А. Г. КУРОШ
ТЕОРИЯ ГРУПП
Издание третье,
дополненное
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19С7

517.1
К 93
УДК 519.4
Александр Геннадиевич Kypovx
Теория групп
М., 1967 г., 648 стр.
Редактор О. Я. Головин
Техн. редактор К. Ф. Брудно Корректоры Ю. И. Зеарич и О. А. Сигал
Сдано в набор 5/IV 1967 г. Подписано к печати 1/IX 1967 г. Бумага 70xl08/i6, тип. № 2.
Физ. печ. л. 40,5 Условн. печ. л. 56,7 Уч.-изд. л. 57,07
Тираж 2С000 экз. Т-10054 Цена книги 3 р. 67 к. Заказ 948.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография № 16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9
2-2-3
80-67

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 9
Из введения к первому изданию 13
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Глава первая. Определение группы 15
§ 1. Алгебраическая операция 15
§ 2. Изоморфизм. Гомоморфизм 19
§ 3. Группа 22
§ За.Аксиоматика Бэра и Леви 27
§ 4. Примеры групп 33
Глава вторая. Подгруппы 37
§ 5. Подгруппы 37
§ 6. Системы образующих. Циклические группы 40
§ 7. Возрастающие последовательности групп 45
Глава третья. Нормальные делители 50
§ 8. Разложения группы по подгруппе 50
§ 9. Нормальный делитель 54
§ 10. Связь нормальных делителей с гомоморфизмами и фактор-группами 60
§ 11. Классы сопряженных элементов и сопряженных подгрупп .... 66
§ 11а.Группы подстановок 71
§ 116.Основные понятия теории колец 74
Глава четвертая. Эндоморфизмы и автоморфизмы. Группы с операторами 77
§ 12. Эндоморфизмы и автоморфизмы 77
§ 13. Голоморф. Совершенные группы 80
§ 14. Характеристические и вполне характеристические подгруппы . . 84
§ 15. Группы с операторами 90
Глава пятая. Ряды подгрупп. Прямые произведения. Определяющие соот-
соотношения ' 95
§ 16. Нормальные и композиционные ряды 95
§ 17. Прямые произведения 100
§ 18. Свободные группы. Определяющие соотношения 106
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
Глава шестая. Основы теории абелевых групп 114
§ 19. Ранг абелевой группы. Свободные абелевы группы 114
§ 20. Абелевы группы с конечным числом образующих 120
§ 21. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы 125
§ 22. Абелевы группы с операторами 130
§ 22а.Теория Тейхмюллера 133
Глава седьмая. Примерные и смешанные абелевы группы 138
§ 23. Полные абелевы группы 138
§ 24. Прямые суммы циклических групп 143
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 25. Сервантные подгруппы 148
§ 26. Примерные группы без элементов бесконечной высоты 153
§ 27. Ульмовские факторы. Теорема существования 158
§ 28. Теорема Ульма 163
§ 29. Смешанные абелевы группы 171
Глава восьмая. Абелевы группы без кручения 175
§30. Группы ранга 1. Типы элементов группы без кручения 175
§ 31. Вполне разложимые группы 179
§ 32. Другие классы абелевых групп без кручения 184
§ 32а.Поле р-адических чисел 187
§ 326.Группы конечного ранга без кручения 193
§ 32в. Дополнения и приложения результатов предшествующего параграфа 199
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Глава девятая. Свободные произведения и свободные группы 204
§ 33. Определение свободного произведения 204
§ 34. Подгруппы свободного произведения 211
§ 35. Изоморфизм свободных разложений. Свободные произведения
с объединенной подгруппой 219
§ 36. Подгруппы свободных групп 225
§ 37. Вполне характеристические подгруппы свободных групп. Тожде-
Тождественные соотношения 233
§ 37а.Локально свободные группы 239
Глава десятая. Группы с конечным числом образующих 245
§ 38. Общие свойства групп с конечным числом образующих 245
§ 39. Теорема Грушко 251
§ 40. Теорема Грушко (окончание) 255
§ 41. Группы с конечным числом определяющих соотношений .... 261
Глава одиннадцатая. Прямые произведения. Структуры 267
§ 42. Предварительные замечания 267
§ 43. Структуры 271
§ 44. Дедекиндовы и вполне дедекиндовы структуры 276
§ 45. Прямые суммы во вполне дедекиндовых структурах 282
§ 46. Вспомогательные леммы 289
§ 47. Основная теорема 295
§ 47а.Прямое доказательство теоремы Шмидта. Некоторые другие теоремы 299
§ 476.Группы с изоморфными структурами подгрупп 307
Глава двенадцатая. Расширения групп 315
§ 48. Системы факторов 315
§ 49. Расширения абелевых групп. Группы гомологии 319
§ 50. Вычисление второй группы гомологии 323
§ 51. Расширения некоммутативных групп 328
§ 52. Частные случаи 334
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
РАЗРЕШИМЫЕ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
Глава тринадцатая. Условия конечности, силовские подгруппы и
смежные вопросы 337
§ 53. Условия конечности 337
§ 54. Силовские подгруппы. Центры р-групп 342
§ 55. Локальные свойства 350
§ 56. Нормальные и инвариантные системы 354
Глава четырнадцатая. Разрешимые группы 361
§ 57. Разрешимые и обобщенные разрешимые группы 361
§ 58. Локальные теоремы. Локально разрешимые группы 364
§ 59. Наложение условий конечности 369
§ 60. Силовские П-подгруппы разрешимых групп 373
§ 61. Конечные полупростые группы 379

ОГЛАВЛЕНИЕ О
Глава пятнадцатая. Нильпотентные группы 386
§ 62. Нильпотентные и конечные нильпотентные группы 386
§ 63. Обобщенные нильпотентные группы 391
§ 64. Связи с разрешимыми группами. 5-группы. Наложение условий
конечности , 398
§ 65. Полные нильпотентные группы 403
§ 66. Группы с однозначным извлечением корня 410
§ 67. Локально нильпотентные группы без кручения 414
Заключение к первому изданию 423
ДОПОЛНЕНИЕ
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП
ЗА 1952—1965 гг.
Предисловие 433
Часть первая. Основы теории групп 434
§ Д.1. Группы, подгруппы 434
1. Определение группы D34). 2. Подгруппы D35). 3. Системы обра-
образующих. Циклические группы D36).
§ Д.2. Гомоморфизмы. Нормальные делители 437
1. Гомоморфизмы D37). 2. Прямые и обратные спектры D37). 3. Раз-
Разложения группы по подгруппе D39). 4. Простые группы D39). 5. Нормаль-
Нормальные ряды D39). 6. Достижимые подгруппы D39).
§ Д.З. Автоморфизмы. Характеристические подгруппы 440
1. Эндоморфизмы и автоморфизмы D40). 2. Голоморф. Совер-
Совершенные группы D41). 3. Некоторые характеристические подгруппы D42).
4. Вербальные и маргинальные подгруппы; гиперхарактеристические
и ультрахарактеристические подгруппы D43). 5. Обобщенные эндоморфиз-
эндоморфизмы и автоморфизмы D44). 6. Связка соответствий, почти-кольцо преоб-
преобразований D45).
§ Д.4. Группы с мультиоператорами 447
1. Группы с полугруппой и с группой операторов D47). 2. Мульти-
операторные группы D47). 3. Простейшие свойства мультиоператорных
групп D48). 4. Идеалы D48). 5. Взаимный коммутант D49).
Часть вторая. Теоретико-групповые конструкции 450
§ Д.5. Прямые произведения 450
1. Простейшие свойства D50). 2. Существование общего продолжения
D51). 3. Изоморфизмы прямых разложений D52). 4. Теория Бэра D52).
5. Другие теоремы об изоморфизмах прямых разложений D54).
§ Д.6. Полные прямые и подпрямые произведения 455
1. Полные прямые произведения D55). 2. Подпрямые произведения
D57).
§ Д.7. Свободные произведения 458
1. Теорема о подгруппах D58). 2. Другие свойства свободных про-
произведений D58). 3. Связь прямых и свободных произведений D59). 4. Пол-
Полные свободные произведении D60). 5. Случай операторных и мультиопе-
мультиоператорных групп D60).
§ Д.8. Амальгамы групп 461
1. Свободные произведения с объединенной подгруппой D61). 2. Вло-
Вложения амальгам в группы D62).
§ Д.9. Свободные группы 464
1. Подгруппы свободных групп D64). 2. Нормальные делители сво-
свободных групп D65). 3. Примитивные элементы D66). 4. Автоморфизмы и
эндоморфизмы свободных групп D66). 5. Уравнения в свободных груп-
группах D67). 6. Обобщения свободных групп D67).

G ОГЛАВЛЕНИЕ
§ Д.10. Многообразия и их свободные группы 468
1. Многообразия групп D68). 2. Свободные группы многообразий
D69). 3. Структура многообразий D70). 4. Полугруппа многообразий
D71). 5. Многообразия, порождаемые конечной группой D71). 6. Даль-
Дальнейшее изучение свободных групп многообразий D72).
§ Д. 11. Точные операции в классе групп 474
1. Точные операции D74). 2. Основные постулаты D74). 3. Правиль-
Правильные операции D76). 4. Вербальные произведения D76). 5. Некоторые
свойства нильпотентных и разрешимых произведений D77). 6. Поливер-
Поливербальные операции D78). 7. Некоторые другие операции D79). 8. Обоб-
Обобщения D80).
§ Д.12. Расширения. Сплетения 480
1. Расширения D80). 2. Подобие расширений D81). 3. Сплетения
D82). 4. Некоторые свойства стандартных сплетений D83).
§ Д.13. Некоторые другие конструкции 484
1. Полупрямые произведения D84). 2. Общие произведения D84).
3. Косые произведения D86). 4. Факторизации D86). 5. Факторизации
в смысле Хайоша D88). 6. Цепные произведения D88).
§ Д. 14. Структуры подгрупп, структурные изоморфизмы 488
1. Постановка задач D88). 2. Группы, структуры подгрупп кото-
которых обладают некоторыми заданными свойствами D89). 3. Структурные
изоморфизмы D90). 4. Структурные изоморфизмы абелевых и нильпотент-
нильпотентных групп D90). 5. Группы с дуальными структурами подгрупп D91).
6. Некоторые другие структуры, связанные с группой D91).
Часть третья. Некоторые классы групп : . 493
§ Д.15. Конечнопорожденные и конечноопределенные группы 493
1. Конечнопорожденные группы D93). 2. Конечноопределенные
группы D94). 3. Подгруппы конечноопределенных групп D95). 4. Алгорит-
Алгоритмические исследования D96).
§ Д.16. Периодические группы 497
1. Проблема Бернсайда о периодических группах D97). 2. Огра-
Ограниченная проблема Бернсайда D97). 3. Изучение бернсайдовых групп
D98). 4. Ослабленная проблема Бернсайда D98). 5. Локально конечные
группы D99). 6. Универсальная счетная локально конечная группа E00).
7. Локально нормальные группы E00). 8. Дисперсивные группы E00).
§ Д. 17. Группы с другими условиями конечности 501
1. Вступление E01). 2. Группы с условием минимальности для
подгрупп E01). 3. Группы с условием минимальности для нормальных
делителей E01). 4. Другие условия минимальности E02). 5. Н ётеровы груп-
группы E03). 6. Группы с конечными классами сопряженных элементов E03).
7. Частные типы FC-rpynn E05). 8. Группы с конечным числом классов
сопряженных элементов E05). 9. Финитно аппроксимируемые группы
E06).
§ Д. 18. Силовские подгруппы; р-группы 507
1. Силовские р-подгруппы E07). 2. Силовские П-подгруппы E08).
3. Силовские и холловские базы E09). 4. Регулярные р-группы E10).
§ Д. 19. Группы без кручения. Полные группы. Покрытия 510
1. П-полные группы, Ш?- и ПД-группы E10). 2. Свободные IID-груп-
IID-группы E11). 3. Другие результаты о полных группах E12). 4. Пополнения
E12). 5. Уравнения в группах E13). 6. Покрытия E14). 7. Расщепления
E14).
§ Д.20. Радикалы 515
1. Радикалы в классе всех групп E15) 2. Минимальный радикаль-
радикальный класс над данным классом групп E17). 3. Минимальный полупростой
класс над данным классом групп E17). 4. Некоторые примеры E18). 5. Ра-

ОГЛАВЛЕНИЕ i
дикалы в данном классе групп E19). 6. Другие подходы к понятию ради-
радикала E19).
§ Д.21. Свойства классов групп 520
1. Общие замечания E20). 2. Простейшие свойства E20). 3. Исследо-
Исследования Бэра E21). 4. Функционалы, теоретико-групповые функции E22).
5. Еще одна схема нильпотентности и разрешимости E23).
§ Д.22. Группы автоморфизмов, групповые пары 523
1. Групповые пары E23). 2. Категория групповых пар E24). 3. Ста-
Стабильные группы автоморфизмов E25). 4. Г-центральные ряды E26). 5. Не-
Некоторые подгруппы группы автоморфизмов E26). 6. Треугольные группы
автоморфизмов E27)
Часть четвертая. Разрешимые и нильпотентные группы 528
§ Д.23. Обобщенные разрешимые группы 528
1. Некоторые общие свойства E28). 2. Локально разрешимые груп-
группы E29). 3. Группы, радикальные в смысле Плоткина E30). 4. RN*- и
7?/*-грушш E30). 5. Возрастающие ряды коммутантов E31).
§ Д.24. Разрешимые группы 531
1. Разрешимые ^[-группы E31). 2. Группы автоморфизмов разре-
разрешимых ^4;-групп E32). 3. Другие свойства нётеровых разрешимых групп
E32). 4. Двуступенно разрешимые группы E33). 5. Свободные разреши-
разрешимые группы E34). 6. Полинильпотентные группы E35). 7. Некоторые обоб-
обобщения E36).
§ Д.25. Обобщенные нильпотентные группы 536
1. Локально нильпотентные группы E36). 2. Локально нильпотент-
нильпотентные группы без кручения E37). 3. Группы с нормализаторным условием
E38). 4. Z^-группы E38). 5. ZD-группы E39). 6. Длины нижних и верх-
верхних центральных рядов E40). 7. Z-группы E40).
§ Д.26. Энгелевы группы 540
1. Энгелевы группы, энгелевы элементы E40). 2. Связи энгелевости
с нильпотентностью E41). 3. Энгелевы элементы и локально нильпотентный
радикал E41). 4. Энгелевы и субинвариантные элементы E42). 5. Квази-
нильпотентные группы, нильгруппы E43). 6. Обобщения E44).
§ Д.27. Нильпотентные группы 544
1. Некоторые отдельные результаты E44). 2. Конечнопорожденные
нильпотентные группы E45). 3. Свободные нильпотентные группы E46).
4. Подгруппа Фраттини E47). 5. Нильпотентность подгруппы Фратти-
ни E48).
Часть пятая. Абелевы группы 549
§ Д.28. Основы теории абелевых групп . 549
1. Введение E49). 2. Прямые суммы циклических групп E49). 3. Абе-
Абелевы группы, близкие к прямым суммам циклических групп E51). 4. Пол-
Полные абелевы группы E51). 5. Вполне разложимые группы E52). 6. Систе-
Системы образующих E53).
§ Д.29. Прямые слагаемые. Сервантные и высокие подгруппы 553
1. Прямые слагаемые E53). 2. Сервантные подгруппы E54). 3. Обоб-
Обобщения сервантности E55). 4. Высокие подгруппы E56). 5. Алгебраически
компактные группы E57).
§ Д.30. Примарные абелевы группы 557
1. Базисные подгруппы E57). 2. Примарные группы без элементов
бесконечной высоты E59). 3. Ульмовские инварианты E60). 4. т-неразло-
жимые группы E60).
§ Д.31. Абелевы группы без кручения 561
1. Группы конечного ранга без кручения E61). 2. Неразложимые
группы E62). 3. Изоморфизмы прямых разложений E62). 4. Вполне

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
разложимые группы E63). 5. Полные прямые суммы групп ранга 1
E64). 6. Узкие группы E65). 7. Другие вопросы E65).
§ Д.32. Смешанные абелевы группы 566
1. Расщепление смешанных абелевых групп E66). 2. Условия рас-
расщепления данной группы E67). 3. Смешанные группы ранга 1 E67).
§ Д.33. Операции Ext, Horn, тензорное умножение и Тог 568
1. Группа Ext E68). 2. Другие результаты о группе Ext E69).
3. 5-группы, PF-группы E69). 4. /'-группы, непериодические группы E70).
5. Группа Нот E70). 6. Тензорное произведение E71). 7. Группа Гротен-
дика абелевых групп без кручения конечного ранга E72). 8. Груп-
Группа Тог E72).
§ Д.34. Эндоморфизмы и автоморфизмы абелевых групп 573
1. Кольца эндоморфизмов E73). 2. Группы эндоморфизмов E74).
3. Группы автоморфизмов E74). 4. Мощности колец эндоморфизмов и групп
автоморфизмов E75).
§ Д.35. Другие направления в теории абелевых групп 575
1. Эпиморфные и эндоморфные образы E75). 2. Некоторые теоремы
о мощностях'E76). *3.' Обобщения ' изоморфизма E77). 4. Другие работы
E77).
ДК. Дополнительные замечания при корректуре 578
Указатель литературы 581
Именной указатель 637
Предметйый ' указатель . / 641

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Книга, третье издание которой предлагается сейчас вниманию чита-
читателя, на протяжении четверти века сопровождала развитие теории групп
и в посильной мере ему содействовала. Работа над ее первым изданием
была закончена автором в 1940 г., в следующем году прошли обе корректу-
корректуры, и лишь обстоятельства военного времени задержали выход книги
в свет до 1944 г. Во введении к первому изданию — значительная часть
этого введения воспроизводится ниже — указаны цели, к которым стре-
стремился автор, работая над книгой.
В сороковых годах общая теория групп испытала бурное развитие.
Особенно крупные успехи были достигнуты в теории абелевых групп,
в теории прямых произведений, в теории разрешимых и нильпотентных
групп и групп с различными условиями конечности. Весьма значительную
роль играла в этом развитии советская теоретико-групповая школа — ее
начало положено О. Ю. Шмидтом. Много сделали, в частности, молодые
советские алгебраисты, учившиеся теории групп по первому изданию
настоящей книги — напомню, что ее машинописный экземпляр с 1940 г.
хранился в кабинете математики и механики Московского университета
и был доступен для изучения.
Второе издание книги, законченное в 1952 г. и опубликованное в сле-
следующем 1953 г., отражало состояние, достигнутое теорией групп к началу
пятидесятых годов. Это была по существу новая книга, с новой планиров-
планировкой, со многими новыми разделами, с полной переработкой материала,
переходившего из первого издания. Лишь то, что новая книга имела в своей
основе старую и была к ней идейно очень близка, побудило автора сохра-
сохранить для нее старое заглавие.
К этому же времени относится выход книги на международную арену.
Именно, в 1953 г. в ГДР появился немецкий перевод первого издания.
Позже вышли переводы второго издания: венгерский в 1955 г., английский
(США) в двух томах в 1955 и 1956 гг., румынский в 1959 г., японский
в двух томах в 1960 и 1961 гг., китайский в 1964 г. (первый том). Это позво-
позволило книге принять участие в развитии теории групп во многих странах
мира.
Пятидесятые годы и первая половина шестидесятых годов явились
периодом дальнейшего прогресса теории групп. Решены многие проблемы,
остававшиеся открытыми долгие годы, иногда десятилетия,— отметим
хотя бы проблему Бернсайда о периодических группах, а также алго-
алгоритмические проблемы о группах с конечным числом определяющих
соотношений. Радикальную перестройку испытала теория абелевых групп.
Очень много сделано в теории разрешимых и нильпотентных групп. Офор-
Оформились целые новые направления — назовем хотя бы теорию многообра-
многообразий групп, теорию классов групп (т. е. абстрактных групповых свойств),

10 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
теорию операций над группами, теорию групп автоморфизмов и групповых
пар. Существенные изменения произошли и в основах теории групп,
такие, например, как переход от операторных к мультиоператорным
группам.
Интенсивность исследований по общей теории групп в этот период
допускает количественную характеризацию. Именно, весьма полный ука-
указатель литературы из второго издания книги содержит примерно пятьсот
названий. С другой стороны, за годы, прошедшие после завершения работы
над вторым изданием, по общей теории бесконечных групп (т. е. без работ
по конечным группам, по группам подстановок, по линейным группам,
по лиевым и «алгебраическим» группам, по топологическим группам,
по упорядоченным группам, по теории модулей и т. д.) опубликовано
не менее 1300 работ (из них около трети — работы советских авторов).
В последние годы опубликовано несколько монографий, посвященных
некоторым отдельным ветвям общей теории групп. Такие специальные
монографии будут появляться и в дальнейшем, и это вполне закономерно.
Все понимают, однако, необходимость иметь наряду с этим сводные сочи-
сочинения, представляющие теорию групп в целом и позволяющие сохранить
ее в качестве единой науки. Несколько книг общего характера появилось
за эти годы в разных странах, каждая со своими достоинствами, но, к сожа-
сожалению, ни одна из них не смогла полностью удовлетворить указанную
потребность. В этом причина выхода в свет нового издания настоящей
книги.
Автор хорошо понимает, что на самом деле следовало бы написать
совсем новую книгу. Он понимает, однако, и то, что при том обилии мате-
материала, о котором было сказано выше, эта книга могла бы оказаться трех-
трехтомной и что он уже не может планировать работу такого объема. Это
третье издание имеет поэтому весьма необычный вид.
Именно, в нем сохраняется весь текст второго издания с немного-
немногочисленными изменениями, типа исправления отдельных неточностей и опе-
опечаток или небольшой модернизации символики. Некоторым оправданием
для такого воспроизведения старого текста служит то, что книга уже
давно стала библиографической редкостью — ее не имеют у себя дома
даже некоторые из молодых советских теоретико-групповиков.
Тем более является редкостью первое издание книги, вышедшее
сравнительно небольшим тиражом. Однако, как было сказано автором
в предисловии ко второму изданию, «увеличение объема книги, которого,
к сожалению, избежать не удалось, заставило меня совсем опустить ряд
мест старой книги, иногда целые параграфы, причем это были такие места,
что включение их в свое время в книгу не может считаться ошибкой».
Читатель второго издания неоднократно отсылался поэтому к соответ-
соответствующим параграфам первого издания; ссылаться на первое издание
книги приходится, притом до настоящего времени, и другим авторам.
По этой причине в третьем издании в текст второго издания включен
некоторый материал из первого издания. Иногда это целые параграфы;
они получают при этом номер предшествующего им параграфа второго
издания, сопровождаемый буквой а (иногда также бив), и читатель без
труда найдет эти параграфы по оглавлению. Некоторый материал из пер-
первого издания включен также в §§ 23, 26, 33, 35, 42, 44, 53, 54.
Таков сейчас основной текст книги. В книгу включено также «Заклю-
«Заключение к первому изданию». За четверть века полностью исчерпалось, понят-
понятно, его значение как программной статьи, намечавшей пути дальнейшего
развития теории групп, многое в нем сейчас представляется даже наивным,

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ 11
однако сопоставление программы, предложенной молодым в те годы авто-
автором, с действительным развитием науки может оказаться поучительным.
В текст «Заключения» мы не вносим никаких изменений; лишь ссылки на
параграфы первого издания дополняются номерами (в круглых скобках)
соответствующих параграфов основного текста книги и, кроме того, в квад-
квадратных скобках указываются номера параграфов как основного текста,
так и следующего далее «Дополнения», в которых читатель может найти
информацию о дальнейшем развитии рассматриваемого вопроса.
«Дополнение», носящее заглавие «Развитие теории бесконечных групп
за 1952—1965 гг.», может оказаться для специалистов наиболее полезным.
Автор попытался дать в нем обзор развития общей теории групп за годы,
прошедшие после завершения работы над вторым изданием книги. Гово-
Говорится также и о некоторых более ранних работах, если автор находит
неправильным, что они не получили во втором издании достаточного
отражения. Понятно, что, с другой стороны, автор не мог с должной пол-
полнотой отразить в обзоре литературу, относящуюся к самым последним
годам; это восполняется, впрочем, обзорами, публикуемыми в серии
«Итоги науки».
План «Дополнения» не повторяет плана основного текста и скорее
показывает, каков был бы план новой книги по теории групп, если бы
автор такую книгу сейчас писал. «Дополнение» не содержит никаких дока-
доказательств; в нем приводятся, однако, все необходимые определения и фор-
формулируются некоторые результаты. Всего в «Дополнении» отмечается
около тысячи ста работ, не входивших в указатель литературы во втором
издании; некоторые из них, впрочем, лишь упоминаются. Все эти работы
и только они дополнительно включены в указатель литературы. Как
обычно, ссылки на этот указатель даются в тексте указанием фамилии
автора и номера (в квадратных скобках) цитируемой работы.
В основном тексте сделаны многочисленные отсылки к «Дополнению».
При этом отсылка вида [См. Д.12.3.] означает: «Смотри Дополнение,
§ 12, пункт 3».
В тексте «Дополнения», если не говорить о предисловии к нему, почти
не упоминаются результаты, относящиеся к теории конечных групп.
В предисловии ко второму изданию книги автор говорит: «Во время
работы над первым изданием передо мною стояла задача доказать, что
теория групп — это не только теория конечных групп, и поэтому книга
не содержала почти ничего, относящегося специально к конечным группам.
Сейчас эта задача может считаться уже исчерпанной. Возникла, наоборот,
новая задача — напомнить, что теория конечных групп является важной
составной частью общей теории групп. Хотя книга пополнена теперь
некоторым материалом, относящимся к конечным группам, все же эта
последняя задача в ней не решена». Исключительно большое число работ,
публикуемых по различным вопросам теории конечных групп, не позволи-
позволило автору попытаться решать эту задачу во время работы над «Дополне-
«Дополнением» к третьему изданию, хотя он понимал, что угрожающее теории
групп распадение на отдельные изолированные ветви было бы несколько
задержано, если бы ветвь, отделившаяся первой, вновь стала органиче-
органической составной частью единой теории.
В теории групп сделано за последние годы очень много, теоретико-
групповые исследования ведутся весьма интенсивно, и автор затруднился
бы, пожалуй, повторить сейчас сказанные им во введении к первому
изданию слова о том, что «общая теория групп еще не прошла через вер-
вершину своего развития». Несомненно, однако, что теория групп еще долго

12 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
будет оставаться основным поставщиком новых идей и испытательным
полигоном для более общих алгебраических теорий, таких, например,
как теория универсальных алгебр и теория категорий. Следует ожидать
поэтому, что в ближайшие годы интенсивность теоретико-групповых
исследований останется весьма высокой. Автор будет рад, если настоящая
книга в ее новом издании еще некоторое время сможет быть полезной
алгебраистам, работающим в теории групп.
Автор приносит искреннюю благодарность всем, кто оказал ему
помощь и поддержку во время работы над этим третьим изданием книги,
в первую очередь А. П. Мишиной, А. Л. Шмелькину и Е. Г. Шульгейферу.
Особо благодарен он О. Н. Головину, взявшему на себя большой труд
редактирования книги и этим доставившему автору удовольствие вновь
иметь его своим сотрудником — напомню, что Олег Николаевич был,
в частности, редактором первого издания этой книги.
Москва, ноябрь 1966 г. А. Курош

ИЗ ВВЕДЕНИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Теория групп имеет большую и содержательную историю. Возникшая
в связи с теорией Галуа и для нужд этой теории, она развивалась сперва
в качестве теории конечных групп подстановок (Коши, Жордан, Силов).
Довольно скоро обнаружилось, однако, что для большинства вопросов,
интересовавших эту теорию, не является существенным тот специальный
материал — подстановки,— который использовался для построения групп,
и что на самом деле речь идет об изучении свойств одной только алгебраи-
алгебраической операции, определенной в множестве, состоящем из конечного
числа элементов произвольной природы. Это открытие, представляющееся
в настоящее время тривиальным, оказалось в действительности весьма
плодотворным и привело к созданию общей теории конечных групп. Прав-
Правда, переход от групп подстановок к произвольным конечным группам
не вызвал по существу расширения запаса изучаемых объектов, однако
он перевел теорию на аксиоматические основы, придав ей стройность
и прозрачность и облегчив этим ее дальнейшее развитие.
Расцвет теории конечных групп относится к концу прошлого и первым
десятилетиям нашего столетия. В это время были получены основные
результаты этой теории, намечены основные направления, созданы основ-
основные методы; вообще, теория конечных групп трудами своих крупнейших
деятелей (Фробениус, Гельдер, Бернсайд, Шур, Миллер) приобрела в это
время то лицо, все существенные черты которого она донесла до наших
дней г). В дальнейшем стало ясным, однако, что конечность групп являет-
является слишком сильным и не всегда естественным ограничением. Особенно
важно, что это ограничение очень скоро привело к конфликту с потребно-
потребностями соседних-отделов математики: различные части геометрии, теория
автоморфных функций, топология все чаще и чаще стали встречаться
с алгебраическими образованиями, подобными группам, но бесконечными,
и стали предъявлять к теории групп требования, удовлетворять которые
теория конечных групп была не в состоянии. Вместе с тем с точки зрения
самой алгебры, частью которой теория групп является, вряд ли можно было
считать нормальным положение, при котором оставались за пределами
теории такие простейшие и важнейшие группы, как, например, аддитив-
аддитивная группа целых чисел. Конечная группа должна была поэтому стать
частью общего понятия группы, а теория конечных групп — главой
в общей теории «бесконечных» (т. е. не обязательно конечных) групп.
Впервые в мировой литературе изложение!основ теории групп без
предположения, что рассматриваемые группы конечны, было оделано
в книге О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (Киев, 1916), книге,
*¦) В годы, предшествовавшие выходу третьего издания настоящей книги, теория
конечных групп испытала новый бурный подъем — см. предисловие к Дополнению.

14 ИЗ ВВЕДЕНИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
и сейчас остающейся настольной для всех советских алгебраистов. Широ-
Широкое развитие общей теории групп началось, однако, несколько позже
и было связано с той радикальной перестройкой и тем переходом на теоре-
теоретико-множественные основы, которые совершила алгебра в 20-х годах
нашего века (Э. Нётер). В частности, именно отсюда пришли в теорию
групп такие новые для нее понятия, как системы операторов и условия
обрыва цепочек.
В дальнейшем работа в общей теории групп становилась все более
бурной и разносторонней и к настоящему времени эта часть математики
превратилась в широкую и богатую содержанием науку, занимающую
одно из первых мест в современной алгебре. Понятно, что это развитие
общей теории групп не могло игнорировать успехи, уже достигнутые
в теории конечных групп. Наоборот, многое при этом развитии возникало
из соответствующих частей теории конечных групп, причем руководящим
было стремление заменить конечность группы теми естественными ограни-
ограничениями, при которых данная теорема или данная теория еще остаются
справедливыми и за пределами которых они. теряют силу. Очень часто,
впрочем, вопрос, простой и окончательно решенный в случае конечных
групп, превращался в широко развитую и далекую от завершения теорию;
такова, например, теория абелевых групп, одна из важнейших частей
современной теории групп. Вместе с тем возникли и некоторые новые
отделы, существенным образом связанные с рассмотрением бесконечных
групп,— теория свободных групп, теория свободных произведений. Нако-
Наконец, в некоторых случаях — прежде всего в вопросе о задании группы
определяющими соотношениями — впервые удалось достигнуть четкости
и строгости, недоступных теории групп на предшествующем этапе ее
развития.
Теория групп далека еще от завершения. Многочисленность стоящих
перед нею конкретных проблем, а также наличие направлений, по которым
работа началась лишь в самое последнее время, позволяют считать, что
общая теория групп еще не прошла через вершину своего развития. Впол-
Вполне своевременно, тем не менее, систематизировать уже накопившийся
богатый материал и этим дать широким кругам математиков представление
об основных направлениях современной теории групп, о ее методах,
о ее крупнейших достижениях и, наконец, о стоящих перед нею очередных
проблемах и о путях, по которым ее необходимо в ближайшее время
развивать.
Настоящая книга не претендует, понятно, на полный охват всей тео-
теории групп, однако в ней представлены почти все основные части этой
науки в объеме, достаточном для того, чтобы показать читателю богатство
ее содержания и разнообразие методов.
От читателя не требуется предварительного знакомства с основными
понятиями теории групп. Владение основным курсом высшей алгебры
потребуется лишь для некоторых исходных примеров групп — матриц,
подстановок, корней из единицы. Знакомство читателя с теорией чисел
также может ограничиться лишь элементами теории сравнений. С другой
стороны, от читателя требуется свободное владение основами теории
множеств в объеме первых четырех глав книги Хаусдорфа «Теория мно-
множеств» (Москва, 1937). В частности, многие конструкции и доказательства
существенным образом используют трансфинитную индукцию.
Москва, октябрь 1940 г.

Ч а с тъ п ер в а я
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Глава первая
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ
§ 1. Алгебраическая операция
Уже в курсе высшей алгебры читатель встречался с множествами,
в которых определены алгебраические операции. Основную роль играли
в этом курсе поля и кольца, т. е. множества с двумя операциями — сложе-
сложением и умножением. Весьма часто, однако, в различных приложениях
встречаются множества, в которых определена (или в данный момент
рассматривается) лишь одна алгебраическая операция. Напомним опре-
определение этого понятия.
Пусть дано некоторое множество М. Мы говорим, что в М определена
бинарная алгебраическая операция, если всяким двум (различным или
одинаковым) элементам множества М, взятым в определенном порядке,
по некоторому закону ставится в соответствие вполне определенный
третий элемент, принадлежащий к этому же множеству *).
Требование однозначности операции и требование ее выполнимости
для любой пары элементов входят, следовательно, в определение алгебраи-
алгебраической операции. С другой стороны, в этом определении содержится
указание на порядок, в котором берутся элементы множества М при
выполнении операции. Иными словами, не исключается возможность
того, что паре элементов а, Ъ из М и паре Ъ, а будут поставлены в соответ-
соответствие различные элементы из М, т. е. что рассматриваемая опера-
операция будет некоммутативной.
Можно указать многочисленные примеры числовых множеств с одной
операцией, удовлетворяющих данному выше определению. Мы предо-
предоставим читателю построение таких примеров и лишь отметим, что нашему
определению не удовлетворяют, например, множество отрицательных
целых чисел относительно умножения, множество нечетных чисел отно-
относительно сложения, а также множество всех действительных чисел, если
в качестве операции рассматривается деление — последнее ввиду невыпол-
невыполнимости деления на нуль.
Хорошо известны также различные примеры алгебраических опера-
операций, производимых не над числами. Таковы сложение векторов и-мерного
векторного пространства, векторное умножение векторов трехмерного
евклидова пространства, умножение квадратных матриц порядка п,
х) Множество М с одной бинарной алгебраической операцией принято теперь
ьазывать группоидом.

16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. I
сложение действительных функций действительного переменного, умно-
умножение этих же функций и т. д. Примером алгебраической операции, очень
важным для. дальнейшего, будет умножение подстановок. Подстановка
п-ш степени является, как известно, взаимно однозначным отображением
системы первых п натуральных чисел на себя. Результат последовательно-
последовательного выполнения двух подстановок ге-й степени снова будет некоторой под-
подстановкой ге-й степени, называемой произведением первой из заданных
подстановок на вторую. Так, если даны при ге = 3 подстановки
123\ /123
l32J' * U
то их произведением будет подстановка
/1234
V2 1 3)-
Алгебраическая операция в множестве подстановок ге-й степени
определена. Легко видеть, что она является некоммутативной; так, для
данных выше подстановок а и Ъ произведение Ъ на а будет иметь вид
/12 3
\о a i
При изучении множеств с одной алгебраической операцией мы будем,
как правило, употреблять мультипликативную терминологию и символи-
символику: операцию будем называть умножением, а результат применения опера-
операции к паре элементов a, b — произведением аЪ этих элементов. В некоторых
случаях будет удобнее, однако, использовать аддитивную запись, т. е.
называть операцию сложением и говорить о сумме а + Ъ элементов а, Ъ.
Мы уже отметили, что в определение алгебраической операции не
включено требование ее коммутативности, т. е. справедливости для
любых элементов а, Ъ из множества М равенства
аЪ = Ъа.
Примерами некоммутативных операций будут умножение квадратных
матриц порядка п при п > 2, умножение подстановок степени п, притом
не только при п = 3, как показано выше, но и при всех п > 3, а также
векторное умножение векторов трехмерного евклидова пространства.
Вычитание чисел также можно считать примером некоммутативной опе-
операции.
Определение алгебраической операции не содержит также требования,
чтобы эта операция была ассоциативной, т. е. чтобы для любых элементов
а, Ъ, с из множества М выполнялось равенство
(аЪ)с = а(ЪсI).
Примером неассоциативной операции служит векторное умножение
векторов трехмерного пространства; неассоциативно и вычитание целых
чисел. С другой стороны, умножение матриц, как известно, ассоциативно.
Ассоциативным является и умножение подстановок, как вытекает из сле-
следующего более общего результата.
Множество с одной ассоциативной операцией называется полугруппой.

§ 1] АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ 17
Пусть дано некоторое множество S, конечное или бесконечное. Рас-
Рассмотрим всевозможные однозначные отображения множества S в себя,
т. е. отображения, каждое из которых ставит в соответствие всякому
элементу из S вполне определенный элемент этого же множества, хотя,
быть может, разные элементы из S отображаются в один и тот же элемент
и, с другой стороны, в S могут существовать элементы, в которые ничто
не отображается. Если умножением таких отображений мы назовем их
последовательное выполнение, то получим в множестве отображений
ассоциативную алгебраическую операцию.
В самом деле, пусть даны три однозначных отображения множества S
в себя — ф, г|) и %. Пусть, далее, а — произвольный элемент из S и пусть
при отображении ф он переходит в элемент Ь, который в свою очередь
переводится отображением я|э в элемент с, а этот, наконец, при отображе-
отображении % переходит в элемент d. Тогда отображение ф\|) переводит элемент а
в элемент с, т. е. при отображении (фя|>)% о. переходит в d. Однако отобра-
отображение ty% переводит элемент Ъ в элемент d, а поэтому и при отображении
ф (ty%) а также переходит в d. Этим доказано, что отображения (фя|э) %
и ф ("vfx) совпадают.
Посмотрим, какие следствия можно вывести из справедливости для
операции, заданной в некотором множестве М, закона ассоциативности.
Из определения алгебраической операции следует существование и един-
единственность произведения для любых двух элементов из М, взятых
в определенном порядке. Это не дает возможности, однако, говорить
в общем случае о произведении трех элементов — произведение элемен-
элементов a, b и с, взятых в указанном порядке, может, вообще говоря, зависеть
от того, умножается ли произведение а на Ъ на элемент с или а умножается
на произведение Ъ на с. Наличие закона ассоциативности позволяет одно-
однозначным образом говорить о произведении трех элементов из М: элемент
(аЪ)с, равный элементу а(Ъс), будет просто обозначаться через аЪс.
Понятно, что произведение трех элементов будет меняться, вообще говоря,
при перестановке сомножителей.
Более того, ассоциативность операции позволяет говорить одно-
однозначным образом о произведении любого конечного числа элементов из М,
взятых в определенном порядке, т. е. позволяет доказать независимость
окончательного результата от первоначального распределения скобок.
Докажем это для случая п множителей (п > 3), предполагая, что для
меньшего числа множителей это уже доказано. Пусть дана упорядоченная
система из п элементов множества М:
пу, а2, ..., ап,
в которой некоторым образом распределены скобки, указывающие на
порядок, в каком должна выполняться операция. Совершая последова-
последовательно указанные скобками перемножения, мы в качестве последнего
шага должны будем выполнить умножение произведения первых i эле-
элементов а^а2 ... в; (l<!i<!ra — 1) на произведение аг+1 • • • ап. Так
как эти произведения состоят из меньшего числа множителей и поэтому,
по предположению, однозначно определены, то нам остается доказать
возможность перехода от произведения (а1а2 ¦ . . at) (ai + lai+2 . , . an)
к произведению {а^а2 . . . a/) (aJ+i . . . an), j =f= i. Это достаточно про-
проделать, очевидно, для случая / = i + 1 и достигается это простым при-
применением закона ассоциативности: если
А. Г. Курош

18 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. 1
ТО
Понятно, что этим путем мы не получаем права говорить о произве-
произведении бесконечного множества элементов из М.
Множество М, в котором задана алгебраическая операция, обладает
иногда единицей, т. е. таким элементом 1, что
аЛ = 1 -а = а
для всех а из М. В М может существовать лишь один элемент с этим
свойством: если есть еще вторая единица 1', то произведение 1-1' будет
равно и 1', и 1, откуда 1' = 1. В случае аддитивной записи единица будет
называться нулем и обозначаться символом 0.
Примерами множеств с алгебраической операцией, не обладающих
единицей (или нулем), служит множество натуральных чисел относи-
относительно операции сложения, множество четных чисел относительно опера-
операции умножения, а также множество векторов трехмерного евклидова
пространства относительно операции векторного умножения. С другой
стороны, умножение квадратных матриц порядка п обладает единицей —
ею служит, как известно, единичная матрица. Существует единица и для
умножения подстановок степени п — легко видеть, что это будет тожде-
тождественная подстановка
/1 2 ... п'
Вообще в множестве всех однозначных отображений некоторого множе-
множества S в себя, с последовательным выполнением отображений в качестве
умножения, единицей служит тождественное отображение множества S
на себя.
Введем, наконец, понятие обратной операции. Мы знаем из курса
высшей алгебры, что во всяком кольце вычитание является операцией,
обратной сложению, а во всяком поле, если ограничиться лишь элемен-
элементами, отличными от нуля, деление — операцией, обратной умножению.
Следуя этим примерам, в случае произвольного множества М с одной
операцией (не обязательно коммутативной) естественно поставить такой
вопрос: существуют ли для данных элементов а и Ъ такие элементы х и у,
что
ах = Ь, уа = Ъ. A)
Эти уравнения могут и не быть разрешимыми в множестве М. С дру-
другой стороны, каждое из этих уравнений может иметь в М много различных
решений. Будем говорить, что для операции, заданной в М, существует
обратная операция, если при любых а и Ъ каждое из уравнений A)
обладает решением, притом единственным; в некоммутативном
случае решения этих двух уравнений не обязаны, понятно, совпадать.
Примером операции, при которой уравнения A) могут обладать
многими различными решениями, служит умножение во всяком кольце
с делителями нуля, в частности в кольце функций и в кольце матриц.
Простейшими примерами операций, при которых уравнения A) не всегда
разрешимы, являются операция сложения в множестве натуральных
чисел, а также операция умножения в кольце целых чисел и даже в поле
действительных чисел — последнее ввиду невозможности деления на нуль.

2] ИЗОМОРФИЗМ. ГОМОМОРФИЗМ 19
§ 2. Изоморфизм. Гомоморфизм
Пусть даны два множества М и М', в каждом из которых определено
по одной алгебраической операции; будем считать, что в обоих множествах
эти операции названы умножением. Множества М и М' называются изо-
изоморфными относительно этих операций, если между их элементами можно
установить взаимно однозначное соответствие, обладающее следующим
свойством: если элементам а и b из М соответствуют в множестве М'
элементы а' и Ъ' и если
ab = c, а'Ъ' = с',
то элементу с множества М должен быть отнесен при рассматриваемом
соответствии элемент с', а не какой-нибудь другой элемент множества М'.
Само такое взаимно однозначное соответствие называется изоморфным
соответствием или изоморфизмом между М и М'. Изоморфизм множеств М
и М' будет записываться символом
М~М'.
Примеры изоморфных множеств с одной операцией могут быть ука--
заны без всяких затруднений. Так, множество четных чисел можно взаимно
однозначно отобразить на множество чисел, кратных числу 3, если всякому
четному числу 2к отнести число 3&, лежащее во втором множестве. Это
отображение будет, очевидно, изоморфным относительно сложения, кото-
которое определено в каждом из двух рассматриваемых множеств.
Сравним, далее, операцию умножения, производимую в множестве
положительных действительных чисел, с операцией сложения, произво-
производимой в множестве всех действительных чисел. Мы придем к взаимно
однозначному отображению первого из этих множеств на второе, если*
всякому положительному действительному числу поставим в соответствие
его логарифм по основанию 10. Равенство
показывает, что это отображение является изоморфным.
Ряд примеров изоморфных множеств можно найти также в курсе
высшей алгебры. Напомним один из них: множество линейных преобра-
преобразований и-мерного векторного пространства над некоторым полем Р,
причем умножением линейных преобразований считается их последова-
последовательное выполнение, изоморфно множеству квадратных матриц порядка п
над полем Р с умножением матриц в качестве алгебраической операции.
Этот изоморфизм зависит, как известно, от выбора базы в векторном
пространстве. Таким образом, если множества М и М', каждое с одной
операцией, изоморфны, то изоморфное соответствие между ними можно
установить, вообще гогоря, многими различными способами.
Всякое множество с операцией изоморфно, очевидно, самому себе:
для этого достаточно взять тождественное отображение множества на себя.
Отношение изоморфизма является, далее, симметричным — из Mi ~ М2
следует М2 ~ М± — и транзитивным — из М± ~ М2 и М2 ~ М3 следует
Mi ~ М3-
Из определения изоморфизма следует, что изоморфные множества
имеют одинаковую мощность, в частности, если они конечны, то состоят
из одинакового числа элементов.
Изоморфные множества с операциями отличаются друг от друга
природой своих элементов и, быть может, названием операции и символи-

20 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. I
кой, употребляемой для ее обозначения. Они неразличимы, однако, с точки
зрения свойств операций — все, что может быть доказано для некоторого
множества с операцией на основании свойств этой операции, но без
использования конкретной природы элементов множества, автоматически
переносится на все множества, изоморфные с данным. Изоморфные множе-
множества мы будем поэтому считать в дальнейшем лишь различными экземпля-
экземплярами множества с одной и той же операцией и этим выделим алгебраиче-
алгебраическую операцию в качестве истинного объекта изучения. Лишь при построе-
построении примеров нам придется говорить о конкретных множествах и об опе-
операциях, определение которых зависит от свойств элементов этих множеств.
Впрочем, позже — в главе 5 — мы научимся задавать конкретные при-
примеры операций без всяких предположений о природе тех элементов, над
которыми производятся операции.
Понятие изоморфизма не является понятием, специфичным для алгеб-
алгебры. В действительности всякая математическая наука умеет по некоторым
признакам идентифицировать изучаемые ею объекты, выделяя этим те
свойства этих объектов, которые составляют предмет данной науки. Чита-
Читателю для уяснения этого достаточно представить себе, как создается одно
из основных математических понятий — понятие целого числа.
Мы получим обобщение понятия изоморфного отображения, если
в его определении откажемся от требования взаимной однозначности.
Пусть даны множества М и М', каждое с одной операцией — умножением.
Рассмотрим отображение ф множества М на множество М', ставящее
в соответствие каждому элементу а из М вполне определенный образ а'=аф
в М', в то время как всякий элемент из М' обладает хотя бы одним, но,
вообще говоря, многими различными прообразами в М. Это отображение
называется гомоморфным, если для любых а и Ь, содержащихся в М, из
вытекает
(ab) ff = a'b'.
Будем говорить также, что множество М' является гомоморфным образом
множества М 1).
Нельзя считать, понятно, тождественными два множества, одно
из которых гомоморфно отображается на другое. Таким образом, понятие
гомоморфизма играет менее принципиальную роль, чем понятие изомор-
изоморфизма, но в дальнейшем развитии теории эта роль также весьма велика.
Укажем некоторые примеры гомоморфных отображений.
Пусть М ¦— множество всех целых чисел со сложением в качестве
алгебраической операции, М' — множество, состоящее из чисел 1 и—1;
зто второе множество рассматривается относительно умножения, которое
в нем, очевидно, определено. Относя всякому четному числу число 1,
всякому нечетному — число —1, мы получим гомоморфное отображение М
на М!\ дейртвительно, правилу «четное плюс нечетное равно нечетному»
соответствует равенство 1-(— 1) = — 1, и т. д.
Пусть теперь М — множество всех векторов на плоскости, выходя-
выходящих из начала координат, М' — множество тех векторов из М, которые
лежат на оси абсцисс, причем в обоих случаях роль алгебраической опе-
операции играет сложение векторов. Мы получим гомоморфное отображение
*¦) Некоторая новая терминология, связанная с понятием гомоморфизма, ука-
яана в Д.2.1.

§ 2] ИЗОМОРФИЗМ. ГОМОМОРФИЗМ 21
множества М на множество М', если всякому вектору из М поставим
в соответствие его проекцию на ось абсцисс; действительно, проекция
суммы равна, как известно, сумме проекций слагаемых.
Если множество М с одной операцией гомоморфно отображается
на множество М', в частности, если эти два множества изоморфны, то
из справедливости в М закона ассоциативности или закона коммутативно-
коммутативности вытекает справедливость соответствующего закона и в М'. Пусть,
например, операция в М коммутативна. Если а' и Ъ' — произвольные
элементы из М', элемент а — один из прообразов элемента а' в М, Ъ ¦—
один из прообразов элемента Ъ', то при рассматриваемом гомоморфизме
элементу аЪ соответствует элемент а'Ь', элементу Ъа — элемент Ъ'а',
а поэтому из равенства аЪ = Ъаъ единственности образа при гомоморфном
отображении вытекает равенство а'Ь' = Ъ'а'. По этому же образцу про-
проходит доказательство и в том случае, когда операция в М ассоциативна.
Далее, если множество М обладает единицей 1, то ее образ служит
единицей для множества М'. Действительно, обозначим образ единицы
через е . Если а' — произвольный элемент из М', а — один из его про-
прообразов, то из равенств аЛ = 1-а = а и гомоморфизма отображения
вытекают равенства а'е' = е'а' = а'. Этим доказано, что е' на самом
деле служит единицей для множества М'.
Заметим, что если множество М обладает обратной операцией, то
в общем случае этого нельзя утверждать относительно его гомоморфного
образа М', а именно нельзя доказать единственность решения каждого
из уравнений A) предыдущего параграфа, хотя и можно доказать раз-
разрешимость этих уравнений.
Действительно, если а' и Ъ' — элементы из М', а и Ъ — соответ-
соответственно их некоторые прообразы в М, т. е. йф = а', Ьф = Ъ', и если элемент
с удовлетворяет уравнению ах = Ъ в М, то ввиду гомоморфности отобра-
отображения ф элемент с' = сф будет удовлетворять уравнению а'х = V в М'.
Отметим, с другой стороны, что из справедливости в М' законов
ассоциативности или коммутативности, из наличия в М' единицы или
из выполнимости в М' обратной операции не вытекают соответствующие
утверждения для множества М.
Существует некоторый способ обозрения всех гомоморфных образов
данного множества М с одной операцией. С этой целью введем следующие
понятия. Пусть дано разбиение множества М на непересекающиеся
подмножества, которые мы назовем классами и будем обозначать буквами
А, В, ... Это разбиение множества М на непересекающиеся классы
называется правильным, если из того, что элементы ai и а2 лежат в одном
классе А, а элементы fot и Ъ2 — в одном классе В, вытекает, что произве-
произведения а^Ъу и a2b2 также принадлежат к одному и тому же классу С х).
Из этого определения следует, что класс С вполне определяется
заданием самих классов А и В — произведение любого элемента из А
на любой элемент из В содержится в С. Если мы назовем класс С произве-
произведением класса А на класс В, то в множестве М всех классов нашего пра-
правильного разбиения будет определена алгебраическая операция. Назовем
множество М с этой операцией фактор-множеством множества М по рас-
рассматриваемому правильному разбиению.
Множество М гомоморфно отображается на фактор-множество М.
Действительно, достаточно поставить в соответствие каждому элементу
Правильные разбиения принято теперь называть конгруенциями.

22 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. I
из М тот класс, в котором этот элемент содержится, и воспользоваться
определением умножения в множестве М. Это гомоморфное отображение
множества М на фактор-множество М называется естественным.
Фактор-множествами множества М по его различным правильным
разбиениям по существу исчерпываются все гомоморфные образы этого
множества. Точнее, справедлива следующая теорема.
Если М' — произвольный гомоморфный образ множества М, а ф —
гомоморфное отображение М на М', то существует такое правильное
разбиение множества М на непересекающиеся классы, что множество М'
изоморфно фактор-множеству М, посдьроенному по этому разбиению.
Больше того, существует такое изоморфное отображение ip множества М'
на множество М, что результат последовательного выполнения отобра-
отображений ф и я|з совпадает с естественным гомоморфным отображением М
на М.
Для доказательства заметим, что мы получим разбиение множества М
на непересекающиеся классы, если будем относить в один класс все эле-
элементы, образы которых при отображении ф совпадают. Это разбиение
является правильным: если элементы ai и а2 лежат в одном классе, т. е.
а4ф = а2ф = а , и это же имеет место для злементов Ь4 и Ъ2, т. е. Ь4ф =
= &2ф = Ъ', то ввиду гомоморфности отображения ф
(аА) ф = {аф2) ф = а'Ь',
т. е. элементы aibi и a2b2 на самом деле принадлежат к одному классу.
Это позволяет в множестве М всех классов полученного разбиения опре-
определить умножение указанным выше способом, т. е. превратить М в фак-
фактор-множество. Между всеми элементами множества М' и всеми классами
(т. е. элементами множества М) существует взаимно однозначное соот-
соответствие t|) — всякому элементу из М' нужно поставить в соответствие
класс, состоящий из всех прообразов этого элемента. Соответствие я|з
является изоморфным: если элементам а' и Ъ' из множества М' отнесены
соответственно классы А и В и если в этих классах выбрано по элемен-
элементу — а из А и Ъ из В, то АВ будет тем классом, который содержит элемент
аЪ. Однако
т. е. элементу а'Ъ' отображение я|э ставит в соответствие класс А В. Для
окончания доказательства берем произвольный элемент а из М. Пусть
аф = a', a'ty = A. Так как элемент а является одним из прообразов эле-
элемента а', то а содержится в А, т. е. результат последовательного выполне-
выполнения отображений ф и я|) действительно совпадает с естественным гомоморф-
гомоморфным отображением М на М. Теорема доказана.
§ 3. Группа
Дальнейшее изучение множеств с одной произвольной операцией
было бы мало плодотворным занятием, так как это понятие весьма широко
и поэтому бедно содержанием. Исторически, ввиду потребностей прило-
приложений как в самой математике, так и за ее пределами, выделился и стал
детально изучаться один специальный тип множеств с одной операцией,
а именно группы. Это понятие является одним из самых основных понятий
современной математики и соединяет близость к операциям над числами
с исключительно широкой областью применимости.

§ 3] ГРУППА 23
Непустое множество G с одной бинарной алгебраической операцией
называется группой, если выполняются следующие условия:
1) операция в G ассоциативна;
2) в б выполнима обратная операция.
Операция в группе G не обязана быть коммутативной. Если же она
коммутативна, то группа G называется коммутативной, или абелевой,
по имени Абеля, изучавшего один тип уравнений, теория которых связана
с теорией коммутативных групп. Понятно, что операции в этом классе
групп особенно близки к привычным нам операциям над числами; в даль-
дальнейшем изложении будет уделено много места детальному изучению
свойств абелевых групп.
Если в произвольной группе G коммутативный закон выполняется
для двух данных элементов а и Ъ, то эти элементы называются перестано-
перестановочными.
Если группа G состоит из конечного числа элементов, то она назы-
называется конечной группой, а число элементов в ней — порядком группы.
В следующем параграфе будет показано существование конечных групп
любого порядка, а также групп любой бесконечной мощности.
Для случая конечных групп можно в условии 2) из определения группы
оставить лишь требование единственности решений обоих уравнений
ах = b, ya= b, A)
т. е. вывести отсюда, как следствие, существование решений этих уравне-
уравнений. Действительно, пусть множество G с одной операцией и с однозначно-
однозначностью решений уравнений A), если эти решения существуют, конечно
и состоит из п элементов. Пусть, далее, даны элементы а и Ъ из G. Умножая
элемент а справа на элемент х из G, т. е. беря произведение ах, и заставляя
х пробегать все элементы из G, мы получим, ввиду сделанных предположе-
предположений, п различных элементов из G, т. е. снова все элементы из G;
существует, следовательно, такой элемент х0, что ах0 равно заданному Ъ.
Существование решения для первого из уравнений A) доказано. Существо-
Существование решения для второго из этих уравнений доказывается аналогич-
аналогичным путем.
Подобное ослабление условия 2) в бесконечном случае недопустимо,
как показывает пример множества целых положительных чисел с опера-
операцией сложения. Эта операция здесь всегда выполнима, однозначна и ас-
ассоциативна; обратная же операция — вычитание — однозначна, но не
всегда выполнима.
Переходим к установлению простейших следствий из определения
группы. Берем в группе G произвольный элемент а. Из условия 2) следует
существование и единственность в G элемента еа, удовлетворяющего
условию аеа = а, т. е. играющего при умножении на него элемента а
справа роль единицы. В действительности элемент еа обладает этим
свойством по отношению ко всем элементам группы: если Ъ есть любой
другой элемент группы G и если у есть элемент группы, удовлетворяющий
равенству уа = Ь,— его существование следует из условия 2),— то, умно-
умножая обе части равенства аеа = а слева на у и применяя к левой части
равенства закон ассоциативности, мы получим Ъеа = Ъ. Этим доказано
существование и единственность в группе G правого единичного элемента е',
обладающего по отношению ко всем элементам х из G свойством хе' = х.
Таким же путем можно доказать существование и единственность
в группе G и левого единичного элемента е", удовлетворяющего условию
е"х = х для всех х из G.

24 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл.
На самом деле элементы е' и е" совпадают, как показывают равен-
равенства е"е' = е' и е"е' = е". Этим доказано существование и единствен-
единственность во всякой группе G элемента е, удовлетворяющего условию
для всех элементов х изО. Этот элемент является единицей группы G
(см. § 1) и будет обозначаться символом 1. Единица перестановочна, как
мы видим, с любым элементом группы.
Из условия 2) следует, далее, существование и единственность при
заданном элементе а таких элементов а' и а", которые удовлетворяют
условиям аа' = 1, а"а = 1. В действительности элементы а' и а" совпа-
совпадают: из
а"аа' = а" (аа') = а" ¦ 1 = а"
и
а"аа' = (а" а) а' = 1 ¦ а' = а'
следует а" = а'. Этот элемент мы будем обозначать через а-1 и называть
обратным элементу а. Для всякого элемента а группы G существует,
следовательно, в G однозначно определенный обратный элемент а-1,
удовлетворяющий условиям
аа-1 = а~ха = 1.
Из последних равенств следует, что обратным для элемента а~г будет
сам элемент а, т. е. (а-1)-1 = а, и что всякий элемент перестановочен
со своим обратным. Легко проверить, далее, что обратным для произведе-
произведения нескольких элементов будет произведение элементов, обратных сомно-
сомножителям и взятых притом в обратном порядке, т. е.
Обратным элементом для единицы будет сама единица.
Понятие обратного элемента позволяет записать в явном виде те эле-
элементы хшу, которые удовлетворяют, ввиду условия 2), равенствам ах = Ъ
жуа = Ъ при заданных элементах а и Ъ. Действительно, непосредственная
проверка показывает, что
Отсюда следует, что в некоммутативном случае х и у могут быть отличными
друг от друга элементами группы. В случае абелевых групп это, само
собой разумеется, невозможно.
Существование и единственность обратных элементов выведены нами
при помощи условия 2), но на самом деле они могут заменить это условие.
Сейчас мы зто покажем, причем не будем даже предполагать единствен-
единственности единицы и обратных элементов и ограничимся предположением
их одностороннего (например, правостороннего) существования. Такое
ослабление условия 2) облегчает иногда проверку того, является ли груп-
группой данное множество с операцией.
Если G есть множество с ассоциативной операцией, то условие 2) сле-
следует из условий
2') в G существует по крайней мере один правосторонний единичный
элемент е, обладающий свойством
ае = а для всех а из G,

§ з] группа 25
и 2") среди правосторонних единичных элементов в G существует такой
элемент е0, что для всякого а из G существует в G по крайней мере один
правосторонний обратный элемент а-1, обладающий свойством
аа = е0.
Доказательство. Пусть а~г есть один из правосторонних
обратных элементов для а. Умножая слева обе части равенства аа~г = е0
на е0, получаем ейаа~х = eoeQ = е0, откуда
еоаа~г = аа.
Умножая обе части этого равенства справа на один из правосторонних
обратных элементов для а-1, мы получаем еоаео = ае0, откуда следует
еоа = а. Элемент е0 оказывается и левосторонним единичным элементом
для G.
Если теперь е\ есть произвольный правосторонний единичный эле-
элемент, е2 — произвольный левосторонний единичный элемент, то из ра-
равенств
е2еу = ej и е2ву = е2
следует в\ = е2. Этим доказана единственность единичного элемента е.
Умножая обе части равенства аа~г = е слева на а-1, мы получаем
Умножая обе части этого равенства справа на один из правосторонних
обратных элементов для а-1, мы получаем а~ха = е, т. е. элемент а-1 будет
и левосторонним обратным для а. Если теперь а\~х, a2-1 будут соответ-
соответственно произвольными правосторонним и левосторонним обратными эле-
элементами для а, то из равенств
а^аа^1 = (а~ 1а) а = а,
ё
а'^аа'1 = а'1 (аа^1) = а~ \
следует аг1 = а2~\ т. е. следует единственность обратного. элемента.
Справедливость условия 2) доказывается теперь без всяких затруд-
затруднений. Для того чтобы удовлетворить уравнениям
ах = 5, уа = Ъ,
достаточно положить # = а~гЪ, у = Ьа-1. Единственность этого решения,
например для первого уравнения, следует из того, что если axi = ах2,
то, умножая слева на а, мы получаем ху = х2-
Заметим, что единственность решений уравнений A) позволяет про-
производить левосторонние и правосторонние сокращения: если
abl = ab2 или bia = b2a,
то &t = Ъ2.
Если группа G гомоморфно (е частности изоморфно) отображается
на множество G' с одной операцией, то G' также будет группой.
Действительно, из доказанного в предшествующем параграфе выте-
вытекает, что операция в G' ассоциативна, что уравнения A) обладают в G'
решениями и что образ единицы группы G служит единицей для множе-
множества G'. Таким образом, в G' выполняются условия 2') и 2"), а поэтому,
как доказано выше, G' будет группой.

26 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. I
В частности, фактор-множество группы G по любому ее правильному
разбиению само будет группой. Мы будем говорить поэтому в дальнейшем
о фактор-группе группы G по ее правильному разбиению.
Доказанная в конце предшествующего параграфа теорема превра-
превращается теперь в следующую очень важную теорему о гомо-
гомоморфизмах для групп:
Если ф — э&моморфное отображение группы G на группу G', то суще-
существует такое правильное разбиение группы G, что группа G' изоморфно
отображается на фактор-группу G группы G по этому разбиению. Больше
того, изоморфизм \р группы G' на группу G можно подобрать так, что
результат последовательного выполнения отображений ф и т\> совпадает
с естественным гомоморфизмом группы G на фактор-группу G.
Относительно гомоморфных отображений сделаем еще одно
замечание.
Если гомоморфизм ф группы G на группу G' переводит элемент а из G
в элемент а' из G',
аф = а',
то образом элемента а-1 служит элемент а'-1:
а-1ф = а'.
В самом деле, мы знаем, что 1ф = 1'. Если теперь положим а-1ф = Ъ',
то 1ф = (аа~1)ф = аф-а^ф = а'Ь', т. е. а'Ъ' = 1', откуда V = а'.
Порядки элементов. Произведение п элементов, равных элементу а
группы G, называется п-ш степенью элемента а и обозначается через ап.
Отрицательные степени элемента а можно определить или как элементы
группы G, обратные положительным степеням элемента а, или же как
произведения нескольких множителей, равных элементу а*1. В действи-
действительности эти определения совпадают:
Для доказательства достаточно взять произведение 2п множителей, из
которых первые п равны а, а остальные равны а~1, и произвести все сокра-
сокращения. Отрицательные степени элемента а мы будем обозначать через а~п.
Условимся, наконец, понимать под а0 элемент 1.
Легко проверить, что при любых положительных, отрицательных
или нулевых показателях п и т имеют место равенства
(ап)п = апт.
Первое из этих равенств показывает, что степени одного и того же элемента
перестановочны между собою.
Если все степени элемента а являются различными элементами груп-
группы, то а называется элементом бесконечного порядка. Пусть, однако, среди
степеней элемента а имеются равные, например, ah = а1 при кф1; это,
в частности, всегда имеет место в случае конечных групп. Если к^> I,
то ak~l = 1, т. е. существуют положительные степени элемента а, равные
единице. Пусть ап есть наименьшая положительная степень элемента а,
равная единице, т. е.
2) если ah = i, к > 0, то

<8 За] АКСИОМАТИКА БЭРА И ЛЕВИ 27
В этом случае говорят, что а есть элемент конечного порядка, а именно
порядка п.
Если элемент а имеет порядок п, то все элементы
1, а, а\ ...,an-i
являются, как легко видеть, различными. Всякая другая степень элемента
а, положительная или отрицательная, равна одному из этих элементов.
Действительно, если k = nq + г, 0<г < п, то ah = (an)i-ar = ar.
Отсюда следует, что если а имеет порядок п и ah = 1, то А; должно делить-
делиться на га.
Всякая группа обладает одним единственным элементом первого
порядка — это будет элемент 1. Обратным для элемента а конечного
порядка п будет, очевидно, элемент а71-1.
Все элементы конечной группы имеют конечный порядок; в § 4 будет
показано, что существуют и бесконечные группы с элементами лишь
конечного порядка. Всякая группа, все элементы которой имеют конечный
порядок, называется периодической. Существуют, с другой стороны, груп-
группы, порядок всех элементов которых, кроме единицы, бесконечен; такие
группы принято называть группами без кручения. Наконец, группу есте-
естественно назвать смешанной, если она содержит как элементы бесконечного
порядка, так и отличные от единицы элементы конечных порядков.
Если бы для группы G была выбрана аддитивная запись, то потребо-
потребовалось бы некоторое изменение терминологии и обозначений. Так, как
уже отмечено в § 1, вместо единицы мы говорили бы о нуле группы и обо-
обозначали бы его символом 0. Кроме того, элемент, обратный элементу а,
мы называли бы противоположным элементом и обозначали бы [через —а,
а вместо степеней элемента а говорили бы о кратных этого элемента и запи-
записывали бы их через ка.
§ За. Аксиоматика Бэра и Леви
В § 3 было показано, что группа может быть определена несколькими
различными способами. Различные вопросы аксиоматического характера,
связанные с определением группы,— вопрос о возможно более слабых
аксиомах, достаточных для определения группы, вопрос о независимости
этих аксиом и т. д.— интересовали в начале 20-го столетия многих, пре-
преимущественно американских, математиков (Мур, Хантингтон, Диксон).
Исследования на эту тему появлялись и позже, появляются иногда и в наше
время. Наиболее полными и окончательными являются результаты Бэра
и Леви [1], излагаемые в настоящем параграфе. [См. Д.1.1.]
Определение группы, данное в начале § 3, состоит в действительности
из семи аксиом: из трех аксиом существования — произведения и обоих
частных, трех соответствующих аксиом единственности и аксиомы ассо-
ассоциативности. Эти аксиомы формулируются независимо друг от друга
¦следующим образом.
В множестве G некоторые (упорядоченные) тройки элементов а, Ъ, с
связаны соотношением
а = Ьс, A)
которое выражается словами так: а есть произведение Ъ на с, Ъ — лево-
левостороннее частное элементов а и с, с — правостороннее частное элемен-
элементов аи Ъ. Множество G есть группа, если выполняются следующие условия:
Еа. При данных Ъ и с существует хотя бы одно а, удовлетворяющее
условию A).

28 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. I
Еъ- При данных а и с существует хотя бы одно Ъ, удовлетворяющее
условию A).
Ес. При данных а и Ъ существует хотя бы одно с, удовлетворяющее
условию A).
Ua. При данных Ъ и с существует не более одного а, удовлетворяющего
условию A).
11ь- При данных а и с существует не более одного Ъ, удовлетворяющего
условию A).
Uc. При данных а и Ъ существует не более одного с, удовлетворяющего
условию A).
А. Если в G существуют как элементы вида (aia2)a3, так и элементы
вида ai(azus), то оба эти произведения определяют одно и то же множество
элементов.
Формулировка аксиомы ассоциативности А не содержит никаких
утверждений существования или единственности. Эта формулировка допу-
допускает, в частности, возможность того, что одно из произведений (а1а2)аз.
ai(a2a,z) определено в G, а другое нет.
Некоторая часть данной выше системы из семи аксиом называется
полной системой, если ее достаточно для определения группы, т. е. если
все остальные аксиомы могут быть из нее выведены. Полная система
аксиом называется минимальной, если никакая ее истинная часть не явля-
является полной. Нашей задачей является установление всех минимальных
полных систем групповых аксиом.
Первые шесть из данных выше аксиом удобно для дальнейшего рас-
расположить в виде матрицы
(Еа Еъ Ее\
\иа иъ ие)'
Пусть 2 есть некоторая полная система аксиом. Тогда 2 обладает
следующими свойствами 1—4:
1. 2 содержит аксиому ассоциативности А.
Действительно, берем множество из трех элементов а, Ь, с и определяем
умножение в нем с помощью таблицы
а
Ъ
с
а
Ъ
с
а
Ъ
а
b
с
с
с
а
Ъ
Как обычно, произведение элемента х на элемент у стоит на пересечении
строки элемента х и столбца элемента у. Во всякой строке и во всяком
столбце таблицы каждый из элементов а, бис встречается ровно по одному
разу, поэтому все аксиомы, входящие в матрицу B), выполнены. Аксиома
ассоциативности не имеет, однако, места: (аЪ) с = с, но a (be) = Ъ.
2. 2 содержит по крайней мере по одной аксиоме из каждой строки
и каждого столбца матрицы B).
Независимость аксиом любой строки или любого столбца матрицы B)
от остальных аксиом показывают следующие примеры операций,

§ За]
АКСИОМАТИКА БЭРА И ЛЕВИ
29
определенных в множестве из двух элементов а, Ъ:
а Ъ
a
b
(a, b) (a,
(a, b) (a,
а
а
Ъ
а а
b Ъ
а
Ъ
а
а
а
b
Ъ
ъ
а
Ъ
а
(а,
Ь)
Ъ
(а,
Ъ)
Здесь символ (а, Ъ) указывает, что результатом операции являются оба
элемента а и Ь, символ — указывает на отсутствие произведения.
Во всех пяти примерах выполняется аксиома А; в первом примере
выполняются, далее, аксиомы Ua, Ub, Uc, во втором — Еа, Еь, Ес, в тре-
третьем — Еа, Еь, Uа, Ub, в четвертом — Еа, Ес, Ua, Uc, в пятом — Еь, Ес,
17ь, Uc, в то время как остальные аксиомы не выполняются.
3. 2 содержит не менее двух аксиом из первой строки матрицы B).
Неполноту системы аксиом А, Еа, Ua, Ub и Uc показывает пример
сложения натуральных чисел. Неполноту всякой системы аксиом, содер-
содержащей из первой строки матрицы B) лишь одну аксиому Еь, показывает
конструируемый ниже пример.
Рассмотрим сперва множество всех упорядоченных пар натуральных
чисел. Это множество будет упорядочено по типу натурального ряда, если
из двух пар (it, /i) и (i2, j2) предшествующей считается та, у которой макси-
максимальный из ее элементов меньше, чем максимальный из элементов другой
пары; пары с одинаковыми максимальными элементами — их при данном
максимальном элементе будет лишь конечное число — упорядочиваются
произвольным образом. Примером такой упорядоченности множества пар
будет
A,1), A,2), B,1), B,2), A,3), C,1), B,3), C,2), C,3), . . .
Упорядоченные таким способом пары нумеруем с помощью натураль-
натуральных чисел в их обычном порядке, но начиная с числа 2. Число, поставлен-
поставленное в соответствие паре (?, /), обозначаем через [?, /]. В данном выше
примере будет
[1, 1] = 2, [1,2] = 3, [2,1] = 4, [2, 2] =5, ...
Легко убедиться, что при любых i и / имеют место строгие неравенства
I». Л > U [i, /]>/. C)
Искомый пример устраиваем теперь следующим образом. Берем
некоторое счетное множество, состоящее из элементов
и полагаем
а[г, i]ai = О,}-
При таком определении умножения не будут выполняться аксиомы Еа,
так как элемент а4 никогда не будет левым множителем, и Ес, так как
уравнение аах — ар неразрешимо при а<|3. Легко видеть, однако, что

30 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл.
аксиомы Еь, Ua, Ub, Uc выполняются. Справедливость аксиомы А следуе1
яз замечания, что произведения аа (а$ау) и (ааа$) av не могут в наше»
примере существовать одновременно. Действительно, никакой элемен'
не может быть левым множителем более чем в одном произведении. Отсюдг
следует, что если произведения аа (а^а^) и aaap существуют, то должнс
быть а$ау = аа; это невозможно, однако, ввиду C) и D).
Неполнота системы аксиом, содержащей из первой строки матрицы
B) лишь одну аксиому Ес, доказывается на основании симметрии между
левым и правым делениями.
4. 2 содержит или обе аксиомы существования деления Еь и Ес или
же обе аксиомы единственности деления ?/ь и Uc.
Ввиду доказанного выше свойства 2 мы можем ограничиться доказа-
доказательством неполноты или системы аксиом А, Еа, Еь, Ua, Uc, или же
системы А, Еа, Ес, Ua, Ub- Сделаем это для первой системы; доказатель-
доказательство для второй системы получится из соображений симметрии.
Пусть В есть некоторое счетное бесконечное множество. Через М
обозначим множество всех таких бесконечных подмножеств В' из В, для
которых дополнение В \ В' также бесконечно. Каждое из подмножеств В'
является счетным и допускает поэтому взаимно однозначные отображения
на множество В, притом многими различными способами. Множество
всех таких отображений при всех В' из М обозначим через Ф. В множестве
Ф следующим образом определяется алгебраическая операция: если даны,
элементы ф! и ф2 из Ф, отображающие на В соответственно множества В[
и В'2 из М, то в В'х содержится подмножество Si2, которое при ф! отобра-
отображается на В'% и поэтому при последовательном выполнении отображений <pt
и ф2 отображается на В. Это взаимно однозначное отображение B[2 на В'
мы обозначаем через ф42 и считаем его произведением ф4 на ср2,
ф12=ф1ф2
Отображение ф!2 принадлежит к множеству Ф, так как множество В\%
принадлежит к М. Действительно, дополнение В \ B\i содержит допол-
дополнение В \ В[ и поэтому бесконечно; само В\ч также бесконечно.
При таком определении операции в множестве Ф выполняются, оче-
очевидно, аксиомы Еа и Ua. Легко доказать и ассоциативность этой операции.
Докажем справедливость аксиом Еь и Uc. Пусть даны произвольные
элементы ф2 и ф42 из Ф, отображающие на В соответственно В'2 и 5^2-
Если Ь есть произвольный элемент из В, то через Ь2 и bl2 обозначим элемен-
элементы соответственно из В'2 и B'l2, отображающиеся в Ъ при ф2 и ф12. Выбираем
далее некоторое такое подмножество В[, что В\2 с В[ cz В и оба допол-
дополнения В[ \ В\2 и В \ В[ бесконечны. Если через ф4 мы обозначим такое-
взаимно однозначное отображение В[ на В, при котором всякий элемент biz^
отображается на Ь2, а дополнение В[ \ В[г некоторым образом взаимно-
взаимнооднозначно отображается на В \ В'г, то ф4 принадлежит к Ф и имеет
место равенство ф1ф2 = ф12. Отсюда следует справедливость аксиомы Еь;,
одновременно мы видим, что аксиома Ub не выполняется.
Пусть теперь даны произвольные элементы ф4 и ф12 из Ф, отображаю-
отображающие на В множества В[ и В'ц. Отображение ф2, удовлетворяющее урав-
уравнению ф1-ж = ф12, может существовать лишь в том случае, если В\2 содер-
содержится в В[. Отсюда следует, что аксиома Ес не будет выполняться. Пусть,
однако, ф2 существует. Если в данный элемент Ъ из В при фB отображается
элемент Ь12, а при ф4 элемент bi2 отображается в элемент Ъ2, то при фг:
в элемент Ъ должен отображаться элемент Ь2. Этим доказана справедли-
справедливость в Ф аксиомы Uc. Доказательство свойства 4 закончено.

S За] АКСИОМАТИКА БЭРА И ЛЕВИ 31
Доказанные выше свойства 1—4 в совокупности оказываются экви-
эквивалентными полноте системы аксиом. Это показывает теорема:
Всякая система аксиом со свойствами 1—4 является полной.
Доказательство основано на следующих трех леммах.
Лемма 1. Система аксиом A, U а, Еъ, Ес является полной.
Пусть даны произвольные элементы d и d' из рассматриваемого мно-
множества G. Тогда существуют, ввиду Еъ и Ес, такие элементы е, f и g, что
ed = d, ef = d', dg — f. Отсюда следует, что
d'=e(dg), f = (ed)g.
Оба выражения, стоящие в правых частях, существуют и ввиду U а одно-
однозначно определены. Поэтому, на основании аксиомы A, f = d'', откуда
ed' = d'. Элемент d' является произвольным элементом множества G,
поэтому элемент е служит для G левой единицей.
Существуют, далее, ввиду Еь и Ес, такие элементы d-1, h и к, что
d~xd = e, d~*h = d', dk = h. Отсюда следует, что
d' = d-1 (dk), k = ek = (d~4) k,
откуда, снова ввиду Ua и А, мы получаем к = d', т. е. dd' — h. Этим
доказано существование произведения для любых двух элементов, т. е.
справедливость аксиомы Еа. Наличие левой единицы и левых обратных
элементов позволяет доказать Ub и Uc так же, как было сделано в § 3.
Лемма 2. Всякая система аксиом, содержащая А, Еа, Еъ, Uc и или
Ес, или Ub, является полной.
Ввиду отсутствия аксиомы Uа произведение двух данных элементов
Ъ и с из рассматриваемого множества G может иметь много значений.
Условимся поэтому обозначать символом be совокупность всех этих зна-
значений, а наличие в произведении 6 на с элемента а записывать символом
йсЭ а.
Если Ai и А ^ являются произвольными подмножествами из G, то AiA2
будет обозначать множество всех элементов из G, получающихся в резуль-
результате умножения каждого элемента из A i на каждый элемент из А 2. Очевид-
Очевидно, что
(а) из Ai ^ А2, А3 ^ Л4 следует А±А3 э A2Ak.
Из аксиомы Uc вытекает далее
(Р) из аВ Э d, ас Э d следует В Э с.
Из (р) следует, что если аЪ =2 ас, то Ъ = с.
Приступаем к доказательству леммы. Выбираем произвольный эле-
элемент d и докажем существование такого элемента е, что de Э d. Это оче-
очевидно, если наша система аксиом содержит аксиому Ес. Если же содер-
содержится аксиома 17ъ, то поступаем следующим образом: ввиду Еъ существует
такое е, что ed Э d; отсюда по (a) ded ^ dd, a поэтому ввиду Ub de 3 d.
Если / есть некоторый другой элемент, то def =2 df, откуда по (р)
ef 3 /• Ввиду Еъ существует такой элемент g, что gf 3 d, откуда
gfe =>de^d.
Отсюда ввиду (р) следует, что /е 3 /, т. е. элемент е является одновременно
левой и правой единицей для всех элементов яз G. Из аксиомы Uc следует
единственность элемента е.
Пусть теперь ее 3 h. Из eh 3 h, согласно Uc, получаем h — е, т. е.
ее = е. Если далее ef 3 к, то ef = eef ^ ек, откуда ввиду следствия из (р)
к = /, т. е. ef = / для всех /. Мы не можем пока, однако, заменить знаком

32 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. I
равенства включение fe 3 /. Ввиду аксиомы Еь существует такой элемент
/-1, что /-1/ Э е. Отсюда /-1// э ef-1 = /-1, а так как f-xe 3 /-1, то по (р)
будет
Следовательно, элемент /-1 однозначно определен заданием элемента /.
Заменяя / через /-1, мы получаем
а так как /-1/ 3 е, то из (р) следует (Z) = /.
Если теперь //-1 3 ^, то ff 1~х Э ZZ-1 3 ?, откуда, по (р), учитывая,
что //-1 Э е, получаем
/-iZ-x з /-1.
Аксиома Uc дает поэтому
г-!=е, 1~Ч = el.
Отсюда и из ZJZ 3 е = ее следует, по (р), Z = е, т. е. //-1 = е для всех /.
Заменяя / через /-1, получаем
Если теперь Ьс 3 а, то
с = ес = Ъ'гЪс =\ Ь~га.
Элемент а будет поэтому ввиду Uc однозначно определен заданием эле-
элементов Ъ и с, т. е. аксиома Uа доказана. Существование единицы и обратных
элементов позволяет теперь закончить доказательство леммы 2 ссылкой
на § 3.
Симметрия между левым и правым делениями позволяет считать
доказанной и следующую лемму.
Лемма 3. Всякая система аксиом, содержащая А, Еа, Ес, Ль и или
Еь, или Uc, является полной.
Доказательство достаточности свойств 1-*-4 полноты системы аксиом
достигается теперь без всяких затруднений. Действительно, всякая система
.аксиом со свойствами 1—4 должна содержать хотя бы одну из следующих
пяти подсистем:
/ Еь ЕЛ /Еа Еъ ЕЛ /Еа Еь ЕЛ
' \Ua )' Л' I Ub )' А { исГ
A (EaEb V А (
А' \ иь uj' A> \ ub
Полнота каждой из этих пяти систем легко следует из лемм 1—3. Одно-
Одновременно мы видим, что эти системы являются минимальными полными
системами. Доказано, следовательно, что из семи аксиом, составляющих
определение группы, можно устроить пять различных минимальных
полных систем. Наиболее любопытна, конечно, первая из этих систем,
показывающая, что существование произведения есть следствие единст-
единственности произведения, существования обоих частных и ассоциативного
закона.
Другой подход к рассмотренным здесь вопросам см. в работе Ло-
ренцена [1].

§ -4] ПРИМЕРЫ ГРУПП 33
§ 4. Примеры групп
В этом параграфе будут указаны простейшие примеры групп, на
которые в дальнейшем придется часто ссылаться. Проверка выполнен-
выполненности всех требований, входящих в определение группы, в большинстве
случаев предоставлена читателю.
1. Все целые числа, положительные и отрицательные, образуют груп-
группу по операции сложения — аддитивную группу целых чисел. Эта группа
является абелевой. Роль единичного элемента играет в ней число нуль.
Все элементы этой группы, кроме нуля, имеют бесконечный порядок,
т. е. это группа без кручения.
2. Аналогичным способом можно получить аддитивные группы всех
рациональных, всех действительных и всех комплексных чисел.
3. Группу по сложению образуют все четные числа. Эта аддитивная
группа четных чисел изоморфна аддитивной группе целых чисел (пример 1);
действительно, соответствие, переводящее всякое четное число 2/с в целое
число к, будет изоморфным. Группой по сложению является также сово-
совокупность целых чисел, кратных данному числу п. Множество нечетных
чисел уже не будет группой по операции сложения, так как эта операция
выводит нас за пределы указанного множества. Не будет группой по сло-
сложению и множество всех неотрицательных целых чисел ввиду невозмож-
невозможности неограниченно выполнять обратную операцию — вычитание.
4. Целые числа не образуют группы по умножению, так как обратная
операция — деление — не всегда выполнима. Не образуют группы по
умножению и все рациональные числа ввиду невозможности деления
на нуль. Все отличные от нуля рациональные числа уже
образуют группу по умножению — мультипликативную группу рацио-
рациональных чисел. Единицей этой группы будет число 1. Входящее в эту
группу число —1 имеет порядок 2, порядок всех остальных отличных
от единицы элементов бесконечен.
5. Можно говорить также о мультипликативной группе положи-
положительных (отличных от нуля) рациональных чисел. Эту группу можно
следующим образом гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых
чисел: всякое положительное рациональное число а можно записать
в виде
а = 2псс',
где числитель и знаменатель числа а' взаимно просты с числом 2, а целое
число п больше, равно или меньше нуля. Отображение а —>¦ п будет иско-
искомым гомоморфизмом. Заметим, что отрицательные рациональные числа
группы по умножению уже не образуют.
6. Все отличные от нуля (или все положительные) действительные
числа и все отличные от нуля комплексные числа также образуют группы
по умножению. Напомним, что, как показано в § 2, мультипликативная
группа положительных действительных чисел изоморфна аддитивной
группе всех действительных чисел.
7. Числа 1 и —1 при операции умножения чисел составляют груп-
группу — конечную группу второго порядка. На эту группу, как указано
в § 2, гомоморфно отображается аддитивная группа целых чисел. На нее
же можно гомоморфно отобразить и мультипликативную группу всех
действительных чисел — достаточно всякому положительному числу по-
поставить в соответствие число 1, всякому отрицательному — число —1.
3 А. Г. Курош

34 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. I
8. Все комплексные числа, являющиеся корнями из единицы сте-
степени га, образуют по умножению конечную группу порядка п. Этим
доказано существование конечных групп любого порядка. При га = 2 полу-
получается группа предыдущего примера. Напоминаем, что все корни из еди-
единицы степени п являются степенями одного из них, так называемого при-
примитивного корня ге-й степени из единицы.
9. Группу по умножению образуют также комплексные числа,
являющиеся корнями каких-либо степеней из единицы; это группа всех
корней из единицы. Она бесконечная, но периодическая.
10. Все комплексные числа, равные по абсолютной величине единице,
образуют группу по умножению. Эта группа изоморфна группе вращений
окружности. Рассматриваем множество всех вращений окружности про-
против часовой стрелки около ее центра. Вращение на угол 2л считаем сов-
совпадающим с вращением на нулевой угол и вообще идентифицируем всякие
два вращения, отличающиеся друг от друга на угол, кратный 2л. В этом
множестве вращений следующим образом определяем групповую опера-
операцию: суммой двух вращений считаем результат их последовательного
выполнения; суммой вращений на углы аир будет, очевидно, вращение
на угол а + р при а -f- |3 < 2л и на угол а -f- Р — 2л при a -f- p >- 2л.
Легко проверить, что получается группа. Изоморфное отображение
этой группы на указанную выше мультипликативную группу комплексных
чисел, по абсолютной величине равных единице, достигается установле-
установлением соответствия между вращением на угол а и комплексным числом
с аргументом а.
Все рассмотренные выше группы были коммутативными. Переходим
теперь к примерам некоммутативных групп.
11. Все подстановки из п символов с определенным в § 1 умножением
подстановок в качестве групповой операции составляют группу Sn —
симметрическую группу степени га. Это — конечная группа порядка п\
Она некоммутативна при и>3. Действительно, в § 1 доказана ассоциа-
ассоциативность умножения подстановок и отмечено, что единицей служит тож-
тождественная подстановка; обратной же для подстановки
/1 2....V
\ai а2 ... ап)
будет подстановка
/«! а2 ... ап\
\i 2 ... пГ
12. Как известно из курса высшей алгебры *), все подстановки сте-
степени п разделяются при п > 1 на четные и нечетные, причем тех и других
будет no-g- n\ Одно из возможных определений таково: подстановка назы-
называется четной, если она разлагается в произведение четного числа транс-
транспозиций, и нечетной — в противоположном случае. Отсюда вытекает,
что произведение двух четных подстановок четно. Так как тождественная
подстановка является, очевидно, четной и подстановка, обратная для
четной, сама четна, то мы приходим к группе всех четных подстановок
*¦) См., например, А. Г. К у р о ш, Курс высшей алгебры, изд. 6, § 3, где можно
найти также неоднократно используемые в дальнейшем разложения подстановки
в произведение транспозиций и в произведение независимых циклов.

§ 4] ПРИМЕРЫ ГРУПП 35
степени п, обозначаемой через Ап; она называется знакопеременной груп-
группой степени п. Это конечная группа порядка у га!, некоммутативная
при га>4.
Нечетные подстановки степени п уже не составляют группы, ибо
произведение двух нечетных подстановок дает подстановку четную.
Теперь легко проверить, что существует гомоморфное отображение
симметрической группы Sn на группу второго порядка, указанную в при-
примере 7: всякой четной подстановке нужно поставить в соответствие число 1,
всякой нечетной — число —1.
13. Берем некоторое множество М и рассматриваем всевозможные
взаимно однозначные отображения его на самого себя. Так как последова-
последовательное выполнение двух таких отображений снова дает взаимно одно-
однозначное отображение множества М на себя, то мы имеем дело с операцией
в множестве этих отображений. Ее ассоциативность показана в § 1, еди-
единицей служит тождественное отображение, для всякого отображения
существует обратное, а поэтому мы получаем группу SMecex взаимно одно-
однозначных отображений множества М на себя. Если множество М конечно
и состоит из п элементов, то наша группа превращается в симметриче-
симметрическую группу степени п. Понятно, что если множества М и М' имеют
одинаковую мощность, то группы SM и SM' изоморфны.
Этот пример важен потому, что в приложениях группы чаще всего
появляются как группы преобразований, т. е. группы взаимно однозначных
отображений некоторого множества М на себя с последовательным выпол-
выполнением отображений в качестве их умножения. Правда, обычно рассматри-
рассматриваются не все такие отображения, а лишь некоторые, обладающие данным
дополнительным свойством а или, короче, а-преобразования. Для того
чтобы все а-преобразования множества М составляли группу, доста-
достаточно, очевидно, выполнения следующих двух условий:
1) произведение двух ос-преобразований должно обладать свойст-
свойством а;
2) отображение, обратное к а-преобразованию, должно обладать
свойством а.
Этим замечанием следует пользоваться при рассмотрении дальнейших
примеров, каждый из которых является группой всех ос-преобразований
некоторого множества М при некотором свойстве а. В частности, умно-
умножение в этих примерах всегда следует пони-
понимать как последовательное выполнение ото-
отображений.
14. Берем бесконечное множество мощности m и рассматриваем лишь
такие взаимно однозначные отображения этого множества на себя, каждое
из которых действительно перемещает лишь некоторое конечное,
хотя, быть может, произвольно большое, число символов. Эти отобра-
отображения составляют периодическую группу мощности т, называемую сим-
симметрической группой мощности т. Так как к рассматриваемым здесь
отображениям можно применить данное выше определение четности
подстановки,— для этого нужно рассматривать лишь действительно пере-
переставляемые символы,— то аналогичным путем мы получим знакоперемен-
знакопеременную группу мощности т.
15. Рассмотрим га-мерное векторное пространство над полем дей-
действительных чисел (или вообще над произвольным полем). Невырожденные
линейные преобразования этого пространства составляют по умножению
группу, некоммутативную при га>2; из курса высшей алгебры известно,

36 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ [Гл. 1
что между невырожденными линейными преобразованиями и невырожден-
невырожденными квадратными матрицами порядка п существует взаимно однознач-
однозначное соответствие, переводящее произведение преобразований в произведе-
произведение соответствующих матриц. Наша группа изоморфна, следовательно,
мультипликативной группе невырожденных матриц порядка п. Заметим,
что каждая из этих групп гомоморфно отображается на мультипликатив-
мультипликативную группу отличных от нуля действительных чисел: следует поставить
в соответствие каждой матрице ее определитель и учесть, что определитель
произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.
16. Движения трехмерного евклидова пространства составляют груп-
группу. Это же справедливо и для тех движений, которые оставляют неподвиж-
неподвижной данную точку, т. е. являются вращениями около этой точки.
17. Те вращения евклидова пространства, при которых отображается
на себя данный куб с центром в неподвижной точке, составляют группу.
Эта группа вращений куба конечна, так как ее элементам взаимно одно-
однозначно соответствуют некоторые подстановки в множестве вершин куба,
и, как легко проверяется, некоммутативна. Аналогичным путем определя-
определяются также группы вращений других правильных многогранников.

Глава вторая
ПОДГРУППЫ
§ 5. Подгруппы
Подмножество Н группы G называется подгруппой этой группы,
если оно само является группой относительно операции, определенной
в группе G.
Для установления того, является ли (непустое) подмножество Н
группы G подгруппой в G, достаточно проверить:
1) содержится ли в Н произведение двух любых элементов из Н;
2) содержит ли Н вместе со всяким своим элементом и обратный
к нему элемент.
Действительно, из справедливости закона ассоциативности в группе G
следует его справедливость для элементов из Н, а из непустоты множе-
множества Н и свойств 2) и 1) следует принадлежность к Н единицы группы G.
В случае конечных и вообще периодических групп проверка свойства
2) является излишней. Действительно, если к Н принадлежит элемент а
порядка п, то в Н должны содержаться, ввиду свойства 1), все положитель-
положительные степени элемента а, а поэтому и элемент а™, обратный для а. Пример
аддитивной группы целых чисел и содержащегося в ней множества поло-
положительных чисел показывает необходимость проверки свойства 2) в общем
случае.
Мы подчеркиваем, что содержащееся в определении подгруппы тре-
требование к подмножеству группы G быть группой относительно групповой
операции, определенной в G, нельзя заменить определением, по которому
подгруппой группы G называлось бы всякое подмножество группы G,
само являющееся группой' Так, множество положительных рациональных
чисел является группой относительно умножения и содержится, как
подмножество, в аддитивной группе всех рациональных чисел, но не будет,
конечно, подгруппой этой группы.
Отношение «Н есть подгруппа в G» транзитивно: если Н есть подгруппа
в G, a G — подгруппа в G, то Н также будет подгруппой в G.
Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет,
очевидно, подгруппой этой группы. Эта подгруппа называется единичной
подгруппой группы G и обозначается символом Е. С другой стороны, сама
группа G будет своей подгруппой. Всякая подгруппа, отличная от всей
группы, называется истинной подгруппой этой группы.
Многие из групп, указанных в § 4, являются подгруппами других
групп, также там указанных. Так, аддитивная группа четных чисел
является подгруппой аддитивной группы всех целых чисел, а последняя
в свою очередь есть подгруппа аддитивной группы рациональных чисел.

38 ПОДГРУППЫ [Гл. I
Все эти группы, как и вообще все аддитивные группы чисел, являются
подгруппами аддитивной группы комплексных чисел. Мультипликативна)
группа положительных рациональных чисел и группа по умножению
составленная из чисел 1 и —1, являются подгруппами мультипликативно]
группы всех отличных от нуля рациональных чисел. Знакопеременная
группа степени п есть подгруппа симметрической группы этой же степени
Все группы а-преобразований некоторого множества М, в частност!
рассмотренные в примерах 14—17 § 4, являются подгруппами в группе Sл
всех взаимно однозначных отображений множества М на себя.
Первый из примеров, приведенных в предшествующем абзаце, показы
вает, что истинная подгруппа некоторой группы может быть изоморфно!
самой группе — изоморфизм аддитивных групп целых и четных 4Hcej
был установлен в § 4. Понятно, что никакая конечная группа не може:
быть изоморфной со своей истинной подгруппой.
При гомоморфном, в частности при изоморфном, отображении q:
группы G на группу G подгруппа А группы G будет отображаться на неко-
некоторое подмножество А группы G. Отображение ф будет для А гомоморфны ь
(в частности, изоморфным), а поэтому, как доказано в § 3, множество А
будет группой относительно операции, определенной в группе G, т. е.
будет подгруппой этой группы. Можно сказать, что данное гомоморфное
отображение группы G порождает гомоморфные отображения всех е(
подгрупп.
Если даны группы G и G' и если группа G' изоморфна некоторой
подгруппе Н группы G, то говорят, что группа G' изоморфно отображается
в группу G или что группа G' может быть вложена в группу G. В частном
случае, когда Н совпадает с G, говорят об отображений на группу G.
Здесь следует учесть, однако, что группа G' может быть изоморфно отобра-
отображена на Н, вообще говоря, многими различными способами. Больше
того, подгруппа Н не обязана быть единственной подгруппой группы G,
изоморфной группе G'; все подгруппы группы G, изоморфные с G', будут
изоморфны между собою, но они являются различными подмножествами
группы G, и поэтому внутри G их необходимо различать. Всякое изоморф-
изоморфное отображение группы G' на одну из изоморфных ей подгрупп группы G
дает лишь одно из возможных вложений группы G' в группу G [См. Д. 1.2. ]
Рассмотрим, например, симметрическую группу Sn степени п. Если
i есть один из переставляемых символов 1, 2, . . ., п, то все подстановки
из группы Sn, оставляющие на месте символ i, составляют в Sn подгруппу,
изоморфную группе Sn-i — симметрической группе степени п — 1. Можно
сказать поэтому, что симметрическая группа степени п — 1 может быть
вложена в симметрическую группу степени п; мы видим вместе с тем, что
группа Sn содержит несколько различных подгрупп, изоморфных груп-
группе Sn-i.
Если даны две группы А я В ш если каждая из них изоморфна некото-
некоторой истинной подгруппе другой, то отсюда не следует изоморфизм самих
этих групп, как это можно было бы наперед думать. Отсюда следует лишь,
что каждая из этих групп изоморфна своей истинной подгруппе, что уже
не является для нас неожиданным. Действительно, если
А~В' czB
и если подгруппа В' при заданном изоморфном отображении группы В
в группу А отображается на подгруппу А ", то А " будет изоморфна с самой
группой А.

<§ 5]
подгруппы 39
Следующая теорема показывает, что подгруппами конечных сим-
симметрических групп исчерпываются по существу все конечные группы.
Теорема Кэли. Всякая конечная группа порядка п изоморфна
некоторой подгруппе симметрической группы степени п.
Действительно, пусть группа G имеет порядок п и пусть элементы
этой группы, записанные в определенном порядке, будут
ау, а2, ..., ап. A)
Если Ъ есть произвольный элемент группы G, то все произведения atb =
= ар. (? = 1, 2, . . ., п) различны между собою, т. е. система
%. яр2, . . ., аРл B)
снова содержит все элементы группы G и отличается от A) лишь распо-
расположением элементов. Элементу Ъ ставится теперь в соответствие под-
подстановка
/1 2 ...ВЧ
\Pi Р2 • • • (W '
C)
Этим каждому из элементов группы G ставится в соответствие вполне
определенная подстановка п-ж степени. Двум различным элементам
соответствуют различные подстановки, так как из а^Ъ = а\Ъ' следовало
бы Ъ = Ъ'. Найдем подстановку, соответствующую произведению be,
где с снова есть некоторый элемент группы G. Если элементу с соответ-
соответствует подстановка
VYi Vz ¦•• Уп/
т. е. йр.с = ау., то из
at (be) = а$.с = ау.
•следует, что элементу be соответствует подстановка
/1 2 ...ВЧ
VYi Y2 ••• Уп/'
.являющаяся, очевидно, произведением подстановки C) на подстанов-
подстановку D). Этим доказано, что группа G изоморфно отображается в группу Sn,
Подгруппа группы Sn, соответствующая группе G, обладает, очевидно,
¦следующими свойствами: порядок этой подгруппы равен числу пере-
перемещаемых символов; всякая подстановка, в нее входящая, кроме единич-
аой, действительно перемещает каждый из символов. Такие подгруппы
«симметрических групп называются регулярными.
Из теоремы Кэли и из очевидного утверждения, что конечная группа
может обладать лишь конечным числом подгрупп, следует, что существует
лишь конечное число неизоморфных конечных групп данного порядка п.
Следовательно, множество всех неизоморфных конечных групп, являясь
¦суммой счетного множества конечных множеств, счетно.
Теорема Кэли может быть перенесена и на бесконечные группы:
Всякая группа мощности m изоморфна некоторой подгруппе группы Sm
взаимно однозначных отображений множества мощности m на себя
§ 4, пример 13). Действительно, доказательство сохраняется

40 ПОДГРУППЫ [Гл. .
полностью. Дополнительных рассмотрений требует лишь утверждение, чт
после умножения всех элементов группы справа на элемент Ъ снова буду
получены все элементы этой группы; это сразу следует, однако, и
аксиомы существования левого частного. [См. Д.1.2. ]
Понятие подгруппы является основным в теории групп. Все содер
жание теории связано в большей или меньшей степени с вопросами о налв
чии в группе подгрупп с теми или иными специальными свойствами
о группах, которые могут быть вложены в данную группу, о тех ил:
иных свойствах, характеризующих взаимное расположение подгруп:
в группе, о способах построения группы по ее подгруппам и т. п. Выделе
ние тех или иных специальных типов групп также связано преимущест
венно с понятием подгруппы.
§ 6. Системы образующих. Циклические группы
Пересечение любых двух подгрупп Н и F группы G не может быт
пустым, так как всякая подгруппа группы G содержит элемент 1. Эпи
пересечение будет в действительности подгруппой группы G: если D естз
пересечение подгрупп HnF,D=H{]F,a если элементы а и Ъ при
надлежат к 5, то их произведение и обратные к ним элементы содержат
ся как в Н, так и в F, а поэтому также принадлежат к D.
Если дано не две, а вообще произвольное конечное или даже бес-
бесконечное множество подгрупп группы G, то произведение любых двуз
элементов из пересечения всех этих подгрупп лежит в каждой из них.
а поэтому и в их пересечении. Это же верно и для обратных элементов.
Пересечение любого множества подгрупп группы G само являете®, сле-
следовательно, подгруппой этой группы. Так, пересечением всех под-
подгрупп группы G будет, очевидно, единичная подгруппа Е.
Пусть М — произвольное непустое подмножество группы G. Пере-
Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих все элементы множества
М,— одной из этих подгрупп является, конечно, сама группа G,— назы-
называется подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается симво-
символом {М}. Она содержится, очевидно, во всякой подгруппе группы G,
содержащей целиком множество М.
Если подмножество-М состоит из одного элемента а, то порожденная
им подгруппа {а} называется циклической подгруппой элемента а. К под-
подгруппе {а} принадлежат, конечно, все степени элемента а; но эти степени
сами составляют подгруппу, так как произведение элементов ап и ат
равно ап+т, а обратным для элемента ап является элемент а~п (см. § 3).
Отсюда следует, что циклическая подгруппа {а} состоит из всех степеней
элемента а. Это показывает, что циклическая подгруппа {а} будет счет-
счетной, если а есть элемент бесконечного порядка, и конечной при конечном
порядке элемента а; в этом последнем случае порядок подгруппы {а}
равен порядку элемента а.
Группа, совпадающая с одной из своих циклических подгрупп,,
т. е. состоящая из степеней одного из своих элементов, называется цик-
циклической группой. Элемент, из степеней которого составлена данная цик-
циклическая группа, называется образующим элементом этой группы. Всякая
циклическая группа, очевидно, коммутативна.
Примером бесконечной циклической группы служит аддитивная
группа целых чисел — ее образующим элементом является число 1Г
примером конечной циклической группы порядка п — мультипликатив-
мультипликативная группа корней м-й степени из единицы, п = 1, 2, ... Следующая

§ 6] СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 4f
теорема показывает, что этими примерами исчерпываются по существу
.все циклические группы.
Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; изо-
изоморфны между собой также все конечные циклические группы данного
порядка п.
Действительно, бесконечная циклическая группа с образующим
элементом а взаимно однозначно отображается на аддитивную группу
целых чисел, если всякому элементу ah ставится в соответствие число k-r
изоморфизм этого отображения следует из того, что при перемножении
степеней элемента а показатели складываются. Аналогичным путем полу-
получается изоморфное отображение всякой циклической группы порядка п
на группу корней п-й степени из единицы.
Эта теорема позволяет говорить в дальнейшем* просто о бесконечной
циклической группе или о циклической группе порядка п.
Всякая подгруппа циклической группы сама циклическая.
Действительно, пусть G = {а} есть циклическая группа с образую-
образующим элементом а, бесконечная или конечная порядка п, и пусть Н будет
отличная от Е подгруппа из G. Пусть, далее, наименьшая положитель-
положительная степень элемента а, содержащаяся в Н, есть ah. Тогда {ah} ?= Н.
Допустим, что в Н содержится также элемент а1, I =? 0 и I не делится
на к. Тогда, если (к, I) = d, d > 0, есть общий наибольший делитель-
чисел к и I, то существуют такие целые числа и и v, что ки + lv = dr
и, следовательно, в Н должен содержаться элемент
(ah)u (а1 у = ad;
но так как d < к, то мы приходим в противоречие с выбором элемента ah.
Следовательно, Н = {ah}.
В бесконечной циклической группе с образующим элементом а в ка-
качестве образующего элемента можно взять также элемент а-1; цикличе-
циклическая подгруппа, порожденная любой другой степенью элемента а, отлич-
отлична от всей группы. В циклической группе {а} порядка п в качестве обра-
образующего элемента можно взять элемент ak, 0<;A; < п, тогда и только
тогда, если кип взаимно просты. Действительно, если (к, п) = 1, то-
существуют такие и и v, что
ku-\-nv = 1.
Тогда
(ah)u = a1-nv = a-a-nv = a.
Если, с другой стороны, при некотором к будет (ak)s = а, то разность
показателей ks — 1 должна делиться на п (см. § 3):
ks— 1 =nq,
откуда ks — nq = 1, т. е. (к, п) — 1.
Если М — снова произвольное подмножество группы G, то, как
и в случае циклических подгрупп, легко указать закон, по которому
элементы подгруппы {М} изображаются через элементы множества М.
Подгруппа {М} должна содержать положительные и отрицательные-
степени всех элементов из М, а поэтому и всевозможные произведения
любого конечного числа этих степеней, взятых в произвольном порядке.
Но все элементы группы G, представимые в виде произведения конечного-
числа степеней элементов из М,— хотя бы и многими различными, спо-
способами,— сами образуют, очевидно, подгруппу группы G, содержащую-

¦42 подгруппы [гл. ii
все элементы из М. Этим доказано, что подгруппа, порожденная множе-
множеством М, состоит из всех элементов группы, равных произведениям конеч-
конечного числа степеней элементов множества М.
Если, в частности, дано некоторое множество подгрупп группы G
и если М есть теоретико-множественная сумма этих подгрупп, т. е. мно-
множество, состоящее из элементов группы G, входящих хотя бы в одну
¦из заданных подгрупп, то подгруппа {М} является минимальной под-
подгруппой группы G, содержащей все эти подгруппы. Эта подгруппа {М}
называется подгруппой, порожденной заданными подгруппами, и обозна-
обозначается символом {Аа}, a?N, если заданы подгруппы Аа, где а пробе-
пробегает некоторое множество индексов N; в частности, если заданы лишь
две подгруппы А и В, то подгруппа {М} обозначается символом {А, В},
и т. д. Из сказанного выше следует, что подгруппа, порожденная неко-
некоторым множеством подгрупп группы G, состоит из всех элементов груп-
группы, равных произведениям конечного числа элементов, взятых в заданных
подгруппах.
Если подгруппа {М}, порожденная в группе G некоторым ее подмно-
подмножеством М, совпадает с самой группой G, то множество М называется
системой образующих элементов или просто системой образующих этой
группы. Всякая группа обладает системами образующих — достаточно
взять множество всех элементов группы или множество всех элементов,
кроме 1. Из сказанного выше о подгруппе, порожденной некоторым мно-
множеством, следует, что множество М тогда и только тогда будет системой
•образующих группы G, если всякий элемент из G может быть записан
хотя бы одним способом в виде произведения конечного числа степеней
элементов из М.
Пусть
•система образующих М называется неприводимой, если никакая ее истин-
истинная подсистема уже не является для G системой образующих. [См. Д.1.З.]
Примеры. 1. Всякая циклическая группа обладает системой
образующих, состоящей из одного элемента, а именно, из образующего
элемента этой группы. Обратно, всякая группа с одним образующим эле-
элементом является циклической. Заметим, что в циклической группе можно
обычно выбрать также неприводимые системы образующих, состоящие
•более чем из одного элемента. Так, систему образующих для аддитивной
группы целых чисел составляют, например, числа 2 и 3.
2. В § 4 было отмечено, что всякая подстановка п-ж степени являет-
является произведением транспозиций. Отсюда следует, что одной из систем
образующих симметрической группы и-й степени будет множество всех
транспозиций, содержащихся в этой группе. Симметрическая группа п-ш
-степени может быть порождена также двумя образующими элементами:
а = A 2), b = A 2 ... п).
Действительно,
kk —2.
Если теперь i -< / — 1, то
(/, /-1) ... (i + 2, i + l)(i, i + l)(i + l, i + 2) ... (у-1,/) = (*/),
т. е. подгруппа {а, Ь} содержит все транспозиции и поэтому совпадает
«о всей симметрической группой.

$ 6] СИСТЕМЫ ОБРАЗУЮЩИХ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 43
3. Чивла
\ ± ± _L _L
i, 2 , 6 , 24 , • .., л, , ...
составляют систему образующих для аддитивной группы рациональных
чисел R. Легко видеть, что всякое бесконечное подмножество этого мно-
множества также будет системой образующих для R. Больше того, можно
доказать, что аддитивная группа рациональных чисел R не имеет ни
одной неприводимой системы образующих. Действительно, пусть М есть
некоторая система образующих для R и пусть а есть произвольный эле-
элемент из М. Обозначим через Н подгруппу, порожденную множеством М',
состоящим из всех элементов множества М, кроме а; множество М' не
может быть пустым, так как иначе все рациональные числа были бы
кратными числу а, что невозможно. Если Ъ есть произвольный элемент
из М', то из свойств рациональных чисел следует существование такого
целого числа к, отличного от нуля, что число ка будет уже кратным числу
Ь, и поэтому будет содержаться в подгруппе Н. Число -г- а, принадлежащее
гС
к группе R, может быть записано в виде суммы конечного числа рацио-
рациональных чисел, кратных некоторым числам из М, т. е. может быть пред-
представлено в виде
-г- а = sa-\- h,
где s есть некоторое целое число, равное, быть может, нулю, а Л — неко-
некоторый элемент из подгруппы Н. Отсюда
а = s (ка) -\-lch,
т. е. а содержится в Я и поэтому Н = R. Множество М' является, следо-
следовательно, системой образующих для группы R.
4. Мультипликативная группа положительных рациональных чисел
обладает неприводимой системой образующих, состоящей из всех про-
простых чисел.
Если группа G обладает системой образующих, состоящей из конеч-
конечного числа элементов, то G называется группой с конечным числом обра-
образующих. Таковы, очевидно, все конечные и все циклические группы.
Пример бесконечной циклической группы показывает, что из конечно-
конечности числа образующих не следует конечность самой группы.
Всякая система образующих группы с конечным числом образующих
содержит конечное подмножество, являющееся неприводимой системой
образующих этой группы.
Так как конечная система образующих всегда может быть сделана
неприводимой путем удаления лишних элементов, то нужно лишь дока-
доказать, что при наших предположениях всякая бесконечная система обра-
образующих содержит конечное подмножество, также являющееся системой
образующих для рассматриваемой группы. Пусть G есть группа с обра-
образующими аи а2, ¦ ¦ ., ап,
G = {at, а2, ..., ап),
и пусть М есть некоторая другая система образующих этой группы.
Всякий элемент at, i = 1, 2, . . ., га, записывается в виде произведения
степеней конечного числа элементов из М. Выбирая для каждого
щ одну из таких записей и собирая те элементы из М, которые входят

44 подгруппы [гл. i>
в эти записи для i = 1, 2, . . ., га, мы получим конечное подмножество
М' из М, порожденная которым подгруппа {М'} содержит все элементы
at, а2, . . ., ап и поэтому совпадает с G.
Заметим, что различные неприводимые системы образующих группы
с конечным числом образующих могут содержать, вообще говоря, раз-
различное число элементов (см. пример 1).
Всякий гомоморфный образ группы с конечным числом образующие
сам является группой с конечным числом образующих. Действительно, если
G = {й1, а2, ¦ ¦ ., ап} и если гомоморфизм ф о-крбражает группу G на
группу G, то элементы
ад, а2ф> • • •, а«Ф A)
составляют для G систему образующих. В самом деле, если а — произ-
произвольный элемент из группы G и а — один из его прообразов в группе G,
то а так же записывается через степени элементов A), как а — через
степени элементов ац, а2, • ¦ •, ап. Некоторые из элементов A) могут,
конечно, совпадать, т. е. мы получим для группы G систему образующих
с повторениями. Эти повторения можно было бы исключить. Мы усло-
условимся, однако, и в будущем допускать к рассмотрению системы образую-
образующих с повторяющимися элементами.
Всякая бесконечная группа с конечным числом образующих являет-
является счетной.
Действительно, если элементы а4, а2, . . ., ап являются образую-
образующими для группы G, то всякий элемент этой группы может быть записав
в виде произведения
а, а, а
а,1а,г ... а,*
(вообще говоря, многими различными способами); всякое i^ есть одно-
из чисел 1, 2, . . ., п, причем возможно, что ik = i; при кф1. Будем
называть длиной этого произведения сумму абсолютных величин пока-
показателей:
Легко видеть, что существует лишь конечное число произведений степе-
степеней образующих элементов а±, а2, . . ., ап данной длины h. Множество
всех произведений степеней этих элементов будет, следовательно, суммой
счетного множества конечных множеств, т. е. счетным, а поэтому и груп-
группа G будет не более чем счетной.
Примеры 3 и 4 настоящего параграфа показывают, что существуют
счетные группы, не имеющие конечных систем образующих. Группы
с конечным числом образующих составляют, следовательно, класс групп,
промежуточный между конечными и счетными группами.
Всякая подгруппа группы с конечным числом образующих будет,
конечно, не более чем счетной. В гл. 9 мы встретим, однако, примеры
групп с конечным числом образующих, некоторые подгруппы которых
не обладают конечными системами образующих. Группы с конечным
числом образующих будут специально изучаться в гл. 10.
Заметим, что таким же путем, как выше, можно доказать, что если
группа G обладает бесконечной системой образующих {без повторений)
мощности ttt, то и сама группа имеет мощность т.

¦§' 7] ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГРУПП 45
§ 7. Возрастающие последовательности групп
Пусть в группе G даны подгруппы
"li ^2> • • • > ^-ni • • • i
•составляющие возрастающую последовательность, т. е. такие, что вся-
всякая подгруппа А „содержится в подгруппе A „ + ь А п <= Ап + 1, п = 1,2, ...
Теоретико-множественная сумма В этой возрастающей последователь-
последовательности подгрупп сама является подгруппой группы G и поэтому будет
подгруппой, порожденной подгруппами Ап.
Действительно, всякий элемент Ъ из множества В лежит в некото-
некоторой подгруппе Ап (и вообще во всех Aft при й>га). Тогда в Ап, а следо-
следовательно и в В, лежит и элемент Ь'1. Если в В взяты элементы Ь4 и Ьг,
лежащие соответственно в Ап и А^, то пусть, например, м<;&. Тогда
в подгруппе А & лежат оба элемента Ь± и Ъ2, следовательно, в этой под-
подгруппе, а поэтому и в В, содержится и произведение Ъфг. Этим доказа-
доказано, что множество В является подгруппой группы G.
Вместо счетной последовательности подгрупп, упорядоченной по типу
натурального ряда, можно было бы взять произвольное множество под-
подгрупп Аа, обладающее тем свойством, что из всяких двух подгрупп Аа
и Лр, входящих в это множество, одна непременно содержится в дру-
другой *¦). Теоретико-множественная сумма этих подгрупп снова будет под-
подгруппой группы G; это доказывается дословным повторением рассужде-
рассуждений, проведенных в предшествующем абзаце.
В дальнейших частях книги будет неоднократно использоваться
следующая теорема.
Если в группе G дано подмножество М и подгруппа А, пересечение
которых есть подмножество D, то в G существует хотя бы одна под-
подгруппа, содержащая А, имеющая с М пересечение D и не содержащаяся
ни в какой большей подгруппе с этими двумя свойствами.
Пусть элементы группы G вполне упорядочены:
1 = я0, uj, ..., аа, ...
Полагаем Ао = А. Пусть для всех |3 << а уже выбраны в G подгруппы
Лр, образующие возрастающую последовательность и такие, что пере-
пересечение каждой из них с М есть D. Если Ва есть сумма возрастающей
последовательности подгрупп А$, р < ее, то в качестве Аа выбираем
подгруппу {Ва, аа}, если пересечение этой подгруппы с М есть D, и под-
подгруппу Ва в противоположном случае. Сумма А возрастающей последо-
последовательности всех подгрупп Аа есть искомая подгруппа: пересечение А
с М равно, очевидно, D; если элемент av лежит вне А, то пересечение
подгруппы {A, av} с М отлично от D, ибо уже {Sv, av} [} М ^ D.
Отсюда следует, в частности, что если в группе G существуют под-
подгруппы, имеющие с множеством М пустое пересечение, то среди всех
таких подгрупп найдется хотя бы одна максимальная.
Может случиться, что объединение (т. е. теоретико-множественная
•сумма) возрастающей последовательности подгрупп
At s A2 s ... s An s •••
*) Это множество подгрупп будет, следовательно, упорядоченным, если
предшествующей считать ту из подгрупп Аа, А$, которая содержится в другой. Это
упорядоченное множество подгрупп не обязано быть, конечно, вполне упоря-
упорядоченным.

46 ПОДГРУППЫ [Гл. И
группы G совпадает с самой этой группой. Укажем некоторые приме-
р ы такого рода.
1. Аддитивная группа рациональных чисел R является объедине-
объединением следующей возрастающей последовательности своих циклических
подгрупп:
2. Пусть G — мультипликативная группа положительных рацио-
рациональных чисел, а
Pit P2i • • ¦ 1 Рт ¦ ¦ •
все простые числа, перенумерованные в порядке возрастания. Если
— это будет совокупность тех рациональных чисел, в числитель и зна-
знаменатель несократимой записи которых входят лишь простые числа
из системы ри р2, . . ., рп,— то группа G будет объединением возрастаю-
возрастающей последовательности подгрупп Ап, п = 1, 2, ...
3. Пусть ?т — счетная симметрическая группа, т. е. группа всех
таких взаимно однозначных отображений счетного множества хи х2, ...
. . ., хп, ... на себя, каждое из которых действительно перемещает
лишь некоторое конечное число символов. Подгруппа Sn этой группы,
составленная из тех отображений, которые оставляют на месте каждый
из символов хп + 1, хп + 2, . . ., изоморфна, очевидно, симметрической
группе и-й степени, а группа Sm совпадает с объединением подгрупп Snt
п = 1, 2, 3, ...
С другой стороны, справедлива теорема:
Группа с конечным числом образующих не может быть суммой воз-
возрастающей последовательности своих истинных подгрупп.
Пусть группа G имеет конечную систему образующих,
G = {au а2, • •., ап},
и пусть она совпадает с суммой возрастающей последовательности своих
истинных подгрупп
Н^ d Н2 с ... d H k с ...
Каждый из элементов а-г, i = 1, 2, . . ., п, как и вообще всякий
элемент из G, принадлежит к некоторой подгруппе Hhi и поэтому ко всем
подгруппам Hk при &> kt. Если I = max (ku k2, . . ., kn), то в под-
подгруппе Hi содержатся уже все элементы at, a2, . . ., ап; порожденная-
последними подгруппа не может, следовательно, совпадать с G.
Это доказательство сохраняется и в том случае, если в группе с конеч-
конечным числом образующих дана возрастающая последовательность истин-
истинных подгрупп, упорядоченная произвольным образом.
Сумма возрастающей последовательности счетных подгрупп и,
в частности, подгрупп с конечным числом образующих будет, конечно,
счетной. Обратно, всякая счетная группа является суммой возрастающей
последовательности подгрупп с конечным числом образующих.
Пусть, действительно, элементы счетной группы G, перенумерован-
перенумерованные произвольным образом, будут
gli gl, ¦ ¦ -i gni ¦ • •

§ 7] ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГРУПП 47
Если Нп есть подгруппа группы ^порожденная элементами glt g2, ¦ ¦ ., gnr
Hn = {gl, gi, ¦¦¦, gn},
то подгруппы Нп будут группами с конечным числом образующих, вло-
вложенными друг в друга,— возможность равенства Нп = Hn+i не исклю-
исключена,— а группа G будет суммой этой возрастающей последовательности
подгрупп.
Перейдем теперь к изложению одной конструкции, которая иногда
позволяет говорить о возрастающей последовательности данных групп,
не являющихся заранее подгруппами некоторой объемлющей группы.
Пусть даны группы
Glt G2, ...,Gn, ... A>
и для каждого п дано изоморфное отображение ф„ группы Gn в группу
Gn + l (т. е. на некоторую подгруппу последней),
gn4>n = gn+\, gn^Gn, gn-n?Gn+l. B)
Группы A) и изоморфизмы B) позволяют следующим образом построить,
новую вполне определенную группу G.
Назовем нитью всякую последовательность элементов
y=gh, gk+i, ...,gn, ... C>
со следующими свойствами: 1) к~> 1, 2) gn g Gn, 3) в случае, если к > 1,
элемент gh не является образом никакого элемента из группы Gk-i при
изоморфизме ф/г-ь 4) gn+i есть образ элемента gn при изоморфизме фП).
т. е. gn<pn = gn + i, n = к, к + 1, . . . Если даны две нити
У" = ё"и g"+v ¦ ¦ •' g'm
и если к Ф I, то последовательность элементов
gmgmi gm+lgm+V ' ' '' gnSni • • •'
где т = max (к, I), также будет нитью. Действительно,
(g'ng'n) 4>п = g'n4>n ¦ g'nVn = g'n+ig'n+V
а элемент g'm g"m не есть образ никакого элемента при изоморфизме фот-1,-
так как один из множителей является таковым, а другой нет. Нить D)
мы назовем произведением заданных нитей и обозначим через у'у". Если
же к = I, то элемент gm g'm может уже обладать прообразом в группе-
Gm-i при изоморфизме q>m-i- В этом случае последовательность D) может
быть дополнена до нити присоединением к ее началу нескольких эле-
элементов, причем это дополнение вполне однозначно. Полученная таким
путем нить будет считаться произведением y'y"-
Ассоциативность определенного нами умножения нитей следует из
ассоциативности операций в группах Gn. Единичным элементом будет
нить, состоящая из единичных элементов всех групп Gn. Обратной для
нити C) будет нить
8k ' gh+1-i ¦ • •' gn '
Множество всех нитей будет, следовательно, группой относительно опре-
определенного выше умножения. Эту группу, которую мы обозначим через-
G, можно назвать предельной группой для последовательности групп A)

48 подгруппы [Гл. и
•относительно изоморфизмов B). Можно сказать также, что группы A)
образуют в силу изоморфизмов B) возрастающую последовательность
и что G есть сумма или объединение этой возрастающей последовательно-
последовательности. Действительно, соберем все те нити, которые содержат какой-либо
элемент из группы Gs, т. е. такие, которые начинаются в группах Gh
при k^s. Эти нити составляют в группе G подгруппу Gs, изоморфную
группе Gs. Подгруппы
Glr Gii ¦ • •, Gn, ... E)
вложены друг в друга таким же способом, как вкладывались друг в дру-
друга группы A) изоморфизмами B); теоретико-множественной суммой
возрастающей последовательности подгрупп E) будет вся группа G.
Группа G однозначно определяется заданием групп A) и изоморфиз-
изоморфизмов B). Ограничиться заданием только групп A) невозможно. Действи-
Действительно, аддитивная группа рациональных чисел R является объедине-
объединением счетной возрастающей последовательности бесконечных цикличе-
циклических групп — см. выше, пример 1. Это же верно, однако, и для аддитив-
аддитивной группы двоичных дробей R2, так как эта группа является суммой
возрастающей последовательности своих подгрупп
Группы R и R2 не изоморфны, так как, например, в группе R% нет эле-
элемента х, удовлетворяющего уравнению Зх = 1, тогда как в группе R
такое уравнение разрешимо. Это показывает, что сумма возрастающей
последовательности групп зависит не только от самих этих групп, но
и от способа, по которому каждая из них вложена в следующую.
Только что изложенная конструкция может быть без труда перене-
перенесена на случай множества групп, имеющего произвольную мощность
и упорядоченного произвольным образом. Нужно лишь предположить,
что для всякой пары групп Ga, G$ из этого множества, из которых пер-
первая предшествует второй, определено изоморфное отображение фар группы
Ga в группу Gp и что если изоморфизмы фар и Фр7> а поэтому и фа«р! опре-
определены, то фат совпадает с результатом последовательного выполнения
изоморфизмов фар и <pgv. Детальное проведение этого построения пре-
предоставляется читателю. [См. Д.2.2. ]
Используем налу конструкцию для построения одной группы, играю-
играющей в дальнейшем, особенно в теории абелевых групп, очень большую
роль. Если дано простое число р, то всякая циклическая группа порядка
рп обладает одной-единственной циклической подгруппой порядка рп~г-
Для каждого п существуют, следовательно, изоморфные отображения
циклической группы порядка рп~г в циклическую группу порядка рп;
фиксируя одно из этих отображений для каждого п, мы получаем воз-
возможность говорить о возрастающей последовательности циклических
трупп порядков рп, п = 1, 2, . . . Сумма этой последовательности назы-
называется группой типа рт *). Легко проверить, что группа типа рот изоморф-
изоморфна мультипликативной группе корней из единицы, степени которых
являются степенями числа р.
Так как циклическая группа {а} порядка рп обладает для всякого
к, меньшего п, единственной циклической подгруппой порядка ph, а имен-
Иногда эта группа называется также квазициклической.

§ 7] ВОЗРАСТАЮЩИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГРУПП 49
но {арП~к}, то и группа Р типа р°° обладает для всякого к, к = 1, 2, . . .,
единственной циклической подгруппой порядка ph и совпадает
с объединением возрастающей последовательности этих подгрупп. Пусть
это будут подгруппы {ай}, к = 1, 2, . . .; дополнительно положим а0 = 1.
Если теперь U — произвольная истинная подгруппа группы Р, то она
не может содержать всех ак. Пусть an+i — первый из образующих
элементов, лежащих вне U. Тогда подгруппа U совпадает с циклической
подгруппой {ап}. Действительно, если бы в U содержался элемент ak
при к > п + 1» то содержалась бы вся циклическая подгруппа {ад},
а поэтому и элемент ап+1. Если же в U содержится некоторый элемент Ъ,
лежащий вне {ап}, то можно указать такое к, к > п, что
Тогда, однако, будет справедливо равенство
т. е. элемент ah окажется лежащим в U.
Этим доказано, что всякая истинная подгруппа группы типа р°°
является конечной циклической группой некоторого порядка рп.
Из результатов гл. 7 будет следовать, что группы типа р°° (для всех
простых р) являются единственными бесконечными абелевыми группа-
группами, все истинные подгруппы которых конечны. Поставленный О. Ю. Шмид-
Шмидтом вопрос о том, существуют ли бесконечные некоммутативные группы
с этим свойством, остается пока открытым. [См. Д.16.5. ]

Глава третья
НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ
§ 8. Разложения группы по подгруппе
Если в группе G даны подмножества М и N, то под произведением
MN этих множеств мы будем понимать множество всех элементов груп-
группы G, равных произведению некоторого элемента из М на некоторый
элемент из N г). Если одно из множеств М, N состоит из одного элемен-
элемента а, то мы получаем определение произведения aN элемента на множе-
множество или произведения Ма множества на элемент.
Умножение подмножеств является ассоциативным,
(MN)P=M(NP),
но, вообще говоря, не является коммутативным. Если для двух данных
множеств М и N имеет место равенство
MN = NM
(это показывает, что для любых двух элементов а и Ъ, а ? М,
Ъ 6 N, существуют такие элементы а' и а" из М и Ъ' и Ъ" из N, что аЪ =
= Ъ'а', Ъа = а"Ъ"), то множества М и N называются перестановочными.
Частным случаем этого будет перестановочность элемента и подгруппы,
перестановочность двух подгрупп и т. д.
Заметим, что если А и В подгруппы группы G, то множество АВ
не обязано быть подгруппой, т. е. произведение АВ множеств, являющих-
являющихся подгруппами, отлично, вообще говоря, от определенной в § 6 подгруппы
{А, В}. Можно утверждать лишь, что
АВ с= {А, В].
Подгруппа {А, В}, порожденная подгруппами А и В в группе G,
тогда и только тогда совпадает с произведением АВ этих подгрупп,
если подгруппы А и В перестановочны.
Действительно, если
АВ = {А,В),
то при любых а из А и Ъ из В содержащийся в {А, В} элемент Ъа должен
быть равным некоторому элементу а'Ъ', а' ? А, Ъ' ? В, т. е. В A s АВ.
Докажем, что элемент аЪ содержится, в свою очередь, в произведении
г) Элемент может быть равным и нескольким различным произведениям такого
вида; это не дает нам оснований, однако, считать этот элемент входящим в множе-
множество MN несколько раз.

§ 8] РАЗЛОЖЕНИЯ ГРУППЫ ПО ПОДГРУППЕ 51
ВА. Действительно, используя уже доказанное включение, мы получаем
откуда аЪ = Ь"-1а"-1, т. е. В А ^ АВ и поэтому ВА = АВ.
Обратно, если А ж В перестановочны, то всякое произведение трех
элементов вида aiba2 или b±ab2 может быть, очевидно, записано в виде
а'Ъ',— в первом случае нужно заменить Ъа2 через некоторое равное ему,
ввиду перестановочности А ж В, произведение а'гЪ' и положить затем
aifiC = а'; во втором случае нужно заменить &4я через а'Ь[ и затем поло-
положить Ъ'гЪг — Ъ'. Если уже доказано, что всякое произведение п множи-
множителей, и>3, взятых из А и В поочередно, содержится в АВ, и если
дано произведение такого же рода, но состоящее из п + 1 множителей,
то заменяем произведение первых п множителей некоторым равным ему
произведением а'Ъ' и снова приходим к случаю трех множителей. Этим
доказано, что всякий элемент из подгруппы {А, В} содержится в мно-
множестве АВ.
Подгруппы абелевой группы всегда, конечно, перестановочны. Пере-
Перестановочными будут также такие подгруппы А ж В некоторой (конечной
или бесконечной) симметрической группы, что всякий символ, переме-
перемещаемый хотя бы одной подстановкой одной из подгрупп А, В, остается
на месте при всех подстановках, входящих в другую подгруппу,— дей-
действительно, перестановочными будут сами элементы этих подгрупп.
Читателю предлагается доказать, далее, перестановочность цикличе-
циклических подгрупп, порожденных подстановками A23) и A2) в симметриче-
симметрической группе 3-й степени, и неперестановочность циклических подгрупп,
порожденных в этой же группе подстановками A2) и B3).
Для дальнейшего заметим, что если А — подгруппа группы G, то
имеет место равенство
АА = А.
Ясно, в самом деле, что АА с. А, но уже произведение А на 1 дает все А.
Умножение подмножеств группы находит важное приложение в раз-
разложениях группы по подгруппе, играющих фундаментальную роль во
всей теории групп.
Пусть в группе G дана подгруппа Н. Если а есть произвольный
элемент из G, то произведение аН называется левосторонним смежным
классом группы G по подгруппе Н, определенным элементом а. Понятно,
что элемент а содержится в классе аН, так как подгруппа Н содержит
единицу.
Если Ъ есть произвольный элемент из класса аН, то левосторонние
смежные классы аН и ЪН совпадают, т. е. всякий левосторонний смеж-
смежный класс определяется любым из своих элементов. Действительно, если
Ъ = ah0, h0 ? Н, то
bh' = a (hQhr) и ah" = b Qi^h"), h', h" ? H.
Мы будем говорить также, что любой элемент левостороннего смежного
класса является представителем этого класса.
Отсюда следует, что два любых левосторонних смежных класса группы
G по подгруппе Н или совпадают, или же не имеют ни одного общего эле-
элемента, т. е. их пересечение пусто. Мы получаем, что вся группа G рас-
распадается на непересекающиеся левосторонние смежные классы по под-*-
группе Н. Это разложение называется левосторонним разложением группы
А*

52 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гл. III
G по подгруппе Я. Одним из смежных классов этого разложения будет
сама подгруппа Я: если элемент а содержится в Я, то аН = Я.
Заметим, что элементы а и Ъ тогда и только тогда лежат в одном
левостороннем смежном классе группы G по подгруппе Я, если произве-
произведение а-гЪ содержится в Я.
Понятие левостороннего разложения иллюстрируют следующие при-
примеры.
1. Если G есть аддитивная группа целых чисел и Я — подгруппа
чисел, делящихся на 4, то числа а и Ъ тогда и только тогда будут лежать
в одном левостороннем смежном классе группы G по подгруппе Я, если
при делении на 4 они дают один и тот же остаток. Левостороннее раз-
разложение G по Я состоит, следовательно, из четырех смежных классов:
самого Я и множеств чисел, дающих при делении на 4 остаток 1, остаток 2
и остаток 3.
2. Если G есть симметрическая группа 3-й степени и Я — {A2)},
то левостороннее разложение G по Я состоит из трех смежных классов:
самой подгруппы Я, состоящей из элементов 1 и A2), класса A3)-Я,
состоящего из элементов A3) и A32), и класса B3)-Я, состоящего из
элементов B3) и A23).
3. Если G есть группа невырожденных матриц га-го порядка с дей-
действительными элементами, а Я — подгруппа матриц, определитель кото-
которых равен 1, то мы получим левостороннее разложение G по Я, собирая
в один смежный класс матрицы с равными определителями.
Если в произвольной группе G в качестве подгруппы Я берется
сама группа G, то разложение состоит из одного единственного смежного
класса, а если Я есть единичная подгруппа Е, то всякий элемент группы
составляет отдельный смежный класс.
Вместо левостороннего разложения можно было бы получить пра-
правостороннее разложение группы G по подгруппе Я, называя правосторон-
правосторонним смежным классом G по Н всякое множество На, а ? G. Всё, сказанное
выше о левосторонних разложениях, переносится и на правосторонние
разложения. В частности, одним из правосторонних смежных классов
будет само Я. Элементы а и Ъ тогда и только тогда будут лежать в одном
правостороннем смежном классе по подгруппе Я, если Ъа*1 ? Я.
В случае абелевых групп нет необходимости, конечно, различать
левостороннее и правостороннее разложения. В некоммутативном слу-
случае эти разложения могут оказаться различными. Так, правостороннее
разложение симметрической группы 3-й степени по подгруппе Н = {A2)}
отлично от приведенного выше, в примере 2, левостороннего разложения
и состоит из следующих трех смежных классов: самого Я, класса Я-A3),
куда входят элементы A3) и A23), и класса Я-B3), состоящего из эле-
элементов B3) и A32). Можно утверждать, однако, что оба разложения вся-
всякой группы G по произвольной подгруппе Я состоят из равного числа смеж-
смежных классов (в бесконечном случае это значит, что множества левосторон-
левосторонних и правосторонних смежных классов по данной подгруппе имеют оди-
одинаковую мощность). Действительно, множество элементов, обратных
к элементам из левостороннего смежного класса аН, совпадает с право-
правосторонним смежным классом На-1,
(аН)-1 = На'1;
этим между множествами левосторонних и правосторонних смежных
классов устанавливается взаимно однозначное соответствие. [См. Д.2.3.}

§ 8] РАЗЛОЖЕНИЯ ГРУППЫ ПО ПОДГРУППЕ 53
Число смежных классов в каждом из разложений группы G по под-
подгруппе Н (в бесконечном случае мощность множества этих классов) назы-
называется индексом подгруппы Н в группе G. Если число смежных классов
конечно, то Н называется подгруппой конечного индекса.
В конечных группах и только в них все подгруппы имеют конечный
индекс; действительно, индекс единичной подгруппы произвольной группы
совпадает с мощностью самой группы. Все подгруппы бесконечной цик-
циклической группы, отличные от единичной подгруппы, являются под-
подгруппами конечного индекса, причем эта группа для всякого натураль-
натурального числа п обладает одной и только одной подгруппой индекса п; дока-
доказательство этого утверждения опирается на доказанную в § 6 теорему
о подгруппах циклических групп.
Существуют, с другой стороны, группы, все истинные подгруппы
которых имеют бесконечный индекс. Такова, например, аддитивная
группа рациональных чисел R. Действительно, если Н есть истинная
подгруппа группы Л, то вне Н можно найти такой элемент а, что ра
уже содержится в Н, р — некоторое простое число. Числа
1 1 1
все лежат вне Н и принадлежат к различным смежным классам группы R
по подгруппе Н. В самом деле, если
1 1
— а = —- a-f-h, h?H,
Ph
то
a — pn~ka+pnh,
т. е. а само содержится в Н вопреки предположению.
Теорема Пуанкаре. Пересечение конечного числа подгрупп
конечного индекса само имеет конечный индекс.
Эту теорему достаточно доказать, очевидно, для случая двух под-
подгрупп. Пусть подгруппы Н vi F имеют в группе G конечный индекс и пусть
D есть пересечение этих подгрупп. Элементы а и Ъ тогда и только тогда
лежат в одном левостороннем смежном классе по D, если а~хЪ ? D, т. е.
если а~хЪ 6 Н и а-гЪ ? F. Мы получим, следовательно, все левосторонние
смежные классы группы G по подгруппе D, если возьмем все непустые
пересечения левосторонних классов по Л с левосторонними классами
по F. Из конечности индексов подгрупп Л и F следует конечность числа
этих пересечений и поэтому конечность индекса D в G. Можно утверждать
даже, что индекс D в группе G не больше произведения индексов Н и F
в этой группе.
Для случая конечных групп понятие разлбжения группы по под-
подгруппе приводит к следующей важной теореме:
Теорема Лагранжа. Порядок и индекс подгруппы конечной
группы являются делителями порядка самой группы.
Действительно, если конечная группа G имеет порядок п, а ее под-
подгруппа Н — порядок к и индекс /, то каждый из левосторонних смежных
классов группы G по подгруппе Н состоит из к элементов, откуда
Так как порядок элемента совпадает с порядком его циклической
подгруппы, то из теоремы Лагранжа следует, что порядок всякого эле-
элемента конечной группы является делителем порядка группы.

54 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гл.: III
Из теоремы Лагранжа следует также, что всякая группа, порядок,
которой есть простое число, будет циклической. Действительно, эта
группа должна совпадать с циклической подгруппой, порожденной любым
ее отличным от 1 элементом.
Теорема Лагранжа является частным случаем следующей теоремы,
относящейся к произвольным группам:
Если Н и F являются подгруппами конечного индекса группы G, при-
причем Н содержится в F, и если пи) являются индексами соответственно
Н и F в группе G, то индекс к подгруппы Н в F также конечен и
n — kj.
Действительно, если два элемента лежат в одном левостороннем
смежном классе группы G по подгруппе Н, то тем более они лежат в одном
левостороннем смежном классе по подгруппе F. Всякий левосторонний
смежный класс группы G по F распадается поэтому на несколько полных
левосторонних смежных классов группы G по Н. Отсюда следует уже
конечность индекса Н в F. Если F состоит из к левосторонних классов
по Н, то всякий класс aF, a ? G, также состоит из к таких классов; мы
получим эти классы, умножая слева на а все левосторонние смежные
классы по Н, входящие в F. Этим теорема доказана полностью.
Если G конечная группа и Н = Е, то мы получаем теорему Лагранжа.
В некоторых вопросах теории групп используется разложение
группы по двойному модулю, обобщающее разложение
группы в смежные классы по подгруппе. Пусть в группе G даны произ-
произвольные подгруппы Н и К. Если а есть элемент из G, то произведение НаК
содержит, очевидно, элемент а; это произведение мы будем называть
классом по двойному модулю (Н, К), порожденным элементом а. Если
элемент Ъ содержится в классе НаК, т. е. Ъ = hak, то а = h^bk-1,
т. е. а ? НЪК. Наконец из Ъ ? НаК, с ? НЪК следует с ? НаК. Этим
доказано, что группа G распадается на непересекающиеся класйа по
модулю (Н, К). Полученное нами разложение группы G превращается,
очевидно, при К .= Е в правостороннее разложение G по подгруппе Н,
а при Н = Е в левостороннее разложение G по подгруппе К.
Очевидно, что класс НаК вместе со всяким своим элементом содержит
и весь порожденный им правосторонний смежный класс по Н. Между
правосторонними смежными классами по Н, содержащимися в классе
НаК, и правосторонними смежными классами группы К по пересече-
пересечению D = а~хНа П К можно следующим образом установить взаимно
однозначное соответствие: классу Нак0, к0 ? К, ставится в соответствие
класс DkQ. В самом деле, если HakQ = Haki, ki ? К, то ki = a-xha-kQ,
h^H, откуда a-xha ? D, т. e. ki ? D-kQ. С другой стороны, если к' ? К,
то класс Dk' будет соответствовать классу Нак', входящему в НаК.
Если, далее, Dk' = Dk", то существует такое h ? Н, что к" = a~xha-k',
т. е. ак" = hak', откуда Нак" = Нак'. Таким образом, из конечности
индекса подгруппы а На (~| К в К следует конечность числа правосторон-
правосторонних смежных классов по Н, составляющих класс НаК, и наоборот, причем
эти два числа совпадают.
§ 9. Нормальный делитель
Мы знаем из предыдущего параграфа, что некоммутативные группы
могут обладать подгруппами, по которым левостороннее разложение
отлично от правостороннего. Во всякой группе, однако, оба разложения
по единичной подгруппе (и по самой группе) непременно совпадают.

S 9] НОРМАЛЬНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ 55
Пример 3 предшествующего параграфа приводит, как легко проверить,
к менее тривиальному случаю совпадения обоих разложений.
Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой
группы или инвариантной подгруппой, если левостороннее разложение
группы G по подгруппе Н совпадает с правосторонним.
Иными словами, Н будет нормальным делителем в G, если опреде-
определяемые элементом а из G смежные классы по Н — левосторонний и пра-
правосторонний — при всяком а совпадают:
Это показывает, что подгруппа Н группы G тогда и только тогда будет
нормальным делителем этой группы, если она перестановочна с любым
элементом группы G, т. е. если для всякого элемента а из G и всякого h
из Н можно найти в Н такие элементы ti и h", что
ah = h'a, ha~ah". A)
Понятие нормального делителя можно было бы определить и многи-
многими иными способами; каждый раз мы будем пользоваться тем из этих
определений, которое в данном случае наиболее удобно. Сейчас мы ука-
укажем два из них; позже будут даны и некоторые другие.
Элементы а и Ъ группы G называются сопряженными в этой группе,
если в G можно найти хотя бы один такой элемент g, что
Ъ = g~xag.
Иногда говорят также, что Ъ получается из а трансформированием эле-
элементом g.
Так как второе из равенств A) может быть переписано в виде
а~хЬл = h"
и та,к как элементы а и h были произвольными элементами соответст-
соответственно из G и из Н, то мы получаем следующее свойство нормального де-
делителя:
Нормальный делитель Н группы G вместе со всяким своим элементом
h содержит и все элементы, сопряженные с h в группе G.
Это свойство можно было бы принять в качестве определения нор-
нормального делителя, причем часто удобно пользоваться его следующей
более общей формой:
Если в группе G с системой образующих М дана подгруппа Н, поро-
порождаемая множеством элементов N, и если трансформирование любого
элемента из N элементами из М и элементами, им обратными, не выво-
выводит за пределы подгруппы Н, то Н будет нормальным делителем в G.
В самом деле, легко проверить, что
Г1 (ti'tfr ... hln) g = (g^higp (Г1^) ¦ • • (g^hngf",
(gig2)~1 h (gtgz) = g? (g^hgi) g2.
Однако всякий элемент из G имеет вид
g = glg2 ¦ ¦ ¦ gk,
где gi (z М или gl1 f M (t = 1,2, ..,, k), а всякий элемент из Н имеет вид

56 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гл. III
где hi ? N (i = 1, 2, . . ., п). Поэтому всегда g~xhg ? Н, что и требовалось
доказать.
Понятно, что упоминание в формулировке этой теоремы об элемен-
элементах, обратных к элементам из М, будет излишним в том случае, когда
все элементы из М имеют конечные порядки.
Если U есть некоторая подгруппа группы G, a g — произвольный
элемент этой группы, то множество g-Wg, состоящее, очевидно, из всех
элементов, получающихся из элементов подгруппы U трансформирова-
трансформированием элементом g, само будет подгруппой. Действительно, если элемен-
элементы щ и и2 принадлежат к U, то
(g-^ig) (fW) = Г1 (»i»2) g B)
Подгруппа g^Ug называется подгруппой, сопряженной с U в группе G.
Говорят также, что она получена из подгруппы U трансформированием
элементом g. Так как из g~1uig = g'xu2g следует щ = иг, то, ввиду B).
можно утверждать, что отображение
u-^g^ug, u?U,
есть изоморфное отображение подгруппы U на подгруппу
g
Из сказанного выше об элементах, сопряженных с элементами нор-
нормального делителя, следует, что все подгруппы группы G, сопряженные
с нормальным делителем Н этой группы, должны целиком содержаться
в Н. На самом деле можно утверждать даже больше. Если бы подгруппа
g~xHg была истинным подмножеством нормального делителя Я, т. е.
если бы в Н существовал элемент h0, не входящий в g-^Hg, то элемент
ghog-1, сопряженный с элементом Ло, лежал бы вне Н. Так как, с другой
стороны, всякая подгруппа группы G, совпадающая со своими сопря-
сопряженными подгруппами, содержит, очевидно, вместе со всяким своим
элементом и все элементы, с ним сопряженные, то мы приходим к следую-
следующему результату:
Нормальные делители группы G и только они совпадают со всеми
сопряженными с ними подгруппами группы G.
Переходим к установлению некоторых простейших следствий и»
определения нормального делителя.
Всякая подгруппа индекса 2 является нормальным делителем группы,
так как оба разложения группы по этой подгруппе совпадают. Так, зна-
знакопеременная группа га-й степени, имеющая в симметрической группе
п-ж степени индекс 2, будет нормальным делителем этой группы.
Пересечение любого множества нормальных делителей группы G
само является нормальным делителем этой группы.
Действительно, если подгруппа D есть пересечение заданных нор-
нормальных делителей, то всякий элемент, сопряженный с некоторым эле-
элементом из D, должен содержаться во всех этих нормальных делителях,
а поэтому и в их пересечении.
Это свойство нормальных делителей позволяет так же,как в § 6
для случая подгрупп, говорить о нормальном делителе группы G, поро-
порожденном данным подмножеством М этой группы,— это будет пересече-
пересечение всех нормальных делителей, содержащих М.

§ 9] НОРМАЛЬНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ 57
Нормальный делитель, порожденный любым множеством нормаль-
нормальных делителей группы G, совпадает с подгруппой, порожденной этим
множеством нормальных делителей.
Действительно, если заданы нормальные делители На (а пробегает
некоторое множество индексов), то всякий элемент из подгруппы {На}
может быть записан в виде
... hh,
где всякое ht содержится в некотором Hav i = 1, 2, . . ., к. Если g ? G, та
Г1 (hih2 ...hh)g = (g^
но так как g^hjg ? Hav i = 1, 2, . . ., к, то мы получаем, что всякий эле--
мент, сопряженный с некоторым элементом из подгруппы {На}, сам
содержится в этой подгруппе.
Отсюда следует, что сумма возрастающей последовательности нор-
нормальных делителей группы G сама будет нормальным делителем этой
группы. Это легко доказать и непосредственно.
Всякий нормальный делитель, будучи перестановочным с любым1
элементом группы, тем более перестановочен с любой подгруппой этой
группы. Отсюда следует, ввиду § 8, что подгруппа {Я, F}, порожденная
нормальным делителем Н группы G и произвольной подгруппой F этой
группы, совпадает с произведением HF. Иными словами, всякий элемент
из подгруппы {Я, F} может быть записан в виде произведения hf, где
h ?H, f ? F. Подгруппа {Я, F) совпадает при этих предположениях
также и с FH.
Если Н есть нормальный делитель группы G, а подгруппа F этой
группы целиком содержит Я,
HczFczG,
то Н будет нормальным делителем и группы F. Действительно, к Н при-
принадлежит всякий элемент вида f-^hf, где h ? Н, f ? F. Заметим, однако,
что если Я есть нормальный делитель группы G, а К есть нормальный
делитель Я, то хотя К и будет подгруппой группы G, но не обязательно
нормальным делителем G, т. е. свойство быть нормальным делителем
не является транзитивным. Позже мы встретим много относящихся
сюда примеров.
Всякая подгруппа абелевой группы является нормальным делите-
делителем. Существуют, однако, и некоммутативные группы, всякая подгруппа
которых является нормальным делителем. Все такие некоммутативные
группы называются гамилътоновыми и их полное описание можно найти
в работе Бэра [2]. Оказалось, в частности, что всякая гамильтонова
группа содержит подгруппу, изоморфную следующей группе К; эта
группа называется группой кватернионов и сама является гамильтоновои.
Обозначим через К подгруппу, порожденную в симметрической группе
8-й степени подстановками
а = A234) E678) и Ь = A537) B846).
Легко проверяются соотношения
в* = 1, C)
Ь«=1, D)
аг = 6г, E)
Ъ. F)

58 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гл. III
Отсюда имеем
ЪаЪ = a3 (aba) Ъ = aW = а5 = а, G)
а3Ь = Ь2аЬ = Ьа, (8)
Ь3а = а2Ьа = аЬ. (9)
Так как а2-а = а-а2 и Ьг-Ь = Ь-Ь2, то, пользуясь E), можно путем
перестановок (и, следовательно, не изменяя числа сомножителей) всякое
произведение степеней элементов а и Ъ представить как произведение
чередующихся первых степеней этих элементов, быть может, умноженное
слева на а3 или Ь3. Однако, пользуясь F), G), (8) или (9), можно умень-
уменьшить число сомножителей во всяком таком произведении, если только
оно не совпадает с одним из следующих восьми:
1, а, Ъ, аЪ = A836) B745), Ъа = A638) B547),
аа = Ьа = A3) B4) E7) F8), а3 = A432) E876), Ь3 = A735) B648);
но все эти произведения представляют собой различные элементы.
Таким образом, группа К является некоммутативной группой 8-го
порядка.
Всякая подгруппа группы, отличная от ? и самого К, должна, по
теореме Лагранжа, иметь порядок 2 или 4. В действительности, в К имеет-
имеется единственная подгруппа порядка 2, а именно {а2}, и три подгруппы
порядка 4, а именно {а}, {Ь} и {аЪ}. Трансформируя образующие эле-
элементы всех указанных циклических подгрупп как элементом а, так
и элементом Ь, мы обнаружим, используя C) — G), что все эти подгруппы
являются нормальными делителями в К.
^ Простые группы. Нормальными делителями всякой группы являются
она сама и ее единичная подгруппа. Группа, не имеющая других нормаль-
нормальных делителей, кроме этих двух, называется простой. Простые группы
составляют класс групп, в некотором смысле противоположный гамиль-
тоновым группам. .
Абелева группа будет простой тогда и только тогда, если она цикли-
циклическая и если всякий ее элемент, отличный от 1, является для нее обра-
образующим. Сделанное в § 6 замечание об образующих элементах цикличе-
циклических групп позволяет поэтому утверждать, что абелева группа будет
простой тогда и только тогда, если она циклическая и порядок ее есть
простое число.
Существуют, однако, и некоммутативные простые группы, как
конечные, так и бесконечные. Так, например, имеет место следующая
теорема, играющая большую роль в теории Галуа:
Знакопеременная группа п-й степени Ап является при п~>Ь простой.
Предварительно докажем следующие две леммы:
Лемма 1. Если п^З, то подгруппа, порожденная множеством
содержащихся в группе Ап тройных циклов, совпадает со всей этой группой.
Действительно, всякая четная подстановка является произведением
четного числа транспозиций, но произведение двух различных транспо-
транспозиций равно некоторому тройному циклу или произведению тройных
циклов: если а, р, у, ... — переставляемые символы, то
Всякий же тройной цикл является, очевидно, четной подстановкой.
• ' Л е м м а 2. Всякий нормальный делитель группы Ап, м>5, содержа-
содержащий хотя бы один тройной цикл, совпадает со всей группой Ап.

§:9] НОРМАЛЬНЫЙ ДЕЛИТЕЛЬ 59
Пусть нормальный делитель Н группы Ап содержит тройной цикл
(ару) и пусть (ару) — любой другой тройной цикл из Ап. Если символы б
и е отличны от а, р и у, то подстановка ге-й степени
/...а ... р ... у . .. б . .. е . ..\
t.. а . .. р .. . у . . . б' .. . е' . ..)
которую можно сделать четной, транспонируя, если нужно, символы б'
и е' во второй строке, такова, что
Нормальный делитель Н содержит, следовательно, все тройные циклы
из группы Ап и поэтому, по лемме 1, совпадает с этой группой *).
Переходим к доказательству теоремы. Пусть группа
Ап обладает отличным от Е нормальным делителем Н и пусть среди эле-
элементов из Н имеются такие, разложение которых в циклы содержит хотя
бы один цикл длины > 4. Пусть h есть один из таких элементов:
где многоточие вне скобок заменяет все остальные циклы. Тогда к Н
принадлежит также сопряженный с Л в группе Ап элемент
а поэтому и элемент h-xti = (арб). Поэтому, ввиду леммы 2, Н = Ап.
Пусть теперь в разложение некоторого элемента h из Н входят лишь
тройные и, быть может, двойные циклы. Мы будем считать, что тройных
циклов не менее, чем два, так как иначе /г2 было бы просто тройным цик-
циклом и можно было бы непосредственно применить лемму 2. Если
то в Я содержится также элемент
h' = ф'а'у) h (Ya'P') = (a|3a') (yy'P')
а поэтому и элемент
содержащий цикл длины 5, и мы возвращаемся к предыдущему случаю.
Пусть, наконец, разложение в циклы некоторого элемента h из нор-
нормального делителя Н состоит лишь из циклов длины 2; последних будет,
конечно, четное число. Если h — (aipi) (агРг)» то в Я будет содержаться
и элемент
где у — произвольный символ, отличный от символов, действительно
переставляемых подстановкой h. К подгруппе Н принадлежит теперь
и элемент hh' = (aiypi) и поэтому Н = Ап. Если
A = (a1p1)(a2p2)(o3p3)(a4p4)...,
то к Я принадлежит и элемент
К =± (р\а2) (|32а3) h (р2а3) (р>2) = (оцъ) ф,а3) фф3) (а4р4) ...,
х) Непосредственной проверкой можно убедиться, что лемма 2 верна и при
п < 5.

60 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гл. Ill
а поэтому и элемент hh' = @C10C3P2) (огРзРО; это возвращает нас к рас-
рассмотренному выше случаю. Теорема доказана полностью х).
Предположение и>5 является существенным. Правда, знакопере-
знакопеременная группа 3-й степени является циклической порядка 3 и поэтому
простой, однако знакопеременная группа А-й степени не простая — легко
проверить, что содержащиеся в ней подстановки A2)C4), A3)B4)
и A4) B3) составляют вместе с 1 нормальный делитель группы Ak. Этот
нормальный делитель является абелевой, но не циклической, группой
4-го порядка.
Доказанная выше теорема показывает, что существует бесконечно
много простых некоммутативных конечных групп. Такие группы, впрочем,
далеко не исчерпываются знакопеременными. В § 61 будут указаны
некоторые результаты, относящиеся к далеко еще не исчерпанному вопро-
вопросу о полном обозрении всех конечных простых групп 2).
В проведенном выше доказательстве теоремы нигде не использова-
использовалась конечность группы Ап. Можно утверждать, следовательно, что
счетная знакопеременная группа и вообще знакопеременные группы любой
бесконечной мощности (см. § 4, пример 14) являются простыми. Это пока-
показывает, что существуют простые группы любой бесконечной мощности.
[См. Д.2.4.]
§ 10. Связь нормальных делителей с гомоморфизмами
и фактор-группами
Как вытекает из определения нормального делителя, левосторонние
смежные классы группы G по нормальному делителю Н одновременно
являются и правосторонними, и обратно. Это позволяет говорить просто
о смежных классах группы G по нормальному делителю Яио разложении
G в смежные классы по этому нормальному делителю.
Разложение группы G в смежные классы по нормальному делителю
Н является правильным разбиением этой группы.
Действительно, пусть даны два смежных класса группы G по нор-
нормальному делителю Н. Если в этих смежных классах произволь-
произвольным образом выбраны представители а и Ъ, т. е. если сами классы
могут быть записаны в виде аН и ЪН, то ввиду ассоциативности умноже-
умножения подмножеств в группе и на основании равенств НЪ = ЪН и НН = Н
мы получим
Справедливо и обратное утверждение:
Если дано произвольное правильное разбиение группы G, то тот класс
этого разбиения, который содержит единицу, будет нормальным дели-
делителем группы G, а все остальные классы — смежными классами группы G
по этому нормальному делителю.
Пусть А будет класс данного правильного разбиения, содержащий
элемент 1. Если а4 и а2 — два любых элемента из Л, то произведение а^аг
должно лежать, в силу определения правильного разбиения, в одном
!) Некоторые доказательства этой теоремы, очень близкие по существу к изло-
изложенному в тексте, начинаются с выбора в Н отличного от единицы элемента, остав-
оставляющего на месте возможно больше символов. Простейшее из доказательств этого
рода можно найти в работе Бауэра [1].
2) Ко времени подготовки третьего издания в этом вопросе произошли суще-
существенные продвижения.

§ 10] НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 61
классе с произведением 1-1 = 1, а поэтому
пуп-ь ? А.
Если, далее, а — произвольный элемент из класса Л, то произведение
аа-1 = 1 должно лежать в одном классе с произведением 1-а-1 = а *,
откуда
а ? А.
Этим доказано, что А — подгруппа группы G. Если, далее, а — произ-
произвольный элемент из Л, Ъ — произвольный элемент из G, то произведение
Ъ-гаЪ должно содержаться в одном классе с произведением Ъ-гЛ-Ъ — 1,
т. е.
Ъ'ЧЪ^А.
Класс А будет, следовательно, даже нормальным делителем в G.
Пусть, наконец, В будет произвольный класс из данного правильною
разбиения. Если Ъ — элемент из В, то при любом элементе а из А про-
произведение Ъа будет лежать в одном классе с произведением Ъ-1 = Ъ, т. е.
весь смежный класс ЪА содержится в В. Если теперь с — любой другой
элемент из класса В, то, так как Ъ и с лежат в одном классе правильного
разбиения, это же верно для произведений Ъ-гс и Ъ-гЪ = 1, т. е. Ъ~хс ? А,
откуда
с е ЪА.
Мы пришли к равенству
В = ЪА,
заканчивающему доказательство теоремы.
Эти результаты устанавливают взаимно однозначное соответствие
между всеми правильными разбиениями группы G и всеми нормальными
делителями этой группы и позволяют не различать в дальнейшем пра-
правильных разбиений группы и ее разложений в смежные классы по нор-
нормальному делителю. В частности, если А — тот класс данного правильно-
правильного разбиения группы G, в котором содержится единица, то мы будем
теперь говорить не о фактор-группе группы G по этому правильному
разбиению, а о фактор-группе по нормальному делителю А и обозначать
ее символом GIA.
Мы предлагаем читателю соответствующим образом изменить фор-
формулировку теоремы о гомоморфизмах для групп (§ 3).
Эта теорема устанавливает теперь тесную связь между нормальными
делителями группы и ее гомоморфными отображениями. Именно эта
связь с гомоморфизмами сделала понятие нормального делителя одним
из самых основных в теории групп. Мы приходим, в частности, к новому
определению нормального делителя. Назовем ядром гомоморфного ото-
отображения ф группы G на группу G' совокупность тех элементов из G,
которые отображаются при ф в единицу группы G'. Из теоремы о гомо-
гомоморфизмах и результатов настоящего параграфа вытекает следующее
утверждение:
Нормальные делители группы G и только они служат ядрами гомо-
гомоморфизмов этой группы.
Если некоторая группа G гомоморфно отображается на группу G'
и если U — подгруппа из G, то она также испытывает гомоморфное ото-
отображение, а поэтому ее образ при этом отображении будет подгруппой
в G'. Обратно, если U' — произвольная подгруппа из G', то ее полный

62 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гц. Ill
прообраз U в G, т. е. множество всех элементов из G, отображающихся
при рассматриваемом гомоморфизме ф в подгруппу V, будет подгруппой
в G. Действительно, если а и Ъ — элементы из U, т. е. ац> = а' ? U',
Ьф = Ъ' ? С/', то
а так как а'Ъ' ? [Г, то элемент аЬ должен лежать в U. Далее,
(а) ф = а',
но a''1 (z U', а поэтому а-1 ? С/. Наше утверждение доказано. Допол-
Дополнительно заметим, что из того, что подгруппа V содержит единицу груп-
группы G', следует, что ее полный прообраз U целиком содержит ядро гомо-
гомоморфизма ф. Это соответствие между подгруппами групп G и G' обладает
рядом важных дополнительных свойств, которые собраны в следующей
теореме о соответствии между подгруппами
при гомоморфном отображении; в ней в силу теоремы
о гомоморфизмах мы будем говорить о фактор-группе и об естественном
гомоморфизме группы на эту фактор-группу.
Соответствие, относящее всякой подгруппе фактор-группы G = GIH
ее полный прообраз в группе G при естественном гомоморфизме G на G,
является взаимно однозначным соответствием между всеми подгруппами
группы G и теми подгруппами группы G, которые содержат нормальный
делитель Н. Соответствующие подгруппы обладают при этом равными
индексами в своих группах. Если, наконец, одна из этих подгрупп будет
нормальным делителем, то это же верно и для другой, причем фактор-
факторгруппы групп G и G по этим нормальным делителям изоморфны.
Доказательство. Если U\ и U2 — различные подгруппы
из G, то в одной из них, например в Ui, можно найти элемент а, не лежа-
лежащий в другой. В этот элемент отображаются при естественном гомомор-
гомоморфизме некоторые элементы из G, а поэтому полные прообразы наших двух
подгрупп в группе G не могут совпасть. Пусть, с другой стороны, U —
произвольная подгруппа группы G, содержащая Н, U — ее образ в G,
a Uо — полный прообраз подгруппы U в G. Ясно, что U s Uo. Однако,
если ао — элемент из Uo, то в U содержится такой элемент а, что а0 и а
лежит в одном и том же смежном классе по Я, а так как Я с [/, то и
а0 ? U, т. е. Uo = U. Этим доказана взаимная однозначность рассма-
рассматриваемого соответствия.
_ Если теперь U, содержащая Н, и U являются произвольными соот-
соответствующими друг другу подгруппами групп G и G = GIH, то при а и Ъ
из группы G элемент а~гЬ тогда и только тогда лежит в U, если смеж-
смежный класс
а-1ЬН=а~1Н-ЪН
принадлежит к U. Это показывает, что левосторонние смежные классы
группы G по подгруппе U взаимно однозначно соответствуют левосто-
левосторонним смежным классам G по U, откуда следует, что подгруппы U и U
имеют соответственно в группах G и G равные индексы.
Если, далее, U является нормальным делителем G, то последова-
последовательное выполнение естественных гомоморфизмов G на G и G на G/U
дает гомоморфное отображение группы G на последнюю фактор-группу.

§ 10] НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 63
Ядро этого гомоморфизма составляют те элементы из G, которые при
отображении G на G отображались в U, т. е. элементы, составляющие
подгруппу U. Отсюда следует, что U есть нормальный делитель группы G и
G/U ~ G/U.
Если, с другой стороны, U есть нормальный делитель группы G,
содержащий Н, и U соответствующая ему подгруппа в G, то при любых
и ? U и g g G элемент (т. е. смежный класс по Н) g~xug будет состоять
из элементов группы G, принадлежащих к U, и поэтому содержится в U.
Отсюда следует, что U является нормальным делителем в G. Этим теоре-
теорема полностью доказана.
В § 4 указан ряд примеров гомоморфных отображений групп. Чита-
Читатель без труда найдет ядра этих гомоморфизмов и построит соответствую-
соответствующие фактор-группы. Сейчас мы разыщем фактор-группы цик-
циклических групп, бесконечной и конечных.
Пусть дано гомоморфное отображение ф циклической группы А = {а}
на некоторую группу В. Если
аср = Ь,
то, очевидно, все элементы из В будут степенями элемента Ь, т. е. В = {Ь}.
Иными словами, все фактор-группы циклических групп сами будут цик-
циклическими группами.
Пусть, в частности, А — бесконечная циклическая группа, рас-
рассматриваемая как аддитивная группа целых чисел. Мы получим гомо-
гомоморфное отображение группы А на циклическую группу В порядка п
с образующим элементом Ъ, если образом целого числа к будем считать
элемент Ък. Числа к и I тогда и только тогда будут отображаться в один
и тот же элемент циклической группы В, если разность к — I делится
на п, т. е. если, как говорят, числа к и I сравнимы между собой по модулю
п (обозначение: к = I (mod n)). В аддитивной группе целых чисел этому
гомоморфному отображению соответствует разложение на классы по
подгруппе чисел, кратных числу га; это будут классы чисел, сравнимых
между собою по модулю п г). Используя результат § 6 о подгруппах цик-
циклических групп и заставляя п пробегать все натуральные числа, мы
получим, что все циклические группы и только они являются фактор-
факторгруппами бесконечной циклической группы (т. е. аддитивной группы целых
чисел), причем фактор-группы по различным подгруппам этой группы 2)
будут неизоморфными.
Если же А = {а} — конечная циклическая группа порядка s и t —
делитель числа s, т. е. s = tq, то подгруппа {а1} этой группы имеет поря-
порядок q, а поэтому фактор-группа по ней будет циклической порядка t. Так
как, с другой стороны, порядок фактор-группы конеч-
ной< группы совпадает с индексом соответ-
соответствующего нормального делителя, т. е. всегда
является делителем порядка группы, то мы полу-
получаем, что фактор-группами конечной циклической группы порядка s яв-
являются те и только те циклические группы, порядки которых делят s.
х) См. в § 8 частный случай этого для п = 4 (пример 1).
2) Мы говорим о подгруппах вместо нормальных делителей, потому что рас-
рассматриваемая группа абелева.

64 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гп. Ш
Найдем теперь фактор-группы группы Р типа рж.
В § 7 было показано, что все истинные подгруппы этой группы исчерпы-
исчерпываются следующими подгруппами, составляющими возрастающую после-
последовательность:
Е cz {at} а {а2} с:... с: {ап} сг. ..,
причем эти подгруппы имеют соответственно порядки i,p,p2, . . ., рп, ...
Рассмотрим фактор-группу группы Р по подгруппе {ап}. Эта фактор-
факторгруппа является объединением возрастающей последовательности фактор-
факторгрупп {ah}/{an}, к = п -\- 1, ге + 2, ..., которые, как вытекает из
сказанного выше, будут циклическими порядка рк~п, к = п + 1,
п + 2, ... Фактор-группа Р/{ап} сама оказалась, следовательно, груп-
группой типа р°°. Мы видим, что группа типа р°° изоморфна со всеми своими
фактор-группами по истинным подгруппам.
Пусть даны группы А ж В. Группа G называется расширением группы
А при помощи группы В, если в G можно найти нормальный делитель А'ч
изоморфный А, фактор-группа по которому изоморфна В,
А' ~ A, GIA' ~ В.
Заметим, что заданием групп А и В расширение G не определяется
однозначно, как показывают следующие примеры.
1. В циклической группе {а} 4-го порядка подгруппа {а2} будет
циклической 2-го порядка, а фактор-группа по ней также будет цикли-
циклической 2-го порядка. Если же мы возьмем нециклическую абелеву груп-
группу V 4-го порядка, содержащуюся, как указано в предыдущем параграфе,
в знакопеременной группе Л4, то любая ее циклическая подгруппа имеет
порядок 2, а фактор-группа группы V по этой подгруппе также будет
циклической 2-го порядка. Перед нами, следовательно, два иеизоморфных
расширения циклической группы 2-го порядка при помощи этой же группы.
2. Циклическая группа 6-го порядка имеет одну единственную цик-
циклическую подгруппу 3-го порядка и фактор-группа по ней является
циклической группой 2-го порядка; но симметрическая группа 3-й степени
^з имеет нормальный делитель А 3, также являющийся циклической группой
3-го порядка, причем фактор-группа S3/As снова будет циклической
порядка 2.
Расширения групп будут подвергнуты детальному изучению в гл. 12.
Большую роль в дальнейшем будет играть следующая теорема.
Теорема об изоморфизме. Если А и В — подгруппы
группы G, причем А является нормальным делителем в подгруппе {А, В},
то пересечение А (] В будет нормальным делителем в В и
{А,В}1А~В1(А()В).
Действительно, из нормальности А в {А, В} следует {А, В} — АВ.
Всякий смежный класс этого произведения по подгруппе А содержит,
следовательно, элементы из В, т. е. имеет с В непустое пересечение. Отсюда
следует, что при естественном гомоморфном отображении группы {А, В}
на фактор-группу {А, В}/А подгруппа В будет гомоморфно отображаться
на всю эту фактор-группу. Поэтому, ввиду теоремы о гомоморфизмах,
фактор-группа {А, В}/А будет изоморфной фактор-группе группы В
по нормальному делителю, составленному из всех элементов этой группы,
отображающихся в единицу- Это будут, однако, элементы из пересечения
А П В и только они. Теорема доказана.

$ 10] T НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ, ГОМОМОРФИЗМЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ 65
Еще раз подчеркнем, что в теореме об изоморфизме содержится
такое утверждение, легко доказываемое, впрочем, и непосредственно:
Пересечение нормального делителя и подгруппы является нормаль-
нормальным делителем в этой подгруппе.
Воспользуемся этим утверждением для доказательства следующей
теоремы:
Сумма возрастающей последовательности простых групп сама яв-
является простой группой.
В самом деле, если группа G является суммой возрастающей после-
последовательности своих истинных подгрупп
Ut s U 2 ^ • • • s Un s ...,
являющихся простыми группами, и если Н есть истинный нормальный
делитель группы G, отличный от Е, то существует такой индекс к, что
пересечение H{]Uk отлично как от Е, так и от самой подгруппы Uh.
Это пересечение будет, однако, как сказано выше, нормальным делите-
делителем группы C/ft, что противоречит ее простоте.
Теорема об изоморфизме является частным случаем следующей
теоремы, называемой леммой Цасенхауза [1]:
Если в группе G даны подгруппы А, А', В и В', причем А' нормальный
делитель в А, В' нормальный делитель в В, то А' (А [\ В') будет нор-
нормальным делителем в А' (А (~| В), В' (В f) A') — нормальным делите-
делителем в В' (В (~| А), а соответствующие фактор-группы изоморфны,
А' (А П ВIА' {А П В') ~В'(В() АIВ' (В П А').
Доказательство. Введем следующие обозначения:
С = А[)В, D = (A[\B')(B{\A').
Ясно, что D <=, С. Так как, далее, В' — нормальный делитель в В, & С —
подгруппа в Б, то
С П В' = А П В П В' = А П В'
будет нормальным делителем в С. Это же верно, ввиду симметрии пред-
предположений об А и В, и для пересечения В {] А', а поэтому и для D,
так как произведение нормальных делителей само является нормальным
делителем. Можно говорить, следовательно, о фактор-группе С по D;
обозначим ее через Н,
И = CID.
С другой стороны, А' — нормальный делитель в А, поэтому про-
произведение А' {А П В) = А'С является подгруппой. Произвольный эле-
элемент этого произведения имеет вид а'с, где а' 6 А', с ? С. Поставим ему
в соответствие смежный класс (т. е. элемент группы Н) Dc. Если эле-
элемент а'с обладает другой записью этого же вида,
то
a'-V = qr1 ? (А' п С) = (А' П5)е/),
а поэтому
cl~=(a'~1a')c^Dc.
Мы получаем однозначное отображение группы А'С в группу Н, даже
на всю группу Н, так как всякий элемент с из С отображается при этом
5 А. Г. Курош

66 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гп. Ш
в свой смежный класс Dc. Это отображение гомоморфно: так как Л' —
нормальный делитель в А'С, то
a'1ci-a'ic2 = a'3(c1c2), где а'3?А'.
К ядру этого гомоморфизма заведомо принадлежит подгруппа
А' (А П В') — мы знаем, что A f| В' s D. С другой стороны, если
элемент а'с отображается при нашем гомоморфизме в D, то с ? D, т. е.
с = uv, где и ? (В (} A'), v ? {A f| S'), но тогда
а'с = (а'а) у = a[v ? А' (А Г| В').
Ядро рассматриваемого гомоморфизма совпадает, следовательно, с под-
подгруппой А' (А Г) В'). Это, по теореме о гомоморфизмах, приводит к изо-
изоморфизму
А'(А()В)!А' (А[\В')~Н.
По соображениям симметрии имеет место и изоморфизм
В'(ВПАIВ'(В(\А')~Н.
Отсюда вытекают все утверждения теоремы.
Теорема об изоморфизме получается из леммы Цасенхауза при
А э В, В' = Е.
Для случая подгрупп А и В группы G, ни одна из которых не пред-
предполагается инвариантной в {А, В}, теорема об изоморфизме могла бы
превратиться в некоторое высказывание об индексах А в {А, В} м A f| В
в В. В общем случае можно лишь утверждать, что первый из этих индек-
индексов не меньше второго. Действительно, повторяя рассуждения, приме-
применявшиеся при доказательстве теоремы об изоморфизме, мы получим,
что всякий правосторонний смежный класс подгруппы В по подгруппе
А (] В является пересечением с В некоторого правостороннего смежно-
смежного класса {А, В} по А. Возможно, однако, что некоторые правосторонние
смежные классы {А, В} по А имеют с В пустое пересечение, как показы-
показывает пример симметрической группы 3-й степени, если в качестве А и В
берутся две из ее циклических подгрупп второго порядка. Пользуясь
доказанным в § 8 предложением, что {А, В} = А В тогда и только тогда,
если А и В перестановочны, нетрудно показать, что каждый смежный
класс {А, В} по А имеет с В непустое пересечение в том и только в том
случае, если А и В перестановочны. Иными словами, предполагая индексы
конечными, мы получаем теорему:
Индексы подгруппы А в подгруппе {А, В} и пересечения А {] В в под-
подгруппе В равны тогда и только тогда, если подгруппы А и В перестано-
перестановочны.
§11. Классы сопряженных элементов
и сопряженных подгрупп
Если М есть некоторое подмножество группы G, то множество всех
элементов из G, перестановочных с М, составляет подгруппу группы G,
называемую нормализатором множества М в группе G. Действительно,
если аМ = Ма и ЪМ = Mb, то
(ab) М = aMb = M (ab);
умножая, далее, обе стороны равенства аМ = Ма слева и справа на
о-1, мы получим
Ма'1 = агШ.

% 11] КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СОПРЯЖЕННЫХ ПОДГРУПП 67
Это общее определение позволяет говорить, в частности, о нормали-
нормализаторе подгруппы или отдельного элемента. Из перестановочности эле-
элемента с самим собою и из перестановочности подгруппы с каждым из
своих элементов следует, что нормализатор элемента а {нормализатор
подгруппы А) содержит этот элемент а (содержит эту подгруппу);
Нормализатор подгруппы А является, очевидно, максимальной подгруп-
подгруппой группы G, в которой А будет нормальным делителем. Отсюда следует,
что нормализатор подгруппы А тогда и только тогда совпадает со всей
группой G, если А есть нормальный делитель этой группы. Возможен,
с другой стороны, и такой случай, когда подгруппа совпадает со своим
нормализатором; такова, например, циклическая подгруппа элемента A2)
в симметрической группе 3-й степени.
Нормализатор элемента а в группе G содержится, очевидно, в нор-
нормализаторе циклической подгруппы {а}, но не обязательно с ним совпа-
совпадает. Пример такого несовпадения дает хотя бы элемент A23) в симме-
симметрической группе 3-й степени. Во всяком случае нормализатор элемен-
элемента а содержит подгруппу {а} в качестве своего нормального делителя.
Понятие нормализатора будет играть вспомогательную роль при
установлении некоторых очень важных свойств сопряженных элементов
и сопряженных подгрупп, которым посвящен настоящий параграф.
Если элемент Ъ группы G сопряжен с элементом а, т. е. Ъ =ь g-1ag,
то а = gbg'1, т. е. а получается из Ъ трансформированием элементом g'1.
Всякий элемент а сопряжен с самим собою, так как а = 1а1. Наконец,
если Ъ = g'^agi, с = g^bgz, то
т. е. свойство сопряженности элементов транзитивно. Отсюда следует,
что всякая группа G распадается на непересекающиеся множества сопря-
сопряженных между собою элементов или, как говорят, на классы сопряженных
элементов. Все элементы, входящие в один класс сопряженных элемен-
элементов, имеют, очевидно, один и тот же порядок.
Одно из приведенных в § 9 определений нормального делителя может
быть теперь высказано следующим образом: нормальный делитель есть
подгруппа группы G, содержащая вместе со всяким своим элементом
и весь класс сопряженных с ним элементов и поэтому состоящая из не-
нескольких полных классов сопряженных элементов группы G. Заметим,
что всякое подмножество группы, состоящее из нескольких полных клас-
классов сопряженных элементов этой группы, называется инвариантным
множеством.
Сейчас будут указаны некоторые основные свойства классов сопря-
сопряженных элементов.
Число элементов, сопряженных с элементом а в группе G, равно ин-
индексу нормализатора N элемента а в этой группе.
Действительно, если Ъ = g~1ag, то при всяком п из N будет
(ng)-1 a (rag) = Ъ. Если, с другой стороны, g~xagi = Ъ, то {gg^f^a (ggl1) =
= а, т. е. ggtx ? N, а поэтому элементы g и gy лежат в одном правосто-
правостороннем смежном классе по N. Между правосторонними смежными клас-
классами группы G по подгруппе N и элементами, сопряженными с а, суще-
существует, следовательно, взаимно однозначное соответствие.
Отсюда следует, в частности, что элемент а группы G тогда и только^
тогда лежит в конечном классе сопряженных элементов, если нормализа-
нормализатор этого элемента имеет в G конечный индекс. Так как индекс подгруп-
подгруппы в конечной группе является делителем порядка группы (теорема

68 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гл. Ш
Лагранжа, см. § 8), то из доказанной выше теоремы следует также, что
число элементов в классе сопряженных элементов конечной группы являет-
является делителем порядка этой группы.
Следующее предложение есть частный случай теоремы, доказанной
в начале § 9.
Подгруппа, порожденная некоторым классом сопряженных элементов
группы G или вообще некоторым инвариантным множеством А, является
нормальным делителем в G.
Отсюда без труда следует, что нормальный делитель, порожденный
в группе G некоторым множеством М, является подгруппой, порожден-
порожденной в G множеством М, состоящим из всех элементов, сопряженных
с элементами из М.
Произведение KiK2 двух классов сопряженных элементов Ki и Кг
группы G состоит из нескольких классов сопряженных элементов, т. е.
является инвариантным множеством. Действительно, если а\ ? К\, а2 6
€ Кг, то
"I ? = (Г1
т. е. элемент, сопряженный с элементом из KiK2, сам содержится в этом
произведении.
Заметим, наконец, что если К есть класс сопряженных элементов
группы G, то К-1, т. е. совокупность элементов, обратных к элементам
из К, также будет классом сопряженных элементов и что вообще множе-
множество s-x степеней всех элементов из К будет при любом s классом сопря-
сопряженных элементов группы G. Действительно, если а2 — g~laig> т0 а\ =
= g~^-a\g, а из Ъ = g^algi следует Ъ = {gllaigi)s, то есть Ъ есть s-я сте-
степень элемента, сопряженного с элементом а\.
Во всякой группе G элемент 1 составляет отдельный класс сопряжен-
сопряженных элементов. Группа G может обладать и другими элементами, составляю-
составляющими отдельные классы сопряженных элементов; это будут, очевидно,
элементы, перестановочные со всеми элементами группы, или, как говорят,
инвариантные элементы группы. Инвариантный элемент можно определить
также как элемент, нормализатор которого совпадает со всей группой.
Множество Z всех инвариантных элементов группы G будет, как
легко видеть, подгруппой группы G. Эта подгруппа, называемая центром
группы G, будет даже нормальным делителем в G, так как каждый ее
элемент составляет отдельный полный класс сопряженных элементов
группы G. Нормальным делителем в G будет также всякая подгруппа
центра. Абелевы группы и только они совпадают со своим центром. Бывают,
с другой стороны, и такие группы, центр которых состоит лишь из 1.
Такие группы носят не вполне точное, но очень удобное название групп
без центра. К ним принадлежат, например, симметрические группы Sn
при м>3 и, конечно, все некоммутативные простые группы.
Известная теорема из курса высшей алгебры показывает, что центр
группы невырожденных матриц re-го порядка с элементами из некоторого
поля состоит из всех скалярных матриц и-го порядка, т. е. из матриц,
все элементы которых, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, а эле-
элементы главной диагонали равны между собою.
Заметим, что фактор-группа группы G по ее центру не обязана быть
группой без центра. Так, центр группы кватернионов (см. § 9) есть цикли-
циклическая группа второго порядка, а фактор-группа по ней будет даже абеле-
вой. Необходимо отметить, однако, что фактор-группа некоммутативной-
группы по ее центру не может быть циклической. Действительно, если

9' 11] КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И СОПРЯЖЕННЫХ ПОДГРУПП 69
фактор-группа G/Z циклическая, то в смежном классе по Z, являющемся
образующим элементом этой циклической группы, выбираем некоторый
элемент а0. Подгруппа, порожденная этим элементом вместе с элементами
из Z, совпадает со всей группой G. Из перестановочности между
собой всех названных элементов следует, однако, коммутативность самой
группы G.
Подобно тому, как группа распадается на классы сопряженных эле-
элементов, так множество всех подгрупп группы G распадается на непере-
непересекающиеся классы сопряженных подгрупп. Заметим, что если К есть
класс сопряженных элементов группы G, то множество нормализаторе»
всех' элементов из К будет классом сопряженных подгрупп *).
Действительно, если а и Ъ — элементы из К и если Na и Nb — их
нормализаторы в G, то из Ъ = g~xag и х ? Na, т. е. ха = ах, следует
ъ (g'^g) = g'1 {ax) g = {g-^xg) Ъ,
г. е.
g'Wag c= Nb. A)
Но из а = gbg'1 этим же'путем получаем gNbg'1 E Na, т. е.
Nb^g-Wag. B)
Из A) и B) следует
Если теперь некоторая подгруппа F сопряжена с Na,
то F будет нормализатором для элемента g^ag^. Теорема доказана.
Переходим к установлению некоторых основных свойств классов
сопряженных подгрупп.
Число различных подгрупп, сопряженных с подгруппой А группы G
(т. е. мощность множества таких подгрупп), равно индексу нормализато-
нормализатора N подгруппы А. Действительно, как и в случае сопряженности элемен-
элементов, трансформирование подгруппы А двумя различными элементами из G
тогда и только тогда приводит к одной и той же сопряженной с А подгруп-
подгруппе, если эти элементы лежат в одном правостороннем смежном классе
по N.
Отсюда следует, в частности, что нормализаторы всех подгрупп,
сопряженных с А, имеют в G один и тот же индекс. Так как, далее, если
В — g~xAg, то нормализатором подгруппы В будет подгруппа g~1Ngr
и так как отображение х ->- g~xxg, х ? N, является изоморфным отображе-
отображением N на g~^Ng, при котором А отображается на В, то индексы А в N
и В в g~1Ng равны. Вместе с предшествующим замечанием это приводит
к утверждению, что индексы подгрупп А и В в группе G также равны
между собой, т. е. сопряженные подгруппы обладают одинаковыми индекса-
индексами в самой группе. Если эти индексы конечны, то никакая из двух различ-
различных, но сопряженных между собою подгрупп не может содержать целиком
другую. Это вполне возможно, однако, в общем случае, причем если g~xAg
отлично от подгруппы А и содержится в А, то g~2Ag2 будет истинной пОд-
группой в g~xAg, g~sAg3 — истинной подгруппой в g~2Ag2 и т. д. С другой
стороны, само А будет в этом случае истинной подгруппой в gA g~ \ послед-
последнее — истинной подгруппой в g^Ag'2 и т. д.
1) Нормализаторы двух различных элементов из К могут, конечно, оказаться
совпадающими.

70 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гп. III
Рассмотрим, например, группу G всех взаимно однозначных отобра-
отображений на себя множества всех целых чисел (положительных и отрицатель-
отрицательных). В этой группе берем множество М, состоящее из транспозиций
A2), B3), ..., (п, в + 1), ..., п>0,
и обозначаем через А порожденную этими транспозициями подгруппу.
Если через g будет обозначено отображение, переводящее всякое к в к -\- 1,
т. е., при записи в циклах,
g = (..., -к, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ..., к, ...),
то
откуда следует, что подгруппа А будет сопряжена в группе G со своей
истинной подгруппой, порожденной всеми элементами множества М,
кроме A2).
Пересечение всех подгрупп, составляющих класс сопряженных под-
подгрупп в группе G, является нормальным делителем.
Действительно, трансформируя элементом g все подгруппы, состав-
составляющие заданный класс сопряженных подгрупп, мы трансформируем
одновременно их пересечение/). Трасформирование класса сопряженных
подгрупп лишь переставляет, однако, эти подгруппы между собой, т. е.
при любом g из G подгруппа g~xDg совпадает с подгруппой D, что доказы-
доказывает теорему. Заметим, что это пересечение D может, конечно, оказаться
единичной подгруппой Е.
Доказанная теорема приводит к следующему важному результату.
Если группа G обладает подгруппой конечного индекса, то в ней есть
и нормальный делитель конечного индекса.
Доказательство. Если подгруппа Н имеет в G конечный
индекс, то, как доказано выше, все подгруппы, сопряженные с Н, также
будут подгруппами конечного индекса. Из конечности индекса подгруп-
подгруппы Н следует конечность индекса ее нормализатора, а поэтому и конеч-
конечность числа сопряженных с нею подгрупп. Пересечение всех этих подгрупп
будет, как доказано выше, нормальным делителем группы G и, вместе
с тем, оно имеет, ввиду теоремы Пуанкаре (см. § 8), конечный индекс в G,
Мы закончим настоящий параграф введением понятия, очень близкого
к понятию нормализатора. Если М есть некоторое подмножество группы G,
то множество всех элементов, перестановочных с каждым эле-
элементом из М, будет подгруппой группы G, называемой централиза-
централизатором множества М в группе G. Централизатор отдельного элемента
совпадает с его нормализатором, вообще же централизатор множества М
содержится в нормализаторе этого множества. Централизатор подгруппы
не обязан содержать, конечно, эту подгруппу. Централизатором множе-
множества всех элементов группы будет центр группы.
Централизатор множества М совпадает, очевидно, с пересечением
нормализаторов всех элементов из М. Отсюда без труда следует, что
централизатор нормального делителя и вообще всякого инвариантного
множества группы является нормальным делителем этой группы. Дей-
Действительно, нормализаторы всех элементов нормального делителя состав-
составляют несколько полных классов сопряженных подгрупп *), а поэтому
х) См. доказанную в этом параграфе теорему о связи между классами сопряжен-
сопряженных элементов и сопряженных подгрупп.

$ На] ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК 71
пересечение этих нормализаторов должно быть само нормальным делите-
делителем. Применяя эту теорему к произвольной подгруппе и ее нормализатору,
мы получаем, что централизатор всякой подгруппы будет нормальным
делителем в нормализаторе этой подгруппы.
§ 11а. Группы подстановок
В § 5 уже было доказано, что всякая группа мощности m изоморфна
подгруппе группы Sm всех взаимно однозначных отображений некоторого
множества мощности m на себя. Отсюда следует, что мы могли бы огра-
ограничиться при построении теории групп изучением подгрупп конечных
симметрических групп и групп Sm при бесконечных т. Это, однако,
в большинстве случаев не только не облегчило бы исследований, но даже
излишне усложнило бы их. Тем не менее подгруппы симметрических
групп находят иногда такие приложения, при которых существенную
роль играют свойства этих подгрупп, характеризующие их положение
в симметрических группах и связанные с тем, что элементы этих подгрупп
являются подстановками. Некоторые из этих свойств будут в самых
общих чертах указаны в настоящем параграфе.
Пусть дано некоторое множество М. Назовем всякое взаимно одно-
однозначное отображение множества М на себя по аналогии с подстановками
конечных множеств подстановкой в множестве М, а всякую подгруппу
группы всех взаимно однозначных отображений М на себя группой подста-
подстановок над множеством М. Если множество М конечно и состоит из п эле-
элементов, то группы подстановок над М, иными словами, подгруппы сим-
симметрической группы м-й степени, будут называться группами подстановок
¦степени п.
Если Р есть группа подстановок над множеством М, то множество М
•следующим образом распадается на непересекающиеся классы — системы
транзитивности группы Р: элементы а и Ъ из М тогда и только тогда
будут отнесены в один класс, если в группе Р содержится хотя бы одна
подстановка, переводящая а в Ъ; рефлексивность, симметричность и тран-
транзитивность этой связи между а и Ъ непосредственно следуют из того, что
Р является группой. Каждый элемент множества М, остающийся на месте
при всех подстановках из группы Р, составляет, очевидно, отдельную
систему транзитивности для Р.
Группа подстановок Р над множеством М называется транзитивной
над М, если Р обладает одной-единственной системой транзитивности,
совпадающей, очевидно, с М, т. е. если всякий элемент множества М
может быть переведен некоторой подстановкой из группы Р в любой
другой элемент этого множества. Группа, обладающая более чем одной
системой транзитивности, называется интранзитивной.
Пусть группа Р транзитивна над М, и пусть Ра есть множество всех
подстановок из Р, оставляющих на месте элемент а из М. Ра будет истин-
истинной подгруппой группы Р. Если подстановка о из Р переводит элемент о
в элемент Ь, то этим же свойством обладают все подстановки из право-
правостороннего смежного класса Рао. Если, с другой стороны, подстановка
т из Р также переводит а в Ъ, то произведение ах~х оставляет элемент а
на месте, т. е. принадлежит к подгруппе Ра, а поэтому т содержится
в смежном классе Раа. Так как благодаря транзитивности группы Р эле-
элемент а может быть переведен в любой другой элемент из М, то мы получаем
взаимно однозначное соответствие между всеми элементами множества
М и правосторонними смежными классами группы Р по подгруппе Ра.

72 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гл. Ш
Если множество М конечно, т. е. если группа Р имеет конечную степень,
то индекс подгруппы Ра в Р будет конечным и равным степени группы Р.
Отсюда на основании теоремы Лагранжа мы получаем теорему:
Порядок транзитивной группы подстановок конечной степени делится
на эту степень.
Возвращаясь к общему случаю, заметим, что если подстановка в из Р
переводит элемент а в элемент Ъ, то имеет место равенство
т. е., ввиду транзитивности группы Р, подгруппы Ра для всех а из М буду?
между собою сопряженными. Они будут составлять даже полный класс
сопряженных подгрупп в группе Р.
Группа подстановок Р над множеством М называется к раз транзи-
транзитивной (к — некоторое натуральное число), если всякую упорядоченную
систему из к элементов множества М можно некоторой подстановкой
из Р перевести в любую другую упорядоченную систему из к элементов
этого множества. Так, симметрическая группа степени п является п раз
транзитивной. Знакопеременная группа степени п будет п — 2 раза
транзитивной. Действительно, существует ровно две подстановки степени га,
переводящие заданные п — 2 символа at, a2, . . ., а„_2 соответственно
в символы щ ,щ , . . ., а-гп_2; эти подстановки получаются одна из другой
выполнением одной транспозиции, и поэтому одна из них является четной.
Понятно, что к раз транзитивная группа является и I раз транзитивной
для всех I < к.
Транзитивная группа подстановок Р над множеством М называется
импримитивной, если множество М можно так разложить на непересекаю-
непересекающиеся истинные подмножества Ма, хотя бы одно из которых содержит
не менее двух элементов (эти подмножества Ма называются системами
импримитивности группы Р), чтобы выполнялось следующее требование:
если элемент а из любой системы импримитивности Mi переводится под-
подстановкой в из Р в элемент Ъ, содержащийся в системе импримитивности Мг,
то всякий элемент из Mt переводится подстановкой а в некоторый элемент
из М2. Если такое разложение множества М невозможно, то группа Р
называется примитивной.
Если Mi и М2 — две произвольные системы из заданного разложения
множества М в системы импримитивности группы Р и если а± и а2 элементы
из этих систем, то ввиду транзитивности группы в Р существует подста-
подстановка а, переводящая at в я2 и поэтому отображающая Mt на некоторое
подмножество из М2. На самом деле М 4 будет отображаться на все М2,
так как иначе при подстановке а'1 система М2 отображалась бы на мно-
множество, содержащее Mi в качестве истинной части, а это привело бы нас
в противоречие с определением систем импримитивности. Отсюда следует,
в частности', что все системы импримитивности Ма имеют одинаковую
мощность, т. е. в конечном случае состоят из одинакового числа элементов.
Мы видим, что всякая подстановка из группы Р лишь переставляет
системы импримитивности Ма, т. е. порождает некоторую подстановку
в множестве этих систем. Все эти перестановки над множеством систем Ма
составляют, очевидно, группу, изоморфную фактор-группе группы Р по
нормальному делителю, состоящему из всех тех подстановок из Р, которые
оставляют каждый элемент множества М внутри той системы Ма, в кото-
которой он содержится. Этот нормальный делитель может, конечно, оказаться
состоящим из одного единичного элемента.

8 11а] ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК 73-
Все разложения множества М в системы импримитивности транзитив-
транзитивной группы Р можно получить следующим образом: пусть Ра, как выше,
будет подгруппа группы Р, составленная из подстановок, оставляющих
на месте элемент а из М. Если Q есть некоторая истинная подгруппа груп-
группы Р, содержащая Ра в качестве истинной подгруппы,
PadQdP,
то разлагаем группу Р на правосторонние смежные классы по подгруппе Q
и собираем вместе элементы множества М, в которые элемент а перево-
переводится подстановками, входящими в один правосторонний смежный класс
группы Р по Q. Это дает разложение множества М на непересекающиеся
истинные (ввиду Q Ф Р) подмножества, каждое из которых содержит
(ввиду Ра Ф Q) не менее двух элементов. Легко проверить, что это есть
разложение множества М в системы импримитивности группы Р: два
правосторонних смежных класса группы Р по Ра, лежащие в одном право-
правостороннем классе Р по Q, остаются при умножении справа на некоторый
элемент из Р снова в одном правостороннем классе по Q.
Таким образом, всякая подгруппа, промежуточная между Р и Ра,
порождает некоторое разложение множества М на системы импримитив-
импримитивности группы Р. Этим путем могут быть получены все такие разложения:
если дано некоторое разложение множества М в системы импримитивно-
импримитивности группы Р и если элемент а лежит в системе Му, то множество Q всех
подстановок из Р, оставляющих элемент а внутри системы Ми будет
подгруппой группы Р, промежуточной между Р и Ра и отличной от этих
групп. Разложение множества М, соответствующее подгруппе Q, при-
приводит к заданным системам импримитивности.
Группа Р будет, следовательно, примитивной тогда и только тогда,,
если подгруппа Ра является ее максимальной истинной подгруппой. В этом
случае множество М допускает лишь тривиальные разложения на непе-
непересекающиеся подмножества, переставляющиеся при подстановках из Р:
разложение на отдельные элементы и разложение, имеющее само М в ка-
качестве единственного класса.
Заметим, что к раз транзитивная группа не может быть при к > 1
импримитивной. Действительно, допустив противное, мы найдем, что
если элементы а и Ъ лежат в одной системе импримитивности, а элемент
с содержится в некоторой другой системе, то группа не может содержать
подстановки, переводящей пару элементов a, b в пару а, с.
Истинное подмножество Мо из М тогда и только тогда будет систе-
системой импримитивности для транзитивной группы Р, если Мо содержит
не менее двух элементов и если всякая подстановка а из Р, оставляющая
один символ из Мо в этом подмножестве, отображает все подмножество Мо
на себя или в себя.
Необходимость этого условия очевидна. Для доказательства доста-
достаточности разбиваем элементы из М на классы, относя в один класс симво-
символы а и Ъ тогда и только тогда, если существует в Р подстановка а, пере-
переводящая оба эти символа в Mq. Рефлексивность этого разбиения множе-
множества М на классы следует из транзитивности группы Р, симметричность-
очевидна. Транзитивность этого разбиения доказывается так: если сим-
символы а и Ъ переводятся в Мо подстановкой а, символы Ъ и с — подстанов-
подстановкой т, то символ Ьа, принадлежащий к Мо, остается при подстановке а-1т
в этом подмножестве. По определению Мо символ аа также остается при
подстановке а-4 в Мо, т. е. (аа) о~хх — ах в Мо. Существует, следова-
следовательно, подстановка из Р, одновременно переводящая символы а и с в М0-

74 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гп. II]
Получено разбиение множества М на непересекающиеся классы, одним
из которых будет Мо: если подстановка а переводит а и Ъ в Мо и а ? Мо,
то, так как
а = (аа) а'1 ? Мо,
по определению Мо будет
(Ьа)о-1еМ0,]
т. е. символ Ъ содержится в Mq. Мы получаем искомое разложение мно-
множества М в системы импримитивности группы Р.
Всякий отличный от Е нормальный делитель примитивной группы
подстановок транзитивен.
Действительно, пусть Н есть интранзитивный нормальный делитель
группы подстановок Р над М, и пусть Мо есть система транзитивности
для Н, содержащая не менее двух символов; Мо, по предположению,
отлично от М. Если подстановка а из Р оставляет символ а из Мо в множе-
множестве Мо, то для всякого т из Н подстановка aJw, принадлежащая к Н,
переводит символ аа в символ аха, который, следовательно, также при-
принадлежит к Мо. Для всякого символа Ъ из Мо существует такое То в Н, что
Ъ = ах0, поэтому Ьа содержится в Мо. Применяя доказанную выше теоре-
теорему, получаем, что Мо есть система импримитивности для группы Р.
§ 116. Основные понятия теории колец
Объектами изучения в основных алгебраических теориях являются,
наряду с группами, также кольца. Теория колец, весьма богатая содер-
содержанием и уже выросшая в большую самостоятельную науку, не имеет
прямого отношения к настоящей книге. Нам придется, однако, в некото-
некоторых местах книги пользоваться понятием кольца и понятиями, с ним
связанными. Изложению этих понятий и их простейших свойств и посвя-
посвящен настоящий параграф.
Пусть в абелевой группе R, записанной аддитивно, определена вторая
алгебраическая операция — умножение. R будет называться кольцом,
если это умножение дистрибутивно относительно сложения,
a (b -f- с) = ab -\- ас,
(Ь -\- с) а = Ьа -\- са,
и ассоциативным кольцом, если дополнительно умножение ассоциативно.
Если умножение в кольце R и коммутативно, то R называется ассоциатив-
ассоциативно-коммутативным или просто коммутативным кольцом. В дальнейшем
коммутативность умножения в кольце не будет, вообще говоря, пред-
предполагаться, хотя все кольца, с которыми нам придется встречаться, будут
ассоциативными.
Абелева группа, с которой мы начинали определение кольца, назы-
называется аддитивной группой кольца, ее нулевой элемент 0 — нулем кольца.
Простейшим примером коммутативного кольца является кольцо целых
чисел относительно операций сложения и умножения чисел. Это кольцо
будет обозначаться в дальнейшем символом С. Примером некоммутатив-
некоммутативного, но ассоциативного кольца может служить кольцо матриц: если
мы возьмем множество всех квадратных матриц данного порядка п с цело-
целочисленными элементами (или, например, с элементами, являющимися
действительными числами) и сохраним обычное определение умножения
матриц, а суммой двух матриц назовем матрицу, элементы которой полу-

S 116] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ КОЛЕЦ 75
чаются сложением соответственных элементов заданных матриц, то полу-
получится, как легко проверить, кольцо.
Кольца i?i и R2 называются изоморфными, если существует такое
изоморфное отображение аддитивной группы первого кольца на аддитив-
аддитивную группу второго, при котором произведение двух элементов из Ri пере-
переходит в произведение соответственных элементов из R2. В общей теории
колец изоморфные кольца не считаются различными.
Из определения кольца следуют равенства
где а есть любой элемент из данного кольца. В самом деле,
а-0 = а @+0) = а-0+а-0, откуда ввиду однозначности вычитания
в аддитивной группе кольца а-О = 0.
Если, однако, произведение двух элементов кольца равно нулю.
аЪ = 0, то нельзя, вообще говоря, утверждать, что один из множителей
равен нулю. Так, в кольце матриц элементы
/1 04
looj'
0 0
•отличны от нуля, но их произведение равно нулю. Отличные от нуля
элементы кольца, произведение которых равно нулю, называются делите-
делителями нуля, а само кольцо — при наличии среди его элементов делителей
нуля — кольцом с делителями нуля. Примеры коммутативных колеп
с делителями нуля будут даны ниже.
Элемент е кольца R называется единицей этого кольца, если он при
любом а из Л удовлетворяет условиям
ае = еа = а.
Пример кольца четных чисел показывает, что не всякое кольцо обладает
единицей.
Коммутативное кольцо с единицей называется полем, если в нем для
всякого отличного от нуля элемента а существует обратный элемент а~1,
удовлетворяющий условию
аа~1 = е.
Поле не имеет делителей нуля, так как изаЬ = 0ий=4=0 следует после
умножения на Ь-1, что а = 0. Мы получаем, что все отличные от нуля
элементы поля составляют по умножению абелеву группу — мультипли-
мультипликативную группу поля. Примерами полей являются поле рациональных,
поле действительных и поле комплексных чисел.
Подмножество R' кольца R называется подколъцом в R, если оно
само является кольцом относительно операций, заданных в кольце R,
Аддитивная группа подкольца R' будет, очевидно, подгруппой аддитив-
аддитивной группы кольца R.
Подкольцо А кольца R называется левосторонним идеалом в R, если
оно выдерживает умножение слева на элементы из R, т. е. если при любых
а из А и г из R произведение га лежит в А. Аналогично определяются
правосторонние и двусторонние идеалы. В случае коммутативных колеп
можно говорить, очевидно, просто об идеалах. Двусторонними идеалами
всякого кольца являются как само это кольцо, так и нулевой идеал, состоя-
состоящий лишь из одного нуля.

76 НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ [Гл. Ш
Пересечение любого множества левосторонних (или правосторонних,
или двусторонних) идеалов кольца R само является левосторонним (соот-
(соответственно правосторонним или двусторонним) идеалом этого кольца.
Пересечение двух идеалов А и В обозначается через А [\ В.
Пусть в кольце R даны левосторонние идеалы А и В. Рассмотрим
сумму аддитивных групп этих двух идеалов. Эта сумма состоит из эле-
элементов вида а + Ъ, а g А, Ъ ? В. Если г — любой элемент из R, то
г (а -\-Ь) — га-\-гЪ,
а так как га ? A, rb ? S, то г (а + Ъ) входит в рассматриваемую сумму.
Это показывает, что сумма идеалов A vs. В сама будет левосторонним
идеалом в R. Эта сумма идеалов будет обозначаться через (А, В). Анало-
Аналогичным образом определяется сумма правосторонних (или двусторонних)
идеалов.
Если дан двусторонний идеал D кольца R, то в фактор-
факторгруппе R ID аддитивной группы кольца R по подгруппе D можно следую-
следующим образом определить умножение: произведением смежных классов
а + D и Ъ -j- D считаем смежный класс аЪ + D. Это произведение не зави-
зависит от выбора элементов а и Ъ в их смежных классах: если
го
а'Ъ' = ab + (ad2 -\- dtb -j- dtd2),
аричем выражение в скобках принадлежит к идеалу D. Легко проверить,
что фактор-группа RID при таком определении умножения оказывается
кольцом. Это кольцо называется фактор-кольцом кольца R по идеалу D.
Так, в кольце целых чисел С множество чисел, делящихся на п, будет
идеалом. Действительно, разность чисел, делящихся на п, а также произ-
произведение числа, делящегося на п, на любое целое число снова делятся на п.
Фактор-кольцо кольца С по этому идеалу будет обозначаться через Сп.
Это кольцо является конечным; его аддитивная группа циклическая
порядка п. Если п — число составное, то кольцо Сп обладает делителями
нуля. Действительно, если п = pq, то классы, порожденные числами р
и q, отличны от нулевого, но их произведение равно нулевому классу,
г. е. идеалу, порожденному числом п. Если же число п простое, то, как
легко проверить, кольцо Сп не только не имеет делителей нуля, но даже
будет полем.
Некоторые сведения из Теории колец, относящиеся к кольцам глав-
главных идеалов, будут дополнительно даны в § 22а. При этом, например,
левосторонний идеал А кольца R называется главным, если в А можно
найти такой элемент а, что А совпадает с пересечением всех левосторонних
идеалов кольца R, содержащих элемент а.

Глава четвертая
ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ.
ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ
§ 12. Эндоморфизмы и автоморфизмы
Всякое гомоморфное отображение группы G в себя, т. е. на некоторую
«вою подгруппу, называется Эндоморфизмом этой группы. К числу эндо-
эндоморфизмов группы принадлежат ее автоморфизмы, т. е. изоморфные
отображения на себя. Тривиальным примером автоморфизма будет тожде-
тождественное отображение группы на себя, так называемый тождественный
автоморфизм, при котором каждый элемент группы остается на месте.
Отображение аддитивной группы целых чисел на себя, переводящее чис-
число п в число —п, дает пример нетождественного автоморфизма.
Всякая группа обладает нулевым эндоморфизмом, отображающим
всякий элемент группы в ее единицу. Среди других эндоморфизмов группы
могут быть и такие, которые отображают группу на себя, хотя не являются
автоморфизмами. Это будет иметь место для групп, изоморфных с одной
из своих истинных фактор-групп,— существование таких групп показано
в § 10,— и, следовательно, бесконечных. Эндоморфизмом группы будет
также всякий изоморфизм между группой и ее подгруппой; примеры
таких эндоморфизмов, не являющихся автоморфизмами, можно найти
в аддитивной группе целых чисел.
Всякая подгруппа Н группы G испытывает при эндоморфизме этой
группы гомоморфное, а при автоморфизме — даже изоморфное отображе-
отображение. Отсюда вытекает, что образом этой подгруппы при эндоморфизме
(в частности, при автоморфизме) % будет также подгруппа этой группы,
которую мы условимся обозначать через Н%. Образом самой группы G при
эндоморфизме % будет, следовательно, подгруппа G%.
Если группа G задана системой образующих М = (аа), то всякий
эндоморфизм % этой группы вполне определяется указанием образов
¦аа% всех образующих элементов. Если, в частности, % — автоморфизм
группы G, то множество образов всех элементов из М при автоморфизме %
также будет системой образующих для G.
Если в группе G выбран некоторый элемент а, то отображение, пере-
переводящее всякий элемент х этой группы в элемент а~хха, т. е. трансформиро-
трансформирование всей группы элементом а, будет автоморфизмом группы G. Дей-
Действительно, из а~хха = a~xya следует х = у, т. е. отображение взаимно
однозначно. Равенство
х = а (ахаг1) а
показывает, что при этом отображении всякий элемент группы будет обра-
образом некоторого элемента. Наконец, из
а~гха ¦ а~хуа = а (ху) а

78 ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ [Гл. IV
следует изоморфизм рассматриваемого отображения. Такой автоморфизм
группы G называется ее внутренним автоморфизмом. Все автоморфизмы
группы, не являющиеся внутренними, носят название внешних. Тожде-
Тождественный автоморфизм принадлежит к внутренним,— можно считать, что
он получается трансформированием группы единичным элементом. Для
случая абелевой группы это будет единственный внутренний автоморфизм.
В общем случае внутренний автоморфизм, порожденный элементом а,
тогда и только тогда совпадает с тождественным, если элемент а принад-
принадлежит к центру группы, так как равенства а~хха = х для всех х из G рав-
равносильны с перестановочностью элемента а со всеми элементами группы.
При внутреннем автоморфизме группы всякий класс сопряженных
элементов отображается на себя. Существуют, однако, группы, даже
конечные, обладающие внешними автоморфизмами с этим же свойством.
Циклические группы 1-го и 2-го порядков обладают лишь одним
автоморфизмом, а именно тождественным. Эти группы являются, однако,
единственными, не имеющими иных автоморфизмов, кроме тождествен-
тождественного. В самом деле, всякая некоммутативная группа непременно обладает
нетождественными внутренними автоморфизмами. Если, далее, группа G
абелева, причем не все ее элементы, отличные от единицы, имеют порядок 2,
то нетождественным автоморфизмом будет отображение, переводящее
всякий элемент а этой группы в обратный ему элемент а-1, так как благо-
благодаря коммутативности операции справедливо равенство
Наконец, существование нетождественных автоморфизмов у нецикличе-
нециклических абелевых групп с элементами лишь 2-го порядка вытекает из полного
описания строения этих групп, которое будет дано в § 24.
Группы автоморфизмов. Эндоморфизмы группы G являются некоторы-
некоторыми отображениями этой группы в себя. Можно говорить, следовательно,
об умножении эндоморфизмов в смысле их последовательного выполнения:
если даны эндоморфизмы х и г) группы G, то их произведением %ц будет
такое отображение, что для всякого элемента а из G
Произведение эндоморфизмов само является эндоморфизмом. Действи-
Действительно,
(ab) (хл) = [(ab) %]ц = (а%-Ь%) г\ = (ах) Ц-ф%) i\ = а (%i\)-b (%г\).
Произведение автоморфизмов будет при этом, очевидно, само автомор-
автоморфизмом.
Ассоциативность умножения эндоморфизмов вытекает из резуль-
результатов § 1. Роль единицы играет введенный выше тождественный авто-
автоморфизм. Не следует думать, однако, что эндоморфизмы группы G сами
составляют группу относительно таким образом определенного умноже-
умножения,— неоднозначность прообраза при гомоморфном отображении не позво-
позволяет определить для каждого эндоморфизма ему обратный. Обратные
отображения существуют, понятно, лишь для автоморфизмов, причем
они также будут автоморфизмами.
Мы видим, что множество Ф всех автоморфизмов группы G само
является группой. Эта группа автоморфизмов группы G будет подгруппой
в группе S (G) всех взаимно однозначных отображений группы G на себя.
Внутренние автоморфизмы группы G составляют подгруппу в группе
всех автоморфизмов, так как последовательное трансформирование группы

I 12] ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ 79
G элементами а и Ъ равносильно трансформированию элементом аЪ. Мы
получим, вместе с тем, гомоморфное отображение группы G на группу Ф'
ее внутренних автоморфизмов, если всякому элементу группы G поставим
в соответствие порожденный этим элементом внутренний автоморфизм.
Как уже было отмечено выше, в единицу группы Ф' отобразятся при
этом элементы центра Z группы G и только они, т. е. группа внутренних
автоморфизмов группы G изоморфна фактор-группе группы G по ее центру,
Ф' ~ GIZ.
Отсюда следует, в частности, что элементы аи Ъ группы G тогда и толь-
только тогда порождают один и тот же внутренний автоморфизм, если они
содержатся в одном смежном классе по центру группы.
Группа внутренних автоморфизмов является нормальным делителем
в группе всех автоморфизмов. Пусть, действительно, даны автоморфизм <р
группы G и внутренний автоморфизм а, порожденный элементом а. Тогда
для всякого элемента х из G будет
х (ф^аср) = [а (яф) а] ф = (а) ф • (яф) ср • ац> = (аф) х (ац>),
т. е. автоморфизм ф-хаф сам является внутренним и порождается эле-
элементом аф. -
Разыскание группы всех автоморфизмов заданной группы G пред-
представляет обычно большие трудности. В большинстве случаев свойства
самой группы G не переносятся на ее группу автоморфизмов. Так, группа
автоморфизмов абелевой группы может оказаться некоммутативной,—
например, группой автоморфизмов нециклической группы 4-го порядка,
с которой мы встретились в § 9, будет симметрическая группа 3-й степени.
Существуют, с другой стороны, некоммутативные группы с абелевыми
группами автоморфизмов. Группа автоморфизмов некоммутативной груп-
группы G не может быть, однако, циклической, так как уже группа внутренних
автоморфизмов, будучи изоморфной фактор-группе группы G по центру,
не будет циклической (см. § 11), тогда как подгруппы циклически^ групп
всегда циклические (см. § 6).
Можно утверждать, понятно, что группа автоморфизмов конечной
группы порядка п сама будет конечной. Она будет подгруппой симметри-
симметрической группы га-й степени и поэтому ее порядок будет делителем числа м!,
даже делителем числа (п — 1)!, так как при всех автоморфизмах единичный
элемент группы остается на месте. Более точные границы для порядка
группы автоморфизмов конечной группы можно найти в работах Биркгофа
и Холла [1] и Ляпина [1].
Группа автоморфизмов бесконечной группы также может оказаться
конечной,— в бесконечной циклической группе можно лишь двумя спо-
способами выбрать образующий элемент, а так как свойство элемента цикли-
циклической группы быть образующим сохраняется при автоморфизмах, то груп-
группа автоморфизмов бесконечной циклической группы будет конечной
2-го порядка. Группа автоморфизмов мультипликативной группы поло-
положительных рациональных чисел имеет уже мощность континуума— любое
взаимно однозначное отображение множества всех простых чисел на себя
приводит к некоторому автоморфизму этой группы.
Группы автоморфизмов неизоморфных групп могут быть изоморфны-
изоморфными. Так, выше уже указано, что группа автоморфизмов бесконечной
циклической группы является циклической 2-го порядка. Но такова же,
как легко видеть, и группа автоморфизмов циклической группы 3-го

$0 ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ [Гл. П'
•порядка. Существуют, с другой стороны, группы, не являющиеся группами
автоморфизмов ни для каких групп. Таковы, например, все конечные
циклические группы нечетных порядков. Они не могут быть, как уже сказано
выше, группами автоморфизмов для некоммутативных групп, у абелевых
же групп, отличных от циклической группы 2-го порядка, их группы
автоморфизмов непременно обладают элементами 2-го порядка и поэтому,
если они конечны, имеют четный порядок.
К числу свойств группы, сохраняющихся и для ее группы автомор-
автоморфизмов, принадлежит отсутствие центра:
Если группа G есть группа без центра, то ее группа автоморфиз-
автоморфизмов Ф также не имеет центра.
Действительно, пусть ф есть автоморфизм группы G, отличный от
тождественного, и пусть а есть такой элемент из G, что аф = а' =^ а.
Если бы автоморфизм ф принадлежал к центру группы Ф, то он был бы
¦перестановочным с внутренним автоморфизмом, производимым в группе G
элементом а, т. е. для любого элемента g из G было бы a (g<p)a =
= (a-^-ga) ф = а'~г (§чр) а'. Так как элемент gq> вместе с g пробегает всю
группу G, то мы получаем, что элементы а ж а' производят в группе G
один и тот же внутренний автоморфизм, что противоречит отсутствию цент-
центра в группе G. [См. Д.3.1 и § Д.22.]
§ 13. Голоморф. Совершенные группы
Трансформирование группы G ее элементом а превращает всякую
подгруппу Н этой группы в сопряженную с нею подгруппу а-гНа (см. § 9)
и, следовательно, отображает всякий нормальный делитель на себя. Эту
инвариантность нормального делителя относительно всех внутренних
автоморфизмов группы можно было бы принять в качестве еще одного
•определения нормального делителя. Отображение на себя, которое испы-
испытывает нормальный делитель Н группы G при трансформировании эле-
элементом а этой группы, будет автоморфизмом, но уже, вообще говоря,
внешщш. Иными словами, если одна группа является нормальным дели-
делителем другой, то внутренние автоморфизмы большей группы порождают
некоторые автоморфизмы в меньшей группе. Возникает вопрос, можно
ли включить любую данную группу G в качестве нормального делителя
в некоторую другую группу так, чтобы все автоморфизмы группы G
были следствиями внутренних автоморфизмов этой большей груп-
группы? Утвердительный ответ на этот вопрос достигается следующим путем.
В § 5 было доказано, что мы получаем изоморфное отображение
vrpynnH G в группу S (G) всех взаимно однозначных отображений группы G
на себя, если каждому элементу а этой группы поставим в соответствие
отображение, переводящее всякий элемент х группы G в элемент ха.
Подгруппа G группы S (G), на которую группа G этим путем изоморфно
отобразится, может считаться тождественной с самой группой G. Необхо-
Необходимо, однако, различать элементы группы G как переставляемые символы
и как элементы из S (G); мы условимся поэтому обозначать элемент из G,
•соответствующий элементу а группы G, через а.
Нормализатор Г подгруппы G в группе S (G) называется голоморфом
группы G. Из определения нормализатора следует, что группа Г содер-
содержит G в качестве нормального делителя. Мы хотим теперь показать, что
все автоморфизмы группы G являются следствиями внутренних авто-
автоморфизмов группы Г.

§ 13] ГОЛОМОРФ. СОВЕРШЕННЫЕ ГРУППЫ 81
Мы знаем, что группа Ф автоморфизмов группы G является подгруп-
подгруппой группы S (G). Мы докажем сейчас, что группа Ф содержится даже
в Г, т. е. что всякий автоморфизм ф, рассматриваемый как элемент груп-
группы S (G), перестановочен с подгруппой G. Пусть а есть произвольный
элемент из G; посмотрим, какое отображение группы G дает произведение
ф-1аф. При автоморфизме ф-1 элемент х из G переходит в хц)-1, отображе-
отображение а превращает этот элемент в произведение ху^-а, а автоморфизм ф дает
(ху'1 ¦ а) ф = (хц)'1) ф • ац> = х ¦ аф.
Мы видим, что произведение ф-хаф совпадает с элементом ац> подгруппы G;
это доказывает, что автоморфизм ф принадлежит к голоморфу Г.
Одновременно мы получаем, заставляя а пробегать все элементы
подгруппы G, что трансформирование G элементом ф дает в G отображение,
совпадающее с автоморфизмом ф группы G, т. е. ¦ что все автоморфизмы
группы G являются следствиями внутренних автоморфизмов голоморфа Г *).
Найдем теперь централизатор Z группы G в группе S (G).
Пусть отображение Z, принадлежит к Z, т. е. для любого а из G
a? = ga. A)
Образ единицы группы G при отображении ? будет некоторым элементом
из G, который нам будет удобно обозначить через s-1,
Так как
l(l?) = (l-a)? = a?, 1 {&)= {г1) а = гЧ,
то ввиду A)
al = s~4 B)
для всех а из G.
Обратно, при любом «из G отображение ? группы G на себя, опреде-
определяемое равенством B), будет принадлежать к Z. Действительно, его
взаимная однозначность очевидна. Если же Ъ — произвольный элемент
группы G, то
т. е. bt, = t,b.
Таким образом, все элементы из Z исчерпываются отображениями
вида B) при всевозможных s из G. Различным элементам s соответствуют
при этом различные отображения ?, т. е. это соответствие между груп-
группами G и Z взаимно однозначное. Оно является даже изоморфным: если
? и т] — элементы из Z, s и t — соответствующие элементы из G, т. е. для
всех а из G
то
a (?tj) = (at,) tj = (s^a) tj = rV^ = (sty1 a.
x) Это дает нам решение поставленного выше вопроса. Читатель, предпочитаю-
предпочитающий иметь дело не с группой G, а с исходным экземпляром группы G, может в мно-
множестве Г элементы из G заменить соответствующими им элементами из G и перенести
на вновь полученное множество групповую операцию из Г.
6 А. Г. Курош

82 ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ [Гл. IV
Подгруппа Z содержится в голоморфе Г группы G, притом, как показа-
показано в конце § 11, даже в качестве нормального делителя. С другой стороны,
G также является нормальным делителем в Г. Поэтому
{Z,G}=ZG.
В подгруппе ZG группы Г содержится вся группа внутренних авто-
автоморфизмов Ф' группы G. Действительно, тривиальное равенство
s^as = (s^a) s C)
показывает, что трансформирование группы G элементом s равно, как
элемент из S (G), произведению элемента из Z, соответствующего эле-
элементу s, на элемент s из G. Из равенства C) следует также, что подгруппа Z
содержится в произведении подгрупп Ф' и G, а поэтому
ZG = Q>'G. D)
Голоморф Г ^совпадает с произведением подгрупп Ф и G группы S (G),
Пусть, действительно, т есть произвольный элемент из Г. Благодаря
его перестановочности с G трансформирование G элементом т порождает
в G некоторый автоморфизм, который, как доказано выше, можно было
бы получить трансформированием некоторым элементом ф из Ф. Эле-
Элемент тф-1 будет, следовательно, перестановочным с каждым элементом
из G, т. е. будет принадлежать к подгруппе Z и, следовательно, ввиду D),
к ф'С Элемент т лежит поэтому в произведении (Ф'б^Ф = Ф?.
[См. Д.З.2.]
Совершенные группы. Группа G называется совершенной, если она
без центра и всякий ее автоморфизм является внутренним. Совершенная
группа изоморфна, следовательно, с группой всех своих автоморфизмов.
Следующая теорема (Гельдер [2]) указывает важные примеры
совершенных групп.
Конечная симметрическая группа Sn является совершенной, если
м>3 и п Ф 6.
Доказательство. Ясно, что группа Sn будет при и> 3 груп-
группой без центра. Рассмотрим автоморфизмы этой группы. Сначала заметим,
что элементами 2-го порядка в Sn будут те и только те подстановки, кото-
которые разлагаются в произведение независимых циклов длины 2, т. е. неза-
независимых транспозиций. Пусть
а = (ata2) («3^4) - • • (^k-i^k), 2 < 2к < п,
будет один из таких элементов; все а,, ? = 1, 2, . . ., 2к, различны. Дока-
Докажем, что класс элементов, сопряженных с элементом а в группе Sn, состоит
из всех подстановок, разложимых в произведение к независимых транс-
транспозиций.
В самом деле, если Ъ — (pip2) (P3P4) • • • (p2ft-ip2&) любая из таких
подстановок (все {J,, i = 1, 2, . . ., 2к, снова различны), то Ъ получается
из .а трансформированием любой подстановкой вида
i а2 ... a2k . . Л
В В )• E)
|-*2 * * * r2k • • • /

§ 13] ГОЛОМОРФ. СОВЕРШЕННЫЕ ГРУППЫ 83
Обратно, в виде E) может быть записана любая подстановка из Sn, а по-
поэтому трансформирование этой подстановкой элемента а приводит к эле-
элементу вида Ъ.
Обозначим через Ch класс сопряженных между собою элементов
2-го порядка, являющихся произведениями к независимых транспо-
транспозиций. В частности класс С{ состоит из всех транспозиций (а^г).
Любой автоморфизм группы сохраняет порядки элементов и ото-
отображает класс сопряженных элементов снова на полный класс сопря-
сопряженных элементов. Если, следовательно, ф — произвольный автомор-
автоморфизм группы Sn, то он должен отображать класс Су на один из классов
Ск, &>1. Покажем, что если и =? 6, то класс Ct может отображаться
при автоморфизме ф лишь на себя самого.
Это ясно при п = 3, так как тогда в классе Су собраны все элемен-
элементы второго порядка группы S3. Пусть ге>4. Класс Cj состоит из
± F)
различных элементов. Если же &>2, то класс Ch, состоящий из всех
элементов вида (сцосг) (сс3а4) . - . (g^a-i^a), содержит ровно
п(п — 1)... (n — 2k + 2){n — 2k + i) .
k\2h [ '
элементов: число 2h появляется в знаменателе потому, что в каждой
из транспозиций можно переставлять символы, а число к\ потому, что
можно произвольно переставлять сами транспозиции. Если класс Су
отображается при автоморфизме ф на класс Ch, &>2, то эти классы долж-
должны состоять из равного числа элементов. Приравнивая друг другу числа
F) и G), мы придем к равенству
(и —2)(п—3)... (Л—2к-\-2){п-2к + \) = к\2к~1. (8)
Так как п~>2к, то при к = 2 это равенство не может быть справедливым
ни для одного п. При к = 3 оно выполняется, если п = 6. Если же &>4,
то левая часть равенства (8) будет на самом деле всегда больше его правой
части — достаточно проверить это при п — 2к, дающем для левой части
наименьшее значение.
Дальше мы считаем, что п =?= 6. Если а — один из переставляемых
символов, то существует такой символ а', что все транспозиции, содер-
содержащие а, отображаются при автоморфизме ф на совокупность всех транс-
транспозиций, содержащихся'.
В самом деле, выше доказано, что образом транспозиции при ф будет
транспозиция. Если
то при п = 3 символы р', р", y'i Y" не могут быть различными, т. е. для
этого случая утверждение доказано. Если же ге>4 и все символы р', р",
у', у" различны, то произвед(нием транспозиций (ар) и (cry) будет элемент
3-го порядка (ару), тогда как произведение их образов будет элементом
2-го порядка. Если, далее,

84 ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ ?Гл. IV
то произведение
(аР) (аб) (ау) = (сфбу)
имеет порядок 4, тогда как произведение образов
(a'P')(PV)(czV) = (PV)
— порядок 2. Мы доказали, что образы при автоморфизме ф всех транс-
транспозиций вида (а|3) при данном а содержат общий переставляемый сим-
символ а'. Этими образами исчерпываются все транспозиции, содержащие
символ а', так как иначе при обратном автоморфизме ф мы придем
в противоречие с уже полученными результатами.
Отображение а ->- а' будет, следовательно, взаимно однозначным
отображением множества всех переставляемых символов на себя, т. е.
некоторой подстановкой из группы Sn. Обозначим эту подстановку через s,
так что а' = as. Если теперь (ар) — произвольная транспозиция, то ее
образ при автоморфизме ф должен быть транспозицией, содержащей как
символ as, так и символ ps, т. е.
Справа стоит, однако, образ транспозиции (ар) при трансформировании
подстановкой s. Таким образом, автоморфизм ф совпадает с внутренним
автоморфизмом, порождаемым элементом s, на всех транспозициях,
а поэтому и на всех элементах группы Sn, которые, как известно, являются
произведениями транспозиций. Теорема доказана.
В работе Шрейера и Улама [3] доказывается, что для любого бесконеч-
бесконечного множества М группа SM всех взаимно однозначных отображений
множества М на себя будет совершенной. Некоторые примеры совершен-
совершенных групп можно найти в работе Гольфанда [3], посвященной автомор-
автоморфизмам голоморфов некоторых групп. [См. Д.3.2. ]
§ 14. Характеристические и вполне характеристические
подгруппы
Элементы а и Ъ группы G называются равнотипными, если можно
указать автоморфизм ф этой группы, переводящий а в Ъ:
аф== Ъ.
Равнотипные элементы имеют, конечно, одинаковый порядок. Вся
группа распадается на непересекающиеся классы равнотипных элементов,
каждый из которых будет инвариантным множеством группы G. Класс
равнотипных элементов группы G будет классом элементов, сопряженных
в голоморфе этой группы. Это позволяет перенести на классы равнотипных
элементов многие из результатов, полученных в § 11 для классов сопря-
сопряженных элементов.
Соответственно определяются равнотипные подгруппы и классы равно-
равнотипных подгрупп группы G. Равнотипные подгруппы непременно изо-
изоморфны и, кроме того, имеют одинаковые индексы: если подгруппы А и В
и автоморфизм ф таковы, что А<р — В, то для всякого g из G смежный
класс Ag отображается при автоморфизме ф на смежный класс В (g<p).
Так как gcp есть произвольный элемент группы G, то этим установлено
взаимно однозначное соответствие между правосторонними смежными
классами по подгруппам А и В. Наше утверждение без труда следует

§ 14] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ВПОЛНЕ ХАРАКТЕРИСТИЧ. ПОДГРУППЫ 85
также из замечания, что класс равнотипных подгрупп будет классом
сопряженных подгрупп в голоморфе группы G.
Подобно тому, как были выделены нормальные делители, т. е. под-
подгруппы, совпадающие со всеми своими сопряженными подгруппами,
мы выделяем теперь подгруппы, совпадающие со всеми своими равнотип-
ными подгруппами, т. е. отображающиеся на себя при всех автомор-
автоморфизмах группы. Такие подгруппы называются характеристическими. Они
принадлежат, очевидно, к числу нормальных делителей группы.
Характеристическая подгруппа Н группы G будет нормальным
делителем во всякой группе G, содержащей группу G в качестве нормального
делителя. Действительно, всякий внутренний автоморфизм группы G
порождает некоторый автоморфизм группы G и отображает поэтому под-
подгруппу Н на себя. Обратно, из определения голоморфа непосредственно
следует, что если подгруппа Н группы G является нормальным делителем
в голоморфе этой группы, то она характеристична в G.
Подгруппы Н группы G, которые отображаются в себя (т. е. на себя
или на свою подгруппу) при всех эндоморфизмах % этой группы,
называются вполне характеристическими (или вполне инвариантными);
они играют по отношению к эндоморфизмам ту же роль, какую по отноше-
отношению к автоморфизмам играют характеристические подгруппы, а по отно-
отношению к внутренним автоморфизмам — нормальные делители.
Всякая вполне характеристическая подгруппа является характери-
характеристической.
Действительно, если подгруппа А вполне характеристична в G,
то при всех автоморфизмах этой группы она отображается в себя. Если
бы при некотором автоморфизме ф подгруппа А отображалась на свою
истинную подгруппу, то при автоморфизме ф она превращалась бы в под-
подгруппу, большую, чем она сама, что противоречит предположению.
Свойства подгруппы быть характеристической или вполне характе-
характеристической являются транзитивными в отличие от свойства
быть нормальным делителем: если группа А характеристична {вполне
характеристична) в группе В, а В — в группе С, то А будет характери-
характеристической {вполне характеристической) и в С. Действительно, всякий
автоморфизм (эндоморфизм) группы С изоморфно отображает группу В
на себя (гомоморфно в себя) и поэтому отображает на себя (в себя) группу А.
Отметим, с другой стороны, что если A с В с С и А характеристично
(вполне характеристично) в С, то в В подгруппа А может уже не быть
характеристической (вполне характеристической).
Пересечение любого множества характеристических {вполне характе-
характеристических) подгрупп группы G и подгруппа, порожденная этим мно-
множеством, сами будут характеристическими {вполне характеристическими)
подгруппами группы G.
Первое из этих утверждений очевидно, а второе доказывается следую-
следующим образом: если даны вполне характеристические подгруппы Аа {а про-
пробегает некоторое множество индексов) и если они порождают подгруппу В,
то всякий элемент Ъ из В имеет вид:
Ь = аа.йа2 • ¦ ¦ <Zak, aa.?Aa..
Если зс — произвольный эндоморфизм группы G, то

86 ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ [Гл. IV
но из аа.% ? Аа. следует Ь% ? В. Если же Аа — характеристические под-
подгруппы и % — произвольный автоморфизм группы G, то мы снова полу-
получим, что В% С В. Если бы, однако, имело место строгое включение, то при
обратном автоморфизме х подгруппа В отображалась бы на большую
подгруппу.
Вполне характеристическими и поэтому характеристическими под-
подгруппами всякой группы являются она сама и ее единичная подгруппа.
Группа, не имеющая других характеристических подгрупп, называется
элементарной. Таковы, конечно, все простые группы. Элементарной
группой будет также, например, уже несколько раз встречавшаяся нам
нециклическая группа 4-го порядка. [См. Д.3.2. ]
Все подгруппы циклической группы вполне характеристичны. Дей-
Действительно, если при эндоморфизме % образующий элемент а этой цикли-
циклической группы переходит в ak, a% = ah, то
т. е. циклическая подгруппа элемента as отображается в себя.
Центр группы является ее характеристической подгруппой, так как
элемент, перестановочный со всеми элементами группы, переходит при
автоморфизмах в элементы с этим же свойством: если ах = ха для всех
х 6 G, то для всякого автоморфизма ф будет ау-х<р = хф-жр; но элемент хф
пробегает вместе с х всю группу G.
Весьма важно заметить, однако, что центр группы не всегда вполне
характеристичен. Рассмотрим, например, группу G всех невырожденных
матриц 2-го порядка с рациональными элементами.. Если а—
такая матрица, то ее определитель будет отличным от нуля рациональным
числом и поэтому может быть записан в виде — 2п<а>, где числа s и t нечет-
нечетны, а число п (а) больше, равно или меньше нуля. Из того, что опреде-
определитель произведения матриц равен произведению определителей, вытекает
равенство
п (ab) = п (а) + п (Ь).
Определим отображение ф группы G в себя, относя всякой матрице а из G
матрицу
1 п(а)
также принадлежащую к G. Равенства
1 п(аЪ)\ /1 п(а)+пф)\ /1 п(а)\ /1 п(Ъ)
Н Н Д
(аЪ)\ /1 п(а)+пф)\ /1 п(а)\ /1 п(
1 Но 1 Но 1 До 1
показывают, что ф будет эндоморфизмом группы G. Однако
2 0\ /1 2
0 )(
/
т. е. матрица, принадлежащая к центру группы G, переходит в матрицу,
лежащую вне центра.
В качестве примеров вполне характеристических подгрупп любой
группы G можно указать на подгруппу, порожденную п-ми степенями
всех элементов группы при некотором натуральном га, и на подгруппу,
порожденную всеми элементами конечных порядков. Действительно, при

§ 14] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ВПОЛНЕ ХАРАКТЕРИСТИЧ. ПОДГРУППЫ 87
всяком эндоморфизме образ ге-й степени элемента а равен га-й степени
образа этого элемента, а всякий элемент конечного порядка отображается
снова в элемент конечного порядка.
Коммутаторы. Весьма важный пример вполне характеристических
подгрупп связан со следующим понятием, которое и само по себе играет
очень большую роль: если в произвольной группе G даны элементы а и Ь,
то элемент этой группы
[a, b] = a-1b~1ab
называется коммутатором заданных элементов. Коммутатор равен еди-
единице тогда и только тогда, если элементы а и Ъ перестановочны, в общем
же случае он в некотором смысле характеризует неперестановочность
этих элементов, так как аЪ = Ъа- [а, Ъ].
Следующие свойства коммутаторов проверяются непосредственным
подсчетом (а, Ъ, с — произвольные элементы группы):
[а, Ъ][Ъ, а] = 1, откуда [а, Ъ]^ = [Ъ, а]. A)
\а, Ъ-1] = Ъ\Ъ, а]Ь-г, .[а, Ь] = а[Ъ, а] а-1. B)
[аЬ,с] = Ъ-1[а,с]Ь[Ъ,с]. C)
[a, be] = [а, с] с'1 [а, Ь] с. D)
На коммутирование можно смотреть как на новую операцию, опре-
определенную в множестве элементов группы. Эта операция не будет в общем
•случае ассоциативной, т. &. равенство
[[а, Ъ], с] = [а, [Ъ, с]] E)
не всегда справедливо. Для ответа на вопрос, когда в группе G выполняется
равенство E), определим следующий класс групп, более широкий, чем
абелевы группы.
Группа G называется метабелевой, если коммутатор любой пары
•ее элементов лежит в центре *).
С метабелевыми группами мы встретимся в гл. 15, Их особая роль
в связи с операцией коммутирования выясняется в следующих двух
теоремах (Леви [6]).
I. В метабелевых группах и только в них операция коммутирования
элементов ассоциативна.
В самом деле, в метабелевой группе равенство E) всегда выполняется,
так как обе его части равны единице. Пусть, обратно, дана группа G,
в которой равенство E) справедливо при любых а, Ъ и с, Полагая с = Ь,
мы получим [[а, Ь], Ъ] = 1, откуда ввиду B) и A)
[а,Ъ]-1 = [а,Ъ-*]. F)
Так как элементы а и Ъ произвольны, заменим их в F)-соответственно
на Ъ и а'1, а затем применим A). Мы получим:
[a, b]-i = [a-\ Ъ]. G)
Из любого из равенств F), G) вытекает, наконец, равенство
[а, Ь] = [а-Х, b]. (8)
х) Эти группы теперь предпочитают называть нилъпотентними группами клас-
класса 2. [См. Д.24.4.]

88 ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ [Гл. IV
Снова считая теперь элементы а, Ъ, с произвольными, преобразуем
левую и правую части справедливого в G равенства E), применяя, когда
это будет нужно, формулы F), G), (8) и A):
[[а, Ъ],с] = [[а, ЪГ1, с-1] = [а, Ъ) с [а, Ьр1 с = [а, Ь'1] с [a~\b] с;
[а, 16, ей = [а, [Ъ, cpl - а [Ъ, с] а'1 [Ъ, с] = а [с~\ Ь] «г* [Ь, с].
Приравнивая полученные результаты, мы после легких преобразований
придем к равенству
Ъа^Ъ-ЧаЪ-Ч-Ч-ЧаЪ-ЧЪс-^ = 1.
Отсюда
[Ъ~Ч, a]b~l[a, Ъ'1 с) 6=1
или, ввиду A),
[[а, Ъ-Ч], Ъ] = 1.
Однако элементы а, Ь~гс, Ъ являются вместе с а, Ь, с произвольными
элементами группы. Этим доказано, что коммутатор любой пары эле-
элементов группы G перестановочен со всяким элементом этой группы, т. е.
что группа G метабелева.
II. В метабелевых группах и только в них коммутирование связано
с умножением законами дистрибутивности, т. е.
[аЪ,с\ = [а,с][Ъ,с], C')
[а,Ьс) = [а,Ъ][а,с). D')
Действительно, правые части равенств C) и C') тогда и только тогда
равны друг другу, если
Ъ-1[а,с]Ъ=[а, с]
при любых а, Ъ, с, т. е. если группа G метабелева.
Коммутант. Подгруппа G' группы G, порожденная множеством ком-
коммутаторов всех пар элементов этой группы, называется коммутантом
группы G. Коммутант является вполне характеристической и, следо-
следовательно, характеристической подгруппой. Действительно, при всяком
эндоморфизме % группы G коммутатор a~1b~4ib любых двух элементов a, b
превращается в элемент
(arWab) % = (ах)'1- (Ь%)~г а%-ь%>
также являющийся коммутатором.
Значение коммутанта связано со следующей теоремой.
Фактор-группа по коммутанту абелева; обратно, коммутант содер-
содержится во всяком нормальном делителе, фактор-группа по которому абелева.
Действительно, если а и b — элементы группы G, то
aG' ¦ bG' = abG' = Ъа [а, Ъ] G' = baG' = Ю' ¦ aG',
так как элемент [а, Ь] содержится в коммутанте G'. Если, с другой сторо-
стороны, фактор-группа GIN абелева, то коммутатор любой пары элементов
из G содержится в N, т. е. G' С N.
Из первой части этой теоремы следует на основании установленной
в § 10 связи между нормальными делителями группы и фактор-группы,
что всякая подгруппа группы G, содержащая коммутант этой группы,
будет в ней нормальным делителем.

§ 14] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ВПОЛНЕ ХАРАКТЕРИСТИЧ. ПОДГРУППЫ 89
Определение коммутанта и доказанная выше теорема позволяют
дать еще две новые формулировки для определения метабелевой группы:
Группа G тогда и только тогда метабелева, если ее коммутант
лежит в ее центре.
Группа G тогда и только тогда метабелева, если ее фактор-группа
по центру абелева.
Коммутант группы G тогда и только тогда совпадает с Е, если эта
группа абелева, т. е. если она совпадает со своим центром. Эта связь
между коммутантом и центром не допускает, однако, естественного на
первый взгляд обращения: из совпадения центра группы с единичной
подгруппой не следует совпадение коммутанта с самой группой.
Так, симметрическая группа Sn будет при м>3 группой без центра;
ее коммутантом является, однако, знакопеременная группа Ап. Это уста-
устанавливается для п = 3 и 4 непосредственной проверкой, а для га> 5 дока-
доказывается следующим образом: фактор-группа Sn/An является циклической
2-го порядка, поэтому абелевой. Отсюда, на основании доказанного'
выше, следует, что коммутант группы Sn содержится в Ап. Его совпадение
с Ап следует теперь из некоммутативности группы Sn и простоты груп-
группы А„. Точно так же из совпадения коммутанта со всей группой не следует
совпадение центра с единичной подгруппой,— иллюстрирующим примером,
который мы оставляем, впрочем, без детального рассмотрения, может слу-
служить мультипликативная группа матриц порядка п > 1 с комплексными
элементами и с определителями, равными -J- 1.
Непосредственно из определения коммутанта вытекает следующее
замечание: коммутант подгруппы всегда содержится в коммутанте группы.
Пусть G' — коммутант группы G. Коммутант G" группы G' называется
вторым коммутантом группы G. Продолжая далее, мы получим убываю-
убывающую последовательность подгрупп, называемую цепью коммутантов-
группы G. Эта цепь может, вообще говоря, продолжаться трансфинитно,
если сс-й коммутант G^a~> группы G будет для непредельного порядкового
числа ее определен как коммутант группы G*06), а для предельногоа — как
пересечение всех GW> при р <; а. Существует такое порядковое число тг
мощность которого не больше мощности самой группы G, что
т. е. цепь коммутантов стабилизируется. Мальцев [7] показал, что для
любого х существуют группы, цепь коммутантов которых стабилизируется
именно на этом т.
Все последовательные коммутанты группы G вполне характеристичны.
Для доказательства нужно воспользоваться тем, что свойство полной
характеристичности транзитивно и сохраняется при пересечении.
Пусть А и В — произвольные подмножества группы G. Назовем
взаимным коммутантом [А, В] этих подмножеств подгруппу, порожден-
порожденную всеми коммутаторами вида [а, Ь], где а ? А, Ъ g В. Таким образом,
С = [G, G].
Пользуясь этим понятием, построим еще одну убывающую последо-
последовательность, состоящую из вполне характеристических подгрупп группы G>
а именно ее нижнюю центральную цепь. Это будет последовательность •
G = G0^Gi=!G2=> ... =>Са=г...,
где
Ga = [Ga-i, G],

DO ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ [Гл. IV
а при предельном a Ga является пересечением всех Gg, |3 < а. Таким
•образом, Gy = [G, G], т. е. совпадает с коммутантом G' группы G; G2 =
= [Gif G], т. е. G2 является взаимным коммутантом подгруппы G' с самой
группой G, и т. д. Эта цепь снова стабилизируется на некотором порядко-
порядковом числе о, причем для всякого а существует группа, нижняя центральная
цепь которой стабилизируется именно на этом а (Мальцев [7]).
Все члены нижней центральной цепи группы G вполне характеристич-
¦ны. Пусть это уже доказано для всех G& при р < а. Если число а предель-
предельное, то нужно воспользоваться тем, что пересечение вполне характери-
характеристических подгрупп само вполне характеристично. Если же число а — 1
существует, то подгруппа Ga порождается коммутаторами вида [a, g],
где а ? Ga-i, g (z G. Однако, если ф — произвольный эндоморфизм груп-
группы G, то
во аф ? Ga-i, gq> — элемент группы G, а поэтому
ф
т. е. Gaq> с Ga.
Понятие нижней центральной цепи позволяет дать еще один вариант
определения метабелевой группы:
Группа G тогда и только тогда метабелева, если второй член G2 ее
нижней центральной цепи равен единице.
Действительно, равенство [G', G) = Е равносильно тому, что ком-
коммутант содержится в центре.
Различные свойства взаимных коммутантов пар подгрупп и некоторые
¦обобщения этого понятия читатель найдет в работах Ф. Холла [2] и Голо-
Головина [3]. [См. Д.З.З.]
§ 15. Группы с операторами
Нормальные делители, характеристические и вполне характеристиче-
характеристические подгруппы группы G играют сходные роли относительно группы
внутренних автоморфизмов группы G, группы всех автоморфизмов этой
группы и, наконец, множества всех ее эндоморфизмов. Естественным
обобщением этого было бы выделение любого множества V эндоморфизмов
группы G и изучение V-характеристических подгрупп, т. е. подгрупп,
отображающихся в себя при всех эндоморфизмах из V. Мы будем поль-
пользоваться иногда этим приемом; однако для различных приложений —
в теории колец, в линейной алгебре и т. д.— большее значение имеет
его дальнейшее обобщение, заключающееся в изучении групп с опера-
операторами.
Пусть даны: группа G и множество Е некоторых символов а, х, . . .
Группа G называется группой с областью операторов 2, а символы из 2 —
операторами для этой группы, если всякому символу а из 2 поставлен
в соответствие некоторый эндоморфизм группы G, т. е. если всякому
элементу а из G соответствует "элемент ао этой же группы, причем
Различным операторам из Е может соответствовать при этом один
и тот же эндоморфизм, т. е. при а Ф х может быть аа = ах для всех а из G.
В этом и заключается то обобщение, которое приносится изучением групп
•с операторами по сравнению с изучением групп, в которых просто выделе-
яы некоторые множества эндоморфизмов.

¦S 15] ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 91
Группы G ж G с одной и той же областью операторов Е
называются операторно изоморфными, если они изоморфны и если этот
изоморфизм может быть установлен таким образом, что для всяких двух
¦соответствующих друг другу элементов а из G и а из G и всякого а из 2
элементы ао и аа также соответствуют друг другу.
При изучении групп с операторами тождественными будут считаться
лишь операторно изоморфные группы. Всякая группа в обычном смысле
•слова может дать, следовательно, произвольно много различных опера-
операторных групп. Это расщепление понятия группы противоречит, на первый
взгляд, той общности, которой мы достигли, выделив понятие групповой
¦операции в качестве истинного объекта изучения. Мы увидим, однако,
что во многих важных теоретико-групповых теоремах утверждается изо-
изоморфизм некоторых групп (иди подгрупп), причем для случая групп
•с операторами этот изоморфизм оказывается операторным. Понятно,
что, формулируя и доказывая эти теоремы для групп с операторами,
мы достигаем большей общности, а для получения соответствующих
теорем для групп без операторов достаточно положить множество опера-
операторов пустым.
Пусть дана группа G с областью операторов Е и пусть F2 есть множе-
множество эндоморфизмов группы G, соответствующих операторам из Е. ^-ха-
^-характеристические подгруппы группы G называются допустимыми под-
подгруппами этой группы относительно области операторов 2. Иными сло-
словами, подгруппа Н группы G допустима, если она вместе с элементом а
содержит и элементы аа для всех а из 2, т. е. если
Н<у=Н.
Всякий оператор из Е порождает, следовательно, некоторый эндоморфизм
в каждой допустимой подгруппе. Допустимые подгруппы группы G можно
считать поэтому операторными группами с той же областью опера-
операторов Е. Допустимыми при всяком множестве операторов будут
вполне характеристические подгруппы и только они, тогда как, например,
центр группы будет, как показано в предшествующем параграфе, не всегда
допустимым.
Примеры. 1. Если в качестве операторов группы берутся все
ее внутренние автоморфизмы, то допустимыми подгруппами будут нормаль-
нормальные делители. Допустимыми при всех автоморфизмах группы, взятых
в качестве ее операторов, будут характеристические подгруппы, а если
¦областью операторов группы является множество всех ее эндоморфизмов,
то допустимыми будут лишь вполне характеристические подгруппы.
2. Пусть дано кольцо R, быть может, некоммутативное. Аддитивная
группа кольца R испытывает, как легко проверить, эндоморфизм, если
все элементы кольца будут умножаться справа на некоторый опре-
определенный элемент я из Л. Само кольцо R будет, следовательно, областью
операторов для своей аддитивной группы, причем допустимыми подгруп-
подгруппами будут правосторонние идеалы. Умножение всех элементов кольца
слева на элемент а из й также приводит к эндоморфизму аддитивной
группы этого кольца. Элементы кольца R составляют, следовательно, еще
одну область операторов для его аддитивной группы; допустимыми при
ней будут левосторонние идеалы. Объединение этих двух множеств опе-
операторов,— всякий элемент кольца придется брать, очевидно, в двух
экземплярах,— дает такую область операторов, при которой допустимыми
будут двусторонние идеалы кольца.

92 ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ [Гл. IV
3. Всякое векторное пространство V над полем Р является опера-
операторной абелевой группой с полем Р в качестве области операторов. Дей-
Действительно, требование
(a -j- Ъ) а = аа -j- Ъа,
где а, Ъ ? V, а ? Р, входит в определение векторного пространства. Допу-
Допустимыми подгруппами будут линейные подпространства.
4. Всякая абелева группа может считаться операторной группой
с кольцом целых чисел С в качестве области операторов. Эндоморфизм,
соответствующий числу п, есть отображение элемента а в элемент ап (или,,
при аддитивной записи, в элемент ма). Действительно, для абелевой.
группы имеет место равенство
Допустимой при этом множестве операторов будет всякая подгруппа.
Введение операторов приводит к выделению из всех подгрупп рас-
рассматриваемой группы ее допустимых подгрупп и к выделению среди
всех изоморфных отображений этой группы ее операторных изоморфизмов.
Если мы рассматриваем группу G с областью операторов 2 и если F2 есть-
множество эндоморфизмов группы G, соответствующих операторам из 2,
то группу G можно естественным образом рассматривать и как группу
с областью операторов У2, причем из определения допустимых подгрупп
следует, что допустимыми относительно 2 и F2 будут одни и те же под-
подгруппы группы G. Это замечание позволит нам, если это будет нужно,
предполагать множество операторов подмножеством множества всех
эндоморфизмов группы. Впрочем, лишь данное выше общее определение
области операторов позволило нам считать всякое кольцо областью опе-
операторов для его аддитивной группы (пример 2). Действительно, кольцо-
может обладать отличными от нуля элементами, произведение которых
на любой элемент кольца равно нулю.
Многие из понятий и некоторые из теорем, введенных и доказанных
нами выше для групп без операторов, могут быть перенесены на случай
операторных групп. Мы укажем здесь те понятия и результаты, на которые-
будем опираться в дальнейшем изложении; детальное проведение доказа-
доказательств предоставляется читателю.
Пусть дана группа G с областью операторов 2. О допустимых под-
подгруппах этой группы можно утверждать следующее:
Пересечение любого множества допустимых подгрупп само является,
допустимой подгруппой. Пересечение всех допустимых подгрупп, содер-
содержащих данное подмножество М группы G, будет называться допустимой
подгруппой, порожденной множеством М. Если множество М состоит-
из одного элемента а, то мы получим допустимую циклическую подгруппу
элемента а, отличную, вообще говоря, от циклической подгруппы {а}.
Подгруппа, порожденная любым множеством допустимых подгрупп, и сум-
сумма возрастающей последовательности допустимых подгрупп также будут
допустимыми подгруппами.
Если допустимая подгруппа, порожденная множеством М, совпадает
с самой группой G, то М есть система образующих для G относительно
области операторов 2. Заметим, что группа может обладать относительно-
заданной области операторов конечной системой образующих, хотя, как
группа в обычном смысле слова, она не есть группа с конечным числом
образующих. Так, и-мерное векторное пространство V над полем Р обла-
обладает, как операторная группа, системой из п образующих — ею служит-

$ 15] ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 93
любая база пространства,— хотя при несчетном поле Р и группа V будет
несчетной и поэтому, как группа без операторов, не может обладать
конечной системой образующих.
Если даны группы
Gy, G2, .. ., Gn, ...
с одной и той же областью операторов S и если для каждого п установлено
операторно изоморфное отображение фга группы Gn в группу Gn+1, то пре-
предельная группа G для этих групп (см. § 7) также будет операторной группой
с областью операторов Е, а группы Gn (п = 1, 2, . . .) будут операторно
изоморфными некоторым допустимым подгруппам группы G.
Нормальный делитель операторной группы, являющийся ее допу-
допустимой подгруппой, называется допустимым нормальным делителем.
Пересечение любого множества допустимых нормальных делителей и под-
подгруппа, порожденная этим множеством, сами будут допустимыми нор-
нормальными делителями. Группа, не имеющая иных допустимых нормаль-
нормальных делителей, кроме себя сдмой и единичной подгруппы, называется
простой (относительно заданной области операторов). Эта группа может
не быть, конечно, простой, если ее рассматривать без операторов.
Если даны группы G и G' с одной и той же областью операторов 2,
то, по аналогии с операторным изоморфизмом, гомоморфное отображение
группы G на группу G' называется операторным гомоморфизмом, если
для всякого а из G и его образа а' в G' и для всякого оператора а из 2
образом элемента аа при этом гомоморфизме будет элемент а'а. Нормаль-
Нормальный делитель группы G, отображающийся в единицу 1' группы G' при
этом гомоморфизме, будет допустимым, так как из 1'ог = 1' для всех о
из Е следует, что этот нормальный делитель вместе со всяким элемен-
элементом а содержит и все элементы ас
Пусть, наоборот, операторная группа G с областью операторов 2
гомоморфно отображается на некоторую группу G' и пусть нормальный
делитель Н группы G, отображающийся в единицу группы G' при этом
гомоморфизме, является допустимым. Тогда операторы Е могут быть
следующим образом перенесены на группу G': если даны элемент а' из G'
и оператор а из 2, то берем один из прообразов а элемента а' в группе G
и образ элемента аа обозначаем через а'а. Легко видеть, что допустимость
нормального делителя Н делает элемент а'а независимым От выбора эле-
элемента а. Мы получаем, в частности, что всякая фактор-группа оператор-
операторной группы по допустимому нормальному делителю также будет опера-
операторной группой с той же самой областью операторов, причем естествен-
естественное гомоморфное отображение группы на эту фактор-группу будет опера-
операторным гомоморфизмом.
Теперь читатель без труда докажет, что всякая группа G', на которую
группа G операторно гомоморфно отображается, будет опзраторно изо-
изоморфна фактор-группе группы G по некоторому допустимому нормальному
делителю, т. е. докажет для операторных групп теорему о гомо-
гомоморфизмах.
Если Н есть допустимый нормальный делитель группы G, то при
соответствии, существующем между подгруппами группы G, содержащи-
содержащими Н, и подгруппами фактор-группы G/H, допустимые подгруппы будут
соответствовать допустимым же. Доказательство этого утверждения
непосредственно следует из изложенного выше способа перенесения опе-
операторов на фактор-группу.

94 ЭНДОМОРФИЗМЫ И АВТОМОРФИЗМЫ. ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ [Гл. IV
Теорема об изоморфизме также сохраняется для-
операторных групп:
Если А и В — допустимые подгруппы операторной группы G, причем
А является нормальным делителем в подгруппе {А, В}, то пересечение
А П В будет допустимым нормальным делителем в В и фактор-группы
{А, В)/А и В/(А[)В) опёраторно изоморфны.
Доказательство этой теоремы такое же, как в случае групп без опера-
операторов. Операторный изоморфизм получается как следствие применения-
теоремы о гомоморфизмах для операторных групп.
На группы с операторами может быть перенесена и лемма Ц а-
сенхауза. В ее формулировке снова нужно говорить о допустимых
подгруппах и об операторном изоморфизме.
Операторным эндоморфизмом группы G с областью операторов 2
называется всякое опёраторно гомоморфное отображение группы G на
себя или в себя. Иными словами, эндоморфизм % будет операторным,
если для всякого элемента а из G и всякого оператора о из 2 имеет место-
равенство
. A)
Частным случаем понятия операторного эндоморфизма является понятие-
операторного автоморфизма, т. е. опёраторно изоморфного отображения
группы G на себя.
Из определения операторного эндоморфизма непосредственно сле-
следует теорема, в которой перестановочность следует понимать в смысле-
коммутативности умножения эндоморфизмов:
Эндоморфизм % группы G тогда и только тогда будет операторным
относительно области операторов 2, если он перестановочен со всеми
эндоморфизмами, соответствующими операторам из 2, т. е. со всеми
эндоморфизмами из множества V%.
Для доказательства достаточно заменить в равенстве A) оператор а
соответствующим ему эндоморфизмом. В качестве примера укажем, что-
операторными эндоморфизмами векторного пространства V над полем Р
являются линейные преобразования, так как требования
(а-\- Ъ) ф= аф+ Ьф, (аа)ф=(аф)а,
где а, Ъ 6 У, а 6 Р, ф — линейное преобразование, составляют опреде-
определение линейного преобразования.
Из этой теоремы без труда следуют все свойства операторных эндо-
эндоморфизмов и автоморфизмов. Так, произведение двух операторных эндо-
эндоморфизмов само будет операторным. Нулевой эндоморфизм всегда опера-
операторный. Заметим, далее, что единичный (тождественный) автоморфизм,,
будучи перестановочен со всеми эндоморфизмами, будет операторным
и что автоморфизм, обратный операторному автоморфизму, сам опера-
операторный. Вместе со сделанным выше замечанием о произведении оператор-
операторных эндоморфизмов и автоморфизмов это позволяет говорить о группе
операторных автоморфизмов операторной группы. Она представляет
собою подгруппу в группе всех автоморфизмов.
Заметим, наконец, что образом допустимой подгруппы Н операторной
группы G при операторном эндоморфизме % будет допустимая же под-
подгруппа, так как для всякого оператора б (Н%)а = (На)%^ Н%. Эта
следует, впрочем, и из теоремы о гомоморфизмах. В частности, образом
самой группы G при операторном эндоморфизме будет ее допустимая под-
подгруппа. [См. § Д.4.]

Глава пятая
РЯДЫ ПОДГРУПП. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
§ 16. Нормальные и композиционные ряды
В теории групп и ее приложениях большую роль играют некоторые
системы вложенных друг в друга подгрупп данной группы, системы,
подчиненные тем или иным дополнительным условиям. В настоящем
параграфе изучаются свойства таких упорядоченных систем или «рядов»
подгрупп. Результаты, здесь получающиеся, найдут в дальнейшем много-
многочисленные применения.
Конечная система вложенных друг в друга подгрупп группы G
G = GodG1=)G23...3G, = ?, A)
начинающаяся с самой группы G и оканчивающаяся единичной подгруп-
подгруппой, называется нормальным рядом этой группы, если всякая подгруппа Gt
есть истинный нормальный делитель подгруппы Gt-i, i = 1, 2, . . ., к.
В частности, подгруппа Gy будет нормальным делителем группы G, G2 —
нормальным делителем подгруппы Gu хотя не обязательно нормальным
делителем самой группы G, и т. д.
Всякая группа обладает, очевидно, нормальными рядами,— доста-
достаточно взять, например, ряд G zd Е. Если Н есть нормальный делитель
группы G, отличный от G и от Е, то ряд
также будет нормальным. Можно сказать, иными словами, что во всякой
группе можно найти нормальный ряд, проходящий через заданный нор-
нормальный делитель этой группы.
Фактор-группы
называются факторами нормального ряда A). Число этих факторов,
т. е. для ряда A) число к, называется длиною ряда A).
Нормальный ряд
GnF^FzZD ...zdFi = E B)
называется уплотнением нормального ряда A), если всякая подгруп-
подгруппа Gt из A) совпадает с одной из подгрупп Fj, т. е. если все подгруппы,
входящие в A), встречаются и в ряду B). В частности, всякий нормальный
ряд будет уплотнением для себя самого. Длины нормального ряда A)
и его уплотнения B) связаны, очевидно, неравенством &<Z.

96 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ [Гл. V
Два нормальных ряда некоторой группы называются изоморфными,
если их длины равны и если их факторы можно так поставить во взаимно
однозначное соответствие, что соответствующие факторы будут изоморф-
изоморфными группами. В этом определении не предполагается, что при указанном
соответствии сохраняется взаимное расположение факторов. Так, в цик-
циклической группе G = {а} шестого порядка, а6 = 1, нормальные ряды
G zd {а2} =э Е и G zd {a3} zz> E изоморфны, так как их факторами будут
одна циклическая группа второго и одна третьего порядка, хотя распо-
расположение факторов в этих двух рядах различное.
Все данные выше определения сохраняются и в случае групп с опе-
операторами. В определении нормального ряда нужно будет, конечно, гово-
говорить о допустимых подгруппах и допустимых нормальных делителях,
а в определении изоморфизма рядов — об операторном изоморфизме
факторов. Все дальнейшее содержание настоящего параграфа излагается
в предположении, что изучаемые группы обладают некоторым {быть
может пустым) множеством операторов.
Основную роль в теории нормальных рядов играет следующая тео-
теорема х):
Теорема Шрейера. Всякие два нормальных ряда произволь-
произвольной группы обладают изоморфными уплотнениями.
Пусть, в самом деле, в группе G даны нормальные ряды
С = Я0=э#1=э#2=э ...=>#ft = ?, C)
G^Fo^Fi^FzZD ...->Fi = E. D)
Введем следующие обозначения:
Ни = Ht¦ (Я^ ПFj), FtJ = Fj-lFj-t П Щ,
где Htj и F-tj — подгруппы, так как, например, Ht является нормальным
делителем, a Ht-i [)Fj — подгруппой в #;_i. Тогда для i = 1, 2, . . ., к,
j = 1, 2, . . ., I имеют место включения:
Я,-! = Н10 => Hi, ,_, =2 Ни => Нп = Ни
Fj-i = Foj => Fi-lt j^Ftj^ Fh3 = Fj.
Ввиду леммы Цасенхауза (§ 10 и § 15) подгруппа Нц будет нормальным
делителем в i7j,.?-i> подгруппа Fu—нормальным делителем в Fi-i,j,
а соответствующие фактор-группы изоморфны,
H^j.JHij-F^jIFu. E)
Если мы вставим в ряд C) между подгруппами Ht-i и Ht,
i = 1, 2, . . ., к, все подгруппы Hih / = 1, 2, . . ., I — 1, то будет
получено уплотнение ряда C), являющееся, вообще говоря, нормальным
рядом с повторениями, так как подгруппы Hltj-\ и Н^ могут случайно
оказаться равными. Соответственным образом с помощью подгрупп Ftj
устраивается уплотнение ряда D). Эти уплотнения будут ввиду E) изо-
изоморфными. Для окончания доказательства остается из этих уплотнений
исключить повторения. Однако если Hu-i = Н^, т. е. Ни-^Нц = Е,
то ввиду E) будет Fi-u = Ftj, а поэтому, не нарушая изоморфизма
полученных нами уплотнений для рядов C) и D), можно одновременно
исключить из них все повторения. Теорема Шрейера доказана.
О. Шрейер [5]. Цасенхауз [1] дал доказательство, изложенное в тексте.

§ 16] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 97
Нормальный ряд, не имеющий отличных от него самого уплотнений
(без повторений), называется композиционным рядом. Иными словами,
ряд
будет композиционным рядом группы G, если всякая подгруппа Gt, i =
= 1, 2, . . ., к, является максимальным истинным нормальным делите-
делителем подгруппы Gi-i. Все факторы композиционного ряда будут, очевид-
очевидно, простыми группами. Обратно, всякий нормальный ряд, все факторы
которого простые группы, не может быть далее уплотнен, т. е. является
композиционным. Поэтому всякий нормальный ряд, изоморфный с неко-
некоторым композиционным рядом, сам будет композиционным рядом.
Непосредственно из теоремы Шрейера следуют теоремы:
Теорема Жордана — Гёльдера. Если группа G обладает
композиционными рядами, то всякие два композиционных ряда этой груп-
группы изоморфны.
Действительно, изоморфные уплотнения для данной пары компози-
композиционных рядов будут совпадать с этими рядами.
Если группа G обладает композиционными рядами, то всякий нор-
нормальный ряд этой группы содержится в некотором композиционном ряду
и имеет поэтому длину, не превосходящую длины композиционных рядов
группы G.
Для доказательства достаточно применить теорему Шрейера к дан-
данному нормальному ряду и к одному из композиционных рядов
группы.
Для сокращения условимся называть в дальнейшем общую длину
композиционных рядов группы, обладающей такими рядами, компози-
композиционной длиной этой группы, а факторы любого композиционного ряда —
композиционными факторами группы.
Композиционные ряды существуют далеко не во всякой группе.
Так, уже в бесконечной циклической группе всякий нормальный ряд
обладает уплотнением, отличным от него самого. Действительно, под-
подгруппа, стоящая в этом ряду на предпоследнем месте, будет бесконечной
циклической, и поэтому между нею и единичной подгруппой можно
вставить дополнительное звено. Вообще абелева группа без операторов,
обладающая композиционным рядом, будет непременно конечной, так
как композиционными факторами этой группы могут быть лишь цикли-
циклические группы простых порядков. Композиционными рядами обладает,
понятно, вообще всякая конечная группа. Далее, для всякой простой
группы G,— а существование бесконечных простых групп было доказано
в § 9,— единственным композиционным рядом будет ряд G zd E. Мы дока-
докажем сейчас одно простое необходимое и достаточное условие существо-
существования в группе композиционного ряда. Сперва несколько новых опреде-
определений.
Будем называть подгруппу Н группы G достижимой подгруппой,
если она содержится в каком-либо нормальном ряду этой группы. Ины-
Иными словами, достижимыми подгруппами группы G будут все нормаль-
нормальные делители этой группы, все их нормальные делители и т. д. Понятно,
что нормальный делитель достижимой подгруппы сам является дости-
достижимой подгруппой. [См. Д.2.6. ]
Убывающая последовательность подгрупп группы G,
С = Я0зЯ1зЯ2з..оЯ„з..„ F)
7 А. Г. Курош

98 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ [Гл. V
называется убывающей нормальной цепью группы G, если всякая под-
подгруппа Нп, п = 1, 2, . . ., есть истинный нормальный делитель под-
подгруппы Hn-i. Убывающая нормальная цепь может быть или счетной,
упорядоченной по типу натурального ряда, или же конечной. В послед-
последнем случае говорят, что цепь обрывается. Примером обрывающейся
нормальной цепи служит всякий нормальный ряд. Примером бесконеч-
бесконечной убывающей нормальной цепи служит следующая последователь-
последовательность подгрупп бесконечной циклической группы G = {а}:
G =э {а2} =э {а4} =>...=> {а2"} =э .. .
Возрастающая последовательность подгрупп группы G,
E = F0czFicF2cz...czFncz..., G)
называется возрастающей нормальной цепью этой группы, если всякая
подгруппа Fn, п = 0, 1, . . ., есть истинный нормальный делитель под-
подгруппы Fn+i и если все подгруппы Fn достижимы в G1). Возрастающая
нормальная цепь может быть или бесконечной,— такие цепи можно найти,
например, в аддитивной группе рациональных чисел,— или конечной,
т. е. обрывающейся.
Группа G тогда и только тогда обладает композиционным рядом,
если обрываются все ее убывающие и все возрастающие нормальные цепи.
Пусть, в самом деле, группа G обладает композиционным рядом
и пусть к есть ее композиционная длина. Если бы группа G обладала
бесконечной убывающей нормальной цепью F), то при п^-к нормальный
ряд
G ГЭ #! ID #2 =)...=> #„ ZDE,
составленный из первых звеньев ряда F) и единичной подгруппы, имел
бы длину, превосходящую число к. Это противоречит, однако, теореме
Шрейера. Допустим, далее, что группа G обладает бесконечной возра-
возрастающей нормальной цепью G). Тогда берем и>/с и строим нормальный
ряд группы G, содержащий подгруппу Fn:
G^GiZD ... id Gs_t =э/*"„ =э ... =э Е, s>l.
Такой ряд существует, так как Fn, по условию, достижимая подгруппа.
Тогда ряд
будет нормальным, причем длина его больше числа к, что снова про-
противоречит теореме Шрейера.
Пусть теперь в группе G обрываются все возрастающие и убывающие
нормальные цепи. Из обрыва возрастающих цепей следует, что во всякой
достижимой подгруппе Н группы G можно найти хотя бы один макси-
максимальный истинный нормальный делитель этой подгруппы. Действительно,
если бы всякий истинный нормальный делитель подгруппы Н содержался
в некотором большем истинном нормальном делителе этой подгруппы,
то мы получили бы бесконечную возрастающую цепь нормальных дели-
делителей подгруппы Н, которая была бы возрастающей нормальной цепью
для G.
х) Последнее требование в случае убывающих нормальных цепей выполняется
автоматически.

§ 16] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 99
Искомый композиционный ряд строится теперь следующим образом:
в группе G выбираем максимальный истинный нормальный делитель Н±.
Пусть уже выбраны подгруппы
H0 = G, Н±, #2> •••> Нп,
каждая из которых есть максимальный истинный нормальный делитель
в предыдущей; подгруппа Нп будет, очевидно, достижимой в G. Тогда,
если Нп =ф Е, то в качестве Нп+1 выбираем один из максимальных нор-
нормальных делителей подгруппы Нп. Ввиду обрыва убывающих нормальных
цепей мы после конечного числа шагов дойдем до подгруппы Е, т. е. полу-
получим композиционный ряд группы G. Теорема доказана.
Если группа обладает композиционными рядами, то что можно сказать
об ее подгруппах? Пример счетной знакопеременной группы (см. § 4)
показывает, что группа с композиционными рядами может содержать
подгруппу, не имеющую композиционных рядов. Действительно, названная
группа является простой (см. § 9), т. е. обладает композиционным рядом,
но ее подгруппа, порожденная подстановками Ъп = Dи — 3, 4и — 2) х
X Dи — 1, 4и), п — 1, 2, . . ., будет бесконечной и абелевой — послед-
последнее ввиду перестановочности между собою всех элементов Ьп — и поэто-
поэтому не может обладать композиционными рядами.
Однако всякая достижимая подгруппа Н группы G с композиционными
рядами сама обладает композиционными рядами. В самом деле, под-
подгруппа Н входит в некоторый нормальный ряд группы G, который при
сделанных предположениях может быть уплотнен до композиционного
ряда. Отрезок этого ряда между Н и единичной подгруппой будет компо-
композиционным рядом для Н. Отсюда следует также, что если Н есть истинная
достижимая подгруппа группы G, то композиционная длина группы Н
меньше композиционной длины группы G, а композиционные факторы
группы Н составляют часть системы композиционных факторов самой
группы G. Если, с другой стороны, Н есть нормальный делитель в G,
то отрезок композиционного ряда, содержащего Н, заключенный между G
и Н, приводит к композиционному ряду фактор-группы G/H. Отсюда
следует, что всякая фактор-группа G/H группы G с композиционными
рядами сама обладает композиционными рядами; ее композиционная длина
равна разности' композиционных длин групп G и Н, а ее композиционные
факторы вместе с композиционными факторами группы Н составляют
систему композиционных факторов группы G.
Некоторые заключения относительно произвольных подгрупп группы
с композиционными рядами можно получить из следующей теоремы,
относящейся к произвольным группам:
Если в группе G задан нормальный ряд
G = G0=>G1zdG2zd ....iDGk = E, (8)
то всякая подгруппа F группы G обладает нормальным рядом, факторы
которого изоморфны подгруппам некоторых различных факторов ряда (8).
Действительно, если Ft = F[}Gt, i = О, 1, 2, . . ., к, то, приме-
применяя лемму Цасенхауза для случая А = F, А' = Е, В = Gt-i, В' = Gt,
мы получим, что Fi есть нормальный делитель в Z^-i и
Но Gt-i ^ GiFj-i э Gi, т. е. фактор-группа F^i/Fi изоморфна подгруппе*
фактор-группы Gi-ilGt. Ряд
F = Fo Э Fi Э F2 =2 ... э Fh = E

100 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 1Гл. V
будет, следовательно, после удаления из него возможных повторений
искомым нормальным рядом для F.
Теоремы Шрейера и Жордана — Гёльдера и следствия из них были
получены выше для групп с произвольной областью операторов. Если
к области операторов будут присоединены все внутренние автоморфизмы,
то допустимыми подгруппами останутся лишь нормальные делители.
Понятие композиционного ряда превращается в этом случае в понятие
главного ряда: ряд подгрупп
называется главным рядом группы G, если всякое Ни i = 1, 2, . . ., к,
является максимальным нормальным делителем группы G, содержащимся
в Hi-i в качестве истинной подгруппы. Доказанное выше условие суще-
существования композиционного ряда приводит в рассматриваемом случае
к т е о р е м е:
Группа G тогда и только тогда обладает главным рядом, если обрыва-
обрываются все ее убывающие и все возрастающие цепи нормальных делителей.
Эти цепи будут в дальнейшем называться соответственно убываю-
убывающими и возрастающими инвариантными цепями группы G.
Теорема Жордана — Гёльдера приводит в рассматриваемом случае
к следующей теореме.
Если группа обладает главными рядами, то всякие два главных ряда
этой группы изоморфны.
Установленная выше связь между композиционными рядами группы
и ее достижимых подгрупп на случай главных рядов не переносится.
Действительно, если группа G обладает главными рядами и если мы берем
главный ряд, проходящий через заданный нормальный делитель Н, то
отрезок этого ряда между Н и Е может уже не быть главным рядом для Н,
так как в Н существуют, вообще говоря, нормальные делители, не являю-
являющиеся нормальными делителями для G.
Если область операторов содержит все автоморфизмы (или все эндо-
эндоморфизмы) группы G, то понятие композиционного ряда превращается
в понятие характеристического (соответственно вполне характеристиче-
характеристического) ряда, т. е. ряда подгрупп группы G, каждая из которых является
максимальной характеристической (вполне характеристической) подгруп-
подгруппой группы G, содержащейся в предыдущей в качестве истинной
подгруппы. Из теоремы Жордана — Гёльдера в этом случае следует
теорема:
Если группа G обладает характеристическими (вполне характеристи-
характеристическими) рядами, то всякие два характеристических (вполне характеристи-
характеристических) ряда этой группы изоморфны.
Дальнейшее развитие результатов этого параграфа читатель найдет
в § 56. [См. Д.2.5.]
§ 17. Прямые произведения
Одним из важнейших понятий общей теории групп, основным, в част-
частности, для такого ее раздела, как теория абелевых групп, является поня-
понятие прямого произведения или (в случае аддитивной записи групповой
операции) прямой суммы. В настоящем параграфе будет дано определение
и указаны простейшие свойства этого понятия, а его более глубокой теории
посвящается особая гл. И.

§17] ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 101
Группа G называется прямым произведением своих подгрупп
Hi, Н2, - • • , Нп, если выполнены следующие три требования:
1) Подгруппы Ну, Н2, • • ., Нп являются нормальными делителями
группы G.
2) Группа G порождается подгруппами Ни Н2, . ¦ ., Нп.
3) Пересечение всякой подгруппы Н%, i = 1, 2, . . ., п, с подгруп-
подгруппой, порожденной всеми группами Hj, j Ф i, равно Е.
Это определение можно заменить следующим, ему эквивалентным:
группа G есть прямое произведение своих подгрупп Hi, Н2, ¦ ¦ ., Нп,
если
1') Элементы из любых двух подгрупп Ht и Hj, i Ф j, перестановочны
между собою.
2') Всякий элемент g из G однозначно записывается в виде произве-
произведения
g = hth2 ... hn,
где hi 6 Hi, i = 1, 2, . . ., п.
Докажем, что второе определение следует из
первого. Для доказательства условия 1' берем элементы а ? Ht,
Ъ 6 Hj, i Ф j. Тогда по условию 1 имеем aba'1 g Hj, Ъа'^-Ъ'1 6 Ни т. е.
коммутатор aba'1^1 содержится в пересечении Ht{]Hj, которое по
условию 3 равно Е. Для доказательства условия 2' заметим, что воз-
возможность записать элемент g из G в виде произведения g = Ь,{к2. • ¦ Ал
следует из условия 2 и из уже доказанного условия 1'. Единственность
такой записи следует из того, что если допустить, что
g^hihz . . .hn=h'thf2 .. .h'n,
причем, например, fet Ф h[, то мы получим, снова используя 1', равенство
к'Г% = (h'2 ...h'n)(h2... КГ1 = (h'zhz1) . .. (Kb'1),
противоречащее условию 3.
Наоборот, первое определение прямого произ-
произведения следует из второго. Действительно, условие 2
содержится в условии 2'. Для доказательства условия 3 предположим,
что, например, пересечение подгруппы Hi с подгруппой, порожденной
подгруппами Н2, . . ., Нп, содержит отличный от единицы элемент с.
Этот элемент содержится в Hi, и вместе с тем может быть записан, ввиду
1', в виде произведения h2- . • Лл, что, однако, противоречит условию 2'.
Для доказательства условия 1 берем элемент ht из Ht и произвольный
элемент g из G. Ввиду 2' будет g = hih2. . . ht. . . hn, а тогда ввиду 1'
Проверка того, является ли данная группа G прямым произведением
своих подгрупп Ну, Н2, . . ., Нп, заметно облегчается возможностью
заменить в первом определении условие 3 более слабым условием
30) Пересечение подгруппы Hi, i = 2, . . ., п, с подгруппой, поро-
порожденной подгруппами Ну, . . ., Нг-1, равно Е.
Для доказательства достаточно показать, что уже из условий 1, 2 и 30
следуют условия 1' и 2'. Так как из 30 мы сразу получаем, что Ht [\Hj —
= Е при i Ф j, то условие 1' доказано и остается доказать однозначность,

102 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ [Гл. V
входящую в формулировку условия 2'. Если для элемента g найдены
две различные записи,
g = hih2 ...hn = k'lh'2...h'n
и если hk Ф h'h, но hh+i = h'h+i, . . ., hn = h'n, /с<и, то мы получаем ра-
равенство
противоречащее условию 30.
Если группа G разлагается в прямое произведение подгрупп #1;
Н2, . . ., Нп, то эти подгруппы будут называться прямыми множите-
множителями, входящими в. данное разложение, а само разложение будет запи-
записываться в виде
G = H1xH2x ... хЯ„.
Определение прямого произведения дано нами для случая разло-
разложений с конечным числом прямых множителей. Это понятие употреб-
употребляется, однако, и в том случае, когда множество прямых множителей
бесконечно, причем это делается на основании следующего определения:
группа G называется прямым произведением некоторого множества своих
подгрупп На (а пробегает заданное множество индексов) и записывается
в виде
если G порождается этими подгруппами и если подгруппа, порожденная
в группе G любым конечным числом подгрупп На, будет их прямым про-
произведением. Из этого определения сразу следует перестановочность эле-
элементов из различных подгрупп На и возможность однозначно (с точно-
точностью до порядка множителей) записать любой элемент из G в виде про-
произведения конечного числа элементов, взятых в некоторых из
подгрупп На. Легко видеть, далее, что каждая. подгруппа На будет нор-
нормальным делителем в G: если g есть произвольный элемент из G, то g =
= ha ha . . . ha , а так как подгруппы На, #а , На . . ., На состав-
ляют, по предположению, в группе G прямое произведение, то g'^Hag =
= На. Таким же способом доказывается, что пересечение любой под-
подгруппы На с подгруппой, порожденной всеми подгруппами На>, а' Ф а,
равно Е.
Пользуясь этими замечаниями, можно было бы указать несколько
новых определений прямого произведения бесконечного множества под-
подгрупп, эквивалентных данному выше, определений, не требующих пред-
предварительного рассмотрения случая конечного числа множителей. Так,
в соответствии с одним из определений, данных выше для случая конеч-
конечного числа множителей, читатель без труда докажет, что группа G будет
прямым произведением своих подгрупп На в том и только в том случае,
если: 1) элементы из двух различных подгрупп На перестановочны между
собою и 2) всякий элемент из G однозначно (с точностью до порядка мно-
множителей) записывается в.виде произведения конечного числа элементов,
взятых из подгрупп На.
Укажем простейшие свойства прямого произведения, непосредственно
следующие из его определения:
I. Если

§ 17] ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 103
и если множители На сами разложены в прямое произведение,
то группа G будет прямым произведением всех подгрупп Нал, взятых по
всем а и р. Это новое прямое разложение группы G называется продол-
продолжением разложения A).
II. Если A) есть прямое разложение группы G, то можно получить
ее новое прямое разложение, разбивая произвольным образом множество
подгрупп На на непересекающиеся подмножества и заменяя подгруппы На,
входящие в каждое из этих подмножеств, их произведением.
III. Если в каждом из прямых множителей На разложения A) выбра-
выбрано по подгруппе Н'а, Е с= Н'а<= На, то подгруппа, порожденная в груп-1
пе G всеми подгруппами Н'а, будет прямым произведением этих подгрупп.
Если G = Hi X Н2 X . . . X Нп, то любой элемент g из группы G
записывается в виде g = к±к2. . . hn, где hi 6 Ни i = 1, 2, . . ., п.
Однозначно определенный элемент hi называется компонентой элемента
g в прямом множителе Ht. Следует заметить, что компонента элемента g
в Ht зависит от заданного прямого разложения: если будет дано другое
прямое разложение группы G, также содержащее Нг в качестве одного
из прямых множителей, то компонента элемента g в Нъ может уже быть
отличной от к,. Понятие компоненты элемента сохраняется и для прямых
произведений с бесконечным числом множителей, однако следует пом-
помнить, что в этом случае каждый элемент обладает при данном прямом
разложении лишь конечным числом отличных от 1 компонент.
Если G = || На и если F есть произвольная подгруппа группы G,
а
то множество Fa компонент всех элементов подгруппы F в прямом мно-
множителе На само будет подгруппой. Она называется компонентой под-
подгруппы F в На- Если F есть нормальный делитель группы G, то Fa будет
нормальным делителем в На и поэтому даже в G. Последнее вытекает из
следующего общего свойства прямых произведений:
IV. Если А есть прямой множитель группы G, то всякий нормальный
делитель А' подгруппы А будет нормальным делителем и в G.
В самом деле, в G существует такая подгруппа В, что G ~ А X В.
Если g есть произвольный элемент из G и g = аЪ, а 6 А, Ъ 6 В, то
Из перестановочности элементов, принадлежащих к различным пря-
прямым множителям данного прямого произведения, вытекает, что при
перемножении элементов прямого произведения перемножаются их соот-
соответственные компоненты. Поэтому, в частности, компонента коммутатора
двух элементов прямого произведения равна коммутатору соответствен-
соответственных компонент этих элементов. Отсюда вытекает
V. Коммутант прямого произведения равен прямому произведению
коммутантов сомножителей.
С другой стороны, из сказанного выше о компоненте коммутатора
двух элементов следует, что компоненты перестановочных элементов
прямого произведения перестановочны между собой, а поэтому
VI. Центр прямого произведения равен прямому произведению центров
с омнож ителе й.
г) Некоторые из На могут, конечно, остаться в действительности неразлежен-
неразлеженными.

104 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ [Гл. V
Действительно, если элемент z принадлежит к центру группы G =
= П Аа, то компонента za элемента z в Аа будет перестановочной с ком-
а
понентой любого элемента группы G, т. е. со всяким элементом шз Аа.
Если F есть подгруппа прямого произведения, то F содержится
в прямом произведении своих компонент, в общем случае с этим произве-
произведением не совпадая. Совпадение получится в том случае, если все ком-
компоненты подгруппы F содержатся в F, т. е. совпадают с пересечениями F
и соответствующих прямых множителей. Можно доказать даже следующее
свойство.
VII. Если G = А X В и компонента подгруппы F в А совпадает
с пересечением F |~| А, то компонента F в В совпадает с пересечением
F [)В и F является прямым произведением этих двух пересечений.
Действительно, если / ? F и / = аЪ, то fo = а/ 6 F, так как по
условию а 6 F.
Отсюда следует
VII'. Если G = А X В и подгруппа F содержит прямой множитель
А, то F = А X (F{]B).
Отметим, наконец, свойство
VIII. Если G = А X В, то прямой множитель В изоморфен с фак-
фактор-группой G/A.
Действительно, если Ag есть смежный класс группы G по подгруп-
подгруппе Л и g = аЪ, то Ъ ? Ag, т. е. всякий смежный класс по А содержит
один и, очевидно, только один элемент из В.
Мы говорили до сих пор о разложении некоторой группы в прямое
произведение ее подгрупп. В дальнейшем мы будем говорить часто о пря-
прямом произведении некоторых данных групп. Пусть, например, даны груп-
группы А и В. Множество всевозможных пар (я, Ъ), где а есть элемент из
A, b — элемент из В, превращается в группу при следующем определе-
определении операции:
(а, Ъ)-(а', Ь') = {аа', ЪЪ').
Эта группа будет, как легко проверить, прямым произведением своих
подгрупп А', состоящей из пар вида (а, 1), и В', состоящей из пар вида
A, Ь) х). Указанные подгруппы соответственно изоморфны заданным груп-
группам А и В, а поэтому построенная нами группа может и будет в даль-
дальнейшем называться прямым произведением групп А и В. Эта конструкция
без труда переносится на" случай любого конечного числа заданных
групп. Перенесение ее на случай бесконечного множества групп осу-
осуществляется следующим образом: если дано произвольное множество-
групп А а, то элементами прямого произведения этих групп будут сис-
системы элементов аа, по одному из каждой группы Аа, причем все эти
элементы, кроме конечного числа, должны
быть единицами соответствующих, групп. Опреде-
Определение умножения этих систем таково же, как в случае конечного .числа
прямых множителей.
Изложенный нами способ образования новой группы из заданных
групп путем построения прямого произведения последних найдет в даль-
дальнейшем многочисленные применения.
В указанной сейчас конструкции прямого произведения бесконеч-
бесконечного множества групп можно было бы, понятно, отказаться от требова-
г) В паре (а, 1) элемент 1 есть, понятно, единица группы В, в паре A,6) — еди-
единица группы А.

§ 17] ¦ ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 105
ния, чтобы лишь конечное число компонент было отлично от единицы,
и рассматривать произвольные системы элементов, взятых по одному
в каждой из данных групп Аа. Полученная группа называется полным
прямым произведением данных групп; любопытные свойства этой группы
указаны в работе Граева [1]. Следует отметить, однако, что для полного
прямого произведения нельзя дать «внутреннего» определения, аналогич-
аналогичного тому, которое дано выше для обычного прямого произведения.
[См. Д.6.1.]
Эти два типа прямых произведений объединяются в следующей кон-
конструкции прямого произведения с отмеченными подгруппами: в каждой
из данных групп Аа предполагается отмеченной некоторая подгруппа Ва,
Е<=,Ва ciO) и рассматриваются такие системы элементов, взятых по
одному в каждой из групп Аа, что лишь конечное число этих элементов
лежит вне соответствующих подгрупп Ва, а умножение, как и выше, про-
производится покомпонентно. Эта конструкция, введенная Виленкиным [1],
существенно используется в теории топологических абелевых групп.
Группа, которая не может быть разложена в прямое произведение
своих истинных подгрупп, называется неразложимой, или, точнее, нераз-
неразложимой в прямое произведение, так как позже мы встретимся и с другими
видами произведений. К числу неразложимых групп принадлежат, оче-
очевидно, все простые группы. Неразложимость аддитивной группы рацио-
рациональных чисел, а также и аддитивной группы целых чисел, т. е. бесконеч-
бесконечной циклической группы, вытекает из того, что для любых двух рацио-
рациональных чисел существует отличное от нуля общее кратное, а поэтому
пересечение любых двух отличных от нуля подгрупп каждой из этих групп
само отлично от нуля.
Если дана циклическая группа {а} порядка рт, где р — простое
число, то все отличные от Е подгруппы этой группы будут циклическими
подгруппами элементов а, а", аР% ,. . . , яр™. Иными словами, если даны
две любые подгруппы нашей группы, то одна из них непременно будет
содержать другую. Отсюда следует неразложимость циклической группы
порядка рт, а также группы типа р°°.
С другой стороны, всякая циклическая группа составного порядка
разлагается в прямое произведение циклических групп, порядки которых
являются степенями различных простых чисел.
Пусть, в самом деле, циклическая группа {а} имеет порядок
где s>2, a pi, рг, . . ., ps — различные простые числа. Введем обо-
обозначение
qi = P^...p^P^p.--P?; i = U 2, ..., s.
Элемент а9' имеет порядок рТ1. Пересечение циклической подгруппы
{а9*} с произведением всех циклических подгрупп {а9}} для ]ф i рав-
равно Е, так как порядки всех элементов названного произведения взаимно
просты с числом pi. Произведение подгрупп {a9'}, i = 1, 2, . . ., s,
в группе {а} будет, следовательно, прямым, совпадающим в действи-
действительности с самой группой {а}, так как порядок прямого произведения
равен произведению порядков прямых множителей.
Другими примерами разложимых групп служат аддитивная группа
комплексных чисел, разлагающаяся в прямую сумму аддитивных групп
действительных и чисто мнимых чисел, а также группа по умножению

106 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ [Гл. V
отличных от нуля действительных чисел, разлагающаяся в прямое про-
произведение мультипликативной группы положительных действительных
чисел и циклической группы второго порядка, порожденной числом —1.
Мультипликативная группа положительных рациональных чисел разла-
разлагается в прямое произведение счетного множества бесконечных цикличе-
циклических групп, порождаемых различными простыми числами. Отметим
также, что уже много раз встречавшаяся нам нециклическая абелева
группа 4-го порядка является прямым произведением двух циклических
групп 2-го порядка.
Понятие прямого произведения применяется и к группам с опера-
операторами. В этом случае следует ограничиваться, конечно, лишь такими
разложениями группы в прямые произведения, все прямые множители
которых допустимы относительно рассматриваемой области операторов.
Если, с другой стороны, даны группы Аа с одной и той же обла-
областью операторов 2, то прямое произведение G этих групп также можно
считать операторной группой с этой же областью операторов, полагая при
g = аа/1а2 • ¦ • ack
что
где ю 6 2. Из этого равенства следует, в частности, что компонента допу-
допустимой подгруппы сама является допустимой подгруппой.
Мы узнаем позже (см. § 26), что существуют разложимые группы,
которые не могут быть разложены в прямое произведение неразложимых
групп, и поэтому возникает вопрос об условиях, при которых группа
обладает такими разложениями. С другой стороны, группа может допус-
допускать много различных таких разложений. Это приводит к вопросу об
условиях единственности разложения группы в прямое произведение
неразложимых множителей. Далее, два прямых разложения данной
группы называются изоморфными, если между множителями этих разло-
разложений можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что
соответствующие множители являются изоморфными группами. Вопрос
об условиях для того, чтобы в данной группе всякие два прямых разло-
разложения с неразложимыми множителями были изоморфными или, более
обще, чтобы два любых прямых разложения обладали изоморфными про-
продолжениями, явился предметом многочисленных исследований. Все эти
вопросы будут рассматриваться в гл. 11, а также для различных классов
абелевых групп в гл. 6—8.
§ 18. Свободные группы. Определяющие соотношения
Целью этого параграфа является установление некоторого способа
задания группы без использования индивидуальных свойств элементов
того множества, в котором определена групповая операция. Для дости-
достижения этой цели необходимо построить сперва один специальный класс
групп, называемых свободными и являющихся в некотором смысле уни-
универсальными для всех существующих в природе групп вообще.
Пусть дано некоторое непустое (конечное или бесконечное) множе-
множество Ш символов ха, х&, ху, . . . г). Условимся обозначать эти сим-
*¦) Читателю, для облегчения понимания дальнейшей конструкции, полезно
сперва предположить, что множество 3D? состоит всего лишь из двух символов х\ и х2.

5 18] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 107
волы также через х?, xfa1, Ху1, ... и будем считать, что этим символам
взаимно однозначно соответствуют некоторые новые символы х^1, #р\
Ху1, . . . Выражение
W~ XalXcc2 ¦ • • Хап \ег— ,*—,,..., М,), {)
т. е. упорядоченная система из конечного числа символов вида х^1 и х^1
(каждыйиз символов, входящих в выражение A), может встречаться в нем
несколько раз), будет называться словом, если нигде в A) не встречаются
рядом какой-либо символ х^1 и соответствующий ему символ х^1. Так,
Примерами СЛОВ будут: XaXllXaXaX^, XaXaXaXbXalX$, НО ЯвХаХ^Х^ХаХу *).
Число п называется длиной слова w и обозначается через I (w). При
всяком множестве 3DI можно устроить, очевидно, слова любой длины.
Словами длины 1 будут сами символы ха и хп1 и только они. К числу слов
мы будем причислять также пустое слово w0, не содержащее ни одного
символа; I (w0) = 0.
Множество всех слов, какие могут быть написаны с помощью нашего
запаса символов, становится группой при следующем определении опе-
операции: если даны слова
и>, = хва'хх%2 ...х?п (е; = ± 1, i = 1, 2, ..., п), B)
и>2 = 4\4\ ¦ ¦ ¦ *С <*>= ± 1, / = 1, 2, ...,»») C)
и если равенства
On-i+i = Pi И Zn-i+l + 6j = 0
выполняются для всех i, l<i</c, где к удовлетворяет условию
0<fc<min (м, т), но или ап-кФ p^+i, или же, при ara_ft = pft+i,
имеет место равенство ега_д = 6^+1, то полагаем
,„ ,„ _ ~Ё1 ™Е2 ~en-h -Pk+l ~6h+2 r6m (A\
i i ai a2 an-k Pft+i Pft+2 pm v '
Иными словами, для получения произведения w^w-i нужно слово w2
написать непосредственно за словом ю{\ если полученное таким путем
выражение
х* х~? ... xJ1 xJxc? ... Хат E)
будет словом, т. е. если символы ха и хв или различны, или же совпа-
совпадают, но обладают в этом случае одинаковыми показателями, то произ-
произведение W1W2 получено. В противном случае необходимо выполнить
в выражении E) несколько сокращений, т. е. последовательно удалить
пары стоящих рядом одинаковых символов с противоположными показа-
показателями. Понятно, что при выполнении этих сокращений символы, состав-
составляющие один из множителей wit w2 или даже оба, могут случайно оказать-
оказаться полностью уничтоженными.
Роль единицы при таком определении умножения слов играет, оче-
очевидно, пустое слово w0. Обратным для слова B) будет слово
fj = Хап . . . Ха^ %а1 •
В частности, обратным для символа ха оказывается символ Ха1.
х) Употребляемую нами запись слов не следует понимать так, что здесь пред-
предполагается наличие какого-либо «умножения» символов. Слово является пока лишь
упорядоченной системой символов, и мы могли бы, например, отделять символы,
составляющие слово, друг от друга запятыми.

108 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ [Гл. V
Доказательство ассоциативности умножения слов представляет уже
значительные трудности. Пусть даны слова Wy, w2 и w3, отличные от пус-
пустого слова г). Будем доказывать справедливость равенства
3 F)
индуктивно, ведя индукцию по длине среднего множителя w2.
Рассмотрим сперва случай I (w2) = 1, т. е. w2 = x%. Если послед-
последний символ слова Wy и первый символ слова w3 оба отличны от х^е, то ника-
никакие сокращения не могут быть выполнены и поэтому равенство F) имеет
место. Это равенство справедливо и в том случае, если лишь один из наз-
названных двух символов равен хп?, так как в одном из произведений WyW2,
w2w3 в этом случае нет никаких сокращений. Если же, наконец, оба эти
символа равны х^е, то пусть
Wy = агр» ... х6?хп Ё, w3 = х~ ъх^ ... х^К
Тогда выражение
%¦¦¦ x?s ха. хУу--- xyt
будет словом, так как в нем нельзя выполнить никаких сокращений,
и будет равно как левой, так и правой части равенства F).
Пусть теперь Z(^2)>2. Если
то полагаем
,,, -ГУ ~Г2 т П-У Т~П
Ш2 са Ха . . . Ха Ха 1
1 2 и—у 71
^2~-х\х\...Х^-К
Тогда и?2 есть слово, I («Q < I ("'г) и ц?2 = w'z'xan' Справедливость
равенства F) для рассматриваемого случая доказывается теперь путем
нескольких применений этого же равенства, но для случая, когда длина
среднего множителя меньше п:
(w2w3) = wy [(w^x^J w3] =
= l(WyW'2) X? ] W3 = [Wy (w'2XSan )] W3 = (WyW2) W3.
Конечно, некоторые из круглых скобок, встречающихся в предшествую-
предшествующих равенствах, могут содержать произведения, которые станут словами
лишь после выполнения сокращений. Это не мешает, однако, проведению
доказательства.
Мы получили право говорить о группе слов, составленных из сим-
символов, входящих в множество Ж, и символов, им обратных. Эта группа
называется свободной группой. Она вполне определяется, очевидно, зада-
заданием мощности множества Ш и не зависит ни от каких индивидуальных
свойств элементов этого множества. Если мы назовем рангом свободной
группы, построенной с помощью множества Ш, мощность этого множе-
множества (т. е. число его элементов, если это число конечно), то путем эле-
элементарных теоретико-множественных рассмотрений можно доказать, что
свободные группы конечного ранга являются счетными, а свободные
*) Справедливость закона ассоциативности для трех множителей, один из кото-
которых есть wB, очевидна.

§ 18] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 109
группы какого-либо бесконечного ранга имеют мощность, совпадающую
с этим рангом.
Свободная группа ранга 1 будет, очевидно, бесконечной циклической
группой. Всякая свободная группа, ранг которой больше единицы, уже
некоммутативна: если а Ф р", то слова хах& и хвха будут различными
элементами этой группы. Во всех случаях все элементы свободной группы,
кроме единицы, имеют бесконечный порядок: если в элементе
__ -г 1 -г 2
w = х
?„
«1 a2 ' an
символы^1 иг", символы х*2 и а:*"-1, . . ., символы х * и а:™~*+1 являются
 °V а2 ап-Г ah an-k+l ^
попарно обратными, но это уже не имеет места для символов #а*+1 и х? ,
то полагаем
Такое к, удовлетворяющее неравенствам 0</с< у и, непременно най-
найдется, так как w есть непустое слово. Теперь для s > 0 будет
Выражение, стоящее в правой части равенства, не допускает никаких
сокращений, т. е. является непустым словом. Отсюда следует, что ws Ф 1.
Заметим, что всякое слово равно произведению составляющих его
символов. Множество 2Я будет поэтому системой образующих для сво-
свободной группы, построенной над этим множеством. Такую систему обра-
образующих свободной группы условимся называть ее системой свободных
¦образующих. Мы будем в дальнейшем, сохраняя за элементами свободной
группы название «слово», записывать их в виде произведения степеней
свободных образующих, т. е. писать, например, не хахахах^х^х^х^,
С развернутой теорией свободных групп, содержащей много глубоких
и важных результатов, читатель познакомится в гл. 9. Сейчас мы дока-
докажем теорему, вполне выясняющую значение свободных групп для всей
теории групп.
Всякая группа изоморфна фактор-группе некоторой свободной группы.
Пусть, в самом деле, дана произвольная группа G и пусть М есть
некоторая система образующих для этой группы; элементы из М будем
•обозначать через аа, ав, ... Берем свободную группу W, система сво-
свободных образующих которой имеет такую же мощность, как множе-
множество М. Между элементами из М и взятыми нами свободными образую-
образующими группы W устанавливаем взаимно однозначное соответствие, при-
причем образующий элемент группы W, соответствующий элементу аа из М,
условимся обозначать через ха. Отображение, переводящее элемент ха
из W в соответствующий ему элемент аа из G и вообще элемент
rel re2 rEA P-— 4-1/ — 12 k П\
1 а2 ' ' ' А' ~ ' ~~ ' ' '' ' ^ '
в элемент группы G, равный произведению
<<•••<> (8)

110 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. V
будет, очевидно, гомоморфным отображением группы W на всю груп-
группу G. Отсюда, ввиду теоремы о гомоморфизмах (§ 10), следует
G ~ WIH,
что доказывает теорему. Заметим, что нормальный делитель Н группы W
составлен из тех и только тех слов вида G), соответствующие которым
произведения (8) равны в группе G единице.
Из проведенного сейчас доказательства теоремы следует, что всякая
группа с конечным числом образующих является фактор-группой сво-
свободной группы конечного ранга. Точнее, всякая группа с п образующими
есть фактор-группа свободной группы ранга п.
Понятно, что полученное нами представление группы G в качестве
фактор-группы свободной группы не является для этой группы един-
единственным, так как оно зависит от выбора множества М.
Пусть дана произвольная группа G и пусть она представлена в виде
фактор-группы некоторой свободной группы W по нормальному дели-
делителю Н. Как и выше, если ха, хв,. . . — свободные образующие груп-
группы W, то соответствующие им при естественном гомоморфизме элементы
из G будут обозначаться через аа, а$, . . , а множество всех этих эле-
элементов (среди которых могут оказаться, конечно, и равные) — через М.
Пусть слово
• • • #«* (8г — целые числа)
есть произвольный элемент из Н. Ему соответствует в группе G равенство
которое будет называться соотношением, связывающим в группе G эле-
элементы множества М.
Выбираем в Н такое подмножество 9J, что нормальный делитель,
порожденный в группе W этим подмножеством, совпадает с Н. Система
соотношений, соответствующих словам, входящим в 91, называется сис-
системой определяющих соотношений группы G. Все соотношения, связываю-
связывающие в группе G элементы из М, могут считаться следствиями определяющих
соотношений, так как всякий элемент из Н может быть записан в виде
произведения степеней элементов из 91 и элементов, с ними сопряженных.
Заданием определяющих соотношений группа G вполне определяется,
ибо множество 91 вполне определяет в свободной группе W нормальный
делитель Н и, следовательно, фактор-группу W/H. Так как всякая груп-
группа, как доказано выше, является фактор-группой свободной группы,
то мы получаем, что всякая группа может быть задана системой опре-
определяющих соотношений относительно некоторого множества символов;
при этом, если две группы заданы определяющими соотношениями отно-
относительно некоторых систем образующих, причем между этими системами
можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором
определяющие соотношения одной группы перейдут в определяющие соот-
соотношения другой и обратно, то группы изоморфны.
Обратно, если дано произвольное множество символов М и произ-
произвольная система соотношений, приравнивающих единице некоторые слова,
составленные из символов, входящих в М, то всегда можно указать группу,
для которой эти соотношения составляют систему определяющих соот-
соотношений. Для этого достаточно построить свободную группу над мно-

§ 18] СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 111
жеством М, взять в ней нормальный делитель, порожденный левыми
частями заданных соотношений, и перейти к фактор-группе.
Теорема Дика. Если группа G задается некоторой системой
определяющих соотношений, а группа G' задается относительно тех же
символов помимо этих соотношений еще некоторыми другими, то груп-
группа G' изоморфна фактор-группе группы G.
Действительно, если мы представим группы G и G' фактор-группами
одной и той же свободной группы W,
G~WIH, G'~WIH',
то нормальный делитель Н содержится в нормальном делителе Н'.
Эта теорема бывает иногда полезной при разыскании определяющих
соотношений группы, заданной иным способом.
Примеры. 1. Конечная циклическая группа порядка п задается
образующим элементом а и определяющим соотношением
ап=1.
2. Аддитивная группа рациональных чисел R была представлена
в § 7 как сумма некоторой возрастающей последовательности бесконеч-
бесконечных циклических групп. Опираясь на этот результат, можно задать
группу R образующими элементами
аи а2, а3, ..., ап, ...
и определяющими соотношениями
3. Группа типа р°° может быть задана образующими
аь а2, ..., ап, ...
и определяющими соотношениями
ei=1« ап+1 = а»> » = 1. 2, ...
4. Симметрическая группа третьей степени S3 задается образующими
элементами а и Ь и определяющими соотношениями
1. (9)
Действительно, элементы t
/12 3\
Ч213)
порождают всю группу S3 ш удовлетворяют соотношениям (9), а поэтому
(ввиду теоремы Дика) группа S3 является фактор-группой группы, задан-
заданной определяющими соотношениями (9),— группа Ss задается относи-
относительно образующих (9') соотношениями (9) и, быть может, еще неко-
некоторыми другими. С другой стороны, из соотношений (9) следует равен-
равенство Ъа = а?Ь. Всякое произведение степеней символов а и Ъ в группе,
заданной соотношениями (9), может быть, следовательно, приведено
с помощью этих соотношений к виду аа№, а = 0, 1, 2, р = 0, 1, т. е.
группа с определяющими соотношениями (9) состоит не более чем из
шести элементов и поэтому совпадает с S3.

112 РЯДЫ. ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ [ГЛ. V
5. В § 9 было показано, что группа кватернионов К имеет порядок 8
и порождается двумя элементами а, Ъ, причем эти элементы связаны
соотношениями
а* = 1, &* = 1, а2 = Ь2, аЪа = Ъ. A0)
Там же по ходу дела было установлено, что группа, определяемая соот-
соотношениями A0), имеет не более восьми элементов. Отсюда (снова ввиду
теоремы Дика) вытекает, что A0) является системой определяющих соот-
соотношений для группы К. Заметим, что два из четырех соотношений A0)
записаны не так, как мы условились выше. Переход от этой записи к стан-
стандартной, в данном случае к записи
не представляет затруднений.
Относительно задания групп' определяющими соотношениями мы
«делаем сейчас несколько небольших дополнительных замечаний, отсы-
отсылая читателя по поводу более глубоких вопросов к гл. 10. Так, мы знаем,
что свободная группа задается системой своих свободных образующих без
каких-либо определяющих соотношений. Обратно, если в некоторой
труппе G можно выбрать систему образующих М, не связанных никакими
соотношениями *), то всякий элемент из G будет однозначно записываться
в виде слов относительно элементов из М, т. е. группа G будет изоморфна
свободной группе, построенной над М в качестве системы свободных обра-
образующих. Иными словами, группа G будет в этом случае свободной группой
и М будет для нее системой свободных образующих.
Для того чтобы группа с образующими элементами аа, ав, . . .
была абелевой, достаточно иметь среди определяющих соотношений
равенства вида
[««, ар] = 1, A1)
написанные для всех пар образующих элементов; слева стоит коммутатор
элементов аа и ав. Действительно, из перестановочности между собою
всех образующих элементов группы следует, как легко проверить, пере-
перестановочность всяких двух произведений степеней этих элементов. При-
Приведенные выше примеры 2 и 3 показывают, однако, что группа может
оказаться абелевой и в том случае, если среди определяющих соотноше-
соотношений нет равенств вида A1).
Всякая группа может быть задана образующими и определяющими
соотношениями многими различными способами. Поэтому, хотя опре-
определяющие соотношения представляют собою удобный способ «абстракт-
«абстрактного» задания группы, т. е. задания, общего для рассматриваемой группы
и всех групп, с нею изоморфных, однако в подавляющем большинстве
случаев о группе, заданной соотношениями, удается сказать очень мало.
Так, если группа задана системой образующих и системой определяющих
соотношений, то обычно нельзя установить, конечна ли эта группа или
бесконечна, коммутативна она или нет и т. д. Больше того, группа может
оказаться состоящей из одного лишь единичного элемента — это будет,
очевидно, в том случае, если нормальный делитель, порожденный в соот-
соответствующей свободной группе левыми частями определяющих соотно-
соотношений группы, совпадает со всей этой свободной группой,— однако
ж этого нельзя, вообще говоря, установить из рассмотрения определяю-
1) «Тривиальные» соотношения вида аа 1 = 1 не удовлетворяют данному выше
определению соотношения и поэтому к числу соотношений не причисляются.

§ 18]
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
ИЗ
щих соотношений. Возможен и другой крайний случай: наша группа
может быть в действительности свободной группой, но заданной с помо-
помощью случайной системы образующих элементов.
Конечные группы часто задаются не определяющими соотно-
соотношениями, а с помощью таблицы Кэли. Если конечная группа G имеет
порядок п, то нумеруем ее элементы, начиная с единицы:
1, о2, а3, ..., ап. A2)
Устраиваем затем квадратную таблицу из п строк и п столбцов, отмечаем
ее строки сверху вниз и столбцы слева направо символами A2), а на пере-
пересечении строки, отмеченной символом аи и столбца, отмеченного симво-
символом uj, ставим элемент, равный произведению аьа}: Так, если мы берем
симметрическую группу третьей степени, т. е. группу с образующими
а и Ъ и соотношениями а3 = 1, Ь2 = 1, abab = 1 (см. выше, пример 4),
и введем обозначения:
а2-=а,
то таблица Кэли будет
ab, ав = аг
1
а2
а-ъ
«4
о-в
1
1
а2
а3
а4
а5
а6
а2
а2
аз
1
#6
а4
а5
а3
as
1
а2
аъ
ав
а4
а4
а4
аь
ав
1
а2
аз
аь
«5
а6
а4
«3
1
а2
ав
ав
а4
«5
Яг
а3
1
Нециклическая абелева группа 4-го порядка, являющаяся прямым
произведением двух циклических групп 2-го порядка — эта группа
задается образующими а и Ъ и определяющими соотношениями
— может быть задана следующей таблицей Кэли:
1
а2
а3
а4
1
1
а2
«з
а4
а2
а2
1
а4
«з
а3
а4
1
а2
а4
а4
а3
а2
1
Вообще абелевы группы и только они обладают таблицами Кэли,
симметричными относительно главной диагонали.
8 А. Г. Курош

Ч а с т ь вторая
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
Глава шестая
ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
§ 19. Ранг абелевой группы. Свободные абелевы группы
Абелевы группы составляют один из важнейших классов групп
и их теория уже достаточно хорошо разработана. В настоящей главе
излагаются основные понятия и факты из теории абелевых групп, в том
числе теория абелевых групп с конечным числом образующих. Эти поня-
понятия и факты существенным образом используются в двух следующих
главах, посвященных более глубоким ветвям теории абелевых групп.
Условимся в этой главе и всюду дальше, где будут излагаться воп-
вопросы, относящиеся специально к абелевым группам, употреблять адди-
аддитивную запись вместо мультипликативной. Основные изменения в тер-
терминологии и обозначениях, вызываемые этим условием, указаны в конце
§ 3. Дополнительно укажем, что вместо единичной подгруппы теперь
следует говорить о нулевой подгруппе; обозначаться эта подгруппа будет
символом О. Вместо произведения подмножеств в группе теперь следует
говорить о сумме подмножеств, причем благодаря тому, что все подгруппы
абелевой группы являются в ней нормальными делителями и поэтому
между собою перестановочны, сумма двух и вообще любого конечного числа
произвольных подгрупп абелевой группы сама будет подгруппой этой
группы (см. § 8). Заметим, наконец, что вместо прямого произведения
(см. § 17) мы говорим о прямой сумме абелевых групп. Это понятие будет
основным для всех глав, посвященных абелевым группам.
В соответствии с общей терминологией, введенной в § 3, абелева
группа называется периодической, если порядки всех ее элементов конечны,
группой без кручения, если все ее элементы, кроме нуля, имеют бесконеч-
бесконечный порядок, и смешанной, если она содержит элементы как конечного,
так и бесконечного порядка.
Если G — смешанная абелева группа и^ — множество всех ее эле-
элементов конечного порядка, то F будет, очевидно, подгруппой группы G.
Эта однозначно определенная подгруппа называется максимальной перио-
периодической подгруппой или, короче, периодической частью группы G. Фак-
Фактор-группа GIF будет уже группой без кручения. Таким образом, всякая
смешанная абелева группа является расширением (в смысле § 10) перио-
периодической группы — своей периодической части — при помощи группы без
кручения.
К числу периодических групп относятся, в частности, абелевы груп-
группы, порядки всех элементов которых являются степенями фиксирован-

§19] РАНГ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ. СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 115
ного простого числа р. Эти группы называются примарными по простому
числу р.
Всякая периодическая абелева группа может быть разложена, притом
единственным способом, в прямую сумму примарных групп, относящихся
к различным простым числам.
Действительно, совокупность всех элементов периодической абелевой
группы G, порядки которых являются степенями простого числа р, будет
подгруппой в G, которую мы обозначим через Gp; эта подгруппа будет
в G характеристической и даже вполне характеристической. Все под-
подгруппы Gp по различным р составляют в группе G прямую сумму, так
как сумма всех этих подгрупп, кроме некоторой Gq, состоит из элемен-
элементов, порядки которых взаимно просты с q, а поэтому пересечение этой
суммы с Gq равно нулю. С другой стороны, всякий элемент группы G
содержится в сумме всех подгрупп Gp, как вытекает из доказанной в § 17
разложимости всякой конечной циклической группы в прямую сумму
примарных циклических групп.
Введем понятие ранга абелевой группы G.
Конечную систему элементов vu v2, . . . , vh группы G будем назы-
называть линейно зависимой, если существуют такие целые числа а4, а2, • • •
. . . , ад, не все равные нулю, что имеет место равенство
аЛ + а2^2 + • • • + CChVh = О,
где нуль в правой части равенства есть, конечно, нуль группы G. Система
элементов, не обладающая этим свойством, называется линейно незави-
независимой. Условимся называть элемент и группы G линейно зависящим от
системы элементов и', и", . . ., z/s> этой группы, если некоторое крат-
кратное аи этого элемента, а Ф 0, содержится в подгруппе {и , и", . . .
. . ., м(8)}, т. е. существуют такие целые числа pt, р2, • • •. Ps, что
аи = р\
Очевидно, система элементов vlt v2, ¦ . ., vh тогда и только тогда будет
линейно зависимой, если хотя бы один из элементов Vi линейно зависит от,
остальных элементов этой системы.
Очевидны следующие свойства линейной зависимости:
Всякая система элементов, содержащая элемент конечного порядка,
в частности содержащая нуль, линейно зависима. Всякая подсистема
линейно независимой системы сама линейно независима. Всякий элемент,
входящий в некоторую конечную систему элементов, линейно зависит от
этой системы.
Две системы элементов группы G, и',и", . . ., a(s> и г/, v", . . ., Ф\
называются эквивалентными, если всякий элемент первой системы линейно
зависит от второй системы и обратно. Всякий элемент и группы G, линейно
зависящий от одной из этих систем, линейно зависит и от второй. Дей-
Действительно, если при а Ф О
аи?{и', и", ...,м<8>}
и при р; ф 0, i = 1, 2, . . ., s,
$iuV?{v', и",
то элемент (apip2 • • Ps) и уже содержится в подгруппе {vr, v" }
Отсюда следует, что понятие эквивалентности систем элементов является
транзитивным.

116 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VI
Теорема о замене. Пусть в группе G даны две конечные
системы элементов
и', и", ..., ц<*>, (I)
V', v", ..., vW, (И)
из которых первая линейно независима, причем каждый ее элемент линейно
зависит от второй системы. Тогда &</ и из системы (II) можно так
удалить к элементов, что оставшиеся элементы вместе с элементами
системы (I) составят систему, эквивалентную системе (II).
Доказательство. Теорема верна, очевидно, при к = 0. Пусть
она уже доказана для к — 1.
Подсистема и', и", . . ., и^~г> системы (I) сама линейно независима
и ее элементы линейно зависят от системы (II). Мы получим поэтому,
меняя, быть может, нумерацию элементов в (II), систему
и', и", ..., u№-i), vW, ..., v«>, (III)
эквивалентную системе (II). Элемент u^h\ будучи линейно зависимым от
системы (II), должен-линейно зависеть и от системы (III), т. е. суще-
существуют такие коэффициенты а, рь . . . , рг, что а Ф 0 и
= (V + |32м" + ... + pft_lU(ft-'> + hv(k) +¦¦¦+ $Ml)-
Отсюда следует, что 1> к и что хотя бы один из коэффициентов pft, . . .
. . ., рг отличен от нуля, так как иначе элемент wW оказался бы линейно
зависящим от системы и', и", . . ., и <h'1). Пусть pfe ф 0. Тогда
M(ft) =( —Pi)»' +...+(- Pft-iW* + auW +
+ (-Р*+1)^+1>+...+(-рг)^>,
т. е. элемент v^h~> линейно зависит от системы
и', и",..., a<ft-1>, uW, уСЧ-i), ..., у(О. (IV)
Системы (III) и (IV) эквивалентны, поэтому эквивалентны и системы
(II) и (IV). Теорема доказана.
Из теормы о замене следует, что две линейно независимые эквивалент-
эквивалентные системы элементов группы G состоят из равного числа элементов.
Понятие линейной зависимости следующим образом распространяется
на случай бесконечной системы элементов: бесконечная система элементов
абелевой группы G называется линейно зависимой, если она содержит
хотя бы одну конечную линейно зависимую подсистему, и линейно неза-
независимой, если все ее конечные подсистемы линейно независимы. Соот-
Соответственно элемент линейно зависит от бесконечной системы элементов,
если он линейно зависит в указанном выше смысле от некоторой конечной
подсистемы этой системы. Так как объединение возрастающей последо-
последовательности линейно независимых систем группы G само линейно неза-
независимо, то всякая группа G, не являющаяся периодической, обладает мак-
максимальными линейно независимыми системами, причем всякая ее линейно
независимая система может быть включена в максимальную. Если же
группа G периодична, то она не содержит ни одной линейно независимой
системы.
Если группа G обладает конечными максимальными линейно неза-
независимыми системами и, следовательно, ввиду теоремы о замене все ее
максимальные линейно независимые системы конечны, то все эти системы
эквивалентны между собой и поэтому, как доказано выше, состоят из

§ 19]
РАНГ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ. СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
117
одного и того же числа элементов. Это число называется рангом абелевой
группы G, а сама группа G — группой конечного ранга. Естественно при-
причислить к группам конечного ранга все периодические абелевы группы,
положив их ранг равным нулю. Группа, не имеющая конечного ранга,
называется группой бесконечного ранга. В этом случае рангом группы
следует называть мощность максимальной линейно независимой системы
элементов; она равна мощности фактор-группы нашей группы по перио-
периодической части, т. е. снова является инвариантом группы.
Всякая подгруппа А и фактор-группа GIA абелевой группы G конеч-
конечного ранга сами имеют конечные ранги, причем сумма их рангов равна
рангу самой группы G.
Первое утверждение вытекает из того, что всякая линейно незави-
независимая система элементов подгруппы А будет линейно независимой
и в группе G, второе — из того, что, беря в группе G/A любую линейно
независимую систему элементов (т. е. смежных классов по А) и выбирая
в этих смежных классах по одному представителю, мы получим систему
элементов, линейно независимую в группе G.
Для доказательства третьего утверждения теоремы возьмем в под-
подгруппе А максимальную линейно независимую систему элементов
а в фактор-группе GIA
смежных классов
аи а2, ..., ah, &>0, A)
— максимальную линейно независимую систему
Ъ2 + А, ..., bt+A, l>0, B)
причем &i, b2, ¦ ¦ ., Ъ> есть произвольная система представителей этих
смежных классов. Тогда система элементов
а±, а2, ..., ah, Ъи Ь2, ..., Ъг C)
группы G будет линейно независимой. В самом деле, из равенства
а1а1+а2а2 + ••• + aftaft + р^ + Р2Ь2 + . • • +№ = 0 D)
мы получим, переходя к фактор-группе по А, равенство
откуда ввиду линейной независимости системы B) получаем
Pi = Ра -=----= Р/ = 0.
Равенство D) сводится, следовательно, к равенству
«1^1 + «2^2 + • • • + afflh = 0,
откуда ввиду линейной независимости системы A) вытекает
<х± = а2 — ... — а^ = 0.
Остается доказать, что система C) будет максимальной линейно
независимой системой группы G. Если g — произвольный элемент груп-
группы G, то смежный класс g + А будет линейно зависеть от системы B),
откуда

118 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. YI
где а — некоторый элемент подгруппы А и а ф= 0. Однако само а линейно
зависит от системы A), pa = 64ai + 6^2 + • • • + bkah, где р Ф 0,
а поэтому
(ap) g = b,av + б2а2 + ... + 6hah + (pYi) h + фу2) Ь2+...+ (pY;) *i,
что и требовалось доказать.
Из доказанной теоремы вытекает, что ранг смешанной группы равен
рангу ее фактор-группы по периодической части, а также, что ранг прямой
суммы конечного числа групп конечного ранга сам конечен и равен сумме
рангов прямых слагаемых.
Сейчас будет изучен один специальный тип абелевых групп, играю-
играющий в общей теории абелевых групп весьма заметную роль.
Свободной абелевой группой называется прямая сумма бесконечных
циклических групп, взятых в конечном или бесконечном числе. Если
будет разложение свободной абелевой группы U в прямую сумму беско-
бесконечных циклических групп, то совокупность образующих элементов uv
всех этих циклических прямых слагаемых (взятых по одному из каждого
слагаемого) называется базой группы U. Всякий элемент группы U
однозначно записывается, следовательно, в виде суммы конечного числа
элементов базы, взятых с некоторыми целыми коэффициентами.
Свободная абелева группа U обладает, вообще говоря, многими
различными разложениями в прямую сумму бесконечных циклических
групп и поэтому многими различными базами. Так, если в базу группы U
входят элементы щ, и2, . . ., то можно изменить базу, заменив в ней
элемент и± на элемент м4 + аи2, где a — произвольное целое число.
Указанным преобразованием базы группы U мы будем часто пользо-
пользоваться в следующем параграфе, не делая дополнительных пояснений.
Свободная абелева группа является группой без кручения, а всякая
ее база — одной из максимальных линейно независимых систем. Отсюда
следует ввиду полученных выше результатов, что если свободная группа U
имеет конечный ранг п, то все ее базы состоят из п элементов, т. е. любое
разложение группы U в прямую сумму бесконечных циклических групп
состоит из п слагаемых. Если же ранг группы U бесконечен, то мощность
всякой ее базы будет совпадать, очевидно, с мощностью самой группы.
Заметим, что далеко не всякая максимальная линейно независимая
система свободной абелевой группы служит для нее базой. Так, свободная
группа ранга 1, т. е. бесконечная циклическая группа {и}, имеет две
базы — элемент и или элемент —и, в то время как любой элемент этой
группы, отличный от нуля, составляет в ней максимальную линейно
независимую систему.
Свободные абелевы группы играют в теории абелевых групп ту же
роль, что свободные группы в общей теории групп, а именно:
Всякая абелева группа G изоморфна фактор-группе некоторой сво-
свободной абелевой группы, причем абелева группа с п образующими изоморфна
фактор-группе свободной абелевой группы ранга п.
Для доказательства выбираем в группе G систему образующих
М = (аа), где а пробегает некоторое множество индексов, и берем сво-
свободную абелеву группу U, база которой состоит из элементов иа, взаимно
однозначно соответствующих элементам аа множества М. Отображение
+ ... + кпиап —> к{аЯ1 + к2аа2 + • • • + кпаап

§ 19] РАНГ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ. СВОБОДНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 119
будет, очевидно, гомоморфным отображением группы U на группу G.
По теореме о гомоморфизмах {§ 10) группа G изоморфна, следовательно,
фактор-группе группы U по подгруппе V, составленной из тех элементов
группы U, которые отображаются при рассматриваемом гомоморфизме
в нуль группы G,
G ~ UIV.
Всякая подгруппа свободной абелевой группы, отличная от нуля,
сама свободна г).
Пусть V есть подгруппа свободной группы U. Предположим, что
база группы U вполне упорядочена: а\, а2, • . ., аа, . . ., а •< т. Всякий
элемент х из U, х ф 0, может быть однозначно записан в виде
х =
naan,
где cti •< а2 < . . . <Z ап и все kt отличны от нуля. Условимся называть
а„ последним индексом элемента х, кп — его последним коэффициентом.
Рассмотрим элементы из V, последний индекс которых является наимень-
наименьшим среди последних индексов всех элементов из V, а из этих элементов
выберем элемент fot с наименьшим положительным последним коэффициен-
коэффициентом. Легко видеть, что всякий элемент v из V, последний индекс которого
совпадает с последним индексом элемента Ъ\, содержится в циклической
подгруппе {by}. Действительно, обозначим последний коэффициент эле-
элемента bi через к, а элемента v — через I. Если I = kq + г, 0<т- •< к,
то содержащийся в V элемент v — qbi (если он отличен от нуля) или
имеет (при г > 0) такой же последний индекс, что и bit но меньший пос-
последний коэффициент, или же (при г = 0) имеет меньший последний
индекс. В обоих случаях мы приходим, однако, в противоречие с выбором
элемента Ъи а поэтому v = qb\.
Предположим теперь, что в подгруппе V уже выбраны элементы Ьр
для всех р, меньших у, причем эти элементы линейно независимы, т. е.
порожденная ими подгруппа V является прямой суммой циклических
групп {Ьр}, и сверх того, всякий элемент из V, последний индекс кото-
которого не больше последнего индекса одного из элементов fop, содержится
в V. Среди элементов из V, лежащих вне V, выбираем элементы с наи-
наименьшим последним индексом, а из них выбираем элемент bv с наимень-
наименьшим положительным последним коэффициентом. Всякий элемент, крат-
кратный элементу fov, имеет такой же последний индекс, как и Ьу, поэтому
V'n{bJ =0, откуда
{V, b,)=V' + {K).
Если, далее, элемент с из V имеет такой же последний индекс, как Ьу,
и если последние коэффициенты элементов Ьу и с будут соответственно
ку и к, то (ввиду определения элемента Ьу) к должно делиться на ку,
к = кук'. Поэтому последний индекс элемента с — к'Ъу меньше, чем
у элемента Ьу, т. е. с — к'Ьу ? У, а тогда с 6 V + {6V}. Этот процесс
выбора элементов Ьр может продолжаться до тех пор, пока не будут исчер-
исчерпаны все элементы подгруппы V. Подгруппа V является, следовательно,
свободной абелевой группой с базой Ъи Ъ2, . . ., Ье, . . ., где р меньше
некоторого с.
Докажем, наконец, следующую теорему.
х) Частный случай этой теоремы, относящийся к свободным абелевым группам
конечного ранга, получит в следующем параграфе независимое доказательство.

120 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VJ
Если фактор-группа абелевой группы G по подгруппе В является сво-
свободной группой, то В служит для G прямым слагаемым.
В самом деле, пусть
будет разложение группы GIB в прямую сумму бесконечных циклических
групп. В каждом из смежных классов аа выбираем по представителю аа.
Подгруппа А группы G, порожденная всеми элементами аа, будет пря-
прямой суммой циклических подгрупп, {аа}, причем А(]В = О. Вместе
с тем всякий смежный класс группы G по подгруппе В содержит некото-
некоторый элемент из Л и поэтому
Заметим, что среди подгрупп абелевой группы G, фактор-группы по
которым свободны, может не быть минимальной, а поэтому группа G не
обязана разлагаться в прямую сумму свободной группы и группы, уже
не обладающей свободными фактор-группами; примером такой группы
Служит полная прямая сумма счетногр множества бесконечных цикличе-
циклических групп (см. § 17).
§ 20. Абелевы группы с конечным числом образующих
Абелевы группы с конечным числом образующих составляют класс
групп, допускающий исчерпывающее изучение. Этот класс групп пред-
представляет особый интерес ввиду его исключительно важной роли в раз-
различных приложениях; так, абелевы группы с конечным числом образую-
образующих служат основным орудием в комбинаторной топологии.
Мы знаем из предшествующего параграфа, что всякая абелева группа
с п образующими является фактор-группой свободной абелевой группы
ранга п, которую мы будем обозначать в этом параграфе через Un. Мы
знаем, далее, что всякая подгруппа группы Un сама свободна, причем
ее ранг будет, конечно, не больше п. Не опираясь на этот последний
результат, мы докажем сейчас следующую более сильную теорему
о подгруппах группы Un; на этой теореме основывается по
существу вся теория абелевых групп с конечным числом образующих.
Всякая подгруппа V группы Un, отличная от О, сама является сво-
свободной группой и ее ранг к не превосходит п. Больше того, можно выбрать
такие базы пу, п2, ¦ ¦ ., пп группы Un и Vi, v2, ¦ ¦ ., vk группы V, что
Vi^siUi, i = i, 2, ..., к,
где 8i, 82,. • • » еа являются положительными целыми числами и ег + 4
делится на ег, i = 1, 2, . . ., к — 1.
Доказательство. Справедливость теоремы для п = 1 непо-
непосредственно следует из теоремы о подгруппах циклической группы (§6).
Пусть теорема уже доказана для группы Un-i- Если в группе Un задана
отличная от О подгруппа V, то всякому выбору базы для группы Un
однозначно соответствует некоторое целое положительное число, равное
наименьшему из положительных чисел, встречающихся в качестве коэф-
коэффициентов в тех линейных формах относительно этой базы, которые сос-
составляют подгруппу V. Этот минимальный положительный коэффициент
меняется, вообще говоря, при изменении базы группы Un. Ищем теперь

§ 20] АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ОБРАЗУЮЩИХ 121
такую базу группы Un, для которой этот коэффициент достигает наи-
наименьшего из возможных для него значений. Пусть это будет база
щ, и2, ¦¦-, ип, A)
пусть 8i(ei>l) есть минимальный положительный коэффициент, соот-
соответствующий этой базе, и пусть
V\ = 8iMt -f Оф2 + ¦ ¦ ¦ + OnUn
есть один из тех элементов подгруппы V, запись которых через базу A)
содержит г\ в качестве одного из коэффициентов г).
Разделим каждый из коэффициентов а2, . . ., ап на et:
а; = 6^ + ^, 0<7-г<81, г = 2, 3, ...,п,
и преобразуем базу A) группы Un, заменяя элемент м4 элементом
Щ = Щ + q2u2 + • • • + qnun-
В новой базе ui, и2, . ¦ ., и„ элемент т>\ записывается следующим образом:
... + гпип.
Отсюда, так как все /•,-, i = 2, . . ., п, неотрицательны и меньше et,
следуют, как показывает выбор числа 8i, равенства
Г2 ~ Г3 = • • • — гп = 0,
т. е. V\ = 8iMi.
Собираем, далее, все те элементы подгруппы V, в записи которых
относительно новой базы коэффициент при «i равен нулю. Эти элементы
составляют подгруппу V группы V, пересечение которой с циклической
подгруппой элемента г\ есть О. Докажем, что сумма подгрупп {t>i} и V
совпадает с V. Пусть
есть произвольный элемент подгруппы V. Если pi = е^ + г, 0<т- < elt
то содержащийся в V элемент
v' = г; — qvy = га, + $2и2 + ... -f pnwrt
имеет в качестве коэффициента при гг4 число, меньшее, чем е4, откуда,
ввиду определения числа ei, следует г = 0. Поэтому элемент v' содер-
содержится в подгруппе V, а элемент v = qr>\ -\- v' входит в сумму подгрупп
{г;,} и V.
Отсюда следует, что если V = О, то V = {vt} и наша теорема дока-
доказана. Если же V Ф О, то мы получаем разложение подгруппы V в прямую
сумму
V = {Vl} + V.
Подгруппа V содержится в подгруппе U' = {и2, . . ., ип}, являющейся
свободной группой ранга п — 1, и сама будет поэтому, ввиду индуктив-
индуктивного предположения, свободной. Существуют, далее, такие базы й2, . . .
. . . , ип для U' и г>2, . . ., vh для V, что к — 1<м — 1 и vt = егщ,
где е, > 0 и 8, + , делится на ег, i = 2, 3, . . ., к.
у) Предположение, что ei есть коэффициент при элементе щ, является закон-
законным, так как мы не считаем базу группы Ьп упорядоченной.

122 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VI
Мы получаем уже, что подгруппа V есть свободная группа ранга
к, А;<«1). Для доказательства того, что базы
щ, и2, ..., ип B)
для группы Un и
Щ, v2, ..., vh C)
для подгруппы V удовлетворяют всем требованиям доказываемой тео-
теоремы, нам остается лишь показать, что число е2 делится без остатка на
число е4. Пусть е2 = eigo+^o, 0<r0 < Si. Преобразуем базу B) груп-
группы Un, заменяя элемент пу элементом
К = Щ — qQu2.
Относительно этой новой базы лежащий в V элемент v2 — Vi записывается
в виде
Щ — vy — (—et) u't + гои2,
откуда, снова ввиду выбора числа ei, следует го = 0.
Теорема о подгруппах группы Un доказана полностью. Непосред-
Непосредственным применением этой теоремы доказывается следующая основ-
основная теорема.
Всякая абелева группа с конечным числом образующих разлагается
в прямую сумму циклических подгрупп 2).
Доказательство. Пусть дана абелева группа G с конечным
числом образующих. Как мы знаем, группа G изоморфна фактор-группе
некоторой свободной группы Un по некоторой ее подгруппе V. Выбираем
на основании доказанной выше теоремы такие базы ии и2, ¦ ¦ ., ип для
Un и vi, v2, . . ., vk для V, что для i = 1, 2, . . ., к будет vt = ггщ,
где е, > 0 и ег+1 делится на ег. Благодаря такому выбору баз элемент
и = ахщ + а2и2 + ... + апип D)
из группы Un тогда и только тогда будет содержаться в подгруппе V,
если коэффициенты а* делятся на ег, i = 1, 2, . . ., к, а коэффициенты
a.j, / = к + 1, . . ., п, равны нулю. Действительно, если коэффициенты
<*i удовлетворяют этим условиям, то элемент и может быть записан через
базу г>1, г>2, . . ., vk. Обратно, если
то достаточно заменить всякое vt через etUi и сравнить с D), так как
всякий элемент из Un однозначно записывается через базу этой группы.
В фактор-группе UnIV элемент щ + V имеет при ?</с порядок ег, а при
i > к бесконечный порядок. Циклические подгруппы всех этих элемен-
элементов дают в сумме всю фактор-группу, причем, как следует из сделанного
выше замечания, составляют даже прямую сумму — всякий элемент из
UnIV однозначно записывается в виде суммы элементов из цик-
циклических подгрупп {щ + V}. Конечно, если несколько первых из чисел
8i, е2, ... равны 1, то соответствующие прямые слагаемые {ui + V},
{и2 + V), ... должны быть исключены. Ввиду изоморфизма группы G
с фактор-группой Un/V теорема доказана не только для UnIV, но и для G.
1) Заметим, что ранг истинной подгруппы свободной группы может совпадать
с рангом самой группы.
2) Эта прямая сумма может состоять, конечно, и лишь из одного прямого слагае-
слагаемого, если сама группа циклическая.

S 20] АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ОБРАЗУЮЩИХ 123
Из этой теоремы следует, в частности, что всякая нециклическая абелё-
ва группа с конечным числом образующих является разложимой. Из § 17
мы знаем, что бесконечная циклическая группа, а также всякая примар-
ная циклическая группа, т. е. циклическая группа порядка рт, где р —
простое число, неразложима; с другой стороны, непримарная конечная
циклическая группа разложима в прямую сумму примарных циклических
групп. Этот последний результат позволяет получить следующее усиле-
усиление формулировки основной теоремы:
Всякая абелева группа G с конечным числом образующих разлагается
в прямую сумму конечного числа неразложимых циклических подгрупп,
частью конечных примарных, частью бесконечных.
Образующие элементы циклических прямых слагаемых из разло-
разложения группы G в прямую сумму неразложимых подгрупп (взятые по
одному из каждого слагаемого) составляют базу этой группы. Для случая
свободной группы это понятие совпадает с понятием базы, определенным
в предыдущем параграфе.
Из доказанной выше основной теоремы следует, в частности, что
всякая конечная абелева группа разлагается в прямую сумму конечных
циклических групп, которые можно считать даже примарными. Именно
эта теорема положила начало созданию теории абелевых групп. Она была
отчасти известна еще Гауссу, а первое полное доказательство дали Фро-
бениус и Штикельбергер [1]. Позже эта теорема многократно передоказы-
передоказывалась; для случая бесконечных абелевых групп с конечным числом обра-
образующих также имеется несколько доказательств основной теоремы. [См.
Д.28.2.]
Таким образом, мы получим все абелевы группы с конечным числом
образующих, если будем брать прямые суммы всевозможных конечных
систем циклических групп, бесконечных или конечных примарных. Будут
ли все получаемые этим путем абелевы группы различными? Утверди-
Утвердительный ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Число бесконечных циклических слагаемых и совокупность порядков
примарных циклических слагаемых не зависят от выбора разложения рас-
рассматриваемой абелевой группы с конечным числом образующих в прямую
сумму неразложимых подгрупп, т. е. от выбора ее базы.
Иными словами, любые два разложения абелевой группы G с конечным
числом образующих в прямую сумму неразложимых циклических групп
изоморфны между собой.
Доказательство этой теоремы мы объединим с доказательством тео-
теоремы о подгруппах группы G, формулировка которой будет дана ниже.
Сперва докажем следующее утверждение:
Всякая подгруппа Н абелевой группы G с конечным числом образующих
сама обладает конечной системой образующих.
Действительно, группа G является фактор-группой некоторой сво-
свободной абелевой группы U по ее подгруппе V. Подгруппе Н соответствует
в группе U цодгруппа U', содержащая V, причем
Н ~ U4V.
Но U' обладает, как показано выше, конечной системой образующих.
Такой системой обладает, следовательно, и подгруппа Н.
Теорема о подгруппах абелевой группы G с конечным
числом образующих состоит в следующем.
Пусть некоторое разложение группы G в прямую сумму неразло-
неразложимых циклических групп содержит г бесконечных циклических слагаемых,

124 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VI
; пусть, далее, число примарных циклических слагаемых, относя-
относящихся к данному простому числу р, равно кр, причем &?>0, а порядками,
этих слагаемых служат числа
Рар\ Р°Ч .... PaphP,
где
Пусть, с другой стороны, дано произвольное разложение подгруппы If
группы G в прямую сумму неразложимых циклических групп, содержащее
s бесконечных циклических слагаемых и, для каждого простого р, 1р цик-
циклических слагаемых, примарных по р, причем порядками этих слагаемых'
служат числа
phi, /p2, ..., /?'?,
где
Ppi > РР2 > • • • > PpZp. E)
Тогда
s<r F>
и для каждого простого р
lp<kp, G)
Ppf<ocp;, i = l, 2 lp. (8)
Эта теорема будет доказываться одновременно с теоремой об изо-
изоморфизме разложений группы G. Прежде всего, элементы бесконечного
порядка, входящие в произвольно выбранную базу группы G, составляют,
как легко видеть, ее максимальную линейно независимую систему, а поэто-
поэтому число таких элементов равно рангу этой группы, т. е. не зависит от
выбора базы. Отсюда следует также утверждение F) теоремы о подгруп-
подгруппах, так как ранг подгруппы Н не превосходит ранга группы G.
Мы знаем, далее, что периодическая часть А группы G разлагается
в прямую сумму примарных подгрупп, относящихся к различным про-
простым числам,
причем периодическая часть подгруппы Н разлагается в прямую сумму
своих пересечений Вр с подгруппами Ар, Вр =Н{]Ар. Вместе с тем
подгруппа Ар порождается, как легко проверить, теми элементами про-
произвольной базы группы G, порядки которых являются степенями чис-
числа р. Этим доказательство обеих теорем сведено на случай конечной;
примерной группы ip и ее подгруппы Вр.
Закончим сначала доказательство теоремы о подгруппах. Подгруппа
из элементов порядка р группы Ар является прямой суммой кр цикли-
циклических слагаемых порядка р, т. е. имеет порядок р р. Соответственная
подгруппа группы Вр имеет порядок р1р. Отсюда следует, что 1р^кр.
Пусть теперь
Рр1<«р1, •••, $P,j-i<aP,j-i, но Ppi>aPj. (9)
Совокупность С элементов группы Ар, делящихся в этой группе на число-
рар*, т. е. таких элементов с, для которых уравнение papJx = c имеет в
Ар решение, будет подгруппой группы Ар. Если а4, а2, . • ., аи —
заданная база группы Ар, причем порядок элемента а% равен papir

«j 2i] КОЛЬЦО ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ 125
i = 1, 2, . . .,кр, то подгруппа С будет, как легко проверить, прямой
суммой циклических подгрупп, порожденных элементами
т. е. обладает базой, состоящей из у — 1 элементов. С другой стороны,
ввиду (9) и E) подгруппа С группы Вр, составленная из элементов, деля-
делящихся на papi уже в Вр, обладает базой, содержащей не менее чем ; эле-
элементов. Однако С является подгруппой в С, а мы уже доказали G),
т. е. доказали, что число элементов в базе подгруппы конечной примерной
абелевой группы не больше числа элементов в базе самой группы. Поду-
Подученным противоречием заканчивается доказательство теоремы о под-
подгруппах.
Теорема об изоморфизме прямых разложений группы Ар непосред-
непосредственно следует из теоремы о подгруппах, если положить Вр = Ар
и учесть, что для двух данных баз группы Ар должны наряду с неравен-
неравенствами G) и (8) по соображениям симметрии иметь место и противополож-
противоположные неравенства, т. е. в действительности
tp = Ар, Ppi — dpi! г==1) А •••! 'р-
Число бесконечных циклических слагаемых — ранг группы —
и порядки примерных циклических слагаемых из любого разложения
абелевой группы с конечным числом образующих называются инвариан-
инвариантами этой группы. Это будет даже полная система инвариантов, так как
всякие две группы, у которых эти инварианты совпадают, будут изо-
изоморфными. Используя инвариантность этих чисел, читатель без труда
докажет инвариантность, т. е. независимость от выбора прямого разло-
разложения группы, тех последовательно делящих друг друга чисел 84, е2, . . .
. . ., 8^, которые были порядками циклических слагаемых в разложении,
полученном при доказательстве основной теоремы. Числа эти называются
иногда коэффициентами кручения группы G; порядки примерных цик-
циклических слагаемых мы условимся для сокращения называть конечными
инвариантами группы.
Полученное нами в теореме о подгруппах описание инвариантов
подгрупп абелевой группы с конечным числом образующих не исчерпы-
исчерпывает, конечно, всех вопросов, которые можно поставить относительно
этих подгрупп. Так, многие математики занимались вопросом о числе
всех подгрупп конечной абелевой группы или о числе подгрупп того или
иного специального вида. В этом же направлении идет следующий воп-
вопрос: если конечная примерная абелеве группе зедене своими инвериан-
теми и если выбрена базе этой группы, то нельзя ли получить полное
перечисление всех подгрупп этой группы, задавея кеждую из них неко-
некоторой «канонической» базой; эта база при выбранной базе самой группы
должна определяться однознечно и быть в некотором смысле наилучшей.
Решение этой проблемы дано Биркгофом [3].
§ 21. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы
Для эндоморфизмЬв абелевой группы G можно ввести, помимо изве-
известного нем из § 12 умножения, текже оперецию сложения. Именно,
суммой эндоморфизмов % и ц назывеется отобрежение, переводящее вся-
всякий элемент а группы G в элемент а% + ац,

126 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл.
Это отображение также будет эндоморфизмом группы G, так как
Сложение эндоморфизмов коммутативно и ассоциативно. Роль нуля
играет нулевой эндоморфизм. Если % — эндоморфизм группы G, то ото-
отображение — %, переводящее всякий элемент а этой.группы в элемент —а%,
«( — Х)=— «X.
само, будет эндоморфизмом:
причем сумма эндоморфизмов % и —% равна нулевому эндоморфизму.
Можно производить, следовательно, и вычитание эндоморфизмов:
х—л=^х + (—л)-
Сумма и произведение эндоморфизмов абелевой группы связаны
законами дистрибутивности:
(Xi + Хг) Л = Xi1! + ХгЛ. (!)
*l(Xi + X2) = ilXi-MX2. B)
Действительно, для любого а из G будет
в [(Xi + Ха) Л] = [a (Xi + Х2)] Л = («Xi + <%) Л =
= (aXi) Л + (аХ2) Л = в (Х1Л) + «(ХзЛ) = « (Х1Л + ХгЛ)»
чем доказано равенство A). Равенство B) доказывается так же просто.
Все сказанное выше вместе с результатами из § 12 об умножении
эндоморфизмов приводит к следующей теореме.
Множество всех эндоморфизмов абелевой группы является ассоциа-
ассоциативным кольцом относительно операций сложения и умножения эндо-
эндоморфизмов.
Эндоморфизмы некоммутативной группы не образуют кольца, ввиду
невозможности неограниченно выполнять сложение и вычитание. Изуче-
Изучению свойств системы эндоморфизмов некоммутативной группы посвящены
работы Фиттинга [1, 4].
Рассмотрим некоторые примеры и прежде всего найдем кольцо
эндоморфизмов бесконечной циклической
группы. Пусть а есть образующий элемент этой группы. Эндоморфизм %
переводит элемент а в элемент па (га = 0), причем заданием целого числа га
эндоморфизм х вполне определяется. Этим между эндоморфизмами беско-
бесконечной циклической группы и целыми числами устанавливается взаимно
однозначное соответствие. Если
а% = па, ац~ка,
то
а»
х) Здесь мы существенно воспользовались коммутативностью операции в груп-
группе G. В случае неабелевой группы G сумма эндоморфизмов % и т| будет эндоморфиз-
эндоморфизмом тогда и только тогда, когда подгруппы G% и <?т| — образы группы G при этих
эндоморфизмах — поэлементно перестановочны. [См. Д.3.6. ]

§ 21] КОЛЬЦО ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ 127
Мы получаем, что кольцо эндоморфизмов бесконечной циклической группы
изоморфно кольцу С целых чисел. Таким же методом можно доказать, что
кольцо эндоморфизмов конечной циклической группы порядка п изоморфно
кольцу вычетов Сп кольца С ho mod п.
Найдем теперь кольцо эндоморфизмов аддитив-
аддитивной группы рациональных члсел R. Всякий эндо-
эндоморфизм х этой группы вполне определяется образом числа 1: если 1 • % =
/ I \ / , / 1 \ ' , г
= г и если ( — ]х==г> т0 пг = I и • — I % = г, откуда г = — , а поэтому
Обратно, выбирая произвольным образом рациональное число г и зада-
задавая отображение % группы R формулой C), мы получим эндоморфизм
этой группы. Таким образом, между эндоморфизмами группы R и рацио-
рациональными числами мы установили взаимно однозначное соответствие,
а так как из
1-Х = /Ч» 1 - "П = /-2
следует
i-(%r\) = rir\ = rlr2, 1-(Х + 11) = /Ч + /-2,
то, оказывается, кольцо эндоморфизмов группы R изоморфно полю-рацио-
полю-рациональных чисел. Таким образом, всякий эндоморфизм группы R, отличный
от нулевого, обладает обратным и поэтому является автоморфизмом.
Найдем, наконец, кольцо эндоморфизмов группы
типа /)°°. Эта группа задается образующими
аи а2, ..., ап, ... D)
и соотношениями
pai = 0, pan+i = an, n = 1, 2, ... E)
Ее эндоморфизм х вполне определяется заданием образов всех элемен-
элементов D), а так как все элементы нашей группы, порядки которых не пре-
превосходят рп, лежат в подгруппе {ап}, то
ап% = кпап, ге=1, 2, ..., F)
где
0<кп<рп. G)
Так как, далее, соотношения E) должны иметь место и для образов эле-
элементов D), то
Р (ап+а) = апъ
откуда
Р (kn+iun+i) = kn+lan = кпап,
т. е.
&n+1EEEA;n(modpn), тг = 1, 2, ... (8)
Таким образом,' всякому эндоморфизму % группы типа р°° соответ-
соответствует последовательность натуральных чисел
(Аи, к2, ...,*„, ...), (9)
подчиненных условиям G) и (8). Двум разным эндоморфизмам соответ-
соответствуют при этом различные последовательности, так как хотя бы один

128 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VI
из элементов ап имеет при этих эндоморфизмах различные образы. С дру-
другой стороны, всякая последовательность (9), подчиненная условиям G)
и (8), определяет некоторый эндоморфизм, а именно задаваемый равен-
равенствами F).
Пусть помимо эндоморфизма %, определяемого последовательно-
последовательностью (9), в группе типа р°° задан еще эндоморфизм г\, которому соответ-
соответствует последовательность
(Z,, Z2, ..., ln, ...)• (Ю)
Тогда
о-п (X + Л) — (кп + In) an, ап (%ц) = (кп1п) ап.
Однако из справедливости условий (8) для последовательности (9) и ана-
аналогичных условий для последовательности A0) вытекает:
К+1 + ln+i = kn + ln (mod pn),
kn+lln+i ~ knln (mod pn),
причем эти сравнения не нарушаются, если их левые части заменяются
положительными вычетами по модулю рп+1, а правые — по модулю рп.
Таким образом, сумме и произведению эндоморфизмов % тз. ц соответст-
соответствуют сумма и произведение последовательностей (9) и A0), получаю-
получающиеся их покомпонентным сложением или умножением и последующим
редуцированием на каждом п-ш месте По модулю рп.
Множество последовательностей вида (9), подчиненных условиям G)
и (8), со сложением и умножением, выполняемым по только что описан-
описанным правилам, будет, следовательно, изоморфным кольцу эндоморфизмов
группы типа р°°, т. е. само будет кольцом, притом коммутативным. Это
кольцо называется кольцом целых р-адических чисел и играет в различных
ветвях алгебры, в первую очередь в теории полей и топологической
алгебре, весьма значительную роль. Таким образом, кольцо эндоморфизмов
группы типа р"° изоморфно кольцу целых р-адических чисел.
Последовательность @,0, . . . , 0, . . .), соответствующая нулевому
эндоморфизму, будет нулем кольца целых р-адических чисел, последова-
последовательность A, 1, . . ., 1, . . .), соответствующая тождественному авто-
автоморфизму,— его единицей. Так как, далее, эндоморфизм группы типа р°°
тогда и только тогда будет автоморфизмом, если он переводит элемент а±
не в нуль, то целое р-адическое число (9) тогда и только тогда будет обла-
обладать обратным, если &i =? 0.
Этим путем можно было бы получить ряд других свойств кольца
целых р-адических чисел. Мы покажем лишь, что это кольцо не содержит
делителей нуля. В самом деле, образом группы типа р°° при любом нену-
ненулевом эндоморфизме будет сама эта группа, а не ее истинная подгруппа,
и поэтому результатом последовательного выполнения двух ненулевых
эндоморфизмов не может явиться нулевой эндоморфизм.
Переходим к вопросу о кольце эндоморфизмов пря-
прямой суммы. Для этой цели необходимо ввести понятие группы гомо-
гомоморфизмов одной абелевой группы в другую. Рассмотрим множество
всех гомоморфных отображений абелевой группы А в абелеву группу В
и для любых двух гомоморфизмов %, г\ из этого множества определим
сумму формулой

§ 21] КОЛЬЦО ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ 129
Доказательство того, что отображение % + т] будет гомоморфизмом и что
этим путем множество гомоморфизмов группы А в группу В превращается
в абелеву группу, проводится дословным повторением того, что было
сказано в начале параграфа для частного случая сложения эндоморфиз-
эндоморфизмов. [См. Д.33.5.]
Заметим, что если даны абелевы группы А, В и С, то можно гово-
говорить о произведении гомоморфизма А в В на гомоморфизм В в С, понимая
под этим результат последовательного выполнения указанных гомомор-
гомоморфизмов; это будет, очевидно, гомоморфизм А в С.
Пусть теперь абелева группа G представлена в виде прямой суммы
конечного числа групп Нг,
G=Y> Нг.
i=l
Обозначим через Рщ кольцо эндоморфизмов группы Ht, а через Rtj при
i =?. j - - группу гомоморфизмов группы Hi в группу Нj. Тогда справед-
справедлива следующая теорема (см. Кишкина [1]).
п
Кольцо эндоморфизмов группы G = 2 Н% изоморфно кольцу квадрат-
г=1
них матриц (%ij) порядка п, где %и ? Rtj, с обычными для матриц опре-
определениями операций сложения и умножения х).
В самом деле, отнесем всякой матрице (%и) указанного вида отобра-
отображение % группы G в себя, определяемое следующим образом: если g ? G,
причем
ТО ПОЛОЖИМ
п п
i=l 3=1
Это отображение будет, как легко видеть, эндоморфизмом группы G.
Обратно, всякий эндоморфизм % группы G соответствует в этом смысле
некоторой матрице: если ht — произвольный элемент из Hi и если
то положим
отображение %ц будет, очевидно, гомоморфизмом группы Нг в группу Hj.
Доказательство того, что полученное взаимно однозначное соответствие
между эндоморфизмами группы G и матрицами вида (%tj) ставит в соответ-
соответствие сумме и произведению эндоморфизмов сумму и произведение соот-
соответствующих матриц, не представляет никаких затруднений и предо-
предоставляется читателю. Отсюда вытекает, в частности, что матрицы вида (%tj)
¦действительно составляют кольцо.
Из доказанной теоремы и результатов § 12 вытекает, что группа
п
автоморфизмов группы G = 2 Hi изоморфна мультипликативной группе
i=i
тех матриц вида (%и), для которых в кольце всех этих матриц существует
обратная матрица. Заметим, что тождественному автоморфизму
х) Заметим, что для матриц указанного вида не только сложение, что очевидно,
но и умножение всегда выполнимы и приводят к матрицам этого же вида.

130 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VI
группы G соответствует матрица, у которой по главной диагонали стоят
единицы колец Rit, а вне этой диагонали — нули.
Приложим эти результаты к случаю абелевых групп
с конечным числом образующих, разложимых, как мы
знаем, в прямую сумму циклических групп, бесконечных и конечных
примарных. Кольца эндоморфизмов циклических групп нам уже извест-
известны. Столь же легко доказывается следующее утверждение: если А и В —
две циклические группы, бесконечные или конечные примерные, то
группа гомоморфизмов группы А в группу В 1) изоморфна группе В,
если группа А — бесконечная циклическая, 2) будет циклической порядка
ртгп(к,1)^ если группы А и В являются примарными по одному и тому же
простому числу р и имеют соответственно порядки рк и р1, 3) равна нулю
во всех других случаях. Заметим, далее, что если даны циклические
группы {а}, {&}, {с} и гомоморфизмы ф первой во вторую и г|) второй
в третью, причем
аср = кЪ, Ь\р = 1с,
то
а (сря|)) = (Ы) с.
Поэтому, если рассматривать указанные выше группы гомоморфизмов
циклических групп как аддитивные группы кольца целых чисел С или
его соответствующих колец вычетов Сп, то мы получим, что произведению
гомоморфизмов соответствует произведение соответствующих целых чисел,
редуцированное, понятно, по модулю порядка группы {с}.
Мы предоставляем читателю детальное доказательство утверждений
предшествующего абзаца, а также фактическое описание кольца эндомор-
эндоморфизмов абелевой группы с конечным числом образующих, заданной
своими инвариантами. Отметим лишь следующие результаты, относящиеся
к случаю свободной абелевой группы.
Кольцо эндоморфизмов свободной абелевой группы ранга п изоморфно
кольцу всех квадратных матриц порядка п с целочисленными элементами.
Группа автоморфизмов свободной абелевой группы ранга п изоморфна
мультипликативной группе тех квадратных матриц порядка п с цело-
целочисленными элементами, определители которых равны 4-1.
Группам автоморфизмов и кольцам эндоморфизмов различных классов
абелевых групп посвящен ряд работ, в частности, работы Шода [1], [3],
Бэра [14], [27], Дэрри [1], Шифмана [1], Кишкиной [1]. [См. § Д.34.1
§ 22. Абелевы группы с операторами
В разнообразных приложениях абелевых групп с операторами
область операторов обычно оказывается ассоциативным кольцом R с эле-
элементами а, р, у, . . ., причем, помимо выполняющегося для любых опе-
операторов условия
(а -\- Ъ) а = аа -\- Ъа,
справедливы также следующие два условия, устанавливающие связь
между операцией в группе G и операциями, определенными в кольце R:
A)
а (сф) = (аа) р *). B)
г) Необходимо учесть, конечно, что знак + в левой части равенства A) есть
знак сложения в кольце R, а этот же знак в правой части равенства означает опера-
операцию в группе О. Соответственно в равенстве B) нужно различать произведение эле-
элементов из Л и действие оператора из R на элемент из G.

§22] АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ С ОПЕРАТОРАМИ 131
Лишь при выполнении условий A) и B) мы будем говорить, что
группа G обладает кольцом операторов R. Говорят также, что группа G
является модулем над кольцом R, или, короче, является R-модулем.
Естественность условий A) и B) следует из того, что если областью
операторов для абелевой группы G считается кольцо ее эндоморфизмов
или любое подколыго этого кольца, то условия A) и B) непосредственно
следуют из определения суммы и произведения эндоморфизмов. Далее,
если некоторое кольцо рассматривается как правосторонняя область
операторов для его аддитивной группы, то условия A) и B) превращаются
в дистрибутивность операций в кольце и ассоциативность умножения.
Наконец, изучающиеся в курсе высшей алгебры векторные пространства
над некоторым полем Р будут, очевидно, Р-модулями. Заметим, что
всякая абелева группа без операторов может считаться модулем над
кольцом целых чисел.
Из A) следует аа = а(а + 0) = аа + а-0, откуда а-0 = 0 *), т. е.
нулю кольца R как оператору соответствует нулевой эндоморфизм
группы G.
Далее, аа = а[а + р — р] = а(а — Р) + ар, откуда
а(а —Р) = аа—ар. A')
Если кольцо R обладает единицей е, то оператору е не обязательно
соответствует тождественный автоморфизм группы G. Так, условия A)
и B) будут выполнены, если мы положим, например, аа = 0 для любого а
из G и любого а из Л; в этом случае, конечно, наличие кольца операто-
операторов ничего не добавляет к изучению группы G. Общий случай легко
сводится, однако, на этот случай и на тот, когда оператору е соответ-
соответствует тождественный автоморфизм.
Пусть, в самом деле, дана абелева группа G с кольцом операторов R,
обладающим единицей е. Обозначим через Н множество таких элементов
а из G, что аъ = а, а через F — множество таких а из G, что аг = 0.
Н и F будут допустимыми подгруппами группы G, содержащими в пере-
пересечении лишь нуль. Их прямая сумма совпадает с группой G, ибо для
любого а из G справедливо равенство
а = се + (а— аг),
где, очевидно, аъ ? Н, а — аъ ? F. Мы имеем право, конечно, изучая
группы с операторами, ограничиться прямым слагаемым Н, для кото-
которого е соответствует его тождественному автоморфизму. В будущем,
говоря о кольце операторов с единицей, мы будем всегда предполагать
это ограничение выполненным, т. е. принимать условие
аг = а C)
для всех а из G.
Если дана группа G с кольцом операторов R, то множество й всех
таких элементов а из R, которые аннулируют данный элемент а из G,
т. е. таких, что аа = 0, будет правосторонним идеалом кольца R, как
показывают равенства A') и B). Этот идеал й называется порядком эле-
элемента а. Для обычных абелевых групп, т. е. для групп с кольцом целых
чисел С в качестве кольца операторов, это определение превращается
по существу в обычное: если элемент а имеет в обычном смысле порядок м,
х) Нуль в левой части равенства есть нуль кольца R, нуль в правой части —
нулевой элемент группы G.

132 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VI
то он аннулируется лишь числами, кратными числу га, т. е. числами,
составляющими идеал числа га в кольце С.
Если порядок элемента а является нулевым идеалом кольца R, то
элемент а называется элементом бесконечного порядка. Так, в аддитивной
группе кольца R без делителей нуля с самим кольцом R в качестве обла-
области правосторонних операторов все элементы, кроме нуля, будут иметь
бесконечный порядок. Порядком нуля группы G всегда является, конеч-
конечно, само кольцо R, причем нуль будет единственным элементом порядка
Л, если рассматривается кольцо операторов с единицей [см. условие C)].
Если рассматривается кольцо операторов R с единицей, то (допу-
(допустимая) циклическая подгруппа элемента а группы G (см. § 15) будет
состоять из всех элементов вида аа, а ? R. Действительно, эти элементы
составляют в G подгруппу, как показывает равенство A), допустимость
этой подгруппы следует из B), условие C) показывает, что элемент а
содержится в этой подгруппе, и, наконец, цикличность этой подгруппы
следует из того, что во всякой допустимой подгруппе, содержащей а,
будут содержаться и все элементы аа.
Допустимая циклическая подгруппа элемента а операторно изоморф-
изоморфна фактор-группе R/a, где й есть порядок элемента а. В частности, если
й является двусторонним идеалом кольца R, то циклическая подгруппа
элемента а операторно изоморфна аддитивной группе кольца вычетов
Л/й. Действительно, ставя в соответствие элементу а из В элемент аа
из G, мы получим ввиду A) и B) операторно гомоморфное отображение
аддитивной группы кольца R на циклическую подгруппу элемента а,
причем в нуль будут отображаться элементы из й и только они.
По отношению ко всякому результату, полученному в общей теории
абелевых групп, может быть поставлен вопрос, для групп с какими коль-
кольцами операторов этот результат остается справедливым. Пересмотр
с этой точки зрения содержания теории абелевых групп еще далеко
не завершен, хотя он представляет несомненный интерес и для самой
теории колец. Мы ограничимся некоторыми указаниями, относящимися
к результатам, доказанным в предшествующих параграфах настоящей
главы, причем во избежание излишних осложнений будем в этом и сле-
следующем параграфах предполагать, что кольцо операторов R является
кольцом с единицей и без делителей нуля.
Для справедливости утверждения, что периодическая часть F груп-
группы G, т. е. совокупность ее элементов с порядками, отличными от нуле-
нулевого идеала, будет подгруппой, достаточно предположить, что пересечение
любых двух ненулевых правосторонних идеалов кольца R отлично от нуля.
Допустимость этой подгруппы получается при дополнительном предпо-
предположении о коммутативности кольца R. Фактор-группа GIF
будет в этом случае также Д-модулем, причем все ее элементы, отличные
от нуля, имеют бесконечный порядок.
Теорема о разложимости периодической абелевой группы в прямую
сумму примарных групп требует наложения более сильных ограничений
на кольцо операторов R. Для этого достаточно, во всяком случае, пред-
предположения, что R является коммутативным кольцом главных идеалов,
т. е. что все его идеалы главные.
Определение линейной зависимости элементов сохраняет смысл
для группы с любым кольцом операторов R. Если же предположить
это кольцо коммутативным, то сохраняется и доказательство
теоремы о замене, а поэтому может быть введено понятие ранга группы.
При этом предположении сохраняет силу и теорема о том, что ранг груп-

§ 22а] ТЕОРИЯ ТЕЙХМЮЛЛЕРА 133
пы равен сумме ранга любой ее (допустимой) подгруппы и ранга фак-
фактор-группы по ней.
Роль бесконечной циклической группы в случае групп с кольцом
операторов Л играет аддитивная группа самого кольца R, рассматри-
рассматриваемая как правый Л-модуль; в качестве образующего элемента можно
взять единицу кольца Л или любой делитель единицы. Прямая сумма
любого множества таких групп будет называться свободным R-модулем.
Если кольцо R коммутативно, то ранг свободного Л-модуля равен числу
циклических прямых слагаемых.
Всякий R-модулъ изоморфен фактор-модулю некоторого свободного
R-модуля, причем при коммутативном R R-модулъ с п образующими
изоморфен фактор-модулю свободного R-модуля ранга п.
Доказывается эта теорема операторно-гомоморфным отображением
на рассматриваемый Л-модуль свободного Л-модуля с соответствующей
системой образующих и применением теоремы о гомоморфизмах для
операторных групп.
Если все правосторонние идеалы кольца R являются главными, то
всякая допустимая подгруппа свободного R-модуля, отличная от нуля,
сама свободна.
Для доказательства этой теоремы нужно повторить доказательство
соответствующей теоремы из § 19, внеся в него следующее изменение:
если в данной подгруппе рассматриваются элементы с данным последним
индексом v, то уже нельзя говорить, что среди них существует элемент
с наименьшим положительным последним коэффициентом. Легко видеть,
однако, что последние коэффициенты всех этих элементов составляют
в R правосторонний идеал, который по условию будет главным, т. е.
имеет вид aR. Элемент с последним индексом v и последним коэффициен-
коэффициентом а будет играть теперь роль элемента с наименьшим положительным
последним коэффициентом.
В работе Эверетта [1 ] показано, что условия, наложенные нами
на кольцо R — наличие единицы, отсутствие делителей нуля, все право-
правосторонние идеалы главные — являются и необходимыми для справедли-
справедливости теоремы о подмодулях свободного Д-модуля.
Для перенесения на случай операторных абелевых групп теоремы
о связи между базой свободной абелевой группы конечного ранга и базой
ее подгруппы, а также вытекающей из нее основной теоремы об абелевых
группах с конечным числом образующих, на кольцо операторов R необ-
необходимо наложить более сильные ограничения. В работе Тейхмюллера [1 ]
показано, что эти результаты остаются справедливыми в том случае,
когда все правосторонние и все левосторонние идеалы кольца R являются
главными. Более частный случай евклидова кольца R рассмотрен в 15-й
главе 2-го издания «Современной алгебры» Ван-дер-Вардена. Теория
Тейхмюллера излагается в следующем параграфе.
§ 22а. Теория Тейхмюллера
Как сказано выше, теорема, дающая связь между базами свободного
Л-модуля с п образующими — условимся обозначать его через Un{R) —
и его допустимой подгруппы V", будет доказываться в предположении, что
все левосторонние и все правосторонние идеалы кольца операторов R
являются главными. Иными словами, если А есть произвольный левосто-
левосторонний (правосторонний) идеал кольца Л, то в А можно найти такой
элемент а, что А = Ra (соответственно А = aR). Введем сперва несколько

134 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VI
новых понятий и докажем ряд результатов, относящихся к этому
классу колец. При этом, как уже было сказано, рассматриваются кольца
с единицей и без делителей нуля.
Если элемент b кольца R содержится в идеале Ra, а =? 0, т. е. в R
существует такой элемент г, что Ъ = га, то элемент а называется правым
делителем элемента Ъ. В этом случае, очевидно, Rbs^Ra. Если Rb =
= Ra, то Ъ будет в свою очередь правым делителем элемента а, т. е.
а = г'Ъ. Тогда благодаря отсутствию делителей нуля гг' = е, т. е. г
и г' являются делителями единицы. Заметим, что в этом случае имеет
место также равенство г'г = е. Действительно, из гг' = е следует r'rr' =
= г', откуда ввиду отсутствия делителей нуля г'г = е. Элемент а назы-
называется левым делителем элемента Ъ, если Ъ содержится в правостороннем
главном идеале aR. Элемент а есть полный делитель элемента Ъ, если он
является как правым, так и левым делителем, т. е. если Ъ содержится
в пересечении Ra[]aR.
Если в кольце R даны левосторонние идеалы Ra и Rb, то их сумма
также будет главным идеалом, т. е. в R можно найти такой элемент с, что
(Ra, Rb) = Rc.
Элемент с называется правым наибольшим общим делителем элементов а
и Ъ. В R существуют, следовательно, такие элементы г', г", rit r2, что
а—г'с, b=r"c, с—г{а-\-г2Ъ.
Аналогичным образом определяется левый наибольший общий делитель
двух элементов кольца R.
В кольце R нельзя найти бесконечную возрастающую последователь-
последовательность левосторонних идеалов.
Пусть, в самом деле, в R дана бесконечная неубывающая последова-
последовательность
А{^А2<= ... s^4ns ...
Объединение этой последовательности также будет левосторонним идеа-
идеалом в Л, а поэтому — главным идеалом, порожденным некоторым эле-
элементом Ъ. Элемент Ъ будет, однако, содержаться в одном из идеалов Ап,
а поэтому все идеалы последовательности должны, начиная с некото-
некоторого места, совпадать.
Соответствующая теорема имеет место и для правосторонних идеалов.
В кольце R нельзя найти бесконечную убывающую последовательность
левосторонних (правосторонних) идеалов, содержащих некоторый лево-
левосторонний (правосторонний) идеал А, отличный от нулевого.
Рассмотрим произвольную невозрастающую последовательность лево-
левосторонних идеалов
Я( => Я2 => . . . =2 Я„ =2 . . .
Если А = Ra, а^О, и Вп = Rbn, п = 1, -2, . . ., то существуют такие
отличные от нуля элементы гь г2, . . . и г[, г'г, . . ., что
a = rnbn, bn+i = r'nbn, n = l, 2, ...
Отсюда
a = rn+ibn+1 = (rn+lr'n)bn = rnbn,
т. е. гп+1г'п = гп. Это показывает, что правосторонние идеалы
rxR, r2R, . ..,rnR, ...

^ 22а] ТЕОРИЯ ТЕЙХМЮЛЛЕРА 135
составляют неубывающую последовательность. Ввиду доказанного выше,
начиная с некоторого п, должны иметь место равенства
rnR = rn+iR = ...
Но из rnR = rn + iR следует существование такого элемента г', что гп+1 =
= гпг', т. е. rn + 1 = rn+i (r'nr'), откуда r'nr' = e. Элемент г'п является,
следовательно, делителем единицы, а поэтому Вп + 1 = Вп. Это же, оче-
очевидно, справедливо и для всякого i > п. Тем самым теорема доказана.
Элемент а из кольца R, не являющийся делителем единицы, назы-
называется неразложимым, если из равенства а = be следует, что или Ь, или
с является делителем единицы. Если же элемент а разложимый, то вся-
всякому его разложению а = blb2 • ¦ -bh в произведение множителей,
не являющихся делителями единицы, соответствует цепочка левых
идеалов
RaczR(b2...bh)cz ... aRbhczR,
различных между собою и заключенных между Ra и R. Обратно, если
между Ra и R дан конечный ряд различных левосторонних идеалов
Ra cz Rcx d Rc2 с ... с: Rct с: R,
то существуют такие элементы Ьь . . ., Ъх, не являющиеся делителями
единицы, что а = Ъ^и ct = b2c2, . . ., c;_t = Ъгси откуда
а = ЪХЬ2 . .
Из доказанных выше теорем об обрыве цепочек идеалов следует
(см. § 16), что фактор-группа RfRa, рассматриваемая как группа с коль-
кольцом R в качестве области (левых) операторов, обладает композиционным
рядом. Каждому из композиционных рядов этой группы соответствует
разложение элемента а в произведение конечного числа неразложимых
множителей и обратно, а из теоремы Жордана — Гёльдера следует, что
все такие разложения элемента а будут обладать одним и тем же числом
множителей. Это число мы будем обозначать через г (а).
Если Ъ есть левый или правый делитель элемента а, то всякое разло-
разложение элемента Ъ в произведение неразложимых множителей можно
дополнить до такого же разложения для элемента а. Отсюда следует,
что г F)<;г (а), причем равенство будет тогда и только тогда, если а
является в свою очередь делителем для Ъ. Именно это свойство целого
положительного числа г (а), связанного с элементом а кольца R, будет
дальше использоваться.
Возвращаемся к абелевым группам с операторами.
Если все правосторонние и все левосторонние идеалы кольца R являют-
являются главными, то в свободном модуле Un(R) и в его допустимой подгруппе V
можно выбрать соответственно такие базы i^, u2, . . ., ип и vl, v2, ...
. . ., vh, /с<м, что
Vi = UiSi, i = l, 2, ..., k,
где всякое е, является полным делителем для 8j + i-
Доказательство проходит по такой же схеме, как доказательство
соответствующей теоремы в § 20. Мы предоставляем поэтому читателю
проведение всех деталей доказательства и ограничимся лишь указанием
тех изменений, которые вызываются переходом от случая операторов
из кольца целых чисел к рассматриваемому сейчас общему случаю.

136 ОСНОВЫ ТЕОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП [Гл. VI
Справедливость теоремы для п = 1 следует теперь из замечания,
что в этом случае допустимые подгруппы будут правосторонними идеа-
идеалами кольца R, а поэтому и главными идеалами.
В доказательстве, данном в § 20, основную роль играл минимальный
положительный коэффициент в линейных формах, составляющих под-
подгруппу V. Его роль будет теперь играть отличный от нуля коэффициента,
для которого число г (а) является минимальным.
Далее, мы не можем пользоваться теперь алгоритмом деления с остат-
остатком. Его заменяют в доказательстве нашей теоремы следующие две
леммы.
Лемма 1. Если в элементе
и — щщ + и2а2 + ¦ ¦ ¦ + ипап
из модуля Un(R) коэффициенты at и а% отличны от нуля и если б есть
правый наибольший общий делитель элементов at и а2 в кольце R,
то можно так изменить базу модуля Un(R), что в записи элемента и отно-
относительно новой базы б будет одним из коэффициентов.
По условию (.Raj, Ra2) = R5. Тогда в R существуют такие элемен-
элементы а[, а'2, I и т], что
6 A)
откуда
%а'1 + цсс^1. B)
Из B) следуют равенства
адаг = а1 —аЖ> . C>
— a;|a^ = a^a; — а'2. D)
Одна из сторон каждого из этих двух равенств лежит в идеале Ra[, дру-
другая в идеале Ra'2, т. е. они содержатся в пересечении названных идеалов.
Это пересечение снова будет левосторонним идеалом кольца R, причем
заведомо отличным от нуля, так как левая часть хотя бы одного из ра-
равенств C), D) не равна нулю. Существует, следовательно, такой элемент
Р, р=^0, что
Отсюда следует существование таких элементов о, т, ц и v, что
Р=(га^=— ха'2, ' E)
v|3 = — a;|oci - а'2ца'2 — a'v G)
Полагаем теперь
щ — Ui, ?= 3, ..., п.
Это будет преобразованием базы модуля Un (R). Действительно, обрат-
обратным для него будет преобразование
и2 = и[-ц + u'tx,
Ui=Uj, i = 3, .. ., м,

§ 22а] ТЕОРИЯ ТЕЙХМЮЛЛЕРА 137
что можно проверить, используя равенства B), E), F), G) и учитывая г
что в кольце R отсутствуют делители нуля. Мы получаем теперь,
ввиду A) и E),
и = и[Ь + и'3а3 + ... + и'пап,
что доказывает лемму.
Лемма 2. Если подмодуль V модуля Un(R) содержит элементы
ь\ = щаг + и2а2 + .. . + ипап,
V2 = UjPj + U2$2 + . . . + Unfin
с отличными от нуля коэффициентами а4 и pt и если 8 есть левый
наибольший общий делитель элементов ai и P-t в R, то 8 будет коэффи-
коэффициентом при Mj для одного из элементов подмодуля V.
Действительно, из (оцД, pti?) = 8R следует существование в R
таких элементов g и ц, что cqg + р^ = б. Тогда в подмодуле V содер-
содержится элемент '
что и доказывает лемму.
Заметим, наконец, что если в Un(R) и в V выбраны соответственно
такие базы uit и2, ¦ ¦ ., ип и и±, и2, . . ., V&, что
Vi^UtSi, г = 1, 2, . ..,к,
то доказательство утверждения, что et является полным делителем для
е2, проводится следующим образом.
В подмодуле V содержится элемент
vi + v2 = Wi6i + и2е2-
Поэтому ввиду выбора элемента et и леммы 1 этот элемент et будет пра-
правым делителем для е2. С другой стороны, если мы выберем для модуля
Un(R) базу щ, п2 — пи п3 , . . ., пп, то будет
y1 = Ui81, У2 = "ls2 + ( — Ml) e2>
откуда ввиду выбора элемента et и леммы 2 8j будет левым делителем
для е2.
Теорема, доказательство которой было сейчас намечено, позволяет,
как и в случае групп без операторов, доказать, что всякий модуль с ко-
конечным числом образующих над кольцом операторов с главными пра-
правосторонними и левосторонними идеалами разлагается в прямую сумму
конечного числа допустимых циклических подгрупп. Предполагая допол-
" нительно кольцо операторов коммутативным, можно было бы те из этих
циклических слагаемых, образующие элементы которых имеют ненуле-
ненулевые порядки, разложить в прямую сумму циклических подгрупп, поряд-
порядки которых будут уже идеалами, порожденными степенями простых
(т. е. неразложимых) элементов кольца операторов, а затем доказать
инвариантность этих порядков. Доказательства этих утверждений по
существу близки к доказательствам соответствующих теорем из § 20,
но требуют, однако, некоторых дополнительных сведений из теории
коммутативных колец главных идеалов, и поэтому мы их опускаем.

Глава, седьмая
ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
§ 23. Полные абелевы группы
Теория примарных абелевых групп принадлежит к числу наиболее
содержательных и глубоких ветвей общей теории групп, причем теорию
счетных примарных групп можно считать уже законченной. Ряд разде-
разделов теории примарных групп — теория полных групп, вопрос о сервант-
ных подгруппах и другие — уже вышел сейчас за рамки примарных
групп. Целесообразно поэтому излагать теорию примарных групп в тес-
тесном переплетении с теорией смешанных абелевых групп, тем более, что
на этом пути лежит и естественный подход к основному вопросу теории
смешанных групп — к вопросу об их расщеплении, т. е. о разложении
в прямую сумму периодической группы и группы без кручения.
Мы начнем с изучения одного важного класса абелевых групп, в неко-
некотором смысле двойственного классу свободных абелевых групп.
Абелева группа G называется полной, если для всякого элемента а
из С и всякого натурального числа п уравнение
пх~ а
имеет в G хотя бы одно решение, т. е. если, как говорят, всякий эле-
элемент а можно разделить в группе G на любое натуральное число. Оче-
Очевидно, что для полноты группы G достаточно делимости всякого ее эле-
элемента на любое простое число.
Непосредственно из определения вытекает, что всякая фактор-группа
полной группы сама полна, а также, что прямая сумма любого множества
полных групп сама будет полной группой.
Если абелева группа G содержит полную подгруппу А, то А служит
для G прямым слагаемым.
В самом деле, пусть В будет одна из максимальных подгрупп груп-
группы G, пересечение которых с А равно нулю; существование такой под-
подгруппы следует из теоремы, доказанной в § 7. Подгруппы А ж В состав-
составляют в группе G прямую сумму. Если в группе G можно найти элемент g,
не принадлежащий к A -f- В, то пересечение подгрупп А + В и {gj
не может равняться нулю, так как иначе пересечение подгрупп А
и В + {g} также было бы равно нулю в противоречие с выбором В.
Таким образом, некоторое кратное элемента g входит в А -\- В, т. е.
pg = a -\- b, а ? А, Ъ ? В; можно считать при этом число р простым —
достаточно заменить элемент g его некоторым кратным, которое еще
яе входит в А + В, но простое кратное которого уже содержится в А + В.

$23] ПОЛНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 139
В подгруппе А существует такой элемент а', что ра' = а. Тогда
Введем обозначение g' = g — а'. Всякий элемент из подгруппы {g', В}
имеет вид kg' + V, где 0</с<р — 1, Ъ' ? В. Если бы пересечение
подгрупп А и {g', S} было отличным от нуля, то в А существовал бы
такой элемент а, а Ф 0, что
a = kg' + b'.
Здесь к Ф О, так как А {]В = О, но отсюда, ввиду pg' ? S и взаимной
простоты чисел р ж к, мы без труда получаем g' ? А +5, что невоз-
невозможно. С другой стороны, равенство нулю пересечения подгрупп А
т& {g', В) противоречит выбору подгруппы В. Этим доказано, что G =
= А + В.
Сумма любого множества полных подгрупп некоторой абелевой груп-
группы сама является полной подгруппой.
Действительно, если в абелевой группе G даны полные подгруппы
Аа, то всякий элемент из суммы этих подгрупп имеет вид aai + ааг-\- . . .
- . .+ аа^ где аа. 6 Аа.. Если аа. 6 Аа., раа. = аа., i = 1, 2, . . ., к,
то элемент аа +аа + ...+ аа. лежит в сумме подгрупп Аа и
12 Л
В частности, сумма А всех полных подгрупп абелевой группы G
будет в G максимальной полной подгруппой. В прямом разложении
существующем ввиду доказанной выше теоремы, слагаемое G' уже
не содержит полных подгрупп. Если мы условимся называть редуциро-
редуцированной такую абелеву группу, никакая подгруппа которой не является
полной, то мы получаем, что всякая абелева группа разлагается в прямую
сумму двух групп — полной и редуцированной. Абелева группа G может
обладать многими прямыми разложениями такого рода, однако всегда
их полные слагаемые совпадают и поэтому редуцированные слагаемые
между собою изоморфны.
Все полные абелевы группы могут быть без труда описаны. К их
числу принадлежит, очевидно, группа типа R: т. е. группа, изоморфная
аддитивной группе всех рациональных чисел, а также группы типа р°°
для всех простых р (см. § 7). Действительно, делимость всякого элемента
группы типа р°° на число р вытекает из определения этой группы, деле-
деление же на всякое простое число q, отличное от р, может быть осущест-
осуществлено уже внутри порождаемой этим элементом циклической группы
порядка рп. Оказывается, что указанными группами и их прямыми
суммами исчерпываются все полные группы.
Всякая полная абелева группа разлагается в прямую сумму некото-
некоторого множества групп типа R и групп типов р°° по некоторым простым р.
Действительно, периодическая часть F полной абелевой группы G
будет сама полной, так как всякое решение х уравнения пх = а имеет
вместе с а конечный порядок. Отсюда, как доказано выше, вытекает
существование прямого разложения
причем подгруппа Н есть группа без кручения и, будучи изоморфной
фактор-группе полной группы, сама полна. С другой стороны, подгруппа

140 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
F разлагается, как доказано в § 19, в прямую сумму примерных групп
Fp по различным простым р. При этом всякая подгруппа Fp будет пол-
полной: если а ? Fp, то решение уравнения рх = а имеет своим порядком
степень р и поэтому содержится в Fp, всякое же уравнение qx = а, где
(<7> ?) = 1> разрешимо, как мы знаем, уже в подгруппе {а}.
Остается рассмотреть, следовательно, два частных случая — случай
полной группы без кручения и случай полной группы, примарной по р.
Если G — полная группа без кручения, а — ее элемент, отличный
от нуля, то элементы аь а2, . . ., ап, . . ., где
ui='u, nan = an-i, га = 2, 3, ...,
— существование таких элементов следует из полноты группы G —
порождают в G подгруппу типа R (см. пример 2 в § 18). Пусть М будет
максимальная линейно независимая система группы G. Включим каждый
элемент из М указанным способом в подгруппу типа R. Сумма G' всех
этих подгрупп будет их прямой суммой, как вытекает из линейной неза-
независимости системы М. Она будет вместе с тем совпадать с самой груп-
группой G. Действительно, всякий элемент Ъ из G линейно зависит от М,
т. е. имеет место равенство
пЪ = k^av + к2а2 + • ¦ ¦ + ksas,
где в^О, аи а2, . . ., as ? M. В полной подгруппе G' можно найти
однако, элемент с, связанный с М этой же самой линейной зависимостью;
отсюда п {Ъ — с) = 0, т. е. Ъ = с, а поэтому G' = G.
Переходя к случаю групп, примерных по р, прежде всего заметим,
что всякий элемент полной примарной группы содержится в некоторой
подгруппе типа р°°. Действительно, если в полной группе дан элемент а
порядка рк, то введем обозначение
ai = ph~1a, a2 = ph'2a, .. .,ah_i = pa1 ah = a.
Выберем затем в качестве ah+i один из тех элементов, р-кратное которых
равно а. Вообще, если элемент ап, п^к, уже выбран, то в качестве
an+i берется одно из решений уравнения рх = ап. Элементы аи а2, . . .
. . ., ап, ... порождают, очевидно, подгруппу типа р°°, содержащую
элемент а.
Пользуясь этим, в полной примарной группе G обычным трансфи-
трансфинитным процессом можно так выбрать некоторое множество подгрупп
типа р°°, что их сумма G' будет их прямой суммой, причем в G уже нельзя
выбрать подгруппу типа/)°°, пресечение которой с G' было бы равно нулю.
Покажем, что G' совпадает с G. Действительно, если бы группа G содер-
содержала элемент а, лежащий вне G', и если бы пересечение подгрупп G'
и {а} было равно нулю, то, включая элемент а в подгруппу типа р°°, мы
пришли бы в противоречие с определением подгруппы G'. Если же
р"а ? G', но рк~га (? G', то ввиду полноты подгруппы G' в ней можно найти
такой элемента', что рка' = рка. Элемент а — а' отличен от нудя, но пере-
пересечение его циклической подгруппы с G' равно нулю, а этот случай нами
уже рассмотрен. Этим доказано, что группа G является прямой суммой
групп типа р°°.
Доказательство теоремы закончено.
Из этой теоремы следует, в частности, что аддитивная группа всех
действительных чисел, являющаяся полной группой без кручения мощно-
мощности континуум, разложима в прямую сумму континуального множества
групп типа R.

3 23] ПОЛНЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 141
Всякое прямое разложение полной абелевой группы может быть про-
продолжено до разложения в прямую сумму групп типа R и типов р°°. Любые
два разложения полной группы в прямую сумму групп типа R и типов р°°
изоморфны между собой.
Первое утверждение теоремы вытекает из того, что всякое прямое
слагаемое полной группы само полно,— если G = А + В ъп (а' + Ъ') = а,
где а', а ? А, Ъ' ? В, то па' = а,— а поэтому, как доказано выше,
разложимо в прямую сумму групп типа R и типов р°°.
Для доказательства второго утверждения возьмем любое разложе-
разложение группы G в прямую сумму групп типа R и типов р°°. Выбирая в каж-
каждом из прямых слагаемых типа R этого разложения по одному элементу,
отличному от нуля, мы получим максимальную линейно независимую
систему группы G, а поэтому, как вытекает из результатов § 19, число
прямых слагаемых типа R (т. е. мощность их множества) не зависит
от выбора разложения. С другой стороны, фиксируя р и беря сумму
прямых слагаемых типа р°°, входящих в данное разложение, мы получим
подгруппу А группы G, состоящую из всех таких элементов этой груп-
группы, порядок которых конечен и является степенью р; эта подгруппа
не зависит, следовательно, от выбора разложения. Число элементов
подгруппы А, порядок которых не больше р, равно рп, если п — число
слагаемых типа р°% входящих в данное разложение; если же указанных
элементов в подгруппе А бесконечно много, то мощность их множества
совпадает с мощностью множества прямых слагаемых типа р°° в рас-
рассматриваемом прямом разложении группы G. Этим доказано, что число
прямых слагаемых типа р°° (т. е. мощность их множества) также не зави-
зависит от выбора разложения. [См. Д.28.5.]
Всякая полная абелева группа без кручения G является векторным
пространством над полем рациональных чисел Ш.
Действительно, если а и Ъ — элементы группы G и та = пЪ, то
заданием чисел т и п и одного из элементов а, Ъ другой элемент однознач-
т
но определяется. Если п =? 0, то можно употребить запись b = — а
п
и рассматривать элемент Ъ как результат применения к элементу а опе-
оператора — из поля ffi. В самом деле, справедливость условий, входящих в
определение модуля над кольцом с единицей (см. §22), легко проверяется.
Теперь легко видеть, что подгруппа типа R, содержащая элемент а
лолной абелевой группы без кручения, состоит из всех элементов вида
—а. Условимся употреблять в дальнейшем для этой подгруппы запись
ffia. Поэтому, если G есть полная группа без кручения конечного ранга
и аи а2, . . ., ап — ее максимальная линейно независимая система, то,
как доказано выше,
G = <Stal + <Sta2+ ¦¦¦+Шап.
Мы условимся также, если А есть некоторое подмножество полной груп-
группы без кручения G, а Ж' — подкольцо поля 3f, обозначать через Ш'А
минимальную подгруппу группы G, содержащую А и допустимую отно-
относительно операторов из ЭТ. Так, если М есть максимальная линейно
независимая система группы G, то ШМ = G. Эти обозначения будут
употребляться, в частности, в §§ 326, 32в.
Возвращаясь к общему случаю, докажем следующую важную теорему.
Всякая абелева группа является подгруппой некоторой полной абеле-
абелевой группы.

142 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
Следующее простое доказательство этой теоремы принадлежит Кули-
Куликову [2]. Абелева группа G может быть представлена, как мы знаем,
в виде фактор-группы некоторой свободной абелевой группы U,
Берем любое разложение группы U в прямую сумму бесконечных цикли-
циклических групп. Вкладывая каждое из этих циклических прямых слагае-
слагаемых в группу типа R — так, например, как вкладывается в аддитивную
группу рациональных чисел группа целых чисел,— и беря прямую
сумму всех этих групп типа R, мы получим полную группу V, содержа-
содержащую U. Фактор-группа V IN, являющаяся также полной, содержит под-
подгруппу U IN, т. е. содержит G.
Из этой теоремы вытекает такое обращение доказанной выше теоремы
о выделении полной группы прямым слагаемым из всякой содержащей ее
абелевой группы (см. Бэр [26]).
Если абелева группа G выделяется прямым слагаемым us всякой абе-
абелевой группы, содержащей ее в качестве подгруппы, то она будет полной.
Действительно,'? группа G должна, в частности, служить прямым
слагаемым для всякой полной группы, в которой она содержится. Мы
знаем, однако, что всякое прямое слагаемое полной группы само полно.
Следующий результат, частично содержащийся в работе Бэра [26],
а полностью доказанный Куликовым, дополняет теорему о вложении
всякой абелевой группы в полную.
Во всякой полной абелевой группе, содержащей данную группу G,
можно найти хотя бы одну полную подгруппу, минимальную среди тех,
которые содержат G. Между всякими двумя минимальными полными
группами, содержащими группу G, существует изоморфизм, продолжаю-
продолжающий тождественный автоморфизм группы G.
Пусть, в самом деле, группа G содержится в полной группе G. Так
как объединение возрастающей последовательности полных групп есть
полная группа, то существуют максимальные среди полных подгрупп
группы G, пересечение которых с G равно нулю. Пусть Н будет одна
из них. Существует прямое разложение
причем F, как известно, можно выбрать содержащим подгруппу G. Под-
Подгруппа F полна, как прямое слагаемое полной группы, причем это будет
искомая минимальная полная подгруппа, содержащая G. Действительно,
если существует полная подгруппа F', содержащаяся между G и F,
GczF'czF, то F = F' + F", т. е.
Подгруппы F" и, следовательно, F" + Н полны, а так как пересечение
подгрупп F" + Н и G равно нулю, то мы приходим к противоречию
с выбором подгруппы Н.
Пусть теперь Ft ш F% — любые две минимальные полные группы,
содержащие группу G. Ввиду неполноты группы G в ней существует такой
элемент а, что при некотором простом р уравнение
не имеет в G решения. Пусть bt и Ь2 будут решения этого уравнения соот-
соответственно в Fr и F2. Мы получим изоморфное соответствие <р' между

§ 24] ПРЯМЫЕ СУММЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП 143
подгруппами F[ = {G, &J и F'z = {G, b2}, если подгруппу G отобразим
на себя тождественно и положим Ь±ц>' = Ъ2.
Пусть для всех порядковых чисел р, меньших некоторого а, уже
найдены в F{ подгруппы F[&, составляющие возрастающую последова-
последовательность, а в F2 ¦— подгруппы F^, и установлены изоморфизмы ф(Р>,
отображающие F[P> на F|P), причем эти изоморфизмы продолжают друг
друга. Если число а предельное, то через Ff"\ i = 1, 2, обозначим объеди-
объединение подгрупп F[^\ а в качестве ф<а) возьмем соединение всех изоморфиз-
изоморфизмов ф(Р>, р <а. Если же число а —• 1 существует, то пусть с^ будет такой
элемент из i/"), что при некотором простом р уравнение
не имеет в F^'1) решения; его решение в Fi обозначим через bt. Если
1) = а2, а Ъ2 — корень уравнения
рх= а2
в Fz, то полагаем
F[a)--={F[a-l\ bt}, i = 1,2.
Отображение ф<°0, совпадающее с ф^) на F1^-1) и переводящее bt в Ь2>
будет изоморфизмом между F[a~> и F[aK
Это построение остановится тогда, когда подгруппы F<&) и F^a) ока-
окажутся полными, т. е. когда они совпадут соответственно с Ft и ^2- Тео-
Теорема доказана.
Заметим, что в полной группе на самом деле может содержаться
несколько минимальных полных подгрупп, содержащих данную под-
подгруппу G. Так, прямая сумма двух групп типа р°° — группы А с обра-
образующими
¦ ai, а2, .. ., ап, .. .
и соотношениями
0, рап+1 = ап, га=1,2, ...,
и группы В с образующими
Ъи Ь2, ...,Ьп, ...
и соотношениями
рй, = О, pbn?l = bn, м = 1, 2, .. .,
такова, что подгруппа {at} содержится как в подгруппе А, так и в под-
подгруппе типа р°°, порожденной элементами
flj, й2 + ^Ь • • •. «га + &n_i! ¦ • •
[См. Д.28.4.]
§ 24. Прямые суммы циклических групп
Мы уже изучили два класса абелевых групп, разложимых в прямую
сумму циклических групп, а именно свободные абелевы группы, т. е.
прямые суммы любого множества бесконечных циклических групп,
и абелевы группы с конечным числом образующих, т. е. прямые суммы
конечного числа любых циклических групп. Эти группы, как оказалось,
обладают рядом общих свойств и мы хотим показать, что в действитель-
действительности это будут свойства прямых сумм любого множества произвольных
циклических групп. Понятно, что можно предполагать при этом, что

144 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
все конечные циклические слагаемые этих прямых сумм примарны
по некоторым простым числам.
Существуют различные критерии разложимости абелевой группы
в прямую сумму циклических групп. Сейчас будет указан один из таких
критериев, относящийся к случаю примерных групп. Сперва введем,
однако, некоторые понятия, основные для всей теории примарных абеле-
вых групп.
Если группа G примарна (по простому числу р), то множество Gs
всех ее элементов порядка р (включая нуль) будет подгруппой, даже
вполне характеристической. Эта подгруппа называется нижним слоем
группы G.
Элемент а примарной группы G называется элементом бесконечной
высоты, если а =? 0 и если для любого к уравнение
phx = a
обладает в группе G хотя бы одним решением. Если же это уравнение
может быть решено в G лишь при &<га, то говорят, что элемент а имеет
конечную высоту, а именно высоту п.
Заметим, что было бы точнее говорить о высоте элемента а в груп-
группе G, так как высота этого элемента в содержащей его подгруппе Н
группы G может оказаться меньше, чем в самой группе G.
Следующие свойства высоты элемента немедленно
вытекают из ее определения. Если элементы а± и а2 имеют в группе G
соответственно высоты hi и h2, то при hi < /г2 высота элемента ai + a2
равна &i, а при /г4 = h2 = h высота этой суммы больше или равна h. Если
элемент а имеет высоту h, то высота элемента ра больше или равна h + 1.
Если элементы а и Ъ порождают одну и ту же циклическую подгруппу,
то их высоты в группе G совпадают. Если группа G разложена в прямую
сумму, то элемент, содержащийся в некотором прямом слагаемом, имеет
в нем такую же высоту, как во всей группе G. Высота произвольного
элемента прямой суммы равна наименьшей из высот его компонент.
В полных примарных группах и только в них всякий элемент имеет
бесконечную высоту. Больше того, если всякий элемент нижнего слоя
примарной группы G имеет в G бесконечную высоту, то группа G будет
полной. Пусть, в самом деле, уже доказано, что все элементы группы G,
порядок которых равен рп, имеют бесконечную высоту. Если а — любой
из этих элементов и bi, b2 — два любых решения уравнения рх = а, то
элемент Ь4 — Ъ2 имеет порядок р, а поэтому бесконечную высоту. Отсюда
следует на основании первого утверждения предшествующего абзаца, что
элементы Ь4 и Ъ2 имеют одну и ту же высоту. Так как, однако, элемент а
имеет бесконечную высоту, то среди решений уравнения рх = а должны
встречаться такие, высоты которых больше любого заданного натураль-
натурального числа. Мы получаем,-что все решения уравнения рх = а при любом
элементе а порядка рЛ, т. е. вообще все элементы порядка рп+1, должны
иметь в G бесконечную высоту.
Докажем теперь следующий критерий Куликова [2].
Примарная абелева группа G тогда и только тогда разложима в пря-
прямую сумму циклических групп, если она является объединением возра-
возрастающей последовательности
А^) <= ЛB) д= ... <= AW <= ... A)
таких своих подгрупп, что у каждой из них высоты элементов в группе G
конечны и ограничены в совокупности.

§ 24] ПРЯМЫЕ СУММЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП 145
Доказательство. Если группа G уже представлена в виде
прямой суммы циклических групп, то в качестве А(п\ п = 1, 2, . . ., сле-
следует взять сумму тех циклических прямых слагаемых из этого разложе-
разложения, порядок которых не больше рп.
Пусть, обратно, группа G представима в виде объединения возрастаю-
возрастающей последовательности A), подчиненной указанным условиям. Возьмем
в качестве xs один из таких элементов порядка р подгруппы А^\ кото-
которые имеют в G максимальную возможную высоту; такие элементы суще-
существуют, так как высоты в группе G элементов из А*-1) ограничены в сово-
совокупности.
Предположим, что для всех порядковых чисел а, меньших некото-
некоторого р, в G уже выбраны элементы ха, подчиненные следующим условиям:
1) все элементы ха имеют порядок р;
2) если элемент ха содержится в подгруппе Л(п>, но не в А^-1), и если
Са будет подгруппа, порожденная всеми ха> при а' < а, то:
а) подгруппа Са содержит весь нижний слой Л*"-1) подгруппы А<-п~1\
б) элемент ха не содержится в подгруппе Са и имеет наибольшую
высоту в группе G среди всех элементов подгруппы А^, лежащих вне Са.
Если подгруппа Cg, порожденная всеми ха, а < р, еще не совпадает
со всем нижним слоем Gi группы G, то элемент х$ может быть'выбран,
а именно следующим образом. Из 2а) в этом случае вытекает существо-
существование такого п, что все ха содержатся в А^п\ но не все в А^-1^. Если под-
подгруппа Ср не совпадает с А^, то в качестве х$ берем один из тех элемен-
элементов порядка р из подгруппы А(">, лежащих вне Cg, которые имеют среди
всех таких элементов наибольшую высоту в G. Если же Ср совпадает
с А^\ то берем аналогичный элемент в наименьшей подгруппе последо-
последовательности A), нижний слой которой больше А^. В обоих случаях мы
пользуемся, очевидно, требованиями, наложенными в формулировке
теоремы на подгруппы А(пК
Выбор элементов ха можно, таким образом, продолжать до тех пор,
пока они не будут порождать всего нижнего слоя группы G. Пусть это
произойдет тогда, когда ха будут выбраны для всех а, меньших у. Из 1)
и 26) вытекает, что нижний слой группы G обладает прямым разложением
Gt= 2 К}- B)
a<Y
Пусть ka будет высота элемента ха в группе G, а уа — такой элемент
из G, что
ph*ya = xa.
Ввиду B) циклические подгруппы {уа} составляют прямую сумму, кото-
которую мы обозначим через F,
F= S {Уа}. C)
a<Y
Покажем, что всякий элемент z порядка р из группы G, содержащийся
ввиду включения G4 cz F в подгруппе F, имеет в этой подгруппе такую
же высоту, как во всей группе G. В самом деле, элемент z может быть запи-
записан на основании B) в виде
где элемент x'av i = 1, 2, . . ., п, является отличным от нуля кратным
элемента ха. и поэтому имеет высоту ha. как в группе G, так и в
Ю А. Г. Курош

146 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ ABE Л ЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
подгруппе F. Высота h элемента z в подгруппе F будет равна ввиду пря-
прямого разложения C) наименьшему из чисел ha., i = 1, 2, . • ., п. Высота
этого элемента в группе G не может быть меньше h; покажем, что она
не может быть и больше. Пусть индекс к таков, что ha = h, но ha > h
при i > к. Тогда в сумме
второе слагаемое или отсутствует (при к = га), или же его высота в G
строго больше h. Что же касается первого слагаемого, то оно не содер-
содержится в подгруппе Сак и его высота в G не может быть больше высоты в G
элемента ха,, т. е. не может быть больше ha = h, так как иначе мы
пришли бы в противоречие с условием 26), наложенным на выбор эле-
элемента ха,. Отсюда вытекает, что высота в G элемента z, являющегося
ft
суммой двух элементов с различными высотами, равна меньшей из этих
высот, т. е. не больше h. Этим доказано, что элемент z имеет в G и F
одну и ту же высоту.
Предположим теперь, что G отлично от F. Пусть g будет один из эле-
элементов наименьшего порядка из группы G, лежащих вне F, и пусть его
порядок будет ps; понятно, что s>2. Элемент ps'1g имеет порядок р
и поэтому содержится в F, причем, как доказано, имеет в F и в G одну
и ту же высоту. Существует, следовательно, такой элемент / из F, что
р^1} = ps~1g. Порядок элемента g — f не больше р3'1, т. е. g — / содер-
содержится в F, но тогда и элемент g должен принадлежать к F против пред-
предположения. Этим доказано равенство G = F, т. е. закончено доказатель-
доказательство критерия. [См. Д.28.2. ]
Из этого критерия выводятся следующие теоремы Прюфера [2],
основные в теории примерных абелевых групп.
Первая теорема Прюфера. Всякая примарная группа
с ограниченными в совокупности порядками элементов разлагается в пря-
прямую сумму циклических групп.
Действительно, в этом случае высоты всех элементов группы конеч-
конечны и также в совокупности ограничены, т. е. можно применить критерий
Куликова, полагая все подгруппы А^ равными самой группе.
Вторая теорема Прюфера. Всякая счетная примарная
группа, не содержащая элементов бесконечной высоты, разлагается в пря-
прямую сумму циклических групп.
Действительно, эту группу ввиду ее счетности можно представить
как объединение возрастающей последовательности подгрупп с конеч-
конечным числом образующих, причем эти подгруппы, как вытекает из перио-
периодичности и коммутативности группы, будут все конечными. Высоты
в самой группе элементов каждой из этих подгрупп будут по условию
конечными и, так как их лишь конечное число, в совокупности ограни-
ограниченными.
Критерий Куликова приводит также к простому доказательству сле-
следующего результата:
Всякая подгруппа Н примарной группы G, разложимой в прямую
сумму циклических групп, сама разлагается в прямую сумму циклических
групп.
Действительно, группа G будет ввиду критерия Куликова объеди-
объединением возрастающей последовательности подгрупп А^п\ п — 1, 2, . . .,
причем все элементы каждой из подгрупп Л<™> имеют в G высоты конеч-

§ 24] ПРЯМЫЕ СУММЫ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП 147
ные и в совокупности ограниченные. Если
» = 1, 2, ....
то все элементы каждой из подгрупп В^ имеют в G и тем более в Н конеч-
конечные и также в совокупности ограниченные высоты. Подгруппа Н является,
однако, объединением подгрупп В(п\ а поэтому остается снова приме-
применить критерий Куликова.
Теперь мы можем прервать рассмотрение примерных групп и вновь
вернуться к общему случаю. Предшествующий результат и теорема
из § 19 о подгруппах свободных абелевых групп приводят к следую-
следующему общему результату.
Всякая подгруппа Н абелевой группы G, разложимой в прямую сумму
циклических групп, сама разлагается в прямую сумму циклических групп.
Действительно, если G* будет периодическая часть группы G, то G,
как прямая сумма циклических групп, разложима в прямую сумму под-
подгруппы G* и некоторой свободной подгруппы S. Фактор-группа группы Н
по ее периодической части Н* будет изоморфной, ввиду теоремы об изо-
изоморфизме, подгруппе группы GIG*, т. е. изоморфной подгруппе груп-
группы S. Поэтому, как подгруппа свободной группы, группа Н/Н* сама
будет свободной, а значит, как доказано в конце § 19, группа В
будет прямой суммой подгруппы Н* и свободной подгруппы. Далее,
группа G* является прямой суммой примерных подгрупп по различным
простым р, причем каждая из этих подгрупп является прямой суммой
циклических групп. Подгруппа Н* разлагается в прямую сумму своих
пересечений с этими примерными подгруппами, а теперь остается вос-
воспользоваться доказанной выше теоремой о подгруппах примерной груп-
группы, разложимой в прямую сумму циклических групп.
Если абелева группа G разложима в прямую сумму циклических групп,
то всякое прямое разложение этой группы можно продолжить до разло-
разложения с циклическими прямыми слагаемыми.
Действительно, всякое прямое слагаемое группы G разложимо,
на основании предыдущей теоремы, в прямую сумму циклических групп.
Если абелева группа G разложима в прямую сумму циклических групп,
то любые два ее прямых разложения с циклическими слагаемыми, беско-
бесконечными и конечными примарными, изоморфны между собой.
В самом деле, число бесконечных циклических слагаемых в любом
из данных прямых разложений равно рангу группы G, т. е. не зависит
от выбора разложения. Далее, те прямые слагаемые одного из данных
разложений, порядки которых являются степенями простого числа р,
порождают примерную подгруппу, которая не зависит от выбора рез-
ложения. Это позволяет огреничиться случаем, когда группе G сема
примарна.
Берем одно из разложений группы G в прямую сумму циклических
групп и через Л<™> обознечим сумму прямых слегеемых из этого разло-
разложения, порядок которых равен рп; если таких слагаемых нет, то AW = О.
Тогда
Соответственно нижний слой группы G резлегеется в прямую сумму
нижних слоев групп А^

148 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
Пусть
Тогда
откуда
А[п) ~ 5<")/Л<"+1>) га = 1, 2
2,
Легко видеть, однако, что подгруппа Л'12), га = 1, 2, . . ., может быть
определена независимо от рассматриваемого прямого разложения груп-
группы G: эта подгруппа содержит все те и только те элементы порядка р
из G, высота которых в Сне меньше п — 1. Подгруппа А^ определяется,
следовательно, самой группой G с точностью до изоморфизма, а так как
группа 4G!), как прямая сумма циклических групп одного и того же
порядка рп, вполне определяется своим нижним слоем и числом п, то
изоморфизм двух любых разложений группы G в прямую сумму цикли-
циклических групп доказан.
Теорема о подгруппах прямых сумм циклических групп позволяет
доказать, наконец, такое утверждение.
Всякая абелева группа является объединением счетмой возрастающей
последовательности прямых сумм циклических групп.
Это очевидно для полных групп, так как и группа типа R, и группы
типов р°° являются объединениями возрастающих последовательностей
циклических групп. Произвольная же абелева группа G вкладывается,
как доказано в предшествующем параграфе, в некоторую полную группу G
и поэтому является объединением своих пересечений с теми прямыми
суммами циклических групп, объединение возрастающей последова-
последовательности которых совпадает с G. Эти пересечения сами будут, однако,
прямыми суммами циклических групп. [См. Д. 28.3.]
§ 25. Сервантные подгруппы
Подгруппа С абелевой группы G называется сервантной, если для
любого элемента с из С и любого натурального числа п из разрешимости
в группе G уравнения
пх = с
следует его разрешимость уже в подгруппе С. Примерами сервантных
подгрупп служат нулевая подгруппа, сама группа G, а также прямые
слагаемые данной группы и ее периодическая часть.
Из определения вытекает, что если подгруппа С сервантна в груп-
группе G, а подгруппа С сервантна в С, то С будет сервантной и в G. С дру-
другой стороны, объединение возрастающей последовательности сервантных
подгрупп само сервантно.
Если подгруппа С сервантна в группе G, то при естественном взаим-
взаимно однозначном соответствии, существующем между подгруппами группы
GIC и подгруппами группы G, содержащими С, сервантные подгруппы
соответствуют друг другу.
Действительно, пусть подгруппа А группы G содержит подгруппу С.
Если А сервантна b,G и если существует такой элемент g, что

25] СЕРВАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ 149
ТО
а поэтому ввиду сервантности подгруппы А в ней существует такой эле-
элемент а", что па" = а + с, т. е.
Этим доказана сервантность подгруппы А 1С в группе G7C, причем сер-
вантность С здесь не использовалась.
Пусть теперь подгруппа А /СЧсервантна в группе GIC и пусть в G
существует такой элемент g, что ng = а, где а 6 -4- Отсюда
а поэтому в А существует такой элемент а , что
п (а' + С) = а + С,
т. е.
па' = о + с, с?С.
Отсюда и из равенства ng = а вытекает п {а — g) = с, а поэтому ввиду
сервантности подгруппы С в ней существует такой элемент с', что гас' =
= с. Таким образом,
а = п(а' — с'),
а так как элемент а' — с' содержится в А, то сервантность подгруппы А
в группе G доказана.
В случае примарных групп определение сервантной подгруппы рав-
равносильно следующему: подгруппа С примарной (по р) группы G тогда
и только тогда сервантна в G, если всякий элемент из С имеет в С такую
же высоту, как во всей группе G. Действительно, деление на любое число,
взаимно простое с р, выполняется уже в пределах всякой циклической
группы порядка рп.
Справедлив следующий более общий результат.
Для сервантности подгруппы С в примарной группе G достаточно,
чтобы всякий элемент нижнего слоя подгруппы С имел в С такую же
высоту, как в G.
Действительно, пусть уже доказано, что всякий элемент порядка рп
из С имеет вбивС одну и ту же высоту, и пусть в С дан элемент с поряд-
да рп+1. Если в группе G существует элемент g, удовлетворяющий равен-
равенству pkg = с, то справедливо также равенство pk+1g = рс, а так как эле-
элемент рс содержится в подгруппе С и имеет порядок рп, то в С можно найти,
по предположению, такой элемент с', что р +1с' = рс. Отсюда
т. е. содержащийся в С элемент pkc' — с имеет порядок р. Однако
pkc'-c = ph(c'-g),
а поэтому в С можно найти такой элемент с", что ркс' — с = ркс". Отсюда
с = рк(с'-с"),
чем доказано совпадение высот элемента с в G и в С.
Если сервантная подгруппа С примарной группы G содержит весь
нижний слой группы G, то С совпадает с G.

150 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
В самом деле, если группа G отлична от С, то пусть рп будет наимень-
наименьший порядок элементов из G, лежащих вне С, п > 1, и а — один из этих
элементов. Элемент ра уже содержится в подгруппе С, но тогда в С ввиду
ее сервантности существует такой элемент с, что рс = ра. Элемент а — с
имеет порядок р, т. е. принадлежит к подгруппе С, но тогда и элемент а
должен содержаться в С.
Выше было отмечено, что всякое прямое слагаемое абелевой группы
является в этой группе сервантной подгруппой. Обратное далеко не всегда
имеет место. Так, всякая примарная группа G, разложимая в прямую
сумму циклических групп с неограниченными в совокупности порядками,
содержит сервантную подгруппу, не являющуюся прямым слагаемым для G
(см. Прюфер [2]).
Для доказательства достаточно ограничиться случаем, когда G
будет прямой суммой счетного множества циклических групп, образую-
образующие которых аи а2, • • ., ап, ... имеют порядками числа phl, pki, . . .
р ", . . ., причем
... < кп
Обозначим через Н подгруппу группы G, порожденную элементами bit
Ьг, . . ., bn, . ¦ ., где
Пооизвольный элемент А из Я имеет вид
hk A)
N
2 lnbn = ha
71=1
N
71=2
Высота этого элемента в группе G равна показателю при наибольшей
степени числа р, на которую делятся все коэффициенты при образующих
а„, п = 1, 2, . . ., N + 1, в правой части этого равенства. Легко видеть,
что на эту же степень числа р делятся тогда и все коэффициенты ln, n = 1,
2, . . ., N, а поэтому элемент h имеет в подгруппе Н такую же высоту,
как в группе G. Этим доказана сервантность Н в G.
Запись A) произвольного элемента h из подгруппы Н показывает,
что эта подгруппа не содержит отличных от нуля кратных элемента as.
Вместе с тем фактор-группа GIH будет группой типа р°°, так как она
порождается образующими ап = ап + Н, связанными соотношениями
P*ia1 = 0, р?я+1-^а„+1 = ап, и = 1,2, ...
Отсюда вытекает, что Н не может служить прямым слагаемым для
G,— в противном случае группа G обладала бы подгруппой типа р°°, что
противоречит, однако, доказанной в предшествующем параграфе теореме
о подгруппах прямых сумм циклических групп. [См. Д.29.2. ]
Сейчас будут доказаны две теоремы, указывающие условия, при
которых данная сервантная подгруппа будет прямым слагаемым. Первую
из этих теорем можно рассматривать как обобщение доказанной в § 19
теоремы о выделении прямым слагаемым всякой подгруппы, фактор-груп-
фактор-группа по которой свободна, так как всякая подгруппа, фактор-группа по кото-
которой является группой без кручения, заведомо будет сервантной.
Если подгруппа С сервантна в абелевой группе G и фактор-группа
G = GIC разлагается в прямую сумму циклических групп, то С служит
для G прямым слагаемым.

§ 25] СЕРВАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ 151
Пусть, в самом деле,
5 = 2 К}. B)
а
В каждом смежном классе аа можно выбрать в качестве представителя
такой элемент аа, порядок которого равен порядку элемента аа в группе G.
Это ясно, если порядок элемента аа бесконечен. Если же он конечен
и равен п иеслиа^ — произвольный элемент из класса аа, то элемент па'а
будет содержаться в подгруппе С, а тогда ввиду сервантности этой под-
подгруппы в ней существует элементе, удовлетворяющий равенству пс = па'а.
В качестве аа можно взять теперь элемент а'а — с, содержащийся, оче-
очевидно, в классе аа.
Обозначим через А подгруппу группы G, порожденную всеми эле-
элементами аа. Подгруппы С и А порождают вместе всю группу G, пересече-
пересечение же их равно нулю. В самом деле, если в этом пересечении содержится
элемент с,
с = к^ + ... + кпаап,
то в группе G имеет место равенство
куаах + ... + кпаап = О,
из которого ввиду B) вытекает, что /с;аа{ = 0, i = 1, 2, . . ., п. Отсюда
следует, однако, что ktaai = О, ? = 1, 2, . . ., га, а поэтому с = 0. Этим
доказано существование прямого разложения
Следующая теорема (Прюфер [2], Куликов [1]) будет в даль-
дальнейшем неоднократно использована.
Если сервантная подгруппа С абелевой группы G периодична, причем
порядки ее элементов ограничены в совокупности, то С служит для G пря-
прямым слагаемым.
Пусть, в самом деле, порядки всех элементов подгруппы С являются
делителями числа п. Обозначим через nG совокупность элементов груп-
группы G, делящихся в этой группе на число п; это будет, как легко видеть,
подгруппа группы G. Пересечение подгрупп С и nG равно нулю: всякий
элемент из этого пересечения, делясь на п. в группе G, должен был бы
делиться на и в сервантной подгруппе С, однако в С и-кратное любого
элемента равно нулю. Таким образом, подгруппы С и nG составляют
в группе G прямую сумму, которую мы обозначим через Н,
H = C + nG. C)
Рассмотрим теперь фактор-группу G = G/nG и докажем, что ее под-
подгруппа Н = Н/nG в ней сервантна. Заметим сперва, что порядок всякого
элемента из G является делителем числа п и что всякий элемент из Н можно
записать в виде с -\- nG, с ? С. Пусть элемент с + nG делится в группе G
на к,
= c + nG,
причем можно ограничиться случаем, когда к является делителем числа
п, п = кк'. Отсюда
kg = c + ng',

152 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
откуда
c = k(g-Vg').
Ввиду сервантности подгруппы С в ней существует такой элемент с\
что he' = с, а поэтому
к {с + nG) = c + nG,
чем доказана сервантность подгруппы Н в группе G.
Так как порядки всех элементов фактор-группы G/H в совокупности
ограничены, то- она разлагается в прямую сумму конечного числа при-
марных групп, каждая из которых в свою очередь разлагается, на осно-
основании первой теоремы Прюфера (см. предшествующий параграф), в пря-
прямую сумму циклических групп. Поэтому, как доказано выше, Н будет
прямым слагаемым для G:
. D)
Обозначим через F полный прообраз подгруппы F в группе G, т. е.
F = FlnG. Из D) вытекает, что
{Н, F} = G, H[\F = nG,
а поэтому, учитывая C),
{С, F} = G, Cf]F = O,
т. е.
что и требовалось доказать.
Из этой теоремы можно вывести ряд интересных следствий (см. Кули-
Куликов [1]), некоторые из которых будут указаны в § 29. [См. Д.29.5. ] Сейчас
мы докажем следующую лемму (Прюфер [2]).
Лемма. Если элемент а примарной (по р) группы G имеет порядок р
и конечную высоту п, то он содержится в циклическом прямом слагаемом
порядка рп+1 группы G.
Действительно, пусть элемент Ъ таков, что рпЪ = а. Нижним слоем
подгруппы {Ь} является подгруппа {а}, причем всякий элемент из {а}
имеет в {Ь} такую же высоту, как в G. Отсюда, как доказано выше, сле-
следует сервантность подгруппы {Ъ} в группе G, а так как здесь можно
применить предшествующую теорему, то {Ь} будет прямым слагаемым
группы G.
Отсюда вытекает следующий результат.
Всякая неразложимая примарная группа является или циклической,
или группой типа р°°.
Действительно, если все элементы нижнего слоя данной группы G
имеют в ней бесконечную высоту, то, как доказано в предшествующем
параграфе, группа G будет полной и поэтому, ввиду неразложимости,
группой типа р°°. Если же в нижнем слое группы G содержится хотя
бы один элемент конечной высоты, то группа G, как только что было
доказано, обладает циклическим прямым слагаемым, т. е. ввиду нераз-
неразложимости сама циклична.
Таким образом, если примарная группа не является прямой суммой
циклических групп и групп типа рх, то она не может быть разложена
в прямую сумму неразложимых групп.

§ 26]. . ПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ БЕЗ ЭЛЕМЕНТОВ БЕСКОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ 153
§ 26. Прнмарвые группы без элементов бесконечной высоты
Примерная абелева группа, разложимая в прямую сумму цикли-
циклических групп, не содержит элементов бесконечной высоты,— мы знаем,
в самом деле, что высота элемента прямой суммы равна наименьшей
из высот его компонент, но высота всякого элемента циклической группы
конечна. Вторая теорема Прюфера (см. § 24) показывает, что в счетном
случае прямыми суммами циклических групп исчерпываются все при-
марные группы без элементов бесконечной высоты. В несчетном случае
соответствующая теорема не имеет места, как показал Прюфер [1 ] с по-
помощью весьма сложного примера; более простые примеры указали позже
Ульм [2] и Курош [9]. Приведем здесь последний из этих примеров.
Определим сперва группу Кп, п = 1, 2, ... Ее элементами будут
последовательности
(аь а2, ...,ak, ...). С1)
где ай — целые числа, причем 0 <а^ <Срп. Дополнительно требуем,
чтобы а4 делилось на рп~1, сс2 делилось на />™~2, . . ., an-i делилось
на р. Групповой операцией в Кп считаем сложение соответственных
элементов последовательностей A), производимое по модулю рп. Нулем
будет последовательность, состоящая целиком из нулей. Группа Кп имеет
мощность континуума и является примарной, причем порядками ее эле-
элементов служат делители числа рп.
Если всякому элементу A) из группы Кп будет поставлен в соответ-
соответствие элемент
(раи pa2, ...,pah, ...) B)
группы Kn+i — последовательность B) удовлетворяет, очевидно, всем
требованиям, предъявляемым к элементам группы Kn+i,— то мы получим
изоморфное отображение группы Кп в группу Кп+\. Группы Кп, га = 1,
2, . . ., составляют, следовательно, при указанных изоморфных вложе-
вложениях возрастающую последовательность; ее объединение обозначим
через К.
Докажем, что группа К не содержит элементов бесконечной высоты.
Действительно, порядок всякого элемента а из Кп, лежащего вне Кп~и
равен числу рп. Элемент рп~ха будет уже элементом из Ki, однако таким,
что первые п — 1 мест в его записи в виде последовательности A) будут
заняты нулями. Отсюда следует, что в подгруппе Kt, являющейся нижним
слоем группы К, нет элементов, имеющих в группе К бесконечную высоту.
Таких элементов не может быть, следовательно, и в самой группе К.
Докажем теперь, что группа К не может быть разложена в прямую
сумму циклических групп. Пусть она в самом деле обладает такими разло-
разложениями. Берем одно из них и через Hh обозначаем прямую сумму всех
циклических прямых слагаемых порядка ph из этого разложения. Если
Н\ есть нижний слой подгруппы Hh, то подгруппа Ki будет прямой
суммой всех подгрупп Н\, а так как Ку имеет мощность континуума,
то хотя бы одна из подгрупп Н*, к = 1, 2, . . ., должна быть бесконечной.
Иными словами, если будет введено обозначение
со
Fn — Zj Hi,
h~n
то хотя бы для одного п подгруппа Fn+i должна иметь в подгруппе Fn
бесконечный индекс. Легко видеть, однако, что подгруппа Fn состоит

154 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гп. VII
из тех и только тех элементов подгруппы Ки высота которых в группе К
не меньше п — 1, т. е. из тех и только тех элементов из Ки в записи кото-
которых в виде последовательности A) первые п — 1 мест заняты нулями.
Отсюда следует, что при всяком п индекс подгруппы Fn+i в подгруппе Fn
конечен и равен р. Этим противоречием доказывается наше утверждение.
В работах Куликова [1,2] показано даже, что для любой несчетной
мощности т существует примерная группа этой мощности, не содержащая
элементов бесконечной высоты и не допускающая таких прямых разложе-
разложений, что мощности всех прямых слагаемых не превосходят некоторого
т', меньшего т. С другой стороны, Куликов [2] дал некоторое обозрение
примерных групп без элементов бесконечной высоты, не являющееся
их полным описанием, но достаточное для того, чтобы вновь показать
невозможность распространения второй теоремы Прюфера на несчетный
случай. Эта теория Куликова будет сейчас изложена.
Подгруппа В примарной абелевой группы G называется базисной
подгруппой, если она сервантна в G и разложима в прямую, сумму цикли-
циклических групп, а фактор-группа GIB является полной группой. Так,
во всякой полной примарной группе единственной базисной подгруппой
будет нулевая подгруппа. С другой стороны, всякая прямая сумма при-
марных (по р) циклических групп является своей собственной базисной
подгруппой, причем даже единственной в том случае, когда порядки
элементов группы ограничены в совокупности.
Всякая примарная абелева группа G обладает базисными подгруппами.
Ввиду замечания, сделанного выше о базисных подгруппах полных
групп, можно считать группу G неполной. Группа G обладает, следова-
следовательно (см. § 24), элементами порядка р и конечной высоты, которые
на основании леммы, доказанной в конце предшествующего параграфа,
вкладываются в циклические прямые слагаемые. Таким образом, группа G
обладает сервантными подгруппами с ограниченными в совокупности
порядками элементов. Отсюда, а также из того, что объединение возра-
возрастающей последовательности сервантных подгрупп само сервантно, выте-
вытекает, что в G можно найти возрастающую последовательность подгрупп
BiESi!E...sBBe... C)
со следующими свойствами:
1) Всякая подгруппа Вп, п = 1, 2, . . ., сервантна в G.
2) Порядки элементов из Вп не превосходят числа рп.
3) Подгруппа Вп не может быть включена в большую подгруппу
со свойствами 1) и 2).
Обозначим через В объединение последовательности C). Эта под-
подгруппа сервантна в группе G как объединение возрастающей последова-
последовательности сервантных подгрупп. Вместе с тем подгруппа В разложима
в прямую сумму циклических групп, как показывает критерий Куликова
(§ 24), так как из сервантности подгруппы Вп, п = 1, 2, . . ., и ограни-
ограниченности порядков всех ее элементов вытекает конечность и ограничен-
ограниченность высот всех ее элементов в группе G.
Докажем полноту фактор-группы GIB. Для этого достаточно, как
мы знаем из § 24, доказать, что всякий смежный класс х + В, имеющий
в этой фактор-группе порядок р, имеет в ней бесконечную высоту. По
условию, рх ? В. Так как, однако, подгруппа В сервантна, в ней суще-
существует такой элемент Ъ, что рЪ = рх, откуда р (х — Ъ) = 0. Можно
считать, следовательно, что сам элемент х имеет в группе G порядок р,
т. е. рх = 0.

26] ПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ БЕЗ ЭЛЕМЕНТОВ БЕСКОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ 155
Подгруппа Вп, п = 1, 2, . . ., сервантна в G и порядки ее элементов
не превосходят числа рп. Поэтому, как доказано в предшествующем
параграфе, существует прямое разложение
G = Bn + Cn, в = 1,2, ... D)
В соответствии с этим элемент х разлагается в сумму х = у + 2, где у ? Вп,
z ? Сп. Элемент z отличен от нуля, так как х не содержится в подгруппе В,
поэтому порядок z равен р. Высота элемента z в группе G не меньше п.
Действительно, если бы она была меньше га, то на основании леммы из
предшествующего параграфа элемент z вкладывался бы в группе Сп
в циклическое прямое слагаемое, порядок которого был бы не больше
рп, что ввиду D) привело бы к противоречию со свойством 3) подгруппы Вп.
Элемент z = х — у содержится, однако, в смежном классе х + В. Этот
класс содержит, таким образом, элементы сколь угодно большой высоты,
а поэтому высота класса х + В в группе GIB бесконечна.
Этим доказано, что подгруппа В является базисной в группе G.
Все базисные подгруппы примаркой абелевой группы G изоморфны
между собой.
Пусть В будет любая базисная подгруппа группы G. Мы знаем из § 24,
что все разложения группы В в прямую сумму циклических групп изо-
изоморфны между собой. Число слагаемых порядка ph, к = 1, 2, . . ., в лю-
любом из этих разложений (т. е. мощность множества таких слагаемых)
равно, очевидно, числу циклических прямых слагаемых этого же порядка
pk в разложении фактор-группы В/рпВ, где п > к, а рпВ — подгруппа
группы В, состоящая из всех тех элементов, высота которых в В больше
или равна п. Теорема будет, следовательно, доказана, если мы покажем,
что фактор-группа В/рпВ не зависит на самом деле от выбора базисной
подгруппы В.
Обозначим через pnG подгруппу группы G, состоящую из всех тех
элементов, высота которых в G больше или равна п. Из сервантности
подгруппы В следует равенство
B(\p»G = pnB. E)
С другой стороны,
{В, PnG} = G. F)
Действительно, если х — произвольный элемент группы G, то из полноты
фактор-группы GIB следует существование в G такого элемента у, что
элементы х и рпу лежат в одном смежном классе по В, т. е. х = рпу + Ъ.
Теорема об изоморфизме (§ 10) приводит, ввиду равенств E) и F),
к изоморфизму
В/рпВ ~ GlpnG.
Таким образом, при данном п фактор-группы В1рпВ изоморфны между
собой для всех базисных подгрупп В группы G. Этим заканчивается
доказательство теоремы. [См. Д.30.1.]
Применим полученные результаты к примерным группам без эле-
элементов бесконечной высоты. Мы видим, что эти группы можно разбить
на непересекающиеся классы, относя в один класс те группы, базисные
подгруппы которых изоморфны. Всякая примерная группа, разложимая
в прямую сумму циклических групп, определяет при этом некоторый
класс, так как она служит, например, базисной подгруппой для самой
себя. С другой стороны, в каждом из рассматриваемых классов содержится
такая группа. Задача описания всех примерных

156 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕБЫ ГРУППЫ [Гл. VII
групп без элементов бесконечной высоты сво-
сводится, следовательно, на обозрение групп с дан-
данной базисной подгруппой В.
Для этой цели введем одно новое понятие. Возьмем разложение
группы В в прямую сумму циклических групп и обозначим через 5G!),
п = 1, 2, . . ., прямую сумму слагаемых порядка рп из этого разложения;
если же слагаемых этого порядка нет совсем, полагаем Д(п> = 0. Возь-
Возьмем, далее, полную прямую сумму (в смысле конца § 17) всех групп Б(п>
и периодическую часть этой суммы назовем замыканием группы В и обо-
обозначим через В. Иными словами, элементами группы В служат последо-
последовательности элементов, взятых по одному в каждой из групп S<™>, причем
порядки всех элементов каждой такой последовательности ограничены
в совокупности; сложение последовательностей производится покомпо-
покомпонентно.
Ввиду изоморфизма всех разложений группы В в прямую сумму
циклических групп группа В однозначно определяется самой группой В.
Легко видеть, что группа В примарна и не содержит элементов бесконеч-
бесконечной высоты. Группа В является в ней подгруппой, состоящей из тех
последовательностей, которые содержат лишь конечное число ненулевых
элементов. Таким образом, группа В тогда и только тогда совпадает
со своим замыканием В, если порядки элементов в В ограничены в совокуп-
совокупности, так как в этом и только в этом случае среди групп 2?("> будет
лишь конечное число ненулевых.
В общем случае группа В будет базисной подгруппой своего замыка-
замыкания В.
В самом деле, разложимость группы В в прямую сумму цикличе-
циклических групп предполагалась заранее. Для доказательства ее сервант-
ности в группе В заметим, что сумма С^ = В' + В" + . . . + В(п\
п = 1, 2, . . ., служит прямым слагаемым для группы В — дополни-
дополнительным слагаемым будет подгруппа, состоящая из тех последовательно-
последовательностей, первые п компонент которых равны нулю. Таким образом, подгруп-
подгруппа В, как объединение возрастающей последовательности подгрупп С(п\
сервантных в В, сама сервантна в В. Докажем, наконец, полноту фактор-
факторгруппы BIB. Если х = (xi, х2, . . ., хп, . . .) есть произвольный эле-
элемент группы В, то, так как порядки его компонент ограничены в сово-
совокупности, для всякого к можно найти такое N, что для всех п, п > N,
высота элемента хп в соответствующей группе Б С") не меньше к. Отсюда
следует, что высота элемента х = @, . . ., 0, х^, xN+i, . . .) в группе В
также не меньше к. Элемент х' принадлежит, однако, к смежному классу
х + В. Этот класс содержат, следовательно, элементы сколь угодно
большой высоты, а поэтому его высота в фактор-группе BIB бесконечна.
Отсюда может быть вновь выведено существование примарных
групп без элементов бесконечной высоты, не разложимых в прямую сумму
циклических групп.
Пусть, в самом деле, группа В — примарная группа, разложимая
в прямую сумму циклических групп — счетна, но содержит элементы
сколь угодно больших порядков. Ее замыкание В имеет поэтому мощ-
мощность континуума. Группа В не может разлагаться в прямую сумму
циклических групп, так как тогда в ней были бы две неизоморфные базис-
базисные подгруппы — она сама и В, что противоречит, однако, доказанной

§ 26] ПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ БЕЗ ЭЛЕМЕНТОВ БЕСКОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ 157
выше теореме об изоморфности всех базисных подгрупп данной примар-
ной группы.
Все примарные абелевы группы без элементов бесконечной высоты,
базисные подгруппы-которых изоморфны группе В, исчерпываются такими
подгруппами группы В — замыкания группы В,— которые содержат В
и образы которых в фактор-группе В IB являются полными подгруппами.
Действительно, пусть CIB будет произвольная полная подгруппа
труппы BIB. Группа С будет, как подгруппа группы В, примерной и без
элементов бесконечной высоты, причем подгруппа В содержится в С
и служит для нее базисной подгруппой — из сервантности В в В следует
сервантность В в С, а полнота фактор-группы С IB предположена заранее.
Таким образом, группа С принадлежит к изучаемому нами классу групп.
Пусть теперь G будет произвольная примарная группа без элементов
бесконечной высоты, базисные подгруппы которой изоморфны группе В.
Выберем одну из этих базисных подгрупп и обозначим ее через Во. Мы
знаем, что В обладает прямым разложением
2
п=\
где Д(") — прямая сумма циклических групп порядка рп. Поэтому
Во= § Bf\
причем BW ~ В(пК Введем обозначения:
2
n>h
так что
k
, pkG},
где phG, как и раньше, будет подгруппа, составленная из всех тех эле-
элементов группы G, высота которых в Сне меньше к. Выше было доказано
[см. равенство F)], что при всех к, к = 1, 2, . . ., имеет место равенство
G = {B0, PkG},
а поэтому
Пусть элемент х содержится в пересечении подгрупп В'о + В"п -\-
-р . . . + В№> и G(ft). Как элемент второй из этих подгрупп, он имеет
вид х = у + z, где у •? D(h\ z 6 phG. Так как элементы х и у принадлежат
к подгруппе В о, то и элемент z — х — у содержится в Во. Высота эле-
элемента z в группе G не меньше к; такова же его высота и в подгруппе Во,
сервантной в G. Однако все элементы группы Во, высота которых в В*
не меньше к, принадлежат к D(kK Поэтому и элемент х, как сумма двух
элементов из ZHft>, содержится в ZMft>, т. е., принадлежа и к В'о + В"о +
-)-...+ В^\ будет равным нулю.
Этим доказано существование прямых разложений
к = 1, 2, ..., G)

158 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
причем, так как подгруппа G^ содержит и подгруппу B[h+1\ и подгруп-
подгруппу G(ft+1), имеет место прямое разложение
G(ft> = jB(fc+1> + G<*+1>, a = i, 2, ...,
т. е. прямые разложения G) последовательно продолжают друг друга
путем разложения последнего слагаемого. Отсюда вытекает, что данный
элемент х группы G имеет в прямом слагаемом S<n> каждого из разложе-
разложений G), взятых для к — га, га + 1, . . ., одну и ту же компоненту; обо-
обозначим эту компоненту через хп.
Ставя в соответствие всякому элементу х группы G последователь-
последовательность (хи х2, . ¦ ., хп, . . .) его компонент, мы получим, очевидно, гомо-
гомоморфное отображение группы G в замыкание В группы В — порядки
всех компонент хп не превосходят, понятно, порядка элемента х, т. е.
последовательность компонент действительно содержится в В- Это ото-
отображение будет даже изоморфным, так как элемент х, которому соответ-
соответствует нулевая последовательность, должен лежать в подгруппе G^ при
к = 1, 2, . . ., т. е. должен иметь бесконечную высоту, а поэтому ввиду
отсутствия таких элементов в группе G он равен нулю. При этом изо-
изоморфном отображении группы G на /Некоторую подгруппу С группы В
подгруппа В0 будет отображаться на подгруппу В: элементам из Во и толь-
только им соответствуют последовательности компонент, содержащие конеч-
конечное число ненулевых элементов, и, с другой стороны, всякая такая после-
последовательность соответствует некоторому элементу из Во. Из полноты
фактор-группы G/Bo следует, наконец, полнота фактор-группы С/В.
Этим заканчивается доказательство теоремы.
Следует заметить, что построенная в процессе доказательства под-
подгруппа С группы В, на которую изоморфно отображается группа G,
зависит от выбора в G базисной подгруппы Во. Вопрос об условиях,
которым должны подчиняться полные подгруппы С IB и С IB группы
BIB для того, чтобы соответствующие подгруппы С ж С группы В были
изоморфными, остается открытым.
В работе Куликова [2] можно найти ряд дальнейших свойств при-
марных групп, являющихся замыканиями прямых сумм циклических
групп. См. также работу Калужнина [8]. [См. Д.30.2.]
§ 27. Ульмовские факторы. Теорема существования
Мы переходим теперь к изучению примарных абелевых групп, обла-
обладающих элементами бесконечной высоты. Не следует думать, что при-
марная группа, обладающая элементами бесконечной высоты, непременно
должна содержать полные подгруппы — если элемент а примерной груп-
группы G имеет в ней бесконечную высоту, то элементы Ъп, п = 1, 2, . . .,
удовлетворяющие равенствам рпЪп = а, вовсе не обязаны лежать в одной
подгруппе типа р°°. Основная теорема настоящего параграфа покажет,
что строение редуцированных примарных групп — мы можем ввиду
результатов § 23 ограничиться в дальнейшем рассмотрением лишь реду-
редуцированных групп — будет даже в счетном случае много более сложным,
чем строение примарных групп без элементов бесконечной высоты.
Так как сумма и разность двух элементов бесконечной высоты из при-
марной группы G также будут иметь в G бесконечную высоту, то множе-
множество всех элементов бесконечной высоты (с присоединением нуля) являет-
является подгруппой группы G; эта подгруппа будет обозначаться через G1.

27] УЛЬМОВСКИЕ ФАКТОРЫ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 159
Через (? мы обозначим подгруппу, составленную из всех элементов под-
подгруппы G1, имеющих в G1 бесконечную высоту. Вообще, если в группе G
уже определены подгруппы Ga для всех порядковых чисел а, меньших |3,
причем они составляют убывающую последовательность, то в качестве
& выбираем при непредельном р подгруппу, составленную из всех эле-
элементов подгруппы G&'1, имеющих в &'1 бесконечную высоту, а при
предельном ? — пересечение всех подгрупп Ga, a < р.
Мы получаем убывающую последовательность подгрупп группы G,
которая должна оборваться на некотором у. Точнее говоря, существует
такое порядковое число у, мощность которого не превосходит мощности
самой группы G, что G^ = Gv+1, и поэтому Gv = G6 для всех б, больших
у. Равенство G* = №+1 показывает, однако, что все элементы подгруппы
Gv имеют в G* бесконечную высоту, т. е. что подгруппа G^ является пол-
полной. Так как ввиду сделанного выше предположения группа G редуци-
редуцированная, то подгруппа G^ должна быть равной нулю.
Пусть т будет первое порядковое число, для которого Gx = О. Число
т называется типом редуцированной группы G. Понятно, что группы,
не содержащие элементов бесконечной высоты, имеют тип 1.
Если G есть редуцированная примерная группа типа т, то для всех а,
меньших т, берем фактор-группы
Последовательность групп
G», &, ..., Ga, ..., а<т,
называется последовательностью улъмовских факторов группы G. Из по-
построения этой последовательности следует, что она однозначно определя-
определяется самой группой G и что для подгруппы Ga, a < т, последовательно-
последовательностью ульмовских факторов будет последовательность
Ga, Ga+i, ..., Gp, ..., а<р<т.
Значение ульмовских факторов для теории примарных групп выяснится
ниже, в особенности в следующем параграфе.
При установлении простейших свойств ульмовских факторов при-
марной группы будет использоваться следующее замечание. Пусть при-
марная группа G гомоморфно отображается на примарную группу Н,
причем в нуль группы Н переходит такая подгруппа А группы G, все
элементы которой имеют в G бесконечную высоту. Тогда образом всякого
элемента бесконечной высоты из G, лежащего вне А, будет элемент беско-
бесконечной высоты в Н; обратно, всякий прообраз элемента бесконечной высоты
из Н будет элементом бесконечной высоты в G. Первое из этих утверждений
непосредственно следует из определения гомоморфного отображения.
Докажем второе утверждение. Пусть h есть элемент бесконечной высоты
в Н и g — один из его прообразов в G. Если рпЫ = h, h' g H, и если g
есть один из прообразов элемента ti в G, то
Ввиду предположений, сделанных о подгруппе А, в группе G существует
такой элемент Ъ, что рпЪ = а. Отсюда
Pn(g'-b) = g,
а поэтому элемент g имеет в группе G бесконечную высоту.

160 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
Из этого замечания следует, в частности, что все улъмовские факторы
примарной группы G являются группами без элементов бесконечной высоты.
Для доказательства достаточно применить наше замечание к естественно-
естественному гомоморфному отображению группы О на фактор-группу GaIGa*x =
= #*.
Докажем также, что группа F = GlGa, о<т, является примарной
группой типа о* и что ее последовательность улъмовских факторов есть
G», G\ ..., Ga, ..., а<с.
В самом деле, рассмотрим естественное гомоморфное отображение
группы G на группу F. Из сказанного выше следует, что при этом гомо-
гомоморфизме подгруппа G1 отображается на подгруппу F1, а так как G1 =2 Ga,
то, по теореме о соответствии между подгруппами при гомоморфном
отображении, фактор-группы GIG1 = G° и FIF1 = F° изоморфны. Пусть
уже доказано, что для всех а, меньших Р, подгруппа Ga отображается
при рассматриваемом гомоморфизме на подгруппу Fa. Если |3 — ^суще-
^существует, то, как выше, мы. получим, что G* отображается на F& и что G&'1 ~
с^ jP. Если же р — предельное число, то б* снова отображается на F&,
так как первое есть пересечение всех подгрупп Ga, а < р, второе — пере-
пересечение образов этих подгрупп.
Если примарная группа G есть прямая сумма групп Hv, G = "%HV,
V
то при всяком а, меньшем, чем тип группы G, будет
Ga ы 2 #?•
V
При этом предполагается, конечно, что Н% = О, если а больше или равно
типу группы Hv.
Мы будем доказывать, что при любом р подгруппа G* является сум-
суммой (причем, очевидно, прямой) всех подгрупп Ну. Для всех а, меньших
Р, это утверждение будет считаться доказанным (при р = 0 оно верно).
Если число р — 1 существует, то G* = ^Н^,1 и поэтому всякий эле-
мент из Н% имеет бесконечную высоту в GP, т. е. G& э 2-^v- С другой
стороны, если g есть произвольный элемент бесконечной высоты в С*
и g = 2^vi К 6 Н^, то всякий элемент Уи, должен иметь бесконечную
v
высоту в И% , откуда & ? ^,Н%. Поэтому G$ = 2-^v и» как легко сле-
V V
дует из определения прямой суммы,
V . V
Если же р предельное число, то наше утверждение следует из того, что
подгруппа & есть пересечение всех подгрупп Ga, a < р.
Мы исходили до сих пор нз определения типа примарной группы
и ее ульмовских факторов и не интересовались тем, всякое ли порядковое
число служит типом для некоторой примарной группы и не имеет ли места
на самом деле такое, например, обстоятельство, что последовательность
подгрупп G zd G1 zd ... id Ga zd . . . всегда обрывается на конечном
месте. Мы не знаем также, какими свойствами должна обладать последова-
последовательность примарных групп без элементов бесконечной высоты для того.

§ 27] УЛЬМОВСКИЕ ФАКТОРЫ. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ 161
чтобы она могла служить последовательностью ульмовских факторов
для некоторой примерной группы. Полный ответ на эти вопросы дан
Куликовым. Он, однако, очень сложен и мы ограничимся в дальнейшем
рассмотрением лишь счетных примарных групп.
Если G есть счетная редуцированная примарная группа, то ее тип т
имеет, как мы знаем, конечную или счетную мощность. Ульмовские факто-
факторы этой группы будут счетными примерными группами без элементов
бесконечной высоты и поэтому, по второй теореме Прюфера, они разло-
разложимы в прямую сумму циклических групп. Можно утверждать, далее
(причем счетность группы здесь не играет роли), что порядки элементов
во всех улъмовских факторах Ga, кроме, быть может, фактора Gx~x, если
число х — 1 существует, не ограничены в совокупности. Действительно,
если а < т — 1, то Ga+1 Ф О, и поэтому в этой подгруппе можно найти
элемент, имеющий в ней конечную высоту, хотя его высота в подгруппе Ga
бесконечна.
Оказывается, что установленное сейчас необходимое свойство ульмов-
ульмовских факторов является в счетном случае и достаточным, как показывает
следующая теорема (см. Цыпин [1] г)).
Пусть дано порядковое число т не более чем счетной мощности и для
всякого а, 0<а < т, дана счетная примарная группа Аа без элементов
бесконечной высоты, причем при всех а, кроме, быть может, а = т — 1 (при
непредельном числе т), группа Аа содержит элементы как угодно больших
порядков. Тогда существует счетная редуцированная примарная группа,
имеющая тип т и такая, что последовательность
Ао, Аи А2, ..., Аа, ..., а<т,
служит для нее последовательностью улъмовских факторов.
Доказательство. Каждая из групп Аа разложима, по второй
теореме Прюфера, в прямую сумму циклических групп. Пусть образую-
образующие этих циклических групп будут
причем элемент aai имеет порядок р™°". Определим группу G следующим
образом: ее образующими будут элементы cai, взаимно однозначно соот-
соответствующие элементам аа% (где а принимает всевозможные значения,
меньшие т). Всякому cai ставим в соответствие или равенство pUaicai = О,
или же равенство pnaicai = cPj-, где р > ос, причем полученная система
равенств будет вместе с соотношениями коммутативности составлять
для G систему определяющих соотношений. Дополнительно требуем,
чтобы выполнялись следующие условия:
1) Пусть дан элемент cai; если ему соответствует соотношение
pn<xicai = Са^!, если элементу са1гх соответствует соотношение
pnaiilcaiil = са2;2 и 1. д., то после конечного числа шагов мы должны
достигнуть элемента Cahih, которому соответствует соотношение
pnahhcahih = 0.
2) Если даны: элемент c$j, р > 0, порядковое число у, меньшее р,
и натуральное число N, то должен существовать такой элемент са!-, что
Y<a < p, nai^>N и соотношение, соответствующее этому элементу,
имеет вид pnaicai = c$j.
х) Впрочем, работа Цыпина не содержит сколько-нибудь законченного доказа-
доказательства этой теоремы.
И А. Г. Курош

162 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
3) Если число т предельное, то для всякого у, меньшего т, и всякого
натурального числа N должен существовать такой элемент са;, что у < а,
nai >iV и соотношение, соответствующее этому элементу, имеет вид
рп™са1 = 0.
Докажем, что система равенств, удовлетворяющая этим трем тре-
требованиям, действительно существует и что группа G, так определенная,
удовлетворяет условиям теоремы. Доказательство будем вести индукцией
по порядковому числу т. Действительно, при т = 1 группа G задается
образующими с01, с02, ..., с0;, ... и соотношениями pUoic0i = 0, т. е. условия
1)—3) выполняются, а сама группа изоморфна группе Ао.
Предположим сначала, что число т — 1 существует. Пусть G' есть
группа типа т — 1, имеющая последовательность
Ао, Ai, A2, ..., Аа, ..., а<т —1,
своей последовательностью ульмовских факторов; эта группа задается
образующими cai, а < т — 1, и соответствующими этим образующим
соотношениями указанного выше типа, причем условия 1)—3) выполнены.
Соотношения в группе G определяем следующим образом: если элементу
Саг, а < т — 1, в группе G' соответствует соотношение pn<xicai = c$j,
р •< т — 1, то это соотношение будет ему соответствовать и в группе G.
Если же элементу cai, а < т — 1, соответствует в группе G' соотношение
pnaicai= 0, то в G оно заменяется некоторым соотношением вида
pnai°ai = cx-i,j- Легко видеть, что при этом можно достигнуть того,
что условие 2) будет для элементов ст_.1?г выполняться — это следует
из того, что элементов cx-lti не более чем счетное множество, и при пре-
предельном числе т — 1 из условия 3), а при непредельном т — 1 из того,
что существуют элементы cT_2j t со сколь угодно большими показателями
пх-2, !i а соотношения, соответствующие всем элементам ст_2, jbG', имеют
вид рПх~2' {сх_2, i = 0. Наконец, элементам сх-^ t ставим в соответствие со-
соотношения р™*-1'1 стЛ)г = О. Мы получаем систему определяющих соотно-
соотношений, удовлетворяющую условиям 1) и 2); условие 3) для этого случая
ничего не утверждает.
Абелева группа G, сейчас построенная, будет, как следует из 1), при-
марной. Докажем, что все элементы cai, a < т, будут в этой группе
отличными от нуля. Действительно, берем элемент cai и пишем-соотно-
пишем-соотношения
— из нашей конструкции следует, что до одного из элементов cT_Ji j мы
этим путем должны дойти. Введем обозначение
hih + nx-ltj = l(a, i).
Берем, далее, группу Р типа р°° с образующими du d2, ¦¦¦, dn, ...,
pdt = O, pdn = dn-i, n = 2, 3, ...
Если мы поставим в соответствие каждому элементу cai элемент d^a, t) из
группы Р, то, как легко видеть, все определяющие соотношения группы G
будут в Р выполняться, причем всем элементам cai будут соответствовать
отличные от нуля элементы группы Р. Этим показано, что из определяю-

28] ТЕОРЕМА УЛЬМА 163
щих соотношений группы G не может вытекать равенство нулю ни одного
из cai. Больше того, мы получаем, что порядок каждого элемента саг-
в группе G равен числу р!(«Н).
Теперь можно уже утверждать, применяя индукцию по а и используя
2), что всякий элемент cai содержится в подгруппе Ga, определяемой
так же, как это делалось в начале настоящего параграфа. В частности,
все элементы cT_l5; принадлежат к подгруппе Gx~x. Если F есть подгруп-
подгруппа, порожденная в G всеми элементами сх-^ i, то фактор-группа GIF изо-
изоморфна группе G'. Отсюда следует, так как G' имеет тип т — 1, что
в G вне группы F нет элементов, принадлежащих к G, т. е. F = G*'1.
Поэтому
Что же касается подгруппы Gx'x, то она является прямой суммой цикли-
циклических групп {cx-i,i} и поэтому изоморфна группе Ax-t. Это следует
из того, что сама группа G является, как показывают определяющие соот-
соотношения, прямой суммой подгрупп, каждая из которых порождается
всеми теми элементами cai, циклические подгруппы которых содержат
фиксированный элемент cT_li-?. Группа G удовлетворяет, следовательно,
всем требованиям теоремы.
Пусть теперь число т предельное. Каждая из групп Аа, 0<а < т,
является прямой суммой циклических групп с неограниченными в сово-
совокупности порядками. Это позволяет разложить А а в прямую сумму счет-
счетного множества подгрупп, каждая из которых также содержит элементы
как угодно больших порядков. Пусть это разложение будет
Aa = Aaa + Aata+i+ \-Ааа+..., а<а<т1).
По индуктивному предположению существует группа На типа а + 1,
имеющая последовательность
-^Oai "la» -Д-гсб! • • • > -^acs
своей последовательностью ульмовских факторов. Прямая сумма всех
групп На, 0<а < т, будет уже, как мы знаем, удовлетворять всем тре-
требованиям теоремы. Вместе с тем система образующих cai для этой прямой
суммы получается объединением соответствующих систем образующих
из групп На с сохранением соответствовавших им в этих группах соотно-
соотношений. Условия 1) и 2) будут, очевидно, выполняться. Справедливость
условия 3) следует из того, что каждая из подгрупп Ааа, 0<а<т,
содержит элементы сколь угодно больших порядков.
Этим заканчивается доказательство теоремы. [См. Д. 30.3.]
§ 28. Теорема Ульма
Основная теорема предшествующего параграфа показывает, что уже
в счетном случае редуцированные примерные группы могут быть весьма
разнообразными — любое порядковое число счетной мощности может
служить в качестве типа такой группы и любая последовательность счетных
примарных групп без элементов бесконечной высоты (с одним вполне
естественным ограничением) может быть ее последовательностью ульмов-
ульмовских факторов. В действительности, однако, ульмовские факторы и
тип группы могут быть использованы не только для установления
Выбор нумерации находится, очевидно, в нашем распоряжении.

164 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
разнообразия рассматриваемых нами групп, но и для полного их опи-
описания. Для этой цели служит следующая теорема.
Теорема Ульма. Если счетные редуцированные примарные
группы А и В имеют один и тот же тип т и если для всякого а, меньше-
меньшего т, их улъмовские факторы Аа и Ва изоморфны, то группы А и В сами
изоморфны между собой.
Эта теорема была доказана Ульмом [1] с привлечением теории беско-
бесконечных матриц и передоказана теоретико-групповыми методами Цыпи-
ным [1]. Теорема утверждает, очевидно, что всякая счетная редуцирован-
редуцированная примерная группа полностью определяется заданием ее типа и после-
последовательности ее ульмовских факторов, а так как всякий ульмовский
фактор разложим в счетном случае, по второй теореме Прюфера, в прямую
сумму циклических групп и поэтому вполне определяется числом цикли-
циклических прямых слагаемых порядка рп (для всех га), то мы получаем воз-
возможность задавать счетные примарные группы некоторой системой число-
числовых инвариантов. Эти системы инвариантов оказываются, понятно, более
сложными, чем те, которыми задаются абелевы группы с конечным числом
образующих.
Пусть
есть последовательность подгрупп группы А, определяемая так же, как
это делалось в предшествующем параграфе: если а, — 1 существует, то
Аа есть подгруппа из всех элементов бесконечной высоты из группы Аа'г,
если же число а предельное, то Аа есть пересечение всех А$, р < ос.
Соответственно строим последовательность
В = В0 => В1 => В2 => ... =э Ва => ... гэ Вх = О.
Элемент а из группы А называется элементом типа а, если он содержится
в подгруппе Аа, но не содержится в подгруппе Аа+г. Всякий элемент
группы А обладает некоторым типом: если данный элемент содержится
во всех подгруппах А&, где р меньше предельного числа а, то он содер-
содержится и в пересечении этих подгрупп, т. е., в Аа.
Пусть, далее, X есть подгруппа группы А и а < т. Пересечение
Х[\Аа является подгруппой группы Аа; пусть при естественном гомо-
гомоморфном отображении группы Аа на ульмовский фактор Аа = Аа/Аа+1
это пересечение отображается на подгруппу Ах группы Аа. Подгруппа X
будет называться совершенной подгруппой группы А, если при всяком а
подгруппа А'х является сервантной в группе Аа (определение сервантной
подгруппы см. в § 25).
Определения типа элемента и совершенной подгруппы переносятся,
яонятно, и на группу В.
Введем, наконец, следующее определение: пусть в группах А и В
выбраны подгруппы X а А и У с В, изоморфные между собой; изомор-
изоморфизм ф между этими подгруппами будет называться сохраняющим типы,
-если он сопоставляет друг другу элементы из X и Y, имеющие соответ-
соответственно в А и В одинаковые типы.
Основную часть доказательства теоремы Ульма составляет следую-
следующая лемма.
Пусть в группах А и В соответственно заданы конечные совершенные
подгруппы X uY, изоморфные между собой, причем ф есть их изоморфизм,
сохраняющий типы. Пусть, далее, элемент а группы А не содержится

§ 28] ТЕОРЕМА УЛЬМА 165
в X. Тогда в А можно найти такую конечную совершенную подгруппу X,
содержащую X и а, а в В такую конечную совершенную подгруппу Y,
содержащую Y, что X и Y будут изоморфны, причем между ними суще-
существует изоморфизм ф, сохраняющий типы и продолжающий изоморфизм ф.
Заметим, прежде всего, что можно ограничиться рассмотрением
случая, когда ра ? X: случай р"а ? X, но рп~га (J X, п > 1, сводится
на указанный частный случай, так как можно последовательно присоеди-
присоединять к уже построенной подгруппе элементы рп~1а, рп~2а, ..., ра, а.
Пусть А. есть наивысший среди типов элементов, составляющих смеж-
смежный класс X + а; такой существует, так как в классе X + а лишь конеч-
конечное число элементов. Пусть, далее, среди всех элементов типа А. из класса
X + а элемент а! = х0 + а является одним из имеющих наивысшую
высоту в подгруппе А^. Если высота элемента а' в А^ есть п — 1 и если
а = рп~га, где а ? Ах, то полагаем
Х = {Х, а}.
Подгруппа X конечна и содержит как подгруппу X, так и элемент
а — а — х0. Докажем, что подгруппа X совершенна в группе А.
Всякий элемент из подгруппы X имеет (ввиду рпа ? X) "вид
х = х + kd, где х ? X, 0< к < рп. Если тип элемента х есть а и если.
х имеет в Аа высоту s, откуда
х = х + ка = р5с, с?Аа, A)
то высота элемента Аа+1 -\- х в фактор-группе Аа/Аа+1 = Аа также рав-
равна s (использовать определение подгруппы Аа+1\). Нам нужно доказать,
что в подгруппе X найдется такой элемент х типа а, что
При к = 0, а также при а < К, будет kd ? Aa+1. Наше утверждение
следует в этих двух случаях из совершенности в А подгруппы X. Если,
далее, а ¦-= К, причем к делится на р% к = psk', то, по A), будет
.х = ps (с — к'а). Из с — к'а ? А^ и совершенности подгруппы X следует
теперь существование в подгруппе Ак f) X такого элемента х , что
откуда
причем, очевидно, х' + к'а ? (Ак f| X).
Покажем, что во всех других случаях равенство A) противоречит
выбору элемента а .
Пусть р^ есть наивысшая степень числа р, на которую делится к,
к = pik'; так как к<Срп, то /<и — 1. Из взаимной простоты чисел
к' и р следует существование таких целых чисел /гаи I, 0</<р, что
к'1 = 1 -j- /rap. Умножение обеих частей равенства A) на Ip™']'1 дает
а из р"а ? X следует

,166 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
откуда, ввиду рп~Ч = а' и 1с = с' ? Аа,
, , n+s-J-1 ,
х -\- а = р с .
Если теперь а > А,, то из х' + я' ? Ла следует, что в смежном классе
X + а' = X -{- а найден элемент, тип которого больше X, что противоре-
противоречит условию, наложенному на элемент а'. Если же а = X, но к не делится
на ps, то /< s — 1, откуда и + s — ; — 1 > и. Мы нашли, следователь-
следовательно, в классе X -\- а элемент типа К, высота которого в А^ больше высоты
элемента а', равной п — 1, что снова противоречит выбору элемента а .
Совершенность подгруппы X доказана.
Мы знаем, что элемент рпа содержится в подгруппе X, причем тип
этого элемента не меньше %. Из совершенности подгруппы X следует,
что в ней можно найти такой элемент х{, имеющий тип X или равный нулю,
и такой элемент х2, тип которого не меньше X -\- 1, что
рпа = pnXi + х2.
Если а — х^ — а, то
k+t, B)
и снова X — {X, а}. Все элементы ка, 0 < к •< рп, лежат вне подгруп-
подгруппы X: Мы знаем, далее, что типы всех элементов из X, лежащих вне X,
не превосходят X — это следует из доказанной выше невозможности равен-
равенства A) при к Ф 0 и а > Я. Отсюда следует, что группа А^ является
прямой суммой подгруппы Ах и циклической подгруппы порядка рп,
порожденной в группе Ак элементом а + А^+1. Конечная подгруппа А^
будет ввиду совершенности подгруппы X сервантной в ульмовском факто-
факторе А% и поэтому ввиду результатов § 25 служит для группы А% прямым
слагаемым. Подгруппа Ах также является для Ак прямым слагаемым,
причем нами доказано существование в группе А^ циклического прямого
слагаемого порядка рп, пересечение которого с А\ есть О.
Переходим к рассмотрению группы В. Из сохранения типов при изо-
изоморфизме ф между подгруппами X и У следует изоморфизм групп Ах
и By. Подгруппа By, будучи конечной и сервантной в группе В%, будет
для этой группы прямым слагаемым, а так как Вх разложима, по второй
теореме Прюфера, в прямую сумму циклических групп и, по условию
теоремы Ульма, изоморфна группе А%, то ъ Вх можно найти циклическое
прямое слагаемое порядка рп, пересечение которого с подгруппой в\
есть О. Пусть образующий элемент этой циклической группы (т. е. смеж-
смежный класс по Вх+Г) есть Ъ + Вш. Элемент Ъ имеет тип X в группе S, при-
причем рпЪ ? Вх+1. Если элемент у2 соответствует элементу х2 при изомор-
изоморфизме ф, то у2 ? Bx+1, a в В*- существует такой элемент Ьо, что
pn+1b0 = у2 — рпЪ. Мы вводим теперь обозначение Ъ = Ъ +"pb0, откуда
Pnb = y2, C)
и полагаем
у = {уД}.
Заметим, что рп~гЬ (J У. Действительно, из рп'гЬ = у0, у0 ? У,
следовало бы
1

§ 28] ТЕОРЕМА УЛЬМА 167
Это привело бы, однако, при переходе к фактору В1, к существованию
в прямом слагаемом By + {Bx+1 + b} элемента, высота которого в
б {S^+1 + Ъ}
р { } р
больше высоты его компоненты в прямом слагаемом {S^+1 + Ъ}, что
невозможно. Отсюда же следует, что в группе В% подгруппы By и
*1 -\- Ь} составляют прямую сумму.
Из рп'гЬ (J У, а также из равенств B) и C) и соответствия элементов
хг и г/2 при изоморфизме ф следует, что подгруппы, X и Y изоморфны: мы
получим изоморфизм ф между этими подгруппами, если подгруппу
X будем отображать на подгруппу У в соответствии с изоморфизмом ф,
а элементу а сопоставим элемент Ъ. Изоморфизм ф продолжает изомор-
изоморфизм ф. Он сохраняет вместе с тем типы элементов. Действительно, если
при ф соответствуют друг другу элементы х = х + ка и у = у -\- кЪ,
0<< к < рп, то ввиду х<р = у типы элементов хну совпадают; это верно,
следовательно, при к = 0 и для элементов х и у. Если же к Ф 0, но тип
элементов х и у отличен от X, то типы элементов х и у снова совпадают, так
как элементы ка и кЪ имеют тип X, а тип суммы двух элементов различных
типов равен, очевидно, меньшему из этих двух типов. Если, наконец,
к Ф 0 и тип элементов х жу есть X, то элементы х тз. у также имеют тип X,
так как в группе Ах (соответственно в Вх) подгруппы А\ и {Ах+1 + а}
(соответственно By и {B*-+1 + Ь}) составл-яют прямую сумму.
Нам остается доказать, что подгруппа У совершенна в группе В. Это
может быть сделано повторением рассуждений, проводившихся выше при
доказательстве совершенности подгруппы X в группе А, если в качестве
элемента а будет теперь взят элемент Ъ, а в качестве а' — элемент рп~1Ъ.
Действительно, элемент Ъ имеет в подгруппе Вх высоту нуль, далее, типы
всех элементов из смежного класса У + рп~1Ь не выше типа элемента
рпЬ, равного X, и, наконец, если бы в этом смежном классе нашелся
элемент типа X, высота которого в группе В% больше п — 1, то мы приш-
пришли бы в противоречие с тем, что подгруппа By + {B^+1 + b} является
для группы Вх прямым слагаемым.
Доказательство леммы закончено. Доказательство теоремы Ульма
проходит теперь без всяких затруднений. Мы нумеруем с помощью нату-
натуральных чисел все элементы каждой из групп А и В. В этих группах
выбираем затем подгруппы Хо = О и Уо = О. Пусть для всех к,
¦0<А; < м, уже найдены подгруппы Xk а А и Yh с В, удовлетворяю-
удовлетворяющие всем условиям леммы, причем изоморфизмы фА, существующие между
подгруппами Xh и Yk, к = 0, 1, ..., га — 1, продолжают друг друга. Под-
Подгруппы Хп и Yn строятся теперь на основании леммы, причем в качестве
а берется при нечетном п элемент из группы А, лежащий вне Хп -1 и име-
имеющий среди элементов с этим свойством наименьший номер, а при чет-
четном п аналогичный элемент из группы В. Мы получаем, что группа А
является объединением возрастающей последовательности подгрупп
AqCzAiCZ ... cz An с . .,
а группа В — объединением возрастающей последовательности подгрупп

168 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
причем между подгруппами Ап и Вп, п = О, 1, ..., существует изомор-
изоморфизм фга, продолжающий изоморфизм q>n-i- Отсюда следует изоморфизм
групп А и В. Теорема Ульма доказана.
Используя теорему Ульма и теорему существования из предыдущего
параграфа, можно доказать следующую теорему (см. Бэр [5]), предста-
представляющую интерес и для общей теории прямых произведений групп.
Если G — счетная редуцированная примарная группа, то любые
два прямых разложения этой группы тогда и только тогда обладают
изоморфными продолжениями, если ее тип равен единице.
В самом деле, если т = 1, то группа G, по второй теореме Прюфера,
разлагается в прямую сумму циклических групп, после чего остается
применить результаты § 24. Пусть, с другой стороны, т > 1 и пусть
ульмовский фактор Ga, 0 < сг < т, разложен в прямую сумму циклических
групп, порядками которых служат числа
где па, 1 < п„, 2 < ••• < па, k < ••• *)• Пусть Ga = Аа + Ва, где Аа есть
прямая сумма всех циклических прямых слагаемых порядков рп°<h из
данного разложения группы Ga при нечетных к, Ва — такая же прямая
сумма, но при четных к. Тогда существуют группы А и В, для которых
последовательностями ульмовских факторов служат соответственно после-
последовательности А о, Ai, ..., Аа, ... и J30, Bi, ..., Ва, ... Ульмовские факторы
прямой суммы 4 + В совпадают с ульмовскими факторами группы G,
поэтому, по теореме Ульма,
G
Существуют, с другой стороны, группы А и В с последовательностями
ульмовских факторов Во, Ai, ..., Аа, ... и соответственно Ао, Bif ..., Ва, ...,
причем снова
G ~ А+В.
Отсутствие изоморфных продолжений у двух построенных нами прямых
разложений группы G легко следует из доказанной в предшествующем
параграфе теоремы о том, что ульмовские факторы прямой суммы явля-
являются прямыми суммами соответственных ульмовских факторов слагаемых.
Вопрос об условиях, при которых любые два прямых разложения
несчетной редуцированной примерной группы обладают изоморфными
продолжениями, остается пока настолько открытым, что еще не известно,
будет ли для этого условие т = 1 хотя бы достаточным или хотя бы необ-
необходимым. Отметим, не приводя доказательства, относящийся сюда резуль-
результат Куликова [2]: если примарная группа G является замыканием
(в смысле § 26) прямой суммы циклических групп, то любая пара ее пря-
прямых разложений обладает изоморфными продолжениями.
В заключение рассмотрим вопрос о возможности
распространения теоремы Ульма на несчет-
несчетный случай. Пока не доказано никакой теоремы, которая сводила
бы изучение редуцированных примерных групп произвольной мощности
на изучение групп без элементов бесконечной высоты и в счетном случае
превращалась бы в теорему Ульма. Во всяком случае, теорема, формули-
*) Этим не утверждается, конечно, что в разложении группы G° встречается лишь
одно циклическое слагаемое данного порядка pno>h.

§ 28J ТЕОРЕМА УЛЬМА 169
ровка которой получалась бы простым выбрасыванием из формулировки
теоремы Ульма слова «счетные», не может быть доказана — противоре-
противоречащие примеры найдены Куликовым [2]. Группы, указанные в этих при-
примерах, имеют счетный тип. Ниже излагается пример, относящийся
к примарным редуцированным группам типа 2; этот пример сообщен
автору Л. Я. Куликовым и публикуется впервые.
Пример Куликова. Обозначим через Zt, i = 1, 2, ..., цикли-
циклическую группу порядка рг и через А — замыкание прямой суммы всех
этих циклических групп (см. § 26). Таким образом, А является группой
последовательностей элементов, взятых по одному в каждой из групп Zu
причем порядки всех элементов каждой из этих последовательностей
ограничены в совокупности. Пусть В будет подгруппа, состоящая из всех
тех элементов порядка р группы А, которые имеют лишь конечное число
ненулевых компонент, С — подгруппа, состоящая из всех тех элементов
порядка р, которые имеют лишь конечное число ненулевых компонент
с нечетными индексами г, в то время как на компоненты с четными индек-
индексами не накладывается никаких ограничений. Ясно, что
В с С cz Аи
где Ai — нижний слой группы А.
Докажем следующее утверждение.
Группы Я = A IB и G = А 1С являются неизоморфными редуцирован-
редуцированными примарными группами типа 2 с изоморфными улъмовскими факто-
факторами.
Положим Я* = Ai/В и докажем, что Я* состоит из элементов, имею-
имеющих в группе Я бесконечную высоту. Произвольный элемент h* из Я*
имеет вид h* = а + В, где а — элемент порядка р тз.з А; i-ю компоненту
элемента а обозначим через zt. Если число п фиксировано, то для всякога
i > n в группе Zj существует такой элемент z\, что pnz\ = zi. Положим,
далее, z\ = 0 при i^.n. Тогда
Z = (Zj, Z2, . . . , Zj, • . .)
будет элементом порядка рп+1 группы А, причем pnz —а?В, т. е.
рп (У + В) = h*. Этим доказано, что элемент h* имеет в группе Н бес-
бесконечную высоту, т. е.
Н* = Я1, D)
где IP- — подгруппа элементов бесконечной высоты группы Н.
Далее, из Н = A IB, H* = AJB следует изоморфизм
Н/Н*~А/А{.
Однако AlAi ~ рА, так как отображение a-*- pa, a ? А, является гомо-
гомоморфизмом группы А на подгруппу рА с ядром А\. Поэтому
Н/Н* ~ рА. E)
Так как группа рА, как и сама группа А, не содержит элементов
бесконечной высоты, то из D) и E) вытекает
Я1 = Я*, F>
HIH1 ~ рА. G)
Мы нашли ульмовские факторы группы Я и доказали, в частности, что-
группа Н является редуцированной типа 2.

170 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ ' [Гл. VII
Найдем теперь ульмовские факторы группы G. Если положим
D = С IB, то ввиду G =1А1С, Н = A IB будет
G ~ HID. (8)
Из D cz Н* и F) следует Did Н1, а поэтому из (8) вытекает
СР- ~ miD, (9)
где G1 — подгруппа элементов бесконечной высоты группы G: если элемент
h + D имеет в группе HID бесконечную высоту, то для любого п суще-
существуют такие элементы h^ ? H и dn ? D, что pnhn = h + dn; элемент dn
имеет, однако, в группе Н бесконечную высоту, а поэтому высота эле-
элемента h также бесконечна.
Из (8) и (9) вытекает
GIG1 ~ HIH1. A0)
С другой стороны, группа Н1 имеет в виду F) мощность континуума
и состоит из элементов порядка р. Это же верно и для группы G1: из (9),
F) и определения групп Н* и D следует, что
G1 ~ AJC,
однако, фактор-группа A^IC состоит из элементов порядка р и имеет
мощность континуума. Применяя первую теорему Прюфера (§ 24), мы
приходим к изоморфизму
G1 ~ Н1. A1)
Этим доказано, что G является редуцированной группой типа 2 и что
ее улъмовские факторы изоморфны соответственным улъмовским факторам
группы Н.
Остается показать, что сами группы Н и G не будут изоморфными.
Для этого, учитывая включения Н1 a Hi, G1 a Gt, где Hi и Gj — соот-
соответственно нижние слои групп Н и G, достаточно доказать, что фактор-
факторгруппы HilH1 и GilG1 имеют различные мощности.
Мы знаем ввиду F), что Н1 = AJB. С другой стороны, легко видеть,
что Hi = LIB, где через L обозначена подгруппа группы А, состоящая
из всех элементов порядка р и тех элементов порядка р2, которые имеют
лишь конечное число отличных от нуля компонент порядка р2. Отсюда
следует, что
фактор-группа L/Ai является, однако, счетной.
Рассмотрим теперь фактор-группу GilG1. Прежде всего
(P = Ai/C. A2)
Действительно, так как D а Н1, то при естественном гомоморфизме груп-
группы Н на группу G ~ H/D полным прообразом подгруппы G1 будет под-
подгруппа Н1. Однако из F) следует, что Ai будет полным прообразом под-
подгруппы Н1 при естественном гомоморфизме группы А на группу Н = A IB.
Отсюда вытекает, что при естественном гомоморфизме группы А на группу
G = А 1С полным прообразом подгруппы G1 будет служить подгруппа Аи
этим доказано равенство A2).
С другой стороны, Gi = К 1С, где через К обозначена подгруппа
группы А, состоящая из всех элементов порядка р и тех элементов поряд-
порядка р2, которые имеют лишь конечное число компонент порядка р2 с нечет-

§ 29] СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 171
ными индексами, в то время как компонент порядка р2 с четными индекса-
индексами может быть и бесконечно много. Отсюда и из A2) следует, что
GJG1 ~ К/Аи
фактор-группа К1А^ имеет, однако, мощность континуума.
Этим доказано, что группы Н и G не будут изоморфными. [См.
Д. 30.3.]
§ 29. Смешанные абеяевы группы
Смешанная абелева группа G называется расщепляемой, если она
разложима в прямую сумму периодической группы и группы без круче-
кручения. Периодическое слагаемое совпадает при этом, понятно, с периоди-
периодической частью F группы G, а слагаемое без кручения изоморфно фактор-
факторгруппе GIF.
К числу расщепляемых групп принадлежат все прямые суммы цикли-
циклических групп и, в частности, все абелевы группы с конечным числом обра-
образующих, а также все полные группы. Ниже мы узнаем, однако, что не все
смешанные группы расщепляемы. Ввиду этого вопрос об условиях рас-
щепляемости, т. е. условиях, при которых изучение смешанных групп
сводится на изучение периодических групп и групп без кручения, оказы-
оказывается основным в теории смешанных групп.
Мы докажем следующую теорему, причем в процессе доказательства
будут построены некоторые примеры нерасщепляемых групп.
Тогда и только тогда будет расщепляемой всякая абелева группа,
периодическая часть которой изоморфна данной периодической. группе F,
если F разложима в прямую сумму полной группы и группы с ограниченны-
ограниченными в совокупности порядками элементов.
Следующее простое доказательство достаточности условия
теоремы указал Куликов [1]. Пусть F = F4 + F2, где F4 — полная груп-
группа, F2 — группа с ограниченными в совокупности порядками элементов,
и пусть F служит периодической частью абелевой группы G. Как доказано
в § 23, полную подгруппу F\ можно выделить из группы G прямым сла-
слагаемым,
Периодическая часть F' группы G' будет при этом изоморфной группе F2,
т. е. порядки ее элементов ограничены в совокупности, а так как подгруп-
подгруппа F' сервантна в G', то, как доказано в § 25, она служит для G' прямым
слагаемым. Этим доказана расщепляемость группы G.
Переходим к доказательству необходимости условия теоре-
теоремы, причем сперва докажем следующую лемму.
Если периодическая группа F разложена в прямую сумму двух групп,
F = F' -j- F", и если существует нерасщепляемая группа G, имеющая F"
своей периодической частью, то группа Н = F' + G, периодическая часть
которой совпадает с F, также будет нерасщепляемой.
В самом деле, если существует расщепление
тде Но — группа без кручения, то фактор-группа HIF', изоморфная
группе G, оказывается расщепляемой.
Эта лемма позволяет ограничиться дальше случаем, когда группа F
редуцированная. Если при этом предположении порядки элементов груп-
группы F не ограничены в совокупности, то возможно одно из двух: или при

172 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
разложении группы F в прямую сумму примерных групп среди этих
примарных прямых слагаемых имеются такие, порядки элементов которых
не ограничены в совокупности, или же число этих прямых слагаемых
бесконечно. Рассмотрим отдельно эти два случая.
В первом случае можно ввиду леммы предполагать, что сама группа F
примарна. Таким образом, дана редуцированная примарная (по простому
числу р) группа F, содержащая элементы сколь угодно больших порядков.
Обозначим через Fk, к = 1, 2, . . ., подгруппу группы F, состоящую и^
всех тех элементов, высота которых в F не меньше к. Выбираем далее
в F системы элементов аи а2, • . ¦, at, ... и Ъи Ъ2, ¦ . ., Ъг, . . . со следую-
следующими свойствами (всюду i = 1, 2, . . .): 1) Ь;+1 = Ьг+ ргсц+и &i = сц,
2) порядки элементов Ъг неограниченно возрастают вместе с i, 3) элемент bt
имеет наименьший порядок среди элементов своего смежного класса па
подгруппе Ft. Строим эти системы элементов следующим образом: в каче-
качестве &i выбираем в одном из смежных классов по подгруппе Ft (но вне Ft)
один из элементов наименьшего порядка и полагаем затем at = Ь4. Пусть
уже выбраны элементы bt и а, и пусть порядок элемента Ъ% есть ps. Неог-
Неограниченность порядков элементов группы F и редуцированность этой
группы позволяют найти в ней такой отличный от нуля элемент х, высо-
высота к которого конечна и больше s -j- i. Пусть далее элемент у удовлетво-
удовлетворяет равенству рку = х. Берем элемент Ъг -\- ргу и один из элементов
наименьшего порядка из его смежного класса по подгруппе Fi+1 обозна-
обозначаем через bj+i. Если
то положим at+i = у + pf, откуда bi+l = Ьг+ plai+i. Остается пока-
показать, что порядок элемента bj+i больше порядка элемента &,. Действи-
Действительно, из psbi+1 = 0 следовало бы ps+ly + ps+l+1f = 0, откуда ввиду
s + г < к
phy = x = pk+1(-f),
что противоречило бы, однако, тому, что элемент а: имеет высоту к.
Мы строим теперь абелеву группу G. Ее система образующих состоит
из всех элементов группы F и счетного множества элементов Vi, v2, • • -
..., vi, . . ., а определяющими соотношениями служат соотношения комму-
коммутативности, все соотношения, существующие между элементами группы F,
и, наконец, соотношения
pvu.i = Vi + ai, г = 1, 2, ..., A>
где элементы at определены согласно предшествующему абзацу. Всякое
следствие из соотношений A) может быть записано в виде
п
yEkt(pvi+i — vi-at) = 0, B)
где и>1, кг — целые числа и кп Ф 0. Однако в соотношении B) эле-
элемент vn+i имеет отличный от нуля коэффициент, поэтому из соотноше-
соотношений A) не может следовать равенство нулю некоторого элемента из F,
отличного от нуля в F. Иными словами, группа F является подгруппой
группы G. Мы получаем, далее, что из соотношений A) не может следовать
соотношение kvi = а, где к =? 0, а ? F, т. е. порядок элемента V\ бесконе-
бесконечен. Фактор-группа GIF будет, следовательно, группой без кручения х)г
а поэтому F является максимальной периодической подгруппой группы G-
х) Легко видеть, что она изоморфна группе р-ичных дробей Щ.

§ 29] СМЕШАННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 173
Предположим теперь, что F есть прямое слагаемое для G, т. е.
G = F + Н. Тогда vt = Д + hu ft?F, ht 6 Н, i = 1, 2, ... Из соотно-
соотношений A) следует, так кац а; ? /\ р/г+i = /г + аг. В частности, pf2 =
= /i + ai ~ /i + bi. Пусть уже доказано, что
Pi-1/i = /i + b«-i-
Тогда
Р7ж = Р1/* + Рг~"Ч = /, + V, + Р^пг = /t + Ъь
а так как />г/г+1 € ^ь то мы получаем, что при i = 1, 2, ... элементы —
/л и Ьг лежат в одном смежном классе по подгруппе Ft- Отсюда ввиду
¦определения элементов Ъг следует, что порядок элемента /4 не меньше,
чем порядок Ъг, но тогда ввиду возрастания порядков элементов Ь% вместе
•с i мы приходим в противоречие с конечностью порядка элемента /4. Этим
доказано, что F не является прямым слагаемым для G.
Мы переходим теперь ко второму из указанных выше случаев, т. е.
предполагаем, что группа F является прямой суммой бесконечного множе-
множества редуцированных примарных групп, относящихся к различным про-
простым числам pi, р2, ¦ ¦ ., рг, . . .,
F = %FPt- C)
В каждой из подгрупп Fp. мы выбираем отличный от нуля элемент at
высоты 0 и следующим образом строим затем абелеву группу G: ее
образующими служат все элементы группы F и, сверх того, элементы v0,
Vi, . . ., vt, . . ., а определяющими соотношениями являются соотношения
коммутативности, все соотношения, существующие между элементами
группы F, и, наконец, соотношения
= l, 2, ... D)
Как и в предыдущем случае, легко проверить, что F является подгруппой
группы G, притом максимальной периодической.
Предположим, что F есть прямое слагаемое для G, т. е. G = F + Н.
Тогда уг = fi + hi, jt 6 F, ht ? H, i = 0, 1, 2, . . . Из соотношений D) сле-
следует теперь ввиду аг 6 F
* = 1, 2, ... E)
-Элемент /0 есть сумма конечного числа компонент, взятых в прямых сла-
слагаемых разложения C), поэтому можно найти такой номер /, что компо-
компонента элемента /0 в Fp. равна нулю. Если компонента элемента fj в прямом
слагаемом Fp. будет обозначена через /J, то равенство E) приводит при
г = j к равенству
Pjf'i = aJ>
что противоречит, однако, тому, что элемент aj имеет в группе Fp. нуле-
нулевую высоту.
Этим заканчивается доказательство теоремы.
Условия расщепляемости смешанной группы G можно искать также
в виде связей между свойствами ее периодической части F и фактор-груп-
фактор-группы GIF. Именно так рассматривает этот вопрос Бэр [13], однако он накла-
накладывает на группу без кручения GIF некоторые ограничения, заведомо
выполняющиеся, впрочем, если эта группа счетна. Доказанная выше
теорема является в действительности следствием результатов Бэра.

174 ПРИМАРНЫЕ И СМЕШАННЫЕ АВЕЛЕВЫ ГРУППЫ [Гл. VII
Другой подход к этому вопросу, связанный со свойствами автоморфизмов
смешанной группы, содержится в работе Мишиной [2]. Один критерий
расщепляемости можно найти также в работе Ляпина [3]. Заметим, что
пока не установлены необходимые и достаточные условия, каким должна
удовлетворять группа без кручения Н для того, чтобы всякая абе-
лева группа, имеющая Н своей фактор-группой по периодической части,
была расщепляемой. [См. § Д.32. ]
Не следует вопрос о расщепляемости смешанной группы отождест-
отождествлять с вопросом о ее разложимости. Выше построены примеры нерасщеп-
ляемых смешанных абелевых групп. Однако всякая смешанная абелева
группа G разложима в прямую сумму (Куликов [1]).
Действительно, если периодическая часть F группы G полна, то F
служит для G прямым слагаемым. Если же F не является полной груп-
группой, то, используя результаты § 25, в том числе лемму, мы найдем в F
циклическое прямое слагаемое А. Подгруппа А, будучи сервантной в F,
сервантна и в группе G, а так как эта подгруппа к тому же конечна,
т. е. порядки ее элементов ограничены в совокупности, то снова ввиду
§ 25 А выделяется из G прямым слагаемым.

Глава восьмая
АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ
§ 30. Группы ранга 1. Типы элементов
группы без кручения
Абелевы группы без кручения изучены пока значительно меньше,
чем, например, примарные абелевы группы. В теории абелевых групп
без кручения серьезно используется понятие ранга группы (см. § 19),
причем группы конечного ранга выступают в качестве одного из основ-
основных объектов изучения. Весьма важную роль играет также понятие сер-
вантной подгруппы (см. § 25), называемой в разных работах по теории
абелевых групп без кручения также подгруппой нерасширяемой, замкну-
замкнутой, дивизионной и т. д.
Следует учесть, что в абелевой группе без кручения уравнение
пх = а, и>0, A)
может иметь не больше одного решения, так как разность двух его реше-
решений была бы элементом конечного порядка. Отсюда следует, что подгруп-
подгруппа С абелевой группы без кручения G тогда и только тогда будет сервант-
ной в G, если фактор-группа GIC является группой без кручения. Из един-
единственности решения уравнения A) следует также, что пересечение любого
множества сервантных подгрупп абелевой группы без кручения G само
сервантно в этой группе. Можно говорить, следовательно, о сервантной
подгруппе группы G, порожденной, данным множеством М элементов
группы G, понимая под этим пересечение всех сервантных подгрупп груп-
группы G, содержащих М\ одна такая подгруппа, а именно само G, заведомо
существует.
Сервантная подгруппа группы без кручения G, порожденная множе-
множеством М, состоит из всех элементов группы G, линейно зависящих (в смыс-
смысле § 19) от множества М.
В самом деле, если элемент а линейно зависит от множества М, т. е.
некоторое кратное этого элемента содержится в подгруппе {М}, то
в порожденной М сервантной подгруппе, заведомо содержащей подгруп-
подгруппу {М}, будет содержаться и сам элемент а. С другой стороны, все эле-
элементы группы G, линейно зависящие от множества М, составляют под-
подгруппу: сумма и разность любых двух элементов, некоторые кратные
которых лежат в {М}, сами обладают этим же свойством. Эта подгруп-
подгруппа содержит М и будет сервантной в G: если пЪ = а и ка ? {М}, то
(кп) Ъ ? {М}, т. е. Ъ линейно зависит от М.
Мы знаем из § 23, что всякая абелева группа содержится в некоторой
полной абелевой группе. Можно утверждать даже, что всякая абелева

176 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
группа без кручения содержится в некоторой полной абелевой группе без
кручения, т. е. в прямой сумме некоторого множества групп типа R. Это
легко следует из доказательства соответствующей теоремы, приведенного
в § 23, но может быть установлено и непосредственно: если группа без
кручения G содержится в смешанной полной группе Н, то пересечение
группы G с периодической частью группы Н равно нулю, а поэтому груп-
группа G изоморфно отображается в фактор-группу группы Н по ее периоди-
периодической части, являющуюся полной группой без кручения.
Всякая абелева группа без кручения G конечного ранга п содержится
в полной абелевой группе без кручения ранга п, т. е. в прямой сумме п групп
типа R.
В самом деле, группа G содержится в некоторой полной группе без
кручения Н. Порождаемая ею сервантная подгруппа G группы Н сама
будет полной. Вместе с тем выше было показано, что всякий элемент из G
линейно зависит отСи поэтому линейно зависит от всякой максимальной
линейно независимой системы элементов группы G. Таким образом, ранг
группы G равен п.
Отсюда следует, в частности, что всякая группа без кручения ранга 1
изоморфна подгруппе аддитивной группы рациональных чисел R. Таким
образом, когда мы получим описание всех абелевых групп без кручения
ранга 1, что является нашей ближайшей целью, одновременно будет
получено описание, с точностью до изоморфизма, всех подгрупп группы R.
Введем одно вспомогательное понятие. Назовем характеристикой
всякую последовательность вида
a=(cci, сс2, ..., ап, ...),
где каждое ап является или нулем, или некоторым натуральным числом,
или же символом оо. Характеристики а и
эквивалентны, если ап = рга для всех п, кроме, быть может, конечного
числа, притом таких, для которых как ап, так и рп отличны от оо. Все
характеристики распадаются, очевидно, на непересекающиеся классы
эквивалентных характеристик; эти классы будут называться типами г)
и обозначаться буквами а, Ь, с, ...
В множество типов следующим образом вводится частичная упоря-
упорядоченность: й-<Ь, если существуют такая характеристика а типа а
и такая характеристика р типа Б, что для всех п будет ап <; |3„; при этом
считается, понятно, что символ оо больше любого натурального числа.
Читатель, используя определение типа, без труда проверит справедли-
справедливость следующих утверждений:
1) й<й;
2) если й<Б, Б<с, то й<с;
3) если й<Б, Б<й, то а = Б, т. е. эти два типа совпадают.
Наибольшим среди всех типов будет тип, состоящий из одной-един-
ственной характеристики
(оо, оо, ..., оо, . . .);
этот тип мы будем называть, по причинам, которые станут ясными ниже,
типом R. Наименьшим среди всех типов является тип, содержащий
Их называют также надтипами и родами.

§ 30] ГРУППЫ РАНГА 1. ТИПЫ ЭЛЕМЕНТОВ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ 177
характеристику
@, О, ..., О, ...);
этот тип мы будем называть нулевым.
Пусть даны типы й и Ь. Выберем в них характеристики а и соответ-
соответственно р и введем обозначение
¦у„ = тт(ап, р„), м = 1, 2, ...
Тип с, определяемый характеристикой
(Yi. Yz, •••> Уп, ...),
не зависит, как легко видеть, от выбора характеристик а и р в типах й
и Б. Это будет наибольший среди типов, которые меньше или равны
как типу й, так и типу Ь; назовем тип с произведением типов й и 6, с = йЬ.
Аналогичным образом можно говорить, понятно, о произведении любого
конечного числа типов г).
Переходим к описанию абелевых групп без кру-
кручения ранга 1. Пусть pi, р2, . . ., рп, . . . будет последователь-
последовательность всех простых чисел, перенумерованных в порядке возрастания.
Пусть, далее, G будет абелева группа без кручения ранга 1 и a — отлич-
отличный от нуля элемент из G. Ставим в соответствие группе G характеристи-
характеристику а, полагая ап = 0, если уравнение рпх = а не имеет в G решения,
ап = к, если в G может быть решено уравнение рЧс = а, но не уравнение
ph+ix ¦= а, и ап = оо, если все уравнения р\х = а, г = 1,2, . . ., имеют
в G решения. Легко проверить, что замена элемента а элементом та, где
т — отличное от 0 целое число, не вызывает изменения символа ап, если
он равен оо, если же он конечен и равен /е>0, а т = р1пт , (рп, т') = 1,
то после замены будет ап = к-\-1; иными словами, характеристика а заме-
заменяется в этом случае ей эквивалентной характеристикой. Это же обстоя-
обстоятельство имеет место и при замене элемента а любым отличным от нуля
элементом Ъ группы G, так как элементы а и b обладают отличным от нуля
общим кратным. Обратно, если характеристика р" эквивалентна характе-
характеристике а, то можно заменить элемент а таким элементом Ь, что при помо-
помощи этого элемента группе G будет ставиться в соответствие характеристи-
характеристика р. В самом деле, если ап — Р„ = |лп ^> 0 при п = ii, i2, •••, is
и рга — ап = уп > 0 при n — ji, /2, • • ., ]t, а для всех остальных п ап — Р„,
то в качестве Ъ нужно взять решение уравнения
легко видеть, что это решение в группе G существует.
Мы получаем, что всякой абелевой группе без кручения ранга 1 одно-
однозначно соответствует некоторый определенный тип. Неизоморфным груп-
группам соответствуют при этом различные типы. Действительно, если
группе G при помощи элемента а поставлена в соответствие характеристи-
характеристика а, то уравнение тх = а будет обладать в G решением тогда и только
тогда, если т делится не более чем на <х„-ю степень числа рп при всяком
таком п, для которого ап < оо — если элементы Ъ и с удовлетворяют
равенствам рЪ = a, qc = а, причем числа ряд взаимно просты, то
х) Можно было бы показать также, что среди типов, которые больше или равны
данным типам а и Б, существует наименьший. Иными словами, множество типов
является структурой (см. § 43).

178 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
уравнению (pq) х = а удовлетворяет элемент tb -\- sc, где ps -f- qt = 1.
Таким образом, при том отображении группы G внутрь аддитивной группы
рациональных чисел R, которое переводит элемент а в число 1, группа G
отобразится на подгруппу Ra группы R, состоящую из всех тех рациональ-
рациональных чисел, знаменатели которых (в несократимой записи) делятся не
более чем на а„-ю степень простого числа рп, п = 1, 2, . . ., если ап < оо,
и на какую-либо степень числа рп, если ап = оо. Однако Ra является
единственной подгруппой группы R, содержащей целые числа и обладаю-
обладающей тем свойством, что ей при помощи элемента 1 ставится в соответствие
характеристика а. Этим доказано, что заданием характеристики а груп-
группа G определяется с точностью до изоморфизма. Одновременно мы полу-
получаем, что для всякого типа а можно найти подгруппу группы R, соответ-
соответствующую этому типу.
Таким образом, между всеми типами и всеми неизоморфными группами
без кручения ранга 1 установлено взаимно однозначное соответствие. При
этом самой группе R соответствует тип R, чем оправдывается его назва-
название, бесконечной циклической группе соответствует нулевой тип, а адди-
аддитивной группе рп-ичных дробей (т. е. рациональных чисел, знаменатели
которых являются степенями простого числа рп) — тип, содержащий
характеристику, в которой ап = оо и as = 0 при s =? п. Отметим также,
что аддитивной группе рациональных чисел, знаменатели которых не
делятся на квадрат никакого простого числа, соответствует тип, содержа-
содержащий характеристику
A, 1, -.., 1, ...)•
Если группе без кручения G ранга 1 соответствует тип й, то будем
говорить, что G есть группа типа й.
Полученное описание групп ранга 1 является достаточно обозримым
а удобным. Так, читатель без труда докажет, что если даны группы без
кручения G и Н ранга 1, соответственно типов й и Б, то группа G тогда
и только тогда изоморфна некоторой подгруппе группы Н, если й<6.
Отсюда следует, что если каждая из этих двух групп G и Н изоморфна
подгруппе другой группы, то они изоморфны между собой. Наше описание
указывает вместе с тем на большое разнообразие абелевых групп без
кручения ранга 1; из него следует, в частности, что множество всех этих
групп имеет мощность континуума.
Возвращаемся к рассмотрению произвольных абелевых групп без
кручения. Пусть G будет такая группа и а — ее элемент, отличный от
нуля. Сервантная подгруппа А группы G, порожденная элементом а, будет
группой ранга 1, так как, как показано выше, всякий элемент этой под-
подгруппы линейно зависит от элемента а. Эта подгруппа будет, вместе с тем,
наибольшей подгруппой ранга 1 группы G, содержащей элемент а. Тип
подгруппы А мы будем называть типом элемента а. Иными словами,
тип элемента а есть тип той характеристики, которую мы получим, пола-
полагая ап = к, если в группе G разрешимо уравнение р^х = а, но не уравне-
уравнение ph+1x = а, и ап = оо, если уравнения вида рЧс = а разрешимы
в G при всех к; здесь рп, п = 1, 2, . . ., — совокупность простых чисел,
упорядоченная по возрастанию. Именно в этом смысле мы будем иногда
говорить о характеристике элемента а группы G.
Мы получаем теперь возможность различать элементы группы G,
отличные от нуля, по их типам, что в некотором смысле соответствует
разделению элементов примарной абелевой группы на элементы конечной
и бесконечной высоты. Абелевы группы без кручения можно классифи-

§ 31] ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ГРУППЫ 179
цировать, следовательно, в соответствии с тем, элементы каких типов
в них содержатся. Можно, в частности, выделить в качестве особого объек-
объекта изучения те группы, все элементы которых, отличные от нуля, имеют
один и тот же тип й. Впрочем, одного этого ограничения недостаточно
для развития глубокой теории. Легко видеть, правда, что группы, все эле-
элементы которых, отличные от нуля, имеют тип R, будут полными и, следо-
следовательно, уже вполне изучены; однако совокупность тех групп, все нену-
ненулевые элементы которых имеют, например, нулевой тип, оказывается
уже мало обозримой.
Отметим некоторые свойства типов элементов а б е-
левой группы без кручения G, используемые в сле-
следующем параграфе.
I. Два элемента, линейно зависящие друг от друга, имеют один
и тот же тип.'
Действительно, эти элементы порождают одну и ту же сервантную
подгруппу.
П. Если элементы а и Ъ имеют соответственно типы а и Ь, то тип
суммы а + Ъ [если она отлична от нуля) больше или равен произведению йЬ.
Действительно, если характеристики элементов а и Ъ будут соответ-
соответственно ос и р, то элемент а + Ь во всяком случае будет делиться на любую
степень простого числа рп, показатель которой не больше min (an, р„).
Этот элемент, как показывают простые примеры, может делиться, впро-
впрочем, и на более высокую степень числа рп, если только числа ап и fin
конечны и равны между собой.
III. Если G = А + В, а ? А, Ъ ? В и типы элементов а и Ъ будут
соответственно а и Ъ, то тип элемента а + Ъ равен произведению аЬ.
Действительно, в этом случае характеристика у элемента а + Ъ
такова, что при всех п уп = min (ос,,, р*п).
Пусть G будет абелева группа без кручения и а — произвольный
тип. Обозначим через G (а) множество, состоящее из нуля и всех тех эле-
элементов группы G, типы которых больше или равны а; если таких элемен-
элементов в группе G нет, то G (а) = О. Из II следует, что G (а) будет подгруп-
подгруппой группы G, а I показывает, что эта подгруппа сервантна в G. Через
G' (й) обозначим подгруппу группы G, порожденную всеми теми элемен-
элементами, типы которых строго больше а. Эта подгруппа содержится в под-
подгруппе G (й) и иногда с нею совпадает; в общем случае она не обязана,
однако, быть сервантной в G (а). Фактор-группа
G*(a) = G(a)/G'(a)
может, следовательно, обладать элементами конечного порядка.
Введенные нами подгруппы G (a), G' (а) и фактор-группы G* (а)
будут использованы в следующем параграфе.
§ 31. Вполне разложимые группы
После того как нами в предшествующем параграфе изучены группы
без кручения ранга 1, естественно перейти к рассмотрению абелевых
групп без кручения, разложимых в прямую сумму групп ранга 1; такие
группы будут называться вполне разложимыми. Этот класс групп уже
достаточно широк — к нему, помимо всех групп ранга 1, принадлежат
все свободные абелевы группы, а также все полные группы без кручения.
С другой стороны, мы увидим позже, что вполне разложимыми группами
далеко не исчерпываются все абелевы группы без кручения.

180 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
Существуют различные критерии для того, чтобы группа без круче-
кручения была вполне разложимой (см. Бэр [15], Ляпин [6]). Все эти критерии
формулируются, однако, весьма громоздко и вместе с тем их не удается
использовать для дальнейшего развития теории вполне разложимых
групп; мы не будем поэтому их излагать. Нецелесообразно также ставить
вопрос о подгруппах или о фактор-группах вполне разложимых групп:
всякая абелева группа без кручения содержится в некоторой полной груп-
группе без кручения и является фактор-группой некоторой свободной группы.
Мы будем поэтому интересоваться лишь свойствами прямых разложений
вполне разложимых групп и начнем со следующей теоремы (Бэр [15]).
Если абелева группа без кручения G вполне разложима, то всякие два
разложения этой группы в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны между
собой.
Пусть, в самом деле, дано произвольное разложение группы G в пря-
прямую сумму групп ранга 1,
G = ^Aa. A)
а
Если группа G обладает элементами типа й, то подгруппа G (й) (см. конец
предшествующего параграфа) совпадает с прямой суммой тех слагаемых
из разложения A), типы которых больше или равны й. Действительно,
ввиду сервантности прямых слагаемых тип всякого ненулевого элемента
из подгруппы Аа равен типу самой этой подгруппы, после чего остается
воспользоваться свойствами I — III из предшествующего параграфа.
Аналогично подгруппа G' (й) совпадает с суммой тех прямых слагаемых
из разложения A), типы которых строго больше й. Отсюда вытекает, что
сумма прямых слагаемых из разложения A), тип которых равен а, изо-
изоморфна фактор-группе G* (й), т. е. не зависит от выбора разложения A):
в любом разложении группы G в прямую сумму групп ранга 1 содержится
столько слагаемых типа а, каков ранг группы G* (й), если этот ранг коне-
конечен, или какова мощность этой группы, если ее ранг бесконечен. Теорема
доказана.
Возникает вопрос, будет ли всякое прямое раз-
разложение вполне разложимой группы продол-
продолжаться до разложения в прямую сумму групп
ранга 1? Иными словами, будет ли всякое прямое сла-
слагаемое вполне разложимой группы само впол-
вполне разложимым? Окончательный ответ на этот вопрос еще не
получен *). В работе Бэра [15] содержится ряд относящихся сюда
частных результатов, некоторые из которых будут сейчас изложены.
Рассмотрим сперва случай групп, разложимых в прямую сумму
изоморфных групп ранга 1, причем докажем следующую
теорему.
Если абелева группа без кручения G обладает прямым разложением
G=%Aa, B)
а
все слагаемые Аа которого имеют ранг 1 и один и тот же тип й, и если
подгруппа В сервантна в G, то В сама разложима в прямую сумму групп
ранга 1 и типа а.
Ко времени подготовки третьего издания он уже получен. [См. Д.31.4.]

§ 31] ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ГРУППЫ 181
Предположим, что индекс а пробегает все порядковые числа, мень-
меньшие некоторого <т, и введем следующие обозначения:
Для всякого р имеет место включение
причем или имеет место знак равенства, или же фактор-группа
имеет ранг 1 и тип й. В самом деле, эта фактор-группа изоморфна подгруп-
подгруппе фактор-группы G(P+1VG<P), изоморфной группе А$, т. е. имеет ранг 1
и тип, меньший или равный й. С другой стороны, если подгруппа SO)
содержит элемент х, лежащий вне В^\ то, ввиду сервантности В, тип
этого элемента в?, а поэтому и в SO), равен й. Тип образа этого эле-
элемента в фактор-группе StP+^/SO) не может быть, следовательно, меньшей,
т. е. наше утверждение доказано.
Если бы было показано, что при SO) =? S<P+1) имеет место прямое
разложение
где Ср — группа ранга 1 и типа й, то теорема была бы доказана, так как
подгруппа В совпала бы с прямой суммой всех отличных от нуля подгрупп
Ср, р < а. Перейдем поэтому к доказательству существования разло-
разложения C).
Выбираем в подгруппе SO+1) элемент х, лежащий вне подгруппы S(P>,
и обозначим через х смежный класс х + SO). Если элемент х делится
на некоторое число п в группе S<P+1), то на это же число делится в груп-
группе SO+1)/SO) элемент х. Обратное может не иметь места, однако из сов-
совпадения типов элементов х и х вытекает, что существует лишь конечное
число таких простых чисел
Рч, Рц, •• -, Pis, D)
что значение aIft характеристики элемента х для простого числа /),-fei
к = 1, 2, . . ., s, отлично от значения щк характеристики элемента х для
этого же числа, причем тогда оба эти числа конечны и
Пусть
В группе S<P+1)/S<P) существует такой элемент у = у + В®\ что
Ъу = х, E)
т. е. элементы х и hy лежат в одном смежном классе х. Пусть число ti
играет для элемента hy такую же роль, как число h для элемента х. Из
делимости элемента hy на число h вытекает, однако, что число h' не

182 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
делится ни на одно из простых чисел D), а поэтому
(h, h') = l.
Существуют, следовательно, такие целые числа I и Г, что
lh + l'h' = l. F)
Элемент
'h'(hy) G)
лежит ввиду E) и F) в смежном классе х. Если pj — любое простое число
и §j — значение характеристики элемента z для этого простого числа,
то, понятно, р_/<ос_;. Однако элемент z во всяком случае делится на такую
степень числа pj, на которую делятся оба слагаемых правой части равен-
равенства G), а поэтому, используя определение чисел h и Ы', получаем fij^aj.
Таким образом, в смежном классе х мы нашли такой элемент z,
характеристика которого в группе 5<Э+1) совпадает с характе-
характеристикой элемента х в группе 5<Р+1)/5<Р). Если, следовательно, через Ср
мы обозначим сервантную подгруппу группы 2?<Р+1>, порожденную эле-
элементом z, то в каждом смежном классе группы Б(Р+1> по подгруппе
50) будет содержаться по одному элементу из Ср. Этим доказано
существование прямого разложения C), т. е. закончено доказательство
теоремы.
Применяя эту теорему к тому случаю, когда в качестве В берется пря-
прямое слагаемое группы G, мы приходим к такому результату.
Если группа G разложима в прямую сумму групп ранга 1, имеющих
один и тот же тип й, то всякое прямое слагаемое этой группы само раз-
разложимо в прямую сумму групп ранга 1 и типа а.
Докажем теперь следующую более общую теорему1).
Пусть группа G вполне разложима, причем множество типов слагае-
слагаемых в ее разложении
G = ^Aa (8)
а
в прямую сумму групп ранга 1 конечно. Тогда всякое прямое слагаемое
группы G само вполне разложимо.
Для доказательства обозначим черкез
«1, «2> • • •, Йп (9)
различные типы слагаемых, входящих в разложение (8), а через Dt,
i = 1, 2,. . ., п,— прямую сумму слагаемых типа а* из этого разложения.
Тогда
Теорема будет доказана, если мы покажем, что разложение A0) и любое
прямое разложение группы G,
G = S5p, A1)
Э
обладают изоморфными продолжениями. Действительно, в этом случае
всякое Бр будет разлагаться в прямую сумму подгрупп, изоморфных
Доказательство сообщено автору Л. Я. Куликовым.

§ 31] ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ГРУППЫ 183
прямым слагаемым групп Dt, i = 1, 2, . . ., п, и поэтому,, как доказано
выше, вполне разложимых.
Доказательство существования изоморфных продолжений для пря-
прямых разложений A0) и A1) мы будем вести индукцией по числу п, так
как при п = 1 доказывать нечего. Пусть тип <л будет одним из максималь-
максимальных (в смысле частичной упорядоченности типов) среди типов (9). Тогда
компонента подгруппы ZL в прямом слагаемом В$ второго разложения
совпадает с пересечением
C$ = Di П -Sp!
она не может быть больше этого пересечения, так как всякая подгруппа
гомоморфно отображается на свою компоненту, однако ввиду выбора
типа й1 никакой элемент из подгруппы Di не может ни при каком гомо-
гомоморфизме этой подгруппы переходить в элемент группы G, лежащий
вне Di. Отсюда вытекает существование прямого разложения
»
т. е. мы получаем следующее продолжение разложения A0):
Подгруппа В$ содержит прямое слагаемое Ср группы G, поэтому для
всякого Р существует прямое разложение
т. е. мы приходим к следующему продолжению разложения A1):
G = 2Ce + |Cp- A3)
Разложения A2) и A3) показывают, что подгруппы
D2+...+Dn, 2<?p A4)
изоморфны между собой, а поэтому на основании индуктивного предпо-
предположения для разложений A4) существуют изоморфные продолжения.
Подставляя их соответственно в разложения A2) и A3), мы получим
изоморфные продолжения разложений A0) и A1), что и требовалось
доказать.
Из этой теоремы следует, что всякое прямое слагаемое вполне разло-
разложимой группы конечного ранга само вполне разложимо.
В вопросе о прямых слагаемых вполне разложимых групп в действи-
действительности получены результаты, идущие дальше тех, которые изложены
выше. Так, Бэр [15] доказал полную разложимость прямых слагаемых
в том случае, когда множество типов слагаемых в разложении (8) из фор-
формулировки предыдущей теоремы не обязательно конечно, а лишь удов-
удовлетворяет условию максимальности (в смысле
частичной упорядоченности типов). С другой стороны, Куликов доказал
полную разложимость прямых слагаемых для всякой счетной впол-
вполне разложимой группы. [См. Д.31.4.]

184 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
§ 32. Другие классы абелевых групп без кручения
До сих пор мы еще не встречали абелевых групп без кручения, отлич-
отличных от вполне разложимых групп. Их существование вытекает из следую-
следующей теоремы.
Полная прямая сумма (см. § 17) бесконечного множества бесконечных
циклических групп не является вполне разложимой группой.
Пусть, в самом деле, группа G представима в виде полной прямой
суммы бесконечных циклических групп, множество которых имеет беско-
бесконечную мощность т. Берем некоторое счетное подмножество этого множе-
множества и полную прямую сумму входящих в него подгрупп обозначим
через G'. Если бы группа G была вполне разложимой, то, так как все ее
элементы имеют в ней нулевой тип, она оказалась бы свободной группой,
а тогда и группа G', изоморфная подгруппе группы G, была бы свобод-
свободной. Будем считать поэтому, что сама группа G является полной прямой
суммой счетного множества бесконечных циклических групп.
Если
ai, а2, . -., ап, ...
— образующие этих циклических групп, то всякий элемент g группы G
записывается в виде бесконечной суммы этих образующих, взятых
с целыми коэффициентами,
.. . +кпап+ ¦ ¦ ¦ A)
Обозначим через Н совокупность элементов вида A), обладающих следую-
следующим свойством: для всякого натурального числа s почти все коэффициен-
коэффициенты &i, к2, ..., кп, ... (т. е. все, кроме, быть может, конечного числа) делят-
делятся на число 2s. Множество Н будет подгруппой группы G, имеющей, как
и сама группа G, мощность континуума. Если группа G свободна, то
и Н будет свободной группой, т. е. прямой суммой континуального мно-
множества бесконечных циклических групп, а тогда фактор-группа Н/2Н,
где 2# — совокупность элементов группы Н, делящихся в этой группе
на число 2, должна иметь мощность континуума.
В действительности, однако, фактор-группа НI2H счетна. В самом
деле, группа Н содержит счетную подгруппу Н', состоящую из элементов
вида A), обладающих лишь конечным числом ненулевых коэффициентов
кп. Если теперь h —¦ произвольный элемент из Н, то из него можно
вычесть такой элемент h' из Н', что разность h — h' будет иметь запись
вида A), все коэффициенты которой делятся на 2. Таким образом,
h — h' = 2h0, причем, как легко видеть, элемент h0 принадлежит к под-
подгруппе Н, т. е.
h-h'?2H.
Этим доказано, что всякий смежный класс группы Н по подгруппе 2Н
содержит элемент из подгруппы Н', т. е. доказана счетность фактор-груп-
фактор-группы Я/2Я.
Таким же методом может быть показано (см. Бэр [15]), что вообще
никакая полная прямая сумма бесконечного множества групп ранга 1,
имеющих один и тот же тип, отличный от типа R, не может быть вполне
разложимой. Больше того, в работе Мишиной [1] доказано, что если
группа G является полной прямой суммой некоторых групп Аа ранга 1
(а пробегает множество индексов М), то G тогда и только тогда вполне
разложима, если среди групп Аа лишь конечное число не является груп-
группами типа R. [См. Д.31.5.]

§ 32] ДРУГИЕ КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ 185
Группы, построенные выше, хотя и не являются вполне разложимыми,
но, тем не менее, в прямую сумму разложимы — от полной прямой сум-
суммы циклических групп всегда можно отщепить циклическое прямое сла-
слагаемое. Существуют, однако, и такие абелевы группы без кручения, ранг
которых больше единицы и которые вместе с тем в прямую сумму вообще
не могут быть разложены. Это вытекает из следующей теоремы
(Бэр [15]).
Всякая сервантная подгруппа С аддитивной группы J целых р-адиче-
ских чисел (см. § 21) неразложима; в частности неразложима сама
группа J.
Действительно, рассмотрим подгруппу pj, составленную из р-крат-
ных всех элементов группы /. Эта подгруппа будет содержать те и только
те целые р-адические числа, запись которых в виде (9) из § 21 имеет на
первом месте нуль, т. е. А;± = 0. Отсюда следует, что индекс подгруппы/)/
в группе / равен р.
Поэтому и индекс подгруппы рС в группе С равен р, т. е. фактор-
факторгруппа С 1рС является циклической порядка р. В самом деле,
pC = C[\PJ,
так как подгруппа С сервантна в /, а
J = C + pJ,
так как индекс pJ в / есть простое число р, и теперь остается применить
теорему об изоморфизме, т. е.
С/рС ~ JlpJ.
Если бы подгруппа С оказалась разложимой, С = Ct + С2, то под-
подгруппы С± и С2 как прямые слагаемые сервантной подгруппы сами будут
сервантными в /, а поэтому фактор-группы Ci/pCi и С2/рС2 будут цикли-
циклическими порядка р. Но
РС = рС\ + рСг
и поэтому фактор-группа С /рС окажется прямой суммой двух цикличе-
циклических групп порядка р в противоречии с доказанным выше.
Так как группа / имеет мощность континуума, то в ней можно найти
сервантные подгруппы любого конечного ранга, а также любого беско-
бесконечного ранга, не превосходящего мощности континуума. Вопрос
о существовании неразложимых в прямую сум-
сумму абелевых групп без кручения произвольной
бесконечной мощности остается пока открытым 1).
В работе Бэра [15] рассматриваются некоторые классы абелевых
групп без кручения, близкие к вполне разложимым группам. Так, абеле-
ва группа без кручения G называется сепарабелъной, если всякое конечное
множество элементов группы G содержится во вполне разложимом прямом
слагаемом этой группы; можно считать, конечно, что указанное прямое
слагаемое имеет конечный ранг. Всякая вполне разложимая группа
будет, понятно, сепарабельной.
Всякая счетная сепарабелъная группа G вполне разложима.
Пусть, в самом деле, gt, g2, ..., gn, • ••— все элементы группы G.
Положим А 0 = О. Пусть уже в G найдено вполне разложимое прямое
*¦) Ко времени подготовки третьего издания ответ на этот вопрос уже получен.
[См. Д.31.2.]

186 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
слагаемое Ап конечного ранга, содержащее элементы git g2, ..., gn.
В качестве подгруппы An+i мы возьмем вполне разложимое прямое сла-
слагаемое группы G, имеющее конечный ранг и содержащее как элемент gn+l,
так и некоторую максимальную линейно независимую систему элементов
подгруппы Ап. Тогда, ввиду сервантности в G подгруппы Ап+1, Ап содер-
содержится в An+i и, следовательно, служит для An+i прямым слагаемым:
An+i = Ап -f- Bn+l.
Подгруппа Bn+i как прямое слагаемое вполне разложимой группы
конечного ранга сама вполне разложима (см. предшествующий параграф).
Группа G совпадает с объединением возрастающей последовательности
подгрупп Ап, ге = О, 1,2, ..., а поэтому является прямой суммой вполне
разложимых групп Вп, п = 1, 2, ..., т. е. сама вполне разложима.
В несчетном случае существуют сепарабельные, но не вполне разло-
разложимые группы: полная прямая сумма бесконечного множества бесконечных
циклических групп сепарабелъна, хотя, как показано выше, она не являет-
является вполне разложимой.
Пусть, в самом деле, группа G будет полной прямой суммой беско-
бесконечных циклических групп с образующими элементами аа (ос пробегает
некоторое множество индексов). Докажем сначала, что всякий элемент g
группы G содержится во вполне разложимом прямом слагаемом этой
группы: можно считать, понятно, что g =? 0. Элемент g обладает записью
g=%kaaa, B)
а
где ка — некоторые целые числа. Обозначим через к (g) наименьшую
среди абсолютных величин тех коэффициентов ка, которые отличны от
нуля,
&„!, каф0).
Если к (g) = 1, то есть такой индекс р, что к& = -f 1. Тогда
G = {g} + G',
где подгруппа G' состоит из всех тех элементов группы G, в записи кото-
которых вида B) коэффициент при ав равен нулю; G' сама будет, следователь-
следовательно, полной прямой суммой бесконечных циклических групп.
Пусть теперь к (g) произвольно. Разделим каждый коэффициент ка
из B) на к (g):
ka = k{g)qa + ra,
Тогда
g = k(g)
где
Так как есть такое р, что к (g) = ± &э> то <7Р = ± 1 и поэтому к (gt) = 1.
Имеет место, следовательно, прямое разложение
G={gl} + G',
причем в G' собраны все те элементы из G, в записи которых коэффициент
при ав равен нулю. К числу таких элементов принадлежит и элемент g2,
т- е- ^2 €'?'• Однако к (g2) строго меньше, чем к (g).— ведь все коэффи-

§ 32а] ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 187
циенты га строго меньше, чем к (g). Можно считать поэтому доказанным
существование такого прямого разложения
G'=
что А содержит gz и является вполне разложимой и даже свободной груп-
группой конечного ранга, а подгруппа В состоит из всех тех элементов груп-
группы G, в записи которых вида B) равны нулю коэффициенты при некоторых
фиксированных аа, взятых в конечном числе. Элемент g содержится
теперь во вполне разложимом прямом слагаемом {gt} + А группы G.
Если, наконец, в группе G задана конечная система элементов
gi, gz, ¦¦•, gn, то можно считать доказанным существование прямого раз-
разложения
G = U + V,
где U — вполне разложимое прямое слагаемое, содержащее элементы
gii gz, ¦¦-, gn-i, a V — полная прямая сумма бесконечных циклических
групп. Тогда gn = u-\- v, и ? U, v ? V, а так как, по доказанному, суще-
существует такое прямое разложение
что А вполне разложимо и содержит v, то прямое слагаемое U-\-A груп-
группы G также будет вполне разложимым и содержит все заданные элементы;
прямое слагаемое В будет при этом полной прямой суммой бесконечных
циклических групп. Сепарабельность группы G доказана. [См. Д.31.5.]
В работе Бэра [15] рассматриваются и другие классы абелевых групп
без кручения, в частности прямые суммы таких групп, все элементы кото-
которых, отличные от нуля, имеют один и тот же тип. Как показал Конторо-
вич [7], теория этого класса групп может быть распространена и на те
некоммутативные группы без кручения, в которых, как и во всех абелевых
группах без кручения, уравнение
допускает не больше одного решения.
Специальное направление в теории абелевых групп без кручения
составляет изучение групп конечного ранга. Следующие параграфы
настоящей главы посвящены изложению некоторого способа обозрения
таких групп и необходимых для этого вспомогательных сведений. Отме-
Отметим также интересный вопрос об изоморфизме разложений
абелевой группы без кручения конечного ран-
ранга в прямую сумму неразложимых групп — в замет-
заметке Йонсона [1 ] приведен пример, показывающий, что этот изоморфизм
не всегда имеет место. [См. Д.31.3. ]
§ 32а. Поле р-адических чисел
В следующих параграфах нами будет существенно использовано
одно расширение поля рациональных чисел, играющее во многих отделах
алгебры важную роль. Сейчас мы должны определить это расширение
и указать его основные, необходимые для дальнейшего, свойства.
Выберем простое число р, остающееся на протяжении всего парагра-
параграфа фиксированным, и определим в поле рациональных чисел Ш р-адиче-
скую норму. Если а есть рациональное число, а =/= 0, то можно записать
а = а'рп,

188 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
где а есть несократимая дробь, числитель и знаменатель которой взаимно
просты с р, а п больше, равно или меньше нуля, р-адической нормой
числа а называется число р'п,
\\а\\ = р-\
Если мы положим, сверх того, || 0 || = 0, то этим всякому рациональному
числу а будет поставлено в соответствие некоторое неотрицательное чис-
число, отличное от нуля при а Ф 0, причем
11«Ь|| = ||а||.||Ь||, A)
||а + Ь]|<тах(||а||, ||Ь||). B)
Знак < в последнем соотношении возможен лишь при [ а || = || Ъ |[.
Далее, || — а || = ]| а || и поэтому
Мы определим теперь, используя р-адическую норму, некоторое
расширение поля рациональных чисел, подобно тому, как абсолютная
величина рациональных чисел используется при построении методом
Кантора поля действительных чисел.
Последовательность рациональных чисел at, a2, ..., ап, ..., не обяза-
обязательно различных, называется сходящейся (в смысле р-адической нормы),
если для всякого положительного рационального числа е существует
такое натуральное число т, что
при
Рациональное число Ъ называется (р-адическим) пределом последователь-
последовательности рациональных чисел bt, Ъ2, ..., Ьп, ..., если для всякого е >¦ О
существует такое т, что
|| Ь—&j|j<Ce при i>m.
Легко видеть, что всякая последовательность, имеющая предел, будет
сходящейся. Обратное имеет место не всегда, как показывает, например,
последовательность
1, 1 + р, 1+р + р2, 1 + р + р? + Р*, ...
сходящаяся, но не имеющая предела.
Суммой и произведением сходящихся последовательностей (ап) и (Ьп)
называются последовательности (Оп-\-Ьп) и (anbn). Легко проверить, что
эти последовательности снова будут сходящимися *) и что наше опреде-
определение сложения и умножения сходящихся последовательностей удовлет-
удовлетворяет всем требованиям, составляющим определение кольца. Если,
сверх того, последовательности (а^) и (Ьп) имеют пределами числа а и Ь,
то последовательность (ап -\- Ъп) будет иметь пределом число а-\-Ъ,
последовательность (anbn) — число аЪ.
Последовательности, имеющие пределом число 0, составляют в коль-
кольце й всех сходящихся последовательностей идеал, который мы обозначим
через Ш. Фактор-кольцо
г) При доказательстве сходимости последовательности (апЪп) следует учесть,
что нормы элементов сходящихся последовательностей (ап) и (Ьп) ограничены сверху.

§ 32а] ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 189
является полем. Действительно, если дана сходящаяся последователь-
последовательность (ап), не входящая в 9ft, то существует такое рациональное число
т] > 0 и такое натуральное число к, что || at || > т] при г > /с. Если пер-
первые А; элементов последовательности (ага) будут заменены числами, норма
которых больше ц, то мы получим сходящуюся последовательность (ап),
лежащую в том же классе по идеалу 9ft, что и последовательность (ап),
причем для всех i будет || аг || >> т] и, в частности, а; =^= 0. Рассмотрим
теперь последовательность (аи1)- Она будет сходящейся, так как из
II«I — aj\\<? пРи i>m, ]
следует
|| aj^ — «Г11| = |i{di—a.j) aj1 aj1 ||<eif2.
Вместе с тем произведение последовательностей (ап) и (а^1) есть последо-
последовательность A, 1, ...), являющаяся единицей кольца Ж. Этим доказано
существование в ^ обратного элемента для всякого элемента, отличного
от нуля.
Поле ^р называется полем р-адических чисел, его элементы — р-ади-
ческими числами. В этом поле содержится поле рациональных чисел 91:
для доказательства следует идентифицировать всякое рациональное чис-
число а с классом по идеалу -К, содержащим сходящуюся последовательность
(а, а, ...), т. е. с классом, состоящим из последовательностей, имеющих
число а своим (р-адическим) пределом. Изоморфизм этого отображения
поля ffi в поле $р проверяется без затруднений.
Определим в поле $? норму, продолжающую р-адическую норму
поля ffi, т. е. совпадающую в поле 9J с его исходной р-адической нормой.
Пусть р-адическое число а, отличное от нуля, определяется сходящейся
последовательностью а{, а2, ..., ап, ... Докажем, что нормы || а4 ||,
II аг ||, •¦¦¦, |! &п ||> •••, начиная с некоторого п, совпадают. Действительно,
если
|| а; — а,-]|<е при j
то при || а; || ф || aj \\ из
следовало бы шах (|| щ \\, || а3 ||) < е. Если бы, следовательно, для любо-
любого п существовали такие i>nzj>B, что || аг \\ Ф || a,j ||, то мы пришли
бы в противоречие с предположением, что а Ф 0. Существует поэтому
такое п, что
Мы положим теперь || а \\ — ph. Это определение не зависит от выбора
последовательности а1( а2, ..., ап, ..., так как, если последовательность
Ъи Ь2, ..., Ъп, ... имеет пределом нуль, т. е. (Ъп) g 9i, то для всех i, боль-
больших некоторого т, будет || Ъг || < /?fe, а тогда
II «г + bj || = pft при i > 7га.
Последовательность (а„ + Ьга), снова определяющая число а, дает, таким
образом, для а такое же значение нормы, как и (ап). Если мы положим,
сверх того, || 0 || = 0, то в поле 5JS будет введена норма, совпадающая
для рациональных чисел с ранее определенной и снова удовлетворяющая
условиям A) и B).

190 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ ВЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
В поле *р можно определить теперь с помощью введенной нами нормы
понятия сходящейся последовательности и предела последовательности,
перенося на этот случай данные выше определения. Легко видеть при
этом, что всякое р-адическое число а будет пределом определяющей его
последовательности рациональных чисел (а„). Кроме того, теперь имеет
место следующая теорема.
I. В поле 5E всякая сходящаяся последовательность имеет предел.
Пусть, в самом деле, дана сходящаяся последовательность р-адиче-
ских чисел аь а2, ..., ап, ... Для всякого п можно найти такое рациональ-
рациональное число ап, что
|,а„-ап||<1.
Отсюда
A 1 \
у, || а; — а,-!|, -г] ,
т. е. при достаточно больших i и j эта норма будет произвольно малой.
Последовательность (ап) будет, следовательно, сходящейся, т. е. она
определяет некоторое р-адическое число |3. Из
следует теперь, что р есть предел последовательности (ап).
Определим для поля $р некоторые элементарные топологические
понятия, необходимые для дальнейшего. Подмножество (в частности,
подкольцо) Ж из 5j3 называется замкнутым, если в Ж содержится предел
всякой сходящейся последовательности, составленной из элементов, при-
принадлежащих к Ш. Если множество 331 не является замкнутым, то множе-
множество $Ш, полученное присоединением к Ш пределов всех сходящихся
последовательностей, составленных из элементов множества Ж, будет
уже, как легко проверить, замкнутым; Ш называется замыканием мно-
множества Ш. Наконец, множество ffl. из 5$ называется компактным, если
всякая счетная последовательность элементов из Ш содержит сходящуюся
подпоследовательность, предел которой принадлежит Ш.
Из того, что всякое р-адическое число есть предел последовательности
рациональных чисел, следует
II. Замыкание поля рациональных чисел Ш в поле ^ совпадает, с 5В.
Можно доказать даже больше:
III. Поле 5Р служит замыканием для кольца р-ичных дробей 3ip.
Так как всякое р-адическое число есть предел последовательности
рациональных чисел, то'нужно' лишь доказать, что всякое рациональное
число является р-адическим пределом последовательности чисел из коль-
m _ m
ца тр. Пусть дано рациональное число — , и пусть s есть некоторое целое
положительное число. Если п = phn0, (по,р) = 1, й>0, то берем целое
число и, удовлетворяющее сравнению
пои = та (mod ps+k).
Тогда
т v
п ph —^Г- ^Р
причемт-т РШп. Утверждение III доказано.
¦ Р *•

§ 32а] ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ 191
р-адическое число а называется целым, если || а ||<1. Из свойств
A) и B) р-адической нормы следует, что сумма, разность и произведение
целых р-адических чисел сами будут целыми, т. е. целые р-адические числа
составляют кольцо. Это кольцо, уже появлявшееся на другом пути в § 21,
будет обозначаться дальше через 3- Очевидны следующие два утвер-
утверждения:
IV. Пересечением кольца $ с полем рациональных чисел Ш служит
кольцо Э?№> тех рациональных чисел, знаменатель которых взаимно
прост с р.
V. Пересечением кольца 3 с кольцом р-ичных дробей 9гр служит
кольцо целых рациональных чисел @.
Из III и V без труда следует теорема
VI. Кольцо 3 является замыканием кольца ©.
Действительно, если дано отличное от нуля целое р-адическое
число а, то оно будет по III пределом сходящейся последовательности
р-ичных дробей а{, а2, ¦¦¦, ап, ... Однако ввиду а =? 0 нормы || ап || будут,
начиная с некоторого п, равными норме числа а, т. е. меньшими или рав-
равными единице, а поэтому по V сами числа ап будут целыми рациональны-
рациональными. Обратно, предел всякой сходящейся последовательности целых рацио-
рациональных чисел имеет норму, не превосходящую единицы, т. е. является
целым р-адическим числом.
Отсюда следует
VII. Кольцо 3 замкнуто в поле $?.
Пусть теперь а есть некоторое целое р-адическое число и аи а2, ¦¦¦
..., ап, ...—¦ последовательность целых рациональных чисел, имеющая а
своим пределом. Запишем каждое из чисел ап в виде суммы по возрастаю-
возрастающим степеням числа р, взятым с коэффициентами, принимающими значения
О, 1, ..., р — 1, и обозначим через е4А) начало этой записи, обрывающееся
на члене с ph, где к — некоторое целое неотрицательное число. Из сходи-
сходимости последовательности (а„) следует, что все числа fi4ft), кроме, быть
может, конечного числа, равны между собою, т. е. равны числу, которое
мы обозначим через a(ft). Легко проверить, что при всех к а<й> служит
началом (при записи по возрастающим степеням числа р) для a(h+l\ что
а<А> не зависит от выбора последовательности (ап), т. е. определяется
самим числом а, и, наконец, что последовательность (а^) имеет а своим
пределом. Числу а можно поставить теперь в соответствие однозначно
определенный ряд по возрастающим степеням числа р, имеющий своими
начальными отрезками числа a<fe>, к = 0, 1, 2, ... Этот ряд мы будем назы-
называть канонической записью числа а. Обратно, всякий ряд по возрастающим
степеням числа р, коэффициенты которого являются неотрицательными
вычетами по модулю р, соответствует некоторому целому р-адическому
числу, а именно пределу (сходящейся) последовательности своих отрезков
от начала. Отсюда следует
VIII. Кольцо 3 имеет мощность континуума.
Докажем теперь следующую теорему:
IX. Кольцо 3 компактно.
Пусть дана счетная последовательность целых р-адических чисел
аи а2, ..., ап, ... (F)
Так как в качестве коэффициента при р° в канонических записях этих
чисел может стоять лишь одно из чисел 0,'1, ..., р — 1, то в (F) можно

192 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
выбрать бесконечную подпоследовательность
состоящую из чисел, канонические записи которых имеют один и тот же
коэффициент при р°. Пусть уже определена подпоследовательность
<>, af\ ...,<*<,*>, ..., (Fk)
состоящая из чисел, в записях которых коэффициенты прир0, р, р2, ..., pk~l
совпадают. Из нее мы выбираем теперь такую бесконечную подпоследова-
подпоследовательность (Fft+i), в канонических записях элементов которой равны меж-
между собой и коэффициенты при ph. Этим убывающая цепочка последователь-
последовательностей (F/j) определена для всех к. Легко видеть теперь, что подпоследо-
подпоследовательность
будет сходящейся. Принимая во внимание VII, мы убеждаемся в справед-
справедливости рассматриваемой теоремы.
Кольцо 3 является, очевидно, кольцом без делителей нуля и обла-
обладает единицей. Рассмотрим идеалы этого кольца. Из свойств A) и B)
р-адической нормы следует, что множество рп3, п > О, состоящее из всех
тех целых р-адических чисел, норма которых не превосходит р~п, будет
идеалом в 3- Убывающей цепочкой идеалов 3> рЗ> Р23, ••• исчерпывают-
исчерпываются в действительности все ненулевые идеалы кольца 3'- если два целых
р-адических числа имеют одну и ту же норму, то каждое из них содержит-
содержится в идеале, порожденном другим, так как их частное имеет норму 1,
т. е. содержится в 3- Отсюда следует
X. В кольце 3 все идеалы главные.
Отметим также следующее свойство найденной нами цепочки идеалов:
XI- Если сходящаяся последовательность р-адических чисел <zi, а2, - . •
. . ., at, . . . имеет пределом нуль, то всякий идеал /)™3 содержит все
числа этой последовательности, кроме, быть может, конечного числа.
XII. Всякое р-адическое число может быть сделано целым умноже-
умножением на некоторую положительную степень числа р.
Действительно, если норма числа а есть рп, п > 0, то для произве-
произведения рпа будет ввиду свойства A) р-адической нормы ||pna || = 1.
В дальнейшем нам придется рассматривать конечномерные векторные
пространства над полем 5JJ. Если
есть такое пространство, то следующим образом определим в нем сходи-
сходимость: элемент
а = aiui + а2и2 + . .. + апип
будет называться пределом последовательности элементов
ah = <xhiui+ah2u2Jr ... +ahnun, к = 1,2, ...,
если для каждого i, 1 ¦< i < п, число а, есть (р-адический) предел после-
последовательности а{1, a2i, ¦ ¦ ., ahl, . . .
р* Определенная нами сходимость не зависит от выбора в простран-
пространстве Р линейно независимой системы щ, и2, . . ., ип. Действительно,
если мы перейдем к системе гь v2, ¦ ¦ ¦, vn и если

326] ГРУППЫ КОНЕЧНОГО РАНГА БЕЗ КРУЧЕНИЯ 193
ГО
^ = 5j B <*к№и) vj, A = 1, 2,
т. е. последовательность коэффициентов при г;7-, 1< /<и, у элементов
й1, а2, ... имеет пределом коэффициент при vj у элемента а.
В аддитивной группе пространства Р можно определить теперь
так же, как выше, понятия замкнутого подмножества, замыкания, ком-
компактности и т. д. Заметим при этом, что замыкание подгруппы снова будет
подгруппой. В самом деле, если элемент а из Р есть предел последова-
последовательности (ад), элемент Ъ — предел последовательности (Ьд), то, как
легко проверить, последовательность (яд ± &д) имеет пределом элемент
а ± Ъ.
В следующих двух параграфах мы будем при ссылках на теоре-
теоремы I — XII настоящего параграфа ограничиваться указанием номера
теоремы без указания параграфа.
§ 326. Группы конечного ранга без кручения
Нашей задачей является теперь полное описание абелевых групп
без кручения, имеющих конечный ранг, т. е. описание (с точностью
до изоморфизма) всех подгрупп прямой суммы конечного числа групп,
изоморфных аддитивной группе рациональных чисел R. В отличие
от групп ранга 1, описание которых дано в § 30, случай групп произволь-
произвольного конечного ранга оказывается уже весьма сложным и требует при-
привлечения р-адических чисел. Эта связь абелевых групп с р-адическими
числами была впервые указана Леви [1]. Для случая подгрупп прямой
суммы конечного числа групп, изоморфных аддитивной группе р-ичных
дробей Rp, полную систему инвариантов (т. е. полное описание) дал
Курош [6]. Упрощения некоторых доказательств из этой работы, дости-
достигаемые привлечением топологических свойств поля р-адических чисел,
указаны Калужниным [1]. Случай произвольных абелевых групп без
кручения конечного ранга изучен Дэрри [1], причем им также исполь-
использовались как алгебраические, так и топологические свойства поля р-ади-
ческих чисел; описание, полученное Дэрри, излагается в настоящем
параграфе. Другими методами, не требующими привлечения непрерыв-
непрерывности и по существу близкими к методам линейной алгебры, описание
групп без кручения конечного ранга получено Мальцевым [1].
Пусть дана абелева группа без кручения G конечного ранга п. Она
содержится, согласно § 23, в минимальной полной группе F, которая
заданием группы G однозначно определяется и ранг которой равен п.
Если ffi есть поле рациональных чисел, то F — 9JG, причем для всякого
элемента х из F можно найти такой элемент а из G и такое рациональное
число а (даже число вида 1/т), что х = оса. Пусть Gp есть подгруппа
группы F, порожденная элементами аа, где а пробегает группу G, а а —
кольцо ffif) тех рациональных чисел, знаменатель которых взаимно прост
с простым числом р, т. е. Gp = ffi^G. Всякий элемент из подгруппы Gp
может быть записан, притом многими способами, в видеа4а1 + а2а2 + • ¦ •
. . .+ ockah, где
alv a2, ...,ah?G, аи а2, ..., aft

194 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ [Гл. VIII
Заметим, что элемент ах, где x?Gp,a ? 9t(p\ также принадлежит к Gp, т. е.
Подгруппа G является пересечением всех подгрупп Gp при р, пробе-
пробегающем все простые числа.
Очевидно, что G с Gp, и поэтому G содержится в пересечении всех
подгрупп Gp. Пусть, с другой стороны, Ъ есть произвольный элемент
из этого пересечения. Из b ? Gp следует существование записи
Ъ = а^х + а2«2 + • • • + ockah,
где аи а2, • • ', cth 6G, ось а2, . . ., а* ? 9{(р). Если г есть общий знаме-
знаменатель чисел ось а2, . . ., а^, то гЪ ? G, причем г взаимно просто с р.
Если ри р2, . . ., рт будут все различные простые делители числа г,
то, рассматривая Ъ как элемент подгрупп Gp , Gp , . . ., Gp , мы анало-
аналогичным путем найдем такие целые числа п, гг, . . ., гт, что гф ?G
и (тч, /),) = 1, i = 1, 2, . . ., т. Тогда (г, ги г2, . . ., гт) = 1, т. е.
существуют такие целые числа I, h, . . ., 1т, что
откуда
b=(lr + lin+ .. . +lmrm)b?G.
Мы переходим теперь к рассмотрению подгруппы Gp при некотором
фиксированном р. Если а4, и2, . . ., м„ есть некоторая максимальная
линейно независимая система группы F, то
. A)
Группу F мы включаем в векторное пространство размерности п над
полем р-адических чисел 5E,
Р = 5ри1 + 5Ри2+...+5Ри».
Заметим, что пространство Р не зависит от выбора прямого разложе-
разложения A) группы F, т. е. определяется в конечном счете самой группой G,
так как другое разложение группы F приводит лишь к новому прямому
разложению для Р. Обозначим далее через Gp замыкание подгруппы Gp
в группе Р и докажем теорему:
Подгруппа Gp явл�