ADVANCED STUDIES IN MATHEMATICS AND MECHANICS
Series Editors
A. T. FOMENKO A. V. MIKHALEV
Vol. 3.
1.	Yu. V. Kuzmin. Homological Group Theory [Russian ed.]
2.	P. A. Krylov, A. V. Mikhalev, A. A. Tuganbaev Abelian Groups
and Their Endomorphism Rings [Russian ed.]
3.	P. A. Krylov, A. A. Tuganbaev Modules over Discrete
Valuation Domains [Russian ed.]
ADVANCED STUDIES IN MATHEMATICS AND MECHANICS
Выпуск 3
П. А. Крылов А. А. Туганбаев
МОДУЛИ
НАД ОБЛАСТЯМИ
ДИСКРЕТНОГО
НОРМИРОВАНИЯ
Москва
ФАКТОРИАЛ ПРЕСС
2007
УДК 512.5
ББК 22.14
К 85
Крылов П. А.
К 85 Модули над областями дискретного нормирования / П. А. Кры-
лов, А. А. Туганбаев — М.: Факториал Пресс, 2007.— 384 с.—
(Advanced Studies in Mathematics and Mechanics; Вып. 3).
ISBN 5-88688-086-0
В книге впервые систематизирован накопленный богатый и содержательный
материал о модулях над (не обязательно коммутативными) областями дискрет-
ного нормирования. Изложены как классические результаты, так и последние
достижения и открытые проблемы. Авторы старались в разумном объеме изло-
жить главные идеи, методы и теоремы, которые могут послужить основой для
исследований по теории модулей как над областями дискретного нормирования,
так и над другими кольцами.
Книга полезна всем, интересующимся кольцами и модулями. Она может
служить учебным пособием для студентов и аспирантов, изучающих современ-
ную алгебру.
УДК 512.5
ББК 22.14
Серия
ADVANCED STUDIES IN MATHEMATICS AND MECHANICS
Выпуск, 3
Научное издание
Петр Андреевич Крылов Аскар Аканович Туганбаев
МОДУЛИ НАД ОБЛАСТЯМИ ДИСКРЕТНОГО НОРМИРОВАНИЯ
Формат 70 х 100/16. Усл. печ. л. 32. Бумага офсетная №1. Гарнитура литературная. Под-
писано к печати 26.10.2006. Заказ № 4473.
Издательство «Факториал Пресс», 117449, Москва, а/я 331; ЛР ИД № 00316 от 22.10.99.
e-mail: press@factorialco.com http://factorialco.com/
Отпечатано с готовых диапозитивов издательства «Факториал Пресс» в ППП типографии
«Наука» Академиздатцентра «Наука» РАН. 121099, Москва Г-99, Шубинский пер., 6.
© Факториал Пресс, 2007.
Все права защищены.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	7
Глава 1. Предварительные сведения	11
§1	.	Некоторые определения	и обозначения.............. 11
§2	.	Эндоморфизмы и гомоморфизмы модулей ............. 17
§3	.	Области дискретного нормирования................. 26
§4	.	Первичные понятия	теории	модулей ................ 41
Глава 2. Базисные факты	55
§5	.	Свободные модули................................. 55
§6	.	Делимые модули .................................. 59
§7	.	Чистые подмодули................................. 65
§8	.	Прямые суммы циклических модулей................. 69
§9	.	Базисные подмодули .............................. 74
§	10.	Чисто проективные и чисто инъективные модули....	81
§11	.	Полные модули ................................... 86
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей 97
§	12. Примеры колец эндоморфизмов...................... 98
§	13.	Эквивалентность Харрисона—Матлиса............... 100
§	14.	Радикал Джекобсона.............................. 106
§15	.	Соответствия Галуа.............................. 117
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов 129
§	16.	Конечная топология.............................. 130
§17	.	Идеал конечных эндоморфизмов ................... 133
§	18. Теоремы характеризации для колец эндоморфизмов моду-
лей без кручения...................................... 140
§	19. Теоремы реализации для колец эндоморфизмов модулей без
кручения.............................................. 148
§20	.	По существу неразложимые модули................ 156
§21	.	Копериодические модули и копериодические оболочки . . 162
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§22	. Вложение категории модулей без кручения в категорию
смешанных модулей..................................... 172
Глава 5. Модули без кручения	183
§23	.	Элементарные свойства модулей без кручения.................. 184
§24	.	Категория квазигомоморфизмов................................ 188
§25	. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули . . 198
§26	. Неразложимые модули над областями нормирования Нагаты 212
Глава 6. Смешанные модули	223
§27	. Единственность и уплотнение разложений в аддитивных
категориях........................................ 224
§	28.	Изотипные, хорошие и сбалансированные	подмодули	.	.	.	236
§	29.	Категории Walk и Warf.................................. 249
§30	.	Просто представленные модули........................... 259
§31	.	Базисы разложения и продолжение	гомоморфизмов	....	269
§32	.	Модули Уорфилда........................................ 281
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов 299
§33	. Теоремы Капланского и Вольфсона............................. 300
§34	. Теоремы топологического изоморфизма......................... 310
§35	. Модули над пополнениями..................................... 321
§36	. Эндоморфизмы модулей Уорфилда .............................. 327
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или авто-
морфизмов	337
§37	. Транзитивные и вполне транзитивные модули................... 337
§38	. Транзитивность над кручением и по модулю	кручения . . 346
§39	. Равносильность транзитивности и вполне транзитивности 352
Список литературы	361
Список обозначений	379
Предметный указатель	381
ВВЕДЕНИЕ
Имеется достаточное число книг по теории модулей над произвольными
кольцами (многие из них включены в список литературы). В то же время
ощущается недостаток книг о модулях над некоторыми специальными
кольцами. По убеждению авторов несомненно нуждаются в отдельном
рассмотрении модули над областями дискретного нормирования в силу
специфичности предмета, особого положения и роли в различных ветвях
алгебры, особенно коммутативной алгебры.
Изучение модулей над областями дискретного нормирования и состав-
ляет содержание книги, предлагаемой читателю. В ней впервые система-
тизирован накопленный богатый и содержательный материал о модулях
над областями дискретного нормирования. Для любого раздела матема-
тики желательно иметь много интересных открытых проблем и опреде-
ленное число хороших теорем. Представленная в книге теория полностью
удовлетворяет этим требованиям.
Области дискретного нормирования образуют класс локальных обла-
стей, которые очень близки к телам. Однако нам показалось удобным не
считать тело областью дискретного нормирования. Область дискретного
нормирования имеет единственный (с точностью до обратимого множи-
теля) простой элемент. Коммутативная область дискретного нормирова-
ния — это область главных идеалов с единственным простым элементом.
В теории модулей над областями дискретного нормирования роль про-
стых элементов как нигде велика. В ней отчетливо проявляется тех-
ника работы, основанная на использовании простых элементов. Хоро-
шо виден характер различных конструкций, связанных с простыми эле-
ментами. Среди областей дискретного нормирования выделяются полные
(в р-адической топологии) области дискретного нормирования. Типичны-
ми примерами последних служат кольца целых р-адических чисел и коль-
ца формальных степенных рядов над телами.
Хорошо известно, что все локализации (коммутативных) дедекиндо-
вых областей (в частности, коммутативных областей главных идеалов)
по максимальным идеалам являются областями дискретного нормирова-
ния. Из общего принципа локализации следует, что многие задачи тео-
8
Введение
рии модулей над дедекиндовыми областями достаточно исследовать для
модулей над областями дискретного нормирования. Например, пример-
ные модули над дедекиндовой областью — это те же самые объекты, что
и примарные модули над локализациями этого кольца по максимальным
идеалам.
Необходимо подчеркнуть тесные и разнообразные связи между теори-
ей модулей над областями дискретного нормирования и теорией абелевых
групп. Они имеют много точек соприкосновения. Это — частный случай
принципа локализации проблемы, поскольку абелевы группы совпадают
с модулями над кольцом целых чисел Z, являющимся коммутативной об-
ластью главных идеалов. Отсюда близость идей, методов, направлений
исследований и результатов.
Во многих разделах теории абелевых групп появляются так называ-
емые р-локальные группы, т. е. модули над локализацией Zp кольца Z
относительно идеала, порожденного простым числом р. Кольцо Zp — под-
кольцо в поле рациональных чисел Q, состоящее из рациональных чисел,
знаменатели которых не делятся на р, а р-локальные группы совпадают
с такими абелевыми группами G, что G = qG для всех простых чисел
q / р. Многие результаты о р-локальных группах и их доказательства
верны после незначительных изменений для модулей над произвольными
областями дискретного нормирования. В теории абелевых групп весьма
полезны модули над кольцом Zp целых р-адических чисел (такие модули
называются р-адическими модулями). Кольцо Zp является пополнени-
ем в р-адической топологии кольца Z или Zp. Кроме того, Zp — полная
область дискретного нормирования.
Одно из центральных мест в теории абелевых групп принадлежит
p-группам, которые также называются примерными группами. Здесь
уместно сказать, что все модули над фиксированной областью дискрет-
ного нормирования можно разбить на три класса: примарные модули,
модули без кручения и смешанные модули. Так вот, p-группы совпадают
с примерными Zp-модулями и с примарными Zp-модулями. Заметим, что
примарные модули над областями дискретного нормирования представле-
ны в литературе преимущественно теорией абелевых p-групп. Основные
определения, методы и факты этой теории после надлежащей коррек-
тировки переносятся на примарные модули. Мы практически не делаем
этого, учитывая, что теория абелевых р-групп обстоятельно изложена
в книгах Фукса [41] и Гриффита [157].
Капланский впервые включил в свою книгу [189] несколько важных
теорем о модулях над областями дискретного нормирования. Есть еще
две известные книги, влияние которых на становление теории модулей
Введение
9
над областями дискретного нормирования весьма велико. Это книги Бэ-
ра [1] и Фукса [40], [41]. Часть проблематики, касающейся колец эн-
доморфизмов, вышла из книги Бэра, где она развивается для векторных
пространств (это относится, например, к исследованиям в параграфе 15
и главе 7). Упоминание книг Фукса выглядит закономерно в свете ска-
занного выше о теории абелевых групп.
В книге представлены все основные разделы теории модулей над обла-
стями дискретного нормирования. Авторы старались в разумном объеме
изложить главные идеи, методы и теоремы, которые могут послужить
основой для исследований по теории модулей как над областями дис-
кретного нормирования, так и над другими кольцами.
Свойства векторных пространств над телами и их линейных опе-
раторов считаются известными и применяются нами без специальных
оговорок.
В комментариях в конце глав излагаются некоторые результаты, не
вошедшие в основной текст, даются краткие исторические справки, ука-
зываются другие направления, по которым ведутся исследования, обра-
щается внимание на литературу для дальнейшего знакомства с предме-
том. Аналогичные записки помещены и в некоторые параграфы. Все это
поможет читателю перейти к изучению журнальных статей.
В начале каждой главы раскрывается её содержание. Все параграфы,
кроме первого, содержат упражнения. Среди них встречаются результаты
из различных статей. Авторы записали 31 нерешенную проблему, которые
казались им интересными. Список литературы достаточно полон, хотя мы
допускаем, что некоторые статьи могли остаться вне поля нашего зрения.
Для работы с книгой от читателя требуется знакомство с основами
общей теории колец и модулей. Используются также определенные топо-
логические и категорные идеи.
Авторы полагают, что книга будет полезной многим читателям: от
молодых исследователей до зрелых специалистов. Ее можно рекомендо-
вать студентам и аспирантам, изучающим алгебру. Книга содержит до-
статочно материала для спецкурса, рассчитанного на старшекурсников.
Мы принимаем систему аксиом Цермело-Френкеля теории множеств,
включая аксиому выбора и ее эквивалентную форму —лемму Цорна.
Термины «множество» и «класс» употребляются в обычном теоретико-
множественном смысле. Конец доказательства какого-либо утверждения
отмечается символом □.
Первая глава носит вспомогательный характер. В главе 2 изложены ос-
новы теории модулей над областями дискретного нормирования. Глава 3
посвящена некоторым вопросам о кольцах эндоморфизмов делимых при-
мерных и полных модулей без кручения. В главе 4 исследуется проблема
10
Введение
изоморфизма абстрактного кольца кольцу эндоморфизмов некоторого мо-
дуля. В главе 5 изучаются модули без кручения. В главе 6 изучаются сме-
шанные модули. В главе 7 анализируется возможность изоморфизма двух
модулей, имеющих изоморфные кольца эндоморфизмов. В главе 8 затра-
гивается ряд вопросов о транзитивных и вполне транзитивных модулях.
ГЛАВА 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
В главе 1 рассматриваются перечисленные ниже темы:
некоторые определения и обозначения (§ 1);
эндоморфизмы и гомоморфизмы модулей (§2);
области дискретного нормирования (§3);
первичные понятия теории модулей (§4).
Первые два параграфа содержат необходимые стандартные сведения
о модулях. Принимаются соглашения о некоторых обозначениях и тер-
минах. В § 2 рассматривается также кольцо эндоморфизмов модуля —
один из важных объектов исследования книги. Материал этих парагра-
фов включен для удобства чтения. В §3 вводятся области дискретного
нормирования и исследуются их главные свойства. В §4 закладывается
основа теории модулей над областями дискретного нормирования.
§ 1. Некоторые определения и обозначения
Мы полагаем, что читатель знаком с такими исходными понятиями тео-
рии колец и модулей, как кольцо, модуль, подкольцо и идеал, подмодуль,
факторкольцо и фактормодуль, гомоморфизм и другие. В тексте посто-
янно используются различные элементарные факты о кольцах и моду-
лях (вроде теорем об изоморфизмах), первичные свойства их и ряда
конструкций (например, прямых сумм), применяются некоторые стан-
дартные приемы работы с этими объектами. Все это невозможно пе-
речислить. Во всяком случае, для работы с книгой достаточно зна-
ний о кольцах и модулях в объеме одной из трех следующих книг:
F. Anderson, К. Fuller «Rings and categories of modules» ([49]), И.Ламбек
«Кольца и модули» ([26]), Ф. Каш «Модули и кольца» ([10]). Встреча-
ющиеся (достаточно простые) категорные свойства можно также найти
в книге С. Маклейна [28]. В некоторых местах мы касаемся ряда ас-
12
Глава 1. Предварительные сведения
пектов теории топологических колец и модулей (см., например, книгу
В. Арнаутова, С. Главацкого и А. Михалёва [50]). Общепризнанным ру-
ководством по теории абелевых групп является двухтомная монография
Л. Фукса [40, 41].
Мы все же изложим здесь некоторый материал, касающийся терми-
нологии и обозначений. Другие нужные определения и результаты будут
приводиться по мере надобности.
Все встречающиеся в книге кольца являются ассоциативными. Коль-
ца по определению обладают единицей (за единственным исключени-
ем в §§ 17 и 18), которая сохраняется при гомоморфизмах, наследуется
подкольцами и на модулях действует как тождественное отображение
(т.е. модули унитарные).
Всегда, когда идет речь о порядке во множестве правых, левых или
двусторонних идеалов (последние называются просто идеалами), то под-
разумевается порядок относительно теоретико-множественного включе-
ния. В смысле этого порядка говорим о минимальных и максимальных
идеалах. Каждое из трех множеств идеалов данного кольца образует ча-
стично упорядоченное множество. На самом деле, имеем три решетки.
Точной нижней гранью для правых (левых или двусторонних) идеалов А
и В кольца R является пересечение А А В, а точной верхней гранью —
сумма
А + В, где А + В — (ft + b | a G A, b G 5).
Если R и S — кольца и 7? —► S — кольцевой гомоморфизм, то Im(^>)
и Кег(у>) — образ и ядро гомоморфизма <р соответственно. Кольцо всех
п х n-матриц (n > 1) над кольцом S обозначаем Sn.
Уточним некоторые детали, касающиеся связей разложений колец
с идемпотентами. Подмножество {ei,...,en} кольца R называется пол-
ной ортогональной системой идемпотентов, если е? = et, etej = 0 при
i / 3 и 52 = 1.
г=1
Полной ортогональной системе идемпотентов соответствует пирсов-
ское разложение кольца в прямую сумму правых идеалов {ei,..., еп} —>
—> R = e^R ® • • • ф enR. При этом правый идеал eiR далее неразложим
в прямую сумму правых идеалов в точности тогда, когда идемпотент ei
примитивен, т.е.из ei = f + д, где f и д — ортогональные идемпотенты,
следует, что либо е; = f, либо а = д. Если дополнительно предполага-
ется, что идемпотенты е; центральны (значит, лежат в центре кольца
R), то получается разложение кольца R в прямую сумму двусторонних
идеалов eiR. Идеал eiR является в этом случае кольцом с единицей ei,
и прямую сумму ei/?® - • -®enR можно отождествить с прямым произве-
§1. Некоторые определения и обозначения
13
дением колец eiR,... ,enR. Прямое произведение некоторого семейства
колец 7?i,..., Rn обозначаем
п
Ri х • • • х Rn или U Ri
г=1
п
(можно также писать Ri ® • • • ® Rn или ф Ri).
г=1
Элемент г кольца R называется неделителем нуля, если sr / 0 и
rs / 0 для любого 0 / s G R. В противном случае, г — делитель нуля.
Пусть 7? —подкольцо кольца S. Кольцо S называется классическим пра-
вым кольцом частных кольца R, если выполнены следующие условия:
(1) все неделители нуля кольца R обратимы в кольце S;
(2) все элементы кольца S имеют вид ab~\ где a, b е R и Ь — недели-
тель нуля кольца R.
Говорят, что кольцо R удовлетворяет правому условию Оре, если для
любых элементов a, b 6 R, где Ь — неделитель нуля, найдутся такие эле-
менты а', Ь' G R, что Ь' — неделитель нуля и ab' — Ъа'.
Хорошо известно, что кольцо R обладает классическим правым коль-
цом частных, если и только если оно удовлетворяет правому условию
Оре. Получается, что классическое правое кольцо частных кольца без
делителей нуля, удовлетворяющее правому условию Оре, является телом.
Аналогично определяются классическое левое кольцо частных и левое
условие Оре.
Рассматриваемые нами модули являются, обычно, левыми (если не ого-
ворено противное) и, что уже отмечалось, унитарными. Подобно идеалам
колец, подмодули данного модуля составляют частично упорядоченное
множество относительно включения, и мы также располагаем решеткой,
состоящей из всех подмодулей.
Используем те же обозначения Кег(у?) и Im(y>) для ядра и образа гомо-
морфизма <р модулей. Если р: М —»• N — некоторый гомоморфизм моду-
лей и А — подмодуль модуля М, то <р[А — ограничение <р на А. Ограниче-
ние тождественного отображения модуля М на А называется вложением
подмодуля А в М.
Прямую сумму модулей A;, i е /, где I — некоторое индексное множе-
ство, обозначаем ф А» или Ai ® • • • ф Ап, если I = {1,2,..., п}. Пусть
ге/
дана прямая сумма М = ф Aj. Для каждого индекса i е I имеем коор-
гб/
динатные вложение х;: А; —► М и проекцию тц: М —> А; (подробности
14
Глава 1. Предварительные сведения
о прямых суммах есть в §2). Полагая Е{ = тцмг, получаем идемпотент-
ный эндоморфизм модуля М, т. е. е? = Ei. Разумеется, тгг и Ei можно не
различать, если это удобно.
Пусть М = А®В и х = а+b, где а е А, b е В. Тогда элементы аиЪ —
компоненты элемента х. Более общим образом, пусть М = И А (прямое
iei
произведение семейства модулей A,, i е I) или М — фА,. Элемент
iei
х модуля М записываем в форме вектора х = (...,a,,...) или кратко
х = (oj), где a,i — компонента элемента х, принадлежащая слагаемому
Aj (хотя можно говорить и «координата»).
Если М — модуль, п — натуральное число, то ф М или Мп — прямая
п
сумма п копий модуля М.
Пусть М — левый модуль над кольцом R, или, более кратко, левый
7?-модуль. Для любого подмножества X модуля М через RX будем обо-
значать подмодуль модуля М, порожденный X. RX — это пересечение
всех подмодулей модуля М, содержащих X. Очевидно, что RX состоит
из всех сумм вида
Т1Х1 + ... + rnxn (ri G R, х{ е X).
Если RX = М, то X называется системой образующих модуля М. Мо-
дуль, имеющий конечную систему образующих, называют конечно по-
рожденным. Говорят, что М — циклический модуль с образующим эле-
ментом х, если М = Rx для какого-то х G М.
По определению сумма £ А подмодулей А;, г е I, состоит из мно-
жества всех сумм вида + ... + щп, 6 А,г Эта сумма совпадает
с подмодулем, порожденным объединением всех Aj.
Если R и S — два кольца, то R-S-бимодуль rMs — абелева группа М,
являющаяся левым 7?-модулем rM и правым 5-модулем Ms, при этом
(rx)s = r(xs) для всех г е R, х е М и s е S. Кольцо R, более строго,
его аддитивная группа, естественным образом является левым и пра-
вым 7?-модулем (это так называемые регулярные модули). Точнее, имеем
й-В-бимодуль R.
Предположим, что R — коммутативное кольцо. В таком случае любой
левый 7?-модуль М можно превратить в правый и наоборот с помощью
формулы rx = xr, г 6 R, х € М. Получаем 7?-7?-бимодуль М.
В §2 мы изложим несколько известных фактов об индуцированных
точных последовательностях модулей. Остановимся сейчас на таких де-
талях. Короткая точная последовательность модулей
0-» А А ВД
С ^0
§1. Некоторые определения и обозначения
15
называется расщепляющейся, если В = Im(x) ф С для некоторого мо-
дуля С (ясно, что С = С). Любой подмодуль А модуля М дает точную
последовател ьность
О -> А Д М Л М/А О,
в которой х —вложение, а тг — канонический гомоморфизм, действую-
щий по правилу х —> х + А, х е М.
В §2 будут также приведены основные свойства тензорного произве-
дения модулей (оно неоднократно используется в книге).
Теории модулей над областями дискретного нормирования и абеле-
вых групп — это родственные теории. Многие разделы этих теорий раз-
виваются параллельно. Причина этого заключается в том, что области
дискретного нормирования и кольцо целых чисел близки друг к другу,
поскольку абелевы группы и модули над кольцом целых чисел суть од-
ни и те же объекты. Коммутативные области дискретного нормирования
и кольцо целых чисел принадлежат одному специальному классу колец.
Они являются примерами областей главных идеалов.
В некоторых вопросах теории модулей над областями дискретного нор-
мирования большую пользу приносят категории и категорный язык. Да-
дим определение категории и рассмотрим некоторые важнейшие связан-
ные понятия. Дополнительная информация о категориях появится в §§24
и 27. В §§24 и 29 определяются и далее существенно используются три
категории модульного происхождения: категория квазигомоморфизмов,
категории Уокера и Уорфилда.
Категория 8 — это класс объектов А, В, С,... вместе с множеством
морфизмов Homf(A, В) для каждых объектов А, В е 8 и композицией
Homf(A,B) х Homf(B, С) Homf(A,C),
причем:
(1)	композиция ассоциативна;
(2)	для каждого объекта А е 8 существует морфизм 1л е Homf(A, А)
такой, что 1д/ = f и д1д = д всякий раз, когда
/ € Homf(A, В) и <7 G Hoin£(B, А).
Морфизм 1д называется тождественным морфизмом объекта А.
Категория 8 называется аддитивной, если выполнены приведенные
ниже условия (3) и (4).
16
Глава 1. Предварительные сведения
(3)	Для всех А, В 6 £ множество Homf(A, В) есть абелева группа
и композиция морфизмов билинейна, т. е.
+ /2) = gfi + 5/2 и (/i 4- /2)^ — fih + /2^1
для любых
д G Homf (С, А), Д G Homf (А, В) и h G Нот£(В, В).
(4)	В £ существуют конечные прямые суммы. Это означает, что для
данных объектов Ai,... ,Ап из £ найдутся объект А е £ и морфиз-
мы вг € Нот£(Aj, А) такие, что если fi G Нотс(Аг, В), г — 1,..., п,
то существует и притом единственный морфизм f е Нош£(А, В) со
свойством eif = fi для всех i = 1,..., п.
Объект А называется прямой суммой объектов Ai,...,An и мор-
физмов ei,...,еп, называемых вложениями. В этом случае пишут
А = Ai® - • -фАп и говорят также, что имеется прямое разложение
объекта А.
В аддитивной категории £ множество Нотс (А, А) является кольцом
с единицей 1д, называемым кольцом эндоморфизмов объекта А и обо-
значаемым Endf(A).
Подкатегорией некоторой категории £ называют категорию С, удо-
влетворяющую следующим условиям:
(1)	все объекты категории С являются объектами категории £•,
(2)	Ноп1с(А, В) С Honi£(A, В) для любых А, В € С;
(3)	композиция морфизмов в С индуцируется их композицией в £;
(4)	все тождественные морфизмы из С — тождественные морфизмы в £.
Подкатегория С категории £ называется полной, если Нотс (А, В) =
= Нотс (А, В) для любых объектов А, В 6 С.
Морфизм f G Нот^(А,В) называется изоморфизмом, если существу-
ет g е Homf(B, А) такой, что fg = 1д и gf = Ijg. В этом случае говорят,
что объекты А и В изоморфны в категории £.
Пусть даны категории £ и Т>. Ковариантный (соответственно, кон-
травариантный) функтор F: £ —► Т> из категории £ в категорию Т>
состоит из отображения £ —► D, А —► F(A), А е £ и отображе-
ний Homf(A,B) —> Hom©(F(A), F(Bf) (соответственно Нотс (А, В) —>
—> Homi>(F(B), F(A))), f —► F(f), которые сохраняют композицию мор-
физмов и тождественные морфизмы: F(fg) = F(f)F(g) (соответственно,
F(fg) = F(.g)F(fy), и В(Да) — lf(A) Для всех объектов и морфизмов
A,f,ge£.
§2. Эндоморфизмы и гомоморфизмы модулей
17
Тождественный функтор 1g категории 8, определяемый равенствами
Ш) = А и W) = /
для всех A,f е 8, является ковариантным функтором из категории 8
в нее же.
Пусть F и G — ковариантные функторы из категории 8 в категорию Т>.
Естественным преобразованием <р: F —> G называется функция, ставя-
щая в соответствие всякому объекту А G 8 морфизм F(A) —► G(A)
из Т> таким образом, что для любого морфизма f: А —> В категории 8
имеем равенство F(f)tpB = ipaG(J) в категории Т>. Если — изомор-
физм для всякого объекта А е 8, то <р называется естественной экви-
валентностью. Морфизм <ра называется естественным изоморфизмом
между F(A) и G(A).
Говорят, что категории 8 и D эквивалентны, если существует пара
таких ковариантных функторов F: 8 —> Т> и G: Т> —> 8, что функтор
FG (определяемый как композиция функторов F и G слева направо)
эквивалентен тождественному функтору 1g, а функтор GF эквивалентен
тождественному функтору 1©. В этом случае говорят, что функторы F
и G определяют эквивалентность категорий 8 и Т>.
В теории модулей обычно используются аддитивные функторы. Функ-
тор F называется аддитивным, если F(f + g) = F(f) + F(g) для всех
тех морфизмов f,ge8, для которых определен морфизм f + д.
§ 2. Эндоморфизмы и гомоморфизмы модулей
Приведем некоторые хорошо известные определения и факты, касающи-
еся колец эндоморфизмов, групп гомоморфизмов и тензорных произведе-
ний. В этом параграфе R — произвольное кольцо.
Гомоморфизмы мы пишем с левой стороны от их аргументов. Чтобы
избежать использования антиизоморфных колец, композицию гомомор-
физмов определим следующим образом. Пусть а: М N и (3: N —> L —
гомоморфизмы модулей. Тогда их композиция а/3 — отображение М —»• L
такое, что (а/3)(а) = /?(«(«)) для каждого а е М. Композиция является,
очевидно, гомоморфизмом. В некоторых работах гомоморфизмы записы-
ваются с правой стороны от аргументов, т. е. (а)а вместо а(а). Тогда для
композиции а/3 имеем
(а)(а/3) = ((a)ct)/?> аСМ.
Пусть М и N — 7?-модули. Обозначим через Нотц(М, N) множество
всех гомоморфизмов из модуля М в модуль N. (Иногда для краткости
18
Глава 1. Предварительные сведения
пишем «7?-гомоморфизмы».) Множество Нотя(М, АГ) не пусто, так как
содержит нулевой гомоморфизм 0: М —> N, где а —> 0 для всех а € М.
Можно определить поточечное сложение гомоморфизмов, где
(а + /?)(а) = а(а) + 0(a) при а,0 е Нотд(Л/, N) и аеМ.
Тогда а + 0 — гомоморфизм из М в N.
Гомоморфизм М —> М называется эндоморфизмом модуля М. Обо-
значим Endft(M) = Нош/ДМ, М). Эндоморфизмы можно умножать, где
под произведением а0 понимается их композиция.
Эндоморфизмы модуля М, являющиеся биекциями, называются ав-
томорфизмами. Тождественное отображение 1м, где 1м(«) — а Для
всех а е М, является автоморфизмом модуля М. Пусть Aut/ДМ) — мно-
жество всех автоморфизмов модуля М. На Autjj(M) имеется операция
умножения автоморфизмов.
Теорема 2.1.	(а) Множество Нош/ДЛД N) является абелевой груп-
пой относительно сложения гомоморфизмов.
(Ь) Множество Епс1д(ЛТ) является ассоциативным кольцом с еди-
ницей.
(с) Множество AuIr(M) есть группа относительно умножения ав-
томорфизмов. Она совпадает с группой обратимых элементов
кольца Епдц(М).
Доказательство, (а) Коммутативность и ассоциативность сложения
гомоморфизмов проверяются легко. Нулевым элементом является нуле-
вой гомоморфизм. Для гомоморфизма а: М —> N определим гомомор-
физм —а: М —> N, полагая (—а)(а) = -а(а) для каждого а G М. Тогда
а + (-а) = 0, т. е. -а — противоположный элемент к а.
(Ь) По (a) End/Д ЛГ) — абелева группа относительно сложения. Компо-
зиция отображений удовлетворяет закону ассоциативности. Единичным
элементом является тождественное отображение 1м- Непосредственно
проверяется справедливость двух законов дистрибутивности.
(с) Пусть 7 — автоморфизм модуля М. Существует обратное отобра-
жение 7-1, причем 7-1 — автоморфизм модуля М и 77-1 = 7-17 — 1м-
Учитывая (Ь), получаем, что Aut/ДЛГ) — группа. Ясно, что эндоморфизм
а модуля М является автоморфизмом в точности тогда, когда а — обра-
тимый элемент кольца End/ДЛГ). Следовательно, группа AuIr(M) сов-
падает с группой обратимых элементов кольца End/ДМ).	□
Группа Нотд(Л/, N) называется группой гомоморфизмов из модуля
М в модуль N, End/ДМ) называется кольцом эндоморфизмов модуля
§2. Эндоморфизмы и гомоморфизмы модулей
19
М и Aut/?(M) называется группой автоморфизмов модуля М. Часто
в этих трех объектах индекс R будем опускать. Группы гомоморфизмов
и кольца эндоморфизмов правых модулей определяются аналогично.
В некоторых случаях абелеву группу Нот??(Л/, Лг) можно рассмотреть
как модуль. Пусть S и Г —еще два кольца, М — /?-5-бимодуль и N —
Л-Т-би модуль. Если а е Hom/?(AT, 2V), s е S и t € Т, то полагаем
(s<a)(a) = ct(as) и (at)(a) = a(a)t для каждого а € М. Тогда sa, at €
е Нотд(М, TV). Таким способом группа Hom/?(AT, 7V) превращается в ле-
вый 5-модуль и правый Т-модуль. Более точно, получаем 5-Т-бимодуль.
Например, группа Нот??(Я, JV) является левым Л-модулем. Для комму-
тативного кольца R группа Hom/?(M, N) является Л-модулем при любых
Л-модулях М и N (см. § 1 о бимодулях).
Если даны Л-5-бимодули М и Mi, г G I, и Л-Т-бимодули N и Ni,
i G I, то имеют место канонические изоморфизмы 5-Т-бимодулей:
Нот/? (м,
' iei '	iei
Нот/? ( ф Mi, n\	[J Нотя(Мь ^)-
' iei '	iei
Предложение 2.2. (а) Для любого R-модуля М имеется изомор-
физм левых R-модулей Нот/? (7?, М) = М.
(Ь) Справедлив изоморфизм колец End/?(/?7?) = R.
Доказательство, (а) Определим отображение f: Hom/?(Л,М) —> М
по формуле /(а) = а(1) для каждого a: R —> М. Имеем
f(ra) = (га)(1) = а(1 • г) = ra(l) — rf(a).
Следовательно, / — гомоморфизм левых Л-модулей. Так как а(т) —
= а(г-1) = га(1) для любого г G R, то а — 0 при /(а) = 0. Далее,
для а € М положим ct(r) = га, г G R. Тогда a G Нот/?(Л, М) и /(а) =
= а(1) = а, т. е. f — эпиморфизм. Следовательно, / — изоморфизм. Ясно,
что обратным к / будет отображение
g : М —> Нот/?(Л, М), д(а) = а, а Е М,
где а(т) = га для всех г Е R.
(Ь) Пусть /: End/?(/?.R) —> Я —такое отображение, как в (а), т.е.
/(а) = а(1) для каждого a : R R. Тогда / — аддитивный изоморфизм.
Если а,(3 G End/?(/?.R), то
(аД)(1) = /?(а(1)) - /?(а(1)  1) = а(1)/3(1).
Отсюда f(a/3) =	□
20
Глава 1. Предварительные сведения
Получается, что любой эндоморфизм модуля rR есть умножение коль-
ца R справа на некоторый элемент из R.
Кольцо эндоморфизмов Endft(M) имеет различные соотношения с ис-
ходным кольцом R. Положим S = End«(M). Во-первых, действие эн-
доморфизмов из S на группе М задает на М структуру правого S-мо-
дуля (здесь удобнее эндоморфизмы писать с правой стороны от аргу-
ментов). Более точно, как следует из определения эндоморфизма, мы
имеем H-S-бимодуль rMs- Затем, пусть Т = Ends (А/) есть кольцо эн-
доморфизмов правого S-модуля М. Договоримся писать эндоморфизмы
правого S-модуля Ms с левой стороны. Для фиксированного элемента
г е R отображение hr: а —> га, a 6 М, есть эндоморфизм S-модуля М
(т. е. элемент кольца Т).
Соответствие г —> hr определяет кольцевой гомоморфизм R —> Т.
Если М — точный Л-модуль (это значит, что из гМ = 0 следует г = 0),
то получаем вложение R-*T. Кольцо Т называется кольцом биэндо-
морфизмов модуля rA.
Теперь мы рассмотрим некоторые элементарные свойство кольца эндо-
морфизмов. Пусть М — Л-модуль, М — А® В — его прямое разложение,
и пусть 7г — гомоморфизм М —> А такой, что тг(а + Ь) = а для любых
двух элементов а е А и b е В. Гомоморфизм тг называется проекцией
модуля М на прямое слагаемое А с ядром В. Обозначим через х вло-
жение А —> М. Тогда 7гх € End (АТ) (напоминаем, что индекс Л может
опускаться) и (тгх)2 = тгх. Таким образом, тгх есть идемпотент коль-
ца End(AT). Он называется идемпотентным эндоморфизмом модуля М.
Положим е = тгх. Мы отождествляем тг с е. Следовательно, мы счи-
таем, что проекция тг есть эндоморфизм модуля М, который действует
тождественно на А и аннулирует В. Ясно, что 1 — е также есть идемпо-
тент кольца End(Af), ортогональный к е. Дополнительно имеем А = еМ,
В -- (1 — е)М — Кег(е). Следовательно, М — еМф(1 —е)М. Полученное
разложение справедливо для любого идемпотента е кольца End(AT). Бо-
лее общим образом, если М = Ai ® • • -фЛп — прямое разложение модуля
М, то мы обозначим через Ег проекцию М —> Ai с ядром фА?. Тогда
Ai = EiM, i = 1,... ,n, и {si | i = l,...,n} есть полная ортогональная
система идемпотентов кольца End(Af). Пусть хг: Ai -* Л/— вложения,
i = 1,...,п. Вложения х^ и проекции а называют еще координатными
вложениями и проекциями.
Предложение 2.3. Пусть М —модуль и {е; | г = 1,...,п} — полная
ортогональная система идемпотентов кольца End(AT). Тогда соот-
ветствие М = EiM®- -®епМ -> End(Af) = End(Af)ei®- • -®End(M)en
§2. Эндоморфизмы и гомоморфизмы модулей
21
между конечными прямыми разложениями модуля М и разложения-
ми кольца End (Л/) в конечные прямые суммы левых идеалов является
взаимно однозначным.
Доказательство. Уже доказано, что для прямого разложения М =
= Ai ф • • • ф Ап существует полная система {ei | i = 1,..., п} ортогональ-
ных идемпотентов кольца End(M) такая, что Ai = EiM для всех г. Эта
система индуцирует разложение
End(M) = End (Л/ )t'i ф • • • ф End(Af)en
кольца End(M) в прямую сумму левых идеалов. Обратно, допустим, что
End(M) = Li ф • • • ф Ln, где L{ — левые идеалы кольца End(M). Име-
ем 1 = si + ... + е„, ei е Li, что дает полную ортогональную систему
{Ei | i = 1,..., п} идемпотентов кольца End(M). Непосредственно прове-
ряется, что М = eiM®-  -®епМ. Рассматриваемое соответствие является
взаимно однозначным.	□
Для прямых сумм с бесконечным числом слагаемых и прямых про-
изведений модулей координатные вложения и проекции определяются
аналогичным образом.
Рассмотрим несколько стандартных соотношений между модулем и его
кольцом эндоморфизмов, связанных с идемпотентными эндоморфизмами.
Предложение 2.3 прямо влечет следующие свойства.
(а)	Если е — идемпотент кольца End(Af), то еМ есть неразложимое
прямое слагаемое модуля М в точности тогда, когда s — примитивный
идемпотент. Последнее условие эквивалентно тому, что левый идеал
End(M)s неразложим как Е^(Л/)-модуль.
(Ь)	Пусть е, г — два идемпотента кольца End(M). Существуют канони-
ческие групповой изоморфизм Нот(еМ, тМ) = sEnd(M)r и кольцевой
изоморфизм End(sAf) = EEnd(M)E. Здесь
sEnd(A/)r = {sar | a G End(A/)}.
Пусть р: еМ —» тМ — гомоморфизм. Предполагая, что 7р аннулирует
дополнение (1— е)М к еМ, мы расширим <р до эндоморфизма р модуля М.
С помощью соответствия f z ip spr получим требуемый изоморфизм
f: Нош(еМ, тМ) —> s End(M)r.
Действительно, если ew^ с EEnd(Af)r для некоторого ip £ End(M), то
£^T|eW есть гомоморфизм еМ —> тМ и f : Е1рт\ем —»• е^т. Если е = т,
то имеем изоморфизм End(fiAf) = £End(M)s, являющийся кольцевым
изоморфизмом.
22
Глава 1. Предварительные сведения
Пусть М = А ® В и с: М —> А — проекция с ядром В. Мы можем
считать, что End(A) является подкольцом кольца End(M), если отожде-
ствим End(A) и eEnd(M)e с помощью изоморфизма, сконструированного
в (Ь).
Рассмотрим два первичных факта о соотношениях между изоморфиз-
мами модулей и изоморфизмами их колец эндоморфизмов.
(с) Если два модуля М и N изоморфны, то их кольца эндоморфиз-
мов End(M) и End(TV) также изоморфны. Более точно, всякий мо-
дульный изоморфизм у>: М —> N индуцирует кольцевой изоморфизм
ф: End(M) —> End(JV), определенный как ф: а —> р~1окр, а G End(Af).
Если а,[3 G End(Af), то имеем
ф(а(3) =
ф(а + 0) = ф(а) + ф(0), V’(Im) = In-
Следовательно, ф — гомоморфизм колец. Если 0 7^ а е End(M), то ясно,
что 7^ 0. Теперь пусть 7 G End(TV). Тогда
у?7^>-1 6 End(M) и ^(у?7<^-1) = 7,
т. е. ф — изоморфизм колец.
(d) Пусть мы имеем модули М = Ai ф А? и N. Если ф: End (Л/) —>
End(TV) — кольцевой изоморфизм, то модуль N имеет разложение N =
= Ci ф С2 и ф индуцирует изоморфизмы End(Aj) —> End(C'i), i — 1,2.
Обозначим через е проекцию Л/ —► Ai с ядром А2. Тогда ф(ф) — идем-
потент кольца End(TV). Обозначим его через т. Имеем N — C'i ФС2. где
Ci — 1ш(т) и С2 = Кег(т). Изоморфизм ф индуцирует кольцевой изомор-
физм eEnd(M)e —> rEnd(7V)r. Следовательно, ф индуцирует кольцевой
изоморфизм End(Ai) —> End(Ci) (см. свойство (Ь) и замечание после
него). Второй изоморфизм получается аналогично.
В линейной алгебре хорошо известно матричное представление ли-
нейных операторов. Используя прямые разложения, мы можем получить
подобное представление эндоморфизмов модулей некоторыми матрицами.
п
Пусть М — ф Ai — прямая сумма модулей. Рассмотрим квадратную
г—1
матрицу порядка п	с элементами	Для
таких матриц возможно определить обычные матричные операции сло-
жения и умножения. Прямо проверяется, что сложение и умножение все-
гда возможны и результат есть матрицы того же вида. В итоге получаем
кольцо матриц указанного вида.
п
Предложение 2.4. Кольцо эндоморфизмов модуля М = ф А* изоморф-
г=1
но кольцу всех матриц (o.ij) порядка п, где оц е Hom(Aj, Aj).
§2. Эндоморфизмы и гомоморфизмы модулей
23
Доказательство. Пусть {е$ | г = 1,..., п} — координатные проекции,
соответствующие данному разложению модуля М. Любой элемент а е М
п
равен сумме £2 £ia- Для а е End(АТ) имеем
г=1
п	п
Q(a) = 52 Q(£»Q) = 52 (£ia£j)a-
г=1	i,j—l
Ассоциируем с эндоморфизмом а матрицу («y)ij=i,...,n, f:a—> (aij), где
aij = EiaEj. По (b) мы отождествляем £jEnd(A/)£j с	=
= Hom(Aj,Aj). Если /3 G End(AT) и (/3^) — соответствующая матрица
/ n	\
с flij = Eiftej, то разность (а^- — (kj) и произведение I J2 aikPkj ) матриц
vfc=i	7
(oiij) и (/Зу) есть матрицы, соответствующие а - /3 и о/З. Следовательно,
/ — гомоморфизм колец. Ясно, что только нулевой эндоморфизм модуля
М соответствует нулевой матрице. Обратно, пусть	— некото-
рая матрица со значениями ог7 G £iEnd(A/)£j. Определим a G End(Af),
п
полагая а(а) = £2 Qu(a) для каждого а G М. Тогда f:a—> (aij).
i,j~l
Следовательно, f есть кольцевой изоморфизм.	□
Если в предложении 2.4 Hom(AiMj) = 0 для всех различных индек-
сов i и j, то эндоморфизмы модуля М представляются диагональными
матрицами. Другими словами,
End(AT) End(Ai) х • • • х End(An).
Следствие 2.5.
(1) Пусть М — некоторый R-модуль и S = Endft(M). Тогда для лю-
бого п 1 имеем Endft(A/n) = Sn-
(2) Для любого /О 1 имеем End^(7?n) = Rn-
Остановимся теперь на индуцированных точных последовательностях
для группы Нот. Пусть М, N и L — левые Д-модули, f:L—>Nug:L—>
—> М — гомоморфизмы. Имеем индуцированные гомоморфизмы абеле-
вых групп
: Hom(M, L) Нот(М, д* : Нот(М, ^) -+ Нот(Д ^),
где А(у’) = <pf для любого G Нот (AT, L) и <7*(V0 — уф для любого
ф G Нот(М, N).
24
Глава 1. Предварительные сведения
Последовательность левых 7?-модулей и гомоморфизмов
называется короткой точной последовательностью, если f — мономор-
физм, — эпиморфизм и Im(/) = Кег(<?). Можно записать точные после-
довательности абелевых групп (они называются индуцированными)
0	Нот (Л/, А) А Нот(М, В) Нот (Л/, С),
0	Нот(С, М) А Нот(В, М) А Нот(А, М),
где /», g*, f*ng* — индуцированные отображения. Если М, А, В и С яв-
ляются бимодулями и все группы Нот рассматриваются указанным выше
способом как модули, то имеем две точные последовательности модулей.
В §21 строятся более длинные точные последовательности с помощью
группы расширений Ext. И еще. Последовательность модулей и гомомор-
физмов
.	а-2	. a-i . ао . а± .
----> А-2----*• А-1 --С Ао А1 —> А2 -> • • •
называется точной, если она точна на каждом месте. Точность на месте,
например, Ai, подразумевает, что Im(ao) = Ker(ai).
Коснемся некоторых свойств тензорного произведения. Пусть N — пра-
вый, а М — левый Я-модули. В такой ситуации можно образовать тен-
зорное произведение N ®R М этих модулей. Тензорное произведение
N 0Д М — это абелева группа с системой образующих элементов п®т
для всевозможных п € N, т 6 М и определяющих соотношений
(ni + п2) ®т = (ni 0 т) + (п2 0 т),
п 0 (mi + m2) = (n0 mi) + (n 0 m2),
nr 0 m = n 0 rm
для всех ni,n2,n € N, mi,m2,m 6 M и r € R. Произвольный элемент
x G N 0д M является конечной суммой x =	® тг для каких-то
щ е N и mi € М. Как и в случае групп гомоморфизмов, абелева группа
N ®R М может быть каноническим способом превращена в некоторый
бимодуль. Пусть tNr и rMs — бимодули. Тогда группа N®RM является
T-S-бимодулем с модульными умножениями, задаваемыми формулами
t( У^ щ 0 mi) = У^ tni 0 mi,
f У' Щ 0 тЛ s = У rii ® miS
§2. Эндоморфизмы и гомоморфизмы модулей
25
для всех пг G 7V, тг 6 Л7, £ G Т и s 6 S. В частности, R®rM есть левый
Я-модуль, изоморфный М при соответствии г ® т —> rm, г € R, т 6 М.
Если даны Т-Я-бимодуль N и семейство Я-Я-бимодулей Mi, г G I, то
справедлив канонический изоморфизм Т-Я-бимодулей
iei	iei
Точная последовательность правых /?-модулей
индуцирует точную последовательность абелевых групп
A ®R М B®RM С ®R М -+ О,
в которой / ®1и<7®1 — индуцированные гомоморфизмы. Например,
(/® 1)(а ® m) =/(а) ® m для всех а € А, т е М.
Имея фиксированный модуль N и точную последовательность левых
Я-модулей, можно записать аналогичную точную последовательность
тензорных произведений.
Отметим, что при работе с тензорными произведениями постоянно
всплывает вопрос о корректности разного рода определений. Трудности
прежде всего связаны с неоднозначностью представления элементов в ви-
де сумм образующих. Как известно, эти трудности обычно преодолевают-
ся привлечением сбалансированных отображений, которые определяются
в любой из цитированных в § 1 книг по теории колец и модулей.
Модуль rM называется плоским, если для всякого мономорфизма
/: А —» В правых Я-модулей отображение
f ®1: A®RM -> B®RM
является мономорфизмом. Отметим, что если Я —область дискретного
нормирования, то М — плоский модуль, если и только если М — модуль
без кручения (Ламбек [26, §5.4]). Далее, если Im(/) — чистый подмодуль
в В (чистота определяется в §7), то / ® 1 есть мономорфизм (см. Фукс
[40, теорема 60.4]).
В заключение скажем, что все левые Я-модули с Я-гомоморфизмами
в качестве морфизмов образуют категорию Я- mod . Можно ограничиться
модулями из определенного класса модулей, и также получится катего-
рия. Это будет полная подкатегория категории Я-mod. В таких модуль-
ных категориях особую роль играют функторы, определяемые исходя из
26
Глава 1. Предварительные сведения
группы Нот и тензорного произведения (см. §13). Иногда за множество
морфизмов категории, класс объектов которой состоит из модулей, бе-
рутся множества, некоторым образом получаемые из групп модульных
гомоморфизмов. При этом они, как правило, устроены проще исходной
группы Нот. Такие категории появляются в §§24 и 29.
Упражнение 1. Пусть М — левый Я-модуль и S = End/?(Af). Для любых
двух эндоморфизмов а и в из S определим произведение а о /?, положив
(а о 0)а = а(0а) для всех а € М. Относительно этого нового умножения
все эндоморфизмы модуля М образуют еще одно кольцо эндоморфизмов S°.
Доказать, что кольца S и S° антиизоморфны, т. е. существует аддитивный
изоморфизм f:S—>S° такой, что f(a0) = f(0) о f(a) для всех a,0£S.
Упражнение 2. Доказать, что новое кольцо эндоморфизмов модуля rR,
определенное в упражнении 1, антиизоморфно кольцу R.
Упражнение 3. Пусть R — кольцо, е — идемпотент в R. Тогда End/j (Re) =
= eRe, где Re = {re | г € Л} есть левый Л-модуль.
Упражнение 4. Пусть А и В — два левых Я-модуля. Если М = А®В
и Т — кольцо биэндоморфизмов /2-модуля М, то А и В являются Г-подмо-
дулями модуля тМ.
Упражнение 5. Пусть R — некоторое кольцо. Для любого п 1 Rn есть
правый /?п-модуль (см. следствие 2.5 (2)). Показать, что Endfln(/?n) = R.
§ 3. Области дискретного нормирования
Области дискретного нормирования введем двумя эквивалентными спо-
собами: формально, путем наложения на абстрактное кольцо некоторых
условий и на языке нормирований тел. Приведем разнообразные примеры
областей дискретного нормирования.
В этом и ряде других параграфов используются элементы топологи-
ческой алгебры. Нам потребуется определение и одно свойство радика-
ла Джекобсона кольца. Более подробная информация о нем содержится
в §14. Радикал Джекобсона кольца R обозначаем J(R). Радикал J(R)
равен пересечению всех левых (или правых) максимальных идеалов коль-
ца R. Элемент х е R лежит в J(R) в точности тогда, когда (1 — yxz) —
обратимый элемент в R для всех у, z 6 R.
Чтобы лучше представить место областей дискретного нормирования
среди других колец, напомним определение локального кольца и запишем
несколько простых фактов о нем. Кольцо R называется локальным, если
факторкольцо R/J(R) является телом.
Предложение 3.1. Следующие утверждения о кольце R эквивалентны-.
(1)	R — локальное кольцо;
§3. Области дискретного нормирования
27
(2)	R имеет единственный максимальный левый идеал;
(3)	R имеет единственный максимальный правый идеал;
(4)	все необратимые элементы кольца R образуют идеал;
(5)	для любого элемента г 6 R либо г, либо 1 — г — обратимый эле-
мент.
Доказательство. (1) ==> (2). Пусть М — некоторый максимальный
левый идеал кольца R. Тогда J(7?) С М и Af/J(7?) — максимальный
левый идеал тела R/J(R). Следовательно, М/ J(R) = Q и М — J(R).
(2) => (1). Получается, что единственный максимальный левый идеал
совпадает с J(R). Следовательно, кольцо R/J(R) не имеет собственных
левых идеалов. Следовательно, оно —тело, a R — локальное кольцо.
Аналогично доказывается эквивалентность (1) и (3).
(1) => (4). Элемент г кольца R обратим в точности тогда, когда об-
ратим смежный класс г + J(R) в R/J(R). Действительно, пусть (г +
+ J(7?))(s + J(R)) = 1 + J(R). Имеются элементы х, у е J(R) такие, что
rs = 1 + х и sr = 1 + у. Отсюда rs и sr — обратимые элементы. Следо-
вательно, элемент г также обратим. Теперь понятно, что множество всех
необратимых элементов кольца R совпадает с J(R).
(4) => (5). Все необратимые элементы кольца R образуют единствен-
ный максимальный левый идеал кольца R, совпадающий с J(R). Сле-
довательно, если элемент г необратим, то г 6 J(R). Тогда (1 - г) —
обратимый элемент.
(5) => (1). Пусть г £ J(R). Существует максимальный левый идеал
М кольца R такой, что г М. Тогда М + Rr = R и т + ar = 1, те
е М, а е R. Так как т — необратимый элемент, то получается, что аг —
обратимый элемент. Аналогично, rb — обратимый элемент для некоторо-
го Ь. Следовательно, г — обратимый элемент. Итак, R/J(R) — тело и R —
локальное кольцо.	□
Под областью будем понимать кольцо без делителей нуля.
Определение 3.2. Кольцо R называется областью (или кольцом) дис-
кретного нормирования, если оно удовлетворяет следующим трем усло-
виям:
(1)	7? —локальное кольцо;
(2)	J(R) = pR = Rp, где р — некоторый ненильпотентный элемент
кольца R;
28
Глава 1. Предварительные сведения
(з)	пдапп = о.
П^1
Чуть ниже мы убедимся, что кольцо R из определения 3.2 действитель-
но является областью. Иногда условие (2) формулируется так: J(R) =
= pR = Rp, где р = 0, либо р — некоторый ненильпотентный элемент
кольца R. При р = 0 получаем, что R — тело. Это позволяет формально
включать в определение области дискретного нормирования тела.
Элемент р из условия (2) называется простым элементом области
дискретного нормирования R. Простой элемент определяется неоднознач-
но. Годятся также элементы вида pv или vp, где v — произвольный обра-
тимый элемент кольца R.
На протяжении всей книги буква р обозначает некоторый фиксирован-
ный простой элемент области дискретного нормирования. Но иногда р —
это некоторое простое целое число, что специально оговаривается.
Рассмотрим некоторые свойства областей дискретного нормирования
(см. Бэр [74] и Либерт [212]).
(1)	J(7?)n =pnR — Rpn для любого натурального числа п.
Из pR = Rp легко выводится, что J^RY1 = pR • • pR = pnR = Rpn.
(2)	Всякий собственный односторонний идеал кольца R является иде-
алом и равен pnR для некоторого n > 1.
Пусть А — левый идеал кольца R, отличный от 0 и R. Тогда А С J(R),
так как в противном случае А содержал бы обратимый элемент и совпал
с R. Выберем минимальное число п, для которого А С pnR. Возьмем
такой элемент а Е А, что а pn+1R. Имеем а = vpn, где v Rp. По
предложению 3.1 pnR = Rpn С А. Следовательно, А = pnR. Для правых
идеалов доказательство аналогичное.
(3)	Всякий ненулевой элемент г кольца R имеет единственное пред-
ставление в виде г = pnv — ирп, где п — неотрицательное целое число, v
и и — обратимые элементы кольца R. (Как обычно, считаем р° = 1.)
Пусть п — минимальное число со свойством г Е pnR. Тогда г = pnv,
где v pR. Значит, v — обратимый элемент. Так как pnR = Rpn, то г =
= ирп, где и — обратимый элемент. Теперь ясно, что р — неделитель нуля
в R. Отсюда, если pnv = pmw (ирп = wpm соответственно), то п = т
и v = w (и = w соответственно).
(4)	R есть область. Допустим, что ху = 0 для некоторых ненулевых
элементов хну кольца R. Запишем х = pnv, у = рти и vpm = pmw,
где v, и и w — обратимые элементы. Имеем ху = pnvpmu = pnpmwu = 0.
Отсюда рп+т = о, что невозможно, поскольку р — ненильпотентный эле-
мент.
(5)	Пусть х, у — ненулевые элементы кольца R. Существуют и притом
единственные элементы xi,yi Е R такие, что ху = yxi = у^х. Возьмем
§3. Области дискретного нормирования
29
элементы v, и и w такие, как в (4). Тогда имеем
ху = (pmu)xi = ух\, где Xi = u~1pnwu.
Так же находится элемент у\.
(6)	Элементы xi и yi из (5) можно получить с помощью некоторого
автоморфизма кольца R. Зафиксируем ненулевой элемент у кольца R.
Для каждого х 6 R существует, ввиду (5), единственный элемент xi
такой, что ху = yxi. Положим <ту(х) = xi, х Е R. Здесь <ху — биекция
кольца R на себя. Справедливы также равенства
<Ту(х + z) = <7у(х') + CTyfz) И Oy(xz) = <Ty(x)cTy(z)
для любых х, z е R. Следовательно, ау — автоморфизм кольца R и
ху = усгу(х') для каждого х € R. Ясно, что сгу(у) = у. Для у = 0 в
качестве сто возьмем тождественный автоморфизм кольца R. Затем, из
ух = хах(у) получаем о~1(у}х = ху. Таким образом, имеем
ХУ = У°у(х) = (ГхЧу^х
для любых элементов х, у кольца R.
Кольцом главных идеалов называется кольцо, у которого каждый од-
носторонний идеал является главным. Областью главных идеалов на-
зывается кольцо главных идеалов, являющееся областью. Коммутативное
кольцо R является областью дискретного нормирования в точности то-
гда, когда R — область главных идеалов с единственным ненулевым соб-
ственным простым идеалом. В коммутативных областях главных идеалов
простые элементы совпадают с элементами, порождающими ненулевой
собственный простой идеал.
Свойства (3) и (5) позволяют обращаться с элементами некоммутатив-
ных областей дискретного нормирования аналогично тому, как с элемен-
тами коммутативных областей дискретного нормирования. Нужно только
иногда делать незначительные уточнения.
(7)	Из (5) следует, что область R удовлетворяет правому и левому
условиям Оре. Следовательно, существует тело частных К области R.
Можно считать, что К состоит из всех выражений (называемых дробя-
ми) вида г1рп, где г G R, п — неотрицательное целое число. При этом
считаем, что r/pn = s/pm -<=> rpm~n = s, если п т, и г = spn~m при
т п. Определим сложение и умножение дробей согласно формулам
г s	rpm + spn
рп + рт	рп+т ’
г s	rapn(s)
'рП	рП+т ’
30
Глава 1. Предварительные сведения
где сгрп — автоморфизм кольца R, определенный в (6). Проверка показы-
вает, что К — тело, являющееся телом частных области R. В частности,
обратной дробью для дроби г/рп, г / 0, будет (pnv-1)/pm, если г = pmv
с обратимым элементом v. Кольцо R отождествляем с подкольцом тела
К, состоящим из дробей т/1 для всевозможных г е R.
(8)	Всякий автоморфизм т кольца R можно продолжить до автомор-
физма т тела К, положив т(т/рп) = (т(г)у~1')/рп, где т(рп) = pnvn
и vn — обратимый элемент в R. Тогда (6) влечет, что для всякого у G
€ R существует автоморфизм ау тела К, удовлетворяющий равенству
ку = уау(к} при всех к 6 К. Если R — коммутативная область, то ау —
тождественный автоморфизм.
Приведем примеры областей дискретного нормирования. Главный иде-
ал коммутативного кольца, порожденный элементом х, будем обозна-
чать (х).
Пусть R — произвольная коммутативная область главных идеалов с по-
лем частных F. Возьмем некоторый собственный ненулевой простой иде-
ал Р кольца R. Положим Rp — {a/b е F | Ь Р}. Тогда Rp — область
дискретного нормирования с максимальным идеалом PRp. Поле част-
ных кольца R есть F. Кольцо Rp называется локализацией кольца R
относительно простого идеала Р. Если Р = (р), то пишут также Rp.
Возьмем в качестве R кольцо целых чисел Z. Пусть р — некоторое
простое число. Тогда локализация Zp — это кольцо всех рациональных
чисел со знаменателями взаимно простыми с р. Полем частных для Zp
является поле рациональных чисел.
Пусть теперь F — некоторое поле, F[x] — кольцо многочленов от одной
переменной х над полем F. Тогда F[x] — коммутативная область глав-
ных идеалов. Поле частных кольца F[x] называется полем рациональных
функций. Простыми элементами кольца F[x] будут неприводимые много-
члены. Пусть р(х) — некоторый неприводимый многочлен. Тогда (р(х)) —
простой идеал и локализация кольца F[x] относительно (р(х)) есть об-
ласть дискретного нормирования.
Рассмотрим примеры другого рода.
Пусть р — фиксированное простое число. Возьмем последовательности
натуральных чисел (ki, k%,   , kn,...), подчиненные условиям 0 < kn <
< рп и kn+i = кп (mod рп), п 1. Сумма и произведение двух та-
ких последовательностей производится их покомпонентным сложением
и умножением и последующей факторизацией по модулю рп. В резуль-
тате все рассматриваемые последовательности образуют коммутативную
область. Она называется кольцом целых р-адических чисел и обозначает-
ся Zp. Нулем служит последовательность (0,0,... ,0,...), а единицей —
§3. Области дискретного нормирования
31
последовательность (1,1,..., 1,...). Имеется вложение колец Z —> Zp,
при котором целому числу s соответствует последовательность s  1, где
1 — единица кольца Zp. Если (s,p) = 1, то $-1 — обратимый элемент в Zp.
Каждой дроби s/t из Zp поставим в соответствие элемент (s • l)(i • I)-1
кольца Zp. Таким путем получим вложение кольца Zp в Zp. Отождеств-
ляя, будем считать Zp подкольцом в Zp. Собственные идеалы кольца
Zp имеют вид (pn), n > 1. Следовательно, Zp — коммутативная область
дискретного нормирования с простым элементом р. Последовательность
(А>1, к2, • • •, кп,...) обратима в Zp в точности тогда, когда ki 0. По-
ле частных кольца Zp, называемое полем р-адических чисел, состоит из
всех дробей ^lpn, где тг — целое р-адическое число, п — неотрицательное
целое число.
Известно, что для р-адических чисел возможна запись в виде фор-
мального бесконечного ряда. При реальном использовании кольца целых
р-адических чисел, например, исследовании модулей над ним, знание кон-
кретного вида его элементов и операций нам не нужно.
Пусть снова F — некоторое поле. Над полем F можно определить не
только многочлены, но и (формальные) степенные ряды
оо
ао + сцх + а2х2 + ... + akXk + ... — akXk, ak € F,
fc=0
от переменной х. Определение операций с многочленов на степенные
ряды переносится непосредственным образом:
ОО	ОО	ОО
У2акхк+52bkxk = 'Esak+Ьк)хк,
к=0	к—0	к=0
оо	оо	оо
У2 акхк • У2 bixl = У2Стх7П’
fc=0	1=0	т=0
где Ст = akbi- Как и для многочленов, проверяется, что все степен-
к+1~т
ные ряды с указанными сложением и умножением образуют коммутатив-
ную область; она называется кольцом степенных рядов от переменной
х над полем F и обозначается F[[rr]].
Ряд f с ненулевым свободным членом имеет обратный. Действительно,
представим f в виде f = а(1 — д'), где а е F, а 0 и д — некоторый ряд.
Легко убедиться в существовании ряда 1 + <j-Ь <?2 +... Тогда = а-1 х
х (1+д+д2+...). Несколько подробней. Пусть / = акхк, где ао / 0.
Тогда /-1 = '£к=оЪкхк, где коэффициенты находятся из уравнений
1 = /о5о, 0 = /о51 + /15о, 0 = /о52 + /151 + /г5о, • • • •
32
Глава 1. Предварительные сведения
Отсюда выводится, что все ненулевые идеалы в F[[a;]] образуют цепь
(1) D (ж) D (ж2) D ...
Значит, F[[x]] — область дискретного нормирования.
Найдем поле частных области F[[rr]]. Определим (формальный) ряд
Лорана от переменной х над полем F как выражение
оо
апхп + ап+1хп+1 + ... + акхк + ... = акХк, Ofc G F,
к—п
где п — любое целое, возможно отрицательное число. Таким образом, ряд
Лорана в общем случае содержит конечное число членов с отрицатель-
ными степенями переменной х и бесконечно много членов с ее положи-
тельными степенями. Сложение и умножение рядов Лорана происходит
аналогично сложению и умножению степенных рядов. В результате по-
лучаем коммутативную область, состоящую из всех рядов Лорана. Она
называется кольцом рядов Лорана от переменной х над полем F и обо-
значается F{x). Ясно, что F[[x]] — подкольцо в F{x). Пусть / — ненуле-
вой ряд Лорана. Выберем подходящую степень хп (п — некоторое целое
число) так, что
/ • хп = bo -Ь bix + b2x2 +..., где Ьо / 0.
Ряд справа, как показано выше, обратим. Обратим также ряд хп. Следо-
вательно, и / — обратимый ряд. Таким образом, F(x) — поле. Для ряда
/	F[[x]] найдутся натуральное число п и степенной ряд g такие, что
/ = (жп)-1 д. Это означает, что F{x) — поле частных для области F[[rr]].
Области дискретного нормирования в рассмотренных примерах ком-
мутативны. Дадим примеры некоммутативных областей дискретного нор-
мирования. Пусть D — некоторое тело. Аналогично определяются кольца
D[x], D[[x]] и D(x') многочленов, степенных рядов и рядов Лорана от
переменной х над телом D. Подразумевается, что переменная х пере-
становочна с элементами тела D, т. е. ах = ха для всех а е D. Так же
получается, что Z>[[x]] есть область дискретного нормирования и D{x) —
её тело частных. Если D — некоммутативное тело, то D[[»]] — некомму-
тативная область.
Запас (некоммутативных) областей дискретного нормирования мож-
но увеличить, если задать другие операции умножения степенных рядов
и рядов Лорана. Пусть а — некоторый автоморфизм тела D. На множе-
стве всех степенных рядов от переменной х над телом D оставим прежнее
§3. Области дискретного нормирования
33
сложение. Умножение степенных рядов зададим равенством ха = а(а)ху
а е D, и его следствиями. Именно,
оо	оо	оо
52 akxk  52 bixi = 52СтХ™
к=0	1=0	т—0
где ст = У2	Множество всех степенных рядов с данными
k+l=m
операциями сложения и умножения образует кольцо £>[[ж, а]]. Оно назы-
вается кольцом косых степенных рядов. Как и выше проверяется, что
D[[ж, а]] — область дискретного нормирования. Даже если D — поле, но
а — нетождественный автоморфизм, то D[[x, а]] — некоммутативная об-
ласть. Телом частных области £>[[ж, а]] является тело косых рядов Лорана
D{x, а). Его элементы —это ряды Лорана от переменной х над телом D.
Тело D(x, а) имеет такую же аддитивную структуру, что и тело D{x).
Умножение индуцируется правилом хка = ак(а)хк, к — целое число,
а € R. Заметим, что
х-1а(а) = а-1(аа)х-1 = ах-1.
Таким образом, а(а) = хах~г для любого а е D. Следовательно, авто-
морфизм а можно теперь рассматривать как ограничение на подкольцо
D сопряжения элементом х тела D{x,oi).
Вернемся к произвольной области дискретного нормирования R. В R
можно ввести естественным образом одну довольно полезную тополо-
гию. Идеалы pnR, п = 0,1,2,..., возьмем в качестве базиса окрестно-
стей нуля. Напоминаем, что р обозначает некоторый фиксированный про-
стой элемент области R. Это превращает R в топологическое простран-
ство. Отображение (г, s) —> г + s топологического пространства R х R
на топологическое пространство R непрерывно. Непрерывно отображе-
ние г —> — г пространства R на себя. Следовательно, R — топологическая
абелева группа. Непрерывно также отображение R х R —> R, (г, s') —> rs.
Таким образом, R — топологическое кольцо. Введенная топология назы-
вается р-адической топологией кольца R. Так как Q pnR = 0, то эта
П^1
топология хаусдорфова. Считаем, что области дискретного нормирования
имеют р-адическую топологию и все топологические понятия относятся
к этой топологии.
Чтобы определить полные области дискретного нормирования, рас-
смотрим последовательности Коши и сходящиеся последовательности.
Последовательность {ri}i^i элементов области дискретного нормирова-
ния R называется последовательностью Коши, если для всякого на-
турального числа п существует натуральное число к, зависящее от п,
2 — 4473
34
Глава 1. Предварительные сведения
такое, что п - г,- е pnR для всех i,j к. Говорят, что последователь-
ность сходится к пределу г е R, если для всякого натурального
числа п существует натуральное число к, зависящее от п, такое, что
г-г< 6 pnR, как только г > к. Сходящаяся последовательность есть по-
следовательность Коши. Если последовательность сходится, то и всякая
её бесконечная подпоследовательность сходится и имеет тот же предел.
Ясно отсюда, что мы можем рассматривать в основном так называемые
чистые последовательности Коши и чисто сходящиеся последовательно-
сти. Последовательность {п} называется чистой последовательностью
Коши, если для всякого натурального числа п мы имеем Г{ - rn е pnR
для всех i п. Последовательность {гД чисто сходится к элементу
г G R, если она имеет следующее свойство: г-г, е pnR для всех i п.
Если чистая последовательность Коши сходится к пределу г, то эта по-
следовательность чисто сходится к г.
Область дискретного нормирования R называется полной областью
дискретного нормирования, если R — полное топологическое кольцо от-
носительно р-адической топологии. Это означает, что всякая последова-
тельность Коши элементов в кольце R имеет предел в R. Для полноты
кольца R достаточно, чтобы всякая чистая последовательность Коши эле-
ментов в кольце R имела предел в R.
Остановимся на вопросе о вложении области дискретного нормирова-
ния в полную область дискретного нормирования.
Предложение 3.3. Если R — область дискретного нормирования, то
существует такая полная область дискретного нормирования R, ко-
торая содержит R в качестве плотного подкольца.
Доказательство. Обозначим Rpn = R/pnR, n > 1, и образуем про-
изведение колец R = П ^рп- Существует канонический гомоморфизм
П^1
колец 7гп: Rpn+i —> Rpn для каждого п, где
тгп(г + pn+lR) = г + pnR, г е R.
Пусть R — множество всех элементов (rn)n^i из R, где гп = г + pnR,
таких, что 7Tn(fn+i) = тп для всех п. Тогда R — подкольцо в R и область.
Затем, отображение R —> R, г —> (г + pnR)n^i есть вложение колец.
Отождествим кольцо R с образом этого вложения, в частности, пусть
р = (р + PnR)n^\. Если
(Гп) = (п + PnR) € R и Г1 / О,
§3. Области дискретного нормирования
35
ТО (fn) — обратимый в R элемент. Получаем, что все необратимые эле-
менты кольца R образуют идеал и R — локальное кольцо. Элемент (fn)
кольца R делится на рк в точности тогда, когда п = ... = Гк = 0. Отсюда
J(fl) = pR = Rp и р| J(H)n = 0.
n^l
Следовательно, R — область дискретного нормирования.
Пусть (fnЬ, (тпЬ> • • • 1 (тпЬ> • • • — чистая последовательность Коши
элементов в R. Тогда для каждого п 1 имеем = f^n+1^ = ...
Обозначим этот общий элемент через гп. Тогда (^п) £ R, и данная чи-
стая последовательность сходится к этому элементу.
Докажем, что подкольцо R плотно в R. Так как pnRC\R = pnR для лю-
бого п, то р-адическая топология кольца R совпадает с индуцированной
топологией. Пусть (fn) 6 R, где гп = rn + pnR, rn е R, для каждого п.
Возьмем последовательность элементов
кольца R, где (ЗпЬ =	...,г,,...) для каждого i. Тогда элемент
(fn) является пределом этой последовательности. Следовательно, R —
плотное подкольцо в R.	□
В доказательстве предложения 3.3 мы использовали конструкцию об-
ратного предела. Построенная полная область дискретного нормирова-
ния R называется р-адическим пополнением или просто пополнением
области R. Она единственна в определенном смысле (см. упражнение 2,
а также следствие 11.14).
Обозначим через К тело частных области R. Имеем включения
R C^R СК, RcKCKn равенства колец R П К — R, К — RK,
где RK состоит из произведений гк для всех г е R и к е К.
Есть два типичных примера полных областей дискретного нормиро-
вания. Кольцо Zp целых р-адических чисел является полной областью
дискретного нормирования и является пополнением кольца Zp. Коль-
цо rLPlpn'Lp является кольцом вычетов по модулю рп. Мы фактически
и строили Zp как пополнение кольца Zp методом из предложения 3.3.
Кольцо косых степенных рядов Р[[ж, а]] является полной областью
дискретного нормирования. Для любой чистой последовательности
Л(я),/2(2),... рядов из D[[x, се]] нетрудно построить ряд, являющийся
пределом этой последовательности. Например, если F — поле и S — ло-
кализация кольца F[rr] относительно простого идеала (ж), то F[[x]] есть
пополнение для S.
2»
36
Глава 1. Предварительные сведения
Пусть R — некоторая область дискретного нормирования. Для каждо-
го натурального числа п обозначим Rpn = R/pnR. Так как R плотно
в пополнении R, то R + рпR = R. Отсюда получаем
R/pnR= (R +pnR)/pnR = R/(RQpnR) = R/pnR и Rpn Rpn.
При n = 1 имеем тело Rp. Оно называется телом вычетов области R.
Имеем также тело частных К области R. Итак, с каждой областью дис-
кретного нормирования можно связать два тела. Если R — коммутатив-
ная область дискретного нормирования, то говорят о поле вычетов Rp
и поле частных К. Характеристики этих двух тел могут быть лишь та-
кими. Либо характеристика тела частных равна нулю, а характеристика
тела вычетов конечна, либо эти характеристики равны. В случае комму-
тативных полных областей дискретного нормирования типичными приме-
рами могут служить кольца Zp и F[[x]]. Свойства коммутативных полных
областей дискретного нормирования с разными характеристиками поля
частных и поля вычетов напоминают свойства кольца Zp. С другой сторо-
ны, известна следующая теорема Тейхмюллера: если R — коммутативная
полная область дискретного нормирования такая, что поле частных К
и поле вычетов Rp имеют равные характеристики, то R изоморфно коль-
цу степенных рядов над полем Rp.
Рассмотрим вкратце другой подход к определению областей дискрет-
ного нормирования, объясняющий происхождение слова «нормирование»
в их названии.
Пусть (Г, <) —линейно упорядоченная группа. Это означает, что ли-
нейный порядок на множестве Г удовлетворяет условию: для любых
х,у, z е Г из х < у следует zx < zy и xz < yz. Предположим, что D —
некоторое тело, D* — его мультипликативная группа. Функция и: D*
—» Г называется нормированием тела D со значениями в группе Г, если
(1) v(ab) = v(a)v(b) для любых a, b G D*\
(2) и(а + Ь) > min(i/(a), i/(6)) для любых a, b е D* таких, что а + b ± 0.
Для нормирования w. D* —> Г положим R = {а е D* | i/(a) e}U {0},
где е — единичный элемент группы Г. Проверим, что R — подкольцо в D.
Так как I/— гомоморфизм групп, то i/(l) = е. Поэтому
е = i/(l) = i/(-l)i/(-1) = i/(-l)2.
Следовательно, i/(—1) = е, так как Г не имеет кручения как линейно
упорядоченная группа. Теперь, если b е R, то
= и(Ь)и(—1)	i/(—1) = е и - b € R.
§3. Области дискретного нормирования
37
Далее, имеем
i/(a + Ь) е и p(afe) = p(a)i/(6) z/(fe) е для a, b G R.
Получили, что R — подкольцо в D.
Установим некоторые свойства кольца R.
(1)	R — локальное кольцо. Пусть А = {а 6 R | р(а) > е} U {0}. Для
а, b е А имеем
р(а — Ь) min(i/(a), i/(—&)) > е и а — b € А.
Если г 6 R, г / 0, то
р(га) = z/(r)z/(a) > р(а) > е и ratA.
Аналогично, аг е А. Следовательно, А — идеал кольца R. Если а е R
и а А, то р(а) = е. Значит, гДа-1) = е, а-1 € R и а —обратимый
элемент. Пусть а — обратимый элемент кольца R. Тогда
гДа),	е и i/(a)i/(a-1) = гД1) = е.
Следовательно, гДа) = е и а £ А. Получили, что идеал А состоит из всех
необратимых элементов кольца R. Следовательно, R — локальное кольцо.
(2)	Для любого элемента д группы Г такого, что д е, множества
= {а G R | и(а) >5} и Yg = {a G R | гДа) д}
являются идеалами кольца R, и всякий ненулевой односторонний идеал
кольца R содержит один из идеалов Yg.
То, что Хд и Yg есть идеалы, — всего лишь проверка. Для любых
ненулевых элементов a, b 6 R таких, что гДй) > v(d) можно записать
b = са, где с = Ьа~г; следовательно,
гДс) = p(b)i/(a-1) е и с € R.
Таким образом, Ra D Yg для любого д с д v(a). Теперь, так как а е Yg,
то aR С Yg. Отсюда получаем свойство (3).
(3)	Любой левый идеал кольца R есть идеал, и, аналогично, любой
правый идеал есть идеал.
(4)	Для любого элемента а е D* либо а G R, либо а-1 е R (допус-
каются оба включения). Если гДа) е, то а € R. В противном случае
гДа) е. Тогда
е = гДаа-1) — i/(a)i/(a~1)	*Да-1) и а-1 € R.
38
Глава 1. Предварительные сведения
(5)	Для любого элемента a G D* имеем aRa 1 = R. Пусть ага 1 €
G aRa~\ где г / 0. Из i'(r) > е получаем
i/(ara-1) = i/(a)i/(r)i/(a-1)	i/(a)p(a-1) = е,
ага-1 G R и aRa~r С R.
Точно так же, а-17?а С R. Следовательно, R С aRa~l и aRa~l = R или
aR = Ra.
(6)	Любые два идеала кольца R сравнимы по включению. Пусть В
и С — идеалы кольца R, причем С £ В. Выберем элемент а G С \ В.
Пусть b € В и b / 0. Если аЬ-1 € R, то а — (ab~1)b G RB = В, что
невозможно. Значит, аЬ~г R. По (4)
ba"1 ER и b = (6а-1)а G RC = С.
Предположим теперь, что R — такое подкольцо тела D, что для R
справедливы условия (4) и (5). Докажем, что существует линейно упоря-
доченная группа (Г, <) и нормирование iz:£>*—► Г такое, что R = {а G
G D* | iz(a) е} U {0}. С этой целью обозначим через U группу всех
обратимых элементов кольца R. Тогда U — нормальная подгруппа в £>*,
т. е. aUa~r = U для всякого a G D*. Имеем aRa-1 = R и a~xRa = R.
Пусть ava-1 G aUa~l. Тогда ava-1 € R и ava~r обратим в R, так как
имеет обратный аг>-1а-1 G R. Следовательно, ava-1 G U. Итак, alla^1 С
С U и, аналогично, а-1С7а С U. Отсюда U С aUa~l и aUa~r = U.
В качестве группы Г возьмем факторгруппу D*/U. Определим отно-
шение < на группе Г следующим образом. Пусть д, h € Г и д = aU,
h = bU, где a,b G D*. Полагаем h д <=> aR С bR. Наше определение
не зависит от выбора представителей а и Ь. Рефлексивность и транзитив-
ность отношения < проверяются без труда. Пусть h < д и д < h. Значит,
aR С bR, bR С aR и aR = bR, откуда b~1a,a~1b G R. Теперь имеем a =
= b(b~1a), где b~ra G U, так как (Ь-1а)-1 = a~rb. Следовательно, a G bU
и b Е aU, что дает aU = bU и д = h. Имеем порядок на группе Г.
Так же, как в (6), можно доказать, что либо aR С bR, либо bR С aR.
Поэтому или h < д, или д < h, т. е. порядок < линеен. Предположим
теперь, что h < д и f = cU. Из aR С bR получаем caR С cbR. Но fh =
= cU • bU = cbU, a fg = caU. Поэтому fh fg. Аналогично, hf gf.
Итак, (Г, <) — линейно упорядоченная группа.
Пусть w. D* —> Г — канонический гомоморфизм, т. е. w. а —> aU, a G
G D*. Докажем, что v — нормирование. Нуждается в проверке лишь п. (2)
из определения нормирования. Возьмем произвольные элементы a, beD*,
а + b / 0, и покажем, что v(a + b) min(i/(a), р(6)). Предположим для
определенности, что z/(a) р(Ь) (значит, bR С aR). Тогда i/(a-1b)	р(1).
§3. Области дискретного нормирования
39
Следовательно, a~lbR С 1  R и a~lb G R, откуда а-1Ь + 1 6 R и (а +
+ b)R С aR. Следовательно, v(a + b) и(а) = min(p(a), i/(b)) и и — нор-
мирование. Покажем, наконец, что исходное кольцо R совпадает с {а 6
е D* | v(a) > е} U {0}. Пусть а € R, а / 0. Тогда aR С 1 • R и р(а) > е.
Если а € D*, а 0 и v(a) е = р(1), то aR С 1  R = R и а € R.
Кольцо R, построенное нами первым или вторым способом (они рав-
носильны), называется инвариантным кольцом нормирования и тела
D. Для поля D свойство (5) автоматически выполняется. Инвариантное
кольцо нормирования поля D называется кольцом нормирования в D
(см. упражнение 6). Дополнительная информация о нормированиях по-
лей имеется в §26.
Пусть Г — бесконечная циклическая группа с образующим элементом
д. Группу Г считаем линейно упорядоченной естественным образом: дп <
дт <=> п < т (п, т — произвольные целые числа). В этом случае любое
нормирование и: D* —> Г называется дискретным.
Пусть v — дискретное нормирование тела D, R — инвариантное кольцо
нормирования v, т. е. R = {а е D* | v(a) е} U {0}. Докажем, что
R — область дискретного нормирования в смысле определения 3.2. По
свойству (1) кольцо R локально, причем
J(fl) = А = {а е R | i/(a) > е} U {0}.
Пусть р — один из элементов группы D*, для которого и(р) = д. Ясно, что
р е R и р — ненильпотентный элемент. Убедимся, что J(R) = pR — Rp.
Второе равенство получается из свойства (5). Так как z/(p) = д > е, то
р G А и pR С А. С другой стороны, для любого ненулевого a 6 А суще-
ствует натуральное число п такое, что и(а) = и(рп). Отсюда а = pnv, где
v — некоторый обратимый элемент в R. Следовательно, а е pR и А = pR.
Пусть а е П (рД)п и а / 0. Тогда а — рпхп для каждого п, где хп е R.
П^1
Получаем и(а) = i/(pn)p(xn) = дпи(хп), что невозможно. Следовательно,
Р| (pR)n = 0. Итак, R — область дискретного нормирования.
Предположим теперь, что R — некоторая область дискретного норми-
рования, К — её тело частных. Пусть Г — бесконечная циклическая груп-
па с образующим элементом р, где р — простой элемент области R. Лю-
бой элемент из К* имеет единственную запись в виде vpn, где v — об-
ратимый элемент кольца R, п — некоторое целое число. Зададим отобра-
жение и: К* —> Г, полагая v(vpn) =рп. Тогда и — нормирование тела К
(оно называется каноническим) и R совпадает с инвариантным кольцом
нормирования и, т. е.
R = {а е К* | v(a) > е} U {0}.
40
Глава 1. Предварительные сведения
Пусть U — группа всех обратимых элементов кольца R. Понятно, что
заданное так нормирование и совпадет с нормированием, если его опре-
делить, как выше, исходя из факторгруппы К*/U.
Можно сделать вывод о том, что области дискретного нормирования
суть определенные инвариантные кольца нормирования тел.
Приведем примеры дискретных нормирований. Соответствующие коль-
ца нормирований будут теми областями дискретного нормирования, ко-
торые мы определяли раньше непосредственным образом. Бесконечную
циклическую группу с образующим элементом д обозначаем (д').
(1)	Пусть р — фиксированное простое число. Любой ненулевой эле-
мент поля рациональных чисел Q имеет вид (т/п)рк, где т, п — нену-
левые целые числа, не делящиеся на р, к — целое число. Отображение
vp: Q* —> (р), ир((т/п)рк) = рк является (дискретным) нормированием
поля Q. Его кольцо нормирования есть Zp. Нормирование ир называется
р-адическим нормированием.
(2)	Всякий ненулевой ряд Лорана /(а?) над полем F равен д(х)хк, где
д(х) — степенной ряд со свободным членом, отличным от нуля, к — це-
лое число. Отображение их: F(x)* —► (х) является нормированием поля
рядов Лорана F(x) с кольцом нормирования F[[z]]. Вместо х возьмем
какой-то неприводимый многочлен р(ж) над полем F. Таким же спосо-
бом можно получить нормирование ир(х). Кольцо нормирования ир(х) сов-
падает с пополнением локализации кольца F[x] относительно простого
идеала (р(х)).
Эти два примера обобщаются следующим образом.
(3)	Пусть R — коммутативная область главных идеалов, F — ее поле
частных и р — некоторый простой элемент области R. Любой элемент а
из F* можно записать в виде (r/s)pk, где г и s — элементы из R, не де-
лящиеся на р, к — целое число. Можно еще сказать, что к — наибольший
показатель, с которым р входит в разложение элемента а в произведение
положительных и отрицательных степеней простых элементов (или в раз-
ложение дробного идеала aR в произведение степеней простых идеалов).
Определим отображение vp: F* (р), полагая ир(а) = рк. Получаем
нормирование поля F с кольцом нормирования, совпадающим с локали-
зацией кольца R относительно простого идеала (р).
Похожее нормирование up можно определить, если R — дедекиндо-
ва область (см. упражнение 3) и Р — некоторый собственный ненулевой
простой идеал. Имеем ир(а) = Рк для a G F*, где к — наибольший по-
казатель, с которым идеал Р входит в разложение дробного идеала aR
в произведение степеней простых идеалов.
Упражнение 1. Пусть R — область дискретного нормирования, Р — её те-
§4. Первичные понятия теории модулей
41
ло частных, U(R) и D* — группы обратимых элементов области R и тела
D соответственно. Показать, что группа В* есть полупрямое произведение
подгрупп U(R) и (р). Это означает, что U(R) — нормальная подгруппа в В*,
D* = U(JR)(p) и17(Я)П(р) = (1).
Упражнение 2. р-адическое пополнение R области дискретного нормиро-
вания R единственно в следующем смысле. Если S' —еще одно пополнение
области R, то тождественное отображение кольца R продолжается до коль-
цевого изоморфизма между R и S.
Упражнение 3. Коммутативная область R с полем частных F называ-
ется дедекиндовой областью, если для каждого ненулевого Я-подмодуля
А в F найдется такой Я-подмодуль В в F, что АВ = R. Доказать, что
коммутативная область R является дедекиндовой областью в точности то-
гда, когда кольцо R нётерово и Rp — область дискретного нормирования для
всех максимальных идеалов Р кольца R. Здесь Rp — локализация кольца R
относительно Р.
Упражнение 4. Пусть F — поле алгебраических чисел (т. е. конечное рас-
ширение поля рациональных чисел). Кольцом целых алгебраических чисел
поля F называется целое замыкание кольца целых чисел Z в F. Показать,
что кольцо целых алгебраических чисел является дедекиндовой областью.
Упражнение 5. Пусть z0 — точка на комплексной плоскости и R — коль-
цо функций, голоморфных в некотором круге с центром в zq. Тогда R —
область дискретного нормирования, максимальный идеал которой состоит из
тех функций, которые имеют нуль в zq. Простым элементом может служить
функция z - z0.
Упражнение 6. Пусть R — коммутативная область, F — её поле частных.
Кольцо R называется кольцом нормирования (в поле F), если для любого
ненулевого элемента а в F либо а е R, либо а-1 е R. Доказать, что R
будет кольцом нормирования в точности тогда, когда любые два идеала в R
сравнимы по включению.
Упражнение 7. Пусть R — коммутативная область главных идеалов, F —
её поле частных и S — кольцо нормирования поля F, содержащее R, причем
S / F. Показать, что S есть локализация кольца R относительно некоторого
простого идеала кольца R. (Это применимо и к кольцу целых чисел, и к
кольцу многочленов над любым полем.)
Упражнение 8. Всякое кольцо нормирования поля рациональных чисел
Q, отличное от Q, имеет вид Zp для некоторого р.
§ 4. Первичные понятия теории модулей
Буква R обозначает область дискретного нормирования. Приведем неко-
торые первоначальные факты о модулях над областями дискретного нор-
мирования.
42
Глава 1. Предварительные сведения
Рассмотрим строение циклических модулей. Пусть М — Ra — цикли-
ческий модуль с образующим элементом а. Имеем эпиморфизм <р: R —>
—> М, где <р(т) = га для каждого элемента г G R. Если Кег(<р) = О,
то М = R. Иначе, Ker(<p) = pnR для некоторого натурального числа п.
Тогда М = R/pnR. Обозначим циклический модуль R/pnR через R(pn\
Так же будем обозначать любой модуль, изоморфный R(pn). То же и для
левого модуля R. Так как pnR — идеал кольца R, то 7?(рп) является пра-
вым 7?-модулем, т. е. 7?-7?-бимодулем. R(pn) есть еще Rpn-Rpn-бимодуль,
где Rpn — факторкольцо R/pnR, как было условлено в § 3. Из этого па-
раграфа следует, что для любого элемента у е R существует групповой
автоморфизм ау модуля 7?(рп) такой, что
ау(тс) = ау(т)сгу(с) и су = уау(с)
для любых г е R и с е R(pn}.
Итак, циклические Я-модули исчерпываются модулями R и 7?(рп),
п 1. Отсюда получаем, что любой простой модуль изоморфен R(p).
(Ненулевой модуль М называется простым, если М не имеет подмоду-
лей, отличных от 0 и М.) Собственные подмодули модуля R имеют вид
pnR, n > 1. Если 7?(рп) = Ra, то собственными подмодулями модуля Ra
будут подмодули R(pa), R(p2a),..., R(pn~1a). Следовательно, подмодули
циклических модулей являются циклическими модулями. Пусть опять
Ra = R(pn). Возьмем некоторый подмодуль R(pka), где 1 < к < п — 1.
Тогда Ra/R(pka) = R(pk).
Следующими тремя важными модулями являются R, К и К/R, где
R — пополнение кольца R в р-адической топологии, К — тело частных
области R (см.§3). Также будем обозначать модули, изоморфные R,
К и К/R соответственно. Эти три модуля являются 7?-/?-бимодулями.
Позже будет показано, что каждый собственный подмодуль модуля К
изоморфен R. Строение фактормодуля R/R указано в упражнении 2.
Особый интерес представляет фактормодуль К/R. Он имеет элементы
1/р + R, 1/р2 + R,..., 1/рп + /?,... такие, что
р(1/р + 7?) = 0 и p(l/pn+1 + R) = \/рп + R для каждого n 1.
Множество этих элементов является системой образующих модуля K/R.
Предположим, что некоторый модуль С имеет такую счетную систему
образующих ci, С2,..., Сп,..., что pci = 0 и pcn+i — Сп для каждого
п 1. Модуль С есть объединение возрастающей цепи подмодулей
Rci с Rc2 С ... С Ren С ..., где Ren = 7?(рп), п 1.
Любой элемент модуля С равен ven для некоторого числа п и обра-
тимого элемента v кольца R. Отображение ven —> v(l/pn + R) является
§4. Первичные понятия теории модулей
43
изоморфизмом модулей С и К/R. Модуль К/R и любой изоморфный ему
модуль иногда будем обозначать через Я(р°°) и называть квазицикличе-
ским модулем. Любой собственный подмодуль квазициклического модуля
С равен Ren для некоторого п^1 и C/Rcn — R(p°°). Из §3 получается,
что для любого элемента у е R существует групповой автоморфизм ау
модуля 7?(р°°) такой, что <ту(гс) = <т?/(г)сг3/(с) и су — у(ту(с) для любых
г G R и с е
Прямые суммы циклических модулей, копий квазициклического моду-
ля и модуля К имеют исключительное значение. Они изучаются в сле-
дующей главе.
Пусть а — ненулевой элемент некоторого модуля М. Элемент а назы-
вается периодическим, если га = 0 для некоторого ненулевого элемента
г кольца R. Элемент а является периодическим в точности тогда, ко-
гда рпа — 0 для какого-то натурального числа п. Действительно, пусть
га — 0, где г е R и г ± 0. Запишем г = vpn, где v — обратимый элемент
кольца R,n — натуральное число. Тогда vpna = 0, откуда рпа = 0. Поэто-
му в вопросах, связанных с аннулированием элементов модуля элемен-
тами кольца, можно ограничиться степенями элемента р. Как правило,
это справедливо и для других вопросов, касающихся элементов модулей,
а также подмодулей, так как умножение на обратимые элементы кольца
не меняет в целом данный модуль.
Пусть а — периодический элемент модуля М и п — наименьшее нату-
ральное число со свойством рпа = 0. Элемент рп называется порядком
элемента а и модуля Ra и обозначается о(а). Говорим также, что а — эле-
мент конечного порядка. Если а — такой элемент модуля М, что рпа / 0
для любого n > 1, то а называется элементом бесконечного порядка.
Обозначение: о(а) = оо. Считаем, что порядок нулевого элемента равен
нулю.
В связи с порядками элементов сделаем такое замечание о цикличе-
ском модуле. Если а е R(pn), о(а) — рк и га — 0, где г G R, то г делится
на рк.
Модуль М называется примарным или периодическим, если каждый
элемент модуля М имеет конечный порядок. Если все элементы модуля
М, кроме нуля, имеют бесконечный порядок, то М называется модулем
без кручения. Если же модуль содержит как ненулевые элементы конеч-
ного порядка, так и элементы бесконечного порядка, то он называется
смешанным. Итак, каждый ненулевой модуль относится к одному из сле-
дующих трех классов модулей: примарные, без кручения и смешанные.
Теорема 4.1. Пусть М — смешанный модуль. Множество Т всех эле-
ментов конечного порядка модуля М является подмодулем модуля М.
44
Глава 1. Предварительные сведения
При этом Т — примарный модуль, а фактормодулъ М/Т является мо-
дулем без кручения.
Доказательство. Пусть а, Ь 6 Т и рта = рпЬ = 0 для некоторых на-
туральных чисел тип. Если, для определенности, т < п, то рп(а — Ъ) =
= 0иа-НТ. Пусть г € R и г = рки, где к — неотрицательное це-
лое число, и — обратимый элемент кольца R. Запишем рти = vpm для
некоторого обратимого элемента v кольца R. Теперь получаем рт(га) =
= pkvpma = 0 и га е Т. Следовательно, Т — подмодуль в М. Допустим,
что смежный класс а + Т имеет конечный порядок рп. Тогда рп(а + Т) =
= рпа + Т = 0 и поэтому рпа G Т. Значит, существует число к такое, что
ркрпа = 0. Поэтому абТиа + Т = 0. Следовательно, М/Т — модуль
без кручения.	□
Пусть М — смешанный модуль. Подмодуль Т называется периодиче-
ским (или примарным) подмодулем модуля М и обозначается через
t(M). Если М — такой смешанный модуль, что М = t(M') ф F для неко-
торого подмодуля F (ясно, что F — модуль без кручения), то М называет-
ся расщепляющимся смешанным модулем. Пример нерасщепляющегося
смешанного модуля содержится в упражнении 1. Если М — примарный
модуль, то полагаем t(M) = М. Для модуля без кручения М полагаем
t(M) = 0. Модули R(pn), п 1, и Я(р°°) являются примерными модуля-
ми, a R, К, R и R/R — модули без кручения.
Пусть R — неполная область дискретного нормирования. КольцаRh R
имеют общий простой элемент р (R — это р-адическое пополнение обла-
сти R, определенное в §3). Так как 7? —подкольцо в R, то всякий R-mo-
дуль является Я-модулем. Предположим, что М — примарный Я-модуль,
а е М и г е R. Имеем рка = 0 для некоторого натурального числа к
и г = limri, г, G Я, г 1, —предел в р-адической топологии. Суще-
ствует натуральное число п такое, что п — г, е pkR = Rpk для всех
i,j п. Значит, элементы г» одинаково действуют на элементе а при
i п. Полагаем га равным этому общему значению гщ для г > п. Таким
способом М превращается в примарный Я-модуль. Делаем вывод о том,
что примарные Я-модули и примарные Я-модули можно не различать.
В частности, примарные циклические и квазициклические Я-модули сов-
падают с примерными циклическими и квазициклическими Я-модулями
соответственно. Можно непосредственно установить изоморфизм между
Я(рп) и Я(рп), между Я(р°°) и Я(р°°). Действительно, имеем
R/pnR = Я/(Я П pnR) = (Я + pnR)/pnR = R/pnR.
Далее, отображение образующих элементов 1/рп + Я —> 1/рп + Я инду-
цирует изоморфизм K/R = К/R.
§4. Первичные понятия теории модулей
45
Пусть М и N — примарные Д-модули. Тогда всякий Л-гомоморфизм
<р: М —»• N является .R-гомоморфизмом. Нужно доказать, что <р(та) —
= г<р(а) для каждого элемента а е М и г е R. Если г = limn, П € R,
то га = ria и т<р(а) = гцр(а) для достаточно больших индексов г (учесть,
что если рка = 0, то рк<р(а) = 0). Имеем
9?(та) = <р(па) = п<р(а) = гр(а).
С этими фактами о примарных модулях связаны также упражнения 5 и 7.
Объясним, как коммутативные области дискретного нормирования по-
являются в теории модулей над коммутативными областями главных иде-
алов. Пусть R — коммутативная область главных идеалов, р — некоторый
её простой элемент, Р = (р) и Rp — локализация кольца R относительно
простого идеала Р. Мы знаем, что Rp — область дискретного нормиро-
вания (§3). Пусть М — некоторый примарный относительно р Л-модуль.
Под этим понимают, что для любого х € М выполняется ркх = 0 для
некоторого натурального числа к. Существует естественный путь кон-
струирования из М модуля над Rp. Он приводит к вопросу о задании
произведения Ь~гх, где х € М и b G R\P. Допустим, что ркх = 0. Можно
найти элемент св R так, что be = 1 +ркг для некоторого г е R. Полагаем
1т1 х — сх. При этом М — примарный 7?р-модуль. Таким образом, при-
марные относительно р Я-модули и примарные Яр-модули можно считать
одними и теми же объектами.
Специализируем эти наблюдения для кольца целых чисел Z. Пусть
— кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых взаимно
просты с данным простым числом р, т. е. локализация кольца Z относи-
тельно (р). Тогда Zp —область дискретного нормирования и ее р-адичес-
кое пополнение есть кольцо целых р-адических чисел Zp (об этом гово-
рилось в §3). Zp-модули совпадают с абелевыми группами G такими, что
qG = G для всех простых чисел q р. Такие абелевы группы называют
р-локальными группами. Примарные Zp-модули или, что то же, примар-
ные Zp-модули это в точности абелевы р-группы или по-другому, примар-
ные группы. Подмодули и гомоморфизмы примарных Zp-модулей совпада-
ют с подгруппами и групповыми гомоморфизмами. Zp-модули называют
еще р-адическими модулями. Они играют заметную роль в ряде разделов
теории абелевых групп. Для абелевой p-группы G укажем точно, как на
ней задается структура р-адического модуля (по поводу единственности
такой структуры см. упражнение 7). Если а = (/ci,fc2, • • -,кп,...) е Zp
и элемент а е G имеет порядок рп, то полагаем аа = кпа.
Есть довольно много работ об абелевых р-локальных группах. Их со-
держание с небольшими поправками технического характера переносится
на модули над областями дискретного нормирования.
46
Глава 1. Предварительные сведения
Так как R есть подкольцо своего тела частных К, то всякое левое
векторное /^-пространство является /2-модулем без кручения. Пусть V
и W — левые /С-пространства. Всякий /2-гомоморфизм ip: V —> W бу-
дет линейным оператором этих пространств. Убедимся, что у?((г/рп)х') =
= (г/рп)у>(х) для любых элементов х е V и г/рп е К. Имеем равенства
<р(гх) = Г(р(х) и рп р((г / рп}х) = рп (г / рп)р(х),
откуда вытекает нужное равенство.
Пусть М — некоторый модуль. Для элемента г е R положим гМ =
= {гх | х е М}. Запишем г = pkv, где к — неотрицательное целое чис-
ло, v — обратимый элемент кольца R. Тогда гМ = ркМ. Имеем рпМ —
подмодуль в М для всякого неотрицательного целого числа п. Действи-
тельно, запишем элемент г е R, как выше, в виде г = pkv. Далее, пусть
vpn = pnw, где w — обратимый элемент в R. Тогда получаем
r(pnM) = pkv(pnM) = pn(pkwM} С рпМ.
Заметим, что р°М = М.
Модуль М называется ограниченным, если рпМ = 0 для некоторо-
го натурального числа п. Ограниченный модуль является примарным.
Пусть М — ограниченный модуль и рпМ = 0 для некоторого п. Так как
(pnR)M = 0, то М превращается в левый модуль над кольцом Rpn,
Rpn — R/pnR, если положить rm = rm для всех m е М и г е Rpn, где
г = r+pnR. Обратно, если М есть левый Rpn-модуль, то с помощью того
же равенства rm = rm получаем 72-модуль М. Поскольку рп1 = 0 в Rpn,
то рпМ = (рп1)М = (рп1)А/ = 0, т. е. М — ограниченный модуль. Следо-
вательно, 7?рп-модули и ограниченные 72-модули М такие, что рпМ = 0,
можно отождествлять. Особый случай, когда рМ = 0. Тогда М есть
левое векторное пространство над телом вычетов 72р. Строение Rpn-мо-
дулей указано в теореме 4.8, ограниченные 72-модули рассматриваются
в теореме 7.1. Пусть М и N — ограниченные модули и рпМ = 0 = pnN.
Тогда 72-гомоморфизмы и /2рп-гомоморфизмы из М в N совпадают.
Для каждого п 1 модуль М/рпМ является ограниченным, так как
рп(М/рпМ') = 0. Положим Л/[рп] = {a G М | рпа = 0}. Пусть г = vpk G
€ 72, где V — обратимый элемент, к 0. Имеем pnv = ирп, где и —
обратимый элемент кольца 72. Тогда
pnra = pnvpka = ирпрка = 0 и га е М[рп].
Следовательно, М[рп] — подмодуль в М. Так как рпМ\рп] = 0, то
А/[рп] — ограниченный модуль. Модули М/рМ и М[р] являются 72р-прос-
§4. Первичные понятия теории модулей
47
транствами. Это обстоятельство мы будем часто использовать. Подмо-
дуль М\р] называется цоколем модуля М. Размерность .^-пространства
М/рМ называется р-рангом модуля М. Обозначение: гр(М).
Порядки элементов модуля можно сравнивать. Для этого введем по-
рядок на множестве степеней элемента р. Считаем, что
рт рп <=> т < п
(т, п — целые неотрицательные числа). Полагаем также 0 < рп и рп < оо
для любого п 1.
Подмодуль G модуля М называется существенным, если G имеет
ненулевое пересечение с каждым ненулевым подмодулем модуля М. При-
ведем один способ построения существенных подмодулей. Пусть А и С —
некоторые подмодули модуля М такие, что А А С = 0. Множество всех
подмодулей В модуля М таких, что ССВиЛГ|В = 0 индуктивно. Сле-
довательно, оно содержит максимальный подмодуль Bq. Тогда А + Bq —
существенный подмодуль в М. Действительно, пусть Н — такой подмо-
дуль в М, что (А + Bq) А Н = 0. Тогда А А (Во + Н) = 0. По выбору
подмодуля Bq имеем Bq+H = Bq иЯС Bq. Поэтому Я = 0. Взяв С — 0,
получаем такой факт. Для любого подмодуля А существует подмодуль В
такой, что А А В = 0 и А + В — существенный подмодуль в М.
Предложение 4.2. Подмодуль G модуля М является существенным
в точности тогда, когда М[р] С G и М/G — примарный модуль.
Доказательство. Пусть G — существенный подмодуль модуля М.
Если а —ненулевой элемент цоколя Л/[р], то Ra = R(jp). Следователь-
но, Ra — простой модуль, Ra С G и М[р] С G. Если а — произвольный
ненулевой элемент модуля М, то Ra A G 0. Следовательно, существует
гей такой, что ra G G и га ф 0. Это означает, что M/G — примарный
модуль.
Пусть теперь М[р] С G и М/G — примарный модуль. Достаточно до-
казать, что G имеет ненулевое пересечение с каждым циклическим под-
модулем Ra, а у^0, модуля М. Если о(а) — р, то Ra С G. Если о(а) = рк,
к > 1, то Rpk-1 С G. Пусть о(а) = оо. Так как М/G — примарный мо-
дуль, то рпа G G для некоторого натурального числа п.	□
Пусть М — некоторый модуль. Возьмем тензорное произведение
К ®R М (о его свойствах см. §2). Всякий элемент х равен конечной сум-
S
ме 52	® ai, где fc, е К и а, е М, г = 1,..., а. Для произвольного
i=i
S
элемента к е К положим кх = 52 kki®ai. Относительно этого внешнего
г=1
48
Глава 1. Предварительные сведения
умножения K®RM является левым векторным пространством над телом
частных К и, в частности, Д-модулем. Запишем ki = тч/рПг, где п 6 R,
щ 0 и ti = п — гч, где п — наибольшее из чисел гц, i = 1,..., s. Тогда
X = У 1/рП ® р^Па = 1/рП ®
г=1	г=1
Итак, любой элемент ^-пространства К ®RM равен \/рп®а, где п О,
а е М.
Обозначим через КМ множество всех формальных выражений или
дробей (1/рп)а, п 0, а е М, удовлетворяющих следующему условию:
(1/рп)а — (1/рк)Ь в точности тогда, когда существуют ненулевые г, s е R
такие, что га — sb и rpn = spk. Это отношение равенства является отно-
шением эквивалентности и множество КМ разбивается на классы рав-
ных дробей. Далее считаем, что КМ —это множество классов равных
дробей. Естественно, мы будем оперировать с представителями классов.
Дроби можно складывать по обычному правилу сложения дробей. По-
лучаем левое векторное ^-пространство КМ. Пусть (1/рп)а = (1/рк)Ь
и элементы г, s такие, как выше. Положим t = трп = spk. Тогда 1/р” =
= t~lr и \/рк = i-1s. Теперь имеем
У./рп ® а — t~lr ® а = t~l ® га и 1/рк ® b = t~l ® sb.
Так как га = sb, то 1/рп®а — \/рк ®Ь. Поэтому отображение 7: КМ —>
—> К ®я М, (1/рп)а 1/рп ® а, п 0, а е М, определено правильно.
Понятно, что 7 — /f-изоморфизм. Таким образом, КМ = К ®R М.
Существует канонический гомоморфизм Д-модулей ip: М —> К ®R М,
где р(а) = 1 ® а для каждого а € М.
Лемма 4.3. Ядро гомоморфизма р совпадает с периодическим подмо-
дулем t(M) модуля М. В частности, М — модуль без кручения в точ-
ности тогда, когда у? является мономорфизмом.
Доказательство. Пусть а е М. Тогда 1 ® а = 0 в К ®R М или, что
эквивалентно, а = 0 в КМ в точности тогда, когда существует ненулевой
элемент г е R такой, что га = 0, т. е. а € t(M). Следовательно, Кег(<^) =
= t(M\	□
Модуль без кручения М можно отождествить с образом мономорфизма
<р (полагая т = 1 ® т для каждого т 6 М) и считать М подмодулем
в К ®д М.
В каждом модуле имеются множества элементов со свойствами, похо-
жими на свойства базисов векторных пространств.
§4. Первичные понятия теории модулей
49
Система (или множество) {а^ге/ ненулевых элементов модуля М на-
зывается линейно независимой, если для любых элементов . ,а^ из
равенства riai +... + rkak = 0, г, б R, следует, что nai = ... = Гкак = 0.
Лемма 4.4. Система {ai}i&j линейно независима в точности тогда,
когда подмодуль А, порожденный этой системой, равен прямой сумме
ф Ra,i-
iei
Доказательство. Пусть указанная система линейно независима.
Подмодуль А равен сумме ^2 Rai- Нужно лишь показать, что
iei
Rai П Raj = 0 для каждого i € I.
Пусть
rai = nai + ... + rkak, где r,rx,... ,rk e R, i / 1, • • •, k.
В силу независимости системы, получаем га^ = 0. Обратно, если А =
= ®Rai, то линейная независимость системы {ajie/ непосредственно
гб/
вытекает из свойств прямой суммы.	□
Ненулевой модуль М всегда имеет линейно независимые системы. На-
пример, если а G М и а / 0, то {а} — линейно независимая система. Упо-
рядоченное множество линейно независимых систем индуктивно, поэто-
му оно содержит максимальную линейно независимую систему. Пусть
{di}iei — максимальная линейно независимая система элементов модуля
М. Тогда для любого элемента а е М существуют элементы ai,...,ak
и г, и,..., rk € R такие, что га = riai + ... + Гкак и га / 0. Следова-
тельно, получаем га е фЛа;. Таким образом, ф Rai — существенный
iei	iei
подмодуль в М. Верно и обратное. Если — линейно независимая
система и ф Rai — существенный подмодуль в М, то — макси-
iei
мальная линейно независимая система.
Линейно независимые системы элементов особенно полезны для моду-
лей без кручения. Пусть М — модуль без кручения. Система ненулевых
элементов ai,...,ak из М линейно независима в точности тогда, когда
из равенства riai +... + rfcafc = 0,	€ R, следует — ... = Гк = 0. В от-
личие от векторных пространств, в общем случае не верно, что элементы
модуля являются линейными комбинациями элементов из максимальной
линейно независимой системы. Однако, имеет место записанный ниже
факт. Мы отождествили модуль М с подмодулем левого К-пространства
К М, состоящим из элементов 1 ® а для всех a G М.
50
Глава 1. Предварительные сведения
Лемма 4.5. Система элементов модуля без кручения М яв-
ляется максимальной линейно независимой в точности тогда, когда
она является базисом К-пространства К ®RM.
Доказательство. Пусть {ai}ie/ — максимальная линейно независи-
мая система элементов модуля М. Предположим, что
(ri/pni)ai + ... + (rk/pnk)ak = 0, где Ti/pni е К, г = 1,..., k.
Умножим обе части этого равенства на рт, где т — наибольшее из чисел
щ,... ,пк. Получим
pt'riai + ... + ptkrkak = 0, где ti = т — ni, i = 1,..., k.
Следовательно, p^ri = ... = ptkrk = 0 и ri = ... = rk = 0. Пусть
теперь 1/рп 0 a 6 К ®R М, где п 0, а 6 М. Существуют элементы
г, и,..., rk € R, г 0, такие, что га = r^ai + ... + rkak. Отсюда
(l/pn)r 0 а = l/pnri(l 0 ai) + ... + l/pnTfc(l 0afc).
Используя автоморфизм ar тела К (см. п. (8) в §3), элемент (1/рп)т мож-
но записать в виде q(l/pn>) для некоторого q е К. Отсюда ясно, что
элемент 1/рп 0 а линейно выражается над К через 1 0 ai,..., 1 0 ak.
Пусть {a{}i&i — базис пространства K®RM. Очевидно, что эта систе-
ма линейно независима. Если а е М и а / 0, то
а = (п/рП1)«1 + • • • + (rfc/pnfc)afc, где г,/рп,еК.
Существует такое натуральное число т, что рта = siai + ... + skak
и рта / 0 для некоторых si,..., sk е R. Следовательно, {а»}г6/ — макси-
мальная линейно независимая система элементов модуля М.	□
Докажем, что любые две максимальные линейно независимые системы
элементов модуля М имеют равные мощности. Пусть {bj}jej U —
некоторая максимальная линейно независимая система элементов модуля
М, где каждый элемент bj имеет конечный порядок, а каждый элемент
ci имеет бесконечный порядок. Тогда {bj}j&j — максимальная линейно
независимая система элементов модуля t(M). Пусть o(bj) — pnj, nj 1.
Система элементов	цоколя М[р] также линейно независима.
Цоколь М\р\ является Яр-пространством. Очевидно, что эта система есть
базис Др-пространства. Следовательно, мощность |J\ есть размерность
пространства Л/[р], а она определяется однозначно.
Возьмем систему {с/}г6£. Покажем, что {q}z6l — максимальная линей-
но независимая система элементов модуля	где ci = ci +
§4. Первичные понятия теории модулей
51
I е L. Пусть Г1С1+..-+гкСк = 0, п е R. Тогда rici + .. .+ГкСк € t(M). Су-
ществует ненулевой элемент г € R такой, что гт\ = ... = ггк = 0, откуда
И = ... = Гк = 0. Пусть теперь х - х + t(M) е	Существуют
элементы г, п,..., Гк € R, г / 0, такие, что
ГХ = Г1С1 + . . . + ГкСк И ГХ = Г1С1 + . . . + ГкСк-
Следовательно, {q}/6£ — максимальная линейно независимая система
элементов модуля M/tiM). Заметим, что верно и обратное. Ввиду лем-
мы 4.5, мощность |L| равна размерности ^пространства К/t(M),
а она определяется однозначно. Теперь ясно, что любые две максималь-
ные линейно независимые системы элементов модуля М имеют одинако-
вые мощности. Поэтому следующее определение имеет смысл.
Рангом г(М') ненулевого модуля М называется мощность любой его
максимальной линейно независимой системы элементов. Если М = 0,
то полагаем г(ЛТ) — 0. Из рассуждений, проведенных выше, получаем
равенство r(M) = r(i(7Vf)) + г(М/<(М)). Ранг r(Af/i(M)) обозначает-
ся также то(ЛТ) и называется рангом без кручения модуля М. Ранги
г(ЛТ), r(i(M)) и го(М) являются инвариантами модуля М. Инвариант
или инварианты модуля обычно являются натуральными, кардинальны-
ми числами или другими легко описываемыми величинами (например,
матрицами). Они должны однозначно определяться модулем.
Из леммы 4.5 получаем, что модуль М есть модуль без кручения ко-
нечного ранга в точности тогда, когда М изоморфен подмодулю некото-
рого конечномерного левого векторного пространства над К. Нетрудно
перечислить все модули ранга 1.
Предложение 4.6. Модуль М имеет ранг 1 в точности тогда, когда
М изоморфен одному из следующих модулей-.
R{pn) (п > 1), Я(р°°), R, К.
Доказательство. Указанные модули имеют ранг 1. Пусть r(M) = 1,
т. е. М имеет максимальную линейно независимую систему элементов,
состоящую из одного элемента. В таком случае, М — либо примарный
модуль, либо модуль без кручения.
Пусть М — примарный модуль. Тогда М[р] — одномерное 7?р-простран-
ство. Предположим, что в М есть элемент а, порядок которого рп явля-
ется наибольшим среди порядков всех элементов из М. Докажем, что
М — Ra. Из свойств пространств имеем М\р] С Ra. Пусть b G М
и о(Ь) > р. По предположению индукции pb — га, где г € R. Запи-
шем г = pkv, где v — обратимый элемент кольца R и k 1 по выбору
52
Глава 1. Предварительные сведения
элемента а. Следовательно,
pb = pkva, p(b — pk~lva) = 0, b — pk-1va € М\р] С Ra, b 6 Ra.
Таким образом, М = Ra = R(pn). Допустим, что в М нет элемента
с наибольшим порядком. Тогда имеем строго возрастающую цепь подмо-
дулей М[р] с М[р2] с ... С Л/[рп] с ... По доказанному Л/[рп] = 7?(рп)
для каждого п. Значит, М — квазициклический модуль Я(р°°).
Пусть М — модуль без кручения и рМ = М. Фиксируем ненулевой
элемент а € М. Для каждого п 0 существует единственный элемент
bn е М, для которого а — рпЪп. Определим отображение <£>: К М как
ip(r/pn) — гЬп для каждого r/pn G К. Тогда <р — изоморфизм 7?-модулей
и М = К. Если рМ / М, то выберем элемент а е М такой, что а рМ.
Пусть Ь € М. Тогда rb = за, где г, s е R и г ± 0. Запишем г = рти,
s — pnv, где т, п 0, и и г —обратимые элементы кольца R, причем
т < п. Следовательно,
рт(иЪ — pn~mva) = 0, ub — pn~mva = 0, Ь = u~1pn~mva G Ra.
Получили М = Ra, где Ra = R.	□
Вернемся к Я-модулю К и докажем, что каждый собственный его
ненулевой подмодуль А является циклическим, г. е. А = R. Так как А
есть модуль без кручения ранга 1, то по предложению 4.6 А = К или
А = R. Если А = К, то А есть Я-пространство и вложение А —> К
является вложением .^-пространств. Следовательно, А есть собственное
подпространство в К, что невозможно. Значит, А = R.
Пусть М — модуль. Подмодуль Н называется вполне инвариантным
подмодулем модуля М, если аН С Н для каждого эндоморфизма а моду-
ля М. Вполне инвариантными подмодулями являются 0, М, рпМ и М[рп]
для всех п 1.
Лемма 4.7. Пусть М = А®В и Н — вполне инвариантный подмодуль
в М. Тогда Н = (Я А Л) ® (Я А Я).
Доказательство. Если с G Я, то с = 7Г1(с) + 7Г2(с), где tti и тг2—
координатные проекции, связанные с разложением М = А® В. Так как
Я — вполне инвариантный подмодуль, то тгЦс) 6 Я А А и тг2(с) € Я А В.
□
В конце параграфа рассмотрим модули над кольцом Rpn, где п — неко-
торое натуральное число. Пусть р — p+pnR (напомним, что Rvn=R/pnR).
Тогда j^Rpn = Rpnpk для к = 1,...,п — 1. Всякий собственный левый
§4. Первичные понятия теории модулей
53
или правый идеал кольца Rpn является идеалом и равен pkRpn для неко-
торого к. Если г G Rpn, то г = pkv = ирк, где к Е {0,1,...,п} и v, и —
обратимые элементы кольца Rpn.
Теорема 4.8. Всякий левый Rpn-модуль является прямой суммой цик-
лических модулей.
Доказательство. Пусть М — некоторый левый Rpn-модуль и S =
= {ж Е М | рх = 0}. Тогда S есть левое векторное пространство над
телом вычетов Rp. Построим базис Др-пространства S следую-
щим образом. Берем некоторый базис пространства 5'Г1рп~1Л/, затем
дополняем его до базиса пространства S П . Продолжаем далее
таким же образом. Теперь для каждого индекса i Е I, если ег Е S Г\ркМ
и S Прк+1М, то выбираем элемент а Е М так, что в; = ркщ. Утвер-
ждаем, что М = ф Rpndi.
i&I
Пусть noi -I-... + rjdj = 0, где п,...,Tj Е Rpn и псц,..., rjdj / 0.
Умножим это равенство на подходящую степень элемента р. В результа-
те получим siei + ... + Sjej = 0, где хотя бы один элемент Si обратим
в Rpn. Это означает, что siei + ... + sjej = 0, где Si Е Rp и не все Si
равны нулю. Но это невозможно. Получили, что сумма всех подмоду-
лей Rpndi является прямой. Отметим такое свойство элементов б;. Если
V1C1+ ... +vnen Е ^М, т 1, то ei,..., еп Е
Пусть N — ф Rpndi. Если х Е М и рх = 0, то ясно, что х Е N.
iei
Предположим, что для элементов х Е М с psx = 0, s > 1, имеем х Е N.
Пусть у Е М, ps+ly = 0 и psy / 0. Тогда psy — viei + ... + vnen,
где ... ,vn — обратимые элементы кольца Rpn. По замечанию выше
находим ei = p^ai, где ti s, i — 1,... ,п. Пусть Vipti — p^Wi, где Wi —
обратимый элемент. Тогда
ps(y ~ Pm'widi - pmnwndn) = 0,
где mi 0, i = 1,..., п. По предположению индукции элемент в скобках
принадлежит N. Отсюда у Е N, чем равенство М = ф Rpndi установле-
iel
но.	□
Упражнение 1. Произведение П W") является нерасщепляющимся
П>1
смешанным модулем.
Упражнение 2. Фактормодуль R/R изоморфен прямой сумме некоторого
числа копий модуля К.
Упражнение 3. Для любого натурального числа п и модуля М справедлив
изоморфизм R(pn) ®RM = М/рпМ.
54
Глава 1. Предварительные сведения
Упражнение 4. Пусть М — левый, N — правый Я-модули. Тогда суще-
ствует эпиморфизм абелевых групп N М -+ N такой, что a®Rb —►
—► а	b для всех а е N и b е М. Эпиморфизм R ®R М —*
расщепляется, т.е.его ядро является прямым слагаемым в R®r М.
Упражнение 5. Пусть М — Я-модуль. Следующие утверждения эквива-
лентны:
(1)	каноническое отображение N ®R М —> N М является изоморфизмом
для любого правого Я-модуля JV;
(2)	каноническое отображение М —* R$r М, а —> 1 0 а, а е М, является
изоморфизмом;
(3)	R/R ®RM = 0;
(4)	М — примарный модуль.
Упражнение 6. Существует канонический изоморфизм левых Я-модулей
R ®R R R ф (R ®R R/R)
(см. упражнение 4).
Упражнение?. Пусть М — примарный Я-модуль. Предположим, что име-
ется еще одно модульное умножение о на М такое, что М — левый Я-модуль
и гт~ = гот для всех элементов г е R и т е М. Тогда гт = гот для всех
г е R и т е М.
Упражнение 8. Пусть V — левое, W — правое К-пространства. Тогда ка-
ноническое отображение W ®R V —► W V является изоморфизмом (ср.
с упражнением 4).
УпражнениеЭ (Леви [210]). Пусть R — произвольное кольцо, М — левый
Я-модуль. Элемент а е М называется периодическим, если га = 0 для неко-
торого неделителя нуля г кольца R. Доказать, что множество всех периоди-
ческих элементов каждого левого Я-модуля является подмодулем в точности
тогда, когда R имеет левое классическое кольцо частных.
Замечания. Общая теория нормирований и колец нормирований при-
надлежит Круллю (1932). Классическая теория нормирований полей из-
ложена, например, в книгах Бурбаки [82], Зарисского и Самюэля [321].
В статьях Видала [290, 291, 292] и Ру [265, 266, 267, 268, 269] ис-
следуются некоторые тонкие вопросы теории некоммутативных областей
дискретного нормирования. Проследить историю понятий и результатов
из §4 трудно. Не все из них автоматически обобщаются на модули над
произвольным кольцом (ср., теорему 4.1 и упражнение 9). Куликов пер-
вый систематически изучал абелевы р-локальные группы и р-адические
модули в [23, 24].
ГЛАВА 2
БАЗИСНЫЕ ФАКТЫ
В главе 2 рассматриваются перечисленные ниже темы:
свободные модули (§5);
делимые модули (§6);
чистые подмодули (§7);
прямые суммы циклических модулей (§8);
базисные подмодули (§9);
чисто проективные и чисто инъективные модули (§ 10);
полные модули (§11).
Вводятся и изучаются несколько классов модулей, играющих фунда-
ментальную роль в теории. Рассматриваются также такие важные под-
модули, как чистые и базисные. В основном тексте под кольцом R под-
разумевается область дискретного нормирования (вообще, некоммутатив-
ная). Случай полной области оговаривается. В упражнениях встречаются
и другие кольца, это всегда указывается.
§ 5. Свободные модули
Модуль F называется свободным, если F изоморфен прямой сумме неко-
торого числа копий модуля R. Таким образом, если F — свободный мо-
дуль, то F = ф R для некоторого кардинального числа s. Понятно, что
S
s совпадает с рангом r(F) модуля F, введенным в § 4. Поскольку ранг —
инвариант модуля, то s определяется однозначно и также является инва-
риантом модуля F. Итак, из ф R = ф R, где t — некоторое кардинальное
s	t
число, вытекает s = t.
Предложение 5.1. Модуль F свободен в точности тогда, когда F име-
ет такую систему образующих {аДге/, что каждый элемент х е F
56
Глава 2. Базисные факты
единственным образом записывается в виде х = ^2 ггаг для некото-
iei
рых ri G R, из которых все, кроме конечного числа, равны нулю.
Доказательство. Пусть модуль F свободен. Тогда F = фй;, где
гб/
Ri = R для всех г. Если элемент aj модуля 7^ соответствует при этом
изоморфизме единичному элементу кольца R, то {«г}ге/ — искомая си-
стема образующих модуля F.
Пусть теперь F имеет систему образующих {ai]iej с указанным
в предложении свойством. Для каждого г G I возьмем гомоморфизм
<Pii R —> Rai, <pi(r) = rai, r G R. Если rai = 0 для некоторого г, то
из rai = 0 = 0 • ai получаем г = 0. Следовательно, <# — изоморфизм
и Rai = R для каждого i. Из единственности записи элементов модуля
F в виде сумм £2 па; следует, что ^2 Rai ~ прямая сумма. Следователь-
ге/
но, F = ф Rai, где Rai = R для каждого г.	□
iei
Пусть F — свободный модуль. Система образующих {ai}i&j из пред-
ложения 5.1 называется свободным базисом модуля F. В таком случае
F = ф Rai.
iei
Следующая теорема дает полную информацию о строении подмодулей
свободных модулей.
Теорема 5.2. Подмодуль свободного модуля сам является свободным
модулем.
Доказательство. Пусть F — свободный модуль. Тогда F = фRai,
iei
где {aiji^j — свободный базис модуля F. Можно считать, что I — это
множество всех порядковых чисел, меньших некоторого порядкового чис-
ла г. Пусть G — некоторый подмодуль модуля F. Для каждого порядко-
вого числа а < т положим
Fa — RaP и Ga = G П Fa.
P<(J
Тогда
Ga+1/Ga = Ga+l/(G П Fa) (G,+l + FCT)/FCT C Fa+1/Fa.
Так как Fa+i/Fa = Raa — R, то при Gct+i Ga получаем Ga+i/Ga — R-
Запишем Ga+i/Ga = R(ba + Ga), где ba G Ga+i (если Ga+i = Ga, to
ba = 0). Тогда Ga+i = Ga®Rba- Сумма J2 ЗДт является прямой. Далее,
G = ф Rba, так как модуль G есть объединение подмодулей Ga- □
§5. Свободные модули
57
Следующий факт раскрывает свойство универсальности свободных мо-
дулей.
Предложение 5.3. Всякий модуль изоморфен фактормодулю некото-
рого свободного модуля.
Доказательство. Пусть М — произвольный модуль, — неко-
торая его система образующих. Возьмем свободный модуль F ранга |/|.
Тогда F = Q)Ra,i, где {ajig/— свободный базис модуля F. Определим
гб/
гомоморфизм р: F —> М следующим образом. Для любых элементов
И,..., rk е R положим
¥?(riai + ... + rfcafe) = nmi + ... + rkmk.
Так как	— система образующих модуля М, то р — эпиморфизм.
Следовательно, М = F/Ker(^>).	□
Другими словами, любой модуль является гомоморфным образом неко-
торого свободного модуля.
Модуль Р называется проективным, если для всякого эпиморфиз-
ма тг: А —> В произвольных модулей А и В и каждого гомоморфизма
<р: Р —> В существует гомоморфизм ф: Р —> А такой, что <р = фтг.
Теорема 5.4. Следующие свойства модуля Р эквивалентны-.
(1)	Р проективен-,
(2)	Р свободен-,
(3)	для любого модуля М и эпиморфизма тг: М —> Р выполняется
М = Кег(тг) ф Р' для некоторого модуля Р1, изоморфного Р.
Доказательство. (1) => (3). Пусть М — некоторый модуль, тг: М —►
—» Р — эпиморфизм. По (1) существует гомоморфизм ф: Р —> М та-
кой, что фтг = 1р. Тогда тгф — идемпотентный эндоморфизм модуля М,
т. е. (тгф)2 = тгф. Следовательно,
М = Кег(тг^) ® 1т(тг^) = Кег(тг) ф Р'.
Здесь Р' М/Кег(тг) =* Р.
(3) => (2). Существуют свободный модуль F и эпиморфизм тг: F —► Р
(предложение 5.3). По (3) F — Кег(тг) ф Р', где Р' = Р. По теореме 5.2
Р —свободный модуль.
58
Глава 2. Базисные факты
(2) => (1). Пусть %: А —> В — эпиморфизм, 92: Р —> В —гомомор-
физм. Запишем Р — ф Rci, где {ci}iei — свободный базис свободного
iei
модуля Р. Пусть ai е А и 7r(aJ = i Е I. Для элементов п,... е
е R положим
^(пс1 + ... + гкск) = rxai + ... + гкак.
Тогда -0 — гомоморфизм из Р в А и ср = 'фтг. Следовательно, Р — проек-
тивный модуль.	□
Проективный модуль Р можно еще определить как такой модуль, что
для любой точной последовательности модулей О^С^А^В^О
индуцированная последовательность абелевых групп
О Нош(Р, С) -+ Нош(Р, Л) Нош(Р, В) О
точна (об индуцированных последовательностях см. §2).
Свободные и проективные модули над произвольным кольцом опреде-
ляются аналогично.
Упражнение 1. Модуль М называется малопроективным, если любой
эндоморфизм любого фактормодуля модуля М поднимается до эндоморфиз-
ма модуля М. Квазициклический модуль К/R малопроективен. Модуль К
малопроективен в точности тогда, когда Я —полная область.
Упражнение 2. Над кольцом матриц порядка 2 над телом существуют
проективные не свободные модули.
Упражнение 3. Пусть Р = фРг. Допустим, что все подмодули модулей
iei
Pi проективны для каждого iei. Тогда любой подмодуль М модуля Р
изоморфен прямой сумме ф Mi, где Mi С Р{ при всех г.
iei
Кольцо R называется наследственным слева, если каждый его левый
идеал проективен (рассматриваемый как левый модуль над В).
Упражнение 4. Каждый подмодуль свободного левого модуля над наслед-
ственным слева кольцом R изоморфен прямой сумме некоторых левых идеа-
лов кольца R.
Упражнение 5 (лемма о дуальном базисе). Пусть Р —левый модуль над
кольцом R. Модуль Р проективен в точности тогда, когда существуют два
подмножества {xi}iei из Р и {fi}i^i из Hom#(P, R) такие, что каждый эле-
мент а е Р есть сумма а = ^fi(d)xi, где /Да) = 0 для почти всех iei.
Упражнение 6 (Капланский [190]). Всякий проективный модуль над ло-
кальным кольцом является свободным.
§6. Делимые модули
59
§6. Делимые модули
Модуль D называется делимым, если для любого элемента а 6 D и каж-
дого ненулевого элемента г 6 R существует элемент b е D такой, что
а = rb. Так как г — pkv, где к — неотрицательное целое число, v — об-
ратимый элемент кольца R, то модуль D делим в точности тогда, когда
для любого а 6 D существует b 6 D такой, что а — pb. Последнее равно-
сильно тому, что pD = D.
Приведем несколько простых свойств делимых модулей.
(1)	Если А —подмодуль делимого модуля D, то D/А — делимый мо-
дуль. Действительно, p(D/A) = (pD + А)/А — D/А. Следовательно, го-
моморфный образ делимого модуля является делимым модулем.
(2)	Прямая сумма и произведение являются делимыми модулями
в точности тогда, когда каждое слагаемое — делимый модуль. Пусть
D — А ф В. Тогда pD = рА ф рВ. То же верно для бесконечных пря-
мых сумм и произведений.
Если D — подмодуль модуля М и D — делимый модуль, то говорим,
что D — делимый подмодуль.
(3)	Если Di, i е I, — делимые подмодули модуля М, то Di — дели-
мый подмодуль.
Имеем
= U,pDi =
Теорема 6.1 (Бэр [73]). Пусть D — делимый подмодуль модуля М. То-
гда D — прямое слагаемое в М.
Доказательство. Рассмотрим множество всех подмодулей модуля
М, имеющих нулевое пересечение с D. Оно не пусто, так как содержит
нулевой подмодуль и индуктивно. По лемме Цорна в этом множестве су-
ществует максимальный подмодуль А. Допустим, что М / D® А. Пусть
элемент beMub£D®A. Если Rb П (D + А) = 0, то D П (А + Rb) = О,
что противоречит выбору А. Следовательно, Rb П (£> + А) / 0. Пусть
rb е D + А, где г е R, Ъ е В и rb / 0. Тогда pkb е D + А для некоторого
целого неотрицательного числа к. Считаем, что к — наименьшее число
с таким свойством. Запишем pkb = d + а, где d е D и a 6 А. Так как
D — делимый модуль, то d = ркс, где с е D. Утверждаем, что D Г) (А +
+ R(b—с)) = 0. Заметим, что Ь — с^А. Пусть di 6 D и di = ai + r(b — с),
где ai е А, г € R. Тогда rb = d\ — rc — ai e D + А. Запишем r = vpm,
где v — обратимый элемент, m — целое неотрицательное число. Ясно, что
pmb 6 D + А. Значит, к < т и rb = ripk, где п е R. Имеем
di = ai + ripkb — r\pkc = ai + rid + ria — rid — ai — ria.
60
Глава 2. Базисные факты
Поэтому di е Г>ПА = О и di = 0. По выбору подмодуля А имеем Ь — с е А
и b е D + А, что невозможно. Значит, М = D ф А.	□
Замечание. Пусть в теореме 6.1 В —такой подмодуль модуля М, что
D П В — 0. Тогда подмодуль А в разложении М = D ф А можно выбрать
так, что В С А. Для этого в начале доказательства теоремы нужно взять
множество всех подмодулей модуля М, имеющих нулевое пересечение
с D и содержащих В. И далее повторить доказательство.
Модуль назовем редуцированным, если он не имеет (ненулевых) де-
лимых подмодулей.
Следствие 6.2. Любой модуль М равен прямой сумме D ф А, где
D — делимый модуль, А — редуцированный модуль. Подмодуль D здесь
определен однозначно, подмодуль А — однозначно с точностью до изо-
морфизма.
Доказательство. Пусть D — сумма всех делимых подмодулей моду-
ля М. Тогда В —делимый модуль (свойство (3)). По теореме 6.1 имеем
М = D ф А, где модуль А не имеет (ненулевых) делимых подмодулей,
т. е. А — редуцированный модуль. Модуль D единственен по построению.
Допустим, что M=D®A=D®B для некоторого подмодуля В. Тогда
А М/D ~В.	□
Рассмотрим два примера делимых модулей.
Модуль К делим. Это ясно, поскольку К = {r/pn | г 6 R,n — неотри-
цательное целое число}.
Модуль 7?(р°°) делим. Так как В(р°°) — К/R, то результат получается
из свойства (1).
Модулей 7?(р°°) и К достаточно для построения любого делимого мо-
дуля.
Теорема 6.3. Делимый модуль D является прямой суммой некоторо-
го числа модулей, изоморфных R(p°°), и некоторого числа модулей,
изоморфных К.
Доказательство. Ясно, что периодический подмодуль Т модуля D
является делимым модулем. По теореме 6.1, D = Т ф С для некоторого
подмодуля С. Так как С = D/Т, то С — делимый модуль без кручения.
Рассмотрим отдельно модули Т и С. Пусть Т[р] = {ж е Т | рх = 0}.
Тогда (р/?)Т[р] = 0, поэтому Т[р] есть векторное пространство над телом
вычетов Rp, где Rp = R/pR. Выберем некоторый базис	этого
§6. Делимые модули
61
пространства. В силу делимости модуля Т, для каждого i существуют
в Т элементы , ai2,..., сцп,... такие, что
Oil — pOi2 —	) • • • > Pain+i • • • •
Пусть Ti — подмодуль в Т, порожденный элементами а^а^,... Тогда
Ti = Щр00}. Сумма всех подмодулей Ti является прямой (использовать
то, что сумма ^2 Rpai ~ прямая) и делимый модуль. Но ф/}
гб/	id	id
содержит цоколь Т[р], поэтому Т = фТь где Ti = /?(р°°) для каждого г.
гб/
Возьмем модуль С. Из леммы 4.3 вытекает, что отображение <£:£—►
—> КС, х 1 • х, х е С, является мономорфизмом. Пусть (l/pn)x 6 КС.
В силу делимости С, существует у е С со свойством х = рпу. Теперь
находим у?(у) = 1 • у = (1/рп)х. Итак, <р — изоморфизм и С есть /С-прос-
транство. Следовательно, С — прямая сумма некоторого числа копий мо-
дуля К.	□
Из доказательства теоремы вытекает, что делимые /?-модули без кру-
чения и левые векторные пространства над телом К — это одни и те же
объекты. При этом гомоморфизмы /?-модулей совпадают с операторами
/^-пространств, что уже показано в §4.
Пусть D — некоторый делимый модуль, пр — размерность /^-прос-
транства /)[р] (она совпадает с r(t(Z)))), по — размерность /Г-простран-
ства D/t(D) (она совпадает с r(D/£(/)))). При этом полагаем пр — О,
если D — модуль без кручения, и по = 0, если D — примарный модуль.
Имеет место разложение
72-р	77-0
Модулю D можно поставить в соответствие пару кардинальных чисел
(пр,по) — систему инвариантов модуля D. Если два делимых модуля об-
ладают одинаковыми системами инвариантов, то они изоморфны. Гово-
рят, что (пр, по) — полная система инвариантов. Очевидно, что для лю-
бой пары кардинальных чисел существует делимый модуль, система ин-
вариантов которого совпадает с заданной системой. В такой ситуации
говорят, что модуль имеет независимую систему инвариантов. Итак,
для делимого модуля существует полная и независимая система инва-
риантов.
Следствие 6.2 и теорема 6.3 сводят проблему описания строения /?-мо-
дулей к случаю редуцированных модулей.
Делимые модули в определенном смысле универсальны по отношению
к остальным модулям.
62
Глава 2. Базисные факты
Теорема 6.4. Всякий модуль является подмодулем некоторого дели-
мого модуля.
Доказательство. Пусть М — некоторый модуль. По предложению 5.3
М = F/А для некоторого свободного модуля F и его подмодуля А. Мо-
дуль F равен прямой сумме некоторого числа копий модуля R. Следо-
вательно, его можно вложить в прямую сумму некоторого числа копий
модуля К, т. е. вложить в делимый модуль D. Таким образом, М вкла-
дывается в делимый модуль D/A.	□
Модуль М называется инъективным, если для всякого мономорфизма
х: В —► А произвольных модулей А и В и гомоморфизма В —► М
существует гомоморфизм ф: А М такой, что = мф. Это равносильно
тому, что для всякого модуля А и его подмодуля В всякий гомоморфизм
В -+ М можно продолжить до гомоморфизма А —> М.
Теорема 6.5. Модуль D инъективен в точности тогда, когда он де-
лим.
Доказательство. Пусть D инъективен. Можно считать, что D —
подмодуль делимого модуля Е (теорема 6.4). Тождественное отображение
модуля D продолжается до гомоморфизма тг: Е —> D. Если рассмотреть
тг как эндоморфизм модуля Е, то получим тг2 = тг и, значит, Е = 1ш(тг) ф
ф Кег(тг). Здесь 1ш(тг) = D и модуль D делим как прямое слагаемое
делимого модуля Е.
Пусть D — делимый модуль, х: В —► А — мономорфизм и В —> D —
гомоморфизм. Возьмем прямую сумму D ф А и подмодуль N в ней, где
7V = {(</?(&), —х(Ь)) | b 6 В}. Пусть G = (D®A)/N. Определим гомомор-
физм a: D —> G, a(d) = (d,0) + N, d € D, и гомоморфизм (3: A —> G,
(3(a) — (0, a) + N, a E А. Ясно, что x/3 = ipa. Так как x— мономорфизм,
то a — мономорфизм. Следовательно, Im(a) — делимый модуль, и по тео-
реме 6.1 он есть прямое слагаемое модуля G. Пусть тг —проекция G на
Im(a) и ф = /Зтга-1: А —> D. Имеем
мф — х/Зтга-1 = «^аттаТ1 = ip.	□
Пусть М — модуль. Делимой (или инъективной) оболочкой модуля
М называется делимый модуль Е, содержащий М, и такой, что в Е нет
собственных делимых подмодулей, содержащих М.
Предложение 6.6. Делимый модуль Е является делимой оболочкой
модуля М в точности тогда, когда Е — существенное расширение
модуля М (т. е.М — существенный подмодуль в Е).
§6. Делимые модули
63
Доказательство. Пусть Е —делимая оболочка модуля М. Если М
не существенный подмодуль модуля Е, то в Е существует такой цикли-
ческий подмодуль С, что М А С = 0. Здесь С = R(pk) для некоторого
натурального числа к или С = R. Тогда С можно вложить в такой дели-
мый подмодуль В модуля Е, что В = R(p°°) или В = К и М ПВ - 0.
По теореме 6.1 и замечанию после теоремы Е = D ф В для некоторого
делимого подмодуля D, содержащего М. Это невозможно, так как Е —
делимая оболочка модуля М. Следовательно, Е — существенное расши-
рение М.
Обратное утверждение доказывается без труда с помощью теоремы 6.1.
□
Иногда удобнее делимой оболочкой модуля М считать такой делимый
модуль Е, что существует мономорфизм М —> Е, образ которого есть
существенный подмодуль в Е.
Теорема 6.7. Всякий модуль М имеет делимую оболочку. Она един-
ственна в следующем смысле. Если Ei и Е^ - две делимые оболочки
модуля М, то тождественное отображение модуля М продолжается
до изоморфизма между Ei и Е2.
Доказательство. Пусть D — делимый модуль, содержащий модуль
М. Такой модуль существует по теореме 6.4. Рассмотрим множество всех
делимых подмодулей модуля D, имеющих с М нулевое пересечение. Оно
индуктивно и в нем существует максимальный элемент G. Если таких
делимых подмодулей нет, то G = 0. По теореме 6.1 D = Е ф G для
некоторого подмодуля Е, содержащего М (замечание после теоремы 6.1).
Модуль Е является делимым. Пусть Н — делимый модуль такой, что
М С Н С Е. Тогда Е — Н ф X для некоторого модуля X. Так как
(X+G) А М = 0, то X = 0, ввиду максимальности G, и Н = Е. Таким
образом, Е — делимая оболочка модуля М.
Если Ei и Е2 — две делимые оболочки модуля М, то тождественное
отображение модуля М можно продолжить до гомоморфизма 7: Ei —> Е2
(нужно учесть инъективность модуля Е2\ см. теорему 6.5). Так как
Ker(7) А М = 0, то по предложению 6.6 Кег(7) = 0 и 7 — мономорфизм.
Образ Im(7) является делимым подмодулем, содержащим М, значит, он
совпадает с Е2. Так что, 7 — изоморфизм, оставляющий каждый элемент
модуля М на месте.	□
Найдем строение делимой оболочки модуля М. Пусть пр — размер-
ность .Rp-пространства М[р]. Существует вложение М[р] —> Q)R(p°°).
Пр
Пусть — некоторая максимальная линейно независимая система
64
Глава 2. Базисные факты
элементов бесконечного порядка модуля М и по — \1\. Существует вло-
жение ф Rai —> ф К. В итоге имеем мономорфизм из М\р] ф ф Rai
iei	no	iei
в делимый модуль ф/?(р°°) ф фК Он продолжается до мономорфиз-
пр	по
ма из модуля М (учесть существенность М[р] ф ф Rai в М). Модуль
iei
@R(p°°) ф ф К будет делимой оболочкой модуля М. Для модулей без
Пр	по
кручения справедлив следующий результат.
Предложение 6.8. Пусть М — модуль без кручения. Тогда К ®R М
есть делимая оболочка модуля М.
Доказательство. Я-модуль К ®R М как К-пространство являет-
ся делимым модулем. Модуль М можно считать подмодулем модуля
К ®R М, если отождествить, как в §4, элементы т е М и 1®т. Пусть
{ai}iei — максимальная линейно независимая система элементов модуля
М. Она будет системой с таким же свойством для модуля К ®R М. Сле-
довательно, ф Rai и подавно М — существенные подмодули в К ®R М.
iei
По теореме 6.1 К ®RM — делимая оболочка модуля М.	□
Упражнение 1. Делимые примарные модули М и N изоморфны, если
и только если М\р] = N\p\.
Упражнение 2. Модуль М называется квазиинъекпшвным, если всякий
гомоморфизм любого подмодуля модуля М в М продолжается до эндомор-
физма модуля М. Доказать, что всякий квазиинъективный Я-модуль или
инъективен, или является прямой суммой изоморфных между собой примар-
ных циклических модулей.
Упражнение 3. Я-модуль М является редуцированным в точности то-
гда, когда для любого Я-модуля N всякий Я-гомоморфизм N —> М есть
Я-гомоморфизм.
Упражнение 4. Пусть М — редуцированный Я-модуль. Предположим, что
имеется еще одно модульное умножение о на М такое, что М — левый Я-мо^
дуль и гт = гот для всех г е R и т е М. Тогда гт = гот для всех г е R
и m 6 М.
В оставшихся упражнениях R — произвольное кольцо. Инъективный
Я-модуль определяется так же, как для области дискретного нормирова-
ния. Левый Я-модуль М называется делимым, если гМ = М для любого
неделителя нуля г кольца Я.
Упражнение 5 (Леви [210]). Пусть Я имеет двустороннее классическое
кольцо частных S. Тогда всякий делимый левый Я-модуль инъективен в том
и только в том случае, если S — артиново полупримитивное кольцо, а Я —
§7. Чистые подмодули
65
левое наследственное кольцо (такие кольца определены перед упражнением 4
в §5).
Упражнение 6. Для коммутативной области R следующие утверждения
эквивалентны:
(1)	всякий делимый /?-модуль без кручения инъективен;
(2)	всякий делимый Я-модуль инъективен;
(3)	R — дедекиндова область.
§7. Чистые подмодули
Введем понятие высоты элемента модуля. Пусть М — модуль, a 6 М
и к — неотрицательное целое число. В М можно рассматривать уравне-
ния вида ркх = а и ставить вопрос о разрешимости таких уравнений.
Если b е М и ркЪ = а, то элемент b называется решением уравнения
ркх = а. Говорят также, что а делится на рк. Разрешимость уравне-
ния ркх = а равносильна тому, что а Е ркМ. Наибольшее целое неот-
рицательное число п, для которого уравнение рпх = а имеет решение
в М, называется высотой h(a) элемента а в модуле М. Следовательно,
/г(а) = п, если а е рпМ и а рп+1М. Если уравнение рпх — а имеет
решение при любом п, то а называется элементом бесконечной высо-
ты, h(a) = оо. Таким образом, высотой элемента может быть либо целое
неотрицательное число, либо символ оо. Ясно, что /г(0) = оо. Модуль М
делим в точности тогда, когда каждый элемент модуля М имеет беско-
нечную высоту.
Если элемент а лежит в подмодуле А модуля М, то можно опре-
делить две высоты для а. В случае надобности будем писать /гд(а)
и /гм (а) для высоты элемента а в А и в М соответственно. Всегда имеем
/гд(а) < км(а), где, как обычно, считаем, что любое целое неотрицатель-
ное число меньше символа оо.
Подмодуль А модуля М называется чистым, если всякое уравнение
ркх = а, а Е А, имеющее решение в М, имеет решение и в А. Подмодуль
А чист в точности тогда, когда для каждого а Е А имеем Ад (а) — /гм (а),
и в точности тогда, когда ркА = А Г) ркМ для любого целого неотрица-
тельного числа к.
Приведем основные свойства чистых подмодулей. Доказательства их
легкие, опустим их.
(1)	Нулевой подмодуль и сам модуль являются чистыми подмодулями.
(2)	Всякое прямое слагаемое является чистым подмодулем.
(3)	Если А чист в В, а В чист в М, то А чист в М.
3 — 4473
66
Глава 2. Базисные факты
(4)	Объединение возрастающей цепи чистых подмодулей будет чистым
подмодулем.
(5)	Периодический подмодуль модуля является чистым.
(6)	Если А —такой подмодуль в М, что М/А есть модуль без круче-
ния, то А — чистый подмодуль. Если А — чистый подмодуль модуля без
кручения М, то М/А есть модуль без кручения.
(7)	В модулях без кручения пересечения чистых подмодулей снова
чисты. Действительно, в модуле без кручения уравнение ркх = а имеет
не более одного решения.
Пусть X — некоторое подмножество модуля без кручения М. Тогда
пересечение А всех чистых подмодулей, содержащих X, будет наимень-
шим чистым подмодулем, содержащим X. Подмодуль А называется чи-
стым подмодулем, порожденным X. Он состоит из элементов а таких,
что га = rixi + ... + гпхп для некоторых элементов xi,... ,хп G X, и
г,Г1,...,гп 6 R, причем г 0. Если В —подмодуль в М, то чистый
подмодуль, порожденный В, равен {а е М | ra 6 В для некоторого
ненулевого г е 7?}.
Напомним, что модуль М называется ограниченным, если рпМ = О
для некоторого натурального числа п. В таком случае М является
Ярп-модулем (см. §4). Из теоремы 4.8 получаем следующий результат.
Теорема 7.1. Ограниченный модуль является прямой суммой цикличе-
ских модулей.
Прямое слагаемое всегда является чистым подмодулем (свойство 2)).
Следующая теорема выделяет важнейший случай положительного реше-
ния обратного вопроса.
Теорема 7.2. Ограниченный чистый подмодуль является прямым сла-
гаемым.
Доказательство. Пусть А — ограниченный чистый подмодуль моду-
ля М. По теореме 7.1 А —прямая сумма циклических модулей. Пусть
сначала каждый из этих циклических слагаемых изоморфен модулю
H(pfc) для фиксированного к. Так как А — чистый подмодуль, то А Г)
П ркМ = ркА = 0. Пусть В — такой подмодуль в М, что ркМ С В,
АС\В = 0 и В максимален среди подмодулей с такими свойствами. Тогда
АфВ — существенный подмодуль в М (§4). Если М АфВ, то М/(Аф
ф В) — примарный модуль (предложение 4.2). Пусть т е М, т £ А® В
и рт = а + b, где a G A, b 6 В. Тогда ркт — рк~1а + рк~хЬ, где ркт G В.
Следовательно, рк~1а = 0. Учитывая строение модуля А, получаем а =
= pai, где ai е А (см. упражнение 2). Далее, b = рт — а = p(m-ai) е В,
§7. Чистые подмодули
67
причем т — ai £ В. Пусть X = Rx + В, где х = т — ау Ввиду макси-
мальности В, в подмодуле А П (Rx + В) имеется ненулевой элемент у.
Тогда у = rx + bi, где г е R, bi G В. Если г — гур для некоторого и е R,
то у = rypx + bi 6 А П В = 0, так как у 6 А и рх 6 В, что невозмож-
но. Значит, г— обратимый элемент. Но тогда х = r~l(y — bi) € А® В
и т Е А® В. Противоречие. Значит, М = А ® В.
Пусть А — произвольный ограниченный чистый подмодуль. Тогда
А = Ai ® • • • ф Ак, где слагаемое Ai является прямой суммой попарно
изоморфных циклических модулей (г = l,...,fc). Ясно, что Д — чистый
в М подмодуль. Пусть А = Ai ®С, где С = А^ ф • • • ф Ak. По доказан-
ному, М = Ai ф Mi и А = Ai ф Ci, где С\ - А П Mi, С\ = А/А\ = С
и Ci — чистый подмодуль в Mi. Рассуждая далее относительно Ci и Mi
аналогично, через несколько шагов получим М = Ai®  ® Ак® Мк =
= А®Мк.	□
Рассмотрим два главных следствия доказанной теоремы.
Следствие 7.3. Пусть М — редуцированный модуль, не являющийся
модулем без кручения. Тогда М имеет прямое слагаемое, изоморфное
R(pn) для некоторого натурального числа п.
Доказательство. Пусть Т — периодический подмодуль модуля М.
Имеем, Т — редуцированный примарный модуль. Предположим, что все
элементы порядка р модуля Т имеют бесконечную высоту. Докажем ин-
дукцией по порядку, что тогда все элементы модуля Т имеют бесконеч-
ную высоту. Пусть а 6 Т и h(a) = к < оо. По индуктивному предполо-
жению /г(ра) = оо. Тогда pa = pb, где h(b) > к. Возьмем элемент а - Ь.
Имеем h(a — Ь) = к (см. упражнение 1) и р(а — Ь) — О, что невозможно.
Таким образом, все элементы модуля Т имеют бесконечную высоту, т. е.
Т — делимый модуль. Противоречие.
Итак, в М существует элемент а порядка р конечной высоты п - 1,
где п — некоторое натуральное число. Пусть b G М и рп~1Ь = а. Тогда
циклический подмодуль Rb изоморфен R(pn). Действительно, гомомор-
физм R —> Rb, г —> rb, г е R, имеет ядро, равное pnR. Следовательно,
Rb = R/pnR = R(pn). Покажем, что Rb — чистый подмодуль в М. Пусть
vpkb е Rb, где V — обратимый элемент кольца R. Тогда hs(vpkb) = к. До-
пустим, что vpkb = pfc+1rr, где х G М. Тогда ркЬ — рк+1у для некоторого
у G М. Имеем
а = pn~k~l(pkb) = рп~1Ь = рп~к~1рк+1у = рпу, т. е. /г(а) п,
чего не может быть. Следовательно, Ь,м(уркЬ) = к и Rb — чистый в М
подмодуль. По теореме 7.2 Rb — прямое слагаемое в М.	□
з*
68
Глава 2. Базисные факты
Следствие 7.4. Неразложимый модуль является либо примарным, либо
модулем без кручения. Если он примарный, то изоморфен R(pn) или
В §11 мы вернемся к вопросу о строении неразложимых модулей.
Из доказательства следствия 7.3 можно вывести такой результат.
Следствие 7.5. Всякий элемент порядка р и конечной высоты можно
вложить в прямое слагаемое, изоморфное R(pn).
Чтобы развить следствие 7.5, дадим следующее определение. Будем
говорить, что М — модуль без элементов бесконечной высоты, если в М
нет ненулевых элементов бесконечной высоты.
Следствие 7.6. Пусть М — примарный модуль без элементов бесконеч-
ной высоты. Тогда всякое конечное множество элементов модуля М
можно вложить в прямое слагаемое модуля М, являющееся прямой
суммой конечного числа циклических модулей.
Доказательство. Допустим, что каждый элемент модуля М мож-
но вложить в прямое слагаемое с указанными в следствии свойствами.
Пусть теперь a, b е М. Тогда М = А ф С, где а € А и А — прямая сумма
конечного числа циклических модулей. Пусть b = ai + с, где ai € А,
с € С. Элемент с можно вложить в прямое слагаемое В модуля С, яв-
ляющееся прямой суммой конечного числа циклических модулей. Тогда
множество {а, Ь} содержится в прямом слагаемом А ф В модуля М.
Таким образом, достаточно доказать утверждение для отдельных эле-
ментов модуля М. Докажем это индукцией по порядку элементов. Для
элементов порядка р все получается по следствию 7.5. Пусть а е М
и о(а) = рк, где к > 1. По следствию 7.5 имеем М = С ф В, где С —
циклический модуль и рк~^а е С. Пусть а = с + Ь, где с е С и Ъ е В.
Тогда рк~гЬ = 0 и о(Ь) < рк. По предположению индукции элемент b
можно вложить в прямое слагаемое А модуля В, где А — прямая сум-
ма конечного числа циклических модулей. Тогда элемент а содержится
в прямом слагаемом С ф А модуля М.	□
В заключение приведем один полезный критерий чистоты подмодуля.
Предложение 7.7. Подмодуль А модуля М чист в точности тогда,
когда в каждом смежном классе модуля М по подмодулю А содер-
жится элемент порядка, равного порядку этого смежного класса.
Доказательство. Пусть А — чистый подмодуль в М и у + А е А/М.
Если порядок смежного класса у + А равен оо, то любой элемент из
§8. Прямые суммы циклических модулей
69
у 4- А имеет порядок оо. Пусть порядок у + А равен рп. Тогда рпу е А.
Из чистоты А получаем рпу = рпа для некоторого а е А. Тогда
рп(т/-а) = 0, о(у-а)=рп, у - а е у + А.
Обратно, пусть а = pnb е A, b е М. В смежном классе b 4- А выберем
элемент х того же порядка, что и b 4- А. Тогда
рпх — О, b — х е А, рп(Ь — х) = а.
Следовательно, А — чистый подмодуль в М.	□
Упражнение 1. Всегда справедливо неравенство для высот h(a 4- Ь)
шш(Л(а),Л(6)) и при h(a) ± h(b) имеет место равенство.
Упражнение 2. Пусть а е R(pn) и о(а) = рк. Тогда к 4- h(a) = п.
Упражнение 3. Область дискретного нормирования R является чистым
подмодулем в своем р-адическом пополнении R.
Упражнение 4. Если Т — периодический подмодуль модуля М и А — чи-
стый подмодуль в М, то Т 4- А — чистый подмодуль в М.
Упражнение 5. Пусть А —чистый подмодуль в М и ркА = 0. Тогда
(А 4- ркМ)/ркМ — чистый подмодуль в М/ркМ.
Упражнение 6. Пусть М — примарный модуль и А —подмодуль в М.
Предположим, что Лд(а) = Лм(а) для каждого элемента а подмодуля А
порядка р. Тогда А — чистый подмодуль в М.
Упражнение 7. Пусть А и В — подмодули модуля М и А С В. Тогда
(1) если В чист в М, то В/A чист в М/А\
(2) если А чист в М и В/А чист в М/А, то В чист в М.
Упражнение 8. Пусть М — примарный модуль, А —чистый подмодуль
в М такой, что М\р] С А. Тогда А = М.
Упражнение 9. Подмодуль А модуля М называется чистым в смысле
Кона, если для любого правого Я-модуля N индуцированное отображение
N А -* N М является мономорфизмом. Доказать, что подмодуль А яв-
ляется чистым в смысле Кона в точности тогда, когда А — чистый подмодуль
в смысле этого параграфа.
§ 8. Прямые суммы циклических модулей
Прямые суммы циклических модулей образуют важнейший класс моду-
лей. Они появляются при изучении практически любого другого клас-
са модулей. Напомним, что прямые суммы копий циклического модуля
R называются свободными модулями. Последние рассматривались в §5.
70
Глава 2. Базисные факты
Ограниченный модуль является прямой суммой циклических модулей,
как следует из теоремы 7.1. В следующих теоремах выделяются еще два
класса модулей, являющихся прямыми суммами циклических модулей.
Теорема 8.1. Любой конечно порожденный модуль является прямой
суммой циклических модулей.
Доказательство. Пусть сначала М — конечно порожденный модуль
без кручения. Индукцией по числу образующих докажем, что М — сво-
бодный модуль. Возьмем какую-то конечную систему образующих моду-
ля М. Если она состоит из одного элемента а, то М — циклический мо-
дуль, М = Ra и М = R. Если система содержит более одного элемента,
то возьмем некоторый элемент а системы. Пусть А —чистый подмодуль
в М, порожденный элементом а. Тогда М/А — конечно порожденный
модуль без кручения (учесть свойство (6) из §7). По предположению ин-
дукции М/А — свободный модуль. Отсюда М = A®F (теорема 5.4), где
F = М/А и F — конечно порожденный модуль. Модуль А имеет ранг 1,
поэтому А = R либо А = К. Модуль К не является конечно порожден-
ным. Следовательно, А = R и М — свободный модуль.
Предположим, что М — конечно порожденный примарный модуль,
ai,..., at — некоторая его система образующих. Выберем натуральное
число п так, что pnai = 0, i — 1,..., k. Пусть
а е М, а = пах + ... + r^ak, п е R.
Для каждого i существует элемент Si е R со свойством pnrt = sipn. Ясно,
что рпа = 0. Следовательно, рпМ = 0 и М — ограниченный модуль. По
теореме 7.1 М — прямая сумма циклических модулей.
Пусть М — смешанный конечно порожденный модуль. Тогда
— свободный модуль как конечно порожденный модуль без кручения.
Следовательно, М = t(M') ф F, где F — свободный модуль, £(Л7) — ко-
нечно порожденный примарный модуль. Поэтому t/M) и М — прямые
суммы циклических модулей.	□
Модуль называется счетно порожденным, если он имеет счетную си-
стему образующих.
Теорема 8.2. Счетно порожденный примарный модуль М без эле-
ментов бесконечной высоты является прямой суммой циклических
модулей.
Доказательство. Пусть ai, а%,... ,ап,... — некоторая система обра-
зующих модуля М. По следствию 7.6 существует разложение М =
= А1ФМ1, где Ai — прямая сумма циклических модулей и ai е Ai.
§ 8. Прямые суммы циклических модулей
71
Допустим, что для натурального числа п > 1 мы получили разложение
М = Д1 ф• • • ф Ак фМк, где к п, Ai,..., Ак — прямые суммы цикличе-
ских модулей и ai,..., ап е Ai ф • • • ф Ак. Возьмем теперь элемент an+i
и пусть
Gn+i = g -|- Ь, где a € Ai ф • • • ф Ак, b G Mk, b 0 О
(если an+i е Ai ф • • • ф Ак, т.е.Ь = 0, то переходим к элементу ап+2
и т. д.). Опять по следствию 7.6 имеем Mk = Afc+i Ф ЛД+1, где Аь-н —
прямая сумма циклических модулей и b 6 Afc+i- Нетрудно проверить, что
М = Ai ф ... ф Ак Ф ...	□
Для модулей без кручения счетного ранга имеется удобный критерий
свободы.
Теорема 8.3. Модуль без кручения счетного ранга является свобод-
ным в точности тогда, когда каждый его подмодуль конечного ранга
свободен.
Доказательство. Необходимость получается из теоремы 5.2. Чтобы
доказать достаточность, предположим, что ai, а2,. ., ап,... — некоторая
максимальная линейно независимая система элементов модуля М. Пусть
Ап — чистый подмодуль, порожденный элементами ai,...,an для n 1
(см.§7). Имеем строго возрастающую цепь Ai с Аг С ... С Ап с ...
Положим Ci = Ai. Здесь Ci = R. Для каждого п 1 имеем, что An+i —
свободный модуль конечного ранга. Следовательно, An+i и An+i/An —
конечно порожденные модули без кручения. По теореме 8.1 An+i/An —
свободный циклический модуль и An+i/An = R. По теореме 5.4 имеем
An+i = Ап ф Cn+i, где Cn+i = R. Простая проверка показывает, что
М = ф Сп. Следовательно, М — свободный модуль.	□
П^1
Прежде чем доказать основной результат о прямых суммах цикличе-
ских модулей, приведем один критерий разложимости примарного модуля
в прямую сумму циклических модулей.
Теорема 8.4. Примарный модуль М является прямой суммой цикли-
ческих модулей в точности тогда, когда М есть объединение воз-
растающей цепи подмодулей Ai С Аг С ... С An С .... где высоты
отличных от нуля элементов, входящих в Ап, меньше некоторого
целого числа (зависящего от ri).
Доказательство. Пусть М — прямая сумма циклических модулей.
Тогда М = ф Вп, где Вп — прямая сумма циклических модулей R(pn).
П^1
72
Глава 2. Базисные факты
Подмодули Ап — Bi ф • • • ф Вп, п 1, удовлетворяют условиям теоремы,
так как высоты ненулевых элементов подмодуля Ап меньше п.
Для доказательства достаточности предположим, что подмодули Ап,
п 1, удовлетворяют условиям теоремы. Пусть S = 7И[р]. Тогда S есть
левое векторное /^-пространство. Так же, как в доказательстве теоре-
мы 4.8, выберем подходящий базис пространства S. Пусть Нп = АпГ\ S,
п 1. Все Нп есть подпространства в S,
HxQH2Q...QHnQ..., (J Нп = S
П^1
и высоты отличных от нуля элементов, входящих в Нп, меньше неко-
торого целого числа. Из свойств пространств получаем, что для каждо-
го целого числа к 1 существует возрастающая цепь подпространств
Х^ Q Х2к С ... С Xnk такая, что имеют место прямые разложения про-
странств Нп^рк~х М = Xnk®(НпГ\ркМ) (при к = 1, Нп(Урк~хМ = Нп).
Для любого к положим Yk = |J Хпк- Тогда Yk — подпространство в S
П^1
и Yk С рк~1М \ркМ. Следовательно, имеем прямую сумму ф Yk. Если
х е S, то х е Нп для некоторого п. Из условия на высоты элемен-
тов из Нп получаем, что Нп п рк+1М = О для некоторого к. Поэтому
Нп П ркМ = X. Можно записать разложения
Нп = X„i Ф (Нп П рМ),..., Нп П рк~1М = Хпк Ф (Нп П ркМ),
Нп I-) р М = Хп>к+1-
Ясно теперь, что
х € Xni Ф    ® *n,fc+i и х G У1 ф • • • ф Yfc+i.
Показали, что S С ф Yk.
В каждом пространстве Yk, к 1, возьмем некоторый базис, и пусть
{ei}iei — объединение этих базисов. Если /i(ej) = mi, то пусть элемент
ai е М и pmiai = ei. Утверждаем, что М = Q)Rai. Это доказывается
iei
точно так же, как аналогичное равенство в доказательстве теоремы 4.8.
□
С помощью теоремы 8.4 можно по-другому доказать теоремы 7.1 и 8.2.
Теорема 8.5. Пусть модуль М является прямой суммой циклических
модулей. Тогда любой подмодуль N в М также является прямой сум-
мой циклических модулей.
§8. Прямые суммы циклических модулей
73
Доказательство. Периодический подмодуль t(M) является прямой
суммой циклических модулей. По теореме 8.4 t(M) равен объединению
возрастающей цепи подмодулей Ai С А2 С ... С Ап С ..., где в подмо-
дуле Ап высоты ненулевых элементов меньше, например, числа 1п. Тогда
подмодуль <(ЛГ) является объединением возрастающей цепи подмодулей
Bi СВ2С ... СВПС .... где Вп = f(W) А Ап, и высоты ненулевых эле-
ментов из Вп в модуле t(JV) меньше 1п. По предыдущей теореме i(A^) —
прямая сумма циклических модулей. Далее имеем
N/t(N) = N/(N A f(M)) =* (N + t(M))/t(M) С M/t(M),
где	— свободный модуль. По теореме 5.2 модуль N/t(N) свобо-
ден, а по теореме 5.4 N = t(N) ф F, где F = N/t(N). Следовательно,
N — прямая сумма циклических модулей.	□
Рассмотрим вопрос о единственности разложения модуля в прямую
сумму циклических модулей. Сначала приведем два известных поня-
тия, касающиеся прямых разложений. Прямые разложения М = ф Аг и
iei
М = ф Cj называются изоморфными, если существует биекция f: I —>
—> J такая, что Аг = Cf^) при всех г G I. Если М = фАг, где каждый
модуль Аг есть прямая сумма, А{ = ф Ау, то разложение М = ффА,у
j	г j
называется уплотнением первого разложения.
Теорема 8.6. Любые два разложения модуля в прямую сумму цикли-
ческих модулей изоморфны. Любые два прямых разложения модуля,
являющегося прямой суммой циклических модулей, имеют изоморф-
ные уплотнения.
Доказательство. Пусть модуль М является прямой суммой цикли-
ческих модулей. Зафиксируем одно из разложений модуля М в прямую
сумму циклических модулей. Тогда М = ф Вп ф F, где Вп — прямая
72^1
сумма циклических модулей 7?(pn), F — прямая сумма циклических мо-
дулей R.
Обозначим через tn, п 1, мощность множества прямых слагаемых
7?(рп) в Вп, т. е. tn = r(Bn), to — мощность множества слагаемых R в F,
т. е. to = r(F"). Положим S — М[р] и Sn = {х 6 S | h(x) > п — 1} для
n 1. Тогда Sn/Sn+l = Вп[р] и tn = r(Sn/Sn+i). Подмодули Sn опреде-
ляются однозначно, т. е. они не зависят от конкретного прямого разложе-
ния модуля М. Значит, кардинальные числа tn однозначно определяются
74
Глава 2. Базисные факты
модулем М. Затем io = r(M/t(M)) и io также однозначно определяется
модулем М. Теперь справедливость первого утверждения очевидна.
Перейдем ко второму утверждению. Пусть даны два прямых разложе-
ния модуля М. В силу теоремы 8.5, каждое прямое слагаемое модуля М
есть прямая сумма циклических модулей. Если заменить каждое прямое
слагаемое в двух данных разложениях прямой суммой циклических мо-
дулей, то получим уплотнения исходных разложений. Они изоморфны на
основании первого утверждения.	□
Из приведенного доказательства получаем, что множество кардиналь-
ных чисел {to, tn (n > 1)} является полной и независимой системой ин-
вариантов для прямой суммы циклических модулей.
Упражнение 1. Пусть М — периодический подмодуль произведения
п Я(рп)- Тогда М — примарный модуль без элементов бесконечной высо-
ты и М не является прямой суммой циклических модулей.
Упражнение 2. Модуль без кручения f] Сп, гДе все Сп — R, не является
П^1
свободным, но каждый его подмодуль конечного ранга свободен. Более того,
любое конечное множество элементов модуля М можно вложить в свободное
прямое слагаемое модуля М (ср. со следствием 7.6).
§9. Базисные подмодули
В каждом неделимом модуле существуют наиболее большие в определен-
ным смысле чистые подмодули, являющиеся прямыми суммами цикли-
ческих подмодулей. Такие подмодули, называемые базисными, являются
инвариантами модулей. Они оказываются очень полезным инструментом
при изучении модулей. Базисные подмодули мы введем с помощью неко-
торых систем элементов модуля.
Пусть М — модуль. Система ненулевых элементов ai,...,an модуля
М называется чисто независимой, если для любого натурального числа
к из nai +... + rnan е ркМ, riUi / 0 и п е R следует, что п делятся
на рк, i = 1,...,п. Произвольная система ненулевых элементов модуля
М называется чисто независимой, если любая её конечная подсистема
чисто независима.
Лемма 9.1. Система ненулевых элементов модуля М чисто незави-
сима в точности тогда, когда она линейно независима и порождает
чистый подмодуль в М.
Доказательство. Предположим, что система ненулевых эле-
ментов чисто независима. Пусть r^ai + ... + гпап = 0, где паг / О,
§9. Базисные подмодули
75
i = 1,...,п. Тогда все ri делятся на рк для любого натурального чис-
ла к, откуда Г{ = 0, в силу хаусдорфовости кольца R (см.§3). Значит,
{«г}гб/ — линейно независимая система. Пусть А — подмодуль, порожден-
ный этой системой, и х е АС\ркМ. Запишем х = riai +.. ,+гпап, где все
Tj е R. Ввиду чистой независимости, имеем г» = pkSi для некоторого Si €
G R, i = 1,..., п, откуда х = pfe(siai + ... 4- snan) € ркА. Следовательно,
А — чистый подмодуль в М.
Предположим, что система {oi}ie/ линейно независима и порождает
чистый подмодуль А в М. Пусть r^ai + .. .+rnan G ркМ, где все / 0.
Из чистоты А следует, что
Г1О! + ... + rnan = pk(&iai + ... + snan)
для некоторых s, е Я. В силу независимости системы, имеем ггаг =
= pkSidi и (ri — pkSi)ai = 0, г = 1,..., п. Если o(aj) = оо, то ri — pkSi = 0
игг = pkSi. Если о(аг) = рт, то т > к (учесть, что pkSidi / 0). Значит,
И — pkSi делится на рт и г, делится на рк. Итак, в любом случае все г*
делятся на рк и — чисто независимая система.	□
Неделимый модуль М обязательно содержит чисто независимые систе-
мы элементов. Можно считать, что М — редуцированный модуль. Если
М не является модулем без кручения, то по следствию 7.3 М имеем цик-
лическое прямое слагаемое Ra. Тогда {а} — чисто независимая система
ввиду леммы 9.1. Пусть М — модуль без кручения, a G М и А(а) = 0.
Тогда Ra — чистый подмодуль. Опять по лемме 9.1 {а} —чисто незави-
симая система. Если М — делимый модуль, то удобно считать, что М
имеет единственную чисто независимую систему, а именно {0}.
Множество всех чисто независимых систем модуля М индуктивно по
включению. По лемме Цорна оно содержит максимальные системы.
Предложение 9.2. Пусть {аЦге/ — некоторая система ненулевых эле-
ментов модуля М, В — подмодуль, порожденный этой системой. Си-
стема {ajig/ является максимальной чисто независимой в точности
тогда, когда выполняются следующие условия'.
(1)	В — прямая сумма циклических модулей, точнее, В = ф Ra^
iei
(2)	В — чистый подмодуль в М;
(3)	фактормодуль М/В является делимым.
Доказательство. Пусть указанная система является максимальной
чисто независимой. По лемме 9.1 она линейно независима и порождает
76
Глава 2. Базисные факты
чистый подмодуль. Значит, верно (1) (лемма 4.4) и (2). Перейдем к (3).
Докажем, что р{М/В) = М/В или рМ + В = М. Индукцией по поряд-
ку убедимся, что каждый элемент модуля М конечного порядка лежит
в рМ+В. Пусть х е М, о(х) = р1,1	1, и для всех элементов с меньшим
чем р1 порядком утверждение справедливо. В силу максимальности си-
стемы {аД, существуют натуральное число к, элементы и,..., rn, г G R
и у е М такие, что
riai + ... + гпап + rx = рку,	rx / О,
и один из и,... ,гп,г не делится на рк. Ясно, что это г. Следовательно,
г = pmv, где 0 < т < к, v — обратимый элемент. Теперь имеем nai + ...
... + rndn G ртМ. В силу чистой независимости системы {ai}, получаем
П = pmSi, Si е R, i = 1,... ,п. И далее, pm(siai+.. .+snan+vx-pk~my) =
= 0. Так как pmvx ± 0, то т < I. По индуктивному предположению
siai + ... + snan + vx - рк~ту G рМ + В.
Поэтому х е рМ + В, поскольку к-т 1. Получили, что периодический
подмодуль модуля М содержится в рМ + В. Если х е М и о{х) = оо,
то, рассуждая аналогичным образом, будем иметь pm(siai + ... + snan +
+ vx — рк~ту) = 0. Так как siai + ... + snan + vx — рк~ту G рМ + В, то
опять х G рМ + В.
Предположим, что справедливы условия (1)-(3). Докажем, что
{aijiei — максимальная чисто независимая система. Независимость сле-
дует из (1) и леммы 4.4. Следовательно, по лемме 9.1 система является
чисто независимой. Допустим, что система {«г} не является максималь-
ной. Существует элемент а, для которого {ai}iei U {а} — чисто незави-
симая система и а / а, для всех i. Из (3) получаем рМ + В = М
и, следовательно, а = рх + riai + ... + гпап, где х G М, ъ G R, или
а — riai — ... — гпап = рх. Система {aiU {а} порождает, согласно
лемме 9.1, чистый подмодуль С. Значит, а — r^ai — ... — гпап = рс, где
с е С. Выразив с через а и ai, получим а = рга, где г е Я (учесть
независимость рассматриваемой системы). Но равенство а — рга про-
тиворечит чистой независимости системы {а}. Следовательно, {ajie/ —
максимальная чисто независимая система.	□
Базисным подмодулем модуля М называется любой подмодуль мо-
дуля М, удовлетворяющий условиям (1)-(3) предложения 9.2. Учитывая
это предложение и замечание перед ним, получаем, что любой недели-
мый модуль имеет базисные подмодули. Базисным подмодулем делимого
модуля будем считать нулевой подмодуль. Любую максимальную чисто
§9. Базисные подмодули
77
независимую систему элементов модуля М будем называть р-базисом
модуля М. Если	— р-базис модуля М, то ф Rai — базисный под-
iei
модуль модуля М и наоборот.
Пусть В — базисный подмодуль неделимого модуля М. Тогда В =
= ф Вп, где Во — прямая сумма циклических модулей, изоморфных R,
п^О
Вп — прямая сумма циклических модулей, изоморфных R(pn), п 1.
Понятно, что каких-то из слагаемых Вп может не быть. Так как В1Ф • • - ф
®Вп — ограниченный чистый подмодуль в М, то из теоремы 7.2 выводим
такой результат.
Следствие 9.3. Для любого натурального числа п имеем М = Bi ф
Ф • • • Ф Вп ф Мп для некоторого подмодуля Мп.
Приведем и другие важные свойства базисного подмодуля В моду-
ля М.
(1)	М = рпМ + В для любого натурального числа п. Действительно,
М/В — делимый модуль. Следовательно,
(рпМ + В)/В = рп(М/В) = М/В и рпМ + В = М.
(2)	М/рпМ = В/рпВ для любого натурального числа п. Учитывая (1)
и чистоту М, имеем
М/рпМ = (рпМ + В)/рпМ =* В/(рпМ П В) = В/рпВ.
(3)	Пусть N — редуцированный модуль, р: М —> N — некоторый го-
моморфизм и рВ = 0. Тогда р = 0. Имеем Im(<£) = М/Кег(</?), где
В С Кег(у>). Значит, М/Кег(у?) и Im^) — делимые модули, откуда
= 0 и р = 0.
(4)	Пусть АГ — чистый подмодуль модуля М, С — базисный подмодуль
модуля N. Тогда существует базисный подмодуль В модуля М такой, что
В = А®С для некоторого подмодуля А. При этом (A®N)/N — базисный
подмодуль модуля M/N.
Действительно, пусть С = фВсг, где — р-базис модуля С.
iei
Он является чисто независимой системой элементов модуля М. Допол-
ним эту систему до максимальной чисто независимой системы U
u{aj}j&j элементов модуля М. Пусть А = ф Raj. По предложению 9.2
jeJ
А®С — базисный подмодуль модуля М.
Пусть a G АРАТ. По (1) N = pkN+C для любого k 1. Следовательно,
а = ркх + с, где х € N, с 6 С. Отсюда а — с = ркх и а — с = pk(ai — ci),
в силу чистоты подмодуля А® С, где ai е A, ci е С. Таким образом, а —
— рка\ и а е ркА для любого к 1. Ясно, что а = 0. Получили АРАТ = 0.
78
Глава 2. Базисные факты
Теперь покажем, что (А ф N)/N — базисный подмодуль для М/N. Так
как (А ф 2V)/jV = А, то (А ф ДГ)/.У — прямая сумма циклических моду-
лей, т. е. справедливо условие (1) предложения 9.2. Затем из (M/N)/{A®
®N)/N = М/(АфЛГ) следует справедливость условия (3) этого пред-
ложения. Проверим, что (А ф 2V)/7V — чистый подмодуль в М/N. Пусть
а + Ь = ркх, где a G А, 6 G 7V и ж G Л/. Так как С — базисный подмодуль
модуля N, то по свойству (1) b = рку + с, где у е N, с е С. Итак,
а + b = а + рку + с = ркх и а + с = рк(х — у).
В силу чистоты А ф С в М, получаем а + с = а + Ь — рку — pk{ai + ci)
и далее, а + Ь = pkai + pfc(ci + у), где ci + у Е N, ai € А.
Обратное в определенном смысле утверждение к свойству (4) содер-
жится в упражнении 3. В условиях свойства (4) имеем также следующее.
Базисный подмодуль модуля М изоморфен прямой сумме базисных под-
модулей модулей N и M/N.
(5)	Если В — базисный подмодуль модуля М и В = t(B) ф Bq для
некоторого подмодуля Bq, то £(В) — базисный подмодуль для t{M), a Bq
изоморфен базисному подмодулю модуля M/t(M).
Ясно, что £(£?) — чистый подмодуль в i(M). Допустим, что он не яв-
ляется базисным. Существует подмодуль С в t(M) такой, что t(B)®C —
базисный подмодуль для t(Af) (свойство (4)). Покажем, что t(B) ф С ф
Ф Bq — чистый подмодуль модуля М. Пусть а + с + b = ркх, где а G i(B),
с 6 С, b е Bq, х е М и к — некоторое натуральное число. Существует
натуральное число п такое, что рпа = рпс = 0. Следовательно, рпЬ =
_ рп+кх так как в0 — чистый подмодуль в М, то pnb = pn+kbi, где
bi е Bq. Далее, b = pkbi, так как Bq — модуль без кручения. Значит,
а + с = рк(х — bi) = pk(ai + ci), ai G t(B), ci 6 C,
ввиду чистоты t(B)®C в M. В итоге, а + с + 6 = pfc(ai +ci + bi), что до-
казывает нужную чистоту. Теперь имеем, что (<(В)фСфВо)/(^(В)фВо)
есть делимый модуль как чистый подмодуль делимого модуля M/(t(B) ф
ф Bq). Он изоморфен С, и значит, С —делимый модуль, что невозмож-
но. Следовательно, t(B) — базисный подмодуль модуля t(M). Оставшиеся
утверждения получаются теперь из (4).
Рассмотрим связь р-базисов модуля М с базисами 7?р-пространства
М/рМ.
(6)	Пусть {аДге/ — р-базис модуля М. Тогда {ai + pM}i&[ — базис
/^-пространства М/рМ. Если М — модуль без кручения, то верно об-
ратное.
§9. Базисные подмодули
79
Предположим, что псц 4-... + гпап = 0, где
П = и + pR, a,i = аг + рМ, i = 1,... ,п.
Тогда riczi + .. . + гпап = рх для некоторого х е М. Ввиду чистой незави-
симости системы {а;}, все г, делятся на р, т. е. все г» = 0. Пусть b € М.
По предложению 9.2 и свойству (1) получаем b = riai + ... + гпап + ру,
где гг е R, i = 1,... ,п, у 6 М. Отсюда
b + рМ = riai + ... + гпап.
Таким образом, {а^ + рМ}гег — максимальная линейно независимая си-
стема элементов пространства М/рМ, т.е. базис.
Пусть теперь М — модуль без кручения и {аг + рМ}г^1 — некоторый
базис пространства М/рМ. Покажем, что {аг}ге! — максимальная чисто
независимая система элементов модуля М. Прежде докажем, что если
для системы элементов Я1,..., яп из того, что
Г1Я1 + ... + гпяп е рМ, ггаг / 0, гг € R, i = 1,..., п,
следует, что все гг делятся на р, то эта система является чисто незави-
симой. В самом деле, пусть
Г1Я1 + ... + rnan 6 ркМ, ггаг /0, гг € R, i = 1,..., п, к > 1.
Тогда гг = рзг с s, G R, i = 1,... ,п, и p(siai + ... + впяп) = рку. Так
как М — модуль без кручения, то siai + ... + snan = рк~1у е рк~1М.
Рассуждая далее аналогично, получим, что все гг делятся на рк. Значит,
яь ..., ап — чисто независимая система элементов.
Пусть теперь riai +... +rnan 6 рМ. Тогда riai +... + гпяп — 0 в про-
странстве М/рМ. Следовательно, все элементы гг = 0, а элементы п
делятся на р. Учитывая доказанный выше факт, получаем, что {аг}г6/ —
чисто независимая система.
Пусть х е М и х рМ. Тогда
х = х + рМ — пя1 + ... + гпап, где гг - гг + pR € Rp,
причем гг ± 0, т.е.гг pR для всех i =	В модуле М имеем
Г1Я1 + ... + гпап — хе рМ. Следовательно, {ajie/ U {ж} не является чи-
сто независимой системой. Таким образом, — максимальная чисто
независимая система элементов, т. е. р-базис модуля М.
В §4 р-ранг гр(М) модуля М был определен как размерность 7?р-про-
странства М/рМ. Пусть В = t(B) ф Bq — базисный подмодуль модуля
80
Глава 2. Базисные факты
М. В силу леммы 9.1, имеем неравенство гр(7И) г(7И). Из свойств (6)
и (5) получаем также
т(В) = гр(М), r(t(B)) = rp(t(M)) и г(Во) = гр(МД(М)).
Естественный вопрос о единственности базисных подмодулей решает-
ся положительно.
Теорема 9.4. Всякий модуль содержит базисные подмодули. Любые
два базисных подмодуля данного модуля изоморфны между собой.
Доказательство. Справедливость первого утверждения отмечена по-
сле доказательства предложения 9.2. Докажем второе утверждение. Если
М — делимый модуль, то по определению нулевой подмодуль является
единственным его базисным подмодулем.
Пусть М — неделимый модуль и В — некоторый его базисный подмо-
дуль. Запишем В = ф Вп, где Во = (Ri = R), Вп = фЯ(рп)
п^О
при п 1. Зафиксируем п и покажем, что число слагаемых R(pn) в раз-
ложении модуля Вп является инвариантом модуля М, т. е. не зависит
от выбора конкретного базисного подмодуля. Пусть натуральное число
k > п. Тогда
pkB = pkBo® ф/Вт,
т>к
В/ркВ Во/ркВо Ф В1 ф • • • ф Вк ф ф Вт/ркВт,
т>к
где Во/ркВо и все Вт/ркВт есть прямые суммы копий модуля R(pk).
Следовательно, мощность множества слагаемых R(pn) в Вп равна мощно-
сти множества слагаемых R(pn) в В/ркВ. Но по свойству (2) В/ркВ =
= М/ркМ. Еще заметим, что по теореме 8.6 эта мощность является
инвариантом модуля М/ркМ.
По замечанию перед теоремой г(Во) = rp(M/t(M'}). Следовательно,
число слагаемых R в Bq является инвариантом модуля М.	□
Упражнение 1. Если Д есть базисный подмодуль модуля Mi, i G I, то
ф-B, является базисным подмодулем модуля фЛ/г.
Упражнение 2. Базисный подмодуль редуцированного модуля М без кру-
чения является циклическим в точности тогда, когда М изоморфен некото-
рому чистому подмодулю модуля R.
§ 10. Чисто проективные и чисто инъективные модули
81
Упражнение 3. Пусть N есть чистый подмодуль модуля М, {ajiei “
р-базис модуля N и {67}jej — р-базис модуля М/N. Пусть элемент bj мо-
дуля М содержится в смежном классе bj и имеет тот же порядок, что и bj
(существование элемента bj гарантирует предложение 7.7). Тогда {ai,bj | i е
е I,j G J} есть р-базис модуля М.
Упражнение 4. Пусть М — модуль без кручения конечного ранга, ai,...
.ап — некоторая максимальная линейно независимая система элементов
модуля М и F = Rai ф • • • ф Ran. Тогда
M/F = Ci ф • • • Ф Ск ф Di ф • • • ф Dh
где к + I = r(M), I = r(M) - rp(M), Ci — циклический модуль конечного
порядка или Ci = 0, i = 1,..., к, и Dj = R(p°°), j = 1,... ,1.
Упражнение 5. Модуль М без кручения конечного ранга свободен в точ-
ности тогда, когда г(М) = гр(М).
§ 10. Чисто проективные и чисто инъективные модули
Определим модули, указанные в названии параграфа, и дадим удовле-
творительное их описание.
Модуль Р называется чисто проективным, если для всякого эпимор-
физма тг: А —> В произвольных модулей А и В такого, что Кег(тг)—
чистый подмодуль в А, и гомоморфизма <р: Р -+ В существует гомомор-
физм гр: Р А такой, что <р = грл.
Модуль Q называется чисто инъективным, если для всякого моно-
морфизма х: В —> А такого, что Im(x) — чистый подмодуль в А, и го-
моморфизма ср: В —> Q существует гомоморфизм гр: А -+ Q такой, что
ср — игр. Это равносильно тому, что для всякого модуля А и его чисто-
го подмодуля В всякий гомоморфизм из В в Q можно продолжить до
гомоморфизма из А в Q.
Ясно, что всякий проективный модуль является чисто проективным,
а всякий инъективный модуль —чисто инъективным.
Сформулируем два факта общего характера.
Лемма 10.1.	(1) Для любого модуля М существуют такая прямая
сумма циклических модулей G и такой эпиморфизм р: G М,
что Кег(ср) — чистый подмодуль в G.
(2) Для любого модуля М существуют такое произведение Н ква-
зициклических и примарных циклических модулей и такой моно-
морфизм у: М Н, что Im(7) — чистый подмодуль в Н.
82
Глава 2. Базисные факты
Доказательство. (1) Доказательство похоже на доказательство
предложения 5.3. Пусть {mjjg/ — множество всех ненулевых элемен-
тов модуля М. Для каждого i пусть Rai — циклический модуль с об-
разующим элементом ai такой, что Rai = Rrrii. Положим G = ф Rai
iei
и определим эпиморфизм р: G —> М следующим образом. Для любых
элементов ri,..., г к е R пусть <p(riai + ... + гьак) = rizni + ... + г^Шк-
Предположим, что а G Кег(у>) и рпх = а, где п — некоторое натуральное
число, х е G. Если <р(х) - mi, то р>(х — пц) = <р(х) - р(а/) = ггц — тгц = 0.
Значит, х — at 6 Кег(у>). Имеем
pnmi — рпр(х) = <р(рпх) = <p(ci) = 0.
Так как Rai = Rrrii, то = 0. Следовательно, рп(х — аг) = а, где
х - ai е Кег(<£), что влечет чистоту подмодуля Кег(у?) в М.
(2) Пусть Ai, i е I, — множество всех подмодулей модуля М таких,
что M/Ai = R(p°°) или M/Ai = /?(рп) для некоторого натурального
числа п. Обозначим Hi = M/Ai, i G I, и H = fj Hi. Определим гомо-
iei
морфизм 7: M —> Н как 7(т) = (... ,m + Ai,...) для каждого т е М.
Для фиксированного ненулевого элемента т из М существует подмодуль
А модуля М такой, что т А и А максимален среди подмодулей модуля
М с таким свойством. Покажем, что М/А изоморфен 7?(р°°) или /?(рп)
для некоторого числа п. Пусть ДГ = М/А и с = т + А. Тогда N — такой
модуль, что любой его ненулевой подмодуль содержит элемент с. Оче-
видно, что N — неразложимый модуль. Если N — модуль без кручения,
то из с 6 Rpc получаем с = грс, где г 6 R. Поэтому 1 — гр = 0 в кольце
R, что невозможно. Значит, по следствию 7.4 N изоморфен R(p°°) или
Д(рп) для какого-то числа п. Возвращаясь к элементу т, получаем, что
существует подмодуль Ai, для которого т / А,. Значит, т -I- Ai / 0
и 7(т) /0, т. е. 7 — мономорфизм.
Покажем, что Im(7) — чистый подмодуль в Н. Пусть 7(т) = ркх, где
т 6 М, х Е Н, к — натуральное число. Допустим, что т £ ркМ. Суще-
ствует подмодуль А в М такой, что ркМ СА,т/Аи А - максималь-
ный среди подмодулей модуля М с такими свойствами. Как доказано
выше, М/А = 7?(p°°) или М/А = 7?(рп) для некоторого числа п. Так как
ркМ.С А, то М/А = 7?(рп), причем п < к. Пусть А = Ai, где г е I.
Тогда т + Ai ркЩ, где Hi = M/Ai и 7(ш) £ РкН, что противоречит
7(т) = ркх. Итак, т € ркМ и т = рка, где а Е М. Тогда 7(m) = pfe7(a),
что дает чистоту подмодуля Im(7) в Н.	□
Следующий результат похож на теорему 5.4.
§ 10. Чисто проективные и чисто инъективные модули
83
Теорема 10.2. Пусть Р — модуль. Следующие утверждения эквива-
лентны'.
(1)	Р — чисто проективный модулы,
(2)	Р — прямая сумма циклических модулей',
(3)	для любого модуля М и эпиморфизма тг: М Р такого, что
Кег(тг) — чистый подмодуль в М, выполняется М — Кег(тг) © Р'
для некоторого подмодуля Р', изоморфного Р.
Доказательство. Импликация (1) => (3) доказывается так же, как
импликация (1) => (3) теоремы 5.4.
(3)	=> (2). Пусть G — прямая сумма циклических модулей, тг: G —>
—> Р —такой эпиморфизм, что Кег(тг) — чистый подмодуль в G (лем-
ма 10.1). По (3) G — Кег(тг) фР', где Р' = Р. По теореме 8.5 Р — прямая
сумма циклических модулей.
(2) => (1). Предположим, что тг: А —> В —эпиморфизм такой, что
Кег(тг) — чистый подмодуль в А, р: Р —> В —некоторый гомоморфизм.
Запишем Р — ф Ret. В силу чистоты подмодуля Кег(тг) в А, для каждого
iei
i € I можно выбрать элемент аг в А так, что тг(аг) = y?(cj) и порядок эле-
мента ai равен порядку элемента <^(ci) (предложение 7.7). Нужно учесть
также, что В = А/Кег(тг). Теперь для элементов ri,...,rk € R, пола-
гая ^(rici + ... + TfcCfc) = riai + ... -ь rfcOfc, получаем гомоморфизм ф
из Р в А со свойством р = фтг. Следовательно, Р — чисто проективный
модуль.	□
Непосредственно получаем такой результат. Если А — чистый подмо-
дуль некоторого модуля М и фактормодуль М/А является прямой суммой
циклических модулей, то А — прямое слагаемое в М.
Следующая теорема в определенном смысле двойственна теореме 10.2.
Она имеет аналоги в §6.
Теорема 10.3. Следующие утверждения о модуле Q эквивалентны.-.
(1)	Q — чисто инъективный модулы,
(2)	Q — прямое слагаемое произведения квазициклических и примар-
ных циклических модулей',
(3)	если Q — чистый подмодуль некоторого модуля М, то Q — пря-
мое слагаемое в М.
84
Глава 2. Базисные факты
Доказательство. (1) => (3). Пусть Q — чистый подмодуль некото-
рого модуля М. Тождественное отображение модуля Q продолжается до
гомоморфизма тг: М —> Q. Тогда
7Г2 = 7г и М = 1т(тг) ф Кег(тг), где 1т(тг) = Q.
(3) => (2). По лемме 10.1 модуль Q можно считать чистым подмодулем
произведения модулей 7?(р°°) и 7?(рп) для различных п. По (3) Q есть
прямое слагаемое этого произведения.
(2) ==> (1). Пусть В — чистый подмодуль некоторого модуля А и
<р: Е? —► Q — гомоморфизм. Докажем, что ip продолжается до гомомор-
физма из А в Q. Если Q = R(p°°), то Q — инъективный модуль (§6).
Следовательно, нужное продолжение гомоморфизма существует. Пусть
Q = R(pn) для некоторого натурального числа п и N = Кег(<р). Из рпВ С
С Кег(ср) следует, что B/N — ограниченный модуль. Нетрудно проверить,
что B/N — чистый подмодуль в А/N (см.упражнение 7 в §7). По теоре-
ме 7.2 имеем A/N = B/N ®С/N для некоторого подмодуля С модуля А
такого, что N С С, откуда А = В + С. Определим теперь гомоморфизм
ф-. А —> Q. Пусть аеАиа = Ь + с, ЬеВ, сеС. Положим ф(а) =
= <р(Ь). Очевидно, что ф(а) не зависит от выбора элемента Ь. Получили
гомоморфизм ф из А в Q, продолжающий <р.
Пусть Q — произвольное прямое слагаемое произведения П Qi< где
iei
каждый модуль Qi изоморфен Я(р°°) или R(pn) для какого-то числа п.
Пусть р — проекция произведения П Qi на Q и л-,, i е I, — координатные
проекции, связанные с этим произведением. По доказанному для всяко-
го i е I имеется гомоморфизм фц А —> Qi, который продолжает ртц.
Определим гомоморфизм ту: А —► ПФ* по правилу т?(а) = (V’i(a)) для лю-
бого а G А, где {ФАа)) — вектор с координатой фАа) на г-м месте. Пусть
ф — рр. Для любого элемента а £ А имеем
ф(а) = (рр)а = р((фАа)У) = р(((^тг)а)) = р(<р(а)) = 92(a).
Следовательно, продолжает <£>.	□
Следствие 10.4. Произведение Ц Qi является чисто инъективным мо-
iei
дулем в точности тогда, когда каждый модуль Qi, iei, чисто инъ-
ективен.
Следствие 10.5. Редуцированный чисто инъективный модуль являет-
ся прямым слагаемым произведения циклических примарных модулей.
§ 10. Чисто проективные и чисто инъективные модули
85
Доказательство. По теореме 10.3 (2) имеем Q®M = C®D, где М —
некоторый модуль, С — произведение циклических модулей Я(рп), D —
произведение модулей Д(р°°). Так как D — вполне инвариантное слага-
емое, то D = (D П Q) ф (D О ЛТ) (лемма 4.7). Но D П Q = 0 в силу
редуцированности модуля Q. Следовательно, D С М и Q ф М/D =
= (Q ® M)/D = С.	□
Получается, что редуцированный чисто инъективный модуль не имеет
(ненулевых) элементов бесконечной высоты.
Следствие 10.6.	(1) Всякий модуль изоморфен чистому подмодулю
некоторого чисто инъективного модуля.
(2) Модуль М изоморфен чистому подмодулю некоторого редуциро-
ванного чисто инъективного модуля в точности тогда, когда
М не имеет элементов бесконечной высоты.
Доказательство. (1) следует из леммы 10.1 и теоремы 10.3 (2).
(2) Пусть модуль М изоморфен чистому подмодулю редуцированного
чисто инъективного модуля Q. Модуль Q не имеет элементов бесконеч-
ной высоты. Значит, и модуль М не имеет таких элементов.
Обратно, пусть М не имеет элементов бесконечной высоты. По (1)
и теореме 10.3 М есть чистый подмодуль модуля С ® D, где подмодули
С и D такие, как в доказательстве следствия 10.5. Допустим, что т е
пт/0. В силу делимости D, для любого числа к существует
элемент х е D такой, что т = ркх. Так как подмодуль М чистый в С ф
ф D, то т = рка для некоторого а е М. Таким образом, h(m) = оо, что
невозможно. Следовательно, М Г) D = 0. Отсюда если р — ограничение
на подмодуль М проекции С ф D С, то р — мономорфизм и М =
= р(Л7). Осталось доказать, что р{М) — чистый подмодуль в С. Пусть
р(т) = ркх, где т е М, х е С, и т = с + d, где с е С, d е D. Тогда
р{т) = с — ркх. Поскольку D — делимый модуль, то d = pkb, где b е D.
Имеем т = ркх + ркЬ = рк(х + Ъ). В силу чистоты М, найдется элемент
mi Е М такой, что т = pkmi. Отсюда р(т) = pkp(mi), что означает
чистоту р(М) в С.	□
Изучение чисто инъективных модулей будет продолжено в следующем
параграфе.
Упражнение 1. Доказать, что П^(Р°°) — ф(Я(р°°) Ф К), где с — мощ-
Л’о	с
ность континуума.
Упражнение 2. Область дискретного нормирования R является чисто
инъективным Я-модулем в точности тогда, когда Я —полная область.
86
Глава 2. Базисные факты
Упражнение 3. Пусть А — чистый подмодуль чисто инъективного модуля
Q. Тогда Q/А — чисто инъективный модуль.
Упражнение 4. Точная последовательность модулей
(2.1)
называется чисто точной, если Im(a) — чистый подмодуль в В. Для того
чтобы вышеприведенная последовательность была чисто точной последова-
тельностью, необходимо и достаточно, чтобы любая из следующих трех ин-
дуцированных последовательностей была точной при любом п:
Ъ^рпА^ рпВ — рпС -> О,
О А[рп] В[рп] С[рп] О,
О -> А/рпА - В/рпВ -> С/рпС.
Основные определения параграфа можно еще сформулировать так. Чи-
сто проективный (соответственно чисто инъективный) модуль — это та-
кой модуль, который проективен (соответственно инъективен) относи-
тельно любой чисто точной последовательности.
§ 11. Полные модули
В модулях можно ввести топологию различными способами. Наиболее
важной, как и в случае областей дискретного нормирования, являет-
ся р-адическая топология (относительно областей см.§3). Пусть М —
модуль. Мы получим р-адическую топологию, если возьмем подмодули
рпМ, п = 0,1,2,..., в качестве базиса окрестностей нуля. Тогда М —
топологическая абелева группа. Если кольцо R считать топологическим
относительно р-адической топологии, то отображение (г, т) гт мо-
дульного умножения Rx М —> М непрерывно относительно р-адических
топологий на R и М. Следовательно, М — топологический модуль. Мы
предполагаем, что все модули имеют р-адическую топологию. Все тополо-
гические понятия такие, как последовательности Коши, пределы, замы-
кания, плотность, полнота и пополнения рассматриваются в р-адической
топологии.
Верно, что р-адическая топология хаусдорфова в точности тогда, когда
Р| рпМ = 0, т. е. М не имеет элементов бесконечной высоты. Дискрет-
П^1
ность этой топологии равносильна тому, что рпМ — 0 для некоторо-
го числа п 1, т. е. М — ограниченный модуль. Гомоморфизмы модулей
непрерывны относительно р-адических топологий. Подмодуль А модуля
М чист в точности тогда, когда р-адическая топология на А совпадает
с топологией, индуцированной на А р-адической топологией модуля М.
§11. Полные модули
87
Представим основные понятия, связанные с последовательностями
элементов. Частично повторим некоторый материал § 3. Все свойства по-
следовательностей элементов в р-адической топологии кольца верны для
последовательностей в модулях. Последовательность {аг}г>1 элементов
модуля М называется последовательностью Коши, если для всякого
натурального числа п существует натуральное число к, зависящее от п,
такое, что ai — aj G рпМ для всех i,j к. Говорят, что последователь-
ность {ai}ij>i сходится к пределу а е М, если для всякого числа п
существует число к, зависящее от п, такое, что а — ai Е рпМ, как только
г к. Обозначение: а = lima;.
Модуль М называется полным, если М хаусдорфов и всякая последо-
вательность Коши элементов в модуле. М имеет предел в М. Для полно-
ты модуля М достаточно, чтобы всякая чистая последовательность Коши
элементов в М имела предел в М.
Всякий ограниченный модуль является дискретным и, следовательно,
полным.
Предложение 11.1. Произведение модулей Mi, г Е I, является полным
модулем в точности тогда, когда каждый модуль Mi полон.
Доказательство. Пусть М — полный модуль, где М = П Вся-
iei
кая последовательность Коши {сп}п^1 в модуле Mi будет последователь-
ностью Коши в модуле М. Пусть а — её предел в М. Тогда яДа) — предел
последовательности {сп} в Mi, где тт* — координатная проекция М —>
—> Mi, i Е I. Обратно, предположим, что все модули Mi полные, и пусть
{an}n>i — чистая последовательность Коши в М. Тогда {лг(ап)}п^1 —
чистая последовательность Коши в Mi, г Е I. Пусть элемент Ci Е Mi
является пределом в Mi этой последовательности. Существует элемент
с Е М со свойством 7Ti(c) = Cj для каждого i Е I. Этот с будет пределом
последовательности {an} в М.	□
Замыкание в р-адической топологии подмодуля А модуля М обозначим
через А. Положим М1 = р| рпМ. Подмодуль М1 называется первым
П^1
ульмовским подмодулем модуля М. Он равен нулю в точности тогда,
когда М не имеет элементов бесконечной высоты и М1 = М равносильно
тому, что М — делимый модуль.
Лемма 11.2. Пусть А иС — подмодули в М такие, что А С. С и С/А =
= (М/А)1. Тогда А = С.
Доказательство. Пусть х Е А и х — lima;, ai Е А. Значит, для
любого натурального числа п имеем х — ai Е рпМ для некоторого i.
88
Глава 2. Базисные факты
Следовательно,
ж + A G рп(М/А), х + Ае(М/А)х и хе С.
Обратно, пусть х е С. Тогда х + А е (М/А)1 и х + А е рп(М/А) для
каждого п. Отсюда х — апе рпМ, где ап е А. Следовательно, х = lim ап
и х е А.	□
Учитывая замечания перед леммой и предложение 9.2, получаем сле-
дующие факты.
Следствие 11.3. (а) Пусть А — подмодуль в М. Тогда
(1) А — замкнутый подмодуль в точности тогда, когда М/А
не имеет элементов бесконечной высоты;
(2) А — плотный подмодуль в точности тогда, когда М/А —
делимый модуль.
(Ь) Всякий базисный подмодуль является плотным.
Полные модули не являются каким-то новым классом модулей.
Теорема 11.4. Модуль М является полным в точности тогда, когда
М — чисто инъективный модуль без элементов бесконечной высоты.
Доказательство. Пусть М — чисто инъективный модуль без элемен-
тов бесконечной высоты. По следствию 10.5 модуль М изоморфен прямо-
му слагаемому произведения циклических примарных модулей. Послед-
ние как ограниченные являются полными. По предложению 11.1 М —
полный модуль.
Пусть М — полный модуль. Тогда М не имеет элементов бесконечной
высоты. По следствию 10.6 М можно считать чистым подмодулем чисто
инъективного модуля Q без элементов бесконечной высоты. Пусть Е —
базисный подмодуль модуля М. Существует базисный подмодуль В моду-
ля Q такой, что В = А® Е для некоторого подмодуля А (см. свойство (4)
и его доказательство в §9). Далее, А П М = 0 и (А + М)/М — чистый
подмодуль в Q/М. Следовательно, А + М — чистый плотный подмодуль
в Q (следствие 11.3). Поэтому если х е Q, то х = lim(cii + bi), где ai е
е A, bi е М для каждого i 1. Так как М — полный модуль, то в М
существует limb;. Следовательно, х = а + Ьсае А, ЬеМ. Получили
Q = А + М. Пусть у е А А М. Тогда у = lim ai, ai е А, и у — ai е plQ для
каждого i 1. Ввиду чистоты подмодуля А+М, имеем y — ai = рг^+рг(\,
bi е A, Ci е М, и у = p*Ci для каждого г 1, откуда у = 0. Следователь-
но, Q = Аф М и М — чисто инъективный модуль как прямое слагаемое
чисто инъективного модуля.	□
§11. Полные модули
89
Следствие 11.5. Если С — чистый подмодуль некоторого модуля М
и С — полный модуль, то С — прямое слагаемое модуля М.
Продолжим изучение неразложимых модулей, начатое в §7 (см.след-
ствие 7.4). Отметим, что если R — полная область, то 7? —полный R-mo-
дуль.
Следствие 11.6. Пусть R — полная область дискретного нормирования
и М — редуцированный R-модуль. Тогда М имеет циклическое прямое
слагаемое.
Доказательство. На основании следствия 7.4 можно считать, что
М — модуль без кручения. Пусть элемент а е М \ рМ. Тогда Ra = R
и Ra — чистый подмодуль в М. По следствию 11.5 Ra — прямое слагаемое
модуля М.	□
Полезно сравнить следующий результат со следствием 7.6.
Следствие 11.7. Пусть М — редуцированный модуль без кручения над
полной областью дискретного нормирования. Тогда всякое конечное
множество элементов модуля М можно вложить в прямое слагаемое
модуля М, являющееся свободным модулем. Если М имеет конечный
или счетный ранг, то М — свободный модуль.
Доказательство. Пусть элемент b G М и b / 0. Если h(b) = к, то
b = рка, где а £ рМ. Тогда b Е Ra и так же, как в следствии 7.6, Ra —
прямое слагаемое модуля М. Получили первое утверждение.
Пусть г(М) = п, где п — натуральное число. Возьмем некоторую мак-
симальную линейно независимую систему элементов ai,...,an модуля
М. По доказанному она содержится в каком-то свободном прямом сла-
гаемом F модуля М. Ясно, что М = F. Пусть М имеет счетный ранг.
Так как каждый подмодуль конечного ранга модуля М свободен, то М —
свободный модуль (теорема 8.3).	□
Следствие 11.8. Пусть М — неразложимый модуль над полной обла-
стью R. Тогда М изоморфен одному из следующих четырех модулей-.
R(pn) для некоторого п, R(p°°), R или К.
Пример 11.9. Пусть R — не полная область, М — чистый подмодуль
в R, содержащий R. Тогда М — неразложимый R-модуль.
Доказательство. Так как R/pR = R/pR, то тр(Я) — 1. Если М =
= А® В, то Гр(ЛТ) = гр{А') + гр{В'), где гр(А") — р-ранг модуля X. Следо-
вательно, тр(А) = 0 или гр(В) = 0, т. е. А = 0 или В = 0. Таким образом,
мы имеем неразложимые Я-модули всех рангов от 1 до г(Л).	□
90
Глава 2. Базисные факты
Пусть М — полный R-модуль. Возьмем произвольные элементы а G
6 М и г G R. Имеем г = limn, где г, G й для всех i. Понятно, что
{гга}г>1 — последовательность Коши в М. Полагаем га = lim па. Такое
определение модульного умножения га не зависит от выбора последова-
тельности Коши {п}. Получаем левый Л-модуль М. Итак, любой полный
R-модуль является R-модулем (см. также упражнение 4 из §6). Кроме то-
го, Я-гомоморфизмы полных модулей являются R-гомоморфизмами. Дей-
ствительно, пусть <р: Е —> С — R-гомоморфизм полных модулей Е и С.
Возьмем элементы х 6 Е и г G R, где г = limn, Л € R- Можно записать
tp(rx) = y?(limn^) = limy?(n<r) = lim(ny?(x)) = (limn)^#) = ry?(x).
Следовательно, tp — R-модульный гомоморфизм.
Теорема 11.10. Пусть С — полный модуль, Тогда замыкание всякого
чистого подмодуля модуля С есть прямое слагаемое в С.
Доказательство. Пусть А —чистый подмодуль модуля С. Сначала
докажем, что замыкание А является чистым подмодулем в С. Пусть с е
Е А и с — ркх, где х Е С, к — некоторое натуральное число. Запишем
с = limn, Ci Е A, i 1. Тогда для достаточно больших i имеем с — п е
е ркМ. Следовательно, п Е ркМ. Мы можем предположить, что это
так для всех i. Далее, последовательность {п}г>1 можно заменить такой
её подпоследовательностью, что n+i — Ci G рк+гМ для всех г. В таком
случае, учитывая чистоту А, имеем q+i — Ci — pk+lai для всех г, где
ai Е А. Пусть также n = pkbi, где bi Е А. Положим
bi = bi +pai + ... +pl-1aj_i для всех i 1.
Тогда {bi}ij»i — последовательность Коши в А. Пусть Ъ — её предел в А.
Так как
Ci = С1 + (с2-С1) + ... + (п-С£_1) = pkbi+pk+1ai + .. .+pk+t~xai-i = pkbi,
то имеем c = pkb, что доказывает чистоту подмодуля Ав С. Подмодуль А
является полным подмодулем как чистый замкнутый подмодуль полного
модуля С. По следствию 11.5 А —прямое слагаемое в С.	□
Следствие 11.11.	(1) Пусть С — полный модуль. Тогда С = t(C) ф G,
где модуль t(C) не содержит прямых слагаемых, являющихся
модулями без кручения.
(2) Если В — некоторый базисный подмодуль полного модуля С и
В = X®Y, то С = X®Y.
§11. Полные модули
91
Доказательство. (1) Так как t(C) — чистый подмодуль в С, то по
теореме 11.10 имеем С = t{C} ®G для некоторого модуля без кручения
G. Допустим, что t{C} — А®Н, где Н — некоторый модуль без кручения.
Тогда t(C) С А и t(C} С А, что невозможно.
(2) Так как В —чистый плотный подмодуль в С (следствие 11.3), то
С = В. Простая проверка показывает, что В = X ф Y.	□
Рассмотрим гомоморфизмы в полные модули.
Предложение 11.12. Пусть С — полный модуль, А — чистый плотный
подмодуль некоторого модуля Мир — некоторый гомоморфизм из А
в С. Тогда р можно продолжить до гомоморфизма из М в С, причем
единственным образом.
Доказательство. Пусть т е М и т = limai, где ai G А для всех i
1. Тогда {p(ai)}— последовательность Коши в С. Полагаем ф(т) =
= lim Это определение не зависит от выбора последовательности
{а^. Получается, что ф — гомоморфизм из М в С и ф продолжает р. □
Теорема 11.13. Пусть М — модуль без элементов бесконечной высо-
ты. Тогда М изоморфен чистому плотному подмодулю некоторого
полного модуля.
Доказательство. Ввиду следствий 10.5 и 10.6 и теоремы 11.4, суще-
ствует полный модуль С такой, что М изоморфен некоторому чистому
подмодулю модуля С. Считаем, что М — чистый подмодуль модуля С. По
теореме 11.10 замыкание М есть прямое слагаемое модуля С. Следова-
тельно, М — полный модуль и М является чистым плотным подмодулем
в М.	□
Пусть М — модуль без элементов бесконечной высоты. Всякий пол-
ный модуль со свойствами, указанными в теореме 11.13, называется
р-адическим пополнением или просто пополнением модуля М. Извест-
но, что пополнение можно построить с помощью последовательностей
Коши или обратных пределов, как в §3 для колец. Из теоремы 11.13
видим, что топология пополнения модуля М совпадает с р-адической.
Пополнение единственно в следующем смысле.
Следствие 11.14. Пусть М — модуль без элементов бесконечной высо-
ты, С и Е — два пополнения модуля М. Тогда тождественное отоб-
ражение модуля М продолжается до изоморфизма между С и Е.
92
Глава 2. Базисные факты
Доказательство. По предложению 11.12 тождественное отображение
модуля М продолжается до гомоморфизмов а: С —> Е и /3: Е —> С. Рас-
смотрим эндоморфизм 1 — а(3 модуля С. По следствию 11.3 С/М — дели-
мый модуль. Так как (1 — а/3)М = 0, то (1 — а/3)С — делимый модуль.
Следовательно, 1 — а(3 = 0 и а(3 = 1с- Точно так же /За = 1#. Получи-
ли, что а и (3 — взаимно обратные изоморфизмы, оставляющие каждый
элемент модуля М на месте.	□
Пополнение модуля М будем обозначать М.
Понятно, что пополнение R кольца R (см.§3) совпадает с пополне^
нием Я-модуля R. Получается, что R — чистый плотный подмодуль в R
или, что эквивалентно, R/R — делимый модуль без кручения. Это можно
извлечь и из построения кольца R.
Следствие 11.15.	(1) Пусть М — модуль без элементов бесконечной
высоты, В — некоторый его базисный подмодуль. Тогда М = В.
В частности, полный модуль является пополнением любого сво-
его базисного подмодуля, т. е. прямой суммы циклических моду-
лей.
(2) Два полных модуля изоморфны в точности тогда, когда изо-
морфны их базисные подмодули.
Доказательство. (1) Пополнение М модуля М будет пополнением
и для базисного подмодуля В модуля М. Если теперь В — некоторое
пополнение модуля В, то В = М в силу следствия 11.14.
(2) Изоморфные модули имеют изоморфные базисные подмодули.
Пусть С\ и С2 — полные модули, В\ и В2 — их базисные подмодули. До-
пустим, что Bi = В2. Тогда Bi = В2. Ввиду (1), Вг = С{ = Ci, г = 1,2,
и Ci С2.	□
Пусть С — полный модуль, В — некоторый его базисный подмодуль.
Запишем В = ф Вп, где
п^О
Во = фл, Вп = фЖ) для п^1.
^0	tn
Счетное множество кардинальных чисел to и tn, п = 1,2,..., явля-
ется полной и независимой системой инвариантов модуля В (см.§§6
и 8). В силу следствия 11.15, получаем, что это множество чисел бу-
дет также полной и независимой системой инвариантов полного моду-
ля С. Задержимся ненадолго на факте независимости этой системы.
§11. Полные модули
93
Пусть {to,tn(n 1)} — некоторое множество кардинальных чисел. Возь-
мем прямую сумму циклических модулей В, причем системой инвариан-
тов модуля В является данное множество чисел. Затем образуем попол-
нение В. Модуль В является базисным подмодулем для модуля В. Сле-
довательно, системой инвариантов полного модуля В служит множество
{to,tn(n 1)}- Если С —полный модуль без кручения, то to совпадает
с р-рангом Гр(С') модуля С. Отсюда выводим, что два полных модуля без
кручения изоморфны, если и только если их p-ранги равны.
Пусть Q — чисто инъективный модуль и Q = D ф С, где D — дели-
мый модуль, С — редуцированный чисто инъективный модуль. По след-
ствию 10.5 и теореме 11.4 С —полный модуль. Инварианты модуля D,
введенные в §6, вместе с указанными выше инвариантами модуля С об-
разуют полную и независимую систему инвариантов модуля Q. В итоге
мы располагаем вполне удовлетворительной структурной теорией чисто
инъективных и полных модулей.
Предложение 11.16 (Ротман [261]). Пусть А —такой подмодуль пол-
ного модуля С, что С/А не имеет элементов бесконечной высоты.
Тогда С/А — полный модуль.
Доказательство. Возьмем любую чистую последовательность Коши
{ёг}г^1 элементов из С/А. Индукцией по г докажем, что существует
представитель с; в смежном классе сг такой, что Cj+i — ci е ргС для
всех г. В качестве ci возьмем любой элемент из ср Допустим, что мы
нашли элементы Ci для всех г < к. Выберем какой-то элемент с'к+1 в с^-ц.
Тогда
4+1 - Cfc = Pkbk + ak, где bk Е С, ак е А.
Положим Cfc+i = с^+1 — ак. Тогда
ск+1 G Cfc+i и Cfc+i — Ck € ркС.
Построенная последовательность является чистой последователь-
ностью Коши в С. Пусть с — limcj. Тогда с + А = limcj в С)А. Полнота
С/А установлена.	□
Что собой представляют произвольные гомоморфные образы полных
модулей, мы выясним в §21.
Пусть М — примерный модуль без элементов бесконечной высоты. Ес-
ли М = t(Af), то М называется периодически полным модулем. Пе-
риодически полные модули — это в точности периодические подмодули
полных модулей (следствие 11.11 (1)). Свойства периодически полных мо-
дулей похожи на свойства полных модулей. Например, два периодически
94
Глава 2. Базисные факты
полных модуля изоморфны в точности тогда, когда изоморфны их базис-
ные подмодули. Теория периодически полных абелевых р-групп изложена
в книге Фукса [41, §§68-73].
Упражнение 1. Пусть С —полный модуль и А —замкнутый подмодуль
в С. Тогда А и С/А — полные модули. Верно и обратное.
Упражнение 2. Если а — эндоморфизм полного модуля, то Кег(а) и
1ш(а) — полные модули.
Упражнение 3. Полный модуль без кручения является пополнением сво-
бодного модуля.
Упражнение 4. Пусть М — модуль без элементов бесконечной высоты
с базисным подмодулем В и В = X ф Y. Тогда М = X ф Y.
Упражнение 5.
(1) Замыкание чистого подмодуля в модуле без кручения является чистым
подмодулем.
(2) Привести пример такого модуля М и такого чистого подмодуля Ав М,
что замыкание А не является чистым подмодулем.
Упражнение 6. Пусть Я —полная область дискретного нормирования
и М — Я-модуль. Тогда всякий чистый подмодуль конечного ранга есть пря-
мое слагаемое в М.
Замечания. Все основные результаты этой главы являются классиче-
скими и впервые были доказаны для абелевых групп. В случае абелевых
групп они содержатся в книгах Капланского [189] и Фукса [40, 41].
В этих книгах написано, что указанные результаты и их доказательства
с соответствующими изменениями переносятся на модули над коммута-
тивными областями главных идеалов. Но давно замечено, что почти все
данные результаты справедливы и для модулей над некоммутативными
областями дискретного нормирования (см. работы Либерта [212, 213]).
В главе, по-видимому, впервые систематически рассматриваются модули
над не обязательно коммутативными областями дискретного нормирова-
ния. Авторы постарались изложить материал в компактной форме.
Инъективность и существование инъективных оболочек были открыты
Бэром [73].
Понятие чистой подгруппы абелевой группы ввел Прюфер в своей
эпохальной статье [252] под названием «Servanzuntergruppe». Позже Ка-
планский [189] стал использовать термин «чистый». Основные факты,
касающиеся чистых подгрупп абелевых групп, высот, прямых сумм цик-
лических групп, даны Прюфером для счетных групп (однако, счетность
большой роли не играла). В фундаментальных статьях Куликова [21, 22]
предположение о счетности было устранено и получено много других
§11. Полные модули
95
важных результатов (в частности, теоремы 8.4 и 8.5). Теорема 8.3 есть
известный критерий Понтрягина.
Понятия кручения, делимости и чистоты обобщались и развивались
в различных направлениях. Аксиоматический подход к этим понятиям
представлен в книге Мишиной и Скорнякова [31].
В статье Куликова [22] впервые были введены базисные подгруп-
пы примарных абелевых групп, и доказано много различных фактов о
них. Куликов [23, 24] рассматривал также базисные подмодули моду-
лей над двумя областями дискретного нормирования: кольцом Zp целых
р-адических чисел и кольцом Zp рациональных чисел со знаменателями,
взаимно простыми с данным простым числом р.
Периодически полные абелевы p-группы ввел и изучал Куликов [22].
Теория полных модулей построена в книге Капланского [189].
Проблема 1. Модуль М называется модулем со свойством пересечения
прямых слагаемых, если пересечение любого конечного множества пря-
мых слагаемых модуля М является прямым слагаемым модуля М. Опи-
сать модули со свойством пересечения прямых слагаемых в различных
классах модулей.
ГЛАВА 3
КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ ДЕЛИМЫХ
И ПОЛНЫХ МОДУЛЕЙ
В главе 3 рассматриваются перечисленные ниже темы:
примеры колец эндоморфизмов (§ 12);
эквивалентность Харрисона—Матлиса (§13);
радикал Джекобсона (§ 14);
соответствия Галуа (§ 15).
Делимые и полные модули составляют два достаточно простых, но
исключительно важных класса модулей. Те и другие обладают разнооб-
разными замечательными свойствами, например, свойством универсаль-
ности по отношению ко всем модулям (см. теоремы 6.4 и 11.13). В этой
главе мы занимаемся несколькими задачами о кольцах эндоморфизмов
делимых примарных модулей и полных модулей без кручения. Отметим
сразу, что изучение колец эндоморфизмов произвольных делимых и пол-
ных модулей можно свести к изучению колец эндоморфизмов указанных
модулей. Рассматриваемые задачи получают законченное, насколько это
возможно, решение. Результаты и методы главы могут служить образцом
при решении подобных и иных задач для модулей из других классов.
В § 13 устанавливается эквивалентность между категорией делимых
примарных модулей и категорией полных модулей без кручения. Это дает
возможность переносить многие результаты о кольцах эндоморфизмов
модулей одной из этих категорий на кольца эндоморфизмов модулей из
другой категории.
Общеизвестна важная роль радикала Джекобсона в структурной тео-
рии колец. По этой причине изучение этого радикала для колец эндо-
морфизмов представляет особый интерес. В § 14 характеризуется радикал
Джекобсона кольца эндоморфизмов делимого примарного модуля и пол-
ного модуля без кручения.
4 — 4473
98
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
В § 15 рассматриваются связи между подмодулями делимого пример-
ного и полного модуля без кручения и односторонними идеалами их ко-
лец эндоморфизмов. Более точно, находятся изоморфизмы и антиизомор-
физмы между решетками некоторых подмодулей и решетками некоторых
односторонних идеалов. Примером для исследований подобного рода слу-
жат результаты книги Бэра [1] о соответствии между подпространствами
векторного пространства и односторонними идеалами его кольца линей-
ных операторов.
Вместо Ношн(М, 2V) и Endft(M) пишем Нот(Л/, N) и End(M) со-
ответственно. Если не оговорено противное, то R обозначает область
дискретного нормирования, полную в §§ 13-15. Встречающиеся понятия
и факты теории решеток можно найти у Гретцера [155].
§ 12.	Примеры колец эндоморфизмов
Вычислим кольца эндоморфизмов некоторых часто встречающихся моду-
лей.
Пример 12.1. Из предложения 2.2 (Ь) мы знаем, что End(/?7?) = R. Более
точно, любой эндоморфизм модуля rR есть умножение кольца R справа
на некоторый элемент из R. Таким образом, эндоморфизмы модуля rR
совпадают с правыми модульными умножениями модуля Rr.
Пример 12.2. Возьмем циклический модуль R(pn) для некоторого п.
Напомним, что 7?(рп) — это Н-модуль R/pnR. Само факторкольцо R/pnR
обозначаем Rpn. Имеем R(pn) есть Л-Н-бимодуль и Rpn-Rpn-бимодуль.
В таком случае
End(/?(pn)) = End^n(«(pn)) =* Rpn.
Кроме того, всякий эндоморфизм модуля 7?(рп) есть правое модульное
умножение 7?(рп) на некоторый элемент из R или, что то же, на элемент
из Rpn. Ясно, что эндоморфизм а модуля R(pn) делится на рк в точности
тогда, когда a(7?(pn)[pfc]) = 0.
Пример 12.3. После доказательства теоремы 6.3 отмечено, что всякий
эндоморфизм делимого модуля без кручения есть линейный оператор
этого модуля, рассматриваемого как ^-пространство. Отсюда End(/0 =
= End/c(/0 = К. При этом всякий эндоморфизм модуля К совпадает
с умножением К справа на некоторый элемент из К.
Пример 12.4. Любой Н-эндоморфизм полного 7?-модуля является
^-эндоморфизмом (см. абзац после примера 11.9). Поэтому End(7?) = R.
§ 12. Примеры колец эндоморфизмов
99
Опять получается, что эндоморфизмы модуля R — это правые умножения
на элементы из R.
Пример 12.5. Квазициклический модуль Я(р°°) по определению ра-
вен К/R. Следовательно, Я(р°°) есть Я-Я-бимодуль. Любой примарный
Я-модуль можно, как говорилось в §4, рассмотреть как Я-модуль. Итак,
правый Я-модуль Я(р°°) можно превратить в правый Я-модуль. Заметим
также, что модули Я(р°°) и Я(р°°) канонически изоморфны, где Я(р°°) =
= К/R. Итак, Я(р°°) есть Я-Я-бимодуль.
Покажем, что End(fi(p°°)) = Я. Пусть г е Я и г / 0. Тогда г = pkv,
где к — неотрицательное целое число, v — обратимый элемент кольца Я.
Ясно, что Я(р°°)г 0. Поэтому отображение г —> уг, г € Я, есть вложе-
ние колец Я Епс1(Я(рО0)), где уг — эндоморфизм модуля Я(р°°) такой,
что 7г(а) = аг, а € Я(р°°). Пусть а —некоторый эндоморфизм модуля
R(p°°). Для каждого натурального числа п ограничение а на Я(р°°)[рп]
является эндоморфизмом этого модуля, который изоморфен Я(рп). Ввиду
примера 12.2, существует гп е Яр« такой, что действие а на Я(р°°)[рп]
совпадает с умножением справа Я(р°°)[рп] на элемент гп. При способе по-
строения кольца Я, выбранном нами в § 3, последовательность элементов
{^п}п>1 определяет некоторый элемент г € Я. Умножение модуля Я(р°°)
на элемент г справа совпадает на подмодуле Я(р°°)[рп] с умножением
на элемент гп справа для каждого п и, таким образом, совпадает с а.
Следовательно, вложение колец Я —> Епс1(Я(р00)) является изоморфиз-
мом. Более точно, всякий эндоморфизм модуля Я(р°°) есть умножение
Я(р°°) справа на некоторый элемент из Я. Нетрудно вывести еще, что
эндоморфизм а модуля Я(р°°) делится на рк в точности тогда, когда
а(Я(р°°)[рЧ) = 0.
Используя предложение 2.4, можно расширить список примеров колец
эндоморфизмов, беря прямые суммы различных модулей.
Пример 12.6. Пусть М — один из перечисленных ниже модулей:
(а)	свободный модуль ранга п;
(Ь)	делимый модуль без кручения ранга п;
(с)	полный модуль без кручения ранга п;
(d)	делимый примарный модуль ранга п.
Тогда кольцо End(Af) изоморфно кольцу всех п х n-матриц соответ-
ственно над кольцом: (а) Я; (Ь) К; (с) Я; (d) Я.
4*
100
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
Упражнение!. Для любого модуля М и натурального числа п справедлив
изоморфизм R-модулей Hom(R(pn), М) = М[рп].
Упражнение 2. Установить изоморфизм Hom(R(pTO),R(pn)) = R(pk), где
к = min(m, ri).
Упражнение 3. Убедитесь, что имеет место изоморфизм модулей
Hom(R, R(p°°)) = R,
где К — тело частных области R.
Упражнение 4. Найти представление эндоморфизмов матрицами для сле-
дующих модулей: R(pn) ф R, R(p°°) Ф R(pn), К Ф Я и R(p°°) Ф К.
Упражнение 5. Вычислить центры колец эндоморфизмов модулей из
упражнения 4, предполагая дополнительно, что R — коммутативная область.
§ 13.	Эквивалентность Харрисона—Матлиса
Определение категории и основных сопутствующих понятий приведе-
но в §1. Напомним (см. конец §2), что когда мы говорим о категории
R-модулей определенного вида, то морфизмы — это обычные модульные
гомоморфизмы, т. е. мы имеем в виду полную подкатегорию категории
7?-mod.
До конца главы R обозначает некоторую область дискретного норми-
рования.
Исходя из R-R-бимодуля К/R (он подробно изучался в §4), опреде-
лим два функтора в категории R-mod. Используем то обстоятельство,
что поскольку К/R есть R-R-бимодуль, то для любого левого R-модуля
М группы Hom(R/R,М) и K/R^M являются левыми R-модулями
(способ превращения Нот и тензорного произведения в модули указан
в §2). Далее в обозначении тензорного произведения, как и для Нот,
индекс R опускаем.
Обозначим через Н ковариантный функтор Hom(R/R,-): R-mod —>
R-mod, т. е. Н{М) = Hom(R/R, М) и Н(<р) = <р,: Н(М) H(N)
для каждого модуля М и каждого гомоморфизма модулей <р-. М —> N,
где Я(<р)(/) = ftp для f е Н(М). С другой стороны, существует ковари-
антный функтор K/R® (—): R-mod —> R-mod; обозначим его через Т.
Для него имеем
Т(М) = К/R ®М и Т(5) = 1 0 д: Т(М) Т(ДГ)
для каждого модуля М и каждого гомоморфизма модулей д: М N.
Здесь (1 ® д)(а ® т) = а ® д(т) для элементов а G К/R и т G N.
§ 13. Эквивалентность Харрисона—Матлиса
101
Функтор Н точен слева в том смысле, что для произвольного мономор-
физма 92: М —> N Н{р) также является мономорфизмом. Функтор Т
точен справа: если д: М —> N — эпиморфизм, то Т(д') — эпиморфизм.
Существуют естественные преобразования 0: TH —»• 1 и р: 1 —> НТ,
где 1 — тождественный функтор категории Л-mod. Естественный гомо-
морфизм Ом: К / R®Hom(K / R, М) —> М определяется формулой Ом(а®
® /) = /(а) для модуля М, элемента а G К/R и / е Нот(Л/Л, М).
Естественность Ом означает, что для любого гомоморфизма д: М —> N
выполняется 0м9 = ТН(д)0г^. Естественный гомоморфизм рм- М —»
—> Нот (Л/Л, К/R ® М) задается при помощи формулы [рм (”i)] (а) =
= а ® m для модуля М и a 6 K/R, m € М. При этом для любого
гомоморфизма д: М —> N выполняется рмНТ(д) = gpN-
Пусть Т> — категория всех делимых примарных модулей, £ — категория
всех полных модулей без кручения.
Теорема 13.1 (Харрисон [160], Матлис [223]). Функторы Н и Т опре-
деляют эквивалентность категорий Т и £.
Доказательство. Достаточно показать, что
(1)	Н:Т> —> £, т.е.функтор Н переводит модули из Т> в модули из £,
aT:£^V;
(2)	преобразования 0: TH —► 1 и р: 1 —► НТ есть эквивалентности.
Это означает, что Od и рс — изоморфизмы для всех D е Т> и С е £.
Пусть D е Т>. Покажем, что H(D) 6 £, т. е. Нот(Л/Л, £>) есть полный
модуль без кручения. Запишем D = ф Qi, где Qi = KfR для всех i е I
__	i&I
и D = П Qi. Имеем Нот(А"/Л, К/R) = Л (пример 12.5, учесть полно-
ту Л) и Нот(А'/Л, D) = Щ/С/Л, СД). Следовательно, Нот(А'/Л, D) —
гб/
полный модуль без кручения (предложение 11.1).
Пусть f е H(D) и f = рпд, где п 1, д € H(D). Имеем
(jpng)K/R = g((K/R)pn) = g(pn(K/R)) = g(K/R).
Следовательно, g(K/R) C D и g e H(D). Это влечет чистоту подмодуля
Я(Р) в H(D).	_
Докажем, что Н(1У) — замкнутый подмодуль модуля Н(1У) в р-адичес-
кой топологии. Пусть f = lim/j, где f G H(D) и Д 6 H(D). Возьмем
некоторый элемент х € К/R порядка рп. Существует у G К/R такой, что
хрп = рпу. Заметим, что о(ж) = о(у) и рпу = 0 (см. свойство (6) из §3).
Существует далее индекс i со свойством f - fi = рпд для некоторого д G
€ Н(1У). Теперь имеем (/ - Д)ж = рпд(х) = д(рпу) = 0, т. е. /(ж) = Д(х).
102
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
Следовательно, / 6 H(D). Итак, H(D)— чистый замкнутый подмодуль
в H(D). Поэтому H(D) — полный модуль без кручения (теорема 11.10)
и Я(£>) е £.
Пусть С Е £. Так как K/R — делимый примарный модуль, то нетрудно
проверить, что K/R ® С — также делимый примарный модуль. Следова-
тельно, Т'(С') е Т>.
Докажем, что преобразование в является эквивалентностью. Для каж-
дого D 6 Т> нужно показать, что во — изоморфизм, где
eD: K/R ® H(D) D, 0о(а®/) = Ла), aEK/R, f G H(D).
Пусть r(D) = 1, т. e. D = K/R. Непосредственные вычисления под-
тверждают, что до — изоморфизм. Пусть модуль D имеет конечный ранг,
D = (K/R)n для некоторого натурального числа п. Поскольку Н и Т пе-
рестановочны с конечными прямыми суммами, получаем, что 0d — изо-
морфизм.
Допустим, что D имеет бесконечный ранг. Каждый элемент модуля D
содержится в некотором прямом слагаемом, изоморфном К/R. Ясно, что
0о — сюръективное отображение. Пусть
к
® fi) е Кег(0£>), где сц G K/R, fc G H(D), fi 0, i — 1,..., k.
Z=1
Так как Im(/i) = K/R, to D = Qi Ф Ei, где Qi = Im(/i). Пусть тг —
проекция D —> Ei с ядром Qi. Если /2^	0, то имеем D = Qi®Q2®Ez,
где Q2 = Im(/2Tr) = K/R. Если /27г = 0, то переходим к /3 и поступаем
аналогичным образом. Через некоторое время получим разложение D =
= Q®E, где модуль Q имеет конечный ранг и 52(а;@/г) € К/ R®H(Q).
В силу естественности 0, имеем 0d = 0q + Ое- Так как 0Q(52(a; ® Л)) =
= 0, то по доказанному ® Д) = 0. Следовательно, 0о — изоморфизм
и 0 — эквивалентность.
Перейдем к доказательству того, что преобразование tp есть эквива-
лентность. Это означает, что для любого модуля С G £ отображение
р>с'- С —> Н(К/R® С) есть изоморфизм, где
[</?с(х)](а) = а ® х, х Е С, aEK/R.
Пусть С = R. Заметим, что K/R® R = К/R и эндоморфизмы модуля
К/R совпадают с умножениями его справа на элементы из R (пример
12.5). Поэтому — изоморфизм.
Пусть С — произвольный полный модуль без кручения. Допустим, что
У’с(ж) = 0 для некоторого элемента х G С. По следствию 11.7 существует
§ 13. Эквивалентность Харрисона—Матлиса
103
разложение С = А® В, где х е А и А = R. Тогда, в силу естественности
р, получаем х = 0. Следовательно, <рс — мономорфизм.
Осталось убедиться, что рс — эпиморфизм. Пусть ft K/R K/R®
®С. Возьмем некоторую систему образующих ai,a2> • • •	• • • модуля
К/R такую, что ра\ = 0, pan+i = ап, п 1. Так как Ran = R(pn),
то удобно отождествить Ran с R(pn). Модуль С является плоским как
модуль без кручения, поэтому имеем вложения 7?(рп) ® С —> K/R® С
для каждого п 1 (по поводу плоских модулей см. конец §2). Модуль
K/R® С равен объединению модулей R(pn) ®С,п^\. Поэтому имеем
гомоморфизм ft R(pn) —> R(pn) ® С для каждого п 1. Пусть
/(ап) =	® J/i), h е K/R, yi G С.
Так как 6, = аптч, где ri G R, то f(a.n) = ап®уп для некоторого уп G С.
Имеем равенства
ап ® (Уп+1 - Уп) = р(оп+\ <® Уп+i) ~ (ап ® Уп) = fM ~ f(an) = 0.
Обозначим у = yn+i — уп и пусть у = pkz, где z € С \ рС. Подмодуль
Rz чист в С, поэтому модуль R(pn) ® Rz можно считать подмодулем
в R(pn) ® С (этот факт упоминается в конце §2). Так как Rz = R, то
7?(рп) ® Rz = R(pn) при соответствии ап ® rz —* anr, г Е R. Теперь из
an®pkz = 0 получаем апрк = 0. Поэтому к п. Нашли, что yn+i — уп G
€ рпС для всех n > 1. Можно было для доказательства этого включения
применить канонический изоморфизм
R(pn) ® С =* С/рпС, ап®х^х+ рпС, хе С.
Итак, {уп}п>1 — последовательность Коши в С. Пусть х — её предел.
Для каждого п существует г > п такое, что х — yi е рпС. Отсюда
® X — (Xfi ® yi = Иц ® Уп — f (tt/j).
Так как рс(х)(ап) = ап®х, то рс(х) = f. Следовательно, рс — изомор-
физм и р — эквивалентность.	□
Пусть D — делимый примарный модуль. Обозначим через L(D) упо-
рядоченное по включению множество всех прямых слагаемых модуля D.
Тогда L(D) — решетка со следующими решеточными операциями. Если
А и В — прямые слагаемые модуля D, то inf(A, В) — максимальный де-
лимый подмодуль в А П В и sup(A, В) = А + В.
Пусть С — полный модуль без кручения, L(C) — упорядоченное по
включению множество всех прямых слагаемых модуля С. Тогда L(C) —
104
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
решетка, где для любых двух прямых слагаемых А, В модуля С имеем
inf(A, В) = А Р В и sup(A, В) есть замыкание в р-адической тополо-
гии чистого подмодуля, порожденного А + В. Так определенные inf(A, В)
и sup(A, В) являются чистыми замкнутыми подмодулями. Следователь-
но, они — прямые слагаемые в С.
Для каждого натурального числа п определим идеалы
An(P) = {а G End(B) | а(В[рп]) = 0},
АП(С) = {« G EndCC) | аС С рпС}
колец End(B) и End(C) соответственно.
Следствие 13.2 (Либерт [212]). Пусть D — делимый примарный модуль,
С — полный модуль без кручения. Тогда
(1)	существуют канонические изоморфизмы колец
End(P) End(B(B)) и End(C) End(T(C));
(2)	изоморфны решетки L(D) и L(H(D)), L{C) и L(T(C))\
(3)	г(Р) = тр(Я(Р)) и гр(С) = г(Т(С));
(4)	изоморфизмы колец в 1) индуцируют изоморфизмы идеалов
An(D) = АП(Я(О)) и Ап(С') = АП(Т’(С')) для каждого п 1.
Доказательство. (1) и (2) получаются с помощью естественных эк-
вивалентностей 0 и ip. Сделаем некоторые пояснения.
(1)	Для эндоморфизма а модуля D возьмем индуцированный эндомор-
физм а* модуля H(D), где «*(/) = fa, f G H(D). Отображение а —► a*,
а G End(B), является требуемым изоморфизмом. Изоморфизм End(C') =
= End(T’(C’)) есть а —► 1 ®а, a G End(C').
(2)	Изоморфизм решеток В(В) и L(H(D)) получается так. Прямому
слагаемому А модуля D ставим в соответствие прямое слагаемое Н(А)
модуля H(D). Обратное отображение сопоставляет прямому слагаемому
F модуля H(D) прямое слагаемое F(K/R) модуля D, где F(K/R) —
= Е f(K/R).
feF
Возьмем решетки L(C) и В(Т(С')). Прямое слагаемое А модуля С
отображаем в Т(А). Если наоборот, В —прямое слагаемое модуля Т’(С'),
то по теореме 13.1 существует прямое слагаемое А модуля С такое, что
В = К/R® А. Обратный изоморфизм решеток есть В —> А.
(3)	Запишем D = ф Qi, где Qi = K/R для всех г. Далее положим
itl
F = ф Нош(7</Л, Qi) = ф Fi,
iel	iel
§ 13. Эквивалентность Харрисона—Матлиса
105
где Fi = R для всех i. Докажем, что F — базисный подмодуль модуля
H(D). Пусть D = П Qi- Так как F — чистый подмодуль в H(D), то F —
iei
чистый подмодуль в H(D). Осталось убедиться в делимости фактормоду-
ля H(D)/F. Зафиксируем некоторый элемент а порядка р модуля K/R.
Пусть f G H(D) и 7г — проекция модуля D на Qi ф • • • ф Qk, где /(a) G
G Qi ф • • • ф Qk- Тогда /(1 - 7г)а = 0 и, следовательно, /(1 — тг) G pH(D)
(пример 12.5). Теперь имеем / = /тг+/(1 — тг), где fir е F. Получили, что
F + pH(D) = H(D) и H(D)/F — делимый модуль. Следовательно, F —
базисный подмодуль модуля H(D). Отсюда гр(Я(£>)) = r(F) = т(£>).
Равенство гр(С) = г(Т(СУ) следует из доказанного и теоремы 13.1. Его
можно установить и непосредственно. Пусть В — базисный подмодуль
модуля С. Имеем индуцированную точную последовательность R-mo-
дулей
О K/R ®В^ K/R ® С K/R ® С/В О
(нужно учесть чистоту В, см. конец §2). Так как К/R — примарный
модуль и С/В —делимый модуль, то K/R®C/B = 0. Следовательно,
К/R® С = K/R 0 В. Пусть В — фRi, где Ri = R, г 6 I. Тогда
iei
K/R® С = ^&(K/R® R/), где K/R® Rt^ K/R
iei
для всех i. Отсюда rp(C) = r(B) = |/| — r(T(C)).
(4)	Достаточно доказать изоморфизм An(C) — An(T'(C')). Пусть a G
€ An(C'), t.e.aC С pnC. Тогда (1 0 a)T(C) = K/R® aC. Из доказа-
тельства теоремы 13.1 получается, что T(C)[pn] = (JC/7?)[pn] 0 С. Теперь
ясно, что
(10а)(Т(С)[рп]) =0 и 1 0 q G АП(Т(С)).
Всякий эндоморфизм модуля Т(С') равен 10 а, где a 6 End(C*). Пусть
поэтому (1 0 а)(Т'(С')[рп]) — 0. Следовательно, {K/R}[рп] 0 аС = 0. Из
доказательства теоремы 13.1 видно, что aC С рпС, т.е.а 6 Ап(С}. Та-
ким образом, ограничение изоморфизма End(C') = End(T(C')) на идеале
Ап(С) дает требуемый изоморфизм.	□
Следующие упражнения являются результатами работы Либерта [212].
Упражнение 1. Если А и В —делимые примарные или полные модули
без кручения, то из изоморфизма решеток L(A) и L(B) следует изоморфизм
модулей А и В.
Упражнение 2. Пусть В —делимый примарный модуль, С —полный мо-
дуль без кручения. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:
106
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
(1)	т(£>) = гр(С);
(2)	решетки L(D) и L(C) изоморфны;
(3)	End(Z)) =* End(C).
§ 14.	Радикал Джекобсона
Радикал Джекобсона кольца S обозначаем J(S) и называем радикалом.
Хорошо известно, что левосторонние характеризации радикала равно-
сильны его правосторонним характеризациям. По этой причине мы при-
ведем только правосторонние определение и несколько свойств радикала.
Радикал кольца S можно определить как пересечение всех его макси-
мальных правых идеалов. Элемент х кольца S лежит в J(S) в точности
тогда, когда элемент 1 — ху обратим справа для любого элемента у € S.
Идеал L кольца S содержится в J(S) в том и только в том случае, если
элемент 1 - х обратим справа для каждого х е L. Факторкольцо S/J(S)
имеет нулевой радикал. При гомоморфизме колец радикал отображается
в радикал образа.
Напомним, что обратимые элементы кольца End(M) — это в точности
автоморфизмы модуля М.
Получим достаточно полную информацию о радикале кольца эндомор-
физмов делимого примарного и полного модуля без кручения над полной
областью R. Достаточно рассмотреть только один из этих двух классов
модулей. С помощью эквивалентностей из предыдущего параграфа мож-
но затем перенести результаты на другой класс модулей. Мы коснемся
также радикала кольца эндоморфизмов произвольного модуля без круче-
ния и примарного модуля. Возьмем сначала полные модули без кручения.
Пусть С — полный модуль без кручения, В — некоторый его базис-
ный подмодуль. Тогда В — ф Ri, где Дг = R для всех г. Используя
iei
изоморфизм Ri = R, можно задать на модуле Ri структуру правого
Д-модуля для каждого i G I. Это естественным образом делает В пра-
вым Д-модулем, причем В — Д-Д-бимодуль. Имеем также рпВ = Врп
и (pnB)r С рпВ для любого натурального числа п и г е R. Пусть х е
€ С и х = limxi с Xi € В. Для г е R полагаем xr = limx,r. Получаем
правый Д-модуль С, точнее, Д-Д-бимодуль. Заметим, что С — правый
Д-модуль без кручения. Правое модульное умножение на С можно опре-
делить с помощью некоторого аддитивного автоморфизма модуля С. Для
его построения нужно использовать автоморфизмы вида ау кольца Д из
§3 (см. Либерт [212]). К сожалению, оба способа превращения модуля С
в правый Д-модуль не являются каноническими. Они зависят, например,
от выбора изоморфизма Ri = Д.
§ 14. Радикал Джекобсона
107
Приведем несколько свойств Е-Д-бимодуля С.
(1)	Для элемента г е R отображение х —> xr, х е С, есть эндоморфизм
левого Д-модуля С. Обозначим его через Аг. Отображение R —> End(C'),
г —> Xr, г е R, будет вложением колец. Можно считать R подкольцом
в End(C'), отождествляя г с Аг. Теперь ясно, что (pnC)r С рпС для
каждого натурального числа п и г е R. Если R — коммутативное кольцо,
то Аг есть просто модульное умножение х —> гх, х € С.
(2)	рпС = Срп для любого натурального числа п. Имеем рпВ = Врп.
Пусть х € С, х = limxi, Xi € В, и pnXi = yiPn, Уг S В. Тогда
рпх = рп lim Xi = lim pnXi = limy,pn = (limyjp”.
Следовательно, pnC С Cpn. Обратное включение доказывается аналогич-
но.
(3)	Пусть Е — еще один полный модуль без кручения. Так как С —
Д-Д-бимодуль, то Нот(С, Е) есть левый Д-модуль (см. §2). Для элемен-
та г 6 R и гомоморфизма / е Нот(С, Е) rf — это такой гомоморфизм,
что (г/)(ж) = f(xr) для каждого х 6 С.
Докажем, что справедливо равенство
рп Hom(C, Е) = {/: С Е | /(С) С рпЕ}
для каждого натурального числа п. Если д е Hom(C', Е), то
(pn5)C = д(Срп) = д(рпС) = рп(дС) С рпЕ,
что дает одно включение.
Пусть f е Нот(С, Е), /(С) С рпЕ и fi — ограничение f на Ri для
каждого i е I. Тогда Д = pngi для некоторого gi: Ri —» Е. Следовательно,
/|в = Рпд'> где д' — сумма всех gi, iei. Согласно предложению 11.12,
д' продолжается до гомоморфизма д: С —> Е. Пусть х е С и х = limxj
с Xi е В. Тогда f(x) = /(limxj) = lim/(xi) = lim(png)xi = png(]imxi) =
= (png)x и f = png. Таким образом, f e pn Нот(С, E).
Определим р-адическую топологию на модуле Hom(C, Е), базис ок-
рестностей нуля которой образуют подмодули pnHom(C, Е), п 1. Из
(3) заключаем, что эта топология не зависит от способа превращения
модуля С в правый Л-модуль.
(4)	Е-модуль Нот(С, Е) есть полный в р-адической топологии модуль
без кручения. Действительно, точная последовательность R-R-бимодулей
О —> В —> С —> С/В —> 0 индуцирует точную последовательность левых
71-модулей
Нот(С/В, Е) -> Нот(С, Е) -> Нот(В, Е)	0.
108
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
Справа стоит 0, так как С —чисто инъективный модуль (теорема 11.4).
Кроме того, Hom(C'/B, Е) = 0 на основании делимости С/В и редуци-
рованности Е. Имеем изоморфизмы модулей
Hom(C, Е) Нот(В, Е) = JJ Е) “ Е.
iei	|/|
Поэтому Нот(С’, Е) — полный модуль (предложение 11.1).
(5)	Пусть А — некоторый модуль. Так как С есть Е-Е-бимодуль, то
Hom(A, С) является правым Е-модулем, где (/r)(a) = f(a\r для любых
f е Hom(A, С), г Е R и а е А. Так что, End(C') есть Е-Е-бимодуль. Для
любых а G End(C'), г е Е и х G С имеем
(га)х = а(хг) и (Ага)ж = а(Аг(ж)) = а(хт).
Поэтому га = Хга. Далее,
(аг)х — а(х)г, (аХг)х = Хг(а(хУ) = а(х)г, аг — аХг.
Следовательно, левое и правое модульные умножения Е-модуля End(C)
на элемент г совпадают с умножениями на Хг в кольце End(C*).
Докажем, что для любого натурального числа п справедливы равен-
ства An(C') = pnEnd(C) = End(C)pn (идеал Ап(С) определен в §13).
Первое равенство содержится в (3). Пусть а е End(C') и ai — ограниче-
ние а на Ri, i е I. Имеем pnai = fapn для какого-то fa: Ri^> С (нужно
использовать предложение 2.2 (Ь) и свойства (5) или (6) из §3). Поэтому
рпо!|в = fapn, где fa: В —» С и fa есть сумма fa для всех i е I. Пусть
0: С —»• С обозначает продолжение fa. Если х € С и х = limxj, Xi G В,
то, как в (3), можно получить (рпа)х — (J3pn)x. Следовательно,
рпа = (Зрп и рп End (С) С End(C')pn,
(арп)С = (аС)рп С Срп = рпС, арп G Ап(С), End(C)pn С Ап(С),
что завершает доказательство.
(6)	Если г fa 0, то Хт не является делителем нуля кольца End(C').
Пусть а G End(C') и a fa 0. Тогда
(Xra)C = (ra)C = a(Cr) = a(rC) = r(aC) fa 0,
поскольку С —модуль без кручения. И (аАг)С = (ar)C' = (aC)r fa 0,
так как С —правый модуль без кручения. Таким образом, XTa,aXr fa 0.
Введем на кольце так называемую J-адическую топологию. Базис
окрестностей нуля этой топологии состоит из всех степеней J(End(C))n,
§ 14. Радикал Джекобсона
109
n > 1, радикала кольца End(C). Кольцо End(C') является топологиче-
ским кольцом относительно J-адической топологии. Если рассматривать
кольцо End(C) как левый или правый Л-модуль, то из записанной ниже
теоремы вытекает, что J-адическая топология совпадает с р-адической
топологией (см. еще (5)).
Теорема 14.1 (Либерт [212]). Пусть С — полный модуль без кручения.
Тогда
(а)	кольцо End(C') полно в J-адической топологии и существует
в End(C') элемент тг такой, что тг не является делителем нуля и
J(End(C)) = Нот(С',рС) = 7rEnd(C) = End(C')7r;
(b)	факторкольцо End(C')/J(End(C')) изоморфно кольцу линейных
операторов пространства С/рС над телом вычетов Rp, где
Rp = R/pR.
Доказательство. В качестве тг возьмем Ар. (Если R — коммутатив-
ное кольцо, то тг — это умножение на р.) Определим отображение
/: End(C) —> Endflp(C'/pC'), а —*/(a), a G End(C),
где f(a)(x +рС) = а(ж) +рС, хе С.
Нетрудно проверить, что f — гомоморфизм колец с ядром, равным
Нош(С',рС’) (это идеал Ai(C’) в обозначениях §13). Пусть /? —неко-
торый линейный оператор 7?р-пространства С/рС. Зафиксируем базис
{ai+pC}iei пространства CfpC. Тогда В = ф Rai — базисный подмо-
ге/
дуль модуля С (свойство (6) из §9). Существует гомоморфизм а: В —► С,
где a(ai) + рС = [3(ai + рС) для каждого iei. Ввиду полноты модуля
С, а продолжается до эндоморфизма модуля С, который также обозна-
чим через а. Ввиду свойств базисных подмодулей, справедливо равенство
С — В + рС. Поэтому для х G С имеем х = а + ру, гце а е В, у е С. Это
влечет
f(a)(x + рС) = f(a)(a + рС) = а(а) +рС = 0(а + рС) = /3(х + рС).
Поэтому /(а) = (3 и f — сюръективный гомоморфизм. Следовательно,
End(C)/Hom(C,pC) =* Endftp(С/рС).
Кольцо всех линейных операторов пространства имеет нулевой ради-
кал, поэтому J(End(C')) С Нот(С',рС). Пусть а е Нот(С,рС). Проверка
показывает, что 1 — а — мономорфизм, (1 — а)С — чистый модуль в С и,
ПО	Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
значит, (1 — а)С — полный модуль. Следовательно, (1 — а)С — замкнутый
подмодуль в С. Для любого х е С имеем х = (1 — а)х + а(х). Следова-
тельно, (1 - а)С + рС = С и (1 — а)С — плотный подмодуль в С. Таким
образом, (1 — а)С = С и (1 — а) — автоморфизм модуля С. Нашли, что
(1 — а) — обратимый элемент в End(C) для каждого а е Нош(С',рС'). Так
как Нош(С',рС') — идеал, то Hom(C',pC') С J(End(C)). Следовательно,
J(End(C)) = Hom(C,pC'), что доказывает (Ь) и первое равенство в (а).
Остальные равенства в (а) содержатся в (5). Полнота кольца End(C')
в J-адической топологии получается из (4).	□
Перейдем к делимым примарным модулям. Применяя теорему 13.1
и следствие 13.2, все полученные результаты о полных модулях без круче-
ния и их кольцах эндоморфизмов можно сформулировать после коррек-
тировки для делимых примарных модулей. Разумеется, эти результаты
допускают независимое доказательство (см.Либерт [212]). Мы ограни-
чимся кратким изложением.
Пусть D — делимый примарный модуль. Тогда D = K/R&C для неко-
торого полного модуля без кручения С. Отождествим D с K/R ® С.
Кольца End(O) и End(C') канонически изоморфны, как нам известно из
§13. Поскольку С является Я-Я-бимодулем, то на D существует струк-
тура R-Л-бимодуля (см. начало §13). Эта структура определяется прямо
следующим образом. Пусть D = где Qi = K/R для всех г. Так
i&I
как К/R является Я-Н-бимодулем, то естественным образом получается
структура Л-Л-бимодуля на D. Возможно еще введение в рассмотрение
некоторого аддитивного автоморфизма модуля D на основе автоморфиз-
мов (Ту из §4. Отметим, что D — примарный делимый правый 7?-модуль.
Если G — какой-то делимый примарный модуль, то Hom(£>, G) есть
левый Л-модуль (подробности в (3)). Из (3) и следствия 13.2 выводим
равенство pnHom(Z), G) = {/: D —> G | /(Z>[pn]) = 0} для каждого
п 1. Заключаем, что р-адическая топология на Hom(D, G) не зависит
от способа превращения модуля D в правый Д-модуль. Для модуля G
имеется полный модуль без кручения С со свойством G = K/R&C. Те-
перь, учитывая (4) и теорему 13.1, можно утверждать, что Hom(£>, G) —
полный модуль без кручения. Так же, как в (1) и (5), R можно считать
подкольцом в End(C'). В § 13 для каждого натурального числа п опреде-
лены идеалы
An(D) = {а е End(D) | a(D\pn]) = 0} и An(C) = Hom(C,pnC)
и установлен их изоморфизм. Теперь из (5) получаем
An(D) = рп End(C') = End(C)pn, n > 1.
§ 14. Радикал Джекобсона
111
Теорема 14.2 (Либерт [212]). Пусть D —делимый примарный модуль.
Тогда
(а)	кольцо End(D) полно в J-адической топологии и существует
неделитель нуля тг в End(D) такой, что
= Ar(D) = 7rEnd(E>) = End(£))Tr;
(b)	факторкольцо End(Z>)/J(End(Z))) изоморфно кольцу линейных
операторов Rp-пространства D[p],
Доказательство, (а) получается из теоремы 14.1, следствия 13.2
и установленных ранее фактов.
Определим кольцевой гомоморфизм /: End(D) —> Endftp(Z>[p]), где
/(а) есть ограничение а на Z>[p] для всякого а е End(D). Уточним,
что эндоморфизмы 7?-модуля D[p] совпадают с операторами Лр-прос-
транства D\p] (о чем говорилось в §4). Любой эндоморфизм подмоду-
ля D[p] продолжается до эндоморфизма делимого модуля D. Так как
Ker(/) = Ai(D), то имеем изоморфизм End(Z>)/Ai(D) = Endflp(D[p]).
Но Ai(E>) = J(End(T>)) и получаем (Ь).	□
В оставшейся части параграфа приведем несколько первичных фактов
о радикале кольца эндоморфизмов произвольного модуля без кручения
и примарного модуля над областью R (напоминаем о полноте R).
Пусть М — некоторый модуль без кручения. Эндоморфизм а модуля
М назовем конечным, если подмодуль Im(a!) имеет конечный ранг. Все
конечные эндоморфизмы модуля М образуют идеал в End(M); обозначим
его Fin(Af). Этот идеал исследуется в § 17.
Предложение 14.3. Пусть М — редуцированный модуль без кручения.
(a)	J(End(M)) С Нош(М,рМ).
(Ь)	Пусть L — некоторый идеал кольца End(M), лежащий в
Hom(A/,pM). Включение L С J(End(Af)) справедливо в том
и только в том случае, когда для идеала L выполняется сле-
дующее условие (*):
(*) если хЕМ, atLuyn=x + а(х) + ... + ап_1(а;) для каж-
дого натурального числа п, то последовательность {уп}п>1
сходится в модуле М.
(с)	J(End(M)) = Hom(M,pAf) в точности тогда, когда для идеала
Нот(А/,рМ) выполняется условие (*) из (Ь).
112
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
(d)	Hom(M,pM)PFin(M) С J(End(M)).
Доказательство, (а) Предположим, что существуют х е М и а е
6 J(End(A/)) такие, что а(ж) рМ. Подмодули Rx и R(ax) явля-
ются прямыми слагаемыми в М (следствие 11.5). И мы можем найти
/3 е End(M) такой, что (3(ах) = х. Тогда (1 — а(3')х = 0. Но а/3 G
€ J(End(M)), поэтому 1 — а/З — автоморфизм модуля М. Это невозмож-
но, так как х / 0. Следовательно, а е Нош(М, рМ).
(Ь)	Допустим, что включение справедливо, х е М и a 6 L. Тогда
1 — а — автоморфизм модуля М и (1 — а)у = х для некоторого у. Имеем
уп = х + а(х) + ... + ап_1(а;) =
= (1 - а}у + (а - а2)у + ... + (ап-1 - ап\у = (1 - ап)у.
Поэтому у — уп = ап(у). Из а е Нот(М,рМ) следует ап(у) G рпМ при
всех п. Поэтому у — limyn. Значит, (*) выполняется для идеала L.
Обратно, пусть условие (*) выполнено. Покажем, что 1 — а — автомор-
физм модуля М для всякого а € L. Так как аМ С рМ, то Кег(1 - а) = 0.
Для элемента х 6 М положим у = limyn, где уп = х+а(х)+.. .+ап-1(х).
Имеем равенства
(1 - а)у - (1 - a)(limyn) = lim(yn - a(yn)) =
= lim(a; — Qn(rr)) = x — liman(a;) = x,
так как an(x) G pnM для каждого n. Следовательно, (1 — a}y = x и 1 - a
есть автоморфизм модуля M, т. е. обратимый элемент кольца End(M).
Поэтому L С J(End(M)).
(с)	Получается из (а) и (Ь).
(d)	Ввиду (Ь), достаточно проверить справедливость условия (*) для
идеала Hom(Af,pAf) nFin(M). Возьмем
х 6 М, а € Нот(М,рМ) Р Fin(M),
уп = х + а(х) + ... + an-1(x), п 1.
Пусть С — чистый подмодуль, порожденный в М элементами х и уп для
всех п. Тогда С — полный модуль как свободный модуль конечного ранга
(следствие 11.7). Следовательно, {уп}п^1 сходится в С как последова-
тельность Коши. Таким образом, условие (*) справедливо.	□
Для полного модуля без кручения М получаем
J(End(M)) = Hom(M,pM),
§ 14. Радикал Джекобсона
113
что уже установлено в теореме 14.1. Если М имеет бесконечный ранг,
то включение в (d) будет строгим. Включение в (а) будет строгим для
свободного модуля бесконечного ранга, что видно из предложения 14.4.
Отметим такой факт. Пусть М = А ® В, м-. А —> М и тг: М —> А.
Тогда для любого а G J(End(M)) имеем хатг 6 J(End(A)). Возьмем
некоторый /3 6 End(A). Считаем /3 эндоморфизмом модуля М, полагая
/ЗВ = 0. Если 7 — правый обратный к 1 — а/3, то правым обратным к
1 — (хатг^/З в End(A) будет Х77Г. Следовательно, хатг е J(End(A)).
Предложение 14.4. Для свободного модуля М имеем J(End(Af)) =
= Hom(M,pM) П Fin(M).
Доказательство. Достаточно проверить включение J(End(Af)) С
С Fin(Af). Предположим, что а G J(End(M)), но а Fin(M), т. е. ранг
модуля аМ бесконечен. Пусть М — фАг, где Aj = R, i € I. Мож-
iei
но выбрать попарно различные слагаемые А^,А»2,... так, что aN С N,
где N = ф А{п, причем ранг подмодуля aN бесконечен. По замечанию
П^1
перед предложением е J(End(W)). Считаем поэтому, что М = ф Aj.
г^1
Положим no = 1- Пусть индекс ki таков, что aAi С Ai ф • • • ф А^,
причем fci — минимальное число с таким свойством. В силу предположе-
ния о бесконечности ранга модуля аМ, существуют такие индексы щ
и fo, что ni,k2 > ki и аАП1 С Ai ф • • • ф А^2, причем к2 — минимальное
число с таким свойством. Затем найдутся индексы пг и с аналогич-
ными свойствами. Продолжая этот процесс, получим последовательность
подмодулей Ano, Afcj, АП1, Afc2,... Определим теперь эндоморфизм /3 €
е End (Л/) следующим образом. Пусть /3: А^ —> Anj — некоторый нену-
левой гомоморфизм для всех Q 1 и /3Aj = 0 для всех остальных j. По-
ложим N = ф Akt, х: N —> М и тг: М —> N — соответственно вложение
i^l
и проекция. Тогда х/Затг е J(End(2V)). Однако эндоморфизм 1 —х/Зшг не
является автоморфизмом, так как А^ не лежит в его образе. Получили
противоречие. Значит, J(End(M)) С Fin(Af).	□
Нам потребуется одна лемма об эндоморфизмах примарных модулей.
Лемма 14.5. Для того чтобы эндоморфизм а примарного модуля М
был автоморфизмом, необходимо и достаточно выполнения равенств
Кег(а) П М[р] = 0 и а((рпМ)[р]) = (рпМ)[р] для п 0.
Доказательство. Необходимость условия леммы очевидна. Прове-
рим достаточность. Если ах = 0 и о(ж) — рк, то о(рк~хх) — р и
114
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
a(pfc-1x) = 0, что невозможно ввиду Кег(а)ПМ[р] = 0. Значит, Кег(а) =
— 0. Покажем, что а — сюръективное отображение. Для всякого у 6 М\р]
существует х € М\р] такой, что у = ах, причем можно считать h.(x) =
= h(y) при h(y) < оо. Если же h(y) = оо, то в качестве х можно выбрать
элемент сколь угодно большой высоты. Пусть теперь у 6 М, о(у) = рк,
k > 1, и все элементы порядка, меньшего чем рк, лежат в образе эндо-
морфизма а. Элемент рк~гу содержится в М[р]. Поэтому рк-1у = a(xi)
для некоторого xi, причем h(xi) к — 1. Значит, a?i = рк~1х для какого-
то х. Поэтому рк~1(у — ах) = 0. По предположению имеется z е М со
свойством у - ах — az. Следовательно, у = а(х + z) 6 Im(a). Таким
образом, Im(a) = М и а — автоморфизм модуля М.	□
В примарном случае можно ввести идеалы, похожие на Нот(Л/,рМ)
и Fin(M).
Пусть М — редуцированный примарный модуль. Положим
Р(М) = {а € End(Af) | х € М[р], h(x) < оо ==> h(x) < h(ax)}.
Понятно, что
Р(М) = {а е End(M) | а((рпМ)[р]) С (рп+1М)[р] для каждого п >0}
и Р(М) есть идеал кольца End(Af). Назовем его идеалом Пирса модуля
М. Затем положим
F(M) = {ае End(M) | a((pfeA/)[p]) = 0 для некоторого к 0}.
Следующие утверждения подобны предложению 14.3. По этой причине
наши доказательства будут не очень подробными.
Предложение 14.6 (Пирс [249]). Пусть М — редуцированный примар-
ный модуль.
(a)	J(End(M)) С Р(М).
(Ь)	Пусть L — некоторый идеал кольца End(M), лежащий в Р(М).
Включение L С J(End(M)) справедливо в том и только в том
случае, когда для идеала L выполняется следующее условие (*):
(*) если х € М [р], a^Luyn — х + а(х) +... + ап-1(х) для каж-
дого натурального числа п, то последовательность {у}п>1
сходится в модуле М.
(с)	J(End(M)) = Р(М) в точности тогда, когда для идеала Р(М)
выполняется условие (*) из (Ь).
(d)	Р(М) П F(M) С J(End(M)).
§ 14. Радикал Джекобсона
115
Доказательство, (а) Пусть а G J(End(M)). Допустим, что /г(ж) =
= h(ax) для некоторого элемента х порядка р и конечной высоты. По
следствию 7.5 существуют разложения М = Ra® А = Rb® В для каких-
то элементов а, Ь и подмодулей А, В, где ах е Ra и х е Rb. Из h(ax) =
— h(x) выводим о(а) = о(Ь) и Ra = Rb. Можно задать эндоморфизм Д
так, что (За е Rb, (3(ах) = х и (ЗА = 0. Тогда а(3 е J(End(Af)) и, значит,
1—а(3 — автоморфизм модуля М. Но (1—а(3)х — х—х = 0 в противоречии
с этим. Следовательно, А(х) < h(ax) для всякого элемента х порядка р
и конечной высоты и а е Р(М).
Доказательство (Ь) аналогично доказательству предложения 14.3 (Ь).
Нужно также использовать следствие 11.5.
(с) получается из (а) и (Ь).
(d) Достаточно проверить, что выполняется условие (*) для идеала
P(Af) Р F(A/). Возьмем х 6 Л/[р], a 6 Р(Л/) П F(M) и уп = х +
+ а(х) + ... + ап-1(а?) для всякого n > 1. Имеется число к 0, для
которого ап(х) = 0 при всех п > к. Это влечет сходимость последова-
тельности {Уп}п>1-	□
Пусть М — периодически полный модуль (эти модули определены пе-
ред упражнениями в §11). В модуле М сходится всякая последователь-
ность, порядки элементов которой ограничены элементом рК для некото-
рого к. Из предложения 14.6 выводится такой результат (см. Пирс [249]).
Следствие 14.7. Если М — периодически полный модуль, то
J(End(M)) = Р(М).
В частности, это равенство верно для ограниченного модуля М.
Получим описание радикала J(End(M)) еще для одного класса при-
марных модулей.
Предложение 14.8 (Либерт [215]). Пусть М — прямая сумма примар-
ных циклических модулей. Тогда	= Р(М) П Р(М).
Доказательство. Нужно лишь убедиться, что J(End(Af)) С F(M)
(с учетом предложения 14.6). Допустим, что а е J(End(M)) и а F(M).
В таком случае существуют две бесконечные последовательности
и {2i}i^i элементов из М\р] таких, что a(xi) = Zi для каждого i и A(xi) <
< /1(21) < h(xz) < h(zi) < ... Применим следствие 7.5 к каждому
из элементов х^ и z^, i 1. Получим разложение М = ф Ra^ такое,
116
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
что каждый из элементов xi,X2,... и zi,Z2,... принадлежит некоторо-
му циклическому слагаемому Rak. В силу условия на высоты элемен-
тов, различные элементы содержатся в различных слагаемых. Так как
h(zi) < h(xi+i), то существует эндоморфизм /3 модуля М, переводящий
Zi в Жг+1 для каждого i 1. Имеем (/3a)n-1(2i) = zn, п 1. Положим
теперь
Уп = Z1 + (Z?ck)(^i) + ... + ((За)^1^) ДЛЯ всякого п.
Тогда уп = Z1+Z2-H • -+zn и понятно, что последовательность {yn}n^i не
имеет предела в модуле М. Это противоречит тому, что (За е J(End(M)),
так как по предложению 14.6 условие (*) должно выполняться для лю-
бого эндоморфизма из J(End(M)). Следовательно, J(End(M)) С F(M).
□
Проблема описания радикала J(End(M)) для примарного модуля М
или модуля М без кручения представляется очень сложной. Практически
не затрагивались смешанные модули М.
Упражнение 1. Пусть М = А ф В, где В — вполне инвариантный подмо-
,, о	/J(End(A)) Hom(A,B)\
дуль в М. Показать, что J(End(M)) = (	0 J(End(B)))'
Применив упражнение 1, решить упражнение 2.
Упражнение 2.
(а)	Свести исследование радикала J(End(A/)) к случаю редуцированного мо-
дуля М.
(Ь)	Описать радикалы J(End(£>)) и J(End(C)), где D — делимый, а С —пол-
ный модуль.
Указание. Записать модуль D в виде прямой суммы примарного модуля
и модуля без кручения. Модуль С записать, как в следствии 11.11 (1), и вос-
пользоваться также следствием 14.7.
Упражнение 3. Кольцо S порождается аддитивно своими обратимыми
элементами в том и только в том случае, если факторкольцо S/J(S} порож-
дается своими обратимыми элементами.
Используя упражнение 3 и теорему 14.1, решить следующее упражне-
ние.
Упражнение 4. Пусть С — полный или периодически полный модуль. Вы-
яснить, когда каждый эндоморфизм модуля С есть сумма конечного числа
автоморфизмов (есть сумма двух автоморфизмов).
к
Упражнение 5. Пусть М = фА;. Если каждый эндоморфизм любого
i=i
модуля Ai есть сумма п, п 2, его автоморфизмов, то таким же свойством
обладает модуль М.
§ 15. Соответствия Галуа
117
Упражнение 6. Пусть М = фА;. Предположим, что всякий эндомор-
iei
физм каждого слагаемого Ai является суммой п его автоморфизмов, п 3.
Тогда то же верно для всякого такого эндоморфизма а модуля М, что образ
aAj содержится в сумме конечного числа слагаемых Ai для всех j е I.
Упражнение 7. Если М = ф Ait где все слагаемые Ai попарно изоморф-
iez
ны, то каждый эндоморфизм модуля М есть сумма четырех его автоморфиз-
мов.
Упражнение 8. Пусть S — локальное кольцо. При каких условиях каждый
элемент кольца S есть сумма двух обратимых элементов?
§ 15.	Соответствия Галуа
Пусть М — некоторый модуль. Всякий подмодуль X модуля М дает ле-
вый идеал {а е End(M) | аМ С X} и правый идеал {а е End(AT) |
аХ = 0} кольца эндоморфизмов модуля М. Оба эти способа мы ис-
пользуем для получения характеризаций односторонних идеалов кольца
эндоморфизмов полного модуля без кручения и делимого примарного мо-
дуля над полной областью дискретного нормирования R. Мы выбрали не
самые сложные результаты. Но они хорошо демонстрируют наш подход
к характеризации односторонних идеалов.
Мы следуем работе Либерта [216]. Используем без ссылок материал
§§ 6 и 11. Всюду С — полный модуль без кручения, D — делимый примар-
ный модуль. Напомним, что гр(М) — p-ранг и т(М) — ранг модуля М.
Предложение 15.1. Следующие свойства подмодуля X модуля С эк-
вивалентны-.
(1)	существует а е End(C') такой, что X = аС\
(2)	X изоморфен некоторому прямому слагаемому модуля С;
(3)	X — полный модуль и гр(Х) < гр(С').
Доказательство. (1) => (2). Подмодуль Кег(а) является чистым
замкнутым подмодулем в С. Следовательно, Кег(а) — прямое слагаемое
в С и С = Кег(а) ф Y для некоторого подмодуля Y. Поэтому
X = аС = С/Кег (а) = У.
(2) ==> (3). Пусть С = A®Y и X = У. Тогда X — полный модуль. Из
Гр(С') = гр(А) + Гр(У) имеем гр(Х) = тр(У) гр(С).
118
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
(3) => (1). Пусть В —некоторый базисный подмодуль модуля С. Так
как т(В) = Гр(С'), то можно разложить В в прямую сумму V ф W, где
г(У) = гр(Х). Имеем
C = V®W и гр(У) = г(У) = гр(Х).
Следовательно, V = X (учесть, что V и X — полные модули). Возьмем
эндоморфизм а модуля С такой, что а : V —> X — некоторый изоморфизм
и aW = 0. Тогда aC = X, что есть (1).	□
Со следующей леммой связано упражнение 1.
Лемма 15.2. Пусть X — подмодуль в С. Тогда гр(Х) > гр(С) в том
и только в том случае, если г((С/Х)[р]) > Гр(С').
Доказательство. Имеется подмодуль Y в X такой, что рХ С Y
и XfpX = (ХПрС)/рХ ф Y/pX. Здесь Y/pX “ Х/(Х ПрС) (X +
+ рС)/рС, T.e..Y/pX изоморфен некоторому подмодулю в С/рС. Между
(С/Х)[р] и (X ПрС)/рХ существует изоморфизм, действующий как а +
+ Х —► ра+рХ для каждого а G С с pa е X. Теперь утверждение леммы
очевидно.	□
Пусть £(С) обозначает упорядоченное по включению множество всех
подмодулей X в С таких, что X — полный модуль и гр(Х) < гр(С). По-
кажем, что X + Y, X П Y е £(С) для любых подмодулей X, Y из ЦС).
Прежде заметим, что если гр(С) — конечное кардинальное число, то С —
свободный модуль конечного ранга и £(С) есть множество всех подмо-
дулей модуля С. Считаем, что гр(С) — бесконечное число. С помощью
базисного подмодуля так же, как в доказательстве предложения 15.1,
получим разложение С = E®G®H, где Е = X и G = Y. Определим го-
моморфизм /3: С —> X ®Y так, что на Е (соответственно, G) (3 совпадает
с некоторым изоморфизмом Е = X (соответственно, G = Y) и [ЗН — 0.
Пусть далее, 7: X ф У —> X + Y — такой гомоморфизм, что (ж, у) —> х + у
для всех х е X и у G Y. Возьмем теперь а = /?7- Тогда а — эндоморфизм
модуля С и aC — X + Y. По предложению 15.1 X + Y е £(С).
Пересечение любого числа полных подмодулей модуля С будет полным
подмодулем. Имеем вложение модулей C/(XC\Y) —»• C/X&C/Y, где а +
+ (X Г1 У) —> (a + X,a + Y) для всякого а € С. По лемме 15.2 гр(ХПУ) <
< Гр(С'). Следовательно, ХПУ е £(С). Получили, что как упорядоченное
множество £(С) является решеткой, где inf(X,У) = ХПУ и sup(X,У) =
— X + У для любых Х,У е £(С).
Для левого идеала L кольца End(C') определим подмодуль LC модуля
С, состоящий из всевозможных конечных сумм	где ai е Тг,
§ 15. Соответствия Галуа
119
щ G С. Если L — главный левый идеал с образующим элементом а, то
LC = аС.
Если X — некоторый подмодуль модуля С, то обозначим через
Hom(C, X) левый идеал {a G End(C') | аС С X} кольца End(C'). Рас-
смотрим различные свойства подмодуля LC и левого идеала Hom(C', X).
(1)	Если L — главный левый идеал кольца End(C’), то LC G £(С). Это
следует из предложения 15.1.
(2)	Если X G С(С), то Hom(C', X) — главный левый идеал кольца
End(C).
Существует a G End(C) такой, что X = аС (предложение 15.1). Мы
утверждаем, что Hom(C',X) = End(C)a. Пусть /3 G Hom(C', X). Анало-
гично предложению 15.1 имеем С — Кег(а)®У, где а|у есть изоморфизм
Y —> X. Пусть 6 — обратное отображение к а|у. Положим 7 — /36. Тогда
/3 = уа и /3 G End(C)a. Следовательно, Hom(C', X) С End(C')a. Обратное
включение проверяется легко.
(3)	Если L — главный левый идеал кольца End(C'), то Hom(C', LC) =
= L. Пусть L = End(C)a. Тогда LC = аС и Hom(C,aC) = End(C)a
(свойство (2)). Следовательно, Hom(C', LC) = L.
(4)	Если X G £(С), то Hom(C',X)C' = X. Выберем a G End(C'), для
которого X = аС. По (2) Hom(C, X) = End(C')a. Поэтому
Нот(С, Х)С = аС — X.
(5)	Пусть L и N — главные левые идеалы кольца End(C). В силу (3)
и предложения 15.1, существуют подмодули X, Y G £(С) такие, что L =
= Нот(С,Х) и N = Нот(С,У). Имеем L Г\ N = Нот(С,ХПУ), где
X Г) Y G jC(C'). По (2) Ln N — главный левый идеал кольца End(C).
Покажем, что L + N = Нот(С', X + Y). Выберем некоторый базисный
подмодуль В = ф Rbi модуля С. Пусть a G Hom(C', X + У). Имеем
i€l
a(bi) = Xi + yi, где Xi G X и yt G У. Полагаем /3(rbi) — rxi и y(rbi) =
= ryi для каждого i G I и r G R. Таким путем получаем гомоморфизмы
/3: В —> X и у: В ^»Y, причем а = & + у на В. Так как X и У — полные
модули, то (3 и у имеют единственные продолжения до гомоморфизмов
С —> X и С —> У соответственно. Эти продолжения также обозначим
через /3 и у соответственно. Тогда а = (3 + у. Итак, Hom(C', X + У) С
С Нот(С', X) + Нот(С,У). Второе включение очевидно. Теперь по (2)
L + N есть главный левый идеал кольца End(C').
(6)	Для любых двух главных левых идеалов L и N кольца End((7)
имеем равенства (L + N)C = LC + NC и (Ln N)C = LC П NC.
120
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
Первое равенство верно всегда. Используя уже известные факты,
имеем
L = Hom(C, LC), N = Нот(С', NC), LON = Нот(С, LC П ЛГС).
Поэтому (L Р N)C - Нот(С, LC П NC)C = LC П NC.
Из (5) вытекает, что пересечение и сумма любого конечного числа
главных левых идеалов кольца End(C') есть главный левый идеал. Мож-
но сделать вывод о том, что все главные левые идеалы кольца End(C)
относительно включения образуют решетку, где
inf(L, ЛГ) = L П N и sup(L,N) = L + N.
Теорема 15.3. Пусть С — полный модуль без кручения. Отображения
X —» Hom(C', X) и L —> LC являются взаимно обратными изоморфиз-
мами между решеткой £(С) всех полных подмодулей X в С таких,
что гр(Х) < гр(С), и решеткой всех главных левых идеалов кольца
End(C).
Доказательство. Из (3) и (4) следует, что указанные отображения
являются взаимно обратными. Обозначим их Ф и Ф соответственно. Вви-
ду (5) и (6), имеем
Ф(Х ПУ) = Ф(Х) ПФ(У), Ф(Х + У) = Ф(Х) + Ф(У),
Ф(£ П N) = Ф(£) П Ф(ЛГ), Ф(1 + N) = Ф(Ь) + Ф(ЛГ)
для любых X, У е £(С) и любых главных левых идеалов L и N кольца
End(C'). Следовательно, Ф и Ф — изоморфизмы решеток.	□
Получим характеризацию решетки всех левых идеалов кольца End(C').
Введем понятие идеала решетки. Непустое подмножество S некоторой
решетки (£, называется идеалом в £, если выполняются следующие
два условия:
(1) если a, b € S, то sup(a, b) G S;
(2) если а е S и х < а, то х € S.
Идеалы решетки £, упорядоченные по включению, сами образуют ре-
шетку. Обозначим её через JC и назовем решеткой идеалов решетки С.
Если S и Т — два идеала решетки £, то
inf (S',!1) = S П T и 8ир(5, Т) = {х 6 С | х sup(a, b)
§15. Соответствия Галуа
121
для некоторых а е S, b е Т}. Наша цель — доказать, что решетка J £(С)
идеалов решетки £(С) изоморфна решетке £(End(C)) всех левых идеа-
лов кольца эндоморфизмов модуля С. Для этого используем тот простой
факт, что левый идеал L кольца End(C') равен объединению главных
левых идеалов End(C)a для всех а с L.
Обозначим через 7?£(End(C')) решетку всех главных левых идеалов
кольца End(C'). Для левого идеала L кольца End(C) пусть сг(£) есть
множество всех главных левых идеалов кольца End(C), содержащихся
в L. Тогда <?(£) —идеал решетки P£(End(C')). Если Т — идеал решет-
ки P£(End(C')), то определим т(Т) как объединение всех идеалов из
Т. В обоих случаях нужно учесть, что сумма двух главных левых иде-
алов есть снова главный левый идеал. Кроме того, имеем t(<t(L)) — L
и ст(т(Т)) = Т. Следовательно, соответствия Т —» т(Т) и L —> cr(L)
являются взаимно обратными решеточными изоморфизмами между ре-
шетками l7’P£(End(C')) и £(End(C')). Изоморфизм Ф между решетками
£(С) и P£(End(C)) в теореме 15.3 индуцирует изоморфизм между ре-
шетками J £(С) и t7P£(End(C')). В итоге мы получаем взаимно обрат-
ные решеточные изоморфизмы между решетками J£(C) и £(End((7)).
Укажем действие этих изоморфизмов.
Для идеала S решетки £(С) положим Ф(5) = т(у>(5)). Если L — левый
идеал кольца End(C), то пусть Ф(£) = ^>-1(<т(£)). Можно убедиться
в справедливости равенств
Ф(5) = {аб End(C) | существует У € S с aC С У},
Ф(£) = {Хб £((7) | существует а е L с aC — X}.
Теорема 15.4. Пусть С — полный модуль без кручения. Отображения
S —> Ф(З') и L —> Ф(£) являются взаимно обратными изоморфиз-
мами между решеткой J£(C) идеалов решетки £(С) и решеткой
£(End(C')) левых идеалов кольца End(C).
Пусть снова £ — произвольная решетка и a 6 £. Тогда {х G £ | х <
< а} есть идеал решетки £, называемый главным идеалом, порожденным
элементом а. Обозначение: (а]. Отображение а-+ (о], а Е £, является
вложением решетки £ в решетку идеалов J £. Образ этого вложения
совпадает с подрешеткой, состоящей из всех главных идеалов решетки
£. Если теперь мы отождествим решетку £(С*) с решеткой её главных
идеалов, то ясно, что изоморфизмы Ф и Ф из теоремы 15.4 будут инду-
цировать изоморфизмы решеток из теоремы 15.3.
В работе Либерта [216] предложено описание левых идеалов кольца
End(D), где D — делимый примарный модуль. При этом используются
теорема 13.1 об эквивалентности категорий и теоремы 15.3 и 15.4. По
122
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
существу, основная идея этого описания та же, что и для кольца End(C'),
но её реализация намного более сложная.
Займемся правыми идеалами. Здесь простое описание получается для
делимых примарных модулей. Докажем сначала, что главные правые иде-
алы кольца End(£>) совпадают с аннуляторами подмодулей делимого при-
марного модуля D.
Лемма 15.5. Пусть X — некоторый подмодуль модуля D. Тогда
(1) r(D/X) r(D\,
(2) существует а G End(Z>) со свойством X = Кег(а).
Доказательство. (1) Имеем D — ф(?г, где Qi = /f/Р для всех г е I.
iei
Тогда
D/X = ^Qi и Qt = (Qi + Х)/Х = Qi/(QiC\ X),
iei
где Qi = 0, либо Qi = K/R. Имеем равенство /^-пространств (D/X)[p] =
= 52 Qi И» где QM = 0> либо Qi[p] = Rp. Еще заметим, что r(D/X) =
iei
= dimftp (Р/Х)[р]. Теперь из свойств пространств получаем r(D/X) <
И = г(Р).
(2) Пусть 7г: D —> D/Х — канонический гомоморфизм. Модуль D/X
является делимым примарным и r(D/X} < r(P) по (1). Следовательно,
существует изоморфизм х модуля D/Х на некоторое прямое слагаемое
модуля D. Тогда а = тгх е End(P) и Ker(a) = X.	□
Для подмножества X в D определим Xs- = {а 6 End(P) | аХ — 0}.
Если Р — подмножество в End(£>), то положим Рх = {а € D | уа = 0
для всех 7 е Р]. Отметим, что если Р — aEnd(Z)), то Р1 = Кег(а).
Лемма 15.6. Верно равенство aEnd(D) = (Кег(а))± для любого а е
€ End(.D).
Доказательство. Ясно, что aEnd(Z>) С (Кег(а))-1-. Пусть
7 6 (Кег(а))±.
Можно определить гомоморфизм /3: aD —> 7Р по правилу /3(ах') =
= ух для каждого х е D. Так как aD — прямое слагаемое модуля D,
то /? можно продолжить до эндоморфизма модуля D. Тогда 7 = а/3 е
€ aEnd(Z>). Следовательно, (Кег(а))-1- С aEnd(Z>), что завершает дока-
зательство.	□
§ 15. Соответствия Галуа
123
Приведем некоторые свойства операций ±.
(1)	Если Р —главный правый идеал кольца End(P), то Р1- — подмо-
дуль модуля D и Р-1-1- = Р.
Пусть Р = aEnd(.D). Тогда
Рх± = (Ker(a))x = aEnd(P) = Р
(учесть лемму 15.6).
(2)	Пусть X — подмодуль в D. Тогда Xх- — главный правый идеал
кольца End(Z>) и Х^1- = X.
По лемме 15.5 существует а е End(P) такой, что Ker(a) = X. Имеем
= (aEnd(Z>))x = Ker(a) = X.
(3)	Для любых подмодулей X и Y Модуля D имеют место равенства
(ХПУ)1 = Xs- + УХ и (Х + У)х =Х±ПУх.
Достаточно доказать, что левая часть первого равенства содержится
в правой части. Пусть а G (ХпУ)-1-. Возьмем канонический гомоморфизм
а: X ф У —> X + У, (х, у) —> х + у, х € X, у € У.
Имеем
X + У = (X ф У)/Кег(сг), где Кег(сг) = {(х,у) | х + у = 0}.
Пусть <р — гомоморфизм из X ф У в D, совпадающий с а на X и ан-
нулирующий У. Если (х, у) е Кег(<т), то х + у = 0, х = — у е X QY
и ах = 0. Отсюда = ах = 0 и Ker(cr) С Кег(<^). Следовательно,
индуцирует гомоморфизм 7: X ф У —> D такой, что 7 совпадает с а
на X и аннулирует У. Ввиду инъективности D, 7 продолжается до эн-
доморфизма модуля D, который также обозначим 7. Положим /3 = а — 7.
Тогда а = /3 + 7, где /3 е X1- и 7 е Y^. Следовательно, а G X1- + Ух.
(4)	Справедливы равенства
(Р П ЛГ)1 = Рх + и (Р + Ny- = PiClN1
для любых двух главных правых идеалов Р и N кольца End(P).
Учитывая (1)-(3), имеем
(Р П TV)1 = (Рх± П ^±)± = (Р1 + TV-1-)11 = Р-1- ф N1.
Второе равенство проверяется непосредственно.
124
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
Из свойств (1)-(3) получаем, что пересечение и сумма любого конечно-
го числа главных правых идеалов кольца End(D) является главным пра-
вым идеалом. Следовательно, все главные правые идеалы кольца End(D)
образуют решетку относительно включения, где
inf (Р, АГ) = PON и sup(P,N)=P + N.
Пусть <S(Z>) — решетка всех подмодулей модуля D. Естественно, под-
разумевается порядок по включению. Имеем
inf(X, У) = X П Y и sup(X, Y) = X + Y
для любых двух подмодулей X и У.
Теорема 15.7. Пусть D — делимый примарный модуль. Отображения
X —► Xх и Р —> Рх являются взаимно обратными антиизоморфизма-
ми между решеткой S(D) и решеткой всех главных правых идеалов
кольца End(Z>).
Доказательство. На основании свойств (1) и (2) заключаем, что оба
отображения ± являются взаимно обратными биекциями. Из (3) и (4)
получаем, что ± — антиизоморфизмы решеток.	□
Опишем все правые идеалы кольца End(Z>) на основе метода, исполь-
зованного нами для левых идеалов кольца End(C).
Непустое подмножество Т некоторой решетки (£, <) называется кои-
деалом в С, если выполняются следующие два условия:
(1) если a, b е Т, то inf(a, Ъ) € Т;
(2) если а е Т и а < у, то у Е Т.
Коидеалы решетки £, упорядоченные по включению, образуют решет-
ку. Обозначим её Т>£ и назовем решеткой коидеалов решетки С. До-
кажем, что решетка Р5(Р) всех коидеалов решетки <S(£>) изоморфна
решетке P(End(£>)) всех правых идеалов кольца End(£>).
Пусть PP.(End(D)) обозначает решетку всех главных правых идеалов
кольца End(£>). Как и для левых идеалов кольца End(C'), можно устано-
вить взаимно обратные изоморфизмы между решетками yPP(End(Z>))
и P(End(Z>)). Антиизоморфизм ± между <S(£>) и PP.(End(£>)) в теоре-
ме 15.7 индуцирует изоморфизм между решеткой коидеалов P<S(D) ре-
шетки <S(£>) и решеткой идеалов j7PP(End(£>)) решетки PP(End (£>)).
Комбинируя эти изоморфизмы, получим взаимно обратные изоморфизмы
§ 15. Соответствия Галуа
125
между решетками D5(D) и 7£(End(D)). Именно, для коидеала Т решет-
ки 5(D) и правого идеала Р кольца End(D) положим
TL = {q е End(D) | существует У е Т с &Y = 0},
Р1 = {X е 5(D) | существует а е Р с X = Кег(а)}.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 15.8. Отображения Т -+ Т1- и Р -+ Р1 являются взаимно
обратными изоморфизмами между решеткой	коидеалов ре-
шетки и решеткой 7£(End(D)) правых идеалов кольца End(D).
Изоморфизмы решеток из теоремы 15.8 индуцируют антиизоморфизмы
решеток из теоремы 15.7.
Связи правых идеалов кольца эндоморфизмов полного модуля С без
кручения с его подмодулями найдены Либертом [216].
Упражнение 1. Пусть С — полный модуль без кручения счетного р-ранга
над кольцом целых р-адических чисел. Тогда С содержит полный подмодуль
X такой, что р-ранг X равен континууму.
Упражнение 2.
(а) Пусть С — полный модуль без кручения. Всякий левый (правый) идеал
кольца End(C) является главным в точности тогда, когда р-ранг гр(С)
конечен.
(2) Всякий левый (правый) идеал кольца End(D) является главным, где D —
делимый примарный модуль, в точности тогда, когда ранг r(D) конечен.
Пусть S — некоторое кольцо, X — подмножество в S. Левый аннуля-
тор подмножества X определяется как {г е S | гХ = 0}. Левым аннуля-
тором кольца S называется левый аннулятор некоторого подмножества
кольца S. Аналогично определяются правые аннуляторы. Левый (пра-
вый) аннулятор является левым (правым) идеалом.
Упражнение 3 (Либерт [212]). Пусть С —полный модуль без кручения.
Тогда
(1) отображения А —► Нот(С', А) и L —► LC есть взаимно обратные изомор-
физмы между решеткой всех прямых слагаемых А модуля С (по пово-
ду этой решетки см. §13) и решеткой всех левых аннуляторов L кольца
End(C');
(2) отображения А -+ и Р —►	есть взаимно обратные антиизоморфиз-
мы между решеткой всех прямых слагаемых А модуля С и решеткой всех
правых аннуляторов Р кольца End(C).
126
Глава 3. Кольца эндоморфизмов делимых и полных модулей
Бэр [1] и Вольфсон [314] получили аналогичные результаты для век-
торных пространств.
Упражнение 4 (Бэр [1]). Пусть V —левое векторное пространство над
некоторым телом. Тогда решетка <S(V) всех подпространств пространства V
изоморфна решетке всех главных левых идеалов и антиизоморфна решетке
всех главных правых идеалов кольца линейных операторов пространства V.
Либерт [216] на языке решетки всех идеалов (коидеалов) решетки
S(V) получил характеризацию всех левых идеалов (правых идеалов)
кольца линейных операторов пространства V.
Замечания. Истоки теории колец эндоморфизмов лежат в теории линей-
ных операторов конечномерных векторных пространств. Такие операторы
образуют простое кольцо, изоморфное кольцу матриц над исходным те-
лом.
Существование эквивалентностей или двойственностей между каки-
ми-то категориями модулей — всегда замечательное и полезное явление.
Пусть А — некоторый левый 7?-модуль и S — его кольцо эндоморфиз-
мов. На группе А получается структура правого 5-модуля, если счи-
тать, что аа = а(а) для любых а е А и а е 5. На самом деле
имеем 7?-5-бимодуль А. Следовательно, можно рассмотреть функторы
Ношя(А, —): 5-mod —> 5-mod и A (—)  5-mod —> 5-mod. Функто-
ры из § 13 доставляют примеры подобных функторов. Часто эквивалент-
ности устанавливаются посредством функторов Нотд(А, —) и (—)
или функторов, конструируемых из них. В книге авторов и Михалева
[196] этот подход развит для абелевых групп. В результате получены
различные применения найденных эквивалентностей как к самому коль-
цу эндоморфизмов, так и к некоторым групповым проблемам. Некоторая
эквивалентность категорий модулей строится в § 22. А в § 24 стандартная
двойственность для конечномерных векторных пространств обобщается
на модули без кручения конечного ранга. Тема эквивалентностей и двой-
ственностей будет продолжена в замечаниях к главе 5.
Существует довольно много работ о радикале кольца эндоморфизмов
примарной абелевой группы, инспирированных основополагающей рабо-
той Пирса [249]. Пирс поставил проблему описания элементов из ра-
дикала кольца эндоморфизмов в терминах их действия на группе или
модуле. Развитие этой темы можно найти в книгах [159, 196, 239].
Ряд упражнений в § 14 касаются задачи о представлении эндоморфиз-
мов в виде суммы автоморфизмов. Этой задаче можно придать абстракт-
ный теоретико-кольцевой характер (см. упражнение 8 в § 14, проблему 5
и статью Голдсмита—Пабста—Скотта [150]). Глубокие результаты полу-
чены в работах Хилла [168], Гёбеля—Опденхёвеля [139]. В первой из
§ 15. Соответствия Галуа
127
них доказано, что любой эндоморфизм тотально проективной абелевой
р-группы (р 2) есть сумма двух автоморфизмов, вторая содержит ана-
логичную теорему для модулей Уорфилда конечного ранга.
Проблема, рассматриваемая в § 15, есть специальный случай общей
проблемы характеризации односторонних идеалов колец эндоморфизмов
модулей. Случай векторных пространств подробно разобран в книге Бэра
[1] и работе Вольфсона [314]. Монк [240] перенес результаты Бэра на
примарные абелевы группы. Детальное изложение вопросов, исследуемых
в §15, содержится в работах Либерта [212] и [216].
Проблема 2 (Пирс). Вычислить радикал кольца эндоморфизмов примар-
ного модуля.
Проблема 3. Вычислить радикал кольца эндоморфизмов модуля без кру-
чения над полной областью дискретного нормирования.
Следующая проблема вызвана упражнениями 6 и 7 из § 14.
Проблема 4. (а) Справедливо ли упражнение 6 при п = 2 и для про-
извольного эндоморфизма а?
(Ь) При каких условиях каждый эндоморфизм модуля М из упражне-
ния 7 является суммой двух (трех) его автоморфизмов?
Проблема 5. Когда каждый элемент кольца nxn-матриц над некоторым
кольцом S есть сумма двух (трех) его обратимых элементов?
Пусть S — некоторое кольцо. Положим 1 + J(S) = {1 + х | х е
Тогда 14-7(5) — нормальная подгруппа группы U(S) и [7(5)/(14-7(5)) =
= U(S/(Здесь U(T') — группа обратимых элементов кольца Т.)
Проблема 6. (а) Для каких локальных колец 5 группа 17(5) есть по-
лупрямое произведение подгруппы 14-7(5) на некоторую подгруппу
Г (разумеется, Г = 17(5/7(5)))? Полупрямое произведение опреде-
ляется в упражнении 1 из § 3.
(Ь) Для каких модулей М группа Aut(M) есть полупрямое произведе-
ние группы 1 4- 7(End(M)) на некоторую подгруппу Г?
ГЛАВА 4
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОЛЕЦ КОЛЬЦАМИ
ЭНДОМОРФИЗМОВ
В главе 4 рассматриваются перечисленные ниже темы:
конечная топология (§16);
идеал конечных эндоморфизмов (§17);
теоремы характеризации для колец эндоморфизмов модулей без кру-
чения (§ 18);
теоремы реализации для колец эндоморфизмов модулей без кручения
(§19);
по существу неразложимые модули (§20);
копериодические модули и копериодические оболочки (§21);
вложение категории модулей без кручения в категорию смешанных
модулей (§22).
В предыдущей главе мы занимались внутренним строением кольца
эндоморфизмов (изучение радикала). Устанавливали связи между свой-
ствами модуля и его кольца эндоморфизмов (изоморфизм решеток под-
модулей и односторонних идеалов).
Эта глава посвящена одной из центральных проблем теории колец
эндоморфизмов — нахождению критериев того, чтобы абстрактное коль-
цо было изоморфно кольцу эндоморфизмов некоторого модуля. В своей
полной общности эта проблема чрезвычайно трудна, путь её полного ре-
шения не ясен. Тем не менее, в настоящее время имеется большое число
замечательных глубоких результатов для весьма широких классов колец
и модулей.
При решении рассматриваемой проблемы отправным пунктом может
служить некоторый класс модулей. Задача здесь состоит в том, что-
бы дать теоретико-кольцевое описание колец эндоморфизмов модулей из
данного класса. Соответствующие теоремы естественно называть теоре-
мами характеризации (для колец эндоморфизмов).
5 — 4473
130
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
Можно, наоборот, исходить из некоторого класса колец и доказывать,
что всякое кольцо из этого класса может быть реализовано с точностью
до изоморфизма как кольцо эндоморфизмов некоторого модуля. Резуль-
таты такого сорта называются теоремами реализации (для колец эндо-
морфизмов).
Среди теорем реализации выделяются те, которые можно назвать тео-
ремами расщепляющейся реализации. В них кольцо эндоморфизмов
есть прямая сумма подкольца, изоморфного данному кольцу, и некото-
рого специального идеала эндоморфизмов. Этот идеал, как правило, не
допускает простого описания в стандартных кольцевых терминах. Теоре-
мы расщепляющейся реализации дают пример частичного представления
колец кольцами эндоморфизмов. В таких теоремах кольцо эндоморфиз-
мов полностью не дано, однако есть большая его часть, которая известна.
Ее оказывается достаточно для сведения некоторых теоретико-модульных
проблем к поддающимся разрешению проблемам об определенных клас-
сах колец. В частности, такой метод позволяет доказывать существование
прямых разложений модулей с необычными свойствами. Теоремы харак-
теризации сами по себе имеют особенный интерес. Но по своей природе
они обычно далеки от приложений: вопросы о модулях могут быть крайне
сложны. Теоремы расщепляющейся реализации более прозрачны, и они
частично преодолевают эту недостаточность.
Во всей главе, если не оговорено противное, R обозначает область дис-
кретного нормирования (причем в §§19-22 R — коммутативная область),
а модули — это 7?-модули. Если R — полная область, то это указывается.
§ 16. Конечная топология
Важнейшей топологией для областей дискретного нормирования и моду-
лей над ними является р-адическая топология, введенная в §§ 3 и 11. На
кольце эндоморфизмов, как и на всяком кольце, существует J-адическая
топология. Базис окрестностей нуля этой топологии состоит из всех сте-
пеней радикала (см. теоремы 14.1 и 14.2). Более полезной является конеч-
ная топология на кольце эндоморфизмов. Конечная и р-адическая тополо-
гии дают примеры линейной топологии на абелевой группе, модуле либо
кольце. Линейная топология — это такая топология, что имеется базис
окрестностей нуля, состоящий из подгрупп (подмодулей или правых иде-
алов), причем смежные классы по этим подгруппам образуют базис от-
крытых множеств. Более точно это определение можно сформулировать
с помощью коидеала в решетке всех подгрупп (подмодулей или правых
идеалов) (см. [40, §7]). Полноту и пополнение также удобно описать на
языке этого коидеала (см. [40, § 13] и [50]).
§ 16. Конечная топология
131
Конечную топологию на кольце эндоморфизмов End(M) модуля М
можно определить с помощью следующего подбазиса окрестностей нуля:
Ux = {<р G End(Af) | <рх = 0}
для всех х е М. Очевидно, Ux — правые идеалы кольца End(M). Ба-
зис же окрестностей нуля состоит из правых идеалов Ux = {^> €
е End(M) | <рХ — 0} для всех конечных подмножеств X модуля М.
В обозначениях § 15 Ux = х1 и Ux = Х1. Понятно, что Ux = П Ux
х&Х
и базис окрестностей элемента а 6 End(Af) составляют смежные классы
a + Ux, где X пробегает все конечные подмножества модуля М. Ко-
нечная топология всегда хаусдорфова. Справедлива следующая основная
теорема о конечной топологии.
Теорема 16.1. Кольцо эндоморфизмов End(M) модуля М является пол-
ным топологическим кольцом в конечной топологии.
Доказательство. Поскольку Ux — правые идеалы, непрерывность
сложения и вычитания в End(M) очевидна. Непрерывность умножения
проверяется так. Возьмем а,(3 G End(Af), и пусть а/3 + Ux — окрестность
элемента af3. Так как oUax CUX, то справедливо включение
(а + Ux)(/3 + Uax) С a/3 + Ux,
что дает требуемую непрерывность.
Итак, End(M) — топологическое кольцо. Проверим его полноту. Пред-
положим, что	— последовательность Коши в кольце End(M).
Согласно определениям конечной топологии и последовательности Коши,
множество индексов I частично упорядочено с помощью порядка, ду-
ального к порядку на конечных подмножествах модуля М. Далее имеем
следующее: для данного х € М существует го € I такой, что оц — oij е
е Ux при всех i,j > го. Это означает, что cti(x) = aj(x) при достаточно
больших индексах г и j. Определим эндоморфизм а модуля М, положив
ах как общее значение всех таких aix. Нетрудно убедиться, что а е
€ End(M) и a-ai е Ux при г > го- Таким образом, а является пределом
рассматриваемой последовательности Коши {ajie/- Получили, что вся-
кая последовательность Коши сходится в кольце End(Af), а это влечет
его полноту.	□
В различных исследованиях особенно часто используются полнота
кольца эндоморфизмов в конечной топологии и непрерывные изоморфиз-
мы между кольцами эндоморфизмов.
Имеются два важных случая, когда конечную топологию кольца
End(M) можно определить, не обращаясь к модулю М.
5*
132
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
Предложение 16.2.	(1) Конечная топология кольца эндоморфизмов
редуцированного примарного модуля М будет определена, если
взять в качестве подбазиса окрестностей нуля совокупность
правых аннуляторов элементов еу>, где у? 6 End (Л/) иг — прими-
тивный идемпотент. Если М не имеет элементов бесконечной
высоты, то достаточно взять лишь правые аннуляторы прими-
тивных идемпотентов.
(2) Если М — модуль без кручения над полной областью R, то конеч-
ную топологию кольца End(M) можно аналогично задать, взяв
в качестве подбазиса окрестностей нуля совокупность правых
аннуляторов примитивных идемпотентов.
Доказательство. (1) Пусть М— редуцированный примарный модуль.
Используя свойство базисных подмодулей, указанное в следствии 9.3,
приходим к следующему. Для каждого х 6 М существует циклическое
прямое слагаемое Ry модуля М, причем о(х) < о(у). Следовательно, су-
ществует эндоморфизм tp е End(M), для которого <р>у — х. Пусть г : М —>
—> Ry — проекция. Тогда Ux — это как раз правый аннулятор элемента eip,
а г — примитивный идемпотент. Если М не имеет элементов бесконечной
высоты, то подбазисом окрестностей нуля для конечной топологии будет
совокупность правых идеалов Ux, где х пробегает только такие элементы,
что Rx — прямое слагаемое модуля М (это выводится из следствия 7.6).
Если по-прежнему г: М —»• Rx — это проекция, то
Ux = (1 - е) End(M)
— правый аннулятор примитивного идемпотента г.
Доказательство (2) похоже на доказательство второго утверждения
в (1), только вместо следствия 7.6 нужно применить следствие 11.7.	□
Упражнение 1. Показать, что конечная топология кольца эндоморфизмов
модуля без кручения конечного ранга всегда дискретна.
Упражнение 2. Если М и N — одновременно или редуцированные при-
мерные модули, или модули без кручения над полной областью дискретного
нормирования, то всякий изоморфизм между их кольцами эндоморфизмов
является непрерывным относительно конечных топологий на этих кольцах.
Упражнение 3. Пусть М — примарный модуль без элементов бесконечной
высоты. Обозначим через Ео правый идеал кольца End(M), порожденный
его примитивными идемпотентами. Тогда в конечной топологии Ео плотен
в End(M), a End(M) — пополнение для Ео (ср. с предложением 17.6).
§ 17. Идеал конечных эндоморфизмов
133
§ 17. Идеал конечных эндоморфизмов
В этом параграфе R — полная область дискретного нормирования (не
обязательно коммутативная), М — редуцированный 72-модуль без круче-
ния. Основное свойство такого модуля сформулировано в следствии 11.7.
Именно, всякое конечное множество элементов модуля М можно вло-
жить в прямое слагаемое модуля М, являющееся свободным модулем
конечного ранга. Если М имеет конечный или счетный ранг, то М —
свободный модуль. Для одного элемента имеем более сильные свойства
(см. доказательства следствий 11.6 и 11.7). Если а € М и h(a) = 0, то
Ra — прямое слагаемое модуля М, изоморфное R. Если А(а) = к и к > О,
то а = ркЬ, где h(b) — 0. Тогда Rb — прямое слагаемое модуля М, Rb =
= R и а 6 Rb. Таким образом, любой элемент модуля М можно вложить
в прямое слагаемое модуля М, изоморфное R. Всякий чистый подмодуль
А конечного ранга модуля М есть прямое слагаемое в М. Действитель-
но, поскольку А — свободный модуль конечного ранга, то А — полный
модуль. Следовательно, А — прямое слагаемое в М как чисто инъектив-
ный модуль (теоремы 10.3 и 11.4).
Пусть х,у е М и h(x) h(y). Существует эндоморфизм р модуля
М, для которого рх = у. (Модуль с таким свойством для любой пары
х,у называется вполне транзитивным. Вполне транзитивные модули
изучаются в главе 8.) Имеем М = X ® А = Y ® В, гце X = Y = R,
х е X и у G Y. Всегда можно выбрать р так, что рА = 0. Поэтому
считаем х и у элементами кольца R. Тогда х = рти и у = pnv, где и, v —
обратимые элементы кольца R, т и п — целые неотрицательные числа,
причем т < п. Эндоморфизмом р модуля R со свойством рх = у будет
умножение кольца R справа на элемент u~lpn~mv.
Конечные эндоморфизмы введены в § 14 (см. предложения 14.3, 14.4).
Эндоморфизм а модуля М называется конечным, если подмодуль Im(ct)
имеет конечный ранг. Отметим, что построенный выше эндоморфизм р
является конечным. Все конечные эндоморфизмы модуля М образуют
идеал Fin(M) кольца End(M). Строение кольца End(Af) во многом опре-
деляется идеалом Fin(M) (см., например, предложение 17.6). Основная
наша цель — охарактеризовать Fin(M) в теоретико-кольцевых терминах.
Лемма 17.1. Пусть а — конечный эндоморфизм модуля М. Тогда
Кег(а) — прямое слагаемое модуля М. Кроме того, существует разло-
жение М = G®N, где G имеет конечный ранг, аМ CG и N С Кег(а).
Доказательство. Так как аМ имеет конечный ранг, то аМ - сво-
бодный модуль. Из наличия изоморфизма М/Кег(а) = аМ и теоремы 5.4
134
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
заключаем, что Кег(а) — прямое слагаемое в М: М = А ф Кег(а), где
модуль А имеет конечный ранг. Пусть
ai + bi,..., ak + bk, ai G A, bi E Ker(a)
— максимальная линейно независимая система элементов модуля аМ
и В —чистый подмодуль в Кег(а), порожденный элементами bi,...,bk.
Тогда В — свободный модуль и Ker(a) = B®N для некоторого модуля N.
Полагая G = А ф В, получаем М = G ф N, где G и N имеют требуемые
свойства.	□
Правый (левый) идеал I некоторого кольца S назовем нерадикальным,
если I не содержится в радикале J(S), и минимальным нерадикальным,
если идеал I минимален во множестве всех нерадикальных правых (ле-
вых) идеалов кольца S.
Лемма 17.2. Пусть е — примитивный идемпотент кольца S. Следую-
щие условия эквивалентны-.
(1)	eS — минимальный нерадикальный правый идеал в S;
(2)	eSe/J(eSe) — тело-,
(3)	Se — минимальный нерадикальный левый идеал в S.
Доказательство. (1) => (2). Пусть а G eSe и а J(eSe). Тогда
а J(S'), поскольку J(eSe) = eSe П J(S'). Но a G eS. В силу мини-
мальности eS, получаем aS = eS и aeSe — eSe. Это доказывает, что
eSe/J(eSe~) не имеет собственных правых идеалов, что эквивалентно (2).
(2)	=> (1). Пусть I — правый идеал кольца S, I С eS и I / eS. Тогда
ele — собственный правый идеал кольца eSe, так как он не содержит е.
Следовательно, ele С J(eSe) С J(S). Далее, получаем I2 С elei С J(S)
и I С J(5), что дает (1).
Эквивалентность (1) и (3) доказывается аналогично.	□
Пусть М — редуцированный модуль без кручения. Из §2 и свойств
таких модулей получается эквивалентность следующих свойств эндомор-
физма е модуля М:
(а)	е — примитивный идемпотент;
(Ь)	еМ — неразложимое прямое слагаемое модуля М;
(с)	еМ — прямое слагаемое модуля М ранга 1.
§ 17. Идеал конечных эндоморфизмов
135
Напомним некоторые обозначения из § 15. Пусть X — подмодуль мо-
дуля М. Тогда
Hom(M, X) = {а е End(M) | аМ С X},
X1 = {а € End(M) | аХ = 0}.
Нот(Л/, X) — левый, a X1 — правый идеалы кольца End(M) (для X1-
достаточно, чтобы X было подмножеством). Для подмножества Г из
End(M) положим Г-1- = {а € М | уа = 0 для всех 7 G Г}. Г1- — под-
модуль модуля М.
Лемма 17.3. Следующие три свойства левого (правого) идеала L коль-
ца End(Af) эквивалентны:
(1)	существует прямое слагаемое А ранга 1 (такое, что М/А имеет
ранг 1) с условием L = Нот(Л/, А) (с условием L = А-1-);
(2)	L — главный левый (правый) идеал, порожденный примитивным
идемпотентом',
(3)	L — минимальный нерадикальный левый (правый) идеал.
Доказательство. Эквивалентность (1) и (2) получается из следую-
щих фактов. Пусть М = А® В и г: М —► А — проекция с ядром В.
Подмодуль А (соответственно В) имеет ранг 1 в точности тогда, когда г
(соответственно, 1 — е) — примитивный идемпотент. Имеем также равен-
ства
Hom (AT, А) = End(M)s и Ах = (1 - е) End(M).
(2) => (3). Пусть L = End(M')e(L = eEnd(M)), где е — некоторый
примитивный идемпотент. Имеем по свойству (Ь) из §2 и предложе-
нию 2.2 eEnd(M)e End(eM) End(7?) ~ R. Но R/ J(R) - тело. Зна-
чит, (3) справедливо ввиду леммы 17.2.
(3) => (2). Пусть L — минимальный нерадикальный правый идеал
кольца End(Af). Тогда L2 = L. Иначе, в силу минимальности L, L2 С
С J(End(M)) и, значит, L С J(End(M)), что противоречит определению
нерадикального идеала. Имеем L = Ln С Н.от(М,рпМ) для каждого
натурального числа п. Поэтому
L С Нот(М, р| рпМ) = Нот(М,0) = 0,
П^1
что невозможно. Следовательно, L £ Нот(Л/,рЛ7). Существуют х 6 М
и а е L такие, что х, ах рМ. Можно написать М = R(ax) ф А для
136
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
некоторого подмодуля А. Определим эндоморфизм р модуля М так, что
р(ах) = х и рА = 0. Тогда (ар)М = Rx. Согласно лемме 17.1, получаем
М = Ry ф (а//)1 для некоторого у е М. Так как (ар)х — х рМ, то по
предложению 14.3 ар J(End(M)). С другой стороны, ар G LO^ap)11.
Минимальность L влечет, что L С (ар)-*-1-. Поскольку справедливость
(1) => (2) и (2) => (3) уже установлена, то есть минимальный
нерадикальный правый идеал (в (1) за А нужно взять (сф)-1-). Поэтому
L — (ар)*-1 и для L верно (2).
Теперь пусть L — минимальный нерадикальный левый идеал. Исполь-
зуя те же аргументы, что и выше, получаем элементы у е М и (3 е L
такие, что у,0у рМ. Поэтому М = Ry ф В для какого-то подмодуля
В. Пусть А — такой эндоморфизм модуля М, что Ху = у и ХВ = 0. Из
(Х(З)у = (Зу $ рМ заключаем, что А/З J(End(Af)) (предложение 14.3).
Затем, А/З е £ПНош(М, R(j3y)). Так как _R(/3y) — прямое слагаемое в М
ранга 1, то Нот(Л/, R(/3yY) — минимальный нерадикальный левый иде-
ал (учесть, что импликации (1) => (2) и (2) =» (3) уже доказаны).
Следовательно, L = Hom(M, R(0y)) и для L верно (2).	□
Следующая теорема дает характеризацию идеала конечных эндомор-
физмов.
Теорема 17.4 (Либерт [213]). Пусть М — редуцированный модуль без
кручения. Тогда Fin(M) есть как сумма всех минимальных неради-
кальных правых идеалов, так и сумма всех минимальных нерадикаль-
ных левых идеалов кольца End(M).
Доказательство. Любой минимальный нерадикальный правый иде-
ал L порождается некоторым примитивным идемпотентом е (лемма 17.3).
Так как е е Fin(M), то LC Fin(M). Пусть теперь а е Fin(M). По лем-
ме 17.1 имеем М — G&N, где G имеет конечный ранг, аМ С G и aN = 0.
Запишем G = Ai ф •  -ф Ап, где все Ai имеют ранг 1. Пусть е»: G —> Ai —
проекция (г = 1,... ,п). Тогда а = sia-b.. .+егаа. Принимая во внимание
лемму 17.3, осталось заметить, что ei End(M) — минимальный неради-
кальный правый идеал. Левый случай получается аналогично. □
Во второй теореме используем понятие кольца без единицы. В та-
ком кольце выполняются все условия для кольца, однако существование
единичного элемента не предполагается. Для колец без единицы анало-
гичным образом можно ввести идеалы, факторкольца и т.п. При таком
подходе левые и правые идеалы кольца являются кольцами. Мы рассмот-
рим радикал (Джекобсона) идеала конечных эндоморфизмов как кольца.
§ 17. Идеал конечных эндоморфизмов
137
Радикал кольца без единицы можно определить как пересечение аннуля-
торов всех простых левых модулей над данным кольцом либо с помощью
квазирегулярных элементов (см. Джекобсон [183]). Разумеется, для коль-
ца с единицей эти определения совпадают с приведенными в §§3 и 14.
Нам понадобится такой факт. Радикал идеала равен пересечению ради-
кала кольца с этим идеалом.
Оператор а векторного пространства V над некоторым телом называ-
ется конечным, если образ а имеет конечную размерность. Все конечные
линейные операторы составляют идеал в кольце линейных операторов
пространства V.
Пусть М — некоторый модуль без кручения. Тогда М/рМ есть левое
векторное Др-пространство, где Rp — тело вычетов кольца R, Rp = R/pR.
Внешнее умножение задается равенством (г + pR)(m + рМ) = гт + рМ
для всех г е R и т е М (см. §4).
Заметим, что ряд свойств радикала кольца End(M) содержится в пред-
ложении 14.3. Интересно также сравнить следующий результат с теоре-
мой 14.1.
Теорема 17.5 (Либерт [213]). Пусть М — редуцированный модуль без
кручения. Тогда
J(Fin(M))n = J(End(M))n П Fin(M) = Hom(M,pnM) П Fin(M)
для любого натурального числа п.
Кроме того, факторкольцо Fin(Af)/J(Fin(M)) изоморфно кольцу
всех конечных линейных операторов Rp-пространства М/рМ.
Доказательство. Имеем J(Fin(Af)) = J(End(M))nFin(M), так как
Fin(M) — идеал в End(AT). Следовательно, J(Fin(Af))n С J(End(M))n П
Р Fin(AT) для каждого натурального числа п. Из предложения 14.3 (1)
получаем
J(End(M))n П Fin(M) С Hom(M,pnAf) П Fin(M).
Покажем, что
Hom(M,pnM) П Fin(M) С (Нот(М,рМ) О Fin(M))n.
Поскольку по предложению 14.3 (4)
Нот(М,рМ) PFin(M) С <J(End(M)) П Fin(M) = J(Fin(M)),
то получаем требуемое.
138
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
Пусть а 6 Hom(M,pnM) П Fin(M). Существует разложение М = G ф
0ЛГ, в котором G имеет конечный ранг, аМ С G и aN = 0 (лемма 17.1).
На самом деле аМ С pnG. Таким образом, a|G 6 Hom(G,pnG). Так как
G — полный модуль, то по свойству (5) из § 14 имеем
Hom(G, pnG) = рп Hom(G, G) = р Hom(G, G) • • • pHom(G, G) =
= Hom(G,pG) • • • Hom(G,pG) = Hom(G,pG)n.
Значит, a\Q G Hom(G,pG)n. В этом можно убедиться по-другому. Имен-
но, если G = фВ, то End(G) есть кольцо к х fc-матриц над R. Затем
к
нужно использовать свойства кольца R. Для а, очевидно, получаем а 6
G (Нот(ЛДрМ) П Fin(M))n.
Всякий конечный эндоморфизм а модуля М индуцирует конечный ли-
нейный оператор а /^-пространства М/рМ, где а(х + рМ) = а(х) +
+ рМ, х G М. Отображение а —► a, a G Fin(M), является гомомор-
физмом кольца Fin(Af) в кольцо всех конечных линейных операторов
пространства М/рМ. Ядро этого гомоморфизма равно Нот(Л/,рМ) П
nFin(M) = J(Fin(M)). Пусть Д — произвольный конечный линейный
оператор пространства М/рМ. Осталось показать, что Д индуцируется
некоторым конечным эндоморфизмом а модуля М. Воспользуемся по-
хожим местом в доказательстве теоремы 14.1. Зафиксируем базис {щ +
+ pM}i&i пространства М/рМ. Пусть В —базисный подмодуль модуля
М, порожденный элементами ai, i е I. Существует гомоморфизм а: В —>
—► М со свойством a(a,i) +рМ = (3(a,i +рМ) для каждого г 6 I. Образ а
имеет конечный ранг и, следовательно, является полным модулем. Поэто-
му а продолжается до эндоморфизма а модуля М. Как и в теореме 14.1,
/3 индуцируется а.	□
В заключение параграфа установим некоторые связи идеала Fin(AT)
с конечной топологией.
Предложение 17.6. Идеал Fin(M) плотен в End(M) в конечной топо-
логии, a End(M) — пополнение для Fin(M).
Доказательство. Пусть a € End(M) и X — конечное подмножество
в М. Мы должны доказать, что Fin(M)Ci(a+XJ-) — непустое множество.
Вложим X в прямое слагаемое G модуля М конечного ранга. Пусть тг —
проекция М на G. Тогда 1 — тг G X1- и, следовательно, (1 — тг)о! е X1.
Тогда тга = а — (1 — 7г)а G Fin(M) П (а + Х±).	□
Из предложения 16.2 (2) нетрудно вывести, что конечная топология на
кольце End(Af) будет также определена, если взять правые аннуляторы
§17. Идеал конечных эндоморфизмов
139
конечных идемпотентных эндоморфизмов модуля М как базис окрестно-
стей нуля. Чтобы иметь возможность определить позже аналог конечной
топологии для абстрактного кольца, немного по-иному представим этот
факт.
Предложение 17.7. Конечная топология на кольце End(Af) совпадает
с топологией, в которой правые аннуляторы конечных подмножеств
из Fin(Af) служат базисом окрестностей нуля.
Доказательство. Пусть X — некоторое конечное подмножество мо-
дуля М, X* — чистый подмодуль, порожденный X (см. §7). Модуль X*
имеет конечный ранг, следовательно, X* — прямое слагаемое в М. Пусть
л- — проекция М на X*. Тогда
тг е Fin(Af) и (X»)1 = {а е End(M) | тга = 0}.
Обратно, пусть Г —конечное подмножество в Fin(M), Г = {71,. ..,7k}.
Тогда подмодуль G, равный 71М + ... + 7&М, имеет конечный ранг и,
следовательно, является свободным и, значит, порождается некоторым
конечным подмножеством X. Имеем
{q е End(M) | Га = 0} =	= Xх.
□
В связи с теоремой 17.4, отметим, что идеал конечных линейных опе-
раторов векторного пространства над телом совпадает с суммой всех ми-
нимальных правых (левых) идеалов кольца линейных операторов. Кроме
того, идеал конечных линейных операторов содержится во всяком нену-
левом идеале кольца линейных операторов (Бэр [1], Вольфсон [314]).
Упражнение 1. Пусть е — некоторый идемпотент полупервичного кольца
S. Показать, что eS (Se) — минимальный правый (левый) идеал в точности
тогда, когда eSe — тело (ср. с леммой 17.2).
Оставшиеся упражнения взяты из работ Либерта [212] и [213].
Упражнение 2. Пусть С —полный модуль без кручения. Тогда идеал ко-
нечных эндоморфизмов Fin(C') содержится во всяком нерадикальном идеале
кольца End(C'). Это не так для произвольного модуля без кручения.
Упражнение 3. Пусть / — некоторый идеал кольца эндоморфизмов ре-
дуцированного модуля М без кручения. Показать, что если I П Fin(A/) —
нерадикальный идеал, то Fin(M) С I.
Упражнение 4. Всякий правый (левый) идеал кольца Fin(A/) есть правый
(левый) идеал кольца End(M).
140
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
§ 18. Теоремы характеризации для колец эндоморфизмов модулей
без кручения
Как и в предыдущем параграфе, М обозначает некоторый редуцирован-
ный модуль без кручения над полной областью дискретного нормирова-
ния R. Там же указаны основные свойства таких модулей. Пользуемся
также обозначениями Fin(M), Hom(M, X), X1- и Г-1- из § 17. Продолжаем
использовать в исследованиях кольца без единицы.
Наша задача заключается в том, чтобы найти достаточное количество
свойств колец эндоморфизмов модулей без кручения над полной обла-
стью, чтобы всеми этими свойствами одновременно могли обладать толь-
ко кольца эндоморфизмов указанных модулей. Разумеется, эти свойства
должны носить теоретико-кольцевой характер.
Лемма 18.1. Пусть L — минимальный нерадикальный правый (левый)
идеал кольца End(M). Тогда в L существует элемент тг такой, что тг
не является левым (правым) делителем нуля в L, тг G В A J(End(A/))
и (L A J(End(M)))n = 7гп£ (= Атт”) для любого натурального числа п.
Доказательство. Предположим сначала, что L — минимальный не-
радикальный правый идеал. По лемме 17.3 существует подмодуль В ран-
га 1 и подмодуль А в М такие, что М = В@Аи L- А± — £End(Af),
где е: М —> В —проекция с ядром А. Принимая во внимание предложе-
ние 14.3 и теоремы 17.4, 17.5, получаем
L A J(End(M)) С Ln Hom(M,pM) = L A Hom(M,pM) A Fin(M) =
= J(Fin(M)) C L П J(End(M)).
Поэтому L A J(End(M)) = L A Hom(M,pM). Заметим, что В = R.
Пусть теперь тг — такой эндоморфизм модуля М, что тгА = 0, а на В тг
есть эндоморфизм, соответствующий при изоморфизме End(B) = End(B)
умножению R справа на простой элемент р (см. предложение 2.2 (Ь);
можно считать, что 7Г|В есть эндоморфизм Ар из теоремы 14.1). Тогда
тг е L A Hom(M,pM) (учесть, что по теореме 14.1 (a) J(End(B)) =
= Hom(B,pB)). Убедимся, что (L А Нот(М,рМ))п = тгпЬ. Пусть а е
6 (LQH.om(M,pM))n. Существует гомоморфизм 0: В —> М со свойством
«IB = т^в[3 (см. теорему 14.1 (а)). Тогда а = тгп(3, где полагаем ЗА = 0.
Теперь имеем
а = еа = етгп0 = ттп(ев) G тгпЬ.
Одно включение установили, а другое очевидно. Пусть 7 е L и тг7 =
= 0. Ввиду свойства (6) из § 14 и теоремы 14.1 (а), получаем 7 = 0. Это
означает, что тг не является левым делителем нуля в L.
§ 18. Теоремы характеризации для колец эндоморфизмов модулей без кручения 141
Пусть теперь L — минимальный нерадикальный левый идеал. По лем-
ме 17.3 имеем М = А®В, где r(A) = 1 и L = Нот(М, А) = End(M)e, где
е — проекция М —> А с ядром В. Как и выше, находим Ln J(End(Af)) =
= £ПНот(Л/,рЛТ). Определим эндоморфизм тг модуля М так, что кВ = О
и тг совпадает на А с эндоморфизмом Ар из теоремы 14.1. Понятно, что
£тгп С (Lr~lHom(M,pAf))n. Если a G (L Г) Нот(Л7, рЛ/))п, то М = Ягф
фа1 для некоторого х е М (см.лемму 17.1). Так как a(Rx) С рпА, то
аналогично можно определить гомоморфизм (3: Rx —> А, для которого
а|Лг = fan- Тогда а = /Зкп, где полагаем (За1 = 0, и а е Ькп. Если
77г = 0, т е L, то 7 = 0. Следовательно, тг не является правым делителем
нуля в L.	□
Для кольца S и его подмножества X через Anns(X) или Апп(Х) бу-
дем обозначать правый аннулятор {$ е S | Xs = 0}. Правый аннулятор
является правым идеалом кольца S. Пусть Г — некоторая подгруппа ад-
дитивной группы кольца End(M). Через ГМ обозначим множество всех
конечных сумм вида 527г(тг)’ 7г е Г, Шг е М. ГМ есть подмодуль в М
(см. также § 15).
Лемма 18.2. Пусть N — минимальный нерадикальный правый идеал
кольца End(M). Если L — такой левый идеал кольца N, что
Р](Апп(£)У С J(End(M)),
г^1
то L не является собственным прямым слагаемым в N.
Доказательство. Ввиду леммы 17.3, существует разложение М =
= Rm ф А, для которого N = А-1-. Ясно, что NM = М. Допустим, что
N = L ф I для некоторого левого идеала I кольца N. Тогда М = NM =
= LM + IM. Проверим, что LM — {A(m) | А 6 L}. Пусть а = А1(ж)
и b = Аг(у), где Ai, Аг 6 L и х,у е М. Определим эндоморфизмы а и /3
модуля М, полагая ат — х, (Зт = у и аА — 0 = /ЗА. Тогда
a,0eN и а + 6 = Ах(ж) + Аг(у) = (aAi +/ЗАг)т,
где аА] + /ЗА2 6 L. Этим требуемое равенство установлено. Точно так же,
IM = {р(гп) | р е I}. Пусть теперь с е LM Г) IM. Тогда с - А(т) =
= /z(m), где А е L и р е I. Так как АА - рА = 0, то А = р = 0.
Следовательно, имеем прямую сумму М = LM ф IM. Пусть е: М —>
—> IM — проекция с ядром LM. Тогда £ е (Апп(Д))г для каждого i 1,
поскольку £ = сг. Значит, £ = 0, IM = 0 и I = 0, откуда L — N. □
142
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
Лемма 18.3. Пусть S — некоторое кольцо, причем пересечение всех
степеней его радикала равно нулю. Пусть, далее, N — минимальный
нерадикалъный правый идеал кольца S. Предположим, что существу-
ет элемент р, не являющийся левым делителем нуля в N, такой, что
p&NnJ(S) и (N П J(SY)n = pnN
для любого п 1. Тогда N — eS, где е — некоторый идемпотент коль-
ца S. Если дополнительно существует элемент q из SeV\J(S) такой,
что Benjys') = Seq, то eSe есть область дискретного нормирования
с J(eSe) = peSe = eSep.
Доказательство. Если s2 G 7(5) для всех s G N, то (А+7(5))/7(5)
будет правым нильидеалом и, следовательно, N С 7(5). Значит, мы мо-
жем найти элемент t в N такой, что t2 J(S). Минимальность N влечет
N = tN.
Положим Т = {х G N | tx G J(S)}. Тогда Т — правый идеал в S.
Если Т не содержится в 7(5), то Т = N ввиду минимальности N. Это
влечет t2 G 7(5), что противоречит выбору t. Следовательно, если для
некоторого у G N мы имеем ty G 7(5), то у G 7(5). Отсюда можно
вывести, что t(N О 7($>У)п = (N(~}J(Sy)n для всех натуральных чисел п.
Из р] J(S)n = 0 и N П 7(5) = pN получаем, что всякий ненулевой
элемент у из N равен рту', где у' 7(5) и m > 0.
Докажем, что Annyv(i) = 0, где Annjv(i) — правый аннулятор элемента
t в N. Допустим, что х G Аппдг(£) и х / 0. Тогда х € Т и, следовательно,
х G J(S). Запишем х = ртх', где х' 7(5) и m > 1. Имеем х' G
G Anny(tpm). Если правый идеал Annyv(ipm) был бы нерадикальным,
то он бы совпал с N. В таком случае 0 = tpmN = t(N П 7(5))m =
= (N О 7(5))m — pmN, что невозможно, так как р не является левым
делителем нуля в N. Значит, Annyy(£pm) С 7(5) и х' G 7(5), что есть
противоречие. Таким образом, Annjv(i) = 0.
Желаемый элемент е теперь легко найти. Поскольку tA = А, то су-
ществует ненулевой элемент ее А такой, что te = t. Из е2 — е G Annjv(t)
выводим е2 = е. Так как е 7(5) и А — минимальный нерадикальный
идеал, то А — eS. Удобно элемент р заменить на ре, обладающий теми
же свойствами, что и р. Однако после такой замены р = ере.
Рассмотрим eSe как кольцо с единицей е. По лемме 17.2 е5е/7(е5е) —
тело и eSe — локальное кольцо. Кроме того, 7(е5е) = eSe П 7(5) = eS Г)
П 5е П J(S). Допустим далее, что 5е П 7(5) = Seq. Тогда
(е5п7(5))П5е = peSOSe = peSe и (5еП7(5))Пе5 = SeqfleS = eSeq.
§ 18. Теоремы характеризации для колец эндоморфизмов модулей без кручения 143
Поэтому J(eSe) = peSe = eSeq. Существует у е eSe такой, что ре = yq.
Допустим, что у е J(eSe). Тогда у = pz, где z е eSe. Равенство ре = pzq
влечет, что е = zq. Но zq е J(S), что невозможно, так как е — ненулевой
идемпотент. Значит, у J(eSe) и у обратим в eSe (предложение 3.1).
Теперь получаем eSep = eSeyq = eSeq. Таким образом, J(eSe) = peSe —
= eSep. Очевидно, что р — ненильпотентный элемент. Из J(eSe) С J(S)
и условия леммы заключаем, что пересечение всех степеней радикала
J(eSe) равно нулю. Из определения 3.2 мы видим, что eSe есть область
дискретного нормирования с простым элементом р.	□
Утверждения леммы 17.3, теоремы 17.4 и предложения 17.7 подска-
зывают следующее определение конечной топологии для абстрактного
кольца. Пусть S — некоторое кольцо, So — сумма всех его минимальных
нерадикальных правых идеалов (если их нет, то полагаем So = 0). Мно-
жество правых аннуляторов всех конечных подмножеств из So составляет
базис окрестностей нуля для топологии на S, которую мы назовем ко-
нечной. Для кольца End(Af) эта конечная топология совпадает, понятно,
с конечной топологией, введенной в § 16.
Сформулируем нашу основную теорему характеризации. Напомним,
что J-адическая топология определена в § 14.
Теорема 18.4 (Либерт [213]). Пусть S — произвольное кольцо. Тогда
существует редуцированный модуль без кручения над некоторой пол-
ной областью дискретного нормирования R такой, что S изоморфно
кольцу End(Af) в точности тогда, когда выполняются следующие
условия-.
(1)	пересечение всех степеней радикала кольца S равно нулю-,
(2)	S содержит минимальные нерадикальные правые идеалы-,
(3)	если N — минимальный нерадикальный правый (левый) идеал в S,
то существует элемент р е N (соответственно q G N), не
являющийся левым делителем нуля в N, такой, что р G N А
A J(S) и (N A J(S))n = pnN для любого n > 1 (соответственно
q S N ГУ J(S) и NQ J(S) = Nq);
(4)	если N — минимальный нерадикальный правый идеал в S, L —
левый идеал кольца N такой, что Г| (Апп§(Ь))г — 0, то L не
i^i
является собственным прямым слагаемым в N;
(5)	если L — левый и N — правый ненулевые идеалы в S, то LAN 0;
144
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
(6)	если е — примитивный идемпотент в S, то кольцо eSe полно
в своей J-адической топологии-,
(7)	кольцо S полно в своей конечной топологии.
Доказательство. Пусть М — редуцированный Я-модуль без круче-
ния, где R — полная область дискретного нормирования. Убедимся, что
кольцо End(M) удовлетворяет условиям (1)-(7). Условие (1) справедли-
во по предложению 14.3 (а), условие (2) — по лемме 17.3. Условие (3)
справедливо в силу леммы 18.1, условие (4) —в силу леммы 18.2.
Пусть L — левый и N — правый ненулевые идеалы в End (Л/). Выберем
эндоморфизмы a 6 N, (3 € L и элементы х, у е М так, что ах / 0 и (Зу Ф
/ 0. Существует £ е End(M) со свойством £(аж) = рпу, где п = 7г(ах).
Имеем
о ± рп(Ру) = (3(рпу) = Ш<™)) =	а& /0, ^6 LnN.
Это доказывает выполнимость (5). Пусть е — примитивный идемпотент
кольца End(M). Тогда еМ = R и eEnd(M)e = End(eAf) = R, что дока-
зывает справедливость (6). Справедливость (7) получается из утвержде-
ний теорем 16.1, 17.4 и предложения 17.7.
Предположим теперь, что некоторое кольцо S удовлетворяет условиям
(1)-(7). По (2) существует минимальный нерадикальный правый идеал
М кольца S. Лемма 18.3 вместе с (1) и (3) влечет, что М = eS, где
е2 = е е S. По лемме 17.2 Se есть минимальный нерадикальный левый
идеал кольца S. Из (3) и леммы 18.3 получаем, что eSe есть область
дискретного нормирования с простым элементом р (он равен ере). Так
как eSe — область, то е — примитивный идемпотент. В силу (6), eSe —
полная область. В качестве кольца R возьмем eSe. Естественным спосо-
бом рассматриваем М как левый Я-модуль. Так как р не является левым
делителем нуля в кольце М, то как Я-модуль М есть модуль без круче-
ния. Из (МП J(S))n = рпМ, п > 1, и П J(S)n = 0 следует Q рпМ = 0
П^1	П^1
и М — редуцированный Я-модуль без кручения.
Правый аннулятор Ann(eS) есть идеал кольца S. Равенство Ann(eS) И
П eS и (5) дают Ann(eS) = 0. Отображение колец f-.S—> End(M), где
f(s)(ex) = exs, х е S, является гомоморфизмом и, следовательно, вло-
жением. Мы отождествляем кольцо S с образом этого вложения.
Покажем, что S содержит все конечные эндоморфизмы Я-модуля М.
Ввиду леммы 17.1, достаточно показать, что для каждого разложения
М = Ra ф В и каждого х е М существует эндоморфизм а модуля М,
лежащий в S, такой, что аа — х и аВ = 0. Во-первых, заметим, что ми-
нимальный нерадикальный правый идеал eS кольца S есть также мини-
§ 18. Теоремы характеризации для колец эндоморфизмов модулей без кручения 145
мальный нерадикальный правый идеал кольца End(AT). Это получается
из леммы 17.3. Действительно, имеем разложение М = eSe ф eS(l — е)
модуля М. Тогда eS есть в точности множество всех эндоморфизмов мо-
дуля М, аннулирующих слагаемое eS(l — е). Ясно, что eS аннулирует
это слагаемое. Пусть, наоборот, — эндоморфизм модуля М, аннулиру-
ющий е5(1 — е). Тогда р> совпадает с умножением модуля М справа на
элемент е<р(е).
Имеем два разложения модуля М'.М = Ra® В и М = R® eS(l — е).
С другой стороны, М есть минимальный нерадикальный правый идеал
кольца End(AT) и М = (eS(l — е))-1-. Поэтому М можно отождествить
с Hom(7?, АТ). В таком случае М = Hom(7?, Ra) фНот(7?, В) есть нетри-
виальная прямая сумма левых идеалов кольца М. Из (4) получаем
Р| Аг / 0, где А = Апп§(Нот(Д, В)).
г^1
Поскольку Нот(7?, В)М = В, то А = {х Е S | Bs = 0}. Имеем далее,
МА £ рМ, так как в противном случае
M(Q А1) С р|^М и р| Ai = 0,
г>1	г^1	г^1
что невозможно. Поэтому
МА £ М П J(S) и МА g J(S).
Следовательно, МА — нерадикальный правый идеал кольца S, лежащий
в М. Поэтому М = МА = аА и Fin(Af) С S. По предложению 17.7
и теореме 17.4 топология, индуцируемая на S конечной топологией коль-
ца End(AF), совпадает с конечной топологией кольца S. Теперь, ввиду
теоремы 16.1 и (7), получаем S = End(Af).	□
Рассмотрим другой подход к проблеме характеризации, основанный
на использовании базисных подмодулей. Видимо, он более перспективен
с точки зрения вероятных приложений и конструирования примеров.
Считаем, что все модули имеют р-адическую топологию, все тополо-
гические понятия для модулей относятся к этой топологии.
Пусть, по-прежнему, М — редуцированный модуль без кручения над
полной областью R, В — некоторый его базисный подмодуль. В силу тео-
ремы 11.13 и следствия 11.15 (1), можно считать, что АТ —чистый плот-
ный подмодуль пополнения В модуля В. Всякий эндоморфизм а модуля
М продолжается единственным образом до эндоморфизма а модуля В
(предложение 11.12). Будем отождествлять аса. Тогда получаем, что
146
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
End(Af) есть подкольцо в End(B). Полный модуль В считаем, как в § 14,
R-R-бимодулем, а кольцо End(B) — левым Л-модулем.
Пусть S — подкольцо некоторого кольца Т, причем Т есть левый Л-мо-
дуль. Будем говорить, что S — чистое подкольцо в Т, если SC\pkT — pkS
для любого натурального числа к.
Пусть теперь а е End(Af) и а = рк0, где 0 е End(B). Для любого
элемента а из М имеем рк(0а) G М и 0а е М на основании чистоты
М в В. Следовательно, 0 6 End(M). Получили, что End(M) — чистое
подкольцо в End(B).
Положим Ines(B) = {а 6 End(B) | аВ С В}. Здесь Ines(B) — левый
идеал в End(B) и Ines(B) С End(Af). Этот идеал играет решающую роль
в нашей характеризации колец эндоморфизмов. (В более общем виде он
будет введен в следующем параграфе.)
Пусть В — некоторый свободный Д-модуль бесконечного ранга, S —
некоторое чистое подкольцо кольца End(B), содержащее Ines(B). Пусть
SB есть множество всех конечных сумм элементов вида ab, а G S, b е В.
Лемма 18.5.	(1) Если х G SB, mo существуют /3 € S и b е В такие,
что
В = Rb® С, 0Ь = х, 0С = 0.
(2) SB есть чистый подмодуль в В, содержащий В.
Доказательство. (1) Пусть а,0 6 S и a,b G В. Существует эндомор-
физм А модуля В такой, что Ха = b или ХЬ = а и А е Ines(B). Скажем,
Ха = Ь. Тогда Х0 е S и аа + 0Ь = (а + Х0)а. Этим доказано, что любой
элемент х из SB равен аа, где а е S, а е В. Выберем любой элемент
b модуля В высоты ноль. Тогда В — Rb® С для некоторого подмодуля
С. Пусть р — такой эндоморфизм модуля В, что pb = а и рС = 0. Ясно,
что р е Ines(B). Положим 0 = ра. Тогда 0 6 S и 0 имеет требуемые
свойства.
(2) Ясно, что SB — подмодуль в В и В С SB. Предположим, что х =
= рку, где х е SB, у е В и к — натуральное число. Применяя (1) к
х, получим х = 0у = рку для некоторых 0 е S и b е В. Определим
эндоморфизм А модуля В, полагая ХЬ = у и ХС — 0. Имеем 0 = ркХ е
е S П рк End(B) = j^S. Так как End(B) — Д-модуль без кручения, то
А е S. Получили у G SB, что доказывает чистоту SB в В.	□
Определим линейную топологию г на кольце S, взяв правые аннуля-
торы примитивных идемпотентов из S за подбазис окрестностей нуля.
Базис окрестностей нуля будет состоять из всевозможных пересечений
§ 18. Теоремы характеризации для колец эндоморфизмов модулей без кручения 147
конечного числа таких аннуляторов. Эти пересечения совпадают с пра-
выми аннуляторами сумм конечного числа попарно ортогональных при-
митивных идемпотентов кольца S. Относительно топологии т S — топо-
логическое кольцо (см. §§3 и 16). Если М — редуцированный модуль без
кручения, то топология т на End(Af) (кольцо End(M) можно получить
как кольцо S, если в качестве В взять некоторый базисный подмодуль
модуля М), совпадает с конечной (предложение 16.2). По этой причине
топологию т естественно называть конечной.
Предложение 18.6 (Голдсмит [143]). Пусть В —свободный R-модулъ
бесконечного ранга и S — чистое подкольцо в End(B), содержащее
Ines(B). Тогда если S — полное кольцо в конечной топологии, то S =
= End(SB).
Доказательство. По нашему соглашению End(SB) С End(B). То-
гда, очевидно, S С End(SB). Пусть {тг; | г € 1} — множество всех
сумм конечного числа попарно ортогональных примитивных идемпотен-
тов кольца S. Считаем, что
г j 4=> Im(7Tj) С Im(7Tj)
или, что равносильно, правый аннулятор 7Гг содержит правый аннулятор
TTj в S. Пусть a G End(SB). Сконструируем последовательность {с^}ге/
в S такую, что тгДа — а^) = 0 для всех iei. Согласно определениям
последовательности Коши и ее предела в линейной топологии, это бу-
дет означать, что {аД — последовательность Коши в конечной топологии
кольца S и а — её предел. Тогда, в силу полноты S, а G S.
Модуль тггВ для каждого iei есть прямое слагаемое конечного ранга
в В, содержащееся в SB. Пусть 7цВ = Ra^ ф • • • ф Rak, где ai,...,а*; е
е SB. Для каждого j = l,...,k, ввиду леммы 18.5, существуют (3j е S
и bj е В такие, что а(а7) — 0j(bj). Определим эндоморфизмы модуля
В, полагая, что Cj(aj) = bj и аннулирует дополнительное слагаемое
к
к Raj. Ясно, что £j е Ines(B) при всех j. Положим 0—^2 Тогда
J=i
(3 е S. Положим далее аг = для каждого i. Тогда ai е S и полу-
чаем (тгДа — ctj))B = (а - /3)(тГгВ) = 0. Следовательно, тгДа — с^) = 0
и последовательность {ai} имеет требуемые свойства.	□
Справедлива следующая теорема характеризации.
Теорема 18.7 (Голдсмит [143]). Некоторое абстрактное кольцо S есть
кольцо эндоморфизмов редуцированного R-модуля без кручения в точ-
ности тогда, когда существует свободный R-модуль В такой, что
148
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
S изоморфно какому-то чистому подкольцу кольца End(B), содержа-
щему Ines(B), и S полно в конечной топологии.
Доказательство. Если S = End(M), где М — некоторый редуциро-
ванный модуль без кручения, то требуемым модулем В будет любой ба-
зисный подмодуль модуля М.
Пусть теперь В — свободный модуль и S — чистое полное подкольцо
в End(B), содержащее Ines(B). Если ранг В конечен, то В = В и S =
= End(B). Если ранг В бесконечен, то, согласно предложению 18.6, S =
— End(SB), где SB — редуцированный модуль без кручения.	□
Для построения примеров условие Ines(B) С S С End(B) приемле-
мо, но в рамках теории колец идеал Ines(B) не естественен. Желательно
найти теоретико-кольцевые условия, которые гарантируют, что мы ра-
ботаем с подкольцами кольца End(B), содержащими Ines(B). Эта тема
развивается в статье Голдсмита [143].
В работах Либерта [212, 213, 214] охарактеризованы кольца эндомор-
физмов полных модулей без кручения. Ввиду теоремы 13.1, мы получаем
сразу теоремы характеризации для колец эндоморфизмов делимых при-
марных модулей. Неудивительно, что соответствующие теоремы Либерта
включают требование полноты абстрактного кольца в J-адической то-
пологии (см. теорему 14.1). В [214] используется характеризация Вольф-
сона [314] колец линейных операторов векторных пространств. Именно,
для произвольного кольца S требуется, чтобы факторкольцо S/JiS) было
изоморфно некоторому кольцу линейных операторов (как в теореме 14.1).
Упражнение 1 (восстановление модуля по его кольцу эндоморфизмов).
Пусть М — редуцированный модуль без кручения над полной областью R,
е — примитивный идемпотент кольца End(Af). Отождествим R с eEnd(A/)e
(см. доказательство теоремы 18.4). Тогда модуль М изоморфен е End(Af^-мо-
дулю eEnd(M).
Упражнение 2. Если R коммутативно, то центр кольца эндоморфизмов
редуцированного /Z-модуля без кручения изоморфен R.
Упражнение 3. Пусть М — редуцированный /?-модуль без кручения. То-
гда М как правый ЕпЗ(А/)-модуль является циклическим проективным мо-
дулем (см. §2).
§ 19. Теоремы реализации для колец эндоморфизмов модулей без
кручения
В четырех оставшихся параграфах главы предполагаем, что Я —комму-
тативная область дискретного нормирования. Условие коммутативности,
§ 19. Теоремы реализации для колец эндоморфизмов модулей без кручения
149
помимо технических удобств, иногда дает большие преимущества. Пусть
М — некоторый Д-модуль. Для любого элемента г 6 R модульное умно-
жение Аг: х —> гх, х G М, является эндоморфизмом модуля М (см. также
начало §14). Отображение f: г Аг, г е R, есть гомоморфизм колец
R —> End(M), образ которого лежит в центре кольца End(M). Следо-
вательно, на End(M) можно задать структуру Д-модуля, если положить
(га)х — а(гх) для любых г е R, а е End(M) и х € М. Более точ-
но, End(M) есть Д-алгебра. Некоторое кольцо А называется алгеброй
над коммутативным кольцом S (или S-алгеброй), если А —S-модуль
и s(ab) = (sa)b = a(sb) при всех s € S и a, b 6 А. Отображение f выше
будет вложением в точности тогда, когда М не является ограниченным
модулем (например, М — модуль без кручения). В такой ситуации отож-
дествляем г с Аг и считаем R подкольцом центра кольца End(Af). Для
некоммутативной области R нет единого способа превращения кольца
End(M) в Я-модуль. В § 14 такой способ указан для полного модуля без
кручения. Однако он не является каноническим. В случае коммутатив-
ного кольца R кольцо End(M) будем также называть алгеброй эндомор-
физмов.
Используемые топологические понятия подразумевают р-адическую
топологию. В частности, любая Д-алгебра А относительно р-адической
топологии является топологической алгеброй, т. е.А — топологическое
кольцо и топологический Д-модуль. Если А как Д-модуль не имеет эле-
ментов бесконечной высоты, то пополнение А будет полной топологиче-
ской Д-алгеброй и Д-алгеброй (см. §11).
Имеются мощные результаты по проблеме реализации для колец эндо-
морфизмов модулей без кручения. Их доказательства, как правило, тех-
нически сложны и пространны. Мы выбрали для изложения более слабые
и простые факты. Тем не менее они позволяют почувствовать характер
более общих теорем. Часть из них мы сформулировали без доказатель-
ства. Для более подробного ознакомления читатель может обратиться к
оригинальным статьям, указанным в конце главы.
Для колец эндоморфизмов модулей над полной областью более харак-
терны теоремы расщепляющейся реализации. Поэтому считаем сначала,
что Д —полная область дискретного нормирования. Теорема 18.4 трудна
для приложений из-за сложности формулировки. Кроме того, из теоре-
мы 33.5 следует, что в данной ситуации структура кольца эндоморфизмов
в точности отражает во многом неизвестную структуру модуля. Теоремы
расщепляющейся реализации оказываются предпочтительней для приме-
нений.
Пусть В — свободный Д-модуль бесконечного ранга, В — его пополне-
ние. Тогда В/В — делимый модуль без кручения (следствие 11.3). Неко-
150
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
торый модуль М назовем максимальным чистым подмодулем полного мо-
дуля В, если М — чистый подмодуль в В, содержащий В, и В/М = К,
где К — поле частных области R.
Пусть М — максимальный чистый подмодуль в В. Тогда для любого
элемента а е В \ М чистый подмодуль, порожденный М и а, совпадает
с В. Далее понятно, что В — базисный подмодуль для М, а В — попол-
нение модуля М. Каждый эндоморфизм а модуля М единственным обра-
зом продолжается до эндоморфизма а модуля В (предложение 11.12). Как
обычно, отождествляем асаи считаем End(M) подкольцом в End(B).
Отметим такой серьезный момент. Образ аВ является полным модулем
для любого эндоморфизма а модуля В (предложение 11.16).
Эндоморфизм а модуля М назовем несущественным, если аВ С М.
Все несущественные эндоморфизмы модуля М образуют идеал Ines(M)
в End(M) и левый идеал в End(B). Если М — произвольный редуци-
рованный модуль без кручения над (не обязательно полной) областью,
то понятно, что эндоморфизм а следует назвать несущественным, если
аМ С М. Пусть а — конечный эндоморфизм модуля М, тогда аМ — пол-
ный модуль как свободный модуль конечного ранга. Поэтому аВ С аМ
и « — несущественный эндоморфизм. Получили Fin(M) С Ines(M). Ра-
венство Fin(M) = Ines(M) справедливо в точности тогда, когда М не
содержит полных подмодулей бесконечного ранга. Действительно, пусть
а € Ines(M) и а £ Fin(Af). Тогда аМ и аВ имеют бесконечный ранг.
Следовательно, аВ — полный подмодуль в М бесконечного ранга. Пусть
теперь С — полный подмодуль в М бесконечного ранга. Существует го-
моморфизм а': В —> С, образ которого имеет бесконечный ранг. Так как
С — полный модуль, то а' продолжается до гомоморфизма а: В —> С.
Тогда а G Ines(M) и а Fin(M).
По принятому нами определению p-ранг модуля М — это размерность
Hp-пространства М/рМ, где Rp — это поле вычетов R/pR области R;
p-ранг модуля М равен рангу любого его базисного подмодуля (см.§§4
и 9).
Пусть S — некоторое кольцо, Т и I — его подкольцо и идеал соот-
ветственно. Если S как группа имеет прямое разложение S = Т ф I,
то говорим, что кольцо S есть расщепляющееся расширение кольца Т
с помощью идеала I.
Теорема 19.1 (Голдсмит [145]). Для любого бесконечного кардинала
А существует редуцированный R-модуль М без кручения р-ранга А
такой, что End(M) есть расщепляющееся расширение кольца R с по-
мощью идеала Ines(M), End(M) = R ф Ines(AT).
§ 19. Теоремы реализации для колец эндоморфизмов модулей без кручения
151
Доказательство. Возьмем свободный модуль В ранга А. Покажем,
что произвольный максимальный чистый подмодуль М модуля В будет
искомым модулем. Понятно, что М — редуцированный модуль без круче-
ния р-ранга А.
Выберем некоторый элемент а е В \ М. Пусть а е End(M). Так как
В/М = К, то r(aa) = sa + х для некоторых г, s € R и х 6 М. Можно
считать, что г = рт и s = рп, где т, п — неотрицательные целые числа.
Предположим, что т < п. В этом случае рт(а — рп-т1м)а = х. Чистота
М в В влечет, что (а — рп~т1м)а е М. Поэтому (а — рп~т1м)В С М.
Таким образом, а — рп~т1м G Ines(M). Этим доказано, что End(M) =
= Z? + Ines(Af). Очевидно, что сумма — прямая, и мы имеем расщепляю-
щееся расширение End(M) = R ф Ines(M).
Допустим, что т > п. Как и недавно, получаем, что 1м - рт~па е
е Ines(Af). По теореме 14.1 рт~па е J(End(B)). Следовательно, 1м -
— pm-nO! — автоморфизм модуля В. Но это есть противоречие, поскольку
(1м - рт~па)В С М и М / В. Значит, случай т > п невозможен
и доказательство завершено.	□
Интересны ситуации, когда в доказанной теореме Ines(M) можно заме-
нить на Fin(M). Рассмотрим один пример на эту тему. Прежде докажем
две леммы.
Если ст — некоторое кардинальное число, то <т+ обозначает кардинал,
следующий за <т.
Лемма 19.2 (Бьюмонт—Пирс[81]). Предположим, что V — векторное
пространство бесконечной размерности о над некоторым полем F.
Пусть {Wi}i<r (где кардинал т < а) — множество подпространств
пространства V таких, что dimlVj = сг для всех i < т. Тогда су-
ществует <т+ подпространств U в V со следующими свойствами:
dim(y/t7) = 1 и любое Wi не содержится в любом U.
Доказательство. Сначала докажем, что существует одно такое под-
пространство, скажем, Ui. Пусть е —некоторый ненулевой элемент в V.
Трансфинитной индукцией докажем существование последовательности
элементов {хг}г<т таких, что Xi е Wi и подпространство АТ, порожден-
ное элементами e-Xi, i < т, не содержит е. Выберем элемент xi е V так,
что элементы xi и е линейно независимы. Тогда подпространство Alt по-
рожденное элементом e — xi, не содержит е. Предположим, что элементы
хп построены для всех р < i (где i есть ординал, меньший чем т) таким
способом, что подпространство, порожденное элементами е — xv, р <
где £ < г, не содержит е. Тогда подпространство Ai, порожденное элемен-
тами e-Xr), р < i, также не содержит е. Кроме того, пространство Ai + Fe
152
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
имеет размерность, самое большее |г| 4-1. Так как т и ст — кардинальные
числа иг<т, то|г| + 1<т + 1^ст + 1 = ст = dim Wt. Следовательно,
Wi <f. Ai + Fe. Выберем элемент xt в Wi так, что Xi Ai + Fe. Тогда
e Ai+F(e — Xi). Пусть Ат — подпространство, порожденное элементами
e — Xi, i < т. Тогда e Ar, потому что e—Xi G Ат для любого i < т. Пусть
Ui — подпространство в V, максимальное относительно свойств Ат с Ui
и е t7i. Тогда V/Ui — одномерное пространство и Xi Ui для любого i
(в противном случае е = Xi + (е - Xi) G Ui). Таким образом, Wi Ui для
каждого г < т.
Допустим, что подпространства Uj сконструированы для всех j < р,
где р < а+. Возьмем множество всех данных подпространств Wi вместе
со всеми Uj. Это множество состоит из самое большее ст подпространств,
каждое размерности <т. Применяя доказанное к этому множеству, по-
лучим подпространство Up такое, что dim(V/{7p) = 1 и любое Wi не
содержится в Up. Нужный результат теперь следует по трансфинитной
индукции.	□
Мы знаем, что делимые модули без кручения можно отождествить
с /^-пространствами. Если D — делимый модуль без кручения, то r(D) —
= dim# D (см. §6 и лемму 4.5).
В следующей лемме предполагаем, что |Я| = с, где с есть мощность
континуума 2Х° (например, можно взять кольцо целых р-адических чи-
сел Zp).
Лемма 19.3. Если В — свободный модуль счетного ранга, то суще-
ствует с+ максимальных чистых подмодулей в В, не содержащих
подмодулей, изоморфных В.
Доказательство. Модуль В равен прямой сумме ЛЬ копий модуля
R. Поэтому |В| — с, а |В| = с*0 = с. Это понятно, если вспомнить, что
элементы из В — это пределы последовательностей Коши элементов из
В. Более точно можно рассуждать так. Модуль В считаем подмодулем
полного модуля П R. Пусть х и у — некоторые линейно независимые эле-
аь
менты в R. Множество векторов в В вида (z,pz,p2z,...), где z — х либо
z = у, образует линейно независимую систему. Теперь ясно, что г(В) = с.
Так как В —чистый плотный подмодуль в В, то В/В — делимый модуль
без кручения, т. е. К-пространство. Кроме того, r(B/B') = dimi<(B/B) =
= с.
Пусть {At}t6T — множество всех подмодулей модуля В, изоморфных
В. Каждый подмодуль At есть образ какого-то эндоморфизма модуля В.
В свою очередь, каждый эндоморфизм модуля В полностью определяется
§19. Теоремы реализации для колец эндоморфизмов модулей без кручения 153
своим действием на В и даже на любом свободном базисе модуля В. По-
этому | End(B)| < сх° = с. (Так как R С End(B), то |End(B)| = с.) Сле-
довательно, {At}(ST есть множество самое большее с подмодулей в В.
Пусть Et — чистый подмодуль в В, порожденный подмодулем At + В
и Vt = Et/B. Тогда Vt — делимый модуль и, следовательно, подпростран-
ство Д-пространства В/В. Имеем также dimwit) = r(VJ) = r(A<) = с.
Применяя лемму 19.2, мы можем найти с+ подпространств U в В/В та-
ких, что любое Vt не содержится в любом U и dim/<((B/B)/17) = 1. Если
G — такой подмодуль в В, что G/B = U, то G есть максимальный чи-
стый подмодуль в В. Ясно еще, что любой At не содержится в любом G.
Мы сконструировали требуемое множество максимальных чистых под-
модулей.	□
Следствие 19.4. Пусть R — такая область, что |Д| = 2Л°. Существу-
ет редуцированный R-модуль без кручения М счетного р-ранга такой,
что End(M) = R ф Fin(M).
Доказательство. Пусть В — свободный Д-модуль счетного ранга.
По лемме 19.3 существует максимальный чистый подмодуль М в В, не
содержащий копий модуля В. Из доказательства теоремы 19.1 видно, что
End (Л/) — R®Vyes{M). Пусть a G Ines(M). Тогда аВ С М и аВ — пол-
ный модуль. Из аВ = В/Кег(а) получаем rp(aB) < гР(В) = ЛЬ- Если
Гр(аВ) = Гр(В), то аВ = В ввиду следствия 11.15 (2). Но это противо-
речит выбору модуля М. Значит, rp(aB) < ЛЬ и аВ — свободный модуль
конечного ранга. Итак, а € Fin(M) и Ines(Af) = Fin(Af).	□
Приведем без доказательства следующий более общий по сравнению
со следствием 19.4 результат. Модульные понятия, применяемые ниже к
Д-алгебре А, относятся к А как Д-модулю. В этом смысле говорим «ре-
дуцированная Д-алгебра», «Д-алгебра без кручения», «ранг Д-алгебры».
Теорема 19.5 (Гёбель—Голдсмит [135]). Если А есть R-алгебра без кру-
чения и А порождается как R-модуль менее чем 2*° элементами, то
существуют свободный R-модуль В счетного ранга и чистый подмо-
дуль М в В, содержащий В, такой, что End(Af) = А ф Fin(Af).
Наиболее общий результат о расщепляющейся реализации для моду-
лей без кручения доставляет следующая теорема. О значении терминов,
касающихся кардинальных чисел, можно узнать в книге Йеха [188].
Теорема 19.6 (Дугас—Гёбель—Голдсмит [103]). Пусть R —полная об-
ласть дискретного нормирования и А — некоторая R-алгебра. Следу-
ющие утверждения эквивалентны:
154
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
(1)	А — редуцированная алгебра без кручения',
(2)	существует редуцированный R-модуль М без кручения такой,
что End(Af) = А ф Ines(M);
(3)	существует редуцированный R-модуль без кручения М со свой-
ством (2) и мощности |М|, равной любому наперед заданно-
му сильно предельному кардиналу конфинальности, большей чем
|А|Л’0.
Есть значительно более сильный вариант следствия 19.4 и теоре-
мы 19.5. Модуль М над дедекиндовой областью R (они определяются
в упражнении 3 из § 3) называется модулем без кокручения, если М не
имеет подмодулей, изоморфных R/P, Rp и К для всех простых идеалов
Р кольца R, где Rp — пополнение в Р-адической топологии локализации
Rp кольца R относительно идеала Р (см. §3), К — поле частных области
R. Различные детали о модулях без кокручения содержатся в [98] и [99].
Над полной областью дискретного нормирования R нет модулей без ко-
кручения. Редуцированный Я-модуль без кручения называется модулем
без Хц-кокручения, если он не содержит полных подмодулей бесконеч-
ного ранга.
Теорема 19.7 (см. [103]). Следующие утверждения относительно ал-
гебры А над полной областью дискретного нормирования R эквива-
лентны:
(1)	А есть R-алгебра без Xq-кокручения',
(2)	существует редуцированный R-модуль без кручения М такой,
что End(M) = А ф Fin(M);
(3)	существует редуцированный R-модуль без кручения М со свой-
ством (2), и мощность \М| равна любому наперед заданному
сингулярному сильно предельному кардиналу конфинальности
В работе [134] Гёбель и Голдсмит получили подобные теоремам 19.6
и 19.7, но в определенном смысле более сильные результаты при дополни-
тельном предположении справедливости аксиомы конструктивности Гё-
деля.
Для модулей без кручения над неполной областью дискретного нор-
мирования R также существуют теоремы расщепляющейся реализации
(см. [91]). В них для данной Я-алгебры А ищется Я-модуль без круче-
ния М со свойством End(Af) = A©Ines(Af). Конечно, предпочтительней
§ 19. Теоремы реализации для колец эндоморфизмов модулей без кручения
155
представить алгебру А всем кольцом эндоморфизмов End(M). Естествен-
ным ограничением при этом является требование, чтобы А как Д-модуль
была без кокручения (см. упражнение 3).
Для ориентации читателя приведем одну теорему (полной) реализа-
ции для колец эндоморфизмов модулей без кручения над дедекиндовы-
ми областями. Она точно указывает место полных областей дискретного
нормирования среди всех дедекиндовых областей. Модуль называется
суперразложимым, если он не имеет ненулевых неразложимых прямых
слагаемых.
Теорема 19.8 (Дугас—Гёбель [99]). Пусть R — дедекиндова область,
но не поле. Следующие условия эквивалентны:
(1)	R не является полной областью дискретного нормирования;
(2)	существует неразложимый R-модуль ранга >2;
(3)	существует суперразложимый R-модуль;
(4)	существует R-модуль М ранга >1 с End(Af) = R;
(5)	если А — произвольная R-алгебра без кокручения, то существу-
ет R-модуль без кокручения М с End(M) = А.
Итак, если R — неполная область дискретного нормирования, то для
нее справедливо утверждение (5). На самом деле, всегда существу-
ет некоторое множество модулей М из (5) с некоторыми дополни-
тельными свойствами. Соответствующие результаты имеются в работах
[91, 121, 137] и других. Запишем одну теорему из [137] для случая, ко-
гда Д-алгебра А имеет конечный ранг. В двух оставшихся утверждениях
считаем, что R — неполная область дискретного нормирования.
Лемма 19.9 (Гёбель—Мэй [138]). Пусть А — редуцированная R-алгеб-
ра без кручения мощности <2Х°. Тогда пополнение R содержит семей-
ство {ui}iei алгебраически независимых над А элементов мощности
континуум. (Алгебраическая независимость означает, что никакой
конечный набор элементов щ не обращает в нуль любой многочлен
с коэффициентами из А.)
Лемма 19.9 играет основную роль в построении модулей Xi из следую-
щей теоремы. В этой теореме d — это функция на множестве натуральных
чисел такая, что d(l) = 2 и d(s) = 2s +1 для s > 1.
Теорема 19.10 (Гёбель—Мэй [137]). Пусть А — редуцированная R-ал-
гебра без кручения конечного ранга п и мощности <2А’°. Пусть, далее,
156
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
s — натуральное число и d — такое кардинальное число, что d(s) <
< d < 2Л’°. Положим В = фА. Тогда в В существует множество
S
свободных A-модулей Fi, i е I, |Z| = 2Х°, изоморфных фА, таких,
d
что если Xi = (Fi)* для каждого i 6 I, то имеют место следующие
свойства'.
(1)	В С Xi С В ;
(2)	End(.Xi) = А и Hom(_Xi,Xj) = 0 для всех различных i,j 6 Г,
(3)	модуль Xi имеет ранг ^d • п.
В упражнениях 1 и 2 R — полная область дискретного нормирования,
В — свободный Н-модуль бесконечного ранга, в оставшихся упражнени-
ях R — не обязательно полная область.
Упражнение 1. Если М и N — чистые подмодули в В, содержащие В, то
М = N в точности тогда, когда существует автоморфизм О модуля В такой,
что ОМ — N.
Упражнение 2 (Голдсмит [145]). Пусть |7?| = 2Л° и В имеет счетный
ранг. Тогда существует чистый подмодуль М в В, содержащий В, такой, что
В/М =* К ф К и End(A/) = R ф Fin(M).
Упражнение 3. Показать, что алгебра эндоморфизмов редуцированного
/?-модуля без кручения является редуцированной Л-алгеброй без кручения.
Если модуль имеет конечный ранг, то и алгебра эндоморфизмов имеет конеч*
ный ранг.
Упражнение 4. Убедиться, что Я-алгебры KxK,RxRnRpXRp (Rp —
поле вычетов кольца R) не являются алгебрами эндоморфизмов никакого
Л-модуля.
§ 20. По существу неразложимые модули
Модули без кручения над полной областью дискретного нормирования R
имеют, как мы знаем, много замечательных свойств, которыми не обла-
дают модули над неполной областью. Например, всякий редуцированный
неразложимый Л-модуль без кручения изоморфен R, всякий редуциро-
ванный Я-модуль без кручения конечного или счетного ранга свободен
(см. §11 и начало §17). Может показаться, что в этом классе модулей
отсутствуют какие-либо патологические прямые разложения, существу-
ющие для модулей над неполными областями дискретного нормирования
и абелевых групп. (Разнообразные примеры таких патологий имеются
в статьях, упомянутых в конце главы.) Мы убедимся, что это не совсем
так.
§ 20. По существу неразложимые модули
157
Если не оговорено противное, то R — коммутативная полная область
дискретного нормирования. По-прежнему рассматриваем редуцирован-
ные 7?-модули без кручения.
Некоторый модуль без кручения называется по существу неразложи-
мым, если во всяком его нетривиальном разложении в прямую сумму
двух слагаемых хотя бы одно слагаемое является свободным модулем
конечного ранга.
Следствие 20.1. Пусть |7?| = 2А’°. Существует по существу неразло-
жимый редуцированный R-модуль без кручения счетного р-ранга.
Доказательство. Пусть М — такой Н-модуль, как в следствии 19.4,
T.e.End(M) = 7?®Fin(Af). Рассмотрим произвольное нетривиальное пря-
мое разложение М = Mi ф М2, и пусть 7Г1, 7Г2 — соответствующие про-
екции. Их образы 7Г1 и тг2 в факторкольце End(A/)/Fin(M) являются
идемпотентами, чья сумма равна единице. Поскольку это факторкольцо
изоморфно R, то либо 7Г1 = 0, либо 7Г2 = 0. Пусть для определенности
Tri = 0. Тогда 7Г1 е Fin(M). Из доказательства следствия 19.4 видно, что
слагаемое Mi, равное -kiM, есть свободный модуль конечного ранга. □
Как правило, полезно построить множество по существу неразложи-
мых модулей с определенными свойствами. Напомним одно общее по-
нятие теории модулей. Пусть Т — некоторое множество индексов. Мно-
жество модулей {Mt}teT над каким-то кольцом называется жесткой си-
стемой, если Hom(Ms, Mt) = 0 для любых различных индексов s,t е
€ Т. Уточним это понятие следующим образом. Пусть R — коммутатив-
ное кольцо, А — 7?-алгебра. Множество 7?-модулей {Mt}tET называется
A-жесткой системой, если End(Ms) = А и Hom(Ms,Mt) = 0 для лю-
бых различных индексов s,t е Т. Теорема 19.10 доставляет примеры
A-жестких систем из 2*° модулей без кручения над неполной областью
дискретного нормирования. В работах [91, 136] доказано существова-
ние разнообразных A-жестких систем модулей без кручения, содержащих
сколь угодно большое число членов.
Над полной областью дискретного нормирования R не существует
жестких систем из двух и более модулей без кручения. Поэтому опреде-
ление жесткой системы нуждается в корректировке.
Прежде определим несущественные и конечные гомоморфизмы по
аналогии с несущественными и конечными эндоморфизмами. Пусть М
и N — редуцированные модули без кручения. Гомоморфизм <£>: М —> N
называется несущественным (соответственно, конечным), если <рМ С N,
где <р — единственное продолжение ip до гомоморфизма из М в N (соот-
ветственно, если <рМ имеет конечный ранг). Все несущественные (соот-
158
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
ветственно конечные) гомоморфизмы из М в N образуют группу, кото-
рую обозначим Ines(2Vf, 7V) (соответственно Fin(M, N)). Конечно, имеем
включение Fin(M, TV) С Ines(7Vf, TV).
Пусть Т — некоторое множество индексов. Множество {Mt}ter моду-
лей без кручения называется по существу жесткой (или R-жесткой)
системой, если Hom(Ms,Aft) = 7?®Ines(Aft) при s = t и Hom(Afs,Mt) =
= Ines(Ms, Mt) при s / t для всех s, t e T.
Пусть, как в лемме 19.3, |Я| — с, где с —мощность континуума 2Х°.
Теорема 20.2 (Голдсмит [145]). Существует по существу жесткая
система редуцированных R-модулей без кручения счетного р-ранга,
имеющая с+ членов.
Докажем прежде две леммы, примыкающие к лемме 19.3. Пусть, как
в § 19, В — свободный модуль счетного ранга, В — его пополнение. Обо-
значим через Л4 множество всех максимальных чистых подмодулей в В,
каждый из которых не содержит подмодулей, изоморфных В. По лем-
ме 19.3 мощность А4 равна с+. Из доказательства следствия 19.4 непо-
средственно получается, что Ines(M, N) = Fin(Af, N) для любых M,N е
е А4.
Лемма 20.3. Пусть {Ms}ses — некоторое подмножество множества
М мощности <с. Тогда существует с+ подмодулей М в М таких,
что Нот(Мд, М) = Fin(Ms, М) для всех s € S.
Доказательство. Для каждого s пусть {HSi} обозначает множество
образов подмодуля Ms, которые имеют p-ранг ЛЬ, для всех эндомор-
физмов модуля В. Тогда {Hsi} имеет мощность, не превосходящую с
(см. доказательство леммы 19.3). Так как |S| < с, то объединение мно-
жеств {Hai} для всех s G S есть множество самое большее с подмодулей
в В. Обозначим его Н. Затем через £ обозначим множество образов всех
эндоморфизмов модуля В, изоморфных модулю В. Тогда Н U £ есть мно-
жество самое большее с подмодулей, скажем, Ни£ =	где |J| <
< с. Заметим, что каждое Xj имеет ранг с. Пусть Gj — чистый подмодуль
в В, порожденный подмодулем Xj+B, и Wj = Gj/B. Тогда	есть
множество не более чем с подпространств /С-пространства В/В и каждое
Wj имеет размерность с. По лемме 19.2 существует с+ подпространств U
в В/В таких, что любое Wj не содержится в U и сИтд-((В/В)/<7) = 1.
Пусть М — такой максимальный чистый подмодуль в В, что М/В = U.
Ясно, что М G Л4.
Теперь возьмем произвольный индекс s 6 S и гомоморфизм ср: Ms —»
—> М. Ввиду свойств модуля М, получаем rp(ipMs) < ЛЬ. Следовательно,
§20. По существу неразложимые модули
159
<pMs — свободный модуль конечного ранга и <р — конечный гомоморфизм.
Требуемое множество подмодулей построено.	□
Лемма 20.4. Для данного максимального чистого подмодуля М в В
существует самое большее с максимальных чистых подмодулей Ms
в В, для которых Hom(Ms,M) Fin(Ms,M).
Доказательство. Допустим, что существует множество {Ms}ses из
более чем с подмодулей с указанным свойством. Для каждого s € S выбе-
рем гомоморфизм <ps: М3 —> М, не являющийся конечным. Тогда {^s}seS
есть множество, состоящее из более чем с эндоморфизмов модуля В, где
^ — продолжение <ps до эндоморфизма модуля В. Так как |End(B)| = с
(что видно из доказательства леммы 19.3), мы должны иметь <ps = <pt
для некоторых различных s и t из S. Но тогда
psB = ips(Ms + Mt) С ipsMs + ipsMt C M.
Получили, что ps — конечный гомоморфизм, что дает противоречие. □
Доказательство теоремы 20.2. Любой модуль из А4. образует по суще-
ству жесткую систему. Допустим, что мы сконструировали по существу
жесткую систему {Ма} модулей из А4 для всех сг < т, где сг и т — неко-
торые ординальные числа, причем |т| < с+. По лемме 20.3 существует
с+ подмодулей М в А4 таких, что Hom(MCT,Af) — Fin(Ma, М) для лю-
бого а < т. Для такого а имеется не более с таких подмодулей М, для
которых Hom(M, Ма) Fin(M, Ма). Тогда, удаляя все такие подмодули
М, удалим самое большее с подмодулей из исходной системы, так как
|т| < с. Итак, существует модуль М е АЛ, для которого
Hom(M, Ма) = Fin(M, Ма) и Hom(Mff, М) = FintM,, М)
для всех а < т. Положим Мт = М. Тогда множество {Ма}а^т есть
по существу жесткая система модулей из АЛ. Трансфинитная индукция
заканчивает построение искомой по существу жесткой системы модулей.
□
В оставшейся части параграфа установим одно любопытное свойство
редуцированных модулей бесконечного ранга, строго меньшего 2Xq. Ре-
дуцированный модуль без кручения конечного или счетного ранга обя-
зательно свободен. С другой стороны, мы доказали, что существует по
существу неразложимый модуль М ранга 2Х°. Это означает, что если
М = Mi ф М2, то либо Mi, либо М2 имеет конечный ранг. Если мо-
дуль М имеет бесконечный несчетный ранг, то для любого натурального
160
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
числа п существует модуль Ап такой, что М = ф R ф Ап. Эти факты
п
приводят к следующему вопросу. Если ЛЬ < г(М) < 2Х°, то должен ли
иметь модуль М прямое слагаемое счетного ранга, т. е. М = ф R ф А
ЛЬ
для некоторого модуля А? Оказывается, любой такой модуль обладает
подобным разложением.
Пусть М — некоторый редуцированный 7?-модуль без кручения, В =
= ф Re — некоторый его базисный подмодуль. В таком случае Е — мак-
е£Е
симальная чисто независимая система элементов модуля М. Чисто неза-
висимые системы элементов и их связи с базисными подмодулями изуча-
ются в §9. Так как М и В имеют одинаковые пополнения относительно
р-адической топологии, то можно считать, что М С Re. Мы можем,
е£Е
следовательно, рассматривать элемент а е М как последовательность
(’’е)ебЕ элементов ге из R. Для элемента а положим [а]# = {е е Е | ге
7^ 0}. Ясно, что если [а]# — конечное множество, то а е М.
Лемма 20.5. Предположим, что Xq < т(М) < с = 2Х°. Если Y —
некоторая счетная чисто независимая система в М, то существует
счетное подмножество X в Y такое, что модуль ф Rx П М имеет
хех
счетный ранг.
Доказательство. Уточним, что обозначает пополнение соот-
ветствующего модуля в р-адической топологии. Множество Y можно
расширить до максимальной чисто независимой системы Е. Тогда ф Re
еЕЕ
является базисным подмодулем модуля М (предложение 9.2). Существу-
ет семейство Е из с счетных подмножеств в Y таких, что для любых
Xi,X2 Е Е пересечение Xi Г1Х2 есть конечное множество. Для каждого
X е Е рассмотрим подмодуль
Ах = Rx Р М.
хех
Если каждый подмодуль Ах имеет несчетный ранг (ясно, что он беско-
нечен), то для каждого X G Е существует элемент ах € Ах такой, что
[ях]е — бесконечное подмножество в X. Ввиду определения семейства Е,
получаем, что {ах | X G Е} — линейно независимое подмножество в М
мощности с. Это влечет, что г(М) > с. Противоречие. Следовательно,
существует счетное подмножество X в Y со свойством г(А%) = Xq. □
§20. По существу неразложимые модули
161
Если ф Re — базисный подмодуль модуля М и I С Е, то ф Re есть
ебЕ	eel
прямое слагаемое в М (следствие 11.11 (2)). Пусть 717 —проекция модуля
М на это слагаемое.
Теорема 20.6 (Гёбель—Парас [140]). Пусть модуль М и множество X
такие, как в лемме 20.5. Тогда существует счетное подмножество
I в X, для которого тг/(Л7) С М. Таким образом, М = ф 7? ф А для
Хо
некоторого модуля А.
Доказательство. Возьмем семейство Q, состоящее из с счетных под-
множеств множества X таких, что для любых 71,7г € <3 пересечение
7i Р 7г — конечное множество. Допустим, что тгу(М) М для всех 7 е
6 G. Тогда существует элемент ai е М со свойством тг/(а/) М. За-
метим, что [тгДа/)]# есть бесконечное подмножество в 7; в противном
случае тгДау) был бы элементом из М. (Здесь Е — такая максимальная
чисто независимая система, как в лемме 20.5.) Пересечения различных
множеств [тгДа/)]# являются конечными множествами. Следовательно,
{а/ | I е G} — линейно независимое подмножество в М мощности с. Это
противоречит предположению о ранге модуля М. Поэтому существует
подмножество 7 6 Q такое, что тг/(Л7) С М и 717 — идемпотент кольца
End(A7). Так как тг/(Л7) С ф Re и ф Re П М имеет счетный ранг по
eel eel
лемме 20.5, то тг/(Л7) — свободный модуль счетного ранга, тг/(Л7) = фН.
Хо
Из М = 717 (Л7) ф (1 — тгу)Л7 получаем М = ф R ф А для некоторого мо-
ль
дуля А.	□
В соответствии со сказанным в начале § 19, кольцо End(TVf) мы счи-
таем 77-алгеброй. В следствии 19.4 и теореме 20.2 ранг факторалгебры
End(A7)/Fin(A7) как 77-модуля равен 1. Для модулей из теоремы 20.6
ситуация прямо противоположная.
Следствие 20.7. Пусть М — такой модуль, что ЛЬ < г(М) < с. Тогда
(1) ранг факторалгебры End(A/)/Fin(A7) не менее с;
(2) М = М ф ф R для любого а < ЛЬ.
ст
Доказательство. Согласно теореме 20.6 существует разложение
М = ф Rbi ф А.
г>1
6 — 4473
162
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
(1) Для любого бесконечного множества I натуральных чисел пусть
ei обозначает проекцию модуля М на прямое слагаемое фйб;. Тогда
гб/
множество смежных классов £/ + Fin(M) для всех таких I образует мно-
жество из с линейно независимых элементов в End(M)/Fin(A/).
(2) Если а — такой кардинал, что сг < ЛЬ, то
г>1	г^1	ст
Отсюда получаем М = М ф ф R.
СГ
За дальнейшей информацией по теме этого параграфа можно обратить-
ся к статьям [103, 134, 135, 146]. Например, они содержат доказательства
существования по существу неразложимых модулей сколь угодно боль-
ших рангов и по существу жестких систем со сколь угодно большим
числом членов. В замечаниях к главе указана соответствующая лите-
ратура о примарных и смешанных модулях, а также для модулей над
другими коммутативными кольцами.
Упражнение 1 (см. [103]). Пусть R — полная область дискретного норми-
рования, t — положительное целое число. Существует Я-модуль без кручения
X такой, что для любых двух положительных целых чисел тип Хт =
= Хп <=> т = п (mod t).
§ 21. Копериодические модули и копериодические оболочки
Считаем, что R — коммутативная область дискретного нормирования, не
обязательно полная. Все модули являются Я-модулями.
Ранее мы рассматривали два вида «оболочек». Именно, любой мо-
дуль М можно вложить в минимальный делимый модуль D. Последний
называется делимой оболочкой модуля М (см. §6). Если М не имеет
элементов бесконечной высоты, то М вкладывается как чистый плотный
подмодуль в некоторый полный модуль. Этот полный модуль обознача-
ется М и называется пополнением модуля М (пополнения появились
в § 11). Иногда этих двух «оболочек» бывает недостаточно. В данном па-
раграфе мы введем и изучим копериодические модули и копериодические
оболочки. Эти замечательные понятия с успехом применяются в ряде
исследований. Они возникли в работах Харрисона [160], Нунке [246]
и Фукса [125].
Для изложения материала необходимо использовать группу расши-
рений. Мы не будем определять эту группу и доказывать её свойства.
§21. Копериодические модули и копериодические оболочки
163
С различными аспектами теории расширений модулей можно познако-
миться по книгам Картана—Эйленберга [9] и Маклейна [27]. В случае
абелевых групп теория изложена в книге Фукса [40]. Это изложение
полностью подходит нам, так как оно с очевидными изменениями пере-
носится на модули над коммутативными областями главных идеалов. Мы
ограничимся перечислением основных используемых фактов.
Пусть М и N — Я-модули. Группу расширений Extfl(Af, TV) модуля
N при помощи модуля М пишем без индекса R. Некоторые общие свой-
ства группы Ext похожи на соответствующие свойства группы Нот. Так,
Ext(M, JV) является определенным модулем, если М и N — бимодули
(см. соответствующую ситуацию для Нот в §2). Наше кольцо R ком-
мутативное, поэтому Ext(M, 2V) есть R-модуль. Подобно Нот, для Ext
имеют место изоморфизмы, касающиеся прямых сумм и произведений
(также см. §2).
Напомним об индуцированных гомоморфизмах и точных последова-
тельностях для Ext (аналогичные понятия для Нот введены в §2). Пусть
L — R-модуль и ft L —> N — гомоморфизм. Имеем индуцированный го-
моморфизм R-модулей : Ext(M, L) —> Ext (Al, TV). Для гомоморфизма
gt L —> М получаем индуцированный гомоморфизм д*: Ext(M, TV) —>
—> Ext(L,7V). Если дана точная последовательность модулей
то можно строить короткие точные последовательности для Ext. Что ис-
ключительно полезно, точные последовательности для Нот и Ext можно
соединять в длинные точные последовательности. В итоге получаются
две точные последовательности
0	Нош(М, А) -»• Нот(М, В) -+ Нот(А1, С)
Ext(M, A) A Ext(M, В) Ext(M, С) -+ 0
И
0 Нот(С, М,) -»• Нот(В, М) -+ Нот(А, М)
Ext(C, М) С Ext(B, М) £ Ext(A, М) -+ 0.
Между Нот действуют индуцированные гомоморфизмы, определенные
в §2, а Е* и Е* — так называемые связывающие гомоморфизмы.
Необходимо отметить, что нам нет надобности знать точное действие
индуцированных и связывающих гомоморфизмов. В большинстве случаев
6*
164
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
используется лишь факт существования записанных точных последова-
тельностей.
Модуль расширений Ext(B, А) нулевой в точности тогда, когда любая
точная последовательность О—>А—»0 расщепляется (рас-
щепляющиеся последовательности определены в §1). Отсюда и из §§5
и 6 получается, что Ext(B, А) = 0 для любого модуля А (соответствен-
но, В), если и только если В —свободный модуль (соответственно, А —
делимый).
Напомним некоторые нужные факты о чисто инъективных и полных
модулях (их теории изложены в §§10, 11). Модуль Q чисто инъективен
в точности тогда, когда любая точная последовательность 0 —»• Q —> М —>
—> В —> 0, в которой 1т(г) — чистый подмодуль в М, расщепляется.
Чисто инъективный модуль Q равен C®D, где С — полный, D — делимый
модули. Полные модули —это чисто инъективные модули, не имеющие
элементов бесконечной высоты.
Будем часто использовать точную последовательность 0 —»• R —> К —>
—> К/R —> 0, где К — поле частных кольца R, а К/R — квазицикличе-
ский модуль Л(р°°) (см. §4). Отметим еще, что редуцированность модуля
М равносильна тому, что Нот(7<, М) — 0.
Определим центральное понятие параграфа. Модуль М называется ко-
периодическим, если Ext(G, М) = 0 для любого модуля без кручения G.
Начнем с нескольких простых результатов о копериодических модулях.
(1) Для копериодичности модуля М достаточно, чтобы Ext (К, М) = 0.
Действительно, пусть Ext(/C, Af) = 0 и G — произвольный модуль
без кручения. Существует точная последовательность 0 —> G —> D, где
D — делимый модуль без кручения. Он является прямой суммой неко-
торого числа экземпляров модуля К. Это дает точную последователь-
ность Ext(D,M) Ext(G,M) 0. Но Ext(P,M) = Ext(® ^Af) “
= п Ext(7<, М) = 0. Значит, Ext(G, М) = 0 и М — копериодический
модуль.
(2)	Эпиморфный образ копериодического модуля является копериоди-
ческим модулем.
Пусть М — копериодический модуль и М —> N — эпиморфизм. Имеем
точную последовательность 0 = Ext(/f, М) —> Ext (К, TV) —> 0. Поэтому
Ext(lf, TV) = 0 и N — копериодический модуль по (1).
(3)	Если А — подмодуль модуля М, причем А и М/А — копериодиче-
ские модули, то модуль М — копериодический.
Точная последовательность
0 А -» М -э М/А 0
§21. Копериодические модули и копериодические оболочки
165
дает точную последовательность
О = Ext(K, А) Ext(K, М) -+ Ext(K, М/А) = О,
откуда все получается.
(4)	Пусть М — редуцированный копериодический модуль. Подмодуль
А модуля М является копериодическим в точности тогда, когда М/А —
редуцированный модуль.
Точная последовательность из (3) влечет точную последовательность
О - Hom(A', М)	М/А) Ext(K, А) Ext(K, М) = 0.
Получаем
Ext(K, А)	Нот(А', М/А).
Равенство нулю модуля Нот(А', М/А) равносильно редуцированности
модуля М/А.
Из (2) и (4) получается
(5)	Если М — редуцированный копериодический модуль, то Кег(а)
и Im(a) — копериодические модули для любого эндоморфизма а моду-
ля М.
(6)	Если М — редуцированный копериодический модуль, то существу-
ет канонический изоморфизм М = Ext(K/R,M).
Точная последовательность 0 —> R —> К —»• K/R —► 0 индуцирует
точную последовательность
0 = Hom(/<, М) Ext(K/R, М) Ext (Я, М) = 0,
где гм — связывающий гомоморфизм. Отождествим Нот(Я, М) с М, как
в предложении 2.2 (а). Тогда гм дает нужный изоморфизм.
(7)	Редуцированный копериодический Я-модуль М является Я-мо-
дулем, где R — пополнение кольца R в р-адической топологии, введенное
в§3.
По (6) имеем М = Ext(K/R, М). Модуль К/R является Я-модулем
(§4). Поэтому, как написано в начале параграфа, Ext(K/R, М) так-
же есть .R-модуль. Можно рассуждать немного по-другому. Модульные
умножения на элементы из R являются эндоморфизмами для К/R, ко-
торые индуцируют эндоморфизмы для Ext(K/R, М), являющиеся умно-
жениями на элементы из R.
Установим точные связи копериодических модулей с чисто инъектив-
ными и полными модулями.
166
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
Предложение 21.1. Модуль является копериодическим в точности то-
гда, когда он — эпиморфный образ чисто инъективного модуля. Реду-
цированный модуль является копериодическим тогда и только когда,
когда он — эпиморфный образ полного модуля без кручения. Если ко-
периодический модуль не имеет элементов бесконечной высоты, то
он полон.
Доказательство. Пусть Q — чисто инъективный модуль. В любой
точной последовательности Q—>Q—>G—>K—fO образ модуля Q
чист в G. По теореме 10.3 последовательность расщепляется. Можно
сделать вывод, что Ext (К, Q) = 0 и Q — копериодический модуль. Из
(2) получаем, что эпиморфный образ чисто инъективного модуля есть
копериодический модуль.
Пусть М — копериодический модуль. Можно считать, что М — реду-
цированный модуль. Запишем точную последовательность 0 —»• М —>
D/M —> 0, где D — делимая оболочка модуля М. В таком случае
D/М — примарный модуль (предложения 6.6 и 4.2). Имеем точную по-
следовательность
Нош(К/Д, D/M) -+ Ext,(K/R, М) -э Ext(K/R, D) = 0.
В силу теоремы 13.1, Нот(Д/7?, D/М) — полный модуль без кручения.
Осталось заметить, что по (6) Ext(K/R, М) = М. Одновременно доказа-
ли и второе утверждение. Учитывая предложение 11.16, получаем также,
что если М — модуль без элементов бесконечной высоты, то М — полный
модуль.	□
Предложение 21.2. Для любого модуля М модуль Ext(K/R,M) яв-
ляется редуцированным копериодическим модулем и Ext(K/R,M) =
Ext(K/R, М/ЦМ)) ф Ext(K/R, t(M)).
Доказательство. Можно считать, что М редуцирован. Так же, как
в предыдущем предложении, можно получить, что Ext(K/R,M) есть
эпиморфный образ полного модуля без кручения Нот(/</Л, D/М}. По
этому же предложению Ext(K/R, М) — копериодический модуль. Убе-
димся, что он — редуцированный модуль. По лемме 10.1 (1) существует
точная последовательность 0 -+ А —> В -> К/R 0, где В (а, зна-
чит, и А) — прямые суммы примарных циклических модулей. Запишем
индуцированную точную последовательность
0 Нош(В, М)	Hom(A, М)	Ext(K/R, М) Ext(B, М).
§21. Копериодические модули и копериодические оболочки
167
Найдем строение модуля Ext(£?, М). Так как В —прямая сумма при-
марных циклических модулей, то Ext (В, М) изоморфен произведению
модулей вида Ext(/?(pn), М). Точна последовательность 0 —> R —► R
—> В(рп) —> 0, где рп — умножение на элемент рп. Видим, что точна
последовательность
Hom(B, М) £ Нот (В, М) Ext(B(pn), М) 0.
Так как Нот(7?, AT) = М, то получаем Ext(B(pn), М) = М/рпМ. Та-
ким образом, Ext(B, ЛТ) — произведение модулей вида М/рпМ. В част-
ности, Ext(B, М) — редуцированный модуль. Пусть X — образ гомомор-
физма Нош(А, ЛТ) —> Ext(7<7.R, М). Достаточно доказать, что X — реду-
цированный модуль. Имеем точную последовательность
0 -► Hom(B, М) -+ Нот(А, М) -> X 0.
Модуль Нот(В, ЛТ) изоморфен произведению модулей вида
Hom(B(pn), М) (см. §2). Далее имеем Нот(Я(рп),ЛТ) = М[рп] (это
получается из предложения 2.2 (а); М[рп] есть Rpn-модуль). Значит,
Hom(B, М) и Hom(A,М) — произведения модулей вида М[рп]. Следо-
вательно, это редуцированные полные модули (предложение 11.1). Рас-
смотрим индуцированную точную последовательность
0 = Hom(B,Hom(A,M)) Hom(tf,X) Ext(K,Hom(B,M)).
Так как Нот(В, М) — полный модуль, то группа Ext равна нулю (пред-
ложение 21.1). Итак, Hom(/C, X) = 0 и X — редуцированный модуль.
Следовательно, Ext(K/R, М) — редуцированный модуль.
Возьмем теперь точную последовательность 0 —> t(M) М —>
—>	> 0 и индуцированную последовательность
0 Ext(K'/H,t(M)) Ext(K/B,M) Ext(K/R,	-+ 0.
Обозначим модуль без кручения	буквой G. Вложим G в точную
последовательность 0—> G D —> D/G где В — делимая оболочка
модуля G. Это дает точную последовательность
0 = Нот(К/Я, £>) -> Нот(Л'/В, D/G)
Ext(K/R, G) Ext(K/R, D) = 0.
Следовательно, Ext(K/R, G) = Hom(K/R, D/G). Так как DfG — дели-
мый примарный модуль, то Нот(А'/Я, D/G} — полный модуль без кру-
чения (см. доказательство предложения 21.1). По доказанному
Ext(K/fl,t(M))
168
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
— копериодический модуль, значит, индуцированная последовательность
расщепляется, что и утверждалось.	□
Уточним строение модуля Ext(K/B, М). Редуцированный копериоди-
ческий модуль, не имеющий ненулевых прямых слагаемых, являющих-
ся модулями без кручения, называется урегулированным (см. следствие
11.11 (1)).
Предложение 21.3. Если G — модуль без кручения, то Ext(K/R,G) —
полный модуль без кручения. Если Т — редуцированный примарный
модуль, то Ext (К/R,T) — урегулированный копериодический модуль,
периодический подмодуль модуля Ext(K/R,T) изоморфен модулю Т,
а фактормодуль по нему — делимый модуль без кручения.
Доказательство. Случай модуля без кручения G фактически разо-
бран в предложении 21.2. По этому же предложению ExUK/R,T'} —
редуцированный копериодический модуль. Рассмотрим индуцированную
точную последовательность (см. (6))
О -> Hom(B,T) Ext(K/B,T) -»• Ext(K,T) -> Ext(B,T) = 0.
Если Т — ограниченный модуль, то Ext (К, Т) — 0 на основании теоре-
мы 7.2 и Ext(K/R,T) = Hom(B,T') = Т. Пусть Т — неограниченный
модуль. Так как К есть Л-К-бимодуль, то Ext(Jf,T) есть К-модуль,
т. е. делимый модуль без кручения. Более подробно. Умножения К на эле-
менты из К индуцируют эндоморфизмы модуля Ext(K,T), являющиеся
умножениями на элементы из К (см. также (7)). Нетрудно также дока-
зать, что если В —базисный подмодуль модуля Т, то Ext(K,T) есть пря-
мое слагаемое модуля Ext (ТС, В), a Ext(/f, В) изоморфен Hom(/<, В/В).
Таким образом, если Т — неограниченный, то Ext (К, Т) — делимый мо-
дуль без кручения. Так как Hom(B, Т) = Т, то получаем требуемое. По-
чему Ext (К/В, Г) — урегулированный? Получается, что всякое прямое
слагаемое без кручения модуля Ext(K/R, Т) является делимым модулем.
Но это невозможно, так как Ext(K/R,T) редуцирован.	□
Мы подошли к основному результату о копериодических модулях.
Теорема 21.4 (Харрисон [160]).	(1) Пусть М — редуцированный ко-
периодический модуль. Тогда существует прямое разложение
М = С ф А, где С — полный модуль без кручения, А — урегу-
лированный копериодический модуль, однозначно определяемый
модулем М.
§21. Копериодические модули и копериодические оболочки
169
(2) Два урегулированных копериодических модуля изоморфны в точ-
ности тогда, когда изоморфны их периодические подмодули.
Доказательство. (1) Положим
С = Ex^K/R,	и A = Ext(K/B,t(M)).
Тогда почти все получается из предложений 21.2 и 21.3. Единственность
подмодуля А вытекает из следующих наблюдений. Так как t(M) — t(A)
и A/t(M) — делимый модуль без кручения, то A/t(M) — это в точности
максимальный делимый подмодуль модуля
(2) Пусть М и N — урегулированные копериодические модули и
t(M) = t(N'). Так как	— делимый модуль, то по предложе-
нию 21.2 Ext(K/.R, М) = Ext(K/R, t(M\) и то же самое для модуля
N. Теперь соотношение
М * Ext(K/R,M) Ext(K/R,t(M)) =*
Ext(K/H, t(AT)) “ Ext(K/fl, Я) =* Я
вытекает из (6).	□
Утверждение (1) можно доказать без прямого обращения к группам
расширений. По предложению 21.1 существует полный модуль без круче-
ния G и его подмодуль Н, для которых М = G/H. Пусть Е — замыкание
чистого подмодуля Я*, порожденного подмодулем Я. Тогда G — С ф Е
для некоторого подмодуля С (теорема 11.10). Далее, G/Н = С ®Е/Н.
Имеем
t(E/H) = H*/H и (E/H)/t(E/H) Е/Щ,
где последний модуль является делимым без кручения. Положим А =
= Е/Н. Здесь А — урегулированный копериодический модуль. Итак,
М = С ф А, где С* и А такие, как в теореме. Легко проверить, что
С ЕхЦЯ/Я,	и А = Ext(K/7?,<(M)).
Утверждению (2) можно придать категорный характер. Именно, полу-
чается, что категория редуцированных примарных модулей эквивалентна
категории урегулированных копериодических модулей. Эквивалентность
осуществляется функторами Ext (К/ R, —) и t(—), где t(—) — функтор взя-
тия периодического подмодуля. Из теоремы 13.1 нам также известно, что
эквивалентны категории делимых примарных модулей и полных модулей
без кручения. Принимая во внимание теорему 21.4, можно говорить об
170
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
эквивалентности категорий примарных модулей и редуцированных копе-
риодических модулей. (Это объясняет название последних.)
Для редуцированного модуля М положим М* = Ext(K/R,M). Назо-
вем модуль М* непериодической оболочкой модуля М. Выявим основ-
ные свойства копериодических оболочек.
Еще раз возьмем точные последовательности
0 -> R -> К -> К/R -+ 0
и
0 -> Нот(Я, М) *4 Ext(K/R, М) Ext(K, М) -> 0,
где гм — связывающий гомоморфизм. Договариваемся отождествлять М
с Нош(Д, М) (см. (6)). Модуль Ext (К, ЛТ) является делимым без круче-
ния (см. доказательство предложения 21.3). Когда это нужно, модуль М
будем отождествлять с образом мономорфизма гм- Из (6) и предложе-
ния 21.2 сразу получаем следующие три свойства:
(а)	М* — редуцированный копериодический модуль,
t(M) = t(M*) и М* /М — делимый модуль без кручения.
(Ь)	м" = м*.
(с)	Равенство М = М* справедливо в точности тогда, когда М — копе-
риодический модуль.
Пусть f:M —► N — некоторый гомоморфизм редуцированных моду-
лей. Обозначим через /• гомоморфизм Ext(K/R, М) —> Ext(K/R,N),
индуцированный /.
(d)	Справедливо равенство iMf* = f^N, причем f* — единственный го-
моморфизм из М* в JV*, обладающий подобным свойством.
Равенство является известным свойством групп гомоморфизмов и рас-
ширений. Если g: М* —> N* — такой гомоморфизм, что 1мд = ftN, то
разность д - f* аннулирует М. Так как М*/М — делимый модуль, то
9 - /* - 0 и д = /*.
Копериодическая оболочка единственна в определенном смысле.
(е)	Если G — такой копериодический модуль, что М С G и G/M — де-
лимый модуль без кручения, то тождественное отображение модуля
М продолжается единственным образом до изоморфизма М* на G.
§21. Копериодические модули и копериодические оболочки
171
Ввиду (d), вложение j: М —> G единственным образом продолжается
до гомоморфизма j*: М* —> G* = G. Наличие точной последовательности
О = Нот(К / R, G / М) М* -+ G* Ext(K/R,G/M) - 0 влечет, что
j* — изоморфизм.
(f)	Пусть М С N, где N — редуцированный модуль и N/М — делимый
модуль без кручения. Тогда тождественное отображение модуля М
продолжается единственным образом до изоморфизма М* = N*.
Получается из (е), если взять G — N*.
В следующем параграфе нам понадобится один результат о первом уль-
мовском подмодуле копериодической оболочки (они определены в §11).
Ульмовские подмодули и ульмовские факторы копериодических моду-
лей подробно изучаются в статье Харрисона [161] и книге Фукса ([40,
§56]). Следующее предложение, в частности, раскрывает интересные
связи между копериодической оболочкой и пополнением.
Предложение 21.5. Пусть М — модуль без элементов бесконечной вы-
соты. Тогда (М*)1 есть полный модуль без кручения и существует
изоморфизм (Л/*)1 = Нот(А'/7?, М/М). Кроме того, М*/(М*)1 = М.
Доказательство. Имеем
Ext(K/.R, М) = М* и ЕхЦЯ/Я, М) М\
Так как М — копериодический модуль, то М* = М. Точная последова-
тельность 0 —> М —> М —> М/М —> 0 индуцирует точную последователь-
ность
0 -»• Нот(А'/Д, М/М) М* ^М 0,	(4.1)
где j — связывающий гомоморфизм. Покажем, что Im(J) = (М*)1. Так
как модуль М не имеет элементов бесконечной высоты, то (М*)1 С
С Im(j). Обратное включение получается труднее. Для каждого нату-
рального числа п имеем еще одну индуцированную точную последова-
тельность
Нот(Я(рп), М) Hom(R(pn),M/M) 4 Ext(7?(pn), М),
где i — связывающий гомоморфизм. Циклический модуль является чисто
проективным (теорема 10.2), поэтому первое отображение есть сюръек-
ция и г = 0. Существует точная последовательность R(pn) —> K/R —>
—> К/R, где второе отображение есть умножение на рп. Получаем ин-
дуцированный гомоморфизм /: Hom(A'/7?,M/M) Hom(R(pn), М/М)
172
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
и индуцированную точную последовательность Ext(K/R, М) —* М*
Ext(7?(pn),M) где первое отображение есть умножение на рп. Следова-
тельно, Кег((?) = рпМ*. Кроме того, jg = fi = 0. Поэтому Im(J) С рпМ*
для любого п и Im(j) С (М*)1. Таким образом, Im(j) = (М*)1. Полу-
чили (Л/*)1 = Hom(K/R, М/М). Так как М/М — делимый модуль, то
Нош(А’/Я, М/М} — полный модуль без кручения. Принимая во внима-
ние точность (4.1), находим М = М*/(М*}х.	□
Упражнение!. (а) Показать, что если М — чисто инъективный (соответ-
ственно копериодический) модуль, то Hom(A, М) является чисто инъек-
тивным (соответственно копериодическим) модулем при любом модуле А.
(Ь) Если Т — примарный модуль, то Нош(Т, А) — полный модуль для любого
модуля А.
Упражнение 2. Проверить, что первый ульмовский подмодуль копериоди-
ческого модуля является копериодическим модулем.
Упражнение 3. Примарный модуль является копериодическим в точности
тогда, когда он — прямая сумма делимого и ограниченного модулей.
Упражнение 4. Для любых модулей М и N модуль Ext (Л/, N} является
копериодическим.
Упражнение 5. Пусть М и N — урегулированные копериодические моду-
ли. Всякий гомоморфизм из t(M) в t(ZV) может быть единственным образом
продолжен до гомоморфизма М в N. Это приводит к каноническому изомор-
физму Нот (Л/, У) = Нот(£(Л/), t(W)).
Упражнение 6. Редуцированный копериодический модуль является уре-
гулированным в точности тогда, когда его базисные подмодули примарные.
§ 22. Вложение категории модулей без кручения в категорию
смешанных модулей
Кольцо эндоморфизмов смешанного модуля трудно охарактеризовать <в
целом>. Не случайно имеющиеся теоремы реализации для колец эндо-
морфизмов смешанных модулей являются теоремами расщепляющейся
реализации. Они очень похожи на некоторые утверждения из §19 (на-
пример, на теоремы 19.5-19.7). Для данной Я-алгебры А без кручения
строится смешанный модуль М с наперед заданным периодическим под-
модулем t(M} так, что M/t(M} — делимый модуль и End(M) есть рас-
щепляющееся расширение кольца А с помощью идеала Hom(Af, t(M}}.
Таким образом, End(M) = АфНот(М, t(M}} (групповая прямая сумма).
Подобные реализации имеются в работе Дугаса [96].
Другой перспективный подход к рассматриваемой проблеме заключа-
ется в нахождении и использовании некоторых функторов из категории
§22. Вложение категории модулей без кручения в категорию смешанных модулей 173
модулей без кручения в категорию смешанных модулей. Такие функторы
найдены в работах Гёбеля и Мэя [137], Францена и Голдсмита [122]. Они
позволяют переносить различные результаты из категории модулей без
кручения в категорию смешанных модулей. Так, можно автоматически
получать расщепляющиеся реализации для колец эндоморфизмов сме-
шанных модулей. Наличие этих функторов иллюстрирует тесную связь
со случаем <без кручения>.
По-прежнему R — коммутативная область дискретного нормирования
(не обязательно полная).
Буквы X и Y обозначают некоторые редуцированные 7?-модули без
кручения.
Для любого модуля X положим Xq = Q)X/pxX. Каждый гомомор-
физм	X —> Y индуцирует гомоморфизм у?о= Хо —► Уо, действующий на
слагаемом Х/ргХ по правилу pq(u + ргХ) = у>(а) + ргУ, а е X. Модуль
п Х/ргХ является полным как произведение ограниченных модулей, яв-
г>1
ляющихся полными. Так как модуль Xq не имеет элементов бесконечной
высоты, то существует пополнение Xq. Подмодуль Xq чист в произведе-
нии П Х/ргХ, поэтому можно считать, что пополнение Xq лежит в этом
г^1
произведении.
Для каждого элемента а 6 X и натурального числа к определим по-
следовательность = (0,..., 0, а + ркХ,ра + рк+1Х,...) с нулями на
первых к — 1 местах. Ясно, что vk е Xq и pvk+1 — vk Е Xq. Следователь-
но, элементы vk + Xo, к 1, порождают в X/Xq подмодуль, изоморфный
квазициклическому модулю К/R (см.§4). Таким образом, для^данного
элемента а существует единственный гомоморфизм /а: K/R —> Xq/Xq со
свойством fa(l/Pk + -R) = vk + Xq для всех к 1. Теперь мы можем опре-
делить отображение f: X —> Hom(K/R, Xq/Xq) по правилу f(a) = fa,
а Е X. Оно является гомоморфизмом.
С помощью предложения 21.5 отождествим Нош(А'/Я, Xq/Xq) с (Xq)1,
где (X*)1 — первый ульмовский подмодуль копериодической оболочки
Xq модуля Xq. Используя это отождествление, получаем гомоморфизм
f: X —> (Xq)1. Будем писать fx вместо /, если не ясно, с каким моду-
лем f ассоциируется.
Лемма 22.1. Отображение f является мономорфизмом и его образ
есть чистый подмодуль в (Х^)1.
Доказательство. Пусть а — ненулевой элемент модуля X. Тогда
а<£ркХ для какого-то к. Следовательно, vk Хо и fa(l/pk + R) / 0.
174
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
Получили, что f — мономорфизм. Допустим, ЧТО fa = рпд для некоторо-
го натурального числа п и гомоморфизма д G Hom(K’//?, Xq/X). Тогда
fa(\/pn + R) — 0 (см. пример 12.5). Из первой части доказательства нахо-
дим а G рпХ и а = рпс, где с G X. Поэтому fa = pnfc, что дает нужную
чистоту.	□
Положим G(X) = {а G Xq | рпа е f(X) для некоторого натурального
числа п}. Здесь G(X) — чистый подмодуль в X*, содержащий Хо-
Пусть дан произвольный гомоморфизм р: X —> Y. Исходя из у?, опре-
делим несколько согласованных между собой гомоморфизмов. Во-первых,
гомоморфизм у?о: Xq —> Уо индуцирует гомоморфизм р*: X* —> Yq ко-
периодических оболочек (см. предыдущий параграф). Имеем также ин-
дуцированный гомоморфизм пополнений pq: Xq —> Yq. Что важно, pq
действует на любой последовательности из Xq покоординатно. Действи-
тельно, ро совпадает на Xq с гомоморфизмом
[]_X/plX ^[jY/p'Y.
i^l
где
р: (ai + рХ, ач + рХ,...)—>• (ухц + рХ, ра2 + рХ,...)
для любых а; еХ, 1. Отсюда понятно, что ро удовлетворяет равен-
ству ^о(^а) = v£(a) для всех aii к. Еще заметим, что pq индуцирует гомо-
морфизм (pot Xq/Xq —> Y/Yq. Теперь из доказательства предложения 21.5
видно, что гомоморфизм Нот(К/Я, Хо/Хо) —> Нот(А'/7?, Y /Yq), инду-
цированный pq, совпадает с Pq. Используя все сказанное, можно вывести
равенство pfy = fxP*- Отсюда получается, что если мы возьмем ограни-
чение гомоморфизма р^ на G(X), то получим гомоморфизм Pq: G(X) —>
- G(Y).
Определим ковариантный функтор G из категории редуцированных
модулей без кручения в категорию смешанных модулей. Полагаем
G: X —> G(X) и G: р —> Pq для каждого модуля X и гомоморфизма
р: X —►У. Нетрудно проверить, что G — аддитивный функтор (катего-
рии и функторы определены в §1).
Приведем основные свойства функтора G.
Теорема 22.2 (Гёбель—Мэй [137]). Для любого редуцированного мо-
дуля без кручения X G(X) есть редуцированный смешанный модуль.
Его периодический подмодуль равен Xq, а фактормодуль G(X)/Xq изо-
морфен делимой оболочке модуля X. Для любых двух редуцированных
модулей без кручения X и Y справедливы следующие утверждения-.
§22. Вложение категории модулей без кручения в категорию смешанных модулей 175
(1)	если отождествить X с f(X), то G(X)1 = X;
(2)	естественное отображение Нот(Х, У) в Hom(G(X), G(y)) явля-
ется мономорфизмом; при отождествлении имеем разложение
Hom(G(X), G(Y)) - Нот(Х, У) ® Hom(G(X), Уо);
(3)	включение X С X влечет равенства Xq — Xqu Нот(С(Х),Уо) =
= Нот(С(Х),У0).
Доказательство. По построению G(X) есть чистый подмодуль в Xq,
содержащий Xq. Но периодический подмодуль модуля Xq равен Xq (пред-
ложение 21.3). Поэтому t(G(X)) = Xq. Так как G(X) С Xq, то G(X) —
редуцированный модуль. Поскольку /(X) С (Xq)1, то в /(X) имеются
элементы бесконечного порядка. Следовательно, G(X) — смешанный мо-
дуль. Заметим еще, что Xq Р (Xq)1 = 0, в силу того что (Xq)1 — модуль
без кручения по предложению 21.5. Пусть D — делимая оболочка модуля
X. Так как Хо Р /(X) = 0, то существует гомоморфизм a: G(X) —>
—» D, аннулирующий Xq и совпадающий с обратным к f на /(X). У
нас G(X)/(Xo +/(X)) — примарный модуль, поэтому Кег(а) = Хо. По-
лучаем, что Im(a)—делимый модуль. По свойствам делимых оболочек
Im(a) = D. Итак, G(X)/X0 D.
(1)	Считаем, что X = /(X). Тогда X С G(X) Р (Х^)1 = G(X)1. Пусть
у е G(X)1. Тогда рпу G X для некоторого п. Следовательно, рпу — рпх,
х е X, в силу леммы 22.1. Таким образом, у — х € G(X)1 Р Хо = О
и у G X.
(2)	При естественном отображении из Нош(Х, У) в Hom(G(X), С(У))
гомоморфизму <р сопоставляется гомоморфизм По построению <Pq /
7^ 0 при у? 0. В соответствии с (1) каждый гомоморфизм ф: G(X) —>
—> С(У) индуцирует гомоморфизм X —► У. Из ф = £+(^-£) получаем
Hom(G(X), (?(У)) = Нот(Х, У)®Л, где Л состоит из всех отображений,
аннулирующих X. Пусть р 6 Hom(G(X), То)- Из X = G(X)1 выводим
рХ С Уо р У = 0. Значит, р е Л. Пусть А е Л. Так как G(X)/X — при-
марный модуль, то A(G(X)) — также примарный модуль. Следовательно,
А е Hom(G(X), Уо)- В итоге получаем Л — Hom(G(X), Уо).
(3)	Базисный подмодуль В модуля X будет базисным подмодулем по-
полнения X. На основании свойства (2) из §9 имеем Х/ргХ = В)ргВ =
= Х/ргХ для каждого i 1. Поэтому Хо = Хо и G(X) С G(X). Возьмем
отображение h: Нот(С£Х),Уо) —> Hom(G(X),Уо), ставящее в соответ-
ствие гомоморфизму G(X) в Уо его ограничение на G(X). Проверим, что
h — изоморфизм. Так как G(X)/G(X) — делимый модуль, то А —моно-
морфизм. Пусть р е Hom(G(X), Уо). Тогда р(Х) = 0 (см. (2)). Ограни-
чение р на Хо продолжается до гомоморфизма р*: Xq —»• Уо*. При этом
176
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
ограничение р* на G(X) совпадает с р. Следовательно, р*Х = 0. Пусть
^ — ограничение р* на G(X). Тогда и е Hom(G(X), Yq) hA(z/) = р. Мож-
но определить v по-иному. Имеем G(X} П X = X и G(X) С G(X) + X.
Пусть у е G(X) и у = х + с, где х е G(X), с е X. Полагаем z/(y) — р(х).
Тогда 7i(i/) — р. Итак, h — изоморфизм и две рассматриваемые группы
гомоморфизмов можно отождествить с помощью h.	□
Уточним теорему и получим следствия для колец эндоморфизмов.
Следствие 22.3. Существует аддитивный функтор G из категории
редуцированных модулей без кручения в категорию редуцированных
смешанных модулей такой, что
(1) если X — редуцированный модуль без кручения, то G(A’)/t(G(A’))
— делимый модуль без кручения и
End(G(X)) = End(X) ® Hom(G(X), i(G(X))),
т. е. кольцо End(G(X)) есть расщепляющееся расширение кольца
End(A’);
(2) если редуцированные модули без кручения Xi, iei, есть чи-
стые плотные подмодули некоторого общего полного модуля и
End(A’j) = End(Xj) для всех i,j € I, то
End(GpG)) = End(G(Xj))
для всех i,jel.
Доказательство. Требует некоторых пояснений лишь (2). Получает-
ся, что модули Xi имеют общее пополнение. Из теоремы 22.2 (3) находим
Нот(С(ХДг((7(Х»))) = Hom(G(Xj),t(G(Xy))) для любых i,jel.
Еще заметим, что все модули Xi лежат в одной копериодической оболоч-
ке. Все рассматриваемые здесь эндоморфизмы и гомоморфизмы являются
эндоморфизмами этой оболочки. Теперь понятно, в каком смысле мы по-
нимаем равенство и включение для End и Нот.	□
Располагая функтором G, можно различные свойства модулей без кру-
чения X, формулируемые в терминах их колец эндоморфизмов, перено-
сить на смешанные модули G(X) (см., например, следствие 22.5). Так,
теоремы реализации для модулей без кручения приносят теоремы рас-
щепляющейся реализации для смешанных модулей.
§22. Вложение категории модулей без кручения в категорию смешанных модулей 177
Смешанный модуль М называется по существу неразложимым, ес-
ли в любом его прямом разложении М = А ф В одно из слагаемых А
или В является примарным модулем (ср. с определением по существу
неразложимого модуля без кручения перед следствием 20.1).
Следствие 22.4. Существует редуцированный по существу неразло-
жимый смешанный модуль М такой, что
t(M) = ф Я(р*), M/t(M) к.
i^l
Доказательство. Возьмем в качестве модуля X из следствия 22.3
модуль R и положим М = G(R). Так как End(7?) = R, то получаем
End(M) = R ® Hom(M, Дальнейшие рассуждения подобны дока-
зательству следствия 20.1.	□
Иногда удобнее вместо обычной категории модулей использовать так
называемую категорию Уокера, обозначаемую Walk. Объектами катего-
рии Walk служат модули, а множество морфизмов из модуля М в модуль
N есть Нош^(Л/, N) = Hom(M, N)/Hom(M,t(N')). Детальнее эта кате-
гория рассматривается в § 29. В частности, там получается, что Walk —
аддитивная категория. Пусть Endjy(Af) = End(Af)/Hom(M, t(M\) —
кольцо эндоморфизмов модуля М в этой категории.
Для произвольных редуцированных модулей X и Y без кручения по-
ложим
G(X) = G(X) и G(y?) = G(y?) + Hom((?(X),t(G(y)))
для гомоморфизма <р: X —> Y. Получили функтор G из категории ре-
дуцированных модулей без кручения в категорию Уокера редуцирован-
ных смешанных модулей. Теорема 22.2 утверждает, что G осуществляет
вложение, т. е. категория редуцированных модулей без кручения эквива-
лентна некоторой полной подкатегории категории Уокера редуцирован-
ных смешанных модулей. В частности, Endjy(G(A’)) = End(X).
Францен и Голдсмит сконструировали другой функтор Н из категории
модулей без кручения в категорию смешанных модулей. Функторы G и Н
естественно эквивалентны. Это следует из того, что каждый из них эк-
вивалентен некоторому функтору тензорного произведения (подробности
в [137, 122] и упражнении 1).
Для смешанных модулей существуют аналоги понятий жесткой и
A-жесткой систем модулей, рассматривавшихся в §20. Множество сме-
шанных модулей {Mi}i£i обычно называют жесткой системой, если
Hom(Mj, Mj) = Hom(Mi,t(Afj)) для любых различных индексов i,j Е I.
178
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
Или, что то же, Homjy(Mj, Mj) — 0 в категории Walk. Полезно расши-
рить это понятие подобно тому, как это было сделано в §20.
Пусть А — некоторая Д-алгебра без кручения. Множество смешанных
модулей	называется A-жесткой системой, если End(Mj) =
= А ф Hom(Afi,i(Mj)) (расщепляющееся расширение) и Нош(Мг, Mj) =
= Hom(Mi,t(Mj)) для любых различных i,j G I. Если дополнительно
существует кольцо Н (без единицы), являющееся А-А-бимодулем, такое,
что End(Mj) = АфН и Hom(Mi, Mj) = Н для любых различных i,j 6 I,
то такую систему назовем А-Н-жесткой.
Применяя функтор G к жестким системам модулей без кручения, мож-
но получать жесткие системы смешанных модулей с заданными свойства-
ми. Возьмем, например, одну из жестких систем модулей без кручения,
рассмотренных в теореме 19.10. Именно, пусть Д-алгебра А, числа s и d
такие, как в этой теореме, и	— соответствующая A-жесткая си-
стема модулей без кручения. Имеем систему {С(Хг)}ге/ редуцированных
смешанных модулей, каждый из которых удовлетворяет утверждениям
(1)—(3) теоремы 22.2.
Напомним, что если Y — некоторый модуль, то Yq обозначает сумму
ф YjplY. Еще заметим, что ф А = ф А. Положим
г^1	s	s
Н = Нот(С7(ф А),фАо).
S	S
По теореме 22.2 периодический подмодуль модуля <7(фА) равен фАо.
S	S
Следовательно, Н есть кольцо и А-А-бимодуль.
Следствие 22.5. {G(Xi)}ier есть А-Н-жесткая система редуцирован-
ных смешанных модулей. Кроме того, t(G(Xi)) = фАо, а фактормо-
S
дуль G(Xi)/t(G(Xi)) изоморфен делимой оболочке модуля ф А.
d
Доказательство. Из теоремы 22.2 нам известно, что
Нот(ад), (Xj)Q) - Hom(G(Xi), (Xj)Q).
Так как В С Xj С В и Xj — чистый подмодуль в В, то (Xj)o = Bq =
— ФА)- Далее имеем
S
ед) = <з(в) = с(фА).
S
§22. Вложение категории модулей без кручения в категорию смешанных модулей 179
Итак, Hom(G(Xj), (Xj)o) = Н для всех индексов i,j е I. Теперь то,
что {G(JVi)}j6/ есть А-Я-жесткая система, следует из теоремы 22.2.
По этой же теореме имеем
<(ад)) = (Х;)о = фАо,
S
a G(JVj)/i(G(A’i)) изоморфен делимой оболочке модуля Xi. Последняя
изоморфна делимой оболочке модуля фА.	□
d
Получаем, в частности, что любые два модуля G(Xi) и G(Xj) неизо-
морфны при i j, но их кольца эндоморфизмов изоморфны.
Возьмем в качестве кольца R кольцо Zp всех рациональных чисел со
знаменателями, взаимно простыми с данным простым числом р. Zp-mo-
дули называются р-локальными (абелевыми) группами (см. §4). Поло-
жим также s = 1 и d = 2. Можно записать такой результат.
Следствие 22.6. Существует континуальное множество неизоморф-
ных редуцированных смешанных р-локальных групп Gi с изоморфными
кольцами эндоморфизмов таких, что
t{Gi) ~ ф£(?), Gi/UGi) = Q Ф Q
г^1
для всех i, где 2(рг) — циклическая группа порядка p\ Q — поле раци-
ональных чисел.
Упражнение 1 (Гёбель—Мэй [137]). Существует другой способ констру-
ирования функтора G из теоремы 22.2. Возьмем смешанный модуль А =
= G(R). Показать, что функторы G и А 0 (—) естественно эквивалентны.
Здесь (А® (-))Х = A ®RX цля редуцированного модуля без кручения X
и (А® (—))<£ = 1 ® р: A ®R X —> A®rY для гомоморфизма р: X —> Y
редуцированных модулей без кручения X и Y.
Упражнение 2. Пусть t — положительное целое число. Существует сме-
шанный модуль М такой, что для положительных целых чисел тип Мт =
= Мп <=> т = п (mod t) (ср. с упражнением 1 из §20).
Замечания
Всякое кольцо является кольцом эндоморфизмов некоторого модуля (на-
пример, себя). Однако вопрос о представлении колец кольцами эндомор-
физмов становится очень трудным, если зафиксировать кольцо, модули
над которым рассматриваются, или наложить условия на модули. По из-
вестной теореме Веддербёрна—Артина кольцо S изоморфно кольцу ли-
нейных операторов конечномерного векторного пространства над телом
180
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
в точности тогда, когда S — простое артиново кольцо. Вольфсон [314]
получил описание колец линейных операторов векторных пространств
любой размерности. Работы Пирса [250] и Либерта [211] содержат ха-
рактеризации колец эндоморфизмов абелевых р-групп без элементов бес-
конечной высоты. Что примечательно, теорема 18.4 напоминает эти ха-
рактеризации. Это подчеркивает схожесть примарных модулей и модулей
без кручения над полной областью. В [218] Либерт охарактеризовал коль-
ца эндоморфизмов просто представленных р-групп. Францен и Шульц
[123] и Либерт [217] рассматривали проблему характеризации для ко-
лец эндоморфизмов некоторых свободных и локально свободных моду-
лей. По-видимому, не было серьезных попыток найти описание колец
эндоморфизмов каких-то смешанных модулей.
Нетрудно указать, когда был дан отсчет теоремам реализации. В 1963
году Корнер [86] доказал, что всякое счетное редуцированное кольцо
без кручения изоморфно кольцу эндоморфизмов некоторой счетной реду-
цированной абелевой группы без кручения. В другой своей статье [88]
Корнер впервые доказал теорему расщепляющейся реализации для колец
эндоморфизмов абелевых р-групп. Прежде чем её сформулировать, опре-
делим идеал малых эндоморфизмов, играющий для примарных модулей
ту же роль, что и идеал Ines(M) для модулей без кручения. Гомоморфизм
<р между абелевыми р-группами G и G' называется малым, если для лю-
бого положительного целого числа е существует положительное целое
число п такое, что <p((pnG)[pe]) — 0 (Пирс [249]). Все малые гомоморфиз-
мы из G в G' образуют группу Small(G, G'). Все малые эндоморфизмы
группы G составляют идеал Small (р) кольца End(G), а факторкольцо
End(G!)/Small(G!) является полной Zp-алгеброй (Пирс [249]). Корнер до-
казал следующее. Пусть А — полная Zp-алгебра без кручения р-ранга
<Ао. Тогда существует абелева р-группа G без элементов бесконечной
высоты такая, что End(G) есть расщепляющееся расширение кольца А
с помощью идеала Smal^G), End(G) = А ф Small(G).
Спустя примерно 20 лет, Дугас и Гёбель [98, 99] сняли предположе-
ние о счетности в теореме Корнера [86] о кольцах без кручения, записан-
ной выше (см. теорему 19.8). Что характерно, они рассматривали модули
и кольца без кокручения. Что касается цитированной теоремы Корнера
[88] о кольцах эндоморфизмов р-групп, то Дугас и Гёбель в другой статье
[100] получили обобщение этой теоремы также без ограничений на мощ-
ности. В [100] и других работах построены «большие» жесткие системы
по существу неразложимых р-групп. Абелева р-группа называется по су-
ществу неразложимой, если во всяком её нетривиальном разложении
в прямую сумму двух слагаемых хотя бы одно слагаемое ограниченное
§22. Вложение категории модулей без кручения в категорию смешанных модулей 181
(ср. с определениями по существу неразложимого модуля без кручения
и смешанного модуля в §§20 и 22). Для любой группы G из такой си-
стемы справедливо End(G) = А ф Small(G), где А —наперед заданная
полная Zp-алгебра. Любой гомоморфизм между двумя различными чле-
нами системы малый (ср. с теоремой 20.2 и следствием 22.5). Из § 19
мы знаем, что для модулей без кручения есть как теоремы расщепляю-
щейся, так и «полной» реализации. Ситуация со смешанными модулями
освещена в §22.
В 80-е годы XX века изучение теорем реализации составляло основ-
ную часть теории колец эндоморфизмов. Было выполнено большое число
исследований для модулей над некоторыми коммутативными кольцами,
в частности, для абелевых групп и модулей над областями дискретного
нормирования. В итоге доказаны мощные замечательные теоремы. В об-
зорной статье Гёбеля [130] и работе Корнера и Гёбеля [91] изложены
история вопроса, методы, применения, и приведена библиография. Во
второй работе разработан единый подход к теоремам реализации, объеди-
няющий как «примарный», так и «без кручения» и «смешанный» случаи.
Решающую роль в этом подходе играет использование несущественных
гомоморфизмов. Авторы развили теорию «несущественности». Несуще-
ственные гомоморфизмы примарных модулей — это малые, а для смешан-
ных модулей несущественные гомоморфизмы — это такие ip: М N, что
рМ С t(N) или же tpM — ограниченный модуль.
В ряде работ (например, [87, 102, 91]) в действительности ищутся
топологические реализации для колец эндоморфизмов. Именно, некото-
рое топологическое кольцо (или алгебра) оказывается топологически изо-
морфным кольцу эндоморфизмов (как топологическому кольцу в конеч-
ной топологии) определенного модуля или топологически вкладывается
в такое кольцо эндоморфизмов.
В других работах кольца реализуются кольцами эндоморфизмов < по-
чти свободных> в некотором смысле модулей. Это требует привлечения
дополнительных аксиом теории множеств. Такие реализации находятся
в работах [134, 136] и других (см.также книги Эклофа [104], Эклофа
и Меклера [105]).
Есть большое число статей, в которых исследуется представление
колец кольцами эндоморфизмов модулей с различимыми подмодулями.
С этим направлением можно познакомиться по обзорной статье Гёбе-
ля [131].
Теоремы реализации имеют важные применения ко многим теоретико-
модульным вопросам. Среди них тестовые проблемы Капланского и их
обобщения (см.упражнение 1 в §20 и упражнение 2 в §22), патоло-
гии прямых разложений, существование больших (по существу) нераз-
182
Глава 4. Представление колец кольцами эндоморфизмов
ложимых модулей, и существование «очень» разложимых модулей. Рабо-
та Корнера и Гёбеля [91, секция 9] содержит подробности на этот счет
и путеводитель по литературе.
Проблема 7. Найти более простые по сравнению с теоремой 18.4 ха-
рактеризации колец эндоморфизмов модулей без кручения над полной
областью дискретного нормирования.
Проблема 8. Получить теоремы характеризации для колец эндоморфиз-
мов каких-то смешанных модулей (модулей Уорфилда, модулей М таких,
что t(M) не имеет элементов бесконечной высоты и	— делимый
модуль).
Проблема 9.	(а) Выделить достаточно широкие классы модулей без
кручения М таких, что кольцо End(M) есть расщепляющееся рас-
ширение некоторой .R-алгебры без кручения с помощью идеала
Ines(M) или Fin(M).
(b) Сделать то же самое со смешанными модулями М такими, что
End(Af) есть расщепляющееся расширение некоторой Я-алгебры
без кручения с помощью идеала Hom(Af, i(Af)) или f(End(M)).
Модуль М над кольцом S называется модулем с однозначным сло-
жением или UA-модулем, если на М нельзя задать другого сложения
так, чтобы М был модулем над S относительно прежнего умножения
на элементы из S (см. [237]). tM-модули М над областью дискретного
нормирования R описать не очень сложно. Представляет интерес рас-
смотреть модули, получаемые из М.
Проблема 10. (а) Охарактеризовать 7?-модули М, для которых суще-
ствует лишь конечное число операций сложения на М таких, что
М есть /?-модуль относительно данного модульного умножения.
(Ь)	Какие 7?-модули являются t/A-модулями над своими кольцами эн-
доморфизмов или центрами колец эндоморфизмов?
(с)	Для каких модулей М ./^-пространство КМ является £М-модулем
над кольцом квазиэндоморфизмов 7<End(Af) (эти ДГ-пространства
вводятся в главе 5)?
(d)	Что можно сказать о смешанных модулях М таких, что
есть [М-модуль над кольцом эндоморфизмов Endjy(M) модуля М
в категории Walk?
ГЛАВА 5
МОДУЛИ БЕЗ КРУЧЕНИЯ
В главе 5 рассматриваются перечисленные ниже темы:
элементарные свойства модулей без кручения (§23);
категория квазигомоморфизмов (§24);
чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули (§25);
неразложимые модули над областями нормирования Нагаты (§26).
Глава связана с модулями без кручения, составляющими один из трех
основных классов модулей. Два других — это примарные модули и сме-
шанные модули (см. §4). Об особенностях исследований примарных мо-
дулей есть упоминание во введении, смешанные модули изучаются в сле-
дующей главе. Рассматриваются, в основном, модули конечного ранга.
Интерес представляет только случай неполной области дискретного нор-
мирования R, поскольку над полной областью всякий модуль без круче-
ния конечного ранга свободен (следствие 11.7).
Между примерными модулями и модулями без кручения имеются се-
рьезные различия. Примарные модули, как правило, обладают достаточно
большим в определенном смысле числом эндоморфизмов (см. следствия
7.5, 7.6 и предложение 37.5). Для модулей без кручения, напротив, неред-
ко явление, когда они очень бедны эндоморфизмами, а кольцо эндомор-
физмов, вообще говоря, слабо влияет на исходный модуль (например,
в смысле проблематики главы 7). Неразложимый примарный модуль дол-
жен быть модулем ранга 1 (следствие 11.8), в то время как неразложимые
модули без кручения могут иметь сколь угодно большие конечные ранги
(см.пример 11.9 и замечания в конце §26). С точки зрения прямых раз-
ложений существование больших неразложимых модулей без кручения
является главным отличием модулей без кручения от примарных модулей.
Однако при прямых разложениях как примарных модулей, так и модулей
без кручения (даже в случае модулей конечного ранга) появляются раз-
нообразные неожиданности (см. замечания к главам 4 и 5, можно также
обратиться к §§75, 90 и 91 книги Фукса [41]).
184
Глава 5. Модули без кручения
После изложения в § 23 ряда стандартных сведений о модулях без кру-
чения в §24 вводится в употребление категория модулей без кручения,
морфизмы которой — так называемые квазигомоморфизмы. Эта категория
отличается от обычной категории модулей, с которой мы работали в §§ 13
и 22, другим выбором морфизмов. В следующей главе мы встретимся
еще с двумя подобными категориями. В §25 исследуются модули с са-
мым «маленьким» и самым «большим» в определенном смысле р-рангом.
В §26 рассматриваются неразложимые модули без кручения конечного
ранга. Одновременно получаются и примеры неразложимых модулей.
В этой главе и далее до конца книги считаем, что область дискрет-
ного нормирования R является коммутативной. О преимуществах такого
предположения было сказано в начале § 19. Обозначения R, К и К со-
храняют старый смысл. Именно, 7? —это р-адическое пополнение кольца
R, К и К — поля частных колец R и R соответственно. Эти буквы ис-
пользуются без дополнительных пояснений.
§ 23. Элементарные свойства модулей без кручения
Систематизируем некоторые факты о модулях без кручения, встречавши-
еся ранее (§§4, 9), и приведем ряд новых фактов.
Группу гомоморфизмов и тензорное произведение для R-модулей М
и N по-прежнему обозначаем Нот(Л7, 7V) и М ® N соответственно.
Обе эти группы каноническим способом рассматриваем как 7?-модули
(см. §§ 2 и 13). В частности, кольцо End(Af) является 7?-алгеброй, что
уже использовалось в главе 4. Довольно полезны будут К-пространство
К ® М и Др-пространство Rp® М (Rp — поле вычетов кольца R). Мож-
но отождествить ТС-пространства К ® М и КМ, где КМ определено
в § 4 как множество дробей определенного вида. Если М — модуль без
кручения, то будем также отождествлять М с образом вложения М
—> КМ, х -» 1 • х, х € М (лемма 4.3). Тогда КМ является минималь-
ным Tf-пространством, содержащим М, и делимой оболочкой модуля М
(предложение 6.8). Таким образом, произвольный модуль М есть мо-
дуль без кручения конечного ранга в точности тогда, когда М изоморфен
подмодулю некоторого конечномерного векторного пространства над К.
Согласно предложению 4.6, модули без кручения ранга 1 исчерпываются
модулями 7? и К. Любой собственный подмодуль модуля К изоморфен R.
Если М и N — модули без кручения, то, очевидно, что Нот (Л/, N) —
также модуль без кручения. Значит, можно взять его делимую оболочку
7CHom(M, N). Делимый модуль KN инъективен (теорема 6.5), поэто-
му любой гомоморфизм из М в N продолжается, причем единственным
§23. Элементарные свойства модулей без кручения
185
образом, до F-гомоморфизма, т. е. оператора, из КМ в KN. Понятно,
в каком смысле мы будем считать, что Нот(Л/, N) С Нотк(КМ, KN).
При этом
Нот(Л/, N) = {fe Hom^FM, KN) | fM С /V}.
Так как НотА-(//Л/, KN) — //-пространство, то //Нот(Л/,/V) естест-
венным образом вкладывается в Н.отк(КМ, KN). Именно, элементу
(r/pn)p е //Hom(M,N), r/pn € К, € Нот(М,7V) ставим в соот-
ветствие гомоморфизм КМ —> KN,
{{т/рп)р)((8/рт)х) = (гв/рп+т)<р(х)
для любых s/pm е К и х е М. При таком соответствии имеем
//Hom(M,2V) =
= {/ € Нотк(КМ, KN) | pnf 6 Нот (Л/, /V) для некоторого п 0}.
Ранг г (Л/) модуля М был определен в §4. Для модуля М без кручения
имеем т(М) = dimj<(//M) (лемма 4.5). р-ранг гр(М~) модуля М также
был введен в §4 как размерность Др-пространства М/рМ (см.также
в §9 свойство (6) и замечание после него). Если А —чистый подмодуль
модуля М, то несложно понять, что
г(М) = т(А) + г(М/А) и гр(М) - гр(А) + гр(М/А).
Найдем формулу, связывающую ранг с p-рангом. Во-первых, из свой-
ства (6) в § 9 следует, что гр(М) = г(В) для любого базисного подмодуля
В модуля М. Отсюда гр(М) = 0 в точности тогда, когда М — делимый
модуль, и Гр(М) = г(Л/) в точности тогда, когда М — свободный модуль.
Предложение 23.1. Пусть М —модуль без кручения конечного ран-
га, F — некоторый свободный подмодуль в М максимального ранга.
Тогда M/F = С ®D, где С — прямая сумма конечного числа цикличе-
ских примарных модулей, D — делимый примарный модуль и г(М) =
= rp(M) + г(£>).
Доказательство. Прежде заметим, что любой такой подмодуль F по-
рождается некоторой максимальной линейно независимой системой эле-
ментов модуля М. Верно и обратное (см. §4). Поэтому r(F) = г(М)
и M/F — примарный модуль. Выберем некоторый базисный подмодуль В
модуля М. Свободный базис модуля В (он называется р-базисом моду-
ля М) можно дополнить до максимальной линейно независимой системы
186
Глава 5. Модули без кручения
элементов модуля М (см.§§5 и 9). Отсюда ясно, что существует свобод-
ный модуль Bq такой, что В®Во — свободный подмодуль максимального
ранга в М. Обозначим его через Fq и рассмотрим фактормодуль M/Fq.
Из г(М) = r(F) и rp(Af) = г(В) получаем г(М) — гр(М) = г(Во). Фак-
тормодуль М/В является делимым модулем без кручения (т. е. В-прос-
транством) ранга г(М) - гр(ЛТ). Так как
М/Fo (M/B)/(F0/B),
где Fq/B — свободный модуль ранга г(ЛТ) — гр(М), то M/Fq — делимый
примарный модуль ранга г(М) - гр(М).
Перейдем к фактормодулю М/F. Пусть ai,...,an и bi,... ,bn — сво-
бодные базисы модулей Fq и F соответственно, где п = г(М). Суще-
ствует число к 0 такое, что pkai е F и pkbi € Fq для всех i. Тогда
имеем pkFo С F и pkF С Fq. Следовательно, Fo/(FAFo) и F/(FQFq) —
прямые суммы конечного числа циклических примарных модулей. Рас-
смотрев изоморфизмы
M/(F П Fo) =* (M/F0)/(F0/(F П Fo)),
M/(F П Fo) ~ (M/F)/(F/(F П Fo)),
можно заключить, что модуль М/(F П Fo) изоморфен делимому модулю
M/Fq. А модуль М/F равен С ф D, где D = M/Fq, а модуль С такой,
как указано в предложении.	□
Пусть А — такой подмодуль модуля М без кручения конечного ран-
га, что М/А — примарный модуль. Тогда г(ЛТ) = г(А) и гр(ЛТ) < гр(А).
Равенство очевидно, для проверки неравенства нужно применить пред-
ложение 23.1.
Лемма 23.2. Для любого модуля М справедлив изоморфизм Rp®M =
= М/рМ. Таким образом,
rp(M) = dimFp(Bp ® М).
Доказательство. Рассмотрим индуцированную точную последова-
тельность модулей
Rp 0 рМ —+ Rp 0 М —> Rp 0 М/рМ —> 0.
Первое отображение в ней является нулевым. Поэтому получаем
Rp 0 М = Rp 0 М/рМ = М/рМ.
§23. Элементарные свойства модулей без кручения
187
Предложение 23.3. Если М и N — модули без кручения конечного ран-
га, то
(1)	r(Hom(M,AT)) < r(M) • r(N) и rp(Hom(M, AT)) sj rp(M) • rp(N);
(2)	M 0 N есть модуль без кручения,
r(M 0 N) = r(M)  r(N) и rp(M ® N) = rp(M)  rp(N).
Доказательство. (1) Имеем
г(Нот(М,ЛГ)) = dimK-(KHom(M,ЛГ)) dimK(Hom(XM,KN)) =
= dim д (ATM) • dimK(XN) = r(M)  r(N).
(2)	Существует вложение Яр-пространств
Rp 0 Hom(M, N) —> Homдр(Яр 0 M, Rp 0 TV).
Произвольный элемент из Rp® Hom(Af,N) равен 1 0<p. Элементу 1 0 tp
ставим в соответствие индуцированный гомоморфизм
Rp 0 М Rp 0 N,
определенный по формуле s®m —> s®<p(m), s 6 Rp, me M. Таким путем
получаем указанное вложение. Далее проводим такие же вычисления,
как для Нот с учетом леммы 23.2.
(3)	Взяв индуцированные точные последовательности, можно М ® N
вложить в /С-пространство КМ ®KN. Имеем
г(М 0 7V) = dim/<(A' 0 М 0 N) =
= dim^/C 0 М) • dimк(К ® N) = г(М)  r(N).
Аналогичные равенства справедливы и для p-рангов, если К заменить
на Rp.	□
Для модулей М и N из предложения получаем, что Hom(M, N) —
модуль без кручения конечного ранга, а К Нот(Л/, N) — конечномер-
ное К-пространство. В частности, A'End(Af) является конечномерной
If-алгеброй.
Упражнение 1. Для любого Я-модуля М без кручения конечного ран-
га найдется чистый подмодуль А конечного ранга в R такой, что гр(М) =
= гр (Нош(М, А)).
188
Глава 5. Модули без кручения
§ 24. Категория квазигомоморфизмов
Основной результат параграфа — это теорема 24.9 о существовании неко-
торой двойственности для модулей без кручения конечного ранга. Кроме
того, сопутствующие этой теореме категорные понятия определяются на
языке самих модулей. Аддитивные категории, прямые суммы объектов
определены в §1. Введем еще проекции для прямой суммы.
Лемма 24.1. Объект А аддитивной категории £ и морфизмы ei G
€ Homf(Aj,А), г = 1,...,п, есть прямая сумма объектов Ai,...,An
с вложениями ei,...,en в точности тогда, когда для каждого i су-
ществует морфизм qi е Homf(A, Aj) такой, что ejqi = 0 при i / j,
eiQi = 1дг и 1a = qiei + ... + qnen. В этом случае qiei — идемпотент
кольца Endf(A) для каждого г — 1,... ,п.
Доказательство. Необходимость. Для фиксированного г определим
dji е Horrid(Aj, Aj), полагая du = 1д. и dji = 0, если j i, j = 1,..., п.
По определению прямой суммы существует морфизм qi е Нош^(А, А,)
с ejqi = dji для каждого j. Тогда qiei — идемпотент кольца Endf(A) для
каждого i — 1,..., п. Из равенств
^1(91^1 “Ь . • . “Ь qn^n) ei
по свойству единственности для прямых сумм заключаем, что
1д = 91^1 + ... + qnen.
Достаточность. Пусть даны морфизмы Д € Honif(Ai,B) для каждо-
го i = 1,..., п. Положим
f = <7i fi +  • • + qnfn  А -> В.
Тогда eif = Д при всех г. Затем, если морфизм g е Нош£(А, В) обладает
свойством eig = Д для каждого г, то
= 91(е1<?) + ... + 9n(en<z) = 91/1 + • • • + Qn/n - f-
Следовательно, А есть прямая сумма объектов Ai,..., Ап с вложениями
е1,...,еп.	□
Морфизмы 91,..., qn называются проекциями для прямой суммы А =
= Ai ф • • • ф Ап с вложениями ei,..., еп.
Говорят, что идемпотенты расщепляются в категории £, если для
любого объекта А и любого идемпотента е 6 Endf (А) существуют объект
В в £ и морфизмы f Е Hom^(B, A), g G Hom£(A, В) с fg = и gf = е.
§24. Категория квазигомоморфизмов
189
Несложными рассуждениями можно доказать, что объект А категории
£, в которой расщепляются идемпотенты, неразложим в точности тогда,
когда идемпотентами кольца Endf(A) являются только 0 и 1д (см. Басс
[79], Фейс [37], Арнольд [54]). Сформулируем одну известную теорему
о единственности разложений для аддитивных категорий. Встречающи-
еся в ней локальные кольца были определены перед предложением 3.1.
В §27 доказываются два более сильных результата. Небольшая инфор-
мация о проблематике, касающейся единственности и других свойств
прямых разложений, помещена в замечания к этой главе и в конец §27.
Теорема 24.2 (Басс [79], Фейс [37], Арнольд' [54]). Пусть £ — адди-
тивная категория, в которой расщепляются идемпотенты. Предпо-
ложим, что в £ дана прямая сумма А — Ai ф • • • ф Ап, где каждое
Endf (AJ есть локальное кольцо. Тогда
(1) если А — Bi ф • • • ф Вт, то каждый объект Bj есть конечная
прямая сумма неразложимых объектов в £;
(2) если в (1) каждый Bj неразложим, то т = п и существует пе-
рестановка в множества {1,2,... ,п} такая, что Ai изоморфен
Bo(i) для каждого i.
Вернемся к модулям без кручения. Пусть М и N — модули без кру-
чения. Элементы ^пространства /СНот(М, N) (по поводу обозначения
К Нот(Л/, N) см. предыдущий параграф) называются квазигомоморфиз-
мами, а само пространство называется группой квазигомоморфизмов.
Определим категорию ТТ следующим образом. Объекты в TF — модули
без кручения конечного ранга, морфизмы — квазигомоморфизмы.
Предложение 24.3. ТТ — аддитивная категория и идемпотенты
расщепляются в ТУ.
Доказательство. Композиция
КНош(М,ЛГ) х КНот(АГ,£) -> KHom(M,L),
определяемая как (кцр,	ассоциативна. Затем, 1-1м есть
единица, которую также обозначим 1м- Мы знаем, что КНот(М, N) —
абелева группа, и нетрудно проверить, что композиция квазигомоморфиз-
мов билинейна.
В TF существуют конечные прямые суммы. Пусть Ai,..., Ап — объек-
ты. Возьмем модульную прямую сумму М — А1Ф- • -®Ап и естественные
вложения >ti: Ai М, i = 1,... ,п. Убедимся, что М есть прямая сумма
190
Глава 5. Модули без кручения
в ТУ объектов Ai,..., Ап с вложениями xi,..., хп. Пусть для некоторо-
го модуля без кручения N даны квазигомоморфизмы fi 6 К Hom(Ai,N),
где i = 1,...,п. Выберем целое неотрицательное число п со свойством >
pnfi 6 Hom(Aj,7V). Существует единственный гомоморфизм <р: М —> N,
для которого Xiy? = рпfi при всех i. Тогда (l/pn)<p € JCHom(AT, N)
и Xi((l/pn)<p) = fi при всех г. Единственность (1/рп)<р следует из един-
ственности <р. Итак, ТУ — аддитивная категория.
Пусть е = (r/pn)a 6 KEnd(Af) для некоторых г/рп € К и a 6
6 End(M) есть идемпотент кольца KEnd(Af). Нужно доказать суще-
ствование модуля А без кручения конечного ранга и квазигомоморфиз-
мов х G К Hom(A, М), тг € К Нот(М, А) с тгх — е и хтг = 1л- Положим
А = аМ, г: А —> М — естественное вложение, х = (1/рп)г и тг = га. То-
гда тгх = (г/рп)(сп) = е. Из е2 = е получаем т2а2 = грпа. Пусть теперь
a G А и а = ах, где х € М. Имеем
(грп)(хтг)а — т2а2(х) — грпа(х) = грпа.
Откуда хтг = 1л и расщепляемость идемпотента £ установлена. □
Категория ТУ называется категорией квазигомоморфизмов (моду-
лей без кручения конечного ранга). В литературе принята следующая
терминология. Изоморфизмы категории ТУ называются квазиизомор-
физмами. Если модули М и N изоморфны в ТУ, то говорят, что М
и N квазиизоморфны и пишут М ~ N. Если М = Ai ф • • • ф Ага ъТУ,
то М — квазипрямая сумма модулей Ai, называемых квазислагаемыми.
Неразложимые ъТУ модули называются сильно неразложимыми. Про-
екции из леммы 24.1 называют квазипроекциями. Кольцо эндоморфиз-
мов KEnd(Af) модуля М в ТУ называется кольцом квазиэндоморфиз-
мов. Для дальнейшего важно, что К-алгебра KEnd(M) конечномерна
(см. конец §23).
Оформим основные понятия и свойства категории ТУ в чисто модуль-
ных терминах.
Следствие 24.4. Следующие свойства модулей М и N без кручения
конечного ранга эквивалентны:
(1)	М квазиизоморфен N:
(2)	существуют гомоморфизмы <р: М —> N, ф: N —> М и число п Ф 0
такие, что <рф = рп1м « Ф<Р = Pn^N',
(3)	существуют мономорфизмы р: М N и ф: N —» М такие, что
N/ Im у? и М/ Im ф — ограниченные модули:
§24. Категория квазигомоморфизмов
191
(4)	существуют подмодуль N' и число п с pnN С N' С N и М = N';
(5)	существуют подмодули М' и N' и числа т, п, для которых
ртМ С М' С М, pnN QN'QNuM'^N'.
Доказательство. (1) => (2). Модули М и N изоморфны в TF. Най-
дутся f е К Нот(Л/, IV) и g е К Нот(ЛГ, М) с fg = 1м и gf = 1дг в TF.
Выберем число т > О так, что
pmf = <р е Нот(М, АГ) и ртд = ф G Hom(7V, М).
Тогда рф = р2т1м и фр = р2т1м.
(2) => (3). Понятно, что р и ф — мономорфизмы и pnN = 1ш(^<р) С
С Im(<p). Аналогично, рпМ С Im(V>)-
(3) => (4). Возьмем число п такое, что pnN С Im(<p) и положим
N' = 1т(р).
Импликация (4) => (5) очевидна.
(5) => (1). Пусть р: М' —> N' и ф: N1 —» М' — взаимно обрат-
ные изоморфизмы. Тогда (1/рт)(ртр'} и (1/рп}фрпф) есть морфизмы
из АГНот(М, 7V) и Hom(?V, М) соответственно, композиции которых
в ТУ равны 1м и 1дг.	□
Очевидно, что изоморфные модули квазиизоморфны. Если оба модуля
М и N свободные или делимые, то их квазиизоморфизм влечет изомор-
физм. Для произвольных модулей это не всегда так (см. пример 25.7).
Ранг и p-ранг модуля сохраняются при квазиизоморфизме. Для ранга это
видно из свойства (4), для p-ранга получается из предложения 23.1.
Следствие 24.5. Для модуля М без кручения конечного ранга выпол-
няются записанные ниже утверждения (а), (Ь) и (с).
(а)	Пусть М — А^®- • -®Ап — прямая суммавТФ, ei и qi — морфизмы
из леммы 24.1 и qiei = ф\/ркг)ег, где ri/pkl е К, Ei € End(Af),
i = 1,..., п. Существует число m > О такое, что
ртМ С £1(М) ®    ® еп(М).
Далее, если ир. Si(M) —► М — естественное вложение, то М
есть прямая сумма в ТТ модулей еДМ),..., еп(А7) с вложениями
(Ь)	Следующие свойства эквивалентны'.
(1)	М сильно неразложим',
192
Глава 5. Модули без кручения
(2)	всякий раз, когда ртМ С А ф В С М, тогда А — 0 или
В = 0;
(3)	К End (Л/) — локальное кольцо.
(с)	Существуют число т^Ои сильно неразложимые модули Ai,...
..., Ап такие, что
ртМ С Ai ф •  • ф Ап С М.
Доказательство, (а) По лемме 24.1 имеем 1м = ?iei + • • - + Qnen, где
qi&i — попарно ортогональные идемпотенты кольца IfEnd(Af). Нетрудно
установить, что сумма £i(M) + ... + еп(М) является прямой. Пусть т —
наибольшее из чисел ki,..., кп. Тогда для любого х е М имеем
ртх — pm(qiei + ... + ?nen)(^) € £i(M) ф • • • ф еп(М).
Второе утверждение проверяется непосредственно. Таким образом, пер-
воначальную прямую сумму М — Ai ф • • • ф Ап можно заменить в ТУ
на прямую сумму М = £i(M) ф • • • ф £П(ЛТ)-
(Ь) Эквивалентность (1) и (2) получается из (а). Если дано (1), то М
неразложим в ТУ. Следовательно, в lfEnd(A/) нет идемпотентов, кроме
0 и 1м- Это влечет локальность конечномерной К-алгебры 7<End(M).
Обратно, локальное кольцо /CEnd(M) не имеет нетривиальных идемпо-
тентов и М неразложим в ТУ.
Утверждение (с) доказывается индукцией по рангу модуля М с ис-
пользованием (Ь).	□
На основании утверждений 24.2-24.5 можно сделать вывод, что в ка-
тегории ТУ справедлива теорема об изоморфизме прямых разложений
с неразложимыми слагаемыми. Сформулируем эту теорему без упомина-
ния категории ТУ.
Следствие 24.6. Пусть М — модуль без кручения конечного ранга,
к 0 и Ai,..., Ап — сильно неразложимые модули такие, что
ркМ С Ai ф • • • ф Ап С М
(см. следствие 24.5 (с)). Тогда
(1) если I 0 и
р1М С Bi®    ® Вт Q М,
то каждый модуль Bj квазиизоморфен прямой сумме некоторых
из А{\
§24. Категория квазигомоморфизмов
193
(2) если дополнительно каждый Bj сильно неразложим, то т = п
и существует перестановка 0 множества {1,... ,п} такая, что
Ai квазиизоморфен для каждого i.
Сильно неразложимый модуль является неразложимым. Обратное, во-
обще, не верно.
Прежде чем рассмотреть двойственность, о которой говорится в начале
параграфа, сделаем небольшую подготовительную работу. Будем исполь-
зовать р-адическое пополнение R области R и поле частных К области
R. Имеем в виду известные включения колец RCRcKuRcKC
С К, где R О К = R. Затем R/R есть делимый .R-модуль без кручения
(см. абзац перед следствием 11.15). Любой 72-модуль без кручения конеч-
ного ранга свободен. Если X — подмножество модуля А над некоторым
кольцом S, то SX обозначает 5-подмодуль в А, порожденный X. Будем
говорить «5-гомоморфизм», подразумевая гомоморфизм 5-модулей. Все
дальнейшие рассмотрения проходят в некоторых конечномерных вектор-
ных ТГ-пространствах.
Пусть V — конечномерное векторное К-пространство, X — некоторый
его базис и V = КХ. Пусть, далее, X = Xi U Х2, где Xi П Х2 = 0.
Тогда^У = КХ1 ф КХ2. Предположим, что a : RX2 —> RX\ — некото-
рый R-гомоморфизм. Так как К Xi — делимая оболочка для RXi, то а
единственным образом продолжается до ТГ-гомоморфизма КХ2 КХ\
(т. е. оператора), который также обозначим через а. Матрица
определяет относительно записанного выше разложения автоморфизм а
/f-пространства V. Будем обозначать символом (Xj, Х2, V, а) R-модуль
а(У) П (RXi ф КХ2).
Лемма 24.7. Пусть М — (Xi,X2,V,a). Тогда М —модуль без кру-
чения конечного ранга, a(RX) — свободный подмодуль в М макси-
мального ранга, КМ — ct(V), RXi — базисный подмодуль модуля М
и RM = RXi ф КХ2. Если М — редуцированный, то а(у) / 0 для всех
ненулевых у 6 КХ2.
Доказательство. Имеем, что V и а(У) являются /Г-пространствами
размерности |Х|. Поэтому М — R-модуль без кручения конечного ран-
га. Так как RX — свободный модуль, то и S(RX) — свободный модуль
ранга |Х| и a(RX) С М. Из М С ct(V) получаем КМ С 2(У). Сле-
довательно, эти /^-пространства совпадают, так как имеют одинаковые
размерности. Поскольку a(RXi) = RXi, то RXi С М и RXi — свобод-
ный^модуль^ранга |Xi|. Далее, М —чистый подмодуль в RXi ф КХ2
и (RXi ф KX2^/RXi — делимый модуль без кручения (он изоморфен
7 — 4473
194
Глава 5. Модули без кручения
RXi/RXi фКХ2\ см. упражнение 5 (Ь)). Отсюда M/RX^ — делимый мо-
дуль без кручения и 72X1 — базисный подмодуль модуля М. Чистота М
в RXi ф КХ2 влечет чистоту RM в КХ\ ф КХ2 (упражнение 6). Следо-
вательно, RM совпадает с RXi ®КХ2, так как они имеют равные ранги
как 72-модули.
Пусть М — редуцированный модуль и у € КХ2 с а(у) = 0. Тогда
а(у) = (1 + а)(у) = у.
Следовательно, Ку с М и у = 0, так как Ку = К при у ± 0.	□
Любой модуль без кручения конечного ранга можно получить с помо-
щью конструкции, рассмотренной перед леммой 24.7.
Лемма 24.8. Всякий модуль М без кручения конечного ранга равен
(Xi,X2,V,a) для некоторых Xi, Х2, V и а.
Доказательство. Выберем некоторый р-базис Xi модуля М. Тогда
72X1 — базисный подмодуль модуля М. Дополним Xi до максимального
линейно независимого множества Х± U Y модуля М. Определим вектор-
ное /^-пространство V = KXi ф KY с базисом Xi U Y. Тогда КМ =
= A'Xi ф KY. Так как RXi — базисный подмодуль модуля М, то RXi
есть базисный подмодуль 72-модуля RM (упражнение 5 (с)). Имеем раз-
ложение RM = 72X1 ф D, где D — максимальный делимый подмодуль
72-модуля RM (учесть, что 72X1 — полный модуль).
Найдем линейно независимое подмножество Х2 в V и 72-гомоморфизм
а: RX2 —> 72X1 такие, что
RM = RXi ф КХ2 и (1 + а) (Х2) = Y.
Пусть 7Г1 и 7г2 обозначают проекции RM на RXi и D соответственно.
Ограничение 7Г2 на RY инъективно. Положим Х2 = 7Г2(У). Тогда Х2 —
базис Х-пространства D, так как Y — линейно независимое множество
и |У| = dimD. Следовательно,
КХ2 = D и RM = RXi ф КХ2.
Пусть а — композиция отображений тпГ1: RX2 —> RY и 7Г1: RY —> RX\.
Если у е У и у = z + х, где г е 72Xi, х е D, то 7Г2(у) = х е Х2. Тогда
(1 + а)х = у и легко получить, что (1 + а)(Х2) — Y.
Наконец, пусть V = КХ\ ф КХ2. Образуем модуль (Xi,X2, V,a),
который обозначим через N. Имеем
N = S(V) П (ХХ1Ф КХ2),
§24. Категория квазигомоморфизмов
195
где, напомним, а =	Из (1 + а)(Л2) = Y выводим
2(V) = KXi ®KY = КМ и М С а(У).
Итак, М С N. Но N/M — примарный модуль, так как (КХ\ ф KY)/M
примарен. С другой стороны, N/М есть модуль без кручения, поскольку
таковым является модуль RM/M (упражнение 5 (Ь)). Значит, N = М.
□
Возьмем два модуля
М = (ХьХ2,У,а) и ^ = (^,^2,^,3)
и выясним связь между квазигомоморфизмами М —> N и /<-гомоморфиз-
мами V —> U. Пусть f:M^N — некоторый квазигомоморфизм. Так как
КМ — a(V) и KN = /3(U), то существует единственный гомоморфизм
/f-пространств f't ct(V) —> /3(17), продолжающий f. Поскольку S(Xi U
U Х2) и 0(Yi U Y2) есть базисы /f-пространств V и U соответственно,
то существует единственный /С-гомоморфизм ft V —> U, продолжающий
следовательно, также и f. Выберем ненулевой элемент г G R так, что
(rf)M С N. Тогда (rf)(RM) С RN и, значит, f(KX2) С KY2 (КХ2
и /CY2 являются максимальными делимыми подмодулями модулей RM
и RN соответственно).
Пусть, наоборот, д: V —> U — такой /С-гомоморфизм, что g(a(V)) С
С 0(U) и д(КХ2) С KY2. Запишем равенства /^-модулей
RM - RXi ф КХ2, RN = RYi ф KY2
и еще раз напомним, что a(V) = КМ и 0(U) = KN. Понятно, что
найдется ненулевой г е R такой, что (r</)(Ai) С RN и (rg)(RM) С
С RN. Отсюда (rg)M С N (см. упражнение 7). Положим f = д\м- Тогда
ftM^N является квазигомоморфизмом.
Еще уточним, что квазигомоморфизм f:M—>N является квазиизо-
морфизмом в точности тогда, когда оба отображения ft a(V) —» /3(U)
и f: КХ2 —» KY2 — изоморфизмы. Наконец, f есть изоморфизм если
и только если /: й(У) —> (3(U) и f t RM —> RN — изоморфизмы.
Предварительную работу мы закончили и опять перейдем к категории
Встречающиеся ниже понятия контравариантного функтора, есте-
ственной эквивалентности и другие есть в §1. Контравариантный функ-
тор Ft £ —> Е будем называть двойственностью, если F2 естественно
эквивалентен тождественному функтору категории £.
1*
196
Глава 5. Модули без кручения
Напомним известную двойственность для конечномерных векторных
пространств. Пусть Zf-mod обозначает категорию конечномерных век-
торных /^-пространств. Для конечномерных К-пространств V и U и
/f-гомоморфизма /: V —> U положим G(V) = V* = Hom^(V,К) и
G(f) = f*, где /* —индуцированный гомоморфизм U* —> V*, /*(</>) =
= f<p (<£> 6 U*; см. §2). Получаем двойственность G категории /f-mod.
Соответствующая естественная эквивалентность h: 1^ mod —► G2 опреде-
ляется следующим образом. Для /f-пространства V естественный изо-
морфизм hy: V —> V** задается формулой (Ау(а))(^) = для всех
а е V и $ 6 V*. Zf-пространство V* называют двойственным к V, а го-
моморфизм /* — двойственным к f.
Пусть X — (a?i, Х2,..., хп) — некоторый базис Zf-пространства V. Для
каждого i — 1,... ,п через х* обозначим такой элемент Zf-пространства
V*, т. е. гомоморфизм V —> К, что х*(хг) = 1 и = 0 при г / j.
Обозначим X* = (ж*,... ,Х2,х*). Здесь X* — базис пространства V*.
Теорема 24.9 (Арнольд [51]). Существует двойственность F кате-
гории TF такая, что для любого модуля М без кручения конечного
ранга имеют место следующие свойства:
(1)	r(F(M)) = г(М);
(2)	rp(F(M)) = г(М) - гр(М);
(3)	М свободен в точности тогда, когда F(M) делим.
Доказательство. Определим искомый контравариантный функтор
F. Предположим, что М — модуль без кручения конечного ранга, и пусть,
как в лемме 24.8, М = (Xi,X2> V,a). Положим
F(M) = (X2*,X1*,(V)*,a),
где и	— базис двойственного Zf-пространства (V)*, определенный
так, как указано перед теоремой. Отображение а есть ((а)*)-1: (V)* —>
_ /1 — ~
—> (V)*. В матричной форме а имеет вид (	])’ где °*'	—k
—> RX2 — двойственное отображение к a: RX2 —> RXy Заметим, что
КХ*=КХ% ®КХ± и что КХ* можно отождествить с V* = Нотд-(У, К),
так как X = Xi U Х2 есть базис Zf-пространства V. По лемме 24.7 F(AZ)
является модулем без кручения конечного ранга.
Пусть теперь даны два модуля М — (Xi, Х2, V,a) и N — (Yi,Y2,U,(3)
без кручения конечного ранга и квазигомоморфизм	Можно
считать, что f — /f-гомоморфизм V U и /f-гомоморфизм V —> U.
§24. Категория квазигомоморфизмов
197
Пусть /*: ((/)* —> (V)* — двойственный гомоморфизм К-пространств.
Покажем, что ограничение гомоморфизма f* на F(N) является квази-
гомоморфизмом F(N) —> F(M). Для этого воспользуемся замечаниями
после доказательства леммы 24.8. Так как /(V) С U, то f*(U*) С V*.
Нужно еще убедиться, что f*(KY?) С КХ±. Достаточно доказать, что
ГОТ) С КХ? Пусть Xi =	Х2 = (zs+i,...>;rm), П =
= (У1,  • •, yt) и У2 = (yz+i, • • •, Уп)- Возьмем какой-то у* G Yf, j = 1,...
• • •, t. Можно записать f*(y]) = q^ + ...+ qmx*m, где qi,..., qm G K.
Пусть Xi G X2, s + 1 < i < m. Тогда имеем
(Г(у)))(^) - (/У*)(Хг) - y*(f(Xi)) = О,
так как /*(^2) С KY2 и у* аннулирует KY?. С другой стороны,
(/*(y)))fe) = Qix^Xi) + ...+ qmx*m{xi) = qi.
Следовательно, qi — 0 для всех i = s + 1,..., т и f*(y?) G КХ*.
Теперь полагаем F(f) = f*: F(N) —> F(M). To, что F — действитель-
но контравариантный функтор на категории TF, вытекает из того, что
фактически F индуцируется контравариантным функтором G на катего-
рии К- mod.
Докажем, что функтор F2 естественно эквивалентен тождественному
функтору категории TF. Для модуля М = (Xi,X2, V, а) модуль F2(M)
имеет вид (Х?,Х?, (V)**,a). Заметим, что 3 определяется подобно а
и й = (а)**. Возьмем естественный К-гомоморфизм Ар: V —> (V)**.
Тогда Ap(/CJV2) = КХ?. Далее, имеем
Лр(а(У)) = h^a(KXr ф КХ2)) = (a/^h^KXi ф КХ2)) =
= (а)**(КХ? Ф КХ?) = а(КХ? ф КХ?).
Пусть дм — ограничение Ар на М. Тогда (учесть замечания после лем-
мы 24.8) дм - М —> F2(M) — квазиизоморфизм, т. е. изоморфизм в TF.
Пусть f: М —> N = (Yi, Y2, U, (3) — некоторый квазигомоморфизм. Как
и выше, рассматриваем его как /f-гомоморфизм V —> U. Функторы G2,
и тождественный функтор категории К-mod естественно эквивалентны,
поэтому fhg = ApG2(/). Отсюда fg^ = gMF2(f). Следовательно, F2
естественно эквивалентен тождественному функтору категории TF.
Справедливость свойств (1) и (2) вытекает из леммы 24.7 и определе-
ния функтора F. Теперь (3) очевидно.	□
Двойственность F из теоремы 24.9 будем называть двойственно-
стью Арнольда. Более короткое построение двойственности Арнольда
осуществлено в статье Леди [201].
198
Глава 5. Модули без кручения
Упражнение 1. Построить неразложимый модуль без кручения конечного
ранга, обладающий нетривиальным квазиразложением.
Упражнение 2. Если М — редуцированный модуль, то RM — пополнение
М в р-адической топологии.
УпражнениеЗ (Арнольд [51]). Привести пример изоморфных модулей без
кручения М и N ранга 3 р-ранга 1 таких, что модули F(M) и F(N) не изо-
морфны. (Поскольку F — двойственность, то F(M) и F(N) квазиизоморф-
ны.)
Упражнения 4-7 касаются различных деталей из доказательств лемм
24.7 и 24.8. В этих упражнениях М и 7V —модули без кручения конеч-
ного ранга.
Упражнение 4. Я-модули R 0 М и RM канонически изоморфны.
Упражнение 5. Показать, что
(а)	ранг Я-модуля RM равен рангу Я-модуля М;
(b)	RM/M — делимый модуль без кручения;
(с)	всякий р-базис модуля М будет р-базисом для модуля RM\
(d)	RM QKM = М.
Упражнение 6. Если А —чистый подмодуль модуля М, то RA — чистый
подмодуль модуля RM.
Упражнение 7. Пусть д: V —► U — гомоморфизм таких /Г-пространств,
как в замечаниях после леммы 24.8. Если д(КМ) С KN и (rg)(RM) С RN
для некоторого ненулевого г е Я, то (rg)M С N.
Упражнение 8. Показать, что модули М и N без кручения конечного
ранга квазиизоморфны в точности тогда, когда r(M) = r(N), rp(M) = rp(N)
и М изоморфен некоторому подмодулю в N.
§ 25. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули
Делимые модули соответствуют при двойственности Арнольда свобод-
ным, что видно из теоремы 24.9. В этом параграфе мы выделим и ис-
следуем два более широких класса модулей, двойственных друг другу.
Для модуля М без кручения конечного ранга всегда верно неравенство
гр(М) г(7И). При гр(М) = 0 получаем делимые, а при гр(М) = г(М) —
свободные модули. Предметом нашего внимания будут модули М, для ко-
торых rp(M) = 1 или rp(M) = г(М) - 1. Они обладают разнообразными
замечательными свойствами.
§25. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули
199
По-прежнему М обозначает пополнение редуцированного модуля М
без кручения в р-адической топологии. Если М и N — два таких моду-
ля, то любой гомоморфизм из М в N продолжается до единственного
гомоморфизма из М в N (предложение 11.12). Кроме того, М иизо-
морфны в точности тогда, когда существует Я-изоморфизм <р: М —> N
с (р(КМ) С KN (учесть, что МПКМ = М\ см. также упражнения 5
и 7 из §24).
Редуцированный модуль М без кручения конечного ранга называется
чисто неразложимым, если всякий чистый подмодуль модуля М нераз-
ложим. Чисто неразложимые модули характеризуются многими способа-
ми.
Предложение 25.1. Следующие свойства редуцированного модуля М
без кручения конечного ранга эквивалентны-.
(1)	М чисто неразложим-,
(2)	М изоморфен некоторому чистому подмодулю модуля R;
(3)	rp(M) = 1;
(4)	если А — собственный чистый подмодуль модуля М, то М/А —
делимый модулы,
(5)	любой ненулевой гомоморфизм М —> N, где N — редуцированный
модуль без кручения, является мономорфизмом.
Доказательство. (1) => (2). Любой базисный подмодуль В модуля
М изоморфен R. Следовательно, М = В = R, что влечет (2) (см. § 11).
(2)	==> (3). Из 0 < тр(М) < Гр(7?) = 1 получаем Гр(М) = 1.
(3)	=> (4). Так как 1 = гр(М) = гр(А) + гр(М/А) и тр(А) 0, то
гр(М/А) = 0 и М/А —делимый модуль.
(4)	=> (5). Допустим, что существует ненулевой гомоморфизм
<р: М —> N с Кег(<р) / 0. Тогда Л//Кег(<р) и Im(<p) — делимые моду-
ли, что невозможно.
(5)	==> (1). Предположим, что М не является чисто неразложимым.
Тогда существует чистый подмодуль А модуля М, имеющий нетривиаль-
ное прямое разложение, скажем, А = X ф Y. Проекция модуля А на
X продолжается до гомоморфизма М —> М (теорема 11.4), ядро кото-
рого отлично от нуля, что противоречит (5). Следовательно, М — чисто
неразложимый модуль.	□
Если М — чисто неразложимый модуль, то из Гр(ЛТ) = 1 вытекает,
что M/pkM = 7?(pfe) для всех k 1. Нередуцированный модуль М без
200
Глава 5. Модули без кручения
кручения конечного ранга с rp(M) = 1 равен N ф D, где N — чисто
неразложимый модуль, a D делим.
Предложение 25.2. Пусть М и N — чисто неразложимые модули. Сле-
дующие утверждения эквивалентны:
(1)	М = N;
(2)	М ~ N;
(3)	Hom(M, N) ± 0 и Нот(ДГ, М) / 0;
(4)	r(M) - r(N) и Нот(М, N) / 0.
Доказательство. Импликация (1) => (2). очевидна, а (2) => (3).
получается из следствия 24.4.
(3) => (4). Ввиду предложения 25.1, существуют мономорфизмы
М —> N и N М. Поэтому
г(М) < r(N) г(М') и г(М) = r(N).
(4) => (1). По-прежнему имеется мономорфизм из М в N. Считаем,
что М — подмодуль в N. Пусть G — свободный подмодуль в М макси-
мального ранга. Из предложения 23.1 получаем M/G = C]®D\, где Ci —
прямая сумма конечного числа циклических примарных модулей, £>i —
делимый примарный модуль. Так как r(M) = r(N), то также N/G =
= Со ф £>2, где слагаемые Со и Do имеют аналогичное с G и Д строе-
ние. Далее, имеем
г(М) = rp(M) + r(Pi) и г(ЛГ) = гр(ЛГ)+г(Р2).
Так как rp(M) = rp(N), то r(Z>i) = r(Z>2), т. е. £>i = Do- Теперь из
N/M = (N/G)/(M/G)
получаем, что N/M — прямая сумма конечного числа циклических при-
марных модулей. Таким образом, существует к 0 с pkN С М. Так как
N/pkN есть циклический модуль R(pk), то M/pkN = pmN/pkN с т < к
и М = pmN. Но N = pmN при соответствии х —> ртх. Следовательно,
M = N.	□
О кольце эндоморфизмов чисто неразложимого модуля можно полу-
чить достаточно полную информацию. Как и ранее (см. §19), считаем,
что область R лежит в кольце эндоморфизмов данного модуля без кру-
чения (элемент г 6 R отождествляется с эндоморфизмом х —> rx, х G М,
§25. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули
201
модуля М). Модульные понятия, примененные к некоторой Н-алгебре,
касаются её как 7?-модуля. Символ [Р : К] обозначает степень расшире-
ния поля Р над полем К.
Предложение 25.3. Пусть М — чисто неразложимый модуль, S =
= End(M). Тогда R-алгебра S изоморфна некоторой чистой подал-
гебре в R и S — область дискретного нормирования с простым эле-
ментом р. Поле частных Р области S удовлетворяет К С Р С К,
[Р : К] конечно, Р = KS и End/?(5) = Ends(5).
Доказательство. Ввиду предложения 25.1, можно считать, что М —
чистый подмодуль в R. Понятно, что при этом М — плотный подмодуль.
Теперь имеем следующее. Произвольный эндоморфизм а е S продол-
жается до эндоморфизма а модуля R, причем продолжение единственно
(предложение 11.12). Кроме того, а будет Р-модульным эндоморфизмом
(пример 12.4). Следовательно, а совпадает с умножением кольца R на
некоторый элемент г е R. Обратно, каждый элемент г е R, для которого
гМ С М, дает эндоморфизм модуля М. Алгебру S можно отождествить
с {г е R | гМ С М}. При этом S будет чистой подалгеброй в R в силу
чистоты М в R. Пусть г — ненулевой элемент из S. Запишем г = pnv,
где п 0 и v — обратимый элемент в R. В действительности, v G S,
поскольку S — чистая подалгебра. Затем, vM — чистый подмодуль в М,
изоморфный М. Значит, vM = М, так как М имеет конечный ранг.
Итак, г = pnv, где v — обратимый элемент в S. Теперь понятно, что
ненулевые идеалы кольца S имеют вид pnS, п 0. Следовательно, S —
область дискретного нормирования с простым элементом р. Поскольку
R С S С R, ТО К С Р С К. Из Р = {r(l/pn) I г € S, п > 0} получаем
Р = KS. Размерность Р над К равна рангу Я-модуля S, который конечен
(предложение 23.3). Пусть а — некоторый эндоморфизм 7?-модул я S. Как
и выше, а совпадает с умножением S на некоторый элемент г G R. Из
а(1) — т-1 = г заключаем, что г G S. Следовательно, а — 5-эндоморфизм
модуля 5.	□
Чисто неразложимые модули легко описываются с точностью до изо-
морфизма. Зафиксируем число п 1. Пусть 1, ai,..., ап — некоторые ли-
нейно независимые элементы Д-модуля R. Обозначим через A(ai,ап)
чистый подмодуль в R, порожденный этими элементами. Нетрудно про-
верить, что
A(ai,... ,ап) = A(riai,...,rnan)
для любых ненулевых элементов ri € R и что
A(ai,... ,an) = KA(ai, ...,an)r}R,
202
Глава 5. Модули без кручения
где
KA(ai,..., ап) = К ф Kai Ф • • • Ф Кап
— А'-подпространство, порожденное A(ai,..., ап) в К (см. упражнение 5
в §24).
Пусть М — чисто неразложимый модуль ранга п + 1. Тогда М изомор-
фен модулю A(ai,..., ап) для некоторых линейно независимых элемен-
тов l,ai,...,о-п в R. Действительно, в силу предложения 25.1, можно
считать, что М — чистый подмодуль в R. Выберем какой-то ненулевой
элементов М. Он равен pkv, где fc > 0 и и - некоторый обратимый эле-
мент в R. На основании чистоты М также v 6 М. Имеем М = v~rM, где
и~1М — чистый подмодуль в R. Кроме того, 1 = е и~гМ. Теперь яс-
но, что модуль v~xM совпадает с A(ai,..., ап) для некоторых элементов
Q-1,..., ап.
Из доказательства предложения 25.3 получается, что
End(A(ai,..., ап)) = {г € R | rA(ai, ...,ап) С A(ai,..., ап)}.
Если г G End(A(ai,... ,ап)), то г е A(ai,... ,ап), так как A(ai,...,an)
содержит единицу. Отсюда также имеем
К End(A(ai,..., ап)) =
= {г € К ф Kai Ф • • • Ф Кап | rai € К ф Kai Ф  • • Ф Кап, 1 < г < п}.
Теорема 25.4 (Арнольд [51], Арнольд—Дугас [60]). Два чисто нераз-
ложимых модуля A(oi,...,ап) и A(bi,...,bn) изоморфны в точности
тогда, когда в К существуют элементы Si и tji (0 < i,j < п) такие,
что и — sq + siai + ... + snan есть обратимый элемент в R и ubj =
=	+ tjiG'i + ... + tjnan.
Доказательство. Пусть р: A(bi,... ,Ьп) —► A(ai,..., ап) — некото-
рый изоморфизм и и = ^>(1). Подобно доказательству предложения 25.3
можно найти, что у? действует как умножение на ^>(1), т. е. у?(у) = и • у
для всех у е A(bi,... ,Ьп). Конечно, и является обратимым элементом
и и, ubj G A(ai,... , ага), что влечет существование элементов Si и tji.
Обратно, пусть существуют указанные элементы Si и tji. Рассмотрим
умножение кольца R на элемент и. Выберем рк так, что pku,pk(ubj) G
€ A(oi,...,an) для всех j. Тогда и,ubj G A(ai,... ,ап) ввиду чистоты
этого подмодуля. Снова учитывая чистоту, получаем
пА(61, . . . , Ьп) А(<21, . . . , (In)•
§25. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули
203
Так как uA(bi,... ,bn) — чистый подмодуль в A(ai,..., ап), то в действи-
тельности имеем равенство (см. также предложение 25.2). Следователь-
но, умножение на и осуществляет изоморфизм между A(bi,...,6n) и
A(ai,... ,ап).	□
Модуль М без кручения будем называть коредуцированным, если М
не имеет прямых слагаемых, являющихся свободными модулями. Это
равносильно тому, что Нош(Л/, R) = 0. При двойственности Арнольда
редуцированные модули соответствуют коредуцированным. Если М —
произвольный модуль без кручения конечного ранга, то М = N ф G,
где N — коредуцированный, a G — свободный или G — 0.
Коредуцированный модуль М конечного ранга называется кочисто
неразложимым, если фактормодуль М/А неразложим для всякого чи-
стого подмодуля А.
Характеризации кочисто неразложимых модулей двойственны харак-
теризациям чисто неразложимых модулей из предложения 25.1.
Предложение 25.5. Следующие свойства коредуцированного модуля
М без кручения конечного ранга эквивалентны:
(1)	М — кочисто неразложимый',
(2)	г(М) = гр(М) + 1;
(3)	всякий подмодуль А модуля М с r(A) < r(Af) свободен;
(4)	F(M) — чисто неразложимый модуль, где F — двойственность
Арнольда из теоремы 24.9;
(5)	для любого ненулевого гомоморфизма р: N —> М, где N — ко-
редуцированный модуль без кручения, фактормодуль M/Im(</?)
является ограниченным.
Доказательство. (1) => (2). Допустим, что r(Af) = rp(M) + к с
к 2. Возьмем некоторый базисный подмодуль В модуля М. Тогда имеем
т(М/В) = г(М) - г(В) = гр(М) + к - гр(М) = к.
Откуда М/В — разложимый модуль как делимый модуль ранга к, что
противоречит (1). Значит, к = 1.
(2) => (3). Пусть А С М и г(А) < г(М). Считаем, что А чист
в М, иначе можно взять чистый подмодуль, порожденный А в М;
см. свойство (7) из §7. Имеем равенства
г(М) = гр(М) + 1 = т(А) + г(М/А) и гр(М) = гр(А) А гр(М/А).
204
Глава 5. Модули без кручения
Имеем также г(М/А) / гр(М/А). В противном случае М/А — свободный
модуль и М = А ф С, где С = М/А (теорема 5.4), что противоречит ко-
редуцированности М. Из записанных равенств теперь нетрудно вывести,
что г(А) = гр(А). А это влечет свободу А.
(3) => (1). Допустим, что А —чистый подмодуль в М такой, что А ф
/Ми существует нетривиальное разложение М/А = X/A&Y/A. Имеем
М/Х “ (М/А)/(Х/А) =* Y/A,
где Y/A — свободный модуль, так как Y — конечно порожденный свобод-
ный модуль. Это приводит к разложению М = X ф Z со свободным мо-
дулем Z. Противоречие с коредуцированностью М. Следовательно, М —
кочисто неразложимый модуль.
Эквивалентность (2) и (4) можно получить из эквивалентности свойств
(1) и (3) предложения 25.1, применяя двойственность F.
(3) => (5). Пусть (р: N —> М — ненулевой гомоморфизм, где N —
коредуцированный модуль без кручения. Если r(Im(y?)) / г(ЛТ), то Im(y?)
и N/ Кег(у>) — свободные модули. Следовательно, N = Кег(у?) ф G, где
G — свободный модуль. Это противоречит коредуцированности N. Таким
образом, r(Im(y?)) = т(М).
Также видно, что Im(y?) — коредуцированный модуль (похожее место
есть в (3) => (1)). Итак, ситуация следующая. Имеется подмодуль А мо-
дуля М такой, что г(А) = г(ЛТ) и А — коредуцированный модуль. Нужно
показать, что М/А — ограниченный модуль. Пусть А" —свободный под-
модуль модуля А максимального ранга. На основании предложения 23.1
и (2) имеем М/Х = С ф D, где С — прямая сумма конечного числа цик-
лических примарных модулей, D — коциклический модуль 7?(р°°). Ана-
логично, А/Х = C\®D\. Здесь / 0, иначе pfcA С X для некоторого
к и А — свободный модуль. Значит, Di = D. Можно также считать, что
(71 С С. В таком случае М/А = С/С\ и М/А — ограниченный модуль.
(5) => (3). Допустим, что А —такой ненулевой подмодуль моду-
ля М, что т(А) < т(М) и А не свободен. Тогда А = N ф X, где
N — коредуцированный, X — свободный или X = 0. Наличие вложения
N —> М противоречит (5). Следовательно, (3) справедливо.	□
Итак, чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули соответ-
ствуют друг другу при двойственности Арнольда. Поэтому, зная свой-
ства одних модулей, можно путем применения двойственности, получить
свойства других модулей.
Из предложений 25.2 и 25.5 с помощью функтора F получается такой
результат.
§25. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули
205
Следствие 25.6. Следующие утверждения для кочисто неразложимых
модулей М и N эквивалентны:
(1)
(2)	Hom(Af, N) / 0 и Hom(7V, М) / 0;
(3)	г(М) = г(ЛГ) и Нош(М, ЛГ) 0.
О кольце эндоморфизмов кочисто неразложимого модуля М информа-
ции значительно меньше по сравнению с чисто неразложимыми модуля-
ми. Так как F — двойственность, то кольца KEnd(M) и K"End(F(Af))
антиизоморфны (антиизоморфизм определяется в замечаниях к главе 7).
Но F(M) — чисто неразложимый модуль и KEnd(F(M)) — поле (пред-
ложения 25.3, 25.5). Следовательно, в действительности, имеем изомор-
физм. Таким образом, End(Af) — коммутативная область и A'End(M) —
поле, изоморфное некоторому полю Р, где К С РСК и степень расши-
рения [Р : К] конечна (см. предложение 25.3).
Модуль без кручения, квазиизоморфный кочисто неразложимому, сам
будет кочисто неразложимым. Это, например, выводится из предложе-
ния 25.5. Поэтому кочисто неразложимые модули можно классифициро-
вать с точностью до квазиизоморфизма путем применения двойственно-
сти Арнольда и теоремы 25.4. Два квазиизоморфных кочисто неразложи-
мых модуля не обязаны быть изоморфными (пример 25.7). Значительно
более тонкая проблема — классифицировать кочисто неразложимые мо-
дули с точностью до изоморфизма. В оставшейся части параграфа мы
частично исследуем эту проблему.
Элементы кочисто неразложимого модуля ранга п + 1, п 1, мож-
но представить векторами из (Д)п, т. е. элементами свободного й-модуля
(7?)п ранга п. Обратим внимание на то, что все дальнейшие события про-
исходят в К-пространстве (К)п размерности п. В частности, все встре-
чающиеся модули и пространства (например, (Д)п и Кп) лежат в этом
пространстве.
Если ai,... ,ап G R, то символ А[Г] будет обозначать чистый 7?-подмо-
дуль в (/?)”, порожденный Rn и вектором Г = (ai,...,an) из (7?)п.
Несложно доказать, что коредуцированность модуля А[Г] равносильна
тому, что элементы l,ai,... ,ап линейно независимы над R. В таком
случае А[Г] — кочисто неразложимый модуль p-ранга п и ранга п + 1
(см. упражнение 8).
Пусть теперь М — кочисто неразложимый модуль ранга п +1 с базис-
ным подмодулем В ранга п. Отметим, что п = гр(М). Модуль М яв-
ляется чистым подмодулем пополнения В, где В — свободный й-модуль
206
Глава 5. Модули без кручения
ранга п. Понятно, можно сделать так, что М будет изоморфен некото-
рому чистому подмодулю в (2?)п и при этом В изоморфен Rn. Так как
г(М) = п + 1, то существуют элементы ai,...,an в R такие, что М
изоморфен модулю А[Г], где Г = (oi,...,on). Таким образом, сформули-
рованная проблема классификации свелась к описанию кочисто неразло-
жимых модулей вида А[Г]. По существу эквивалентный метод конструи-
рования кочисто неразложимых модулей изложен в упражнении 7.
Приведем несколько простых свойств кочисто неразложимых модулей
А[Г] и их колец эндоморфизмов. Понятно, что Rn служит базисным под-
модулем модуля А[Г]. Затем имеют место равенства КА[Г] = Кп ф КТ,
где КГ — К-подпространство, порожденное вектором Г, и
А[Г] = (Кп ф КГ) П (Д)п.
(Здесь мы используем соглашение о том, что все рассматриваемые объ-
екты лежат в одном К-пространстве.) Способ построения функтора F
позволяет сделать вывод, что
F(A(oi,...,an))~A[r] и F(A[r])=*A(oi,...,an).
Чисто неразложимый модуль A(ai,...,an) имеет ранг п + 1. Алгебра
квазиэндоморфизмов KEnd(A[r]) изоморфна К-алгебре KEnd(A(ai,...
..., ап)), лежащей в К ф Kai Ф • • • Ф Кап (см. замечание перед теоре-
мой 25.4). Следовательно, End(A[r])— область, изоморфная некоторому
подкольцу подполя KEnd(A(ai,... ,ап)) в К (информация об этом под-
поле есть в предложении 25.3).
Пример 25.7 (Арнольд—Дугас [60]). Пусть {01,02} — подмножество
из R, алгебраически независимое над К (алгебраическая независимость
определена в лемме 19.9), Г — (ai,a2) и А = (7x11,02). Тогда А[Г]
и А[А] — квазиизоморфные кочисто неразложимые модули, не явля-
ющиеся изоморфными.
Доказательство. Имеем
Д[Г] = (К2 ф K(oi,o2)) П (К)2,
А[Д] = (К2 ф K(pai,o2)) П (К)2
И
К(А[Г])	Д(о1,о2) = A(poi,o2) “ F(A[A]).
Следовательно, А[Г] и А[Д] квазиизоморфны. Пусть р обозначает эндо-
морфизм (р, 1) пространства КфК, действующий как умножение на р на
§25. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули
207
первом слагаемом и как тождественное отображение на втором слагае-
мом. Похожим образом определим эндоморфизм = (1,р). Тогда <^(7?)2 С
С (/?)2 и (р(Ю1[Г]) С /С4[Д]. Отсюда ip G Нот (А [Г], А[Д]). Точно так
же ф € Нот(А[Д], А[Г]) и рф = р(1,1) = фр.
Так как F — двойственность и A(ai,a2) = A(pai,a2), то
КНот(А[Г], А[А]) “ #End(A(ai,а2)).
Но
К End(A(ai, а2)) = {г € К ф Kai Ф Кй2 I rai,ra2 G К ф Kai Ф Ка?}
(абзац перед теоремой 25.4). С учетом алгебраической независимости
элементов ai и а2, это дает 7<End(A(ai,a2)) = К. Поэтому
Нот(А[Г], А[А]) = Rp,
так как р не делится на р, и аналогично, Нот(А[Д], А[Г]) = Кф. Если
допустить, что А[Г] = А[А], то р и ф окажутся изоморфизмами, так как
они не делятся на р. Следовательно, модули А[Г] и А[А] не изоморфны.
□
Уточним предложение 2.4 о представлении эндоморфизмов матрицами.
п
Пусть дана прямая сумма модулей М = ф Аг. Если а е М и а = сц -Ь...
2—1
... + ап, ai 6 Ai, то элемент а будем записывать, если нужно, в виде век-
тора (ai,..., ап). Пусть a G End(M) и (а^) — матрица, соответствующая
а, где aij е Hom(Ai,Aj). Из доказательства предложения 2.4 нетрудно
вывести матричное равенство аа = a(aij), где вектор а = (ai,...,an)
и матрица (а^) умножаются по обычному правилу умножения матриц,
а под аа понимаем соответствующий вектор.
В дальнейшем под матрицей подразумевается п х n-матрица над коль-
цом R. Такая матрица обратима в точности тогда, когда её определитель
есть обратимый элемент в R.
Следующая лемма предлагает один простой критерий изоморфизма мо-
дулей вида А[Г]. Как уже было отмечено, матрицы умножаются в соот-
ветствии со стандартным правилом.
Лемма 25.8. Предположим, что М — А[Г] и N — А[Д] — кочисто
неразложимые модули ранга п + 1. Если А = «ГУ + Л для некоторого
ненулевого элемента st К, обратимой матрицы V и вектора Л из
Кп, то М и N изоморфны.
208
Глава 5. Модули без кручения
Доказательство. Возьмем автоморфизм <р пространства (А)”, дей-
ствующий как = жУ-1 для любого вектора х из (А)п. Ясно, что у?
является также автоморфизмом модуля (А)п. Далее имеем
КА[Д] = Кп® КЛ, (АП)У-1 = Кп,
ДМ'1 =sT' + AV~l еКГ®Кп = КА\Г] и у(КЛ[Д]) С КЛ[Г].
Поскольку А[А] = АА[Д] П (Я)п и А[Г] = КА[Г] П (Я)п, то <^(А[А]) С
С А[Г]. Можно утверждать, что </?: А[Д] —> А[Г] — изоморфизм, так как
у?(А[Д]) является чистым подмодулем в А[Г].	□
Смысл следующей леммы в том, что если модули А[Г] и А[Д] ква-
зиизоморфны, то векторы Г и А связаны между собой определенным
образом.
Лемма 25.9 (Арнольд—Дугас [60]). Пусть М = А[Г], r(Af) = п + 1
и N — модуль без кручения, квазиизоморфный М. Тогда
(1)	N изоморфен модулю А[ГЖ] для некоторой верхней треугольной
матрицы W = (г%) с ненулевым определителем и h(wu) > h(wij)
всякий раз, когда 1<j ^пи Wij 0;
(2)	ДГ изоморфен модулю А[ГУ£>] для некоторой обратимой матри-
цы V и диагональной матрицы D с диагональными элементами
ре^\ ... ,ре^ и е(1) ^ ... > е(п);
(3)	существует вектор A е (R)n такой, что М изоморфен А[Д]
и N изоморфен А[Д£>] для некоторой диагональной матрицы D
с диагональными элементами ре^\... ,ре^ и е(1) ^ ... ^ е(п).
Доказательство. (1) Так как М и N квазиизоморфны, существует
подмодуль L модуля М такой, что N изоморфен L и KL = КМ =
= Кп ф АТ (следствие 24.4). Покажем сначала, что L изоморфен А[ГУ]
для некоторой матрицы V с ненулевым определителем. Во-первых, за-
метим, что Rn есть базисный подмодуль модуля М и В = L П Rn есть
базисный подмодуль модуля L с КВ = Кп (упражнение 3). Возьмем
А-автоморфизм пространства Кп, который продолжает некоторый изо-
морфизм В на Rn, и соответствующую обратимую п х n-матрицу V над
К. Выберем рк, к 0, так, что pkV = V есть матрица над R. Ясно,
что {bV | b G В} = pkRn. Это равенство позволяет определить р: В
—> (pkR.)n по формуле <р(х) = xV. Здесь <р есть Я-изоморфизм и
р: KL = Кп Ф АГ АА[ГУ] = Кп ф АГУ.
§25. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули
209
Так как
L = BC\KL и А[ГУ] = (Л)пП(Кп®ЛТУ),
то <р есть изоморфизм L на рМ[ГУ]. Тогда (1/рк)<р есть изоморфизм L
на А[ГУ], как и утверждалось.
К матрице V теперь можно применить стандартную процедуру. Имен-
но, умножая матрицу V справа на некоторые обратимые матрицы, полу-
чим искомую верхнюю треугольную матрицу W (упражнение 1). Соглас-
но лемме 25.8, такие умножения не меняют класса изоморфизма модуля
А[ГУ]. Итак, А[ГУ] изоморфен А[ГЖ]. Поскольку N изоморфен А[ГУ],
доказательство (1) закончено.
(2) По (1) N изоморфен A[IW] для некоторой матрицы W с нену-
левым определителем. Поскольку R — область дискретного нормирова-
ния, существуют обратимые матрицы V и U с V~lWU — D, где
D — диагональная матрица с диагональными значениями ре^\... ,ре(~п^
и е(1) ^ ... > е(п) (упражнение 2). Тогда WU = VD и, как следствие
леммы 25.8, А[ГЖ] изоморфен А[ГЖС/] = А[ГУР].
(3) Положим А = ГУ, где матрица V взята из (2). Тогда модуль М =
= А[Г] изоморфен А[Д] по лемме 25.8. Теперь, применяя (2), видим, что
N изоморфен А[Д£>].	□
Лемма 25.9 редуцирует проблему изоморфизма двух квазиизоморф-
ных кочисто неразложимых модулей М и N к случаю, когда М = А[Г]
и N = А[Г1>] для некоторой диагональной матрицы D с диагональными
элементами ре^\... ,ре^ и е(1) ^ ... ^ е(п).
Приведем критерий изоморфизма для кочисто неразложимых моду-
лей М с r(End(A/)) = 1. В этом случае End(M) = R. Такие моду-
ли изобилуют, если степень расширения [К : К] достаточно велика
(см. упражнение 10).
Теорема 25.10 (Арнольд—Дугас [60]). Предположим, что М = А[Г]
есть кочисто неразложимый модуль с r(End(Af)) = 1 и N = А[Г£>]
для некоторой диагональной матрицы D с диагональными элемента-
ми ре^\... ,ре^ и е(1) ^ ... ^ е(п). Тогда М и N изоморфны, если
и только если е(1) = ... = е(п).
Доказательство. Определим отображение <р: (R)n —> (7?)п, полагая
<^(ж) = xD. Тогда tp индуцирует гомоморфизм из М = А[Г] в N — А[Г£>],
так как
<р: КМ = Кп ® КТ KN = Кп ® KTD.
210
Глава 5. Модули без кручения
Высота гомоморфизма у? как элемента 7?-модуля Нот(ЛД ТУ) равна е(п).
Далее,
КНот(М,АГ) =* KEnd(M) = К.
Поэтому Нот(Л/, N) = R(l/pe^)p ввиду того, что гомоморфизм
(1/ре(п))у? не делится на р и, следовательно, является образующим эле-
ментом Д-модуля Hom(M, TV). Отсюда ясно, что М и N изоморфны
в точности тогда, когда (1/ре(п))у? — изоморфизм. Поскольку (1/ре(п))у?
действует как умножение на матрицу (l/pe(n))D, то изоморфизм моду-
лей М и N равносилен обратимости этой матрицы. Это же эквивалентно
наличию равенств е(1) = ... = е(п).	□
В статье Арнольда и Дугаса [60] исследуется также проблема класси-
фикации для кочисто неразложимых модулей М таких, что r(End(A/)) =
= r(TVf) или 1 < r(End(TVf)) < г(М). Заметим, что поскольку End(M) —
область, то всегда r(End(Af)) < r(Af). Действительно, для фиксирован-
ного ненулевого элемента а е М отображение а —> а(а), а G End(M),
является вложением Д-модулей End(M) —> М. Приводятся интерес-
ные примеры кочисто неразложимых модулей ранга 3. Они иллюстри-
руют трудности нахождения точного описания классов изоморфизма ко-
чисто неразложимых модулей, квазиизоморфных данному кочисто нераз-
ложимому модулю. Арнольд, Дугас и Рангасвами [62] рассматривают
конечные прямые суммы чисто неразложимых модулей. Они называют
их рг-разложимыми модулями. Направления исследований этой статьи:
поиск числовых инвариантов относительно изоморфизма рг-разложимых
модулей, гомоморфные образы без кручения рг-разложимых модулей
и модули, квазиизоморфные рг-разложимым (см. далее [66]).
Упражнение 1. Пусть V — п х n-матрица над кольцом Д с ненулевым
определителем. Показать, что, умножая справа матрицу V на некоторые об-
ратимые матрицы, можно получить верхнюю треугольную матрицу W = (w-tj)
с ненулевым определителем и h(wa) > h(wij) всякий раз, когда 1 i < j п
и Wij / 0. (Умножение столбца на обратимый элемент и перемену столбцов
местами можно получить путем указанных умножений.)
Упражнение 2. Если W — матрица с ненулевым определителем, то суще-
ствуют обратимые матрицы V и U такие, что V-1WU есть диагональная
матрица с диагональными значениями ре^\... ,ре^ и е(1) > ... > е(п).
Упражнение 3. Пусть В — базисный подмодуль модуля М без кручения
конечного ранга. Если М' с Л/ и М/М' — ограниченный модуль, то В' =
= В Г) М' есть базисный подмодуль модуля М'. Далее, если В' С В и В/В' —
ограниченный, то существует М' с М такой, что М/М' — ограниченный
и В' = В П М'.
§ 25. Чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули
211
Упражнение 4. Фактормодуль М/А кочисто неразложимого модуля М
является сильно неразложимым для любого чистого подмодуля А.
Упражнение 5.
(а)	Пусть М — редуцированный модуль без кручения с гр(М) = п, г(М) =
= п + к. Существует точная последовательность модулей
о—> м —> а ф • • • ф лп —> £> —>о,
где D — делимый без кручения и Ai — чисто неразложимый модуль с
r(Ai) к + 1 для г = 1,..., п.
(Ь)	Сформулируйте и докажите двойственное утверждение для коредуциро-
ванного модуля М.
Упражнение 6. Проверьте справедливость равенств
A(ai,..., ап) =	..., ап) П Я,
KA(ai)..., ап) = К ф Kai Ф • • • Ф Кап
и
KEnd(A((2i, • • • , ап)) =
= {г е К ф Kai Ф • • • Ф Кап \rai е К ф Kai Ф • • * Ф Кап, 1 i п}.
Упражнение 7 (Капланский [189], Арнольд [60]). Пусть V —векторное
К-пространство размерности п+1 с базисом x,yi,. ..,уп. Выберем некоторые
элементы ai,...,an 6 R. Пусть aj = limay, где е Я, j = 1,..., n, i =
0,1,2,... Положим
п
Wi = х + CLijyji i 0.
J=1
Пусть М — Я-подмодуль в V, порожденный элементами
yi,...,yn, w0, wi/p, ...,Wi/p\...
Тогда
(1)	rp(M) = n, r(M) = n + 1, и элементы pi,...,pn порождают базисный
подмодуль модуля М\
(2)	М является коредуцированным в точности тогда, когда система
{1, ai,...,
линейно независима; в этом случае М — кочисто неразложимый модуль;
(3)	всякий модуль М с гр(М) = п, г(М) = п + 1 с точностью до изоморфизма
может быть сконструирован данным способом.
212
Глава 5. Модули без кручения
Упражнение 8. Доказать, что модуль А [Г] кочисто неразложим в точности
тогда, когда {1,ai,ап} — линейно независимая система элементов Я-мо-
дуля R.
Упражнение 9. Докажите, что F(A(ai,... ,ап)) ~ А[Г] и Р(А[Г]) =
= А(сц,...,ап).
Упражнение 10. Пусть вектор Г = (ai,...,an) такой, что {l,ai,...,
anjO^ai,... ,anai} — линейно независимая система для любого i. Тогда
r(End(4[r])) = 1.
Упражнение 11. Пусть М С N, где М — чисто неразложимый, a N —
редуцированный модуль без кручения конечного ранга. Тогда М = М„, где
— чистый подмодуль в М, порожденный М (см. свойство (7) в §7).
§ 26. Неразложимые модули над областями нормирования Нагаты
В этом параграфе мы затронем проблему классификации неразложимых
модулей без кручения конечного ранга. В полной своей общности она
чрезвычайно трудна (некоторая информация по этому поводу есть в за-
мечаниях в конце параграфа и главы). Обратим внимание на то, что чи-
сто неразложимые и кочисто неразложимые модули всегда неразложимы.
Мы рассмотрим эту проблему для модулей над областями нормирования
Нагаты. Для таких областей дискретного нормирования расширение по-
лей К < К обладает рядом специфических свойств. Какие-то из них мы
будем использовать. Прежде чем их рассмотреть, приведем несколько
фактов общего характера о расширениях полей. Все они хорошо извест-
ны и содержатся, например, в книгах Бурбаки [82], Зарисского и Са-
мюэля [320, 321]. Читатель, конечно, знаком с первичными понятиями
теории расширений полей. Остановимся лишь на сепарабельных и чисто
несепарабельных расширениях и свойствах нормирований полей.
Пусть F — некоторое поле. Многочлен f(x) над полем F называется
сепарабельным, если он не имеет кратных корней ни в каком расши-
рении поля F. Предположим, что поле Е является алгебраическим (в
частности, конечным) расширением поля F. Элемент а поля Е называет-
ся сепарабельным над F, если а является корнем сепарабельного над F
многочлена. Это равносильно тому, что минимальный многочлен элемен-
та а над полем F сепарабелен. Если каждый элемент из Е сепарабелен
над F, то говорят, что Е — сепарабельное расширение поля F. Элемент а
называется чисто несепарабельным над F, если существует целое число
п > 0 такое, что адП лежит в F для некоторого простого числа q. Если
каждый элемент из Е чисто несепарабелен над F, то говорят, что Е —
§26. Неразложимые модули над областями нормирования Нагаты
213
чисто несепарабельное расширение поля F. В таком случае характери-
стика поля F обязательно конечна, скажем q, и минимальный многочлен
всякого элемента из Е над F имеет вид xqn — с при некоторых п 0 и
с е F. Если Е — произвольное алгебраическое расширение поля F, то все
элементы поля Е, сепарабельные над F, образуют поле, которое является
максимальным сепарабельным расширением поля F, содержащимся в Е.
Введем несколько новых понятий, касающихся нормирований полей
и соответствующих колец нормирований (нормирования и кольца норми-
рования определены в §3). Пусть F — поле, (Г, ^) — линейно упорядо-
ченная группа и и — нормирование поля F со значениями в Г. Образ и
как отображения F* —> Г будет упорядоченной подгруппой в Г, называе-
мой группой значений нормирования и. Пусть —два нормирования
поля F со значениями в Г. Они называются эквивалентными, если су-
ществует сохраняющий порядок изоморфизм <р группы значений u^F* на
группу значений U2F* (т. е. р — изоморфизм упорядоченных групп) та-
кой, что V2 = Нормирования щ и V2 эквивалентны в точности тогда,
когда кольца этих нормирований, рассматриваемые как подкольца поля
F, совпадают. Таким образом, имеется биективное соответствие между
кольцами нормирования поля F и классами эквивалентности нормирова-
ний.
Напомним вкратце несколько фактов о поведении нормирований при
расширении полей. Пусть Е — расширение поля F и R' — кольцо норми-
рования и' поля Е (со значениями в Г). Сужение и отображения и' на
F является нормированием поля F с кольцом нормирования R, равным
F П R'. Группа значений нормирования и представляет собой подгруппу
группы значений нормирования и'. Обратно, всякое нормирование по-
ля F имеет продолжение до нормирования поля Е. Индексом ветвле-
ния нормирования и' относительно нормирования и называется индекс
\у'Е* : vF*\ группы значений нормирования и в группе значений норми-
рования и', который обозначается через e(i/'/i/).
Кольца R и R' являются в соответствии с §3 локальными. Поля
R/J(R) и R!/J(R'} называют полями вычетов колец R и R' соответ-
ственно. Поскольку J(R) = J(R') П F, то имеем вложение полей
R/J(R) R'/J(R!)
(г + 7(7?) —> г + J^R'), г е R). С помощью этого вложения поле вы-
четов R/J^R) отождествляется с определенным подполем поля вычетов
R'/J(R'). Степенью вычетов нормирования и1 относительно нормирова-
ния и называется степень расширения [R'/J(R') : R/J(R)] поля R'/ J(R')
относительно поля R/J(R) и обозначается через /(р'/р).
214
Глава 5. Модули без кручения
Полной системой продолжений нормирования и на поле Е называется
семейство нормирований поля Е, продолжающих нормирование и,
такое, что всякое нормирование поля Е, продолжающее и, эквивалентно
одному и только одному из 17'. Важные свойства продолжений нормиро-
ваний собраны в следующей теореме (см. Бурбаки [82, глава VI, §8]).
Теорема. Пусть F — поле, и — нормирование поля F и Е — конечное
расширение степени п поля F. Тогда
(а)	любая полная система продолжений нормирования и на
Е конечна;
(Ь)	имеет место неравенство	< п;
(с)	кольца нормирований попарно не сравнимы в смысле отноше-
ния включения.
В некоторых случаях неравенство в (Ь) можно заменить на равенство.
Следствие. Допустим, что нормирование и дискретно, а расширение
Е сепарабельно над F. Тогда
^е(иУиг)/^/и) = п,
г=1
где	— полная система продолжений нормирования и на по-
ле Е.
Относительно дискретных нормирований еще заметим, что если и1 —
некоторое продолжение нормирования и поля F на поле Е, то для того
чтобы и1 было дискретным, необходимо и достаточно, чтобы дискретным
было нормирование и.
Пусть Vy = {ж € F | и(х) > 7}, где 7 е Г. Совокупность всех под-
групп Vy, 7 е Г, аддитивной группы поля F образует базис окрестно-
стей нуля топологии Т поля F, называемой топологией, определяемой
нормированием и. Топология Tv хаусдорфова и отображение и: F* —> Г
является непрерывным, если считать, что группа Г наделена дискретной
топологией. Если и дискретно, то топология на кольце нормирования и,
индуцированная топологией Т„, совпадает с р-адической. (Это, однако,
не так в общем случае (упражнение 2).) Пополнение F поля F отно-
сительно топологии Ти является топологическим полем; нормирование и
единственным образом продолжается по непрерывности до нормирования
§26. Неразложимые модули над областями нормирования Нагаты
215
Р: F* —► Г. Топология поля F есть топология, определяемая нормирова-
нием 9. Кольцо нормирования Р является пополнением кольца норми-
рования г/. Для дискретного нормирования и пополнение F совпадает
с полем частных кольца нормирования и.
Пусть R — некоторая область дискретного нормирования. Тогда К
и К — топологические поля относительно соответствующего дискретно-
го нормирования и, К — пополнение поля К, где по-прежнему К — поле
частных области R, К — поле частных р-адического пополнения R об-
ласти R. р-адическая топология на R и R совпадает с индуцированной
топологией. Нормирование и поля К имеет единственное продолжение
до нормирования поля К.
Определим теперь области нормирования Нагаты. Из R = R П К
нетрудно видеть, что размерность К как пространства над К равна рангу
7?-модуля R. Назовем R областью нормирования Нагаты, если степень
расширения [К : К] поля К над К конечна и больше единицы (и, таким
образом, R не является полной областью). Существование таких обла-
стей нормирования установлено Нагатой [245, пример Е 3.3].
Пусть R — область нормирования Нагаты. Докажем, что К есть чи-
сто несепарабельное расширение поля К (см. Рибенбойм [253]). Пусть
(р) — бесконечная циклическая группа, где р — простой элемент коль-
ца R, и: К* —> (р) — каноническое нормирование, указанное в §3. Оно
продолжается до канонического нормирования и: К* —» (р). Как замече-
но недавно, и является единственным продолжением и до нормирования
поля К.
Допустим теперь, что F — сепарабельное расширение поля К, лежа-
щее в К. Любое нормирование поля F может быть продолжено до нор-
мирования поля К. Поэтому и имеет единственное продолжение до нор-
мирования поля F и в формуле из следствия, записанного выше, $ = 1.
Пусть и1 — продолжение и до нормирования поля F. Тогда
е(у'/ и) f (у'/ и) = [F : К].
Ввиду выбора и, имеем е(у'/и) — 1. Далее, так как
R/pR С R'/pR' С R/pR = R/pR,
где R' — кольцо нормирования и' (см. место перед определением степени
вычетов нормирования), то R/pR = R'/pR', откуда f(y'/и) — 1. Получи-
ли [F : К] = 1 и F = К, что влечет чистую несепарабельность К над К.
Можно сделать важный вывод о том, что поля К и К имеют конечную
характеристику q и [К : К] есть степень q. Для каждого а е К найдется
п > 0 с aqn € К.
216
Глава 5. Модули без кручения
Прежде чем перейти к модулям над областями нормирования Нагаты,
сделаем некоторые замечания. Во-первых, если степень [К : Я] беско-
нечна, то Я-модуль R имеет бесконечный ранг. В такой ситуации су-
ществуют неразложимые модули без кручения любого конечного ранга
(пример 11.9). Если же [К : Я] = 1, то R = R. Неразложимые модули без
кручения теперь —это R или К (следствие 11.8). Далее существенно ис-
пользуются результаты предыдущего параграфа. Особо отметим, что все
появляющиеся далее редуцированные неразложимые модули являются
чисто неразложимыми или кочисто неразложимыми.
Пусть до конца параграфа Я —область нормирования Нагаты. Начнем
с минимально возможного случая, когда [Я : Я] = 2. Для таких областей
Я имеем т(Я) = 2 и гр(Я) = 1. Теорема 26.1 (как и 26.2) получена Занар-
до [319] с использованием матричных инвариантов Куроша для модулей
без кручения конечного ранга (по поводу этих инвариантов см. замечания
к главе).
Теорема 26.1. Пусть М — неразложимый модуль конечного ранга. То-
гда М изоморфен R, К или R.
Доказательство. Если r(M) = 1, то М изоморфен Я или Я. Пусть
г(Л1) = 2. При гр(М) = 2 М будет свободным модулем (см. начало §23),
а при Гр(ЛТ) = О М делим. В любом случае М — разложимый, что невоз-
можно. Остается гр(М) — 1. Следовательно, М — чисто неразложимый
модуль (чисто неразложимые и кочисто неразложимые модули исследо-
вались в предыдущем параграфе). Он изоморфен некоторому чистому
подмодулю N модуля Я. Так как г(Я) — r(R), то N = Я, откуда М = Я.
Предположим, что г(Л1) — 3. Как и в предыдущем абзаце, находим,
что гр(М) = 1 или гр(М) — 2. В первом случае М должен быть изомор-
фен некоторому чистому подмодулю в Я, чего не может быть из условий
на ранги. При гр(М) = 2 М будет кочисто неразложимым модулем. То-
гда F(M) — чисто неразложимый модуль ранга 3 (предложение 25.5). Как
только что замечено, это абсурд. Итак, неразложимых модулей ранга 3
не существует. Предположим теперь, что всякий редуцированный модуль
без кручения ранга <п, где п 3, есть прямая сумма модулей вида Я
или Я. Возьмем редуцированный модуль М без кручения ранга п. По-
нятно, можно считать, что М коредуцирован. Модуль М не может быть
кочисто неразложимым, так как тогда F(M) — чисто неразложимый мо-
дуль ранга п. Значит существует чистый несвободный подмодуль N в М
ранга п — 1 (предложение 25.5). По предположению индукции
Я = Яф---фЯфЯф---фЯ,
§26. Неразложимые модули над областями нормирования Нагаты
217
причем слагаемые вида R обязательно присутствуют. Подмодуль
R® • • • ®R
как чистый полный является прямым слагаемым:
М = R®    ® R® X.
К модулю X можно применить индуктивное предположение.	□
Получается, что при [К: К] =2 любой модуль без кручения конечного
ранга есть прямая сумма делимого, свободного и полного модулей.
Перейдем к значительно более сложной ситуации, когда [К : К] = 3.
Тогда имеем, что характеристика поля К равна трем и а3 € К для любого
а G К. Зафиксируем некоторый обратимый в R элемент и, не лежащий
в R. Тогда и3 — w G R и, таким образом, w — обратимый элемент в R.
Затем получаем К — К(и), и элементы 1, и, и2 образуют базис /Т-прос-
транства К и максимальную линейно независимую систему элементов
модуля R. Здесь через К (и) обозначено простое расширение поля К,
полученное присоединением элемента и.
Рассмотрим неразложимые модули ранга ^2. Пусть а — некоторый эле-
мент из дополнения R\R. Вспомним, что А(а) обозначает чистый подмо-
дуль в R, порожденный элементами 1, а. (Можно также этот подмодуль
обозначить как А[а]; фактически, А(а) = А[а], см. §25.) Имеем, что А(а)
есть чисто неразложимый модуль ранга 2. Все сказанное справедливо
для модуля А(и), где и —выбранный выше элемент. Роль этого модуля
ясна из следующего результата.
Теорема 26.2 (Занардо [319]). Если М — неразложимый модуль ранга
<2, то М изоморфен R, К или А(и).
Доказательство. Как и в предыдущей теореме, можно сразу пред-
полагать, что г(М) = 2. Так же получается, что rp(M) = 1 и М —
чисто неразложимый модуль. Тогда М = А(а) для некоторого элемен-
та а е R \ R (см. §25). Проверим, что А(а) = А(и) для любого такого
элемента а. Учитывая, что 1, и, и2 — базис К-пространства К, имеем
га = го + riu + Г2и2 для некоторых г, г» е R, при этом г / 0. Так как
А(а) = А(га), то можно считать, что г — 1. Далее, очевидно, А(а) =
= A(riu + Г2И.2). Последний модуль для упрощения записей обозначим
A(su + tu2), где s,t е R. Умножение кольца R на элемент s — tu явля-
ется эндоморфизмом Л-модуля R. Поскольку умножение на s — tu есть
ненулевой гомоморфизм из A(su + tu2) в А(и), то по предложению 25.2
эти модули изоморфны. Следовательно, А(а) = А(и).	□
218
Глава 5. Модули без кручения
Пусть a, b € R \ R и Г = (а, Ь) — вектор. Все появляющиеся далее
векторы будут векторами длины 2. Напомним, что в §25 символ А[Г]
подразумевает чистый подмодуль в R ф R, порожденный модулем R® R
и вектором Г. Будем здесь обозначать этот подмодуль как А[а, Ь]. Нераз-
ложимость модуля А[а, 6] равносильна тому, что 1, а, Ь — линейно незави-
симые элементы в R (см. упражнение 8 в §25). В таком случае А[а, Ь] —
кочисто неразложимый модуль р-ранга 2 и ранга 3. Имеем соотношения
КА[а, 6] = К(1,0) ф Д(0,1) Ф Д(а, Ь)
и
А[а,Ь] = ДА[а, 6] П(Дф Л)
(упражнение 6 в §25). Напомним еще обозначение А(а,Ь) из §25. Под
А(а, Ь) понимается чистый подмодуль в R, порожденный элементами 1,
а, Ь. Если эти элементы линейно независимы, то А(а, b) = R. Следова-
тельно,
A[a,b] ~F(A(a,b)) = F(R)
(здесь F — двойственность Арнольда; см. §§ 24, 25 и упражнение 9 из
§25). Таким образом, модули вида А[а,Ь], где 1, а, Ь — линейно независи-
мые элементы, попарно квазиизоморфны. В частности, А[а, Ь] ~ А[и,и2].
В действительности, Арнольд и Дугас в статье [58] установили следую-
щее. Если М — неразложимый модуль без кручения ранга 3, то М изо-
морфен R или Afttjp’u2] для некоторого j 0. Произвольный неразложи-
мый модуль без кручения конечного ранга изоморфен какому-то модулю
из списка: R, К, R, А(и) и А[и,р>и2] для всевозможных j 0. При этом
авторы существенно используют результат Леди [201] о том, что модуля-
ми данного списка исчерпываются с точностью до квазиизоморфизма все
сильно неразложимые модули без кручения конечного ранга (подчерк-
нем, что, естественно, [Д : Д] = 3). В заключение своей статьи Арнольд
и Дугас доказывают, что если [Д : Д] > 4, то для данного т 2 суще-
ствует сильно неразложимый (и, значит, неразложимый) модуль р-ранга
т и ранга 2т.
Упражнение 1. Пусть а — элемент поля Е, являющегося алгебраическим
над подполем F поля Е, и пусть / — минимальный многочлен элемента а
степени п. Тогда
(1)	простое расширение F(a) изоморфно факторкольцу Д[а:]/(/), где (/)—
идеал, порожденный /;
(2) [Д(а) : F] = п и {1,а,... ,ап-1} — базис векторного пространства F(a)
над F.
§26. Неразложимые модули над областями нормирования Нагаты
219
Упражнение 2. Пусть у — некоторое нормирование поля F, R — его коль-
цо нормирования, J — его максимальный идеал. Для того чтобы топология,
определяемая нормированием у на кольце Я, совпадала с J-адической, необ-
ходимо и достаточно, чтобы R было полем или областью дискретного норми-
рования. (J-адическая топология определена в §14.)
Оставшиеся упражнения составлены по статьям Арнольда и Дугаса
[58] и [60]. Модули в них рассматриваются над областью R такой, что
[К : К] = 3. Обозначения такие же, как в теореме 26.2 и тексте после её
доказательства.
Упражнение 3.
(а)	А[и,рги2] = А\рги, и2] для любого г 1.
(Ь)	Если А[и,рги2] = A[u,piu2], то г = j.
(с)	Существуют вложения
А[и,рги2] —► А[гг,рг-1гг2] и А[гг,рг-1гг2] —► А[и,рги2].
В каждом случае образ имеет индекс р.
Упражнение 4. Если М и N — неразложимые модули без кручения
р-ранга 2 и ранга 3, то 1гм(АТ) = АГ, где 1гм(АГ) = 52 Im(^) и пробе-
гает все гомоморфизмы из М в N; это так называемый след М в N.
Упражнение 5. Предположим, что N — модуль без кручения конечного
ранга с подмодулем X таким, что А = N/X = А(и) или A[iz,plu2] для
некоторого i 0. Если 1гд(АГ) = АГ, то X является прямым слагаемым
модуля N.
Упражнение 6. Я-модули А[и,и2] и End(A[iz,iz2]) изоморфны.
Замечания. Рибенбойм [253] исследовал области нормирования Нагаты.
Другие результаты в более общей ситуации можно найти у Факкини—
Занардо [107].
Арнольд [52] перенес свою двойственность, изложенную в §24, на
категорию квазигомоморфизмов факторно-делимых абелевых групп без
кручения конечного ранга. Еще раньше Уорфилд [299] открыл двойствен-
ность для локально свободных групп без кручения. Она индуцируется
функтором Нош(—, А), где Л —группа ранга 1. Их исследования продол-
жили Фомин [38, 39] и Винсонхалер и Уиклесс [293]. Они установили
двойственности, объединяющие двойственности Уорфилда и Арнольда.
Другие двойственности и эквивалентности для абелевых групп открыты
в работах Фомина и Уиклесса [117, 118, 119, 120].
В замечаниях к главе 3 уже констатировалась исключительная важ-
ность эквивалентностей и двойственностей в категорном смысле. Тео-
ремы 13.1 и 22.2 дают примеры эквивалентностей. В статье Леди [201]
220
Глава 5. Модули без кручения
установлены эквивалентности между некоторыми категориями квазиго-
моморфизмов модулей без кручения конечного ранга и некоторыми кате-
гориями конечно порожденных модулей над определенной наследствен-
ной артиновой F-алгеброй. Затем он использовал известные свойства
этой алгебры и модулей над ней. Образцом для подобных теорем служат
эквивалентности и двойственности Мориты (см. Фейс [36]).
Мы рекомендуем читателю глубокое исследование Леди [201, 202,
203]. Автор ввел и успешно использовал понятие «поле расщепления»
модуля без кручения. Ниже под М подразумевается модуль без круче-
ния конечного ранга над областью дискретного нормирования R. Пусть
F — такое поле, что К С F С К, и положим S = R П F. Поле F на-
зывается полем расщепления для модуля М или говорят, что М есть
F-разложимый модуль, если 3®М является прямой суммой свободного
и делимого S-модулей. В таком случае S будет областью дискретного
нормирования с простым элементом р. Модуль М всегда имеет поле рас-
щепления F, являющееся конечным расширением К. Чисто неразложи-
мый или кочисто неразложимый модуль М обладает единственным наи-
меньшим полем расщепления. Основные рассмотрения Леди относятся к
ситуации, когда степень поля расщепления F над К конечна. При таком
предположении для категории квази гомоморфизмов F-разложимых мо-
дулей установлена эквивалентность, указанная ранее. Это привело Леди
к классификации с точностью до квазиизоморфизма сильно неразложи-
мых F-разложимых модулей при [F : К] = 2 или 3. Их оказалось ко-
нечное число. Если [F : К] 4, то существуют сильно неразложимые
F-разложимые модули сколь угодно большого ранга. Понятно, что для
области нормирования Нагаты поле К будет полем расщепления для лю-
бого модуля М, и следовательно, применимы результаты Леди. В таком
ключе они уже упоминались в § 26.
Известные матричные инварианты Куроша (см. [199] и [41, §93]) опре-
деляют абелеву группу без кручения конечного ранга с точностью до изо-
морфизма. Арнольд предложил модернизированную версию этих класси-
ческих инвариантов для модулей без кручения конечного ранга и исполь-
зовал её в [51]. Позднее эту версию применил Занардо [319].
Небольшое исследование, выполненное в §26 (см. также §§24, 27
и 29), относится к проблеме существования и единственности прямых
разложений модулей. Для модулей без кручения над коммутативной об-
ластью естественной задачей в контексте этой проблемы является нахож-
дение наибольшего возможного ранга неразложимых модулей без круче-
ния конечного ранга. Крупный вклад в решение этой задачи для модулей
над областями нормирования (не обязательно дискретными) внес Вамош.
Заинтересованному читателю, конечно, нужно познакомиться с его сти-
§26. Неразложимые модули над областями нормирования Нагаты
221
мулирующей работой [289], в которой решается несколько проблем и,
кроме того, излагаются сопутствующие результаты. Следуя Вамошу, для
коммутативной области R положим fr(7?) = п, если существует неразло-
жимый Я-модуль без кручения ранга п и всякий Я-модуль без кручения
конечного ранга, большего п, разложим; £г(Я) = оо означает, что для
всех положительных целых чисел т существуют неразложимые Я-мо-
дули без кручения конечного ранга, превышающего т. Матлис иссле-
довал области с £г(Я) = 1. Когда Я —область нормирования, результат
Капланского [191] и Матлиса [224] утверждает, что £г(Я) = 1 в точно-
сти тогда, когда Я —максимальная область. Доказанные и упомянутые
в §26 факты мы можем теперь представить так. Если степень расшире-
ния [Я : К] бесконечна, то £г(Я) = оо и £г(Я) = п для [К : Я] = п, где
п = 1,2 или 3. Если же эта степень ^4, то £г(Я) = оо.
Пусть Я —кольцо всех рациональных чисел, знаменатели которых не
делятся на числа из фиксированного конечного множества простых чисел
(Я — пересечение конечного числа областей Zp). Яковлев [48] дал описа-
ние категории прямых слагаемых прямых сумм нескольких экземпляров
Я-модуля А без кручения конечного ранга (как моноида с операцией, ин-
дуцированной прямым сложением); см. еще [47], а также книгу Факкини
[Ю6].
Под единственностью прямых разложений данного модуля обычно по-
нимают справедливость для него теоремы Крулля—Шмидта. Информация
об этой теореме и примыкающих исследованиях есть в конце §27. Ва-
мош [289] и Леди [201] показали, что теорема Крулля—Шмидта выпол-
няется для каждого модуля без кручения конечного ранга над областью
дискретного нормирования в точности тогда, когда область является ген-
зелевым кольцом. Общая теория гензелевых колец разработана в книге
Нагаты [245].
В конце § 25 упоминались исследования Арнольда, Дугаса и Рангасва-
ми рг-разложимых модулей, рг-разложимый модуль — это конечная пря-
мая сумма чисто неразложимых модулей. Класс рг-разложимых модулей
можно расширить в следующем направлении. Обозначим через А класс
всех конечных прямых сумм модулей М без кручения конечного ранга
таких, что End(M) — область дискретного нормирования (см., например,
упражнение 7 в §37), Д' —класс всех модулей, квазиизоморфных моду-
лям из А.
Проблема 11. Изучить свойства модулей из классов А и А!.
222
Глава 5. Модули без кручения
Проблема 12.	(а) Вычислить радикал Джекобсона кольца эндомор-
физмов модуля из класса Д'.
(Ь) Найти группы автоморфизмов модулей из А'.
В случае абелевых групп модулям из класса А соответствуют конеч-
ные прямые суммы групп А без кручения конечного ранга таких, что
End(A) — сильно однородное кольцо. (Материал, связанный с подобны-
ми группами, есть в [196, глава 7] и, особо, в упражнениях к [196, §41].)
рг-разложимым модулям соответствуют прямые суммы групп без кру-
чения конечного ранга с циклическими p-базисными подгруппами (они
рассматриваются в [196, §44]). В аналог класса А! попадают все почти
вполне разложимые группы, т. е. подгруппы конечного индекса вполне
разложимых групп без кручения конечного ранга. Подробная теория этих
групп изложена в книге Мадера [222].
ГЛАВА 6
СМЕШАННЫЕ МОДУЛИ
В главе 6 рассматриваются перечисленные ниже темы:
единственность и уплотнение разложений в аддитивных категориях
(§27);
изотипные, хорошие и сбалансированные подмодули (§28);
категории Walk и Warf (§29);
просто представленные модули (§30);
базисы разложения и продолжение гомоморфизмов (§31);
модули Уорфилда (§32).
В §§11, 21 и 22 мы уже имели дело со смешанными модулями. Эта
глава полностью посвящена таким модулям. Теория смешанных моду-
лей некоторый период находилась в застойном состоянии по сравнению
с теориями примарных модулей и модулей без кручения. Но в настоящее
время она стала активным ареалом исследований. Эта ситуация уже оче-
видна в пределах много изучаемых подклассов прямых сумм смешанных
модулей ранга без кручения 1.
Смешанные модули «собираются» из примарных и модулей без кру-
чения. Поэтому они наследуют многие сложности строения последних
объектов. Трудности добавляются и в процессе «сборки».
В соответствии с определением, данным в §4, смешанный модуль М
обязательно содержит ненулевые элементы конечного порядка и элемен-
ты бесконечного порядка. Напомним, что t(M) — периодический (или
примарный) подмодуль модуля М, т. е. множество всех его элементов ко-
нечного порядка. Ранг фактормодуля M/t(M) (он не имеет кручения)
мы назвали ранее рангом без кручения модуля М. В настоящей главе
ранг без кручения смешанного модуля М будем для краткости называть
рангом модуля М. Это не приведет к путанице.
Смешанный модуль М такой, что М = t(M) ф F для некоторого мо-
дуля без кручения F, называется расщепляющимся. Модуль М всегда
расщепляющийся, если t(M) — ограниченный модуль или	— сво-
бодный модуль.
224
Глава 6. Смешанные модули
Глава очень богата содержанием. В §27 мы работаем с произволь-
ной аддитивной категорией, а в §29 с двумя категориями модульного
происхождения. Рассматриваем несколько видов подмодулей, играющих
важную роль для смешанных модулей (§28). В оставшихся §§30-32
развивается теория одного класса смешанных модулей. Ее кульминацией
является теорема 32.6.
Не будет никакой потери общности, если мы будем считать все мо-
дули редуцированными (если не оговорено противное). Это значительно
сокращает рассуждения и запись.
Буква ш всегда обозначает первый бесконечный ординал.
§ 27. Единственность и уплотнение разложений в аддитивных
категориях
Рассмотрим две весьма общего характера теоремы об изоморфизме пря-
мых разложений и уплотнений прямых сумм в аддитивной категории.
(Эти понятия были введены перед теоремой 8.6.) Параграф основан на
статье Уокер и Уорфилда [295]. Мы работаем в некоторой аддитивной
категории £. Различная информация об аддитивных категориях имеется
в §§ 1 и 24. Напомним еще несколько простых категорных понятий. Дру-
гие более специальные вещи будут определяться по мере необходимости.
Морфизм f: А —> В категории £ называется мономорфизмом, если
для любого объекта X и любых морфизмов g,h: X —> А из gf = hf
следует д = h. Композиция двух мономорфизмов есть мономорфизм; если
fg — мономорфизм, то f — мономорфизм.
Если f: А —> М — мономорфизм, то А называется подобъектом объ-
екта М; пишем А с М. Строго говоря, подобъект — это пара (А,/).
Чтобы не усложнять запись и речь, мы всюду, где это не сможет повлечь
путаницы, будем вместо (A, f) или f: А —> В писать просто А. При этом
мы опираемся на понятие эквивалентности для мономорфизмов. Два мо-
номорфизма f: А —> М ид: В —> М называются эквивалентными, если
существуют морфизмы е: А —> В и h: В —> А такие, что f — ед и д = hf.
Несложно убедиться, что такие е и h являются однозначно определен-
ными изоморфизмами. Теперь в каждом классе эквивалентных мономор-
физмов можно выбрать по представителю и считать его подобъектом.
Отношение с между подобъектами является отношением частичного
порядка. Точная нижняя грань для подобъектов А и В объекта М (если
она существует) называется их пересечением и обозначается А О В.
Перейдем к прямым суммам в категории £. Многие их свойства подоб-
ны соответствующим свойствам прямых сумм модулей. Также говорят,
§27. Единственность и уплотнение разложений в аддитивных категориях
225
что подобъект А с М есть прямое слагаемое объекта М, если существу-
ет подобъект В с М такой, что М = А ф В. У нас уже есть лемма 24.1.
Рассмотрим еще два свойства.
Лемма 27.1. Пусть М — объект категории £, и М = А® В с вложе-
ниями ед, ев и проекциями рд, рв- Тогда
(1) если ес - С М — мономорфизм и есрд- С —> А — изоморфизм,
то М = С ф В с вложениями ес, ев и проекциями qc =
= Ра^сРаГ1, Qb = (1м - Ясес)рв',
(2) если М — С ф D с вложениями ес, ео и проекциями pc, pd
и едрс  А —> С — изоморфизм, то В = D.
Доказательство. (1) Вычисления показывают, что ecqe = 0, евяс =
= 0, ecqc = 1с> евЧв = 1в и 1м = Чсес + Увев- Осталось сослаться на
лемму 24.1.
(2) По (1) получаем разложение М = А ф D с вложениями ед, ео
и проекциями qA, qD, где qA - рс(едрс)~1 и qD = (1м - <7лвл)рд>-
Утверждаем, что еоРв- D —> В —изоморфизм с обратным евуо'- В —>
—> D. Действительно, имеем
евЧоеоРв = ев(ядед + qoeo^PB = ев^мРв = еврв = 1в
и
еоРвевЯо = ео(рдед + Pbcb^ID — eoqD = lp-
□
Определения изоморфных прямых разложений модуля, уплотнения
прямого разложения, данные перед теоремой 8.6, без изменений пере-
носятся на прямые разложения объектов аддитивной категории.
Сначала рассмотрим конечные прямые суммы.
Теорема 27.2 (Уокер—Уорфилд [295]). Пусть М — объект аддитивной
п
категории £ такой, что М = ф Ai, где End(Aj) — локальное кольцо
г=1
т
для всех i. Если М = Q) Bj, где кольцо End (By) не имеет идемпотен-
j=i
тов, кроме 0 и 1, j = 1,..., т, то т = п, и существует перестановка
0 множества {1,2, ...,п} такая, что Ai = Вв^, г = 1,...,п. Произ-
вольное прямое разложение объекта М уплотняется до разложения
в самое большее п неразложимых слагаемых.
8 — 4473
226
Глава 6. Смешанные модули
Доказательство. Пусть е;: А; —> М и fa: Bj —> М — вложения,
Pi: М —> Ai н qj: М -+ Вj — проекции для данных двух прямых сумм.
Тогда e^jfjPi есть тождественный морфизм объекта Ai. Поскольку
End(Ai) — локальное кольцо, то одно из слагаемых является обратимым
элементом этого кольца (предложение 3.1). Перенумеровав, если нужно,
мы предположим, что это есть элемент 7 = eiqifapi. Теперь рассмотрим
эндоморфизм /iPi7-1eiQi объекта Bi. Вычислив, находим, что он явля-
ется идемпотентом и, значит, ввиду предположения, должен равняться О
либо 1. Легко проверяется, что (ei9i/ipi7_1)2 — тождественный морфизм
объекта Ai. Следовательно, его множитель /iPi7-1eiQi сам равен тожде-
ственному морфизму объекта By. Получаем, что морфизм fapi является
изоморфизмом Bi на Ai с обратным 7-1eigi. Лемма 27.1 (1) влечет, что
АГ — Bi ф А 2 Ф * * * Ф Ап.
По п. (2) этой же леммы имеем
А 2 ф • • • ф An = В2 ф • • • ф Вт.
Утверждение следует индукцией по числу слагаемых А;.
Перейдем ко второму утверждению. Пусть S — кольцо эндоморфизмов
объекта АГ. Элементы piei,... ,рпеп образуют полную ортогональную си-
стему идемпотентов кольца S (см. лемму 24.1). Следовательно, имеем
п
разложение кольца S в прямую сумму правых идеалов S — Q)(j>iei)S
i=i
или, по-другому, прямое разложение S как правого S-модуля. Теперь
получаем
Ends((p,ei)S) = (piei)S(piei) = End(Ai)
(по поводу второго изоморфизма см. упражнение 2). Это влечет локаль-
ность колец эндоморфизмов Ends((piej)S) для всех г. Возьмем теперь
любое другое разложение кольца S в прямую сумму правых идеалов. К
двум разложениям кольца S, которыми мы располагаем, можно приме-
нить одну из версий теоремы Крулля—Шмидта, например, теорему 24.2.
В итоге получим, что любое другое разложение содержит не более п
слагаемых. Отсюда вытекает, если принять во внимание лемму 24.1, тре-
буемое утверждение относительно уплотнений.	□
Нельзя утверждать, что кольца эндоморфизмов неразложимых прямых
слагаемых из теоремы не имеют нетривиальных идемпотентов, так как
нам не дано, что идемпотенты расщепляются. В частности, разложения
кольца S не обязательно индуцируют разложения объекта АГ. Доказан-
ная теорема, в целом, слабее теоремы 24.2.
§27. Единственность и уплотнение разложений в аддитивных категориях
227
В категории £ можно определить прямую сумму любого бесконечно-
го множества объектов совершенно аналогично определению конечных
прямых сумм. Для бесконечных прямых сумм верна в сторону необходи-
мости лемма 24.1 за исключением, понятно, равенства 1л = <71 е1 4-... 4-
4- qnen. Если в категории £ существует прямая сумма любого бесконеч-
ного множества объектов, то говорят, что £ — категория с бесконечны-
ми суммами. В такой категории справедливы многие свойства прямых
сумм модулей. Так, можно «укрупнять» и «измельчать» прямые слага-
емые. Пусть, например, М = ф Ai и J С I. Тогда существует прямая
iei
сумма М -- Mi®М2, где Mi = ф Ai и М2 = ф Д, вложения и проек-
iEl\J
ции которой естественным образом связаны с вложениями и проекциями
исходной суммы.
Сформулируем также известное понятие ядра морфизма. Пара (L, Г),
где I: L —> А — мономорфизм, называется ядром морфизма f: А —> В,
если If = 0 и всякий морфизм g: X —► А со свойством gf = 0 единствен-
ным образом представляется в виде д = hl для некоторого h: X —> L.
Различные ядра морфизма /, если они существуют, определяют один
и тот же подобъект объекта А в смысле, указанном в начале парагра-
фа. Будем его обозначать Кег(/). Понятно, что в категории модулей мы
приходим к обычному понятию ядра гомоморфизма. Говорят, что £ — ка-
тегория с ядрами или имеет ядра, если у каждого морфизма категории
£ существует ядро.
Лемма 27.3. Пусть £ — аддитивная категория с ядрами. Справедливы
следующие утверждения:
(1)	если тг 6 End(M) есть идемпотент, то М = Кег(тг) ф Кег(1 — тг);
(2)	если А, С С М и А есть ядро, то пересечение А П С существует-,
(3)	если М = А® В и Ас С С М, то С = А® (С П В).
Доказательство. (1) Нужно несколько раз воспользоваться опреде-
лением ядра. Пусть г: Кег(тг) —> М и j: Кег(1 -тг) -» М — мономорфиз-
мы. Тогда ?7г = 0 и j(l — тг) = 0. Так как (1 — тг)тг = 0, то существует
единственный морфизм р: М —> Кег(тг) с 1 — тг = pi. Аналогично, суще-
ствует q: М —> Кег(1 - тг) с тг = qj. Тогда i и j, р и q удовлетворяют
условиям леммы 24.1, т. е. i, j — вложения, а р, q — проекции для запи-
санной в (1) суммы. Имеем, очевидно, pi 4- qj = 1м- Затем, из i = 1 • i
и г = (гр)? заключаем, что ip — 1, и аналогично jq = 1. Наконец, из
0 • j — 0 и (iq)j — 0 выводим iq = 0. Точно так же jp = 0.
8»
228
Глава 6. Смешанные модули
(2) Пусть i: А —у М есть ядро морфизма f:M—>Nuj:C—>M —
мономорфизм. Возьмем ядро It L —> С морфизма jft С —> N. Убедимся,
что мономорфизм Ijt L —► М есть пересечение подобъектов А и С. Сра-
зу имеем L с С. Поскольку (lj)f = 0, то найдется ht L —> А с lj = hi.
Отсюда h — мономорфизм и £ с Л. Предположим, что X С М и X с А,
X С С, д и дд, дс — соответствующие мономорфизмы. Можно считать,
что ддг = д = gcj> так как имеем эквивалентные мономорфизмы. Из
дд(г/) = 0 получаем gc(jf) = 0. Следовательно, существует единствен-
ный морфизм kt X L со свойством дс = kl. Морфизм к является
мономорфизмом, поэтому X с L. (Отметим, что дд = kh.) Нашли, что L
есть пересечение А П С.
(3) Пусть ед: А —у М и рд-. М —у А — вложение и проекция, kt А —у С
и ect С —у М — мономорфизмы, причем можно считать, что кес = еА-
Морфизм есрдк является идемпотентом кольца End(C'). Следовательно,
ввиду (1), имеем разложение С = Кег(1 — тг) фКег(тг). Пусть еще It СП
Г) В —»• С есть мономорфизм, где / — ядро морфизма есрд (см. (2)). Тогда
Кег(1 — тг) = А, а Кег(тг) = С П В.	□
Пункт (2) доказанной леммы применим, в частности, когда А есть
произвольное прямое слагаемое объекта М, так как прямое слагаемое
есть ядро соответствующей проекции.
Для изложения основных результатов нам понадобится одно понятие,
касающееся свойств прямых сумм, хотя оно само по себе представляет
большой интерес.
Говорят, что объект М аддитивной категории имеет свойство заме-
ны, если он удовлетворяет следующему условию: если объект М есть
прямое слагаемое некоторого объекта А, являющегося прямой суммой
подобъектов Ai, i е I, т. е.
А = M®N = фА,
iei
то существуют такие разложения А* = А'{ ф Bi, что
гб/
Если это условие выполняется всякий раз, когда I — конечное множество,
то М имеет свойство конечной замены.
Если М = А ф В с вложениями ei, е? и проекциями pi, р% и
ft М —у N — изоморфизм, то ясно, что также N — А® В с вложени-
ями ei/, ег/ и проекциями f-1pi, f~rP2-
§27. Единственность и уплотнение разложений в аддитивных категориях
229
Лемма 27.4. Если A®B®C = A®@Di и В имеет свойство замены,
iei
то
A®B®C = A®B®^D'i,
iei
где с Dit i G I.
Доказательство. Учитывая лемму 27.1 и замечание выше, можно
написать В ф С — ф Di. Объект В имеет свойство замены, поэтому
iei
ф Di = В Ф ф D<
iei	iei
с D^ с Di и, таким образом,
А®В®С= АфВфф-D',
iei
что и требуется.	□
Теперь легко получаем следствие.
Следствие 27.5. Прямая сумма конечного числа объектов со свой-
ством замены сама имеет свойство замены.
В терминах кольца эндоморфизмов можно выделить одну ситуацию,
когда свойство конечной замены справедливо.
Предложение 27.6. Пусть 8 — аддитивная категория с ядрами. Если
кольцо эндоморфизмов объекта М локально, то М имеет свойство
конечной замены.
п
Доказательство. Предположим, что А = М ф N = фАг. Пусть
г=1
е: М —> А и Ai —> А обозначают вложения,р: А —> М npit А —> Ai —
проекции. Тогда 1м = 52?=i ePieiP< и так как М имеет локальное кольцо
эндоморфизмов, то одно из слагаемых, для определенности пусть 7 =
= epieip, должно быть обратимым элементом кольца End(Af). Положим
л- = py~lepiei: А —> А. Тогда тг2 = тг и, согласно лемме 27.3,
А = Кег(тг) ф Кег(1 — тг).	(*)
Пусть kt Кег(1 - тг) —> А — вложение. Тогда 0 = fc(l — тг) влечет k = ктг.
Далее, из trpj — 0 выводим kpj — 0 при j > 1. Действительно, вложение
230
Глава 6. Смешанные модули
ci: Ai —► А есть ядро для рг + • • • + Рп- Поэтому равенства кр2 =...
... = крп =0 дают к(р2 + ... + рп) = 0. Отсюда вытекает существование
морфизма I: Кег(1 — тг) —> Ai с lei = к. Итак, I — мономорфизм и Кег(1 —
— тг) с Ль Отсюда
Ai = Кег(1 — тг) ф (Ai П Кег(тг))	(**)
(лемма 27.3 (3)) и, далее,
п
А — Кег(1 — тг) ф (Ai П Кег(тг)) ф А».
г=2
Проекция А —> Кег(1 — тг) этой прямой суммы равна pieiq, где qk = тг
и q — проекция А —> Кег(1 — тг) для суммы (*) (лемма 27.3 (1)). А проек-
ция Ai —> Кег(1 — тг) относительно (**) есть eiq (лемма 27.3 (3)). Прове-
ряя, убеждаемся, что epieiq: М —> Кег(1 — тг) и кр^~1: Кег(1 — тг) —> М
— взаимно обратные изоморфизмы. Однако epieiq есть композиция вло-
жения е из М в А с проекцией pieiq из А на Кег(1—тг). По лемме 27.1 (1)
получаем
А = М ф (Ai П Кег(тг)) ф Аг.
г=2
Таким образом, М имеет свойство конечной замены.	□
Упражнение 5 содержит одно обращение предложения 27.6.
Говорят, что аддитивная категория £ с бесконечными суммами удо-
влетворяет слабому условию Гротендика, если для любого индексного
множества I, любого ненулевого объекта А и для всякого мономорфизма
А —> ф Bi существуют конечное подмножество F множества I и комму-
iei
тативная диаграмма
С -----► фд
А -----> фВг
iei
с ненулевым морфизмом С —> А.
Если £ — категория с ядрами, то всегда существует пересечение
А П I ф Bi) (лемма 27.3). Значит, наличие указанной диаграммы эк-
\i6F /
Бивалентно тому, что А П I ф В») / 0.
\iGF /
§27. Единственность и уплотнение разложений в аддитивных категориях
231
Предложение 27.7. Пусть 8 — аддитивная категория с ядрами, удо-
влетворяющая слабому условию Гротендика. Если неразложимый
объект М имеет свойство конечной замены, то М имеет свойство
замены.
Доказательство. Пусть А = M(&N = фAi. Для любого подмноже-
i&I
ства J С I положим A(J) = ф Ai. Существует конечное подмножество J
i&J
в I такое, что М П I ф Aj ) / 0. По свойству конечной замены получаем
\ieJ /
А = М ® N = A(J) ® A(I \ J) = M® (фА') фС,
' i&J '
где Ai — A- ®Bi, ieJ, A(I \ J) = С ф С и
Мф (фА<) ®C= (ф^фС") Ф ГфА<фс\
' ieJ '	' ieJ	'	' ieJ	'
Теперь можно написать
М^фвгфС'
гбУ
(лемма 27.1). Так как М неразложимый, то все объекты Bi, i Е J, и С,
кроме одного, равны нулю. Допустим, что С 0 и Bi = 0 для всех i е J.
Тогда А'г = Ai для всех i 6 J влечет М П А( J) = 0, что противоречит
выбору J. Значит, С = 0, С = А(7 \7)иА = Л/фГф А'j ф А(7 \ J).
\ieJ /
Полагая А\ = Ai для индексов г из I \ J, получаем
А = М® (фА<)
с А\ с Aj, i G I. Таким образом, М имеет свойство замены.	□
Мы подошли к основному результату о единственности разложений.
Теорема 27.8 (Уокер—Уорфилд [295]). Пусть 8 — аддитивная кате-
гория с ядрами, бесконечными суммами и 8 удовлетворяет слабому
условию Гротендика. Если М = ф Aj, где кольцо эндоморфизмов каж-
iei
дого объекта Aj локально, то справедливы записанные ниже утвер-
ждения.
232
Глава 6. Смешанные модули
(а)	Любое неразложимое прямое слагаемое объекта М изоморфно
одному из А{.
(Ь)	Если М = ф Bj, где каждое слагаемое Bj неразложимо, то
i&J
существует биекция 0: I —> J такая, что Ai = Вщ) для всех
г е I.
Доказательство, (а) Пусть М = А ф В = ф Ai, где А — ненулевой
iGl
и неразложимый объект. Для подмножества J С I пусть M(J) обознача-
ет ф Ai. Существует конечное множество J С I такое, что AV\M(J) 0.
гбУ
На основании предложений 27.6, 27.7 и следствия 27.5 M(J) имеет свой-
ство замены. Следовательно, М = M(J) ф А' ф В' с А' с А и В' с В,
откуда
А = А! ф (АП (M(J) Ф В')) и АП (М(J) ФВ') ± 0.
Неразложимость А влечет А' = 0. Таким образом, М = M(J) ф В1,
В = В' ф (В П M(J)) и М = А ф В' ф (В П Л/(7)), что дает
M(J)“ Аф(ВПМ(/)).
т
По теореме 27.2 объект В П М( J) равен ф Bi, где Bi — неразложимый
г=1
объект при всех г. Лемма 27.3 влечет, что в End(A) и End(Bj) нет идем-
потентов, отличных от 0 и 1. Из теоремы 27.2 имеем А = А; для некото-
рого г.
(Ь) В силу (а), каждый объект Bj изоморфен некоторому А;. В частно-
сти, каждый Ai и каждый Bj имеют свойство замены. Для подмножеств
X С I и Y С J положим М(Х) — ф Ai и N(Y) = ф Bj. Затем, для
гбХ	jeY
k 6 I пусть 1к — {г € I | Аг = А^}. Тогда множества Д, к е I, образуют
разбиение множества I. Пусть далее, Jk = {j € J | Bj = Ак} для к с I.
Тогда {Jk | к € 1} есть разбиение I. Возьмем произвольный индекс к
и допустим, что множество 1к конечно. В таком случае объект М(1к)
имеет свойство замены и, следовательно,
М = М(1к) Ф М(1 \ 1к) = М(1к) ф N(J')
для некоторого J' с J (учесть неразложимость Bj). Теперь имеем
М(I \ Ik) = N(J') (лемма 27.1). Это влечет, что если j е J', то Bj £ Ак
и, таким образом, j Jk. Учитывая еще наличие изоморфизма М(1к) =
= 7V(J \ J1), получаем Jk — J \ J'. Отсюда M(Ik) = N(Jk) и из теоре-
мы 27.2 следует, что |Д| = |Л|.
§27. Единственность и уплотнение разложений в аддитивных категориях
233
Теперь предположим, что Д — бесконечное множество. Обозначим че-
рез Д*; множество {j е J | М — Ak Ф N(J \ {j})}. Существует конечное
множество F с J такое, что Ak О N(F) ± 0 (это получается за счет
слабого условия Гротендика). Если j $ F, то включение F с J \ 0}
влечет AkC\N(J\{j}) 0. Значит, Д^ С F, так что каждое Д^ конечно.
Пусть теперь t G Jk- Тогда Bt П M(G) / 0 для некоторого конечного
подмножества G в I. Кроме того, по свойству замены для M(G) имеем
М — M(G) ф N(J \ Н), где Н — какое-то подмножество в J. Так как
M(G) = N(H), то из теоремы 27.2 следует конечность Н. Ясно, что t
лежит в Н. Так как N(H \ {t}) имеет свойство замены, то
М = Я(Я \ {£}) ф Bt Ф N( J \ Я) =
= M(G) ф N(J \Н) = N(H \ {<}) Ф Ад ф Я(J \ Н)
для некоторого д 6 G (лемма 27.4). Таким образом, t е Д9. Также Ад =
= Bt = Ak, так что д € Д. Мы установили равенство Л = (J Дэ.
9&Ik
Поскольку Ik бесконечно и каждое Д9 конечно и непусто, то |Jk\ < \1к\-
Проведя симметричные рассуждения, получим |Jk\ = |Д|.	□
Прежде чем ввести несколько не очень известных понятий, договорим-
ся о следующей терминологии. Пусть f: А —> В, д: X —> В — морфизмы.
Если существует морфизм h: X —> А такой, что д = hf, то говорим, что
д пропускается через f или через А.
Объект S категории Е называется малым, если любой морфизм S —►
—> ф Ai пропускается через вложение ф А —> ф Ai для некоторого
iei	ieF iei
конечного подмножества F множества I.
Следующее определение переносит на категории свойство модулей,
записанное в упражнении 1.
Объект М назовем конечно аппроксимируемым, если любой моно-
морфизм f-.L^M есть изоморфизм в точности тогда, когда для любого
малого объекта S любой морфизм S —> М пропускается через f.
Ясно, что малый объект является конечно аппроксимируемым.
Лемма 27.9. Пусть Е — аддитивная категория с ядрами. Если М —
ненулевой конечно аппроксимируемый объект и М с ф А» то суще-
iei
ствует конечное подмножество F в I такое, что М Г) I ф А )	0.
\i£F /
Доказательство. Пусть е — мономорфизм М в фА- Так как моно-
iei
морфизм 0 —► ЛГ не является изоморфизмом, существуют малый объект
234
Глава 6. Смешанные модули
S и ненулевой морфизм /: S —> М. Морфизм /е пропускается через
некоторую конечную сумму ф А,, и f индуцирует ненулевой морфизм
ieF
S —> М П ( ф Ai). Значит, пересечение ненулевое.	□
\i£F /
Теперь можно утверждать, что предложение 27.7 и теорема 27.8 оста-
нутся справедливыми, если вместо слабого условия Гротендика потре-
бовать, чтобы объект М являлся конечно аппроксимируемым или, соот-
ветственно, все объекты Ai, iei, были конечно аппроксимируемыми
(детали в работе Уокер и Уорфилда [295]).
Для формулировки другого основного результата параграфа определим
еще одно понятие.
Объект М будем называть счетно аппроксимируемым, если суще-
ствуют счетное семейство малых объектов Si и морфизмов ► М,
г 1, таких, что любой мономорфизм	есть изоморфизм в точ-
ности тогда, когда каждый gi пропускается через f.
Доказательство следующей теоремы Уокер и Уорфилда довольно слож-
ное. Мы предлагаем читателю познакомиться с ним в оригинальной ста-
тье авторов [295].
Теорема 27.10. Пусть 8 — аддитивная категория с ядрами и беско-
нечными суммами, которая удовлетворяет слабому условию Гротен-
дика. Пусть М = ф Ai, где Ai — счетно аппроксимируемый объект,
iei
а кольцо End(AJ локально для каждого г. Тогда каждое прямое сла-
гаемое объекта М изоморфно прямой сумме ф Ai для некоторого
ieJ
подмножества J С I. Следовательно, любые два прямых разложения
объекта М имеют изоморфные уплотнения.
Под теоремой Крулля—Шмидта обычно понимают утверждение об
изоморфизме двух прямых разложений модуля или объекта категории
с неразложимыми слагаемыми. О самом модуле или объекте говорят,
что для него выполняется теорема Крулля—Шмидта. Подробная ретро-
спектива исследований, связанных с этой теоремой, есть в статье Уокер
и Уорфилда [295]. Мы привели обобщения двух известных теорем ти-
па Крулля—Шмидта. Первая —это следующий результат Адзумайи [72].
Пусть модуль М имеет разложение ф Ai (I — конечное или бесконечное
iei
множество) такое, что кольцо эндоморфизмов каждого Ai локально. То-
гда любое другое неразложимое слагаемое модуля М изоморфно Ai для
некоторого i G I, и если М есть прямая сумма неразложимых подмоду-
§27. Единственность и уплотнение разложений в аддитивных категориях
235
лей Bj, j е J, то существует биективное отображение /: I J такое,
что Ai = Bfw для всех i е I.
Вторая теорема связана с именами Кроули, Йонссона и Уорфилда, и ее
можно сформулировать так (см. книгу Андерсона и Фуллера [49, теоре-
ма 26.5]). Если дополнительно к условиям предыдущей теоремы считать,
что каждый модуль Д счетно порожден, то любые два прямых разложе-
ния модуля М имеют изоморфные уплотнения. В частности, если N есть
прямое слагаемое модуля М, то существует подмножество J С I такое,
что N изоморфен прямой сумме модулей Д, i е J.
Кроули и Йонссон [95] опубликовали некоторые теоремы о единствен-
ности разложений и изоморфизме уплотнений для произвольных алгеб-
раических систем. Ключевым условием их работы было свойство замены.
Это свойство, а также так называемые свойства сокращения и подстанов-
ки изучались в [108, 300, 302, 303, 309] и других (см. литературу в этих
работах).
Различные версии теоремы Крулля—Шмидта для категорий были даны
Атья [70], Габриелем [129], Бассом [79], Уорфилдом [301], Арнольдом-
Хантером—Ричменом [63] и Арнольдом [55].
Проблема единственности прямых разложений имеет две стороны:
(1) изоморфизм двух данных разложений;
(2) является ли прямое слагаемое данного прямого разложения само
прямой суммой соответствующих слагаемых.
У пражнение 1.
(а)	Конечно порожденный модуль над любым кольцом является малым. Об-
ратное, вообще, не верно. Каждый модуль есть точная верхняя грань сво-
их подмодулей, являющихся малыми модулями.
(Ь)	Малый модуль над областью дискретного нормирования является конечно
порожденным.
Упражнение 2. Перенести свойство (Ь) из §2 и предложение 2.4 в адди-
тивные категории.
Упражнение 3. Прямое слагаемое объекта со свойством замены само име-
ет свойство замены.
Упражнение 4. Если М — конечно аппроксимируемый объект и М =
= фА, то каждый Ai конечно аппроксимируем. Если категория 8 имеет
iei
ядра, то обратное тоже выполняется.
Упражнение 5 (Уорфилд [300], Уокер—Уорфилд [295]). Неразложимый
конечно аппроксимируемый объект аддитивной категории с ядрами имеет
свойство замены в точности тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально.
236
Глава 6. Смешанные модули
§ 28. Изотипные, хорошие и сбалансированные подмодули
Введем и исследуем подмодули некоторых специальных типов. Они будут
исключительно полезны для теории, которую мы далее разовьем. Прежде
уточним понятие высоты элемента и рассмотрим некоторые сопутствую-
щие явления.
Под высотной последовательностью будем понимать последователь-
ность	такую, что все <тг есть ординальные числа или символ оо
и, кроме того,
(1) если Oi -- оо, то <Ti+1 = оо;
(2) если <Ti+i 7^ оо, то 04 < стг+1.
Элементы оч называются координатами данной высотной последователь-
ности. На множестве всех высотных последовательностей можно ввести
естественный частичный порядок. Пусть и = {<Tj} и v = {т,} — две вы-
сотные последовательности. Полагаем и < v, если Oi < тч для всех i 0.
При этом считаем, что ст < оо для любого ординала ст. На самом деле,
мы получаем решетку, где точная нижняя грань inf (u, v) равна после-
довательности (ро,Рь---) с pi = min(cTj,Tj). Аналогично, точная верхняя
грань sup(u, v) соответствует поточечному максимуму. Если <Тг + 1 < ст;+1,
то говорят, что в последовательности и имеется скачок между cTj и <Тг+1-
Высотные последовательности и и v называются эквивалентными (обо-
значение: и ~ v), если существуют натуральные числа п, т такие, что
<тп+г = rm+i для г = 0,1,2,... Это дает отношение эквивалентности на
множестве всех высотных последовательностей. Под рпи, п > 0, понима-
ем высотную последовательность (ап, crn+i,...). Понятно, что и ~ рпи.
С каждым элементом модуля М можно связать некоторую высотную
последовательность. Прежде для каждого ординального числа <т опре-
делим подмодуль раМ. Для неотрицательных целых чисел п подмодуль
рпМ введен в §4 как множество {рпх | х G М}. Теперь полагаем раМ =
= p(p<T-1Af), если сг — 1 существует, и раМ = Q рТМ для предельного
Т <СГ
ординала <т. Из соображений о мощностях ясно, что существует наимень-
ший ординал А со свойством рхМ = рх+1М. Этот ординал А называется
длиной модуля М и обозначается Z(Af). Конечно, рхМ — в точности мак-
симальный делимый подмодуль модуля М. Таким образом, М — редуци-
рованный в точности тогда, когда рхМ = 0. Подмодули раМ вполне ин-
вариантны в М (это легко доказать трансфинитной индукцией), и можно
записать строго убывающую последовательность
М D рМ D ... D раМ D ... D рХМ - рА+1М.
§28. Изотипные, хорошие и сбалансированные подмодули
237
С помощью подмодулей раМ «измельчим» понятие высоты элемента
так, что можно будет делать различие между элементами бесконечной
высоты. Раньше мы полагали hfa) — оо для элемента a G ршМ (см. §7).
Теперь поступим так. Если а рхМ, где А — длина модуля М, то суще-
ствует единственное ординальное число а, для которого a G раM\pa+lМ.
Это <т иногда называют обобщенной высотой элемента а и обозначают
h*fa). Обобщенную высоту элемента а Е рхМ полагают равной оо. Рабо-
тая со смешанными модулями, удобно под высотой понимать обобщенную
высоту и использовать старое обозначение hfa) для обобщенной высоты
А*(а). Это не приведет к недоразумению, поскольку h*(а) = hfa) для ко-
нечной высоты. Итак, под hfa) (или Ам(а), если есть надобность указать
модуль, в котором берется высота) мы подразумеваем далее обобщенную
высоту. Если М — редуцированный модуль, то теперь А(а) = оо только
для а — 0.
Для «новой» высоты справедливы основные свойства «обычной» высо-
ты (см., например, упражнение 1 в §7). Во-первых, выполняется «нера-
венство треугольника» hfa + b) min(h(a),/i(&)); если А(а) / hfb), то
имеем равенство. Если М — А® В и а Е A, b Е В, то также имеет место
равенство. Высота не понижается при гомоморфизме. Именно, 1гм (а) <
< hyfipa) для любого гомоморфизма М —> N и элемента a G М.
Ббльшую информацию об элементе а модуля М несет последователь-
ность fhfa), hfp2a),...). Ясно, что это есть высотная последовательность
в том смысле, в каком мы её определили выше. Будем её обозначать U(а)
или Um (а) и называть высотной (или ульмовской) последовательностью
элемента а в модуле М.
Из соответствующих свойств для высот вытекают следующие два
свойства высотных последовательностей:
Ufa + Ь) inf((7(a), Ufb)) и Ufa) < Uf<pa),
где ^ — некоторый гомоморфизм. Сделаем и такие наблюдения. Высот-
ная последовательность элемента ра получается из высотной последова-
тельности элемента а зачеркиванием первой координаты. Высотная по-
следовательность элемента конечного порядка состоит из символов оо,
за исключением конечного числа мест. Если М — редуцированный мо-
дуль и а —элемент бесконечного порядка, то в Ufa) нет символа оо.
Пусть Ufa) — (сто, <71,... ,<7fc,...). Если между и <7fc+i имеется скачок,
то непременно в М существует элемент порядка р и высоты Если
ofa) = рп, то между hfpn~xa) и hfjpna) всегда имеется скачок. Макси-
мальный делимый подмодуль модуля М без кручения равен ршМ. Если
а Е М \ ршМ, то hfpka) = hfa) + к для всех к 0. Следовательно,
238
Глава 6. Смешанные модули
высота А(а) несет всю информацию, нужную для образования высотной
последовательности U(a).
Если а и Ь — линейно зависимые элементы, т.е. га = sb 0 (где г, s G
€ R), то U(a) ~ U(b). Пусть смешанный модуль М имеет ранг 1. Любые
элементы х, у бесконечного порядка в М линейно зависимы и, значит,
U(x) ~ U(у). Таким образом, класс эквивалентности высотной последо-
вательности любого элемента бесконечного порядка в М есть инвариант
модуля М; он обозначается U(M').
Всякая высотная последовательность и = {crji^o дает вполне инвари-
антный подмодуль
M(u) = {х € М | U(x) «}
(это следствие неравенства треугольника).
Подмодули р°М для предельных сг играют особую роль. В §11 был
определен первый ульмовский подмодуль М1 модуля М как пересечение
П рпМ (таким образом, М1 = ршМ). Очень существенно он использо-
П^1
вался в §22. Распространим это понятие на произвольные ординалы сг.
Положим М° — М,
Ма = (АГ1)1 = р| рпМа-1,
П^1
если сг — 1 существует, и
Ма = р| мт
Т<(Т
в случае предельного сг. Найдется наименьший ординал v, для которого
Mv+1 = Ми. Такой ординал и называют ульмовской длиной модуля М.
Здесь Ми — максимальный делимый подмодуль модуля М. Если ограни-
читься редуцированными модулями М, то получим строго убывающую
последовательность вполне инвариантных подмодулей
М = М° D М1 D • • • D Ма D • • • э Mv = 0.
Подмодуль Ма называется а-м ульмовским подмодулем модуля М,
фактормодуль М„ = Ма/Ма+1 — а-м ульмовским фактором модуля
М, а последовательность Mq,Mi,...,Ма,..., ст < и, — последовательно-
стью Ульма модуля М. Из определения М° вытекает равенство М° =
= ршаМ.
Рассмотрим несколько видов подмодулей и связанных с ними точных
последовательностей. Начнем с изотипных подмодулей, впервые появив-
шихся у Куликова [23]. Такие подмодули специально изучаются в статьях
§28. Изотипные, хорошие и сбалансированные подмодули
239
Лэйна [206], Хилла и Уллери [176]. Пусть А —некоторый подмодуль мо-
дуля М. Если раА = А Р р°М для любого ординального числа а, то
говорят, что А — изотипный подмодуль в М. Запишем сразу различные
характеризации изотипных подмодулей.
Лемма 28.1. Следующие утверждения эквивалентны'.
(1)	А — изотипный подмодуль в модуле М\
(2)	высоты элементов из А одинаковы в модулях А и М;
(3)	А(и) = А Р М(и) для всех высотных последовательностей и;
(4)	индуцированная последовательность
Ъ^раА^ раМ -+ р°(М/А)
точна при любом ординальном числе а.
Доказательство. Эквивалентность первых трех утверждений прове-
ряется непосредственно. Поясним некоторые детали относительно по-
следовательности в (4). Второй слева гомоморфизм — вложение. Далее
имеем ограничение канонического гомоморфизма М —> М/А на р°М,
что законно, поскольку гомоморфизмы не понижают высот. Нуждается
в проверке только точность на месте раМ. Она равносильна выполнению
равенства ра А = А Г\раМ, что есть (1).	□
Понятие изотипности, конечно, улучшает понятие чистоты. Изотип-
ные подмодули являются чистыми. Если А1 = 0 или А — замкнутый
в р-адической топологии подмодуль, то изотипность А равносильна чи-
стоте (во втором случае учесть, что Ml С А). Заметим, что замкнутость
А эквивалентна тому, что (М/А)1 = 0 (следствие 11.3).
Сформулируем еще три свойства изотипности, легко получающиеся из
леммы 28.1.
(а)	Прямые слагаемые изотипны.
(Ь)	Если А С В С М, где А — изотипный подмодуль в В, а В — изо-
типный в М, то подмодуль А изотипен в М.
(с)	Объединение возрастающей последовательности изотипных подмо-
дулей также является изотипным подмодулем.
240
Глава 6. Смешанные модули
Другой важный тип подмодулей ввел в обиход Хилл — хорошие под-
модули. Подмодуль А модуля М называется хорошим, если справедливо
равенство
рст(М/Л) = (раМ + А)/А
при всех ординалах а. Подмодуль справа есть образ подмодуля раМ от-
носительно канонического гомоморфизма М —> М/А. Поскольку высота
не понижается при гомоморфизме, то правая часть всегда лежит в ле-
вой. Можно также сказать, что А — хороший в точности тогда, когда
индуцированное отображение раМ —> ра(М/А) из леммы 28.1 является
эпиморфизмом для всякого ст. Для любого целого числа п > 0 и подмо-
дуля А верно равенство рп(М/А) = (рпМ + А)/А. Отсюда получается,
что если имеем равенство ра(М/А) = (раМ + А)/А для всех предельных
ординалов <т, то оно выполняется для всех <7, т. е. А — хороший в М.
Хорошие подмодули иногда определяют по-другому. Ясно, что
h(x + а) < h(x + А)
для любых х е М\А и а е А (высота смежного класса берется, конечно,
в М/А). Элемент с смежного класса х + А называется собственным
(относительно А), если h(c) = h(x + Л).
Лемма 28.2. Подмодуль А является хорошим в точности тогда, ко-
гда каждый смежный класс по подмодулю А содержит собственный
относительно А элемент.
Доказательство. Пусть Л —хороший подмодуль и х + А — произ-
вольный смежный класс с высотой <7. Тогда
х + Л е р^М/А) = (раМ + А)/А
и х = с + а, где с е раМ, а € Л. Элемент с будет искомым собственным
элементом. Обратно, пусть каждый смежный класс содержит собствен-
ный элемент и пусть х + Л € ра(М/А). В частности, h(x + Л) о.
В смежном классе х + Л выберем собственный элемент с. Имеем А(с) >
сг и, значит, с е раМ. Отсюда
х + А — с + Ае (раМ + Л)/Л.
□
Запишем три свойства, касающиеся хорошести. Их доказательство ,
с учетом только что изложенного, не представляет труда.
(d)	Прямые слагаемые являются хорошими.
§28. Изотипные, хорошие и сбалансированные подмодули
241
(е)	Замкнутые в р-адической топологии подмодули являются хоро-
шими.
Действительно, если А замкнут в М, то, как отмечено выше,
(М/А)1 = 0, и требуемое равенство справедливо для всех предель-
ных а. Значит, оно справедливо вообще для всех а.
(f)	Если М = ф Mi и А = ф Ai, где Ai С Mi, i G I, то А — хороший
iei	iel
в М в точности тогда, когда Ai — хороший в Mi для любого i.
Теперь сформулируем наиболее часто используемые факты о хороших
подмодулях.
Лемма 28.3. Пусть АС В С М. Тогда
(1) если В — хороший в М, то В/А — хороший в М/А-,
(2) если А — хороший в М и В/А — хороший в М/А, то В — хороший
в М.
Доказательство. (1) Пусть (х + А) + В/А — произвольный смежный
класс модуля М/А по подмодулю В/А, х G М. Так как В —хороший
в М, то найдется у G х + В, для которого h(y) — h(x + В). Посколь-
ку имеет место изоморфизм М/В = (М/А)/(В/А) при соответствии
т + В —> (т + А) + В/А, т G М, то
h(x + В) = h((x + А) + В/А)
(понятно, в каких фактормодулях берутся высоты соответствующих
смежных классов). Можно написать неравенства
h(y + А) < h((y + А) + В/А) = h((x + А) + В/А)
и
h(y + А) > h(y) = h((x + А) + В/А),
откуда
h(y + А) = h((x + А) + В/А)
и у + А — собственный элемент относительно В/А, лежащий в смежном
классе (х + А) +В/А. По лемме 28.2 В/А — хороший подмодуль в М/А.
(2) Возьмем некоторый смежный класс х + В. В силу хорошести под-
модуля В/А в модуле М/А, имеем h(y + А) = h((x + А) + В/А), где
у + А G (х + А) + В/А. А поскольку А —хороший в М, то существу-
ет z G у + А со свойством h(z) = h(y + А). Подобно (1) имеем также
h(z + В) = h((z + А) + В/А). Кроме того, х + В = z + В и (х + А) +
+В/А = (z+A)+B/A. Из записанных равенств выводим h(z) — h(x+B)
и z G х + В. Это означает, что z — собственный элемент.	□
242
Глава 6. Смешанные модули
Есть несколько ситуаций, когда сразу можно утверждать хорошесть.
Предложение 28.4. Конечно порожденный подмодуль А модуля М бу-
дет хорошим в каждом из следующих трех случаев'.
(1)	А —примарный;
(2)	R — полная область;
(3)	ранг модуля М равен единице.
Доказательство. (1) Модуль А равен прямой сумме конечного числа
циклических модулей конечных порядков. Опираясь на лемму 28.3 (2),
с помощью индукции по числу циклических слагаемых и порядку эле-
ментов модуля А можно считать, что А — циклический модуль поряд-
ка р. Все ненулевые элементы такого модуля имеют одинаковую высоту.
Нетрудно понять, что данный смежный класс по подмодулю А обязатель-
но содержит собственный элемент.
(2) Модуль А есть прямая сумма конечного числа циклических моду-
лей. С учетом (1) и леммы 28.3 (2) достаточно рассмотреть случай, когда
А — циклический модуль бесконечного порядка. Итак, пусть А = Ra,
где элемент а имеет бесконечный порядок и х е М \ А. Высота любого
ненулевого элемента подмодуля Ra совпадает с одной из следующих вы-
сот: /г(а), h(pa), h(p2d),... Если в смежном классе х + А есть элемент
с высотой, отличной от записанных, то нужный собственный элемент на-
ходится без труда. Пусть теперь каждый элемент из х + А имеет одну
из высот h(pna), п 0. Предположим, что нашлись элементы rn е R,
п 1, такие, что h(x) < h(x + ria) < h(x + Г2а) < ... Из неравенства
треугольника получаем
h((rn+1 - rn)a) = h(x + rna).
Это влечет
/г(г2 - и) < h(r3 — т2) < . •. < h(rn+i - гп) < ...,
т. е.{rn}n^i есть последовательность Коши в р-адической топологии
кольца R. Ввиду полноты R, существует предел г этой последовательно-
сти. Так как высоты элементов г — гп растут с возрастанием п, то высоты
элементов (г — гп)а также растут с возрастанием п. Так как х + га — (г —
— rn)a + (x-|-rna), то можно сделать вывод, что /i(x+rna) < h(x+ra) для
всех п. Но существование элемента х + га с такой высотой невозможно.
Теперь ясно, что в х + А имеется собственный элемент.
§28. Изотипные, хорошие и сбалансированные подмодули
243
(3) Подобно (2) считаем, что А свободен. Так как г(Л7) = 1, то А —
циклический, А = Ra. Используем уже доказанный случай (2). Для
этого воспользуемся 72-оболочками, которые появятся в §35, где R —
р-адическое пополнение кольца R. (Можно также работать с тензорным
произведением R ® М.) 72-оболочка RM модуля М — это 72-модуль, со-
держащий М, такой, что RM/M — делимый модуль без кручения, М —
изотипный подмодуль в RM (это нетрудно проверить, если учесть, что
RM/M — модуль без кручения), t(RM) = t(M) и r(RM) = 1. Дока-
жем, что индуцированное отображение раМ р°(М/А) есть эпимор-
физм для любого ординала <т. Так как RA — циклический 72-модуль, то
по (2) он является хорошим подмодулем в RM. Значит, всякий элемент
из рст(А7/А) есть образ некоторого элемента из pa(RM'). Если рст(72Л7) —
примарный модуль, торст(72М) = раМ (учесть изотипность М). Следова-
тельно, любой элемент из ра(М/А) является образом некоторого элемен-
та из раМ. Рассмотрим случай, когда р<т(72М) — непримарный модуль.
Так как г(72Л7) = 1, то для какого-то п lpna G p°(RM). Кроме того,
RM = М + R(pna) (принять во внимание, что R(pnd) М и г(М) =
= 1). Если у е pa(RM), то можно записать у = х + грпа, где х 6 М
и г G 72. В действительности, для элемента х получаем х G рст(72М) А
А М — раМ. Еще отметим, что rpna е R(Ra) = RA. В итоге имеем, что
любой элемент фактормодуля RM/RA, который лежит в образе подмо-
дуля pa(RM), находится также в образе подмодуля раМ.	□
Изотипность и хорошесть, соединенные вместе, дают новое очень по-
лезное понятие. Подмодуль А модуля М назовем сбалансированным,
если он одновременно является изотипным и хорошим. Из леммы 27.1
и замечаний после определения хорошего подмодуля вытекает, что сба-
лансированность А в М эквивалентна точности индуцированной после-
довательности
О ра А раМ р"(М/А) О
для любого ординала а. Сбалансированные подмодули обладают многими
естественными свойствами прямых слагаемых. Поэтому они близки к
прямым слагаемым. Рассмотрим некоторые из свойств сбалансированных
подмодулей.
(g) Прямые слагаемые всегда являются сбалансированными подмоду-
лями.
(h) Если А С В С М, где А — сбалансированный подмодуль модуля
М, то А — сбалансированный подмодуль модуля В.
244
Глава 6. Смешанные модули
Изотипность Ав В очевидна. Покажем, что А — хороший подмодуль
в модуле В. Достаточно доказать, что р°(В/А) = (р°В+А)/А для любого
предельного ординала <т. Предположим, что для всех ординалов т < а
равенства, подобные записанному, справедливы. В таком случае имеем
р°(В/А) = Q рт(В/А) = Q (ртВ + А)/А.
Т<(У	т<сг
Пусть b + А G ра(В/А). Тогда
b + А е ра(М/А) = (р°М + А)/А.
Это дает Ь = bi+a, bi е раМ, а е А, и b+А = bi+A. Можно считать, что
b е раМ. Так как b + А е (ртВ + Л)/А для каждого т < сг, то b = Ьт + ат,
где bT е ртВ, ат 6 А. Далее, получаем
ат = b — Ьт € ртМ П А = ртА и b G ртВ.
Следовательно, b е Q ртВ = р°В и b + А е (раВ + А)/А.
Т<(Т
Еще два свойства оформим в виде леммы.
Лемма 28.5. Пусть АС В С М. Тогда
(1) если А — хороший в М, а В — сбалансированный в М, то В/А —
сбалансированный в М/А\
(2) если А — сбалансированный в М и В/А —сбалансированный в
М/А, то В — сбалансированный в М.
Доказательство. Ввиду леммы 28.3, в обоих случаях нуждается
в проверке только изотипность.
(1) Докажем, что ра(В/А) = B/AV\pa{M/A'), где а — произвольный
ординал. Пусть Ь + А е В/АС\ра(М/А). Тогда имеем
b + А е рсг(М/А) = (раМ + А)/А,
откуда b = bi+a с bi G раМ, а С А. Следовательно, bi € ВПраМ = раВ
и b + A^bi+Aepa(B/A).
В (2) докажем, что раВ = В П раМ. Возьмем некоторый элемент b G
е В С\раМ. Имеем
b + А е В/А П ра(М/А) = ра(В/А) = (р^В + А)/А
(по свойству (h) подмодуль А будет хорошим в В), откуда b = bi + а,
bi е раВ, а е А. Это влечет, что а = b - bi 6 А ПраМ = раА, и далее
получаем b = bi + а е раВ.	□
§28. Изотипные, хорошие и сбалансированные подмодули
245
i) Если АС В С М, где В/А изотипен в М/А и А — сбалансирован-
ный в В, а В — сбалансированный в М, то А — сбалансированный
в М.
Учитывая (Ь), осталось убедиться, что А — хороший подмодуль модуля
М, т.е.ра(М/А) = (jfM + А)/А для всех ординалов <т. Пусть х + А G
€ ра(М/А). Если х е В, то
х + А е В/А П ра(М/А) = ра(В/А) = (раВ + А)/А
в силу хорошести А в В. Можно записать х = у + а, где у € раВ, а С А,
откуда
х + А = у + Ае (р°В + А)/А С (раМ + А)/А.
Если х В, то х + В С ра(М/В) = (р°М + В)/В их = у + Ь, у G раМ,
b 6 В. Следовательно,
Ь + А = (х — у) + Ас В/A П рст(М/А) = ра(В/А) = (р°В + А)/А.
Затем имеем х — у = Ъ\ + а для некоторых элементов bi 6 раВ и а € А.
Это дает x = y + bi+aG раМ + А и х + а € (р°М + А)/А.
Много результатов о сбалансированных подгруппах абелевых групп
получено в работе Хантера [178].
Понятие сбалансированного подмодуля приводит к следующему опре-
делению. Точная последовательность модулей
О^А-ДвЛс^О	(6.1)
называется сбалансированно точной, если образ /А является сбалан-
сированным подмодулем в модуле В. Следующее предложение содер-
жит характеризации сбалансированно точных последовательностей (ср.
с упражнением 4 из §10).
Предложение 28.6. Для точной последовательности (6.1) эквива-
лентны следующие условия:
(1)	последовательность (6.1) — сбалансированно точная',
(2)	индуцированная последовательность
0 раА раВ -+раС 0	(6.2)
точна для любого ординала о;
(3)	д(раВ) =раС и д{(раВ)[р]) = (р<7С)[р] для любого ординала о.
246
Глава 6. Смешанные модули
Доказательство. Эквивалентность условий (1) и (2) уже отмечалась
после определения сбалансированного подмодуля. (Разумеется, отобра-
жения в (6.2) индуцируются отображениями / и д.) Для удобства в по-
следовательности (6.1) отождествляем А с fA.
(1) => (3). Из (2) вытекает справедливость первого равенства в (3).
Убедимся в верности второго равенства. Гомоморфизмы не понижают вы-
сот, следовательно, левое множество лежит в правом. Пусть х е (рстС')[р].
Тогда х е раС и по (2) найдется у е раВ, для которого д(у) = х. По-
скольку рх = 0, то д(ру) = 0 и ру е А Пра+1В = ра+1А (в силу изо-
типности А). Значит, существует z е раА такой, что ру = pz. Отсюда
У - Z е (раВ) [р] и д(у -z) = д(у) = х (g(z) = 0 в силу (2)).
(3) => (1). Первое равенство в (3) означает точность последователь-
ности (6.2) на месте р°С. На основании леммы 28.1 достаточно прове-
рить изотипность подмодуля А в модуле В, т. е. справедливость равенства
р°А = А А раВ для любого ординального числа сг. Проведем индукцию
по а. Случай предельных ординалов тривиален. Поэтому пусть а = т +1
для некоторого т 0. Для элемента х из А А раВ выберем у € ртВ
так, что х — ру. Тогда д(у) G (ртС)[р] (так как д(х~) = рд(у) = 0). Сле-
довательно, есть элемент z е (ргВ)[р] со свойством g(z) = д(у). Имеем
g(y-z) = 0 и y-z е АПртВ =ртА (согласно предположению индукции).
Из р(у — z) = 0 получаем х е раА, что нам и нужно.	□
С помощью высотных последовательностей можно получить более уз-
кие классы подмодулей и точных последовательностей по сравнению
с классами хороших подмодулей и сбалансированно точных последова-
тельностей. Подмодуль А модуля М назовем h-хорошим, если
(М/А)(и) ='(М(и) + А)/А
для всякой высотной последовательности и. Изотипный и одновремен-
но /г-хороший подмодуль будем называть h-сбалансированным. Свой-
ства этих новых подмодулей аналогичны соответствующим свойствам
хороших и сбалансированных подмодулей. Предлагаем убедиться в этом
читателю. Точную последовательность (6.1) назовем h-сбалансированно
точной, если А — А-сбалансированный подмодуль модуля В. /г-хорошие,
А-сбалансированные подмодули и /г-сбалансированно точные последова-
тельности будут соответственно хорошими, сбалансированными подмоду-
лями и сбалансированно точными последовательностями. Это получается
из такого наблюдения. Если для данного ординала а взять высотную по-
следовательность и — (сг, а +1, <т + 2,...), то для любого модуля М будем
иметь раМ - М(и).
§28. Изотипные, хорошие и сбалансированные подмодули
247
Предложение 28.7. Следующие условия эквивалентны-.
(1)	последовательность (6 Л) — h-сбалансированно точная;
(2)	индуцированная последовательность
О — А(и) В(и) С(и) 0	(6.3)
точна для любой высотной последовательности и;
(3)	д(В(и)') = С(и) и д((р<7В)[р]) = (р<тС')[р] для любой высотной
последовательности и и ординала а;
(4)	g(B(uf) = С(и) и ^(B(w)[p]) = C(w)[p] для любой высотной после-
довательности и.
Доказательство аналогично доказательству предложения 28.6. Пояс-
ним лишь некоторые моменты. Как и в последовательности (6.2), отоб-
ражения в (6.3) индуцируются отображениями fug, что корректно, так
как гомоморфизмы могут лишь повышать высотные последовательности.
Последовательность (6.3) всегда точна на месте А(и). Ее точность на
месте В(и) эквивалентна, в силу леммы 28.1, изотипности подмодуля А
в В, точность на месте С(и) — А-хорошести А в В.	□
Как уже отмечалось, А-сбалансированно точная последовательность
является сбалансированно точной. Обратное не верно, причем контр-
пример нужно искать в классе смешанных модулей. Высотные после-
довательности элементов модулей без кручения не имеют скачков. От-
сюда вытекает (с учетом равенства раМ = М(и) выше) совпадение
/i-сбалансированно точных последовательностей модулей без кручения
со сбалансированно точными. Похожую картину имеем и для примарных
модулей.
Предложение 28.8. Точная последовательность (6.1) примарных мо-
дулей h-сбалансированно точна в точности тогда, когда она сбалан-
сированно точна.
Доказательство. Нужно только проверить, что если последователь-
ность (6.1) сбалансированно точна, то она А-сбалансированно точна.
Итак, пусть (6.1) — сбалансированно точная последовательность. Тогда
по лемме 28.1 А —изотипный подмодуль в В. Осталось показать, что
А — /г-хороший подмодуль в В, т. е. (В/А)(и) — (В(и) + А}/А для вы-
сотной последовательности и = (то, л, т2,...). Пусть b + Ае (В/А)(и).
Индукция по порядку элементов Ь. Если о(Ь) = р, то b + А е рт°(В/А).
Но рт°(В/А) = (рт°В+А)/А в силу хорошести Ав В. Ясно, что b € В(и).
248
Глава 6. Смешанные модули
Делаем индуктивное предположение. Тогда из pb + А е (В/А}(ри) нахо-
дим, что
pb + А е (В(ри) + А)/А.
Опять можно считать, что pb е В(ри). В таком случае существует эле-
мент bi е В (и) со свойством pb = pbi. Теперь получаем p(b - &i) = О
и (b — bj + А е (B/A)(?i) по начальному шагу индукции. Далее,
(b-bJ + Ae (В(и) + А)/А и Ь + А е (В(и) + А)/А.
□
Упражнение 1 (ср. с упражнением 6 из §7). Пусть А —подмодуль при-
марного модуля М. Если высоты всех элементов из А[р] одинаковы в А и М,
то А — изотипный подмодуль в М.
Упражнение 2.
(а)	Если А —изотипный подмодуль в М, то А/ргА изотипен в М/ргА для
всех ординалов т.
(Ь)	Если ргА изотипен в ртМ и AjprА изотипен в М/ргА для некоторого г,
то А изотипен в М.
Упражнение 3. Подмодуль ргМ всегда хороший в М для любого ордина-
ла т.
Упражнение 4. Подмодуль А хороший в М в точности тогда, когда А А
ПраМ хороший в р°М и (А + р°М)/р°М хороший в М/раМ для всякого
ординала а.
Упражнение 5. Чистый подмодуль может не быть изотипным и может не
быть хорошим.
Упражнение 6.
(а)	Свойство быть хорошим подмодулем не транзитивно.
(Ь)	Привести пример хорошего подмодуля А модуля М, не являющегося хо-
рошим в некотором ббльшем подмодуле модуля М.
Упражнение?. Пусть А С В С М, А — хороший подмодуль в М и модуль
В/А конечно порожден. Если либо В/А примарен, либо Я — полная область,
то В — хороший подмодуль.
Упражнение 8. Если А — сбалансированный подмодуль модуля М, то
ра А — сбалансированный подмодуль модуля р°М, а А/р°А — сбалансирован-
ный подмодуль модуля М/р°М при любом ординале а.
Упражнение 9. Точная последовательность (6.1) сбалансированно точна
в точности тогда, когда индуцированная последовательность
О — А1р°А - В/р°В — С1раС -+ О
точна для любого ординала а.
§29. Категории Walk и Warf
249
Упражнение 10. Придумать пример сбалансированно точной последова-
тельности, не являющейся /i-сбалансированно точной. (Автоматически мы
будем располагать примером хорошего, но не /i-хорошего подмодуля.)
Упражнение 11. Привести пример сбалансированного подмодуля, не яв-
ляющегося прямым слагаемым.
Упражнение 12. В редуцированных модулях без кручения изотипность
совпадает с чистотой, хорошесть с замкнутостью (в р-адической топологии).
Упражнение 13. Если в редуцированном модуле М без кручения конеч-
ного ранга любой чистый замкнутый подмодуль есть прямое слагаемое, то
М равен прямой сумме чисто неразложимых модулей.
§ 29. Категории Walk и Warf
Цель параграфа — ввести в использование две новые категории. Подоб-
но категории квазигомоморфизмов из §24, они отличаются от «обычной»
категории модулей морфизмами. И одна и другая категории приспособ-
лены для исследования смешанных модулей с «точностью до примар-
ных модулей.» Примарные модули игнорируются за счет другого выбора
морфизмов. Фактически, они становятся в новых категориях нулевыми
объектами.
Категория Walk уже появлялась в § 22. Объекты этой категории —
модули. Для модулей М и N соответствующее множество морфизмов
Honijy(M, TV) есть Hom(M,N)/Hom(M, f(TV)). Произвольный морфизм
f: М —> N — это смежный класс f + Hom(Af, t(N\) с представителем
f € Hom(AV, TV). Композиция морфизмов в Walk индуцируется компози-
цией представителей, т. е. fg = fg для f: М —> N и д: N —> L. Понятно,
что композиция ассоциативна, тождественный морфизм объекта М есть
1м- Таким образом, в самом деле, имеем категорию. Мономорфизмы
в Walk —это такие морфизмы	что из f(x) G £(7V) следу-
ет х G t(M) или, равносильно, f индуцирует (обычный) мономорфизм
M/t(M) —> N/t(N). Если Т — примарный модуль, тоО^ТиТ—>0 —
изоморфизмы.
Предложение 29.1. Walk есть аддитивная категория с ядрами и бес-
конечными суммами, она удовлетворяет слабому условию Гротенди-
ка.
Доказательство. По способу задания множество морфизмов
Hom^(M,7V)
является абелевой группой. Ясно также, что композиция морфизмов би-
линейна. Пусть даны произвольные модули Ai (i 6 I, где I — конечное
250
Глава 6. Смешанные модули
или бесконечное множество индексов). Возьмем прямую сумму М моду-
лей Ai с вложениями ej: А{ —»• М, iei. Тогда М вместе с морфизмами
iei, будет прямой суммой объектов Ai в Walk. Итак, Walk — аддитив-
ная категория с бесконечными суммами. Пусть	N — некоторый
морфизм. Положим
L - {х е М | /(ж) е
Тогда пара (L,Z), где I — вложение L —> М, будет ядром морфизма f.
Предположим теперь, что f: А —> ф Bi — мономорфизм в Walk, при-
iei
чем А — непримарный модуль. Существуют элемент а е А и конечное
подмножество F в I такие, что /(а) имеет бесконечный порядок и лежит
в ф Bi. Положим
С = {х е А I /(ж) е фвг}.
iEF
Мы получаем нужную коммутативную диаграмму из определения слабо-
го условия Гротендика, данного в §27.	□
Для любых модулей М и N ядро индуцированного гомоморфизма
Hom(M,7V) -> Hom(M,7V/2(JV))
равно Hom(M, Поэтому фактормодуль
Нот (Л/, 7V) / Нот(М, f(7V))
изоморфен некоторому подмодулю модуля Нот(М, N/t(N\). Последний
же можно отождествить с
Hom(M/i(M),7V/i(7V)).
Итак, группа Hornby(М, N) всегда является 72-модулем без кручения (ес-
ли она отлична от нуля). Пусть End^y(М) — кольцо эндоморфизмов мо-
дуля М в Walk. Тогда Endjy(M) есть 72-алгебра без кручения.
Изоморфизмы в категории Walk легко характеризуются.
Предложение 29.2. Модули М и N изоморфны в Walk в точности
тогда, когда существуют примарные модули S иТ такие, что
М ®Т = N ф S.
§29. Категории Walk и Warf
251
Доказательство. Пусть существуют S и Т с М®Т = N®S. Вложе-
ние М —> М ф Т и проекция М ф Т —»• М являются взаимно обратными
изоморфизмами в Walk. То же верно и для N ф S. Поэтому получаем
M=MqTuN=NqSb Walk. Отсюда М = N.
Предположим, что М изоморфен N в Walk, f:M N и д: N —>
—> М — взаимно обратные изоморфизмы. Тогда для некоторых е: М —»•
—> t(M) и h: N —> t(N) можно написать fg = 1м + е и gf = 1дг + h.
Положим S = е(М) иТ = h(N). Зададим далее гомоморфизмы а: Л/ф
®Т —> N ф S и N ® S —>Л/фТпо формулам:
= (/(m) - t, e(m) - g(t)),
0(n, s) = (t?(n) - s, h(n) - /(a))
для любых meM, t eT, nt N и st S. Вычисления с использованием
равенств ef = fh и hg = де подтверждают, что а и /3 — взаимно обратные
изоморфизмы.	□
Чтобы получить возможность применить теоремы из §27 в категории
Walk, выделим малые объекты и объекты с локальными кольцами эндо-
морфизмов.
Лемма 29.3. (а) Модуль М является малым объектом в Walk в точ-
ности тогда, когда ранг модуля М конечен.
(Ь) Кольцо эндоморфизмов в Walk модуля ранга 1 локально.
Доказательство, (а) Пусть М — модуль бесконечного ранга. Дели-
мая оболочка D модуля	есть прямая сумма г(М) копий модуля
К (К — поле частных области R). Обозначим через f композицию кано-
нического гомоморфизма М —>	с вложением	в D. Тогда
морфизм f:M—> ф К не пропускается через прямую сумму конечного
г(М)
числа модулей К. Это означает, что М — не малый объект.
Предположим теперь, что М имеет конечный ранг и f: М —> ф Ai —
iei
морфизм в Walk. Зафиксируем в М максимальную линейно независимую
систему элементов ai,...,an бесконечного порядка и возьмем затем та-
кое конечное подмножество F множества I, что f(ak) 6 ф Л для всех
i&F
к = 1,... ,п. Для любого элемента х бесконечного порядка модуля М су-
ществуют элементы г, и,..., rn е R со свойством гх =	+ ... + гпап
и г 7^ 0. Это дает г/(х) е ф А/. Отсюда понятно, что если записать
i&F
252
Глава 6. Смешанные модули
f = д + h, где д: М —> ф Аг и h: М —> ф Aj, то
i&F	iEl\F
h(M) Ct( ф Ai
'iei\F
Следовательно, h = 0 и f = g, т.е. f пропускается через конечную сумму
ФА.
ieF
(b) Если М = К ф Т, где Т — примарный модуль, то Endjy (М) = К.
В противном случае максимальный делимый подмодуль модуля М будет
примарным. Докажем, что тогда кольцо End(M) есть расщепляющееся
расширение кольца R с помощью идеала Hom(M, (Понятие рас-
щепляющегося расширения введено перед теоремой 19.1.) В начале §19
есть также договоренность о том, как понимать включение R С End(M).)
Ясно, что
7?nHom(M,t(M)) = 0.
Пусть а е End(Af). Выберем элемент х в М бесконечного порядка
и пусть а(х) = у. Если у G t(M), то а е Hom(M,f(Af)). При у £ f(Af)
имеем рких = pmvy, где к, т — неотрицательные целые числа и и, v —
обратимые элементы кольца R. Из a(pmvy) = ркиу выводим т < к. Если
положить а = ртх, то нетрудно убедиться, что а действует на подмодуле
Ra как умножение на pk~mw, где w = uv~r. Записав теперь
а = pk~mw + (а - pk-mw),
видим, что pk~mw 6 R, а а — pk~mw е Hom(M, Итак, имеем
модульную прямую сумму
End(M) = R ф Нош(М, <(М)),
что дает изоморфизм Endjy (М) = R.	□
Модуль М, являющийся прямой суммой модулей ранга 1, назовем
вполне разложимым. Итак, вполне разложимый модуль М равен пря-
мой сумме ф Ai, где Ai — модуль ранга 1 для каждого индекса г. По-
iei
смотрим на модуль М как на объект категории Walk. Модули А, как
малые являются конечно аппроксимируемыми и счетно аппроксимируе-
мыми, а кольца Endjy(Aj) — локальными (лемма 29.3). С учетом предло-
жения 29.1 получаем, что к разложению М = фА; применимы теоре-
iei
мы 27.8 и 27.10. С помощью предложения 29.2 оформим соответствующие
результаты в модульных терминах.
§29. Категории Walk и Warf
253
Следствие 29.4. (а) Если М = ф Bj — еще одно разложение модуля
jeJ
М, в котором ранг каждого Bj равен единице, то существуют
биекция 0: I —> J и примарные модули Ti и Si такие, что
Ai®Ti = Вв^ ® Si
для всех i G I.
(b) Пусть N — некоторое прямое слагаемое модуля М. Тогда най-
дутся подмножество J в I и примарные модули S и Т со свой-
ством
(©^05.
Определим еще одну весьма полезную категорию и приведем основ-
ные ее свойства. Объектами новой категории также являются модули.
Для подмодуля А в М такого, что М/А — примарный модуль, рассмот-
рим гомоморфизмы /: А —»• JV, не понижающие высот элементов. Под
этим понимаем, что Ьм(а) h-N(fa) для всех а € А. Возьмем теперь
множество всех таких «частичных» гомоморфизмов /’для всевозможных
подмодулей А и определим на нем отношение эквивалентности следую-
щим образом. Два гомоморфизма f: А —► N и д: В —» N считаем экви-
валентными, если они совпадают на некотором подмодуле С таком, что
С С А О В и М/С — примарный модуль. Мы, действительно, получаем
отношение эквивалентности. Полезно иметь в виду, что М/(А(~\В') — при-
марный модуль. Теперь объявим морфизмами из М в N соответствующие
классы эквивалентности. Множество морфизмов из М в N обозначим
Ноти/(М, 2V). Если / — морфизм, то будем его представлять гомомор-
физмом f:A—>N, не понижающим высот, где М/А — примарный мо-
дуль и / лежит в классе эквивалентности /. Введем операцию сложения
морфизмов. Пусть f,g-- М —> N — морфизмы, f: А N и д: ВN-
их представители. Полагаем / + д = (/ + или, кратко, f + д —
= / + д. Итак, / + д представляется гомоморфизмом / + д : А П В -» N.
Множество Ноти/(М, JV) относительно определенного сложения обра-
зует абелеву группу. Особо отметим, что нулевой элемент — это класс
таких /: А —> N, что /(А) — примарный модуль.
Определим композицию морфизмов. Пусть даны / : М —> N ид-.N —>
-> L с представителями f: А N и д: В —* L. Возьмем композицию
f\c9- С —> L, где С = {а е А | /(а) € В} и М/С примарен. Полагаем
fg — f\c9 или, условно, fg = fg (ясно, что / = /|С). Так определенная
композиция ассоциативна. Тождественными морфизмами являются мор-
физмы вида 1м- Итак, мы определили категорию модулей с морфизмами
254
Глава 6. Смешанные модули
/; эта категория называется категорией Уорфилда и обозначается Warf
(по этому поводу см. еще упражнение 2).
Определим группу Homjv(A7, Я) другим способом с помощью прямых
спектров. Это понятие обстоятельно изложено в [40, § 11]. Дадим краткие
определения и запишем два свойства, тем более, что прямые спектры
появляются и в других местах.
Пусть —семейство модулей, индексное множество I частично
упорядочено, причем для любых i,j е I существует такой k е I, что
i,j < к. Предположим, что для каждой пары индексов i,j е 7, где i <
< j, задан гомоморфизм е?: Ai —> Aj, причем ej = 1Л< при любом i е I
и	всякий раз, когда г' < j: < к. В этой ситуации семейство
модулей Ai вместе с гомоморфизмами е I, называется прямым
спектром. Образуем прямую сумму Л/ = ф Аг и обозначим через В
г&1
подмодуль в М, порожденный всеми элементами вида ai — ejai, где ai G
G Ai, i < j. Фактормодуль М/В называется пределом данного прямого
спектра или просто прямым пределом и обозначается Iim; Aj.
Запишем два свойства прямых пределов, которые могут пригодить-
ся нам при доказательстве равносильности нового определения группы
Homjy(A7, Я) исходному.
(а)	Каждый элемент из М/В представим в виде а» + В, где ai G А»
для некоторого г G I.
(Ь)	Подмодуль В состоит из всех сумм а^ + ... + ain, ais G A,s, для
которых в I существует такое k ii,... ,гп, что ef + ... + е*па^ = 0.
Пусть снова М и N — модули и А — подмодуль в М. Обозначим через
Ha(M,N) подмодуль модуля Нош(А,Я), состоящий из всех гомомор-
физмов А —> N, не понижающих высот. Для любого подмодуля В моду-
ля А имеем индуцированное отображение «ограничения»	—>
—> Нв(М, N), f —> где f: А —> N. Пусть Ai, г G 7, — семейство всех
таких подмодулей модуля М, что M/Ai — примарный модуль. Полагая
г < j <=> Ai D Aj, получаем частичный порядок на 7. Пусть, далее,
^:ЯЛ<(М,Я)^ЯЛДМ,Я)
— индуцированное отображение, где г < j. Тогда система модулей и гомо-
морфизмов	Я); ef (i,j G 7)} является прямым спектром. Пусть
G — его предел. Утверждаем, что модули Нотц/(Л7, Я) и G изоморфны.
Например, изоморфизм получится, если каждому морфизму f: М -* N
поставить в соответствие смежный класс f + В, где /: Aj —► Я —неко-
торый представитель для f.
Полезно отметить, что морфизм f:M—>N является мономорфизмом
в Warf в точности тогда, когда для любого представителя f:A—>N
§29. Категории Walk и Warf
255
из f(d) G i(JV) следует a G t(A) для всякого a G А. Морфизмы 0 —► T
и T —> 0 являются изоморфизмами для любого примарного модуля Т.
Предложение 29.5. Warf есть аддитивная категория с ядрами и бес-
конечными суммами, удовлетворяющая слабому условию Гротендика.
Доказательство. Мы уже установили, что Нотук(-М\AQ ~абелева
группа для любых модулей М и N. Для данных морфизмов
из М в N можно, понятно, считать, что их представители fit Ai N,
i = 1,... ,k, заданы на одном и том же подмодуле, например, пересечении
всех Ai. Это упростит рассуждения. В частности, теперь билинейность
композиции очевидна. Пусть дано произвольное множество модулей Ai,
i G I. Образуем (обычную) прямую сумму модулей М — ф Ai и пусть
iei
eit Ai —> М — вложения, i G I. Модуль M с морфизмами ё^ будет прямой
суммой модулей Ai, г G I, в Warf. Действительно, пусть даны морфизмы
fit Ai —> N, i G I, в Warf с представителями fit Ci —> N. Существует
единственный гомоморфизм ft фС^ -* N, для которого eif — fi при
iei _	_	_
всех г. Получаем единственный морфизм f:M—>N такой, что eif = fi
при всех г. Итак, Warf — аддитивная категория с бесконечными суммами.
Возьмем произвольный морфизм ft М —> N с представителем ft А —►
—» N. Положим
L = {х G М | rx G Кег(/) для некоторого ненулевого г G R},
и пусть I: L —> М — вложение. Тогда пара (L, Z) есть ядро морфизма /.
То, что Warf удовлетворяет слабому условию Гротендика, доказывается
аналогично соответствующему утверждению из предложения 29.1.	□
Из определения морфизмов видно, что либо Homjv(M, 7V) — 0, либо
Нот и/(Л/, jV) — .R-модуль без кручения. Следовательно, кольцо эндомор-
физмов Endiv(A/) модуля М в Warf является R-алгеброй без кручения.
Предложение 29.6. (а) Модули М и N изоморфны в Warf в точ-
ности тогда, когда существуют свободные подмодули А и В
такие, что М/А и N/B — примарные, и модульный изоморфизм
ftA—>B, сохраняющий высоты элементов.
(Ь) Модули М и N ранга 1 изоморфны в Warf в точности тогда,
когда U(M) = U(N).
Доказательство, (а) Мы говорим, что изоморфизм f: А —> В сохра-
няет высоты, если /гм(«) — h^ffaf) для всех a G А.
256
Глава 6. Смешанные модули
Пусть М и N изоморфны в Warf, f: М —> N и д: N —> М — взаимно
обратные изоморфизмы. Выберем представители f:X-^>Nng:Y—>M.
В качестве X и Y можно, конечно, взять свободные модули. В X суще-
ствует подмодуль А такой, что fg = 1д и Х/А примарен. Точно так же
в Y имеется подмодуль С, для которого gf = 1с и Y/С примарен. От-
сюда выводим, что У//А —также примарный модуль. Полагая В = fA,
приходим к изоморфизму f: А —► В, сохраняющему высоты.
Обратно, если /: А —> В —такой изоморфизм, как в условии, то
ff~l — 1а и f~lf = 1в- В таком случае f и f ^взаимно обратные
изоморфизмы и М = N в Warf.
(b) Инвариант U(M) модуля М определен в предыдущем парагра-
фе как класс эквивалентности высотных последовательностей элементов
бесконечного порядка модуля М. Если М = N в Warf, то, ввиду (а),
существует изоморфизм А —► В, сохраняющий высоты, для некоторых
подмодулей А и В, изоморфных R. Ясно, что U(M) = U(N).
Пусть U(M) = U(N). Возьмем некоторые элементы х в М и у в N
бесконечных порядков. Поскольку U(x) ~ U(y), то, умножая элемен-
ты х и у на какие-то ненулевые элементы из R, можно перейти к эле-
ментам с равными высотными последовательностями. Считаем поэтому,
что U(x) = U(у). Рассмотрим гомоморфизмы /: Rx —> Ry, rx —> ry,
и д: Ry —> Rx, ry —> rx, сохраняющие высоты. Здесь f и <? —взаимно
обратные изоморфизмы М на N и N на М в Warf.	□
Для любых модулей М и N существует гомоморфизм Н-модулей
Нот (А/, АГ)	Homjv(M, IV),
ставящий в соответствие каждому f:M—>N класс эквивалентно-
сти /. Его ядро равно Hom(M,t(Mf). Таким образом, Hom^(AT, 7V) ка-
нонически вкладывается в Нот щ_(М, N). Аналогично, ЕпсЦу(М) есть
Я-подалгебра в Endjv(Af). Таким образом, Walk —это подкатегория ка-
тегории Warf. Имеем, далее, такой результат (достаточно в (Ь) применить
лемму 24.1).
Следствие 29.7. (а) Модули, изоморфные в Walk, изоморфны в Warf.
(b) Если модуль неразложим в Warf, то он неразложим в Walk.
Еще один результат подобен лемме 29.3.
Лемма 29.8. (а) Модуль М будет малым объектом в Warf в точно-
сти тогда, когда М имеет конечный ранг.
(Ь) Кольцо эндоморфизмов в Warf модуля ранга 1 локально.
§29. Категории Walk и Warf
257
Доказательство. Утверждение (а) можно доказать так же, как до-
казывается (а) в лемме 29.3. Придется лишь уточнить некоторые детали,
что мы оставляем читателю.
(Ь) Если М = К ®Т, где Т — примарный, то Endjv(M) = К.
В оставшейся основной ситуации делимый подмодуль модуля М яв-
ляется примарным. Покажем, что Endvv(Af) = R. Кольцо R вклады-
вается в Endvv(M) посредством отображения г —> г, г G R. Пусть
f G Endvv(M), f / 0 и f: Rx —* М представляет /. Если /(ж) = у,
то у / t(M). Существуют обратимые элементы и,v € R и целые числа
к, тп 0 с рких = pmvy. Тогда m < к, ибо в противном случае
h(pkx) < h(pmx) < h(pmy)
(так как f не понижает высот). Как и в лемме 29.3, получаем, что f
действует на некотором подмодуле Ra как умножение на элемент pk~mw.
Отсюда f - pk~mw и Endiv(Af) = R (при отождествлении ref). □
Какую информацию можно получить о вполне разложимых модулях,
если перейти в категорию Warf? Любой модуль ранга 1, являясь малым
объектом в Warf, будет конечно аппроксимируемым и счетно аппрокси-
мируемым, а его кольцо эндоморфизмов локально. Warf удовлетворяет
слабому условию Гротендика. Теперь из теорем 27.8 и 27.10 получаем
такой результат.
Следствие 29.9. Пусть М — вполне разложимый модуль и
M = ^Ai
iei
— некоторое его разложение, где r(Ai) = 1 для всех г G I. Тогда
(1) если М = ф Bj, где r(Bj) = 1, j G J, то существует биекция
jeJ
0: I —> J такая, что Ai = Bg^ в Warf для всех i G Т,
(2) если N — некоторое прямое слагаемое модуля М, то существу-
ет J С I такое, что N = ф А, в Warf.
ieJ
Для вполне разложимого модуля М = ф Ai определим инварианты,
г&1
являющиеся кардинальными числами. Для каждого класса эквивалент-
ности е высотных последовательностей (см. §28) обозначим через у(е, М)
число слагаемых Ai таких, что U(Aj) = е. Пусть теперь N — некоторое
прямое слагаемое модуля М. Согласно следствию 29.9, в Warf имеем
9 — 4473
258
Глава 6. Смешанные модули
N = ф Ai, где J — некоторое подмножество в I. Положим g(e, 2V) —
ieJ
= gl е, ф Ai 1 для каждого класса е. Следствие 29.9 допускает перефор-
\ ieJ )
мулировку в ином виде, если учесть предложение 29.6 (Ь).
Следствие 29.10. Пусть М и N — прямые слагаемые вполне разложи-
мых модулей. Тогда М = N в Warf в том и только в том случае,
если g(e,M) = g(e,N) для всех классов эквивалентности е высотных
последовательностей.
Пусть М — вполне разложимый модуль или прямое слагаемое некото-
рого вполне разложимого модуля. Можно утверждать, что числа g(e, М)
не зависят от конкретного разложения этого вполне разложимого моду-
ля в сумму модулей ранга 1, т.е.они однозначно восстанавливаются по
модулю М. Следовательно, множество чисел д(е, М) для всех классов е
составляет полную систему инвариантов для модуля М в категории Warf.
Она является также независимой в силу упражнения 3 и теоремы 30.2.
(Об инвариантах модулей см. в §§4 и 6.) Введенные инварианты называ-
ются инвариантами Уорфилда. С инвариантами Уорфилда д(е,М) мы
снова встретимся в §§31 и 32. В §32 будут также определены некото-
рые инварианты для произвольного модуля, совпадающие с д(е, М) для
прямого слагаемого М вполне разложимого модуля.
Мы располагаем удовлетворительной классификацией прямых слагае-
мых вполне разложимых модулей в категории Warf. Несравненно более
трудная задача описать эти модули с точностью до обычного изоморфиз-
ма. В дальнейшем будет получена классификация для одного довольно
обширного класса вполне разложимых модулей и их прямых слагаемых
(теорема 32.6).
Категория Warf была введена Уорфилдом (см. [307] и [310]), катего-
рию Walk впервые рассматривал Е. Уокер. Кольца эндоморфизмов моду-
лей и абелевых групп в категории Walk изучались Голдсмитом и Занардо
[152] и Бризом [83]. Интересна работа К. Уокер [294], в которой изучают-
ся свойства абелевых групп в категории, в определенном смысле похожей
на Walk.
Упражнение 1. Модули М и N изоморфны в Walk в точности тогда, когда
= N ®t(M).
Упражнение 2. Показать, что при определении категории Warf можно
лишь учитывать частичные гомоморфизмы /: А —> N для подмодулей А без
кручения.
Упражнение 3. Для любого класса эквивалентности е высотных последо-
вательностей существует модуль М ранга 1 с ЩМ) = е (см.теорему 30.2).
§30. Просто представленные модули
259
Упражнение 4. Для смешанных модулей М и N ранга 1 вычислить груп-
пы Homру (М, N) и Ноши/(М, N) в зависимости от классов эквивалентности
U(M) и U(N).
Упражнение 5 (Файлс [109]).
(а)	Если М — острый модуль, то существует расщепляющееся расширение
End(Af) = A ®Hom(M,t(M)), где А — Я-алгебра, изоморфная некоторой
чистой подалгебре в Я, содержащей R. Таким образом, ЕпсЦу (М) = А.
(Ь)	Если модуль М в (а) имеет конечный ранг, то Endpy (Л/) — область дис-
кретного нормирования. (Острые модули определяются в замечаниях к
главе 7.)
§ 30. Просто представленные модули
Здесь мы выделим те вполне разложимые модули, для прямых слагае-
мых которых в §32 будет построена структурная теория (о ней упоми-
нается в конце предыдущего параграфа). Наш подход к классификации
основан на очень специального вида представлении модуля образующими
и определяющими соотношениями. Он позволит получить относительно
простой метод доказательства основных результатов, так как наиболее
тесно связан со структурной теорией.
Если X —- подмножество в модуле 7И, то RX обозначает подмодуль
в М, порожденный X.
Целесообразно привести известные сведения общего характера о си-
стемах образующих и определяющих соотношений. Пусть М — модуль
и {ai}iei — некоторая его система образующих. Между образующими мо-
гут существовать (нетривиальные) зависимости вида	. .+ппагп =
= 0, где ri3 — ненулевые элементы кольца R. Чтобы лучше разобраться
с этим явлением, возьмем свободный модуль F со свободным базисом
X = {xi}i^i, пронумерованным элементами из того же множества ин-
дексов I (свободные базисы определены в §5). Рассмотрим гомоморфизм
F М, где ^(r^xh + ... + rinXin) =	.. + rinain. Пусть H =
= Ker(72). Тогда М = F/Н. Произвольному элементу г^х^ + ... + rinxin
из Н соответствует в модуле М равенство	. 4- rinain = 0, ко-
торое называется соотношением, связывающим в модуле М элементы
ais. Если в Н выбрать некоторое подмножество Д такое, что подмодуль,
порожденный Д, совпадает с Я, то Д, а также соответствующее ему
множество равенств в М называются системой определяющих соотно-
шений модуля М. Все соотношения, связывающие в модуле М элемен-
ты ai, могут считаться следствиями определяющих соотношений. Тройка
{X, Д,</?} называется представлением модуля М.
9*
260
Глава 6. Смешанные модули
Всякий модуль является фактормодулем свободного модуля, поэтому
всякий модуль может быть задан системой определяющих соотношений
относительно некоторого множество символов. При этом, если два моду-
ля заданы определяющими соотношениями относительно некоторых си-
стем образующих так, что между этими системами можно установить
такое взаимно однозначное соответствие, при котором определяющие со-
отношения одного модуля перейдут в определяющие соотношения друго-
го и наоборот, то модули изоморфны.
Всегда ли существует модуль, имеющий данную систему образующих
и данную систему определяющих соотношений? Ответ, конечно, поло-
жительный, как видно из таких соображений. Если даны произвольный
свободный модуль F = ф Rxi и произвольная (абстрактная) система
iei
соотношений, приравнивающая нулю некоторые слова, составленные из
Xi, то легко указать модуль, для которого эти соотношения составляют
систему определяющих соотношений. Для этого достаточно взять под-
модуль Н в F, порожденный левыми частями заданных соотношений,
и перейти к фактормодулю. Множество {офе/, где ai = Xi + Н, i е I,
будет системой образующих для фактормодуля. Заметим, что некоторые
из ai могут равняться нулю и среди а, могут оказаться равные.
Определим основное понятие параграфа. Модуль М назовем про-
сто представленным, если он имеет систему образующих, связанных
лишь определяющими соотношениями вида рх — 0 или рх = у и их
следствиями.
Пусть М — просто представленный модуль. Покажем, что в М можно
выбрать такую систему образующих Y, что
(1)	0£У;
(2)	в Y нет одинаковых элементов;
(3)	если у € У и ру / 0, то ру G У.
Эти условия можно оформить на языке представлений модуля М следую-
щим образом. Представление {X, А, <р} модуля М назовем стандартным
при условии, что
(1)	из х 6 X следует у>(х) / 0;
(2)	из х, у е X и х / у следует <р(х) ф
(3)	из х € X и р<р(х) 7^ 0 следует рр(х') = ip(y) для некоторого у G X.
Уточним еще раз, что в представлении {X, А, р} под р понимается го-
моморфизм свободного модуля F с базисом X в модуль М с ядром
§30. Просто представленные модули
261
7?А, где А — система определяющих соотношений модуля М вида рх и
рх — у, х, у е X.
Лемма 30.1. Просто представленный модуль М имеет стандартное
представление {X, При этом множество Y = ip(X) имеет сле-
дующие свойства'.
(1)	о i У;
(2)	если у EY и ру 0, то ру EY ;
(3)	для любого у eY, если положить
Z = {z eY I pnz у для любого п 0},
то у RZ.
Обратно, если М — некоторый модуль и Y — его система образую-
щих, удовлетворяющая условиям (1)-(3), то М — просто представ-
ленный, и существует стандартное представление {X, А, р} модуля
М такое, что Y = ^>(А").
Доказательство. Убедимся сначала в справедливости второй части
леммы. Пусть М — модуль и Y — его система образующих, удовлетво-
ряющая (1)-(3). Далее, пусть F — свободный модуль с базисом Y, G —
ядро канонического гомоморфизма <р: F —> М, следовательно, М = F/G.
Обозначим через Н подмодуль в F, порожденный всеми элементами ви-
да рх и рх — у,х,у Е Y, такими, что рх,рх — у Е G. Тогда Н С G
и F/Н — просто представленный модуль. Допустим, что Н G. Среди
элементов модуля G, не принадлежащих Н, выберем элемент g такой,
что в его выражении g = riyi +... + rnyn, Гг Е R, yi Е Y, число п являет-
ся минимально возможным. Используя (2), можно считать, что все г, —
обратимые элементы. Ясно также, что п 2. Умножая на rj"1, фактиче-
ски можно считать, что п — 1. Далее мы утверждаем, что для любых
i > 1 ип>0в модуле М имеем pnyi ± у\. Иначе мы получили бы более
короткое выражение для некоторого элемента из G, не принадлежащего
Н (с меньшим числом п), заменяя на (г* +рп)х, и опуская xi. Но
в этом случае равенство xi = —	+ • • • + гпхп) в М противоречит
условию (3).
Пусть теперь М — просто представленный модуль и {X, А, у?} — неко-
торое его представление. Обозначим через Y множество всех ненулевых
элементов вида рпр(х), где п 1, х Е X. Проверим, что система обра-
зующих Y удовлетворяет условиям (1)-(3). Этим будет доказано, ввиду
262
Глава 6. Смешанные модули
предыдущих аргументов, что стандартное представление существует. Яс-
но также, что если представление {X, А, </?} выбрать стандартным, то
будем иметь Y = у>(Х), и доказательство первой части теоремы завер-
шится. Очевидно, что множество Y удовлетворяет (1) и (2). Перейдем
к (3). Пусть у и Z такие, как в (3).
Возьмем квазициклический модуль Д(р°°) с образующими С1,сг,...
..., Сп,... такими, что pci = 0 и pcn+i = Сп для каждого п 1. За-
тем, пусть F — свободный модуль с базисом X. Построим гомоморфизм
f:F—> R(p°°), задав его на базисе X. Для элемента х G X полагаем
/(х) = c„+i, если рп<р(х) = у, и f (х) = 0 в противном случае. Так как
<^(Д) = 0, то несложные вычисления дают /(Д) = 0 и, значит, f(RA) —
= 0. Поэтому отображение f индуцирует гомоморфизм F/RA —> Д(р°°)
по правилу а + ДД —> f(a), a 6 F. Так как модуль F/RX изоморфен
М при сопоставлении а + ДД —► <р(а), а е F, то получаем гомоморфизм
д: М —> Д(р°°), для которого д(у) — ci 0 и g(Z) = 0, откуда у £ RZ.
Итак, Y удовлетворяет (3), и доказательство закончено.	□
В дальнейшем все представления просто представленного модуля бу-
дут предполагаться стандартными (если не оговорено противное) или, что
равносильно, считаем, что системы образующих удовлетворяют условиям
(1)-(3).
Приведем примеры просто представленных модулей (с системами об-
разующих, удовлетворяющими условиям (1)-(3)).
1.	Циклический модуль Д(рп) просто представлен, так как он имеет
систему образующих xi,...,хп такую, что рх\ = 0, рх2 — xi, ..., рхп =
— *£п—1 •
2.	Квазициклический модуль Д(р°°) просто представлен. Он имеет си-
стему образующих xi,X2,... ,хп,... такую, что рх\ = 0, рх2 = Х], ...,
Р^П — ^п-1, • • •
3.	Модули Д и К просто представлены. Действительно, нужную си-
стему образующих для Д составляют элементы 1,р,р2,... В модуле К
нужно к ним добавить 1/р, 1/р2,...
4.	Прямая сумма просто представленных модулей Ai, iei, просто
представлена.
Если взять объединение систем образующих всех модулей А,, то по-
лучим требуемую систему образующих для прямой суммы.
Получается, что прямые суммы циклических модулей и делимые мо-
дули просто представлены. Записанная ниже теорема доставляет важные
примеры смешанных просто представленных модулей ранга 1 (см. Уокер
[297] и Уорфилд [310]).
§30. Просто представленные модули
263
Теорема 30.2. Если v — произвольная высотная последовательность,
то существует просто представленный модуль Av ранга 1, содержа-
щий элемент xv бесконечного порядка, такой, что U(xv) = v. Если
а — любой ординал, то существует просто представленный примар-
ный модуль Ра такой, что раРа — циклический модуль порядка р.
Доказательство. Мы будем руководствоваться тем отмеченным ра-
нее обстоятельством, что всегда существует модуль, имеющий данную
систему образующих и данные определяющие соотношения. Первым рас-
смотрим примарный случай. Образующими модуля Ра будут всевоз-
можные конечные строго возрастающие последовательности ординалов
(«1,..., ап) с ап = а. Определяющие соотношения имеют вид р(ац,...
...,an) = («2,... ,an), n > 1, и р(а) — 0. Модуль Pa удовлетворяет
определению просто представленного модуля. Высота элемента	.
...,ап) в Ра равна Qfc+i, 0 < fc < п — 1. Отсюда можно вывести (на-
пример, с помощью индукции по а), что раРа — циклический модуль,
порожденный (а).
Пусть V = {сгДг^о- Если СТО = ОО, ТО ПОДХОДИТ модуль К. Если СТп+1 =
= оо, но стп < оо, то полагаем Av = Рап ф К. Элементом xv может
служить (<то,ст1,... ,<тп) + 1, где (сто,сТ1,... ,<тп)— один из образующих
модуля Рап и 1 е К.
Наконец, пусть все координаты <т; являются ординалами, т. е. они от-
личны от оо. В качестве Av берем модуль с образующими, состоящими
из конечных строго возрастающих последовательностей (ai,...,an) для
различных п таких, что ап есть один из ординалов ст;, г > 0. Определя-
ющие соотношения для Av выглядят так:
p(ai,...,an) = (а2,...,ага), п > 1,
и
?(ф) = (<Ti+l).
Можно ВЗЯТЬ Xv = (сто).	□
Следующий результат получается легко, но он дает существенную ин-
формацию о предмете нашего изучения.
Теорема 30.3 (Уорфилд [310]). Просто представленный модуль есть
прямая сумма примарного модуля и модулей ранга 1.
Доказательство. Пусть X — система образующих просто представ-
ленного модуля М (напоминаем, что, по нашему соглашению, X авто-
матически удовлетворяет условиям (1)-(3) выше). Мы получим отноше-
264
Глава 6. Смешанные модули
ние эквивалентности на X, назвав элементы х и у из X эквивалент-
ными в том случае, если для некоторых положительных целых чисел
т и пртх = рпу. Пусть Хг, i G I,— множество всех классов эквива-
лентности. Обозначим через Mi подмодуль в М, порожденный всеми
элементами из Xi, r.e.Mi = RXi. Из леммы 30.1 или непосредственно
из природы определяющих соотношений выводим М = ф Mi. Каждый
i€l
Mi есть просто представленный модуль с системой образующих Xi. Если
Хо — класс эквивалентности, состоящий из элементов конечного порядка
множества X, то Mq — примарный модуль. Для Xi Xq имеем модуль
Mi ранга 1 с системой образующих Xi, состоящей только из элементов
бесконечного порядка.	□
Получается, что просто представленный смешанный модуль является
вполне разложимым. А поэтому он обладает инвариантами Уорфилда,
определенными в предыдущем параграфе.
Перечислим теперь несколько элементарных, но полезных результатов
о просто представленных модулях и их системах образующих. Прежде за-
метим, что на системе образующих X просто представленного модуля М
существует частичный порядок <, где у < х, если рпх = у при некотором
п > 0. Если М — примарный модуль, то в X выполнено условие мини-
мальности. Продолжим линию, начатую в теореме 30.3. Именно, пока-
жем, что определенное разбиение множества X индуцирует прямое раз-
ложение модуля М. Для элемента у € X положим Ху = {х € X | у < ж}.
(а)	Если М — просто представленный примарный модуль и L — мно-
жество минимальных элементов из X, то М = ф RXV.
y&L
При различных у, z е L множества Ху и Xz не пересекаются. В силу
условия минимальности, они покрывают множество X. Таким образом,
множества Ху, у G L, образуют разбиение множества X. Отношение
эквивалентности на X, определенное ранее, можно уточнить следующим
образом. Элементы х,у е X назовем эквивалентными, если ртх = рпу
7^ 0 для некоторых т, п > 0. (Это уточнение затрагивает только элементы
конечных порядков из X.) Тогда множества Ху — это как раз классы
эквивалентности для введенного нового отношения эквивалентности на
X. Так же, как в теореме 30.3, получаем, что М — прямая сумма модулей
RXy, у е L.
(Ь)	Если М — просто представленный модуль с системой образующих
X и У —некоторое подмножество в X, то RY и М/RY — просто пред-
ставленные модули.
В самом деле, модуль RY порождается множеством Y, и любое соот-
ношение между элементами из Y имеет вид рх = 0 или рх = у. Фак-
§30. Просто представленные модули
265
тормодуль М/RY можно задать образующими х = х + Ry, х G X, со-
отношениями вида рх = 0 и рх = у и дополнительными соотношениями
в форме х — 0.
(с)	Всякий ненулевой элемент а просто представленного модуля М
с системой образующих X может быть однозначно записан в виде
а = vixi + ... + VkXk, где xi,... ,Xk — различные элементы из X и
«1,..., Vk — обратимые элементы кольца R.
Прежде отметим, что если zi,..., zn — какие-то различные элементы
из X и, например, zi — максимальный в этом множестве относительно
порядка, указанного перед (а), то zi Rz^ + ... + Rzn.
В силу свойств (1)-(3) множества X, существование такой записи
очевидно. Предположим, что имеется еще одна запись элемента а. Ее
можно (условно) оформить в виде
а = nxi + ... + rkxk + Tfc+iXfc+i + ... + rtxi,
где гг = 0 или г, — обратимый элемент. Ввиду только что записанного
свойства максимальных элементов, понятно, что ни один из элементов
Xk+i,..., xi не может быть максимальным во множестве xi,..., xi. Поэто-
му пусть максимальным будет, например, х\. Тогда x\ Rx? + ... + Rxi.
Существует гомоморфизм модуля Rxi + ... + Rxi в квазициклический
модуль /?(р°°), переводящий ху в элемент порядка р, a X2,...,xi в 0.
Так как R(p°°) — инъективный модуль, то можно считать, что <р задан
на М. Имеем tpa = v\{px\) = ri(tpxi), что влечет и = гц. Индукция по
к завершает доказательство.
(d)	В однозначно определенной записи в (с), если а G р°М, то
Xi G раМ для всех i = 1,..., к.
При <т = 0 утверждение тривиально. Допустим, что оно справедли-
во для всех ординалов, меньших а. Случай предельного <т затруднений
не вызывает. Пусть а — 1 существует, и предположим, что а = pb для
какого-то Ь = щу1 + ... + uiyi G р<т-1А/, где yi,..., yi — различные эле-
менты из X, а щ,... ,щ — обратимые элементы из R. По предположению
индукции yj G р^^М при j = 1,... ,1. Элемент а можно записать в виде
wizi + ... + wmzm с различными элементами zi,..., zm из X и обрати-
мыми элементами wi,..., wm. Каждый из элементов zi,..., zm имеет вид
pnyj для какого-то j и О 1, откуда zi,..., zm G раМ. Из (с) следует,
что эти элементы z равны элементам х, т. e.rri,... ,Хк G р^М.
(е)	Пусть М — редуцированный просто представленный примарный
модуль, длина которого — предельное ординальное число. Тогда М — пря-
мая сумма просто представленных модулей меньших длин. Утверждение
остается верным, если длину заменить на ульмовскую длину (понятия
длин введены в §28).
266
Глава 6. Смешанные модули
Нужное разложение доставляет п. (а). Последний ненулевой ульмов-
ский подмодуль модуля RAy порождается, в силу (d), элементом у. По-
этому длины модулей RAy — непредельные ординалы; следовательно, они
меньше длины модуля М.
(f)	Если М — просто представленный модуль, то для любого ординала
а модули раМ и М/раМ также просто представлены. Если дополни-
тельно М — редуцированный примарный модуль, то все его ульмовские
факторы — прямые суммы циклических модулей.
Пусть X — система образующих модуля М. Положим
Y = {yeX\ h(y) > а}.
На основании (d) имеем раМ = RY и все получается из (Ь). Посколь-
ку Ма = ршаМ для любого а, то просто представленными являются
ульмовские подмодули и факторы модуля М. Ульмовские факторы реду-
цированного примарного модуля не имеют элементов бесконечной высо-
ты. Осталось доказать, что просто представленный примарный модуль
М без элементов бесконечной высоты является прямой суммой цикли-
ческих. Действительно, так как длина модуля М не превосходит щ, то,
ввиду (е), М — прямая сумма ограниченных модулей и, значит, прямая
сумма циклических модулей.
(g)	Если Y — некоторое подмножество системы образующих X просто
представленного модуля М, то RY — хороший подмодуль в М.
Запишем элемент а е М\А, как в (с), а = ЩХ1 + .. -+ukxk+viyi + ...
.. - + viyi, где Xi и yj — различные элементы из АДУ и У соответственно,
щ и Vj — обратимые элементы кольца R. Пусть для простоты xi,...,xs,
s < к, не принадлежат А, а все остальные элементы х лежат в А. Мы
утверждаем, что элемент b = uixi+.. .+usxs смежного класса а+А явля-
ется собственным относительно А. В самом деле, возьмем произвольный
сиз А и представим сумму us+ixs+i +.. .+ukxk+viyi + .. .+viyi+c в виде
суммы из п. (с): wizi + ... + wmzm. Тогда щхг + ... + usxs + wiz^+...
... +wmzm будет единственной записью элемента а + с, указанной в (с).
На основании п. (d) имеем
h(a + с) — min{h(xi), h(zj) | i = 1,..., s; j — 1,..., m} <
< min{h(xi) | i = 1,..., $} = h(b).
Редуцированные просто представленные примарные модули совпадают
с тотально проективными модулями. Редуцированный примарный модуль
М называется тотально проективным, если
р° Ext(M/paM, N) = О
§30. Просто представленные модули
267
для любого ординала <т и любого модуля N. Эти понятия появились сна-
чала в теории абелевых р-групп, по-другому, примарных групп (или, что
все равно, примарных Zp-модулей или примарных Zp-модулей; см. §4).
С соответствующими изменениями теория р-групп переносится на при-
марные модули над произвольной областью дискретного нормирования.
В более широком контексте об этом говорится в §4 и замечаниях к дан-
ной главе.
Место и значение результатов центрального §32 главы можно будет
лучше понять, если мы осветим ряд аспектов теории р-групп, касаю-
щихся знаменитой теоремы Ульма. В 1933 г. Ульм [287] доказал, что
две счетные редуцированные р-группы А и В изоморфны в точности то-
гда, когда совпадают соответствующие инварианты Ульма—Капланского
групп А и В. Десятью годами ранее Прюфером [252] было установле-
но, что ульмовские факторы счетных р-групп являются прямыми сум-
мами циклических групп. Теоремы Ульма и Прюфера дополняет теорема
Цыпина [322] о существовании счетной р-группы с заданной последо-
вательностью Ульма. Эти три теоремы составляют законченную струк-
турную теорию счетных р-групп. Можно сказать, что они дают полную
классификацию счетных абелевых р-групп.
Проблема существования р-групп с произвольной заданной последова-
тельностью Ульма была решена Куликовым [23] и Фуксом [124] (см. [41,
теорема 76.1]). Что касается классификации (несчетных) р-групп, то
только в 1960 г. первый серьезный шаг сделал Колеттис [194], пере-
несший теорию Ульма—Цыпина на прямые суммы счетных р-групп. Эти
группы также различаются своими инвариантами Ульма—Капланского.
Очень естественно сформулировать такую проблему: каковы (достаточ-
но широкие) классы р-групп с подобным свойством? Нунке ([247, 248])
в процессе гомологических рассмотрений ввел тотально проективные
группы. Он охарактеризовал прямые суммы счетных р-групп как та-
кие тотально проективные группы А, что рШ1А = 0, где иц—первый
несчетный ординал. Позднее Хилл [166] распространил теорему Уль-
ма на тотально проективные группы (см. также Уокер [296]). Кроули
и Хэйле ([93, 94]), идя другим путем, открыли просто представленные
р-группы (в их терминологии «Т-группы») и доказали для них теорему
Ульма. Используя результат Хилла, они установили, что в редуцирован-
ном случае это те же тотально проективные группы. По этой причине
далее в тексте слова «редуцированный просто представленный примар-
ный модуль» и «тотально проективный модуль» считаются синонимами.
Тотально проективные модули могут быть охарактеризованы в терми-
нах существования определенных семейств хороших подмодулей. Дадим
необходимые определения.
268
Глава 6. Смешанные модули
Говорят, что примарный модуль М удовлетворяет условию Хилла (или
«имеет хорошую систему», или «удовлетворяет третьей аксиоме счетно-
сти»), если в М существует такая система Л/” хороших подмодулей, что
(а)	О G X;
(Ь)	если {Ai | г G 1} — произвольное множество из Af, то £2 А € Af;
iei
(с)	для любого подмодуля А бЛг и счетного или конечного подмноже-
ства X модуля М существует такой подмодуль С € Л/”, что А, X С
С С и С/А — счетно порожденный модуль.
(Определение счетно порожденного модуля есть в §8.)
Приведем еще одно определение.
Пусть М — некоторый примарный модуль и
О - Ао с Ai с ... С Аа с ... С = М
— вполне упорядоченная строго возрастающая цепь хороших подмодулей
модуля М, обладающая следующими свойствами:
(a)	Aa+i/Aa — циклический модуль порядка р для любого а < щ
(b)	Аа = [J Ат, если сг — предельный ординал.
Т <СГ
Такая цепь называется хорошим композиционным рядом модуля М.
(Лотт [220] вводит и изучает различные другие композиционные ряды.)
Соберем вместе основные характеризации тотально проективных мо-
дулей.
Теорема 30.4. Для редуцированного примарного модуля М эквива-
лентны следующие условия-.
(1)	М — тотально проективный.-,
(2)	М — просто представленный-,
(3)	М удовлетворяет условию Хилла-,
(4)	М обладает хорошим композиционным рядом-,
(5)	М проективен относительно всех сбалансированно точных по-
следовательностей примарных модулей.
Сбалансированно точные последовательности определяются в §28.
Смысл условия (5) раскрывается в доказательстве теоремы 32.15.
Из условия (4) получается следствие.
§31. Базисы разложения и продолжение гомоморфизмов
269
Следствие 30.5. Пусть М — редуцированный примарный модуль и А —
хороший подмодуль в М. Если А и М/А —тотально проективные
модули, то и М тотально проективен.
Наконец, отметим, что редуцированный счетно порожденный примар-
ный модуль является тотально проективным.
Теорема 30.3 и ее доказательство позволяют записать любой просто
представленный модуль М в форме Р ф N, где Р — примарный просто
представленный модуль, a N — смешанный просто представленный мо-
дуль с системой образующих, содержащей лишь элементы бесконечного
порядка. Мы сосредоточим далее усилия на описании смешанных просто
представленных модулей.
Упражнение 1. Модуль без кручения М просто представлен в точности
тогда, когда М — прямая сумма модулей ранга 1.
Упражнение 2 (Уокер [296, 297]). Показать, что модули Уокера Ра, скон-
струированные в теореме 30.2, имеют следующие свойства:
(1)	1(Ра) = а + 1;
(2)	/(а, Ра) = 1 (инварианты /(а, Ра) определяются в следующем парагра-
фе);
(3)	Pa/R(a) * ф Р0.
/3<а
Упражнение 3. Любой тотально проективный модуль является прямым
слагаемым прямой суммы модулей Ра для различных а.
§ 31.	Базисы разложения и продолжение гомоморфизмов
В этом параграфе мы проведем трудную подготовительную работу для
оставшегося материала главы. Технически иногда предпочтительней вме-
сто терминов категории Warf использовать термины, относящиеся к
определенным подмножествам модулей. Затронем также задачу продол-
жения изоморфизмов между подмодулями двух данных модулей до изо-
морфизмов самих модулей.
Буква М обозначает, если не оговорено противное, редуцированный
смешанный модуль. Максимальную линейно независимую систему, со-
стоящую из элементов бесконечного порядка модуля М, удобно назы-
вать базисом модуля М (линейно независимые системы рассматривают-
ся в §4). Итак, базис X — это свободный подмодуль в М такой, что
M/RX — примарный модуль.
Введем два центральных понятия параграфа. Первое из них принад-
лежит Ротману (см. [262] и [264]).
270
Глава 6. Смешанные модули
Базис X модуля М называется базисом разложения модуля М, если
для любых xi,... ,хп из X и любых ri,...,гп из R выполняется
h(riXi + ... + ТпХп) = min{/i(rixi),..., h(rnxn)}.
Таким образом, элементы базиса разложения ведут себя так, как если
бы они принадлежали различным прямым слагаемым модуля.
Базис разложения X называется хорошим базисом разложения, если
RX — хороший подмодуль в М.
Любой элемент х бесконечного порядка модуля М ранга 1 образует
хороший базис разложения для М ввиду предложения 28.4 (3). Пусть
теперь М — вполне разложимый модуль, М = ф Mi, где Mi — модуль
iei
ранга 1 для всех i е I. В каждом Mi выберем элемент Xi бесконечного
порядка. Тогда множество X = {xi | г 6 1} есть хороший базис разложе-
ния модуля М (принять во внимание свойство (f) в §28).
Модули с базисом разложения тесно связаны с вполне разложимыми.
Предложение 31.1. Модуль М имеет базис разложения в точности
тогда, когда он изоморфен в категории Warf некоторому вполне раз-
ложимому модулю.
Доказательство. Пусть М имеет базис разложения X = {xi | i е
€ I}. Для каждого iei возьмем модуль Ai ранга 1 такой, что U(xi) =
= U(yi) для некоторого элемента yi из Ai бесконечного порядка (такой
Ai существует по теореме 30.2). Положим N = ф Ai и Y = {у, | i е /}.
iei
Биекция X Y, Xi yi, i е I, индуцирует изоморфизм RX —> RY,
который сохраняет высоты. По предложению 29.6 имеем М = N в Warf.
Обратно, предположим, что модуль М изоморфен в Warf вполне раз-
ложимому модулю N = фА;. Пусть Y — {yi | i е 1} — тот же базис
iei
разложения для N, что и выше. По предложению 29.6 существуют сво-
бодные подмодули F и G в М и N соответственно такие, что M/F, N/G
примарные, и существует сохраняющий высоты изоморфизм f:F^G.
Для каждого iei найдется ненулевой элемент г; G Я с пуг € G. Мно-
жество {riyj | г € 1} также является базисом разложения модуля N.
Положим Xi = /-1 (riyi) е F. Тогда {xi | г е 1} — базис разложения для
модуля М.	□
Из теоремы 30.2, свойства 4 из §30 и предложения 29.6(b) можно
вывести, что любой вполне разложимый модуль изоморфен в Warf неко-
торому просто представленному модулю.
§31. Базисы разложения и продолжение гомоморфизмов
271
Следствие 31.2. Прямое слагаемое модуля М с базисом разложения
само имеет базис разложения.
Доказательство. Пусть М = А ф В, где А —смешанный модуль.
Модуль М изоморфен в Warf некоторому вполне разложимому модулю
N. В Warf имеем N = C®D, где А = С. Существует вполне разложимый
модуль А' такой, что С = А' (следствие 29.9 (2)). Итак, А = А' в Warf
и А имеет базис разложения в силу предложения 31.1.	□
Пусть М — модуль с базисом разложения X. Известно, что М изо-
морфен в Warf какому-то вполне разложимому модулю N. Следователь-
но, модуль М имеет инварианты Уорфилда д(е,М) (см. следствие 29.10
и примыкающий к нему текст). Из доказательства предложения 31.1 вид-
но, что д(е, М) равно числу элементов х из X, для которых U(ж) 6 е.
Для основной структурной теоремы 32.6 о прямых слагаемых просто
представленных модулей нам будут нужны некоторые дополнительные
знания о базисах разложения Их дадут утверждения 31.3-31.5 и 31.7.
Пусть X = {xi | i G 1} — некоторый базис разложения модуля М.
Для каждого г возьмем произвольное целое число гц 0. Ясно, что
множество Y = {рПгХ{ | г 6 1} также является базисом разложения
для М. Будем говорить, что Y — подордината базиса X. Если RY —
хороший подмодуль в М, то Y называется хорошей подординатой.
Лемма 31.3 (Хантер—Ричмен [179]). Пусть X uY — такие базисы раз-
ложения, что X с RY. Тогда существует множество подмножеств
в Y (назовем их замкнутыми) такое, что
(1)	объединение любой цепи замкнутых подмножеств есть замкну-
тое подмножество;
(2)	всякое бесконечное множество содержится в замкнутом множе-
стве той же мощности;
(3)	если S замкнуто, то
(а)	X П RS — базис разложения для RS;
(b)	S U (X \ RS) — базис разложения для RY.
Доказательство. Данное подмножество S с Y будем расширять та-
ким образом, чтобы оно удовлетворяло (3). Для элемента х 6 X пусть
тгх — проекция RX на циклическое слагаемое Rx. Положим
aS = {ж € X | 7гг(рп5) / 0 для некоторых st S н с pns 6 RX}.
272
Глава 6. Смешанные модули
Тогда За) эквивалентно тому, что aS С RS. Для любого элемента z 6
€ RX определим следующее подмножество в X:
supp(z) = {х е X I тгх(г) / 0 и Ь(тгх(гУ) — h(z)}.
х
Теперь положим
/3S = C|{siipp(z) | z 6 RX и supp(z) С S'}.
Чтобы потом увидеть, что включение /35 С RS влечет ЗЬ), заметим, что
если z е RX и у е RS таковы, что
h(y + -г) / А(у) = h(z),
то supp(z) С 5.
у
Назовем подмножество 5 замкнутым, если aS,ftS С RS. Поскольку
а и (3 перестановочны с объединением цепей, то объединение любой
цепи замкнутых множеств есть замкнутое множество. Фактически, мы
уже проверили, что (1) и (3) выполняются. Для проверки (2) сначала
убедимся, что |а5| < |Я5| и |/35|	|Я5|. Первое неравенство очевидно.
Теперь заметим, что suppx(z) конечно для всех z из RX. Затем, если z\
и 22 имеют одинаковые проекции на RS и suppy(zi) С 5 для г = 1,2, то
suPPx(2i) — suPPx(22)- Таким образом, |/35| < |7?5|. Для бесконечного
подмножества 5 пусть 5(1) — наименьшее подмножество в Y такое, что
715(1) D SUaSU/35,
и положим 5(n) — (S(n — 1))(1) при п > 1. Тогда 5(1) U 5(2) U ... есть
замкнутое множество такой же мощности, что и 5.	□
Лемма 31.4. Всякий счетный или конечный базис разложения имеет
хорошую подординату.
Доказательство. Пусть х\,Х2,... — базис разложения и <ti,<t2, ... —
какая-то нумерация ординалов Ь,(рпхь), п 0, k 1. Для любого j > 1
выберем неотрицательное целое число s(j) такое, что для каждого i < j
имеет место либо
ai < h(ps^xj),
либо
<Ti > h(pnXj)
для всех п. Тогда подордината {ps^Xj | j — 1,2,...} является хорошей
(см. упражнение 2).	□
§31. Базисы разложения и продолжение гомоморфизмов
273
В связи со следующим предложением уточним, что тотально проек-
тивные модули определяются перед теоремой 30.4. Еще отметим, что
если А — хороший подмодуль в М, то М/А — редуцированный модуль
(М считается у нас редуцированным модулем).
Предложение 31.5 (Хантер—Ричмен [179]). Пусть X uY — базисы раз-
ложения с X с RY. Тогда существует подордината Z в X такая,
что RZ — хороший подмодуль в RY и RY/RZ тотально проективен.
Доказательство. Используя лемму 31.4 и тот факт, что счетно по-
рожденный редуцированный примарный модуль тотально проективен,
можно предположить, что Y — несчетное множество. Вполне упорядо-
чим множество Y, т.е. запишем Y = {уа | а < А}, где А —наименьший
ординал мощности |У|. Определим множество Ya для каждого а < А, бе-
ря в качестве Yr+i замыкание множества Усти{у<т} в смысле леммы 31.3
и полагая Ya = (J YT для предельных а. Обозначим теперь Ха = X Г)
Т<(Т
C\RYa. Из леммы 31.3 вытекает, что имеют место следующие пять свойств
введенных множеств:
(1)	Хх = X и Уд = У;
(2)	Ха = (J Хт+1 и Ya = U Yr+i;
Т<(Т	Т<(У
(3)	Ха есть базис разложения для 7?УСТ;
(4)	|Уг| < |У|;
(5)	Уст U (X \ Хст) есть базис разложения.
Пусть Ха = Ха+1 \ Ха. Смежные классы с представителями из Ха
образуют базис разложения фактормодуля RYa+i/RYa. С помощью ин-
дукции можно найти подординату Za в Ха такую, что 7?(Уг U Za) —
хороший подмодуль в RYa+i и RYa+i/R(Ya U Za) имеет хороший ком-
позиционный ряд (эти ряды определяются перед теоремой 30.4). Мно-
жество Z = (J Za является базисом разложения для RY. Положим
(т<А
Za = и ZT. Тогда Za - Z П RYa.
т<а
Докажем индукцией по сг, что если р <т, то подмодуль R(YP U Za)
хороший в RYa. Это тривиально, если р = а. Если R(Yp U Za) хороший
в RYa, то
R(YP U Za+1) = R(YP U Za U ZCT)
— хороший в R(Y# U Za), который хороший в 7?Уст+1. Предположим, что
а — предельный ординал и R(Yp{jZT'} хороший в RYT для всех р < т < а.
274
Глава 6. Смешанные модули
Если у е RYcr, то у е RYT для некоторого т < сг. Мы можем считать,
что у имеет наибольшую высоту в смежном классе у + R(YP U ZT). Но
YT U (Z \ Zr) — базис разложения, поэтому у имеет наибольшую высоту
в у + R(Yp U Z). Взяв а = А, видим, что R(YP UZ) — хороший подмодуль
в RY. При р = 0 получаем, что RZ — хороший в RY. Так как
R(Yp+l U Z)/R(YP UZ) =
= R(Yp+1 U (Z \ RYP+1))/R(YP UZf>U(Z\ RYp+1)) * RYp+1/R(Yp U Z"),
то первый модуль в этих соотношениях имеет хороший композиционный
ряд. Эти ряды дают хороший композиционный ряд для RY/RZ. Следо-
вательно, модуль RY/RZ — тотально проективный (теорема 30.4).	□
Определим некоторые инварианты модулей, являющиеся кардиналь-
ными числами. Для любого ординала сг возьмем вполне инвариантный
подмодуль (раМ)\р]. Имеем
(рстМ)[р] = р<тМПМ\р],
и (pCTM)[p] есть пространство над полем вычетов Rp кольца R. Размер-
ность Др-пространства (р<тЛ/)[р]/(р<т+1М)|р] называется сг-м инвариан-
том Ульма—Капланского модуля М и обозначается f(cr,M'). Для орди-
налов <т Z(M), где 1(М) — длина модуля М, имеем f(a,M) = 0.
Обобщим эти хорошо известные инварианты Ульма—Капланского. Для
подмодуля А модуля М обозначим через А(сг) пересечение (р<тЛ/)[р] А
А (рст+1Л/+ А). Здесь А(сг) — подмодуль модуля (р^М)^], содержащий
(рст+1М)[р]. Еще заметим, что
А(сг) = {х Е М \ рх = 0, h(x) сг и h(x + а} > а для некоторого а € А}
и элемент х порядка р и высоты сг лежит в А(сг) в точности тогда, когда
он не является собственным относительно А. Кардинальное число
/СТ(М, А) = dimRp((p<TM)[p]/A(<7))
называется а-м инвариантом Ульма—Капланского модуля М относи-
тельно подмодуля А. Имеем
Л(М,А)	и /<т(^0) = /(с7,М).
Найдем более точные соотношения между введенными инвариантами
и «относительными» инвариантами. Обозначим через Z7CT(Af) простран-
ство (р°’М)[р]/(рст+1Л/')[р] над полем вычетов Rp. Можно записать изо-
морфизм
Ua(M) * А(ст)/(рст+1М)[р] ® (рстМ)[р]/А(сг)	(6.1)
§31. Базисы разложения и продолжение гомоморфизмов
275
и равенство
/(а,М) = dim/?p(A(cr)/(p<7+1M)[p]) + fa(M, А).	(6.2)
Нам придется в будущем, зная /(<т, М), делать определенные выводы о
А). Для облегчения этой процедуры подойдем к этим инвариантам
с другой стороны. Существует каноническое отображение
Ра: р°М/ра+хМ р^М/р^М,
индуцированное умножением на р,
ра: х + ра+1М —♦ рх + ра+2М.
Пусть Ка(М} обозначает ядро ра. Тогда
ка{М) = {хеРам |рх ера+2м}/ра+1м.
Для подмодуля А С М положим
Аа = АГ\раМ, А; = {х е Аа | рх е Аа+2}, Ка(А) = A*a/Aa+i.
Вложение х: А —> М индуцирует мономорфизм
Ка{А)Ка{М), х + Аст+1 ^х+ра+1М,
образ которого равен
({ж е А(<Т) I рх е Аа+2} +p°+'M)/p°+lM.
Лемма 31.6. Существуют следующие канонические изоморфизмы:
(1)	Ка(М) ~ иа(му,
(2)	Ка{М) / 1т{ма) = {р<ТМ')\р]/А(а>);
(3)	Im(xa) А(а)/(^+1М)[р].
Доказательство. (1) Пусть х + ра+1М е Ка(М}. Тогда рх 6 ра+2М
и рх = ру для некоторого у е ра+1М. Получаем р(х - у) = 0 и я - у е
е раМ. Теперь отображаем х +ра+1М в х — у + (рст+1М)[р]. Обратное
отображение есть х + (р<т+1М)[р] -+ х + ра+1М.
(2) и (3) Отождествим естественным образом модуль (рстА/)[р]/А(сг)
с модулем <7<т(ЛГ)/(А(ст)/(р<т+1М)[р]). Изоморфизм в (2) индуцируется
изоморфизмом, построенным в (1). Для этого достаточно убедиться, что
276
Глава 6. Смешанные модули
изоморфизм из (1) индуцирует изоморфизм из (3). Но это действительно
так. Вспомним, что
А(ст) = (jfM)\p] П (ра+1М + А).
Если
х +pa+lM 6 1ш(хст)
и элемент у такой, как в (1), то х — у € А(сг). Если же
X + (ра+1М)\р] е А(<г)/(р<т+1М)[р],
то х +pa+lM G Im(xCT).	□
Введем обозначение /«ДА) для 1ш(хст). На основании леммы 31.6 изо-
морфизм (6.1) и равенство (6.2) выше можно теперь записать в виде
Ка(М) * 1а(А) ® Ка(М)/1а(А)	(6.3)
и
f(a, М) = dimftp 1а(А) + /СТ(М, А).	(6.4)
Концепцию относительных инвариантов Ульма—Капланского предло-
жил Хилл. В статьях Хантера, Ричмена и Уокера [179, 180, 181] мож-
но найти более полную информацию об инвариантах	fa(M,A')
и д{е, М) и связях между ними.
Вернемся к базисам разложения и дадим такое определение (Уорфилд
[310]). Базис разложения X модуля М называется нижним базисом раз-
ложения, если для всякого ординала о либо Ia(RX) — конечномерное
.Rp-пространство, либо /(<т, М) = fa(M, RX) (с этим определением свя-
зано упражнение 3).
Будем говорить, что высотная последовательность имеет ска-
чок на сг, где а — некоторый ординал, если для какого-то г 0 верно, что
ai = а и <Тг+1 > а + 1, т. е. между сгг и <Ti+i есть скачок.
Лемма 31.7 (Уорфилд [310]). Если М — модуль с базисом разложения
X, то существует подордината X1 в X такая, что X1 есть нижний
базис разложения.
Доказательство. Трансфинитной индукцией мы можем найти попар-
но непересекающиеся счетные подмножества Х\, A G Л, множества X
такие, что X есть объединение всех Х\ и для каждого А € Л и каждого
ординала о если Ia(RX) — бесконечномерное пространство, то Ia(RX\)
есть либо 0, либо бесконечномерное пространство. С каждым Х\ ассоци-
ируем некоторое новое множество Х'х следующим образом. Для каждого
§31. Базисы разложения и продолжение гомоморфизмов
277
A G Л пусть 5(A) есть множество ординалов а таких, что Ia{RX\) бес-
конечномерно. Если 5(A) — пустое множество, то полагаем Х'х — Х\.
В противном случае утверждаем, что можно выбрать попарно непересе-
кающиеся бесконечные подмножества Хх в Хх, одно для каждого а G
€ S(X), такие, что если х G Хх, то U(x) имеет скачок на <т. Отложим
доказательство этого утверждения до другого абзаца и допустим, что оно
верно.
Если х G АГд, то существует целое число т(х) такое, что рт^х имеет
высоту большую, чем а. Пусть Хх есть множество элементов pmf-x^x для
всех х € Хд, ст € 5(A) и тех элементов х G Хх, которых нет в любом
из множеств Хх,сг 6 5(A). Пусть X' — объединение всех множеств Хх,
А € Л. По конструкции, если а есть любой ординал такой, что Ia(RX)
бесконечномерно, то размерность факторпространства I^RX)/Ia(RX')
не меньше, чем размерность I„(RX'). Отсюда следует, что X1 есть ниж-
ний базис разложения.
Для доказательства того, что Х\ можно разбить указанным образом,
положим Х\ — Y и пусть
5(A) =	| г = 0,1,2,...}.
(Случай, когда множество 5(A) конечное, довольно легкий.) Пусть жц —
некоторый элемент из Уц. Если Уц имеет только конечное число элемен-
тов, чьи высотные последовательности имеют скачок на <72, то полагаем
У12 = Уп- Иначе, пусть Y{2 есть такое бесконечное подмножество в Уц,
что если х £ У12, то U(x) имеет скачок на <Т2, и такое, что Уц \ Y{2
бесконечное и содержит хц. Полагаем У12 = Уц \ Y{2 и выберем эле-
мент xi2 в У12 так, что Х12 / хц. Продолжая таким способом, построим
оо
У13,У14,-.. Пусть У1 = П Г1г, где У1 все еще бесконечное, так как со-
г=1
держит все элементы х-ц. Теперь применим ту же процедуру к У \ Уц
используя ординал стг, и образуем множество Yi. В итоге мы будем иметь
попарно непересекающиеся бесконечные множества У такие, что если
х 6 Yi, то U(x) имеет скачок на стц	□
Существующие подходы к установлению изоморфизмов между пря-
мыми слагаемыми просто представленных модулей, как правило, ис-
пользуют технику последовательных продолжений изоморфизмов меж-
ду определенными подмодулями. Докажем основную теорему на эту те-
му. Большую часть технических деталей из доказательства этой теоре-
мы 31.9 поглощает следующая лемма. Прежде напомним, что понятия
изоморфизма, сохраняющего высоты элементов, и гомоморфизма, не по-
нижающего высот, уже встречались в §29.
278
Глава 6. Смешанные модули
Лемма 31.8. Пусть А и В — хорошие подмодули модулей М и N
соответственно такие, что М/А и N/В — примарные модули и
у>-. А —> В — сохраняющий высоты изоморфизм. Предположим, что
fa(M,A) - fa(N,B), и пусть
t„: (jfM)\p]/A(<r)	(р^)[р]/В(а)
— изоморфизм для каждого а. Если х € М, то существуют хорошие
подмодули А[ и Bi в М и N соответственно и сохраняющий высоты
изоморфизм : Ai —> Bi, продолжающий р, такие, что
(1)	Ai — А + Rx;
(2)	Ai/A и Bi/В — конечно порожденные;
(3)	для каждого a ta индуцирует изоморфизм
AiWAW ВД^/В^);
(4)	/а(М,А1) = /а(ЛГ,В1).
Доказательство. Мы можем, конечно, считать, что х А, рх 6 А
их — собственный относительно А. Пусть h(x) = т.
Случай 1. h(px) > т + 1. Пусть рх = ру с А(у) > т. Тогда элемент
х — у имеет порядок р и высоту т, и он собственный относительно А.
Следовательно, если
tT(x - у + А(т)) = z + в(т),
то z есть элемент порядка р, высоты т и собственный относительно В
(см. определение подмодуля А(сг) выше). Пусть <р(рх) — pw с h(w) > т.
Расширим <р, отобразив х в w + z. Положим Ai = А + Rx и Bi =
= В + R(w + г). Подмодули Ai и Bi хорошие, так как А и В хорошие,
a Ai/А и Bi/B конечно порожденные (лемма 28.3 и предложение 28.4).
При а < т имеем х е ра+хМ и АЦсг) = А(<т). Аналогично получаем
Bi(cr) = В(а). Если сг > т, то те же самые равенства вытекают из того
факта, что элемент х является собственным относительно A, a w + z —
относительно В. Если а = т, то х - у е Ai(cr) и
О / ta(x - у + А(сг)) = z + В(сг) 6 В1(<т)/В(<т).
Модули Ai/А и Bi/В являются циклическими порядка р. Поскольку
существует канонический эпиморфизм Ai/A —> Ai(cr)/A(cr) и аналогич-
ный для В, то А1(<т)/А(<т) и В1(<т)/В(сг) также циклические порядка р.
§31. Базисы разложения и продолжение гомоморфизмов
279
Следовательно, ta индуцирует изоморфизм, как утверждалось. Это дока-
зывает (1), (2) и (3), а (4) следует из (3).
Случай 2. h(px) = т +1. Пусть р(рх) = pw с h(w) т. Тогда h(w) =
= т, поскольку /i(pw) = т + 1. Если h(w + Ъ) т + 1 для какого-то
b 6 В, то А(Ь) = т и b = <^(а) с h(a) = т и h(x + а) — т. Таким
образом, х + а — собственный относительно A, h(p(x + а)) > т + 1, и мы
попадаем в случай 1. Следовательно, w — собственный относительно В,
и очевидно, что w В. Продолжим р, отправив х в w. Положим Ai =
= А + Rx и Bi = В + Rw. Если сг / т, то, как и в (1), получаем
А1(<т) = А(сг) и ВДсг) = В(сг). Если а = г, то ни для каких элементов
с е А и m е ра+1М не может выполняться ptm + c+x) = 0. Снова имеем
А1(ст) = А(сг) и также Bi(cr) = В(о), что завершает доказательство. □
Пусть А и В —подмодули модулей М и N соответственно, р: А —>
—> В — некоторый изоморфизм. Допустим, что р продолжается до изо-
морфизма ф: М —»• N. Поскольку раМ и (pfM)[р] — вполне инвари-
антные подмодули, то ф индуцирует изоморфизмы (рстМ)[р] —> (pCTJV)[p]
и А(ст) —> В(а). Отсюда вытекает равенство для относительных инвари-
антов f„(M,A) = fa(N,B).
Следующая теорема первоначально была доказана Хиллом [166], кото-
рый дополнительно предполагал, что М и N — примарные модули. При-
веденные формулировка и доказательство принадлежат Уокеру [296].
Теорема 31.9. Пусть М/А и N/В —тотально проективные модули,
где А и В —хорошие подмодули и fa(M,A) — fa(N,B) для всех а.
Тогда всякий сохраняющий высоты изоморфизм р: А В продолжа-
ется до изоморфизма М —» N.
Доказательство. Пусть
ta: (раМ)\р\/А(а)	(jfN)\p]/B(a)
— изоморфизм для каждого ординала сг. Модули М/А и N/В удовлетво-
ряют условию Хилла (теорема 30.4). Пусть £ и Р —системы хороших
подмодулей для модулей М/А и N/В соответственно из определения
условия Хилла перед теоремой 30.4. Рассмотрим семейство Т всех изо-
морфизмов С —» D, сохраняющих высоты, таких, что
(а)	С/А е £, D/В € Р и
(Ь)	для каждого сг ta индуцирует изоморфизм С(Ф)/А(сг) —> Р(сг)/В(сг).
280
Глава 6. Смешанные модули
На множестве таких изоморфизмов введем стандартным способом ча-
стичный порядок. Именно, если y>i: Ci Di, i = 1,2, — изоморфизмы, то
<^i	<Р2 Ci С Сг и сужение у?г на Ci совпадает с <pi. Применение
леммы Цорна приводит к максимальному такому изоморфизму ipo: С —>
—> D. Условие (Ь) влечет fa(M,C) — fa(N,D) при всех а. Подмодули С
и D хорошие по лемме 28.3, и для любого a ta индуцирует изоморфизм
(рстМ)[р]/С(а) (p°N)\p]/D(a).
Допустим, что М С, и пусть z с М\С. По лемме 31.8 существуют хо-
рошие подмодули Ai = С + Rz и Bi и сохраняющий высоты изоморфизм
Ai —> Bi, продолжающий <ро, такие, что ta индуцирует изоморфизм
Ai(a)/C(cr) -+ Bi(ff)/D(a)
и, следовательно, изоморфизм
А1(<т)М(<т) Bi(cr)/B(a).
Мы располагаем системой £ и хорошими подмодулями А и Ар Поэто-
му, опираясь на лемму 28.3, можно утверждать существование хорошего
оо
подмодуля Ci такого, что Ai с Ci, Ci/А с £ и Ci = Ai + 52 Rxu- Су-
i=l
ществует сохраняющий высоты изоморфизм Ai + Rxn —> В2, удовлетво-
ряющий условию (Ь) и продолжающий изоморфизм Ai —> Вр Похожим
образом, исходя из системы D и хороших подмодулей В и В2, находим
ОО
хороший подмодуль D2 со свойствами Z>2 — В2 + 52 R-Уъ. и D2/В е Т>.
г=1
Существует сохраняющий высоты изоморфизм А2 —> В2 + Вугь продол-
жающий наш предыдущий изоморфизм и удовлетворяющий (Ь). Далее
ОО
имеем С2 = Аг + 52 R^2i с С'г/А € £. Аналогично существует изомор-
i=i
физм Аг + Rxi2 + RX21 —* Вз, который сохраняет высоты, расширяет
предыдущий изоморфизм и удовлетворяет (Ь). Теперь имеем D3 = В$ +
ОО
+ 52 Rysi с D3/B GP. И существует изоморфизм А3 —> Вз + Яугг + Яузь
г=1
который сохраняет высоты, расширяет предыдущий изоморфизм и удо-
влетворяет (Ь). Продолжая таким образом, мы придем к сохраняющему
высоты изоморфизму UG = (J А —* U^> продолжающему tpo и удовле-
творяющему (Ь). Но (иСг)/А е £ и (U Di)/В е D. Мы заключаем, что
С = М и D = N, что заканчивает доказательство.	□
§32. Модули Уорфилда
281
Следствие 31.10. Если А — хороший подмодуль модуля М такой, что
М/А тотально проективный, то всякий автоморфизм модуля А, ко-
торый сохраняет высоты в М, продолжается до автоморфизма мо-
дуля М.
Следствие 31.11. Пусть М и N — модули, А — хороший подмодуль в М
и М/А тотально проективен. Если р: А—* N — гомоморфизм, не по-
нижающий высот, то р продолжается до гомоморфизма из М в N.
Доказательство. Распространим р до гомоморфизма ф: A® N
А® ЛГ, полагая ф(а,х) = (а, р(а) + х). ф — сохраняющий высоты в
M®N автоморфизм подмодуля A® N. По предыдущему следствию ф
расширяется до какого-то автоморфизма а модуля M®N. Пусть в: М -+
М ® N — вложение, а тг: М ® N N — проекция. Тогда Оатг — требу-
емое продолжение для р.	□
Упражнение 1. Показать, что всякая подордината хорошего базиса раз-
ложения является хорошей.
Упражнение 2 (Хантер—Ричмен—Уокер [180]). Предположим, что базис
разложения X модуля М удовлетворяет следующему условию. Для данного
ординала а существует самое большее конечное число ординалов г < а та-
ких, что h(x) = т и h(px) а для некоторого х е X. Доказать, что RX —
хороший подмодуль в М.
Упражнение 3. Пусть X — базис разложения модуля М. Убедиться, что
diin.Rp(Ja(RX)) есть в точности число элементов из X, ульмовские после-
довательности которых имеют скачок на а в смысле, раскрытом перед лем-
мой 31.7.
Следующие три упражнения взяты из работы Хантера и Ричмена [179].
Упражнение 4. Пусть М — модуль с хорошим базисом разложения. Тогда
любой базис разложения модуля М имеет хорошую подординату.
Упражнение 5. Пусть Z — конечное подмножество некоторого базиса раз-
ложения. Тогда RZ — хороший подмодуль.
Упражнение 6. Любые два конечных базиса разложения содержат подор-
динаты, порождающие равные подмодули.
Упражнение 7 (Файлс [109]). Если М — острый модуль ранга, большего
единицы, то М не имеет хороших свободных подмодулей.
§ 32. Модули Уорфилда
Определим модули, указанные в названии, и докажем, что для них суще-
ствует полная система инвариантов, состоящая из кардинальных чисел.
282
Глава 6. Смешанные модули
Вопрос о независимости этой системы затрагивается в замечаниях в кон-
це главы.
По-прежнему считаем, что М — редуцированный смешанный модуль
(если не оговорено противное).
Прежде всего запишем такой результат о базисах разложения.
Предложение 32.1. Пусть Y — хороший базис разложения, X — базис
разложения модуля М. Тогда существует хорошая подордината Z
в X такая, что RZ С RY. Если дополнительно М/RY — тотально
проективный модуль, то существует хорошая подордината Z в X
такая, что RZ С RY и M/RZ тотально проективен.
Доказательство. Беря, если нужно, подординату, можно считать,
что X с RY. По предложению 31.5 существует подордината Z в X такая,
что RZ — хороший подмодуль в RY и RY/RZ — тотально проективный
модуль. Так как RY — хороший подмодуль в М, то RZ также хороший
в М, т. е. Z — хорошая подордината. Пусть M/RY — тотально проектив-
ный модуль. Модуль М/RZ можно рассмотреть как расширение хоро-
шего подмодуля RY/RZ с помощью модуля M/RY. По следствию 30.5
M/RZ — тотально проективный модуль (см. еще лемму 28.3).	□
Смешанный модуль М называется модулем Уорфилда, если М изо-
морфен прямому слагаемому некоторого просто представленного модуля.
Всякий просто представленный модуль является модулем Уорфилда. Су-
ществуют модули Уорфилда ранга 1, не являющиеся просто представлен-
ными (пример есть в [310]).
Теорема 32.2 (Уорфилд [310]).	(1) Модуль Уорфилда М содержит
хороший базис разложения X такой, что любая подордината
X' в X является хорошей и M/RX' — тотально проективный
модуль.
(2) Если некоторый модуль М содержит хороший базис разложения
X, для которого М/RX тотально проективный, то М — модуль
Уорфилда.
Доказательство. (1) Существуют некоторый модуль N и просто
представленный модуль L такие, что М ф N — L. По следствию 31.2
М и N имеют базисы разложения W и Z соответственно. Положим
Y — W U Z. Пусть V — базис разложения для L, который является под-
множеством некоторой системы образующих модуля L, удовлетворяющей
§32. Модули Уорфилда
283
условиям (1)-(3) перед леммой 30.1. Этого всегда можно добиться следу-
ющим образом. L является прямой суммой просто представленных моду-
лей Li, i е I, ранга 1 (теорема 30.3). В каждом Li выберем один элемент
Xi бесконечного порядка из некоторой системы образующих модуля Li.
И полагаем V = {xi | г 6 I}. Опираясь на лемму 31.7 и тот факт, что
всякая подордината в V есть подмножество той же системы образую-
щих, можно допустить, что V является нижним базисом разложения. По
свойствам (g) и (Ь) из §30 V — хороший базис и L/RV — тотально про-
ективный модуль (см. теорему 30.4, текст перед ней и замечание перед
предложением 31.5).
Можно выбрать подординату Y' в Y, обладающую следующими свой-
ствами:
(1)	Y' С 7?У;
(2)	Y' — нижний базис разложения;
(3)	существует биекция t: Y' —> V такая, что U(y) и [7(/(у)) эквива-
лентны и U(y) U(t(y)) для каждого у е Y'.
Используя предложение 32.1 и переходя к дальнейшим подординатам (что
не меняет условий (1)-(3)), мы можем считать, что У' —хорошая подор-
дината и L/RY' — тотально проективный модуль.
Есть также возможность заменить V на некоторую подординату V
так, что если pnt(y) € V, то 17(у) — U(pnt(y)). В таком случае полу-
чим сохраняющий высоты изоморфизм <р: RV —> RY' (он продолжает
биекцию, обратную к t). Это влечет изоморфизм ./^-пространств
Ia(RV') * la(RY')
для всех ординалов сг, что видно из определения мономорфизма перед
леммой 31.6. Следовательно, если эти пространства конечномерны, то
Л(Д-КУ/) = л(дду/)
в силу формулы (6.4) из § 31. Если же они бесконечномерны, то, прини-
мая во внимание, что V' и У' — нижние базисы разложения, получаем
fa(L, RV') = f(a, L) = fa(L, RY').
Условия теоремы 31.9 выполняются, и мы заключаем, что <р продолжа-
ется до автоморфизма модуля L. При этом Y' оказывается подмноже-
ством некоторой системы образующих модуля L, удовлетворяющей тем
же условиям (1)-(3) перед леммой 30.1.
284
Глава 6. Смешанные модули
Положим X = Y' П М. Так как Y' есть подордината для У, то X есть
подордината для W и, следовательно, базис разложения для М. Так как
X есть подмножество некоторой системы образующих для L, то всякая
подордината X' для X будет подмножеством той же самой системы об-
разующих для L. Значит, RX' — хороший подмодуль в М в соответствии
со свойством (g) из § 30. Пусть Z' = Y' П N. Тогда имеем
L/RY' = L/R(X' U Z') = L/(RX' ф RZ') “ М/RX' ф N/RZ'.
Следовательно, M/RX' — тотально проективный модуль как прямое
слагаемое тотально проективного модуля. Это доказывает, что базис раз-
ложения X модуля М обладает всеми требуемыми в (1) свойствами.
(2) Учитывая предложение 31.1 и замечание после него, можно взять
просто представленный модуль N с хорошим базисом разложения У
и тотально проективным фактормодулем N/RY (см. начало доказатель-
ства (1)). Кроме того, между RX и RY существует изоморфизм, сохра-
няющий высоты. (Таким образом, М и N изоморфны в Warf.) Теперь
заметим, что класс тотально проективных модулей замкнут относитель-
но образования прямых сумм. Поэтому, в силу теоремы 30.2, существуют
тотально проективные модули со сколь угодно большими инвариантами
Ульма—Капланского. Более точно, пусть Т — такой тотально проектив-
ный модуль, что f(cr,T) = 0 при	= f(cr,N) = 0 для любого а.
В противном случае пусть /(cr, Г) — бесконечный кардинал с
/(a,T)>min(/(a,M),/(a,jV)).
Рассмотрим модули М ф Т и N ®Т. Они имеют одинаковые инвариан-
ты Ульма—Капланского. Что касается инвариантов Ульма—Капланского
модуля М ф Т относительно RX, то они равны инвариантам Ульма—
Капланского модуля М®Т, что следует из формул (6.2) и (6.4) в §31. То
же верно для N®T и RY. Таким образом, к модулям М®Т и N®T и их
подмодулям RX и RY возможно применение теоремы 31.9. В результате
получим М®Т = N®T, где NфТ — просто представленный модуль. □
Утверждение (а) ниже, фактически, доказано в п. (2) теоремы 32.2,
а (Ь) получается из предложения 32.1 и п. (1) этой теоремы.
Следствие 32.3. (а) Для любого модуля Уорфилда М существует то-
тально проективный модуль Т такой, что М®Т — просто представ-
ленный модуль.
(Ь) Всякий базис разложения X модуля Уорфилда М содержит хо-
рошую подординату Z такую, что М/RZ — тотально проективный
модуль.
§32. Модули Уорфилда
285
В связи с (а), упомянем о глубоком результате Хантера, Ричмена и Уо-
кера [181] о том, что любой модуль Уорфилда равняется прямой сумме
просто представленного модуля и модуля Уорфилда не более чем счетного
ранга.
Еще два следствия касаются категорных свойств модулей Уорфилда.
Следствие 32.4. Если М — модуль Уорфилда, a N — произвольный мо-
дуль, то имеем равенство групп морфизмов
Нот^(М, ЛГ) = Homjv(Af, ЛГ).
Доказательство. Всегда справедливо включение
Hom^(M,7V) С Ноти/(М,7У),
смысл которого раскрыт перед следствием 29.7. Возьмем базис разложе-
ния X модуля М, существование которого утверждается в п. (1) теоре-
мы 32.2. Пусть <р е Homvv(M, JV) и гомоморфизм : А N представ-
ляет р. Это означает, что А —такой подмодуль без кручения в М, что
М/А примарный, и не понижает высот элементов. Для каждого х е X
найдется п 0 (зависящее от х) с рпх € А. Обозначим через X' мно-
жество таких элементов рпх для всех х, и пусть <р — сужение </?i на X'.
Тогда RX' — хороший подмодуль и M/RX' — тотально проективный мо-
дуль. По следствию 31.11 у? продолжается до гомоморфизма ф: М —> N.
Получаем ф = <р, что дает <р е Нот-щфМ, N).	□
Модуль Уорфилда М как прямое слагаемое просто представленного
модуля является прямым слагаемым вполне разложимого модуля. Следо-
вательно, он имеет инварианты Уорфилда д(е,М) (см. §§29-31 по поводу
этих инвариантов).
Следствие 32.5. Для модулей Уорфилда М и N эквивалентны следу-
ющие утверждения-.
(1)	g(e, М) = g(e,N) для любого класса эквивалентности е высот-
ных последовательностей;
(2)	М = N в категории Warf;
(3)	М = N в категории Walk;
(4)	существуют примарные модули S иТ такие, что М®Т = N®S;
(5)	существует тотально проективный модуль Т такой, что
М ®Т = N ®Т.
286
Глава 6. Смешанные модули
Доказательство. (1) и (2) эквивалентны ввиду следствия 29.10, (2)
и (3) — по следствию 32.4, а (3) и (4) — по предложению 29.2. Справедли-
вость (1) => (5) видна из доказательства п. (2) теоремы 32.2. При этом
нужно еще учесть абзац после доказательства следствия 31.2. Наконец,
импликуация (5) ==> (4) тривиальна.	□
Если — изоморфизм между некоторыми модулями М и N, то его
ограничение является изоморфизмом (раМ)[р] на (рстАГ)[р]. Следователь-
но, р индуцирует изоморфизм соответствующих фактормодулей, что вле-
чет равенство инвариантов Ульма—Капланского f(a,M) =	для
всякого ст. Из следствия 32.5 мы знаем об аналогичном свойстве инва-
риантов д(е,М) для модулей Уорфилда. Замечательно, что для модулей
Уорфилда кардинальных чисел f(a, М) и д(е, М) достаточно для разли-
чия этих модулей. Мы готовы представить читателю основную теорему
классификации этой главы.
Теорема 32.6 (Уорфилд [304, 308, 310]). Модули Уорфилда М и N
изоморфны в точности тогда, когда	= f(cr,N) для любого
ординала а и g(e, М) = д(е, АГ) для любого класса эквивалентности е
высотных последовательностей.
Доказательство. Требует доказательства только достаточность.
Пусть X и Y — такие базисы разложения модулей М и N соответственно,
как в (1) теоремы 32.2. Переходя к подординатам в случае необходимости,
можно считать X и Y нижними базисами ввиду леммы 31.7. Из совпа-
дения инвариантов g(e, М) с д(е, N) и замечания после доказательства
следствия 31.2 вытекает существование биекции t: X —> Y со свойством
U(x) = U(t(x)) для всех х е X. Биекция t натуральным образом про-
должается до сохраняющего высоты изоморфизма ip: RX —> RY. Далее
рассуждаем примерно так, как в доказательстве утверждения (1) теоре-
мы 32.2. Именно, имеем изоморфизм 7?р-пространств Ia(RX) = MRY)
для всех ординалов а. Если эти пространства конечномерны, то также
находим fa(M,RX) = MN, RY). А для бесконечных размерностей име-
ем
ЦМ, RX) - /(а, М) = /(ст, АГ) = fa(N, RY)
(X и У —нижние базисы!). Согласно теореме 31.9, р продолжается до
изоморфизма М на N.	□
Можно сказать, что два модуля Уорфилда изоморфны в точности то-
гда, когда равны их соответствующие инварианты Ульма—Капланского
и совпадают их соответствующие инварианты Уорфилда.
Приведем другие формулировки теоремы 32.6.
§32. Модули Уорфилда
287
Следствие 32.7. Для модулей Уорфилда М и N эквивалентны следу-
ющие утверждения-.
(1)	М = N;
(2)	М и N имеют одинаковые инварианты Ульма—Капланского
и изоморфны в Warf-,
(3)	t(M) = t(N) и инварианты Уорфилда модулей М и N совпада-
ют.
Доказательство. Равносильность (1) и (2) вытекает из следствия
32.5 и теоремы 32.6. Равносильность (1) и (3) содержится в теореме 32.6,
если учесть, что инварианты Ульма—Капланского любого модуля равны
одноименным инвариантам его периодического подмодуля.	□
Применим полученные результаты к модулям ранга 1, затем к счетно
порожденным модулям (последние уже встречались перед теоремой 8.2).
Следствие 32.8. (а) Пусть М — модуль Уорфилда ранга 1, х — элемент
бесконечного порядка из М и гомоморфизм у>: Rx —> N не понижает
высот. Тогда <р продолжается до гомоморфизма М —> N.
(Ь) Модуль М ранга 1 является модулем Уорфилда в точности
тогда, когда существует элемент х в М бесконечного порядка такой,
что M/Rx тотально проективен.
(с) Модули Уорфилда М и N ранга 1 изоморфны в точности то-
гда, когда они имеют одни и те же инварианты Ульма—Капланского
и U(M) = U(N).
Доказательство, (а) По предложению 28.4 подмодуль Rx хороший
в М. Теперь применяем следствие 31.11. Свойство (Ь) получается из пред-
ложения 28.4 и теоремы 32.2. Что касается (с), то, в силу предложе-
ния 29.6, М = N в Warf <=> U(M) = U(N). И все получается из
следствия 32.7.	□
Пусть М — такой модуль ранга 1, что i(M) тотально проективен. Ес-
ли х — элемент бесконечного порядка, то M/Rx — тотально проективный
модуль как счетно порожденное расширение тотально проективного мо-
дуля. Следовательно, М — модуль Уорфилда, и он попадает под действие
следствия 32.8 (см. Уэллес [298]).
Следствие 32.9. Счетно порожденный модуль М является модулем
Уорфилда в точности тогда, когда М имеет базис разложения.
288
Глава 6. Смешанные модули
Доказательство. Модуль Уорфилда всегда имеет базис разложения.
Если, наоборот, М имеет базис разложения X, то X — счетное или конеч-
ное множество. Ввиду леммы 31.4, X имеет хорошую подординату X'.
Так как M/RX' — редуцированный счетно порожденный модуль, то он
тотально проективен (что было отмечено в конце §30). По теореме 32.2
М — модуль Уорфилда.	□
Итак, счетно порожденный модуль с базисом разложения определяется
своими инвариантами Ульма—Капланского и Уорфилда. Модуль ранга 1
обязательно имеет базис разложения. Поэтому факт определяемости ин-
вариантами справедлив для счетно порожденных модулей ранга 1. Это
было доказано Капланским и Макки [192], Ротманом [262] и Меджиб-
беном [235]. Работа Ротмана и Йена [264] содержит теоремы существо-
вания для таких модулей.
В §36 нам понадобится следующий результат Файлса [ПО].
Лемма 32.10. Если М — модуль Уорфилда и А = Z(£(M)), то М имеет
хороший базис разложения X такой, что М/RX — тотально проек-
тивный и рхМ С RX.
Доказательство. Существует тотально проективный модуль Т та-
кой, что М ®Т — просто представленный модуль (следствие 32.3). При
этом Т можно выбрать таким, что рхТ = 0. В самом деле, как видно
из доказательства теоремы 32.2 (2), на роль Т подойдет модуль Т/рхТ,
который также просто представлен (§30, свойство (f)). Итак, М ф Т —
— ф Mi, где все М{ — просто представленные модули ранга 1. Имеем
iei
РХ(М фТ)= РХМ — ^pXMi,
iei
где pxMi = 0 или pxMi = R для каждого i е I. Если реализуется
первая возможность, то берем элемент Xi бесконечного порядка в Mi та-
кой, что {хД — хороший базис, как в теореме 32.2 (1). При этом можно
считать, что Xi е М. Во втором случае пусть pxMi = Rxi. Фактормо-
дуль Mi/Rxi также будет тотально проективным в силу свойства (f) из
§30. В итоге имеем хороший базис разложения X = {xi | i 6 1} для
фА4г, причем Q)Mi/RX тотально проективен. Но X с М и, следова-
тельно, X — хороший базис модуля М и M/RX — тотально проективный
как прямое слагаемое тотально проективного модуля. По построению,
рхМ С RX.	□
§32. Модули Уорфилда
289
У инвариантов Уорфилда д(е, М) есть два недостатка. Они определя-
ются для ограниченного класса модулей. И нелегко было доказать (при-
шлось привлечь серьезные категорные соображения), что они —действи-
тельно «инварианты». Стэнтон [277] ввел новые инварианты для любого
модуля, которые совпадают с д(е, М), когда последние определены, и пре-
одолевают оба отмеченных недостатка.
Пусть и = {criji^o — высотная последовательность, причем щ / оо для
всех г. Напомним, что если М — модуль, то
М(и) = {х Е М | U(x) и}
(см. §28). Обозначим теперь через М*(и) подмодуль, порожденный все-
ми элементами х Е М(и) такими, что h(plx) > ai для бесконечного
числа индексов i. Как М(и), так и М*(и) — вполне инвариантные подмо-
дули модуля М. Из определения видно, что рМ(и) С М*(и) и, значит,
М(и)/М*(и} есть пространство над полем вычетов Rp.
В § 28 для любого г > 0 мы определили высотную последовательность
рги = (<Тг,<Тг+1,...). Последовательности и и рги принадлежат одному
классу эквивалентности высотных последовательностей.
Лемма 32.11. Отображение
pf. М(и)/М*(и) -+ М(р*и)/М*(р*и),
действующее как
Pi(x + М*(«)) = р*х + М*(р*и),
есть мономорфизм для каждого г > 0.
Доказательство. Поскольку х Е М*(и} влечет ргх Е М*(р*и), то pi
определено корректно, и понятно, что — гомоморфизм. Покажем, что
Pi является мономорфизмом. В таком случае любой pi также будет моно-
морфизмом как композиция мономорфизмов. Пусть х + М*(и) Е Ker(y?i).
п
Тогда рх = 52 rk%k, где все хк входят в указанную при определении
fc=i
систему образующих для М*(ри). Пусть
U(xk) = (Tfe0,Tfci,...).
Тогда Tkj aj+i для любого j, и для любого к существует бесконечное
число индексов j, для которых rkj > Oj+i- Мы можем записать хк =
= рук, где элемент ук имеет высотную последовательность (рк, Тко, тк1,. .
...) с рк ао- Таким образом, ук € М*(и) и р(х — ^ГкУк) = 0- Элементы
конечного порядка из М(и) лежат в М*(и). Следовательно, х — ^ГкУк G
6 М*(и) и х Е М*(и), так как ^,гкУк 6 М*(и).	□
10 — 4473
290
Глава 6. Смешанные модули
Считая для удобства мономорфизмы щ вложениями, получим возрас-
тающую цепь 7?р-пространств
М(и)/М*(и) С М(ри)/М*(ри) С ...
Поступая более аккуратно и строго, мы можем составить прямой спектр
Яр-пространств
{М^и)/М*^и)- (i,j > 0)},
где мономорфизмы имеют очевидный смысл. (Прямые спектры и их
пределы определяются в §29.) Возьмем объединение
U М(р1и)/М*(рги)
г^О
или, что то же, предел нашего прямого спектра. Обратим внимание на та-
кую деталь. Пусть высотная последовательность v эквивалентна и. Тогда
pmv = рпи для подходящих чисел т, п 0. Отсюда ясно, что в записан-
ном объединении вместо и можно поставить v и ничего не изменится.
Делаем вывод, что оно (объединение) зависит только от класса экви-
валентности е, которому принадлежат последовательности и, v, а не от
самих последовательностей и, v,... Обозначим рассматриваемое объеди-
нение как Se(M), и пусть А(е, М) — размерность Se(M) над полем Rp.
Итак, имеем инвариант /г(е, М) модуля М. Кардинальные числа /г(е, М)
для всевозможных классов е назовем инвариантами Стэнтона моду-
ля М.
Лемма 32.12. (а) Пусть М — модуль ранга 1 и е —класс эквива-
лентности высотных последовательностей. Тогда h(e, М) равно
1 или 0 в зависимости от того, совпадает или нет е с U(M).
(b) Если М = ф Mi, то h(e, М) = 52 ^(е> для любого класса е.
iei	гег
Доказательство, (а) Выберем элемент х € М бесконечного порядка,
и пусть
U(x) = и = (сто, Ст1,...) е е
(и, значит, е = J7(M)). Пусть у 6 М(и) \ М*(и) и U(y) = (то,п,...).
Существует номер j 0, для которого ъ = Oi при всех i j. Отсюда
заключаем, что существуют обратимый элемент s е R и число п 0
такие, что pnsx = рпу (так как М имеет ранг 1). Следовательно, элемент
у — sx имеет конечный порядок, откуда у - sx 6 М*(и) и у + М*(и) =
= sx + M*(u). Этим доказано, что М(и)/М*(и) — одномерное Rp-npoc-
транство. Иными словами, h(e,M) = 1.
§32. Модули Уорфилда
291
Предположим теперь, что е / U(M) и v — (ро,pi, ..) 6 е. Пусть
z е М(у) \ М*(у). Тогда все, кроме конечного числа координат, по-
следовательности U(z) совпадают с соответствующими pi. Значит, f7(z)
и v эквивалентны, что невозможно. Итак, в действительности, имеем
M(v) = M*(v) и h(e,M) = 0.
(b) Возьмем какую-то последовательность и 6 е. Равенства
М (ti) = фМ(и) и М*(и) = фм;(и)
iei	iei
дают канонический изоморфизм
М(и)/М*(и)
iei
Исходя из таких изоморфизмов, получаем
5е(М)^ф5е(Мг),
iei
что влечет нужное равенство для инвариантов.	□
Следствие 32.13 (Стэнтон [277]). Пусть М — прямое слагаемое вполне
разложимого модуля. Тогда g(e,M) = h(e,M) для каждого класса
эквивалентности е высотных последовательностей.
Доказательство. Остановимся прежде на таком обстоятельстве. Ес-
ли Т — примарный модуль, то Т(и} = Т*(и) для всякой последователь-
ности и € е, откуда h(e,T) = 0 и h(e, М ®Т) = h(e, М), где М —
произвольный модуль. Следовательно, инварианты Стэнтона вычисляют-
ся с точностью до примарных прямых слагаемых.
По условию имеем М ф N = ф где N — некоторый модуль, а все
iei
Ai —модули ранга 1. Из следствия 29.4 для некоторых примарных моду-
лей S и Т получаем
М&Т^ (фА) ©S,
' ieJ '
где J С I. И далее, с учетом леммы 32.12 (b), h(e, М) = h(e,Ai).
ieJ
С другой стороны, в соответствии с определением инвариантов Уорфилда,
находим
g(e,M) =g(e,Q)Ai} = ^д(е,А{).
' ieJ ' ieJ
Лемма 32.12 (а) завершает доказательство.	□
ю*
292
Глава 6. Смешанные модули
В заключение покажем, что модули Уорфилда обладают одним есте-
ственным свойством проективности. Следующую лемму рекомендуем
сравнить с леммой 10.1 (1). А-сбалансированно точные последователь-
ности были введены в §28.
Лемма 32.14. Для любого модуля М существует h-сбалансированно
точная последовательность
в которой Р — просто представленный модуль.
Доказательство. Пусть X — множество, мощность которого равна
мощности М, и 0: X —» М —какая-то биекция. Пусть Р —модуль с си-
стемой образующих X и определяющими соотношениями вида рх = 0
и рх = у, х, у е X. При этом считаем, что рх = 0 (рх = у) в точ-
ности тогда, когда равенство р0(х) = 0 (р0(х) = 0(у) соответственно)
выполняется в М. (Относительно существования такого Р см. начало
§30.) Модуль М удовлетворяет определению просто представленного мо-
дуля. Отображение 0 обычным способом продолжается до эпиморфизма
<р: Р —»• М. Положим L — Кег(у>). Осталось доказать, что полученная
последовательность является /г-сбалансированно точной. Воспользуемся
предложением 28.7. Простой индукцией можно проверить, что высота
любого элемента х из X в Р равна высоте элемента 0(х) в М. Так как
мы это знаем, то можем заключить, что U(x) = U(0(x}') для любого
х е X. Отсюда получаем р(Р(и)~) — М(и) для каждой высотной после-
довательности и. Еще мы должны доказать, что
^((рстР)[р]) = (раМ)[р\
для всех ординалов о. Если х е X и элемент р(х) имеет порядок р,
то это же верно для х. Поэтому 17(х) = Р(р(х)'). Теперь понятно, что
искомое равенство является следствием определения модуля Р. □
Теорема 32.15 (Уорфилд [304, 310]). Модуль М проективен относи-
тельно любой h-сбалансированно точной последовательности в точ-
ности тогда, когда М — модуль Уорфилда.
Доказательство. Пусть модуль М проективен относительно любой
А-сбалансированно точной последовательности. Под этим мы, конечно,
подразумеваем, что для всякого эпиморфизма тг: В —» С с /г-сбалансиро-
ванным подмодулем Кег(л-) и гомоморфизма ip: М —» С существует го-
моморфизм ф: М —»• В такой, что = фтг (для сравнения см. конец §10
по поводу определения чисто проективных модулей).
§32. Модули Уорфилда
293
По лемме 32.14 существует эпиморфизм тг: Р —> М, где Р —про-
сто представленный модуль и Кег(тг) — ^-сбалансированный подмодуль
в Р. Ввиду предположения о проективности М, найдется гомоморфизм
X' М —> Р с х71- = 1м- Отсюда Р = Кег(тг) ф М1, где М' = М
(см. доказательство (1) => (3) теоремы 5.4). Итак, М — модуль Уорфил-
да.
Предположим теперь, что М — модуль Уорфилда и
(6.1)
—/г-сбалансированно точная последовательность. Модуль М является
прямым слагаемым некоторого просто представленного модуля. Конеч-
но, можно считать М просто представленным. Такой модуль есть прямая
сумма тотально проективного модуля и просто представленных модулей
ранга 1 (теорема 30.3). Рутинными рассуждениями проверяется, что пря-
мая сумма проективных в нашем смысле модулей проективна. Поэтому
достаточно доказать утверждение, когда М — тотально проективный или
просто представленный ранга 1. Тотально проективный модуль проек-
тивен относительно любой сбалансированно точной последовательности
примарных модулей (теорема 30.4). Пусть дана /г-сбалансированно точ-
ная последовательность (6.1). Из предложения 28.7 можно вывести, что
индуцированная последовательность периодических подмодулей
0 -> t(A) -» t(B) t(C) 0
является /г-сбалансированно точной и, значит, сбалансированно точной
(см. конец §28 и предложение 28.8). Теперь ясно, что тотально проектив-
ный модуль проективен относительно последовательности (6.1).
Пусть, наконец, М — смешанный просто представленный модуль ран-
га 1. Существует элемент х 6 М бесконечного порядка такой, что M/Rx
— тотально проективный модуль (следствие 32.8 (Ь)). Предположим, что
</?: М —> С —некоторый гомоморфизм. Поскольку тг(В(/7(а?))) — C(U(x))
(предложение 28.7), то найдется у е В(/7(х)) со свойствами тг(у) = р(х)
и U(x) < U(у). Отображение ip: Rx —> Ry, переводящее х в у, явля-
ется гомоморфизмом, не понижающим высот. По следствию 32.8 (a) ip
продолжается до гомоморфизма М —> В, который снова обозначим бук-
вой ip. Возьмем гомоморфизм р — ipir: М —> С. Поскольку подмодуль
Rx лежит в его ядре, мы можем рассматривать у? — чртг как гомомор-
физм M/Rx —> С. Выше мы отметили, что тотально проективный модуль
проективен относительно последовательности (6.1). Это означает суще-
ствование М В, для которого Rx С Кег(£), и £тг = р — 1ртг. Отсюда
р = (ip + £)тг, что и требуется доказать.	□
294
Глава 6. Смешанные модули
В доказательстве теоремы упоминалось о том, что класс сбаланси-
рованно точных последовательностей шире класса А-сбалансированно
точных последовательностей. Модули, проективные относительно любой
сбалансированно точной последовательности, составляют содержатель-
ный и очень интересный подкласс класса модулей Уорфилда. Теория та-
ких модулей развивается Уорфилдом в [307].
Упражнение 1 (Хантер—Ричмен—Уокер [181]). Если М — модуль Уорфил-
да, то прямая сумма бесконечного числа копий модуля М есть просто пред-
ставленный модуль.
Упражнение 2 (Яриш—Мутцбауэр—Тубасси [187]). Пусть М — модуль,
периодический подмодуль которого есть прямая сумма циклических. М бу-
дет модулем Уорфилда в том и только в том случае, когда рпМ — модуль
Уорфилда для некоторого п 1.
Упражнение 3. Перенести следствие 32.9 на прямые суммы счетно по-
рожденных модулей.
Упражнение 4. Счетно порожденный модуль М есть модуль Уорфилда
в точности тогда, когда существует счетно порожденный примарный модуль
Т такой, что модуль М ф Т просто представлен.
У пражнение 5 (Файлс [109]).	(а) Острый модуль ранга, большего чем
единица, не является модулем Уорфилда.
(Ь) Если два острых модуля имеют одинаковые инварианты Ульма—Каплан-
ского и они изоморфны в Warf, то они изоморфны.
Замечания. Существуют различные подходы к смешанным модулям
и абелевым группам. Их можно рассматривать как расширения перио-
дических модулей с помощью модулей без кручения (например, дели-
мых). Диаметрально противоположная точка зрения состоит в изучении
этих объектов как расширений модулей без кручения (например, сво-
бодных) с помощью периодических. Другие пути комбинируют эти два
подхода и представляют смешанные модули как коуниверсальные квад-
раты (см. Шульц [273, 274]) или конструируют их, исходя из модулей без
кручения (см. §22).
Ретроспектива исследований «вокруг теоремы Ульма» изложена в
§30. Затем перед леммой 32.10 есть экскурс в историю обобщений тео-
ремы Ульма на счетно порожденные модули ранга 1. Короткое доказа-
тельство теоремы Ульма было дано учеником Капланского Макки, чьи
аргументы, опубликованные в [189], были существенны для последую-
щих развитий теоремы Ульма.
Усилиями Ротмана и Йена (см. [262, 264]), Банга (см. [76, 77, 78])
упомянутые результаты о счетно порожденных модулях ранга 1 были
перенесены на счетно порожденные модули конечного ранга и их прямые
§32. Модули Уорфилда
295
суммы. Эти работы содержат и другие различные результаты о таких
модулях (см. также Стрэттон [282]), в том числе теорему существования
[264] (о теоремах подобного рода говорится ниже).
Что касается теории, изложенной здесь, то необходимо сказать, что
активность в данной области протекала параллельно для модулей и для
р-локальных абелевых групп (т. е. Zp-модулей, см. §4). Правда, нередко
все формально делалось для Zp-модулей. Однако результаты о Zp-mo-
дулях, обычно без изменений, разве лишь с соответствующими уточне-
ниями, переносятся на модули над произвольной областью дискретного
нормирования. На это явление еще указывал Капланский в своей книге
[189]. А Уорфилд в тезисах [304] определенно говорит о возможности
подходящего обобщения на примарные модули основных фактов о то-
тально проективных абелевых группах.
Мы, в целом, следовали идеям Уорфилда. Его работы [304, 305, 307,
308] и [310] дали мощный импульс исследованиям смешанных модулей
и абелевых групп. Некоторый альтернативный путь доказательства суще-
ствовавших и новых (на тот момент) результатов был развит Хантером,
Ричменом и Уокером в [180] и [181]. Они использовали идеи из теории
групп с нормированиями. Совершенно другой подход (его можно назвать
комбинаторным) предложили Хилл и Меджиббен [172]. В своих дока-
зательствах они не привлекали никаких категорий. Их методы имеют
и другие преимущества. Яриш, Мутцбауэр и Тубасси ([185, 186, 187])
получили ряд результатов о просто представленных модулях и моду-
лях Уорфилда М таких, что i(M) — прямая сумма циклических модулей
и	делим.
Имея дело с Zp-модулями Уорфилда, говорят еще о локальном случае
и о локальных группах Уорфилда. Теория локальных групп Уорфилда
была перенесена на абелевы группы, не обязательно являющиеся Zp-mo-
дулями. Подразумевая эту общую теорию, говорят о глобальном случае
и о глобальных группах Уорфилда.
Теория глобальных групп Уорфилда имеет свои корни в теории Ульма—
Цыпина счетных р-групп и теории Бэра вполне разложимых групп без
кручения. Эти две теории были объединены понятием просто представ-
ленной группы, концепцией, введенной для р-групп Кроули и Хэйлсом
в [93] и перенесенной на произвольные группы в [305]. Глобальные
группы Уорфилда первоначально определялись как прямые слагаемые
просто представленных групп. Их изучение было инициировано работой
Уорфилда [305]. Позднее появились статьи Стэнтона [278, 281], Хантера
и Ричмена [179], Хилла и Меджиббена [174], Хантера, Ричмена и Уокера
[181]. Для некоторых аспектов этой теории очень полезна теорема типа
Адзумайи для аддитивной категории, доказанная Арнольдом, Хантером
296
Глава 6. Смешанные модули
и Ричменом в [63]. Ряд вопросов о локальных и глобальных группах
Уорфилда изложен в книге Лотта [220].
Мы не затрагивали вопрос о независимости систем инвариантов
f(a,M) и д(е,М) для модулей Уорфилда (это понятие независимости
введено в §6). Для счетных абелевых р-групп есть теорема существова-
ния Цыпина (она упоминается в конце §30). Вообще говоря, некоторая
теорема существования гласит о наличии определенного модуля с задан-
ными инвариантами, в нашей ситуации модуля Уорфилда с предписанны-
ми инвариантами Ульма—Капланского и Уорфилда. В работах Хантера,
Ричмена и Уокера [179, 181] доказаны теоремы существования для ло-
кальных и глобальных групп Уорфилда.
Периодический подмодуль модуля Уорфилда не обязан быть тоталь-
но проективным модулем. Периодические подгруппы локальных групп
Уорфилда называются S-группами. Их описание содержится в статьях
Уорфилда [306], Хантера [178], Стэнтона (препринт), Хантера и Уокера
[182]. В частности, в [306] найдены инварианты для 5-групп.
Возвращаясь в начало этих заметок, можно сказать, что мы отдали
приоритет второму подходу к исследованию смешанных модулей. В связи
с обозначенной там первой точкой зрения на смешанные модули, вызы-
вает большой интерес статья Мутцбауэра и Тубасси [244] о смешанных
модулях М таких, что t(M) — прямая сумма циклических, a	—
делимый модуль (см. дополнительно [185, 186, 187]).
Проблема 13. (а) У каких модулей М любой чистый замкнутый под-
модуль есть прямое слагаемое? (На эту тему есть статья [85].)
(Ь) Аналогичный (а) вопрос, но для сбалансированных подмодулей.
Проблема 14. (а) Описать модули М и N такие, что
Homjy (М, TV) = Homvv(Af, TV)
(см. следствие 32.4).
(Ь) Когда модули, изоморфные в Warf, будут изоморфны в Walk?
(с) При каких условиях неразложимость модуля М в Walk равносиль-
на неразложимости М в Warf? (К (Ь) и (с) имеет отношение след-
ствие 32.4.)
Следующие две проблемы записаны Уорфилдом в [308] в числе 27
проблем, часть из которых не решены до сих пор.
§32. Модули Уорфилда
297
Проблема 15. Какие .R-алгебры являются алгебрами эндоморфизмов
в Walk или Warf смешанных модулей? Выяснить это, в частности, когда
R — полная область или для модулей конечного ранга (см. следствие 22.3).
Более детально, получить теоремы характеризации или реализации в
смысле главы 4 для колец (алгебр) эндоморфизмов в Walk или Warf
смешанных модулей.
В работах Банга [77, 78] фактически доказано, что для прямых сумм
счетно порожденных модулей над полной областью дискретного норми-
рования М = N в точности тогда, когда М и N имеют одинаковые инва-
рианты Ульма—Капланского и изоморфны в Warf. (Стрэттон [282] заме-
тил, что полнота существенна для этого результата.) Аналогичные факты
наблюдаются для модулей Уорфилда и острых модулей (следствие 32.7
и упражнение 6 в §32).
Проблема 16. Выделить классы модулей, обладающих следующим свой-
ством. Для любых модулей М и N из такого класса из того, что они
имеют равные инварианты Ульма—Капланского и изоморфны в катего-
рии Warf (или Walk), следует, что М и N изоморфны.
Проблема 17. Рассмотреть в смысле книги [196, §§32, 34] соотношения
между какими-то подкатегориями категории Walk или Warf и какими-то
подкатегориями левых модулей над кольцом эндоморфизмов смешанно-
го модуля А в Walk или Warf. Например, установить эквивалентности
между указанными категориями. Взяв в качестве А модуль ранга 1, по-
пробовать с помощью этих эквивалентностей доказать независимо от §27
следствия 29.4 и 29.9. Наверно, здесь может помочь [307, теорема 3.11].
(С этой проблемой связана [308, проблема 14].)
Проблема 18. Построить теорию смешанных модулей, являющихся рас-
ширениями тотально проективных модулей с помощью делимых модулей
без кручения (конечного ранга). (Иметь в виду, что есть важная рабо-
та [244].)
ГЛАВА 7
ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ МОДУЛЕЙ ИХ КОЛЬЦАМИ
ЭНДОМОРФИЗМОВ
В главе 7 рассматриваются перечисленные ниже темы:
теоремы Капланского и Вольфсона (§33);
теоремы топологического изоморфизма (§34);
модули над пополнениями (§35);
эндоморфизмы модулей Уорфилда (§36).
В главе 4 нас интересовало, какие кольца (или алгебры) эндомор-
физмов могут быть у модулей. В этой главе мы займемся другой фун-
даментальной проблемой о кольцах эндоморфизмов. Она, в частности,
может дать ответ на естественно возникающий в главе 4 вопрос о един-
ственности реализации кольца кольцом эндоморфизмов какого-то моду-
ля. Это проблема о том, насколько кольцо (или алгебра) эндоморфизмов
определяет исходный модуль. В классической формулировке результа-
ты, решающие эту проблему, выглядят так. Если End(M) = End(TV), то
М = N, или, более общо, существует полулинейный изоморфизм мо-
дулей М и N. Теоремы такого рода называют теоремами изоморфизма
(в слабом смысле). Под теоремой изоморфизма в сильном смысле обыч-
но понимают утверждение о том, что данный изоморфизм колец эндомор-
физмов ф: End(M) —> End (TV) индуцируется некоторым изоморфизмом
(или полулинейным изоморфизмом) <р: М —> N. Последнее означает, что
V’(ct) = 1ар> для каждого a G End(M) (см. (с) в §2). Этот тип теорем
изоморфизма связан со следующей проблемой: выяснить, для каких мо-
дулей все автоморфизмы колец эндоморфизмов являются внутренними.
Если считать, что кольца эндоморфизмов наделены конечной топологи-
ей, то можно рассматривать непрерывные изоморфизмы колец эндомор-
физмов. Они несут больше информации об исходных модулях. В таком
случае говорят о теоремах топологического изоморфизма.
300
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
В §33 мы увидим, что ситуация с теоремами изоморфизма для примар-
ных модулей и модулей без кручения над полной областью исключитель-
но благоприятная. Теоремы изоморфизма в классе модулей без кручения
над неполной областью — весьма редкое явление. Здесь более характерны
«теоремы неизоморфизма» (см. теорему 19.10). Для смешанных модулей
(в том числе над полной областью), в отличие от примарных, положение
более сложное. До конца не ясно, какие классы смешанных модулей мо-
гут приносить теоремы изоморфизма и какая техника нужна для их дока-
зательства. Впрочем, если посмотреть на теорему 19.10 и следствие 22.3,
это становится неудивительным.
В §34 мы проэкзаменуем роль конечной топологии в теоремах изомор-
физма для смешанных модулей. В §§34 и 35 выявим довольно обшир-
ные классы смешанных модулей, где справедливы теоремы изоморфизма.
Одновременно укажем границы их выполнимости. В §36 решим положи-
тельно проблему изоморфизма в слабом смысле для алгебр эндоморфиз-
мов модулей Уорфилда.
Наши кольца эндоморфизмов являются 7?-алгебрами, поэтому есте-
ственно рассматривать их изоморфизмы как алгебр. Это не влечет боль-
шой потери общности.
Во всей главе R — коммутативная область дискретного нормирования,
R — её р-адическое пополнение.
§ 33. Теоремы Капланского и Вольфсона
Получим теоремы изоморфизма для колец эндоморфизмов примарных мо-
дулей и модулей без кручения над полной областью дискретного норми-
рования.
Пусть А — алгебра над некоторым коммутативным кольцом S (алгебры
определяются в §19). Отображение s —► s • 1д, sES, есть гомоморфизм
кольца S в центр алгебры А. Если он является вложением, т. е. А — точ-
ный S'-модуль, то отождествляем элементы s и s • 1д и считаем S под-
кольцом центра алгебры А. Изоморфизмом алгебры А на S'-алгебру В
называется отображение А —> В, являющееся одновременно изоморфиз-
мом колец и изоморфизмом S-модулей. Следовательно, кольцевой изо-
морфизм ф: А —»• В будет изоморфизмом алгебр, если
V’(sa) = зф(а) = (s • 1в)^(а)
для всех s е S и а е А. Имеем также
V>(sa) = ф(в -Ха- а) = ф(з • 1д)^(а),
§33. Теоремы Капланского и Вольфсона
301
откуда ip(s  1д) = s • 1в- Если А и В —точные алгебры, то получаем
V>(s) — s. Таким образом, изоморфизмы точных S-алгебр действуют на
элементах из S тождественно.
Возьмем теперь некоторый Я-модуль М. Имеем Я-алгебру эндомор-
физмов End(AT) (см. начало §19). Каноническое отображение R —>
—> End(M) не будет вложением только, когда М — ограниченный модуль.
Пусть М — ограниченный модуль и рк — точная верхняя грань порядков
его элементов. Тогда М — Rpk-модуль, a End(Af) — Rpk-алгебра (о пре-
вращении Я-модуля в Яр)с-модуль говорится в §4). В соответствии со ска-
занным выше, отождествляем Rpk с образом вложения Rpk —> End(Af).
Если М — неограниченный модуль (т. е. не является ограниченным), то
отождествляем Я с образом вложения Я —► End(Af). Итак, если М и N —
Я-модули, то между End(Af) и End(TV) можно рассматривать как коль-
цевые изоморфизмы, так и более «сильные» изоморфизмы Я-алгебр.
При изучении теорем изоморфизма не обязательно требовать, чтобы
модули были над одним кольцом. В такой ситуации используют полу-
линейные изоморфизмы модулей. Пусть S и Т — некоторые кольца, М —
S-модуль, N — Т-модуль. Аддитивный изоморфизм <р; М —»• N называет-
ся полулинейным изоморфизмом модулей $М и tN, если имеется коль-
цевой изоморфизм т: S —> Т такой, что ip(sa) — r(s)<p(a) для любых s € S
и а € А. Говорят, что изоморфизм колец (или алгебр) эндоморфизмов
ф: Ends(Af) —> Endj’(Af)
индуцируется полулинейным изоморфизмом <р:	> tN, если =
= для любого a 6 End(M). Необходимо указать, что даже при
S = Т нередко удается лишь доказать, что ф индуцируется некоторым
полулинейным изоморфизмом <р: sM —> sTV (а не обычным изоморфиз-
мом). В таком случае т — некоторый автоморфизм кольца S.
Мы везде считаем М и N модулями над одним кольцом Я. За исклю-
чением теоремы 33.2 и нескольких упражнений рассматриваем изомор-
физмы Я-алгебр между End(M) и End(TV). Эти ограничения не приводят
к значительному уменьшению общности, но избавляют от технических
сложностей. Под изоморфизмами алгебр эндоморфизмов подразумевают-
ся изоморфизмы их как Я-алгебр.
Вычислим центр кольца эндоморфизмов примарного модуля. Это ин-
тересно само по себе и будет использовано при изучении изоморфизмов
колец эндоморфизмов. Заметим, что элементы из центра оставляют пря-
мые слагаемые модуля на месте. Действительно, пусть М — некоторый
модуль, А — его прямое слагаемое, 7 G Z(End(Af)) и е: М —> А — проек-
ция. Тогда
7А =	С А.
302
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Затем, если Ra и Rb — циклические модули порядков рт и рп, то суще-
ствование гомоморфизма а: Ra —> Rb, для которого аа = Ь, равносильно
тому, что п < т. Примарные модули удобно рассматривать над полной
областью.
Теорема 33.1 (Капланский [189]). Пусть М — примарный модуль над
полной областью дискретного нормирования R. Тогда Z(End(Af)) —
= Rpk при условии, что модуль М ограниченный и рк служит точной
верхней гранью порядков его элементов, и Z(End(M)) = R в против-
ном случае.
Доказательство. Достаточно показать, что произвольный элемент
7 € Z(End(Af)) лежит в соответствующем кольце.
(а)	Предположим, что модуль М ограничен. Согласно теореме 4.8,
М является прямой суммой циклических модулей, порядки которых не
превосходят рк, где рк — такой элемент, как в теореме. Модуль М имеет
циклическое прямое слагаемое Ra порядка рк. Учитывая пример 12.2,
получаем 7а = за, где s € Rpk. Для произвольного элемента х 6 М
найдется а G End(M) такой, что аа = х. Имеем
ух = у(аа) = а(уа) = а(за) = зх,
откуда 7 = s.
(Ь)	Для неограниченного модуля М отдельно рассмотрим случай, ко-
гда он имеет вид М = A®D, где А — ограниченный модуль, D — ненуле-
вой делимый модуль. Пусть Ra — циклическое прямое слагаемое модуля
А, максимального среди элементов модуля А порядка рк. Ввиду (а), 7
действует на А как умножение на некоторый элемент s G Rpk. Обозна-
чим через Е некоторое прямое слагаемое модуля D, изоморфное R(p°°).
В силу примера 12.5, эндоморфизм 7 на Е есть умножение на некото-
рый элемент гей. Для произвольного элемента у е D найдутся е 6 Е
и /3 € End(M) со свойством у = /Зе. Отсюда
УУ = 7(/Зе) = /3(уе) = /3(ге) = r(j3e) = ry.
Последнее означает, что у совпадает с г на всем модуле D. Выберем
теперь элемент е 6 Е порядка рк и эндоморфизм £ G End(M) так, что
£а = е. Имеем
те = 7(£а) = £(70) — £(sa) — $е-
Следовательно, (г — s)e = 0 и з = г, где г = г + pkR. Можно утверждать,
что 7 есть умножение на г на всем модуле М. Итак, 7 = г.
§33. Теоремы Капланского и Вольфсона
303
Остался случай, когда М = А ф D, где модуль А не является ограни-
ченным. Базисные подмодули модуля М также не являются ограничен-
ными (см. теорему 7.2). По следствию 9.3 существуют такие разложения
М = Rai ф • • • ф Rai ф Mi, i = 1,2,...,
что Mi = Rai+i ф Mi+i и порядки pni элементов ai удовлетворяют
1 С ni < • • • < щ < • • •. Для каждой пары индексов i и j таких, что i < j,
возьмем некоторый эндоморфизм eji модуля М, отображающий aj в а;.
Тогда = згаг = Sitti для всех г, где Si = Si +pniR. При i < j из
SiUi — ^yai — ^Sji'y'jaj — (7 C— &ji&j — SjOi
вытекает, что Sj—Si G pniR. Следовательно, {si}i>i — последовательность
Коши в R. Взяв её предел s, получим sai = stai для каждого i. Пусть
х — некоторый элемент модуля М. Имеются элемент ai и эндоморфизм
a G End(M) со свойством сиц = х. Далее,
'ух = уааг = ауаг = asai = sx и 7 = s.	□
Наша первая теорема изоморфизма относится к примарным модулям.
При изоморфизме двух колец центр переходит в центр, поэтому, ввиду
теоремы 33.1, мы сразу считаем в теореме 33.2 М и N модулями над
одним и тем же кольцом. Как и в теореме 33.1, удобно различать слу-
чаи ограниченного и неограниченного модуля М. Пусть М — ограничен-
ный модуль и рк — точная верхняя грань порядков его элементов. Если
N — какой-то .R-модуль и End(M) = End(JV), то из ркМ = 0 получаем
рк End(M) — 0 = рк End(TV) и pkN = 0. Следовательно, N — ограничен-
ный модуль. Понятно, что рк — точная верхняя грань порядков элементов
модуля N. Этих наблюдений достаточно, чтобы рассматривать в теореме
только две ситуации.
Теорема 33.2 (Капланский [189]). Пусть R — полная область дискрет-
ного нормирования, М и N — либо Ирк-модули, либо неограничен-
ные примарные R-модули. Тогда всякий кольцевой изоморфизм между
End(M) и End(TV) индуцируется некоторым полулинейным изомор-
физмом между М и N.
Доказательство. Прежде всего заметим следующее. Пусть М —
циклический примарный модуль, N — некоторый примарный модуль и
End(M) = End(TV). Тогда N является неразложимым модулем (свойство
(а) из §2) и, значит, N — циклический или квазициклический модуль
(следствие 7.2). С помощью примеров 12.2 и 12.5 заключаем, что М = N.
304
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Работаем далее с некоторым кольцевым изоморфизмом ф: End (ЛТ) —>
—> End(JV). Для а е End(M) пишем ф(а) = а*. Используем некоторые
обозначения и факты из доказательства теоремы 33.1.
Пусть М и N — Z?pk-модули. Ввиду теоремы 33.1, ф индуцирует авто-
морфизм г —> г*, г е Rpk, кольца Rpk. Модули М и N являются прямыми
суммами циклических модулей. Пусть а — образующий элемент цикли-
ческого прямого слагаемого модуля М максимального порядка рк. Ес-
ли е: М —> Ra — проекция, то £ — идемпотент кольца End(Af), а е* —
идемпотент кольца End(TV). Следовательно, e*N — прямое слагаемое мо-
дуля N. В силу свойства (d) из §2, ф индуцирует изоморфизм колец
End(Ea) — End(e*2V).
По замечанию выше s*N есть циклический модуль Rb порядка рк. Для
произвольного элемента х е М выберем эндоморфизм а модуля М, при
котором х = аа. Определим р: М —> N так, что рх = а*Ь. Это определе-
ние корректно, т. е. не зависит от выбора эндоморфизма а. Если х = aja,
«1 е End(Af), то (а — cti)a = 0 и е(а — Qi) = 0, откуда
(е(а - ai))* = е*(а* - aj) = 0 и (а* -	= 0.
Возьмем еще один элемент у е М и выберем /3 е End(Af) со свойством
у = /За. Тогда х + у = (а + /3)а и
р(х + у) — (а + ff)*b = а*Ь + (3*Ь = рх + ру,
т. е. р сохраняет операцию сложения. Для любого элемента г е R имеем
гх = г(аа) = (га)а. Отсюда
рфгх) -- {ra)*b = г*а*Ь = г*р(х).
Если рх -- а*Ь -- 0, то (еа)* = е*о* = 0, откуда sa = 0, х = еом = 0
и Кег(у?) = 0. Модуль Rb является прямым слагаемым в N максималь-
ного порядка. Поэтому для каждого элемента z е N существует 6 е
€ End(JV) со свойством z = 6b. Представим 6 = а* для какого-то а е
6 End(M). Тогда z = 6b = a*b = рх, где х — аа. Получили, что р —
биекция, иными словами, р — полулинейный изоморфизм.
Для р 6 End(M) запишем элемент z = рх в виде z = a*b для некото-
рого а е End(Af). Теперь получим
p*z = (ар)*Ь = р({ар)а~) = р(цх) = р{р{р~1гУ = (p~xpp~)z,
т. е. ф(р) = р* = р~1рр, откуда следует, что р индуцирует ф.
§33. Теоремы Капланского и Вольфсона
305
Пусть теперь М и N — неограниченные примарные Я-модули. Изомор-
физм V’ индуцирует автоморфизм г —> г*, г G R, кольца R (теорема 33.1).
Если М — квазициклический модуль, то, как и в начале доказательства,
можно установить, что N — квазициклический и М = N.
Дальнейшее доказательство разобьем на два случая.
1. Модуль М имеет вид М = А ф D, где А — ограниченный, a D —
ненулевой делимый модуль. Пусть Ra — циклическое прямое слагаемое
максимального порядка рк модуля А, Е — квазициклическое прямое сла-
гаемое модуля D, ci,...,Cn,... —такая система образующих модуля Е,
что pci = 0, pcn+i = Сп при п 1. Обозначим через г: М —> Ra
и тг: М —> Е проекции. Аналогично первой части доказательства полу-
чается, что e*N — циклическое прямое слагаемое порядка рк модуля N,
а по замеченному недавно, tt’W — квазициклическое прямое слагаемое
модуля N. Пусть e*7V = Rb и di,... ,dn,... — такая система образующих
модуля 7t*TV, что pdi = 0, pdn+i = dn при п 1. Произвольный элемент
х € М запишем в виде х = xi + Х2,	€ А, х% G D, и возьмем такой
эндоморфизм а модуля М, что аа = xi и асп = Х2 при некотором п.
Затем положим <рх = a*(b + dn). Чтобы доказать, что (рх не зависит от
а и п, возьмем такой ац G End(Af), что aia = Xi, сцст — X2 и m n.
Тогда e(a - оц) — 0 и (pm~na - a1)cm = 0. Следовательно, эндоморфизм
7r(pm_nQ — qi) аннулирует Е[рт]. Как видно из примера 12.5, он делит-
ся на рт. Тогда эндоморфизм (тг(рт~па — ai))* также делится на рт.
Значит, он аннулирует элемент dm. Получаем, что а*Ь = а^Ь и a*dn =
= pm-nO!*dm = a^dm и далее, a*(b + dn') = a^b + dm). Тот факт, что <р —
полулинейный изоморфизм и индуцирует проверяется так же, как для
ограниченного модуля.
2. Пусть М = А ф D, где модуль А не является ограниченным. Возь-
мем прямые разложения модуля М, записанные в доказательстве теоре-
мы 33.1. Пусть — проекция М —> Rai. Для индексов i < j определим
эндоморфизм eji модуля М, отображающий aj в ai и аннулирующий
дополнительное слагаемое к Raj-, также определим эндоморфизм пе-
реводящий ai в pni~niaj и аннулирующий дополнение к Rai. В этом
случае:
(1)	£j — попарно ортогональные идемпотенты;
(2)	£i£ij = £ij£j = £ij",
(3)	CijCji =p\ni~ni\£i-,
(4)	Zijtjk = £ik, если i < j < k или i > j > к.
306
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Подмодули e^N являются циклическими прямыми слагаемыми моду-
ля N. Ввиду (2), e*+li отображает e*+iN в e*N. Положим e*N = Rbi
и покажем, что образующие bi можно выбрать таким образом, чтобы
e*+libi+i = при всех i. Если bi,...,bi уже выбраны и элемент ei+i
порождает подмодуль е*+1А^, то е?+1 & = sbi для некоторого s 6 R. Из
(3) находим E*ii+1sbi = pni+l~niei+i, и рассмотрение порядков элемен-
тов показывает, что s — обратимый элемент кольца R. Возьмем элемент
bi+i = s~lei+i. Тогда 4+1,A+i = bi. По свойству (4) t^bj = bi для всех
i < j. Для х 6 М выберем такой a G End(M), что ааг — х при каком-то i.
Пусть <р: х —> a*bi. Отображение р определено корректно, поскольку ес-
ли aiaj = х и j г, то Ejfcjia — Qi) = 0, откуда е^Е^ос* - aj) = 0, что
означает a*bi — a^bj. Опять можно проверить, что р будет полулинейным
изоморфизмом, индуцирующим ф.	□
Пусть ф: End(M) —> End (TV) — кольцевой изоморфизм для примарных
Я-модулей М и N. В начале параграфа замечено, что ф будет изоморфиз-
мом R-алгебр, если ф(г) = г для всех г G R. На основании теоремы 33.1
заключаем, что изоморфизмы между алгебрами End(TVf) и End(TV) —
в точности кольцевые изоморфизмы, оставляющие элементы из центра
на месте.
Чтобы сформулировать одно интересное следствие теоремы 33.2, по-
ложим М — N. Пусть ^ — некоторый автоморфизм кольца End(Af). До-
пустим, что ф индуцируется некоторым автоморфизмом р модуля М,
т. е. ф(а) = для всякого а е End(M). Поскольку автоморфизмы
модуля М — обратимые элементы кольца End(M), то последнее равен-
ство означает, что ф является внутренним автоморфизмом кольца и ал-
гебры End(M).
Следствие 33.3. Пусть М и N — примарные модули. Тогда всякий изо-
морфизм алгебр End (Л/) —> End(TV) индуцируется некоторым изомор-
физмом М —> N. Всякий автоморфизм алгебры эндоморфизмов при-
марного модуля является внутренним.
Метод, использованный в доказательстве теоремы 33.2, будем назы-
вать методом Капланского. Суть его в следующем. Примитивные идем-
потенты кольца эндоморфизмов примарного модуля соответствуют пря-
мым слагаемым модуля, изоморфным R(pfc) или R(p°°). Капланский, для
того чтобы построить изоморфизм модуля М на модуль JV, использовал
перенос свойств таких слагаемых посредством эндоморфизмов с целью
получить нужные элементы модуля N.
Для модулей без кручения также получаются вполне законченные
результаты. (Будем использовать свойство таких модулей, указанное
§33. Теоремы Капланского и Вольфсона
307
в следствии 11.7.) Рассмотрим основной случай редуцированных моду-
лей (см. упражнение 6). Каноническое отображение R —> End(Af) для
модуля без кручения М является вложением, и мы считаем R подколь-
цом в End(M). К следующему факту примыкают упражнения 4, 5 и 7.
Лемма 33.4. Пусть М — редуцированный модуль без кручения над
полной областью дискретного нормирования R. Тогда центр кольца
End(Af) равен R.
Доказательство. Пусть 7 е Z(End(M)). Выберем некоторое прямое
слагаемое А модуля М, изоморфное R. Тогда 7А С А и 7 действует на А
как умножение на некоторый элемент s е R (пример 12.1). Для элемента
х € М найдутся а € А и а 6 End(Af) с аа = х. Имеем
7х — 7(010) = 0(70) = a(sd) = sx и 7 — s.
□
Для модулей без кручения рассмотрим только изоморфизмы алгебр
эндоморфизмов. Как и для примарных модулей, сложности, которые по-
являются при изучении кольцевых изоморфизмов, не представляют боль-
шого интереса (см. упражнение 6).
Теорема 33.5 (Вольфсон [315]). Пусть М и N — редуцированные
модули без кручения над полной областью дискретного нормирования
R. Тогда всякий изоморфизм алгебр End(Af) и End(TV) индуцирует-
ся некоторым изоморфизмом модулей М и N. Всякий автоморфизм
алгебры End(M) является внутренним.
Доказательство. Пусть ф: End(Af) —> End (TV) — изоморфизм ал-
гебр и ф(а) — а* для а е End(TVf). Применим метод Капланского. За-
фиксируем некоторое прямое слагаемое Ra модуля М, изоморфное R,
и пусть е: М —> Ra — проекция. Тогда £*: N —» e*N — проекция и
End(e*TV) End(eTV) “ R.
Значит, e*N — неразложимый модуль и в* TV = R. Запишем в* TV = Rb.
Определим р: М —> N так. Пусть х 6 М и х = аа, где а — эндоморфизм
модуля М. Полагаем рх = а*Ь. Аналогично теореме 33.2 получается, что
р — изоморфизм модулей М и N, индуцирующий ф.	□
Теорема 19.10 наводит на мысль, что для модулей без кручения над
неполной областью R теоремы изоморфизма возможны лишь в каких-то
достаточно узких классах модулей (см., например, упражнение 8 в §37).
308
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Согласно теореме 16.1, End(M) есть полное топологическое кольцо
относительно конечной топологии. Если кольцо R наделить дискретной
топологией, то End(M) будет полной топологической Л-алгеброй. Это
обстоятельство оказывается исключительно полезным при поиске теорем
изоморфизма. Именно, мы можем рассматривать непрерывные в обе сто-
роны (относительно конечных топологий) изоморфизмы колец (алгебр)
эндоморфизмов. Такие изоморфизмы будем называть топологическими.
Итак, под топологическим изоморфизмом ф: End(M) —> End(JV) колец
(алгебр) эндоморфизмов понимаем изоморфизм колец (алгебр) ф такой,
что ф и ф~г непрерывны относительно конечных топологий на End(M)
и End(TV). Всякий изоморфизм р: М —> N индуцирует топологический
изоморфизм
ф: End(M) —> End (TV), ф(а) =	a G End(Af),
алгебр эндоморфизмов; ^ — изоморфизм алгебр (см. свойство (с) из §2).
Возьмем теперь произвольную окрестность нуля Uy кольца End(TV), где
Y — некоторое конечное подмножество модуля N, а
Uy = {/Зе End(TV) | /3 Y - 0}
(см. §16). Тогда ф~1иу = U^-iy, где
и^-.у = {ае End(M) I а(^-1У) = 0}
есть окрестность нуля кольца End(M). И, наоборот, при действии ф
окрестности нуля кольца End(M) переходят в окрестности нуля кольца
End(JV). Поэтому ф является топологическим изоморфизмом.
Топологические изоморфизмы полнее отражают структуру модуля.
Примеры модулей 7?(р°°) и R показывают, что с помощью обычных изо-
морфизмов колец эндоморфизмов нельзя в общем случае отличить при-
марные модули от модулей без кручения (см. еще абзац после доказатель-
ства теоремы 33.6). В теоремах 33.2 и 33.5 конечная топология явно не
присутствует. Однако из предложения 16.2 получается, что любой изо-
морфизм End(M) —> End(TV) для редуцированных примарных модулей
или модулей без кручения М и N оказывается непрерывным.
Имеются топологические версии теорем 33.2 и 33.5, расширяющие эти
утверждения. В следующей теореме мы распространим теорему 33.2 на
смешанные модули и дадим единую формулировку обеих теорем. Сначала
запишем такой полезный факт. Пусть е — некоторый идемпотент алгеб-
ры End(M). Канонический изоморфизм End(eM) = eEnd(M)s, указан-
ный в §2, свойство (Ь), является топологическим, если считать, что на
End(eM) задана конечная топология, а на eEnd(M)e — топология, инду-
цированная конечной топологией алгебры End(M).
§33. Теоремы Капланского и Вольфсона
309
Теорема 33.6.	(1) Пусть М и N —модули над областью дискрет-
ного нормирования R и ip: End(M) —> End(JV) — топологический
изоморфизм алгебр. Тогда существует изоморфизм р: t(M) —>
—> t(N) такой, что ф(а) и ip~xaip совпадают на t(N) для всякого
a G End(M).
(2) Пусть М — либо примарный модуль, либо редуцированный мо-
дуль без кручения над полной областью дискретного нормиро-
вания R и N — произвольный R-модуль. Тогда всякий тополо-
гический изоморфизм алгебр End(Af) = End(TV) индуцируется
некоторым изоморфизмом М = N.
Доказательство. (1) Требуемый изоморфизм <р можно построить ме-
тодом Капланского, ограничившись при этом периодическими подмоду-
лями модулей М и N. Нужно лишь уточнить такой момент. Если е —
примитивный идемпотент кольца End(M) и еМ = R(pk), то понятно,
что ip(e)N = R(pk). Пусть еМ = 7?(р°°). Тогда End(sAT) = R (пример
12.5) и, следовательно, End^eJ-W) — R- Допустим, что ip(e)N — мо-
дуль без кручения. Так как ip(e)N можно рассмотреть как модуль над
своим кольцом эндоморфизмов, то есть 7?-модуль. Следовательно,
ip(e)N = R (пример 12.1). По факту, отмеченному перед теоремой, кольца
End(eM) и End(^(£)AT) топологически изоморфны. Но это невозможно,
так как первая топология—р-адическая, вторая — дискретная. Следова-
тельно, ip(e)N — примарный модуль, изоморфный Я(р°°). Путь к приме-
нению метода Капланского теперь открыт.
(2) Возьмем некоторый топологический изоморфизм ф: End(M) —>
—> End(JV). Пусть сначала М — примарный модуль и у — произвольный
элемент модуля N. Тогда найдутся, учитывая непрерывность ф, элементы
xi,...,xn е М такие, что если axi = ... = ахп = 0 для какого-то а,
то ф(а)у = 0. Существует ненулевой элемент г 6 R со свойством rxi =
= 0 для всех i. Отсюда 0 = ф(г)у = гу. Следовательно, N — примарный
модуль и следствие 33.3 завершает доказательство.
Пусть М — редуцированный модуль без кручения. Допустим, что мо-
дуль N имеет прямое слагаемое вида R(pk) или 7?(р°°). Рассмотрим изо-
морфизм ф~1. Из доказательства (1) видно, что модуль М также имеет
подобное слагаемое. Противоречие. Следовательно, N — редуцированный
модуль без кручения. Осталось сослаться на теорему 33.5.	□
Мы сталкивались ранее с двумя особыми ситуациями, когда ал-
гебры эндоморфизмов изоморфны, а соответствующие модули — нет.
Именно, если D — делимый примарный модуль, то модуль С, равный
310
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Hom(P(p°°), £>), является полным модулем без кручения и End(£>) =
= End(C) (§13). Пусть М — урегулированный копериодический модуль.
Из результатов §21 можно вывести, что отображение ограничения а
—> a\t(M) определяет изоморфизм алгебр End(M) и End(£(M)). Теперь
мы понимаем, что оба изоморфизма алгебр эндоморфизмов не являются
топологическими.
Упражнение 1 (Бэр [1]). Всякий изоморфизм между кольцами операто-
ров двух векторных пространств над телами индуцируется полулинейным
изоморфизмом этих пространств.
Упражнение 2 (Бэр [75], Капланский [189]). Показать, что всякий изо-
морфизм между кольцами эндоморфизмов двух примарных абелевых групп
индуцируется некоторым изоморфизмом между этими группами.
Упражнение 3. Всякий изоморфизм между кольцами эндоморфизмов двух
р-адических модулей без кручения индуцируется некоторым изоморфизмом
этих модулей.
Упражнение 4. Пусть R — область дискретного нормирования, М — Я-мо-
дуль, имеющий прямое слагаемое, изоморфное R. Тогда Z(End(A/)) = R.
Упражнение 5. Если D — делимый модуль без кручения над областью
дискретного нормирования R, то Z(End(D)) = К, где К~ поле частных
области R.
Упражнение 6 (Вольфсон [315]). Пусть М и N — модули без круче-
ния над полной областью дискретного нормирования R и гр: End(Af) —►
—> End(TV) — некоторый кольцевой изоморфизм. Тогда модули М и N либо
оба неделимые, либо оба делимые. В первом случае существует полулиней-
ный изоморфизм Я-модулей М —> АГ, индуцирующий гр. Во втором М и N —
векторные пространства над полем частных К области Я, и индуцируется
некоторым полулинейным изоморфизмом этих пространств.
Упражнение 7. Пусть Я — область дискретного нормирования, Т — реду-
цированный примарный Я-модуль, А — редуцированный Я-модуль без круче-
ния и М = Т ф А. Тогда
(1) если Т ограниченный, то Z(End(A/)) = P+pfcZ(End(A)), где pk — точная
верхняя грань порядков элементов модуля Т;
(2) если Т неограниченный, то центр Z(End(A/)) канонически изоморфен
замыканию Я подкольца Я в р-адической топологии кольца Z(End(A));
более точно, если Я = Р, где Р — некоторое чистое подкольцо в Я, то
Z(End(A/)) состоит из умножений на элементы из Р.
§ 34. Теоремы топологического изоморфизма
Нам известно, что End(M) — полная в конечной топологии Л-алгебра;
говорим просто «алгебра эндоморфизмов» (см. §§19, 33). До конца главы
§ 34. Теоремы топологического изоморфизма
311
все рассматриваемые изоморфизмы между алгебрами эндоморфизмов —
это изоморфизмы Я-алгебр.
Исследуем проблему топологического изоморфизма для алгебр эндо-
морфизмов смешанных модулей. Примем самые сильные предположения,
именно, будем считать, что область R полная, а изоморфизмы алгебр
эндоморфизмов топологические. Мы увидим, что и при таких предполо-
жениях даже для смешанных модулей ранга 1 два центральных вопро-
са имеют отрицательный ответ. Имеются в виду такие вопросы. Будет
ли из (топологического) изоморфизма End(M) = End(TV) вытекать изо-
морфизм М = JV? Является ли всякий (топологический) автоморфизм
алгебры End(Af) внутренним? Удается лишь доказать, что для любого
смешанного модуля М существует единственный^ точностью до изо-
морфизма над М) модуль М такой, что М С М и всякий топологи-
ческий изоморфизм End(M) = End (TV) индуцируется некоторым изомор-
физмом М = N. Вполне понятно, принимая во внимание теорему 33J5 (1)
и свойства копериодической оболочки М*, что новая «оболочка» М ле-
жит в М*. Укажем одно довольно общее условие, когда М = М, что
позволит формулировать результаты по проблеме изоморфизма в их при-
вычном виде.
Пусть М — редуцированный модуль. В соответствии с §21, считаем,
что М С М*. При этом t(M*) = t(M) и М*/М — делимый модуль без
кручения. Используем и другие свойства копериодических оболочек.
Группа Hom(M, 7V) является Я-модулем в силу того, что R — коммута-
тивное кольцо (см. §2). Конкретно, для € Hom(Af, 7V) и г 6 R формула
(г<р)(х) — <р(гх), х е М, определяет гомоморфизм r</> G Hom(Af,/V), что
дает модульное умножение на Hom(M, 7V).
Распространим понятие конечной топологии на группы гомоморфиз-
мов. Для конечного подмножества X С М положим
Ux = {9? € Hom(M, N) | уХ - 0}.
Здесь Ux — подмодуль Я-модуля Hom(Af, N), и Hom(M, N) превраща-
ется в топологический Я-модуль, если его базис окрестностей нуля со-
ставить из подмодулей Ux для всевозможных конечных подмножеств X,
а на кольце R взять дискретную топологию. Топологический Я-модуль
Hom(7Vf, JV) — это топологическая абелева группа такая, что модульное
умножение непрерывно относительно дискретной и конечной топологий
на Я и Нош(Л/, N) соответственно (см. также §11 о топологических мо-
дулях). Отображение
: Hom (Л/, TV) -> Hom(M', N')
312
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
называется топологическим изоморфизмом, если ф и — непрерыв-
ные относительно конечных топологий изоморфизмы Л-модулей (о топо-
логическом изоморфизме алгебр говорилось в предыдущем параграфе).
Если М С М', то имеем индуцированный гомоморфизм Д-модулей
Hom(M/,A^) —> Hom(M, IV), р\М. Назовем его гомоморфизмом огра-
ничения.
Лемма 34.1 (Мэй [230]). Пусть М — редуцированный модуль и
t(M) = T/Q.
(1)	Существует максимальный редуцированный модуль М со свой-
ствами МСМ, t(M) = Т, и индуцированное отображение
Нот(Л/, Т) —> Нот(М, Т) есть топологический изоморфизм.
Между любыми двумя такими максимальными модулями суще-
ствует единственный изоморфизм, действующий на М тожде-
ственно.
(2)	М является R-модулем, а М/М — делимый модуль без кручения,
и можно рассматривать М как однозначно определенный под-
модуль в М*.
(3)	Всякий а е End(M) продолжается единственным образом до
а € End(M); фактически, а есть ограничение на М единствен-
ного продолжения а до а* Е End(M*).
Доказательство. Пусть М' — некоторый редуцированный модуль та-
кой, что М С М' и t(M') — Т. Определим два (возможных) свойства
модуля М'.
(*А/') Индуцированное отображение Hom(7Vf/,T) —> Нот(М, Т) есть
топологический изоморфизм.
(* * М') Для всякого х е М' найдутся элементы yi,... ,уп Е М такие,
что /З'(х) = 0 для любого (3' Е Нот(Л//,Т*) такого, что /З'(М) С Т
и = 0 при всех г — 1,..., п.
Мы утверждаем, что (*М') выполняется в точности тогда, когда
М'/М — делимый модуль без кручения и выполняется (**Л/').
Заметим следующее. Для произвольного неделимого модуля N суще-
ствует ненулевой гомоморфизм N —> 7?(р). Поскольку Т — примарный
модуль, то всегда существует ненулевой гомоморфизм N —>Т. Допустим
теперь, что М'/М — неделимый модуль. Существует ненулевой гомомор-
физм /3: М'/М —* Т. Пусть /3 — композиция канонического гомоморфиз-
ма М' -* М'/Т с (3. Тогда (3 Е Нот(М/,Т), /3 ± 0, но ограничение /3 на
М равно нулю. Это противоречит (*ЛД). Следовательно, М'/М делим.
§34. Теоремы топологического изоморфизма
313
Пусть рх е М, где х е М' \ М. Тогда высота элемента рх в М равна
нулю. В противном случае в М'\М имелись бы периодические элементы,
что невозможно ввиду t(M') = t(M). Следовательно, существует гомо-
морфизм /3: М —> Т такой, что (3(рх) имеет высоту ноль. Этот /3 нельзя
продолжить до гомоморфизма М' —> Т. Противоречие. Значит М'/М
есть модуль без кручения. Условие (* * М') сразу следует из того, что
изоморфизм в (*ЛТ') является топологическим. Уточним только один мо-
мент. Ограничение гомоморфизма /3' на М продолжается до некоторого
гомоморфизма из М' в Т. Это продолжение должно совпасть с /3', так
как М'/М — делимый, а Т* — редуцированный модули.
Предположим теперь, что М'/М делимый без кручения и выполняется
свойство (**М/). Нам известно, что существует единственное вложение
М' в М*, являющееся тождественным отображением на М (свойство (f)
из §21). Поэтому можно считать, что М С М' С М*. Отображение
в (*М') инъективно в силу делимости М'/М и редуцированности Т.
Для проверки его сюръективности возьмем любой гомоморфизм /3: М —>
—> Т. Он продолжается до гомоморфизма /3е: М* Т* (свойство (d)
в §21). Пусть х е М', a yi,... ,уп — элементы из М, существование ко-
торых утверждается в (* * М'). Выберем положительное целое число к
так, что pk(f3yi) = 0 для всех i = 1,..., п. Пусть /3' — ограничение рк(3*
на М'. Тогда (**М') влечет, что /З'(х) = 0. Отсюда /3*(ж) G Т. Требуемым
продолжением для /3 будет ограничение (3* на М'. Итак, рассматривае-
мое отображение есть биекция. Оно всегда непрерывно. Непрерывность
обратного отображения вытекает из (* * М'). Следовательно, свойство
(*MZ) справедливо.
Определим М как сумму всех подмодулей М' в М*, таких, что М С
С М' и выполняется (*ЛТ). Тогда модуль М/М делимый и без кручения,
так как М*/М без кручения. Свойство (**М') для всех таких М' влечет
(* * М). По доказанному выполняется (*М). Мы получили однозначно
определенный максимальный подмодуль М в М*. Если М\ — еще один
максимальный подмодуль, то свойство единственности вложения в М*
(свойство (f) из §21) доказывает существование изоморфизма Mi —► М,
действующего на М тождественно.
Мы доказали все в (1) и (2) за исключением того, что М есть Я-мо-
дуль. Но по свойству (7) из §21 М* является Я-модулем, поэтому суще-
ствует Л-подмодуль М' в М*, порожденный М. Тогда М'/М — делимый
модуль без кручения, так как R/R является таким модулем (см. §11).
Почему справедливо свойство (* * А/')? Любой гомоморфизм /У: М' —>
—> Т* является Я-гомоморфизмом (§4). Элементы из М' являются ком-
бинациями элементов из М с коэффициентами из R. Так как (* * М)
314
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
выполняется, то ясно, что (* * М') выполняется. Ввиду максимальности
М, имеем М' = М.
Докажем (3). Пусть а е End(Af). Достаточно убедиться, что о?(М) С
С М. Положим М' = а*(М) + М. Тогда М'/М — делимый модуль без
кручения. Кроме того, справедливо (* * М'). Нужно лишь проверить его
для элементов вида а*(ж), где х G М. Но это легко получается, если при-
менить (**М) к а*/3', где /3' G Нот(А//,Т*). Следовательно, выполняется
(*M'). Отсюда
М' QM и а*(М) СМ.	□
Сформулируем теперь одну весьма общего характера теорему тополо-
гического_изоморфизма. В ней имеется в виду, что существует изомор-
физм ф: М —> N такой, что ф(а) и совпадают на N для каждого
а е End(Af), где ^ — некоторый топологический изоморфизм End(M) —>
End(TV).
Теорема 34.2 (Мэй [230]). Пусть М — редуцированный модуль с нену-
левым периодическим подмодулем, N — произвольный модуль. Предпо-
ложим, что M/t(M) — делимый модуль. Тогда всякий топологический
изоморфизм алгебр End(M) —> End(JV) индуцируется некоторым изо-
морфизмом модулей M^N. Если R — полная область, то можно не
делать никаких предположений о
Доказательство. Обозначим через Т периодический подмодуль
i(M). Пусть ф: End(Af) —> End(JV) — некоторый топологический изо-
морфизм. Сначала предположим, что R — полная область и М/Т — неде-
лимый модуль. Тогда М/Т имеет прямое слагаемое, изоморфное R (след-
ствие 11.8). Из теоремы 5.4 можно вывести, что М также имеет прямое
слагаемое, изоморфное R. Так же, как в доказательстве утверждения (1)
теоремы 33.6, доказывается, что соответствующее слагаемое модуля N,
получаемое с помощью ф, изоморфно R. Итак, модули М и N имеют
прямые слагаемые вида R. Методом Капланского, аналогично соответ-
ствующему месту в доказательстве теоремы 33.5, устанавливается су-
ществование изоморфизма <р: М —> N, индуцирующего ф. Понятно, что
изоморфизм ф: М —> N также индуцирует ф.
Считаем теперь, что М/Т — делимый модуль, a R не обязательно пол-
ная область. Так же, как в теореме 33.6, проверяется, что модуль N не
имеет прямых слагаемых вида R(p°°) и К, т. е. N — редуцированный мо-
дуль. Согласно этой теореме, существует изоморфизм у>: Т —► t(N) такой,
что ф(а) и совпадают на t(N) для всякого а е End(M). В част-
ности, если аТ = 0, то ф(аУ(ф?) = 0. Так как М/Т — делимый модуль,
§34. Теоремы топологического изоморфизма
315
то Hom(A//T, М) = 0, где Нот(М/Т, М) отождествляем с множеством
всех a G End(Af), аннулирующих Т. Отсюда Hom(JV/i(./V), У) = 0 и,
значит, N/t(N) — делимый модуль, поскольку £(7V) / 0. Следовательно,
М* = Т*, N* = t(N)* (свойство (f) в §21) и можем считать, что М С Т*
и У С Кроме того, <р продолжается до изоморфизма <р*: Т* —>
—> <(У)* (свойство d из §21). Эндоморфизмы модулей Т* и tfN)* полно-
стью определяются их действием на периодических подмодулях. Поэтому
получаем формулу
V>(ct)* = (^>-1а<^)* = (/)-1а‘/
для каждого а € End(AT). Далее, изоморфизм <р* индуцирует изомор-
физм
End(T*) End(i(AT)*),
продолжающий Для него имеем ф(а)* = ^‘(ct*)- Взяв изоморфизм
ф^1, с помощью аналогичных рассуждений можно получить формулу
^-1(3)* =
для каждого /3 е End(TV). Покажем, что <р*(М) Q N. По симметрии
также (</?*)”1(У) С М. В результате будем иметь изоморфизм ф: М —>
—> N, индуцирующий ф.
Итак, проверим, что <р*(М) С У. Положим N' — р*(М) + N. Так как
М/М и М/Т — делимые модули, то и М/Т — делимый модуль. Следова-
тельно, рМ + Т = М. Далее, имеем
N1 = р*(рМ + Т) + N = р<р*(М) + pN + N = pN' + N.
Отсюда N'/N — делимый модуль без кручения, так как N*/N есть мо-
дуль без кручения. Убедимся, что свойство (**Nr) из леммы 34.1 выпол-
няется. Тогда по этой лемме будет выполнено (*N') и по определению N
получим
N' С N и 9?’(М) С N.
Сначала мы утверждаем, что
^(Нот(М,Т)) = Нот(У,<(У)).
Поскольку ф — топологический изоморфизм, то утверждение верно в си-
лу следующего факта. Множество Нот (Л/, Т) состоит из всех а €
€ End(M) таких, что последовательность {рка}к^о сходится к нулю
316
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
в конечной топологии. Дадим еще одно доказательство. Пусть a 6
€ Hom(Af, Т). Для любого у € N на основании непрерывности ф су-
ществуют элементы xi,... ,хп € М такие, что = 0, если 0xi = ...
... = /Зхп = 0, где (3 е End(M). Существует натуральное число к такое,
что pka(xi) = 0 для всех г =	Следовательно, ркф(а)у = О,
т.е.ф(а)у е t(N) и ф(а) 6 Нот(АГ,	Получили
^Нот(М,Т) С Hom(AU(AT)).
Аналогично доказывается и обратное включение.
Мы должны только проверить, что для любого х 6 М свойство (**7V')
выполняется для р*{х}. По свойству (* * М) мы можем выбрать элемен-
ты У1,...,уп G М так, что /3*(ж) = 0 для любого /3 е Hom(M,Т), где
/5(?/г) = 0 для всех г. В силу топологического изоморфизма, найдутся
элементы у{,... ,y'm G N такие, что если (3' е Hom(Afи f3'(y'j) = О
для всех j, то /3' = для некоторого (3 6 Hom(Af, Т), где /3(у./) = О
для всех г. Но тогда /3*(х) = 0. Следовательно,
(£')*(</UD) = V’(/?)’(¥’’(®)) = (^(/З)*)^) = (/?V)(z) = </(/3*(я)) = 0.
Таким образом, (* * N1) справедливо и доказательство завершено. □
Нам понадобится одно условие, при котором М — М. Как всегда, М1
обозначает первый ульмовский подмодуль модуля М.
Лемма 34.3. Пусть М — редуцированный модуль с неограниченным
периодическим подмодулем над полной областью R. Если М1 — копе-
риодический модуль, то М = М.
Доказательство. Допустим, что существует элемент х е М \ (М1 +
+ М). Пусть элементы yi,...,yn € М появились из свойства (* * М)
леммы 34.1. Положим
А = М1 + Ryi + ... -Ь Ryn С М.
Так как R — полная область, то А — хороший подмодуль в М (предложе-
ние 28.4 (2)). Ясно, что (x-l-A)nM1 = 0. Следовательно, смежный класс
х + А имеет в М/А конечную высоту, скажем, к. Существует композиция
отображений
/3: М М/А (М/А'}/рк+\М/А') t(M)
§34. Теоремы топологического изоморфизма
317
такая, что (3(уг) = 0 для всякого г, но / 0. Это противоречит (* * 7Й).
Значит, М = М1 + М. Поскольку М/М — модуль без кручения, то
М1 П М - М1. Теперь имеем
М/М = (М1 + М)/М = мг/(м1 П М) = м1/м\
Следовательно, Мг/М1 —делимый модуль без кручения или он равен
нулю. Если М1 / М\ то М1 как копериодический модуль будет пря-
мым слагаемым в ЛТ\_что невозможно, так как модуль М1 редуцирован.
Значит, М1 - М1 и М = М.	□
Теорема 34.4 (Мэй [230]). Предположим, что R — полная область
и М — редуцированный модуль. Пусть ip: End(Af) —> End(TV) — топо-
логический изоморфизм.
(1)	Если М1 — копериодический модуль, то ip индуцируется некото-
рым вложением N в М.
(2)	Если М1 — копериодический модуль, то всякий топологический
автоморфизм алгебры End(M) является внутренним.
(3)	Если М1 — прямая сумма ограниченного модуля и модуля без
кручения конечного ранга, то ip индуцируется некоторым изо-
морфизмом М на N. В частности, это верно, если М1 = 0.
Доказательство. Если t(M) — ограниченный модуль, то М = t(M)ф
ф X, где X = 0 или X — некоторый модуль без кручения. При X = 0 1р
индуцируется некоторым изоморфизмом М на N по теореме 33.6. При
X / 0 модуль М имеет прямое слагаемое, изоморфное R. В таком слу-
чае N имеет аналогичное слагаемое и ip индуцируется некоторым изо-
морфизмом М на N (см. начало доказательства теоремы 34.2). Значит,
мы можем предположить, что t(M) — неограниченный модуль. По теоре-
ме 34.2 ip индуцируется^некоторым изоморфизмом ф: М —> N. Однако,
согласно лемме 34.3, М = М. Поэтому ф/~^ есть инъекция N —► М,
которая индуцирует ip в том смысле, что ip(a) и ф~гаф совпадают на N
для каждого а е End(Af).
В (2) имеем ф: М —> М и ф индуцирует ip.
В (3) Мх = £(ЛТ) ф F, где i(M) — ограниченный модуль, a F — сво-
бодный модуль конечного ранга. В частности, М1 — полный и, значит,
копериодический модуль конечного ранга. В силу (1), существует вложе-
ние N —> М. Отсюда 2V1 есть копериодический, так как он изоморфен
некоторому подмодулю в М1. Таким образом, М = М, N = N и ф: М —>
—> N индуцирует ip.	□
318
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Пункты (2) и (3) перестают, вообще, быть верными, если убрать соот-
ветствующее условие на первый ульмовский подмодуль. Приведем при-
меры, подтверждающие это.
Нам понадобится понятие малого гомоморфизма (см. замечания к гла-
ве 4). Пусть М и N — примарные модули. Гомоморфизм у?: М —> N
называется малым, если для любого положительного целого числа е су-
ществует положительное целое п такое, что ^>((рпЛ7)[ре]) = 0. Все малые
гомоморфизмы из М в N образуют 72-модуль Small(A7, TV). Все малые
эндоморфизмы модуля М составляют идеал Small(TVf) алгебры End(M).
Пусть G — модуль с периодическим подмодулем Т. Тогда Т и Т1 —
вполне инвариантные подмодули в G. Поэтому всякий эндоморфизм /3
модуля G индуцирует эндоморфизм /3 фактормодуля Т/Т1 по формуле
(З^х + Т1) = /3(х) + Т1, х еТ. Назовем эндоморфизм /3 малым по модулю
Т1, если /3 — малый эндоморфизм модуля Т/Т1. Все малые по модулю Т1
эндоморфизмы модуля G составляют идеал в End(G).
Автоморфизм кольца или алгебры, не являющийся внутренним, назы-
вается внешним.
Предложение 34.5 (Мэй [230]). Пусть R —полная область. Суще-
ствует смешанный модуль М ранга 1 такой, что алгебра End(TW)
имеет топологический внешний автоморфизм.
Доказательство. Воспользуемся известным фактом о существова-
нии примарного модуля с заданной последовательностью Ульма (Фукс
[41, теорема 76.1]). Применим также теоремы из [91] и [100] о рас-
щепляющейся реализации для колец эндоморфизмов примарных моду-
лей (см. дополнительно замечания в конце главы 4). На основании этих
результатов можно выбрать примарные модули Ti и Та такие, что Т1 —
неограниченная прямая сумма циклических модулей,
ЕгкЦТ^/Т;1) = R ф SmalKT/T)1)
(прямая сумма 72-модулей) и Hom^/T^Tj/Tj) состоит из малых гомо-
морфизмов для i,j = 1,2 и i / j. Положим Т = Ti ф Т?. Имеем Т* —
= Т* ф Т* и обозначим через е, проекцию Т* —у Т*, i — 1,2. Докажем,
что
End(T*) = 72г i ф Re^ ф I
(прямая сумма 72-модулей), где I — идеал малых по модулю Т1 эндомор-
физмов модуля Т*. Сначала проверим, что End(Ti) = 72ф/1, где R — иде-
ал малых по модулю Т1 эндоморфизмов модуля Ti. Ясно, что RCiR =0.
Пусть а е End(Ti) и а — эндоморфизм модуля Ti/T[, индуцируемый а.
Тогда а = г + /3, где г е 72 и (3 6 Smal^Ti/T/). Так как а — г + (а — г),
§34. Теоремы топологического изоморфизма
319
то а —г = а — г = а — г = (3 и а — г G Д. Получили End(Ti) = R ф 1±
и, аналогично, ЕпсЦТг) = R ф I2, где I2 — идеал малых по модулю Т2
эндоморфизмов модуля Т2. Далее, имеем
End(T) = End(Ti)®End(T2)®Hom(7i,72)©Honi(72,7i) = 7?£i©7?£2©/-
Теперь заметим, что кольца End(71*) и End(T) можно отождествить по-
средством отображения ограничения (свойство (d) из §21).
Подмодуль Т/* (соответственно Т1*) при помощи Ext можно есте-
ственно вложить в Т* (соответственно Т*). Так как Т/ есть неогра-
ниченная прямая сумма циклических модулей, то по предложению 21.5
(Т/*)1 является модулем без кручения. Выберем ненулевые элементы Xi е
е (Т^1*)1, i = 1,2. Положим х — xi + Х2. Пусть М — такой чистый подмо-
дуль в Т*, что Т С М и М/Т = К(х + Т), где К — поле частных области
R. (Т*/Т как делимый модуль без кручения есть К-пространство.) Пусть
/3 е I. Нетрудно проверить, что ЗТ1 = 0 (см. упражнение 1). Следователь-
но, (ЗТ1* = 0 и (Зх = 0. Отсюда заключаем, что 7?ф I С End(M). Если
a 6 End(Af), скажем, а — r^ei + Г2Е2 + /3, г\,Г2 6 R, /3 € I, то а(х) —
= Г1Ж1 + Г2Х2. Тогда а(х) G М, если и только если и — г = гг. Значит,
а = г + (3 е R® I и End(M) = R ф I. В частности, End(M) С End(Te).
Выберем некоторый обратимый элемент и € R, отличный от единицы,
и положим 7 = £i + UE2- Здесь 7 — автоморфизм модуля Т* (в самом
деле, 7-1 = £1 + u-1£2). Формула 1р(а) = 7-1Q7, а е End(T*), задает
автоморфизм алгебры End(Te). Так как I — идеал, то сужение V’ будет
автоморфизмом алгебры End(M). Допустим, что ^ — внутренний авто-
морфизм алгебры End(M). Тогда существует автоморфизм ip модуля М
такой, что ip (а) = (р~1а<р для каждого а е End(M). Следовательно,
имеем а(</?7-1) = (</гу-1)а для любого a G End(M). В частности, ^>7-1
перестановочен с любым малым по модулю Т1 эндоморфизмом. В послед-
ней части доказательства теоремы 33.1 все встречающиеся там эндомор-
физмы, кроме 7, можно выбрать малыми по модулю Т1. В результате
получится, что </>7-1 лежит в центре кольца End(T), т. е. ^>7-1 — обра-
тимый элемент из R, откуда 7 е End(Af). Но 7(2:) = xi + 11x2 М —
противоречие. Следовательно, ip — внешний автоморфизм.
Для доказательства того, что ip непрерывен в конечной топологии,
возьмем элемент у е М. Достаточно убедиться в существовании yi G М
такого, что если а 6 End(Af) и a(yi) = а(х) = 0, то ip(a)(y) = 0, или,
учитывая, что 7 —автоморфизм, ct(7-1y) = 0. Для некоторых k 0 и
а 6 R имеем рку = a(xi -Т хг). По выбору Х2 можно записать Х2 — ркхз,
где хз е Т1*. Тогда
Pfc7-1(y) = а(х1 + и-1х2) = рку + pfca(u-1 - 1)ж3.
320
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Положим yi = 7“1(у) — а(и~г — 1)^з и заметим, что yi е М, так как
У1 е у + Т. Пусть а = г + /3 € End(M), и предположим, что a(yi) =
= а(х) = 0. Поскольку (3(х) = 0, имеем г = 0, и, таким образом, а — (3.
Но /?(з7з) = 0, поэтому q(7-1?/) = 0, как и утверждалось. По симметрии
также непрерывен и — топологический автоморфизм.	□
Условие на подмодуль М1 в п. (3) теоремы 34.4 является в некото-
ром смысле наилучшей возможностью для таких теорем топологического
изоморфизма. С помощью построений, похожих на проведенные в пред-
ложении 34.5, Мэй [230] получил следующие результаты. Пусть А —
редуцированный модуль над полной областью R такой, что t(A)1 = 0 и А
не является прямой суммой ограниченного модуля и модуля без кручения
конечного ранга. Тогда существует редуцированный модуль М с М1 = А
такой, что для М не справедлива теорема топологического изоморфизма
в слабом смысле. Если А — примарный модуль, то в качестве М мож-
но взять смешанный модуль ранга 1. При этом существует смешанный
модуль N ранга 1 такой, что алгебры End(M) и End(TV) топологически
изоморфны, но модули М и N не изоморфны.
Записанные ниже упражнения заимствованы из работы Мэя [230].
Упражнение 1. Пусть М — некоторый модуль и Т = t(M). Если (3 — ма-
лый по модулю Т1 эндоморфизм модуля М, то /З^Т1) С Т2.
Пусть S — некоторая Я-алгебра. Если взять в качестве подбазиса окрест-
ностей нуля множество правых аннуляторов элементов правого идеала в S,
порожденного примитивными идемпотентами конечного аддитивного порядка
в S, то получим топологию на S, называемую внутренней топологией.
Упражнение 2. Показать, что для примарного модуля Т, не являюще-
гося прямой суммой ограниченного модуля и нетривиального делимого мо-
дуля, внутренняя топология на End(T) есть в точности конечная тополо-
гия. (См. предложение 16.2; полезно также сравнить внутреннюю топологию
с двумя конечными топологиями, определенными перед теоремой 18.4 и пред-
ложением 18.6.)
Упражнение 3. Пусть модуль М имеет периодический подмодуль Т. До-
пустим, что кольцо End(Af) хаусдорфово во внутренней топологии. Тогда
(1)	отображение ограничения /: End(Af) —► End(T) инъективно;
(2)	End(T)//End(M) — Я-модуль без кручения;
(3)	внутренняя топология на End(Af) индуцируется конечной топологией на
End(T).
Упражнение 4. Кольцо эндоморфизмов модуля М из предложения 34.5
полно во внутренней топологии, и End(M) не изоморфно End(P) для любого
примарного модуля Р.
§ 35. Модули над пополнениями
321
§ 35. Модули над пополнениями
Пусть R — неполная область дискретного нормирования, R — её р-адичес-
кое пополнение. Покажем, что любой редуцированный Я-модуль можно
вложить в минимальный в определенном смысле редуцированный Я-мо-
дуль. Модули над полной областью устроены, вообще говоря, проще,
поэтому такое вложение может быть полезно в процессе исследования
модулей над неполными областями. В конце параграфа конспективно
излагаются некоторые результаты по проблеме изоморфизма для колец
эндоморфизмов смешанных модулей, в том числе использующие вложе-
ние Я-модулей в Я-модули. Другие результаты на эту тему содержит
следующий параграф. В двух оставшихся параграфах главы рассматри-
ваются произвольные, т. е. не обязательно топологические, изоморфизмы.
Понятно, что нетопологические изоморфизмы слабее отражают структу-
ру исходных модулей. В этом плане интересно, что любой изоморфизм
между алгебрами эндоморфизмов двух модулей Уорфилда является топо-
логическим (теорема 36.4).
В этом и следующем параграфах используем обозначение RX для под-
модуля, порожденного подмножеством X некоторого модуля. В главе 6
мы условились под рангом смешанного модуля М подразумевать ранг
фактормодуля	Если этот фактормодуль делимый, то он являет-
ся Я-пространством и его размерность равна рангу модуля М.
Наши построения базируются на свойствах копериодических оболочек
и тензорных произведений. Пусть М — редуцированный Я-модуль. Как
и в предыдущем параграфе, мы рассматриваем М как такой подмодуль
копериодической оболочки М*, что t(M*) = t(M) и М*/М — делимый
модуль без кручения. Согласно свойству (7) из §21, М* есть Я-модуль.
Поэтому можно взять Я-подмодуль в М*, порожденный подмодулем М.
Обозначим его RM и назовем R-оболочкой модуля М. По построению
RM — редуцированный модуль. Как указано в § 13, тензорное произведе-
ние R®M (все тензорные произведения берутся над кольцом Я) является
Я-модулем. Я-оболочку модуля М можно построить исходя из этого тен-
зорного произведения. Для этого рассмотрим точную последовательность
Я-модулей
®—>R®M—>R®M^ Я/Я ® М -> 0.
Модуль R® М можно отождествить с М при соответствии г ® т —>
—> rm, г е R, т е М, а М — с образом в Я ® М. Затем Я/Я ® М есть
делимый модуль без кручения, поскольку Я/Я имеет подобное строение.
Запишем Я ® М = D ® А, где D — наибольший делимый подмодуль
Я-модуля R® М, а редуцированный Я-модуль А выбран так, что MCA
(см. замечание после теоремы 6.1).
11—4473
322
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Лемма 35.1. R-оболочка RM изоморфна фактормодулю R-модуля
R®M по его наибольшему делимому подмодулю.
Доказательство. Сбалансированное отображение R х М —> RM,
(г,т) —> гт индуцирует эпиморфизм Я-модулей
g: R ® М —> RM, г®т—> гт.
При этом gD = 0, так как RM — редуцированный модуль. Пусть Н —
подмодуль в R ® М, порожденный всеми элементами вида
Г, ® ТПг - 1 ® ^2 rimi>
где ri G R, mi е М и rimi е М. Из pR + R = R нетрудно вывести
делимость Н. Теперь, если ^ri ® пи е Ker(<j), то
ri ® mi = ri® mi — 1 ® У^ r^i eHCD'
так что Кег(<?) = D. Следовательно, RM = (R® M)/D.
Второе доказательство использует записанную выше точную последо-
вательность тензорных произведений. Ввиду того, что А/М — делимый
модуль без кручения, по свойству (f) из §21 имеем М* = А*, и можно
считать, что М С А С М*. Пусть h — сужение g на А и h*: М* —> М* —
продолжение h. Так как h действует на М тождественно, то h* — тожде-
ственный автоморфизм и А = RM (см. (d) в §21).	□
Приведем несколько простых свойств Я-оболочек. Они получаются из
определения Я-оболочки и леммы 35.1.
(1)	RM/M — делимый модуль без кручения, t(RM) = t(M) и М —
изотипный подмодуль в RM (последние введены в §27).
Так как М* /М без кручения, то и RM/M без кручения и t(RM) =
= t(M). Делимость модуля R/R влечет делимость модуля RM/M (похо-
жее место есть в доказательстве леммы 34.1).
(2)	Можно охарактеризовать RM как редуцированный Я-модуль, со-
держащий М как Я-модуль, порождаемый им как Я-модуль и такой, что
RM/M делимый без кручения.
(3)	Ранг Я-модуля RM не превосходит ранга Я-модуля М.
Если {аДге/ — максимальная линейно независимая система элемен-
тов бесконечного порядка модуля М, то {ai + t(M)}iei — базис Я-прос-
транства K(M/t(M\) (см.§4). Любой элемент из RM/t{M} линейно вы-
ражается через этот базис, что дает нужный результат.
§35. Модули над пополнениями
323
(4)	Пусть Mi, iei, — множество редуцированных Я-модулей. Тогда
(7.1)
Так как Ext(K/R, —) коммутирует с конечными прямыми суммами
модулей, считаем, что
(фмЛ .
iei \ iei /
При таком подходе изоморфизм в (7.1) становится равенством. Можно
применить также лемму 35.1. Канонический изоморфизм
Я 0 I ф Mi] =* ф(Я 0 Mi)
\ iei / iei
влечет изоморфизм фактормодулей по делимым подмодулям, являющийся
искомым.
(5)	Получим ковариантный функтор F из категории редуцирован-
ных Я-модулей в категорию редуцированных Я-модулей, если положим
F(M) — RM и F(f) — индуцированный гомоморфизм RM RN для
любых Я-модулей М и N и гомоморфизма f:M—>N. Здесь F(f) мож-
но определить и непосредственно. Ввиду того, что М* и N* суть Я-мо-
дули, /* — гомоморфизм Я-модулей М* —> N*. Тогда F(f) — ограничение
/• на RM. F(f) допускает определение и с помощью индуцированного
гомоморфизма 10 f тензорных произведений.
(6)	End(M) есть подалгебра алгебры ЕпсЦЯМ) (Я-эндоморфизмы мо-
дуля RM совпадают с его Я-эндоморфизмами).
Каждому эндоморфизму а модуля М ставим в соответствие F(a), как
в (5). Иными словами, продолжаем а до эндоморфизма а* модуля М*,
затем берем сужение а* на RM.
Изоморфные модули имеют изоморфные Я-оболочки. Для модулей Уо-
рфилда справедливо обратное.
Предложение 35.2 (Файлс [ПО]). Если М и N —модули Уорфилда
и RM = RN, то М = N.
Доказательство. Любой примарный модуль М является Я-модулем,
поэтому RM = М. Мы можем считать, что М и N — непримарные мо-
дули. Пусть р: RM —> RN — некоторый изоморфизм. Существует при-
марный модуль Т такой, что М ® Т = Мг и N ® Т = ф Nj, где
iei	jeJ
и*
324
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
все модули Mi и Nj имеют ранг 1 (следствие 32.3 и теорема 30.3). Для
каждого i е I выберем элемент бесконечного порядка Xi 6 Mi О М. То-
гда X = {xi | i е 7} будет базисом разложения для М и для RM как
Д-модуля. Нужно принять во внимание, что по (4) и (3)
RM фТ = ^RMi,
г&1
где каждый RMi — модуль ранга 1. Точно так же, взяв элемент беско-
нечного порядка yj в каждом Nj Г) N, получим базис разложения Y =
= {Уз I J' € J} для N и RN. Так как <рХ и У —два базиса разложения
для RN, то существуют подординаты X' = {х\ | г е 1} в X и Y' =
= {y'j I J' € <7} в вместе с биекцией т: I —> J такие, что
^RM^Pk^Xi^ = ^RN^Pkyr(i))
для всех i е I и к 0 (см. абзац после доказательства следствия 31.2).
Подмодули М и N изотипные, поэтому имеем
Нм(ркх^ = hN(pkp(x'i)) = hN(pky'T(i})
для всех ink. Получим изоморфизм у: RX' —> RY', сохраняющий вы-
соты в Af и Лг, если положим x(xi) = у'т^ Для каждого i е I. Дополни-
тельно имеем
t(M) = t(RM) t(RN) = t(N)
и на основании следствия 32.7 М = N.	□
В любом Д-модуле М имеется наибольший Д-подмодуль. Обозначим
его С(М). Этот подмодуль будет играть некоторую роль в следующем
параграфе.
Лемма 35.3. Если М — редуцированный модуль, который содержит
хороший базис, то С(М) = t(M).
Доказательство. Пусть X — хороший базис для М. Периодический
подмодуль t(M) является Д-модулем, значит, он лежит в C(Af). Если
С(Л7) / t(M), то можно выбрать ненулевой элемент х G С(М) П RX.
Тогда Rx С М, так что
Д/Д = Rx/Rx С M/Rx
и M/Rx — нередуцированный модуль. Так как
M/RX	(M/Rx\/(RX/Rx)
§35. Модули над пополнениями
325
и RX/Rx редуцированный, то М/RX — нередуцированный модуль. Од-
нако это невозможно, так как RX — хороший подмодуль. Следовательно,
С(М) = <(М).	□
Для колец эндоморфизмов смешанных модулей метод Капланского,
как правило, не применим. Формальное препятствие состоит в отсут-
ствии эндоморфизмов, отображающих элементы бесконечного порядка
на циклические прямые слагаемые модуля. Практически все подходы к
решению проблемы изоморфизма для колец эндоморфизмов смешанных
модулей основаны на использовании копериодических оболочек. Частич-
но это уже продемонстрировано в §34. Любой редуцированный модуль
можно считать вложенным известным способом в свою копериодическую
оболочку. Допустим теперь, что алгебры эндоморфизмов редуцирован-
ных смешанных модулей М и N изоморфны. Обычно можно доказать,
что тогда периодические подмодули t(M) и t(N) изоморфны (см. теорему
36.4). Затем нередко общий случай сводится к ситуации, когда M/t(M)
и N/t(N) — делимые модули. Это одна из распространенных ситуаций.
Например, такое сведение всегда возможно, если R — полная область.
Тогда будем иметь М* = Т* = N*, где Т = t(M'), и можно считать мо-
дули М и N лежащими в копериодической оболочке Т*. Далее, алгебры
End(Af) и End(TV) можно рассматривать как подалгебры в End(T*), если
каждый а € End(Af) отождествить с а* е End(T*) и так же поступить
с End(JV). Как установил Мэй [226], в таком случае End(M) = End(TV).
Кроме того, исходный изоморфизм алгебр эндоморфизмов индуцирует-
ся изоморфизмом М на N в точности тогда, когда существует обратимый
элементu£R такой, что иМ = N. Если R — полная область, то ф будет
индуцироваться в точности тогда, когда М = N. Таким образом, задача
состоит в нахождении указанного элемента и. Если ф не индуцируется
никаким изоморфизмом М на N (это может случиться, например, для
модулей Уорфилда, как в теореме 36.4), то следует продолжить поиск
условий изоморфизма М и N.
Почти все имеющиеся результаты по проблеме изоморфизма для сме-
шанных модулей касаются модулей с тотально проективным периоди-
ческим подмодулем, модулей Уорфилда или некоторых более широких
классов модулей, связанных с этими двумя. Первым результатом здесь
можно считать следующую теорему Мэя и Тубасси [232].
Теорема 35.4. Пусть М — смешанный модуль ранга 1 с тотально про-
ективным периодическим подмодулем. Если N — модуль ранга 1, то
всякий изоморфизм End(Af) —> End(JV) индуцируется некоторым изо-
морфизмом М —> N.
326
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
В [228] Мэй выявил довольно общие условия, при которых изо-
морфизм End(Af) = End (TV) индуцируется изоморфизмом Л-оболочек
RM = RN, где М — некоторый смешанный модуль, а от N ничего не
требуется. Получены интересные применения к модулям М с тотально
проективным периодическим подмодулем и модулям Уорфилда М. Ра-
зумеется, если R — полная область, то приходим к изоморфизму самих
модулей М и N. Для модулей над полной областью Мэй в другой статье
[226] доказал более сильную теорему.
Теорема 35.5. Пусть М — редуцированный смешанный модуль над
полной областью R. Допустим, что каждый подмодуль G в М та-
кой, что М/G примарный, содержит хороший подмодуль А такой,
что М/А тотально проективен. Тогда всякий изоморфизм End(M)
на End(TV) индуцируется некоторым изоморфизмом М на N.
Мэй показал, что заключение теоремы выполняется, если модуль М
удовлетворяет одному из следующих условий:
(1) ранг М не превосходит Xq и t(M) тотально проективный;
(2) М — модуль Уорфилда.
Мэй дал также примеры, доказывающие, что если в (1) опустить то-
тальную проективность, или ограничение на ранг, или редуцированность,
то теорема 35.5 перестает быть верной. И во всех трех случаях соответ-
ствующие алгебры эндоморфизмов обладают внешними автоморфизмами.
Запишем подробнее один из примеров. Он иллюстрирует трудности на
пути поиска теорем изоморфизма для смешанных модулей.
Пример 35.6. Существуют примарный модуль Т без элементов бес-
конечной высоты и континуальное множество смешанных модулей
Mi ранга 1 таких, что t(Mi) = Т, Mi/T делимый, End(Mj) = R ф
ф Small(T') и Hom(Mi, Mj) = Small(T') для всех различных i,j < 2Х°.
Каждая алгебра End(Afj) имеет внешний автоморфизм.
В следующих упражнениях М — редуцированный модуль.
Упражнение 1 (Мэй [228]). Для любого ординала а справедливо вклю-
чение R(paM) С pa(RM). Равенство выполняется, если а конечный или М
имеет ранг 1, или М — модуль Уорфилда.
Упражнение 2. Ранг /2-модуля R® М равен рангу модуля М (ср. со
свойством (3)).
Упражнение 3. Покажите, что С(М) — вполне инвариантный подмодуль
в М и М/С(М) — модуль без кручения.
§36. Эндоморфизмы модулей Уорфилда
327
§ 36. Эндоморфизмы модулей Уорфилда
Докажем, что модуль Уорфилда определяется своей алгеброй эндомор-
физмов (в слабом смысле) в классе таких модулей. Мы опираемся на
статью Файлса [НО]. Широко будем использовать 7?-оболочки, введен-
ные в предыдущем параграфе. Как и раньше, наши конструкции опи-
раются на свойства копериодических оболочек. (Суть этих конструкций
изложена в конце §35.)
Пусть М — такой редуцированный модуль, что МЩМ) — делимый
модуль. Обозначим Т = t(M). По свойству (f) из §21 Т* = М*. На-
помним, что Т* — урегулированный копериодический модуль (предложе-
ние 21.3). Всякий эндоморфизм а модуля М имеет единственное продол-
жение до эндоморфизма а* модуля Т* (свойство (d) в §21). Таким путем
End(M) вкладывается в End(T*). Подобные соображения верны для лю-
бого чистого подмодуля N в Т*, содержащего Т. Таким образом, End(AT)
и End(TV) мы рассматриваем как подалгебры одной алгебры End(T*). При
таком соглашении имеем End(M) = End (TV), если и только если a*(N) С
С N для всех а е End(M) и С М для всех (3 е End(JV). Заметим,
что End(T) = End(T’*) ввиду вполне инвариантности подмодуля Т.
Используемые ульмовские подмодули Ма и факторы Ма определены
в §28.
Лемма 36.1. Пусть Т — редуцированный примарный модуль. Предпо-
ложим, что М и N — чистые подмодули в Т*, содержащие Т и обла-
дающие хорошими базисами разложения. Если End(AT) — End(TV), mo
Hom«T) = Hom(2V,T).
Доказательство. Согласно лемме 35.3, С(М) = Т = C(N). До-
статочно доказать, что Нот(М, С(МУ) = Hom(7V, C(N)). Возьмем а е
€ Нот(М, С(МУ). Тогда ra(M) С М и, следовательно, ra*(N) С jV для
всех г G R. Значит, Л-подмодуль, порожденный a*(7V) в N, лежит в N.
Отсюда a*(N) С C(N) и а е Hom(N,C(NY). Получили одно включение.
Другое верно по симметрии.	□
Между высотами элементов бесконечного порядка копериодической
оболочки Т* и длиной ЦТ) (она определяется в §28) редуцированного
примарного модуля Т могут существовать довольно тонкие связи. В част-
ности, для построения определенных эндоморфизмов мы должны знать,
что копериодические оболочки некоторых примарных модулей содержат
элементы бесконечного порядка и достаточно большой высоты. С инфор-
мацией на эту тему можно познакомиться в статьях Мэя [226, 228]. Нам
328
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
потребуется один результат из [226]. В доказательстве леммы 36.2 встре-
чается понятие обратного предела. Оно изложено в [40]. (Двойственная
конструкция прямого предела введена в §29.)
Лемма 36.2. Пусть Т — неограниченный примарный модуль такой,
что Т С Т, где Т есть тотально проективный модуль длины
< 1{Т) +ш. Пусть о — наименьший ординал такой, что Та — ограни-
ченный модуль. Если т < сг, то ранг модуля (Т*)т не менее 2Х°. Ранг
модуля (Т*У не менее 2Х°, исключая случай, когда а — предельный
ординал конфинальности, большей чем ш; в этом случае (Т*)а — при-
марный модуль.
Доказательство. Ясно, что о есть также наименьший ординал та-
кой, что Та — ограниченный модуль. Выберем п так, что рп(Тст) = 0.
Если т < о, то Тт — неограниченный модуль. [40, Теорема 56.7] влечет,
что (Т*)т имеет слагаемое, изоморфное р-адическому пополнению Тт мо-
дуля Тт (см. также предложение 21.5). Таким образом, ранг модуля (Т*)т
не менее 2Х°.
Предположим, что ст — непредельный ординал, и пусть ст = т + 1 для
некоторого т. Из предыдущего получаем, что ранг модуля (Т*)ст не менее
ранга максимального делимого периодического подмодуля модуля Тт/Тт.
Вложение Т —► Т индуцирует гомоморфизм Тт —» Тт, причем порядки
элементов из ядра ограничены элементом рп. Образ G этого гомомор-
физма должен быть неограниченным, так как Тт не ограничен. Затем
Тт есть прямая сумма циклических модулей, поскольку Т как тотально
проективный будет просто представленным (конец §30 и свойство (f)).
Имеем эпиморфизм Тт —> G, ядро которого ограничено элементом рп. То
же справедливо и для индуцированных отображений Тт —> G и Тт/Тт —>
G/G. Ранг максимального делимого периодического подмодуля модуля
G/G не менее 2Х°, следовательно, то же верно для Тт/Тт. Утверждение
доказано для ст = т + 1.
Теперь предположим, что ст — предельный ординал. Возьмем обратные
спектры модулей {Т/Тт, т < ст; тг^} и {Т/Т^, т < ст; тг£}, где -к?, р <
т, — канонический гомоморфизм Т/Тт —> Т/Тр, и аналогичный смысл
имеет 7г£. Пусть L и L — пределы этих спектров. Как и раньше, доста-
точно доказать соответствующий факт о ранге максимального делимо-
го периодического подмодуля модуля L/(T/Ta}. Пусть р: Т —> Т/Т° —
сужение канонического гомоморфизма. Тогда порядки элементов ядра <р
ограничены в совокупности элементом рп. Так как Т/Та является то-
тально проективным модулем, ульмовская длина которого есть предель-
ный ординал, можно записать Т/Та = ф Ат, где каждый модуль Ат
Т<(Т
§36. Эндоморфизмы модулей Уорфилда
329
имеет ульмовскую длину <т (свойство (е) из §30). Сначала предполо-
жим, что конфинальность <т равна ш. Можно выбрать последовательность
то < Ti < тг < ... ординалов с <т = sup{Tj | i 0} и последовательность
Со,Сх,Сг,... циклических подмодулей в Т, порядки которых не ограни-
чены в совокупности, таких, что Ci С TTi и <^(Ci) С ф Ат для всех i
Т<Т»+1
(выбираем Ci, а затем Тг+1). Заметим, что индексы ненулевых компонент
элементов из <p(Ci) лежат в интервале [тг,Тг+1). Пусть Р —произведе-
ние, а С — сумма модулей Ci для всех г 0. Элементы из Р записываем
как формальные суммы ^Ci, Ci е Ci. Можно определить гомоморфизм
fT: Р —» Т/Тт для каждого т < сг следующим образом. Компоненты Cj
суммы Ci, начиная с некоторого к, принадлежат Тт. Считаем, что fT
отображает эту сумму в смежный класс (с1+.. .+cfc-i)-l-T'r. Гомоморфиз-
мы fT согласованы с тгр, поэтому они индуцируют гомоморфизм Т/Тт —►
—> Т/Т^ для каждого т < <т. Точно так же получаем индуцированный
гомоморфизм L —> L. Пусть ip: Р —> L — композиция этих отображений.
Заметим, что ipC С Т/Т°. Допустим, что a = ^Ci € Р и ipa G Т/Т°.
Рассматривая разложение для Т/Т°, заключаем, что существует j, для
которого индексы ненулевых компонент элемента ipa лежат в интервале
[0,т}). Так как множества индексов ненулевых компонент элементов из
у?(Сг) и <^(Cj) не пересекаются при г / j, заключаем, что </>(cj) = 0 для
г j. Таким образом, pnCi = 0 для i j, следовательно, pna G С. Мы
доказали, что ядро отображения Р/С —> Ь/(Т/Т<т'), индуцированного ip,
ограниченное. Это отображение можно провести через L/(T/Ta') в силу
определения ip. Ранг максимального делимого периодического подмодуля
модуля Р/С не менее 2Л°, поэтому то же верно для L/(T/Ta').
Считаем теперь, что конфинальность сг превышает ш. Достаточно дока-
зать, что L/(Т/Т*) — ограниченный модуль. Пусть а е L и {tT +ТТ | т <
< а} — множество всех компонент элемента а, где tT — tp 6 Тт при т < р.
Поскольку — <p(tp) е рт/Т*7, то у?(<т) и 4>(tp) имеют равные компо-
ненты в Av для v < т. Из предположения о конфинальности сг вытека-
ет существование конечного подмножества в а, содержащего множество
всех индексов компонент элемента y?(ir) для каждого т < а. Если то —
супремум этого множества, то <p(tT -tT0) = 0 для каждого т с то т < а.
Это дает
рпа = pntT0 + Та е Т/Та.
□
Лемма влечет, что модуль р^Т* имеет элементы бесконечного порядка
для любого ординала р с р + си < /(Т*) и Z(T) = ДТ*) в точности тогда,
когда 1{Т) G [<7,<т + си), где —ординал конфинальности, большей ш.
330
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Пусть М — модуль Уорфилда с периодическим подмодулем Т такой,
что М/Т — делимый модуль. Возьмем хороший базис разложения X мо-
дуля М, о существовании которого идет речь в лемме 32.10. Положим
Т = М/RX. Тогда записанные выше факты справедливы для модуля
Т. Прежде чем сформулировать решающее для дальнейшего предложе-
ние 36.3, уточним некоторые моменты. Пусть элемент х G Т имеет беско-
нечный порядок. В таком случае (Rx)* = Rx, поскольку копериодическая
оболочка редуцированного модуля без кручения совпадает с его попол-
нением (предложение 21.3) и Rx = R. Для подмодуля А модуля Т* через
А* обозначим такой подмодуль в Т*, что А С А* и А*/А = t(T*/А).
Понятно, что А* — чистый подмодуль в Т*.
Если А —такой подмодуль редуцированного модуля М, что М/А не
имеет подмодулей вида _R(p°°), то можно считать, что А* —подмодуль
в М* и М*/А* = (М/А)*. Действительно, ввиду предположения, имеем
Hom(/?(p°°), М/А) = 0, и все получается из точной последовательности
0	Ext(7?(p°°), А) Ext(J?(p°°),M)	Ext(R(p°°),M/A)	0.
Предложение 36.3 (Файлс [ПО]). Пусть Т — редуцированный примар-
ный модуль, и предположим, что М и N — чистые подмодули Уор-
филда в Т*, содержащие Т, такие, что End(M) = End(TV). Тогда
RM = RN.
Доказательство. Если М — примарный модуль, то М является
Д-модулем. Значит, R С End(M) = End(TV). Отсюда N — Д-модуль
и N = C(N). По лемме 35.3 N = Т = М.
Допустим, что модуль М непримарен. Из леммы 36.1 мы знаем, что
Нот(М, Т) = Hom(N,T). Пусть А — 1(Т). Опираясь на лемму 32.10,
выберем хороший базис разложения X в М такой, что M/RX — тотально
проективный модуль и рхМ С RX. Положим А — RX. По замечанию
перед предложением А* вкладывается в Т* и
(М/А*) - М*/А* - Т*/А*.
Сначала покажем, что N С (А*)*. Достаточно убедиться, что если
у Е Т*\(А*)„, то у N. Заметим, что элемент у + А* имеет бесконечный
порядок в Т*/А*. В фактормодуле Т*/А* возьмем подмодуль G, равный
(R(y + А*))». Тогда G — редуцированный модуль и t(G) = М/А имеет
длину А. Поэтому имеем ha(pky + А*) < Х + ш для всех к 0, поскольку
у + А* имеет бесконечный порядок. Мы утверждаем, что существует
ординал р с у + ш < 1(Т*) такой, что ha(pky + А*) р, + к для всех
к 0. Допустим сначала, что К/Т) ЦТ*); тогда /(Т*) — ЦТ) + ш. Если
§36. Эндоморфизмы модулей Уорфилда
331
hc(pky + ^4*) = А + m А для некоторого к ф 0, то положим у = Х + т
и заметим, что Ка(рку + А*) < у + к для всех к Ф 0, так как l(t(G)) —
= А. Ясно, что /х + а> < ЦТ*). Если ЦТ) = ЦТ*), то а < ЦТ) < а + а>
для некоторого ординала а конфинальности, большей ш (см. замечание
после доказательства леммы 36.2). Имеем Z(i(G)) = /(£((?)•) = А, откуда
hc(pky + Л*) < А для всех к ф 0. Пусть у — супремум высот ha(pky +
4- А*) для всех к ф 0. Тогда у + ш < а С ЦТ*) ввиду конфинальности <т.
Существование у установлено.
По замечанию после леммы 36.2 мы можем выбрать элемент беско-
нечного порядка z е р^Т*. Так как G — модуль ранга 1 с тотально про-
ективным i(G), то 7?(у + А*) — хороший подмодуль в G и G/R(y + А*)
тотально проективный (см. абзац перед следствием 32.9). Отображение
ry + А* —> rz, г 6 R, из R(y + А*) в Т* не уменьшает высот относитель-
но G и Т*. Следовательно, оно продолжается до гомоморфизма G —> Т*
(следствие 32.8). Далее возьмем композицию канонического отображе-
ния М —> М/А Q G с этим гомоморфизмом и результат продолжим до
эндоморфизма а модуля Т*. Получим ay — z и аА = 0. Таким образом,
а е Hom(M, Т) = Нот(ЛГ, Т) и ay Т. Следовательно, у <£ N.
Покажем, что М С RN. Это повлечет включение RM С RN и по сим-
метрии обратное включение. Достаточно доказать, что X С RN. Возь-
мем элемент х е X, запишем А = Rx ф С и А* = Rx ф С*. Поскольку
X — хороший базис разложения для М и М/А тотально проективный,
то проекция А —> Rx продолжается до эндоморфизма тг модуля М (след-
ствие 31.11). Так как тгМ Т, то tt*N Т, скажем, тг*(Ь) Т для
какого-то b е N. По доказанному N С (А*)*, и можно считать, что b е
€ А*. Отсюда b = vrx + с, где v — обратимый элемент в R, 0 г е R
и с е С*. Имеем тг*(ЛГ) С JV, так как тг е End(Af). Следовательно,
vrx = ir*(vrx + с) = тг*(Ь) G N. Таким образом, гх = ц-17г*(Ь) € RN
и X С RN, принимая во внимание чистоту X.	□
Теорема 36.4 (Файлс [ПО]). Предположим, что М —модуль Уорфил-
да, N = Ni ф D, где Ni — модуль Уорфилда и D — делимый модуль.
Если ф — некоторый изоморфизм End(Af) на End(TV), то ф — тополо-
гический изоморфизм и М = N.
Доказательство. Если D ненулевой, то он содержит слагаемое вида
R(p°°) или К. Взяв обратный изоморфизм ф~г, аналогично теореме 33.6
получим, что М имеет слагаемое, изоморфное R(p°°^, К или R. Первые
два случая невозможны. В оставшемся получаем R С С(М), чего не
может быть в силу леммы 35.3. Итак, N = М — редуцированный модуль.
Пусть сначала модуль М/ЦМ) неделим. Выберем примарный модуль
332
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
Р так, что М ф Р равняется прямой сумме модулей Mi, i е I, ран-
га 1 (следствие 32.3 и теорема 30.3). Существует индекс i такой, что
Mi/t(Mi) — редуцированный модуль и, значит, он изоморфен R. Следо-
вательно,	имеет R своим прямым слагаемым. Тогда М также
имеет подобное слагаемое (см. теорему 34.2). Так же, как в теореме 33.5,
можно убедиться, что N имеет слагаемое R и ф индуцируется изомор-
физмом М на N. В частности, ф — топологический изоморфизм.
Предположим, что	— делимый модуль. Если М примарный,
то End(M) и, значит, End(TV) суть 72-алгебры. Отсюда N — 72-модуль
и N = C(N). Из леммы 35.3 заключаем, что N — примарный модуль.
Это также доказывается с помощью стандартных приемов работы с цик-
лическими слагаемыми (см., например, доказательство теоремы 33.6).
Осталось сослаться на теорему 33.2. Можно считать, что М — смешан-
ный модуль. В силу доказанного, N/tfN') — делимый модуль. Обозначим
Т = t(N). Метод Капланского, использованный в процессе доказатель-
ства теоремы 33.6 (1), применим и в данной ситуации, поскольку М
и N — редуцированные модули. В итоге можно сконструировать изомор-
физм ср: ЦМ) —► Т так, что ф(а) и	совпадают на Т для всех
а е End(TVf). Пусть М' = <^*(Л7) С Т*. Тогда End(M') = End(TV). Если
/3 € End(M'), то /3' = у>*/3(</?*)-1 е End(M) и, следовательно, ф((3') G
G End(TV). Но ^(/З7) и фр*}~1 {3'р>* = (3 совпадают на Т. Следовательно,
/3* = ф(/3')* и (3* G End(N). Получили End(M') С End(TV). Аналогич-
ными аргументами доказывается обратное включение. Предложение 36.3
влечет RM' = RN. По предложению 35.2 М' = N, откуда М = N.
И последнее, почему ф — топологический изоморфизм? Во-первых,
убедимся, что отождествление End(M') = End(JV) является топологиче-
ским. Пусть у 6 N. Так как RM' = RN, то имеем у = rjxi + ... + гпхп,
G R и Xi е М'. Ясно, что если а G End(Af') и axi = 0 для всех г, то
а* (у) = 0 (а* будет 72-модульным эндоморфизмом). Можно утверждать,
что при отождествлении окрестности нуля остаются окрестностями нуля.
Это влечет топологический характер отождествления. Изоморфизм ф яв-
ляется топологическим как композиция отождествления с изоморфизмом,
индуцированным р>*. (Индуцированный изоморфизм всегда топологиче-
ский; см. §33.)	□
Следствие 36.5. Если М — модуль Уорфилда, то всякий автоморфизм
алгебры End(M) является топологическим.
Файлс [ПО] сконструировал модули М и N такие, что изоморфизм ф
в теореме 36.4 не индуцируется никаким изоморфизмом М на N. Со-
ответствующая область 72 должна быть, конечно, неполной. В случае
§36. Эндоморфизмы модулей Уорфилда
333
полной области R, согласно теореме 35.5, всегда индуцируется, при-
чем на N не накладывается никаких условий. Алгебра End(M) в при-
мере Файлса имеет внешний автоморфизм. В [111] Файлс выяснил, когда
кольцо эндоморфизмов р-локальной группы Уорфилда (т. е. Zp-модуля Уо-
рфилда) обладает внешними автоморфизмами.
Все упражнения взяты из работ Файлса [109, 112]. Острый модуль
определен в замечаниях в конце главы.
Упражнение 1. Пусть М — редуцированный непримарный Я-модуль. По-
казать, что следующие утверждения эквивалентны:
(1)	М — острый модуль;
(2)	фактормодуль модуля R&M по максимальному делимому подмодулю есть
Я-модуль Уорфилда ранга 1;
(3)	М содержится в Я-модуле Уорфилда М' ранга 1 и М'/М — модуль без
кручения.
Упражнение 2.
(а)	Модуль Уорфилда ранга 1 является острым.
(Ь)	Редуцированный Я-модуль М без кручения является острым в точности
тогда, когда М изоморфен некоторому чистому Я-подмодулю в Я.
(с)	Область Я не является полной в точности тогда, когда существует острый
Я-модуль ранга, большего единицы.
Упражнение 3. Если М— острый Я-модуль, то Епс^ЯМ) = ЯEnd#(M).
Упражнение 4. Показать, что редуцированный модуль М имеет стабиль-
ный элемент (его определение есть ниже) в следующих случаях:
(1)	М имеет ранг 1;
(2)	М — модуль Уорфилда и множество высотных последовательностей эле-
ментов некоторого базиса разложения для М содержит наименьший эле-
мент;
(3)	М = А ф В, где А имеет стабильный элемент и В/ Нош(А,В)А — при-
марный модуль.
Замечания. Дополнительная информация о результатах по проблеме
изоморфизма для колец эндоморфизмов содержится перед упражнениями
в §§34-36. Сделаем ряд добавлений. Файлс [112] ввел понятие стабиль-
ного элемента смешанного модуля. Свойства такого элемента напомина-
ют свойства элемента из прямого слагаемого, изоморфного Я. Именно,
элемент х модуля М называется стабильным, если выполняются следу-
ющие условия:
334
Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
(1) существует р е End(Af) такой, что рх = х и pM/Rx — примарный
модуль;
(2) М/ End(M)x — примарный модуль.
Файлс доказал такую теорему. Предположим, что М и N — редуцирован-
ные модули и i(M) тотально проективен. Если каждый из модулей обла-
дает стабильным элементом, то всякий изоморфизм End(M) —> End(TV)
индуцируется некоторым изоморфизмом М N. Даны применения,
в том числе к модулям Уорфилда. Интересна работа Мэя [229]. Она
содержит следующую теорему изоморфизма в слабом смысле для весьма
содержательного класса смешанных модулей, не связанных ни с тоталь-
но проективными модулями, ни с модулями Уорфилда. Пусть М — такой
модуль над полной областью, что М/М1 — смешанный модуль счетного
ранга. Тогда из End(M) = End(TV) вытекает М = N. Условия теоремы
выполняются для модуля М счетного ранга, содержащего элемент, все
координаты высотной последовательности которого конечны. Построен
изоморфизм алгебр эндоморфизмов, который не индуцируется изомор-
физмом модулей, т. е. для указанных модулей М, вообще говоря, не спра-
ведлива теорема изоморфизма в сильном смысле. В статье Файлса [109]
редуцированный модуль М называется острым, если его Н-оболочка
RM является модулем Уорфилда ранга 1. Доказывается, что все авто-
морфизмы алгебры End(Af), где М — острый модуль, внутренние.
Имеется богатая литература об изоморфизмах колец эндоморфизмов
модулей над различными кольцами (см. обзорные статьи Михалёва [238]
и Маркова—Михалёва—Скорнякова—Туганбаева [29]). Работы Вольфсо-
на [316, 317], Францена и Шульца [123] посвящены кольцам эндомор-
физмов модулей, близких к свободным. В последней анализируется си-
туация, когда изоморфизм End(Af) —> End(JV) не индуцируется никаким
полулинейным изоморфизмом М —> N, но существует полулинейный изо-
морфизм М —> N. Обсуждается связь этой ситуации с существованием
внутренних или внешних автоморфизмов кольца End(M).
Существуют исследования, касающиеся изоморфизмов групп эндомор-
физмов и полугрупп эндоморфизмов модулей (в этой связи см. обзоры,
указанные выше). Подразумеваются аддитивная группа и мультиплика-
тивная полугруппа кольца эндоморфизмов соответственно.
Пусть Si и <$2 — некоторые кольца. Аддитивный изоморфизм f: Si
—> S2 называется антиизоморфизмом, если f(xy) = f(y)f(x) для всех
х, у е Si. Антиизоморфизм кольца на себя называется антиавтоморфиз-
мом. Вольфсон [318] занимался вопросом о том, когда антиизоморфизм
колец эндоморфизмов двух локально свободных модулей индуцируется
§36. Эндоморфизмы модулей Уорфилда
335
антиполулинейным изоморфизмом этих модулей. Так, если кольца эндо-
морфизмов редуцированных модулей М и N без кручения над полной
областью антиизоморфны, то М и N — свободные конечно порожденные
модули.
Проблему изоморфизма можно исследовать для групп автоморфизмов
модулей (конечно, и для других алгебраических структур). Вопрос о том,
когда модули изоморфны, если их группы автоморфизмов изоморфны, —
фундаментальная, но исключительно трудная проблема. Положительный
ответ для векторных пространств над телами характеристики, не рав-
ной 2, получил Риккарт [260], для абелевых р-групп (р / 2)—Лептин
[209] и Либерт [219]. Корнер и Голдсмит [92] доказали, что если М
и N — редуцированные р-адические модули без кручения (р / 2) такие,
что Aut(Af) = Aut(TV), то М = N.
Другая линия изучения проблемы изоморфизма для колец эндомор-
физмов инициирована статьями Хаузен и Джонсона [162], Хаузен—
Праегера—Шульца [163] и Шульца [275]. В них выясняется, что можно
сказать об абелевых p-группах G и Н, если известно, что изоморфны
радикалы J(End(G)) и J(End(77)) (как кольца без единицы). Например,
будут ли G и Н изоморфны, и существует ли изоморфизм между G и Н,
индуцирующий данный изоморфизм радикалов? Если I — произвольный
идеал кольца эндоморфизмов некоторого модуля М, лежащий в радика-
ле J(End(M)), то 1 +1 — нормальная подгруппа группы Aut(Af) (с этой
подгруппой связана проблема 6). Шульц [276], используя это обстоятель-
ство и [163, 275], расширил теорему Лептина—Либерта [209, 219] для
р = 2.
Проблема 19. Выделить классы модулей М таких, что из J(End(Af)) =
= J(End(7V)) следует М = N (следует существование изоморфизма
М = N, индуцирующего исходный изоморфизм радикалов).
Проблема 20. Для каких модулей М и N из Aut(Af) = Aut(AT) вытекает
А/ = TV?
Особое внимание в этих двух проблемах обратить на модули без кру-
чения над полной областью и модули Уорфилда. Следующая проблема
носит более общий характер.
Проблема 21. Для различных модулей М и N изучить все изоморфизмы
между End(Af) и End(AT), J(End(M)) и J(End(AT)), Aut(M) и Aut(AT).
Проблема 22. Охарактеризовать модули М со следующим свойством.
Для любого модуля N из существования (топологического) изоморфизма
336	Глава 7. Определяемость модулей их кольцами эндоморфизмов
End(M) на End(JV) вытекает изоморфизм М и N (вытекает существова-
ние изоморфизма М на N, индуцирующего исходный изоморфизм колец
эндоморфизмов).
ГЛАВА 8
МОДУЛИ С БОЛЬШИМ числом
ЭНДОМОРФИЗМОВ ИЛИ АВТОМОРФИЗМОВ
В главе 8 рассматриваются перечисленные ниже темы:
транзитивные и вполне транзитивные модули (§37);
транзитивность над кручением и по модулю кручения (§38);
равносильность транзитивности и вполне транзитивности (§39).
Если х и у — ненулевые элементы некоторого модуля М, то, в отличие
от векторных пространств, не всегда возможно перевести х з у каким-то
эндоморфизмом или автоморфизмом модуля М. Одно из очевидных пре-
пятствий состоит в том, что высотные последовательности U(x) и С7(у)
могут быть не сравнимы или U(x~) > U(y). Даже если это препятствие
устранить, нужный эндоморфизм или автоморфизм все равно может не
найтись. В главе рассматриваются модули, обладающие в определенном
смысле достаточным запасом эндоморфизмов или автоморфизмов. Значи-
тельное внимание будет уделено смешанным вполне разложимым моду-
лям.
§ 37. Транзитивные и вполне транзитивные модули
Определим модули, указанные в названии параграфа, и приведем более
или менее элементарные факты о них. Напомним некоторые обозначения.
Пусть М — модуль и х е М. Тогда о(ж) и h(x) — порядок и высота эле-
мента х в М соответственно. Под высотой мы понимаем «обобщенную
высоту», т.е. высоту в смысле §28. Высотная последовательность U(x)
элемента х в М — это последовательность ординальных чисел и символа
оо (А(х), h(px), h(p2x),...). На множестве высотных последовательностей
можно ввести частичный порядок:
U(x) U(y) <=> Л(р^) < А(?у)
338
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
при i = 0,1,2,... Точная нижняя грань inf(t7(x),(7(y)) есть по определе-
нию последовательность (<то,<Т1,сг2,...), где Oi = min(/i(plx),/i(p'i/)).
Пусть D — максимальный делимый подмодуль модуля М, причем
D / 0. Ранее мы условились, что h(x) = оо для любого х е D и а < оо
для любого ординала а. Чтобы корректно сформулировать основные опре-
деления, а затем свести исследования к случаю редуцированных моду-
лей, введем новый символ оо+. Полагаем А(0) = оо+ и считаем оо < оо+.
Символ оо+ будет использован только для отличия высоты нулевого эле-
мента модуля М от высоты ненулевого элемента, принадлежащего D\
если М — редуцированный модуль, то нет необходимости в символе оо+.
Определение 37.1. Пусть М — модуль. Мы скажем, что
(1) М — вполне транзитивный модуль, если для любых х, у 6 М
с С7(х) < U{у) существует эндоморфизм модуля М, отображающий
х в у;
(2) М — транзитивный модуль, если для любых х, у G М с U(x) =
= U(у) существует автоморфизм модуля М, который отображает х
в у.
Требования на высотные последовательности в (1) и (2) являются необ-
ходимыми в том смысле, что для любого эндоморфизма (автоморфизма)
а модуля М справедливо U(x) < U(ax) (f7(x) = U(ax)), х 6 М.
В процессе проверки транзитивности или вполне транзитивности мы
можем считать, если это удобно, х и у ненулевыми элементами. Часто
будем сталкиваться со следующей ситуацией или близкой к ней. Пусть
М = А ф N и х, у G А. Если доказано существование эндоморфизма
(автоморфизма) а модуля А такого, что ах = у, то считаем а эндо-
морфизмом (автоморфизмом) модуля М, подразумевая, что а действует
тождественно на N. Еще заметим, что из U(x) < t7(y) всегда следует
о(х) > о(у).
Предложение 37.2. Делимый модуль транзитивен и вполне транзи-
тивен.
Доказательство. Предположим сначала, что D — делимый модуль
без кручения. Справедливо такое более сильное утверждение. Для лю-
бых ненулевых элементов х и у из D найдется автоморфизм модуля D,
отображающий х в у. Если D имеет ранг 1, то фактически D = К. Эн-
доморфизмы модуля К — это в точности умножения на элементы из К
(пример 12.3). Следовательно, ненулевые эндоморфизмы модуля К суть
§37. Транзитивные и вполне транзитивные модули
339
автоморфизмы. Теперь осталось записать равенство у = (ух~1)х. Про-
извольный делимый модуль D без кручения является К-пространством.
Поэтому Кх ф G = D = Ку ф Н с изоморфными модулями G и Н. Как
только что отмечено, существует изоморфизм /3: Кх —> Ку с 0х = у.
Пусть 7 — некоторый изоморфизм G на Н. Тогда (/?, 7) — автоморфизм
модуля D, переводящий х в у.
Пусть D — делимый примарный модуль. Уточним, что высотная после-
довательность U(ж) элемента х € D порядка рк имеет вид
(оо,..., оо, оо+,. . .),
где символ оо+ начинается с места /г + 1. Возьмем любые элементы х, у е
€ D с U(x) U(y) (U(x) = U(y) соответственно). Пусть D = R(p°°)
и ci,C2,... ,Сп,... — такая система образующих для D, как в §4. Из
U(x) < Щу) заключаем, что s < t, где ps = о(у), р1 — о(х). Следова-
тельно, х, у е Ret и х = uct, у = pkvct, где к 0 и и, v — обратимые
элементы кольца R. Умножение модуля R(p°°) на элемент pkvu~r отоб-
ражает х в у. Если U(x) = U(y), то к = 0 и имеем автоморфизм модуля
R(p°°). Если D — произвольный делимый примарный модуль, то, исполь-
зуя доказательство теоремы 6.3, можно получить разложения
Pi ф G = D = Р2 ф Н,
где х е Pi, у е Р2, Pl, Р2 — р(р°°) И G = Н. По доказанному существует
гомоморфизм Pi —> Р2, отображающий х в у, что дает эндоморфизм моду-
ля D, переводящий хву. При совпадении высотных последовательностей
получаем требуемый автоморфизм.
Предположим теперь, что D — делимый смешанный модуль и D =
= Di®Dq, где Dt примарный, Do — модуль без кручения. Пусть х, у е D
и U(x) < U(у) (Р(ж) = Р(у)). Представим х = xi + х2 и у = у^ + у2,
xi,yi е Dt, х2,у2 6 Dq. Разберем возможные случаи.
(а)	х2 = 0. Если у2 / 0, то U(y2) = (сю, 00,...) и U(xi) U(y) =
— U(y2), что невозможно. Следовательно, у2 = 0 и х, у е Dt. Существует
эндоморфизм (автоморфизм) а модуля Dt и D с ах = у.
(Ь)	х2 7^ 0. Найдется подмодуль G такой, что D = Dt ® G и х G G
(замечание после теоремы 6.1). Если у2 / 0, то аналогично имеем D =
= Dt ф Н и у G Н. Далее рассуждаем подобно (а). Равенство у2 =
= 0 возможно лишь при U(x) < U(y). Так как Rx = R, то существует
гомоморфизм у?: Rx —»• D с рх = у. Он продолжается до эндоморфизма
модуля D ввиду инъективности последнего.	□
Пусть А — некоторое прямое слагаемое модуля М и х € А. Высотные
340
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
последовательности элемента х относительно А и М равны. Поэтому,
как правило, пишем U(x) вместо <7д(ж) или С7м(х).
Лемма 37.3. Прямое слагаемое А вполне транзитивного модуля М
является вполне транзитивным модулем.
Доказательство. Обозначим через тг проекцию М —> А. Пусть х, у е
6 А и U(x) < U(у). Следовательно, ах — у для какого-то а е End(M).
Тогда (тга|д)х = у и 7га|д 6 End(A).	□
Предложение 37.4. Пусть М — некоторый модуль, D — его макси-
мальный делимый подмодуль. Модуль М транзитивен (вполне тран-
зитивен) в точности тогда, когда фактормодулъ М/D транзитивен
(вполне транзитивен).
Доказательство. Предположим, что М — транзитивный модуль.
Имеем М — А ф D для некоторого А. Так как М/D = А, то нужно
установить транзитивность А. Если х,у Е А и U(x) = U(y), то возьмем
автоморфизм а модуля М с ах = у. Представим а матрицей
3 уЛ
л от-
0 7/
носительно данного разложения модуля М (как в предложении 2.4), где
/3 (соответственно 7) — эндоморфизм модуля А (соответственно £>), у? —
гомоморфизм из А в D. Легко убедиться, что /3 — автоморфизм модуля
А и (Зх = (air)x = л(ах) = тгу = у, где тг — проекция М на А.
Обратно, пусть А — транзитивный модуль, х,у Е М и U(x) = U(y).
Имеем х = xi + х% и у = у\ + у2, xi,yi Е А, Х2,уз € D. Допустим,
что xi = 0. Тогда yi = 0. Иначе Ufa) = U(y) = U(yi) — противоречие.
Итак, х,у Е D. По предложению 37.2 имеется автоморфизм модуля М,
отображающий х ъ у. Если xi / 0, то и yi ± 0. Запишем разложения
В ® D = М = С ® D такие, что х Е В, у Е С. Из В = А = С выводим
наличие изоморфизма а: В —> С с ах = у. Считая, что а действует на D
тождественно, получаем искомый автоморфизм.
Перейдем к вполне транзитивности. Ввиду леммы 37.3, осталось уста-
новить, что вполне транзитивность модуля А влечет вполне транзитив-
ность модуля М. Это получается так же, как в ситуации с транзитивными
модулями.	□
До конца главы модуль М считаем редуцированным. Возвращаемся
к соглашению о том, что /г(0) = оо. Приведем примеры транзитивных
и вполне транзитивных модулей в каждом из трех основных классов
модулей: примарные, без кручения и смешанные.
Остановимся сначала на циклических примарных модулях. Если
х Е R(pm) и о(х) = рк, то показатель к обозначим через е(х). Имеем
§37. Транзитивные и вполне транзитивные модули
341
легкое равенство е(х) 4- h(x) — т. Предположим теперь, что А = Ra,
В = Rb, где первый модуль изоморфен R(pm), второй — R(pn). Пусть
х G А, у е В и U(x) < U(у). Убедимся в существовании гомоморфизма
р: А —> В, для которого рх = у. Имеем А(ж) < h(y) и е(у) < е(ж). За-
пишем х = psua, у = plvb, где s < t, и и v — обратимые элементы в R.
Верны равенства е(ж) 4- s — т и е(у) + t — n. Далее имеем
e(pt-su-1v6) = п — t + s = е(у) 4- t — t + s = е(у) 4- s е(ж) 4- а = т.
Итак, получили
о(р1~3и~1хЬ) С о(а).
Можно заключить, что отображение га —> rpt~su~xvb, г € R, является
гомоморфизмом А —> В, переводящим х ъ у. При U(x) = U(y) имеем
h(x) — h(y) и е(х) = е(у). Отсюда о(а) = о(Ь) и А = В. То же отображе-
ние уже будет изоморфизмом.
Предложение 37.5. Примарный модуль М без элементов бесконечной
высоты транзитивен и вполне транзитивен.
Доказательство. Пусть х,у е М и U(x) = U(y). На основании след-
ствия 7.6 считаем М прямой суммой конечного числа циклических мо-
дулей. Если х и у имеют порядок р, то можно записать
Ra ф G - М -- Rb ф Н,
где х G Ra, у е Rb (следствие 7.5). В силу рассуждений перед предло-
жением, имеется автоморфизм модуля М, отображающий х в у. Пусть
о(х) — pk, к 2. Так как U(px) = U(py), то по индукции существует
автоморфизм а с а(рх) = ру. Если ах = у1, то U(y') = U(y). Достаточно
доказать наличие автоморфизма, отображающего у' в у. Имеем у = y' + z,
где pz = 0 и h(y) < h(z). Существует разложение М = Rai ф • • • ф Ras,
причем z е Ras. Запишем у' — yi 4- ... 4- ys, yi € Rai. Нужно доказать
существование автоморфизма, отображающего у' в у' 4- z. Допустим, что
ys = 0. Выберем индекс i таким образом, что h(yi) < h(z). Для просто-
ты считаем i = 1. Пусть yi = pmuai, z = pnvas, где n m, и и v —
обратимые элементы кольца R. Имеет место разложение
Rai ф Ras = R(ai 4- pn~mu~1vas) ф Ras.
Зададим отображение а, послав ai в ai 4- pn~mu~1vas и полагая, что а
действует тождественно на слагаемых Ra?,..., Ras. Ясно, что а — авто-
морфизм модуля М и ах — у. Пусть ys / 0. Если ys 4- z = 0, то, как
и выше, можно построить автоморфизм /3, для которого /3(у' 4- z) = у'.
342
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
Требуемым автоморфизмом будет /?-1. Если ys + z / 0, то h(ys) = h{ys +
+ z). В качестве а берем отображение, действующее тождественно на
Rai,..., Ras-i и переводящее ys в ys + z.
Установим вполне транзитивность. Пусть х, у G М, U(x) < (7(у)
и М = Rai ф • • • ф Ras. Достаточно рассмотреть случай, когда у ле-
жит в одном из слагаемых Rai. Пусть, например, у G Rai. Запишем
х — xi + х', где xi G Rai, х' G Ra2 ф • • • Ф Ras. Если fi(xi) < h.(y), то
существует эндоморфизм а модуля М со свойствами axi — у и ах' = 0.
В противном случае U(x) = U(x'), U(x') < СУ (у) и U(y + x') = U(x').
Пусть 7 — такой автоморфизм модуля М, что ух — у + х'. Композиция 7
с проекцией М —> Rai дает нужный эндоморфизм.	□
Хилл [167] доказал, что тотально проективный модуль транзити-
вен и вполне транзитивен. Другие классы одновременно транзитивных
и вполне транзитивных примарных модулей обнаружил Гриффит [156].
В публикациях Меджиббена [234], Кэрролла и Голдсмита [84] скон-
струированы примарные модули, не имеющие ни одного свойства тран-
зитивности. Капланский [189] доказал, что если 2 —обратимый элемент
в R, то в примарном случае транзитивность всегда влечет вполне транзи-
тивность. Независимость двух концепций транзитивности для абелевых
2-групп установил Корнер [89]. Результаты о независимости есть еще
в статьях Меджиббена [236] и Голдсмита [148].
Для ненулевого элемента х некоторого модуля без кручения справед-
ливо равенство h(px) = А(х) + 1. Всю информацию о высотной последо-
вательности U(x) несет высота А(х). Например,
U(x) < U(y) <=> h(x) < /г(у).
Предложение 37.6. Над полной областью дискретного нормирования
R всякий модуль М без кручения транзитивен и вполне транзитивен.
Доказательство. Вполне транзитивность фактически установлена
в начале §17. Пусть х, у 6 М и /г(ж) = А(у). Если элементы х, у ли-
нейно зависимы, то М = A®G, где х и у лежат в модуле А, изоморфном
R. Существует автоморфизм модуля А, переводящий х в у (это вытекает
из рассмотрений в §17). Предположим, что х и у —линейно независимые
элементы. Тогда чистый подмодуль, порожденный х и у, равен А® В, где
А и В изоморфны R. Ввиду следствия 11.5, М = А ф В ф Н. Можно
записать
Ai ф Bi = А ф В = А2 Ф В2,
причем х € Ai, у 6 А2 (см. начало §17). Теперь без труда строится
автоморфизм, отображающий х ъ у.	□
§ 37. Транзитивные и вполне транзитивные модули
343
Транзитивный модуль М без кручения над произвольной (не обяза-
тельно полной) областью вполне транзитивен. В самом деле, если х,у е
е М и h(x) < А(у), то у — pkz, где h(z) = h(x). Пусть а — автоморфизм,
переводящий х в z. Тогда (рка)х = у. Более серьезные факты о транзи-
тивности для модулей без кручения содержат упражнения 6-8.
Перейдем к смешанным модулям. Имеется очевидное необходимое
условие транзитивности (вполне транзитивности) для смешанных мо-
дулей. Именно, периодический подмодуль £(М) транзитивного (вполне
транзитивного) смешанного модуля М должен быть транзитивным
(вполне транзитивным). Данное условие находится, конечно, далеко от
достаточного. В этом легко убедиться, если воспользоваться функтором
G из теоремы 22.2. Пусть X — модуль без кручения, не являющийся
вполне транзитивным (а такие модули изобилуют). Поскольку G(X)1 =
= X, то смешанный модуль G(A’) не может быть ни вполне транзитив-
ным, ни транзитивным. При этом t(G(M)) — прямая сумма циклических
модулей.
Пусть М — такой смешанный модуль, что t(M) не имеет элемен-
тов бесконечной высоты. Согласно следствию 7.6, для любых элементов
ai,...,an е t(M) существует разложение i(M) = А ф N, где А —пря-
мая сумма конечного числа циклических модулей и ai,...,an G А. По
теореме 7.2 модуль А является прямым слагаемым модуля М. Мы будем
неоднократно применять это наблюдение.
Теорема 37.7 (Файлс [113]). Пусть М — смешанный модуль ранга 1.
Предположим, что периодический подмодуль t(M) не имеет элемен-
тов бесконечной высоты. Тогда М — транзитивный и вполне транзи-
тивный модуль.
Доказательство. Если	= R, то М = A® t(M), где А = R.
Проверку обеих транзитивностей оставляем читателю (см. упражнение 1).
Пусть	есть К. Первой установим вполне транзитивность.
Пусть ж, у G М и U(x) < С7(у). Запишем sy = rx + с, где s, г 6 R
и с € t(M). Исходя из неравенства h(x) < h(y), можно добиться, чтобы
s = 1. Итак, имеем у — гх + с. Заметим, что U(x) [7(c). Модульное
умножение на г переводит х в гх, поэтому доказательство сводится к
случаю, когда у е i(M). Если х е t(M), то, как замечено перед теоре-
мой, х и у лежат в прямом слагаемом модуля М, равном прямой сумме
циклических примарных модулей. В таком случае применимо предложе-
ние 37.5. Предположим поэтому, что х не лежит, а у лежит в t(Af).
Имеем М = N ф А, где у 6 А и А — прямая сумма конечного числа цик-
лических примарных модулей; в частности, рпА = 0 для некоторого п.
344
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
Запишем х = xq + а относительно этого разложения. Поскольку модуль
M/t(M} делимый, то xq = рпх\ + b, xi е N, b е t(N). Утверждаем, что
U(b + а) < U(y). Так как
Ь(рг(Ь + а)) = min(/i(p’b), Л(рга)),
то достаточно проверить, что Л(ргЬ) Ь.(ргу}, если /г(рга) > h(pxy) и
ргу 0. В этом случае
min(h(pt+nxi +ргЬ),Ь,(рга)) = h(plx} < h(ply) < h(pla).
Из h{ply') < п выводим
h(pt+nxi + ргЬ) = h(plb) и Ь,(ргЬ) = h(plx) < h(ply),
как и утверждалось. Теперь запишем N = Nq ф Ао, где Aq — прямая
сумма конечного числа циклических модулей и b 6 Ао- Элемент b + а
можно отобразить в у при помощи некоторого гомоморфизма <р из Ао Ф А
в А. Продолжим <р до эндоморфизма модуля М, полагая р> нулевым на
ЛГ0- Тогда
4>х — pnp>(xi) + <p(b + а) = у,
так как рпА = 0. Следовательно, М вполне транзитивен.
Убедимся в транзитивности М. Предположим, что U(x) — U(y),
х,у е М. Тогда либо х, у е £(Л7), либо х иу имеют бесконечный порядок.
Если х,у G t(M), то опять можно воспользоваться предложением 37.5.
Пусть х, у t(M). Тогда у = гх + с, где г G Я, с е i(Af), причем,
в силу U(x) = U(y), элемент г обратим. Проведем индукцию по порядку
элемента с. При с = 0 модульное умножение на г есть автоморфизм,
отображающий х в у. Предположим, что с 0. Так как U(рх) = U(ру}
с ру = грх + рс и о(рс) < о(с), то по индукции получим автоморфизм
а с а(рх} = ру. Положим х' — ах. Рассуждения будут закончены, если
мы найдем автоморфизм модуля М, отображающий х' в у. Из рх' = ру
находим у = х' + а с ра = 0. Пусть М = N ф А, где А — прямая сумма
конечного числа циклических модулей и а е А. Запишем относительно
этого разложения х' = х± + сц и у — xi + (ai + а}. Если h(x'} = h(xi}, то
(7(xi) < U(a}, и существует р е Hom(2V, А) с <p(xi) = а, поскольку М
вполне транзитивен. В этом случае автоморфизм Q *0 модуля N ф А
отправляет х' в у. Для завершения доказательства мы можем допустить,
что h(x'} = h(ai) < h(xi). Из соотношений
h(ai) — h(x') = h(y) = min(/i(xi), h(ai + a)) < Zi(xi)
§37. Транзитивные и вполне транзитивные модули
345
вытекает h(ai + а) = A(ai). Следовательно, J7(ai) = U(ai + а). Выберем
автоморфизм 7 модуля А, отображающий ai в а\ + а. Тогда автоморфизм
(1,7) модуля М = N ф А отображает х1 в у, что и требовалось. □
Файлс [113] получил также результат, аналогичный теореме 37.7, для
смешанного модуля ранга 1 с тотально проективным периодическим под-
модулем. Теорема 37.7 нарушается уже для модулей ранга 2. Файлс [113]
сконструировал р-адический модуль М такой, что	— делимый
модуль ранга 2, t(M) не имеет элементов бесконечной высоты, однако М
не транзитивен и не вполне транзитивен. Что касается других периоди-
ческих подмодулей t(M) в теореме 37.7, а также необходимого условия,
указанного перед теоремой, добавим следующее. В той же статье [113]
построен модуль М ранга 1 такой, что t(M) имеет какое-то одно свойство
транзитивности, но сам М не транзитивен и не вполне транзитивен.
Проблематика, связанная с (вполне) транзитивностью, кажется инте-
ресной для модулей Уорфилда. Как доказал Файлс [113], модуль Уорфил-
да ранга ^2 транзитивен и вполне транзитивен. Для больших рангов это
не так. Хилл и Уллери [175] установили выполнимость для любого мо-
дуля Уорфилда некоторой слабой транзитивности. Они выделили четыре
различных класса модулей Уорфилда ранга 3, которые не транзитивны.
Упражнение!. Если Р — примарный модуль, то модуль R&P транзитивен
(вполне транзитивен) в точности тогда, когда модуль Р транзитивен (вполне
транзитивен).
Упражнение 2. Пусть М = А ф Р, где А и Р —вполне транзитивные
модуль без кручения и примарный модуль соответственно. Тогда М — вполне
транзитивный модуль.
Упражнение 3. Исследовать ситуацию с транзитивностью для модуля
АфР, где А— транзитивный модуль без кручения, Р — транзитивный при-
марный модуль.
Упражнение 4. Пусть А/ = Р ф АГ, где Р —примарный модуль без эле-
ментов бесконечной высоты, N — некоторый транзитивный (вполне транзи-
тивный) модуль. Выяснить, будет ли модуль М транзитивным (вполне тран-
зитивным)?
Упражнение 5 (Файлс [113]). Модуль Уорфилда ранга 1 транзитивен
и вполне транзитивен.
Упражнение 6. Пусть М — вполне транзитивный модуль без кручения
и Т — центр кольца End(Af). Тогда Т — область дискретного нормирования
и всякий Т-подмодуль в М конечного или счетного ранга свободен.
Упражнение 7. Следующие свойства модуля без кручения М конечного
ранга эквивалентны:
(1) М — транзитивный;
346
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
(2) М — вполне транзитивный;
(3) центр Т кольца End(A/) есть область дискретного нормирования,
Endfl(T) = ЕпЗт(Т’) и М — свободный Т-модуль.
Упражнение 8. Пусть М и N — вполне транзитивные модули без круче-
ния. Тогда всякий топологический изоморфизм End(M) —» End(TV) индуци-
руется некоторым изоморфизмом М —» N.
§ 38. Транзитивность над кручением и по модулю кручения
В оставшихся параграфах исследования направлены, в основном, на сме-
шанные модули. В данном параграфе мы введем два ослабленных по-
нятия транзитивности, специально приспособленные для использования
в смешанных модулях. Часть результатов, которые мы представим, носит
общий характер, другие касаются класса вполне разложимых модулей,
изучаемого нами достаточно глубоко.
Определение 38.1. Пусть М — модуль. Мы скажем, что
(1) М транзитивен над кручением, если для любых х е М и у е t(M)
с U(x) = U(у) существует автоморфизм модуля М, отображающий
х в у;
(2) М транзитивен по модулю кручения, если для любых х,у € М
с U(х) = U(y) найдется автоморфизм а такой, что ах - у е i(Af).
Аналогично определяются модули, вполне транзитивные над кручени-
ем и по модулю кручения. В (1) и (2) вместо U(x) = U(y) нужно написать
U(x) < U(y), а вместо «автоморфизм» — «эндоморфизм».
Сразу отметим, что М является транзитивным (вполне транзитивным)
по модулю кручения в точности тогда, когда pfc(aar) = pky для некоторого
автоморфизма (эндоморфизма) а модуля М и некоторого к 0 всякий
раз, когда J7(z) = U(y) (U(x) < U(y)).
Следующий простой факт доказывается точно так же, как лемма 37.3.
Лемма 38.2. Если М — вполне транзитивный модуль над кручением
(по модулю кручения), то любое прямое слагаемое модуля М является
вполне транзитивным над кручением (по модулю кручения).
Предложение 38.3. Модуль М вполне транзитивен в точности то-
гда, когда он вполне транзитивен над кручением и вполне транзити-
вен по модулю кручения.
§38. Транзитивность над кручением и по модулю кручения
347
Доказательство. Допустим, что модуль М вполне транзитивен над
кручением и по модулю кручения. Если х, у 6 М и U(x) < U(y), то
существуют эндоморфизм а модуля М и элемент с € £(М) такие, что
ах = у + с (в силу вполне транзитивности по модулю кручения). Сле-
довательно, U(x) < U(ax — у) = U(с). Используя факт вполне транзи-
тивности над кручением, мы можем найти эндоморфизм 13 со свойством
(Зх = с. Тогда (а — (3)х = у. Обратная импликация тривиальна. □
Аналог предложения 38.3 для транзитивности не верен (см. упражне-
ние 2). Мы располагаем лишь таким результатом.
Лемма 38.4. Модуль М транзитивен в точности тогда, когда он
транзитивен по модулю кручения и выполняется следующее условие:
всякий раз, когда элементы х 6 М и у е М[р] удовлетворяют равен-
ству h(x) = h(x + у), существует автоморфизм модуля М, отобра-
жающий х в х + у.
Доказательство. Предположим, что М транзитивен по модулю кру-
чения и удовлетворяет указанному условию. Пусть z и у — элементы из
М с одной и той же высотной последовательностью. Тогда у — az + с
для некоторого автоморфизма а и элемента с конечного порядка. Обо-
значим х = az. Достаточно доказать, что х можно отобразить на х + с
некоторым автоморфизмом. При с = 0 в качестве такого автоморфизма
берем тождественное отображение. Применив индукцию по порядку эле-
мента с, будем иметь в(рх) = р(х + с), где (3 — некоторый автоморфизм.
Заметим, что
U (J3x) = U(x) — U(x + с) = U ((Зх + (х + с — (Зх))
и р(х + с — /Зх) = 0. По условию существует автоморфизм 7, переводящий
(Зх в (Зх + (х + с - (Зх) = х + с. Тогда ((З'у)х = х + с, как и должно быть.
Обратное утверждение очевидно.	□
Перейдем к главному результату параграфа.
Теорема 38.5 (Файлс [114]). Вполне разложимый модуль вполне тран-
зитивен по модулю кручения, если и только если он транзитивен по
модулю кручения.
Доказательство. Сначала предположим, что вполне разложимый
модуль М не является вполне транзитивным по модулю кручения. Это
означает, что существуют элементы х, у € М, удовлетворяющие U(x) <
С U(у), такие, что для всех т нельзя отобразить ртх на рту никаким
348
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
автоморфизмом модуля М. Можно, понятно, считать, что есть разложе-
ние М = М\ ф М2, где Mi имеет ранг 1 и у 6 Mi. Очевидно, что у
имеет бесконечный порядок. Пусть х = xi + Х2, xi Е Mi, Х2 € М2.
Предположим, что координаты последовательностей U(x) и U(xi) совпа-
дают на бесконечном числе мест, т. е. h(pkx) = h(jpkxi) для бесконечного
множества чисел к. Из U(x) U(y) выводим h(jpkxi) < h(pky) для бес-
конечного множества чисел к. Нетрудно найти, что ирту = vpnxi для
некоторых обратимых элементов u,v G R и целых неотрицательных чи-
сел т, п с т п. Композиция проекции М на Mi с умножением Mi
на элемент	переводит ртх в рту. Это противоречие доказы-
вает, что, заменив х и у на ркх и рку для достаточно большого к, мы
можем предположить, что h(j?xi) > h(plx) для всех i 0. Но тогда
U(x) = U(x — xi), и поэтому
J7(x) < U(x + у) = inf(U(xi + у), U(x — xi)) U(x — xi) = U(x).
Получается, что х и х + у имеют одинаковые высотные последователь-
ности. Никакой автоморфизм а не может отобразить ртх в рт(х + у),
поскольку мы имели бы (а —1)(ртх) =рту, что невозможно. Заключаем,
что М не является транзитивным по модулю кручения.
Предположим теперь, что М вполне транзитивен по модулю кручения.
Можно считать, что М = Mi ф •  • ф Мп, где все Mi имеют ранг 1.
Возьмем элементы х и у бесконечного порядка с равными высотными
последовательностями и запишем
X = XI + ... + хп, y-yi + ... + Уп, Xi,yi Е М, i = l,...,n.
Мы должны найти автоморфизм модуля М, посылающий ртх в рту для
некоторого т 0. Ясно, что для любых автоморфизмов а, /3 и числа
к 0 можно заменить х и у на а(ркх) и /3(pfcy) соответственно. Такую
процедуру будем повторять до тех пор, пока не станет очевидно, что х
возможно перевести в у некоторым автоморфизмом модуля М.
Сначала допустим существование такого т, что h{pkxi) > h(jpkx) для
всех к т. Тогда /i(pfcx) = h(pk(x — xi)) для всех таких к. Увеличивая
т, если нужно, можно предположить, что ip(pm(x — xj) = pmxi для
какого-то <р: М2 ф • • • ф Мп —> Mi. Относительно разложения
М = Mi ф (Л/2 ф • • • ф Мп)
матрица
( 1
1/
§38. Транзитивность над кручением и по модулю кручения
349
представляет автоморфизм а модуля М, отображающий ртх в
рт(х — аа) е М2 ф • • • ф Мп. Следовательно, заменив х на а(ртх) и у
на рту, мы получим право считать, что если xi / 0, то координаты
в U(x) и U(xi) совпадают на бесконечном числе мест. Мы будем повто-
рять этот процесс для каждой из оставшихся компонент Х2,...,хп (что
важно, при этом ничего не нарушается в нашей предыдущей работе),
а затем проделаем то же самое с каждой из компонент yi,..., уп эле-
мента у. В итоге получим ситуацию, когда для каждого i координаты
в последовательностях U(x) и U(xi)(U(y) и U(yi) соответственно) сов-
падают на бесконечном числе мест, если Xj / 0 (yi / 0 соответственно).
Мы утверждаем, что, оставаясь в этой ситуации, можно еще сделать так,
что Xi — 0 <=> yi = 0, 1 < i < п. Предположим, например, что yi / 0, но
xi = 0. Тогда yi имеет бесконечный порядок. Пусть тт; обозначает про-
екцию М на Mi. Так как U(x) = U(y) < U(yi) и М вполне транзитивен
по модулю кручения, можно предположить, что yi = рх для некоторого
р G End(Af). Имеем равенство
У1 = (¥?7Г1)а;2 + . . . + (<^7Г1)хп.
Поскольку Mi имеет ранг 1, координаты последовательностей ?7(yi)
и U(у) совпадают на бесконечном числе мест и
U(y) — U(x~) U((ipiri)xi), 2 < i п,
то U(yi) совпадает, по крайней мере, с одной последовательностью
U((p7Ti)xj), j 1, начиная с некоторого места. Относительно разло-
жения
М = Ml ф Mj; ф I ф Mi I
/
матрица
/ 1	0	0\
I у>7Г1 1 0 I
\ °	0	1/
представляет автоморфизм /3, отображающий х в ((<^7Г1)ж^,Г2,... ,жп).
Заметим, что элемент х{ — (piri)Xj имеет бесконечный порядок и что ко-
ординаты последовательностей U^x^) и U(x) совпадают на бесконечном
числе мест. Таким образом, заменив х на /Зх, мы можем предположить,
что xi 0, как только yi / 0. Продолжая подобную замену относительно
каждой оставшейся ненулевой компоненты элемента у, а затем относи-
тельно каждой ненулевой компоненты элемента х, мы придем к ситуации,
описанной выше. Теперь довольно легко найти число т и автоморфизм 7
350
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
с	= рту. Заметим прежде, что если xi 0, то	< h(pkyi)
для бесконечного множества чисел к (поскольку U(x) = U(у) U(yi)
и координаты в и(хф и U(x) совпадают на бесконечном числе мест).
Аналогично, Ь.(ркуф < h(pkXi) для бесконечного множества чисел к. По-
скольку Mi имеет ранг 1 и Xi,yi — элементы бесконечного порядка, то из
несложных аргументов следует, что pmiyi = pmiUiXi для некоторых чисел
т, 0 и обратимых элементов щ G R. Для каждого j пусть 7 действует
на Mj как умножение на Uj, если xj 7^ 0, и как тождественное отображе-
ние, если Xj (эквивалентно yj) есть ноль. Пусть т — максимальное среди
чисел mj, для которых Xj / 0. Тогда 'у(ртх) = рту, и доказательство
закончено.	□
Весьма полезны, особенно в вопросах, касающихся вполне транзи-
тивности прямых сумм, следующие вариации понятия вполне транзи-
тивности. Пусть М и N — модули. Упорядоченная пара (M,N) называ-
ется вполне транзитивной, если для любых х G М и у е N таких,
что U(x) < U(у), существует гомоморфизм р: М —> N со свойством
рх = у. Пара (М, N) называется вполне транзитивной над кручением,
если указанный гомоморфизм найдется для любых элементов х е М и
у е £(ЛТ) с U(x) U(y). В предыдущем параграфе фактически доказа-
на вполне транзитивность любой пары циклических примарных модулей
(см. также упражнение 1).
Предложение 38.6.	(1) Пара (М, N) вполне транзитивна над кру-
чением в точности тогда, когда она вполне транзитивна над
^[р] (что это значит, поясняется в доказательстве).
(2) Прямая сумма М = ф Mi вполне транзитивна над кручением
iei
в точности тогда, когда пара (Mi,Mj) вполне транзитивна над
кручением для любых i, j е I.
Доказательство. (1) Предположим, что пара (М,N) вполне транзи-
тивна над ЛГ[р], т. е. для любых х G М и у € N\p] имеем рх = у для
некоторого гомоморфизма р: М —> N, как только U(x) < U(y). Пусть
теперь U(x) < U(y), где х 6 М и у е t(N). Применяя индукцию по
порядку элемента у, мы можем считать, что р(рх) — ру для некоторого
р: М —> N. Тогда у' = у — рх 6 N\p] и U(x) < U(y'). Следовательно,
фх — у', где ф: М —> N. Тогда (р + ф)х = у.
(2) Пусть х G М, у е Af[p] и U(x) < U(y). Достаточно рассмот-
реть случай, когда М — Mi ф • • • ф Мп. Запишем х = xi + ... + хп и
у — yi +    + уп, Xi,yi G Mi. Имеем h(x) = h(xk) для некоторого к и,
§38. Транзитивность над кручением и по модулю кручения
351
следовательно, U(xk) U(y) U(yi), 1 < i < п, так какру = 0. По пред-
положению <pi(xfc) = yi для каких-то гомоморфизмов <р,: Mk —> Mi. Тогда
(’’fcCv’i + •   + (Рп))х = у, где 7Tfc — проекция М на Mk. В силу (1), модуль
М вполне транзитивен над кручением. Доказательство обратного утвер-
ждения подобно доказательству леммы 37.3; см. также лемму 38.2.	□
Следствие 38.7. Если М вполне транзитивен над кручением, то мо-
дуль ф М вполне транзитивен над кручением для любого кардиналь-
S
ного числа s.
Следствие 38.8 (Файлс [114]). Вполне разложимый модуль вполне
транзитивен над кручением, если его периодический подмодуль не
имеет элементов бесконечной высоты или он является модулем Уор-
филда.
Доказательство. С учетом предложения 38.6 достаточно доказать,
что пара (M,N) вполне транзитивна над ЛГ[р] в предположении, что
М имеет ранг 1 и либо t(M) и £(7V) не имеют элементов бесконечной
высоты, либо М есть модуль Уорфилда. Предположим, что х € М, у е
€ ЛГ[р] и U(x) < U(y). Разберем первую возможность. Допустим сначала,
что модуль М расщепляется, М — Ra ф t(Af). Запишем х = xi + Х2
относительно данного разложения. Используя проекцию М на Ra или на
£(Л7), можно предположить, что х е Ra или х G t(M). В первом случае
легко строится гомоморфизм <р: Ra —> Ry с ipx = у. Если х е t(M), то
все получается из предложения 37.5. У нерасщепляющегося модуля М
фактормодуль M/t(M) делимый (он изоморфен К). Пусть п обозначает
высоту элемента у. Запишем х = рп+1а + с для а е М, с € t(M). Вложим
элемент с в конечно порожденное прямое слагаемое Р модуля М. Тогда
[7(c) < U(у), так как с и х имеют одинаковую высоту. Следовательно,
у = <рс для некоторого ср: Р —» Rz, где pnz = у. Композиция проекции
М на Р с ip отправляет х в у.
Что касается второй возможности, то справедлив более общий ре-
зультат. Именно, пара (M,N) является вполне транзитивной. Согласно
следствию 32.8 (b), Rx — хороший подмодуль в М и М/Rx — тотально
проективный модуль. Следовательно, не понижающие высот отображе-
ния Rx —> N продолжаются до гомоморфизмов из М в N (в силу того
же следствия).	□
Последнее следствие не верно для произвольных вполне разложимых
модулей. Для примарного модуля Р транзитивность (вполне транзитив-
ность) над кручением модуля R® Р равносильна его обычной транзи-
тивности (вполне транзитивности). Это приводит к несложным примерам
352
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
вполне разложимых модулей, которые транзитивны, но не вполне тран-
зитивны, и наоборот, для подходящих модулей Р (см., например, упраж-
нение 1 из §37).
Упражнение 1. Проверить, что (М, 2V) и (ДР) —вполне транзитивные
пары, где М, N и Р — примарные модули, причем М и N не имеют элементов
бесконечной высоты, А — модуль без кручения.
Упражнение 2 (Файлс [113, 114]). Существует смешанный модуль ранга 1,
транзитивный над кручением и по модулю кручения, но не транзитивный.
Упражнение 3. Следующие свойства чистого подмодуля М R-модуля R
эквивалентны:
(1)	М — транзитивный;
(2)	М — вполне транзитивный;
(3)	существует чистая Я-подалгебра Т в R такая, что М = Т как Я-модули
и Т — область дискретного нормирования.
Модуль М называется квазичиспго инъективным, если любой гомо-
морфизм А М, где А —чистый подмодуль модуля М, продолжается
до эндоморфизма модуля М.
Упражнение 4 (Добрусин [7]). Редуцированный модуль М является ква-
зичисто инъективным в точности тогда, когда он либо чисто инъективен,
либо М = А ф ф S, где А — чистый вполне инвариантный подмодуль урегу-
п
лированного чисто инъективного модуля, S — чистая /?-подалгебра в R и S —
область дискретного нормирования.
Упражнение 5. Выяснить, будет ли квазичисто инъективный модуль тран-
зитивным или вполне транзитивным.
§ 39.	Равносильность транзитивности и вполне транзитивности
Мы возвращаемся к исходным понятиям транзитивности и используем
нашу предыдущую работу для доказательства результатов о зависимо-
сти двух свойств транзитивности для некоторых содержательных классов
смешанных модулей (теорема 38.5 также относится к этой проблемати-
ке). Уделим, в частности, внимание вопросу о транзитивности и вполне
транзитивности прямых сумм копий одного модуля.
Теорема 39.1 (Файлс [114]). Пусть М —вполне разложимый модуль.
Если периодический подмодуль t(M) не имеет элементов бесконечной
высоты или М есть модуль Уорфилда, то эквивалентны следующие
условия-.
(1)	М — вполне транзитивный-,
§39. Равносильность транзитивности и вполне транзитивности
353
(2)	М — транзитивный;
(3)	М — вполне транзитивный по модулю кручения;
(4)	М — транзитивный по модулю кручения.
Доказательство. Разумеется, что (1) => (3) и (2) => (4), а (3)
эквивалентно (4) по теореме 38.5. Кроме того, принимая во внимание
следствие 38.8, из предложения 38.3 получаем (3) ==> (1). Осталось
проверить, что (4) ==> (2). Воспользуемся леммой 38.4. До конца до-
казательства пусть х е М, у 6 М\р] и hfa = h(x + у). Нужно найти
автоморфизм модуля М, отображающий х в х + у.
Пусть в t(M) нет элементов бесконечной высоты. Элемент у можно
вложить в конечно порожденное прямое слагаемое С модуля М, скажем,
М = N ф С. Запишем х — z + с в данном разложении. Если hfa <
< /г(с), то Ufa Ufa и потому у = <pz для некоторого р: N —► С по
следствию 38.8. Автоморфизм
Л уЛ
\° 1 /
посылает х в х + у. Следовательно, мы можем допустить h(z) > h(c) =
= hfa, так что U(c + y) = [7(c). Существует автоморфизм 7 модуля
С, переводящий с в с + у (предложение 37.5). Тогда автоморфизм (1,7)
модуля М отображает х в х + у, что и требовалось.
Предположим, что М — модуль Уорфилда. Так как М вполне разло-
жимый, существует разложение М = А® М' (здесь М' вполне разложи-
мый, А — модуль ранга 1), относительно которого х = xi + Х2, у — yi +У2
и hfa = h(xi). Заметим, что C7(rri) < Ufa). Как вытекает из дока-
зательства следствия 38.8, пара (А, М') вполне транзитивна. Поэтому
имеем У2 = <pfa) для некоторого </?: А —> М'. Заменив х на его образ
.	/1 иД
zi + %2 + У2 при автоморфизме I I, мы сведем исходную задачу к
ситуации, когда у2 = 0. Если теперь в этой ситуации hfa) — hfa + yi),
то xi + yi = 7(27) для некоторого 7 € Aut(A) (А транзитивен в силу
упражнения 5 из §37). Тогда автоморфизм (7,1) отображает х в х + yi.
Следовательно, мы можем предположить, что hfa +yi) > hfa) = hfa.
Тогда также hfa = hfa), поскольку h(x + yi) = hfa. Теперь можно
выбрать слагаемое А' ранга 1 модуля М' такое, что относительно нового
разложения М — А' ф М" элемент yi лежит в М" и компонента элемен-
та х в А' имеет высотную последовательность <£7(yi). Затем мы можем
действовать, как в начале абзаца, чтобы получить автоморфизм модуля
А' ф М", переводящий х в х + yi.	□
12—4473
354
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
Перейдем к прямым суммам вполне транзитивных модулей. С ними
мы уже сталкивались в предложении 38.6 и следствии 38.7.
Предложение 39.2 (Файлс [114]). Пусть М — вполне разложимый мо-
дуль. Если М вполне транзитивен по модулю кручения, то таким же
является модуль ф М для любого кардинального числа s.
3
Доказательство. Достаточно рассмотреть ситуацию с модулем М
конечного ранга. Результат будет получен, если мы докажем вполне тран-
зитивность модуля Mi ® М2, где Mi и М2 — копии вполне разложимого
модуля конечного ранга, который вполне транзитивен по модулю кру-
чения (нужно вспомнить лемму 38.2). Пусть т: М2 —> Mi обозначает
тождественное отображение. Предположим, что элементы х, z 6 Mi и
у 6 М2 удовлетворяют U(x + у) < Utz'). Выберем некоторое разложение
Mi = М2 = Ai ф • • • ф Ап, где все слагаемые имеют ранг 1. Запишем
относительно этого разложения х = xi + ... + хп и у = yi + ... + уп.
Заменяя элементы х, у и z на элементы ртх, рту и pmz для достаточ-
но большого т, мы получим разбиение {1,... , n} = IU J со свойством
h(pkXi) > h(pkyi) для всех k 0, если г е I, и U(xi) < U(yi) при г 6 J.
Пусть тг — проекция М2 —> ф Ai С М2. Ввиду свойств данного разбие-
гб/
ния, имеем
U(x + (тгт)у) = inf(U(x),U(yy) = U(x + у).
Поскольку Mi вполне транзитивен по модулю кручения, существуют
<р € End (Mi) и m > 0 такие, что <р(рт(х + (тгт)у)) = pmz. Эндоморфизм
/ <р 0\
\кт<р 0)
модуля Mi®М2 отображаетрт(х + у) в pmz. Перейдем теперь к общему
случаю, когда z = zi + Z2 G М, Zi G Mi, i = 1,2, и U(x + y) U(z). Так
как U(z) < U(zi),U(z2), то по доказанному существуют ai,a2 G End(M)
и m > 0 c ai(pm(x + y)) — pmZi, i = 1,2. Тогда
(«1 + a2)(pm(z + y)) = Pmz.
□
Из утверждений 38.3, 38.7 и 39.2 получаем такой результат.
Следствие 39.3. Если М — вполне разложимый вполне транзитивный
модуль, то модуль ф М вполне транзитивен при любом кардинале s.
§39. Равносильность транзитивности и вполне транзитивности
355
Существует любопытная связь между свойствами вполне транзитивно-
сти некоторого модуля М и транзитивности суммы ф М, s 2, в частно-
S
сти, модуля М ф М, который мы будем называть квадратом модуля М.
Другие соотношения между этими двумя объектами отражают упражне-
ние 7 из §14 и проблема 4 (Ь).
Лемма 39.4. Пусть М — произвольный модуль. Если ф М, s > 2, —
S
транзитивный модуль, то М — вполне транзитивный модуль.
Доказательство. Пусть х,у е М с U(x) Ufa. Элементы
(хс,О,О,...) и (у,ж,0,...)
модуля фМ имеют одинаковые высотные последовательности. Так как
S
этот модуль транзитивен, то найдется автоморфизм а, отправляющий
(ж, 0,0,...) в (у, х, 0,...). Композиция вложения М в первое слагаемое М
модуля фЛ7, автоморфизма а и проекции обратно на М дает искомый
S
эндоморфизм модуля М, переводящий х в у.	□
Получается, что транзитивность квадрата модуля влечет вполне тран-
зитивность этого модуля. Для вполне разложимого модуля справедливо
обратное.
Теорема 39.5 (Файлс [114]). Вполне разложимый модуль вполне тран-
зитивен в точности тогда, когда его квадрат транзитивен.
Доказательство. В силу леммы 39.4, мы должны только проверить
транзитивность модуля Mi ф М2 при условии, что Mi и М2 — копии
некоторого вполне транзитивного вполне разложимого модуля. Пусть
г: Mi —> М2 обозначает тождественное отображение. Заметим, что
Mi ф М2 вполне транзитивен по следствию 39.3 и, таким образом, тран-
зитивен по модулю кручения (теорема 38.5). Убедимся, что прямая сумма
удовлетворяет условию из леммы 38.4. Предположим, что х,у е Mi®М2,
h(x) = h(x + y) и ру = 0. Запишем в имеющемся разложении х = xi + Х2
и у = yi -Ь У2- Мы можем считать, что h(x) = hfa) и, следователь-
но, У2 = ¥>(xi) для некоторого <р: Mi —> М2, поскольку прямая сумма
вполне транзитивна и Ufa) < Ufa). Заменим х на его образ Х1+Х2 + У2
. Это дает право допустить, что у = yi G Mi
в исходной задаче. Если hfa) hfa), то yi = ifrfa), где V’-’ Мг —► Mi,
,	(1 <р
при автоморфизме I *
12*
356
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
. I 1
и автоморфизм I
отображает х в х+у\- В противном случае имеем
/1(2:2) > h(x) = /1(2:1).
Можно убедиться, что
(7(2:1 +У1) U(ryi),
поскольку h(x\ + yi) = h(xi) = h(x) < /i(yi), и
U(rxi +2:2) < (7(ш)
ввиду h(rxi +2:2) - /1(2:1) = /1(2:)	/г(у1). По предположению найдутся
гомоморфизмы tp: Mi М2 и i[>: М2 —> Mi с <p(xi + yi) = r(yi) и
•ф(тх1 +Х2} = yi. Проверка подтверждает, что композиция
/1 А /1 р \ /1 -А
\0 1)	\0 1 J
автоморфизмов модуля Mi®М2 переводит х в x+yi. А это устанавливает
условие из леммы 38.4.	□
Файлс [114] отмечает, что теорема 39.1 верна для любого модуля Уо-
рфилда. В этом направлении Хеннеке и Струнгманн [164] доказали, что
если 2 является обратимым элементом в R и М — транзитивный модуль,
то М будет вполне транзитивным, если М — вполне разложимый или
максимальный делимый подмодуль модуля M/t(M) имеет ранг самое
большее 1. Теорема, подобная теореме 39.5, впервые была получена для
примарных модулей Файлсом и Голдсмитом [116]. Весьма общие резуль-
таты на эту тему содержатся в [164]. Пусть М — либо вполне разложи-
мый модуль, либо модуль Уорфилда, либо такой модуль, что максималь-
ный делимый подмодуль модуля M/t(M) имеет ранг самое большее 1.
Тогда эквивалентны следующие утверждения:
(1)	М — вполне транзитивный;
(2)	фЛГ — вполне транзитивный для некоторого кардинала s > 1;
S
(3)	ф М — вполне транзитивный для всех кардиналов s > 1;
S
(4)	ф М — транзитивный для некоторого s > 1;
S
(5)	ф М — транзитивный для всех s > 1.
S
§39. Равносильность транзитивности и вполне транзитивности
357
Под действие этой теоремы попадают примарные модули и модули без
кручения. Неизвестно, все ли модули М подчиняются закону совпаде-
ния вполне транзитивности М и транзитивности М ф М и обладает ли
квадрат М ф М одновременно обоими свойствами транзитивности.
Более общей задачей является нахождение условий транзитивности
для прямых сумм и произведений модулей. В соответствующих иссле-
дованиях интенсивно используется понятие вполне транзитивной пары.
В более общей форме «вполне транзитивной системы модулей» оно воз-
никло в статьях Гриншпона и Мисякова (см. [4, 6]), позднее и независимо
у Файлса и Голдсмита [116]. Для ознакомления с этой тематикой и дру-
гими аспектами теории вполне транзитивных абелевых групп и модулей
можно обратиться к работам Гриншпона и Мисякова [2, 3, 4, 5, 6, 30].
Обзор с доказательствами многих результатов из этих работ дан в [158].
Упражнение 1 (Файлс [114]). Показать, что теорема 39.1 справедлива для
всего класса модулей Уорфилда.
Упражнение 2. Следующие свойства вполне разложимого модуля М эк-
вивалентны:
(1) М транзитивен по модулю кручения;
(2) ф М транзитивен по модулю кручения для любого (равносильно некото-
рого) кардинала s.
Упражнение 3.
(а)	Пусть М = А® В и <р: А —> В, ф: В А — гомоморфизмы. Убедиться,
(1 \ А
что матрица I	является обратимой.
(b)	Если М = АфАиа,0е End(A), то матрица К /3 ) °бРатима-
Упражнение 4 (см. [116, 4, 6, 30], предложение 38.6 (2)). Для множества
примарных модулей {AJigi следующие утверждения эквивалентны:
(1)	ф Ai — вполне транзитивный модуль;
iei
(2)	ПА- вполне транзитивный модуль;
iei
(3)	пара (Ai, Aj) является вполне транзитивной при всех i,j е I.
Упражнение 5 ([114, 4, 158]). Пусть дано множество модулей без круче-
ния {Ai}iG/, |Z|	2. Следующие утверждения эквивалентны:
(1)	ф Ai — транзитивный (вполне транзитивный) модуль;
iei
(2)	ПА- транзитивный (вполне транзитивный) модуль;
iei
358
Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
(3)	пара (Ai,Aj) является вполне транзитивной для любых i,j е I.
Упражнение 6. Пусть М — транзитивный модуль без кручения. Любой
элемент произведения М можно вложить в прямое слагаемое, изоморфное
8
М, причем дополнительное слагаемое есть транзитивный модуль.
Замечания. Векторное пространство над телом можно назвать «п-тран-
зитивным» для любого п в хорошо известном смысле. Понятия тран-
зитивного и вполне транзитивного модуля были введены Капланским.
Инициирующее исследование Капланского в книге [189] и последую-
щие статьи, относящиеся к транзитивности, фокусировались на абеле-
вых р-группах (соответствующая литература отражена в §37). Затем
в работах преподавателей и аспирантов кафедры алгебры Томского го-
сударственного университета (Россия) систематическому изучению были
подвергнуты транзитивные и вполне транзитивные абелевы группы без
кручения (см. [43, 44, 45, 46, 7, 3, 4, 158, 11, 12, 17, 18]). Основные ре-
зультаты из [43, 44, 45, 46] изложены также в [85]. Смешанным вполне
транзитивным группам посвящены статьи, цитированные перед упраж-
нениями в §39.
Изучение свойств транзитивности иногда позволяет лучше понять
строение конкретных модулей. В любом случае оно касается одной общей
темы: связей между эндоморфизмами и автоморфизмами алгебраических
структур. К этой же теме можно отнести исследование характеристиче-
ских и вполне инвариантных подмодулей. Еще Капланский [189] пред-
ложил описание вполне инвариантных подмодулей примарных вполне
транзитивных модулей. В статьях [115, 207] охарактеризованы вполне
инвариантные подмодули модулей Уорфилда и сбалансированно проек-
тивных модулей. Изучение вполне инвариантных подгрупп и их решеток
осуществлено в [2, 3, 4, 5] (см. еще [158]). К указанной общей теме при-
мыкает и задача об аддитивной порождаемости кольца эндоморфизмов
группой автоморфизмов, которая обсуждалась в замечаниях к главе 3.
Проблема 23. Для каких классов модулей эквивалентны утверждения
(1)-(3) из упражнений 4 и 5 в §39?
Проблема 24. Для каких классов модулей справедлива теорема Хен-
неке и Струнгманна, сформулированная после доказательства теоремы
39.5? В частности, какова зависимость между следующими свойствами
произвольного модуля М:
(1)	М — вполне транзитивный модуль;
(2)	М ф М — вполне транзитивный модуль;
§39. Равносильность транзитивности и вполне транзитивности
359
(3)	М ф М — транзитивный модуль?
Проблема 25. Для каких модулей свойства транзитивности и вполне
транзитивности эквивалентны?
Проблема 26. Описать транзитивные модули ранга 1, модули Уорфилда.
Проблема 27. Исследовать характеристические подмодули и их решетки
в различных классах модулей.
Модуль М над кольцом S называется мультипликационным, если
любой его подмодуль равен IM, где I — некоторый идеал кольца S.
Проблема 28. Изучить модули, являющиеся мультипликационными над
своими кольцами эндоморфизмов или центрами колец эндоморфизмов.
Свойство модулей, сформулированное в упражнении 7 параграфа 4
и упражнении 4 параграфа 6, можно обобщить следующим образом.
Пусть S и R — произвольные кольца, е: S R — центральный гомо-
морфизм колец (т.е.образ е лежит в центре кольца R). Левый Я-модуль
А рассматриваем как левый S'-модуль, полагая sa = e(s)a, s е S, а е А,
и как правый S-модуль, считая, что as = sa. Я-модуль А называется
модулем с однозначным модульным умножением (относительно е) или
<7М(е)-модулем, если на группе А нельзя задать другого такого модуль-
ного умножения о, что sa = so а для всех s е S, а е А (ср. с определе-
нием СМ-модуля перед проблемой 10). Всегда существует гомоморфизм
е: Z —► Я, е(А:) = к • 1, к е Z. UM(e)-модуль относительно этого е имеет
единственную Я-модульную структуру.
Проблема 29. Для данного центрального гомоморфизма е: S —► Я опи-
сать все С7М(е)-модули.
Проблема 30. Пусть Ai,..., Ап — 17Л/(е)-модули. При каких услови-
ях Ai ф • • • ф Ап — 17М(е)-модуль? В частности, выяснить это, когда
Ai=... =Ап.
Необходимым условием является отсутствие таких ненулевых диф-
ференцирований 6: Я —> Homs(Ai,Aj), 1 г, j п, что £(e(S))=0.
Дифференцирование 6 — это такой аддитивный гомоморфизм, что
8(ху) = х8(у) + 8(х)у при любых х,у G Я ( Hom§(Ai,Aj) является
Я-Я-бимодулем). Проблему можно оформить в терминах определенных
гомоморфизмов из Я в кольцо матриц со значениями в Homs(Ai, Aj).
Пусть снова е: S —► Я — центральный гомоморфизм. Я-модуль А на-
зывается Т(е)-модулем, если каноническое отображение
Я	А —> Я	А, х ®s а —> х <3>r а
360 Глава 8. Модули с большим числом эндоморфизмов или автоморфизмов
является изоморфизмом, и — Е(е)-модулем, если
Ношд(Л, А) = Homs(7?, А).
Применяя эти определения к 7?-модулю R, приходим к Т-кольца и
Е-кольца (см. упражнения 4,5,6,8 параграфа 4 и сам параграф 4). Для
S = Z Е-модули и .Е-кольца изучаются в [196, §6]. Существуют разнооб-
разные связи между введенными тремя классами модулей. Так, Т(е)-мо-
дули и Е(е)-модули являются С7М(е)-модулями. Всякий 7?-модуль будет
17Л/(е)-модулем в точности тогда, когда R — Т(е)-кольцо.
Проблема 31. Исследовать свойства Т(е)-модулей, Е(е)-модулей и
ЕМ(е)-модулей и соотношения между ними.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1]	Р. Бэр, Линейная алгебра и проективная геометрия, ИЛ, Москва (1955).
[2]	С. Я. Гриншпон, Вполне характеристические подгруппы сепарабельных абеле-
вых групп, Фундам. прикл. мат., 4, No. 4, 1281-1307 (1998).
[3]	С. Я. Гриншпон, Вполне характеристические подгруппы абелевых групп без
кручения и их решетки, Фундам. прикл. мат., 6, No. 3, 747-759 (2000).
[4]	С. Я. Гриншпон, Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и
вполне транзитивность, Докторская диссертация, Томск (2000).
[5]	С. Я. Гриншпон, Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и
вполне транзитивность, Фундам. прикл. мат., 8, No. 2, 407-473 (2002).
[6]	С. Я. Гриншпон, В. М. Мисяков, О вполне транзитивных абелевых группах,
В кн.: Абелевы группы и модули, No. 6, Томск, гос. унив., 12-27 (1986).
[7]	Ю. Б. Добрусин, Абелевы группы, близкие к алгебраически компактным, Кан-
дидатская диссертация, Томск (1982).
[8]	А. П. Ераскина, Х-чистота модулей над кольцом дискретного нормирования,
Сиб. мат. ж., 14, 208-212 (1973).
[9]	А. Картан, С. Эйленберг, Гомологическая алгебра, ИЛ, Москва (1960).
[10]	Ф. Каш, Модули и кольца, Мир, Москва (1981).
[11]	П. А. Крылов, Сильно однородные абелевы группы без кручения, Сиб. мат. ж.,
24, No. 2, 77-84 (1983).
[12]	П. А. Крылов, Вполне транзитивные абелевы группы без кручения, Алгебра
и логика, 29, No. 5, 549-560 (1990).
[13]	П. А. Крылов, Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами
эндоморфизмов, Фундам. прикл. мат., 6, No. 3, 793-812 (2000).
[14]	П. А. Крылов, Аффинные группы модулей и их автоморфизмы, Алгебра и логи-
ка, 40, No. 1, 60-82 (2001).
[15]	П. А. Крылов, Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых
групп, Сиб. мат. ж., 43, No. 1, 83-91 (2002).
362
Список литературы
[16]	П. А. Крылов, Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы,
Алгебра и логика, 43, No. 1, 60-76 (2004).
[17]	П. А. Крылов, Кольца эндоморфизмов и структурная теория абелевых групп,
Докторская диссертация, Томск (1991).
[18]	П. А. Крылов, А. Р. Чехлов, Абелевы группы без кручения с большим числом
эндоморфизмов, Тр. мат. инет. им. Стеклова, 2, 156-168 (2001).
[19]	П. А. Крылов, Е.Д. Классен, Центр кольца эндоморфизмов расщепляющейся
смешанной абелевой группы, Сиб. матем. ж., 40, No. 5, 1074-1085 (1999).
[20]	П. А. Крылов, Е. Г. Пахомова, Абелевы группы и регулярные модули, Мат. замет-
ки, 69, No. 3, 402-411 (2001).
[21]	Л. Я. Куликов, К теории абелевых групп произвольной мощности, Мат. сб., 9,
165-182 (1941).
[22]	Л. Я. Куликов, К теории абелевых групп произвольной мощности , Мат. сб.,
16, 129-162 (1945).
[23]	Л. Я. Куликов, Обобщенные примарные группы, I, Тр. Моск. мат. об-ва, 1,
247-326 (1952).
[24]	Л. Я. Куликов, Обобщенные примарные группы, II, Тр. Моск. мат. об-ва, 2,
85-167 (1953).
[25]	А. Г. Курош, Теория групп, Наука, Москва (1967).
[26]	И. Ламбек, Кольца и модули, Мир, Москва (1971).
[27]	С. Маклейн, Гомология, Мир, Москва (1966).
[28]	С. Маклейн, Категории для работающего математика, Физматлит, Москва
(2004).
[29]	В. Т. Марков, А. В. Михалёв, Л. А. Скорняков, А. А. Туганбаев, Кольца эндомор-
физмов модулей и структуры подмодулей, В кн.: Алгебра. Топология. Геомет-
рия, Т. 21, Итоги Науки и Техн., ВИНИТИ, АН СССР, Москва, 183-254 (1983).
[30]	В. М. Мисяков, Вполне транзитивность абелевых групп, Кандидатская диссер-
тация, Томск (1992).
[31]	А. П. Мишина, Л. А. Скорняков, Абелевы группы и модули, Наука, Москва
(1969).
[32]	Б. И. Плоткин, Группы автоморфизмов алгебраических систем, Наука, Москва
(1966).
[33]	Г. Е. Пунинский, А. А. Туганбаев, Кольца и модули, Союз, Москва (1998).
[34]	А. А. Туганбаев, Малопроективные модули, Сиб. мат. ж., 21, No. 5, 109-113
(1980).
Список литературы
363
[35]	А. А. Туганбаев, Полуцепные кольца и модули, Mat. Zametki, 48, No. 2, 99-106
(1990).
[36]	К. Фейс, Алгебра: кольца, модули и категории, Т. 1, Мир, Москва (1977).
[37]	К. Фейс, Алгебра: кольца, модули и категории, Т. 2, Мир, Москва (1979).
[38]	А. А. Фомин, Двойственность в некоторых классах абелевых групп без круче-
ния конечного ранга, Сиб. мат. ж., 27, No. 4, 117-127 (1986).
[39]	А. А. Фомин, Инварианты и двойственность в некоторых классах абелевых
групп без кручения конечного ранга, Алгебра и логика, 26, No. 1, 63-83 (1987).
[40]	Л. Фукс, Бесконечные абелевы группы, Т. 1, Мир, Москва (1974).
[41]	Л. Фукс, Бесконечные абелевы группы, Т. 2, Мир, Москва (1977).
[42]	И.Херстейн, Некоммутативные кольца, Мир, Москва (1972).
[43]	А. Р. Чехлов, О разложимых вполне транзитивных группах без кручения, Сиб.
мат. ж., 42, No. 3, 714-719 (2001).
[44]	А. Р. Чехлов, Об одном классе эндотранзитивных групп, Мат. заметки, 69,
No. 6, 944-949 (2001).
[45]	А. Р. Чехлов, Вполне транзитивные группы без кручения конечного р-ранга,
Алгебра и логика, 40, No. 6, 698-715 (2001).
[46]	А. Р. Чехлов, Абелевы группы с большим числом эндоморфизмов, Докторская
диссертация, Томск (2003).
[47]	А. В. Яковлев, О прямых разложениях р-адических групп, Алгебра и анализ, 12,
No. 6, 217-223 (2000).
[48]	А. В. Яковлев, О прямых разложениях S-локальных групп, Алгебра и анализ,
13, No. 4, 229-253 (2001).
[49]	F. W. Anderson, К. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag,
New York (1974).
[50]	V. I. Arnautov, S. T. Glavatsky, A. V. Mikhalev, Introduction to the Theory of Topo-
logical Rings and Modules, Marcel Dekker, New York (1995).
[51]	D. Arnold, A duality for torsion-free modules of finite rank over a discrete valuation
ring, Proc. London Math. Soc., 24, 204-216 (1972).
[52]	D. Arnold, A duality for quotient divisible Abelian groups of finite rank, Pacific
J. Math., 42, 11-15 (1972).
[53]	D. Arnold, Exterior powers and torsion free modules over discrete valuation rings,
Trans. Amer. Math. Soc., 170, 471-481 (1972).
[54]	D. Arnold, Finite rank torsion-free Abelian groups and rings, Leet. Notes Math.,
931, 1-191 (1982).
364
Список литературы
[55]	D. Arnold, A finite global Azumaya Theorem in additive categories, Proc. Amer.
Math. Soc., 91, No. 1, 25-30 (1984).
[56]	D. Arnold, Abelian Groups and Representations of Finite Partially Ordered Sets,
Springer-Verlag, New York (2000).
[57]	D. Arnold, Direct sums of local torsion-free Abelian groups, Proc. Amer. Math.
Soc., 130, No. 6, 1611-1617 (2001).
[58]	D. Arnold, M. Dugas, Indecomposable modules over Nagata valuation domains,
Proc. Amer. Math. Soc., 122, 689-696 (1994).
[59]	D. Arnold, M. Dugas, Representation type of posets and finite rank Butler groups,
Colloq. Math., 74, 299-320 (1997).
[60]	D. Arnold, M. Dugas, Со-purely indecomposable modules over discrete valuation
rings, J. Pure AppL Algebra, 161, 1-12 (2001).
[61]	D. Arnold, M. Dugas, К. M. Rangaswamy, Finite rank Butler groups and torsion-
free modules over a discrete valuation ring, Proc. Amer. Math. Soc., 129, 325-335
(2001).
[62]	D. Arnold, M. Dugas, К. M. Rangaswamy, Torsion-free modules of finite rank over
a discrete valuation ring, J. Algebra, 272, No. 2, 456-469 (2004).
[63]	D. Arnold, R. Hunter, F. Richman, Global Azumaya theorems in additive categories,
J. Pure Appl. Algebra, 16, 223-242 (1980).
[64]	D. Arnold, F. Richman, Subgroups of finite direct sums of valuated cyclic groups,
J. Algebra, 114, No. 1, 1-15 (1988).
[65]	D. Arnold, К. M. Rangaswamy, Mixed modules of finite torsion-free rank over a
discrete valuation domain, Forum Math., 18, No. 1, 85-98 (2006).
[66]	D. Arnold, К. M. Rangaswamy, F. Richman, Pi-balanced torsion-free modules over a
discrete valuation domain, J. Algebra, 295, No. 1, 269-288 (2006).
[67]	J. Arnold, Power series rings over discrete valuation rings, Pacific J. Math., 93,
No. 1, 31-33 (1981).
[68]	E. Artin, Geometric Algebra, Interscience Publishers, New York (1957).
[69]	P. Astuti, H. K. Wimmer, Stacked submodules of torsion modules over discrete
valuation domains, Bull. Austral. Math. Soc., 68, No. 3, 439-447 (2003).
[70]	M. Atiyah, On the Krull-Schmidt theorem with applications to sheaves, Bull. Soc.
Math. Fr., 84, 307-317 (1956).
[71]	M.Auslander, I.Reiten, S. O. Smal0, Representation Theory of Artin Algebras,
Cambridge University Press, Cambridge (1995).
[72]	G. Azumaya, Corrections and supplementaries to my paper concerning Krull-
Remak-Schmidt’s theorem, Nagoya Math. J., 1, 117-124 (1950).
Список литературы
365
[73]	R. Baer, Abelian groups that are direct summands of every containing Abelian
group, Bull. Amer. Math. Soc., 46, 800-806 (1940).
[74]	R. Baer, A unified theory of projective spaces and finite Abelian groups, Trans.
Amer. Math. Soc., 52, 283-343 (1942).
[75]	R. Baer, Automorphism rings of primary Abelian operator groups, Ann. Math., 44,
192-227 (1943).
[76]	C.Mo Bang, A classification of modules over complete discrete valuation rings,
Bull. Amer. Math. Soc., 76, 380-383 (1970).
[77]	C. Mo Bang, Countable generated modules over complete discrete valuation rings,
J. Algebra, 14, 552-560 (1970).
[78]	C. Mo Bang, Direct sums of countable generated modules over complete discrete
valuation rings, Proc. Amer. Math. Soc., 28, No. 2, 381-388 (1971).
[79]	H.Bass, Algebraic К-Theory, Benjamin, New York (1968).
[80]	R. A. Beaumont, R.S. Pierce, Torsion-free rings, Ill. J. Math., 5, 61-98 (1961).
[81]	R. A. Beaumont, R. S. Pierce, Some invariant of p-groups, Michigan Math. J., 11,
138-149 (1964).
[82]	N. Bourbaki, Algebre Commutative, Hermann, Paris (1961, 1964, 1965).
[83]	S. Breaz, On a class of mixed groups with semi-local Walk-endomorphism ring,
Comm. Algebra, 30, No. 9, 4473-4485 (2002).
[84]	D. Carroll, B. Goldsmith, On transitive and fully transitive Abelian p-groups, Proc.
Roy. Irish Acad., 96A, No. 1, 33-41 (1996).
[85]	A. R. Chekhlov, P. A. Krylov, On 17 and 43 problems of L. Fuchs, J. Math. Sci.
[86]	A. L. S. Corner, Every countable reduced torsion-free ring is an endomorphism ring,
Proc. London Math. Soc., 13, No. 3, 687-710 (1963).
[87]	A. L. S. Corner, Endomorphism rings of torsion-free Abelian groups, In: Proc.
Internal. Conf. Theory of Groups, Canberra (1965), pp. 59-60.
[88]	A. L. S. Corner, On endomorphism rings of primary Abelian groups, Quart. J. Math.
Oxford, 20, No. 79, 277-296 (1969).
[89]	A. L. S. Corner, The independence of Kaplansky’s notions of transitivity and full
transitivity, Quart. J. Math. Oxford, 27, 15-20 (1976).
[90]	A. L.S. Corner, Fully rigid systems of modules, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 82,
55-66 (1989).
[91]	A. L. S. Corner, R. Gobel, Prescribing endomorphism algebras, a unified treatment,
Proc. London Math. Soc., 50, No. 3, 447-479 (1985).
366
Список литературы
[92]	A. L. S. Corner, В. Goldsmith, Isomorphic automorphism groups of torsion-free
p-adic modules, In: Abelian groups, module theory, and topology (Padua, 1997),
Dekker, New York (1998), pp. 125-130.
[93]	P. Crawley, A. W. Hales, The structure of torsion Abelian groups given by pre-
sentations, Bull. Amer. Math. Soc., 74, 954-956 (1968).
[94]	P. Crawley, A. W. Hales, The structure of Abelian p-groups given by certain
presentations, J. Algebra, 12, 10-23 (1969).
[95]	P. Crawley, B. Jdnsson, Refinements for infinite direct decompositions of algebraic
systems, Рас. J. Math., 14, 797-855 (1964).
[96]	M. Dugas, On the existence of large mixed modules, Leet. Notes Math., 1006,
412-424 (1983).
[97]	M. Dugas, On the Jacobson radical of some endomorphism rings, Proc. Amer. Math.
Soc., 102, No. 4, 823-826 (1988).
[98]	M. Dugas, R. Gobel, Every cotorsion-free ring is an endomorphism ring, Proc.
London Math. Soc., 45, 319-336 (1982).
[99]	M. Dugas, R. Gobel, Every cotorsion-free algebra is an endomorphism algebra,
Math. Z., 181, 451-470 (1982).
[100]	M. Dugas, R. Gobel, On endomorphism rings of primary Abelian groups, Math.
Ann., 261, 359-385 (1982).
[101]	M. Dugas, R. Gobel, Endomorphism algebras of torsion modules, II, Leet. Notes
Math., 1006, 400-411 (1983).
[102]	M. Dugas, R. Gobel, Torsion-free Abelian groups with prescribed finitely topo-
logized endomorphism rings, Proc. Amer. Math. Soc., 90, No. 4, 519-527 (1984).
[103]	M. Dugas, R. Gobel, B. Goldsmith, Representation of algebras over a complete
discrete valuation ring, Quart. J. Math., (2), 35, 131-146 (1984).
[104]	P. C. Eklof, Set-Theoretic Methods in Homological Algebra and Abelian Groups,
Presses Univ. Montreal, Моп1гёа! (1980).
[105]	P.C. Eklof, A. H. Mekler, Almost Free Modules. Set-Theoretic Methods, North-
Holland Publishing Co., Amsterdam (1990).
[106]	A. Facchini, Module Theory: Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions
in Some Classes of Modules, Birkhauser, Basel-Boston-Berlin (1998).
[107]	A. Facchini, P. Zanardo, Discrete valuation domains and rank of their maximal
extensions, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 75, 143-156 (1986).
[108]	Th. G. Faticoni, Direct sums and refinement, Comm. Algebra, 27, No. 1, 451-464
(1999).
[109]	S.T. Files, Mixed modules over incomplete discrete valuation rings, Comm.
Algebra, 21, No. 11, 4103-4113 (1993).
Список литературы
367
[ПО] S.T. Files, Endomorphisms of local Warfield groups, Contemp. Math., 171, 99-107
(1994).
[Ill]	S. T. Files, Outer automorphisms of endomorphism rings of Warfield groups, Arch.
Math, 65, 15-22 (1995).
[112]	S.T. Files, Endomorphism algebras of modules with distinguished torsion-free
elements, J. Algebra, 178, 264-276 (1995).
[113]	S.T. Files On transitive mixed Abelian groups, Leet. Notes Pure Appl. Math., 132,
243-251 (1996).
[114]	S. T. Files, Transitivity and full transitivity for nontorsion modules, J. Algebra, 197,
468-478 (1997).
[115]	S.T. Files, The fully invariant subgroups of local Warfield groups, Proc. Amer.
Math. Soc., 125, No. 12, 3515-3518 (1997).
[116]	S. Files, B. Goldsmith, Transitive and fully transitive groups, Proc. Amer. Math.
Soc., 126, No. 6, 1605-1610 (1998).
[117]	A. A. Fomin, The category of quasi-homomorphisms of torsion-free Abelian groups
of finite rank, Contemp. Math., Part 1, 131, 91-111 (1992).
[118]	A. A. Fomin, Finitely presented modules over the ring of universal numbers,
Contemp. Math., 171, 109-120 (1994).
[119]	A. Fomin, W. Wickless, Categories of mixed and torsion-free Abelian groups, In:
Abelian Groups and Modules, Kluwer, Boston (1995), pp. 185-192.
[120]	A. Fomin, W. Wickless, Quotient divisible Abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc.,
126, No. 1, 45-52 (1998).
[121]	B. Franzen, R. Gobel, Prescribing endomorphism algebras, the cotorsion-free case,
Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 80, 215-241 (1989).
[122]	B. Franzen, B. Goldsmith, On endomorphism algebras of mixed modules, J. London
Math. Soc., 31, No. 3, 468-472 (1985).
[123]	W. N. Franzsen, P. Schultz, The endomorphism ring of locally free module, J.
Austral. Math. Soc. (Series A), 35, 308-326 (1983).
[124]	L. Fuchs, On the structure of Abelian p-groups, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 4,
267-288 (1953).
[125]	L. Fuchs, Notes on Abelian groups. I, Ann. Univ. Sci. Budapest, 2, 5-23 (1959); II,
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 11, 117-125 (1960).
[126]	L. Fuchs, Abelian p-Groups and Mixed Groups, University of Montreal Press,
Montreal (1980).
[127]	L. Fuchs, L. Salce, Modules over valuation domains, Leet. Notes Pure Appl. Math.,
97, Marcel Dekker, Inc.: New York (1985).
368
Список литературы
[128]	L. Fuchs, L. Salce, Modules over non-noetherian domains, Mathematical surveys
and monographs, Amer. Math. Soc., 84 Providence, RI (2001).
[129]	P. Gabriel, Des categories abeliennes, Bull. Soc. Math. France, 90, 323-448 (1962).
[130]	R. Gobel, Endomorphism rings of Abelian groups, Leet. Notes Math., 1006, 340-
353 (1983).
[131]	R. Gobel, Modules with distinguished submodules and their endomorphism algeb-
ras, In: Abelian groups (Curacao, 1991), Dekker, New York (1993), pp. 55-64.
[132]	R. Gobel, B. Goldsmith, Essentially indecomposable modules which are almost free,
Quart. J. Math. Oxford (2), 39, 213-222 (1988).
[133]	R. Gobel, B. Goldsmith, Mixed modules in L, Rocky Mountain J. Math., 19, 1043-
1058 (1989).
[134]	R. Gobel, B. Goldsmith, On almost-free modules over complete discrete valuation
rings, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 86, 75-87 (1991).
[135]	R. Gobel, B. Goldsmith, On separable torsion-free modules of countable density
character, J. Algebra, 144, 79-87 (1991).
[136]	R. Gobel, B. Goldsmith, Cotorsion-free algebras as endomorphism algebras in L —
the discrete and topological cases, Comment. Math. Univ. Carolinae, 34, No. 1, 1-9
(1993).
[137]	R. Gobel, W. May, The construction of mixed modules from torsion modules, Arch.
Math., 48, 476-490 (1987).
[138]	R. Gobel, W. May, Independence in completions and endomorphism algebras, Forum
Mathematicum, 1, 215-226 (1989).
[139]	R. Gobel, A. Opdenhovel, Every endomorphism of a local Warfield module of finite
torsion-free rank is the sum of two automorphisms, J. Algebra, 233, 758-771
(2000).
[140]	R. Gobel, A. Paras, Splitting off free summand of torsion-free modules over complete
dvrs, Glasgow Math. J., 44, 349-351 (2002).
[141]	R. Gobel, В Wald, Separable torsion-free modules of small type, Houston J. Math.,
16, 271-287 (1990).
[142]	H.P. Goeters, The structure of Ext for torsion-free modules of finite rank over
Dedekind domains, Comm. Algebra, 31, No. 7, 3251-3263 (2003).
[143]	B. Goldsmith, Endomorphism rings of torsion-free modules over a complete discrete
valuation ring, J. London Math. Soc., 2, No. 3, 464-471 (1978).
[144]	B. Goldsmith, Essentially-rigid families of Abelian p-groups, J. London Math.
Soc., (2), 18, 70-74 (1978).
[145]	B. Goldsmith, Essentially indecomposable modules over a complete discrete valu-
ation ring, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 70, 21-29 (1983).
Список литературы
369
[146]	В. Goldsmith, An essentially semi-rigid class of modules, J. London Math. Soc. (2),
29, No. 3, 415-417 (1984).
[147]	B. Goldsmith, On endomorphisms and automorphisms of some torsion-free modules,
In: Abelian Group Theory, Gordon and Breach, New York, 417-423 (1987).
[148]	B. Goldsmith, On endomorphism rings of поп-separable Abelian p-groups, J.
Algebra, 127, 73-79 (1989).
[149]	B. Goldsmith, W. May, The Krull-Schmidt problem for modules over valuation
domains, J. Pure AppL Algebra, 140, No. 1, 57-63 (1999).
[150]	B. Goldsmith, S. Pabst, A. Scott, Unit sum numbers of rings and modules, Quart. J.
Math., 49, 331-344 (1998).
[151]	B. Goldsmith, P. Zanardo, On the analogue of Corner's finite rank theorem for
modules over valuation domains, Arch. Math., 60, No. 1, 20-24 (1993).
[152]	B. Goldsmith, P. Zanardo, The Walker endomorphism algebra of a mixed module,
Proc. Roy. Irish Acad., Sect. A, 93, No. 1, 131-136 (1993).
[153]	B. Goldsmith, P. Zanardo, Endomorphism rings and automorphism groups of
separable torsion-free modules over valuation domains, In: Abelian groups, module
theory, and topology (Padua, 1997), Dekker, New York (1998), pp. 249-260.
[154]	K. R. Goodearl, Ring Theory, Marcel Dekker, New York-Basel (1976).
[155]	G.Gratzer, General Lattice Theory, Academie-Verlag, Berlin (1978).
[156]	P. Griffith, Transitive and fully transitive primary Abelian groups, Pacific J. Math.,
25, 249-254 (1968).
[157]	P. A. Griffith, Infinite Abelian Group Theory, The University of Chicago Press,
Chicago and London (1970).
[158]	S. Ya. Grinshpon, P. A. Krylov, Fully invariant subgroups, full transitivity, and
homomorphism groups of Abelian groups, J. Math. Sci., 128, No. 3, 2894-2997
(2005).
[159]	M. Harada, Factor Categories with Applications to Direct Decomposition of
Modules, Marcel Dekker, New York (1983).
[160]	D. K. Harrison, Infinite Abelian groups and homological methods, Ann. Math., 69,
No. 2, 366-391 (1959).
[161]	D. K. Harrison, On the structure of Ext, In: Topics in Abelian Groups (Proc.
Sympos., New Mexico State Univ., 1962), Scott, Foresman and Co., Chicago, Ill.
(1963), pp. 195-209.
[162]	J. Hausen, J. A. Johnson, Determining Abelian p-groups by the Jacobson radical of
their endomorphism rings, J. Algebra, 174, 217-224 (1995).
[163]	J. Hausen, С. E. Praeger, P. Schultz, Most Abelian p-groups are determined by the
Jacobson radical of their endomorphism rings, Math. Z., 216, 431-436 (1994).
370
Список литературы
[164]	G. Hennecke, L. Strungmann, Transitivity and full transitivity for p-local modules,
Arch. Math., 74, 321-329 (2000).
[165]	P. Hill, Sums of countable primary groups, Proc. Amer. Math. Soc., 17, 1469-1470
(1966).
[166]	P. Hill, Ulm’s theorem for totally projective groups, Notices Amer. Math. Soc., 14,
940 (1967).
[167]	P. Hill, On transitive and fully transitive primary groups, Proc. Amer. Math. Soc.,
22, 414-417 (1969).
[168]	P. Hill, Endomorphism rings generated by units, Trans. Amer. Math. Soc., 141,
99-105 (1969). Errata: Trans. Amer. Math. Soc., 157, 511 (1971).
[169]	P. Hill, The classification problem, In: Abelian groups and modules, Udine, 1984,
Springer, Vienna, 1-16 (1984).
[170]	P. Hill, M. Lane, C. Megibben, On the structure of p-local groups, J. Algebra, 143,
29-45 (1991).
[171]	P. Hill, C. Megibben, On the theory and classification of Abelian p-groups, Math.
Z., 190, 17-38 (1985).
[172]	P. Hill, C. Megibben, Axiom 3 modules, Trans. Amer. Math. Soc., 295, No. 2, 715-
734 (1986).
[173]	P. Hill, C. Megibben, Torsion-free groups, Trans. Amer. Math. Soc., 295, 735-751
(1986).
[174]	P. Hill, C. Megibben, Mixed groups, Trans. Amer. Math. Soc., 334, 121-142 (1992).
[175]	P. Hill, W. Ullery, The transitivity of local Warfied groups, J. Algebra, 208, 643-661
(1998).
[176]	P. Hill, W. Ullery, Isotype subgroups of local Warfield groups, Commun. Algebra,
29, No. 5, 1899-1907 (2001).
[177]	P. Hill, J. K. West, Subgroup transitivity in Abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc.,
126, No. 5, 1293-1303 (1998).
[178]	R. Hunter, Balanced subgroups of Abelian groups, Trans. Amer. Math. Soc, 215,
81-98 (1976).
[179]	R. Hunter, F. Richman, Global Warfield groups, Trans. Amer. Math. Soc., 266,
No. 1, 555-572 (1981).
[180]	R. Hunter, F. Richman, E. Walker, Warfield modules, Leet. Notes Math., 616, 87-123
(1977).
[181]	R. Hunter, F. Richman, E. Walker, Existence theorems for Warfield groups, Trans.
Amer. Math. Soc., 235, 345-362 (1978).
[182]	R. Hunter, E. Walker, S-groups revisited, Proc. Amer. Math. Soc., 82, 13-18 (1981).
Список литературы
371
[183]	N. Jacobson, Structure of Rings, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1968).
[184]	R. Jarisch, O. Mutzbauer, E.Toubassi, Calculating indicators in a class of mixed
modules, Leet. Notes Pure Appl. Math., 182, 291-301 (1996).
[185]	R.Jarisch, O.Mutzbauer, E.Toubassi, Characterizing a class of simply presented
modules by relation arrays, Arch. Math., 71, 349-357 (1998).
[186]	R.Jarisch, O.Mutzbauer, E.Toubassi, Characterizing a class of Warfield modules
by relation arrays, Rocky Mountain J. Math., 30, No. 4, 1293-1314 (2000).
[187]	R. Jarisch, O.Mutzbauer, E.Toubassi, Characterizing a class of Warfield modules
by Ulm submodules and Ulm factors, Arch. Math., 76, 326-336 (2001).
[188]	T. Jech, Set Theory, Academic Press, New York (1978).
[189]	I.Kaplansky, Infinite Abelian Groups, University of Michigan Press, Ann Arbor,
Mich. (1954, 1969).
[190]	I.Kaplansky, Projective modules, Ann. Math., 68, 372-377 (1958).
[191]	I. Kaplansky, Modules over Dedekind rings and valuation rings, Trans. Amer. Math.
Soc., 72, 327-340 (1952).
[192]	I.Kaplansky, G.Mackey, A generalization of Ulm’s theorem, Summa Brasil. Math.,
2, 195-202 (1951).
[193]	P. Keef, An equivalence for categories of modules over a complete discrete valuation
domain, Rocky Mountain J. Math., 27, No. 3, 843-860 (1997).
[194]	G. Kolettis, Jr., Direct sums of countable groups, Duke Math. J., 27, 111-125 (1960).
[195]	P. A. Krylov, A. V. Mikhalev, A. A. Tuganbaev, Endomorphism rings of Abelian
groups, J. Math. Sci., 110, No. 3, 2683-2745 (2002).
[196]	P. A. Krylov, A. V. Mikhalev, A. A. Tuganbaev, Endomorphism Rings of Abelian
Groups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London (2003).
[197]	P. A. Krylov, A. A. Tuganbaev, Modules over Discrete Valuation Domains, I, J. Math.
Sci.
[198]	P. A. Krylov, A. A. Tuganbaev, Modules over Discrete Valuation Domains, II,
J. Math. Sci.
[199]	A.G. Kurosh, Primitive torsionsfreie abelsche gruppen vom endlichen range, Ann.
Math., 38, 175-203 (1937).
[200]	E. L. Lady, On classifying torsion free modules over discrete valuation rings,
Lecture Notes Math., 616, 168-172 (1977).
[201]	L. Lady, Splitting fields for torsion-free modules over discrete valuation rings. I,
J. Algebra, 49, 261-275 (1977).
372
Список литературы
[202]	L. Lady, Splitting fields for torsion-free modules over discrete valuation rings. II,
J. Algebra, 66, 281-306 (1980).
[203]	L. Lady, Splitting fields for torsion-free modules over discrete valuation rings. Ill,
J. Algebra, 66, 307-320 (1980).
[204]	T. Y. Lam, A First Cource in Noncommutative Rings, Springer-Verlag, New York
(1991).
[205]	M. Lane, A new charterization for p-local balanced projective groups, Proc. Amer.
Math. Soc., 96, 379-386 (1986).
[206]	M. Lane, Isotype submodules of p-local balanced projective groups, Trans. Amer.
Math. Soc., 301, No. 1, 313-325 (1987).
[207]	M. Lane, Fully invariant submodules of p-local balanced projective groups, Rocky
Mountain J. Math., 18, No. 4, 833-841 (1988).
[208]	M. Lane, C. Megibben, Balance projectives and Axiom 3, J. Algebra, 111, 457-474
(1987).
[209]	H. Leptin, Abelsche p-gruppen und ihre automorphismengruppen, Math. Z., 73,
235-253 (1960).
[210]	L. Levy, Torsion-free and divisible modules over non-integral domains, Canadian
J. Math., 15, No. 1, 132-151 (1963).
[211]	W. Liebert, Endomorphism rings of Abelian p-groups, In: Etudes sur les groupes
ab£liens (Symposium, Montpellier, 1967), Springer, Berlin (1968), pp. 239-258.
[212]	W. Liebert, Characterization of the endomorphism rings of divisible torsion modules
and reduced complete torsion-free modules over complete discrete valuation rings,
Pacific J. Math., 37, No. 1, 141-170 (1971).
[213]	W. Liebert, Endomorphism rings of reduced torsion-free modules over complete
discrete valuation rings, Trans. Amer. Math. Soc., 169, 347-363 (1972).
[214]	W. Liebert, Endomorphism rings of reduced complete torsion-free module over
complete discrete valuation rings, Proc. Amer. Math. Soc., 36, No. 1, 375-378
(1972).
[215]	W. Liebert, The Jacobson radical of some endomorphism rings, J. Reine Angew.
Math., 262/263, 166-170 (1973).
[216]	W. Liebert, On-sided ideals in the endomorphism rings of reduced complete torsion-
free modules and divisible torsion modules over complete discrete valuation rings,
Symposia Mathematica, 13, 273-298 (1974).
[217]	W. Liebert, Endomorphism rings of free modules over principal ideal domains, Duke
Math. J., 41, 323-328 (1974).
[218]	W. Liebert, Endomorphism rings of Abelian p-groups, Leet. Notes Math., 1006,
384-399 (1983).
Список литературы
373
[219]	W. Liebert, Isomorphic automorphism groups of primary Abelian groups, In: Abelian
Group Theory (Oberwolfach, 1985), Gordon and Breach, New York (1987), pp. 9-31.
[220]	P. Loth, Classification of Abelian Groups and Pontryagin Duality, Gordon and
Breach, Amsterdam (1998).
[221]	P. Loth, Characterizations of Warfield groups, J. Algebra, 204, 32-41 (1998).
[222]	A. Mader, Almost Completely Decomposable Groups, Gordon and Breach, Amster-
dam (2000).
[223]	E. Matlis,Cotorszon modules, Mem. Amer. Math. Soc., 49, (1964).
[224]	E. Matlis, The decomposability of torsion-free modules of finite rank, Trans. Amer.
Math. Soc., 134, No. 2, 315-324 (1968).
[225]	W. May, Endomorphism rings of mixed Abelian groups, Contemp. Math., 87, 61-74
(1989).
[226]	W. May, Isomorphism of endomorphism algebras over complete discrete valuation
rings, Math. Z., 204, 485-499 (1990).
[227]	W. May, Endomorphism algebras of not necessarily cotorsion-free modules, Abelian
groups and noncommutative rings, 257-264, Amer. Math. Soc., Providence, RI
(1992).
[228]	W. May, Endomorphisms over incomplete discrete valuation domains, Contem.
Math., 171, 277-285 (1994).
[229]	W. May, The theorem of Baer and Kaplansky for mixed modules, J. Algebra, 177,
255-263 (1995).
[230]	W. May, The use of the finite topology on endomorphism rings, J. Pure Appl.
Algebra, 163, 107-117 (2001).
[231]	W. May, Torsion-free modules with nearly unique endomorphism algebras, Com-
mun. Algebra, 31, No. 3, 1271-1278 (2003).
[232]	W. May, E. Toubassi, Endomorphisms of rank one mixed modules over discrete
valuation rings, Pacific J. Math., 108, No. 1, 155-163 (1983).
[233]	W. May, P. Zanardo, Modules over domains large in a complete discrete valuation
ring, Rocky Mountain J. Math., 30, No. 4, 1421-1436 (2000).
[234]	C. Megibben, Large subgroups and small homomorphisms, Michigan Math. J., 13,
153-160 (1966).
[235]	C. Megibben, Modules over an incomplete discrete valuation ring, Proc. Amer.
Math. Soc., 19, 450-452 (1968).
[236]	C. Megibben, A nontransitive, fully transitive primary group, J. Algebra, 13, 571-
574 (1969).
374
Список литературы
[237]	В. van der Merwe, Unique addition modules, Commun. Algebra, 27, No. 9, 4103-
4115 (1999).
[238]	A. V. Mikhalev, Isomorphisms and anti-isomorphisms of endomorphism rings of
modules, In: First International Tainan-Moscow Algebra Workshop, Tainan, 1994,
de Gruyter, Berlin (1996), pp. 69-122.
[239]	S.H. Mohamed, B. J. Muller, Continuous and Discrete Modules, Cambridge Univ.
Press, Cambridge (1990).
[240]	G. Monk, One sided ideals in the endomorphism ring of an Abelian p-group, Acta
Math. Acad. Sci., 19, 171-185 (1968).
[241]	J. H. Moore, A characterization of Warfield groups, Proc. Amer. Math. Soc., 87,
617-620 (1983).
[242]	O. Mutzbauer, E. Toubassi, A splitting criterion for a class of mixed modules, Rocky
Mountain J. Math., 24, 1533-1543 (1994).
[243]	O. Mutzbauer, E. Toubassi, Extending a splitting criterion on mixed modules,
Contemp. Math., 171, 305-312 (1994).
[244]	O.Mutzbauer, E.Toubassi, Classification of mixed modules, Acta Math. Hungar.,
72, No. 1-2, 153-166 (1996).
[245]	M. Nagata, Local Rings, Wiley Interscience, New York (1962).
[246]	R. J. Nunke, Modules of extensions over Dedekind rings, Ill. J. Math., 3, 222-241
(1959).
[247]	R. J. Nunke, Purity and subfunctors of the identity, In: Topics in Abelian Groups.
Proc. Sympos., New Mexico State Univ., 1962, Scott, Foresman and Co., Chicago,
Illinois (1963), pp. 121-171.
[248]	R. J. Nunke, Homology and direct sums of countable Abelian groups, Math. Z., 101,
182-212 (1967).
[249]	R. S. Pierce, Homomorphisms of primary Abelian groups, In: Topics in Abelian
Groups. Proc. Sympos., New Mexico State Univ., 1962, Scott, Foresman and Co.,
Chicago, Illinois (1963), pp. 215-310.
[250]	R. S. Pierce, Endomorphism rings of primary Abelian groups, In: Proc. Colloq.
Abelian Groups. Tihany, 1963, Academiai Kiadd, Budapest (1964), pp. 125-137.
[251]	L. Prochdzka, A generalization of a Prufer-Kaplansky theorem, Lecture Notes
Math., 1006, 617-629 (1983).
[252]	H. Priifer, Untersuchungen uber die Zerlegbarkeit der abzdhlbaren primdren
Abelschen Gruppen, Math. Z., 17, 35-61 (1923).
[253]	P. Ribenboim, On the completion of a valuation ring, Math. Ann., 155, 392-396
(1964).
Список литературы
375
[254]	F. Richman, The constructive theory of КТ-modules, Pacific J. Math., 61, 621-637
(1975).
[255]	F. Richman, Mixed local groups, Leet. Notes Math., 874, 374-404 (1981).
[256]	F. Richman, Mixed groups, Lecture Notes Math., 1006, 445-470 (1983).
[257]	F. Richman, Nice subgroups of mixed local groups, Commun. Algebra, 11, No. 15,
1629-1642 (1983).
[258]	F. Richman, E.A. Walker, Extending Ulm’s theorem without group theory, Proc.
Amer. Math. Soc., 21, 194-196 (1969).
[259]	F. Richman, E. A. Walker, Filtered modules over discrete valuation domains,
J. Algebra, 199, No. 2, 618-645 (1998).
[260]	С. E. Rickart, Isomorphic groups of linear transformations, Amer. J. Math., 72, 451-
464 (1950).
[261]	J. Rotman, A note on completions of modules, Proc. Amer. Math. Soc., 11, 356-360
(1960), Erratum, 28 (1974), 210-213.
[262]	J. Rotman, Mixed modules over valuation rings, Pacific J. Math., 10, 607-623
(1960).
[263]	J. Rotman, A completion functor on modules and algebras, J. Algebra, 9, 369-387
(1968). Erratum, 28, 210-213 (1974).
[264]	J. Rotman, T. Yen, Modules over a complete discrete valuation ring, Trans. Amer.
Math. Soc., 98, 242-254 (1961).
[265]	B. Roux, Anneaux non commutatifs de valuation discrete ou finie, scindes, I,
C.R.Acad. Sci. Paris. S6r. I Math., 302, No. 7, 259-262 (1986).
[266]	B. Roux, Anneaux non commutatifs de valuation discrete ou finie, scindes, II,
C.R.Acad. Sci. Paris. S6r. I Math., 302, No. 8, 291-293 (1986).
[267]	B. Roux, Anneaux non commutatifs de valuation discrete, scindes, en caracter-
istique zero, C.R.Acad. Sci. Paris. Зёг. I Math., 303, No. 14, 663-666 (1986).
[268]	B. Roux, Hautes a-derivations et anneaux de valuation discrete non commutatifs,
en caracteristique zero, C. R. Acad. Sci. Paris, Зёг. I Math., 303, No. 19, 943-946
(1986).
[269]	B. Roux, Anneaux de valuation discrete complets, scindes, non commutatifs, en
caracteristique zero, Lecture Notes Math., 1296, 276-311 (1987).
[270]	L. H. Rowen, Ring Theory. /, Academic Press, New York (1988).
[271]	L. Salce, P. Zanardo, Rank-two torsion-free modules over valuation domains, Rend.
Sem. Mat. Univ. Padova, 80, 175-201 (1988).
[272]	A. D. Sands, On the radical of the endomorphism ring of a primary Abelian group,
In: Abelian Groups and Modules, (Udine, 1984), Springer, Vienna (1984), pp. 305-
314.
376
Список литературы
[273]	Р. Schultz, Notes on mixed groups. I, In: Abelian Groups and Modules, (Udine,
1984), Springer, Vienna (1984), pp. 265-278.
[274]	P. Schultz, Notes on mixed groups. II, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 75, 67-76
(1986).
[275]	P. Schultz, When is an Abelian p-group determined by the Jacobson radical of its
endomorphism ring, Contem Math., 171, 385-396 (1994).
[276]	P. Schultz, Automorphisms wich determine an Abelian p-group, In: Abelian groups,
module theory, and topology (Padua, 1997), Dekker, New York (1998), pp. 373-379.
[277]	R. O. Stanton, An invariant for modules over a discrete valuation ring, Proc. Amer.
Math. Soc., 49, No. 1, 51-54 (1975).
[278]	R.O. Stanton, Decomposition bases and Ulm’s theorem, Leet. Notes Math., 616,
39-56 (1977).
[279]	R.O.Stanton, Relative S-invariants, Proc. Amer. Math. Soc., 65, 221-224 (1977).
[280]	R. O. Stanton, Decomposition of modules over a discrete valuation ring, J. Austral.
Math. Soc., 27, 284-288 (1979).
[281]	R.O.Stanton, Almost affable Abelian groups, J. Pure Appl. Algebra, 15, 41-52
(1979).
[282]	A. E. Stratton, Mixed modules over an incomplete discrete valuation ring, Proc.
London Math. Soc., 21, 201-218 (1970).
[283]	A. E. Stratton, A note on the splitting problem for modules over an incomplete
discrete valuation ring, Proc. London Math. Soc. (3), 23, 237-250 (1971).
[284]	A. A. Tuganbaev, Semidistributive Modules and Rings, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht-Boston-London (1998).
[285]	A. A. Tuganbaev, Distributive Modules and Related Topics, Gordon and Breach
Science Publishers, Amsterdam (1999).
[286]	A. A. Tuganbaev, Rings Close to Regular, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-
Boston-London (2002).
[287]	H. Ulm, Zur theorie der abzahlbarunendlichen Abelschen gruppen, Math. Ann.,
107, 774-803 (1933).
[288]	R. G. Underwood, Galois module theory over a discrete valuation ring, Recent
research on pure and applied algebra, 23-45, Nova Sci. Publ., Hauppauge, NY
(2003).
[289]	P. V^mos, Decomposition problems for modules over valuation domains, J. London
Math. Soc., 41, 10-26 (1990).
[290]	R. Vidal, Anneaux de valuation discrete complets, non wcessairement commutatifs,
C.R.Acad. Sci., Paris, Ser. A-B, 283 (1976).
Список литературы
377
[291]	R. Vidal, Un exemple d’anneax de valuation discrete complet, non commutatif
quin’est pas un anneau de Cohen, C. R. Acad. Sci., Paris, Бёг. A-B, 284 (1977).
[292]	R. Vidal, Anneaux de valuation discrete complets non commutatifs, Trans. Amer.
Math. Soc., 267, No. 1, 65-81 (1981).
[293]	C. Vinsonhaler, W. Wickless, Dualities for torsion-free Abelian groups of finite rank,
J. Algebra, 128, No. 2, 474-487 (1990).
[294]	C. L. Walker, Local quasi-endomorphism rings of rank one mixed Abelian groups,
Leet. Notes Math., 616, 368-378 (1977).
[295]	C.L. Walker, R. B. Warfield, Jr., Unique decomposition and isomorphic refinement
theorems in additive categories, J. Pure AppL Algebra, 7, 347-359 (1976).
[296]	E. A. Walker, Ulm’s theorem for totally projective groups, Proc. Amer. Math. Soc.,
37, 387-392 (1973).
[297]	E. A. Walker, The groups Pp, In: Symposia Mathematica XIII. Gruppi Abeliani,
Academic Press, London, 245-255 (1974).
[298]	K. D. Wallace, On mixed groups of torsion free rank one with totally projective
primary components, J. Algebra, 17, 482-488 (1971).
[299]	R. B. Warfied, Jr., Homomorphisms and duality for torsion-free groups, Math. Z.,
107, 189-200 (1968).
[300]	R. B. Warfield, Jr., A Krull-Schmidt theorem for infinite sums of modules, Proc.
Amer. Math. Soc., 22, No. 2, 460-465 (1969).
[301]	R. B. Warfield, Jr., Decompositions of injective modules, Pacific J. Math., 31, 263-
276 (1969).
[302]	R. B. Warfield, Jr., An isomorphic refinement theorem for Abelian groups, Pacific
J. Math., 34, No. 1, 237-255 (1970).
[303]	R. B. Warfield, Jr., Exchange rings and decomposition of modules, Math. Ann., 199,
31-36 (1972).
[304]	R. B. Warfield, Jr., Classification theorems for p-groups and modules over a discrete
valuation ring, Bull. Amer. Math. Soc., 78, No. 1, 88-92 (1972).
[305]	R. B. Warfield, Jr., Simply presented groups, In: Proceedings of the Special Semester
on Abelian Groups, University of Arizona, Tucson, 1972.
[306]	R. B. Warfield, Jr., A classification theorem for Abelian p-groups, Trans. Amer.
Math. Soc., 210, 149-168 (1975).
[307]	R. B. Warfield, Jr., Classification theory of Abelian groups, I: Balanced projectives,
Trans. Amer. Math. Soc., 222, 33-63 (1976).
[308]	R.B. Warfied, Jr., The structure of mixed Abelian groups, Leet. Notes Math., 616,
1-38 (1977).
378
Список литературы
[309]	R. В. Warfield, Jr., Cancellation of modules an groups and stable range of
endomorphism rings, Pacific J. Math., 91, No. 2, 457-485 (1980).
[310]	R. B. Warfield, Jr., Classification theory of Abelian groups, II: Local theory, Leet.
Notes Math., 874, 322-349 (1981).
[311]	B. D. Wick, A projective characterization for SKT-modules, Proc. Amer. Math.
Soc., 80, 39-43 (1980).
[312]	B. D. Wick, A classification theorem for SKT-modules, Proc Amer. Math. Soc., 80,
44-46 (1980).
[313]	R. Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach,
Philadelphia (1991).
[314]	K.G. Wolfson, An ideal-theoretic characterization of the ring of all linear trans-
formation, Amer. J. Math., 75, 358-386 (1953).
[315]	K.G.Wolfson, Isomorphisms of the endomorphism rings of torsion-free modules,
Proc. Amer. Math. Soc., 13, No. 5, 712-714 (1962).
[316]	K. G. Wolfson, Isomorphisms of the endomorphism ring of a free module over a
principal left ideal domain, Mich. Math. J., 9, 69-75 (1962).
[317]	K.G. Wolfson, Isomorphisms of the endomorphism rings of a class of torsion-free
modules, Proc. Amer. Math. Soc., 14, No. 4, 589-594 (1963).
[318]	K.G. Wolfson, Anti-isomorphisms of endomorphism rings of locally free modules,
Math. Z., 202, 151-159 (1989).
[319]	P. Zanardo, Kurosch invariants for tors ion-free modules over Nagata valuation
domains, J. Pure AppL Algebra, 82, 195-209 (1992).
[320]	O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, I, Van Nostrand, Princeton (1958).
[321]	O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, II, Van Nostrand, Princeton (1960).
[322]	L. Zippin, Countable torsion groups, Ann. Math., 36, 86-99 (1935).
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Ai ф ... ф Ап — (конечная) прямая сумма модулей Ai,... ,Ап
®ieiAi — прямая сумма модулей Ai, i G I
As или ®SA — прямая сумма s копий модуля А
П Ai — прямое произведение модулей Ai, i е I
iei
Ai — сумма подмодулей Ai, i е I
iei
А —замыкание подмодуля А в р-адической топологии
Autft(M) — группа автоморфизмов модуля М
С(М) — наибольший 72-подмодуль модуля М
Endf(A) — кольцо эндоморфизмов объекта А в аддитивной категории £
Епс1д(Л7) или End(Af) — кольцо эндоморфизмов 72-модуля М
Endjy(Л7) — кольцо эндоморфизмов модуля М в категории Walk
Endiv(Л/) — кольцо эндоморфизмов модуля М в категории Warf
Extft(M, N) или Ext(A7, TV) — группа расширений 72-модуля N при по-
мощи 72-модуля М
Fin(M) — идеал конечных эндоморфизмов модуля М
Fin(7Vf, N) — группа конечных гомоморфизмов из модуля М в модуль N
f(cr, М) — сг-й инвариант Ульма-Капланского модуля М
fv(M, А) — сг-й инвариант Ульма-Капланского модуля М относительно
подмодуля А
|р|д — ограничение гомоморфизма на подмодуль А
д(е, М) — инвариант Уорфилда модуля М
/г(е, М) — инвариант Стэнтона модуля М
Нм (а) или Н(а) — высота элемента а в модуле М
И* (а) — обобщенная высота элемента а
Homf(A, 7?) — совокупность морфизмов в категории £
380
Список обозначений
Нотд(М, N) или Нот(М, N) — группа гомоморфизмов из Я-модуля М
в Я-модуль N
Hornby(М, N) — группа морфизмов в категории Walk
Homjv(M, N) — группа морфизмов в категории Warf
Im(<p) — образ модульного или кольцевого гомоморфизма <р
Кег(<р) — ядро модульного или кольцевого гомоморфизма <р
Ines(M) — идеал несущественных эндоморфизмов модуля М
Ines(M, N) — группа несущественных гомоморфизмов из модуля М в мо-
дуль N
— длина модуля М
М — пополнение модуля М в р-адической топологии
М1 — первый ульмовский подмодуль модуля М
М° — сг-й ульмовский подмодуль модуля М
Ма — а-й ульмовский фактор модуля М
М* — копериодическая оболочка модуля М
М N или М ® N — тензорное произведение модулей MR и rN
2Vf [рп] — подмодуль {т G М | рпт = 0} модуля М
о(а) — порядок элемента а
рпМ — подмодуль {рпт | т G М} модуля М
г(М) — ранг модуля М
го(М) — ранг без кручения модуля М
гр(М) - p-ранг модуля М
RM — Я-оболочка модуля М
Rp — тело вычетов R/pR
Rpn — факторкольцо R/pnR
R(pn) — циклический Я-модуль R/pnR
R(p°°) — квазициклический Я-модуль K/R
RX — подмодуль Я-модуля М, порожденный подмножеством X
S-mod (mod-S) — категория всех левых (правых) S-модулей
ТУ —категория квазигомоморфизмов
t(M) — периодический подмодуль модуля М
Um (а) или U(a) — высотная последовательность элемента а в модуле М
Walk — категория Уокера
Warf — категория Уорфилда
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм модуля 18
аддитивная категория 15
аддитивный функтор 17
алгебра 149
—алгебра эндоморфизмов 149
антиавтоморфизм 334
антиизоморфизм 26, 334
A-жесткая система 157, 178
А-Н-жесткая система 178
Базис разложения 270
—свободного модуля 56
базисный подмодуль 76
би модуль 14
Вложение координатное 20
—подмодуля 13
внешний автоморфизм 318
внутренняя топология 320
вполне инвариантный подмодуль 52
—разложимый модуль 252
—транзитивная пара 350
---над кручением пара 350
—транзитивный модуль 133, 338
высота элемента 65
высотная последовательность 236
Глобальная группа Уорфилда 295
группа автоморфизмов 19
—гомоморфизмов 18
—квазигомоморфизмов 189
—расширений 162
Двойственность Арнольда 197
—категорий 195
дедекиндова область 41
делимая оболочка 62
делимый модуль 59, 64
делитель нуля 13
дискретное нормирование 39
дифференцирование 359
длина модуля 236
Естественная эквивалентность 17
естественное преобразование 17
естественный изоморфизм 17
Е-кольцо 360
Е(е)- модуль 359
Жесткая система модулей 157
J-адическая топология 108
Идеал Пирса 114
—решетки 120
идемпотентный эндоморфизм 20
изоморфные объекты в категории 16
—прямые разложения 73
изотипный подмодуль 239
инвариант модуля 51
инвариантное кольцо нормирования 39
инварианты Стэнтона 290
—Ульма—Капланского 274
---относительно подмодуля 274
—Уорфилда 258
индекс ветвления нормирования 213
индуцированная последовательность 24
индуцированный гомоморфизм 23
инъективный модуль 62
Канонический гомоморфизм 15
каноническое нормирование 39
категория 15
—квазигомоморфизмов 190
—с бесконечными суммами 227
—с ядрами 227
-Walk 177
-Warf 254
квадрат модуля 355
382
Предметный указатель
квазигомоморфизм 189
квазиизоморфизм 190
квазиинъективный модуль 64
квазипроекция 190
квазипрямая сумма 190
квазислагаемое 190
квазициклический модуль 43
квазичисто инъективный модуль 352
классическое правое кольцо частных 13
ковариантный функтор 16
коидеал решетки 124
кольцо без единицы 136
—биэндоморфизмов 20
—главных идеалов 29
—квазиэндоморфизмов 190
—косых степенных рядов 33
—нормирования 39, 41
—степенных рядов 31
—рядов Лорана 32
—целых алгебраических чисел 41
----р-адических чисел 30
—эндоморфизмов модуля 18
----объекта 16
компонента элемента 14
конечная топология 131
конечно аппроксимируемый объект 233
—порожденный модуль 14
конечный гомоморфизм 157
—эндоморфизм 111, 133
—оператор 137
контравариантный функтор 16
координаты высотной последовательно-
сти 236
копериодическая оболочка 170
копериодический модуль 164
коредуцированный модуль 203
короткая точная последовательность 24
кочисто неразложимый модуль 203
Левый аннулятор 125
линейно независимая система элемен-
тов 49
локализация кольца 30
локальная группа Уорфилда 295
локальное кольцо 26
Максимальная линейно независимая си-
стема элементов 49
малопроективный модуль 58
малый гомоморфизм 180
—объект 233
метод Капланского 306
минимальный нерадикальный идеал 134
модуль без кокручения 154
—без Ыо-кокручения 154
---кручения 43
---элементов бесконечной высоты 68
—с однозначным модульным
умножением 359
—с однозначным сложением 182
—Уорфилда 282
мономорфизм в категории 224
мультипликационный модуль 359
Наследственное кольцо 58
неделитель нуля 13
нерадикальный идеал 134
несущественный гомоморфизм 157
—эндоморфизм 150
нижний базис разложения 276
нормирование 36
Область 27
область главных идеалов 29
—дискретного нормирования 27
—нормирования Нагаты 215
обобщенная высота элемента 237
ограничение гомоморфизма 13
ограниченный модуль 46
острый модуль 334
Первый ульмовский подмодуль 87
пересечение объектов категории 224
периодически полный модуль 93
периодический подмодуль 44
—элемент 43, 54
плоский модуль 25
по существу жесткая система модулей
158
---неразложимый модуль 157, 177
подкатегория 16
подобъект 224
подордината 271
поле вычетов 36
—р-адических чисел 31
—расщепления 220
—рациональных функций 30
—частных 36
полная и независимая система инвари-
антов 61
Предметный указатель
383
—область дискретного нормирования 34
—ортогональная система идемпотентов
12
—подкатегория 16
—система продолжений нормирования
214
полный модуль 87
полулинейный изоморфизм 301
пополнение 35, 91
порядок элемента 43
последовательность Коши 33, 87
—Ульма 238
правое условие Оре 13
правый аннулятор 125
предел прямого спектра 254
представление модуля 259
примарный модуль 43
—подмодуль 44
примитивный идемпотент 12
проективный модуль 57
проекция прямой суммы в категории
188
—координатная 20
просто представленный модуль 260
простой модуль 42
—элемент 28
прямая сумма модулей 13
---объектов 16
прямое произведение колец 13
—произведение модулей 14
—разложение объекта 16
прямой предел 254
—спектр модулей 254
р-адическая топология 33
р-адический модуль 8
р-адическое нормирование 40
—пополнение 35, 91
р-базис модуля 77
р-локальная абелева группа 8
р-ранг модуля 47
Радикал Джекобсона 26, 106
ранг модуля 51
—без кручения модуля 51
расщепление идемпотентов в категории
188
расщепляющаяся последовательность 15
расщепляющееся расширение 150
расщепляющийся модуль 44, 223
редуцированный модуль 60
К-оболочка модуля 321
Сбалансированно точная последователь-
ность 245
сбалансированный подмодуль 243
свободный базис 56
—модуль 55
свойство замены 228
—конечной замены 228
—пересечения прямых слагаемых 95
связывающее соотношение	259
сепарабельное расширение	212
сепарабельный многочлен 212
сильно неразложимый модуль 190
система образующих модуля 14
—определяющих соотношений 259
скачок 236
слабое условие Гротендика 230
смешанный модуль 43
собственный элемент 240
сохраняющий высоты изоморфизм 255
стабильный элемент 333
стандартное представление модуля 260
степень вычетов нормирования 213
сумма подмодулей 14
суперразложимый модуль 155
существенный подмодуль 47
сходящаяся последовательность 34
счетно аппроксимируемый объект 234
—порожденный модуль 70
S-группа 296
сг-й ульмовский подмодуль 238
----фактор 238
Тело вычетов 36
тензорное произведение 24
теорема изоморфизма 299
—расщепляющейся реализации 130
—реализации 130
—топологического изоморфизма 299
—характеризации 129
тождественный морфизм 15
—функтор 17
топологический изоморфизм 308, 312
тотально проективный модуль 266
точная последовательность 24
транзитивный модуль 338
—над кручением модуль 346
—по модулю кручения модуль 346
Т-кольцо 360
384
Предметный указатель
Т(е)-модуль 359
Уплотнение разложения 73
урегулированный модуль 168
условие Хилла 268
Хорошая подордината 271
хороший базис разложения 270
—композиционный ряд 268
—подмодуль 240
Д-сбалансированно точная последова-
тельность 246
Д-сбалансированный подмодуль 246
Д-хороший подмодуль 246
Центральный идемпотент 12
циклический модуль 14
цоколь 47
Чистая последовательность Коши 34
чисто инъективный модуль 81
—независимая система элементов 74
—неразложимый модуль 199
—несепарабельное расширение 213
—проективный модуль 81
—сходящаяся последовательность 34
—точная последовательность 86
чистый подмодуль 65, 69
Эквивалентные высотные последовате-
льности 236
—категории 17
—мономорфизмы 224
—нормирования 213
элемент бесконечного порядка 43
—бесконечной высоты 65
эндоморфизм модуля 18
Ядро морфизма 227