения относительно на-
чальной и конечной точек рейса, следовательно, с приме-
нением относительных значений кинематических величин
и с измерением их относительно внешних точек.
Положим, что начальная и конечная точки рейса,
например опять Земля и Толиман (« Центавра), находятся
в покое относительно друг друга.
Экипаж, конечно, опять в первую очередь сможет уста-
новить испытываемое собственное ускорение Ье и замедлен-
ное собственное время Кроме этого, пусть он имеет теперь
также возможность установить расстояние s'e от точки,
где он находится, до места своего старта, а также до конеч-
ного пункта и измерить скорость v относительно этих точек,
например, при помощи принципа Допплера.
По соображениям начала этой главы, экипаж при своем
рассмотрении точки старта и конечной точки находится
точно в таком же положении, в каком находится наблюда-
тель в одной из этих внешних точек, который наблюдает
Движение ракеты.
88
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Поэтому прежде всего он найдет, согласно формуле
(9.3), что расстояние S от точки старта до конечной точки,
которое он измерил на старте, например расстояние от
Земли до Толимана, изменяется в зависимости от относи-
тельной скорости v, так как этот отрезок S движется отно-
сительно ракеты со скоростью v и поэтому подчиняется
релятивистскому сокращению длины.
Согласно формуле (9.3), имеем
S'(/S = (1 - и2/с2У.	(9.22)
Так как экипажу с самого начала известно относительное
расстояние S Земля—Толиман, он может с помощью соот-
ношения (9.22) взаимно контролировать свои измерения
величин $' и и соответственно отказаться от одного из
двух измерений.
Далее он может из обоих внешних измерений пройден-
ного пути S'e и соответствующей относительной скорости г
вывести с помощью своего внутреннего измерения времени
ускорение по собственному пути bew = vdv/ds'e, которое
отлично от всех использовавшихся до сих пор ускорений,
в частности от собственного ускорения Ье, но которым мы,
однако, не будем здесь далее пользоваться.
Рассмотренный ранее пример полета Земля—Толи-
ман с постоянным собственным ускорением Ье = 30 м/сек2
ракеты с точки зрения экипажа, но при применении
относительных кинематических величин, выглядел бы при-
мерно так:
Если на половине расстояния Земля—Толиман соб-
ственная скорость полета (ve/c)max = 2,79, то из формулы
(9.12) следует для относительной скорости полета (у/с)тах =
= 0,9925, а относительное число Эйнштейна остается, во
всяком случае, меньше единицы. Вместе с тем для этого
момента собственное расстояние Земля—Толиман на осно-
вании равенства (9.22) оказывается равным 8' = 0,1242 S —
= 0,564 светового года.
Сокращение длины, следовательно, уже очень значи-
тельно.
Локальное относительное ускорение на основании равен-
ства (9.14) есть b = 0,00183 bt — 0,055 м/сек2.
Относительное время, которое наблюдатель установил
бы в конечной точке рейса для этого процесса ускорения,
Гл. 9. Кинематика привода с точки зрения экипажа
89
составляет, согласно равенству (9.106), t = 2,91 te = 2,57
года, в то время как экипаж, конечно, получит для того
же самого процесса опять собственное время te = 0,885
года.
На второй половине пути скорость опять уменьшается
с тем же самым постоянным собственным замедлением Ье =
= ЗЮ м/сек2 до тех пор, пока в конечной точке относительная
скорость не станет равна нулю и кинематические относи-
тельные величины не станут опять равны собственным
величинам.
Пример полета Земля—Толиман можно теперь обобщить
так же, как это было сделано при рассмотрении собствен-
ных значений на фиг. 8, а именно можно выразить как
функции астрономического расстояния S между местом
старта и конечной точкой наибольшую достигаемую отно-
сительную скорость v, протекающее за время рейса отно-
сительное время Т, наблюдаемое при максимуме скорости
кратчайшее расстояние S' между точками начала и конца
пути, соответствующее наименьшее относительное уско-
рение b и т. д.
Это сделано на фиг. 9 с помощью соотношений
(^/с)тах	= th (^e/c)tnax »	(9.23)
	“ Ch 3 (^e/c)max >	(9.24)
(Se/S)min	= Ch 1 (^/c)max »	(9.25)
(Т/Те)	Sh (ve/c)mjx	(9.26)
(^ez/c)niax :	= Sil O’e/C)max	(9.27)
где, согласно равенству (9.17), (ye/c)max — arch (1 + bcS/2c2).
Из фиг. 9 прежде всего видно, что способы рассмотрения
с помощью собственных и относительных значений начинают
заметно отличаться один от другого только в том случае,
если собственная скорость примерно на 10% превышает
скорость света, т. е. при полетах на расстояния свыше
Ю*з км, следовательно, в межзвездной области.
При полетах внутри солнечной системы отклонения не-
значительны.
90
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
При межзвездных полетах и в особенности при поле-
тах вне галактической системы отклонения будут очень
велики.
Отношение Т/Те времени, протекающего в конечной
точке пути, к времени, прожитому на борту во время путе-
шествия, может превышать Ю8.
В точке пути, которая соответствует наивысшей соб-
ственной скорости, объем Вселенной может для экипажа
уменьшиться в 1010 раз по сравнению с измеряемым земной
астрономией ; относительное ускорение будет быстро приб-
лижаться, несмотря на постоянное собственное ускорение,
Ф и г. 9. Кинематика полетов в пространстве, в
которых на первой половине расстояния до конеч-
ного пункта происходит равномерное ускорение
с be — 30 M/ceifi а на второй половине пути точно
такое же замедление;
Гл. 9. Кинематика привода с точки зрения экипажа
91
к исчезающе малым значениям, и относительная скорость
будет благодаря этому асимптотически приближаться к ско-
рости света, в то время как собственная скорость будет во
много раз превышать скорость света.
Происходящие таким образом изменения для большей
части экипажа, до сознания которой доходят только соб-
ственные значения, вообще не будут заметны, и только
члены экипажа, работающие на приборах наблюдения внеш-
него мира, будут их замечать.
Глава 10
ДИНАМИКА ПРИВОДА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
ЭКИПАЖА
После подробного рассмотрения кинематики полета в
пространстве с точки зрения экипажа ракеты, (см. гл. 9)
мы обратимся теперь к самой динамике полета в прост-
ранстве, т. е. к вопросу о том, как получить приводные
силы для осуществления до сих пор просто допускаемых
кинематических процессов.
Мы имеем в виду при этом практически наиболее важ-
ный случай, когда принимаемые в ракету массы dmei не
обладают относительно мест старта и прибытия заметной
скоростью, т. е. движутся относительно ракеты со скоростью
v{= —V.
Масса, принимаемая в ракету в одну секунду собствен-
ного времени, составляет поэтому, согласно формуле (3.6),
dm^dL = де Fv(l — i^/c2)1,	.	(10.1)
и передаваемый ракете с принимаемой массой импульс
против направления движения, согласно формуле (3.7),
оказывается равным
d li/dte = - F v2 (1 - ?>2/c2) -1.	(10.2)
Введя в оба эти равенства вместо скорости v принимаемых
масс относительно ракеты собственную скорость ve ракеты,
согласно соотношению (9.12), получим
dmelldt' = eeFcT^'£fc}	(10.1а)
и, соответственно,
d l[ldtt = - ₽е Fc2 f ~FC2 sh2 (г>е/с).	(10.2a)
Гл. 10. Динамика привода с точки зрения экипажа 93
При ve/c < 1 формулы (10.1а) и (10.2а) переходятпутем
разложения в ряд в классические соотношения
drrii/dt = р F v,	(10.16)
dhldt=-^F^.	(10.26)
При ve/c > 1 те же равенства принимают вид
dmei/dte = 4 ре f ,	( 10.1 В)
d I'Jdte =-±yeF с2 eiVelc.	(10.2в)
Отдаваемая из ракеты в единицу собственного времени
со скоростью v'5 масса может быть вычислена (см. фиг. 4)
по формуле
dm'bldte = [1 — я (1 — е)] dniezldte .	(10.3)
Если парциальность л не равна нулю, следовательно,
па фиг. 4 dm'5 отлично от dme2> то с борта ракеты будет,
кроме того, непрерывно и без относительной скорости отда-
ваться масса л(1 —e)dme2, так что вся масса, отдаваемая
в единицу собственного времени, составит dme2ldte.
Масса, принимаемая в ракету в единицу собственного
времени, определяется величинами ge, F и ve, согласно
формуле (10.1а).
Полное изменение собственной массы ракеты за секунду
» собственного времени будет, таким образом,
drn^dte = -dme2/dtt + geFc	•	(lfl‘4)
Сообщаемый ракете расходуемой массой dnie2ldtc импульс
в направлении движения составляет, согласно формуле (7.5),
d F5/dte = dni^dtf • с |-,	(10.5)
где е, Tjj и л под знаком корня — известные характеристи-
ческие числа двигателя, а именно выход энергии применяе-
мой реакции, внутренний коэффициент полезного действия
двигателя и парциальность рабочего процесса.
94	Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Сообщаемый ракете принимаемой массой импульс про-
тив направления движения определяется из равенства
(10.2а).
Полный передаваемый ракете в секунду собственного
времени импульс в направлении движения или сообщаемая
собственная тяга Ре составит, если принять во внимание
равенство (10.4),
Ре = dl'/dte = dl'^ldte ~ dl'jjdte =
= dnieiildte  С У-- Qe Fc2 Sh2 (velc) =	(10.6)
- f'w 1 Й - ,hwc>i
Это соотношение охватывает все действие реактивного дви-
гателя.
Если или ре, или F, или ve равно нулю, то исчезает
первый член и остается одно ракетное действие, пред-
ставляемое вторым членом, которое полностью не зависит
от окружающих обстоятельств (ve, ре).
Собственная тяга Ре, определяемая равенством (10.6),
может быть непосредственно измерена в ракете установлен-
ным между двигателем и камерой динамометром, если при-
нять во внимание отношение массы двигателя к массе
камеры.
В постоянно свободном от тяжести пространстве она
в зависимости от массы ракеты физиологически ощущается
экипажем как собственное ускорение Ье.
Изменение в единицу собственного времени собственной
скорости ve ракеты с мгновенной собственной массой те2,
т. е. собственное ускорение ракеты под действием этого при-
вода, можно получить, исходя из основного динамического
уравнения в собственной системе отсчета ракеты:
Ъе= tlVe = -Р( dP .	(10.7)
die т€2 mez die	v
Как уже упоминалось, «собственная скорость а,,» есть
формальная расчетная величина, которая связана с действи-
тельной относительной скоростью v простым соотношением
(9.12), но не представляет собой никакой физической реаль-
ности в таком смысле, как v, так как не существует никакой
Гл. 10. Динамика привода с точки зрения экипажа
95
системы координат, относительно которой она могла бы
быть измерена.
Можно, конечно, вводить подобные формальные вели-
чины в механические соотношения так же, как и действи-
тельные скорости, например можно вычислять импульсы
и энергии, не ожидая от них большего физического смысла,
чем от самой ve.
Если мы используем здесь производную этой скорости
по собственному времени экипажа в сочетании с основным
динамическим уравнением, то вычисленное таким путем
собственное ускорение Ье не будет иметь физической «реаль-
ности» в обычном смысле, так как переносное ускорение
частицы относительно этой точки не имеет смысла.
Но это ускорение все-таки имеет свою особенную реаль-
ность благодаря тому, что мы обладаем физиологическим
ощущением сил и можем поэтому непосредственно уста-
новить наличие ускорения благодаря его действию на массу
нашего собственного тела ; исходя из ускорения, можно
также вывести заключение об индивидуальной реальности
также и собственной скорости, обнаруживаемой, например,
по числу ударов сердца экипажа, необходимых во время
рейса из солнечной системы на ближайшие известные астро-
номические расстояния.
Вводя в соотношение (10.7) вместо Ре последнее его
выражение из равенства (10.6), получаем
к = ,1-- = Ре - 9еРс2 thWc) Гу~ /Н1- dm-ei и
cite те2 те2 I — ths(«e/c) ( ч 1J meidte
пли
^=1°^ dte-	shM^/C)^-
L me., 1—th2(vf/c) mf2 | 1 mf2 ' ' '
(10.8)
Мы имеем здесь дифференциальное уравнение относительно
трех переменных ve, и te и их дифференциалов. Чтобы
иметь соотношение только между двумя переменными, необ-
ходимо еще одно уравнение, например уравнение (10.4),
гДе dtne2/dtf, расход бортовой массы в собственную секунду,
есть свободно и произвольно выбираемая, а следовательно,
независимая переменная. С помощью этого уравнения можно,
96
Е. Зенгер. К механике фотонных patient
например, исключить
____	______ dmez __________
‘ oFc th (^/c)	_ Met
'	iI — tha {vefc) die
(10.9)
и после некоторых преобразований получить
dlTlez
ITlez
dve
dme2/dte	1
1 „ Fr th МО
F 1 - th2 (ve/c)
С| -
С th (Ve/c)
. _ dmejdte
о Fr th MO
F 1- th2 (ve/c)
(10.10)
Это дифференциальное уравнение релятивистского реактив-
ного привода, составленное с точки зрения экипажа, содер-
жит отношение
dniezldte _	_ dmez/dte
th (Ve/c)	~ dmejdte
1 — th2 (ve/c)
(10.11)
[см. формулу (10.1a) J, т. e. отношение отдаваемой собствен-
ной массы к принимаемой, и поэтому содержит также,
конечно, граничные случаи чистого ракетного привода
(отношение бесконечно) и чистого прямоточного реактив-
ного привода (отношение равно единице).
В случае ракетного привода, в котором данное отно-
шение, следовательно, будет бесконечно, дифференциальное
уравнение вырождается в
dve _ dnie2 _ dve
Cf* Inez ~ «'[1 — л(1 — £)]
(10.10а)
Это — дифференциальное уравнение релятивистского ракет-
ного привода с точки зрения экипажа, которое в случае
адиабатического ускорения отдаваемых масс (я — 0) пере-
ходит при помощи соотношения (6.8) в известное дифферен-
циальное уравнение классического ракетного привода
dve dm, г	dv dm,
— =--------— , или -----=-------- .
тег	vB	m2
Гл. 10. Динамика привода с точки зрения экипажа 97
Последнее действительно в качестве закона классической
механики как с точки зрения экипажа, так и с точки зрения
внешнего наблюдателя.
Решение этого уравнения, как известно, есть
mez	( Ve — V*\	(
mf, = eXP	= eXP (-
(Ю.12)
если in*e2 — начальная масса ракеты при начальной собствен-
ной скорости v* в начале процесса приведения в движение.
В случае прямоточного реактивного привода названное
отношение отдаваемой собственной массы к принимаемой
равно единице, так как чистый прямоточный реактивный
двигатель в единицу времени отдает столько же массы,
сколько принимает, вследствие чего дифференциальное
уравнение (10.10) вырождается и принимает вид
(1тег
ГЛ? 2
(10.106)
Для того чтобы можно было указать решения дифферен-
циального уравнения (10.10), т. е. основного релятивист-
ского уравнения реактивного привода, надо, очевидно,
сделать конкретные предположения об изменении произ-
вольных параметров уравнения (10.11) во время процесса
приведения в движение.
Первый пример такого предположения — постоянное
во времени отношение отдаваемой массы к принимаемой, т. е.
= const = к. (10.13)
dmejdte	'	’
Этот пример не только соответствует обоим упомянутым
практически важным граничным случаям чистого ракет-
ного привода (/с = со) и чистого прямоточного реактивного
привода (к = 1), но относится также, например, к атмос-
ферному химическому прямоточному реактивному двига-
телю с постоянным нагревом (при углеводородном нагреве
к лежит примерно между 1,07 и 1,01 в зависимости от выб-
ранной примеси горючего к воздуху) и может также иметь
значение для атомного прямоточного реактивного двигателя
в атмосфере или в межзвездной материи.
7 в. Зенгер
98
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Дифференциальное уравнение (10.10) в последнем случае
упрощается и принимает вид
dmez ____	dVe
Шег ~~ К 7Z С th (ve/c)
k-TcV ~ т=т~
(10.14)
Это уравнение имеет следующее решение :
/с-1
тег _ Г fc У ~ th (Уе/С) 1 (/сК“ )М
тег ~ [fc К- — th («е/с) I
/с—1	k -I
Г 1 — th («е/0 1 z(/cK-- l) I _+_th (%/сИ 2 (/ср- +1)
L 1 - th (vile) J ’ L 1 + th {ve/c) J
где vf есть опять собственная скорость в точке начала
°тсчета времени, когда собственная масса ракеты равна т*.
Дифференцированием убеждаемся, что уравнение (10.15)
есть интеграл уравнения (10.14).
Общее релятивистское основное уравнение реактивного
привода с точки зрения экипажа и с постоянным отношением
отдаваемой массы к принимаемой, уравнение (10.15) должно,
конечно, содержать в себе граничные случаи чистого ракет-
ного привода при к = оо :
(10.15а)
и чистого прямоточного реактивного привода при к — 1
^-=1,	(10.156)
тёг
что следует уже из существования уравнений (10.10а) и
(10.106).
Использование сложного основного уравнения реактив-
ного двигателя является неизбежным в области собственных
чисел Эйнштейна ve/c полета, лежащих примерно между
0,1 и 5, но для более низких и более высоких собственных
чисел Эйнштейна это уравнение упрощается.
Рассматриваемое основное уравнение реактивного при-
вода будет значительно нагляднее, если сначала ограни-
читься скоростями полета, меньшими скорости света при-
Гл. 10. Динамика привода с точки зрения экипажа
99
мерно на 10%, так что импульс принимаемых собствен-
ных масс может быть вычислен приближенно классическим
способом.
Тогда уравнение (10.10) переходит с помощью соотно-
шений (10.16) и (10.26) в следующее :
(1те, ___	dve
I	1. dmezldtc J	|cr_-^L dmejdte
(10.10')
и, наконец, уравнение (10.14) — в следующее:
dmez ___________dve______
~ k ..г- v‘
к -Iе1' I: - 1
(10.14')
Решение последнего, т. е. соответствующее общему урав-
нению (10.15) основное уравнение реактивного привода для
скоростей полета, на 10% меньших скорости света, есть
ike у — О____________ те2
U с V~ — V*)	~ тк.. '
(10.15')
Предельный случай чистого ракетного привода (к = оо)
получается из этого равенства при делении числителя и
знаменателя на первый член числителя и определении
предельного значения возникающих тогда в числителе
и знаменателе неопределенностей вида 1°°
lim
= ехр (-^Д).
Это опять соотношение (10.15а).
Предельный случай чистого прямоточного реактивного
двигателя (к = 1) непосредственно следует из уравнения
lim = 1;
fc-,1 те2
это — формула (10.156).
Согласно формуле (10.15'), функция ve могла бы достиг-
нуть значения кс У~ при к > 1 только в том случае, если
бы вся масса ракеты те2 была израсходована; при к > 1
она, напротив, могла бы достигнуть его при постоянном
возрастании массы ракеты вплоть до бесконечной величины.
7*
100
£. Зенгер. К механике фотонных ракет
Другой, также очень наглядный, частный случай основ-
ного уравнения (10.15) реактивного привода получается,
если ограничиться собственными скоростями полета, более
чем в пять раз превосходящими скорость света.
Величина и импульс принимаемых масс получаются
тогда с большим приближением из уравнений (Ю.1в) и
(10.2в), и уравнение (10.14) переходит в следующее :
drriez __	dve
тег ~~ к ~ с
(10.14")
Его решение, т. е. соответствующее общему уравнению
(10.15) основное уравнение реактивного привода для соб-
ственных скоростей полета, примерно в пять раз больших
скорости света, есть
П1е 2
Ше2
ехр
Уе — Уе
1)
(10.15")
Предельные случаи чистого ракетного привода и чистого
прямоточного реактивного, привода опять дают формулы
(10.15а) и (10.156).
В проводившихся выше рассуждениях, относящихся к
динамике реактивного привода с точки зрения экипажа,
было принято на основании уравнения (10.4), что расхо-
дуемый при диабатическом ускорении масс в единицу
собственного времени, но выталкиваемый без ускорения
остаток массы л (1 —e)dme2fdte отдается с борта непрерывно
и без скорости, что соответствует наиболее экономичному
процессу приведения в движение.
Если по особым причинам этот остаток массы должен
сохраняться на борту, например чтобы при полете внутри
атмосферы не загрязнять ее радиоактивными материалами,
то вся отдаваемая в единицу собственного времени масса
будет составлять только [1 —п(1 —е)] dme2/dte вместо dme2ldte,
так что уравнение (10.4) принимает вид
+	= — [1 — Я(1 — е)] dfne2/dte +
<|0-4а)
Гл. 10. Динамика привода с точки зрения экипажа
101
Получающийся в результате отдачи масс импульс dl'&ldte,
определяемый равенством (10.5), конечно, не изменяется-
Равенство (10.6) принимает вид
Ре = Qe Fc2
th (Vefc)
1 - th2 (%/с)
Г
1 —л(1 —е)
- th (Ve/C)j -
cdme2 V~
dte 1 - я (1 - c)
(10.6a)
а уравнение (10.8) — вид
Г ge F c th (%/с)	,, dme2~l
Lmc2[l — th2(%/c)]' Ule 'mc2 J
cT
[1 - л(1 -e)]
^f-^sh2 (ve/c)dte. (10.8a)
Из уравнения (10.4a) следует теперь
j. _ _________________dmea
о Fr thWc) Fl
QeF 1 — th2(%/c) i1
и уравнение (10.10) принимает вид
dme2
ГПе2
-, (10.9а)
л (1 — с)] drriez/dte
[1 — л (1 — e)]dve
[1 — л (1 — е)] dmei/dte *
су-
th (%/с)
?£ F 1 - th2 (%/с)
 [ 1 —л (1 — с)] cth (%/с)
1	[1—л(1— с) \drne2/dte
о Fc th
9е 1 - th2 (%/с)
(10.106)
Дальнейшее обсуждение этого дифференциального уравне-
ния релятивистского реактивного привода с точки зрения
экипажа и без отдачи расходуемого, но не ускоряемого
горючего полностью аналогично обсуждению уравнения
(10.10) и здесь излагаться не будет.
Мы отметим здесь только его частный случай, относя-
щийся к чистому ракетному приводу; в этом случае, как
известно, будем иметь
(dme2ldte)l(dmeildte) = со .
102
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
По аналогии с уравнением (10.10а) будет
dme2 [1 - л (1 — е)] cZt>f
~ л-/Г2 “-------Гг--------’	(10-lOa')
решение этого уравнения есть, очевидно,
- - ехр [-	-j>].
Это прежде всего относится к примеру движения, при
котором отношение отдаваемой в единицу собственного вре-
мени собственной массы к принимаемой постоянно равно к.
Из равенства (10.15") вытекает, что для этого случая
движения не возникает никаких трудностей, если начальная
скорость v* соответственно высока.
Из формул (10.15) и (10.15') следует, с другой стороны,
что при малых начальных скоростях v* импульс движения
должен оставаться очень малым, так как принимаемые
массы в этой области очень малы и отдаваемые массы
dme2ldte связаны с ними постоянной к. Для г* = 0 начальная
тяга должна даже исчезать.
Основные уравнения реактивного привода (10.15), (10.15')
и (10.15") не зависят от применяемых ускорений ракеты,
так что для последних из основных уравнений нельзя
вывести никаких следствий.
Однако бесспорно, что в случае движения с постоянной
величиной к не будет вообще никакого постоянного соб-
ственного ускорения ракеты.
Поэтому случай be = const мы подвергнем здесь особому
рассмотрению.
В этом случае условие (10.13) заменяется другим
be = dve/dte = const ,	(10.16)
в то время как (dme2ldte)l(dinelldte) и соответственно
[1—л(1—e) ](dme2ldte)/(dmelldte) теперь, конечно, стано-
вятся зависимыми переменными, которые мы должны опре-
делить в первую очередь, так как кинематика всего процесса
вполне установлена результатами гл. 9 и определяется вели-
чинами
Ье ; ve = V* + bete; Se= V*te + bet%2 = (ve - V*)2/2 be .
Гл. 10. Динамика привода с точки зрения экипажа
103
Поэтому нужно только представить секундный расход
массы или соответствующую остающуюся собственную массу
ракеты те2 как функции одной из основных кинематических
величин ve или tc.
Из формул (10.6) и (10.7) мы прежде всего получаем
I Ре =	_ JeF^ sh2 ( ,с)
те2 me2dte	тс2 ' ' '
Заменив в этом выражении через dme2 с помощью
равенства (10.4) и исключив dte с помощью соотношения
dte = dve/be, после некоторых преобразований получим
ilmest ____ men _ ge Fc th (ve/c) I j _ th (гу/с) 1 _
dl'e ~ с l'— be 1 — th2 (Oe/c) I	J
Это дифференциальное уравнение есть частный случай
общего уравнения (10.10) для постоянного собственного
ускорения Ье ракеты.
Его решение имеет вид
Kle2	4beffle2 |2 + 1/К	[
Мы рассмотрим также этот случай движения с постоян-
ным собственным ускорением для предельных случаев очень
малых и очень больших эйнштейновых чисел полета и для
предельных случаев чистого ракетного привода и чистого
прямоточного реактивного привода.
При очень малых собственных эйнштейновых числах
полета vjc 1 дифференциальное уравнение (10.17) с по-
мощью соотношений (10.16) и (10.26) принимает вид
dme2
dvt
. тег _ OeFVe
+ С Г be
Г1 - -^=] = 0 .
L
(10.17')
104
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Решение этого уравнения, которое с помощью разложения
в ряд получается также из решения (10.18), имеет вид
тег =е------+ 9eF v'e ~
те2	m^z 2 be
(10.18')
В случае ракетного привода второй член исчезает, в случае
чистого прямоточного реактивного привода должно быть
тгг/т*2 = 1, откуда следует точно соблюдаемое для осталь-
ных величин условие постоянного ускорения.
При очень больших собственных числах Эйнштейна
г>е/с> I дифференциальное уравнение (10.17) с помощью
соотношений (10.1в) и (10.2в) переходит в следующее:
= 0.	(10.17")
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

QeFc2 1-V lZ~ Me
4hem'2 2+1/К-
X
х [1 - е с j (10.18")
и может быть также получено из решения (10.18).
Частные случаи общих уравнений (10.17) и (10.18),
относящиеся к чистому ракетному приводу и чистому пря-
моточному реактивному приводу, получаются подобно пре-
дыдущему.
Можно было бы исследовать еще различные другие слу-
чаи движения, имеющие специальный интерес, например
движение с постоянной тягой, но мы этого делать не будем.
Наконец, можно также, исходя из общего основного
уравнения (10.10) или из вытекающих из основного урав-
нения для соответствующих процессов движения уравнений
(10.14) или (10.17), исключить не dte (что ведет к соотно-
шению те2]т*2 = /(г?е), или dme и в результате получить
соответствующие основные уравнения mf2/m*2 == /(fe) или
v2 — f(fe)> чего MbI здесь также делать не будем, потому что
последнее соотношение обстоятельно рассмотрено в гл. 9 для
важнейшего случая^движения с постоянным ускорением.
Глава 77
ПРОЦЕССЫ ПРИВЕДЕНИЯ В ДВИЖЕНИЕ
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ЭКИПАЖА
Прежде всего нас интересует здесь вопрос, насколько
плотность межзвездной материи достаточна, чтобы непре-
рывно снабжать прямоточный фотонно-реактивный двига-
тель топливом.
Так как наши сведения о межзвездной материи не выходят
за пределы галактического пространства, мы вынуждены
ограничиться обсуждением соотношений, имеющих место
внутри Галактики.
Совокупную массу межзвездной материи в Галактике
можно, как известно, принять равной по порядку величины
общей массе светящихся звезд, причем доля газообразной
материи превышает долю пылеобразной округленно на
десять порядков.
Принимается, что примерно 9О°/о межзвездного газа
представляет собой атомарный, большей частью ионизиро-
ванный водород; остаток же, по-видимому, в основном
состоит из натрия, калия, кальция и титана.
Средняя плотность межзвездной материи составляет при-
мерно
?е= 10-a3-5±i г/сл!3,	(11.1)
что соответствует от 0,2 до 20 фотонов на кубический санти-
метр.
Подобный же состав имеет, по-видимому, также первич-
ное космическое излучение, частицы которого входят в
земную атмосферу с энергиями примерно от Екин = 109э<?
до Екин = 1015эв. При собственной энергии, приблизительно
равной Ее = 109эв, это соответствует, согласно равенству
(2.3), относительным скоростям примерно между
^1/с = F1 - [Ее/(£е +-Екин)]2 ~о,87 и (1 -0,5  10"12), (11.2)
106	Е. Зенгер К механике фотонных ракет
т. е. в последнем случае скорость движения приближается
к скорости света примерно до 1,5 • 10-2 см/сек, т. е. ближе,
чем вообще позволяет точность, с которой известна ско-
рость света.
Соответствующие собственные скорости получаются из
уравнения (9.12) в виде
vel/c = arth (wj/c) = arth У1 - [Ee/(Ee + Екин)]2 ~
~ 1,33 до 14,3.	(11.3)
Порядок величин здесь такой же, как у рассмотренных на
фиг. 7 собственных скоростей фотонных ракет.
Кроме того, доля движущейся с такими высокими ско-
ростями относительно нашей солнечной системы межзвезд-
ной материи по сравнению со всей ее массой должна быть
ничтожна, так как она соответствует статистическому тер-
мическому распределению скоростей газа при температуре
межзвездного газа и соответственно этому эта быстрая часть
должна быть равномерно ориентирована по всем направле-
ниям пространства, так что при наших технических сообра-
жениях она может сначала не приниматься во внимание.
Это значит, что мы считаем межзвездный газ в первом при-
ближении покоящимся относительно нашей солнечной сис-
темы и пренебрегаем его термическим распределением ско-
ростей.
Относительная скорость v[ межзвездного газа по отно-
шению к ракете равна —v.
Масса среды, принимаемая в собственную секунду,
согласно равенству (3.6), выражается в виде
dm'el/dte = F v2 (1 — г^/с2) -1.	(11.4)
Передаваемый ракете вместе с принимаемой массой
импульс против направления движения определяется, со-
гласно (3.7), равенством
d l'Jdte = F v* (1 - i>2/c2)-i.	(11.5)
В случае чистого прямоточного реактивного привода
бортовая масса, отдаваемая в секунду собственного времени,
равна
dme2 =dm'el,
(11.6)
Гл. 11. Процессы приведения в движение с точки зрения экипажа 107
и передаваемый ракете посредством отдаваемой массы
импульс в направлении движения, согласно (7.7), равен
dr5ldte = dm'aldte-c]T.	(Н-7)
Следовательно, тяга прямоточного фотонно-реактивного
привода в системе экипажа равна
P^dl'Jdt'-dl’Jdt^
= Ре ^2 (I - к Г- «2] , (1 1-8)
или, если вместо относительной скорости полета wa ввести
собственную скорость полета ve2, согласно формуле (9.12),
ve2 = с arth (v2/c),	(11.9)
Ре = Ре F С2	[Г-th ЫС)] .	(1 1.10)
Формула (11.10) есть, следовательно, частный случай,
формулы (10.6), в котором выполняется условие (11.6).
Пользуясь при вычислениях для случая полета в прост-
ранстве, как это обычно делают для воздушных полетов,
скоростным напором и вводя собственный скоростной напор
межзвездного газа
Pe = Pe^/2 = -^2th2(«<a/c),	(11.11)
можно определить коэффициент тяги cs прямоточного фо-
тонно-реактивного двигателя в виде
. _ Р‘ _ о Г" - th Ыс)__________ П 1 !2)
s~ qtF ~ th (»es/c) [ 1 — til2 (««/с) | ' U 7
Второй член числителя обозначает здесь, очевидно, факти-
ческое давление ре принимаемых масс, определяемое из
уравнения (11.5).
Отношение этого давления к определенному выше ско-
ростному напору
Р'__	2-------------2___ Л1 13)
qe~(l-v,,/cS!)	1-th2(^2/c)	v ’
108
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
для очень малых собственных скоростей ve2/c <s 1 будет
равно pelqe-+ 2 и для ve2/c^> 1 равно pf/qe->
Абсолютная величина скоростного напора при произ-
вольно возрастающем собственном числе Эйнштейна прибли-
жается к величине дес2/2 ; при де = 10~22'5 г/см3 скорост-
ной напор будет иметь значение qe — 1,46 • 10~4 кг/м2, при
qe = 10-24’5 г/см3 — значение qe = 1,46 • 10-® кг/м2, следо-
вательно, величина qe остается всегда чрезвычайно малой
и не дает никакой меры для действительно имеющихся
давлений.
Действительное динамическое давление ре, согласно соот-
ношению (П-5),
Pe = qec2sh2{ve2lc)	(11.14)
с предельными случаями при
ve/c<^\ ... pe = qev2
(11.14а)
и при
vf/c> 1 ... ре= ^-e2v"'c
(11.146)
представлено численно на фиг. 10 в кг/м3 в зависимости
от vjc.
Удивительный на первый взгляд факт, что динамическое
давление межзвездного газа при высоких собственных числах
Эйнштейна может столь сильно превышать дес2, объясняется
значительной дилатацией времени, вследствие которой в
единицу собственного времени проходятся, как уже гово-
рилось, весьма значительные астрономические отрезки пути,
так что приемным поперечным сечением F покрываются
и тормозятся весьма значительные массы.
Это обстоятельство видно также из уравнения (11.5),
так как, согласно этому уравнению, импульс имеющей
собственную массу межзвездной материи при приближении
относительной скорости к скорости света стремится к беско-
нечности.
Из фиг. 10 видно, что динамическое давление межзвезд-
ного газа достигает характерного для техники воздушного
полета порядка величины в одну атмосферу при собствен-
ных скоростях ракеты, равных примерно десятикратной
Lg Ре (кг/мг)
Ф и г. 10. Динамическое давление межзвездной
материи ре при плотности g= 10 23>5=tl г/см3 в
зависимости от собственного числа Эйнштейна ve/c.
110
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
скорости света, что соответствует, согласно фиг. 8, полетам
внутри Галактики. ’
При примерно 15-кратной скорости света динамическое
давление превышает господствующие в технике порядки
величин и будет сравнимо с прочностью материалов. Такие
скорости, согласно фиг. 8, соответствуют уже внешним
межгалактическим полетам.
Однако уже значительно раньше распыляющее действие
межзвездной материи на внешние стенки ракеты может,
по современным представлениям о строительных мате-
риалах, оказаться настолько разрушительным, что стенки
могут не выдержать, в особенности если атомы газа попа-
дают на стенки тангенциально.
Формула собственной тяги (11.10) принимает в случаях
крайних скоростей вид:
при vejc <§ 1
(П15Э
при ve/c > 1
Pe=!oeFc2A([,.-; м-1].	(11.15")
e 4 *	1 th (Ve/c) I	'	1
Тяга на единицу приемной поверхности будет поэтому
при ve/c <« 1
= (,L16)
при всех ve/c
pJF =	-фь2(«.М;	(" I’»
при vjc > 1
p/F = ^-pec2LJ l]e2i,‘/c.	(11-18)
4 y L tn (vejc) I	v
На фиг. 11 представлен графически ход изменения вели-
чины Pe/F, собственной тяги на единицу приемной поверх-
ности, в зависимости от изменения vjc для наиболее выгод-
ного случая отдачи масс : е = 1, гц = 1, л = 0, т. е. У”’ = h
т. е. для полного превращения массы в излучение.
Гл. 11. Процессы приведения в движение с точки зрения экипажа 111
Фиг. 11. Тяга прямоточного фотонно-реактив-
ного двигателя при плотности межзвездной ма-
терии ре= 10 23>5±1 г/см3, достаточная, чтобы
компенсировать сопротивление потока меж-
звездной материи.
В этом случае три формулы для тяги принимают вид:
при ve/c < 1
Pe/F = ^eC,	(Н.16')
при всех ve/c
PelF = Ь [cth (ve/c) - 1 ] sh2 (Ve/C) ,	(11.17')
при ve/c > 1
112	Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Pe/F = ~дес2.	(11.18')
Тяга прямоточного фотонно-реактивного привода при
очень высоких сверхсветовых собственных скоростях не
будет, следовательно, зависеть от собственной скорости ve
и будет оставаться постоянной, несмотря на значительно
возрастающее пропускание масс. Это следует из того, что
разность скоростей между прибывающими почти со ско-
ростью света внешними массами и точно со скоростью света
выходящими бортовыми массами уменьшается в той же
самой мере, в какой возрастает пропускание масс.
Как показывает фиг. II, абсолютная величина тяги
прямоточного фотонно-реактивного привода совершенно
ничтожна.
Значение этого принципа приведения в движение заклю-
чается поэтому не в возможности, например, приведения
в движение ракеты с высокими ускорениями, а в пассивной
возможности устранения сопротивления потока межзвезд-
ного газа, сопротивления среды, так как в противном случае
были бы достигнуты представленные на фиг. 10 чрезвычайно
высокие величины и поэтому полет с высокими сверхсвето-
выми скоростями с самого начала стал бы невозможен.
Межзвездная материя как таковая никогда не может
помогать межзвездному полету, а может только препят-
ствовать ему.
Дополнительным применением принципа прямоточного
реактивного привода при высоких скоростях полета теорети-
чески можно полностью устранить это препятствие, так что
процессы приведения в движение с помощью ракетного
принципа будут происходить тогда как в совершенно сво-
бодном от материи пространстве.
Если пространство само практически свободно от мате-
рии, чего мы в большей степени ожидаем для внегалакти-
ческой области, чем для галактического пространства, то
применение принципа прямоточного фотонно-реактивного
привода — смотря по разрежению межгалактического
газа — не только невозможно, но также и излишне,
rig. Подлинно действенным и единственно применимым для
ускорения ракеты принципом приведения в движение
остается в каждом случае ракетный принцип.
Гл. 11. Процессы приведения в движение с точки зрения экипажа 113
Физические причины видимого на фиг. 11 и бросаю-
щегося в глаза различия поведения тяги прямоточного
фотонно-реактивного привода в до- и сверхсветовой облас-
тях собственных скоростей полета можно легко понять.
В досветовой области пропускаемая в секунду собствен-
ного времени масса определяется в основном по уравнению
(10.16) величиной geve2 и, следовательно, возрастает линейно
вместе с ve2, а ее полезный импульс определяется разностью
скоростей с — ve2, равных между собой отдаваемых и при-
нимаемых собственных масс. Эта разность скоростей по
существу постоянно равна с, пока скорость ve2 остается
малой по сравнению с с. Тяга растет только соответственно
возрастающему пропусканию масс линейно вместе с ve2/c.
В сверхсветовой области пропускаемая в секунду соб-
ственногош времени масса определяется равенством (10.1 в)
в виде gee2v“lc, следовательно, растет экспоненциально
вместе с ve2.
Определяющая ее полезный импульс разность скоростей
с — v2 с ростом V., будет, конечно, уменьшаться.
Из связи между v2 и ие2, согласно (9.12), следует, что
для большого ve2/c разность с — v2 будет равна 2ce2v“,c,
следовательно, будет экспоненциально затухать вместе с ve2.
Произведение экспоненциально возрастающей вместе с ve2
пропускаемой массы на экспоненциально уменьшающу-
юся с ve2 разность скоростей, т. е. тяга, остается, одна-
ко, независимым от ve2 и постоянным, как показывает
фиг. 11.
При упомянутых вначале ничтожных средних плот-
ностях = ю-23’541 г/см3 межзвездной материи абсолют-
ная величина этой тяги остается порядка 10-5±1 кг)м2,
следовательно, порядка, который не имеет технического
значения, несмотря на связанные с ней огромные световые
давления и динамические давления потока, малая разность
которых как раз и дает тягу.
Этот последний факт приводит также к выводу, что в
зонах Вселенной со значительно более высокими плотно-
стями межзвездного газа при высоких сверхсветовых скоро-
стях динамическое давление потока будет всегда превосхо-
дить все технически допустимые границы раньше, чем тяга до-
стигнет величины такого порядка, чтобы она могла быть ис-
пользована более чем для компенсации сопротивления среды.
8 Е . Зенгер
114
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Из равенств (11.146) и (11.18') видно, что отношение ре
к Pe/F при высоких vjc равно примерно 1/2 • e2v“'c, следо-
вательно, с ростом сверхсветовой скорости оно будет очень
быстро становиться невыгодным.
Напротив, это соотношение будет значительно более
выгодным в глубокой досветовой области, когда оно будет
равно pel(PeIF) = ve/c, так что там ввиду высоких плот-
ностей окружающего газа можно ожидать больших зна-
чений тяги от прямоточного реактивного двигателя.
Таким образом, согласно полученным выводам настоя-
щей главы, единственную возможность для ускорения
ракеты в желаемой степени при межзвездных полетах дает
принцип ракетного привода. Поэтому необходимо более
подробно обсудить этот процесс приведения в движение
с точки зрения экипажа.
При этом мы будем иметь в виду два случая: во-первых,
тот случай, когда движение в межзвездном пространстве
происходит без всякого сопротивления, будет ли это потому,
что сопротивлением межзвездной материи из-за ничтожной
скорости полета можно пренебречь, или потому, что оно
компенсируется дополнительным прямоточным реактивным
действием, или, наконец, потому, что плотность межзвездной
материи во внегалактическом пространстве достаточно
мала, и, во-вторых, случай, когда межзвездное сопро-
тивление полету противодействует в указанной равен-
ством (11.14) степени ускорению, сообщаемому ракетным
приводом.
В случае отсутствия сопротивления возрастание соб-
ственной скорости ve2— г>*2на основании уравнения
(10.15а) — совершенно независимо от сообщаемого уско-
рения — определяется уравнением
в зависимости от одновременного, определяемого расходом
бортовой массы изменения массы те2/т*2, если расходуемый,
но не ускоряемый остаток горючего непрерывно и без ско-
рости отдается с борта.
Если, напротив, расходуемые, но не ускоряемые массы
горючего st (1—е) длительное время остаются на борту,
то из уравнения (10.15а') следует
Гл. 11. Процессы приведения в движение с точки зрения экипажа 115
«]	("-ЭД
Предполагая в предельном случае еще v* = 0, в=1,
= 1, л = 0, получаем для частного случая полной фотон-
ной ракеты соотношение
^?- = ехр[-ге/с],	(11.22)
•пе2
которое будет одинаковым для обоих предыдущих урав-
нений.
Все три уравнения полностью соответствуют класси-
ческим основным уравнениям ракеты.
Уравнение (11.22) представлено графически на фиг. 12
и показывает, что границы интересующих нас собственных
чисел Эйнштейна при ve/c = 25 с отношением масс те2/1тГе2=
= 10 10 85 приводят к значительной доле запасов горючего
в весе ракеты.
Поэтому интересно непосредственно отложить нужные
отношения масс от приведенных на фиг. 8 астрономических
расстояний.
Весь рассмотренный процесс полета предполагает также
торможение ракеты при наивысших достижимых скоростях
полета посредством ракетного противодействия до собст-
венной скорости, равной нулю, так что связь наивысшей
получаемой скорости полета (ve/c)max с общим отношением
масс те2/п%2 дается в виде
/пе2//п*2 = ехр [ - 2 (ve/c)max].	(11.23)
Из уравнения (9.17) видно прежде всего, что необходи-
мые собственные числа Эйнштейна и, следовательно, также
общее отношение масс становятся тем меньше, чем меньше
применяемое постоянное собственное ускорение Ье. Из урав-
нений (9.17) и (11.23) следует
me2/rfie2 = ехр [ — 2 arch (1 + bc S/2 с2)] .	(11.24)
Эта связь между астрономическим расстоянием до цели
S и необходимым отношением масс показана на фиг. 13
численно для Ье = 10 м/сек2 и = 30 м/сек2.
8*
11
Фиг. 12. Достижимые собственные числа Эйнш-
тейна полета адиабатической фотонной ракеты в
зависимости от отношения масс m*2/mC2 с сопротив-
лением межзвездной материи и без него.
Гл. 11. Процессы приведения в движение с точки зрения экипажа 117
При полетах внутри нашей солнечной системы необхо-
димые отношения масс остаются чрезвычайно малыми,
например при Ье = 30 м)сек2 при полетах
между антиподами Земли — me2/m?2 = ДО-0-0000709,
Земля — Луна — ше2/т^2 = Ю—°-000317,
Земля — Солнце — me2/m*2 = 10-°’00613.
Только при полетах вне солнечной системы возникают отно-
шения масс, которые можно отложить в масштабе фиг. 13
и при которых имеет смысл дополнительное применение
прямоточного фотонно-реактивного принципа для компен-
сации сопротивления полету.
В этой связи нас интересует действие ракетного привода
при одновременном действии сопротивления межзвездных
масс, т. е. сопротивления пространства.
Для предварительного рассмотрения можно использо-
вать ход рассуждений гл. 10, причем мы, конечно, должны
принять во внимание, что принимаемые массы теперь
не поступают в двигатель, чтобы там ускоряться, а
после прохождения через приемную поверхность F, в
качестве которой мы теперь принимаем главное поперечное
сечение ракеты, опять каким-либо способом оставляют
ракету без составляющей скорости в направлении движения.
Поэтому в соотношениях гл. 10 нужно будет положить
dmez = dme2.
В особенно интересном случае постоянного собственного
ускорения be — const дифференциальное уравнение (10.17)
принимает вид
dve
Его решение есть
с К “ ~4 Ьет^Г
ГПе2
—— = С
, £^ + ^sh2(Wc)=0.
(10.17а)
ge нс2
— е~~ Л*241 и
в *v.'c
1 - е с
-2Г
^*(2—1/V) f	.
2=1^1' - 1 ‘ Ji • <1CI-I8a>
В другом интересном частном случае ve\c > 1 дифферен-
циальное уравнение принимает вид
118
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
। F_L р^^/с _ п
dve ~ c} ~~ 4be\ ~ U
(10.17"a)

4bemi2} 2+1/iz
и его решением будет
mei =	Qe F с2	е2».^
mg^
Ф и г. 13. Требуемые отношения масс m*2/mf2 для представленных
на фиг. 8 полетов в пространстве при приведении в движение адиа-
батической фотонной ракеты, без сопротивления межзвездной материи
и при постоянном собственном ускорении Ье = 10 или 30 MfceK2.
Если мы опять рассмотрим частный случай, характе-
ризуемый условиями
V* = О, у = 1, F c2/12be т*2 = 1010,
то последнее решение примет вид
те21т*2 = е v‘lc- Ю-10е2-в«с.
Гл. 77. Процессы приведения в движение с точки зрения экипажа 119
Кривые, соответствующие этому уравнению, нанесены
на фиг. 12. Они показывают, что при собственных числах
Эйнштейна, больших 8, следовательно, как видно на фиг. 10,
при динамических давлениях межзвездной материи при-
мерно в 102 кг/м2, сопротивление пространства становится
для ракеты как бы непроницаемой стеной и препятствует
дальнейшему существенному повышению скорости.
Согласно фиг. 8, это еще вполне соответствует полетам
в галактической системе, в которой мы, во всяком случае,
должны учитывать плотность принимаемой межзвездной
материи.
Чтобы достигнуть более высоких собственных чисел
Эйнштейна, остается, таким образом, только дополнительно
применить принцип прямоточного фотонно-реактивного при-
вода, поскольку рассматриваемые межзвездные пространства
не обнаруживают существенно более малой плотности газа,
чем известное нам в этом отношении галактическое про-
странство.
Тот факт, что прямоточный фотонно-реактивный привод
представляет собой, так сказать, только вспомогательный
привод, который там, где плотность межзвездной материи
будет слишком велика, дает возможность компенсировать
сопротивление среды и свести все расчеты к случаю сво-
бодного от сопротивления ракетного привода, оправдывает
произведенный в этой главе обзор процессов приведения
в движение.
Из релятивистского уравнения (10.15а) движения ракеты
с точки зрения экипажа при непрерывной отдаче расходуе-
мых, но не ускоряемых масс горючего, если начальная
скорость = 0, следует, что
г?е/с = — Г In (me2/m*2).	(И.25)
Из уравнения (10.15а') получается соответствующее
уравнение для того случая, когда расходуемые, но не уско-
ряемые массы горючего задерживаются на борту, в виде
= - j—ln (m;2/m:2) •	(11 • 26а)
В действительности в последнем случае, когда достигнуто
такое же отношение масс ;n'f2/m*2 = znP2/mJ2, как и в первом
случае, достигнутая конечная собственная скорость ve
120
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
должна быть даже больше, так как в последнем случае,
кроме разности масс т*2—т'е2, перемещается еще значи-
тельная, задерживаемая на борту масса горючего
(щ*г — m'f2) л (1 — е)/ [1 — л (1 — е) ].
Если уравнение (11.26а) отнести к действительной конеч-
ной массе тс2, а не к массе, состоящей из израсходованного
горючего, то оно примет вид
- 7-„(Г-е> " fe ['-»('“«)]	(И.26)
Обе формулы (11.25) и (11.26) дают одинаковые результаты,
а именно ve/c = 0, только при т^т*е2 = 1.
При всех меньших отношениях масс формула (11.26)
дает всегда меньшие значения ve/c, чем формула (11.25).
В частности, при /пс2/т?2 О скорость vc2, согласно формуле
(11.25), будет бесконечно велика, в то время как, согласно
формуле (11.26), она всегда остается конечной.
Численные значения, которые дают обе эти формулы,
как важнейший результат этой главы даны на фиг. 14
в предположении, что гц = 1
для л = 0, т. е. для обычной адиабатической ракеты,
и для л = 1, т. е. для фотонной ракеты,
в зависимости от выхода энергии е и при различных отно-
шениях масс me2/m?2.
Шкала абсцисс простирается от значения выхода энергии
е = Ю-10, соответствующего теплотворности смеси в
2418 ккал/кг, и доходит до значения е = 1, соответствующего
полному превращению масс в излучение с 2,418 • 1013 ккал/кг.
Для оживления шкалы абсцисс наверху фиг. 14 при
соответствующих выходах энергии указаны некоторые
конкретные химические и ядерно-химические реакции.
Шкала на оси ординат начинается с числа Эйнштейна
ve/c = 10~5, соответствующего скорости полета в 3000 м/сек
и, следовательно, числу Маха полета 10.
С левой стороны для иллюстрации нанесены (см. а, б, в,
г, д, е, з) уже использованные в гл. 9 семь примеров полетов
в пространстве с постоянными собственными ускорениями
и собственными замедлениями до конечной точки полета
Фиг. 14. Отношения достижимых собственных
скоростей полета ve к скорости света с для адиабати-
ческих ракет и фотонных ракет с выбрасыванием
остатка массы и без такого выбрасывания в зависи-
мости от выхода энергии е горючего и для различ-
ных отношений те21т*г конечной собственной массы
ракеты к ее начальной собственной массе.
а — диаметр Вселенной ; б — туманность Андромеды ; в —-
центр Галактики ; г — а Центавра ; д — Земля—Солнце ; е —
Земля—-Луна, быстро; ж — Земля—Марс—Земля, экономично;
з — полет между антиподами Земли, быстро; и — экономичное
оставление поля земного тяготения ; к — экономичный подъем
до «внешней станции» Земли ; л — экономичный полет между
антиподами Земли.
122
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
при их характеристических собственных скоростях полета,
которые в этом случае равны, таким образом, удвоенным
максимальным скоростям, упомянутым в гл. 9.
Кроме этих семи примеров наиболее быстрых полетов
к соответствующим целям, даны (см. ж, и, к, л), еще некоторые
примеры наиболее экономичных полетов при соответствую-
щих характеристических скоростях полетов.
Из диаграммы тотчас видно, что в с-области хими-
ческих реакций фотонные ракеты не представляют совер-
шенно никакого интереса и практически могут играть роль
только адиабатические ракеты, как это и есть в действитель-
ности.
Ядерные реакции с инертными массами, которые могут
быть приняты во внимание, например в случае терми-
ческих атомных ракет и электрических ионных ракет,
имеют средние выходы энергии между выходами энергии
химических и ядерно-химических реакций, в то время
как эти системы ракет можно всегда рассматривать
практически как адиабатические ракеты (аг = 0), так что
их мощности полета определяются из соответствующего
семейства кривых.
В области выходов энергии чистых ядерных реакций
на основании известных, в особенности термических, при-
чин, осуществить движение представляется возможным не
при помощи адиабатических ракет, а посредством частичных
фотонных ракет, которые, согласно фиг. 14, могут значи-
тельно превосходить как термические атомные ракеты, так
и электрические ионные ракеты, несмотря на ясно видимую
слабость фотонных ракет по сравнению с адиабатическими
ракетами при равных выходах энергии.
Наконец, для целей сравнения нанесено еще третье
семейство кривых для частичных фотонных ракет без выбра-
сывания массы.
Расходуемые и задерживаемые на борту массы горючего
играют, конечно, для достигаемой конечной скорости полета
тем большую роль, чем больше полезная нагрузка топлива
(/z$2 — т₽2)//п?2 и чем меньше его степень превращения е-
Наконец, для этого семейства кривых можно отметить
уже упоминавшееся при рассмотрении равенства (11-26)
Гл. 11. Процессы приведения в движение с точки зрения экипажа 123
обстоятельство, что при niez/m*z 1 — е)/ [ 1 — тг (1 — е) ]
отношение масс едва ли имеет большое влияние на дости-
гаемую конечную скорость полета.
Линии равных отношений масс всех семейств кривых
с ростом выхода энергии е, естественно, сближаются, и,
наконец, все системы ракет соединяются в адиабатической
фотонной ракете с полным превращением масс горючего
в излучение, характеристические собственные скорости
полета которой даже при умеренных отношениях масс,
а именно при mf2/m*2 1/е = 0,368, превышают скорость
света с.
Глава 12
КИНЕМАТИКА ПРИВОДА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
ВНЕШНЕГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
Dee существенные величины кинематики ракеты с точки
зрения экипажа в отношении к соответствующим величи-
нам с точки зрения наблюдателя уже обсуждались в гл. 9.
Теперь представим данные там в функции собственной
скорости связи соответственно постановке задачи этой
главы в функции относительной скорости v.
Так как собственная скорость ve и относительная ско-
рость связаны между собою основным соотношением (9.9)
(1 — г?2/с2)_% = ch (ve/c) = (1 + sh2we/c):i,	(12.1)
то соответствующие равенствам (9.10) -(9.16) соотношения
принимают вид
/е = J' (1 - ifi/c2)* dt, 0	(12-2)
t s = | vdt,	(12.3)
b	
se = с (’ arth (у/с) • (1 — г2/с2),/г dt,	(12.4)
0	
dv/dve = (1 — ?’2/с2),	(12.5g)
ve/c = arth (у/с) = arsh («ег/с),	(12.5)
b/be = (l —	(12.6)
bejbe = (1 - V2/C2)",<i .	(12.7)
При постоянном собственном ускорении Ье имеем далее
f = -^(1-«2/с2)-уг>	02-2а>
________	(12.26)
Z/fe — (1 - г-2/с2)’/г arth (v/c) ’
Гл. 12. Кинематика привода с точки зрения внешнего наблюдателя 125
s = -^-[(l -v2/c2) '•»- 1],	(12.3а)
(1 - г2/с2)-'/* - 1
[arth (г>/с)]2
(12.36)
Последнее соотношение снова показывает чрезвычайно
важный с технической точки зрения рост определяющего
полезную мощность рейса относительного пути s по отно-
шению к определяющему расход топлива собственному пути
Фиг. 15. Связи кинематических относительных величин.
se, когда относительная скорость v приближается к ско-
рости света с.
Вспомним, что кинематические собственные величины
связаны между собой посредством классических кинемати-
ческих соотношений, так что нанесение их на диаграммы
не даст ничего нового. Напротив, связь кинематических
относительных величин так своеобразна, что она нашла
свое особое графическое представление.
На фиг. 15 по оси абсцисс отложены относительные пути
s, а по оси ординат — умноженные на скорость света отно-
сительные времена t. Тангенс ds/cdt угла между касательной
и осью ординат равен относительному числу Эйнштейна
vic, кривизна dzslc2dt2 кривой равна относительному уско-
рению Ь, так что в такой диаграмме содержатся все основ-
ные кинематические величины.
Движение ракеты с постоянной скоростью представля-
126
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
ется, таким образом, всегда прямой, наклон которой к оси
ординат дает относительную скорость. Если при нулевом
значении t пройденный относительный путь s равен нулю
то прямая проходит через начало координат.
Так как относительная скорость ракеты может стать
самое большее равной скорости света и, следовательно, отно-
сительное число Эйнштейна v/c может сделаться самое
большее равным единице, то соответствующий угол не
может быть больше, чем л/4.
Движение ракеты с постоянным собственным ускорением
описывается в системе координат фиг. 15, согласно равенст-
вам (12.2а) и (12.3а), уравнением
s = -J-(|/l'+72b2/c2- 1) или с2 /2 = s2 + 2c2/fef • s; (12.8)
ие
это — уравнение гиперболы.
Касательная в начале координат имеет наклон к оси
ординат, равный нулю, т. е. начальная скорость равна
нулю. Длина оси гиперболы есть 2с2/Ье.
Радиус кривизны в вершине гиперболы равен Ье, это —
относительное ускорение b при v -» О.
Касательная в произвольной точке имеет наклон к оси
ординат
v = ds/dt = bet(l+b2et2lc2)~* .	(12.9)
Это —- соответствующая относительная скорость v.
Радиус кривизны в произвольной точке равен
b =	-b2t2lc2)-*[\-Ь2Р/с2  (1 +ft2f2/c2)-1]. (12.10)
Это есть соответствующее относительное ускорение Ь. При
f->oo; Ь->0 гипербола приближается к своей асимптоте,
наклон которой к оси ординат определяется из равенства
(12.9) в результате предельного перехода и равен г/4,
т. е. мы имеем равнобочную гиперболу.
Парабола с таким же радиусом кривизны в вершине,
как наша гипербола, имеет уравнение
s = M2/2;	(12.8а)
это — классическое соотношение равномерно ускоренного
движения, которое получается также путем разложения
в ряд выражения (12.8) при tbejc 1.
Глава 1.3
ДИНАМИКА ПРИВОДА С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
ВНЕШНЕГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
1) рассмотренной ранее собственной системе отсчета
ракеты собственной массе ракеты те2 сообщается собствен-
ное ускорение Ье посредством собственной тяги
Pe=meJ)e.	(13.1)
В системе внешнего наблюдателя массе ракеты сооб-
щается относительное ускорение посредством относительной
тяги Р, которая получается из релятивистского уравнения
импульса в виде
Р =
А (	__I — т
dl ' Ki J ег dt
(1 - =
= m2b(] -v*2l'c*)-'. (13.2)
Если тсг и т2 или, соответственно, Ье и b различаются только
вследствие различных систем отсчета, то для них действи-
тельны соотношение (2.1) и, соответственно, соотношение
(12.6), так что
Р = Л,	(13.3)
т. е. тяга не зависит от системы отсчета.
С другой стороны, сила тяги есть результат производи-
мого в единицу времени изменения импульса принимаемых
и отдаваемых масс горючего, так что, согласно равенству
(П.8),
Ре^ diddle- dl[!dte,	(13.4)
и теперь с точки зрения внешнего наблюдателя опять
должно быть
Р = distil - dli dt.
(13.5)
128
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Обе относящиеся к различным системам координат
разности импульсов, согласно равенству (13.3), опять
должны быть принципиально равны друг другу.
Мы будем рассуждать теперь аналогично тому, как это
делалось в гл. 10.
Принимаемая в ракету в каждую секунду собственная
масса, согласно равенству (4.6), если положить = 0, так
что будет Л г>у = — г>2 и р = рс, равна
dmel/d/ = ₽е Fv2 (1 - vllc^ ,	(13.6)
а передаваемый ракете вместе с принимаемыми массами
импульс, направленный против движения, согласно равен-
ствам (4.10) и (4.11), равен
dljdt = - 6е Fvl (1 - t^/с2)-1.	(13.7)
Одна и та же принимаемая собственная масса будет
относиться экипажем и наблюдателем к секундам разной
длительности, так что секундный прием массы будет, со-
гласно равенствам (10.1) и (13.6), отличаться для них в отно-
шении df/dt = (l—t^/c2)-*4, т. е. в отношении дилатации
времени.
Импульс di = d(mv), напротив, при переходе от одной
системы отсчета к другой изменяется как произведение
изменяющихся вместе с системой инертной массы и изме-
нения скорости. Это зависящее от системы отсчета изменение
импульса, однако, прямо компенсируется посредством отне-
сения к соответствующей единице времени, так что изме-
нение импульса на единицу времени, или внешняя сила,
инвариантны, как показывает совпадение уравнений (10.2)
и (13.7),
dFJdt, = dljdt.	(13.8)
Поэтому для процесса втекания выполняется равенство
(13.3), что также следует из совпадения равенств (3.7) и
(4.11) при vL = 0.
При v2/c 1 равенства (13.6) и (13.7) переходят в извест-
ные классические соотношения
dirij/dt = gFv2,	(13.6а)
dljdl = — pFv|.	(13.7а)
Гл. 13. Динамика привода с точки зрения внешнего наблюдателя 12S
Отдаваемая из ракеты в единицу времени со скоростью
г>5 относительно ракеты собственная масса выбирается про-
извольно, согласно
dme5ldt = din'd dt — [1 — л (1 — е)] dmeddl.	(13.9)
Общее секундное изменение собственной массы ракеты
будет, соответственно равенству (10.4),
dme2/dt = — dm^/dt + Fv2 (1 — w|/c2) 54. (13.10)
Часть [1 —л(1 —e)] собственной массы din^dt вытал-
кивается ускоренно, остальная же часть л(1 —в) вытал-
кивается без скорости по отношению к ракете.
Импульс ускоряемой части расходуемой собственной
массы dme2/dt после выталкивания относительно внешнего
наблюдателя, согласно равенству (8.6), равен
<UJdt = 11=^4=^** cr/|l ->(!-.)]},
(13.11)
где выражение в фигурных скобках равно, согласно равен-
ству (7.1), г>а —г£.
Собственная масса [1—тг(1—е)] dme2/dt имеет перед
выталкиванием импульс
вда=<|3|2>
так что изменение импульса равно
diP/dt = dll/dt - dlddt =	сГ. (13.13)
Сравнением с равенством (10.5) легко установить, что в
соответствии с равенством (13.3) опять dl^dt = dl'6/dte.
Кроме того, масса ракеты теряет при процессе еще
импульс отделяемой без скорости остаточной массы '
(1314)
Величина силы тяги Р, связанной с изменением импульса
dlg/dt, как она представляется внешнему наблюдателю,
8 Е. Зенгер
130
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
не зависит поэтому ни от выбора системы отсчета, ни от ско-
рости полета vz в полном соответствии с классическим опре-
делением ракетной тяги, а зависит только от определяемого
экипажем расхода массы в секунду собственного времени
dfnez/dte.
Наблюдателю этот расход dme2ldte кажется, разумеется,
тем меньшим, чем более быстрой является ракета
В случае адиабатического ускорения массы (эт = 0), когда
расходуемая в секунду масса горючего dme2ldt имеет ско-
рость v5, импульс, согласно равенству (13.11), равен
dl-Jdt = 77^^^ - СП • (,ЗЛ lfl>
Это опять, следовательно, инертная масса горючего перед
выталкиванием, умноженная на классическую разность
скорости полета и скорости выталкивания.
Изменение импульса в этом случае (л = 0), согласно
соотношению (13.13), опять будет
dlUdt^	сГ.	(13.16)
В общем диабатическом случае импульс, передаваемый
ракете в совокупности в одну секунду, или производимая
тяга, если принять еще во внимание равенство (13.10), есть
Р - dildi - dlj/di -dljdl- ,,; X ct - -	-
dmez/dt	у- I___pe Fv2___________.1___Qe Evi
— (l-^/c2)^ v I <fmei,dt-(l-tfy?)'*	‘I	(1-1’f/c2)
(13.17)
(это следует также из формулы (10.6) путем подстановки
из формул (9.9.) и (9.12)), где, следовательно, первый член
есть ракетная тяга, составленная из отдачи бортовых масс
и из масс, принимаемых из окружающей среды, а второй
член — противодействующее тяге сопротивление среды, но
при этом масса, производящая это сопротивление среды,
принимает участие в процессе выталкивания (прямоточное
реактивное действие).
Гл. 13. Динамика привода с точки зрения внешнего наблюдателя 131
С помощью основного динамического уравнения (3.2)
b = dv/dt = Р(1 - v%lc2)lm2	(13.18)
при сохранении формулы для собственных масс ще2 =
— т2(1—v2/c2)''2 получается дифференциальное уравнение
движения ракеты
ь = dv2idt =	(1 _ ^с^сГ- -
бтег
те2 dt
сГ(1-^1с2)
или
dv2 = *'т~ <’ -	dt - CV (1 - «
(13.19)
(это следует также из уравнения (10.8) путем подстановки
из формул (9.9) и (9.12)).
Таким образом, мы опять имеем дифференциальное урав-
нение относительно трех переменных г2, т„2 и t, вернее их
дифференциалов.
Можно исключить, по усмотрению, одну из трех пере-
менных при помощи дополнительного условия и получить,
таким образом, три различных уравнения для те2 = f(v2),
т,г = /(0 или v2 = /(/).
Больше всего нас интересует первое. С этой целью
исключим t посредством уравнения (13.10):
dl=__________________________
PeF«2(l— - dmeildte
(это следует также из уравнения (10.9) в результате
подстановки из формул (9.9) и (9.12)), где drnjdt,. опять
есть расход бортовой массы в собственную секунду и, следо-
вательно, зависящая от желания экипажа, свободная и
произвольно выбираемая переменная.
С помощью соотношения (13.20) уравнение (13.19) при-
нимает вид
] _ dinet/dt^ .. _ V2IC2\
dnin =_______ peFv2 1 d ' dv2
132
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
что получается также при подстановке выражений (12.5а)
и (12.5) в уравнение (10.10).
Это дифференциальное уравнение релятивистского реак-
тивного привода с точки зрения внешнего наблюдателя
содержит отношение
drflezldte _ dma/dte
Fv2 (1 - yj/c2)-1 dmeijdte	I М.22)
(см. формулу (10.1)), т. e. отношение отдаваемой собствен-
ной массы к принимаемой и, следовательно, опять предель-
ные случаи чистого ракетного привода (отношение беско-
нечно) и чистого прямоточного реактивного привода (отно-
шение равно единице).
В случае чистого ракетного привода дифференциальное
уравнение вырождается в
dmet. ___ dvt ____________
'Пег — су-(1 — pj/c2) ’
(13.214?)
что получается также при подстановке из формулы (12.5а)
в уравнение (10.10а). С другой стороны, это соотношение
можно получить также непосредственно, если импульс
выталкиваемых масс — din2c У ” приравнять импульсу 1массы
ракеты, согласно (13.2), а именно :
m?dv2(l — vf/c2)-1.
Мы имеем здесь известное дифференциальное уравнение
Аккерета для релятивистской ракеты [2], решение которого
имеет вид
1 1
П?е2	_	I	1 —Vjlc I zF	I 1 ~	12Г
тег	~'	I	1 + vjc J	| 1 —	v’/c |
(13.23)
Уравнение (13.23) можно найти также непосредственно
заменой ve и v*e в формуле (10.12) с помощью формулы (9.12)
на v2 и v*2.
В случае чистого прямоточного реактивного привода
отношение (13.22) будет равно единице, и поэтому уравнение
(13.21) вырождается в
dmez
т12
(13.24)
Гл. 13. Динамика привода с точки зрения внешнего наблюдателя 133
Теперь можно аналогично тому, как это делалось в гл. 10,
исследовать различные рассмотренные в этой главе или, кроме
того, практически интересные случаи движения также с
точки зрения внешнего наблюдателя путем интегрирования
уравнения движения (13.21) для соответствующих случаев
или путем подстановки в данные в гл. 10 решения вместо соб-
ственных величин их выражения через соответствующие
относительные величины.
Эти расчеты не дают, конечно, никаких существенно
новых сведений по сравнению с теми, которые известны из
гл. 10, и поэтому могут здесь не приводиться.
Согласно формуле (13.17), чистая ракетная тяга есть
р = а сГ = dm^	(’3.17«)
и если принять во внимание формулы
b = - ( —^2(1- v2/c2) (13.18а)
тег	dt mf2 '	'
(см. (13.18)) и
d/ = rf/e(l - vi/c2)-’^	(13.20а)
(см. (13.20)), то относительное ускорение есть
b =	(’ -	= Ml -	(13.25)
Относительное ускорение ракеты есть функция отдачи
собственной массы в собственную секунду dme2Jdte,= dmjdt,
относительной массы ракеты т₽2(1 —г>|/с2) ~v- и приведенной
скорости выталкивания относительно ракеты v'5 [1—л(1—е)].
Из уравнения (13.25), если воспользоваться еще соотно-
шением (12.6), получается собственное ускорение ракеты
в виде
dme2 ci
dte TTlez 1
(13.26)
что также следует из уравнения (10.8) для чистой ракеты.
Глава /4
ПРОЦЕССЫ ПРИВЕДЕНИЯ В ДВИЖЕНИЕ
С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ВНЕШНЕГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
При скоростях полета близких к скорости света, или
собственных скоростях полета, превышающих скорость
света, способ рассмотрения с точки зрения внешнего наблю-
дателя представляет в практическом отношении меньший
интерес, чем способ рассмотрения с точки зрения экипажа,
так как собственный мир последнего становится безотноси-
тельным к миру, связанному с пунктом отправления.
Поэтому для этих больших скоростей полета к изло-
женному в гл. 11 нельзя добавить ничего существенного.
Мы, однако, остановимся немного на обсуждении формул
(11.25) и (11.26) и численного представления на фиг. 14
с точки зрения наблюдателя.
Из релятивистского ракетного уравнения (13.23) с точки
зрения наблюдателя при непрерывной отдаче расходуемых,
но не ускоряемых масс горючего, если начальная скорость
v* — 0, следует, что
”2 _ 1 — (ШегДпег)2	(14 1)
1 + 0Лг2/П1ё2)2’
Соответствующее соотношение для того случая, когда
расходуемые, но не ускоряемые массы горючего задержи-
ваются на борту, имеет вид
21
г’2 _ 1 — {<пег/тга • [1 — л (1 — е)| + л (1 - е)} 1 ~ (1 ~ е)
С	_ 2]~	'
1 +	— я(1 — е)] +л(1 — е)} 1— я(1-е)
(14.2)
Легко видеть, что выражения (14.1) и (14.2) могут быть
переведены путем разложения в ряды соответственно в выра-
Гл. /1. Процессы приведения в движение
135
жения (11.25) и (11.26), с которыми они совпадают при
малых vs.
По аналогии с фиг. 14 обе стоящие в левых частях
формул (14.1) и (14.2) величины отложены на фиг. 16,
опять при предположении = 1
при л 0, т. е. для обычных адиабатических ракет,
и при зг = 1, т. е. для фотонных ракет,
в зависимости от выхода энергии е горючего и при различ-
ных отношениях масс /ие2/т*2.
Из сравнения фиг. 14 и 16 видно, что последняя не дает
ничего существенно нового.
Вплоть до чисел Эйнштейна примерно в 0,1 обе диаграм-
мы полностью идентичны, только при высоких скоростях
полета соответствующие кривые обеих диаграмм откло-
няются друг от друга, в результате чего собственные числа
Эйнштейна могут произвольно превышать единицу, а отно-
сительные числа Эйнштейна нет, так что на последней
фигуре все кривые приближаются к единице.
Способ рассмотрения с точки зрения внешнего наблю-
дателя оказывается гораздо более важным для малых ско-
ростей полета, когда оценка результатов полета следует
большей частью извне и когда релятивистскими эффектами
можно пренебречь.
Мы начнем с рассмотрения соотношений (5.9)—(5.Юв),
однако здесь мы будем распространять наши рассуждения
на общий случай, представленный на фиг. 1.
Прежде всего надо систематически рассмотреть отдель-
ные составляющие приема и отдачи масс, импульсов и
энергий ракеты.
Прием в ракету в этом классическом случае можно рас-
смотреть просто.
А. Прием.
1.	Прием массы по формуле (4.6):
chnjdt —	(14.3)
2.	Прием импульса по формуле (4.11):
dljdt — —
(14.4)
Фиг. 16. Отношения достижимых относительных ско-
ростей v к скорости света с для адиабатических ракет и
фотонных ракет с выбрасыванием остатка массы и без
такого выбрасывания в зависимости от выхода энергии в
горючего и для различных отношений тег1т*2 конечной
собственной массы ракеты к ее начальной собственной массе.
Гл. 14. Процессы приведения в движение
137
3.	Прием энергии :
dEjjdt = ^Fvl/2.
Б. Отдача.
(14.5)
Отдачи из ракеты рассматриваются по проведенной в
гл. 5 схеме ; ее несколько сложный характер можно уяснить
из фиг. 17.
-Энергия е dm
-----Масса (7-е) dm?
Массы, отдаваемые Массы, отдавое-
“Ъез ускоренияt ^1^ые с ускорением*
^(Г-е)с1т,=
= л(1-ё)втг
^_Массы струи с термической г
и кинетической энергией
Массы с термической энергией, отдаваемые без ускорения
Фиг. 17. Нерелятивистские отдачи масс и энергии колесного и
ракетного приводов.
Часть edm2 отдаваемой массы горючего drn2 превра-
щается в энергию, в то время как непревращаемый остаток
полностью отдается с борта, причем имеет место:
1)	отдача масс без скорости относительно ракеты
dmjdt = (1 — б) dmjdt = л (1 — е) dm2ldt	(14.6)
и отдача масс со скоростью относительно ракеты
dms/dt = (1 — £)dm2/dt — (1 — л) (1 — E)dm2/dt. (14.7)
138
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
Превращаемая в энергию часть е dm., отдаваемой массы
горючего dm2 отдается, напротив, в пяти различных частях •
2)	отдача энергии диффузно окружающей среде
d E2ldt = е2 с2 dm2jdt;	(14.8)
отдача энергии соускоряемой внешней массе
dE3[dt = е3 с2 drh2/dl;	(14.9)
отдача энергии массе, отдаваемой без ускорения,
dE^dt — е4 с2 dm2ldt;	(14.10)
отдача энергии массе, отдаваемой ускоренно, а именно в
форме направленной кинетической энергии
dE5ldt = E-oc2dm2/dl;	(14-11)
отдача энергии массе, отдаваемой ускоренно, в форме нена-
правленной, главным образом термической энергии
dE5ldt = £-5c2dm^dt.	(14.12)
Эти отдачи масс и энергии влекут за собой определенные
импульсные проявления:
3)	отдача импульса соускоряемой очень большой внеш-
ней массе по формуле (5.10в)
dl'^dt = ec2lv2  dm2ldt;	(14.13)
отдача импульса струе масс, отдаваемых с ускорением по
формуле (7.5),
dl5jdt = с/2е5 [(1 — л) (1 — е)] dm2/dt.	(14.14)
Поэтому прежде всего происходят:
секундное изменение массы ракеты
dm2ldt = Fv„ — dm2/dt,	(14.15)
Гл. 11. Процессы приведения в движение
139
секундная отдача энергии из ракеты
dEldt = ЕиЦ2 — ее2 dm2ldl,
(14.16)
секундное изменение импульса ракеты, т. е. тяга,
Р -= dl2/dt = — ft Fv% + е3c2/v2 + с ]/2е5 [(1 — тг)(1 — e)J.
(14.17)
При исследовании процессов движения ракеты мы встре-
чаемся, таким образом, с частями выхода энергии е3 и е5,
которые одни оцениваются как полезные составляющие
энергии. Их отношение ко всему выходу энергии е можно
поэтому обозначить как внутренний коэффициент полезного
действия системы привода
V. = (Бз + Бо)/е •
(14.18)
С помощью основного динамического уравнения и соот-
ношения (14.17) получается дифференциальное уравнение
движения, если еще посредством формулы (14.15) заменить
dm2 через dtn2:
. dv2 Р	о, Fvl , ,	9.
+ <2^[(1	X (- ,^?1 (14.19)
или
dv = 9i Fv* dt ( езС2 , сФХ [<1 ~л) (! TL£)1 — 11 —
2 m2 I. vi	г2
- + <14-20)
Получается снова дифференциальное уравнение для трех
переменных v2, т2 и t, вернее их дифференциалов.
Можно опять исключить одно неизвестное, например dt,
посредством соотношения (14.15) и получить дифферен-
140
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
циальное уравнение для и dm2 по аналогии с уравне-
нием (10.10)
/Tig
_________________________tlOj_________ _____
W 1~+	+ 42^Л(1^) 0^)1)
' Pi Те2	91 Ее2
(14.21)
Уравнение опять содержит в себе отношение (dnijjdt)/^!''v2 
отдаваемой в одну секунду массы к принимаемой, которое
выбирается произвольно и представляет собой поэтому
независимый параметр.
Как и в случае уравнения (10.10), интеграция уравнения
(14.21) возможна только тогда, когда о величине этого
отношения сделаны конкретные предположения.
Особенно простым частным случаем является ракетный
привод, для которого это отношение бесконечно велико
и вместе с тем е3 = 0.
Тогда можно положить = >/,£, после чего получим
dm2 __	dv2
тг c^2rp е (1 — л) (1 — е)
(14.22)
т. е. известное дифференциальное уравнение классической
ракеты, решение которого есть
т2
т’
ехр
_____________Q__________
с][2тце (1 — л) (1 — е)
(14.23)
Другой, более простой частный случай есть чистый
колесный привод, когда мы пренебрегаем механическим
действием приема воздуха и, следовательно, опять полагаем
упомянутое отношение масс бесконечным. В этом случае £6
равно нулю, и можно, согласно равенству (14.18), положить
е3 — г], е. Поэтому получаем
dm2____г'2 dv2
in, ~ ec2 ’
(14.24)
Гл. 14. Процессы приведения в движение
141
т. е. известное [11 ] дифференциальное уравнение колесного
привода. Основное уравнение сводится к
т»	( v\ ч
= ехр - —й .
F'lg	’	CL. /
(14.25)
Из этого уравнения следует, что при больших va отношение
масс колесного привода будет значительно более
неблагоприятным, чем у ракетного привода, поэтому послед-
ний представляет собой лучшую систему привода для
больших скоростей полета.
Это становится еще более ясным при рассмотрении внеш-
них коэффициентов полезного действия обоих процессов
движения.
При этом мы опять возвращаемся к общим релятивист-
ским соотношениям, чтобы можно было составить также
мнение о полете в межзвездном пространстве.
Коэффициент полезного действия можно рассматривать
только по отношению к внешней системе наблюдения,
так как фиктивные кинетические энергии, которые можно
образовать, например, посредством собственных величин
ракеты, конечно, не удовлетворяют закону сохранения
энергии.
Внешний коэффициент полезного действия привода есть
частное от деления мощности тяги Р«а на общий секундный
расход полезной для тяги энергии.
Мощность тяги ракетного привода следует из уравнения
(13.17) в виде
Pv2 =	с	>л G — ^/4,) •
(14.26)
Мощность тяги колесного привода получается, напротив,
из соотношения (14.17) в виде
р _ dme2/dt
2 (1 1,с ’
(14.27)
Полезный для произведения тяги расход энергии состав-
ляется из кинетической энергии [ (1 — г>|/с2) 1/2 — 1 ]c2dme2/dt,
расходуемой в секунду собственной массы горючего dmjdt,
142
Е. Зенгер. К механике фотонных ракет
и из полезной энергии реакции s d^din^dt; согласно фиг. 4
и соответственно фиг. 17, в обоих случаях этот расход
энергии равен
dE/dt = [(1 - ^/с2)-,/2 - 1 + «?,] с2 dmjdt. (14:28)
Поэтому коэффициент полезного действия ракетного привода
равен
(1 —	• v.Jc
'/рак — (1 _ ,.^2)-./, _
пли, при v2lc < 1, после разложения в ряд
2ие
2ид	2v2/v-
?/рак “ 1 + оЦ2ет с2 - 1 + «Цо? ’
(14.29)
(14.29с)
это — обычный классический коэффициент полезного дейст-
вия ракеты.
Коэффициент полезного действия колесного привода,
напротив, будет
„_________________(1 —	*41 _
'/кол - (1 _ .l.2/c2)->/i _ ! +й>1
или, при г>2/с < 1, после разложения в ряд
1
’/кол — J + 1.Ц2еец с2 '
(14.30)
(14.3011)
Легко убедиться, что для всех г^/2 ес2 > 0,5 коэффи-
циент полезного действия у ракетного привода больше, чем
у колесного привода; следовательно, ракетный привод
действительно оказывается наиболее подходящим сред-
ством приведения в движение при больших скоростях.
ЛИТЕРАТУРА
[1]	Esnault-Pelterie R., L’Astronautique, Lahure-Paris, 1930,
228—241.
[2]	Ackeret J.. Zur Theoric der Raketen, Helv. Physica Acta,
XIX, 2, 1946.
[3]	S e i f e r t H. S., Mills M. M., Summerfield M., Physics
of Rockets, Am. J. Phys., 15, 267, 1947.
14] Sanger, E., A propos des limites de 1’Astronautique, L’Astronef,
1, 8, Paris, 1950.
[5] Reinhardt T. F„ Unusual Applications of the Momentum
Principle, Am. Rocket Soc., Nov. 1951.
[6] S h e p h c r d L. R., Interstellar Flight, J. Brit. Interplanetary
Soc., 11, 4, 149, 1952.
[7]von^Laite M., Die Relativitatstheorie, Vieweg Braunschweig.
|8] Sanger, E.. Die Physikalischen Grundlagen der Strahlantriebs-
technik, VDl-Forschungsheft 437, Dusseldorf, 1953.
[9] Sanger E., Zur Theorie der Photonenraketen, IngenieurArchiv,
21, 3, 213, 1953. IV Internal Astronaut. KongreB Ziirich, 1953,
Laubscher—Biel—Bienne, 1954.
110] Bade W. L., Relativistic Rocket Theory, Am. J. Phys., 21,
310, 1953.
[11] Sanger E., Radantrieb und Raketenantrieb, Z. f angew. Math,
u. Physik., 5, Facs. 2, 164—167, Basel, 1954.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ................................ 5
Предисловие автора.................................... 7
Глава 1. Фотонно-ракетный привод и прямоточный фотонно-
реактивный привод ................................... 15
Глава 2. Общая релятивистская механика реактивного при-
вода ..............................................   20
Глава 3. Релятивистский прием массы относительно экипажа 24
Глава 4. Релятивистский прием массы относительно внешнего
наблюдателя ......................................... 27
Глава 5. Релятивистская отдача масс относительно эпипажа 43
Глава 6. Адиабатическое ускорение масс относительно экипажа 50
Глава 7. Диабатическое ускорение масс относительно экипажа 58
Глава 8. Релятивистская отдача массы относительно внешнего
наблюдателя ......................................... 68
Глава 9. Кинематика привода с точки зрения экипажа .. 71
Глава 10. Динамика привода с точки зрения экипажа.... 92
Глава 11. Процессы приведения в движение с точки зрения
экипажа ............................................ 105
Глава 12. Кинематика привода с точки зрения внешнего на-
блюдателя .......................................... 124
Глава 13. Динамика привода с точки зрения внешнего наблю-
дателя ............................................. 127
Глава 14. Процессы приведения в движение с точки зрения
внешнего наблюдателя ............................... 134
Литература ......................................... 143
Е. ЗЕНГЕР
К МЕХАНИКЕ ФОТОННЫХ РАКЕТ
Редактор А. В. ГЕРМОГЕНОВ	Художник Е. М. Казаков
Технический редактор Н. И. Смирнова	Корректор Е. Б. Марксом
Сдано в производство 14/VI—1957 г. Подписано к печати 8/V 1958 г.
Бумага 84 х 108/32 =» 2,3 бум. л. 7,4 печ. л. Уч.-изд. л. 6,3.
Изд. № 1/3568, Цена 6 р. 40 к. Зак. 208
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, Ново-Алексеевская, 52
Типография Академии, Будапешт