/
Text
К "4
СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ПО ЖТЕМАТИЧЕСКОЙ
НН
СПРАВОЧНАЯ
КНИГА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛОГИКЕ
В ЧЕТЫРЕХ ЧАСТЯХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
ДЖ. БАРВАИСА
Часть I
ТЕОРИЯ
МОДЕЛЕЙ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
С. С. Гончарова
В. Д. Дзгоева
К. Ф. Самохвалова
Д. И. Свириденко
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Ю. Л. Ершова
Е. А. Палютина
А. Д. Тайманова
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ
1982
Scan AAW
22.12
С 74
УДК 512.8
HANDBOOK
OF
MATHEMATICAL LOGIC
J. BARWISE (ED.)
NORTH-HOLLAND
PUBLISHING COMPANY
AMSTERDAM NEW YORK OXFORD
1977
Справочная книга по математической логике: В 4-х частях/Под ред.
Дж. Барвайса,—Ч. I. Теория моделей: Пер. с англ.—М.: Наука. Главная редак-
ция физико-математической литературы, 1982 г. — 392 с.
© North-Holland
Publishing Company—1977
1702020000—065
С 053 (02)-82 ПоДписное
© Перевод на русский язык,
Издательство «Наука>.
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1932
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящее издание состоит из четырех книг: «Тео-
рия моделей», «Теория множеств», «Теория рекурсии»,
«Теория доказательств и конструктивная математи-
ка». В оригинале оно составляло один том, который
при переводе для удобства был разбит на четыре кни-
ги, соответствующие четырем частям исходной книги.
Русский перевод каждой части дополнен статьей
советских авторов, отражающей дополнительные
аспекты, не нашедшие отражения в основном тексте
издания.
Издание в целом рассчитано на всех математиков,
начиная со студентов университетов, интересующихся
развитием современной математики и логики.
ПРЕДИСЛОВИЕ Дж. БАРВАЙСА
«Справочник по математической логике» является попыткой
коллектива математиков рассказать о некоторых современных
достижениях в логике. Из многообразия относящихся сюда тем
мы отобрали те, которые затрагивают основные проблемы дан-
ной области или особенно важны для применений в математике-
Математическая логика традиционно подразделяется на че-
тыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекур-
сии и теория доказательств. При составлении книги за неиме-
нием лучшего мы следовали традиционному делению. Это делает
расстановку глав, связанных с разными разделами логики, не-
простой задачей, так что данную расстановку не следует рассма-
тривать как бесспорную. Каждая из четырех частей начинается
с короткого предисловия к следующим за ним главам. Первая
глава или две первые главы в каждой части носят вводный ха-
рактер. Далее следуют главы, в которых рассматриваются более
специальные вопросы, а также приложения математической ло-
гики. Каждая глава написана для тех, кто не является специали-
стом в данной области. С другой стороны, каждая глава рассчи-
тана на своих собственных читателей, которые меняются от гла-
вы к главе. В частности, имеются главы, предназначенные для
того, чтобы познакомить работающих в одних областях матема-
тической логики с достижениями в других областях.
Мы надеемся, что многие математики приобретут эту книгу
из чистого любопытства и перелистают ее, чтобы получить удо-
вольствие (или неудовольствие) от того, что происходит в другой
области математики. Трудно представить себе математика, кото-
рый, потратив десять минут на это’, не захотел бы более подробно’
просмотреть несколько глав и вводных параграфов к другим
главам. Это обстоятельство, не представившееся раньше, послу-
жило поводом для написания настоящего справочника.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
Бурное развитие теории моделей, одного из разделов мате-
матической логики, приходится на последние два десятилетия.
Теория моделей изучает фундаментальные связи между синтак-
сическими свойствами множеств предложений формального язы-
ка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей,
с другой. За этот период теория обогатилась новыми идеями, ме-
тодами и конструкциями. Развитие этой теории и ее приложений
шло одновременно в разных направлениях. В первую очередь рас-
ширялось применение методов теории моделей в алгебре и гео-
метрии, идущее от создателей теории — А. И. Мальцева и А. Тар-
ского. Особый успех имели здесь идея классификации алгебраи-
ческих систем с точностью до элементарной эквивалентности и
проблемы разрешимости элементарных теорий классических
.алгебр.
В 1960 г. А. Робинсон предложил новую формализацию ста-
рой идеи бесконечно малых величин Г. Лейбница и создал новое
изложение классического математического анализа, названное
им «нестандартным анализом». С выходом его книги «Нестан-
дартный анализ»» началось применение методов теории моделей
в анализе, переосмысливание старых результатов с новых пози-
ций. Это шло достаточно успешно, так что возникла идея пере-
стройки всего университетского курса математического анализа
на основе нестандартного анализа и в настоящее время прово-
дятся эксперименты по реализации этой идеи (Саливен [1]).
Методы теории моделей нашли применение также в тополо-
гии, теории множеств и в нематематических точных науках. Осо-
бенно ценны применения в теории множеств, где удалось выяс-
нить природу трудностей многих проблем теории множеств. С по-
мощью построения моделей удалось доказать гипотезы Лузина
[1] о неразрешимости им же сформулированных в 1925 г. проб-
лем дескриптивной теории множеств.
В настоящее время возникла необходимость разобраться в
этом мощном ветвящемся потоке развития теории, обрисовать
общую картину, выделяя основные магистральные направления,
м выявить то общее, что их объединяет. Данная книга посвящена
8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
решению этой трудной задачи и предназначена как настольная
книга, содержащая обзор современного состояния теории и спра-
вочный материал. Том состоит из восьми глав и дополнения, по-
священных разным вопросам и написанных известными специа-
листами в этой области. Главы отличаются между собой не толь-
ко по содержанию и стилю изложения, но и по уровню доступ-
ности. Это объясняется, во-первых, разнородностью излагаемого
материала; во-вторых, тем, что индивидуальности авторов и их
вкусы не могли не отразиться на их работах.
Глава первая, написанная Дж. Барвайсом, начинается с оп-
ределения основных понятий математической логики первого по-
рядка и после изложения фундаментальных достижений логики
переходит к изображению общей картины развития теории, ука-
зывая магистральные, по его мнению, направления. Эта глава
доступна студентам, даже незнакомым с математической логи-
кой, и полезна философам, науковедам.
Вторая глава, написанная X. Дж. Кейслером, является пре-
красным введением в классическую теорию моделей и доступна
студентам, прослушавшим университетский курс математической
логики.
Третья глава, принадлежащая П. Эклофу, посвящена алге-
браической операции ультрапроизведения, тесно связанной, как
показала классическая теорема Е. Лося, с логикой первого по-
рядка. Эта операция получила широкое применение в теории мо-
делей и породила метод доказательства теорем и построения
примеров, называемый методом ультрапроизведенйя. В главе на
конкретных примерах показана мощь и слабость данного метода,
что помогает читателю выработать интуитивное представление
об области его применения.
Глава четвертая, написанная А. Макинтайром, посвящена
анализу метода модельной полноты, ее связям с методом фор-
синга и свойством алгебраической замкнутости алгебр. В этой
тлаве изложены применения этих методов к решению конкрет-
ных проблем, в том числе 17-й проблемы Гильберта. Третья и
четвертая главы доступны студентам, знакомым с университет-
ским курсом логики, и полезны алгебраистам.
В пятой главе, принадлежащей М. Морли, излагается кон-
струкция Эренфойхта — Мостовского, получившая широкое
применение в теории моделей и породившая метод неразличи-
мых элементов. Этот метод позволяет глубоко проникнуть в
строение отдельных алгебр. Глава доступна студентам и по-
лезна также специалистам по математической логике и алге-
браистам.
Написанная К. Д. Стройном шестая глава посвящена приме-
нению метода нестандартного анализа в дифференциальной гео-
метрии и анализу работы К. Ф. Гаусса «Disquistiones generales
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
9
circa superficies curvas». От читателя требуется знание диффе-
ренциальной геометрии в объеме университетского курса и зна-
комство с понятиями нестандартного анализа в объеме первых
двух глав книги Девиса [1].
Глава седьмая, написанная М. Маккаи, посвящена четырем
самостоятельным направлениям. В первом направлении, исходя
из естественного аксиоматического определения конечных мно-
жеств и из естественного аксиоматического определения «вычис-
лимости», определяется класс множеств (называемых допусти-
мыми), «ведущих» себя как конечные множества. Это дает но-
вый подход к решению философской проблемы описания класса
множеств, к которым применимы законы нашего мышления, вы-
работанные в процессе обращения с конечными объектами. Вто-
рое направление — это бесконечные логики, которые возникают,
если отказаться от требования финитности в классической логике
первого порядка. По-разному снимая требование финитности, по-
лучаем разные бесконечные логики, обобщающие логику пер-
вого порядка. При этом теряется принцип компактности Маль-
цева, являющийся важным методом доказательства теорем. Ино-
гда удается доказать обобщение компактности или выделить
фрагмент логики, в котором есть принцип компактности. В этих
случаях возникает богатая теория. Третье и четвертое направ-
ления — классическая и эффективная дескриптивные теории мно-
жеств, изучающие вопрос: какие множества вещественных чисел
нужны в математике и как они построены? В этой главе изло-
жены основные достижения всех этих направлений, развиваю-
щихся независимо, и устанавливается их тесная связь. Это даег
значительное продвижение в изучении философского вопроса о
связи понятий «конечное», «бесконечное», «вычислимое», «нуж-
ное в математике множество». Читателю полезно предвари-
тельно познакомиться с книгами Барвайса [1],Кейслера
[1], Мос ко в а к и с а [1], [2], Лузина [ 1 ]. В восьмой главе,
принадлежащей А. Коку и Г. Е. Рейесу, излагаются результаты
и перспективы применения идей теории категорий в теории моде-
лей и в других отделах математической логики.
Дополнение Е. А. Палютина является обзором по теории ка-
тегоричности и ее обобщению — теории стабильности. В теории
категоричности и стабильности имеются идеи и методы, позво-
ляющие глубоко проникнуть в строение классов алгебраических
• систем и структуру отдельных систем. Большое внимание в этом
обзоре уделяется хорновым классам, для которых получены наи-
более полные структурные результаты. Излагается подход для
изучения произвольных полных теорий с помощью хорновых.
Обзор содержит результаты, полученные после выхода англий-
ского издания настоящей книги, а также результаты советских
10
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА
математиков, не упомянутые в других главах данного тома. Со-
держание обзора доступно студентам, знакомым с элементам»
теории моделей, содержащимися в первой и второй главах дан-
ной книги или в книге Ершова и Палютина [1].
ЛИТЕРАТУРА
Б а р в а й с (Barwise J.)
1. Admissible Sets and Structures. — 1975.
Девис (Davis M.)
1. Прикладной нестандартный анализ. — M.: Мир, 1980.
Ершов Ю. Л., Па л ют ин Е. А.
1. Математическая логика. — М.: Наука, 1979.
К е й с л е р (Keisler Н. J.)
1. Model Theory of Infinitary Logic. — 1971.
Лузин H. H.
1. Лекции об аналитических множествах и их приложениях. — В kh.l
Лузин Н. Н. Собрание сочинений, т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1958,
с. 1—188.
Московакис (Moschovakis Y. N.)
1. Elementary Induction on Abstract Structures.— 1974.
2. Descriptive Set Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1980.
Ca ливен (Sullivan K.)
1. The teaching of elementary calculus using the nonstandard analysis
approach. — Amer. Math. Monthly, 1976, 83, № 5, p. 370—375.
Ю. JI. Eptuoe, E. А. Палютин,
А. Д. Тайманов
ВВЕДЕНИЕ
Эта книга рассматривает основную связь между математи-
ческими утверждениями (аксиомами), с одной стороны, и мате-
матическими структурами (моделями), с другой. Основное вни-
мание сосредоточено на теории моделей для логики первого
порядка. Первая глава, написанная Барвайсом для тех, кто не
знакомился ранее с логикой первого порядка, объясняет боль-
шинство основных понятий. Этот материал фактически непосред-
ственно предшествует теории моделей и необходим в большин-
стве последующих глав книги.
Написанная Кейслером вторая глава содержит подлинное
введение в теорию моделей. Просмотрев главу, читатель сможет
увидеть объекты исследования этой теории, иллюстрированные
основными результатами и приложениями.
В следующих трех главах более глубоко рассматриваются
некоторые важные аспекты теории моделей, эти главы рассчи-
таны в основном на алгебраистов. В третьей главе, принадлежа-
щей Эклофу, рассматривается операция ультрапроизведения, ее
связи с логикой первого порядка и ее приложения к алгебре.
В четвертой главе, написанной Макинтайром, обсуждаются как
положительные, так и отрицательные приложения к алгебре вве-
денного А. Робинсоном понятия модельно полной теории и род-
ственного понятия «алгебраической замкнутости».
В пятой главе об однородных множествах, принадлежащей
Морли, обсуждаются так называемые модели Эренфойхта — Мо-
стовского. Эта конструкция оказалась весьма полезной в теории
моделей и в приложениях к теории множеств. Она имела некото-
рые приложения к другим разделам математики, что сделало ее
более известной.
Основные приложения теории моделей вне алгебры и теории
множеств начинаются с «нестандартного анализа» Робинсона.
В шестой главе Строян обсуждает элементарные аспекты этого
предмета и с успехом выявляет скрытую роль, которую бесконеч-
но малые играют в дифференциальной геометрии.
Последние три главы выходят за пределы обычной логики
первого порядка. Некоторые расширения логики первого по-
рядка упоминаются в последнем параграфе первой главы и
12
ВВЕДЕНИЕ
обсуждаются более подробно в последнем параграфе второй
главы. Из всех известных расширений логика LO1O имеет наибо-
лее удовлетворительную теорию моделей. Эта логика и ее допу-
стимые фрагменты обсуждаются в седьмой главе, написанноГг
Маккан.
Последняя глава, принадлежащая Коку и Рейесу, носит со-
вершенно иной характер. Она дает теоретико-категорную точку
зрения на некоторые аспекты теории моделей и других частей
логики.
Планировалось включить еще главу о стабильности и главу
об абстрактной теории моделей. Это оказалось невозможным,
поэтому обзор теории стабильности содержится в § 7 главы 2 *).
Абстрактная теория моделей обсуждается в конце первой главы
и затрагивается во второй главе.
К теории моделей относятся также работа Рабина о разре-
шимых и неразрешимых теориях и работа Ацела об индуктивных
определениях. Они помещены в книге «Теория рекурсии».
X. Дж. Кейслер
♦) См. также Дополнение, написанное Е. А. Палютиным. — Прим. ред.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Джон Барвайс
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Предисловие...............................................13
§ 2. Что и как можно выразить в логике первого порядка.......14
§ 3. Формализация логики первого порядка.......................25
§ 4. Теорема о полноте.........................................30
§ 5. За пределами логики первого порядка.......................49
Литература..................................................54
§ 1. Предисловие
Эта вводная глава написана (конечно, не идеально) для ма-
тематиков, не знакомых с математической логикой, и по суще-
ству является объяснительной. Возможно, кто-нибудь уже начал
читать последнюю главу этой книги и увяз лишь потому, что не
усвоил основных понятий. Для большинства читателей быстрое
чтение § 2 и введения к §§ 4 и 5 будет вполне достаточным.
Современная математика может быть описана как наука об
абстрактных объектах таких, как вещественные числа, функции,
поверхности, алгебраические системы или что-то в этом роде.
Математическая логика описывает новое направление в этой
науке, сосредоточивая внимание на языке, используемом в ма-
тематике, на способах определения абстрактных объектов и на
законах логики, которыми мы руководствуемся, когда рассу-
ждаем об этих объектах. Логики предприняли это изучение с на-
деждой понять природу математического опыта и в конечном
счете внести вклад в математику как важными результатами,
возникающими в самой логике (вторая теорема Гёделя о непол-
ноте является наиболее известным примером), так и их прило-
жениями к другим разделам математики. Главы этой книги
предназначаются для иллюстрации обоих аспектов математиче-
ской логики.
Современная математическая логика берет начало от мечты
Лейбница об универсальном исчислении, которое может вклю-
чать в себя всю умственную деятельность, в частности всю мате-
матику. Эта мечта была слишком грандиозной, чтобы Лейбниц
14
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
воплотил ее. Его работы в этом направлении были в основном
забыты и мало повлияли на развитие логики. Фреге, Пеано, Рас-
сел, Уайтхед, Гильберт, Скулем, Гёдель, Тарский и их последо-
ватели, вооруженные более сильными абстрактными методами,
исходя из актуальных проблем оснований математики (по край-
ней мере у Рассела и Гильберта), осуществили значительную
часть мечты Лейбница.
§ 2. Что и как можно выразить в логике
первого порядка
В этом параграфе мы преследуем весьма скромную цель: с
помощью примеров дать почувствовать читателю, что может
быть выражено в логике первого порядка, а что нет. Большин-
ство наших примеров взято из арсенала понятий современной ал-
гебры, с которым большинство математиков имеет хотя бы ша-
почное знакомство.
Набор начальных строительных блоков логики первого по-
рядка состоит из логических связок А (и), V (или), П (не), ->
(влечет), символа равенства =, кванторов V (для всех), В (су-
ществует), бесконечной последовательности переменных х, у, г,
Xi, у\, ... и круглых скобок (,), необходимых для однозначного
прочтения формул.
Кроме этих логических символов, можно ввести множество L
примитивных нелогических символов. Например, если мы рабо-
таем с абелевыми группами, то множество L состоит из функ-
ционального символа + Для группового сложения и константного
символа 0 для нулевого элемента. Если мы работаем с упорядо-
чениями, то L содержит символ для отношения <. При изу*
чении теории множеств L имеет символ для отношения & До-
вольно скучное формальное определение формулы логики пер-
вого порядка отложим до следующего параграфа. Здесь мы
только подчеркнем, что формулы суть определенные конечные
цепочки символов.
Слово «первый» в фразе «логика первого порядка» служит
для того, чтобы отличать логику этого вида от более сильных ло-
гик (таких, как логика второго порядка или слабая логика вто-
рого порядка), в которых используются некоторые нелогические
понятия (такие, как множество или натуральное число) как за-
данные. В частности, в логике первого порядка кванторы V и 3
всегда действуют на некотором данном множестве М. Логика же
второго порядка разрешает одному из кванторов действовать на
подмножествах множества Л4 и на функциях F, отображающих,
скажем, М X М в М. (Логика третьего порядка разрешает ис-
пользовать кванторы по множествам функций и т. д.) Слабая
логика второго порядка разрешает использовать кванторы по ко-
§ 2 ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА
15
вечным подмножествам множества Л4 и по натуральным числам.
Имеются веские основания рассматривать логику первого поряд-
ка в качестве основного языка математики, это будет обсуждать-
ся в § 5. Пока же мы предполагаем, что у читателя имеется соб-
ственная мотивировка для изучения логики первого порядка.
Теория групп
Первые несколько наших примеров взяты из теории групп.
Рассмотрим следующие понятия:
(а) группа,
(Ь) абелева группа,
(с) абелева группа, в которой порядок всякого элемента ^и,
(d) полная группа,
(е) группа без кручения,
(f) периодическая группа.
Понятия (а) — (с) легко задаются несколькими аксиомами
логики первого порядка. Понятия (d) и (е) требуют бесконеч-
ного списка аксиом. Последнее понятие (f) не является понятием
логики первого порядка. Посмотрим, почему.
Группа G есть тройка G = (G, +, 0) (где G — непустое мно-
жество, 0 е G, Н---функция, отображающая G X G в G), ко-
торая удовлетворяет следующим аксиомам или высказываниям
логики первого порядка:
Vx Vt/Vz [х + (у + z) = (х + у) + z], (1)
Vx[x + 0 = *L (2)
УхЭу[х + у = 0]. (3)
Логик может сказать, что G является моделью для (1), (2),
(3) и написать G |= (1), (2), (3) вместо того, чтобы говорить,
что G удовлетворяет (1), (2), (3).
Абелева группа есть группа, удовлетворяющая аксиоме
Vx\fy [х +у = у + х]. (4)
Выбор символа «+» в (1) — (4) является лишь соглашением,
не имеющим существенного значения.
Для того чтобы выразить понятие (с), мы заменяем формаль-
ный терм (х + х) термом 2х, терм ((x-f-*) + х) термом Зх и
по индукции заменяем терм (их + х) термом (и + 1)*- В абе-
левой группе G порядок всякого элемента ^и, если G является
моделью для выражения
Vx [х = 0 V 2х = 0 V ... V их = 0], (5)
являющегося простым высказыванием логики первого порядка.
Абелева группа G является полной, если
Vn > 1 XfxBy [пу = х]. (6)
16
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Это выражение можно считать предложением слабой логики
второго порядка, но оно не является аксиомой логики первого
порядка, так как первый квантор действует на множестве поло-
жительных натуральных чисел, а не на рассматриваемой обла-
сти G. Мы можем, однако, заменить это выражение следующим
бесконечным списком аксиом:
\/хЭу[2у = х], (6)2
\fxBy [Зу = х], (6)3
УхЭу [пу = х], (6)rt
»*••••
(Мы опускаем (6)1 в силу тривиальности VxBy[x = у].) Для
большинства целей эффективно представимый бесконечный спи-
сок аксиом практически так же хорош, как и конечный список.
Однако стоит убедиться для собственного удовлетворения, что
не просто недостаток воображения заставляет нас использовать
бесконечный список формул для выражения этого понятия.
2.1. Предложение. Любое конечное множество предло-
жений, истинное во всех полных абелевых группах, истинно и в
некоторой неполной абелевой группе.
Другими словами, понятие полной абелевой группы не яв-
ляется конечно аксиоматизируемым в логике первого порядка.
Доказательство этого результата приведем несколькими пара*
графами ниже. Это же мы обнаружим, если попытаемся аксио-
матизировать понятие абелевой группы без кручения:
Vn> lVx[x=#0~>nx=#0]. (7)
Это предложение слабой логики второго порядка превращается
в бесконечный список аксиом логики первого порядка:
Vx [х=#0—> пх=#0]. (7)л
Имеет место соответствующий отрицательный результат.
2.2. Предложение. Понятие абелевой группы без круче-
ния не является конечно аксиоматизируемым в логике первого
порядка.
Абелева группа G является периодической группой, если вы-
полнено
Vx3rc> 1 [пх = 0]. (8)
Это выражение является предложением слабой логики второго
порядка, но оно не является предложением логики первого поряд-
ка, так как в нем имеется квантор Зп по натуральным числам.
Мы можем попытаться имитировать (5), однако получается вот
что:
Vx [х = О V 2х == О V • • • V пх = 0 ... ] (8)'
§ 2. ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА
17
Выражения такого сорта аналогичны бесконечному формаль-
ному степенному ряду, и изучение таких «бесконечных формул»
оказывается невыгодным (см. 5.3 и главы 2 и 7), однако это и не
является частью обычной логики первого порядка. Следующий
результат проясняет ситуацию.
2.3. Предложение. Множество предложений логики
первого порядка, истинных во всех периодических абелевых груп-
пах, истинно в некоторой непериодической абелевой группе Н.
На самом деле мы покажем, что если G — абелева группа,
множество порядков элементов которой не ограничено, то суще-
ствует непериодическая группа Н такая, что G нн= Н. Последнее
означает, что каждое предложение логики первого порядка, ис-
тинное в G, также истинно в Н и наоборот. Поэтому класс
периодических групп не может быть охарактеризован даже
множеством аксиом первого порядка — конечным или беско-
нечным.
Результаты о неаксиоматизируемости
Имеются два стандартных метода для доказательства неак-
сиоматизируемости. Они являются следствиями теоремы ком-
пактности и будут доказаны в § 4. Мы воспользуемся этими ме-*
тодами для доказательства результатов данного параграфа.
2.4. Теорема компактности (Гёдель — Мальцев)<
Пусть Т — произвольное множество аксиом логики первого по-
рядка. Если для каждого конечного подмножества То множества
Т существует модель для всех аксиом из То, то существует мо-
дель для всех аксиом из Т.
Иногда более удобным является альтернативная форма тео-
ремы компактности. Будем писать Т f= гр для обозначения того,
что гр является логическим следствием Т, т. е. гр истинна на всех
моделях, на которых истинны все аксиомы Т. Тогда теорема ком-
пактности эквивалентна утверждению: если Т (J {гр} — множе-
ство предложений логики первого порядка и Г^гр, то сущест-
вует конечное TQ s Т такое, что Чтобы показать, что
это следует из 2.4, применим 2.4 к T(J {~1гр}, где ~1гр утверждает
ложность гр. Чтобы доказать 2.4 из этого варианта теоремы ком-
пактности, предположим, что гр — некоторый абсурд, как, напри-
мер, Зх(х=7^х). Теорема компактности не верна для логики вто-
рого порядка или даже для слабой логики второго порядка, как
покажет доказательство теоремы 2.1.
Другое свойство логики первого порядка, иногда используе-
мое для доказательства неаксиоматизируемости, есть следующая
теорема Лёвенгейма — Скулема. Этот важный принцип сохра-
няется и для слабых логик второго порядка, но не для логики
второго порядка.
18
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2.5. Теорема Лёвенгейма — Скулема. Пусть х —
бесконечный кардинал, и пусть Т — множество аксиом первого
порядка мощности х. Если существует модель, в которой все
аксиомы Т истинны, то существует модель для Т, множество эле-
ментов которой имеет мощность х.
Замечание. Если множество L нелогических символов ко-
нечно или даже счетно, как это было до сих пор, то, так как вся-
кая формула есть конечная последовательность, число формул
логики первого порядка может быть только счетным. Следова-
тельно, в силу 2.5 для таких L всякое множество Т аксиом, имею-
щее модель, имеет и счетную модель.
Доказательство предложения 2.1. Пусть {фь ....
..., ф*} — конечное множество предложений логики первого по-
рядка, истинных во всех полных абелевых группах, и пусть ф —
конъюнкция (ф1 А ... !Л фл). Наша задача заключается в дока-
зательстве истинности ф в некоторой неполной абелевой группе.
Применим второй вариант теоремы компактности. Пусть Т —
множество аксиом (1) — (4) плюс все аксиомы (6). Тогда Т —
множество аксиом для полной абелевой группы. Предположим,,
что Т |= ф. По теореме компактности существует такое конеч-
ное То — Л что То |== ф. Это означает существование такого на-
турального N, что ф истинна на всех абелевых группах, удовле-
творяющих условию Vx3y \пу = х] для п = 2, ..., N. (Эта часть,
доказательства является общей для многих доказательств.) Рас-
смотрим первый попавшийся пример, пусть Zp— группа целых
чисел по модулю р для некоторого простого р > .V. Группа Zp,
является моделью для УхЗу[пу = х] при п < р, так как отобра-
жение, переводящее х в пх, однозначно, следовательно, есть ото-
бражение на. Таким образом, ф истинно в Zp. Однако Zp не-
полна, так как рх = 0 для всех хе Zp. □
Доказательство предложения 2.2 оставляем читателю, так
как оно очень похоже на доказательство предложения 2.1.
Доказательство предложения 2.3. Пусть G =
= <G, +, 0> — произвольная (возможно, периодическая) группа
такая, что для каждого п существует элемент хп е G порядка
п. Например, G может быть прямой суммой всех Zp по всем
простым р. Мы покажем, что существует непериодическая груп-
па Н, удовлетворяющая в точности тем же предложениям логики
первого порядка, что и G. Опять используем теорему компактно-
сти, на этот раз ее первый вариант. Возьмем новый константный
символ с, и пусть Т состоит из всех предложений (не содержа-
щих с), истинных в группе <G, +, 0>, плюс предложения 2с =# О,
Зс #= 0, 4с #= 0 и т. д. Таким образом, Т — множество предложе-
ний языка, который имеет имя с для нового выделенного эле-
мента. Если Н = (Н, +, 0, с> удовлетворяет всем аксиомам Т,
то (Ji, +, 0> будет группой, на которой выполняются все ак-
§ 2. ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 19
сиимы, выполняющиеся на G, однако Н не будет периодической,
поскольку выделенный элемент с имеет бесконечный порядок.
Осталось показать, что существует Н, являющаяся моделью для Т,
По теореме компактности достаточно найти модель для каждого
конечного Однако это просто. Для заданного То пусть
N—наибольшее из таких и, что предложение пс =/= О содер-
жится в То. Тогда можем использовать xNt чтобы сделать То ис-
тинным, т. е. То истинно в группе <G, +, 0, xN) с выделенным
элементом xN, так как порядок xN не меньше N. □
Действительные числа
Наша первая серия примеров относилась к целым классам
•систем, теперь мы обратимся к одной конкретной системе, упо-
рядоченному полю R = <R, +, •, <, 0, 1> вещественных чисел.
Большинство изучающих анализ знакомо с построением R и
с доказательством того, что некоторые аксиомы характеризуют
R с точностью до изоморфизма. Но эти аксиомы невыразимы в
логике первого порядка.
2.6. Предложение. Не существует множество аксиом ло-
гики первого порядка, характеризующих R с точностью до изо-
морфизма.
Доказательство. По замечанию после 2.5 множество
предложений, истинных в R, счетно. По теореме Лёвенгейма —
Скулема это множество имеет счетную модель. □
Так как теорема Лёвенгейма — Скулема верна и для слабой
логики второго порядка, доказательство 2.6 показывает, что су-
ществует счетное поле с теми же выражающимися в слабой ло-
гике второго порядка свойствами, что и R, среди которых имеет-
ся аксиома Архймеда
Vx3n [х ^nl],
где п\ — терм ((1 + 1)+ ... + 1), как и ранее. Это является
п раз
утверждением слабой логики второго порядка, так как квантор
Эи действует не на элементах произвольной модели, а на нату-
ральных числах.
Доказательство 2.6 вводит в заблужение, поскольку оно соз-
дает впечатление, что приходится иметь дело с существованием
неопределимых вещественных чисел, так как имеется больше ве-
щественных чисел, чем возможно определить в логике первого
порядка со счетным числом символов. Мы можем исправить это
впечатление, доказав аналогичный результат для обогащенной
системы <₽,+,*,<, 0ге=р, где каждое вещественное число г
трактуется как выделенный элемент и ему присваивается имя (т. е.
Константный символ). Мы продолжаем эту (слегка путающую),
20
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
практику использования одной и той же буквы для обозначения
объекта и его имени.
2.7. П р едложение. Существует неархимедово поле *R,
расширяющее R, которое удовлетворяет всем предложениям ло-
гики первого порядка, истинным в R, даже если мы позволяем
присваивать имена всем вещественным числам.
Доказательство. Доказательство аналогично доказа-
тельству предложения 2.3, но фактически проще его. Мы возь-
мем новый константный символ с и пишем предложение
с > г
для всех вещественных чисел г, К этим предложениям добав-
ляем все предложения логики первого порядка, истинные на R.
По теореме компактности эти множества предложений имеют
модель *R. Мы можем рассмотреть R как подмодель *R. По-
скольку аксиомы поля истинны в R, они также истинны в *R. □
Большинство теорем исчисления выражается в логике первого
порядка, так что они сохраняются в *R. Таким образом, теоре-
ма 2.5 — далеко не отрицательный результат и фактически яв-
ляется основанием анализа бесконечно малых или, другими сло-
вами, «нестандартного анализа» Робинсона. (Элемент 1/с будет
положительным бесконечно малым.) Таким образом, не будет
большим преувеличением сказать, что придуманное Лейбницем
универсальное символическое исчисление привело в конечном
счете к оправданию использования им бесконечно малых в ис-
числении. Подробнее об этом см. главу 6, в частности п. 1.1.
В силу предложения 2.7 естественно задать вопрос: какая из
обычных аксиом вещественных чисел не является аксиомой ло-
гики первого порядка? Ответ такой: аксиома полноты,
VX R [если ХУ=0 ограниченно, то X имеет
наименьшую верхнюю грань]
Это не является предложением логики первого порядка, так как
квантор общности пробегает множество всех подмножеств X
множества R. Следовательно, доказательство единственности
множества вещественных чисел на «самом деле относится к уни-
версуму теории множеств.
Кольца и поля
Как мы увидели, полнота поля вещественных чисел невыра-
зима в логике первого порядка. Мы закончим введение в логику
первого порядка рассмотрением некоторых свойств колец и по-
лей, которые выражаются в логике первого порядка.
В этом обсуждении наш основной язык (или словарь) L
имеет нелогические символы +, •, 0, 1. Основные аксиомы для
§ 2. ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2Г
коммутативных колец с единицей состоят из приведенных выше
(1) — (4) (аксиомы абелевой группы) плюс следующие аксиомы,
выразимые в логике первого порядка:
VxVz/ [х • у = у • х],
У/хЧуЧг [(х • у) • z = х • (у • г)],
VxVz/Vz [х • (у + г) = (х • у) + (х • г)],
Vx [х • 1 =х],
0=/=1.
Кольцо W = (/?,+, •, 0, 1) является областью целостности, если
оно является моделью для
VxVt/ [х • z/ = 0->(x = 0V У — 0)].
Прежде чем перейти к полям, сделаем паузу, слегка коснув-
шись теории колец, а именно понятия идеала. Собственный идеал
коммутативного кольца 81 = </?, +, *, 0, 1> — это непустое соб-
ственное подмножество I /?, которое является подгруппой ад-
дитивной группы кольца 81 так, что для всех хе/? и всех у ^ /
имеем х-у <= /. Для того чтобы выразить это в логике первого по-
рядка, добавим имя для I и рассмотрим систему вида (81, /)
(/?,+,-, 0, 1,/>. Тогда I — идеал кольца 81, если (81,/) —
модель для следующих четырех аксиом. Чтобы не затрагивать
теорию множеств, мы понимаем / как одноместное отношение и
пишем / (х) вместо хе/. Две средние аксиомы утверждают, что
1 является подгруппой относительно +; последняя утверждает,
что / замкнута относительно умножения на элементы из Я:
/(0) А П/(1),
VxVz/ [I (х) A 7 (//)-> 7 (х + у)],
УхУу [7 (х) Д х + у = 0 -> / («/)],
VxVz/[7 (//)-> 7 (х •//)].
Идеал / является простым идеалом, если (81, /) — модель для
VxVz/ [/ (х • у) -> / (х) V / (у)].
До сих пор было так: либо естественное определение понятия за-
писывалось в языке первого порядка, либо мы были в состоянии
показать, что данное понятие невыразимо в логике первого по-
рядка. Это не всегда так просто. В самом деле, некоторые из
наиболее полезных приложений логических средств (как, напри-
мер, ультрапроизведения) связаны с нахождением некоторого
эквивалента в логике первого порядка для понятия, которое не-
посредственно в ней не выразимо. Это часто нетривиально, од-
нако мы дадим лишь один простой пример. Другие примеры
можно найти в главах 3 и 4.
22
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Идеал I является максимальным идеалом в 91, если (Я. /) -
модель для
V/[/ s / Д J — идеал-*/ = / или / = /?]. (9)
Это такое же предложение логики второго порядка, как и ак-
сиома полноты для вещественных чисел. Однако мы можем най-
ти эквивалентную ему аксиому в логике первого порядка, если
вспомнить лемму, утверждающую, что I максимален в том и
только в том случае, если фактор-кольцо 91// является полем.
Последнее означает, что для любого х, если х +1 не совпадает
го смежным классом 0 + /, то существует у такой, что
(х + /) (у + /) = 1 + /. Так как (х + /)•(// + /) = Х'У + Л мы
можем выразить (9) аксиомой
Vxn/(x)^3f/(x.f/ + /=l + /)],
которая детально записывается так:
Vx[~] /(x)-*3f/3z(Z(z) A xy-\-z = 1)]. (9)'
Несмотря на то, что формула (9)' теряет интуитивное содержа-
ние (9), она эквивалентна (9) и является формулой логики пер-
вого порядка, что очень важно.
Вот хорошее упражнение. Кольцо 91 является кольцом глав-
ных идеалов, если 91 есть модель для предложения логики вто-
рого порядка
V/ [/ — идеал -* 3xVy (/ (у) +-*Bz(y = zx))].
Это предложение имеет ту же общую форму, что и (9), но,
в отличие от (9), не может быть выражено в логике первого по-
рядка. Действительно, простые соображения компактности пока-
зывают, что существует кольцо 91 с теми же самыми выразимыми
в логике первого порядка свойствами, что и кольцо целых чисел
Z (записывается 91= Z), но 91 не является кольцом главных
идеалов.
Коммутативное кольцо 91 является полем, если 91 — модель
для
Vx3y [х=/=О-*х • у= 1].
Поле R имеет характеристику р (р — простое число), если
R — модель для
р1=0.
С другой стороны, /? — поле характеристики 0, если
Xfp [р простое-* р1=/=0]. (10)
Вы узнали предложение слабой логики второго порядка? Об-
ласть действия кванторов не над 91, а над простыми числами.
Поэтому мы должны представить (10) бесконечным списком
§ 2. ЛОГИКА ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2а
аксиом:
pi=/=o (10V
для каждого простого р. Результат, соответствующий предложе-
ниям 2.1 и 2.2, становится теперь более интересным. Доказа-
тельство подобно доказательству предложения 2.1.
2.8. Предложение. Любое предложение ф логики пер-
вого порядка, истинное во всех полях характеристики 0, истинна
во всех полях характеристики р для достаточно больших р, т. е.
для р, ббльишх некоторого N^.
Введем сокращения х2 для терма (х-х) и по индукции
xn+1 для (хл-х). Поле R алгебраически замкнуто, если оно яв-
ляется моделью для всех аксиом вида (и«/=0)
Vx0 • • • Vx„ [х„¥=0 -> By (хпуп + Xn-i!/"-1 + ... + х{у + х0 = 0)].
которые говорят, что каждый полином степени п имеет корень.
Теория множеств
Аксиомы для теории множеств, выразимые в логике первого
порядка, очень подробно обсуждались у Шенфилда. Основной
язык L теории множеств включает в себя только символ принад-
лежности е. К этим аксиомам пришли после тщательного ана-
лиза нашего неформального понятия образования множеств,
множеств, состоящих из множеств; множеств, состоящих из мно-
жеств, состоящих из множеств, и т. д. до бесконечности. Полу-
чившееся множество аксиом называется ZF по имени Цермело
и Френкеля. Первая аксиома ZF — это аксиома объемности: мно-
жество полностью определяется своими элементами. Это записы-
вается так:
VxVf/ [Vz (2EX*->2G #)-* X = у].
Свойства математических теорий
Различные теории первого порядка, которые мы обсуждали
ранее, имеют радикально разные свойства с логической точки
зрения. Упомянем некоторые из них.
Теория абелевых групп является разрешимой теорией, в то
время как теория групп неразрешима. Именно, можно дать эф-
фективную процедуру, которая по произвольному предложению
ф, включающему + и 0, скажет, является ли ф логическим след-
ствием (1) — (4), т. е. будет ли ф верно на всех абелевых груп-
пах. Для теории групп такой процедуры не может быть. Эти во-
просы разбираются в главе 1 «Теории рекурсии» и более полно
в главе 3 там же.
Теория алгебраически замкнутых полей фиксированной ха-
рактеристики является полной теорией, что означает, что любые
Два алгебраически замкнутых поля F\, F2 одной характеристики
24
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
имеют одни и те же свойства, выразимые в логике первого по-
рядка, т. е. Pi ss Гг- С другой стороны, большинство теорий, вы-
разимых в логике первого порядка, не являются полными. На-
пример, к теории колец мы можем добавить либо ЧхЗу [х#=0->
->х • у—\], либо его отрицание И Vx3#[x#=0—> х • #=1], получая
непротиворечивые теории. Это в точности означает тот три-
виальный факт, что некоторые кольца являются телами, а неко-
торые нет. Комбинируя упомянутую выше полноту теории
алгебраически замкнутых полей с теоремой о полноте, по теоре-
ме 7.2 из главы 1 «Теории рекурсии» получаем, что теория алге-
браически замкнутых полей характеристики 0 разрешима. Рас-
смотрим эффективную процедуру Р для определения того, яв-
ляется ли предложение, включающее +, •, 0, 1, следствием этой
теории. Поскольку все модели этой теории имеют одни и те же
свойства, выразимые в логике первого порядка, мы можем при-
менить Р для определения того, какие предложения, включаю-
щие +, •, 0, 1, верны в поле С = (С, +, •, 0, 1) комплексных
чисел. Это имеется в виду, когда говорят, что поле С комплекс-
ных чисел является разрешимой моделью.
Известная теорема Гёделя о неполноте показывает, что коль-
цо Z целых чисел неразрешимо. Так, любая механическая проце-
дура, которая пытается определить по предложению ф, включаю-
щему +, •, 0, 1, является ли оно верным в Z, должна ошибиться
для бесконечно многих предложений. Следствием этого является
то, что любой эффективный список Т верных аксиом Z, которые
мы можем написать, должен неизбежно дать неполную теорию
(поскольку в противном случае доказательство разрешимости С
подошло бы и для Z). На самом деле вторая теорема Гёделя о
неполноте показывает, как можно найти предложение ф, верное
в Z, но не являющееся следствием Т. Глава 1 «Теории доказа-
тельств и конструктивной математики» содержит тщательное об-
суждение теоремы Гёделя о неполноте. Эти результаты обычно
формулируются на языке системы N == <N, +, •, 0, 1> натураль-
ных чисел, а не на языке кольца Z. Стандартное определение Z
через N показывает, что результаты верны также для Z.
Имеется некоторое количество ,тем, которые можно было бы
сейчас рассмотреть, но более разумно предоставить этим темам
говорить самим за себя в последующих главах. В главе 2 об-
суждаются основы теории моделей для логики первого порядка.
В главе 3 рассматривается конструкция ультрапроизведения, ал-
гебраический вариант теоремы компактности. Глава 4 также
представляет особый интерес для алгебраистов, поскольку в ней
фактически рассматриваются теоретико-модельные аналоги по-
нятия «алгебраически замкнутый» и их применение в алгебре.
Фундаментальные результаты Акса и Кочена, а также Ершова
обсуждаются в обоих этих главах.
§ 3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 25
§ 3. Формализация логики первого порядка
Пусть L — фиксированное множество функциональных сим-
волов, предикатных символов и константных символов. Мы мо-
жем не ограничивать множество L, но обычно L конечное либо
счетно бесконечное. Каждому функциональному символу f е L
ставится в соответствие положительное целое число если
п = #(f), то f называется n-арным функциональным символом,.
Аналогично каждый предикатный символ е L связан с поло*
жительным целым числом #(/?); если n = ^p(R)t то R назы-
вается n-арным предикатным символом. Предикатные символы
называют также символами отношений.
Примеры. Язык *) L = {+, 0}, соответствующий теории
групп, не имеет предикатных символов и #(/) =2. Язык L =
= {е} теории множеств не имеет функциональных или кон-
стантных символов и #(е) = 2.
Если дан язык L, то имеется естественное понятие алгебраи-
ческой системы или просто системы для языка L. Под алгебраи-
ческой системой 2R понимается непустая совокупность М объек-
тов, которая является областью действия кванторов, вместе с ин-
терпретацией основных предикатных, функциональных и кон-
стантных символов из L.
3.1. Определение. Алгебраическая система для язы-
ка L есть пара SW = <Af, F>, где М— непустое множество и F —
отображение с областью определения L такое, что (пишем
вместо F(x))**):
(i) если L - n-арный предикатный символ, то R*1 s Мп;
(ii) если f^L — n-арный функциональный символ, то
f®: Мп-+М;
(iii) если с е L — константный символ, то с^^М.
Будем записывать ЭИ как (М, 7?3®, ..., ..., с\ ...).
Приведенное выше понятие можно назвать «теоретико-множе-
ственным», так как иногда желательно рассматривать более об-
щее понятие системы, в котором М может и не быть множеством-
Например, естественная система SD? для языка L = {е} теории
множеств идоеет в качестве М совокупность V всех множеств, ко-
торая сама не является множеством. Однако вследствие теоремы
о полноте любая совокупность аксиом, имеющая модель в каком-
то приемлемом смысле, имеет не очень большую, в разумном
смысле, теоретико-множественную модель. Начиная с этого ме*
ста, будем рассматривать только теоретико-множественные алге*
браические системы.
*) В советской литературе вместо термина «язык» чаще используется
термин «сигнатура». — Прим. ред.
**) Множество М в дальнейшем называется носителем или основным
множеством системы ЗИ. — Прим, ред,
26
ГЛ. t. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Пример. Если L = {+, 0} — язык теории групп, то система
для L имеет вид ЗЯ = (М, +м, 0м), где М — непустое множе-
ство, МХМ-+М и 0м ^М. Обычно используем G вме-
сто Э? и опускаем надстрочные символы.
Обратимся к синтаксическим понятиям логики первого по-
рядка. Напомним основные строительные блоки A, V, “Ъ ->, =>
V, В, х, у, z,..., упомянутые ранее в § 2. Пусть L — фиксиро-
ванный язык. Всякая конечная последовательность, элементами
которой являются основные символы или элементы L, называет-
ся выражением. Из множества выражений выделим те выраже-
ния, которым можно придать смысл
3.2. Определение. Термы языка L образуют наимень-
шее множество выражений, содержащее х, у, г, ..., все кон-
стантные символы L (если таковые имеются) и замкнутое отно-
сительно правила образования- если , tn — термы L и если
/ е L — n-местный функциональный символ, то выражение
f (<i ... tn) является термом языка L. Терм, не содержащий пере-
менных, называется замкнутым.
Если в L нет функциональных символов, то правило образо-
вания термов бессодержательно и множество термов состоит
только из переменных и константных символов.
Пример. Если L = {+, 0}, то, строго говоря, термами яв-
ляются выражения вида
+ Ш + (0 + (х0)).
Естественно сокращать эти выражения так:
х + у, 0 + (х + 0)
соответственно. Как и в § 2, мы используем их для сокращения
(... ((х + х) + х) + ... + х) для и > 1. Для этого языка замк-
п раз
нутыми термами являются выражения, построенные из 0 и +•
Они неинтересны с точки зрения теории групп.
3.3. Определение. Атомная формула языка L — это вы-
ражение одного из следующих двух видов:
(6=f2), R(t{'...,n),
где t\ и t2 — термы языка L, a R е L — произвольный п-местный
предикатный символ.
П р и м е р ы. В языке L = {+, 0} теории групп нет предикат-
ных символов, поэтому атомными формулами являются лишь
утверждения о равенстве термов, например, выражения вида
(х + у = г), (х + у = у + х), (х + у) + Z = х + (у + г).
В языке L = {е} теории множеств, в котором термы — это
переменные, атомными формулами являются формулы вида
§ 3. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
27
(и = w) и e(vw) для переменных и, w. Последнюю мы записы-
ваем v е w.
3.4. Определение. Формулы первого порядка языка L
образуют наименьшее множество выражений, содержащее атом-
ные формулы и замкнутое относительно следующего правила об-
разования:
(i) если ф, ф — формулы, то выражения
"I ф, (ф А 4). (ф V 4). (ф-> t)
также являются формулами;
(ii) если ф — формула и v — переменная, то (Зцф) и (Угдр)
также являются формулами.
В выражениях, где один и тот же символ повторяется, скобки
только подразумеваются. Так, например, ф А ф А 0 есть (ф А
Л (Ф Л0)) и ф->ф->0 есть (ф->(ф->0)).
Пример. Пусть L = {+, 0}. Следующие выражения яв-
ляются формулами:
(х + У = 0),
(3f/(x + z/==0)),
(Vx(3r/(x+*/ = 0))).
Последняя формула — это более формальная запись предло-
жения (3) из § 2. Заметим, что в первой формуле обе перемен-
ные х и у как бы «свободно плавают», во второй формуле у «ог-
раничена сверху» символом 3 и в последней формуле обе пере-
менные х и у «ограничены». Лишь последняя формула интуитив-
но воспринимается как аксиома. Аналогичная ситуация имеется
в анализе, где х2 + 2х + 1 является выражением, содержащим
переменную, однако в выражении
1
J(x2 + 2x+l)^x
о
х «ограничена» в том смысле, что выражение не зависит от х.
Определенный интеграл выполняет ту же синтаксическую роль,
какую играют кванторы 3 и V. Следующее определение, вве-
денное индукцией по длине формул, делает понятие «свободной
переменной» точным.
3.5. Определение. Множество FV(ф) свободных пере-
менных формулы ф определяется следующим образом:
(i) Если ф — атомная формула, то ЕУ(ф) есть в точности
множество переменных, встречающихся в ф;
(ii) FV П ф) = FV (ф);
(iii) РУ(фЛФ) = РУ(ф V Ф) = РУ(ф~>Ф) =РУ(ф) II РУ(Ф)1
(iv) FV (Зуф) = FV (Уцф) = FV (ф) - {у}.
28
ГЛ Е ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Обычная практика использования записи ф(уь ..., ип) озна-
чает, что FV(qp)^ {vi, ..., vn} и, возможно, не все Уь ...» vn яв-
ляются действительно свободными в <р. Это подобно тому, как в
алгебре, записывая в виде р(хь хп) полином р от перемен-
ных Xi, ..., хп, мы не предполагаем, что все коэффициенты не-
нулевые.
3.6. Определение. Предложением (первого порядка)
языка L называется формула, не содержащая свободных пере-
менных.
До сих пор термы, формулы и предложения языка L являлись
просто конечными совокупностями символов. Нам надо удостове-
риться в том, что если мы припишем заданные значения нашим
логическим символам, то формулы § 2 выражают то, что мы
подразумеваем. Это делается с помощью определения отношения
выполнимости ЭЛ ф между системами, с одной стороны (сле-
ва), и предложениями, с другой.
Пусть ЭЛ = (М, .. .> — система для языка L. Интерпретация
в ЭЛ есть функция s с областью определения, равной множеству
переменных языка L, и областью значений, равной подмноже-
ству М. Мы понимаем s как приписывание значения s(a) пере-
менной v. Мы можем теперь определить для каждого терма t
языка L функцию 1®9 которая отображает интерпретации на эле-
менты М.
3.7. Определение. Пусть дана система Af. Для терма t
языка L определим № следующим образом:
(i) если t — константный символ с, то ($) = с®1;
(и) если / — переменная v> то Zan(s) = s(y) для всех
(iii) если / — терм f(t{, ..., /Д то для всех s определяем
|',ы = г«"ы......«(S)).
Так как каждый из 6, ..., tn в (iii) проще, чем /, мы можем до-
пускать индукцией по сложности термов, что термы ...» /^
уже определены. Значение f®1 определено, так как ЭЛ — алге-
браическая система для языка Ь,и f е L. Читатель может прове-
рить, что если si(c/) = s2(t/) для всех переменных с/, входящих в*
t, то (s1) = /®l(s2). Таким образом, /^ как функция зависит
только от конечного числа значений ее аргумента s.
Пример. Пусть L — язык колец, и пусть t — терм или по-
лином
х2 + 2х+ 1.
Тогда Р для любого кольца Ж есть соответствующая функция
из Э? в й. Если s(x) = а, то t®1 (s) =а + 2а + 1, причем опера-»
щии + и • будут те же, что и в кольце
§ а ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
29
В последующем определении мы используем^ J для обо-
значения интерпретации s', которая совпадает с s, за исключе-
нием s'(v) — а.
3.8. О п р е д е л е н и е. Пусть ЭИ— L-система. Для всех ин-
терпретаций s и всех формул ср мы определяем отношение
эйНфЫ
(читается: формула <р истинна или удовлетворяется в 2Я при ин-
терпретации $) следующим образом:
(i) Эй |= (G =/2) [$] равносильно t^1 (s) = tf (s);
(ii) 3R\=R(th ..., tn)[s] равносильно (/^(s), ...» /„(s))e
<= /?*”;
(iii) Эй h= П qp [s] равносильно тому, что неверно ЭйНфЫ;
(iv) Эй Н= (ф А ф) [s] равносильно Эй Н ф (s) и Эй (= ф (s);
(v) 9й|=(ф V ф) [$] равносильно либо Эй |== ф [$], либо ЭЙН
Н ф [$], либо и то, и другое;
(vi) 9йр=(ф—>ф)[$] равносильно тому, что либо не выпол-
няется Эй [= ф [s], либо Эй f= Ф [$];
(vii) Эй Н (Зиф) [s] равносильно существованию а М такого
что 9Й[=Ф
(viii) Эйh3(Vt/ф)[s] равносильно тому, что для всех аеМ
имеет место Эй |== (р ° J.
В этом определении нет ничего неожиданного. Это только
подтверждает нашу уверенность в том, что все символы озна-
чают то, что мы хотим от них. Возможно, некоторое смущение
вызывает использование в (i) нами = в качестве действитель-
ного равенства (с правой стороны) и в качестве символа для ра-
венства (с левой стороны). Многим авторам это не нравится, и
они используют в качестве символа для равенства нечто вроде
= или
Читатель должен заметить, что справедливость S311= ф [s] за-
висит только от значений s(u) для переменных, которые действи-
тельно свободны в ф. Это означает, что если Si(v) = s2(u) для
всех и, сврбодных в ф, то ЗИН Фt^i] тогда и только тогда, когда
эд^:ф[$2], Таким образом, если ф есть ф(У1, ..., vn) и ai =
= s(ui), ..., an=s(vn)t то мы можем без смущения писать9И|=
Н ф (ль ...» а«) вместо ЭИ [= ф [s]. Точно так же, если ф — пред-
ложение, то истинность или ложность ЭИ(=ф[$] совершенно не
зависит от s. Поэтому мы будем писать 9И|= ф (читается: ЭИ яв-
ляется моделью ф или ЭИ удовлетворяет ф), если для какой-
30
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
нибудь (следовательно, для каждой) интерпретации s имеет ме-
сто 2R <р [s].
Если ф(ц)—формула и t — терм, то ф(//о) (или проще-
ф(/)) означает результат замены всевозможных свободных вхо-
ждений переменной v термом t. Используя это обозначение, мы
всегда предполагаем, что ни одна из переменных в t не может
быть связанной переменной в ф. Если это будет не так, мы все-
гда можем переименовать связанные переменные, иначе мы бы
исказили значение ф(/). Например, если t есть w, а ф(и) есть
Bu>(v=/=tt>), то ф(/) должно утверждать zw'(w ф w'), а не
3w(w^w).
Система является моделью множества Ф предложений,,
если SW Н ф для всех феФ. Если даны две системы SW, 91 для
языка L, то мы говорим, что ЯЛ и 91 элементарно эквивалентны, и
пишем я Л, если и только если для всех предложений ф язы-
ка L5B ф равносильно 911= <р. Если SD? 91 (т. е. 9Й изоморфна
К в обычном смысле), то 9Й я 91. Наконец, пусть УС — класс си-
стем для языка L. Класс УС (конечно) аксиоматизируем, если су-
ществует (конечное) множество Ф предложений языка L, выра-
зимых в логике первого порядка, такое, что для любой модели
SW е УС тогда и только тогда, когда SW является моделью Ф.
Это согласуется с нашей терминологией в § 2. Некоторые ав-
торы называют конечно аксиоматизируемый класс элементарным
классом или ЕС-классов. Тогда им приходится называть аксио-
матизируемый класс элементарным в широком смысле или
ЕС^-классом.
§ 4. Теорема о полноте
Несомненно, самым важным открытием древних греков в об-
ласти математики было понятие доказательства, что превра-
щало математику в дедуктивную науку. Каждая теорема ф дол*
жна иметь доказательство из множества Т более или менее ясно
сформулированных предложений или аксиом. Доказательство
должно показать, что заключение ф следует из аксиом в Т толь-
ко по законам логики.
Само собой разумеется, что математик понимает, что такое
доказательство, и, в частности, он сможет строго проверить, в
действительности ли представленное полное доказательство
устанавливает заключение из данных предположений. Возникает
естественный вопрос: могут ли понятия «законы логики» и «дока-
зательства» быть математически точными?
В этом параграфе мы хотим показать, что математически точ-
ное понятие «ф доказуемо из Т» совершенно поглощает интуитив-
ное понятие «ф следует из Т только по законам логики» для ф
и Т, выразимых в логике первого порядка. Более полно, мы хо-
§ 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
31
тим запастись конкретным множеством заведомо верных пра-
вил вывода таких, что ф следует из Т только по законам логики,
если и только если существует доказательство ф из аксиом Г,
которое использует только допустимые правила вывода.
Существует кажущееся препятствие к осуществлению нашей
программы. Как мы можем надеяться доказать такой результат,
не зная правильно, что значит следовать только по законам ло-
гики? К счастью, нам не нужно это знать. Все, что нам нужно, —
это согласиться, что ф будет верной во всех алгебраических си-
стемах, которые являются моделями Г, что означает Т |= ф.
Итак, чтобы реализовать нашу цель, более чем достаточно по-
казать, что Т |= ф, если и только если ф можно доказать из Т.
Это и есть содержание теоремы Гёделя о полноте.
План этого параграфа следующий. В 4.1 и 4.2 мы обращаем
внимание на так называемую логику высказываний. В 4.3—4.8
мы обсуждаем возникший по существу благодаря Генкину метод
сведения некоторых проблем логики первого порядка к пробле-
мам в логике высказываний. Доказательства теоремы компакт-
ности и теоремы Лёвенгейма — Скулема даются этим методом.
В конце параграфа мы представляем два различных варианта
теоремы Гёделя о полноте, которые следуют из 4.8, для фор-
мальной системы гильбертовского типа (4.9) и для формальной
системы генценовского типа (4.13).
Логика высказываний
Удобно разделить изучение логики первого порядка на две
части: тривиальную часть, относящуюся к пропозициональным
связкам A, V, П, и часть, связанную с равенством и кванто-
рами V и 3.
Пусть Р — множество объектов, называемых первичными
формулами. Они могут быть предложениями какого-то естествен-
ного языка или, например, буквами р, q, г, ... алфавита. В на-
шем приложении они будут теми формулами логики первого по-
рядка, которые не являются пропозициональными комбинациями
более простых формул, т. е. атомными формулами и формулами,
начинающимися с кванторов. Множество пропозициональных
формул над Р — это наименьшее множество, содержащее эле-
менты Р и замкнутое относительно правил: если 4, В — пропо-
зициональные формулы, то таковыми являются “14, (4 А В),
(4УВ) и (4->В). Элементарными составляющими пропози-
циональной формулы 4 являются просто первичные формулы, из
которых состоит 4.
Примеры. Пусть Р = {р, q, г}. Следующие выражения яв-
ляются пропозициональными формулами над Р:
Р, q, (Р V q), (q V р), ((р V q)-*(qv р)).
32
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Мы хотим точно показать, как истинность или ложность про-
позициональной формулы зависит от истинности или ложности
ее элементарных составляющих. Тогда, сделав еще один шаг, мы
^можем показать, как решать, какие пропозициональные фор-
мулы всегда истинны независимо от истинности или ложности их
элементарных составляющих; такими являются, например, фор*
мулы вида (pV~lp), (((р->?) А 1 q) -> ~] р) и т. д. Такие
формулы называются < пропозициональными тавтологиями, так
как они справедливы только благодаря своей синтаксической
форме. Эти тавтологии обеспечивают небольшой первый шаг в
выделении законов логики.
Пусть t и f — различные новые символы, которые нужно по-
нимать как «истина» и «ложь». Истинностная оценка на множе-
стве Р первичных формул есть по определению функция v:
-»• {t, f}. Для каждой истинностной оценки v мы определяем рас-
ширение v на множество всех пропозициональных формул над
Р индукцией по длине формулы следующим образом:
v(i4) = vG4), если А элементарная;
Г f> если ^) = t>
( t, если у(Л) — f;
-/л л Г если v(A)==v(B) = t,
(I в противном случае;
{t, если v (А) = t или v (В) = t, или и то, и другое,
I в противном случае;
Построенная таблица истинности позволяет полностью ана-
лизировать, как зависит истинность или ложность препозицион-
ных формул от истинности или ложности элементарных состав-
ляющих. Мы иллюстрируем метод для формулы
<(-\(pA~\q)Aq)->p).
§ 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
33
Мы опускаем в таблице некоторые символы t.
Р q n q P Л 1 q 1 (P A 1 л (p Л “1 q) A q (“1 (p A 1 q) A q'-*P
t t t f f t 4 f f f f f f f f f f
Таким образом, единственный случай, когда заключительная
формула ложна, — это когда р ложна, a q истинна.
4.1. Определение. Пропозициональная формула А над
Р является тавтологией, если v(X) = t при всех истинностных
оценках v: Р-*• {t, f}. Формула А совместна, если у(Д) =t для
некоторого v: {t, f}.
С помощью таблиц истинности можно легко установить, яв-
ляется пропозициональная формула тавтологией или нет или же
совместна она или нет. Если писать А В вместо (Д В) А
[А (В->Д), то мы видим, что следующие формулы являются тав-
тологиями:
А V "1 А (закон исключенного третьего),
П (Д А “~| Д) (закон противоречия),
П(Д ЛВ)->(~]Д vnsn ,
1 (Л V В)« П А Л -I В) J (зак0вы де Морга"а)’
П "1 А А (закон двойного отрицания).
Для того чтобы убедиться, что метод таблиц истинности яв-
ляется совершенно простым, мы приводим пример с тремя эле-
ментарными составляющими р, q, г:
2 Справочная книга2 ч. I
34
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Так как «ложь» отсутствует в последней колонке, формула
действительно является тавтологией.
На практике существует более короткий метод проверки того,
является ли формула тавтологией или нет. Работая в обратном
направлении, нужно пытаться находить подходящую оценку, ко-
торая делала бы формулу ложной. На самом деле, чтобы [Д А
!АВ] ->С была ложной, необходимо иметь v (Д) = v(B) = t, а
v(C) = f. Чтобы v (С) = f, мы должны иметьу(р) — t, v(r) = f.
Чтобы v(B) =t, нужно v(q) = t, так как v(~lr) = t. Но тогда
получается v (р) = v (р) = t, a v(r) = f. откуда г(Д) = f, что
дает противоречие. Таким образом, вышеприведенная формула
является тавтологией.
Множество Т пропозициональных формул называется сов-
местным (в смысле логики высказываний), если существует та-
кая истинностная оценка, что у(Д) = t для всех ДеГ
4.2. Теорема компактности для логики выска-
зываний. Множество Т пропозициональных формул совместно
тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество Т
совместно.
Доказательство. Мы приведем два доказательства не-
тривиальной части.
Первое доказательство. Для удобства в этом доказательстве
будем называть множество 3 конечно совместным, если каждое
конечное подмножество 3 совместно. Мы докажем, что каждое
конечно совместное множество совместно. Назовем 3 максималь-
ным конечно совместным, если 3 конечно совместно и для каж-
дой формулы А либо Д eS, либо (~1Д) е 3
Существует естественное соответствие между истинностными
оценками v и максимальными конечно совместными множества-
ми. Произвольной v сопоставим множество Sv = {Д | у(Д) = t}.
Это множество является максимальным конечно совместным.
Наоборот, пусть дано максимальное конечно совместное множе-
ство 3, определим v(p) = t, если р е S; v(p) = f, если р ф 3.
Следующие утверждения непосредственно выводятся из того, что
3 — максимальное конечно совместное множество, и влекут (ин-
дукцией по формулам Д), что 3 = Sv:
B^S
(AhB)zS
(Д V В) е 3
(Д->5)еЗ
эквивалентно
эквивалентно
эквивалентно
эквивалентно
П в) ф S,
A^S и В 3,
ДеЗ или В е 3,
Д 0 S или В е 3.
Например, докажем, что (Д V В) g 3 влечег Д е 3 или В е S.
Допустим, что это неверно. Тогда (ДУ В) еЗ, но (~1Д)
еЗ в силу максимальности. Но тогда {(ДУ В), ПД,
§ 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
35
f7\UMn},
"+I I Тп и {-] Ап}
ПВ} — конечное несовместное подмножество S, получили проти-
воречие.
Сделанные выше замечания показывают, что доказательство
совместности конечно совместного множества Т эквивалентно
нахождению максимального конечно совместного множества
S Т. Мы покажем, как строить такое S в случае, когда основ-
ное множество Р первичных формул счетно. По существу то же
самое доказательство работает, когда Р вполне упорядочено, и,
следовательно, по аксиоме выбора оно годится для всех Р. До-
казательство для вполне упорядоченных множеств Р не нуж-
дается в аксиоме выбора.
Если Р счетно, то мы можем занумеровать множество всех
его формул: А\, А2, ..., Лл, ... Определим
... £ Ле ... следующим образом:
т0=Т;
если это множество конечно совместно,
в противном случае.
Пусть S = U Тп. Очевидно, Т S и для каждого А либо
либо (~1Л)^5. Для завершения доказательства нам
нужно только показать, что каждое Тп и, следовательно, S ко-
нечно совместны. Это доказывается индукцией по п; для п = О
наше утверждение выполнено, так как Т конечно совместно.
Предположим, что Тп конечно совместно, и докажем, что Тп+\
конечно совместно.
Случай 1. Тп+\ = Тп U РМ, Тп+\ по определению конечно сов-
местно.
Случай 2. 7\+i = U Это может произойти, только
когда существует конечное подмножество Т'п с Тп такое, что
KU{An} несовместно. Предположим, что Tn+i не является ко-
нечно совместным. Тогда существует конечное подмножество
Тп^Тп такое, что Т„и{ПЛп} несовместно. Но тогда Т'п U Т'п
будучи конечным подмножеством Тп, совместно. Любая оценка v,
делающая все элементы Т'п U Т'п истинными, должна делать ис-
тинной либо Ап, либо что противоречит несовместности
Т'п\}{Ап} и т{-\Ап}.
Таким образом, в обоих случаях Тп+\ является конечно сов-
местным. Это заканчивает доказательство.
Второе доказательство. Мы можем дать более короткое до-
казательство, используя теорему Тихонова. Правда, оно скры-
вает основную идею конструкции и тем самым менее пригодно
для других конструкций в теории моделей. Пусть 2 = {t, f} —
двухэлементное пространство с дискретной топологией, и пусть
X = 2Р — пространство всех истинностных оценок над Р с тихо-
новской топологией. По теореме Тихонова X — компактное хаус-
ам
36
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
дорфово пространство. Следовательно, если —
снабженное индексами семейство замкнутых подмножеств и если
П Fi — 0, то существует конечное /0 / такое, что
i е= /
П Fi = 0. Для каждой пропозициональной формулы А пусть
i €= /о
Fa = {v е X | v(4) = t}. Мы утверждаем, что каждое Fa
является открыто-замкнутым в X. Для первичной формулы
А = р Fp открыто по определению топологии на произведении.
Но X — Fp = {v | v(p) = f} также открыто по определению, та-
ким образом, Fp открыто-замкнуто. Для более сложных формул
утверждение доказывается индукцией по длине формулы и с по-
мощью следующих равенств:
F(a у в) = Fa U Fb, F^a /\в)~ F а{\ Fb,
F(a->b) = Fb — Fa, F-]a = X — Fa-
Это доказывает данное утверждение. Пусть теперь Т такое, как
в теореме. По предположению, для каждого конечного TQ Т
существует v, которая делает все <р е TQ истинными, т. е.
П ^л#=0- Ввиду компактности X Q 0. Итак, сущест-
Л £ Го А Т
вует истинностная оценка v, делающая все А<=Т истинными. □
Стандартным примером простого применения теоремы ком-
пактности для логики высказываний является доказательство
того, что если бесконечная карта не может быть раскрашена k
красками, то некоторая конечная подкарта не может быть рас-
крашена k красками. Чтобы доказать это, каждой «стране» на
карте присваивается k первичных формул по одной для каждого
цвета и выписываются тривиальные «аксиомы», утверждающие,
что каждая страна делает «истинным» ровно один цвет и сосед-
ние страны делают «истинными» разные цвета. Другим приме-
ром является доказательство теоремы Тихонова для 2Р, исполь-
зующее доказательство теоремы компактности.
Использование констант Генкина для сведения логики
первого порядка к логике высказываний
В этом разделе мы применяем понятия логики высказываний
к логике первого порядка. Если дан язык L, то пусть Р будет
множество формул языка L, которые либо являются атомными,
либо начинаются с V или В. Таким образом, тавтологией ло-
гики первого порядка является любая формула, которая верна
независимо от истинностной оценки для первичных формул. На-
пример, следующие формулы являются тавтологиями:
Vx 7? (х) V Vx R (х),
П (Vx/? (х) Д BxS (х)) (П Vx/? (х) V П Эх5 (х)),
§ 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
37
а следующие формулы не являются тавтологиями:
(с = с),
Vx(fl(x)) V "1Я(х)),
~] 3x3 (х) -► Vx “] S (х).
Первые две формулы являются первичными, третья имеет вид
р -> q для первичных р и q. Мы видим, что тавтологии логики
первого порядка поверхностно касаются всей совокупности «за-
конов логики».
Сформулируем одну очевидную лемму.
4.3. Лемма. Пусть 5Й = <А1, .. .> — алгебраическая система
для языка L, и пусть s — интерпретация в SR, т. е. функция, ото-
бражающая переменные языка L в М. Существует истинная
оценка у первичных формул языка L такая, что для всех формул
<р языка L |= ср [s], если и только если \>(ф) = t. В частности,
любое множество предложений, истинное в 9R, совместно в смы-
сле логики высказываний.
Доказательство. Для первичной формулы ф определим
л>(ф) =t, если ЗЭТИ=ф[$], в противном случае v^) = f. Так как
каждая формула строится из первичных формул посредством
пропозициональных связок, заключение теоремы очевидно. □
Обратное утверждение неверно. Например, следующее множе-
ство предложений совместно’в смысле логики высказываний
(оно состоит из первичных формул), но не имеет модели:
(Vx (/? (х) S (х)), Vx/? (х), Эх “1 S (х)).
Это произошло из-за того, что не было анализа кванторной
структуры предложений.
4.4. Аксиомы равенства. Аксиомы равенства следую-
щие (здесь и, w, щ, ... обозначают переменные и символы кон-
стант языка L):
(и = и),
(u = w)-+(w— и),
(щ = и2/\и2 = и3) -> («1 = н3),
(lZ1 = W1A ... д un = wn) ->(/?(«!... un)-+R(w{ ... wn)),
(щ = Wi A ... Л un = wn)(t (щ ... un) = t(wl ... wn)),
ТД& R — произвольный n-местный предикатный символ языка L
и t — произвольный n-местный терм языка L. Аксиомы равенства
являются верными в том смысле, что для любой аксиомы ф, лю-
бой модели 9R и любой интерпретации s 2Я|=Ф Is] • Последние че-
тыре аксиомы равенства можно назвать законами Лейбница.
Свидетельское расширение L(C) языка L строится так. Пусть
Со = 0, и если Сп определено, то пусть Ln = L U Сп. Для каж*
38
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
дой формулы <р(и) языка Lo с одной свободной переменной пусть
c<p(v) будет новым константным символом, и пусть Ci будет мно-
жеством всех таких с^. Пусть задано Сп, выберем различные
новые константные символы Cq(v) для каждой формулы <р(и) язы-
ка Ьл, не являющейся формулой языка Ln-i (т. е. некоторая кон-
станта из Сп содержится в <р). Пусть Cn+i будет Сп, объединен-
ное с множеством всех новых с^. Пусть С = U Сп, и пусть
L(C) = LUC.
4.5. Определение. Константный символ называется
константой-свидетелем, а предложения
I (Заф(а))->ф(сф (о)),
11 фСпфю)-*^^)
называются аксиомами Генкина типа I и II.
Неформальная идея, кроющаяся за аксиомами Генкина, со-
вершенно проста. Если Згчр (v) истинна в модели, находим эле-
мент а, удовлетворяющий ф(и), и присваиваем ему новое имя
сф(о). Если Vuqp(u) ложна, находим контрпример b и присваи-
ваем ему новое имя с-|ф(*о-
4.6. Определение. THenkin есть по определению множе-
ство всех предложений L(C), которые либо являются аксиомами
Генкина, либо имеют вид
III Vu<p(u)-xp (/), / -—замкнутый терм языка L (С);
IV ф(/)->Зиф(и), / -—замкнутый терм языка L (С).
Две последние формулы называются кванторными аксиомами^
Их неформальный смысл очевиден.
Множество ?Henkin не выполняется в каждой L (С)-системе, но
следующая лемма показывает, что каждую L-систему можно
превратить в L(С) -систему, которая будет моделью теории.
T^Henkin, используя идеи, которые мы высказали после 4.5.
Если L L7— языки, a 2JT = <A1, F') — алгебраическая си-
стема для языка L', то 2Я = (МF'\L> называется обеднением
ШТ до языка L и 2JT называется обогащением 2)1 до языка L'. Та-
ким образом, 2Я и 2JT отличаются тем, что в 2JT заданы символы
из L' — L.
4.7. Лемма. Пусть 2)1 — система для языка L, и пусть
L(C)—свидетельское обогащение L. Существует такая интер-
претация константных символов С на элементах 2Я, что получен-
ное обогащение 2JT является моделью Гнепнп.
Доказательство. Кванторные аксиомы типа III, IV на
самом деле выполняются, нам необходимо позаботиться об ак-
сиомах типа I, II. Предположим, мы смогли получить истинность
§ 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
39
аксиом типа I, и рассмотрим характерную аксиому типа II:
<Р (С~1Ф(О>) Vo(P (V>-
Допустим, что посылка выполняется на обогащении, а заключе-
ние нет. Но тогда 3v *"] ф(и) истина и по I Пф^-^»)) истинна, по-
лучили противоречие. Таким образом, если все аксиомы типа I
истинны, то и все аксиомы типа II тоже истинны.
Мы приступаем к заданию интерпретации констант из Сп на
элементах из М индукцией по п. Если c^vy е Сь то З^ф(у) яв-
ляется предложением языка L и, следовательно, имеет смысл в
ЮТ. Если ЭЛ[=Зиф(у), то выбираем некоторое а е Л4, так что
ЮТН ф(а), и положим c^{v} = a. Если ЭЛ Н П Зиф (и), то опреде-
ляем cf{v} произвольно. Это делает все аксиомы Генкина типа!
с гф(0) е Ci истинными. Но как только константы проинтерпрети-
рованы, все предложения языка Li = L (J Ci приобретают смысл,
•так что мы можем продолжить те же рассуждения и приписать
элементы из М константам е С2 и т. д. □
Каноническая система для L(C) — это система ЭЛ = <Л4,.. .>
такая, что каждое а <= М есть значение некоторой с е С, т. е.
JW = С}. Множество Eq, упомянутое в 4.8, есть множе-
ство аксиом равенства для языка L(C), которые являются пред-
ложениями L(C), т. е. не содержат переменных.
Следующая лемма может показаться технической, но эквива-
лентность (i) и (iii) показывает, что мы можем сводить проб-
лемы, относящиеся к моделям теорий первого порядка, к по су-
ществу тривиальным вопросам логики высказываний. Однако за
это приходится расплачиваться. Даже в случае, когда Т в (i)
конечно, пропозициональная теория в (iii) бесконечна.
4.8. Основная лемма (сведение к логике высказыва-
ний). Пусть L — язык первого порядка, и пусть L(C) —его сви-
детельское расширение. Для произвольного множества Т предло-
жений языка L следующие условия эквивалентны.
(i) Т имеет модель, т. е. существует L-система ЭЛ, которая яв-
ляется моделью для всех предложений Т\
(ii) существует каноническая L (С)-система ЭЛ, которая яв-
ляется моделью для всех предложений Т;
(iii) TUTHenkinllEq совместно в смысле логики высказываний.
Доказательство. Импликация (ii) ф (i) очевидна,
‘(i) =ф (iii) следует из леммы 4.3. Докажем (iii) => (ii). Пусть v—
истинностная оценка первичных предложений L(C) такая, что
л?(ф) =t для всех ф е Т U rHenkin U Eq. Мы построим канониче-
скую модель ЭЛ = <Л4, .. .> такую, что для всех предложений ф
языка L(C)
ЭЛ(=ф равносильно ^(ф) = 1.
Основное назначение Тнепкт — это обеспечить выполнимость для
40
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
v следующих условий:
v (Эщр (у)) = t равносильно v (ф (сф <о))) = t,
v(Vy<p(v)) = t равносильно v(<p(O) = t Для всех
замкнутых термов t языка L (С).
Условия, позволяющие нам строить модель ЗЭТ из констант в С„
аналогичны построению группы из порождающих (элементов С) и
определяющих соотношений (аксиом Т). Определяя 2Я, мы дол-
жны (а) построить носитель М для ЗЭТ, (Ь) для каждого ^-мест-
ного предикатного символа R е L определить n-местное отноше-
ние 7?^, интерпретирующее /?, (с) определить для каждого
n-местного функционального символа feL интерпретацию
f®: Мп->М и (d) определить для каждого константного сим-
вола с из L U С элемент с®1 М. Для построенной таким путем
системы ЗЭТ остается лишь проверить, что для всех предложений
Ф языка L(C) имеет место ЗЭТ |= ф тогда и только тогда, когда
л?(ф) = t. Это условие предсказывает нам, как мы должны удо-
влетворить изложенные выше условия (Ь) — (d).
(а) Определим отношение эквивалентности # на С следую-
щим образом:
ся d тогда и только тогда, когда v((c = d)) = t.
Аксиомы равенства гарантируют, что « является отношением
эквивалентности на С, Допустим, например, что с « d и d « е.
Проверим, что с « е. Так как v(c = d) = t, v(d = e) = i ввиду
с « d, d ж е и v(( (с = d A d = е)->£ = е)) = t в силу того,,
что это предложение является аксиомой равенства, то v(c=e) =
= t, поэтому с « е. Пусть
с — класс эквивалентности для с, и пусть М—
(Ь) Определим 7?®1 следующим образом:
•••> c^)^R^ тогда и только тогда, когда v(/?(ci . ,,crt)) = t.
Чтобы это определение было корректным, мы должны прове-
рить, что если
= ..., сп = dn й <сь ...,
то {dh Это следует из того, что
— dj Д ... А сп z= dn /\ (С| ... сп) > (d\ ... dn)
является аксиомой равенства, и следовательно, истинно при ин-
терпретации V.
(с) Пусть даны сь ..., сяеС и feL. Утверждается, что
существует с е С такая, что v(f(cl ... сп) = с) = t. Обозначим
через <р(х) формулу (f (ci ... с„) = х). Если v(3t><p(u)) = t, то
v(f (t’! ... с„) = сф) = t. Предположим, что v(3vq>(v)) = f.. Но
§ 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
41
Tonkin содержит предложение (qp(f(^i ••• crt))->30(p(0)), так что
<v(qp(f(£i • •• £/i)) = f- Это говорит о том, что атомное предложе-
ние (f(c{ ... cn) = f(c{ ... сп)) принимает значение f при интер-
претации v. Но v(ci = Ci) = t (z = 1, ... n) hv((c1 = c1A •••
... /\cn = cn)-+(f (c{ ... cn)=f(c{ ... £„))) = t, так как это ак-
сиомы равенства; получаем противоречие. Таким образом,
т(3уср (у)) = t всегда. Мы можем определить f®1 (с{, ..., сп) = с
для сеС так, что v(f (й ... сп) = с) = t. Рассуждения, подобные
рассуждениям в (Ь), показывают, что f01 определено корректно.
(d) Если сеС, то пусть = с. Если d е L, то рассужде-
ния, подобные используемым в (с), показывают, что существует
С такое, что v(d = с) = t, тогда пусть d^ = c для этого с.
Этим завершается построение 3W, и для атомных предложений
конструкция гарантирует Зй t= ср тогда и только тогда, когда
*v(cp) = t. Для других предложений доказываем это же индук-
цией по длине формулы. Для пропозициональных связок доказа-
тельство тривиально. Например, ЗЯ |= (ср А ф) равносильно Wt Ь= ср
н Ш1(=ф (по определению |=), что равносильно v(qp) =
= v(\|)) =t (по индукционному предположению), а это равно-
сильно v (ср А ф) = t. Предположим, что ср есть Зхф(х). Если
<v(cp) = t, то по вышеприведенному условию существует с такое,
что ^(ф(с)) = t, поэтому по индукционному предположению
ЭДНФ(^), но тогда ЭИ|==Зхф(х), т. е. С другой сто-
роны, если v (<р) = f, то v (Зхф (х)) = f, следовательно, согласно
THenkin, ^(ф(/)) = Г для всех замкнутых термов t языка L(C).
В частности, для каждого с е С v (ф (с)) = f. По индукцион-
ному предположению 2№h= ПФ (с) для всех с е С. Так как каж<
дый элемент М есть значение некоторого сеС, то®£|= ПЗхф(х).
Таким образом, ЗИНЭхф(х) тогда и только тогда, когда
v (Зхф (х)) = t. Доказательство для случая, когда <р начинается
с V, аналогично. □
Основная лемма дает метод фактического построения моде-
лей теорий, исходя из символов. В частности, она дает нам непо-
средственные доказательства теорем компактности и Лёвен-
гейма — Скулема.
Доказательство теоремы компактности (2.4).
Пусть Т — множество предложений языка L первого порядка та-
ких, что каждое конечное подмножество Т имеет модель. Нужно
показать, что Т имеет модель. Вследствие (iii) =ф (i) основной
леммы достаточно показать, что Т U ГнепИп U Eq совместно в
смысле логики высказываний. Но по теореме компактности для
логики высказываний последнее будет установлено, если дока-
зать, что для каждого конечного подмножества TQ cz Т совместна
теория ГоУ ТHenkin U Eq, а это следует из условия теоремы и
(i) ф (iii) основной леммы. □
42
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Другие доказательства этой теоремы приводятся в главах 2
и 3. Она следует также непосредственно из нижеследующей тео-
ремы о полноте.
Доказательство теоремы Лёвенгейма — Ску-
лема (2.5). Пусть х — некоторый бесконечный кардинал, и
пусть L—язык с ^х символами. Так как каждая формула языка*
L является конечной последовательностью символов, то мощ-
ность множества формул языка L не превосходит х. Вспомним
определение свидетельского расширения L(C) языка L, где
С = U Сп. По индукции легко видеть, что мощность каждого С„
п
не превосходит х, так что мощность С также ^х. Таким обра-
зом, мощность всякой канонической системы для L(C) не пре-
восходит х, поэтому желаемый результат является непосредст-
венным следствием (i) => (ii) основной леммы. □
Теорема о полноте для формальной системы Н
гильбертовского типа
Существует несколько довольно различных подходов к тео-
реме о полноте в зависимости от различного понимания доказа-
тельства. В пределах каждого подхода существует множество ва-
риаций точной формулировки, в зависимости от которой одни за-
коны мышления взяты как основные, другие — как производные.
Мы не будем принимать во внимание небольшие вариации. Раз-
личные основные подходы очень важны, хотя для различных по-
нятий доказательства они применяются по-разному. Необходима
запомнить, что, в то время как существует много понятий доказа-
тельства, имеется только одно, как показывает теорема о пол-
ноте, действительное понятие доказуемого для логики первога
порядка.
Первый тип формальной системы, который мы изучаем, — эта
так называемая формальная система гильбертовского типа. Ма-
тематики обычно предпочитают эту систему, так как она элегант-
на и легко запоминается. В 4.11 мы приводим схему формаль-
ной системы генценовского типа’. Этот тип оказался очень
полезным в анализе теоретико-доказательной силы различных
математических теорий. При работе со студентами, которые с
удовольствием осваивают формальные доказательства, пожалуй,,
лучше использовать разработанный Фитчем метод подчиненного
доказательства или семантические таблицы Бета. Последние по-
дробно рассматриваются в книге Смальяна [1].
В формальной системе гильбертовского типа основное ударе-
ние делается на логические аксиомы, что сводит правила вывода
к минимуму. Если бы мы взяли Эх как производный символ»
трактуя Зхф как Vx то система была бы внешне еще
§ 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
43
проще. Однако кажется более правильным рассматривать законы
мышления, выражаемые этими кванторами, отдельно.
Пусть L — фиксированный язык логики первого порядка. Все
формулы, данные ниже, являются формулами логики первого по-
рядка, а все термы t являются термами L. Вспомним наше согла-
шение в § 3 относительно записи ср (t/v), результата замены v на
t в ср, только в случае, когда переменные в t не являются связан-
ными в ф. Ниже мы будем писать ф(/) вместо ф(//и)’.
Схемы, аксиом для Н
(1) Все тавтологии,
(2) все аксиомы равенства,
(3) все формулы вида
(Vu<p (и)) -><р (0, ф(0-*3оф(о).
Правила вывода для Н
(1) (Modus ponens). Из (ф->ф) и ф следует ф.
(2) (Правила обобщения). Если переменная v не входит сво-
бодно в ф, то
из ф->ф(и) следует ф-> Vyty(y),
из ф(и)->ф следует Эг/ф(#)->ф.
Схематически эти правила обычно записываются так:
ф -> Ф, ф .
Ф
если v не свободна в ф, то
Ф -> Ф (а) ф (t>) -> ф
ф~>У#ф(//) ’ Э//Ф(//)->ф *
Доказательством ф из множества Т (в формальной системе
Н) называется конечная последовательность ф1, ..., фл формул,
где фп = ф, а остальные являются либо аксиомами Н, либо эле-
ментами Т или же следуют из предыдущих ф« по одному из трех
правил вывода. Мы говорим, что ф доказуема из Т, и записы-
ваем Т Н ф, если существует доказательство ф из Т.
4.9. Теорема Гёделя о полноте для Н. Пусть Т —
множество предложений языка L. Предложение ф выводимо из
Т, если и только если ф истинно во всех алгебраических систе-
мах, которые являются моделями Г. Символически', Т f= Ф тогда
и только тогда, когда Т |— ф.
Очевидная часть теоремы о полноте следует из леммы о не-
противоречивости.
4.10. Лемма о непротиворечивости. Пусть Т — мно-
жество предложений, ЭЛ — модель Т, Если ф(пь Vn) выво-
димо из Т, то ЭЛ Vv! ... Ппф (vi, ..., urt).
Доказательство. Индукцией по п можно доказать, что
если последовательность фь ..., фя — доказательство из Г, то
>h=Voi ... ... vk). □
44
ГЛ т. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Для доказательства теоремы о полноте необходима следую-
щая лемма.
4.11. Л е м м а. Пусть Т — множество предложений.
(i) Если Т I— (ф —> ф) и Т Н (И ф -> ф), то Т Н ф.
(ii) Если Т Н (ф -> 0) -> ф, то Т Н (И ф -> ф) и Г Н (0 —> ф).
(iii) Если v не входит в ф и Т Н [(Ек/ф(#)—>ф(и))->ф], то
Т Н ф.
(iv) Если v не входит в ф и Т Н (ф (и) -> Vr/ф (у)) -> ф, то Т Н ф.
Доказательство, (i) Заметим, что [(ф->ф) ((~1ф->-
-»• ф) -> ф) ] является тавтологией. Таким образом, если мы на-
пишем доказательство (ф->ф) и применим modus ponens, то по-
лучим доказательство (Пф->ф)->ф. Затем, написав доказатель-
ство (Пф->ф) и применив modus ponens, получаем ф.
(ii) Обратите внимание на то, что [((ф —>0)-> ф)—►(~1ф —►
*->ф)] и [((ф~>0)->Ф) (0->Ф)] являются тавтологиями.
(iii) Допустим Г Н [(Bz/ф (z/)-> ф(и))-> ф], где v не свободна
в ф. По (ii) Т Н (~1 Вуф(у)->ф) и ТНф(и)->ф. Применив
второе правило обобщения, имеехм Т I— (Вуф(у)-> ф). Но тогда
по (i) ТI— ф. Доказательство (iv) аналогично, но использует
первое правило обобщения. □
Доказательство теоремы о полноте. Допустим,
что Т [= ф. По основной лемме (4.8) и теореме компактности для
логики высказываний существует конечное множество S 7 U
U ^Henkin U Eq такое, что S J {~1 ф} несовместно в смысле пропо-
зиционального исчисления. Перечислим элементы S в виде ои, ...
..., ccv, ₽ь .. •, следующим образом. Последовательность
ось ..., O.N состоит из тех элементов S, которые либо принадле-
жат Т U Eq, либо являются кванторными аксиомами (типа III и
IV), перечисленными в любом порядке. Последовательность р со-
стоит из элементов S, которые являются генкинскими аксиомами
типа I, II, но перечисляем их более внимательно. Напомним язы-
ки L = Lo <= Li с:... такие, что L (С) = U Ьл. Определим ранг
п
Ф L(C) как наименьшее п такое, что ф Ьл. Теперь выберем
в качестве Pi аксиому Генкина максимального ранга в S. В каче-
стве Рг выбираем аксиому Генкина максимального ранга в S—
— {Pi} и т. д. В силу построения константа-свидетель, входящая
в р/, не встречается в Р/+ь ..., Рм.
Например, если Pi есть
Вин (и) -> т) (сп (о)),
§ 4 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
45
то сЛ(и) не входит в р2, ..., Рм ввиду условий максимальности
на Рь
Помня, что SU {Пф} несовместно в смысле логики высказы-
ваний и используя ассоциацию скобок направо *), мы видим, что
(ai -> а2 <Z№> Pi Рм -> ср) является тавтологией.
Заменяем каждую константу-свидетель в этом предложении на
различные новые переменные. Результат остается все еще тав-
тологией:
< а' а; -> р; -* ... р^ ф',
но ф' = ф, так как ф не имеет вхождений констант-свидетелей.
Каждая из формул а', a'v является либо логической аксио-
мой, либо элементом Т, поэтому мы можем применить N раз mo-
dus ponens п получить доказательство
Pj -> ... —> Рм —> Ф-
Но теперь мы применяем части (iii) и (iv) леммы 4.11, последо-
вательно исключая р', р', . ..,Р^, и получаем доказатель-
ство ф. □
Заметим, что наше доказательство использует только пра-
вила вывода 4.11 (iii), (iv), следовательно, их можно использо-
вать вместо более стандартных правил Н. Это обсуждается в
книге Смальяна [1].
Теорема о полноте для формальной системы G+
генценовского типа
Системы гильбертовского типа легко определяются и допу-
скают простое доказательство теоремы о полноте, но затрудни-
тельны в применении. Генценовские системы меняют эту ситуа-
цию, подчеркивая важность правил вывода и сокращая роль ло-
гических аксиом до абсолютного минимума.
Буквы Г, А используем для обозначения конечного множества
формул. Секвенцией называется пара <Г, А>, которая записы-
вается ГН А и читается неформально как «Г влечет А»; точнее,
конъюкция всех формул Г влечет дизъюнкцию всех формул А.
Записываем Г, ф вместо Г (J {<₽}•
Сперва ограничимся логикой высказываний.
Аксиомы'. Г, ф I— А, ф.
*) При ассоциации скобок направо выражение (Л -> В -> С) понимается
как (4 ->(В -> С)) и т. д. — Прим. ред.
46
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Правила:
( л г, ф, -ф I- А , л . Г |- А, фГ |- А, ф
г, (фаф) F а ’ А'
/ х/ I X Г, Ф I- А Г, ф I- А
VVr”? Г, (ф7ф)НД ’
(-I L-)... Г |- л, ф
1 * 1 (ii) ' Г, ”| ф h А ’
/ > . \ Г h А, ф Г, ф А
' ' Г, (ф -> ф) Н А ’
Г И А, (ф А Ф) ’
м Г |- А, ф, ф
' Г |- А, (ф V ф) *
(L—П) -Г,..ф Ь А .
ГН А, ”|ф ’
___х Г, ф Н А, ф
} Г Н А, (ф -> ф) *
Вывод в этой системе — конечное дерево формул, например
с аксиомами в вершинах, а каждая секвенция дерева следует
из секвенций, расположенных непосредственно над ней, при-
менением одного из правил. Мы приведем пример вывода сек-
венции ((ф Л "1 ф) V 0) Н (ф V 0):
Ф, “1 ф Н qp, 0 (аксиома),
(фЛ П ф)Нф, 0 (по Д Н) 0 Н Ф, 0 (аксиома),
(фЛПФ)Н(фУ0) (по НУ) 0Н(фУ0) (по НУ)
((ФЛ~1Ф)У0)Н(ФУ0) (поУН)
4.12. Теорема о полноте для пропозициональ-
ного фрагмента G. Пусть Г, А — конечное множество фор-
мул. Следующие утверждения эквивалентны'.
(i) Каждая истинностная оценка v, делающая все фЕГ ис-
тинными, делает хотя бы одно ф е А истинным.
(ii) Существует вывод секвенции Г Н А, использующий ак-
сиомы и правила, приведенные выше.
Доказательство. Доказательство (ii) (i) легко про-
водится индукцией по длине вывода. Для доказательства (i) =>
=> (ii) рассмотрим пару (Г, А), удовлетворяющую (i). Мы про-
буем строить вывод секвенции Г Н А, работая в обратном на-
правлении (т. е. снизу вверх). На каждом шаге разлагаем фор-
мулу из Г U А максимальной длины на части посредством одного
из правил. Например, если (ф->0)еГ — самая длинная фор-
§ 4 ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ
47
мула множества Г U Д, то на первом этапе появится
Гр|— Д, 'фГр, Д / . \
Го, Н Д ’ 1
где Го = Г — {(ф -> 0)}. Далее работаем с Го Н Д, ф и Го, 0 г~ Д
отдельно. В конце концов мы придем к секвенциям, которые бо-
лее не разлагаются. Если каждая из таких концевых точек — ак-
сиома, то все доказано. Предположим, что Г'Н Д'— концевая
точка, не являющаяся аксиомой. Определяем v на Г'[) Д' сле-
дующим образом:
{t, если р е Г',
, А/
f, если р Д ,
а на первичных формулах v определяется произвольно. Это воз-
можно, так как Г' Г) Д' = 0. Проверка всевозможных случаев
правил показывает, что каждая секвенция Г" Н Д" под Г' Н Д'
принимает значение t для всех формул слева, но все формулы
справа примут значение f. В частности, это произойдет и с Г г Д,
получаем противоречие. □
Чтобы перейти к логике первого порядка, добавим к логике
высказываний аксиомы равенства, правило равенства и четыре
кванторных правила.
Аксиомы равенства'. Г Н Д, (/ = t) (t — произвольный терм).
Правило равенства'. Если Е есть (Л = /2) или (t2 = Л), то
Г, <р (/Q h А, -ф (/Q
Г, Е, Ф (t2) |- А, ф (t2) ’
/V » 1 Г, ф(ОНА ,, q Г НА, ф(0
Vv г, уа(р (У) р а ’ v Г h А, ЗУф (v) 9
В следующих двух правилах переменная v не встречается
свободно в Г U Д:
/. w\ г F А, ф (у) , . Г, ф (0 |- А
V) Г h А, Ууф (у) ’ U Г, Зуф (у) н А •
Формальная система G имеет приведенные выше аксиомы и
правила вывода. Система G+ дополнительно имеет правило, на-
зываемое «сечением», которое аналогично modus ponens:
сечение:
Г, Ф Н А Г Н А, ф
Гьа
Пусть дано множество предложений Т языка L; мы говорим,
что формула <р выводится из Т в G+, если существует вывод
Г Н {ф} для некоторого конечного Г Т.
4.13. Теор ема о полноте для G+. Предложение ф вы-
водится из множества предложений Т в системе G+ тогда и толь-
ко тогда, когда Т |= ф,
48
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Доказательство, (ф>) непосредственно следует из лем-
мы о непротиворечивости совершенно аналогично 4.10. Доказа-
тельство (Ф=) использует основную лемму, теорему компактно-
сти для логики высказываний и 4.12. По основной лемме и тео-
реме компактности для логики высказываний существует конеч-
ное S Т U Tonkin U Eq такое, что каждая истинностная оценка
v, делающая S истинным, делает ф истинным. Воспользуемся
точными обозначениями, как в доказательстве теоремы 4.9. Пусть
S = {ой, ..., aN, pi, ..., р4, и пусть а', ..., а^, р', . . ., р^ та-
кие, как и прежде. Тогда, если Г = {а', ...,а^, Р[, ..., Р^}, то
в силу 4.12 мы видим, что ГНф выводится в G+ с использова-
нием только аксиом и правил логики высказываний. Пусть
Г0 = {ар . К N, — подмножество |а', ...,а^} элемен-
тов Т. Можно превратить вывод Г Ь ф в вывод Го 'г- ф следую-
щим образом:
(1) Если ф — аксиома равенства или кванторная аксиома
типа III или IV, то 0 Н ф.
(2) Если Г |— А, то Г U Г' I— A J А'. Очевидно, что Го Н а'.
для всех 7<z^A/r; тогда, применяя N— J раз правило сече-
ния, получаем вывод Гои{Р[, •••»Р^}Ьф.
(3) Если Г, (ф -> 0) Н А, то Г Н А, ф и Г, 0 Н А. Это подобно
4.11 (ii). Докажем первую секвенцию:
Г, ф->0 г- А (гипотеза) Г, ф I— А, 0, ф (аксиома)
Г, Ф —> 0 I— А, ф (по 2) Г Н А, (ф -> 0), ф (|->)
Г Н А, ф (сечение)
Вторая секвенция доказывается аналогично. Комбинируя это с
правилами (HV), (ЗН) и сечением, получаем:
(4) Если Г, Эуф (//)-> ф (v) Н А, и v не встречается свободно
в Г U А, то Г Н А.
(5) Если Г, ф(у)-> У^ф(у) Н А и v не встречается свободно
в Г (J А, то Г Н А.
Используя эти правила, удаляем р', . ..,р^ из предложений
и получаем вывод секвенции Го Н ф. □
В нашем доказательстве теоремы о полноте для G+ мы суще-
ственно пользовались правилом сечения, но оно не входило в дока-
зательство пропозициональной части. Действительно ли это необ-
ходимо? Нет. Можно, работая прямо с системой G и расширяя
доказательство пропозициональной части, доказать полноту си-
§ 5. ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
49
стемы G; см., например, Смальян [1]. Это показывает, что
правило сечения может быть исключено. Исторически все про-
исходило как раз наоборот и составило первую важную главу в
теории доказательства после теорем Гёделя о неполноте.
4.14. Теорема об устранении сечения (Генцен).
Любая секвенция, которая имеет вывод с правилом сечения,
имеет вывод и без него, т. е. G+ и G имеют одни и те же выво-
димые секвенции.
Доказательство Генцена проходило сложной двойной индук-
цией, показывающей, как изменять произвольный вывод, предпо-
лагающий правило сечения, в вывод без сечения. Анализируя та-
кие индуктивные доказательства, мы можем получить точную
наименьшую верхнюю границу методов индукции, которые мож-
но доказать в арифметике первого порядка. Эта система рассмо-
трена в деталях в главе 2 «Теории доказательств и конструктив-
ной математики» об устранении сечения. Система, используемая
там, легче, так как рассматривает только формулы в так назы-
ваемой «нормальной форме с отрицанием».
Этим закончим обсуждение теоремы о полноте. Оставляем
читателю поучительное упражнение, доказательство 3^[ф(^)~>
-> Vxqp(x)] в исчислениях Н, G и G+. Неформальное доказатель-
ство состоит в нахождении у такого, что ~| ф(у), если такое у су-
ществует, в противном случае у произвольно. Таким образом,
если ф(у), то Ухф(х). Доказательство в G+ аналогично.
§ 5. За пределами логики первого порядка
Многие логики считают, что нет логики, кроме логики пер-
вого порядка, в том смысле, что если попытаться сделать все ма-
тематические (внелогические) предположения явными, то эти
аксиомы могли бы быть выражены в логике первого порядка и
что неформальное понятие доказуемости, используемое в мате-
матике, в точности превратилось бы в формальное понятие до-
казуемости в логике первого порядка. Следуя Мартину Девису,
мы будем называть эту точку зрения тезисом Гильберта.
Первая часть тезиса Гильберта, утверждающая, что вся клас-
сическая математика в конечном счете выразима в логике пер-
вого порядка, основана на эмпирической очевидности. И, в са-
мом деле, было бы удивительно, если бы кто-то смог ввести но-
вое понятие, оказывающееся очевидной частью логики. Вторая
часть тезиса Гильберта, по-видимому, следует из первой части и
теоремы Гёделя о полноте. Таким образом, тезис Гильберта до
некоторой степени принимается многими математическими логи-
ками, но даже те, кто принимает тезис Гильберта теоретически,
весьма далеки от того, чтобы применять его на практике. Было
50
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
бы совершенно непрактично и фактически невыгодно всегда де-
лать все внелогические предположения явными.
Пересмотрим пару примеров из § 2.
Пример. Аксиома VxBn 1 (пх = 0), выражающая перио-
дичность абелевой группы, не является аксиомой логики первого
порядка (по 2.3). Если бы нам нужно было применить тезис
Гильберта в этом случае, то нам потребовалось бы аксиоматизи-
ровать не только теорию групп, но также свойства натуральных
чисел, необходимые для проведения рассуждений. Это означало
бы, что теория периодических групп содержит в себе всю выра-
зимую в логике первого порядка теорию чисел, что, очевидно, не
в духе современной алгебры.
Пример. Понятия метрического пространства и гильбер-
това пространства являются относительно простыми по модулю
упорядоченного поля R действительных чисел. Однако, как мы
видели в § 2, R категорично только относительно теории мно-
жеств. Тем не менее было бы крайне непродуктивным даже
пытаться сформулировать все наши теоремы о метрических про-
странствах внутри некоторой формальной системы теории мно-
жеств, в то время как все, что мы собираемся делать, записы-
вается на языке первого порядка по модулю поля R. Нет ника-
кой причины присоединять без необходимости к теории метриче-
ских пространств проблемы, свойственные теории множеств, в
частности неразрешимые проблемы, к которым математика рань-
ше никогда не испытывала любви.
Примеры показывают, что принять некоторые понятия и си-
стемы за базисные и работать в дальнейшем аксиоматически яв-
ляется обычной математической практикой, даже если мы со-
знаем, что эти понятия сами по себе не могут быть полностью
аксиоматизированы в ограниченном языке логики первого по-
рядка. Алгебраисты обычно принимают понятие конечного за
базисное. Изучающие анализ, метрические и гильбертовы про-
странства начинают с системы R вещественных чисел. Специали-
сты в области логики разработали различные усиления логики
первого порядка, более точно соответствующие этой математи-
ческой практике. Полученные усиления включают в логику неко-
торые математические понятия или системы таким же путем, ка-
ким алгебраист включает понятие конечного в свою неформаль-
ную логику. В этом параграфе мы кратко обсудим некоторые из
этих усилений логики первого порядка.
5.1. Многосортная логика первого порядка. Двусортная ло-
гика первого порядка очень похожа на обычную логику первого
порядка, за исключением того, что имеется два различных сорта
переменных. Например, можно естественным образом написать
аксиомы векторного пространства, имея один сорт переменных
г, s, t, ... для скаляров (элементов поля 8) и другой сорт и,
§ 5 ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
51
w, ... для векторов. Векторное пространство состоит из тройки
(8, •), где § — поле, S=<V, +, 0>—векторная система с век-
торным сложением и операция • — умножение на скаляр. В об-
щем случае, двусортная алгебраическая система (ЗЛ, К, ...) *)
состоит из двух обычных систем плюс некоторые функции и пре-
дикаты на их объединении. Двусортная (или многосортная) ло-
гика только внешне сильнее, хотя часто более естественна, чем
обычная логика, поскольку мы всегда можем взягь систему (ЗЛ,
91, . . .) и превратить ее в обычную систему <Л4 М, N, .. .>
с унарными предикатами М и W для выделения различных сор-
тов элементов. Эта редукция позволяет перенести многие резуль-
таты логики первого порядка на многосортную логику и является
подтверждением тезиса Гильберта. Мальцев и Феферман, среди
прочих, подчеркивали удобство работы непосредственно с много-
сортным случаем. Хорошее введение можно найти у Фефер-
м а н а [1].
5.2. co-логика. Если взять двусортный язык и рассмотреть
двусортные системы (ЗЛ, 91, . . .) с фиксированной системой 91, то
мы получим так называемую 91-логику. Например, R-логика
удобна для изучения метрических пространств и вещественных
гильбертовых пространств. Если N — система натуральных чи-
сел, то N-логика обычно называется со-логикой. Она удобна для
изучения, например, евклидовых колец, поскольку евклидово
кольцо — это кольцо Э? с функцией d: Й -> N, удовлетворяющее
обычным аксиомам логики первого порядка. Если 91 бесконечна,
то 91-логика сильнее, чем логика первого порядка. Например, тео-
рема компактности неверна для 91-логики.
5.3. Слабая логика второго порядка. Слабая логика второго
порядка — это попытка построить понятие конечного в логике не-
которым естественным образом. Пусть дан язык L первого по-
рядка. Пусть х, у, г — переменная языка L. Из L мы образуем
новый двусортный язык L*, который содержит переменные а, &, с
и символ принадлежности е. Данную систему ЗЛ = <Л4, .. .> для
языка L расширим до системы HF(ЗЯ) для L*, называемой систе-
мой наследственно конечных множеств над ЗЛ, следующим обра-
зом. Полагаем
HFo(M) = 0,
HFn+1 (Al) = {все конечные подмножества М U HFn (Al)},
HF(Af)=UHFn (Al).
n
Теперь НЕ(ЗЛ) = (ЗЛ, HF(Af), e= Г (Af U HF(M))). В слабой ло-
гике второго порядка (более точно называемой слабой логикой
*) Двусортные алгебраические системы называют часто двуосновными.—
Прим. ред.
52
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
конечных типов) разрешается использовать формулу из L* и ин-
терпретировать переменные а, Ь, с множествами из HF(Af). Вся-
кий знакомый с теорией множеств в рамках, скажем, ZF, поймет,
что в HF(SUl) можно определить натуральные числа и понятия
конечной последовательности. На самом деле HF (Зй) является
допустимым множеством (см. главу 7 о допустимых множествах,
в особенности 3.1 и 2.16), поэтому мы можем определить функции
по рекурсии. В частности, все предложения из § 2, которые мы
называли предложениями слабой логики второго порядка, как
легко проверить, действительно принадежат слабой логике вто-
рого порядка в это^м точном смысле. Слабая логика второго по-
рядка имеет по существу ту же силу, что и со-логика, но значи-
тельно более естественна в алгебраическом контексте, поскольку
она позволяет работать непосредственно с-, целыми числами, ко-
нечными множествами, конечными последовательностями и т. д.
5.4. Бесконечные логики. Слабая логика второго порядка
пытается ввести понятие конечного в семантику (смысл) логики.
Оказалось, что более элегантная теория получается при введе-
нии его в синтаксис логики посредством допущения бесконечных
формул, подобных
Vx [х = О V 2х — О V ... ].
Логика U1(0 допускает дополнительное правило образования:
если Ф — счетное множество формул, то ДФ (конъюнкция Ф) и
УФ (дизъюнкция Ф) являются формулами. Эта логика обсуж-
дается в нескольких главах данной книги. Обозначение
объясняется тем, что в ней допустимы счетные (<coi) конъюнк-
ции и дизъюнкции и только конечное число (<со) кванторов. Ло-
гику U1C0 можно понимать как выражение тех понятий, которые
выразимы в языке первого порядка по модулю счетного количе-
ства информации. Теорема Лёвенгейма — Скулема верна для
ЬО)(Й, а теорема компактности неверна. Для справедливости тео-
ремы о полноте для счетных теорий Т языка нужно доба-
вить бесконечное правило вывода.
Легко перевести слабую логику второго порядка в L coiG), но не
наоборот. В частности, в слабой логике второго порядка суще-
ствуют неявно определимые отношения, которые не определимы
явно, чего не может быть в логике первого порядка или по
теореме Бета. Если искать наименьшую логику, которая содер-
жит слабую логику второго порядка и в которой все неявно опре-
делимые предикаты определимы явно, то приходим к изучению
допустимых фрагментов логики Ltolfi), как в главе 7.
5.5. Логика с новыми кванторами. Легко видеть, что все ко-
нечные пропозициональные связки можно определить из А и ”1
(в логике первого порядка). В свое время Мостовский предло-
жил ввести новые кванторы в логику первого порядка. Так, пусть
§ 5. ЗА ПРЕДЕЛАМИ ЛОГИКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
53
Q — новый символ. Применим к нему правило образования: если
ф(х) — формула, то Охф (х) — тоже формула. Существует много
возможных интерпретаций Q. Например, мы можем определить,
что ЭИ Н Q*<P W тогда и только тогда, когда существует беско-
нечно много х таких, что Эй Н <₽(*)• Эта логика, названная
L (Qo), по существу эквивалентна со-логике и слабой логике вто-
рого порядка.
Если мы определим, что ЭН Охф (х) тогда и только тогда,
когда существует несчетно много х таких, что Эй |= ф(х), то мы
получаем логику с квантором «существует несчетно много».
В этой логике, в отличие от всех ранее упомянутых, справедливы
теорема компактности и теорема о полноте совершенно анало-
гично обычной логике первого порядка (поскольку множество
символов L конечно или счетно). Некоторые специалисты утвер-
ждают, что понятие несчетности скорее логическое, чем строго
математическое, но теорема Кейслера [1] о полноте для
этой логики опровергает их. Понятия «много» и «больше» ка-
жутся почти логическими, в то время как различные точные ма-
тематические понятия, как «меры 1», «вторая категория», «бес-
конечно много», «несчетно много», используют интуитивное пред-
ставление. Теорема Кейслера о полноте для квантора «сущест-
вует несчетно много» показывает, что это понятие обеспечивает
математически точную модель для неформального понятия
«много». Используя слова «много» и «мало» для «несчетности» и
«ненесчетности» соответственно, Кейслер предложил следующие
фундаментальные аксиомы:
(1) Для всех у существует мало х таких, что х = у.
(2) Если ф(х) -> ф (х) для всех х и если много х удовлетво-
ряет ф, то много х удовлетворяет ф.
(3) Если много х удовлетворяет (ф(х) V ф (х)), то либо
много х удовлетворяет ф, либо много х удовлетворяет ф.
(4) Если существует мало х, для которых 3#ф(х, г/), и если
для каждого х существует мало у таких, что ф(х, у), то сущест-
вует мало у, для которых Эхф(х, у).
Заметим, что «существует много х» не является следствием
аксиом, так как аксиомы верны во всех системах: конечных,
счетных или несчетных.
5.6. Абстрактная теория моделей. В последние годы возник-
ла новая ветвь теории моделей. Абстрактная теория моделей обо-
зревает весь спектр логик и связи между ними. Логика состоит
из синтаксиса и семантики, прекрасно друг другу соответствую-
щих в том смысле, что элементарные синтаксические операции
(как, например, переименование символов) выполнимы и после
этого имеют требуемый смысл. Если посмотреть на данные выше
примеры логик, то возникает желание сформулировать более точ-
ное определение (см. Барвайс[1]).
54
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Из приведенных выше примеров слабая логика второго по-
рядка, Lc^o и L (Qo) удовлетворяют теореме Лёвенгейма — Ску-
лема (теорема 2.5 при х = со), но не удовлетворяют теореме ком-
пактности. С другой стороны, L (Q), где Q обозначает «несчет-
но много», удовлетворяет теореме компактности, но не удовле-
творяет теореме Лёвенгейма — Скулема. Это объясняется одним
из первых и до сих пор наиболее поразительных результатов аб-
страктной теории моделей. Доказательство можно найти у Б а р -
вайса [1], где также приведены другие ссылки.
5.7. Теорема (Линдстрём). Логика первого порядка яв-
ляется единственной логикой, замкнутой относительно А, ~1, 3
и удовлетворяющей теоремам компактности и Лёвенгейма —
Скулема,
ЛИТЕРАТУРА
Б а р в а й с (Barwise J.)
1. Axioms for abstract model theory. — Ann. Math. Logic., 1974, 7,
p. 221—265.
К e й с л e p (Keisler H. J.)
1. Logic with quantifier «there exist uncountably many». — Ann. Math.
Logic., 1970, 1, p. 1—93.
С м а л ьян (Smullyan R. M.)
1. First-Order Logic. — Berlin: Springer, 1968.
Феферман (Feferman S.)
1. Application of many-sorted interpolation theorems. — In: Proceedings
of the Tarski Symposium. Providence, R. L: Amer. Math. Soc., 1971,
p. 205—224.
Чэн и Кейслер (Chang С. C., Keisler Н. J.)
1. Model theory. — Amsterdam: North-Holland, 1973. [Русский перевод:
Кейслер X. Дж., Чэн К. К. Теория моде чей,,— М.- Мир, 1977.]
III е н ф и л д (Shoenfield J. R.)
1. Mathematical Logic. — Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1967. [Рус-
ский перевод: Ш ен ф и лд Дж. Р. Математическая логика. — Мл
Наука, 1975.]
Эндертон (Enderton Н.)
1. A Mathematical Introduction to Logic. — N. Yu Academic Press., 1972.
Глава 2
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
X. Джером Кейслер
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение......................................................55
§ 2. Теории........................................................57
§ 3. Диаграммы и компактность......................................64
§ 4. Теорема Лёвенгейма — Скулема..................................70
§ 5. Рекурсивно насыщенные модели..................................75
§ 6. Большие и малые модели........................................70
§ 7. Стабильные теории.............................................87
§ 8. Теоретико-модельный форсинг...................................94
§ 9. Бесконечные формулы и обобщенные кванторы.....................99
Литература....................................................105
§ 1. Введение
Теорию моделей можно описать как объединение логики и
универсальной алгебры. Основными объектами исследования яв-
ляются предложения ф и алгебраические системы для языка L.
Как мы увидим в этой главе, классические примеры в алгебре
приводят к многим понятиям в теории моделей. Изучение пред-
ложений в качестве математических объектов явилось важней-
шим инструментом, который привел к неожиданным применениям
теории моделей в других отделах математики.
Например, 300 лет назад Лейбниц предполагал, что исчисле-
ние можно строго развить для расширения системы R веществен-
ных чисел до системы * R такой, что *R содержит бесконечно ма-
лые, но каждое утверждение, истинное в R, истинно и в *R. Не
было возможности решить эту проблему до тех пор, пока теория
моделей не достигла того уровня, что утверждения можно было
определить точно и обращаться с ними, как с математическими
объектами. Абрахам Робинсон решил эту проблему в 1960 г.,
взяв в качестве утверждений формулы логики первого порядка.
В простейшей формулировке отправляются от системы Э?, кото-
рая имеет множество вещественных чисел в качестве основного,
и символы для каждого вещественного отношения и функции.
Первым шагом было определение собственного элементарного
56 гл. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
расширения *9? системы 91, которое задается как собственное рас-
ширение, удовлетворяющее тем же самым предложениям логики
первого порядка, что и 91. Это элементарное расширение легко
получается применением основных результатов теории моделей:
либо теоремы компактности, либо теоремы Лося об ультрапроиз-
ведениях. Неожиданным был следующий шаг: Робинсон показал,
что ранние интуитивные утверждения о бесконечно малых могут
быть точно определены в *R и новые результаты быстро следуют*
Анализ бесконечно малых Робинсона будет изложен в главе 6.
Другие приложения, большей частью к алгебре, будут описаны
в других главах.
Мы выделим два исторических направления в развитии тео-
рии моделей. В северной Америке их часто называют западной
и восточной теорией моделей, так как Тарский жил на западном
побережье с 1940 г., а Робинсон — на восточном с 1967 г. до пре-
ждевременной смерти в 1975 г. Это различие давно утратило свое
географическое значение, однако полезно с математической точ-
ки зрения.
Западная теория моделей развивается в традициях Скулема
и Тарского. Она в большей степени мотивировалась проблемами
в теории чисел, анализе и теории множеств, и в ней используют-
ся все формулы логики первого порядка.
Восточная теория моделей развивается в традициях Мальцева
и Робинсона. Она мотивировалась проблемами в абстрактной ал-
гебре, где формулы теорий обычно имеют самое большее два
блока кванторов. Она делает ударение на множества бесквантор-
ных формул и экзистенциальных формул.
Многие специалисты в теории моделей колеблются между во-
сточной и западной теориями моделей. В действительности Тар-
ский и Робинсон сделали большой вклад в оба направления.
(Работы Тарского о вещественно замкнутых полях и эквацио-
нальных классах относятся к восточной теории моделей, в то
время как теорема Робинсона о непротиворечивости и его ана-
лиз бесконечно малых — к западной теории моделей.)
В этой главе будут предложены некоторые методы обоих на-
правлений: восточного и западного. Многие понятия и резуль-
таты имеют два различных варианта. В западном варианте
имеем дело с произвольными формулами, а в восточном — с бес-
кванторными формулами. Мы будем часто применять приставку
«базисный» для восточного варианта, чтобы отличить его от за-
падного.
Более глубокие доказательства в теории моделей обычно за-
висят от построения модели с определенными свойствами. По-
строение почти всегда применяет один или несколько методов из
следующего списка:
элементарные цепи,
§ 2. ТЕОРИИ
' 57
диаграммы и другие обогащения языка,
теорема компактности,
теорема Лёвенгейма — Скулема о спуске,
теорема об опускании типов,
форсинг,
ультрапроизведения,
однородные множества.
В этой главе мы будем объяснять все методы, кроме двух по-
следних. Об ультрапроизведениях и однородных множествах см.
главы 3 и 5.
В этой части будет сконцентрировано внимание на простей-
шем нетривиальном языке, логике первого порядка. Для некото-
рых приложений будут более естественными многосортные ло-
гики (логики с несколькими сортами переменных). Наши резуль-
таты могут быть рутинно распространены на многосортные ло-
гики, но обозначения стали бы сложнее. В последнем параграфе
мы покажем, как распространить наши методы на более сильные
логики, где теория моделей также успешно развивается.
Мы предполагаем, что читатель знаком с материалом гла-
вы 1, в особенности с важным определением истинности формулы
в алгебраической системе, 9й|=ф[$]. Полезный обзор статей по
теории моделей есть в статье Морли [1]. Для дальнейшего изу-
чения теории моделей мы предлагаем книги Чэна и Кейсле-
р а [1] и С а к с а [1].
§ 2. Теории
В этом параграфе мы изложим некоторые основные понятия
теории моделей. В частности, мы обсудим различные способы
классификаций теорий в логике первого порядка. Мы будем ос-
новываться на главе 1.
Мы рассмотрим язык L первого порядка. Под теорией Т в
языке L понимаем множество предложений языка L. Обозначе-
ние ЗЯ\= Т читается «ЗЛ является моделью для Т» и означает, что
ЗЛ— такая система для языка L, что любое предложение ф из Т
истинно в ЗЛ. Две теории Т\ и Т2 называются эквивалентными*
если они имеют одни и те же модели. Теория Т непротиворечива*
или совместна, если она имеет хоть одну модель. Существует два
пути, на которых обычно возникают теории.
На первом пути рассмотрим класс К систем для языка L.
Теорией класса К назовем множество Th(7() всех предложений
Ф языка L таких, что ф истинно в любой системе ЗЛ^/С Напри-
мер, если К — класс конечных групп, то Th (К), теория конечных
групп, есть множество всех предложений, истинных во всех ко-
нечных группах.
58
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
Класс К называется элементарным классом илиЕСд-классом,
если К — класс всех моделей некоторой теории Т (следова-
тельно, теории Th (К)). Класс всех групп будет элементарным
классом. Однако предложение 4.6 этой главы показывает, что
класс конечных групп не является элементарным. Это происхо-
дит в силу того, что существует бесконечная группа, на которой
истинны все предложения, истинные на конечных группах. Чтобы
охарактеризовать понятие конечной группы, нужно использовать
более сильный язык, чем логика первого порядка. Другой при-
мер неэлементарного класса был дан в главе 1.
Пусть дана алгебраическая система Эй. Теория Th ({ЭИ}) или
Th (ЭИ) для ЭИ есть множество всех предложений, истинных в ЭИ.
2.1. Определение. Теория Т полна, если Т эквивалентна
теории Th (ЭИ) для некоторой системы ЭИ.
Две системы ЭИ и 91 будут элементарно эквивалентны, Эй = 91,
если Th (ЭИ) = Th (91). Отсюда ЭЛ = 91 означает, что на ЭЛ и 91
истинны одни и те же предложения.
Второй путь, на котором возникают теории, состоит в вы-
боре множеств предложений в качестве исходных. Множество
предложений, которое эквивалентно Th (К), называется множе-
ством аксиом для К. Примерами будут аксиомы теории групп,
абелевых групп, полных групп и групп без кручения, как пока-
зано в главе 1. Первые два примера будут конечно аксиоматизи-
руемыми, в то время как последние два рекурсивно, но не ко-
нечно аксиоматизируемыми. Язык L называется рекурсивным,
если L конечен либо счетен с рекурсивным множеством симво-
лов.
2.2. Определение. Теория Т конечно аксиоматизируема,
если она эквивалентна конечному множеству предложений. Тео-
рия Т рекурсивно аксиоматизируема, если она эквивалентна ре-
курсивному множеству предложений в рекурсивном языке.
Теорема компактности будет часто применяться, чтобы пока-
зать, что теория не является конечно аксиоматизируемой; см.
главы 1 и 3. Разумеется, конечная аксиоматизируемость влечет
рекурсивную аксиоматизируемость. Возможно, будут полезны не-
которые дополнительные примеры. ,
2.3. Пример. Следующие теории конечно аксиоматизи-
руемы:
группы,
абелевы группы,
кольца,
области целостности,
поля,
поля характеристики р (р =# 0, фиксировано),
упорядоченные поля,
линейные порядки,
§ 2. ТЕОРИИ
59
решетки,
булевы алгебры,
теория множеств Гёделя — Бернайса,
противоречивая теория.
2.4. Пример. Следующие теории рекурсивно аксиоматизи-
руемы, но не являются конечно аксиоматизируемыми:
полные группы,
группы без кручения,
поля характеристики О,
алгебраически замкнутые поля,
вещественно замкнутые поля,
конечные поля (А к с [1]),
теория множеств Цермело — Френкеля,
арифметика Пеано.
Оказалось, что теория конечных групп даже не является ре-
курсивно аксиоматизируемой (Кобхем [1])*).
Приведем естественную характеризацию рекурсивно аксиома-
тизируемых теорий. Предложение ср является следствием теории
7, Т |= ф, если в любой модели теории Т предложение ф истинно.
2.5. Теорема. Теория Т в рекурсивном языке рекурсивно
аксиоматизируема тогда и только тогда, когда множество всех
следствий теории Т рекурсивно перечислимо.
Обычно множество всех следствий теории Т не рекурсивно.
Теорема Чёрча показывает, что множество всех следствий пустой
теории (т. е. тождественно истинных предложений) в языке, со-
держащем хотя бы один бинарный предикатный либо функцио-
нальный символ, не рекурсивно. Редкие теории, у которых мно-
жество следствий рекурсивно, весьма интересны.
2.6. Определение. Теория Т в рекурсивном языке разре-
шима, если множество всех ее следствий рекурсивно.
Интуитивно, это означает, что существует алгоритм для раз-
решения проблемы: будет ли произвольное предложение ф след-
ствием Т. Приведем здесь простое, но важное достаточное усло-
вие разрешимости, доказанное в 7.2 главы 1 «Теории рекурсии».
2.7. Теорема. Каждая полная рекурсивно аксиоматизируе-
мая теория разрешима.
В теории моделей развиты мощные методы доказательства
полноты теорий; если такая теория имеет рекурсивное множе-
ство аксиом, то мы можем заключить, что она разрешима. На-
пример, в классической работе Тарского и Маккинси [1]
показано, что теория вещественно замкнутых полей полна и по-
этому разрешима. Проблема может быть поставлена и следую-
щим образом. Пусть дана алгебраическая система ЗЭТ (например,
*) Этот результат получен независимо А. И. Мальцевым (ДАН СССР,
1961, 138, № 4). — Прим. ред.
60
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
поле вещественных чисел). Определить, будет ли ТЬ(ЗЙ) разре-
шима, и если это так, то найти рекурсивное множество аксиом.
Другие результаты о разрешимых и неразрешимых теориях см.
в главе 4 данной книги и главе 3 «Теории рекурсии*.
Вернемся сейчас к некоторым понятиям, введение которых
мотивируется алгебраическими конструкциями.
2.8. Определение. Универсальной называется формула
вида V*] ... Vx„cp, где q> — бескванторная формула. Теория на-
зывается универсальной, если она эквивалентна некоторому мно-
жеству универсальных предложений.
Система $ называется подсистемой 9Л, 91 9Л, если основное
множество 91 есть подмножество основного множества ЗЯ, а ин-
терпретация всех предикатных функциональных и константных
символов в К является ограничением соответствующей интерпре-
тации в 9Л. Дадим другое эквивалентное определение: для любой
атомной формулы ф и интерпретации s в 91 выполнено St |= <p[s],
если и только если <p[s]. Пусть дано непустое подмноже-
ство X М, тогда существует наименьшая подсистема St 9Й,
содержащая X, назовем ее подсистемой, порожденной множест-
вом X. Конечно порожденная подсистема в 9Л есть подсистема,
порожденная конечным подмножеством X М.
2.9. Предложение. Если Т — универсальная теория, то
любая подсистема модели для Т есть модель для Т.
В следующем параграфе будет доказано обратное утвержде-
ние, теорема Тарского — Лося.
Например, теория групп, формируемая в языке {+, 0, —},
универсальная и каждая подсистема группы есть группа. Од-
нако если теория групп формулируется в языке {+, 0}, то это
уже не универсальная теория, так как необходим квантор суще-
ствования для выражения существования обратного элемента:
VxBy (х + у = 0 Д у + х = 0).
Если формулируется теория групп в языке {+, 0}, то подсистема
группы будет полугруппой с единицей, но не обязательно груп-
пой.
Другие примеры универсальных теорий дают теории абеле-
вых групп, колец, тел, решеток, линейных порядков, булевых ал-
гебр и групп без кручения в подходящих языках.
Западным аналогом подсистемы будет элементарная подси-
стема (Тарский и Boot [1]), 91 — элементарная подсистема
в 39?, 91 < Ш1, если 91 ЗЭТ и для любой формулы ср и интерпрета-
ции s в 91 выполнено
если и только если 99?(==фЫ.
Мы будем также называть элементарным расширением St и пи-
сать ЗЭТ > St. Очевидно, что St Зй влечет St = Ш1.
§ 2 ТЕОРИИ
61
Часто вместо подсистем удобнее использовать вложения. Изо-
морфным вложением f: 91->9В называется отображение из N в М
такое, что для любой атомной формулы <р и интерпретации s в 91
выполнено
31Н<р[$Ь если и только если Эй qp [f ($)].
Отображение f должно быть одно-однозначным, так как фор-
мула х = у атомная. Аналогично элементарное вложение f:
9С-*<3)1 есть такое отображение, что для любой формулы <р
и интерпретации s в 91 выполнено
если и только если Эй j= ср [f ($)].
Изоморфное вложение f называется изоморфизмом, если М
равно области значений /, символически f: 91 ЭВ. Это обычное
понятие в алгебре, и
ф 31^3Л=>ф 31-> ^ЭЙ=>91 = ЭЙ.
Несмотря на то, что понятие элементарного расширения очень
сильное, в теории моделей существует достаточно много приме-
ров. Полезен следующий критерий.
2.10. Теорема. 91 ЗВ, если и только если N^M и для
любой формулы г|)(х, у{, ...,уп) и а^М, bif ..., bn^ N, если
Эй Н Ф [я, Ь{, ..., bn], то существует b е N такое, что ЗЛ [=
&ь .... Ьп].
Заметим, что условие затрагивает лишь выполнимость в боль-
шей системе ЭВ. Для доказательства теоремы простой индукцией
по длине формулы (р показываем, что для любой интерпретации
s в 91 выполнено
91Н ф [s], если и только если Эй |= $[•$]•
Приведем несколько примеров применения теоремы 2.10.
2.11. Пример. Пусть V — поле и X, Y — бесконечные мно-
жества переменных, где X У. Тогда /ДА] /ДУ], где /ДА] —
кольцо полиномов от переменных А над F, и F(X)^F(Y), где
F(X) — чистое трансцендентное расширение поля F посредством
А. Если G(A) —группа, свободно порожденная А, то 0(A)
<6(У).
Открытой является следующая проблема Тарского: будет ли
G(A) -< О(У) или даже G(A) === О(У), где А — конечное мно-
жество из двух или большего числа элементов.
Понятие модельно полной теории дает дополнительные при-
меры элементарных расширений.
2.12. Определение. Теория Т называется модельно пол-
ной, если для любых моделей ЗВ и 91 теории Т любая подсистема
ЗВ 91 будет элементарной подсистемой 91. Эквивалентно, каж-
дое изоморфное вложение есть элементарное вложение.
62
ГЛ 2 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
Это понятие предложено Робинсоном [1] и является
центральной идеей в восточной теории моделей. Ему посвящена
глава 4.
2.13. Пример. Следующие теории модельно полны (см. гла-*
вы 3 и 4): алгебраически замкнутые поля, вещественно замкну-
тые поля, безатомные булевы алгебры, плотный линейный поря-
док. Так, например, упорядоченное поле вещественных чисел есть
элементарное расширение упорядоченного поля алгебраических
чисел.
Каждый из перечисленных примеров обладает следующим
свойством, которое даже сильнее модельной полноты. Пусть дана
формула ф(%1, ..., хп). Выражение Т <р(хь • • •, хп) означает,
что предложение Vxi ... Vxncp есть следствие теории Т.
2.14. Определение. Теория Т допускает элиминацию
кванторов, если любая формула <p(*i, ..., хп) языка L Т-экви-
валентна бескванторной формуле if)(xi, ..., хп) языка L, т. е.
• • • . хп) <-* 4 (хь ..х„).
Легко заметить, что теория, допускающая элиминацию кван-
торов, модельно полна. В действительности для модельной пол-
ноты Т достаточно, чтобы каждая формула языка L была Т-эк-
вивалентна универсальной формуле языка L. Мы увидим в сле-
дующем параграфе, что это условие является и необходимым.
Восточная теория моделей в большей степени касается индук-
тивных теорий, которые будут определены ниже.
2.15. О п р е д е л е н и е. Теория Т называется индуктивной,
если Т эквивалентна множеству VB-предложений, т. е. предло-
жений вида
Vxj ... Vx„3i/! ...
где if) — бескванторная формула.
Индуктивные теории также называются V 3-теориями. Боль-
шинство теорий, возникающих в алгебре, индуктивны. Все тео-
рии, перечисленные в примерах 2.3 и 2.4, исключая конечные
поля, теорию множеств Гёделя Бернайса, теорию множеств
Цермело — Френкеля и арифметику Пеано, будут индуктивными.
Следующий результат дает основание для названия «индуктив-
ные».
2.16. П р е д л о ж е н и е. Если Т — индуктивная теория, то
объединение любой возрастающей цепи
2»о • •
моделей Т будет моделью Т.
Доказательство предложения 2.16 простое. Обращение же бо-
лее глубокое и будет доказано в следующем параграфе.
§ 2 ТЕОРИИ
63
Западный аналог цепи алгебраических систем есть элементар-
ная цепь
3»о < < 2»2 < ...
Элементарные цепи — исключительно важная конструкция в тео-
рии моделей. Ее важность основана на следующем фундамен-
тальном результате Тарского и Воота [1].
2.17. Теорема об элементарных ц е п я х. Объедине-
ние ЗЯ элементарной цепи
...
будет элементарным расширением каждой системы ЗЯп из этой
цепи.
Доказательство. Показываем индукцией по длине фор-
мулы ф, что для любого п и любой интерпретации s в ЗЯЛ выпол-
нено
ЗИиНфН, если и только если ЭИ |= ф [$].
Отсюда следует, что объединение элементарной цепи моде-
лей теории Т есть модель теории Т. Предложение 2.16 и теоре-
ма 2.17 верны не только для счетных цепей, но также и для не-
счетных цепей и даже для произвольного направленного вверх
семейства алгебраических систем.
Существует два способа сведения западной теории моделей
к восточной посредством присоединения дополнительных симво-
лов. Консервативным расширением теории Т в языке L мы назо-
вем теорию Т' Т в расширенном языке L' L такую, что лю-
бая модель ЗЯ теории Т может быть обогащена до модели ЗЯ' тео-
рии Т'.
2.18. Теорема. Любая теория Т имеет консервативное рас-
ширение Т', которое индуктивно и допускает элиминацию кван-
торов.
Доказательство. Обозначим Xi, ..., хп через х. Для
каждой формулы ф(я) языка L добавим новый предикатный сим-
вол Ry(x) языка L', который назовем скулемовским предикатом
для ф. Т' есть объединение Т и множества {Vx (ф (х) 7?ф (*)):
<peL}. Теория Г', очевидно, есть консервативное расширение
Т. Элиминируя скулемовские предикаты, мы получим, что любая
формула ф'(х) языка L' Т'-эквивалентна формуле ф(я) языка
L, и, следовательно, Т'-эквивалентна R^(x). Поэтому Т' допу-
скает элиминацию кванторов. Множество предложений 7?^, ф е
е 7, и предложений вида
V* (Лаф (х) А /?ф (х)),
V* (/?ЭУФ (*) (х, у))
будет множеством VB-аксиом для Т'. □
64
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
2.19. Теор е м а. Каждая теория Т имеет консервативное
расширение Т', которое универсально и моделъно полно.
Доказательство. Для каждой формулы вида у)
языка L присоединим новый функциональный символ F3f/q (г), на-
зываемый скулемовской функцией и получим новый язык Li.
Присоединив к Т новые аксиомы Xfx (дг/ф (х, #)<->ф(х, Л^ф(ж))),
мы определим теорию 1\. Итерируем этот процесс счетное число
раз, и пусть I/= |JLn и Т' = ОЛг- Тогда Т'— консервативное
п п
расширение Т. Применяя аксиомы, мы можем заменить кванторы
существования скулемовскими функциями так, что любая фор-
мула ф языка I/ будет Г'-эквивалентна универсальной формуле
ф', а поэтому теория Т' модельно полна. Множество универсаль-
ных предложений, эквивалентное Т', состоит из ф', где ф е Г, и
предложений У/х\/у (ф (х, у) -> ф (х, /^ (*))), где ф —бескван-
торная формула языка L. □
Теория Т' из 2.18 иногда называется морлиевским обогаще-
нием теории Т, в то время как Т' из 2.19 называется (итериро-
ванным) скулемовским обогащением теории Т. Морлневское обо-
гащение требует лишь единственного шага, так как каждое пред-
ложение из L' будет Т'-эквивалентно предложению из L. С дру-
гой стороны, в скулемовском обогащении мы продолжаем полу-
чать новые формулы в Ln+i и должны итерировать конструкцию
счетное число раз. Скулемовское обогащение играет ключевую
роль в главе 5.
§ 3. Диаграммы и компактность
Метод диаграмм был изобретен Генкиным и А. Робинсоном
около 1950 г.*). Они применили этот метод для нового доказа-
тельства теоремы Гёделя о полноте и для получения различных
других приложений. Диаграмма алгебраической системы яв-
ляется аналогом таблицы умножения для группы; это есть мно-
жество предложений, содержащих новые константные символы
для элементов системы Эй. Полезность диаграмм состоит в том,
что они дают способ построения моделей из множеств предло-
жений. Существует два вида диаграмм, соответствующих восточ-
ной и западной теориям моделей.
3.1. Определение. Пусть Эй — система для языка L пер-
вого порядка. Диаграммным языком системы Эй является обога-
щение Lm языка L, полученное присоединением новых констант-
ных символов Cm для всех элементов m из М. Диаграммным обо-
*) Впервые метод диаграмм был предложен и использован в работах
А. И. Мальцева (Матем. сб., 1936, 1, № 3; Уч. зап. Ивановск. пед. ин-та,
1941, 1, № 1). — Прим. ред.
§ 3. ДИАГРАММЫ И КОМПАКТНОСТЬ
65
гащением системы 2И является система для языка Lm такая,
что каждый константный символ ст из Lm интерпретируется по-
средством пг. (Базисная) диаграмма системы есть множество
D(3R) всех атомных предложений и их отрицаний в языке Lai, ко-
торые истинны в ЗЭТль Элементарной диаграммой системы SW назы-
вается полная теория ТЬ(9)?м), т. е. множество всех предложений
языка Lm, истинных в Ш1м.
Более общо, пусть дано подмножество X М, обогащение Lx
и система ЗЛх, определенные естественным образом. Если f —
отображение X в Л4, то 3RfX будет системой для языка Lx, если
каждый константный символ сх интерпретировать посредством
элемента f(x).
Существует простая, но полезная зависимость между диа-
граммами и вложениями.
3.2. Предложение, (i) Отображение f является изоморф-
ным вложением в 91, если и только если обогащение SflfM есть
модель диаграммы системы SW. Коротко,
f: W? -> 9?, если и только если D (9W).
(ii) Отображение f является элементарным вложением в
91, если и только если SlfM есть модель элементарной диаграммы
системы 9)?:
f: 2Я-><9^, если и только если 9^м Th(9WM)-
Отсюда следует, что теория Т модельно полна, если и только
если теория T(JD($Jt) полна для любой модели теории Т. Эта
формулировка дала Робинсону повод назвать такие теории мо-
дельно полными.
В теории моделей наиболее значительным следствием тео-
ремы о полноте является теорема компактности. Теорема о пол-
ноте и теорема компактности обстоятельно доказаны в написан-
ной Барвайсом главе 1 данной книги. Чтобы проиллюстрировать
применение диаграмм, приведем здесь второй способ доказатель-
ства теоремы компактности. Еще одно доказательство, исполь-
зующее ультрапроизведения, будет дано в главе 3. Наше доказа-
тельство базируется на нижеследующей лемме.
Теория Т называется локально совместной, если любое ко-
нечное подмножество из Т имеет модель.
3.3. Лемма (Генкин [1]). Пусть М — непустое множе-
ство, L — язык первого порядка и Т — теория в диаграммном
языке Lm. Теория Т будет элементарной диаграммой некоторой
системы 9Я с основным множеством М, если и только если:
(i) Т локально совместна',
(ii) для любого предложения <р из Lm либо <р е Т, либо
П<р)е=Т;
(iii) если то q(cm)^T для некоторого т^М;
3 Справочная книга, ч. I
66
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
(iv) если m, п е М и т Ф п, то (“I = сп) е Т.
Доказательство. Очевидно, что элементарная диаграм-
ма любой системы с основным множеством М удовлетворяет
условиям (i) — (iv). Если Т удовлетворяет свойствам (i) — (iv),
то существует единственная модель 2R, у которой базисная диа-
грамма содержится в Т. Тогда индукцией по длине предложения
ср языка Lm получаем, что ср истинно в 2R, если и только если
ере-Г
3,4. Теорема компактности. Пусть TQ — множество
предложений языка L. Если теория То локально совместна, то
То имеет модель.
Доказательство. Пусть в L имеется и предложений и
С — множество новых константных символов, имеющее мощ-
ность х. х должна быть бесконечной, тогда расширенный язык
Lc также имеет х предложений; перечислим их, взяв фа для всех
ординалов а < х. Мы можем построить возрастающую цепь Та,
а < х, множеств предложений языка Lc такую, что:
(1) менее чем х константных символов из С входит в Га,
(2) Та — локально совместная теория,
(3) если Та U {фа} — локально совместная теория, то сра е
<= Т’а+Ь
(4) если сра е 7\+1 и сра имеет вид Вхср(х), то il)(c)e
е Та+1 для некоторого константного символа се С.
Пусть Тн— U Та, тогда Тк обладает свойствами (i) — (iii)
а<х
леммы 3.3. Отношение {(с, d): (c = d)<=T} есть отношение эк-
вивалентности на С. Выберем подмножество М s С, содержащее
в точности по одному элементу из каждого класса эквивалент-
ных элементов, и пусть Т — множество всех предложений языка
LM, входящих в Т*. Тогда Т обладает свойствами (i) — (iv) на-
шей леммы и Т — элементарная диаграмма некоторой модели SW.
Так как TQ Тн, то То Т и отсюда следует, что 2Л— модель
теории TQ. □
Теорему компактности иногда называют локальной теоремой
или теоремой конечности. Более часто ее называют теоремой
компактности, потому что она утверждает, что определенное то-
пологическое пространство компактно. Топологические понятия
часто оказываются удобными в теории моделей, в особенности в
такой известной области, как теория стабильности (§ 7).
Пусть задан язык L первого порядка и множество S всех
полных теорий ТЬ(ЗИ) в языке L. Назовем элемент р = Th (551) е
е S точкой множества S. Стоуновское пространство языка L —
это множество S со следующей топологией. Для любого предло-
жения ф языка L положим
[<p] = {p(=S: tpeр}
§ 3. ДИАГРАММЫ И КОМПАКТНОСТЬ
67
и топологию на S определим, взяв в качестве базисных замкну-
тых множеств все множества вида [ср]. Эти множества образуют
базис замкнутых множеств, так как
[ф V Ф] = [ф] и [ф].
В действительности множества вида [ф] будут и открытыми (и,
следовательно, открыто-замкнутыми), так как
[~] ф] — •$ — [ф].
Замкнутыми множествами в S будут в точности пересечения
базисных замкнутых множеств, а следовательно, множества вида
S(D= П [ф] = {ps S: Т^р},
феГ
где Т — теория в языке L. Топологическое пространство S впол-
не отделимо и хаусдорфово, так как для любых р q сущест-
вует предложение ф е р — q, и, следовательно, р е [ф] и q ф.
Й [ф] и [ф]—открыто-замкнутое множество.
Теория Т совместна, если П [ф] Ф 0. Теорема компактности
. феГ
утверждает, что множество {[ф]: ф е Т} имеет непустое пересе-
чение, если каждое его конечное подмножество имеет непустое
пересечение. Другими словами, теорема компактности утвер-
ждает, что стоуновское пространство S языка L компактно.
Приведем сейчас несколько приложений теоремы компактно-
сти. Другие приложения к алгебре и анализу можно найти в гла-
вах 1, 3, 4 и 6. *
3.5. Теорема. Свойство амальгамируемости выполнено для
элементарных диаграмм, т. е. если f: ЗК-> <3? и g: SW->-<$, то су-
ществуют система £) и коммутативная диаграмма
Доказательство. Пусть и — элементарные диа-
граммы систем 91 и $ с различными константными символами сп,
dp, р е Р. Пусть Т — теория
~ U и {cf(m) = dg(my m S
в языке (Lj^. Любое конечное подмножество из Т выполняется
на обогащении 9Й до языка (Ьэт)^, при котором константы
de(m) для m е М интерпретируются посредством т. Следователь-
3*
68
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
но, по теореме компактности существует модель £)' теории Т.
Пусть £) — обеднение модели £)' до языка L и й(п), k(p)—ин-
терпретации сп и dp в £)'. Тогда h: $->£), k: $->£) и диаграмма
коммутативна. В силу 3.2 отображения h и k — элементарные
вложения. □
Свойство амальгамируемое™ для изоморфных моделей яв-
ляется важнейшим в восточной теории моделей.
3.6. Определение. Класс К систем для языка L обладает
свойством амальгамируемое™, если для любых ЭД, $ из К и f:
ЭД->$, g: ЭД->$ существуют система £) е К и коммутативная
диаграмма
Следующий результат доказывается аналогично теореме 3.5.
3.7. Теорема. Если теория Т допускает элиминацию кван-
торов, то класс К всех подсистем моделей теории Т обладает
свойством амальгамируемое™.
Как будет видно в дальнейшем (теорема 3.11), класс К в
этом случае является классом моделей некоторой теории. Если
Т и К будут определены, как в теореме 3.7, то мы назовем Т мо-
дельным пополнением К. Таблица 1 указывает краткий список
ТАБЛИЦА 1
к Г—-модельное пополнение К
Поля Упорядоченные поля Булевы алгебры Абелевы группы Г руппы Алгебраически замкнутые поля Вещественно замкнутые поля Безатомные булевы алгебры Алгебраически замкнутые абелевы группы Не существует
примеров элементарных классов К со свойством амальгамируе-
мдети. Эти вопросы обсуждаются далее в главе 4, где обсуж-
даются некоторые более новые вызывающие интерес примеры.
Следующее приложение было найдено Мальцевым (см.
Мальцев [1]) на первых шагах развития теории моделей и
стало инструментом в ее дальнейшем развитии. Более общая
трактовка, применяющая ультрапроизведения, содержится в
главе 3.
§ 3. ДИАГРАММЫ И КОМПАКТНОСТЬ
69
3.8. Определение. Класс К систем для языка L назы-
вается локальным, если для любой системы ЗЯ она принадлежит
К в том и только в том случае, когда любая конечно порожден-
ная подсистема 31 ЗЯ принадлежит К.
3.9. Теорема. Если К — класс всех подсистем ^-обеднений
.моделей теории Т' в языке L' 3 L, то класс К локален.
Доказательство. ЗЯК, если и только если теория
Т' U #(ЗЯ) имеет модель. Если каждая конечно порожденная под-
система 31 ЗЯ принадлежит К, то теория Т' и^(9Я) локально
совместна и по теореме компактности имеет модель. □
Мальцев указал несколько приложений этой теоремы к тео-
рии групп. Приведем как образец некоторые из них.
3.10. П р и м е р. Следующие классы групп локальны в силу
теоремы 3.9:
(1) класс разрешимых групп ступени не больше k (k— фик-
сированное натуральное число);
(2) класс групп с нормальной подгруппой индекса не вышей;
(3) класс упорядочиваемых групп, т. е. обеднений упорядо-
ченных групп;
(4) класс всех групп ЗЯ, которые представимы как группы
пХ ^-матриц над некоторым полем SF.
Следующая теорема дает простейший пример из совокупно-
сти результатов, называемых теоремами сохранения или устой-
чивости. Теория Т устойчива относительно подсистем, если лю-
бая подсистема 31 ЗЯ модели теории Т также является моделью
теории Т.
3.11. Теорема Лося—Тарского. Теория Т устойчива
относительно подсистем, если и только если Т — универсальная
теория.
Доказательство. Будем доказывать несколько более
сильное утверждение. Пусть К — класс всех подсистем моделей
теории Т и — множество всех универсальных следствий тео-
рии Т.
Покажем, что К — класс всех моделей теории Г Очевидно,
что из ЗЯ е К следует ЗЯН= Пусть ЗЯ — модель теории Г . Из
этого следует, что множество Д(ЗЯ) (J Т локально совместно. По
теореме компактности Д(ЗЯ) (J Т имеет модель 31. В силу 3.2 мо?
дель ЗЯ изоморфно вкладывается в 31 и, следовательно, ЗЯе/С □
Используя подобные рассуждения, можно доказать характе-
ризацию модельной полноты через элиминацию кванторов (Ро-
бинсон [1]).
3.12. Теор ем а. Теория Т модельно полна, если и только
если любая формула cp.(%i, ..., хп) Т-эквивалентна универсальной
формуле ф (Х1, ..., хп).
Закончим этот параграф еще одной теоремой устойчивости.
70
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
3.13. Теорема Чэна — Лося — Сушко. Теория Т ус-
тойчива относительно объединения цепей, если и только если она
индуктивна, т. е. эквивалентна множеству V 3-предложений.
Доказательство. Для доказательства нетривиальной ча-
сти предположим, что Т устойчива относительно объединения це-
пей. Пусть Туз — множество VB-следствий теории Т. Рассмо-
трим произвольную модель ЭИ теории Туз. Отсюда следует, что
Z?v (ЭИ) U Т совместно, где Dy (ЭИ) — множество всех универсаль-
ных предложений языка Ьм, истинных в ЭИм. По теореме ком-
пактности теория £>у (ЭИ) (J Т имеет модель 91м такую, что
ЭИ 91. Каждое экзистенциальное предложение языка Ьм, истин-
ное в Им, истинно и в ЭИль Поэтому диаграмма D(91m) модели Им
совместна с ТЬ(Эйм). По теореме компактности 91 имеет расшире-
ние ЭИ1, которое является элементарным расширением ЭИ. Повто-
ряя эту конструкцию счетное число раз, мы построим цепь ЭИ =
е 91 ЭИ1 £ 9li где каждая 91/ —модель Т и ЭИ/ образуют
элементарную цепь. Объединение этих цепей является моделью*
теории Т и элементарным расширением модели ЭИ. Поэтому ЭЛ —
модель теории Т и Т эквивалентна Гуз. □
Метод, примененный в вышеприведенном доказательстве, ча-
сто встречается в теории моделей и называется методом альтер-
нативных цепей.
3.14. Следствие. Любая модельно полная теория индук-
тивна, т. е. эквивалентна множеству V 3-предложений.
Доказательство. Применяем теорему об элементарных
цепях и 3.13.
§ 4. Теорема Лёвенгейма—Скулема
В главе 1 теорема Лёвенгейма — Скулема была доказана в
следующей форме.
4.1. Теорема Лёвенгейма — Скулема. Если Т имеет
бесконечную модель, то Т имеет модель любой бесконечной мощ-
ности и, большей или равной мощности теории Т.
Мы докажем две значительно более сильные формы этой тео-
ремы, принадлежащие Т а р с к о м у и В о о т у [1]. В этом па*
раграфе мы полагаем, что х— бесконечный кардинал, больший'
или равный числу символов языка L. Под мощностью модели 9Jt
мы будем понимать мощность |М| основного множества ЭИ.
4.2. Теорема Лёвенгейма — Скулема о спуске.
Если Х^М и |Х| и |А4|, то в ЯП существует элементарная
подмодель 91 ЭИ мощности к такая, что X N.
Доказательство. Используя простую конструкцию, при-
меняющую теорему компактности, мы получим доказательства
§ 4. ТЕОРЕМА ЛЁВЕНГЕЙМА—СКУЛЕМА
71
этого факта. Построим счетную возрастающую цепочку Хо s
e Xi • подмножеств М такую, что:
(1) Хс=Хо;
(2) множество Хп имеет мощность х;
(3) для любого предложения Эхф(х) языка Lxn, истинного
в ЗЯхл, существует элемент из Хп+\, на котором выполняется фор-
мула ф(х).
Тогда подсистема 31 модели ЗЯ с основным множеством
N = U Хп имеет все описанные свойства. □
п
Теорема Лёвенгейма — Скулема о спуске может применяться
к изучению свойств, невыразимых в логике первого порядка.
4.3. Пример. Если теория Т в языке упорядоченных полей
имеет архимедову модель, то она имеет счетную архимедову мо-
дель.
Это происходит в результате того, что каждая подсистема
архимедова поля вновь является архимедовым полем.
4.4. Пример, ^-моделью теории множеств будет модель
вида <Л4, е>. Пусть Т — теория в языке L = {е}. Если Т имеет
(бесконечную е-модель, то она имеет и счетную е-модель.
4.5. Пример. Пусть ЗЯ = <Af, <,.. .>— такая система, что
<> имеет порядковый тип <х>1 и язык L счетен. В этом слу-
чае существует счетная подсистема 31 системы ЗЯ такая, что <А/\
<> — начальный сегмент <Af, <>.
Доказательство. Применяя 4.2 счетное число раз, мы по-
лучим элементарную цепь 91о К % • • • счетных элементарных
лодсистем системы ЗЯ таких, что содержит начальный сег-
мент из Af, порождаемый 91*. Система будет удовле-
п
творять всем требуемым свойствам. □
Приведем теперь конечный аналог теоремы Лёвенгейма —
Скулема.
4.6. Предложение. Если теория Т имеет конечные модели
сколь угодно большой мощности, то Т имеет бесконечную мо-
дель.
Доказательство. Теория
7' = 7’U {V*i ... УхпЭу {у ф А ... А х„): п = 1, 2, ...}
локально совместна и поэтому имеет модель. Очевидно, что лю-
бая модель теории Т' бесконечна □.
Приведем сейчас другой результат Тарского и Воота, кото-
рый доказываем, используя теорему компактности.
4.7. Теорема Лёвенгейма — Скулема о подъеме*
Пусть ЗЯ — бесконечная алгебраическая система для языка L<
Для любого кардинала х, большего или равного мощностям ЗЯ ut
L, существует элементарное расширение системы ЭЯ мощности
72
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
Доказательство. Пусть С — множество константных сим*
волов мощности х и Т — теория в языке (Lm)c вида
T = Th(3WA1) U {“lc = d: c,d^C, c=£d}.
Теория Т локально совместна и, следовательно, имеет модель 91\
Мы можем предположить без ограничения общности, что каж-
дое m е М является интерпретацией константного символа с™
в N'. В силу 3.2 обеднение 91 модели 91х до языка L является эле-
ментарным расширением Ш1. Более того, 91 имеет мощность не-
меньше и. По теореме Лёвенгейма — Скулема о спуске сущест-
вует подсистема 43 мощности и такая, что $ К
4.8. Замечание. Таким же методом можно показать, что
любая бесконечная алгебраическая система2R мощностях имеет
собственное элементарное расширение мощности х.
Эта теорема иногда применяется к расширению первоначаль-
ного языка L.
4.9. Пример. Однородным линейным порядком называется
линейный порядок <Af, <> такой, что любая сохраняющая поря-
док функция из конечного подмножества М в А4 продолжается
до автоморфизма порядка <Л4, <>. Для любого бесконечного х.
существует однородный плотный линейный порядок мощности х.
Доказательство. Естественный порядок <О, <> на ра-
циональных числах однородный. Таким образом, для любого п
существуют (2n + 1)-местные функции fn(x, у, z) такие, что fn(->
у, z) —автоморфизм порядка <Q, <>, отображающий у на z^
если у и z — возрастающие последовательности элементов дли-
ны п. Если <Af, <> есть элементарное расширение системы <(Х
<, fo, fl, • • •> мощности х, то <Л4, <> — однородный порядок.
Конечно, можно строить примеры непосредственно, но они до-
вольно сложны. □
Теорема Лёвенгейма — Скулема часто применяется в доказа-
тельствах полноты теорий. Простейший способ проверки пол-
ноты — это критерий Лося — Воота.
4.10. Определение. Теория Т называется и-категорич-
ной, если с точностью до изоморфизма она имеет ровно одну
модель мощности х.
4.11. Критерий Лося — Воота. Если теория Т не имеет
конечных моделей и к-категорична для некоторого кардинала
то она полна.
Доказательство. Если теория Т имеет два различных
полных расширения, то Т должна иметь две неизоморфные мо-
дели мощности х.
4.12. Пример. Следующие теории со-категоричны:
(i) плотный Линейный порядок без концов;
(ii) отношение эквивалентности с беконечным числом смеж-
ных классов, причем все смежные классы бесконечны;
$ 4. ТЕОРЕМА ЛЁВЕНГЕЙМА—СКУЛЕМА
73
(iii) безатомные булевы алгебры;
(iv) абелевы группы, у которых все элементы порядка р.
4.13. Пример. Следующие теории coi-категоричны:
(i) алгебраически замкнутые поля фиксированной характе-
ристики;
(ii) полные абелевы группы без кручения;
(iii) теория системы <A4, f>, где f — перестановка М без ко-
нечных циклов;
(iv) абелевы группы, у которых все элементы порядка р.
Теории (i) — (iii) полны (в силу критерия Лося — Воота) и ре-
курсивно аксиоматизируемы, а поэтому разрешимы, х-категорич-
ные теории очень редки. Мы обратимся к ним снова в §§ 7 и 8.
Следующий более общий критерий будет применяться чаще, чем
критерий Лося — Воота.
4.14. Критерий полноты. Счетная теория Т полна, если
и только если она совместна и любые две конечные или счетные
.модели теории Т имеют изоморфные элементарные расширения.
Доказательство. Необходимость следует из теоремы
компактности, а достаточность следует из теоремы Лёвенгей-
ма — Скулема о спуске. □
4.15. Пример. Пусть Т — теория систем <М, f>, где f: М ->
—— перестановка множества М. Какие полные расширения
имеет теория Г? Для любой счетной последовательности s —
= <5i, «2, . ..> элементов из coU{°°} обозначим через T(s) тео-
рию всех моделей теории Т, у которых число циклов длины п
равно $л, где оо интерпретируется как бесконечно много.
Случай 1. Имеется лишь конечное число $л, не равных 0.
В этом случае T(s) имеет ровно два полных расширения, при-
чем, если конечна, то одно из этих расширений категорично
в бесконечных мощностях, а другое имеет лишь одну конечную
модель.
Случай 2. Если бесконечно много sn не равно нулю, то любая
счетная модель ЭИ теории T(s) по теореме компактности имеет
счетное элементарное расширение 91 с бесконечным числом бес-»
конечных циклов, а такая модель теории T(s) с точностью до
изоморфизма единственна и поэтому теория T(s) полна.
4.16. Пример. Пусть Т — теория линейного порядка, в ко-
тором каждый элемент имеет единственные предшественник и
последователь. Целые числа с естественным порядком дают при-
мер модели теории Т. Эта теория полна.
Мы покажем полноту Т, применяя метод альтернативных це-
пей. Пусть ЭИ и 91 —две счетные модели теории Т. По теореме
компактности существует вложение f: ЭИ->91ь где 911 —счетная
модель, 91 < 9li и f переводит предшественники в предшествен-
ники и последователи в последователи. Применяя теорему ком-
пактности еще раз, получаем вложение g: 9h ->3fti, где ЗИ1 — счет-
74
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
нал модель, 3W <Wli, g переводит предшественники в предшест-
венники и последователи в последователи и f°g тождественно на
М. Повторяя эту челночную конструкцию счетное число раз, мы
получим две элементарные цепочки = Зй0 К 5W1 К • • • и 91 =
= % К 911 К • • • такие, что объединения этих цепей изоморфны-
В силу 4.14 теория Т полна. Отсюда следует, что Т — теория це-
лых чисел с порядком и Т разрешима.
Полнота и разрешимость нескольких важных теорий может
быть доказана этим методом. Это сделано, например, для теория
целых чисел со сложением (Пресбургер) и теории вещественна
замкнутых упорядоченных полей (Тарский). Этот метод может
быть также применен для анализа всех полных расширении
неполных теорий, например для теории булевых алгебр"
(Тарский).
Существует несколько способов обобщения проблемы Лёвен-
гейма — Скулема, если рассматривать свойства, отличные от
мощности основного множества системы. Первая такая проб-
лема, предложенная Воотом, касается пар кардиналов. Предпо-
ложим, что U — унарный предикатный символ языка L. Под (х,
Z)-моделью мы понимаем модель 9W, основное множество которой
имеет мощность х, а интерпретация символа U — мощность X-
Мы будем устанавливать некоторые теоремы Лёвенгейма — Ску-
лема без доказательства. Доказательства некоторых из них
очень глубоки и применяют бесконечную комбинаторику. Во всех
случаях будем предполагать, что L — счетный язык.
4.17. Теорема. Если теория Т имеет (х, К)-модель и х
xz X, то Т имеет (xz, к)-модель (это следствие теоремы Лё-
венгейма — Скулема о спуске).
4.18. Теорема (Чэн и Кейслер [1]). Если теория Т
имеет (х, X) -модель, то Т имеет (xz, К')-модель, где н^у'^
> %<».
4.19. Теорема (Boot [3]). Если теория Т имеет (х, X)*
модель, где X < х, то Т имеет (сеч, (о) -модель.
4.20. Теорема (Чэн [1], GCH). Если теория Т имеет (со^
ы)-модель и ©а — регулярный кардинал, то Т имеет (<оа+2>
<0а+1) -модель.
4.21. Теорема (Йенсен [1], V = L). Если п конечна
и теория Т имеет ((Оа+л, <оа) -модель, то Т имеет ((Ор+п, <о^)-
модель.
4.22. Теорема (Boot [3]). Предположим, что X <
2х < и, 22^ < х, ... Если теория Т имеет (х, К)-модель, то 'Г
имеет (и7, К')-модель, где X х'.
Вышеперечисленные результаты в предположении аксиомы
конструктивности V = L показывают, что любой «конечный раз-
рыв» между кардиналами можно сместить, любой бесконечный
разрыв может быть заменен на любой разрыв, а любой разрыв-
§ 5. РЕКУРСИВНО НАСЫЩЕННЫЕ МОДЕЛИ
75
сможет быть сужен. Контрпримеры, принадлежащие Ф у р к е н у
[1], показывают, что эти результаты не могут быть улучшены,
-а именно, конечный разрыв не может быть увеличен. Приведем
здесь пример для простейшего случая.
4.23. Пример. Пусть Зй — упорядоченное поле веществен-
ных чисел с одним унарным отношением U для множества ра-
циональных чисел. Ясно, что Зй будет (2°, со)-моделью. Так как
V плотно в Зй, то теория Т модели Зй не имеет (х, со)-моделей для
X > 2°. Верно более сильное утверждение, что теория Т не имеет
^(х, X) -моделей для х > 2х.
Ситуация для двукардинальных аналогов теорем Лёвенгей-
ма — Скулема о спуске и подъеме сложна и приводит к резуль-
татам о независимости в теории множеств (см. Чэн и Кейс-
лер [1]).
§ 5. Рекурсивно насыщенные модели
Понятие насыщенной модели и более позднее понятие рекур-
сивно насыщенной модели очень упростили и объединили боль-
шую часть теории моделей. Интуитивно, насыщенная модель —
это модель, в которой имеются все возможные типы элементов.
Насыщенные модели были впервые введены в восточном ва-
рианте, их мы будем называть базисными насыщенными моде-
лями, следуя Йо неон у [1]. Западный вариант этого понятия
был введен Морли и В о отом [1]. Определение и основные
результаты о рекурсивно насыщенных моделях принадлежат
Б арвайсу и Шлипфу[1]. Мы^переставим исторический по-
рядок и обсудим в этом параграфе рекурсивно насыщенные, а в
^следующем насыщенные модели.
Для простоты мы будем предполагать в этом параграфе, что
язык L содержит лишь конечное число предикатных, функцио-
нальных и константных символов. Нам требуются лишь интуи-
тивные знания о рекурсивных множествах. Нам достаточно сле-
дующих фактов: существует лишь счетное множество рекурсив-
ных множеств и что любое множество формул языка L, которое
описывается «конечными схемами», рекурсивно. В частности, так
как L имеет лишь конечное число символов, множество всех фор-
мул языка L рекурсивно.
Мы будем применять обозначение Ф(х) для множеств фор-
мул ф(х), которые содержат не более одной свободной перемен-
ной х. Будем говорить, что Ф(х) выполняется в Зй, если сущест-
вует элемент m е на котором одновременно выполняются все
формулы ф(х) е Ф(х).
5.1. Пример. В теории упорядоченных полей счетное мно-
жество формул
{1 <х, 1 + 1 <х, 1 + 1 + Кх, ...}
76
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
выполняется в Зй, если и только если Зй — неархимедова
поле.
5.2. Пример. Рассмотрим множество формул {р(х) =/= Or
р(х) —полином над Q} в теории полей характеристики нуль.
Это множество формул выполняется в Зй, если и только если ЗЛ
не является алгебраическим расширением поля рациональных
чисел Q.
5.3. Определение. Система Зй называется рекурсивно на-
сыщенной, если и только если для любого конечного множества
У М любое локально выполнимое в Зйу рекурсивное множества
формул Ф(х) языка Ly выполняется в Зйу.
Из примера 5.1 мы видим, что любое рекурсивно насыщенное
упорядоченное поле не архимедово. Из примера 5.2 видно, чта
рекурсивно насыщенное поле характеристики нуль не является
алгебраическим расширением поля Q. Выгода применения ре-
курсивных вместо произвольных множеств формул состоит в том,
что становится возможным доказать следующую теорему суще-
ствования.
5.4. Теорема существования. Любая совместная тео-
рия Т в языке L имеет конечную или счетную рекурсивно насы-
щенную модель.
Доказательство. Пусть Зйо — конечная либо счетная мо-
дель теории Т. Существует лишь счетное множество конечных
подмножеств У Л40 и для каждого У существует лишь счетное-
множество рекурсивных множеств формул Ф(х) языка Ly. В си-
лу теоремы компактности существует счетное элементарное рас-
ширение ЗЙ1>ЗЙ9 такое, что каждое рекурсивное множество фор-
мул Ф(х), локально выполнимое в ЗЙОу, выполнимо в ЗЙ1У. Повто-
рим эту конструкцию счетное число раз, тогда объединение
со
3R— U ЭД„— рекурсивно насыщенная счетная модель тео-
п-0
рии Т. □
Рекурсивно насыщенные системы обладают приятными свой-
ствами. Типична следующая теорема.
5.5. Теорема. Любая рекурсивно насыщенная система Ж
(^-однородна, т. е. для любых конечных наборов а\, ..., ап, Ь\,_
..., Ьп из множества М таких, что
(ЭД,аь ...,а„)в(ЭД,&ь
'для любого элемента an+i е М существует элемент bn+\ е М та-
кой, что
(2R, аъ ..., а„+1) в (ЭД, bi.bn+l).
Доказательство. Пусть
У {fll> . . . > ^1» • • •»
§ 5. РЕКУРСИВНО НАСЫЩЕННЫЕ МОДЕЛИ
77
Множество всех формул вида
Ф («1......ап+\) -* Ф (&1, • •Ьп, х)
рекурсивно и локально выполнимо в поэтому оно выполняет-
ся на некотором элементе bn+i из 24. □
Счетные (о-однородные системы 24 обладают следующим ин-
тересным свойством: если (24, ..., ап) = (24, Ьп), то
конечное отображение может быть расширено до авто-
морфизма системы 24.
Многие из приложений рекурсивно насыщенных систем при-
меняют пары систем вместо отдельных систем. Если дан конеч-
ный язык L = {Si, ..., S/i}, то пусть I/ и L" — два непересекаю-
щихся языка с символами того же типа, что и L,
L' = {Sn S'},
l"={s;',...,s;t
Рассмотрим две системы 24, $ для языка L с одним и тем же
основным множеством, М = N. Под парой систем (24,91) мы по-
нимаем алгебраическую систему для языка I/ U L", L'-обеднение
которой есть 2)1, а Г/'-обеднение есть 91.
5.6. Теорема об изоморфизме. Если (24,91)—счет-
ная рекурсивно насыщенная пара систем и 24 = 91, то 24 91.
Доказательство. Применяя челночный метод, мы строим
нумерации М= {а0, #i, ...}, N = {Ьо, Ь\, ...} такие, что для
любого k выполняется
($?, а0, • • •> ^) = (5K, &о, • • •> &/Д
Если k четно, то, взяв вначале ak, мы выбираем bk, на котором
в (24, 91) выполнено рекурсивное множество формул
ф' (а0, • • •, а*-ь а.0 <р" (Ьо, .... bk_h х),
где ср (х0, .. •, xk) пробегает формулы из L. Если k нечетно, то мы
сначала выбираем bk, а затем подбираем для него а^ □
Приведенная выше конструкция дает пример рассуждения,
часто используемого в теории моделей и называемого челночным
методом.
Одним из основных результатов в логике является теорема
Робинсона о совместности (Робинсон [2]). Можно указать
много доказательств этой теоремы. Мы приведем здесь одно осо-
бенно простое доказательство, использующее рекурсивно насы-
щенные модели.
5.7. Теорема Робинсона о совместности. Пусть
Li и L2 — два расширения языка Lo, где Lo = Li П L2. Пусть
78
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
TQ — полная теория в языке Lo и Ть Г2— два непротиворечи-
вых расширения этой теории до теорий в языках Li и L2 соот-
ветственно, тогда объединение Т\\}Т2— непротиворечивое мно-
жество.
Доказательство. Применяя теорему Лёвенгейма — Ску-
лема и теорему существования 5.4, мы получим конечную или
счетную рекурсивно насыщенную пару моделей (Зй, 31), где Зй—
модель теории а 31— модель теории Т2. Зй и 9? будут систе-
мами для языков Li и L2. Обеднения Зйо и Э1о моделей ЭД и 31 до
языка Lo будут моделями теории Го, а поэтому Зйо 55 Э10. Кроме
того, (Зйо,Э1о) будет рекурсивно насыщенной, а в этом случае по
теореме 5.6 об изоморфизме Зйо = Э10. Этот изоморфизм дает нам
обогащение 911 модели Э10 до языка Li, которое будет моделью Л.
Изменяя интерпретацию Li — L2 на W, чтобы она подходила для
911, мы получим модель теории U Т2.
5.8. Пример. Если G — конечная группа, то пусть F(G) —
класс всех полей Зй таких, что группой Галуа поля Зй над некото-
рым подполем 31 Зй будет G. Пусть Т — полное расширение тео-
рии полей и G, Н — конечные группы. Если Т имеет модели ЗЙ1^
eF(G) и Зй2 F(H), то Т имеет модель Зйе F(G) П F(H). Это
возможно в силу того, что F(G) и F(H) можно описать, исполь-
зуя теории с дополнительными символами. Легко построить
много подобных примеров.
Теорема Робинсона о совместности была также доказана не-
зависимо в следующей эквивалентной формулировке Крей-
гом [1].
5.9. Интерполяционная теорема Крейга. Пусть
L = L' П L" и ф, ф — предложения соответственно языков L' и
L". Если ф ф — тождественно истинное предложение, то суще-
ствует предложение 0 языка L такое, что предложения ф~>0 и
0->ф тождественно истинные.
Доказательство. Предположим, что искомого предложе-
ния 0 не существует. Пусть Го — множество всех следствий из ф
в языке L. В этом случае множество Го U {~1 Ф} локально сов-
местно и по теореме компактности имеет модель Зй. Пусть Т —
полная теория L-обеднения модели Зй. Так как T(J {ф} и TU
U О одновременно совместны, то Т (J {ф, ф} совместно. Но
это означает, что предложение ф ф не является тождественно
истинным.
Мы закончим этот параграф одной из теорем устойчивости.
Формула ф называется позитивной, если ф получается из атом-
ных формул применением связок A, V, V, 3. Гомоморфизмом
модели Зй в 31 называется отображение f из М в N такое, что для
любой атомной формулы ф и интерпретации s в Зй
из 2R ф [$] следует SR |= ф [f ($)].
§ 6. БОЛЬШИЕ И МАЛЫЕ МОДЕЛИ
79
Подсистема модели Я, у которой основное множество равно
области значений /, называется гомоморфным образом модели ЭЯ
при гомоморфизме. Мы говорим, что теория Т устойчива относи-
тельно гомоморфных образов, если любой гомоморфный образ
любой модели теории Т является моделью теории Т.
5.10. Теорема Линдона о гомоморфизме (Лин-
дон [1]). Теория Т устойчива относительно гомоморфных обра-
зов, если и только если Т эквивалентна некоторому множеству
позитивных формул.
Доказательство. Индукцией по сложности позитивных
формул доказывается, что позитивные формулы устойчивы отно-
сительно гомоморфных образов. Пусть теория Т устойчива отно-
сительно гомоморфных образов и ТР — множество всех позитив-
ных формул, выводимых из Т. Пусть Я — модель теории ТР. По
теореме компактности существует модель ЭЯ теории Т такая, что
любая позитивная формула, истинная в ЗЯ, истинна и в Я. Чтобы
избежать осложнений, предположим, что модели ЭЯ и Я бесконеч-
ны. Тогда существует счетная рекурсивно насыщенная пара мо-
делей (ЭЯ', Я') такая, что ЭЯ s ЭЯ' и Я = Я'. Применяя челночный
метод, мы увидим, что Я' есть гомоморфный образ 9Я/, а поэтому
Я' |= Т. Следовательно, теория ТР эквивалентна Т. □
5.11. Пр и м е р. Теории групп и колец позитивны и, как хо-
рошо известно, устойчивы относительно гомоморфных образов.
Теория областей целостности неустойчива относительно гомо-
морфных образов (рассмотрим целые числа и числа по модулю
и), поэтому она не может быть аксиоматизируема позитивными
формулами. Основной виновник — §то аксиома
ЧхЧу (х • г/ = 0 -> х = 0 V у = 0),
которая утверждает, что нет делителей нуля.
§ 6. Большие и малые модели
В этом параграфе изучим два типа моделей, насыщенные мо-
дели (которые будут большими) и простые модели (которые бу-
дут малыми). Вначале будет изложено понятие насыщенных мо-
делей в оригинальном восточном варианте, принадлежащее
Йонсону [I], а затем параллельный западный вариант, при-
надлежащий Морли и Вооту [I]. Теория простых моделей
более успешно развивалась в западном варианте и в завершен-
ном виде она изложена В о о т о м [2].
Теорема компактности является основным инструментом при
конструировании больших моделей. Для конструирования малых
моделей нужен новый инструмент, теорема об опускании типов.
Подход Йонсона в применении к теориям имеет следующий
вид:
so
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
6.1. Определение. Теория Т называется йонсоновской,
если:
(i) Т имеет бесконечную модель;
(ii) Т индуктивна;
(iii) Т обладает свойством совместного вложения, т. е. лю-
бые две модели ЭЛ, теории Т изоморфно вкладываются в неко-
торую модель $ теории Г;
(iv) Т обладает свойством амальгамируемости.
6.2. Пример. Следующие теории являются йонсоновскими:
группы,
абелевы группы,
булевы алгебры,
линейный порядок,
поля характеристики р (р — простое число или нуль),
упорядоченные поля.
Через Ту обозначается множество всех универсальных пред-
ложений, выводимых из Т. Базисными формулами мы будем на-
зывать бескванторные формулы. Поэтому диаграмма £>(ЭЛ) мо-
дели -К эквивалентна множеству всех базисных формул языка
Lm, истинных в ЭЛм- В общем случае для любого X М мы обо-
значим через D(Wl, X) множество всех базисных формул языка
Lx, истинных в системе ЭЛх. Для классификации элементов мо-
дели -К оказывается полезным понятие базисного типа.
6.3. Определение. Базисным типом над Т называется
множество базисных формул Ф(х) с одной переменной х, макси-
мальное совместное с Т, Если m — элемент модели ЭЛ теории Г,
то множество всех базисных формул, истинных на этом элементе,
будет базисным типом; назовем его базисным типом элемента т.
Заметим, что любое множество базисных формул, совместное
с Г, может быть расширено до базисного типа над Т.
6.4. Пример. Пусть Т — теория полей характеристики р
(р — простое число или нуль). Для любого неразложимого поли-
нома Р(х) над простым полем существует базисный тип, содер-
жащий все следствия из Т U {Р(х) = 0} и называемый типом
корней Р(х). Т имеет еще один базисный тип, тип трансцендент-
ного х.
Теория упорядоченных полей имеет 2° базисных типов, так
как существует 2е0 сечений в области рациональных чисел.
6.5. Определение. Пусть Т — йонсоновская теория их —
бесконечный кардинал. Модель ЭЛ теории Т называется базисно
к-насыщенной, если для любого подмножества X М мощности,
меньшей х, любой базисный тип над T\JD(Wl, X) выполняется в
ЯЛх. (Эквивалентно: любое множество базисных формул Ф(х),
совместное с ГиЩЯЛ,X), выполняется в ЭЛх.)
§ 6. БОЛЬШИЕ И МАЛЫЕ МОДЕЛИ
81
2R называется базисно насыщенной, если 2R базисно х-насы-
щена, где х — мощность основного множества модели (и х бес-
конечно). Понятие базисной х-насыщенности зависит от теории Т
и становится сильнее с возрастанием х.
Мы приведем три теоремы Ионсона [ 1 ]. В каждом случае
мы предполагаем, что Т — йонсоновская теория с не более чем х
символами.
6.6. Теорема существования. Теория Т имеет базисно
п+-насыщенную модель мощности 2х.
Доказательство. Аналогично теореме о существовании
рекурсивно насыщенных моделей доказывается и эта теорема.
Мы строим цепь длины х+ моделей мощности 2х На непредель-
ных шагах мы, используя свойства амальгамируемости и сов-
местного вложения и теорему компактности, удовлетворяем 2х
базисных типов над предыдущей моделью.
6.7. Следствие (ОКГ). Т имеет базисно насыщенную мо-
дель мощности и+.
6.8. Теорема единственности. Любые две базисно
насыщенные модели теории Т одной и той же мощности изо-
морфны.
Доказательство. Используем челночный метод.
6.9. Теорема. Модель Зй теории Т базисно к-насыщена,
если и только если:
(i) модель Зй базисно к-универсальна, т. е. любая модель
мощности, меньшей х+, изоморфно вкладывается в ЯЛ;
(ii) модель 2)? базисно к-однородна, т. е. если и 21 по-
рождается множеством мощности, меньшей х, и f: 21~>2й, то
в 2)Ь и выполняются одни и те*же базисные типы.
Приведенная теорема показывает, в каком смысле базисно
насыщенная модель является большой.
6.10. Пример. Базисно coi-насыщенное линейно упорядочен-
ное множество будет тц-множеством в смысле Хаусдорфа
[1]. т)Гмножеством {М, <> будет плотное множество в том смы-
сле, что если X, У — два произвольных подмножества мощности,
меньшей coi, и X < У, то существует элемент z е М такой, что
X < z < У.
Из работы Эрдёша, Гилмана и Хенриксона [1] сле-
дует, что базисно coi-насыщенными упорядоченными полями бу-
дут в точности вещественно замкнутые упорядоченные поля, у ко-
торых порядок является тц-множеством. Эти поля будут неархи-
медовыми.
Базисно coi-насыщенными полями будут в точности несчетные
алгебраически замкнутые поля.
Если 2° = coi, то существует единственная базисно насыщен-
ная группа мощности coi, эта группа оказывается полной и про-
стой.
82 гл. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
Западный вариант обсуждаемой проблемы получается заме-
ной:
йонсоновская теория —> полная теория,
диаграмма —> полная диаграмма,
изоморфное вложение -> элементарное вложение,
базисная формула -> формула.
Во всех определениях опустим прилагательное «базисный».
Приведем здесь основные пункты.
6.3'. Определение. Типом над полной теорией Т назовем
максимальное совместное с Т множество формул Ф(х).
6.5'. Определение. Алгебраическая система Зй называет-
ся и-насыщенной, если для любого подмножества X М мощно-
сти, меньшей х, любой тип над ТИ(Зйх) выполняется в Зйх. Си-
стема Зй называется насыщенной, если она х-насыщена, где х —
мощность основного множества системы Зй.
6.6'. Теорема существования. Любая полная теория
с бесконечными моделями имеет п+-насыщенную модель мощно-
сти 2х.
6.8'. Теорема единственности. Любые две элемен-
тарно эквивалентные' насыщенные системы одной мощности изо-
морфны.
Доказательство может быть получено либо непосредственно,
либо из предыдущих результатов, если взять консервативное рас-
ширение Tf из теоремы 2.18.
Вспомним, что Т' получается из Т присоединением новых сим-
волов для всех формул языка L. Если Т — полная теория с бес-
конечными моделями, то — йонсоновская теория. Кроме того,
для каждой модели Зй теории Т существует единственное обога-
щение Зй7 f= Т' и типам в Зйх соответствуют базисные типы в
Каждая (о-насыщенная система для конечного языка будет
рекурсивно насыщенной. Большинство приложений рекурсивно
насыщенных моделей параллельно простым приложениям насы-
щенных моделей. Насыщенные модели имеют и другие приложе-
ния. Для примера см. главу 3, они применяются также в теоре-
мах Чэна и Йенсена о двух кардиналах в § 4 и в теореме Морли
о категоричности в § 7. Трудность состоит в том, что счетные на-
сыщенные модели не всегда существуют, в отличие от счетных
рекурсивно насыщенных моделей, которые всегда существуют.
6.10' . Пример. т)1-множества и т)рвещественно замкнутые
упорядоченные поля будут сорнасыщенными. Любое несчетное
алгебраически замкнутое поле сорнасыщено. Однако базисно на-*
сыщенная группа мощности coi не является насыщенной.
§ 6. БОЛЬШИЕ И МАЛЫЕ МОДЕЛИ
83
В оставшейся части этого параграфа мы будем предполагать»
что L — счетный язык, и будем изучать счетные модели полных
теорий в языке L.
Будем обозначать хь ..., хп через х и рассмотрим типы от п
переменных. Под типом от переменных х над Т будем понимать
максимальное совместное с Т множество формул Ф(х). Тип Ф(х)
реализуется в алгебраической системе ЭИ, если он выполняется
некоторым пг^М в системе ЭИ, и он опускается в системе ЭИ, если
он не реализуется. Для удобства под счетным множеством мы
будем понимать множество конечное или мощности со; заметим»
что конечные системы насыщены.
Начнем с характеризации теорий, имеющих счетные насыщен-
ные модели.
6.11. Теор ем a (Boot [2]). Полная теория Т имеет счет-
ную насыщенную модель, если и только если для любого п тео-
рия Т имеет лишь счетное число типов от п переменных.
Доказательство. Пусть Т имеет счетную насыщенную
модель ЭИ. Так как ЭИ — универсальная модель, то каждый тип от
и переменных над Т реализуется в ЭН. Поэтому Т имеет счетное
множество типов. Обратное утверждение доказывается анало-
гично теореме существования рекурсивно насыщенных моделей.
6.12. Следствие. Если полная теория Т имеет лишь счет-
ное множество неизоморфных счетных моделей, то Т имеет счет-
ную насыщенную модель.
6.13. Пример. Теория Т алгебраически замкнутых полей ха-
рактеристики р имеет счетное множество счетных моделей, каж-
дая из которых имеет степень трансцендентности п или со. Следо-
вательно, теория Т имеет счетную насыщенную модель. Модель
конечной степени трансцендентности опускает любой тип п + 1
алгебраически независимых элементов. Поэтому поле степени
трансцендентности со будет насыщенной моделью.
6.14. Пример. Теория вещественно замкнутых упорядочен-
ных полей не имеет счетной насыщенной модели, так как су-
ществует 2° типов от одной переменной. Аналогично полная тео-
рия стандартной модели арифметики не имеет счетной насыщен-
ной модели, так как получаем 2° типов от одной переменной»
рассматривая различные множества стандартных простых чи-
сел, которые делят х.
Сейчас мы докажем основной результат, который позволит
нам конструировать малые счетные модели.
6.15. Теорема об опускании типов (Генкин [2],
Ор и [1]). Пусть Т — непротиворечивая теория и утп(х), пг, п <
(о, — формула с переменными х. Предположим, что для лю-
бой формулы ф(х), совместной с Т, и любого ш существует п
такое, что ф(х) Д фтл(х) совместно с Т. В этом случае Т имеет
84
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОЛЕЛЕН
модель 24 такую, что
ЭД Н A V* V <Pmn
m п
(Длина последовательности х — Xi ... Хцт) не зависит от п.)
Доказательство. Проведем построение, аналогичное до-
казательству теоремы компактности. Присоединим счетное мно-
жество С новых константных символов. Перечислив все предло-
жения ф языка Lc и все пары (/и, с), мы можем построить тео-
рию Т' в языке Lc такую, что
(1) Т<=Т'\
(2) Т'— полная теория в языке Lc;
(3) если З-гфОО^Т1', то для некоторого сеС;
(4) для любого с из С и m < со существует п < о такое, что
4>mn(c) G= Г.
Т' имеет единственную модель Зй' такую, что любой элемент
m е Mf является интерпретацией некоторого константного сим-
вола с е С, Обеднение Зй модели Зй7 до языка L имеет все тре-
буемые свойства. □
Оригинальные работы о теореме об опускании типов имеют
дело со специальным случаем со-моделей арифметики. Пусть
язык L содержит среди всех символов константы б, 1, 2, ...
Теория Т называется ^-полной, если для любой формулы ср (%)
языка L
из ГН ср (б), <р(1), ... следует Т^У^фС*)-
Бесконечное правило вывода, которое утверждает, что Vx<p(x)
выводится и ср (6), ср (1), ..., называется ^-правилом. Модель Зй
теории Т называется ^-моделью, если каждый элемент из Эй ра-
вен некоторой константе й, т. е.
V х = п.
п<&
6.16. Теорема об ©-полноте. Если теория Т непроти-
воречива и (я-полна, то Т имеет ^-модель.
Доказательство. Если формула б(х) совместна с Г, то
для некоторого п < со имеем Т ~| 0 (п). Следовательно, фор-
мула 0(х) А х = п совместна с Т, и теперь применяем теорему
об опускании типов.
Теорема об со-полноте верна также и в более общем случае
со-логик, которые имеют один сорт переменных для натуральных
чисел и другой сорт переменных для элементов (см. 5.2 главы 1).
Следующий результат был доказан для моделей произволь-
ной мощности Макдоуэлом и Шпе кером [I]. Для счет-
ных моделей мы дадим простое доказательство, применяющее
теорему об опускании типов.
§ 6. БОЛЬШИЕ И МАЛЫЕ МОДЕЛИ
85
6.17. Теорема. Пусть ЗЯ— счетная модель арифметики Пе-
ано. В этом случае существует собственное элементарное расши-
рение 91 модели такое, что для любого me М и N — М
выполнено m < п.
Доказательство. Присоединим новый константный сим-
вол с к языку Lm, и пусть Т — теория
Th (Э^м) U {т < с: пг^ М}.
Применяя теорему об опускании типов и принцип отделения в
арифметике Пеано, можно показать, что теория Т имеет модель
91' такую, что 91' Н Д \fx(a^.x V V x — b). Обеднение 91 мо-
а^М Ь<а
дели 91' до языка L обладает всеми требуемыми свойствами. □
Мы дали два приложения теоремы об опускании типов к не-
полным теориям. Возвратимся теперь к нашему изучению счет-
ных моделей полных теорий.
6.18. О п р е д е л е н и е. Формула <р(х) называется полной
в теории Т, если множество
Н (х): Т ф (х) -> 1|) (х)}
является типом над Т. Тип, который порождается полной форму-
лой, называется изолированным типом *).
6.19. Теорема (Boot [2]). Пусть Т — полная теория. Тео-
рия Т имеет модель, опускающую тип р, если и только если р —
неизолированный тип.
Доказательство. Если р — изолированный тип, поро-
ждаемый формулой <р(х), то Т |= Зжр (х), и поэтому любая мо-
дель теории Т реализует р. Предположим, что р — неизолирован-
ный тип. Тогда по теореме об опускании типов теория Т имеет
модель ЗЯ такую, что
V W),
М>€=р
поэтому опускает тип р.
Мы теперь готовы к изучению малых моделей.
6.20. Определение. Модель ЗЯ теории Т называется про-
стой, если она элементарно вкладывается в любую модель тео-
рии Т.
Простые модели всегда счетные, и они будут противоположны
(Oi-универсальным моделям. Следующие результаты получены
В о о т о м [2].
6.21. Теорема. Пусть Т — полная теория. Модель ЗЯ про-
ста в теории Т, если и только если ЗЯ — счетная модель и любой
тип, реализующийся в ЗЯ, является изолированным.
Доказательство. Применим теорему 6.19.
♦) Изолированный тип часто называют главным. — Прим. ред9
36
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
6.22. Теорема единственности для простых
моделей. Любые две простые модели полной теории Т изо-
морфны.
Доказательство получается применением челночного метода
с использованием теоремы 6.21.
6.23. Теорема существования для простых мо-
делей. Полная теория Т имеет простую модель, если и только
если любая формула, совместная с Т, принадлежит некоторому
изолированному типу.
Доказательство. Если Зй — простая модель теории Т, то
любая формула ф(х), совместная с Т, выполняется в Зй и, следо-
вательно, принадлежит изолированному типу. Предположим, что
любая формула принадлежит изолированному типу. Пусть Ф* —
множество всех полных формул от k переменных над Т. В силу
теоремы об опускании типов теория Т имеет счетную модель ЗЯ
такую, что
awHAVx v <₽(*).
k <реФй
Тогда в силу теоремы 6.21 Зй — простая модель. □
6.24. Следствие. Если полная теория Т имеет счетную на-
сыщенную модель, то она имеет простую модель.
Доказательство. Предположим, что Т не имеет про-
стой модели. Пусть ф(х) —формула, которая не содержится ни
в каком изолированном типе над Т. В этом случае существует
бинарное дерево
/Фо^)^
\ , 4^^фюк)...
Ф1
^ф11 («)...Г)
формул, совместных с Т, такое, что все ветви этого дерева могут
быть расширены до различных типов. Следовательно, Т имеет
2“ типов от х и Т не имеет счетной насыщенной модели.
6.25. Пример. В силу элиминации кванторов простой мо-
делью теории алгебраически замкнутых полей характеристики р
будет поле алгебраических чисел.
Поле вещественных алгебраических чисел будет простой мо-
делью теории вещественно замкнутых упорядоченных полей.
Стандартная модель SU арифметики будет простой моделью тео-
рии Th (91).
Кульминацией нашего изучения счетных насыщенных моде-
лей будет характеризация ©-категоричных теорий.
$ 7. СТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
87
6.26. Теорема (Энгелер, Рыль-Нардзевский, Свенониус»
Boot [2]). Пусть Т —полная теория без конечных моделей. Тео-
рия Т ^-категорична, если и только если для любого п теория Т
имеет лишь конечное число типов с п переменными.
Доказательство. Пусть теория Т «-категорична и ЭД—
счетная модель теории Т. В силу теоремы Лёвенгейма — Ску-
лема о спуске модель ЭД простая. Так как каждый тип над Г реа-
лизуется в ЭД, то в силу теоремы 6.21 каждый тип над Т изолиро-
ванный. Если бы Т имела бесконечно много типов от х, то мно-
жество отрицаний полных формул от х было бы совместно и по-
этому содержалось бы в неизолированном типе. Следовательно»
Т имеет лишь конечное число типов от х.
Предположим теперь, что для любого п теория Т имеет лишь
конечное число типов от п переменных; пусть это pi, ..., pm- Тип
pi содержит полную формулу
Ф = Ф1 А ... А Ф,п>
где ф/ е pi — р] для i ф j. Следовательно, каждый тип от п пе-
ременных над Т изолированный. Поэтому в силу теоремы 6.21
каждая счетная модель теории Т простая, и в силу теоремы
единственности для простых моделей теория Т «-категорична. □
6.27. Пример. Теория плотного линейного порядка Т «-ка-
тегорична и допускает элиминацию кванторрв. Поэтому для лю-
бого п конечное множество типов от Xi, ..., хп будет определять-
ся относительным порядком переменных хь ..., хп.
В действительности наше обращение с простыми моделями
плодотворно потому, что любая формула ф(х), совместная с пол-
ной теорией Т, выполняется в любой модели теории Т. Так как
йонсоновские теории и базисные формулы этим свойством не об-
ладают, то не получается аналога для восточного варианта про-
стых моделей. Однако в § 8 мы получим восточный вариант тео-
ремы об опускании типов.
§ 7. Стабильные теории
Морли [I] доказал следующую знаменитую теорему, отве-
чающую на вопрос Лося.
7.1. Теорема Морли о категоричности. Пусть Т —
теория в счетном языке L. Если теория Т категорична в неко-
торой несчетной мощности и, то она категорична в любой несчет-
ной мощности X.
Отсюда для счетного языка L имеется лишь два вида x-кате-
горичности: «-категоричность и «i-категоричность (этот резуль-
тат позднее был обобщен на несчетные языки Роуботтомом, Рес*
сером и в окончательном виде Ш е л а х о м [2]). Доказательство
теоремы 7.1 было значительно упрощено, но оно еще слишком
38 ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
техническое, чтобы приводить его здесь. Однако методы, исполь-
зуемые в ее доказательстве, стали более важными, чем сама тео-
рема. Морли дает красивую и плодотворную классификацию ти-
пов над теорией. Мы начнем с восточного варианта, так как он
имеет естественные примеры из алгебры. Чтобы мотивировать
нашу теорию, мы рассмотрим расширения полей и абелевых
групп.
Рассмотрим теорию Т и модель Зй теории Tv. Под базисным
типом над Эй мы понимаем базисный тип от одной переменной
над теорией T[)D{3R). Базисный тип изолирован, если он поро-
ждается одной базисной формулой.
Вначале пусть Т—теория полей фиксированной характери-
стики и Зй — модель теории Т. Базисными типами над 9Й будут:
(0) Для любого неприводимого полинома Р(х) над Эй изоли-
рованный тип, порождаемый формулой Р(х) — 0. В некотором
расширении 91^ЭИ элемент имеет один из таких типов, если и
только если он алгебраический над Эй.
(1) Единственный неизолированный тип, реализуемый в рас-
ширении 91 Эй трансцендентными элементами над Эй.
Типы (0) называются алгебраическими или ранга нуль по
Морли над Эй. Тип (1) называется ранга один по Морли над Эй.
Если 2№Э1, то каждый алгебраический тип над Эй может быть
расширен до нескольких различных базисных типов над 91. Од-
нако в теории полей оказывается, что любое расширение q^p
над 91 изолированного базисного типа р над Эй есть изолирован-
ный тип.
Пусть теперь Т — теория абелевых групп и ЭИ |= Г. Очевидно,
что для любого m е М формула х — m порождает изолирован-
ный тип, который имеет ранг нуль по Морли. Еще один тип р
порождается множеством формул
{х Ф т: т е 44} U {2х — 0}.
Тип р реализуется на элементе xq£M порядка 2, и он изолиро-
ван, если и только если в Эй существует лишь конечное число эле-
ментов порядка два. Однако над расширением 91 Эй тип р бу-
дет всегда расщепляться на множество изолированных типов над
91 и самое большее один неизолированный тип. Тип р дает при-
мер типа ранга 1 по Морли. Тип элемента х порядка 4 такого,
что 2х ф М, имеет ранг 2 по Морли и т. д. Тип элемента х та-
кого, что пхфМ для всех п, имеет ранг со по Морли.
Мы готовы дать общее определение.
Легче определить ранг по Морли для базисных формул. До
тех пор, пока мы этого не отметим, будем предполагать, что Т —
йонсоновская теория в счетном языке. Вспомним из § 3, что
9й|==Ту, если и только если Эй — подсистема некоторой модели
91 Г.
§ 7. СТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
89
7.2. Определение. Пусть — модель Гу. (Базисный)
ранг ти(ф) по Морли для (базисной) формулы ф(х) языка Lm
определим индуктивно:
(i) т(ф) = —1, если формула ф(х) не совместна сТи^(ЗИ);
(ii)/тг(ф) = 0, если для любой модели формула
ф(х) принадлежит лишь конечному числу типов над ЭД;
(iii) пусть а — ординал, тогда ги(ф) = а, если для любой мо-
дели множество {ф(х)} U {~1 Ф(х): Ф имеет ранг
< а над ЭД} может быть расширено лишь до конечного числа
различных типов над ЭД;
(iv) ти(ф) = оо, если /п(ф) #=—1 и т(ф) =#а для любого
ординала а.
Мы понимаем под «конечным числом» по крайней мере один
элемент, но меньше чем ш.
Заметим, что /п(ф) ^т(ф), если Т ф(х) -> ф(х).
7.3. Определение. Рангом по Морли для базисного типа
р над SJI является наименьший ординал а такой, что тип р содер-
жит базисную формулу ранга а по Морли.
Мы начнем с леммы, показывающей, что ранг по Морли хо-
рошо себя ведет.
7.4. Лемма. Пусть й |= Тv и ф (х) — базисная фор-
мула языка Lm.
(i) Ранги по Морли для формулы ф(х) над SW и над й сов-
падают.
(ii) Если т(ф) = а < оо, то ф принадлежит лишь конеч-
ному числу базисных типов ранга а и не принадлежит базисным
типам ранга > а над 2Я.
(iii) Если р имеет ранг а < оо над 2Я, то р может быть рас-
ширен до конечного числа базисных типов ранга а и не может
расшириться до базисных типов ранга > а над й.
Доказательство. Индукцией по рангу формул, исполь-
зуя свойство амальгамируемое™ для доказываем (i). Им-
пликации (i) -> (ii) и (ii) -> (iii) легко следуют из определения.
7.5. Определение. (Базисным) рангом по Морли для тео-
рии Т будет ранг Морли для формулы х = х нац любой моделью
2Й|= Гу. Эквивалентно ранг по Морли для теории Т — это мак-
симум рангов базисных типов над некоторой моделью
Морли [1] доказал, что ранг любой тотально трансцендент-
ной теории меньше оо.
7.6. Пример. Теория полей фиксированной характеристики
имеет ранг 1 по Морли. Теория отношения эквивалентности (М,
Е) имеет ранг 2 по Морли. (Для любого m М тип элемента
хфМ, для которого имеет место £(х, т), имеет ранг 1, в т<>
время как множество формул {~1£(х, т)\ т^М} порождаем
эо
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
тип ранга 2.) Теории абелевых групп и дифференциальных по-
лей характеристики 0 имеют ранг со по Морли. Теория линейного
порядка имеет ранг оо по Морли. Линейный порядок имеет сле-
дующие типы: для любого т е М формула х = т порождает
тип ранга 0. Любое сечение Дедекинда определяет тип ранга оо.
Возможно, лучше понимать определение ранга по Морли в то-
пологических терминах. Оно тесно связано с производными Кан-
тора — Бендиксона. В § 3 мы объясняли теорему компактности
в топологическом пространстве, где точками были полные тео-
рии. Теперь мы рассмотрим топологическое пространство, в кото-
ром точками будут типы.
Если дана йонсоновская теория Т и модель Зй теории Гу, то
через S (Зй) обозначим множество всех базисных типов от одной
переменной над Зй. Для каждой базисной формулы ф(х) языка
Lm рассмотрим
[ф] = {ре=3(9й): Фер}.
Мы превращаем 5(3й) в топологическое пространство, базисное
стоуновское пространство над Зй, взяв в качестве базиса тополо-
гии открыто-замкнутые множества вида [<р]. Из теоремы ком-
пактности следует, что 5(3й)—компактное вполне отделимое
хаусдорфово пространство. Точка р е S (Зй) изолирована в том
смысле, что она порождается одной базисной формулой, если и
только если она изолирована в топологическом пространстве. По-
этому, если [<р] конечно, то любой тип р е [ф] изолирован. Про-
изводной Квантора — Бендиксона от пространства 5(ЗЙ) будет
подпространство
S (Эй)' = {р g= S (Эй): р не изолирован}.
Итерируя этот процесс по ординалам, мы определим:
S (9Й)° = S (Эй),
S (2H)“+I = (S (ЭД)“)',
S(3R)a= П 5(ЗЙ)Р, если а предельный,
Р<а
S (9Й)°° = f| S (Ш1)“.
а
Для любого а множество 5(3й)а замкнуто. Пересечение
5(9й)°° называется совершенным ядром пространства S (Зй). На-
конец, для любого peS(Зй) рангом Кантора — Бендиксона бу-
дет наибольший ординал а такой, что р е 5“(ЗЙ).
Ранг по Морли отличается от ранга Кантора — Бендиксона,
так как ранг по Морли привлекает произвольные расширения
91 = Зй, кроме самого Зй. Один из способов определить ранг по
Морли топологически состоит в рассмотрении категории базис-
ных стоуновских пространств для моделей (см. Сакс [1]). Во-
S 7. СТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
9t
лее простой способ состоит в рассмотрении базисно оц-насыщен-
ной модели Зй.
7.7. Теорема. Если Зй — базисно (Л\-насыщенная модель, то
для любого базисного типа р е S(3W) его ранг по Морли равен
рангу Кантора — Бендиксона этого типа.
Доказательство. Чтобы дать идею доказательства, мы
рассмотрим лирдь доказательство для ранга 0. Если р имеет ранг
0 по Морли, то он изолирован над любым расширением 51 Э Зй,
поэтому он изолирован над Зй и его ранг Кантора — Бендиксона
равен нулю. Предположим, что р имеет ранг по Морли, больший
нуля, ире [ф]. Тогда ф(х) имеет ранг по Морли, больший нуля,
а поэтому существует расширение й такое, что ф(х) принадле-
жит бесконечно многим базисным типам над й, пусть это q^, qi,
qi, ... Эти типы можно различить счетным множеством формул,
а поэтому можно считать, что й счетно. Так как Зй базисно <»i-
насыщена, то мы можем считать, что й s Зй. Следовательно, [ф]
бесконечно и р — неизолированный тип, а поэтому для типа р
ранг Кантора — Бендиксона > 0. □
7.8. Лемма. Пусть Зй — базисно ы\-насыщенная модель тео-
рии Т. Базисная формула ф(х) над Зй имеет ранг оо по Морли,
если и только если имеется бинарное дерево базисных формил
только если имеется бинарное дерево базисных формул
ФооИ...
Ср (а)
,Фо(«)
^Ф01Н
^^Фю(£с)
Ф1
Фи(^)...
что каждая ветвь совместна с ТиД(ЗЙ), но нет ба-
типов, которые принадлежат более чем одной ветви.
такое,
зисных
Доказательство. Проведем доказательство чисто топо-
логически. Эта лемма представляет классический результат о со-
вершенном ядре. Для некоторого а 5(ЗЙ)°° = 5(ЗЙ)“ = 5(ЗЙ)а+1,
поэтому 5(ЗЙ)°° не имеет изолированных точек. Следовательно,
если т(ф)= оо, то [ф]П$(ЭД)°° бесконечно, и, повторяя расщеп-
ления, мы получим бинарное дерево с корнем ф(х).
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что
ти(ф) =а < оо и существует бинарное дерево с корнем ф(х).
Можно предположить, что а — наименьший такой ординал. Так
как [ф] содержит лишь конечное число точек ранга а, то в де-
реве должна существовать формула ф«(х) ранга, меньшего а, но
Ф«(х) —также корень бинарного дерева, а это приводит нас к
противоречию. □
Следующий результат Морли [1] характеризует тотально
трансцендентные теории в терминах мощности стоуновских про-»
странств.
92
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
7.9. Определение. Теория Т базисно п-стабилъна, если
для любой модели Эй теории мощности % базисное стоунов-
ское пространство имеет мощность х.
7.10. Теорема. Теория Т имеет ранг по Морли < оо, если
и только если она базисно ы-стабильна.
Доказательство. Если Т имеет ранг оо по Морли, то в
силу 7.8 существует бинарное дерево базисных формул над мо-
делью Зй теории Т. Взяв счетную подмодель й Эй, содержащую
все константы, которые входят в формулы этого дерева, мы ви-
дим, что над й существует 2Ш базисных типов, так как в дереве
2е0 ветвей, а поэтому теория Т не является со-стабильной.
Пусть теперь теория Т не является со-стабильной, тогда про-
странство S (Зй) несчетно для некоторой счетной модели Зй |=^ Ту.
Для каждой формулы ф(х), если [ф] не счетно, то можно расще-
пить [ф] на два непересекающихся несчетных множества [<pi]»
[ф2], так как существует лишь счетное множество формул над й.
Поэтому существует бинарное дерево базисных формул над
Зй. □
7.11. Теорема. Если теория Т базисно ^-стабильна, то ранг
по Морли теории Т — счетный ординал.
Доказательство. Индукцией по числу порождающих
можно показать, что существует лишь счетное число неизоморф-
ных конечно порожденных моделей 9й[==Ту. Следовательно, су-
ществует лишь счетное множество различных рангов по Морли
базисных формул над моделями Гу. Из определения легко ви-
деть, что не существует формул ранга > а, если нет формул
ранга а. Поэтому любая формула имеет счетный ранг. □
Заметим, что мы можем построить базисно насыщенную мо-
дель теории Т мощности х даже без ОКГ, если Т — базисно
х-стабильная теория, где х — регулярный кардинал (возможно,
<о). В работе Шелаха показано, что свойство х-стабильности
имеет фундаментальное значение. Он предположил следующую
классификацию теорий.
7.12. Определение. Спектром базисной стабильности тео-
рии Т назовем класс всех бесконечных кардиналов х таких, что
теория Т базисно х-стабильна.
7.13. Теорема (Ш е л а х [1]). Любая теория Т имеет один
из четырех спектров базисной стабильности sT:
(i) sT = {х: со х} (Т базисно ^-стабильна);
(ii) st = {х: 2° х} (Т базисно суперстабильна);
[(iii) st — {х: xw = х} (Г базисно стабильна)}
(iv) St пусто (Т базисно нестабильна).
Первым шагом в ее доказательстве был результат Морли
[1], состоящий в следующем. Предположим, что теория Т не яв-
ляется базисно х-стабильной. Как и в доказательстве теоре-
§ 7. СТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
93
мы 7.10, показывается, что существует бинарное дерево базис-
ных формул над некоторой моделью теории Г, поэтому Т не яв-
ляется базисно «-стабильной. Следовательно, (D-стабильность
влечет х-стабильность для всех х. Остальные шаги более трудные.
7.14. Пример. Теория счетного множества одноместных от-
ношений базисно суперстабильна, но не является со-стабильной.
Теория /?-модулей, где R = Z ф Z ф ..., базисно стабильна, но
не суперстабильна, какова же теория дифференциальных полей
простой характеристики р с символом для корня р-й степени
(Шел ах [1]).
Прекрасная классификация теорий получается, если исполь-
зовать функции стабильности для теорий Т.
7.15. Определение. Функцией базисной стабильности для
теории Т называется функция fT на бесконечных кардиналах х,
определенная следующим образом: /у(х) = sup {|S(3R) |: ЗЭТ—
модель теории Т мощности х}. Обозначим функцию базисной
стабильности линейного порядка через ded(x). В этом случае
ded(x) = sup {X: существует линейный порядок мощности х с X
сечениями Дедекинда}.
7.16. Т е о р е м а (Кейслер [4]). Функция базисной ста-
бильности для любой теории совпадает с одной из следующих
шести функций базисной стабильности fT:
(i) fr(x) = х (Т базисно а-стабильна)-,
(ii) /т(х) = х + 2W (Т базисно суперстабильна)-,
(iii) fT(n)' = y® (Т базисно стабильна);
(iv) /т(х) = ded (х) (Т базисно упорядочена)-,
(v) fr(x) = (ded (х))ю (Т базисно мультиупорядочена)-,
(vi) fr(x) = 2х (Т базисно независима).
Каждый вид теорий имеет синтаксическую характеризацию,
которая оправдывает данные названия: теории типов (iv), (v) и
(vi) базисно нестабильны.
7.17. Пример. Теории линейного порядка и упорядоченных
полей будут базисно упорядоченными. Теория счетного множе-
ства отношений линейного порядка будет базисно мультиупоря-
доченной. Теории групп, булевых алгебр и колец будут незави*
симы. Другие примеры можно найти уКейслера [4].
Классификационные теоремы 7.13 и 7.16 верны не только для
йонсоновских теорий, но и для произвольных теорий с неболь-
шими изменениями в определении функций стабильности.
Все, что мы получили в этом параграфе, верно также и в за-
падном варианте. Предположим, что Т — полная теория в счет-
ном языке, и везде отбросим слова «базисный».
Очень грубый план доказательства теоремы Морли о катего-
ричности состоял в следующем. Предполагая Т х-категоричной
для х > со, вначале покажем, что теория Т со-стабильна. Затем
покажем, что модель мощности х насыщена. Следующий шаг со-
94
ГЛ 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
стоит в доказательстве того, что теория Т имеет ненасыщенную
модель мощности х, если она имеет какую-либо несчетную нена-
сыщенную модель. Поэтому все несчетные модели теории Т бу-
дут насыщенными.
Приведем характеризацию coi-категоричных теорий в терми-
нах стабильности. Необходимость получена Морли [1], а до-
статочность — Болдуином и Лахланом [1].
7.18. Теорема. Полная теория Т (й\-категорична, если и
только если:
(i) Т (а-стабильна;
(ii) для любой модели ЗЯ\== Т мощности cdj любое определи-
мое множество в 2)?м либо конечно, либо несчетно.
Мощностным спектром или просто спектром полной теории Т
называется функция gr(x), равная числу неизоморфных моделей
теории Т мощности х. Очень сложная проблема состоит в том,
чтобы определить, какие функции могут быть мощностными
спектрами. Теорема Морли о категоричности показывает, что для
несчетных х значение gr(x) либо всегда равно единице, либо ни-
когда не равно единице. Гораздо большего удалось достигнуть,
применяя стабильность, в частности Шелахом. Мы приведем два
типичных результата.
7.19. Теорема (Лахлан [1]). Если теория Т суперста-
бильна, но не является ю-категоричной, то Т имеет со неизоморф-
ных счетных моделей.
Сейчас приведем результат, противоположный категорично-
сти.
7.20. Теорема (Шел ах [1]). Если Т не суперстабильна,
то Т имеет 2х неизоморфных моделей в любой несчетной мощно-
сти х.
7.21. Пример. Если — бесконечный линейный порядок
или бесконечная булева алгебра, то Th (SD?) нестабильна и, следо-
вательно, имеет 2х неизоморфных моделей в любой несчетной
мощности х. Этот результат ложен для х = со. Например, теории
плотного линейного порядка и безатомной булевой алгебры не-
стабильны, но со-категоричны.
Некоторые другие важные приложения стабильности обсуж-
даются в главах 4 и 5 *).
§ 8. Теоретико-модельный форсинг
Опишем конечный форсинг по А. Робинсону (Робинсон
[3]). Он аналогичен коэновскому форсингу**), но проще уст-
роен, что позволяет построить модель для произвольных индук-
♦) См также Дополнение, написанное Е. А. Палютиным. — Прим. ред.
♦♦) Коэновский форсинг часто называется «вынуждением». — Прим. ред.
§ 8. ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЙ ФОРСИНГ
95
тивных теорий. Форсинг находится в близком родстве к теореме
об опускании типов из § 6 и в действительности представляет со-
бой восточный вариант теоремы об опускании типов (теоре-
ма 8.15). Более общая теория форсинга, включающая как коэ-
новский так и робинсоновский форсинг, а также теорему об опу-
скании типов, содержится в работе Кейслера [3].
Материал этого параграфа относится к восточной теории мо-
делей.
Всюду в этом параграфу будем предполагать, что язык L сче-
тен и С — счетное бесконечное множество новых константных
символов. Через Т обозначим непротиворечивую теорию в язы-
ке L.
8.1. Определение. Под условием для теории Т мы пони-
маем конечное множество атомных формул и отрицаний атомных
формул языка Lc, которые совместны с Г. Буквы р, q будут обо-
значать условия для теории Г. Заметим, что пустое множество 0
будет условием для Т.
8.2. Определение. Выражение «р форсирует <р», обозна-
чаемое р||— <р или (когда это необходимо) р\\— Гф, задает отноше-
ние между условиями р и произвольными предложениями ф
языка Lc. Оно определяется индукцией по длине формулы ф:
если ф — атомное предложение, то р||—ф, если и только если
ф€Ер;
рII” Пф, если и только если нет условия q 3 р такого, что
р||— Зхф(х), если и только если р\\— ф(с) для некоторого
с е С;
р||—Ф V Ф, если и только если р\\— ф или р||— ф.
В приведенном выше определении символы ~1, V, 3 мы взя-
ли за основные и А, <->, V — за производные. Определение
форсинга точно похоже на определение выполнимости, за исклю-
чением случая П. Интуитивно, мы можем понимать условие р
как конечное множество информации о системе Зй. Мы говорим,
что р слабо форсирует ф, р\\—тоф, если р\\— Ф*
8.3. Лем ма.(1)Если р\\— ф, и q р, то ?||—ф.
(\\)Если ф е р, то р||—ф.
(iii)p||—^ф, если и только если для всех q^p существует
r^.q такое, что г ||— ф.
(iv)p||— ф влечет р ||— ^ф.
Доказательство, (i) доказывается индукцией по длине
Ф, в то время как (ii) — (iv) следуют непосредственно из опреде-
ления. □
Для построения моделей с помощью форсинга мы введем по-
нятие генерического множества.
96
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
8.4. Определение. Генерическим множеством для Т на-
зывается множество базисных предложений G такое, что:
(i) любое конечное подмножество р s G является условием
для Г;
(ii) для любого предложения ф языка Lc существует условие
ре G такое, что р IH ф либо р И ф.
Обозначим G ||—ф, если р|| —Ф для некоторого p^G. От-
сюда следует, что для любого ф выполняется в точности одно из
условий G ||— ф либо G1I— П ф.
8.5. Лемма. Для любого условия р существует генерическое
множество G е р.
Доказательство. Пусть ф0, фь ... — список всех предло-
жений языка Lc. Используя определение форсируемости для от-
рицания, мы можем выбрать цепь условий р0 е р\ е ... такую,
что р« ||— Фп или Рп||—“|фп Для любого п. В этом случае мно-
жество G = (J^n генерическое.
п
Приведенная лемма объясняет смысл предположения о счет-
ности множеств L и С. Приведем сейчас основной результат об
этой конструкции.
8.6. Теорема о генерической модели. Пусть G —
генерическое множество для теории Т. Существует единственная
(с точностью до изоморфизма) система ^Sl(G) для языка Lc та-
кая, что:
(i) каждый элемент m е M(G) является интерпретацией не-
которой константы с е С;
(ii) для любого предложения ф языка Lc выполнено
ЭЯ(О1= Ф, если и только если G ||— ф, т. е.
ТЬ(ЩО)) = {ф: GH— ф}.
Доказательство. Отношение
c~d, если и только если G\\— c = d
является отношением эквивалентности на С. В качестве основ-
ного множества SD?(G) рассмотрим M(G)^C, содержащее
в точности по одному элементу из каждого смежного класса по
этой эквивалентности. Если с ~ пг для m е M(G), то интерпре-
тируем константу с элементом m, a 2Я (G) пусть будет единствен-
ной моделью для G с основным множеством Af(G). Тогда (ii)
выполнено для любой атомной формулы ф. Отсюда индукцией по
длине формулы ф доказывается, что это верно для любого пред-
ложения ф языка Lc. Тот факт, что G — генерическое множе-
ство, используется при проведении индукционного шага для от-
рицания:
3P£(G)H— ~1ф равносильно ЗИ(О)>=ф равносильно
СКф равносильно G||— “|ф.
§ 8 ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЙ ФОРСИНГ
97
Следующее утверждение полезно для доказательства форси-
руемости предложений.
8.7. Следствие. Следующие два условия эквивалентны:
(i)p||-w<p;
(ii) для любого генерического множества G теории Т, расши-
ряющего р G, выполнено 3ft (G) |= Ф-
Обратим наше внимание на Т-генерические модели.
8.8. Определение. Система ЗЯ для языка L называется
Т-генерической моделью, если ЗЯ изоморфна L-обеднению модели
ЗЯ(б) для некоторого генерического множества G теории Т.
8.9. Теорема. Если Т — индуктивная теория, то любая
Т-генерическая модель является моделью теории Т.
Доказательство. Можно предположить, что Т состоит
из VS-предложений. Рассмотрим предложение ф = УхЗ^ф (х, у)
е Т, где ф — бескванторная формула. Представим ф в виде
ПЗх~|Эуф(х, у). Предположим, что ф ложно в некоторой мо-
дели ЗЯ(б) для генерического множества G теории Т. В этом слу-
чае некоторое р G Т-форсирует формулу Зх П Зуф(х, у), тогда
pF“13yi|>(c, у)
для некоторого с. Но условие р совместно с теорией Т, а поэтому
для некоторого q р из q выводимо ф(с, d) для некоторого d
из С. Поэтому q\\— wBy^(c, у), что приводит к противоречию. Та-
ким образом, мы показали, что ф истинно в любой Т-генериче-
ской модели. □
Чтобы понять идею устройства Т-генерических моделей, рас-
смотрим несколько примеров и введем понятие экзистенциально
замкнутой модели.
8.10. Пример. Любой генерический линейный порядок изо-
морфен рациональным числам. Любое генерическое упорядочен-
ное поле будет вещественно замкнутым. Каждое генерическое
поле алгебраически замкнуто. Эти примеры могут быть прове-
рены непосредственно из определения форсинга.
8.11. Определение. Модель ЗЯ теории Т называется экзи-
стенциально замкнутой, если экзистенциальное предложение ф
языка Lm, истинное в некоторой Т-модели, расширяющей ЭЯ, ис-
тинно и в ЗЯ.
Можно показать, что модели, описанные в примере 8.10, бу-
дут экзистенциально замкнутыми. Понятие экзистенциально зам-
кнутой модели является плодотворным обобщением понятия ал-
гебраически замкнутого поля.
8.12. Предложение. Если теория Т индуктивна, то любая
модель теории Т вкладывается в экзистенциально замкнутую
модель в Т.
4 Справочная книга, ч. I
€8
ГЛ 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
Доказательство этого результата вполне элементарно и ис-
пользует лишь замкнутость теории Т относительно объединения
цепей.
8.13. Теорема. Если теория Т индуктивна, то любая Т-гене-
рическая, модель экзистенциально замкнута в Т.
Доказательство. Пусть — Г-генерическая модель, тог-
да есть L-обеднение модели ^l(G) для некоторого генериче-
ского G. Пусть формула Вхф(х) истинна в некоторой модели 91
теории Т, расширяющей 2R, где ф(х)— бескванторная формула
языка Lc. Пусть р G и константа с не входит ни в р, ни в ф(х).
Применяя диаграмму модели 91, мы найдем условие р такое,
что
В силу 8.7 и 8.9
q\\-wBxq>(x).
Поэтому р не может форсировать ПППЗхф(х). Отсюда сле-
дует, что G ||— Bxp(x) и ЭЛ (G) Зхф (х). □
Изучение форсинга продолжается в главе 4, но в более об-
щем контексте. Эта глава содержит различные основные резуль-
таты о данном специальном случае. Например, теорема 8.13 мо-
жет быть обращена следующим образом.
8.14. Теор е м а. Пусть теория Т индуктивная. Если класс
всех экзистенциально замкнутых моделей теории Т элементарен,
то любая счетная экзистенциально замкнутая модель теории Т
является Т-генерической.
Поэтому любое счетное вещественно замкнутое упорядочен-
ное поле будет генерическим упорядоченным полем, а любое
счетное алгебраически замкнутое поле — генерическим полем.
Случай группы интенсивно изучался. Существуют счетные экзи-
стенциально замкнутые группы, не являющиеся генерическими
(глава 4).
Приведем восточный вариант теоремы об опускании типов.
8.15. О с н о в н а я теорема об опускании типов
(Макинтайр [2]). Пусть теория Т индуктивна и ^тп (х), т,
п < ы, — экзистенциальные формулы. Предположим, что для
любого условия р для Т, любого символа сеС и любого пг < о)
существует число п < со такое, что множество
TUpU {фт„(с)}
совместно, тогда существует модель 9R теории Т, в которой вы-
полнено бесконечное предложение (х).
m п
Доказательство. Можно выбрать последовательность
условий ро Pi S ... такую, что
(I) множество G = Uprt генерическое;
п
§ 9 БЕСКОНЕЧНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОБОБЩЕННЫЕ КВАНТОРЫ
99
(2) ДЛЯ любых т < (О И С^С выполнено Р/е||— фтп(с) для
некоторых k, п < co.
В этом случае обеднение ЗЛ(О) имеет описанные свойства. □
Доказательство 8.15 показывает, что модель 3)1 можно вы-
брать экзистенциально замкнутой в Т.
8.16. Пример. Пусть Т — индуктивная теория, содержащая
аксиомы групп. Предположим, что для любого условия р для Т
и любого символа с С существует п такое, что р U {пс = 0}
совместно с Т. Тогда теория Т имеет модель, являющуюся перио-
дической группой.
8.17. Пример. Пусть Т — индуктивная теория, содержащая
аксиомы упорядоченных полей. Предположим, что для любого
условия р для Т и любого символа с С существует п такое,
что р U {с <Z п} совместно с Т. Тогда Т имеет архимедову мо-
дель. 4
8.18. Теорема (Макинтайр [2]). Пусть М — группа*
порожденная элементами а\, ..., ап. Если М изоморфно вклады-
вается в любую экзистенциально замкнутую группу, то множе-
ство Е всех тождеств от ..., ап, истинных в М, рекурсивно.
Доказательство. Допустим, что множество Е не рекур-
сивно. Пусть Ф(х) —множество базисных предложений, не вы-
полненных на аь ..., ап в М. Тогда Ф(х) не рекурсивно. Так как
(['еФ, если и только если П ф 0 Ф, то Ф(х) даже не является
рекурсивно перечислимым. Найдем экзистенциально замкнутую
группу N такую, что
jV|=Vx V ф(*)«
<реФ
М не может изоморфно вкладываться в такую группу ЛЛ Пусть
р — условие для теории групп Т и с\, ..., сп<= С. Существует
Ф еФ такое, что р U {ф (г)} — условие, так как в противном слу-
чае Ф(х) = {~1ф(х): Г U р г= ф(е)}, и поэтому Ф(х) будет ре-
курсивно перечислимым. Отсюда следует, если использовать ос-
новную теорему об опускании типов, что описанная группа N су-
ществует. □
Определенная здесь Т-генерическая модель всегда счетна.
Барвайс и Робинсон [1] дали более общее определение,
которое также допускает и несчетные Г-генерические модели.
Здесь дан конечный форсинг по Робинсону. Имеется параллель-
ная теория бесконечного форсинга по Робинсону, короткий на-
бросок которой содержится в главе 4.
§ 9. Бесконечные формулы и дополнительные кванторы
Ограничение лишь логикой первого порядка является очень
сильным препятствием, если мы хотим приложить теорию моде-
лей к другим областям математики. В главе 1 были даны не-
4*
100
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
сколько примеров понятий, которые более естественно возни-
кают в более мощных языках. Теорема Линдстрёма (глава 1)
показывает, что только в логиках первого порядка выполняются
теоремы компактности и Лёвенгейма — Скулема. Однако суще-
ствует два в высшей степени удачных распространения теории
моделей на более мощные логики. В теории моделей для беско-
нечных логик приходится обходиться без теоремы компактности.
В теории моделей с дополнительными кванторами теорема ком-
пактности сохраняется, но изменяется понятие системы.
Обсудим кратко некоторые методы, имеющиеся в этих логи-
ках.
9.1. Определение. Пусть х — регулярный кардинал. Ло-
гикой LH® будет множество всех формул, построенных по сле-
дующим правилам:
(i) любая атомная формула языка L с переменными ха,
а < х, будет формулой логики Lx®;
(ii) если ф, — формулы логики Lx(0, то П ф, ф V ф, Эхф
также принадлежат Lx®;
(iii) если Ф — множество формул логики Lx(0 мощности,
меньшей х, то V Ф лежит в Lxtl).
Мы обозначим Loo(0 = ULx® и для Л сингулярного Ц(й =
х
- и ьхй.
9.2. Пример. Логика L®® совпадает с обычной логикой пер-
вого порядка, a L^® подобна логике первого порядка, но допу-
скает счетные дизъюнкции.
Конечные символы А, и V и бесконечную конъюн-
кцию Д можно ввести как сокращения.
9.3. Лемма. Любая формула логики LX(0 имеет менее х
подформул.
Понятие подформулы определяется естественным образом.
(Выделение в определении LH® сингулярного х необходимо Для
выполнения этой леммы.) Символ со обозначает, чго допускаются
только конечные кванторы. Более общие языки допускают
кванторы над множествами менее чем X переменных.
В нашем обсуждении мы сконцентрируем основное внимание
на двух наиболее важных случаях L«>® и L®lW.
В логике Loo® алгебраическая система определяется с точ-
ностью до изоморфизма своей диаграммой.
9.4. Пример. Если дана система Зй, то Л Зй, если и толь-
ко если в й выполнено Ьоо®-предложение
Д£>(9Й)Д Vx V х =
теМ
Логика Loo® получается более интересной, когда мы работаем
в первоначальном языке системы Зй, не присоединяя символов
для элементов системы Зй.
§ 9 БЕСКОНЕЧНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОБОБЩЕННЫЕ КВАНТОРЫ
101
9.5. Пример. Понятие со-насыщенной модели выражается
следующим предложением логики ЬооСО:
A A [Vx А Зг/(ф1 А • • • А А <₽]•
п<© Ф {х, r/)s L Ф1.(реф
9.6. Пример. Любое вполне упорядоченное множество <а,
<> может быть охарактеризовано с точностью до изоморфизма
единственной формулой сра языка Loo© (только с одним символом
отношения <).
Определим вначале индукцией по а формулы фа(х), утвер-
ждающие, что множество предшественников имеет тип а:
Фо W = ~1 ’ЗУУ <
фа (*) = А Эу(у<х л (г/)) Д У у (у < х—> v фр Ш
Р<а
Теперь определим сра следующим образом:
Фа = (линейный порядок) Д Д Зхфв(х) A Vx V % (х).
0<а р р<а р
Понятие вполне упорядоченности может быть выражено в ло-
гике L©.©, следующим предложением:
(линейный порядок) Д ~| (3xoxt ...) Д xrt+1 < хп,
П<й)
однако в логике Loo© оно не может быть выражено.
9.7. Теорема (Лопес-Эскобар [1]). Любые предло-
жения логики Loo©, имеющие произвольно большие вполне упо-
рядоченные модели, выполняются на не вполне упорядоченной
модели.
Челночный метод применим в логике Loo© и обеспечивает ха-
рактеризацию эквивалентности в Loo©.
9.8. Определение. Алгебраические системы 8D? и 91 Loo©-
эквивалентны, символически Зй = оо©й, если на них выполняются
одни и те же предложения логики Loo©.
9.9. Определение. Частичным изоморфизмом I: Зй рй
называется отношение I на множестве конечных последователь-
ностей (ш, п) элементов из М X А/’ такое, что
(i) 0/0;
(ii) если mln, то (Зй, т) и (й, п) выполняют одни и те же
атомные предложения;
(iii) если mln, то для любого а<=М существует b е N такое,
что (m, а) I (п, Ь), и наоборот.
9.10. Теорема (Карп [1]). Зй s оо©й, если и только если
ЗЙ w й частично изоморфны.
Следующий результат аналогичен теореме Линдстрёма (см.
главу 1) и характеризует логику Loo©.
102
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
9.11. Т е о р е м а (Б а р в а й с [2]). ЬооШ — единственная ло-
гика, которая замкнута относительно А, *1, 3 и удовлетворяет
теореме о не вполне упорядоченности 9.7 и теореме Карпа 9.10.
Следующая теорема показывает, что в общем случае эквива-
лентность не влечет изоморфности.
9.12. Пример. По теореме 9.10 приведенные ниже пары бу-
дут Ьоосо-эквивалентны, где X и У — бесконечные множества:
<^(Х), и <^(7), ^>, где 0>(Х) —множество всех подмно-
жеств X;
G(X) и G(K), где G(X) —группа со свободными порождаю-
щими из X;
F[X] и Г[У], где F — поле и —кольцо всех полиномов
с переменными из X над F;
любые две модели полной ©-категоричной теории в логике L;
любые две ©-насыщенные модели полной теории в логике L.
Барвайс и Эклоф [1] обобщили ульмовские инва-
рианты на несчетные абелевы группы и показали, что две реду-
цированные периодические абелевы группы имеют одни и те же
ульмовские инварианты, если и только если они Ьоою-эквива-
лентны. Другие приложения частичного изоморфизма можно
найти уБарвайса [1].
Беспокоит в языке Loom то, что формулы образуют собствен-
ный класс, а не множество. Чаще работают с множествами фор-
мул, замкнутыми относительно подформул. Приняв это, мы по-
лучили обобщение теоремы Лёвенгейма — Скулема о спуске и
теоремы об элементарных цепях для Ьоою-
Одна общая конструкция, возможная в логике L дзет по-
нятие модели Эренфойхта — Мостовского, которое обсуждается
в главе 5.
Теория моделей для Lo,® более удачна, чем для Loo®. Ключе-
вым методом является теоретико-модельный форсинг, который
мы будем распространять на логику Этот метод эквива-
лентен более ранней конструкции Маккаи, называемой свойством
совместности (см. Кейслер [2]).
9.13. Пример. Понятия архимедово упорядоченного поля и
периодической группы выразимы в логике L(1)1(0. Также выра-
зимы и понятия рекурсивно насыщенной, простой и ©-однородной
моделей. В § 6 мы уже применяли предложение языка L^, вы-
ражающего теорему об опускании типов. Предложение Vx V х =
п<©
= п истинно в SW, если и только если 2R — ©-модель. Из этих при-
меров видно, что переход от логики первого порядка к LW1<d
вполне естествен.
Предположим для дальнейшего, что L содержит лишь счет*
ное число символов.
§ 9 БЕСКОНЕЧНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОБОБЩЕННЫЕ КВАНТОРЫ
103
Теорема Карпа 9.10 влечет для счетных моделей более силь-
ное утверждение.
9.14. Теорема (Скотт [1]). Для любой счетной системы
3? существует предложение <р в языке L(ol(d такое, что для всех
счетных систем 31
31 Эй, если и только если
Пусть С — счетно бесконечное множество новых константных
символов. Обобщим понятие теоретико-модельного форсинга,
присоединив к предложениям языка Lc хорошо ведущие себя
предложения логики (Lc)(otCl).
9.15. Определение. Под базой форсинга будем понимать
счетное множество S предложений языка (LC)WG) такое, что:
(i) каждое атомное предложение языка Lc принадлежит S;
(ii) каждая формула ф из S содержит Лишь конечное число
символов из С;
(iii) если ф(х) — подформула некоторой формулы ф е S и с
из С, то ф (с) е S;
(iv) если фе$ифне начинается с символа П, то ~1ф^3.
9.16. Форсинговым свойством на S назовем Непустое множе-
ство Р непротиворечивых конечных подмножеств р S такое,
что:
(i) если р <= Р и q <=. р, то q е Р;
(ii) если р\= Вхф и ф(с)е$, то pU {ф(с!)} еР для некото-
рого deC;
(iii) если Р, то р (J {ф} е Р для некоторого фЕ Ф.
Применяя элементы р <= Р в качестве условий, получаем оп-
ределение форсинга точно так же, как и раньше. Определение
форсинга включает новый случай бесконечной дизъюнкции:
р Ц— V Ф, если и только если р||— ф для некоторого феФ.
Робинсоновский форсинг, как он определен в § 8, будет спе-
циальным случаем, когда условиями р ее Р будут все конечные
множества атомных предложений и отрицаний атомных предло-
жений, совместные с Т. В описанном здесь более общем требо-
вании на условия они могут содержать предложения с конъюнк-
циями и кванторами. Определение форсингового условия влечет,
что р слабо форсирует ф, если ф е р. Под генерическим множе-
ством мы понимаем множество G S такое, что каждое конеч-
ное подмножество р G есть условие в Р и для любого ф ее S
выполнено G ||— ф либо G ||— П Ф* Используя счетность S, мы ви-
дим, что для любого р е Р существует содержащее его генери-
ческое множество G.
9.17. Теор ема о генерических моделях. Для лю-
бого генерического множества G существует алгебраическая
104
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
система 2R(G) такая, что для cpeS
3)? (G) ф, если и только если G ||— ср.
Теорема о генерических моделях играет в такую же
роль, как теоремы компактности в логике первого порядка. На-
пример, теоремы устойчивости для подсистем (Малиц) и гомо-
морфных образов (Лопес-Эскобар), интерполяционная теорема
Крейга (Лопес-Эскобар), теорема о двух кардиналах от (х, X)
до (<01, (о) (Кейслер), теорема об опускании типов и теорема су-
ществования для простых моделей могут быть получены в LO1C1>
с помощью форсинговой конструкции.
Теорема о генерических моделях может быть также приме-
нена для доказательства следующей теоремы полноты в
9.18. Аксиомы в Leo,®.
Все схемы аксиом для L.
Дф-хр для любого ф£Ф.
9.19. Пр авила в Loj©*
Все правила вывода логики первого порядка L.
Из {ф->ср: феФ} следует ф->ДФ.
Мы допускаем выводы длины, меньшей (Оь
9.20. Теорема полноты для LW1(0 (Карп [ 1 ]). Пред-
ложение ф логики L®,© доказуемо, если и только если оно то-
ждественно истинно.
Доказательство. Если ф доказуемо, то оно, очевидно, то-
ждественно истинно. Предположим, что предложение ф не дока-
зуемо. Пусть S — база форсинга Сфе5, а Р— множество всех
конечных р S таких, что р формально непротиворечиво. Из ак-
сиом следует, что Р — форсинговое свойство. Так как ~1 ф — ус-
ловие, то ~1 Ф истинно в генерической модели 2R, поэтому ф не
является тождественно истинным.
Верна также теорема Лёвенгейма — Скулема о подъеме для
LW1W. Она сформулирована и доказана для специального случая
со-логик в главе 5.
Мы можем получить еще более бесконечную теорию моделей,
выбрав язык более аккуратно и применяя понятие допустимого
множества (см. главу 7). Ограничение Loom на допустимое мно-
жество А обозначим Ьд. Работая с Ьд, мы можем применить ме-
тоды обобщенной теории рекурсии. Наиболее важный результат
здесь — теорема Барвайса о компактности. Дальнейшие резуль-
таты в этом направлении об и Ьд см. уКейслера [2] и
Барвайса [3].
Закончим параграф несколькими словами о дополнительных
кванторах. Формально язык L (Q) похож на логику первого по-
рядка, но он имеет дополнительный квантор и правило:
Если ф — формула, то Охф — тоже формула.
§ 9 БЕСКОНЕЧНЫЕ ФОРМУЛЫ И ОБОБЩЕННЫЕ КВАНТОРЫ
105
Изучение таких кванторов было начато Мостовским. Системы
для L(Q) имеют вид (ЭЛ, q), где ЭЛ— система для L, a q — неко-
торое множество подмножеств множества М. Определение ис-
тинности включает дополнительный случай:
ЭЛ||— СЩ?, если и только если {т^М: -ЭЛ|= qp(m)} е q.
Если мы рассмотрим произвольные системы, то теория моделей
для L(Q) очень похожа на теорию моделей для L с небольшими
новыми трудностями. Однако в интересных приложениях L (Q)
мы ограничиваем класс моделей так, чтобы отразить подразуме-
ваемую в этих случаях интерпретацию Q, при этом возникают
новые проблемы.
Одна из естественных интерпретаций символа Q — «сущест-
вует бесконечно много». Для этой интерпретации мы рассматри-
ваем системы (ЭЛ, q), где q — множество всех бесконечных под-
множеств из М. Этот язык подобен со-логике и эквивалентен не-
которому ПОДЪЯЗЫКУ Lgjko.
Другая интерпретация символа Q — «существует несчетное
множество». Обозначим этот язык через L (Qcoj). Он не является
частью LW1(0, но теория моделей для него очень хорошо ведет
себя. Boot [3] и Ф у р к е н [ 1 ] показали, что теорема компакт-
ности верна для счетных теорий и множество тождественно ис-
тинных предложений рекурсивно перечислимо. У Кейслера
[1] доказана теорема полноты с простым множеством аксиом,
приведенным в главе 1. Доказательство применяет теорему типа
теоремы об опускании типов, которая также обобщается на
L (Qco,). Брюс [1] распространил робинсоновский форсинг на
L (QcoJ. Оказалось, что комбинированный язык ЕС1)1(й(Оо>1) также
имеет хорошо ведущую себя теорию моделей.
Следующая удачная интерпретация для Q стремится к изу-
чению топологических моделей. В логике L (Qopsn) рассматри-
ваются системы (ЭЛ, ^), где q — множество открытых множеств
топологии на ЭЛ. Выражение Qxqp (х) означает, что множество
всех х таких, что ф(х), открыто.
С г р о [1] доказал теорему компактности для L (QOpen), при-
меняя ультрапроизведения, и теорему полноты со следующими
аксиомами:
(1) аксиомы логики первого порядка L;
(2) Ух(ф*-^ф)->(Охф<-> Охф);
(3) Qxqp(x)<-> Qz/(p(z/);
(4) Qxx = x;
(5) Qx х =# х;
(6) Qxqp А Охф-> Qx(qp А Ф);
(7) Vr/Qxq)(x, z/)-> Qx3*/q)(x, y).
106 гл. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
Последняя аксиома утверждает, что «определимое объедине-
ние открытых множеств открыто». Сгро [2] и Гаравалья
[1] предприняли изучение более сильных логик и нашли прило-
жение L (Qopen) к топологическим группам.
ЛИТЕРАТУРА
Акс (Ах J.)
1. The elementary theory of finite fields —Ann. Math., 1968, 88, p. 239—271.
Б a p в а й c (Barwise J.)
1. Back and forth thru infinitary logic. — In: Studies in Model Theory/
Ed. by M. Morley. Buffalo (N. Y.): Math. Assoc. Amer., 1973, p. 5—34.
2. Axioms for abstract model theory.— Ann. Math. Logic, 1974, 7, p. 221—
265.
3. Admissible Sets and Structures. — Berlin: Springer, 1975.
Ба рва й с и Робинсон (Barwise J., Robinson А.)
1. Completing theories by forcing. — Ann. Math. Logic, 1970, 2, p. 119—142.
Барвайс и Шлипф. (Barwise J., Schlipf J.)
1. Recursively saturated and resplendent models. — 1976.
Барвайс и Э к л о ф (Barwise J., Eklof Р.)
1. Infinitary properties of abelian groups. — Ann. Math. Logic, 1970, 2,
p. 25—68.
Блюм (Blum L.)
1. Generalised Algebraic Theories: Thesis. — Cambridge (Mass.): M. I. T.
Press, 1968.
Болдуин и Ла x л ан (Baldwin J. Т., Lachlan А. Н.)
1. On strongly minimal sets. — J. Symbolic Logic, 1971, 36, p. 79—96.
Брюс (Bruce K.)
1. Model-theoretic forcing and L(3 ): Thesis. — Madison (Wise.): Univer-
sity of Wisconsin, 1975.
Boot (Vaught R L.)
1. Applications of the Lowenheim— Skolem theorem to problems of comple-
teness and decidability. — Indag. Math., 1954, 16, p. 467—472.
2. Denumerable models of complete theories. — In: Infinitistic Alcthods. Lon-
don: Pergamon, 1961, p. 303—321.
3. A Lowenheim — Skolem theorem for cardinals for apart. — In: The
Theory of Models/Ed. by J. W. Addison, L. Henkin and A. Tarski. Am-
sterdam: North-Holland, 1965, p. 390—401.
Гаравалья (Garavaglia S.)
1. Completeness for topological languages: Thesis. — New Haven (Conn.)i
Yale University, 1975.
Генкин (Henkin L.)
1. The completeness of the first-order functional calculus. — J. Symbolic
Logic, 1949, 14, p. 159—166.
2. A generalization of the concept of (d-consistency. — J. Symbolic Logic,
1954, 19, p. 183—196.
Йенсен (Jensen R.)
1. Fine structure of the constructible hierarchy.—Ann. Math. Logic, 1972,
4, p. 229—308.
Й о н с о н (Jonsson В.)
1. Homogeneous relational systems. — Math. Scand., 1960, 8, p. 137—142.
Карп (Carp C.)
1. Languages with Expressions of Infinite Length. — Amsterdam: North-
Holland, 1964.
2. Finite-quantifier equivalence. — In: The Theory of Models/Ed. byJ.W. Ad-
dison. L. Henkin and A. Tarski. Amsterdam: North-Holland, 1965,
pp. 407—412.
ЛИТЕРАТУРА
107
К е й с л е р (Keisler Н. J.)
1. Logic with the quantifier «there exist uncountably many». — Ann. Math.
Logic, 1970, 1, p. 1—93.
2. Model Theory for Infinitary Logic. — Amsterdam: North-Holland, 1971.
3 Forcing and the omitting types theorem. — In: Studies in Model Theory/
Ed. by M. Morley. Buffalo (N. Y.): Math. Assoc. Amer., 1973, p. 96—133.
4. Six classes of theories. — J. Austral. Math Soc., 1976.
К о 6 x e м (Cobham A.)
1. Undecidability in group theory. — Notices Amer. Math. Soc., 1962, 9,
p. 406.
Крейг (Craig W )
1. Three uses of the Herbrand-Gentzen theorem in relating model theory
and proof theory. — J. Symbolic Logic, 1957, 22, p. 269—285.
JI a x л а н (Lachlan A.)
1. On the number of countable models of a countable superstable theory.—
In: Logic, Methodology and Philosophy of Science, IV/Ed. by P. Suppes
et al. Amsterdam: North-Holland, 1973, p. 45—56.
Линдон (Lyndon R.)
1. Properties preserved under homomorphisms. — Pacific J. Math., 1959, 2,
p. 143—154.
Лопес-Эскобар (Lopez-Escobar E.)
1. On definable well-orderings. — Fundam. math., 1966, 59, p. 13—21.
Лось (Los J.)
1. On the categoricity in power of elementary deductive systems and some
related problems. — Colloq. Math., 1954, 3, p. 58—62.
2. On the extending of models, I.— Fundam. math., 1955, 42, p. 38—54.
Лось и Сушко (Los J., Suszko R.)
1. On the extending of models, IV: infinite sums of model's. — Fundam.
math., 1957, 44, p. 52—60.
Макдоуэл и Шпекер (MacDowell R., Specker E.)
1. Modelle der Arithmetik. — In: Infinitistic Methods. London: Pergamon.
1961, S. 257—263
Макинтайр (Macintyre A.)
1. On algebraically closed groups. — Ann. Math., 1972, 96, p. 53—97.
2. Omitting quantifier-free types in generic structures. — J. Symbolic Logic,
1972, 37, p. 512—520.
Мальцев А. И.
1. Алгебраические системы. — M.: Наука, 1970.
Морли (Morley М.)
1. Categoricity in power. — Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 114, p. 514—538.
Морли и Boot (Morley M., Vaught R. L.)
1. Homogeneous universal models. — Math. Scand., 1962, 11, p. 37—57.
Ори (Orey S.)
1. On «-consistency and related properties. — J. Symbolic Logic, 1956, 21,
p. 246—252.
Робинсон (Robinson A.)
1. Complete Theories. — Amsterdam: North-Holland, 1956.
2. A result on consistency and its application lo the theory of definition. —
Indag. Math., 1956, 18, p. 47—58.
3. Forcing in model theory, 1st Nat. Alta Mat. — Symposia Math. 1970 5,
’ p. 69—82.
Сакс (Sacks G.)
1. Saturated Model Theory. — N. Y.: Benjamin, 1972.
С г p о (Sgro J.)
1. Completeness theorems for topological models. — Ann. Math. Logic, 1976.
2. Completeness theorems for cont nuous functions and product topolO’
gies. — Israel J. Math., 1976.
108
ГЛ. 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ
Скотт (Scott D.)
1. Logic with denumerably long formulas and finite strings of quantifiers.—
In: The Theory of Models/Ed. by J. V/. Addison, L. Henkin and A. Tar-
ski. Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 329—341.
Тарский (Tarski A.)
1. Contributions to the theory of models, I, II. —Indag. Math., 1954, 16,
p. 572—588.
Тарский и Boot (Tarski A., Vaught R. L.)
1. Arithmetical extensions of relational systems. — Compositio math., 1957,
13, p. 81—102.
Тарский и M а к к и н с и (Tarski A., McKinsey J. С. С.)
1. A. Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. — 2 ed. — Ber-
keley: Los Angeles, 1948.
Фуркеп (Fuhrken G.)
1. Languages with added quantifier «there exist at least r0.— In: The
Theory of Models/Ed. J. W. Addison, L. Henkin and A. Tarski. Amster-
dam: North-Holland, 1965, p. 121 — 131.
Хаусдорф (Haussdorff F.)
1. Grundzuge der Mengenlehre. — Lepzig, 1914. [Русский перевод: Хаус-
дорф Ф. Теория множеств. — AL; Л.: ОНТИ, 1937.]
Чэн (Chang С. С.)
1. On unions of chains of models. — Proc. Amer. Math. Soc., 1959, 10,
p. 120—127.
2. A note on the two-cardinal problem. — Proc. Amer. Math. Soc., 1965, 16,
p. 1148—1165.
Чэн и Кейслер (Chang С. C., Keisler Н. J.)
I. Model Theory. — Amsteidam: North-Holland, 1973. [Русский перевод:
Кейслер X. Дж., Чэн К. К. Теория моделей —М.: Мир, 1977.]
Ш е л а х (Shelah S.)
1. Stability, the finite cover property, and superstability. — Ann. Math. Lo-
gic, 1971, 3, p. 271—362.
2. Categoricity of uncountable theories. — In: Proceedings of the Tarski
Symposium. Amer. Math. Soc. Proceedings of Symposia in Pure Mathe-
matics, 1974, 25, p. 187—203.
Эрдёш, Гилман и Хенриксен (Erdos Р., Gillman L., Henriksen AL)
1. An isomorphism theorem for real closed fields. — Ann. Alath., ser. 2,
1955, 61, p. 542—554.
Глава 3
ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЙ
ДЛЯ АЛГЕБРАИСТОВ
П. Эклоф
СОДЕРЖАНИЕ
Введение..................................................................109
Основы.....................................................110
§ 1. Фильтры...............ПО
§ 2. Фильтрованные произведения..............112
§ 3. Основная теорема..................................115
§ 4. Ультрапроизведения как функторы.118
Компактность..............................................................121
§ 5. Вариант теоремы компактности, связанный с ультрапроизве-
дениями .............................................121
§ 6. Теоремы вложения....................................124
§ 7. Ограниченные полиномиальные идеалы..................128
Насыщенность............................................... .'131
§ 8. coi-насыщенные ультрапроизведения...................131
§ 9. Ультрапроизведенпя нормированных полей..............135
§ 10. Насыщенные модели . . . ............................137
Литература............................................138
Введение
Конструкция ультрапроизведения является алгебраической
операцией, важность которой следует из ее теоретико-модельных
свойств. Алгебраический характер конструкции делает ее очень
привлекательным (хотя и не существенным) орудием в исполь-
зовании и применении приложений теории моделей к алгебре.
Эта статья является обзором основных свойств ультрапроиз-
ведений и некоторых их приложений к алгебре. Для чтения
статьи необходимо знакомство с основными определениями тео-
рии моделей, данными в предыдущих главах, а также с опреде-
лениями «категории», «функтора», «естественного преобразова-
ния». Кроме того, так как приложения к алгебре взяты из таких
различных областей, как теория групп, теория колец, алгебраи-
ческая геометрия, универсальная алгебра и алгебраическая тео-
рия чисел, мы считаем необходимым знакомство с алгебраиче-
скими понятиями и результатами, которые нужны нам в приме-
рах. (Обычно мы будем ссылаться на результаты и определения
110
ГЛ. 3 ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДПТИЙ
в книге Ленга [1].) Однако читатель может пропустить чисто
алгебраические примеры без ущерба для понимания дальней-
шего материала (возможно, за исключением алгебраических при-
меров, примыкающих по своему содержанию к описываемым в
данной главе проблемам).
Глава разделена на три части. Первая часть «Основы» дает
определение ультрафильтра и ультрапроизведения (так же, как
и обобщения ультрапроизведення, называемого фильтрованным
произведением) и доказательство «основной теоремы об ультра-
произведениях». В конце первой части мы обсуждаем функтор-
ные свойства ультрапроизведений. Остальные результаты даны в
двух частях под названием «Компактность» и «Насыщенность»,
-заглавия которых объясняют основные теоретико-модельные
свойства ультрапроизведений, используемые в доказательствах
различных результатов.
Некоторые из наиболее глубоких приложений ультрапроизве-
депий к алгебре здесь только упомянуты, но ссылки на них при-
водятся. Вследствие того, что акцент в этой статье сделан на ал-
гебраические приложения ультрапроизведений, мы совсем не об-
суждаем многие интересные результаты, касающиеся ультрапро-
изведеиий, которые не подходят под заглавие. Для более деталь-
ного изучения ультрапроизведений мы отсылаем читателя к пре-
восходным обзорным статьям Кейслера [1] и Чэна [1], к
книгам Чэна и Кейслера [1], Белла и Сломсона [1].
ОСНОВЫ
§ 1. Фильтры
Если 1 — непустое множество, то фильтром над I называется
семейство D подмножеств множества / таких, что:
(i) 0 0 D, I е D;
(ii) если X, Y е= D, то X П Y е= D\
(iii) если X <=D и X cz У cz 7, то Y <=D.
Например, если Y — непустое подмножество множества /, то
множество {X cz I | Y cz X} является фильтром над 7, называе-
мым главным фильтром, порожденным У, мы обозначаем его <У>,
Если I конечно, то каждый фильтр над 7 будет главным (поро-
жденным П{Х|Х^О}). Если 7 бесконечно, то примером не-
главного фильтра над / служит коконечный фильтр С = {X cz
cz I | I — X конечно}.
Заметим, что по (i) п (ii) фильтр D над 7 обладает свойством
конечных пересечений (СКП), т. е. пересечение любой конечной
совокупности множеств из D непусто. Очевидно, любое подмно-
§ 1. ФИЛЬТРЫ
Ill
жество D также обладает СКП. Обратно, если .S — множество
подмножеств /, обладающее СКП, то S является подмножеством
фильтра над /; фактически
D = {У cz I\ Xi П ... А Хп cz Y для некоторых А\, ... Хп S}
есть фильтр, содержащий S.
Фильтр D над I называется ультрафильтром над I, если для
каждого X cz 1 либо л е £), либо (/ — X) е D.
1.1. Предложение. Фильтр над 1 является ультрафиль-
тром тогда и только тогда, когда он является максимальным
фильтром над I.
Доказательство. Допустим, что D — ультрафильтр над I
и £ — фильтр на / такой, что D cz Е и D =И= £. Тогда X ge Е — D
для некоторого X cz I. Так как X 0 D, мы имеем I — X е D по
определению ультрафильтра. Но тогда I — Х^Е, что невоз-
можно, так как {X, 1 — X} cz £ не обладает СКП. Обратно, до-
пустим, что D — максимальный фильтр, и пусть X cz I таково,
что X ф D. Тогда D U {1 — X} обладает СКП и является под-
множеством некоторого фильтра £. Ввиду максимальности D Е
совпадает с D и, значит, / — X D. □
С помощью леммы Цорна получаем
1.2. Следствие. Если S — множество подмножеств I, об-
ладающих свойством конечных пересечений, то S содержится в
некотором ультрафильтре над I. □
1.3. Предложение. Если D — ультрафильтр над I, Хе
е£) и X = У1 U ... U Уп, то Yi^D для некоторого i.
Доказательство. Предположим противное, тогда по оп-
ределению ультрафильтра I — Yi есть элемент D для любого i ---
= 1, ..., п. Но тогда по (ii) из определения фильтра 0=Х(]
А (/ — У1) А • • • А (/ — Уп) — элемент D, что противоречит (i). □
Главный ультрафильтр — это ультрафильтр, который являет-
ся и главным фильтром. Если D — фильтр над 1 и {х} <= D для
некоторого х <= I, то D — главный ультрафильтр над I, поро-
жденный {%}; в самом деле, У D равносильно У А {х} е D, что
равносильно {%} cz У.
Обратно, если D — главный ультрафильтр, то D должен быть
порожден одноточечным множеством. Действительно, если D по-
рожден У и существует 0#= Yr У, то фильтр, порожденный У\
есть собственное расширение D, что противоречит 1.1. □
1.4. Предложение. Для любого ультрафильтра D над I
D является неглавным тогда и только тогда, когда D содержит
коконечный фильтр С.
Доказательство. Если D — неглавный ультрафильтр над
/ и X = {%i, ..., хп} —конечное подмножество /, то по замеча-
нию выше {xi} фО, i п. Поэтому I — {л;-} ее D, так что
112
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИП
п
П / — {х,} = (/ — X) е D. Поэтому С D. Наоборот, если С
1 = 1
В, то {%} ф D для всех х е 1 (так как / — {%} е С), так что
в силу предыдущих замечаний D неглавный. □
1.5. Следствие. Пусть S — множество подмножеств 1 та-
ких, что Xi П ... П Хп бесконечно для всех Х\, ..., Хп S. Тогда
S содержится в неглавном ультрафильтре над I.
Доказательство. Следует из того, что С J S обладает
СКП, и из утверждений 1.2 и 1.4. □
§ 2. Фильтрованные произведения
Пусть L — язык первого порядка, т. е. совокупность преди-
катных, функциональных и константных символов. Мы отсылаем
читателя к 3.1 главы 1 для определения алгебраической системы
$1 для языка L. (Когда мы будем говорить о специальных алге-
браических системах, будем иногда следовать алгебраической
традиции и обозначать алгебраическую систему 51 посредством
ее основного множества Л.) Если 2 — непротиворечивое множе-
ство предложений языка L, то пусть «<(2) обозначает класс всех
моделей 2, т. е. класс всех алгебраических систем 91 для языка L
таких, что каждое предложение 2 истинно на 91; обозначается
91^=2. Допуская некоторую вольность в обозначениях, мы будем
писать v<(L) вместо «<(0); таким образом, v<(L) —класс всех
алгебраических систем для языка L.
Если 91, S е v<(L), то гомоморфизм г] из 91 в 9Э — это функция
т): А -> В, которая сохраняет все отношения, функции и констан-
ты языка L.
Например, если L = {+, 0} (где -|-бинарный функцио-
нальный символ, — бинарный предикатный символ и 0 — кон-
станта), то т): А -> В является гомоморфизмом тогда и только
тогда, когда т] (0?() = г] (0^) и для всех ах, а2<= А
+ «2) = п(«1) + пЫ,
Щ («2).
Как обычно, изоморфизм — это гомоморфизм, который имеет об-
ратный гомоморфизм, а вложение — это гомоморфизм, который
является изоморфизмом на свою область значений.
Если <91/: i <= /> — совокупность алгебраических систем из
*<(L), индексы в которой пробегают множество /, то П/91/ будет
обозначать прямое произведение этого семейства, где П/91/— та-
кая система для языка L, что основным множеством ее является
прямое произведение П/Д множеств А, а предикаты, функции и
константы определяются покомпонентно. Например, если 91/ =
= <Л, +ь 0/>, то 11^ = (ПЛ, +, б), где 0(0 = 0,
§ 2. ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
113
для всех и для любых /, (f+g)(t) = f(О + ig(f)
и f^g равносильно f(O^zg(O для всех 1^1.
Если <9G: i е /> — семейство, индексы в котором пробегают
множество /, и X — подмножество /, то прямое произведение се-
мейства <91,: i е X) мы будем обозначать Пх£1/. Заметим, что
если У gz X cz /, то каноническая проекция ллг: ПлА -> ПуД яв-
ляется гомоморфизмом.
Пусть D — фильтр над /. Очевидно, что если мы определим
частичный порядок на D посредством X У Ф=> X У, то (D,
есть направленное множество (т. е. для любых X, У D су-
ществует Z е D так, что X Z и У Z). Если <91/: ie/>~ се-
мейство алгебраических систем для языка L с индексами из мно-
жества /, то фильтрованным произведением <91/: по модулю
D (обозначается ПЛ) называется прямой предел (в/(Ц) пря-
мой системы {лху: ПЛ -> ПЛ | X, У <= D, X У}. Если D —
ультрафильтр, то ПД называется ультрапроизведением <21<:
I е /> по модулю D. Если 91/ = 91 для i е /, то мы пишем Пя91
вместо ПЛ и называем ультрастепенью 91 по модулю D.
Хотя подход к определению фильтрованных произведений че-
рез понятие прямого предела является самым коротким, этот
подход возможно в какой-то степени вводит в заблуждение, так
как в дальнейшем важно именно конкретное построение прямого
предела, а не его универсальные свойства отображений. По-
этому давайте более четко опишем структуру алгебраической
системы Пд91/. Следующее описание фильтрованного произведе-
ния очень просто исходит из обычного построения прямого пре-
дела с учетом того, что для каждого X е D проекция nix сюръек-
тивна, так что каждый элемент прямого предела представлен
элементом П/Д. Те читатели, которым неудобно понятие прямых
пределов, могут рассматривать следующее как определение
фильтрованных произведений.
Определим отношение эквивалентности =D на П/Д следую-
щим образом. Если Д £еП/Д, то f = Dg тогда и только тогда,
когда ttix(f) = nix(g) для некоторого XeD, т. ej =Dg тогда и
только тогда, когда {i е I | f(0 — g(i)} —элемент D. Основное
множество ПЛ есть ПдД, множество классов эквивалентности
элементов П/Д. Обозначим класс эквивалентности для /^П/Д
через /о.
Предикаты на ПЛ определяются условием, что предикат ис-
тинен на элементах ПЛ тогда и только тогда, когда он истинен
на множестве компонент, принадлежащем £); аналогично опре-
деляются и функции. Например, если 91/ = <Д, Д/, ^/, 0/> и /о,
gD, hD е ГЬД, то fD go в Пр91/ тогда и только тогда, когда
{I е / | f(0 ^/g(0} D- (Эквивалентно, fD go равносильно
тому, что существует X е D такой, что nix(f) л/Hg) в ПЛ.)
Аналогично /Ъ Д gD = Ad в ПЛ тогда и только тогда, когда
114
ГЛ. 3 ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЙ
р е I | f(f) + g(i) = h(i)} eD, и интерпретация 0 в Пр51/ есть
0D, где {Z е /| О (Z) = 0J е D. Легко проверяем, используя свой-
ства фильтров, что +, 0 корректно определены на Пр51,.
Следующая лемма оправдывает сходство наших обозначений
для прямых произведений и фильтрованных произведений. Это
непосредственно следует из того, что в направленном множестве
(<Х>, =С) X является наибольшим элементом.
2.1. Лемма. Если (X) — главный фильтр над 1, порожден-
ный X, то фильтрованное произведение <51,: i е /> по модулю
(X) изоморфно прямому произведению(51.: i ^Х}(т. е. П(Х)Л.^
-Пхл,.).
Именно ультрапроизведения, а не фильтрованные произведе-
ния вообще более интересны для логиков, так как ультрапроиз-
ведения сохраняют логические свойства семейства <51,: /е/> (в
том смысле, в котором они уточняются в основной теореме сле-
дующего параграфа). Но перед тем как перейти к этому, необ-
ходимо упомянуть, что в случае, когда модели являются коль-
цами с делением, можно дать другое построение фильтрованных
произведений.
Пусть </?,•: / G /> — семейство колец с делением. Для любого
f е: IliRi пусть Z(f) = {i е / | f (г) = 0}. Заметим, что для лю-
бого /, g е П//?,- Z(f) ^Z(g) равносильно существованию hi е
ее П//?,- такого, что hif = g, а это равносильно существованию
й2^Пу/?,’ такого, что fh2 = g. (Мы воспользовались тем, что
/?,— кольца с делением.) Следовательно, каждый (левый или
правый) идеал П/Z?, двусторонний. Если N — подмножество П//?,,
то пусть Z(N) — {Z(f): f N}.
2.2. Теорема (Кочен [1]). Пусть (Ri‘. г ее /> — семей-
ство колец с делением. Если N — идеал TIiRi, то Z(N) —фильтр
над 1. Отображение Z, которое ставит N в соответствие фильтру
Z(N), является одно-однозначным сохраняющим включение соот-
ветствием между собственными идеалами N и фильтрами над I.
При этом отображении главным идеалам соответствуют главные
фильтры, максимальным идеалам соответствуют ультрафильтры.
Кроме того, для любого идеала N кольца HiRi фактор-кольцо
HiRi/N изоморфно фильтрованному произведению HzwRi-
Доказательство. Если S — подмножество 1,то S ge TIjRi
обозначает «характеристическую функцию» S, т. е.5: /—>{0, 1} cz
cz R такова, что S(x) = 0 тогда и только тогда, когда х е S.
Заметим, что если W является идеалом П//?, и f е П/J?,, то f е А/
эквивалентно тому, что Z (/) е N. Отсюда следует, что для лю-
бых f,g^N имеем Z (f) П Z (g) е Z (N), так как
z(f) n z(g)=z((Z(W) + ^g))) + 20ЗД).
§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
115
(Более простое представление возможно, если ни одно Ri не
имеет характеристику 2.) Таким образом, Z(N) удовлетворяет
условию (ii) из определения фильтра, условия (i) и (iii)» очевид-
но, следуют из определения Z(N) и замечаний, предшествую-
щих теореме. Таким образом, Z(N) является фильтром.
Если D — фильтр над /, то пусть ND = {f | Z(f) е £)},
тогда W является идеалом, так как Z(f — g) ^ Z(f) f]Z(g) и
Z([g)^ Z(f); N собственный, потому что 0 ф. D. Отображение,
которое переводит D в ND, есть обратное к отображению Z, и,
следовательно, Z — одно-однозначное соответствие между идеа-
лами П//?/ и фильтрами над /. Так как Z сохраняет включения,
то максимальные идеалы соответствуют максимальным филь-
трам, т. е. ультрафильтрам (см. предложение 1.1). Также легко
проверяется, что идеал N порожден f в том и только в том слу-
чае, когда Z(N) порождает Z(f). Наконец, функция, которая
сопоставляет смежному классу f + N в HiRi/N класс fD е ILzooRt,
осуществляет изоморфизм этих колец.
2.3. Следствие. Если (Re i е /> есть семейство колец с
делением и N — простой идеал П/Z?,, то N является максималь-
ным идеалом и TliRi/N — кольцо с делением.
Доказательство. Для доказательства максимальности
2V достаточно доказать, что Z(N) —ультрафильтр. Пусть X cz /.
Если X ф Z(N) и / — X ф Z(N), то X и I — X не лежат в N. Но
Х(1—получаем противоречие. Таким образом,
Z(A0 есть ультрафильтр. Чтобы показать, что TLiRi/N — кольцо
с делением, допустим, что f е П//?/ такова, что f ф N. Тогда
Z ([) ^Z(N), и поэтому / — Z(f) <= Z (У). Если g <= П//?/ такова,
что g(i} — f(0“’ для всех i <= / — Z(N), то {I е / | g(i)f(i) =
— 1} = 1 — Z(f) е N. Следовательно, по замечаниям, предшест-
вующим теореме 2.2, 1 — gf Af, т. е. gf + N, является едини-
цей в TliRi/N. □
§ 3. Основная теорема
Следствие 2.3 говорит нам, что ультрапроизведение колец с
делением есть кольцо с делением (в то время как фильтрованное
произведение колец с делением, не являющееся ультрапроизведе-
нием, может и не быть кольцом с делением). Этот результат яв-
ляется частным случаем основной теоремы об улырапроизведе-
ниях, которая говорит, что элементарные свойства семейства <Й,:
i е /> сохраняются относительно ультрапроизведений. Более точ-
но, основная теорема или теорема Лося утверждает следующее.
3.1. Теорема (Лось [1]). Пусть <91/: ie/> — семейство
алгебраических систем д гя языка и пусть D — ультрафильтр
над I. Тогда для любви формулы ср (ад, ..., хп) языка L и любых
116
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЛ
элементов g1, ..., gn е П/21/
iyi,h=<fK......й]
тогда и только тогда, когда
{/еЛ^НФкЧ/),£%’)]} е=£>.
Прежде чем доказывать основную теорему, укажем некото-
рые следствия из нее. Для случая, когда ф не имеет свободных
переменных, мы получаем
3.2. Следствие. Для любого ультрапроизведения IID?lz и
любого предложения ф П^ЭД^ф тогда и только тогда, когда
{ie=I\ 5IzH<p}eD.
3.3. Следствие. Если $1/ принадлежат для каждого
то ультрапроизведение ПрЗЬ принадлежит J#(2).
Подкласс «<(2) cZv#(L), который определяется некоторым
множеством предложений 2 языка L, называется аксиоматизи-
руемым (в логике первого порядка) или элементарным. След-
ствие 3.3 говорит, что любой аксиоматизируемый класс замкнут
относительно ультрапроизведений. Например, ультрапроизведе-
ние групп (полугрупп, колец, коммутативных колец, полей, ал-
гебраически замкнутых полей, колец с делением, формально ве-
щественных полей, алгебр Ли, булевых алгебр и т. д.) является
группой (полугруппой, кольцом, коммутативным кольцом, полем,
алгебраически замкнутым полем, кольцом с делением, формаль-
но вещественным полем, вещественно замкнутым полем, алгеб-
рой Ли, булевой алгеброй и т. д.), потому что класс их аксиома-
тизируем. Таким образом, для доказательства неаксиоматизируе-
мое™ класса достаточно доказать, что этот класс не замкнут от-
носительно ультрапроизведений. Мы приведем пример. Другое
доказательство дано в 2.3 главы 1. Полезно сравнить два этих
доказательства.
3.4. Следствие. Пусть L = {+, 0} — язык абелевых групп
(т. е. L состоит из двуместного функционального символа + и
константного символа 0). Класс периодических абелевых групп
неаксиоматизируем.
Доказательство. Достаточно показать, что ультрапроиз-
ведение периодических абелевых групп не является периодиче-
ской группой. Пусть I = со, и пусть Ап — циклическая группа по-
рядка 1 для каждого п^1. Пусть D — неглавный ультра-
фильтр над /, тогда ПвАп — непериодическая группа. Пусть f е
е ПМп такова, что f (п) имеет порядок п + 1 для каждого п <= /.
Для любого m > 0, если фт(х) есть формула
(х + х + ... +х = 0)
(х суммируется m раз), то по 3.1 так как
{пе/ }Ап }= фш[f (и)]} — конечное множеово и, следовательно, не
§ 3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
117
принадлежит D в силу 1.4. Таким образом, fD не имеет конечного
порядка. (Вместо этого, обращаясь к 3.1, мы можем проверить
непосредственно из определения, что mfD ¥= 0 в nDAn для произ-
вольного т #= 0.) Таким образом, ПпЛп не является периодиче-
ской. □
Этот метод доказательства того, что класс неаксиоматизи-
руем, не всегда работает, потому что, как будет показано в § 4,
существуют классы, замкнутые относительно ультрапроизведе-
ний, но не аксиоматизируемые. В § 5 будет показано, как с по-
мощью техники ультрапроизведений доказывать, что класс не
является конечно аксиоматизируемым. Перейдем к доказатель-
ству теоремы 3.1.
Доказательство теоремы 3.1. Для простоты мы бу-
дем доказывать теорему для конкретного примера 51/ = <Л/, +/,
0/>, но рассуждения будут вполне общие. Доказательство
проводим индукцией по сложности формулы ср. Рассмотрим са-
мый простой случай, атомные формулы: Xi <5 х2; + х2 = х3,
Xi = 0. Если ф — одна из них, то справедливость теоремы сле-
дует из определения ультрапроизведения.
Более сложные атомные формулы: tx /2, t\ = t2, где Л и
t2 — термы, построенные из функционального символа + и кон-
стантного символа 0 (например, t\ = ((xi + х2) + ((0 + х3) +
+ *i)) + ((х4 + х2) +0))- В этом случае желаемый результат
следует из уже рассмотренного более простого случая, если мы
индукцией по построению терма t(x\ ... хп) докажем, что
rnD5i •••££] = эквивалентно {i е= 11 /я< [g1 (z)... gn (z)] =
— Мы оставляем детали читателю: простейшие слу-
чаи (/ = хц + x.j / = х/, t = 0) следуют из определения ультра-
произведения. (См. 3.7 главы 1, определение /$1, только там
пишется
Предположим, что ф = ~1ф(Х1, ..., хп), и теорема доказана
для ф. Тогда
ДЛ1= • • • > gnD]^11Лi'И4[g'D, • • •. g£>]
<=> {z е= / |21,- Н t|) [g1 (I), gn (/)]} £= D
121,- 'h Ф [g1 (0> e D
21,-1= <p [g1 (z), ... gn («)]} ^D.
(В предпоследней эквивалентности мы воспользовались тем, что
D является ультрафильтром, а не просто фильтром.) Если ф —
= ф1 Лф2 и теорема доказана для ф1 и ф2, то просто восстано-
вить доказательство для ф. Достаточно воспользоваться свой-
ством Фильтров: X П У е D тогда и только тогда, когда X е D
и YeeD.
118
ТЕОРИЯ УЛЬТРЛПРОПЗВЕЛГНИП
Наконец, если qp = 3-г0Ф (х0, , хп), то Па21. qpTg^, ... ?
££]<=> существует g° е П;21. такой, что fID2l. |= ф [gp,g{p ... ,
Сосуществует такой, что
{/ е / 121/ Н Ф [g° (О, gl (О, •••,£" (ОП D
... , gnW}^D.
Наоборот, если {/<~ / 121,4= qp [g1 (/),... , gn (/)]}— X е £),
то существует £°еП/Л такой, что для каждого i^X имеем
21/|= ф[g°(Z), g1 (/), , g^O*)]; следовательно,
{/е=/|21/Ь=ф[£о(О, g'V), ... , gn(i)]}e=D. □
Вследствие важности основной теоремы в дальнейшем сосре-
доточим наше внимание на ультрапроизведениях (и ультрастепе-
нях), а не на произвольных фильтрованных произведениях.
§ 4. Ультрапроизведения как функторы
Всюду в этой главе мы предполагаем, что рассматриваемые
нами классы моделей замкнуты относительно изоморфизмов.
Если — подкласс ^(L), то мы обозначаем буквой также
категорию, объектами которой являются элементы S& и морфиз-
мами все гомоморфизмы между элементами Мы будем так-
же рассматривать категорию J$z, объектами которой являются
снабженные индексами семейства <21/: i е /> объектов из а
морфизмами из <21/: i е /> в <2h: являются снабженные
индексами семейства <тр: ie/) гомоморфизмов г|/: 21/ -> 93/. По-
скольку мы рассматриваем только эти категории, мы будем ис-
пользовать слова «класс» и «категория» взаимозаменяемо при
обращении с или j^z. Если <щ: i е /> — семейство гомомор-
физмов тр: 21/ ->• 93/, то пусть ГЬт)/: Пя21/ -> Пя§3/ — функция, опре-
деленная так: (ПяпО (/я) — go, где g(i) = щ(И0). Легко про-
веряется, что Пят)/ является корректно определенным гомомор-
физмом; он называется ультрапроизведением гомоморфизмов ц/
по модулю D,
Если т)/ = ц: 21 ->9Э для всех i е /, то ПяЦ/ обозначается ПяЛ
и называется ультрастепенью г| по модулю D\ она является гомо-
морфизмом из Пя21 в Пя®. Рутинным упражнением на понима-
ние определений является проверка следующего результата.
Определение элементарного вложения можно найти в главе 2.
4.1. Теорема. Если D — ультрафильтр над I ust является
подклассом «<(L), замкнутым относительно ультрастепеней (со-
отв. ультрапроизведений), то ультрастепень (соотв. ультраправ
§ 4. УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯ КАК ФУНКТОРЫ
119”
изведение) Пр является функтором из в & (соотв. из s£l
в st).
4.2. Теорема. Функтор-улътрастепенъ на сохраняет вло-
жение и элементарные вложения. Аналогично функтор-ультра-
произведение сопоставляет семейству <тр: i /> вложений (со-
отв. элементарных вложений) вложения (соотв. элементарные
вложения).
Доказательство. Достаточно доказать теорему для
ультрапроизведений. По определению тр: 81,есть вложение
в том и только в том случае, когда тр: 91/->гаптр- есть изомор-
физм. Таким образом, если <тр: i е /> — семейство вложений, то
Пртр является вложением, так как функторы сохраняют изомор-
физмы и ran Пртр = Пр ran тр. В случае элементарных вложений
воспользуемся основной теоремой (3.1). Допустим, что <p(xi, ...
..., хп)— формула языка L и ... , ПД. Тогда
пл н ф • • •, 0 е / |Я/ И Ф [g1 (0, • • •, gn (OB е d
{i е= 1123г |= <p [г]г (g1 (z)), ... T)< (g'! (0)D D
Конструкция ультрапроизведения позволяет единообразно
определить функторы в различных категориях. Для того чтобы
дать формальное выражение этого, единообразия, нам необхо-
димо понятие «забывающего функтора». Пусть L, L' — языки
первого порядка такие, что L cz L'. Напомним, что алгебраиче-
ская система для языка L' есть пара 81х = <ДХ, где 3'— ин-
терпретация каждого символа I/. Если 81х — алгебраическая си-
стема для языка L', то пусть (?Г) — алгебраическая система
81 = <ДХ, для языка L, где <7 — ограничение 3' на симво-
лах L. /?Ь'ь(Г) называется обеднением 81' до L. Если тр 81' ->ЭХ —
гомоморфизм систем для языка I/, то /?ь'ь(л) есть в точности
функция, которая является гомоморфизмом в /?ыь (23х).
Легко заметить, что 7?l'l является функтором из Л(Lx) в ^(L),
который называют забывающим функтором. (Мы будем употреб-
лять R без индексов, когда не возникает двусмысленности.) На-
пример, если L пусто и L cz Lx, то Л (L) есть категория, a Rul —
хорошо известный функтор из Л{\А) в JZ(L).
Если Rl'l переводит подкласс «5$7 из Л (L) в подкласс ив
J?(L), то мы будем обозначать ограничение Z?l'l на Л также
/?L'l и назовем его забывающим функтором из j^x в Л. Напри-
мер, имеется забывающий функтор из класса упорядоченных
абелевых групп в класс абелевых групп, где L = {+,0} и L'=
— {+, 0}- Следующий результат является очевидным след-
ствием определений.
4.3. Теорема. Пусть D — ультрафильтр над I, L и I/ —
языки первого порядка такие, что L cz Lx. Тогда следующие диа-
120
ГЛ. 3 ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИИ
граммы (для ультрастепеней и
ственно) коммутативны'.
ульт рапроизведений
соответ-
<^(L')...>e^(L)
Пр пд
о^(Ь')---
Пр пд
е/И (L ) <гЛ1 (L)
Теорема 4.3 пригодна для доказательства замкнутости класса
относительно ультрапроизведений, даже когда мы не знаем, что
класс аксиоматизируем. Мы говорим, что класс ^c:^(L) яв-
ляется псевдоэлементарным. если существует забывающий функ-
тор R = Rul такой, что & есть образ относительно R элемен-
тарного (т. е. аксиоматизируемого) класса cz Л (I/).
4.4. С л е д с т в и е. Псевдоэлементарный класс замкнут отно-
сительно ультрапроизведений.
Доказательство. Придерживаясь обозначений определе-
ния, докажем, что для любого семейства <91/: i^F) из си-
стема Пр91/ принадлежит S&. По предположению каждая За-
имеет вид R (91') для некоторых 91' из Но тогда по след-
ствию 3.3 и теореме 4.3 имеем
. = Пл/? (91'.) = R (ПрГ.) е= R (&') cz Ж. □
4.5. Теорема. Пусть new. Если зФ — класс всех групп,
изоморфных GL(az, F) для некоторого поля F, то замкнут от-
носительно ультрапроизведений.
Доказательство. Через GL(/?,F) мы обозначаем группу
относительно умножения обратимых матриц размера п X и над
полем F. В силу 4.4 достаточно доказать, что S&— псевдоэлемен-
тарный класс Расширим L = {•, е}, язык групп, до языка L' =
— +, *, 0, 1» л/}, где +. * — бинарные функциональные
символы, 0 и 1 — константные символы и л//, l^i, j^n,— унар-
ные функциональные символы. Пусть — класс всех систем
91 = <Д •. е, +, *, 0, 1, л//> для языка L', удовлетворяющих сле-
дующим свойствам (которые, очевидно, записываются предложе-
ниями языка L'):
(i) два элемента а2 из S& равны тогда и только тогда,
когда л//(П1) =^// («2) для всех i, / (следовательно, состоит
из матриц размерности п X
(ii) объединение F областей значений л// образует поле от-
носительно +, *, 0, 1;
(iii) «матрица» е единичная;
(iv) операция • определяет умножение матриц;
§5. ВАРИАНТ ТЕОРЕМЫ КОМПАКТНОСТИ
121
(v) элементами являются в точности обратимые матрицы
размера п X и над полем F.
Тогда Ж является образом относительно забывающего
функтора. □
Известно, что класс Ж из предыдущей теоремы не аксиомати-
зируем (см. Саббах [1], доказано для п=1, но оно обоб-
щается на произвольное и). Неизвестно, будет ли элементар-
ным класс из следующей теоремы.
4.6. Теорема (Саббах). Класс примитивных колец замк-
нут относительно ультрапроизведений.
Доказательство. Для наших целей удобно следующее
определение примитивного кольца. R примитивно тогда и только
тогда, когда существует максимальный регулярный правый
идеал р кольца R такой, что (р : R) = (0) (см. Херстейн [1],
с. 40). При этом определении нетрудно видеть, что класс прими-
тивных колец псевдоэлементарный. □
Мы заканчиваем параграф еще одним полезным результатом
об ультрапроизведениях.
4.7. Теорема. Пусть D — ультрафильтр над множеством /.
Существует естественное отображение d: / -> По из тождествен-
ного функтора на v#(L) на функтор-ультрастепень на та-
кой, что для каждого 21 из Л(Ь) rf (21) является элементарным
вложением. Более того, для любого расширения L cz L' имеем
Ri/id = dRt'L-
Доказательство. Для любой 21 в Л(Ь) пусть d(2l): 21->
Пр21 определено посредством d(a) = aD, где а: I ->21 — кон-
стантная функция со значением а. Тогда d(2l) является элемен-
тарным вложением, что следует из основной теоремы 3.1, так
как
Пв21 h <Р [d (а,), , d(a„)]
<=>{/<=/1 2lf = ?l|=<p[ai, ••• > aj} e£)<=^?I|=(p[a1, ... , a„].
Мы оставляем читателю очевидную проверку того, что d есть
естественное отображение (т. е. с? (S3):*> / = По (f) j» (?К) для лю-
бого f: 21 -> S3) и что Rvbd = d/?L'L. □
компактность
§ 5. Вариант теоремы компактности, связанный
с ультрапроизведениями
Из основной теоремы следует, что для любой совокупности
<91: is /) и ультрафильтра D, если на каждой Я/ выполняется
некоторое множество 2 предложений, формализуемых в логике
первого порядка, то на 1Ъ21; также выполняется 2.
122
ГЛ. 3 ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЙ
Содержанием следующей теоремы (которая, очевидно, яв-
ляется следствием основной теоремы) является то, что для неко-
торых ультрафильтров D ультрапроизведение Пр51/ может удо-
влетворять множеству предложений, записываемых в логике пер-
вого порядка, хотя ни одно не явинется моделью 2.
5.1. Теорема. Пусть <51;: i е /> — снабженное индексами
семейство алгебраических систем для языка L, и пусть 2 мно-
жество предложений L.
(i) Если для каждого предложения ф из 2 множество
{i е 1131/1= ф} коконечно, то для любого неглавного ультра-
фильтра D над I nD3lt- является моделью 2.
(ii) Если для каждого конечного подмножества {фь ..., фп}^
2 множество {/ е Z| 3lt-1= ф1 А ... А Фп} не пусто, то суще-
ствует ультрафильтр D над I такой, что nD3lz — модель 2.
Доказательство, (i) В силу поздложения 1.4 если D —
неглавный ультрафильтр, то {1^1 |51/Ь=ф} лежит в D для
каждого ф е 2 и по следствию 3.2 П^/Нф-
(ii) Для каждого конечного пэдмяэ кэегва F с: 2 пусть
IF= {te/|5l/1= F}, IF не пусто по предположению. Заметим, что
S = [IF |F—-конечное подмножество 2}обладает СКП, так как
п
/Fi П ••• П — где G = (J Таким образом, по след-
ствию 1.2 S содержится в ультрафильтре D над /. Так как
1 {ф} еД то по следствию 3.2 П^Нф Для каждого фе2. □
Как следствие теоремы мы можем получить алгебраическое
доказательство теоремы компактности, которое обсуждалось ра-
нее.
5.2. Следствие. Если 2 — множество предложений языка
L такое, что каждое конечное подмножество 2 имеет модель, то
2 имеет модель.
Доказательство. Пусть / — множество всех конечных
подмножеств 2 и для каждого i е I пусть 51/ — модель для i.
Очевидно, что условие теоремы 5.1 (ii) выполнено, и тогда суще-
ствует ультрафильтр D над I такой, что Пр31/— модель 2. □
Большинство, если не все алгебраические применения уль-
трапроизведений, которые даются в этом и следующих двух па-
раграфах, можно доказать без употребления ультрапроизведе-
ний, пользуясь вместо следствия 5.2 теоремой компактности.
Дл1Ногие из них и были впервые доказаны таким образом. Тем
не менее целью этой работы как раз и является показать, как
ультрапроизведения могут быть использованы, чтобы дать бо-
лее «алгебраические» доказательства. Таким образом, наши до-
казательства являются более или менее прямыми применениями
§ 5. ВАРИАНТ ТЕОРЕМЫ КОМПАКТНОСТИ
123
теоремы 5.1 или теоремы 3.1 и даже ссылка на эти общие тео-
ремы может быть заменена в конкретных применениях прямой
проверкой желаемых свойств по определению ультрапроизведе-
ния (ср. замечание в конце доказательства следствия 3.4).
5.3. Теорема. Пусть Р — бесконечное множество простых
чисел и для каждого р е Р пусть Fp — поле характеристики р.
Если D — неглавный ультрафильтр над Р, то I1dFp будет полем
характеристики нуль.
Доказательство. Пусть S = {фЛ | п 1}, где фЛ—
предложение «и* 1 =/=()». Для каждого п множество {ре
^P\Fp\= ф} бесконечно и совпадает с множеством простых чи-
сел из Р, не делящих п. Следовательно, в силу 5.1 (i) HdFp яв-
ляется моделью для S, т. е. I1dFp имеет характеристику нуль.
Класс называется конечно аксиоматизируемым (в L), если
он имеет вид v#(S)r где S — конечное множество предложений
языка L; заметим, что в этом случае можно считать, что S со-
стоит из одного предложения, — достаточно взять конъюнкцию
предложений из S. Если <5^ = v#({0}) является конечно аксио-
матизируемым подклассом «^(L), то дополнение до Я{Е)
тоже конечно аксиоматизируемо — совпадает с /({Пб})—и,,
следовательно, в силу 3.3 замкнуто относительно утрапроизведе-
ний. Поэтому ввиду 5.3 класс полей ненулевой характеристики
не замкнут относительно ультрапроизведений, и мы получаем
5.4. Следствие. Класс полей характеристики нуль аксио-
матизируем, но не является конечно аксиоматизируемым.
Аналогично доказывается и следующее. (Доказательство и
другие примеры неконечно аксиоматизируемых теорий см. в кни-
ге: Белл и Сломсон [1], глава 5, § 3.)
5.5. Теорема (Тарский). Класс алгебраически замкнутых
полей аксиоматизируем, но не является конечно аксиоматизи-
руемым.
5.6. Теорема. Если ф — предложение, записанное на язы-
ке полей, которое истинно в каждом поле (в каждом алгебраи-
чески замкнутом поле) характеристики нуль, то существует ко-
нечное множество простых чисел таких, что ф истинно в каж-
дом поле (в каждом алгебраически замкнутом поле) характери-
стики р, если р ф Р(р.
Доказательство. Предположим противное. Тогда суще-
ствует бесконечное множество простых чисел Р такое, что для
р е Р существует поле (алгебраически замкнутое поле) Fp, в
котором выполняется ~1ф. По 5.3 и 3.2, если D — неглавный
ультрафильтр над Р, то ПяГр является полем (алгебраически
замкнутым полем) характеристики нуль, которое является мо-
делью 1 ф, получили противоречие. □
Мы заканчиваем этот параграф определением, которое иг-
рает важную роль в глубоком результате Акса [1] о разре-
124
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРЛПРОИЗВЕДЕНИЙ
шимости теории конечных полей. Пусть S — множество всех
предложений в языке полей, которые истинны в каждом конеч-
ном поле. Бесконечные модели S будем называть псевдоконеч-
ными полями. (А к с [1] дал полное алгебраическое описание
этих полей.) Приводимое ниже следствие из 5.1 (i) показывает,
как строить псевдоконечные поля с помощью ультрапроизве-
дений.
5.7. Следствие. Пусть (Fn: п е со> — семейство конечных
полей таких, что для каждого m множество {п е со | мощность
Fn т} конечно. Пусть D — неглавный ультрафильтр над (о.
Тогда ПдВп псевдоконечно. □
§ 6. Теоремы вложения
Следующая теорема резюмирует часто используемый метод
доказательства с помощью ультрапроизведений (ср. Кегел и
В е р ф р и ц [1], с. 66; также Гр етцер [1], теорема 7, с. 261).
Множество {§9/ | i е 1} подсистем системы 89 называется ло-
кальным покрытием для §9, если: (1) В = U {В/ | i е /} и (2) для
каждых f, j е I существует k е / такой, что Bi J В/ cz Bk. На-
пример, множество всех конечно порожденных подсистем си-
стемы 89 является локальным покрытием для 89.
6.1. Теорема. Пусть {89/1 i е /}—локальное покрытие для
системы 83e^(L). Пусть <91/: ie/> — снабженное индексами
семейство элементов Л (L) таких, что для каждого су-
ществует вложение (гомоморфизм) 89/ в 81/. Тогда существует
ультрафильтр D над I и вложение (гомоморфизм) 89 в Пд?1/.
Доказательство. Выбираем вложение (гомоморфизм) £/:
®/->91/ для каждого i е /. Для каждого j е I пусть S/ = {i е
е/|В/с=В/}. Тогда S= {Sj\j^I} обладает свойством ко-
нечных пересечений, так как SZ1 f) ••• Г)В/Л=> Sfe, где k таково,
что B^U ••• UB/^czBfc. Следовательно, в силу 1.2 S можно
расширить до ультрафильтра D над /. Для каждого j I суще-
ствует вложение (гомоморфизм) т]/: 89/-> ГЬ?1/, который опреде-
ляется так: T\j(b)=bD, где b(i) — &(Ь), если/eS/, и b(i)
произвольно в противном случае. По определению локального
покрытия 89 является прямым пределом покрывающих систем, со-
стоящих из 89/, 1^1, и включающих отображения между ними.
Функции {ц/1 j е /} образуют совместное множество отобра-
жений и, следовательно, индуцируют функцию ц: 89 -> ГЬ?1/, КО’
торая, очевидно, является вложением (гомоморфизмом).
6.2. Следствие. Если ^cz^(L) замкнут относительно
ультрапроизведений и если каждая конечно порожденная под-
система системы 8Эе^#(Ь) вкладывается в элемент из то 83
вкладывается в элемент из
<§ 6. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
125
Группа называется линейной степени п, если опа изоморфна
подгруппе GL(n, F) для некоторого поля F. Следующий резуль-
тат непосредственно вытекает из следствия 6.2 и теоремы 4.5.
6.3. Теорема (Мальцев [1]). Пусть G — группа, каж-
дая конечно порожденная подгруппа которой является линейной
группой степени п. Тогда G — линейная группа степени п.
Для простоты в остальных доказательствах этого параграфа
мы будем предполагать, что наш язык L содержит лишь конеч-
ное множество предикатных, функциональных и константных
символов. Если §1 — алгебраическая система для языка L, то
уравнением над §1 называется выражение вида /0 = f(/i, ..., /«)
или /?(/ь ...» /п), где / (соотв. А) является n-арным функцио-
нальным (соотв. предикатным) символом, а каждое р является
переменной или константой языка L, либо элементом А (точнее,
новым символом са, соответствующим элементу а<=А). Нера-
венством над 51 называется отрицание равенства (уравнения)
над 51. Если 91 cz 33, то мы говорим, что 91 алгебоаически замк-
нута (соотв. экзистенциально замкнута) в S3, если любая конеч-
ная система уравнений (соотв. уравнений и неравенств) над 9(,
которая имеет решение в S3, имеет решение и в 91. Говорят, что
91 st алгебраически замкнута (соотв. экзистенциально замк-
нута) в st, если 91 алгебраически замкнута (соотв. экзистен-
циально замкнута) в каждом расширении, лежащем в st, (Си-
нонимом для экзистенциальной замкнутости является экзистен-
циальная полнота. Более подробно эти понятия обсуждаются в
главе 4.)
6.4. Теорема. Предположим, что 91 cz S3. Тогда 91 алгебраи-
чески замкнута (соотв. экзистенциально замкнута) в S3 в том и
только в том случае, когда существует ультрафильтр D и сле-
дующая диаграмма коммутативна'.
d(2l) \п
31^33
где г] — гомоморфизм (соотв. вложение).
Доказательство. Достаточность. Заметим, что г] пере-
водит решения конечной системы S уравнений (соотв. уравне-
ний и неравенств) с параметрами из Л в решение системы d(S)
(в S параметр а заменяется на d(a)) в Пр91. Если ftp, • •
решение системы d(S) в Пр9(, то по теореме 3.1 существует не-
пустое множество X в D такое, что для каждого i X последо-
вательность ft}}*, ...,6(7)) есть решение S в 91. (Иначе можно
было воспользоваться теоремой 4.7 о том, что d является эле-
ментарным вложением.)
126
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИП
Необходимость. Во-первых, заметим, что, не умаляя общно-
сти, можно считать, что L не содержит функциональных симво-
лов (функции можно заменить их графиками). Пусть 1 — мно-
жество всех пар (F\, Р2), где F\ — конечное подмножество А, со-
держащее интерпретации всех констант из L, и F2— конечное
подмножество В— А. Рассмотрим /= (Fi, F2) е/, пусть F2 —
= {&i, ..., bk}y a S — множество всех уравнений (соотв. урав-
нений и неравенств) с переменными х>, ..., хп и константами из
Fit которые выполняются в §3, когда х, = Ь, для / = 1. ..., п.
Так как S конечно, то S имеет решение Х\ = alf ..., хп — ап в 51.
Если обозначить через 89/ подсистему 89 с носителем Fi U F2 (мы
пользуемся тем, что L не имеет функциональных символов), то
существует гомоморфизм (соотв. вложение) £/: 89/—► 51 такой, что
£/ тождествен на Fi и £/(&/) = а} для / = 1, ..., п. Воспользо-
вавшись теоремой 6.1 для локальной системы {89/ j ге/}, мы
получим искомый гомоморфизм (соотв. вложение)
т): S -> П/Д.
Подобным же образом можно дать необходимое и достаточ-
ное условие того, что 51 — элементарная подсистема 89. (См.
Белл и Сломсон [1], глава 8, § 1.) Следующее тонкое при-
ложение 6.4 нашли Саббах (не опубликовано) и Баксич [1].
(Специальные случаи были ранее известны, например, для
группы Неймана [1].) Система SI е si называется простой
в если каждый нетривиальный морфизм в с областью оп-
ределения 51 является одно-однозначным.
6.5. Теорема. Предположим, что si замкнут относительно
ультрапроизведений, и пусть каждая алгебраическая система из
si может быть вложена в простую систему из si. Если 51 алге-
браически замкнута в si и нетривиальна (т. е. мощности ^2),
то 51 экзистенциально замкнута в si и 51 простая в si.
Доказательство. Для доказательства первой части мы
должны показать, что если 51 — подсистема 89 е si, то 51 экзи-
стенциально замкнута в 89. По предположению, мы можем допу-
стить, что 89 проста. По 6.4 существует коммутативная диа-
грамма
Пэа1
<*&) \
21^=33
где т) — гомоморфизм. Так как 51 нетривиальна, то т) нетривиа-
лен. Следовательно, т]— одно-однозначное отображение и по 6.4
Я экзистенциально замкнута в 89.
§ 6. ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
127
Чтобы показать, что 91 простая, рассмотрим неконстантный
гомоморфизм f: 21->С. Систему 91 можно вложить в простую си-
стему ©, а по 6.4 и 4.7 имеем коммутативную диаграмму
6—Пд»1Пд/ ->пд^-
ai---------
где т] — гомоморфизм. Так как d(&) одно-однозначно, то Пд/®
1°т| — неконстантное отображение и поэтому (так как К про-
стая) одно-однозначное. Поскольку диаграмма коммутативна,
мы заключаем, что f — одно-однозначное отображение.
Заканчиваем параграф результатом о вложении колец, при-
надлежащим А. Робинсону и М. Рабину (см. Робинсон [з}).
Можно было извлечь этот результат из теоремы 6.1, но мы при-
водим прямое доказательство. Кольцо R (возможно без еди-
ницы) называется простым кольцом, если для всех ненулевых
а и р из R а/?р отлично от нуля.
6.6. Теорема. Пусть — класс колец, замкнутых относи-
тельно ультрапроизведений. Если R — простое кольцо, которое
вкладывается в прямое произведение колец из s£, то R вклады-
вается в элемент из S&.
Доказательство. Пусть R cz П/А/, где для
всех i е I. Для каждого ненулевого а из R пусть — {i е
1 | <х(0 =# 0}. Так как R — простое кольцо, то S = {Sa | а —
— 0, R} обладает СКП (ибо Sa Я Sp => Sa}$ для некоторого
j^R). Таким образом, по следствию 1.2 S можно включить в
ультрафильтр D над /. Пусть А — ПдА/. По предположению
Определим отображение tj: R->-A, положив т](а) = ад,
тогда g является вложением, так как для каждого ненулевого а
из R имеем Sa е D. □
Приводимое ниже следствие принадлежит Робинсону [3]
для случая колец с делением и Амицуру [3] для случая
примитивных колец. См. Амицур [3],Херстейн [1],глава 7
или Хиршелман [1] по поводу обобщения и важных прило-
жений теоремы Познера.
6.7. Следствие. Если R — простое кольцо, которое яв-
ляется подкольцом прямого произведения колец с делением (со-
отв. примитивных колец), то R — подкольцо кольца с делением
(соотв. примитивного кольца).
Доказательство. Класс колец с делением аксиоматизи-
руем, следовательно, замкнут относительно ультрапроизведений.
Класс примитивных колец псевдоэлементарен, следовательно,
замкнут относительно ультрапроизведений (см. теорему 4.6). □
128
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИИ
Некоторые другие применения теоремы 6.6 к изучению по-
линоминальных тождеств и рациональных тождеств в кольцах
с делением можно найти уАмицура [1]. [2].
§ 7. Ограниченные полиномиальные идеалы
В этом параграфе мы будем изучать кольца многочленов
FfXi ... Хп\ над полем F, где п— произвольное фиксированное
положительное целое число. Многочлен в /?[Х1 ... Хп] будем за-
писывать в виде ?=1^СмХМ) где М — совокупность всех
м
n-ок (mi, ..., тп) натуральных чисел и Xм — сокращение для
Xi'Xi2 ... Хп11. Степень М, обозначается б(М), есть У, т^,
i = l
степень f есть max {6(М) | см Ф 0}.
Пусть <Fz: г е /> — индексованное семейство полей, и пусть
D — ультрафильтр над /. Пусть F обозначает поле Пр/7/ и для
с <= П/Л пусть с обозначает cD. Пусть R — кольцо Пд(Л[Х1 ...
...Хп]). Заметим, что /? не является кольцом многочленов над
F — оно даже не нётерово, — но существует каноническое ото-
бражение
И: F[X. ...XJ -> /?,
определенное следующим образом. Если . .XJ
м
и degf —то n(f) = fD, где f(i)= У cM(i)XM.
6(M)<d
Индексованное семейство f = (fr. i е= /> многочленов fi
е Fi[Xi... Хп] называется ограниченным, если существует т
такое, что deg fi т для всех i е /. Мы оставляем читателю в
качестве упражнения проверку следующего утверждения:
7.1. Теорема. Функция ц является корректным вложением
колец, область значений которой есть подкольцо элементов из
R, представленных ограниченными семействами. Более того, для
любой f&F[X{ ... Хп]и любых сц, ..an^F имеем f(a{, .. .,ап) =
= б, где
V (Z) = f a„(z)).
Если f = — ограниченное_семейство, то пусть f
обозначает единственный элемент из F[Xt ... Хп] такой, что
p,(f) = fD. Как следствие из 7.1 и основной теоремы получаем
7.2. Следствие. Пусть f = g,!} = i <= /),
й(;' = (///*: is /) — ограниченные семейства многочленов, где
§ 7. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ
129
I — 1, ..., г. Тогда
f = S g{l]h{l} эквивалентно | i е I \ft — | еD.
Кроме того, для любых щ,..., ап из F имеем f(a\, ...,ап) =0
тогда и только тогда, когда {i^I\fi(a\(i),... ,an(i))=0}^D. □
Приведем еще несколько приложений.
7.3. Теорема (Робинсон [1]). Для любых целых поло-
жительных п и d существует целое положительное пг такое, что
для любого алгебраически замкнутого поля F и любых много-
членов f, g(V>, ..., g(r) из F [Xi... Xn] степени d, если каж-
дый общий корень многочленов g(1), g{2\ ..., g^ в поле F яв-
ляется корнем f, то fm принадлежит <g(1), ..., g(r)> — идеалу,
порожденному g(1), ..., g(r).
Доказательство. Заметим, что из формулировки тео-
ремы следует, что выбор чисел m зависит только от п и d. Тео-
рема Гильберта о корнях, которой мы пользуемся, утверждает,
что для данных f, g(1), ..., g(r), удовлетворяющих предположе-
нию, существует некоторое m, a priori зависящее от f, g(1), ...
..., g^r\ такое, что fm е <g(1), ..., g^). Предположим,
что теорема неверна, тогда для каждого i е I = со суще-
ствует алгебраически замкнутое поле Л и многочлены
/р g(i\ • • •, е [^i • • • *п] степени d такие, что
& • • •> но каждый корень g^} ... g'^ е F. является
корнем fi, (Заметим, что можно считать, что г не зависит от I,
так как каждый идеал, порожденный полиномами степени d,
имеет базис мощности, не превосходящей размерности (над по-
лем коэффициентов) векторного пространства многочленов сте-
пени d.) Пусть D — неглавный ультрафильтр над /. Так как
</;•: ie/> и 1=1, ..., г, — ограниченные семей-
ства, мы можем считать f, g(1), ..., g{r) F[X{ ... JVJ. Каждый
корень g(1), . .., g{r} в F является корнем f по следствию 7.2,
потому что это верно для всех i I. Следовательно, по теореме
о корнях fk е {gV\ •.gf) для некоторого k <= <о. Тогда по 7.2
мы имеем {/ е I \fki е (g/0, ..., gT}} е D. Но это противоречит
выбору f., g(.°, и тому, что D состоит из бесконечных
множеств.
Следующий результат дает границы для теоремы Гильберта
о базисе и доказывается подобным образом. (Чисто алгебраи-
ческое доказательство см. у Сейденберга г[1].)
7.4. Теорема. Для данных положительных целых п и d
существует m такое, что для произвольного поля F любая стро-
го возрастающая цепь идеалов в F [Xi... X,], которая поро-
ждается многочленами степени d, имеет длину т.
5 Справочная книга, ч. I
130
ГЛ. 3 ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЙ
Можно также использовать эти методы для получения оце-
нок для числа квадратов, требуемых для представления положи-
тельно определенного рационального функционала над упорядо-
ченным полем в виде суммы квадратов (см., например, Р о -
б и неон [6]).
Следующий результат требует другого способа доказатель-
ства (см. Робинсон [5]). Его впервые доказали Кёниг [1]
и Херман [1], используя сложные вычислительные методы.
Следующее доказательство принадлежит Робинсону [5].
7.5. Теорема. Для данных целых положительных п и d су-
ществует m такое, что для любого поля F и любых полиномов
f, g(i\ • • •, S{r) из F[Xi ... Хп] степени d, если f <= <g(1), .. -
..., g(r)>, то существуют полиномы Л(1), ... ,Л(Г) е F[Xi... Хп]
г
степени ^.т такие, что h{l}g{V*.
l = \
Доказательство. По стандартным соображениям линей-
ной алгебры достаточно доказать теорему для алгебраически
замкнутых полей. Допустим, что теорема неверна. Тогда для
каждого / = существует алгебраически замкнутое поле Fi
и многочлены f., g\[\ ..., g<P е Ft [X\ ... степени d
такие, что f i e но не существует многочленов
г
h(i\ .... Мг) степени^/ таких, что fi = ^hTgT‘
Пусть D — неглавный ультрафильтр над /. Зафиксируем
f, gW, •• •, g{r)^F[Xi ... Х„]._Пусть G = (g(1).g(rY) — идеал,
порожденный g(l)...g<r} в F [Xi ... Хп]. Если мы сможем до-
казать, что f е О, то все будет доказано, так как будут су-
ществовать А(1), ..., ft(r) е F [Xi ... Хп] такие, что f=Yi h{ljg(l\ и в
/«= 1
силу 7.2 мы приходим_к противоречию с выбором ft, gp, ..., g<p.
Так как случай G = F[X1 ... Xrt] тривиальный, можно считать,
что G = Q1fl ••• ПQk, гДе Qj — собственные простые идеалы
(Зарисскийи Самюэль[1], глава IV, § 4). Итак, достаточно
доказать, что для j ~ 1, ...,&. Рассмотрим фиксированное
Q/ — Q. Изменив координаты, мы можем допустить, что Q cz
cz <Xi, ..., Хп>. (Если («1, ...» ап) — корень Q в F, то пусть
yv = Xv — av для v = 1, ..., и.)
Пусть Р обозначает ...,Хп). По теореме Крулля о пе-
ресечениях (Зарисскийи Самюэль [1], глава IV, теорема 12)
достаточно доказать, что f е Q + Рт для каждого m 0.
Поскольку f t е (gp, ..., g{P}, существуют многочлены .
г
..., такие, что ft = У, p^g^. Пусть класс is /^в /?.
§ 8. ©.-НАСЫЩЕННЫЕ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯ
131
Тогда fD — £ P^g^, т. е. ц (f) = У (g<z>). Фиксируем т > 0.
Пусть — класс I е А, где <//* = £ см О’) ХМ> если р?’=
~^см 0) ^И- Заметим, что q(l^ лежит в области значений р,
скажем = Тогда
н (?) - Z и (<?<'>) и (g(Z)) = Z № - <$»)
Левая часть равенства лежит в области значений р, поэтому
правая часть лежит в ц(Рт). Мы получаем, что f е Q + Рт> □
Следующий результат принадлежит Херману [1] (см. так-
же Сейденберг [2]). Было бы интересно получить доказа-
тельство этого результата через ультрапроизведепия в духе пре-
дыдущего, избежав вычислительных методов Хермана. Пока та-
кого доказательства нет.
7.6. Теорема. Для положительных целых п и d существует
m такое, что для любого идеала J кольца F[Xi... Хп], который
имеет базис, состоящий из многочленов степени d, если J
непростой, то существуют многочлены f, g степени пг такие,
что fg ^J, но f и g^J.
О применении методов этого параграфа и § 5 к задачам ал-
гебраической геометрии см. Эклоф [1].
НАСЫЩЕННОСТЬ
§ 8. о1-насыщенные ультрапроизведения
В §§ 5—7 мы использовали ультрапроизведения для построе-
ния алгебраических систем, которые удовлетворяют заданным
множествам S свойств, выразимых в логике первого порядка.
Теперь мы хотим изучить свойство ультрапроизведений (в отно-
шении некоторых ультрафильтров), называемое (^-насыщен-
ностью, которое не выразимо в логике первого порядка, но яв-
ляется теоретико-модельным по характеру и очень полезно при
изучении свойств, выразимых в логике первого порядка.
Напомним из главы 2, что если 21 — алгебраическая система
для языка L и X — подмножество А, то Lx обозначает язык, по-
лученный прибавлением константных символов са для каждого
а е X, и 91х = (?1, а)а^х является алгебраической системой для
Lx, полученной интерпретацией новых константных символов са
элементами а. Пусть Г(о) — множество формул y(v) языка Lx
с одной свободной переменной v; Г (и) называется типом в Six,
если для каждого конечного подмножества {уо(^)> •••>
5*
132
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРЛПРОИЗВЕДЕНИИ
из Г((/) существует а е А такое, что 51 х |= yt- [а] для i = 0, ...
..., /и. Мы говорим, что Г реализуется в 51х, если существует
а^А такой, что Qlx |= у[а] для всех у (у) в Г(и). Алгебраиче-
ская система 51 для языка L называется ^-насыщенной, если
для каждого счетного подмножества X множества А каждый
тип в %х реализуется в Six. Поясним определение на двух важ-
ных примерах. Линейно упорядоченное множество 51 называется
^-множеством (Хаусдорф [1]), если всегда, когда Bi и
В2— подмножества множества А мощности <соа такие, что
В{ < В2 (т. е. для любых b[ е Вь &2 В2 мы имеем Ь\ < &2),
существует а е А такое, что Bi < а < В2 (т. е. для любых &i е
е Bi, Ь2 е В2 имеем Ь\ < а < Ь2). В частности, т]о-множество—
это плотно упорядоченное множество без первого и последнего
элемента.
8.1. Лемма. Всякое ^[-насыщенное ^-множество является
^[-множеством.
Доказательство. Пусть Д и В2 — счетные подмноже-
ства множества А такие, что В[ < В2, В[ Л, В2 s А. Пусть
X = Bi U В2 и Г(и) —множество всех формул языка Lx вида
< V < сь2>
где b[ е Bi и Ъ2 <= В2. Так как §1 — т]0-множество, то Г(и) яв-
ляется типом в Six. Поэтому Г (у) реализуется в Six некоторым
а е А. Очевидно, Bi < а < В2. □.
(Утверждение, обратное к лемме 8.1, также верно, но мы не
будем рассматривать его. В § 10 мы введем более общее опре-
деление соа-насыщенных моделей; 8.1 имеет естественный ана-
лог в той ситуации.)
8.2. Лемма. Всякая бесконечная а>[-насыщенная алгебраи-
ческая система несчетна.
Доказательство. Допустим противное, т. е. А счетно.
Пусть Г (у) — множество всех формул языка Ьд вида
v
где а <= А. Так как А бесконечно, то Г (у) — тип в 51д и, следова-
тельно, реализуется в что невозможно. □
Мы покажем, что ультрапроизведения по подходящему уль-
трафильтру coi-насыщены; для этого нам нужны новые классы
ультрафильтров. Ультрафильтр D над / называется ^[-непол-
ным, если существуют попарно не пересекающиеся подмноже-
ства Ул множества I такие, что U Уп = /, но Yn ф D для всех
new
леи. Очевидно, что ®i-неполный ультрафильтр всегда неглав-
ный, так как для главных ультрафильтров существует а е I та-
кой, что У е D эквивалентно а е У. Обратное верно, если /
счетно.
§ 8. ®! НАСЫЩЕННЫЕ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯ
133
8.3. Лемма. Каждый неглавный ультрафильтр счетного
множества I ^-неполный.
Доказательство. Пусть / = {ап\ п е со}, Yn = {ап}. Тог-
да Ул ф D, так как D неглавный, но U = I. □
п
Предположение, что 8.3 истинно для множеств I любой бес-
конечной мощности, совместно с обычными аксиомами теории
множеств (ZFC). Однако неизвестно, можно ли доказать 8.3 (в
ZFC) для всех бесконечных множеств /. Известно, что если 8.3
неверно для /, то мощность / необычайно велика. Мощность наи-
меньшего такого / является измеримым кардиналом (это обсу-
ждается в приложении к главе 3 «Теории множеств»).
8.4. Лемма. Для любого бесконечного множества I суще-
ствует (^-неполный ультрафильтр над I.
Доказательство. Так как / бесконечно, мы можем пи-
сать 1= U Уд, где Yn попарно не пересекаются и бесконечны,
песо
Пусть S = {I — Yn. п е= со}. Тогда S обладает СКП и по след-
ствию 1.2 может быть расширено до ультрафильтра D, который
сбудет (Oi-неполным по построению. □
8.5. Теорема. Пусть L — счетный язык и D — (^-непол-
ный ультрафильтр над I. Для любого семейства <21/: i е /> алге-
браических систем для языка L ультрапроизведение Пр21/ являет-
ся (^-насыщенным.
Доказательство. Пусть X — счетное подмножество ППД/
и Г(и)- тип в (Пр?1/)х, скажем Г (и) = {ул (v): п е со}. (Заметим,
что Г — счетный тип, так как L — счетный язык.) Пусть Ул,
леса, — подмножества I такие, что Yn^D, но U Yn = L Так
песо
как Г (о) —тип в то для каждого те® существует эле-
мент f{D} из ПдДг такой, что yn[fo] для п—1,
Определим ^еП/Дг посредством g (Z) = f(m) (1), если i е Ym.
Докажем, что По?1г|= утL?d1 для всех те®. По теореме 3. I
достаточно доказать, что {Z е I Д, |= ym[g (01) ~ <= D. Но Zm
m-1 m-1
•содержит I —• (J — П е — ^т) и, следовательно, лежит в D,
/1=0 п=»0
так как Yn ф D для всех п. □
Теория Т в логике первого порядка называется модельно
полной, если для моделей 51 и S3 теории Т таких, что 21 S3, сле-
дует, что 21 Более подробно о модельной полноте см. гла-
ву 4. Здесь мы покажем, как ультрапроизведения могут быть ис-
пользованы для доказательства модельной полноты теории.
8.6. Теорема (Робинсон). Теория вещественно замкнутых
полей модельно полна.
Доказательство. Предполагаем континуум-гипотезу
(СН). Пусть /?1 s /?2 — вещественно замкнутые поля. Пусть
134
ГЛ. 3 ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЙ
Ф(щ, vn) — формула в языке полей, и пусть ai,..., ап е R?
таковы, что /?11== ф[аь ..., ап]. Мы хотим доказать, чта
/?г1=ф[^1, • • • » ал]. Мы утверждаем, что можно считать Ri и R?
счетными. По теореме Лёвенгейма — Скулема (см. главу 2) су-
ществует счетная элементарная подсистема R'{ системы Rit со-
держащая аь ..., ап, и существует счетная элементарная под-
система R'2 системы R2, содержащая /?', Таким образом, мы
имеем счетные вещественно замкнутые поля R{ cz /?', R{ Н-
|= ф[ар ..., яп], и нужно доказать, что7?2^ф[лр • • •> ял]« Пред-
положение доказано.
Пусть D — неглавный ультрафильтр над счетным множе-
ством /. По теореме 4.7 существуют элементарные вложения.
d(Rv): Rv-^IIdRv для v= 1, 2. По 8.3 и 8.5 ITd^v является
(di-насыщенной и по 8.1 nD/?v — т]1“множество (относительна
единственного упорядочения вещественно замкнутого поля) для
v = 1, 2. В силу результата Эрдёша, Гилмана и Хенр и к -
сена [1] любые два вещественно замкнутых поля мощности
<01 являющиеся rji-множествами, изоморфны; на самом деле, изо-
морфизм счетных подполей расширяется до изоморфизма ве-
щественно замкнутых полей. По лемме 8.2 Card (П0/?у) (Щ.
Но Card (Пг>/?у) Card (П//?у) = 2W = on. Следовательно,.
Card(IId/?v) = o)i для v=l, 2. Поэтому в силу приведенных
выше результатов, если с: Ri->R2— тождественное вложение,,
то существует изоморфизм Ф: Пр/?1 ->Пр/?2 такой, что
коммутативна. Следовательно,
Я11= Ф [Яь • • • > «а <=> поЯ11= ф [d (Rt) (at), ...,d (R{) (a„)]
<=> Пв/?21= <p [Ф (d (Rt) (ах)), ..., Ф (d (Rt) (an))\,
<=> Пс/?2 H Ф [Ф (d (R2) (at)).Ф (d (R2) (a„))l
<=>^2(=ф[а1, ..ап]. □
(Хотя мы предположили СН в доказательстве, из общих логиче-
ских соображений, которые мы здесь не приводим, следует, что
результат справедлив и без этого допущения.) Воспользуемся
случаем упомянуть, что 8.6 имеет важные алгебраические след-
ствия; фактически Робинсон [9] (см. также Робинсон
[6]) показал, как решение семнадцатой проблемы Гильберта
можно вывести из теоремы 8.6. См. 2.3 в главе 4.
§ 9 УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯ НОРМИРОВАННЫХ ПОЛЕЙ
135
8.7. Следствие (Тарский). Теория вещественно замкну-
тых полей полна, т. е. любые два вещественно замкнутых поля
элементарно эквивалентны.
Доказательство. Следует непосредственно из 8.6 и из
того, что любое вещественно замкнутое поле содержит экзем-
пляр вещественного замыкания поля рациональных чисел (см.
теорему 6 из 1.7 в главе 4).
Подобным способом, используя известную теорему Штей-
ница о том, что любые два алгебраически замкнутых поля оди-
наковой характеристики и одной и той же несчетной мощности
изоморфны, можно доказать следующий результат:
8.8. Теорема (Тарский — Робинсон). Пусть р — либо
нуль, либо простое число. Теория алгебраически замкнутых по-
лей характеристики- р полна и модельно полна.
Континуум-гипотеза не нужна в доказательстве 8.8 из-за сле-
дующего результата (см. Белл и Сломсон [1], с. 130).
8.9. Теорема. Если (Ае. 1^1} — семейство бесконечных
множеств и D — произвольный (^-неполный ультрафильтр над
/, то мощность ПгЛ, не меньше 2°.
Мы заканчиваем изложение интересных приложений методов
этого параграфа и § 5. Следующее утверждение является част-
ным случаем теоремы Акса [1].
8.10. Теорема. Пусть F — алгебраически замкнутое поле
и пусть Т. Fn -> Fm — полиномиальное отображение, т. е.
V(X1, ..., хп) = (Ф1(Х1, ..., Хп), ...» фДхь ...» хп)), где
фь ...» фл — элементы F[Xi ... Хп]. Если W —одно-однознач-
ное отображение, то Щ — отображение на.
Доказательство. При фиксированном п и фиксиро-
ванных степенях многочленов фь ..., фт теорема выражается
-формулой логики первого порядка в языке полей. Следователь-
но, по теореме 8.8 достаточно доказать теорему для алгебраи-
чески замкнутых полей различных характеристик Для простой
характеристики р легко убедиться в справедливости теоремы
простым подсчетом для Fp, объединения всех конечных полней
характеристики р. По следствию 3.2 теорема верна для nDFp,
где D — неглавный ультрафильтр над множеством Р простых
чисел, и по теореме 5.3 По7> имеет характеристику нуль. □
§ 9. Ультрапроизведения нормированных полей
Важнейшим приложением ультрапроизведений в алгебре яви-
лись работы Акса и Кочена [1] — [3] и Ершова [1] о ги-
потезе Артина. Размер этой главы ограничивает нас, и мы выну-
ждены кратко показать роль ультрапроизведений в доказатель-
стве. Читатель, у которого наше введение пробудит интерес, мо*
136
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЙ
жет обратиться к оригиналам либо к прекрасным изложениям,,
например Чэн и Кейс л ер [1], Кочен [2] и Робинсон
[4]. См. также 2.4 главы 4.
Гипотеза Артина утверждала, что следующее свойство верна
для п и d, когда F = Qp, полю р-адических чисел.
(An, d) Каждый однородный многочлен f (= F[Xi ... сте-
пени d такой, что п > d2, имеет нетривиальный корень в F.
Это предположение наводит на сходство между Qp и полем
Zp((0) формальных степенных рядов над p-элементным полем
Zp. Ленг доказал, что Zp((/)) удовлетворяет свойству А/г, а для
всех п и d. Т е р ж а н я н [1] показал, что гипотеза Артина в об-
щем случае неверна. Однако Акс, Кочен и Ершов показали, что
имеет место
9.1. Теорема. Для любых положительных целых п, d су-
ществует конечное множество простых чисел Р0(п, d) таких, что
для каждого р ф Ро(п, d) Ап, а выполняется, когда F = QP.
Сердцевиной доказательства теоремы 9.1 является следую-
щий результат, который к тому же дает точную формулировку
индуктивной аналогии между Qp и Zp((f)):
9.2. Теорема. Для любого неглавного ультрафильтра D’
над Р, множеством всех простых чисел, ультрапроизведения
RdQp и Пр/Р((/)) являются изморфными полями.
Мы оставляем читателю очевидное доказательство 9.1 из 9.2.
(Указание. Воспользуйтесь следствиями 3.2 и 1.5, результа-
том Ленга и тем, что для фиксированных п и d свойство А«, *
выражается в логике первого порядка.)
Как и в случае теорем 8.6 и 8.8, теорема 9.2 доказывается ис-
пользованием алгебраических свойств (Di-насыщенных ультра-
произведений. Мы не приводим доказательства из-за его слож-
ности, но укажем на ключевую роль согнасыщенности. Фактиче-
ски Акс и Кочен доказали, что ГЬфр и Пр/Р((/)) изоморфны,
как нормированные поля. Определим нормированное поле как
алгебраическую систему
F = {F, +, .,0, 1, А, <,||),
где (JF, +, •, 0, 1> —поле; <А, •, 1, — упорядоченная абе-
лева группа; |: F— {0}->А сюръективно и является нормиро-
ванием (\ху = |х| • |у|, |х + у| max{|x|, |х| = х
для всех х^А. F называется ю-псевдополным, если для любой
последовательности {ап j п е со} элементов F таких, что
(*) \ctm- «п 1 = 1 — Пд | ДЛЯ п<т<(д,
существует a g F такой, что
\в — ап\ = \ап+х — ап1, п<=(0.
Основной результат тогда формулируется так:
§ 10. НАСЫЩЕННЫЕ МОДЕЛИ
137
9.3. Теорема. Если F — (ненасыщенное нормированное по-
ле. то F является (н-псевдополным.
Доказательство. Если X = {ап | п е со} — последова-
тельность из F. удовлетворяющая условию (*),— такая после-
довательность называется (^-последовательностью Коши. — то
пусть Г (у) — множество всех формул вида
Y„(o)^| V — a„l = lan+i — ап\, п^а>.
Г(v)—подмножество языка L^, где L — язык нормированных
полей. Заметим, что Г (у) является типом, так как для любого
m е со Fx. |= Чп для п = 0, ..., пг. Поэтому существует
а е F такой, что при всех п е со
Рх 1= Vn [а].
(Говорят, что а есть псевдопредел X.) □
§ 10. Насыщенные модели
Коротко остановимся на определении х-насыщенных и насы-
щенных моделей, которые являются обобщением coi-насыщен-
ных моделей, и сформулируем некоторые важные факты об этих
моделях. Относительно более подробного изложения с доказа-
тельствами см. Чэн и Кейслер [1], Чэн [2] или Белл и
<ломсон [1].
Пусть х — бесконечный кардинал. Алгебраическая система 21
для языка L называется н-насыщенной. если для каждого под-
множества X множества А мощности <х каждый тип в 2U реа-
лизуется в 21х. 21 называется насыщенной, если 21 х-насыщена,
где х—мощность А. Как и в § 8, может быть доказана
10.1. Лемма, (i) Мощность бесконечных н-насыщенных ал-
гебраических систем не меньше х.
(ii) Если 21 — ^-множество. которое является (на-насыщен-
.ным. то 21 является ^-множеством.
Алгебраические системы, которые являются х-насыщенными,
могут быть получены как ультрапроизведения, хотя доказать это
более сложно, чем теорему 8.5. Следующая теорема была впер-
вые доказана Кейслером [1] с использованием GCH и К ю -
яеном [1] без GCH.
10.2. Теорема. Пусть L — язык мощности ^х, и пусть
I — множество мощности х. Тогда существует ультрафильтр D
над I такой, что для любого семейства <2lz: i е /> алгебраиче-
ских систем для языка L ультрапроизведение ГЬ21/,является не-
насыщенной алгебраической системой, (Ультрафильтры со свой-
ством, сформулированным в предыдущей теореме, называются
ж+-хорошими ультрафильтрами и были введены Кейслером
138
ГЛ. 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЙ
[1] .) Как следствие получаем существование насыщенных моде-
лей. (Предположение GCH существенно.)
10.3. Следствие. Пусть и — кардинал такой, что 2х = х+.
Если Я — алгебраическая система для языка мощности ^х (где
L имеет мощность ^х), то существует элементарное расшире-
ние §5 системы Я мощности х+, которое насыщено.
Доказательство. Пусть I и D таковы, как в теоре-
ме 10.2. Тогда S3 = Пр$1 является х+-насыщенной системой. По
теореме 4.7 S3— элементарное расширение И. Кроме того, х+
Card (В) 2х по лемме 10.1 и определению ультрапроизве-
дения, так что, по предположению, Card (В) = х+ и, следова-
тельно, S3 насыщена. □
Основное свойство насыщенных моделей, найденное Воотом
(см. Морли и В о о т [1]), следующее:
10.4. Теорема. Элементарно эквивалентные насыщенные*
модели одной и той же мощности изоморфны.
Приводимое ниже следствие непосредственно получается из
10.2 и 10.4 и было доказано прямым способом без GCH Ш ел а •
хом [1].
10.5. Следствие (GCH). Пусть §1 и S3—алгебраические*
системы для одного языка. Следующие утверждения равно-
сильны'.
(1) элементарно эквивалентна S3;
(2) существует ультрафильтр D над I такой, что ПрЯ изо-
морфна Пр89.
Таким образом, мы видим, что элементарная эквивалент-
ность есть алгебраическое понятие.
ЛИТЕРАТУРА
Акс (Ах J.)
1. The elementary theory of finite fields. — Ann. Math., 1968, 88, p. 239—
271.
Акс и Кочен (Ax J., Kochen S.)
1. Diophantine problems over local fields, I. — Amer. J. Math., 1965, 87,
p. 605—630.
2. Diophantine problems over local fields, II: A complete sets of axioms’
for p-adic number theory. — Amer. J. Math., 1965, 87, p. 631—648.
3. Diophantine problems over local fields, III: Decidable fields. — Anrv
Math., 1966, 83, p. 437—456.
Амицур (Amitsur S.)
1. Generalized polynomial identities and pivotal monomials. — Trans. Amen,
Math. Soc., 1965, 114, p. 210—226.
2. Rational identities and applications to algebra and geometry. — J. Al-
gebra, 1966, 3, p. 304—359.
3. Prime rings having polynomial identities with arbitrary coefficients. —
Proc. London Math. Soc. Ill, 1967, 17, p. 470—486.
Баксич (Bacsich P. D.)
1. Cofinal simplicity and algebraic closedness. — Algebra Universalis, 1972₽
2, p. 354—360.
ЛИТЕРАТУРА
139
Белл и Слом сон (Bell J. L., Slomson А. В.)
1. Models and Ultraproducts, an introduction. — Amsterdam: North-Holland,
1969.
Г ретце p (Gratzer G.)
1. Universal Algebra. — N. Y.: Van Nostrand, 1968.
Ершов Ю. Л.
1. Об элементарной теории максимальных нормированных полей. — ДАН
СССР, 1965, 165, с. 1390—1393.
Зарисский и Самюэль (Zariski О., Samuel Р.)
1. Commutative Algebra. — N. Y.: Van Nostrand, 1958. [Русский перевод:
Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, т. 1—2.—
М.: ИЛ, 1963.]
Кегел и Верфриц (Kegel О. Н.. Wehrfritz В. A. F.)
1. Locally Finite Groups. — Amsterdam: North-Holland, 1973.
Кейслер (Keisler H. J.)
1. Good ideals in fields of sets. — Ann. Math., 1964, 79, p. 338—359.
2. A survey of ultraproducts. — In: Logic, Methodology and Philosophy of
Science/Ed. Y. Bar-Hillel. Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 112—126.
Кёниг (Konig J.)
1. Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Grossen. — Leip-
zig: Teubner, 1903.
Кочен (Kochen S.)
1. Ultraproducts in the theory of models. — Ann. Math., Ser. 2, 1961, 74,
p. 221—261.
2. The model theory of local fields. — In: Logic Conference Kiel 1974. Ber-
lin: Springer, 1975, p. 384—425.
К ю н e н (Kunen K )
1. Ultrafilters and independent sets. — Trans. Amer. Math. Soc., 1972, 172,
p. 299—306.
Ленг (Lang S.)
1. Algebra. — Revised printing. — Reading (Mass.): Addison-Wesley, 1971.
[Русский перевод: Л e н г С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.]
Лось (Los J.)
1. Quelques remarques, theorems and problemes sur les classes definis-
sables d’algebres. — In: Mathematical Interpretation of Formal Systems.
Amsterdam: North-Holland, 1955, p. 98—113.
.Мальцев А. И.
1. Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами. — Матем.
сб., 1940, 8, с. 405—422.
Морли и Boot (iMorley М., Vaught R. L.)
1. Homogeneous universal models. — Math. Scand., 1962, 11, p. 37—57.
Нейман (Neumann В H.)
1. A note on algebraically closed groups. — J. London Math. Soc., 1952,
22, p. 247—249.
Робинсон (Robinson A.)
1. Theorie Metamathematique des Ideaux. — Paris; Louvain, 1955.
2. On ordered fields and definite functions. — Math. Ann., 1955, 130,
p. 257—271.
3. A note on embedding problems. — Fundam. math., 1962, 50, p. 455—461.
4. Problems and methods of model theory. — In: Aspects of Mathematical
Logic, С. I. M. E. 1968, III Ciclo. Rome: Ediztoni Cremonese, 1969.
5. О границах в теории полиномиальных идеалов. — В кн.: Избранные
вопросы алгебры и логики. Новосибирск, 1973, с. 245—252.
6. Model theory as a framework for algebra. — In: Studies in Model
Theory/Ed. M. Norley. Buffalo (N. Y.): Math. Assoc. Amer., 1973,
p. 134—157.
140
ГЛ 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИЯ
С а б б а х (Sabbagh G.)
1. How not to characterize groups of fields. — J. London Math. Soc. (2K
1969, 1, p. 369—370.
Сейденберг (Seidenberg A.)
1. On the length of a Hilbert ascending chain. — Proe. Amer. Math. Soc.„
1971, 29, p. 443—450.
2. Constructions in algebra. — Trans. Amer. Math. Soc., 1974, 197, p. 273—
313.
Тержа нян (Terjanian G.)
1. Un confre-example a une conjecture d'Artin.— C. r. Acad. Sci. Paris,.
Ser. A, 1966, 262, p. 612.
Хаусдорф (Hausdorff F.)
1. Grundzuge der Mengenlehre. — Leipzig, 1914. [Русский перевод: Хаус-
дорф Ф. Теория множеств. — М.; Л.: ОНТИ, 1937.]
Херман (Hermann G.)
1. Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale —
Math. Ann., 1926, 95, S. 736—788.
X ерстейн (Herstein I. W.)
1. Noncommutative Rings. — Buffalo (N. Y.): Math. Assoc. Amer., 1968.
Хиршелман (Hirschelmann A.)
1. An application of ultra-products to prime rings with polynomial identi-
ties.— In: Conference in Mathematical Logic — London’70. Berlin: Sprin-
ger, 1972, p. 145—148.
Чэн (Chang С. C.)
1. Ultraproducts and other methods of constructing models. — In: Sets, Mo-
dels and Recursion Theory/Ed. J. N. Crossley. Amsterdam: North-Hol-
land. 1967, p. 85—121.
2. What’s so special about saturated models.— In: Studies in Model Theory^
Ed. M. Morley. Buffalo (N. Y.): Math. Assoc. Amer., 1973, p. 59—65.
Чэн и Кейслер (Chang С. C., Keisler Н. J.)
1. Model Theory.— Amsterdam: North-HoHand, 1973. [Русский перевод:
Кейслер X. Дж., Чэн К. К. Теория моделей. — М.: Мир, 1977.J
Ш е л а х (Shelah S.)
1. Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapo-
wers.— Israel J. Math., 1971, 10, p. 224—233.
Э к л о ф (Eklof P.)
1. Resolution of singularities in prime characteristic for almost all pri-
mes.— Trans. Amer. Math. Soc., 1969, 146, p. 429—438.
Эрдёш, Гиллман и Хенриксен (Erdos Р., Gillman L., Henriksen М.>
1. An isomorphism theorem for real closed fields. — Ann. Math., Ser. 2^
1955, 61, p. 542-554.
Глава 4
МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Ангус Макинтайр
СОДЕРЖАНИЕ
Пролог .................. . .. .. . л « . . . . .............141
Введение....................................-.....................141
§ 1. Основные понятия и критерий Робинсона........................143
§ 2. Приложения: теорехма о корнях, 17-я проблема Гильберта, гипотеза
Артина и интегрально определенные функции . . ................147
§ 3. Общая теория: модельные пополнения, экзистенциально замкнутые
системы и форсинг.................................................156
§ 4. Приложения. Дифференциально замкнутые поля и простые модель-
ные расширения....................................................165
§ 5. Отрицательные приложения: группы, тела и теории чисел . . . .169
§ 6. Пучки и модельная полнота ...................................174
Литература . . .................................... 176
Пролог
Абрахам Робинсон создал теорию модельных пополнений и
указал путь ее развития на последующие 25 лет. В этом обзоре
мне хотелось отразить развитие этого направления, подчеркивая
его связи с алгеброй. Это для меня приятная возможность по-
чтить память уникального математика и хорошего друга.
Введение
Я начну с некоторых исторических и методологических заме-
чаний.
Основные идеи по этой проблеме можно обнаружить в лите-
ратуре периода 1950—1957 гг. С одной стороны, Робинсон
[11, [3] рассматривал модельную полноту для специфических
алгебраических примеров. С другой стороны, Тарский и
Boot [1] получили некоторые фундаментальные результаты об
элементарных расширениях (которые тогда назывались арифме-
тическими расширениями). Я не знаю появления этих идей в
более ранних работах, хотя очевидна их связь с теоремами Лё-
венгейма— Скулема и Тарского об элиминации кванторов для
вещественно замкнутых полей.
142
ГЛ. 4 МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Почему естественно изучать модельные пополнения?
Я думаю, что некоторые справедливо скажут, что элементар-
ная эквивалентность — более фундаментальное понятие в тео-
рии моделей. Она является аналогом понятия изоморфизма в
общей алгебре. (Один из поразительных результатов этой тео-
рии объясняет элементарную эквивалентность в терминах уль-
трапроизведений (Шел ах [1]).) Используя лишь элементарную
эквивалентность и «дуальное» понятие полной теории, можно
сформулировать и доказать довольно значительное число основ-
ных результатов, таких, как теорема компактности, слабая тео-
рема Лёвенгейма — Скулема и различные важные приложения
(например, используя ультрапроизведения, как это сделано в
главе 3). Но уже в случае теоремы Лёвенгейма — Скулема о
спуске пристальный анализ показывает, что доказан более силь-
ный результат, и оправдывает введение понятий элементарной
подсистемы и элементарного расширения.
С другой стороны, теория моделей несколько старше, чем тео-
рия категорий, и была определенно более тонкой в 1950 г., од-
нако и это направление извлекло раньше пользу из теоретико-
категорного подхода. Это неизбежно привело к элементарным
отображениям, частным случаем которых являются элементар-
ные расширения. В теоретико-категорных терминах можно наи-
лучшим образом объяснить введение элементарных отображе-
ний. Основная теорема Тарского (Тарский и Boot [1])
утверждает, что для логики первого порядка L категория L-си-
стем с элементарными отображениями обладает прямыми пре-
делами и это верно для подкатегории моделей фиксированной
L-теории. Другая желательная особенность этой категории и
введенной выше подкатегории — это свойство амальгамируемо-
сти (см. И о нс он [1]). Все они стали уместными при получе-
нии более глубоких результатов в период с 1955 г. по настоящее
время. Эти идеи проявляются при изучении однородно универ-
сальных моделей (см., например, Чэн и Кейслер [1]), на-
сыщенных моделей (Чэн и Кейслер [1]), теории Морли
(Морли [1]), автоморфизмов и неразличимости (Гайфман
[1]). Систематическое применение скулемовских функций (на-
пример, Йенсен [1]) также связано с этими явлениями.
Ключевая идея и наиболее работающее понятие у Робинсона
«относительная алгебраическая замкнутость в» происходит из
классической теории полей. (Строго говоря, наивное обобще-
ние указанного выше понятия приводит к более слабому поня-
тию, чем <(, так как в случае теории полей мы имеем дело толь-
ко с полиномами от одной переменной. Но в интересных случаях
оба они совпадают.) Робинсон выделил из этого источника по-
нятие модельного пополнения теории и доказал, что модельное
пополнение единственно, если оно существует. Каноническим
§ 1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КРИТЕРИЙ РОБИНСОНА
143
примером стала теория алгебраически замкнутых полей как мо-
дельное пополнение теории полей. Систематическое применение
идей Робинсона привело к приятным приложениям теории мо-
делей: к 17-й проблеме Гильберта (Робинсон [2]) и к гипо-
тезе Артина (Акс и Кочен [1], Ершов [1]). Работа Акса
[1] о конечных полях также принадлежит к этому направлению
развития. В другом направлении анализ Робинсона привел к за-
мечательному прогрессу в изучении дифференциальных полей
(Робинсон [4], Сакс [1]). (Это, однако, не говорит об от-
сутствии приложений модельной полноты к проблемам диффе-
ренциальных полей.)
Позже в 1969 г. Робинсон дал общей теории новые силы, ко-
гда связал ее с форсингом (Б арвайс и Робинсон [1],
Робинсон [7]). На этом пути возникло много новых понятий
и конструкций для тонкого анализа прежде неподдающихся ал-
гебраических примеров. Были введены новые понятия полноты
и установлены некоторые удивительные связи с категоричностью
(Сарацино [1]). Понятие экзистенциально замкнутой систе-
мы было избавлено от мрака (Эклоф и Саббах [1]) и
позволило создать удовлетворительную теорию.
Новые приложения благоразумнее назвать отрицательными
результатами в противоположность работам о 17-й проблеме
Гильберта и гипотезе Артина, так как они обычно показывают,
что некоторые естественные системы крайне сложно устроены
(Макинтайр [3], Хиршфелд и Уилер [1]). Но, несо-
мненно, алгебра и методы Робинсона хорошо работают вместе.
Окончательное развитие обсуждаемых здесь вопросов заклю-
чается в установлении связи между пучками и результатами о
модельных пополнениях в теории колец. Здесь положительные
результаты Липшица и Сарацино [1] и Карсона [1]
вызвали теорему переноса (Макинтайр [5],Вайспфенинг
[2]). Отсюда можно получить аналог 17-й проблемы Гильберта
для вещественных регулярных колец.
Основная из опущенных из-за недостатка места тема — это
изучение иерархии экзистенциально замкнутых систем и оконча-
тельное определение генерических систем, не применяющее фор-
синга (Симмонс [2], [4], Энрар [2]). Это работа важна,,
но не имеет пока контактов с алгеброй.
§ 1. Основные понятия и критерий Робинсона
1.1. За основными понятиями логики первого порядка можно
обратиться к главам 1 и 2. /Материал по ультрапроизведениям
можно найти в главе 3. Будут использоваться не только фор-
мальные, но и неформальные обозначения, так, например, не бу-
дет делаться различие в обозначениях для систем и их основных
144
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
множеств. Буква т будет обозначать конечный набор элементов
<ть ..., mk)\ если функция f определена на всех элементах
то f(m) будет обозначать набор <f(mi), f(m^)>. Если с —
L-константа, то интерпретацию константы с в модели SM обо-
значим через с^.
1.2. Пусть L — язык логики первого порядка. Свяжем с L ка-
тегорию Фъ L-систем. Объектами будут L-системы. Морфиз-
мами в будут мономорфизмы L-систем. Отображение f:
будет морфизмом, если и только если:
(i) для любых константных символов языка L выполнено
/(С2К) = ^;
(ii) для любой атомной L-формулы ср и набора т элементов
из 3W
(*) 99? |= qp (гп), если и только если 9? |= ср (f (т)).
Таким образом мы определим категорию ffi.. Очевидно, что Фъ
имеет прямые пределы.
Любой L-теории Т мы можем сопоставить подкатегорию ^г,
объектами которой являются модели теории Т (такие классы
называются ЕСд-классами). Фт может не иметь прямых преде-
лов. Простой пример теории с таким свойством дают линейные
порядки с первым элементом. В действительности по теореме
Чэна — Лося — Сушко (Робинсон [6]) категория Фт имеет
прямые пределы, если и только если Т — V 2-теория.
Морфизм f называется элементарным, если условие (*) вы-
полняется для всех формул ср. Пусть — категория, состоя-
щая из L-систем с элементарными отображениями, а ^—со-
ответствующая категория моделей теории Г. Основное свойство
этой категории состоит в следующем:
Теорема 1 (Тарский и Boot [1]). Категория со-
держит прямые пределы.
Следствие. Категория 'ff'f содержит прямые пределы.
В простых терминах объединение элементарной цепи являет-
ся элементарным расширением каждого элемента этой цепи.
Замечание. Предшествующие идеи и результаты тща-
тельно изучены в довольно широком окружении. Например, оп-
ределения, примеры и результаты все справедливы для Loo». По-
нятие получает хороший смысл в случае L(Q), где Q — мощ-
ксстный квантор (см. 5.5 главы 1), но результат Тарского про-
ходит лишь для длинных цепей. Вообще нужны логики с запи-
рающими или непрерывными кванторами (Маковский [1]).
Доказательство Тарского не имеет никакого отношения к ком-
пактности.
1.3. Мы получим сейчас другое теоретико-категорное свой-
ство для <(, которое зависит от компактности. Доказательство
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И КРИТЕРИЙ РОБИНСОНА
145
теоремы 2 представляет собой простое приложение теоремы ком-
пактности (см. 2.4 главы 1); его можно найти у Симмон-
са [1].
Теорема 2. Пусть L — язык первого порядка, а %, ЗЯ, 91 —
L-системы. Если даны морфизмы
ад—>2»
31
в категории , то можно дополнить диаграмму до коммута-
тивного квадрата в
Заметим, что не утверждается, что существует коуниверсаль-
ный квадрат. Но можно улучшить немного теорему 2, как это
сделали Баксич и Фишер в 1971 г. А именно, в дополнение к при-
веденной диаграмме мы можем утверждать, что f(w)=^g(n),
если 21 m = п. См. Баксич и Роуленд-Хьюз [1].
1.4. Существует интересная характеризация элементарных
отображений в терминах ультрапроизведений. Ее можно полу-
чить из теоремы Кейслера — Шелаха (Чэн и Кейстер [1J,
Шел ах [1]).
Теорема 3. Отображение f: ЗЯ91 элементарное, если и
только если существует множество индексов 1, ультрафильтр D
на I и изоморфизм g: ЗЯ1 /D ЗУ/D такие, что диаграмма
Ж---------->Э1
А А
и I
ЖУО------j---->91УЬ
и
коммутативна, где А — естественное диагональное вложение.
1.5. Прежде чем перейти к понятию модельной полноты, вве-
дем некоторые ослабления для
Определение. Отображение f: называется ото-
бражением и обозначается
9R -Д?1,
если условие (*) из 1.2 выполнено для всех формул ф в пренекс-
ной нормальной форме, у которых имеется менее п чередова-
ний кванторов и кванторная приставка начинается с V.
146
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Таким образом, соответствует изоморфной вложимостщ.
а <0 — естественному обобщению относительной алгебраиче-
ской замкнутости в. Очевидно, что f будет элементарным, если
оно является Уп-отображением для всех п. Приведем теперь
основной результат.
Лемма 4 (Чэн и Кейслер [1]). Отображение f:
Ш1->91 является У ^отображением, если и только если сущест-
вует изоморфное вложение g: 91 -> Ш1* такое, что g °f — элемен-
тарное отображение.
Доказательство проводится стандартным образом с исполь-
зованием компактности.
Модель ЭИ* можно взять как ультрапроизведение модели те,
а в качестве g°f можно взять диагональное вложение.
1.6. О п р е д е л е н и е. Теория Т модельно полна, если и
только если любое вложение (Vo-отображение) в является
элементарным.
Следующая теорема приспособлена для приложений:
Теорема 5 (критерий Робинсона). Теория Т модельно*
полна, если и только если любое вложение в Фт будете ^-отобра-
жением.
Доказательство. Приведем только главную часть дока-
зательства, так как оно использует метод альтернативных цепей,
который является основным в общей теории.
Доказательство для (=>) очевидно. Докажем следование в
другую сторону (Ф=). Пусть 9й->91 — вложение в тогда она
является Угвложением. По лемме 4 построим коммутативный
квадрат
<
Ясно, что ЗЯ1 Н Л поэтому проделаем то же построение для па-
ры 91 и ЭД1 и получим
Повторяя эту конструкцию, мы получим те*, 9U такие, что
те -> Я а»! -> 9*! -> ... -> те* -> 3lk -> ...,
где диаграммы коммутативны, а отображения те -> теь 31 -> 9^,
те* ->те*+1, 91*->9t*+1 элементарны. Возьмем lirn те*= lirn 9I*==9L
По теореме Тарского естественные вложения те -> 91 и 9i —> 91
§ 2. ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ПОЛНОТЫ
147
будут элементарными, а поэтому и ЗЙ->91 будет элементарным
и теория Т модельно полна. □
1.7. В качестве первого приложения модельной полноты
можно получить условие полноты, используя существование про-
стой модели, которое доказывается очевидным образом.
Теорема 6 (условие существования простой модели). Ес-
ли теория Т модельно полна и существует модель SM теории Г,
которая вкладывается во все модели теории Г, то теория Т
полна.
Пример. Т — теория алгебраически замкнутых полей ха-
рактеристики 0 и Зй— поле вещественных алгебраических чисел.
В теореме 7 будет показано, что Т модельно полна, а поэтому Т
полна.
1.8. Критерий Робинсона имеет, как будет замечено позд-
нее, большое практическое значение. Нетрудно заметить, что
для выполнения условия критерия достаточно показать вложи-
мость для формул УуД(и, у), где А — конъюнкция атомных
формул и их отрицаний, т. е. если Зй^91, Зй, 91 — модели иссле-
дуемой теории и Зй |= У^Д(т, у), то N\= УуА(тп, у), где m —
набор элементов из ЗЯ.
§ 2. Приложения: теорема о корнях,
17-я проблема Гильберта,
гипотеза Артина и интегрально определенные функции
2.1. Я буду следовать по возможности историческому разви-
тию этого направления. Основные приложения получаются из
материала § 1 и были выполнены в период с 1950 по 1970 г. По-
сле 1970 г. наступил новый период развития теории, приложения
которой (будут даны в § 5) имеют другой характер.
В этом параграфе будут рассмотрены приложения к теории
полей. Робинсон является вдохновителем этих приложений. Что
нужно знать для приложения критерия Робинсона?
Пусть Т — теория полей. Мы знаем, что Зй i9i, если
8Й, 91 Т и Зй^91. Используя упомянутое ранее упрощение, нам
достаточно показать: если S—конечная система равенств и не-
равенств над Зй (т. е. с параметрами из М) и S имеет решение в
$й, то 2 имеет решение в Зй.
В теории полей неравенства можно заменить равенствами,
так как в них верна следующая эквивалентность:
а^0<=>Эу(а-у = 1).
Таким образом, можно предполагать, что S — система равенств.
Но тогда наши условия на S начинают выглядеть подобно тео-
реме о корнях, и Робинсон нашел и продолжил эту аналогию.
148
ГЛ. 4 МОЛЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Слабый вариант теоремы Гильберта о корнях (Ленг [2])
утверждает:
Если ЗЯ— алгебраически замкнутое поле и S имеет решение
в 31, то 2 имеет решение в ЗЯ.
Но это как раз необходимое условие для приложения крите-
рия Робинсона. Итак, из теоремы о корнях мы можем получить
модельную полноту алгебраически замкнутых полей. Этот ре-
зультат был впервые получен Тарским [1] при доказатель-
стве элиминации квапюров. Тарский не применял теоремы о
корнях.
Обратно, мы можем всегда вывести теорему о корнях для
любой модельно полной теории полей. Так, в частности, теорема
о корнях, приведенная выше для алгебраически замкнутых по-
лей, следует из исследования Тарского.
Робинсон [1] также нашел доказательство модельной
полноты, не зависящее от тес ремы о корнях, и этот способ дока-
зательства стал очень популярным. Его доказательство прово-
дится таким образом. Пусть ЗЯ <= 31, где ЗЯ и 31 — алгебраически
замкнутые поля и не выполнено ЗЯ 31 Без ограничения общ-
ности (так как мы имеем дело с нарушением условия Vi-расши-
рения) можно считать, что 31 имеет конечный ранг трансцендент-
ности над ЗЯ, а тогда без ограничения общности можно считать,
что 31 имеет ранг трансцендентности, равный 1 над ЗЯ. Пусть
{/}—базис трансцендентности для 31 над ЗЯ. По предположе-
нию, что не выполнено ЗЯ 31, существует бескванторная фор-
мула ср и набор т из ЗЯ такие, что 311=' Bv<p(v, m), но ЭЯ
X Bvq)(v, m).
Робинсон заметил следующий основной факт:
(S) Диаграмма (ЗЯ(/))Uтеория алгебраически замкнутых
полей |= Bv<p(v, m).
Утверждение (S) следует из теоремы Штейница (Дже-
кобсон [1]), которая утверждает, что существует простое ал-
гебраически замкнутое поле, содержащее ЗЯ(/), а именно 31. Но
из (S) по теореме компактности легко вывести, что
ЗЯ |= Эгкр (v, m).
Полное доказательство см. у Р о б и н с о н а [6].
Итак, мы заметили, что из теоремы Штейница выводится
теорема о корнях.
Суммируя эту часть параграфа, мы можем сказать, что до-
казана
Теорема 7. Теория алгебраически замкнутых полей мо-.
дельно полна.
•Мы привели лишь один подход, подчеркивая связь с теоре-
мой о корнях. Существуют и другие доказательства. Можно
§ 2 ПРИМЕНЕНИЯ МОЛЕЛЬНОЙ ПОЛНОТЫ
149*
применить теорему Штейница и теорему 3 или же теорему
Штейница и теорему Линдстрёма (см. § 3).
2.2. Робинсон [2] применил свой метод к вещественно-
замкнутым полям. В этом случае нет хорошо известной теоремы
о корнях. Однако, применяя метод Тарского элиминации кван-
торов, можно получить следующее утверждение:
Теорема 8. Теория вещественно замкнутых упорядочен-
ных полей модельно полна.
Таким образом, можно вывести теорему о корнях, но, кажет-
ся, она не имеет особой важности. Доказательство элиминации
кванторов можно найти у Тарского [1] или лучше у Коэ-
на [2].
Робинсон доказал модельную полноту, применяя два факта,
а именно:
I. Существует простое вещественно замкнутое расширение
любого упорядоченного поля.
II. Если К— вещественно замкнутое поле, то К(х) опреде-
ляется как упорядоченное поле посредством сечения х, сделан-
ного в К.
Его доказательство аналогично доказательству для алгеб-
раически замкнутых полей. (В конце нужно применить три-
виальный факт, что упорядоченные поля плотно упорядочены без
концевых элементов.)
Доказательство Робинсона не дает прямо элиминации кван-
торов. В дополнение к его утверждению нужно применить его
теорему (приведенную в § 3) о том, что модельное пополнение
универсальной теории допускает элиминацию кванторов.
Более позднее доказательство Кочена [1] применяет ме-
тод ультрапроизведений. По существу рассматриваются (щ-на-
сыщенные вещественно замкнутые поля и доказывается теорема
об изоморфизме, из которой следует модельная полнота. Это до-
казательство основывается на тех же фактах, которые исполь-
зовал Робинсон. Отсюда можно получить также элиминацию
кванторов, применяя исследования Шенфипда [1] или
Блюм [ 1 ].
(Ясно, что эти методы в некотором смысле эквивалентны, это
очевидно для классических алгебраических примеров. Но я хо-
тел бы отметить, что существуют поучительные примеры (Ро-
бинсон [5], Ершов [2]), где метод Кочена кажется легче^
чем метод Робинсона, и наоборот.)
2.3. 17-я проблема Гильберта. Перейдем теперь к подлинным
приложениям. Проблема состояла в следующем: дана положи-
тельно определенная функция от переменных хь ..., хп над Q
или R. Будет ли она всегда суммой квадратов рациональных
функций?
150
ГЛ. 4 МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Эта проблема была положительно решена Артином в 1927 г.
(Артин и Шрейер [1], Артин [1]). Для этого они соз-
дали теорию вещественно замкнутых полей и доказали основ-
ной результат о существовании и единственности вещественного
замыкания. Главная идея состояла в обобщении теоремы Штур-
ма (Джекобсон [1]). Кажется, не существует исследования,
будь то в логике или в алгебре, которое избегало бы применять
теорему Штурма. (Попытка сделать это приводила к серьезным
ошибкам в обоих направлениях.) Конечно, Коэн [2] получил
точное доказательство, не использующее теоремы Штурма, но он
применял вместо нее так называемое свойство перемены зна-
ка. Но неизвестен способ, как непосредственно получить из ре-
зультата Коэна теоретические факты, необходимые для 17-й
проблемы Гильберта. (Существовала обманчивая возможность
заполнить существующий пробел применением результатов типа
.Морли — Шелаха о простых модельных расширениях, но ка-
жется, что для проверки посылок таких теорем необходима тео-
рема Штурма.)
Поэтому примем основные факты о существовании веще-
ственного замыкания. Логическое доказательство будет короче
и яснее любого доказательства, пренебрегающего применением
логики. (Заслуживает внимания то, что новый алгебраический
учебник Джекобсона [2] использует логический подход к
вещественно замкнутым полям.)
Теперь я приведу решение Робинсона 17-й проблемы Гиль-
берта. Пусть К — упорядоченное поле с единственным упорядо-
чением (Q и R — такие поля). Предположим, что f е K(%i, ...
..., хп) и f не является суммой квадратов. Изящным рассужде-
нием, не имеющим отношения к логике, Артин и Шрейер пока-
зали, что К(%1, ...» хп) можно упорядочить таким образом, что
J < 0. Так как К — подполе K(%i, ..., хп), то К наследует по-
рядок из K(xi, ..., Хп). В силу единственности этот порядок
совпадает с первоначальным порядком на К. Из общей теории
мы имеем коммутативную диаграмму вложений
7С К (*^i, • • • )
Вещественное______________ Вещественное
замыкание К замыкание К(х^...,хп)
Но f < 0 в K(xi, ..., хп), и поэтому f < 0 в вещественном за-
мыкании для Л(хь ..., хп). Таким образом, в вещественном за-
мыкании для К(хь ..., хп) выполнена формула 3Xi ... Эхд
V (xb ..., хп) < 0]. В силу модельной полноты в вещественном
замыкании поля К также выполнена формула Эх{ ... 3xrt
§ 2 ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ПОЛНОТЫ
151
[f(xb ..., хп) < 0]. Приняв теперь, что К плотно в своем ве-
щественном замыкании, получим, что
К 3*1 • • • [f • • • > хп) < 0].
Таким образом, f не является положительно определенной.
Мы получили положительное решение проблемы Гильберта
для полей К, имеющих единственное упорядочение и плотных в
своем вещественном замыкании. Ясно, что Q и R — такие поля.
Недавно Маккенна [1], основываясь на работе Д. Скотта
[1], получил прекрасный результат о том, что для поля К, имею-
щего единственное упорядочение, 17-я проблема Гильберта ре-
шается положительно, если и только если К плотно в своем ве-
щественном замыкании.
Описанная работа Робинсона оставляет нам самое лучшее
приложение логики к алгебре. До настоящего времени ее пре-
восходит лишь работа Ершова, а также Акса и Кочена о р-ади-
ческих полях и гипотезе Артина. Очевидно, что работа Робин-
сона вдохновила дальнейшие достижения.
2.4. Гипотеза Артина. После приведенной выше работы ос-
тается ясный план дальнейшего развития. Задержка в одно де-
сятилетие, предшествующая развитию, получает лаконичное
объяснение в замечании в работе Блюм [1]. Приложение Ро-
бинсона возникло «после получения алгебраических фактов»;
работы о р-адических полях устанавливают алгебраические ре-
зультаты фундаментальной важности. Поэтому необходимо об-
ширное алгебраическое введение.
Естественно надеяться, что теория моделей для р-адических.
полей будет похожа на теорию моделей для вещественных по-
лей. Самое очевидное сходство заключается в том, что:
(a) R и Qp — локально компактные поля; »
(Ь) для R и для Qp имеются работающие алгебро-тополо-
гические критерии, дающие возможность обнаруживать корни
полиномов, а именно, для R свойство перемены знака или тео-
рема Штурма, а для Ор лемма Гензеля (Джекобсон [1])
или ее варианты.
Конечно, свойство (Ь) более важное, так как результаты та-
кого типа для вещественно замкнутых полей являются крае-
угольными во всей алгебраической и логической теории. Таким
образом, наш план состоит в нахождении р-адических аналогов
упорядоченного поля и вещественно замкнутого поля и в дока-
зательстве аналогов утверждений I и II из 2.2, причем в каче-
стве ключевой идеи берется лемма Гензеля.
Именно это и было сделано в оказавшихся большим достиже-
нием работах Акса и Кочена [1] — [3] и Ершова [1], по-
явившихся после 1964 г. Как и в случае 17-й проблемы Гиль-
берта, характерная особенность метода состоит в доказалель-
152
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
стве теоретико-модельных результатов об определенном элемен-
тарном классе, содержащем исследуемое поле, для изучения
свойств этого поля. Мы не будем вдаваться в детали. Главные
сложности алгебраические, но теория моделей проводит вас че-
рез эти сложности. Полное изложение можно найти в цитиро-
ванных выше работах.
Основная ситуация. Пусть L—естественный язык нормиро-
ванных полей. — класс полей, а Г — класс упорядоченных
абелевых групп. Обозначим через Г) класс нормирован-
ных полей, у которых группы нормирований из Г, а поля клас-
сов вычетов из а через Г) —подкласс нормирован-
ных полей из Г), удовлетворяющих лемме Гензеля. Оче-
видно, что %/(^, Г) будет ЕСд-классом, если и Г будут
ЕСд-классами.
Следующая теорема имеет глубокие приложения:
Теорема 9. Если ОТ и Г будут ЕС^-классами с полными
теориями, а все элементы из ЗГ имеют характеристику 0, то тео-
рия для °Uh Г) полна.
Это не теорема о модельной полноте, но все-таки она близка
к этому результату. Алгебраическое исследование приводит нас
к следующим результатам:
(а) Каждый элемент из Г) имеет единственное пря-
мое (Капланский [1]) алгебраическое расширение до эле-
мента из Г). Это зависит от предположения о характери-
стике полей из &г. Этот результат дает нам аналог веществен-
ного замыкания.
(Ь) Доказывается аналог утверждения II из 2.2.
Существуют различные второстепенные осложнения, которые
здесь игнорируются. После этого теорема легко доказывается
применением ультрапроизведений или насыщенных моделей.
Приложения теоремы 9. Для любого простого р обозначим
через Гр((/)) поле формальных степенных рядов над конечным
полем Гр. Это, конечно, нормированное поле с полем классов
вычетов Гр и группой нормирований Z. Оно удовлетворяет лем-
ме Гензеля. Более важно, что оно является Сг-полем, как заме-
тил Ленг [1].
Пусть D — неглавный ультрафильтр над множеством про-
стых чисел Р. Определим Ц Гр ((/))//). Это нормированное поле
р^р
с полем классов вычетов Гр/£) и группой нормирований
р^р
ZpID. Ойо также удовлетворяет лемме Гензеля и по основной
теореме об ультрапроизведениях будет С2-полем. Его поле клас-
сов вычетов имеет характеристику 0. Определим поле Ц QP/z>.
P^zP
Юно имеет такое же поле классов вычетов и группу нормирова-
§ 2. ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ПОЛНОТЫ
15$
ний, как и построенное выше ультрапроизведение, и удовлетво-
ряет лемме Гензеля. По теореме 9
реР реР
и поэтому П Qp/D — также Сг-поле. В некотором смысле это
реР
означает, что почти все Qp будут Сз-полями. Знаменитая гипо-
теза Артина утверждает, что все поля Qp являются Сг-полями.
Из логики мы получаем, что для любых и, d существует простое
q(n, d) такое, что f имеет нетривиальный корень в Qp, если
р > q(n, d), и f — однородный полином над Qp от п перемен-
ных степени d.
Это оказался (Тержанян [1]) наилучший возможный ре-
зультат.
Мы заметим, что Коэн [2] получил прекрасное доказатель-
ство в направлении работы Тарского для вещественно замкну-
тых полей. г
Ершов [1] получил различные интересные более обоб-
щенные методы для изучения С-полей.
2.5. Модельная полнота Qp. Обратимся теперь к несколько
иной ситуации. Поле Qp имеет конечное поле классов вычетов,
несмотря на то, что само поле Qp имеет характеристику 0. Для
доказательства утверждения (а) теоремы 9 применяется работа
Капланского [1]. Ее невозможно применить к Qp и полям,,
ему элементарно эквивалентным.
Пусть ST—класс полей { 0%}, а Г — класс Z-групп (класс
групп, элементарно эквивалентных Z) (Пресбургер [1]);
этот класс модельно полон, если присоединить наименьший по-
ложительный элемент 1. Тогда Qp лежит в QIh^S", Г). Но та-
ковым же является и Рр ((/)), очевидно, не являющееся элемен-
тарно эквивалентным Qp. Они различаются предложением
^(р) = 1, истинным в Qp, но ложным в Рр ((/)).
Пусть Г) — подкласс класса ОТн (ЗГ, Г), удовлетво-
ряющий вышеприведенному предложению. Тогда Г) бу-
дет ЕСд-классом, когда и Г являются ЕСд-классами.
Теорема 10 (Акс и Кочен [3], Ершов [1]). Пусть
S" = {Рр} и Г — класс Z-групп. Теория класса Г) полна
и модельно полна.
Существуют различные варианты этого доказательства. Мне
кажется, что доказательство Ершова [1], использующее кри-
терий Робинсона, наиболее естественное. Другие доказатель-
ства применяли постороннее понятие сечения (Акс и Кочен
[3]) и были сложнее, чем необходимо. Доказательство Коэна
Ц2], более элегантное и прямое, дает элиминацию кванторов
для Qp с использованием сечения п-+рп.
154
ГЛ 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Теоретико-модельная часть доказательства подобна доказа-
тельству теоремы 9. Устанавливаются аналоги для (а) и (Ь).
Вначале необходимы новые алгебраические построения (А к с и
Кочен [2], лемма 8).
Элиминация кванторов для <26/(^F, Г) в некоторой степени
более интересна. Если перенести сечения в формальный язык, то
получаем элиминацию кванторов (А к с и Кочен [3], Коэн
[2], Вайспфенинг [1]). Это можно сделать конструктивно
или с использованием критерия Шенфилда, о котором говорится
в 3.2. Но в таком случае будут очень трудные вычисления для
описания определимых подмножеств в Qp. Это противоположно
случаю поля R, где Тарский [1] дает ясное и простое опи-
сание определимых подмножеств. Думая об этом, я дал (М а -
кинта йр [8]) преобразование всей теории в терминах преди-
катов для нормированных колец и множеств п-х степеней, отно-
сительно которых Qp допускает элиминацию кванторов. Таким
образом, может быть получена
Теорема 11 (К = R или Qp). Любое бесконечное опре-
делимое подмножество в К имеет непустую внутренность.
Можно считать также, что этот подход дает нам в явном
виде р-адический аналог теоремы Штурма.
2.6. Аналог 17-й проблемы Гильберта. Теперь, имея модель-
ную полноту для Qp и уместный здесь результат о простых мо-
дельных расширениях, мы можем надеяться получить теорему,
подобную полученной в 2.3.
Итак, нам нужны аналоги:
(i) положительно определенных функций,
(ii) сумм квадратов.
Сразу приходит в голову аналог (i), а именно, понятие инте-
грально определенной функции. Пусть f е Ор(хь ..., хп).
Функция f интегрально определена, если t/(f(ai, ..., ал)) О
в случае v (az) 0 для 1 i п.
Аналог (ii) менее очевиден и был найден Коч ено м [2].
Он модифицировал каждый шаг исследования Робинсона и по-
лучил замечательный аналог решения 17-й проблемы Гильберта.
Этот результат слишком сложен, чтобы описать его компактно,
поэтому мы рекомендуем читателям работу Кочена. Исследова-
ние Кочена, таким образом, дает нам возможность понять при-
роду контрпримеров к гипотезе Артина (Тержанян [1]).
2.7. Существует много других результатов о модельной пол-
ноте в направлении теоремы 10. Интересующиеся читатели мо-
гут посмотреть работу Ершова [ 1 ], а также Циглера [1].
2.8. Остается интригующая открытая проблема в этой
области.
Проблема. Какова элементарная теория Ро( (0) ?
§ 2 ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ПОЛНОТЫ
155
Препятствием в этом исследовании является то, что нет ана-
логов для (а) и (Ь) из 2.4. Единственный результат в этом на-
правлении можно найги у Ковена [1], применяющего резуль-
таты из лекций Гринберга [1].
2.9. Сепарабельно замкнутые поля. Поле К называется сепа-
рабельно замкнутым, если оно не имеет сепарабельных алге-
браических расширений. Ершов [2] классифицировал элемен-
тарные типы сепарабельно замкнутых полей, применяя критерий
Робинсона.
Ключевым алгебраическим результатом, необходимым здесь,
является (как мы и могли ожидать) теорема о корнях. Ее
можно найти в книге Ленга [2]. Насколько мне известно, пока
нет приложений результатов Ершова. Кроме того, не получены
другие доказательства, из которых могла бы следовать теорема
о корнях в подходящей форме.
2.10. Конечные поля. В 1967—1968 гг. Акс [1] достиг цели в
исследовании теории моделей конечных полей и посредством
этого получил положительное решение старой проблемы о раз-
решимости теории конечных полей. Первоначальный метод Акса
использовал насыщенные модели, но, как обычно, главная идея
была такая же, как и та, которая необходима и для доказатель-
ства, использующего критерий Робинсона. Существенно, что Акс
нашел аксиомы для ультрапроизведений конечных полей. Суще-
ственными аксиомами для таких полей К будут:
(i) К совершенно,
(ii) К имеет ровно одно расширение любой степени и, самое
важное,
(iii) каждое абсолютно неприводимое многообразие над К
имеет точку в К.
Аксиома (iii) глубокая. Заметим кстати, что (iii) является раз-
новидностью теоремы о корнях.. По формальным соображениям
можно ожидать, что из слабой формы модельной полноты сле-
дует (iii).
Акс нашел элементарные инварианты для полей (так назы-
ваемых псевдоконечных полей), удовлетворяющих условиям
(i) — (iii). Позднее его ученики Адлер и Кифе [1] нашли
для таких полей результаты о модельной полноте (в действи-
тельности элиминацию кванторов), издержками которых было
присоединение некоторых вспомогательных предикатов к языку.
.Недавно Джарден и Кине [1] упростили доказательство
Акса и получили его теорему.
С другой стороны, кажется, пока нет приложений блестящего
исследования Акса. В теореме 8.10 главы 3 приводится краси-
вый результат, который внезапно появляется в работе Акса.
2.11. Разрешимость. Во всех рассмотренных выше случаях
вполне просто, используя описанные системы аксиом, получаем
156
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
результаты о разрешимости. Во всех случаях, кроме 2.9 и 2.10,
известны примитивно рекурсивные процедуры (Коэн [2]), а
для конечных полей такая процедура была объявлена (Фрид
и Сакердот [1]). Кроме того, теоретико-модельный подход
позволяет получить эффективные границы в теории полиноми-
альных идеалов. Подробнее об этом см. в главе 3.
§ 3. Общая теория: модельные пополнения, экзистенциально
замкнутые системы и форсинг
3.1. Ранее Робинсон описал основную конструкцию в пред-
шествующих примерах. Он выделил понятие модельного попол-
нения теории и доказал некоторые достаточно общие резуль-
таты. С 1970 г. в большой степени благодаря усилиям Робин-
сона, его учеников и коллег общая теория была в основном уточ-
нена и получены возможные новые типы приложений к алгебре.
3.2. Модельные пополнения. Модельные пополнения являются
двойственной операцией к операции, которая ставит в соответ-
ствие полю (соотв. упорядоченному полю) его алгебраическое
замыкание (соотв. вещественное замыкание).
Определение. Пусть 7, Т* — некоторые L-теории. Тео-
рия 7* называется модельным пополнением теории 7, если:
(а) Т и Т* взаимно модельно совместны, т. е. любая модель
теории Т вкладывается в модель теории 7* и наоборот;
(b) 7*— модельно полная теория;
(с) если Ж 7, то Т* (J Diagram (2Л) —полная теория.
Непродолжительное размышление показывает, что условие
(с) относится к единственности алгебраического замыкания.
А именно, оно утверждает, что модель теории Т вкладывается в
модель теории 7* «единственным образом» (см. утверждение 1
из 2.2). Незадолго до 1970 г. появилось более слабое понятие.
Теория Т* называется модельным компаньоном теории 7, если
выполнены условия (а) и (Ь).
Пример 1. Т—теория полей, Т*— теория алгебраически
замкнутых полей. Из элиминации кванторов для Т* легко сле-
дует, что 7* — модельное пополнение теории Г.
Пример 2. Т—теория упорядоченных полей, Т* — теория
вещественно замкнутых полей. Из элиминации кванторов для
вещественно замкнутых полей следует, что Т* — модельное по-
полнение теории Т.
Пример 3. Т — теория формально вещественных полей.
(Нет символа для <.) Т*— теория вещественно замкнутых по-
лей. 7* — модельный компаньон теории 7, но не модельное по-
полнение (Эклоф и Саббах [1]). Это происходит потому,
что нет элиминации кванторов для вещественно замкнутых по-
§ 3 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
157
лей, если мы не допускаем понятия порядка в качестве первич-
ного.
Пример 4 (необходим позднее). Т — теория булевых ал-
гебр, Г* — теория безатомных булевых алгебр. Теория Г*—мо-
дельное пополнение теории Т.
Пример 3 наводит па мысль доказать следующее утвержде-
ние.
Лемма 12. (а) Пусть Т* — модельный компаньон теории Г,
где Т — универсальная теория. В этом случае Т* — модельное
пополнение теории Т, если и только если теория Т* допускает
элиминацию кванторов.
(Ь) Пусть Т* — модельный компаньон теории Т. В этом слу-
чае Т* — модельное пополнение теории Г, если и только если Т
обладает свойством амальгамируемости.
Доказательство связано с критерием Шенфилда (Ш е н -
ф и л д [1]).
3.3. Наиболее важен следующий ранний результат:
Теорема 12 (Робинсон [6]). Теория Т имеет не более
одного модельного компаньона.
Доказательство основано на методе альтернативных цепей.
Я приведу кратко современный вариант этого доказательства,
принадлежащий Симмонсу [5]. Но вначале мы заметим, что
теория может не иметь модельного компаньона. Мы рассмотрим
интересующий нас пример позднее.
Обозначим через Т* модельный компаньон теории Г, если он
существует.
Каковы простейшие свойства частичного отображения Тн—>
4—>Т*?
Для любой теории Т пусть Гу (соотв. TV3)-—теория, аксио-
мами которой будут универсальные (соотв. универсально-экзи-
стенциальные) следствия теории Т. Применяя теоремы Лося —
Тарского (Робинсон [6]) и Чэна — Лося — Сушко (Ро-
бинсон [6]), которые обсуждались в главе 2, мы легко полу-
чим:
(i) Если Т* определена, то определена (Гу)* и Г* = (Гу)*.
(ii) Если (Ту)* определена, то Т* определена и Г* = (Гу)*.
(iii) Если Т* — V2-теория, то ГУ3^Г*.
Результаты (i) и (ii) соответствуют условию (а) из 3.1, a (iii)
соответствует условию (Ь).
Заметим очевидное утверждение:
Лемма 13. Если Т — модельно полная теория, то Т —
V3 -теория.
(Это непосредственно следует из теоремы о прямом пределе
и теоремы Чэна — Лося — Сушко.)
Заметим, что существуют полные V 3-теории, которые не яв-
ляются модельно полными. Наиболее естественный известный
158
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
мне пример — это теория алгебраически замкнутых полей фик-
сированной характеристики с выделенным собственным алге-
браически замкнутым подполем (Робинсон [5]). В силу
(iii) эта теория не имеет модельного компаньона.
Вернемся теперь вновь к рассмотрению отображения
Т ь—> Г*. Замечательным достижением после 1969 г. явилось
здесь следующее: были найдены различные конструкции, даю-
щие всюду определенное отображение Т н-> Г*, которое расши-
ряет Т и-> Г*.
Определение. Операция на теориях будет ком-
паньон-операцией, если:
• (i) (r*)v = rv;
(ii) если 7'у = 7'у, то 7’* = (Г')*;
(ii i) Гуз s Т*.
Неожиданно оказалось, что существует много интересных:
компаньон-операций, но имеет место
Теорема 14. Если #— компаньон-операция и Т* — мо-
дельный компаньон теории Т, то Т* = Т*.
Доказательство. Гу=(Г*)у. Поэтому 7’*=(Г*)*э(7м,)у3—
=Т* и, таким образом,
Г = (1>
Заметим, что я не применял здесь модельную полноту Т*, а, ис-
пользуя лишь то, что Т есть V “'-теория, получил (1).
Теперь пусть Э?|=7’*. Применяя свойство взаимной модель-
ной совместности для Т, Т* и Г*, построим цепь
3R = = Э»! = ВД2S ...
с 9Яоо = Нт '!>?„, где 3W2n 1= Т* и S>2n+I |= (Г*). По теореме Чэна —
Лося—Сушко lim 9W2n+1h= (r*)v3 и> следовательно, (^Дуз-
Но в силу модельной полноты теории Т* = Ф?о < lim ®72„ =
= Поэтому ЗЯ|=(Г*)у3.
Так как ЭЛ — произвольная модель, то
(7*)„5Г. (2)
Итак,
(Т*)уз = Г £ Г*.
Так как Т* — УЗ-теория, то (тДу3 = Т*.
Наконец, отсюда следует, что Г* модельно полная, так
как Т* модёльно полная, а поэтому = и Т* = Г*. □
§ 3 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
159
Теорема 12 будет непосредственным следствием, если мы ука-
жем хотя бы один компаньон-оператор. Теперь я приведу неко-
торые примеры, поэтому теорема 12 будет доказана.
Примеры компаньон-о пер ат о ров.
Пример 1. Оболочка Кайзера. В силу формулы (1) из
предшествующего доказательства мы видим, что Т' 71*, если
Т' является VB-теорией и взаимно модельно совместна с Т. Это
наводит на мысль о существовании минимального компаньон-
оператора, в качестве которого может быть максимальная
УВ-теория, взаимно модельно совместная с Т. Почему такая су-
ществует? Теория TV3 взаимно модельно совместна с Г, и если
Т\ и Т2 взаимно модельно совместны с 7\ то и Т{ J Т2 также об-
ладает этим свойством. Это доказывается с использованием
обычного метода альтернативных цепей (Кайзер [1]). Итак,
мы получили Т°, оболочку Кайзера теории Г, и очевидно, что
Т -> Т° будет компаньон-оператором. До некоторого времени он
был единственным известным компаньон-оператором. Заметим,
насколько он естествен.
VB-предложения указывают нам обычно условия, относи-
тельно которых система уравнений имеет решения; несомненно,
такого вида утверждения необходимы в качестве аксиом дутя
замкнутых алгебраических систем.
Это приводит нас к экзистенциально замкнутым алгебраиче-
ским системам и к следующему:
П р и м е р 2. Оператор Т -> Те.
Определение. Пусть 3R\=Ty. Модель ЭД называется
Т-экзистенциально замкнутой (Т-э. з.), если ЭДе ЭД1 влечет,
что ЭД ЭДь
Универсальный алгебраический метод (существенны объеди-
нения цепей) дает нам следующее утверждение.
Теорема 15. Если ЭДк=7\г, то существует модель ЭД1
такая, что ЭД1 Т-э. з. и ЭД ЭДь Более того, SWi можно взять
мощности max (card (ЭД), card(L)).
Обозначение. Ет — класс Т-э. з. систем.
В качестве основного материала относительно Ет рекомен-
дуется работа Симмонса [1]. Существует, например, следую-
щее неявное определение класса ЕТ'.
Ет — единственный класс моделей теории Ту таких, что:
(i) каждая модель теории Ту вкладывается в элемент
из
(ii) если ЭД, и ЭД<=97, то ЭД <97;
(iii) если 97е^ и то ЭДе$.
Поэтому класс Ёт взаимно модельно совместен с классом моде-
лей теории Т и удовлетворяет условиям критерия Робинсона.
Следовательно, Th (£7) —хороший кандидат в качестве модель-
160
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
кого компаньона теории Т. Препятствие состоит в том, что Ет
не обязан быть ЕСд-классом.
Определим теперь новый компаньон-оператор.
Определение. Те = Th(Ег).
Теорема 16. Отображение Т~+Те является компаньон-
оператором.
Это проверяется тривиально.
Следствие. Если Т* существует, то Т* — Те.
Но мы можем утверждать больше.
Теорема 17 (Эклоф и Саббах [1]). Теория Т имеет
модельный компаньон, если и только если Ет будет ЕСд-классом.
Доказательство. (ф=) Класс Ет удовлетворяет условиям
критерия Робинсона, поэтому, если он элементарен, то теория
Th(Er) модельно полна.
(=>) Если Т* существует, то Т* = Те, и поэтому Те — мо-
дельно полная теория. Если 2)? = Те и Зй ЗЙ1 для некоторой мо-
дели ЗЙ1 е Ет, то Зй 3D?i, так как Те — модельно полная тео-
рия. В силу условия (iii) вышеприведенного определения Зй е
Ет, и поэтому Ет = Mod(P) и Ет будет ЕСд-классом.
Эта теорема дает нам рабочий критерий для доказательства
того, что определенная теория не имеет модельного пополнения.
Здесь приводится типичное приложение, которое наводит на
мысль о более поздних исследованиях.
Пример (Эклоф и Саббах [1]). Т— теория групп.
Пусть Зйп (песо) — элемент из Ег. Очевидно, что в Зй^ суще-
ствуют элементы хп, Уп порядка п1, п -f- 2 соответственно.
Пусть D — неглавный ультрафильтр на со и ЭТО = Ц Wln/D. Если
песо
Ет будет ЕСд-классом, то ЗйеЕг. Но это приводит к противо-
речию. Пусть x = T[xn/D, у = T[yn/D с очевидными обозначе-
ниями. По основной теореме об ультрапроизведениях элементы
х и у имеют бесконечные порядки. Но в силу основного комбина-
торного результата (X и г м а н, Б. Н е й м а н и X. Нейман
[1]) существует группа, расширяющая Зй, с элементом t таким,
что t~xxt = у. Так как Зйе Ет, то такой элемент t существует и в
Зй. Но тогда {п е со: хп и уп сопряжены в Зйп} D. Но это мно-
жество пусто, так как хп и уп имеют различные порядки.
Замечание. Почти такое же рассуждение проходит и для
тел (Саббах [1]). Подобные рассуждения работают и в слу-
чаях нильпотентных групп (С а ради но [3]), разрешимых
групп (Сарацино [2]), алгебр Ли (Макинтайр [9]), ком-
мутативных колец (Черлин [1]), модулей над несвязанными
кольцами (Эклоф и Саббах [1]).
Поэтому нелегко понять экзистенциальную замкнутость си-
стем из этих классов.
§ 3. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
161
3.4. Доказательство теоремы 17 фактически показывает, что
Ет. будет ЕСд-классом и Т* = Th(Er), если Г* существует. По-
этому мы можем в силу результатов § 2 описать Ет для классов
полей и упорядоченных полей. В этом свете мы видим, что Т*
является метаматематическим аналогом алгебраического замы-
кания. Однако позднее мы увидим в случае дифференциальных
полей, что при изучении моделей теории Т* мы не можем ис-
пользовать аналогию с ясными примерами алгебраически замк-
нутых полей. Свойства простого модельного расширения из § 2
не выпадают из модельной полноты. С этой точки зрения иссле-
дование алгебраичности, сделанное Морли [1], становится
связанным с алгеброй.
3.5. Форсинг-конструкция. В 1969 г. произошло неожиданное
развитие теории. С 1963 г. различные люди пробовали модифи-
цировать коэновский форсинг (Коэн [1]) в общую теоретико-
модельную конструкцию, но с малым успехом. В диссертации
Рейеса [1] путем бэровских категорий соединяется форсинг
и однородные универсальные модели. Существенно, что Рейес
получил понятие бесконечного форсинга, которое Робинсон
[7] развил в большей общности в 1969—1970 гг. Но вначале Ро-
бинсон изобрел конечный форсинг (Б арвайс и Робинсон
[1]), также известный как теоретико-модельный форсинг. В ос-
новном это направление отражено в главе 2 данной книги.
Я немного скажу о форсинге как о методе построения и объ-
ясню основные свойства форсинг-компаньона. 1
Пусть задана теория Т, Существует понятие форсинга отно-
сительно теории Т. Условиями в нем являются существенно ко-
нечные фрагменты диаграмм моделей теории Т. Построение мо-
дели с помощью конечного форсинга является типичным по-
строением все больших и больших конечных фрагментов ее диа-
граммы. В некотором роде этот метод подобен сложным по-
строениям рекурсивно перечислимых множеств. Если это заме-
чание принять всерьез, то можно получить приложения к объ-
единению комбинаторной алгебры и теории рекурсии (М.а к ин-
та йр [2]). Одним из результатов развития Робинсоном теории
форсинга было открытие взаимосвязи между классической тео-
рией моделей и теорией рекурсии (Макинтайр [2]).
Раньше у нас было определение конечного форсинга относи-
тельно теории Т. Мы определим теперь Tf, конечный форсинг-
компаньон теории Т, положив
Tf 1 -]ф).
Рутинное доказательство показывает, что П — непротиворе-
чивая теория. Следующая теорема верна также и для несчетных
логик L. Доказательство можно найти у Барвайса и Ро-
бинсона [1].
5 Справочная книга, ч. I
162
ГЛ 4 МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Теорема 18. (а) Т -+Tf является компаньон-оператором.
(Ь) Теория Tf полна, если и только если Т обладает свой-
ством совместного вложения.
Исходя из этого, дается (Барвайс и Робинсон [1]) об-
щее определение FT—класса (конечных) генерических моделей.
Вообще, если Эй е FT, то Зй Tf. Но если L несчетна, то Ft
может быть и пустым (Э н р а р [1], Шел ах [2]).
Общий результат будет следующий:
Теорема 19. (а) Если L — счетный язык, то FT^(Z) и
Г = Th (/>);
(b) FT^Ef,
(c) ЭЙК^^ЭЙен/у,
(d) FT, если и только если 8Й— пополнение Tf, т. е. если
и только если из 8Й cz 911= Tf следует SSSI-< 91;
(е) Г* существует, если и только если Ft — ЕС\-класс.
Доказательства (Барвайс и Робинсон [1]) не содер-
жат в себе никаких сложностей.
Итак, мы имеем
рО оз ре GZZ pf
Если Т — теория групп, то все включения собственные (М а -
кинта йр [2]).
Замечания. (1) Позднее был найден способ построения
Tf и Ft без форсинга (Симмонс [4], Э н р а р [2]). К тому же
можно вполне определить FT на пути определения Ет (Сим-
монс [2]).
(2) Существует важная связь между приведенным выше
форсингом и теоремой об опускании типов, эти два метода в не-
котором смысле совпадают (Кейслер [1], Симмонс [3]).
Это было замечено также III е л а х о м [2].
3.6. Бесконечный форсинг. Это более грубый инструмент для
построения моделей, чем конечный форсинг. Но он обладает
приятными свойствами, которые можно быстро получить.
Пусть снова зафиксирована теория Т. Теперь мы определим
отношение
Зй||=ф(т) (Зй форсирует ф),
где 27t|==7'v, ф —L-формула, а т — набор элементов из Эй.
Определение форсинга очевидное, и самой важной частью
этого индуктивного определения является следующая:
Эй ||= ~] ф, если и только если не существует модели 91 такой, что
ЗЙ£=Э7[=ГУ и 971|= ф.
Определение генерической модели также очевидное. Модель 8Й
генерическая, если форсируемость и истинность совпадают на
Зй. Пусть Gt — класс генерических моделей и Тё = Th(Gr).
Возможно следующее неявное определение G7:
§ 3 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
163
Теорема 20 (Робинсон [7]). GT — единственный класс
моделей теории Ту такой, что:
(i) любая модель теории Ту вкладывается в некоторую
модель из %?:
(ii) если то Эй <97;
(iii) если и Эй < 97, то Эй <= <£>.
Это также показывает, что Тё является кандидатом для Т*.
Теорема 21. (а) Т-+Тё— компаньон-оператор:
(b) Gt^Ft,
(с) Тё — полная теория, если и только если Т обладает
свойством совместного вложения:
(d) Т* существует, если и только если GT — ЕС-\-клас с.
Возможна интересная связь с однородными универсальными
моделями. Можно заметить, что последние будут экзистенциаль-
но замкнутыми в более сильном смысле — определенные беско-
нечные системы равенств и неравенств можно реализовать.
Получаем следующее
Определение. Пусть Эй(=7\. Модель Эй является Т-эк-
зистенциально универсальной (Т-э. у), если для любых моделей
Зй 97 теории Ту и множества S(v) базисных формул над Эй
с конечным множеством свободных переменных v и мощности
card (2) < card (Эй)'истинность BvS(v) в модели 97 влечет 9ЙЬ=
BvS (v).
Однородные универсальные модели теории Ту, очевидно, яв-
ляются Т-э. у.
Следующая красивая теорема показывает, каким образом
построить Gt без форсинга:
Теорема 22 (Фишер [1], Вуд [1]). ЭЛ GT, если и
только если существует модель ЭГ такая, что 91 является Т-э. у.
и№<%.
В качестве хорошего изложения предшествующих результа-
тов и расширения их на бесконечные логики рекомендуется
статья Вуда [1].
Замечания. (1) Маневиц [1] показал, что класс Gt не
абсолютен для моделей ZFC, содержащих Т, а классы FT и ЕГ
абсолютны.
(2) Пусть Т — счетная теория. В этом случае Ет и FT аксио-
матизируемы единственным предложением языка LW1W (М а -
к и н т а й р [3]), GT аксиоматизируем множеством предложе-
ний языка LW1(o (Вуд [1]), но, вообще говоря, не аксиоматизи-
руем единственным предложением (Макинтайр [10]).
3.7. Связь между Т-? и Tg. Мы имеем сейчас
6*
164
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Все эти включения, вообще говоря, собственные (Макинтайр
[2]), и Tf П Т8 может быть больше Те. Заметим, что Tf Q Т8—
также компаньон-оператор, но не удовлетворяет условию сов-
местного вложения, которое выполнено для Tf и Т8. Наконец,
Tf J Т8 может быть противоречивой теорией (Макинтайр
И).
3.8. В одной из своих неопубликованных работ в 1971 —
1972 гг. я рассмотрел другие определения Г-форсинга и фор-
синг-компаньона (Макинтайр [4]). Можно рассматривать
форсируемость с рекурсивными условиями и т. д. Я обнаружил,
что они полезны в теории групп.
3.9. Связи между категоричностью и модельной полнотой.
Существуют простые примеры, показывающие, что полйые х-ка-
тегоричные теории не всегда модельно полны. Но существует
красивая теорема Линдстрёма, связывающая эти понятия. На-
помним, что модельно полная теория Т должна быть V 3-теорией.
Теорема 23 (Линдстрём [1]). Если Т — полная V3-
теория и х-категорична, где х card(L), то Т модельно полна.
Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда
по теореме Лёвенгейма — Скулема существуют модели Эй cz 31
теории Т мощности х такие, что 9R—КТ31. Но ЭВ, 31е£г в силу
категоричности, а это противоречит определению Ет.
3.10. Сарацино нашел неожиданную связь между со-катего-
ричностью и модельной полнотой.
Теорема 24 (Сарацино [1]). Если L — счетный язык
и Т — полная (^-категоричная теория, то Т имеет (^-категоричный
модельный компаньон Т*.
Доказательство. Мы покажем, что Ет является ЕСь-
классом. Пусть ф(^)— универсальная формула языка L. Пусть
е(ф)—множество экзистенциальных формул qp(v) таких, что
формула Vv (qp (v)-> ф (v)) выводима из Т. Эта формула логиче-
ски эквивалентна V-формуле, а поэтому является следствием
из Т^. Теперь укажем бесконечные аксиомы для Ет, взяв
Tv и (Vv Лф (v) V
I \ Ф€=б?еф) J)
См. Симмонс [1]. Но для данного ф существует лишь конечное
число экзистенциальных формул cpi,..., таких, что для любого
<рее(ф) существует i, 1^7<7г, такое, что THVv (ср (v)<—>qp£ (v)).
Это верно в силу простой характеризации (о-категоричных тео-
рий, полученной Рыль-Нардзевским (см. Чэн и Кейслер[1]).
Но fh= Vv (qp «->qpj, если и только если Tvah= Vv(qp<->qp/).
Таким образом, аксиомами для Ет будут
Л/Зи{Vv(ф(v)<Р!(v) V ... V Фп(»))}.
Поэтому 1 ‘ — Тв.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
165
Покажем теперь, что Т* — со-категоричная теория. Мы пока-
жем, что Г* имеет n-типов для любого п. Т* — модельно
полная теория, поэтому мы можем показать, что Т* имеет лишь
конечное число неэквивалентных экзистенциальных формул. Но
Т и Г* имеют одни и те же непротиворечивые В-формулы и
7\з Г*, а поэтому утверждение, очевидно, выполнено.
Замечание. Я использовал только то, что Т имеет лишь
конечное число экзистенциальных n-формул. Мне не ясно, что
это эквивалентно со-категоричности.
Пример. Т — плотный линейный порядок с концевыми эле-
ментами, а Г — плотный линейный порядок без концевых эле-
ментов.
Пример. Определенные булевы расширения конечных мо-
делей. См. § 6.
Благодаря теоремам Линдстрёма и Сарацино разумно на-
деяться, что если Т — coi-категоричная теория, то Т имеет сорка-
тегоричный модельный компаньон. К сожалению, эта надежда
была разбита:
(1) Т может не иметь модельный компаньон (Белегра-
дек и Зильбер [1], Сарацино [4]).
(ii) Если Т имеет модельный компаньон Т*, то Т* может не
быть coi-категоричным (Белеградек и Зильбер [1]).
Можно, однако, заметить, что если Т — х-стабильная теория
и имеет модельный компаньон, то модельный компаньон Т* —
также х-стабильная теория.
3.11. Скулемизация. Я хочу указать недавнее удивительное
исследование Уинклера [1]. Он показал, что для многих
естественных теорий (например, алгебраически замкнутые поля)
их «свободные скулемизации» имеют модельный компаньон. Это
доказательство привлекает понятие «алгебраической связанно-
сти», возникшее при изучении (Oi-категоричности (Болдуин и
Л а х л а н [1]).
§ 4. Приложения: дифференциально замкнутые поля
и простые модельные расширения
4.1. Цель этого короткого параграфа в основном философ-
ская. Будет обсуждаться взаимодействие между логикой и ал-
геброй, которое имеет различную природу в «позитивных» при-
ложениях в § 2 и «негативных» приложениях, приводимых в § 5.
В этом примере идеи Робинсона дополняются идеями из тео-
рии стабильности (Морли [1], Шел ах [3]), и поэтому ло-
гика способствует развитию этого направления алгебры.
4.2. Ритт [1] ввел понятие дифференциального поля. Оно
естественно формализуется в языке теории полей с добавлен-
ным функциональным символом для производной. См. Сака
165
ГЛ 4 МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
[1] . Сейденберг [1] нашел критерий, который показывал,
когда система S над дифференциальным полем F имеет решение
в (дифференциальном) расширении этого поля. Точнее, он по-
строил алгоритм, который по любой конечной системе S(v, т)
определял Vi-условие Sz(m) такое, что
если и только если для некоторого расширения
Fi поля F выполнено F\ |= BvS(v, т).
В таком случае S неразрешима в любом расширении F, если
и только если F |= S', S' эквивалентно экзистенциальной
формуле.
Для полей характеристики 0 множество S' можно выбрать
бескванторным. В положительных характеристиках анализ Сей-
денберга более сложен и переформулировка его первоначаль-
ного утверждения по приведенному выше способу требует нема-
лого труда.
Во всяком случае, утверждение, что S' можно выбрать как
Vi-условие, легко дает нам аксиомы для ЕТ, где Т — теория
дифференциально замкнутых полей некоторой фиксированной
характеристики. Итак, имеет место
Теорема 25 (Робинсон [4] для р = 0; Ву.д [2] для
р#=0). Теория дифференциальных полей характеристики р
имеет модельный компаньон.
(Этот модельный компаньон обозначим DCFP.) Заметим, что
аксиомы для Т* в этом случае не являются легко запоминаю-
щимися.
Для р = 0 теория Г* допускает элиминацию кванторов, так
что имеет место
Теорема 26 (Робинсон [4]). Теория дифференциаль-
ных полей характеристики 0 имеет модельное пополнение.
Теорема 26 ложна для характеристики р =# 0, так как нару-
шено свойство амальгамируемости. См. Вуд [2].
Однако оказывается, что для полей характеристики р =/= 0
мы можем присоединить к нашему языку функциональный сим-
вол извлечения корня р-й степени (он даст 0 для элементов, не
являющихся р-ми степенями) и тогда найти естественную тео-
рию дифференциальных полей с модельным пополнением. Мы
рассмотрим теорию совершенных дифференциальных полей ха-
рактеристики р. Для достижения нашей цели присоединим к тео-
рии дифференциальных полей характеристики р аксиомы
Vx (D (х) = 0 влечет зр (ур — х)).
Вуд [2] показала, что эта теория имеет модельное пополнение.
Символ корня р-й степени дает элиминацию кванторов, так как
он делает аксиомы универсальными. В языке дифференциаль-
ных полей модельное пополнение есть то, что мы раньше обо-
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
167
значили DCFp. В расширенном языке модельное пополнение
также обозначается DCFP.
4.3. Для этого примера характерно несколько необычных
свойств.
Во-первых, аксиомы для модельного пополнения не были так
же понятны, как в случае полей или упорядоченных полей.
Вторая особенность более существенна. Вернитесь вновь к
§ 2. В примерах из этого параграфа имеется не просто опера-
ция модельного пополнения, но также и операция замыкания на
алгебраических системах, поле К имеет алгебраическое замыка-
ние которое просто над ним в следующем смысле: любое вло-
жение K-+L, где L — алгебраически замкнутое поле, можно
продолжить до
/(->/(->£.
Более того, любые два таких простых расширения поля К
будут изоморфными над К.
Наконец, простое расширение минимально, т. е. вложение
не может быть продолжено до Л, где L алге-
браически замкнуто и все вложения собственны.
Аналогичные утверждения справедливы для различных при-
меров из § 2 и эти утверждения имеют, несомненно, большой
теоретико-модельный интерес.
Естествен вопрос:
Проблема замыкания. Будет ли это утверждение
справедливо для модельных пополнений универсальных теорий?
Например, существует ли хорошее понятие дифференциаль-
ного замыкания для дифференциальных полей.
Такое классическое понятие неизвестно. Таким образом,
здесь мы имеем случаи, когда математическое понятие известно,
но нет оператора замыкания на подходящих системах.
Восточная теория моделей не могла прояснить этот вопрос
дальше. Прогресс был достигнут при комбинировании методов
восточной и западной теории моделей. Блюм [1] показала, что
подход Морли [1] дает возможность получить дифферен-
циальное замыкание для полег! характеристики 0.
4.4. В примерах § 2 замыкание поля /< будет алгебраическим
над К в смысле классической теории полей. Это не так в случае
дифференциальных полей просто потому, что существуют диф-
ференциальные уравнения, решения которых трансцендентны
над Q.
Морли [1] предложил прекрасное понятие алгебраичности
в общем смысле. В формулировке Блюм [1] появились поня-
тия а-алгебраичности для любого ординала а. Для случая а =
= 0 это обычное классическое понятие для полей. Блюм пока-
зала, что необходимо применять понятие п-алгебраичности для
168
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
всех п < (о при конструировании дифференциального замыка-
ния.
Ее основные результаты:
Теорема 27. (а) Не применяя результат Сейденберга и
применяя вместо него исследование простых расширений, можно
найти модельное пополнение DCF0 и с более приятным множе-
ством аксиом.
(b) DCF0 будет ^-стабильной теорией и любое дифферен-
циальное поле характеристики 0 имеет простое модельное рас-
ширение до модели теории DCF0.
(с) Результат Сейденберга можно вывести из теоретико-мо-
дельного исследования.
(Можно указать, что в работе Блюм содержится основное со-
держание исследования Сейденберга в виде определенных про-
цедур сокращения.)
Таким образом, мы имеем понятие дифференциального замы-
кания для полей характеристики 0.
Позднее Вуд [3] выполнила соответствующее исследование
для совершенных дифференциальных полей характеристики р.
Аналоги свойств (а) и (с) верны. Свойство (Ь) нужно модифи-
цировать, так как теория совершенных дифференциальных по-
лей не является ш-стабильной. Вуд показала, что, несмотря на
это, она обладает тем свойством, что множество изолированных
точек плотно, и поэтому в силу результата Морали [1] выпол-
нено свойство простого модельного расширения для (Ь). Таким
образом, мы имеем дифференциальное замыкание и для полей
характеристики р.
Вопрос об единственности дифференциального замыкания
хитрее. На самом деле дифференциальное замыкание единствен-
но, но для доказательства этого необходимо было достичь про-
движения в общей теории, полученного Шелахом [3]. Он
показал, что для ш-стабильных теорий простое модельное рас-
ширение единственно. Позднее Ш е л а х [5] показал, что для
стабильных теорий простое модельное расширение, если оно су-
ществует, единственно. Ш е л а х [4] показал, что DCFP — ста-
бильная теория.
Итак, суммируя результаты предшествующих параграфов,
мы получаем следующее утверждение:
Теорема 28. Дифференциальное замыкание единственно
для всех характеристик.
Минимальность. К несчастью, дифференциальное замыкание
не минимально по крайней мере для характеристики 0. Это не-
зависимо доказали Колчин [1] иШелах [4]. Можно обра-
титься к работе Шелаха [3] по поводу теории Морли — Ше-
лаха, используемой здесь.
Случай характеристики р не решен.
§ 5. ГРУППЫ. ТЕЛА II ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
169
Замечания. (1) У Сакса [1] приведена теорема о кор-
нях, которая выводится из основного результата о модельной
полноте.
(2) До сих пор не существует приложения, на которое по-
влияли бы результаты § 2.
§ 5. Отрицательные приложения: группы, тела
и теории чисел
5.1. Новые методы § 3 дают новые конструкции для экзистен-
циально замкнутых структур. Основным направлением новых
«приложений» было показать, что Ет — крайне сложные классы
для естественных теорий Т. Кроме того, можно было бы приве-
сти контрпримеры для существования замыканий и/или мини-
мальных замыканий. Самое всестороннее исследование этих во-
просов опубликовано Хиршфелдом и Уилером [1]. Мы
начнем со сжатого изложения метода и поэтому перейдем к бо-
лее конкретным алгебраическим проблемам.
Необходимая не теоретико-модельная подоплека этих иссле-
дований состоит в следующем:
(а) Т — теория групп: комбинаторная теория групп (Хиг-
мен, Б. Н е й м а н и X. Нейман [1]);
(b) Т — теория тел: работа Кона [2];
(с) Т—теория чисел: основы теории рекурсивно перечисли-
мых множеств, некоторые идеи, восходящие к Рабину [1];
и теорема Матиясевича [1].
Основной факт, установленный во всех трех классах, состоит
в следующем:
Существует единый метод определения для любой модели Яй
из Ет интерпретации Р(К) такой, что:
(а) Р(Ш1) — подсистема арифметики второго порядка;
(Ь) интерпретации сохраняются при расширениях;
(с) если ЯК—Т-экзистенциально универсальная модель, то
Р(Ш1) — стандартная модель арифметики второго порядка.
Мы можем легко вывести, что арифметика второго порядка
сводится по Тьюрингу к 74 Обратное есть общий факт для
арифметических теорий Т таких, как указано в примерах, при-
веденных в начале параграфа. Итак, справедлива
Теорема 29 (Хиршфелд и Уилер [1], Макин-
тайр [1]). Для приведенных выше теорий Т теории Ts не яв-
ляются аналитическими множествами.
Следуя тому же направлению, можно показать, что имеет
место
Теорема 30. Для приведенных выше теорий теории Т? яв-
ляются ^-множествами, но не арифметическими множествами.
Следствие. П #= Ts.
170
ГЛ 4 МОЛЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Доказательства этих основных утверждений включают в себя
нумерации и теорию определимости. Их можно найти в работе
Хиршфелда и Уилера [1].
5.2. Экзистенциально замкнутые группы. Недостаток работы,
сообщенной в 5.1, состоит в том, что не получены результаты,
которые были бы понятны алгебраисту, не знающему теорию ре-
курсии. В этом подпараграфе приведем некоторые естественные
алгебраические результаты, доказываемые форсингом.
В этом подпараграфе Т — теория групп, формализуемая в
обычной логике с символами •, е. Так как Т — универсаль-
ная теория, то элементы Ет— также группы и в действительно-
сти в точности нетривиальные алгебраически замкнутые группы,
рассмотренные У. Р. Скоттом в начале 1950 г. (У. Р. Скотт
[1]). Скотт получил весьма важный специальный случай тео-
ремы 15.
Позднее Нейман [1] установил, что экзистенциально зам-
кнутые группы простые. Точно так же тривиальные мощностные
соображения дают 2° типов изоморфизма счетных экзистен-
циально замкнутых групп. Но, к сожалению, мы не знали инва-
риантов для экзистенциально замкнутых групп, т. е. не могли
указать две конкретные счетные экзистенциально замкнутые
группы. Подтверждение возникающих здесь трудностей дает
прекрасная теорема Неймана [2].
Теорема 31. Любая конечно порожденная группа с разре-
шимой проблемой равенства вкладывается в любую экзистен-
циально замкнутую группу.
Эта теорема была доказана применением конечного фор-
синга. Нейман применил теорему Хигмена о вложении (Хиг-
мен [1]), и его результаты были вскоре использованы в ком-
бинации с конечным форсингом (Макинтайр [2]). Резуль-
тат Неймана оставлял открытым вопрос: какие конечно поро-
жденные группы вкладываются во все экзистенциально замкну-
тые группы?
На него получен красивый ответ, который демонстрирует
применение конечного форсинга.
Теорема 32 (Макинтайр [2]). Если в конечно поро-
жденной группе неразрешима проблема равенства, то сущест-
вует экзистенциально замкнутая группа, в которую она не вкла-
дывается.
(Это утверждение является частным случаем приложения об-
щей теоремы, применимой также к телам, алгебрам Ли и т. д.).
Итак, для начала получен чисто алгебраический критерий
для разрешимости проблемы тождества слов для конечно поро-
жденных групп. (Позднее Бун и Хигмен [1] дали совер-
шенно иной критерий.)
§ 5. ГРУППЫ. ТЕЛА И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
171
Но более важная проблема состояла в построении счетных
экзистенциально замкнутых групп, которые «выглядят различ-
ными». Макинтайр [2] и Фишер (не опубликовано) заме-
тили, что имеет место
Теорема 33. Две счетные экзистенциально замкнутые груп-
пы изоморфны, если и только если у них одни и те же с точ-
ностью до изоморфизма конечно порожденные подгруппы.
Отсюда кажется правдоподобным, что следующая проблема
имеет положительный ответ:
Проблема Берса. Любые ли две экзистенциально зам-
кнутые группы элементарно эквивалентны?
Оказалось, что ответ отрицательный (Макинтайр [2]).
Те — не полная теория. Мной построено У4-предложение ф (объ-
ясненное ниже), которое имеет ясный алгебраический смысл на
элементах Ет и таково, что ф истинно в одних моделях из Ег, но
ложно в других. Позднее Белеградек [1] и Миллер [1]
получили У3-предложение. Из общих соображений известно, что
теория Те полна для У2-предложений.
Новое явление, которое рассматривается впервые здесь, со-
стоит в следующем: существуют классы групп такие, что
не являются ЕСд-классами, но П Ет можно представить как
П Ет, где — уже ЕСд-класс (аксиоматизируем единствен-
ным предложением). Другими словами, существуют понятия, не-
выразимые в логике первого порядка в классе всех групп, но вы-
разимые в логике первого порядка относительно класса экзи-
стенциально замкнутых групп.
Тривиальный пример:
— класс простых групп.
Более сложные примеры будут следующие:
(1) — класс групп, имеющих 2-порожденную подгруппу, в
которую вкладываются все 2-порожденные подгруппы (М а -
к и нт а й р [2]).
(2) Для любой конечно представимой группы Зв класс
групп, в которые Зв вкладывается (Белеградек [1], Мил-
лер [1]).
Оба доказательства применяют комбинаторную теорию групп
и свойства кодирования.
Решение проблемы Берса состоит в доказательстве того, что
класс из первого примера дает нетривиальное разбиение Ет.
Для доказательства этого, применяется универсальная конечно
представимая группа Хигмена [1] и метод конечного фор-
синга. Это дает П Ет =И= 0. Замечаем, что в нет экзистен-
циально универсальной группы и Ет
Пусть Мах — предложение, описывающее класс ?? П Ег. Мах
будет У4-предложением. Позднее (не опубликовано), применяя
форсинг с условиями, рекурсивно перечислимыми в заданном
172
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
множестве, я показал, что любой счетный элемент из Ет вкла-
дывается в элемент из Таким образом, Белеградек [2],
Макинтайр [1], Миллер [1] и Уилер [1] независимо
доказали, что существует 2° элементарных типов экзистенциаль-
но замкнутых групп, а мне удалось доказать, что существует 2е0
элементарных типов, удовлетворяющих Мах. Эти результаты, в
действительности кодирующие результаты о рекурсивно пере-
числимых множествах, дают значительно меньше алгебраиче-
ской информации, чем первоначальное решение проблемы
Берса.
Имеются также и другие результаты, полученные с помощью
форсинга (Макинтайр [2]). Утверждения (с) и (d) проти-
воположны результатам §§ 2 и 4.
(a) Gt{\Ft = 0\
(b) любая счетная экзистенциально замкнутая группа имеет
собственное Looco-расширение;
(с) любая счетная экзистенциально замкнутая группа содер-
жит собственную копию себя самой (следовательно, нет мини-
мальных элементов в Ет)',
(d) не существует экзистенциально замкнутой группы, кото-
рая вкладывается во все другие (следовательно, не существует
простой модели в Ет).
Эти результаты используют в различной степени материал о
проблеме тождества слов групп. Пока не осуществлена возмож-
ность хорошо объединить комбинаторную технику с конечным
форсингом.
Более поздние результаты. Белеградек [1], [2] и Мил-
лер [1] получили хорошие новые результаты о проблеме, когда
можно взять одну данную группу в качестве подгруппы экзистен-
циально замкнутой группы и выбросить другую данную группу.
Недавно Циглер [2] улучшил (Ь), получив расширения лю-
бой бесконечной мощности, что обобщает результат М а кин-
тайра [6]. В частности, FT имеет модели любой бесконечной
мощности.
5.3. Тела. Изучение экзистенциально замкнутых тел началось
в 1970 г., как только Кон [2] блестяще обнаружил подходя-
щие аналоги комбинаторной техники в теории групп. Саббах (не
опубликовано) вскоре показал, что нет модельного компаньона
для теории тел. Далее следует отметить работы: Б о ф ф а и
ван Прааг [1],Макинтайр [1] иУилер [1].
В этом подпараграфе пусть Т — теория тел. Макинтайр
[1] показал, что Т8— не аналитическое, а П — не арифметиче-
ское множество. Таким образом, существует 2ю элементарных
Типов элементов из Ет. Доказательства применяют конечный
форсинг и в явном виде не имеют большого алгебраического со-
держания, будучи записями свойств из теории рекурсии. Неза-
§ 5. ГРУППЫ, ТЕЛА И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
173
висимо, Уилер [1] нашел более красивые доказательства. Мы
оба получили аналог (а) из 5.2, а Уилер получил аналоги для
(Ь) и (с). Для получения (d) я вначале доказал (Макин-
тайр [7]) неразрешимость проблемы тождества слов для тел.
Имеются некоторые более важные проблемы, которые еще
открыты. Существует аналог формулы Мах (см. 5.2) для тел, но
неизвестно, существуют ли элементы из Ет, удовлетворяющие
Мах. Основная проблема — получить теорему вложения типа
теоремы Хигмена (см. 5.2). Получение такой теоремы является
довольно трудным. Интересующиеся могут обратиться к работе
Макинтайра [11]. Итак, в данное время не существует
естественного способа показать различие экзистенциально замк-
нутых тел. Другая проблема состоит в перенесении последних
результатов из 5.2 на тела.
Теорема о корнях. Более всего разочаровывает то, что струк-
тура экзистенциально замкнутых тел очень сложна. Можно на-
деяться, что они будут полезны как инструмент в теории колец и
в качестве основы для некоторой будущей некоммутативной ал-
гебраической геометрии.
Что представляет собой теорема о корнях? Пусть К — тело и
К<хо, ..., хп) — кольцо полиномов на К с переменными х0, • • •
... , хп, не коммутатирующими между собой и с элементами
тела К.
Предположим теперь, что К — экзистенциально замкнутое
тело и I — идеал в Л<х0, ..., хп) с корнем в некотором расши-
ряющем теле. Должен ли / иметь корень в /<?
Это очевидно, если / конечно порожден. Но У и л е р [1] на
основании аналогов 5.2 (Ь), (с) привел контрпример для общего
случая.
Для экзистенциально универсальных тел теорема о корнях
не так уж плоха, и остается до сих пор некоторая надежда для
построения алгебраической геометрии.
5.4. Теории чисел. Пусть Т — полная теория чисел. Бар-
вайс и Робинсон [1] доказали, что FT= {N} и в действи-
тельности Mod(T) А Ет = {N}. Робинсон [8] показал, что
можно определить N в любом из элементов Ет (см. 5.2). Его до-
казательство использует технику, предложенную Рабином
[1], где используются простые множества вместо креативных.
Позднее целая область была систематически исследована
Голдреем, Макинтайром и Симмонсом [1] и
Хиршфелдом [1]. См. также Хиршфелд и Уилер [1].
Главная особенность результатов состоит в том, что ситуация
так же хаотична, как и для групп и тел. Доказательства приме-
няют ту же смесь методов теории моделей и теории рекурсивно
перечислимых множеств.
174
ГЛ 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
5.5. Другие системы. Существует основание полагать, что ал-
гебры Ли, нильпотентные группы фиксированного класса и раз-
решимые группы фиксированного класса будут иметь класс Ет
такой же сложный, как и приведенные выше. См. Макинтайр
[9], Сарацино [2], [3], Макинтайр и Сарацино [4].
Для коммутативных колец ситуация более неясная. Для них
нет модельного компаньона (Ч е р л и н [1]), но нет оснований
указать комбинаторную сложность (вопреки работе Тайцли-
на [1]).
§ 6. Пучки и модельная полнота
6. 1. В конце этого обзора я хочу привести позитивные ре-
зультаты, связанные с § 2, и некоторые неисследованные пути
изучения. Обсуждение будет кратким, так как я хочу главным
образом сообщить некоторые формальные идеи.
Начальной точкой является теорема Карсона [1], Лип-
шица и Сарацино [1]. Она доказывает, что теория комму-
тативных колец с 1 и без ненулевых нильпотентных элементов
имеет модельный компаньон. (Противоположен этому результат
Черлина [1], приведенный в § 5.) В действительности, они
дают красивые аксиомы для экзистенциально замкнутых комму-
тативных регулярных колец с 1. Легко видеть, что теория ком-
мутативных колец с 1 и без ненулевых нильпотентных элементов
взаимно модельно совместна с теорией коммутативных регуляр-
ных колец с 1. Это более удобно, так как следует, что нужно
работать с теорией Т коммутативных регулярных колец с 1.
Для достижения общей точки зрения исследование пучков
Карсона кажется наиболее естественным. По общей теореме о
представлении (Пирс [1]) любая модель теории Т изоморф-
на кольцу глобальных сечений пучка 9? полей над булевым про-
странством X. С булевым пространством связана дуальная ал-
гебра Вив этом случае В будет алгеброй идемпотентов перво-
начального кольца. Теперь из исследований вышеприведенных
авторов следует, что элементы Ет — в точности те модели тео-
рии Г, где В — безатомная алгебра и стеблями пучка являются
алгебраически замкнутые поля.
Теперь образец ясен. Для получения модельного компаньона
теории Т мы сделаем следующее:
(i) возьмем модельный компаньон теории булевых алгебр
(см. 3.2, пример 4);
(ii) возьмем модельный компаньон теории стеблей.
Тогда элементы Ет будут сечениями пучков над простран-
ством X, где X — булево пространство с безатомной дуальной
алгеброй и стебли — это модели модельного компаньона теории
первоначального класса пучков.
§ 6. ПУЧКИ И МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
175
Макинтайр [5] и Вайспфенинг [2] на основе этого
формального рассмотрения получили результат Карсона — Лип-
шица — Сарацино в общем виде. Здесь приведем образец таких
результатов:
Теорема 34 (Макинтайр [5]). Пусть Т\ — теория по-
лей. Т\ модельно полна. Пусть Т — теория колец сечений пучков
9? со стеблями из моделей теории Т\ и над булевым простран-
ством без изолированных точек. Тогда Т модельно полна.
Так как Т\ —теория полей, мы получаем теорему Карсона —
Липшица — Сарацино. Ван ден Дрисс [1], Макинтайр
[5] и Вайспфенинг [1] заметили, что, взяв теорию веще-
ственно замкнутых полей, получим существование модельного
компаньона для класса решеточно упорядочиваемых* колец, так
называемых регулярных f-колец (см. Биркгоф [1]).
Общий принцип заключается в том, что любой результат о
модельной полноте из § 2 можно преобразовать аналогично ре-
зультату о регулярных кольцах. Например, ван ден Дрисс
[1] и Вайспфенинг [2] получили результаты о дифферен-
циальных кольцах. Случай р-адических колец не был оконча-
тельно изучен.
6. 2. Вышеприведенные результаты будут вообще не такие
сильные, как в § 2. Трудность состоит в том, что мы не имеем в
общем случае простого модельного расширения для элементов
из Ет. См. Сарацино и Вайспфенинг [1]. Для теории
регулярных колец Т Липшиц [1] значительно прояснил воп-
рос о существовании простых модельных расширений.
В вещественно регулярном случае (регулярные /-кольца) су-
ществует единственное простое модельное расширение. См.
Липшиц [2] и ван ден Дрисс [1]. Отсюда ван ден Дрисс
получил аналог решения 17-й проблемы Гильберта для веще-
ственно регулярных колец. Я полагаю, что Робинсон был восхи-
щен этими результатами.
Замечания. (1) Этот материал связан с со-категорич-
ностью. В силу результатов Вашкевича и Венгложа [1]
булево расширение со-категоричной системы через безатомную
булеву алгебру будет со-категоричным. Поэтому в силу резуль-
тата Сарацино [1] эта теория имеет модельный компаньон.
С другой стороны, булево расширение является структурой сече-
ния пучка над булевым пространством. Будут ли иметь модель-
ный компаньон теории некоторых естественных булевых расши-
рений?
(2 ) В моем варианте теоремы 34 я применял результат Ко-
мера [2] о теореме Фефермана — Воота для пучков. Позднее
Комер, применив формальный принцип из 6.1, получил резуль-
таты о модельной полноте для полиадических алгебр (Ко-
мер [1]).
176
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
(3 ) Мне кажется, что результаты этого параграфа имеют
интерпретацию в топосах, т. е. можно получить теорию моделей
внутри категории пучков. Интуитивно ясно, что пучки, связан-
ные с экзистенциально замкнутыми регулярными кольцами, бу-
дут алгебраически замкнутыми полями в смысле категории пуч-
ков. Соответствующие исследования об этих вопросах содер-
жатся в статьях Ж у а я л я [1] и Л а у л и с а [1].
Признательность
Я благодарю Кэрол Вуд, которая любезно прочитала эту ра-
боту и сделала много полезных замечаний.
ЛИТЕРАТУРА
Адлер и Кифе (Adler A.. Kiefe К.)
I. Pseudofinite fields, procyclic fields and model-completion. — Pacific J.
Math., 1976, 62, p. 305—310.
А к c (Ax J.)
1. The elementary theory of finite fields. — Ann. Math., 1968, 88, p. 239—271.
Акс и Кочен (Ax J., Kochen S.)
1. Diophantine problems over local fields, I. — Amer. J. Math., 1965, 87,
p. 605—630.
2. Diophantine problems over local fields, II: A complete set of axioms for
p-adic number theory. — Amer. j. Math., 1965, 87, p. 631—648.
3. Diophantine problems over local fields, III: Decidable fields. — Ann.
Math., 1966, 83, p. 437—456.
Артин (Artin E.)
1. Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate. — Hamb. Abh.,
1927, 5, p. 100—115.
Артин и Шрейер (Artin E., Schreier O.)
1. Algebraische Konstruktion reeler Korper. — Hamb. Abh., 1926, 5, p. 85—
99.
Баксич и Роуленд-Хьюз (Bacsich P. D., Rowland-Hughes D.)
1. Syntactic characterizations of amalgamation, convexity and related pro-
perties.— J. Symbolic Logic, 1974, 39, p. 433—451.
Барвайс и Робинсон (Barwise J., Robinson A.)
1. Completing theories by forcing. — Ann. Math. Logic, 1970, 2, p. 119—142.
Белеградек О. Б.
1. Алгебраические замкнутые группы. — Алгебра и логика, 1974, 13,
с. 239—255.
2. Личное сообщение. — 1974.
Белеградек О. Б. и Зильбер Б. И.
1. Модельный компаньон «-категоричной теории. — В кн.: III ВсесоюЗ’
ная конференция по математической логике. Новосибирск, 1974, с. 10.
Белли Сломсон (Bell J. L, Slomson А. В.)
1. Models and Ultraproducts. — Amsterdam: North-Holland, 1969.
Биркгоф (Birkhoff G.)
1. Lattice Theory. — Providence (Rhode Island): Amer. Math. Soc., 1967.
[Русский перевод: Биркгоф Г. Теория структур. — М.: ИЛ, 1952.]
Блюм (Blum L.)
1. Generalized Algebraic Theories: Thesis.—Cambridge (Mass.): M. I. T,
Press, 1968.
Болдуин и Лахлан (Baldwin J. T., Lachlan A. H.)
ЛИТЕРАТУРА
177
1. On strongly minimal sets.— J. Symbolic Logic, 197L 36, p. 79—96.
Б о ф ф а и ван П p а а г (Boffa M., van Praag P.)
1. Sur ies corps generiques. — C. r. Acad. Sci. Paris, Ser. A., 1972, 274,
p. 1325—1327.
Бун и Хигмен (Boone W., Higman G.)
1. An algebraic characterization of groups with soluble word problem.—
J. Austral. Math. Soc., 1974, 18, p. 41—53.
Вайспфенинг (Weisspfenning V.)
1. On the elementary theory of Hensel fields: Thesis. — Heidelberg: Uni-
versity of Heidelberg, 1971.
Вашкевич и Венглож (Waskiewicz J., W^glorz В.)
1. Some models of theories of reduced powers. — Bull. Acad. Polon. Sci,
Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 1968, 16, p. 683—685.
Boot (Vaught R. L.)
1. The Lowenheim — Skolem theorem. — In: Logic, Methodology and Philo-
sophy of Science/Ed. Y. Bar-Hillel. 2 ed. Amsterdam: North-Holland,
1972, p. 81—89.
Вуд (Wood C.)
1. Forcing for infinitary languages. — Z. math. Logik Grundl. Math., 1972,
18, p. 385—402.
2. The model theory of differential fields of characteristic p =0= 0. — Proc,
Amer. Math. Soc., 1973, 40, p. 577—584.
3. Prime model extensions for differential fields of characteristic p ф 0. —
J. Symbolic Logic, 1974, 39, p. 469—477.
Г а й ф м а н (Gaifman H.)
1. Uniform extension operators lor models and their applications. — Im
Sets, Models and Recursion Theory/Ed. J. N. Crossley. Amsterdam:
North-Holland, 1967, p. 122—155.
Го л д рей, Макинтайр и Симмонс (Goldrei D. С., Macintyre А.,
Simmons Н.)
1. The forcing companions of number theories —Israel J. Math., 1973, 14,
p. 317—337.
Г ринберг (Greenberg M.)
1. Lectures on Forms in Many Variables. — N. Y.: Benjamin, 1969.
Джарден и Кине (Jarden M., Kiehne U.)
1. The elementary theory of algebraic fields of finite corank. — Invent
Math., 1975, 30, p. 275—294.
Джекобсон (Jacobson N.)
1. Lectures in Abstract Algebra, III. — N. Y.: Van Nostrand, 1964.
2. Basic Algebra, I. — San Francisco (Calif.): Freeman, 1974.
Д p и с с, ван ден (van den Driess L.)
1. Artin-Schreier theory for commutative regular rings. — Utrecht: Univer-
sity of Utreecht, 1975, preprint.
Ершов Ю. Л.
1.06 элементарных теориях максимальных полей. — ДАН СССР, 1965,
165, с. 1390—1393.
2. Разрешимые теории полей. — ДАН СССР, 1967, 174, с. 575—576.
Ж у а я л ь (Joyal А.)
1. Structures generiques dans les topos et ailleurs: Contributed paper (ab-
stract). — Clermont-Ferrand: Siecil, 1975.
Йенсен (Jensen R. B.)
1. The fine structure of the constructible hierarchy. — Ann. Math. Logic,
1972, 4, p. 229—308.
Й о н с о H (Jonsson B.)
1. Extensions of relational structures. — In: The Theory of Models/Ed.
J. W Addison, L. Henkin and A. Tarski. Amsterdam: North-Holland,
1965, p. 146—157.
178
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Кайзер (Kaiser К )
1. Ober eine Verallgemeinerung der Robinsonschen Modellvervollstrandi-
gung. — Z. math. Logik Grundl. Math., 1965, 15, S. 37—48.
Ka пл а некий (Kaplansky I.)
1. Maximal fields with valuation I. — Duke Math. J., 1942, 9, p. 303—321.
Карсон (Carson A. B.)
1. The model completion of the theory of commutative regular rings. —
J. Algebra, 1973, 27, p. 136—146.
К e й с л e p (Keisler H. J.)
1. Forcing and the omitting types theorem — In: Studies in Model Theory/
Ed. M. Morley. Buffalo (N. Y.): Math. Assoc. Amer., 1973, p. 96—
133.
Ковен (Coven C.)
1. Forcing in infinitary languages: Thesis. — New Haven (Conn.): Yale
University, 1971, Appendix.
Колчин (Kolchin E.)
1. Constrained extensions of differential fields. — Advances in Math, 1974,
12, p. 141—170.
Комер (Comer S. D.)
1. Complete and model-complete theories of polyadic algebras. — Nashville
(Tenn.): Vanderbilt University, 1973, preprint.
2. Elementary properties of structures of sections. — BoL Soc. Mat. Mexi-
cana, 1974, 19, p. 78—85.
К о н (Cohn P. M.)
1. Free Rings and Their Relations. — London: Academic Press, 1971.
2. The embedding of firs in skew fields. — Proc. London Math. Soc., 1971,
23, p. 193—213.
Кочен (Kochen S.)
1. Ultraproducts in the theory of models. — Ann. Math., 1961, 74, p. 221 —
261.
2. Integer valued rational functions over the p-adic numbers: a p-adic
analogue of the theory of real fields. — In: Proceedings of Symposia
in Pure Mathematics, XII, Number Theory/Ed. W. J. Leveque
and E. G. Strauss. Providence (Rhode Island): Amer. Math. Soc.,
p. 57—73.
Коэн (Cohen P. J.)
1. Set Theory and the Continuum Hypothesis. — N. Y.: Benjamin, 1966.
[Русский перевод: Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипо-
теза. М.: Мир, 1969.]
2. Decision procedures for real and p-adic fields., — Comm. Pure Appl,
Math., 1969, 22, p. 131 — 151.
Л а у л и c (Loullis G.)
1. Some aspects of the model theory on a topos: Thesis. — New Haven
(Conn.): Yale University, 1976.
Ленг (Lang S.)
1. On quasi algebraic closure. — Ann. Math., 1952, 55, p. 373—390.
2. Algebraic Geometry. — N. Y.: Addison-Wesley, 1958.
Линдстрём (Lindstrom P.)
1. On model-completeness. — Theoria, 1964, 30, p. 183—196.
Липшиц (Lipschitz L.)
1. Prime model extensions for commutative regular rings. — Trans. Amer.
Math. Soc., 1974.
2. The real closure of a commutative regular f-ring. — Lafayette (Ind.):
Purdue University, 1974, preprint.
Липшиц и Сарацино (Lipschitz L., Saracino D.)
1. The model companion of the theory of commutative rings without nilpo-
tent elements. — Proc. Amer. Math. Soc., 1973, 37, p. 381—387.
ЛИТЕРАТУРА
179
Макинтайр (Macintyre А )
1. On algebraically closed division rings. — 1971.
2. On algebraically closed groups. — Ann. Math., 1972, 96, p. 53—97.
3. Omitting quantifier-free tvpes in generic structures.—J. Symbolic Lo-
gic, 1972, 37, p. 512—520."
4. Lecture notes on forcing in model theory. — Berlin, 1972.
5. Model completeness for sheaves of structures. — Fundam. math., 1973,
81, p. 73—89.
6. The word problem for division rings. — J. Symbolic Logic, 1973, 38,
p. 428—436.
7. Martin’s Axiom applied to existentially closed groups. — Math. Scand.,
1973, 32, p. 46—56.
8. On definable sets of p-adic numbers. — J. Symbolic Logic, 1974, 39.
9. Existentially closed Lie algebras: Abstract 74T — E38. — Notices Amer.
Math. Soc.,’ 1974, 21, p. A-379.
10. A note on axioms for infinite-generic structures. — J. London Math.
Soc., 1975, 9, p. 581—584.
11. Combinatorial problems for skew fields. — New Haven (Conn.): Yahs
University, 1975, preprint.
Макинтайр и Сарацино (Macintyre A., Saracino D.)
1. On existentially closed nilpotent Lie algebras: Abstract 74T — E37. —
Notices Amer. Math., Soc., 1974, 21, p. A-379.
Маккенна (McKenna K.)
1. Hilbert 17-th Problem revisited. — New Haven (Conn.): Yale University,
1975, preprint.
Маковский (Makowsky J. A.)
1. On continuous quantifiers: Abstract 73T — E84. — Notices Amer. Math.
Soc., 1973, 20, p. A-502.
M а н e в и ц (Manevitz L.)
1. Model theoretic forcing and absoluteness: Thesis: — New Haven (Conn.):
Yale University, 1975.
Матиясевич Ю. В.
1. Диофантовость перечислимых множеств. — ДАН СССР, 1970, 191,
с 279_____282.
Миллер (Miller С. W. III)
1. On algebraically closed groups. — Princeton (N. J.): Princeton Univer-
sity, 1974, preprint.
Морли (Morley M.)
1. Categoricity in power. — Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 114, p. 514—538.
Нейман Б. (Neumann В. H.)
1. A note on algebraically closed groups. — J. London Math. Soc., 1952, 27,
p. 247—249.
2. The isomorphism problem for algebraically closed groups. — In: Word
Problems/Ed. В. B. Boone, F. B. Cannonito and R. C. Lyndon. Am-
sterdam: North-Holland. 1973, p. 553—562.
Пирс (Pierce R. S.)
1. Modules over commutative regular rings. — Mem. Amer. Math. Soc.,
1967, 70.
Пресбургер (Presburger M.)
1. Ueber die Vollstandigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer
Zahlen, in welchen die Addition als einzige Operation hervortritt. — In.
Comptes Rendus du I Congres de Mathematiciens des Pays Slaves.
Warsaw, 1930, S. 92—101.
Рабин (Rabin M. O.)
1. Non-standard models and the independence of the induction axiom.—
In: Essays on the Foundations of Mathematics. Jerusalem: Magnes
Press, 1961, p. 287—299.
180
ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
Рейес (Reyes G. Е.)
1. Typical and generic in a Baire space for relations: Thesis. — Berkeley,
1967.
P итт (Ritt J.)
1. Differential Algebra. — N. Y.: Dover, 1966.
Робинсон (Robinson A.)
1. On the Metamathematics of Algebra. — Amsterdam: North-Holland, 1951.
2. On ordered fields and definite functions. — Math. Ann., 1955, 130,
p. 257—271.
3. Complete Theories. — Amsterdam: North-Holland, 1956.
4. On the concept of a differentially closed field. — Bull. Research Council
Israel (F), 1959, 8F, p. 113—128.
5. Solution of a problem of Tarski. — Fundam. math., 1959, 47, p. 179—204.
6. Introduction to Model Theory and to the Metamathematics of Algeb-
ra.— Amsterdam: North-Holland, 1963. [Русский перевод: Робин-
сон A. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. — М.:
Наука, 1967.]
7. Infinite forcing in model theory. — In: Proceedings of the Second Scan-
dinavian Logic Symposium/Ed. J. E. Fenstad. Amsterdam: North-Holland,
1971, p. 317—340.
8. Non-standard arithmetic and generic arithmetic. — In: Logic, Methodo-
logy and Philosophy of Science, IV/Ed. P. Suppes et al. Amsterdam:
North-Holland, 1973, p. 137—154.
С а б 6 a x (Sabbagh G.)
1. Personal communication.— 1970.
Сакс (Sacks G.)
1. Saturated Model Theory. — N. Y.: Benjamin, 1972.
2. The differential closure of a differential field. — Bull. Amer. Math. Soc.,
1973, 78, p. 629—633.
Сарацино (Saracino D.)
1. Model companion for Kq categorical theories. — Proc. Amer. Math. Soc.,
1973, 39, p. 591—598.
2. Wreath products and existentially complete solvable groups. — Trans.
Amer. Math. Soc., 1974, 197, p. 327—339.,
3. On existentially complete nilpotent groups: Abstract 74T — E36. — No-
tices Amer. Math. Soc., 1974, 21, p. A-379.
4. A counterexample in the theory of model companions. — New Haven
(Conn.): Yale University, 1975, preprint.
Сарацино и Ba йспфен ипг (Saracino D., Weisspfenning W.)
1. Commutative regular rings without prime model extensions. — New
Haven (Conn.): Yale University, 1973, preprint.
Сейденберг (Seidenberg A.)
1. An elimination theory for differential algebra. — Univ, of California
Math. Publications, 1956, 3, p. 31—65.
Симмонс (Simmons H.)
1. Existentially closed structures. — J. Symbolic Logic, 1972, 37, p. 293—310.
2. A possible characterisation of generic structures. — Math. Scand., 1972,
31, p. 257—261.
3. An omitting types theorem with an application to the construction of
generic structures. — Math. Scand., 1973, 33, p. 46—53.
ne construction du forcing-compagnon d’une theorie —C r. Acad. Set
Paris, Ser. A, 1973, 277, p. 563—566.
5. Companion Theories (Forcing in Model Theory):—Louvain: Vander, 1975.
C-котт Д. ( Scott D.)
1. Completing ordered fields. — In: Applications of Model Theory to Al-
gebra, Analysis and Probability/Ed. W. A. J. Luxemburg. N. Y.: Holt,
Rinehart and Winstcn, 1969, p. 274—278.
ЛИТЕРАТУРА
181
С к о т т У. Р. (Scott W. R.)
1. Algebraically closed groups. — Proc. Amer. Math. Soc., 1951, 2, p. 118—*
121.
ТайцлинМ A.
1. Экзистенциально-замкнутые коммутативные кольца. В кн.: V Всесоюз-
ная конференция по математической логике. Новосибирск, 1974.
Тарский (Tarski А.)
1. A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. — 2nd revised
ed. — Berkeley: Univ, of California Press, 1951.
Тарский и Boot (Tarski A., Vaught R. L.)
1. Arithmetical extensions of relational systems. — Compositio Math., 1957,
13, p. 81—102.
Тержанян (Terjanian G.)
1. Un contre-example a une conjecture d’Artin. — C. r. Acad. Sci. Paris, Ser.
A, 1966, 262, p. 612.
Уилер (Wheeler W. H.)
1. Algebraically closed division rings, forcing, and the analytic hierarchy:
Thesis. — New Haven (Conn.): Yale University, 1972.
Уинклер (Winkler P.)
1. Assignment of Skolem functions for model complete theories: Thesis.—
New Haven fConn.): Yale University, 1975.
Фишер (Fisher E.)
1. Homogeneous-universal model revisited. — Yale notes, 1970.
Фрид и Сакердот (Fried M., Sacerdote G.)
1. A primitive recursive procedure for solving diophantine problems over
all residue class fields of a number field, and all finite fields. — Irvine:
University of California, 1975, preprint.
X и г м e н (Higman G.)
1. Subgroups of finitely presented groups. — Proc. Roy. Soc. London, Ser. A,
1961, 262, p. 455—475.
Хигмен, Нейман Б. и Нейман X. (Higman G., Neumann В. H., Neu-
mann Н.)
1. Embedding theorems for groups. — J. London Math. Soc., 1949, 24,
p. 247—2Й.
Хиршфелд (Hirschfeld J.)
1. Existentially complete and generic; structures in arithmetic: Thesis.— New
Haven (Conn.): Yale University, 1972.
Хиршфелд и Уилер (Hirschfeld J., Wheeler W. H.)
1. Forcing, Arithmetic, and Division Rings. — Berlin: Springer, 1975.
Циглер (Biegler M.)
1. Die elementare Theorie des Henselschen Korper: Thesis. — Cologne: Uni-
versity of Koln, 1972.
2. Personal communication.— 1975.
Ч e p л и н (Cherlin G.)
1. Algebraically closed commutative rings. — J. Symbolic Logic, 1973, 38,
p. 493—499.
Чэн и Кейслер (Chang С. C., Keisler Н. J.)
1. Model Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1973. [Русский перевод:
Кейслер X. Дж., Чэн К. К. Теория моделей. — М.: Мир, 1077.]
Ш е л а х (Schelah S.)
1. Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers.—
Israel J. Math., 1971, 10, p. 224—233.
2. A note on model complete models and generic models. — Proc. Amer.
Math Soc., 1972, 84, p. 509—514.
3. Uniqueness and characterization of prime models over sets for totally
transcendental first-order theories.— J. Symbolic Logic, 1972, 37,
p. 107—113.
182 ГЛ. 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА
4. Differentially closed fields. — Israel J. Math., 1973, 16, p. 314—328.
5. Uniqueness of prime models, with an application to differential fields?
Abstract 74T — E17. — Notices Amer. /Math. Soc., 1975, 21, p. A-318.
Шенфилд (Shoenfield J. R.)
1. A theorem on quantifier elimination. — Symposia Math., 1971, 5, p. 173—
176.
Эклоф и Саббах (Eklof P., Sabbagh G.)
1. Model completions and modules. — Ann. Math. Logic, 1971, 2, p. 251—
295.
Э н p a p (Henrard P.)
1. Une theorie sans modele generique. — C. r. Acad. Sci. Paris, Ser. A, 1971,
272, p. 293—294.
2. Le «forcing-compagnon» sans «forcing». — C. r. Acad. Sci. Paris, Ser. A,
1973, 276, p. 821—822.
Глава 5
ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
Майкл Морли
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение.......................................................183
§ 2. Теоремы о разбиении и теорема Эренфойхта — Мостовского . . .184
§ 3. Скулемовские функции и элементарные подмодели..................187
§ 4. со-логика......................................................189
§ 5. Типы и модели Эренфойхта — Мостовского.........................191
§ 6. Теоремы о разбиении для больших кардиналов и конструктивный
универсум...........................................................195
Литература.....................................................198
§ 1. Введение
Свободная группа с множеством X свободных порождающих
обладает тем свойством, что каждое одно-однозначное отобра-
жение X в себя может быть продолжено до мономорфизма груп-
пы в себя. Кроме того, если одно-однозначное отображение мно-
жества X в себя сюръективно, то индуцированный мономорфизм
в действительности является автоморфизмом.
Могут ли существовать модели с аналогичными свойствами
для более общих теорий? (Обычно, но не всегда, под теорией по-
нимается теория в языке исчисления первого порядка.) Точнее,
существует ли для данного множества X модель 21 теории Т та-
кая, что каждое одно-однозначное отображение X в себя может
быть продолжено до мономорфизма модели 21? Очевидно, если
теория Т включает линейный порядок, то перестановки множе-
ства X, не сохраняющие порядок, не могут быть продолжены до
мономорфизмов модели 21. Несколько неожиданной выглядит
следующая теорема, утверждающая, что только линейные упо-
рядочения являются единственным исключением из правила.
1.1. Теорема (Эренфойхт — Мостовский). Пусть Т — счет-
ная теория в исчислении предикатов, обладающая бесконечной
моделью, и пусть <Х, <> — бесконечное линейно упорядоченное
множество. Тогда существует модель 21 теории Т сХ^А такая,
что каждое сохраняющее порядок отображение множества X в
себя индуцирует мономорфизм модели 21 в себя, а каждое сюръ-
184
ГЛ. 5. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
ективнов отображение множества X, сохраняющее порядок, ин-
дуцирует автоморфизм модели Я.
Варьируя порядковый тип <Х, <>, можно получать модели
с интересными свойствами. Часть данной работы посвящена об-
суждению того, насколько модель Я определяется порядковым
типом <Х, <>.
В § 2 содержится доказательство слабой формы теоремы
Эренфойхта — Мостовского. В § 3 обсуждается механизм поро-
ждения подмоделей и приводится более сильная форма резуль-
тата § 2. В § 4 содержится обобщение теоремы Эренфойхта —
Мостовского на случай неэлементарных языков. Применение тео-
ремы Эренфойхта — Мостовского в теории групп приводится в
§ 5, где обсуждаются теории, модели которых содержат сравни-
тельно большие однородные множества. В § 6 рассматриваются
некоторые следствия существования однородных множеств по-
рядкового типа (01 в моделях теории множеств.
§ 2. Теоремы о разбиении и теорема
Эренфойхта—Мостовского
Предварительно введем некоторые обозначения и определе-
ния. Пусть Х(п) обозначает множество
Х^ = {у: уаХ и |г/| = га}.
Предполагая в дальнейшем выполнимость аксиомы выбора,
мы можем считать множество X линейно упорядоченным. По-
этому множество Х(п) можно рассматривать как множество и-ок
{<х0, xt(=X, x0<Xi< ... <x„_J.
В дальнейшем мы будем обращаться с множеством Х(п) как
с множеством строго упорядоченных n-ок элементов множе-
ства X.
Ординал у есть множество ординалов Как обычно, наи-
меньший кардинал >х будем обозначать через х+. Для каждого
ординала а функция 2(х, а) определяется по индукции:
2 (х, 0) = х,
2 (х, а) = sup {22(х* v): у < а}, а > 0.
Положим ра = 2(со, а). В этих обозначениях обобщенная конти-
нуум-гипотеза есть равенство соа = Ра для всех а.
Пусть Р есть разбиение Х(п) на р непересекающихся классов.
Множество Y cz X является однородным для Р, если У(п) содер-
жится в одном из классов разбиения. Если для каждого множе-
ства X мощности х и произвольного разбиения Р множества Х{п>
на р непересекающихся классов X содержит однородное для Р
§ 2. ТЕОРЕМЫ О РАЗБИЕНИИ
185
множество У мощности Л, то будем писать
Доказательства следующих теорем о мощности однородных
множеств приводятся в главе 3 «Теории множеств».
2.1. Теорема (Рамсей). Если т конечное, то
<*->(<»)“.
' 'Ш
2.2. Теорема (Эрдёш — Радо). Для каждого бесконечного
кардинала и
(2(х, n))+->(%+)"+1.
2.3. Теорема (Эрдёш). Не существует кардинала м та-
кого, что
т. е. не существует бесконечных однородных множеств для лю-
бого разбиения множества счетных подмножеств множе-
ства X.
2.4. Теорема (Эренфойхт — Мостовский). Пусть Т —
счетная теория в языке L исчисления предикатов, обладающая
бесконечными моделями, и пусть <Х, <> — бесконечное линей-
ное упорядоченное множество. Тогда теория Т имеет модель Я,
X s И, обладающую тем свойством, что для каждого п все
строго упорядоченные п-ки элементов <хо, ..., xn_i> множества
X удовлетворяют одному и тому же множеству формул языка L
вида <р(ось • • •, ^n-i).
Замечание. Упомянутое множество X называется одно-
родным *) для модели Я. Множество формул Ф, выполняющихся
на строго упорядоченных последовательностях элементов из X,
называют множеством Эренфойхта — Мостовского (Э. — М. мно-
жеством). Из теоремы о компактности следует, что для каж-
дого Э. — М. множества Ф и линейного упорядочения <У, <>
существует модель, содержащая <У, <> как однородное под-
множество, строго упорядоченные последовательности элемен-
тов которого удовлетворяют формулам из Ф.
Доказательство. Пусть S3—бесконечная модель теории
Т и <р0, фь • • • — некоторое перечисление формул языка L. Опре-
делим на В линейный порядок <. (Вообще говоря, этот поря-
док не имеет никакого отношения к предикатам модели Э.).
Предположим, что фо имеет своими свободными переменными
переменные v0, ..., vn. Формула фо определяет на В(п+1) разбие-
ние на два класса на основании того, удовлетворяет или нет этой
*) Часто это множество называют неразличимым в модели §1 (см. До-
полнение).— Прим. ред.
186
ГЛ. 5. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
формуле строго упорядоченная (п+1)-ка <&0, 6П>. Тогда,
согласно теореме 2.2, существует бесконечное однородное под-
множество Во с В для этого разбиения. Пусть cpi имеет своими
свободными переменными у0, ...» vk- Тогда qpi определяет раз-
биение множества Во*+1) на два класса, для которого также су-
ществует бесконечное однородное подмножество Bi с Во.
Продолжая эту процедуру, мы тем самым конструируем по-
следовательность {Вх: i е со, В<+1 с В J вложенных множеств Вх.
Обогатим L, добавляя к нему новый константный символ х для
каждого хе X, и расширим теорию Т, добавляя к ней для каж-
дой формулы ..., Vk) и каждой последовательности
xQ < Xi < ... < xk из Х^ предложение фх(х0, •••, xk) или
~1ф/(хо, . •., %k) в зависимости от того, удовлетворяет упорядо-
ченная (k 4- 1)-ка элементов Вх- формуле ф или ф. Расширен-
ная теория является непротиворечивой и, следовательно, соглас-
но теореме о компактности она обладает моделью Я, удовлетво-
ряющей заключению теоремы. □
2.5. Следствие. Если ф(у) выполняется на бесконечном
множестве элементов в некоторой модели теории Т, то последняя
остается непротиворечивой при добавлении к ней условия о том.
что элементы <Х, <> удовлетворяют ф(у) в модели Я из тео-
ремы 2.4. Если ф(г>о, У1) линейно упорядочивает бесконечное мно-
жество в некоторой модели теории Т. то в модели Я формула ф
может определить упорядочение < множества X.
2.6. Определение. Подсистемой алгебраической систе-
мы Я называется произвольное подмножество множества А, зам-
кнутое относительно всех функций из Я. Подсистема, порожден-
ная подмножеством X множества А. есть наименьшая подсисте-
ма системы Я, содержащая X.
Таким образом, элемент подсистемы системы Я, порожден-
ной множеством X. может рассматриваться как терм ?(х0, ...
..., хп), где Xi е X и t — суперпозиция функций системы Я.
Рассмотрим некоторое сохраняющее порядок отображение f
однородного в модели Я множества X в Я. Тогда f может быть
продолжено на подсистему, порожденную множеством X, со-
гласно следующему определению:
xn)) = t(fx0...fxn).
Из теоремы 2.4 немедленно следует, что в действительности f
индуцирует мономорфизм подсистемы в себя, а в случае, когда f
есть отображение на, оно может быть продолжено до автомор-
физма подсистемы. Таким образом, если мы желаем рассматри-
вать подсистему, порожденную множеством X алгебраической
системы Я в качестве модели теории Т, то мы должны предва-
рительно достичь цели, поставленной в § 1. Этому и посвящен
следующий параграф.
§ 3 СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ
187
§ 3. Скулемовские функции и элементарные подмодели
Пусть L — язык исчисления предикатов. Соотнося каждой
формуле ср(ио, • • •, ип) языка L новый n-арный функциональный
символ ftp (скулемовскую функцию), можно сконструировать но-
вый язык L'. Если п = 0, то скулемовская функция есть кон-
станта сф. Определим по индукции языки L« и L*:
Lo= L , Ln+i ==• (Ln),
l*= и l;.
new
3.1. Определение. Определяющим предложением скуле-
мовской функции f(p является Ь*-предложение
Уу0 ••• •••, »«)-*ф(^о, •••.
3.2. Определение. Алгебраическая система 51 для языка
L' является скулемовской моделью, если каждое определяющее
предложение языка L* истинно в И. Если Т — теория в язы-
ке L, то ее скулемовское замыкание определяется как Т* = Т J
U{ определяющие предложения языка L*}.
3.3. Определение. Термы языка L* называются скуле-
мовскими термами.
В предположении выполнимости аксиомы выбора каждая
алгебраическая система 01 для языка L может быть расширена
до скулемовской модели 51* с тем же основным множеством, что
и у 51, и такой, что для всех формул qp языка L 511= qp(a0, • • •> аД
Ui А, если и только если 51* qp (а0, ..., ап).
3.4. Определение. Элементарная подмодель S3 алгебраи-
ческой системы 51 для языка L есть подсистема системы 51 та-
кая, что
331= <Р(bQ, bn), bi^B,
тогда и только тогда, когда
5l|=qp(&o, bn)
для каждой формулы qp языка L.
В частности, одно и то же множество предложений языка L
истинно и в 51 и в S3, так что и 91 и S3 являются моделями одной
и той же полной теории. Тот факт, что S3 — элементарная под-
модель 51, записывается S3 << Я. Можно показать, что S3 << 51,
если для каждой формулы qp языка L
511= Во0<р(v0, &i, Ьп), Ь^В,
тогда и только тогда, когда найдется такой элемент &о В, что
5Ц=ф(6о, ьь ..Ьа).
188
ГЛ. 5. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
Пусть В — некоторое подмножество скулемовской модели
Я* языка L*. Из предыдущего параграфа, учитывая тот факт,
что скулемовская модель удовлетворяет определяющим предло-
жениям L*, следует, что подсистема, порожденная подмноже-
ством В в 21*, является элементарной подмоделью модели 21*.
Эта подсистема есть множество термов {/(60, . ..> bn)\ bi^B,
t — скулемовский терм}.
Закончим обсуждение теоремы 1.1 Эренфойхта— Мостов-
ского. В доказательстве теоремы 2.4 предположим, что Т — ску-
лемовская теория, а 23 — скулемовская модель. Тогда модель 21,
существование которой утверждается теоремой 2.4, является
скулемовской моделью. Элементарная подмодель модели 21, по-
рожденная множеством X, и является той искомой (скулемов-
ской) моделью теории Г, которая полностью удовлетворяет за-
ключениям теоремы 1.1.
3.5. Определение. Элементарную подмодель скулемов-
ской модели 21 в теореме 2.4, порожденную множеством X, обо-
значим через <^(Ф, X), где Ф есть Э. — М. множество формул
языка L*, выполняющихся на сторого упорядоченных последо-
вательностях элементов множества X.
В оставшейся части настоящего параграфа мы займемся изу-
чением некоторых свойств моделей е<(Ф, X).
(1) Каждая теория Г*) имеет модель с нетривиальным ав-
томорфизмом.
Доказательство. Достаточно в качестве <Х, <> взять
линейный порядок, подобный упорядочению множества рацио-
нальных чисел, который имеет нетривиальный порядковый авто-
морфизм.
3.6. Определение. Мономорфизм f между алгебраиче-
скими системами 21 и 23 для языка L
f: 21
называется элементарным, если для всех формул ср языка L
имеет место следующее свойство:
211= <р (а0, ...» ап), at е А,
тогда и только тогда, когда 231= ф(Мо, ...» fan).
(2) Рассмотрим две системы е<(Ф, X) и У).
(а) Каждое сохраняющее порядок отображение f множества
X в У индуцирует элементарное отображение ^(Ф, X) в
ЛГ(Ф, У).
(Ъ) Элементарный мономорфизм, индуцированный f, являет-
ся сюръективным, если и только если f есть отображение X
яа У.
) Имеющая бесконечную модель. — Прим. ред.
§ 4 ©ЛОГИКА
189
Доказательство, (а) Очевидно, так как строго упорядо-
ченные последовательности элементов из X и Y удовлетворяют
одним и тем же формулам.
(Ь) Предположим, что у е У — f (X) и у е f {Л (Ф, X)). Тогда
У = / (fx0, • • •, Mrn) = i (Уо.Ут) для некоторых х0 < ... <хте
е X и уо < ... < Ут е У, У^Уь I Предположим также,
что yQ < ... < yk < у < yk+l < ... <ут. Так как У — однород-
ное множество с Э.— М. множеством формул Ф, то формулы
Vk+i=t (у0, . . ., Vki Vk+2, ...» Vm+1), • •
...,/(у0, ...» vk, vl+i, ..., Vl+m_k) = vh
где 1, принадлежат Ф. Но из этих формул следует, что
У содержит самое большее т 4~ 2 различных элементов, что
противоречит тому, что У — бесконечное линейно упорядоченное
множество. □
§ 4. ю-логика
со-логикой называется язык с константами для каждого нату-
рального числа и двумя типами переменных; переменные одного
типа принимают значения из множества натуральных чисел, пе-
ременные другого типа — значения из основного множества. Пе-
ременные, принимающие своими значениями натуральные числа,
обозначим через ^о, ..., переменные второго типа — через
Vq, уь ... Более детальные сведения о со-логиках можно полу-
чить в 5.2 главы 1. Результаты настоящего параграфа в равной
степени могут быть успешно применимы и к слабой логике вто-
рого порядка, описанной в 5.3 главы 1.
Может ли теорема 1.1 Эренфойхта — Мостовского быть об'
общена на случай со-логики? Очевидно, что не составляет труд-
ностей получить язык L*, добавив скулемовские функции к язы-
ку L рассматриваемой со-логики, и записать для них определяю-
щие предложения. Неприятность возникает при конструировании
Э. — М. множества формул Ф. Как быть с формулами вида
<р == Зш0(/(^о, •••, ^п) = ^о)? Ведь мы должны указать для
• • •, Vn), Vq < ... < vn, некоторое определенное натураль-
ное число w.
В общем случае формула ср может определить разбиение Р
множества (n-f-l)-OK на со непересекающихся классов. Следо-
вательно, вместо теоремы Рамсея целесообразно обратиться к
теореме Эрдёша — Радо.
4.1. Теорема. Пусть Т — счетная теория логики L. Если Т
обладает ^-моделями во всех мощностях ра, ccgecoi, то для дан-
ного произвольного линейно упорядоченного множества <Х, <>
существует ^-модель 31 теории Г, X cz А, такая, что все строго
190
ГЛ 5 ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
упорядоченные последовательности элементов множества X
удовлетворяют одному и тому же множеству формул языка L.
Доказательство. Предположим, что Т — скулемовская
теория в со-логике L*, и пусть 31а, |Яа|^ ра, — скулемовские мо-
дели. Линейно упорядочим каждую §(а и перенумеруем фор-
мулы L*: фо, cpi, ..., срп, ... На первом шаге возможны следую-
щие два случая: .
(1) Фо = ЭаУо(М^о, •••, vn) = wo). Формула ф0 индуцирует раз-
биение Р множества Л(ал+1) на со классов, один из которых есть
множество строго упорядоченных (/г 4-1)-ок, удовлетворяющих
формуле ср”1 = ~| ф0, и определяет последовательность со клас-
сов, каждый из которых образован строго упорядоченными (п 4-
4- 1)-ками, удовлетворяющими формуле
•••> Vn) = W0 A t (Vo> •••> O = /)>
Согласно теореме Эрдёша — Радо существует множество
Ca+rt cz Ла+п, однородное для Р, и |Са+п|^Ра- Удовлетворяется
ли каждая отдельная формула фо> k^—- 1, строго упорядочен-
ными последовательностями из Са+п, зависит от а, но так как
существует только со таких выборов и со не конфинально в соь
то найдется конфинальная подпоследовательность {В«, а е coj
последовательности {С«, aecot} такая, что для некоторого — 1
и для всех a < сох строго упорядоченные (п 4- 1)-ки множества Ва
удовлетворяют одной и той же формуле ф£ и | В^ | Ра.
(2) фо^=фо(уо, .vn) и фо не является формулой вида
Зш0• ••, vn) = Wo)- Формула ф0 индуцирует разбиение Р
множества Л(ап+1) на два непересекающихся класса, один из
которых образован из строго упорядоченных (п4-1)-ок, удов-
летворяющих либо формуле ф{5=ф0, либо формуле ср~1^Пф0.
По теореме Эрдёша — Радо существует множество Са+п Ла+п,
однородное для Р, и |С®+п|^Ра. Так как 2 не конфинально
в соь найдем такую конфинальную подпоследовательность
{fia, a е coj последовательности {Ca, а е coj, что строго упоря-
доченные (п 4- 1)-ки Ва удовлетворяют в точности только одной
из формул ф° ср0 или ф-1==~|ф0 для всех аесо(.
Продолжая индукцию, построим такое множество последо-
вательностей {{В2, п е со}, что
(i) |BS|>0a;
(ii) Ba+l s Bp для некоторого p и множество ординалов
{р: 3ae=<0i(BS+1EBg)}
конфинально в <oi;
§ 5. ТИПЫ И МОДЕЛИ ЭРЕНФОПХТА-МОСТОВСКОГО
191
(iii) найдется такое 1, что строго упорядоченные
последовательности из В* для всех а < удовлетворяют <ркп.
Обозначим формулу ф* через фп.
Множество формул {фп, п <о} и есть искомое Э. — М. мно-
жество Ф. Далее ход доказательства теоремы 4.1 подобен тому,
как это делалось для торемы 2.4. □
Доказательство теоремы 4.1 непосредственно приводит нас к
теореме 1.1 Эренфойхта — Мостовского для теорий ю-логики.
Другим неэлементарным языком является L^. Формулы
этого языка строятся по индкуции из формул исчисления преди-
катов посредством счетных конъюнкций и дизъюнкций, но стро-
го конечных квантификаций. В LW1W нет формул с более чем ко-
нечным числом свободных переменных.
Теории Г, состоящие из предложений языка L^, ведут себя
подобно теориям счетной ©-логики. Это обстоятельство объяс-
няется тем, что счетная дизъюнкция V Ф/(^о, ...» vn) фор-
i е со
мул Ф/ исчисления предикатов может быть заменена формулой
Все’оФ(^о, vQ, ...» vn) соответствующей ©-логики, где Ф(/, vQ, ...
..., ап)=ф, (у0, ..., ип)9 а счетная конъюнкция Д Ф/ (у0, ..., vn)—
формулой УдооФ(^о, • ••, vn) логики. Таким образом, тео-
рема 4.1 может быть в равной степени применена и к теориям Т,
состоящим из предложений языка LW1(0.
§ 5. Типы и модели Эренфойхта—Мостовского
Следующие две теоремы имеют интересные приложения для
алгебраических теорий, две из которых будут обсуждаться в
данной части.
5.1. Определение. 1-типом теории Т в языке L назы-
вается максимальное множество {qp, = qp/(v0) • ф/— формула L}
формул, совместное с Т. Максимальное множество {qp, s
= qp/(vo, qp/ — формула L} формул, совместное с тео-
рией Т в языке L, есть п-тип этой теории. Максимальное множе-
ство формул {qp/(и0, bi, ..., bn): bi B, qpz = ^i(vQ, ..., vn) —
формула языка L} с параметрами из В, совместное с тео-
рией Т в языке L(S), называется 1-типом теории Г, соответ-
ствующим алгебраической системе S3 в языке L(B).
5.2. Теорема. Счетная теория Т в исчислении предикатов,
обладающая бесконечными моделями, имеет модель 51 в каждой
бесконечной мощности и, реализующую ровно счетное число ти-
пов над любым счетным подмножеством множества А.
Замечание. Из доказательства теоремы 5.2 будет следо-
вать, что если Т есть счетная теория в ю-логике, обладающая
(о-моделями мощности >Ра для каждого а е ©i, то она имеет
192
ГЛ. Б. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
(о-модель 51 в каждой бесконечной мощности х, удовлетворяю-
щую заключению теоремы 5.2.
Доказательство. Мы покажем, что если х— бесконеч-
ный кардинал и Ф является Э. — М. множеством формул для
скулемовской теории Т, то ^#(Ф, х), где х— множество ордина-
лов <х, реализует только счетное число типов над произволь-
ным его счетным подмножеством С. Каждый элемент из ^#(Ф, х)
соответствует скулемовскому терму /(%0, ...» Кг), ^ех,
ко < . • • < К. Элементы счетного множества С соответствуют
термам, в которых К являются элементами некоторого счетного
подмножества С' cz х. Множество С' называется поддержкой
множества С. Тип данного терма /(Хо, ..., Кг) над множеством
С определяется термом /(и0, ..., vn) и расположением элемен-
тов К в упорядоченном множестве С'. Множество Cf является
вполне упорядоченным, поэтому существует только счетное чис-
ло возможностей продолжить конечное подмножество в нем. Так
как имеется только счетное число скулемовских термов /(и0, . • .
..., и«), то найдется только счетное множество типов, соответ-
ствующих С. □
5.3. Теорема. Счетная теория Т, имеющая определимое
бесконечное линейное упорядочение, имеет неизоморфные мо-
дели в каждой несчетной мощности.
Доказательство. Применяя только что доказанную тео-
рему, мы должны лишь указать модели §1 мощности х coi, реа-
лизующие несчетное множество 1-типов над счетным подмноже*
ством С с А. Предположим, что Т — скулемовская теория;
пусть линейное упорядочение определяется формулой <р(ио, Ui)
и пусть <Х, <> — линейно упорядоченное множество мощности
(01, содержащее (всюду) плотное счетное подмножество W. Для
каждого элемента х X добавим константу к Г, а также пред-
ложение <р(%о, %i), если и только если х0 > Хь Расширенная тео-
рия 7\ непротиворечива и, следовательно, имеет модель в каж-
дой несчетной мощности х. Каждая модель 31 теории Т\ реали-
зует несчетное множество типов над счетным подмножеством W,
так как каждое х X определяет отличное от других сечение,
соответствующее W. □
Макинтайр и Шелах [1] привели великолепный при-
мер использования теоремы 5.1. Они доказали существование в
каждой несчетной мощности х неизоморфных универсальных ло-
кальных конечных групп. Следующий материал заимствован из
их работы.
5.4. Определение. Группа G называется универсальной
локально конечной, если:
(1) G — локально конечная группа, т. е. каждая конечно по-
рожденная подгруппа является конечной;
(2) каждая конечная группа изоморфно вложима в G;
§ 5 ТИПЫ И МОДЕЛИ ЭРЕНФОЛХТЛ-МОСТОВСКОГО
193
(3) если Gi и G2- изоморфные конечные подгруппы группы
С, то существует внутренний автоморфизм G, отображающий
Gi на G2.
Известно, что существуют универсальные локально конечные
группы в каждой бесконечной мощности х. Произвольная ло-
кально конечная группа бесконечной мощности х может быть
вложена в универсальную локально конечную группу мощности
X для каждого % х. Все счетные универсальные локально ко-
нечные группы изоморфны.
Теория универсальных локально конечных групп G является
предложением Т языка LW1C0. Это предложение Т получается,
если учитывать следующие обстоятельства:
(1) перенумеровав счетное множество таблиц произведений
Dg. конечных групп G/, можно показать, что каждое конечное
подмножество элементов из G удовлетворяет одной из этих таб-
лиц и что для каждой таблицы Dq. существует конечное под-
множество множества G, которое удовлетворяет ей;
(2) если каждое из двух конечных подмножеств множества
G удовлетворяет одной и той же таблице Dor то существует
внутренний автоморфизм группы G, переводящий одно множе-
ство на другое.
5.5. Теорема. В каждой несчетной мощности к сущест-
вуют неизоморфные универсальные локально конечные группы.
Доказательство. Теория Т локально конечных групп мо-
жет рассматриваться как предложение языка L^. Так как из-
вестно, что локально конечные группы существуют в каждой бес-
конечной мощности, то заключение теоремы 5.2 может быть при-
менено к теории Т.
Может быть найдена локально конечная группа Г мощности
0)1, реализующая coi различных типов над некоторым счетным
подмножеством С cz Г. Группа Г вложима в универсальную ло-
кально конечную группу произвольной мощности х (01.
Пусть S3 — симметрическая группа от трех элементов. Тогда
S3 имеет два порождающих а, р, а2 = е, Р3 = е, ар #= р<х. Де-
картона степень Нн всякой конечной группы является локально
конечной. Следовательно, S3 — локально конечная группа. Труп-
па S3 содержит счетное подмножество
С^±{ар если n = i, то af(n) = a; если п=£1, то Л/(п) = е}.
Выберем множество Р, состоящее из on отличных друг от
друга подмножеств (о. Группа S30 содержит множество Ср, где
Ср {сх (п): если п е X, то сх (п) = е\ если п ф X,
то сх(п) — $, ХеР}.
Заметим, что cx-ai — а^сх, если и только если igX. Таким
7 Справочная книга, ч. 1
194
ГЛ. 5. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
образом, для различных элементов X, Y множества Р, подмно-
жества элементов множества С, с которыми перестановочны
сх и су, также различны. По этой причине Сх и су имеют разные
типы над С. Пусть Г — группа, порожденная множеством
С U Ср в Зз- Группа Г, как подгруппа локально конечной груп-
пы, также локально конечная, имеет мощность coi и реализует coi
типов над счетным множеством С. □
Кратко обсудим (о-стабильные теории, опуская доказатель-
ства.
5.6. Определение. Полная теория Т называется ста-
бильной в х или х-стабильной, если число 1-типов, реализуемых
в произвольной модели 91 теории Т над произвольным подмноже-
ством С множества Л, |С| х, самое большее х.
Замечание. Легко видеть, что мы придем к эквивалент-
ному определению, если «1-тип» заменить на «n-тип» для произ-
вольного п 1.
5.7. Теорема. Если Т стабильна, то Т будет х-стабиль-
ной для всех х, х со.
5.8. Определение. Пусть 91— алгебраическая система,
X — подмножество А и Sn — симметрическая группа от п эле-
ментов. Тогда n-арное отношение R называется связным над X
в 91, если для каждой последовательности <х0, ..., хп-\) из п
различных элементов множества X существует такой элемент
s^Sn, что §11= R (xS(o), ..., xS(n-d) ; оно называется антисимме-
тричным над X в 91, если существует такой s е Sn, что §11=
|== ~| /? (^s(O), • • • , Xs(n—1)) .
Замечание. Если 91 = <Х, <> — линейный порядок, то
< — антисимметричное связаное бинарное отношение над X.
5.9. Теорема. Не существует модели 91 ^-стабильной тео-
рии Т, содержащей бесконечное подмножество X, над которым
существует антисимметричное связное отношение R.
Доказательство. Один из вариантов теоремы 5.1. □
5.10. Определение Линейное упорядоченное множество
<Х, О, где X—подмножество алгебраической системы 91, на-
зывается однородным над подмножеством В cz Л, если для всех
строго упорядоченных последовательностей х0 < ... < хп и
уо < ... <уп элементов X и всех формул ф(и0, Vi, ...» vn, ...
..., vn+m) языка L
® Ф Uo, %п> bn+lt •••> ^n+m)
эквивалентно
91 (= ф (z/o, • ••» У nt bn+\t •••> bn+m)t
tw параметры bi являются произвольными элементами В.
5.11. Теорема. Пусть Т — ^-стабильная теория, х— регу-
лярный несчетный кардинал, 91 — модель теории Т мощности х
§ 6. ТЕОРЕМЫ О РАЗБИЕНИИ ДЛЯ БОЛЬШИХ КАРДИНАЛОВ
195
и В — некоторое подмножество А мощности <х. Тогда 31 содер-
жит подмножество X мощности х, которое является однородным
относительно В.
Отличительной особенностью этой теоремы является утвер-
ждение о том, что модель 31 может содержать большое однород-
ное множество X. Используя теорему 5.9, можно показать, что
формулы, выполняемые на последовательностях элементов X,
безразличны к его упорядочению. Таким образом, в контексте
теоремы 1.1 Эренфойхта — Мостовского модели J?(<D, X) для
о-стабильных теорий полностью аналогичны примеру свободных
групп, обсуждаемому в § 1.
§ 6. Теоремы о разбиении для больших кардиналов
и конструктивный универсум
Мы представим теорему о разбиении, которая позволит дока-
зать существование Э. — М. множества Ф такого, что ^(Ф, X)
вполне упорядочено, если вполне упорядоченным является мно-
жество X. Это условие на множество Ф необходимо, если мы
желаем применить результаты о моделях ^(Ф, X) в теории
множеств.
Множество всех строго упорядоченных конечных последова-
тельностей ординалов из х, где х — кардинал, х= {X: X — орди-
нал <х}, будем обозначать х<ш.
6.1. Определение. Подмножество У кардинала х назы-
вается однородным для разбиения Р множества х<о на непере-
секающиеся множества, если У("> содержится в одном из клас-
сов разбиения для каждого п. Этот класс разбиения может за-
висеть от п.
В настоящем параграфе наше внимание будет сконцентриро-
вано на таких кардиналах х, для которых х-> ((о1)2<(й. Сущест-
вование кардинала х с таким свойством не может быть доказано
в ZFC. Однако это следует из аксиомы, утверждающей, что пер-
вый такой кардинал является слабо компактным, сильно недо-
стижимым и, на самом деле, большим, чем наименьший карди-
нал, удовлетворяющий комбинаторным свойствам, упоминаемым
в тексте главы 3 «Теории множеств». Следующая теорема восхо-
дит к Роуботтому. Доказательство можно найти у Морли [1].
6.2. Теорема. Если х-> то х-> (©j)^0.
6.3. Теорема. Предположим, что х->((о^0 и что теория
Т обладает вполне упорядоченной моделью 31 мощности х. Тогда
31 содержит однородное множество У мощности <oi и Э, — М.
множество Ф, удовлетворяемое строго упорядоченными наборами
элементов множества У, обладает тем свойством, что если (X,
7*
196
ГЛ. 5. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
О вполне упорядоченное, то модель Л?(Ф, X) также вполне
упорядоченная.
Доказательство. Пусть Т — скулемовская теория и
91 — скулемовская модель Т. Обозначим упорядочивание 91 через
С. Счетное множество формул языка L* определяет разбиение
91<(0 на 2° классов. В 91 существует подмножество Y мощности
<01, которое является однородным для этого разбиения. Пусть
Ф — множество формул, удовлетворяемое строго упорядочен-
ными наборами элементов из У. Предположим, что для некото-
рого вполне упорядоченного множества <Х, <> Л(Ф, X) не яв-
ляется вполне упорядоченным. *#(Ф, X) содержит счетную убы-
вающую цепь Zo > Zi > ... > zn> ... Последовательность
{zn, п е со} имеет счетный носитель С cz X; каждый zt имеет
представление в виде некоторого терма /(х0, ..., хл), Xi е С.
Так как С — счетное вполне упорядоченное множество, то суще-
ствует сохраняющее порядок отображение f множества С в од-
нородное множество У мощности <oi, У cz А. Отображение f ин-
дуцирует элементарный мономорфизм ^#(Ф, С) в Л(Ф, У). Тог-
да ^#(Ф, С) есть элементарная подмодель модели 91; таким об-
разом, % содержит счетную убывающую цепь fz0 > fz\> ...
... > fzn > ..., что противоречит тому, что < вполне упорядо-
чивает А. □
6.4. Теорема. Если теория Т удовлетворяет условиям тео-
ремы 6.3, то существует Э. — М. множество Ф формул теории Т,
которое, удовлетворяя заключению теоремы 6.3, обладает тем
свойством, что для каждого скулемовского терма t множество
¥ содержит формулы
(1) /(О0> ...»
s—* (»0, • • • > t*m+n) “ fro, • • • > °m> ^m+n+Ь • • • > Vm+2n)>
(2) vn<t(vQ, o„_i, t»„+I.....vm)
-*Vn+l<Mfo, •••> fn-l. ОЯ + 1..Vm).
Доказательство. Рассмотрим модель ^#(Ф, coi), где
Ф — Э. — М. множество, существование которого утверждается в
теореме 6.3. Пусть Р — множество всех однородных подмно-
жеств У мощности coi, содержащихся в «<(Ф, coi), и пусть Г =
= {X: X есть со-й элемент У относительно вполне упорядочива-
ния < множества М, УеР}. Тогда Г обладает минимальным
элементом Пусть Zg Р есть однородное множество, у кото-
рого со-й элемент есть и пусть Т — Э. — М. множество, удо-
влетворяемое строго упорядоченными наборами элементов Z. □
В качестве упражнения предлагается показать, что если
не содержит формул (1) или (2), соответствующих некоторому
скулемовскому терму t, то t может привести к однородному для
§ б ТЕОРЕМЫ О РАЗБИЕНИИ ДЛЯ БОЛЬШИХ КАРДИНАЛОВ
197
яК(Ф, coi) множеству мощности со-й элемент которого строго
меньше чем
В дальнейшем предполагается, что читатель знаком с систе-
мой аксиом теории множеств, которая обсуждается в главе I
«Теории множеств».
Пусть Т есть обычная система аксиом теории множеств Цер-
мело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) плюс аксиома кон-
структивности V = L. Если Т обладает моделью, ординалы ко-
торой имеют порядковые типы Л, Л^х, х->(со1)2<0, то тео-
рема 6.3 утверждает, что 91 содержит множество ординалов Y
мощности coi, которое является однородным в 91. В этом случае
оказывается возможным доказать существование Э. — М. мно-
жества Т, называемого замечательным, которое, помимо фор-
мул вида (1) и (2), приведенных в формулировке теоремы 6.4,
содержит формулы вида
(3) • • > vn_i) < vn
для каждого скулемовского терма t в языке L*.
Для замечательного Э. — М. множества ординалы модели
х), где х — несчетный кардинал, не только вполне упоря-
дочены, но и имеют порядковый тип х. Таким образом, по тео-
реме Гёделя об изоморфизме ^(Ф, х) изоморфна модели
<{F(a), а < х}, б>, где F(a) перечисляет множество, конструи-
руемое на уровне а.
Воспользовавшись принципом рефлексии, легко показать, что
х), где х—несчетный кардинал, в действительности яв-
ляется элементарной подсистемой конструктивного универсума.
Из того, что Т—замечательное Э. — М. множество, следует,
•что если а — предельный ординал и р > а, то ординалы
а) являются начальными сегментами ординалов модели
р). Таким образом, изоморфизм между ^(Ф, cai) и
<{Г(а), а < <£>1}, е> определяет изоморфизм Л(Ф, со) на
<{F(a), a < ₽}, е> для некоторого счетного предельного орди-
нала р. Так как ^#(Ф, со) <<(Ф, coi) и Л(Ф, coi) является эле-
ментарной подсистемой конструктивного универсума L, то
<{f(a), a<p}, е> также является элементарной подсистемой
конструктивного универсума.
Сейчас мы в состоянии сделать некоторые выводы о разме-
рах конструктивного универсума L в предположении существо-
вания кардинала х,
Определимый элемент конструктивного универсума L необ-
ходимо является определимым элементом каждой его элемен
тарной подсистемы. В частности, каждое определимое множе-
ство из L есть элемент элементарной подсистемы <{F(a), а <
<< р}, е>. Но тогда с внешней точки зрения каждое определи-
193
ГЛ. 5. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА
мое множество из L счетно. Таким образом, множество кон-
структивных подмножеств со является счетным с внешней точки
зрения на L, но имеет мощность <х>1 с точки зрения универсума L.
Используя технику доказательства теоремы 5.2, можно пока-
зать, что множество конструктивных подмножеств произвольного
кардинала х имеет мощность х, если смотреть’ на L со стороны.
Конечно, с точки зрения самого универсума L множество всех
подмножеств х имеет мощность 2х. Конструктивный универсум:
в действительности имеет небольшие размеры и значительно от-
личается от того, что имеется в «реальном» мире, в котором,,
например, существует кардинал х, х—
Вспомним, что формулы языка ZF могут быть эффективно за-
кодированы натуральными числами. Множество кодов, соответ-
ствующих формулам замечательного Э. — М. множества 4е, в
литературе принято обозначать 0*. Конечно 0* — не конструк-
тивное множество. Даже существование большого кардинала
х, х -> приводит к тому, что относительно простое мно-
жество 0* не конструктивно. С другой стороны, если мы пред-
полагаем существование счетного комбинаторного свойства о
том, что множество натуральных чисел 0* должно присутство-
вать в нашей модели, то тем самым мы высказываемся некото-
рым образом и о размерах конструктивного универсума. Суще-
ствование 0*, счетного комбинаторного свойства, четко опреде-
ляет границы конструктивного универсума. Более подробные
сведения об этом можно найти уСильвера [1].
ЛИТЕРАТУРА
Макинтайр и Шелах (Macintyre A., Shelah S.)
1. Uncountable universal locally finite groups. — 1976.
Морли (Morley M.)
1. Partitions and models. — In: Proceedings of the Summer School in Logic,
Leeds 1967/Ed. M. H. Lob. Berlin: Springer, 1967.
Сильвер (Silver J.)
1. The bearing of large cardinals on constructibility. — In: Studies in Model
Theory/Ed. M Morley. Buffalo (N. Y.): Math. Assoc. Amer., 1973.
Чэн и Кейслер (Chang С. C., Keisler Н. J.)
1. Model Theory. — Amsterdam: North-Holland, 1973. [Русский перевод:
Кейслер X. Дж., Чэн К. К. Теория моделей. — М.: Мир, 1977Д
Глава 6
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРИВЫХ
И ПОВЕРХНОСТЕЙ *)
/С Д. Строян
СОДЕРЖАНИЕ
*§ 1. Робинсоновская формулировка принципа Лейбница..............199
2. Элементы инфинитезимального исчисления......................210
*§ 3. Непрерывная кривизна и дифференциалы.......................220
$ 4. Соприкасающиеся кривые.....................................224
$ 5. Исследование поверхностей Гауссом..........................228
Литература....................................................233
§ 1. Робинсоновская формулировка принципа Лейбница
Интуитивные представления о бесконечно больших и беско-
нечно малых числах интересны для большинства людей. Эти
представления в том или ином виде были основными понятиями
дифференциального и интегрального исчислений в течение почти
двух столетий после того, как эти исчисления были изобретены
Ньютоном и Лейбницем. Недавно понятие бесконечно малого
числа было положено на прочную основу, причем так, что при
этом сохранилась интуитивная привлекательность таких чисел и
не возникло противоречий. В этой главе мы приводим некото-
рые основные применения бесконечно малых при изучении гео-
метрии кривых и поверхностей, обеспечивая строгость рассу-
ждений в ясном геометрическом стиле Гаусса. Кроме того, мы
полагаем, что этот подход проливает свет на интуицию Римана
и других, которая может показаться удивительной современному
математику, а именно на то, что условия равномерности кри-
визны позволяют самым непосредственным способом подойти
к обычным теперь «С^-предположениям. Условия равномерной
*) По стилистическим соображениям мы часто переводим термин in fin i-
iesimal как прилагательное или наречие «инфинитезимальный» или «инфини-
тезимально», как существительное — «бесконечно малое число» или просто
«бесконечно малое». Иногда это приводит к отклонениям от привычной тер-
минологии, например вместо традиционного словосочетания «исчисление бес-
конечно малых» появляется словосочетание «инфинитезимальное исчисле-
ние». — Прим, перев.
200
ГЛ 6 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
гладкости первой производной настолько просты и естественны^
что их легко можно использовать на уровне знаний студентов
первого курса, миновав при этом некоторые технические труд-
ности, возникающие при обычном подходе. Наконец, современ-
ные дифференциальные формы могут быть получены факториза-
цией бесконечно малых, что обеспечивает прямую связь с Гаус-
сом — инфинитезимальный подход может быть автоматически
«модернизирован».
Введение в математику бесконечно малых в конце семнад-
цатого века послужило источником большого спора, спора»,
который не был разрешен математически вплоть до 1960 г. Это
решение, возможно, все еще широко не понято. В конце восемнад-
цатого века Даламбер попытался основать исчисление на поня-
тии предела, чтобы разрешить это затруднение. В конце девят-
надцатого столетия благодаря исследованию и влиянию Вейер-
штрасса метод «эпсилон — дельта», родственный древнегрече-
скому «методу исчерпания», стал основным аппаратом «взятия
пределов» в анализе. Больцано предложил этот метод приблизи-
тельно на пятьдесят лет раньше, но на него не обратили внима-
ния. Деятельность Коши, систематически использовавшего пре-
делы, которые он определил с помощью бесконечно малых чи-
сел, обеспечила связь между позицией Лопиталя, автора пер-
вого руководства по исчислению бесконечно малых, трактовав-
шего бесконечно малые числа как метафизический факт, и пози-
цией Вейерштрасса. В годы после Вейерштрасса метод «эпси-
лон— дельта» царил так безраздельно, что, по-видимому, счи-
талось, что бесконечно малые числа не могут трактоваться не-
противоречивым образом. Но в конце концов подход Лейбница
был реабилитирован.
В 1961 г. Абрахам Робинсон [1] дал точную формули-
ровку математического принципа, предложенного Лейбницем
для обращения с бесконечно малыми числами. Лейбниц рас-
сматривал бесконечно малые числа как «полезную фикцию», а
не как метафизический факт и был занят правилами, которым
они подчиняются. Он сформулировал принцип, что «идеальные
числа» должны иметь те же самые свойства, что и «конечные
числа», и наоборот, но он не уточнил, к каким свойствам это
должно относиться. Например, имеется явное противоречие с ак-
сиомой полноты или с вполне упорядочением натуральных чи-
сел. Современный логик воспринимает эти примеры как причи-
няющие беспокойство формулы «высшего порядка» — формулы
с кванторами по множествам, а не только по числам. Аксиома
Архимеда составляет даже более трудную проблему, к которой*
сам Лейбниц не обращался. Средства современной теории мо-
делей, изучающей связь между формальными языками и алге-
§ I. РОБИНСОНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ЛЕЙБНИЦА 201
<5раическими системами, дают ту основу, на которой Робинсон
смог сформулировать принцип Лейбница.
Формальный язык обычного анализа имеет в силу теоремы
Гёделя о полноте или теоремы компактности (см., например,
предложение 2.7 главы 1) интерпретацию в нестандартной мо-
дели. Нестандартные расширения могут быть получены также
с помощью метода ультрастепеней, рассмотренного в главе 3.
Простая алгебраическая теорема говорит, что если имеется
собственное расширение упорядоченного поля вещественных чи-
сел, то это расширение неархимедово, т. е. содержит бесконечно
малые числа и обратные им бесконечно большие числа. Кроме
того, формальное предложение, интерпретация которого истинна
в стандартной модели, имеет истинную интерпретацию в нестан-
дартной модели, и наоборот. Это и есть правило Лейбница. Но
возникает трудность: почему свойство «архимедовости» не имеет
силы в нестандартной модели в противоположность изложенной
нами алгебраической аргументации? Или, говоря более техни-
чески: как можете вы применять принцип компактности к языку
высшего порядка? Ответ состоит в том, что Робинсон для фор-
мального анализа предложений в языке высшего порядка ис-
пользует язык первого порядка, следовательно, интерпретация
предложений, выражаемых в языке высшего порядка, в нестан-
дартной модели оказывается слабее, чем их неформальный
смысл. Но каким образом теория первого порядка может быть
полезна в анализе...?
Здесь мы набросаем эскиз идеи и подкрепим ее примерами.
Единственная формальная тонкость — это осторожность, кото-
рую следует проявлять по отношению к кванторам. Прежде
всего, не допускаются кванторы «для всех х» и «существует у»,
а допускаются только ограниченные кванторы, например «для
каждого положительного е в R» и «существует элемент п в N»-
По-настоящему хитроумной частью этого рассмотрения в не-
стандартной модели является то, что кванторы по множествам
должны действовать на конкретном множестве множеств. Все
множества, которые встречаются в классическом анализе, полу-
чают нестандартные расширения при отображении, обозначае-
мом «*». Лейбницевское перенесенное свойство получается при-
менением * к каждому множеству, входящему в данное предло-
жение,— это называется *-изображением. Свойства, выразимые
в логике первого порядка, переносятся без изменений, но свой-
ства, выразимые в логиках высших порядков, имеют ограниче-
ния на свои кванторы — в области действия преобразованного
квантора лежат только внутренние множества.
Одно подходящее определение «класса всех множеств, кото-
рые встречаются в классическом анализе», начинается с опреде*
202
ГЛ. 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ления суперсистемы над множеством атомов (или праэлемен-
тов):
Хо — бесконечное множество атомов;
Xk+t=0>( U
\n - 0 /
наконец,
и xk.
k eN
Мы начнем с рассмотрения случая, когда Хо = R (множество
действительных чисел как множество атомов). Позднее нам
придется строить суперсистему на другом множестве атомов.
Вещественные функции суть элементы ЗВ, так как функции «яв-
ляются» множествами упорядоченных пар, а упорядоченные
пары «являются» множествами {{а}, {а, Ь}}. Евклидовы про-
странства R" и все их подмножества суть также элементы <2?.
Классические пространства Z2(N), Lp[0, 1], Н°°(1)) и т. д. все
являются элементами ЗВ.
Элементы ЗВ называются вещами, а теория множеств ве-
щей обеспечивает потребности классического анализа. Алгебраи-
ческая система (Я?, е) называется суперсистемой. Язык пер-
вого порядка для е с ограниченными кванторами описывает
теорию множеств вещей, где мы всегда имеем
Vx [х е Л => ... ] или Зу [у <= В& ... ],
причем А и В — вещи из ЗВ. В нашем языке L(e) есть по од-
ной константе для каждого элемента из ЗВ. Каждая константа с
языка в свою очередь имеет интерпретацию 1(c) в ЗВ. Например,
р из L может обозначать вещь /(p)=R. Это — стан-
дартное интерпретирующее отображение. Мы можем представ-
лять себе любое свойство из анализа выраженным в терминах
теории множеств и, следовательно, в терминах отношений е и
= суперсистемы. Это и есть то, к чему мы применяем нестан-
дартное расширение.
1.1. Принцип Лейбница. Существует множество ато-
мов Уо, суперсистема бу, основанная на Уо, и отображение * су-
персистем ЗВ в бу, *\ ЗВ удовлетворяющие следующим ус-
ловиям:
(i) * JR = У 0 — отображение множества атомов в ЗВ в множе-
ство атомов в бу,
(ii) Расширение *R множества R является существенным:
множество *R гипервещественных чисел собственно содержит aR,
°R = {*r: г eR}, стандартных вложенных чисел, в частности
в *R имеется ненулевое бесконечно малое число.
(iii) Каждое высказывание a(ci, c2t ...) о ЗВ, формализо-
ванное в языке L(e) с ограниченными кванторами, истинно в
§ I. РОБИНСОНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ЛЕЙБНИЦА OQg
ЗВ тогда и только тогда, когда *-изображение a(*Ci, *^2, . •.), по-
лученное из a(ci, С2, •..) заменой каждой константы этого вы-
сказывания ее ^-изображением, истинно в *ЗВ.
Доказательство. Применяем теорему компактности
(теорема 2.4 главы 1) к объединению множества высказываний
из L(e), интерпретация которых в ЗВ истинна, и бесконечного
множества высказываний, утверждающих, что се/-ЦК), но
{с =#= /-1 (г)': reR}, где «с» — новая константа, которая еще не
встречалась. Каждая конечная часть полученного множества
Рис. 1. Картина *^, показывающая обрубленные «бесконечные типы» и внеш-
нюю часть
формул выполнима, поэтому оно имеет модель Эй. (Чтобы полу-
чить этот же результат, мы можем вместо теоремы компактно-
сти применить основную теорему об ультрапроизведениях из
главы 3.)
Теперь мы применяем метод сжатия Мостовского к фундиро-
ванной части Эй (см., например, 3.7 главы 7). Это дает нам ос-
новное множество *R как сжатую интерпретацию константы
/-1(R). Остаток от сжатия Эй лежит внутри суперсистемы на *R.
Формулы с ограниченными кванторами относятся только к этой
части, так что наша теорема доказана. Сжатие показано на
рис. 1.
Мы рассматриваем нестандартную модель *ЗВ нашего языка
как собственное элементарное расширение ЗВ (относительно
формул с ограниченными кванторами), вложенное в суперси-
стему основанную на множестве *R гипервещественных чи-
сел. Тот факт, что мы вкладываем *ЗВ в т. е. имеем «настоя-
щее» е в качестве интерпретации в нестандартной модели, ва-
жен для того, чтобы возможно было иметь дело как с внутрен-
ними, так и с внешними множествами. Все новые конструкции
будут основываться на внешних множествах, но они будут во-
влекаться в важные взаимодействия с внутренними множества-
ми. □
Теперь мы приведем несколько примеров и следствий прин-
ципа Лейбница. Примером в логике первого порядка является
204
ГЛ. в. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
коммутативность сложения:
/{VxVz/[(xep&z/e=p)=>(x4-z/ = z/4-x)]}, где/(р) = R,
«для каждых х и у из области действительных чисел R х + у
равно у 4- х». *-изображение:
Г{VxVz/[(х<= р&г/ер)=>(х4-У = г/4-х)]}, где /'(р) = *R,
«для каждых х и у из области гипервещественных чисел *]?
х + у равно у + х». Подобным же образом все аксиомы логики:
первого порядка для упорядоченного поля переносятся на *R.
Заметим, что мы расширили сложение, которое можно понимать
как тернарное отношение S = {(х, у. z): х + у = z\ х, у, z <= R}.
Обычно не принято писать звездочку на операциях, подобных:
+, •, или на стандратных функциях, так как это расширение
однозначно понимается на стандартных точках.
Аксиома Архимеда, «для каждого положительного действи-
тельного числа х имеется натуральное число п такое, что х >-
> 1/п>,
/{Vx3n[х g R=>[n е N&[x > 1 /п]]]},
преобразуется в
/' {Vx3n [х €= *R =Ф [п е *N& [х > 1/п]]]}
при неправильном употреблении обозначений, включающих кон-
станты для R и *R, N и *N, отношения «меньше чем» и деле-
ния: «каждое положительное гипервещественное число меньше
чем 1/п для некоторого положительного гиперцелого». Будучи
вынуждены расширить границы для квантора существования*
мы получаем не аксиому Архимеда, а то, что каждое бесконечно'
малое число больше обратной величины некоторого бесконеч-
ного целого числа из расширения *N множества натуральных чи-
сел. Числа 1, 2, 3 и т. д. из N, каждое из которых имеет единст-
венное расширение в *N, мы называем вложенным стандартным
множеством °N = {*п: neN} и обычно не заботимся о том*,
чтобы писать *1, *2 и т. д. для знакомых чисел. Положение, ко-
торое мы хотим доказать, состоит в том, что в *N имеются бес-
конечные числа
В действительности каждое бесконечное множество А из класси-
ческого анализа расширяется собственно:
\4-aA=/=0,
где М — расширение множества А.
§ I. РОБИНСОНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ЛЕЙБНИЦА 205
Множество
° А = {*а: а е Л}
есть (внешне) вложенное стандартное множество. Мы иссле-
дуем это далее в следующем примере.
1.2. Определение. Бесконечно малые задаются так:
о = {х e*R: | х | < 1/п для каждого п aN}.
Мы пишем х ж у, если (х— у) о, и говорим, что х инфините-
зимально близко к у. Кольцо конечных чисел задается так:
О = {х е *R: | х | < п для некоторого п е aN}.
Бесконечные числа'. *Roo = *R — 0.
Помимо «инфинитезимально близко», можно также говорить
«бесконечно близко» или просто «близко». Мы говорим, что ги-
первещественное число Ь является «почти стандартным», если
существует a eaR такое, что а ~ Ь.
Так как *N — aN =И= 0, то существуют бесконечные целые
числа Й, Й + 1,3-й, Й2, Й°. Все они в силу принципа Лейбница
различны. Например, предложение «для каждого xeR х +
+ 1 =И= х» говорит, что Й + 1 =И= й и т. д. (Отметим, что, следо-
вательно, ни кардинальные, ни ординальные числа в канторов-
ском смысле не могут служить в качестве *N.) Обратные вели-
чины 1/Й, 1/Й° суть бесконечно малые.
Алгебраически можно суммировать свойства конечных и бес-
конечных чисел следующим образом:
1.3. Теорема. 0 есть упорядоченное кольцо, содержащее
о в качестве максимального порядкового идеала, а 0/« есть
порядок, изоморфный R, т. е. каждое конечное гипервеществен-
ное число бесконечно близко к своей стандартной части aR. Мы
обозначаем канонический гомоморфизм через «st»,
или иногда через й = st (а).
Мы опустим доказательство (см. Робинсон [2] или
Строян и Люксембург [1]). Из этого следует одно важ-
ное наблюдение: конечное число, умноженное на бесконечно ма-
лое, есть бесконечно малое. Теорема дает полезную картину, ко-
торую Кейслер [1] называет инфинитезимальным микроско-
пом (рис. 2).
Две точки в *R конечно удалены друг от друга, если (х —
— у) 0. Например, целые числа й, Й± 1, й ±2 и й + л для
п eaN конечно удалены друг от друга. Заметим, что й/n для
п °N является бесконечным и бесконечно удалено от й, что
справедливо также для n-й и й“. Бесконечный телескоп гово-
206
ГЛ 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
рит, что каждая галактика, или класс эквивалентности конеч-
ного числа, выглядит как копия С. Это вытекает из принципа
Лейбница, примененного к предложению «перевод есть изомет-
рия», плюс последняя теорема, относящаяся к описанию О.
Наш последний пример *-изображения состоит в следующем.
Полнота R говорит: «каждое множество В в множестве-степени
множества R, ограниченное сверху, имеет наименьшую верхнюю
грань»,
/ {У В [(В g= (R) &3у [у g= R & Ух [х е= В х < у]])
=>В6 [6 R&Vz [z е R=>[Vw[w B=>w < z]=> b г]]]]}.
Константы этого формального предложения на самом деле суть
/^(^(•R)) и /-’(R), и /-1(^). Его *-изображение го-
Ргс. 2. Инфинитезимальный микро-
скоп: «а» есть единственное стан-
дартное число в поле зрения.
ворит, что каждое множество Be
e*[^(R)], имеющее верхнюю
грань, обладает наименьшей верх-
ней гранью. Не всякое подмноже-
ство множества *R появляется в
*^(R); справедливы следующие
включения (все строгие):
CT^(R)c:>(R)<=^(*R).
Иными словами, ^-полнота — не
то же самое, что полнота в *R.
Множество бесконечно малых не
имеет наименьшей верхней гра-
ни, так как половина конечного
числа является все еще верхней гранью, а дважды бесконечно
малое больше, чем одно бесконечно малое (использование
принципа Лейбница применительно к высказыванию «для каж-
дого положительного хе R 2х > х»). Следовательно,
Конечно,
o^*^(R).
oge^(*R)
— бесконечно малые образуют подмножество гипервеществен-
ных чисел.
1.4. Определение Если А — вещь в SB, то и А и расши-
рение *А считаются стандартными множествами. Стандартные
множества суть элементы °&(Xk) для некоторого k N.
Элементы В е стандартных множеств называются
внутренними. Например, внутренние подмножества множества
*R суть элементы множества *^(R). Множество
{xe*R; x>Q) = [Q, оо)
§ 1 РОБИНСОНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ЛЕЙБНИЦА 207
является внутренним множеством в *^(R), но не в a^(R), когда
Й бесконечно. Оно является внутренним в силу принципа Лейб-
ница, примененного к утверждению «для каждого а R [а,
oo)e^(R)». Внутренние множества — это те, «о которых
знает» формальный язык; любое формальное свойство, относя-
щееся только к внутренним множествам, само описывается как
внутреннее множество. Символ «оо» не является гипервещест-
венным числом.
Остальные множества в суперсистеме, основанной на *R, на-
зываются внешними.
Мы доказали, что бесконечно малые образуют внешнее мно-
жество, т. е. что — (*^(R)). Заметим, что существо-
вание внешних множеств в нашей модели заставляет нас погру-
зить *сЕ в теорию множеств (или одновременно иметь дело с вну-
тренними множествами в двух теориях множеств). В этом со-
стоит различие между нестандартной моделью инфинитезималь-
ного анализа и стандартными нестандартными моделями теории
множеств (которые не обязательно должны быть «фундирован-
ными»).
Пространство непрерывных функций С[0, 1] расширяется до
*-непрерывных функций *С[0, 1], т. е. принцип Лейбница гово-
рит, что каждая f е *С[0, 1] есть вещественная функция на мно-
жестве {/e*R: 0 х 1} = *[0, 1]. *-непрерывные функции
удовлетворяют *-изображению эпсилон — дельта-непрерывности
(непрерывности в терминах эпсилон — дельта).
Взаимодействие между внутренними и внешними множества-
ми — это то, что делает теорию Робинсона полезной. В качестве
последнего примера рассмотрим внутреннюю функцию f(x) —
= sin(ttQx) для бесконечного й е *Noo. Мы знаем, что f яв-
ляется *-непрерывной: «для каждого sin(jtnx)е *С[0,
1]». Сказали бы вы, что она непрерывна в стандартном смысле?
Что есть f(0)? f (^й)?
Мы используем данную формулировку «идеальных чисел»,
чтобы очертить инфинитезимальное исчисление в духе Лейбни-
ца — Робинсона и затем развить инфинитезимальную геометрию
в духе Гаусса, но сперва завершим настоящий параграф, попы-
тавшись поместить вклад Робинсона в историческую перспек-
тиву. Мы весьма поощряем нашего читателя свериться (по ра-
боте Робинсона [2]) с собственными взглядами Робинсона
на историю исчисления бесконечно малых. Мы убеждены, что
решение Робинсоном проблемы Лейбница является одним из
главных результатов математики двадцатого века. Спустя почти
три столетия Робинсон положил первоначальную интуитивную
формулировку исчисления на такой прочный фундамент, как ос-
новы современной математики. Кроме того, мы убеждены, что
208
ГЛ б ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
инфинитезимальные методы окажутся полезными в современной
чистой и прикладной математике и что имеются веские основа-
ния считать, что бесконечно малые числа и *-конечные множе-
ства могут помочь сделать разнообразные запутанные пределы
более ясными и понятными.
Хотя Лейбниц чувствовал, что идеальные числа должны
иметь непротиворечивую трактовку, он осознавал противоречия
и заявлял, что инфинитезимальные рассуждения могут быть за-
менены рассуждениями «в духе Архимеда». Точная формули-
ровка последнего утверждения — открытая проблема (см. Ро-
бинсон [3], проблема одиннадцать). Что касается противоре-
чивости, то ньютоновские флюксии также этим страдают.
Беркли [1] превосходно описал трудности, связанные с от-
брасыванием «членов высших порядков» и сохранением равен-
ства (см. также Ньюмен [1]). Это побудило его назвать бес-
конечно малые числа «приведениями отсутствующих величин».
Беркли показал, что флюксии были не более непротиворечивы.
В ретроспективе мы не можем не удивиться, почему эквивалент-
ность «... бесконечно близко к ...» не отличали от «... равно ...».
Мы увидим, что в гауссовой дифференциальной геометрии, кро-
ме инфинитезимального отношения «^» (см. 1.2), фундамен-
тальную роль играют бесконечно малые относительно другой
бесконечно малой. Они соответствуют отбрасыванию «членов
второго порядка» и сохранению «членов первого порядка».
Методы Лейбница вызвали огромное развитие исчисления, и
до некоторой степени эти результаты на время затемнили ле-
жащие в основании противоречия. Тем не менее Эйлер, напри-
мер, из-за своего открыто выражаемого скептицизма проверял
свои результаты многими методами. Его большая осторожность
и проницательность отражаются в том, что его доказательство
одной из его наиболее фундаментальных лемм, формулы приве-
дения (к виду, удобному для логарифмирования) для sin х было
переведено в робинсоновскую теорию бесконечно малых и ока-
зались правильным! (См. Люксембург [2] и Строян и
Люксембург [1].)
Лагранж и Даламбер пытались изгнать бесконечно малые
числа и решить проблему оснований около конца восемнадца-
того столетия. В то время утверждение Лейбница, что инфини-
тезимальные рассуждения могут быть переформулированы в
духе Архимеда, было не столь очевидно, но даже и после Вейер-
штрасса, введшего «8 — б», Риман считал оба метода коррект-
ными, хотя вейерштрассовский метод более «конкретным». По-
мимо внутренней заинтересованности в вопросе оснований, ана-
лиз в конце девятнадцатого столетия усложнился так, что чет-
кие различия между сходимостью и равномерной сходимостью,
между непрерывностью и равномерной непрерывностью стали
§ I РОБИНСОНОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ЛЕЙБНИЦА 209
необходимы, особенно для тригонометрических рядов и вариа-
ционного исчисления. Интересно отметить, что Риман приравни-
вал равномерную непрерывность к условию Коши
х у влечет f (х) « f (у)
и что в 1853 г. Коши вынужден был модифицировать свое вве-
денное в 1821 г. инфинитезимальное определение сходимости к
виду, который исключал бы приведенный в 1826 г. контрпример
Абеля. Коши доказал, что ряд непрерывных функций имеет не-
прерывный предел. Робинсон [2], с. 273 показал, что этот
пересмотренный вид эквивалентен равномерной сходимости и
действительно дает правильный результат. Мы будем пользо-
ваться относительно простым понятием «равномерно дифферен-
цируемо», которое эквивалентно «непрерывно дифференцируе-
мо» и которое показывает, что определение Гаусса поверхности
с «непрерывной кривизной» действительно означает «С'-вложен-
ная» в современной терминологии, «На удивление» более силь-
ные свойства, получаемые инфинитезимальным изменением
двух вещей, — это одна из сильных сторон метода Робинсона.
Приблизительно в то же время, когда Вейерштрасс устано-
вил метод «8 — б», Кантор создал свою теорию кардинальных и
ординальных чисел, до некоторой степени побуждаемый к это-
му опять-таки вопросами, связанными с тригонометрическими
рядами. Бесконечные числа Кантора нарушают принцип Лейб-
ница, так что бесконечные числа Робинсона являются полностью
другой теорией, хотя этот факт, конечно, не влечет никакого кон-
фликта. Большой прогресс в теории меры и топологии, вызван-
ный канторовской теорией, повлиял, без сомнения, на современ-
ную неприязнь к бесконечно малым числам, но этот успех не
означает, что имеется только один вид бесконечного числа. Мы
надеемся, что математическая общественность признает нали-
чие (по меньшей мере) двух видов бесконечных чисел.
Автор недостаточно квалифицирован, чтобы комментировать
философские следствия вклада Робинсона, и он отсылает чита-
теля по крайней мере к заключительным замечаниям в работе
Робинсона [3].
В годы, последовавшие за реабилитацией Робинсоном беско-
нечно малых чисел, его идеи развились в нескольких направле-
ниях. Кейслер [1] осуществил простое аксиоматическое раз-
витие бесконечно малых чисел, подходящее для начинающих
изучать анализ. Подход Кейслера к исчислению по большей ча-
сти избегает формальной логики и обеспечивает ясное непроти-
воречивое введение в исчисление с тем сильным интуитивным
духом, который всегда имели бесконечно малые. Его книга трак-
тует также и метод «эпсилон — дельта», где он возникает есте-
ственно и, по существу, в численной аппроксимации. Более того.
210
ГЛ. 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
при владении бесконечно малыми повышаются вычислительные
навыки студентов. Йенсен [1] дал машинно ориентированный
вариант инфинитезимального исчисления, в котором бесконечно
малые числа суть бесконечно точные вычисления идеальной ма-
шины. Исследование Саливена [1] использует подход Кей-
слера применительно к разнообразным категориям и показы-
вает, что этот подход является волнующим и практичным учеб-
ным методом.
Многие исследователи, особенно сам Робинсон, показали, ка-
кую роль играют бесконечно малые числа в современной ал-
гебре и анализе. Широкий спектр вопросов анализа трактуют с
точки зрения бесконечно малых чисел две монографии: Р о -
бинсон [2] и Строян и Люксембург [1]. Важной
частью этого исследования является показ того, как изобретен-
ные вслед за методом «эпсилон — дельта» разделы могут быть
изложены в инфинитезимальном духе; этот процесс часто дает
новую ясную перспективу. Например, в 1969 г. Беренс закончил
новую работу над ограниченными голоморфными функциями в
терминах бесконечно малых чисел и в последующем сделал за-
метный прогресс в изучении аналитической структуры макси-
мальных идеалов и в проблеме Короны. Беренс [2] намечает
инфинитезимальный подход к этой работе и делает интересные
новые предположения. Другие примеры этого имеются в упомя-
нутых выше монографиях, в трех публикациях симпозиумов:
Люксембург [11, Люксембург и Робинсон [1],
Хурд и Лёб [1J, а также в заметках Маховера и
Хиршфелда [1] и в математической литературе (Джон-
сон [1]). Мы уверены, что специалисты во многих областях на-
шли бы процесс переформулировки открытых проблем в терми-
нах робинсоновских инфинитезимальных оснований благодар-
ным и увлекательным. Поскольку бесконечно малые числа часто
упрощают сложные «процедуры нахождения пределов», то дли-
тельная тяжелая работа возможно также показывает, что нераз-
решимые прежде проблемы лежат в пределах наших возможно-
стей. Мы полагаем, что этот процесс потребует интуиции и уси-
лий, но мы также надеемся, что во многих случаях он приведет
к значительному прогрессу, если попытаться заняться им
всерьез.
§ 2. Элементы инфинитезимального исчисления
Мы начинаем наше развитие исчисления с показа того, что
«С1» может быть определено непосредственным образом. «Эпси-
лон — дельта»-вариант этой теоремы «хорошо известен», но, по
нашему мнению, его оценивают неадекватно. В действительно-
сти свойство равномерной дифференцируемости лежит в основе
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
211
многого из дифференциального и интегрального исчислений. Мы
начинаем с глобального одномерного случая, чтобы сосредото-
читься на главном.
2.1. Теорема. Пусть f: R-> R — стандартная веществен-
ная функция. Следующие утверждения эквивалентны'.
Рис. 3. Равномерная дифференци-
руемость в а под инфинитезима-
льным микроскопом.
Рис. 4. Инфинитезимальные секу-
щие и касательные для х2 sin (л/х).
(i) Существует стандартное отображение Df: R->R такое,
что всякий раз, когда х есть конечное число в *R, a 8z есть не-
нулевое бесконечно малое число в *R, имеем
(Это называется равномерной дифференцируемостью.)
(ii) Для каждого стандартного a^aR существует конечное
число \а такое, что всякий раз, когда хх у я а в *R, х ф у,
то имеем
у — х
(Это называется локальной равномерной дифференцируемостью
в а.)
(iii) Функция f непрерывно дифференцируема в эпсилон —
дельта-смысле.
Условие (i) будет наиболее полезно нам в дифференциальной
геометрии. Оно также является главной составной частью до-
казательства основной теоремы, которое мы приводим; это до-
казательство по существу такое же, как у Коши. Эта же идея
лежит в основе теорем о замене переменных и о дивергенции,
теоремы де Рама и других теорем, требующих «С1»-предположе-
ний. Она также тесно связана с локальным потоком или беско-
нечно малым преобразованием «СЬ-векторного поля (через
«С^теорему Пикара»).
Условие (ii) под инфинитезимальным микроскопом показано
на рис. 3.
212
гл. 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Условие (ii) является более слабым требованием в том смы-
сле, что мы могли бы потребовать, чтобы оно выполнялось в
единственной точке ae°R. Беренс [3] и Нейенхёйс [1]
показывают, что это условие в одной точке может заменить С1-
предположение в теореме об обратном отображении. Кроме того,
равномерные частные производные влекут равномерные полные
производные. Условие (ii) является, вероятно, самым легким
для формулировки в терминах эпсилон — дельта — мы остав-
ляем это в качестве упражнения.
Функция х2 sin (л/х) не является равномерно дифференци-
руемой в нуле. Как может проверить читатель с помощью вы-
числений, использующих принцип Лейбница, если у = 1Д Q —
— т) и х = 1/^’ то ^У/^х ~ ±2, Df* = ±л и — 0. Этот
пример ясно указывает на то, что недостаточно проверить усло-
вия для одного значения 6z или только для х= а (но это не-
большая цена за непротиворечивость бесконечно малых чисел).
Читателя просят также начертить под инфинитезимальным ми-
кроскопом g(x) = |х| в точке х = 0.
Заметим, что в рассматриваемом примере прямым вычисле-
нием устанавливается, что (f(6z) —f(0))/6z « 0 для всех бес-
конечно малых чисел бг (см. рис. 4; нуль на этом рисунке не по-
казан); ср. это с теоремой 2.2.
Доказательство теоремы 2.1. Пусть заданное х бес-
конечно близко к Сначала покажем, что (i) влечет
Dfx « Dfa. Пусть z— конечное число, б = (х— а) и 6z есть «б,
умноженное на z>. Условие (i) в х говорит:
f (х + 6z) — f (х) = Df а • 6z -t- б • т|
для некоторого ц « 0. Мы также можем применить это условие
в точке а, чтобы получить
f (х + 6г) — f (а) + f (a) — f (х) = Dfa • (х + 6г — а)
— Dfa • (х — а) + б • £ = Dfa • 6г + 6 • £, где £ « 0.
Теперь вычтем эти два равенства, разделим на 6г и увидим, что
Dfx « Dfa.
Из этого вытекает условие (ii), так как
~^х~1 ~ Dfx ~ Dfa,
a Dfa является обязательно стандартным числом, поскольку оно
есть значение стандартной функции в стандартной точке. Это
показывает, что (i) влечет (И).
$ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
213
Мы разделим доказательство того, что (ii) влечет (iii), на
несколько шагов. Теоремы 2.2 и 2.3 доказываются ниже.
2.2. Теорема. Пусть f — стандартная вещественная функ-
ция и а^ Следующие утверждения эквивалентны:
(i) (в *R) Существует стандартная константа b такая, что
всякий раз, когда х ж а в *R, имеем (f(x) —f(u))/{x — a)^b.
(ii) (в R) Функция f определена в окрестности точки а, и
существует число b е R, удовлетворяющее условию: для каж-
дого 8G R+ существует 6eR+ такое, что ]х— а| < б влечет
— f(a))/(x — a) — &| < е.
Теорема 2.2 показывает (используем условие (ii) при х или
у, равном а, и b = st (Да)), что f дифференцируема в эпсилон —
дельта-смысле. Более того, мы можем использовать ее, чтобы
(внешним образом) определить стандартное отображение Dfa =
= st(Aa). (Это определение является внешним в том смысле, что
оно задает значения Df только для стандартных значений а.)
Мы можем в свою очередь применить принцип Лейбница к
условию (ii) в 2.2, к расширению функции x*—>Dfx и к фиксиро-
ванному стандартному е > О, чтобы убедиться, что «существует
6g*R+ такое, что |х — у\ < б влечет \(f(y)—f(x))l(y—
— х) — Dfx \ < в». Если мы выберем х » 8 « 0 и к тому
же применим условие (ii), то мы можем заключить, что Dfx
« Dfa. (Заметим, это доказывает, что (ii) влечет (i).)
2.3. Теорема. Пусть g — внутренняя вещественная функ-
ция, и Следующие утверждения эквивалентны:
(i) g(x) « g(a) всякий раз, когда х ж а.
(ii) Функция g определена в стандартной окрестности точки
а, и для каждого 8^aR+ существует 6e°R+ такое, что |х—
— а | < 6 влечет | g (х) — g (а) | < е.
Робинсон называет эти эквивалентные условия S-непрерыв-
ностью в а.
Теорема 2.3 показывает, что Df непрерывна в смысле эпси-
лон — дельта в каждой стандартной действительной точке. В са-
мом деле, полагая g = *Df = Df в силу соглашения не ставить *
на функции и применяя принцип Лейбница для стягивания этого
условия к стандартной модели, получаем, что если eeR+, то
{б е R+: | х — а | < б влечет | Dfx — Dfa | < е}
не пусто.
Мы показали, предполагая верными теоремы 2.2 и 2.3, что
(i) <=> (ii) => (iii). Условие (iii) влечет (i), так как ввиду не-
прерывности и теоремы 2.3 Dfy « Dfa всякий раз, когда у ж а.
Если (i) не выполняется, то
•"!/(*+ &*) — fW] = £>/x + 0, где 0#О.
214
ГЛ. 6 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
В силу *-изображения теоремы о среднем значении существует
у между х и х + 6z такой, что Dfy = Dfx + 0 и либо DfyQ&Dfa>
либо Dfx f&Dfa.
Для доказательства теорем 2.2 и 2.3 характерно то, что в
них с инфинитезимальными условиями обращаются, как с усло-
виями на конечные величины. Общая формулировка принципа не-
прерывности (который в шутку мы называем принципом Коши)
заключается в следующем. Мы обогащаем L(^) путем добав-
ления полной «диаграммы» *^, т. е. формальных констант для
каждого внутреннего множества. Мы расширяем чтобы вклю-
чить эти добавленные константы.
2.4. Принцип Коши. Если Р(х)—внутреннее формаль-
ное свойство с ограниченными кванторами и свободной перемен-
ной х и если Г{Р(ц)} справедливо для каждого бесконечно ма-
лого числа ц, то 1'{Р(х)} справедливо для всех х меньших, чем
некоторое стандартное б, |х| < б.
Этот принцип был даже обобщен Люксембургом на тополо-
гические пространства (см. Строян и Люксембург [1]).
Доказательство. Как мы показали в § 1, бесконечно
малые числа о составляют внешнее множество. Множество
{8e*R: Vx[ |х| < б=^Г {Р(х)}]}
является внутренним и, по предположению, содержит все беско-
нечно малые числа; поэтому оно содержит и не бесконечно ма-
лое число б. П
Доказательство теоремы 2.2. (i) влечет (ii). Пусть
задано .8 aR+. Следующее множество является стандартным»
так как его описание включает только стандартные константы:
{б *R: [ х — а | < д влечет, что f (х) определена
и|т^.6|<Е}.
Условие (ii) следует из принципа Коши или, с другой стороны,
из того, что вышеприведенное множество не пусто в *R, а по-
этому в силу принципа Лейбница оно не пусто также и в R.
(ii) влечет (i). Пусть х а в *R. Применим принцип Лейб-
ница к (ii) для фиксированного стандартного положительного
8 и стандартного б из (ii). Так как |х—а|<б, когда б стан-
дартно, то мы знаем, что отношение бесконечно малых разно-
стей лежит в эпсилон-окрестности Ь. Но эпсилон произволен, так
что (i) выполняется. □
Интерпретация Лейбница для
df
dx
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
215
может быть теперь получена как общая стандартная часть всех
- х * f (а + дх) — f (а)
отношении бесконечно малых разностей ——при
условии, что они все имеют общую стандартную часть. (Ниже
мы выйдем за эти рамки и интерпретируем как df, так и dx.)
Упражнение. Вычислить dPjdx, где Р — полином, ис-
пользуя *-биномиальную теорему применительно к (а + бх).
Доказательство теоремы 2.3. (i) влечет (ii). Так
как g—внутренняя функция, то свойство Ре(л): «Iх — а1 < Л
влечет, что g(x) определена и |g(x) —g(a) | < е» также вну-
треннее. При условии, что е стандартно и положительно, приме-
няется принцип Коши и это дает (ii).
(ii) влечет (i). Пусть х ж а, так что |х— а] <б всякий
раз, когда б стандартно и положительно. Тогда условие (ii) вле-
чет, что |g(x)—£(а)| <е для любого стандартного положи-
тельного эпсилона. Следовательно, g(x) ~ g(ci). □
Мы повторяем вопрос последнего параграфа: является ли
внутренняя функция f(x) = sin(nQx) непрерывной в стандарт-
ном смысле?
2.5. Определение. Пусть /: [а, 0] —► R — стандартная
функция. Чтобы определить интегралы Римана на [а, Ь], мы де-
лим интервал на *-конечное число бесконечно малых подынтер-
валов а = хо < < • • • < = b таких, что x(k-\) ~ xk для
1 k Q; внутренне выбираем у*, X(A>-i) Pk xki и вычис-
ляем *-конечную сумму
Е —хи-ii
k = 1
Если все эти римановы суммы бесконечно малых бесконечно
близки к одному и тому же конечному результату, то мы назы-
ваем общую стандартную часть интегралом
f (х) dx.
а
Мы разберем это определение детально, так как оно не-
сколько сложно. Прежде всего, термин ^-конечное означает
*-изображение «конечного» из стандартной модели. «Конечное»
в 35 может быть записано так: «существуют neN и биекция из
{&GE N: 1 k п} на Р», поэтому *-конечное разбиение есть
просто внутренняя биекция из множества {&e*N: 1 k Q}
на подмножество множества [а, Ь]. Примером этого служит про-
сто разбиение на равные части
Xk = l.(b-a) + a,
UQ
216
ГЛ 6 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Слова «внутренне выбираем yk* означают, что у^ также яв-
ляется внутренней функцией из в [а, Ь]. Так как
функция S на стандартной модели определена для всех конеч-
ных множеств вещественных чисел, то ее нестандартное расши-
рение определено для всех *-конечных множеств гипервещест-
венных чисел; поэтому *-конечная сумма существует в *R. В то
время как *-конечная сумма всегда существует, две *-конечные
инфинитезимальные суммы Римана необязательно должны быть
бесконечно близкими. Например, пусть f—индикатриса рацио-
нальных чисел: f(x) = 1, если х рационально; f(x) = O, если х
иррационально. Тогда *-иррациональные уь дают нулевую сум-
му, а *-рациональные yk дают сумму, равную (Ь — а); интеграл
не существует.
Весьма просто усмотреть, что внутренняя конечная S-непре-
рывная функция действительно будет давать общую стандарт-
ную часть для всех инфинитезимальных сумм Римана. Напри-
мер, если Zk и yk — два выбора точек для оценки, то
Q Q
У. 2 f(dk)^xk < max | f (zk) — f (ук) | • (b — a),
k = 1 fe = 1 1< k
и внутренний *-конечный максимум достигается при zk ~ у^
так что f(Zk) ~ f(yk)> Подобным же образом различные раз-
биения имеют общее измельчение в силу принципа Лейбница,
примененного к высказыванию «конечные разбиения имеют об-
щее измельчение». Суммы почти равны на общем измельчении,
и каждая сумма на измельчении почти соответствует сумме на
первоначальном разбиении. Это, в частности, показывает, что
непрерывные стандартные функции являются интегрируемыми
по Риману и что для таких функций всякая инфинитезимальная
ь
сумма Римана может использоваться для оценки ^f(x)dx =
а
/ Q X
= st( S f (#*) )• (Вполне возможно, что это не демонстри-
\/г = 1 /
рует «эпсилон — дельта»-вариант интегрируемости по Риману,
но наше определение эквивалентно ему, и, вероятно, Риман не
возражал бы против бесконечно малых чисел.)
2.6. Основная теорема исчисления, (i) Пусть f:
[a, b] -*R— непрерывная стандартная функция, и пусть F(x) =
X
= f (/) dt\ тогда
а
(dF/dx)(x) = f(x),
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
217
(ii) Пусть F (х) — равномерно дифференцируемая функция
в окрестности интервала [а, &]. Тогда
ь
J (dFjdx) (х) dx = F (&) - F (а).
а
Доказательство. По принципу Лейбница
л + бг
62 • min [f (/)] «С ( f (0 dt ^62 • max [/ (/)];
когда бз а 0, имеем minf(/) a f(t) a maxf(/), поэтому
независимо от того, какое бесконечно малое число мы выбираем.
Это доказывает (i).
(а Коши). Пусть {хА: О k Q} — инфинитезимальное
разбиение. По условию (i) из 2.2
dx v х^ — Xk-i
где « 0 для 1 k Q. Следовательно,
Q Q Q
Е dT (**)Дх* == Е U7 (**) — F (^*-1)] + Е
Л = 1 их Л = 1 Л-1
и
Q Q
Е ПаЛ** <тах(|г]*|) • £ = |т)т| • (б — а) ~ О,
л-1 л-1
в то время как
Q
£ [F(xJk)-F(x*_1)] = F(&)-F(a)
к -1
в силу переноса формулы для телескопических сумм. Это дока-
вывает (ii). □
Нам нужна равномерная дифференцируемость в форме для
«нескольких переменных». (Банахово многообразие в действи-
тельности не труднее.) Пусть MsR" — подмножество « мер-
ного пространства при некотором фиксированном конечном п.
Метрика на R" имеет расширение в *R",
/ Д
I^-KI^IE^-^)2) ,
X/ - 1 /
218
ГЛ. 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
и мы говорим, что вектор Х = (х', хп) примыкает в беско-
нечно малом (инфинитезимально примыкает) к вектору У, если
|Х-У|~0 в *R.
Легко видеть, что это эквивалентно тому, что х> ~ 1 я.
Мы также могли бы говорить, что X «бесконечно близок к» У
или «почти равен» У. Вектор В является «почти стандартным»»
если существует стандартный вектор А такой, что В « А. Век-
тор X конечен, если ]Х| конечно в *R. Стандартная часть ко-
нечного вектора X есть стандартный вектор
st(X) = (st(х1), st(x2), ... , st(хп)).
Мы приводим несколько результатов, чтобы указать, как
можно трактовать в терминах инфинитезимальных чисел топо-
логию подмножеств из Rn. Вместо того чтобы иметь дело с мо-
надой (с бесконечно малой окрестностью) стандартной точки»
т. е. всеми X е *R" такими, что X « Д, мы будем иметь дело
с относительной монадой, т. е. всеми такими, чтоХ « Д.
2.7. Теорема. Стандартное подмножество [/еМ является
топологической ^-окрестностью точки A^U, если и только
если всякий раз, когда X « А, X е *М, имеем X е *(J, т..е. при
условии, что *U содержит относительную *.М -монаду точки Д.
Доказательство. Применим принцип Коши к высказы-
ванию
«*{/ содержит внутреннее множество В(т])П*М»,
где В(т]) = |Х— Д| < т]}. Затем применим принцип
Лейбница к стандартному S, полученному из принципа Коши»
так, чтобы получить
«U содержит В(6)ПМ» без*.
Обратное немедленно следует из принципа Лейбница. □
2.8. Теорема. Стандартное множество 1/еМ является М-
плотным, если и только если всякий раз, когда *U примы-
кает в бесконечно малом (инфинитезимально близко) к стан-
дартной m е °|М, имеем m е QU. Точнее, последовательность
{Хп} сходится к А, если и только если Xq « А для бесконечного
натурального числа й е *Моо.
Доказательство теоремы 2.8 или 2.9 см. у Робинсона [2]
или у СтроянаиЛюксембурга [1].
2.9. Теорема. Стандартное множество U М является
М -компактным тогда и только тогда, когда каждая точка X е
*С/ близка к некоторой стандартной точке и GU.
Например, открытый единичный интервал (0, 1) не компак-
тен, так как *(0, 1) = {хе *R: 0 < х < 1} содержит 'беско-
нечно малые числа е 0, но не содержит самого 0. Натураль-
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
219
ные числа — не компактное множество, так как *N содержит
бесконечное натуральное число Q, не являющееся близким ни к
какой стандартной точке.
Обозначим пространство линейных отображений из R"1 в R"
через Lin(Rw, Rrt). Внутреннее линейное отображение есть эле-
мент из *Lin(Rm, Rn). Конечное внутреннее линейное отображе-
ние есть отображение, имеющее конечную sup-норму или, экви-
валентно, имеющее конечные скаляры в матричном представле-
нии его относительно стандартных базисов, или, эквивалентно,
отображающее конечные векторы в конечные векторы.
2.10. Теор ем а. Пусть f: U-+Rn — стандартная функция,
определенная на U R"1. Тогда следующие утверждения экви-
валентны'.
(i) Существует стандартное отображение Df: {7->Lin(R'n,
R") такое, что если х близка к некоторой стандартной точке из
°U и если 8z бесконечно мала в *R'n, то
t(x + 6z) — f (х) = Dfx (dz) +1 i>z I • T)
для некоторой бесконечно малой
(ii) Для каждой стандартной точки a имеется конеч-
ное внутреннее линейное отображение La такое, что если х «
« у « а, то
f(y) — f (x) = La(y — x)-r|z/ — x| .Г]
для некоторой бесконечно малой »]£ *хл.
(iii) U открыто и f непрерывно дифференцируема на U.
Доказательство. Модифицируйте доказательство тео-
ремы 2.1. □
Производные более высоких порядков задаются в инфините-
зимальных терминах следующими условиями равномерности.
2.11. Малая oh-формула Тейлора. Пусть f: U->
->Rn— стандартное отображение на U R"1. Следующие утвер-
ждения эквивалентны:
(i) Существуют стандартные отображения Lh: U-+-
-»• SLin/l(R'n, Rrt), симметричные h-линейные отображения из
Rw в R" такие, что если х близка к стандартной точке в *U, а 8
бесконечно мала в *Rm, то
k
f(x + dz) = £ -1 Lhx (6z)<A) + || dz |ft • n
для некоторой i), бесконечно малой в *R".
(ii) U открыто и f Ck(U; F).
Отображения Lh суть производные h-го порядка от f, т. е. Dhf.
Доказательство. См. Строян и Люксембург
[1], §§ 5, 7, 9.
220
ГЛ. 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
§ 3. Непрерывная кривизна и дифференциалы
Третья глава великолепной работы Гаусса Disquisitiones ge-
nerales circa superficies curvas (Гаусс [1]) начинается так:
«Говорят, что кривая поверхность обладает непрерывной
кривизной в одной из своих точек Д, если направления всех пря-
мых линий, выходящих из А к точкам поверхности на бесконеч-
но малом удалении от Д, бесконечно мало уклоняются от одной
и тойг же плоскости, проходящей через Д. Говорят, что эта пло-
скость касается поверхности в точке Д».
Этим мотивируется следующее определение.
3.1. Определение. Подмножество M^Rrt есть т-много-
образие с непрерывной кривизной, если только имеется стан-
дартное отображение Т точек М в аффинные m-мерные плоско-
сти в R", удовлетворяющее условиям:
(i) Если А еМ, то Та содержит Д.
(ii) Для каждой почти стандартной точки А е ортого-
нальная проекция множества *М на Та отображает множество
точек В е *М таких, что В « Д, на множество точек b е Та та-
ких, что b « Д.
(iii) Для каждых почти стандартных Д и В е *М та*
ких, что В » Д, если В — А = t + п (где t лежит в Та, а п —
нормаль к Та), то |п|/|В— Д| ~ 0.
Условие (i) говорит, что привилегированная m-плоскость,пе-
ресекает М в Д. Условие (ii) говорит, что в бесконечно малом
М имеет размерность по меньшей мере т. Условие (iii) говорит,
Что угол отклонения от тангенциальной составляющей бесконеч-
но мал. Важно, что мы обходимся со всеми почти стандартными
точками из *М одинаково, иначе мы получим только «дифферен-
цируемое», а не «СЪ-многообразие. Заметим, что (iii) запре-
щает как неправильно вложенные многообразия, так и петли
(рис. 5).
3.2. Теорема. Если М — tn-многообразие в Rrt с непрерыв-
ной кривизной в смысле Гаусса, то М есть С1-tn-многообразие в
смысле Вейля с картами, заданными локальной проекцией на
тангенциальные плоскости.
«(^-многообразие в смысле Вейля» означает обычное аб-
страктное определение многообразия, М покрывается атласом
карт, где каждая карта есть гомеоморфизм <р из подмножества
множества |М на m-мерный шар. Карты удовлетворяют условию
перекрытия, при котором, если отображение определено
для двух карт, то оно есть (^-отображение из Rw в Rm.
Доказательство. Во-первых, покажем, что если А и В
почти стандартны на *М, А & В, то Та почти параллельна Тв.
(Или, эквивалентно, так как А ж В, касательные плоскости
имеют одну и ту же стандартную часть, т. е. имеется стандарт-
§ 3 НЕПРЕРЫВНАЯ КРИВИЗНА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
221
ная плоскость Р такая, что st(T^) = st(Ts) = Р.) Пусть 6 =
= |В—А | #= 0. Единичные векторы st ((В—Л) /6) =—st ((Л—
— В)/б) лежат на пересечении вЦТа)П st(Ts). В силу (iii) мы
имеем
В-Л n4 1 tA
6 — д д ~ д ’
нормаль + касательная в Та, и
Л — В пв tB tB
6 — + “5 б” ’
нормаль + касательная в Тв; следовательно, tA/$-tB/§ ж—1 и
проекция одного на другой имеет одну и ту же стандартную
Рис. 5.
часть. Это упрощает наши обозначения: пишем В — A ^6tA
вместо (В — Л)/б tA/6 и т. д. На основании (ii) в имеют-
ся точки С, D такие, что б = |С—А| = |D — В|, а угол между
С — А и D — В совпадает с углом, который образует Та с Тв.
Кроме того, согласно (iii) С—А ж 6 tc в Та и D—В ж 6 tD в Тв.
Итак, С — А А — В ~ ^tc tB ~ tc — tA ~ & С — В, так что
Та почти параллельна Тв, поскольку образующие угол векторы
лежат б-почти в Та и вТв:
О ~6’(С — A) -(D-В).
Во-вторых, ортогональное проектирование из М на Та одно-
однозначно в инфинитезимальной окрестности почти стандарт-
222
. ГЛ. 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
ного вектора на . Предположим, что В — А = Т + М и С —
— А = Т 4- Af, где М и N— нормали к Тл. Но вектор С — В =
= С— A-j-А — B = N — М лежит почти в Тв согласно (iii) и
почти в Тл, так как Тл почти параллельна Тв. Следовательно,
М = N.
Рассмотрим свойство Р(т]): «ортогональное проектирование
из множества векторов В на *М такое, что ] В — А ] < ц, есть
биекция на свой образ в Тл». Согласно приведенным выше заме-
чаниям Р(ц) выполняется для каждого положительного беско-
нечно малого числа. Принцип Коши показывает, что проектиро-
вание является локальной биекцией.
Возьмем на *М две почти стандартные точки А, В с проек-
циями Ра и Рв, биективными на окрестностях, охватывающих
почти стандартную точку С. Отображения Ра и Рв, определяе-
мые путем пренебрежения нормальной компонентой векторов
смещения, определимы всюду в и, в частности, на Тс. Рас-
смотрим «отражение» Тл на Тв посредством Тс (как схемати-
чески показано на рис. 6): Ч7 = РВ °(Рд 1 |Тс)- Оно является ли-
нейным отображением перемещения из точки Рл(С) в переме-
щение из точки Рв(С). Настоящее охватывающее отображе-
§ 3. НЕПРЕРЫВНАЯ КРИВИЗНА И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
223
ние — это ф = РвоРд 1 т. е. проектирование из Тд на М и об-
ратное проектирование из М на Тв, как схематически показано
на рис. 7.
Без существенного ограничения мы можем полагать, что Тд»
Тв и Тс все встречаются под острыми углами.
Допустим, что с = Ра(С), и пусть а ~ с на Тд. Пусть также
X = Ра 1 (х) • РА непрерывна, так что X ж С, и мы можем при-
менить условие Гаусса, чтобы убедиться, что <р(х) и ф(х) раз-
личаются инфинитезимальным числом, кратным |Х — С|. Для
этого требуется только небольшое тригонометрическое сравне-
ние разницы между отображением из Тс и М, что мы оставляем
читателю. Это показывает равномерную дифференцируемость ф
в С.
Применяя теорему 2.10, мы видим, что охватывающие ото-
бражения принадлежат классу С1. □
Пусть А почти стандартна на ♦М и 0 < S 0. Будем писать
E~6F, если только 'Е — инфинитезимально,
и говорить, что Е «« б-почти равно» F или Е отличается «б-
инфинитезимально» от F. Условие Гаусса означает, что множе-
ство
6М = ( В е *М: । 24 । конечно)
( о )
близко на СЛвекторном пространстве с А в качестве нуля.
Точнее говоря, линейные комбинации в векторов смещения
с конечными скалярами проектируются обратно в бМд с наи-
большей ошибкой, являющейся бесконечно малым числом, если
она поделена на б. Другой способ увидеть это состоит в том, что
б/М отличается только б-инфинитезимально от своей проекции
на Тд и является векторным пространством. Это обеспечивает
связь между бесконечно малыми числами на фиксированной
шкале и дифференциальными формами. Если £—отображение
на М, имеющее в качестве значений стандартные С^ковекторы,
то б-£д + А может мыслиться путем инвертирования проекции
из Тд (и использования охватывающего внутреннего произведе-
ния для изоморфизма вектор — ковектор) почти в бМд. С дру-
гой стороны, если х: —внутреннее конечное отображе-
ние такое, что б-х(А) бМд и х имеет конечную линейную ап-
проксимацию в смысле 2.10, то мы можем интерпретировать
dx
как класс ^^-эквивалентности этого отображения. Употребление
бесконечно малых чисел в локальной геометрии обычно требует
не функции, а только лишь одного-единственного »б-класса воз-
224
ГЛ 6 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
мущений. Теорема существования Пикара для дифференциаль-
ных уравнений позволила бы нам локализовать такого рода ин-
финитезимальное условие. Мы сожалеем об отсутствии места
для того, чтобы проделать это более детально. Читатель может
сам решить, какой путь имелся в виду Гауссом.
Внешняя алгебра пространства бМл может быть теперь по-
строена путем отождествления почти параллелограммов, охва-
тываемых Л, В, С и Д, D, Е, где |В — А |, |С — Д|, |О — Д| и
|'£* — Д| все б-конечны при условии, что {В — Л, С—Л} и {D —
— Д, Е— Д} охватывают одно и то же подпространство Та и
имеют почти одну и ту же площадь после деления на б2 (и т. д.
вплоть до /n-форм). Мы будем называть такую пару элементом
б-площади, если эта площадь, деленная на б2, не является бес-
конечно малым числом.
Мы можем интерпретировать класс (^-эквивалентности отно-
сительно некоторого внутреннего соответствия таких элементов
ё-площади
d22
как 2-форму (и т. д. вплоть до m-форм; полное локальное рас-
смотрение форм дано в книге Строяна и Люксембурга
[1], 5).
§ 4. Соприкасающиеся кривые
Мы начнем наше исследование кривых в R3 с построения со-
прикасающейся окружности — окружности, которая точно ка-
сается кривой в точке на кривой. Мы полагаемся на гауссово
определение 3.1 кривой Г, где m = 1. Мы можем локально пара-
метризовать кривую, взяв за параметр длину и вдоль касатель-
ной (теорема 3.2), а единичные отрезки касательной аппрокси-
мировать посредством
Та | В —Л Г
где ВжА на Г. Робинсон [2] дает инфинитезимальную трак-
товку длины дуги, когда Г задана регулярной гладкой парамет-
рической функцией Х(/). В этом случае
s4 bi )
1А~ ds~ ,( \X(t + bt)~X(t)\\ ’
~dF s4 bt )
если А стандартная, A = X(t), В = X(t + St) ж А. С длиной
вдоль касательной как параметром по 3.1 имеем |Х(«) —Л| =
= (и) (1 + е), так что
4±(Л)=1 И ^-(А) = ^-{А) = Та.
ds 4 ' du ' ' ds
§ 4. СОПРИКАСАЮЩИЕСЯ КРИВЫЕ
225
Рассмотрим теперь нормальное перемещение п точки, беско-
нечно близкой к Л, в случае, когда X дважды непрерывно диф-
ференцируема, п=[Х(б)—А — бТд]. Прежде всего, по фор-
муле Тейлора п у- 62(d2X/du2) (Л) -f- б2п, где т| аг 0, и
(d/du) (dX/du) (Л) = dT/ds(A). Пусть хд = dTfds(A) и хд О,
Р, проходящую через А. Пусть
так что ТА и п задают плоскость
D — пересечение линии, па-
раллельной п, проходящей
через Л, и нормали, восста-
новленной из середины АВ в
плоскости Р, В — X (б).
Треугольники на рис. 8
подобны, поэтому
| £> — Л | _ | В-А |
I В - А | 2|п|
И |В-Л |=б(1 4-е),
и, следовательно,
1 ds
|£<»)|’|£и)Г
Более того, окружность, проходящая через Л и В, с центром в
D имеет стандартную круговую часть, касающуюся кривой стан-
дартную окружность с радиусом 1/|хл|, идущим в направлении
Хл. Это, очевидно, не зависит от выбора 6; фактически Са есть
стандартная часть инфинитезимальной трубки
{У: |У-О|-|хл|« 1}.
Окружность, проходящая через любые три точки F, В, Е, близ-
кие к Л на данной кривой, лежит, как мы сейчас покажем, вну-
три этой трубки. Предположим, что В расположена между F и Е
и | Е — В | > | F — В |. По формуле Тейлора
Е — В = еГв + ухв+ е2т), ~ 1, П « О,
и
В-Г = ф7’в + 4хв + Фгтг^дТ-1, g~0,
так что
В-F Е — В 1 (1+ч>/«) /7. (1 +<г/в) .
в=7Т ' ~Е- в г J -----2—
3 Справочная киш а, ч. 1
226
ГЛ. 6 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Это доказывает, что плоскость FBE близка к соприкасающейся
плоскости. В силу 3.1 угол между В — F и Е — В является ин-
финитезимальным, следовательно, нормальная плоскость, деля-
щая пополам ЕВ, почти перпендикулярна к Тв ~ ТА, и этого до-
статочно, чтобы показать, что радиус г окружности, проходящей
через F, В и £, близок к 1/|хд |. С помощью простых тригономе-
трических выкладок и того факта, что угол между В — F и Е —
— В инфинитезимален, мы видим, что
2г
|£-В|
|(£-B) + ^-(F-B)|
а, используя вышеуказанные расширения Тейлора, что г «
« 1/|ив| ~ 1/|хд|. (Читатель может пожелать восполнить де-
тали. Весьма легко пока-
зать, что окружность, прохо-
дящая через три равноот-
стоящие точки, близка к Сд.)
Пока мы показали:
(dT/ds) (Л) =хд, вектор кри-
визны, нормален к единич-
ному касательному вектору
ТА. Пусть Na=ka/\ka\ обо-
значает главную нормаль.
Вектор (1/| хд | )Мд напра-
влен от Л к центру соприка-
сающейся окружности. Стан-
дартная часть окружности,
проходящей через любые три точки, бесконечно близкие к Л,
равна соприкасающейся окружности.
Вектор кривизны х может меняться двумя способами, ко-
гда мы движемся вдоль кривой: во-первых, увеличиваясь или
уменьшаясь по величине и, во-вторых, отклоняясь от плоскости
начальных касательного вектора и вектора кривизны. Беря че-
тыре равноотстоящие бесконечно близкие точки Л = Х(0), С =
= Х(6), D =Х(26), Е = Х(3б), предполагая, что Х($) е С3, и
используя формулу Тейлора, мы находим, что изменение кри-
визны при переходе от С к D есть
[(£ - D) - (D - С)] - [(£> — С) — (С — Л)] = 63d3X/ds3 + 68 • Y)
(рис. 9).
Читатель должен заметить, что обозначения сильно упро-
щаются, если писать б3-о, подразумевая «б3, умноженное на не-
§ 4. СОПРИКАСАЮЩИЕСЯ КРИВЫЕ 227
который инфинитезимальный вектор», так что
X (2d) = А + 2ЪТ + в- х + -^ • -g- + • О,
X(6) = A + d7’ + -yx + -f 4г + б3-°
и т. д. Это — инфинитезимальная форма исчисления «малых oh»
Ландау, и наше оправдание имени для бесконечно малых чисел.
Изменение единичной нормали при переходе от С к D в силу
(4.2) есть
[(£ — D) — (Z) — С)] ((D -- С) - (С - 4)] * । а п
д2|х| д2|х| °’ |*1
Мы дополняем нашу стандартную подвижную систему коорди-
нат из ортогональных единичных векторов Т и Af = x/|x| бинор-
малью B = T\N. Изменение вышеназванной единичной нор-
мали лежит почти в плоскости векторов Т и В, и оно почти нор-
мально к N, поэтому мы разлагаем его в (Г, В)-координатах:
О = d/ds(u-T) = (du/ds) -Т + |х|2, так что (du/ds)-T =
= —|х|2. Остающуюся часть (кручение) мы обозначаем через
т = | т | В.
По формуле Тейлора T(s + 6) = Т(s) + S|х|N + S-o.
В силу приведенных выше вычислений изменений нормали и
Т-составляющей имеем N(s + S) = W(s) —S|x| Т + S|т|В -f-
+ S ° о. Получаем B(s + S) = В ($) — S|t|jV + S • о просто в си-
лу исчисления «малых oh» вместе с указанными выше форму-
лами в В (s + 6) = T(s + S) X Af (s + S). Подводя итоги, мы
имеем (по модулю «б) формулы Серре —Френе для подвиж-
ной системы координат
dT = |x|Afds,
dN = -l%lTds +^|Bds,
dB = - | т \ N ds.
Сфера, проходящая через четыре точки Л, С, D, Е, содержит
в себе всю эту информацию геометрически. Ее стандартная
часть называется соприкасающейся сферой. Плоскость векторов
Т и N пересекает эту сферу по ранее вычисленной соприкасаю-
щейся окружности. Центр этой сферы лежит выше центра со-
прикасающейся окружности вдоль вектора
где два коэффициента учитывают кручение в плоскости векторов
71, N и спрямление радиуса кривизны соответственно. Мы
8*
228
ГЛ в. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
оставляем вычисления читателю. Заметим:
^ = _|%fr+^lrljV + |x||T|B.
Формулы для движущейся системы координат (репера) при-
нимают простой вид, если вычислить ось вращения при переме-
щении системы координат в С в систему координат в D. Полу-
чается, что
dT = R X Г ds, dN = R%Ndsf dB = RXBds,
где R = |т|T + |x|B. Эти вычисления мы также оставляем чи-
тателю.
§ 5. Исследование поверхностей Гауссом
В этом параграфе мы коротко рассмотрим роль бесконечных
и инфинитезимальных векторов в работе Гаусса [1].
Поверхности, погруженные в Е3, имеют касательные связки
с более простыми описаниями, чем абстрактные многообразия.
При такой постановке мы достаточно выигрываем в ясности и
технической легкости, так что извинение за отсутствие общности
было бы необязательным, даже если бы результаты Гаусса были
не столь глубоки, как в действительности.
В своем «Резюме» работы Disquisitiones generales circa su-
perficies curvas Гаусс утверждал следующее. «В исследованиях,
в которых рассматривается бесконечно много направлений пря-
мых в пространстве, выгодно представлять эти направления по-
средством точек на фиксированной сфере, которые являются
концевыми точками радиусов, проведенных параллельно ли-
ниям. Центр и радиус этой вспомогательной сферы совершенно
произвольны. Радиус может быть взят равным единице. Эта
процедура по существу согласуется с той, которая постоянно ис-
пользуется в астрономии, где все направления относятся к во-
ображаемой небесной сфере бесконечного радиуса». Конечно, ин-
финитезимальный анализ мог бы в точных терминах обеспечить
нам небесную сферу бесконечного радиуса, которую мы могли
бы использовать для того, чтобы проследить исследования Гаус-
са. Но, как отметил сам Гаусс, мы можем также нормализовать
ее, после того как мы так или иначе отобразим различные вещи
на эту сферу.
В главе 4 своей работы Гаусс обозначает через L точку на
вспомогательной сфере, соответствующую единичной нормали к
ТА, и берет точку, бесконечно близкую к А (б-инфинитезимально
отстоящую от А) с координатами х + бх, у + бу, z + 62, если А
имеет координаты х, у, z. Если X, У, Z—координаты L, то ка-
§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГАУССОМ
229
сательное условие Гаусса (в определении 3.1) непосредственно
влечет
(X, Y, Z)-(bx,by,bz)fn60
или после факторизации по модулю
Xdx + Ydy + Zdz = O.
Остальная часть главы 4 посвящена определению того, какой
вид имеет это уравнение, во-первых, когда М задана как нуль-
множество функции W, М = {х: 1Г(х)=0}, во-вторых, когда
М задана двумя отображениями координат, и, в-третьих, когда
z задано как функция от х и у.
В первом случае мы считаем dW классом эквивалентности по
модулю от
IF(x + 6x, у + Ъу> z + 6z)-lF(x, у> z)^dW.
Естественно,
dW = Pdx + Qdy + Rdz,
где
Р~ дх ' ду ' Р~~ дг ’
по теореме 2.10 при условии, что W непрерывно дифференци-
руема. Поэтому
Р cos 1 • к + Q cos 2 • к + R cos 3 • к 0,
так как W не изменяется на М. Это верно для каждого направ-
ления к, проистекающего из (б-конечного) инфинитезимального
перемещения А на М (на основании предположения), следова-
тельно, мы получаем формулу Гаусса для нормальных коорди-
нат:
jjr_______Р _____ у___________2______ =__________—_______
~ ^Р2 + Q2 + R2 ' ~~ ^Р2 + Q2 + Я2 ’ ~ V?2 + Q2 +
или для нормальных координат с противоположным знаком.
Мы оставляем читателю рассмотрение бесконечно малых в
других видах этой формулы.
В главе 5 Гаусс обсуждает локальную ориентацию нормаль-
ного вектора к поверхности. К этому обсуждению мы добавляем
следующее. Соседние касательные плоскости почти параллель-
ны, следовательно, внутреннее утверждение «направление нор-
мали в В образует острый угол с направлением, выбранным
для нормали в А» истинно в инфинитезимальной окрестности
точки А и, так как это множество является внешним, остается
таковым на некотором конечном расстоянии вокруг А. На этом
множестве нормаль под острым углом в В соответствует ориен-
230
ГЛ 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
тации в А. Итак, совместная локальная ориентация также выте-
кает непосредственно из условия непрерывной кривизны Гаусса.
Глава 6 вводит отображение, которое теперь часто называет-
ся гауссовым отображением, а именно, на совместно ориентиро-
ванной части М мы устраиваем перевод А в п(А), А п(А)„
где п(А) —единичная нормаль на вспомогательной сфере.
Полная кривизна части М определяется как площадь ее об-
раза на вспомогательной сфере. Далее мы берем стандартную»
точку А на М и б-элемент площади в смысле предыдущего па-
раграфа. Частное от деления внутренней полной кривизны эле-
мента поверхности на площадь этого элемента поверхности (ко-
торую мы можем вычислить как площадь параллелограмма на
Тл лишь с б2-ошибкой) есть конечное число, стандартную часть
которого Гаусс называет мерой кривизны М в А. Она сущест-
вует и вполне определена независимо от б и конкретного б-эле-
мента площади в силу стандартных результатов инфинитези-
мального исчисления.
Следующее является изложением, с некоторыми изменения-
ми в обозначениях (и, возможно, б-инфинитезимальными разли-
чиями), гауссовской главы 7. Три (б-конечных) инфинитезималь-
но близкие точки Л, В, С на охватывают параллелограмм на
Тл со сторонами АВ н АС, площадь которого в б2-приближении
равна площади его проекции на *М. Это — 6-элемент площади
на в случаях, когда В — А и С — А расположены под конеч-
ным углом и не являются 6-инфинитезимальными. Мы предпо-
лагаем, что имеет место как раз такой случай, и обозначаем;
этот элемент через d2o (по модулю б2).
Элемент площади d2o отображается при отображении Гаусса
п в некоторую фигуру на вспомогательной сфере. Кроме того,.
п(А-\-Е) яз6 п(А) +Ьпа(Е) всякий раз, когда А-\-Е лежит
в 6МЛ. На самом деле п(А + В) = п(Л)+ DnA(E)-[-\E\x]E, и
ошибка ограничена бесконечно малым числом max[ |rie(: А 4-
+ ВедРо]. Таким образом, мы заменяем n(d2o) на aPS— про-
екцию на вспомогательную сферу параллелограмма, охватывае-
мого векторами п(А), п(В) и п(С) на плоскости, касательной
к этой сфере в точке и(Д). Опять-таки, поскольку сфера имеет
равномерно непрерывную кривизну, площадь (по модулю б2)
элемента d2S может быть вычислена либо на сфере, либо на ка-
сательной плоскости в точке п(Л).
Итак, мера кривизны
k (А} ~ ПЛ01цадь
' ' ~ площадь (d2o) *
и мы могли бы использовать известную формулу векторного про-
изведения для соответствующих площадей на соответствующих
касательных плоскостях. Глава 7 является выводом формулы
§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ГАУССОМ
231
для k в случае, когда М задана в третьей гауссовой форме, z —
= у). В этом случае Та не перпендикулярна хг/-плоскости,
и поэтому
площадь (d2Z) площадь (проекция d2Z на -плоскость)
площаць (d2o) площадь (проекция d2o на х£/-плоскость)
Обозначим координаты хг/-проекций так:
А: X, У п(А): X, Y
В: X + 6iX, У + ^У п(В): х + ^х,
С: X + 62*> y + ty п(С): х + ъ2х, Г + 62Г.
’Тогда площади параллелограммов соответственно равны
(М (S2f/) - (М (М, (М) (62Г) - (62Х) (д/). (5.2)
Так как М задана уравнением z = f(х, у), то X и Y суть
•функции от х и у, и
М = X (В) - X (А) «в -g- 6,х + -g 61У,
6Д = X (С) - X (А) g- б2х + -g- М.
6,Г = Y (В) - Y (А) «в g d,x + -g- б^г
V = Y (С) - Y (А) g д2х + — ЬьУ-
Теперь подставим это в (5.2), а затем в (5.1), чтобы полу-
чить выражение
. дХ dY дХ dY
dx ду ду ' дх
с «равенством», а не с «бесконечно близко», ибо обе стороны
этого выражения стандартны.
Инфинитезимальное рассмотрение остальной части главы 7
предоставляется читателю.
В главе 8 Гаусс выводит теорему Эйлера, которая говорит,
что среди кривых, образуемых пересечением М и плоскостей, со-
держащих нормаль, проходящую через А, кривые с максималь-
ной и минимальной кривизной образуют прямые углы. Он также
показывает, что произведение максимальной кривизны на мини-
мальную есть мера кривизны «k = TV». Мы перефразируем это
следующим образом.
Фиксируем точку А на М и выделяем координатную систему
с началом в Л, осью z вдоль нормали к Та и прямоугольными ко-
ординатами х°, у° в Та. Касательное условие Гаусса означает,
что z вблизи А стремится к 0 как бесконечно малая величина
232
ГЛ 6 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
первого порядка. Если М принадлежит классу С2, а (х°, у°, z)—
6-конечный вектор, то
2 = у Т° (х°)2 + U°x°y° + у V° (у0)2 + 62 • о.
Повернув оси х и у на угол 0 такой, что
tg 29= го1уо-,
легко увидеть, что новая формула для z будет
z = у Тх2 + у Vy2 + б2 • и.
(I) Если кривая поверхность пересечена нормальной пло-
скостью, проходящей через оси х и г, то кривизна получающей-
ся кривой равна Т. Знак Т говорит, изгибается ли эта кривая
выше или ниже Та-
(II) Подобным же образом V представляет собой кривизну
сечения нормальной плоскости, проходящей через оси z и у, при
тех же соглашениях о знаках.
(III) Положив x = rcoscp и у = г sin ф, имеем для беско-
нечно малого г равенство
z = у (Т cos2 ф + V sin2 ф) г2 + г2о,
что дает кривизну
Т cos2 ф + V sin2 ф
для сечения М нормальной плоскостью, проходящей через ось
Z под углом ф К ОСИ X.
(IV) Поэтому всякий раз, когда Т = V, все нормальные се-
чения имеют одну и ту же кривизну. Если Т и V не равны, но
имеют один и тот же знак, то одно из них есть максимум, а дру-
гое минимум кривизны всех таких нормальных сечений. С дру-
гой стороны, одно из них соответствует наибольшей выпуклости,
а другое — наименьшей вогнутости, если Т и V имеют противо-
положные знаки.
(V) Мера кривизны поверхности в точке А получает весьма
простое выражение:
k = TV.
Мы убеждаемся в этом вычислением при (х, t/) = (6, 0) и (х, у) =
— (0,6). При этом длина (6,0) на нормализованной сопри-
касающейся окружности равна Гб; (0, 6) нормализуется к V6,
так что площадь (d2S) равна 7V62 mod 62. в то время как пло-
щадь (d2o) равна 62mod62. (В терминах Dn
МоГ vl
ЛИТЕРАТУРА
233
в (х, у)-координатах.) Это доказывает результат Гаусса, содер-
жащийся в главе 8:
5.1. Теорема. Мера кривизны С2-поверхности в точке А
равна произведению экстремальных кривизн нормальных сече-
ний, проходящих через п(А). Эти экстремальные кривизны об-
разуют прямые углы.
Мы верим, что сказанное является достаточным инфинитези-
мальным анализом, чтобы подготовить читателя к последующему
использованию Гауссом бесконечно малых — оно (это использо-
вание) остается привлекательным руководством для дальней-
шего изучения бесконечно малых чисел.
ЛИТЕРАТУРА *)
Беренс (Behrens М. F.)
1. Untitled preprint. — 1969.
2. Analytic sets in — In: Victoria Symposium on Nonstandard Ana-
lysis/Ed. by A. Hurd and P. Loeb. Berlin: Springer, 1974.
3. A local inverse function theorem. — In: Victoria Symposium on Non-
standard Analysis/Ed. by A. Hurd and P. Loeb. Berlin: Springer,
1974.
Беркли (Berkeley G.)
1. A discourse addressed to an infidel mathematician. — In: The Analist:
Collected Works, v. 4, London, 1951.
Гаусс (Gauss C. F.)
1. General Investigation of Curved Surfaces. — Princeton (N. J.): Morehead
& Hiltebeitel, 1902.
Джонсон (Johnson D. R.)
1. Bibliography of Nonstandard Analysis. — June, 1975. — Pittsburgh
(Penns): University of Pittsburgh, 1975.
Йенсен (Jensen A.)
1. A computer oriented version of «non-standard analysis». — In: Contribu-
tions to Non-Standard Analysis/Ed. by W. A. J. Luxemburg and A. Ro-
binson. Amsterdam: North-Holland, 1972.
Кейслер (Keisler H. J)
1. Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. — Prindle, We-
ber & Schmidt, 1976.
Люксембург (Luxemburg W. A. J.)
1. (ed.) Applications of Model Theory to Algebra, Analysis, and Probabi-
lity. — N. Y.: Holt, Rinehart and Winston, 1969.
2. What is nonstandard analysis? — Amer. Math. Monthly, 1973, 80, № 6,
pt. II, p. 38—67.
Люксембург и Робинсон (Luxemburg W. A. J., Robinson A., editors)
1. Contributions to Non-Standard Analysis. — Amsterdam: North-Holland,
1972.
Маховер и Хиршфелд (Machover M., Hirschfeld J.)
1. Lectures on Non-Standaid Analysis. — Berlin: Springer, 1969.
Нейенхёйс (Nijenhuis A.)
1. Strong derivatives and inverse mappings. — Amer. Math. Monthly, 1971,
81, № 9, p. 969—980.
Ныомен (Newman J. R.)
1. The World of Mathematics. — Vol. 1. — N. Y.: Simon and Schuster, 195й
*) Более полную библиографию см. у Джонсона [1].
234
ГЛ 6 ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Робинсон (Robinson А.)
1. Non-standard analysis. — Proc. Roy. Acad. Amsterdam, Ser. A, 1961, 64».
p. 432—440.
2. Non-Standard Analysis. — Revised edition. — Amsterdam: North-Holland,
1974.
3. Metamathematical problems. — J. Symbolic Logic, 1973, 38, № 3, p. 500—
516.
Ca ливен (Sullivan K)
1. The teaching of elementary calculus: An approach using infinitesimals:
Thesis. — Madison (Wise.): University of Wisconsin, 1974. Summary.—
Amer. Math. Monthly, 1976, 83, № 5, p. 370—375.
Строя н и Люксембург (Stroyan К. D., Luxemburg W. A. J.)
1. Introduction to the Theory of Infinitesimals. Part 1: Classical infinitesi-
mals. Part 2: Infinitesimals in functional analysis. — N. Y.: Academic
Press, 1976.
X у p д и Лёб (Hurd A.. Loeb P.)
1. Victoria Symposium on Nonstandard Analysis. — Berlin: Springer, 1974^
Глава 7
ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА
И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
М. Маккаи
СОДЕРЖАНИЕ
§ 1. Введение.....................................................235
§ 2. Система аксиом Крипке — Платека..............................239
§ 3. Примеры допустимых множеств. Лемма об усечении...............247
:§ 4. Множества Хинтикки, существование моделей и S-компактность . . 252
§ 5. Конъюнктивные игровые формулы................................255
§ 6. Применение игровых формул; полнота...........................266
§ 7. S-насыщенные алгебраические системы.........................271
§ 8. Теорема о покрытии...........................................277
9. Теорема о совершенном подмножестве...........................283
Литература................................................... . 287
§ 1. Введение
Настоящая глава по своим целям отличается от большин-
ства других глав данной книги. В то время как последние дают
подробные представления о вполне сформировавшейся ветви ма-
тематической логики, целью настоящей главы является рассмо-
трение весьма примечательного явления соприкосновения не-
скольких направлений в логике, каждому из которых в отдель-
ности посвящено значительное число публикаций. Тот, кто тя-
готеет к теоретическому мышлению, интересуясь, как правило,
объяснительными аспектами науки в противовес эксперимен-
тальному мышлению, охотящемуся за новыми явлениями, всегда
имеет возможность наблюдать, как несвязанные или на первый
взгляд несвязанные темы объединяются в связное целое, даже
несмотря на возможную неэффективность результатов, которые
могут при этом появиться. Эта глава написана именно для та-
кого «теоретически мыслящего» читателя.
В нашем случае имеются четыре участника, а именно, (i) до-
пустимые множества, (ii) теория моделей логики L , (iii) клас-
сическая дескриптивная теория множеств (см. главу 8 «Теории
множеств»), (iv) эффективная дескриптивная теория множеств
<гиперарифметические множества, П}-множества и т. д., см. так-
же главу 8 «Теории множеств»). Все эти четыре аспекта нашей
236 ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
темы получат свое отчетливое представление в данной главе.
Кроме того, имеются еще два участника, играющие важную мо-
тивирующую роль, но присутствующие в главе более или менее
неявно, а именно, теория множеств и теория рекурсии. Теория
индуктивной определимости, получившая самостоятельный ста-
тус совсем недавно (см. главу 7 «Теории рекурсии»), имеет важ-
ное отношение к нашей теме, но обсуждаться здесь не будет.
Из четырех упомянутых участников первые два будут играть
«активную» роль. Нашей главной темой будет теория моделей
допустимых фрагментов логики L , но ее изложение предопре-
деляется тем обстоятельством, будут ли наши результаты иметь
прямое приложение к проблемам в двух последних областях.
Допустимые множества были введены Крипке [1] и Пл а -
те ком [1], которые рассматривали эти множества прежде все-
го с точки зрения теории рекурсии. Они обобщили обычную ре-
курсивную теорию чисел до ординалов, меньших некоторого
фиксированного, хорошо ведущего себя так называемого допу-
стимого ординала. Первоначально допустимые ординалы были
определены в терминах теории рекурсии, изложенной в стиле
исчисления равенств Эрбрана — Гёделя. Это оказалось решаю-
щим для перехода от допустимых ординалов к допустимым мно-
жествам: технически это означало переход от допустимого орди-
нала а к множеству La множеств, конструируемых на уровне а.
В результате условия допустимости ординала смогли быть пре-
образованы в элегантную систему аксиом КР первого порядка*
говорящую о теоретико-множественной системе (La, f La).
КР — очень хорошая система аксиом. Она. проста и даже
имеет «замкнутую в себе» теорию. Так, например, она не нуж-
дается в добавлении аксиомы «V = L» (что, однако, имеет ме-
сто в первоначально подразумеваемых моделях) для получения
желаемых следствий. Действительно, было бы весьма печально,
если бы «V = L» оказалась необходимой, так как это отнюдь не
простая или «естественная» аксиома.
Вначале была установлена связь допустимых множеств с эф-
фективной дескриптивной теорией множеств (участник (iv)).
Основные результаты о том, что: (а) наименьшее нетривиаль-
ное допустимое множество есть HYP(g>) = L ск, г. е. множество
1
всех подмножеств, конструируемых до уровня ординала Чёр-
ча— Клини (наименьший нерекурсивный ординал) и (Ь)
a cz о является гиперарифметическим, если и только если а е
eHYP(o), были получены Крипке и Платеком (см. 6.5 и 6.6
ниже).
Тех, кто интересуется современным состоянием теории допу-
стимых множеств, мы отсылаем к работе Барвайса [2].
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
237
Второй темой нашей работы является бесконечная логика.
Бесконечная логика обрела свою настоящую жизнь в работе
Ханфа и Тарского о некомпактности (X а н ф [1]) и были впер-
вые систематически изучена Карп [1]. Появление беско-
нечной логики связано с созданием теории моделей в логике
приблизительно в 1962 г. Познакомиться с ее ранним состоя-
нием можно по работе Скотта [2]. Изложению этой теории
уже в ее зрелом состоянии посвящена работа Кейслера [2].
С самого начала было понятно, что существует связь между
дескриптивной теорией множеств и бесконечной логикой. Тео-
рема Скотта [1] об изоморфизме была эквивалентна ответу
на старый вопрос Куратовского. Обобщение Лопес-Эскобаром
интерполяционной теоремы Крейга (см. об этом также ниже)
оказалось обобщением теоремы Суслина об отделимости. Во-
обще, эта связь имеет следующие два аспекта. Во-первых, бес-
конечная логика заменяет классы точек пространства классами
моделей. Во-вторых, синтаксические аспекты, которые только
подразумевались в дескриптивной теории множеств, в логике
присутствуют вполне явным образом и приводят к интересным
рассмотрениям. Так, например, теорема Малица [1] о сохра-
нении характеризует предложения логики L сохраняющие
свои истинностные значения на подсистемах, как такие, которые
логически эквивалентны универсальным предложениям. За бо-
релевскими и аналитическими множествами скрываются беско-
нечные формулы, но о теореме Малица можно рассуждать лишь
тогда, когда эти формулы выписаны явно. Как стало попятным
в настоящее время, теорема Малица и теорема Суслина об от-
делимости имеют тесные родственные связи как следствие более
общего результата, см. М а к к а и [2].
Boot сделал очень весомый вклад, фактически в противопо-
ложных друг другу направлениях, в установление и углубление
связи между дескриптивной теорией множеств и логикой (см.
Boot [1], [2]). Один из аспектов работы Воота [1] ниже
будет проанализирован детально. В статье Воота [2] выска-
зывается противоположная точка зрения, «элиминируются» ме-
тоды теории моделей в пользу топологических методов, что по-
зволило получить интересные и несколько неожиданные резуль-
таты.
Связь между допустимыми множествами и логикой
(что является главной темой данной главы) была установлена
Барвайсом [1]. Барвайс ввел понятие допустимых фрагмен-
тов логики LWifi) (и логики Loo©), рассматривая только такие фор-
мулы, которые принадлежат данному допустимому множеству,
Этот шаг был осуществлен в духе предложений Крайзеля, кото-
рый подчеркивал, что чисто мощностные рассмотрения (перво-
238
ГЛ 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
начальная основа классификации бесконечных формул в языке
LaP) были весьма незрелым методом поиска интересных ре-
зультатов. Вознаграждение не заставило себя долго ждать: тео-
ремы Барвайса о полноте и Z-компактности показали, что допу-
стимые фрагменты обладают свойствами, аналогичными обыч-
ной логике первого порядка, и могут быть признаны как основа
для дальнейших рассмотрений.
Нашу точку зрения на взаимоотношения между допустимыми
множествами и логикой можно представить как явление, кото-
рое может быть названо синтаксической полнотой допустимых
множеств. Пусть А — счетное допустимое множество, Ьд — фраг-
мент LWift)ri А. «Синтаксическая полнота» может быть проиллю-
стрирована на следующих примерах. Если (р G Ц — логически
истинная формула, то не только существует ее вывод d генце-
новского типа в бесконечной формальной системе (согласно тео-
реме о полноте для L0ito, Карп [1], Лопес-Эскобар [1]),
но и сам вывод d принадлежит А (теорема Барвайса о полноте).
В качестве второго примера заметим, что теорема Бета об опре-
делимости верна для отдельных формул ф(Р) из LWift) (Лопес-
Эскобар [1], см. также ниже). Опять-таки формула, «явчо
определяющая Р», может быть найдена как элемент Ьд, а ф(Р)
принадлежит Ь(Р)д. В действительности допустимые множества
представляют собой оптимальное решение проблемы нахожде-
ния «синтаксически полного» фрагмента логики L .
В качестве следующего замечания отметим, что, вообще го-
воря, счетные допустимые множества не всегда являются «син-
таксически полными». Так, например, предложение языка Ьд мо-
жет не иметь модели в А, даже если такая модель существует.
Заметим также, что легко построить «синтаксически и семанти-
чески полные» счетные транзитивные множества (используя тео-
рему Лёвенгейма — Скулема о спуске, начиная с НС, множе-
ства всех наследственно счетных множеств), но этот путь даст
нам всего лишь небольшое число допустимых множеств, да и то
не самых интересных. Следовательно, основные факты о логике
на допустимых множествах лежат гораздо глубже, чем это ка-
жется на первый взгляд.
Выгода в добавлении допустимых множеств к теоретико-мно-
жественной точке зрения, выражаемой в виде теоретико-де-
скриптивной модели, заключается в возможности наведения мо-
стов через глубокую пропасть между неэффективной и эффек-
тивной дескриптивной теориями множеств, т. е. возможности до-
стигнуть цели, которой придавал особое значение Аддисон
[1] еще до появления допустимых множеств. В качестве воз-
можно главного примера, иллюстрирующего эту связь, мы тща-
тельно разберем, как теорема Клини, утверждающая, что
§ 2. СИСТЕМА АКСИОМ КРИПКЕ-ПЛАТЕКА
239
hyp = Ai, с одной стороны, и теорема Суслина об отделимости,
с другой, окажутся частными случаями одного результата (см.
ниже § 8).
Глава предназначена для специалистов по теории моделей,
т. е. для тех, кто обладает определенными знаниями и хорошо
понимает дух теории моделей в обычной логике первого порядка.
Здесь будут изложены те методы, которые наиболее отвечают
теоретико-модельным представлениям. В частности, мы проде-
монстрируем два современных аппарата: конъюнктивные игро-
вые предложения, введенные Воотом, и ^-насыщенные алгебраи-
ческие системы Рессера. Хотелось бы заметить, что в результате
мы получаем некоторые основные факты не совсем прямым спо-
собом (например, теорему Барвайса о полноте).
Первые два параграфа (после настоящего) носят преимуще-
ственно описательный характер и в большинстве случаев дока-
зательства опущены. Основной материал содержится в § 4; из-
ложение теории моделей носит существенно замкнутый харак-
тер. Приложениям в (эффективной) дескриптивной теории мно-
жеств полностью посвящены §§ 5—9.
§ 2. Система аксиом Крипке—Платека
Праэлементы
Хотя праэлементы на некоторое время потеряли свою попу-
лярность, они вновь входят в моду, по крайней мере в контексте
допустимых множеств; см. Б арвайс [2]. Аксиоматическая
теория множеств может быть естественным образом развита с
должным уважением к праэлементам без особых изменений в
привычных конструкциях, скажем, теории множеств Цермело —
Френкеля.
Праэлементы — это «точки», не имеющие теоретико-множе-
ственной структуры, т. е. если и — праэлемент, то не существует
объекта, являющегося элементом и, — короче, всегда имеет ме-
сто х фи. Можно описать канторовский универсум множеств
с праэлементами следующим образом. Пусть U — некоторое
множество, элементы которого называются праэлементами. Для
ординалов а определим Vu, а следующим образом: Vu0=U,
vu,a+1 = ^(Vu>a). Vu,x = aU^Vu a, если % —предельный орди-
нал, и положим V„ = U Vu . Vu есть универсум множеств
aeOrd
с носителем ^U. Если U = 0, то получается обычная нераз-
ветвленная иерархия. Отношение принадлежности в Vu оп-
ределяем обычным образом, учитывая только то, что для про-
извольных и е U и х е Vu имеем х фи и. Следовательно» мож-
но писать е вместо Еи.
240
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
В языке теории множеств с праэлементами в дополнение к
символам е и равенства присутствует предикат U с естествен-
ной интерпретацией в Vu, когда рассматривается система всех
множеств с носителем ^U. Будем пользоваться символами
и U только в особых случаях; обычно же будем писать е и
U даже в формулах.
Стандартные аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля
с аксиомой выбора (ZFC) подвергаются совершенно незначитель-
ным изменениям даже в случае, когда они представляют собой
формулировки наших предположений о Vu. Так, например, ак-
сиома экстенсиональности будет выглядеть следующим образом:
J "1 Ua А "1 U6) -> (Vx (х е а о х е Ь) -> а = Ь).
Поэтому и в случае Vu мы будем пользоваться теоретико-мно-
жественной терминологией («степень множества», «ординал»
и т. д.) в обычном смысле.
Отсылая читателя к Б ар вайсу [2] по поводу дискуссии
относительно целесообразности использования праэлементов при
построении теории множеств, особенно теории допустимых мно-
жеств, укажем лишь причину нашего интереса к праэлементам.
Мы будем рассматривать специальное допустимое множество
HYP^, допустимую оболочку системы 5W = (]2Й|, /?i, ..., Ri).
Мы будем иметь Зй е НУР^, в частности, | Эй | е НУР^. Мы хо-
тели бы придать НУРзд теоретико-модельный смысл, а для
этого, естественно, необходимо, чтобы любой изоморфизм f:
~ 91 мог быть расширен до ^-изоморфизма НУР^ и HYPJ{.
Ясно, что для этого необходимо, чтобы элементы множества
(ЯЯ| не обладали «теоретико-множественной индивидуаль-
ностью» в HYP^, т. е. чтобы они были праэлементами в НУР^.
В данной главе праэлементы упоминаются только в контек-
сте HYPm.
Введение праэлементов в теорию допустимых множеств,
НУРэд и соответствующие понятия принадлежат Барвайсу
[2]. С небольшими изменениями этот параграф также следует
данному источнику.
Система аксиом Крипке — Платека
2.1. Определение. Семейство Д0-формул (языка {е, U})
есть наименьшее семейство У, содержащее элементарные фор-
мулы и замкнутое относительно следующих условий:
(i) если ср принадлежит У, то и ~1ср также принадлежит У;
(ii) если ф и ф принадлежат У, то ф А ф и tpV ф также
принадлежат У;
(iii) если У содержит ср, то У содержит Vx^y(cp) и Зх<=у(ср).
§ 2. СИСТЕМА АКСИОМ КРИПКЕ-ПЛАТЕКА
241
Заметим, что Vxe #(ф) означает то же, что и Vx[xgez/—> ф],
а формула 3xez/(qp) означает ф].
Транзитивное множество А (т. е. из того, что х е А и у е х,
следует у А) можно рассматривать как алгебраическую си-
стему для языка {е, U}, интерпретируя символе реальным от-
ношением е, ограниченнЫхМ множеством Д a U интерпретируя
как ирД. В большинстве случаев мы будем писать просто А
для обозначения системы (Д, е f Л, U П X).
Главное свойство Д0-формул заключается в том, что они аб-
солютны при транзитивных интерпретациях в том смысле, что
имеет место
2.2. Утверждение. Для транзитивных множеств Д, В cz
cz Vu, если AczB, то для любой ^-формулы ф(х) и любых эле-
ментов а в А следующие условия эквивалентны'.
1) А к=Ф(«), 2) В|=ф(«), 3) Уи>Ф(а).
Доказательство. Легко проводится индукцией по слож-
ности ф. □
Многие элементарные понятия теории множеств могут быть
формализованы с помощью Д0-формул (например, «/ есть функ-
ция», «а есть ординал» и т. п.). Значение этого состоит в том,
что неважно, оцениваем ли мы определяемые формулы в Vu или
в произвольном транзитивном множестве, содержащем рассма-
триваемый объект.
2.3. Определение. KPU, система аксиом Крипке — Пла-
тека с праэлементами, есть теория над языком {^, U}, аксио-
мами которой являются универсальные замыкания следующих
формул:
Праэлементы: U (и) и.
Пустое множество*. Зх( ~| U (х) A Vz/ {у ф х)).
Экстенсиональность', см. выше (с. 240).
Фундирование (схема): Vx (^у Хф (z/)^ ф (х)) -> Ухф (х) дли
всех формул ф(х).
Пара: За(х е а А У а).
Объединение: ЗЬЪ'у е aVx у (х е Ь).
^-выделение (схема): 3b \fx (х е b х <= а А Ф (х)) для всех
Д0-формул ф(х)(не имеющих свободных вхождений Ь).
^-выборка (схема): \fx аЗ^ (х, у) -> 36 Vx е аЗу е 6ф (х, у)
для всех До-формул ф (не содержащих свободных вхождений Ь).
(ф, ф могут иметь свободные переменные, отличные от указан-
ных.)
2.4. Определение. Транзитивное множество А (в не-
котором Vu), являющееся моделью KPU, называется допус-
тимым.
Аксиомы экстенсиональности и фундирования, конечно, авто-
матически выполняются для транзитивных множеств. Эти аксио-
242
ГЛ 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
мы появляются в KPU из-за возможности рассмотрения также
и «нестандартных> моделей KPU, см. ниже.
Укажем некоторые важные общие принципы.
2.5. Определение. Формула вида Зиф (и), где ф является
До-формулой, называется 2гформулой. Класс S-формул есть
наименьший класс У, содержащий Д0-формулы и замкнутый от-
носительно:
а) конъюнкции и дизъюнкции (условие (ii) из 2.1),
Ь) ограниченной квантификации (условие (iii) из 2.1),
с) экзистенциальной квантификации: если ф содержится в У',,
то У содержит и Зиф.
Понятие П-формулы получается заменой 3 на V в послед-
нем пункте определения. С точностью до логической эквивалент-
ности П-формулы являются отрицаниями 2-формул.
В следующем утверждении формулируется основное свой-
ство 2-формул — устойчивость вверх.
2.6. Утверждение. Пусть A cz В — транзитивные множе-
ства czVu, Ф(х) есть S-формула, А. Тогда А h= ф [а] влечет
в |= ф [а] и Vu к Ф [а].
Доказательство. Получается простой индукцией по
<р. □
Для данной формулы ф и переменной w обозначим через
Ф(а,) результат замены каждого неограниченного квантора в ф
квантором, ограниченным переменной ш: Зи на Зи е w, Vu на
Vи е w, при этом w не должно входить в ф. Если ф есть До-фор-
мула, то ф(ш) = ф. Очевидно, что 2-формулы (ф(и) Л(и tA ->
-> Ф^) и ф(и) -> ф являются логически истинными. \ У
2.7. У т в е р ж д е н и е (принцип 2-рефлексивности). Для
всех S-формул ф формула
Ф ч-> Заф(а)
является теоремой KPU. В частности, каждая S-формула экви-
валентна некоторой Sx-формуле в KPU.
Доказательство осуществляется индукцией по ф. За-
метим, что аксиома о До-выборке является специальным слу-
чаем принципа 2-рефлексивности. Обратно, аксиома До-вы-
борки используется в доказательстве шага индукции: ф есть
Vu е иф (и). □
Из 2.7 легко следует принцип S-выборки, т. е. аналог ак-
сиомы До-выборки, где ф — произвольная 2-формула. Следую-
щее определение является основным.
2.8. Определение. Пусть А — допустимое множество.
(i) Предикат на А есть S-предикат (сигма светлым шриф-
том) (или 2д), если он определен 2-формулой (в системе
А = (Л, е= f Л, U Л А) без параметров).
§ 2 СИСТЕМА АКСИОМ КРИПКЕ-ПЛАТЕКА
243
(ii) Предикат Р(х) на А есть ^-предикат (сигма полужир-
ным шрифтом), если он определен S-формулой с параметрами
в Л, т. е. существует S-формула ф(х, у) и фиксированные эле-
менты Ь в А такие, что для любого а в Л Р(а) <=> Л |= <р[а, &].
(iii) Операция на Л является S-операцией или S-операцией
в зависимости от того, каким является ее график.
(iv) Предикат Р Ап является Д-предикатом (или А-преди-
катом), если одновременно и Р и его дополнение Ап — Р яв-
ляются S-предикатами (или S-предикатами). (Для Ап — Рбыгь
S-предикатом или S-предикатом — то же самое, что для Р быть
U-предикатом или П-предикатом соответственно.)
Для ориентации читателю в этом месте предлагается рас-
смотреть допустимое множество HF наследственно конечных
множеств без праэлементов и убедиться (или по крайней мере
поверить), что S-предикаты (а также S-предикаты) на HF (огра-
ниченные множеством со) являются в точности рекурсивно пере-
числимыми предикатами, и, следовательно, совокупности Д-пре-
дикатов, А-предикатов и рекурсивных предикатов совпадают.
Этот пример является показательным в том, насколько кон-
струкции допустимых множеств соответствуют желанию найти
аналоги фактам обычной теории рекурсии при обобщении ре-
курсивной перечислимости до S, а рекурсивности до А.
Подчеркивая эту аналогию, мы иногда говорим, что а яв-
ляется A-конечным, если а е Л, предикат Р является А-рекур-
сивно перечислимым, если он является 5д-предикатом, А-рекур-
сивным, если он является Ад-предикатом, и, наконец, операция F
является А-рекурсивной, если она есть 5д-операция.
2.9. Утверждение (принцип Д-выделения). Для произ-
вольных ^-формулы ф(х) и П-формулы ф(х), возможно, содер^
жащих, кроме х, другие свободные переменные, следующее ут-
верждение есть теорема KPU: если для всех х^а ф(х)
*->ф(х), то существует Ь такое, что Ь= {хе а: <р(х)}.
Доказательство. Предположим, что Ухеа(ф(х)«->ф(х)).
Тогда Vx еа(ф(х) V “1 Ф W) эквивалентна S-формуле и согласно
S-рефлексивности существует с такое, что (i) Vx] е а[ф(с)(х) V
УПФ(С)(*)]- Пусть по Д0-выделению & = {хеа: ф(с)(х)}. Ясна
что каждый хе& удовлетворяет ф(х). Если хе а и ф(х) ис-
тинна, то выполняется ф(х), поэтому имеет место ф(с)(х) (по-
скольку ф есть П-формула). Отсюда в силу (i) получаем ф(с)(х).
Итак, х е Ь, т. е. желаемое b найдено. □
Заметим, что внимательный анализ формулировки 2.9 при-
водит к прямым следствиям.
2.10. Следствие (Ад-выделение). Для элемента а допу-
стимого множества А и для ^-предиката Р(х) на А {х е а:
Р(х)} есть элемент множества А.
244
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
2.11. Следствие (S-замещение). Для каждой ^-формулы
ф(х, у) следующее утверждение есть теоре ма KPU: если Vxs
е аВ!#ф(х, у), то существует функция f, dom(f) =а, такая, что
Чх s аф (х, f (х)).
Доказательство. По принципу S-выборки существует
Этакое, что Vx аЗу <= &ф (х, у). Согласно Д-выделению су-
ществует f такая, что
/ = {<>, у} е а X Ь: <р (х, у)}
= {(х, у) е а X Ь: П 3z [<р (х, z) А У z]}. □
2.12. Следствие (^-замещение). Для а^А, где А — до-
пустимое множество, и для любой Ъл-функции F на А сужение
F Г а есть элемент множества А.
Приведем «формальные» аналоги понятий в 2 8. Символ
^-операции в KPU есть символ операции F, введенный новой
аксиомой VxVz/ (F (х) = у <=> ф (х, у)), где ф есть такая S-формула,
чго KPU Н Vx3!^P(x, у). Символ k-предиката в KPU — это
предикатный символ Р, введенный новой аксиомой Vx(P(x)-<->
>ф(х)) так, что ф является S-формулой и существует П-фор-
мула ф(х), для которой KPU Н Vx(qp(x)«-> ф(х)). Конечно, такое
«несущественное» расширение KPU этими символами является
консервативным, но справедливо даже большее.. Если допустить
их вхождение в элементарные формулы и соответственно пере-
определить До-формулы и S-формулы, то получим формулы, до-
казуемо эквивалентные Д-формулам (т. е. как S-формулам, так
и it-формулам), соответственно S-формулам в старом смысле.
Более того, все новые аксиомы и правила вывода KPU, получен-
ные с новыми понятиями До, Д и S, становятся доказуемыми.
Например, До-выделение в новой формулировке влечет прин-
цип Д-выделения (утверждение 2.9) для старой KPU.
Эти факты связаны с понятием относительной допустимости.
Если S есть конечный набор предикатов и операций на транзи-
тивном множестве А, то А называется допустимым относительно
S, если все аксиомы KPU с элементами из S, входящими в эле-
ментарные формулы, являются истинными в <Л, е ГЛ, S>.
Имеет место
2.13. Теор е м а. Если А — допустимое множество, S — набор
ДА-преЭикатов и ЪА-опе раций на А, то А допустимо относительно S.
Более того, любое ^-понятие или ^-понятие относительно S
является соответственно ^-понятием или АА-пбнчтием.
В заключение мы сформулируем свойство абсолютности А.
2.14. Утверждение. Пусть Р (х) — ^-предикатный символ
KPU, F (х) — символ ^-операции KPU и А^ В cz VTJ — допусти-
мые множества. Тогда для элементов а множества А АГ=Р[а]<=>
§ 2. СИСТЕМА АКСИОМ КРМПКЕ-ПЛАТЕКА
245
<=> В h= Р [а] <=> VG [= Р [а]. Кроме того, А замкнуто относительно
операции F и (интерпретация F в Vu)a, в частноети, FVu, огра-
ниченная множеством А, есть FA, т. е. интерпретация F в А.
^-рекурсия
Теперь мы установим наиболее важное правило вывода, пра-
вило 2-рекурсии. ТС (а) означает транзитивное замыкание мно-
жества а, т. е. наименьшее транзитивное множество b такое, что
a cz Ь. Для праэлемента р всегда ТС(р) = 0.
Многие типы трансфинитной индукции могут быть построены
как «индукции по ТС(х)», т. е. когда предположение индукции
состоит в том, что утверждение справедливо для всех г/еТС(х).
В эту категорию попадает как обычная трансфинитная индук-
ция, так и то, что называется индукцией на бесконечных форму-
лах. Мы будем формулировать наброски доказательства и опре-
делений, доказуемые в KPU, также пользуясь индукцией «по
ТС(х)>.
Опускаем доказательство следующего утверждения:
существует такой символ 2-операции ТС(-) в KPU, что сле-
дующие утверждения являются теоремами в KPU:
а) ТС (я) транзитивно,
b) a cz ТС(а),
с) для любого транзитивного b из a cz b следует ТС(/з) cz
czTC(fe) (см. Ба рва йс [2]).
Довольно легко доказать следующее
2.15. Утверждение (принцип ТС-индукции). Для любой
формулы ф(х), имеющей, возможно, и другие свободные пере-
менные, утверждение*, «если для каждого х Vy е ТС (х) ф (у)
влечет ф(х), то Ухф(х)» является теоремой KPU.
2.16. Утверждение (определение по 2-рекурсии). Пусть
G — п +2-арный символ ^-функции, п^О. Тогда можно опре-
делить новый символ ^-функции F так, что утверждение «для
всех х = хь ..., хп и у F (х, у) = G (х, у, (kzF (х, z)) f ТС (у))»
является теоремой KPU.
Доказательство точно такое же, как доказательство
принципа рекурсии для ZF, см. 5.6 в главе 1 «Теории мно-
жеств».
2.17. Утверждение (определение Хгрекурсией). Пусть
А — допустимое множество. Пусть G — п-]-2-арная ^-функция
(соотв. ^-функция) на А, п^ 0. Существует ^-функция
(соотв. ^-функция) F на А такая, что F удовлетворяет тожде-
ству в 2.16.
Хотя 2.17 не является следствием 2.16, его доказательство
легко получить модификацией доказательства 2.16.
246
ГЛ 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
2.18. Следствие (определение Д-предикатов с помощью
ТС-рекурсии). Пусть Р, Q — ^-предикатные символы от п+1,
п + 2 аргументов соответственно; п 0. Можно ввести &-пре-
дикатный символ R так, что следующие утверждения будут до-
казуемы в KPU:
R (х, р) *-► Р (х, р) для праэлементов р,
R (х, а) <-> Q (х, а, {Ь е= ТС (а): R (х, а)}).
Очевиден вариант следствия 2.18 — следствие 2.19 о Д-преди-
катах на допустимых множествах.
Есть много подобных теоретико-множественных операций и
предикатов, которые могут быть введены в KPU как S-операции
и Д-предикаты с использованием 2.16 и 2.18. Далее мы увидим
важные примеры этого.
Синтаксис и семантика Loo® в KPU
Для знакомства с основными синтаксическими и семантиче-
скими понятиями логики мы отсылаем читателя к главе 2. Для
нас важно то, что мы конструируем формулы как множества.
Символы в основном языке L могут быть праэлементами, од-
нако мы конструируем формулы Зхф, V® и т. д. как множества
(3, х, qp), (V, в) и т. д., где 3, V будут чем-то вроде таких фик-
сированных множеств, как 2 и 3. При такой структуре языка
собственные подформулы формулы ф являются элементами
ТС(ф). Это делает возможным дать определение понятия «ф
есть формула оо, со-логики, основанной на L» посредством ТС-
индукции. В частности, с помощью 2.18 мы получим, что это по-
нятие есть Д-предикат в KPU, а точнее, что в KPU имеется сим-
вол Д-предиката, интерпретация которого на Vu приведена в ка-
вычках выше.
Этот последний факт имеет важное значение для допустимых
фрагментов Loo®. Пусть А — допустимое множество, и пусть
Le Л. Обозначим через La набор формул из Loo®, которые
есть в A, La = Loo® [] Л, и назовем La допустимым фрагмен-
том (Loo®). Ввиду абсолютности Д-предикатов в KPU (утвер-
ждение 2.14) Д-определение логики Loo®, «релятивизованное»
к А, дает определение La, следовательно, понятие формулы
в La есть Д-понятие на А. Аналогично обычные синтаксиче-
ские свойства и операции на формулах» логики L оо® являются
Д-свойствами в KPU и, следовательно, соответствующие поня-
тия для L^ являются Д-понятиями на А.
Несколько более общий случай получится, если для допусти-
мого множества А язык L есть Ал-подмножество множества А.
Подобно предыдущему, мы снова можем убедиться, что поня-
§ 3. ПРИМЕРЫ ДОПУСТИМЫХ МНОЖЕСТВ. ЛЕММА ОБ УСЕЧЕНИИ 247
тие формулы в Ьл = Loo© П А и другие синтаксические понятия
Ьл—A-понятия на А. Заметим, что для произвольного (peU
имеется такое Л-конечное Lo^ L, что ф£(10)л.
Возвращаясь к «формальному в KPU» контексту, заметим,
что фактически семантика Loo® является А-семантикой в KPU.
Другими словами, в KPU имеется А-предикат Sat(L, SW, а, ср),
выражающий «а есть конечная последовательность элементов
L-системы Ш? и ЗЯ |= <р(а)», т. е. интерпретация Sat в Vu совпа-
дает с предикатом, заключенным в кавычки. Более того, Sat
удовлетворяет, и это доказуемо в KPU, основным индуктивным
пунктам определения истинности в Loo®. Эти факты вновь пред-
ставляют собой частные случаи 2.18. Хотя они сами по себе
очень важны, их ценность ограничивается тем обстоятельством,
что в обсуждении допустимого фрагмента мы обычно не мо-
жем ограничиться моделями в самом Л. Во всяком случае, ис-
тинность L-формул в Л-конечной системе является А-предика-
том на Л, если Л допустимо, что следует из сказанного выше.
§ 3. Примеры допустимых множеств. Лемма об усечении
Некоторые допустимые множества
Ранее мы отмечали, что наследственно конечные множества
в любом Vu образуют допустимое множество. Обобщая это заме-
чание, рассмотрим бесконечный кардинал х и определим
Ни(х) = {а е Vu|TC(a) имеет мощность, меньшую чем х}.
Н(х) есть Нф(х).
3.1. Теорема. Для всех бесконечных кардиналов к
Ни(х)—допустимое множество. Если и регулярный, то Ни(х)
является допустимым множеством относительно любых преди-
катов на нем.
Доказательство. Доказательство теоремы следует ив
результатов, приведенных ниже. □
Читатель увидит, что случай регулярного х практически три-
виален. Регулярный кардинал х имеет еще то дополнительное
преимущество, что если XczHu(x) и card(X) < х, то Хе
е Ни(х).
Для х = coi множество Hu(<oi) обозначается как НСи, а мно-
жество //(<01) —как НС, т. е. множество наследственно счетных
множеств. Синтаксис LWi(o лежит всецело в НСи.
Будем писать Зй <(i й для обозначения того, что Зй есть эле-
ментарная подсистема систем й по отношению к 2-формулам,
т. е. Зй |= <р [а] <=> SR |= ср [а] для любой S-формулы ф(х) и эле-
ментов а в |ЗЯ|. При написании А^В для транзитивных мно-
жеств или классов под А и В мы, конечно, подразумеваем соот-
248
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
ветствующие системы с «реальным» е и «праэлементами». Сле-
дующий результат есть классическая теорема Леви [1].
3.2. Теорема Леви об абсолютности. Ни(х)
-<1 Hu(X)<(i Vu для несчетных кардиналов х < X.
3.3. Теорема. Если А — транзитивное множество, В — до-
пустимое множество или класс и А<^В, то А —также допусти-
мое множество.
Теперь мы видим, что первое утверждение в 3.1 есть след-
ствие 3.2 и 3.3.
3.4. Теорема. Пусть х — бесконечный кардинал. Для лю-
бого аеНи(х+) существует транзитивное множество А^
Ни(х+) такое, что а^ А и А Ни(х) (тем более A Ни(х)
и, таким образом, А — допустимое множество).
Доказательство. Обогатим систему 9й = (Ни(х‘1"),
Ь Ни(х+), иПНи(х+)) добавлением х новых операций <fa:
a < х> таких, что для любых О =И= Ни(х+) верно равенство
TC(a) = {fa(a): a < х}. Возможность такого расширения оче-
видна. Теперь применим теорему Лёвенгейма— Скулема (см.
главу 2), чтобы получить элементарную подсистему мощности х
системы (Ш?, fa)a<x, содержащую а. Основное множество этой
новой системы удовлетворяет нашим требованиям. □
Последний результат дает нам много счетных (и других) до-
пустимых множеств, но не все допустимые множества можно по-
лучить таким путем. В число последних, как мы установим ниже
в п. 6.3, попадают и допустимые множества, определяемые сле-
дующей теоремой.
3.5. Утверждение (существование следующего допусти-
мого множества). Для любого множества aeVu множество
HYP (а) {Л: а^А, А является допустимым} само является
допустимым. HYP (a) = La(TC(a)) для некоторого ординала а.
CardHYP(a) = max (со, cardTC(a)).
Замечание. HYP (а) иногда обозначается как а+.
Доказательство. Доказательство (и фактически форму-
лировка второго утверждения) требует рассмотрения конструк-
тивной иерархии, см. Барвайс [2]. □
Пусть теперь Зй — алгебраическая система конечной сигна-
туры, Зй = (|Зй|, ..., Ri). Рассматривая элементы |3й| как
праэлементы, изучим V^. Внутри VJanI сформируем допусти-
мое множество НУР(ЗЙ) = НУР(<|Зй|, Ri, ..., Ri)) и назовем
его HYP^, допустимой оболочкой системы Зй. Заметим, что тех-
нически НУР(ЗЙ) и HYP^ могут отличаться; например, HYP (Зй)
может вообще не содержать праэлементов. Кроме того, легко
видеть, что для любого изоморфизма f: Эй~й мы получаем рас-
§ 3. ПРИМЕРЫ ДОПУСТИМЫХ МНОЖЕСТВ. ЛЕММА ОБ УСЕЧЕНИИ
ширение f*: HYP^c^HYP^, которое является {е, U}-изомор-
физмом.
В качестве следствия теоремы Барвайса об определимости
(Б ар вайе [2], теорема 5.14 главы 2) имеем следующее
утверждение:
3.6. Теорема. На A = HYR^ выполняется S = S с пара-
метрами в | 9W IU {I Эй I, /?ь • •/?/}•
Ординал а называется допустимым, если множество La всех
множеств, конструируемых до уровня а, является допустимым.
В теории рекурсии на допустимых ординалах важную роль иг-
рают различные специальные виды допустимых ординалов (та-
ких, как рекурсивно недостижимые, проективные и т. д.). Орди-
нал а называется стабильным, если La<jL. Очевидно, каждый
стабильный ординал является допустимым. Тот же прием, что
и в 3.4, дает нам возможность получить много счетных стабиль-
ных ординалов. В § 6 мы укажем (без доказательства) значе-
ние первого стабильного ординала >со для эффективной дес-
криптивной теории множеств. Более подробно о допустимых ор-
диналах см. Б а р в а й с [2].
Лемма об усечении
Пусть А = (|Д |, Е, U) —произвольная система для языка
{е, U}. Предположим, что А удовлетворяет (модифицирован-
ной) аксиоме экстенсиональности:
VxVi/ [( П Ux Д П U# A Vz (zEx <-> zEy)) -> х = у]
A VxVz/[Ux -> ~]уЕх].
Мы назовем А экстенсиональной системой. Для любого транзи-
тивного множества или класса А с Уи(А, с f A, IJ П Д) являет-
ся, конечно, экстенсиональной системой. Пусть А — экстенсио-
нальная система, и а с | А |. Назовем а фундированным в Д,
если не найдется бесконечной «убывающей» последовательности
а0 = а, а}, а%, ... такой, что ап_\Еап для п < со. Систему в це-
лом будем называть «фундированной», если все а^ |Д] яв-
ляются фундированными. Хорошим упражнением является про-
верка того, что А является фундированной тогда и только тогда,
когда она удовлетворяет «принципу доказательства f-индук-
цией»: для любого подмножества Вс |Д| система (|Д|, Е, U,
В) удовлетворяет Vx(V# (уЕх -> By) -> Вх)-> VxBx. Для фун-
дированной экстенсиональной системы А имеется соответствую-
щий принцип определения Е-рекурсией.
Понятно, что «стандартные» с-системы, основанные на тран-
зитивных множествах, являются фундированными.
3.7. Лемма Мостовского о сжатии. Каждая фунди-
рованная экстенсиональная система изоморфна некоторой стан-
250
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
дартной ^-системе. Этот изоморфизм единственный в том слу-
чае, если он тождественный на праэлементах.
Доказательство. Для 4=(|4|, Е, U), которая яв-
ляется фундированной экстенсиональной системой, определим
Е-рекурсией f(p) = р для peU и f(u) = ЬЕа} для а е
|Д|—U. Тогда f и есть требуемый изоморфизм. Единствен-
ность доказывается Е-индукцией. □
Между прочим, используя 3.7 и теорему Лёвенгейма — Ску-
лема, можно доказать теорему Леви 3.2.
Существенно единственная стандартная <=-система в лем-
ме 3.7 называется транзитивным сжатием А.
Пусть теперь А — произвольная экстенсиональная система.
Пусть WF(4)cz4 (фундированная часть А) есть множество
всех фундированных элементов множества А. Ясно, что из
U4czWF(4), xeWF(/l) и уЕАх следует у eWF(/l). При Ел,
ограниченном на WF (Л), WF (Л) = (WF (Л), ЕА f WF (Л), ил)
является фундированной экстенсиональной системой.
Теперь мы введем теоретико-модельное понятие концевого
расширения. Пусть Д, В — системы, в которых интерпретирован,
среди прочих, бинарный предикатный символ Е. Система В на-
зывается концевым расширением Д, если В есть расширение А в
обычном смысле и, кроме того, если а Д| и ЬЕва, то Ь е] Д|.
Примеры. (1) Для транзитивных множеств A cz В ^-си-
стема В есть концевое расширение множества Д.
(2) Экстенсиональная система А является концевым расши-
рением множества WF(4). Следующее утверждение обобщает
2.6. Оставляем его доказательство в качестве упражнения.
3.8. Утверждение. Пусть В — концевое расширение мно-
жества Д, a cz |Д |.
(i) Для любой ^-формулы ф (ж) имеем А |= ф [а] [== ф [а].
(ii) Для любой ^-формулы ф(х) имеем А ^=ф[а]=>В^= ф [а],
(iii) Для любой ^-формулы ф(х) и П-формулы ф(х), если
Vx [ср (я) г|?(я) ] истинна как в Д, так и в В (ф определяет
«^-предикаты» в А и В), то А |= ф [а] <==> В |= ф[а].
Перейдем к изучению фундированной части модели А =
— (| А |, Е, U) системы KPU. Теоретико-множественная функ-
ция ранга г(-) является S-операционным символом в KPU, а
высказывания «г (я) есть ординал» и «у е х^г(у) < г (я)» дока-
зуемы в KPU. Отсюда следует, что элемент ае| Д| является фун-
дированным в А тогда и только тогда, когда гА{а) определено.
Следующая лемма дает весьма характерное свойство KPU,
которым не обладают многие более сильные теории множеств.
3.9. Лемма об усечении. Если Д = (| Д |, Е, U) является
моделью KPU, то WF(4)(=KPU, следовательно, WF(Д) изо-
морфна некоторому допустимому множеству.
§ 3 ПРИМЕРЫ BOnvCTHMblX МНОЖЕСТВ ЛЕММА ОБ УСЕЧЕНИИ 251
Доказательство. До-выделение для WF(?1) следует
немедленно из До-выделения А. Мы неоднократно воспользуем-
ся тем, что а е WF(/1) тогда и только тогда, когда b е WF(/4)
для каждого Ь^аЕ, где аЕ^± {Ь: ЬЕа}. Так, например, отсюда
легко следует, что WF(/1) удовлетворяет аксиомам пары и объ-
единения. Остается доказать аксиому Д0-выборки. Пусть ф(х,
у, г) является До-формулой, a, c^WF(X), и предположим, что
(i) WF (А) Н Vx g= аЗг/ф (х, у, с).
Прежде всего, в силу 3.8 (ii) отсюда следует, что А |= Vx <=
е аЗуф(х, у, с), и поэтому
(ii) Д Vx аЗу е /др (х, у, с) для некоторого b е | А |.
Если каждый «ординал» в А является фундированным, то
WF(H) — А и доказывать фактически нечего. Поэтому допу-
стим, что р является нестандартным (т. е. не фундированным)
«ординалом» в А. Все стандартные, т. е. фундированные, «орди-
налы» в А меньше чем р. Из (i) следует, что переменные у мо-
гут быть выбраны фундированными, так что мы имеем
(iii) А Н Vx (= аЗу [г (у) < Р А Ф (х, у, <?)].
По схеме фундирования в KPU имеется «наименьший» «ор-
динал» Ро в Д, который удовлетворяет (iii). Но для любого не-
стандартного р имеется другой нестандартный р' < лр (поче-
му?), поэтому (iii) выполняется и для Р'. Следовательно, р0 дол-
жен быть стандартным! Теперь рассмотрим Ь' ^|Д| такой, что
хЕЬ' х е b & г(х) < р0; Ь' существует по аксиоме До-выде-
ления. Тогда b' eWF(/l) (почему?). Из (ii) и (iii) для р0 сле-
дует, что Д, а поэтому и WF(A) (почему?) удовлетворяют
Vx ^аЗу е Уф(х, у, с). □
С этого момента будем обозначать через WF^) транзитив-
ное сжатие того, что мы прежде понимали под \\/Р(Д).
Сформулируем некоторые следствия леммы об усечении в
связи с понятием следующих допустимых множеств.
3.10. Следствие. Пусть Д = НУР(а) является чистым до-
пустимым множеством. Для любого b е А существует высказы-
вание ф<а Ь} в фрагменте Ьл некоторого языка L, А-рекурсивно
зависящее от а и b и такое, что для любой ^-формулы ф имеем
д^ф[6]<=>КРи + Ф(а>д)НФ(Ь).
3.10 говорит о том, что истинность S-формулы в А может
быть «сведена» к отношению логического следования в Ьд. Позд-
нее мы сравним 3.10 с другими полученными результатами.
Следствие 3.10 доказывается аналогично следующему резуль-
тату, для которого мы приводим лишь набросок доказательства.
Отношение В с: | 2)? |п назовем П}-отношением на 9W, если
существует такая формула ЧРХ ..., VP/^ф (х, у, Р) логики
второго порядка, где ф — конечная формула логики первого
252
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
порядка над языком {R, Р}> что для некоторых параметров р
в |Эй| мы имеем: ае В <=> ЭЯ |= УР\ ... VPk^ [л, р].
3.11. Следствие. Для бесконечной системы ЭЯ конечной
сигнатуры каждое отношение на |9Я|, которое является ^-отно-
шением на НУРод, является Х\\-отношением на Зй.
Доказательство (в общих чертах). Заметим, что по
лемме об усечении и по определению HYP^ любая модель Э1 си-
стемы KPU, которая «содержит» ЗЯ в подходящем смысле, бу-
дет концевым расширением НУР^. Используя также устойчи-
вость вверх S-формул, можно видеть, что истинность S-фор-
мулы в А становится эквивалентной ее истинности во всех
моделях KPU, «содержащих» ЭЯ. Это показывает, как могут по-
явиться кванторы общности второго порядка. Точное доказа-
тельство использует также теорему 3.6. □
§ 4* Множества Хинтикки, существование модели
и ^-компактность
Основной метод построения моделей — построение их, исходя
из некоторых видов множеств и формул. Эти множества дают
более или менее полное описание не только атомарных формул,
но и описывают другие формулы, истинные на каждом конечном
наборе элементов модели. Множества Хинтикки (см. 4.1), ка-
жется, являются наиболее подходящими множествами фор-
мул среди тех, которые дают возможность канонического по-
строения модели, в том смысле, что их определение содержит
определенный минимум требований.
В оставшейся части этой главы под «формулой» мы будем
подразумевать формулу из L для некоторого L, если только
не следует иной смысл из контекста (например, S-формула, как
и прежде, будет подразумеваться конечной).
Будем говорить, что формула имеет нормальную форму с от-
рицанием (н. ф. о.), если она построена из атомных формул и
их отрицаний с использованием лишь A, V, V и 3. Легко по-
казать, что любая формула логически эквивалентна некоторой
формуле в н. ф. о.
4.1. О п р е д е л е н и е. Пусть /7 — множество предложений
в н. ф. о. и по крайней мере в одном из элементов Н имеется
индивидная константа. Н называется множеством Хинтикки,
если выполняются следующие условия:
(i) Для любой атомной формулы 0 0 и П0 не могут при-
надлежать Н одновременно.
(iia) Для любого замкнутого (свободного от переменных)
терма t (языка Н) twtEH,
§ 4 МНОЖЕСТВА ХИНТИККИ
253
(iib) Для любой атомной формулы ф(х), самое большее, с
одной свободной переменной х и любых замкнутых термов t2
из <р(/1) и Л «^2 Н следует ф(6) Н.
(iii) Если Д 1g Я, то ф е Н для любого ф gL
(iv) Если Ухф(х) е Н, то ф(/) для любого замкнутого терма L
( ) Если то ф е Н для некоторого ф g
(vi) Если Зхф(х)е//, то ф(/)е// для некоторого замкну-
того терма /.
4.2. Предложение. Для любого множества Хинтикки Н
имеется такая модель ЗЛ множества И, что каждый элемент мно-
жества |2Л| является значением некоторого замкнутого терма.
Доказательство. Пусть L — множество нелогических
символов в Н. Введем отношение эквивалентности ~ на множе-
стве замкнутых термов: t\ ~ /2 <=> <и6 « На основании
(ii) ~ является в действительности отношением конгруэнтности
в L, т. е. мы можем определить L-систему 2)1 на множестве |2Л|
классов эквивалентности по отношению ~, полагая
(Л/~, ... tn Н,
.....
(|®l| не пусто, так как имеется по меньшей мере одна индивид-
ная константа.)
Индукцией по сложности предложений ф в н. ф. о. покажем,
что ф G Я влечет 1= ф. Для отрицания атомной формулы ф
воспользуемся условием (i). Очевидные шаги индукции, исполь-
зующие оставшиеся условия, опущены. □
«Грубый» вариант понятия множества Хинтикки, используе-
мый в следующем результате, будет тоже полезен. Назовем Lb
фрагментом L^, если оно является множеством таких Ь^-фор-
мул, что:
(i) любая подформула формулы ф g Lb также принадле-
жит Lb (т. е. Lb замкнуто относительно подформул);
(ii) Lb замкнуто относительно подстановки термов из L вме-
сто свободных переменных;
(iii) Lb замкнуто относительно финитных логических опера-
ций "|, Л, V, V и 3;
(iv) всякий раз, когда V е LB, V { V 2 -> ф: фЕ^} при-
надлежит LB;
(v) каждая атомная формула из L принадлежит Ls.
Заметим, что каждый счетный допустимый фрагмент три-
виально является фрагментом в данном смысле.
254
ГЛ 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
4.3. Предложение. Пусть Lfi является фрагментом L(1)Itor
С cz L — множество индивидных констант и Т — множества
предложений в La. Предположим, что:
(i) каждое конечное подмножество множества Т является
выполнимым’,
(ii) если предложение V 2 является общезначимой дизъ-
юнкцией и принадлежит Lb, то найдется ф е Z такое, что ф е-
Т\
(iii) если 3^(x)gLb является общезначимым предложе-
нием, то ф(с) е Т для некоторого с <= С.
Тогда Т полно в Lfi, т. е. для любого предложения ф в L&
либо ф е Т, либо ф е Г, и Т имеет такую модель Эй, что каж-
дый элемент из |ЗЙ| является значением некоторого сеС и мо-
дель Эй единственна с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Аналогично доказательству предло-
жения 4.2. □
Пусть La —допустимый фрагмент для счетного допусти-
мого множества А. Продемонстрируем применение предложения
4.3 в доказательстве теоремы Барвайса о S-компактности — од-
ного из самых главных результатов обсуждаемой темы. В дока-
зательстве мы используем теорему Барвайса о полноте, которую*
докажем в следующем параграфе. Доказательство полноты не-
явно потребует некоторого усовершенствования понятия множе-
ства Хинтикки.
4.4. Теорема о S-компактности (Барвайс). Пусть
А — счетное допустимое множество. Пусть Т — множество пред-
ложений в La, и пусть Т является ^-множеством на А. Если каж-
дое A-конечное подмножество Т является выполнимым, то и Т
выполнимо.
Доказательство. Расширим Т до множества, удовлетво-
ряющего условиям (i) — (iii) из 4.3. Пусть С — счетное множе-
ство констант, не встречающихся в Т. Пусть Зхпфл (хп), V (п=*
= 0, 1, 2, ...) — перечисления всех логически общезначимых
предложений соответствующих видов из фрагмента La (С)—мно-
жества предложений, полученного подстановкой элементов мно-
жества С вместо свободных переменных в формулы из La (заме-
тим, что любое ф в La (С) содержит только конечное множество
констант из С). Индукцией поп<о определим множества Тп
такие, что:
(i) Тп—Т является конечным множеством предложений из
La (С);
(ii) каждое A-конечное подмножество множества Тп являет-
ся выполнимым.
Положим То = Т. Тогда по предположению имеют место (i) и
(ii). Предположим, что Тп определено. Выберем любой элемент
с из С, не содержащийся в Тп (из (i) следует, что только конеч-
§ 5. КОНЪЮНКТИВНЫЕ ИГРОВЫЕ ФОРМУЛЫ
255
ное множество элементов С содержится в Тп), и положим Т =
= TnU {фп(с)}. Заметим, что на основании (i) Т' является
^-множеством на А. Поскольку Зхфп(х) общезначимо, то на ос-
новании (ii) применительно к Тп легко видеть, что каждое 4-ко-
нечное подмножество множества Т' выполнимо. Теперь пусть
V^= V^n и допустим для «доказательства от противного», что
для любого (pel Т' J {<р} не является 4-конечно выполнимым.
Это означает, что Л V(p е S3a(« a cz Т'& ( А а А ф) являет-
ся логически общезначимым»).
Теорема Барвайса о полноте в ее «абстрактном» варианте
(которая будет доказана в следующем параграфе) гласит, что
предикат «ф является логически общезначимым предложением в
А» является S-предикатом на А. Используя полноту и Si-формулу
с параметром 6, определяющую Г', мы можем найти Si-формулу
3x6 (ф, х, а, &), где 6 является А0‘предикатом, выражающую
заключенную в кавычки часть. Так как 4(=Уф^23аЗх
6(ф, х, а, Р), то по аксиоме До-выборки получаем, что сущест-
вует се А такое, что
А |= Уф е S За е сЗх е сб (qp, а, х, &).
Рассмотрим d^{a^c: Зф е S3x е сб (qp, а, х, Ь)}. В силу
До-выделения de А Пусть ао=СМ;тогДа ао^А. Так как для
любого a^d имеем А (= 3x6(ф, х, а, Ь) для некоторого феS,
то ао, является 4-конечным подмножеством множества Г'. По
определению а0 для любого ф е S существует такое а, что acza9
и а U {ф} невыполнимо, тем более aoU {ф} невыполнимо для каж-
дого фе S. Но это в точности означает, что aoU {VS} невыпол-
нимо, что противоречит 4-конечной выполнимости Г'.
Мы показали, что существует феЕ такое, что T'U {ф} яв-
ляется 4-конечно выполнимым. Определим 7\+i = T'U {qp}. Это
завершает определение последовательности Тп, п < со.
Положим Тоо= (J Тп. Исследуя данную конструкцию, мы
П<(й
видим, что Too удовлетворяет условиям теоремы 4.3; (i) следует
из того, что любое конечное подмножество множества Too яв-
ляется конечным, следовательно, и Д-конечным подмножеством
некоторого Тп- На основании 4.3 Too и Т имеют модель. □
§ 5. Конъюктивные игровые формулы
Некоторые понятия, выразимые в логике второго порядка
S’-формула над (или над Ьд) является формулой логики
второго порядка, если она имеет вид 37?ф (/?), где 7? — конечное
или бесконечное множество предикатных и/или операционных
символов, <р является формулой из (L (J 7?)ш(в (или из (L (J R)A
256
ГЛ 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
и в этом случае должно быть A-конечным). Если 7? есть
{7?i, ..Rn}, мы будем ^писать 3/?! ... 3/?„ф. Если свободные
переменные формулы 37?ф суть х, т. е. 37?ф = 37?ф (/?, х), то
ЭК 3/?Ф (/?, а) для а е | ЭК |, если (естественно) на | ЭК | имеются
такие отношения R, соответствующие R е /?, что (ЭК, h=
1= Ф [/?, «]• Пгформула определяется подобным образом, но
вместо квантора 3 употребляется V. Определения Прформулы
или Ггформулы без дальнейшей квантификации подобны ана -
логичным определениям для конечной логики
О классе К подобных систем говорят, что А’ является L(D1(0-
элементарным, или Ьд-элементарным, или Si-классом над LW;(1)
и т. д., если существует формула ф такая, что ЭК е А тогда
и только тогда, когда ЭК |= ф и ф е LWl(1), или ф е Ьд, или ф
является Si-формулой над и т. д. соответственно. Будем
говорить, что К является Ь^-элементарным классом счетных
систем, если для некоторого (peLM1W имеем ЭК е К тогда и
только тогда, когда ЭК|==ф и ЭК счетно. Аналогично и для
других понятий.
Будем говорить, что К есть А1"класс над и т. д., если
К является как Si-классом, так и Прклассом над LOiW и т. д.
Короче, А! = 2}fin}.
Зафиксируем систему ЭК с сигнатурой L, и пусть Ф(х, у)
будет формулой, (Произвольной логики), р — это параметры в
| ЭК | (соответствующие у), Bcz| ЭК р будет отношением, опреде-
ленным формулой Ф с параметром р: для а е | ЭК р имеем
ае В<=>ЗК|=Ф(а, р). Если Ф —конечная формула логики пер-
вого порядка, то В называется элементарным на ЭК. Если Ф
является Прформулой или П}-формулой над Ьд и т. д., то В
называется Протношением или П1-отношением над Ьд и т. д.
Если формула Ф принадлежит LW1(0 или Ьд, то В назы-
вается ^^-элементарным или ^-элементарным отношением
соответственно. Беря ЭК = со (со, 0, 1, + ,) и конечную фор-
мулу Ф логики первого порядка, мы получим то, что обычно
называют арифметическим подмножеством множества со. Если Ф
есть П}-формула или Si-формула, то получим Прподмножества
или Ерподмножества со. Для произвольных моделей ЭК вновь
Д1 Si П П} при всех возможных значениях Si и П}.
В качестве третьей группы понятий мы введем обобщения
понятий второй группы на логику второго порядка. Пусть ЭК —
некоторая фиксированная система с сигнатурой L, ^(S, ^—фор-
мула (произвольного вида), содержащая n-арный предикатный
§ 5. КОНЪЮНКТИВНЫЕ ИГРОВЫЕ ФОРМУЛЫ
257
символ S («предикатную переменную»), не интерпретируемый
в Эй (все остальные нелогические символы из W интерпрети-
руются в Эй), и пусть р — некоторый фиксированный параметр
в | Эй |. Пусть X — множество таких n-арных отношений S на
| Эй |, что (Эй, S) |= V (S, р). Если — конечная формула логики
первого порядка, то X называется элементарным на Эй. Соот-
ветствующие понятия, выразимые в логике второго порядка,
вновь получаются таким же образом. Если является П}-фор-
мулой над (L U {5})01(|), то X называется П’-множеством над
L(o1(o(!) на Эй и т. д. Вместо П} над мы пишем также П}
(п}> написанное полужирным шрифтом) и т. д.
Пусть Е— топологическое пространство 2® всех n-арных от-
ношений на © с обычной топологией произведения. Е гомео-
морфно канторовскому дисконтинууму. Множество X cz Е яв-
ляется борелевским, аналитическим или дополнением аналити-
ческого в классическом смысле (см. главу 8 «Теории мно-
жеств») тогда и только тогда, когда X является соответственно
Ь^-элементарным, Sj-элементарным или nJ-элементарным на со.
Классы систем — «более общее» понятие, чем классы мно-
жеств, в следующем смысле. Пусть X — это класс n-арных отно-
шений на |9Й|, р — конечный набор элементов из |9Й|. Рассмо-
трим класс X всех систем, изоморфных (Эй, р, S) для некоторого
S е X. Утверждения о классе X могут быть иногда выведены из
аналогичных результатов, полученных для X, по следующей при-
чине. Пусть для простоты Эй = со. Следующее Ь^ю-предложение
Фо характеризует со с точностью до изоморфизма:
Д Diagram со Д Vx V {* гп < °>};
здесь = 1 + ... + 1 — формальный терм, обозначающий п.
Если X определено формулой Ч' (S, р), то X определяется фор-
мулой фо A (S, р); следовательно, если X является nJ-клас-
сом, Sj-классом или А}-классом, то таким же будет и X и т. д.
Мы в дальнейшем неоднократно используем эту возможность.
Конъюнктивные игровые предложения
Конъюнктивная игровая формула или формула Воота, как
мы ее будем иногда называть, есть частный случай ^{-формулы
специального вида над ЕЮ1(й. Формула Воота имеет вид
<DW = V«1 А 3^ V A Vvn V
... А Ф**'1 "kn'n (г, и, vi, un, v„),
n<0
9 Справочная книга, ч. I
258
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
где K\f Lb ... — счетные множества, а <р 1 п является
формулой с указанными свободными переменными для каж-
дого Li, ... Значение высказывания «с удовле-
творяет Ф в Зй» (обозначается Зй |= Ф [с для z]) наилучшим
образом объясняется бесконечной игрой, проводимой двумя
игроками V и 3 на системе Зй. Игра состоит из (о-последова-
тельности ходов. На n-м ходу (^l)V выбирает элемент ап^
е | Зй | (интерпретирующий ип) и индекс kn КП9 & 3 отвечает
выбором Ьп е | Зй | (интерпретирующим vn) и ln^Ln. 3 выигры-
вает после завершения n-го хода для всех п=1, 2, ... тогда
и только тогда, когда Зй|= Д дЛ lft [с, Ъь ..., аП9 Ьп].
п<©
Выигрышной стратегией для 3 в этой игре является такая по-
следовательность (Jni п < (о) функций fn: | Зй | X X • •. XI Зй | X
X Кп~*\Зй | X что при любой игре а2, ...) игрока V,
если 3 всегда ведет себя согласно этой стратегии, т. е. всегда
выбирается ЬП9 1П9 где {bn9 ln) = fn(al9 ki9 ..., аП9 kn)9 то он
выигрывает в приведенном выше смысле. Наконец, ЗЙ |= Ф [с]
означает, что игрок 3 имеет выигрышную стратегию в игре
на (Зй, с), ассоциированную с Ф.
Сделаем вначале несколько простых замечаний о конъюнк-
тивных игровых предложениях. Прежде всего, можно рассмо-
треть менее регулярный префикс, чем он был определен выше,
или можно опустить полностью некоторые кванторы V, 3, а
также Д, V (которые могут рассматриваться как кванторы на
фиксированных множествах Кп, Ln). Во всех этих случаях, вво-
дя фиктивные переменные, можно легко получить формулу вида,
требуемого определением.
Это замечание остается в силе, даже если для начала взять
конечный префикс и, например, рассматривать пренексную фор-
мулу. Тогда определение истинности через игровую интерпрета-
цию есть не что иное, как обычная скулемовская форма с функ-
цией Скулема для переменных, связанных кванторами 3. Это
замечание позволяет легко распознавать Si-характер конъюнк-
тивных игровых предложений в общем случае, но мы вернемся
к этому позже.
Чтобы сделать следующее замечание, начнем с того, что для
простоты будем считать формулу Воота предложением, т. е. сде-
лаем z пустой последовательностью. Тогда для любых фиксиро-
ванных индексов k\, .., In из К\9 ..., Ln соответственно можно
рассмотреть усеченную игровую формулу Ф^1 1п (ui9 ..., vn)9
полученную удалением кванторов от начала до 3vn включитель-
но. Пусть р — исключительная часть префикса. Тогда выражение
рф*1 *” ln (нь ..., vn) можно интерпретировать двумя способами:
§ 5. КОНЪЮНКТИВНЫЕ ИГРОВЫЕ ФОРМУЛЫ
259
во-первых, как исходную Ф, а во-вторых, как «р применяется к
(ф*1 '"ln: Zn^Ln)». Читателю предоставляется
возможность самостоятельно убедиться в том, что эти два зна-
чения совпадают.
В качестве следующего замечания выступает
5.1. Предложение. Для определенного выше предложения
Воота Ф (для простоты z=0) 2Й|=Ф, если и только если
на | Эй | существуют предикаты Pk{"'ln(ui, ..., vn), где п<ы,
lnE=:Ln, такие, что система ЯК', полученная расши-
рением ЗЛ этими предикатами, удовлетворяет предложению
Р0 Л А ( А ... A
-+Чип К V Pkl‘п («!>• • ., On-l/Un, v„)\ A A A
kneKn lneLn / lOi«9t|eK
... A VM1 ... Vv„(Pft‘-z«(»b .... vn)
e L„
n n
A <pfc‘ l(Ul, .... Vi)).
i< n
Доказательство. Для доказательства необходимости
ь I
заметим, что в качестве Р 1 *” п можно взять определенные выше
фк1"1п. Обратно, полагая, что предикаты Pk^"'ln с требуемы-
ми свойствами существуют, можно определить индукцией по п
такие функции:
fn: K1XI2KIX ... Х^Х|2Й|->^Х|2«1,
что Pk{"'ln(ai, b{, ..., ап, Ьп) выполняются для любых а{, ...
..., ап <= | Эй |, kt <= /Сь ..., kn <= Кп и для (Ц, = fi (aif k{, . . .
..., at, ki). Для этого используются первая и вторая конъюнк-
ции приведенного выше предложения. Из последней конъюнк-
ции немедленно следует, что fn образуют выигрышную страте-
гию для 3. □
Будем говорить, что формула Воота Ф является Л-конечной
(или Ф принадлежит А), если семейство п<
< со, ..., ln^L^) является Л-конечным.
5.2. Следствие. Любая формула Воота логически эквива-
лентна некоторой ^[-формуле над LoiG). Если А — допустимое
множество и формула Воота Ф A-конечна (в частности, соеЛ),
то Ф логически эквивалентна некоторой ^{-формуле над Ьд.
Первый основной результат гласит о том, что конъюнктивные
игровые формулы имеют такую же выразительную мощность
(силу), как и Si-формулы над LW1© во всем, что касается счет-
ных моделей. Рассматривать более сложное понятие конъюнк-
9*
260
ГЛ. 7 ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
тивных игровых формул нас заставляет то, что их специальная
синтаксическая форма предоставляет возможность полезных
манипуляций, в частности конструирование аппроксимаций (см.
ниже).
Используем обозначение |='ф для указания того, что ф
истинна во всех счетных моделях. По теореме Лёвенгейма —
Скулема о спуске для ЕШ1(В (см. главу 2) Н'ф эквивалентно
Ф в случае, если ф — Ьт1(В-предложение.
5.3. Теорема о форме игры. Для любого ^[-предло-
жения 3/?ф (R) над существует такое предложение Воота Ф,
содержащее лишь символы из L, что £=' Ф *-» В/?ф (/?). Если
А — допустимое множество, о» <= А и Э/?ф (R) есть ^-предложение
над Ьл, то существует A-конечное Ф. Фактически на А суще-
ствует Z-операция, дающая нужное Ф для любого ^-предло-
жения над ЪА в качестве аргумента.
Доказательство (Харник [1]). Можно считать, что
ф(7?) является н. ф. о. Пусть Д — счетный фрагмент L (7?)Ш1(Л (см.
выше), содержащий ф(£) и х as у (в том случае, когда требует-
ся, чтобы Ф было «Л-конечным», нужно брать Л-конечный Д;
наименьший фрагмент, содержащий ф и х as у, будет подходя-
щим (упражнение: используется то, что L(R) является (может
быть выбран) Л-конечным и что сое Л)). Пусть С — бесконеч-
ное множество новых индивидных констант и Д(С)—множе-
ство предложений, являющихся результатами подстановок эле-
ментов из С вместо свободных переменных в формулы из Д.
Пусть D есть множество всех замкнутых термов языка L U R (J С.
Утверждается, что для любой счетной L-системы ЯИ имеем
ЯК |= В/?ф (R) тогда и только тогда, когда выполнено:
(i) существуют такие множество Хинтикки (см. 4.1) 0,
0 cz Д (С), и функция f: D | ЯК |, являющаяся отображением
на, что ф(/?)е0 и для всех атомных формул л(о0, •••» vn)
из L и всех с0...сп е D имеем ЯК |= л (с0) f (с„)] тогда
и только тогда, когда л(/с0, ...» fc„)e0 и либо л(с0, ..., сп),
либо ~|л(с0....с„) принадлежит множеству 0. _
Действительно, если ЯК |= Э/?ф (R), т. е. (ЯК, R) |= ф для
некоторых отношений R на | ЯК |, то пусть f — любая функция
С | ЯК | и определим 0 как множество всех таких ф (с0, ...
..., с„)еД(С) в н.ф.о., что 2КИ=Ф^(со)......f(с«)]- Легко
видеть, что этот выбор удовлетворяет (i). Обратно, допустим»
что имеет место (i). Пусть ЯК' является канонической моделью 0,
построенной в доказательстве утверждения 4.2. Тогда ЯК'|=ф (R).
По определению ЯК' и по условию (i) видим, что функция
§ 5. КОНЪЮНКТИВНЫЕ ИГРОВЫЕ ФОРМУЛЫ
261
с®' I—> f (с) является изоморфизмом ЭИ' f L на Эй, позволяющим
-сделать вывод, что Эй |= 37?<р (/?).
Представим условие (i) на Эй в форме предложения Воота Ф.
определяется как предложение
^»=vM1 V Л Во, л V v«2
Cl е D di е D 6 <= А (С) 0t е А (С)
... ( Л Nc^-e-(uu vb ....
\п<© /
(в префиксе блоки типа Vut ... V присутствуют для каж-
0,6= А (С)
дого п=1, 2, ...), где формулы определяются сле-
дующим образом. Возможны два случая: либо каждое из
условий (ii) — (v), приведенных ниже, выполняются на <Ci.0л>
^случай 1), либо нет (случай 2). В случае 2 полагаем
тождественно ложными, V 0. В случае 1 мы полагаем
NCi ",вп(иь ..., п„) = Л(а(и1, ..., о„):
«я является либо атомной формулой, либо отрицанием атомной
формулы из L и a(ci, сп, dn)^ {0i, ...» 0П}}.
Условия, о которых идет речь, следующие: полагаем Qn =
= {<р, 61, ... , 0П-1}.
(ii) Нет атомной формулы л, для которой как л, так и ~1л
.принадлежат 0Л.
(iii) Если бп е 0„ и 6П = V или б„ = Зпф (г), то 0„ = ф
для некоторого ф е Чг, или 0Л = ЧГ(/) для некоторого замкнутого
терма t соответственно.
(iv) Если б„ 0, то либо (а) бп есть t »t, либо (b) б„ есть
<р(/2) такое, что ^«Цебя и <р(/|)<=0„, либо (с) бл е 2 для
некоторого 2 такого, что Л 2 е 0л, либо (d) б„ = qp (t) такому,
что Vxqp (х) е 0; тогда 0„ = б„.
(v) Если бл 0л, бл является атомной формулой L и не вы-
полняется ни одно из условий (а) — (d) из (iv), то 6П = бл или
1)я == I бя.
(Интуитивно, 0я есть «начальный сегмент» множества Хин-
тикки, б„ есть следующая обрабатываемая формула, 0л — сле-
дующая формула, включаемая в множество Хинтикки.)
Покажем, что Эй удовлетворяет (i) тогда и только тогда,
когда ЗЙ|=Ф и Эй счетное. Легко видеть, что (i) влечет ЭЙ|=Ф.
Действительно, пусть 0 является множеством Хинтикки, удо-
влетворяющим условию (i). Определим стратегию игрока 3.
Элементы сп<= D и Ьп е | Эй | (интерпретирующие и„) должны
выбираться игроком 3 так, чтобы f (сп) — ап = выбору игро-
ком V интерпретации ип и f(dn) = bn, где dn^C есть выбор
262
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
игрока V на n-м ходу. Наконец, игроку 3 нужно выбрать 0т
всегда в 0, удовлетворяя условиям (iii) — (v); возможность
этого следует из того, что 0 является множеством Хинтикки
и {ф (/), 01, ..., 0rt-J (по выбору) является подмножеством 0.
Вновь из того, что О — множество Хинтикки, мы получаем,,
что (ii) выполнено. Из заключения (i) следует Эй |= №' *” 0/1 [аь ...
• ••> Ьп] для любых выборов игрока V и выбранной стратегии
игрока В, что и доказывает выигрышность стратегии.
Предположим, что Эй |= Ф, и зафиксируем выигрышную-
стратегию для В в соответствующей игре, проводимой на ЭЙ.
Пусть стратегия игрока 3 реализуется против игры игрока V,.
в которой:
(vi) V перебирает | Эй |, выбирая ап (интерпретирующие
так, что |9й| = {ап: 1 < со};
(vii) каждый элемент множества С выступает в качестве-
некоторого dn (выбранного игроком V на n-м ходу);
(viii) каждое предложение в А (С) выступает бесконечна
часто в качестве некоторого 6„.
Тогда результирующей игрой будет последовательность
«1, Сь • • •
V В V В V В
(снизу указаны игроки). Отсюда мы получаем, что 0 = {0Л:
п < со} U {ср} является множеством Хинтикки, содержащим
ф. Действительно, поскольку мы имеем
(ix)ЗЙ№' *”[аь ..., Ьп] для любого п,
№1 ••• еп Не может быть тождественно ложным’. Следовательно,,
рассмотренный выше случай 2 не имеет места (для последова-
тельностей <сь ..., 0Л>, полученных в результате игры), и, зна-
чит, все условия (ii) — (v) выполняются. На основании (ii) имеет
место 4.1 (i), выполнение 4.1 (ii), (iii) и (iv) следует из (iv) и
(viii); например, если Vxqp(x)e0 и t — замкнутый терм, то для
некоторого п Ухф(х)е0пи ф(0 =6Л (из (viii)), следовательно^
ввиду (iv) 0л = ф(/)е0. Согласно (iii) и (viii) мы аналогич-
ным образом заключаем, что 4.1 (v) и (vi) выполняются для 0„
и, значит, 0 действительно есть множество Хинтикки.
Более того, согласно (vii) и (vi) множество
f = {<fin,an): l<n<co}U{<4, bn): 1 < со} cz D XI Зй |
имеет своей областью определения и областью значения D и
|ЗИ| соответственно. В силу (ix), принимая во внимание (v),
(viii) иопределение получаем, что Эй|=зт[е1, ...,
тогда и только тогда, когда л (Л, ..., /Л) принадлежит 0„
$ 5. КОНЪЮНКТИВНЫЕ ИГРОВЫЕ ФОРМУЛЫ
263
всякий раз, когда <в/, а л(*1, ...» хп) является атомной
формулой в L. Отсюда следует, что f является функцией и что
заключительная часть (i) выполняется. Это завершает доказа-
тельство того, что из ЗЛ |= Ф следует (i).
Закончено доказательство того, что [='3/?ф (/?)*-> Ф. Из вы-
шеизложенного можно извлечь доказательство того, что 3/?ф (/?)
влечет Ф даже на несчетной системе (упражнение), но
доказательство в обратном направлении требует уже счетности
системы Ш1. Можно проверить, что Ф, кроме того, имеет дополни-
тельные свойства. □
Аппроксимации конъюнктивных игровых формул
Полезность формул Воота основана главным образом на их
аппроксимациях, введенных Воотом (обратите внимание также
на исторические сведения, приведенные в п. 5.8). Пусть Ф —
общее предложение Воота, определенное выше; вновь для про-
стоты возьмем вместо z пустую последовательность. Будем ис-
пользовать сокращение k для {kh ..., 1п) (для п = 0 -пустая
последовательность). Для произвольных 0<л <(о, X <
... Х^м и ординала а одновременной индукцией по а опреде’
лим L^-формулу Фд = Фа(^р ..Цд) следующим образом:
Ф«= д
i<n
Фа+1=Уы»+1 A 3v„+i V ф£’
ftn+1sK«+l 'n+t^n+1
Ф£ — Д для предельного А.
Ясно, что для счетного а Ф£ является формулой языка L .
Более того, Ф£ как функция от Ф, k и а является S-операцией
на любом допустимом множестве (по S-рекурсии). В частности,
•если А — допустимое множество, Ф является Л-конечной, то
такими же являются и все аппроксимации Ф® для а < Ord (Л).
Обозначим Фа через Фо. Если вид префикса формулы Воота
•отличается от стандартного вида, то ее аппроксимации соот-
ветствующим образом модифицируются. Например, если Ф есть
Ух^УхцЭуг ... Д ф” (xi.уп),
п<®
264
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
то аппроксимации будут иметь вид:
Фо== А ф'(АГ1, уд,
п
OS+i = Vxn+I3i/n+IOS+1,
Ф"= А Фа, X предельный.
а<у
5.4. Теорема (В о о т [1]). Для введенных понятий имеет
место:
(i) для а>0 (=ф£—>ф|;
(ii) для любого а [=ф—>Фа;
(iii) для любой системы Эй мощности ЯЙ|=ФХ+->Ф;
(iv) если А допустимо, Ф и L-система Эй являются А-конеч-
HblMU, ТО ЗЙ^=Фог(1(А)—>Ф.
Доказательство (i) оставляем для упражнения.
(ii ) Вспомним определение «усеченных» игровых формует
Ф*(иь ..., vn). Утверждение (ii) доказывается как частный
случай t=Vuj ... ^П[Ф*->Ф^], который в свою очередь до-
казывается прямой индукцией по а.
(iii ) Хотя (iii) следует из (iv) (почему?), (iii) легче до-
казать, чем (iv).
(iv) Вначале докажем следующее:
®tf=VUl ... vj Л Ф*
LaCOrd (А)
vu .. л 3v„+1 v Л ф£ *«+»• z«+i
n+1fe„+I^Kn+1 "+ Z„+1s£„+1 a<OrdM)
здесь ki е Дь ..ln^Ln и k = {kly ..., 1п). Пусть ah ...
&ne|3W| — произвольные элементы (интерпретации ub ...
..., vn), и допустим (от противного!), что формула, указанная:
выше после знака не выполняется для ..., bn, т. е.
(v) А |= 3«„+1 е | ЗЛ 13£„+1 е Д„+1У vn+1 е | ЗЛ | V/n+1
е Ln+,3a [Ord (а) Л «ЭЯ И= 1Ф*’ *»+>• ...,Ьп, ип+1, и„+1)»]-
На основании замечаний, сделанных выше о Ф* как о функ-
ции от а и /г, и из Д-характера определения истинности Loo® в-
KPU следует, что выражение, стоящее в (v) в кавычках, яв-
ляется Д-предикатом от всех входящих переменных, включая а..
Единственным неограниченным квантором в (v) является Ba.
Следовательно, на основании принципа S-выборки существует-
множество х е Л такое, что в (v) Эа может быть заменен на
$ 5. КОНЪЮНКТИВНЫЕ ИГРОВЫЕ ФОРМУЛЫ
265
За е х; в качестве х, очевидно, можно взять ординал ао <
< Ord (А). Тогда согласно (i) За может быть фактически ис-
ключено, а а можно заменить на ао. Согласно введенным опре-
делениям полученное заключение можно представить как
Зй |= Фао+i [ль что доказывает утверждение.
Теперь допустим, что Эй h= Фога (Л), т. е. 9ЙЬ= А Фа*
a<Ord (Д)
Используя 5.1, определим предикат Р^(иь ..., vn) как
Д ф£ Первая конъюнкция предложения 5.1 выполняется
чх<Огд(Д) a
согласно предположению, вторая — согласно утверждению,
а последняя — по определению Ф£. □
Заметим, что (ii) и (iii) из 5.4 говорят нам о том, что
Д фа. Принимая во внимание теорему 5.3 о форме
a<«>i
игры, получаем
5.5. Следствие. Любой ^-класс над Lrai(0 счетных алге-
браических систем есть пересечение элементарных классов над
-L<ai<».
Из замечаний, сделанных в начале этого параграфа, как
частный случай вытекает
5.6. Следствие. Каждое аналитическое множество в кан-
-торовском пространстве является пересечением борелевских
множеств.
5.7. Замечание. Одной из причин того, почему мы не рас-
сматривали допустимые множества с Огб(Л) = со (т. е. со Л),
явилось то, что предположение со е Л использовалось всюду в
настоящем параграфе. Этого, однако, можно было бы избежать
иеной некоторых дополнительных усилий. Основная модифика-
ция, которую потребовалось бы сделать в этом случае, — ис-
пользование Л-рекурсивных формул Воота вместо Л-конечных.
Формула Ф (как и выше) называется А-рекурсивной тогда и
•только тогда, когда для каждого п е со функция
= "ln’. kx е Ki, .... ln^ Ln) является Л-конечной и <ГП:
п < (о> Л-рекурсивно. Тогда в 5.3 для любого допустимого мно-
жества Л и для Л-конечной формулы 3/?<р (/?) можно выбрать
Л-рекурсивную Ф, в частности «индекс» Л-рекурсивной функции
Ф (в_ подходящем смысле) является Л-рекурсивной функцией
от В7?ф(/?).
Далее заметим, что для Л-рекурсивной функции Ф семей-
ство (ф£: а < Ord (Л), п < <о, k е Ki X • • • X является Л-
рекурсивной функцией (в частности, любая аппроксимация Ф®
-Л-конечна для а е Л).
266
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
5.4 (iv) также справедливо для 4-рекурсивной Ф с тем же
самым доказательством.
5.8. Историческая справка. Материал настоящего параграфа
имеет сложную историю. Теорема о форме игры была сформули-
рована в 1965 г. для конечных Si-предложений Свенониу-
сом [1]. Boot открыл современный вид этой теоремы, но затем
фактически показал, что теорема в такой формулировке являет-
ся следствием теоремы Свенониуса (см. Boot [1]).
Тем временем, и даже раньше, чем Boot, Московакис
[1] вновь открыл один из вариантов теоремы Свенониуса, хотяг
строго говоря, его результат был несколько слабее. Однако Мос-
ковакис ввел (см. там же) свой вариант аппроксимаций игро-
вых предложений раньше, чем это сделал Boot; он использовал
это для доказательства того, что Пгмножества суть в точности:
индуктивные множества на счетных системах. Основным отли-
чием работ Московакиса от работ Воота является то, что Мос-
ковакис имел дело с фиксированной системой. Поэтому он, по
существу, доказал теорему о форме игры, теорему об аппрокси-
мациях и 5.4 (iii) только в «локальном» случае. С другой сто-
роны, доказательство, предложенное Воотом, очень похоже на
доказательство Московакиса. У обоих утверждается фактически
одно и то же, только Boot увидел в этом нечто большее. По-
этому можно рассматривать работу Воота как «унифицирован-
ный» вариант работы Московакиса.
§ 6. Применение игровых формул; полнота
6.1. Теорема. Пусть А — допустимое множество, A s
НСи (следовательно, каждое множество в А счетно). Тогда:
определение истинности A-конечных П.\-предложений в А-конеч-
ных моделях есть ^-предикат на А, т. е. существует ^-формула:
с(х, у, z) такая, что для A-конечного Т[\-предложения V/?qp(/?) it
A-конечной системы ЭИ
9Hf= ¥/?ф(/?)[а], если и только если A o[V/?<p(/?), ЗИ, а].
Более того, то же о применимо для всех А, содержащих со.
Доказательство. Очевидно, заключение теоремы экви-
валентно высказыванию «Si-истинность есть П-предикат на Ак
Это есть непосредственное следствие результатов последнего па-
раграфа. Для 3/?ф (/?) в А пусть_Ф эквивалентно по Bootjt
В/?ф(/?);Ф является^ S-функцией 3/?ф (/?) (см. 5.3). Для в А
имеет место ЭИ 3/?ф (/?), если и только если 9И^=Ф (так как:
SW счетно), а последнее согласно 5.4 (iv) имеет место, если и
только если ЭИ Фа для всех ординалов а е Л. Это доказа-
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ИГРОВЫХ ФОРМУЛ; ПОЛНОТА
267
тельство проходит для случая (ое А; в более общем случае не-г
обходимо воспользоваться 5.7; сейчас мы в состоянии серьезно
заняться нашим смутным замечанием об «индексах» в п. 5.7. □
6.2. Теорема Барвайса об абстрактной пол-
ноте. Для А, определенного в 6.1, предикат «ср логически обще-
значимо» для предложения ф из Ьд является ^-предикатом на А
равномерно для всех А.
Доказательство (Boot [1]). Наше доказательство
применимо только для случая (оеЛ (однако см. замечания,
приводимые ниже). Согласно теореме Лёвенгейма — Скулема о
спуске каждое предложение в общезначимо в том и только
в том случае, когда оно истинно для всех систем с областью v
для произвольного v (о, где v само по себе является системой
с пустой сигнатурой. Пусть ф£ Ь, и пусть R обозначает мно-
жество нелогических символов в ф. Тогда ф является логически
общезначимой, если и только если (Vv со) v |= У7?ф (/?). Теперь
осталось применить 6.1. □
Замечание. Если существует по крайней мере одно бес-
конечное множество в А, то данное доказательство может быть
спасено. Мы вынуждены при этом воспользоваться моделями с
нестандартной интерпретацией равенства, но это небольшой
ущерб. Остальные допустимые множества суть в точности HFu
для различных U, и логика есть в точности конечная логика. Но
даже в этом случае доказательство можно «спасти» «добавле-
нием» некоторого бесконечного множества к А; детали мы опу-
скаем.
Замечание. Подчеркнем, что 6.2 не является полной тео-
ремой Барвайса о полноте (о которой говорилось во Введении!).
С другой стороны, интересно, что теорема об абстрактной пол-
ноте для La играет в теории моделей для языка La даже более
важную роль, чем аналогичная теорема в теории моделей для
обычной логики первого порядка.
Пусть ValicU (ср) обозначает предикат «ф есть логически об-
щезначимое A-конечное предложение некоторого фрагмента Ьд».
Существует счетное допустимое множество А такое, ч^о ValicU
ость Д-предикат на А; таким множеством, например, являеэея А,
для которого A НС (упражнение). Но уже следующие
допустимые множества ведут себя подобно HF в следующем
смысле: ValicU не является Д-предикатом и, в частности, оно яв-
ляется «полным» А-рекурсивно перечислимым множеством.
Пусть А = а+ — чистое следующее допустимое множество с ше
А. Пусть ф(хь х2) есть S-формула, В cz А — множество, опре-
деляемое на А формулой ф(%1, с), где с — элемент А. Сейчас
вам понадобится 3.10. Бесконечное предложение (A KPU А
Л Феа, ь. с) есть А-рекурсивная функция от &, с и формулы
268
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
ф. Обозначим эту функцию через g(6, с, ф). В 3.10 утверждается,
что &еВФФ|(&, с, ф)еУаП<1л, что выражает «полноту»
S-предиката Validx по отношению ко всем S-предикатам на А.
Сейчас, воспользовавшись канторовской диагонализацией, мож-
но показать, что предикат Q (d) <=> «d = <с, ф> для некоторого
се Л и S-формулы ф и £«с, ф>, с, ф) ф Valid,!» не является
S-предикатом. Конечно, Q есть П-предикат и, следовательно,
S-предикат ~1 Q(d) не есть П-предикат и потому не есть А-пре-
дикат. Таким образом, существует S-предикат на А такой, что-
он не является А-предикатом и, следовательно, пользуясь «пол-
нотой» Validx, мы доказали следующее утверждение.
6.3. Теорема. Пусть А — а+ — счетное чистое следующее-
допустимое множество с © е А. Тогда Validx не есть ^-преди-
кат на А.
Следующей нашей задачей является обращение 3.12 для
счетной системы Ш1.
6.4. Теорема (Барвайс [2]). Пусть 2И = (|2)1|, /?ь ....
..., Ri) — счетная бесконечная алгебраическая система конеч-
ной сигнатуры, и пусть S — отношение на |2И|. Пусть А =
= НУРад.
(i) Если S является 11\-отношением над Ьл на 3W, то S
является ^-отношением на А.
(ii) S есть П{-отношение на Ш?, если и только если S есть-
^-отношение на НУРИ.
(iii) S есть ^[-отношение на ЗЯ, если и только если S е НУРОТ,
Доказательство, (i). Следует непосредственно из 6.1,
так как 2Я е А.
(ii) Следует из (i) и 3.12.
(ii i) Следует из (ii) и из принципа А-выделения. □
Если Ф1= (<о, 0, 1, +, •), то НУРда для всех наших практиче-
ских целей совпадает с НУР (о); так, например, чистые множе-
ства в НУРШ в точности те же, что и в НУР(®) (упражне-
ние). Таким образом, мы получаем следующий результат.
6.5. Следствие (Крипке [1], Платек [1]). П[-под~
множества © суть в точности НУР (®) -рекурсивно перечислимые-
подмножества ©. Ai -подмножества © суть в точности НУР(©)-
конечные подмножества ®.
Чтобы подчеркнуть историческое значение 6.5, мы приведем
конкретное описание НУР(ю). Будем называть ординал а ре-
курсивным, если существует рекурсивное упорядочение подмно-
жества множества ©, имеющее порядковый тип а. Заметим, что
если а — рекурсивный ординал и 0 < а, то 0 — также рекурсив-
ный ординал. Пусть of* — первый некурсивный ординал.
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ИГРОВЫХ ФОРМУЛ; ПОЛНОТА
269
6.6. Теорема (Крипке [1], Платек [1]). <o+ = L ск,
0)1
т. е. первый допустимый ординал > <о есть co^k.
Доказательство. Пусть HYP (со) = La(co) = La. Ис-
пользуя теорему о S-рекурсии, легко показать, что порядковый
тип полного упорядочения в допустимом множестве также при-
надлежит допустимому множеству. Так как все рекурсивные
множества лежат в НУР (со) (у п р а ж н е н и е), то cofк а.
Предположим теперь, что со^к < а> т. е. р _ оск pjyp (со).
Обозначим е-е рекурсивно перечислимое множество через We и
воспользуемся следующими классическими результатами:
(i) для каждого Пгмножества Л, A cz (о, найдется такая ре-
курсивная функция Д что п е А <=> f(n) есть номер рекурсив-
ного вполне упорядочения Wf(n) (нормальная форма Суслина —
Клини, см. главу 8 «Теории множеств»);
(ii) существует nJ-множество cz о, не являющееся 2}-множе-
ством (см. главу 8 «Теории множеств»).
Пусть В —- Прподмножество <о, не являющееся Si-подмноже-
ством, и применим к нему (i). Так как для каждого п^В по-
рядковый тип < р, то существует сохраняющее порядок
отображение g упорядочения Wf(n> в (Р, <= f р). Конечно, в свою
очередь, существование такого g влечет п е В. Существование
g может быть выражено высказыванием о том, что А-конечная
система, А-рекурсивно зависящая от /г, может удовлетворять
определенному Si-предложению над LA (упражнение). Ана-
лизируя все эти факты (и двойственные к ним) совместно с 6.1,
получаем, что В является П-множеством на А и, следовательно,
согласно утверждению (двойственному к) 6.5, мы приходим к
выводу, что В есть Si-подмножество <о, что приводит к противо-
речию с предположением. □
6.6х. Следствие. М-подмножества со — это в точности те
множества, которые конструируются до уровня со^к.
Замечание. Следствие 6.6' есть одна из формулировок
теоремы Клини [1], которая является одним из основных ре-
зультатов эффективной дескриптивной теории множеств и (при-
кладной) логики второго порядка. Теорема Клини утверждает,
что подмножество множества со будет гиперарифметическим в
том и только в том случае, когда оно является Армножеством.
Если мы заменим клиниевское определение гиперарифметично-
сти на выражение «быть элементом L ©,к», то 6.6' есть модифи-
кация теоремы Клини. Действительно, два определения гипер-
арифметичности тождественны; оба включают в себя иерархию,
270
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
индексами у которой являются рекурсивные ординалы. Как лег-
ко видеть, 6.5 обобщается на произвольную счетную систему,
удовлетворяющую 6.4. Теорема Клини — сама по себе более
тонкое и глубокое утверждение и поэтому так просто не обоб-
щается. См. обсуждение этого вопроса уМосковакиса [2].
Сейчас мы приведем без доказательства результат, который
показывает, какую роль играет первый стабильный ординал Оэ
в эффективной дескриптивной теории множеств.
6.7. Теорема, (i) о0 есть первый ординал, не являющийся
-ординалом, т. е. такой первый ординал а, что не существует
^вполне упорядочения подмножества множества со с порядко-
вым типом а.
(ii) Для А = L(j0 подмножество В множества со есть ^-мно-
жество, если и только если оно является ^-множеством на Л.
(iii) В^со есть ^-множество, если и только если В^А.
Следующее утверждение представляет собой важный резуль-
тат, при доказательстве которого используются теоремы Бар-
вайса о полноте и компактности, а также теорема об опускании
типов (см. главу 2). Множество а назовем внутренним для мо-
дели Э1, удовлетворяющей аксиоме экстенсиональности, если а е?
eWF(9l). Пусть А = HYP^, где Зй — счетная система. Пусть
Т — теория в Ьд, где L= {е, U, ...}, и пусть Т есть S-теория
на Л.
6.8. Теорема. Если а — внутреннее множество для каждой
модели теории Т, то а е Л.
Теорема 6.8 представляет собой современный вариант тео-
ремы Ганди — Крайзеля — Тейта: для произвольного непроти-
воречивого Iii-множества аксиом теории чисел второго порядка,
если а со есть «в» каждой модели теории Т, то а гиперарифме-
тическое. Доказательство и исторические сведения о 6.8 можно
найти уБарвайса [2], глава 4, теорема 1.3.
В заключение суммируем наши представления о теоремах
о полноте и S-компактности для счетного допустимого множе-
ства Л. Формулируемая ниже теорема будет основным рабочим
инструментом в следующем параграфе о S-насыщенных систе-
мах. Ее доказательство предлагается читателю в качестве уп-
ражнения.
6.9. Теорема. Пусть Т — ЪА-теория в счетном допустимом
фрагменте Ьл. Тогда для произвольного ф£Ьл:
(i) ТИ=Ф, если и только если Т' |=<р для некоторой А-конеч-
ной теории Т'\
(ii) {феЬл: Т^ср} есть ^-множество на А (расширенная
полнота);
§ 7. 2-НАСЫЩЕННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
271
(iii) пусть р cz I X Ьд есть Яд-семейство такое, что для каж-
дого pi= {ф: </, ф> ер} есть множество предложений Ьд;
тогда семейство {(/, ф): i е /, pt |= ф} является Я-множеством
на А (равномерно расширенная полнота).
§ 7. S-насыщенные алгебраические системы
Везде в данном параграфе А будет счетным допустимым
множеством, L — язык, являющийся А-подмножеством А. Тогда
Я-семейство Ьд-типов с параметрами х— это по определению
такое S-множество р, что р cz / X Ьд для некоторого Д-конеч-
ного множества индексов /, и если </, то ф = ф(у, х)
есть Ьд-формула с указанными свободными переменными. Для
1^1 пусть pi или Pi(v, х) будет «типом» {ф(у, х): <t, ф> е р};
pi есть S-множество формул.
Пусть Зй есть L-система и рассмотрим 5д-семейство Ьд-ти-
пов с параметрами из Зй, т. е. с элементами а из |3й| (точнее,
с константами, обозначающими эти элементы), которые подстав-
лены вместо х. Будем в этом случае говорить о семействе типов
над Зй. Будем также говорить, что р реализуемо в Зй, если, ис-
пользуя приведенные выше обозначения, имеем ЭЯ |= V
I I
fcPi(v,a), т. е. по крайней мере реализуется один тип
7.1. О п р е д е л е н и е (Рессер [1]; в приводимой форму-
лировке: Харник [ 1 ]). Зй называется Яд-насыщенной, если для
каждого 5д-семейства типов р над Зй из того, что каждое Д-ко-
нечное подсемейство q р реализуемо в Зй, следует, что р реа-
лизуемо в Зй; в обозначениях это выглядит так:
Зй = Г л Bv V А <7/(и, а)1 v A Pi(v, а).
I qsр I iе/
Lq е A J
Замечание. В случае, когда / — одноэлементное множе-
ство, бесконечная дизъюнкция исчезает, и мы получаем усло-
вие, формально сводящееся к знакомому условию (о-насыщенно-
сти в теории моделей. В частности, для А = HF мы получаем
условие, которое в главе 2 мы называли рекурсивной насыщен-
ностью (в действительности рекурсивно перечислимой насыщен-
ностью, но это эквивалентно предыдущему). Так как в нашей
модели конечное множество / фактически ничем не отличается
от одноэлементного (упражнение), то 2Нг-насыщенность
совпадает с рекурсивной насыщенностью.
Эквивалентное определение S-насыщенной модели полу-
чается «расчленением» исходного определения на две части.
Первая часть представляет собой приведенное определение с /
как одноэлементным множеством (это условие называется 2-на-
сыщенностью поШлипфу [1] ив действительности более под-
272
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
ходящее, чем полное условие), а вторая часть получается из ис-
ходного определения вычеркиванием х и Зх (это условие назы-
вается Л-регулярностью по Ш л и п ф у [1]).
Читатель в дальнейшем убедится, что ниже в доказательстве
7.2 Л-регулярность необходима для «выполнимости дизъюнк-
ций».
Каждая конечная L-система является 2д-насыщенной. Для
произвольного множества а система (а) с пустой сигнатурой яв-
ляется 2д-насыщенной (упражнение: заметьте скудность оп-
ределимых подмножеств из (а) с конечным числом парамет-
ров). Как показывает следствие 7.3, приведенное ниже, суще-
ствует много 2-насыщенных алгебраических систем. Следующая
теорема является фундаментальным результатом о 2-насыщен-
ных алгебраических системах.
7.2. Теорема (сильное свойство универсальности 2-насы-
щенных алгебраических систем, Рессер [1]). Пусть Т' есть
^-теория в языке L'a, еде L' 2L. Если ЗЛ— счетная ^-насы-
щенная L-система, удовлетворяющая всем LA-следствиям тео-
рии Т', то ЭЛ имеет ^-насыщенное расширение Эй' (т. е. 3JT f L =
= 9Й), которое является моделью теории Т'.
Доказательство (X арник [1]). Расширим язык L'
до языка 1/(|9й|), введя имена для элементов | Эй |. Имя
элемента а е | Эй | будем также обозначать через а. Пусть р°,
р1, ..., рп, ... — список всех 2л-семейств р (v, а) Ьд-типов над ЭК
(заметим, что Л и ЭЙ счетные). Определим по индукции множе-
ства 0О cz cz ..., удовлетворяющие условиям (i) и (ii) ниже.
(i) 0rt есть 2л-множество Ьд (| Эй |)-предложений, содержа-
щее только конечное число констант из |ЗЛ| (заметим, что в
силу этого условия не возникает трудностей с тем, что 0П есть
2д-множество даже в том случае, когда |ЗЛ| не является под-
множеством Л: достаточно заменить конечное множество кон-
стант на конечное число свободных переменных).
(ii) Если 0п|=Ф(а), ф(я) есть Ьл-формула и а е | Эй |, то
Эй НФ И-
Наша цель — построить 0Л так, чтобы (J Qn определяло
п<со
(согласно 4.3) модель теории Т', изоморфную 2д-насыщенному
расширению ЗЛ.
Полагаем 0о = Т'. Тогда (i) и (ii) выполняются согласно ус-
ловиям теоремы.
Предположим, что 0П уже определено. Пусть рп = р(у, a) cz
cz I X L'a будет n-м семейством рассматриваемых типов, а —
это список всех |ЗЛ| констант, встречающихся либо в 0Л, либо
в рп. При конструировании 0n+i мы должны быть уверенными
в том, что условие насыщенности выполняется для рп.
§ 7. S-НАСЫШЕННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
273
Для /е/ определим rz(v, а) = {ф(v, а): -ф(о, х) есть ЪА-
формула (I) и в)1=^(о, «)}• Согласно теореме о рас-
ширенной полноте (см. 6.9 (ii)) каждое г{ является 2л-множе-
ством и, более того, по теореме о равномерно расширенной
полноте (6.9 (iii)) г = {(/, ф): ф е rt, i е 1} является 2л-семей-
ством типов. Рассмотрим следующие случаи:
Случай 1. ЗЛ реализует семейство г. Пусть b е | ЭД | и
Ze 7 —такой индекс, что ЭД(=Дг;(6, а). Полагаем 0n+i =
= ©я U Pi (b, а). Заметим, что по определению гг условия (i)
и (ii) остаются выполнимыми и для 0п+ь
Случай 2. ЭД не реализует г. Так как ЭД есть 2л-насыщен-
ная модель, то существует такое Л-конечное семейство scr, что
s нереализуемо в ЭД. Так как si с г, для каждого is / и яв-
ляется Л-конечным, то согласно 2-компактности получаем
(iii) Л (= VZ <= 73/ [/ cz pt Д 0„ |= Vv (Д / (п, а) Д sz (о, а)].
По теореме о расширенной полноте предикат, заключенный
в скобках (от переменных / и i), есть 2-предикат на Л. Соглас-
но принципу 2-семейства существует такое множество w е Л,
что для каждого i е I t может быть выбрана в w. Но тогда для
<7 = (U ау)Г1Р мы имеем
Л|= V/е 7(7<=:р Д 0„[= Уо(Д <7z(o, а)-> Д«,(о, а)).
Другими словами,
(iv) 0„|=“1Эо V A st(v, а)->~]3о V Kqt(v, а),
lei
Полагаем 0n+I = 0nU |~|3п V в)|- Так как S не
реализуемо в ЭД, то формула, стоящая перед -> в (iv), истинна
в ЭД. Следовательно, в силу (iv) произвольное Ьл-следствие 0n+i
есть следствие 0Л плюс Ьд-предложение, истинное в ЭД. Но тогда
условие (ii), выполняясь для 0П, выполняется и для 0п+ь Таким
образом, (i) и (ii) вновь выполнены.
Имея для каждого п < со определенное 0П, полагаем
0И= U 0„. Мы утверждаем, что 0Ш удовлетворяет (i) — (iii) в
П<(й
4.3. Индуктивное предположение (ii) влечет конечную непроти-
воречивость в©. Если V Ф ““ общезначимая в Lа (| ЭИ |) дизъ-
юнкция, то (в действительности, Л-конечное) семейство
р с Ф X La типов рф = {ф, v = v} встречается как некоторое
рп. Но тогда должен иметь место случай 1 в определении 0л+ь
так как V Ф общезначима, так что 0n+i = 0n (J {ф} для некото-
рого фе Ф, тем самым подтверждая истинность условия 4.3
(ii) для ©а,. Проверка выполнимости 4.3 (iii) также проста.
В силу 4.3 0О имеет модель 2W', каждый элемент которой
обозначен константой в | ЭИ |, и при этом НИ |= су, если и только
274
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
если для оеЬл(|ЭЙ|). Так как для Ьл-формулы ф(х)
из Эй' |= ф (а) следует, что ф (а) е 0П для некоторого п < со,
то согласно (ii) Зй|= ф[а]; отсюда следует, что а—есть
изоморфизм Эй на Эй' f L. Без потери общности можно считать,
что 9Й'|ЧЬ = 9Й и а^' = а. Так как 00 = 7'', то ЗЙ' |= Г'. В за-
ключение пусть p = pn(v, а) есть некоторое 2л-семейство типов
над Эй'. Заметим, что, согласно конструкции 0rt+b в случае 1 р
реализуем в Эй' элементом 6, а в случае 2 р даже Л-конечно
нереализуем в Эй'. Это и означает, что Эй' является 2л-насы-
щенной. □
7.3. Следствие (существование S-насыщенных моделей).
Каждая непротиворечивая Яд-теория Т в La имеет Яд-насыщен-
ную модель.
Доказательство. Возьмем конечную или счетную мо-
дель Зйо теории Т. Рассматривая (| Зйо |) как алгебраическую си-
стему пустой сигнатуры Lo, можно считать каждое предложе-
ние языка Lo, которое является следствием теории Т, истинным
в (|Зй|). Так как (|Зйо|) — Ел-насыщенная модель, то согласно
7.2 она имеет расширение, которое является 2д-насыщенной мо-
делью Т. □
L-система Зй называется Яд-относительно универсальной,
если для каждой Ед-теории Г в Ед и для некоторого L' э L,
если Зй удовлетворяет каждому Ед-следствию Г', то она имеет
расширение, являющееся моделью Т'. Следующее утверждение
есть слабая форма 7.2.
7.4. Следствие (Ед-относительная универсальность Яд-
насыщенных моделей). Каждая Яд-насыщенная счетная система
является Яд-относительно универсальной.
Следствия 7.3 и 7.4 не исчерпывают всей мощи теоремы 7.2,
как это великолепно демонстрирует работа Рессера, хотя для
многих допустимых множеств А Ед-относительная универсаль-
ность в действительности полностью характеризует Ед-насыщен-
ные модели.
7.5. Следствие. Каждая A-конечная алгебраическая си-
стема Яд-насыщена.
Доказательство. Утверждение можно легко доказать
непосредственно, но оно также является следствием 7.3: доста-
точно воспользоваться предложением Д Diag (3?i) A Vx V *=
ae | ад |
= а, которое характеризует Зй с точностью до изоморфизма. □
7.6. Теорема (Рессер [1]). Пусть Зй — счетная беско-
нечная Яд-насыщенная алгебраическая система для А-конечного
языка L. Пусть m — бесконечное множество, т^А. Тогда су-
ществует такое допустимое множество В А, что В содержит
изоморфную копию Зй, основное множество которой есть m и
Ord (В) = Огб(Д).
§ 7. S-НАСЫЩЕННЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
275
Доказательство (эскиз; см. X ар ник [1]). Пусть Т
есть Ед-теория в языке, включающем L, е, U, константы гаП
для а е Л и некоторые другие символы, модели которой, обед-
ненные до L U {^, U}, суть в точности такие модели 91, {е, U}-
обеднение которых 911, являясь моделью KPU, изоморфно конце-
вому расширению А и содержит в качестве «элемента» изоморф-
ную копию L-обеднения модели 91 с основным множеством т.
Конечно, каждая бесконечная L-система может быть расширена
до модели теории Т. Так как Зй может быть расширена до мо-
дели теории Г, то, согласно 7.2, это расширение может быть осу-
ществлено и до Ед-насыщенной модели 91 теории Т (почему?).
Мы можем считать, что (е, U-обеднение) 91 является концевым
расширением А. Фундированная часть модели 91 есть допустимое
множество В А, которое содержит в качестве своего элемента
изоморфную копию 2Й с основным множеством т.
Остается только показать, что Ord В Ord А. Пусть а —
произвольный «ординал» в 91 такой, что каждый a<Ord(4)
«меньше», чем а. Рассмотрим Еа-тип
{«у есть ординал»} U {« < у: а < Ord (4)} |J {v < а}.
Легко видеть, что этот тип 4-конечно выполним в 91 и, следова-
тельно, по теореме о S-насыщенности он выполним в 91. След-
ствием этого является то, что среди «ординалов» а в 91, которые
«больше», чем все a<0rd(4), нет «наименьших». Следова-
тельно, Ord(4) не может принадлежать В и, таким образом,
Ord(B) Ord(4). □
Следующая теорема представляет собрание некоторых ре-
зультатов, характеризующих Ед-насыщенность для определен-
ных допустимых множеств 4. Мы опускаем ее доказательство,
поскольку эти результаты не будут использованы в дальнейшем.
7.7. Теорема. Пусть А — разрешимое счетное допустимое
множество, т. е. пусть А есть объединение области значения не-
которой А-рекурсивной функции, определенной на ординалах из
множества 4. Тогда заключение утверждения 7.6 характеризует
^-насыщенные системы A-конечной сигнатуры. Если А =
= HYP(a) для чистого множества a, 3R — L-система, Le4, то
9й будет ^А-иасыщенной моделью в том и только в том случае*
когда для В = HYP({9ft, а}), рассматриваемого в V^f,
Ord (В) = Ord (4). Как следствие имеем, что для таких А Ед-на-
сыщенные системы определяются единым ^-предложением над
Ьд, а также характеризуются Ъл-относительной универсаль-
ностью.
Ввиду справедливости 7.7 мы в состоянии дать альтернатив-
ные определения Ед-насыщенных систем по крайней мере для оп-
ределенных 4. В частности, теорема существования 7.3 с одним
276
ГЛ. 7 ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
из таких определений 2л-насыщенности восходит кФридману
[1]. Но ни одно из этих определений не дает нам какого-либо
намека, почему для 2л-насыщенных систем выполняется сле-
дующее простое, но фундаментальное свойство.
7.8. Теорема. Объединение кд-элементарной цепи ^-на-
сыщенных алгебраических систем есть ^А-насыщенная алгебраи-
ческая система.
Доказательство. Доказательство достаточно очевидно и
базируется на исходном определении. □
Рессер использовал 7.8 вместе с 7.2, чтобы получить но-
вое доказательство теоремы Кейслера [1], утверждающей,
что множество логически общезначимых предложений в ЬЛ(СО,
т. е. в логике, которая получается из La добавлением квантора
Qx, «существует несчетное число х ...», является 2л-множеством
для произвольного допустимого множества А. Он также доказал
общую теорему, из которой теорема Грегори [1] вытекает
как частный случай: для произвольного счетного допустимого
множества Д, если Т есть 2л-теория в La, обладающая такой па-
рой моделей Зй, й, чтоЭЙ^^ЭТ, то Т имеет несчетную модель.
В заключение мы приведем доказательство теоремы, восхо-
дящей к Г. Саксу и доказанной впоследствии очень простым
способом Фридманом и Йенсеном (см. также Кейслер [2]).
Мы называем ординал а допустимым, если множество La кон-
струируемых множеств до уровня а является допустимым.
7.9. Теорема (Сакс). Для каждого счетного допустимого
ординала а существует такое подмножество а множества ш, что
a = (o«^Ord (HYP (a)).
Доказательство (Рессер [1]). Пусть А = La — до-
пустимое множество. Пусть Т есть 2л-теория в языке, содержа-
щем только единственный предикатный символ <, удовлетво-
ряющий следующим аксиомам:
(i) << есть линейное упорядочение»,
(ii)p «существует такое х, что {у\ у < х} имеет порядковый
тип р» для всех р < а (хорошее упражнение: показать, исполь-
зуя только < и что существует Д-конечное предложение, вы-
ражающее (ii)p).
Теория Т непротиворечива и, следовательно, имеет 2л-насы-
щенную модель Зй. В силу 7.6 можно считать, что Эй е В, Эй
имеет в качестве своего основного множества ш, В является до-
пустимым множеством и Ord(B) = а. Множество Эй может быть
естественно отождествлено с подмножеством a cz ш. Очевидно,
что р g а+ для каждого р < а, но конечно же а ф а+ cz В. Сле-
довательно, a = Ord(a+). □
Два главных приложения S-насыщенных систем будут при-
ведены в следующих двух параграфах.
§ 8 ТЕОРЕМА О ПОКРЫТИИ
277
§ 8. Теорема о покрытии
Пусть А — счетное допустимое множество, и пусть Ф —
конъюнктивное игровое предложение в А над языком Ь^Л.
Напомним, что аппроксимация Ф обозначается через Фр; нас
будет интересовать Фр для ₽ < Ord (Л). Каждое такое Фр яв-
ляется предложением в La и <Фр: р < а> есть Л-рекурсивная
функция. То, что Фе Л, автоматически влечет со е Л; для до-
пустимых множеств с ординалом со мы будем рассматривать
Л-рекурсивные конъюнктивные игровые предложения (см. окон-
чание § 5). Следующая теорема остается истинной и в более об-
щем случае с фактически тем же доказательством (основанным
на очевидных замечаниях).
8.1. Теорема Воота о покрытии (Boot [1]). Если
Ф — произвольное предложение в L'a для Lz L, то из Ф |= ф
следует, что Фр ф для некоторого р < Ord (Л).
Доказательство (X арник [1]). Воспользовавшись
«тяжелой артиллерией» предыдущих параграфов, можно приве-
сти очень короткое доказательство. Предполагая, что заключе-
ние теоремы неверно, рассмотрим непротиворечивую 2л-теорию
{Фр: р < Ord (Л)} U {~1 ф}-. Ввиду 7.3 эта теория имеет счетную
S/гнасыщенную модель SDI. Согласно 7.6 мы можем считать, что
SO? В для некоторого допустимого множества В з Л с
Ord (В) = Ord (Л). Применим 5.4 (iv) к допустимому множеству В
и В-конечной системе ЗЛ. Так как Фога (В) = Фога м) = А Ф«>
P<Ord(A) Р
то ФОга<в) и, следовательно, в силу 5.4 (iv) 3D? |= Ф. Мы
приходим к противоречию, так как 2Л|=""|ф и Ф|='ф.
Эта теорема является фундаментальной в логике. Ниже мы
рассмотрим некоторые стороны ее важности. Для начала полу-
чим непосредственное следствие 8.1 и теоремы 5.3 о форме игры.
8.2. Сильная интерполяционная теорема
Крейга — Лопес-Эскобара, (i) Пусть ф->ф — общезна-
чимая импликация предложений в Leo,©. Тогда существует такое
предложение 0 в L©,©, называемое крейговским интерполянтом ф
и ф, что оба предложения ф->0, 0->ф являются общезначи-
мыми, и все нелогические символы 0 встречаются и в ф, и в ф.
В частности, если феЛ, феЛ, Л и В — допустимые множе-
ства, А cz В и Ord (Л) = Ord (В), то 0 может быть взято из Л.
(ii) Для произвольного ^-предложения В7?ф(/?) над L coi© СУ~
ществует такая (непоследовательность (Фо; а < ка,а-предло-
жений, что всякий раз, когда 3Si|>(S) является произвольным
другим ^[-предложением над ЬИ|И таким, что не существует
{счетной) модели 37?<р Д ЗЗф (ЗЗф «отделило» от 3/?<р), то
278
ГЛ. 7 ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
существует такой ординал_а < (Db что 3/?фИ=Фа и ФаНПЗВф
(фа «разделяет» 3/?ф и ЗЗф). Более того, Фа является наимень-
шим допустимым множеством, содержащим 3/?ф и а, {3/?ф, а}+
для а < сор Кроме того, для данного ЗЗф а может быть най-
дено в {3/?ф, 33ф}+.
Доказательство (ii). Если изменить формулировку
теоремы, подставив в соответствующие места {3/?ф, а, со}\
{3/?ф, 35ф, со}+, то ее доказательство даст нам явно слабый
результат. Используя Л-рекурсивные предложения Воота,
можно получить полный результат. По теореме 5.3 о форме
игры существует такое предложение Воота Ф в {3/?ф, ®}+,
что Ф и 3/?ф эквивалентны для счетных моделей. Рассмотрим
аппроксимации Фа для а <лоь Для данной 33ф(3), «отделимой»
от Э/?ф, имеем Ф[=' Пф(3), следовательно, по теореме о по-
крытии существует _Фа[= П ф (S), т_е. Фа}= 35ф(5). Так как
ф'р=фа> а также 3/?ф}=,фа> то Э/?фНфа (почему?). Теорема
о покрытии, в частности, указывает нам а в произвольном
допустимом множестве, содержащем Ф, 35ф(5), и, таким
образом, в произвольном допустимом множестве, содержащем
3/?ф, со и 35ф(5).
(i) Пусть Lo — множество общих нелогических символов
предложений ф и ф, пусть /? и S — множества нелогических
символов, не принадлежащих Lo в ф и ф соответственно. Тогда
|=ф->ф эквивалентно 3/?ф ~| 3S(~| ф). Применяя (ii), получа-
ем такое Lo-предложение 0 = Фа в {3/?ф, а}+, а е {3/?ф, ЗВ(~]ф)}+»
что |=ф->0Д0->ф. Если Л и В удовлетворяют условиям
теоремы, то очевидно, что 0 е А. □
Подчеркивая значимость теоремы 8.2, вновь приведем неко-
торые прямые ее следствия.
8.3. Следствие (Суслин). Непересекающиеся аналитиче-
ские множества (канторовского пространства) могут быть отде-
лимы с помощью борелевского множества. В частности, для од-
ного аналитического множества А существует coi борелевскик
множеств Ва < coi, таких, что А = П Ва и всякий раз, ког-
а<®1
да А' есть другое аналитическое множество, не пересекающееся
с А, некоторое Ва отделяет А от А'.
8.4. Следствие (интерполяционная теорема Барвайса).
Два непересекающихся ^{-класса алгебраических систем над Ьд
могут быть отделены Ъд-элементарным классом. Следовательно,
Дгклассы над Ьд и ^-элементарные классы совпадают.
§ 8. ТЕОРЕМА О ПОКРЫТИИ
279
Сформулируем теперь обобщение 6.4 (iii), выразимое в ло-
гике второго порядка.
8.5. Следствие. Пусть ЗЯ = (|ЗЯ], ..., /?/) — счетная
бесконечная система, и пусть X — класс п-арных отношений на
| ЭЯ |. Пусть Л = НУРая и Ло = Lord м) (наименьшее чистое до-
пустимое множество с теми же ординалами, что и у А).
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(i) X есть &\-класс над Ьл на ЗЯ;
(ii) X есть &\-класс над LW1(0 на ЭЯ;
(iii) X является Lд-элементарным на ЭЯ;
(iv) X является Ъд9-элементарным на ЭЯ.
Замечание. Отметим, что импликация (i) =ф (ii) есть
следствие интерполяционной теоремы Барвайса. С другой сто-
роны, йереходя от подмножества В множества со к X = {{п}:
пеВ}, получаем, что эквивалентность (i) <=> (iii) есть обоб-
щение второй части 6.5. Утверждение данного следствия анало-
гично связи между теоремой Клини (см. замечание после 6.6),
интерполяционной теоремой Барвайса и теоремой Суслина об
отделимости, установленной в общем результате 8.2.
Доказательство следствия 8.5. Вначале надо пока-
зать, что если У есть Ьл-элементарный класс на ЗЯ, то У есть
nJ-класс на ЭЯ. Мы опускаем доказательство этого, так как оно
аналогично доказательству 3.11. Отсюда легко видеть, что имеет
место импликация (iii) (ii). «(ii) => (iii)» содержится в 8.4,
но, как сейчас мы покажем, более интересным является доказа-
тельство «(ii) => (iv)». Предположим, чтоХ — Aj-класс на ЭЯ, Зе
<=%<=>(ЗЯ, 5)|= 37^(5, Л)<=>(ЭЯ, S)HVr2qp2(S, Т2), где фь <р2
используют конечный список параметров р в |ЗЯ|. Пусть qp есть
Л-конечное предложение, «описывающее» ЗЯ в языке, содержа-
щем константу для каждого а е |ЗЯ|; qpo есть
ADiag(3R)AVx V х = ГаП
а е | ЭД |
Имеет место qpi(S, 7’1) qp0—> qp2 (S, Г2) (почему?). Следовательно,
существует такой крейговский интерполянт 0 (см. 8.2 (i)!),
что 0 есть предложение языка {/?ь 5, р}, (= <pi —>0
и h=0Aqpo“><P2, 0^ЛО. Следовательно, 0(5, р) определяет X
йа ЭЯ (упражнение). □
Обобщение Лопес-Эскобаром интерполяционной теоремы
Крейга 8.2 (i) без той части, которая начинается словами
«В частности», было одним из первых важных результатов в
бесконечной логике. Доказательство Лопес-Эскобара от начала
до конца было бесконечной формальной системой генценовского
типа и было очень похоже на первоначальное доказательство
280
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
Крейга. Барвайс получил тот же результат для допустимых
фрагментов LWl(0. Естественное доказательство этих результатов
может также быть получено, если использовать свойства непро-
тиворечивости (см. Кейслер [2]). Однако данные доказа-
тельства не могут продемонстрировать всей мощи результата 8.2.
Рессер [1] получил полное доказательство 8.2 без использо-
вания игровых формул (в частности, независимо от Воота
[1], но позже), однако для наших целей больше подходит дока-
зательство Воота.
Следующее утверждение является сильным вариантом тео-
ремы Бета об определимости (см., например, главу 2).
8.6. Теорема Бета. Пусть о(Р) есть ^-предложение_над
L (Р)л или в более общем случае пусть о (Р) есть ЭР A W (Р, Р)
для некоторого % а-множества предложений W в L (Р, Р)л. Пред-
положим, что в некоторой L-системе ЗЛ существует по крайней
мере хотя бы одно отношение Р такое, что (Эй, Р)[=о. Тогда
найдется такая ЪА-формула ср(х), что о|= Vx(Рхср(х)).
Доказательство. Пусть о = ЗРф(Р, р). Пусть Рь Р2 —
различные копии Р, a Pi, Р2 — различные копии Р\ а — некото-
рый набор индивидных констант. Тогда из условий теоремы сле-
дует, что импликация ['ф (Pi, Pi) А Р1Л]->['Ф(Р2, ^У-^Ргв] логи-
чески общезначима. Обе стороны импликации имеют общий
язык L и общий символ а. По интерполяционной теореме суще-
ствует формула ф(а) в языке Ьл(а), которая представляет собой
крейговский интерполянт. Тогда ф(х) и есть искомое определе-
ние Р.
Упражнение. Закончите доказательство теоремы в слу-
чае, когда о имеет более общий вид. □
В доказательстве следующей теоремы мы воспользуемся точ-
ной формой аппроксимации Воота.
8.7. Теорема. Пусть ф— предложение Ьл, причем L со-
держит бинарный предикатный символ С. Предположим, что
для каждого р < Огб(Д) существует такая модель ЗЯ предло-
жения у, что есть линейное упорядочение, содержащее под-
упорядочение, имеющее порядковый тип р. Тогда ф имеет такую
модель Зй, что <зл содержит копию упорядочения множества ра-
циональных чисел.
8.8. Следствие. Если каждая модель предложения ф
вполне упорядочена, то существует такой ординал Р е А, что
каждая модель предложения ф имеет порядковый тип ^р.
8.9. Следствие. Класс счетных вполне упорядочений не
является ^[-классом (над LW|(O) счетных алгебраических систем.
Доказательство теоремы 8.7. Будем считать, что в
каждой модели, которую мы будем обсуждать, < автоматиче-
s 8. ТЕОРЕМА О ПОКРЫТИИ
281
ски обозначает линейное упорядочение (почему мы можем так
считать?). Начнем доказательство с того, что выпишем чисто
экзистенциальное «предложение Воота», модели которого яв-
ляются в точности расширением упорядочения Q рациональных
чисел. Пусть {rn: 1 п < <о} — бесповторная нумерация мно-
жества ] О|. Пусть 6(*ь ..., хп) обозначает конъюнкцию
Л {х{ < Xf. г{ <г}, 1 < i, / < п}.
Тогда предложение Ф есть
3*13*2 ... 3*„ ... Д «„ (*,, .... *„);
П<(0
ясно, что Ф соответствует нашим целям. Предположим против-
ное, т. е. что <р не обладает моделью, содержащей копию Q.
Тогда ФЬ=Пф. Заметим, что ФеЛ всякий раз, когда <о е А,
и Ф является А-рекурсивным. По теореме о покрытии сущест-
вует такой ординал ao<Ord(A), что ФаоЬ=’“|р. Анализируя
значение Фа., мы придем к желаемому заключению.
Будем говорить, что линейное упорядочение имеет длину ^а,
если оно обладает подупорядочением типа а. Пусть гц < ...
... < пп — строго упорядоченный набор первых п рациональ-
ных чисел. Потребуем, чтобы для каждого ординала а и про-
извольного упорядочения 9Й = (|9Й|, <ай) было 9й^=Ф2[а!1, ...
..., ап], если ai}<^ ... <™ain и каждый открытый интервал
(>«;,). (ah>a«‘2)’ •••> (%») имеет длину >3“. Для
п = 0 условие озачает, что имеет длину L>3“, а заключение
есть ЗЙ1=Фа. Далее доказательство ведется индукцией по а.
Для а = 0 наше требование, очевидно, выполняется. Для а = £+1
имеем Фа(Х], ..., хп) = Зхп+1Фр(х1, ..., хЛ+1). Теперь найдем,
в каком из интервалов (, ц), (rie rt^ ..., (rin_e rin)9 (r^,)
лежит Гп+i. Предположим, что rik < rn+i < пЛ+1. Так как 3p+l
З0 + 1 + Зр, то существует такое а — art+i, что aik а <зи 1
и оба интервала а) и (а, я^+1) имеют длину 2>Зр. Согласно
индукционному предположению ЭД|=Фр[а1, • • • > ^n+il и,
таким образом, |= Фр+1 [аь ..., ап]. Если а —предельный
ординал, то индукционный шаг тривиален.
Наше требование и то, что Фа. |= ~| Ф, приводят к тому,
что всякий раз, когда 9ЙН=Ф, Зй не может иметь длину ^За°.
Как легко видеть, из следует, что З^еЛ. Это и дока-
зывает теорему. □
Другое доказательство, использующее свойства непротиворе-
чивости, приведено в работе Кейслера [2]. В работе Бар-
вайса [2] имеется доказательство этого же результата, пред-
282
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
ставляющего собой непосредственное применение теоремы о
5-компактности.
Мы привели данное выше доказательство, чтобы проиллю-
стрировать типичное применение теоремы Воота о покрытии.
В работах Маккаи [2], Харника и Маккаи [1] даны
другие примеры применения теоремы о покрытии, где важную
роль играют форма и/или значение аппроксимаций. Таким об-
разом, значение теоремы о покрытии не ограничивается только
ее главным применением 8.2, а даже в большей степени раскры-
вается в случаях использования точных форм аппроксимации.
Это представляет собой блестящий пример того, в каком смысле
логическое обобщение (теорема о покрытии) заменяет исходный
результат дескриптивной теории множеств (теорема Суслина).
В работе Воота [1] содержатся другие результаты, чьи
доказательства основаны на технике игровых формул и их ап-
проксимаций. Два из них мы приведем здесь.
8.10. Т еорема о редукции для (Boot [1]). Для
двух произвольных классов Кг счетных бесконечных алгеб-
раических систем, являющихся М\-классами над LW10), существуют
такие Х[\-классы Кг над L^, #2, Л i П /<2=0»
л:и^=^и/<2.
8.11. Теорема (Boot [1]). Произвольный класс счетных
алгебраических систем, являющийся ^{-классом над (в дейст-
вительности даже ^-классом над есть объединение <*>i клас-
сов, элементарных в L^.
Оказывается, что теорема Скотта об изоморфизме (см.
Скотт [2]) есть непосредственное следствие 8.11. С другой
стороны, оба результата 8.10 и 8.11 относятся к классическим
результатам дескриптивной теории множеств; так, например,
первый из них относится к редукционному свойству дополнений
аналитических множеств.
Рессер [1] приводит интересные примеры применения тео-
рии моделей к дескриптивной теории множеств. Рессер дает до-
казательство теоремы Спектора — Ганди, характеризующей
Прмножества подмножеств со, используя технику допустимых
множеств. Пусть ЭЛ = (|Ш1|, /?ь ...» Ял)— счетная алгебраиче-
ская система конечной сигнатуры.
8.12. Теорема Спектора — Ганди. Множество X под-
множеств 1Эй | является ^-множеством, если и только если
существуют такие ^-формула о (х, у) и некоторый набор пара-
метров р в | Эй |U {Эй, Я\, • Я1}, что
X = {В ф: НУР(ал, В) н о [В, р]}.
§ 9 ТЕОРЕМА О СОВЕРШЕННОМ ПОДМНОЖЕСТВЕ
283
Заметим, что теорема 8.12 есть обобщение теоремы 6.4 (ii)
на логику второго порядка. Ее доказательство очень похоже на
доказательство теоремы 6.4. Рессер использовал 8.12 (для ЭЯ =
= (со, 0, 1, +, •)) для того, чтобы дать «теоретико-модельное»
доказательство теоремы Новикова — Кондо (см. главу 8 «Тео-
рии множеств»).
§ 9. Теорема о совершенном подмножестве
Классическая теорема дескриптивной теории множеств гово-
рит, что произвольное несчетное аналитическое множество, ска-
жем, канторовский дисконтинуум, содержит совершенное под-
множество и, следовательно, имеет мощность 2*с (см. главу 8
«Теории множеств»).
С другой стороны, теорема в работе Харрисона [1] (см.
также Мэнсфилд [1]) утверждает, что если X есть 2}-мно-
жество подмножеств со (для простоты буква 2 набрана светлым
шрифтом), то каждый элемент X является гиперарифметиче-
ским. Мы докажем теорему теории моделей, которая имеет оба
этих результата как следствия. Она одновременно является об-
общением теоремы Рейеса об определимости (см. также Чэн
[1], Маккаи [1], Чэн и Кейслер [1]) и теоремы Куэ-
кера [1].
Пусть А — счетное допустимое множество. Пусть 0= {0/ (у,
Ui): i 1}—Л-конечное семейство L^-формул и предположим,
что L(P) -система (ЭЯ, Р) удовлетворяет дизъюнкции
V Эи^(Р(ц)^0Дц, щ))9
1<=Л
обозначаемой для краткости бе. Тогда Р определяется одной
из формул 0Z (и, с параметрами bt из | ЭЯ |. Если для пред-
ложения о над L(P) (в некоторой «логике») известно, что а|==бе,
то тогда для произвольных L-системы ЗЯ и отношения Р на
| ЭЯ | таких, что (ЗЯ, Р)|=сг, выполняется приведенное выше
заключение. В частности, для фиксированной счетной L-си-
стемы ЭЯ множество {Р: (ЭЯ, Р)|=а) будет счетным. Это дока-
зывает импликацию (iii)=^(i) в следующей теореме.
9.1. Теорема. Для ^-предложения а вида 3R А Т(Р, Р),
где W (/?, Р) есть ^А-множество предложений языка L (Р, Р)А
(в частности, о может быть ^-предложением над L (Р)л), сле-
дующие утверждения эквивалентны.
(i) для каждой счетной L-системы ЭЯ множество {Р: (ЭЯ, Р)|=а}
счетно;
284
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
(ii) для каждой счетной L-системы ЗЯ множество {Р: (ЗЯ, Р) |=
1= а} не содержит совершенное подмножество (в канторовском
пространстве 2,зи1 , если Р есть п-арное отношение);
(iii) для некоторой A-конечной дизъюнкции 0, аналогичной
описанной выше, ст |= 60.
9.2. Следствие (Харрисон [1]). Если ^-множество X
подмножеств со не содержит совершенное подмножество, то каж-
дый элемент X есть гиперарифметическое множество; в частно-
сти, само X есть подмножество &+-конечного множества.
Доказательство (основанное на 9.1). Пусть о(Р)— s!w
предложение, определяющее X на ЗЯ — (®, 0, 1, +, •). Приме-
няя (ii)=>(iii) для Л = ®+ = Ьск> получим, что для некото-
®i
рого Д-конечного 0 — {0,: i е /}
X = У {{а 6= со; ЗЯ = 0, [а, 6,]}: i е= /, bt е=® со};
У cz А, в частности У есть Д-конечное множество (почему?). Со-
гласно 6.5 мы получаем требуемое заключение. □
Для предложения ст в Ь(Р)д, выразимого в логике первого
порядка, теорема, аналогичная теореме 9.1, была доказана
М а к к а и [3]. В последующем Барвайс [2] доказал настоя-
щий, более общий и более полезный вариант теоремы. Доказа-
тельство, приведенное в работе Маккан [2], так же как и до-
казательство Барвайса [2], использует свойства непротиво-
речивости (в терминах Барвайса «непротиворечивые машины»).
Доказательство 9.3, приводимое ниже и использующее S-насы-
щенные алгебраические системы, восходит кХарнику [1].
Эта теорема есть прямое обобщение теоремы Харрисона.
9.3. Теорема (Xарник [1]). Пусть ст есть ^-предложе-
ние вида 3/? А Чг (R, Р), где ЧТ (R, Р) есть ^-множество предло-
жений в L (/?, Р)А (в частности, ст может быть ^[-предложением
над L(P)A). Пусть ЗЯ —счетная ЪА-насыщенная L-система, и
предположим, что существует такое множество Ро с | Эй |, что
(Эй, Ро) |= ст и Ро не является LA-элементарным на ЗЯ. Тогда
{Р: (ЗЯ, Р) |= ст) содержит совершенное.подмножество.
Доказательство. Пусть ст = ЗР Д(/?, Р). Пусть0(Р) —
множество
{“] (3«Vv(P(o)*-> 0(о, «)): 0eLJ.
Очевидно, 0(Р)— Д-рекурсивное множество. Из предположений
теоремы следует, что (Эй, Ро) является моделью {ст} U 0 (Р). Опре-
делим по индукции такие конечные множества _Mocz Л41 cz ...
... cz Мп cz .Мп сс| Зй |, и 2л-множества TS(R, Р) предложе-
ний языка L(/?, Р)Л(|ЗЙ|) (используя конечное число констант;
§ 9. ТЕОРЕМА О СОВЕРШЕННОМ ПОДМНОЖЕСТВЕ
285
обозначающих элементы из | ЭЯ |), где se“2, что приводимые
ниже условия (i) — (iv) выполняются:
(i) Если_ lh (s) = п, _то Ts (R, Р) cz L (P, P)A (Mn); если s cz s',
to cz Ts (R, P) cz (R, P).
(ii) Если s и s' несравнимы, то Ts (R, P) IITS' (R, P) |= P (a) «/»
*/>P'(a) для некоторой константы a^Mn, где n = min(lh(s),
lh(s')).
Эти определения гарантируют, что для всех я е“2 (ЭЯ, a)os| (
является моделью формулы BP3PAf U T^\n(R, Р)\ В свою
\п<(0 /
очередь это обеспечивает создание такого совершенного множе-
ства из отношений Р, что (2И, Р) о.
Существенной предпосылкой для конструирования нашего
множества является
(iii)rt (Я a)aeAfn|=3P3P A(W, P)Ue(P)) для всех st=n2.
(Кроме всего, это условие будет гарантировать, что U Р)
П<(0
конечно совместно с Diag(SDl).) Для того чтобы сформули-
ровать еще одно условие, допустим, что 3w60(u), Зы61(и), ...
— некоторое перечисление всех общезначимых предложений в
L (Р, Р)д (| ЭЯ |) вида Вид (и) и что V %> V • • • — перечисление
всех общезначимых дизъюнкций в той же логике. Последнее полез-
ное свойство нашей конструкции_заключается в следующем:
(iv) Если lh(s) = n+l, то TS(R, Р)\=дп(а) для некоторого
а <= | ЭЯ | и Ts (R, Р) 1= фл для некоторого е Ф„.
Предположим, что мы имеем в своем распоряжении все Ts,
seM2, удовлетворяющие (i) — (iv). Пусть я — фиксированный
элемент из “2, U Т^п, и множество Тп удовлетворяет
П<(0
условиям 4.3 (вследствие (iv)) с С = |9Я|. Следовательно,
ввиду 4.3 существует такая модель 9Яг| множества предложе-
ний Тп, все элементы которого обозначаются некоторым а е | ЭЯ |.
Так как Тп конечно совместно с Diag(9ft) и Тп полно (см. 4.3),
то Diag (ЭЯ) cz Тп. Отсюда следует, что отображение
является изоморфизмом ЭЯ на ЭЯ(| ( L, следовательно, можно
считать, что 9Я(| f (L (J (PJ) имеет вид (ЭЯ, Рл). Из (i) и (ii)
вытекает, что {Рп: я<= “2} есть совершенное подмножество
множества W2, что и доказывает теорему. Единственное, что
осталось,— это завершить конструкцию Ts.
Положим Af0 = 0 и Т0 (R, Р) = ¥ (Р, Р). Условие (iii)0 в этом
случае удовлетворяется. Предположим теперь, что T$(R, Р) уже
286
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
определено для всех $ с lh(s) = n (так же, как и Мп).
Для того чтобы определить 7\<о> и 7\<i>, предварительно
докажем
9.4. Утверждение. Существуют такие Ро, 2® L Роу=Рь
что (2»,a)aeMzil=B/?A(rs(/?,P/)U0(Pz)) для Z = 0, 1.
В противном случае, если бы это утверждение было ложно,
то мы бы имели
(Я «)аемп 1= ЗР/ВР^ад, A S,
где S—_2л-теория логики_Б (Ро, Рь Ро, РОд, определяемая так:
5 = Ts (Ро, Ро) U © (Ро) U Ts (Рь Р,) U © (Р,) U {Po¥=PJ. Тогда, так
как 9И' = (ЭИ, a)asM -S-насыщенная модель, то согласно отно-
шению универсальности (см. 7.4) существует L (Л4„)-следсгвие ~|ф
множества S, которое ложно в Ш1'. Таким образом, ЭЛХ (= -ф и
{ф} U Ts (Ро, Ро) U © (Ро) U Ts (Рь Pt) U 0 (Pj) |= Ро = Р„
т. е. для каждой L (Л4„)-модели 31 фомулы ф существует по
крайней мере одно Р такое, что (ЭД, Р) [= ЭР Д (7\ (Р, Р) U 0 (Р)).
Тогда по теореме Бета 8.6 найдется L (М„)-формула 0 (и, а)
такая, что {ф} U Ts (Р, Р) U 0 (Р) |= Vv (Р (и) <=> 0 (о, а)). Но тогда
{ф} U Ts (Р, Р) U 0 (Р) противоречиво (так как ~| BuXfb (Р (v) *-*
*-» 0 (и, и)) принадлежит 0(Р)), что не согласуется с тем, что
ЗИ'1= Ф. и с условием (iii)„. Это и доказывает 9.4.
Имея доказательство утверждения 9.4, для фиксированного
$е"_2 выберем такие Ро, Pt с | 3JI |, что Р0=/=Р! и (ЗИ', Р/)|==
h3PA(Ts(P, P)U0(P)) для i = 0, 1. Пусть a = as(=\^-та-
кой элемент, что а е Ро в том и только в том случае, когда
а ф Р[. Например, можем считать, что а е Ро и а ф Р\. Опреде-
лим T'sifb=Ts U {Р (а)} и 7’J<i>=7’sU {~1 Р(а)}- Зафиксируем Ze{0, 1}.
Определим Т^ф, ^ыбирая Р так, чтобы (ЭИ', Р, Рг) |= Ts (Р, Р),
и полагаем Ts(iy(P, P) = Ts<iy(P, Р)U{^„(&), фл_}, где &е|9И| и
ф„ е выбраны таким образом, чтобы (ЭИ', Р, Рг) )= б„ [6] Д ф„.
Это завершает конструкцию Т для каждого s' = s (i) длины п + 1;
заметим, что в дополнение к константам из Тя множество Tsr
содержит еще две константы из | ЭИ |, а именно а и Ь. Пусть
Мп+1 — I ЗИ | — такое конечное множество, которое содержит Мп
и все а и b встречаются в конечном числе Ts>, где lh(s') = n + 1.
Очевидно, что наше построение удовлетворяет требованиям (i) —
(iv).
Доказательство теоремы 9.1. Покажем, что верна
импликация (ii) => (iii), т. е. что ”l(iii) => “1 (ii). Считая ~l(iii),
ЛИТЕРАТУРА
287
рассмотрим непротиворечивую Ед-теорию ^ив(Р) (где ®(Р)
взято из доказательства 9.3), которая, следовательно, имеет Ед-
насыщенную модель (Эй, R, Ро) (см. 7.3). Тогда и ЗИ— Ед-насы-
щенная модель (почему?), а Р не является Ьд-элементарным на
ЗК. Так как Нй|=<т, ~] (ii) есть следствие 9.3. □
ЛИТЕРАТУРА
Аддисон (Addison J.)
1. The theory of hierarches. — In: Proceedings of the International Congress
of Logic, Methodology and Philosophy of Science. Stanford, 1960,
p. 26—37. [Русский перевод: Аддисон Дж. Теория иерархий. — В кн.:
Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965, с. 23—36.]
Барвайс (Barwise J.)
1. Infinitary logic and admissible sets. — J. Symbolic Logic, 1969, 34,
p. 226—252.
2. Admissible Sets and Structures. — Berlin: Springer, 1975.
Boot (Vaught R.)
1. Descriptive set theory in LWia). — In: Cambridge Summer School in Ma-
thematical Logic. Berlin: Springer, 1973, p. 574—598.
2. Invariant sets in topology and logic. — Fundam. math., 1974, 82, p. 269—
293.
Г p e г о p и (Gregory J.)
1. Uncountable models and infinitary elementary extension. — J. Symbolic
Logic, 1973, 38, p. 460—470.
Карп (Karp C.)
1. Languages with Expressions of Infinite Length. — Amsterdam: North-
Holland, 1964.
Кейслер (Keisler H. J.)
1. Logic with the quantifier «there are uncountably many». — Ann. Math.
Logic, 1970, 1, p. 1—93.
2. Model Theory for Infinitary Logic. — Amsterdam: North-Holland, 1971.
Клини (Kleene S. C.)
1. Hierarchies of number theoretic predicates. — Bull. Amer. Math. Soc.,
1955, 61, p. 193—213.
Крипке (Kripke S.)
1. Transfinite recursion on admissible ordinals, I, II (Abstract). — J. Sym-
bolic Logic, 1964, 29, p. 161—162.
К у э к e p (Kueker D.)
1. Definability automorphisms, and infinitary languages. — In: The Syntax
and Semantics of Infinitary Logic/Ed. J. Barwise. Berlin: Springer, 1968
p. 152—165.
Леви (Levy A.)
1. A hierarchy of formulas in set theory. — Mem. Amer. Math. Soc., 1965,
57.
Лопес-Эскобар (Lopez-Escobar E. G. K.)
1. An interpolation theorem for denumerably long sentences. — Fundam.
math., 1965, 57, p. 253—272.
M а к к а и (Makkai M.)
1. On a generalization of a theorem of E. W. Beth. — Acta Mat. Acad. Sci.
Hungar., 1964, 15, p. 227—235.
2. Vaught sentences and Lindstrom’s regular relations. — In: Cambridge
Summer School of Mathematical Logic. Berlin: Springer, 1973, p. 622—
660.
3. Global definability theory in LW0) —Bull. Amer. Math. Soc., 1973, 79,
p. 916—921.
288
ГЛ. 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛОГИКА
Малиц (Malitz J.)
1. Infinite analogs of theorems from first order model theory. — J. Symbolic
Logic, 1971, 36, p. 216—228.
Москов а к ис (Moschovakis Y. N.)
1. The Suslin-Kleene theorem for countable structures. — Duke xMath. J.,
1970, 37, p. 341—352.
2. Efementary Induction on Abstract Structures. — Amsterdam: North-Hol-
land, 1974.
Мэнсфилд (Mansfield R.)
1. Perfect subsets of definable sets of real numbers. — Pacific J. Math.,
1970, 35, p. 451—457.
П л а т e к (Platek R.)
1. Foundations of recursion theory: Dissertation and Supplement. — Stan-
ford (Calif.): Stanford University, 1966.
Рейес (Reyes G.)
1. Local definability theory. — Ann. Math. Logic, 1970, 1, p. 95—137.
Peccep (Ressayre J. P.)
h Models with compactness properties relative to an admissible language.—
Ann. Math. Logic, 1976, 7.
Свенониус (Svenonius L.)
1. On the denumerable models of theories with extra predicates. — In: The
Theory of Models/Ed. J. W. Addison et al. Amsterdam: North-Holland,
1965 (2nd reprint. — Amsterdam: North-Holland, 1972), p. 376—389.
Скотт (Scott D.) *
1. Invariant Borel sets. — Fundam. math., 1964, 56, p. 117—128.
2. Logic with denumerably long formulas and finite strings of quantifiers.—
In: The Theory of Models/Ed. J. W. Addison et al. Amsterdam: North-
Holland, 1965 (2nd reprint. — Amsterdam: North-Holland, 1972),
p. 329—341.
Фридман (Friedman H.)
1. Countable models in set theory. — In: Cambridge Summer School in
Mathematical Logic. Berlin: Springer, 1973, p. 539—573.
X а н ф (Hanf W.)
1. Incompactness in languages with infinitely long expressions. — Fundam.
math., 1964, 53, p. 309—324.
X a p н и к (Harnik V.)
1. Lecture notes on Ltoi(0.—Hanover (New Hampshire): Dartmouth Col-
lege, 1974.
X a p н и*к и Маккаи (Harnik V., Makkai M.)
1. Applications of Vaught sentences and the covering theorem. — J. Symbo-
lic Logic, 1976, 41, p. 171—187.
Харрисон (Harrison J.)
1. Recursive pseudo-wellorderings: Thesis. — Stanford (Calif.): Stanford
University, 1966.
Чэн (Chang С. C.)
1. Some new results in definability. — Bull. Amer. Math. Soc., 1964, 70,
p. 808—813.
Чэн и Кейслер (Chang С C., Keisler Н. J.)
1. Model Theory.—Amsterdam: North-Holland, 1973. [Русский перевод:
Кейслер X. Дж.,Чэн К. К. Теория моделей. М.: Мир, 1977.]
Шлипф (Schlipf J. S.)
1. A guide to the identification of admissible sets above srtuctures. — 1976.
Г л а в а з
ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
А. Кок, Г. Э. Рейес
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие........................................................289
§ 1. Алгебраические теории.........................................289
§ 2. Декартовы теории..............................................295
§ 3. Элементарные доктрины: кванторы как сопряженные функторы . . 299
§ 4. Логические категории: когерентная логика......................301
§ 5. Топосы Гротендика: инфинитарно когерентная логика.............304
§ 6. Элементарные топосы...........................................308
§ 7. Топосы и аксиоматическая теория множеств......................314
§ 8. Другие области исследования в категорной логике...............316
Литература.....................................................317
Предисловие
Цель этой статьи — дать обзор применения теоретико-кате-
горных методов в логике, в частности в теории моделей и в тео-
рии множеств. Материал мы располагаем по мере увеличения
богатства рассматриваемых «доктрин». Эти доктрины суть кате-
горные аналоги фрагментов логических теорий, имеющих доста-
точную теоретико-категорную структуру своих моделей, чтобы
описывать их как функторы. В частности, мы имеем дело с док-
тринами эквациональной, декартовой, финитарно когерентной и
инфинитарно когерентной логик. Логика высшего порядка и тео-
рия множеств затрагиваются в §§ 6 и 7.
Определенные темы проходят сквозь разные доктрины: инва-
риантность представления, относительная интерпретация, пол-
нота, концептуальная полнота и генерические системы (так же
как и выполняемые на них операции).
Основным для функторного подхода к теории моделей яв-
ляется введение универсумов (категорий), в которых заданы мо-
дели, и которые отличны от множеств. Это дает возможность
рассматривать понятие генерической системы.
§ 1. Алгебраические теории
Введение категорного понятия алгебраической теории приво-
дит к систематической теории относительных интерпретаций од-
ной эквациональной теории в другую, а также к теории категл-
10 Справочная книга, ч. I
290
ГЛ 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
рий (или многообразий) алгебр этих теорий и их связи. Этот
прогресс берет начало от того факта, что понятие эквациональ-
ной (алгебраической) теории инвариантно относительно пред-
ставлений.
1.1. Историческое замечание. Ясно, что два стандартных спо-
соба представления понятия абелевой группы: (i) множество,
снабженное бинарной операцией «плюс», унарной операцией
«минус» и нульарной операцией (константой) «0» (удовлетво-
ряющими определенным уравнениям) или (ii) множество, снаб-
женное бинарным «минусом» и нульарным «0» (удовлетворяю-
щими определенным уравнениям), — отличаются только тем,
какие операции считаются основными, а какие производными.
Их «эквациональные теории» одинаковы: «совокупности» опера-
ций (основных и производных) могут быть в обоих этих случаях
отождествлены таким образом, что процесс подстановки одних
операций в другие сохраняется при этом отождествлении. Для
понимания этого явления в точных терминах как изоморфизма
между двумя математическими структурами, «состоящими из»
операций и снабженными некоторго рода подстановочной струк-
турой, пришлось изобрести понятия, подобные «клону операций»
(П. Холл, см. Кон [1]), или «композитору» (compositeur; Ла-
зар [1]). Но они оказались несколько неуправляемыми поня-
тиями. Правильный путь осмысления совокупности операций эк-
вациональной теории был открыт Ловером [1], который по-
нял, что подстановка должна рассматриваться как композиция
стрелок в определенного вида категории:
1.2. Определение. Алгебраическая теория Т есть кате-
гория, объектами которой являются натуральные числа 0, 1,
2, ... и которая для каждого п снабжена n-кой отображений
projz: п->1, /=1, ..., п,
позволяющей рассматривать п как n-кратное категорное произ-
ведение 1: п = 1п.
1.3. Пример. Определим алгебраическую теорию Т, пола-
гая hom(n, пг) = m-ки полиномов от Х\, ..., Хп с целыми ко-
эффициентами и с подстановкой полиномов в качестве компози-
ции. (Тогда proj/ есть как раз Xt-, рассматриваемое как полином
от переменных ..., Хп, 1 i и.) Эта теория Т называется
теорией коммутативных колец. Дальнейшие примеры см. в 1.14.
1.4. Для каждой алгебраической теории отображение
имеющееся в ней, может быть описано m-кой отображений м->
-> 1, так как пг есть m-кратное произведение 1; поэтому отобра-
жения и->1 играют особую роль. Они называются м-арными
операциями теории. В приведенном примере n-арная операция
§ 1 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
291
есть полином от п переменных, который также есть в точности
то, чем является n-арная (производная) операция во всяком
представлении эквациональной теории коммутативных колец.
Аналогично, имеются алгебраические теории для всех других
эквациональных теорий, подобных теории групп, решеток, ал-
гебр Ли, . .. ; в них n-арные операции суть операции (компози-
ции основных операций), зависящие от п переменных (т. е. п-ар-
ные термы), отождествляемые, если их равенство следует из ак-
сиом (базисных уравнений) теории. Это описание указывает,
как строить алгебраическую теорию (в смысле определения 1.2)
для каждой эквациональной теории. Можно было бы назвать
это синтаксическим способом конструирования алгебраических
теорий.
Семантика алгебраических теорий, т. е. процесс, ведущий от
теории к ее категории моделей, может теперь быть объяснена
следующим образом.
1.5. Определение. Пусть Т — алгебраическая теория и
пусть «^ — категория с конечными произведениями. Категория
Т-алгебр или Т-моделей в & есть полная подкатегория Alg(T, &)
функторной категории [Т, #], объектами которой являются
функторы, сохраняющие конечные произведения.
1.6. Замечание, (i) При рассмотрении Alg (Т, $) мы назы-
ваем <5 категорией значений. Если = (Sets), мы пишем Alg (Т)
вместо Alg (Т, <^).
(ii) Так как А (п) — А (1)п, то значение алгебры А: Т—>
при п^Т вполне определено, если мы знаем /1(1). А сохра-
няет произведения, а п является 1п. Описать А на морфиз-
мах Т, например на морфизме («операция») со; 2-> 1, равно-
значно описанию отображения
Л(2)=А(1)ХЛ(1)^Л(1),
т. е. бинарной операции на объекте /1(1). Таким образом, в слу-
чае (?Г = (Sets) А интерпретирует абстрактные бинарные опера-
ции со: 2->1 как настоящие бинарные операции на множестве
А(1), называемом основным множеством алгебры А.
(iii) Имея в виду эти замечания, нетрудно понять, почему
в случае, когда, скажем, Т есть алгебраическая теория комму-
тативных колец, мы имеем эквивалентность категорий: Alg(T,
(Sets)) эквивалентна категории коммутативных колец. Следо-
вало бы отметить, что требование естественности преобразова-
ния ть А —> В в точности равносильно требованию, чтобы ц:
А (1) -•> В (1) было гомоморфизмом относительно всех операций
теории. Если, например, со: 2->1 есть бинарная операция в Т,
10*
292
ГЛ. 8. ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
то оба эти требования равнозначны коммутативности диа-
граммы
А(1)хД(1) ^Л(2)
В(1)хВ(1) —В(2)--°в >Б(1)
(левый квадрат является также коммутативным вследствие есте-
ственности).
1.7. Относительная интерпретация. Как указывалось выше,
относительные интерпретации одной эквациональной теории в
другую могут теперь рассматриваться весьма рационально.
1.8. Определение. Морфизм алгебраических теорий есть
любой функтор f: Т—>Т' такой, что f(n) = n и f (proj.) = proj^
для всех проекций.
1.9. Пример. Мы приводим два тривиальных примера и
один нетривиальный.
(i) Пусть Т — теория абелевых групп, Т' — теория коммута-
тивных колец. Имеется очевидное вложение Т->Т/; по сути
дела Т (и, 1) может рассматриваться как подмножество Т'(м, 1)
(= множество полиномов от п переменных), состоящее из одно-
родных полиномов степени 1.
(ii) Пусть Т — теория групп, Т'— теория абелевых групп.
Имеется очевидное «сюръективное» отображение Т —> Т', полу-
чаемое отождествлением двух абстрактных групповых операций,
если их равенство вытекает из закона коммутативности. В тер-
минах Биркгофа (Кон [1]) изучение фактор-теорий теории Т
по сути дела эквивалентно изучению подмногообразий многооб-
разия, которое она определяет.
(iii) Пусть Т — теория колец Ли, Т' — теория (ассоциативных,
но не обязательно коммутативных) колец. Существует морфизм
Т—>Т', который переводит бинарную операцию ] из Т
в коммутаторную операцию со в Т': со (х, у) — х • у — у • х.
1.10. Если /: Т—> Т' — морфизм алгебраических теорий, то
немедленно получается функтор «композиции с /»
Л Alg(T', ^)->Alg(T,<T).
Этот признак является общим для всех видов функторной се-
мантики. В'случае алгебраических теорий (следующий пара-
граф) можно сказать больше, а именно, имеет место (Л о в е р
[1])
1.11. Теорема. Если категория значений ё есть (Sets)
(или любая другая локально представимая категория, Га б-
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ
293
риель и Ульмер [ 1 ]), то функтор fb имеет левый-сопря-
женный.
Доказательство. Для доказательства в случае (Sets)
мы отсылаем к книге Шуберта [1]. □
1.12. Свободные алгебры. Существование таковых может
считаться следствием теоремы 1.11, если взять в качестве Т в
1.10 алгебраическую теорию, у которой единственные zi-арные
операции суть проекции, а категория алгебр которой есть в точ-
ности (Sets). Функтор fb может быть отождествлен с /1^>Д(1),
что является функтором Alg(T') -> (Sets). Он имеет левый со-
пряженный функтор F: (Sets)—> Alg (Tz) в силу 1.11. Алгебра
вида F(M) (М — множество) называется свободной алгеброй
на множестве М образующих. Оказывается теперь, что любая
алгебраическая теория может быть восстановлена по ее свобод-
ным алгебрам:
1.13. Теорема. Пусть Т — алгебраическая теория. Тогда
Т эквивалентна двойственной категории для полной подкатегории
категории Alg (Т), определяемой свободными алгебрами F (п)
(zz = 0, 1, 2, ...).
Доказательство. Функтор Ьогпт(п, —): Т->(Sets) сохра-
няет произведения и является, следовательно, Т-алгеброй. Для
любой другой Т-алгебры A: T-*(Sets) мы имеем (обозначая
чеэез Нот hom-функтор для [Т, (Sets)] и, следовательно, для
Alg(T))
Hom(homT(n, —), Л) ~ А (п) ~ Ц А (1) ~ hom (п, А (1))
п
(первый изоморфизм — в силу леммы Йопеды). Таким образом,
honiT^, —) служит в качестве F(n). Теперь второе заключение
получается сразу, опять по лемме Йонеды. □
1.14. Пр и м е р. Нижеследующее есть пример алгебраиче-
ской теории, которая получается не представлением и не «се-
мантическими» средствами, как в 1.13, а построением, осущест-
вляемым в категории алгебраических теорий. Пусть То—теория,
n-арными операциями которой являются формальные степенные
ряды от п переменных и без постоянного члена. Они могут под-
ставляться один в другой без какого-либо препятствия для схо-
димости, так как постоянный член отсутствует. Формально, То
может быть получена как образование обратного предела в ка-
тегории алгебраических теорий: lim То, где То, п есть алге-
браическая теория для коммутативных колец без единицы, удо-
влетворяющих условию Vx(xn = 0). Алгебры для То неизвест-
ны, и также неизвестно и ее синтаксическое представление.
294
ГЛ 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
1.15. Варьирование категории значений. Мы можем рассма-
тривать Alg (Т, для любой категории & с конечными произ-
ведениями; в частности, когда <S = (Alg(T,))op- В этом случае
приходим к понятию «Т-коалгебры в категории Т'-алгебр» (см.
Рейт [1] и Фрейд [1]), под которое подпадают такие струк-
туры, как алгебры Хопфа, не описываемые в терминах класси-
ческой универсальной алгебры (даже в финитарной логике пер-
вого порядка).
1.16. Генерическая алгебра. Ясно, что если р: есть
функтор, сохраняющий произведения, то мы, взяв композицию
с р, получаем функтор «переноса по р»,
Alg (Т, ^)->Alg(T, &').
Приведем тривиальный пример, который, однако, есть про-
явление важного принципа, с которым мы встретимся в §§ 2,
4 и 5,— принципа генерической структуры. Для данной алгеб-
раической теории Т можно рассмотреть Alg (Т, Т), что имеет
смысл, поскольку Т имеет конечные произведения. Среди Т-ал.
гебр в Т имеем тождественный функтор idy: Т—>Т. Это есть
генерическая Т-алгебра в том смысле, что любая другая Т-ал-
гебра А: Т-><^ в любой категории (S (с конечными произве-
дениями) может быть получена переносом алгебры idy по
функтору А, сохраняющему произведения (очевидно, поскольку
А о idy — А). (Пример 1.9 (iii) может быть рассмотрен в этом
свете: мы наделяем основное множество генерической ассоци-
ативной Т'-алгебры (ассоциативное кольцо) структурой кольца
Ли.)
Однако категория Т, в которой существует генерическая
Т-алгебра, весьма бедна по своей категорной структуре. В сле-
дующем параграфе мы столкнемся с более богатой категорией
FP(T)op, в которой также существует генерическая Т-алгебра
(на этот раз для декартовых (— сохраняющих конечные пре-
делы) функторов), — аналогичное справедливо для каждой из
более сильных доктрин, с которыми мы встретимся позднее. Бо-
лее богатые контексты делают определенные построения на
Т-алгебрах возможными «раз и навсегда» именно как построе-
ния на генерической Т-алгебре.
1.17. Ограничения. Можно охарактеризовать в категорных
терминах категории, которые эквивалентны Alg(T) для подхо-
дящей алгебраической теории Т (см. Лов ер [3]). Категория
Cat малых категорий, категория алгебраических теорий или ка-
тегория частично упорядоченных множеств не являются тако-
выми. С ними можно иметь дело в терминах функторной семан-
тики, используя несколько более богатое понятие «теории» —
малой декартовой категории. Это тот вид функторной семан-
§ 2 ДЕКАРТОВЫ ТЕОРИИ
295
тики, которому посвящена книга Габриеля и Ульмера
[1]. Мы будем мотивировать введение декартовых теорий на
примере относительной интерпретации одной теории в дру-
гую, которая не может быть описана в рамках алгебраических
теорий.
§ 2. Декартовы теории
2.1. Пример (Декарт, приблизительно). Рассмотрим
функтор «окружность»
S1: (коммутативные кольца)—> (Sets),
сопоставляющий кольцу А множество S1 (Л) :
5ЦЛ) = {(х, у)е=А21х2 + у2=1}.
Это множество даже несет на себе структуру абелевой группы,
определяемую так:
(х, у) • (х', у') = (х • х' — у • /, х • у' + У • х')
(Гаусс). Обозначая через Т и Т' алгебраические теории ком-
мутативных колец и абелевых групп соответственно, мы, таким
образом, имеем функтор
Alg(T)->Alg(T'). (2.0
Если & — декартова категория (т. е. категория, имеющая ко-
нечные обратные пределы), то она имеет уравнители, и если
Л: Т->^ есть коммутативный объект кольца, мы можем ис-
пользовать уравнитель для
А(Х1 + Х$ и Д(1) (2.2)
(оба аргумента А рассматриваются как морфизмы 2->1 в Т),
чтобы определить S1. Таким путем контекст функтора (2.1) рас-
ширяется так. чтобы был определен функтор
S1: Alg(T, ^)->Alg(T,
для любой декартовой категории
В отличие от функтора (Ассоциативные алгебры) -> (Алгеб-
ры Ли), рассмотренного в 1.9 (iii), функтор S1 не описывается
осуществлением раз и навсегда 5!-конструкции на «генериче-
ском коммутативном кольце» в Т, потому что Т не обладает
требуемым уравнителем. Это мотивирует поиски понятия декар-
товой теории, в которой такие конструкции могут быть осущест-
влены, и мотивирует исследование их функторной семантики.
2.2. Определение. Декартова теория С есть малая ка-
тегория с конечными обратными пределами. Модель М для С
296
ГЛ. 8. ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
со значениями в категории ё с конечными обратными преде-
лами есть функтор М\ Ссохраняющий эти пределы; мор-
физм моделей М-+М' есть любое естественное преобразование
МвМ'.
2.3. Замечание. Таким образом, мы определили катего-
рию моделей со значениями в ё, часто обозначаемую через
Lex (С, ё), так как ее объекты суть точные слева (= сохраняю-
щие конечные обратные пределы = декартовы) функторы. Она
функторно зависит как от С, так и от ё\ всякий точный слева
функтор ё ё‘ между категориями значений определяет функ-
тор «переноса» между категориями моделей, Lex (С, ё')-> Lex (О,
ё). Всякий точный слева функтор С-> С7 между декартовыми
теориями («относительная интерпретация») индуцирует функ-
тор Lex (С7, ё)-> Lex (С, ё) между категориями моделей. Как
и в случае алгебраических теорий, такие функторы имеют левые
сопряженные при условии, что ё = (Sets) (или любая другая
локально представимая категория). Читатель может найти ос-
новательное изложение категорных свойств таких категорий у
Габриеля и Ульмера [1] (в их обозначениях
Lex (С, ё) = Sta(C, ё) с а= Ко). Среди теорем в их книге есть
одна, которую мы могли бы назвать сильной формой концеп-
туальной полноты декартовых теорий:
2.4. Теорема. Предположим, что С и С7 суть декартовы
теории такие, что Lex (С, (Sets)) ~ Lex (С7, (Sets)). Тогда С ~ С7.
Доказательство. Доказательство следует из того, что
С может быть восстановлена из Lex (С, (Sets)) как категория,
дуальная к подкатегории всех (абстрактно) конечно предста-
вимых объектов (Габриель и У л ь м е р [1], § 7, в особен-
ности 7.10). □
2.5. Сравнение с алгебраическими теориями. Ключ к доказа-
тельству того, что доктрина декартовых теорий охватывает док-
трину алгебраических теорий, также лежит в идее конечно пред-
ставимого объекта. В категории вида Alg (Т) конечно предста-
вимые объекты образуют в точности наименьшую подкатегорию,
содержащую все объекты вида F(n) и устойчивую относительно
конечных копределов. Каждая конечно представимая алгебра А
может быть описана как коуравнитель в Alg(T)
F(n')=tF(n)->A
(и конечный копредел конечно представимых алгебр конечно
представим). Мы обозначаем эту подкатегорию через FP(T)<
Если а — функтор из полной подкатегории категории Alg(T)>
состоящей из объектов вида F(n) (п = 0, 1, ...) (и которую мы
можем отождествить с Тор в силу 1.13), в категорию с конеч-
ными копределами, то он расширяется, вследствие упомянутого
§ 2. ДЕКАРТОВЫ ТЕОРИИ
297
коуравнителя, самое большее одним способом до функтора на
FP(T), сохраняющего конечные копределы, и необходимым ус-
ловием этого является, конечно, то, что а сохраняет конечные
копроизведения (так как F(n) + F(m) = F(n + /n)). Это необ-
ходимое условие является также и достаточным: мы формули-
руем это в следующей теореме, где мы, однако, сначала исправ-
ляем несогласованность.
2.6. Теорема. Пусть А: Т -> & — функтор, сохраняющий
конечные произведения, из алгебраической теории в декартову
категорию (так что А есть алгебра для Т). Тогда следующая
диаграмма может быть дополнена до коммутативной точным
слева функтором А (который определяется однозначно с точ-
ностью до изоморфизма):
(Верхний функтор есть п*—>Р(п), который рассматривался так-
же в 1.13.)
Доказательство. Для случая & = (Sets) теорема вы-
текает из того, что Alg (Т) локально конечно представима и, сле-
довательно, может быть восстановлена как категория точных
слева функторов со значениями в (Sets) из категории, дуальной
категории конечно представимых в ней объектов (Г абриель
и Ульмер [1], 7. 9). Теперь теорема легко следует также и
для являющейся категорией функторов [Сор, (Sets)]. Далее,
если значения А суть представимые функторы, то значения А бу-
дут конечными обратными пределами представимых функторов
и, следовательно, будут представимы при условии, что С имеет
конечные обратные пределы. Это доказывает теорему для & =
= С. □
2.7. 3 а м е ч а н и е. Способ прочтения этой теоремы (при
условии, что категория значений имеет конечные обратные пре-
делы) таков: каждая категория алгебр для алгебраической тео-
рии Т может рассматриваться как категория моделей для де-
картовой теории Р = FP (Т)ор. Это есть отождествление А с 4 в
вышеприведенной диаграмме.
2.8. Область действия доктрины. Как отмечено в 1.17, имеют-
ся понятия, наподобие понятия «частично упорядоченного мно-
жества», которые могут быть выражены посредством функтор-
ной семантики декартовой, но не алгебраической теории. (Под-
ходящей декартовой теорией С является в этом случае катего-
рия, дуальная категории конечных частично упорядоченных мно-
298
ГЛ 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
жеств.) Как это работает, подробно можно найти уГабриеля
и Ульм ер а [1], 8.2b, или в работе школы Эресмана, где мож-
но найти много примеров декартовых теорий или тесно связан-
ных с ними «эскизов», — см. Бастиани и Эресман [1].
2.9. Синтаксическая характеризация доктрины. Достаточным
условием для того, чтобы категория моделей теории первого по-
рядка (отображения которой сохраняют примитивные преди-
каты и операции) имела вид Lex (С, (Sets)) для подходящей де-
картовой теории С, является то, что аксиомы теории суть про-
стые хорновские высказывания, т. е. высказывания вида
Vx (<р (х)=>Э!уф (х, у))
(х и у — кортежи переменных, а ср и ф— конъюнкции атомных
формул, см. Кин [1]). Такие теории могут быть и многосорт-
ными: это соответствует тому, что декартова теория С, в отли-
чие от алгебраической теории Т,не имеет выделенного основ-
ного объекта.
2.10. Пр и мер (продолжение 2.1). Функтор (2.1) не инду-
цируется морфизмом алгебраических теорий. Однако если мы
возьмем соответствующие декартовы теории, то это будет иметь
место. Эквивалентно, из генерического объекта кольца в декар-
товой теории С коммутативных колец мы можем раз и навсегда
построить объект окружности (с групповой структурой), т. е. мы
имеем генерическую окружность. Если А1 обозначает генериче-
ский объект кольца в С, генерическая S1 строится как уравни-
тель в С
31->Л2=$Л1,
где два указанных отображения из Л2(=Л1Х^1) в Л1 суть
кольцевые операции X2-|-X2 и 1, примененные к объекту коль-
ца Л1. Теперь, вспоминая, что С = (конечно представимые ком-
мутативные кольца)ор и Л1 — F(l), Л2 = F(2), мы видим, что S1
есть конечно представимое коммутативное кольцо, являющееся
коуравнителем
S'<-Z[Xb X2] = F(2)^Z[X]==F(1)
(два параллельных отображения вновь задаются посредством
X и-> X2 + X2 и X 1 соответственно). Итак,
S' = Z[Xb Х2]/(Х2 + *2-1).
Групповая структура на S1, если она рассматривается в С,
является когрупповой структурой (1.15), если она рассматри-
вается в категории, дуальной более известной категории — кате-
гории конечно представимых коммутативных колец. В качестве
таковой она есть отображение S1—(которое не может
§ 3 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДОКТРИНЫ
299
быть описано в терминах логики первого порядка). — Этот спо-
соб представлять окружность и другие «алгебраические подмно-
жества» или «аффинные схемы» в аффинном пространстве Лл
известен в современной алгебраической геометрии. См., напри-
мер,Демазюр и Габриель [1].
§ 3. Элементарные доктрины: кванторы
как сопряженные функторы
3.1. Раз уж эквациональная и декартова логика изложены
в категорном контексте, то естественно искать категорное описа-
ние логики кванторов. Основное наблюдение, принадлежащее
Лов ер у [4] — [6], состоит в том, что экзистенциальная и уни-
версальная квантификации (навешивание кванторов существо-
вания и всеобщности) могут рассматриваться как соответствен-
но левый и правый сопряженные функтору подстановки. Ловер
использовал это описание как основу для подхода к функторной
семантике логики первого порядка, вначале в контексте «эле-
ментарных теорий» (см. Ловер [4]), разработанном в даль-
нейшем Фольгером [1], а позднее в контексте «гипердок-
трин» и «элементарных экзистенциальных доктрин», Ловер
[6], с. 6. Мы рассмотрим последнее.
3.2. Определение. Элементарная экзистенциальная док-
трина (ээд) задается базовой категорией Т с конечными произ-
ведениями (объекты и морфизмы которой должны пониматься
как типы и термы соответственно), и для каждого объекта
(типа) п задается категория В(п) — «категория атрибутов» это-
го типа. (Для применений в логике категория атрибутов обыч-
но, но не всегда является просто частично упорядоченным мно-
жеством; при этом отношение порядка понимается как следо-
вание.) Требуемая базисная структура состоит теперь в том, что
В(п) зависит функторно-контравариантно от п, т. е. для мор-
физма f: n-+m в Т задан функтор (= сохраняющее порядок
отображение) B(f): B(m)-^B(n), понимаемый как подста-
новка по f и имеющий левый сопряженный функтор 3f — «экзи-
стенциальную квантификацию по f».
3.3. Замечание. В исходной ловеровской трактовке эле-
ментарных экзистенциальных доктрин предполагалось, что
В(п) —декартово замкнутая категория, однако имеется (грубо
говоря) столько же вариантов этого понятия, сколько имеется
фрагментов языка первого порядка.
3.4. Пример. Любая категория <8 с конечными обратными
пределами и с хорошими прямыми образами определяет элемен-
тарную экзистенциальную доктрину Р(^) с Т = &, В(п) —
полурешетка подобъектов для и B(f) — образование об-
ратного образа (оттягивание) по f. Категории В(п) будут иметь.
300
ГЛ. 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
а функторы B(f) сохранят более или менее теоретико-решеточ-
ные свойства, зависящие от свойств точности <В\ приводящих к
разным вариантам понятия доктрины. Мы обсудим примени-
мость элементарных экзистенциальных доктрин для функторной
семантики, рассматривая булев случай, где мы имеем (абстракт-
ную) элементарную экзистенциальную доктрину, в которой каж-
дая В(п) есть булева алгебра, а каждый B(f)—булев гомо-
морфизму рассматривая лишь (Sets) в качестве категории зна-
чений; заметим, что P((Sets)) — булева элементарная экзистен-
циальная доктрина. Итак, имеем
3.5. Определение. Модель (со значениями-множества-
ми) булевой элементарно экзистенциальной доктрины (Т, В)
есть морфизм булевых элементарных экзистенциальных доктрин
(Т, B)->P((Sets))
(здесь морфизм булевых элементарных экзистенциальных док-
трин (Т, В)->(Т', В') есть сохраняющий произведение функтор
М: Т->Т' между базовыми категориями и для каждого пеТ
булев гомоморфизм В(п)-+В'(М(п)), удовлетворяющий оче-
видным условиям совместимости).
3.6. Чтобы соотнести это понятие модели с понятием мо-
дели для обычной теории первого порядка ^7", следует взять в
качестве (Т, В) «доктрину Линденбаума» для где Т — алге-
браическая теория, не имеющая никаких других операций, кро-
ме проекций (как рассмотрено в 1.12), а В(п) — классы ^-эк-
вивалентности формул, свободные переменные которых содер-
жатся среди Xi, ..., хп. Тогда B(f) (для f: п -+• т) определяется
посредством синтаксического процесса подстановки. Экзистен-
циальная квантификация может быть определена в терминах
синтаксического 3. Наброски этого вида семантики для элемен-
тарных экзистенциальных доктрин приведены в работе Ло-
ьера [4] (для случая высшего порядка); см. также Кост [1].
Читатель, знакомый с полиадическими или цилиндрическими
алгебрами, может распознать их характерные признаки в (буле-
вом) f ээд-подходе, и, действительно, специфические теоремы
сравнения уже доказаны (Жуаяль [1]).
3.7. Однако если рассматривать категории как теории, то
элементарные экзистенциальные доктрины обладают тем дефек-
том, что они являются категориями Т, наделенными чем-то до-
полнительным, а именно категориями В(п),что не определяется
в терминах категорной структуры, за исключением случая эле-
ментарной экзистенциальной доктрины подобъектов Р(&) (при-
мер 3.4). Для каких элементарных экзистенциальных доктрин
(Т, В) или для каких теорий ?Г первого порядка существует до-
статочно богатая декартова категория R такая, что (Т, В) (или
имеет те же самые модели, что и элементарная экзистен-
§ 4. ЛОГИЧЕСКИЕ КАТЕГОРИИ
301
циальная доктрина подобъектов P(R)? Или, что равносильно,
когда ^-значные модели для (Т, В) (или ?Г) могут описываться
как функторы R-хЗГ, сохраняющие определенную часть кате-
горной структуры? Этот вопрос впервые был решен Жуаялем,
Рейесом и Дионом (Дион [1], один из фрагментов); см. при-
мер 4.4. Метод Диона состоял в том, чтобы построить R из
Лучшие доказательства этих результатов были даны Бенабу и
Костом (Кост [2]), которые строят действительно «хорошие»
категории R из элементарных экзистенциальных доктрин, удо-
влетворяющих законам «Бека» (или Шевалле) и «Фробениуса»
(по терминологии Ловер а [4]), и применяют эту конструк-
цию к доктрине Линденбаума для 9" (для соответствующего
фрагмента логики). Другой метод принадлежит Фрейду, кото-
рый исходит из понятия аллегории — категорной аксиоматиза-
ции исчисления отношений.
§ 4. Логические категории: когерентная логика
Поиски категорных вариантов логики первого порядка в духе
теорий равенств как категорий и моделей как функторов приво-
дят к понятию регулярной категории с устойчивыми супремума-
ми, или, коротко, логической категории Жуаяля — Рейеса
(Рейес [1]). (Как указано в § 3, Ловер и Фольгер раньше
изучали родственное понятие «элементарной теории» и «элемен-
тарной доктрины».) В контексте логических категорий кванторы
существования выступают как образы (в категорном смысле),
связка V («или») — как супремум (подобъектов), тогда как А
(«и») и подстановка (термов в переменные) суть случаи обрат-
ных пределов.
4.1. Определение. Логическая категория Т есть декар-
това категория с:
(а) образами, устойчивыми при оттягиваниях,
(Ь) конечными супремумами подобъектов данного объекта,
устойчивыми при оттягиваниях.
4.2. Замечание, (к (а)) Образ морфизма f: А-+В есть
наименьший подобъект I-+B, по которому факторизуется f. Мы
пишем f: А—»В, чтобы обозначить, что образом морфизма f
является само В.
Мы говорим, что f: А->В устойчив, если для каждой диа>
граммы оттягивания
рбразом морфизма f' является В'.
302
ГЛ 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
(к(Ь))Мы говорим, что V Ai = A устойчиво, если для каж-
ieZ
дого В-+А
V BAXAt~ В.
i е/
4.3. Определение. Логический морфизм f: Т—>Т' между
логическими категориями есть функтор, сохраняющий конечные
обратные пределы, образы и конечные супремумы.
Пусть ModT, (Т) — полная подкатегория категории функто-
ров [Т, Т']> состоящей из логических морфизмов. В частном слу-
чае Г = (Sets) морфизмы называются моделями для Т, и мы
определяем Mod (Т) = Mod(Sets) (Т).
4.4. Пример. Жуаяль, Рейес и Дион (Дион [1]) дока-
зали, что те теории первого порядка, категории моделей которых
(с сохраняющими примитивные предикаты отображениями в ка-
честве морфизмов) имеют вид Mod(Sets) (Т), являются в точности
когерентными теориями 3", как они определены Жуаялем и
Рейесом (Рейес [1]). Теория первого порядка когерентна, если
она может быть задана аксиомами вида
Vx (ф (х)=>ф(х)),
где ф и ф либо строятся из атомных формул с помощью A, V.
и 3, либо являются f («истина») или >|< («ложь»). Понятие коге-
рентной теории будет основным в § 5. Трудная часть доказа-
тельства заключается в построении логической категории, ис-
ходя из 3". Главное то, что имеется один объект для каждого
понятия, определимого в У", и одно отображение для каждого
доказуемого функционального отношения.
4.5. Пример. Теория коммутативных локальных колец коге-
рентна, так как она аксиоматизируема равенствами и двумя ак-
сиомами:
(i) Vx ( f => (3z/ (х • у = 1) V Зу ((х - 1) • у = 1)));
(ii)(i = o=H).
(Равенства приобретают требуемый вид также с использова-
нием f.)
4.6. Теорема о пол ноте (Делинь; Г р о т е н д и к [I], Ex-
pose^]; Жуаяль). Если Т — логическая категория и f, g: Х~>
=3 Y — два различных морфизма в Т, то имеется модель М для
Т такая, что M(f) =^М (g).
Доказательство (набросок). Основная идея состоит в
том, чтобы расширить Т до новой логической категории Т\ об-
ладающей тем свойством, что каждый А 1 имеет сечение
§ 4. ЛОГИЧЕСКИЕ КАТЕГОРИИ
303
(т. е. Т'удовлетворяет слабой аксиоме выбора). Основное на-
блюдение в доказательстве Жуаяля следующее: всякий раз,
когда в Т задан Л—» 1, мы можем «универсально» добавить
формальное сечение путем «изменения базы», т. е. рассмотрения
категории Т/Л, объектами которой являются морфизмы В->Л>
а морфизмы — коммутативные треугольники
Категория Т/Л вновь является логической. Функтор оттягива-
ния Т—> Т/Л (который переводит В в л2: В\А->А) консерва-
тивен и, кроме того, Л -» 1 е Т имеет диагональ Дл: Л —> Л X А
как сечение в Т/Л.
Отождествляя объекты с формулами (как в этом примере),
мы узнаем аналог ключевого шага в доказательстве Генкина:
если Л есть формула такая, что Т НВхЛ, тоТ (J А (а) есть кон-
сервативное расширение Т, где а — новая константа.
Остальная часть доказательства осуществляется путем ис-
пользования подходящего ультрафильтра. □
4.7. 3 а м е ч а н и е. Один важный вопрос, который может
быть задан в категорном контексте, состоит в следующем: в ка-
кой степени категория моделей для Т определяет Т? Один спо-
соб интерпретации этого вопроса состоит в том, чтобы спросить,
можно ли ввести дополнительную логическую структуру в Т, не
изменяя категорию моделей для Т, иначе: является ли Т «кон-
цептуально полной». Мы сейчас же замечаем, что логические
категории, вообще говоря, не являются «концептуально пол-
ными». В самом деле, «формально» добавляя в Т копроизведе-
ния и частные по отношениям эквивалентности, мы получаем ло-
гическую категорию Т такую, что логическое вложение Т—* Т
индуцирует (путем композиции) эквивалентность Mod(T)^
£=>Mod(T) (см. Антониус [1]). (Очевидно, что, например,
Х/R однозначно интерпретируется в (Sets) как частное от интер-
претации X по интерпретации R.) Здесь мы обнаруживаем де-
фект обычных формализаций многосортных языков, где «не-
явно определимые» операции копроизведений и частных не яв-
ляются явными. Позволяя предтопосу быть логической катего-
рией с «хорошими» копроизведениями и частными по отноше-
ниям эквивалентности, мы имеем следующее предложение:
4.8. Теорема о концептуальной полноте (Мак-
каи и Рейес [1]). Если логический функтор f: T>TZ ме-
304
ГЛ. 8. ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
жду предтопосами индуцирует (путем композиции) эквивалент-
ность Mod Т' Mod Т, то f есть эквивалентность.
Доказательство. Доказательство проводится путем вве-
дения синтаксических многосортных представлений для Т, Т',
благодаря чему f становится интерпретацией теорий. Затем ис-
пользуется компактность и метод диаграмм. Чисто категорное
доказательство пока отсутствует. □
4.9. Замечание. Инфинитарные логические категории так-
же уже рассматривались, и Барр [1] доказал теорему о пол-
ноте для булевозначных моделей. Аксиоматизацию типа Ген-
цена для этой инфинитарно когерентной логики с применениями
к теоремам о полноте (включая теорему Барра) можно найти
в работе М а кк а и и Рейеса [1].
§ 5. Топосы Гротендика: инфинитарно когерентная логика
Топосы (и предтопосы) появились в алгебраической геомет-
рии, где они повсеместны, как обобщение понятия пучка над то-
пологическим пространством: по Гротендику, это есть понятие
пучка над местом.
5.1. Определение, (i) Место (site) есть декартова кате-
гория вместе с понятием локализации, т. е. для каждого А е
нам задан непустой класс Ьос(Л) семейств морфизмов
(Лх-->Л)/е/ категории называемых локализациями А, устой-
чивых при оттягиваниях в том смысле, что для каждого В->Л
семейство (Л/л X В—> В}.^ есть локализация В.
(ii) Пучок (sheaf) над есть функтор F: ^op->(Sets), удов-
летворяющий для каждого (ft: Лх -> Л)/€Е/е Бос(Л) следующем
условиям:
(а) если g, t\(=F (А) таковы, что ё/ = F (fL) (ё) = F (fi) (п) = П/
для всех то ё = ,П’,
(Ь) если (ё/)хе=7 — семейство такое, что ё/ F (Лх) для всех
i ~ I, и оно совместимо, т. е. в диаграмме
F(nx«) F(Kj)
I, s f (-4,) F (Л,Л X Л) — F 0,) э I,,
полученной посредством F из
jti jii
мы имеем F(n,) (g,) = F(jry) (gy) для всех i, j e /, то существует
g e F(A) такое, что g,- = F(fi) (g) для всех i <= I. Пусть Shf»?)—
полная подкатегория категории функторов [<ё’ор, (Sets)], со-
стоящая из пучков над ‘F.
§ 5. ТОПОСЫ ГРОТЕНДИКА
305
(iii) Топос Гротендика есть категория, эквивалентная кате-
гории вида Sh (&) для малого места
5.2. Замечание, (i) Эти понятия позволяют нам придать
смысл той интуитивной идее, что некоторые понятия, например
«действительные непрерывные функции с открытой областью»,
носят локальный характер. В этом примере мы отождествляем
это понятие с функтором Cr: Open(Х)ор—>(Sets), который каж-
дому открытому множеству U е Ореп(Х) ставит в соответствие
его «расширение» CR ((/) = {/: непрерывна}. Упорядо-
ченная категория Ореп(Х) может рассматриваться как место,
определяя локализации U как открытые покрытия 17.
Локальный характер понятия, о котором идет речь, заклю-
чается в точности в утверждениях (а) и (Ь).
(Ii) Структура места и соответствующее понятие пучка мо-
гут быть определены на категории даже если не обла-
дает конечными обратными пределами. Это определение техни-
чески более сложно. Примеры этого типа встречаются в теории
моделей (см. 5.3 (ii)).
(iii) Одной из основных теорем в теории топосов является
теорема Жиро (Гротендик [1], Expose 4), характеризую-
щая топос как °°-предтопос с множеством образующих (где
°°-предтопос есть категория с конечными обратными пределами,
с «хорошими» бесконечными копроизведениями и частными по
отношениям эквивалентности). В частности, всякий топос имеет
каноническую структуру места, задаваемую тем, что (Л/-> 4)/е/
есть локализация, если и только если единственное отобра-
жение
1*1 4 >4
/е=/
эпиморфно. («Быть хорошим» — это как раз то условие, что се-
мейства этого типа суть локализации.) Иногда это называется
локализацией произвольного покрытия.
5.3. П р и м е р. (i) Пусть В —полная булева алгебра, рас-
сматриваемая как категория. Мы определяем каноническую ло-
кализацию следующим образом: (az) s / покрывает а, если и
только если а = V
ie/
Тогда Sh(B) эквивалентна категории булевозначных мно-
жеств и булевозначных отображений универсума V(B) Скотта —
Соловея.
Этот пример открывает путь для теоретико-категорного
подхода к результатам независимости в теории множеств: см.
Хиггс [1], Тьерне [1], Буало [2] и Бунге [1].
(ii) Пусть С—малая категория. На ней имеется так назы-
ваемая ПП-локализация, которую можно описать следующим
306
ГЛ 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
образом: семейство {СХ ->С ] 1^1} есть "1~]-локализация, если
для каждого В -> С имеется А -> В такое, что для некоторого
i е 1 мы имеем коммутативную диаграмму
Ci—*С
А-----
Эта ~П-локализация будет использована ниже.
(iii) Пусть R —логическая категория. Мы вводим структуру
места на R, локализацию конечного покрытия, определяя для
конечного I
(л2-> л). , е Ьос(Л), если и только если Л = V Image (ft),
i*=i
Условия устойчивости на R гарантируют, что это есть лока-
лизация.
5.4. Определение, (i) Функтор F: 3) между двумя
местами есть морфизм мест, если он сохраняет конечные обрат-
ные пределы и переводит локализации в локализации 3).
Пусть Cont(^, 3))—полная подкатегория категории функто-
ров [^, 3)\, состоящей из морфизмов мест.
(И) Геометрический морфизм р: <£-+<£' между топосами
есть пара (р*, р*), где р*: есть точный слева функтор,
имеющий р* в качестве правого сопряженного (следовательно,
р* есть морфизм мест для канонических структур мест на В
и <Г).
Замечание. Значимость когерентной логики заключается
в том, что ее логические операции (т. е. 3, V, A, t> j ) со-
храняются функтором р* для геометрического морфизма р. См.
также 6.13.
5.5. Форсинг: семантика Крипке—Жуаяля. Из этих приме-
ров должно быть ясно, что топосы имеют определенное отноше-
ние к форсингу и генерическим структурам. А. Жуаяль устано-
вил, что различные понятия форсинга (Коэна, Робинсона, Крип-
ке) суть специальные случаи форсинга с местом условий. Даже
для мест Open X (пример 5.2 (i)) обычные определения терпят
неудачу. Например, в семантике Крипке справедливость дизъ-
юнкции или экзистенциальной формулы на «данной стадии»
или в «данный момент» а определяется «сразу», т. е. без ссылки
на дальнейшие «стадии» (или «моменты»). С другой стороны, в
топологии существование сечений (над всем пространством) для
пучков редко сравнимо с локальным существованием, т. е. с су-
ществованием сечений над покрытиями. Это значит, что должны
приниматься во внимание дальнейшие «стадии».
§ 5 ТОПОСЫ ГРОТЕНДИКА
307
5.6. Определение. Пусть — место, F — пучок и а е F (X).
X Зхф[х, а], если и только если имеются локализация
(fa Для % и семейство такие, что для каж-
дого / е/ bi^F(Xi) и Xt||— <р[6Ь Г (Л) (а)].
5.7. Замечание, (i) Аналогичный пункт следует использо-
вать при определении X[|— <р! V Ф2- С другой стороны, Д опре-
деляется «сразу», а=>, V рассматриваются в обычной манере
Крипке, например X ||— (ф => ф) (а), если и только если для каж-
дого ft Y->X
Y ||— ф U7 (D («)] влечет Y ||— ф [F (f) (а)];
отрицание есть и | описывается посредством объектов У,
для которых 0 е Cov(K).
(ii) Можно убедиться, что обычные понятия форсинга яв-
ляются специализациями этого понятия. Например, предполо-
жим, что }= * (ф V ф) [а] в смысле Робинсона [1], т. е.
пусть
V е Mod (Т) 3 J S <= Mod (Г)
так, что S ||— ‘<р [gfa] или *ty(gfa). Мы можем предполагать,
что g = Ф (/). Тогда семейство
есть «колокализация» для “| И- Кроме того, для каждого 9?
имеем 9£ ||— *ф [Ф (f) fa] или <2?||—*ф [Ф (f) fa]. Теперь мы исполь-
зуем индукцию. (Этот пример взят из неопубликованной работы
Жуаяля и Рейеса.)
(iii) В частном случае, когда место есть топос S (с канониче-
ской локализацией), мы располагаем способом интерпретации
языков (даже инфинитарных). В частности, мы можем опреде-
лить понятие Т-модели в & для любой теории Т (скажем, в язы-
ке Loo©), а также и понятие категории Т-моделей в <£. В случае
<£ = (Sets) это равнозначно следующему: ее объекты суть тео-
ретико-множественные модели и ее морфизмы — «алгебраиче-
ские», т. е. функции f\ сохраняющие символы основных
отношений и операций в том смысле, что
(аь ... , (а,). ••• ,
(с соответствующим условием для символов операций).
Семантику в терминах экстенсионалов см. в 6.8.
5.8. Утверждение (существование классифицирующего
топоса; Рейес [1] совместно с Жуаялем). Для каждой фини-
тарно когерентной теории Т имеется топос ^(Т) и Т-модель М
в <Г[Т], являющаяся генерической в том смысле, что категория
308
ГЛ. 8. ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
У-моделей Ф эквивалентна {через М) категории геометриче-
ских морфизмов 3) в & [Т] для каждого топоса &).
Доказательство (набросок). Пусть R — логическая ка-
тегория, ассоциированная с Т (пример 4.4). Тогда (S[Т] есть
категория пучков для R с топологией конечных покрытий (при-
мер 5.3 (iii)). □
5.9. Замечание, (i) Самый ранний пример существования
классифицирующего топоса привела Хаким [1], которая до-
казала, что топос Зариского является классифицирующим топо-
сом для теории локальных колец.
(ii) Эта теорема остается верной и для произвольной (т. е.
инфинитарно) когерентной теории. Более того, любой топос яв-
ляется классифицирующим топосом подходящей теории (см.
М а к к а и и Рейес [1]).
§ 6. Элементарные топосы
Слово «элементарный» в данном контексте указывает на то>
что понятие элементарного топоса является элементарным поня-
тием— понятием категории с немногими свойствами, вырази-
мыми в терминах логики первого порядка в языке теории кате-
горий. Оно даже является «по существу алгебраическим» поня-
тием (Фрейд [2]).
Поиск такого понятия, как понятия для оснований матема-
тики, был начат в работе Л о вер а [3]; но более общее поня-
тие, сравнимое с понятием топоса Гротендика и в то же время
раскрывающее их логическую (даже логическую высшего по-
рядка) природу, было найдено в 1969 г. Ловером и Тьерне; см.
Ловер [7]. С возможными теперь упрощениями (Кок и
Миккельсен [1]) это очень простое и сильное понятие можно
описать следующим образом.
6.1. Определение. Элементарный топос & есть катего-
рия с конечными обратными пределами и объектом Q, который:
(i) классифицирует подобъекты,
-2 (ii) является возводимым в степень.
6.2. Замечание. Здесь (i) означает, что имеется универа
сальный подобъект истина'. 1->Q такой, что всякий подобъ§к₽
А'>—любого объекта А появляется как оттягивание '
^истина
А'----->1
для единственного а («характеристической функции S4'»), и (ii)'
означает, что для всякого А имеется объект («степень-объект
§ 6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
309
А») и отображение А X йл -> й, устанавливающее для каж-
дого В одно-однозначное соответствие
лхвЛа
В—> Йл
р
следующим образом: с р мы ассоциируем
А X В ^-1А X Й-
(6.1)
6.3. Пример. Модель, которую следует иметь в виду, есть
категория множеств с любым двухэлементным множеством й,
скажем, множеством, состоящим из двух символов «истина» и
«ложь»; тогда йл может быть отождествлен со множеством-сте-
пенью для А (поскольку подмножество А' А может быть пол-
ностью описано своей характеристической функцией а: А -> йг
задаваемой условиями
. . (истина, если а е А;
(ложь, если а А).
Важно, во-первых, что каждый топос Гротендика есть также мо-
дель этих аксиом, во-вторых, что по существу вся («интуицио-
нистски верная») наивная теория множеств высшего порядка
следует из простых аксиом определения 6.1. Начиная с 1969 г.
и до настоящего времени огромное количество работ продемон-
стрировало, каким образом различные понятия и конструкции
наивной теории множеств высшего порядка могут основываться
и выполняться в элементарно-топосной постановке. Вместо того
чтобы пытаться обозреть их все, мы приведем несколько подроб-
ных примеров построений.
6.4. Пример. Ясно, что йл контравариантно зависит от Аг
f: А-+В поднимается до йв->й4 (что в (Sets) соответ-
ствует закону, по которому подмножеству В' множества В ста-
вится в соответствие /'-1(В/) ^А). К тому же й4 канонически
несет структуру упорядоченного объекта (в случае множеств:
порядок по включению на множестве подмножеств множества
А). Эта структура есть подобъект =Сд:
<Л>->ЙЛХЙЛ.
Он имеет характеристическую функцию
ch «л): ЙЛХЙА->Й,
соответствующую, согласно экспоненциальной
6.1, отображению
£2Л *seg йаЛ
сопряженности
310
ГЛ 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
которое в случае (Sets) ставит в соответствие подмножеству
Л' А семейство всех подмножеств А" s А с А" А' («ниж-
ний сегмент Л'»). Теперь правый сопряженный Vf к Qf; Qs->
Q4 (для f: А-*-В) может быть описан как композиция
где {•}: B->QB соответствует при экспоненциальной сопряжен-
ности характеристическому отображению В X В -> Q диагонали
В -> В X В, В случае (Sets) читатель найдет, что эта компози-
ция следующим образом действует на А' Л:
А' {А" <= А | A" s А'} {S' s В | Г* (В') s А'}
^{Ь^В\Г1({Ь})^А'}
= {b е В |Va е Л: f (а) = Ь=>а е Л'},
что мы обозначаем Х^(Л'). Теперь легко теоретико-множест-
венными рассуждениями убедиться, что у нас действительно есть
правый сопряженный для образования обратного образа, т. е.
мы имеем
/~1(В')^Л', если и только если В'^УДЛ').
Используя эту «внутреннюю универсальную квантификацию»,
можно получить конструкцию — «пересечение»
qa,
которая в (Sets) ставит в соответствие 8Г множество
П^^Л (пересечение всех Л'е^"). Мы опускаем это. Исполь-
зуя этот «комбинатор пересечений», можно получить левый со-
пряженный 3f («образование прямого образа по f») как ком-
позицию
(f-сегмент определен дуально |-сегменту). В (Sets) это ото-
бражение переводит Л' Л в пересечение всех В' В с
/-ЦВ') ^Л\ что, очевидно, есть именно f(A'). (Данные описа-
ния принадлежат Миккельсену [1]; это иллюстрирует, как
можно вывести понятия типа копределов, подобно понятию об-
разования образа 3f, на основе этих аксиом. Более подробно об
основах теории см. Кок и Рейт [1], Кок и Миккель-
с е н [1], Маклейн [1и или Рейт [2].)
Теперь мы опишем, каким образом некоторые более сложные
понятия наивной теории множеств высшего порядка получают
§ 6 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
311
очень простые формулировки в элементарно-топосной постанов-
ке. Заметим, что бинарное отношение на объекте Д,
/?>->дхд,
приводит к характеристической функции и затем
(с использованием экспоненциальной сопряженности) к отобра-
жению г: А — («нижний сегмент для R»), и обратно; вслед-
ствие этого мы называем отображение г: А-+£1А также бинар-
ным отношением на А.
6.5. Определение (Осиус [2]). Отношение г:
называется рекурсивным (или (сильно) фундированным), если
для каждого В и g: имеется единственное f: А-+В, де-
лающее диаграмму
(6.2)
коммутативной; г называется (слабо) фундированным, если для
каждого g\ Q5—имеется не более одного f, делающего (6.2)
коммутативной.
6.6. Теорема (Миккельсен; см. Осиус [3]). Понятия
сильно и слабо фундированного отношения совпадают в любом
элементарном топосе.
Доказательство. Весьма трудное доказательство заклю-
чается, конечно, в построении f, делающего (6.2) коммутативной.
Теорема 6.6, следовательно, утверждает, что принцип построе-
ния отображения трансфинитной рекурсией по (внутренне) фун-
дированным отношениям справедлив в любом элементарном то-
посе. □
6.7. Замечание. Тот факт, что принцип рекурсии спра-
ведлив в каждом топосе, может быть интерпретирован в терми-
нах теории доказательств: он интуиционистски доказуем. В са-
мом деле, Фурман, К о с т [2], Б у а л о [2] (в сотрудничестве с
Жуаялем) предложили формальные системы для теории выс-
шего порядка интуиционистского типа, являющиеся адекват-
ными и полными относительно элементарных топосов. Таким об-
разом, элементарные топосы могут рассматриваться как кате-
горный вариант интуиционистской логики высшего порядка. От-
дельные результаты могут быть интерпретированы и доказаны
в данном контексте. Подробно это рассматривается в главе 6
«Теории доказательств и конструктивной математики».
Что касается интуиционистской логики первого порядка в то-
посе, то формальные системы, вновь адекватные и полные отно-
сительно топосов, были предложены Бенабу, Буало, Костом,
312
ГЛ. 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
Дионом, Жуаялем, Маккаи, Улле, Рейесом, Робитай-Жигером
(см. Кост [1], Улле [1] для системы генценовского типа и
Робитай-Жигер [1] для системы гильбертовского типа).
6.8. Экстенсиональная семантика. Хорошие свойства точности
я декартова замкнутость, которые можно доказать для любого
элементарного топоса, могут быть применены для доказатель-
ства того, что любые формулы логики первого порядка (коге-
рентные или нет), сигнатурные предикаты которых уже интер-
претированы «экстенсионалами», сами имеют «экстенсионалы».
Понятие экстенсионален формулы можно определить как универ-
сальный элемент (в смысле семантики Крипке — Жуаяля), удо-
влетворяющий этой формуле. (Мы мыслим <$ как место с топо-
логией конечных покрытий.) Систематическое описание этого
метода образования экстенсионалов формул и доказательства
отношений включения между ними дано Митчелом [1], Бе-
набу (Кост [1], [2]) и Осиусом [1]. Связь с семантикой
Крипке — Жуаяля анализируется у Оси ус а [4].
6.9. Пример. Пусть R — объект кольца в элементарном то-
посе. Образуем GL(1, /?) R как экстенсионал формулы «х об-
ратим» (или, формально, «Зу (х • у = 1)»). Кроме того, для вся-
кого натурального числа п можно образовать экстенсионал
[[ ((%! = 0) А ... Д (хп = 0))]] s Rn, (6.3)
так же, как и экстенсионал
[[(%! обратим) V ... V (хп обратим)]] Rn. (6.4)
6.10. Определение. Мы говорим, что R — объект поля,
если для каждого п объекты, описанные в (6.3) и в (6.4), совпа-
дают (т. е. если R удовлетворяет высказыванию, «если п эле-
ментов не равны одновременно нулю, то один из них обратим, и
обратно»). (Это некогерентное понятие.)
6.11. Пример (синтетическая геометрия, Кок [1]). Ис-
пользуя технику экстенсионалов и другие свойства точности эле-
ментарного топоса & с объектом поля /?, можно, следуя тому,
что делают в случае (Sets), построить некоторые из интересных
объектов алгебраической геометрии, подобных грассманианам.
Мы проиллюстрируем это построением проективного (п—1)«
пространства Р"’^/?). Оно есть просто (6.3) (или (6.4)) по мо«
дулю отношения эквивалентности, индуцированного на этом
объекте очевидным действием GL (1,7?):
обратим]]/GL(1, /?).
Кроме того, можно выделить из объекта-степени для Ря~1(7?)
объект (и — 2)-плоскостей в Р**”1 (7?), но для вычисления более
§ 6. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТОПОСЫ
313
приемлемо построить этот объект с помощью линейной и поли-
линейной алгебры. Например, в случае Р2 (/?) можно было бы
определить объект L («прямых в Р2 (/?)») чисто алгебраически.
Кроме того, используя определители третьего порядка, можно
затем образовать экстенсионал понятия «инцидентности», т. е.
[[прямая I проходит через точку Q]]^LXP2W)«
Теперь имеем модель определенной двухсортной структуры в ло-
гике первого порядка с сортами «прямые» и «точки» и одним
отношением «инцидентность», и можно задать вопрос, какие
предложения в этом языке выполняются для построенной таким
образом структуры, в частности, удовлетворяет ли она аксио-
мам понятия проективной плоскости? Ответ: удовлетворяет при
условии, что выбраны подходящие аксиомы из неэквивалентных
интуиционистских форм аксиом для «проективной плоскости».
Подробнее см. Кок [1]. С соответствующими модификациями —
такими, как: говорить «обратимый» вместо «ненулевой» везде,
где это возможно, — все развитие может быть доведено до кон-
ца для локального объекта кольца вместо объекта поля. Пред-
ставляет интерес, когда это выполняется для генерического ло-
кального объекта кольца А в классифицирующем топосе Z для
локальных колец (топос Зариского).
Оказывается (Кок [1]), что это генерическое локальное
кольцо в действительности является объектом поля в объяснен-
ном выше смысле, так что построение Р2(Л) и других грассма-
нианов может выполняться с использованием не только техники
экстенсионалов, но также и того предположения, что А есть
поле. Это Р2(Л), которое как объект из есть функтор
из конечно представимых коммутативных колец в множества,
совпадает с таким явно описанным функтором, который в ра-
боте Демазюра и Габриеля [1] удостоен этого имени.
Теория экстенсионалов позволяет нам получать геометрические
объекты «логическими средствами» без необходимости строить
функторы и контрольные условия для пучков; это позволяет
поднимать вопросы синтетической геометрии.
6.12. Замечание. С использованием объекта D <= А, экс-
тенсионала [[%2 = 0]] в качестве «инфинитезимального объек-
та» и того, что есть элементарный топос (и, следовательно,
обладает возведением в степень), по-видимому, открывается воз-
можность иметь синтетическую дифференциальную геометрию
в £ и в родственных топосах.
6.13. Арифметический универсум. Полной аксиоматизации
этого понятия (принадлежащего Жуаялю), по-видимому, не су-
ществует, но хотелось бы аксиоматизировать следующее: всю
структуру существенно алгебраической природы (Фрейд [1])*
314
ГЛ 8 ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
которой обладает любой элементарный топос с объектом — на-
туральными числами и которая сохраняется функторами f* об-
ратных образов. Таким образом, арифметический универсум —
это по крайней мере предтопос с объектом N — натуральными
числами (поскольку f* есть морфизм предтопоса, сохраняющий
N), но так как элементарный топос с объектом — натуральными
числами имеет, а /* сохраняет образование свободных моноидов,
свободных категорий на графе образующих, образование произ-
ведения 0 объектов — абелевых групп, ..., то все это может
быть включено в хорошую аксиоматику для арифметического
универсума в случае, когда это еще не вытекает из существова-
ния объекта — натуральных чисел в предтопосе (для большин-
ства этих свойств это не так). Жуаяль предложил в качестве
аксиоматизации предтопосы, в которых существуют свободные
категории на графах. Морфизм арифметического универсума
есть функтор, сохраняющий структуру предтопоса и дополни-
тельную структуру (скажем, свободные категории на графах).
Если включить в структуру образование произведения 0 абеле-
вых групп, то можно описать понятие объекта — алгебры Хоп-
фа (объект кольца А с отображением Л-> Л0 Л, удовлетворяю-
щим определенным равенствам) посредством функторной се-
мантики применительно к арифметическому универсуму. Можно
доказать, что существует классифицирующий топос для понятия
алгебры Хопфа.
§ 7. Топосы и аксиоматическая теория множеств
Всякая модель т теории множеств (скажем, ZF) определяет
элементарный топос — категорию m-множеств &(т), объектами
которой служат элементы («множества») т, — и возникающие
таким образом топосы весьма специальны (для разнообразия
можно иметь в виду, скажем, топосы Гротендика). Возникает
вопрос, можно ли охарактеризовать топосы вида $ (т) в эле-
ментарных терминах (неэлементарная характеризация была
дана в работе Л о в е р а [2]).
Кроме того, это может рассматриваться как вопрос об отно-
сительной интерпретации подходящего расширения теории эле-
ментарного топоса, выразимой в логике первого порядка в си-
стеме ZF, и обратно.
Вопрос о характеризации (или взаимной относительной ин-
терпретации) был решен в 1971 г. Коулом [1], Митчелом
[1] и Осиусом [2]. Основное — это построение моделей тео-
рии множеств по данному элементарному топосу, имеющему под-
ходящие свойства. Какие же свойства подходят?
Во-первых, очевидны следующие предложения.
§ 7 ТОПОСЫ И АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
315
7.1. Предложение. Всякий топос вида <S(пг) обладает
тем свойством, что терминальный объект 1 является образую-
щей, и он не тривиален'. О не изоморфен 1.
То, что 1 является образующей, означает: если f, g — два
различных отображения X в &(пг), то имеется отображе-
ние х: 1 X такое, что f ° х =/= g ° х, и это очевидно, поскольку
отображение х\ 1 X соответствует элементу х е Л’, когда X
рассматривается как «множество» в пг.
Очевидно, что чем больше свойств предполагается в элемен-
тарном топосе <S, тем более сильную модель теории множеств
можно в нем построить. Основная идея построения заключается
в том, чтобы начать с элементарного топоса с очень немногими
дополнительными свойствами и получить модель слабой теории
множеств. Мы зададим формулу Осиуса (Осиус [2]), которая
ввиду 7.1 является «минимальной». Получаемая здесь теория
множеств ZO лежит между теориями Цермело — Тиле и Церме-
ло — Френкеля (ZF), см. Осиус [2].
7.2. Теорема. Дан нетривиальный элементарный топос <S,
в котором 1 — образующая. Тогда можно построить модель тео-
рии множеств ZO.
Прежде чем привести (набросок) доказательства, мы моти-
вируем его и приведем относящееся к делу определение. Глав-
ным является категорная характеризация транзитивных мно-
жеств. Если А т, то говорят, что А транзитивно, если а е
е Л =>а Л. Обозначив ограничение ^-отношения на А через
R и переинтерпретировав R как отображение г: A-+QA в &(т),
мы находим, что г фундировано (в смысле, объясненном в § 6)
и является мономорфизмом, так как е — фундированный экс-
тенсионал в теории множеств Цермело — Тиле.
Более того, мы даже можем получить обратное утверждение
(для ZF-модели пг).
7.3. Теорема (Мостовский; см. Осиус [2]). Для того
чтобы отношение г: A->Q4 на А^ё(т) было изоморфным
^-отношению на транзитивном множестве, необходимо и доста-
точно, чтобы г было фундированным (определение 6.5) и моно-
морфным как отображение.
1А. Теорема (Осиус [2]). Для того чтобы отображение
]: А[->А2 между двумя транзитивными множествами в m было
вложением А^^ А2, необходимо и достаточно, чтобы диаграмма
А1---->42
? (7Л>
-
была коммутативной, где г\ и г2 суть ^-отношения на А\ и А2.
316
ГЛ. 8. ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ
Так мы получили структурную характеризацию транзитив-
ных множеств и тех отображений между ними, которые являют-
ся вложениями.
7.5. Доказательство теоремы 7.2 (набросок). Мы
начинаем с принятия заключений теорем 7.3 и 7.4 в качестве оп-
ределений. Пусть & — нетривиальный элементарный топос, где
1 — образующая.
7.6. Определение. Объект с отношением г: А ->
Q4 называется объектом транзитивных множеств, если г мо-
номорфно и рекурсивно (определение 6.5). Отображение f: Ai ->
->А2 между двумя объектами транзитивных множеств (Аь и) и
(А2, г2) называется вложением, если (7.1) коммутативна.
Далее нужно доказать, что категория объектов транзитив-
ных множеств в с вложениями в качестве отображений экви-
валентна (как категория) решетке (за исключением того, что
максимальный элемент отсутствует).
Теперь модель т(<?Г) для ZO можно построить следующим
образом: элементы в т(<^) суть классы эквивалентности пар
((А, г), М), где (А, г) есть объект транзитивных множеств, а М:
A->Q — отображение (эвристически: это М является (ха-
рактеристическим отображением) подмножества М' транзитив-
ного множества А). Отношение эквивалентности задается с по-
мощью решеточной структуры.
Для описания отношения принадлежности используется се-
мейство отображений
{йл х А -+ Q | A е= |}(
заданное структурой топоса на (о.
Более подробное сравнение определенных (более сильных)
систем теории множеств и некоторых дальнейших усилений по-
нятия элементарного топоса приводятся в работах О сиу с а
[2], Коула [1] и Митчела [1].
§ 8. Другие области исследования в категорной логике
Мы не пытались быть исчерпывающими. Нам бы хотелось
включить также комментарий к темам:
8.1. Модельная полнота в терминах категорий пучков (Ма-
кинтайр [1]).
8.2. Логические методы, применяемые к категориЯхМ пучков
на топологических пространствах, и объекты вещественных чи-
сел в элементарных топосах (Малви [1], Скотт [1], Стаут,
Тьерне).
8.3. Теоретико-топосная интерпретация методов нестандарт-
ного анализа (Кок и Миккельсен [1], Рейес [1], Така-
хаси [1]).
ЛИТЕРАТУРА
317
8.4. Теоретико-топосные методы в доказательствах независи-
мости в теории множеств (Тьер не [1], Бунге [1]), хотя это
противоречит тенденции, разрешающей понятию «топоса» гла-
венствовать над понятием «модели теории множеств».
8.5. Элементарные топосы с объектом — натуральными чис-
лами, и как может быть образована внутренняя теория класси-
фицирующего топоса (Дьяконеску, Тьерне, Жуаяль, Джонстоун,
Лезафр, Декиндер, Рейт [2], где можно найти ссылки).
8.6. Комбинаторная логика и теория доказательств в форме
декартово замкнутых категорий (Ламбек, Сабо [1],
Скотт [2]).
ЛИТЕРАТУРА
А н т о н и у с (Antonins W.)
1. Theories coherents et pretopos: These. — Montreal: Universite de Mont-
real, 1975.
Барр (Barr M.)
1. Toposes without points. — J. Pure Appl. Algebra, 1974, 5, p. 265—280.
Бастиан и и Эресман (Bastiani A., Ehresmann С.)
1. Categories of sketched structures. — Cahiers Topologie Geom. Differeri-
tielle, 1972, 13, p. 105—214.
Б e н а б у (Benabou J.)
1. Categories et logiques faibles: Tagungsbericht. — Oberwolfach, 1973.
Б у а л о (Boileau A.)
1. Les multiples sprendeurs de forcing: These de Maitrise. — Montreal: Uni-
versite de Montreal, 1974.
2. Types versus topos. — Montreal: Universite de Montreal, 1975.
Бунге (Bunge M.)
1. Topos theory and Souslin’s hypothesis. — J. Pure Appl. Algebra, 1974,
4, p. 159—188.
Габриель и Уль мер (Gabriel Р., Ulmer F.)
1. Lokal Prasentierbare Kategorien. — Berlin: Springer, 1971.
Г p о т e н д и к и др. (Grothendieck A. et al., editors)
1. Theorie des Topos et Cohomologiei Etales des Schemas. — Tome 1.—
Berlin: Springer, 1963. Tome 2.— Berlin: Springer, 1972.
Демазюр и Габриель (Demazure M., Gabriel P.)
1. Groupes Algebriques, I. — Amsterdam: North-Holland, 1970.
Дион (Dionne J.)
i. Des theories elementaires aux categories conceptuelies, et Addendum:
These. — Montreal: Universite de Montreal, 1973.
Жуаяль (Joyal A.)
1. Polyadic spaces and elementary theories. — Notices Amer. Math. Soc.,
1971, 18, № 3, p. 967.
2. Les theoremes de Chevallev-Tarski et remarque sur 1’algebre construc-
tive.— Cahiers Topologie Geom. Differentielle, 1975, 16, p. 256—258.
К и н (Keane О.)
1. Abstract Horn theories. — In: Model Theory and Topoi/Ed. F. W. Law-
verc, C. Maurer and G. C. Wraith. — Berlin: Springer, 1975, p. 15—50.
Kok (Kock A.)
1. Linear algebra and projective geometry in the Zariski topos. — Aarhus
Preprint Series, 1974, № 4.
Кок и Миккельссн (Kock A., Mikkelsen C. J.)
1. Topos theoretic factorization of non-standard extensions. — In: Victoria
Symposium on Nonstandard Analysis 1972. Berlin: Springer, 1974,
p. 122—143.
318
ГЛ 8 ДОКТРИНЫ в категорной логике
Кок и Рейт (Kock A., Wraith G. С.)
1. Elementary Toposes. — Aaurhus Lectures Notes Series, 1971, № 30.
Koh (Cohn P. M.)
1.'Universal Algebra. — N. Y.; Harper & Row, 1965. [Русский перевод:
Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968.]
Кост (Coste М.)
1. Logique du 1ег ordre dans les topos elementaires.— Paris: Seminaire
Benabou, 1973.
2. Logique d’ordre superieur dans les topos elementaires. — Paris: Semi-
naire Benabou, 1974.
Коул (Cole J.)
1. Categories of sets and models of set theory. — In: Proceedings of the
Bertrand Russell Memorial Logic Conference. Uldum (Denmark), 1971.
Лазар (Lazard M.)
1. Lois de groupes et analyseurs. — Ann. Ecole Norm. Super., 1955, 72,
№ 3, p. 299—400.
Л о в e p (Lawvere F. V.)
1. Functorial semantics of algebraic theories. — Proc. Nat. Acad. Sci. USA,
1963, 50, p. 869—872.
2. An elementary theory of the category of sets. — Proc. Nat. Acad. Sci.
USA, 1964, 52, p. 329—334.
3. Algebraic theories, algebraic categories, and algebraic functors. — In: The
Theory of Models. Amsterdam: North-Holland, 1965.
4. Functorial semantics of elementary theories. — In: Logic Colloqium. Lei-
cester, 1965.
5. Adjointness in foundations. — Dialectica, 1969, 23, p. 281—296.
6. Equality in hyperdoctrines and comprehensive schema as an adjoint
functor. — Proc. Amer. Math. Soc., 1970, p. 1 —14.
7. Introduction. — In: Toposes, Algebraic Geometry and Logic (Halifax,
1971)/Ed. F. W. Lawver. Berlin- Springer, 1972.
8. Introduction to Part I. — In: Model Theory and Topoi/Ed. F. W. Law-
vere, C. Maurer and G. C. Wraith. Berlin: Springer 1975, p. 3—14.
9. Continuously variable sets; algebraic geometi у = geometric logic.—
In: Logic Colloquium’73/Ed. H. E. Rose and J. C. Shepherdson. Amster-
dam: North-Holland, 1975, p. 135—156.
Макинтайр (Macintyre A.)
1. Model completeness for sheaves of structures. — Fundam. math., 1973, 81,
p. 73—89.
Маккаи и Рейес (Makkai M., Reyes G. E.)
1. Model theoretic methods in the theory of topoi and related categories.—
Bull. Acad. Polon. Sci., 1976, 24, p. 379—392.
Маклейн (MacLane S.)
1. Sets, topoi and internal logic in categories. — In: Logic Colloqium’73/
Ed. H. E. Rose, J. C. Shepherdson. Amsterdam: North-Holland, 1975,
p. 119—134.
Малви (Mulvey C.)
1. Intuitionistic algebra and representations of rings. — Mem. Amer. Math.
Soc., 1974, 148, p. 3—57.
Миккельсен (Mikkelsen C. J.)
1. Lattice theoretic and logical aspects of elementary topoi: Thesis.—
Aarhus Various Publications Series, 1976, № 25.
Митчел (Mitchell W.)
1. Boolean topoi and the theory of sets. — J. Pure Appl. Algebra, 1972, 2,
p. 261—274.
О с и у c (Osius G.)
1. The internal and external aspect of logic and set theory in elementary
topoi. — Cahiers Topologie Geom. Differentielle, 1973, 14, p. 47—49.
ЛИТЕРАТУРА
319
2. Categorical set theory: A characterization of the category of sets. —
J. Pure Appl. Algebra, 1974, 4, p. 79—119.
3. Logical and set theoretical tools in elementary topoi. — In: Model Theory
and Topoi/Ed. F. W. Lawvere, C. Maurer and G. C. Wraith. Berlin:
Springer, 1975. p. 297—346.
4. A note on Kripke-Joyal semantics for the internal language of topoi.—
In: Model Theory and Topoi/Ed. F. W. Lawvere, C. Maurer and
G. C. Wraith. Berlin: Springer, 1975, p. 349—354.
Рейес (Reyes G.)
1. From sheaves to logic. — In: M. A. A. Studies in Mathematics, v. 9/
Ed. A. Daigneault. N. Y.: Math. Assoc. Amer., 1974, p. 143—204.
Рейт (Wraith G. C.)
1. Algebraic Theories. — Aarhus Lecture Notes Series, 1969, № 22.
2. Lectures on elementary topoi. — In: Model Theory and Topoi/
Ed. F. W. Lawvere, C. Maurer and G. C. Wraith. Berlin: Springer, 1975,
p. 51—86.
Робинсон (Robinson A.)
1. Infinite forcing in model theory. — In: Proceedings of the 2nd Scandina-
vian Logic Symposium,-Ed. J. E. Fenstad. Amsterdam: North-Holland,
1971, p. 317—340.
Робитай-Жигер (Robitaille-Giguere M.)
1. Modeles d’une categorie logique dans le topos de prefaisceaux et d’en-
sembles de Heyting: These. — Montreal: Universite de Montreal, 1975.
Сабо (Szabo M. E.)
1. Algebra of Proofs. — Amsterdam: North-Holland, 1977.
Скотт (Scott D.)
1. Extending the topological interpretation to intuitionistic analysis. — In:
Logic and Foundations of Mathematics. Groningen: Wolters-Noordhoff,
1968.
2. Continuous lattices. — In: Toposes, Algebraic Geometry and Logic (Hali-
fax, 1971)/Ed F. W. Lawvere. Berlin: Springer, 1972, p. 97—136.
Такахаси (Takahashi S.)
1. Geometric Diophantienne. — Montreal: Presses de 1’Universite de Mont-
real, 1975.
T ь e p н e (Tierney M.)
1. Sheaf theory and the continuum hypothesis. — In: Toposes, Algebraic
Geometry and Logic (Halifax, 1971)/Ed. F. W. Lawvere. Berlin: Springer,
1972.
Улле (Oullet R.)
1. Axiomatisation de la logique interne du premier ordre des topos, version
inclusive et multisorte: These. — Montreal: Universite de Montreal, 1974.
Ф ольге p (Volger H.)
1. Completeness theorem for logical categories. — In: Model Theory and To-
poi/Ed. F. W. Lawvere, C. Maurer and G. C. Wraith. Berlin: Springer,
1975.
Фрейд (Freud P.)
1. Algebra-valued functors in general and tensor products in particular —
Colloq. Math., 1966, 14, p. 89—106.
2. Aspects of topoi. — Bull. Austral. Math. Soc., 1972, 7, p. I—76
3. Allegories. — Montreal: Universite de Montreal, 1973, preprint.
Хаким (Hakim M.)
1. Topos Anneles and Schemas Relatifs. — Berlin- Springer, 1972.
Хиггс (Higgs D.)
1. A category approach to boolean valued set theory. — 1976.
Шуберт (Schubert H.)
1. Kategorien II. — Berlin. Springer, 1970.
Дополнение
СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ ПОЛНЫХ ТЕОРИЙ
Е. А. Палютин
СОДЕРЖАНИЕ
Введение............................................................320
§ 1. Общие понятия и результаты.....................................322
§ 2. Несчетная категоричность.......................................329
§ 3. Тотально трансцендентные теории................................335
§ 4. Стабильные и суперстабильные теории............................341
§ 5. Категоричные универсалы и хорновы классы.......................350
§ 6. Полные хорновы классы . . .....................................361
§ 7. Конечная аксиоматизируемость категоричных теорий...............367
§ 8. Спектр специальных моделей.....................................369
§ 9. Неэлементарные языки...........................................376
Литература......................................................382
Введение
Одним из основных понятий теории моделей является поня-
тие алгебраической системы. Примерами алгебраических систем
(т. е. множеств вместе с определенными на них операциями и
отношениями) могут служить группы, кольца, упорядоченные
поля и многие другие объекты, встречающиеся почти во всех
разделах математики.
Одной из главных задач каждого раздела математики, зани-
мающегося тем или иным классом алгебраических систем, яв-
ляется задача классификации этих систем. Идеальное решение
такой задачи — это получение классификации с помощью про-
стых параметров (например, последовательностей ординалов),
которая выделяла бы каждую алгебраическую систему задан-
ного класса с точностью до изоморфизма. Лишь для немногих
классов алгебраических систем можно сказать, что классифика-
ция доведена до конца: конечные поля, конечно порожденные
абелевы группы, счетные абелевы р-группы, счетные суператом-
ные булевы алгебры; есть надежда получить исчерпывающую
классификацию для конечных простых групп. Однако почти все-
гда идеальная цель получения полной классификации недости-
жима в принципе. Одним из методологических аспектов теории
моделей является получение классификации алгебраических си-
введение
321
стем 91 с точностью до элементарной эквивалентности (т. е. клас-
сификации теорий Th(91)). Как показали Фрессе [1], Тай-
манов [1], [2] иЭренфойхт [1], элементарная эквивалент-
ность является естественным обобщением понятия изоморфизма.
Преимуществом при поиске классификации полных теорий яв-
ляется наличие мощного метода: локальной теоремы А. И. Маль-
цева. Классификации полных теорий абелевых групп (III м е -
лева [1]), булевых алгебр (Тарский [1]), дистрибутивных
решеток с относительными дополнениями (Ершов [1]), гензе-
левых полей (Акс и Кочен [1] — [3], Ершов [2], [4], [5])
и регулярно замкнутых полей (Ершов [6]) получили призна-
ние среди широкого круга математиков.
Изучение элементарных теорий классических алгебраических
систем (таких, как группы, поля, кольца, решетки и др.) обра-
зуют важный раздел теории моделей — теоретико-модельную ал-
гебру. Классификация полных теорий является одной из основ-
ных проблем также и в общей теории моделей. Одной из есте-
ственных характеристик теории Г, по которой можно проводить
классификацию, является структурная сложность моделей Т.
У нас имеется некоторое интуитивное представление о сложно-
сти алгебраической системы 91. Однако попытки найти адекват-
ные этому представлению характеристики сталкиваются с боль-
шими трудностями. Одной из естественных характеристик слож-
ности системы 91 является понятие алгоритмической сложности
задания 91. На этом пути развилась теория разрешимости и тео-
рия конструктивных моделей (см. Ершов [7]). Несмотря на
важность и полезность такой характеристики сложности, она не-
сколько «расходится» с интуитивным представлением сложно-
сти. Отметим два в некотором смысле типичных таких «расхо-
ждения».
1) Конечные системы являются очень простыми по алгорит-
мической сложности, что, конечно, не так с интуитивной точки
зрения.
2) Алгебраическая система 91, состоящая из единственной
эквивалентности на множестве А, интуитивно довольно проста,
однако алгоритмическая сложность такой системы 91 может быть
как угодно большой.
Другой подход к характеристике сложности состоит в сле-
дующем. Алгебраической системе 91 сопоставляется булева ал-
гебра F(9l) ее формульных подмножеств и в качестве меры
сложности 91 берется ранг а стоуновского пространства S(F(9l))
(т. е. длина ряда производных этого пространства). При этом,
если пространство S(/7(9l)) имеет совершенное ядро, то счи-
тается, что 91 очень сложна. На этой идее основано важное на-
правление теории моделей — теория стабильности. Этой теории
будут посвящены §§ 3 и 4. Здесь имеется безусловный прогресс,
1/2Ц Справочная книга, ч. I
322
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
получены весьма интересные результаты, касающиеся струк-
туры моделей стабильных теорий. Что касается «расхождений»
с интуицией, то «расхождение» 2) не имеет места, но «расхожде-
ние» 1) остается.
Изложим еще один подход к мере сложности алгебраической
системы Я. Пусть Р — некоторое свойство замкнутости классов
алгебраических систем (например, комбинации свойств замкну-
тости относительно фильтрованных произведений, элементарных
подсистем, гомоморфных образов и др.). Если К — класс ал-
гебраических систем, то через Р(К) обозначим наименьший
класс, содержащий К и удовлетворяющий условию замкнутости
Р. Пусть т] — некоторое отношение «близости» между алгебраи-
ческими системами (например, отношение изоморфизма или эк-
вивалентности в некотором языке L). Мерой сложности алгеб-
раических систем класса К может служить <т], Р>-спектр п,р,
который является функцией, сопоставляющей каждому карди-
налу ц мощность Stc, л,р(|ы) множества классов ^-эквивалентно-
сти, содержащих Р (К) -системы мощности ц. В случае, когда
q — отношение изоморфизма, <т], Р>-спектр называется <Р>-
спектром, а когда Р — пустое условие, <Р>-спектр называется
просто спектром или мощностным спектром класса К и обозна-
чается через Sj(. Многочисленные структурные теоремы, приве-
денные в данном обзоре и полученные для аксиоматизируемых
классов с «малым» спектром, служат доказательством полезно-
сти этого подхода. Однако еще больше теорем этого направле-
ния ждут своих открывателей. В этом обзоре мы будем касаться
в основном спектров и <Р>-спектров для условий Р, являющихся
комбинациями свойств замкнутости относительно подсистем,
фильтрованных произведений и гомоморфизмов.
Подавляющее большинство результатов, приведенных в об-
зоре, ранее опубликовано и снабжено ссылками. Результат не
снабжается ссылкой в трех случаях: 1) когда он широко изве-
стен 0 ему трудно приписать авторство, 2) когда он является
ррост^м следствием других теорем обзора, 3) когда он является
неопубликованным ранее результатом автора. Не исключены, ко-
нечно, неумышленные библиографические неточности.
§ 1. Общие понятия и результаты
Понятия и обозначения, которыми мы будем пользоваться
без определения, можно найти в главах 1—4 данной книги или
В книгах: Ершов и Палютин [1] и Кейслер и Чэн [1].
Вместо термина «язык» будет использоваться термин «сигна-
тура». Логику первого порядка часто будем называть элемен-
тарной логикой.
§ Т. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ
823
Мощность множества X обозначаем через |Х|. Символов
и) обозначается множество натуральных чисел и счетная мощ-
ность. Буквами х и X будут обозначаться бесконечные карди-
налы, а буквами р и v — произвольные кардиналы. Через х+
обозначается первый кардинал >х. Алгебраические системы бу-
дут обозначаться готическими буквами 01 и 8, а их носители —
соответствующими латинскими — А и В. Если S — некоторая
сигнатура, то через ||S|| будет обозначаться мощность множе-
ства символов S, если S бесконечна, и счетная мощность со, если
S конечна.
Под классом К алгебраических систем понимается всегда
класс систем одной сигнатуры. Под теорией Т, если не огово-
рено противное, понимается элементарная теория, имеющая бес-
конечные модели. Если К— класс алгебраических систем, то че-
рез Д+ и Коо будем обозначать соответственно класс неодноэле-
ментных и класс бесконечных Д-систем. Если Т — некоторая
теория, то через Too будет обозначаться теория с множеством
аксиом Т U {Зх0 ... хп Д =/= х, \п е со}. Если К— класс ал-
гебраических систем, a Q — некоторое множество предложений
сигнатуры S, то через Th (Д’) и Mods(Q) обозначаются соответ-
ственно элементарная теория класса К и класс систем сигна-
туры S, являющихся моделями множества Q. Если К — {Я}, то
вместо ТЬ(Д) пишем Th(Ql). Класс К алгебраических систем
называется аксиоматизируемым, если К = Mod2 (Q) для некото-
рого множества Q предложений сигнатуры S. Если К и И —
класс систем и система, то через 2(Д) и S(Ql) обозначаем сиг-
натуру класса К и системы §1 соответственно.
1.1. Определение. Класс К алгебраических систем на-
зывается категоричным в мощности р (^категоричным), если
все Д-системы мощности р изоморфны между собой. Теория Т
сигнатуры S называется категоричной в мощности р, если класс
Mods(T) является р-категоричным. Класс К алгебраических си-
стем сигнатуры S и теория Т называются категоричными, если
они категоричны в некоторой мощности X ||S|| и мощности
|Т| соответственно.
Согласно данному выше определению р-категоричный класс
К может не иметь систем мощности р. Если класс Д категори-
чен ври имеет системы мощности р, то иногда будем говорить,
что Д существенно категоричен в р.
Аксиоматизируемый класс Д алгебраических систем назы-
вается полным (модельно полным), если полной (модельно пол-
ной) является теория ТЬ(Доо). Из теоремы Лёвенгейма — Ску-
лема (4.1 главы 2) следует, что категоричный класс К является
полным.
324
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
Набор (кортеж) {щ, , ип) обозначаем через и, а его длину
п через I (и). Вместо и е Хп пишем и^Х. Если а1 = {а\, ... ,
i^I, то через U {а1 1} обозначается множество U {{^ь • ••
..., апJ |i е /}. Буквами а, р, у, б обозначаются ординалы. Через
<аХ и аХ обозначаются последовательности элементов X длины
< а и а соответственно. Если т] е аХ, Р < а, / е X, то Л Г Р
означает ограничениец на р, а — последовательность из
+1Х, для которой (t]Az) f а = ц и т] (а) = i. Через р<х обозна-
чается кардинал У, рЛ Кардинал р(%, а) определяется индук-
v<z
цией по а: Р(%, 0) — х; если б — предельный ординал, то р(%, б) =
= У Р(%, у); р(%, а + 1) = 23(х’ а). Если f—отображение, то че-
рез f f Л, dom/ и rang/ обозначаются ограничение f на Л,
области определения и значений f соответственно. Функции и
отображения в дальнейшем не обязательно будут множествами,
они могут быть собственными классами. В частности, мы будем
рассматривать функции, определенные на всех кардиналах.
Под формулой в дальнейшем, если не оговорено противное,
понимается формула логики первого порядка. Если Т — полная
теория сигнатуры 2, то кортежем а элементов в теории Т будем
называть набор элементов некоторой Т-модели 91 вместе с мно-
жеством
tp(a, 91) = {ф(а)|91|=ф(а), ф(х) — формула сигнатуры 2}.
При этом, если ф(а)«=1р(а, 91), то пишем Т |= ф (а) и гово-
рим, что ф(а) истинно в Т. Если а и & —два кортежа в Т оди-
наковой длины, то пишем а = Ь, если для любой формулы ф(х)
сигнатуры Т, I (х) = I (а), имеет место
Г|=ф(а)Ф^7,|=ф(&).
Множеством X в полной теории Т сигнатуры 2 называется под-
множество Хе А носителя некоторой Г-модели 91 вместе с
tp(X, 91) = {ф(&)|91[=ф(&), Ь^х, ф(х) —формула сигнатуры 2}.
Если ф(х, у) — формула сигнатуры 2, Т — полная теория сиг-
натуры 2 и а—кортеж элементов в Т длины Z(y), то ф(х, а)
будем называть формулой в теории Т.
Если 91 — алгебраическая система, 0(х, #) —формула или
терм сигнатуры 2(91) и а^А, то через 0(91, а) обозначаем соот-
ветственно множество {& 191 (= 0 (&, а)} или {с 1910 (Ъ, а) = с
для некоторого b е Л}. Множество X А называется относи-
тельно формульным в 91, если X — ф (91, а) для некоторой фор-
§ 1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ
325
мулы, ср и а^А. Через F (91) обозначается булева алгебра от-
носительно формульных множеств в 91. Если X — некоторое
множество в полной теории Т сигнатуры 2, то через F(T, X)
обозначается булева алгебра классов эквивалентности формул
ф(х, а) в Т, где а е X.
Если ф(х, у) — некоторая формула, то через 3^пхф будем
обозначать формулу
3xt ... хп( Д <р(хь у) Д A
\i = l /
Через 3е “хф и 3“ nxq> будем обозначать соответственно фор-
мулы ~]3>/г+1хф и 3>/гХф А 3<лХф. Множество формул
{3>пх<р\п е ®}
будет обозначаться через 3>ихф. Если х — (х0, хп) и у =
= {уа, .... уп), то через х = у обозначаем формулу А х1 = Уь
i^n
Формула ф(х, а) в полной теории Т называется конечной, если
для некоторого new имеет место Г^3^пхф(х, а), в против-
ном случае ф(х, а) называется бесконечной. Если U — конечное
множество формул, то через Д(7 обозначается конъюнкция эле-
ментов U. Если ф — некоторая формула и 0 - некоторое усло-
вие, ТО Ф°=~]ф, ф1==ф и
ife_(ф, если 0 выполнено,
в противном случае.
Пусть ?(— некоторая система сигнатуры 2 и X е А. Обозна-
чим через 2х сигнатуру, полученную из 2 добавлением новых
констант са, а е X, а через — обогащение 91 до сигнатуры 2х,
в котором значения са равны а, а X. Через (31) обозна-
чается ТИ(9(д). Если аеЛ, а = <ль ал>, то через tp (а, X,
91) обозначается множество
{ф (ч, ..., хп) |31х |= ф (аь ..., ап), ф—формула сигнатуры 2Л}.
Через 91 [X] обозначается подсистема 93 91, порожденная в 91
множеством X. Система 91 называется ^-свободной для некото-
рого класса К систем сигнатуры 2, если существует такое У А,
что 91 = 91 [У] и У A-свободно в 91, т. е. любое отображение У
в А-систему 93 продолжается до гомоморфизма 91 [У] в 93.
Пусть Г —полная теория сигнатуры 2 и X—некоторое мно-
жество в Т. Множество формул U называется множеством фор-
мул в Т над X, если каждая формула из U имеет вид ф(х, а),
где а^Х. Конечное множество {ф1 (х, а1), ..., ф„(х, ап)} фор-
мул в Т над X называется совместным в Т, если Т |= Эх Д ф;
(х, а1). Бесконечное множество {фДх, формул в Т над
П Справочная книга, ч. 1
326
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
X называется совместным в Г, если любое конечное подмно-
жество этого множества совместно в Т. Любое множество
{ф/(х, а£)|/е/} в Т над X называется х-типом над X.
Множество совместных в Т х-типов над X обозначается через
~Sx(X). Множество максимальных совместных в Т (полных)
х-типов над X обозначается через Sx(X). Если р — некоторый
х-тип над X в Г и ф(х, у) —некоторая формула, то через р f <р
обозначается множество
{<₽(*. а)|ф(*, а)ер}.
Через sS*(X) и S’(X) обозначаются множества {р [“ ф|ре
е sSjr(X)} и {р t ф | р <=Зд.(Х)} и называются соответственно мно-
жествами (ср, х)-типов и полных (ф, х)-типов. Если р — некоторый
х-тип над X в Т и Z^X, то через р f Z обозначается множество
{ф(х, a)|a^Z, ф(х, а)ер), которое является х-типом над Z
в Т. Если х = (х1, хп), тох-типы будут называться «-типа-
ми. Множества совместных и полных «-типов в Т над X обоз-
начаются через sSn(X) и Sn(X) соответственно. Если «= 1, то
индекс « в этих обозначениях не пишется. Множество U $п(0)
1<П < ©
называется конечной диаграммой теории Т и обозначается че-
рез D(T).
Полный х-тип р в Т над X называется главным, если суще-
ствует такая формула ф(х, а)ер, что для любой формулы
ф (х, 6) е р имеет место Т |= Vx (ф (х, а) -> ф (х, &)).
Расширение I\ s Т полной теории Т называется несущест-
венным, если сигнатура теории Т\ содержит, кроме символов
сигнатуры теории Т, лишь символы констант. Полное несущест-
венное расширение Т\ теории Т называется главным, если для
любого кортежа с новых констант теории Т\ полный х-тип
{ф (х) | Т\ |= ф (с), ф (х) — формула сигнатуры S)
является главным.
Пусть Т — полная теория сигнатуры S, X — множество в Т,
2(— некоторая Т-модель, Х^А и Т\=<р(а) <=> 21|=ф(а) для всех
а е X и формул ф(х) сигнатуры S. Система 31 называется про-
стой Т-моделью над X, если любое элементарное вложение (т. е.
сохраняющее истинность формул) X в Г-модель 8 продолжается
до элёментарного вложения 21 в 8. Система 21 называется мини-
мальной над X, если не существует собственной элементарной
подсистемы 8 < 21, содержащей множество X. Система 21 назы-
вается атомной Т-моделью над X, если любой полный х-тип над
X, который реализуется в 21, является главным. Если X = 0, то
в предыдущих определениях X опускается.
§ I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ
327
Пусть Т — полная теория сигнатуры 2, XIJ У—множество в Т
и А — некоторое множество формул сигнатуры 2. Множество X
называется Х-не различимым в Т над Y, если для любой фор-
мулы <p(xi, хп, у)еА, любого кортежа de У, 1(d) — 1(у),
любых попарно различных он, ..., ап е X и попарно различных
Ь\, ..., Ьп е X мы имеем
Т |= <р (аь .... ап, d)^T Н= <р (6Ь .... bn, d).
Если X = {ар 10 < а), то последовательность <ар)р<а называ-
ется А-меразличимой последовательностью в Т над У, если для
любой формулы ф(хь .... хп, у) <= А, любого кортежа d е Y,
1(d) — I (у), и любых а, < ... < а„ < а, 0, < ... < 0„ < а мы
имеем
Т’И=ф(аа1, ..., аап, </)^>7’|=ф(аР1.а$п, d).
Множество X называется алгебраически независимым в Т над
У, если для любых йеХ, & е Уи любой конечной в Т формулы
<р(х, а, 6) мы имеем Г|= “1 cp(d, а, Ь) для всех d e X, отличных
от элементов кортежа а. Если У = 0 или А есть множество всех
формул сигнатуры 2, то в предыдущих определениях У или со-
ответственно А опускаются.
Если 21— некоторая алгебраическая система сигнатуры 2 и
Х^Д, то через С19((Х) обозначаем множество
U {<р (21, а) | а е X, | ф (21, а) | < (о, qp (х, у) — формула сигнатуры 2}.
Полная теория Т сигнатуры 2 называется недвукардиналь-
ной, если для любой Т-модели 21, формулы ф(х, у) сигнатуры 2,
йеЛ, /(а)=/(у), множество ф (St, и) либо конечно, либо его
мощность совпадает с | А |. Теория Т называется двукардиналь-
ной, если она не является недвукардинальной.
1.2. Определение. Пусть Р — некоторое свойство (класс)
формул. Отображение 6 множества символов сигнатуры 2 в мно-
жество формул сигнатуры 21 называется Р-интерпретацией 2 в
21, если выполняются следующие условия:
(1) 6(0) является P-формулой для любого символа 0 сиг-
натуры 2;
(2) если г — n-местный предикатный символ сигнатуры 2,
то свободные переменные формулы 6 (г) содержатся среди
vi, ..., vn;
(3) если f — n-местный функциональный символ сигнатуры
2, то свободные переменные формулы 6(f) содержатся среди
V\, . . . , Vn, Vn+Ъ
1.3. Определение. Если 6 — P-интерпретация сигнатуры
2 в 21, то через 6* будем обозначать отображение некоторого
11*
328
ДОПОЛНЕНИЕ СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
класса систем сигнатуры Si в класс систем сигнатуры S, опре-
деленное следующим образом:
(1) 5lc=domd* тогда и только тогда, когда для любого
n-местного функционального символа f сигнатуры S имеет место
Vv3!t»„+16 (7) (v, v„+I), v = {vi, .... vn), где формула
3!хф(х, у) является сокращенной записью формулы
3 Хф (х, у) A V xj V х2 ((ф (хь у) А ф (х2, у)) -> = х2);
(2) если 9Iedomd*, то носитель 6* (51) есть Д;
(3) если 5ledom6* и 0 —символ сигнатуры S, то значе-
нием 0 в 91 будет {а| 91 6 (0) (а)}.
1.4. Определение. Классы К и К\ алгебраических систем
сигнатур 2 и Xi называются Р-эквивалентными, где Р — некото-
рый класс (свойство) формул, если существуют Р-интерпрета-
ции б и 61 соответственно сигнатуры 2 в 2j и сигнатуры 2] в 2
со следующими свойствами:
(1) если 51еК1ИЗЗеК, то ?le=domd*, 53e=domd;,
6*(«)еК и 6|(23)сеК .
(2) 6J6*(91) = 21 и б*б;(33) = 23 для всех и 8е=Л\
Теории Т и Тх сигнатур 2 и 21 называются Р-эквивалент-
ными, если P-эквивалентны классы Mod2(T) и Mod2 (Г,). Если
Р — класс атомарных формул, то P-эквивалентные классы си-
стем (теории) называются рационально эквивалентными.
1.5. Определение. Если К — класс алгебраических си-
стем и р — кардинал, то через Sx(p) обозначается число типов
изоморфизма Х-систем мощности ц. Кардинал Sx(p) называет-
ся ^-спектром класса К, а функция Sk называется мощностным
спектром или просто спектром класса К. Спектром St полной
теории Т сигнатуры S будет называться спектр $моа2(Г) класса
Mod2(T). Если R — класс систем или теория, то грубым
спектром M(R) класса или теории R называется класс карди-
налов {v | Sp(v) =/= 0}.
В дальнейшем нас будет интересовать в основном спектр
полных теорий. О спектрах произвольных полных теорий имеет-
ся немного утверждений. Следствием теоремы компактности
Мальцева и теоремы Лёвенгейма — Скулема является
1.6. Предложение. Если Т—теория, имеющая беско-
нечные модели, то St (к) =/= 0 для любого бесконечного X
\т\.
1.7. Предложение (Boot [1]). Если Т — полная теория,
то ST(a) ¥= 2.
1.8. Теорема (Морли [1], [3], Болдуин и Лахлан
[1]). Если Т — счетная полная теория и St (fa) — 1 для неко-
торого Хо то St('E) = 1 для всех X coi н Sr(co)e {1, со}<
§ 2 НЕСЧЕТНАЯ КАТЕГОРИЧНОСТЬ
329
1.9. Теорема (Л а х л а н [6]). Если Т — счетная полная
теория и St(^o) w— {1} для некоторого Хз он, то St{&) =
= 1.
1.10. Теорема (Морли [4]). Если Т — счетная полная
теория, то е со U {cd, (щ, 2ю}.
Отметим, что имеются примеры счетных полных теорий с лю-
бым конечным числом п ф {0, 2} счетных моделей (см. Boot
[1]). Что же касается бесконечных Sr (со), то здесь имеется из-
вестная гипотеза.
1.11. Гипотеза (Р. Boot). Если Т — счетная полная тео-
рия, то е со U {«, 2ю}.
Еще более интригующей является гипотеза о неубывании
функции спектра.
1.12. Гипотеза (анонимная). Если Т—полная теория и
то Sr(X)^Sr(X1).
Существует даже более сильная гипотеза Шелаха, которая
утверждает, что все функции спектра полных теорий принадле-
жат некоторому сравнительно небольшому известному множе-
ству. Для простоты мы сформулируем ее для кардиналов X
9<0
<оа, а 2~ , и счетной сигнатуры.
1.13. Гипотеза (С. Шелах). Если Т — полная теория, то
функция для всех а^22ю является одной из следующих'.
1) 5г(соа) = 1;
2) Sr(®a) = 22a;
3) Sj- (®а) = | ct |;
4) 5г(О = |«Г;
5) (®a) = | a |2<#;
6) ST (®a) = 21
7)? Sr (®a) — min{2<B“, 0(| a |ft, i + !)}, i < ®b k e {0, 1, co, 2“};
8) Sr(®a) = 2“a.
§ 2. Несчетная категоричность
В работе Лося [1] высказана гипотеза: «если теория Т ка-
тегорична в некоторой мощности |Г|, то Т категорична во
всех мощностях >|Г|». Эта гипотеза для счетных теорий была
подтверждена Морли [1], а для несчетных — Шелахом
[7]. Работа Морли [1] фактически основала целое направле-
ние в теории моделей, которое сейчас можно назвать «теорией
стабильности». Однако методы М. Морли являются слишком об-
330
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
щими, чтобы получить достаточно тонкие результаты о струк-
туре моделей несчетно категоричных теорий. Основные струк-
турные результаты здесь получены методом минимальных мно-
жеств, впервые примененным в данной ситуации У. Маршем.
Определим теории, модели которых могут играть роль ато-
мов в структуре произвольной алгебраической системы.
2.1. Определение (Болдуин и Лахлан [1]). Пол-
ная теория Т называется сильно минимальной, если для любой
формулы ср(х, а) либо она сама, либо ее отрицание являются ко-
нечными в Т.
Из этого определения и определения алгебраической незави-
симости (§ 1) сразу вытекает
2.2. Предложение. Если Т—сильно минимальная теория
и X — алгебраически независимое в Т множество, то X является
неразличимым в Т множеством.
2.3. Теорема (Марш [1]). Если Т—сильно минимальная
теория, то для свойства алгебраической независимости справед-
лива лемма о замене. В частности, любая Т-модель имеет од~
позначно определенную размерность dim Я.
2.4. Следствие. Любая сильно минимальная теория Т ка-
тегорична в мощностях > | Т\.
Как будет показано в дальнейшем, класс сильно минималь-
ных теорий, несмотря на кажущуюся узость. понятия, играет
фундаментальную роль в изучении структуры моделей несчетно
категоричных теорий. Что касается классификации самих силь-
но минимальных теорий, то здесь имеется пока мало результа-
тов. Отметим, что достаточно полно описаны хорновы сильно
минимальные теории (см. § 5). Имеется прогресс в изучении
сильно минимальных счетно категоричных теорий (Зиль-
бер^]).
2.5. Определение (Марш [1]). Если Т—полная тео-
рия, то формула <р(х, а) называется сильно минимальной в Г,
если она бесконечна, но для любой формулы ф(л, Ь) одна из
формул ср(х, а) Аф(х, 6), <р(х, а) А "1 ф(х, &) конечна в Т.
Основополагающую роль в изучении несчетно категоричных
теорий счетной сигнатуры играют следующие две теоремы.
2.6. Теорема (Болдуин и Лахлан [1]). Если Т —
счетная (^-категоричная полная теория, то существует сильно
минимальная формула <р(х, а), причем кортеж элементов а реа-
лизует главный в Т тип над пустым множеством.
Из теорем компактности, Лёвенгейма — Скулема и теоремы
Воота о двух кардиналах вытекает
2.7. Предложение. Если Т — счетная а)\-категоричная
теория, то Т недвукардинальна.
Свойства, сформулированные в предыдущих утверждениях^
оказались достаточными для соркатегоричности счетнУх теорий*
§ 2. НЕСЧЕТНАЯ КАТЕГОРИЧНОСТЬ
331
2.8. Теорема (Еримбетов [1], Лахлан [6]). Если
счетная теория Т имеет недвукардинальную сильно минималь-
ную формулу ср(х, а), то Т является ^-категоричной.
Таким образом, мы имеем следующую характеризацию сорка-
тегоричных теорий: для того чтобы счетная полная теория Т
была соркатегоричной, необходимо и достаточно, чтобы Т имела
недвукардинальную сильно минимальную формулу ср(х, а).
Обратимся теперь к свойствам моделей соркатегоричных
теорий.
2.9. Теорема (Морли [1]). Все несчетные модели ^-ка-
тегоричной счетной теории Т являются насыщенными, следова-
тельно, Т категорична во всех несчетных мощностях.
2.10. Теорема (Болдуин и Лахлан [1]). Пусть Т —
(^-категоричная полная счетная теория. Тогда:
а) все Т-модели однородны',
б) Sr(co) е {1, со}.
Отметим, что утверждение Sr (со) со было доказано Мор-
ли [3].
2.11. Определение. Если формула ср (х, а) является сильно
минимальной в теории Т, 21—модель Т, а<=А, то мощность мак-
симального алгебраически независимого подмножества ср (21, а)
будем называть ср(х, а)-размерностью 21 и обозначать ср(х,а)-
dim2l.
В следующей теореме содержатся основные структурные
свойства моделей полных согкатегоричных счетных теорий.
2.12. Теорема (У. Марш, Дж. Болдуин, А. Лахлан). Пусть
Т — полная со ^-категоричная счетная теория, 210 — минимальная про-
стая модель Т. Пусть Т' = 7’ U £>* (210) и ср (х) — сильно минималь-
Н1я формула в Т'. Если 21 — Т'-модель, то q(x)-раз мерность
<p(x)-dim2l системы 21 будем обозначать dim 21.
а) Для любого кардинала к существует Т'-модель 21, для кото-
рой dim 21 =н.
б) Если 21 — Т'-модель, dim 21 = и и то существует эле-
ментарное расширение 23)>21, для которого dim93 = X.
в) Для любой Т'-модели 21 существует минимальное эле-
ментарное расширение 21, т. е. такое элементарное расширение
23>*21, что В=/=А и для любого 231 21, 23j < 23 мы имеем либо
23j = 2I, либо 23! = 23.
г) Если 21, 23 — Т-модели, 21 <(23, dim 21 = и, dim 8 = К и
то существует 23 !<( 23, 21 231 и dimSi = p.
д) Если 21 <( 23, то dim 21^ dim 23, и если dim2l = neco,
Л =/= В, то dim 23 строго больше п. В частности, если 21 23,
dim 21 = п е со и dim23 = n+l, то 23 — минимальное расшире-
ние 21.
е) Если 21, 23 — Т'-модели и dim 21 = dim 23, то 21 ~ 23.
332
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
Как показывает предыдущая теорема, тип изоморфизма мо-
дели coi-категоричной теории Т полностью определяется ф(х)-
размерностью для сильно минимальной формулы ф(х). Грубо
говоря, любое сильно минимальное формульное подмножество
X А Т-модели 21 «связывает» всю модель. Однако это «свя-
зывание» осуществляется не так просто. Наиболее просто это
происходит у следующего типа теорий.
2.13. Определение (Болдуин и Лахлан [1])- Пол-
ная теория Т называется почти сильно минимальной, если суще-
ствует несущественное расширение Т' Т и такая сильно мини-
мальная формула ф(х), что А = с1(ф(21)) для любой Т'-мо-
дели 21.
Из теоремы Еримбетова — Лахлана вытекает
2.14. Теор ем а. Любая почти сильно минимальная теория
Т категорична в мощностях > | Т|.
Следующий пример показывает, что класс почти сильно ми-
нимальных теорий не исчерпывает класса всех полных соркате-
горичных теорий. Впервые пример полной «ркатегоричной не
почти сильно минимальной теории построили Болдуин и
Лахлан [1]. Аналогичный пример с дополнительным свой-
ством (о-категоричности был построен Т а й ц л и н ы м [1].
2.15. Пример. Теория Г0, которая будет построена ниже,
категорична во всех мощностях, а полная теория не являет-
ся почти сильно минимальной. Сигнатура Т° состоит из символа
одноместной операции f, символа двуместной операции + и од-
ной константы 0. Аксиомами теории Т° являются следующие
предложения:
1) операция сложения + удовлетворяет аксиомам абелевых
групп с нулем 0;
2) Vx(x + x = 0);
3) \fx\fy(f(x + y) = f(x) + f(y)Y
4) Vx(f(f(x)) = 0);
5) VxBy(f(x) = 0^f(y) = x).
Категоричность T° во всех мощностях будет следовать из
того, что в любой Т° модели 21 мощность подгруппы f(2l) совпа-
дает с мощностью фактор-группы 2l/f(2l). Теория Т° является
хорновой, VB-аксиоматизируемой. Заметим, что из результатов
§ 5 следует, что нельзя построить универсальную соркатегорич-
ную хорнову теорию Т, для которой Too не являлась бы почти
сильно минимальной. Из результатов § 5 следует также, что
аналогичного примера нельзя найти среди позитивных хорновых
теорий. Теория То является модельно полной. Это выводим из
следующей теоремы.
§ 2 НЕСЧЕТНАЯ КАТЕГОРИЧНОСТЬ
333
2.16. Теорема (Линдстрем [1]). Если счетная теория
категорична в некоторой бесконечной мощности и \/Ч-аксиома-
тизируема, то теория Тж модельно полна.
Впервые полную coi-категоричную счетную теорию, не имею-
щую главных модельно полных расширений, построил Нурта-
зин [1 ].
Метод минимальных множеств может с успехом использо-
ваться не только для coi-категоричных, но и для более широкого
класса теорий.
2.17. Определение (Белеградек [2]). Полная теория
Т называется почти категоричной, если существует главное несу-
щественное расширение Т' теории Т и сильно минимальные в Т'
формулы ф1(х), фл(х), для которых формула (pi(x)V...
... V <рп(х) является недвукардинальной в Т.
В статье Белеградека [2] содержатся структурные ре-
зультаты о моделях почти категоричных теорий, обобщающие
соответствующие результаты для соркатегоричных теорий.
Гипотеза Лося для несчетных теорий была подтверждена
С. Шелахом. Он обобщил результат 2.9 на несчетную сигнатуру.
2.18. Теорема (Шел ах [7]). Если теория Т категорична
в некоторой мощности > | Т], то любая Т-модель мощности
> | Г | является насыщенной.
Что касается применения метода минимальных множеств
для теорий Т, категоричных в мощностях > | Т|, то по сравне-
нию со счетным случаем здесь ситуация гораздо сложней.
Как показывает следующая теорема, в отличие от счетной
сигнатуры, случай категоричности несчетной теории Т в мощно-
сти не является специфическим.
2.19. Теорема (Шел ах [12]). Если теория Т катего-
рична в мощности | Т\ > со, то она формульно эквивалентна тео-
рии Т', для которой |Г| < |Т|.
В заключение параграфа приведем описание теорий одной
одноместной функции, категоричных в несчетных мощностях.
Это описание получено Шишмаревым [1]. Пусть в даль-
нейшем So обозначает сигнатуру, состоящую из одного символа
f одноместной функции. Описание Шишмарева будет сформули-
ровано в двух теоремах.
Пусть f (х) = х, fn+l (х) = f (fn (х)), п е со. Теория Т сигнатуры
So называется ограниченной, если существует такое натуральное
число .V, что в Т истинна формула
Vxf V Г(х) = Г(х)1
Пусть ЭДнекоторая алгебраическая система сигнатуры Sq.
Через п* будет обозначаться мощность множества {&|ЭДр=
334
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
h=f(6)=a}. Через К (а, 21) обозначается ограничение 21 на
множество
{Ь | 21f1 (b) = а для некоторого i е со}.
Элементы а, b е А называются ^-связанными в X, если сущест-
вуют натуральные числа тип такие, что fm(a) =fn(b) и
/°(а), ..., Г(а), /°(6), ..., fn(b)t=X.
Множество X А называется ^-связанным, если любые два
элемента из X Я-связаны в X. Подсистема 8 21, носитель кото-
рой является 21-связанным подмножеством А, называется гра-
фиком в 21.
2.20. Теорема (Шишмарев [1]). Пусть Т — полная
ограниченная теория сигнатуры So. Теория Т тогда и только*
тогда категорична в несчетных мощностях, когда каждая модель
2( теории Т удовлетворяет следующим условиям'.
1) существует такое натуральное число N, что Па^П для
всех а^ А с конечным п*;
2) существует не более одного элемента а с бесконеч-
ным п*\
3) если в 21 нет элемента а с бесконечным п^, то все гр а-
фики в 21, за исключением конечного числа, изоморфны между'
собой',
4) если в 21 имеется элемент а с бесконечным п®, то в 21 су-
ществует лишь конечное число графиков и все системы вида
К (а, 21), за исключением конечного числа, изоморфны между со-
бой.
2.21. Определение. Если N е о, 21 — алгебраическая си-
стема сигнатуры So и X А, то множество
{а А | ЭЬ g= ХЭп < КЭт (а) = fm (&))}
называется N-окрестностью X в системе А. Если 8 — график в
системе 21 сигнатуры So, то множество
{а е В ] 211= fn (а) = а для некоторого n е
называется кольцом графика 8.
2.22. Теорема (Шишмарев [1]). Пусть Т — полная
теория сигнатуры So, не являющаяся ограниченной. Для катего-
ричности Т в несчетных мощностях необходимо и достаточно,
чтобы каждая несчетная Т-модель 21 удовлетворяла следующим
условиям'.
1) существует такое натуральное число N, что для
всех а^ А;
. § 3. ТОТАЛЬНО ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ТЕОРИИ
335
2) для каждого лею существует лишь конечное число гра-
фиков, кольца которых состоят из п элементов;
3) существуют конечное множество Хо Д, множество
У Л, натуральное число ш и множество {Ра | а <= У}, для ко-
торых выполняются условия’.
a) XoU U Ра = А, Х0П U Ра=0, РаПРь=0 для а Ф Ь;
a^Y a&Y
б) Ра {Ь е А | ?l [= f1 (b) = а для некоторого i пг};
в) для любых а, b (= У ограничения Я на Ра и Рь изоморф-
ны между собой, и этот изоморфизм продолжается до изомор-
физма 2пг-окрестностей Ра и Рь.
§ 3. Тотально трансцендентные теории
Как уже отмечалось, метод Морли [1], придуманный им
для изучения теорий, категоричных в несчетных мощностях, при-
меним и для более широкого класса теорий. К таким теориям
относятся, прежде всего, тотально трансцендентные теории.
3.1. Определение. Будем говорить, что полная теория Т
имеет свойство 2-дерева, если в Т существуют формулы
Фл(х, ал), т]е<0)2, для которых выполняются следующие ус-
ловия:
а) Т Н Вхфл (х, ал), т)е<(02;
б) Г|=Ух(<рпЛ/(х, апЛ/)->фп(х, aj), т)л^<и2;
в) Т |= 1 Зх (ф^Л5 (х, апЛо) Д фпЛ1 (х, апЛ1)).
3.2. Определение. Пусть Т — полная теория. Каждой
•совместной в Т формуле ф(х, а) сопоставим некоторый ординал
г(ф(х, а)) или символ оо так, что выполняются следующие ус-
ловия:
1) г (<р (х, а))>0;
2) если б — предельный ординал, то
г(ф(х, а)) б <=> (г (ф (х, а))>0 для всех 0 < б);
3) тогда и только тогда г (ф(х, а))^а+ 1, когда суще-
ствуют такие попарно несовместные формулы ф0 (*, 6°), • • •
(х, Ъп), ... что г (ф (х, а) Д фп (х, Ьп)) а для всех п <= со.
Если для ординала а выполняется г(ф(х, а))^а и не имеет
места г (ф (х, а)) а + 1, то пишем г(ф(х, а)) = а. Если для
любого ординала а выполняется г(ф(х, а))^а, то пишем
г(ф(х, а)) = оо. Ясно, что условия 1)—3) однозначно опреде-
ляют значение г(ф(х, а)).
336
ДОПОЛНЕНИЕ СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
3.3. Предложение. Пусть Т — полная теория, ф(х, а),
ф(х, а) — формулы в Т. Тогда
а) если Г(=Ух(ф(х, а)->ф(х, &)) то г(ф(х, а))^г(ф(х, &));
б) если а = с, то г (<р (х, а)) = г (ф (х, с));
в) (Лахлан [ 1 ]) если г (ср (х, а)) | Т |+, то г (ф (х, а)) = оо,
Одним из параметров теории Г, отражающих ее сложность,
может служить ординал аг, определенный ниже.
3.4. Определение. Если Т—полная теория, то через аг
обозначим такой минимальный ординал, что г(ф(х, а)) < ат
для всех формул ф(х, а) в Г со свойством ^(ф(х, а)) #= оо.
Из предложения 3.3 в) вытекает, что ат |Г] + для любой
полной теории Т. Для coj-категоричных теорий имеет место сле-
дующий результат.
3.5. Теорема (Болдуин [1]). Если Т — (^-категоричная
счетная теория, то ат < <о.
Ранжирование формул с помощью функции г является осно-
вой метода Морли, изложенного в работе Морли [1]. Главные
моменты этого метода будут изложены ниже.
3.6. Определение. Если р — некоторый тип в полной
теории Т, то определим г(р) как наименьший ординал в множе-
стве
{г (<р0 (х, а0) л ... А ф* (х, ak)) | k е ю, ф; (х, а1) <= р, I < 6}.
Значение г(&), где 0 — формула или тип, называется рангом
по Морли формулы или типа 0.
3.7. Теорема (Морли). Если Т — полная счетная теория^
то следующие условия эквивалентны'.
1) Т не имеет свойства 2-дерева',
2) г(х = х) =/= оо;
3) для любого множества А в Т булева алгебра F(T, А) су-
ператомна',
4) для любого не более чем счетного множества А в Т мощ-
ность множества 5(Л) не более чем счетна',
5) для любого множества А в Т мощность множества 5(Л)
не превосходит | А | -f- со.
3.8. Определение (Морли). Если счетная полная теория
Т удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, то она назы-
вается тотально трансцендентной.
Важной частью работы Морли [1] является
Теорема (Морли [1]). Любая счетная (di-категоричная
теория является тотально трансцендентной.
Из свойства 3) тотально трансцендентных теорий получаем
3.9. Следствие. Если Т—тотально трансцендентная тео-
рия и А — множество в Т, то существует простая над А Т-мо-
дель
$ 3 ТОТАЛЬНО ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ТЕОРИИ
337
Пользуясь свойством 5) тотально трансцендентной теории Т,
для любой регулярной мощности X со можно легко построить
насыщенную Т-модель мощности X. Немного посложней дока-
зывается этот факт для сингулярных мощностей.
3.10. Теорема (Шелах). Если Т — тотально трансцендент-
ная теория, то для любой мощности X о существует насыщен-
ная Т-модель мощности X.
Из свойства 5) теоремы 3.4 нетрудно вывести также следую-
щий результат, из которого, в частности, следует, что в тотально
трансцендентной теории нельзя интерпретировать теорию ли-
нейно упорядоченного множества.
3.11. Теорема (Морли [1]). Если Т — тотально транс-
цендентная теория и ],В < а) — бесконечная неразли чимая
в Т последовательность, то {а& |0 < а} — неразличимое в Т
множество.
Из определения ранга по Морли легко следует, что если
для формулы ф(х, а) имеет место г (<р (х, а)) = а=/= оо, то суще-
ствует такое число что если формулы ф0(*> ^°)» •••
..., t|?rt(x, Ьп) попарно несовместны, то для некоторого
либо ф(х, а) А фДх, Ь1) несовместна, либо г(ф(х, а) Д ф, (х, Ь1))
строго меньше а. Наименьшее такое число п называется сте-
пенью по Морли формулы ф (х, а) и обозначается через d (ф (х, а)).
Если p^~S(A), то степенью Морли d(p) типа р называется
степень d (фо А ... А ф*), где ф0, ..., ф* е р, г (ф0 Д ... Д ф*) =
= г(р) и б/(фоА .•• А Ф*) минимальна среди таких ф0, ...,фл.
Легко проверить, что если имеет место г(ф(х, а)) = 0, то
формула ф(х, а) конечна и число реализаций ф(х, а) в любой
Т-модели совпадает с й(ф(х, а)). Ясно также, что формула
ф(х, а) тогда и только тогда сильно минимальна, когда
г(ф(х, а)) = й(ф(х, а))= 1.
Если Т — тотально трансцендентная теория, то ясно, что
ат = (г(х = х)+ 1). Для тотально трансцендентной теории Т
можно определить натуральное число dT = d(x — x).
С помощью понятия ранга и степени Морли можно строить
неразличимые множества следующим образом. Пусть А — мно-
жество в тотально трансцендентной теории Т. Берем рое5(Л)
с наименьшим ненулевым рангом по Морли г0 и наименьшей сте-
пенью do среди типов ре5(Л) с рангом г0. Пусть aQ реализует
тип ро. Продолжая этот процесс, мы можем для любого орди-
нала а построить такое множество {ар | 0 < а}, что для всех
Р<а элемент ар реализует тип рр е 3(Л (J {aY ly < ₽}), РрЗ
э U pY,c наименьшим ненулевым рангом г(рр) среди типов, со-
Y<0
держащих U pY, и наименьшей степенью d(pp). среди таких
Y<P
338
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
типов ранга г(рр). Из вполне упорядоченности ординалов полу-
чаем, что для некоторого Ро < а будем иметь г (р ) = г (pYt),
(pY ) = d (pYJ для всех Po Vi ?2 < а. Тогда, как пока-
зывает следующая лемма, множество {aY | Ро у < а} будет
неразличимым в Т множеством над A U {аб | б < Ро}-
3.12. Определение. Последовательность <ар | р < а> на-
зывается последовательностью Морли над множеством А в пол-
ной теории Г, если для типов рр^5(Ли {aY|y < Р})> реализуе-
мых элементами ар, выполняются условия:
D pvspvi, Y1<Y2<a;
2) r М = г М °0’ Y1 < У2 < а;
3) d(Py) = d (Ру)’ Y,<Y2<a-
3.13. Лемма (Морли [1]). Если <ар|Р<а> — беско-
нечная последовательность Морли над множеством А в полной
теории Г, то множество {яр | Р < а} неразличимо в Т над мно-
жеством А.
Предыдущая конструкция и эта лемма дают такой результат.
3.14. Теор ема (Морли [1]). Пусть Т — тотально транс-
цендентная теория, А В — множества в Т, | А | < | В | и | В | —
регулярный несчетный кардинал. Тогда существует неразличи-
мое в Т над А множество X В и |Х| = |В |.
Следующие три рабочих результата показывают естествен-
ность понятий ранга и степени по Морли.
3.15. Лемма об определимости (Лахлан [2], [7]).
Пусть Т — тотально трансцендентная теория, ф^(х, а), (х, у,
Ь) —формулы в Т, б/(ф(х, a)) == 1. Тогда существует такая фор-
мула % (у, а, Ь), что для любого кортежа с соответствующей
длины
Т\=%(с, а, 6)<=>г(ф(х, а)) = г(ф(х, а) А г|)(х, с, Ь)).
3.16. Лемма о нормализации (Лахлан [7]). Пусть
Т — тотально трансцендентная теория, ф(х, у)—формула сиг-
натуры теории Т и р Sm(0), где пг — длина у Тогда суще-
ствует такая формула ф'(х, у), что выполняются условия:
1) ф(х, b), ф'(х, &) и ф(х, &) А ф'(х, Ь) имеют одни и те же
ранг и степень по Морли для всех Ь, реализующих тип р;
2) если для 6Ь Ь2, реализующих тип р, имеет место
г (ф' (х, 60) = г (ф' (х, 60 Д ф' (х, 62)) и d (ф' (х, 60) =
= й(ф'(х, 60 А ф' (х, 62)),
то
Г[=Ух(ф,(х, 60«-*ф' (х, 62)).
З. П.Лемма о конечной эквивалентности (Ше-
лах [12]). Пусть Т — тотально трансцендентная теория, А —
§ 3. ТОТАЛЬНО ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ТЕОРИИ
339
множество в Г, р е “S (Л) и d(p) = k. Тогда существуют a s
еД, формула е(х,у,а) и Ьо, .bk-\ такие, что выполняются
условия:
1) е(х, у, а) определяет в Т-моделях отношение эквивалент-
ности с конечным числом классов эквивалентности;
2) г (pU {8(х, bt, a)}) = r(p), i<k;
3) если i < j < k, то формула е(х, bt, а) А е(х, bf, а) несов-
местна.
Техника рангов и степеней существенно используется в до-
казательстве следующих результатов С. Шелаха, касающихся
простых модельных расширений тотально трансцендентных тео-
рий.
3.18. Теорема (Ш е л а х [6]). Пусть Т — тотально транс-
цендентная теория, А—множество в Т и Ъ\, ©2— простые над
А модели Т. Тогда Si и S2 изоморфны над А.
3.19. Теорема (Шел ах [6]). Пусть Т — тотально транс-
цендентная теория, 81 — модель Т иВ^А. Тогда следующие ус-
ловия эквивалентны:
1) й — простая Т-модель над В;
2) 81 — атомная Т-модель над В, и любое множество X А
неразличимых элементов в Т над В не более чем счетно.
3.20. Теорема (Шел ах [6]). Пусть Т — тотально транс-
цендентная теория, 81 — модель Т иВ^А. Тогда следующие ус-
ловия эквивалентны:
1) 81 — минимальная Т-модель над В;
2) 81 — атомная Т-модель над В, и любое множество X А
неразличимых элементов в Т над В конечно.
В оставшейся части параграфа будут рассмотрены резуль-
таты, касающиеся спектра тотально трансцендентных теорий.
3.21. Теорема (Шел ах [3]). Если Т — тотально транс-
цендентная теория, не являющаяся <&\-категоричной, то Sr(toa)
| а + 11 для любого ординала а.
3.22. Теорема (Лахлан [8]). Если Т —тотально транс-
цендентная теория, то для спектра St выполняется одна из сле-
дующих возможностей:
1) ST(to) е {1, со} и ST(toa)—l для всех ординалов 1;
2) ST(toa) шах( | а |, со) для всех ординалов а и ST (toa) =| а [
для a^to;
3) ST (toa) = | а + 1 для всех а > 1;
4) ST (<оа) colа । для всех ординалов а.
Конечно, случай 4) в этой классификации имеет большую не-
определенность, Имеются примеры тотально трансцендентных
теорий Т со следующими спектрами:
a) ST (<оа) = ©1а I, а^1;
340
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
б) Sr (<ва) = 2®“, а> 1;
в) 8Г (<ва) = max (2®, о1 °1)» 1.
Байжановым [1] построены для любого ординала
Т < тотально трансцендентные теории со следующими спек-
трами:
г) ST(®а) = min(24 ₽(|а+ 1 |, у)), а>1
(где кардинал р(х> «) определен в § 1);
д) Sr(®а) = min(2“«, p(la+1 Г, y)), 1.
3.23. Проблема. Описать все спектры Sr(coa), а со, то-
тально трансцендентных теорий Т. В частности, существуют ли
спектры Sr(coa), а со, отличные от спектров, указанных выше
(т. е. Sr(coa) = 1, а 1, и случаи а)—д))?
3.24. Проблема (Лахлан [8]). Для тотально трансцен-
дентных теорий Т доказать гипотезу Воота:
ST (со) Е со U {со, 2“}.
Полностью описаны в настоящий момент лишь спектры Sr
тотально трансцендентных теорий Г, для которых ат = 3. Для
подсчета счетных моделей тотально трансцендентных теорий Т
с ат = 3 и dr = 1 служит теорема об однозначности размерно-
сти моделей таких теорий, доказанная Л а х л а н о м [7].
3.25. О п р е д е л е н и е (Лахлан [7]). Пусть Т — тоталь-
но трансцендентная теория, А — множество в теории Т. Множе-
ство А называется независимым в Г, если для любых попарно
различных Hi, ..., ап е А и формулы cp(xi, ..., хп) сигнатуры
теории Т из Г|=ф(аь ап) следует г(ф(х, а2, ..., ап)) —
= г(х = х). Будем говорить, что модель 91 теории Т имеет раз-
мерность, если все максимальные независимые в Т подмноже-
ства X А имеют одну и ту же мощность.
В работе Лахлана [7] приведены примеры теории Г
с аг, = 4 и йГ1=1, а также теории Т2 с «г2 = 3 и dr2 > 1, для
которых существуют Г-модели, не имеющие размерности. Там
же доказана
3.26. Теорема (Лахлан [7]). Если Т — тотально транс-
цендентная теория с ат = 3 и dr = 1, то любая Т-модель 91
имеет размерность.
Для теорий Т с ат = 3 и dT = 1 гипотеза 1.11 Воота спра-
веллчва.
3.27. Теорема (Лахлан [7]). Если Т — тотально транс-
цендентная теория с ат = 3 и dT = 1, то St(<&) е (о U {(о, 2W}.
Следующая теорема для теорий Т с dT = 1 доказана Л а х -
лаком [7] и обобщена Байжановым [2] на любые dr.
§ 4. СТАБИЛЬНЫЕ И СУПЕРСТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
341
3.28. Теорема (А. Лахлан, Б. С. Байжанов). Пусть Т —
тотально трансцендентная теория с ат 3. Тогда для функции
спектра Sr(<oa), а 1, выполняется одна из следующих воз-
можностей:
1) Sr(®a)=l, а>1;
2) ST(®а) max (| а |, со), а2>1, с равенством, для а^о;
3) SrЮ = 1«+ 1 Г, а> 1;
4) ST (соа) = а|, а> 1;
5) Sr(соа) = max(2“, ®|а|), а^1;
6) Sr(®a) = 24 а>1;
7) ST (®о) = min (2“% | а + I |l «+1 Iй), а > 1.
§ 4. Стабильные и суперстабильные теории
В этом параграфе будут рассмотрены обобщения понятия
тотально трансцендентной теории. Если тотально трансцендент-
ную теорию можно определить как теорию, в которой нет беско-
нечного дерева формул, то стабильные и суперстабильные тео-
рии — это такие теории, в которых нет деревьев формул опреде-
ленного вида.
4.1. Определение. Если <р(х, у)—формула сигнатуры
теории Т и п — длина кортежа у, то (qp, х, 2)-деревом в теории
Т высоты а называется множество кортежей aTJ, i]e<u2, в Т
длины п со следующим свойством: для любой последовательно-
сти а2 множество
{ф (*е, а>>мз)°(Р) |Р < а}
совместно с Т.
Если D— (ф, х, 2)-дерево высоты а>, то будем называть D
просто (ф, х, 2)-деревом.
Следующее понятие является аналогом ранга по Морли и ха-
рактеризует возможность построения (ф, х, 2)-деревьев в Т.
4.2. Определение (С. Шелах). Пусть ф(х, &) — совмест-
ная формула в полной теории Т и ф(х, у) —формула сигнатуры
Т. Индукцией по ординалу а определим свойство/?£ (ф (х, b))^ а:
(1)
(2) если д —предельный ординал и Rt($>(x, b))~^a для всех
а < 6, то (Ф (*, Ь)) 6;
(3) Rt(ф(х, 1, если существует кортеж элементов а
той же длины, что и у, для которого
Rt (Ф (*, Ь) А <₽ (х, а)) > а,
Rt (ф (х, Ъ) А “| ф (х, а)) а.
342
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
4.3. Определение. Если ф(ж, 6) — совместная формула
в полной теории Т иф(х, у) — формула сигнатуры Т, то будем
говорить, что (<р, х)-ранг Шелаха равен а, и обозначать
М (Ф (*, Ь)) — а, если имеет место (ф (х, ft)) а и не имеет
места Rx (ф (*, ft)) а 1.
4.4. Определение. Если р — совместный *-тип в полной
теории Т, то (ф, х)-рангом Шелаха типа р называется наимень-
ший ординал /??(р) из множества
{/?*(A Pi) I Pi — конечный подтип р}.
Ясно, что если р = {ф(х, ft)}, то Rx (р) — Rx (Ф (*, ft)).
Как показывают следующие предложения, (ф, х)-ранг Ше-
лаха — существенно более простое понятие, чем ранг по Морли.
4.5. Предложение (С. Шелах). Если р — совместный
х-тип в полной теории Т и ф (х, у) — формула сигнатуры теории
Т, то Rx (р) а тогда и только тогда, когда в Т совместно мно-
жество Г(ф, х, а), где
Г (ф, х, а) = {ф (х„, уч щ)ч<е) | г) е= а2, р < а}.
Из этого предложения и теоремы компактности вытекает
4.6. Предложение (С. Шелах). Пусть р — совместный
х-тип в полной теории Т и ф(х, у)—формула сигнатуры тео-
рии Т. Если то №(р)^а для любого ординала а.
4.7. Определение (С. Шелах). Пусть ф(х, у) — формула
сигнатуры полной теории Т.
(1) Формула ф(х, у) имеет свойство порядка в Г, если суще-
ствуют такие кортежи ап, п е <о, что для любого k < <о множе-
ство
(х, а ) | п со/
совместно в Т.
(2) Будем говорить, что формула ф(х, у) имеет свойство
строгого порядка, если существует последовательность кортежей
ап, п е (о, удовлетворяющая условию из (1), и для любого кор-
тежа b той же длины, что и х, существует а <о такое, что
{п | Т1= ф (6, ап), п е со} = {п | а п, п е со}.
(3) Формула ф(х, у) имеет свойство независимости, если су-
ществует такая последовательность кортежей ап, п^ со, что для
любого подмножества w <о множество
{ф(х, an)if(new)|n^4
совместно в Т,
Ясно, что как свойство строгого порядка, так и свойство не-
зависимости влекут свойство порядка. В силу теоремы компакт-
§ 4. СТАБИЛЬНЫЕ И СУПЕРСТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
343
пости предыдущие свойства можно определить через конечные
последовательности а0, ..., ап кортежей, где п пробегает все на-
туральные числа.
4.8. Определение (С. Шелах). Пусть ф(х, у) и ф(^,
я) —формулы сигнатуры полной теории Г, р— (<р, х)-тип в тео-
рии Г, а — некоторый кортеж элементов. Тогда:
(1) р называется ф(у, а)-определимым в Т, если выпол-
няются условия
Ф (х, 6) е р => Г |= ф (6, а),
П Ф (х, b) е= р => Т h= "1 Ф (6, а);
(2) если в (1) кортеж а принадлежит Д, то р называется
(ф (У, 2), А)-определимым в Т\
(3) (ф, х)-тип р называется A-определимым в Т, если суще-
ствует формула ф сигнатуры Г, для которой р является (ф, Д)-
определимым.
4.9. Теорема (Ш е л а х [4]). Пусть Т — полная теория и
ф(х, у)—формула сигнатуры теории Т. Тогда следующие усло-
вия эквивалентны'.
1) существует (ф, х, 2) -дерево в теории Т;
2) ф(х, у) не имеет свойства порядка в Т\
3) ф(*, у) не имеет свойства строгого порядка и не имеет
свойства независимости в Т\
4) Rl(x = x) < со;
5) для любого множества А в Т любой р е (Д) является
А-определимым',
6) существует такая формула ф(у, г) сигнатуры теории Т,
что для любого множества А мощности | А | 2 в Т любой
(ф, х)-тип p^sSx(A) является (ф(у, z), Ауопределимым;
7) | Sx (Д) | | А | для всех бесконечных множеств А в Т.
4.10. Определение (С. Шелах). Формула ф(х, у) сиг-
натуры теории Т называется стабильной в теории Г, если она
удовлетворяет условиям теоремы 4.9.
4.11. Определение (С. Шелах). Полная теория Т назы-
вается стабильной, если любая формула ф(х, у) сигнатуры тео-
рии Т стабильна в Т.
4.12. Определение. Пусть ф(х!, ..., хп, а) —- формула в
полной теории Г, длины кортежей х1, ..., хп равны т. Формула
ф(х\ ...,х\ а) называется связанной и антисимметричной над
множеством X кортежей длины т, если для любых попарно
различных кортежей Ь{, ...,Ьп<=Х существует перестановка <т
множества {1, ...,и}, для которой
Т1= ф (Ь1, ..Ьп, а)<=>Т]=~](р (b°"\ .... Ьа{п\ а).
344
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
4.13. Теорема (Шел ах [4], [12]). Следующие свойства
полной теории Т эквивалентны'.
1) Т нестабильна;
2) для любой мощности X существует множество А в Т
мощности %, для которого | S (А) | > | А |;
3) для некоторой мощности К с условием Х,Г| = X существует
множество А в Т мощности X, для которого | S (Л) | > | А |;
4) существует нестабильная в Т формула ф(х, у), у которой
длина х равна 1;
5) существует формула ф(х, у) в Г, у которой длины х и у
равны т, и существует такая последовательность {ап | п е ю}
кортежей длины т, что для всех п, /г е ш
Т (р (an, ak) <=> n<k;
6) существует формула ф (х1, ..., хп, а) в *Т, I (х1) = ...
... = I (хп)=т, и такое бесконечное множество X кортежей длины
т, что формула ф (х1, . ..,хп, а) является связанной и анти-
симметричной над X;
7) существует бесконечная неразличимая в Т последователь-
ность кортежей, не являющаяся неразличимым множеством;
8) существует такая формула ф(х\ хп, у) сигнатуры
теории Т, что для всех По о) существует множество I кортежей
длины m = /(х1) = ... = 1(хп), |/|>п0, и такой а, что
ф(х\ хп, а) связана и антисимметрична над I вТ.
Многие свойства тотально трансцендентных теорий перено-
сятся на стабильные теории. Однако часто «глобальные» свой-
ства (т. е. истинные для множества всех формул) заменяются
на «локальные» (истинные для конечных множеств формул).
В частности, имеется следующий аналог теоремы З.К
4.14. Теорема (Шелах [4], [12]). Пусть Т — стабиль-
ная теория, к — конечное множество формул в Т, Z — регуляр-
ный кардинал, А — множество в Т, X — множество кортежей
одинаковой длины |Л | < X |Х|. Тогда существует Y X,
| У | = X, являющийся ^-неразличимым над А.
Аналогом леммы 3.13 является
4.15. Т е о р е м а (Ш е л а х [4]). Пусть Т — стабильная теория,
ЭД — модель Т, Вя А, а — ординал, р е S* (Л), (р f <р) =
= ((р f ф) f В) для всех формул ф (ж, у) сигнатуры теории Т
и для всех у < а кортеж ау реализует тип р f BY, где Ву —
~ U {«₽ IP < y} UB. Тогда {av| у < является неразличимым
множеством над В и
I {у < а | Т |= 1 ф (а1, с)} | < ®
для всех ф(х, с) е р.
$ 4. СТАБИЛЬНЫЕ И СУПЕРСТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
345*
4.16. Определение (С. Шелах). Полная теория Т назы-
вается стаби гьной в мощности X или ^-стабильной. если для лю-
бого множества А в Т мощности X имеет место |5(Л) | |Л |.
В силу свойства 7) теоремы 4.9 стабильная теория Т ста-
бильна во всех мощностях X, для которых Х|Г| = X. Из теоре-
мы 4.9 вытекает также, что полная теория Т стабильна, если она
Х-стабильна для некоторого бесконечного X. Полная счетная тео-
рия Т тогда и только тогда тотально трансцендентна, когда она
ю-стабильна.
Далее будут полностью описаны множества кардиналов, в
которых полная теория Т стабильна.
4.17. Определение (С. Шелах). Говорим, что формула
ф(х, а) в теории Т копируется над Л, если существуют нату-
ральное число m и кортежи ап, «, для которых выполняются
условия:
(1) tp(a, Л) = tp(a“, Л), п е «;
(2) множество формул {ф(х, ап) ] п е «} т-несовместно.
т. е. для любого множества w « мощности m формула
А <р(х, ап) несовместна в Т.
4.18. О п р е д е л е н и е (С. Шелах). Будем говорить, что
х-тип р разветвляется над множеством А в полной теории Т,
если существуют формулы <р°(х, в0), ..., <р"(х, в") со свой-
ствами
d) Р Н V Ф* (*, «*);
(2) ф*(х, о*) копируется над А для всех k п.
4.19. Определение (С. Шелах). Пусть Т — стабильная
теория. Определим кардиналы km(T), tn е <о, и А(Т') так:
km(T)—первый бесконечный кардинал х, для которого не су-
ществует возрастающей последовательности множеств А/, i х,
в Т и типа р & Sm(AH), для которых р Г Л/+1 разветвляется над
Л,-, i < х. Полагаем k(T) = sup {km(T) ] tn e <o).
Следующая теорема показывает, что кардиналы km(T) для
стабильных теорий Т существуют, и дает их оценку сверху.
4.20. Теорема (Шелах [12]). Если Т стабильна, то
k(T) < |Т|+.
Описание спектра стабильности стабильных теорий Т дает
4.21. Теорема (Шелах [12]). Пусть Т—стабильная тео-
рия и
р0 = sup { |S (Л) |, Л — множество в Т, | Л j Т |}.
Тогда Т стабильна в мощности ц в том и только в том случае,,
когда
Н = Но4-М<*<Г),
346
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
причем цо — первый кардинал в котором Т стабильна,
и цо 2m.
4.22. Определение (С. Шелах). Стабильная теория Т на-
зывается суперстабильной, если она стабильна во всех мощно-
стях К 2>г1
Из теоремы 4.21 получаем
4.23. Следствие. Стабильная теория Т тогда и только тог-
да суперстабильна, когда k(T) = со.
Важность кардиналов km(T), пг^ю, кроме теоремы 4.21,
объясняет также
4.24. Теорема (Шелах [12]). Пусть Т — стабильная тео-
рия, X — неразличимое над А в Т множество, а — некоторый кор-
теж элементов и 1(a) = пг. Тогда существует такое подмноже-
ство ¥<=Х, что | У| <km(T) и X—У — неразличимое в Т над
A U a U У множество.
Из этой теоремы и 4.23 получаем
4.25. Следствие. Если Т — суперстабильная теория, X —
неразличимое над А в Т множество и У — конечное множество
элементов, то существует такое конечное Z<=,X, что X — Z яв-
ляется неразличимым над A J У U Z.
Приведем несколько теорем, касающихся существования мо-
делей стабильных теорий со специальными свойствами. Проб-
лему двух кардиналов для стабильных теорий полностью решает
4.26. Теорема (Шелах [1], Лахлан [2]). Если Т —
стабильная теория, §1 — модель Т, <р(х)—формула сигнатуры
теории Т и со |ф(Я) | < | А |, то для любых кардиналов
Т\ А < х существует модель S3 теории Т, для которой
ф(Э) | = Аи |В| = х.
Мощности насыщенных моделей стабильной теории Т пол-
ностью описывает
4.27. Теорема (Шелах [12]). Если Т — стабильная тео-
рия, то следующие условия на кардинал А |Т| эквивалентны:
1) Т имеет насыщенную модель мощности А;
2) Т стабильна в А или А = A<z + | D (Т) |.
4.28. Определение (С. Шелах). Алгебраическая система
Я называется К-компактной, если каждый совместный в Th (Яд)
тип р над А мощности <А реализуется в Я.
Это понятие совпадает с понятием A-насыщенной системы для
А |2(Я) |. Для произвольных А А-насыщенность влечет А-ком-
пактность.
4.29. Определение (С. Шелах). (1) Алгебраическая си-
стема Я называется ^-простой над множеством Ai^A, если Я
является A-компактной и для любой A-компактной системы 23,
для которой Ai В и
да.
существует элементарное вложение Я в S3, тождественное на А(.
5 4. СТАБИЛЬНЫЕ И СУПЕРСТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
347
(2) Если в (1) заменить «А-компактность» на «А-насыщен-
ность», то получим определение (А, \)-простой алгебраической
системы.
4.30. Теорема (Рессер [1], Шелах [2]). Пусть Т —
стабильная теория, А > | Т | или Т стабильна в некоторой мощ-
ности р •< 2\ Тогда над любым множеством X в Т существует
k-простая (и также (А, \)-простая) модель Т, причем эта мо-
дель единственна, т. е. если Я и S3 — К-простые модели над X, то-
существует изоморфизм Я на S3, тождественный на X.
4.31. Теорема (Шелах [6]). Если Т стабильна и А
k(T) -|- Ю|, то над каждым множеством Хи Т существует
(А, 1)-простая модель.
4.32. Теорема (А. Лахлан, С. Шелах). Пусть Т — ста-
бильная счетная теория. Тогда для каждого множества А\ в Г
существует такая модель % теории Т, что Ai s А и выполняется
условие: если с^А и ф(х, у) —формула сигнатуры Т, то суще-
ствует формула &(х, b), Ь е А], для которой
(1) Т |= <р (с, а) => Т |= Vx (0 (ж, Ь) -* <р (ж, а)) для всех At
(2) Tt=f)(c,b).
4.33. Определение. Однородным а-деревом в теории Т
называется последовательность формул фп(х, уп), 0 < л < ®,
и множество кортежей ал, г| е <<0®, для которых выполняются
условия:
(1) для любого т) е множество
К(*. <%»«)!0 <п <
совместно в Т\
(2) для любых т) е «+’©, 0 < п < ®,
г1= Vx (ф„+1 (ж, а„) -• ф„(ж, ап>„));
(3) для любых т) е "ю, п < ®, i < j < ®,
7> Я Эх (фп+1 (ж, а„Лг) Л Фп+1 (ж, а„Л/)).
4.34. Определение (С. Шелах). Пусть ф(ж, Ь) — сов-
местная формула в полной теории Т. Индукцией по ординалу
а определим свойство Dx (ф (ж, Ь)) а:
(1) Р,(ф(ж,6))>0;
(2) если б — предельный ординал и Од.(ф(х, б))^а для всех
а < б, то Dx (ф (ж, Ь)) б;
(3) Dx (ф (ж, Ь)) а + 1, если существуют формула ф(х, г)
сигнатуры Т, число ле® и кортежи ak, для которых
выполняются условия:
(a) Dx(ф(ж, Ь) Д ф(ж, а*))>а, Ле ®;
348 ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
(б) множество {ф (х, а*) (£<=<»} «-несовместно с <р (х, Ь), т. е.
для любого множества a/s® мощности п формула <р(х, 6)Д
А А Ф(*. в‘) несовместна в Т.
1&й>
4.35. Определение. Пишем £>ж(<р(х, а))=а, если Dx(q>(x,а))~^
>а н не имеет места Dx(y(x, а))>а + 1. Пишем Dx($(x,a)) =
= оо, если для любого ординала а имеет место £>х(<р(х, а))^а.
Значение Dx($(x, а)) называется х-степенью Шелаха формулы
ф (*, а).
4.36. Определение. Если р — совместный х-тип в полной
теории Т, то х-степенью Шелаха Ох(р) типа р называется
наименьший ординал из множества
{Dx ( A Pi) | Pi ~ конечный подтип />}
или символ оо, если такого ординала не существует.
4.37. Теорема (Ше л а х [4]). Если р — совместный х-тип
в полной теории Т и Dx(p)~^\T |+, то Dx(p) = оо.
4.38. Теорема (Ш е л а х [4]). Пусть Т — стабильная теория.
Следующие свойства Т эквивалентны:
1) Т с упер стабильна',
2) в Т не существует однородного о-дерева;
3) Dx(x = x)<|T|+;
4) для некоторого X, для которого X < X®, и для любого А
мощности % имеет место |S(А) | |4| ;
5) для любого множества А и Т имеет место | S (А) |
|4| + 21П
Следующие две теоремы относятся к наиболее интересным в
данной теории.
4.39. Теорема (Шел ах [5], [8]). Если для полной тео-
рии Т и некоторой мощности | Т| + <oi имеет место
St (X) < 2\ то Т суперстабильна.
4.40. Теорема (Лахлан ,[4]). Если Т—полная теория
и 1 <5г((о) < to, то Г не является суперстабильной.
Теорема 4.39 имеет многочисленные ^приложения нри под-
счете спектра различных теорий (см., например, § 6). Из этой
теоремы и теоремы 4.9 сразу вытекает, что любая теория 7\
имеющая полное расширение 7\, в котором интерпретируется ча-
стичный порядок с бесконечными цепями, имеет максимальный
спектр 5г(Л) = 2К в мощностях IT) + <оь Отметим также
одно любопытное следствие теоремы 4.39.
4.41. Теорема (Белеградек [1]). Любое неабелево
многообразие групп М имеет максимальный спектр 8м(к) = 2к
в несчетных мощностях К.
§ 4. СТАБИЛЬНЫЕ И СУПЕРСТАБИЛЬНЫЕ ТЕОРИИ
34»
4.42. Определение (Мустафин [2]). Пусть Т — счет-
ная полная теория. Тип p^ Sm(0) называется суперстабиль-
ным, если для любого X 2® и любого множества X в Т мощ-
ности имеет место
| {q <= Sm (X) | р <= q} |
Теорема 4.40 допускает следующее обобщение.
4.43. Теор ем а (Мустафин [2]). Если полная счетная;
теория Т имеет хотя бы один неглавный суперстабильный п-тип
р над 0, то со.
Теорема 4.39 используется для получения следующего уси-
ления теоремы 3.21 Шелаха.
4.44. Теорема (Мустафин [2]). Если полная счетная
теория Т двукардинальна (см. § 1), то Sr(<oa) |а+ 1| для
любого ординала а.
Частным случаем гипотезы 1.13 Шелаха является
4.45. Гипотеза (С. Шелах). Для любой счетной полной
теории выполняется одно из следующих условий:
1) $т (®а) С У** Для вс^х а;
2) ST (®а) | а + 1 | для достаточно больших а.
Еще более слабой является
4.46. Г ипотеза (М. И. Бекенов). Для любой счетной пол-
ной теории Т имеется одна из возможностей:
1) 8т(и)^.2** пля любого кардинала х;
2) функция St не ограничена.
Заметим, что эта гипотеза также слабее гипотезы 8.21.
М. И. Бекенов подтвердил эту гипотезу для квазитрансцен-
дентных теорий.
4.47. Определение (Мустафин [Г]). Полная теория
Т называется квазитрансцендентной, если над любым множест-
вом X в Т существует простая атомная Т-модель.
Тотально трансцендентные теории являются, конечно, квази-
трансцендентными, однако среди квазитрансцендентных теорий
имеются также не тотально трансцендентные.
4.48. Теорема (Бекенов [1]). Если Т — счетная полная
квазитрансцендентная теория, то спектр ST удовлетворяет од-
ному из условий гипотезы 4.46.
Пусть до конца параграфа Т — счетная полная теория, X —
некоторое множество в Т.
Тип peS(I) называется алгебраическим, если он содержит
некоторую конечную в Т формулу. Множество неалгебраических
типов из S(X) обозначим через S(I) 2(X).
Все определения, приведенные далее в этом параграф е, при-
надлежат Т. Г. Мустафину.
350
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
Тип p^S{i}(X) называется сильным, если для любого мно-
жества Y ^Х в Т существует лишь единственный тип q ^S^l}(Y),
для которого p^q.
Пусть р, е= S(l) (X), 21 — Г-модель и X <=> А. Отношение p^aQ
означает, что для любой модели 23 >-21 из реализуемости q в
В — А следует реализуемость р в В ~ А. Отношение p = q
означает, что для любой модели 21, Х^А, имеют место p^aQ
и Я^аР- Множество {q\q S{i} (X), q = р} обозначим через
[р], а множество {[р] | р S(l) (X)} — через S(l) [X]. Пишем
[р]^дМ, если Р^аЧ- Типы р, q назовем независимыми, если
для любой Г-модели 21, X е А, не имеют места ни р q, ни
Я^аР- Если р и q независимы, то будем говорить, что [р] и [<?]
независимы.
4.49. Определение (Т. Г. Мустафин). Множество М —
= {[pj (= S(l)[X] l} называется базой для S(l)[X], если:
(1) Ipd и [р/] независимы для i j;
(2) для любого и любой Г-модели 21, X s А,
существует такое i /, что [pj [</].
Базой теории Т называется база для 5(1)[0] (если она суще-
ствует). Базу М теории Т назовем сильной, если для любого
[р] е М существует сильный тип q^ [р]. Следующая теорема
описывает спектры квазитрансцендентных теорий с сильной ба-
зой.
4.50. Теорема (Мустафин [1]). Если Т — счетная ква-
зитрансцендентная теория с сильной базой, то существуют такие
кардиналы v и р, что
$т (®а) ~
. { 1, если v + р — 1, а > 0;
— { max {(| а + 1 Г — | а Г), (© + | а l)"11"^’0^}, если а < to, v < со;
[ max {| а + 1 |v, (со +1 а |)mIn(ц’%)} в остальных случаях.
§ 5. Категоричные универсалы и хорновы классы
В этом параграфе будут рассмотрены категоричные классы
алгебраических систем, обладающие классическими свойствами
замкнутости: относительно подсистем, гомоморфных образов и
фильтрованных произведений.
Если аксиоматизируемый класс К замкнут относительно под-
систем, то он называется универсальным или универсалом, если
он замкнут относительно гомоморфных образов, то он называет-
ся позитивным, и он называется хорновым, если он замкнут от-
носительно фильтрованных произведений. Теорию Т будем на-
зывать универсальной, позитивной или хорновой, если она имеет
§ 5. КАТЕГОРИЧНЫЕ УНИВЕРСАЛЫ И ХОРНОВЫ КЛАССЫ
35Г
систему аксиом, состоящую соответственно из универсальных, по-
зитивных или хорновых предложений.
Следующую теорему можно уже отнести к «классике» тео-
рии моделей.
5.1. Теорема (Тарский, Линдон, Кейслер). Пусть К — не-
который аксиоматизируемый класс алгебраических систем.
Тогда.
а) К ~ универсал <=> теория Th (Д’) универсальна*,
б) Д позитивный <=> теория ТЬ(Д) позитивна*,
в) Д хорное теория ТЬ(Д) хорнова.
В дальнейшем под «классом систем», если из контекста не
вытекает противное, понимается «аксиоматизируемый класс си-
стем».
Большинство классов систем, рассматриваемых в алгебре, об-
ладает некоторыми из перечисленных свойств замкнутости. Если
класс Д является позитивным хорновым универсалом, то Д на-
зывается многообразием. Примерами многообразий могут слу-
жить классы всех полугрупп, всех групп, всех колец, абелевых
групп, булевых колец, нильпотентных групп ступени ^s. Уни-
версальные хорновы классы называются квазимногообразиями.
Квазимногообразиями являются, например, класс групп без кру-
чения из любого многообразия групп и класс колец характери-
стики 0. В качестве примера позитивного хорнова класса, не яв-
ляющегося универсалом, укажем класс делимых абелевых
групп, а в качестве хорнова класса, не являющегося ни позитив-
ным, ни универсалом, — класс безатомных булевых алгебр.
Следующее предложение показывает, что если изучать струк-
турные свойства полных или категоричных классов, то выделе-
ние позитивных классов или позитивных универсалов не имеет
смысла.
5.2. Предложение. Пусть Т — теория сигнатуры S, а
сигнатура S' получается из S добавлением нового 3-местного
функционального символа f. Тогда существует такое предложе-
ние Фо сигнатуры S', что теория Т' сигнатуры S' с множеством
аксиом Т U {Фо} имеет следующие свойства:
а) Т' — позитивная теория;
б) любая модель 21 теории Т' является определимым обога-
щением модели 21 f S теории Т, в частности Т' полна (^-катего-
рична) тогда и только тогда, когда Т полна (п-категорична);
в) если Т — универсальная теория, то Т' — универсальная
теория.
Доказательство. В качестве Фо берем следующее уни-
версальное позитивное предложение:
VxVz (f (х, х, z) = z) A VxVyVz (f (x, y, z) = у V x = y).
352
ДОПОЛНЕНИЕ СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
Следующее предложение истинно на неодноэлементных системах:
Фо -> VxVy (х =/= у Vz (f (х, у, z) = у)).
Поэтому любое предложение сигнатуры S' эквивалентно относи-
тельно Фо некоторому позитивному предложению. Отсюда полу-
чаем а). Из тождественной истинности предложения
Фо -> VxVf/VzV:/ (f (х, у, z) = и
+-+(x = y-+u = z)/\ (х=£у -> и = у))
получаем свойство б). Свойство в) следует из универсально-
сти Фо.
В силу предложения 5.2 интерес при изучении структур ка-
тегоричных классов могут представлять лишь следующие ком-
бинации классических свойств замкнутости: а) универсальность,
б) хорновость, в) универсальность и хорновость, г) позитивность
и хорновость, д) универсальность, позитивность и хорновость.
В дальнейшем будет показано, что выделение классов с каждой
из этих комбинаций свойств оказалось плодотворным.
Вначале мы рассмотрим универсалы. Следующая теорема
хорошо известна.
5.3. Теорема (Линдстрём). Класс бесконечных систем ка-
тегоричного универсала К является модельно полным.
Алгебраическая система 91 называется локально конечной,
если любое конечное подмножество X А порождает в 91 ко-
нечную подсистему. Следующая характеризационная теорема
легко доказывается с помощью теоремы компактности Маль-
цева, характеризационной теоремы Рыль-Нардзевского и преды-
дущей теоремы Линдстрёма.
5.4. Теорема (Палютин [1])- Для того чтобы алгебраи-
ческая система 91 принадлежала некоторому ^-категоричному
универсалу, необходимо и достаточно выполнение следующих
условий:
а) 91 локально конечна;
б) существует такая функция g: со-хо, что для всех а^А
и конечных Х^А тип tp(a, X, 91) реализуется в любой подси-
стеме S3 91, содержащей X и имеющей мощность ).
В качестве непосредственного следствия данной теоремы по-
лучаем
5.5. Следствие. Если К — ^-категоричный универсал, то
в К нельзя относительно элементарно определить (см. Ершов
[3]) никакой класс бесконечных линейных порядков.
Несмотря на это, вопрос о стабильности со-категоричных уни-
версалов остается открытым. Неизвестен ответ и на следующий
вопрос.
5.6. Вопрос. Существует ли (^-категоричный универсал К,
не являющийся (^-категоричным?
§ 5 КАТЕГОРИЧНЫЕ УНИВЕРСАЛЫ И ХОРНОВЫ КЛАССЫ
353
Следующие два предложения, конечно, потеряют самостоя-
тельное значение, если этот вопрос решится отрицательно. Од-
нако нам кажется, что ответ на вопрос 5.6 будет положительным.
5.7. Предложение (Палютин [1]). Если Т-ы-кате-
еоричная универсальная теория, то полная теория Тж недвукар-
динальна.
5.8. Предложение (Палютин [1]). Если Т — ^-кате-
горичная универсальная теория, то следующие условия эквива-
лентны:
а) Т ^[-категорична;
б) Too (^-стабильна;
в) некоторое несущественное расширение Т имеет сильно ми-
нимальную формулу.
Из теоремы Л а х л а н а [5] следует, что к условиям а)—в)
предыдущего предложения можно добавить условие
г) Too суперстабильна.
Пример класса безатомных булевых алгебр показывает, что
для хорновых классов К вопрос 5.6 решается положительно.
Ниже будет показано, что для универсальных хорновых и пози-
тивных хорновых классов К вопрос 5.6 решается отрицательно.
5.9. Определение. Класс алгебраических систем К назы-
вается свободным (в мощности X), если все К+-системы (/(-си-
стемы мощности X) /(-свободны.
5.10. О п р е д е л е н и е (Г и вант [4]). Класс алгебраиче-
ских систем К называется строго свободным, если для любой
/(^.-системы 91 выполняются следующие условия:
а) если а^А не является значением константного терма в
91, то множество {а} /(-свободно в 91;
б) если множество Х^А K-свободно в 91 и b А—А[Х],
то множество X U {6} также /(-свободно в 91.
Легко понять, что строго свободный класс является свобод-
ным. Для универсалов верно и обратное.
5.11. Теорема (Гивант [1], [4]). Любой свободный
универсал является строго свободным.
5.12. Определение (Наркевич [1]). Алгебра 91 назы-
вается о*-алгеброй, если класс {91} является строго свободным.
Понятие {91} -свободного в 91 множества для и*-алгебры 9(
удовлетворяет лемме о замене из теории линейных пространств.
Поэтому для и*-алгебры 91 максимальные {91}-свободные в 91
подмножества А имеют одинаковую мощность, которая назы-
вается размерностью 91 и обозначается через dim 91. Из теоре-
мы 5.11 следует, что свободный универсал функциональной сиг-
натуры состоит из и*-алгебр. Следующая теорема дает описание
всех а*-алгебр размерности ^3 с точностью до рациональной
эквивалентности алгебр.
354
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
5.13. Теорема (Урбаник [1]). Если Я — v'-алгебра tc
dim 51 3, то 51 рационально эквивалентна одной из следующих
алгебр'.
1) векторному пространству 51* над некоторым телом D с не-
которым множеством Л0^Л* выделенных элементов, т. е. сиг-
натура Я*, кроме сложения и умножения на числа К D, содер-
жит константы для всех uq^Aq,
2) аффинному пространству 51* над некоторым телом D с не-
которым множеством линейных сдвигов, т. е. сигнатура 51*, кро-
ме аффинного сложения х + у — z и аффинного умножения
Кх + (1 — А,) у, содержит еще множество одноместных
операций {х + а0 ] а0 е Ло} для некоторого Ло £ Л*;
3) алгебре 51*, все операции которой имеют местность ^1,.
одноместные операции которой образуют группу G подстановок
множества А* и такой, что если для некоторых g е G и а е Л*
имеет место g(a) = а, то а является значением некоторой кон-
станты 51*.
Из этого описания легко доказывается
5.14. Предложение. Если 51—о*-алгебра, то квазимного-
образие ф(Я), порожденное алгеброй 51, является строго сво-
бодным.
Ясно, что если К — свободное квазимногообразие, то К —
минимальное квазимногообразие, т. е. К = Q (51) для любой
Яе К+. Таким образом, из 5.11 и 5.14 вытекает
5.15. Теорема. Если К — квазимногообразие алгебр, та
следующие условия эквивалентны:
а) К свободный',
б) К = Q (51) для некоторой о*-алгебры Я.
Следующее утверждение вытекает из того, что любая /(-сво-
бодная система Я мощности, превосходящей ||2(Л’)||, имеет
/(-свободный базис мощности |Л|.
5.16. Предложение. Если К — ^-свободный класс алге-
браических систем и ||S(K)|| или К — конечный кардиналт
то К категоричен в X.
Конечно, для % = ||2(К)|| предыдущее утверждение неверно.
Контрпримером может служить класс векторных пространств
над бесконечным полем F.
5.17. Определение. Пусть К — класс алгебраических си-
стем. Спектром свободы F(K) (категоричности С (К)) класса /С
назовем класс таких мощностей X > 1, что все /(-системы мощ-
ности Л свободны (изоморфны между собой).
Заметим, что по этому определению, если не имеется /(-си-
стем мощности Л, то Ze/(/() и ХеС(/(). В частности, если
К — свободный класс, то F(K) совпадает с классом всех мощ-
ностей >1. Из предложения 5.16 следует F(K) С(К) И
U {X | со X ||S (К) II}. Если К — класс алгебраических си-
§ 5. КАТЕГОРИЧНЫЕ УНИВЕРСАЛЫ И ХОРНОВЫ КЛАССЫ
355
стем, и X = {% | X — кардинал и X 112(A)||}, то классы кар-
диналов F(K) АХ и С(К) АХ назовем соответственно большими
спектрами свободы и категоричности класса К-
Следующие две теоремы полностью описывают большие спек-
тры свободы и категоричности для квазимногообраэий.
5.18. Теорема (Палютин [3], [4]). Если квазимного-
образие К категорично в некоторой мощности X ||S (А) ||, то К
категорично во всех мощностях, за исключением, быть может, 1
и ро о) такой, что К 'не имеет систем мощностей v, 1 < v <
< Цо-
5.19. Теорема (Гивант [3], [4]). Если квазимногооб-
разие К свободно, но не категорично в мощности ||S (К) ||, то К—
свободное квазимногообразие.
5.20. Теорема (Палютин [4]). Если квазимногообра-
зие К категорично в некоторой мощности X || S (К) II, то сле-
дующие условия эквивалентны'.
1) К свободно;
2) для некоторого натурального N > 1 все N-порожденные
К-системы свободны.
Условие категоричности К в предыдущей теореме существен-
но. Это показывает пример квазимногообразия Ко абелевых
групп без кручения. В квазимногообразии Ко все конечно поро-
жденные системы свободны.
Оставшаяся часть этого параграфа будет посвящена описа-
нию хорновых классов, позитивных хорновых классов, квази-
многообразий и многообразий, категоричных в некоторой беско-
нечной мощности, не меньшей мощности сигнатуры. Полное
описание категоричных квазимногообразий было получено П а -
лютиным [6] и Гивантом (в [2] для многообразий и в [5]
для квазимногообразий). Следует отметить, что до получения
этих окончательных теорем было опубликовано несколько работ
обоих авторов, содержащих частичное описание категоричных
квазимногообразий. Отметим также, что теорема 5.13 К. Урба-
ника в обоих описаниях играет важную роль. Е. А. Палютин и
С. Гивант пришли к своим теоремам представления довольно
разными путями. Формулировки этих теорем тоже различны.
Е. А. Палютин нашел все множества аксиом для категоричных
квазимногообразий, а С. Гивант описал структуры систем этих
классов. Отметим, что вопрос об описании многообразий, кате-
горийных во всех мощностях, ставили независимо А. Г. Курош
в 1965 г. и А. Тарский в 1971 г. (см. Гивант [3], [4]).
5.21. Определение. Характеристикой типа А назовем чет-
верку X = (п, х, 6, Е), где п — положительное натуральное чис-
ло, х — кардинал, G — группа, Е — множество подгрупп группы
и, удовлетворяющее следующим условиям:
а) если Н е Е и g е G, то gHg~x е Е;
356
ДОПОЛНЕНИЕ СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
б) если Hi, Н2^ Е и Hi =/= Н2, то Hi f] Н2 — {в}, где е — еди-
ница группы G;
в) если Н <= Е, g G и g & Н, то gHg~l Н.
5.22. Определение. Пусть X = <п, х, G, Е) — характе-
ристика типа А. Определим квазимногообразие К(Х), которое
будем называть стандартным квазимногообразием типа А и ха-
рактеристики X. Сигнатура S(X) квазимногообразия К(Х) со-
стоит из символов одноместных функций {g | g е G} и двух мно-
жеств констант {сн | Н е Е} и {са}а<х, символа f л-местной опе-
рации и п символов gi, ..., gn одноместных операций. Аксио-
мами К(Х) будут:
A,. hi(h2(gx (x))) = h(gi (х)), h, hi, h2^G, h = hi-h2;
A2. e(gi(x)) — gt(x), где e — единица группы G;
A3, h — chHh~'' h~-G, H e E;
A4. h(x) = x-+ x = ch, h^H, H^E, h^e\
A5. h(x) — x-+x — y, h=£e и h£H для всех H e E',
A6. h(ca) — c<!->x = y, h^G, h^=e, a, 0 < x;
A7. h (ca) = cf/-+ x = y, h<=G, a < x, H <= E\
A8. ch, = cH1->x = y, H\, H2t=E, Hi^Hr,
Ag. gi(cT) = cT, rsfljx;
A10. gi (h (x)) = h (x), AgeG;
AH. h(x) = h(gi(x)'), hs=G-,
Ai2. f(gi(x), .... grt(x)) = x;
A i> gt (f (gi (xi), .... gi (x„))) = gi (xi), i^n;
A H. gi (gj (x)) == gf (x), i, j^n-,
A is. f(x..... xn) = f(gi(xi), .... gn(x„)).
5.23. Определение. Характеристикой типа В назовем
тройку <п, х, О>, где п — положительное натуральное число, х —
кардинал, не равный нулю, a D — тело. Пусть X — (п9 х, £>> —
характеристика типа В. Определим стандартное квазимногооб-
разие К(Х) типа В и характеристики X. Сигнатура S(X) ква-
зимногсобразия /<(Х) состоит из символа + двуместной опера-
пни, символов {ca|a<x} констант, символа f /?-местной опера-
ции и символов g\9 gn одноместных операций. Аксиомами
К(Х) будут следующие квазитождества, где 1 и 0 — единица и
нуль тела D:
В{. х + у = у + х-,
в2. X + (у + z) = (x + у) + z;
§ 5. КАТЕГОРИЧНЫЕ УНИВЕРСАЛЫ И ХОРНОВЫ КЛАССЫ ЗВ7
в3. x+c0 = giW; '
В4. О(х) = со;
В5. Ai (А3 (х)) = A (х), Z,, Ар Я>2 ее D, А = А4 • А3;
В6. А (х + у) = А (х) + А (у), Ае О;
В7. А| (х) -j- А? (х) = А (х), Аь А3, A g= D, А = Aj А3;
В8. l(x) = g,(x);
Вд. ^1^а| ”1” * * * ~Ь == ^0 * % z== У'
0 < О] < ... Ufo <С %, 0 {Ар .. >, An} £ D>
Вю. gi(x + y) = x + y,
Вп. gi (А (х)) = А (х), АеД;
В12- gi(ca) = ca, а < х;
- В13. х + у = g{ (х) + gi (г/);
Ви А (х) = A (gi (х)), АеО;
В15. аксиомы А12 — А15.
5.24. Определение. Характеристикой типа С назовем
пятерку X = (п, е, k, и, Dy, где п — положительное натуральное
число, ее {0, 1}, 0 k < п, % — кардинал, больший k—1, и
D — тело. Пусть X = (п, е, k, %, £>> — характеристика типа С.
Определим стандартное квазимногообразие К(Х) типа С и ха-
рактеристики X. Сигнатура S(X) квазимногообразия К(Х) со-
стоит из символа трехместной операции S, символов двухмест-
ных операций {Рх | Ае D}, символов одноместных операций
{7?а | а < х}, символа n-местной операции f и символов двух-
местных операций gi, gn. Если е=1, то S(X) содержит
еще символ 0 одноместной операции.
Аксиомами К(Х) будут следующие, где 1—единица D*):
СР S(x, у, z) = S(y, х, z);
С2. S(x, S(y, и, z), z) — S(S(x, у, z), и, z)\
C3. S(x, y, y) = gi(y, x);
C4. Ph У), У) = Ри-кЛх, У), Al, A2eO;
C5. Px(S(x, y, z), z) = S(Px(x, z), PK(y, z), z), Asfl;
C6. Pu+кАх, y) = S(PKAx, у), РхЛх, У), y), Ai, A2sB;
C7. PAx, y) = gAy, x);
*) Здесь некоторые аксиомы упрощены по сравнению с работой Палю*
тина [6]. На возможность такого упрощения указывал Гивант [5].
358
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
С8. S(x, у, gt(z, u)) = S(S(x, у, z), P_t(gi(z, и), z), z);
C9. PJx, gi(y, z)) = S(PK(x, y), P(i-k>(gi(y,z), y), y),Kc=D-,
Сю- RAgdy, x)) = S(gi(y, x), Ra(y), у), a < x.
Определим терм R(a|O|+...+х„а„) (x) сигнатуры S(X), где
Ab ..., и аь ..., а„ex, индукцией non:
(x) = (Ra, (x), x), R^aj^- ... +^+ja£+1) (x) =
= S (R(Xja,+ ... +Xftaft) (x), Rt-k+iak+i X)‘
Сц. R(Xjaj+ ... +ктат) (x) = X—> у = Z, 0 {M> . . ., Am} £ D,
k^.ait ...» am <x;
C|2. gi(x, S(y, z, x)) = S(y, z, x);
C13. gi(x, P\(y, x)) = PK(y, x), ).eD;
C14. gi(x, Ra (x)) = Ra (x), a < x;
Ci5. S(x, y, z) = S(gt(z, x), gt(z, y), z);
C16. Px(x, y) = PJgi(y, x), y), >.eD;
C17. f(gi(y, x), gn(y, x)) = x;
Cis- gi(y, f(gi(y, xi), ..., gi(y, xn)y} = gi(y, xt), i^ni
Cig. gt(y, x) = gt(gm(y, z), x), I, m^n',
C2o- gt(x, x) = x, i<n;
C2j. f(xb .... xn)*=f(gi(y, x), g2(y, gtixr, x2)), ...
• ••. gn(y, gi(xu x„)));
C22. gi(z, gt(x, y))=^S(gi(x, y), g{(z, x), gt(z, x)), i<n;
C23. gi(x, S(y, u, z))^=S(gi(z, y), gi(z, u), gt(x, z));
C24. gi(x, PK(y, z)) = PK(gl(z, y), gi(x, z)), K&D;
C25. gl(x, Ra(y)) = Ra(ga+2(X, У)), a < k\
C26. gi(x, Ra(y)) = Ra(gt(x. y)), fe<a<x.
Если e = 0, то список аксиом для K(X) на этом заканчц*
дается. Если 8 = 1, то добавляем еще две аксиомьп
С27. Q(gi(x, t/))==O(x);
С28. gi(y, 0(x)) = 0(y).
5.25. Определение. Квазимногообразие К. назовем стан-
дартным, если оно совпадает с К(Х) для некоторой характера
стики X типов А, В или С,
§ 5. КАТЕГОРИЧНЫЕ УНИВЕРСАЛЫ И ХОРНОВЫ КЛАССЫ
369
Так как стандартные квазимногообразия явно выписаны в
предыдущих определениях, то следующая теорема дает полное
описание категоричных квазимногообрадий.
5.26. Теорема (Палютин [6]). Любое квазимногообра-
зие К, категоричное в некоторой мощности X ||S(/<)||, рацио-
нально эквивалентно некоторому стандартному квазимногообра-
зию К (X).,
5.27. Определение. Характеристику X типов Л, В и С
назовем однородной, если выполняются следующие условия:
1) если X = <п, х, G, £>, тох^1 и | G] = 1, причем, если
х = 1, то Е = 0;
2) если X = <п, х, £>>, то х — 1;
3) если X = (п, е, k, %, D>, то х = А.
Из вида аксиом стандартных квазимногообразий легко выте-
кает следствие теоремы 5.26, которое полностью описывает ка-
тегоричные многообразия.
5.28. Следствие. Многообразие М тогда и только тогда
категорично в некоторой мощности X ||2(А1)||, когда оно ра-
ционально эквивалентно К(Х) для некоторой однородной харак-
теристики X.
_В дальнейшем будут указаны различные применения тео-
рем 5.27 и 5.28. Здесь лишь отметим одно. В работе Болдуи-
на и Лахлана [1], с. 101 был поставлен вопрос: существует
ли не локально конечное многообразие М конечной сигнатуры,
категоричное в некоторой мощности ^||S(7W)||. Из 5.28 нетруд-
но вывести
5.29. Следствие (Палютин [6]). Тогда и только тогда
существует не локально конечное многообразие М конечной
сигнатуры, категоричное в некоторой мощности %^||S(Af)||,
когда существует бесконечное конечно порожденное кольцо, яв-
ляющееся телом.
Существование указанного в 5.29 тела является нерешенным
вопросом в теории колец.
Сформулируем теперь описание категоричных многообразий,
которое дано Гивантом [2].
Пусть n-местная операция и одноместные операции р^ .
\^Л^п, определены на Ап так:
<Щ(*Р •••> *1п)....<ХпР •••> *„„»== <Х11> • ••> Хпп)>
Pn,t«Xl> •••’ Хп)) = (Х,..Xi}-
Пусть К — класс алгебр сигнатуры S. Пусть получается
из S добавлением символов dn, рп 1 i п, и
Д-п = {23|5В~(2l« ctf, для некоторой 21 еД).
360
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
Пусть о (у i) — некоторый терм сигнатуры 2Л. Определим мно-
жество
Г(о') = {/(vb vm)\t — терм сигнатуры S и
^nl=W(oG?i), tf(vi)) = о(У1)}.
Если vm)—терм сигнатуры алгебры 83, то через
...» vm\ обозначается операция, которую определяет
терм vm) в системе §3. Обозначим через Sn(tf) сигна-
туру, полученную добавлением к 2П символов m-местных опера-
ций для каждого терма t{v^ ..., vm) Т{о). Определим класс
алгебр сигнатуры 2л(о):
Кп (tf) = {(23, Vm])l («J.Vm) g= Т (а) I 23 Хп}.
5.30. Теорема (Гивант [2])*). Многообразие М тогда
и только тогда категорично в некоторой мощности X ||2(М)||,
когда М рационально эквивалентно одному из следующих клас-
сов'.
1) Vn(tf), г^е V — многообразие векторных пространств над
некоторым телом D, п^1 и tf(^i)—некоторый терм сигнату-
ры Vn\
2) Sn> где S — многообразие всех множеств {пустой сигна-
туры) и п^ 1;
3) С«, где С — многообразие всех множеств с выделенным
элементом и п^ 1.
В получении описания категоричных квазимногообразий К
важную роль играет модельная полнота класса бесконечных
Х-систем, которая следует из теоремы П. Линдстрёма (тео-
рема 5.3). Для позитивных хорновых классов теорему Линд-
стрёма. применить нельзя. Основные методы здесь — конструк-
ции на когруэнциях и метод минимальных множеств, который
был важным также для универсальных хорновых классов.
5.31. Определение. Формулу Ф назовем -формулой,
если она имеет вид
Зх! ... xn(^A ... AU
где Ч^ь ..., Ч'п — атомарные формулы.
Следующая теорема описывает категоричные позитивные
хорновы классы с точностью до Неэквивалентности классов
(см. § 1).
*) Отметим, что заметка Г и в а н т а [2] была сдана в печать 29 октября
1974 г. По удивительному совпадению именно в эти дни была сделана авто-
ром заявка на доклад «Описание категоричных квазимногообразий», который
был прочитан 12 ноября 1974 г. на семинаре «Алгебра и логика» (см. «Ал-
гебра и логика», 1975, 14, № 1, с 115).
§ 6 ПОЛНЫЕ ХОРНОВЫ КЛАССЫ
361
5.32. Теорема (Палютин [Ю]). Позитивный хорное
класс К тогда и только тогда категоричен в некоторой мощно-
сти Л>||2(/С)||, когда К В+-эквивалентен некоторому К(Х)
для однородной характеристики X.
В качестве следствия отметим
5.33, Следствие (Палютин [8]). Если К — позитив-
ный хорное класс счетной сигнатуры, категоричный в со, то К
категоричен во всех неединичных мощностях.
Таким образом, в силу 5.18 и 5.32 для универсальных хорно-
вых и позитивных хорновых классов счетной сигнатуры сущест-
вует лишь одна теория категоричности — несчетная. Для хорно-
вых классов это уже не так. Например, как ранее отмечалось,
класс безатомных булевых алгебр является хорновым, катего-
ричным в счетной мощности и некатегоричным в несчетных мощ-
ностях. Теория этого класса не стабильна. Поэтому трудно на-
деяться на достаточно исчерпывающее описание хорновых клас-
сов, категоричных в счетной мощности. Что касается категорич-
ности в несчетных мощностях, то здесь ситуация в этом смысле
вполне удовлетворительная (см. Палютин [12]).
5.34. Определение (Палютин [12]). Индукцией по
построению определим понятие h-формулы (сигнатуры 2):
а) атомарные формулы являются ft-формулами;
б) если Ф и Т — ft-формулы, то (Ф A V) также является
ft-формулой;
в) если Ф — A-формула, то ЭхФ и УхФ также являются
ft-формулами;
г) если Ф, Т — ft-формулы, то и (ЭхФ A Vx (Ф -> Ч7)) яв-
ляется ft-формулой.
Определим ft-ранг подмножества X системы §1 как макси-
мальную длину цепи ft-подмножеств X.
5.35. Предложение. Если К — категоричный в мощно-
стях >|| 2 (К) II хорное класс и Ф(х, у) — h-формула, то суще-
ствует и s о) такое, что для любой К+-системы 91 любое непус-
тое множество вида Ф(Я, а) имеет h-ранг п.
Из 5.35 следует, что любая формула эквивалентна в К буле-
вой комбинации ft-формул.
§ 6. Полные хорновы классы
В этом параграфе будут рассмотрены полные хорновы клас-
•сы, т. е. хорновы классы К, для которых Th (/Go) полна. Ясно,
что хорновы классы К, категоричные в некоторой мощности
•Л > ||2 (К)||, будут полными. Полные хорновы классы имеют ряд
свойств, которые способствуют их бодее глубокому изучению по
сравнению с произвольными полными классами.
12 Справочная книга, ч. I
362
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
6.1. О п р е д е л е н и е (Палютин [12]). Пусть класс
алгебраических систем, F— фильтр Фреше на со. Аксиоматиче-
ское замыкание класса Kh = {W>/F\%. е К} будем называть
h-компаньоном класса.К. Если Т — теория,то теорию Г* класса
(Mod(7'))/* назовем h-компаньоном теории Т.
Следующее предложение показывает, что полных хорновых
классов «достаточно много».
6.2. П р е д л о ж е н и е (Палютин [12]). Если К — пол-
ный класс (Т— полная теория), то h-компаньон класса К (тео-
рии Т) является полным хорновым классом (полной хорновой
теорией).
6.3. Определение. Если Ф, То, ..., Тп — некоторые фор-
мулы сигнатуры 2, у — набор переменных, то через а(Ф, То, ...
.. •, Тп; у) обозначим формулу
V» (( ДЗх(Ф A “IТ<)} ->Зх(Ф AftAn“IТ*)),
а через Р(Ф, То, ..., Т„; у) — формулу
Зу(ЗхФД Ух(Ф ^ Д^))^>а(Ф, То, .... Т„; у).
6.4. Теорема (Палютин [12]). Если 91 — алгебраическая
система сигнатуры 2, то для того, чтобы Th (91) была хорновой,
необходимо и достаточно, чтобы в 91 были истинны предложе-
ния а(Ф, То, ..., Т„; у) для любых h-формул (определение 5.33)
Ф(х, у), Т0(х, у)..Тп(х, у) сигнатуры 2.
6.5. Следствие. Если 2 — некоторая сигнатура, то класс
{91|91 имеет сигнатуру 2 и Th (91) хорнова}
является аксиоматизируемым.
Если 91 — алгебраическая система, то через //(91) обозначим
наименьший хорнов класс, содержащий систему 91.
Из теоремы 6.4 получаем также
6.6. Следствие. Если 2 — некоторая сигнатура, то класс
{91191 — бесконечная система сигнатуры Zu Н (91) — полный класс}
аксиоматизируем с помощью аксиом а(Ф, То, .... Тя; у), где
Ф, То,..., Тп — h-формулы.
Следствие 6.6 можно переформулировать так:
6.7. Следствие. Класс всех бесконечных систем сигна-
туры 2, принадлежащих полным хорновым классам, аксиомати-
зируем.
Ниже будет показано, что условие бесконечности систем в
этом утверждении убрать нельзя. Что касается конечных систем,
то здесь имеет место
$ 6. ПОЛНЫЕ ХОРНОВЫ КЛАССЫ
363
6.8. Теорема (Палютин [12]). Если Я— конечная ал-
гебраическая система сигнатуры 2, то для того, чтобы /£(Я)
был полным хорновым классом, необходимо и достаточно, чтобы
в Я были истинны предложения 0(Ф, То, ..., Ч\) для всех
h-формул Ф(х, у), Т0(х, у)...Тл(х, у) сигнатуры 2.
6.9. Следствие, Класс конечных алгебраических систем
сигнатуры 2, принадлежащих полным хорновым классам, аксио-
матизируем в классе всех конечных систем сигнатуры 2.
Следующая теорема контрастирует с утверждениями 6.7
и 6.9.
6.10. Теорема (Палютин [12]). Если сигнатура 2 со-
держит символы местности >0, то класс алгебраических систем
сигнатуры 2, принадлежащих полным хорновым классам, не ак-
сиоматизируем.
6.11. Лемма (Палютин [12]). а) Если Я — алгебраи-
ческая система сигнатуры 2 и F — фильтр Фреше на ©, то
Я®/Р|=а(Ф, То, ..., Т„; у) для любых h-формул Ф(х, у),
То(х, у),..., Т„(х, у) сигнатуры 2.
б) Если К — класс алгебраических систем сигнатуры 2
и К к= а (Ф, То, ..., Т„; у) для всех h-формул Ф (х, у), То (х, у),...
..., Т„ (х, у) сигнатуры 2, то для любой формулы <р (х) сигна-
туры 2 существует формула <Pi (х), эквивалентная в классе К.
формуле ф(х) и являющаяся булевой комбинацией h-формул
сигнатуры 2.
Заметим, что из этой леммы вытекает предложение 6.2. Не-
посредственным следствием данной леммы является также
6.12. Теорема (Вашкевич н Венглож [1]). Если
Т — счетно категоричная теория, то ее h-компаньон Th также
счетно категоричен.
Так как Th (Я) счетно категорична для любой конечной си-
стемы Я, то отсюда вытекает
6.13. Теорема. Если К — полный хорное класс, содержа-
щий неодноэлементную конечную систему, то К счетно катего-
ричен.
Отметим, что для случая, когда К — многообразие, этот факт
был получен независимо Лахланом [3].
6.14. Определение. Если Ф(х, у) — некоторая формула,
то через у(Ф; у) обозначим предложение
УуУу'(Эх(Ф(х, у)ДФ(х, у')) Vx (Ф (х, у)-Ф(х, /))).
6.15. Теорема (Палютин [12]). Для того чтобы пол-
ная хорнова теория Т была стабильна, необходимо и docTaro4Hot
чтобы у(Ф; у} в= Т для любой h-формулы Ф(х, у).
1U»
364
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
Из теоремы 6.15 следует, что если К — полный хорнов класс
и Th(7<oo) стабильна, то для любой К-системы 31 и Л-формулы
Ф(х, у) множества вида Ф(Э1, а), аеА, либо совпадают, либо
не пересекаются. В частности, для любого конечного множества
ft-формул X и любой К-системы 51 множества вида Ф(Э1, а), где
Ф(х, у) X и а & Д; не могут образовывать бесконечную стро-
го убывающую цепь.
6.16. Определение. Будем говорить, что класс К алге-
браических систем удовлетворяет условию h-минимальности
(Э+-минимальности), если в любой /С-системе 81 не существует
бесконечной строго убывающей последовательности множеств
вида Ф(91, а), где Ф(х,у) — ft-формула (Э+-формула) и аеЛ.
Из следствия 5.35 легко вывести такой факт: если хорнов
класс К категоричен в некоторой мощности ||S(/<)||, то К
удовлетворяет условию ft-минимальности. Обратное утвержде-
ние неверно даже для квазимногообразий. Примером может
служить квазимногообразие К со следующими простыми аксио-
мами:
1) fltaz),
2) R(c2i+x)->x = y, Ze®;
3) Ci = Ci~> х = у,
Легко проверить, что Кх удовлетворяет условию Л-минимально-
сти и не категоричен ни в какой бесконечной мощности. Однако
для позитивных хорновых классов имеет место
6.17. Теорема (Палютин [8]). Для категоричности
полного позитивного хорнова класса К в мощностях >||S (К) ||
необходимо и достаточно, чтобы К удовлетворял условию Э+-
минимальности.
Эта теорема используется в доказательстве следующего ре-
зультата.
6.18. Теорема (Палютин [10], [14]). Если К — полный
позитивный хорнов класс, то либо Sk(X) = 1 для всех X >'
> ||S(K)II, либо 5к(М = 2х для всех Х> ||2(К)||.
Что касается спектров в мощности ||S (К) II, то отметим здесь
следующий факт.
6.19. Теорема (Палютин [10], [14]). Если М — полное
многообразие счетной сигнатуры, не категоричное в несчетный
мощностях, то Sm (со) — 2ю.
Приведем пример полного многообразия, не категоричного ни
в какой бесконечной мощности. Вопрос о существовании таких
многообразий ставился в диссертации Гиванта [3].
6.20. 'Пр им е р (Палютин [11]). Универсальные замыка-
рия следующих аксиом задают полное многообразие, теория ко-
торого несуперстабильна.
§ 6. ПОЛНЫЕ ХОРНОВЫ КЛАССЫ
365
lo- fo(goX, hox) = x-,
In- fn (gnx, hnx) = gn_{x, 1 < n < ©;
2„. fn(x, y) = fn(gnx,'hny), n<=&;
3„. gn(fn(x, y)) = gnx, песо;
4n- hn(fn(x, y)) = hny, new;
5„. Tt)x = nx> 4Gfen, hn}, new;
6rt. gnx = gngn-\X, 1 < n < co;
7n. hnx = hngn_ix, l<n<co;
8n. gn-l (fn (x, У)) = fn(x, У), l<l<n< CO.
Теоремы 6.18 и 6.19 полностью описывают бесконечные спек-
тры полных многообразий счетной сигнатуры. В силу теоре-
мы 6.13 некатегоричные полные многообразия не имеют систем
в неединичных конечных мощностях. По теореме 5.18 категорич-
ные квазимногообразия в любой конечной неединичной мощно-
сти имеют не более одной системы. Таким образом, для получе-
ния полного описания спектров полных многообразий нужно
описать такие множества X <о, для которых существует много-
образие А4, что
X = {new|SM(n)=/=0}.
Такое описание нетрудно получить из теоремы представления
для категоричных многообразий (5.28).
6.21. Теорема, а) (Палютин [5]). Множество Х^со
тогда и только тогда является множеством мощностей конечных
систем некоторого полного квазимногообразия, когда оно равно
одному из следующих множеств'.
1) {О U {pa'm I т е со, пг^Ь}, где а, р — простое
число;
2) {1} U {(а-т + b)c ] пг е со}, где с е со, а 0, b 1, или
существует группа подстановок степени b порядка а, любой не-
единичный элемент которой имеет не более одной неподвижной
точки.
б) Множество X со тогда и только тогда является множе-
ством мощностей конечных систем некоторого полного многооб-
разия, когда оно равно одному из следующих множеств'.
{ра'т | ш е со}, где а^а>, р — простое число.
Что касается бесконечных спектров полных квазимногообра-
зий, то здесь, в отличие от многообразий, ситуация гораздо
сложнее. Приведенные ниже примеры показывают, что полные
квдзцмногробразия имеют несчетные спектры, отличные от не-
счетных спектров полных многообразий.
966
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
6.22. Примеры. Ниже будут определены полные квази-
многообразия Kt, i е {1, ...» 4), счетной сигнатуры, несчетные
спектры (®а), а^1, которых соответственно равны | а | + ®»
(| а 1 + ©)“, | а Г и 2“«.
О S/Ci (®а) = | а [ + ®. В качестве Ki можно взять пример,
приведенный перед теоремой 6.17.
2) (иа) = (| а | + ©)“. Сигнатура Ki состоит из символов
предикатов Рп и констант с", п, Ле®. Аксиомами будут:
(3) Р0(х);
(б) Pn+i(x)->P„(x), пев;
(в) Р„(Са), п, Лею;
<г) "1 pn+i (с*)> Л е
(д) "1 с" = п е ®, k < I < ®.
3) Sjg (®а) = (I а I + ®)2* Обозначим через X множество функ-
ций /:®->{0, 1), принимающих значение 0 везде, за исклю-
чением конечного множества значений аргумента. Сигнатура
К3 состоит из символов предикатов Р„, п е ®, и констант cf,
f е X. Аксиомы Кз следующие:
(а) Р„(с/), new, fel, f(n)=l;
(6) ~]Pn(cf), neo, feX, f(n) = Q.
4) (®a) = 2““. В качестве Ki можно взять полное несу-
перстабильиое многообразие (пример 6.20). Однако среди пол-
ных квазимногообразий существует тотально трансцендентное
с таким спектром. Сигнатура Ki состоит из символов одномест-
ных функций f, f~\ g и h. Пусть f"(x) обозначает терм
где символ f встречается п раз. Аксиомы Kt та-
ковы:
a) /Г’(х) = Г7(х) = х;
б) fn(х) =/= х, new;
в) gn (х) =#= х, new;
г) g(x) = gf(x);
Д) яЛ(х) = х.
6.23. Проблема. Описать все спектры полных хорновых
классов (квазимногообразий).
§ 7. КОНЕЧНАЯ АКСИОМАТИЗИРУЕМОСТЬ КАТЕГОРИЧНЫХ ТЕОРИЙ 367
В оставшейся части параграфа мы рассмотрим модельную
полноту хорновых классов.
Из предложения 5.35 и лемм 10, 11 статьи Палютина [12f
доказывается
6.24. Теорема. Категоричный в мощностях >||Е(К)|| хор-
нов класс К является модельно полным.
6.25. Теорема. Если К — модельно полный хорнов класс,
то К является объединением семейства {Kt ] i е /} попарно не-
пересекающихся полных модельно полных хорновых классов.
Доказательство. Так как любая К»-система Я вклады-
вается в фильтрованную степень Я®//7 по фильтру Фреше, то из
леммы 6.11, а) и модельной полноты К получаем, что
ЯИ=а(Ф> Ч'о» • ••. У) Для любых й-формул
Ф(х, у), Wotx, у), ..., Чп(х, у) сигнатуры S(/<).
Требуемое утверждение следует теперь из теоремы 6.4.
6.26. С л е д с т в и е (Болдуин и Гивант [1]). Пусть
К — универсальный хорнов класс и К° состоит из всех К-систем,
вложимых в неодноэлементные К-системы. Для того чтобы К
был модельно полным, необходимо и достаточно, чтобы К° был
объединением семейства {L™ ] I е 1} полных модельно полных
универсальных хорновых классов, попарные пересечения кото-
рых содержат лишь одноэлементные системы.
Доказательство. Достаточность очевидна. Пусть К мо-
дельно полон. Пусть {Ki | i е 1} — семейство из теоремы 6.25.
Так как класс К универсальный и модельно полный, то хорновы
классы Ki, I е I, замкнуты относительно взятия бесконечных
подсистем. Пусть получается добавлением к К, всех конеч-
ных систем, вложимых в К,-системы. Ясно, что А(<), i е I, будут
универсальными хорновыми полными модельно полными клас-
сами. Если бы существовала неодноэлементная система Яе£(,)Л
П £(/) для i =/= /, то было бы также Я® е Ki Г1 К/, что противоре-
чит условию Ki П К/ = 0.
Из доказанного следствия, теоремы 6.13 и теоремы 5.18 вы-
текает
6.27. Следствие (Болдуин и.Гивант (1J). Если К —
модельно полный локально конечный универсальный хорнов
класс, то спектр S* класса К ограничен. Если ||Е(К)|| <в, то
Sx(X) ^2® для любого К.
§ 7. Конечная аксиоматизируемость категоричных теорий
После того как уже найдены примеры теорий с каким-то
свойством Р, естественно возникает вопрос, существует ли тео-
рия со свойством Р среди конечно аксиоматизируемых теорий.
Иногда ответить на такой вопрос довольно трудно. В частности,
368
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
до недавнего времени не был решен вопрос, поставленный
Морли [1], о существовании конечно аксиоматизируемой wi-
категоричной теории, не являющейся «-категоричной. В 1979 г.
М. Г. Перетятькин построил пример такой теории, который бу-
дет сформулирован ниже. Заметим, что пример полной «-катего-
ричной конечно аксиоматизируемой теории довольно прост: тео-
рия плотных линейных порядков без первого и последнего эле-
мента.
Что касается другого известного вопроса: «Существует ли
полная теория, категоричная во всех бесконечных мощностях»,
то ответ на него получен недавно Б. И. Зильбером.
7.1. Теорема (Зильбер [3]). Если теория Т конечно ак-
сиоматизируема и категорична во всех бесконечных мощностях,
то Т не полна, т. е. Т имеет конечные модели.
7.2. Пример (Перетятькин [2]). Ниже будет опреде-
лена минимальная модель Йо, теория То которой конечно аксио-
матизируема, категорична в «1 и не категорична в со. Сигнатура
So системы Йо состоит из пяти символов одноместных предика-
тов D, П, А, X, U и пяти символов двухместных предикатов <],
Р, Е, R, $*). Основное множество Ло системы Йо будет Z4X
X {-1.1}. где Z — целые числа. Пусть х, у е Ло и
х = <аь а2, а3, а4, <т), f/ = (0i, 02, ₽з> 04> т>.
Предикаты в алгебраической системе Яо определяются так:
а) х ₽2 = «2-1- 1.
б) хРу 01 = а, + 1,
в) хЕу *-* 02 = а2 А 0з = а3 А 04 = а4,
г) xRy *-> 01 = at + 1 А <т = т А А 01 =
2 < i <4
д) xSy 01=0! л а=т А 02=а2 + 1 А а3=03 + 1 А 04=а4+1,
е) D (х) *-> О) == а2,
ж) П (х) *-♦ а] =а3 = а4 А « = 1,
з) Л (х)*->а3 = а4 А «= 1,
и) t/(х)а! =а3 А а, #= а4 А о = 1,
к) X (х) *-> а, =/= а3 А «! = а4 А (« = — 1 *-> («з — «4) четное).
Если добавить к сигнатуре теории То некоторые символы
операций, определимых в То, то можно получить конечно аксио-
матизируемую универсальную теорию, категоричную в ац и не-
*) Сигнатура теории в работе Перетятькина [2] содержит, кроме
перечисленных, еще 9 символов, однако этй предикаты выражаются через
остальные и служат лишь для удобства изложения.
§ 8. СПЕКТР СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
369
категоричную в о. Однако не видно никаких путей, как можно
переделать пример М. Г. Перетятькина, чтобы получить полную
хорнову конечно аксиоматизируемую ©ркатегоричную теорию.
Интерес к такой теории объясняет
7.3. Теорема. Тогда и только тогда существует полная
хорнова конечно аксиоматизируемая ^-категоричная теория,
когда выполняется одно из следующих условий'.
1) существует бесконечная группа G, любая нетривиальная
циклическая подгруппа которой пересекается с некоторым фик-
сированным конечным множеством нетривиальных классов со-
пряженных элементов;
2) существует конечно определенное бесконечное кольцо, яв-
ляющееся телом.
Эта теорема следует из имеющегося полного описания кате-
горичных хорновых классов, начатого в работе Палютина
112]*).
Условия 1) и 2) являются известными нерешенными вопро-
сами из теории групп и теории колец. Таким образом, если бы
удалось построить теорию, аналогичную теории М. Г. Перетять-
кина, но еще и хорнову или доказать, что таких нет, то был бы
решен известный алгебраический вопрос.
§ 8. Спектр специальных моделей
В этом параграфе будет рассмотрено распределение по мощ-
ностям насыщенных, однородных, генерических, жестких и топо-
логизируемых моделей элементарных теорий.
Напомним (см. главу 2, определение 6.5), что алгебраиче-
ская система §1 является н-насыщенной, если для любого X А
мощности |Х| < х любое совместное с ТЬ(Ях) множество
{Ф/(х) | I е /} формул сигнатуры выполнимо в %х. Бесконеч-
ная алгебраическая система 91 называется насыщенной, если она
является |А [-насыщенной.
Насыщенные алгебраические системы играют важную роль
в теории моделей. Фундаментальные теоремы о существовании
и единственности насыщенных систем приведены в § 6 главы 2.
8.1. Теорема (Морли и Boot [1]). Каждая элементар-
ная теория Т имеет к+-насыщенную модель мощности 2х для лю-
бого бесконечного кардинала х.
8.2. Следствие. При обобщенной континуум-гипотезе
(ОКГ) любая элементарная теория Т имеет насыщенную мо-
дель в любой регулярной мощности X.
*) Эквивалентность условия 1) существованию конечно аксиоматизируе-
мого (di-категоричного не со-категоричного квазимногообразия унаров дока-
зана М. А. Тайцлиным и Ю. Е. Шишмаревым в работе Абакумова, Па•
лютина, Шишмарева и Тайцлина [1].
370
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
В самом деле, существование насыщенных моделей теории Т
мощностей вида х+ при ОКГ следует из 8.1. Насыщенную мо-
дель И предельной регулярной мощности А можно получить как
91 — (J Ях, где ?lXl < 91и, для щ < нз и Ях, х < А, являются на-
х<Л
сыщенными моделями теории Т мощности х+.
Отметим, что без ОКГ нельзя утверждать, что произвольная
элементарная теория Т имеет хотя бы одну насыщенную модель.
Это следует из известных результатов о независимости в ZFC и
следующего утверждения.
8.3. Предложение. Существует такая полная теория Т\,
что Т\ не имеет счетных насыщенных моделей и насыщенных мо-
делей сингулярных мощностей, а существование насыщенной мо-
дели теории Ti любой регулярной мощности А > <о равносильно
выполнению условия 2* А для всех х < А.
В качестве Т\ можно взять, например, Th(<<o; +, •>).
Как уже отмечалось в §§ 3 и 4, у тотально трансцендентных
и стабильных теорий «много» насыщенных моделей.
Спектр (грубый) насыщенных моделей полных теорий пол-
ностью описывает
8.4. Теорема (М. Морли, Р. Boot, С. Шелах). Полная тео-
рия Т тогда и только тогда имеет насыщенную модель мощно-
сти К, когда выполняется по крайней мере одно из следующих
условий:
1) Т стабильна в А, т. е. для любого множества А в Т мощ-
ности А имеет место |5(Л) | А;
2) А= Е АИ + |Р(Т)|.
8.5. Следствие (Boot [1]). Для того чтобы полная тео-
рия Т имела счетную насыщенную модель, необходимо и доста-
точно, чтобы |£>(7’) | = о.
Следующая теорема отчасти объясняет значительный интерес
к насыщенным системам в теории моделей.
8.6. Теорема (Морли и Boot [1]). Если Я и 93— две
насыщенные модели полной теории Т и |Л| = |В|, то 91 ы 93 изо-
морфны.
Таким образом, класс насыщенных моделей любой полной
теории Т категоричен во всех мощностях. Как было отмечено в
§ 2, имеет место в некотором смысле обращение этого утвер-
ждения.
8.7. Теорема (М. Морли, С. Шелах). Если полная теория
Т категорична в мощности А | Т |, то все модели Т мощностей
|Г| насыщены.
Ослаблением условия насыщенности системы является свой-
ство однородности.
$ 8. СПЕКТР СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
зп
8.8. Определение. Алгебраическая система Я называет-
ся однородной, если для любого Xs А мощности < | Л | любое
элементарное в Я отображение f: Х-+-А (т. е. (Я,
fa)asX) продолжается до автоморфизма Я.
Легко показывается, что насыщенная система является одно-
родной.
8.9. Определение. Алгебраическая система Я называет-
ся /^-однородной, если любой элементарный в Я изоморфизм
между двумя элементарными подсистемами Si, S32 -< Я мощно-
сти < | А | продолжается до автоморфизма Я.
Оба эти понятия рассматривались в работах Кейслера
[1] и Кейслера и Морли [1]. Смешение данных понятий
однородности и ошибочные утверждения об их эквивалентности
в этих работах (что, конечно, не уменьшает большую ценность
этих работ) было причиной появления работы Палютина [2].
Основным результатом этой работы является
8.10. Теорема (Палютин [2]). Для любого кардинала
х > ® существует /^-однородная система Я мощности и, не яв-
ляющаяся однородной.
Для однородных моделей имеют место следующие теоремы
существований и единственности.
8.11. Теорема (Кейслер и Морли [1]). Пусть Т —
полная Теория, Я, S3— модели Т, ] А | = м и S3 однородна. Тогда
существуют счетные однородные Т-модели S2. для которых
Я < S; и S32 < 9.
8.12. Теорема (Кейслер и Морли [1]). Пусть Я, S3 —
однородные модели полной теории Т, для которых имеет место
|А| = |В| ив которых реализуются одни и те же х-типы для
любого кортежа х переменных. Тогда системы Я и S3 изоморфны.
8.13. Определение. Если Т — полная теория, то функ-
ция спектра класса однородных Т-моделей будет обозначаться
через hT.
Из 8.2 и 8.11 вытекает, что для любой полной теории Т имеет
место ftr(<o) >0 и при ОКГ йг(Х) > 0 для любой регулярной
мощности 1.
8.14. Теорема (Кейслер и Морли [1]). Если для
полной теории Т имеет место hT(®) гС <о, то hT(k) для
любого бесконечного кардинала X.
8.15. Теорема (Кейслер и Морли [1]). При ОКГ
имеет место йг(х) для любой полной теории Т и несчет-
ных кардиналов
8.16. Следствие (ОКГ). Функция hr является невозра-
стающей, за исключением единственного случая-. =wt и
ftr(®lj = (В2.
372 ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
8.17. Проблема (Кейслер и Морли [1]). Сущест-
вуют ли полные теории Г, для которых hr удовлетворяют усло-
виям:
1) со > hT (со) > Зйг (©О;
’ 2) hT (со) = cd, 1 < hT (cdi) < cd;
3) йг(<о) = сд1, ^((OjXco;
4) hf (co) co, hj* (g>|) hT (^2)1
5) hf (©2) > йу (®з)?
Из теоремы 8.12 вытекает
8.18. Теорема. Если, начиная с некоторого кардинала К
все модели полной теории Т однородны, то спектр Т ограничен.
Если в условии предыдущей теоремы имеет место К = coi,
то можно получить более сильное заключение.
8.19. Теорема (Шелах [3]). Если все модели счетной
полной теории Т мощности cdi однородны, то Т категорична в не-
счетных мощностях.
Следующий пример показывает, что существуют некатего-
ричные полные теории Т, все модели которых, начиная с некото-
рой мощности, однородны. В силу теорем 8.18, 3.21 и 4.39 такой
пример обязан быть суперстабильной не тотально трансцендент-
ной теорией.
8.20. Пример (М. Морли). Сигнатура теории То состоит
из множества {Рп | п е со} одноместных предикатов и двумест-
ной операции +. Аксиомами Го будут
1) Зх А Р\1 2 3 * * * (х) для любых п е а и наборов 0О, ..., 6^ е
i < п 7
еп+12, где Р? = ПЛ, P\ = Pf,
2) операция + задает на Т0-моделях элементарную абелеву
2-группу;
3) VxVt/ ((Рп (х) Рп (у)) *-> 1 Рп (х + у)),
Легко проверить, что. для любой Го-модели 91 множество
{а е А | 91 "1Р (а) для всех п е
с операцией + является подгруппой Я(91), а для любого а^А
множество
{Ь е А | 911= Рп (Ь) «-> Рп (а) для всех п <= со}
является смежным классом На по подгруппе //(Я). Поэтому из
условия | А| > 2“ следует |Я(91)| = |Л| и |Яа| = |Л| для
всех а е А. Отсюда легко вытекает, что все To-модели 91 мощно-
сти >2“ однородны.
§ 8. СПЕКТР СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
373
8.21. Г и польз а. Если полная* теория Т имеет ограничен-
ную функцию спектрау то все модели Т, начиная о некоторой
мощности X, однородны.
В § 8 главы 2 дано определение Т-генерической модели для
элементарной теории Т. Ниже мы будем пользоваться поня-
тиями и результатами, содержащимися там. Генерические вУЗ-
теории Т алгебраические системы являются алгебраически замк-
нутыми в Т. Этот факт, а также определенная «конструктив-
ность» генерических моделей (возможность построения их ин-
дуктивно, добавляя условия в диаграмму) объясняют заметную
роль генерических моделей в теории моделей.
Ниже будут приведены результаты, касающиеся возможных
спектров генерических моделей полных теорий.
8.22. П редложение (Робинсон [1]). Если Т — счет-
ная теория, то существует счетная Т-генерическая алгебраиче-
ская система.
8.23. Определение (А. Робинсон). Теория Т называется
форсинг-полной, если Т = Tf, где Tf— теория класса Т-генери-
ческих моделей.
С. Шелах нашел теорию То, не имеющую Т0-генерических си-
стем. Конечно, согласно утверждению 8.22 такая теория должна
иметь несчетную сигнатуру. Теория То, построенная С. Шела-
хом, не является ни полной, ни форсинг-полной. Поэтому пред-
ставляет интерес
8.24. Теорема (Чихачев [1]). Существует полная и
форсинг-полная теория Т\, не имеющая Т^-генерических систем.
Макинтайр [1] высказал гипотезу, что существует такая
счетная теория Т, для которой имеется Т-генерическая модель
мощности coi и не имеется Т-генерической модели мощности со2-
При континуум-гипотезе это предположение подтверждает
8.25. Теорема (Чихачев [2]). Существует полная и
форсинг-полная счетная теория Т, для которой имеется Т-гене-
рическая модель мощности 2° и не имеются Т-генерические мо-
дели мощностей X > 2°.
Барвайсом и Робинсоном [1] было доказано, что
для счетной теории Т класс Т-генерических моделей аксиомати-
зируем в языке Ьфю. Этот факт, а также результаты из работы
Кейслера [3] о грубых спектрах теорий языка LW1W исполь-
зуются для доказательства следующей теоремы.
8.26. Теорема (Чихачев [3]). Счетная теория Т тогда
и только тогда имеет Т-генерические модели во всех бесконеч-
ных мощностях, когда существует такая Т-генерическая модель
й, что некоторая ее скулемизация 81s имеет бесконечную нераз-
личимую последовательность.
374
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
Имеется пример (Чихачев [3]), показывающий, что в
предыдущей теореме нельзя заменить скулемизацию 8s на саму
модель Я.
8.27. О п р е д е л е н и е. Алгебраическая система Я назы-
вается жесткой, если Я имеет единственный (тождественный) ав-
томорфизм.
Простота и естественность определения жестких систем яв-
ляются стимулами для изучения спектра жестких моделей эле-
ментарных теорий. Эренфойхт [2] впервые поставил проб-
лему полного описания грубых спектров жестких моделей эле-
ментарных теорий. Для конечно аксиоматизируемых теорий
С. Шелах дал следующую характеризацию таких спектров.
8.28. Теорема (Шелах [10]). При предположении ОКГ
класс кардиналов W тогда и только тогда является грубым
спектром жестких систем некоторой конечно аксиоматизируемой
теории TQ, тогда существует ^-высказывание Ф логики второго
порядка, для которого W = {X | X |= Ф}.
8.28' . Проблема. Описать грубые спектры жестких си-
стем для многообразий, квазимногообразий и хорновых классов.
В связи с этой проблемой интересны следующие результаты.
8.29. Теорема (Баррис [1]). Пусть хорное класс К со-
держит систему Я со следующими свойствами'. (1) Я жесткая,
простая и конечно порожденная', (2) решетка конгруэнций Я2
четырехэлементна, а решетки конгруэнций Яп, лею, модуляр-
ны. Тогда грубый спектр жестких систем хорнова класса К ра-
вен {X J X ю}.
8.30. Теорема (Пинус [4]). Пусть К — хорное класс,
все системы которого обладают дистрибутивными решетками
конгруэнций и существует такая жесткая К+-система Я, что со-
вокупность ее главных конгруэнций образует жесткое линейно
упорядоченное множество. Тогда грубый спектр жестких К-си-
стем содержит все кардиналы X max {| А|, (oj.
В доказательстве предыдущих теорем используется техника
булевых степеней и результат С. Шелаха о том, что грубый
спектр жестких булевых алгебр равен {X | X <хц}. Эта же тех-
ника используется для доказательства следующего результата.
8.31. Теорема (Пинус [4]). Любое многообразие М ас-
социативных колец с единицей содержит жесткие кольца любой
бесконечной мощности.
Алгебраическая система Я называется Тi-топологизируемой,
{1, 2, 3, 4}, если существует недискретная Л-топология т на
множестве А, при которой все операции Я непрерывны, а преди-
каты открыты в соответствующей степени (А, т)п топологиче-
ского пространства (А, т). Хаусдорфово топологизируемые (т. е.
Т2-топологизируемые) алгебраические системы будем просто на-
зывать топологизируемыми.
§ 8. СПЕКТР СПЕЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
375
Ясно, что любая конечная алгебраическая система Я не топо-
логизируема. Поэтому в дальнейшем под нетопологизируемой
алгебраической системой мы всегда понимаем бесконечную не-
топологизируемую систему.
Марков [1] поставил вопрос: существует ли нетопологизи-
руемая группа. В 1967 г. А. И. Мальцев на Всесоюзной тополо-
гической конференции в Новосибирске напомнил о проблеме
А. А. Маркова и поставил вопросы о топологизируемости дру-
гих алгебраических систем (например, луп). Первый пример не-
топологизируемого группоида был построен Хансоном [1].
Тайманов [3] построил пример нетопологизируемой полу-
группы. Арнаутов [2] дал пример нетопологизируемого
кольца. Ш е л а х [И] при ОКГ построил несчетную нетопологи-
зируемую группу. Хессе [1] элиминировал ОКГ в построении
С. Шелаха. А. Ю. Ольшанский заметил, что нетопологизируе-
мую счетную группу легко построить с помощью одной группы,
описанной С. И. Адяном. В книге Адяна [1] построена группа
А (2, р) для любого нечетного р > 665 со следующими свой-
ствами:
1) существует такой элемент д0еА(2, р) бесконечного по-
рядка, что для любого отличного от единицы Ь е А (2, р) суще-
ствует такое число $ =/= 0, что Ьр — ао;
2) подгруппа, порожденная элементом aQ, является центром
группы А (2, р).
Пусть теперь р — некоторое простое число >665, а Н —
подгруппа, порожденная в А (2, р) элементом ар. Рассмотрим
группу G=A(2, р)1Н. Группа G обладает следующими свой-
ствами:
1) bpt = e для всех
2) | {b е G | Ьр = е} | = р.
Так как множество {b е G j bp = е} должно быть открытым в
любой топологизации G, то группа G нетопологизируема.
Марков [1] нашел простые необходимые и достаточные ус-
ловия на счетную группу G, для того чтобы она была топологи-
зируемой. Арнаутов [1] нашел аналогичные условия для то-
пологизируемости счетных колец и доказал, что все счетные
кольца топологизируемы. В работе Тайманова [5] найд^ры
необходимые и достаточные условия для топологизируемости
счетных тел. Подевский [1] показал, что любое счетное тело
допускает 22<д различных Л-топологий. Этот результат был об-
общен Килтиненом [1] на тела любой мощности.
8.32. Определение. Пусть Я—некоторая алгебра сигна-
туры S. Элемент бе А называется Т ^изолированным в Я, если
существуют натуральное число и, термы у), i и, сигна-
туры Е, наборы at е A, i и, и элементы bi g A, i л, для
376
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
которых выполняется условие
{&}== П {d^A\ti(dt a^bi}.
i п
8.33. Теорема (Подевский [2]). Для того чтобы счет-
ная алгебра 91 была Тr-топологизируемой, необходимо и доста-
точно, чтобы нашелся элемент Ь е А, не являющийся ^-изоли-
рованным в 91. Кроме того, если счетная алгебра 91 является 7\-
топологизируемой, то имеется 22“ Т\-топологий на 91.
8.34. О п р е д е л е н и е. Пусть 91 — некоторая алгебра сиг-
натуры S. Элемент Ь е А называется ‘Т ^-изолированным в 91,
если существуют натуральное число п, термы ti(x, у), qi(x,y) и
наборы at, bi е А для i п такие, что выполняется условие
{Ь}= П {d^A\ti(d, a^q^d, 6Z)}.
i < n
8.35. Теорема (Тайманов [4]). Для того чтобы счет-
ная алгебра 91 была Т2-топологизируемой, необходимо и доста-
точно, чтобы нашелся элемент Ь е А, не являющийся Т2-изоли-
рованным в А.
Отметим, что все упомянутые выше условия топологизируе-
мости счетных групп, колец и тел являются частными слу-
чаями условия из теоремы 8.35.
В заключение параграфа приведем простой пример, показы-
вающий, что из Ti-топологизируемости алгебры 91 не следует
ТУтопологизируемость 91.
8.36. Пример. Пусть А = Z — {0}, а сигнатура S состоит
из одноместных функциональных символов fn, —{0}.
Пусть 91—алгебра сигнатуры S, на которой функции fn опреде-
лены так:
k, если | k \ = п,
k, если | k |#=п.
Алгебра 91 удовлетворяет условию теоремы Подевского, так как
для любого feeA, терма /(х) сигнатуры S множество {а е
е А | t(a) =/= fe} имеет конечное дополнение в А. Следовательно,
91 является Ti-топологизируемой. Так как для любого k^A мы
имеем
{a^A\flkl(a)^fik\+i(a)} = {k, - k, k+l, — (£ + 1)},
то по теореме Тайманова 91 не является ^-топологизируемой.
§ 9. Неэлементарные языки
В этом параграфе будут рассмотрены спектральные вопросы
теорий в логике с кванторами CG и Хэртига, непрерывной ло*
гике и бесконечных логиках и Look.
§ 9 НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЯЗЫКИ 377
Для теории Т неэлементарного языка проблема описания
даже грубого спектра М(Т) может оказаться очень трудной. На-
помним, что грубым спектром М(Т) теории Т называется класс
кардиналов, для которого
% е М (Г) О существует Т-модель мощности %.
9.1. Определение. Числом Ханфа A(L) логики L назы-
вается такой наименьший кардинал %, что для любой теории Т
в логике L выполняется условие: если существует Т-модель
мощности ^х, то существуют Т-модели как угодно большой
мощности.
9.2. Определение. Числом Лёвенгейма I(L) логики L
называется такой наименьший кардинал х, что для любой тео-
рии Т в логике L выполняется следующее условие: если суще-
ствует Г-модель мощности ^х, то существует Т-модель мощно-
сти <х.
Из простых мощностных рассуждений вытекает
9.3. Предложение (Ханф [1]). Если совокупность
предложений логики L является множеством (т. е. не является
собственным классом), то числа Ханфа h(L) и Лёвенгейма /(L)
существуют.
Определим число Лёвенгейма—Скулема для логики L как
такой наименьший кардинал х, что для любой теории Т в ло-
гике L и любой Т-модели 51 мощности ^х существует подмо-
дель Э модели 51, для которой Э == Т и |В| < х. Несмотря на
тесную связь этого числа с числом Лёвенгейма, аналог предло-
жения 9.3 для этого числа не имеет места. А именно, справед-
лива
9.4. Теорема (Пинус [1]). Для логики второго порядка
число Лёвенгейма— Скулема не существует. Точнее, существует
формула ср логики второго порядка, имеющая модели как угодно
большой мощности и такая, что любая модель 51 формулы ф не
имеет собственных ^-подмоделей.
Логика L2(Qi) получается добавлением к правилам обра-
зования формул сигнатуры 2 нового правила: если ф — форму-
ла L2(Qi) и х — переменная, то Сбхф — также формула
L2(Qi). В "определение истинности формул на модели 51 добав-
ляется такой пункт: 51 |= О1%ф(х, а) тогда и только тогда, когда
| Ф (51, а) | coi. Через L(Ch) обозначается логика
U {L2(Qi) | 2 — некоторая сигнатура}.
Обзор результатов по такой логике содержится в работах
Кейслера [2] и Воота [2]. Используя рассуждения, ана-
логичные элементарному случаю, можно для любой алгебраиче-
ской системы 51 сигнатуры 2 построить L(Qi)-подсистему Э си*
стемы 51 мощности coi + |2|. Таким образом, имеет место
378
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
9.5. Предложение. Число Лёвенгейма для логики
L2(Qi) равно (coi + |21)+.
Для числа Хайфа доказательство значительно сложнее.
9.6. Теорема (Boot [2]). Если ||S|| (о, то число Хан-
фа для логики L2(Ch) равно 0(<oi, <о).
Дж. Болдуин (см. Фридман [1]) поставил вопрос: суще-
ствует ли предложение ср логики L(Ch), имеющее ровно одну
(с точностью до изоморфизма) несчетную модель? Частичным
ответом на этот вопрос является
9.7. Теорема (Ш е л а х [9]). При предположении аксио-
мы конструктивности V = L не существует предложения языка
L (Qi) {даже языка LQ1W(Qi)), имеющего ровно одну несчетную
модель.
В частности, из 9.7 следует, что положительно решить проб-
лему Болдуина нельзя.
В работе Хэртига [1] введено расширение L2(l) элемен-
тарного языка, которое получается путем добавления к прави-
лам образования формул сигнатуры S нового правила: если ср,
ф— формулы L2(l) и х — переменная, то |х(ф, ф)—также
формула L2(l). Определение истинности формул на алгебраиче-
ской системе Я дополняется таким пунктом:
21|х (ф (х, а), ф (х, Ь)) тогда и только тогда, когда | ф (21, а) | =
= 1ФСЯ, 6)1.
Квантор I называется квантором Хэртига, а через L (I) обоз-
начается логика
U{LS(I) |S—некоторая сигнатура).
9.8. Определение. Если L — некоторая логика их—
кардинал, то х называется ^-определимым, если существует та-
кая теория Т в L, что Af(7')= {х}.
Ясно, что если кардинал х L-определим, то x<ft(L) и
х < /(L). В работах Исселя[1]иФуркена [1] доказано
несколько утверждений о L2( I)-определимости конкретных кар-
диналов и тем самым получены некоторые нижние оценки для
Л(Ь2(|)) и /(Lz(l)). В работе Пи нус а [2] эти оценки были
значительно усилены. А именно, доказана
9.9. Теорема (Пи нус [2]). Если ©а(, •.<°a„ — Lz (I)-
определимые кардиналы, f(xi, ..., хп)— примитивно рекурсив-
ная функция на ординалах и f (ai, ...» an) а(, 1 i п, то
кардинал ©цо,..ап) является ^(^-определимым. Если аа —
Ls( \)-определимый кардинал и К — первый такой кардинал,
что <ях-й недостижимый кардинал равен ©х, то ©л-а также
Ls(I)-определим
$ 9. НЕЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЯЗЫКИ
37»
Из последнего утверждения теоремы получаем, в частности,
неравенства h (L£ (I)) , /(L2(l))^®_i , которые пока-
is® ie®
зывают большую величину чисел Ханфа и Лёвенгейма для ло-
гики с квантором Хэртига. О большой величине числа Ханфа
для L2(l ) говорит также следующая теорема.
9.10. Теорема (Пинус [3]). При предположении аксио-
мы конструктивности V = L числа Ханфа для логики с кванто-
ром Хэртига и для полной логики второго порядка совпадают.
Значительным обобщением элементарной логики является
непрерывная логика. Подробное изложение теории моделей не-
прерывной логики содержится в книге Кейслера и Чэна
[1]. Все используемые нами понятия, относящиеся к непрерыв-
ной логике, взяты из этой книги.
Для моделей непрерывной логики имеют место полные ана-
логи теорем об элементарных подсистемах и элементарных рас-
ширениях. В частности, для непрерывной логики 9? числа Хан-
фа и Лёвенгейма равны соответственно <о и H.S’ll, где US’D —
мощность логики S. Значительно сложнее доказывается аналог
теоремы Морли о несчетной категоричности.
9.11. Теорема (Мурзин [2]). Если непрерывная логика
9? обладает t-, k- и 1-множествами, а ее пространство обладает
счетной базой, то любая счетная ^-категоричная теория Т в ло-
гике Z категорична во всех несчетных мощностях.
Как показали Фрессе [1], Тайманов [1], [2] иЭрен-
фойхт [1], элементарная эквивалентность Я а= S3 двух алге-
браических систем Я и S3 одной сигнатуры S эквивалентна сле-
дующему условию: для любого п е о и любой конечной сигна-
туры Si =2 существуют непустые множества Fi(Si, п), ...
..., Fn(£i, п) конечных частичных изоморфизмов Я Г Si в S3 t Si
со следующим свойством:
(*) если feF>(Si, п), 1 i < п, то для любых аеД и
Ь е В существует g е F,+i (Si, п), для которого а е dom g, b s
e rangg и f = g.
Естественным усилением этого отношения будет следующее
9.12. Определение. Будем говорить, что алгебраические
X
системы Я и S3 к-почти изоморфны (обозначаем Я = 83), если
существуют непустые множества Fn, п е о, частичных изомор-
физмов Я в 83 со следующими свойствами:
(1) если f е (J Fn, то |domf|<x;
new
(2) если f е Fn, п <= w, X s A, Y = В, |Х| <х и |У| <к,
то существует такой частичный изоморфизм g s Fn±\, что X s
£= dom g и Y s rang g.
Зво ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
Ниже будут определены бесконечные логики LooX, где х—
бесконечный кардинал, соответствующие определенному выше
отношению х-почти изоморфизма. Пусть V — некоторый собст-
венный класс символов, которые будут называться перемен-
ными.
9.13. Определение. Класс формул логики L^>x — это та-
кой наименьший класс X, что:
(1) элементарные формулы сигнатуры S с переменными из
класса V принадлежат X;
(2) если <р е X, Y s V и | Y | < х, то ~| ф ge X и Зи (а е ф^Х;
(3) если Ф — некоторое множество и Ф то Д Ф ее X.
Истинность предложения ф языка 1ЛХ на алгебраической
системе сигнатуры S определяется аналогично элементарному
случаю: 31 h= е У)ф, если существует отображение gz
У -> А и 81 ф', где ф' получается из ф заменой свободных пе-
ременных v е Y на элементы g(v)-, 81НДФ, если 51 ф для
всех ф е Ф.
9.14. Предложение. Алгебраические системы 81 и 89 сиг-
натуры S тогда и только тогда п-почти изоморфны, когда они
эквивалентны в логике L^>x, т. е. на 81 и 89 истинны одни и те же
предложения логики L^x. •
Класс формул логики L^>x не является множеством, поэтому
предложение 9.3 применить к этой логике нельзя. Действитель-
но, если S содержит предикатный символ местности ^2, то ин-
дукцией по X нетрудно для любого кардинала К построить такую
формулу фх логики L^x, что Af(Mod {фх})= {X}, следовательно,
для 1ЛХ не существуют числа Ханфа и Лёвенгейма.
9.15. Определение. Если в (3) определения 9.13 потребо-
вать |Ф| < К то получим логику Lax.
К логикам Lxx уже можно применить предложение 9.3, сле-
довательно, для них существуют числа Ханфа и Лёвенгейма.
В частности, имеет место
9.16. Теорема (Морли [2], Лопес-Эскобар [1]).
Если сигнатура S содержит предикатный символ местности ^2,
то число Ханфа логики L©,© равно Р (со, coi).
В книге Кейслера [3] содержится достаточно разработан-
ная теория моделей логики L©10. В отличие от элементарной ло-
гики, в Lr.vw нет теории счетной категоричности.
9.17. Теорема (Скотт [1]). Любая полная теория Т в
логике является счетно категоричной,
9.18. Определение. Пусть X — некоторое множество.
Логика L©1Q (X) получается из L©lt0 выбрасыванием тех формул,
§ 9. Неэлементарные языки
3&!
которые не принадлежат X. Логика ГД© (X) называется фраг-
ментом логики Lw1G), если выполняются условия:
(1) X — непустое транзитивное мно"-гтзо;
(2) если a, b е X, то {a, b} X, а С ; ст X и а \ b X;
(3) если аеХи а — наименьший срдглал, не принадлежа-
щий транзитивному замыканию множества а, то аеХ;
(4) если ф е Е«1(|)(Х), t — терм сигнатуры S и х— перемен-
ная, то ф' Lto1W(X), где ф' — результат подстановки терма t
вместо свободных вхождений х в ф.
9.19. Теорема (Кейслер [3]). Пусть L^1W(X) — счет-
ный фрагмент логики 1Л1(0 и Т — теория в логике L©1(d(X). Если
существует Т-модель, реализующая несчетное множество типов
из £>(Т), то Sr((Oi) = 2°’.
Если L — некоторая логика и Я, 23— алгебраические системы
сигнатуры логики L, то через Я = 23 будем обозначать то, что
на Я и 23 истинны одни и те же предложения логики L.
Если Я 23 и (Я, a)aeM==(23, а)а€ЕЛ, то пишем Я<ь33.
9.20. Определение. Пусть L — некоторая логика. Если
в определении х-однородной системы Я в элементарной логике
заменить отношение = на =, то получим определение (х, L)-
однородной системы Я.
Аналогом теоремы Морли о несчетной категоричности эле-
ментарных теорий для L*1(d может служить
9.21. Теорема (Кейслер [3]). Пусть Lo1(0(X)— счетный
фрагмент логики Lu1W, Т — теория в логике L^1(0 (X) и х, Л >
Пусть выполнены условия'.
1) Т категорична в мощности х;
2) для каждой счетной модели Я теории Т существуют мо-
дели 23 как угодно большой мощности, для которых выполняется
31 <LS
LC01Ct> ' ’
3) каждая Т-модель Я мощности х является (| А |, Lj1W (X))-
однородной.
Тогда Т категорична в К и все Т-модели Я мощности X яв-
ляются (| А Lw1(0 (Х))-однородными.
К сожалению, условие 3) данной теоремы не вытекает из ус-
ловия 1). Соответствующий контрпример, как заметил С. Ше-
лах, можно получить, используя пример Маркуса [1] мини-
мальной счетной системы, содержащей бесконечное неразличи-
мое множество.
9.22. Определение. Алгебраическую систему Я сигна-
туры S будем называть почти категоричной, если для любой ал-
382
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
гебраической системы 8 сигнатуры 2 из |В| = |Д| и 8
следует S3 ~ Я.
Легко понять, что если cf | А | = со, то система Я является по-
чти категоричной. В частности, любая счетная модель является
почти категоричной. Для ап это уже не так. Первый пример си-
стемы Я мощности соь не являющейся почти категоричной, по-
строил (как сказано в работе Чэна [1]) М. Морли. Следую-
щий результат для % = он получен П а л ю т и н ы м [7], а затем
он был обобщен Ш ел а хом [13] на все регулярные мощности.
9.23. Теорема (Палютин [7], Шелах [13]). Пусть
V = L. Если Я имеет регулярную мощность X и не является по-
чти категоричной, то существует 2х (г. е. максимум) попарно не-
изоморфных систем мощности X, являющихся h-почти изоморф-
ными системе Я.
ЛИТЕРАТУРА
Абакумов А. И., Палютин Е. А., Шишмарев Ю. Е., Т а й ц -
лин М. А.
1. Категоричные квазимногообразия. — Алгебра и логика, 1972, 11, № 1,
с. 3—38.
А д я н С. И.
1. Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М.: Наука, 1975.
Акс и Кочен (Ах J., Kochen S.)
1. Diophantine problems over local fields, I. — Amer. J. Math., 1965, 87,
p. 605—630.
2. Diophantine problems over local fields, II. — Amer. J. Math., 1965, 87,
p. 631—648.
3. Diophantine problems over local fields, III: Decidable fields. — Ann.
Math., 1966, 83, p. 437—456.
Арнаутов В. И.
1. О топологизации счетных колец. — Сиб. матем. ж., 1968, 9, № 6,
с. 939—946.
2. Пример бесконечного кольца, допускающего только дискретную топо-
логию.— Математические исследования (Кишинев), 1970, 5, № 3,
с. 182—185.
Б а й ж а н о в Б. С.
1. Некоторые свойства тотально трансцендентных теорий. — В кн.: Теория
моделей и ее приложения. Алма-Ата: МинВУЗ Каз. ССР и КазГУ.
1980.
2. Спектральные вопросы тотально трансцендентных теорий конечного
ранга. — В кн.: Теория моделей и ее приложения. Алма-Ата: МинВУЗ
Каз. ССР и КазГУ, 1980.
Барвайс и Робинсон (Barwise J., Robinson А.)
1. Completing theories by forcing. — Ann. Math. Logic, 1970, 2, p. 119—142»
Баррис (Burris S.)
1. Rigid Boolean powers. — Algebra Universalis, 1978, 8, p. 264—265.
Б e к e н о в M. И.
1. О спектре квазитрансцендептных теорий. — Алгебра и логика, 1981, 20.
Белеградек О. В.
1. О нестабильных теориях групп. — В кн/. Тезисы 2-й Всесоюзной конфе-
ренции по математической логике. М., 1979, с. 5—6.
ЛИТЕРАТУРА
383
2. О почти категоричных теориях. — Сиб. матем. ж., 1973, 14, № 2,
с. 277—285.
Болдуин (Baldwin J. Т.)
1. аг is finite for (di-categorical T. — Trans. Amer. Math. Soc., 1973, 181».
p. 37—51.
Болдуин и Г и в а н т (Baldwin J. T., Givant S.)
1. A note on model complete universal Horn classes.— 1979, preprint.
Болдуин и Лахлан (Baldwin J. T., Lachlan A. H.)
1. On strongly minimal sets. — J. Symbolic Logic, 1971, 36, p. 79—96.
2. On universal Horn classes categorical in some infinite power. — Algebra
Universalis, 1973, 3, p. 98—111.
Вашкевичи Венглож (Waskiewicz J., W^glorz В.)
1. On (o-categoricity of powers. — Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math.,.
Astron., Phys., 1969, 17, № 4, p. 195—200.
Boot (Vaught R.)
1. Denumerable models of complete theories. — In: Infinistic Methods. Lon-
don: Pergamon, 1961, p. 303—321.
2. The Lowenheim — Skolem theorem.— In: Logic, Methodology and Philo-
sophy of Science, III. Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 81—92.
Гивант (Givant S.)
1. A representation theorem for universal classes of algebras in which all
members are free. — Notices Amer. Math. Soc., 1972, 19, p. A-767.
2. A complete representation theorem for varieties categorical in power. —
Notices Amer. Math. Soc., 1975, 22, p. A-33.
3. Universal Horn classes categorical or free in power: Dissertation. — Ber-
keley, 1975.
4. Universal Horn classes categorical or free in power. — Ann. Math. Logic,
1978, 15, p. 1—53.
5. A representation theorem for universal Horn classes categorical in po-
wer.— Ann. Math. Logic, 1979, 17, p. 91—116.
Г ретцер (Gratzer G.)
1. Universal algebra, — 2 Ed. — Berlin: Springer, 1979.
Еримбетов M. M.
1. О полных теориях с 1-кардинальными формулами. — Алгебра и логика,
1975, 14, № 3, с. 245—257.
Ершов Ю. Л.
1. Разрешимость элементарной теории дистрибутивных структур с отно-
сительными дополнениями и теории фильтров. — Алгебра и логика,
1964, 3, № 3, с. 17—38.
2. Об элементарной теории максимальных нормированных полей. — ДАН
СССР, 1965, 165, № 1, с. 24—26.
3. Неразрешимость некоторых полей.— ДАН СССР, 1965, 161, № 1,
с. 27—29.
4. 06 элементарной теории максимальных нормированных полей, II.—
Алгебра и логика, 1966, 5, № 1, с. 8—40.
5. Об элементарной теории максимальных нормированных полей, III.—
Алгебра и логика, 1967, 6, № 3, с. 31—39.
6. Регулярно замкнутые поля. —ДАН СССР, 1980, 251, № 4, с. 783—785.
7. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. — М.: Наука, 1980..
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.
1. Математическая логика. — М.: Наука, 1979.
Зильбер Б. И.
1. Строение моделей категоричных теорий и проблема конечной аксиома-
тизируемости. — Деп. № 2800—77, 1977,
2. Сильно минимальные категоричные теории.— Сиб. матем. ж., 1980, 2U
3. Решение проблемы конечной аксиоматизируемости для теорий, катего-
ричных во всех бесконечных мощностях. — В кн.: Теория моделей и ее
приложения. Алма-Ата: МинВУЗ Каз.ССР и Каз.ГУ, 1980, с. 47—60^
384
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
И с с е л ь (Issel W.)
1. Semantische Untersuchungen fiber Quantoren, I.—Z. math. Logik Grundl.
Math., 1969, 15, № 2, S. 353—358.
Кейслер (Kcls>r H. J.)
1. Some modei t'.corcJc results for co-logic. — Israel J. Math., 1966, 4, № 4,
249—260.
2. Logic with the quantifier «there exist uncountably many». — Ann. Math.
Logic, 1970, 1, p. 1—13.
3. Model theory tor infinitary logic. — Amsterdam: North-Holland, 1971.
Кейслер и Морли (Keisler H. J., Morley M.)
1. On the number of homogeneous models of a given power. — Israel. J.
Math., 5, № 2, p. 73—78.
Кейслер и Чэн (Keisler H. J., Chang С. C.)
1. Теория непрерывных моделей: перев. с англ. — М.: Мир, 1971.
2. Теория моделей: перев. с англ. — М.: ^\4ир, 1977.
Килтинен (Kiltinen J. О.)
1. On the number of field topologies on an infinite fields. — Proc. Amer.
Math. Soc., 1973, 40, p. 30—36.
Лахлан (Lachlan A.)
1. The transcendence rank of a theory. — Pacific J. Math., 1971, 27, p. 119—
122.
2. A property of stable theories. — Fundam. math., 1972, 77, p. 9—20.
3. Complete varieties of algebras. — Notices Amer. Math. Soc., 1972, 19,
№ 5, p. 598.
4. On the number of countable models of a countable superstable theory. —
In: Logic, Methodology and Philosophy of Science, IV. Amsterdam: North-
Holland, 1973, p. 45—56.
5. Two conjectures regarding the stability of co-categorical theories. — Fun-
dam. math., 1974, 81, p. 133—145.
6. Theories with a finite number of models in an uncountable power are
categorical. — Pacific J. Math., 1975, 31, p. 133—145.
7. Dimension and totallv trancendental theories of rank 2. — Leet. Notes
Math., 1976, 537, p. 153—183.
8. Spectra of со-stable theories. — Z. math. Logik Grundl. Math., 1978, 24,
p. 129—139.
Линдстрём (Lindstrom P.)
1. On model completeness — Theorie, 1964, 30, p. 183—196.
Лопес-Эскобар (Lopez-Escobar E.)
1. On definable well-ordering.—Fundam. math., 1966, 59, p. 13—21,299—300.
Лось (Los J.)
1. On the categoricity in power of elementary deductive systems and some
related problems. — Colloq. Math., 1954, 3, p. 58—62.
Макинтайр (Makintyre A.)
1. Martin’s axiom applied to existentially closed groups. — Math. Scand.,
1973, 32, № 1, p. 46—56.
Маковский (Makowski J. A.)
1. On some conjectures connected with complete sentences. — Fundam.
math., 1974, 81, № 3, p. 193—202.
M a p к о в A. A.
1. О безусловно замкнутых множествах. — Матем. сб., 1946, 18, № 1,
с. 3—28.
Маркус (Marcus L.)
1. A prime minimal model with an infinite set of indiscernibles. — Israel J,
Math., 1972, 11, p. 180—183.
Марш (Marsh W.)
1. On coi- but not co-categorical theories: Ph. D. Thesis. — Univ, of Dart-
mouth, 1966.
ЛИТЕРАТУРА
385
Морли (Mcrley М. D.)
1. Categoricity in power. — Trans. Amer. Math. Soc., 1965, 114, p. 514—538.
2. Omitting classes of elements.— In: The Theory of Models/Ed. J. Addison,
L. Henkin, A. Tarski. Amsterdam: North-Holland, 1965, p. 265—273.
3. Countable models of ft)-categorical theories. — Israel J. Math., 1965, 5,
p. 65—72.
4. The number of countable models. — J. Symbolic Logic, 1970, 35, p. 14—
18.
Морли и Boot (Morley M. D., Vaught R.)
1. Homogeneous universal models. — Math. Scand., 1962, 11, p. 37—57.
Мурзин Ф. A.
1. Тотально трансцендентные и wi-категоричные непрерывные теории.—
В кн.: Тезисы 3-й Всесоюзной конференции по математической логике.
Новосибирск, 1974, с. 145—147.
2. сд-категоричпые теории. — Сиб: матем. ж, 1977, 18, № 1, с. 232; Деп.
№ 3096—76.
Мустафин Т. Г.
1. О сильной базе элементарных типов теорий. — Сиб. матем. ж., 1977,
18, № 6, с. 1356—1366.
2. О числе моделей счетных полных теорий. — В кн.: Тезисы 5-й Всесоюз-
ной конференции по математической логике. Новосибирск, 1979, с. 105.
Наркевич (Narkiewicz W.)
1. Independence in a certain class of abstract algebras. — Fundani. math.,
1961, 50. p. 333—340.
Нуртазин A. T.
1. Пример УЗУ-теории, категоричной в несчетных мощностях, но не
имеющей главных модельно полных расширений. — Алгебра и логика,
1973, 12, № 3, с. 360.
Палютин Е. А.
1. Модели со счетно категоричными универсальными теориями. — Алгеб-
ра и логика, 1971, 10, № 1, с. 23—32.
2. Об V*-однородных моделях. — Сиб. матем. ж., 1971, 12, № 4, с. 920—
921.
3. Категоричные квазимногообразия. — В кн.: Тезисы 2-й Всесоюзной
конференции по математической логике. М., 1979, с. 38.
4. Категоричные квазимногообразия произвольной сигнатуры. — Сиб. ма-
тем. ж., 14, № 6, е. 1285—1303.
5. О спектре полных квазимногообразий. — В кн.: Тезисы 12-й Всесоюз-
ной алгебраической конференции. Свердловск, 1973, с. 297.
6. Описание категоричных квазимногообразий. — Алгебра и логика,
1975, 14, № 2, с. 145—185.
7. О числе моделей в Loo (0i-теориях, II.— Алгебра и логика, 1977, 16г
№ 4, с. 443—456.
8. О категоричных позитивных хорновых теориях. — Алгебра и логика,
1979, 18, № 1, с. 47—72.
9. Completeness and categoricity of quasivarieties. — In: Abstracts of 6-th-
International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Sci-
ence. Hannover, 1979, p. 83—87.
10. Три теоремы о полных позитивных классах. — В кн.: Тезисы 5-й Все-
союзной конференции по математической логике. Новосибирск, 1979,
с. 116.
11. Criterion of complete varieties categoricity. — In: Abstracts of 6-th In-
ternational Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science.
Hannover, 1979, p. 143—147.
12. Категоричные хорновы классы, I. — Алгебра и логика, 1980, 19, № 5.
13. Описание категоричных позитивных хорновых классов. — Алгебра и
логика, 1980, 19, № 6.
386
ДОПОЛНЕНИЕ. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ
14. Number of models in complete varieties.— In: Logic, Methodology and
Philosophy of Science, VI. Amsterdam: North-Holland, 1980, p. 203—217.
Перетятькин M. Г.
1. Теории с тремя счетными моделями. — Алгебра и логика, 1980, 19, № 2.
2. Пример (di-категоричной полной конечно аксиоматизируемой теории.—
Алгебра и логика, 1980, 19, № 3, с. 314—347.
П и и у с А. Г.
1. О свойстве Левенгейма — Сколема для логик второго порядка. — В кн.:
МНТС, Рекурсивные функции. Иваново, 1978, с. 55—60.
2. Мощность моделей теорий исчисления с квантором Хэртига.— Сиб.
матем. ж., 1980, 19, № 6, с. 1349—1356.
3. Число Ханфа для исчисления с квантором Хэртига. — Сиб. матем. ж.,
1979, 18, № 2, с. 440—441.
4. Спектр жестких систем хорновых классов. — Сиб. матем. ж., 1981, 22,
№ 2.
Подевский (Podewski К. Р.)
1. The number of field topologies on countable fields. — Proc. Amer. Math.
Soc., 1973, 39, p. 33—38.
2. Topologisierung algebraischer Strukturen. — Rev. Roum. Math. Pures
Appl., 1977, 22, № 9, S. 1283—1290.
Peccep (Ressayre J. P.)
1. Sur les theories du premier ordre categorique en un cardinal. — Trans.
Amer. Math. Soc., 1969, 142, p. 481—505.
Робинсон (Robinson A.)
1. Forcing in model theory. — Symposia Math., 1970, 5, p. 69—82.
Скотт (Scott D.)
1. Logic with denumerable long formulas and finite string of quantifiers.—
In: The Theory of Models/Ed. J. Addison, L. Henkin, A. Tarski. Amster-
dam: North-Holland, 1965, p. 329—341.
Тайманов А. Д.
1. Характеристика аксиоматизируемых классов моделей, I и П. — ИАН
СССР, сер. матем., 1961, 25, № 4, с. 601—620; 1961, 25, № 6.
2. Характеристика аксиоматизируемых классов моделей. — Алгебра и ло-
гика, 1962, 1, № 4, с. 5—31.
3. Пример полугруппы, допускающей только дискретную топологию. —
Алгебра и логика, 1973, 12, с. 64—65.
4. О топологизацни счетных алгебр. — ДАН СССР, 1978, 243, № 2.
5. О топологизацни классических алгебр. — В кн.: Математический анализ
и смежные вопросы математики. Новосибирск: Наука, 1978.
Т а й ц л и н М. А.
1. Не почти сильно минимальная теория, категоричная в бесконечных мощ-
ностях.— В кн.: Тезисы 2-й Всесоюзной конференции по математиче-
ской логике. М., 1972, с. 47—48.
Тарский (Tarski А.)
1. Arithmetical classes and types of Boolean algebras. — Bull. Amer. Math.
Soc., 1949, 55, p. 64.
У p б а н и к (Urbanik К.)
1. A representation theorem for u*-a1gebras. — Fundam. math., 1963, 52,
№ 3, p. 291—317.
Фрессе (Fraisse R.)
1. Sur quelques classifications des syst£mes de relations. — Publ. sclent,
de 1’univ. d’Algers, 1955, Al, p. 35—182.
Фридман (Friedman H.)
I. One hundered and two problems In mathematical logic.— J. Symbolic
Logic, 1975, 40, p. 113—129.
Ф у p к e н (Fuhrken G.)
1. A remark on the Hartig quantifier. — Z. math. Logik GrundL Math., 1972,
18, № 2, p. 227—228.
ЛИТЕРАТУРА
Зв7
Хансон (Hanson J.)
1. An infinite groupoid which admits only trivial topologies. — Amer. Matin
Monthly, 1967, 74, p. 568—569.
X а н ф (Hanf W.)
1. Incompleteness in languages with infinitely long expressions. — Fundam.
math., 1964, 53, p. 309—324.
Хессе (Hesse G.)
1. Zur Topologisierbarkeit von Gruppen: Dissertation. — Hannover, 1979.
X э p т и г (Hartig К )
1. Uber einem Quantifikator mit zwei Wirkungsbereichen.— In: Colloqium
on Foundations of Mathematics, Mathematical Machines und their Appli-
cations, Tihany, 1962. Budapest, 1965, p. 31—36.
Чихачев C. A.
1. О генерических моделях. — Алгебра и логика, 1975, 14, № 3.
2. Генерические модели счетных теорий. — Алгебра и логика, 1976, 15, №6.
3. Один пример к теории конечного форсинга. — В кн.: Тезисы 5-й Все-
союзной конференции по математической логике. Новосибирск, 1979.
Чэн (Chang С. С.)
1. Some remarks on the model theory of inifinitary languages. — In: The
Syntax and Semantics of Infinitary Languages. Berlin, 1968, p. 36—63.
HI ел a x (Shelah S.)
1. Categoricity of classes of models: Ph. D. Thesis. — Jerusalem: Hebrew
University, 1969.
2. Stable theories. — Israel J. Math., 1969, 7, p. 187—202.
3. Finite diagrams stable in power. — Ann. Math. Logic, 1970, 2.
4. Stability, the f. c. p. and superstability: model theoretic properties of
formulas in the first order theory.— Ann. Math. Logic, 1971, 3.
5. The number of non-isomorphic models of an unstable first order
theory. — Israel J. Math., 1971, 9, p. 473—487.
6. Uniqueness and characterization of prime models over sets for totally
transcendental first order theory. — J. Symbolic Logic, 1972, 37.
7. Categoricity of uncountable theories. — Proc, of Tarski’s Symp., Symo.
Pure Math., 1974, 25, p. 187—204.
8. Why there are many non-isomorphic models for unsuperstable theories.—
Proc. Intern. Congress of Math., Vancouver, 1974, p. 554—557.
9. Categoricity in (dt of sentences in Uw (Ch). — Israel J. Math. 1975>
20, № 2, p.‘ 127—148.
10. Refuting Ehrenfeucht conjecture on rigid models. — Israel J. Math.,
1976, 25, p. 273—286.
11. On a problem of Kurosh, Jonsson groups and applications. — Jerusalem,.
1976, preprint.
12. Classification Theorv and Number of Non-isomorphic Models. — Amster-
dam: North-Holland, 1978.
13. On the number of non-isomorphic models of cardinality %, L^x-equiva-
lent to a fixed model. — Notre Dame J. Formal Logic, 1981, 22, № 1.
Шишмарев Ю. E.
1. О категоричных теориях одной функции. — Матем. заметки, 1972, Н>
№ 1, с. 89—98.
Шмелева (Szmielew W.)
1. Elementary properties of Abelian groups. — Fundam. math., 1955, 41.
Эренфойхт (Ehrenfeucht A.)
1. An application of games to the completeness problem for formalized
theories. — Fundam. math., 1961, 49, p. 129—141.
2, Elementary theories with models without automorphisms. — In: The
Theory of Models/Ed. J. Addison, L. Henkin, A. Tarski. Amsterdam:
North-Holland, 1963, p. 70—76.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютность А формул 244
— До-формул 241
Аксиома Архимеда 19, 204
— объемности 23
Аксиомы Генкина 38
— равенства 37, 47
Алгебра генерическая 294
— свободная 293
Алгебраическая система жесткая 374
— — локально конечная 353
---насыщенная 369
--- однородная 371
--- почти категоричная 381
--- топологизируемая 374
---д/*-однородная 371
---х-насыщенная 369
— — Х-компактная 34в
---Х-ппостая 346
---(X, 1)-простая 347
Алгебраические системы х-почти изоморф»
ные 379
Аппроксимации конъюнктивных игровых
формул 263
База теории сильная 350
— форсинга 103
Вектор кривизны 226
— почти стандартный 218, 220
Вещь 202
Вложение 112, 316
— изоморфное 61
— элементарное 61
Выполнимость формулы 75
Выражение 26
Галактика 206
Гомоморфизм 112
График 334
Группа абелева 15, 290
--- полная 15
— - универсальная локально конечная 192
— экзистенциально замкнутая 170
Изоморфизм 61, 112
— частичный 101
Интеграл Римана 215
Интерпретация 28, 327
— Лейбница 214
— относительная 292, 296
Категория атрибутов 299
— значений 291
— логическая 301
— моделей 296, 303
— Т-алгебр 291
— Т-моделей 291
Квазимногообразие 351
— стандартное 358
---характеристики X 356, 357
Квантор Хэртига 378
Кванторы обобщенные 100
Класс алгебраических систем аксиоматизи-
руемый 30, 58, 116, 323
------категоричный 323
------конечно аксиоматизируемый 30, 123,
367
—-----локальный 69
------модельно полный 323
------полный 323
------псевдоэлементарный 120
------свободный 353
------строго свободный 353
------элементарный 30, 58, 116
Классы алгебраических систем рациональ-
но эквивалентные 328
------Р-эквивалентные 328
Кольцо 20
— главных идеалов 22
— коммутативное 20
— простое 127
Компаньон модельный 156
Константы Генкина 36
Константы-свидетели 38
Кривизна полная 230
Кривые соприкасающиеся 224
Критерий 72
— модельной полноты 148
— полноты 73
Диаграмма 65
— базисная 65
— конечная 326
— элементарная 65
Закон двойного отрицания 33
— де Моргана 33
— исключенного третьего 33
— противоречия 33
Законы Лейбница 37
Идеал 21
— максимальный 22
простой 21
Лемма Мостовского о сжатии 249
— об усечении 250
Логика 31, 53, 120
— бесконечная 52
— многосортная 50
— первого порядка 25
— слабая второго порядка 51
Локализация 304
— конечного покрытия 306
Мера кривизны 230
Место 304
Метод альтернативных цепей 70
— челночный-7.7 . .
Микроскоп инфинитезимальный 205
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
389
Многообразие 351
Множество алгебраически независимое- 327
— аналитическое 257
— атомов 202
— борелевское 257
— в полной теории 324
— внешнее 207
— внутреннее 201
---для модели 270
— генерическое 96, 103
— допустимое 241
— наследственно конечное 51
— независимое 340
— однородное 184, 185, 194, 195
--- для разбиения 195
— относительно формульное 324
— стандартное 206
— транзитивное 315
— формул в Т над X 325
---совместное в Т 325
— Хинтикки 252
Модель 84
— базисно насыщенная 81
— большая 76 ’
— булевой элементарной экзистенциальной
доктрины 300
— генерическая 97
— малая 76
— насыщенная 137
— простая 85
— разрешимая 24
— рекурсивно насыщенная 76
— скулемовская 187
— экзистенциально замкнутая 97, 159
Т-генерическая 97
Монада 218
— относительная 218
Мономорфизм элементарный 188
Морфизм 144
— алгебраических теорий 292
— арифметического универсума 314
— геометрический 306
— логический 302
— мест 306
— моделей 296
— элементарный 144
Непрерывность равномерная 209
Неравенство над 31 125
Носитель универсума 239
Обеднение алгебраической системы 38, 119
Область целостности 23
Обогащение алгебраической системы 38,
119
—------главное 326
-------диаграммное 64
------- морлиевское 64
•------несущественное 326
-------скулемовское 64
Оболочка системы допустимая 248
Образ гомоморфный 78
Объект поля 312
— транзитивных множеств 316
Однородное со-де ре во 347
Операция А-рекурсивная 243
Ординал допустимый 249
* - стабильный, 249
Отношение антисимметричное 194
— выполнимости 28
— связное 194
— фундированное 311
Отображение внутреннее линейное 218-
— элементарное:65, 145 •
Оценка истинности 32
Переменная свободная 27
Подмножество арифметическое 256
Подсистема 60, 186
— конечно порожденная 60
порожденная множеством X 60
— - элементарная 60, 186, 187
Покрытие локальное 124
Поле 22
— алгебраически замкнутое 23
— нормированное 136
---псевдополное 136
— псевдоконечное 124
— сепарабельное замкнутое 154
— характеристики р 22
---0 22
Пополнение модельное 156
Порядок линейный однородный 72
Последовательность Коши 137
— Морли 338
Правило обобщения 43
— сечения 47
Праэлементы 239
Предикат А-рекурсивно перечислимый 243
— А-рекурсивный 243
Предложение 28
Предтопос 303
Принцип Коши 214
— Лейбница 199, 212, 216
— ТС-индукции 245
— Д-выделения 243
— S-замещения 244
— S-рекурсии 245
— S-рефлексивности 242
Произведение фильтрованное 113
Производная Кантора — Бендиксона 90
Пространство стоуновское 66, 90, 93
Псевдопредел 137
Пучок 304
Ранг Кантора — Бендиксона 90
— по Морли 89, 93, 336
Расширение главное 326
— несущественное 326
— консервативное 63
— концевое 250
— простое модельное 165
— свидетельское 38
— элементарное 60
Свойство амальгамируемости 67, 68
— конечных пересечений ПО
— независимости 342
— порядка 342
— совместного вложения 80
— строгого порядка 242
— форсинговое 103
Секвенция 45
Семантика 53
Синтаксис 53
Система аксиом Крипке — Платека 241
— алгебраическая 25
---х-насыщенная 82
— алгебраически замкнутая 125
— каноническая 39
— насыщенная 82, 137, 369
— простая 126
— рекурсивно насыщенная 76
— фундированная 249
— экзистенциально замкнутая 125
--- полная 125
— К-свободная 325
— Т-экзистенциально универсальная 163
— (х, L)-однородная 381
Системы элементарно эквивалентные 53
390
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Спектр базисной стабильности 92
— грубый 328
— категоричности 354
— класса 328
— свободы 354
— теории 94, 328
Степень по Морли 337
- М 128
Суперсистема 201, 207
Сфера соприкасающаяся 227
Тавтология 32, 33
Тезис Гильберта 49
Телескоп бесконечный 205
Теорема Барвайса о S-компактности 254
— — об абстрактной полноте 267
— Бета об определимости 280
— Воота о дескриптивных множествах 264
— — —- счетной насыщенной модели 83
— единственности для простых моделей 86
— интерполяционная Крейга 78
— — Крейга — Лопес-Эскобара сильная
277
— компактности Гёделя — Мальцева 17, 34
— — для логики высказываний 34
— Крипке — Платека 269
— Леви об абсолютности 248
«- Лёвенгейма — Скулема 18
— о подъеме 71
— спуске 70
— Линдона о гомоморфизме 79
— Линдстрёма 54
— Лося 115
— Мальцева 125
— Мальцева •— Тарского 69
— о полноте 43, 45—47, 302, 303
— Логической категории 302
— — разбиении 185
---существовании классифицирующего
топоса 307
— насыщенных моделей 82
— — — простых моделей 86
— об опускании типов 83, 96, 98
— — устранении сечения 49
— — элементарных цепях 63
---S-непрерывности 213
— — (в-полноте 84
— основная исчисления 216
— полноты для LW1(0 104
— Рамсея 185
— Робинсона о совместности 77
— Скотта о LW1(d юз
— Тарского — Воота 144
— Чэна — Лося — Сушко 70
— Эрдёша — Радо 185
— Эренфойхта — Мостовского 185
Теории эквивалентные 57
— Р-экв и валентные 328
Теория 57
— алгебраическая 290, 300
— алгебраической системы 58
• — базисно мультиупорядоченная 93
— — независимая 93
— — стабильная 92, 93
— — суперстабильная 92, 93
— — упорядоченная 93
— Генкина 38
— групп 15, 292, 295
— двукардинальная 327
— декартова 295, 298
—.допускающая элиминацию кванторов 02
— индуктивная 62
— йонсоновская 79
— категоричная 323
— — в мощности 72, 323
— мвмэитрантендектвая 349
Теория класса 57
— когерентная 302
— коммутативных колец 290, 295
— конечно аксиоматизируемая 58, 367
— локально совместная 65
— множеств ZF 23
— моделей абстрактная 53
----восточная 56
— — западная 56
— модельно полная 61, 133
— недвукардинальная 327
— непротиворечивая 24, 57
— ограниченная 333
— позитивная 350
— полная 23. 58
— почти категоричная 333
--- сильно минимальная 332
— разрешимая 23, 59
— рекурсивно аксиоматизируемая 57, 58
— сильно минимальная 330
— совместная 57
— стабильная 194, 343
---в мощности 194, 345
— суперстабильная 346
— тотально трансцендентная 336
— универсальная 60, 350
«— устойчивая относительно гомоморфных
образов 78
—-- ---подсистем 69
— финитарно когерентная 307
— форсинг-полная 373
— хорнова 350
— (о-полная 84
Терм 26
— замкнутый 26
— скулемовский 186
Тип 82, 132, 133, 191, 326
— алгебраический 349
— базисный 80
— изолированный 85, 88
— полный 326
— сильный 350
— суперстабнльный 349
— А-определимый 343
Типы независимые 350
Топос Гротендика 305, 309
— элементарный 307
Ультрапроизведение ИЗ
— гомоморфизмов 118
Ультрастепень 113
Ультрафильтр 111
— главный 111
— х+-хороший 137
— (^-неполный 132
Универсал 350
Уравнение над системой 126
Условие для теории 95
— й-минимальности 364
Фильтр ПО
— главный ПО
<— коконечный ПО
Фильтрованное произведение 1)2
Формула 27
—- атомная 26
— базисная 80
— в нормальной форме с отрицанием
(и. ф. о.) 252
— — теории Т 324
— конечная 325
— конъюнктивная игровая. 257
— , копирующаяся над А 345
— логики второго порядка 255
* - первичная 3)
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
39г
Формула позитивная 78
— полная 85
— пропозициональная 31
— связанная и антисимметричная 343
— сильно минимальная 330
— совместная 31
— стабильная в теории Т 343
— универсальная 60
— усеченная игровая 258
Форсинг бесконечный 162
— конечный по Робинсону 94
Фрагмент логики 253, 381
Функтор забывающий 119
— логический 303
Функция базисной стабильности 93
— вещественная. 211
— интегрально определенная 154
— непрерывная стандартная 216
— скулемовская 64, 187
— стандартная 204
— S-непрерывная 216
Часть стандартная 215
--- конечного вектора 218
Число бесконечное малое 204, 223
---целое 204
— гипервещественное 202
--- почти стандартное 205
— гиперцелое 204
— действительное 19
— Лёвенгейма 377
— Лёвенгейма — Скулема 377
— стандартное 202, 212
— Ханфа 377
Экстенсиональные формулы 312
Элемент А-конечный 243
— ^-изолированный 375
Элементарная экзистенциальная доктрина
(ЭЭД) 299
Ядро совершенное 90
Язык диаграммный 64
— рекурсивный 58
ЕС-класс 30
ЕС д-класс 30, 58
ft-компаньон 362
L-определимый кардинал 378
Ьоэ ©эквивалентность 101
т-многообразие 220
А-окрестность 334
Р-интерпретация 327
S-непрерывность 216
о*-алгебра 353
Д-неразличимая последовательность 327
Д-неразличимое множество 327
Д-предикат 243
До-формула 240
Д{-класс 256
-множество 81, 132
ц-спектр 328
П-предикат 243
П-формула 242
П} -класс 258
2-предикат 243
2-фор мул а 242
21 -класс 256
(ф,л?)-ранг Шелаха 342
(ф, х, 2)-дерево высоты а 341
ю-логика 51, 189
(В-модель 84
Vn отображение 14$
V3-теория 62
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства........................................5
Предисловие Дж. Барвайса...............................6
Предисловие редакторов русского перевода ............. 7
Введение..............................................11
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В ЛОГИКУ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. Дж. Барвайс 13
Глава 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ. X. Дж. Кейслер .... 55
Глава 3. ТЕОРИЯ УЛЬТРАПРОИЗВЕДЕНИИ ДЛЯ АЛГЕБРАИ-
СТОВ. П. Эклоф..............................109
Глава 4. МОДЕЛЬНАЯ ПОЛНОТА. А. Макинтайр.............141
Глава 5. ОДНОРОДНЫЕ МНОЖЕСТВА. М. Морли..............183
Глава 6. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ КРИВЫХ И ПОВЕРХ-
НОСТЕЙ. К. Д. Строян........................199
Глава 7. ДОПУСТИМЫЕ МНОЖЕСТВА И БЕСКОНЕЧНАЯ ЛО-
ГИКА. М. Маккаи.............................235
Глава 8. ДОКТРИНЫ В КАТЕГОРНОЙ ЛОГИКЕ. А. Кок, Г. Э. Рейес 289
Дополнение. СПЕКТР И СТРУКТУРА МОДЕЛЕЙ ПОЛНЫХ ТЕО-
РИЙ. Е. А. Палютин ....................320
Предметный указатель.................................388
СПРАВОЧНАЯ КНИГА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Часть I. ТЕОРИЯ МОДЕЛЕЙ
Редактор В. В. Донченко.
Технический редактор С. Я. Шкляр. Корректоры Е. В. Сидоркина, В. П. Сорокина
ИБ № 11559
Сдано в набор 03.04.81. Подписано к печати 04.05.82. Формат 60Х90'/1в. Бумага тип. № 1.
Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 24,5. Уч-иэд. л. 25,92. Тираж
23000 экз. Заказ № 1149. Цена 2 р. 20 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знаме-
ни Ленинградского объединения „Техническая книга*4 им. Евгении Соколовой Союзполи-
графпрома при Госудаоствснном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.