Semlnaire de mathematlques super! eures
/	r
Departement de mathematlques
/ \ /
et de statistique — Uni versite de Montreal
SET THEORETIC METHODS IN HOMOLOGICAL ALGEBRA
AND ABELIAN GROUPS
Paul C. Eklof
University of California, Irvine
1980
r	f
Les Presses de L’Universite de Montreal
C.P. 6128 , succ. «А», Montreal, Que.; Canada H3C 3J7
МАТЕМАТИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУКЕ
РЕДАКТОРЫ СЕРИИ: А.Н. КОЛМОГОРОВ/С.П.НОВИКОВ
П.ЭНЛОФ
ТЕОРЕТИКО-
МНОЖЕСТВЕННЫЕ
МЕТОДЫ
В
ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ
АЛГЕБРЕ
И ТЕОРИИ
АБЕЛЕВЫХ
ГРУПП
Перевод с английского
С. В. Рычкова
под редакцией
Л. Я. Куликова
МОСКВА „МИР" 1986
ББК 22.14
Э39
УДК 512.6
Эклоф П.
Э39 Теоретико-множественные методы в гомологической
алгебре и теории абелевых групп: Пер. с англ. — М.:
Мир, 1986. — 91 с., ил.
Книга американского математика излагает слабо освещенные в русской
литературе вопросы зависимости решений ряда известных проблем гомологи-
ческой алгебры и теории групп от выбора аксиоматики теории множеств. Рус-
ское издание дополнено автором обзором результатов, полученных в последние
годы.
Для специалистов по алгебре, алгебраической топологии и математической
логике.
э
1702030000—175
041(01)—86
14—86, ч. 1
ББК 22.14
Редакция литературы по математическим наукам
ф Les Presses de l’Universit6 de Montreal,
1980
© перевод на русский язык, с дополнением,
«Мир», 1986
ОТ РЕДАКТОРА И ПЕРЕВОДЧИКА
Книга известного американского специалиста по алгебре
и математической логике, профессора Пауля Эклофа посвя-
щена изложению некоторых методов и результатов, получен-
ных в области применения теоретико-множественных методов
в коммутативной алгебре. Теоретико-множественные резуль-
таты и идеи К. Геделя, П. Коэна, П. Вопенки и др. дали воз-
можность в 60-е годы решить ряд знаменитых проблем не
только в самой теории множеств, но и в топологии и анализе.
В 1974 г. применение методов теории множеств в гомологиче-
ской алгебре позволило доказать невозможность решения тра-
диционными методами (т. е. в рамках системы Цермело —
Френкеля с аксиомой выбора) известной проблемы Уайтхеда.
Выяснилась принципиальная необходимость использования
теоретико-множественных методов и при решении некоторых
других алгебраических задач, что стимулировало дальнейшее
развитие данной области.
В течение пятилетия, прошедшего после выхода вышеупо-
мянутого результата по проблеме Уайтхеда, в теории абеле-
вых групп и модулей теоретико-множественными методами
был решен ряд известных проблем и получены новые струк-
турные результаты. В1 частности, в Советском Союзе суще-
ственный вклад в развитие этого направления внесли работы
Е. А. Палютина. В этот период развивались и совершенство-
вались также и сами методы теории множеств, применяемые
при решении алгебраических задач. Наконец, в 1979 г. по-
явилась настоящая книга, написанная профессором П. Экло-
фом, который внес большой личный вклад в развитие этой
области математики. В ней дано первое систематическое из-
ложение накопленного к тому времени материала.
Учитывая интенсивное развитие теоретико-множественных
методов в коммутативной алгебре и обилие полученных здесь
в последние годы результатов, профессор П. Эклоф любезно
прислал в качестве специального приложения к русскому
изданию обзор основных работ в данном направлении, по-
явившихся уже после выхода в свет его книги в Канаде. Мы
также признательны автору за присланный им список опеча-
ток, который учтен при подготовке русского издания.
/	,	Х-.
От редактора и переводчика
Книга будет полезна специалистам по алгебре и матема-
тической логике как при решении некоторых конкретных
проблем, так и в формировании точных представлений о при-
роде и возможностях тех методов, которые используются
ими в повседневной математической деятельности.
Л. Я. Куликов
С. В. Рычков
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга — расширенный вариант курса лекций, прочи-
танного на семинаре по высшей математике при Монреаль-
ском университете в июне — июле 1979 года. Целью курса,
как и настоящей книги, является изложение предмета, ука-
занного в заглавии, в форме, легко доступной алгебраистам.
При этом предполагается, что читатель знаком с основами
гомологической алгебры (например, в изложении Л. Фукса
[15], § 49—52), но каких-либо специальных знаний по тео-
рии множеств, за исключением простейших сведений о кар-
диналах и ординалах, не предполагается. В книге приводится
и обсуждается ряд теоретико-множественных предположений,
которые совместимы с обычной теорией множеств (т е. с тео-
рией ZF Цермело — Френкеля), но недоказуемы в ней, а за-
тем показывается, какие алгебраические результаты можно
получать из этих предположений. Мы опускаем теоретико-
множественные доказательства независимости этих предпо-
ложений от ZF, но приводим подробные доказательства их
алгебраических следствий.
Ядром нашего курса является известный результат С. Ше-
лаха по проблеме Уайтхеда. Этот результат изложен в более
общем контексте совместно с некоторыми другими результа-
тами о расщеплении и ранге Ext (A, G) (гл. 3 и 4). Приведены
и некоторые более поздние результаты Шелаха, например та-
кие, как теорема о сингулярной компактности, которая позво-
ляет дать характеризацию в L (конструктивном универсуме)
групп Уайтхеда не только мощности но и произвольных
мощностей (гл. 5), а также решение проблемы Уайтхеда в
предположении континуум-гипотезы (гл. 10 и 4) и сведения
о группах Уайтхеда в предположении аксиомы Мартина (гл. 7
и 8). В книгу включены и некоторые результаты А. Меклера
о построении почти свободных групп в предположении аксио-
мы конструктивности (гл. 6), а также наш совместный с ним
метод построения неразложимых групп в предположении
аксиомы конструктивности в применении к модулям над де-
декиндовыми областями и, кроме того, для дедекиндовой об-
ласти приведены необходимые и достаточные условия, при
выполнении которых над ней существуют неразложимые
8
Предисловие
модули сколь угодно больших мощностей. В заключительной
главе изложены результаты, указывающие на трудности на-
хождения полной системы инвариантов для К]-свободных
групп мощности Ki.
Мне бы хотелось выразить свою признательность орга-
низаторам семинара — профессорам Деньо и Бенабдаллаху,
которые пригласили меня прочесть этот курс и сделали ра-
боту семинара и мое пребывание в Монреале очень прият-
ными. Я особо признателен А. Меклеру, записавшему мои
лекции, которые легли в основу этой книги, за его неоцени-
мые советы и помощь в работе над книгой. Я благодарен
С. Шелаху, сообщавшему мне свои результаты еще до их пуб-
ликации и терпеливо отвечавшему на мои вопросы. Благо-
дарю также профессора Г. Сабидусси, который замечательно
отредактировал эту книгу. И наконец, я хотел бы выразить
признательность моей семье — Шерри, Кэти и Алисе, но не
за математическую помощь, а за нечто более важное — за
поддержку, которую мне дает их любовь.
7 декабря 1979 г.	Пауль Эклоф
Глава 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Кантор определил множество как «совокупность в много-
образии всех четко определенных и ясно представляемых
объектов нашего восприятия или мышления». На заре разви-
тия теории множеств Фреге сформулировал это в виде сле-
дующего основного принципа образования множеств:
По данному свойству Р(х) можно образовать множе-
ство {а|Р(а)}, состоящее из всех объектов с данным
свойством.
Как известно, в 1902 г. Рассел, рассматривая свойство
х ф х, показал, что этот принцип может привести к парадок-
сам. Это указывает на необходимость уточнения наших ин-
туитивных понятий о множествах. Общепринятым путем для
этого является аксиоматический метод, в частности аксиома-
тика Цермело — Френкеля (или сокращенно ZF), введенная
в 1908 г. Цермело, а затем усовершенствованная и уточнен-
ная Френкелем, Сколемом и другими. Мы не станем пере-
числять все эти аксиомы — они выражают все те «обычно
используемые» свойства множеств, принимаемые и применяе-
мые без всяких возражений всеми математиками, — но при-
ведем две из них, которые проясняют интуитивные представ-
ления о множествах, лежащих в основе этой системы аксиом:
1. Принцип селекции (или выделения): по данным свой-
ству Р(х) и множеству А можно образовать множество В =
щ*{а & А\Р(а)}. Формализуя это, полагают Р(х) формулой
исчисления предикатов первого порядка.
Для того чтобы сформулировать вторую аксиому, сначала
определим по индукции VQ~0, Vi=^(0), V2=^(Vi), ... .
Й общем случае Va+i=^(Va), где &(А)—множество всех
подмножеств множества Л, а для предельного ординала о
полагаем Уа= U Va. Можно доказать по индукции, что
a<a
Va S Va+i для всех a.
2. Аксиома фундирования (или регулярности): каждое
множество принадлежит Va при некотором а, т. е. V (уни-
10
Глава 1
версум всех множеств) равен (J Va. Здесь Ord — класс
а е Ord
всех ординалов.
Следовательно, картина универсума всех множеств вы-
глядит следующим образом:
(Иногда это называют кумулятивной иерархией множеств.)
Множество Рассела, приводящее к парадоксу, уже не вхо-
дит в кумулятивную иерархию, но следующие вопросы все-
таки остаются: все ли парадоксы исключены и полна ли эта
система аксиом, т. е. достаточно ли она сильна для решения
всех вопросов о множествах (и. следовательно, всех вопросов
математики) ?
Теорема о неполноте Гёделя (1931 г.) принесла отрица-
тельные ответы на эти вопросы. Нет надежды доказать не-
противоречивость системы ZF; а если ZF непротиворечива,
то она неполна: существуют утверждения Ф, независимые от
ZF, т. е. ни Ф, ни “]Ф (т. е. не Ф) не выводимы из ZF. Это
не является специфическим недостатком именно ZF — то же
самое верно и для любой другой (эффективно перечислимой)
системы аксиом, достаточно сильной для доказательства не-
которых основных свойств множеств.
Основываясь на 75-летнем опыте, мы будем предполагать
само собой разумеющимся, что ZF непротиворечива; следо-
вательно, утверждая, что ZF + Ф непротиворечива, мы подра-
зумеваем, что если ZF непротиворечива, то непротиворечива
и ZF + Ф. Мы рассмотрим несколько предположений, неза-
висимых от ZF. Первые из них хорошо известны:
I.	Аксиома выбора (АС): каждое множество может быть
вполне упорядочено.
II.	а. Континуум-гипотеза (СН):2к°=К1, т. е. | SP (К о) I =
II.	Ь. Обобщенная континуум-гипотеза (GCH): для любого
кардинала k имеет место равенство 2й = £+, т. е. \&(k) | = £+,
где k+—наименьший из кардиналов, строго больших k.
Предварительные сведения из теории множеств
11
Совместимость этих аксиом с ZF (т. е. ZF не может опро-
вергнуть их) доказана Гёделем в 1939 г., а совместимость
их отрицаний с ZF (т. е. в ZF они недоказуемы) доказана
Коэном в 1963 г. Следовательно, они независимы от ZF.
В действительности СН и GCH независимы и от системы
ZF + AC, которую обозначают ZFC. С этого момента мы бе-
рем ZFC в качестве основной аксиоматики теории множеств.
Доказательство Гёделя совместимости АС и GCH с ZF
привело к появлению следующего предположения:
III	. Аксиома конструктивности (V = L):
Для ее пояснения сначала в общих чертах опишем L.
Главное здесь заключается в построении иерархии La, a е
е Ord, такой, что La+i состоит из тех подмножеств из Ла, ко-
торые можно получить из него по принципу селекции. Объ-
единение L всех La, а е Ord, есть подкласс в классе V всех
множеств.
Если X — произвольное множество, то пусть Def (X) — се-
мейство всех подмножеств из X вида {а Х\Р(а)}, где
Р(х)—произвольное свойство множеств (выраженное на
языке исчисления предикатов), возможно использующее па-
раметры из X. При образовании этого множества истинность
Р(а) понимается относительно X. (Не желая вдаваться в
точные объяснения, заметим, что, например, если Р есть 3^Q,
то v должно существовать именно в X, а не в универсуме
всех множеств. Для более . детального знакомства с аксио-
мой конструктивности можно обратиться к хорошо и нефор-
мально написанной книге Девлина [3].)
Определим теперь Lo = 0, и для каждого a La+i =
= Def(La), а для предельного ординала <у La= (J Дх- Поло-
аса
жим L— U £а. Множества из L называются конструктив-
a е Ord
ными. Картинка L выглядит следующим образом (заштри-
хованная часть и есть L): Ord
12
Глава 1
Следовательно, L содержит все ординалы и La s Va (но в
общем La ф L П Va даже при V = L). Аксиома конструктив-
ности утверждает, что каждое множество лежит в L, т. е.
V = L (иными словами, на рисунке заштрихован весь уни-
версум!). Для доказательства совместимости этой аксиомы
с ZFC Гёдель показал, во-первых, что L есть модель для ZFC
и, во-вторых, при такой точке зрения на L каждое множество
конструктивно, т. е. L есть модель для V = L. Кроме того,
Гёдель показал, что ZF + V = L влечет АС + GCH; следо-
вательно, АС и GCH совместимы с ZF. Позднее Коэн дока-
зал, что V = L независима от ZFC (т. е. в ZFC недоказуемо
V = L).	'
(Следует отметить, что теорема Гёделя о неполноте, при-
мененная к ZFC + V = L, показывает, что ZFC 4- V = L не-
полна. Тем не менее до сих пор не известно каких-либо есте-
ственных математических утверждений, независимых от
ZFC + V = L.)
Нам будет вполне достаточно для дальнейшего изложения
этого краткого знакомства с L, так как последующие главы
книги будут использовать не саму V = L, а лишь некоторые
ее следствия, открытые Р. Енсеном. Мы их точно сформули-
руем, не приводя их вывода из ZFC + V = L. Для формули-
ровки первого из них нам необходимо ввести некоторые важ-
ные теоретико-множественные понятия.
Ординал отождествляется с множеством его предшествен-
ников (т. е. v={a|a<v}). Кардиналом называется орди-
нал, имеющий • бблыпую мощность, чем мощность любого из
его предшественников (т. е. он не может быть поставлен во
взаимно однозначное соответствие с каким-либо своим пред-
шественником). Бесконечный кардинал k называется регу-
лярным, если для всех X s k, таких, что X неограничено (т. е.
кофинально) в k, мощность X (обозначаемая |А|) есть k.
Кофинальность кардинала k (обозначаемая cffk)) есть мощ-
ность наименьшего X, такого, что X кофинально в k. Следо-
вателно, k регулярен тогда и толко тогда, когда cf (k) = k.
В противном случае k называется сингулярным.
Для любого множества А через |А| обозначаем мощ-
ность А. Обозначения Ка и ®о для a-го бесконечного карди-
нала взаимозаменяемы, и, кроме того, вместо со мы пишем <в0
(= Ко = множеству конечных ординалов). Если не оговорено
противное, то k будет обозначать несчетный регулярный кар-
динал и а, р, у, б, р, v, р, т, о — ординалы. (Замечание: это
не исключает для них возможности быть при этом и карди-
налами.)
Определение. Множество С s k называется замкнутым и
неограниченным (сокращенно кубом), если:
Пред верительные сведения из теории множеств	18
(i) С замкнуто, т. е. если X s С и sup X < k, то sup X е
е С (где supX обозначает супремум X).
(ii) С не ограничено, т. е. sup С = k.
1.1. Лемма. Пересечение менее чем k кубов является ку-
бом.
Доказательство. Мы ограничимся лишь доказательством
того, что если Со и С\ (s/г) являются кубами, то СоЛтоже
куб. Очевидно, Со П С\ замкнуто. Остается показать, что Со Л
Л Ci не ограничено. Предположим, что р. е k. Выберем voe
® Со так, чтобы vo > р. Индуктивно выберем vn, где п < со,
так, чтобы было
v»+i > Vnj van g= Co и Van+i в Cj.
Тогда
( supv2„<sCo,
V = sUpVn — <	„	П
I supv2n+I sC|.
Фундаментальным понятием, не включенным в большин-
ство курсов по наивной теории множеств, является понятие
стационарного множества.
Определение. Пусть = {X е & (k) | X содержит куб}. По
лемме 1.1 Я? является фильтром. Пусть 3 —{k \ Х\Х е &} —
идеал, дуальный к фильтру &. Идеал 3 называется идеалом
тощих множеств. Будем называть множество Е s k стацио-
нарным, если Е<£3, т. е. для всех С е & имеем С Л С #= 0.
Обозначим З^Ъ^/З через 3)(k), а образ Е в 3)(k) через Ё.
3)(k) является булевой алгеброй.
Заметим, что Ei = Ё2 тогда и только тогда, когда Е^Е2
(=(£] \£a)U(^2\ Е\))&3, а это верно тогда и только то-
гда, когда существует С е <ё’, такое, что С Л £1 = С Л Е2. Ана-
логично, Ei Ё2 тогда и только тогда, когда существует
Се^, такое, что Ei Л С £= Е2 Л С.
Примеры. (1) Кубами являются: ki
[a<k а — предельный ординал};
{а < k а — предел предельных ординалов} и т. д.
(2)	Наибольший элемент в обозначаемый через 1,
равен й, который в свою очередь равен С для любого Cs9.
(3)	Аналогично, наименьший элемент в S)(k), обозначае-
мый через 0, равен 0, который оказывается равным X для
любого Х<=3. Е стационарно тогда и только тогда, когда
Ё =Н= 0.
(4)	Можно доказать, что для любого регулярного несчет-
ного кардинала k существуют 2* различных элементов в Ф (k).
Мы остановимся лишь на одном примере. Предположим
14
Глава 1
k == V (последователь X), где X — регулярный несчетный
кардинал. Тогда Е = {о < ft|cf (а)== X} стационарно, но не
куб. Оно не куб, так как не содержит супремумы всех своих
подмножеств мощности со. Оно стационарно, так как каждый
куб С обязан содержать точки кофинальности X, например
Хтй элемент из С.
(Упражнение. Для куба С k мы можем определить ко-
финальное™ элемента а относительно С как минимум мощ-
ностей множеств ХсарС, таких, что X неограниченно в а.
Показать, что для предельных точек из С кофинальное™ от-
носительно С совпадает с кофинальностью.)
Определение. Пусть | А | k — регулярный несчетный кар-
динал. Возрастающая цепь подмножеств {Xv|v < k} из А
называется k-филътрацией множества Д, если выполнены сле-
дующие условия:
(i) если v < т, то Av Ах (т. е. это — цепь);
(ii)4=LMv;
*v<&
(iii) | Ду | < k для всех v;
(iv) (условие гладкости) если о — предельный ординал, то
Лд' U Лу.
v<a
В случае |Л| k мы будем писать Л= JJ А (гладко)
для указания того, что {Xv|v<&} есть А-фильтрация на А.
Теперь мы уже можем сформулировать принцип Енсена
0Н£)-
IV. Бриллиант. <0>fc(E) утверждает: если | А | k и
А= (J Av (гладко), то найдется семейство {Sv|veE} (на-
зываемое <ф>к(Е)-последователъностъю), такое, что SveAv и
для любого Х<=А множество {v е E|Xf] Av = Sv} стацио-
нарно в k.
Теорема (Енсен 124]). ZFC+V' = L влечет за собой
Ok(E) при любом регулярном несчетном k и любом стацио-
нарном подмножестве E^k.
Интуитивно это можно понимать как то, что СЕ)-по-
следовательность предсказывает (до выбора X), что обяза-
тельно будет X П Av = Sv и при этом множество тех v, для
которых это будет верно, не слишком мало (т. е. не является
тощим).
Мы будем писать ()k вместо <0>^(^)-
1.2.	Предложение. <\+ влечет за собой 2Х = %+.
Предварительные сведения из теории множеств
15
Доказательство. Пусть {Sv|v < X} является после-
довательностью (где А = Х+ и Av = v). Возьмем Х^ X. В силу
выбора {Sv|v < Х+) существует v > X, такой, что X = X f| v==
= Sv. Следовательно, каждое подмножество из X есть неко-
торое Sv. Тогда существует только Х+ подмножеств в X. []
Замечание. Не верно, что из СН или даже GCH вытекает
. Однако GCH влечет за собой <0>х+ для всех X > со.
(Грегори [17] —в случае cf(X)> со, Шелах [41] —в общем
случае.)
Чтобы составить себе представление о том, как приме-
няется <0>а>(£), докажем следующее простое, но полезное
следствие.
1.3.	Лемма. Пусть k — регулярный кардинал и E^k. То-
гда <>*(£) эквивалентен следующему: если | А| = k, | G | k,
A — U Av (гладко) uG= U Gv (гладко), то существует
v<fe	v<k
{gv. Gv|vе£} (<$>k(E)-последовательность), такое, что
для любой функции g: A -+G множество {v е £|g'|4v = ^}
стационарно.
Доказательство. (<=) совсем просто. Нужно взять G =
= {0,1} = 2 и отождествить каждое множество с его харак-
теристической функцией.
(=>) Выберем <0*(^-последовательность {Sv|ve£} для
A\G— U ЛДб, (гладко). Определим {gv|v е£} еле-
v<fe
дующим образом:
( Sy, если Sv есть функция из Ау в Gv,
( 0 в противном случае.
Пусть g: A-+G. Мы отождествляем g с ее графиком так,
что g £= А X G- Пусть F = {v | g П (А X Gv) = Sv}; оно стацио-
нарно. Небольшая тонкость заключается в том, чтобы по-
нять, что этим доказано еще не все, так как g"Av может не
содержаться в Gv (здесь g"Av обозначает образ Ау при ото-
бражении g).
Пусть С — {v|g"4vS Gv}; тогда С — куб. (Оно, очевид-
но, замкнуто. Чтобы увидеть его неограниченность, возьмем
vo < k и выберем vn индуктивно так’ чтобы vn+\>Vn и g"AVn^
s Gy ; тогда sup vn е С.) Итак, F (] С стационарно, при-
чем в действительности F Q С — F. Тогда для всех v е F Q С
верно
Sv — gv П X Gv) = S I Sv	0
М
Глава I
1.4.	Следствие. Если, выполнено Qk(E), то Е можно пред-
ставить в виде U Ец> е®е Е^[]Еу = 0 при ц #= v, и выпол-
нены QkiEp) при всех ц.
Доказательство. Пусть {gv: v->v|veE} есть (X ^-по-
следовательность для А X G, где А «= G ™ k и Av = Gv = v.
Рассмотрим Ец, = {v е E|gv(0) = ц}. Тогда очевидно, что Ец
стационарны и попарно не пересекаются. Установим теперь
справедливость <0>*(Ед). Для каждого v < k определим g№
следующим образом: g^ (0) = gv (1); g№ (ft) = gv (n + 1) для
n < co и g(vkt>(«) = gv(a)B остальных случаях. Пусть g: k->~k.
Определим g следующим образом: g(0)= ц; £(«+ 1)«= g(n)
для n <Z co и g(a) = g(a) в остальных случаях. Тогда F =>
== {v е E|g|.v == gv} стационарно. При этом если vef, то
ve£uH g|v = gjW. Q
Замечания. (1) В этом доказательстве был использован
легко проверяемый факт, что для установления справедли-
вости Оk (Е) достаточно показать существование бриллианто-
вой последовательности для A — k, Av = v.
(2) Приведенное выше следствие показывает, в частно-
сти, что если О*(£) справедливо, то стационарное множе-
ство Е может быть разбито на k попарно-непересекающихся
стационарных множеств. В действительности это справедливо
и для произвольных стационарных множеств вне зависимо-
сти от выполнимости Qk(E). (Соловэй [43].)
Глава 2
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
В дальнейшем предполагается, что все наши группы абе-
левы и k — фиксированный регулярный несчетный кардинал.
То, что А — подгруппа в В, записывается в виде А В.
Определение. Пусть А — группа мощности k. Тогда
{Д> | v < k} называется k-фильтрацией А как группы, если эта
есть ^-фильтрация А как множества, Л0={0} и каждое Av
является подгруппой.
Нас будут интересовать две темы. Первая из них посвя-
щена k-свободным группам. Группа называется k-свободной,
если каждая ее подгруппа мощности меньше k является сво-
бодной. Для таких групп наши фильтрации будут выбираться
каноническими, т. е. такими, что А = U (гладко) и при
v<fe
всех v либо Л¥ fe-сервантна в А, либо Av+i/Av не свободна.
Напомним, что подгруппа В k-сервантна в группе А, если из
В^С^Л и \C/B\<.k следует, что В является прямым
слагаемым в С. (Следовательно, Av fe-сервантна в А тогда
и только тогда, когда А^/Ах свободны для всех v < р.)
Легко показать существование канонических fe-фильтра-
ций следующим образом. Пусть А — U Av (гладко). Возь-
v<&
мем цо = 0. Далее, если pv уже выбран, то предоставляются
следующие два случая: если Лц fe-сервантна, то полагаем
pv+i = pv 1; в противном случае выбираем pv+i так, чтобы
Лц^+1/Л^ не была свободной. Для предельного ординала к
полагаем px = suppv. В результате Л = U Ли (гладко) бу-
v<X	v<k v
дет канонической fe-фильтрацией.
Для fe-свободной группы Л, такой, что ] Л | = fe, выберем
А = U Av (гладко). Пусть E={v\Av не fe-сервантна}. По-
v<k
ложим по определению Г* (Л) равным Ё, т. е.
r = rfc: {Л|Л ^-свободна и \A\ = k}^3)(k)
Мы будем опускать верхний индекс k, если из контекста
ясно, о какой функции Г идет речь.
2 Зак. 686
18
Глава 2
2.1. Лемма. (1) Г определена корректно (г. е. не зависит
от выбора k-фильтрации). (2) А свободна тогда и только то-
гда, когда Г (Л) = 0.
Доказательство. (1) Пусть A— U Av = U A'v (обе
v<fe v<fe
гладко). Тогда С = {v | Av = A'v} — куб (см. доказательство 1.3).
Если Е ={v[A'v не fe-сервантна}, то ЕПС = Е'ПС. Следо-
вательно, Е = Е'.
(2) (=Ф-) Если А свободна, то можно выбрать й-фильтра-
цию, состоящую из прямых слагаемых А.
(<=) Пусть Г(А) = 0, А= (J Av (гладко) и E = {v|Av
V<fe
не й-сервантна}. Выберем С так, что Е(]С = 0. Пусть
{jiv|v < k} —возрастающая нумерация элементов из С. Так
как С замкнуто, то A — (J Аи (гладко). Для всех v
v<k v
AiXv+i/Aliv свободны. Ввиду того что базис для А можно полу-
чить объединением выбранных индуктивно базисов для АИг?,
группа А свободна.	[]
В гл. 6 мы увидим, в каких случаях Г является сюръек-
тивной.
Для введения во вторую из интересующих нас тем напо-
мним, что проблема Уайтхеда — это вопрос о том, будут ли
свободными все группы А, такие, что Ext(A,Z) = 0. (В [33]
дан прекрасный обзор по проблеме Уайтхеда.) Назовем А
W-группой, если Ext (A, Z) = 0. Изложение нашей второй
темы будет основано на решении Шелаха проблемы Уайт-
хеда.
Фиксируем группу G, такую, что | G | k. Мы будем изу-
чать группы А мощности k, такие, что Ext (В, G) = 0 для лю-
бой их подгруппы В, такой, что | В | < k. ^-Фильтрация
А= U Av (гладко) называется G-канонической, если для
v<fe
всех v < k либо Ext(Ag/Av, G) = 0 при всех ц > v, либо
Ext(Av+i/Av, G) =# 0. Для непредельных кардиналов это яв-
ляется обобщением первой из наших тем: А является ^-сво-
бодной тогда и только тогда, когда Ext (В, Г) = 0 для всех
В А, таких, что \В \ й, где F — свободная группа ранга k
(см. [18]).	.
Рассмотрим G-каноническую fe-фильтрацию А = (J Av
v<k
(гладко). Положим
Bc={v|Ext(Av+1/Av, G)=#0}
Определим Го (А) равным EG, т. е.
Го: {А | | А I = k и Ext (В, G) = 0 для всех В <1 А,
таких, что I В | < й}(й).
Предварительные сведения из теории групп
19
2-2. Лемма. (1) Го определена корректно.
(2)	Го (Л) = 0 => Ext (A, G) = 0.
Прежде чем начать доказательство, напомним терминоло-
гию о группах Ext.
Определение (см. [15], с. 210). Определим множество си-
стем факторов из А в G (обозначаем Fact (Л, G)) как мно-
жество функций f: A\A-i-G, удовлетворяющих следующим
условиям:
(i)	f(u, v) = f(v,u);
(ii)	f(u, t>)+ f(u + v, w)— f(u, v + o»)+ f(v, w);
(iii)	f(u,O)=f(O,M) = O
для всех и, v, w e A.
Предположим, что ft: A-*~ G такова, что ft(0) = 0. Тогда
6ft: ЛХЛ->С — такое отображение, что 8h(a, b) = ft(a) +
+ h(b)—h(aA~b). Множеством систем трансформаций из Л
в G (обозначаем Trans (Л, О) ) является
{6ft|ft: Л-> G и Л(0) = 0}.
Тогда Ext (Л, С) = Еас1(Л, G)/Trans (Л, G).
Доказательство леммы 2.2. Доказательство для (1) ана-
логично доказательству 2.1.1.
(2) Как и в доказательстве 2.1 (2), возьмем Л = U Ли
v<A v
(гладко) такой, что Ext (ЛРу+1/Лцг, G) = 0 для всех v. Опре-
делим й= U ftv по индукции так, чтобы f = 6ft. Возьмем
v<k
ho: Ло-> Go таким, что fto(O) = O. Предположим, что ftv: Av^~
-> Лу таково, что f [ Av — 6ftv уже определено. Выберем
ftv+1: Лу+1 Лу+1 так, что ftv S ftv+i и f [ Лу+1 = 6ftv+i. (То,
что это возможно, будет следовать из следующей леммы.)
Для предельных ординалов А, полагаем ftx= (J ftv. Тогда,
v<X
если ft = U ^v, то f = 6ft.	[]
v<k
2.3. Лемма. Пусть А Л'. Если ЕхЦЛ'/Л, G) = 0,
Ext (Л', G) = 0 и f' Fact (Л', G) такова, что f' Г ЛХ A — 6h,
то найдется h' h, такая, что f' — §h'.
Доказательство. Так как ЕхЦЛ', G) = 0, то f' = &g для
некоторой g: Л'-> G. Тогда 6(g Г Л) = f' [ А = б/i. Следова-
тельно, h — (g Г Л) е Нот (Л, G). Рассмотрим следующую
часть длинной точной последовательности для Ext:
Hom (Л', О)->Нот(Л, G)-^Ext(A'/A, G) = 0.
Следовательно, найдется 0 е Нот (Л', G), такой, что 0 Г Л =
= h— (gM). Возьмем h' = g + 0. Тогда 6h' = 6g = f' я
h'tA = h.	□
2*
Глава 3
ПРИНЦИП БРИЛЛИАНТА И РАВЕНСТВО НУЛЮ
ГРУППЫ Ext
Основным результатом этой главы является следующая
теорема (см. [8] и [9]).
3.1.	Теорема. (О*(Е)). Пусть k — несчетный регулярный
кардинал. Е — стационарное подмножество в k, |Л|=й и
G — такая группа мощности, не превосходящей k, что
Ext (В, G) = 0 для всех В А, таких, что |В| < k. Тогда если
Г0(Л) = Е, то Ext (Л, G)#=0.
Замечание. Стоящий в скобках знак (>fe(E) означает, что
мы доказываем этот результат, используя не. только систему
аксиом ZFC, но и дополнительно предполагаем справедли-
вость принципа ()k (Е). Именно необходимость в использо-
вании в процессе решения дополнительных теоретико-множе-
ственных принципов сделала проблему Уайтхеда такой труд-
ной. Приведенное ниже следствие является обращением
2.2(2). (В гл. 7 мы увидим, что оно независимо от ZFC.)
3.2.	Следствие (V = L). Предположим, что А и G такие
же, как в 3.1. Тогда если Ext (Л, G) = 0, то Гс(Л) = 0.
Доказательство. Так как из V = L следует О^(Е) для
£#=0, то Можно использовать 3.1. В' силу 3.1 Ext (Л, G) = 0
влечет за собой Го (Л) = 0.	Q
3.3.	Теорема (Шелах [35]) (V = L). W-группа мощности
<di свободна.
Доказательство. Штейн показал, что счетная ^-группа
является свободной (см. [34] или [16]).
Пусть Л есть IF-группа мощности coi. Тогда она ^-сво-
бодна. Для доказательства теоремы достаточно показать,
что Г(Л) = 0. Из вышеупомянутого результата Штейна
следует, что Г(Л) = Г2(Л). (Так как | ЛУ+1/Л¥| со, то
ЕхЦЛу-н/Лу, Z)=# 0 тогда и только тогда, когда ЛУ+1/Л¥ не
свободна.) В силу 3.2 из ЕхЦЛ,2) = 0 следует Г2(Л) = 0. Q
Предполагая V — L, можно с помощью индукции пока-
зать, что каждая ^-группа мощности (п е со) является
Принцип бриллианта и равенство нулю группы Ext
21
свободной. Этот индукционный процесс нельзя продолжить на
сингулярные (т. е. не являющиеся регулярными) кардиналы.
Результат имеет место и в этом случае, но для продолжения
индукционного процесса придется привлечь новые идеи. До-
казательство следующего утверждения аналогично 3.3.
3.4.	Теорема (У = А). Пусть k — регулярный кардинал и
каждая W-группа мощности меньше k свободна. Тогда каж-
дая W-группа мощности k тоже свободна.	Q
Докажем теперь обращение леммы 2.3.
3.5.	Лемма. Пусть Ext(A', G) = 0 и Ext(A'IД, G)=/=0. То-
гда для любых feFact(A, G) и g, таких, что f = 8g, най-
дется такой f е Fact (Д', G), что f' f и при этом не суще-
ствует g' з g, для которой бы 8g' = f'.
Доказательство. Рассмотрим точную последовательность
Нот (Д', G)->Hom(A, G)->Ext(A'/A, G)-^ Ext (Д', G) = 0.
Так как ЕхЦД'/Д, G)=H=0, то отображение Нот(Д', G)->
—*Нот(Д,О) не является сюръективным. Выберем 0s
еНош(Д, G) не лежащим в образе этого отображения, По-
ложим g + 0 = h. Тогда 8h = 8g = f. Выберем h'\ Д' G
так, чтобы h' h. Положим f' = 8h'. При этом не существует
g' з g, такой, что f' = 8h', так как в противном случае мы
бы пришли к противоречию с выбором 0 ввиду того, что
h' — g' <= Hom (Д', G) и является продолжением h — g — 0.
Доказательство 3.1. Предположим, что Гс(Д) = £. Возь-
мем G-каноническую ^-фильтрацию Д = U Ду (гладко), та-
v<k
кую, что Е = {v < fe|Ext(Av+i/Av, G)=# 0}, и ^-фильтрацию
G= U Gv (гладко) для G. Мы выберем, действуя по ин-
v<k
дукции, цепь	е Fact (Av, Gv), а затем возьмем f= LI fv
v<k
При этом выбор будет сделан так, что f 8g при любых g.
Пусть {gv:	Gv|v е Е} есть <% (^-последователь-
ность (см. 1.3). Возьмем f0 в соответствии с тем, что Ао = {0}.
Предположим, что fv уже выбран. Тогда возможны следующие
два случая.
Случай 1. Если v е Е и fv = 8g4, то, используя лемму 3.5,
выберем fv+i Э fv так, чтобы fv+l =/= 8g' при всех g' э gv.
Случай 2. Если v не такой, как в случае 1, то выбираем
fv+i э А> произвольным образом.
Для предельных ординалов X полагаем ^*= U fv Поло-
v<X
жим f = (J /v и докажем в этом абзаце, что f *&8g при лк>
v<*
22
Глава 3
бых g. Предположим противное, т. е. пусть f = 6g при неко-
торой g. Тогда в силу леммы 1.3 найдется v <= £, такой, что
g Г Av = gy. Следовательно, f Г Av X Av = fv = S (g Mv) =
= Sgy и, значит, fv+i выбирался так, как сказано в случае 1.
С Другой стороны, g Г Ан-1 3 £ Г Av = gv И fv+l = f С А+1 X
X А+1 = 6(g f A+i). Это противоречие с выбором fv+i и до-
казывает необходимое нам утверждение.
Следовательно, Ext (A G)¥=0.	[}
Замечание, Стоит прокомментировать структуру преды-
дущего доказательства, так как она типична для доказа-
тельств с использованием принципа 0. А именно в этом до-
казательстве можно выделить математическую и метамате-
матическую части. Математическая часть состоит в том, что,
зная g f А, мы показываем возможность такого выбора фак-
торов что f ф &g- Затем, используя 0, мы можем пред-
сказать g f Av с определенной точностью ').
В качестве введения в тематику следующей главы, мы
покажем теперь, каким образом можно вывести 3.1 из более
слабой теоретико-множественной гипотезы, чем 0fe(E’).
V. Принцип тусклого бриллианта (Ф*(£)). Пусть А —
множество мощности k и А = U Av (гладко). Если для
v<&
каждого v^ E имеется разбиение Pv\ £P(Av-> {0, 1} подмно-
жеств из Ау на два класса, то найдется функция ф:	{0, 1}
(называемая Ф^(£)-функцией или функцией тусклого брил-
лианта для {Pv}) , такая, что для любого X А множество
{v е Е | Ру (X П Ау) = ф (v)} стационарно.
Таким образом, принцип Ф^(£) (называемый тусклым
бриллиантом) вместо того, чтобы предсказывать (как это де-
лает принцип 0 k (Е)), каким будет X П Av, предсказывает, ка-
кому члену разбиения ^(Av) будет принадлежать XП Ау.
(Девлин и Шелах) назвали множество Е k немалым,
если выполняется Ф^(£).)
Упражнение. Показать, что из 0^(£) следует Ф^(£).
Особый интерес к принципу тусклого бриллианта вызван
следующим результатом.
Теорема (Девлин — Шелах [6]). Если 2*° < 2s'1, то Ф^ (coi).
о
Для произвольных групп А и G через Мар (Д, G) обозна-
чим множество всех отображений /г:	G, таких, что /г(0) =
= 0.
3.6.	Теорема (Ф^ДЕ)). Пусть k, Е, А и G такие же, как
и в 3.1. Тогда если Го(Д) = Е, то ЕхЦД, G)=/=0.
9	Имеется в виду утверждение леммы 1.3. — Прим, перев.
Принцип бриллианта и равенство нулю группы Ext	23
Доказательство. Пусть G-каноническая ^-фильтрация
А= U Av (гладко) такова, что Е = {v|ExtG4v+i/4v, G)=^
v<k
=/=0}. Предположим для простоты, что |G|<£. Определим
отношение эквивалентности ~ на Мар (Л¥, G) следующим
образом: h ~ h' тогда и только тогда, когда h — h' ей f Л\
для некоторого 0 е Нош(Л¥+1, G).
Для каждого v выберем такое разбиение Pv:
Map(Xv, G)~>{0, 1}, что выполняются:
(а)	если h ~ й', то Pv(/i) = Pv(h')\
(b)	для каждого h найдется такое й', что бй = бй' и
Pv(ft)#=Pv(ft').
(Такой выбор возможен ввиду того, что для v е Е ото-
бражение Hom(4v+i, G)->Hom(Xv, G) не сюръективно (см.
доказательство 3.5), и, следовательно, взяв 0GHom(Xv, G)—
— im Hom (Xv+i, G) и ft' = й + 0, получим, что бй = бй', но
й о6 й.)
Продолжим Pv до разбиения множества ^(ЛХС) про-
извольным образом. Пусть ф есть Ф/^Р)-функция для {Pv}.
Индукцией по v выберем возрастающую цепь Fact(i4v, G).
Если v и уже выбран, то /v+i fv выбираем произ-
вольным образом. Для предельных ординалов берем объеди-
нение предыдущих. Важнейшим звеном нашего доказатель-
ства является выбор fv+i в случае, когда veP и уже вы-
бран. Предположим, что в этом случае tp(v)=^e{0,1}. То-
гда, в силу пункта (Ь), при выборе Pv найдется такое й, что
fv — 8h и Р¥(й)=1--й. Возьмем й е Мар (Лг,+1, G) таким,
что й^ й, и положим fv+i = бй.
Ключевым моментом для дальнейших рассуждений яв-
ляется то, что fv+i =/= Sg при всех g, таких, что Pv(g f Av) — k.
(Это можно показать от противного, рассмотрев h —g и вы-
ведя (g Г 4V) ~ й в противоречие с пунктом (а) при выборе
Pv.) Положим f= (J fv Рассуждая аналогично доказатель-
v<k
ству 3.1, получим f Trans (Л, G).	[]
Замечание. Если | G | = й, то, взяв G = U Gv (гладко)
и разбиения ^(ЛТХ Gv), можно рассуждать вышеуказанным
образом, используя аналог леммы 1.3.
Глава 4
ПРИНЦИП ТУСКЛОГО БРИЛЛИАНТА
И РАНГ ГРУППЫ Ext
Один из наиболее глубоких результатов по проблеме
Уайтхеда, предшествовавших работе Шелаха, был получен
Чейзом [2], доказавшим в предположении СН, что если груп-
па без-кручения А такова, что Ext(X, Z) периодическая, то А
является сильно сорсвободной. В действительности он исполь-
зовал даже не СН, а лишь более слабое предположение, что
2»о < 2*1. в гл. 8 будет показано, что результат Чейза не-
возможно получить без использования каких-либо дополни-
тельных теоретико-множественных гипотез1)- Прежде чем
усилить результат Чейза с помощью принципа тусклого брил-
лианта, напомним понятие которое, которое будет играть зна-
чительную роль в последующем изложении.
Определение. Группа А называется сильно k-свободной,
если А является ^-свободной и каждое ее подмножество мощ-
ности меньше k содержится в А-сервантной подгруппе мощ-
ности меньше k, т. е. для любого такого, что |S| < А,
найдется В Л, такая, что	|В| < k и при этом если
В<С<Л и |С| < &, то В является прямым слагаемым в С.
4.1.	Лемма. Если А — такая k-свободная группа мощно-
сти k, что Г(Л)У=1, то А является сильно k-свободной.
Доказательство, В силу предположения леммы можно
взять такую Л = U А, (гладко), что £=И=1, где Е — {v|Лу
v<k
не А-сервантна}. Так как Е не содержит куба, то k — Е ста-
ционарное. Следовательно, k — Е неограничено, т. е. найдутся
сколь угодно большие v, такие, что Л¥ являются й-сервант-
ными. Следовательно, Л — сильно fe-свободная группа.
Замечание. Утверждение, обратное к этой лемме, не имеет
места при всех (мео) (см. [30]) и в предположении
V = L для многих других кардиналов.
Обозначим через г^Н ранг без кручения группы Н.
1) Имеется в виду, что результат Чейза невыводим в ZFC. — Прим,
перев.
Принцип тусклого бриллианта и ранг группы Ext
25
4.2.	Теорема (ФШ1 (Е)). Пусть G — группа мощности, не
превосходящей coi, а А такова, что Ext (В, G) = 0 для всех
счетных В А. Тогда если |Л| = (01 и Го(Л) = £, то
го Ext (Л, G) ^со2.
Прежде чем доказывать эту теорему, покажем, как вы-
вести из нее усиление результата Чейза.
4.3.	Следствие (2^° < 2й1)- Пусть А — группа без кручения
мощности coi. Если Ext (Л, Z) является периодической, то
Г(Л)=#1.
Доказательство. Чейз [2] показал, что если В —такая
счетная группа без кручения, что Ext(B, Z) является перио-
дической, то В свободна, В силу результата Девлина и Ше-
лаха выполняется (D^coi). Тогда из 4.2 следует Г2(Л)=?^1.
(Напомним, что 1 =SP) Но по теореме ШтейнаГ2(Л)=Г(Л). []
Замечание. Мы в состоянии доказать результат, аналогич-
ный теореме Чейза, и для групп произвольных мощностей.
Предположим противное, т. е. что существует такая группа
без кручения Л, что Ext (Л, Z) является, периодической, но Л
не является сильно coi-свободной. Тогда найдется В^Л, та-
кая, что | В | = со и В не содержится ни в какой счетной
(Oi-сервантной подгруппе. Пусть В = Во, и построим гладкую
цепь счетных подгрупп в Л, выбирая Bv+i так, чтобы Bv-h/Bv
не являлась свободной. Тогда если С= U Bv, то С — такая
V<(0i
группа без кручения мощности coi, что Ext (С, Z) будет перио-
дической (так как С Л) и Г(С)=1. Это противоречит 4.3.
Для доказательства 4.2 нам потребуется следующая
лемма.
4.4.	Лемма. Пусть А А' таковы, что А'/А без кручения
и Ext (Л7, G) = 0. Предположим, что f Fact (Л, G), h е
е Мар (Л, G) и nf = б/z при некотором 0^ /1 е Z. Тогда най-
дутся f'^f и h' h, такие, что f' е Fact (Л7, G), h' е
е Мар (Л7, G) и nf' = 8h'.
Доказательство. Так как Ext (Л, G) = 0, то f — 8g для не-
которого g. Следовательно, nf = 8ng = 8h. Тогда ng — h~
= 9еНош(Л,О). Рассмотрим точную последовательность
Нот(Л7, G) — Нот(Л, G)-> ЕхЦЛ7/Л, G)-> ЕхЦА', G)= 0.
Так как Л7/Л без кручения, то Ext (Л7/Л, G) является дели-
мой. Следовательно, 9 делим на п по модулю Нот (Л7, G),
т. е. найдутся феНот(Л,О) и £ е Нот (Л7, G), такие, что
Пф — 0 = g Г Л. Пусть g'— произвольное продолжение g — ф
на А\ и возьмем f7 ™ 8g't Положим h' — ng' + g. Поскольку
26
Глава 4
g — гомоморфизм, Ыг' = dng' = nf'. При этом
h' Г A = ng' Г A + g M = ng — nep + g M =
= ng — Иф + пф — 9 = h. о
Доказательство 4.2. Доказательство будет аналогично до-
казательству 3.6. Для простоты изложения опять будет рас-,
смотрен лишь случай, когда |G|=(Oi. Пусть А= (J Av
V < (01
(гладко) — такая G-каноническая фильтрация А, что
E={v|Ext(Av+l/Av,G)¥=O}.
Если бы, вопреки утверждению доказываемой теоремы,
л0ЕхЦД G)< со,, то тогда бы существовало такое семейство
{/<**> е Fact (Л, G) < со]}, что каждый элемент из Fact (Л, G)
был бы эквивалентен по модулю периодической части
tExt(A, G) группы Ext (Л, G) некоторому В дальнейшем
при помощи Фю, (Е) будет построен f е Fact (Л, G) так, чтобы
при любых ц, g и п Ф 0 выполнялось
А именно индукцией по v будет построена некоторая цепь
fveFact(Av, G), а затем взят f= U fv. Для осуществле-
V<®1
ния этого построения потребуется следующий теоретико-мно-
жественный результат.
4.5.	Теоремъ.Если справедлив (Е), то множество Е мож-
но представить в виде объединения семейства {Еп> | п е со,
р е (01} его попарно-непересекающихся подмножеств, таких,
что ФО1 (Еп, н) справедливы для всех п и р.
Доказательство. Аналогичный результат относительно вы-
полнимости принципа Ofe(E) был ранее доказан для любых
несчетных регулярных кардиналов k (см. 1.4). Доказатель-
ство же нашей теоремы содержится в работе Девлина [4]. []
Пусть {Pv | v е Е} — разбиения, определенные в доказа-
тельстве теоремы 3.6, и фп, Еп> {0, 1} есть Ф^ (Еп, ^-функ-
ция для {Pv|v е ЕП} ц}. Тогда если fv уже выбран, то при вы-
боре fv+i нужно учитывать две следующие возможности.
Случай 1. Пусть	и n(fv — /(ц) I" Ац) — 6h. В этом
случае если фл> ll(v) = k е{0, 1}, то в силу пункта (Ь) в
определении Ру можно взять такое h, что Pv(h) = 1 — k. То-
гда, применив . 4.4, выберем f'^fy — f^\A и h' зй так,
чтобы nf' = 6й' и f' е Fact(Av+i, G). Положим
fv+l = r+/(,1)t^+1 = fv.
Принцип тусклого бриллианта и ранг группы Ext	27
Случай 2. Если условия случая 1 не выполнены, то в ка-
честве — fv берем любой элемент из Fact(?lv+i, G). Для
предельных ординалов X полагаем fK = U fv
v<X
Итак, f= U fv Предположим, вопреки утверждению
теоремы, что при некоторых n=/=0, g и ц выполняется
n (f — f<n)) = 6g. Тогда, с одной стороны, в силу	н)
найдется	такой, что фп, n(v) = Pv(g Mv), и, следо-
вательно, fv+i строился так, как указанно в случае 1, так как
n(fv —	[ Av)= 8(g [ Av). А значит, h выбирался так, что
Pv(h)=£ фл, n(v) = Pv(g Г А). С другой стороны, fv+i таков,
что п(fv+i — /(и) Г А+т) = б/z' при некотором h' h. Но
п(fv+i — f(n) f Av+1) = 6(g Г A+i). Следовательно, так как
g f A+i g Г A, to h ~ g Г А- Тогда ввиду свойства (а) в
определении разбиения Pv следует, что Pv(h) = Pv(g F А).
Это противоречит упомянутому выше выбору h.	Q
Еще одним примером применения теоремы 4.2 является
следующий результат Хубера [23], усиливающий теорему 3.3.
4.6.	Следствие (V = £). Если А — такая 81-свободная
группа мощности Ki, что r0Ext(A Z) < 2% то А является
свободной.
Доказательство. Известно, что из V — L следует
которое в свою очередь влечет за собой Фа), (Е) для всех ста-
ционарных подмножеств Е из coi. Кроме того, из V = L сле-
дует 2Н1 — к2. Таким образом, доказываемый результат яв-
ляется непосредственным следствием 4.2, 2.1 (ii) и теоремы
Штейна.	П
Предположение об Ki-свободе группы А в предыдущем
следствии не может быть опущено, так как, например, если
взять A = B®F, F — свободная группа ранга Ki и В —
счетная несвободная группа, то, хотя и r0 Ext (Л, Z) — 2*4 но
А не будет свободной.
Тем не менее имеет место следующий результат (см. [22],
а также [11] для произвольных G).
4.7.	Теорема (V = L). Если А — группа без кручения не-
счетной мощности, не являющаяся свободной, а В — такая ее
подгруппа минимальной мощности, что А/В — свободная
группа, то r0Ext(A Z)J>21 в|.	[]
За доказаательством этой теоремы мы отсылаем к цити-
рованным выше статьям [22] и [11]. Отметим лишь, что для
регулярных k основная идея построения в доказательстве та
28
Глава 4
же самая, что и в доказательстве 4.2. Доказательство для
сингулярных k проводится методом, изложенным в следую-
щей главе.
Кроме того, в предположении справедливости 2М° <
можно доказать следующий результат (см. [12]).
4.8.	Теорема (2Н° < 2Н1)« Пусть А — такая группа без кру-
чения мощности что либо А не является ^-свободной,
либо А является 81-свободной и при этом Г(Л)=1. Кроме
того, пусть В — такая ее подгруппа минимальной мощности,
что А/В является ^-свободной и Г(Л/В)=/= 1. Тогда г0Ех!(Л,
Z)>2|B|.	□
Добавление. (1) Общий метод оценки ранга Ext, приме-,
нимый при различных теоретико-множественных гипотезах,
изложен в [12].
(2) То, что даже в предположении V = L ранг Ext (Л, Z)
не обязан иметь вид 2х, недавно доказано Шелахом [41а].
Кроме того, им показано [41b], что равенство ЕхЦЛ, Z) = Q
совместимо с ZFC при некоторой группе Л.
Глава 5
СИНГУЛЯРНАЯ КОМПАКТНОСТЬ
Предположив V = L, мы показали, что каждая IF группа
мощности является свободной. Более того, при том же
предположении известно, что для регулярных кардиналов k
из того, что все IF-группы мощности меньше k свободны, сле-
дует, что и IF-группы мощности k тоже свободны. Конечно,
было бы желательно иметь аналогичный результат и для про-
извольных кардиналов, но методы, предложенные в предыду-
щих главах, не могут быть распространены на сингулярные
кардиналы. Тем не менее в этой главе будет показано, что
если р — сингулярный кардинал и группа А p-свободна, то
она является и р+-свободной (эта теорема будет получена
в ZFC). Этот результат в случаях cf(p) = co или cf(p) = coi
был получен П. Хиллом, а затем Шелах [36] распространил
метод Хилла на произвольные р. Статья [36] была весьма
трудной для изучения, но Шелах позднее нашел значительно
более простое доказательство [39]. В этой главе будет полу-
чен некоторый общий результат, хотя и менее общий, чем
оригинальная теорема Шелаха, который позволит, в частно-
сти, получить новые сведения о Ext(-, G) — 0.
Читатель, знакомый с работами Хилла [19], [20] или
[21], может заметить связь между конструкцией, использо-
вавшейся в них, и следующим определением.
Пусть U—множество и X— бесконечный кардинал. Бу-
дем называть порождающим элементом для /Q+ (U) множе-
ство	такое, что:
(i) X замкнуто относительно объединения цепей;
(ii) Если S е U, то найдется такое Н<=Х, что S Н и
]Н\^|S| + X.
Итак, если К = со (случай, который и будет чаще всего
нам встречаться) и S бесконечно, то |/7| = |S|. Положим
([/) - {У е (С7)) | У X, где X — порождающий эле-
мент для Кк+ (£/)}•
Так как пересечение любых двух порождающих множеств
тоже является порождающим множеством, то Кк+ (U) яв-
ляется фильтром. В1 действительности KK+(U) замкнуто от-
носительно пересечений любых X элементов (см. 5.2(4)). Бу-
30
Глава 5
дем говорить, что свойство Р выполнено для почти всех под-
множеств из U (относительно ([/)), если
{Н s U | Р выполнено для Н} е (U).
Используя KK+(U), можно строить цепи, обладающие не-
которыми желательными для нас свойствами. Предположим,
что свойство Р выполнено для почти всех подмножеств из U
относительно /С + (£/) и | U |> Х+. Тогда U = (J Hv (глад-
v<|£7|
ко), где Р выполнено для всех Hv и \HV \ < | U\.
5.1.	Примеры. (1) Пусть А — свободная группа. Тогда
почти все подмножества из А являются такими подгруппами
Я, что А/Н — свободная группа.
Доказательство. Пусть А — ф Zz, где Z, = Z для всех
i е I. Тогда Х=[ ф ZJ/ с /1 - порождающий элемент
I i е /	)
для /^(Д).
(2)	Если Я — произвольная группа, то почти все подмно-
жества из А являются ее сервантными подгруппами.
Следующая лемма указывает некоторые полезные свой-
ства Кк+ (£/).
5.2.	Лемма. (1) Если V^Uu X е /Q+(IZ), то
{H^U\HftV = X}^KK+(U)-,
(2)	Если В — подгруппа в группе Alt Кк+(А!В), то
{Н^А\(Н + В))В Дк+(А)\
(3)	Если К < ц, то (U) <=	(U)\
(4)	Если {Xv|v < X} — элементы из /<^+([7), то
n{^|v<X}e=^+(t7).
Доказательство. Свойства (1) — (3) легко следуют из
определения. Проверим четвертое свойство. Без потери общ-
ности можно предполагать, что Ху, являются порождающими
элементами. Легко видеть, что Y = fl {^v Iv < X} замкнуто
(т. е. удовлетворяет (i) в определении порождающего эле-
мента). Для доказательства (ii) рассмотрим такое f: Х->Х,
что для всех ц < X множество {v < X|f (v) = р} неограни-
чено в X. Если S U, то индукцией по v < X определим
гладкую цепь {//V|v < X} так, чтобы S^HOi | HQ |	| S | + X
и для всех v
Af(V) и (/7v+i||/7V|+X.
Сингулярная компактность
31
Положим Н — и Тогда Н еК и | Н | < 13 | + Л.	П
v<A,
5.3.	Теорема (Шелах). Пусть р — сингулярный кардинал,
D — группа мощности р, X — бесконечный кардинал, меньший
р, a ST — класс групп, замкнутый относительно изоморфизма
и взятия подгрупп. Положим £ = cf(p). Кроме того, пусть
выполняются:
(а)	если	р и C^D таково, что ] С| = р, то най-
дется С*^С, такое, что С* D, | С* | = р и С* является
р+ — F-сервантной в D, т. е. если С* С' D и | G'l = р,
то С'/С* е
(Ь)	если Ci С2 D таковы, что | С2| < р и С2/С} е £Г,
то для почти всех Н С2 относительно Кк+ (С2) имеем С2/
ЦС. + Н^З-.
Тогда D= U £>„ (гладко), где О0 = 0 и Dv+i/Dv
для всех v.
Прежде чем доказывать эту теорему, выведем из нее не-
которые из упомянутых ранее следствий.
5.4.	Следствие. Если D — p-свободная группа сингулярной
мощности р, то D — свободная группа.
Доказательство. Достаточно проверить (а) и (Ь) из тео-
ремы 5.3, где ST — класс свободных групп и Х== со. Будем до-
казывать (а), предположив противное, т. е. будем считать,
что (а) не верно. Тогда найдется такая С D, что |С| =
= р < р и С не вкладывается ни в какую р+-сервантную
подгруппу мощности р. Построим гладкую цепь групп сле-
дующим образом: положим Со = 0 и, если Cv уже выбрана,
выбираем Cv+i так, чтобы | Cv+i | = р и Cv+i/Cv не была бы
свободной; для предельного ординала от < р+ полагаем
Са= U Cv- Мы действительно можем выбрать С\>-ы выше-
v<cr
указанным образом, так как Cv з С и, следовательно, не яв-
ляется р+-сервантной. Положим С = (J Gv. Тогда С будет
V<|1+
свободной группой мощности р+< р, так как D р-свободна
(отметим, что в силу того, что любой сингулярный карди-
нал р является предельным, из р < р следует р+< р). Но
с другой стороны, Г (б) — 1 и, следовательно, С не является
свободной группой, что противоречит вышесказанному.
Для доказательства (Ь) заметим, что если C2/Ci — сво-
бодная группа, то в силу 5.1(1) для почти всех подмножеств
из C2/Ci группы С2/(С1+Я) тоже свободны.
Следовательно, в силу леммы 5.2(2) для почти всех подмно-
жеств Н из С2 группы C2/(Ci + Н) свободны.	v Q
32
Глава 5
5.5.	Теорема (V = L). Каждая W-группа является сво-
бодной.
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по
мощности k IT-группы А. При этом для k = Ко применяем
теорему Штейна, для регулярных k — теорему 3.4 и для син-
гулярных k — следствие 5.4.	[]
Доказательство 5.3. Пусть k = cf(p). Тогда k — беско-
нечный регулярный кардинал ^Ко. Выберем возрастающую
непрерывную последовательность кардиналов {kt | i <_ k} так,
что sup&4 = p, kQ = 0 и fei > max {%,/>}. Пусть D= (J Et
i	i<k
(гладко) такова, что | Д | = ki.
В дальнейшем мы построим такие группы A?, В*, n < со,
i <Z k, что для них будут выполнены следующие свойства:
(0) В? = At ss В?+1 для всех i и п;
(1)	для всех i: Aai = Et и В? = 0;
(2)	для всех п > 0 и всех z: | А" | — kt = | В" |;
(3)	для всех п: {Л? | i < k} — гладкая цепь;
(4)	для всех п и z: В"+}/В?+1 е ST.
В силу приведенного выше свойства (4), условия (Ь) на-
шей теоремы и 5.2(1) для любых п и i найдется такой по-
рождающий элемент X" для Кк+ (Р), что для всех Н е Х“
выполняется B"+}/(B"+i + (Я П B"J}))s ^'. Фиксируем в даль-
льнейших рассуждениях выбранные X".
Кроме того, мы добьемся выполнения и следующего свой-
ства:
(5)	для O^m^/z найдутся такие Я?’"еХ?, что
ЛГеЯ^еЛГ1.
Следовательно, в силу (5) для любых z и m будет
U Л?еХГ, так как U Л? = U НТ'п.
п<(б	п<а
Предположим, что мы сумели построить группы Л?, В?,
п < co, i < ky с указанными свойствами (1) — (5). Тогда для
любых i < k и m < со положим
ОМ = ВТ+ХЦ U Л?.
п<со
Проверим, что таким образом мы действительно построи-
ли необходимую для доказательства теоремы цепь. В силу
(1) D== (J Dv, a D0 = B?U U Ло=О-в силу (1) и (2).
v<^	Л<й)
Сингулярная компактность	33
Для проверки гладкости построенной цепи заметим пре-
жде всего, что Dai — (J Л". При этом возможны следующие
П<(й
два случая.
Случай j:i —/ + 1 при некоторой /. Тогда ;
и dv= и ^/+m= и B/+1U и л; = и Af+i= ил?,
v<©/	m<&	m.<®	n<® m<<B	n<®
Случай 2: i — предельный ординал. Тогда в силу (3^
имеем
^=и(ил?)=и(ил?)=ип,.
\1<1	/	7<Г\П<й)	/	V<(0
В результате получим
= (вЙ1 и U л?урГ+1и U
авЙ‘/(вГ+14-
В силу (5) и А/б!” Следовательно, Dffli+m+|/Z)ffli+mG^.
Для завершения доказательства осталось построить Л? it
В?. Это проводится индукцией по п. Причем на n-м шаге
мы будем строить Л? и В? так, чтобы кроме свойств (1) —
(5) выполнялось еще и следующее свойство:
(6)	В?+1 является ki+\ — ^-сервантной.
Заметим, что из (6) следует (4). Для п = 0 выбор Л?> В?
предопределен свойством (2). Предположим, что Л?, В? уже-
выбраны для т^п. В силу (а) мы можем выбрать В?+1
удовлетворяющей (6), (0) и (2). Возьмем Н™'п X™ таким,
что B"+l s Н™' п и | НТ' П1 = h. Перечислим U #7’п в виде
{сг, а |а е ki\. Положим Л"+1 = (с/, а |/ < k и а < ki). Тогда
Для / >0 будет | Л"+11 = k • ki = ki, так как ki > k. (Отме-
тим, что это именно то место в доказательстве, где мы су-
щественно используем сингулярность р, так как k~ cf(p)<
•Ср.) Наше построение обеспечивает гладкость цепи
{Л?+11 i < k}, т. е. для любого предельного кардинала j < k
имеем Л"+1 = U Л?+*.	Q
Ki
Продолжим начатое во второй главе изучение тех условий*
лри которых группа Ext (Л, G) является нулевой. Пусть G —
произвольная группа, X =|О|+^о, а ={C|Ext(C, G)=i
— 0}. Докажем следующее утверждение:
3 Зак. 086
34
Глава 5
(*) Если группа А сингулярной мощности р> X такова,
что Ext (В, G) = 0 для всех В А, таких, что
|В|< р, то Ext (Л, G) = 0.
Для этого достаточно проверить (а) и (Ь) для &~0, так как
в силу доказательства леммы 2.2(2) равенство Ext (Л, G) = 0
тогда будет следовать из теоремы 5.3. В предположении
V = L (а) может быть доказано аналогично 5.4 (для этого
нужно использовать 3.2). Единственный известный способ
проверки (Ь) — это его доказательство вместе с утвержде-
нием (»), проводимое совместной индукцией по мощности
группы А;
5.5.	Теорема (V — L). Пусть G и к — такие, как опреде-
лено выше, а А — группа мощности р > X. Тогда-.
(1)	справедливо утверждение (*);
(2)	Ext (Л, G) = 0 тогда и только тогда, когда А = (J А?
v<cf(p)
{гладко) такова, что |Д>|< р и Ext(Xv+1/Xv, G) = 0 для
всех v;	.	.
(3)	если Ext (Л, G) = 0, то для почти всех Н {относитель-
но Кк+ (Л)) выполняется ЕхЦЛ/Я, G) = 0.
Доказательство. Будем вести доказательство индукцией по
р > X. Для сингулярных р утверждения (1) и (2) выводятся
аналогично тому, как 5.4 следовало из 5.3 (это рассуждение
применимо, так как индуктивное предположение (3) влечет
(Ь)), Для регулярных р доказательство (2) аналогично 3.2.
Существенно новым является лишь доказательство для (3)
в предположении справедливости (2).
Предположим, что |Л|=р и А= (J Лу (гладко) та-
v<cf(p)
кова, как в (2). Так как Av+i/Av^gra и | Л¥-н/Л¥| < р, то
в силу индуктивного предположения (3) и 5.2 (2) найдется
Д’х+(Лдг+1), такой, что для Яе Xv будет 4v+i/(Xv + Я)е
е Fa. (Если |Лу+1/Лу| X, то это вообще тривиально сле-
дует из определения Кк+ (Av+1).)
Положим
У = {Н S А | (Н fl Av+i) *= -^v Для всех v> таких, что
ЯПД,+1¥=ЯЛЛу}-
Мы будем использовать в доказательстве следующую
лемму:
5.6.	Лемма. У е Кк+ (А).
Предположим сначала, что лемма нами уже доказана, и
закончим доказательство теоремы. Пусть Яе У. Тогда
А/Я = U {(Av + H)/H)
v<cf(p)
Сингулярная компактность
85
И
((Лу+1 + H)/H)/((AV + Н)/Н) ~ (Av+1 + H)/(AV + Я)»
^ЛУ+1/(ЛУ + (ЯПЛ7+1));
обозначим последнюю из групп через К-
Случай 1: Н Av+l = Н (] Ач. Тогда К = Av+i/Av лежит в
Fa в силу выбора фильтрации на А.
Случай 2: Н (] А>+1 =/= Я П Av. Тогда в силу определения У
имеем Я П ЛУ+1 е Xv и, следовательно, в силу выбора Xv
Следовательно, A/Hs^g.
Для завершения доказательства осталось лишь доказать,
лемму 5.6. Очевидно, что У замкнуто относительно объедине-
ния цепей. Пусть S — произвольное подмножество в А. Мы
должны найти такое Я е У, что S s Я и | И |	| S | -j- X. Пусть
т = | S | + %. Для каждой подгруппы L из А определим
<Z>={v|Z, П Лу+i =/= L П А}.
Очевидно, | <L> |	| L |. В силу 5.2(1) и (3) имеем
х; = {Я < А | (Я п ЛУ+1) <= XJ е Кк+ (Л).
Определим индуктивно цепь {Нп | п е со} так, что Яо = S н
для всех п | Нп I т. Если Нп уже определено, то Z = П {X' |>
№ (Ята}} принадлежит ^+(Д), так как Кх+ (Л) замкнуто
относительно пересечений не более чем т элементов (см.
5.2(4)). Следовательно, найдется такое Hn+i е Кх+ (А), что
Я„<=Я и | Hn+i | <| Нп | + т = т. Положим Я= U
Тогда легко проверить, что Н е У.	Q
Замечания. 1) В гл. 7 будет показано, что 5.5(2) и (3)
недоказуемы в ZFC.
2) Иной подход к теореме Шелаха о сингулярной ком-
пактности, а также некоторые другие ее приложения — в част-
ности, к некоммутативным группам — изложены в работе
В. Ходжеса [22а].
Глава 6
ПОСТРОЕНИЕ Л-СВОБОДНЫХ ГРУПП
В этой главе мы исследуем вопрос о существовании для
данного кардинала k ^-свободных групп, не являющихся сво-
бодными, т. е., иными словами, вопрос о том, следует ли из
Л-свободы группы ее ^-свобода. Ввиду следствия 5.4 можно
ограничиться исследованием лишь для регулярных кардина-
лов. Оказывается, что существует целый класс регулярных
кардиналов, для которых нет вышеупомянутых групп. Это
так называемые слабо компактные кардиналы. Мы не будем
здесь приводить их определения, а лишь укажем свойство,
характеризующее их в предположении V = L.
Распространим сначала определения куба и стационар-
ного множества на предельные ординалы. Если о — предель-
ный ординал, то определение куба Сео дословно повторяет
определение из гл. 1, если в нем отказаться от требования,
что а является только кардиналом. Будем называть Е а
стационарным в о, если для любого куба С а справедливо
£f) С =/= 0. Заметим, что если cf(o) = co, то найдутся такие
кубы Ci, С2 о, что Ci П С2 = 0. Однако если cf(o) = fe:>
Ki, то пересечение не более чем k кубов снова является
кубом. Пусть f:	— непрерывное возрастающее отобра-
жение, вкладывающее копию куба k в о. Тогда Е s о стацио-
нарно тогда и только тогда, когда f~x(E) стационарно в й.
Если k — несчетный регулярный кардинал, то будем на-
зывать множество Е k разреженным, если Е П а нестацио-
нарно в а при любом предельном а < k.
Пример. Пусть % — регулярный кардинал и k = АЛ То-
гда Е = {о < A+|cf (о)= X} разрежено и стационарно.' То, что
Е стационарно, было уже показано в гл. 1. Для того чтобы
показать его разреженность, возьмем произвольный ординал
а < %. Пусть cf (а) = р %. Выберем такой куб С а по-
рядкового типа р (т. е. С и р изоморфны как упорядоченные
множества), что непредельные элементы в С являются не-
предельными ординалами. Так как cf(o)<p^% для каж-
дого а е С, то С П Е = 0.
Введем еще одну, не зависящую от ZFC теоретико-множе-
ственную гипотезу;
Построение k-свободных групп	37
VI. Принцип E(k): Существует разреженное стационарное
подмножество Е (k) в k, такое, что cf (о) = ад для всех а е
<=£(£).
6.1.	Теорема. Пусть k — регулярный кардинал.
(1)	Если k слабо компактен, то E(k) невыполнимо, а
имеет место следующее утверждение: (
(*) для любого стационарного множества E^k най-
дется такой регулярный кардинал k, что Е П X ста-
ционарно в X. -
(2)	(V = L) (Енсен [24]). Если k не слабо компактен,
то Е (k) выполним.	Q
Замечания. Определение слабо компактного кардинала
дано, например, в [10] *). Слабо компактные, кардиналы
чрезвычайно велики; они являются слабо недостижимыми,
т. е. регулярными предельными кардиналами. Более того,
регулярные предельные кардиналы образуют стационарное
подмножество в k, т. е. k является слабо Мало кардиналом.
Из этого следует, что k является £-м слабо недостижимым
кардиналом.
Из теоремы Гёделя следует совместимость с ZFC пред-
положения о том, что не существует слабо недостижимых
(а следовательно, и слабо компактных) кардиналов. Но пока
неизвестно, совместима ли ZFC с гипотезой о существовании
слабо недостижимых кардиналов. Если бы удалось дока-
зать отсутствие слабо компактных кардиналов, то это, по-ви-
димому, не стало бы сюрпризом для большинства специали-
стов по теории множеств.
Отметим также, что большинство авторов, определяя сла-
бо компактные кардиналы, требуют в определении их силь-
ную недостижимость (k является сильно недостижимым, если
2х < k для всех X < fe; при выполнении GCH сильная не-
достижимость совпадает со слабой недостижимостью). В за-
ключение всего заметим, что невыполнимость E(k) является
Довольно сильным теоретико-множественным предположе-
нием. Так, из совместимости с ZFC отрицания принципа E(k)
-для некоторого регулярного кардинала следует совмести-
мость с ZFC существования Мало кардинала. Кроме того, из
совместимости с ZFC отрицания E(k) для последователя син-
гулярного кардинала (это, кстати, будет наиболее важный
для вашего изложения случай) следует совместимость с ZFC
существования многих слабо компактных кардиналов.
Следующее утверждение было независимо получено Ше-
лахом, Меклером, Грегори и Кукером.
*) См также Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. — M.I
«Мир>, 1973. — Прим, перев.
38
Глава 6
6.2.	Теорема. Если k слабо компактен, то k-свободная
группа является к+-свободной.
Доказательство. Пусть А есть ^-свободная группа мощ-
ности k и А= (J Av (гладко) —такая каноническая &-филь-
v<k
трация на ней, что |Av| = |v| + Ко. Выбор.такой фильтрации
возможен в силу того, что Av не &-С£рвантна тогда и только
тогда, когда она не | Ат|+-сервантна.
Предположим, вопреки утверждению теоремы, что Г*(А) =
= Е=/=0. В силу 6.1(1) найдется такой регулярный кардинал
X < k, что £f|X стационарно в К (здесь £ = {v| Av+i/Av не
свободна}). Тогда ГЦАд.) = £ (] X =/= О (в ^>(Х)). Следователь-
но, в силу 2.1 (2) Ах не свободна. Полученное противоречие и
завершает доказательство теоремы.	[]
Покажем теперь в предположении V = L, что из £-сво-
боды групп следует их £+-свобода только лишь для карди-
налов А, являющихся слабо компактными.
6.3.	Теорема ([7]). Пусть k— несчетный регулярный кар-
динал, а Е — такое разреженное стационарное подмножество
в k, что для всех предельных ординалов оеЕиз cf(о)-сво-
боды групп не следует их с$(о)+-свобода. Тогда существует
такая сильно k-свободная группа А мощности k, что Г (А) =
= £.
Прежде чем дать доказательство этой теоремы, выведем
из нее несколько следствий.
6.4.	Следствие (Хилл [20]). Для любого п < со суще-
ствует ^п-свободная, но не &п+\-свободная группа.
Доказательство. (Индукцией по п.) Для п = 0: ^-свобод-
ные группы —это группы без кручения. (Кстати, это может
быть принято и в качестве определения К0-свободы.) Суще-
ствует много различных несвободных групп без кручения
мощности Ко. Для п > 0: применяем теорему к множеству
E—{o<i Kn|cf(о) = (Од—1}, которое является разреженным и
стационарным (см. пример выше).	Ц
Примененный выше индукционный процесс неприменим
для доказательства того, что из К^-свободы не следует
К ^-свобода. Недавно Шелах показал, что этот факт может
быть получен из GCH (см. [41]). Следовательно, в силу 6.3
в предположении ОСН можно доказать, что из К«+«+1-свобо-
ды не следует Кю-нжгсвобода при всех п е со.
6.5.	Следствие (V = L) (Грегори). Если k — регулярный,
но не слабо компактный кардинал, то из k-свободы не еле*
дует k+-свобода.
Построение k-свободных групп
39
Доказательство, Применить теорему 6.3, используя E(k)
из 6.1(2) и тот факт, что из ^о-свободы не следует Несво-
бода.	Q
Доказательство 6.3. Предположим, что Е состоит лишь из
предельных ординалов. Это предположение не влияет на
общность рассуждений, так как Е = Е П С, где
С={а < k\a— предельный ординал}.
Индукцией по v будет определена Л-фильтрация {AJv <
< k} из свободных групп мощности <Zk (для v #= 0) так,
чтобы выполнялось:
(*) для v < ц < k группа A^/Av свободна тогда и
только тогда, когда v ф Е.
Тогда группа А = |J А будет сильно ^-свободной, так как
v<k
Л¥+1 й-сервантна для всех v. При этом Г(Д) = £. Для завер-
шения доказательства осталось построить {Av | v < k}.
Возьмем До == 0. Если v Е, то полагаем Дv+i = Ду Ф Z.
Если X — предельный ординал, то полагаем Дл= U Про-
v<K
верим, что при этом Дд, будет свободной. Ввиду разре-
женности Е можно выбрать куб С X так, чтобы С имело по-
рядковый тип cf(X) и С(]Е — 0. Пусть {рг|7 < р = cf(%)} —
перечисление в возрастающем порядке элементов этого куба.
Тогда Дх = U Ар. (гладко) и ДРг+1/ДР/ — свободная группа,
t Р
Следовательно, в силу 2.1 (2) Да свободна.
Наконец, предположим, что X <= Е, v = X + 1 и р = cf (X).
Так как ).е£, то из p-свободы не следует р+-свобода. Сле-
довательно, найдется p-свободная, но не свободная группа
вида F/К мощности р, где F— свободная группа ранга р.
Пусть F= ®Z;. Положим =	Z>Y
ко	\/<<	/
В силу p-свободы группы F/Ki свободны при всех i. Пусть
{р/1 i <Z р} таково, как указано выше. Индукцией по i < р
определим свободные группы //, мощности k и изоморфизмы
*	Ki
так, чтобы {fi | I < р} являлось цепью. Это возможно ввиду
того, что A-Oi+JAoi является свободной группой мощности
меньше k. Положим f (J fi. Тогда
Ко
hAK-+K&®Hi.
i<Q

40
Глава 6
Выберем Лд.4-1 так, чтобы f распространялось до изоморфизма
1<р
Тогда AmaIA^FIK и для всех /<р A>+i/AP/
® Ф #/• Следовательно, выполнимо условие (*), так как
/</<р
для всякого v < X, такого, что v 0 £, найдется такой i < рг
что AV<AP.; таким образом, A^\/Av свободна, так как
Ах+1/Ар. свободна в силу построения, a AP//AV свободна по
индуктивному предположению.	[J
Отметим одно следствие из доказательства теоремы 6.3>
которое будет использовано в гл. 10.
6.6.	Следствие. Для всякого стационарного подмножества
состоящего из предельных ординалов, найдется такая
сильно ^-свободная группа A— J Av (гладко), что Г(А) =
V <®1
= Е, и для каждого ц е £ найдется такая строго возрастаю-
щая последовательность pz (i < со) с пределом ц, что при
всех i выполняется: pi^E и Ац+1 — Ф Н^, А^ = К^®
таковы, что если v < р/ < pz+i, то
Av = (APz+1 П-Кр) ® П Av)
и U К» имеет конечный ранг.
В гл. 2 была определена функция
{^-свободные группы мощности k}->2)(k).
Заметим, что из ^-свободы не вытекает А+-свобода тогда и
только тогда, когда rang Г* =/= {0}. Предполагая V = L, мож-
но получить дополнительную . информацию о множестве
rang Г*.
6.7.	Теорема (Меклер [30]) (V = L), Пусть К— бесконеч-
ный кардинал и
U7 ={о < Х+1 cf (о) слабо компактен}.
Тогда для любого Е^З)(К+) найдется такая сильно ^-сво-
бодная группа А мощности К+, что Г(А) = £ тогда и только
тогда, когда £ П F = 0.
Доказательство. (=>) Пусть А = U Av (гладко) — та-
v<X+
кая каноническая ХЛ-фильтрация, что £={v|Av не Х+-сер-
вантна в А}. Так как А сильно Х+-свободна, то можно счи-
тать Е состоящим только из предельных ординалов (ввиду
Построение k-свободных групп	41
того что можно построить нашу цепь так, чтобы каждая /lv+1
была АЛ-сервантной в А). Осталось показать, что если k =
= cf(o) слабо компактен, то Ао+\/Аа свободна. Этого будет
достаточно, так как это влечет Е П W = 0.
- Для доказательства требуется следующее вспомогательное
утверждение:
6.8.	Лемма. Пусть k — слабо компактный кардинал. Пред-
положим, что F =э К — такие группы, что К = U Ку является
v<k
объединением такой (не обязательно гладкой) цепи, что F/Ky
свободна при всех v<k. Тогда F/K— свободная группа.
Для применения этой леммы в нашем доказательстве
возьмем Да+1 в качестве F, Аа в качестве К и запишем
Аа= U где каждая равна Д>+1 при некотором v.
Доказательство 6.8. Будем вести индукцию по |F/7<| = p.
Заметим прежде всего, что F/К является ^-свободной. Пред-
положим, что S <= F и |S| < k. Тогда найдется такой v < k.
что S П К s Ку. Следовательно,
(S + К)/К ~ S/(S П K)^S/(S П Ку)
может быть вложена в F/Ky. Значит, (S + К) /К является
свободной. Так как k слабо компактен, то F/К ^-свободна.
Следовательно, если р k, то F/К свободна.
Предположим теперь, что р k+. Так как F/Ky свободна,
то найдется такой порождающий элемент Xv е ^(F), что для
всех Н^Ху группы F/(H + Ky) свободны. В силу 5.2(3)
KAF)^Kk+(F). Итак, Х= Л, Xv является порождающим
1	y<k
элементом Kk+ (F). Пусть F — (J (Ну + К) (гладко) такова,
v<p
что \HV\ < р и Hv е X (здесь нужно воспользоваться тем, что
р k+). Тогда
F/K = U (Ну + К)/К (гладко).
V<p
Заметим, что
I (Ну+1 + К)/(Ну Ч-К) I < р и Ну + К= (J (#v + /Си).
Ц<*
Группа (Ну+\ + К) /(Ну 4- Кц) может быть вложена в
F/(Hy + /Сц), являющуюся свободной в силу того, что
Ну е X S Хр,. Следовательно, в силу индукции
(Ну+i + /С) / (Ну + К) свободна. Но тогда и группа F/К яв-
ляется свободной, так как свободны все факторы в ее р-филь-
трации,	[]
42
Глава 6
(ч=) Чтобы доказать 6.7 в этом направлении, используем
следующую лемму:
6.9.	Лемма (V — L). Если Е стационарно в Х+, то оно мо-
жет быть представлено в виде объединения К разреженных
попарно-непересекающихся множеств.
Закончим доказательство 6.8, предполагая лемму уже до-
казанной. Пусть Е— U (дизъюнктное объединение), где
для каждого § множество Е% разрежено и Ец f| W = 0. При-
менив 6.3 и 6.5, построим такое А^, что Г(Дб) = £^. Тогда
г (,«*)=* °
Осталось доказать 6.9. Введем для этого еще одну теоре-
тико-множественную гипотезу.
VII. □&: Существует такое {Со|а— предельный ординал
<%+}, так что для каждого а имеет место:
(i)	Са является кубом в а;
(ii)	если cf (а) < %, то | Са| < А,;
(iii)	если 0 является предельной точкой в Са, то Ср =
= СаП0.
Енсен [24] доказал, что из V — L следует для всех кар-
диналов X.
Предположим для простоты, что Е состоит только из пре-
дельных ординалов. Заметим, что из (ii) и (iii) следует, что
порядковый тип каждого Са не превосходит X. Для каждого
| положим
Ei = {ае£| порядковый тип Са есть в точности £}.
Покажем, что каждое Ei разрежено. Пусть а < Х+. Если
cf (а) = со, то найдется куб в а, состоящий из непредельных
ординалов, и, следовательно, так как Ei состоит из предель-
ных ординалов, Ei П а не стационарно в а. Предположим, что
cf(a)^ ®i. Пусть С' является предельной точкой в Са. В силу
свойства (iii)	содержит хотя бы одну точку, напри-
мер |-ю точку в Са. Так как С' — куб в а, то Ei f| а не ста-
ционарно в а. Следовательно, Е = U £? будет требуемым
разложением. (Замечание: не обязательно, чтобы при этом
все Ei были стационарны, но по крайней мере одно из Ei
было таковым, так как 0=/=£	Д)-	О
Замечание. Лемма 6.9 влечет за собой 6.1(2) в том слу-
чае, когда k является непредельным кардиналом. Соловэй и
Построение k-свободных групп
43
Магидор независимо показали, что из следует £(А+), а
Меклер заметил, что из их доказательства следует лемма 6.9.
Эта глава является лишь введением в теорию ^-свободных
групп. Упомянем здесь лишь несколько результатов, .отсылая
читателя к работе Меклера [30] за дальнейшими сведениями.
6.10.	Теорема (Меклер [30]). (1) Если существует хотя
бы одна сильно k-свободная, но не свободная группа мощ-
ности k, то тогда существует 2k таких групп.
(2) Для каждого 0 < п < <о отображение из на ®(НЛ)
сюръективно.
В дальнейшем будет показано, что инвариант Г (Л) не
дает классификации групп А с точностью до изоморфизма (за
исключением случая Г(Д) = 0). Оказывается, что для каж-
дого 0=^=Е^ 0(8п) прообраз Г"1^) имеет мощность 2Хл;
аналогично и для теоремы 6.7 (см. также следствие 9.8).
В гл. 11 будет показано существование неизоморфных силь-
но К1-свободных групп мощности cot, имеющих не только один
и тот же инвариант Г, но даже имеющих эквивалентные
(01-фильтрации в некотором значительно более сильном
смысле.
Наконец, отметим, что Шелах доказал, что из совмести-
мости с ZFC существования некоторых очень больших (так
называемых суперкомпактных) кардиналов следует совме-
стимость с ZFC утверждения, что каждая 2к'°-свободная груп-
па (произвольной мощности) является свободной (см. [1]).
Глйва 7
АКСИОМА МАРТИНА
Рассмотрим еще одну теоретико-множественную гипотезу,
которая не зависит от ZFC и несовместима с V = L. Ее сов-
местимость с ZFC доказана методом форсинга, предложен-
ным Коэном. Фактически эта гипотеза была извлечена Мар-
тином из доказательства методом форсинга совместимости
гипотезы Суслина с ZFC. Мартин и Соловэй [27] показали,
что многие проблемы, решаемые в предположении СН, могут
быть также решены (возможно, используя иной путь) и на
базе МА или МА + ПСН. Хорошее для первоначального зна-
комства изложение аксиомы Мартина дано Шенфильдом
[42].
Прежде чем сформулировать аксиому Мартина, введем
необходимые для этого понятия. Пусть (Р, ^) —частично
упорядоченное множество (сокращенно: ч. у. м.). Подмноже-
ство G из Р называется направленным, если для любой пары
элементов pb р2е G найдется такой элемент q е G, что
pi q и p2^q. Подмножество D из Р называется плот-
ным, если для любого р е Р найдется такой d^D, что
р d. Элементы р\, р2^ Р называются совместимыми, если
существует такое г g Р, что pi г и р2 г. Наконец, будем
говорить, что (Р; удовлетворяет условию счетности цепей
(сокращенно: у. с. ц.), если каждое несчетное подмножество
из Р содержит хотя бы одну пару совместимых элементов.
VIII. Аксиома Мартина (МА): Пусть (Р; -— ч.у.м.,
удовлетворяющее у. с. ц. Если 111 < 2Н°, то для любого се-
мейства Ф = {Di | i е /} плотных подмножеств из Р найдется
такое направленное G Р, что G f] £)х•#= 0 для всех i е I.
Такое G называется 3>-генерическим.
Обращаем внимание читателя на то, что ZFC + СН вле-
чет за собой МА. Действительно, пусть / = со; тогда выбе-
рем по индукции dn е Dn так, чтобы dn dn-\, затем следует
взять G = {dn|п (= со}.
Аксиома Мартина представляет интерес в связи со сле-
дующей теоремой.
Теорема (Соловэй и Танненбаум [44]). ZFC + ~1СН + МА
непротиворечива.	Q
Аксидма Мартинд
45
Приведем два следствия, иллюстрирующие применения
аксиомы Мартина: (1) если k < 2Н°, то 2* = 2Н°; (2) объеди-
нение не более чем 2Н° подмножеств множества R, имеющих
нулевую меру Лебега, имеет нулевую меру Лебега. Отметим, *
что в предположении СН оба этих результата тривиальны.
Доказательства, использующие МА + ПСН, значительно бо-
лее трудны (см. [42]).
Попробуем теперь применить МА + ~1СН для нахождения
несвободных групп Уайтхеда.
Определение. Назовем группу А группой Шелаха, еслЧи А
является К1-свободной и для всякой счетной Hq^A найдется
такая счетная Н\ Но< что для любой счетной В Но из
того, что В П Н\ = Но, следует, что В/Но свободна.
Для тех, кто* знаком с работой [35], отметим, что А яв-
ляется группой Шелаха тогда и только тогда, когда она
Ki-свободна и не выполнена первая из возможностей в [35].
Пример. Если А сильно Крсвободна, то она является
группой Шелаха.
Доказательство. Предположим, что Но А и Но счетна.
Выберем Н{ Но так, чтобы Hi была счетной и А/Hi была
(Oi-свободной. Предположим, что Но В и Bf]Hi=Ho. Так
как В/Но = (В + Н\)/Hi, то она может быть вложена в A/Hi.
Следовательно, если |В|= Ко, то В/Но свободна.	Q
7.1.	Теорема (МА). Если А — группа Шелаха мощности
< 2Н% то Ext (A, F) = 0 для любой свободной группы F счет-
ного ранга.
Прежде чем доказывать 7.1, приведем два ее следствия.
Первое из них показывает, что 3.3 и 5.5 невыводимы в ZFC.
7.2.	Следствие (МА + ~1СН). Существует W-группа А
мощности ©1, не являющаяся свободной.
Доказательство. В силу 6.3 существует сильно Ki-свобод-
ная группа А, не являющаяся свободной. Следовательно, ис-
пользуя приведенный выше пример и 7.1, получим Ext (A, Z) =
= 0.	□
Замечание. Напомним, что если |A|=coi, то из
СН + Г(А)=1 следует, что А не является ^-группой
(см. 4.3). Следовательно, если выполнена СН, то существуют
группы Шелаха (в действительности они являются сильно
Кгсвободными), такие, что они не являются ^-группами.
Наше второе следствие показывает, что 3.2, 5.5(2) и (3)
тоже невыводимы в ZFC.
46	Глава 7
7.3.	Следствие (МА+~1СН). Существуют группа А мощ-
ности Hi и группа G мощности Ко, такие, что Ext (A, G) = 0,
но Го(А)=/=0 и не верно то, что Ext(A//7, G) = 0 для почти
всех Н.
Доказательство. Пусть G = Z, а А такова, как в 7.2.
(В действительности при соответствующем выборе А любая
счетная группа, не являющаяся копериодической, может быть
использована в качестве G (см. [9]).)
Доказательство 7.1. Предположим, что f е Fact (A, F).
Пусть Р — множество всех g: S -> F, где S — конечнопоро-
жденная сервантная подгруппа группы А и 6g = f Г S X 5.
Определим упорядочение Р следующим образом: gi g2 то-
гда и только тогда, когда gi s g2. Для каждого а е А опре-
делим Da = {g Р\а domg}. Покажем, что Da плотно.
Рассмотрим h: S-^F^P. Так как А ^-свободна, то суще-
ствует S' S, такая, что а е S' и S' является сервантной
конечно-порожденной подгруппой в А. Итак, S'/S свободна.
Следовательно, в силу 2.3 существует h<= g\ S' -> F, такая,
что g (= P, а значит, и g e Da-
Предположим в этом абзаце, что нами уже доказано,
что Р удовлетворяет у. с. ц. Тогда в силу аксиомы Мартина
нашлось бы такое направленное G Р, что GD^a=/B0 при
всех а е А. Следовательно, U G было бы частично функцией
из А в F (в силу направленности G). Но так как G П Da У* 0
при всех а е А, то dom (U G) = А. Очевидно, 6 (UG) = f, что
и доказало бы нашу теорему.
Следовательно, осталось лишь доказать, что Р удовле-
творяет у. с. ц.
Покажем, что если Р' — несчетное подмножество в Р, то
найдутся такие gi, gi^ Р' и h Р, что gi =7^ g2, gi и
/i^g2. Пусть P\ = {gr. Si->F\i < coi}. Заменяя P', если это
необходимо, его несчетным подмножеством, можно без по-
тери общности в рассуждениях считать, что для некоторого
me N ранг каждой Si, i < a>i, равен m. Следовательно, су-
ществует сервантная подгруппа Т, максимальная относитель-
но свойства, что Т содержится в несчетном числе подгрупп Si.
Если для удобства ограничить себя соответствующим несчет-
ным подмножеством из Р', то можно считать, что Т s S/ при
всех i.
Мы будем строить строго возрастающую функцию <р:
Qi ->(0i и гладкую цепь счетных сервантных подгрупп Av
из А так, чтобы domgq^v) Av+i и Av+i/Av были свободными
при всех v.
Положим Ao = Т- Предположим, что уже выбрана Av и
определены ф(ц) для всех ц < v. Так как А — группа Ше-

Аксиома Мартина
лаха, то, взяв в качестве //0 группу Av, можно выбрать счет-
ную Я1 так, что, какова бы ни была счетная В Av, из
B(]Hi = Av следует свобода группы B/Av. В силу максималь-
ности Т и счетности Н\ можно определить ф(у) так, что
<p(v)>cp(p) для всех ц < v и	= Положим
Av+i = <AV	(т. е. сервантное замыкание Av + S<p(v>
в А). Легко проверить, что Av+i П #1 = Av и, следовательно,
Av+i/Av свободна. На предельном шаге берем, как обычно,
объединение. Если А'= U Ау, то А' — сервантная свобод-
V<(Oi
ная подгруппа в А.
Опять ограничиваясь, если это необходимо, некоторым
подмножеством в Р', можно сразу же считать, что Р' —
= {g(p(v)|v < <01}, т. е., переиндексировав Р' = {gu|p, < ®i},
можно считать, что domgu = являются (свободными) сер-
вантными подгруппами в А'.
Пусть X = {xv|v < ©1} — базис для А'. Расширяя каждую
до йд, можно заменить Р' на Р" = {йд|р < (oj, где
йотйд = <Уд> и Ум — конечное подмножество из X. (Это
возможно по соображениям, аналогичным использованным в
доказательстве плотности Da.) Заметим, что если hp совмести-
ма с hv, то gp, совместима с gv. Аналогично тому, как это
делалось для Т, можно не только найти подмножество Z X,
максимальное относительно свойства содержаться в несчет-
ном числе подмножеств Уц, но и в дальнейшем для удобства
даже просто сразу же предполагать, что Z s Уц при всех ц.
Так как Z конечно и F счетно, то возможно лишь только
счетное число возможных значений для йц [ Z. Следовательно,
можно считать, что йд Г <Z> одно и то же для всех ц. (Заме-
тим, что йд RZ> полностью определено йц Г Z и то, что 6йц «
= А)
Наконец, рассмотрим Уо. В1 силу максимальности Z, если
х е Уо \ Z, то найдется лишь счетное число таких ц, что
хе Уд. Так как Уо конечно, то можно выбрать v так, что
Yy(]Y0 = Z0. Тогда й011йу будет функцией из <У¥ Г) Уо> в F.
При этом <УоЬ Уг> сервантна в А’ и, следовательно, в А.
Итак, h0 (J hv <= Р и является продолжением go и g\.	Q
Определение (Гриффитс). Группа А называется соркосе-
парабельной, если А является сорсвободной и для любой Н,
имеющей счетный индекс в А, найдется такая К ^Н, что К
является прямым слагаемым счетного индекса.
Теорема (Гриффитс [18], с. 133). Группа А ац-косепара-
бельна тогда и только тогда, когда Ext (A, Z(<o)) = 0. (Через
Z<“> обозначена прямая сумма а копий группы Z.)	[]
48
Глава 7
1А. Следствие (МА + ~1СН). Существует ых-космарабель-
ная группа мощности ©ь не являющаяся свободной.
Доказательство. Взять А такой же, как в доказатель-
стве 7.2, и применить 7.1 в случае F — Z(Q).	Q
Определение. Группа А называется o>i-сепарабельной,
если А является сорсвободной и любое ее счетное подмноже-
ство лежит в счетном прямом слагаемом.
7.5.	Следствие (Меклер [30]) (МА + "1СН). Если |А| =
= то А сильно ^{-свободна тогда и только тогда, когда
она (di-сепарабельна.
Доказательство. (<=) Тривиально.
(=>) Пусть В — счетная сорсервантная подгруппа в А. То-
гда В свободна, так как А сорсвободна. Группа А/В является
сильно сорсвободной. Если С сорсервантна, С В и С счетна,
то С/В сорсервантна в А/В. В самом деле, (А/В)/(С/В)^
А/С, которая сорсвободна. Так как в силу 7.1 Ext (A/В, В) —
= 0, то короткая точная последовательность
0->В-^А->А/В->0
расщепляется. Следовательно, В является прямым слагае-
мым А.	[]
Шелах [40] доказал утверждение, обратное к 7.1. (Его
доказательство здесь не будет приведено.)
7.6.	Теорема (Шелах) (МА + ~]СН). Если А—W-группа
мощности < 2*4 то А — группа Шелаха.	[]
Следовательно, предполагая МА + ПСН и |А|=КЬ
имеем:
(№i) А- группа Шелаха <=> Ext (A, Z) = 0 4=^Ext (A, Z«*>) =
= 0;
(W2) А сильно сорсвободна<=>А сорсепарабельна (это
влечет за собой то, что А — группа Шелаха).
В1 следующей главе будет показано, что вопреки предпо-
ложению из [33] эти классы различны и ни одна из эквива-
лентностей не имеет места для групп произвольных мощ-
ностей.
Продолжая вторую из тем гл. 2, можно обобщить тео-
рему 7.1.
7.7.	Теорема (Эклоф— Хубер) (МА). Пусть G — счетная
группа без кручения, а А — такая группа без кручения мощ-
ности < 2*4 что Ext (В, G) = 0 для всех счетных В А. То-
гда Ext (A, G) •== 0 в том и только том случае, когда А яв-
Аксиома Мартина
49
ляется G-группой Шелаха, т. е. для любой счетной Но^А
найдется такая счетная Hi Яо, что для любой счетной В
Hq из того, что B[\Hi = HQ, следует ЕхЦВ/Hq, G) = 0.
В доказательстве используются результаты Уорфильда
[[45], построившего структурную теорию для таких групп В
и G без кручения конечного ранга, что Ext (В, G) = 0 (дока-
зательство см. В [12]).	□
Замечание. При предположениях СН или МА +ПСН ка-
ждая 117-группа мощности Ki является группой Шелаха
(см. 4.3 и 7.6 соответственно). Однако Шелах [40] доказал
совместимость с ZFC существования 117-групп мощности
не являющихся группами Шелаха (см. гл. 10). С другой сто-
роны, Шелах [40] показал, что существуют сепарабельные
группы (не являющиеся группами Шелаха) мощности ко-
торые не являются 117-группами (см. также [12]).
- Глава 8
НЕКОТОРЫЕ КОНСТРУКЦИИ В ZFO
В этой главе будут рассмотрены некоторые конструкции,
предложенные Шелахом [40], которые, хотя и проводятся без
каких-либо теоретико-множественных предположений, проли-
вают свет на результаты предыдущих глав. Как показано ра-
нее, существует несвободная группа Шелаха, являющаяся не-
свободной сильно согсвободной группой. Первой нашей целью
будет построение группы Шелаха мощности coi, не являю-
щейся сильно (Oi-свободной. Для этого придадим иной вид
понятию группы Шелаха. Если А аи-свободна и Н\^ Но —
счетные подгруппы в А, то будем говорить, что Нх обладает
свойством Шелаха относительно HQ, если для любых счетных
подгрупп В из Л верно, что из В П Н\ = Но следует свобода
группы В/Но.
8.1.	Лемма. Пусть А есть ^-свободная группа мощности
<oi. Тогда А является группой Шелаха в том и только том слу-
чае, когда существует такая ^-фильтрация А — U Аа (глад-
a<tth
ко), что Aa+i обладает свойством Шелаха относительно Аа.
Доказательство. (=^) Определим coi-фильтрацию на А ин-
дуктивным образом. Если Аа уже определена, то выбираем
Ла+1 так, чтобы она обладала свойством Шелаха относитель-
но Аа- Такой выбор возможен в силу того, что А (по усло-
вию) является группой Шелаха.
(-4=) По данной Но найдем Аа Но. Покажем, что Aa+i
обладает свойством Шелаха относительно Но- Предположим,
что В счетна и ВГИа+i == Но- Тогда (B + Aa)f]Xa+i = Аа.
По предположению, (В + Аа)/Аа свободна. Осталось лишь
заметить, что эта группа изоморфна В/В Q Аа = В/Но. 0
8.2.	Теорема. Существует группа Шелаха А мощности <x>i,
не являющаяся сильно ^-свободной.
Прежде чем дать доказательство этой теоремы, отметим
ее следствия.
8.3.	Следствие (МА + ПСН). Существует W-группа мощ-
ности (01, не являющаяся сильно ^-свободной.
Некоторые конструкции в ZFC
#1
Доказательство. В 7.1 показано, что группа Шелаха мощ-
ности g)i является ^-группой. Следовательно, в силу 8.2 най-
дется IF-группа, не являющаяся сильно coi-свободной. []
Сопоставим этот результат с теоремой Чейза (4.3), кото-
рая утверждает, что при предположении 2^° < 2К’ каждая
Ц7-группа является сильно ©i-свободной. Интересно отметить,
что, доказав 8.2, мы тем самым получим доказательство
того, что МА + “1СН влечет за собой 2S’^2S1- Конечно же,
это доказательство не проще естественного теоретико-множе-
ственного!
8.4.	Следствие (МА + ПСН). Классы W\U И72, определен-
ные в гл. 7, не совпадают между собой.	Q
Доказательство 8.2. Пусть X = {х" \п < со, а < coj и
D*=*®Qx. Необходимая нам группа порождается элемен-
тами множества X и элементами вида (х"— Х$)1Р’ гДе Р < “•
Пусть Р— множество всех простых чисел. Выберем семей-
ство {S"|n < со} попарно-непересекающихся бесконечных
подмножеств из Р. Положим
S‘=Wlrt<®’ Р <аЬ
Выберем для каждой пары п и а взаимно однозначные функ-
ции i]": <$"-> .¥а, такие, что
(i)	если а = р + 1, то rge т£ а Хэ+1 —	(т. е. для
всех peS", Лр+1 (р) = х^ для всех /п);
(И) если а — предельный ординал, то для всех р < а
множества (rgeria) А^р конечны;
(Ш) если a rge tj", то m > п.
Легко видеть, что такие функции действительно можно
выбрать, но труднее понять, зачем они нам нужны. Надеемся,
что по ходу доказательства станет яснее, каким образом этот
выбор позволяет нам ввести достаточное число соотношений
между х".
Для произвольных п <. со, а •< ®i и р a S" определим
у”(р) равным (x" — Ti"(p))/p. Положим
^’-{^(р) |П<®. а< ®1 И psS"}.
Определим А как подгруппу в D, порожденную X U У. По-
ложим Ла“<Ха>„ (сервантное замыкание в Л). Заметим, что
А == U Аа (гладко). Мы покажем, что А является «ц-ево-
a<©t
водной, не сильно coi-свободной группой и каждая Aa+i обла-
дает свойством Шелаха относительно Аа.
52
Глава 8
Покажем, что А не является сильно (несвободной. Дей-
ствительно, если Н = Х\ (= {х™ | п < со}) и Н — счетная сер-
вантная подгруппа в А, то тогда А/Н не будет ®i-свободной.
(По определенной таким образом Н выберем такой макси-
мальный ординал а, что Аа S Н. Следовательно, а > 0 и
Ла+1 gt Н, т. е. для некоторого п имеем х"фН. Тогда, так как
Ха s Н, то ненулевой элемент х" + Н из А/Н будет делиться
на любое р е Sn.)
Для доказательства того, что А — группа Шелаха, потре-
буется приведенное ниже вспомогательное утверждение, до-
казательство которого как раз и опирается на тщательный
выбор функций т]"- Сначала определим
«=*№..............*Г'}-
В частности, Х„ = Х°п. Положим Л" =	.
14	иь	(Л	04' *
Утверждение. Если 0 < a, a m и d таковы, что {т]" (р) |
peS", р > d} не пересекается с Х™, то для любого про-
стого числа р > d смежный класс элемента х” в А/(Х^ U
U {ха|х < не делится на р.
Отложим пока доказательство этого утверждения, а про-
должим доказательство теоремы, считая приведенное утвер-
ждение уже доказанным.
Покажем, что А (oi-свободна. Напомним, что критерий
Понтрягина утверждает, что счетная группа без кручения сво-
бодна тогда и только тогда, когда каждая ее сервантная под-
группа конечного ранга конечно порождена. Следовательно,
достаточно показать, что для всякого конечного Z X груп-
па <Z>* конечно порождена. Прежде чем ознакомиться с до-
казательством этого факта, читателю было бы полезно выра-
ботать некоторую интуицию, подумав над тем, в каких слу-
чаях элементы из (х^ хр ) должны делиться на р. Проделав-
ший это, вероятно, обнаружит, что приведенное ниже доказав
тельство является лишь формализацией его размышлений.
Докажем индукцией по соа + п, что (z Q Ха\ конечно по-
рождена. Так как для всех а верно
Ха п Z = Х$ n Z для некоторых пг и 0 < а,
то достаточно показать, что UnxS+1\/<zuzS). конечно по-
рождена. Эта факторгруппа будет нулевой в точности тогда,
когда x"<=Z. Так как UnX?). конечного ранга, то можно
найти такие р < а и т, что
(Z Л Л>. s Up U {411 < «}>.♦
Некоторые конструкции в ZFC
53
В силу пунктов (i) и (ii) в определении т]" найдется такое d,
что при всех р > d будет (р) ф Х$- Приведенное выше в
тексте утверждение дает, что для р > d элемент х£ + <Z Л Z”).
из A/{Z(]X$. не делится на р. Отметим и то, что для всех
простых р смежный класс элемента х" не делится на р2.
Следовательно, {z (]Xa+i)J{z (]Ха\ конечно порождена.
Докажем теперь, что А является группой Шелаха. Будет
показано, что Ла+1 обладает свойством Шелаха относительно
Аа- Опять в силу критерия Понтрягина достаточно показать,
что если ВПЛа+1==Да и В/Аа имеет конечный ранг, то то-
гда В/Аа должна быть конечно порожденной. Предположим,
что B=<Z +Ла>*, где Z — конечное подмножество в А. Ин-
дукцией по соР + п, где р а, будет показано, что группа
ВПЛ?/Ла = <(/ЛЛ^)иЛа\Ма конечно порождена. Так как
для всех п верно, что
В А Аа — В А Да+1 ==:: Ла»
то можно считать, что р^аД-1. Как и выше, достаточно
показать, что (В А Лр+1)/(В А Лр) конечно порождена. Пред-
положим, что эта группа ненулевая. Тогда она будет группой
ранга один и содержит элемент, являющийся смежным клас-
сом для некоторого Ь — сх$+а, где а^Ар и ceZ-{0}.
Поскольку В/Аа имеет конечный ранг, найдутся такие у и k„
что а < у < Р и
{а} U (В П Л р) = {х* U {41 i < «}>.*
Предположим, что простое число р делит смежный класс
элемента b в Л/(В Л Лр). Тогда р делит схр+<Х* U {хр I i < nJ),
в Л/<Ху U {41* <	В СИЛУ утверждения, приведенного выше
в тексте доказательства, найдется такое d, что из сказанного
в предыдущей фразе следует либо р d, либо р|с. Таким об-
разом,(В П Лр+1)/(В Л Лр) конечно порождена.
Доказательство утверждения. Пусть л": D -> Q — проек-
ция на xg-й сомножитель. Предположим, вопреки доказывае-
мому утверждению, что р > d и х^ делится на р по
mod<Xp U{4U< п}\- Другими словами, для некоторых
g е Л и и<= <Хр U {41 i <	имеем (ха/р ~{-и/р) = g. За-
метим, чтб g принадлежит Q-подмодулю, порожденному в Ь
множеством Х$ U {%а I i < п}* Поскольку g е Л, то мы можем
54
Глава 8
п
представить g в виде £ где Wi е X U У, rtt е Z — {0} и
z=i
все Wi отличны друг от друга.
Заметим следующее:
(♦) если	то найдутся такие /ид, что
л£(р)=**.
Это утверждение верно в силу того, что р е Sk. Если л£ (р) =
— хк, то ре ^.Следовательно,в силу того, что множества из
{S" | п < ©} попарно не пересекаются, получаем 1 = k. Но
ввиду условия (iii) в определении функций л£ из л| (Р)= х*
следует, что k > I.
К тому же если и е А", то л£ (g) = 1/р. Следовательно,
по крайней мере один из wt либо имеет вид у*(р), либо
g*(p), где т)*(р) = х". Разберем оба эти случая.
Случай 1. Предположим, что p&Sn. Тогда при неко-
тором i имеем “’< = Ру(р)> х" = л^(р) и р^пг. В силу (*) по-
лучим л* (g) = п1 • -у + у, где. (р, s) = 1. Следовательно,
n*(g)y=0. Но это невозможно, учитывая то, что у >а в силу
того, что rgeT]* = Xv, и, значит, л* (х"/р + м/р) = 0.
Случай 2. Предположим, что р е Sn. Пусть л£(р) = *$«
Заметим, что
Это верно в силу того, что k > п и, по предположению,
n2(p)^Xg. Таким образом, n*(g) = 0. С другой стороны,
для некоторого i должно выполняться wL = у"(р) и р nt.
Следовательно, найдутся такие / и б(=/=а), что Лв(р)™**»
wl ==у^р) и р 1 «у. Из того, что элементы множества
{оот|/га < со} попарно не пересекаются, вытекает, что верх-
ний индекс равен п. Каким же может быть б? Во-первых, если
xesXp> то г]2(р) = Ла (р)=Ху е Хр1- Во-вторых, если х? ф Хр>
то л” (g) = п, •	+ у, где (р, s) = 1. Но n"(g) = 0, если
и Хр > а следовательно, обе возможности ведут
к противоречию.	[]
Перейдем теперь ко второй конструкции, которая пока-
жет, что теорема 7.1 не распространяется на группы мощно-
сти ^2*°. А именно в любой модели МА + ~1СН существует
Некоторые конструкции в ZFC
55
сильно (Di-свободная группа мощности 2Н°(=2К1), не являю-
щаяся ЦР-группой.
8.3.	Теорема. Существует группа А мощности 2*1, такая,
что она сильно ^-свободна, но не является W-группой.
Доказательство. Для каждого а <х>1 обозначим через Z06	-
множество всех функций из а в Z. Далее, положим Z<fih =
= U Za и для каждого ‘neZ<<01 определим /(я) как то
a <(oi	'г
единственное а, при котором т] е Za.
Пусть F — свободная группа с базисом {хп |t] е Z<<ftl}-
Для каждого i]eZW1 положим	|< р j р < /(т))}, а для ;У‘
каждого peZ"1 положим Fp = (хр ^ | £ < (Oi).
При любом р е Z®' пусть Нр является свободной группой
ранга (Di, а ер: FP-^HP— такое вложение, что Hp/ep(Fp) есть
^-свободная группа мощности не являющаяся IF-rpyn-
пой, а при всех a < (0i группы Hp/ep(Fp ^а) свободны. (На-
пример, Hp/ep(Fp) не будет UZ-группой, если она не сепара-
бельна; см. 8.8.)
Далее, пусть А = lim {ер: FP->HP}. Отождествим Fp и
о
Нр с их образами в А. Заметим, что если р #= р' и р < он
таково, что р t р = р't Р и р f р + 1 #= р't р + 1, то в А вы-
полняется
Нр П НР' = Fp № — Fр, ц.
1)	Покажем в этом пункте, что А ^-свободна. Для этого
достаточно показать, что, каково бы ни было подмножество
{pz|i < (Di} мощности (Di из Z®1, группа Нр является
1<<01	1
свободной подгруппой в А. Для каждого i < coi в силу счет-
ности множества предшествующих i ординалов можно вы-
брать р/ < (Di так, чтобы для всех j < i выполнялось р/ Г р, =#
Pi Г р/. Тогда множества
5г = {pH р | н < р < ®i}
попарно не пересекаются, и легко видеть, что если Ф = Z<e>1—
— (J S„ то
Z<®1
S ^рг = Ф	Ф Hp{/F(t{^n{
i<CDi	Т]еФ	Z<(O1
будет свободной, так как по предположению каждая
fip./Fp.^. свободна.
2)	Покажем, что А сильно ц^-свободна. Предположив
противное, т. е. существование счетной Во, вложимой ни , / &
'и-
3)6
Глава 8
в какую (Oi-сервантную счетную В, мы бы могли построить
индукцией по v такую гладкую цепь {Bv|v < coi} счетных
подгрупп, что для всех v группы Bv+i/Bv несвободны, и в ре-
зультате получить несвободную группу U Bv мощности
V<®1
вопреки доказанному в предыдущем пункте (см. доказатель-
ство 5.4).
3)	Покажем теперь, что А не является W-группой. Для
каждого р е ZW1 пусть gp будет таким гомоморфизмом из Fp
в Z, что для всех а < coi справедливо £р(хРьа) = р(а + 1).
Определим fp е Fact (Яр, Z) как такую систему факторов,
расширяющую нулевую функцию на FpX^p (=6^р), что
/Р ¥= bg' при любой g' g. (Такой выбор системы факторов
возможен в силу 3.5, так как Hp/Fp не является UZ-группой.)
Положим
f= U fp е= Fact (Л, Z).
р
(Заметим, что это определение корректно, т. е. каждая fp яв-
ляется нулевой на Fp.) Покажем, что f не является системой
трансформаций. Предположим противное, т. е. f = 6Л для не-
которой h: A-^Z. Определим peZW1 следующим образом:
р(0 4- 1) = h (хР|< р) для всех р < «и, а для предельных а по-
ложим р(а) произвольным. Тогда h\ Fp = gp, так как для
всех р < coi справедливо
Л(хРИ>) = р(₽ + 1) = £р(-М ₽)•
Следовательно, h Г Яр расширяет gp и б (Л Г Но) = f f Яр" =
что противоречит определению системы факторов fp. Q
Приведенное ниже следствие из 8.5 показывает, что 7.5 не
имеет места для групп произвольных мощностей.
8.6.	Следствие. Существует сильно (^-свободная группа
мощности 2% не являющаяся сепарабельной.
Доказательство. Пусть А — группа, построенная в 8.5. То-
гда существует нерасщепляющаяся точная последователь-
ность
0->Z->BЛ->0.
При этом В сильно coi-свободна, так как для любой coi-cep-
вантной подгруппы А' из А прообраз л-1 (Л') будет coi-cep-
вантной подгруппой в В. Но В не может быть сепарабельной,
так как в противном случае группа Z была бы прямым сла-
гаемым в В и последовательность бы расщеплялась. []
В предположении СН можно дать и более короткое до**
казательство приведенного выше следствия:
Некоторые конструкции в ZFC	6Г
8.7.	Теорема (СН) . Существует сильно (несвободная груп-
па мощности Х1 = 2х°, не являющаяся сепарабельной.
Доказательство. Пусть А — такая сильно сорсвободная
группа мощности что Г(Л)= 1. Тогда в силу 4.3 А не яв-
ляется ^-группой и, значит, можно повторить рассуждения
из доказательства 8.6.	Q;
Наконец, дадим описание еще одной конструкции Шелаха.
8.8.	Теорема. Существует Несвободная группа мощности'
Ki, не являющаяся сепарабельной и, следовательно, не яв-
ляющаяся и W-группой.
Доказательство. Пусть X — подмножество в 2® мощности
т. е. X — это некоторое множество функций х: со->2 =
= {0, 1}^Z. Пусть Y—множество конечных ограничений"
функций из X, т. е. у е У тогда и только тогда, когда суще-
ствуют такие х <= X и п со, что х\ п = у (где п ={0, 1, ...
..., п — 1}). Пусть V — векторное пространство над Q с ба-
зисом XU У U М (где е — новый символ), т. е. V = ф Qx®
х е X
© ф Qz/®Qe- Пусть A^V порождено как Z-модуль мно-
у е У
жеством XJ У UM вместе с элементами вида
(х —(х Г п) — х(п)-е)/рп,
где хеХ, песо, арп есть п-е простое число. Для доказа-
тельства того, что А является ^-свободной в силу критерия^
Понтрягина, достаточно показать, что каждый подмодуль ко-
нечного ранга из А конечно порожден. Мы оставляем это чи-
тателю.
Докажем, что А не сепарабельна, а именно покажем, что-
группа Ze не является прямым слагаемым А хотя легко ви-
деть, что она сервантна в А. Предположим противное, т. е.
A = Ze ® В. Тогда в силу счетности X найдутся такие xi,
х2 е X, что Xi =И= х2 и xi = те + х2 = те + Ь2 при некото-
рых weZ, 6г еВ, i=i, 2. Тогда при некотором п е ©
выполняются xi Г п = х2 F п и хДп) =/= х2(п). Но рп делит
Xi — (Xi Г п) — Xi (п) е при i = 1,2. Следовательно, рп делит
xi — х2 + Х1(п) - е — х2(п) • е = (xi(n) — x2(n)) -е + (&i — b2),
а значит, рп делит и хДп) — x2(n) = ± 1, что невозможно. Ц
Г лава 9
НЕРАЗЛОЖИМЫЕ МОДУЛИ НАД ДЕДЕКИНДОВЫМИ
ОБЛАСТЯМИ
Большая часть полученных нами ранее результатов может
быть распространена с некоторыми модификациями на мо-
дули над дедекиндовыми областями. Всюду в этой главе R
будет обозначать дедекиндову область, не являющуюся по-
лем. Обозначим через Q поле частных кольца R. Под словом
«модуль» будем понимать левый /?-модуль. Следующая тео-
рема суммирует результаты Капланского [26], Матлиса [28]
и Нунке [32].
9.1.	Теорема. Следующие условия эквивалентны'.
(1)	Ext(Q,/?) =И= 0;
(2)	если А — такой модуль счетного ранга, что
Ext (А, 7?) = 0, то модуль А проективещ
(3)	R не является полным кольцом дискретного нор мир о*
вания}
(4)	существует неразложимый модуль ранга 2.
(Нунке назвал такое кольцо R нереализуемым.)	[]
Используя этот результат и методы предыдущих глав,
можно доказать следующую теорему.
9.2.	Теорема. Пусть R — счетная дедекиндова область, не
являющаяся полем. Тогда
(1)	(V = L) Если Ext(A,/?) = 0, то А проективен.
(2)	(МА + ~1СН) Существует такой модуль А мощности
fcii, что он не является проективным и Ext (A, R) = 0. [j
(Заметим, что в силу того, что R счетно, оно не полно.
Следовательно, можно использовать 9.1(2) как начальный
шаг для доказательства 9.2(1) индукцией по мощности А.)
Исследуем теперь вопрос о существовании неразложимых
модулей сколь угодно большой мощности. Следующий ре-
зультат получен Шелахом [35].
9.3.	Теорема. Существуют неразложимые абелевы группы
сколь угодно большой мощности.
Доказательство этой теоремы, которое мы здесь не при-
водим, может быть перенесено и на модули над кольцами
Неразложимые модули над дедекиндовыми областями 59
главных идеалов с бесконечным множеством простых идеалов.
Цель этой главы — доказать следующее обобщение тео-
ремы Эклофа— Меклера [13].
(Понятие сильно k-проективного модуля вводится анало-
гично понятию сильно ^-свободной группы из гл. 4.)
9.4.	Теорема (V = L). Следующие утверждения эквива-
лентны:
(1)	R не является полным кольцом дискретного нормиро-
вания;
(2)	существуют сколь угодно большие кардиналы k, для
которых найдутся неразложимые сильно k-проективные мо-
дули мощности k\
(3)	если k — регулярный не слабо компактный кардинал
и k > | R |, то существует неразложимый сильно k-проектив-
ный модуль мощности k.
Отметим, что из (3) следует (2). К тому же в 9.1 условие
(4) может быть ослаблено до условия существования нераз-
ложимого модуля ранга не меньше 2. Следовательно, в тео-
реме 9.4 условие (2) влечет за собой (1). Из этой теоремы
следует независимость от ZFC существования неразложимых
сильно (Oi-свободных групп мощности (01. (Так как в силу 7.5>
предполагая МА + ~1СН, из сильной (oi-свободы группы А
мощности (01 следует ее неразложимость.)
Прежде чем дать доказательство 9.4, получим ряд вспо-
могательных результатов.
9.5.	Лемма. Существует счетно порожденный модуль без
кручения М, не являющийся проективным.
Доказательство. Пусть Р — простой идеал в R. Положим.
M = и (р-'Г.
П<(д
Заметим, что РМ=М. Покажем, что М не является проек-
тивным. Если бы это было не так, то нашлись бы вложение
е: M-+F, где F — свободный модуль, и проекция л: F-+R,.
такие, что л <> е: М-> R — ненулевой гомоморфизм. Но тогда
л<>е(Л4) являлся бы ненулевым Р-делимым подмодулем в R,
т. е. P-делимым идеалом, что невозможно.
9.6.	Следствие. Если R не является полным кольцом дис-
кретного нормирования, то для каждого ненулевого идеала F
из R найдется такой счетно порожденный модуль без круче-
ния М, что Ext (Л4, /) =/= 0.
Доказательство. Точная последовательность
0 -+I-+R-+ R/I-+0
60
Глава 9
индуцирует точную последовательность
Ext (М, 7)^ Ext (М, R)-> Ext (М, R/I)-+0,
где М такой же, как в лемме 9.5.
В силу 9.1, Ext (М, R) =/= 0, так как М счетно-порожден, но
не проективен. Однако Ext (Л1, •/?//) = 0, так как чистый под-
модуль ограниченного порядка является прямым слагаемым
[25, с. 333]. Значит, отображение из Ext(A4, /) в Ext(M, R)
является сюръективным. Следовательно, Ext (М, I) #= 0. Q
Следующая лемма укажет нам то вложение, которое бу-
дет необходимо для доказательства 9.4.
9.7.	Лемма. Пусть R не является полным кольцом дис-
кретного нормирования. Если I — ненулевой идеал в R и F =
— I Ф Д — свободный модуль ранга Ко, то существует такое
F' гэ F, что:
(i)	при любом конечно порожденном прямом слагаемом
Д' из К модуль I Ф Д' является прямым слагаемым F';
(ii)	не существует такого L, чтобы L Ф I = F' и Д<=, L.
(В частности, F не является прямым слагаемым F'.)
Доказательство. Пусть М таков же, как и в 9.5. Тогда
существует такая короткая точная последовательность
что F и F'— свободные модули ранга Ко. Так как Ext(Af, /)=#
«/=0, то найдется такой гомоморфизм 0: F-+-I, что он не-
расширяем до гомоморфизма из F' в / (см. 3.5). Можно даже
считать, что 0 является сюръективным (так как в противном
случае можно просто добавить соответствующее число копий
кольца R к F и F'). Следовательно, F = IФ Д, где Д = ker 0.
Проверим, что F' F будет удовлетворять обоим требуемым
свойствам.
(i) Предположим, что Д'— конечно порожденное слагае-
мое К. Тогда IФ Д' чист в F, который в свою очередь чист
в F'. Следовательно, IФ К чист в F'. Кроме того,
F'/(I Ф К') = Н/(1 ф Д') ф И',
где Н/(1®Д') конечно порожден и без кручения. Так как
Н/(1® Д') проективен, то / Ф Д' является прямым слагаемым
в Н. Следовательно, он будет прямым слагаемым и в F',
(ii) Предположим, что F' = 1 Ф L, где Д s L. Пусть л:
F'1— проекция на первое слагаемое. Тогда n|‘R = 0, что
противоречит выбору 0.	О
Доказательство 9.4. Как уже замечено выше, достаточно
лишь доказать, что (1) влечет за собой (3). Пусть k — такой
Неразложимые модули над дедекиндовыми областями
61
регулярный, не являющийся слабо компактным кардинал, что
k >|£|. В силу выполнимости Е (k) можно выбрать такое
разреженное стационарное подмножество Е в k, что если v е
^Е, то v является предельным ординалом в cf(v)=o. Мож-
но считать, что k — Е тоже стационарно. Наше построение
будет использовать конструкцию из 6.3. А именно, используя
метод 6.3, можно индуктивно построить /г-фильтрацию сво-
бодных модулей {Av|v < k}, чье объединение будет сильно
^-проективным. При этом мы позаботимся о том, чтобы по-
строенный модуль был неразложим. Для этого на v-x шагах,
где v е Е, индуктивное построение будет проведено так, что
(используя лемму 9.7) исключение возможности разложения
будет предопределено принципом '<% (£).
' Пусть А — множество мощности k и А = (J Av (глад-
v<k
ко) —такая ^-фильтрация множества А, что
|Avl = lv| + l^l = Mv+I-Av|
для всех v. В силу фй(£) найдется такое {(^v> K')|ve£J,
что Yv и У'— подмножества в Av и при любых Z, Z's A
множества
{ve£|/v=znAv, у;=г'лд}
стационарны. (Применить Q к объединению двух непе-
ресекающйхся копий А.)
Определим по индукции структуру модуля на каждом Av.
Каждый Av будет свободным и, кроме того, будет выпол-
няться
(*) для v < |х < k модуль Ац/Av проективен о модуль
Ац/Av является свободным бесконечного ранга 4=>
v ф Е.
Это будет гарантировать сильную ^-проективность А.
Рассмотрим следующее условие:
(♦♦) Yy и У' — ненулевые подмодули в Av и существует
такая строго возрастающая последовательность тп
с супремумом, равным v, что т0 = О, т„ Е и
д,я=(уупа,я)ф(у;пая)
при всех песо.
Если v^E или же несправедливо условие (**), то дей-
ствуем, как в 6.3. Если vg£h выполняется условие (**), то
действуем особым образом. Итак, предположим, что v g £,
на 4V определены структуры модулей и условие (**) выпол-
62
Глава 9
нено. Без потери общности можно считать, что {Kv П А%п | п е
со} таково, что при всех п модули Ап+1)/(КСП
имеют бесконечный ранг. (В противном случае можно счи-
тать это выполненным для последовательности f| AXfi | п &
е со}; в любом случае можно заменить {тп} ее подпоследо-
вательностью.)
В силу (*) AXn+JAxn свободен и, значит, Y'v П АХп является
прямым слагаемым в	Следовательно, можно
записать
^+,-(Г,ПЛ,+О®(ППА,,)фВ,,.
Тогда Вп свободен, так как он бесконечного ранга [25], и
можно считать Bn = Rbn($В'п. Следовательно,
/4V = I ф	Rbn® Вп®С,
п е со	п е о
где yv = 1 ® С и / =/* 0.
Пусть /ф ф Rbn играет роль F в лемме 9.7, а ф Rbn —
п	пе& 
— роль/<.Определим на >4v+1 структуру модуляF' ф ф В'п®С
с очевидным вложением Av в Л¥+ь Заметим, что Yv является
прямым слагаемым Xv+i и Yy не содержится ни в каком пря-
мом дополнении слагаемого Yv. Следовательно, (*) выпол-
няется (так как ранг Av+i/Av бесконечен).
Положим А = U Как мы знаем, А сильно А-проек-
v<fe
тивен. Осталось показать его неразложимость. Предположим
противное, т. е. А = Н Ф Н', Н =£0 и Н' =# 0. Тогда най-
дется такой куб С, что для всех v е С будем иметь
А = (ЯПА)Ф(Я'ПА),
где Н П t4v и Н' Г) Av оба ненулевые.
Пусть S — С (](k — Е). Так как k — E стационарно, то S
неограничен©. Пусть D — замыкание S, т. е. D включает в
себя S и все супремумы (меньшие k) подмножеств из S. То-
гда D является кубом. Положим далее
F = {v^E\Yv~=H(]Av, y; = //;nxv}.
Так как {(Kv, К') | v е Е} является Оk (^-последовательно-
стью, то F стационарно. Выберем v^DftF. Так как v е F,
то cf (v) = со. К тому же если vgE, to v^S. Следовательно,
найдется такая возрастающая последовательность {хп | п s со}
элементов из S, что supTn=v. Для удобства можно считать,
что то = О, Следовательно, при выборе выполнялось
Неразложимые модули над дедекиндовыми областями 63
условие (**). Значит, К' (= Н' П Ду) не содержится ни в ка-
ком прямом дополнении слагаемого в Ду+ь
С другой стороны, возьмем а > v таким, что а еС. Тогда
Д,=(НПАт)®(Н'ПД«).
При этом yv — слагаемое Н П Аа, так как Уу — слагаемое A+i,
a 4v+i — слагаемое Аа. Но У's Н' П Ао. Следовательно, У'
содержится в прямом дополнении слагаемого Уу в Hv+i, что
противоречит установленному в предыдущем абзаце. []
9.8. Следствие (V = L). Для любого Е^=0, 1 из
найдутся 2“‘ таких сильно (^-свободных неразложимых групп
Ам, К 2е*, что Г(Д<0) = £ и при любых i^j группа А^
невложима в А(Л.
Доказательство. Пусть Е = (J Е^, где Ev f| = 0 при
|a<g>i
v и каждое £ц стационарно (см. лемму 1.4). Пусть
{Sf | /е 2“'} — семейство 2“' таких подмножеств из «и, что
£,=/=£/ при i ф j. Выберем счетные группы без кручения Go
и Gi так, чтобы Gk, k — Q, 1, не была изоморфна подгруппе
из Gi-fe © Z<®>. Для каждого i е 2“* построим так же, как и
в предыдущей теореме, Д<0= (J Ла0 (гладко) так, чтобы,
а <<01
во-первых, Аа} была coi-сервантной при а ф Е, во-вторых,
Да+1/Да0 = Go ПРИ аеЕц и це Si, а в-третьйх, Д^/Да*
при а е£и и ц Si. (Можно считать, что Е состоит из пре-
дельных ординалов.)
Предположим теперь, что f: А^-^А^— вложение для
Выберем р либо из S/ —5,, либо из S? —-5/. Для опре-
деленности будем считать, что jieSi- S/. Пусть С — такой
куб, что для а е С выполнено f (Да0) Да*- Возьмем а е
е C Тогда при некотором т > а вложение f индуцирует
вложение Go = Да+lMa0 В Дт^/Да^ = G1 ф Z(<0), что невозмож-
но в силу определения Go. Следовательно, семейство
{Д(01 I е 2®1) удовлетворяет всем требованиям.	[]
Более того, предполагая V = L, для каждого Е =
=	— {0} можно указать такое {Д(и| i < 2Ш1}, что не
только Д(<) неразложимы, сильно aji-свободны, Г(Д(П) = В и
?= Д(/' при i =/= /, но и Д(/) факторно-эквивалентна Д(/).
(В гл. 11 приведено определение факторной эквивалентности.
Необходимая для построения конструкция является комбина-
цией приведенного выше метода с идеями из [14].)
64
Глава 9
В [13] был приведен частный случай леммы 9.7, который
можно применять для построения неразложимых (не обяза-
тельно абелевых) групп. К сожалению, построенный там при-
мер не верен1). Пользуясь случаем, укажем, как исправить
неточность. Пусть F = B®C— свободная группа, где С сво-
бодно порождена множеством {ся|п < ©}. Пусть b — фикси-
рованный элемент из базиса В. Положим Fi = В ф D, где D
свободно Порождена множеством {dn|n < <о}. Пусть Ф — та-
кое вложение F в Fi, что Ф [ В = 1в и Ф(сп)== 2n-b + dn —
— 2dn+i. Модифицируя доказательство из [13], можно пока-
зать, что это вложение обладает всеми необходимыми для
проведения рассуждений из [13] свойствами.
') В предположении GCH существование <вгсвободной неразложимой
абелевой группы доказано Е. А. Палютиным [46].—Прим, перев.
Глава 10
УНИФОРМИЗАЦИЯ И ПРОБЛЕМА УАЙТХЕДА
Вернемся к изучению абелевых групп. Ранее было дока-
зано, что утверждение
(W) Группы Уайтхеда свободны
независимо от ZFC. Так как ZFC + V = L влечет за собой
как (W), так и GCH, то (W) совместимо с ZFC + GCH. Ше-
лахом была показана совместимость ~l(W) с ZFC + СН. Сле-
довательно, (W) независимо от ZFC GCH. Как показано
в гл. 7, для доказательства совместимости ~l(W) с ZFC Ше-
лах использовал аксиому Мартина. Для доказательства сов-
местимости ~1 (W) с ZFC 4-GCH им был сначала получен
(методом форсинга) некоторый теоретико-множественный
результат о совместимости. В этой главе будет приведен этот
результат Шелаха и будет показано, каким образом из него
может быть выведено П (W).
При таком подходе проблема Уайтхеда будет сведена к
чисто комбинаторной задаче «раскраски ступенчатых систем».
Если б — предельный ординал <<х>1, то л од лестницей на 8
понимается строго возрастающая функция т]6: со =й= б, чей
ранг кофинален в б. Для простоты будем предполагать, что
rang т]б состоит только из непредельных ординалов. Если Е —
стационарное подмножество в coi, состоящее из предельных
ординалов, то ступенчатая система на Е — это такое индекси-
рованное семейство ц ={ir]6|6 <= Е}, что каждая является
лестницей на б. Под раскраской ц понимается такое индекси-
рованное семейство функций с={сб|беЕ}, что для любого
б сб: со—>{0,1}. (Мы считаем сд раскраской «n-й ступеньки
т)б», т. е. т]6(п) имеет цвет 0 (скажем, черный), если с^(п) — (У^
и имеет цвет 1 (скажем, белый), если сб(п)=1.) Под уни-
формизацией семейства с понимается такая пара (/,/*), что
/*: Е-><о, f: со! ->{0,1}
и для всех 8 е Е и пе (о, если п	f* (б), то сб (n) = f (т]б (п)).
Иными словами, каждый ординал окрашен f либо в бе-
лый, либо в черный цвет таким образом, что при всех б е£
эта раскраска совпадает с раскраской, заданной на всех,
кроме, быть может, конечного числа, ступеньках ц6. Будем
66
Глава 10
говорить, что т] обладает униформизационным свойством,
если каждая раскраска т] имеет униформизацию.
Необходимая нам теоретико-множественная гипотеза, не
имеющая общепринятого названия, состоит в следующем.
(Множество Е coi называется нестационарным, если <oi — Е
стационарно, т. е. Е =/= 1.)
IX. Существует стационарное костационарное множество
E^coi, состоящее из предельных ординалов, и такая ступен-
чатая система на Е, что она не обладает униформизационным
свойством.
Шелах [37] доказал, что гипотеза (IX) совместима с
ZFC + GCH. (Этот результат далее нигде не используется.)
10.1.	Утверждение ([6]).
(1)	Если Е стационарно, то каждая ступенчатая система q
на Е допускает такую раскраску с, что невозможно найти для
нее такой униформизации в которой f* являлась бы ну-
левой функцией.
(2)	(2^о < 2Х-). Если Е не является костационарным, а
т] — ступенчатая система на Е, то найдется такая раскраска с
для т|, которую невозможно униформизировать.
Доказательство. (1) Определим <р: E-xoi равенством
ф (6) = т]д (0). Покажем, что тогда при некотором v0 е <oi мно-
жество qHfvo) стационарно. (Этот факт известен под назва-
ниями «лемма Фодора» или «лемма о сжатии», при этом от <р
требуется лишь то, чтобы ее область определения Е была
стационарна и ф(6)< 6 для всех б е Е.) Действительно, если
предположить, что это не так, то тогда для каждого v е Qi
найдется куб Cv, не пересекающийся с ср-1 (v). Пусть
D = {ц < <011 для всех v < р, ре Cv}.
Оставляем в качестве упражнения для читателя проверку
того факта, что D является кубом (именуемым диагональным
пересечением множества {Cv|v < coj). Очевидно, D П Е = 0,
что противоречит стационарности Е. Следовательно, лемма
Фодора доказана и, значит, существует более чем одна
(в действительности их бесконечно много) б, такая, что
Яв(0) — vo. Итак, необходимую нам раскраску с легко полу-
чить путем окрашивания v0 различными цветами на отличных
друг от друга лестницах.
(2)	Можно предполагать, что £' = lim(<o1) (т. е. множе-
ство всех предельных ординалов, меньших ®i). Можно ис-
пользовать принцип тусклого бриллианта, т. е. Фт, (©i), яв-
ляющейся следствием 2^° < 2^1 (см. гл. 3). Для каждой
Униформизация и проблема Уайтхеда
67
функции d: 6 —{0,1} определим
( 0, если 3ra(Vm^n)(d(T]e(m)) = 0),
Рб	=== 11
(.1 в противном случае.
В силу Фа,(®1) найдется такая функция tp: coi->{0, 1}, что
для любой функции f: ©i->{0, 1} множество
{6<®1|Р4(П6)=Ф(6)}
стационарно. Для каждого предельного ординала 6 опреде-
лим с6: б-^{0, 1}, так что с6(п)= 1 — ср(6). Предположим,
что (/,/*)— униформизация для с ={q|б е lim(cdi)}. Тогда
для всех 6, если n^f*(6), то с6(п)~ /(цб(п)), т. е.
1 — Ф (6) = f(т]б (/г)). Но в силу ФсоДсоО найдется такая 6,
что P6(f f б)= ф(б). Для этой 6 верно, что
Ф(6) = О<=>Р6(/f 6) = 0<=>3/2(Vm>n)(f(n6(m)) = 0)<=>
<=>Hn(Vm /г)(1 — ф (6) = 0) <=> ф (6) = 1,
что невозможно. Полученное противоречие показывает невоз-
можность униформизации раскраски.	[]
Следующая теорема Шелаха [38] показывает, каким об-
разом раскраска ступенчатых систем применима к проблеме
Уайтхеда.
10.2.	Теорема. Пусть Е — стационарное подмножество в
состоящее из предельных ординалов, и предположим, что
существует ступенчатая система ц на Е, обладающая унифор-
мизационным свойством. Тогда существует такая W-группа
Л(т]) МОЩНОСТи (Di, что Г (Л (ц)) = Е.
10.3.	Следствие (IX). Существует W-группа мощности <оь
не являющаяся свободной.	П
Доказательство 10.2. Пусть X = {xv+i|v < coi}, Y = {у61бе
е£}, и возьмем
D — ф Qx® ф Qy.
х X yf=Y
По указанной в условии теоремы ступенчатой системе г| =
= {т]61 <5 е £} на Е определим подгруппу Д = Л(г]) группы D
как группу, порожденную X U Y U 2, где Z = {ze, п 16 е Е, пе
е ©} и
п
Уб - Ео2‘•%<«)
п —	’
68
Глава 10
Рассмотрим югфильтрацию А = (J Ац (гладко), где
Ц <(01
A(1=<{xV4.i|v + 1 < p}U{y«|6 б < ц}>.-
Если це£, то Ац+i/Ap не является свободной, так как
Уи + Ац 2-делим. Следовательно, Г(А)эё, т. е. А не сво-
бодна. Кроме того (в силу аргументов, аналогичных исполь-
зованным в 8.2), если то А/А^ юрсвободна и, значит,
Г (А) = Е.
Для доказательства того, что Ext (A, Z) = 0, рассмотрим
проективную резольвенту для А
в л . л
о->к—>F~
где F — свободная группа, порожденная XU У112, и л — есте-
ственный гомоморфизм. Эта короткая точная последователь-
ность индуцирует длинную точную последовательность
... ->Hom(F, Z)_±>Hom(K, Z)->Ext(F, Z) = 0.
Следовательно, для доказательства того, что Ext (Л, Z) = (h
достаточно доказать, что е* сюръективно.
Заметим, что К свободно порождена элементами
(Ю-2.1)	aye = 2ze.o —£в + хцв(0)
И
(10.2.2)	п = 2^§t n+i п 4“	(п-м)
(для всех 6 е £, п е со).
Предположим сначала для простоты, что ср: /(->Z — та-
кой гомоморфизм, что ф(иб,/г)е{0, 1} при всех 6 и п. Пусть
сб(п)= ф(иб, п). Тогда раскраска с={с6\8^Е} допускает
униформизацию, скажем, (/,/*). Определим теперь ф: F->Z
следующим образом. Для всех v < coi положим ф(х¥)== f(v).
Если n^f*(S), то положим ф(6б, п) = 0, и если n<f*(6),
то определим ф(зб, п) с помощью «возвратной индукции», ис-
пользуя соотношение
Ф (ze, п) = 2 • Ф (Ze. я+1) + ф (хПв (п+1)) — ф («в. „)
(см. (10.2.2)). Наконец, положим
Ф (Уб) = 2 • Ф (z6, о) + Ф (хЛв (0)) — ф (о>б)
(см. (10.2.1)). Очевидно, что таким образом мы определили
гомоморфизм, продолжающий ф (т. е. е*(ф)=ф), что и за-
вершает доказательство для нашего специфически выбран-
ного ф.
Для доказательства в случае произвольного ф: К Z до-
статочно показать следующее:
Униформизация и проблема Уайтхеда
69
(10.2.3) Существует такой гомоморфизм ср7: К-> Z, что
q/(u6, л)е{0, 1} Для всех 6 и п и ср — <р' является ограниче-
нием некоторого гомоморфизма 0: F->Z.
Для каждого 6е£ положим q/(w6)= ф(ш6) и 0(z6,0) =
= 0. Пусть также 0(xv) = O = 0(уб) для всех v < coi, 6е£.
Определим ф,(иб. л) и 0(zd, n+i) индукцией по п. Так как не-
обходимо, чтобы выполнялись
0 (z«. П+1) = 4 (ф (“в. п) — ф' («в, п) + 6 (ze, „)),
то берем ф'(и6>Л) = {0,1} такими, чтобы правые стороны
этих равенств были целыми. Это завершает доказательство
(10.2.3).	□
Для интересующихся читателей оставляем в качестве
упражнения доказательство того, что в предположении
МА + ~1СН каждая ступенчатая система может быть уни-
формизирована (см. [6, теорема 5.2]). Это, в частности, дает
нам другое доказательство 7.2.
Для некоторых ступенчатых систем справедливо и утвер-
ждение, обратное к 10.2. Будем называть т) древоподобным,
если выполнено следующее свойство:
для любых So, 5] е Е и п0, П\ е со,
если % (п0) = Пб1 (^1), то =
и % W == Лб] (&) Для всех =
10.4. Теорема ([38]). Предположим, что т] является дре-
воподобной ступенчатой системой на Е. Если группа Л(т]),
построенная в доказательстве 10.2, является W-группой, то ц
обладает униформизационным свойством.
Шелах построил модель ZFC + GCH, в которой суще-
ствует стационарное костационарное множество Е с такими
двумя древоподобными ступенчатыми системами г]0 и на
нем, что т)о обладает униформизационным свойством, а щ
этим свойством не обладает (см. [38]). Следовательно, Л('п0)
является W-группой, a A (rji) не является. Таким образом, су-
ществуют такие модели ZFC + GCH, что даже значение Г (А)
не приносит ответа на вопрос о том, будет ли А группой
Уайтхеда! (С другой стороны, Шелах построил модель
ZFC + GCH, в которой знание Г (Л) достаточно для ответа
на вопрос о том, будет ли coi-свободная группа А группой
Уайтхеда (см. замечания после доказательства 10.5).)
Доказательство 10.4. Для 6 е Е, п е со пусть
п =	+ X 2' • «в, 1-\.
70
Глава 10
Тогда w6t Q = w6 и для всех п
п = 2n+1 • z6, п — уй + £ 21 •	(/).
1=0	0
По данной раскраске с— {с6|6еЕ} для т] определим гомо-
морфизм <р: /<->Z следующим образом:
Ф (цу6) = св (0) и ф(«в, „_1) = 2П • св(п).
Следовательно, для всех 6 и О 1 имеем
(10.4.1)	ф(йУ6. п) = ф(^д. л-i)+2га • с8(га)
и
(10.4.2)	ф(шв>„)е={0,	2ге+1 — 1}.
По условию тоеремы существует гомоморфизм ф: F->Z, про-
должающий ср. Предположим теперь, что у, 6 е £ таковы,
что (и) = % (п) • Тогда
•Ф (®в. л) — Ф (Уб) = L • Ф (Хг)б (о) = ф (wy, л) — Ф (у6) (mod 2“+1).
Следовательно,
(10.4.3)	ф (шб, „) — ф (ayv, „)М (у6) — Ф (уу) (mod 2n+1).
Наша цель — найти униформизацию (/,/*) для с. Разо-
бьем эту задачу на три части, рассмотрев три раскраски d
(где j = 0, 1, 2), определенных следующим образом:
{сб(п), если n = /(mod3),
0 в противном случае.
Достаточно найти униформизации (f7,/Л*) для каждой с/,
так как тогда можно определить
Г = max {f f1’-, f2’}.
(Отметим, что f* однозначно определяет /.)
Рассмотрим для примера только случай-/= 2. Следова-
тельно, с (= с2)—такая раскраска, что с6(п) = 0 при
Ф 2 (mod 3).
Покажем, что униформизация может быть получена путем
.определения f* (S) как такого наименьшего и, что |ф(Уб)1<
< 2п~2. Итак, предположим, что у, таковы, что щ(п) =
= T]Y(n), где п /*(б), п /*(?)• Нам нужно показать, что
сб(п)= су(п). Единственный нетривиальный случай — это при
п == 2(mod3). В силу определения /* имеем
(10.4.4)	|ф(^)-ф(№)|<2-2'-2=2«Ч
Униформизация и проблема Уайтхеда
71
В силу (10.4.1) получим
(Ю.4.5)	ф(аув> п+2)= ф(шв, «)
(так как по условию на с выполняется св(«+!)= сй(п-[-2) =
= 0. Аналогично,
(Ю.4.6)	ф(дау> л+2) = <р(а.'у,я).
Следовательно, в силу (10.4.2)
(10.4.7)	|ф(аув) и+2) —ф(дау> л+2) | < 2-2п+’ = 2”+*,
а тогда по (10.4.3) (для п = п4-2) и (10.4.4), получим
(10.4.8)	ф(шв> я+г)— ф(о\, n+z)= W«) —Wy)-
Использовав (10.4.5) и (10.4.6), выведем
(10.4.9)	ф (и>в, п+2) — ф (Wy, я+2) = ф {w6,«) — ф (wy, «),
которое по (10.4.1) равно
(10.4.10)	ф(дав, я+1) — ф(аУу, я+1) +2”(сб(п) —cY(n)).
Теперь аналогично тому, как это делалось для доказатель-
ства (10.4.7), получим
(10.4.11)	I ф(дав> „-О - ф (Wy, „-О | sg 2 • 2«-2 = 2«-‘.
Следовательно, в силу (10.4.8), (10.4.9), (10.4.10) и (10.4.11)
имеем
(10.4.12)	|ф(ув) — ф(г/у) |^|2rt-* — 2П- |са(м)— Су(п) 11.
Но из (10.4.12) и (10.4.4) немедленно следует, что с6(п) =
= Су(п).	□
Упражнение. Предположим, что выполнено следующее
утверждение:
X. Существует такое индексированное семейство лест-
ниц т) = {t]v|v < wi} на со, что каждая раскраска на т)
может быть униформизирована.
Докажите, используя (X), что существует UZ-группа мощ-
ности со1, не являющаяся группой Шелаха (см. гл. 7, с. 45).
[Указание: стройте Л(т]) так же, как в 10.2, но при этом
возьмите
X = {хл|п < со} и У = {z/v|v < (01}.
Покажите, что никакая счетная не может обладать свой-
ством Шелаха относительно Но = <Х> (см. гл. 8, с. 50).]
Шелах [38, §4] показал, что (X) совместимо с ZFC. Сле-
довательно, совместимо с ZFC и то, что существуют группы
Уайтхеда, не являющиеся группами Шелаха (см. замечание
в конце гл. 7),
72
Глава 10
Для дополнительной информации читателям, знакомым с
[37, §2] или [5, § 4], закончим эту главу обсуждением еще
одного подхода к доказательству независимости (W) от
ZFC + GCH. Этот подход основан на принципе, названном
Девлином аксиомой Шелаха (SA). Отошлем интересующихся
читателей за формулировкой SA к гл. 4 из [5]. Меклер заме-
тил, что в 5(iii) на с. 119 в [5] вместо в обоих случаях
должно быть Х&. Шелах доказал непротиворечивость ZFC +
+ GCH + SA (см. [37, теорема 2.2]). Легко вывести аксио-
му (IX) из SA и, следовательно, действуя так же, как и выше,
получить совместимость ~I(W) с ZFC + GCH, но мы приве-
дем здесь набросок иной конструкции. При этом предпола-
гается знакомство читателя с гл. 4 из работы [5].
10.5. Теорема (SA + CH). Существует W-группа мощности
(01, не являющаяся свободной.
Набросок доказательства. SA утверждает, что существует
такое стационарное костационарное множество Е е (оь что
каждое Е-хорошее дерево имеет (Орветвь (см. [5,с. 118—119]).
Можно считать, что Е состоит из предельных ординалов.
Пусть А — группа, указанная в следствии 6.6 (для нашего Е).
Покажем, что А является ^-группой. По данной f а
е Fact (A, Z) определим
Tv = {g: Л+1 -> z I i>g = f M2v+1}-
Если T = (J Tv — Е-хорошее дерево, то из SA следует, что
Т имеет (Орветвь; но если {gv|v < (oj сорветвь (где gv^Tv)t
то g = (J Sv будет таким отображением из А в Z, что 8g =
V<©1
Следовательно, осталось лишь показать, что Т удовлетво-
ряет свойствам 1—5 из определения Е-хорошего дерева. Свой-
ства 1, 2, 3 очевидны (отметим, что для третьего нужна СН),
а четвертое следует из 2.3, так как если б е coi — Е, то
Аб+1/Аб свободна. Для проверки пятого свойства по данной
строго возрастающей непрерывной последовательности
<Xa|a<(0i> счетных множеств, чье объединение равно Г,
определим множество
С = {б < coi | для любых р < т < б, g е Х6 п и лю-
бых конечных подмножеств ZsAT+i если существует
g е Т%, продолжающий g, то существует и такой g' е
продолжающий g, то g' f <Z> = g Г <Z>}.
Униформизация и проблема Уайтхеда
73
Нетрудно проверить, что С — куб. Для беСрЕ и йеЕу,
где у < б, выберем продолжение h <= Тб для h (это возможно
в силу 2.3, так как Лб+1/Лу+1 свободна). Пусть р/, Fu,
таковы, как и в 6.6. Рассмотрим 7* = {g е Т Г б | существует
такой g е Гб, продолжающий g, что g = [ Аб}. Очевид-
но, что Т* удовлетворяет 5(i) и (ii). Что касается свойства
5(iii), то предположим, что бе Cf]б таково, что б>у и
ge (Г* f б) П Пусть, скажем, g е (следовательно, ц <
< б). Возьмем такое максимальное п, что рп < б, и положим
т = тах(ц, рп). По определению С найдется такой g'
П 7\, продолжающий g, что
(A.„+i Л =/ЩЛРп+1 л *8).
Покажем, что если в качестве «а» взять g, а в качестве
«&» взять g', то справедливо 5(iii). Нам нужно доказать, что
если g" е Т Гб таков, что g' g"> то g" е Г*. Но если g" е
е TOi то в силу 6.6 имеем
Да+1 = (ЛРп+1 П Лб) © (Ал-1А Н а)>
и так как Лб+1/Ла+1 свободна, то
Лб+1 = ((ЛРп+1 А К.} Ф В) ф ((Ла+1 П Яб) ф С)
для некоторых В, С и, следовательно, можно продолжить g"
до g” е Тб, определив g" равным h на В Ф С.
Наконец, проверим 5(iv). Пусть {gv|v<6} есть б-ветвь
в Т*. Возьмем g=Ugv: Л§->2. В силу определения Г*
имеем g t = h Г /Сб. Следовательно, (Я f F6) Ф (g Г #б) —
элемент из Тб, продолжающий g.	П
На самом деле можно доказать и более сильный резуль-
тат: если Е — такое стационарное костационарное подмноже-
ство в coi, что каждое В-хорошее дерево имеет coi-ветвь (в этом
случае говорят, что справедлив принцип SA(B)), то каждая
coi-свободная группа Л, для которой Г(Л) = В, является
117-группой. Первоначальное доказательство, схематично из-
ложенное в [37, 2.5], было довольно сложным, но Меклер
[31] предложил более простое доказательство, основанное на
одной модификации аксиомы SA. Шелах [37] построил такую
модель ZFC + GCH, что для стационарного костационарного
подмножества Е <x>i принцип 0 (В) выполняется тогда и
только тогда, когда выполнена SA(coi — В); следовательно, в
этой модели инвариант Г (Л) дает ответ на вопрос о том, бу-
дет ли coi-свободная группа Л мощности coi 117-группой.
Глава 11
ФАКТОРНО ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ГРУППЫ
Сильно ^-свободные группы А и В мощности k называют
факторно эквивалентными, если существуют такие канониче-
ские ^-фильтрации А = (J Av (гладко) и В = U Bv (глад-
v<fe	v<.k
ко), что Av+i/Av = Sv+i/Bv для каждого v^k (см. [10,
с. 266]). Заметим, что если'А и В факторно-эквивалентны, то
Г(А) = Г(В).
В1 конце гл. 6 было отмечено, что инвариант Г (А) не яв-
ляется достаточным для классификации групп с точностью до
изоморфизма. Применим конструкцию из предыдущей главы
для доказательства того, что даже спецификации факторов
Av+i/Av недостаточно для классификации групп А с точностью
до изоморфизма. (Этот результат получен автором совместно
с А. Меклером.)
11.1. Теорема. Для любого ненулевого BeS>(coi) суще-
ствует 2^’ таких сильно (^-свободных групп At, i < 2®1, что
Г(Д) = £ и при i =И= / группы Ai и А, факторно эквивалентны,
но не изоморфны.
Доказательство. Для каждого предельного ординала б е
зафиксируем лестницу т]д на б и возьмем т] ={цд|беВ}.
Пусть А = А(т])—группа, построенная в 10.2 для ступенча-
той системы т]. Заметим, что для фильтрации А — Ц Ац
Ц<(0!
(гладко), рассмотренной в 10.2, Ац+1/Ац не является свобод-
ной тогда и только тогда, когда |л е£, причем в этом случае
Ац+1/Ац изоморфна
Q<2> =	| m €= Z; п > о}.
Определим т)^: <о->6 как (га) = т]а (2"). Пусть А' — A (r|z) —
группа, построенная при доказательстве 10.2 для ступенчатой
системы rf = {т^ | б е В]. Из вышесказанного ясно, что А7 фак-
торно эквивалентна А и Г(А) = Ё = Г(А7). Покажем, что А
не изоморфна А7.
Предположим противное, т. е. пусть .f: А->А7 — изомор-
физм. Тогда найдется такой куб С, что для всех v е С вы-
Факторно ^эквивалентные группы
75
полнено f (4V) = A'v. Пусть S — предельная точка в С. Тогда
f индуцирует изоморфизм
fs: А/А6-+А'/А'6
и существует строго возрастающая последовательность
{vn|n е со} элементов из С, чей предел равен б; при любом пг
f индуцирует изоморфизм
fv : А/A ->А'/А' .
vn	vn
Элемент y6 + Лв из А/А6 2-делим и, следовательно,
тоже 2-делим. Тогда
f (Z/e) = УУ& + У о • а> г«е У> Уое Q(2)- Аь-
Следовательно, для некоторых г, г' О имеем
f (2Г • у&) = 2г'  m ' у'6 + ka, где m, k е Z и 2 Т т.
Выберем такое достаточно большое п, чтобы а е AVft, и, еле*
довательно, если
й=^тах{/|хТ)в(/)еЛУп} и d' = max{i |х^{/) «= Л^},
то d — d' > г' — г. Пусть у6 (соответственно у'й} обо-
значает смежный класс элемента уь (соответственно у'й)
в Л/Луп (соответственно Л'/Л£п). По построению 2d+1 Iz/j,
в Л/Л-у(п), так как 2d+1 • ze, d — у6 е АУп. Следовательно,
2r+d+1 |2Г • у6. Тогда fVn (2Г • у6) — 2г  т- у6, делится на 2r+d+1
в А'/А' . Однако так как y'Ad' + 1) ф. А' , то 2d+2 не делит
Уп	и
у'6 в Ar/A'v . Это следует из сопоставления коэффициентов.
в D= ф Qx® ф Qy (см. доказательство 8.2). Следова-
х е X у е У
тельно, 2r +d +2 не делит 2Г • у&, в A'/A'v и, значит, г + d -|-
+ 1 < г' -}-d' + 2, т. е. г -|- d г' + d', или d — d' г' — г, что
противоречит выбору п. Это и доказывает неизоморфность
Л с Л'.
Для того чтобы получить 2*01 различных факторно экви-
валентных группе Л групп, возьмем Е = U £и и {S; 11 е 2“’}
Н<<01
такими же, как в начале доказательства 9.8. Для каждого
i е 2“‘ определим ступенчатую систему я(г) —	16 s сле-
дующим образом:
, ч ( т1в’ если е Еи и ц е St,
ш’ = 1	'
0 I Пв в противном случае.
76
Глава 11
Возьмем	Тогда, используя идеи первой части
нашего доказательства совместно с аргументами из 9.8, мож-
но показать, что если i ф j, то А(/) не изоморфна Аи\
(А именно предположив, что geSi-Sj и f:	.
изоморфизм, и выбрав такой куб С, чтобы /(Av)) = A<v/) при
всех v е С, можно найти такую предельную точку б в С, что
6е£ц, а затем, использовав то, что = т)б и т)<р = т)', рас-
суждая так же, как и выше, можно прийти к противоречию.) Д
Впервые факторно эквивалентные группы в ZFC были по-
строены Шелахом. Он доказал следующую теорему.
11.2. Теорема. Для любой сильно k-свободной группы А
мощности k, не являющейся свободной, существует 2k различ-
ных сильно k-свободных групп мощности k, факторно экви-
валентных группе А.	Д
Доказательство этого результата пока не опубликовано.
Однако в предположении V = L оно имеется в [14], где,
кроме того, обсуждается и логический смысл факторной экви-
валентности.
ЛИТЕРАТУРА *
1.	Ben David S. On Shelah’s compactness of cardinals. Israel J. Math. 31
(1978), 34-56.
2.	Chase S. On group extensions and a problem of J. H. C. Whitehead.
In: Topics in Abelian Groups. Scott, Foresman and Co. (1963), 173—
197.
3.	Devlin K. The Axiom o{ Constructibility: A Guide for the Mathematician.
Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 617 (1977).
4.	Devlin K. A note on the combinatorial principles (E). Proc. Amer.
Math. Soc. 72 (1978), 163—165.
5.	Devlin K. Martin’s Axiom versus the Continuum Hypothesis. In: Logic
Colloquim 77. North-Holland. Amsterdam 1978, 113—121.
6.	Devlin K. Shelah S. A weak version of ф which follows from
2»o < 2«i. israel j. Math. 29 (1978), 239—247.
7.	Eklof P. On the existence of &-free abelian groups. Proc. Amer. Math.
Soc. 47 (1975), 65—72.
8.	Eklof P. Whitehead’s problem is undecidable. Amer. Math. Monthly 83
(1976), 775—788.
9.	Eklof P. Homological algebra and set theory. Trans. Amer. Math. Soc.
277 (1977), 207—225.
10.	Eklof P. Methods of logic in abelian group theory. In: Abelian Group
Theory. Springer-Verlag Lecture Notes in Math. 616 (1977), 251—269.
11.	Eklof P., Huber M. Abelian group extensions and the axiom of con-
structibility. Comment. Math. Helv. 54 (1979), 440—457.
12.	Eklof P., Huber M. On the rank of Ext. Math. Z. 174 (1980), 159—185.
13 Eklof P., Mekler A. On constructing {decomposable groups in L. J. Al-
gebra 49 (1977), 96—103.
♦) Звездочкой отмечена литература, добавленная при переводе.
Литература
77
14	Eklof Р., Mekler A. Infinitary stationary logic and abelian groups.
Fund. Math. 112 (1981), 1—15.
15.	Fuchs L. Infinite	Abelian Groups.	Vol. 1, Academic	Press, New York
(1970)	. [Русский	перевод: Фукс	Л. Бесконечные	абелевы группы.
Т. I. — М.: Мир, 1974.]
16.	Fuchs L. Infinite	Abelian Groups.	Vol. II. Academic	Press, New York
(1973)	. [Русский	перевод: Фукс	Л. Бесконечные	абелевы группы.
Т. 8. —М.: Мир, 1977.]
17.	Gregory J. Higher Souslin trees and the generalized continuum hypo-
thesis. J. Sym.b Logic 41 (1976), 663—671.
18.	Griffith P. Infinite Abelian Groups, Univ, of Chicago Press (1970).
19.	Hill P. On the freeness of abelian groups: a generalization of Pon-
tryagin’s theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970), 118—1120.
20.	Hill P. New criteria for freeness in abelian groups. II. Trans. Amen
Math. Soc. 196 (1974), 191—201.
21.	Hill P. A. special criterion for freeness. Simp. Math 13 (1974), 311—
314.
22.	Hiller H., Huber M., Shelah S. The structure of Ext (A, Z) and V=L.
Math. Z. 162 (1978), 39—50.
22a. Hodges W. Singular cardinality, locally free implies free. Algebra
Universalis 12 (1981), 205—220.
23.	Huber M. Caracterisation des groupes abeliens libres et cardinalites.
C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A 284 (1977), 471—472.
24.	Jensen R. The fine structure of constructible hierarchy. Ann. Math.
; Logic 4 (1972), 229-308.
25.	Kaplansky I. Modules over Dedekind rings and valuation rings. Trans.
Amer. Math. Soc. 72 (1952), 327—340.
26.	Kaplansky I. Infinite Abelian Groups (rey. ed.). Univ, of Michigan
Press (1969).
27.	Martin D., Solovay R. Internal Cohen extensions. Ann. Math. Logic 2
(1970), 143—178.
28.	Matlis E. Torsion free Modules. University of Chicago Press (1972).
29.	Mekler A. The number of Mree abelian groups and the size of Ext
In: Abelian Group Theory. Springer-Verlag. Lecture Notes in Math 616
(1977), 323—331.
30.	Mekler A. How to construct almost free groups. Canad. J. Math. 32
(1980), 1206—1228.
31.	Mekler A. Shelah’s Whitehead groups and CH. Rocky Mt. J. Math. 12
(1982), 271—278.
32.	Nunke R. Modules of extensions over Dedekind rings. Illinois J. Math. 3
(1959), 222—241.
33.	Nunke R. Whitehead’s Problem In; Abelian Group Theory. Springer-
Verlag Lecture Notes in Math 616 (1977). 240—250.
34.	Rotman J. On a problem of Baer and of Whitehead in abelian groups.
Acta Math. Sci. Hung. 12 (1961), 245—254.
35.	Shelah S. Infinite abelian groups. Whitehead problem and some con-
struction. Israel J. Math. 18 (1974), 243—256.
36.	Shelah S. A Compactness theorem for singilar cardinals free algebras,
Whitehead problem and transversals. Israel J. Math. 21 (1975).
37.	Shelah S. Whitehead groups may be not free, even assuming CH. I. Is-
rael J. Math. 28 (1977), 193—204.
38.	Shelah S. Whitehead groups may be not free, even assuming CH. II.
Israel J. Math. 35 (1980), 257—285.
39.	Shelah S. Singular compactness revisited. Preprint.
40.	Shelah S. On uncountable abelian groups. Israel J. Math. 32 (1979),,
311—330.
41.	Shelah S. On successor of singular cardinals. In: Logic Colloquium 178
North-Holand Publ. Col. (1978), 317-^380.
78
Литература
41а. Shelah S. On the structure of Ext (G, Z) assuming V-L. Preprint.
41b. Shelah S. Notice Amer. Math. Soc., 26 (1979), A—422.
42.	Shoenfield J. Martin’s Axiom. Amer. Math. Monthly 82 (1975), 610—
617.
43.	Solovay R. Real-valued measurable cardinals. In: Axiomatic Set. Theory.
A. M. S. Proc. Syrnp. Pure Math. XIII (Part I) (1971), 347—428.
44.	Solovay R., Tenenbaum S. Iterated Cohen Extensions and Souslin’s pro-
blem. Ann. Math. (2) 94 (1971), 201—245.
45.	Warfield R. Extensions of torsion-free abelian groups of finite rank.
Arch. Math. 23 (1972), 145—150.
46*	. Палютин E. А. О неразложимых coi-свободных абелевых группах. Сиб.
мат. журн. 19 (1978), № 6.
47*	. Палютин Е. А. О числе моделей в L Ш1- теориях. Алгебра и логика
16 (1977), № 1.
48*	. Рычков С. В. Применения аксиоматической теории множеств к теории
расширений модулей. В кн.: Тезисы докладов 9-го Всесоюзного сим-
позиума по теории групп. — М., 1984.
49*	. Справочная книга по математической логике (под ред. Дж. Барвай-
са). — М.: Наука, 1982.
50*	. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М.: Наука,
1979.
51*	. Коновей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности.—
М.: Наука, 1984.
52*	. Палютин Е. А. Об описании абелевых групп в бесконечных языках.
В кн.: Тезисы докладов 9-го Всесоюзного симпозиума по теории
групп.— М., 1984.
53*	. Мишина А. П., Скорняков Л. А. Абелевы группы и модули. — М.:
Наука, 1969.
54*	. Скляренко Е. Г. Относительная гомологическая алгебра в категории
модулей. Успехи мат. наук, 1978, т. 33, вып. 3, с. 85—120.
55*	. Куликов Л. Я. Условия, при которых группа абелевых расширений
является нулевой. Ученые зап. МГПИ им. В. И. Ленина, 1971, т. 375,
41—55.
ДОПОЛНЕНИЕ.
ОБЗОР ПОЛУЧЕННЫХ В ПОСЛЕДНЕЕ ВРЕМЯ
РЕЗУЛЬТАТОВ ПО ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫМ
МЕТОДАМ В АЛГЕБРЕ1)
Это дополнение является обзором литературы по приме-
нениям теоретико-множественных методов в алгебре, появив-
шейся уже после того, как настоящая книга была завершена
в 1979 году. При этом данный обзор не является ни исчер-
пывающе полным перечислением всех имеющихся работ,
использовавших теоретико-множественные методы, ни деталь-
ным изложением даже тех работ, которые в нем упомянуты.
Скорее он является попыткой описать развитие некоторых об-
ластей, относящихся к данной тематике, и попыткой указать
на основные работы, определившие это развитие. Обзор раз-
бит на шесть частей, первые четыре из которых тесно свя-
заны с темами, изложенными в основной части книги. На-
деюсь, что настоящее дополнение будет полезным при даль-
нейших исследованиях в этой развивающейся области ма-
тематики.
1. Строение Ext. Работы, упоминаемые в этой части, свя-
заны с тематикой гл. 3 и 4 настоящей книги. Основной
проблемой там был вопрос о строении групп, реализующих
Ext(4, Z) (39-я проблема из [F1]). Как отмечено в [HiHS],
для решения достаточно ограничиться группами А без кру-
чения. В этом случае Ext (Л, Z) является делимой группой и,
следовательно, ее строение полностью определяется множе-
ством чисел vo(Л), (vp(7l) \р простое}, где
Ext (Л, Z) ~ ф ф Z (p~)<vPM>).
р
(В частности, v0(A) = Го Ext(A Z); см. гл. 4.) Предполагая
V = L, в [HiHS] получено полное описание у0(Л) (см. тео-
рему 4.7 нашей книги). Из этого следует, что в предположе-
нии V = L группа Ext (Л, Z) не может быть изоморфна счет-
ной делимой группе. (В действительности последний резуль-
тат был получен уже в [HiS].)
В работе [ЕН1] получены результаты, аналогичные тео-
реме 4.7, при других теоретико-множественных предположе-
.4) Настоящий обзор был выслан в издательство «Мир» проф. Экло-
фом 27 марта 1985 г., некоторые уточнения были высланы 5 сентября
1985 г. — Прим, перев.
80
Дополнение
ниях. В1 частности, эта теорема доказана при МА + ПСН для
| А | < 2^°. Кроме того, там установлено, что теорема 4.7
справедлива в любой модели ZFC, в которой каждая Н?-груп-
па является свободной, а также (для А мощности coi) в
любой модели ZFC, в которой для каждой из групп С мощ-
ности coi инвариант Г (С) определяет выполнимость равенства
Ext (С, Z) = 0.
Глядя на эти результаты, возможно, покажется неожи-
данным, что (как показал Шелах [S2]) для каждой счетной
делимой группы К найдется модель ZFC + GCH, в которой
существует такая группа А, что Ext (A, Z) = ’/G Аргументы,
использованные в [S2], родственны методу собственного фор-
синга (см. [S4]), но оказывается, что вышеупомянутый ре-
зультат не может быть выведен ни в каком аксиоматическом
варианте собственного форсинга.
Вопрос об определении vp(A) в предположении СН рас-
сматривался в lSaS2], а также в [ЕН2]. Было установлено
(при СН), что для любой функции х, определенной на мно-
жестве простых чисел, такой, что х(р)^ Hi или х(р) = 2^’>
можно указать такую Несвободную группу А мощности Нг,
что при всех р vp(A)= %(р). Первоначально это было уста-
новлено в [SaS2] с помощью довольно сложных комбинатор-
ных рассуждений, но затем в [ЕН2] для него было предло-
жено более ясное теоретико-групповое доказательство. Слу-
чай мощности Н2 (и выше), по-видимому, является очень
трудным, хотя Сагеев и Шелах аннонсировали результаты,
показывающие, что их комбинаторные методы могут быть
очень полезны и в этой ситуации.
В [SaSl] изучались vp(A) для групп А слабо компактной
мощности k, и установлено, что если vp(A)^ k, то vP(A) = 2k.
Глава 14 из [S4] содержит некоторые дальнейшие сведения,
относящиеся к строению Ext
2.	Почти свободные группы. Работы, упоминаемые в этой
части, связаны с тематикой гл. 5 и 6 настоящей книги. Основ-
ной проблемой там был вопрос об описании тех кардиналов k,
для которых (в ZFC или при дополнительных теоретико-мно-
жественных предположениях) из ^-свободы групп не следует
их й+-свобода или, более того, из сильной ^-свободы не сле-
дует их 6+-свобода. Другим вопросом является вопрос о том,
когда из fe-свободы следует сильная fe-свобода.
1) Ряд сведений о строении Pext в различных аксиоматиках теории
множеств, включая результаты о независимости от ZFC, содержится в
работе С. В. Рычкова (Успехи мат. наук, 1985, т. 40, вып. 4, с. 195—>
196). — Прим, перев.
Дополнение
81
(а)	Результаты, полученные в ZFC. В силу [Ml], если k —
предельный или последователь слабо компактного кардинала,
то из ft-свободы следует сильная ft-свобода. Как установлено
в гл. 5 и 6 данной книги, для всех п е со ^-свобода не вле-
чет за собой Hn+i-свободу, а для сингулярных или слабо ком-
пактных кардиналов k ft-свобода влечет £+-свободу.
Шелах [S5] доказал, что если ft-свобода не влечет за со-
бой й+-свободу, то и сильная ft-свобода не влечет за собой
&+-свободу. В этой же работе дан чисто комбинаторный кри-
терий (в терминах трансверсалей) существования ft-свобод-
ных абелевых групп, не являющихся ^-свободными, а также
указаны приложения этого критерия к вопросу о существо-
вании неабелевых ft-свободных групп, не являющихся ^-сво-
бодными.
В [Е1] установлено, что если ft-свобода не влечет за собой
^-свободу, то сильная &+-свобода не влечет за собой /^-сво-
боду. Недавно было установлено [MS2], что если из ft-сво-
боды не следует А+-свобода, то из £+-свободы не следует
сильная ^-свобода. Следовательно, для всех п е со ^-сво-
бода не влечет за собой сильную Кл-свободу. (Последнее
доказано в [Ml] при GCH.)
(Ь)	Результаты, полученные в ZFC + GCH. Шелах [S1]
доказал (при GCH), что для всех регулярных k< Несиль-
ная &+-свобода не влечет &++-свободу.
(с)	Результаты о совместимости. Предполагая совмести-
мость с ZFC существования определенных больших кардина-
лов (так называемых супер компактных), было установлено
следующее:
(i)	совместимость с ZFC + GCH утверждения, что для
k = К е+1 ft-свобода влечет за собой й+-свободу [MaS];
(ii)	совместимость с ZFC + GCH существования такого
регулярного кардинала k = (где у, либо сингулярный,
либо недостижимый, либо предельный кардинал), для кото-
рого ft-свобода влечет за собой сильную ft-свободу [MS2].
Отметим, что работы Енсена, Додда и др. по «внутренним
моделям» показывают, что ни (I), ни (ii) не могут быть по-
лучены без использования каких-либо гипотез о больших
кардиналах.
(d)	Результаты, полученные в ZFC + V = L. Напомним,
что в гл. 6 (при V =»L) было показано, что ft-свобода влечет
за собой ft+-CBo6oAy тогда и только тогда, когда либо ft син-
гулярен, либо же он слабо компактен. В [Ml] и [MS2]
(в предположении V = L) доказано, что ft-свобода влечет за
собой сильную ft-свободу тогда и только тогда, когда ft — либо
предельный, либо последователь кардинала, кофинальность
82
Дополнение
которого есть слабо компактный кардинал. В работе [EMS],
обобщающей результаты из [Ml] (при V = L) охарактери-
зованы те k, в которых стационарные подмножества {£} та-
ковы, что для них существуют сильно ^-свободные группы
{Д} мощности k с Г(Д) = Е\ более того, если Е обладает вы-
шеуказанным свойством, то для него доказано существование
семейства {Дг|/<2^} таких групп, что для i =£ j группы At
и А] почти дизъюнктны, т. е. если какая-либо группа изо-
морфно вложима и в Д/, и в Д/, то она свободна.
3.	Группы гомоморфизмов и кольца эндоморфизмов. Ра-
боты, упоминаемые в этом пункте, связаны с тематикой гл. 9
настоящей книги.
(а) Реализация колец эндоморфизмов. Теорема 9.4 была
распространена Дугасом [D] и Гёбелем [G1], доказавшими
(при V = L) существование сильно ^-проективных жестких
модулей сколь угодно больших мощностей k, т. е. таких /^-мо-
дулей, кольцо эндоморфизмов EncU(Al) которых изоморфно R.
Шелах.[53] указал, как в подобного рода доказательствах
вместо принципа бриллианта использовать принцип тусклого
бриллианта. Основной результат в данном направлении по-
лучен Дугасом и Гебелем [DG3], доказавшими, что (при не-
котором предположении слабее, чем V = L) для кольца S
найдутся сколь угодно большие кардиналы k и сильно й-сво-
бодные абелевы группы Д, для которых Endz(A) = S тогда и
только тогда, когда аддитивная группа S+ этого кольца S
является свободной от копериодических подгрупп (т. е. если
CeS+ и Ext(Q, С) = 0, то С = 0). Эти результаты, конечно,
недоказуемы в ZFC, тад как при МА + ПСН сильно А-свобод-
ная группа мощности k < 2^° является ^-сепарабельной !) и,
следовательно, не является жесткой (см. теорему 7.5).
Однако если не требовать реализации S кольцом эндо-
морфизмов сильно k-свободной группы Д, то аналогичный
результат уже доказуем в ZFC. Это уже было получено Кор-
нером [С1] для счетных редуцированных групп без кручения S.
В случае р-групп Корнер [С2] показал, что если S является
р-адическим пополнением свободного р-адического модуля
счетного ранга, то существует такая сепарабельная р-груп-
па Д, что S End(G)/£'s(G), где ES(G) — идеал малых го-
моморфизмов (см. [F1, § 46]). Условие счетности было эли-
минировано Дугасом и Гебелем, опиравшимися на методы
Шелаха, в случае групп без кручения в [DG5] и для р-групп
1) Некоторые новые результаты о реализации колец кольцами эндо-
морфизмов ^-сепарабельных групп (по модулю идеалов &-малых эндомор-
физмов) получены С. В. Рычковым. — Прим. ред.
Дополнение
83
в LDQ4]. Новый комбинаторный метод, позднее предложен-
ный Шелахом ([S6] и [S7]), позволил расширить класс кар-
диналов k, для которых установлено существование групп
мощности k, чье кольцо эндоморфизмов реализует S. Исчер-
пывающее изложение этого метода приведено в [CG], где
указан единый подход к классам групп без кручения, перио-
дических групп, смешанных групп, а также к топологическим
группам.
Имеются и другие работы, содержащие результаты, до-
казуемые в ZFC, о реализации колец кольцами эндоморфиз-
мов (для дальнейших ссылок см. [CG] и [G2]).
(Ь) Жесткие классы групп. Класс абелевых групп на-
зывается жестким (соответственно полужестким), если для
любых А=#В из Ф* Нот (А, В) — 0 (соответственно либо
Нот (А, В) = 0, либо Нот (В, А) = 0). Из принципа больших
кардиналов (принцип Вопенки VP) следует, что каждая жест-
кая система является множеством (см. [DH2], [GS]). Дугас
и Герден [DH1] при V = L доказали существование жест-
кого класса, не являющегося множеством. Гебель и Шел ах
LGS] в ZFC установили, что существует полужесткий класс,
не являющийся множеством; более простое построение такого
собственного полужесткого класса (в нем все группы яв-
ляются даже ^-свободными и узкими) дано Дугасом и Ге-
белем [DG6].
Все эти работы, так же как и [DH2], содержат примене-
ния к радикалам. Например, в ZFC доказано существование
радикалов, не являющихся однокопорожденными [GS]. Кро-
ме того, с ZFC совместимо существование радикалов, не яв-
ляющихся однопорожденными ([DH1], [GS], [DG6]). (По-
следние не существуют при предположении VP.)
4. Классификация (Oi-сепарабельных групп. В гл. 11 был
приведен результат, указывающий на трудности классифика-
ции сильно coi-свободных групп мощности coi 9. Этот резуль-
тат усилен в [EMS; теорема 3.5]. Кроме того, из результатов
работы [DG3], упоминавшейся в третьей части, следует
(в предположении СН) отрицательное решение тестовых
проблем Капланского в классе сильно (Oi-свободных групп.
Возможно, покажется неожиданным, что при МА + ПСН
можно получить позитивные результаты по классификации
сильно (Oi-свободных (= (Oi-сепарабельных) групп мощности
(01. Классификация, приведенная в [Е2] (см. также [ЕЗ]),
(по объективным причинам) довольно сложна, но имеет не-
9 Результаты, указывающие на трудности классификации различных
классов абелевых групп, получены также Е. А. Палютиным (Алгебра и
логика, т. 16, № 1, 1977, с. 74—87). — Прим. ред.
84
Дополнение
которые полезные структурные следствия: например, если А
является (Oi-сепарабельной группой мощности ©], то А раз-
ложима в прямую сумму двух несчетных подгрупп (при
V — L этот результат не имеет места).
Более прозрачная структурная теорема для ©^сепара-
бельных групп мощности обобщающая классификацион-
ную теорему из [Е2], получена Меклером ([М3] и [М4]) при
более сильном теоретико-множественном предположении, чем
МА + ПСН (при так называемой аксиоме собственного
форсинга PFA). Эта структурная теорема не зависит от
ZFC + МА + ~1СН. Более того, метод Меклера применим и
к группам, являющимся ©i-сепарабельными в более общем
смысле, т. е. в которых каждое счетное подмножество содер-
жится в S-циклическом прямом слагаемом. Эклоф и Меклер
[ЕМ] классфицировали ©i-сепарабельные р-группы в предпо-
ложении МА + ~1СН; там же содержатся и результаты о реа-
лизации колец кольцами эндоморфизмов «щ-сепарабельных
р-групп при	Работы [Meg3], [М2], [Н2], [DV] так-
же посвящены (oi-сепарабельным группам.
5. Продолжения р-групп. Меджиббен [Megi] применил
методы Шелаха к доказательству независимости от ZFC дав-
но стоящей в теории р-групп проблемы Кроули. Сепарабель-
ная р-группа О называется группой Кроули, если любые два
©-продолжения Z(p) с помощью G изоморфны, т. е. А и В
изоморфны, если р“А Z (р) р“в и Alp®А G В/р®В.
Каждая S-циклическая р-группа G является группой Кроули,
но будет ли верно обратное — было открытой проблемой, по-
ставленной Кроули. Меджиббен показал, что при V — L ка-
ждая группа Кроули мощности ©i является S-циклической,
а при МА-|- ~1СН существует группа Кроули мощности ©ь не
являющаяся S-циклической2). Меклер и Шелах [MSI] и
[MS3] доказали, что при V = L группы Кроули в любой мощ-
ности являются S-циклическими. Эклоф и Хубер ([ЕНЗ] и
[ЕН4]) рассматривали ©-продолжения с точки зрения филь-
трованных векторных пространств и получили некоторые уси-
ления результатов Меджиббена.
Для предельных ординалов X G называют К-Кроули
группой, если любых два ^-продолжения Z(p) с помощью G
‘) Как заметил С. В. Рычков (Вестник МГУ (сер. мех.-мат.), 1985,
№ 6), метод, предложенный в этой работе, может быть распростра-
нен на произвольные регулярные не слабо компактные кардиналы, что
позволяет, в частности, дать ответ на 56-ю проблему из [F2]. — Прим. ред.
2) При МА + "|СН решение проблемы Кроули следует из результата
С. В. Рычкова (Вестник МГУ (сер. мех.-мат.), 1982, № 6, с. 109), если
там в качестве А взять любую не S-циклическую соi-сепарабельную р-груп-
пу. — Прим. ред.
Дополнение
85
изоморфны. Для % > со пока даже не имеется разумных ги-
потез о строении Х-Кроули групп. Более обозримой является
проблема изучения тотально-Кроули-групп, т. е. таких групп
G, что для каждого X длины G группа G/pKG является
Х-Кроули. Эклоф, Хубер и Меклер [ЕНМ] доказали, что при
V = L тотально-Кроули-группы счетной предельной длины и
мощности (01 являются тотально-проективными; а при PFA и
счетных предельных ординалах % существуют тотально-Кроу-
ли-группы длины А и мощности wi, не являющиеся тотально-
проективными.
6.	Факторгруппы и подгруппы декартовых произведений.
Дугас и Гебель [DG1] изучали коядра мономорфизмов Z7—>
Z7; при V — L, используя идеи из [HiНS], они показали^
что эти коядра являются в точности группами вида ZM ® С,
где С допускает компактную топологию. При V — L ими же
показано, что А является прямым слагаемым для Z7 тогда и
только тогда, когда	при некотором У. (Этот ре-
зультат независим от ZFC.) Хубер [Н1] и Дугас — Гебель
{[DG2] распространили эти результаты на более широкие
классы гомоморфизмов.
Если Г—монотонная подгруппа в Z° (см. [F2, с. 166]),
то группа G называется Т-узкой, если для каждого гомомор-
физма ф: T->G для почти всех ei выполнено ф(е/) = О. Ге-
бель и Вальд [GW] показали, что МА влечет за Собой су-
ществование 22 различных понятий Г-узостй (Т пробегает
монотонные подгруппы из Z®).
Для множества / и кардинала k пусть Z7(fe) обозначает
подгруппу в Z7, состоящую из элементов х е Z7, чьи носители
(т. е. {i е/|х(0#= 0}) имеют мощность меньше k. Группа G
называется k-редуцированной, если для любого I имеем
Hom(Z7<*+Vz/(4 G) = 0. Вальд [W1] доказал, что при
V = L каждая группа мощности свободная от неперио-
дических подгрупп, является ^-редуцированной; из этого сле-
дует, что если cf(&) несчетен, то каждое ненулевое слагаемое
ZVZ^*) имеет мощность 2k. ([W3] содержит родственные ре-
зультаты.) В' [W2] Вальд изучает гомоморфизмы в Z7/Z7(A!) и»
используя МА, доказывает, что следующее утверждение не-
зависимо от ZFC при k: = (n 1): «Любой гомоморфизм
из Z® в Z7/Z7W может быть пропущен через Z7» *)•
*) В работах С. В. Рычкова (Матем. заметки, 1981, т. 29, вып. 4,
с. 491—501) и А. М. Иванова (Матем. заметки, 1984, т. 35, вып. 6,
с. 921—926) установлены необходимые и достаточные признаки алгебраи-
ческой компактности (копериодичности соответственно) факторгрупп
At, а также указаны некоторые достаточные признаки алге-
браической компактности (копериодичности соответственно) факторгрупп
произвольных декартовых произведений абелевых групп. — Прим, перев.
86
Дополнение
Эда [Edl] рассматривал следующее свойство Н(А) под-
групп А из Z°: «Для каждого линейно независимого подмно-
жества {ал|пеш} из А найдется такой гомоморфизм ф:
X->Z, что {п|ф(ап)#=0} бесконечно». Он показал, что свой-
ство Н(А) справедливо для всех счетных Л, но выполни-
мость Н(Л) для групп А мощности < 2^° является незави-
симым от ZFC + ПСН утверждением.
Хубер [НЗ] изучал рефлексивные модули с общих пози-
ций 9. Недавние работы ([SaS3], [EdO], [EMS2]) проливают
новый свет на рефлексивные абелевы группы, включая отри-
цательные результаты по проблеме изоморфизма между Л*
и Л***.
Эда [Ed2] расширил теорему Лося об узких группах на
множества индексов измеримой мощности* 2). Обобщения та-
кого рода результатов о почти узких3) и Фукс-44-группах
появятся в [Ed3] 4).
9 Исследование классов., получаемых из группы Z с помощью опе-
раций прямого произведения и прямой суммы, было проведено А. В. Ива-
новым (В кн.: Абелевы группы и модули, изд-во Томского гос. универ-
ситета, 1980, с. 70—90). — Прим. ред.
2) С. В. Рычков (Матем. сборник, 1982, т. 117, № 2, с. 266—278)
распространил теорию узких групп с класса групп без кручения на класс
произвольных абелевых групп. — Прим. ред.
3) Эти группы были введены С. В. Рычковым (ДАН СССР, 1980,
т. 252, № 2, с. 301—302) под названием «обобщенно узкие группы».—
Прим. ред.
4) Дальнейшие обобщения и усиления результатов о прямых произве-
дениях, прямых суммах и периодических прозведениях групп по множе-
ствам индексов как неизмеримых, так и измеримых мощностей содер-
жатся в работах С. В. Рычкова (Известия вузов (Математика), 1984,
№ 8, с. 29—39), В. Thome (Diplomarbeit, Freiburg im Br., 1984), К. Eda
(Journal of Algebra, 1985, № 1), С. В. Рычкова (В кн.: Абелевы группы,
и модули, изд-во Томского университета, 1986). — Прим. ред.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
[Cl] Corner A. L. S. Every Countable reduced torsion-free ring is an
endomorphism ring. Proc. London Math. Soc. (3) 13 (1963), 687—710.
[C2] Corner A. L. S. On endomorphism rings of primary abelian groups.
Quart. J. Math. Oxford (2) 20 (1969), 227—296.
[CG] Corner A. L. S., Gobel R. Prescribing endomorphism algebras — a uni-
fied treatment. Proc. Lond. Math. Soc. 50 (1985), 447—479.
[D] Dugas M. Fast freie abelsche Gruppen mit Endomorphismenring Z. J.
Algebra 71 (1981), 314—321.
[DG1] Dugas M., Gobel R. Die Struktur kartesischer Produkte ganzer Zah-
len modulo kartesischer Produkte ganzer Zahlen. Math. Z. 168 (1979),
15—21.
[DG2] Dugas M., Gobel R. Quotients of reflexive modules. Fund. Math.
114 (1981), 17—28.
[DG3] Dugas M., Gobel R. Every cotorsion-free ring is an endomorphism
ring. Proc. Lond. Math. Soc. (3), 45 (1982), 319—336.
[DG4] Dugas M.,. Gobel R. On endomorphism rings of primary abelian
groups. Math. Ann. 261 (1982), 359—385.
[DG5] Dugas M., Gobel R. Every cotorsion-free algebra is an endomor-
phism algebra. Math. Z. 181 (1982), 451—470.
[DG6] Dugas M., Gobel R. On radicals and products. Рас. J. Math. 18
(1985), 79—104.
[DH1] Dugas M., Herden G. Torsion classes and almost free abelian groups.
Israel J. Math. 44 (1983), 322—334.
[DH2] Dugas M., Herden G. Arbitrary torsion classes of abelian groups
Comm. Alg. 11 (1983), 1455—1472.
[DV] Dugas M., Vergohsen R. On socles of abelian p-groups in L. Pre-
print.
[Edl] Eda K. A note on subgroups of ZN. In: Abelian Group Theory. Sprin-
ger-Verlag LNM № 1006 (1983), 371—374.
[Ed2] Eda K. A boolean power and a direct product of abelian groups,
Tsukuba J. Math. 6 (1982), 187—194.
[Ed3] Eda К Almost-slender groups and Fuchs-44-groups. Comment. Math.
Univ. St. Paul. 32 (1983), 131—135.
[EdO] Eda К.» Ohta H. On abelian groups integer-valued continuous
functions, their Z-duals and Z-reflexivity. To appear.
[El] Eklof P. On the existence of к-free abelian groups. Proc. Amer. Math.
Soc. 47 (1975), 65—72.
[E2] Eklof P. The structure of (Oi-separable groups. Trans. Amer. Math.
Soc. 279 (1983), 497—523.
[E3] Eklof P. Set theory and structure theory. In Abelian Group Theory.
Springer-Verlag LNM № 1006 (1983), 275—284.
[EH1] Eklof P., Huber M. On the rank of Ext. Math. Z. 174 (1980), 159—
185.
[EH2] Eklof P., Huber M. On the p-ranks of Ext (A, G), assuming CH.
In: Abelian Group Theory. Springer-Verlag LNM № 874 (1981), 93—
108.
88
Дополнительная литература
[ЕНЗ] Eklof Р., Huber М. On co-filtered vector spaces and their application
to abelian p-groups: I. Comment Math. Helvet. 60 (1985), 145—171.
[EH4] Eklof P., Huber M. On «-filtered vector spaces and their application
to abelian p-groups: II. Preprint.
[EHM] Eklof P., Huber M., Mekler A. Totally Crawley groups. To appear.
[EM] Eklof P., Mekler A. On endomorphism rings of «i-separable primary
groups. In: Abelian Group Theory. Springer-Verlag LNM № 1006
(1983), 320—339.
[EMS1] Eklof P., Mekler A. Shelah S. Almost disjoint groups. Israel J-
Math. 49 (1984), 34—54.
[EMS2] Eklof P., Mekler A., Shelah S. Strongly non-reflexive, strongly
«2-free dual groups. To appear.
[Fl] Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Vol. 1. Academic Press (1970).
[F2] Fuchs L. Infinite Abelian Groups. Vol. II. Academic Press (1973).
[Gl] Gobel R. Darstellung von Ringen als Endomorphlsmenringe. Arch.
Math. (Basel), 35 (1980), 338—350.
[G2] Gobel R. Endomorphism rings of abelian groups. In: Abelian Group
Theory. Springer-Verlag LNM № 1006 (1983), 340—353.
(GS] Gobel R., Shelah S. Semi-rigid classes of cotorsion-free abelian
groups. J. Algebra 93 (1985), 136—150.
[GW] Gobel R., Wald B. Martin’s Axiom implies the existence of certain
slender groups. Math. Z. (1980), 107—121.
[HiHS] Hiller H., Huber M., Shelah S. The structure of Ext (A, Z) and
V = L. Math. Z. 162 (1978), 39—50.
[HiS] Hiller H., Shelah S. Singular cohomology in L. Israel J. Math. 26
(1977), 313—319.
[Hl] Huber M. On cartesian powers of a rational group. Math. Z. (1979),
253—259.
[H2] Huber M. Methods of set theory and the abundance of separable abe-
lian p-groups. In: Abelian Group Theory. Springer-Verlag, LNM № 1006
(1983), 304—319.
[H3] Huber M. On reflexive modules and abelian groups. J. Algebra 82
(1983), 469—487.
[MaS] Magidor M., Shelah S. On X-freeness. Abstracts Amer. Math. Soc. 4
(1983), 484.
[Meg 1] Megibben C. Crawley’s problem on the unique «-elongation of
p-groups is undecidable. Рас. J. Math. 107 (1983), 205—212.
[Meg 2] Megibben C. Totally Zippin groups. Proc. Amer. Math. Soc. (1984),
15—18.
[Meg 3] Megibben C. ©rseparable p-groups. Preprint.
[Ml] Mekler A. How to construct almost free groups. Can. J. Math. 32
(1980), 1206—1228.
[М2] Mekler A. coj-separable groups of mixed type. In: Abelian Group
Theory. Springer-Verlag LNM № 874 (1981), 114—126.
[М3] Mekler A. Proper forcing and abelian groups. In: Abelian Group
Theory. Springer-Verlag LNM № 1006 (1983), 285—303.
[M4] Mekler A. Structure theory for ©i-separable groups. To appear.
MSI] Mekler A., Shelah S. ©-elongations and Crawley’s Problem. Рас. J,
Math. To appear.
[MS2] Mekler A., Shelah S. When к-free implies strongly к-free. To appear.
JMS3] Mekler A., Shelah S. The solution to Grawlejrs problem. Preprint
[SaSl] Sageev G., Shelah S. Weak compactness and the structure of Ext
(A, Z). In: Abelian Group Theory. Springer-Verlag LNM № 874 (1981),
87—92.
[SaS2] Sageev G., Shelah S. On the structure of Ext (A, z) in ZFG*t
J. Symb. Logic. To appear.
|SaS3] Sageev G., Shelah S. Reflexivity in abelian groups. Preprint
Дополнительная литература
89
[SI]	Shelah S. On successors of singular cardinals. In: Logic Colloquium 78.
North-Holland (1979), 357—380.
[S2]	Shelah S. The consistency of Ext(G. Z)= Q. Israel J. Math. 39 (1981),
74—82.
[S3]	Shelah S. On endo-rigid corfree abelian groups of power coi- Israel J.
Math. 40 (1981), 291—295.
[S4]	Shelah S. Proper Forcing. Springer-Verlag LNM № 940 (1982).
[S5]	Shelah S. Incompactness in regular cardinals. Notre Dame J. Formal
Logic. To appear.
[S6]	Shelah S. A combinatorial principle and endomorphism rings of
p-groups. Israel J. Math. To appear.
[S7]	Shelah S. A combinatorial principle and endomorphism rings of abelian
groups. II. In: Proceedings of the Udine Conference on Abelian Groups
and Modules CISM-Series. To appear.
[Wl] Wald B. On к-products modulo p,-Products. In: Abelian Group Theory.
Springer-Verlag LNM № 1006 (1983), 362—370.
[W2]	Wald B. Martinaxiom und die Beschreibung Gewisser Homomorphis-
men in der Theorie der Zj- Freien Abelschen Gruppen. Manu. Math. 42
(1983), 297—309.
[W3]	Wald B. The non-slender rank of an abelian group. In: Proceedings
of the Udine Conference on Abelian Groups and Modules. CISM-Series.
To appear.
предметный указатель
Аксиома выбора 10
—	конструктивности 11
—	Мартина 44
—	собственного форсинга 84
—	фундирования 9
—	Шелаха 72
Группа (Оркосепарабельная 47
—	Кроули 84
—	X-Кроули 85
—	^-редуцированная 85
—	^-свободная 17
—	(01-сепарабельная 48
—	сильно ^-свободная 24
—	тотально-Кроули 85
—	Уайтхеда 18
—	Г-узкая 85
—	Шелаха 45
Группы факторно-эквивалентные 74
Дерево хорошее 72
Диагональное пересечение 66
Кардинал 12
—	регулярный 12 z
—	сильно недостижимый 37
—	сингулярный 12
—	слабо компактный 36
---Мало 37
---недостижимый 37
—	суперкомпактный 43
Класс жесткий 83
— полужесткий 83
Континуум гипотеза 10
Кофинальность 12
Куб 12
Кумулятивная иерархия 10
Лестница 65
Множество 5>-генерическое 44
—	замкнутое 12
—	конструктивное 11
—	костационарное 66
—	направленное 44
—	немалое 22
—	неограниченное 12
—	плотное 44
—	разреженное 36
—	стационарное 13
—	- тощее 13
Модуль сильно ^-проективный 59
Обобщенная континуум-гипотеза 10
Принцип E(k) 37
-	42
—	больших кардиналов 83
—	бриллианта 14
—	селекции 9
—	тусклого бриллианта 22
Подгруппа ^-сервантная 17
Порождающий элемент 29
Проблема Кроули 84
—	Уайтхеда 18
Раскраска 65
Свойство униформизационное 66
—	Шелаха 51
Система трансформаций 19
—	факторов 19
Ступенчатная система 65
— древоподобная 69
Универсум 9
Униформизация 65
Условие счетности цепей 44
Фильтрация множества 14
—	каноническая 17
—	G-каноническая 18
Функция тусклого бриллианта 22
Элементы совместимые 44
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора	и переводчика........................................5
Предисловие....................................................... 7
Глава	1.	Предварительные сведения из теории множеств........9
Глава	2.	Предварительные сведения из теории групп...........17
Глава	3.	Принцип бриллианта и равенство нулю группы	Ext	...	20
Глава	4.	Принцип тусклого бриллианта и ранг группы Ext	....	24
Глава	5.	Сингулярная компактность...........................29
Глава	6.	Построение ^-свободных групп .........................36
Глава	7.	Аксиома Мартина....................................44
Глава	8.	Некоторые конструкции в ZFC........................50
Глава	9.	Неразложимые модули над дедекиндовыми, областями	.	.	58
Глава	10.	Униформизация и проблема Уайтхеда ....................65
Глава	11.	Факторно-эквивалентные группы......................74
Литература........................................................76
Дополнение. Обзор полученных в последнее время результатов по тео-
ретико-множественным методам в алгебре...........................79
Дополнительная литература ................................. ....	86
Предметный указатель............................................  90
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
лении, качестве перевода и другие просим присы-
лать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП.
1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Пауль Эклоф
теоретико-множественные МЕТОДЫ В гомологической
АЛГЕБРЕ И ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
Ст. научный редактор А. А. Бряндинская
Мл. научный редактор И. В. Герасимова
Художник А. В. Шипов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Емельянова
Корректор В. И. Постнова
ИБ № 5525
Сдано в набор 21.06.85. Подписано к печати 17.01.86. Формат 60X90*/ie.
Бумага книжно-журнальная № 2. Печать высокая. Гарнитура литератур-
ная. Объем бум. л. 3,00. Усл. печ. л. 6,00. Усл. кр.-отт. 6,23.
Уч.-изд. л. 4,81. Изд. № 1/4179. Тираж 2650 экз. Зак. 686. Цена 70 коп.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудово-
го Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном ко-
митете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.