Изорванные главы
ВЫС ШЕЙ МАТЕМАТИКИ
для UH^cHefioe и студентов втузов
П.И. РОМАНОВСКИЙ
РЯДЫ ФУРЬЕ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ЛАПЛАСА
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУЗОЙ
П. И. РОМАНОВСКИЙ
РЯДЫ ФУРЬЕ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ИЗДАНИЕ ПЯТОВ, ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА t973

517.2
Р 69
УДК 517.5
Ряды Фурье. Теория поля. Аналитиче-
ские и специальные функции. Преобра-
зование Лапласа. Романовский
П. И. Главная редакция физико-мате-
матической литературы изд-ва «Наука»,
Книга представляет собой учебное по-
собие для студентов втузов по некоторым
разделам математики, вдодящим в настоя-
щее время в программы значительного
числа высших технических учебных за-
ведений. Книга может быть также полез-
на аспирантам технических кафедр, пре-
подавателям и инженерам.
Илл. 72.
Павел Игнатьевич Романовский
Ряды Фурье. Теория поля.
Аналитические и специальные функции.
Преобразование Лапласа
(Серия: «Избранные главы высшей математики
для инженеров и студентов втузов»)
М., 1973 г., 336 стр. с илл.
Редактор В, В. Абгарян
Техн, редактор И. Ш. Аксельрод	Корректор Л. Н. Боровика
Сдано в набор 10/Х 1972 г. Подписано к печати 5/П 1973 г. Бумага 84x108*/,»
Физ. печ. л. 10,5 Условн. печ. л. 17,64 Уч.-изд. л. 18,56. Тираж 39000 экэ.
Т-00751 Цеца книги 81 коп. Заказ Ml 1266
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука». Москва, Шубинский пер., 10
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию » * . » » » • * * » •	6
Предисловие ко второму изданию	7
Предисловие к пятому изданию .*.*•••»»»»*•	7
Глава I. Ряды Фурье и интеграл Фурье	9
§ 1.	Периодические функции ......»»»•»•	9
§ 2.	Ряды Фурье для функций с периодом 2л .,.»«•	10
§ 3.	Комплексная форма ряда Фурье для функций с пери-
одом 2л.........................................»	23
§ 4.	Четные и нечетные функции...........  *	. .	25
§ 5.	Ряды Фурье для четных и нечетных функций с пери-
одом 2л.........................................    27
§ 6.	Ряды Фурье для функций с любым периодом . . »	30
§ 7.	Уравнение свободных малых колебаний струны и его
решение методом Фурье ......................♦	.	<	35
§ 8.	Уравнение распространения тепла в стержне	»	.	.	40
§ 9.	Интеграл Фурье......................•	•	.	•	45
§ 10.	Комплексная форма интеграла Фурье . . *	.	.	•	51
§ 11.	Интеграл Фурье для четных и нечетных функций	»	t	53
§ 12.	Ортогональные системы функций ...., » «	56
§ 13.	Минимальное свойство коэффициентов Фурье . • »	64
§ 14.	Замкнутые системы функций . .................*	66
§ 15.	О решении методом Фурье некоторых задач для ли-
нейных уравнений с частными производными второ-
го порядка..........................................74
Глава II. Основы теории поля	79
§ 1.	Основные сведения из векторной алгебры • • • • «	79
§ 2.	Векторные функции скалярного переменного . • ,	81
§ 3.	Сопровождающий трехгранник пространственной
кривой.......................................	.. .	83
§ 4.	Скалярное поле. Градиент скалярного поля • . . •	85
§ 5.	Криволинейные интегралы ,...........  *	» ♦	88
§ 6.	Векторное поле.................................  96
§ 7.	Поверхностные интегралы ..«»»»••»»	100
§ 8.	Формула Остроградского .............  .	• . •	105
§	9.	Векторная запись	формулы Остроградского. Дивер-
генция векторного поля...........................  107
§	10.	Формула Стокса................................. 112
§ И.	Векторная запись формулы Стокса. Вихрь векторно-
го поля >	115
1*
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 12.	Операции второго порядка • «•••»•••«•	118
§ 13.	Символика Гамильтона....................... 119
§ 14.	Векторные операции в криволинейных координатах 121
Глава!!!. Начальные сведения об аналитических функциях 131
$ 1. Комплексные числа............• #	.	131
§ 2.	Ряды с комплексными членами »••»»....	134
§ 3.	Степенные ряды.............................. 137
§ 4.	Показательные, гиперболические и тригонометриче-
ские функции комплексного переменного ....	142
§ 5.	Некоторые многозначные функции комплексного пе-
ременного ......................................  147
§ 6.	Производная функции комплексного переменного с 151
§ 7.	Аналитические и гармонические функции . . . , »	157
§ 8.	Интеграл функции комплексного переменного . . .	159
§ 9.	Основная теорема Коши	164
§ 10.	Цнтегральная формула Коши	169
§ 11.	Интеграл типа Коши......................... 171
§ 12.	4 Производные высших порядков от аналитической
функции.......................................... 173
$ 13.	Последовательности и ряды аналитических функ-
ций ............................................. 174
§ 14.	Ряд Тейлора * ............................	.	177
§ 15.	Ряд Лорана . *............................. 182
§ 18.	Изолированные особые точки аналитической функ-
ции ........................................   .	185
§ 17.	Вычеты.................... • « « » « • • » » »	189
$ 18. Принцип аргумента.........................  197
j 19. Дифференцируемые отображения	201
§ 20.	Конформные отображения областей	211
§ 21.	Задача Дирихле для круга и свойства гармонических
функций....................................	» . ,	224
Глава IV. О некоторых специальных функциях » » • »	236
§	1.	Гамма-функция......................................236
§	2.	Бесселевы функции	с	любым индексом ..».»»	243
§	3.	Формулы приведения	для бесселевых функций	.	4	249
§	4.	Бесселевы функции	с	полуцелым индексом . .	.	.	251
§ 5.	Интегральное представление бесселевых функций
с целым индексом .	....................... 253
§ 6.	Ряды Фурье — Бесселя.......................................... 257
§ 7.	Асимптотическое представление бесселевых функций
с целым индексом для больших значений аргумента 262
§ 8.	Интегральный логарифм, интегральный синус, интег-
ральный косинус .................................... 267
Глава V. Преобразование	Лапласа	274
§ 1.	Вспомогательные сведения об интегралах, завися-
щих от параметра...................................  274
§ 2.	Преобразование Лапласа.................... ♦	279
§ 3.	Простейшие свойства преобразования Лапласа . •	283
§ 4.	Свертка функций	286
ОГЛАВЛЕНИЕ	5
§ 5.	Оригиналы с рациональными изображениями. .	289
§ 6.	Приложения к решению линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами и
систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами ....................... 293
§ 7.	Приложение к решению линейных уравнений в ко-
нечных разностях с постоянными коэффициентами 297
§ 8.	Оригиналы с изображениями, регулярными в беско-
нечности ..........................  ....	....	304
§ 9.	Изображения некоторых специальных функций . »	313
§ 10.	Формулы обращения .......................... 318
§ 11.	Достаточное условие для того, чтобы аналитиче-
ская функция была изображением................... 322
§ 12.	Об одном обобщении преобразования Лапласа . . .	328
Предметный указатель...............................  335
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Современное развитие техники предъявляет повышен-
ные требования к математической подготовке инженера.
Традиционный втузовский курс математики оказывается
явно недостаточным при подготовке инженеров ряда спе-
циальностей. На некоторых факультетах многих высших
технических учебных заведений в обязательную програм-
му ныне включаются специальные (дополнительные) гла-
вы курса математики. Однако подходящей для студентов
втузов учебной литературы по этим вопросам еще не хва-
тает. Использование же только одних больших курсов и
монографий затруднительно для студентов.
Практика показывает, что имеется большая потреб-
ность в небольших по объему, сжато написанных учебных
пособиях, где в доступной для студентов форме и в опре-
деленной логической последовательности излагалось бы
основное содержание дополнительных глав курса мате-
матики, ныне преподаваемых во втузах.
Настоящая книга имеет целью в сжатой, конспектив-
ной форме изложить некоторые из этих глав. Она возник-
ла из книги «Дополнительные главы курса математики для
радиотехнических факультетов» (Оборонгиз, 1954), явив-
шейся конспектом лекций, читанных автором на радио-
техническом факультете Московского авиационного ин-
ститута.
Предлагаемую книгу следует рассматривать как крат-
кое учебное пособие для студентов высших технических
учебных заведений по следующим разделам:
ряды Фурье и интеграл Фурье;
теория поля;
теория аналитических функций;
некоторые специальные функции;
операционное исчисление.
ПРЕДИСЛОВИЕ! К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Т
В книге не приводятся физические и технические при-
ложения излагаемых теорий. Такие приложения можно
найти в более подробных руководствах, например; в кни-
ге М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата «Методы теории
функций комплексного переменного» (по аналитическим
функциям, специальным функциям и операционному ис-
числению), в книге Г. П. Толстова «Ряды Фурье» (по ря-
дам и интегралу Фурье).
В отдельных (немногих) местах книги, в целях боль-
шей стройности, изложены некоторые не обязательные
для студентов факты, тесно примыкающие к излагаемым
теориям.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании книги несколько расширен пара
граф, посвященный ортогональным системам функций, и
добавлен параграф, содержащий приложение преобразо-
вания Лапласа к решению линейных уравнений в конечных
разностях с постоянными коэффициентами.
Исправлены замеченные опечатки
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В пятое издание книги включено несколько новых па-
раграфов и сделаны добавления к некоторым старым пара-
графам.
К § 2 гл. I добавлены доказательство простейшего до-
статочного условия равномерной сходимости ряда Фурье
к порождающей его функции и доказательство связи меж-
ду характером гладкости функции и быстротой стремления
к нулю коэффициентов ряда Фурье.
В § 8 гл. I рассмотрено решение методом Фурье про-
стейшей задачи для уравнения теплопроводности.
В § 14 гл. I введено понятие замкнутой системы функ-
ций, доказана замкнутость тригонометрической системы
функций и изучена система функций, связанная с задачей
Штурма — Лиувилля.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В § 15 гл. I рассмотрено решение методом Фурье не-
которых задач для линейных уравнений с частными про-
изводными 2-го порядка, обобщающее изложенные в
§§ 7 и 8 решения задач о колебании струны и распростра-
нении тепла в стержне.
К § 9 гл. III добавлено доказательство теоремы Морера
и дано обращение основной теоремы Коши об аналитиче-
ских функциях.
В § 21 гл. III дано решение задачи Дирихле для круга
и изложены различные свойства гармонических функций
двух переменных.
В § 6 гл. IV изложены краткие сведения о рядах
Фурье — Бесселя с использованием теоремы сравнения
Штурма для линейных однородных дифференциальных
уравнений 2-го порядка.
В § 12 гл. V отмечены некоторые обобщения преобра-
зования Лапласа, какие можно получить, если передать
роль показательной функции каким-нибудь другим функ-
циям, удовлетворяющим надлежащим требованиям.
Некоторые добавления сделаны и в других местах
книги.
Автор
ГЛАВА I
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. Периодические функции
Пусть / (ж)—функция, определенная на всей числовой
прямой. Число Т называется периодом этой функции, ес-
ли от прибавления его к аргументу величина функции не
меняется, т. е. если для всех х имеем
f(x + Г) = j(x).
Если Т есть период функции, то где п — любое целое
число, есть тоже период рассматриваемой функции. Таким
образом, всякое кратное периода есть период. Функция,
имеющая период, отличный от нуля, называется периоди-
ческой.
Легко видеть, что всякая периодическая функция, отличная
от постоянной, имеющая хотя бы одну точку непрерывности, имеет
среди своих положительных периодов наименьший. Тогда все прочие
периоды будут кратны ему. Обычно, говоря о периоде функции, по-
нимают под словом «период» наименьший из положительных
периодов.
Если функция f(x) имеет период Г, то <р(я) = f(ax)
имеет период Т/а. В самом деле,
*Р "г) = f[a (ж + ?)] = f^ax +	= ф(ж).
Если / (х) имеет период Г, то интеграл этой функции,
взятый в пределах, отличающихся на Г, не зависит от вы-
бора нижнего предела интегрирования, т. е.
с+Т	Т
J f(x)dx = J f(x)dx
с	о
iO
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
(ГЛ. I
при всяком с. Действительно, пусть, например, 0< с < Т.
Тогда
c-f-T	Т	c-f-T	Т	с	Т
$ = $+ I =5 + 5=S *
с	с	Т	с	О	О
c-f-T с
учитывая, что вследствие периодичности, J
т о
§ 2.	Ряды Фурье для функций с периодом 2п
Поставим задачу; разложить сложную периодическую
функцию на простые периодические функции. Под «про-
стыми периодическими функциями» естественно понимать
простые гармоники, т. е. функции вида
A sin (сох + а)
или, что равносильно, функции вида
a cos (ох + Ь sin <лх.
Эта простая гармоника имеет период 2л/со.
Если мы хотим разложить функцию с периодом 2л
на простые гармоники, то их частоты следует выбирать так,
чтобы каждая из этих гармоник имела 2л в качестве од-
ного из своих периодов. Таким образом, частоты ю еле-
2л
дует брать так, чтобы п = 2л (п—целое) или со =п, т. е.
в качестве составляющих следует брать гармоники с
целыми частотами.
Допуская в качестве составляющей еще постоянную,
для которой всякое число служит периодом, приходим
к такой задаче: разложить функцию / (х) с периодом 2л
в ряд вида
+ (axcos х + bjsina:) + (a2cos 2х + b2sin 2х) + ...
... + (ancosn# + bn sin пх) + ...
или, короче, в ряд вида
4-00
-у- + 2 (an cos пх + bn sin пх\
п=1
где а0, Ьи а2, &2,...,	6П,... — некоторые постоянные
(свободный член удобно записывать в виде а0/2 по при-
чине, которая выяснится ниже).
$ 2]
РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2я 11
Вычисление вспомогательных интегралов. Нам потре-
буются интегралы
Я
cos пх dx,
> п — целое;
sinnxdx,
—я
п
cosmxcosnx dx,
sin тх sin пх dx,
—я
тп, п — целые положительные.
п
sinmxcosnxdx,
—ТС
Имеем:
Л
cos nxdx —
—it
я
sin пх dx=
—я
зтпх |« л/ ,
—и=°(л*°).
. х |“„ --= 2л	(n = 0)j
-^|1л = 0(п^0);
0|"„ = 0	(П = О);
(1Л)
(12)
п	п
f	1 с
\ cosтхcosпхdx =	\ соз(ти —	ri)xdx-\-
—Я	—К
। 1 С .	। \ л (Q 0я */“ я), /Л
+ -я- \ созбп + и) xdx= {	(1.3)
4 _?я	Iя (т = ге)'»
5	«
V 	1 (“
\ sin тх sin пх dx = -я- \ cos (т — п) х dx—
V	« J
—я	—я
if /	> ч л (0 (т=чЬп), .. ..
—х- \ cos(m4-n)xdx— I ' ' ’	(1.4)
z J	(л (m = n)i
12
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
те	п
С	1 с
\ sinmx cos пх dx=-х- \ sin(m — n)xdx~}-
J	л
—к	—я
п
1 с
+ -у- \ sin (т 4- п) х dx =0,	(1.5)
Z л
—7?
причем при выводе формул (1.3) и (1.4) использовалась
формула (1.1), при выводе (1.5) использовалась (1.2).
Предположим теперь, что функция / (х) оказалась та-
кой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходя-
щийся ряд указанного выше вида:
/(#) = -—--}- У (afe cos кх + bK sin кх). (1.6)
fc=i
Почленное интегрирование в пределах от — л до л
(законное в силу предположенной равномерной сходи-
мости) с учетом (1.1) и (1.2) дает;
f(x)dx =
—л
*	со	«	*
== -у- \ d#+ 2	\	coskxdx+	bk J sin&rrdaj =	ла0.
—П	fc==l	—Л	~~П
Умножая (1.6) на cos пх и интегрируя почленно от — л
до л, с учетом (1.1), (1.3) и (1.5), получим;
п	п
f(x)cosnxdx=~	cosnxdx +
—п	—я
со	я	я
+ 2 \ак \ cos кх cos nxdx 4-bk \ sin кх cos пх dxj = лап.
Ь=1 ' -я	Л	'
Аналогично, умножая (1.6) на sin пх и интегрируя по-
членно от — л до л и учитывая (1.2), (1.4), (1.5), получим:
п
/ (х) sin пх dx = лЬп.
—я
5 21
РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2я
13
Таким образом,
Я
—п
п
ап = 4" / (ж)cos пх dx (п— 1,2,3,...),
—-7t
П
Ьп = ---	/ (х) sin nxdx (и = 1, 2,3,...).
—п
(1.7)
Определение. Пусть / (я) — функция с перио-
дом 2л, имеющая на сегменте [ — л, л] не более конечного
числа точек разрыва и абсолютно интегрируемая на этом
сегменте (тогда она будет абсолютно интегрируема на вся-
ком сегменте). Рядом Фурье этой функции называется ряд
4-00
— + 2 (ап cos пх + bn sin пх),
п—1
коэффициенты которого определяются по формулам (1.7).
При этом пишут:
4-00
/ (х)--+ 2 (an cos пх + bn sin пх).	(1.8)
п=1
Примечание. Вместо функций с периодом 2л можно рас-
сматривать функции, определенные лишь на сегменте [—л, л] и
удовлетворяющие отмеченным требованиям. Определение ряда
Фурье для такой функции будет то же самое.
Из определения ряда Фурье не следует, что функция
должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует
только, что если некоторая функция допускает разложе-
ние в равномерно сходящийся ряд вида (1.8), то этот ряд
будет ее рядом Фурье.
Легко проверить, что при умножении функции на чис-
ло ее ряд Фурье умножается на это число; при сложении
функций их ряды Фурье складываются; для получения
ряда Фурье функции / (х + с) следует в ряде Фурье
функции / (х) заменить х на х + с.
14	РЯДЫ ФУРЬЕ и ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	(ГЛ. I
Доказательство разложимости функции в свой ряд
Фурье в точках дифференцируемости. Имеем для любого х0:
1 с
ап cos nxQ J- bn sin nx0 =» — \ f (x) cos nx dx • cos nxQ+
—n
n
1 c
+	\ / (x) sin nx dx • sin nz0==
—n
n
1 c
= — \ / (®) (cos nx cos nx9 4- sin nx sin nx9) dx =
—n
7C
1 c
= — \ / (x) cos n (x — x0) dx\
31 J
—7C
N
&N (®o) = -у + 2 (an cos nxo + bn sin nxo) =
n—1
л	jy
= 4" $ /(ж)[“г+ 2 cosn(x -®o)]d®.
—TC	71=1
N
1.	X”!	«*
Заметим далее, что-5-+ Zi cos па является действи-
тельной частью выражения
>1^1.	1 Л ,	1	1— ei(N+Da
А- + з- -4- + з«“=-т +	=
п=1	п=0
j=___1_ ,	(1—g~ia) _
в 2 +	|1— е4“ р
__	1	1 — e~ia + eiNa —
2 "Г”	(1 — cos a)a + sin2 a
поэтому
N
1 .xi	1 , 1 — cos a 4- cos Net — cos (N 4- 1) a
2 cos«a=-^- +--------- 2(l-coSa)	’ =
— cos — cos (TV + ^)a  sin (TV + V2) a
5 2]	РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2л 15
Следовательно, при любом х0 имеем]
SM -4- j
—п	2 sin "2“ (х — хо)
-4-Ь(*.+*)	(‘-s')
—п	2 sin -у х
(второй интеграл получен из первого заменой х на х0 + х
с учетом периодичности /). Применяя эту формулу к слу-
чаю f (х) = 1, получим:
—71	4 8111 2“ Х
(1.8”)
Умножая (1.8") на / (я0) и вычитая из (1.8'), найдем при
любом хь\
-т	I 1 \
л р	sin ( N + -тя- ] х
&N (*о)	/ (^о) ~	\ I/ (#0	#) / (*о)1	4
—п	2 sin -у х
(1.8'")
Для дальнейшего нам потребуется.	-
Лемма Римана. Если <р (х) непрерывна на сег-
менте [а, Ь], за исключением, быть может, конечного числа
точек, и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то
ь
J ф (х) sin vx dx —>0 при v -> -Н со.
а
Доказательство. Так как
ь
|С .	, I | cosva — cosv& I 2 п
\ sm vx dx = ---------- ------> 0,
IJ II v | v ’
а
Ь
sin vxdx I = I .^°sva-&cosvb + sinvb-sinva lc
a	1
|g| + IN
V
2
v2
*0
16
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
(ГЛ. I
при v -> + оо, то лемма Римана верна для / (я) == 1 и
/ (х) s х и поэтому верна для любой линейной функции
/ (х) = Ах + В. Отсюда следует, что лемма верна для лю-
бой кусочно-линейной функции (т. е. функции, график ко-
торой есть ломаная линия), ибо если / (х) кусочно-линей-
на на 1а, Ь], то найдутся такие числа ск: а = с0 < q <
< с2 < ... < сп =а Ъ, что / (х) линейна на каждом [с
cj; а тогда
ь	Ci	ъ
^f(x)sinvxdx==* J 4-J	4-...+ J	при v-»4-oof
a	a	Ci	cn—1
ибо по доказанному каждое слагаемое правой части стре-
мится к нулю. Далее заметим, что любая непрерывная
функция на [а, Ь] может быть как угодно хорошо аппрок-
симирована кусочно-линейной функцией. Действительно,
если / (х) непрерывна на [а, 6], то она равномерно непре-
рывна на [а, Ь], т. е. для любого в О найдется такое
т] > О, что при любых х' и х" на [а, &] из | х" — х' | < ц
следует | / (х") — f (#') | < е. Возьмем числа с0 = а < сг <
< ... < сп_х < сп = Ь так, что все ск — ск^ < т)> и пусть
Ф (х) обозначает функцию, график которой есть вписанная
в график функции / (х) ломаная, вершины которой имеют
абсциссы ск\ тогда для любого х на [а, Ь] будет) ср (х) —
—/(я)| <е> так как если число х попадает на частичный сег-
мент kw, с то ф (х) лежит между ф (ск^ и ф (ск) (ибо
Ф линейна и, следовательно, монотонна на cfe]),
поэтому число ф (х) — / (х) лежит между ф (ск^) — / (я) —
e/(^i) —/(*) и ф(сй) —f(x) = f(ck) -f(x), моду-
ли которых < 8, и поэтому тоже будет иметь модуль < в.
Теперь легко Показать, что лемма Римана справедлива
для любой непрерывной функции / (х) на [а, Ь]. В самом
деле, по доказанному для любого 8 О найдется так ая
кусочно-линейная функция ф (х), что | ф (х) — / (х) | <
< -у на [а, Ь]. Так как для кусочно-линейной функ-
ции лемма Римана справедлива, то при достаточно боль-
шом v будем иметь:
ь
|^Ф(ж)зт
а
I 2J
РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2я
17
но тогда
ь	ъ
\ / (х) sin vx dx I	\ [f (х)— Ф (#)] sin vx da
’а	1 а
b
+ ф И sin ™ dx | < -2у_ау
а
и, следовательно,
ь
/ (х) sin vx dx —> 0 при v—>
а
Пусть теперь / (х) имеет одну точку разрыва г, а <
< с < Ъ. Так как / (х) абсолютно интегрируема на &Jt
то для любого е > 0 найдется такое б > 0, что
с+8
с-8
Так как лемма Римана для непрерывной функции справед-
лива, то при достаточно большом v будем иметь:
ъ
f(s)sinwdx|<-|-|

а
но тогда
Ь	с—5	с+8
|J/(x) sinvxdx I < I J /(a;)sinva:(tol + J |/(x) |dx 4-
a	* a	‘	c—8
b
4-|<^/(®)sinvxd®|<^-|-4--|-4--|- =ej
ъ
следовательно, J f (x) sin vx dx-+ 0 при v -> + oo. Аналогия*
a
ное рассуждение проводится в случае, когда / (ж) имеет
несколько точек разрыва на [а, &]. Лемма Римана дока*
вана.
18
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Предположим теперь, что / (х) дифференцируема в точ-
ке х0. Тогда из (1.8"') находим
S* («о) - / (*о) =	sin (N+l\x dx,
" Л 2ein-y* '	'
а так как
j	= ла+^-zw—-------------,гыл=гы
2 sinх	2 sin-к- х
при х —> 0, то после надлежащего доопределения в точке
х0 функция ф(х) = ~-д°-—(ж°' становится непре-
2sin-L-x
А
рывной в этой точке и, очевидно, находится в условиях
применимости леммы Римана на [ — л, я). Поэтому
Я
Sn (х0) — / (х0) = 4- ф (х) sin [N 4-
—Я
4) ® dx-*0 при AZ—>оо
и следовательно, f(x0) = limSjv(x0).
N-+co
Итак доказана
Теорема. Если функция f (х) с периодом 2л име-
ет на сегменте [ —л, л] не более конечного числа точек
разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то
эта функция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке,
в которой она дифференцируема.
Примечание. Доказанное достаточное условие предста-
вимости функции своим рядом Фурье отнюдь не является необхо-
димым. Представление функции своим рядом Фурье будет иметь
место и при значительно более общих предположениях.
Отметим, например, без доказательства, что если / (х)
удовлетворяет условию Дирихле на [ — л, л], то / (х) разла-
гается в свой ряд Фурье в каждой точке непрерывности, а в
_	у (х — 0) 4- / (х -4- 0)
точках разрывая ряд Фурье сходится к —------f	~--.
Говорят, что функция удовлетворяет условию Дирихле
на некотором сегменте, если этот сегмент можно раз-
бить на конечное число частичных сегментов так, что вну-
। 21	РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2я 19
три каждого из них функция монотонна и ограничена.
Таким образом, разложение рассматриваемой функции в
ряд Фурье имеет место во всех правильных точках, т. е.
в точках х, где
/(Ж) = /(д-0)+/(^ + 0) .
Пусть теперь / (ж), функция с периодом 2л, имеющая на
сегменте [— л, л] не более конечного числа точек разрыва
и абсолютно интегрируемая на этом сегменте, удовлет-
воряет на интервале (а, 0) условию Липшица (это значит?
что для любых х' и х" на этом интервале | / (хн) — / (х') |
К. | х" —х' |, где К—некоторая постоянная). Покажем,
что тогда на каждом сегменте [а, Ы, где а < а < b < 0,
ряд Фурье функции / (х) равномерно сходится к этой
функции (следовательно, если рассматриваемая функция
непрерывно дифференцируема на некотором открытом ин-
тервале, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на
всяком сегменте, содержащемся в этом интервале).
Пусть д^>0 меньше чисел а —а, 0 —Ь, п. При
в силу (1.8"') имеем
8J
SN(х0) - f (х0) = Д $ I/(Ъ + х) - /(ж0)] sin(У +
—5	2 sin — х
-5	п
+	=h +/» + /«•
Так как при а х0 b
в	8
I j	+ ») - / (*») sin vxdx I к С ------------£_—dx,
—§	2 sin -« х	—-s 2 Sin л x
то при достаточно малом 6 будем иметь 1Д | < в при а
Ь, где 8 > 0 произвольно мало. Далее в силу лем-
мы Римана и ограниченности f на 1а, Ъ]
sin vs ,	, / sinva , л
\/Но)-------j=	Jпри v->oo
6	2 sin-g" х	S 2sin “2“a:
20
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
равномерно при а х0 <2 Ь, и аналогичное относится к
-а
. Теперь очевидно, что для доказательства выше-
—п
формулированного утверждения достаточно показать, что
если В — А < 2л и ср (х) — фиксированная непрерыв-
ная функция на [Л, jBJ, то
в
I v) = \ / (#о + #) Ф (*) s*n v# d# —> 0 при v 0
А
равномерно при — оо < х$ < + оо.
Продолжим <р (х) до непрерывной функции с перио-
дом 2л с сохранением максимума модуля, и пусть т =
=тах |<р(х)|. Легко видеть,что найдется такая непрерывная
7?
функция F (х) с периодом 2л, что | F (х) — / (ж) | dx < в,
—п
где е > 0 произвольно мало. Переход от / к F изменит
7(х0, v) меньше чем на те, поэтому достаточно лишь пока-
зать, что
в
J(a:(>fv)= \ F(x0 4- х)ф (я)sinvxdz—>0 при у—>оо
равномерно относительно х^. Замена х на х + ~ дает
В—я/v
J (#о, *) =— \ Р (^о + ж +4")ф (®+ j sinvz =
А—тф
В А	В
= — J 4-	= А4~А+А,
А	А—п Jv	B—n/v
откуда после почленного сложения
в
2J (х0, v) =4 [Л*о + «) <р (ж) —
— Flxo + x
+"V')<₽ (x+Ay^inVxdx + J2 + J3.
Но так как модули Jt и J3 не превышают Mmn.lv, где
g 2]	РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2л 21
М = max | F (х) |, то остается лишь обнаружить, что
в
р'(Хо + «)Ф(лг) —
— F\xq + х +	+	sinv^dx—>0 при v —> оо
равномерно относительно х0, но это непосредственно сле-
дует из ограниченности и равномерной непрерывности F
и ф.
Из доказанного следует, что если / (я) удовлетворяет
условию Липшица на всей числовой прямой, например яв-
ляется непрерывной функцией с периодом 2л, кусочно-
гладкой на [ —л, л], то ряд Фурье для / (х) сходится к / (х)
равномерно на всей числовой прямой.
Функция f (х) называется кусочно р раз (р > 0) не-
прерывно дифференцируемой на сегменте [а9 6], если вну-
три него, за исключением конечного числа точек, произ-
водные (х) (0 р) непрерывны, в исключенных
точках имеют конечные левые и правые пределы, в точке
а имеют конечные правые пределы, в точке b имеют ко-
нечные левые пределы. В случае р = 0 / (х) называется
кусочно-непрерывной на [а, Ь], в случае р = 1 / (х) назы-
вается кусочно-гладкой на [а, ЬЬ
Пример. Составить ряд Фурье для функции
х
= на (0,2л),
имеющей период 2л (в точках вида 2&л, где к — целое, положим /
равной л/2).
Имеем
2Л	2л
оо = — f ~ dx~n\ == JL С JL. cos пх dx = 0 (n > 1);
Л V Z	Л J Z
о	о
2л
6 == _L С jL. Sin пх dx ==— — (n > 1),
п л i 2	п ч "
о
следовательно,
л . sin2x	sinns
iHx)~-2--sin*-—2--------
На основании изложенного этот ряд сходится к ф (х) равномер-
но на каждом сегменте, не содержащем точек вида 2&л, но в этих
точках ряд сходится к л/2, следовательно, тоже к ф. Таким образом,
22	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
со
, / \ Л xi sin пх
всюду ф(х) = -—-—V--------- Из этого примера видно, что ряд
Z ““ п
1
со
Ssin пх
------ всюду сходится и притом равномерно на всех сегмен-
п
1
Г ах, не содержащих точек вида 2А:л.
Отметим еще, что если функция / (х) с периодом 2л
кусочно-гладка на [—л, л] и допускает лишь правильный
разрывы, то ряд Фурье этой функции сходится к ней всюду
(притом равномерно на сегментах, не содержащих точек
разрыва). В силу изложенного в проверке нуждается лишь
сходимость ряда Фурье к самой функции в точках разрыва
ж0. Если g (х) — функция аналогичного вида и такая, что
g (ж0 + 0) — g (х0 — 0) = f (хл + 0) — / (ж0 — 0), то
/ (х) —g (х) будет кусочно-гладкой и непрерывной в ок-
рестности х0, следовательно, ее ряд Фурье сходится к ней
в точке хв, а тогда ряд Фурье для / (х) будет сходиться к
f (ж0) в точке х0, если ряд Фурье для g (ж) будет сходиться
к S Uo), в точке х0. Но в качестве g (х), обладающей нуж-
ным свойством, можно взять С ф (ж — ж0) при надлежащем
выборе числа С, где ф — функция, рассмотренная в пре-
дыдущем примере.
Пусть теперь / (ж) — любая функция с периодом 2л,
кусочно-гладкая на [ —л, л]. Заменяя ее значение в каж-
/ (х — 0) 4-/ (х-I-0)
дои точке разрыва ж числом —-----v—!—- , мы не из-
меним ее ряда Фурье, но сделаем все точки разрыва пра-
вильными. Следовательно, ряд Фурье функции / (х) в
о	/ (х — 0) -4- / (я 4- 0)
каждой точке х сходится к —------Чу——2.
Пусть функция / (х) с периодом 2л имеет непрерывные
производные до р-го порядка включительно (р 0).
Обозначим через	коэффициенты Фурье для/<ш) (х)
(т р). Формула интегрирования по частям показы-
вает, что
(ап, Ъп обозначают коэффициенты Фурье функции/ (х)). По-
следовательное применение этих соотношений показывает.
КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ
23
§ 3]
что
Ь(»	Я<2>	Ь<3>	л<4>
_______°п    ап   °п   ап  
Лп~ п ~ п2 ~ п» “ п4 ~ • • • ’
а(1)	ь(2)	„(3)	М)
1	__ ап	_ °п	ап	_ °п	_
Оп~	п	—	п*	=	П8	“	П4	*
и вообще
Мт>
а = I п
при четном п — пт ’ при нечетном
а(т) т^р.
= i пт
Отсюда и из леммы Римана следует, что для коэффициен-
тов Фурье р раз непрерывно дифференцируемой функции
с периодом 2л имеем
М \ ъ М\
— O\n?j
(Запись un = o(pn), где vn={=0 обозначает, что >0.)
\	"п /
СО	оо
Кроме того, заметим, что ряды2пР'11 an I и З-’-ЧЬ.
1	1
“ । а(Р) ।	“ | 6<р) |
(р>1), или, что равносильно, ряды 2—“ и2—«—
1 1
сходятся. Это видно из неравенства+ ^г) и
неравенства (1.58') в §13.
§ 3.	Комплексная форма ряда Фурье
для функций с периодом
Пусть / (ж) — функция, удовлетворяющая условиям
определения § 2, и пусть ряд
оо
-у- + 2 (®пСОЗ пх + bn sin па:)
является ее рядом Фурье. Преобразуем общий член этого
24
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
ряда с помощью формул Эйлера (выражающих косинус
и синус через показательную функцию). Имеем
inx . -inx	inx -inx
ancosnx + bnsinnx = an-—--------------h bn -— 
inx . -inx	inx -inx
e -f-e	e —e
— 0>n	2	-----2----------
где
-------- an К inx I an + ^n -inx__________ inx i „-inx
__________________________________________- c_~r c_ne ,
a — ib	a 4- tb
л ____ n П „ л _n> n
cn-----------2	’ “n 2	•
Полагая еще c0 = a0/2, получим для частичных сумм ря-
да Фурье выражение
N
-у + 3 (««cosпх + bnsinпх) =
П==1
N	N
= Со + 2 (cneinx + c_ne~inx) = 2 cneinx.
n=l	n=—N
Для новых коэффициентов сп получаем формулу (учи-
тывая формулы для ап и Ьп).
п	п
1 / 1	1 с	\
= ~("л" \ f (x)cosnx^x~	\ /	(x)sinna:dx) =
—Я	—л
я	п
= ~ / (х) (cos пх — i sin пх) dx = -^	/ (х) e~inxdx (п>0).
—Л	—л
Непосредственно видно, что эта формула верна для п =
= 0 и для п <z 0 (последнее видно, например, из того, что
c_n = cnj где с обозначает число, сопряженное с).
। 4]	ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
25
По доказанному имеем в точках дифференцируемости}
N
f(x) = Iim[4r + 2 (an cos «ж 4-fen sin их) | =
N	4-оо
= lim 2 сп?пя=2^П’
N-*»n=—N	-«
4- со	N
(понимая V как lim Zi ).
\	-оо	N-К»
Итак, в точках дифференцируемости
4~ОО
M-Sv*	(1-9)
— со
где
я
сп=4Л/<а?)<г‘П’Уа: («“Oiii.i2,-..).
47» J
Правая часть формулы (4.9) представляет собой
комплексную форму ряда Фурье ]1дя функции с перио-
дом 2л.
§ 4. Четные и нечетные функции
Пусть / (х) — функция, определенная на всей числовой
прямой (или на каком-нибудь интервале с симметричными
концами).
Функция / (х) называется четной, если для всех рас-
сматриваемых значений х имеем / (— х) (х). Функция
/ (х) называется нечетной, если имеем / (— х) = — / (х).
График четной функции симметричен относительно оси
ординат. График нечетной функции симметричен отно-
сительно начала координат.
Линейная комбинация четных функций есть четная
Функция, линейная комбинация нечетных функций есть
нечетная функция (мы называем линейной комбинацией
нескольких функций всякую сумму произведений этих
функций на какие-нибудь постоянные).
Произведение нескольких функций, каждая из которых
является четной или нечетной, будет четной или нечетной
26
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
функцией в зависимости от четности или нечетности числа
нечетных множителей. В частности, произведение двух
четных или двух нечетных функций есть четная функция,
произведение четной и нечетной функций есть нечетная
функция.
Если функция / (х) интегрируема на сегменте [ — с, с],
то
с	Ос
J f (х) dx = § / (х) dx + J / (х) dx.
—С	—с	О
Но (при замене х на —х)
О	с
$ t(x)dx = х) dx,
—с	о
следовательно,
с	с
J/(x)dx = J(/(a:)4-/(—«)] dx,
—С	о
откуда
с
J f(x)dx =
С
2 J / (х) dx,
о
О,
если / (х) — четная,
если / (х) — нечетная.
(1.10)
Четные и нечетные функции являются узкими частными
случаями функций, но тем не менее всякая функция / (х)
может быть представлена в виде суммы четной и нечетной
функций., В самом деле, имеем:
f (Ж)_ /(*)+/<-*) +,/(*)-а-,*)=Ф (х)+ф (х),
ьл	£л
где
Ф(Х)= /W + Н—>;	ф(1) „
и, очевидно, ф (х) — четная функция, ф (а:) — нечетная
функция. Если / (х) имеет период, то ф (х), ф (х) имеют
такой же период.
Если функция / (а;) оказалась одновременно четной и нечетной,
то / (—я) = ± / («), откуда / (ж) = —/ (х) и, следовательно, / (х)
тождественно равна нулю. Тождественный нуль есть единственная
функция, которая является одновременно четной и нечетной.
। 5] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ 27
Отсюда легко заключить, что любая функция не может быть
двумя разными способами представлена в виде суммы четной и не-
четной функций. Действительно, если
/ (я) = Ф1 (*) + Ф1 (я) = Фг (*) + (*)
(где Ф1, Фа —• четные, фа —* нечетные), то epi (х) —• <ра (я) =ф2 (х)
__(х)\ но левая часть этого равенства есть четная функция, пра-
вая ясе часть — нечетная, откуда <рх (х) <ра (х) = фа (х) -«*
— Ф1 (х) в О» сл едовательно,
Ф1 (х) = ф2 (х);	(х) =	(я).
Отсюда и из ранее сказанного видно, что всякая функция един-
ственным способом может быть представлена в виде суммы четной
и нечетной функций.
§ 5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
е периодом 2л
Пусть / (х) — четная функция с периодом 2л, удовлет-
воряющая условиям определения § 2.
Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы
п	п
= /(«)<&}
—я	О
я	я
ап =	/ (х) cos пх dx = “5*^/ i.x)cos пх dx,
—-л	О
я	*
Ъп = f{x) sinnx dx = О
Л J
(п = 1, 2, 3,...).
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции от-
сутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функ-
ции с периодом 2л выглядит так5
+<®
f (х) —Y + 2 «п COS пх,	(1.11)
ГДе	п=1
я	я
«о = -£-\jix)dx, ап = -^-С/(х) cosnxdx (n = 1,2,3,...).
28
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Пусть теперь / (ж) — нечетная функция с периодом
2 л, удовлетворяющая условиям определения § 2. Для
коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы
я	я
1 С	1 (*
а0 = — \ /(х)dx = 0; ап — — \ /(х)cosnxdx=Q
—я	—я
(п= 1,2,3,...);
я	те
bn = f(x)sinnxdx = ^-^f(x)sinnxdx (n = 1, 2, 3,...).
—те	0
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции
отсутствует свободный член и члены с косинусами, и
ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2л выглядит
так:
П	+°°
/(ж)— 2 bnsinnx, (1.12)
где
-л-! ~д	зА	,	2 с,z х .	*
L—	I—J	L— Ьп =—\f(x)sinnxdx
'	о
Рис- L	(п = 1,2,3,...).
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию
/(*) =
л
4
л
4
на (— л, 0),
на (0,л),
имеющую период 2л (в точках пл, где п — целое, полагаем
/ (*) = 0).
Очевидно, / (х) — нечетная функция (рис. 1), поэтому в
силу (1.12) имеем:
п	те
,	2 С л л If. л cos пх Iя
I)	= — \ JJLsm пх dx = _ \ sin nxdx~—	==
п л J 4	2 J	2п о
о	о
 cosO —cosnx 1 — (— l)w  Hr ПРИ п нечетном;
(О при п четном;
значит, = 1,	= 0, 63= 1/3, 6* = 0, ... и искомое разложение
§ 5] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ 29
есть
1 1
/ (х) = sin х 4- ~ sin Зх -}- -g- sin 5х 4- . * •
Отсюда при х = л/2 получим: — == 1 — — 4“ "5   4- /. •
Пример Разложить в ряд Фурье функцию / (х) = | х | на
[—л, л], имеющую период 2л^
Очевидно, / (х) — четная функция (рис. 2), поэтому в силу (1.11)
имеем:
2 ?	2
а0 = — \ х ах— ——яг = л;
nJ	Л 2 |о
о
2 с ,	2 / х sm пх cos пх \ «
а„ == — \ х cos пх ах = — (----4~ —— ) =
п л J	л\п п2/|о
2 cos пл — cos 0	2	(— 1)п — 1
= л п2 = ”л п2 “
4
= ~ лдГ ДРИ п нечетном,
О при п четном.
Следовательно,
4	4
, а2==0, а3 = —	а4«=0,...
и искомое разложение есть
л 4 /	1	1	\
/ (^) » "у* — — ( cos х 4~ cos Зх 4- cos Зх 4- ... ] •
Отсюда, в частности, при х = 0 получим:
л л 4 /	1	1	1	\
°- 2 ~ л v+ З2 + 52 + 72 ••’Г
30
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
откуда
л2 1	1	1
8 — * + 32 + 52 +73 + • • •
Зная сумму этого ряда, легко найти
1111
= 1 + 22 + "зз" + *42“ + З2" + • • •
Имеем:
/11 \ / 1 1 1 \
8 - (1+-ЗГ + зг+.«.) + (12Г+-#’ + -бГ+ ••• ) =

следовательно, 8 = л2/6, т. е.

§ 6. Ряды Фурье для функций с любым периодом
Пусть /(ж) — функция с произвольным периодом 21	;
(где I есть полупериод). Полагая х — at, получим функцию
f (at) с периодом 21/а. Выберем а так, чтобы 21/а = 2л, т. е.
а = 1/п. Тогда подстановка х =* It/л приводит нас к функ-
ции / (Zi/л) с периодом 2л.
Предположим, что / (х) имеет на сегменте [ —I, Z] не
более конечного числа точек разрыва и абсолютно интег-
рируема на этом сегменте. В силу § 2 имеем в точках диф-
ференцируемости:
4-00
/ (4) = -у- + 2 (“n C0S nt + sin
'	'	n=l
где .
—те	—n
bn = 4 J f (Jfyinnt dt (n = 1,2,3,...).
—n
Возвращаясь как в ряде, так и в формулах для коэф-
фициентов, от нового переменного t к старому перемен-
( 6] РЯДЫ ФУРЬЕ для ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ 31
ному х и замечая, что t =	, dt = dx, получаем в точ-
ках дифференцируемости?
/ (ж) = -f- + 2 (ап cos + bn sin , (1.13)
где
i
«о = —	/ (#)
— i
i
1 С ± / х ТЬТСХ j
ап = — \f(x) cos -у-ds
—i
i
bn=—\f(x) sm——dx
—I
(n= 1,2,3,...);
(n= 1,2,3,...).
(1.14)
Ряд (1.13) с коэффициентами, определяемыми форму-
лами (1.14), называется рядом Фурье для функции / (х)
с периодом 21.
Ряды Фурье для четных и нечетных функций с любым
периодом. В случае четной функции с периодом 21 все Ьп =
в 0 и, следовательно, в ряде Фурье нет членов с сину-
сами. Тогда получим (как в § 5) в точках дифференцируе-
мости?
/(®) = Т- +ДйпСов'Т, (U5)
где
i	i
(п= 1,2,3,...)
В случае нечетной функции с периодом 21 все вп = 0 я,
следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и чле-
нов с косинусами. Тогда получим (как в § 5) в точках диф-
ференцируемости:
f(x)=%bnShL^t	(1.16)
п=1
32
РЯДЫ ФУРЬВ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
(ГЛ. 1
где
I
Ьп =	(п= 1,2,3,...).
О
Пример 1. Написать разложение в ряд Фурье нечетной функ-
ции с периодом 1. Здесь 2/ = 1, и на основании (1.16) получаем:
4-00	1/2
f(x} = 2 ъп sin 2jmis, где Ьп = 4 J f (х) sin 2nrtx dx.
n=i	о
ПримерЯ. Разложить в ряд Фурье j sin х |. Очевидно, | sin х |
есть четная функция с периодом л.'Здесь 21 = л, и на основании
(1.15) получаем:
4-00
| sin х | == ~L + V ап cos 2ns,
n—1
где
я/2
4 С .	j 4 , v |«/2	4
до = — \ sin x dx~ — (— cos x\ —	:
л J	л	о л
о	*
л/2	л/2
a = -A_ C sin x cos 2nx dx~ — — C sin (2n — 1) x dx 4-
Л J	Л J
0	0
л/2
+ -Ц sin (2n +1) * dx - A	I”'a -
rt J	л 2n — 1 к
0
2	cos (2n 4- 1) s	|«/2_2	/ — 1	1	\
~л~ 2n 4-1	|o e	я	\ 2n — 1	+ 2n -4- 1
1
-----л 4n2 — 1 *
Следовательно,
. .	2	4 5Л cos 2ns
|sms|~—
n=l
2	4/1	1	1	\
ex — —	(-y cos 2x + -jy cos 4s 4* “з5~ cos 6s 4-... j.
4-00
Отсюда при s = 0 получаем: 0  ----------— V, ——т—, следова-
л л у* 4n2 — 1 ’
тельно
§ в] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ 33
Комплексная форма ряда Фурье для функции с любым
периодом. Пусть f (х) — функция с периодом 2Z, удовлет- ’
воряющаяусловиям, указанным вначале параграфа. Тог-
да подстановка х = It/л приводит нас к функции f(lt/n) с
периодом 2л.
В силу § 3 имеем в точках дифференцируемости;
— СО	—71
Переходя как в ряде, так и в формулах для коэффици-
ентов к старому переменному х и замечая, что t = лх/1,
dt ~ JL dx, получим в точках дифференцируемости:
4-00
/И = 3	(147)
— 00
где
i
. с„ = 4г $ Ж	(п = 0, ± 1, ± 2,...). (1.18)
-I
Правая часть формулы (147), где коэффициенты опре-
деляются равенствами (148), называется комплексной
формой ряда Фурье для функции с периодом 21.
Разложение в ряд Фурье функции, заданной на сегмен-
те [—Z, {}. Если на полуоткрытом интервале длины 21,
т. е. на интервале вида [а, а + 21) или (а, а + 21], опре-
делена какая-нибудь функция, то она может быть (един-
ственным способом) продолжена на всю числовую прямую
так, что получится функция с периодом 21. В самом деле,
возьмем график заданной функции на упомянутом полу-
открытом интервале и присоединим к нему все его гори-
зонтальные смещения на расстояния, кратные 21 (т. е.
на расстояния 2п1, где п — произвольное целое число).
Тогда получится график функции с периодом 21, совпа-
дающей с заданной функцией на том интервале, где она
была определена.
Отсюда и из сказанного ранее о разложении периоди-
ческих функций в ряды Фурье следует, что если /(аг) име-
ет на [—I, Л не более конечного числа точек разрыва и;
абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого
2 П. И. Романовский
34
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
сегмента в точках дифференцируемости имеем:
4-00
/И =~2~+ 2j («nCOS—у-4- bnsin—у-1,
П=1 '	'
где
i	i
во = Д- f(x)dx; ап — Д- /(x)cos-^-da:
— I	—I
(n = 1,2,3,...);
i
bn = -p j / (#) sin pp- dx (n = 1,2, 3,...).
(1.19)
(1.20)
Разложение в ряд косинусов функции, заданной на
сегменте [0,1]. Если на сегменте [О, Z] определена какая-
нибудь функция, то она может быть (единственным спо-
собом) продолжена на всю числовую прямую так, что по-
лучится четная функция с периодом 21. В самом деле,
возьмем график заданной функции на этом сегменте, при-
соединим к нему фигуру, симметричную с ним относитель-
но оси ординат. Затем к образовавшейся фигуре присо-
единим все ее горизонтальные смещения на расстояния,
кратные 21. Тогда получится график четной функции
с периодом 2Z, совпадающей с заданной функцией на сег-
менте [О, И.
Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных
периодических функций в ряды Фурье следует, что если
f(x) имеет на [О, Z] не более конечного числа точек разрыва
и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри
этого сегмента в точках дифференцируемости имеем раз-
ложение в ряд косинусов:
/(^) = -г+(4-21)
п=1
где
i	i
ай — -j-C/(x)da;; ап = -у-/(®)cosdx (1.22)
6	о
(п= 1,2,3,...).
§ 7] УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 33
Разложение в ряд синусов функции, заданной на сег-
менте [О, Z]. Если на интервале (О, I) определена какая-
нибудь функция, то она может быть (единственным спо-
собом) продолжена на всю числовую прямую так, что по-
лучится нечетная функция с периодом 21. В самом деле,
возьмем график заданной функции на упомянутом ин-
тервале, присоединим к нему фигуру, симметричную с ним
относительно начала координат, затем к образовавшейся
фигуре присоединим все ее горизонтальные смещения на
расстояния, кратные 2Z, и, кроме того, добавим все точки с
координатами nZ, 0 (где п — любое целое число). Тогда
получится график нечетной функции с периодом 2Z, сов-
падающей с заданной функцией на интервале (О, Z).
Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных
периодических функций в ряды Фурье следует, что если
/ (х) имеет на [О, I] не более конечного числа точек разры-
ва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри
этого сегмента в точках дифференцируемости имеем раз-
ложение в ряд синусов:
4-00
/(*)==	(1.23)
п=1
где
i
ьп = А(*) sin-^-dx (и = 1,2,3,...). (1.24)
О
На концах сегмента ряд (1.23) будет сходиться к нулю. Следо-
вательно, если дополнительно потребовать, чтобы / (х) обращалась
в нуль на концах сегмента [О, Z], то разложение (1.23) будет иметь
место еще на концах сегмента [О, Z].
§ 7. Уравнение свободных малых колебаний струны
и его решение методом Фурье
Рассмотрим натянутую струну, расположенную вдоль
оси абсцисс. Если струна совершает малые поперечные
колебания (т. е. каждая точка струны может смещаться
только в вертикальном направлении и, следовательно,
сохраняет величину своей абсциссы) без воздействия внеш-
них сил, то можно показать (отбрасывая малые величины
высших порядков), что если и (х, Z) обозначает ординату
2*
36
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ЕГЛ. I
точки струны с абсциссой х в момент Z, то функция
и (х, t) будет удовлетворять линейному однородному урав-
нению с частными производными второго порядка
д2и _ 2 д2и
~ а *
(1.25)
где а — постоянное положительное число.
Если струна имеет конечную длину I и ее концы с абс-
циссами 0 и I закреплены, то мы получаем следующие гра-
ничные условия:
и (0, t) =0; и (Z, t) = 0.	(1.26)
Будем сперва искать те решения уравнения (1.25)в об-
ласти
0 С я < Z, — оо < z < + оо,
удовлетворяющие граничным условиям (1.26), которые
имеют специальный вид: X (х) Т (Z), где X — дважды непре-
рывно дифференцируемая функция от х на [0, /], не рав-
ная тождественно нулю, Т — дважды непрерывно диффе-
ренцируемая функция от Z, не равная тождественно нулю.
Вставляя и = XT в (1.25), получим;
ХТ9~а*Х'Т,	(1.27)
откуда после разделения переменных найдем?
Х° Тп
1Г —	'
(1.28)
Так как левая часть не зависит от а правая часть не
зависит от х, то общая величина этих отношений есть не-
которая постоянная %; поэтому
X” -КХ = 0; Г -Ка*Т « 0.	(1.29)
Строго говоря, формула (1.28) и, следовательно, формула (1.29)
справедливы для тех х, где X (ж) =£ 0, й тех где Т \t) 4= 0. Но там,
где X (х) « О, имеем в силу (1.27) Хп (х) = 0 (ибо Т не исчезает тож-
дественно), и там, где Т (Z) « 0, имеем в силу (1.27) Т" (I) = 0 (ибо
X не исчезает тождественно); поэтому равенства (1.29) справедливы
для всех рассматриваемых х и t
Граничные условия (1.26) дают:
X (0) Т (Т) « 0; X (I) T(t) = 0 .
§ 71
УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 37
и, следовательно (так как Т не исчезает тождественно),
X (0) = 0; X (I) = 0.	(1.30)
Покажем теперь, что при X 0 первое из уравнений
(1.29) не может иметь на [0, I] решений, не исчезающих
тождественно и удовлетворяющих граничным условиям
(1.30).
В самом деле, если бы при А^> 0 нашлось такое реше-
ние, то в некоторой точке между 0 и Z оно было бы отлично
от нуля, например положительно (в противном случае сле-
довало бы заменить X на —Х)\ тогда наибольшее значе-
ние X на [0, Z] должно было бы быть положительно и до-
стигаться в некоторой точке £ внутри этого сегмента.
Но тогда
X (I) > 0; X' (I) = 0; Xя «) = XX ($) > 0
и, следовательно, в точке 5 функция X должна иметь ми-
нимум, что нелепо. В случае к = 0 первое из уравнений
(1.29) превращается в Xя =0, следовательно, X линейна
и при условиях (1.30) может быть только тождественным
нулем. Итак, мы доказали, что А < 0, поэтому можно по-
ложить А = —&2, где к > 0.
Уравнения (1.29) принимают вид
Xя + к2Х = 0; Г + kW = 0.	(1.29')
Составляя и решая соответствующие характеристиче-
ские уравнения этих однородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами, найдем:
X = Cj cos кх + Ct sin кх; Т = cos akt + Dt sin akt,
где Clt Сг, Dlt Dt — постоянные.
Граничные условия (1.30) налагают требования:
Ct = 0; С, cos kl + Ct sin kl — 0,
откуда (так как Ct =/= 0, если Cs = 0) sin kl — 0; kl = пя
(n —целое); ft =nn/Z; следовательно,
Ху, • MtX
= CjSin-y-
1 = Di cos —j-f- Di sin—— ,
откуда (полагая CtDt = 4, CtDt = B)
u = XT = (A cos—j—h 2? sin —j—Jsin—7—.	(1.30 )
\ * * / *
38
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
ЕГЛ. I
Обратно, непосредственно проверяется, что выражение
(1.30') при любых постоянных А и В удовлетворяет урав-
нению (1.25) и граничным условиям (1.26). Таким образом,
общий вид всех решений уравнения (1.25), удовлетворяю-
щих граничным условиям (1.26) и имеющих специальный
вид u = X (х) Т (/), дается формулой (1.30').
Так как уравнение (1.25) и граничные условия (1.26)
линейны и однородны, всякая линейная комбинация реше-
ний уравнения (1.25) с условиями (1.26) есть также реше-
ние уравнения (1.25) с условиями (1.26). В упомянутой ли-
нейной комбинации может участвовать не только конеч-
ное, но и бесконечное число функций, однако в последнем
случае постоянные коэффиценты следует брать так, чтобы
получающийся ряд и ряды, появляющиеся из него после
однократных и двухкратных почленных дифференцирова-
ний по рассматриваемым переменным, были бы равномер-
но сходящимися (тогда законы однократные и двукратные
почленные дифференцирования, с которыми придется
встретиться при проверке выполнимости (1.25). Таким об-
разом, выражения вида
4-00
„ 1 .ч V / л nnat । п • nnat\ . njtx /л
u(x, 0 = 2j Mn COS—J—F Bnsm—— Isin-y- (1.31)
n==l '	'
при упомянутом выборе An и Bn будут решениями урав-
нения (1.25) с условиями (1.26). В частности, требования,
предъявляемые к Ап, Вп9 выполняются, если сходятся
ряды
со	со
М 2па|вп|.
1	1
Предположим теперь, что для каждой точки струны
известно ее начальное положение и начальная скорость.
Тогда на u (х9 t) должны быть наложены дополнительные
ограничения вида
и (х, 0) = <р (х); щ (х, 0) = ф (х),	(1.32)
где ф (х), ф (х) — заданные функции (причем ф (0) =
= Ф(/) = ф(0) =Ф (Z) -0).
Условия (1.32) называются начальными условиями.
Будем искать среди решений вида (1.31) такие, которые
§ 7] УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 39
удовлетворяют начальным условиям (1.32)у т. е. подчиним
функции
4-00
/	V / л	i о • njtat\ . плх
u(x,t) = 2j ^nCOS—+ Bnsm—— ISUl-y-,
ut (x, t) =
4-00
Sf	nna A . nnat . пла o	плаЪ X . плх
(-----— An sin —y— 4- -j- Bn cos —— 1 sin —j—
n=l '	'
условиям (1.32).
Если <p (x) иф (x) на (О, I] допускают разложения по си-
нусам
ф(х) — 2«nSin-^-, ф(х) == sin-^p-
1 1
и при этом числа Ап = ап, Вп — Ьп удовлетворяют
требованиям, принятым при построении решений вида
(1.31), то поставленная задача разрешима, ибо, определив
тогда и (х, t) по формуле (1.31) с помощью этих Ап, В71,
найдем, что и (х, 0) и ut (х, 0) будут иметь на [О, I] такие же
разложения, как ф (х) иф (х). Так как эти разложения ока-
зываются равномерно сходящимися, то формулы (1.24)
применимы, и, следовательно,
i	i
Ап = Ф(х) sin dx-, Вп = ^-^'1’ (х)sin^-dx.
О	о
В частности, <р (х) и и ф (х) будут удовлетворять указан-
ным требованиям, если нечетная функция с периодом 21,
совпадающая с ф (х) на [О, Z], трижды непрерывно диффе-
ренцируема и нечетная функция с периодом 21, совпадаю-
щая с ф (х) на {О, Z], дважды непрерывно дифференцируе-
ма (см. сказанное в конце § 2).
Итак, при упомянутых требованиях, наложенных на
ф (х) иф (х), задача о свободных малых колебаниях стру-
ны с закрепленными концами и заданными начальны-
ми положениями и начальными скоростями ее точек
40
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
кГЛ. 1
разрешима и ее решение дается формулой
4-00	'
/	V» / а ппаХ . „	. notat\ . пля
и(я, i) = >i (Лпс°8—— 4- Bnsm—j—jsin—у-,
n=l	'
где
i	i	*
Ля=-y-C<p(o:)sin-^-da:, Bn = ф (*) sin ~ dx
0	0
(n =x 1,2, 3,...).
(1.33)
§ 8. Уравнение распространения тепла в стержне
Рассмотрим идеально тонкий однородный изолирован-
ный стержень, расположенный вдоль оси абсцисс. Из фи-
зических соображений следует, что если и (х, /) обозна-
чает температуру точки стержня с абсциссой х в момент Z,
то функция и (х, /), выражающая закон распространения
тепла в стержне, удовлетворяет линейному однородному
уравнению с частными производными второго порядка
— == а2 —	(1.34)
dt и дх* >	v '
где а —постоянное положительное число.
Если стержень имеет конечную длину I и на его кон-
цах с абсциссами 0 и I поддерживается постоянная нуле-
вая температура, то возникают граничные условия
и (0, t) = 0 и u (Z, t) == 0.	(1.35)
Будем сперва искать те решения уравнения (1.34)
в области
0<х</, 0< z< + оо,
удовлетворяющие граничным условиям (1.35), которые
имеют специальный вид X (х) Т (/), где X — дважды не-
прерывно дифференцируемая функция от хна [О, I], не рав-
ная тождественно нулю, Т — непрерывно дифференци-
руемая функция от t на 10, + оо), не равная тождественно
нулю.
Вставляя и = XT в (1.34), получим
ХТ!
§ 8] УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ 41
откуда после разделения переменных найдем (для тех xt
где X =/= 0 и тех /, где Г =/= 0)
X" _
X а?Т •
Общая величина этих отношений есть некоторая постоян-
ная Л, поэтому
X" -IX = 0; Г -Ха2Т =0,	(1.36)
причем (1.36) оказываются справедливыми для всех х
на [0,1] и всех t на [0, + оо) (учитывая, что X и Т не равны
тождественно нулю). Граничные условия (1.35) дают
Х(0) =X(Z) =0.	(1.37)
Первое из уравнений (1.36) не может иметь при Л > 0 ре-
шений, удовлетворяющих (1.37) и не равных тождествен-
но нулю, поэтому Л < 0 и можно положить 1 = — k2t
к 0. Уравнения (1.36) принимают вид
X" + к*Х =0; Г + к*а?Т «= 0.	(1.36')
Общие решения этих уравнений имеют вид
X = Сх cos кх + С» sin кх\ Т — De~k,a4.
Граничные условия (1.37) налагают требования
Cj = 0; Сг cos kl + Сг sin kl — 0,
откуда (так как С2 =/= 0, если = 0) sin kl = 0, kl = пл
(п — целое), к откуда (полагая CJO = А)
и = ХТ=Ае~ “ sin^p. (1.37')
Обратно, непосредственно проверяется, что выраже-
ние (1.37') при любом постоянном А и любом целом п
удовлетворяет уравнению (1.34) и граничным условиям
(1.35). Таким образом, общий вид всех решений уравне-
ния (1.34), удовлетворяющих граничным условиям (1.35)
и имеющим специальный вид и — X (х) Т (/), дается фор-
мулой (1.37').
42
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
1ГЛ. I
Пусть теперь числа Ап таковы, что числовой ряд
ОО
21 Ап | сходится. Тогда функциональный ряд
1
SA-------П f • ПЛХ
Апе	»* зш-у-
1
равномерно сходится при t > 0 и ряды, полученные из не-
го путем почленных дифференцирований любое число раз,
равномерно сходятся при £>8, где 8 —любое положитель-
ное число. Отсюда следует, что в случае сходимости ряда
со
2Мп| функция
1
00	п’л’а2 а _
«(«,<)= 2 Лпе" 1г sin-^ (1.38)
1 '
непрерывна при t > 0, удовлетворяет граничным услови-
ям (1.35) и удовлетворяет уравнению (1.34) при t 0.
Предположим теперь, что в начальный момент каждой
точке стержня придана начальная температура и требует-
ся выяснить закон распространения тепла в стержне при
условии, что на концах поддерживается постоянная нуле-
вая температура. Тогда на и (х, t) должно быть наложено
начальное условие вида
и (х, 0) = ф (яг) при 0 х <1 Z,
(1.39)
где ср (х) — заданная функция, причем ф (0) = ф (I) ==
.== 0.
Будем искать среди решений вида (1.38) такие, кото-
рые удовлетворяют начальному условию (1.39), т. е. под-
чиним и (я, t) требованию (1.39).
Если ф (х) на [0, I] допускает разложение по синусам
оо	оо
ф (Х) — S А-п sin и при этом ряд 2 I сходится,
1	1
то поставленная задача разрешима, ибо, определив тогда
и (х, t) по формуле (1.38) с помощью этих Ап, найдем, что
и (х, 0) будет иметь на [0,1] такое же разложение, как <р (х).
§ 8]
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ 43
Применение формул (1.24) дает
i
Ап = —\ Ф (х) sm—у- dx.
о
В частности, ф (х) будет удовлетворять указанным требо-
ваниям, если ф (я) на [О, I] непрерывно дифференцируема.
Итак при упомянутых требованиях, наложенных на
<р (х), задача о распространении тепла в стержне при по-
стоянной нулевой температуре на концах и заданной на-
чальной температуре в каждой точке стержня разрешима
и ее решение дается формулой
U (#, 0 ==	1	Sin —р ,
1
где
i
Лп = -у-^ф(#)зт m^-dx (п = 1,2, 3,...).
о .
(1.40)
Принцип максимума для уравнения теплопроводности.
Если и (г, /) непрерывна на прямоугольнике
и удовлетворяет уравнению —• = а2 при 0 < х I;
0 < Г, то среди точек, где и (х, f) достигает макси-
мального значения на упомянутом прямоугольнике, есть
точка (x0J0), где либо яо = О, либо xQ~l, либо tQ = 0.
Доказательство. Допустим, что такой точки
нет. Тогда максимальное значение М достигается в точке
(^о, *о)> где 0 < х0 < I, 0 < t0 < Т, причем и (0, t) при
0 t Т, и (I, t) при 0 t Т, и (х, 0) при 0 < х
С J будут < М. Пусть тп — наибольшее из максимальных
значений этих трех функций на упомянутых сегментах,
тогда m < М. Рассмотрим функцию и (х, f) = и (х, t) +
+ k (tQ —t), где к > 0. Эта функция достигает своего наи-
большего значения в некоторой точке (xlf /х) прямоуголь-
ника, и так как М = и (xQ, Jo) =v (xQ, tQ), то v (х1,
ПриЛ< —должны иметь 0 <	< I, 0 < Г,
44
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
ибо в противном случае
М v (хи tr) = и (хъ tj) + k(tQ — Q
и (#1? ti) 4~ к | t$ — ty | th ~]--------тр— T = М\
что дает противоречие. Необходимое условие максимума
дает vxx tj) 0, vt(xti > 0 (= О, если tx <z Т),
следовательно, ихх (хр = vxx (xv tr) 0, ut (хп ==
== и^Хг, /х) + к 0, но это противоречит уравнению
ди 2
ч-т-д-
Заменяя и на —и. получим такое ясе заключение о
точках, где и достигает минимального значения.
Из сказанного вытекает следующая теорема единствен-
ности.
Может существовать не более одной и (х, 0, удов-
летворяющей требованиям: и (ж, t) непрерывна при 0
х I; 0 t < + оо; удовлетворяет уравнению
= а2 при 0 < х < Z; 0 <t< 4- 00; и (я,0) = <р (х)
при 0 х Z; и (0, t) = ф! (0 при 0 t <; 4- 00;
и (Z, 0 = ф2 (0 при 0 t < 4- 00 (где ф, фп ф2 — задан-
ные функции на соответствующих интервалах).
В самом деле, если имеем две такие функции и и^,
то и = На — Uj непрерывна при 0 ^х I, 0 f < 4“ 00
dv о d2v	л	1
удовлетворяет уравнению — = а8 при 0 < х < Z,
О < t <z + 00; v (х, 0) = 0 при 0 х I; v (0, t) = 0
при 0 t < 4- 00; v (Z, t) = 0 при 0 < t < 4- 00. При
каждом Т > 0 максимальное и минимальное значение и
на прямоугольнике 0 ^х ^.1, 0 t Т достигает-
ся в точках, где либо х = 0, либо х = I, либо t = 0, но
в этих точках v = 0, следовательно, р s 0 на упомянутом
прямоугольнике, а так как Т > 0 произвольно, то v s О
при	0 t < 4- 00 и, следовательно, Uf s «j,
ч.т.д.
В частности, рассмотренная выше задача о нахожде-
нии непрерывной функции при Q ^х 0^t<4- 00,
„	ди • Э2и л .	,
удовлетворяющей уравнению = аг	при 0 < х < I,
О < t < 4- 00, удовлетворяющей граничным условиям
§ 9]
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
45
м (0, t) = и (Z, t) = О при О t <z + оо и начальному
условию и (х, 0) = <р (х) при 0 х Z, может иметь н е
более одного решения.
§ 9. Интеграл Фурье
Отметим сперва некоторые вспомогательные факты.
+ °°
Вычисление интеграла	dx. Преобразуя двой-
о
ной интеграл от е~ху sin х по квадрату (0 х а\ 0
у а) двумя способами в двукратные интегралы и
сравнивая результаты, получим
а	а	а а
sin х dx е~ху dy == dy J е~ху sin х dx. .
о	о	оо
Элементарное интегрирование дает:
а
\e-*vdy =—;
о
а
( e-«v sin х dx =	+
J	i+y2
о
Следовательно,
а	а	а	а	<
dx _ dx d* -	+ dy.
J x	J x	Jl+y3	J	1 +У* J
0	0	0	0
Так как *) модуль второго слагаемого левой части меньше
1/а, модуль второго слагаемого правой части меньше 2/а,
то в пределе при а -> + оо получим:
(1.41)
о
а	+<х>
♦) Учитывая, что (e~axds< ( е~ах dx = —.
J	-	<)	а
46
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Поскольку — четная функция, из последней
формулы следует:
8Ш« ,
—— dx — п.
X
(1.4Г)
Лемма Римана для бесконечного промежутка. Если
f (х) имеет на каждом конечном интервале не более ко-
нечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема
на (— оо, + оо), то
4-00
\ f(x)slnaxdx —>0 при а—>4-оо.
—оо
Доказательство. Возьмем end настолько
близкими к —- оо и + оо, чтобы сумма интегралов от |/ (х)\
по интервалам (—оо, с] и[й, Ц- оо) была меньше е/2. Так
d
как в силу леммы Римана (S 2)	/ (х) sin ах dx —> 0 при
с
а + оо, то при любом 8	0 найдется такое К > О,
d
что |$/(#) sin a# d# | при а > К. Тогда при а > К
с
будем иметь:
4-00
| J f (х) sin ах dx |
—00
с	d	4“°°
!/(#)]<& + | j/(®)sinaxdx| 4* $ |/(х) |dx < в;
—оо	с	d
следовательно,
4-00
J f (х) sin ах dx —> 0 при а-»4-оо.
—оо
Достаточное условие представимости функции инте-
гралом Фурье. Пусть / (х) — функция, определенная на
всей числовой прямой, имеющая на каждом конечном сег-
менте не более конечного числа точек разрыва и абсолют-
§ 91
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
47
но интегрируемая на (— оо, + оо). Последнее означает,
что несобственный интеграл
+°о
J |/(x)|dx
—оо
есть конечная величина (интеграл сходится).
Согласно сказанному в § 6 в каждой точке дифферен-
цируемости х0 функции / (х) имеем (при I | xQ |):
4-00
Д*о) =	+ S (®nCOS—j— + bnsin-^),
n=l '	'
где коэффициенты определяются формулами (1.20). Сле-
довательно,
I	оо	I
f(x0) =	27"^/^)^+ 3 (“г	5	/ (ж) cos-^72- dx-<M8~^-	4-
—I	п=1
I
+ -у- f (x) sin n^x dx • sin —j =
-i
=z4r\f(x)dx+ S 4Л C0S ~ПЯ (Ж/~ ™> dx-
-I	n=l —I
Полагая un — ™ ^тогда Дип = ~; -|- = А Дипj, по-
лучим:
I	oo	I
/(•^o) — -gj- \ i(x)dx 4-	2 Дмп \ f{x) CQSUn (x — x0) dx.
-I	n=1	—I
При I оо, очевидно,
/ (x) dx -» 0 •	/ (x) dx = 0.
—I	— oo
48
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
(ГЛ. 1
Естественно предположить, что при I 4- оо
СО	I
2 Д“п $ / (х)cos ип	— Л’о) dx —>
п==1	— I
4-со 4~°°
-* § du J f(x)cosu(x — Xo)dx
О —со
(но это не очевидно!). Если это так, то полученное для
/ (я0) выражение даст в пределе:
4-оо 4-ос
1 (*	С
f (х0) = — \ du \ f (х) cos и (х — хй) dx.
О	—оо
Покажем, что это действительно так.
Положим
а 4-оо
1 С с
/ (а) = — \ du \ / (х) cos и(х — ж0) dx,
!(	—00
4-00
Так как |/(ж) cos и (ж—ж0)|^|/(ж)| и j \f(x)\dx
—оо
сходится, то можно изменить последовательность интег-
рирования и мы получим:
4-со	а
/(«)=»-£- f{x)dx^cosu(x — x0)du =
—оо	о
в 1 Vе А™(*.~2*^ж = 4-Т/(Хо +
Я J ' ' ' Х — Х.	Я J 7 ' ° 1	' X
—оо	—оо
(последний интеграл получен из предыдущего заменой ж
на ж0 4- ж). Если / (ж0) = 0, то	—> f (х0) при ж -►
-►О, и, следовательно, функция <р(ж) = -	после
надлежащего доопределения в точке ж = 0 становится непре-
рывной в окрестности нуля и будет абсолютно интегри-
руема на (— оо, 4- оо), ибо при достаточно малом в она непре-
рывна на интервале (—в, в) и вне его |ф(ж)|	.
$ 91
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
49
Следовательно, в силу леммы Римана для бесконечного
промежутка, имеем:
4-00
I (а) = — \ ф (х) sin ах dx -> 0	при а —> + оо.
—со
В общем случае [когда значение / (х0) может быть лю-
бым] положим:
при	+	.	...
„	7 («)=/(«) —
для других значении х;
♦ («) =
= J +	+ v J №9 + x)a^r-dx.
По доказанному первое слагаемое правой части стремится
к нулю при а -> + оо, ибо / (я0) == 0. Второе слагаемое
правой части равно
1	а
/(ар) С sin аж __ / (жр) С sin ж » / (хр)
Я J X	Я J X	л
—1	—а
S^dx~f(b)
при а—> 4- оо
(интеграл в средней части получен из предшествующего
заменой ах на х). Таким образом, в точках дифференциру-
емости х0 функции / (х) имеем:
4-со 4"00
/(ж0) = lim I (а) =	du	/ («) cos и (ж — ж0) dx.
О —оо
Заменяя х0 на х и х на J, доказанное предложение мож-
но формулировать так:
Теорема. Если f(x) имеет на каждом конечном ин-
тервале не более конечного числа точек разрыва и абсолют-
но интегрируема на (— оо, + °°), яю * каждой точке ж,
в которой f (х) дифференцируема, имеем*
4-00	4"°°
/ (ж) =	( du /(i)cosu (t — x)dt. (1-42)
О —оо
50
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
I
I
Правая часть формулы (1.35) называется двойным инте-
гралом Фуръе функции / (ж).
Так как cos и (t — х) = cos wtf-cos их 4~sin u£-sin их,
то (после внесения множителя 1/л) внутренний интеграл в
формуле (1.42) можно преобразовать так:
4~°°	-I-оо
1 Г	1 с
— \ / (£) cos и (t — x)dt = — \ / (t) cos ut dt • cos их +
—oo	—oo
-|-OO '
1 c
+ ^- \ f(t) sinutdt-sinux = a(u) cos их + b(u) sinux,
— 00
где
1 +c°
« (w) = — \ / (t) cos ut dt (u > 0),
—oo
+“ *
b (u) —	/ (t) sin ut dt (u > 0).
—oo
Тогда (1.42) принимает вид
4-00
/ (x) = [a (u) cos их + b (u) sin их] du.
о
(1.43)
(1.44)
Выражение, стоящее в правой части формулы (1.44),
называется интегралом Фурье для функции / (ж). Таким
образом, функция / (ж) представляется своим интегралом
Фурье во всех точках дифференцируемости. Заметим, что
это достаточное условие представимости функции своим
интегралом Фурье не является необходимым, представи-
мость интегралом Фурье будет иметь место и при более об-
щих условиях.
Формула (1.44) показывает, что интеграл Фурье можно
рассматривать как континуальный аналог ряда Фурье:
вместо суммирования по индексу и, пробегающему целые
значения, мы имеем интегрирование по непрерывно изме-
няющемуся переменному и; вместо коэффициентов Фурье,
зависящих от целого индекса и, мы имеем функции а (и),
Ъ (и) от непрерывно изменяющегося переменного и, опре-
деляемые формулами (1.43).
§ 101 КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ	51
§ 10. Комплексная форма интеграла Фурье
Преобразуем подынтегральное выражение формулы
(1.44) с помощью формулы Эйлера. Имеем:
а (и) cos их 4- Ъ (и) sin их =
ешх I g-itwc	eiux_e~iux
= ® («)-----2-------+ b (м)---21----=
Лих I -iux	Лих „-iux
= а(и)~-Те----------ib(u)-e ~е----------
a(u) — ib(u) Лих , а (и)+ «&(«) „_<ш. _
_	_ е -i	е -
= с (и) eiux + с(—и) e~iux,
где положено
С(Ц) = ^^Ч; С(_и) =
Тогда
х
[а (и) cos их + Ь (и) sin их} dif =
х
= $ Iе (м)eiux + с(~и)	=
о
X	X
= с (и) eiuxdu + ^с(^и) e~iuxdu =
о	о
х	о	х
= с (и) eiux du + ( с (и) eiux du = ( с (и) eluxdu,
о	--х	—х
х
так как после замены и на —и интеграл u)e~iuxdu
о
о
переходит в ( с (и) eiux du.
--х
52
РЯДЫ ФУРЬВ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Для с (и) получим выражение
c(u) = ^-ib№.=
2
4-~
= —("S' i f(t)cosutdt—
-{-ОО	-{-00
IP	4 р
= 2я \ (C0S ut ~ i S*n Ut) ~ 2л \ f e^iUt (U 0)’
—00	—do
Непосредственно видно, что эти формулы верны и при
и < 0, например, из того, что с (— и) = с (и).
Из формулы (1.37) получаем теперь:
х
/(я)= Ит \ [а (и) cos их + b(u)sinw#]du =
Х-Н-со Q
X	4-оо
= Ит ( с (и) eiux du = ? с (и) eiux du
Х-Н-00 Д	_«
4-00	х
(понимая \ как Кт \ ) .
'	-Ло *->оо -X
Итак, в точках дифференцируемости функции / (х)
4-оо
/(#) = c(u)eiwcdu9	(1.45)
—оо
где
+°°
с(“) = 4г	(1-45')
—00
Выражение для / (ж) в форме (1.45) является комплекс-
ной формой интеграла Фуръе для функции /(х).
Если в формуле (1.45) заменить с (и) его выражением,
то получим в точках дифференцируемости функции f (x)s
= elU3Cdu f(tje~ivtdt (1.46)
—ОО	—оо
§ 11] ИНТЕГРАЛ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ 53
или, после внесения е,их под знак внутреннего интеграла,
-|-ОО	4*00
= du f (f) ei'*x~v> dt. (1.46')
—оо	— 00
Правая часть формулы (1.46') называется двойным ин-
тегралом Фурье в комплексной форме.
Положив
4-00
F (и) == J
формулу (1.46) можно переписать так:
4-00
/ («) = F (и) eiux du.
—оо
(1.46")
§ 11. Интеграл Фурье для четных
и нечетных функций
Пусть / (®) — четная функция, удовлетворяющая ус-
ловиям § 9. Тогда
4-оо	4“°°
a(u) = -~- f(t)coButdt = f(t)cosutdt}
—оо	О
+о»
&(u) = -^- \ f(t)ainutdt = О,
—00
следовательно, интеграл Фурье (1.44) принимает вид
4-00
/(х)= J а (и) соз их du,
—00
где
а(в) = -^- f(t)cosutdt.
о
(147)
(1.47')
64	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
Это—интеграл Фурье для четной функции f (х). Заменяя
здесь а (и) его выражением, получим двойной интеграл
Фурье для четной функции-
4~°°	Ч-oo
/(х) = — cos их du f(t) cos utdt. (1.48)
о	о
Пусть теперь / (х) — нечетная функция, удовлетворяю-
щая условиям § 9. Тогда
4-СО
а(и) = — \ /(f) cos utdt = 0;
—со
-f-OO	-f~°°
5(u) = — \ f(t)sinutdt = — \ /(f)sinufdf;
JT J	Jt J
—00	0
следовательно, интеграл Фурье (1.44) принимает вид
4-00
/ (х) = J J (u) sin их du,	(1.49)
о
где
4-00
Ь (и) === — С / (t) sin ut dt.	(1.49')
Л J
о
Это «- интеграл Фурье для нечетной функции / (х). За-
меняя здесь Ъ (и) его выражением, получим двойной ин-
теграл Фурье для нечетной функции!
4"ОО	"| 00
/ (я) = ~-	sin их du { f (t) sin ut dt. (1.50)
о	о
Формулы (1.48) и (1.50) можно перефразировать сле-
дующим образом.
Положим
----+°°
<р(я) = 1/ -ж-	f (t) cos xt dt.	(1.48')
г л Л
§ И] ИНТЕГРАЛ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИИ 55
у (t) cos xtdt.
Тогда из (1.48) следует [если / (ж) — четная функция,
удовлетворяющая отмеченным выше условиям], что в точ-
ках дифференцируемости функции / (ж)
/(х) =
о
Называя выражение, стоящее в правой части (1.48'),
косинус-трансформацией функции f (ж), приходим к зако-
ну взаимности: если <р (ж) есть косинус-трансформация чет-
ной функции/(ж), то/(ж) есть косинус-трансформация от
<Р (*)•
Положим
ф(ж) = ^/ — \ / (t) sin xtdt. (1.50')
о
Тогда из (1.50) следует [если / (ж) — нечетная функция,
удовлетворяющая отмеченным выше условиям], что в точ-
ках дифференцируемости функции /
,/т+с*
=	— \ ^(t)sinxtdt.
о
Называя выражение, стоящее в правой части (1.50')*
синус-трансформацией функции / (ж), приходим к закону
взаимности: если ф (х) есть синус-трансформация нечет-
ной функции / (ж), то / (ж) есть синус-трансформация от
^(ж).
Пример. Представить интегралом Фурье функцию
/(«) =
1 при |я|<1,
при
0 при
Функция f (хх —* четная, следовательно, на основании (1.47) имеем*
+оо
/ (х) = а (и) cos их du*,
о
2 С	2 С	2 sin ut 2 sin и
e(«) = -H J|/(t)co3utrft = — yosutdt^— —— |(=о---------------------
О
о
56
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ» 1
поэтому
Таким образом,
+<5О
2 (• sin и
/ («) »	\ —й— cos их &и-
о
+оо
2 С sin и
— \ —~— cos их du =
1, если
1
у , если
1*1 = 1.
(1.51)

О, если | х | > 1.
Выражение (1.51) называется разрывным множителем Дирихле»
§ 12. Ортогональные системы функций
Будем рассматривать действительные функции ф (х)
на каком-нибудь интервале (закрытом, открытом или по-
луоткрытом) с концами а, Ъ (а конечно или равно — оо, b
конечно или равно 4~ оо), на котором фиксирована не-
которая положительная непрерывная функция р (х) (ве-
совая функция)» Будем предполагать функции ф \х) не-
прерывными на рассматриваемом интервале и такими, что*)
ъ
J 1Ф (я)]2 Р (х) dx< + оо.
а
Для таких функций <р (х), ф (ж) положим
ь
(Ф, ф) = <р (ж) ф (ж) р (ж) dx.
а
1
Этот интеграл имеет смысл, так как | Фф | -у (ф2 + ф2).
Определение. Функции <р (х) и ф (х) (удовлет-
воряющие указанным выше требованиям) называются
ортогональными относительно веса р (х) на данном интер-
вале, если
(Ф, ф) = 0.	(1.52)
Ортогональность не нарушается при умножении функ-
ций на постоянные множители.
*) Если рассматриваемый интервал есть сегмент, то этому тре-
бованию удовлетворяет каждая непрерывная на нем функция.
$ 12]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ
57
Определение. Функция (р (х) (удовлетворяющая
указанным требованиям) называется нормированной от-
носительно веса р (х) на данном интервале, если
<Ф, Ч>) = 1.	(1.52')
Не исчезающую тождественно <р (х) можно сделать нор-
мированной, умножив на подходящий постоянный мно-
житель Л (нормирующий множитель). Этот множитель X
следует выбрать так, чтобы (Хф, Хф) = 1, откуда
Например, для х на [0, 11 при единичном весе
* =-----------------±===±/3.
Рассмотрим бесконечную систему функций
Ч>1 (за), ф2 (х),..., Фп(я)»-..	(8)
(удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа тре-
бованиям). Назовем систему (S) ортогональной относи-
тельно веса р (х) на данном интервале, если все функции
этой системы не исчезают тождественно и попарно ортого-
нальны относительно веса р (х) на рассматриваемом ин-
тервале, т. е. если
(ф{, Фк) =* 0 при i =f= к.
Назовем систему (S) ортонормироеанной относительно веса
р (х) на данном интервале, если она ортогональная и все
ее функции нормированные относительно названного веса
на рассматриваемом интервале, т. е. если
(0 при i=j=k,
(Фг, Фк) “I । при
Если некоторая функция / (х) допускает разложение
/(«) - 2
к=1
58
РЯДЫ ФУРЬВ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬВ
[ГЛ. I
то, умножая ото равенство на <рв (х) р (х) и интегрируя за-
тем почленно в пределах от а до Ъ (еазгя это законно), по-
ОО
лучим: (/, фв) = 2 МФ*, Фп) = «п(Фп, Фп), откуда
к==1
<Р )
("=1.2.3.---)-	(1-54)
Определение. Рядом Фурье какой-нибудь
функции / (х) (удовлетворяющей отмеченным в начале
параграфа требованиям) относительно ортогональной си-
стемы (S) называется ряд
ОО	I
3 ®пфп (®)»
коэффициенты которого определяются по формулам
(1.54).
При этом пишут
во
/ 00 ~ 3 ®пфп (#)•
1
Но из этого не следует, что / (х) должна разлагаться в
свой ряд Фурье.
Пример. На сегменте [—л, система функций
— > cosх, smх, cos2х, sin2х,... , cos nx, sin nxt ...	(T)
ортогональна относительно единичного веса (см. вычисление вспо-
могательных интегралов § 2). Обозначая коэффициенты Фурье ка-
кой-нибудь функции / (ж) на [—л, л] относительно системы (Т)
через
•••»
найдем по формулам (1.54):
С 1
—те
0, = -^--------------------
те
! (*) dx-,
- —те
$ 121	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ	59
я
S/ (ж) cos пх dx п
-	if
ап —	у (*) cos пх dx;
cos2 пх dx	~п
—Я
п
S/ (х) sin пх dx	п
1 С
ъп = ------------------= 1 V(г' sin пх dx
sin2 пх dx	~п
-п
> (Я = 1,2,3,
которые в данном случае превращаются в формулы (1.7) § 2.
Тригонометрические ряды Фурье являются частным
случаем рядов Фурье относительно ортогональных систем
функций.
Если функции, составляющие какую-нибудь ортого-
нальную систему (S), умножить на какие-нибудь посто-
янные =1= 0, то получим снова ортогональную систе-
му. Коэффициенты Фурье какой-нибудь функции при
этом разделятся на Хп [как видно из формул (1.54)], члены
же ряда Фурье не изменятся (р-Хп<рп = а„фп). В слу-
чае ортонормированной системы (S) формулы (1.54) при-
нимают вид
ап = (/,Фп)(» = 1.2,3,...).	(1.54')
Ортогонализация системы функций. Пусть flt fs>...
— бесконечная система линейно независимых функ-
ций (удовлетворяющих отмеченным в начале параграфа
требованиям). Взяв произвольные действительные числа
Xi/C (г к >> 1), последовательно построим функции
Ф1 = /1.
Фг = Хм<Р1 + /2>
Фз = %31Ф1 + ^згФа + /з»
Фп = ^п1Ф1 + ^пзфз + ••• + ^nn-i Фп-1 + /п»
60	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
По индукции видно, что каждая функция <рп есть ли- *
нейная комбинация функций/х, /2, ./п с коэффициентом 1
при /л, откуда следует, что функции фх, ф2,..., фп,--- ли-
нейно независимы. В частности, каждая фл не исчезает
тождественно.
Покажем, что можно (единственным образом) подобрать
числа так, что система функций <рх, ф2,..., Фп,--- ста-
нет ортогональной относительно веса р (х) на данном ин-
тервале (процесс построения таких фл называется орто-
гонализацией системы линейно независимых функций /л).
Требование (ф2, фх) = Х21 (фх, фх) + (/2, ф/) = 0 дает
х _	(/2> Ф1)
Л21“~~(фГфТ
Пусть теперь при i п — 1 уже определены и фх,..<
•••,Фп-1 попарно ортогональны. Тогда требования
(Фп, <Pfc) = S Kl (Фь ФО + (/п, Фл) =
(=1
= *п»(Фа, Фа) + (/», Фа) = о (к = 1, 2,..., п - 1)
дают =	= 1» 2,..., п—1), и таким образом
все kik при I п определены и функции <рп <рп попарно
ортогональны. Итак, индукция проведена, и утвержде-
ние доказано.
Ортогональные полиномы. Наложим на весовую функ-
цию р (х) добавочное условие:
ь
4-оо (и = 0,1, 2,...).
а
Тогда функции 1, х, я?, ..., хп,... будут удовлетворять от-
меченным в начале параграфа требованиям. Применяя
процесс ортогонализации относительно веса р (х) на рас-
сматриваемом интервале к системе степенных функций 1,
х, ж4,..., ®п,..., получим последовательность полиномов
Р« (®), Pi С®)» Ра (*)»•••, Рп С®),”’
степеней О, 1, 2,..., п,... с единичными старшими коэффи-

§ 12]	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ	61
*4
циентами, образующих ортогональную (относительно веса
р (х) на данном интервале) систему.
Отметим некоторые свойства этих полиномов.
Если Q (х) — произвольный полином степени т < п,
то (Pn, Q) == 0, ибо, разлагая Q (х) по полиномам Ро (ж),...
т
...,Рт (х), получим Q (х) = 2 скРк (х) (с» — некоторые чис-
к=о
ла), откуда
т
(Рп,<?) = 2мРп,р*) = о.
Покажем, что полиномы Рп (х) удовлетворяют простым
рекуррентным соотношениям. Очевидно, Ро (х) = 1;
Рх (х) = х + р0 (ро — некоторое число). Разлагая при
n > 1 полином Рп+Х (х) — хРп (®) (его степень, очевидно,
<п) по Ро (х),..., Рп (х), получим
п
Рп+1 (#)	%Рп (#)	2l CfcPЛ (#)
fc==O
(ел — некоторые числа), откуда при I = 0, 1,..., п
п
(Р,, Рм - хРп) = 2 (Рь Рк) - Cl (Pl, Pi).
fc=0
Но
(Pb Pn+1 — %Pn) ~ (Pb — %Pn) ~ (pPb Pn)f
что при I < n — 1 равно нулю, следовательно, c0 —	=
= ... = cn_2 = 0; затем, разлагая xPn^ no	Pn,
найдем
(xp^, pn) = (2 d,p,+pn, pn) = (pn, pn) > о
k=0
(dfc — некоторые числа), поэтому cn^ < 0. Следовательно,
полагая
^n-l =	~ Рп*
62
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
получим:
Рп+1 (®)	п (®) s ®п^п-1 (®) 4” РпРп (®)»
ап > 0 (га = 1, 2, 3,...).
Таким образом, всякий интервал и всякая заданная на
нем весовая функция р (х) порождают такую последова-
тельность положительных чисел а1; ос2, а8>... и такую по-
следовательность действительных чисел ₽0>	02,..., что
соответствующие ортогональные полиномы удовлетворяют
соотношениям
Р0(х) ~
Р1 (Х) — Х + Ро»
Рп+1(х)-(х + р„)Р„(х) + апРп_1(ж) = О (1>55)
(п = 1, 2, 3,...).
Отметим интервалы и заданные на них весовые функ-
ции, порождающие классические ортогональные полиномы
а	ь	Р (X)	Название полиномов
^-1 ^1 -1 -1 0 0 — ОО	1 1 1 1 4-00 4“ ОО + °0	1 1 V1 — VI— X» а> —1; р>-1; е~х хае~х а> — 1; е-«*	Полиномы Лежандра Полиномы Чебышева 1-го рода Полиномы Чебышева 2-го рода Полиномы Якоби Полиномы Лагерра Обобщенные полиномы Лагерра Полиномы Эрмита
Различные аналитические выражения для упомянутых
в этой таблице полиномов мы здесь не рассматриваем.
Свойства нулей ортогональных полиномов. При любом
интервале и любом заданном на нем весе нули ортогональ-
ных полиномов обладают нижеследующими свойствами:
§ 12]	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ	63
1)	Все нули полиномов Рп (х) действительные, простые
и лежат в интервале (а, Ь).
Доказательство. Пусть	те из нулей
рп (ж), которые действительны, лежат на (а, Ъ) и имеют
нечетную кратность. Пусть Q (ж) = (ж — £х)... (я — £т)«
Если т < п, то (Рп, Q) = 0, но это невозможно, так как Рп Q
сохраняет постоянный знак на (а, Ь). Следовательно,
должно быть т = п. Отсюда видно, что Рп (ж) имеет на
(а, Ь) п нулей, поэтому все они простые и других нулей
Рп (ж) не имеет.
2)	Полиномы Рп (ж) с соседними индексами не имеют
общих нулей.
В самом деле, из (1.55) видно, что общий нуль двух по-
линомов с соседними индексами был бы нулем всех поли-
номов с меньшими индексами (ибо все ап 0), но это не-
возможно, так как Ро (ж) =1.
3)	В каждом нуле полинома Рп (ж) полиномы Рп+1 (ж) и
Рп-1 (ж) имеют разные знаки.
Это видно из (1.55) (ибо все ап > 0).
4)	Между всякими двумя соседними нулями полинома
Рп (ж) лежит один нуль полинома Рп_х (ж).
Доказательство. Доказываемое предложение
справедливо при п = 2, ибо в нуле полинома Рх (ж) поли-
ном Ра (ж) отрицателен, так как там Ро (ж), будучи тожде-
ственной единицей, положителен; следовательно, нули
квадратного трехчлена Ра (ж) лежат по разные стороны от
нуля линейной функции Рг (ж). Предположим теперь, что
доказываемое предложение справедливо для п — 1 (т. е.
между всякими двумя соседними нулями полинома Рд_х
лежит один нуль полинома Рп-г)* нулях полинома Рп_х
значения Рп_а знакочередуются (в силу простоты нулей
Рп_а и в силу сделанного предположения), следовательно,
на основании 3) значения Рп также знакочередуются. От-
сюда видно, что между всякими соседними нулями поли-
нома Рп-! находится нуль полинома Рп (что дает п — 2
нуля). Затем, правее большего и левее меньшего из нулей
Рп~! найдется по нулю полинома Рп, ибо знакРп в назван-
ных нулях Рп_х противоположен тому знаку, какой имеет
Рп соответственно вблизи Ь и вблизи а. Полученные п
нулей полинома Рп (ж) исчерпывают его нули и обеспечи-
вают искомое взаиморасположение нулей Рп-! и Рп. Итак,
индукция проведена и предложение доказано.
64
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Егл. I
. § 13. Минимальное свойство коэффициентов Фурье
Определение. Пусть f (ж) и <р (ж) — две функции
(удовлетворяющие отмеченным в начале §12 требованиям).
Среднеквадратическим уклонением f(x) от <р(ж) относи-
тельно веса р (х) на данном интервале называется число
V (/ — ф» / — ф)-
Пусть имеем какую-нибудь ортогональную (относи-
тельно веса р (х) на данном интервале) систему функций
Фх (ж), ф2 («). Фп («)>—	(S)
Линейные комбинации из п первых функций этой системы,
т. е. выражения вида
С1Ф1 (ж) 4- с2фг (ж) + ... 4- сп<рп(ж),
где Си сг, ...» сп — любые действительные постоянные,
назовем для сокращения обобщенными полиномами п-го
порядка,
Экстремальная задача. Из всех обобщенных полиномов
n-го порядка найти тот, который имеет наименьшее сред-
неквадратическое уклонение от данной функции / (ж)
(удовлетворяющей отмеченным в начале § 12 требованиям).
Вопрос сводится к отысканию таких clt .... с„, для
п	п
которых (/ — 2 с»Фь / ~ 2 С*Ф») будет наименьшим.
1	1
Не нарушая общности, можем считать систему (S)
ортонормированной (в противном случае путем умножения
на нормирующие множители мы можем сделать ее таковой).
Полагая, что индексы суммирования принимают значения
1, 2, ..., п и ак обозначают коэффициенты Фурье функции
/, будем иметь:
(/ -2м»к, / - 2 с*ф») = (А /) - 2 2 е*(А ф») +
k	к	к
+ 3 С&1 (Фк» ФО = (/’ /) —	а
М	к	к
** (fi f) —	“Ь
-к к
§ 13] МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬВ 65
Из полученной формулы
п	п	п	п
(/ — 2 f ~ 3 Эдк) ^ (/, /) ~ 2 4 + 2 (ск “ а/с)2
11 11
(1,56)
видно, что искомый минимум получается при ск = а% '
(к = 1, 2,	п).
Итак, из всех обобщенных полиномов n-го порядка
наименьшее среднеквадратическое уклонение от данной
функции / (х) имеет п-я частичная сумма ряда Фурье этой
функции.
Из формулы (1.56) находим
п	п
min (/ — 2ЗДь / — 2 сиЧк} =
1	1
п	п	п
= (/ - 2 f - 3 «л) = (/,/)- 2 4- (1.57)
1	1	1
Так как средняя часть формулы (1.57) неотрицательна, то
П	со
24 < (А /)’ откуда следует, что ряд 24 сходится и
1	1
имеет место неравенство Бесселя
24 <(/-/)•
(1.58)
Учитывая неравенство -4~ (йп +	» заклю-
71	it \	71“ j
°° I I
SI %1
—— сходится.
1
Если система (S) ортогональная (но не обязательно ор- ’
тонормированная), то (1.58) следует заменить неравенст-
вом
°° я
XI ак
л 2
fc=l
(1.58>;
<(А/).
3 И. И. Романовский
66
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
где ~ нормирующий множитель для (pfr (х) (ибо, беря
вместо <pfc, мы должны взять ак/Хк вместо ак).
Из (1.58'), в частности, видно, что для всякой непре-
оо
рывпой на [—л. л] функции ряд 2(яп + Й) (где
г
и Ьп определяются формулами (1.7) сходится и, следова-
ос	со
SI ап I V I I
------» 2j— •
1 1
Называя тригонометрическим полиномом n-й степени
функции вида
п
+ 2 (piicos s*n
fc=i
получим как частный случай решенной экстремальной
задачи (когда в качестве системы (S) берется тригономет-
рическая система (Т)) следующий результат.
Из всех тригонометрических полиномов n-й степени
наименьшее среднее квадратическое уклонение на [—л, л]
от заданной на этом сегменте непрерывной функции
/ (х) имеет тригонометрический полином
п
-у- + 2 cos	s*n ^)»
й=1
коэффициенты которого определяются по формулам Фурье
(1.7) из § 2.
§ 14. Замкнутые системы функции
Система (S) функций, удовлетворяющих требованиям,
отмеченным в начале § 12, называется замкнутой, если
любая непрерывная функция / (х) на рассматриваемом
интервале с концами а и Ъ и такая, что
ь
51/ (х)12 Р <С + оо,	(1.59)
а
может быть как угодно хорошо аппроксимирована в сред-
нем линейными комбинациями функций из (S). Это зна-
чит, что для любого е 0 найдутся номер N, такие
§ 14]	ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ	67
ф! (х), <pw (х) из (S) и такие числа с1( cN, что
Ь	N
$[/(*)-з %(«)] p(«)d«<8.
а	й=1
Пусть, в частности, (S) есть ортонормированная систе-
ма функций
Ф1 (ж), ф2 (*)> •••» Фп (*)>•••
Тогда справедлива
' Теорема. Для замкнутости ортонормированной
системы (S) необходимо и достаточно, чтобы для каждой
непрерывной функции f (х), удовлетворяющей требованию
00
(1.59), имели 2ап == (Л /), где ап — коэффициенты Фурье
и
функции / (х) относительно системы (S).
Иначе говоря, требуется, чтобы для всякой непрерыв-
ной функции, удовлетворяющей требованию (1.59), нера-
венство Бесселя (1.58) превращалось в равенство.
Доказательство. Если система (S) замкнута,
то для любой непрерывной /, удовлетворяющей (1.59),
левая часть формулы (1.57) при достаточно большом п
будет как угодно малой, следовательно, правая часть так-
же, поэтому соотношение (1.58) становится равенством.
Обратно, если для некоторой непрерывной /, удовлетворя-
ющей (1.59), соотношение (1.58) оказывается равенством,
то при некотором п правая часть (1.57) будет как угодно
малой, следовательно, средняя часть также и, следова-
тельно, / как угодно хорошо аппроксимируется в среднем
линейными комбинациями функций из (S), ч. т. д.
Следствие. В случае замкнутой ортогональной
системы (S) разным непрерывным функциям, удовлетворя-
ющим (1.59), отвечают разные ряды Фурье.
Доказательство. Систему (S) можно считать
ортонормированной. Если ап — коэффициенты Фурье для
/, Ьп — коэффициенты Фурье для g, то ап — Ьп будут
со
коэффициентами Фурье для / — g, но 2 (ап — М2 “
1
8»
68
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
=§₽ (/ — g, f — g) =<0, поэтому, если ап = Ьп для всех п, то
(? — g, / — g) == О, откуда / = g, ч. т. д.
Заметим, что замкнутая ортонормированная система
функций полна в том смысле, что ее нельзя расширить
с сохранением ортонормированности, ибо если ф орто-
оо
гональна ко всем функциям системы, то (ф, ф) = 2^ “ О
1
и, следовательно, ф ~ 0.
Последовательность непрерывных функций /п (х), удо-
влетворяющих требованию (1.59), называется сходящейся
в среднем относительно веса р (х) к непрерывной функции
/ (х), удовлетворяющей требованию (1.59), если (/ — /п,
оо
/ —/п)->0- Ряд S/n (ж), члены которого непрерывны и
1
удовлетворяют (1.59), называется сходящимся в среднем
К (х) относительно веса р (я), если последовательность
частичных сумм sn (х) сходится в среднем к s (х).
Из (1.57) видно, что ряд 2апФп сходится в среднем
1
к /, если для / соотношение (1.58) есть равенство. Из дока-
занной теоремы следует, что ряды Фурье всех непрерывных
функций, удовлетворяющих (1.59), сходятся в среднем
к этим функциям, если (S) — замкнутая ортогональная
система. Поэтому, если в случае замкнутости (S) ряд Фурье
некоторой непрерывной /, удовлетворяющей (1.59), схо-
дится в среднем к некоторой непрерывной /х, удовлет-
воряющей (1.59), то (сходимость в среднем, как
легко видеть, может быть только к одной непрерывной
функции).
Если весовая функция р (х) на рассматриваемом ин-
тервале с концами а и b такова, что \ р(х) dx + оо
(на-
ct
пример, это будет, если рассматриваемый интервал есть
сегмент), то равномерная сходимость будет частным слу-
чаем сходимости в среднем. Следовательно, если при такой
весовой функции ортогональная система замкнута и ряд
Фурье некоторой непрерывной функции, удовлетворяющей
(1.59), равномерно сходится, то его сумма равна / (х).
§ 141	ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ	69
Замкнутость тригонометрической системы (Т). Рас-
смотрим на сегменте [—л, л] систему функций
1
-к-, cos х, sin х,..cos пх, sin пх,...	(Т)
при весовой функции р (х) = 1 и докажем замкнутость
этой системы.
Если / (х) непрерывна на [—л, л] и / (—л) = / (л), то
/ (х) после надлежащего продолжения становится непре-
рывной функцией с периодом 2л. Для всякого 8	0 най-
дется такая непрерывная функция ср (х) с периодом 2л,
кусочно гладкая на [—л, л], что |/ (х) — <р (я)|<С 8/2, но
ср (х) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье,
поэтому для частичной суммы Т (х) с достаточно большим
номером будем иметь | (р (х) ~ Т (х) | < 8/2 и, следовательно,
lf(x) — Т (х) I <С 8- Таким образом, всякая непрерывная
функция на [—л, л] с одинаковыми значениями на концах
этого сегмента равномерно с любой точностью аппрокси-
мируется линейными комбинациями функций системы (Т).
Для доказательства замкнутости системы (Т) остается
лишь обнаружить, что всякая непрерывная функция
ф (х) на [—л, л] сколь угодно хорошо аппроксимируется
в среднем непрерывной функцией на [—л, л] с одинако-
выми значениями на концах этого сегмента. Пусть М ==
== шах | ф (х) |, и пусть
/ (*) =
ф (х) при —Л х л — б2
ф (—л) при X = л,
линейна на [л —6, л],
где 0 < б < 2л. Очевидно,
-ф —/)= J (г|) -/)Мх < 4М26,
7Г-8
что как угодно мало при достаточно малом б. Это завершает
доказательство.
Системы функций, связанные с задачей Штурма —
Лиувилля. Важными примерами замкнутых ортогональ-
ных систем функций являются системы собственных функ-
ций в так называемой задаче Штурма — Лиувилля.
70
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ, I
Пусть на сегменте [0, ZJ заданы непрерывно дифферен-
цируемая функция р (х) > 0, непрерывная функция q (х),
непрерывная функция р (х)	0, Рассмотрим лине йное
дифференциальное уравнение второго порядка
(ру'У + (Ар — q) у = 0	(1.60)
и краевую задачу для него
1/(0) =0;	=	(1.60')
Те значения %, при коих эта задача имеет ненулевые реше-
ния’, называются собственными значениями, соответству-
ющие ненулевые решения называются собственными
функциями.
Две собственные функции, соответствующие одному
собственному значению %, отличаются лишь постоянным
множителем (пусть у и z — две собственные функции, со-
ответствующие собственному значению X, тогда z = су,
где с == z' (0)/z/'(0)). Собственную функцию у, соответству-
ющую собств енному значению %, нормируем требованием
i
^y2pdx — 1 и обозначим z/x(z/x определена с точностью
о
до знака)..
Система функций ук (К пробегает все собственные зна-
чения) является ортонормированной с весом р на [0, ZL
В самом деле,
(РУъУ + (Ар — р) Ук = 0; (ру^У 4- (рр — q) у{1 = 0,
откуда, умножая эти равенства на у^ и у^ и вычитая, по-
лучим
{ру'у Уу- — (РУ?) У>~ = (и — А) РУьУр,
(Р (УЩь — УьУу)}' = (р — А) рг/хР(л,
I
-	0 = (р — А) yxj^p dx,
о
С
откуда J У\У\>$ dx — 0 при ц =/= 1,
о
Введем для дальнейшего на совокупности непрерыв-
но дифференцируемых на [0, Z] функций следующие
$ 14]
ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
71
функционалы?
G (у, z) = $ (py'z' + qyz) dx,
О
I
G(jf) = G (у, у) = J (рр'2 + qy2) dx-,
О
I	I
H (y, z) = j yzp dx; H (y) = H (y, y) = y2p dx.
0	0
Если / (x) непрерывно дифференцируема на [0? I] и
/(0)=/(0==0, то
G (ук, /) = КН (ук, /),
ибо
I
G (Ук, /) = $ (рук/ + qy>f) dx =
о
I	I
~ py-tj |о — § Km)' — qy\] fdx = K^ yrfp dx = KH (t/x, f).
0	0
Следовательно, G (yK) = X; G (yK, y^) = 0 при К ц.
Если q (х)	0 на [О, Z], то все собственные значения
положительны, ибо тогда
i	i
X = G (i/x) = j (рух + qyl) dx > qy\ dx 0.
0	0
Формулируем без доказательства следующее предло-
жение (которое можно доказать, пользуясь аппаратом ва-
риационного исчисления).
Совокупность всех собственных значений образует воз-
растающую последовательность Х1? Х2, ..., %п, ..., имеющую
пределом + оо. Функционал G (у), рассмотренный на клас-
се дважды непрерывно дифференцируемых на [0, I] функ-
ций, удовлетворяющих требованию у (0) = у (I) == 0 и
i
условиям Н (у) = 1, у-^ур dx = 0 при j п, достигает
о
72
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬВ
[ГЛ. I
минимума при у = z/xn (и — любое фиксированное нату-
ральное число).
Следовательно, для упомянутых у имеем G (у) > Хп.
Опираясь на это, покажем, что система функций у^,
У>„ •••> У\п, ••• замкнута на [О, I].
Пусть / (х) — дважды непрерывно дифференцируема
на [О, I] и удовлетворяет требованиям / (0) = / (I) = 0.
Рассмотрим ряд Фурье этой функции
оо	I
f (*) ~ SапУ*п <ж)’	а? = $ fy\P dx = H (J, Уьп)
1	о
N
и положим fN = f— 2<Wxn, тогда
1
N
G (//v) = G (/ — 2 <Wxn) =
1
1	N a	N а
=*	(/' ~	+ q (f - 2«пУхп) ]<& =
0	1	1
N	N
= G(f) + 2alG- 22anG(f, y4) +
1	1
+ 2 2	J/Xfe)==
NN	N
- G (f) + 2 Mn - 2 2 anKH (f, y^n) =G(f)-2
11	1
Так как Xn~> + оо, то найдется такое Af0, что %п > 0
при п Nq. Пусть N 7V0, и положим
1	N	2
= н (fN) = j (/ — 2 апУ*п) Р dx,
0	1
тогда Н (In/^n) = 1 (если 6N =£=0), а так как еще
1 / 1
= 0
J 1 °N	°N J 1
0	0
» 14]
ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ
73
при i sgl N, то G (/n/8n)	XN+1, откуда
N	N	No
\	<?(/)“ S	— Мп
-----7^-------->W 8^----------------	с	г2-
™N+1----------------------------------------------------------'W+l
Следовательно, 6,у-> О при N-^oo. Этим показано, что
всякая дважды непрерывно дифференцируемая на [О, Z]
функция / (х), имеющая нулевые значения на концах
этого сегмента, как угодно хорошо аппроксимируется
в среднем линейными комбинациями функций ук. Но
тогда этим свойством будет обладать и любая непрерывная
функция на [О, ZL В самом деле, любая непрерывная на
[О, I] функция / (х) как угодно хорошо аппроксимируется
в среднем на [О, I] функцией <р (я), определяемой такз
Ф (*) =
f (х) при 28	х I — 26,
О	при О 6 и при Z —- 6 я Z,
линейна на [6, 26] и на [I — 26, I — 6],
если только положительное число 6 достаточно мало, но
непрерывная на [О, I] функция, равная нулю вблизи кон-
цов этого сегмента, равномерно с любой точностью аппрок-
симируется дважды непрерывно дифференцируемой функ-
цией на [О, Й, равной нулю на концах этого сегмента.
Последнее вытекает из следующего легко проверяемого заме-
чания: если функция ф (х) к раз (к 0) непрерывно диф-
ференцируема на (— оо, + оо) и равна нулю вне сегмента
[а, Ь], то Ф1(х) == \	при достаточно малом 6
х—8
будет к + 1 раз непрерывно дифференцируемой функцией
на (— оо, + оо), равной нулю вне сегмента [а — 8, Ъ +
+ е] и удовлетворяющей неравенству |	(х) — Ф U) |
< 8 на (—оо, —[-оо), где 8 — произвольно заданное поло-
жительное число.
Таким образом, система собственных функций у^п
на [0, I] замкнута.	/
Из замкнутости системы собственных функций у\п
следует, что если ряд Фурье по этим функциям равномер?
но сходится на [0, Z], то он сходится к порождающей его
непрерывной функции.
74
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Можно доказать, что если непрерывная функция / (х)
кусочно гладкая на [О, Z], то ряд Фурье этой функции по
собственным функциям у^п сходится к / (х) при 0 х < I.
§ 15. О решении методом Фурье некоторых задач
для линейных уравнений
с частными производными второго порядка
д2и д2и
Уравнение колебаний струны == а2 , уравнение тепло-
du d2u	д2и д2и
проводности == а3 телеграфное уравнение « а2
+ Ь2и я многие другие являются частными случаями уравнений
вида *)
д2и „ д2и	ди „ ди	_
(1.61)
Будем предполагать, Л, D, Fx непрерывными на сегменте [О, Z];
G, F, F2 непрерывными на интервале I, где I есть либо вся число-
вая прямая, либо полупрямая t £0 или t tQl либо сегмент (бу-
дем предполагать, что 0 принадлежит Г). Пусть Д — совокупность
точек (ж, t), где 0 < х Z, t принадлежит Z.
Будем сперва искать на Д ненулевые решения уравнения (1.61),
допускающие непрерывные частные производные первого и второго
порядков по х и по Z, имеющие специальный вид X (х) Т (Z) (тогда
к будет дважды непрерывно дифференцируемой функцией на [О,
Я? Т будет дважды непрерывно дифференцируемой функцией на Z)
и удовлетворяющие краевым условиям:
и (О, I) — и (Z, t) » 0 для всех гна I	(1.61')
(тогда X (0) = X (Z) = 0).
Если и = X Т есть такое решение, то будем иметь
А (х)Х"Т+ С (t) XT" + & (х)Х'Т + Е (t)XT’ +
+	(я) + ОП=0,
пли
! u (х)Х" + D (х)Х' + Fi (х)Х}Т 4- [С t)T" + Е (t)T' +
+F2(t)T]X = 0,
• откуда (для тех х, где X =/= 0, и тех Z, где Т =/= 0)
I А (х) X"+D (х) Xf + Fi {х} X	С (t) Tf/ + Е (Z) Tf + F2 (Z) Т
I *	v	— А
♦) Подробнее об этих уравнениях см. И. Г. П етровский,
^Лекции об уравнениях с частными производными.
J 15J РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
75
и, следовательно,
А (х)Х" + D (ж)Х' + Л (х)Х = XX,
С (t)T” + Е (t)Tf + F2 (t)T = -XT,
где X — некоторая постоянная (эти соотношения справедливы для
всех х из [О, I] и всех t из 7, учитывая, что X ф О, Т ф 0) или
A (х)Х” + D (х)Х' +	(ж) - Х]Х == 0,	(1.62)
С (t)T" + Е (t)Tf + [F2 (t) + МТ = 0.	(1.63)
Обратно, если при некотором X- дважды непрерывно дифферен-
цируемая на [0, I] функция X удовлетворяет (1.62) и условиям
X (0) = X (Z) = 0 и дважды непрерывно дифференцируемая на I
функция Т удовлетворяет (1.63), то и — XT будет искомого вида
решением уравнения (1.61).
Замечание. Если А (х) ~ 0, то X естественно предпола-
гать лишь непрерывно дифференцируемым; если С (0 = 0, то Т
естественно предполагать лишь непрерывно дифференцируемым;
в этих случаях требования к и ослабляются.
Предположим теперь, что А (х) отрицательна и непрерывно
X
С D~A'
J dx
дифференцируема на [0, Z]. Беря p=se°	, получим pD =
= (рЛ)'. Умножив (1.62) на — р и положив —рл = р, pFt = g,
мы приведем уравнение (1.62) к виду
рХ" + р'Х' + (Хр — q)X = 0
или
(рХУ + (%р — q)X = 0.	(1.62’)
Очевидно р (х) — непрерывно дифференцируемая положительная
функция на [0, Z]. Собственные значения задачи Штурма — Лиувил-
ля для уравнения (1.62) образуют (как отмечалось в § 14) возраста-
ющую последовательность Х1? Х2, ..., Хп, ..., причем Хп -» + оо.
Пусть Х1? Х2, ..., Хп, ... будут соответствующие нормированные
собственные функции.
Общий вид решений с разделенными переменными уравнения
(1.61),- удовлетворяющих краевым условиям (1.6Г), на основании
изложенного есть
Хп (х)Т (0,
где п — любое натуральное число и Г (0 — любая дважды непре-
рывно дифференцируемая на I функция, удовлетворяющая урав-
нению
С (t)Ta + Е (t)T‘ + [F2 (0 + Xn]T = 0Л . (1.63')
При проведении дальнейших рассмотрений выделим два слу-
чая: I) С (0 ф 0 на 7; II) С (0 == 0 на 7, Е (0 ф 0 на 7.
76
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
I. Пусть С (t) =/= 0 на Z, Г* и Т** — частные решения уравне-
ния (1.63'), удовлетворяющие условиям
т; (0) = 1, < (0) = 0; Т~ (0) = 0, Г”' (0) = 1.
Рассмотрим на Д функции вида
ОО
и (х, t) = 2 хп (х) [ Апт*п (t) + Впт*п* (0J,	(1-64)
п=1
где коэффициенты Ап и Вп таковы, что ряд (1.64) и ряды, получен-
ные из (1.64) однократным и двукратным дифференцированием как
До х, так и по £, сходятся равномерно при 0 < х < I и при t на J,
где J — любой сегмент, лежащий на I. Пусть Ж — класс таких
функций и (х, t). Их представимость в виде (1.64) единственна,
ибо полагая Z = 0 в разложениях и и ut, найдем, то
I	J
Ап = $ и (*» °) хп & Р W dx'> Bn = $u'i(x> °) Xn № Р W dx- С1,64')
о	о
Функции из класса очевидно, удовлетворяют уравнению (1.61)
и краевым условиям (1.6Г).
Зададим теперь на [0, Z] непрерывные функции ф и ф, удовлет-
воряющие условиям ф (0) = ф (Z) = ф (0) = ф (Z) = 0, и будем ис-
кать и[х, t) из класса , удовлетворяющие начальным условиям
и (х, 0) = ф (ж); u'f (xt 0) = ф (х) при 0 < х < I. (1.61^
Существование такой и вообще не гарантируется, но единст-
венность (в классе ^Г) гарантируется, ибо если и (х, t) оказалось
искомым решением, то
I	I
Ап = Ф (я)	(х) р (я) dx\ Вп = J ф (ж) Хп (х) р (х) dx, (1.65)
о	о
Для существования искомой и достаточно, чтобы Лп, Вп, оп-
ределяемые формулами (1.65), удовлетворяли требованиям, цри ко-
торых по формуле (1.64) получаются функции класса В самом
деле, тогда должно иметь место (1.64'), сравнение чего с (1.65) пока-
зывает, что выполняются равенства (1.61"), так как система функ-
ций Хп замкнутая. (Напомним, что в случае замкнутой ортогональ-
ной системы из равенства соответствующих коэффициентов Фурье
двух непрерывных функций следует равенство самих функций).
Более наглядная информация о классе и, следовательно,
о тех ф (х) иф (я), при которых поставленная для уравнения (1.61)
задача разрешима, может быть получена при наличии оценок для
Хп, Г*, Г** и их производных. На выводе этих оценок мы не оста-
навливаемся.
§ 15]
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ 77
Примечание 1. Если уравнение (1.61) имеет вид (к ко-
торому, в частности, относится уравнение колебаний струны, рас-
смотренное в § 7)
д2и	д2и	ди
+ А <*)	+ D (*) ЦТ + F “ = °’	(1-66)
где А (х) < О, F (ж) > 0 и Л (х) имеет непрерывную производную
на [О, Z], то все Хп положительны и ряд (1.64) (при замене В-п! V^n
на Вп) принимает вид
оо
S Хп W (лп c°s КМ + Вп si" /М)-
П=1
II. Пусть С (t) = 0 и В (t) =/= 0 на Z. Уравнение (1.63) прини-
мает в этом случае вид
Е (t)T' + [F2 (0 + %П]Г = О,
и пусть Тп (t) — частное решение его, удовлетворяющее условию
Тп (0) = 1. Рассмотрим на А функции вида
оо
u(x,t)= 2 AnXn(x}Tn(t),	(1.67)
где числа А п и Вп таковы, что: 1) ряд (1.67) равномерно сходится при
0 < х < I и при t на J, где J — любой сегмент, лежащий на /; 2)
ряды, полученные из (1.67) однократным и двукратным дифферен-
цированием по х и однократным дифференцированием по £, рав-
номерно сходятся на всяком замкнутом прямоугольнике
(со сторонами, параллельными координатным осям), лежащем
в н у т р и А. Пусть X — класс таких функций и (х9 t). Их пред-
ставимость в виде (1.67) единственна, ибо, полагая t = 0 в разло-
жении и (х, г), найдем, что*
i
Ап = $ “	°) Хп Р W dx-	-67')
о
Функции из класса 5?, очевидно, непрерывны на А, удовлетворяют
уравнению (1.61) внутри А и краевым условиям (1.6Г).
Зададим теперь на [0, Z] непрерывную функцию ф (х), удовлет-
воряющую условию Ф (0) = ф (Z) = 0, и будем искать и (х, f) из
класса <2?, удовлетворяющую начальному условию
и (х, 0) = ф (х) на [0, Z].	(1.6Г")
Существование такой и вообще не гарантируется, но единственность
(в классе Sj) гарантируется, ибо если и оказалось искомым решени-
ем, то
/
Ап = ф (х) Хп (х) р (х) dx.	(1.68)
о
78	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ. I
Для существования искомой и достаточно, чтобы Ап, определя-
емые формулой (1.68), удовлетворяли требованиям, при которых
по формуле (1.67) получаются функции класса <£/. В самом деле,
тогда должны выполняться равенства (1.67'), сравнение чего с
(1.68) показывает, что должно выполняться равенство (1.61"'),
так как система функций Хп замкнута.
Примечание 2. Если уравнение (1.61) имеет вид (к ко-
торому, в частности, относится уравнение теплопроводности, рас-
смотренное в § 8)
ди	д2и	ди _
~дГ + А (х)	+ D (х)	+ F (х) и = О,
где А (х) < О, F (х) > О,-Л (х) имеет непрерывную производную
на [О, Z], то все положительны и ряд (1.67) принимает вид
%Апе'Чхп(х).
ГЛАВА II
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Основные сведения из векторной алгебры
Вектором называется направленный отрезок прямой.
Два вектора считаются равными, если они имеют одина-
ковую длину, параллельны и одинаково направлены.
В печати векторы часто обозначают полужирными
буквами. Например, буква а обозначает вектор в отличие
от скаляра (числа) *).
Длину вектора а будем обозначать |а|.
Угол между векторами а и Ъ обозначим (а, &). Угол
между векторами берется в границах от 0 до л. Угол между
а и & теряет определенность, если хотя бы один из векто-
ров нулевой.
Проекцию вектора а на ненулевой вектор Ь обозначим
аъ. Имеем
аъ = ] a |cos (а?&).
Суммой векторов а и & называется вектор — диагональ
параллелограмма, построенного на векторах а и &, и обо- •
значается а + 6. Сложение векторов подчиняется переста-
новочному закону а + & = & + а и сочетательному за-
кону (а + &) + с = а + (& + с). Из этих законов следует,
что при сложении векторов допустимы изменение порядка
слагаемых и любая группировка слагаемых. Вычитание
векторов есть действие, обратное сложению.
Произведение вектора а на скаляр X, обозначаемое аЛ
или %а, определяется как вектор, параллельный а, одина- *
♦) Иногда вектор записывается символом АВ, если А есть на-
чало вектора, а В — конец его.
80
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1гл. п
ково или противоположно направленный, смотря по тому,
будет ли % > 0 или <Х), имеющий длину | ак | = | а | | X |.
Произведение вектора на скаляр подчиняется сочетатель-
ному закону аХ-р, = а -Хр (а — вектор, 1и р - скаляры)
и двум распределительным законам; (а + Ь) X = аХ +
+ 6Х; а (Х+ р) = аХ + ар (а, Ь — векторы; X, р — ска-
ляры).
Скалярное произведение двух векторов а и б есть ска-
ляр, обозначаемый аЬ и определяемый формулой
аЬ = | а | | Ъ | cos (а^ б).
Очевидно, аб = а& | б |. Скалярное произведение век-
торов подчиняется перестановочному закону аЬ = Ъа и
распределительному закону (а + б) с = ас + бе.
Векторное произведение двух векторов а и б есть век-
тор, обозначаемый [аб], имеющий длину, равную площади
параллелограмма, построенного на а и б, ортогональный
плоскости этого параллелограмма и направленный так,
что видимый из конца вектора [аб] переход от а к б проис-
ходит в положительном направлении (в случае правой
ориентировки). Векторное произведение двух векторов
подчинено антикоммутативному закону [аб] == —[ба] и
распределительному закону [(а + б) с] = [ас] + [бс].
Произведение трех векторов а, б и с, обозначаемое
(абс), есть скаляр, равный ±F, где V — объем паралле-
лепипеда, построенного на векторах а, б и с, причем знак
± берется в зависимости от положительной или отрица-
тельной ориентировки системы рассматриваемых векторов.
При круговой перестановке множителей оно не меняется:
(абс) = (бса); при перестановке двух множителей меняется
знак: (абс) == — (бас). Произведение трех векторов равно
смешанному векторно-скалярному произведению (абс) =
= [аб] с — а [бс].
Рассмотрим прямоугольную систему координат в про-
странстве (правую). Пусть 4, к — единичные векторы
(орты), направленные по осям Ох, Оу, Oz. Пусть а — ка-
кой-нибудь вектор. Проекции его на Ох, Оу, Oz (или, что
то же, на i, j, к) называются его координатами. Координа-
ты а обозначим ах, ау, az. Два вектора равны тогда и толь-
ко тогда, когда их координаты соответственно равны.
Поэтому для доказательства равенства двух векторов до-
§ 2] ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО
81
статочно установить равенство соответствующих коор-
динат.
Всякий вектор а может быть разложен по ортам:
а = iax + jay +
При сложении векторов координаты их складываются
(при вычитании вычитаются), при умножении вектора на
скаляр координаты умножаются на этот скаляр.
Выражение скалярного произведения векторов а и Ъ
через их координаты имеет вид
^х^х ИуЬу +	(2.1)
что непосредственно получается, если аиЬ разложить по
ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять
во внимание, что i2 = J2 — к2 = 1, ij = jk = ki == 0.
Выражение векторного произведения векторов а и Ь
через их координаты имеет вид
[аЪ\ = i
dy dz
by bz
flz
bz bx
X fly
bx by
(2.2)
что непосредственно получается, если а и & разложить по
ортам, выполнить умножение полученных сумм и принять
во внимание, что Hi] = Ijj] = [кк] = 0 (нулевой вектор);
[ij] = Ъ W =	= у; [J/] = - к; [kj] = - г;
Выражение произведения трех векторов а, &, с через
координаты на основании сказанного имеет вид
abe = [a&Jc = [а&]х^х + [я&Ь СУ + lf^b]zcz =
fly dz
by bz
f'X +
fix	fix fly
bz bx Су+ bx by Cz
fix
bx
f'X
fly
by
Cy
dz
bz
CZ
(2.3)
§ 2.	Векторные функции скалярного переменного
Пусть a (t) — вектор, зависящий от скалярного пере-
менного t. Производная векторной функции a (t) опреде-
ляется как вектор
a'(t) =
lim a(t+ Д0-а(0
82
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. п
если этот векторный предел существует (предел перемен-
ного вектора есть такой вектор, что длина разности между
ним и переменным вектором стремится к нулю). Если век-
тор-функция a (t) имеет производную (дифференцируема),
то она подавно непрерывна в рассматриваемой точке, т. е.
a (t + Д0 — а (t) стремится к нулевому вектору при Д/
->0.
Правила дифференцирования векторных функций вы-
водятся как правила дифференцирования скалярных функ-
ций в дифференциальном исчислении, Если а (0, b (0 —
дифференцируемые векторные функции, ф (0 — дифферен-
цируемая скалярная функция, то
(а (0 + Ъ	(t))'	= а' (0 + &'(0;	(2.4)
(а (0 ф	(0)'	= а' (0 ф (0 + а (0ф'	(0;	(2.5)
(а (0 Ъ	(0)'	= а' (0 Ъ (0 + а (0 V	(0;	(2.6)
[а (0 Ъ	(01'	- [а' (0 Ь (0] + [а (0	V (0],	(2.7)
причем в левых частях (2.4), (2.5), (2.7) фигурируют про-
изводные векторных функций; в левой части (2.6) — про-
изводная скалярной функции; в правых частях (2.4),
(2.5), (2.7) знак + обозначает сложение векторов; в пра-
вой части (2.6) знак + обозначает сложение скаляров.
Если а0 — постоянный вектор, ф0 — постоянный ска-
ляр, то получаем ряд формул «вынесения постоянного
множителя за знак производной» в произведениях трех
типов (вектор на скаляр, скалярное произведение векто-
ров, векторное произведение векторов):
(а (/) ф0)' = а' (0 ф0;	(2.5')
(аоф (0)' = «оф' (0;	(2.5")
(а0Ь (£))' = а0&' (0;	(2.6')
[а0& (/)]' = [«об' (01-	(2.7')
Эти формулы получаются из (2.5), (2.6), (2.7), если учесть,
что производная векторной постоянной есть нулевой век-
тор.
Производные высших порядков от вектор-функций
определяются как результат последовательного диффе-
ренцирования.
Рассмотрим систему прямоугольных координат в про-
странстве. Каждой^ точке М (х, у, z) отнесем вектор
|3]	СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ 83,
г = ix + jy + kz с такими же координатами. Такое
соответствие между точками и векторами будет взаимно
однозначным. Таким образом, каждой точке соответствует
вектор, каждому вектору соответствует точка.
Векторное параметрическое уравнение г == т (t)
[г (/) — векторная функция одного скалярного перемен-
ного] после перевода на координатный язык дает три ко-
ординатных параметрических уравнения
X = X (t), у = у (Z), z = z (/)
и изображает некоторую кривую в пространстве. Произ-
водная г' (/) будет касательным вектором к этой кривой.
Векторное параметрическое уравнение г — г (и, v)
lr (и, v) — векторная функция двух скалярных перемен-
ных] после перевода на координатный язык дает три ко-
ординатных параметрических уравнения
х = х (и, р), у = у (u, v), z = z (и, р)
и изображает некоторую поверхность в пространстве.
§ 3.	Сопровождающий трехгранник
пространственной кривой
Рассмотрим пространственную кривую, заданную век-
торным параметрическим уравнением
Г = Т (5),
где за параметр взята длина дуги $, отсчитываемая от не-
которой точки кривой (фигурирующая в этом уравнении
вектор-функция предполагается трижды непрерывно диф-
ференцируемой).
Касательный вектор т = г' (s) при таком выборе пара-
метра будет единичным для всех точек кривой (ибо отно-
шение хорды к дуге при стягивании последней в точку
стремится к единице). Дифференцируя равенство г'2 = 1,
получим г'г" = 0, следовательно, вектор г" ортогонален т.
Единичный вектор v = —yr = . ,. (если г" — ненулевой
1^*1 I Т I
вектор) определяет направление главной нормали кривой
(в рассматриваемой точке); единичный вектор £ = [tv]
определяет направление бинормали кривой (в рассматри-
ваемой точке). Три попарно ортогональных единичных
84
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
вектора т, V, 0 образуют сопровождающий трехгранник
кривой (в рассматриваемой точке). Плоскости, проходя-
щие через рассматриваемую точку кривой и перпендику-
лярные к т, v, 0, называются соответственно нормальной,
спрямляющей и соприкасающейся плоскостями кривой (в рас-
сматриваемой точке).
Заметим, что еслиех, е2, е3 — три попарно ортогональ-
ных единичных вектора и вектор а разложен по ним:
а = с1е1 + с2е2 + с3е3(сг — скаляры), то, умножая это
равенство скалярно на получим ае* = Ci (i = 1, 2, 3).
Разложим теперь производные векторов, образующих
сопровождающий трехгранник, по векторам, его образу-
ющим:
т' = спт + c12v + с130;
v' = с21* +	+ ^23*8;
₽' = с31т + c32v + с330.
Дифференцирование равенств т2 = 1; v2 = 1; 02 = 1 по-
казывает, что = О (г = 1, 2, 3); дифференцирование
равенств tv — 0; v0 = 0; 0т = 0 показывает, что с^ +
+	= 0 (*>7 = 1,2, 3); наконец, из определения v
видно, что с13 = 0; с12 > 0; следовательно, если обозначить
с12 = к, с23 = х, то написанные выше разложения примут
вид
т' =	fcv,
v' = — кх + х₽,
0' =	—- XV.
(2.8)
Формулы (2.8) называются формулами Серре — Френе*
величины к и и называются соответственно кривизной и
кручением пространственной кривой (в рассматриваемой
точке). Обратные величины 1 /к и 1 /х называются соответст-
венно радиусом кривизны и радиусом кручения кривой
(в рассматриваемой точке).
С помощью (2.8) находим:
г' = т;
г" = т' = kv\
rm = k'v + kv' = k'v 4- k (— kx + x[3) =
= — №x + k'v + &xp;
§ 4) СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ 85
следовательно, для кривизны и кручения пространствен-
ной кривой получаем формулы
t =	(2.9)
Пусть теперь пространственная кривая задана вектор-
ным параметрическим уравнением
Г = Г (О
при любом выборе параметра t (фигурирующая в этом
уравнении вектор-функция предполагается трижды не-
прерывно дифференцируемой). Пользуясь для обозначения
производных по t точками и сохраняя для обозначения диф-
ференцирования по s штрихи, будем иметь (учитывая пра-
вила замены переменных при дифференцировании, фор-
мулы Серре — Френе и свойства определителей) j
г = r's = st; г2 = 82;
г = r"s2 + r's = ks2v 4- 8t;
[ rr ] = ks3fi; [rr]2 == &28e;
Г = r'"s3 + 31*"*88 + r's;
(ГГГ) = (rfrorm) 86 = fc2X86;
отсюда вытекают формулы для кривизны и кручения про-
странственной кривой при любом выборе параметра (в точ-
ках, где г—ненулевой вектор):
^2   [УР]2  	— (у у)2	_ (у Г Г)   (Г Г У)
(/»3)3	(Г3)3	’	[гг]2 Г2Г2 — (Г Г)2
(2.9')
\
§ 4.	Скалярное поле. Градиент скалярного поля
Если каждой точке М некоторой области пространства
отнесен скаляр ф (М), то образуется скалярное поле.
Если задать систему прямоугольных координат (например,
правую) , то каждая точка М будет иметь некоторые коор-
динаты х, у, z и функция точки <р (М) станет функцией
трех переменных ф (я, у, z).
86
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл, II
Определение. Пусть п — какое-нибудь «направле-
ние» (п обозначает единичный вектор). Производной по нап-
равлению п в точке Мот скалярной функции <р называется
предел (если он существует) отношения приращения <р
при смещении точки М по направлению п к величине сме-
щения точки М, когда последнее стремится к нулю. Про-
изводная по направлению п обозначается Зф/5п. Таким
образом, по определению
дп	лол ’
где Mi лежит на луче, выходящем из М по направлению п.
После введения координат ф (М) становится функцией
трех переменных ф (ж, г/, z). Предположим, что эта функция
дифференцируема в рассматриваемой точке, тогда
Ф (х + Дж, у + Ду, z + Дя) — ф (ж, у, z) =
= -g- Дх + -g- Ду + -g- Д2 + 6 /Дх^ + Д^ + ДЛ (2 Л О')
С/***	Uy	U4
где 6 -> О при стремлении Дж, Дг/, Дя к нулю. Если смеще-
ние точки происходит на расстояние р по направлению п,
образующему с координатными осями углы а, (3, у, то Дж =
= р cos а, &у = р cos р, Дг = р cos у, и правая часть
(2.10') принимает вид
(-Scos а+cos р+S-cos т+6) р-
Деление на р и переход к пределу при р -> 0 приводит
к формуле
~~ = -g- cos а + cos р + -g- cos у. (2Л0")
дп дх 1 ду г 1 dz •	' '
Определение. Градиентом скалярной функции <р
в точке М называется вектор
grad<p = £-g- + ^ + *ir- (2Л1>
Возьмем какое-нибудь направление п (п — единичный
вектор); пусть а, (3, у — его углы с координатными осями;
тогда п = i cos а + j cos Р + cos у. На основании фор-
$ 4] СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ, ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ 87
мулы (2.1), выражающей скалярное произведение векторов
через координаты, имеем:
, Эф । Эф п . Эф
grad фп = cos а 4- cos В + cos у.
® т дх	ду г 1 dz 1
Следовательно, учитывая (2.10"), получим?
= grad<pn = (grad<p)n,	(2.12)
т. е. производная по какому-нибудь направлению п равна
проекции градиента на это направление. Отсюда получаем
следующую инвариантную характеристику градиента?
направление градиента характеризуется тем, что произ-
водная по этому направлению будет наибольшей (среди
производных от ф в данной точке по всевозможным направ-
лениям); длина градиента есть наибольшая из производ-
ных по направлениям в данной точке. Имеем
<2ЛЗ>
Поверхности уровня скалярного поля. Геометрическое
место точек, в которых ф (М) имеет постоянное значение,
называется поверхностью уровня. После задания системы
координат уравнение поверхности уровня принимает вид*
Ф (х, у, z) = С.
Уравнения нормали к этой поверхности в точке xt yf z
будут;
А7—ж ____ У — У _ Z — z
Эф ~ Эф	Эф *
дх	ду	dz
Отсюда видно, что направление нормали совпадает с на-
правлением градиента в рассматриваемой точке.
Формальные свойства градиента. Пусть ф и ф — два
скалярных поля, имеющих градиенты; / — дифференциру-
емая скалярная функция одной или нескольких скаляр-
ных переменных (с надлежащей областью определения).
Тогда
grad (ф + ф) = grad ф + grad ф,	(2.14)
grad (фф) = ф grad ф + ф grad ф (2.15)
88
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. п
grad / (<р) = /' (<p) grad ф,	(2.16)
grad / (ф, ф) = grad ф + grad ф, (2.17)
причем в правых частях (2.14), (2.15), (2.17) знак + обо-
значает сложение векторов и встречающиеся в правых
частях (2.15), (2.16), (2.17) произведения суть произведе-
ния вектора на скаляр. В самом деле,
grad(ф 4- ф) = i	+ • • .=
= (* ‘S' + ••*) + (Z + •••) = grad Ф + grad
grad (фф) = i^p-+ ... = *6Й-Ф+Ф1г) + --,=
= Ф (»£•+•>•) + Ф (* § + •••) = Ф grad<P + Ф grad’l’;
grad/to) ==	+ ... = if (ф)	+ .... =
+  ) “ f (ф)gradф;
gred,(ф, ф) _ t + ... _g. +	i)+...=
“•^-S'ad? + А-вгааф.
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать второе
и третье слагаемые, аналогичные первому, получающиеся
из него в результате замены i на j и к, а х на у и z.
§ 5. Криволинейные интегралы
Дугу кривой называют гладкой, если функции, фигу-
рирующие в ее параметрических уравнениях, непрерывно
дифференцируемы. Дугу называют кусочно-гладкой, если
ее можно разбить на конечное число гладких дуг.
Пусть Р (х, у, z) — непрерывная функция на кусочно-
гладкой дуге АВ (рис. 3). Разобьем дугу АВ на части
с помощью точек деления Mi (xi, уг, Zi). На каждой части
MiMi+1 возьмем какую-нибудь точку Ni (£$,	^); зна-
чение рассматриваемой функции в этой точке умножим на
Ml
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
89
Дх» = «i+i — Xi и составим сумму таких произведений
"Hi* Si) ^Xi'
Если наибольшая из длин частей
к нулю, то эта сумма стремится
к определенному пределу, кото-
рый называется криволиней-
ным интегралом от Р (х, у, z)
вдоль дуги АВ по переменно-
му х и обозначается знаком
\ Р (х, у, z) dx.
АВ
Совершенно аналогично оп-
ределяются криволинейные ин-
тегралы по переменным у
дуги А В стремится
И Z.
J р (х, У, z)dx = limS Р (Si, ’ll, Si) А^;
АВ	г
J Q (х, у, z) dy = ИтЗ Q (Si, Ч«, Si) Агд;
АВ	i
Таким образом,
(2.18)
(2.19)
i Л (х, у, z) dz = Ит 3 (Si, Пь Si) A«i,
В	г
(2.20)
где Р, Q, R — непрерывные функции на дуге АВ.
Далее вводим понятие комбинированного
' криволинейного интеграла
{ Р dx + Q dy Rdz = ? Р dx +
4	+ J Qdy+ J Rdz. (2.21)
Рис. 4.	АВ	АВ
Из определения криволинейного интеграла непосред-
ственно следует, что при перемене направления дуги
интеграл лишь меняет свой знак
(2.22)
Далее, если дугу разбить на частиг то интеграл вдоль всей
90
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. п
дуги равен сумме интегралов вдоль ее частей, например
(рис. 4),
$ = J + S •	(2.23)
АВС АВ ВС
Отсюда следует, что интеграл вдоль замкнутой кривой не
от выбора начальной точки, а
лишь от направления обхода
В самом деле (рис. 5),
зависит
зависит
кривой.
АтВпА АтВ ВпА
ВпАтВ ВпА АтВ
откуда (так как правые части этих равенств одина-
ковы)
АтВпА ВпАтВ
Из определения криволинейного интеграла сразу сле-
дует, что постоянные множители выносятся за знак инте-
грала, интеграл суммы равен сумме интегралов. Из (2.18)
видно, что \ Pdx = 0, если дуга АВ расположена в пло-
АВ
скости х = const. Аналогично из (2.19) и (2.20) следует, что
J Qdy = 0, когда А В расположена в плоскости у = const,
АВ
и ( В dz = 0, когда АВ расположена в плоскости z ==
АВ
= const.
Преобразование криволинейного интеграла в простой
интеграл. Пусть даны параметрические уравнения дуги
АВ,
X = X (0, 1
у - у (0, > h с t с Т
Z = Z (<), J
(мы предполагаем, что все три функции непрерывно диф-
ференцируемы).
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
91
$ 5J
По теореме Лагранжа (рис. 6)
Ах (^i) = X (^i+i) X — X (Tj) (£{44 """	= Сч)А^<
где лежит между ti и ^+1.
J/' _____
& 4	X
Рис. 6.
Пусть М (х{, уь Zi) — точка кривой, соответствующая
значению параметра Nt т|$,	— точка кривой,
соответствующая значению параметра тогда
2 р (U ’ll, Si) A«i = 2 P [® (*i). у (n), Z (Ti)] x' (Ti) A#i,
i	г
откуда в пределе при стремлении к нулю наибольшей из
разностей Д^
т
{ Р (х, у, z)dx = § р [я (О, У (О» z (ОЬ х' (О dt —
АВ	t0
Т
== $ Р [я (t), у (О, Z (01 dx (t).
^0	_
Заметим, что эти выкладки не только дают выражение криволи-
нейного интеграла через простой, но и доказывают существование
криволинейного интеграла [в случае непрерывно дифференцируемых
х (t), у (i), z (01, если считать существование простого интеграла
от непрерывной функции известным.
Аналогичные формулы имеют место для J Q dy,	R dz.
АВ	АВ
Мы видим, что для преобразования криволинейного инте-
грала в простой интеграл следует взять параметрические
уравнения пути интегрирования, затем всюду под знаком
криволинейного интеграла заменить х, у, z их выражениями
через параметр и после этого рассматривать интеграл как
простой по параметру, взятый в пределах изменения пара-
метра.
Если, например, имеем дугу
z = z (х),|	2’
92
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ, II
то (беря х за параметр) получим:
Р{х, у, z) dx — Р [х, у(х), z (х)] dx.
АВ	xt
Условие независимости криволинейного интеграла от
формы пути. Будем говорить, что криволинейный инте-
грал
Р dx + Q dy + R dz	(2.24)
не зависит от формы пути в некоторой области (в которой
Р, Q, R предполагаются непрерывными), если этот инте-
грал, вдоль всяких двух кусочно-гладких дуг (лежащих
в рассматриваемой области) с общим началом и общим кон-
цом, имеет одинаковую величину. В этом случае при обо-
значении интеграла достаточно лишь указывать начальную
и конечную точку пути (не называя самого пути) и упот-
М2	Х2, Z2
реблять запись или (где выписаны координаты
Ml	Xi, Z1
точек М± и ТИ2).
Если подынтегральное выражение в (2.24) есть полный
дифференциал некоторой функции и (х, г/, z), то для ка-
кой-нибудь гладкой дуги М±М2 с параметрическими
уравнениями
х = х (О,
У = У (О.
Z = Z (0,
Zi < t < t*
получим (учитывая свойство инвариантности дифферен-
циального обозначения):
\ du (х, у, z) = \ du [яЦО, У (О» 2 (0] ~
mJm,	f,
tz
= и [«(«), y(t), z (0] | = u(r2, y2, z2) — u(xx, yu Zi).-
tl
To же будет для кусочно-гладкой дуги МХМ2, и следо-
вательно, криволинейный интеграл не зависит от формы
пути.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
93
$ б]
Обратно, предположим, что криволинейный интеграл
(2.24) не зависит от формы пути и положим
X, yf Z
u(x,y,z) — Р dx 4- Q dy 4- R dz.
Xq, УО) Z0
Тогда
x-J-Дх, V» Z
и (x 4- Дх, у, z) — и (x, у, z) = J	P dx 4- Q dy 4- R dz.
x, y, z
Беря в последнем интеграле за путь интегрирования пря-
молинейный отрезок и преобразуя криволинейный инте-
грал в простой, получим:
и (х 4- Дж, у, z) — и (х, у, z) = Р (t, у, z) dt =
X
= Р (х 4- 0Дж, у, z) Дх (0 <^0 1).
Так как
и(х + Ьх,у,£-и(*,у,г) = р {х + 0Д уг}_^р {Х) у> z)
ал	ди ди п
при Ля0, то, следовательно, существует и — ===РШ
.	„	ди ди	ди
Аналогично найдем, что существуют , причем =я
— Q, ~£~ — R- Отсюда видно, что
0Z
du (х, у, z) = Pdx + Qdy + Rdz,
т. е, подынтегральное выражение в (2.24) есть полный диф-
ференциал.
Итак, для независимости криволинейного интеграла
от формы пути (в некоторой области) необходимо и доста-
точно, чтобы подынтегральное выражение было полным
дифференциалом некоторой функции (в упомянутой
области).
Заметим, что независимость криволинейного интеграла (2.24)
от формы пути в некоторой области равносильна равенству нулю
этого интеграла вдоль всякого замкнутого пути, лежащего в рас-
сматриваемой области. В самом деле, пусть имеем независимость от
94
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. п
формы пути и АтВпА — какой-нибудь замкнутый путь; тогда
(рис. 7)
$ =	"l* $ = 5 — ^=0-
АтВпА АтВ ВпА АтВ АпВ
Обратно, пусть имеем равенство нулю интегралов вдоль
замкнутых путей, и пусть АтВ и АпВ — два пути с общим
началом и общим концом; тогда (рис. 8)
S ~ 5 = 5 + 5 = S =0: S = S *
АтВ АпВ АтВ ВпА АтВпА АтВ АпВ
Условия, при которых выражение Pdx + Qdy + Rd#
есть полный дифференциал. Если это выражение (пред-
полагается, что Р, Q, R имеют непрерывные частные про-
изводные первого порядка) есть полный дифференциал
некоторой функции и (х, у, z) (в рассматриваемой области),
то
ди -р	ди	ди
Ix^^9 ~ду	^7 =
следовательно,
	д2и	дР	д2и	&Q .	д2и	dR ,
	дхду	~ ду 5	ду dz	dz 9	dz дх	дх ’
	д*и	dQ .	д2и	_ dR .	д2и	_ дР
	ду дх	дх ’	dz ду	ду 9	дх dz	dz 9
откуда, учитывая независимость частных производных от
последовательности дифференциров ания, получаем J
дР dQ ’
ду	дх	9
dQ = dR	.
dz < ду	9
dR	дР
дх	dz	’ ,
(2.25)
§ 5]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
95
Обратно, предположим, что равенства (2.25) выполнены
(в рассматриваемой области). Пусть (х0, у0» zo) — фик-
сированная точка (рис. 9),
М (х, у, z) — переменная
точка,	трехзвеп-
ная ломаная, стороны ко-
торой последовательно па-
раллельны осям Ох, Оу,
Рис. 9.
интеграла в простой, на-
Oz.
Положим
и (я, у, z) = Р dx +
+ Q dy + Л dz.
Применяя правило преоб-
разования криволинейного
ходим:
и (х, у, Z) =
х	у	Z
= $ Р(*, Уо, 4)dt + j Q(x, t, zQ)dt +^R(x, у, t)dt,
Xq	Vo	zq
откуда с помощью правила дифференцирования интеграла
с переменным верхним пределом и правила дифференци-
рования под знаком интеграла с учетом (2.25) получаем!
ux(xt у, z) =
У	Z
= р (я> Уо, zo) + $ Qx (х, t, z0) dt + J Rx (x, y, t) dt ==
Vo	z0
'"У	Z
= p (x, y0, z0) 4- J Py (ar, t, z0) dt + Pz («, y, t) dt =
Vo	Zo
— P (X, y0, Zo) + P (X, t, Zo) |(=y0 -|- P (x, y, t) |f=Zo —
= P (X, y0, Zo) 4- [P (X; y, Z0) — P (x, yt, Z0)] 4*
4-	(x, y, z) — P (x, y, z0)] = P (x, y, z)|
96	ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. II
Z
uv (я, У, z) — Q (х, у, z0) + j Ry (х, у, t) dt =
*0
z
== Q («, у, z0) + Qz (x, y, t)dt = Q (x, y, z0) + Q (x, y, t) ||z*0=
Z(j
= Q(x, y, z0) + [Q(x, y, z) — Q(x, y, z0)] = Q(x, y, z);
uz (x, y, z) = R (x, y, z)
и, следовательно,
du (x, y, z) = Pdx + Qdy + Rdz.
Итак, для того чтобы выражение Pdx + Qdy + Rdz
было полным дифференциалом (врассматриваемой области),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
ар aQ , дО^^ОР_. dR __ дР
ду дх ’ dz ду ’ дх dz
(в рассматриваемой области).
В доказательстве теоремы о том, что если выполнены условия
(2.25), то выражение Pdx + Qdy + Rdz есть полный дифференциал
некоторой функции, молчаливо предполагалось, что в рассматри-
ваемой области найдется такая точка Мо, что для любой точки М
рассматриваемой области трехзвенная ломаная M^KLM лежит в
этой же области. С помощью дополнительных рассуждений можно
показать, что теорема останется верной для всякой области, в кото-
рой любые два пути с общим началом и общим концом могут быть не-
прерывно деформированы один в другой, не выходя из области.
§ 6. Векторное поле
Если каждой точке М некоторой области пространства
отнесен вектор а (М), то образуется векторное поле.
Если задать систему координат (например, правую),
то каждая точка М будет иметь некоторые координаты х,
у, z и вектор-функция точки М становится вектор-функцией
трех переменных а (х, у, z).
Криволинейный интеграл от вектор-функции. Пусть
а (М) — непрерывная вектор-функция на кусочно-глад-
кой дуге А В (рис. 10). Разобьем дугу Л В на части с по-
мощью точек деления Mi, на каждой части возьмем какую-
нибудь точку Ni, значение рассматриваемой вектор-функ-
ции в этой точке скалярно умножим на вектор
§ 6]
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
97
и составим сумму этих скалярных произведений
' 2a(WMU1.
г
Если наибольшая из длин частей дуги АВ стремится
к нулю, то эта сумма стремится к оп-
ределенному пределу, который назы-	х/?
вается криволинейным интегралом
от а (М) вдоль дуги АВ и обозна-
чается знаком \ а(М) dr (здесь dr	/
ав
есть «ориентированный элемент ду- У
ги»).	У1
Криволинейный интеграл от век- /
тор-функции легко выражается че- /м,
рез обыкновенный криволинейный <
интеграл.
Зададим систему координат. Рис- 10-
Пусть Ti — радиус-вектор и
Zi — координаты точки	r]i, £< — координаты
точки Л\; тогда
2 i) М= 2 (Bi, 4i» ?г)	=
г	i
= -2	£г)	4“ ау (5г>	?г)	4“ &z (Bi» *Пг> Si)
г
откуда в пределе получаем:
\ a(M)dr ==
АВ
=	ах (х, у, z) dx + ау (х^ у, z) dy az (х, у, z) dz. (2.26)
АВ
Это рассуждение не только дает выражение криволинейного
интеграла от вектор-функции через обыкновенный криволиней-
ный интеграл, но дает доказательство существования его, если
существование обыкновенного криволинейного интеграла считается
известным.
Если L — какой-нибудь путь в заданном векторном
поле^ то, рассматривая векторы а (М) как силы (тогда
векторное поле становится силовым полем), найдем, ч^о
скалярное произведение а (М^ будет (с точностью
до бесконечно малых высшего порядка) работой силового
4 П. И. Романовский
98
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
поля при перемещении точки от положения Mi в положе-
ние 2Иг+1. Складывая эти элементарные работы и переходя
к пределу, найдем, что а (М) dr будет работой силового
поля при перемещении точки по пути L, По этой причине
криволинейный интеграл а (М) dr называется работой
векторного поля вдоль пути L *). Работа векторного поля
вдоль замкнутого пути называется еще циркуляцией век-
торного поля вдоль этого замкнутого пути.
Определение. Векторное поле называется потенци-
альным^ если работа этого поля не зависит от формы пути
или, что равносильно, если циркуляция векторного поля
вдоль каждого замкнутого пути равна нулю.
Из формулы (2.26) следует, что для потенциальности
векторного поля необходимо и достаточно, чтобы криво-
линейный интеграл
Уaxdx + aydy 4- az dz
не зависел от формы пути. Из § 5 следует, что для этого
необходимо и достаточно, чтобы выражение
axdx + aydy + azdz
было полным дифференциалом некоторой функции и (х,
у, z) (силовая функция), иначе говоря, чтобы выполнялись
равенства
даг _ дау _ п.	_ п. дау _	= 0. (2.27)
ду dz 9 dz dx 9 dx dy
В этом случае работа поля вдоль пути MiM2 равна
J du (х, у, я) = и (М2) — и (Мх) = и (Мг) — и (М2),
мм
где v = —и называется потенциалом векторного поля.
Таким образом, работа потенциального векторного поля
равна приращению силовой функции или уменьшению
потенциала.
*) Из определения видно, что абсолютная величина работы не
превосходит произведения длины пути на максимальное значение
| а | в точках пути.
§ 6]	ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ	99
Следствие. Для потенциальности векторного поля
необходимо и достаточно, чтобы оно было полем градиентов
некоторого скалярного поля.
В самом деле, если а = grad ср, то
а - а =—• а ——
ах~~ дх ' v ду ’ z dz
и, следовательно,
axdx + audy + azdz = §<& + dy + dz = dtp (x, y, z)
есть полный дифференциал, причем q> играет роль силовой
функции.
Обратно, если
axdx + aydy + azdz = dtp (x, у, z),
TO
__ dtp	_
Ях ~ dx ’ av '~ Tty' az — ~fa
и, следовательно,
+^5 =gradcp'
что и требовалось доказать.
Пример. Пусть имеем какое-нибудь центрированное вектор-
ное поле (с центром О)\ это значит, что каждый вектор а (М) ле-
жит на луче ОМ, причем длина и направление вектора а(М) зави-
сят только от расстояния р = ОМ. Тогда
а(ЛГ) = -^-г,
где f (р) — скалярная функция положительного аргумента (| а (М) [ =
= 1/(Р)1).
Имеем
axdx + aydy + azdz =
f(p) . . /(p)	. . 7(P) .
= —— x dx+ —— у dy+	zdz = / (p) dp = dF (p),
Г	г	Г
где F (p) = p(p)dp, учитывая, что
p2 =	z2; p dp = x dx -|- у dy -J- z dz.
Таким образом, центрированные векторные поля потенциальны.
4*
100
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. п
Векторными линиями векторного поля а (№} называются та-
кие кривые, которые в каждой своей точке М имеют направление
вектора а (М). Эти линии определяются из системы дифференциаль-
ных уравнений
dx	dy	dz
а а а
х	у z
Если С — какой-нибудь замкнутый контур в пространстве, то
векторные линии, проходящие через точки этого контура, образуют
поверхность, называемую векторной трубкой.
ь
§ 7. Поверхностные интегралы
Рассмотрим двусторонний кусок поверхности S, ко-
торый можно разбить на конечное число частей, каждая из
которых либо изобразима уравнением вида z = / (х, у),
либо является частью ци-
с линдрической поверхности с
образующими, параллель-
of ными оси Oz.
Выберем на S определен-
ную сторону.
а
Рис. 11
кусочке Si обра-
зам етим, что не всякий кусок поверхности является двусто-
ронним. Легко дать пример односторонней поверхности. Взяв пря-
моугольник abed (рис. И) и склеив стороны ab и cd так, чтобы d
совпало с Ь, с совпало с а, получим поверхность с одной стороной»
Пусть R (я, у, и) — непрерывная функция на куске
поверхности S. Разобьем его (рис. 12) на части каждая
из которых либо изобразима урав-
нением вида z = f (х, у), либо
принадлежит цилиндрической по-
верхности с образующими, парал-
лельными оси Oz. Возьмем на
каждой части Si точку (£ъ тр, &).
Значение рассматриваемой функ-
ции в этой точке умножим на
взятую с определенным знаком
площадь проекции кусочка Si на
плоскость Оху, причем берем знак+,
если выбранная сторона поверхности на
щена в сторону возрастания z, и знак —, если выбранная
сторона поверхности на кусочке 5$ обращена в сторону
убывания z. Если Si принадлежит цилиндрической по-
§ 7]
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
101
верхности с образующими, параллельными оси Oz, то
вопрос о знаке отпадает, ибо площадь проекции равна
нулю.
Эту площадь проекции Si на Оху с выбранным знаком
обозначим (Si)xy. Теперь составим сумму упомянутых про-
изведений
S R (5b Ль Si) (Si)xy*
г
Если наибольший из диаметров кусочков стремится
к нулю, то эта сумма стремится к определенному пределу,
который называется поверхностным интегралом от
R(x, у, z) по выбранной стороне поверхности S по перемен-
ным х, у и обозначается знаком $R(x, у, z)dxdy.
s
Аналогично определяются поверхностные интегралы по
другим парам переменных (при аналогичных ограниче-
ниях, налагаемых на S). Таким образом,
$Р(х, у, z)dydz = \\m'2lP(&, ifc, (5г)„2, (2.28)
S	г
S (*^» Z)dz == (Si, Ль Si) (^i)#», (2.29)
S	i
$ R (x, y, z) dx dy = lim3 (5г, Ль Si) №)xv. (2.30)
8	i
Далее вводим понятие комбинированного поверхност-
ного интеграла
$ Р dy dz + Q dz dx + Rdxdy =
8
= $Pdydz-±- ^Qdzdx + Rdxdy. (2.31)
8	8	8
Из определения поверхностного интеграла следует, что
при перемене стороны поверхности интеграл лишь меняет
свой знак; если кусок поверхности разбит на части, то ин-
теграл по всему куску поверхности равен сумме интегралов
по его частям; постоянные множители выносятся за знак
интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов.
102
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
(ГЛ. II
Из (2.30) видно, что \^Rdxdy = O, если S есть кусок
S
цилиндрической поверхности с образующими, параллель-
ными оси Oz (в этом случае проекции Si на плоскость Оху
вырождаются в линии). Аналогично из (2.28) и (2.29)
видног что ^Pdydz—O, если S есть кусок цилиндри-
S
ческой поверхности с образующими, параллельными оси
Ox; Q dz dx = 0, если S есть кусок цилиндрической
поверхности с образующими, параллельными оси Оу.
Преобразование поверхностного интеграла в обыкно-
венный двойной интеграл (частные случаи). Пусть имеем
поверхность z = z (х, у). Пусть S — кусок рассматрива-
емой поверхности, А — его проекция на плоскость Оху
(рис. 13). Если на S выбрана сторона, обращенная в сто-
рону возрастания z, то (рис. 13)
2^ (ьй Ль Si) (Si)xv lSi> Иг» z (Si> Яг)] сг>
i	г
откуда после перехода к пределу получаем;
R (ж, у, z) dx dy = \\R [х, у, z (ж, у)] dx dy.
§ 7]
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
103
Аналогичные формулы получаются для поверхностных
интегралов по другим парам переменных. Итак,
ЭД Р (х, I/, z) dy dz = ЭД Р {х {у, z), у, z] dy dz (2.32)
8	А
[где S — кусок поверхности х = х (у, z) и А — его про-
екция на Oyz];
ЭД Q (х, у, z) dz dx = ЭД <2 [#, У (z, XY Z1 dz dx (2.33)
[где S — кусок поверхности у = у (z, х) и А — его проек-
ция на Ozx];
ЭД R (х, у, z) dx dy = ЭД Я \х, У, z (я, У)] dx dy (2.34)
А
[где S — кусок поверхности z = z (х, у) и А — его проек-
ция на Оху].
Заметим, что вывод формул, выражающих поверхностный ин-
теграл через обыкновенный двойной интеграл, дает одновременно
доказательство существования поверхностного интеграла, если
существование обыкновенного двойного интеграла считать из-
вестным.
Преобразование поверхностного интеграла в обыкно-
венный двойной интеграл (общий прием). Пусть S — кусок
поверхности, заданный параметрическими уравнениями
х = х (и, г), у = у (и, v), z = z (и, р),
где (и, р) пробегает область Д на плоскости Оии (функции,
стоящие в правых частях, предполагаются непрерывными
вместе с их частными производными первого порядка).
Предположим сперва, что кусок S может быть пред-
ставлен уравнением z = / (я, у), где / — однозначная не-
прерывная функция, и пусть А — проекция S на плоскость
Оху. Тогда
z (u, и) = / [х (и, и), у (и, р)].
В силу (2.34) и правила замены переменных в двойном
интеграле (если соответствие между Д и А прямое, т. е*
104
ОСНОВЫ ТЕОРИИ поля .
[ГЛ. п
сохраняющее направления обходо в)
$ R (х, у, z) dx dy = ^R [ж, у, / (х, у)] dx dy =
S	А
== $ R (W, V), у (и, v), z (и, v)] g du dv. (2.34')
Эта же формула верна, если S окажется куском цилин-
дрической поверхности с образующими, параллельными
оси Oz, так как тогда обе части формулы равны нулю.
Т-r	& (Х. у) ~
Правая часть равна нулю вследствие того, что == 0<
Последнее равенство легко обнаружить. Пусть, например,
уравнение названной цилиндрической поверхности есть
у = <р (х), тогда
у (и, v) = ф [я (и, р)],
откуда
ду г / \ дх ду t { v дх
"to — ф ^17’
и, следовательно, в якобиане
д (х, у)
д (u, v)
строки пропорцио-
нальны.
В общем случае S можно разбить на части, подходящие
под один из рассмотренных двух типов (мы ограничиваемся
такими поверхностями S). Тогда Д разобьется на соот-
ветствующие части. Применив к каждой из частей формулу
(2.34') и складывая полученные равенства, получим фор-
мулу (2.34') для всего куска S.
Аналогичные формулы получаются для поверхностных
интегралов по другим парам переменных. Итак,
$ р (X, у, z) dy dz = §P (х, у, z) du dv>
s'	д
К Q(x, у, z) dzdx=§Q(ж, у, z) dudv,
S	Д
^R(x, y, z)dxdy = §R(x, y,
S	Д
dudv,
$ 8]
ФОРМУЛА ОСТРО ГРАДСКОГО
105
откуда
§Pdydz 4- Qdzdz + Rdxdy = $[Р
в	дL
Р Q R
f~i & (z>	I
V d (u, v)
a (u, i?) j	jj
dx dy
du du du
dx dy dz
dv dv dv
du dy (2.35)
при надлежащем выборе стороны поверхности S.
Пусть, в частности, имеем кусок поверхности z ==
== / (я, У)> где У пробегают область А плоскости Оху. Тогда
формула (2.35) дает (здесь х, у играют роль u, u)j
P Q R
1 0 p
0 1 q
Р dy dz + Q dz dx + R dx dy
A
dxdy ==
(— pP — qQ + R) dx dyt
(2.36)
df df
где p = —, q = и поверхностный интеграл берется по
верхней стороне поверхности.
§ 8. Формула Остроградского
Эта формула преобразовывает поверхностный интеграл
по замкнутой поверхности в тройной интеграл по области,
ограниченной этой поверхностью.
Пусть!) — замкнутая область, ограниченная замкнутой
поверхностью S, а Р (х, у, z), Q (х, у, z), R (х, у, z) —
непрерывные функции с непрерывными частными произ-
водными первого порядка на D.
Сперва предположим, что D ограничена снизу поверх-
ностью z = Zi (х, у), сверху — поверхностью z == z2 (х,
у), с боков — цилиндрической поверхностью с образую-
щими, параллельными оси Oz, вырезающей на плоскости
Оху площадку А (рис. 14). Тогда S будет состоять из кус-
ка поверхности z = zx (я, i/), куска 52 поверхности
z = z2 (х, у), куска цилиндрической поверхности с
106
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1гл, и
образующими, параллельными оси Oz. Имеем;
z,
^X~~dxdydz =	~^~^z ~
D	A	zi
= \\ [-R(«1 У, Zz) — R(x, yt Zt)] dxdy—
A
= R dx dy + R dx dy,
s,	s.
где интегрирование происходит по нижней стороне Si
и по верхней стороне S2.
Добавляя ЭДRdxdy к правой части последнего ра-
8з
венства, мы не нарушим его, так как \XRdxdy —
следовательно,
--dxdydz == ^Rdxdy,
s
(2.37)
где в правой части интегрирование происходит по внешней
стороне замкнутой поверхности 5.
В общем случае D можно разбить на конечное число
частей рассмотренного выше типа (мы ограничиваемся рас-
смотрением областей D, которые допускают такое раз-
биение). Применяя к каждой из частей формулу (2.37) и
§ 9] ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО 107
складывая полученные равенства, найдем, что (2.37) будет
справедлива для рассматриваемой области (так как инте-
гралы по перегородкам взаимно
уничтожаются).
Меняя роли переменных, полу-
чим еще две аналогичные формулы:
-Ц- dx dy dz = № Р dy dz-, (2.37')
D	S
dx dy dz=S dz dx‘ <2-37")
D	s	Рис. 15.
Почленное сложение формул (2.37'), (2.37"), (2.37)
дает нам искомую формулу Остроградского
Р dy dz + Q dz dx + R dx dy =
dR\, . .
} dx dy dz^
(2.38)
где D — ограниченная замкнутая область в пространстве
(рис. 15), S — замкнутая поверхность, ограничивающая
J9, и Р, Q, R— функции, непрерывные вместе с их част-
ными производными первого порядка на D, причем в левой
части формулы интегрирование происходит по внешней
стороне поверхности S.
§ 9. Векторная запись формулы Остроградского.
Дивергенция векторного поля
Поверхностный интеграл от вектор-функции. Пусть
а (М) — непрерывная вектор-функция на двустороннем
куске поверхности S, При этом предполагается, что S
имеет в каждой точке касательную плоскость, направле-
ние которой непрерывно зависит от точки поверхности
(или же кусок S может быть разбит на конечное число
таких частей). Выберем на S какую-нибудь сторону
(рис. 16). Разобьем S на части; пусть площади этих частей
будут Si. На каждой- части возьмем точку Ni и построим
вектор направленный по нормали в точке к выбран-
ной стороне поверхности и имеющий длину | щ | = S^
108
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1ГЛ. п
Затем значение вектор-функции в точке 7V{ скалярно ум-
ножим на и составим сумму таких скалярных произве-
дений 2а(Л^)п{.
г
Если наибольший из диаметров частей рассматривае-
мого куска поверхности стремится к нулю, то эта сумма
стремится к определенному пре-
уп/	делу, который называется поверх-
т	ностным интегралом от а (М) по
/	выбранной стороне поверхности S
и обозначается знаком \\a(M)d<d
\	) (здесь tto) есть «ориентированный
элемент поверхности»).
Поверхностный интеграл от
Рис. 16.	вектор-функции легко выражается
через обыкновенный поверхност-
ный интеграл. Зададим систему координат. Пусть
— координаты Nf, тогда
2 a (Ni) nt = 21аж (Si, Ъ, (П1)ж +
i	i
+ dy (Sit I]i> Si) (W'i)v 4* dz (Sii Лг> Si) (W'Ozl*
Но (П()я, (i»i)v, (»{)г с точностью до бесконечно малых выс-
шего порядка равны соответственно (5{)иг, (5()Z3C, (Si)xv-,
поэтому
lim 2 a (Wi) nj = lim 2 l«x (Si, Пi, Si)	+
i	i
(Si» Лг? Si) 4- a2 (li, T)i, Si) (^i)xy]
или
W a (M) d& =	ax dy dz + dv dz dx az dx dy. (2.39)
s	s
Одновременно мы получаем доказательство существования по-
верхностного интеграла от вектор-функции, считая, что существо-
вание обыкновенных поверхностных интегралов уже доказано.
Пусть а (М) — векторное поле и S — кусок поверх-
ности. Если это векторное поле рассматривать как поле
скоростей потока жидкости, то через элементарную пло-
§ 9] ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО 109
щадку Si (рис. 17) в единицу времени вытечет столб жид-
кости, объем которого есть
Sid (Nfini = IЩ11 a (A/\) | cos [n^a, (A^)J = « (^0
Следовательно,
ЭД a (M) do
s
есть количество жидкости,
протекающей через поверхность S
в единицу времени. По этой
причине поверхностный интеграл
ЭД a(M)d& называется потоком
s
векторного поля через поверхность
S *).
Дивергенция векторного поля
и векторная запись формулы Ос-
троградского. Если S есть замкну-
Рис. 17.
тая поверхность, ограничивающая
область Z), то в силу (2.39) и (2.38) (интегрируя по внеш-
ней стороне поверхности) получим:
axdydz + ау dz dx + azdxdy ==
(2Ж>
Определение. Дивергенцией векторного поля а (М)
в точке (ж, у, z) называется скаляр	£2*., обоз-
начаемый символом div а. Таким образом,
,	да
diva==^7 +
ду
да*
(2.40)
Вставляя этот символ в формулу (2.39'), получим!
$ а (М) d® —
s
div a dv.
(2.41)
*) Из определения видно, что абсолютная величина потока не
превосходит произведения площади поверхности на максимальное
значение | а | в точках поверхности.
но
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
Эта формула, являющаяся векторной записью формулы
Остроградского, показывает, что поток векторного поля
через замкнутую поверхность равен тройному интегралу
от дивергенции поля по объему, ограниченному этой по-
верхностью.
Точки, в которых дивергенция положительна, назы-
ваются источниками (в этом случае поток векторного поля
через малую замкнутую поверхность, окружающую такую
точку, положителен). Точки, в которых дивергенция отри-
цательна, называются стоками (в этом случае поток век-
торного поля через малую замкнутую поверхность, окру-
жающую такую точку, отрицателен).
Инвариантное определение дивергенции. Формула
Остроградского позволяет дать инвариантное (независимое
от системы координат) определение дивергенции вектор-
ного поля. В области определения а (М) возьмем произ-
вольную точку MQ и затем содержащее эту точку тело Dt
ограниченное замкнутой поверхностью S. Пусть V —
объем D. Вычитая из (2.41) очевидное равенство
V div а (Мо) =	div а (М0) dv
D
и деля на F, получим
J Г а (M) d(d
-----Р--------div a (MQ) =	[div а (М) — div a (MQ)]dv.
При стягивании S в точку Мй правая часть, как видно из
теоремы о среднем для тройных интегралов, стремится
к нулю.
Следовательно,
И а
div a (Mq) = lim——у----	(2.42)
при стягивании S в точку М$.
Таким образом, дивергенция векторного поля в какой-
нибудь точке равна отнесенному к единице объема потоку
векторного поля через бесконечно малую замкнутую по-
верхность, окружающую данную точку.
§ 9] ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ ОСТРОГРАДСКОГО Щ
Формальные свойства дивергенции. Пусть а и & —
векторные поля, <р — скалярное поле. Тогда
div (а + &) = div а + div &;	(2.43)
div (фа) = ф div а + grad фа.	(2.44)
В самом деле,
div (а + 6) = _L__k + ... = _Ц+_£ + ... =
= \~дГ + "7 + \~дГ +•••)= diva + div &;
.	^(<ра)	5 (<ра)	(да \
div (Фа) =	+„. =	+ ...= Ф + ...) +
+ «х + •••) = Ф div а + grad фа.
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать
второе и третье слагаемые, аналогичные первому, получа-
ющиеся из него заменой х на
У и z.	*	2
Соленоидальные векторные
поля. Векторное поле а, для
которого тождественно div а=0,
называется соленоид алъным.
Из (2.41) следует, что в слу- I
чае соленоидального векторного
поля поток векторного поля че-	рис. ig.
рез всякую замкнутую поверх-
ность равен нулю.
Если взять векторную трубку (рис. 18), провести два
сечения ее Si и S2 и принять во внимание, что поток через
боковую стенку всегда равен нулю, то приходим к такому
заключению:
Если векторное поле соленоидально, то потоки вектор-
ного поля через различные сечения векторной трубки рав-
ны между собой.
Пример. Рассмотрим какое-нибудь центрированное поле
(см. пример в конце* § 6) а (М) = ф (р)г, где ф (р) = / (р)/р. Тогда
^(Ф(р)г)=~ (Ф(р)г)ж+... =-^-(ф(р)») + ...=
[^2	"1
Ф' (р)-»~ + Ф(р) +... = РФ'(Р)+Зф(Р).
г	J
112
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
Отсюда заключаем, что центрированное поле ф (р)г соленоидаль-
нотолько тогда, когда функция ф (р) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
РФ' (Р/ + Зф (р) = 0.
Ф' (р)	3
Разделив переменные, получим - -; а- =— — ? откуда In ф (р) =
Т V/	Р
«= —3 In р, + In с; ф (р) = с/р8, следовательно, / (р) — с/р2. Таким
образом,центрированное векторное поле будет соленоидально только
в том случае, когда длины векторов этого поля обратно пропорцио-
нальны квадратам расстояний точек приложения от центра.
§ 10. Формула Стокса
Эта формула преобразовывает криволинейный инте-
грал вдоль замкнутой пространственной кривой в поверх-
ностный интеграл по поверхности, натянутой на эту кри-
вую.
Пусть S — кусок поверхности, имеющий в каждой точ-
ке касательную плоскость^направлениекоторой непрерывно
зависит от точки поверхности, или могущий быть разби-
тым на конечное число таких частей. Замкнутая кривая С,
ограничивающая 5, предполагается имеющей в каждой
точке касательную, направление которой непрерывно за-
висит от точки кривой (или же С состоит из конечного чис-
ла дуг, удовлетворяющих этому требованию). Пусть
Р (х, у, z)t Q (Х) У' z), R (х\ у, z) *— непрерывные функции,
§ ю]
ФОРМУЛА СТОКСА
113
имеющие непрерывные частные производные во всех точках
поверхности S (и точках, достаточно близких к 5).
Пусть сперва кусок поверхности 5 может быть пред-
ставлен уравнением z = f (х, у). Пусть А — проекция 5
на плоскость Оху, Г — проекция С на плоскость Оху
(рис. 19). Если
х = х (t)A
у = у (0 J
tt < t < t2
— параметрические уравнения Г (пусть возрастанию t
отвечает обход Г в положительном направлении), то
х — х (t), )
У — У (6, У h < t < *г.
z = z(i), )
где z (0 — / [я (0, У (01 будут параметрическими уравне-
ниями С.
Полагая = р, ~ = q и используя правило пре-
образования криволинейного интеграла в простой инте-
грал, можем написать:
Р dx + Q dy + R dz = j (p	+ Q % + R -g-) dt =
4 + <? + R № + *•§)] dt =
-5[(Р + рЯ)-Й- + (С + 9Я)А]л_
t»
= ф (P + PR) dx + (Q 4- qR) dy, (2.45')
причем в последнем интеграле Р, Q, R следует понимать
как
Р [ж, у, f (х, у)], Q 1х, у, f (х, у)], R [х, у, f (х, у)],
т. е. как функции двух переменных х, у.
Формула Грина, преобразовывающая криволинейный
интеграл по замкнутому контуру в двойной интеграл по
114
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1ГЛ. п
области, ограниченной этим контуром дает:
(Р + pR)dx + ((? + qR)dy =
(«? + qR)x — (Р + pR)«l dx dy,
(2.45")
но (используем формулу полной производной и полагаем
дх ду )
f n\'	dQ । dQ	.	n i	/ d/? . dR	\
«?+дЛ)я = -^- + -^-р + а7? + ^—+ —p),
/n i ~d\'	dP , dP	.	г* .	/ dR . dR	\
(P+pP)„=— + —g + ^ + ^—+ —g),
откуда
(<?+^-(P+pP); =
=- (4F	- 4? W1-- 44)-<2-^
Из равенств (2.45'), (2.45"), (2.45'") и формулы (2.36)
(см. конец § 7) получаем искомую формулу Стокса:
(6 Р dx 4- Q dy 4- R dz =
с
8
+ ($--£>‘г»' <2.45)
где направление обхода контура С берется положитель-
ным для выбранной стороны поверхности. Но эта формула
доказана пока лишь для куска поверхности специального
вида.
Меняя роли переменных, получим формулу (2.45)
также для поверхностей S, изобразимых уравнением вида
х = f (lh z) или уравнением вида у = / (z, х). В общем
случае разобьем S на конечное число частей, каждая из
йоторых изобразила либо уравнением вида х = / (у, z),
либо уравнением вида у = f (z, х), либо уравнением вида
е = / (я, у) (мы ограничиваемся поверхностями St которые
§ 1U
ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ СТОКСА
115
могут быть разбиты таким образом). Применяя к каждой
части формулу (2.45) и складывая полученные равенства
(при этом интегралы по перегородкам взаимно уничтожат-
ся), докажем справедливость формулы (2.45) для рас-
сматриваемого куска поверхности. Теперь формула Сток-
са (2.45) доказана в общем виде.
§11. Векторная запись формулы Стокса.
Вихрь векторного поля
Пусть а (М) — векторное поле, S — кусок поверхно-
сти, С — контур, ограничивающий его. Имеем в силу (2.26)
и (2.45):	'
а (М) dr = axdx + aydy + az dz =
с	с
8
+ &-^f)dxdy]' (2-46,)
Определение. Вихрем векторного поля а (М) в точке
х, у, z называется вектор
обозначаемый знаком rot а (а также символом curl а).
Из формулы (2.39) находим:
§ (W - -дГ) dv dz + (IT -	)ds dx +
/ да да \	(*(*
+	----\dxdy = \v (rot а)я dy dz 4* (rot а)и dz dx -f-
+ (rot a)zdxdy — rot ad&. (2.46")
- Из (2.46') и (2.46") находим?
a (M) dr — jX rot a d&,	(2; 46)
116	ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. II
причем направление обхода контура С берется положи-
тельным для выбранной стороны поверхности S. Формула
(2.46) является векторной записью формулы Стокса и
показывает, что циркуляция векторного поля вдоль зам-
кнутого контура равна потоку вихря через поверхность,
натянутую на этот контур. ’
Инвариантное определение вихря. В области опреде-
ления а (М) возьмем произвольную точку Мо и затем
содержащую MQ плоскую площадку S, ограниченную замк-
нутым контуром С и перпендикулярную произвольно
заданному направлению п. Пусть <з — площадь S. Вычи-
тая из (2.46) очевидное равенство
<5 [rot а (МцУ\п = rot а (Мо) d(o
S л
и деля на о, получим
<£ а (М) dr — [rot а (М0)]п =
с
= -у- [rot а (М) — rot a (Af0)J d®.
При стягивании С в MQ правая часть, как видно из ее
оценки, стремится к нулю, поэтому
.	фа (М) dr
[rot a (Af0)ln =	5----
при стягиваний С в Мо. Следовательно:
Проекция вихря на какое-нибудь направление равна
отнесенной к единице площади циркуляции векторного
поля вдоль контура бесконечно малой площадки, содержащей
рассматриваемую точку и перпендикулярной к выбранному
направлению.
Безвихревые векторные поля. Векторное поле а (М) <
называется безвихревым, если имеем тождественно rot а =
= 0.
Из определения вихря видно, что для этого необходимо
и достаточно, чтобы
_ 0 дау да* - о
ду dz ’ dz dx * дх ду

§ н]
ВЕКТОРНАЯ ЗАПИСЬ ФОРМУЛЫ СТОКСА
117
Но эти условия [см. формулы (2.27) в § 6], как мы знаем,
необходимы и достаточны для потенциальности векторного
поля.
Итак, для того чтобы векторное поле было безвихревым,
необходимо и достаточно, чтобы оно было потенциальным.
Таким образом, понятие безвихревого векторного поля
эквивалентно понятию потенциального векторного поля.
Так как поле градиентов какого-нибудь скалярного
поля <р потенциально, то получаем тождество
rotgrad(p = 0	(2.47)
Соленоидалыюсть поля вихрей. Пусть а (М) — какое-
нибудь векторное поле; тогда его вихри образуют неко-
торое векторное поле rot а. Это есть поле вихрей данного
векторного поля. Поле вихрей всегда соленоидально.
В самом деле,
div rot а = (rot а)х + (rot а)„ + (rot а)г =
Э	\ . д ( дах э«г \ а / дау _дах \
дх \ ду dz ду\ dz дх /' dz \ дх ду /
^az	д2аг  д*ау д*ах 0
дхду дхдг ду dz дхду dxdz dydz
Итак,
div rot а = 0.	(2.48)
Формальные свойства вихря. Пусть а и Ъ — вектор-
ные поля, ф — скалярное поле. Тогда
rot (а + &) = rot а + rot &;	(2.49)
rot (фа) = ф rot а + [grad фа[. (2.50)
В самом деле,
, кч ./3 * *(« + 6 * В)г a(«+»)v\ ,
rot (а + Ь) = г ------} + ...=
_ S (д (az + bz>	9 (ау + М \ ,	дау\ , 1,
\ ду	dz Г"'~[\ду	5T/+-J +
Г. / дЪ дЪ„ \	1
+ Г	—or) + - I = rot а + rot
418
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. п
.. . .р(<ра)г а (фа) \
rot (фа) = г	----+ ... =
9«K>\ , .фЬГЧ Ч\ , 1,
\ ду dz / + -_<РГ\^—5Г/+- J +
+ {*(•§а* — 4? а«) + •••} = Ф rot а + terad <₽«]•
Многоточия всюду обозначают f что следует выписать
второе и третье слагаемые, получающиеся из первого кру-
говой перестановкой по схеме
§ 12.	Операции второго порядка
Рассмотренные выше три операции первого порядка
grad ф, div a, rot а,
переводящие соответственно скаляр в вектор, вектор в
скаляр, вектор в вектор, порождают пять операций вто-
рого порядка:
div grad ф, rot grad ф, grad div a, div rot a, rot rot a,
из которых две тождественно нулевые [см. формулы (2.47)
и (2.48)]:
rot grad ф = 0, div rot a = 0.
Введем еще операцию второго порядка, называемую
оператором Лапласа^ скалярного поля ф и векторного
поля as
Дф==±Ф +
Ф + W ’	/о 5П
д д2а д2а d2a	' ' ’
дх2 + ду2 + dz2
(Дф есть скаляр4 Да — вектор). Очевидно,
Да = i Дах + j&ay + k&az.
$ 131
СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА
119
Имеем:
div grad ф = (grad ф)х + (grad у)у + (grad ф)г =
d / Эф\  д / Эф \  Э / Эф \	Э2ф	Э2ф  Э2ф _ д
dx \ dx ) ' dy \dy / ‘ Эа \ Эа /	Эх2	Эу2 *" Эа2 **
Следовательно,
div grad q> = А<р.	(2.52)
Имеем:
grad div а = i(div а) + j (div а) + к-^ (div а) =
= г
д2а„ d2av \	/ д2л д2а д2сь \
______________— ) _ь 7 I____£_ I____Ё J_______— I-U
дхду ‘ dxdz / ~ J \ дхду ‘ ду2 ‘ дудг /'
/ д2а д2а	д2й \
+ * ( dxdz + dydz + “Эг2")*	(2‘5^)
(rota)2--^-(rota)v] +
д (дау дах\ д (дах
\_ду \ дх
rot rot а
ду / dz \ dz <
д2а д2а д2а \
\ дх ду дх dz ду2 dz2 /
. (	д2аг	^2ау
/ ( __£ J______У J______I________L________£
\ д^2 ~ дхду ' dxdz дх2	ду2
= i div а — Дах) + ... = grad div а — Да.
Многоточия всюду обозначают, что следует вписать
второе и третье слагаемые, получающиеся из первого кру-
говой передвижкой по схеме, показанной в конце § 11.
Следовательно,
rot rot а = grad div а — Да.	(2.54)
§ 13.	Символика Гамильтона
Введем символический вектор (набла)
и при выполнении действий по правилам! установленным
120
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[гл. п
для реальных скаляров и векторов, будем понимать
д д д
под «произведениями» символов ,—, — на скаляр
Ф (#, У, z) соответственно скаляры	—р.
Тогда
V(p=(ii+^i-+fc'&)<p=z-2-+^-§-+A’5-=grad4>
(здесь в левой части стоит произведение символического
вектора на реальный скаляр);
Va =	+к if) (ia*+^av+ка^=
да да да
=	+	+ —= diva
дх 1 ду * dz
(здесь в левой части стоит скалярное произведение симво-
лического вектора на реальный вектор);
[Va] =	4- j + к A) (iax + jav + fca2)] =
, / да да \	/ да да. \	( да.. да \

(здесь в левой части стоит векторное произведение симво-
лического вектора на реальный вектор).
Таким образом, три операции первого порядка, grad ф,
div a, rot а, могут быть единообразно записаны с помощью
символического вектора набла:

7ф = grad ф; Va = div a; [Va] = rot а. (2.55)
Тогда для операций второго порядка получим следую-
щие равенства:
VV<p = div grad <р = Aq>;	[ VV<p] = rot grad <p;
VVa = grad div a;
V [Va] = div rot a; [V [Va]] = rot rot a.
(2.56)
§ 14]	ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ	121
§14. Векторные операции в криволинейных координатах
Если каждой точке некоторой области пространства
отнесена система трех чисел (u, р, w) так, что разным точ-
кам отвечают разные системы (u, v, w), то мы скажем, что
в рассматриваемой области пространства введены криво-
линейные координаты (u, и, w). Геометрические места точек,
где и = const, или v = const, или w = const, назовем
координатными поверхностями, пересечения двух коорди-
натных поверхностей — координатными линиями.
Введем, далее, в рассматриваемой области пространства
прямоугольные координаты х, у, z.
Тогда между прямоугольными координатами х, у, z
и криволинейными координатами и, и, w точек рассматри-
ваемой области пространства устанавливается взаимно од-
нозначное соответствие, описываемое формулами вида
х = х (и, v, w); у = у (и, v, w); z = z (и, v, w), (2.57)
где функции, стоящие в правых частях, однозначны, а
также формулами вида
[и = и (х, у, z); v = v (х, у, z),w = w(x,y,z), (2.58)
где функции, стоящие в правых частях, также однозначны.
Будем предполагать, что функции, стоящие в правых
частях (2.57), непрерывны, имеют непрерывные частные
производные первого порядка и якобиан	не
обращается в нуль (тогда он сохраняет постоянный знак,
будем предполагать его положительным). При этих усло-
виях функции, стоящие в правых частях (2.58), будут
обладать такими же свойствами. В случае надобности
можно дополнительно потребовать, чтобы функции, стоя-
щие в правых частях (2.57), имели частные производные
порядка выше первого.
Дифференцируя по и тождество
и [х (и, и, w), у (и, и, w), z (и, v, де)] = и,
получимз
ди дх t ди ду . ди dz   .
дх ди ду ди dz ди ~ ь
Аналогичные формулы справедливы для v к w.
122
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
Пусть
дт дг
ди ’ dv ’
д (х, у, z)
д (uf vt w)
г = ix + jy + kz (i, j,k — орты). Векторы
очевидно, будут ненулевыми £ибо
=/= 0 . Длины этих векторов
называются коэффициентами Ламе\ каждый из них яв-
ляется функцией от и, V, w.
Единичные векторы
1 дг ______ 1 dr	1 дг
еи~~Н^1)Г'	Я8 № ’ е*> ~ Hw dw
также являются вектор-функциями от u, v, w.
Определение. Система криволинейных координат
называется ортогональной, если в каждой точке коорди-
натные линии попарно ортогональны.
Таким образом, ортогональность системы криволи-
нейных координат обозначает, что в каждой точке век-
торы eui ev, ew попарно ортогональны или, что равно-
сильно, в каждой точке попарно ортогональны векторы
дг дг дг
ди ’ dv 9 ди> ’
Если криволинейные координаты введены лишь в не-
которой части рассматриваемой области пространства,
напрймер в окрестности некоторой точки, то говорят о
локальной системе криволинейных координат.
Градиент в ортогональных криволинейных координа-
тах. Пусть <р — скалярное поле. Если ввести криволиней-
ные координаты и, v, w, то <р станет функцией переменных
и, v, w.
Введем прямоугольные координаты а?, у, z. Известно
(см. § 4), что
л • ди .	. ди . у ди
направлен по нормали к поверхности и = const, и поэтому
в случае ортогональных криволинейных координат
§ 14]
ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
123
grad и = hu еи, где hu — некоторый скаляр; затем
ЁН =	4 ЁН к ЁН = н е
ди ди ' $ $и i ди и и‘
Скалярное перемножение равенств
. ди . • ди . j ди   »	а дх . • ду • у dz rj
*-& + 3-^ + k-dZ- = h«e™	^+^ + к^ = Н-е'
дает [если учесть формулу (2.59)]$
1 huHu,
1	€
откуда hu = -гг-» следовательно, grad и = Аналогично
1и	аи
grad v = •—, grad w =	.
Формула градиента сложной функции (2.17) дает:<
grad <р (u, v. w) ==	grad и + -Ц- grad у + grad w.
Изложенное показывает, что градиент скалярного
поля в ортогональных криволинейных координатах опре-
деляется формулой
grad <р =
зф	#ф	дф
ди	,	dv	.	dw
&U "~jf Ь If ! &w •
U	V
(2.60)
Дивергенция в ортого-
нальных криволинейных ко-
ординатах. Пусть а — век-
торное поле. Если ввести
криволинейные координаты
и, и, то а станет вектор-
функцией переменных и, р,	_
ip. Систему криволинейных координат будем предпола-
гать ортогональной.
Воспользуемся инвариантностью определения ди-
вергенции (2.42) в произвольно взятой точке (u0, р0, ip0),
беря в качестве замкнутой поверхности S оболочку кри-
волинейного параллелепипеда 2) (рис. 20), ограниченного
124
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
поверхностями
и = Uo, V = VQ, W ~ Wq} и = и0 + Ди0, V = Vo + Др0
w — wQ + Дде0,
где Дм0, Др0, Дде0 стремятся к нулю.
Введем прямоугольные координаты, поместив начало
О в точке (и0, у0, ipo) и направив координатные оси по еи,
ev, ew для этой точки. Тогда (если Ни0, HvQ, HwQ — зна-
чения коэффициентов Ламе для этой точки) имеем:
d (S, У, z) \ __
d (и, vt w) Jo
Нио О
о Я.0
О О
О
о
-- ПUfrHvftHWQ,
а
Щ
и0+Аи0 Vo4-Avo wo-(-Awo
С	C	du	dvdw	=
J	J	d (u, v, w)
V9	Wo
= HuoH^H^Uo^Vq^Wo + 8Ди0Ди0Дю0,
где 8 стремится к нулю вместе с Ди0, Ду0, Дде0. Затем (учи-
тывая формулу 2.35),
?(г|-Д®в wH-Awo
ГС j С С Г/ дг дг\
\\ а й => \	\ а, -х—, -г—)	—
J 3 L\	/(Uo+Atio,v,w)
g	Vo Wo
4^) Idudw-h ... :=
\ ’ dv ' aw/(uo,v,w)J ‘
=	4““»	+...} Ди0ду0дм>0+
IL du \ ’ du ’ &w ] J(Wo, Vo, Wo)	J 00	01
+ 8'Ди0Др0Дде0,
где 8Z стремится к нулю вместе с Ди0, Др0, Дде0.
Многоточие обозначает, что следует написать еще два
слагаемых, получающихся из первого путем круговой
перестановки букв по схеме
§ 14]
ВЕКТОРЫ ЫЕ ОПЕРАЦИИ
125
Следовательно, при стремлении Au0, Ау0, Аде0 к нулю
дг ди* \”|
dv ’ dw /J(uo, i?o, wo)
\\ adw
Нт - -г—

НО
/ дг
Л, -г-,
\ dv
дг
dw
Hv
0
®w
0
Hw
и, таким образом,
Г 9
... . Ldu
(div а)0 = L
1(Цр, V0> Wp)
Hu^Hwa
Изложенное показывает, что дивергенция векторного
поля в ортогональных криволинейных координатах опре-
деляется формулой
д	д	д
..	ё7 (аЛя«) + ёё (а»нwHu) + № (%яин»)	.
div а ----------------а „----------------- (2.61)
HuHvHw
Вихрь в ортогональных криволинейных координатах;
Пусть а— векторное поле. Если ввести криволинейные
координаты u, р, w, то а станет
менных и, v, w. Систему криво-
линейных координат будем пред-
полагать ортогональной.
Воспользуемся инвариантным
определением вихря (см. § И) в
произвольно взятой точке (гг0,
iv о). Пусть S — криволинейный
четырехугольный кусок коорди-
натной поверхности w = де0, огра-
ниченный линиями
и = uQ, v = р0;
и = uQ + Au0, v = vQ + Ар0;
вектор-функцией пере-
и пусть С — контур S (рис. 21).
Введем прямоугольные координаты, поместив начало
О в точке (u0, р0, w0) и направив координатные оси по
О
о

126	ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. II
е„, ev> ew Для этой точки. Имеем:
a dr =
du 4-
г?(г|-Дяо	Щ
"I-	(а4т) dv+	du +
J \ /(tio+Auo, V, Wo)	' °и ' (и> t>o+AV(b Wo)
Vo	Uo-f-AUo
где 8 стремится к нулю вместе с Ди0, Др0.
Затем, если А — проекция S на плоскость Оху и у -
угол нормали с Oz, то
UoH- Ди0 г?о+Д©о
пи 5 = ^-^-= С ?	dudv =
J J cosy	J	J	cosy
A	tio	Vo
= ЯиоЯеоДиоДго 4- е'ДиоД^о»
где e' стремится к нулю вместе с Ди0, Дг0, ибо
(соз у)о
1.
Р (д. у) \
. 9 (и, ») /о
Яиц О
О яв0
— -^uo-^vo,
§ 14]	ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ	127 j
Следовательно, при стремлении Ди0, Др0 к нулю
Г а / дг \ д ( дг \1
цт 2._____-- I- а I ®и /-Кцо> w0)
ПЛ*	^и0#и0
Но
(еиаи ”1“ “Ь ^w^w) а^Нq
и аналогично а = аиНи. Таким образом (см. § 11), имеем?
г д	д 1
Krol а),], = Ь“	к. .....,>
и аналогичные формулы получаются для [(rot а)01хэ
[(rot а)0]у.
Изложенное показывает, что вихрь векторного поля
в ортогональных криволинейных координатах определя-
ется формулой
д	д
dv W dw
rota == еи---------------------h
av w
d	d	d	d
! dw	du	t du W dv
+ e° + e” ’
(2.62)
Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных
координатах. Пусть <р — скалярное поле. Если ввести
криволинейные координаты и, i;, w, то <р станет функцией
переменных u, v, w. Систему криволинейных координат
будем предполагать ортогональной.
Согласно формуле (2.52) имеем:
Дф = div grad ф,
где Дф — оператор Лапласа, поэтому, пользуясь форму-
лами (2.60) и (2.61), найдем, что оператор Лапласа в ор-
тогональных криволинейных координатах определяется
128
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
(ГЛ. II
формулой
д ( НуНуэ дф , д I Ну)Ни дф \ д / дф
ди \ Н du ) * dv \ Н dv / ' dw \ Н dw
Дф =-------------------------2____________ w
(2.63)
которую, очевидно, можно переписать в виде
д2ф	д2ф	д2ф
дф = ^+М + ^4.4ф._1_Л1„
Hi	н*	нI
л _ -л’ 111 ------------
ди ди и
и
дф 1 d 1
dv R* dv
(2.63')
dw н2 dw Н v '
aw	w
Векторные операции в цилиндрических координатах.
Перейдем от прямоугольных координат х\ у, z к цилин-
дрическим г, ф, z по формулам
х == г cos ф, у == г sin ф, z = z
(здесь г, ф, z выполняют роль
и, г, w}.
Координатными линиями бу-
дут лучи с начальными точками
на оси Oz и перпендикулярные
к Oz, окружности, лежащие в
плоскостях, перпендикулярных
к Oz, с центрами на оси Oz,
прямые, параллельные оси Oz
(рис. 22).
Цилиндрическая система ко-г
ординат, очевидно, ортогональ-
ная. Коэффициентами Ламе в
рассматриваемом случае будутз
нг = 1; яф = г; Hz = 1.
Пусть / — скалярное поле, а — векторное поле. Из
формул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63') получим выражения для
градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа
$ 14]
ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
129
в цилиндрических координатах}
df
,, df .	5<р . а/
grad / = ег + еф + ег ;
1 даФ
г дф
t	[ 1 9az
rota = еЦ—
/ да
4“ I ~~л~
1 ф \ dz
(2.64)
(2.65)
(а,^ да„ 4 да„ \
-т + -5Г~4-«г). (2«в)
а’/ , _L_4 , W. , J_ И.	мл
Д/ = 5Г2 • г2 дф2 > аг2 ' г дг •
Векторные операции в сферических координатах.
Перейдем от прямоугольных координат х, у, z к сфериче-
ским г, ф, 0 по формулам
х = г cos 0 cos ф,
у == г cos 0 sin ф, z = г sin 0
(г, ф, 0 выполняют роль u, V, w).
Координатными линиями бу-
дут лучи, выходящие из начала,
окружности, лежащие в плос-
костях, перпендикулярных к Oz,
с центрами на оси Oz, полу-
окружности с центрами в начале
и диаметрами на оси Oz (рис. 23).
Сферическая система коорди-
нат, очевидно, ортогональная.
Коэффициентами Ламе в рас-
сматриваемом случае будут:
Нг = 1; г cos 0;	= г.
Рис. 23.
Пусть / — скалярное поле, a — векторное поле. Из
формул (2.60), (2.61), (2.62), (2.63) получим выражения для
градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в
5 П. и. Романовский
130	ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ ;	1ГЛ. U
сферических координатах:
Э/ &f_
sr.d/-e,f+ «.^ + а,^-,	(2.68)
1 й(г«аг) ,	1 Ч> .	1	d(«9cos6)
dlva — гз QT + ГСО30 9<р + ГСО30 90	’
_	(	1 да° 1 9(афсоз0Ц ,
ГО. Л	ец r cos0 9<p	г cos©	90	)'
.	/ 1	___1 д (гае> \ ।	/ 1 ^(ra<t)_____1 QaT \
‘	\ г ^0 r dr / •	\ r dr r cos 0	/ *
(2.70)
A. _ 1 9 f. df\ ,	1	a2/	1	9 /	fl 9/ \
aJ— r« dr V dr!^	r«cos»0	9«p4	+ r«cos0	90 \C0S	° 90/•
(2.71)
ГЛАВА III
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ОБ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
§ 1. Комплексные числа
Если комплексному числу z = х + iy отнести точку на
плоскости с прямоугольными координатами (х, у), то между
комплексными числами и точками плоскости (назовем ее
плоскостью комплексного переменного) установится вза-
имно однозначное соответствие.
Если комплексное число z —действительное (т. е.
у = 0, тогда z = я), то соответствующая точка лежит на
оси абсцисс, и наоборот. Поэтому ось абсцисс называют
действительной осью. Если комплексное число z — мни-
мое (т. е. у =^= 0), то соответствующая точка лежит вне
оси абсцисс, и наоборот. Если комплексное число z —
чисто мнимое (т. е. я = 0, у =/=0, тогда z — iy), то соот-
ветствующая точка лежит на оси ординат, и наоборот (за
исключением начала координат). Поэтому ось ординат
называют мнимой осью.
Полярные координаты (г, ф) точки, изображающей рас-
сматриваемое комплексное число z (если взять полюс в на-
чале координат и направить полярную ось по оси абсцисс),
называются соответственно модулем и аргументом комп-
лексного числа z и обозначаются соответственно | z | и
Arg z. Очевидно, | z |	0, причем равно нулю только при
2 = 0. При z =/= 0 Arg z имеет бесконечно много значений,
получающихся из какого-нибудь одного arg z по формуле
Argz = argz + 2кл (к — произвольное целое число).
При z = 0 Arg z не определен.
Формулы, связывающие прямоугольные координаты с
полярными, показывают, что
| z I =	+ J/2, Arg z = Arctg ~
5*
132
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
(причем, в последней формуле, очевидно, пригодны не все
значения арктангенса). Из х = г cos ф, у = г sin ср нахо-
дим:
z = г (cos ф + i sin ф).	(3.1)
Выражение (3.1) называют тригонометрической фор-
мой комплексного числа z. Обратно, если комплексное
число z записано в форме (3.1), где г, ф действительны, при-
чем г неотрицательно, то г будет модулем, а ф — одним
из аргументов числа z.
Если каждой точке М плоскости комплексного пере-
менного отнести вектор ОМ, то появится возможность пред-
ставлять комплексные числа векторами.
Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к
сложению и вычитанию соответствующих векторов. От-
сюда следует, что для любых комплексных чисел z± и z2
l*i + *2 К Их| + |z2|,	(3.2)
откуда, по индукции, для любых комплексных чисел
^2» •••> Zn
|Zi + z2 + ...+ zn Kl Si | + | z2 | + ... + \zn|. (3.2')
Из (3.2) следует, что
l2i z2 I > | zx |	1 z2 I,	(3.3)
ибо из Zi = (zi — z2) + z2 no (3.2) находим |zx )	| Zi—
— z2 | + | z2 I, откуда следует (3.3). Заметим, что модуль
разности двух комплексных чисел равен расстоянию
между точками, изображающими эти числа.
При умножении комплексных чисел модули перемно-
жаются, аргументы складываются. В самом деле, поль-
зуясь тригонометрической формой комплексных чисел,
найдем:
Zj == гг (cos ф! + i sin фх); z2 = r2 (cos ф2 + i sin ф2);
zxz2 = rxr2 [(cos фх cos ф2 — sin фх sin ф2) + i (cos фх sin ф2 +
+ sin фх cos ф2)] = rxr2 [cos (фх + ф2) + i sin (фх + ф2)1.
Отсюда следует, что при делении комплексных чисел мо-
дули делятся, аргументы вычитаются.
Из правила умножения комплексных чисел следует,
что при возведении в степень с целым положительным пока-
§ 1]
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
138
зателем п модуль возводится в n-ю степень, аргумент ум-
ножается на п. Это приводит к формуле Муаера
(cos ф + i sin ф)п = cos пф + i sin пф. (3.4)
Раскрывая левую часть (3.4) по формуле бинома Нью-
тона и отделяя действительную часть от мнимой, получим
формулы для косинуса и синуса кратных углов;
COS Мф == COSn ф-П (COSn~2 ф Sih2 ф + ...»
sin пф = пcosn"x ф sin ф — ”	~cosn~3 ф sin3 Ф + ...
(3.4')
Тригонометрическая форма комплексных чисел при-
водит к простому правилу извлечения корней из комплекс-
ных чисел. Корень n-й степени из комплексного числа z
=/= 0 имеет п значений. Пусть z ~ г (cos ф + i sin ф)
есть рассматриваемое комплексное число и w =
— р (cos 0 + i sin 0) есть какой-нибудь корень n-й степени из
него (т. е. число, удовлетворяющее равенству wn = z). Тогда
pn (cos п0 + i sin n0) = г (cos ф + i sin ф),
откуда рп = г, п0 = ф+ 2fcn, где к — некоторое целое
число.
Следовательно,
w = ri/n (cos	i sin	#
\	п 1	п /
Обратно, при всяком целом к последнее выражение яв-
ляется корнем n-й степени из z (ибо n-я степень его рав-
на z). Но упомянутые выражения для двух значений к
будут различными комплексными числами лишь в случае,
когда эти значения к отличаются на число, не кратное п.
Отсюда следует, что, давая к значения 0,1, 2, ..., п — 1,
мы получим все значения }6и, таким образом, видим, что
число этих значений равно п. Все значения z определя-
ются формулой
i/п /	Ф 2&л ... ф -I— 2/ел \	/о Kv
V z = ri/n г cos ----H г sin -2--^—)	(3.5)
(к = 0, 1, 2, ..., п - 1).
Соответствующие им точки лежат на одной окружности с
434
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[гл. in
центром в точке 0 и делят ее на п равных частей. Следо-
вательно, точки, изображающие значения корня n-й сте-
пени из комплексного числа, являются вершинами пра-
вильного n-угольника с центром 0.
В частности, при z = 1 (тогда г = 1, ф = 0) получим:
pl = cos^ + isin-^ (Л = 0,1, 2, .... п-1). (3.5')
Пусть z = х + iy\ тогда комплексное число z = х —
— iy называется сопряженным для z. Точки, соответст-
вующие z и z, симметричны относительно действительной
оси. Очевидно, что комплексное число совпадает со своим
сопряженным только тогда, когда оно действительное.
Непосредственно проверяется, что сопряженные суммы,
разности, произведения, частного равны соответственно
сумме, разности, произведению, частному сопряженных,
т. е.
Zj -|— Z2 == Zj-|- Z2J Zj —• Z2 === Zj — Z2; ZjZ2 ==
/ Z1 \ = zi
\ *2 / Z2
Заметим еще, что zz = | z |2.
§ 2. Ряды с комплексными членами
Пусть имеем бесконечную последовательность комп-
лексных чисел
Zl? Z2, ..., Zn,
(3.6)
где zn = хп + iyn. Число z = х + iy называется преде-
лом этой последовательности, если для всякого 8	0
найдется такой номер N, что при п N будем иметь
| zn — z | < 8. В этом случае пишут: zn -> z или Пш zn =
= z. Геометрически это означает, что для всякого круга
с центром z все члены последовательности, начиная с не-
которого, лежат внутри этого круга. Последовательность
комплексных чисел не может иметь двух пределов, сле-
довательно, либо имеет один предел (тогда называется
сходящейся), либо не имеет предела (тогда называется
расходящейся).
| 21	РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ	185
Для сходимости последовательности чисел zn == хп +
+ iyn необходимо и достаточно, чтобы сходились последо-
вательность чисел хп и последовательность чисел уп.
В самом деле, если последовательность zn = хп + iyn
сходится к z = х + iy, то при п > N имеем | zn — z |<
< е; но тогда подавно | хп — х | < е, | уп — у | < 8 и,
следовательно, хп -> х, уп-+ у. Обратно, если хп -> х,
Уп У, то при и > имеем ] хп — х | < уу , при
п^> N2 имеем | уп — у | <, поэтому при п^> N
(где N — наибольшее из и
h„ —z| = /(хп —х)2 + (г/п —z/)2<s,
следовательно, zn -> z.
Критерий Коши. Для сходимости последовательнос-
ти комплексных чисел zn необходимо и достаточно, чтобы
для всякого s > 0 нашелся такой номер N, что при
п^> N и р 0 имели бы
I ^n+р zn I в.
Этот критерий может быть доказан прямым путем, но
его можно получить из критерия Коши для последователь-
ностей действительных чисел (считая, что для них он был
уже доказан). В самом деле, если для zn выполнено требо-
вание критерия Коши, то оно выполнено и для хп и уп,
так как
I %П+р %П zn+p zn I» I Уп+р — Уп\ I zn+p znb
Обратно, если требование критерия Коши выполнено для
хп и для уп, то из
1 zn+p 2П| —	(#п+р	Я'п)2 "F (Уп+р Уп)*
сразу усматриваем его выполнимость для zn.
Пусть имеем ряд с комплексными членами
4-00
+ — + w-n + ... ИЛИ 2 wn, wn= un+ivn. (3.7)
n=l
Ряд (3.7) называется сходящимся, если последователь-
ность частичных сумм Sn =	+ wn сходится.
136
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
Тогда ее предел S называют суммой ряда (3.7) и пишут
4-00
S -- 2 В противном случае ряд (3.7) называется
П=1
расходящимся. Из доказанного выше предложения для
последовательностей непосредственно следует: для схо-
димости ряда с комплексными членами 2^п> где wn ~
= ип + ivn, необходимо и достаточно, чтобы ряды с
действительными членами 2^п и были сходящимися.
Из критерия Коши для последовательностей комплекс-
ных чисел непосредственно вытекает критерий Коши для
рядов с комплексными членами: для сходимости ряда 2^п
необходимо и достаточно, чтобы для всякого в > О на-
шелся такой номер 7V, что при п > N и р > 0 имели бы
I W>n+1 + ^n+2 + ..•+ Wn+p | < 8.
В самом деле, достаточно лишь заметить, что
&П+Р “ ^П+1 “h ^П+2 “h •••4"
Ряд с комплексными членами ^wn называется абсолют-
но сходящимся, если ряд 2 I wn I 'Сходится. Из критерия
Коши сразу следует, что абсолютно сходящийся ряд схо-
дится. Для абсолютной сходимости ^wn, где wn = ип 4-
+ ivn, очевидно необходима и достаточна абсолютная схо-
димость рядов 2^71 и 2уп, ибо
|un I 1
|7, I f<l^n|<|wn| + |z;n|.
I ип I )
Если ряд 2 wn абсолютно сходится, то при любой пере-
становке членов факт абсолютной сходимости и величина
суммы не меняются. Это следует из последнего замечания,
если считать, что для рядов с действительными членами
теорема уже известна.
В абсолютно сходящихся рядах с комплексными чле-
нами разрешается любая группировка членов (в одну
группу может попадать как конечное, так и бесконечное
число членов). Этот факт можно установить прямым путем,
но он получается как следствие, если для абсолютно схо-
§ з]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
137
дящихся рядов с действительными членами его считать из
вестным.
Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами
можно почленно перемножать. Это можно доказать пря-
мым путем, но этот факт получается сразу, если считать
его уже установленным для рядов с действительными чле-
нами. В самом деле, пусть 2 и 2 абсолютно сходятся,
и’п = “n + ivn; и?п= ип + ivn. Тогда 2 ип, 2] vn, 2 ип, 2 vn
абсолютно сходятся и затем
2^2^ =	=
fc I	' A	fc 7 ' I	I
2 u*—2 2 vi +* (2 w/c2 + 2 2 ui)
к l	к	l	' к l	к I
= 2 ukUl ~ 2 vkVl + I (2 ukVi + 2 Vl\ -
M	fcj	xktl	k,l z
= 2	— VkVl + * (Wl + Vkui)] = 2
к>1	к,I
§ 3. Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
4-00
а0 + агг 4- a2z2 + ... + anzn + ... или 2 «nZn, (3.8)
n=0
где ап — любые комплексные числа, z — комплексное
переменное.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится для
некоторого значения переменного, то он абсолютно схо-
дится для всех значений переменного с меньшим модулем.
Это значит, что если 2 ап%о сходится, fc|<lzoli
то 2Janzn абсолютно сходится.
Доказательство. Так как ряд 2ап^о сходит-
ся, то его члены стремятся к нулю и, следовательно, ог-
раничены, т. е. найдется такое число К, что для всех п
Если I z I < I z0; I, то число q = ~ ~	1 и
I I \ I о I»	* I *0 I
I«nZn | = I anz0 (—} I = | anz01 (yrr)
138	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. Ш
Но числа Kqn образуют убывающую геометрическую про-
грессию, значит, ряд ^Kqn сходится, но тогда на основа-
нии принципа сравнения рядов с неотрицательными чле-
нами ряд Si anZnl сходится, следовательно, ряд %апгп аб-
солютно сходится, что и требовалось доказать.
Следствие. Если степенной ряд расходится (или не-
абсолютно сходится) для некоторого значения переменного,
то он расходится для всех значений переменного с бблыиим
модулем.
Это#значит, что если расходится или неабсолют-
но сходится, |z|	| zQ |, то ^anzn расходится.
В самом деле, если бы ряд ^anzn сходился, то по тео-
реме Абеля (так как ( z0 | < | z |) ряд S dnZo был бы аб-
солютно сходящимся, что противоречит условию.
Область сходимости степенного ряда. Рассмотрим ка-
кой-нибудь ряд, члены которого зависят от z. Те значения
2, для которых рассматриваемый ряд сходится, называют-
ся точками сходимости -его; те значения 2, для которых
рассматриваемый ряд расходится, называются точками
расходимости его. Совокупность всех точек сходимости
называется областью сходимости рассматриваемого
ряда.
Теорема Абеля позволит решить вопрос об области
сходимости степенного ряда.
Пусть ^}anzn — какой-нибудь степенной ряд. Логи-
чески возможны следующие три случая:
1)	все положительные числа суть точки сходимости;
2)	все положительные числа суть точки расходимости;
3)	существуют положительные точки сходимости и по-
ложительные точки расходимости.
В первом случае в силу теоремы Абеля* данный степен-
ной ряд сходится (абсолютно) для всех значений z (так как
для любого комплексного числа z найдется положитель-
ное число большее, чем | z |). Следовательно, область
сходимости есть вся плоскость комплексного перемен-
ного.
Во втором случае в силу следствия из теоремы Абеля
данный степенной ряд расходится для всех значений z =£ О
(так как для любого комплексного числа z =^= 0 найдется
положительное число меньшее, чем | z |). Следовательно,
область сходимости состоит из одной точки 0.
$ 31
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
. 139
В третьем случае найдется положительная точка схо-
димости гх и положительная точка расходимости Rt. Если
n "t— есть точка сходимости, то положим г2 = n ,
Т?2 = Ri, если же —4^—есть точка расходимости, то поло-
жим г2 = г1? Л2 = ф Таким же образом, исходя из
г2, Я2, введем числа r3, R3 ит. д. В результате получим не-
убывающую последовательность положительных точек
сходимости
П < Г 2 < Г3 < ...
и невозрастающую последовательность положительных
точек расходимости
/?2	*3	•••>
причем Rn — гп =	-> 0. Следовательно, обе назван-
ные последовательности имеют общий предел
lim rn = lim Rn = R.
Если | z | < R, to | z | < rn при достаточно большом n
и, следовательно, в силу теоремы Абеля z есть точка схо-
димости. Если || z | R, то при достаточно большом п
| z | > Rn и, следовательно, в силу следствия из теоремы
Абеля, z есть точка расходимости. Таким образом,
внутри круга радиуса R с центром 0 ряд сходится (аб-
солютно), вне этого круга ряд расходится. Вопрос о точ-
ках, лежащих на окружности, остается открытым. Область
сходимости степенного ряда есть, таким образом, круг
радиуса R с центром О (точнее, внутренность этого круга
плюс, быть может, некоторое множество точек окружно-
сти). Этот круг называется кругом сходимости. Радиус
его называется радиусом сходимости.
В первом и втором случаях следует считать соответ-
ственно R = оо и R = 0 (круг сходимости соответствен-
но обращается во всю плоскость или вырождается в точку).
Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд
абсолютно сходится.
Если в некоторой точке на окружности круга сходи-
мости степенной ряд абсолютно сходится, то он сходится
140
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
абсолютно во всех точках окружности круга сходимости
(ибо модули членов степенного ряда для всех точек этой
окружности соответственно одинаковы).
Если в некоторой точке на окружности круга сходимо-
сти степенной ряд либо неабсолютно сходится, либо рас-
ходится, то в каждой точке этой окружности он либо неаб-
солютно сходится, либо расходится.
Рассмотрим теперь ряд
ьо.+ ? + — +	+ — или	(3-8')
Z	т>—Л Z
Полагая £ = 1/я, превратим этот ряд в степенной ряд
00
3&п£п с некоторым радиусом сходимости р. Тогда при
о
|£ | < р ряд сходится, при | £ | > р расходится. Сле-
довательно^ ряд (3.8') при | z | ^> 1/р
сходится, при | z|< 1/Р расходится.
Полагая г = 1/р, найдем, что об-
ласть сходимости ряда (3.8') есть
«внешность» круга (рис. 24) радиуса
г с центром О (точнее, внешность
этого круга, плюс, быть может, неко-
торое множество точек окружности).
Сходимость ряда (3.8') во всех точ-
₽ис. 24. ках вне упомянутого круга — абсо-
лютная.
Рассмотрим теперь ряд, бесконечный в обе стороны,
л___я__________~ а__.
-•4—4* ••• 4—4—z—Ь ао 4~ aiz 4-	4- •••
Z '	z z
... + anzn + ... (3.8")
или
4-оо
2 a„zn.
Ряд, бесконечный в обе стороны, считается сходящим-
ся, если сходится ряд, составленный из членов, лежащих
правее некоторого члена, и ряд, составленный из членов,
лежащих левее некоторого члена (очевидно, нет надобности
§ 3]
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
141
указывать номер этого некоторого члена, так как при другом
выборе его упомянутые два ряда изменятся на конечное
число членов и, следовательно, их поведение не изменит-
ся). Таким образом, ряд (3.8") сходится тогда и только тог-
да, когда одновременно сходятся оба ряда
Рис. 25.
4-00
а0 + aiz + a2z2 + ... + anzn 4-... или anzn\
п=0
+	+	+ или 2
Z	П=1	2	'	-00	7
Область сходимости первого из этих рядов есть внут-
ренность некоторого круга радиуса R с центром О. Область
сходимости второго ряда есть
внешность некоторого круга ради-
уса г с центром О. Если г<Я,
то общая часть упомянутых обла-
стей сходимости есть кольцо с
центром О (рис. 25). В этом случае
область сходимости ряда (3.8")
есть кольцо, ограниченное двумя
окружностями с центром О (плюс,
быть может, некоторое множество
точек, лежащих на ограничиваю-
щих окружностях). Это кольцо
называется кольцом сходимости ряда (3.8"). Внутри коль-
ца сходимости сходимость ряда (3.8") — абсолютная. Если
г > Я, то ряд (3.8") не имеет точек сходимости, если
г = Я, то ряд (3.8") может иметь точки сходимости только
на окружности радиуса г = Я.
Рассмотрим степенной ряд
4* (z — #) 4~ ^2 (з — Л)2 4* •••
... + An(z — а)п + ... или
4-00
2 Л„ (z - а)п.
п=0
(3.8'")
Полагая g = z — а, превратим этот ряд в ряд	с
о
некоторым радиусом сходимости R. Возвращаясь к пере-
менному z, найдем, что область сходимости ряда (3.8'")
142
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ВГЛ. Ш
Рис. 26.
есть круг (рис. 26) радиуса R с центрам а (точнее, внут-
ренность этого круга плюс, быть может, некоторое множе-
ство точек окружнос-
лти). Этот круг называ-
ется кругом сходимости
ряда (3.8"'), его ради-
ус— радиусом сходимо-
сти (при R == + оо
получаем всю плоскость,
при R = 0 круг выро-
ждается в точку а).
Внутри круга сходи-
Теперь будем расматри-
Рис. 27.
мость ряда (3.8'") — абсолютная.
вать ряд
+ Т Ъг + — + ~z-^a + (z — а) + ...
[z — a)	z а
... + Лп(z — а)п + ... или % An(z — а)п.
(3.8"")
-J-OO
Полагая £ *== z — а, превратим этот ряд в ряд Ап£п.
—оо
Если он имеет кольцо сходимости г < | £ | < R, то об-
ласть сходимости ряда (3.8"") будет кольцом, ограни-
ченным окружностями радиусов г и R с центром а
(рис. 27). Это кольцо называется кольцом сходимости
ряда (3.8""). Внутри этого кольца сходимость ряда
(3.8"") — абсолютная.
§ 4. Показательные, гиперболические
и тригонометрические функции
комплексного переменного
Для любого комплексного числа z определим функции
ez, chz, shz, cos z, sin z
как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались
эти функции, когда переменное z было действительным.
Так как соответствующие степенные ряды были сходящи-
мися на всей числовой прямой, то (в силу теоремы Абеля)
они будут сходиться на всей плоскости комплексного пере-
$ 4]	ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ
143
манного. Таким образом, полагаем по определению для
любого комплексного z:
«-1+а+4 + 4 + ...= 3-£;	(3.9)
п=0
-{-оо
-2	74	22П
chs_i+A.+Ar + ...= 3^!	(ЗЛО)
п=0 4	1
4-СО
73	75	5^“"i
shz=z+ -gp 4- -gp 4-... =	(2n+ 1)1 ’	(3-11)
n=0 v
“”=‘-4+4--= 2(-‘>nw; (3-12>
n—0	4
4-co	л „
„3	75	-2П+1
smz = z — -дг + зр — — = 2	1)n (2n4-i)i • (3-13)
n=n	*
Из этого определения видно, что для действительных
значений z эти функции получают уже известные значе-
ния. Затем видно, что ch z, cos z — четные [т. е. обладаю-
щие свойством / (— z)=f (z)J, sh z, sin z — нечетные [т. e.
обладающие свойством f (— z) = — / (z)].
Формулы Эйлера. При любом комплексном z в силу
(3.9), (3.12), (3.13) имеем
Лх Л I . I
егг = 1 + ™ + “2Г
, i3z3 , i4z4 t i5z5 ' t
+ “ЗГ + “4Г + “ + -
А .	. Z2 . Z3 . Z4 .	. Z5
... = 1 + iz - -2f - г -зр + -%- + I зг - ...
!Л z2 . z4 \ , ./	z3 . z5 \ 
21 +’4Г~ -)+l(Z 3! "И 5!
= cos z + i siQ z«
учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима
любая группировка членов.
Таким образом, получаем формулу Эйлера
eiz = cos z + i sin z.	(3.14)
Заменяя z на — z, получим:
= cos 2 — i sin z.
144
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(гл. ш
Почленное сложение и вычитание двух последних равенств
дает:
eiz + e~iz = 2cosz; eiz — e~iz = 2i sin z,
откуда
Jz I	Az__ -Az
cos z =------; sin z =---------.	(3.14')
z	zz
Эти формулы также называются формулами Эйлера.
С помощью формулы Эйлера (3.14) тригонометрическая
форма комплексного числа (3.1) принимает вид
z = rei<p,	(3.15)
где г —> модуль z, ф — аргумент z.
Выражение (3.15) называется показательной формой
комплексного числа z.
Связь между показательной и гиперболическими функ-
циями. Имеем при любом комплексном z в силу (3.9),
(3.10), (3.11):
••• = (* +'2r + ir + ”') + (z + 'ir + 3r+ ...)-chz4-shz.
Заменяя z на — z, получим:
е~г = chz shz.
Почленное сложение и вычитание двух последних ра-
венств дает:
ez 4- e~z = 2 ch z; ez — e~z = 2 sh z,
откуда
ch z == 	; sh z ==	.	(3.16)
Связь между тригонометрическими и гиперболически-
ми функциями. Из (3.10), (3.12) следует:
chfz = 1 4-	4-... = 1 —+ •4Г + ••• = cosz
и аналогично
cos iz = ch z.
в 4)
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ
145
Из (3.11), (3.13) следует:
sh iz = iz -f
l3Z3 . l5Z5 ,	. / z3 , z5 \	. .
-31- + -5Г + - = l[z --ЗГ + -5Г - ”•)=1 Sln 1
и аналогично
sin iz = i sh z.
Таким образом,
ch iz == cos 2, cos iz = ch z\ |
sh iz = i sin z, sin iz — i sh z. |
(3.17)
Формулы (3.17) также непосредственно получаются из
(3.14') и (3.16).
Теорема сложения для показательной функции. Име-
ем, учитывая правило умножения абсолютно сходящихся
рядов;
Jt-l
е е	к\1\
к,1
Но
п—0 к-^1=п
J
*1 *2
к\1\
-2 4г 2
n=o fc4~z=n
п	п
.U V n!	_ V PM,»»-* _ .	1 _ \П
ЩГ Z1Z2 — 2j ft! (n _ ft)[ ziza — 2j	— (Z1 + za)
k~^l=n	fc=0 V	fc=0
(формула бинома Ньютона).
Следовательно,
+°° 1
ez.ez2 = 2 (zi + z2)n = etl+z‘.
n=0
Таким образом, доказана теорема сложения для показа-
тельной функции:
^+32 = eztez^	(3.18),
Отсюда видно, что показательная функция ez нигде в
нуль не обращается. В самом деле, если бы eZi = 0, то для
любого z ez = ez^Zx = Qez~z* = 0, но это нелепо, так
как е° = 1.
146	.. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.	[ГЛ. Ill
Теорема сложения для тригонометрических функций.
Учитывая (3.14'), (3.18), (3.14), получаем:
।	е«^ + е-ц^ eit4iz, +
COS (zx + Z2)---------2	----2------
____ (COS 21 + I sin 21) (COS 22 + i sin 22) I
-___2	"T“
. (cos 2i — i sin 21) (cos 22 — i sin 22)
+ ------------------------------------ = cos zx cos z2 — sin zx sm z2;
. z ,	.	eizieiz» _ e-izle-i2i
Sin (Zi + Z2) --------%--------------=--------------=
(cos 2i -j- i sin 21) (cos 22 +i sin 22)
2i	—
(cos 21 — i sin 21) (cos 22 — i sin 22)	.
---------------:---------------------- = Sin ZXCOS Z2 + cos zx sm z2.
Таким образом, доказаны теоремы сложения для косину-
са и синуса:
cos (zx + z2) = cos Zi cos z2 — sin Zi sin z2; | /о лп\
sin (zi + z2) = sin zx cos z2 + cos zx sin z2. ] (бЛУ/
Теоремы сложения для гиперболических функций.
Из (3.17) и (3.19) находим:
ch (zj 4- z2) = cos i (zx + z2) = cos izx cos tz2 —	1
— sin izx sin iz2 = ch zx ch z2 — i sh zxf sh z2 =
= ch zx ch z2 + sh zx sh z2;
K/ .	4 sin 1(214-22) sin izi cos из 4-cos izi sin	(3.20)
Sh (Zx 4- z2) ® —y-i =---------------:----------=
i sh zi ch 22 4- cb zi i sh 23	.	»	. >	1
=-----------i----------- = sh zx ch z2 4- ch zx sh z2.
Периодичность. Показательная функция ez имеет пе-
риод 2ni. В самом деле,
ez+2ni _	= ez (ео£ 2л4- i sin 2л) = ez.
Отсюда следует, что ch z, sh z (как выражающиеся через е2)
имеют также период 2nL Далее, функция егг имеет период
2л, так как
gi(z+2n) eiz+2ni —
следовательно, cos z, sin z (как выражающиеся через егг)
имеют также период 2 л.
§ 5)	НЕКОТОРЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	147
§ 5. Некоторые многозначные функции
комплексного переменного
Логарифмы комплексных чисел. Число w называется
логарифмом комплексного числа z (по основанию е), если
ew = z. Всякое значение логарифма числа z обозначим зна-
ком Ln я. Пусть z=/=0 (нуль, очевидно, не имеет логариф-
ма, так как показательная функция в нуль не обращается).
Пользуясь показательной формой данного числа z, z =
== rei(p (г — модуль, ф — аргумент) и алгебраической фор-
мой искомого числа w, w = и + iv, получим требование
£w+ic „ reicp или ^iv —
откуда еи = г, и = ф + 2кл (к — целое число) и, следо-
вательно,
w = In г + i (ф + 2 кп).
Обратно, при всяком целом к последнее выражение,
как непосредственно видно, есть значение логарифма чис-
ла z. Таким образом, Ln z, где я=£=0, имеет бесконечно мно-
го значений, причем все они получаются по формуле
Lnz = In г + £ (ф + 2кп)	(3.21)
(к — произвольное целое число) или
Ln я = In |я | + i Arg я.	(3.2Г)
Отсюда видно, что все значения Ln z получаются из како-
го-нибудь одного (Lnz)0 по формуле
Ln z = (Ln я)0 + 2 кт	(3.21")
(& — произвольное целое число).
Легко видеть, что обычные правила логарифмирования
остаются в силе.
Степени с комплексными основаниями и комплексными
показателями. Пусть А и В — любые комплексные числа
(где А =^= 0). Полагают по определению
А. в —
Отсюда видно, что эта степень, вообще говоря, имеет бес-
конечно много значений (так как Ln А имеет бесконечно
много значений). В случае, когда В есть действительное
целое число, значения показателя В Ln А правой части
148
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 1П
отличаются между собой на кратные от 2 ш‘, и, следова-
тельно, Ав имеет в этом случае одно значение.
Пример.
г	i-i(~ + 2kn)	+
tl = ?Lni = e ' 2	= e	'
(к — любое целое).
Обратные тригонометрические функции. Пусть z —
какое-нибудь комплексное число. По определению
Arcsin z есть любое комплексное число w такое, что
sin w == z. Следовательно, приходим к уравнению
eiw _ e-iw
и
ИЛИ
e2iw _ 2izeiw — 1 = 0,
решая которое, получим:
eiw = tz + /1 —z2 ;
w = ~ Ln (iz 4- уЧ — z2).
Таким образом, все значения арксинуса даются формулой
, Arcsin z = Ln (iz + ]Л1 — z2).	(3.22)
Многозначность этой функции происходит от двух при-
чин: двузначности квадратного корня,бесконечнозначно-
сти логарифма. Выражение (3.22) имеет смысл для всех зна-
чений z, ибо выражение, стоящее под знаком логарифма,
всегда отлично от нуля.
Далее, Arccos z есть любое комплексное число w та-
кое, что cos w = z, следовательно, получаем уравнение
eiw I e-iw
—1—=z
или
e2iw _ 2zeiw + 1=0,
откуда
eiw = z + V^z2 — 1; w = Ц- Ln(z + p^z2— 1).
J 5] НЕКОТОРЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ	149
Таким образом, все значения арккосинуса даются фор-
мулой
Arccos z = -у- Ln (z + /z2^!).	(3.23)
Многозначность этой функции происходит от двух при-
чин: двузначности квадратного корня и бесконечнознач-
ности логарифма. Выражение (3.23) имееет смысл для всех
значений z, так как выражение, стоящее под знаком лога-
рифма, имеет смысл для всех значений z и так как это вы-
ражение всегда отлично от нуля.
Рассмотрим еще Arctg z, определяемый как любое та-
кое число и?, что tg w = z. Имеем:
eiw_e-iw
i(eiw + e~iw) ~Z
ИЛИ
e2,'w —1
—-------= iz:
e2iw + l
следовательно,
Таким образом,
Arctg z =|Ln^i.	(3.24)
Lib	b “j— Z
Многозначность этой функции происходит от многознач-
ности логарифма. Выражение (3.24) теряет смысл при z =
= ± L
Обратные гиперболические функции. По определению
Arsh z есть любое такое комплексное число w, что sh w =
= z. Имеем;
ew - e~w
или
e2w _ 2zew — 1=0,
откуда
ew = z + ]A2 + 1; w = Ln (z + J^z2 4-1).
Таким образом,
Arsh z = Ln (z + /zM7!).	(3.25)
150
~ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Далее, Arch z есть любое такое w, что eh w = z. Тогда
/>w  f~w
--1~ — = z; e** — 2zew + 1=0;
ew = z + y^z® — 1;. о = Ln (z + }^z2 — 1),
следовательно,
Arch z = Ln (z + /z®^T).	(3.26)
Затем, Arth z есть по определению любое такое w, что
th w = z. Тогда
ew _ e-W	е2Ш _ J
----------= z; ------------= z:
ew + e-w ’ e2w + 1
1 + Z	1 T 1 + z
e2w = T . w _ Ln .	.
1 — 2	<4	1 — 2
Следовательно,
Arth z = 4" Ln .	(3.27)
£»	1 — 2
Это выражение теряет смысл при z = ± 1.
В теории аналитических функций многозначные функции целе-
сообразно рассматривать как однозначные на некоторых много-
листных поверхностях (так называемых римановых поверхностях).
Не имея возможности привести здесь какое бы то ни было общее оп-
ределение этих поверхностей, ограничимся примерами наглядного
построения этих поверхностей для простейших многозначных функ-
п
ЦИЙ Yz, Ln 2.
Рассмотрим п экземпляров плоскости комплексного перемен-
ного 2 (которые занумеруем числами 1, 2,	п), разрезанных по
положительной части действительной оси, и склеим их следующим
образом: нижний край разреза первого экземпляра склеивается с
верхним краем разреза второго экземпляра, нижний край разреза
второго экземпляра — с верхним краем разреза .третьего экземпля-
ра ит. д., нижний край разреза (п — 1)-го экземпляра — с верхним
краем разреза и-го экземпляра, наконец, нижний край разреза и-го
экземпляра — с верхним краем разреза первого экземпляра (пос-
леднее склеивание невозможно сделать без пересечений). В резуль-
тате получится w-листная поверхность, с точкой разветвления над 0.
Описывая простой замкнутый контур, охватывающий точку 0,
мы после каждого обхода будем попадать на следующий лист и после
п обходов придем в первоначальное положение, и-значную функцию
п
Yz на обычной плоскости комплексного переменного можно рассмат-
ПРОИЗВОДНАЯ
151
J el
ривать как однозначную на построенной n-листной поверхности.
п
Это будет риманова поверхность для Уz.
Рассмотрим теперь бесконечное множество экземпляров плос-
кости комплексного переменного (пронумерованных с помощью
всех целых чисел 0; с разрезами по положительной части дейст-
вительной оси. Для каждого целого п склеим нижний край w-ro
экземпляра с верхним краем (п + 1)-го экземпляра, В результате
получим бесконечнолистную поверхность. Обходя замкнутый кон-
тур, охватывающий точку 0, в любом направлении любое число раз,
мы будем всякий раз попадать на новые листы и никогда не вернем-
ся в первоначальное положение. Бесконечнозначную функцию
Arg z на обычной плоскости комплексного переменного можно рас-
сматривать как однозначную на построенной бесконечнолистной
поверхности. Тогда на этой же поверхности Ln z можно рассмат-
ривать как однозначную функцию (эта поверхность является рима-
новой поверхностью для Ln z).
§ 6. Производная функции комплексного переменного
Производная комплексной функции действительного
переменного. Пусть z (t) = х (t) + iy (0 — комплексная
функция действительного переменного t.
Эта функция называется непрерывной в точке t, если
для всякого е > 0 найдется такое т) 0, что при |Д£(
< ц имеем | z (t + Д0 — z (t) | < 8. Для непрерывности
z (0 в точке t необходима и достаточна непрерывность
функций х (0 и у (0 в точке t.
Производная от z (0 в точке t есть по определению
Az
д/-*о
если он существует, и обозначается dz]dt или z' (0. Из опре-
деления следует, что для существования dz/dt необходимо
и достаточно существование dx/dt и dy[dt, причем
dz   dx . . dy_
dt	dt * 1 dt
Определение производной функции комплексного пере-
менного. Пусть w = f (z) — функция комплексного пе-
ременного Z.
Эта функция называется непрерывной в точке z, если
для всякого 8 > 0 найдется такое т) > 0, что при | Дя| < ц
152	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. Ill
(если и + Ди] входит в область определения функции) име-
ем | Дм? К 8.
Производная от w = / (и) в точке z (функция предпо-
лагается определенной в окрестности этой точки) есть по
определению
lim-^ = lim
Az-*0	Az-»O	&z
если он существует, и обозначается dwjdz или /' (и).
Для существования производной в точке z необходима
непрерывность функции в этой точке.
Далее, будем говорить, что функция дифференцируе-
ма в точке и, если из приращения функции в этой точке
/ (z + Дг) — / (z)
может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая
часть вида С Ди (где С — некоторое комплексное число),
что оставшаяся часть будет бесконечно малой высшего по-
рядка относительно Ди. Таким образом, / (и) дифференци-
руема в точке и, если существует представление
f (z + Ди) — / (и) « С Ди + у (Ди) Ди,
где у (Ди) -> 0 при Ди -> 0.
Отсюда следует, что
;|. + л^/М = с + т(М_>С|
а это значит, что в рассматриваемой точке / (и) имеет про-
изводную /' (и) = С.
Обратно, если функция /(и) имеет производную в рас-
сматриваемой точке, то
/(, + л,)-<и_Г(г) + т(Дг)|
где у (Ди) 0 при Ди -> 0, откуда
/ (и + Ди) — / (и) = /' (и) Ди + у (Ди) Ди,
и, следовательно, в рассматриваемой точке функция / (и)
дифференцируема.
Таким образом, существование производной и диффе-
ренцируемость в точке — явления эквивалентные.
ПРОИЗВОДНАЯ
453
§ в]
Напоминание о полдом дифференциале функции двух действи-
тельных переменных. Функция и (х, у) называется дифференци-
руемой, или имеющей полный дифференциал в данной точке х, у
(функция предполагается определенной в окрестности этой точки),
если из полного приращения функции в этой точке
и (х + Ах, у + Ду) — и (х, у)
может быть выделена главная линейная часть, т. е. такая часть вида
ЛДя+ ВАу (где А и В — некоторые числа), что оставшаяся
часть будет бесконечно малой высшего порядка относительно
V Ах2 + Ду2. Таким образом, и (х, у) дифференцируема в точке
(ж, у), если существует представление
и (х + Да:, у + Ду) — и (х, у) =
= А Ах + ВАу + у (Да:, Ду) Y Ах* + Ду2,
где
у (Дж, Ду) 0 при - 0.
Тогда (беря Ду « 0)
и (х + Ах, у) — и (х, у) = А Ах + у (Ах, 0) | Ах |;
и (х -J- Ах, у) — и (х, у)
—---------± Т (Дж» 0) -♦ 4 при 0,
откуда видно, что в рассматриваемой точке функция и (х, у) име-
ет частную производную по х, причем ди/дх = А. Аналогично обна-
руживается существование частной производной по у и равенство
ди/ду = В.
Таким образом, главная линейная часть полного приращения
ди ди
функции и .о:, у) равнаАх + Ду. Она называется полным диф-
ференциалом функции и (х, у) в данной точке. Обозначая полный
дифференциал знаком du, а приращения независимых переменных
ди ди
знаками, dx и dy, получим формулу du = dx + dy.
Мы видим, что из существования полного дифференциала вы-
текает существование частных производных. Обратное неверно,
т. е. может случиться, что частные производные в точке существу-
ют, а полного дифференциала в этой точке не существует. Тем не
менее, если частные производные существуют в окрестности рассмат-
риваемой точки и, кроме того, в данной точке непрерывны, то в
данной точке существует полный дифференциал.
В самом деле, используя формулу Лагранжа, получим:
и(х + Ах,у + Ду) — 14 (х,у) = [и (х + Ах,у + Ду) — и(х,у + Ду)]
+ [и (х, у + Ду) — и (х, у)] = их (х + 0Да;, у + Ау)Ах +
+ иу (х, у + 01Ду)Ду == [ия' (х, у) + а]До: + [и/ (х, у) + ₽]Ду =
= ихг (х, у)Ах + иу (х, у)Ау + аАх + ₽Ду;_
л 0 Л а л ДаН
о<л <1; л >->о при д >-*о.
01 PJ	Ау )
154
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1ГЛ. III
следовательно, их' (х, у)Ах+иу (х, у)Ау является главной линей-
ной частью полного приращения и, таким образом, полный дифферен-
циал существует.
Необходимые условия дифференцируемости функции
комплексного переменного. Пусть
w ~ f (z) = и (х, у) 4- iv (х, у)
есть функция комплексного переменного z = х + iy,
дифференцируемая в данной точке z.
Так как в данной точке / (z) дифференцируема, то в
этой точке и (х, у) и v (х, у) тоже дифференцируемы. В са-
мом деле, если из приращения Aw = / (z + Az) — / (z)
может быть выделена главная линейная часть, то действи-
тельная часть и коэффициент при i в ней суть соответствен-
но главные линейные части полных приращений
Аи = и (х + Ах, у + Ау) — и (х, у)
и
Av = v (х + Ах, у + Ay) — v (х, у).
Если смещенная точка z + Az будет стремиться к z по
горизонтальному пути, то в выражении
Az = Ах + iAy
следует положить Ау = 0; тогда
Aw   Ан -f-f Дг?   Au . . Av du . dv
Az Ax	Ax ’ Ax * dx ' 1 dx
Если смещенная точка стремится к z по вертикальному
пути, то в выражении
Az = Ах + iAy
следует положить Ах == 0. Тогда
Aw	Au + iAv	_ Av	. Au	dv	. du
Az iAy	— Ay	1 Ay	dy	1 dy
Следовательно, для существующей по условию произ-
водной /' (z) получим выражения:
ч	du . . dv	dv	.du
f \z)	dx ' 1 dx	dy	1 dy 9
I в]
ПРОИЗВОДНАЯ
*55
откуда
.	Эу_______ди
дх ~~ ду 9	дх ~~ ду *
(3.28)
Уравнения (3.28) называются условиями Коши — Ри-
мана.
Достаточное условие дифференцируемости фунющи
комплексного переменного. Пусть и (х, у) nv (х, у) диф-
ференцируемы и удовлетворяют условиям Коши — Ри-
мана в данной точке. Тогда (ниже -> 0 при ду}->0)
имеем:
ди ди д ~------------------------------
+ аГА*+ау дУ+а^А*2 + дУа
Да Дя + iby	&х + i&y	*
dv dv	--------
•^7 Д® + Ду + 3 Кл®2 + Ду2
Дж + /Ду
ди dv { dv du \ Л г__________________________
дх А*— Ау + 1 \ д7 Д®+д7 ДУ)+ ^А*2 + Aj/1
_ (^ + *д7)(Аж + *Ду) + <а + *₽) /Д*2 + Ду2
Дж + /Ду
— ®и । • $v I <g + Ф) V && + Ауа
~~ dx *• 1 dx ‘ Дж + /Ду
Но
C + W^ + to.I _ J^T+piо при
д«4-»Ду I '	1 г г
&х
Ду
следовательно,
,. Aw du , . dv
hm-т—• = —Н-r»
Az dx 1 dx 9
t. e. f (z) существует.
Итак, для дифференцируемости функции комплексного
переменного w = f (z) = и (х, у) iv у) в данной точке
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке и (х, у) и
v U» у) были дифференцируемы и удовлетворяли бы услови-
ям Коши — Римана (3.28).
456
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
(3.30')
(3.30)

Для f (z) имеем формулы
,, . .	__ ди	. . dv _ dv	 . ди	- ди	. ди	__ dv	.	. ди
* дх 1 дх	ду ду дх	1 ду ду	'	1 дх	•
(3.29)
Пример. Пусть / (z) = ez — ех cos у + iex sin у. Все условия,
очевидно, выполнены, и из (3.29) получим /' (z) = ez.
Производная сложной функции. Пусть w =
= / (z), z = Ф (£); тогда w — / [ф (£)]. Из равенства
Ди? Ди? Дг
"ДГ= Дг “дТ
при Д£ -> 0 находим в пределе
dw dw dz
d^ ~dz ’
предполагая, что ф дифференцируема в точке £, / дифференцируе-
ма в точке z = ф (£).
dz
Вывод формулы (3.30) является законным, когда =/= 0, так
как тогда при Д£ достаточно малом будем иметь Дг =/= 0, и запись
dz
(3.30') имеет смысл. Если в данной точке — 0, то доказатель-
ство нуждается в поправках. Если существуют как угодно малые
Д£, для которых Дг =£ 0, то из (3.30') следует, что при стремлении
Ди?
Д? к нулю по таким * значениям отношение стремится к
dw dz	dw
-j---5=г =-3—0 = 0.
dz d£	dz
Для тех значений Д£, для которых Дг = 0, очевидно, Ди? =
= 0, поэтому, если существуют как угодно малые Д£, для которых
Дг = 0, то при стремлении Д£ к нулю по таким значениям отноше-
Ди?	Aw
ние -д^- тоже стремится к нулю. Таким образом, стремится к
dw
нулю при Д£ 0, поэтому-^- существует и равно нулю, а так как
в рассматриваемом случае правая часть формулы (3.30) тоже равна
dz
нулю, то формула (3.30) справедлива и в случае = 0.
Формально техника дифференцирования элементар-
ных функций комплексного переменного не отличается от
таковой для функций действительного переменного, и мы
не будем останавливаться на ней. Заметим еще, что если
z (t) — комплексная функция действительного перемен-
*
§ 71 АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 157
ного, / (z) — комплексная функция комплексного пере-
менного, то / [z (/)] будет комплексной функцией дейст-
вительного переменного. Рассуждая, как при выводе фор-
мулы (3.30), получим
= f lz (t)] z' (0	(3.31)
в предположении существования производных, фигуриру-
ющих в правой части.
§ 7. Аналитические и гармонические функции
Множество точек на плоскости называется открытым,
если вокруг каждой его точки можно описать круг, цели-
ком лежащий в рассматриваемом множестве. Открытое
множество называется областью, если всякие две его точ-
ки можно соединить непрерывной дугой, лежащей в рас-
сматриваемом множестве. Граничной точкой области назы-
вается точка, не принадлежащая области и такая, что в
любой близости к ней имеются точки рассматриваемой об-
ласти. Совокупность всех граничных точек области назы-
вается границей области. Если к области присоединить ее
границу, то полученное множество точек называется зам-
кнутой областью. Множество точек на плоскости называ-
ется ограниченным, если его можно поместить на некото-
ром круге достаточно большого радиуса.
Примеры. Внутренность простого замкнутого контура есть
ограниченная область. Внутренность простого замкнутого контура
вместе с точками самого контура образует ограниченную замкнутую
область.
Если С — простой замкнутый контур, С19	...» Сп — простые
замкнутые контуры, лежащие внутри С, но вне друг друга, то мно-
жество точек, лежащих внутри С, но вне всех Съ ..., Сп, есть
ограниченная область. Вся плоскость, полуплоскость, полоса меж-
ду параллельными прямыми, внутренность угла дают примеры
неограниченных областей.
Функция комплексного переменного / (z), определен-
ная в области D и дифференцируемая в каждой точке этой
области, называется аналитической в области D.
Функция двух действительных переменных и (х, у),
определенная в области D, имеющая в этой области не-
прерывные частные производные до второго порядка
158
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
бгл. in
включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа
-£ + > = °’ <3-32)
называется гармонической в области Z).
Между аналитическими и гармоническими функциями
имеется простая связь.
Действительная часть всякой аналитической функции
есть гармоническая функция.
В самом деле, пусть
/ (z) = и (х, у) 4- iv (х, у)
есть аналитическая функция в области D. Будем предпола-
гать, что и (х, у), v (х, у) имеют непрерывные частные про-
изводные до второго порядка включительно в области D
(заметим, что это предположение не является ограниче-
нием, ибо так всегда будет, но из самого определения ана-
литической функции этого непосредственно не видно).
Дифференцируя уравнения Коши — Римана
ди	dv ди	dv
dx ~~ ду ' ду .	дх
соответственно по х и по у и учитывая независимость част-
ных производных от последовательности дифференциро-
ваний, получим:
д*и.
дх*
д*и  д I ди\ . । £/	\ 
ду2	дх \ дх ) ‘ ду \ ду / дх \ ду / ду \	дх j
__ д*у_______d2v ____ 0,
дхду дхду ’
следовательно, и (х, у) есть гармоническая функция в об-
ласти D.
Очевидно, v (х, у) будет тоже гармонической, ибо яв-
ляется действительной частью для — if (z) == v (х, у) —
— in (х, у).
В случае односвязной области D (область называется
односвязной, если всякий непрерывный замкнутый путь,
лежащий в этой области, можно непрерывной деформа-
цией стянуть в точку, не выходя из области) справедливо
обратное предложение.
§ ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 159
Всякая гармоническая функция в односвязной области D
является действительной частью некоторой (однознач-
ной) аналитической функции.
В самом деле, если и (х, у) — гармоническая функция
в области Z>, то можно найти такую функцию v (х, у),
которая связана с и (х, у) уравнениями Коши — Римана
dv  	ди л	dv   ди
дх ~~	ду ’	ду — дх 9
если заметить, что выражения Р = — и Q = удов-
dQ дР с,
летворяют условию -------= 0, так как
Следовательно, и (я, у) 4* у) есть аналитическая
функция комплексного переменного z = х 4 iy в обла-
сти D.
Гармоническая функция v (х, у) называется сопряжен-
ной для гармонической функции и (х?*у). Мы видим, что
если и (х, у) — гармоническая, то выражение — зг 4
4-^ ^является полным дифференциалом и задача отыс-
кания сопряженной гармонической функции есть задача
интегрирования этого полного дифференциала. Сопряжен-
ная гармоническая функция определена с точностью до
произвольного постоянного слагаемого.
§ 8. Интеграл функции комплексного переменного
Простой шпеграл от комплексной функции действи-
тельного переменного. Пусть / (/) = <р (t) 4 гф W — не-
прерывная комплексная функция действительного пере-
менного t на сегменте t0 t Т (рис. 28).
Разбив этот сегмент на части с помощью точек деления
h (k <	< ...<	< tk+1 < ... < tn-J и взяв на каж-
дой части какую-нибудь точку т&, составим сумму
71—1
S / (Tfc)
fc=0
где М, = tk+1 _ tk.
160
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Тогда предел этой суммы при стремлении к нулю наи-
большей из разностей Д^ есть по определению интеграл
т
Из равенства
I—Hr
4 4
4---1—I-----1—1Г
7r	V
Рис. 28.
2 / Atk —
к
= S ф C'fc) &tk + i 2 (Tfc)
в пределе
получим формулу
т	т	т
/ (£) dt = (t dt 4* i (0 dt.
to	to	to
Определение интеграла функции комплексного пере-
менного; его выражение через криволинейные интегралы
и простейшие свойства. Пусть / (z) — непрерывная функ-
ция комплексного переменного на некоторой кусочно-
гладкой дуге АВ (рис. 29). Ра-
зобьем дугу АВ нЖ части; пусть	Чв
комплексные числа, соответ-
ствующие точкам деления, бу-
дут zk. На каждой части
возьмем точку, соответствующую
числу (в качестве в част- г
ности, можно взять z^), и обра- /
зуем сумму 2/(^)Дг*> г«е Х'Г
/f=o	Z/A
Lzk = zfe+1 — zk.
Предел этой суммы (при стрем-	Рис. 29.
лении к нулю длины наибольшей
из частных дуг) называется интегралом от / (z) вдоль
дуги АВ и обозначается знаком
J /(z)dz.	(3.33)
АВ
Легко выразить этот интеграл через обыкновенные кри-
волинейные интегралы [отсюда будет вытекать и факт су-
ществования интеграла (3.33), если существование кри-
волинейных интегралов считать известным].
§ 8] ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 161
Полагая / (z) = и (х, у) + iv (х, у); zk = хк + iyki бу-
дем иметь:
( / (z) dz = lim 2/ (2fc) д«к =
AB .	к
= lim 2 [и(жк> Ук) + Н^к» Ук)] (Д*к + *ДУк) -
= lim 2 (и (*к. Ук) Д*к — v	У к) ДУк 1 +
к
+ i lim2 (^к, Ук) Да:к + « (хк, Ук) &ук] =
к
= J и dx — v dy + i J v dx + и dy.
AB	AB
Таким образом,
f(z)dz = udx—vdy-\-i vdx^udy. (3.34)
AB	AB	AB
Из непосредственного определения интеграла (3.33), а
также из формулы (3.34) вытекает, что при перемене на-
правления пути интегрирования интеграл заменяется про-
тивоположным числом: J = — J J если путь разбит на
ВА АВ
части, то интеграл по всему пути равен сумме интегралов
по его частям; интеграл по замкнутому пути не зависит
от выбора начальной точки, а зависит только от направле-
ния обхода (в случае простого замкнутого контура можно
употреблять обозначения ф и причем (|> = — ф);
постоянные множители выносятся за знак интеграла;
интеграл суммы равен сумме интегралов.
Преобразование интеграла функции комплексного
переменного в простой интеграл от комплексной функции
действительного переменного. Если
х ~ х (Z), )
у = у (0. J
^1	^2»
суть параметрические уравнения дуги АВ, то z = z (t),
где z (t) = x. (t) + iy (t) есть комплексное параметричес-
кое уравнение дуги АВ. Тогда интеграл от функции комп-
лексного переменного (3.33) может быть преобразован в
6 П. И. Романовский
162
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ - '
[ГЛ. III
простой интеграл от комплексной функции действитель-
ного переменного по формуле
/ (z) dz — / [z (£)] z' (t) dt
AB	tj
(3.35)
[предполагаема (t) непрерывно дифференцируемой функцией
от d.
Формулу (3.35) можно вывести непосредственно, а
также получить ее из аналогичного правила для обыкно-
венных криволинейных интегралов следующим образом:
\ f(z)dz = \ udx — vdy + i \ vdx + udy =
Ав	дв	АВ
ti	tl
t2	t2	/2
= [(и + tv) + i-g-)dt = G(z)£ dt = $ /[z(«)]z'(t)dt.
G	ti	11
dz
Пример. Найти ф ~z _ a , где С — круг радиуса R с цент-
с
ром а = а + ф. Параметрические уравнения этого круга суть
х = а + R cos ф, 1 п	m
!/=Р + Я sin<U° <<₽<2я’
следовательно, комплексное параметрическое уравнение будет z =
« а + гр + R (cos <р + г sin <р) или z = а + 7?егф. Поэтому
2л .	2Л
г dz С (7?егф)' с/ф С _	о олч
=	(3.36)
Со	о
Если целое число п	—1, то
2п
ф V - a)ndz = (flei<₽)n (Яе!'ф)' dtp =
Q	О
2«	_(п+1)гср 2я
в Rn+1t \ e<n+1>itf,d<p — Яп+11 —=0.	(3.36')
§ 8) ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 163
Таким образом, при целом п
-^fy(z--a)ndz==
2ш кГ
с
JO n=£ —1,
ц п = —1.
(3.36")
Оценка модуля интеграла. Если на кусочно-гладкой
дуге АВ, имеющей длинуД имеем^ (z)| М, где / (z) —
непрерывная функция комплексного переменного на
дуге А В, то
| 2 f | SI / 11 azk i м 21 i-
Ic	к	к
Ho | Azk | есть расстояние между точками zk и zM и,
следовательно, 21	' есть Длина ломаной линии, вписан-
к
ной в дугу АВ, поэтому 21	I L-
К
Следовательно, 12 у д^ I < л/г, откуда в пределе
- | $ f(z)dz\^ML.
АВ
(3.37)
Таким образом, модуль интеграла от непрерывной функции
комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги не
превосходит произведения длины дуги на максимум модуля
подынтегральной функции на этой дуге.
Предельный переход под знаком интеграла. Пусть
/1 (*)> /2 (2)> •••> /п (я), •••
есть последовательность непрерывных функций комплекс-
ного переменного z на кусочно-гладкой дуге АВ (длины L),
равномерно сходящаяся к / (z) на этой дуге (это значит,
что для всякого е 0 найдется такой номер N, что при
п^> N для всех z на АВ будем иметь | fn (z) — / (z) | < е).
Функция / (z) будет непрерывна на АВ (это доказывается
так же, как в случае действительного переменного). Тогда
lim J fn(z)dz = ( f(z)dz.
AB
(3.38)
164
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
В самом деле, взяв е ~^> 0, найдем такое N, что при п
^>N будет |/п (z)—/(z) | < е для всех z на АВ.
Тогда по (3.37) получим:
I J /n(z)dz — $/(z)dz| = | J [/n(z) — f(z)]dz l<s£
AB	AB	AB
при И > AT,
что и доказывает (3.38).
§ 9. Основная теорема Коши
Пусть функция w = / (z) = и (ж, у) + tv (ж, у) анали-
тична в односвязной области D. Предположим, что част-
ные производные первого порядка от и (ж, у), v (х, у)^
существование которых вытекает из аналитичности / (z),
непрерывны в области D (заметим, что это предположение
не является ограничением, ибо так всегда будет, но из оп-
ределения аналитической функции этого непосредственно
не видно). Пусть С — какой-нибудь кусочно-гладкий зам-
кнутый путь, лежащий в D; тогда в силу (3.34)
(|) / (z) dz = (j) и dx — v dy + i (j) v dx 4- и dy,
c	c	c
но в силу условий Коши — Римана имеем
ди
дх
dv
~ду
д (— у)   ди в
дх	ду" ’
; следовательно, выражения и dx — v dy, v dx -|-
+ udy являются полными дифференциалами в односвяз-
ной области D, поэтому интегралы по замкнутому контуру
С от них равны нулю и, следовательно,	/ (z) dz = 0. Таким
образом, справедлива следующая теорема.
Основная теоремаКоши. Если функция f (z)
аналитична в односвязной области D, то интеграл от этой
функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого кон-
тура, лежащего в области D, равен нулю.
В частности, если С — простой замкнутый контур и
j (z) аналитична внутри него и на нем, то
ф / (z) dz == 0.
с
(3.39)
§ 9]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
165
Теорема Коши для сложного контура. Пусть С — про-
стой замкнутый контур и С2,..., Сп — простые замкну-
тые контуры, лежащие внутри С и вне друг друга. Пусть
f (z) аналитична в области, заключенной между контуром С
и контурами Сг, С2, ..., Сп, и на всех этих контурах.
Тогда
ф f(z)dz = ф/(я)дг + ф f(z)dz + • • • + ф/(2^г. (3.39')
С	с,	С9	сп
В самом деле, пусть, например, внутри контура О
(рис. 30) лежат два контура С и С" и / (z) аналитична
между контуром С и контурами С", С", а также на
всех этих контурах. Проведя
простые гладкие дуги kl, тп,
pq, соединяющие С и С', С"
и С", С" и С, получим в силу
основной теоремы Коши:
$ f(z)dz = O,
qgftlrmnipq
f(z)dz — Q.
khqpunmslk
Рис. 30.
Складывая эти равенства почленно и замечая, что по
каждой из дуг kl, тп, pq интегрирование происходит два
раза в различных направлениях, получим:
ф f (z) dz + d> / (z) dz + d> / (z) dz = 0
C	C'	C"
или
ф f (z)dz = ф f(z)dz + ф f (z) dz.
C	C'	C"
В частности, если f (z) аналитична в окрестности точки
а, кроме самой точки а, то интегралы по всем достаточно
малым простым замкнутым контурам, окружающим а
(взятым в одинаковом направлении, например положи-
тельном), равны между собой. В самом деле, пусть Сг и
С2 (рис. 31) — достаточно малые контуры, окружающие
а, и С8—контур, окружающий а и лежащий одновременно
166
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. 111
внутри Ci и внутри С2. По доказанному
ф/ (z) dz = ф f (z) dz; ф f(z)dz = $if(z) dz,
C,	Cs	Cg	Cg
откуда
ф f(z)dz = ф/ (z)-dz.
Ci	Сг
Формулу (3.39') можно переписать еще так!
ф/(г)(1г + ф /(z)dz-J-d>/(z)dz = О
с	с.	с„
или
$/(z)dz = 0,	(3.39")
Г
где Г есть сложный контур, составленный из наружного
контура С и внутренних контуров С1? Сп, причем поло-
жительное направление обхода Г
обозначает, что ограничиваемая
область должна оставаться слева
(следовательно, обход наружного
контура происходит в положи-
тельном направлении, а обходы
внутренних контуров происходят
в отрицательном направлении).
Интеграл с переменным верх-
ним пределом. Пусть / (z) ана-
литична в односвязной области
D. Из того факта, что интегра-
лы этой функции по замкнутым
путям, лежащим в D, равны нулю, следует, что интеграл
от / (z) не зависит от формы пути, а зависит лишь от
начальной и конечной точек пути. Поэтому при обозна-
чении интеграла нет надобности указывать путь, а доста-
точно лишь называть начало и конец z2 пути, употреб-
ляя обозначение
J f(z)dz.
*1
§ 91
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ
467
Рассмотрим функцию (интеграл с переменным верхним
пределом)
Z
Zo
Тогда
z+h	z+h
F(z + fe)-F(z) =
z	z
z+h	z+h
= -p J /(M; /(2) = 4 $
z	z
z+h
F^h^-F^	=	[/(£) _ /(z)]
z
Так как в точке z функция / непрерывна, то для всякого
е > О найдется такое т| 0, что при | g — z | < т)
будем иметь | /(£)—/ (z) | < е. Веря в качестве пути,
соединяющего z с z + h, прямолинейный отрезок и поль-
зуясь оценкой (3.37), получим при | h [ < ц:
|Л. + ГП.)_/м|<^|Л|,=8[
откуда следует, что
,. F (z 4- h) — F (z) ,, . г/ / \	\
lim —= j (z) или F' (z) = f (z).
h->0	n
Таким образом, аналитическая функция всегда имеет
первообразную. В качестве таковой может быть взят ин-
теграл с переменным верхним пределом.
Лемма. Если Ф' (z) = О в некоторой области, то в
этой области Ф (z) = const.
Полагая Ф (z) = и (х, у) + iv (х, у), найдем из усло-
вия Ф' (z) = 0, что
ди   ди   dv   dv  q,
дх	ду	дх	ду ’
но тогда и — const, v = const и, следовательно,
Ф (z) == const.
168
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Hi
Из этой леммы следует, что всякие две первообразные
от одной функции отличаются на постоянное. В самом
деле, если F\' (z) = F2' (z), то
{F2 (z) -	(z)}' =F2' (z) - Л' (2) = 0,
и поэтому на основании леммы F2 (z) — Fr (z) = const.
Обозначая знаком J / (z) dz любую первообразную для
аналитической функции / (z), найдем на основании сказан-
ного:
z
$/(z)dz = $ /(0^4-С,
Zo
где С — произвольное комплексное число.
Формально техника отыскания первообразных от эле-
ментарных функций комплексного переменного не отли-
чается от таковой для функций действительного перемен-
ного, и мы не будем останавливаться на ней.
Изложенное выше доказательство существования пер-
вообразной остается в силе, если вместо требования ана-
литичности в односвязнрй области D потребовать, чтобы
комплексная функция / (z) была непрерывной в некоторой
области D и чтобы интеграл от / (z) вдоль любого кусоч-
но-гладкого замкнутого пути, лежащего в D, был ра-
вен нулю. Но первообразная F (z) от / (z) как функ-
ция, имеющая производную в Р, является аналитической
в Р, поэтому / (z), как производная от аналитической
функции в Р, сама будет аналитической в области Р
(см. § 12). Следовательно, справедлива
Теорема Морера. Если непрерывная комплексная
функция f (z) в некоторой области D обладает тем свойст-
вом, что интеграл от / (z) вдоль любого кусочно-гладкого
замкнутого пути, лежащего в D, равен нулю, то f (z) ана-
литична в области D.
Таким образом, основная теорема Коши обратима и име-
ет место.
Теорема. Чтобы комплексная функция / (z) в одно-
связной области D была аналитической в D, необходимо и
достаточно, чтобы f (z) была непрерывной в D и чтобы ин-
теграл от / (z) вдоль любого кусочно-гладкого замкнутого
пути, лежащего в D, был равен нулю.
§ 10J
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ
169
§ 10. Интегральная формула Коши
Пусть / (z) — аналитическая функция в области, огра-
ниченной кусочно-гладким замкнутым контуром С (рис.
32), и на этом контуре. Фиксируем точку z внутри С и со-
ставим функцию
<РЙ)=
ъ *
Эта функция аналитична во всех точках внутри кон-
тура С и на нем, за исключением точки z. Однако при £
-> z имеем ф (t) -> /' (z), по-
этому если доопределить
функцию ф в точке z требо-
ванием ф (z) = /' (z), тоф (£)
станет непрерывной функци-
ей в ограниченной замкнутой
области, ограниченной кон-
туром С, и, следовательно,
будет ограниченной.
Таким образом, в рассмат-
риваемой области | Ф (С) | <
< К, где К — некоторое по-
ложительное число.
Пусть у — круг радиуса р
с центром z, лежащий внут-
ри С. По теореме Коши для сложного контура имеем:
фф(М = фф(О^
С	Y
но согласно правилу оценки модуля интеграла (3.37)
имеем:
|фф(М|<2лрЯ,
следовательно, переходя к пределу при р -*• 0 в последнем
равенстве, получим:
ф<р(0^=о,
или
Ф	<% = 0,
С
470
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
£ГЛ. Ш
ИЛИ
С ь	с *
Но согласно теореме Коши для сложного контура и в силу
(3.36)
= Ф^7"2я|’
Y

£-2
поэтому предыдущее равенство принимает вид:
фЖ^-_2т7(г) =0,
С
откуда
/(*)
1 Л
“ 2тИ g* £ — z •
(3.40)
Формула (3.40) называется интегральной формулой
Коши и является центральной формулой теории аналити-
ческих функций. Из фор-
мулы (3.40) видно, что
значения аналитической
функции внутри С вполне
^определяются значениями
этой функции на С. Пра-
вая часть формулы (3.40)
называется интегралом
Коши.
рИСе зз	Вместо простого замк-
нутого контура С можно
брать сложный контур Г, состоящий из наружного кон-
тура и нескольких внутренних контуров (рис. 33). Тогда
в результате такого же рассуждения найдем, что если
/ (z) — аналитическая функция в области, ограниченной
сложным контуром Г, и на нем, то для всякой точки z в
этой области справедливо равенство
г ъ
Это — интегральная формула Коши для сложного кон-
тура.
§ и!
ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ
171
§ И. Интеграл типа Коши
Пусть Г — кусочно-гладкая дуга (замкнутая или не-
замкнутая). Пусть ф (£) — непрерывная функция на дуге
Г (рис. 34). Тогда выражение
(3.41)
Г	*
имеющее смысл для всех z, не лежащих на Г (ибо тогда
подынтегральное выражение будет
непрерывной функцией от t), назы-
вается интегралом типа Коши. То
же можно сказать о выражении бо-	s'
лее общего вида	/р
(3.4Г) /
р “ Z)	/
где к — натуральное число.
Покажем, что выражение (3.4Г) Рис- За-
является аналитической функцией
для всех значений z, не лежащих на дуге Г. Учитывая
формулу
а1* — № = (а — Ь) (а^1 + аК~2 b +	Ь^1),
получаем:
Ф (zi) — Ф (г) _
Zi — z
С ф(ЕМ£ с ф(£М£
J (£-2)*
21 —2
1 _ 1
(E-zQ* (£-*)*
Zi — 2
(C—z)*—(С—*»)*
(Z1_Z)(S_Z1)\S_Z)»
e f m (r\ (5 -	+ (C ~ z)k"2 (5 - Zi) +  + (£ - zi)*-1
Фиксируя z и полагая
Y (C Z ) =	(g - zl) + •••+(? - *1)W
’ 1	(£-zi)’t(g-z)'c
172
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. Ill
можем написать:
-у(г"Г(г)	21)^.
Очевидно, Y (£, zj есть непрерывная функция своих ар-
гументов, когда Z лежит на Г и zT не лежит на Г.
<
Она будет равномерно непрерывной функцией переменных
zj, когда £ находится на Г, z± — на круге с центром z, не имеющем
общих точек с Г (по теореме о равномерной непрерывности функции,
непрерывной на ограниченном замкнутом множестве). Отсюда сле-
дует, что при zi —> z имеем Т (£, zj Y (£, z) равномерно относи-
тельно £ на Г. Вследствие этого излагаемый ниже предельный пере-
ход под знаком интеграла является законным.
Переходя к пределу при -> z, получим:
lim ф^-ф.^ =Л <р(£) Т(£,z)
г,-»г z,~z J
к
Учитывая, что Т (£, z) —------г— , и замечая, что
(£-*)* 1
И (0	== д | <р(0 1
(?_г)"+‘ -*)*]’
приходим к формуле
Ф'(2) = Ц —ф®.	= С д Г. ф® 1 %'
} (£-г)“+1 Ъ J dz
Таким образом, Ф (z) имеет производную в каждой точке
z, не лежащей на Г.
Итак, если <р (£) — непрерывная функция на кусочно-
гладкой дуге Г, то функция Ф(з)=^	являет-
“ *)
ся аналитической для всех значений z, не лежащих на Г,
причем производная этой функции получается по прави-
лу дифференцирования под знаком интеграла:
ф' (z) = А [	<£ = И —<%.	(3.42)
Рг1(?-г)4 J (£-z)U1 ъ ’
Выражение для Ф' (z) имеет снова тип (3.4Г), поэто-
му к нему применимо все сказанное о Ф (z). Отсюда
§ 12]	ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	173
заключаем, что функция, определяемая формулой
ф(г)=^7Г^^
J (С — г)
для всех значений г, не лежащих на Г, имеет производные
всех порядков, причем выражения для них получаются
в результате последова тельных дифференцирований под
знаком интеграла:
= *(‘ + 1)..№ + »-!)?	. (3.43)
§ 12.	Производные высших порядков
от аналитической функции
Пусть / (z) — аналитическая функция в какой-нибудь
области D. Пусть С — замкнутый контур, лежащий вмес-
те со своей внутренностью в этой области. Для всех то-
чек z, лежащих внутри этого контура, имеем на основа-
нии интегральной формулы Коши:

Но интеграл Коши, стоящий в правой части, является
частным случаем интеграла типа Коши, следовательно, на
основании изложенного в HI, / (z) имеет внутри С произ-
водные всех порядков, получающиеся на основании (3.43)
по формуле
= <ЗЛ4>
Так как любую точку области D можно окружить зам-
кнутым контуром, лежащим (вместе с внутренностью)
в области Р, то приходим к следующему выводу: всякая
аналитическая функция в какой-нибудь области имеет в
этой области производные всех порядков, причем все они
являются аналитическими функциями в этой области.
174
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ЙУЛ. ш
Следует заметить что функции действительно перемен-
ного таким свойством не обладают. Функция действитель-
ного переменного может иметь первую производную, но
не иметь второй производной.
§ 13.	Последовательности и ряды
аналитических функций
Будем говорить, что последовательность функций
/1 (z), /г (z),. . /п (г), ...»
определенных в некоторой области Л, сходится равномерно
внутри области D, если она сходится равномерно на каж-
дой ограниченной замкнутой области, лежащей в D.
Теорема. Если последовательность аналитических
функций в области D
fi fz • * • $ in (^), • • •
сходится равномерно внутри области D к функции f (z), то
f (z) — функция, аналитическая в области D, причем пос-
ледовательность производных
fl U), /2 (2),. . . , fn (z),. . .
равномерно сходится внутри области D к производной
предельной функции, т. е. к f (z).
Пусть С — замкнутый контур, лежащий вместе с вну-
тренностью в D, и z — точка внутри С. Тогда по формуле
Коши
с ь
Но /п.(С) -> / (С) равномерно на С, следовательно,
/Я(О . /(С)
t-z i-z
равномерно на С (при фиксированном г); поэтому на ос-
новании правила предельного перехода (3.38)
'W--
§ 13]
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
17»
Таким образом, внутри С предельная функция / (а)
выражается интегралом типа Коши, следовательно, являет*
ся аналитической. Но любую точку области D можно окру-
жить таким контуром С,
следовательно, предельная
функция / (z) аналитична
во всей области D. Пусть
теперь Д — какая-нибудь
ограниченная замкнутая
область (рис. 35), лежа-
щая в D, и С — замкну-
тый контур длины L, ле-
жащий вместе с внутрен-
ностью в D и такой, что
Д лежит внутри С. Пусть
6 — расстояние между С
и Д (т. е. наименьшее из
расстояний точек на С от точек в Д). Имеем при z, ле-
жащем в Д [в силу формул (3.44) для п = 1]:
/. W - Г Ы - 4- ф	<К - ф _
с	с
2лг Г (£-z)*
и
Но fn (£) -> / (£) на С равномерно, следовательно, для
всякого 8 > 0 найдется такой номер N, что при п> N
будем иметь \fn (£) — f (£)| < е при всех С на С. Тогда
из последней формулы найдем (по правилу оценки модуля
интеграла):
при п> N и любом z на Д* Этим доказано, что fn (z)-^f\z)
равномерно на любой ограниченной замкнутой обла-
сти Д, лежащей в D.
Замечание. Мы видим, что последовательность про-
изводных /п (z) находится в таких же условиях, как после-
довательность функций /л (z), поэтому к ней также при-
менима доказанная теорема.
476
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. III
Рис. 36.
сходится внутри
Таким образом, если последовательность аналитических
функций fn (z) в области D равномерно сходится внутри D
Ж t (z), то последовательность производных любого по-
рядка от /п (z) равномерно сходится
внутри D к производной такого же по-
рядка от / (z).
Пусть теперь имеем функциональный
ряд
2<Pn(z),
члены которого суть аналитические
функции в области D. Из доказанного сле-
дует, что если этот ряд равномерно
D, то его сумма аналитична в D
в ряд можно сколько угодно раз почленно дифферен-
цировать, причем все получающиеся ряды равномерно
сходятся внутри D.
со
Аналитичность суммы степенного ряда. Пусть 2 Anzn —
о
степенной ряд и R — его радиус сходимости. Пусть
О < г < R- Точка г, как лежащая внутри круга сходи-
мости (рис. 36), есть точка абсолютной сходимости
степенного ряда, т. е. ряд 2 |Апгп| сходится. Но при
|z| г имеем |Anzn| |4лгп|, поэтому степенной ряд
2lAnzn равномерно сходится на круге \z| г. Так как лю-
бая замкнутая область, лежащая внутри круга сходи-
мости, может быть заключена в круг |z| при надлежа-
щем выборе числа г <Z R, то приходим к следующему
заключению: всякий степенной ряд равномерно сходится
внутри круга сходимости.
Примечание. На внутренности круга сходимости схо-
димость может быть неравномерной.
Так как члены степенного ряда Anzn являются анали-
тическими функциями, то из доказанной теоремы следует,
что сумма степенного ряда есть аналитическая функция
внутри круга сходимости и что степенной ряд можно
любое число раз почленно дифференцировать внутри круга
сходимости. Следовательно, получающиеся в результате
этого степенные ряды имеют не меныпий радиус сходи-
мости (на самом деле тот же радиус сходимости).
5 141
РЯД ТЕЙЛОРА
177
+ оо
Аналогично, степенной ряд ^An(z — а)п равномерно
о
сходится внутри круга с центром в точке а (рис. 37), а его
сумма есть аналитическая функция внутри этого круга;
Рис. 37	Рис. 38.
+ оо
ряд 2 4» (* — а)П? имеющий кольцо сходимости (рис. 38) f
— оо
равномерно сходится внутри кольца и его сумма есть ана-
литическая функция внутри этого кольца. При этом за-
конно почленное дифференцирование любое число раз.
§ 14.	Ряд Тейлора
Пусть / (z) — аналитическая функция внутри круга с
центром а (радиус которого может быть, в частности, ра-
вен + оо — тогда это будет вся плос-
кость).
Пусть z — точка внутри данного
круга и С — концентрическая окруж-
ность меньшего радиуса такая, что z
лежит внутри нее (рис. 39). Пусть
г = |z — а|, р — радиус круга С. По
формуле Коши
с ъ
При £ на С имеем:
1 . 1
С — 2 “ (£ — а) — (г — а)
и так как ||—=
|£—а| р
_1
\	£—а/
то последнее выражение
178
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[гл. Гн
можно рассматривать как сумму убывающей геометрической
1	z — а
прогрессии с первым членом и знаменателем •
Таким образом,
1	_ 1	।	2 а д_
[ (z — Д)П >	_ (z — a)n
(£ —a)n+1 "» • • •
Сходимость этого ряда равномерна по £ на С (при фикси-
рованном z), так как этот ряд мажорируется числовой
убывающей геометрической прогрессией Zj
Умножая предыдущее равенство на / (£), интегрируя
почленно по С и деля на 2ш, получим:
2^
/(£)<%
$ — 2
= s<2—
n—О	G
/(£) с
(?-«)n+1
или
где
-1-00
f(*)= 2 An(z-a)n,
«5=0
л = J—
£-а)п+1’
причем Г есть произвольно фиксированная окружность с
центром а, лежа щая внутри первоначально заданного
круга (замена С на Г законна, так как -- —анали-
тична между С и Г, включая их).
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема. Всякая аналитическая функция f (z) внутри
круга с центром а может быть разложена внутри этого
круга в степенной ряд
4-00
/(Z)= 2 4» (« — а)*»	(3.45)
О
« 14]
РЯД ТЕЙЛОРА
179
коэффициенты которого определяются формулой
Л" “ й dz (п ~ °’ *’ г'   (3-4в)
где Г — какая-нибудь окружность с центром а, лежащая
внутри данного круга.
Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для
/ (z) в рассматриваемом круге.
Пусть функция / (z) разложена в круге с центром а
+ °°
в какой-нибудь степенной ряд 2 (z ““ Пусть
о
Г — концентрическая окружность меньшего радиуса. Тог-
да на Г этот ряд равномерно сходится. Умножая равенст-
во / (z) =2 Ak (z на (—“рЛ » интегрируя затем
почленно вдоль Г и умножая еще на , получим!
1 (£	/ (z) dz
(z— a)n+1
— 2 2ni Ф (z ““ a)k П ldz —
k—Q Г
учитывая, что в силу (3.36")

Этим доказана единственность разложения аналити-
ческой функции в круге с центром а в степенной ряд по
степеням z — а.
Лемма. Пусть / (z) — аналитическаяс функция в области D9
равная нулю в некоторой области d, содержащейся-в D. Тогда / (z)
тождественно равна нулю в D.
Сделаем предварительное замечание. Из формулы (3.46) вид-
но, что если функция аналитична внутри некоторого круга К и
равна нулю в концентрическом круге к меньшего радиуса (рис. 40),
то она равна нулю внутри круга К. В самом деле, взяв Г лежащим
внутри меньшего круга к, найдем по формулам (3.46), что все Ап =
= 0, но тогда по формуле (3.45) / (z) == 0 внутри К.
Рассмотрим теперь конечную цепочку лежащих в D кругов
обладающую тем свойством, что центр каждого круга лежит внут-
ри предыдущего круга, центр первого круга лежит в d, центр по-
следнего круга лежит в произвольно выбранной точке z области Dt
180
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Такую цепочку кругов можно, например, построить следующим
способом (рис. 41). Соединим точку z0, принадлежащую области d,
спрямляемой дугой Г с точкой z. Пусть положительно э число о
меньше расстояния дуги Г до границы области D. Разобьем Г на
конечное число частей с длинами, меньшими б. Тогда цепочка кру-
гов радиуса б с центрами в точках деления удовлетворяет всем нуж-
ным требованиям.
С помощью сделанного выше замечания найдем последователь-
но, что / (z) равна нулю внутри Къ внутри АГг, ..., внутри Кп. Та-
ким образом, для любой точки z области D получим f (z) == 0.
Легко видеть, что если / (z) — аналитическая функ-
ция в области D, не равная тождественно нулю, то вокруг
всякой точки а области D можно описать такой круг,
лежащий в Z>, что внутри этого круга, кроме, может быть,
точки а, функция f (z) отлична от нуля.
В самом деле, опишем около точки а круг, лежащий в
D. Согласно лемме в этом круге / (z) не может быть тож-
дественно равна нулю. Следовательно, в разложении
функции / (z) в этом круге в ряд по степеням z — а не
может случиться, что все коэффициенты равны нулю.
4-00
Пусть в упомянутом разложении f(z) = 2 Ak(z — a)k
о
первый из коэффициентов, отличных от нуля, есть Ап
(п >0), тогда
/ (z) = Ап (а — а)п 4- Лп+1 (z — a)n+1 + . . . = (z — а)"ф (z),
где <p (z) = Ап + 4n+1 (z — a) -J- . . .
Функция ф (z) непрерывна в точке а и ф (а) = Ап =/= О,
следовательно, в достаточно малом концентрическом кру-
ге меньшего радиуса <р (z) =/= 0, а поэтому, за исключе-
нием, быть может, точки а, имеем в этом круге / (z) =£= 0.
РЯД ТЕЙЛОРА
181
§ 14)
Точка а называется нулем функции / (z), если / (а) = 0.
Из последнего предложения следует, что если / (z), ана-
литическая в области D, не равна тождественно нулю, то
все ее нули в области D изолированные (т. е. вокруг каж-
дого из них можно описать такой круг, что других нулей
в этом круге не будет). Кратностью нуля аналитической
функции (не равной тождественно нулю) называется
такое п, что разложение в степенной ряд в окрестности
рассматриваемого нуля а начинается с n-й степени, иначе
говоря, если в окрестности а имеем / (г) = (z — а)п <р (z),
где аналитическая функция <р (z) такая, что <р (а) =(= 0.
Нули кратности 1 называются простыми, нули кратности
2 — двойными, нули кратности 3 — тройными.
Теорема единственности. Если в области D даны
две аналитические функции, совпадающие на множестве точек, имею-
щем хотя бы одну предельную точку, лежащую в D, то эти две функ-
ции тождественно равны.
В самом деле, пусть а — упомянутая предельная точка. Тогда
разность рассматриваемых функций обращается в нуль в точках,
находящихся как угодно близко к а и отличных от а, но по доказан-
ному этого не может быть, если рассматриваемые функции не сов-
падают тождественно.
Формула (3.46) для коэффициентов ряда Тейлора мо-
жет быть переписана на основании формулы (3.44) в виде
= (n = 0, 1, 2,...).	(3.47)
ill
Оценка модулей коэффициентов ряда Тейлора. Если
на окружности Г модуль функции / (z) не превышает Л/,
то, обозначая через R радиус окружности Г и оценивая
интеграл в формуле (3.46) по правилу оценки модуля
интеграла (3.37), получим:
I д । — IJL (£ dz I < 1 М 2nR — —
Таким образом, получаем неравенства
(n = 0, 1, 2,...).	(3.48)
К
Из (3.48) -непосредственно вытекает теорема Лиувилля: целая
функция (т. е. аналитическая на всей плоскости , ограниченная на
182
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. III
всей плоскости, есть постоянная. В самом деле, пусть на всей плос-
кости
оо
/ (2) = У, Anzn-,
о

М
Rn ’
Тогда при любом R имеем | Ап |	, откуда в пределе при
R
R —> оо найдем (при 0) | Ап |	0, т. е. Ап = 0. Следовательно,
/ (z) = А о = const.
Из теоремы Лиувилля легко вытекает основная теорема высшей
алгебры: всякий полином, отличный от постоянной, имеет по край-
ней мере один нуль. В самом деле, если бы полином Р (z) не имел
1
нулей, то была бы целой функцией. Так как известно, что P(z)—>
1
оо при z —> оо, то	при z -> оо, откуда видно, что
1
будет ограниченной на всей плоскости. Но тогда по теореме
1
Лиувилля р = const и, следовательно, Р (z) = const, что про-
тиворечит предположению.
§ 15. Ряд Лорана
Пусть / (z) — аналитическая функция внутри кольца
(рис. 42) между двумя окружностями с центром а (если
• радиус внутренней окружности равен
О 0, то кольцо становится кругом с «вы-
колотым» центром; если радиус внеш-
ней окружности равен оо , то кольцо
становится внешностью круга; если
упомянутое происходит одновремен-
но, то кольцо становится плоскостью
с выколотой точкой). Пусть Z —
Рис. ±2. точка внутри этого кольца, С и
С' — концентрические окружности,
лежащие внутри кольца и такие, что z лежит внутри
С и вне С". По формуле Коши для сложного контура

1 Ж /
2m Г1 5 — z —
С*
1 , 1
—	z 'Г2лг г — ? •
I 15]
РЯД ЛОРАНА
183
Первое слагаемое правой части на основании выкла-
док § 14 представляется рядом
где
п “ 2лг У a)n+i ’
причем Г — какая-нибудь фиксированная концентричес-
кая окружность внутри кольца.
Остается преобразовать второе слагаемое ф 9
Положим \z — а| = г и радиус круга С' обозначим че-
рез р. Тогда при на С' имеем:
1 1 ________________________1______
Z—s z — а — (g — a) (z — a) (1 —	’
\ z — а)
It — а| р л
и так как 5------ =-*-<2 1, то последнее выражение
I z — а [ г
можно рассматривать как сумму убывающей геометри-
1
ческой прогрессии с первым членом ---------и знамена-
телем • Таким образом,
1_____1 । е-д .	, с-л)"-1,	. =’у (с-д)"-1
z — а ’ (z — й)2 * * * * ' (2_а)п "’•••	(z — a)n ’
Сходимость этого ряда — равномерная по £ на С" (при
фиксированном z), так как этот ряд мажорируется чио-
новой убывающей геометрической прогрессией	.
Умножая на f (£), интегрируя почленно по С и деля на
2л/, получим:
® “ I й t®<£ -а>” к -
4-е»
= 2 Л_п(г -а)Л
TV=1
184
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ill
где
/6)6 -	= S ф
[замена С' на Г законна, так как /(£) (£ — а)п“х аналитич-
на между С' и Г, включая их].
Складывая разложения
с
/(04
ЛФ
2ш if
G
/(£)<%
и
получим разложение f (z) в ряд по целым степеням z — а
с показателями = 0. Этим доказана следующая теорема.
Теорема. Всякая функция / (z), аналитическая
внутри кольца с центром а9 может быть разложена внутри
этого кольца в ряд
4-00
/(*)= ЕЛ(з-«)п,	(3.49)
коэффициенты которого определяются формулой
<»=0- ±1. ±2,...), (3.50)
где Г •— какая-нибудь окружность с центром а, лежащая
внутри данного кольца.
Этот ряд называется рядом Лорана для / (z) в рассмат-
риваемом кольце.
Если функция / (z) разложена в кольце с центром а в
4-00
какой-нибудь ряд вида 2 Л» (г —«)”, т0> рассуждая
— оо
дословно, как в соответствующем месте § 14, получим!
(Ь f Ф dz — л
где Г — окружность с центром а, лежащая внутри кольца.
Этим доказана единственность разложения аналити-
ческой функции в кольце с центром а в ряд по целым
(gg 0) степеням z — а.
§ 161	ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
185
Оценка модулей коэффициентов ряда Лорана. Если на
окружности Г, лежащей внутри кольца, модуль функции
/ (z) не превышает М, то, обозначая через R радиус ок-
ружности, получим как при выводе неравенств (3.48)
аналогичные неравенства
(п = 0, ±1, ±2,...).	(3.51)
п.
§ 16. Изолированные особые точки
аналитической функции
Точки, в которых нарушается аналитичность функ-
ции, называются особыми. Если в достаточной близости к
особой точке а нет других особых точек, то особая точка а
называется изолированной особой точкой. Если а есть
изолированная особая точка функции / (z), то в достаточ-
но малом круге с выколотым центром а функция / (z) бу-
дет аналитичной и, следовательно, разлагается в ряд
Лорана
+°°
/(z) = S ЛДз-аД	(3.52)
— оо
Логически возможны и исключают друг друга следую-
щие три случая:
1)	в разложении (3.52) нет членов с отрицательными
показателями;
2)	в разложении (3.52) есть лишь конечное число чле-
нов с отрицательными показателями;
3)	в разложении (3.52) есть бесконечно много членов
с отрицательными показателями.
В этих случаях особая точка а называется соответствен-
но 1) устранимой', 2) полюсом', 3) существенно особой.
Члены разложения с отрицательными показателями п
составляют главную часть / (z) в окрестности особой точ-
ки а.
Если а — устранимая, то в окрестности точки а
+ 00
/(z)= 2л(2-«)‘;
о
следовательно, после над лежащего доопределения функции
186
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
в точке a If (а) = Л01 функция f (z) становится ана-
литической в точке а и «особенность устраняется». В дос-
таточно малой окрестности устранимой особой точки
функция / (z) ограничена. Обратно, если / (z) ограничена
в некоторой окрестности изолированной особой точки а,
|/ (я) I М, то эта точка есть устранимая особая. В са-
мом деле, при п > 0 и достаточно малом R имеем в силу
(3.51) |Л_П| MRn, откуда при R 0 в пределе полу-
чим |А_П|	0, и, следовательно, А_п = 0.
Если а — полюс, то в окрестности а имеем:
4-00
/(*)= 2
—71
А_п =£= 0, откуда
Ф W
где
ср (z) = 4_л 4- Л_п+1 (z — а) + . • . -j- Ло (z — а)п 4- . . .
есть аналитическая функция в окрестности точки а, при-
чем ф (а) = А_п =/= 0. Обратно, если
/(z) = - ф(г) » где
(Z — а)п
Ф (z) аналитична в окрестности а и ф (а) =/= 0, то а есть
полюс п-го порядка для f (z) (п называется порядком по-
люса а, полюсы кратности 1 называются простыми, полю-
сы кратности 2 — двойными, полюсы кратности 3 — трой-
ными).
Из такого выражения для / (z) следует, что при z а
имеем / (z) оо. Таким образом, при стремлении неза-
висимого переменного z к полюсу аналитической функции
функция стремится к бесконечности. Легко видеть, что
если а есть n-кратный нуль для / (z), то а будет п-крат-
1
ным полюсом для так как из равенства / (z) =
= (z — а)п ф (z) [где ф (z) аналитическая в окрестности а,
отличная от нуля в al следует:
1 __ 1 1
/ (2) (Z - а)п Ф (*)
(но аналитическая в окрестности а и отличается от
нуля в а).
§ 161
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
187
Если а — существенно особая точка, то в любой ок-
рестности а значения функции / (z) как угодно близко
подходят к любому комплексному числу (теорема Сохоц-
кого). В самом деле, если бы в некоторой окрестности точ-
ки
ла
бы
а имели I/ (z) — А | >• б, где б > 0, то —г--г бы-
J и) — SL
бы ограничена вблизи а и, следовательно, а являлась
устранимой особой точкой для
поэтому
1
/ (2) —	’
уру—-j- = <р (z)? где ф (z) аналитична в окрестности а, но
тогда вокруг а имеем / (z) = А Н--J-r , откуда следует, что
ф (Z)
а является для / (z) либо устранимой особой точкой [если
ф (а) =/= 01, либо полюсом [если ф (а) = 0], что противоречит
условию.
Справедлива более глубокая теорема Пикара, согласно кото-
рой любой окрестности существенно особой точки аналитическая
функция не только как угодно близко подходит к любому комплекс-
ному числу, но принимает все комплексные значения, кроме, быть
может, одного.
Если в области D функция / (z) может иметь в качестве
особых точек только полюсы, то / (z) называется меро-
морфной в области D. Пусть / (z) мероморфна в области D
и а — какая-нибудь точка этой области. Тогда в окрест-
ности точки а имеем:
/ (z) = (z—а)п ф (z),
где ф (z) аналитична в окрестности а и ф (а) =£= 0. Число п
назовем порядком функции / (z) в точке а. Если п > 0, то
а есть нуль n-го порядка для / (z); если п = 0, то / (z) не
равна нулю в точке а; если п = — т < 0, то а есть полюс
тп-го порядка для / (z). При умножении (делении) меро-
морфных функций порядки их в каждой точке склады-
ваются (вычитаются).
Бесконечно удаленная точка. Если к плоскости комп-
лексного переменного добавить один несобственный эле-
мент, называемый бесконечно удаленной точкой оо, то
получим полную плоскость комплексного переменного.
Полная плоскость комплексного переменного в извест-
ном смысле слова подобна сфере. Это можно видеть с
188
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1ГЛ. Ш
помощью стереографической проекции. Пусть имеем сферу
(рис. 43), касающуюся плоскости комплексного перемен-
ного в точке О (южный полюс). Соединив отрезком пря-
мой северный полюс с точкой z, обозначим через М точку
пересечения отрезка со сферой. Если каждому комплекс-
ному числу z отнести соот-
ветствующую точку М, то
7 между всеми комплексными
Jy\ / числами и точками М сферы
\z / (кроме северного полюса)
2_______________ / будет установлено взаимно
однозначное соответствие.
Рис. 43.	Добавляя несобственный эле-
мент оо и ставя его в соот-
ветствие северному полюсу, получим взаимно однознач-
ное соответствие между точками полной плоскости комп-
лексного переменного и точками сферы.
Окрестностью бесконечно удаленной точки назовем
внешность какого-нибудь круга с центром О (чем больше
радиус этого круга, тем «меньше» окрестность точки оо).
Пусть / (z) аналитична в окрестности бесконечно уда-
ленной точки. Тогда вне некоторого круга с центром О она
изобразится рядом Лорана
4-00
/(4 = S л- -л
— оо
(3.53)
Логически возможны и исключают друг друга следую-
щие три случая:
1)	в разложении (3.53) нет членов с положительными
показателями;
2)	в разложении (3.53) есть лишь конечное число чле-
нов с положительными показателями;
3)	в разложении (3.53) есть бесконечно много членов
с положительными показателями.
В этих случаях оо называется соответственно: 1) устра-
нимой особой точкой; 2) полюсом] 3) существенно особой
точкой. Подстановка z = l/£ приводит изучение функции
/ (z) в окрестности точки оо к изучению функции / (I/O в
окрестности точки 0. Поэтому в случае устранимой осо-
бой точки оо функция / (z) стремится к конечному пре-
делу при z—> оо (после надлежащего доопределения
§ 17]
ВЫЧЕТЫ
189
функции в оо функцию следует считать аналитической
в окрестности оо ); в случае полюса в оо функция / (z)
стремится к оо при z —* ©о; в случае существенно особой
точки в оо функция / (z) в любой окрестности оо как
угодно близко подходит к любому комплексному числу.
Если в окрестности оо

причем Л-п =/= 0, то оо называется нулем п-го порядка
для / (z).
§17. Вычеты
Пусть а — конечная изолированная особая точка ана-
литической функции / (z); тогда в окрестности точки а эта
+ 00
функция изобразится рядом Лорана / (z) = У, Ап (z — а)п.
— оо
Коэффициент при (—1)-й степени в этом разложении, т. е
число Л-i, называется вы-
четом функции / (z) отно-
сительно особой точки а.
Вычет / (z) относительно а
можно обозначать знаком
Res / (z).
а
Из формулы (3.50) при
п = — 1 найдем:
Л-1 = 2^ф/(2)Й2’ 0.54)
Рис. 44.
где у — достаточно малая окружность с центром а.
Основная теорема о вычетах. Если функция f (z) ана-
литична внутри замкнутого контура С и на нем, за
исключением конечного числа точек внутри С, mo(f)f(z)dz
с
равен произведению 2ni на сумму вычетов относительно
особых точек / (z), лежащих внутри С.
Пусть а2, • • • (рис. 44) — особые точки / (z),
лежащие внутри С, и а1? а2, ат — вычеты / (z)
190
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
относительно них. Пустьу19у2, ут—окружности вокруг
этих точек, лежащие внутри С и вне друг друга. Тогда
по теореме Коши для сложного контура и в силу формулы
(3.54) получим:
(fof(z)dz ==ф f(z)dz + ... + (^f(z)dz = 2ш(ад4-. . .+ ат),
что и требовалось доказать.
Таким образом, для вычисления интеграла вдоль замк-
нутого контура С достаточно знать вычеты функции отно-
сительно особых точек, лежащих внутри С.
Вычисление вычета относительно простого полюса.
Пусть / (2) ==	> гДе Ф (z)> Ф (z) аналитичйы в окрест*
ности а и точка а есть простой нуль для ф (2). Тогда а
будет простым полюсом для / (2) [если <р (a) 4s 01- Имеем
ф (z) = (2 — a) ф1 (2), гдефх (2) аналитична в окрестности
а и фх (а)	0. Тогда в окрестности точки а функция
аналитична и
Ф(*)
Ф1(г)
Ф (*)
Ф1 (Z)
= -^r + B1(z-a) + Bi(z-a)* +
следовательно, вблизи точки а
ф («)
+ )+•
откуда	;
кг/(г)=^и-	<3-55') J
Но tj>' (z) = ip! (z) + (z — а) (z); ip' (a) = ipj (a); следо- <
вательно,	;
R»s'«=m- (3'55’ 
Примеры.
_	« cos z
Resctg^Res-^
cosz ]
(sin г)' Jzm„
Res
a
el f 1
~ L2z |г_я “ 2a ’
§ 17]
ВЫЧЕТЫ
191
Вычеты логарифмической производной мероморфной
функции. Пусть / (z) — мероморфная функция. Тогда ло-
гарифмическая производная ~~ будет также мероморф-
/
ной, причем нули и полюсы / (z) будут простыми по-
Г (z}
люсами для . В самом деле, имеем в окрестности
точки а*
/ (z) = (z — a)n <p (z);
Ф (z) аналитична, ф (а) =£ 0;
/' (z) = n (z — а)71'1 ф (z) + (z — а)пф< (z);
f (z) __ n Ф'(2)
/ (z)	г - а Г Ф (z) ‘
Следовательно (учитывая аналитичность второго слагае-
мого правой части в окрестности а),
Res = и.
а НЯ
Таким образом, вычет логарифмической производной
равен порядку данной функции в этой точке. Из этого за-
мечания и из основной теоремы о вычетах вытекает (учи-
тывая, что порядок в нуле n-го порядка равен п, порядок
в полюсе m-го порядка равец^— т) следующая теорема.
Теорема о логарифмических вычетах. Если
f (z) мероморфна внутри замкнутого контура и на нем,
причем на контуре не имеет нулей и полюсов, то ин-
теграл
£ / (z)
и
равен произведению 2л i на разность между числом нулей
функции f (z), лежащих внутри С (считая каждый нуль
столько раз, какова его кратность), и числом полюсов
функции f (z), лежащих внутри С (считая 'каждый полюс
столько раз, какова его кратность).
Таким образом,
=	(3-56)
192
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
где N — сумма кратностей нулей функции / (z), лежащих
внутри С\ Р — сумма кратностей полюсов функции / (z),
лежащих внутри С.
Формула (3.56) легко обобщается. Заметим сперва, что
если а — простой полюс для ф (z) и ф (и) аналитична в
окрестности точки а, то
Res [qp (z) ф (z)] = ф (а) Res ф (z).	(3.55")
а	а
В самом деле, в окрестности точки а имеем:
где фх (z) аналитична в окрестности а,
<p(z)^(z) = y(2z)j‘a'"-; Resi|>(z) = ti(e);
Res [q> (z) ф (z)] = ф (а) фу (а);
а
следовательно, равенство (3.55") справедливо.
Пусть / (z) удовлетворяет отмеченным выше условиям
и ф (z) — какая-нибудь аналитическая функция в об-
ласти, ограниченной контуром С, и на нем. Так как каж-
дая особая точка логарифмической производной мероморф-
ной функции есть простой полюс, то для всякой точки а,
являющейся нулем или полюсом / (z), имеем:
Res [ф (z)	= ф (а) Res = «Ф (а),
где п — порядок / (z) в точке а. Поэтому из основной тео-
ремы о вычетах следует, что если — нули / (z), лежа-
щие внутри С, mk — кратности их, Ъг — полюсы / (z),
лежащие внутри С, пг — кратности их, то	4
2^i Ф ф	Йг dz = s М - 2 «гФ (Pl)- (3-58')
С	У 7	fc	I
При ф (z) = 1 эта формула обращается в (3.56).
Вычисление вычета относительно кратного полюса.
Пусть а есть n-кратный полюс для / (z). Тогда в окрест-
§ 171
ВЫЧЕТЫ
493
ности точки а имеем
А „	А -
/(!) = 7^Г + -- + -- + фИ
[где <р (z) аналитична в окрестности точки а]; отсюда
(z — а)п/ (z) = А~п + . . . +Л-! (z — а)п~х +
+ (z — а)п ф (z)
в окрестности точки а. Дифференцируя это равенство
п — 1 раз; получаем:
[(z — a)nf (z)](n”^ = (n — 1)! Л_! + [(z — d)n ф (z)]^-1).
Но для последнего слагаемого точка а является нулем, так (
как для (z — а)п ф (z) точка а является нулем кратности ;
не ниже п (при каждом дифференцировании кратность
нуля понижается на единицу), следовательно, в пределе
при z -> а получим:
lim [(z - a)nf (z)](n-x) = (п - 1)!
z-*a
откуда
А-1 = (7=1)! Ji? 1(2 - «)”/ (z)](n-1>.
Таким образом, если а есть n-кратный полюс для / (z), то
Raes / (z) = (T^lji 1(2 ~ «)”/ (2)1(3.57)
Из этой формулы при п = 1 легко получить выведен-
ную ранее формулу (3.55) для вычисления вычета отно-
сительно простого полюса.
Пример.
*ieS (г» + l)n = I" -1)1 г™ I (Z2_|_ i)n J
1	,	[~	1	”](п-1)
- (п-1)! ^?L(* + OnJ =
1	..	(—1)п-1п(п + 1)... (2п —2)
“ (п-1)! £5	(2+П2п-г
_(-1)"-1п(п + 1)...(2п-2)	1	(2^.-2)!
(п — 1)! (гг)2”-1	i 22п~1 [(Л — 1)!]2  1	'
7 П. И. Романовский

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
Приложение вычетов к вычислена ю несобственных ин-
тегралов. Пусть / (z) — функция, имеющая выше дейст-
вительной оси лишь конечное число особых точек а, &, ...9к
(рис. 45) и не имеющая особых точек на действительной
оси. При 7?, достаточно большом, точки а, Ь, ..., к будут
лежать внутри верхнего полукруга радиуса R с центром 0.
Имеем (С обозначает контур полукруга):
ф / (z) dz = 2л1 [Res/ (z) + Res/ (z) +... + Resf (z)]; (3.58')
£7	a	b	к
HO
R
$if(z)dz= ^f(x)dx-}- ^f(z)dz,
C	-R	4R
•где Yr — верхняя полуокружность радиуса R с цент-
ром 0. Если при z-> оо (в верхней полуплоскости) / (z)
стремится к нулю быстрее, чем
£	 ’ f/z, т. е. если /(z) = -^-^-,
„Ь	где а (г) -> 0 при z-> оо (в верх-
/	\ ней полуплоскости), то
[ ”а е
W---------*0-----b? lim J /(2)^2 = °-
>	R_*OOVR
Рис. 45.	в самом деле, для всякого в
найдется такое А > 0, что при
Щ > А, у > 0 (z = х -р iy) имеем |<х (z)| < в. Тогда
| / (z) dz | = | dz | nR = its,
yr	yr
что и требовалось доказать.
Следовательно, из (3.58') в пределе при R -+- оо по-
+оо	R
лучим (понимая \ как lim \ ):
V	<	R-~_U I
4-оо
/ {x)dx = 2ni (Res / (z)	Res / (z)J. (3.58)
-« 	a	»
§ 171 j
ВЫЧЕТЫ
195
Итак, если f (z) аналитична в верхней полуплоскости
у 0, за исключением конечного числа особых, точек, лежа-
щих выше действительной оси, и если при z 00 (в верх-
ней полуплоскости) f (z) стремится к нулю быстрее, чем
+00
1/z, то f(x)dx существует и равен произведению 2ni
—оо
на, сумму вычетов / (z) относительно особых точек, лежа-
щих в верхней полуплоскости.
В частности, если / (z) имеет в оо нуль кратности 2,
не имеет особых точек на действительной оси и имеет
только конечное число особых точек выше действительной
оси, то формула (3.58) применима.
~ В частности, (3.58) применима, если / (z) есть рацио-
нальная дробь, в которой знаменатель не имеет действи-
тельных корней и степень знаменателя превышает степень
числителя более чем на единицу.
4-00
f dx
Пример 1. Найти	• Корни знаменателя суть^1± г.
—00
Следовательно,
4-00
С	dx t /	1	1	\
\ а.4 > z == 2эп ( Res д । л И- Res 41 z 7 —*
J z4-f-4	z4+4	z4-r4 j
—00
-l + i\ л
+	-16 /- 4 •
C dx
Пример 2. Найти \ ----—
Корни знаменателя суть ± I
(кратности и), следовательно, учитывая (3.57'), получаем:
4-00
С dx	1
(2n - 2)!	1-3. . .(2n —3)
22n-2 [(n — 1)!I2 Я 2-4 . . . (2n — 2)
7*
196
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
Приложения основной теоремы Коши к вычислению
несобственных интегралов. Не останавливаясь на общих
соображениях, вычислим в качестве примера такого при-
ложения интегралы Френеля
cos (ж2) dx\ sin (х2) dx.
о	о	,
Рассмотрим целую функцию eiz*. По теореме Коши ин-
теграл по всякому спрямляемому замкнутому контуру от
этой функции равен нулю; в
частности, равен нулю интеграл
по контуру сектора АОВ (рис.
46). Следовательно,
Рис. 46.
- ОАВО
Имеем
\ + \ + j =о<
ОА АВ ВО
R
J e^dz = § eix*dx.
оа о
Комплексное параметрическое уравнение дуги А В есть
z = Не**, 0 ф л/4; следовательно,
л/4	л/4
eizidz = j	= iR §	i и
AB	о	о
(2	л \
учитывая неравенство sin 9 > — 0 при 0 < 0 < -у 1
я/4	+«> _ 4Н2У
e’z!dz|^ В |	<^R е d<p = уу
АВ	О	О
и поэтому j eiz*dz —> 0 при R оо.
АВ
Комплексное параметрическое уравнение отрезка ОВ
есть
z = р^л1/4?	0 < р < Я;
следовательно,
R
eizidz = e~p2dp,
о в	о
§ 18]
ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
197
откуда [считая известной формулу (4.10) главы IV]
+°° _______________________________
( +2dz —> eni/4 ( e“p2dp =  5е—	при R —> оо.
ов	о
Из сказанного заключаем, что, переходя в равенстве
\ eiz2dz = 0K пределу при Я-> оо, получим:
ОАВО
+ °°	у- 	у---
J e^dx =	^/4 = у У у (1 + 0,	(3.59)
о
причем попутно устанавливается сходимость этого несоб-
ственного интеграла.
Отсюда, переходя к сопряженным величинам, найдем:
 +оо	___ ;_______________•
( e^dx =	= -J- V 4- (1 - 9- (3.59')
V	Z	it Г it
0  \
Отделяя действительную и мнимую части в;(3.59), по-
лучим:
J cos(z2)d#= sin (я2) dx = -у -у г ,(3.60)
о	о
откуда (вследствие четности подынтегральных функций)
cos(x2)cfc =	sin (я2) dx = |/^у ь (3.60')
—ОО	. ч	—00
§ 18. Принцип аргумента
Пусть / (z) — мероморфная функция в области, огра-
ниченной простым замкнутым контуром С, и на нем, не ’
имеющая нулей и полюсов на С. Так как
^4g-dz = Ln/(Z),
t) / vzf
то
^-^-dz-lLn/(Z)]c,
198
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
где правая часть обозначает приращение, которое полу-
чает Ln / (z), когда точка z описывает контур С в поло-
жительном направлении. Но
Ln / (z) = In |/ (z) | + jArg / (z)
и In]/ (z)|, как непрерывная однозначная функция, после
обхода С возвращается к своему первоначальному значе-
нию, поэтому
[Ln / (z)lc = i[Arg/ (z)]c
и
С
С другой стороны, по теореме о логарифмических вычетах
£	/(z)
где N — число нулей и Р — число полюсов функции / (г),
лежащих внутри С (с учетом их кратностей). Таким обра-
зом, получается правило, известное под названием прин-
ципа аргумента.
Если / (z) мероморфна в области, ограниченной простым
замкнутым контуром С, и на нем и если f (z) не имеет на
этом контуре нулей и полюсов, то разность между числом
нулей и числом полюсов (с учетом их кратностей) функ-
ции f (z), лежащих ту три С, равна полному числу оборо-
тов вокруг нуля, совершаемых вектором точки f (z), когда
точка z описывает контур С в положительном направле-
нии, т. е.
N-P = ^\^f(z)\c.	(3.61)
С помощью принципа аргумента легко доказывается
Теорема Руше. Если f (z) и <р (z) — аналитичес-
кие функции в области, ограниченной контуром С, и на
нем и во всех точках контура С выполняется неравенство
|/ (z)| > |ср (z) |, то / (z) и / (z) 4- <р (z) имеют внутри С
одинаковое число нулей (считая каждый нуль столько раз,
какова его кратность).
Доказательст во. Из условия теоремы видно,
что / (z) и / (z) + <р (z) не имеют нулей на С, ибо при z на
5 18]
ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
199
с имеем If (z)| > |ф (z)| > 0; |/ (z) -f- q> (z)( > [/ (z)| —
— l<P(z)l>0-
Пусть N — число нулей функции f (z), лежащих внут-
ри C, N — число нулей функции f (z) + <p (z), лежащих
внутри С. По принципу аргумента имеем:
(V = 4- {Аг§ [/ (*) + Ф (Z)J}C = {Arg [/ (Z) (1 + s
= 2л [Аг?/(г)1с + 2л	+/“(2)’)]с = 2л 1-^гп/(г)1с =(V,
учитывая, что {Arg^l 4-= 0, ибо, когда точка z
описывает С, точка 1 4- Лтт
/ \z)
внутри круга радиуса 1 с центром
на С I 1 <С 1, что и требова-
описывает путь, лежащий
1 (рис. 47), так как
лось доказать.
Отметим некоторые следствия
из теоремы Руше.
Пусть / (z) — аналитическая
функция в области, ограниченной
замкнутым контуром С, и на нем,
не имеющая нулей на С. Тогда,
если /п (z) (п = 1, 2, 3, . . .) ана-
литические функции в области,
ограниченной контуром С, и на
нем й fn(z) (z) равномерно на С, то при п, доста-
точно большом, число нулей (с учетом их кратно-
стей) функции /п (z) внутри С равно числу нулей (с уче-
том их кратностей) функции / (z) внутри С (теорема
Гурвица).
В самом деле, очевидно, т = min | / (z)| > 0, ибо / (z)
с.
не имеет нулей на С, поэтому найдется такой номер ЛГ, что
при п^> N и z на С будем иметь |	(z) — / (z) | < m, но
тогда в разложении /п (z) — f (z) + l/n (2) ” / (2)1 модуль
второго слагаемого правой части будет меньше модуля
первого для всех z на С, и, следовательно, по теореме
Руше число нулей fn (z) внутри С будет равно числу ну-
лей / (z) внутри С, что и требовалось доказать.
Пусть a — какое-нибудь комплексное число, a-точ-
ками функции / (z) называются такие значения z, для
которых значение / (z) равно а. Иначе говоря, а-точки
2Q0	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
функции / (z) суть нули функции / (z) — а. Так как нули
аналитической функции, не равной тождественно нулю,
изолированы, то a-точки аналитической функции, не
равной тождественно а, изолированы. Говорят еще, что
a-точка функции f (z) имеет кратность п, если она есть
n-кратный нуль для / (z) — а.
Пусть / (z) — непостоянная аналитическая функция и
z0 — n-к ратная a-точка этой функции. Так как а-точки
изолированы, то на окружности у достаточно малого ра-
диуса с центром z0 и внутри нее не будет находиться дру-
гих a-точек. Тогда т = min | f (z) — а | > 0. Если | Ъ —
. — а\ < т, то внутри у будет находиться (с учетом их крат-
ностей) ровно п &-точек функции / (z). Действительно,
/ (z) — Ь = [/ (z) — а] + (а — Ь), причем на у имеем
| а •— b | < | / (z) — а | , следовательно, по теореме Руше
число нулей (с учетом их кратностей) функции / (z) — Ъ
внутри у совпадает с таковым для / (z) — а и, следова-
тельно, равно п (внутри у функция / (z) — а имеет только
один нуль, z0, и его кратность равна п). Заметим еще,
что если, кроме того, радиус р окружности у достаточно
мал (чтобы /' (z) =£= 0 при 0 < | z — z0 | < р), то f (z)
обращается внутри у ровно п раз в b и все эти 6-точки—
простые (однократные).
Непостоянная аналитическая функция / (z) переводит
открытые множества в открытые. В самом деле, если
/ ;(z0) =	то в силу вышеизложенного уравнение /(z)
имеет внутри как угодно малого круга с центром z0 ре-
шение, если только достаточно близко к
Из последнего замечания следует, что если / (z) — не-
постоянная аналитическая функция в некоторой области,
то в любой близости к каждой точке z0 этой области най-
дется такая точка z1} что (/ (zj | > | У (2о) I- Отсюда вы-
текает принцип максимума модуля*, если / (z) непрерывна
в ограниченной замкнутой области и аналитична внутри
этой области, то | / (z) | достигает своего наибольшего
значения на границе области.
Из принципа максимума модуля непосредственно вы-
текает теорема: если последовательность функций /п (z),
непрерывных в ограниченной замкнутой области и ана-
литических внутри этой области, равномерно сходится
на границе области, то она равномерно сходится на всей
§ 19] ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ	201
области. В самом деле, так как сходимость на границе —
равномерная, то для всякого е > 0 найдется такой номер
7V, что при п> N, р > 0 будем иметь) /п+р (z) — fn (z) I <
< e для всех z на границе области, но тогда по принципу
максимума модуля это неравенство справедливо на всей
области и, следовательно, в силу критерия Коши после-
довательность /п (z) равномерно сходится на всей области.
§ 19. Дифференцируемые отображения
Соответствие, по которому каждому элементу а мно-
жества А относится некоторый элемент Ъ множества В
(природа элементов множеств А и В безразлична), назы-
вается отображением множества А в множество В. Эле-
мент соответствующий а, называется образом элемента
а (тогда а называют прообразом элемента Ь).
Отображение, дифференцируемое в данной точке.
будем рассматривать отображение области D плоскости
комплексного переменного в плоскость комплексного пе-
ременного. Такое отображение можно записать* формулой
гг = / (z), где / (z) — комплекснозначная функция ком-
плексного переменного z, определенная в области D, Его
можно также записать формулами \
и ~ и (ж, у), и = v (ж, г/),
к где и (хг у) и и (х, у) — действительная и мнимая части
/ + iy)-
Определение. Отображение Iй ~ и(х> У)’ на-
'	\v = v(x,y)
зывается дифференцируемым в данной точке рассматривае-
мой области, если и (ж, у) и v (ж, у) дифференцируемы в
этой точке.
Таким образом, дифференцируемость отображения в
точке (х, у) означает возможность представлений (о пол-
ном дифференциале функций двух действительных перемен-
ных см. § 6):
Ди = 4Дя + ВАу + (Дя, Дг/) Дя2 + Дг/2 , 1
Ди — С&х + D&y + s2 (Дя, Дг/) У Ах2 + Дг/2 , /
(Дя->0
где 8j и е2 стремятся к нулю при Лд^^д’ и где 4, В,
202
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. гп
С, D — некоторые действительные числа (эти числа одно-
л ди г> ди	п dv
значно определены, причем А =	, В = -т—, С = -т—,
оу	ох
ду I
Дифференцируемое в точке (ж, у) отображение назы-
вается невырождающимся в этой точке,
если
АВ
CD
^0.
Лемма. Если отображение, дифференцируемое и не-
вырождающееся в точке М, переводит точку М в точку N,
то точки, достаточно близкие кМ и отличные от М, пе-
рейдут в точки, отличные от Ц.
Доказательство. Правило Крамера показы-
вает, что если ц определить как функции от а, |3 из ли-
нейной системы
4g + 5ц + а = 0,
Cg +	+ р - 0,
то при 2Х о’ 6уДем иметь g2 -J- ц2 -> 0, поэтому найдет-
п	/|а| <<з,
ся такое число а > и, что при [| р | <^ <з выполняется не-
равенство g2 + ц2 < 1.	___________
Выберем теперь S >> 0 так, чтобы при ]ЛДя2 +' Ду2 < 6
выполнялись неравенства
I | С а, | е2 | < <г.	/ . ;,-
Тогда при 0 < УДж2 + Ду2 < 6 числа Ди, Др одновременно
не обращаются в нуль. Действительно, в противном слу-
„А®	Au
чае числа t = —	- —', п = —	— удовлет-
воряли бы системе
где
A g 4" 4-е! — 0,1
Cg НН + е2 ~ 0» Г
I ei | < о, | е2 | < о, g2 4- Л* = t
что противоречит определению числа о.
Пусть отображение w = f (z) дифференцируемо и не
вырождается в точке z. Тогда в силу леммы найдется та-
кое 6 > 0, что при 0 <| Дя | <б будем иметь | Ди? | =/= 0.
$19] \ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
203
Положим -
Дг = ry (r>0; V = а ф; | у | = 1),
Ди> = рХ (р > 0; X = ц + iv; | X | = 1).
Из (3.62) следует:
рр = Ага + Вг$ гвр]	(3.63)
pv = Cra + Drp + rs2,J
где
8i = Bi (га, г0), в2 = е2 (га, г0).
Возводя в квадрат и складывая, получим:
р* = г*[(Ла 4- ВЦ 4- 8i)2 4- (Са 4- ДЗ + е2)2],
= /(Ла 4- 5? + 81)* 4- (Са 4- ДЗ + 82)* .
Пусть £ — I 4- й)? | £ | = 1. Тогда
lim-y- - У(Л£4-Вг|)24-(С&4-Лп)2 - № (3.64)
г~*о
7-4
причем стремление р /г к р (£) равномерное относительно £♦
Эту непрерывную положительную функцию р (%) от
комплексного числа £ с единичным модулем назовем инди-
катрисой растяжений рассматриваемого отображения в
точке z.
Далее, умнон&я второе из равенств (3i63) на i и скла-
дывая с первым, получим:
р X = г [(Л *4“ (В <-{- Ч- Ч"
Отсюда, учитывая (3.64), найдем:
lim X = H + »C)S+^4-<O)n = q	(3.65)
причем стремление К к # (£) — равномерное относитель-
но £. Эту непрерывную функцию g (£) от комплексного
числа £ с единичным модулем, значения которой суть
комплексные числа с единичным модулем, назовем инди-
катрисой вращений рассматриваемого отображения в точ-
ке 2.
204
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ, III
Пусть S — произвольное отображение области D
плоскости комплексного переменного в плоскость комп-
лексного переменного, переводящее точку М в точку N.
Обозначим через Мг переменную
у' точку области Р, отличную от М, и
т/	через Nr ту точку, в которую пере-
ел У ходит Mi при отображении S.
1 Пусть т — «направление», выхо-
М	дящее из точки М. Будем говорить,
„ /о	что отображение S имеет в точке М
Рис. 46.	х	ли
по «направлению» т коэффициент
искажения масштаба н, если (рис. 48)
при
Mi-+M,
/\ имеем
(М М!, т) —> 0
NNi
ММу
X.
В частности, если функция, осуществляющая отобра-
жение 5, непрерывна в окрестности точки М и если S
имеет в точке М по «на-
правлению» т коэффици-
ент искажения масштаба
х, то всякая дуга, выхо-
дящая из М и касающая-
ся в этой точке луча т,
переходит в некоторую
дугу, выходящую из N,
причем отношение хорд
NNilMMt стремится к х,
когда длина хорды ММг
стремится к нулю (рис. 49).
Если S таково, что при достаточно близкой к М,
точка Ni отлична от точки N, то будем говорить, что ото-
бражение S переводит «направление» т, выходящее из М,
е «направление» п, выходящее из N, если (рис. 50)
(Мг-+М,	/\
при	) q имеем (2VA\, п)->0.
В частности, если функция, осуществляющая отобра-
жение S, непрерывна в окрестности точки М и если S
переводит «направление» т, выходящее из точки М,
§ 191
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
205
в «направление» п, выходящее из точки N, то (рис. 51)
всякая дуга, выходящая из М и касающаяся в этой точ-
ке луча т, переходит в некоторую дугу, выходящую из
N и касающуюся в этой
точке луча п.		*
Изложенное выше по-	п /
называет, что если отобра-	~, У
жение S дифференцируемо	/
и не вырождается в точке
М, то S имеет в точке М
по каждому «направле-
нию» т положительный
коэффициент искажения	Рис. 50.
масштаба и каждое «нап-
равление» тп, выходящее из Л/, переводится в не-
которое «направление» п, выходящее из N. Именно, по
«направлению» тп, образующему с действительной осью
угол а, коэффициент искажения масштаба равен р (ега)
и «направление» тп пере-
водится в «направление»
п, образующее с действи-
тельной осью угол Ь, оп-
ределяемый из равенства
= q(eia).
Отображение, конформ-
ное в данной точке.
Теорема. Чтобы
дифференцируемое и невы-
рождающееся в данной точке отображение имело в этой
точке постоянную индикатрису растяжений, необходимо
и достаточно,
чтобы
\В - С
(A = -D,
или \ с
Доказательство. Если р (?) = const = р, то
(4g + Bn)2 + (С1 + Лт])2 = р2 = р2 (|2 + Т12)
при g2 + т]2 = 1. Умножая это равенство на любое R > 0
и полагая X — R1-, Y = Bq, получим тождество
(АХ + В У)2 4- (СХ +.DY)* = р* (X2 + У2)
206
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
ИЛИ
<Л2 + С2 - р2)Х2 + 2(АВ + CD)XY +
(В2 + Р2 - р2) У2 = 0;
следовательно, все коэффициенты этой квадратичной фор-
мы должны быть равны нулю, откуда А2 + & = В2 4- Р2,
АВ + CD = 0 или
Л2 — В2 = D2 — С2, АВ = — CD.
Умножая второе равенство на 2г и складывая с первым,
получим:
(Л + гВ)2 = (D - iC)2,
А + iB = + (Р - iC).
_	, (А = Р, (A — — D,
Следовательно, либо А.р ___либо Ар _ q Обратно,
(А = 4-Р,	’
пусть j jg — г^С; ТОГДа
(Л|.+ Вц)2 + (С1 +Рт])2 = (A£W + (С1 ± Лц)2 =
= А2 + С2
при
I2 + Ц2 = 1.
Следовательно,
Р (£) = К Л2 + С2 = const = р,
что и требовалось доказать.
Замечание. Если индикатриса растяжений пос-
тоянна, то индикатриса вращений имеет вид kt, или kt,
{к постоянно; |	= 1). Обратно, если индикатриса вра-
щений имеет вид kt, или kt, (к постоянно), то индикатриса
растяжений постоянна.
В самом деле, если р (£) = const = р, то по предыду-
Л = ± Р,
D _ ____________________ „ и поэтому
щей теореме имеем
(Л + iC) 6 + (В + гР)ц = (Л + iOl + ff С ± г-Л) Г| =
= (Л + 1С) (В ± гт]);
следовательно, q (£) = kt, или q (t,) = kt,, где к = А ,
j к | = 1. Обратно, если q (Q — kt, или q (£) =* kt,, где
£ 191 ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
20?
к == const = fcj + то, сравнивая действительные и
мнимые части в равенстве
(4 + iC)l + (В + iD)i\ = р (0 (к, + ik2) (£ ±
и рассматривая получающиеся соотношения как линей-
ную однородную систему относительно g, ц (которые од-
новременно не обращаются в нуль), заключаем, что ее
определитель равен нулю. Это значит, что F [р (£)] = О,
где
4 — kj^p В + к%р
С & “1“ ^iP *
Р(р) =
и таким образом значениями непрерывной функции р (£)
могут быть лишь корни полинома второй степени F (р);
следовательно, р (£) тождественно равно одному из этих
корней.
Определение. Дифференцируемое и невырожда-
ющееся в данной точке отображение называется конформ-
ным в данной точке, если в этой точке индикатриса растя-
жений постоянна (эта постоянная называется коэффи-
циентом искажения масштаба в данной точке).
В силу предыдущего замечания индикатриса враще-
ния конформного в данной точке отображения либо имеет
вид kt (тогда отображение называется конформным 1-го
рода в рассматриваемой точке), либо имеет вид kt, (тогда
отображение называется конформным 2-го рода в рас-
сматриваемой точке).
Остановимся на геометрическом смысле введенных по-
нятий. Пусть отображение w = / (и), конформное в
точке Л/, переводит точку М в точку N, Тогда (учитывая,
что предельный переход в (3.64) равномерен относительно f)
NNi	' ~
->рприМгМ (рис. 52), где р коэффициент иска-
жения масштаба в точке М.
Пусть и т2 — какие-нибудь «направления», выхо-
дящие из М под углами и а2 к действительной оси. Им
соответствуют «направления» и выходящие из N под
некоторыми углами Ьг и Ь2 к действительной оси. В слу-
чае q (£) = kt получаем (полагая к = егс):
eib* =	&&*-**> =	‘
208
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. Щ
поэтому (при надлежащем выборе Ь2)
&2 bi = fl2----
или (рис. 53)
(П1, И2) = (mn ТП2).
Это показывает, что при конформном отображении 1-го
рода углы между «направлениями» сохраняют величину и
ч
Рис. 54.	Рис. 55.
ориентацию. В случае q (£) = к£ получим (полагая Л ==•
=?с):
gibi =	-s ^i(c—gi(bj—bi)
поэтому (при надлежащем выборе b2)
Ьа ~~ bf = 411 d2
или (рис. 54)
(Д1, п2) = (тп2, Wli)*
Это показывает, что при конформном отображении 2-го
рода углы между «направлениями» сохраняют величину,
§ 19]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
209
но меняют ориентацию. Наконец (учитывая, что предель-
ный переход в (3.65) равномерен относительно £), находим,
что (рис. 55)
при
М^М,
М2->М,
(ММ~ММ2)-хр
(верхний знак — для конформного отображения 1-го ро-
да, нижний—для конфор-
много отображения 2-го
рода).
В частности, если / (z)
непрерывна в некоторой'
окрестности точки М, то в
случае конформного ото-
бражения 1-го рода (2-го
рода) в точке М две дуги, L
выходящие из М (рис. 56) М
и пересекающиеся в этой
точке под углом ф, пере-
ходят в две дуги, выходящие из ЛСй пересекающиеся в
этой точке под углом ф (— ф).
Заметим теперь, что условия
/4=2),	(А = - 2),
\В = - С и (2? = С
являются условиями Коши—Риманасоответственно для
/ (z) и / (z) и что при — qz с ’ условие невырождения
отображения состоит в том, чтобы 4 и С одновременно
не обращались в нуль, так как
4 В А + С
С D = С±А
= ±(212 + С2).
Поэтому из предыдущей теоремы и результатов § 6 непо-
средственно вытекает
Теорема. Для того чтобы отображение w = / (z)
было конформным 1-го рода рода) а дайной точке
210
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
необходимо и достаточно, чтобы f (z) (f (z)) была диффе-
ренцируема в этой точке и имела в ней производную, от-
личную от нуля.
Пусть / (z) дифференцируема в данной точке z и в этой
точке /' (г) =/= 0, тогда отображение w — f (z) будет кон-
формным 1-го рода в точке z, причем
р =	+	= \А + iC\ = I/' (z)|;
If, =	Arg /< (г).
P I/' (з)|
Таким образом, выявляются:
1) геометрический смысл модуля
производной:
Если в данной точке /' (z) =/= 0, то | /' (z) | есть коэф-
фициент искажения масштаба в этой точке отображения
= / СО;
2) геометрический смысл аргумен-
та производной:
Если в данной точке /' (z) =/= 0, то Arg /' (z) есть,угол,
на который поворачиваются все «направления», выходя-
щие из этой точки при отображении w = / (z).
В дальнейшем конформное отображение 1-го рода бу-
дем просто называть конформным.
Примечание, Если рассматривать отображение w =₽
= / (z) области D полной плоскости комплексного переменного в
волную плоскость комплексного переменного, переводящее точку
z0 в точку м?0, то данное ранее определение конформности отображе-
ния в точке z, теряет смысл, если хотя бы одна из точек z0, и?0
есть • оо.
Если г0 конечно, = оо, то отображение w — f (z) называется
1
конформным в точке z0, когда отображение w = 1 у конформно
в точке z0.
Если z0 = оо, то отображение w = f (z) называется кон-
Фор»™ в точке когда о,обрат,.ие	/ (А) ковферкко
в точке 0.	'
1
Пользуясь отображением w = —, можно говорить о «на-
правлениях», выходящих из точки z — оо при помощи соответ-
ствующих «направл ний», выходящих из точки wz = 0. Заметим
еще, что с помощью стереографической проекции (см. $ 16) точку оо
можно сделать равноправной с конечными точками.
5
%
§ 20} КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ
211
§ 20. Конформные отображения областей:
Общие замечания о действиях над отображениями.
Пусть S — отображение множества А в множество В,
Т — отображение множества В в множество С (природа
элементов всех этих множеств безразлична). Тогда произ-
ведение TS отображений S и Т определяется как такое
отображение множества А в множество С, которое явля-
ется результатом последовательного выполнения 8 и Т.
Это значит, что (TS) (а) — Т [S (а)] для всякого а из Л.
Произведение отображений обладает сочетательным свой-
ством
U (TS) = (UT) 8.
Если 8 —- взаимно однозначное отображение множест-
ва А на множество В (это значит, что каждый элемент из
В имеет ровно один прообраз в 4), то можно говорить об
обратном отображении 8-1 множества В на множество А
(если каждому элементу из В отнести его прообраз в 4).
Если каждому элементу из 4 отнести этот же элемент,
то пблучим тождественное отображение Е множества 4 на
себя. Очевидно, 8-1 8 = Е. Аналогично, 88"1 == Е (здесь
Е — тождественное отображение В на себя).
Если 8 и 8г — взаимно однозначные отображения 4
на й, Т — взаимно однозначное отображение В на С, то
из TS = TSi следует 8 = 8Х. В самом деле, последова-
тельно находим:
Z'1 (TS) - 77-1 (78х),
(Г~ХГ) 8 = (Т1-1?) 81,
ES = ESlr
8 - 81.
Аналогично из TS = найдем Т =
Однолистные функции. Функция / (z), определенная
в некоторой области, называется унивалентной на неко-
тором множестве (входящем в область определения),
если разным точкам этого множества отвечают разные
значения функции.
Мероморфная (в частности, аналитическая) функция f (z)
в некоторой области D называется однолистной в D, если
она унивалентна на D,
212
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Щ
Если мероморфная функция / (z) однолистна в области
Z), то в каждой регулярной точке этой области производная
отлична от нуля. В самом деле, если в некоторой точке
z0 f (2о) = я, f (zo) = О, то zo будет a-точкой кратности
выше первой, а тогда в силу одного из следствий из тео-
ремы Руше (см. § 18) при Ь, достаточно близких к а, / (z)
более одного раза принимает значение Ь, что противоре-
чит унивалентности.
Однолистная функция / (z) в области D может иметь
не более одного полюса, причем этот полюс может быть
только простым. В самом деле, если z0 — полюс для / (z),
то z0 — нуль для 1// (z), а так как 1// (z) тоже однолистна,
то по доказанному z0 — простой нуль для 1// (z) и, сле-
довательно, простой полюс для / (z).
Всякая аналитическая функция / (z) однолистна в до-
статочно малой окрестности каждой точки, в которой про-
изводная отлична от нуля.
В самом деле, пусть f (z0) =/= 0, тогда если бы ни в ка-
кой окрестности z0/ (z) не была однолистна, то нашлись бы
такие последовательности точек ап и Ьп , что ап —> z0, *bn —>
->z0, лп ¥*	/ (О'п) = / (М- Пусть тогда у — окружность
с центром z0 и радиусом р, где р таково, что / (z) =/= f (z0)
при 0 < | z — z0 | 5^ р. Очевидно, / (z) —f (z0) имеет
внутри у только один нуль (с учетом кратности) и не име-
ет нулей на у. Но f (z) — f (ап) -+ f (z) — / (z0) равно-
мерно на у, следовательно,— по теореме Гурвица — при
п, достаточно большом, / (z) — / (ап) имеет внутри у тоже
лишь один нуль (с учетом кратности), и мы получаем
противоречие, ибо при достаточно большом п эта функ-
ция имеет внутри у нули ап и Ъп.
Всякая мероморфная функция однолистна в достаточно
малой окрестности каждого простого полюса. В самом
деле, если z0 — простой полюс для / (z), то z0 —• простой
нуль для 1// (z). По доказанному 1// (z) однолистна в
некоторой окрестности точки z0, следовательно, / (z) од-
нолистна в этой же окрестности.
Замечание 1. Если / (z) мероморфна в полной
плоскости, то / (z) есть рациональная функция.
В самом деле, пусть zx, . . ., zn — полюсы / (z) (число
их > 0 и, конечно, среди них может быть оо). Вычитая из
/ (z) сумму главных частей / (z) в полюсах z1} . . . , zn, по-
лучим функцию, аналитическую в полной плоскости, но
§ 20] КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ	213
таковая в силу теоремы Лиувилля является постоянной.
Следовательно, / (z) равна сумме постоянной и своих глав-
ных частей в полюсах z19 . . ., zn.
Таким образом, / (z) рациональна.
Замечание 2. Если / (z) мероморфна и однолистна
в полной плоскости, то / (z) есть линейная функция (т. е.
az -k Ъ \
вида ---'-г-).
cz + d /
В самом деле, / (z) может иметь не более одного полю-
са и таковой может быть лишь простым. Как мы видели в
предыдущем замечании, / (z) равна сумме постоянной и
главных частей / (z) в ее полюсах; следовательно, в рас-
сматриваемом случае / (z) может лишь иметь вид с + -2^_а'
(если есть конечный полюс а), с + kz (если оо есть по-
люс), Случай отсутствия полюсов не может представиться,
ибо в этом случае / (z) была бы постоянной.
Итак, / (z) линейна. Заметим, что значениями / (z) бу-
дут все точки полной плоскости.
Отметим еще один факт, относящийся к однолистным
функциям. Если / (z) однолистна в области, полученной
выбрасыванием из D некоторого множества точек* не
имеющего предельной точки внутри D, то после надле-
жащего доопределения в точках этого множества / (z)
станет однолистной в области D.
м Действительное точки упомянутого множества явля-
ются изолированными особыми для / (z). Учитывая одно-
листность /i(z) и теорему Сохоцкого, легко заметить, что
эти особые точки не могут быть существенно особыми, сле-
довательно, в них / (z) естественным образом доопределя-
ется и становится мероморфной в D. Если бы она в двух
точках D принимала одинаковое значение а, то в лю-
бой близости к этим точкам она принимала бы любые,
достаточно близкие к а значения, что противоречит
однолистности / (z) в ее первоначальной области опре-
деления.
Конформное отображение области на область.
Определение. Взаимно однозначное отображе-
ние w = / (z) области D на область Д, конформное в каж-
дой точке области D, называется конформным отображе-
нием области D на область Д (речь идет об областях на
полной плоскости).
214	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[гл. ш
Всякая мероморфная (в частности, аналитическая) од-
нолистная функция / (z) в области D дает конформное ото-
бражение w = / (z) области D на соответствующую ей
область значений функции / (z).
Это следует из того, что производная однолистной функ-
ции в каждой регулярной точке отлична от нуля (и воз-
можный полюс — простой), и из того, что отображение
конформно в точке, если выполняющая отображение
функция имеет в этой точке отличную от нуля производ-
ную (или простой полюс).
Для практического построения конформных отобра-
жений областей полезна
Теорема. Если / (z) аналитична в области, огра-
ниченной простым замкнутым контуром С, и на нем и
если ] (z) унивалентна на С, то w = f (z) будет конформ-
ным отображением области, ограниченной простым замк-
нутым контуром С, на область, ограниченную простым
замкнутым контуром Г, который описывает точка f (z),
когда точка z описывает С.
Доказательство. Пусть а — точка внутри
(вне) Г. По принципу, аргумента число корней уравнения
/ (z). — а = . О, лежащих внутри С, равно
-4r{Arg(/(z)-aJ}c,
а это число (из геометрических соображений) равно ± 1(0).
Это показывает, что внутри С f (z) принимает ровно
один раз каждое значение, лежащее внутри Г, и не при-
нимает значений, лежащих вне Г. Так как множество
значений / (z), когда z принимает всевозможные значения
внутри С,— открытое, то значениями / (z) не могут быть
точки контура Г (ибо в противном случае некоторые точ-
ки вне Г оказались бы значениями / (z), что невозможно).
Итак, когда z пробегает все точки, лежащие внутри кон-
тура С, f (z) по одному разу пробегает все точки, лежащие
внутри контура Г, что и требовалось доказать.
Линейные преобразования. Линейные преобразования
(3.66)
cz + d ’ I c d I —	4	'
являются единственными конформными отображениями
полной плоскости на полную плоскость. Преобразование,
I 203
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ
215
обратное линейному, также линейно, произведение ли-
нейных преобразований также является линейным пре-
образованием. Всякое линейное преобразование (3.66)
определяется некоторой матрицей комплексных чисел
/а
с отличным от нуля определителем, причем мат-
у с d /
рицы
а Ь\	(ах ЪЛ
с d/	^1/
только тогда определяют одно линейное преобразование,
когда их элементы пропорциональны. Если L определя-
ла Ь\
ется матрицей j , то L"1 определяется матрицей
\с а
— с а\
.	, . Линейное преобразование (3.66) называется
а — о/
целым, если с = 0, дробным, если с =^= 0.
Заметим, что если w ~ az Ъ = a[z
то w можно получить, исходя из" 2, так?
w = azr.
Заметим, что если :
, Ь
Z1= z+—;
az -\- b
cz~\~ d
w =
а . be — ad	, л
T-+-7-------ГГ’ гДес*°.
то w можно получить, исходя ИЗ 2, так?
. d	1	be — ad	. а
Z2 = —; zs =—-----------z2; w = z3 + -*-.
v	Z1	О
Из этих замечаний следует, что всякое линейное преобра-
зование можно разложить в произведение линейных пре-
образований частных видов
w = 2 4- w == az(a=f=O)\ w= —.
Еще заметим, что если число а =f= 0 представить в показа-
тельной форме а = Re^\ то w = az можно получить, ис-
ходя из 2, так: = eiy z; w = Rzr. Наконец, w = —
' ; 1
можно ПОЛуЧИТЬу ИСХОДЯ ИЗ 2, так: 2i= -=Г-, W = 21.
216
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Из сказанного следует, что .всякое линейное преобра-
зование можно разложить в произведение преобразо-
ваний, каждое из которых относится к одному из пяти
видов:
w = z 4- a; w = eiYz; w — Rz\ w ==	:
z
w = z, (3.66')
где a = а + ф —- комплексное число, у — действитель-
ное число, R — положительное число. Эти преобразова-
ния могут быть переписаны так (полагая z = х + iy,
w = и + iv):
и — х + а, ( и = х cos у — у sin у,
v = у -|- р; (v= х sin т + у cos у;
(„ _ X
и = Rx, и ж2+	* (и =. х,
v = Ry\ _ У . ,	у
I ^Ч-у2 ’
(3.66")
называются соответственно: параллельным переносом,
поворотом, подобием, инверсией, симметрией.
Окружностями (в широком смысле) на полной плос-
кости будем называть окружности^ й прямые. Через каж-
дые три различные точки Г полной Йлоскостй проходит
единственная окружность (в широком смысле).
Теорем а; Всякое линейное преобразование перево-
дит каждую окружность (в широком смысле) в Некоторую
окружность (в широком смысле):
Доказательство. Так как всякое линейное
преобразование разлагается в произведение преобразова-
ний, относящихся к упомянутым выше пяти видам, то
достаточно показать, что преобразования этих пяти видов
переводят окружности (в широком смысле) в окружности
(в широком смысле). Это очевидно для параллельного пе-
реноса, поворота, подобия, симметрии. Остается прове-
рить это для инверсии. Уравнение какой-нибудь окруж-
ности (в широком смысле) можно записать в виде
А (х2 + у2) + Вх + Су + D .= О
(А, Б, С, D — действительные числа; при A 0 — это
§ 20]	КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ	217
окружность, при А = 0 — это прямая). Из соотношений
U2 _|_ г?2	1
___ V
V и2 + У2
(преобразование, обратное инверсии, есть тоже инверсия)
найдем, что образ этой окружности (в широком смысле)
имеет уравнение
D (и2 + v2) + Ви + Cv + А = 0
и, следовательно, тоже является окружностью (в широ-
ком смысле), что и требовалось доказать.
Всякое нетождественное линейное преобразование име-
ет либо одну, либо две неподвижные точки (т. е. точки,
переходящие в себя).
В самом деле, в случае дробного линеийого преобразо-
az -4- Ь
вания w -----гт- его полюс и точка оо не являются не-
CZ 4- d
подвижными точками, а отличная от них точка будет не-
о	(LZ 4* Ь
подвижной, если удовлетворяет уравнению z = j '
(^квадратное уравнение); в случае целого линейного пре-
образования w '== аи + Ь точка оо является неподвижной
точкой, а‘конечная точка будет неподвижной, если удов-
летворяет^ уравнению z = az + b (уравнение степени не
выше первой).
Таким образом, нетождественное линейное преобразо-
вание в обоих случаях имеет либо одну, либо две непод-
вижные точки.
Теорема. Если zr, z2, z3 — какие-нибудь три раз-
личные точки полной плоскости и wr, w3 — тоже ка-
кие-нибудь , три различные точки полной плоскости, то
существует единственное линейное преобразование, пере-
водящее z19 z^, z3 соответственно в w3.
Доказательство. Сперва заметим, что не су-
ществует различных линейных преобразований L
переводящих z1? z2, z3 соответственно в w19 ip2, w3, так кай
в противном случае M~rL было бы нетождественным ли-
нейным преобразованием с тремя неподвижными точка-
ми zx, z2, z3, что невозможно.
218
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	(ГЛ. Ш
Непосредственно проверяется,, что линейное преобра-
зование	где
	Z3 — Z-2	' Z — Z1		если если	zi>z2,zs конечны Zx = ОО,
	Z3 Z3	— Z1 ‘ z — Z-2 1 — Z2		
	Z Z 	— Z2 ’ — zi 	если	z2 = оо, (3<67)
	Z3		Z1 9		
	Z 	— Z1	если	Z8 = ОО,
	, Z	— Z2 9		
переводит z2, z3 соответственно в 0, оо, 1. Отсюда сле-
дует, что Lwnw2,w3 LZuZiiZz будет линейным преобразова-
нием, переводящим z2, z3 соответственно в wlf w2, w3,
что и требовалось доказать.
Понятие симметрии относительно прямой хорошо из-
вестно. Введем теперь понятие симметрии относительно
окружности.
Определе ни е. Пусть С — окружность с цент-
ром О и радиусом R. Точкой, симметричной какой-нибудь
точке Р относительно окружйости (7, называется точка
Р*, обладающая свойствами: 1) Р и Р* лежат на одном
луче, выходящем из центра окружности С; 2) ОР -ОР* =
= Р2.
Если Р совпадает с центром окружности С, то пола-
гают Р* — оо, и обратно. Если Р* симметрична Р, то
Р симметрична Р*.
Лемма. Если Р и Р* — симметричные точки отно-
сительно окружности (в широком смысле) С, то всякая
окружность (в широком смысле), проходящая черезР и Р*,
ортогональна С. Обратно, всякая окружность (в широ-
ком смысле), проходящая через Р и ортогональная С, про-
ходит через Р*.
Доказательство. Пусть (рис. 57) Г — окруж-
ность, проходящая через Р и Р*, и ОМ —- касательная к
Г, проведенная из центра О окружности С. По известной
теореме элементарной геометрии ОМ2 = ОР-ОР*. Но
ОР ОР* = Р2, откуда ОМ = R. Следовательно, точка М
лежит на С и Г ортогональна С.
Пусть (см. рис. 57) теперь Г — окружность, проходящая
через Р и ортогональная С, М — точка пересечения С и Г,
§ 201 КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ
219
/>♦ — вторая точка пересечения Г с прямой ОР. Тогда
ОМ будет касательной к Г и, следовательно, /?2 = ОМ2 =
= ОР -ОР*, откуда следует, что Р* есть точка, симметрич-
ная Р относительно С. Теорема становится тривиальной,
если либо С, либо Г есть прямая, что и требовалось
доказать.
Следствие. Пусть точки Р и Р* симметричны
относительно окружности (в широком смысле) С\ точки
Q и Q* симметричны относи-
тельно окружности (в широком ______________“/
смысле) Г. Тогда линейное преобра- f
зование, переводящее СвГи точку
Р в точку Q, переведет точку Р* |
в точку Q*.	. \
В самом деле, в силу консерва-
тизма углов окружности (в широ-
ком смысле), проходящие через	Рис &
Р и ортогональные С, перейдут в
окружности (в широком смысле),
проходящие через Q и ортогональные Г, следовательно,
точка пересечения первых Р* перейдет в точку пересече-
ния вторых Q*.
Положим для всяких двух разных точек а, р
z —а
-—o' > если а, р конечны,
а, если р = оо.
Очевидно будет одним из линейных преобразований, переводя-
щих а, р соответственно в 0, оо.
Положим еще для всякого К (отличного от 0 и оо)
(z) = Kz.	(3.69)
Очевидно Lk есть линейное преобразование с неподвижными
точками 0 и оо, и обратно, всякое линейное преобразование с не-
подвижными точками 0 и оо есть Lk при некотором К (это видно
из выражения £0, оо, у, где у отлично от 0 и оо). Следовательно, вся-
кое линейное преобразование, сохраняющее точку 0 и переводящее
единичную окружность в себя, должно иметь вид Lk (ибо оо, как
симметричная с точкой 0 относительно единичной окружности, со-
храняется), причем, очевидно, | К | = 1.
Следовательно, линейное преобразование, переводящее еди-
ничную окружность в себя, сохраняющее центр и направление дей-
ствительной оси, есть тождественное преобразование.
220
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
(6.70)
Замечание. Всякое линейное преобразование с двумя
неподвижными точками а, р можно записать в виде
где К отлично от 0 и оо. Обратно, всякое преобразование (3.70) есть
линейное преобразование с неподвижными точками 0 и оо.
В самом деле, если L имеет неподвижные точки аир,
то La^LL^^ будет линейным преобразованием с неподвижными
точками 0, оо, следовательно La = LK, откуда умножением
слева на ХА и умножением справа на L а получим искомое равен-
ство (3.70).
Обратно, LK La & при всяком К, отличном от 0 и оо, будет
линейным преобразованием с неподвижными точками р. г
Для каждого нетождественного линейного преобразования м дву-
мя неподвижными точками К =/= 1 и определено с точностью до
замены обратным числом (ибо при перестановке неподвижных то-
чек К заменяется на А).
А
Нетождественное линейное преобразование с двумя неподвиж-
ными точками называется гиперболическим, если К положительно,
эллиптическим, если |К| — 1, локсодромическим в прочих случаях.
Нетождественное линейное , преобразование с одной неподвижной
точкой называется параболическим.	? "
Те орема. Дуешь D — одна из двух областей, на которые
окружность (в 'широком смысле) С делит полную плоскость, Р —
точка в D, т — «направление», выходящее.. из Р*, пусть Д одна
из ,двух областей, на которые окружность (вширокомсмысле)
Г делит полную плоскость, Q — точка в А, п -— «направление»,
выходящее из Q. Тогда существует единственное линейное преобра-
зование, переводящее Область D в область Д, точку Р в точку Qi
«направление» т в «направление» п.
Доказательство. Сперва заметим, что внутренность или
внешность окружности можно линейным преобразованием перевести
в некоторую полуплоскость (для этого достаточно взять линейное
преобразование, переводящее три разные точки окружности в ка-
кие-нибудь три разные точки, из которых одна оо). Заметим еще, что
в частном случае, когда С и Г, упоминаемые в теореме, являются
прямыми, найдется линейное преобразование, переводящее D в Д
и Р в Q, ибо легко получить линейное преобразование L, состав-
ленное из вращения, параллельного переноса и подобия, переводя-
щее D в полуплоскость у > 0 и точку Р в точку i, и аналогичное М,
переводящее Д в полуплоскость у > 0 и точку Q в точку i, а тогда
переведет D в Д и Р в Q.
После этих замечаний перейдем к доказательству теоремы.
Пусть (Mt) — линейное преобразование, переводящее D (Д) в не-
которую полуплоскость Di (Дх); оно переводит точку Р (Q) и «на-
правление» т (п) в некоторые точку Р± (@х) и «направление» (пх).
Пусть N — линейное преобразование, переводящее внутреннность
§ 20J КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ 221
единичного круга в некоторую полуплоскость д; оно переведет точ-
ку О в некоторую точку R. Пусть Za (М2) — линейное преобразо-
вание, переводящее (Дх) вбиРх (£х) в Я; оно переведет «направ-
ление» т1 (пх), выходящее из Рх (<?х), в некоторое «направление»
т2 (п2), выходящее из R. Преобразование L3 = N~iL2Li (М3 =
=	переводит D (Д) во внутренность единичного круга,
Р (Q) в его центр, «направление» т (п) в некоторое направление
т3 (п3), выходящее из центра. Пусть Т — вращение, переводящее
«направление» т3 в «направление» п3\ тогда S = TL3 будет
искомым линейным преобразованием, переводящим D в Д, Р в Q,
иг в п. Остается показать, что не существует двух таких преобразо?
ваний S и 5Х. Пусть АГ — линейное преобразование, переводящее
внутренность единичного круга в D, его центр в Р, «направление»
действительной оси в «направление» т. Тогда	переводит
внутренность единичного круга в себя, сохраняет центр и направле-
ние действительной оси, следовательно, будет тождественным пре-
образованием Е, Но из	= Е (умножаем слева на ./V, спра-
ва на N"1 и, наконец, слева на Sx) найдем, что S = 5Х.
Замечание. Если линейное преобразование L переводит ок-
ружность (в широком смысле) С в окружность (в широком смысле)
Г и точку а, не лежащую на С, в точку р, то
при надлежащем выборе Я, где а* (₽♦) — точка, симметричная
а (р) относительно С (Г).
В самом деле, Хдд*,	сохраняет точки 0 и ©о, следователь-
но, имеет вид LK. Из L&*,	= умножением слева на
и умножением справа на Laa* получим искомое выражение для L.
jB частности, если Г есть единичная дкружность и р — 0, то
Р* = оо; но t0 oo есть тождественное преобразование, следователь-
но, в рассматриваемом случае L = LKLaa* при некотором К. Заметим,
что тогда при произвольном К это преобразование переведет а в О
и С в некоторую окружность с центром 0. Поэтому достаточно пот-
ребовать, чтобы некоторое z0 на С переходило в точку с единичным
модулем. Таким образом, общий вид всех линейных преобразований,
переводящих С в единичную окружность и точку а, не лежащую
на С, в 0, есть
1
£ = £K£aa«: 1*1 = |£aa.(Zo)| ’
где zq> — какая-нибудь, фиксированная точка на С. Иначе говоря,
общий вид таких преобразований есть
^*aa* 00
222
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	; [ГЛ. 1И
Пример 1. Найти всевозможные линейные преобразования,
переводящие единичную окружность в себя и точку а в 0.
Здесь а* = 1/а, следовательно, искомые линейные преобразо-
вания будут:
Z —Ct
w =	----7, где |^1=1	(3.72>
az — 1
(ибо если a= reic₽, то — егф и можно взять z0 = е^).
а г
Пример 2. Найти все линейные преобразования, переводящие
действительную ось в единичную окружность и точку а в 0.
Здесь а* = аг следовательно, искомые линейные преобразова-
ния будут:
z — a
w = К-----—, где | К | == 1.	(3.73)
Z—а	е ;
Конформные отображения односвязных областей.
Формулировка теоремы Р и м а н а — К а р а т е о-
дорй. Всякая односвязная область на полной плоскости, кроме
полной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, может
быть конформно отображена на внутренность единичного круга.
Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Из теоремы
Римана — Каратеодори следует, что всякие две односвяз-
ные области D и Д, отличные от полной плоскости и полной плос-
кости с выколотой точкой, могут быть конформно отображены одна
на другую. В самом деле, если S и Т— конформные отображения D
и Д на внутренность единичного круга, то Г"1 S будет конформным
отображением D на Д. Вопрос о том, насколько многообразны кон-
формные отображения D на А, легко решается, если будет дока-
зана
Лемма Шварца. Если f (z) внутри единичного круга анали-
тична, по модулю Не превышает 1 и имеет нуль в точке О, то |/ (z)|
| г| при |z| < 1, причем либо ]/ (z)| < | z| при 0 < |	< 1, либо
f (z) = kz, где к постоянно и | к | = 1.
/ (z)
Доказательство. Так как / (0) — 0, то — аналитична
при |z| < 1. При | z | = г, где 0 < г < 1 имеем I  I < —, сле-
I/ (z) I 1
—— < -у- при lzl С г-
Переход к пределу при г —» 1 показывает, что при lz| < 1 имеем
—— % 1. Если в некоторой точке z0 —| = 1, то—-— =
= const == к, где, очевидно, | к |	1. В противном случае (а также в
предыдущем случае, когда | к | < 1) имеем —у-- | < 1 при | z | < 1.
Таким образом, либо / (z) = kz, где = 1, либо | f (z) | < | z | при
О < | z | < 1, что и требовалось доказать.
| 20J КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ	223
Следствие. Конформное отображение внутренности единич-
ного круга на себя, сохраняющее точку О и направление действи-
тельной оси, есть тождественное преобразование.
В самом деле, если w = f (z) есть такое конформное отображе-
ние, то f (z) удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому
| / (z) ( С I z I ПРИ I z I < 1. Но обратное отображение z=<p (и?) также
удовлетворяет условиям леммы Шварца, поэтому | ф(w) | w при
| w | < 1. Полагая здесь w — f(z), получим| z | < | / (z) |при | z |< 1.
Сравнение полученных неравенств показывает, что | / (z) | = | z | при
| z | < 1. Следовательно, по лемме Шварца / (z) = kz, где | k | = 1.
Учитывая, что направление действительной оси сохраняется,
находим к = 1 и, следовательно, / (z) = z.
Из теоремы Римана — Каратеодори и предыдущего следствия
из леммы Шварца вытекает
Теорема. Пусть D (Д)—односвязная область, отличная от пол-
ной плоскости и полной плоскости с выколотой точкой, Р (Q) —>
точка в D (Д), т (п) — «направление», выходящее из Р (Q). Тогда
существует единственное конформное отображение D на Д, перево-
дящее точку Р в точку Q и «направление» т с «направление» п.
Доказательство. Пусть S (Т) — конформное отобра-
жение области D (Д) на внутренность единичного круга, существую-
щее в силу теоремы ,Римана — Каратеодори. Тогда точка Р (Q) и
«направление» т (п) перейдут при этом в некоторую точку Рг
и некоторое «направление» тг (пх).
Пусть L — линейное преобразование, переводящее единичную
окружность в себя, точку Р± в точку @x, «направление» т± в «на-
правление» nr. Тогда T^LS будет искомым конформным отображе-
нием D на Д, переводящим точку Р в точку Q и «направление» т
в «направление» га. Остается доказать единственность такого отоб-
ражения.
Пусть S (Г) — конформное отображение D (Д) на внутренность
единичного круга, переводящее точку Р (Q) в точку О, «направле-
ние» т (га); в «направление» действительной оси (существование
отображения S (Т) доказано). Если теперь U — какое-нибудь кон-
формное отображение D на Д, переводящее Р в О и т в п, то TVS-1
будет конформным, отображением внутренности единичного круга
на себя, сохраняющим точку О и направление действительной оси.
По следствию из леммы Шварца TUS"1 = Е (тождественное пре-
образование), следовательно, U = T^S, что доказывает единствен-
ность и.
Замечание. Если области D и Д ограничены окружностями
(в широком смысле), то всякое конформное отображение D на Д
будет линейным.
В самом деле, пусть S — конформное отображение D на Д.
Какая-нибудь точка М области D и выходящее из нее «направле-
ние» т перейдут в некоторую точку N области Д и выходящее из
нее «направление» п. Но мы видели, что существует линейное пре-
образование L, которое, как и 5, переводит D в. Д, М в N, т в п,
а так как такое конформное отображение единственно, то 5 = L.
Формулировка теоремы о соответствии гра-
ниц при конформном отображении. Если w = f (z)
есть конформное отображение области D, ограниченной
224
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. III
простым замкнутым контуром С, на область А, ограни-
ченную простым замкнутым контуром Г, то функцию f(z)
можно так доопределить в точках контура С, что f (z) станет не-
прерывной функцией в замкнутой об ласти, ограниченной контуром С,
и соответствие w = f (z) окажется взаимно однозначным отображе-
нием замкнутой области^ ограниченной контуром С, на замкнутую
область, ограниченную контуром Г.
Доказательство этой теоремы здесь не приводится. Таким обра-
зом, всякое конформное отображение об ласти,ограниченной простым
замкнутым контуром С, на область, ограниченную простым конту-
ром Г, индуцирует определенное взаимно однозначное соответствие
между точками самих контуров С и Г.
§ 21. Задача Дирихле для круга
и свойства гармонических функций
Вывод вспомогательной формулы. При 0	r.< 1 и
любом <р имеем
оо	со
4-+зrVn’ - - 4-+з=- 4-+тЛл =
1	е	1 — ге
___£,	1 — ге~1ф _ JL 4-
2	(1 — ге*ф) (1 — ге~*ф) 2
. 1 — г cos <р + Sr sin ф   1 — г2 -|- 2ir cos ф
«	1 — 2rcosф + г2 2(1 — 2гcosФ + г2) ’
откуда, переходя к действительным частям, получим
со
4- + 2- 2<1-2,Х + г1  <374>
Интегральное представление гармонических функций»
Пусть и (z) = и (х, у), где z = х + 1у,— действительная
непрерывная функция на круге | z | R гармоническая
при | z | < R. Очевидно, и (Ке*ф) будет непрерывной
функцией от <р с периодом 2л. В силу § 7 гармоническая
функция внутри круга является действительной частью
некоторой аналитической функции внутри этого круга,
оо
поэтому при | z | < R и (z) = Re F (z), где F (z) = 2
о
при | z | < R, причем можно предполагать Im F (0) = 0.
Введем числа a0, a19 bY, . . . , an, bn, . . . , полагая
Л = -у-, Л = а„-*М«>0).
§2iJ
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
225
При 0 < г < Я и любом ф имеем
ОО
F (re*) = 4^+2 К - ibn) rV”*,
1
откуда после выделения действительных частей получим
и (reiq>) = -у- + 3 гП (ап cos W(P + Ьп sin пф), (3.75)
1 . •
Сходимость этого ряда равномерна относительно <р при
фиксированном г, следовательно, а0, апгп, Ьпгп (п > 0)
являются коэффициентами Фурье для и как функ-
ции от ф.
Беря р между г и Я, перепишем (3.75) в виде
00
и (ге1*) = -у- + 2 ("7") (®nPn cos пф + &пРп sin пф).
Так как а0, япрп, Ьпр” (п > 0) являются коэффициен-
тами Фурье для и (ре’*) как функции от ф, то
я	л,	.	.
во =	§ и (pete) da;	anpn = ,-i- J и (peia) cos na da;
—-Я	—я
n
bnpn = 2- u (peta) sin na da	(n > 0);
-	—«
следовательно,
я	oo	л
u (ге1ф)=“sr Jм <pela>da+2 {—j* (4- 5«(pe<a) x
<	я
1 c	\
X cos na da-cos пф + — j и (peia) sin na da-sin пф) =
я	oo	Л
= ~2^~ § u (Peia)da + 2 (v) "F $u (Pei“)cos n (a ~ Ф)й«=
—я	1 ' H ' —л	„
л	оо
= 4"_S [-г +2 (у-)”008п (а ~ ф)] “	da - .
S П. и. Романовский
226
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 
(ГЛ. Ш
 == 1 С ' i-W
2 jX у	7*	. -	1 г2
1-2 —cos(a—<р)4-^-
и (peia) da =
2я р2 — 2грсоз(а — Ф)4-г*
Подынтегральное выражение в последнем интеграле яв-
ляется непрерывной функцией от р, а при г < р R (г, <р
фиксированы). Обозначим ее Ф (р, а). При р -> R Ф (р, а) —>
Ф а) равномерно относительно а (ибо Ф равномер-
но непрерывна при гг р <: Я, если г < гг < 7?), сле-
довательно, в пределе получим
«
“ <""•> - -5-j 1F= я££. ф)+г. “ <	<з-’в)
Заметим, что при и = 1 эта формула принимает вид
л
1	Я»— 2Ягcds'(a^<p) + г®"da‘	С3-76')
Если и (z) = и (х, у), где z = х + iy,— действитель-
ная непрерывная функция на круге | z — z0 | <1 R, гармо-
ническая при | z — z0 | < R, то и (z0 + z) непрерывна на
круге | z | R и гармонична при | z | < R, следователь-
но, на основании (3.76) имеем при 0 г < R и любом <р
Л
4 р	_г2
u (z0 + re*). ~ J —U (z0 + да«) da,
(3.77)
что и является искомым интегральным представлением^
Отсюда при г = 0 получим
Л
-2Й- $ «(2. + ^)^ = -^-(3.77Э
—Я	"
где С — окружность |z — ze | = 7? и последний инте-
грал берется по длине дуги.
5 21]
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
227
О достижении крайних значений на границе и теорема
единственности. Средним значением непрерывной функ-
ции / на спрямляемой дуге Г длины L называется число
f 1d’	р
|л = —. Если/	р, на Г, то ц — / > 0, j (р — /) ds =0,
Г
следовательно, / = р на Г. Это замечание далее исполь-
зуется.
Теорема. Если и (z)— действительная непрерыв-
ная функция в ограниченной замкнутой области Д, гар-
моническая внутри Д, то наибольшее и наименьшее зна-
чения и (z) на Д достигаются в некоторых точках на гра-
нице этой области. Достижение наибольшего или наи-
меньшего значения и (z) внутри Д может иметь место
только в случае, когда и (z) есть постоянное.
Доказательство. Наибольшее значение и (z)
достигается по крайней мере в одной точке на Д. Если наи-
большее значение и (z) на Д достигалось в точке z0, лежа-
щей внутри Д, то оно достигается во всех точках каж-
дого круга, имеющего центр z0 и лежащего внутри Д. Это
непосредственно следует из (3.77') и сделанного выше за-
мечания. Возьмем теперь произвольную точку Z внутри
Д и рассмотрим цепочку кругов К2, . . Кп, лежа-
щих внутри Д и таких, что z0 есть центр круга центр
каждого Кj (1 < / т) лежит на Z принадлежит
Кт (построение аналогичной цепочки кругов рассмотрено
при доказательстве леммы в § 14). Наибольшее значение
и (z) на Д достигается во всех точках всех кругов К$ и, в
частности, в точке Z, но Z — любая точка внутри Д, сле-
довательно, и (z) постоянна внутри Д, и следовательно,
постоянная на Д. Заменяли на — и, придем к аналогичным
заключениям о точках, где и (z) достигает наименьшего
значения.
Примо ч а и и е. Из этой теоремы следует, что если вир —
непрерывные действительные функции на А, гармонические внутри
А, и если на границе области А имеем и < v, то всюду на А и < »
(ибо наименьшее значение v — и достигается на границе А, а там
v — и 0). Далее, если на границе А имеем | и | < v, то всюду на
А | и | v (ибо из —v м < v на границе А следует — v и и
всюду на А).
Теорема единственности. Пусть Д —
ограниченная замкнутая область. Может существовать
8*
228
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
не более одной действительной функции, непрерывной на
Д, гармонической внутри Д и принимающей заданные зна-
чения на границе области Д.
Доказательство. В самом деле, разность двух
таких функций будет непрерывна на Д, гармонична внут-
ри Д и равна нулю на границе Д. В силу предыдущей тео-
ремы эта разность тождественно равна нулю на Д.
Решение задачи Дирихле для круга. Задача Дирихле
в общем виде формулируется следующим образом. Пусть
Д — ограниченная замкнутая область, ф — непрерыв-
ная действительная функция на границе области Д. Тре-
буется найти непрерывную действительную функцию и на
Д, гармоническую внутри Д и совпадающую с ф на гра-
нице области Д.
• Из теоремы единственности следует, что может суще-
ствовать не более одной такой и.
Пусть / (а) — непрерывная действительная функция
с периодом 2л, К — круг радиуса R с центром z0. По-
лагая z = z0 +	где 0 г < R, определим при
| z — z0 | < R функцию
я
4 Р	Р2_г2
и fe) = и (ze + reicp) =	\ ———-----------. —- / (a) da.
к 7	' н ' 2л J R2 — 2Rr cos (а —- ф) -|- ra 7X7
(3.78)
Выражение (3.78) называется интегралом Пуассона. Этот
интеграл реализует решение задачи Дирихле для круга.
Покажем сперва, что и (z) является при | z — z0 | <; R
действительной частью некоторой аналитической функции
и, следовательно, будет гармонической функцией.
Имеем при 0 г < R, учитывая формулу (3.74),
7?2 — г2	_	1 - (г/Я)2
2 (Я2 — 2Rr cos (а — ф) + г2) г л г
к Y/Т >	211—2-^-cos(a —ф) +
= 4“ +2(4")cos п (а ~ ф)-
Затем, учитывая равномерную относительно а сходимость
$ 211
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
229
встречающегося ниже ряда, получим
u(z) = 4 S [4" + 2(-7г)ПсО8ге<а — <₽)]/(«)А* =
= “4“ j+ 3(“й-)П 4" S/(a)cosM«-<P)da =
—л	1 ' '	—л
= -у- + 2 Г* (an C0S W(P + &n sin
1
где
Uq —
л
-4 $ /(a)da;
—я
ап
—— \ / (a) cos па da;
aRn ’
bn = -4г S /(a)sinraada
—Л
(n>0).
Так как an = о (1/Rn), bn = о (1/2?”), то ряд%An(z — z0)n,
О	.
где Ао = а0/2; Ап = ап — ibn (п >0), сходится при
| z — z0| < R и изображает при | z — z0 | < R некоторую
аналитическую функцию F (z), причем, очевидно, Re F (z) =
= и (z).
Теперь покажем, что для каждого <р0 и (z0 + re*’)
—*/(ф0) при]	, Этим будет показано, что если доопре-
(Ф —* Фо
делить и (z) на окружности радиуса R с центром z0, поло-
жив при каждом ф0 и (z + Re**) = / (ф0), то и (z) станет
непрерывной функцией на круге | z —г z0 | R.
Имеем, учитывая формулу (3.76'),
u (z0 + 7-е^) - / (ф0) =
Л
= 2л 5' Я3 — 2Яг cos (a — ф) + г2 I/ (а) — / <Фо)1 da =
—Л
Фо—2S4~2rc	Фо~Ь2&	Фо—2&4“2те
$ =4 j +4 $ =л+а.
Фо—2S «	Фо—28	Фог|-28
где 0 < 5 < л/2. Выберем 6 так, что | / (ф) — / (ф0) | < е/2
230
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. Ш
при ф0 — 26 ^ф <‘ф0 4- 26 (е > 0 произвольно ма-
ло), и рассмотрим функцию
_	Ri__г3
Ф<Г> ф’а>=
очевидно, непрерывную и, следовательно, равномерно
непрерывную на трехмерном замкнутом интервале
Фо — 6<ф<Фо + 6
Фо 4“ 26 (х фо — 26 4" 2л
ибо при этих значениях г, ф, а знаменатель =/= 0, так как
6 <а — Ф 2л — 6^ и следовательно, знаменатель
> Я2 — 2Rr cos 6 4- г2 = (Z? — г)2 4- 4Яг sin2 ~ > 0.
По причине равномерной непрерывности на упомянутом
трехмерном интервале найдется такое ц > 0, что
| Ф (г, ф, а) — Ф (Я, ф, а) | < е/2
при
R — т| < г < Я, Фо — б С ф < Фо 4- 6, фо 4- 26 < а
Фо — 26 4- 2л,
но Ф (Я, ф, а) » 0, следовательно, | Ф (г, ф, а) I < е/2
при упомянутых г, ф, а и, следовательно, | 721 < е/2
при R — т) < г < Я, | ф — ф0 [ < 6.
Далее при г < R имеем
Ф«4-2В	Я
। j ।	8 1 Р	Я2 — Г2	,	8 1 (’	' 8
2 2л У Я2 — 2Яг cos (а - <р) + г2 аа 2 2л J “ 2 »
Фо—23	—я
следовательно (рис. 58),
1Ь + Ы<в при
R — т) < г < R,
Фо — 8<Ф<Фо + 8.
Этим доказано, что и (z0 4- re**) -> f (q>0) при m* •
Таким образом, показано, что если на окружности
| z — gt | = R произвольно задана непрерывная функ-
5 211
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА»,
231:
формулой (3.78), ес-
Рис. 58.
ция ф (z), то существует единственная действительная
депрерывная функция и (z) на круге | z — z0 | <1 Л, гармо-
ническая при | z — z0 | <Z,R и равная ф (z) при | z — z0| =
= R. Эта функция определяется
ли положить f (а) = ф (z0 + Reia).
Следовательно, задача Дирихле
для круга разрешима.
Из сказанного в конце § 20 следует,
что если А есть замкнутая область, ог-
раниченная простым замкнутым конту-
ром Г (на плоскости комплексного пере-
менного z), К — круг |£| < 1, С —
окружность | £ | = 1 (на плоскости
комплексного переменного £), то суще-
ствует такое взаимно однозначное и
взаимно непрерывное соответствие
£ = £ (z) между точками А и К, при котором Г отображается
на С (тогда обратное соответствие z — z (£) отобразит С на Г) и
£ (z) является аналитической функцией внутри А. Пусть ф (z) —
произвольная непрерывная действительная функция на Г, тогда
ф fz (£)] будет непрерывной действительной функцией на С. Соглас-
но изложенному существует непрерывная действительная функция
v (£) на К, гармоническая внутри К и совпадающая сф [z (£)] на С.
Тогда и (z) = v [£ (z)] будет непрерывной действительной функцией
на А, гармонической внутри А и совпадающей с ф (г) на Г (заметим,
что гармоническая функция от аналитической функции гармонична
потому, что суперпозиция аналитических функций аналитична и
потому, что гармоническая функция есть действительная часть ана-
литической функции).
Таким образом, задача Дирихле разрешается для в с я ко й замк-
нутой области, ограниченной простым замкнутым контуром.
Свойства гармонических функций. Отметим предвари-
тельно некоторые неравенства. При 0 г < R и вся-
ком ф .	’
R—r = R2 —	Z?2—г2_______
Я-р Я2— 2Яг-[-г2 — 2/?гсозф4-г*
<2	V*2 ~ г2 — R г (3 7Q\
R* — 2Rr 4- ra R — г ’ v '
но левая часть при увеличении г уменьшается, а правая
увеличивается, следовательно,
# — р	Н2 — г2	_ R + р
л+р^ /Р —2/?гсозхр+г2 — р при 0<Г^р<Я.
• (3.79')
232
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ ♦ Ш
Напомним (см. J 13), что последовательность функций
в некоторой области D называется равномерно сходящейся
внутри!), если она сходится равномерно на каждом
ограниченном замкнутом множестве, содержащемся в
D (для этого достаточно равномерная сходимость на каж-
дом круге К, лежащем в D).
Теорема. Если последовательность функций ип (z),
гармонических в некоторой области D, равномерно сходит-
ся внутри D, то предельная функция и (z) гармонична
в области D.
Доказательство. Пусть К — круг с центром
z0 и радиусом R лежит в D. Применим к ип (z) формулу
(3.77). Так как на окружности круга К ип (z) -> и (z) рав-
номерно, то предельный переход показывает, что и (z)
представима внутри К интегралом Пуассона (3.78) с / (а) =
= и (z0 + 7?eia), следовательно, и (z) гармонична внутри
К, но К — любой круг, лежащий в D, следовательно,
и (z) гармонична в области D.
Следствие. Если ряд с членами, гармоническими
в области D равномерно сходится внутри D, то его
сумма гармонична в области D.
Теорема Гарнака. Пусть vn (z) — положи-
тельные гармонические функции в некоторой области D.
оо
Если ряд 2 vn (z) сходится хотя бы в одной точке об-
1
ласти D, то он равномерно сходится внутри D.
Доказательство. Пусть К — круг с центром
z0 и радиусом !?, лежащий в D. Умножая неравенство
_____________/?а — г2 ___________R + г
R2 — 2Rr cos (a — ф) Н- г2	7? — г ’
где 0 г < Я,
1
на 2^- vn (z0 + Еега) и интегрируя по а в пределах от —л
до л, получим, учитывая (3.77) и (3.77');
vn (z0 + re*) < vn (z0),
откуда следует, что если в точке z0 ряд 2 vn сходится,
1
то он сходится в каждой точке внутри К. Пусть Ки
К2, . . , , Кт — цепочка кругов, лежащих в D и таких,
§ 211
ЗАДАЧА Д ИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
233
что точка сходимости z0 есть центр круга Ki, центр каж-
дого Kj (1 < j т) лежит внутри Kj_±, Z лежит внутри
Кт, гДе — произвольно выбранная точка в D. В точ-
со
ке Z в силу изложенного ряд 2 vn оказывается сходя-
1
щимся, но Z — любая точка в Z), следовательно, ряд
2 ип сходится в области D. Пусть К ~ произвол ь-
н ы й круг с центром и радиусом р, лежащий в Z), К —
концентрический круг большего радиуса Я, также лежа-
щий в D. Умножая неравенство
/?2 — г2	R + р
Я2 — 2Яг cos (а — ф) Ц- г2/? — р ’
где О^Г гСр
на vn (zx + Reice) и интегрируя по а в пределах от — л
до л, получим
Vn (zx + re^) < vn (zx) при 0 c r < p,
co
следовательно, ряд 2yn (2) мажорируется на круге
К числовым сходящимся рядом 2 д jlP vn(^1) и> следо-
i Р
вательно, равномерно сходится на К, но К — любой круг
в D, следовательно, ряд 2уп(2) равномерно сходится
1
внутри D.
Следствие. Если возрастающая или убывающая
последовательность гармонических функций в некоторой
области D сходится по крайней мере в одной точке этой
области, то она равномерно сходится внутри D.
Теорема Лиувилля. Положительная гармо-
ническая на всей плоскости функция есть постоянное.
Доказательство., Пусть v (z) > 0 гармонична
на всей плоскости. Возьмем какое-либо число z — re**.
Умножая неравенства
R — г	R2 — г2	Я + г
R + г R* — 2Rr cos (ос —ф) +-г2	’ где п г'
234	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[гл. ш
1 '
на 2л	и интегрируя по а в пределах от —л до л,
получим
~~ V (0)< V (z)< V (0),
откуда, в пределе при R -> + оо
v (0) v (z) v (О) ,
следовательно, v (z) = v (0) на всей плоскости.
Следствие. Если функция гармоническая на всей
плоскости ограничена снизу или сверху, то она есть пос-
тоянное.
В самом деле, пусть и гармонична на всей плоскости;
если и > с, то и — с > 0, и — с == const, и = const;
если и <Zc, то — и >» — с, — и — const, и = const.
Теорема (об устранимой особой точке).; Если и (z)
гармонична в области D, за исключением точки z0, лежа-
щей e'D, и и (z) ограничена вблизи z0, то и (z) можно так
доопределить в точке z0, что и (z) станет гармонической
на всей области D.
Доказательство. Пусть К — круг с центром
z0 и радиусом R, лежащий в D. Пусть Zj — точка, ле-
жащая внутри К и отличная от z0. Рассмотрим функцию
U = в 1а у , где г = | z — z0 |, 8 — положительное число,
Легко видеть, что U гармонична на всей плоскости, кро-
ме точки z0, и равна нулю при | z — z0 ] = R. Пусть функ-
ция v (z) непрерывна при | z — ze| j?, гармонична при
I z — z0 | < R и совпадает с и (z) при | z — z0 | = R (таг
кая функция существует, ибо задача Дирихле для круга
разрешима). Так как и (z) ограничена вблизи z0, то w =
= и — v ограничена при0< | z — ze | и пусть | w]<£
< М при этих z. Пусть р выбрано так, что 0 < р < |
—z0|, s in	М. На кольце р <71 z — z0 | ^ Й функция
w непрерывна, внутри кольца гармонична, при| z — ze] = Л
= 0, при jz — «о4«=р	|г^|<М<81п у . Таким
образом, на границе кольца | w | <: U, следовательно,
I w (Zi) IС и (zx) = е 1п^-, где n = | z, — z0 |. При е -> 0
получим в пределе w («О = 0, a (zi) = v Но zx —
§ 211	ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА	235
любая точка внутри К, отличная от z0, следовательно,
и (z) = v (z) при 0 < | z — z0 | < R- Таким образом,
полагая и (z0) = v (zQ), мы сделаем и гармонической в D.
Доказанная выше теорема о достижении крайних значений на
границе и теорема единственности остаются в силе, если вместо гар-
моничности и (z) внутри А требовалось лишь выполнение формулы
(3.77') для всякой окружности, лежащей вместе со всей внутрен-
ностью внутри Д.
Пусть D — произвольная область; и (z) — такая действитель- ’
ная непрерывная функция на D, что для каждой окружности . С,
лежащей вместе со своей внутренностью в Р, выполняется формула
(3.77'). Пусть К — круг, лежащий в Р, v (z) — непрерывная функ-
ция на К, гармоническая внутри К и совпадающая с и (z) на окруж-
ности этого круга. В силу теоремы единственности и = v на К, сле-
довательно, и гармонична внутри К, но К — любой круг в D,
следовательно и гармонична в D. Таким образом, доказана
Теорема. Чтобы действительная функция на произвольной
области D была гармонической, необходимо и достаточно, чтобы
она была непрерывна eD и чтобы ее значение в центре каждого круга,
лежащего в D, равнялось среднему значению ее на окружности этого
круга.
Гармоническая функция в некоторой области однозначно оп-
ределяется своими значениями в какой-либо подобласти, т. Q. спра-
ведлива
Теорема. Если на данной области имеем две гармонические
функции, совпадающие на некоторой подобласти, то эти функции
совпадают на всей данной области.
Доказательство. Достаточно показать, что гармони-
ческая функция в некоторой области D, равная нулю внутри не-
которого круга К, лежащего вД равна нулю в области D. Пусть
Z — произвольная точка в D, d — односвязная подобласть, содер-
жащая К и Z. Пусть v — сопряженная гармоническая для и в d,
выбранная так, что v (z0) = 0 (z0 — центр К). Из сказанного в кон-
це § 7 следует, что и + iv будет аналитической функцией в d, рав-
ной нулю внутри следовательно, в силу леммы § 14 и + iv ~ О
на d, поэтому и = 0 на d. Но Z — любая точка в D, следовательно,
и == 0 в области D.
Отметим еще следующее предложение.
Пусть и (z) — гармоническая функция в области D, отличная от
постоянной. Тогда с любой близости К каждой точке Zo области D
найдутся такие точки Z± uZ%, что it (zi) < м (~0) < и (z%).
В самом деле, в противном случае для некоторой точки z0 в
П найдется круг о центром zOr лежащий в D и такой, что для всех
точек внутри К, и (z) < и (z0), или для всех точек внутри К, и (z)>
и (z0). Следовательно, и (z) = const ~ б* внутри К, и (z) — С = О
внутри К, u(z) — С == 0 на D, u(z) = С на D, что дает противоречие.
ГЛАВА IV
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
§ 1. Гамма-функция
Гамма-функция, или эйлеров интеграл 2-го рода, определяется
(для положительных значений независимого переменного s)
формулой
+ ОО
Г ($) = J е^ж8-1 dx [s > 0).	(4.1)
о
Интеграл в правой части является несобственным при верхнем
пределе и, кроме того, в случае s < 1 несобственным при нижнем
пределе. Сходимость интеграла (4.1; при всех s > 0 обеспечена, так
как при х + оо показательная функция ех растет быстрее любой
степенной функции и так как интеграл с нижним пределом 0 от х~л
при а < 1 сходится.
Формула приведения для гамма-функции (первая ос-
новная формула). Интегрирование по частям дает:
4-о°
Г ($ + 1) = J e~xx*dx =
о
4-00
= — е~хх81^00 -|- s xs~le~xd
'° о
Таким образом, получаем формулу приведения
Г(5+1)«5Г(5)	($>0).	(4.2)
Отсюда заключаем, что
Г (5) = ($- 1) Г (s — 1) = ($- 1)(5 - 2)Г (/— 2) = . . .
и вообще
Г (s) = ($ - 1) (5 - 2) . . . ($ - к) Г (s - к) (к< s), (4.3)
= 8Г(8).
§ *1
ГАММА-ФУНКЦИЯ
237
а тогда при натуральном п
Г (п + 1) - п (п — 1) ... 2-1 Г (1);
но
+°°
Г (1) = J e~xdx = - е~х |+“ = 1,
следовательно,
Г (п + 1) = 1-2-3 . . . п = пк <	(4.4)
Формула приведения (4.2) позволяет выразить значе-
ния гамма-функции для любого положительного s через
ее значения для лежащего между 0 и 1.
Второе выражение гамма-функции. Делая Подстановку
х = Z2, получим:
4~ОО
Г(«) = e-xx*-'dx = 2
О	о
.или, заменяя t на ж,
v°
Г($) = 2 у	($>> 0k >	(4.5)
О -	' '	' ;	
откуда, в частности,
г(у) = 2 J e~x‘dx.
О
Ниже будет показано, что	(см. стр. 239),
откуда с помощью (4.3) найдем для любого натурально-
го п:
= ''3'5,	(4-в)
Бета-функция. Бета-функция, или эйлеров интеграл 1-го рода,
определяется (для положительных значений независимых перемен-
ных р, д) формулой
1
В (р, я) =	(1 ~ я)4"1 dx (р>0,^>0). 1	(4.7>
о
238 О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ, IV
Этот интеграл является несобственным при нижнем пределе
в случае р < 1 и несобственным при верхнем пределе в случае
Рис. 59.	Рис. 60.
Делая подстановку a? — cos2qp, получим второе выражение для
бета-функции:
я/2
В (р, q) = 2 соз2Р"1 <р sin29"^ dtp (р > 0, q > 0).	(4.8)
о
Бета-функция может быть легко выражена через Г-функцию
посредством формулы
д,„ „V	Г(Р)Г(?)	мт
В(м) = г^-.	<4-9>
Действительно, перемножая равенства
Г (р) = 2	dx-, Г (9) = 2 J	dy
о	о
и переходя в получающемся двойном интеграле к полярным коор-
динатам
x = rcoscp, p(s, у) 1
y = rsin<p, P(r,<p)erJr
получим (рис. 59 и 60):
Г (р) Г (<?) = 4 JJ е'^х2^1 у^1 dxdy =
= 4 r2P+2Q-l COS2P-1 ф gin2*2”1 ф ^ф я
А	-
= 2 J g-r2r2P42Q-i 2	cos2?'1 ф sin2*2-1 Ф сйр = Г (р 4- q) В (р, q),
° 0 .
откуда и вытекает формула (4.9).
§11*	-	ГАММА-ФУНКЦИЯ *	239
Из формулы (4.9) видно, что бета-функция симметрична:
В (р, ?) = В (q, р).
В случае натуральных т, w из (4.9) и (4.4) следует:
В (т, п)
" Затем в силу (4.8)
(т — 1)! (п — 1)!
“ (т + п — 1)1
л/2
но по (4.9)
откуда, учитывая, что Г (1) = 1, получим равенство = ]/л»
которое было использовано при выводе формулы (4.6). Так как из
(4.5), как уже отмечалось, следует, что
4-со
'(l; -2 $
О
то отсюда находим:
е“х2 dx,
+оо
( e-^dx =£”
J	2
о
или (учитывая четность функции е х\
+со
e~^dx = /л.
—00
(4.10)
(4.10')
Интеграл, фигурирующий в формулах (4.10) или (4.10^), называется
интегралам Гаусса.
Если р — любое положительное, п. — натуральное, то из (4.9),
(4.4), (4.3) находим:
п „ч Г(Р) Г(п) _ Г (р) 1-2 ... (п — 1)
ь^>п)-Г(р + п) ~(р + в-1)...рГ(р) =
1-2... (п — 1)
+ (р + * —1) ’
Делая, вфориуле (4.7) подстановку х = (и меняя затем
у на z),'получим третье выражение для бета-функции:
В (Р, д} =
Р х11-1
I (1+«)₽+9
dx
<Р>0,д>0),
(4.11)
240
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ (ГЛ, IV
откуда
ds
(0О<1)
(4.11')
или, учитывая (4.9),
о
Г($)Г(1—s)«a
О
X х ,
(442)
Пусть сперва
т —- нечетное,
V я*	V
J 14-аг)
о ' "	о
SOT х
JTjTJ ds, где 0 < s < 1.
о
s — рациональное число вида m/л, где п — четное,
т < п. Подстановка х = zn r&vf.
т
— -1 , +«
х . С
о
2т-1	„ г. 2т-1
Используя правило вычисления несобственных интегралов с по-
мощью вычетов (см. гл. Ш, § 17), получим:
2m-i
dz = 2n«3Res——v
*—• а 1 + г
а
zm-l
где а полюсы рациональной дроби——лежащие в верхней
<	1 + г
полуплоскости, т. е. корни уравнения 1 + zn = 0, имеющие поло*
жительный коэффициент при i. Имеем:
п ___ n+2fcn * (2fc+l)7ti
—' 1 ==	ent = е п	п (к ® 0,1,..., п — 1).
п___
Из этих п значений Y—1 положительный коэффициент при г име-
п
ют значения, соответствующие;к = 0, 1,	“g" — 1. Следователь-
но, все значения а суть
(2К+1)п1
а = е п *
п
2
0,1,
С помощью правила вычисления вычета относительно простого по^
люса находим:
Zm-1	Г zm-l -|	ат^п
^eS 4 ।	„_п-1	в и •
а 1 z	L nz * J z^a 6
S 11
ГАММА-ФУНКЦИЯ ?
241
ft if
Таким образом, имеем при s =	(используя в процессе преобра-
зований суммирование геометрической прогрессии и выражение
синуса через показательную функцию по формуле Эйлера):
С я8*1 , п С г"1"1	и™’1 хп m п
)г+^=—
о	-00	* :	а	а
Г 2* (2m>ni(m_n)
= ni е n = ni
.	(п+1) яг .	.
en<m"n)e—
— (т-п)
1 — еп
(п \ пг .	_ ni,	. ni,
еГ + 1)п (m“n)	 f Г <П’т)
4>Л	z>n	__*> п
(п \ ni,	.	, тс ,	.
Лг +1J n <m-n) Iя ~т)
е	л	ял
.^(m-n) sin —(n —m) =T8inf5=Tsin!U ’
е '	в	~ п
где
(п \пг.
е1г+1'?Г(’п-п> .
г = г —ч;—;—sin -f- (ге—m)«
— (m-n)
еп
и, следовательно, | у | = 1. Но левая часть нашей цепочки равенств
и коэффициент при y положительны, поэтому у « 1. Таким образом,
имеем при s = т/п равенство
С х8”1	_ л
J 1 + х dx = sin ns
о
но левая и правая части этого равенства суть непрерывные функции
от $ на интервале 0 < $ < 1 (мы не останавливаемся здесь на обос-
новании непрерывности левой части), а так как каждое действитель-
ное число этого интервала можно представить как предел последо-
вательности правильных рациональных дробей вида т/п, где п —»
четное, т — нечетное, для которых упомянутое равенство доказа-
но, то в пределе найдем справедливость его для всех $, 0 < s < 1.
Итак,
о
х8"1 i л
1”“;— dx	—-----
+ х sin ns
(0<s<l).
(4.13)
242
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
(гл jm
Вторая основная формула для гамма-функции. Из
(4.12) и (4.13) находим:
Г(в)Г(1—з) =	(0<s<l).	(4.14)
Формула (4.14) позволяет выразить значение гамма-
функции для 5, лежащих между 1/2 и 1, через ее значения
для 5, лежащих между 0 и 1/2.
Гамма-функция как предел произведения/ Учитывая,
что (1 —	—>г“х при п—>оо, найдем:
Г($) = erx^^dx = liin ^1 — x*~^dx
(законность этого предельного перехода легко устано-
вить, но на этом мы не останавливаемся). Положим:
4(s) = j^l -	(0<fc<n; s>0).
о '
Интегрирование по частям дает?
ли = (1 - т)‘ т|"-+ £$(* - if'* -
0 о
значит, применяя последовательно эту формулу и учиты-
вая, что
U ' ' J	$ | S
найдем:
/.й-£<и*+1)=^/^+2|-
= йй .(« + !) ч(« + 2) ^«-s(s +3) =•  •
— Д гс —1	1 г / I \ _
” * “ ns n(s-f-l) ’ •’ n(s-|- n —	+ n) —
U"n	n$+n ==	1-2...n	8
nnS (s + 1). . . (s + n — 1) S + ,n	5 (8 + 1). . . ($ + n) П ’
§ 21 БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ
243
Таким образом,
Г(s) = lim . , А?'"”	;П3 (8>0).	(415)
V ’ n^+oo *($ + 1). . . (s + л)	v ' '	v '
Можно показать, что предел, стоящий в правой части
формулы (4.15),. существует для всех комплексных чисел
$ (конечный для всех $, отличных от нуля и отрицатель-
ных целых чисел). Выражение (4.15) может служить оп-
ределением гамма-функции для любого комплексного
значения s.
Если формула (4.15) принята за определение гамма-
функции, то формулу приведения (4.2) можно доказать
следующим образом:
-.!ifc	"• т^+т}-sr<s>-
Гамма-функция является аналитической на всей пло-
скости комплексного переменного, за исключением точек
О, —1, —2, —3, ..., являющихся для нее простыми полю-
сами. Гамма-функция, как это можно установить, нигде
в нуль не обращается.
§ 2.	Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.
Чтобы объяснить «происхождение* бесселевых функций,
рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
№ . д2и . д2и А	//
-д^- + -дуг+-д^=°	<4Л6)
(функции, удовлетворяющие этому уравнению, называют-
ся гармоническими).
Если перейти к цилиндрическим координатам по фор-
мулам
х = г cos <р, у = г sin q>, z' — z,
то, согласно формуле (2.67), уравнение (4.16) принимает
вид
д2и .	1 ди 1 д2и , <Ри а	// лп\
+ — аг + —	+	=	<4Л7>
244
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ . IV
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения
(4.17), которые могут быть представлены в виде произве-
дения трех функций, каждая из которых зависит только
от одного аргумента, т. е. найти все решения вида
и = R (г) Ф (ф) Z (я)
(Я, Ф, Z предполагаются дважды непрерывно дифферен-
цируемыми).
Пусть и есть решение упомянутого вида. Вставляя его
в (4.17), получим:
/ГФ2 + Я'ФИ + -i- ЛФ"И + ЯФ2’ = О,
откуда (после деления на /?Ф£)
R"	.	1	R'	1	Ф"	,	Z"	= 0
R	г	R	+	г2	Ф	‘	Z
Записав это в виде
.	ЛТ	1	1	Ф"	_	Z"
R	г	R	г2	Ф	Z ’
найдем, что левая часть не зависит от я, правая не зависит
от г, ф; следовательно, общая величина этих выражений
есть некоторая постоянная а. Отсюда
~ = а\ Z"-aZ = 0;
Li
R’	1 R’	1 Ф’ _ . R* . 1 Я'	1 Ф".
R	г R	г* Ф —a’R'rR'a~~	г* Ф ’
r2R” + rR' + ar2R Ф"
R	~ Ф ‘
В последнем равенстве левая часть не зависит от ф, пра-
вая не зависит от г; следовательно, общая величина этих
выражений есть некоторая постоянная Ъ. Отсюда
= Ф"4-ЬФ = О;
НЯ*-|-гЯ' + а?«Я = riR„ + rR, + (al*_b)Rz= о.
§ 2] БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ	245
Таким образом, Я, Ф, Z должны удовлетворять ли-
нейным дифференциальным уравнениям второго порядка
г2/?" + rRf + (ar2 - b) R - О,
Ф" + ЬФ = О, Z" - aZ = 0,	1	'
из которых второе и третье суть простейшие линейные
уравнения с постоянными коэффициентами, а первое яв-
ляется линейным уравнением с переменными коэффици-
ентами нового вида.
Обратно, если Я, Ф, Z удовлетворяют уравнениям
(4.18), то и = RФZ есть решение уравнения (4.17). В са-
мом деле, вставляя RФZ в левую часть (4.17) и деля затем
.. на RФZ, получим:
R" □ 1 R' , 1 Ф” _i_	, 1 R' Ь f <
'д' "Г* г Д^г2Ф‘2“Д^г R ~~ Г2 ““
_ г2Д" Ц-г/?'+ (аг2 — 6) Д __
r*R	" °’
Таким образом, общий вид всех трех решений уравне-
ния (4.17), которые являются произведением трех функ-
ций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть
и = БФ^, где Д, Ф, Z суть любые решения уравнений
(4.18) при любом выборе чисел а, Ь.
Первое из уравнений (4.18) в случае а = 1, Ь > 0 на-
зывается уравнением Бесселя. Полагая в этом случае
Ъ = v2, обозначая независимое переменное буквой х (вме-
сто г), а неизвестную функцию — буквой у (вместо R),
найдем, что уравнение Бесселя имеет вид
ж2/' + ху' + (х2 — v2) у = 0.	(4.19)
Это линейное дифференциальное уравнение второго по-
рядка с переменными коэффициентами играет большую
роль в приложениях математики. Функции, ему удовлет-
воряющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими,
функциями.
Бесселевы функции 1-го рода. Будем искать решение
уравнения Бесселя (4.19) в виде ряда
4-00
У = 2
k=Q
246
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ 1ГЛ. IV.
Тогда
4-во
ху’ = 3 (у + к)
к=о
4-00
«V = 2 (v + А) (v + к ~ 1) «кж',+к'»
fc=O
4-со	4"°°
(Х2 — V2) J = 2	— V2 2 в*^+* =
М	1с==0
4-00	4-00
= 2 ®k-a®v+s — Vs 2 а4ж''+к;
к=а	к=а
х2у" + ху' 4- (х2 — V2) у =
4“ оо	4~оо
= 2 Kv + ty2 — v2! акх*+* + 2 «4-2^+* =
fc=о
4-00	4-00
= 2 *(2v + *)а»«*** + 2
fc=2
Следовательно, приходим к требованию
(2v +1) a1sv+14- 2	(2v 4-к) an 4- ак-г1 хч+* = 0
lf==2
или к бесконечной системе уравнений
(2v 4- 1) at = О,	1
к (2v + к) ак + ак-а = 0 (к = 2, 3, 4, ...),Г
которая распадается на две системы:
(2v + 1) at = О,
3 (2v + 3) а8 4- Oi = О,
5 (2v + 5) а8 4- ®з e О,
2 (2v +- 2) a2 4- a0 = О,
4 (2v 4- 4> a4 + a2 = О,
6 (2v 4- 6) ав 4- a4 = О,
Первая из них удовлетворится, если взять ai = 0, аа = О,
а5 = 0, ... Во второй системе можно взять произволь-
но; тогда а2, а4, ав, ... однозначно определяются (если v
не является целым отрицательным числом). Взяв
в° 2'T(v4- 1) ’
$ 2]
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ЛЮБЫМ ИНДЕКСОМ
247
найдей последовательно!
________до __________________1_______________________1
2—	4(v + l) 2V+2 (v +1) Г (v + 1) “	2V+21I Г (v 4-2) ’
________<ч _______________1_____________________1______.
4	4-2(v+2)	2'ч’421 (v 4-2) Г (v 4-2)	2**-421 Г (v-j-3) ’
а ______________________________1_______________________1_______
•	4-3 (v 4-3)	2v+e3! (v 4-3) Г (v + 3)	2u+«3! Г (v 4-4)
и в качестве решения уравнения (4.19) получим ряд
у =------------х л---------------ж'1+2 4-
2'T(v4-l)	2V+21! Г (v 4-2)
4-	1	-	=	(х/2У -	{х,2У^	4-
2v+42! Г (v 4- 3)	’ ” Г (v +1)	1! Г (v 4- 2)
।	(д/2)',+4	__ у (	(Wt2fc
2!f(v4-3)	----l> к\ f(v4-&4-l)-
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению
(4.19), сходится для всех положительных значений х и,
следовательно, является решением уравнения (4.19) в
области 0 < х < + оо (в случае целого v в области
— оо <С х < + оо). Функция
гУГГ+1) (4-20>
называется бесселевой функцией 1-го рода с индексом v.
Она является одним из решений уравнения Бесселя (4.19).
В случае целого неотрицательного индекса п, учитывая
(4.4), получим:
<420'>
к=о	4
и, в частности,
(4.2СГ)
248
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ . IV
Общее решение уравнения Бесселя. В случае нецелого
индекса v функции Jv (х) и (х) являются решениями
уравнения (4.19). Эти решения линейно независимы, так
как начальные члены рядов, изображающих эти функции,
имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат раз-
ные степени х. Таким образом, в случае нецелого индекса
общее решение уравнения Бесселя (4.1) есть
у =	(х) + C2J^ (х).	(4.21)
Если v = — п (целое отрицательное число), то функ-
ция, определяемая формулой (4.20) (учитывая, что 1/Г ($)
равно нулю для 5 = 0, — 1, — 2, ...), принимает вид
J-n(x) — Zj ( Ч к1 г(~п +k+i) ~
&=п	' II/
-anr<4'20">
или, после замены индекса суммирования к на I + п,
J-n (х) = (- 1)? 2 (-	Д** - - (- 1)" Jn (х), (4.22)
откуда видно, что J_n (х) удовлетворяет вместе с Jn (х)
уравнению Бесселя
я2у" + ху' + (ха — п2) у = 0.
Но формула (4.21) в случае целого v уже не дает общего
решения уравнения (4.19).
Полагая
УДа) -	(у _ не целое) (4.23)
и дополняя это определение для v = п (целое число) фор-
мулой
Yn(x) = lim УДх),	(4.23')
v-*n
получим функцию Y9 (х), удовлетворяющую уравнению
Бесселя (4.19) и во всех случаях линейно независимую от
§ з] ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ ДЛЯ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 249
Jv (х) (в случае v = п, где п —• целое, этот факт, как и
само определение Уп, нуждается в обоснованиях, но это
мы оставляем в стороне). Функция У9 (х) называется бес-
селевой функцией 2-го рода с индексом v. Общее решение
уравнения Бесселя (4.19) можно записать во всех случаях
в виде
У = (\Jv (х) + С2У9 (х).	(4.24)
§ 3. Формулы приведения для бесселевых функций
¥ Имеем:
(—l)ft (x/2)'l+2fc . А(*) _ 1	(- l)s (x/2)2k 5
W r(v + k + l)’	2V ",*1 Г(Н* + 0‘
d A(«)	1 x? (—1)* (®/2)2fc-x
dx x> “ 2’ "(*-1)1 F(v + * + l) ’
a—1
d Л W_1	(— 1),+1 (x/2)2,+1 _
dx	24 “o Z1 Г (v 4-/ + 2) .
_ x % (— 1)' (x/2)21
2V+1 “ Л Г (v + / + 2)
Следовательно,
A (x) _____________________________ Л+1 (*)
xdx	. a>+1
A+i (x\
x^1 *
(4.25)
Тжким образом, операция(состоящая в диффе-
ренцировании с последующим умножением на 1/х), при-
(*)
мененная к -- повышает в этом выражении индекс
v на единицу и меняет знак. Применяя эту операцию т
раз, где т — любое натуральное число, получаем:
(4.25')
I
25Q о НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. IV
Имеем:
7 Ы - 2» У	_ 2> У	.
Л )	£' *1 Hv + fc + l) ^U!(v + fc)r(v+*)’
л—О	л*—и
— J Crtl — 2V V (a?/2)2v't~2fc 1 __
2j k\V(v + k) ~
fc=0
—-a.1W.
bo	v 1
Следовательно,
^7 Hl =	<4-26>
Таким образом, операция j-^-, примененная к a: Vv (rr),
понижает в этом выражении индекс у на единицу. Приме-
няя эту операцию т раз, получаем:
(^гГ Hl = xV~m <4-26')
Из выведенных формул можно получить некоторые
следствия. Используя (4.25), получим:
—	Jv+i.
Отсюда, в частности, следует, что Jo = — Л* Используя
(4.26), получим:
(XvJv) = 3PVJv-ij Jv -f- VXv“'1 Jv = Jv-i’, JJv Jv-i«
Почленное сложение и вычитание полученных равенств
дает;
2Ji =	- Jv+1;	(4.27)
+	(4.28)
Формула (4.28) позволяет выразить все бесселевы функ-
ции с целыми индексами через Jo, Действительно, из
•J 4} БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ" С ПОЛУЦЕЛЫМ ИНДЕКСОМ 251
(4.28) находим (полагая v = п — 1):	’ ’
/я=^^Л-1-7п_2,	(4.28')
откуда последовательно получаем:
§ 4. Бесселевы функции с полуцелым индексов
Бесселевы функции, вообще говоря, являются новыми
трансцендентными функциями^ не выражающимися через
элементарные функции. Исключение составляют бесселевы
функции с индексом п+ —, где п — целое. Эти функции
могут быть выражены через элементарные функции.
Имеем:
у+ 2к
— 2»	7 у
2 Jt=a fc! г(fc4*~2~
но в силу (4.6)

следовательно,
+oo
J i_ (®) = 3 *!1.3.5...(2A + l)/rt =
M 2* a M 1 -3.5... (2k 4-1) Yii
252
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. IV
Но 2кк\ 1 -3-5 ... (2к + 1) = (2к + 1)!, следовательно,
'л» - з У+пГ = /-г-	<4-29'
2	te=Q v 1	9
Далее, имеем;
4-00
“ S
2	1?=0
но в силу (4.6)
Г(>4-|-)-	(М-1>
следовательно»
~з - М 1.3.5...(25-1) К«
(-l)<T+a'
к — -~-
ft==0 2	2fcll.3-5..
Но 2kkl 1-3-5 ... (2fc — 1) = (2fc)!, поэтому
/ о "t-i /x^k
2	bo v
G помощью (4.25') находим:
/ (ж)
Ш'-v=(-*>'
1(х)
п+т
X 2
но в силу (4.29)
Ji (*)	____
V _______2 sin х
Т Г /я" ~ ’
х 2
§ 5].
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
253
следовательно, при целом положительном п
=	<4-20>
2
С помощью (4.26') находим?
но в силу (4.30)
2
следовательно, при целом положительном п
§ 5.	Интегральное представление бесселевых функций
с целым индексом
Производящая функция системы функций. Рассмот-
рим систему S функций /п (х) (с любой общей областью
определения), пронумерованных с помощью всех целых
чисел:
•••> /-2 (#)> /-1 (#)» /о (•*')> /1 (^)? /2 OOi •••
Составим ряд
4-00
2 /п (я) 2Л,
— со
где z — комплексное переменное. Предположим, что при
каждом х (принадлежащем области определения рассмат-
риваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости^
содержащее внутри себя единичную окружность С (т. е.
окружность с центром 0 и радиусом 1, рис. 61). В частно-
сти, это кольцо может представлять собой полную плос-
кость комплексного переменного без точек 0 и оо.
254
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
(ГЛ. IV
Функция
4-00
— 00
(4.31)
(где х лежит в области определения функции системы S,
z — рнутри кольца сходимости, соответствующего рас-
сматриваемому значению х) называет-
ся производящей функцией систе-
мы S.
Обратно, пусть задана функция
F (х, z), где х пробегает некоторое
' множество, z находится внутри не-
которого кольца, зависящего от х.
с центром 0 и содержащего внутри
себя единичную окружность (в част-
ности, эти кольца могут быть полной
плоскостью комплексного перемен-
ного без точек 0 и оо). Тогда, если
F (х, z) при каждом х аналитична относительно z внутри
соответствующего кольца, то F (х, z) есть производящая
функция некоторой системы S функций. В самом деле,
разложив при каждом х функцию F (х, z) в ряд Лорана
по степеням z
4-00
F (х, z) » 2 fn (#) zni
найдем, что система коэффициентов /л (х) этого ряда будет
искомой системой S.
Формулы для коэффициентов ряда Лорана (см. гл. III,
§15) позволяют выразить функции /л (х) рассматриваемой
системы через производящую функцию. Применяя эти фор-
мулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной
окружности С (комплексное параметрическое уравнение
которой есть z ==	— я <р л) в простой интеграл,
получим!
	(4-32)
| 51
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
255
Производящая функция системы бесселевых функций
с целыми индексами. Покажем, что для системы бесселе-
вых функций 1-го рода с целыми индексами Jn (х) (n = 0f
i +2, ...) производящая функция есть:
F (х9 z) =е* z
Имеем:
со
2
к=о
(— x]2z)H
kl
с***- V ,(«#)
1=0 Н
откуда после почленного перемножения этих равенств
(умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой
части, и соединяем в одну группу члены, содержащие оди-
наковые степени z) найдем:
Т (* “ т) _ У (— *)* (х!2)м zl~*
е	~	МП
? 2
fc>0
l—fa=n
(- l)k (z/2)*+1 _	„ V (-1)* (x/2)™*
Ш! — ZJ	*|(„ + fc)|
W=±=—с»	К .		1
(так как в предпоследней внутренней сумме к и I были свя-
заны зависимостью I — к — п, то мы могли положить I =
= п + к, получив суммирование по одному индексу к).
В последней внутренней сумме суммирование производится
(к О
по всем тем целым к, для которых {	q, следовательно,
при п > 0 это будет 2 5 ПРН п = — m < 0 это будет
fc—о
+°°
2 • Таким образом, во всех случаях внутренняя сум-
ма есть Jn (х) в силу формул (4.20') и (4.20"'). Итак,
е» (’ *)= 2 /Я(4Л	(4.33)
— со
256
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. IV
но это и доказывает, что V z ' есть производящая
функция для системы Jn (х).
Выведем некоторые следствия из формулы (4.33). По-
лагая в ней z = ei<f, получим:
+“»
gtasinv _ 2 Jn(x) ein’,
— оо
откуда после разделения действительной и мнимой части
(учитывая, что J_n (х) == (— l)nJn (я)]
4-ёо
COS (х sin ф) = 2 Jn (#) cos Пф ==
—со
4-00	’
= Л («) + 2 Un (*) + J-n («)1 COS Пф =
n=rl
4-00
— л (я) + 2 2 Лт (®) cos 2тпф; (4.33')
4-00	’	4-00
sin (ж sin ф) = 2 Jn Cr) sin пф = 2 Un(«) — J-n (ж)] sin пф=
— ОО	П==1
4-00
= 2 2 /ат+1 (ж) sin (2т + 1) ф. (4.33")
т=0
Заменяя в (4.33') и (4.33") ф на-5- — ф, найдем:
cos (х cos ф) = Jo (я) + 2 2 (— 1)го Am (х) cos 2шф; (4.33'")
т=1
4-оо
sin (х cos ф) = 2 2 (— !)т ^2m+i (X) cos (2m +1) ф. (4.33"")
тп=О
Интегральное представление Jn (х). Так как, по дока-
занному, при /п (х) = Jn (х) имеем F(x,z) = eT(z“ ~), то
по формуле (4.32) получаем (используя в преобразованиях
§6]
РЯДЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ
257
1
2л
формулы Эйлера):
Jn(x) =	\ *2	<Нп<Мф = -£- \ eix sin ^ф =
—п	—л	,
п	п
cos (х sin <р — иф) йф 4-
—я	—л
л	п
1 С	1 с
+ i -о— \ sin (х sin ф — пф) йф = — \ cos (х sin ф — пф) dtp,
ZTl J	Л J
—л •	О
где принято во внимание, что cos (х sin ф — пф) есть чет-
ная функция от ф, sin (х sin ф — пф) есть нечетная функция
от ф. Итак, доказано, что для любого целого числа п(^0)
л
1 (*
Jn (х) = — \ cos (х sin ф — пф) йф. (4.34)
о
Формула (4.34) дает представление бесселевых функций
с целым индексом в виде определенного интеграла, зави-
сящего от параметра х. Эта формула называется интеграль-
ным представлением Бесселя для Jn (х), правая часть
формулы называется интегралом Бесселя. В частности,
при п = 0 найдем:
cos (х sin ф) сЛр.	(4.34')
°
§ 6. Ряды Фурье—Бесселя
Рассмотрим на каком-либо интервале I (конечном или
бесконечном) два дифференциальных уравнения
у" + Р (х) у == 0, z" + Q (х) Z - 0,	(4.35)
где Р и Q — непрерывные функции на I. Пусть у и z —
ненулевые решения этих уравнений. Умножение на z
и на у и последующее вычитание дают
y"z — у? = (/z — yz'Y = (Q — Р) yz.
9 П. и. Романовский

258 о НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ 1ГЛ. IV
Пусть аир принадлежат I и у (а) = у (Р) = 0, тогда по-
сле интегрирования в пределах от а до р получим
y'(₽)z(3)-y'(a)z(a)=eJ(<?-P)yzda;.	(4.36)
а
Если а и р - соседние нули решения у (ж), то между а
и р у (х) сохраняет постоянный знак, пусть, например,
У (?) > 0 на (a, Р) (в противном случае следует заменить
у на — #), тогда у' (а)	0, у' (Р) < 0 (равенство нулю
исключено, так как у — ненулевое решение дифференци-
ального уравнения второго порядка). Если на I Р (х) <
< Q (х), то z должна по крайней мере раз обращаться в
нуль между аир, так как иначе z сохранит постоянный
знак на (a, Р). Пусть, например, z (х) > 0 на (a, Р) (в про-
тивном случае заменяем z на — z), и тогда из (4.36) полу-
чим противоречие, ибо левая часть 0, а правая > 0.
Таким образом доказана теорема сравнения
Штурма: если Р (х) <Z Q (?) на рассматриваемом ин-
тервале I и если у и z — ненулевые решения уравнений
(4.35), то между каждыми двумя соседними нулями у (х)
находится по крайней мере один нуль z (х).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследую-
щие следствия. Если Р (х) < 0 на Z, то каждое ненулевое
решение уравнения у" Р (х)у ~ Q может иметь на I
не более одного нуля (это легко видеть, если положить
Q (х) = 0 и взять z = 1). Если Р (х) < М2 на I (где М >
0), то для всяких двух соседних нулей а и f (a < Р)
каждого ненулевого решения уравнения у" + Р (х) у = 0
имеем р — а л/М (это легко видеть, если положить
Q (х) == М2, взять z «= sin М (х — с) и заметить, что ну-
ля
лями z будут только числа вида с + -37- • & целое). Если
Q (х) > т2 на I (vj& т > 0), то для всяких двух соседних
нулей каждого ненулевого решения уравнения z" +
+ Q (х) z = 0 имеем £ — a < (это легко видеть, если по-
ложить Р (х) = т2 и взять у = sin т (х — с)). Из сказан-
ного следует, что если т2 < Р (х) < М2 на Д то для вся-
ких двух соседних нулей а и р (a < Р) каждого ненулево-
го решения уравнения у" 4- Р(х) у = 0 имеем -Jj- < р — a <
я
т *

§ 6]
РЯДЫ ФУРЬЕ ё- БЕССЕЛЯ
259
Изложенное показывает, что если Р (х) непрерывна на t
(а, 4- оо) и превышает некоторое положительное число
вблизи + оо, то каждое ненулевое решение у (х) уравне-
ния у" + Р (х) у = 0 имеет на (а, + оо) бесконечно мно-
го нулей. Если еще у (х) вблизи а не обращается в нуль, то
эти нули образуют бесконечную возрастающую последо-
вательность имеющую пределом +оо, а если, кроме
того, lim Р (х) = с2, где с > 0, то	—>1.
Х->4-ОО
Рассмотрим уравнение Бесселя
х*у" + ху' + (я2 — v2) у = О
на интервале (0, + оо). Подстановка у = x~4*z приводит
к уравнению
г'+\1—
Очевидно, у и z имеют одни и те же нули. Так как (х) == .
= x'Gv (#), где Gy — целая функция, то Jv (х) не имеет
нулей на (0, е) при достаточно малом е > 0, и так как
v--4
1------------ПРИ #-> 4- оо, то при каждом у нули
JY (х) на (0, 4- оо) образуют бесконечную возрастающую
поел ед ов ате л ьность
• • • , куп , • • • »
^vn+1 ^*vn
причем------------
Если к 0, то (кх) удовлетворяет уравнению
х*у" 4- ху9 + (№х2 — V2) I/ = О
на интервале (0, 4- оо). Подстановка у = x~'/*z приводит
к уравнению
/	1 \
I	V2—“г |
z'4-U2-------Д- z =0
\	ж2 /
и, следовательно, ух Jv (кх) удовлетворяет этому урав-
нению. Таким образом, при любых положительных а и
9*
260
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. rv
Р имеем
(	г-
ип + 1а2------— J и = 0,	где	и = у xJ» (ах),
(	v3-4-\
p" + \J32-----Ja— Jv = 0,	где	V = VxJv (₽x),
откуда
u"v — uv" — (u'v — uv')' = (P2 — a2) up,
следовательно,
1
(u'u — up') |e = (P2 — a2)^updx, где 0<e<4.	(4.37)
£
Пусть теперь v — 1. Разложение uv по степеням x на-
чинается с члена, содержащего x2v+1, разложение urv —
— uv' по степеням x начинается с члена, содержащего
x2**2, так как коэффициент при х2* равен нулю, что легко
видеть, исходя из формулы (4.20). Следовательно, из
(4.37) при е —> 0 получим
1
и' (1) v (1) — и (1) v' (1) == (Р2 — a2) uv dx,
°
т. е.
1
(Р2 — а2) х Jv (ах) Д (рх) dx = a Ji (a) Jv (3) — Р Ji (Р) Jv (а),
о
(4.38)
откуда видно, что если аир являются разными нулями
функции Jv (х), то
- 1
х Jv (ах) Jv (рх) dx0,	(4.38')
о
Этим доказано, что при v > — 1 система функций
Jv (^vlX)»	Jv (^*v2^*), •••» Jv (^vn*^)» •••
на интервале (0, 1] является ортогональной относительно
веса р (х) == х.
$ 6)
РЯДЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ
261
Переходя к пределу при р -> а в соотношении
J V (а^) JV (Р#) dx  	р3 а2----------
о
и используя правило Лопиталя,'получим при всяком а > О
L Г-Т /„«Л12	- а [J* (а)Р ~	(а)	(а) ~	(а)	(а)	/7 QQ\
\ х [Д ($lx) 1 dx —	2а----------------, (4.39)
о
следовательно, если а является нулем функции Jv (я), то
1
[ Л (аж)]2dx = -J- IЛ (а)]2.	(4.39')
О
Таким образом, при каждом v > — 1 всякой непрерыв-
ной функции / (х) на (0, 1], удовлетворяющей требованию
1
^[/(x)]2a;d»< + °°»
о
поставлен в соответствие ряд Фурье — Бесселя
00
/ (я) S <хп/v (Дп#)»	(4.40)
П=1
коэффициенты которого определяются формулами
1
= г/^12 \	J9 (^)	(4.40х)
Можно доказать, что система функций Д (Длх) на
(О, 1], ортогональная относительно веса х> замкнутая и,
следовательно, к ней применимо сказанное в § 14. В част-
ности, если ряд Фурье — Бесселя (4.40) равномерно схо-
дится, то сходится к порождающей его непрерывной функ-
ции f (х).
Можно показать, что если v > — у и f (х) непрерыв-
ная на (0, 1] и кусочно-гладкая на [0, 1] функция, то ряд
Фурье — Бесселя этой функции сходится к ней при 0 <;
< х < 1.
262
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
1ГЛ. rv
§ 7. Асимптотическое представление
бесселевых функций с целым индексом
для больших значений аргумента
Пусть <р (х) — положительная функция и / (х) — ка-
кая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, опре-
деленные для достаточно больших значений х. Запись
/ (х) = О [ф (х)] при х -> + оо
означает, что найдутся такие числа xQ и М, что при х >
> xQ имеем | / (х) | < Мф (х).
Подобная запись употребляется и в других аналогич-
ных случаях. Например, если Ф (t) — положительная
функция и F (t) — какая-нибудь функция, определенные
для достаточно малых положительных значений t, то за-
пись
F (t) = О [Ф (£)] при t -> О
означает, что найдутся такие числа ь та М, что | F (/) | <
< МФ (0 на (0, ч).
Вспомогательная лемма. Если f (t) дважды непрерывно диффе-
ренцируема на [0, 1], то для функции
1
dt
Л j/l-t
имеет место асимптотическое представление
Л*)
Улх
при х —* + 00.
\ X /
Докажем эту лемму. Заменяя на 1 — f, получим:
dt. (4.41)
§ 71
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
263
Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом пра-
вой части формулы (4.35). Заменяя xt на Z, найдем:
Г e'ixt 1 С е~и 1 V	1 Т е~и
}пи-у^л-у-г }vidt~v-x \v-tdt’
но, заменив > на £2 tучитывая формулу (3.59') гл. III], получим:
+<» -it	+°°
( ~dt = 2 С е41' dt = /ле-я{/4.
О t	о
Если ф (х) положительна, убывает и стремится к нулю при
+оо	4-оо
я —> + оо, то Уф(0соз£^и i|)(0sini dt, а следовательно,
х	X
4-оо
и ф (О dt суть О [ф (ж)] при х —> + оо (это видно из выкла-
х
док соответствующего пункта следующего параграфа), поэтому
+°° At
С е .	1 \
\ “7=- dt — ОI при х —> + оо,
J У t к У х }
X
откуда
+°° At
1 Се . л/ 1 \
7s i/Fdt = при+-°°-
X
Итак, получаем асимптотическое представление:
С е~ш
\у=="^=:у ~e”7li/4+^( — )прия-> + оо. (4.42)
о Г	\ ж /
Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагае-
мом правой части формулы (4.35). Имеем:
е-ы	dt = С е-ш <р w ytdt,
0^0
где
Я>(0=
264 ‘
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ. IV
Очевидно ф (0 дважды непрерывно дифференцируема на ^0,1], но,
как легко видеть, существуют lim ф(0 и lim ф' (i), поэтому ф(«)
/->0	t-*Q
(после доопределения в точке t = 0) становится непрерывно
дифференцируемой на сегменте [0,1]. Интегрирование по частям дает:
1 11
_	— ixt	]	4 (*
\ е'ш <р (t) Vt dt = — 1— ф (t) yt I + 77 J e-te' [ф (0	]' dt,
0	0	0'
где первое слагаемое правой части —-—ф(Л есть О (i/x) при
ix
х + оо, а интеграл во втором слагаемом несобственный при
нижнем проделе) мажорируется интегралом
1
JI [ф («) КП' \ dt,
О
который сходится, так как
ф' (t) t -|~ ”2“ Ф (О
[ф (t) Vt]'=-------= О (1/ /Г) при t - 0:
следовательно, второе слагаемое есть тоже О (1/х) при х —» + оо:
Итак, имеем:
е ш	) dt == О (1/х) при х -> Ц-оо.
о
(4.43)
Из (4.41), (4.42), (4.43) получаем искомое асимптотическое пред-
ставление:
f(t)dt
l^jtx
f (1) + О (1/х) при х —> + сю.
(4.44)
Ие этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще.
1 с	/(**)
+ при <444')
Формулы (4.44), (4.44'). верны и для комплекснозначных функ-
ций / (t) == /3 («; 4- i/a (</) [ибо они верны для fa (i) и fa (i)].
§ Ъ
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
266
Вывод асимптотической формулы для dn(a>). В конце
п
1 р
§ 5 мы видели, что Jn(?) “2л~ \ е*х8Шф**Пф</<р. Заменяя ф на
Л
^2~ — Ф, получим:
п
.-гпл/2 (• ,
Jn(z) = £_----- \ в^созчн-гпФ rfq) =
2л J
-л
g-inn/2 р	g-inn/2 р
== —2лГ~ \elxC0Sc₽ (cos пф + i sin пф) t/ф = —-— \ efxcos ф соэпфсйр
-п	О
(учитывая, что ф cos иф есть четная функция от ф, а
^^созФ s|n п(р есть нечетная функция от ф). Подстановка cos ф = t
дает:
e-inn/2 р cos (Л arccost) e-inn/2 Р м Tn(t)
r— dt==^-y y=^=dtt
где Tn (0 = cos (n arccos t) есть, очевидно, полином n-й степей^
(полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что cos л<р
есть полином тг-й степени относительно cos ф. Но
и, заменяя8 H nepBosr из этихл интегралов £ на — получим!
»—Ixf Уп (~0
1 I ixt (0 ,.	1	.
~ \ e Гл dt = — \ e
л J __ nJ
-i r	о
А. С Axt Tn(t) _
Я J Vi — t»
о
Я JVi-t Vi + t
1 f eixi Tn(t)
+-Srr^77rrtdt
тп(0
т" «“ТгП’Тгй
на [0, 1] имеют производные ₽сех
порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы
266
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ [ГЛ. IV
(4.44') и (4.44), и мы получаем:
inn
/»(*)-«’ а
-i (я- £-)
е V *7Тп(-1)
. V лх	/2
Рис. 63.
следовательно,
S 8]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМ, СИНУС, КОСИНУС
267
Итак, имеем искомое асимптотическое представление
бесселевой функции 1-го рода с целым индексом для боль-
ших значений аргумента'.
Jn № = У cos [ж- (п + 4") -т] + 0 (-г)
при х-» + оо.
(4.45)
Эта формула показывает, что Jn (х) с точностью до
1 - -
слагаемого порядка — является затухающей гармоникой
с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей об-
ратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.
В частности,
Jo(«) = j/“COS (x--f-) +о(4“) при ж->+ °°;
(4.45')
•М*) = — iZA-cos (« + -?-) + о(-~) при +
F	\	ТЕ /	\ «V /
(4.45")
Графики этих функций изображены на рис. 62 и 63.
§ 8. Интегральный логарифм, интегральный синус,
интегральный косинус
т,	С dx v sin х г cos х
Известно, что интегралы \	, \ —— ах, \ —-— ах не
выражаются через элементарные функции и являются новы-
ми трансцендентными функциями. Эти функции (определен-
ные пока с точностью до произвольного постоянного сла-
гаемого) обозначаются соответственно знаками И х, si х,
ci х.
Разложения в ряды. Делая в равенстве И х = под-
становку х = е*, получим:
=•• -)dt =
/2	i3	~
= 1п* + С + * + -2-2г + узг+ ••• (*>°).
268
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ 1ГЛ. IV
откуда (после возвращения к старому аргументу х)
li х = Inina: + С + Ina: +	3Г + • • • (*> 1).
0*01
(4.46)
Далее,
si а- = dx = J(1 --J + -g- -.. .)dx,
откуда после почленного интегрирования находимз
’^-с + ^-Йг + та---	<4-47>
Наконец,
. С cos я , С / 1 х . х3 \ ,
Cl Х = ) — dx -	“ ’2Г +	~ • • •) dX’
откуда после почленного интегрирования получаемз
cix = C + lna:—+ -^р — ... (*>0).	(4.48)
Добавления к технике интегрирования. Подстановка
х — a — t дает;
Л х	р <
\------ dx = еа - dt = еаИ е' = е° И ех~а.
J ж —’ a	J t
Интегрирование по частям дает формулу приведениям
Л	х	X	л л	X
I в л	е	.	1 V е J
У(х — а)п Х~~	(" — 1) (х — в)	n — 1 J (х_в)п-1 Х'
Подстановка х — а = t дает;
f sin х j С sin U + а) ,.	. л ,
\ —2,gr ах == \-— at cos a sit + sm a cU =
= cos a si (x — a) + sinaci (x — a);
C cos x , С cos (t 4- a) j.	. ,
\ ----dx^\------4“=—- dt = cos a ci t — sm a sit =
J x — a J 1
s= cos a ci (x — a) — sin a si (x — a).
§ 8)
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМ, СИНУС, КОСИНУС
269
Интегрирование по частям дает формулы приведения
(• sing; , ___________sin х______.	1 С cos# ,
(х — а)п	(п — 1) {х — a)n-1 п 1 d (# — а)п“х ’
(• cos х j	cos х	1 С sin x j
J (# — a)	(n — 1) (x — a)n-1 И — 1 J (X _ а)П-1
Учитывая, что всякая рациональная функция есть сум-
ма полинома и простейших элементов вида АЦх — а)п, за-
ключаем на основании установленных формул, что ин-
тегралы вида
§ R (х) exdx,	§ R (х) sin х dx,	R (х) cos х dx
станут «берущимися», если к элементарным функциям до-
бавить интегральный логарифм, интегральный синус и
интегральный косинус [если мы хотим оставаться полно-
стью в действительной области, то ограничимся такими
рациональными дробями R (х), знаменатели которых име-
ют только действительные корни].
О сходимости некоторых несобственных интегралов.
Пусть / (х) — положительная непрерывная убывающая
функция при а х < 4* оо, стремящаяся к нулю при
х + оо. Тогда несобственные интегралы J f (х) sin х dx\
а
J / («) COS X dx сходятся.
а
Не нарушая общности доказательства, можем поло-
жить а = 0 (в случае а 0 можно / (х) доопределить на
участке 0 х < а так, что при 0 х < + оо будут вы-
полнены все поставленные условия), при Ь > 0 имеем:
ь	л—i (fc4~i)n	ъ
J / (х) sin х dx = 3	/ (®) sin х &х + s^n х ^х'
О	fc=O Кп	пп
rj& п — наибольшее целое число такое, что пл Ь. Оче-
видно, п —» -f-оо при b -> + оо. Подстановка х =* t 4* кл
дает:
(Л+1)я	п
J f(x)sinxdx±= (— l)s \f(t+ lm)smtdt = (— 1)*съ .
..	о
270
О НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ
[ГЛ . IV
где
ск = J f (t + кп) sin t dt > 0.
о
Из убывания функции / (х) следует, что при к <Z I
имеем;
/ (Z + *л) > / 0 + Ь).
Умножая это неравенство на sin t и интегрируя от 0 до л,
найдем ск с,. Из того, что / (х) -*• 0 при х ->•	00
следует, что ск -> 0 при к -> оо, ибо
Л
cft < / (^я) j sin tdt=2f (кп).
о
Далее,
ь
|г(Ь)| = I j /(х)sinхdxI•<2/(пл)
1 пл	1
и, следовательно, г(Ъ) -> 0 при b -*• + оо. Таким обра-
зом,
b	п—1
J / (х) sin х dx = 3 (~ 1)* с* + г (&)»
о	/с~о
где
с0 > ct > с2 > сп -> 0; г (Ь) -> 0.
Принимая во внимание теорему Лейбница о знакоче-
редующихся рядах, заключаем, что
Ь	оо
lim \ / (х) sin я d# == 2(~’ Wcit
ь-*+оо 5	0
и, следовательно, несобственный интеграл J f(x) sin х dx
о
сходится, что и требовалось доказать.
4-00
Интеграл \ / (х) cos х dx после подстановки х = 4-
V	Z
а
приводится к предыдущему.
5 «] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМ, СИНУС, косинус 271
Нормировка интегрального синуса и интегрального
косинуса. Из сказанного следует, что
Ч-oo	+оо
(*	sinx	j	f	COSS	,	/	s.
—~dx и J) ——dx	<a>°)
a	a
суть сходящиеся интегралы. Поэтому si х и ci х при х ->
+ оо стремятся к конечным пределам. Нормировку
si х и ci х (напомним, что эти функции определОйы дока с
точностью до произвольного постоянного слагаемого) мо-
жно, например, определить требованиями si (+ оо) 0;
ci (+ °°) = 0- Тогда (при а > 0)
J .	х
•	( smt j, i/i	• С cost ।
six = \ _— dt + ux; cix = \ —-—dt 4-
a	a
4-oo
si(4- oc)= ^Ldt + C^O',
a
+oo
ci (+ oo) = [^Ldt + C^O-,
Л *
a
4-oo	4-oo
C^-^-^-dt-, Ca = — \
Л	V	A	t
a	a
4-oo	4-oo
.	C	sin i	.	С	cos t	j.
si x = — \ —-— dt; ci x — — \	—j— dt.
X	x	~ '	'
Укажем еще другую нормировку si х. определяя ее
требованием si 0 = 0 (для ci х подобная нормировка не
имеет смысла, так как ci х -> оо при х 0). Тогда
X
С sint j.
six = \—-—dt.
о
(4.49)
Учитывая, что (si x)' = sinx/x, найдем, что si x возра-
стает на (0, л), убывает на (л, 2л), возрастает на (2л, Зл),
убывает на (Зл, 4л), ... в точках л, 2л,'Зл, 4л, ... имеет
272	° НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯХ 1ГЛ. IV
Рис. 65.
§ 8] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМ* СИНУС* КОСИНУС 273
4-00
экстремумы. Учитывая, что	*- dt = -^~(см. гл. I, §9),
о
заключаем, что si я -> л/2 при х -> + оо. Кривая
у = si х имеет горизонтальную асимптоту у = л/2, при
х -> + оо бесконечно много раз пересекает эту асимптоту
находясь то выше, то ниже ее.
На рис. 64 и 65 изображены графики интегрального си-
нуса и интегрального косинуса при нормировках si (+ оо) =
= 0; ci (+ оо) = 0.
В случае нормировки si 0 = 0 изображенный на рис.
64 график интегрального синуса следует сдвинуть вверх
на л/2.
ГЛАВА V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1. Вспомогательные сведения об интегралах,
зависящих от параметра
Замечания о несобственных интегралах. Если / (t) —
комплекснозначная функция, непрерывная на сегменте
[а, Ь}, за исключением точки а (в которой она может быть
не определена и вблизи которой может быть не ограниче-
ь	ь
на), то по определению	= \f(t)dt, если этот
J	е>0 v
а	е^о а+е
предел существует и конечен. Аналогично, если / (t) не-
прерывна на [а, Ы, за исключением точки Ь, то по опреде-
Ь	Ь-£
лению	=	/ (/) dt, если этот Предел сущест-
а	е^о а
вует и конечен.
Если / (/) непрерывна на [а, Ь], за исключением
Ь	с	Ь
точек а и Ъ, то по определению / (t) dt = / (t) dt + / (t) dt,
а	а	с
где a <Z c <Zb, если оба слагаемых в правой части имеют
смысл (очевидно, это определение не зависит от выбора
числа с).
Если / (t) непрерывна на [а, Ь], за исключением конеч-
ного числа точексп с2, ..., ср, гдеа Ci < с2 < ... <
Ь	Ci	Ct	Ъ
Ъ, то по определению / (t) dt = 4- + ... + , если
Л	О>	Cj	Ср
все слагаемые правой части имеют смысл.

§ 13
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
275
Пусть теперь / (0 непрерывна на fa, 4- оо), за исклю-
чением, быть может, изолированных точек *). Тогда по
+оо	I
определению / (t) dt — lim f (J) если все интегралы
а	/ a
, где I > а, существуют и если lim \ существует и коне-
# +°°
чен. В этом случае несобственный интеграл f(t)dt
a
называется сходящимся.
+<»
Если интеграл | / (/) | dt сходится, то несобственный
a
+оо
интеграл / (0 dt называется абсолютно сходящимся.
а
Абсолютно сходящийся несобственный интеграл всегда
4-оо
сходится. Очевидно, / (t)dt абсолютно сходится, если
а
1/(0 1 Ф (0 (при £ > а, за исключением, быть может,
изолированных точек), где q> (t) — такая действительная
4-со
неотрицательная функция, что	ф (t) dt сходится. В этом
a
4-оо
случае говорят, что несобственный интеграл / {t)dt
а
4-оо
мажорируется несобственным интегралом Ф (0 dt.
а
Пусть / (Z, р) при каждом значении параметра р в не-
которой области D является непрерывной функцией от t
на la, + оо), за исключением, быть может, изолирован-
*) Мы говорим, что некоторый факт имеет место на некотором
данном интервале, за исключением, быть может, изолированных
точек, если на каждом сегменте, лежащем на данном интервале,
может находиться не более конечного числа точек, в которых рас-
сматриваемый факт не имеет места.
276
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
пых точек. Если при каждом значении р в D интеграл
+оо	I
/ (t, р) dt сходится и / (t, р) dt при I -> + оо стремится
а	а
к своему пределу равномерно относительно р в Л, то
+00
несобственный интеграл	зависящий от пара-
а
метра р, называется равномерно сходящимся в облас-
ти D. Достаточным условием равномерной сходимости
интеграла, зависящего от параметра, является мажорируе-
мость его сходящимся интегралом от некоторой неотри-
цательной функции. Если D — область на плоскости
+00
комплексного переменного р, то f(t,p)dt будем назы-
а
вать равномерно сходящимся внутри области Л, если он
равномерно сходится на каждой ограниченной замкнутой
области Д, лежащей в D (см. гл. III, § 13).
Аналитическая зависимость от параметра.
Лемма. Пусть f (t, р) — непрерывная комплекснозначная
функция двух переменных t, р: действительного переменного t на
сегменте [а, &] и комплексного переменного р в области D. Пусть
эта функция при каждом значении t на [а, Ь] является аналитиче-
ской функцией от р в области D. Тогда fp (t, р) обладает такими
же свойствами и функция
ь
F (р) =$/О, P)dt
а
будет аналитической функцией от р в D, причем
’	ь
r'(p)=yp(t,p)dt.
а
Доказательство. Тот факт, что fp (t9 р) есть непре-
рывная функция от J, р, проверяется так: при tn~+t имеем / (*п,р)~>
(*» Р) равномерно внутри D (ибо f (t, р) равномерно непрерывна
при t на [а, Ь] ир на Д, где Д—какая-либо ограниченная замкнутая
область в Р), следовательно, в силу теоремы § 13 главы III имеем
fp <*п» р) (t, р} равномерно внутри D, откуда видно, что при
{рп-»рбудем ИМеТЬ
fp On,Рп) г* fp (t, p).	.
§ 1]
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
277
п-1
Далее, имеем F (р) = Ит 2 / (*ь ₽) при тах &*к О
к—0
(рис. 66), причем сходимость — равномерная внутри области D,
Действительно,
п-1	п-1	*fc+l
*(?)-2/(*ьр)д«»== 3 S fv,p)dt-
к—О	к=0	iff
n-l tfc+l	n-l *fc+i
-2 J /№>?)«-2 $
л=о tk	tk
но f(t, р) равномерно непрерывна при t на [а, 6] и р на Д, где Д
какая-либо ограниченная замк-
нутая область в Z), поэтому для
всякого [в > 0 найдется такое
т) > 0, что если |Д^ | < т>,
то I / (е, р) — / (*fc, р) I < е при
+ Д^,
\р на Д,
следовательно, при max Д^ < -q и
Л4
I I [.I—П I "4-й—I—I
а 4 4г 4+/	4-/
Рис. 66.
любом р на Д будем иметь:
п-1
к=о
п-1
что и доказывает равномерную сходимость 2 / (*ь Р) &*к к F (р)
к—О
внутри области D.
Наконец, в силу теоремы i 13 главы III F (р) будет аналити-
ческой функцией от р в области D, причем
d nl
F' (р) = lim [ 2 / (*ь РУ ] s
к=о
п-i	ь
= Um /р (h, Р) A«s = $ /р (*. Р) dt,
к~0	а
что и требовалось доказать.
Теорема. Пусть f (i, р) — непрерывная комплекснозначная
функция двух переменных t, р: действительного переменного t на
(а, + оо), кроме, быть может, изолированных точек, и комплексного
переменного р в области D, Пусть, кроме того, эта функция при
278
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
каждом упомянутом значении t будет аналитической от р в области
+оо
D. Предположим еще, что несобственный интеграл / (t, р) dt на
а
каждой ограниченной замкнутой области к, лежащей в D, мажори-
руется некоторым сходящимся интегралом от действительной
+оо
неотрицательной функции. Тогда Р (р) — J / (f, р) dt будет
а
аналитической функцией от р в области D, причем
+оо
а
Доказательство. Если сегмент [c,d], лежащий на [а,+оо),
не содержит упоминавшихся в тексте теоремы изолированных то-
d
чек,то в силу леммы / (i, р) dt будет аналитической функцией от р
с
d
в D, производная которой равна fp (t, р) dt. Если с (или d) стре-
с
мится к одной из названных изолированных точек со (или rfo), то
d	d	d0
в силу условий теоремы / (J, р) dt —> / («, р) dt ( или к ) равно-
с	с®	с
мерно внутри D, поэтому в силу теоремы § 13 главы III производ-
d	do	d	d0
ная от / (t, p) dt ( или § ) будет равна fp (t, p) dt [ или j . После
Cq	C	Cq	c
этого заключаем, что при любом I > а производная от / (t, р) dt
а
I
будет равна fp (i, р) dt.
а
I	+оо
Наконец, в силу условий теоремы / (f, р) dt -♦ J / (t, р) dt
а	а
равномерно внутри 2>, следовательно, в силу теоремы § 13 главы
+со	+<»
III производная от f(ttp)dt будет равна	что
а	а
и требовалось доказать.
$ 2]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
279
§ 2. Преобразование Лапласа
Пусть / (0 — комплекснозначная функция, непрерыв-
ная на [0, + оо), за исключением, быть может, изолиро-
ванных точек. Если действительное число s обладает тем
+оо
свойством, что несобственный интеграл | / (t) |e“s* dt
о
сходится, то числа, большие 5, также им обладают. Отсюда
следует (рассуждая, как в § 3 главы III при введении по-
нятия радиуса сходимости степенного ряда), что либо
найдется такое действительное число $0, что при $
упомянутый несобственный интеграл сходится, а при
$ < $0 расходится [число $0 назовем показателем роста
функции / (0], либо для всех действительных s упомяну-
тый несобственный интеграл сходится (тогда показатель
роста функции / (0 считаем равным — оо), либо для всех
действительных 5 он расходится [тогда показатель роста
функции / (t) считаем равным + оо]).
Если показатель роста / (0 меньше + оо [будем гово-
рить в этом случае, что / (t) имеет ограниченный рост}, то
f (t) абсолютно интегрируема на каждом сегменте [0, a]f
где а > 0.
В качестве примера отметим, что если / (t) на [0, + оо)
удовлетворяет неравенству | / (0 | Mest, то / (0 имеет
ограниченный рост и показатель роста В самом де^
+00
ле, тогда интеграл [/ (01dt при всяком е О
о
сходится, ибо он мажорируется сходящимся интегралом
-l-oo
( Me-«dt = — .
J	8
О
Если / (0 имеет ограниченный рост, то
оо
F(p) = ^f(t)e-*dt
О
является аналитической функцией комплексного перемен-
ного р в полуплоскости Re р $0, где $0 — показатель
роста / (0 (число $0 называют еще абсциссой абсолютной
280
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
+оо
сходимости интеграла Лапласа / (/) e~pi dt}. В самом
о
деле, упомянутый интеграл равномерно сходится в каж-
дой полуплоскости Re р s1? где > $0, ибо на ней он
+ 00
мажорируется сходящимся интегралом | / (t) | e~Slt dt;
о
значит, рассматриваемый интеграл подавно равномерно
сходится внутри области Re р > $0 и, следовательно, по
теореме § 1 является аналитической функцией в этой об-
ласти.
Определение. Комплекснозначную функцию f (t),
непрерывную на [0, + оо), за исключением, быть мо-
жет, изолированных точек, и имеющую ограниченный
рост, назовем оригиналом. Аналитическую функцию F (р)
комплексного переменного р = s + /а, определенную фор-
+ оо
мулой F (р) = f(t)e~pidt при Re р > где so —
о
показатель роста f (t), назовем изображением оригинала
/ (t). Преобразование, относящее оригиналу / (/) его изо-
бражение F (р),
+ОО
F(p)=^f(f)e-*dt,	(5.1)
о
называется преобразованием Лапласа. При этом пишут:
/ (О I- F (р).	(5.2)
Употребляется еще обозначение
оо
О
(5.3)
(L — знак преобразования Лапласа).
Мы дали здесь более узкое определение оригинала, чем
это принято в общей теории преобразования Лапласа,
чтобы в дальнейших выкладках иметь дело лишь с такими
понятиями интеграла, которые даются в элементарных
общих курсах математического анализа. Такие оригина-
лы достаточны для практических надобностей.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
281
$ 2J
Замечания. Если встречается надобность продол-
жить оригинал / (0 на отрицательные значения t, то
полагают / (t) = 0 при t < 0.
Если lim f (t) существует и конечен, то обозначим его
t—*4"0
/ (+ 0), если lim / (0 существует и конечен, то обозначим
/-*-{-00
его / (+ оо).
Если / (t) — оригинал, то, очевидно, | / (0 | будет ори-
гиналом с тем же показателем роста.
Линейная комбинация оригиналов, очевидно, есть ори-
гинал. Если / (0 — оригинал, то, очевидно, / (а0(а — по-
ложительное число), tf (0, / (t — т) (т — действительное
число), еи / (0 (X — комплексное число) тоже будут ори-
гиналами.
Покажем еще, что если / (0 — оригинал, то ф(0 ==
t
— \$f(u)du будет непрерывным на [0, + оо) оригиналом,
о
Непрерывность ср (0 следует из абсолютной интегри-
руемости / на каждом сегменте [0, а], где а > 0. Далее,
если $0 — показатель роста /,	— положительное число,
большее s0, s то в случае / (0 > 0 имеемг
t	i
{f(u)e~Sit du^
о	о
+оо
f(u)e~SiUdu,
о
+00
откуда видно, что интеграл ф (0 e~8t dt сходится и ф
о
есть оригинал.
Если теперь / — комплекснозначная функция, то
t
о
но правая часть по доказанному есть оригинал, следова-
тельно, ф (0 подавно оригинал, что и требовалось дока-
зать.
282
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
Теорема. Если F (р) есть изображение, то F (р) —>
-> 0 при Re р -> + оо.
Доказательство. Пусть в > 0. Возьмем j] >
> 0 настолько малым, чтобы

о
Тогда при $ > 0 имеем:
о
Пусть Re р = $ > $i, где Si — число, большее показа-
теля роста / (t). Тогда
I / (01е”8*	।	’ e~(s~S1* dt <
+00
| / (01 e~Sii dt,
о
что < у при достаточно большом.
Следовательно, при достаточно большом Re р = $
имеем;
+00	П +00
1^(Р)|<$ |/(0|е-^ = $ + $ <-|- + -|- = 6>
о	on
что и требовалось доказать.
Примечание. Можно показать, что оригинал вполне оп-
ределяется своим изображением (если функции, отличающиеся
лишь в изолированных точках, считать эквивалентными). Если ог-
раничиться оригиналами, дифференцируемыми всюду, за исключе-
нием, быть может, изолированных точек, то этот факт, будет следо-
вать из теоремы обращения преобразования Лапласа, доказывае-
мой в § 9.
i
$ 3] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 283
§ 3.	Простейшие свойства преобразования Лапласа
1.	Однородность. Если / (t) ?=s F (р), то
X/ (Z) ==! KF (р) (X — любое комплексное число).
В самом деле,
L [X/ («)] = X/ (Г) e~pt dt = X / (0 e~pt dt = XL [/ (t)].
О	о
2.	Аддитивность. Если / (0 ==* F (р), <р (0 =*
== Ф (р), то
/ (0 + <Р (0 F (р) + Ф (р).
В самом деле,
L If (0 + <Р («)] = 5 I/ (0 + Ф (01 e-pt dt =
О
= р (0 e-pt dt + J <р (Z) e~pt dt = L[f (*)] + L [<p (Ob
0	0
3.	Подобие. Если / (0 =2 F (p), to
/ (<x0 = у (a — любое положительное число).
В самом деле,
+оо	4-оо
L[/(aZ)] = f(at)e-ptdt = -^-\ f (t) егЫ* dt = -J- F •
•J	® e J	®	™ I
о	0
4.	Дифференцирование оригинала.
Если / (0 непрерывно дифференцируема на (0, + оо) и
если /' (0 есть оригинал [тогда / (0 тоже оригинал и
/ (+ 0) существует], то из / (0 f=s F (р) следует;
f (0 pF (р) - / (+ 0).
В самом деле, интегрирование по частям дает при а >0
а	а
(Z)e-ptdt = /(а)е-ра - /(+ 0) + p^f (Z) dt.
о	о
284
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ . V
Если Re р больше показателей роста / (t) и f (/), то оба
интеграла стремятся к конечным пределам при а + оо,
следовательно, / (а) е~ра стремится к конечному пределу,
но этот предел не может быть отличен от нуля (учиты-
+00
вая, что интеграл вида <p(t)dt не может абсолютно схо-
-	о
диться, если ср (t) при t —> + оо стремится к пределу, от-
личному от нуля). Таким образом, в пределе при а + оо
получим
L [f (0] = -/ (+ 0) + pF (р).
5.	-О б о б щ е н и е. Если / (/) п раз непрерывно диф-
ференцируема на (0, + оо) и если Лп> (0 есть оригинал
[тогда / (0, /'(0, ..., Лп-1> (/) — тоже оригиналы и
/ (+ 0), /' (+ 0),	Лп-1) (+ 0) существуют], то из/ (г) =
== F (р) следует:
Лп) (0 =± pnF (р) -f (+ 0) р«-’ -
-/' (+ 0) рп~2 - ... —Л"-1» (4- 0).
В самом деле, это получается из свойства 4 по индук-
ции. При п = 1 утверждение справедливо по свойству 4.
Если утверждение справедливо для п — 1, то
Лп-о (0 м р”"1 F (р) — / (+ 0) р*-« -... - Л”-2’ (+ 0).
Отсюда по свойству 4
Лп) (0 - plpn-^ (р) -/ (+ 0) р”-2 - ...
... -л**-2) (+ о)] -	(+ 0) =
. = Рп F (Р)	(+ 0) рп-1 - ... -/ С"-1» (+ 0).
6.	Умножение оригинала на минус
аргумент (дифференцирование изо-
бражения). Если / (0 F=s F (р), то
-tf^^F'ip).
В самом деле,
+ОО	+ОО
£[-0(0] = ( -0(0ё-₽,Л=	$	1^ervidt^F'{p).
О	о
§ з] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 285
7.	Обобщение. Если / (/) м F (р), то
(-1)V7(/)	р(")(р).
В самом деле, это получается из свойства 6 по индукции.
При n = 1 утверждение справедливо по свойству 6. Если
утверждение справедливо для п— 1, то
(_1)п-1Г-!у	F(n-i)
откуда по свойству 6
(- l)nZny	(п-1) (р)Г == F(n)
8.	Интегрирование оригинала. Ес-
ли / (t) непрерывна на (0, + оо) и / (Z) ==± F (р), то
^f(u)du^-^-.	t
В самом деле, пусть <р(0= f (w) du ?=* Ф (р), тогда
О
<р (4- 0) = 0 и по свойству 4 имеем / (Z) ₽* рФ (р); следо-
вательно, рФ (р) = F (р); Ф (р) =	.
9.	Деление оригинала на аргумент
(интегриров ание из ображения). Если
f(t)/t есть оригинал [тогда / (Z) тоже оригинал], то из
/ (0 f=s F (р) следует:
-Ш- нЛ F (q)dq (где^ = lim О.
1 v	\	«)	ReP-*4-e© t) /
v	р	v
В самом деле, пусть—==* Ф(р), тогда по свойству 6
f (z) ==х — ф' (р); следовательно, — Ф' (р) = F (р). Ин-
тегрируя это равенство в пределах от р до Р, найдем?
р
ф(Р)-ф(Р)=$Р(?)й;
р
следовательно, в пределе при Re Р -> + оо [учитывая,
что тогда Ф (Р)	01 получим:
®(p)=^F(q)dq.
р
286
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
10.	Запаздывание. Если / (0 ==4 F (р), то
/ (t —т) >=4 e~pxF (р) (т т—любое положительное число).
Б самом деле,
М/(*~ т)]= f (t — г)e~Pldt =	/(t — т)e~pt dt =
О	*
+оо	+оо
= С / (0 «-₽('+’) dt = С / (0 e~pt dt = ert" F (р)
о	о
И. Умножение оригинала на пока-
зательную функцию (смещение изо-
бражения). Если / (0 r=! F (р), то
f (t) F (р—1) (%—любое комплексное число).
В самом деле,
£[ем/(0]= V /(0вме-р(^== J f(t)e-<P-^dt = F(p-K).
О	о
§ 4.	Свертка функций
Формула Дирихле. Пусть / (х, у) непрерывна в тре-
угольнике D<\ а	у х b (рис. 67).
Преобразуя двойной интеграл
(#> у) dxdy двумя способами в
двукратный и сравнивая результа-
ты, получим искомую формулу Ди-
рихле 5
Ъ х	b	b
^dx^f (x,y)dy — ^dy^f(x,y)dx. (5.4)
а а	а	у
Свертка функций. Пусть / (Z) и ф (t) — непрерывный,
комплекснозначные функции на 10, + оо). Сверткой
функций / и ф называется функция# обозначаемая />Кф
§ 4]
СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
287
и определяемая равенством
t
(А£Ф) (0 = J / («) Ф (* — «) Ли.
о
Это будет непрерывная функция на [0, + со). Очевидно*
1/*ф К I/ 1>К I ф |.
При а > 0 с помощью формулы Дирихле находим;
(/Я<ф) (0 e~pt dt = e~pt d£ / (и) ф (f — u) du =
О	0	0
а	а	а	а~и
= ^f(u)du^<f>(t — u)e~ptdt =
О	U	О	о
= jj/(u)e-p“du j (f(f)e~vidt;
О	о
/ (и) du ф (t) е-рЦ*4'* dt =
следовательно, если записать внутренний интеграл
a-и	а а
в виде	, получим формулу
О	о	а-и
а	а	а
J (М<ф) (0 e~pt dt — ^f (0 e~pt dt • ф (0 e~pt dt —
О	о	о
— ^f(u)e~ptdu J y(t)e~ptdt. (5.5)
О	а-и
Из (5.5) следует, что при / > 0, ф > 0 и действитель-
ном 5
(/>Кф)(0^8tdt С/(0dt^ф (t) е~**dt\
о	оо.
следовательно, при комплекснозначных / и ф и действи-
тельном
J10*ф) (01 dt < JI / (О I e-st dt $ I ф (t) I e-*f dt,
0	0	0
288
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
1ГЛ . V
откуда видно, что если / и <р — оригиналы, то / <р —
тоже оригинал, причем показатель роста / ср не более
наибольшего из показателей роста /и ф.
Свертка оригиналов.
Теорема. При свертывании оригиналов изображе-
ния перемножаются, т. е. если / (z) =* F (р) и ф (Z) ==±
Ф (р), то ) (t) F (р) Ф (р).
Доказательство. Для простоты мы имеем в
виду лишь непрерывные на [0, + оо] оригиналы. Учиты-
вая формулу (5.5), достаточно показать, что
а	а
^f(u)e~pudu <р (0 e~pt dt —> 0 при а—>-f-oo.
О	а-и
Пусть I/ (О I ?=s Fl (р) и I Ф (Z) I RI Фг (р), тогда, если
Re р = $ больше показателей роста / и ф, то
|^/(и)	ф (t)dt |
О	а-и
О	a-и	. 0	а/2
< Л («) $ I Ф (О I е-’М«+ Ф1 (8) 5 | f (u) l е-^ du,
а/2	а/2
что 0 при а -> + оо, что и требовалось доказать.
Пример. Найти свертку fa и А где a > 0, р > 0. Имеем [де-
лая в интеграле подстановку и = iv и учитывая формулы(4.7) и
(W:	’	’	.
t	1
Za>|<Z^= (Z — ц)^ du = Zat^+1 va (1 — v)^ dv =
о	о
- в(» + 1.1) + 1|1-м_ r,r°,t”J+2t11
и, в частности, при целых «шерйцат^йьпыхтп, п
fm^fn________f7»4-n-a ;•
1	“(т + и + 1)! 1	* •
§ 5] ОРИГИНАЛЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ 289
Формула Дюамеля. Пусть / (t) — непрерывный на
[О, + оо) оригинал, ф (/) — непрерывно дифференцируе-
мая на [0, + оо) функция такая, что ф' (Z) есть оригинал.
Из f (t) F (р) и ф (/)=== Ф (р) следует:
t
/ (и) Ф (* — и) du ==i F (р) Ф (р).
о
Из правила дифференцирования интегралов, зависящих
от параметра, следует, что левая часть непрерывно
дифференцируема на [0, + оо), причем
t	t
(и) ф (t — и) du = / (и) ф' (t — u)du + f(t) ф (0).
о	о
Отсюда в силу свойства 4 § 3 получаем искомую формулу
Дюамеля
t
f (0 Ф (0) + ^ / (и) ф' (t — u)du=* pF (р) Ф (р).	(5.6)
о
§ 5. Оригиналы с рациональными изображениями
Изображения некоторых элементарных функций.
1. Изображения степенных и пока-
зательных функций. При а > — 1 степенная
функция ? является оригиналом с нулевым показателем
роста, причем
L (ta) =	t*e-& dt,
о
что при положительных значениях р равно (после замены
pt на t)
4-со
-М Г|д+Ч--
0
Но как изображение Г, так и правая часть последнего
равенства аналитичны в полуплоскости Re р > 0, следова-
тельно, совпадая в положительных точках, они (в силу тео-
10 П. И. Романовский
290	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	(ГЛ. V
ремы единственности, см. гл. III, § 14) совпадают на всей
полуплоскости Re р > 0 (заметим, что степенные функ-
ции ру ~ ey Lrip комплексного переменного р многознач-
ны при нецелых у, но, рассматривая их на полуплоско-
сти Re р 0, мы всякий раз имеем в виду те их ветви,
которые происходят от ветвей Ln /?, совпадающих для
положительных р с In р). Итак,
(а>_1).	(5.7)
Так, при а = т (т = 0, 1, 2, ...)
-^Г	(5-8)
и, в частности, при т = 0
(5-9)
Из (5.8) по правилу смещения изображений (§ 3, свой-
ство И) находим при любом целом неотрицательном т и
любом комплексном X
и, в частности, при т = 0
р — А
2. Изображения тригонометриче-
ских и гиперболических функций.
Имеем в силу (5.11):
+	<5.14)
<5Л5)

I 5] ОРИГИНАЛЫ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ 291
Из (5.12) и (5.13) по правилу подобия (§ 3, свойство 3)
находим:
откуда по правилу смещения изображений (§ 3, свойст-
во 11)
at	Р—a	at . q.	3
е cos0£ (p_a)2_|_g2; e sinP« г-: (р_а)3 + рг.
Необходимое и достаточное условие рациональности
изображения.
Теорема. Для того чтобы изображение было ра-
циональной функцией, необходимо и достаточно, чтобы
оригинал являлся линейной комбинацией функций вида
1теи (т — целое неотрицательное, % — комплексное).
Д о к а з а т ельство достаточности. Ес-
ли оригинал есть линейная комбинация функций tmeu,
то в силу (5.10) изображение будет линейной комбинацией
функций -----Ш!т+Т и’ следовательно, будет рациональ-
ной функцией.
Доказательство необходимости.
Пусть изображение F (р) рационально. Так как по теоре-
ме § 2 F (р)	0 при Rep + оо, то F (р) будет правиль-
ной рациональной дробью. Пусть pk — ее полюсы, nk —
их кратности. Тогда, разлагая F (р) на простейшие элемен-
ты, получим:
К /=1 (Р — Рк)
где Мki — некоторые комплексные числа. Но из (5.10)
видно, что
(<-1)1е • (p-pj-
Отсюда
пк .
к М И"1
IO*
292
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
ГГЛ. V.
а так как оригинал вполне определяется своим изображе-
нием, то
пк
fit) = 3 3
к 1=1

(I - 1)!
и, следовательно, является линейной комбинацией функ-
ций вида Zwex/, что и требовалось доказать.
Заметим, что всякая правильная рациональная дробь
является изображением некоторого оригинала. Таким об-
разом, с помощью преобразования Лапласа устанавливает-
ся взаимно однозначное соответствие между всеми функ-
циями, являющимися линейными комбинациями выраже-
ний и всеми правильными рациональными дробями.
Заметим, что класс функций, являющихся линейными
комбинациями выражений вида /™ех/, обладает следующи-
ми свойствами: операции линейного комбинирования, ум-
ножения на аргумент, умножения на показательную функ-
цию, линейного преобразования аргумента, дифференци-
рования и интегрирования, примененные к функциям
этого класса, приводят снова к функциям этого класса.
Нахождение оригинала по заданному изображению
(когда оно рационально). Предыдущие выкладки показы-
вают, что если F (р) — какая-нибудь правильная рацио-
нальная дробь, разложение которой на простейшие дроби
есть
пк
л?) =33
h l-=i
1Р-Рк)1 ’
то
"* м
/(0 = 3377^^'	(5.16)
к l=i v
будет оригиналом, имеющим изображение F (р).
В частности, если все полюсы F (р) — простые, то
м
Лр) = Зт=Т-; Мк = НезЕ(р),
и для оригинала, имеющего изображение F (р), получим
S el ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 293
формулу
/(o=S^Zk<.
к
(5-17)
Заметим еще, что если

М (р — а) + Nfi
(р_а)2 + 32	’
то соответствующим оригиналом будет
/ (z) = eat (М cos pz + N sin £z).
Таким образом, нахождение оригинала по заданному
рациональному изображению сводится к разложению
правильной рациональной дроби на простейшие дроби.
Пример. Найти оригинал f(t), имеющий изображение
2Рз + р2 + 2р + 2
' (Р) - Р5 + 2р4 + 2рЗ •
Разложение на простейшие дроби дает:
1	2
г(р)~ рз + рг + 2р + 2>
следовательно,
/ (£) = -s- 4- 2е 1 sin t.
§ 6. Приложения к решению линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами и систем линейных
дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами
Из общего курса математического анализа известно,
что все решения линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами, правая часть которых
есть линейная комбинация функций вида z™^/являются
функциями такого же вида. То же относится и к системам
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, правые части которых являются линей-;
ными комбинациями функций вида Но линейные j
комбинации выражений Zmex', если их рассматривать на.

294	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
[О, + оо), являются оригиналами с рациональными изоб-
ражениями. Это подсказывает нижеследующий прием
отыскания решения названных линейных уравнений и
систем линейных уравнений, удовлетворяющих задан-
ным начальным условиям Коши.
Линейные дифференциальные уравнения. Требуется
найти решение линейного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами
аоУ(п) + а1у<-п~1'> + ... + any = f (Z),
удовлетворяющее начальным условиям Коши
У (0) — с0; у' (0) = q;	(0) = с^,
когда / (Z) есть линейная комбинация функций вида Zmexl.
Пусть у (z) ==s У (р), / (z) i=i F (р). Тогда из рассматри-
ваемого дифференциального уравнения и начальных усло-
вий Коши следует (в силу свойств 1, 2, 5 § 3):
«о (р”У — СоРп-1 — ... — сп_х) 4-
+ й1 (p»-iy _ CojO«-2 _ ... _	+...
••• 4- «п-i — с0) + anY = F
или
(«оРп 4- «iP"'1 4- -. 4- ап) Y =
= с0 (лор"-1 4* «1Рп~2 4- ...4- «п-i) 4-
4- сх (лоРп~г 4- «хр”-3 4* ... 4* «п-а) 4" ••• 4" «п-1«о 4- Л
откуда
Y (Р) -	* □. ко («cP"-14-... 4- «п-0 4-
V +- +ап
+ С1 («оРЛ~2 + ••• + Лп-г) + ••• + сп-1^0 + F (р)]. (5.18)
Итак, изображение Y (р) искомого решения у (Z) нахо-
дится по формуле (5.18). Разлагая правильную рациональ-
ную Дробь У (р) на простейшие элементы, найдем с по-
мощью формулы^5.16) искомое решение у (Z). В случае од-
нородного уравнения имеем / (t) «== 0 и, следовательно,
Р (р) = 0.
Таким образом, решение линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами и правой
§ 6] ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ 295
частью, являющейся линейной комбинацией функций вида
Z’V, сводится к разложению некоторой правильной ра-
циональной дроби на простейшие дроби.
Пример 1. Решить уравнение у"'— уп бу' = 0 при на-
чальных условиях у (0) = 15; у' (0) = 2; у" (0) = 56.
Здесь
15(^ р_ 6) + 2 (Р —1) + 56	15р2 —13р—-36
г (Р)~	— р (р + 2) (Р — 3) —
6	5	4
- р +р + 2 + р-3;
следовательно,
у (t) = 6 + 5е~2* 4* Ье**.
Пример 2. Решить уравнение у№ + у = cos t при начальных
условиях у (0) = 0; у' (0) = 0.
Здесь
V	/ X P/tP2 + р 1 Г 1	1	1.
p* + i “ (р2 +1)2 - 4i L(p - о2 (р + о2г
следовательно,
у 5=8 IT(teit “te U^ ** 4 ‘
Системы линейных дифференциальных уравнений. Тре-
буется найти решение системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами
2/1 + «ii2/i + •••+ ^пУп ==/1 (О,
2/2 + «212/1 + •-+ йЪпУп (*),
Уп + «п12/1 + — + <*ъпУп =fn (0,
удовлетворяющее начальным условиям Коши
У1	(0) = у2 (0) « с2; уп (0) == cni
когда fk (Z) (к == 1, 2f ..., п) являются линейными комби-
нациями функций вида Zmex/.
Пусть ук (Z) =*	(р), fk (Z) Fh (р) (к = 1, 2,	п),
тогда из рассматриваемой системы дифференциальных
уравнений и начальных условий Коши следует (в силу
298
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
£ГЛ. V
свойств 1, 2, 4 § 3):
р?! — q + ацУх	+	...+	«1ПУП	= Fx,
р¥2 ~’ ^2 + 021Л	+	•••+	^2п^п	= ^2»
рУП сп 4“	4“	••♦4~	^пп^п	“ ^П)
или
(аи + р) У1 + аХ2У2 4- ...4- яХпУп = сх + F^
#21^1 + (а22 + ^) У2 4“ ••• 4~ й2п^п “ С2 + F2,
ЛщЛ 4- «П2У2 4- •••4- («пп + р) Yn = сп + Fn.
Пусть
а11 4- P Д12	••• а1п
А (р) s= ^21	О'22 F ••• a2n
«nl ®П2	••• ^nn 4* P
и Ajk (p) обозначает алгебраическое дополнение элемента
/-й строки и А-го столбца матрицы этого определителя.
Тогда с помощью правила Крамера находим:
j| [cj + ^j(P)l А}1[(р)
Yk(P)-=—---------------- (*-1,2.........п).	(5.19)
Итак, изображения Yh (р) функций ук (/), составляю-
щих искомое решение рассматриваемой системы диффе-
ренциальных уравнений, находятся по формуле (5.19).
Разлагая правильные рациональные дроби Yk (р) на про-
стейшие дроби, найдем с помощью формул (5.16) искомые
функции уй (t). В случае однородной системы все fk (t) =
с= 0 и, следовательно, все Fk (р) = 0.
Таким образом, решение системы линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами и
правыми частями, являющимися линейными комбинация-
ми выражений вида сводится к разложению не-
скольких правильных рациональных дробей на простей-
шие дроби.
§ 7] ПРИЛОЖЕНИЕ К УРАВНЕНИЯМ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 297
Пример. Решить систему
у7 + 4у + 4z » 0, j
zf -р 2 у -{~ 6z = О J
при начальных условиях у (0) ® 3; z (0; = 15.
Здесь
3(рЧ-6)4-15(—4)	Зр-42	8	11
r (Р) - р2 + 10р + 16	- (р + 2) (р + 8) ~ ~ р + 2 + р -4- 8 •
3(- 2) + 15 (р + 4)	15р + 54	4 И
^(Р)= р2 + Юр+16	~(р + 2)(р + 8)~ р+2^р + 8’
следовательно,
у (t) = — 8e~2i + Не”8*, z (t) = 4е”2/ + Не”8*.
§ 7.	Приложение к решению линейных уравнений
в конечных разностях
|	с постоянными коэффициентами
Ступенчатые функции. Пусть hn (п = 0, 1, 2, ...) —
|	произвольная последовательность комплексных чисел.
! Функцию / (0 на [0, + ею), определяемую равенствами
/ (I) = hn на In, п + 1) (п = 0, 1, 2, ...),
назовем ступенчатой функцией, порожденной последо-
I вательностью {/гп}.
Имеем
п	п—1 fc-H
0	fcs==0 1г
n—1	/с-H	n—1
= 2 IM j e-'dt = ±^-2lMe-fc’.
< S	fcsssO fc	fcs=0
Для действительного s найдем в пределе при п-^ + оо
;	1/(0|е-г^ = ±^£2 21^1^’;	(5.20)
О	fc=0
следовательно, несобственный интеграл в левой части и
ряд в правой части либо оба сходятся, либо оба расходятся.
298
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ . V
Из (5.20) непосредственно вытекает
Теорема. Чтобы ступенчатая функция, порожден-
ная последовательностью {hn}, была оригиналом, необходи-
мо и достаточно, чтобы степенной ряд с коэффициентами
hn имел отличный от нуля радиус сходимости [иначе гово-
ря, чтобы числа yf | /гп|(и = 1, 2, 3, ...) были ограничены
в совокупности].
Пусть / (/) — ступенчатый оригинал, порождаемый по-
следовательностью {hn}\ / (t) f=4 F (p). Формула (5.20) по-
09
называет, что если степенной ряд ^hnzn сходится при
о
| z | < р, то F (р) аналитична при Re р > In — и тогда
4-00	оо /f-1-l
F(p) = J	2 $ f(t)e~ptdt =
о	k	j
ОО Л+1	оо
= 2 Л» $ dt = 2^ke-ftp.
fc=O fc	”
Полагая H(z) «= ^hnzn, Ai(p) «-------(это есть изобра-
о	р
жение ступенчатой функции бг (t), порождаемой последо-
вательностью 1, О, 0, ...), найдем
F (р) = Дх (р) Н (е-Р).
(5.21)
Обратно, всякая функция вида Д£ (р) Н (е*Р), где Н (z)
аналитична в окрестности нуля, является изображением
ступенчатого оригинала, порождаемого коэффициентами
разложения Н (z) по степеням z.
Примеры:
1)	Если hn » п, то
О
2)	Если hn « (—1)п, то
$ 7] ПРИЛОЖЕНИЕ К УРАВНЕНИЯМ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 299
3)	Если hn — ant то
Д	1	1 — е~р 1 ер — 1
Замечание. Если вместо ступенчатых функций
рассматривать на [0, 4- оо) функции / (/) более общего
вида, определяемые равенствами
/ (Z) « Лпф (t — и) на [n, п + 1) (п = 0, 1, 2, ...),
где ф (Z) — какая-нибудь фиксированная функция на 10,1),
которая на этом интервале имеет не более конечного числа
точек разрыва, не исчезает тождественно и абсолютно ин-
тегрируема (ступенчатые функции получаются при ф (Z) =
= 1), то формула (5.20) останется в силе при замене
— на | ф (01е~8<	а следовательно останется
о
в силе вытекающая из этой формулы теорема (необходимое
и достаточное условие, чтобы / (/) была оригиналом). Для
изображения оригинала/ (Z) формула (5.21) остается в силе,
1
если Дх (р) заменить на ф (t) e~pt dt.
о
Опережение функций. Если / (Z) определена на
[0,4-оо), с>0, то функцию / (Z-J-c), рассматриваемую на
[0, + °°)> назовем опережением функции / (Z).
Непосредственно видно, что всякое опережение ориги-
нала является оригиналом с тем же показателем роста.
Если / (t) — оригинал, / (Z) «=* F (р), с > 0, то
L{f(t + c)}= $ f (t + с) e~pl dt = еср $ f^e'^dt =
0	с
=	(Р) - $ f (0	. (5.22)
Если /(/)-—ступенчатый оригинал, / (t) ?=* Д1(р)Я(е“р)»
где Н (z) аналитична в окрестности нуля, п — число нату-
ральное, то (5.22) дает:
п
£{/(«+в)} = епрДх (р) Н (е~р) -enp$f (t) е* dt,
800
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
«ГЛ.V
НО
п	п—1 /с-f-l	п—1
У / (о e~pt	$ e~pt dt = Д! (p) 2 / (A) e~*p,
k=0 fc	M
следовательно
n—1
L {/ (t + n)} = Дx (p) Гenp H (e-p) - 2 / (k) е<п~л,р1. (5.23)
L	/1=0	J
Линейные уравнения в конечных разностях с постоян-
ными коэффициентами. Пусть / (Z) — какая-либо функция
на [0, + оо). Положим Д/ (z) = / (z + 1) — / (z);	=
s= AAn“7 (z) (n = 2, 3, ...). Методом индукции (с исполь-
зованием соотношения Сп + С^1 = Cn+i) легко нока-
вать, что
Д"/ (0 = 2 (~ 1)п‘* Cnf It + к),	(5.24)
/а+п) = 2с«д*/(о	(5.25)
К=о
(где Д°/ »= /).
Рассмотрим две задачи, в которых / (Z) обозначает ка-
кую нибудь заданную ступенчатую функцию на [0, 4- оо),
«л» «л. &jk> Ph — какие-нибудь - заданные комплексные
числа.
Задача 1. Найти ступенчатую функцию у (/) на
(0,4- оо), удовлетворяющую уравнению
«оУ (t 4- п) 4- аху (t 4- п — 1) 4- ...4- апу (I) = / (<)
(а0 =£= 0) и начальным условиям
У (0) = “о. У (1) = а4, ..., у (и — 1) = ап_,.
Задача 2. Найти ступенчатую функцию ?/(/)
на [0, 4* оо), удовлетворяющую уравнению
Ь^пу (г) 4- Мп-Ху (0 +...4- Ьпу (0 =/ (О (Ьо =р 0)
и начальным условиям
 У (0) - Ро. Ду (0) = Рь .... Дп-1у (0) = pn-x.
Ml ПРИЛОЖЕНИЕ К УРАВНЕНИЯМ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 304
Из (5.24) видно, что задача 2 равносильна задаче 1
(с надлежащими ak, аА), а из (5.25) видно, что задача 1 рав-
носильна задаче 2 (с надлежащими bk, 0 k). Задача 1, оче-
видно, всегда имеет единственное решение [дело сводится
к рекуррентной системе уравнений для определения членов
последовательности, порождающих искомую ступенчатую
функцию у (/)], следовательно и задача 2 всегда имеет един-
ственное решение.
Теорема. Если / (t) — ступенчатый оригинал, то
решение задачи 1 (и, следовательно, решение задачи2) также
будет ступенчатым оригиналом.
Доказательство. Пусть / (к) = hk, у (к) ==
По условию | hk | < рК (к = 1, 2, ...), где р > 0. Не
уменьшая общности, положим а0 = 1. Пусть А — наи-
большее из чисел | ах|, ...,|ап|. Пусть q больше каждого
из чисел | (Л = 1, ..., ri); р; 1; пА-f-l; тогда | ghi < q*
для всех к = 1,2,3, ... Действительно, для к п это
следует из определения q; для к = т (где т > п) это вер-
но, если это верно для всех к < т, ибо из уравнения, ко-
торому удовлетворяет у (t) находим (беря t = т — /г);
|#m | I 1 | gm-\ | + ••• + | an I I gm-n | +
+ | hm_n \<(пА +1) g™-1 < qm.
Таким образом, индукция проведена и теорема доказана.
Приложение преобразования Лапласа к решению ли-
нейных уравнений в конечных разностях с постоянными
коэффициентами. Рассмотрим задачу 1 в случае, когда
/ (/) есть ступенчатый оригинал. Тогда, по доказанному,
решение у (t) также будет ступенчатым оригиналом.
Пусть
/ (/) ^ Дх (р) Н (е-Р), у (/) Дх (p)G (e-Р);
где Н (z) — известная аналитическая функция в окрестно-
сти нуля; G (z) — искомая функция в окрестности нуля.
Переходя в уравнении задачи 1 к изображениям и учи-
тывая при этом начальные условия и формулу (5.28), по-
лучим после сокращения на Дх (/?):
а0 [enpG (е р) — (ссое(п-1)р ... + аЛ_х) +
+ [e<n~wG И) - (а0е(п“2)р + ... + ап_2) ер] +
802
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
откуда
(е Р)   Пр . ’—Т {1а0 (а0е< 1>Р + ... + Лп-1) 4*
V
4* ai(<V( 2)Р "Ь ••• 4* ®п-г) 4" ••• 4" ®n-i®olе₽ 4" Н (е р)}
или (после умножения числителя и знаменателя на е~пр)
G(e р) — —————[а0 (а0 + ... 4- ®n-i« <п 1)р) 4-
а0+•• + %« пр
4" а1е р(ао 4“	4" ®п-2е (п 2^р) 4* •••
... + ап.1е-^ра0 + е-прН(е-р)].
Таким образом, если / (г) ?=; Дг (р) Н (е“р), то для
решения задачи 1 имеем
y(t)^ ^(р)а(е~р),
где
® (z) —--:—[«о (®о 4~ ••• 4- ®n-iZn х) 4~
+ a1Z (a0 + ... + a„_2zn-2) + ... + an_12n-1a0 4- znH (2)]. (5.26)
Пример 1.
(У (t + 1) — у (t) = (a —
Ь (0) » 1.
Здесь n = 1, a0 — 1, at = —1, a0 = 1;
- Я (z) = (a — 1) akzk =	,
o
t p	« —1
0 (z) =--—1~az = —J— = 1 4- az +	.
1 — z 1 — az
Функция у (t) порождается последовательностью 1, a, a2, ...
у (i) = eW
*) [/] обозначает наибольшее целое число, не превышающее t.
§ 7] ПРИЛОЖЕНИЕ К УРАВНЕНИЯМ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ 303
Пример 2.
р(г + 2) = г/(* + 1) + 1/(гх
{	у(0)«0,
I
Здесь п = 2, а0 = 1, ал ~ —1, а2 = —1, аа = 0,	= 1;
Я (z) = 0,
° (») = i'-z-tf = z + 22 + 223 + Зг4 + 5z5 + ...
Функция?/ (О порождается последовательностью 0, 1, 1, 2, 3, 5,
Замечание. Если
(о при » +	(„ _0, 1, 2, ...),
(1 при п — т
то
/ (z) = (t - m), Н (z) = zm (m = 0, 1, 2,
Если hn =s	= _£n±2_ (« = 0,1, 2,.*), то
{ )	(a-z)™*
(a 0; m = 0, 1, 2, ...),
откуда видно, что если / (Z) = (z + mJ<TOW*J, то
H (z) =--------—- (%^=0; m = 0 J, 2, . . .).
V 7	(1 - Xz)w+1 V	’	7
Учитывая еще, что всякий полином m-й степени можно
разложить по любым полиномам степеней 0, 1, т, и
что всякую регулярную в нуле рациональную функцию в
результате выделения целой части и разложения остаточ-
ной правильной дроби на простейшие элементы можно
представить в виде линейной комбинации функций вида
zm, ---1—— (а =£0; т = 0,1, 2,.. .),
(a —2)m+1
•) обозначает х (х — 1)... (х — т + 1).
304
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
приходим к предложению: для того, чтобы #(z), фигури-
рующая в формуле (5.21), была регулярной в нуле рацио-
нальной функцией, необходимо и достаточно, чтобы f(t)
являлась линейной комбинацией функций вида
fix (Z - m), k]m МН (X =/= 0; т = 0, 1, 2, ...).
Из сказанного в начале настоящего замечания легко
усмотреть, как, зная такую/ (Z), найти выражение соответ-
ствующей Я (z) и, обратно, зная рациональную и регуляр-
ную в нуле Н (z), найти выражение соответствующей / (z).
. Формула (5.26) показывает, что если Н(z) рациональ-
на, toG (z) тоже рациональна, поэтому, если правая часть
рассмотренного выше уравнения в конечных разностях
является линейной комбинацией функций вида 6j (t — тп),
[z]mXf^ (X =/= 0, т = 0, 1, 2, ...), то и решения этого урав-
нения при любых начальных условиях обладают этим
свойством.
§ 8. Оригиналы с изображениями, регулярными
в бесконечности
О предельном переходе под знаком несобственного
интеграла.
Теорема. Пусть fn (t) (n=l, 2, ...)—комплексно-
значные непрерывные функции на [0, + °°)5 причем
где ср (Z) — такая действительная неот-
рицательная непрерывная функция на [0, 4- оо),
+°°
что J	сходится. Пусть затем /n(Z)-*/(Z) на
о
[0, + оо), и притом равномерно на каждом сегменте
10, а], где а > 0. Тогда
4*ОО	4-00
J fn(t)dt-+ $
0	0
Доказательство. Из условий теоремы видно,
что / (Z) непрерывна и | / (Z) К<р (Z) на [0, + оо). Пусть
8 — произвольное положительное число. Так как несоб-
4-00
ственный интеграл (p(Z)dZ сходится, то найдется такое
о
$ 81
ОРИГИНАЛЫ С ИаОБРАЖЕНИЯМИ	305
- _	,	4-00
а > 0, что	Так как/п (<)->/ (0 на [0, а]
а
равномерно, то
J/n(0^->$/(0 dt
:	о	о
и, следовательно, найдется такой номер N, что при
п> N будем иметь:
а	а
|$/п(0Л-$/(0л|<-г-
о	о
Следовательно, при п N
4- оо	4-оо	а	а	- -
I {fn(t)dt- J	+.....
о	о	о	о
4-ос	4^о°	'
+ | p«(Qdi| + | р(0.^|<-г + -г + -3- = в»
а	а
что и требовалось доказать.
. Примечание. Теорема остается в силе, если fn (t) и
(t) предполагать непрерывными на [0, + оо), за исключением изо-
лированных точек, и требовать равномерной сходимости /п (t) к
f (t) лишь на каждом сегменте, лежащем на [0, + оо) и не содержа-
щем упомянутых изолированных точек.
Для этого в предыдущее доказательство нужно внести сле-
дующие изменения. Выберем а настолько большим и окружим по-
падающие на [0, а] точки разрыва настолько малыми сегментами,
чтобы сумма интегралов от <p(t) по этим сегментам и по [а, + оо)
была меньше в/3. После этого используем тот факт, что на остав-
шихся сегментах fn (t) —> f (t) равномерно.
В качестве приложения доказанной теоремы сделаем два заме-
чания о свойствах изображений (когда оригинал удовлетворяет не-
которым требованиям).
Замечание 1. Пусть / (Z) непрерывна на (0, + оо),
/ (+ 0) существует, |/ (z) | <g: ф (Z), гДе Ф (0 — неотрица-
тельный непрерывный неубывающий на (0, + оо) ориги-
нал. Тогда, если / (z) ==* F (р), то pF (р)-+ f (+ 0), если
р >	+ °°-
11 П. И. Романовский
306
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ, V
В самом деле, пусть 5 — положительное число, боль-
шее показателя роста ф (/), и пусть р> s. Тогда
4~оо	4-00
pF(P)—P J /(/)Л* = J /(у-)*-'*;
о	0
интеграл
сходится; / (t/p) e4 -> / (+ 0) е~1 прир-> + оо равномер-
но на каждом сегменте [а, 0], где 0 < а <С 0 < + оо.
Следовательно, в силу доказанной теоремы
4>оо	4'°°
PF(P)= $	J	/(+O)e-'df	=	f(+O),
О	о	.
что и требовалось доказать.
Замечание 2. Пусть / (t) непрерывна на
(0,4- оо), / (4- оо) существует, | / (/) |< <р (/), где <р (z) —
неотрицательный, непрерывный, невозрастающий на
(О, 4- оо) оригинал. Тогда, если/ (z) = F (р), то pF(p)->
—> / (+ оо), если р 0 и р -> 0.
Сперва заметим, что показатель роста ф (/), и подавно
показатель роста / (/), не более нуля и потому F (р) имеет
смысл при всех р > 0. Пусть 0 < р < е, где 8 > 0. Тогда
4-оо	4"°°
pF (Р) = Р $ / (0 e'vtdt= J /	е~* dt;
О	о
+°°	+°°
\ Ф (—1 dt = 8 \ ф (t) dt сходится; кроме того,
о	о
ос)е“* при р-»0 равномерно на каждом
сегменте [а, 0], где О<а<0<4- оо. Следовательно, в
$ 81	ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ
807
силу доказанной теоремы
4-оо	4-00
pF(p)=	/(+ oo)e~*dt = /(+ оо),
О	о
что и требовалось доказать.
Целые функции экспоненциального типа.
Определение. Целая функция / (z) комплексно-
го переменного z называется целой функцией экспоненци-
ального типа, если можно найти такие положительные чис-
ла С, а, что для всех комплексных значений z выполняет-
ся неравенство
|/(z) |<Се°И .
4-00
Лемма. Для того чтобы степенной ряд ^Akzk
о
изображал целую функцию экспоненциального типа, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для некоторых положитель-
ных чисел С, S выполнялись неравенства
ск
1Л1<с4г (* = 0,1,2,...).
Доказательство необходимости.
4-00
Пусть f (z) = ^Akzk — целая функция экспоненциаль-
0
ного типа. Тогда |/ (z) | < Се№ при всех z, где С и а —
некоторые положительные числа. В силу неравенства
(3.48) для модулей коэффициентов ряда Тейлора (гл. II If
§ 14) находим при всех R О
(* = 0,1,2,...).
Беря R = к/в (к = 1, 2, ...), получим:
! Се<зк С (е<з)к
* । ~kk ~ М
(* = 1,2,...),
поэтому, полагая S = ев, будем иметь?
ск
\Ак\<С^Г (* = 0,1,2,...).
11»
308	- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА -	[ГЛ . У
Доказательство достаточности-
gk
Пусть |ЛЛ КС-тт- , где С и S — некоторые положи-
/С!
тельные числа. Тогда, очевидно, степенной ряд^Мь^
сходится для всех z и изображает целую функцию / (z),
причем для всех z имеем:
2!Л№1‘<2с^_гг'=',
о	о
что и требовалось доказать.
Заметим, что операции линейного комбинирования,
умножения на независимое переменное, умножения на по-
казательную функцию, линейного преобразования неза-
висимого переменного, дифференцирования и интегриро-
вания, примененные к целым функциям экспоненциально-
го типа, приводят снова к целым функциям экспоненциаль-
ного типа.
Необходимое и достаточное условие регулярности изо-
бражения в бесконечности.
Теорема. Для того чтобы изображение было ре-
гулярным в бесконечно удаленной точке, необходимо и до-
статочно, чтобы оригинал являлся целой функцией экспо-
ненциального типа.
Доказательство достаточное т ц.
Пусть оригинал / (/) есть целая функция экспоненциаль-
ного типа [точнее, / (z), заданная на [0, + оо), продолжаема
до целой функции экспоненциального типа]. Тогда, в част-
ности при t > 0, будем иметь:
/(0 = 2 4/; 1Л|<с4г(с>°-’ 5>°)-
о
Очевидно, при Z>0, Rep=s^>5 имеем:
интеграл	сходится; % AktK - е pt
л	$
о	«
5 8)
ОРИГИНАЛЫ О ИЗОБРАЖЕНИЯМИ
309
/ (0 е_р< равномерно на каждом [0, а], где а > 0. Сле-
довательно, на основании теоремы о предельном переходе :
под знаком несобственного интеграла	J
•1-00 П	4-00
J	J	ftye'^dt
0 0	о
или
ГТ1
I»	ИРИ Rep>S,
но
[3	= 2 4ȣ (ffc) == 2 Dk+*{
•	U 0	0	0 P
следовательно, '
+°° kiA
LI/ (01 - S —isr ПРИ Re p > S’
0 P
причем ряд в правой части сходится при | р | > S и изобра- i
, жает аналитическую функцию в окрестности бесконечно !
удаленной точки. Это доказывает, что изображение F (р)
после аналитического продолжения на окрестность бес*
конечно удаленной точки становится регулярным в ней и
+°° к\ А
F(^=S-^T при|р|><$.
/с—о Р
Таким образом, если / (t) —.целая функция экспонен-
циального типа и если ее разложение в ряд Тейлора есть
оо
У» то изображение / (t) определяется формулой
о
(5.27)
К=0 Р
Доказательство необходимости.
Пусть изображение F (р) оригинала / (Z) после аналитиче-
ского продолжения оказалось регулярным в бесконечно
310
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
удаленной точке. Лорановское разложение F (р) в окрест-
ности оо [учитывается, что F (р)-> 0 при Rep-> + оо]
имеет вид
Л=1 Р
Пусть положительное число S лежит в области сходимости
Вк
этого ряда. Тогда ряд У —£ сходится; следовательно, схо-
дится и ряд 3^1 (ибо
I В 1
ны ограничены, т. е, -J-p I <С С, где Р — некоторое поло-
поэтому его чле*
; следовательно,
жительное число, откуда
00 В
t* — целая функция экспоненциального типа. По до-
о
казанному
-4-оо	-t-оо	-4-00
s3r<*-S>-3£-m
О	О Р 1 Р
отсюда (так как оригинал вполне определяется своим йзо-
°° в
бражением) заключаем, что f (t) =2 “jp что и требова-
о
лось доказать.
Заметим, что всякая регулярная в бесконечности ана-
литическая функция, равная нулю в бесконечности, яв-
ляется изображением некоторой целой функции экспонен-
циального типа.
Таким образом, с помощью преобразования Лапласа
устанавливается взаимно однозначное соответствие между
всеми целыми функциями экспоненциального типа и всеми
аналитическими функциями, регулярными в бесконечно
удаленной точке и равными в ней нулю.
Нахождение оригинала по его изображению (когда оно
регулярно в бесконечности). Предыдущие выкладки пока-
зывают, что если F (р) — какая-нибудь аналитическая
функция, регулярная в бесконечно удаленной точке и
§ 8]
ОРИГИНАЛЫ С ИЗОБРАЖЕНИЯМИ
311
равная в ней нулю, и если ее лорановское разложение
в окрестности оо есть
Р
то
+°° в
<5-28)
будет оригиналом, имеющим изображение F (р).
Изображения бесселевых функций. При v > 0 [см.
гл. IV, § 2, формулу (4.20)1 функция
(0 V / лчк
Г	4 k\V(v + k + l)
будет целой функцией экспоненциального типа.
В самом деле, модуль коэффициента при z2,f в правой
части равен
_________1________ 1
22^! Г (v + к + 1) = (v + A) (v + Л — 1).. . (v + 1) Г (v + 1)
i-------------;
Г (v + 1) 22fe (Zc!)2
но 22)с (Л!)2 > (2&)! [Это неравенство проверяется методом
индукции: при к = 0 оно верно; если оно верно для неко-
торого к, то переход к к + 1 сводится к умножению левой
и правой частей соответственно на 4 (к + I)2 и (2к + 1) X
X (2к + 2), но 4 (к + I)2 > (2к + 1) (2к + 2), следова-
тельно, неравенство будет верно и для к + 1.1 Таким об-
разом, при всех комплексных t
+00
13 (- i)ft
/f—о
(t/2)2*	1 vl*l8k^ «Н|
Л!Г(у + Л + 1) I^TCv+l)^ (2Л)! Г (v + 1)
Л=0
и, следовательно, — целая функция экспоненци-
ального типа.
312	ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛАПЛАСА	(ГЛ . V ,.
В силу (5.27)
“7“ = Д	г (v + fc + 1) pafc+I ’	(5,29>
где v — любое действительное неотрицательное число.
При v = 0 отсюда находим:
+ОО
4г
но биномиальное разложение показывает, что
1
—у1/2 = V (— i)k •
Р2}	7 22te (A!)2 p2ft ’
следовательно^
у 1+рг
(5.30)
Покажем методом индукции, что
ГР2 4-1
При п = 0 это следует из (5.30). Далее, в силу свойст-
ва 4 § 3
/1 (0 = - /о (0 -7=== + 1 = ^Р—Р-
1 v 1	v 7	/р2 +1	/р2 4-1
и, следовательно, при п = 1 доказываемая формула также
верна. Пусть теперь эта формула верна для всех неотри-
цательных целых индексов, меньших п (где п > 2); тогда
[см. гл. IV, § 3, формулу (4.27)], учитывая, что Jn_1 (0) =
«= 0, находим:
Jn (0 = /п-2 (0 - 2(t)	-
Vp2 + 1
_ гмУТмй-р)”-1 = ( /р2 + 1-р)п #
s 9) "изображения некоторых специальных функции 313
Таким образом, формула (5.31) доказана.
Рассмотрим теперь функцию
=	(п = 0,1,2,...).
Эта функция регулярна в бесконечно удаленной точке и
F(oo)=0, следовательно, она является изображением
некоторой целой функции экспоненциального типа f (z).
Так как
F (р) = _*-e-i/p = — V <~1)Й = У
- w Р"+1	Рп+1£ Мр*
то в силу (5.28)
+0О
но [см. гл. IV, § 2, формулу (4.20')]
Л ,
+«>
Л (2/о =	(ЛГ(„4>)Г»
следовательно,
/(О = Wn (2/7).
Таким образом,
t^Jn (2 Vf) =	е-VP (и = 0,1, 2,...)	(5.32)
и, в частности, при п = 0
Jo (2/7) =-А-е-1/р.	(5.33)
§ 9.	Изображения некоторых специальных функций
1.	Изображения логарифма и интегрального логарифм
ма. Очевидно, InZ есть оригинал с нулевым показателем
роста. Пусть InZ ==* F (р)\ тогда (принимая во внима-
ние свойства 6 и 4 § 3 и учитывая, что Zlnz —	0
314	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ .V	|
при i—» 0)
—F'(p);	*
tint-t^-F'(p)-±--,
(tlnt-ty^ — pF'(j3)-~;
но (/ In / — /)' = In/, следовательно,
-pF'(p)—±- = F(p),
pF’(p) + F(p) = -±,	!
[pF(p)]' = —L,
C + pF(p) = — Lnp,
F(p) = -^£- — .
PP
Полагая p « 1, найдем;
C = — F(t) = — J In i-e-'di = 0,577...
0	. j
Это число называется постоянной Эйлера. Можно пока- л |
зать, что	J
С — lim	+ .•• + --Ьл).
П-*+оо \	п	/
Итак,
(5-34) !
где С — постоянная Эйлера.	. 
Рассмотрим теперь И? (см. гл. IV, § 8). Имеем:	'
lie*	е у1 d/ + Ini =	du-{- с + Ini,
“ .!
где с — произвольная постоянная. Но (учитывая свойст- ’
во 9 и 8 § 3)
§9] ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 315
И
, , . 1	1
 р —1	р ’
^-^^(7=7—i-)d? = Lnp-Ln(p-l),
р
t
С 1 __Дп р Ln (р — 1)
' и ' . Р	Р
о
Следовательно, пользуясь (5.34), получим $
К -Lnp _ Ln(p —1) j Lnp С =
P	P P P p
__ Ln (p — 1) С —c
“	p	p ’
и при надлежащей нормировке интегрального логарифма
будем иметь:
(5.35)
Р
2.	Изображения функций, связанных с интегралом ве-
роятностей. Положим:
t
erf (Z) =	е~^ dw, Erf (Z) = 1 — erf (Z).
' n о
Очевидно, erf (t) есть непрерывная возрастающая функция
на [0, + оо); erf (0) = 0, erf (+ оо) = 1, Erf (t) есть не-
прерывная убывающая функция на [0, 4- оо), Erf (0) = 1,
Erf (+ оо) = 0. Рассмотрим функцию / (z) = e’erf fjAz)
(очевидно, это оригинал), и пусть / (z) s=* F (t). Учитывая,
о
что [erf ($)]' = —y=r e~t2, найдем:
у Л
f (() = е1 erf (//) + е‘-^ е-<	-
_e.,rf(/0 + _*_.=/(()+_^;
следовательно, после перехода к изображению (пользуясь
свойством 4 § 3 и учитывая, что / (0) = 0), получим:
1
316	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ.= V
откуда	'
Таким образом,
a* erf (КО ---------------*	,	(5.36)
(р — 1) V р
откуда по правилу смещения изображения (свойство 11
§ 3)
erf(KO^‘ .	(5.37)
Рур+1	I
Затем
е* Erf (КО = ^ - erf (КО
р 1	(р — 1) Vр p+vp
и, таким образом,	।
(5.38)
P+VP	J
откуда по правилу смещения изображений
Erf (К?) г=»...—-  —.	(5.39)
' р + 1+Гр+1	v '
*
3.	Изображения интегрального синуса и интеграль-
ного косинуса. Имеем (на основании свойств 9 и 8 § 3)5
со
. . .1 sin t С do я .	*
sin^7r+i: T ^Jrii=T"arctg;,i
p
t
Csintt, 1 / л
arctg p);
0
следовательно (при нормировке si 0 = 0),	
(5-40)
V $ 9] ИЗОБРАЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 317
Далее (учитывая свойства 9 и 8 § 3),
; cosf —	, j.-i-;
Р* -г 1	р3 -j- 1 Р
cost —1 С/ q 1 \ ,	. Г?а + 11°°
—I—‘И?тттГ' = 4 * * * * * 1-"-^тЧ„-
р	р
= Ln р=... ;
Гра+1
t
f COS U — 1 J	1 T p
\-----du = — Ln -7===-;
}	“ p Vr+i
.. C cost J. Ccost — 1	,
ci t = \ —г— at — \-T— dt + In t =
J t	e) *
t
f cos w — 1, .	. •, .
= \-----du + c + In t,
где c — произвольная постоянная; следовательно (прини-
мая во внимание (5.34)],
ci 11 • Lnp _ Lp <P2 + I c___LnP c —
P fy "И P P P
__ Ln (p2 +1)  C — c
^p	p ’
поэтому при надлежащей нормировке интегрального ко-
синуса будем иметь:
(5.41)
4. Изображения интегралов Френеля. Имеем (поль-
зуясь свойствами 11 и8§ 3):
J_____,Г(д/2) . . /л .
Г« ’ р'1г Vp ’
sin t  1 eil — e~u t Гл /	1 1	\ .
Г< Vi	_ j Гр + v ’
Гл/ £ IV
£ ГЙ  2ip\Yp — i Vp + i/
318
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
следовательно, полагая
г
S(t) =	(синус Френеля), (5.42)
У 2 л J У и
получим|
s (0 -1— Ур+~1-Ур^1 ,	(5.43)
v ’	2 У 21	+1
Далее (учитывая свойства 11 и 8 § 3),
1 . Ул .
У? ' Ур’
cost _ 1 eil + е~г1 х Ул / 1		1	\ ,
yi	У1 2	2 \ у р — i Ур + и
t	г-
Pcosu, .у я {	1	.	1
\ г— du 1— “7J— I Г 4- — >— I ,
J Уи 2р \Ур—1 Ур + i)
следовательно, полагая
t
С (0 = —7=-	du (косинус Френеля), (5.44)
У 2л J У и
получим^
с (t) 1	1.	(5.45)
V '	2/2 рУ^ + 1
§ 10. Формулы обращения
Преобразование Фурье и его обращение.
Определение. Пусть / (Z) — комплекснозначная
функция на (— оо, + оо), непрерывная всюду, за исклю-
чением, быть может, изолированных точек, и абсолютно ин-
тегрируемая на (— оо, 4- оо).
Преобразованием Фуръе функции / (0 называется функ-
ция
F(u)= J/(/)e-*M,Jt	(5.46)
ft io]
ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ
319
Преобразование Фурье функции / (/) называют еще
спектральной характеристикой функции / (Z). Легко ви-
деть, что F (и) непрерывна на (— оо, + оо) и
+оо
И(«)|< $ |/(0|Л.
—оо
Теорема обращения преобразования Фурье. Если f (t)
удовлетворяет упомянутым в предыдущем определении ус-
ловиям, то в каждой точке t, в которой f дифференцируема,
имеет место формула обращения (обратное преобразова-
ние Фурье)
+00
-оо
(5.47)
еде
Это непосредственное следствие из формулы (1.46),
доказанной в § 10 главы I.
Преобразование Меллина и его обращение. Пусть g (я)—
комплекснозначная функция, непрерывная на (0, + оо)
всюду, за исключением, быть может, изолированных то-
+оо
чек. Если х3-11 g (х) | dx (здесь s — действительное
о
число) СХОДИТСЯ при S = И S = s2} ТО он сходится при
всяком 5, лежащем между и $2 (это следует из того, что
если$! <Zs < $2, то xs < xSl при х < 1, Xs < х3* прих^> 1).
Отсюда легко заключить,что либо упомянутый интеграл при
всех s расходится, либо найдутся такие аиЬ( — оо а
b + оо), что при а < s < Ъ упомянутый интеграл схо-
дится, а при s < а и при 5 > Ь расходится. В последнем
+оо
случав (если в < Ь) интеграл Меллина J x^g (х) dx
о
имеет полосу абсолютной сходимости а <. Rep •< Ь, при-
чем в каждой полосе Rep Ь± (где а < ах < bj. <. Ь)
его сходимость — равномерная. Из теоремы § 1 вытекает,
320
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
(ГЛ. V
что он изображает аналитическую функцию G (р) комп-
лексного переменного р = $ + io в полосе а < Re/? < b.
Определение. Пусть g (х) комплекснознач-
ная функция на (0, + оо), непрерывная, за исключением,
быть может, изолированных точек, и такая, что соответ-
ствующий интеграл Меллина имеет полосу абсолютной
сходимости а < Rep < b. Преобразованием Меллина функ-
ции g (х) называется функция
+ оо
G (р) == j xp~*g (я) dx,	(5.48)
о
аналитическая в полосе а < Rep < b.
Замечание. Если преобразование Меллина функ-
ции g (х) есть G (р), то, при а< с< i преобразованием
Фурье функции e~ctg (е-1) будет G (с + iu).
В самом деле, с помощью подстановки х = e~f находим:
+оо	+оо
G (с + iu) =	e-(c+iu)( g (е~1)	e-®' g (e_J) e~iul dt.
-CO	-00
Теорема обращения преобразования Меллина. Если
g (х) удовлетворяет отмеченным в предыдущем определении
условиям, то в каждой точке х, в которой g дифференци-
руема, имеет место формула обращения (обратное преоб-
разование Меллина)
С+100
£(*) = 2^i $ G(p)x-?dp,	(5.49)
с—Too
где
c+ioo	c+ifc
J a lim J ,
с-гоо fc-*+oo
причем c — любое действительное число, удовлетворяющее
неравенствам а < с < Ь.
Доказательство. Если g (х) дифференцируема
в точке х, то после подстановки х = е~* функция e~^g (е~{)
будет дифференцируема в соответствующей точке t,
но тогда в силу предыдущего замечания и теоремы об-
ращения преобразования Фурье найдем в упомянутой
S 10]	ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ	321
точке t
e~ctg (е~() = бг (с + iw) eiut du,
ыП
—оо
+ОО
g(e_() =2^" б? (с 4- 1и) е<с+*«>‘ du;
—ОО
следовательно, в рассматриваемой точке х
С+ТОО
4	(»
g^==2Hi J G(P)*~PdP’
с-гоо
что и требовалось доказать.
Обращение преобразования Лапласа.
Замечание. Если преобразование Лапласа функ-
ции / (t) есть F (р), т. е. . y
+00
F(p)= J	(5.50)
о
Д*о преобразованием Фурье функции e~atf (t) будет
F (а + иг), если а — действительное число, большее по-
казателя роста / (г). z
В самом деле,
F (а + iu) = J / (0 е-(»+й»)' dt = J e~atf {t)-er^dl.
О	—оо
Теорема обращения преобразования Лапласа. Если
f (t) — оригинал и F (р) — его изображение, то в каждой
точке t, в которой / дифференцируема, имеет место фор-
мула обращения (обратное преобразование Лапласа)
a+i<x>
=	(5.51)
a-ioo
где
a+ioo	a+ifr
? = lim j ,
a-ioo fc-H-oo a_ifc
322
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
причем а — любое действительное число, большее показа-
теля роста f (t).
Доказательство. Если / (I) дифференцируе-
ма в точке t, то e~at f (t) тоже; следовательно, в силу преды-
дущего замечания и теоремы обращения преобразования
Фурье найдем в рассматриваемой точке t
+оо
е-в</ (i) — Р (а + М eiut du,
—со
+0О
/ (0 = А- F (а + ш) e<a+i“)' du,
—со
a+ioo
/W-й $ F(p)eptdp>
a-ico
что и требовалось доказать.
§11. Достаточное условие для того, чтобы
аналитическая функция была изображением
Теорема. Пусть F (р) — аналитическая функция
в полосе Rep > sQ и при всяком а^> sQ**
+00
1) J | F (а + $<з) | ds сходится,
-00
2) F(p)~+O при Re р>а, |р|-->4-оо.
Тогда F (р) является изображением, причем оригиналом
будете
а+гоо
F (р) e₽f dp,
оо
а-1
где а —какое-нибудь действительное число, большее $0.
Доказательство. Сперва заметим, что опре-
деление / (/) не зависит от выбора числа а.
Действительно, интеграл от F (р) ept по прямоуголь-
нику, ограниченному прямыми 5 = а, $ = ах, о = ± Ь,
где а и аг больше $0, равен нулю по теореме Коши, но ин-
тегралы по горизонтальным сторонам стремятся к нулю
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
323
$ 11]
в силу условия 2) при b ->• оо. Следовательно, в пределе
найдем, что
a+ioo ch+ioo
a-ioo ai-ioo
Из выражения для / (/) находим!
+оо
Л /»
1/(01 i +
—ОО
при всяком а > $0; следовательно, / (/) есть оригинал с по-
казателем ростаs0. Пусть Rep0 > sQ и s0 < Rep0.
Имеем:
+oo	+oo	a+ioo
/ (i) ert* dt = e~P^ dt F (p) ept dp =
0	0	a-ioo
= A-	fa F (a + io) eiof da —
= J- ( F (a + la) da ( e(<»+i»-Po)« dt,
J	J
—оо	0
причем изменение порядка интегрирования законно, так
как при — оо < a < + оо, 0 Z < + оо имеем5
| F (а +	| = |F (a + io) |	(Wo—a)tf
+©О	+ОО
а интегралы J | F(a + io)|do и j) e-(R®p0-a)f ц сходятся.
—оо	О
Но
+ОО
\ e(a+ia-Po)f fa == ----£----
J	Pq — a — i<s 9
о
следовательно,
+oo	+oo	a+ioo
\f(t)e-p<fdt = 4Л	da = 2Hi /(Pp" dp-
«Л J Pq d	«Л» J Po p
0	-oo	a-ioo
324
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ-V
Пусть Я
лежащая в
ресечения <
(рис. 68).
и прямой
t > |р0 | и CR — дуга окружности | р | = Я,
полуплоскости Rep ;> я, а ± ib — точки пе-
окружности | р | = Я с прямой Rep = я
Внутри сегмента, ограниченного дутой CR
Rep = я,
аналитическая функция
имеет только одну особую
точку р0 (простой полюс); следо-
вательно, по теореме о вычетах и
правилу вычисления вычетов от-
носительно простого полюса (см.
гл. III, § 17) находим:
1 е Р (р) л т>	F (р)
я—. Л —dp = Res —— =
— ро г р-р»
= F(Po),
rjjfi С контур сегмента. Левая часть равна сумме инте-
грала вдоль хорды и интеграла вдоль дуги окружности.
Первое слагаемое равно
a-ib	a+ib
1 f Р (Р) dp 1 ? F (р) dp
2лг J	Р — Ро	J	Ро —	Р
a+ib	a-ib
и при R + ©о будет стремиться к
а+гоо	+оо
Si
ZJtl J	ро — Р	J
а-гоо	о
тт	С F (р) dp
Покажем, что второе слагаемое \ —~ при
CR
R ->+ оо будет стремиться к нулю. В самом деле, пусть
М (R) — максимум модуля F (р) на С в, тогда
|J_C ^(рМр!^- 1 ММ о,п Д
|2я« J р-ро |2я я-|р0Глл “ Л-|ро|
CR

при Я -> + оо, ибо по условию теоремы М (Я) -* 0.
’ § 41J
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
325
Таким образом, равенство
+00
в пределе при /?->+оо дает f (t) e~p,f dt = F(p0). Этим
о
+00
доказано, что при Rep > $0 имеем F(p) =	dt
о
и, следовательно, / (t) ?=* F (р),
что и требовалось доказать.
Лемма Жордана.
Пусть Сп(п = 1,2, ...) — бес-
конечная система окружностей
с центром О и неограниченно
возрастающими радиусами, а — •
какое-нибудь действительное
число, Гп — часть окружности
Сп, расположенная в полуплос-
кости Rep а (рис. 69). Тогда,
если F (р) непрерывна на совокуп-	Рис. 69.
пости дуг Гл и F (р)	0 при р
на Гп, р -> оо, то lim \ F(p)eptdp = 0 при каждом
П-*оо J
1П
г>0.
Доказательство. Оценим модуль интеграла
F(p)e»ldp,
Г(й,а)
где Г (R, а) — часть окружности радиуса R > | я| с цент-
ром О, расположенная в полуплоскости Rep а, и
F (р) — непрерывная функция на Г (R, а), если t > 0 и
(р) |	8 на Г (R, а). Имеем (рис. 70);
2те-а
F(Rei6) etR‘l9Riei9 dQ | <
2те-а	п-a	те-a
^eZ? giRcose J0 = еД J е-еясо8Ф ₽. 2sR g-mcos?
a	a-те	0
326
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
Пусть сперва а 0. Тогда
л/2	п-а	п/2	л/2-а
-J-	^-/Bsincp ^ф	£*Й8Й1ф^ф
0	л/2	0	0
g-tBcoscp ==s
о
(в первом и втором интегралах
правой части <р заменено соответ-
ственно на — ф и -у- + ф).
Но
sm ф > — ф, sm ф ф
при 0^ф<4~,
следовательно,
,	. а
arsln s-
-а	+00	R
J g-tRcos<?> йф<^ J е п tR<P Йф + в*йфЙф =
О	0	-оо
tR arcsin^-
= Л_ + «_______L<_L/2L + eF°''
2tR	tR ^tR \ 2 e
a
n	arcsin -o-
• d	Jrt Л
учитывая, что R arcsin = a--------------5- a.
tl	CL	a
1Г
Таким образом, при a О
I F(P)ePldp\<C-^-(n + 2e^aty
Г(Й.а)	'
Л-4Х	л/2
Если a^O, то J е-^созФ^ф^ , и тогда
о	о
I Р(р)ё»1 dp|
Г(Й, а)
Итак, во всех случаях, если | F (р) | < в на Г (R, 'а), то
| F (р) еР1 dt |	еЛ (t, a),
Г(Й,а)
(5.52)
t и] ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ	327
где
Доказываемая лемма непосредственно вытекает из не-
равенства (5.52), ибо если Мп есть максимум |F (р) ] на Гп,
то в силу (5.52)
К F(p)ePfd#|<J/nX(«,a),
"п
но Л/п -> 0, следовательно,
\ F (р) epf dt —> 0 при п-»-{-оо,
* п
что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть F (р) — мероморфная функ-
ция на всей плоскости комплексного переменного р, обла-
дающая свойствами:
1) при Rep > $0 она удовлетворяет условиям теоремы
данного параграфа;
2) существует система окружностей Сп с неограни-
ченно возрастающими радиусами, не проходящих через по-
люсы и таких, что F (р)	0 при р на Сп, р —> ос.
Тогда F (р) является изображением, причем оригина-
лом будет:
'	+00	Vn
/(0= lim 2	Res(F(p)eH=	3	3	Res[F(p)ep(]
п-*°° fc=l	p/f	fc—Vn_j+1	Pfc
(5.53)
a>o),
где рг, p2, ... — полюсы F (p), расположенные в порядке
неубывания модулей, vn — число полюсов, лежащих внутри
Cn, v0 = 0. В частности^ когда все полюсы простые, имеем!
vn	+оо
/(0 = lim 3ePlt'ResF(p)= 2 2 *pfcfResF(p)
мк=:1 pR	n=i /£=vn_1+i Pk
(t > 0).	(5.54)
328	ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА	1ГЛ. 1*
Доказательство. В силу теоремы, доказан-
ной в настоящем параграфе, F' (р) является изображением,
причем оригиналом будет:
a+ioo
/(0 = ^ 5 F(P)e*dp (f>0),
а-4оо
где а — какое-нибудь число, большее $0. Пусть Гп —
часть окружности Сп, пробегающая в полуплоскости
Rep а, и пусть а ± i&n —концы Гп. По теореме о вы-
четах (гл. III, §17)
e+ibn
( F(p)epfdp-|-_L j F(p)e₽'dp= 3 Res [/?(/>)<?*].
аЛьп	Гп	k=l р*
Если £>0, то при л-* оо первое слагаемое левой^
части стремится к / (/); а второе слагаемое в силу леммы
Жордана стремится к нулю, следовательно, в пределе по-
лучим искомую формулу (5.53).
Если полюс рк — простой, то
Res [F (р) е&] =	Res F (р),
Pfc	Рк
поэтому в случае, когда все полюсы рк — простые, фор-
мула (5.53) переходит в формулу (5.54), что и требовалось ч
доказать.
§ 12.	Об одном обобщении преобразования Лапласа
Если в преобразовании Лапласа
4-00
/•(?) = $
о
передать роль целой функции е~р некоторой другой функции
&(р), удовлетворяющей надлежащим требованиям, то возникает
преобразование вида
+«>
F(p)=3 £
о
которое мы ниже назовем ^-преобразованием функции f (/), употреб-
ляя при этом записи
4-00
/ (0 Z* Р(р); К [/(«)] = J f(t)k(pt)dt.
о
$ 12] ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 329
Пусть А (р)— какая-либо отличная от тождественного нуля
аналитическая функция в полуплоскости Re р > 0, для которой
существует ограниченная положительная иевозрастающая функция
х ($) на (0, + оо), стремящаяся к нулю при s-» + оо и удовлетво-
ряющая неравенству
[ A (s + fa) | < х (s) при 0 < s < + оо, — оо < a < + оо.
Легко видеть, что если х (s) существует, то среди х (s), удовлетворяю-
щих отмеченным требованиям, есть наименьшая. Будем предпола-
гать х («) наименьшей из возможных — тогда х ($) однозначно
определяется по к (р). В случае к (р) — е~р очевидно, что х (s) =
= e~s.
Пусть / (f)— комплекснозначная функция на (0, + оо) (для
простоты будем предполагать ее непрерывной). Если положитель-
ное число s таково», что несобственный интеграл | / (f) | х (si) dt
о
сходится, то числа, большие s, обладают тем же свойством, откуда
следует, что либо найдется такое положительное число s0, что при
s > $0 упомянутый интеграл сходится, а при 0 < $ < $<> расходится
($0 назовем показателем роста функции / (f)), либо упомянутый
интеграл сходится при всех s>0 (тогда положим s0 = 0), либо
упомянутый интеграл расходится при всех $ > 0 (тогда положим
50 = + оо). Из § 1 следует, что в случае s0 < + оо
+со
F(P) = J f (t) к (pt) dt
о
будет аналитической функцией в полуплоскости Re р > s0. Функ-
цию F (р) назовем к-преобразованием функции / (t).
При Re р —» + оо имеем F (р) -* 0. Это легко обнаруживается
с помощью теоремы, доказанной в начале § 8.
Рассмотрим некоторые свойства ^-преобразования.
1)	Если / (t) 2Х F ( р), то kf (t) kF (р) (к — любое комплексное
число). В самом деле,
4~оо	4-00
К [%/ (t)] - j V (0 * (/>«) dt = К / (t) к (pt) dt = XK[f (t)].
о	о
2)	Если f (t) 2£ F (p), ф (i) 2^ Ф (p), то / (0 + Ф (0 2$ F (p) +
+ Ф (p)*
В самом деле,
JT[/(0 + <P(01= $ [/(0 + Ф (t)\ к (pt) dt
о
4-co	4“°°
= 5 f(t)k(pt)dt-\-	=	+
330
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
3)	Если / (0 2Х F (р), то / (а0 F ^"^(а — любое поло-
жительное число). В самом деле,
-J-oo	4-оо
С	1 С / pt\ 1	/ р \
JT[/(aOJ= \ f(at)k(pt)dt=— \ f(t)	=— Л-f-l.
О	о
4)	Пусть / (t) непрерывно-дифференцируема на (0, + оо),
причем / (0 и tf (0 имеют показатели роста < + оо. Тогда из
/ (0 ~ F (р) следуют двойственные соотношения
- tf (0 [pF (р)]', [tf (0У -pF' (р).
Доказательство. Пусть $0 — наибольший из показате-
лей роста /(0 и tf (0, пусть —• tf (0 ~ Ф (р). Тогда при s > $0
имеем
-j-oo	-J-00
J(s)= J
о	0
+«>
«F(S)= J f[y-)k(t)dt,
0
4«oo	4'°°
[«/(»)]'=- J	= - $ */'(*) М»0« = Ф(»).
0	0
откуда видно, что [pF (р)]'= Ф (р) при В© р>$0, ибо эти аналити-
ческие при Йе р > з0 функции совпадают при р — s s0. Таким
образом, — tf (t) [pF (p)J', но тогда
[tf (01' = f (0 + tf (t)^F (p) [pF (p)]' = — pF' (p).
t
If
5)	Пусть/(0 и — \f (и) du имеют показатели роста < + оо.
о
t	оо	со
1	С	С	р (я) /	с
Тогда из f (0 ~ F (р) следует ~ \ f (м) du _>	- dq ^где по-
о	р	р
р
нимается как lim при Re Р->4-оо j .
р
t
Доказательство. Полагая ф (0 = -у- (и) du Ф(р),
о
получим [<ф (0]' = f (0, откуда в силу свойства 4
р
F (р)	С F (а}
-P^(P)^F(p), ф'(р) = --^
Ро
$121 ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 331
ио Ф (р) —» 0 при Re р —» + со, следовательно,
со	оо
f	F (q)	f	F(q)
C=\-^-dq, ®(p)=\—~~dq.
v	Ч	и	Ч
Ро	Р
Пример 1. Если х ($) таково, что несобственный интеграл
4-00
\ s°x (s)ds (а > —1) сходится, то степенная функция ta имеет
о
нулевой показатель роста, ибо при любом $ > О
4-е©	-f-оо	4-т
‘С	С / t \а dt If
, tan(st)dt = }	) х(0 — =	) *ах(0^<+оо.
оо	о
Пусть ta ~ F (р)> Так как
4-00	4-00
F (s) = tak (st) dt = ” tak (t) dt =	(С — постоянное),'
о	0
TO F (p) = C/pa+1, ибо обе части равенства аналитичны при Re р >0
и совпадают при положительных значениях р. Таким образом,
4-00
С	С
где С- tak(t)dt (а >—•!).
р	о
Пример 2, Если х (s) такова, что несобственный интеграл
4-00
\ х ($) In s ds сходится, то логарифмическая функция In t имеет
I нулевой показатель роста, ибо при любом $ > О
4-ое	4"00
f	С	I	t | dt
\ | In 11 x (st) dt = \ In — x (t) — =
о	0
4-00	1
If	x (0) f
/	«®~ \ | In J — lns|x(O dt <——\ | In 11 dt +
|	о	о
4~oo	4“°°
If , I In s I f
+ — \ x (t) In t dt + —-— \ x (t) dt < + oo.
1	о
332
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. У
Пусть In 1Р (р)- Так как
4“°°	+°°
0	I f
Р ($) «в \ In t к (st) dt и — \ (In t — In s) к (t) dt =»
о	о
A Blns л n
= — + —-— (А, В — постоянные),
A BLnp
то P (p) = “ + —-— ? ибо обе части равенства аналитичны при
Re р > 0 и совпадают при положительных значениях р. Таким
образом,
_ t А В Ln р
4-°°	у
где А =	k(t)dt.
о	о
Условие регулярности ^-изображения на бесконечности сходно
с тем, что было в случае преобразования Лапласа. Соответствующие
fc-оригиналы образуют класс целых функций, зависящий от к (р),
который в случае к (р) == е"^ становится классом целых функций
экспоненциального типа.
Наложим на х ($) следующее ограничение:
4-00
\ sn и (s) d$ < + оо при n=0, 1, 2, ...
о
4-о°
Тогда \ tnn (ts) dt<+°o при каждом $ > 0, ибо
о
4"0°	4-°°	4-оо
5 *Пх(««)Л== (‘4")Пх^'7' = S tn*(!)dt< + oo.
0	0	о
Введем в рассмотрение числа
4-00	4-0°
Afn= tnk(t)dt; М*= tnx(/)dt;
О	о
(очевидно, что Л/* > 0).
Теорема. Если все Мп =/= 0 и числа	ограничены
в совокупности, то всякая функция F (р), регулярная в бесконечно
удаленной точке и равная в ней нулю, является к-игображением
некоторой целой функции f (t).
со
Доказательство. Пусть Р (р) = 2 ПРИ । р
п	1 &
По условию Мп /1 Мп | < С при всех n (С — постоянное).
1 ед ов одном обобщении преобразования лапласа 333
Покажем сперва, что степенной ряд
нечный радиус сходимости. Имеем
оо
при
НО, с другой стороны,
при любом *0 >0-
4-00
Так как левая часть -^0 (если s> CR), а \ х(г0с#>О$ то
h
оо
ап+1 ЛП Л	„ V art+l tn
— t” —* 0 и, следовательно, степенной ряд xi f всюду
сходится и изображает некоторую целую функцию / (i).
Покажем далее, что несобственный интеграл
4~оо 00 t
$ sfeb'-oo-"
о о
сходится при s > CR. Имеем при любом Т > О
tnn (st) dt
1 I gn+i |
C 21 / s \n+i
° \o)
< + °°
при $<CRt
что и доказывает сходимость упомянутого интеграла. Этот интеграл
334
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
мажорирует несобственные интегралы
Ц-оо
J / (0 & (р0 dt, fN (t) к (pt) dt (р = 5 + fa),
о	о
N а
где fN (t) =	-‘у’" *П (W — любое натуральное число), и на каж-
о
дом конечном сегменте [О, Г] fN (t) равномерно стремится к f (t)
при ДГ —> оо, поэтому, на основании теоремы, доказанной в начале
§ 8,
4~ОО	4-00
/л (0 *(₽*)<** “♦ J f(t)k(pt)dt при Rep>C/t
о	о
4-00	4-00
Но j /jy (0 (р6 dt =	Мп * *	=
о	оо
== V. \ tnk (pt) dt = 1?}—что стремится к F (р) при
л-j тп	“ n+i
оо	0 ?
4-00
JV -> оо^ если |р|>R. Этим доказано,' что F (р) » J / (t) к (pt) dt
о
при Re р> CR, учитывая, что С>1.
Из доказанной теоремы следует, что если к (р) таково, что все
п ___________________________________________
\ sn х (s) ds < + 00»все Мп	0 и числа 1/ ЛГ* / | Мп | ограничены
в совокупности, то каждая система комплексных чисел ап (1<п<
< + оо), с ограниченными в совокупности у | ап |, порождает
целую функцию^ tn с показателем роста < + оо (при
о п
этом разным системам комплексных чисел ап соответствуют разные
целые функции). Класс этих функций назовем к-классом целых
со	со
функций. Соответствие V. tn^ V.-— взаимно однозначно ото-
мп	1 Рп
бражает Л-класс целых функций на класс всех аналитических функ-
ций, регулярных в бесконечно удаленной точке и равных нулю
в ней.
В случае к (р) = е~р имеем Мп = Мп = п\ В этом случае
Л-класс целых функций совпадает с классом целых функций экспо-
ненциального типа, как это усматривается из § 8.
ПРЕДМЕТНЫЙ	УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа 279	Лемма Римана для конечного интер- вала 15 Шварца 222
Векторная линия 99 — трубка 100 Вихрь 115 Вычет 189	Нуль аналитической функции 181 Операции 2-го порядка 118 Оригинал 280
Гармоника простая 10 Градиент 86	<— с изображением регулярным в бесконечности 304 		рациональным изображением 289
Дивергенция 109	Ортогонализация системы функций 59 Особая точка аналитической функ- ции 185
Задача Дирихле 228	•	, полюс 185 		, существенно особая 185 		устранимая 185
Изображение оригинала 280 Индикатриса вращений 203 — растяжений 203 Интеграл комплексной функции дей- ствительного переменного 160 — криволинейный 89 		от вектор-функции 97 —• поверхностный 101 		от вектор-функции 108 — типа Коши 171 — функции комплексного перемен- ного 160 Фурье двойной в комплексной форме 53 в		 —	тригонометрической форме 50 *	для нечетной функции 54 —	четной функции 54 	простой в комплексной фор- ме 52 —	тригонометрической форме 50 Интегральный косинус 267 — логарифм 267 — синус 267	Отображение дифференцируемое 201 конформное области на область 213 	1-го рода 207 		2-го рода 207 невырожденное 202 ^реализуемое линейной функцией Период функции 9 Поверхность уровня 87 Показатель роста оригинала 279 Поле безвихревое fl6 —	векторное 96 —	потенциальное 98 —	скалярное 85 —	соленоидальное 111 —	центрированное 99 Полиномы Лагерра 62 —	Лежандра 62 Чебышева 62 —	Эрмита 62 —	Якоби 62 Порядок аналитической функции в точке 187 Поток векторного поля 109 Преобразование Лапласа 280
Координаты криволинейные 121 Косинус-трансформация 55 Коэффициенты Ламе 122		 обратное 321 — Меллина 320 	обратное 320 — Фурье 318 	 обратное 319
Лемма Жордана 325 Римана для бесконечного интерва- ла 46	Принцип аргумента 198 — максимума для уравнения тепло- проводности 43 *	модуля 200
336
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
. Производная вектор-функции ска-
лярногошеремекяого 81
комплексной функции действи-
тельного переменного 151
«— по направлению 86
— функции комплексного перемен-
ного 152
Производящая функция системы бес-
селевых функций с целыми индек-
сами 255
-------функций 254
Теорема Морера 168
—	о -вычетах 189
---логарифмических вычетах 191
об устранимой особой точке гар-
монической функции 234
—	Пикара 187
— Римана — Каратеодорп 222
—	Руше 198
—	Со ходкого 187
— сравнения Штурма 258
Точка бесконечно удаленная 187
Работа векторного поля 98
Разрывный множитель Дирихле 56
Ряд Лорана 184
— степенной 137
Тэйлора 179
Фурье в комплексной форме для
функции любого периода 33
-------------------периода 2л 25
--------------------нечетной функции любого пе- >
риода 31
----------периода 2л 28
»---по ортогональной системе фун-
кций 58	v
----функции, заданной на сег-
менте 33
j------любого периода 31
i------г периода 2ft 13
>----- четной функции любого пе-
риода 31
----------периода 2л 27
— Фурье — Бесселя 261
Свертка функций 286
Символика Гамильтона 120
Винус-трансформация 55
Система функций задачи Штурма —>
Лиувилля 69
—	замкнутая 66
—	ортогональная 57
----ортонормированная 57
Сопровождающий трехгранник про-
странственной кривой 83
Спектральная характеристика 319
Среднеквадратическое уклонение 64
Сходимости кольцо 141
круг 139
радиус 139
Теорема Абеля 137
Гарнака 232
—	Гурвица 199
»— единственности для аналитиче-
ских функций 181
-------гармонических функций 227
*	— Коши 164
—	— для сложного контура 165
Лиувилля 181
*---для гармонических функций
233
Уравнение колебаний струны 36
— Лапласа 158
-	— теплопроводности 40
У	словие Дирихле 18
—	Липшица 19
— независимости криволинейного
интеграла от формы пути 93
Условия Коши — Римана 155
Формула Дюамеля 289
—	Коши интегральная 170
—	Остроградского 107
---в векторной записи 109
*	— Стокса 114
---в векторной записи 115
—	Эйлера 143
Функция аналитическая 157
—	бесселева 1-го рода 247
—	— 2-го рода 249
бета 237
векторная скалярного перемен-
ного 81
—	весовая 56
гамма 236
—	гармоническая 158
кусочно-гладкая 21
—	кусочно-непрерывная 21
—	мероморфная 187
—	нечетная 25
^-однолистная 211
периодическая 9
—	ступенчатая 297
—	целая 181
— — экспоненциального типа 307
четная 25
Циркуляция векторного поля 98
Элементарные функции комплексно-
го переменного	t
,_________  ,	гиперболические 143
_ ---------,	логарифмическая 147
___________,	обратные гиперболи-
ческие 149
___________— тригонометрические
148________’	4 /
—---------,	показательная 143
___________t	тригонометрические	143