ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ MATEMAT ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ И СТУДЕНТОВ ВТУ
W S О я со S
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
Н. И. КОЖЕВНИКОВ, Т. И. КРАСНОЩЕКОВА, Н. Е. ШИШКИН
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ТЕОРИЯ ПОЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Под редакцией А. В. ИГНАТЬЕВОЙ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебного поеобия для высших технических учебных заведений
И 3 Д А Т Е Л Ь С Т ВО <ttA У К А» ДОС КВА 1984
М7.2
KM
УДК 517.6 (076.1)
АННОТАЦИЯ
Книга включена в подсерию «Задачи и упражнения» широко известной серии «Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов», содержащей различные дополнительные вопросы к общему втузовскому курсу высшей математики. Материал задачника приспособлен к книге П. И. Романовского «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа».
Предназначена для студентов старших курсов и аспирантов высших технических учебных заведении.
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................  4
Глава I. Ряды Фурье и интеграл Фурье..................... 5
§ 1.	Тригонометрические ряды Фурье................... 5
§ 2.	Ортогональные системы функций и ряды Фурье по ним 11
§ 3.	Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье по методу А. Н. Крылова........................ 18
§ 4.	Практический гармонический анализ.............. 21
§ 5.	Применение рядов Фурье к решению дифференциальных уравнений........................................ 26
§ 6.	Интеграл Фурье. Преобразование Фурье........... 28
Глава II. Элементы теории поля......................... 35
§ 1.	Скалярное поле. Градиент...................... 35
§ 2.	Векторное поле. Операции первого порядка...... 38
§ 3.	Символика Гамильтона. Операции второго порядка.
Векторные операции в криволинейных координатах . . 45
§ 4.	Смешанные задачи из теории поля............... 50
Глава III. Аналитические функции......................  55
§ 1.	Ряды с комплексными членами. Степенные ряды.
Элементарные функции комплексного переменного . . 55
§ 2.	Производные и интегралы функций комплексного переменного......................................... 62
§ 3.	Ряды Тейлора и Лорана ......................... 70
| 4.	Особые точки.................................. 77
§ 5.	Вычеты и их приложения......................... 83
§ 6.	Конформные отображения......................... 90
Глава	IV. Специальные функции....................... 97
1.	Гамма-фуикция и бета-функция................... 97
§ 2.	Бесселевы (цилиндрические) функции.............100
§ 3.	Интегральные функции. Интеграл вероятностей. Интегралы Френеля. Эллиптические	интегралы............107
4. Н	екоторые системы ортогональных многочленов ... 116
Глава V. Преобразование Лапласа........................123
§ 1.	Преобразование Лапласа и его свойства.........123
§ 2.	Решение обыкновенных дифференциальных уравнений операционным	методом..........................128
§ 3.	Ступенчатые оригиналы и их изображение.........134
§ 4.	Решение линейных уравнений в конечных разностях операционным	методом..........................140
Ответы.................................................142
Приложение. Таблица оригиналов и их изображений.........179
Литература............................................_	. 182
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач составлен на основе теоретического материала, изложенного в книге П. И. Романовского «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и Специальные функции. Преобразование Лапласа», Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1964.
Основные сведения и формулы приводятся в начале каждого параграфа. Задачи более сложного содержания снабжены указаниями, а некоторые из них, отмеченные звездочкой, решены. Многие задачи настоящего сборника взяты из «Сборника задач по дополнительным главам курса математического анализа» (Оборонгиз, 1959) тех же авторов, который был использован в практической работе со студентами ряда втузов.
Мы приносим большую благодарность товарищам, высказавшим свои замечания к «Сборнику» 1959 г., и будем признательны всем, кто своими замечаниями поможет устранить недостатки данного сборника.
Глава I, §§ 3,4 главы V составлены Т. Й. Краснощековой. Главы П, III, §§ 1,2 главы V составлены Н. И. Кожевниковым и Н. Е. Шишкиным. Глава IV составлена Н. И. Кожевниковым.
Всё замечания и пожелания просим присылать по адресу1 Москва, A-8Q, Волоколамское шоссе, 18. Кафедра математики МАИ. ,
Авторы
ГЛАВА I
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. Тригонометрические ряды Фурье
Теорема разложения. Если/ (х)Периодическая функция (периода Т = 21), кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на сегменте длины 21, то тригонометрический ряд Фурье функции f(x)
nit , , ня ап cos —j- xA-bn sin —у x
где
i
an~~j / (x) cos --y x rfx, n = Q, 1, 2, ..., -i
i
bn =s у f f(x) sin x dx, n = 1, 2, ..
-i
(1)
сводится к f(x) в каждой ее точке непрерывности и сходится к --- ~	Д* А9).. (среднему арифметическому предельных
<	2	-
значений справа и слева) в каждой ее точке разрыва. Таким образом, в каждой правильной точке х (т. е. точке, в которой
f (х) =	, и> в частности, в точке непрерыв-
ности / (х)) рассматриваемая функция f (х) разлагается в ряд Фурье
СО	г		•
v Й0 I V' (	ПК . r ' ПП \
/(•х) = -у+ Zj \ancos~i- x+bn Sin-у- xj.
Л=1
При вычислении коэффициентов Фурье отрезок интегрирования (—I, /] в формулах (1) можно заменить любым отрезком
В	РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	(ГЛ. I
[л, а 4-2/1 длины 2/. В случае четной функции /(х) формулы (1) для коэффициентов Фурье принимают вид
I
ап^~ I /(х) cos х dx, n = 0, 1, 2, ....
« •/	»	(t)
о
6„ = 0, л= 1, 2, ...
а в случае нечетной функции /(х)
ая = 0, п — 0, 1, 2, ...,
i
,	2 /* И \  П-Л J 1 О	(3)
Ьп = -у / f (х) sin -j- xdx, п = 1, 2, ...
6
Если функция / (х) определена иа интервале (в, а 2Z), а — любое число, кусочно-монотонна или кусочно-гладка на нем, то в каждой правильной точке х этого интеграла ее можно разложить в ряд Фурье оо
«о . V	Л* , .	, ПК
•у+ Zj в„СО5-у-Х-+-Йя81П -у- X,
Л=1
а+21
4я = -| У* / (х) COS X dx, 71 = 0, 1,2,..., а
0 + 21
Ьп — у У* f (х) sin х dx, л=1,2,..., а
являющийся рядом Фурье для периодического продолжения функции /(х) на всю ось Ох.
Функцию /(х), кусочно-монотонную или кусочно-гладкую на интервале (0, /), можно в каждой правильной точке разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам. Для этого достаточно продолжить функцию f (х) четным или соответственно нечетным образом иа интервал (— I, 0) и для полученной на интервале (— I, I) функции составить ряд Фурье. Коэффициенты Фурье будут прн этом вычисляться соответственно по формулам (2) или (3).
Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье для функции / (х), периодической (с периодом Т — 21), а также для функции /(х), заданной на интервале (—I, I), имеет вид
— ОО
« П
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
7
где i 1 /» _/ '
Cn~^i I 1 dx’ п = ± 1, ±2, ... -I
При этом
- _^о Р - Д« —„	... ^п + ^П „	. 9
*•0 —“ 2 * ьл 2	*	—п —	2	’	*•в * ’	• • •
1.	Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2тс) функцию f (х), определенную на сегменте [— тс, тс] равенствами:	'
	Ср	— тс < х < 0,
/(х) =	с2,	0 < х < тс,
	ci 4~ са 2	, х — — тс, 0, «
Воспользовавшись полученным разложением, найти сумму
ОО
пЯЛа У 1)Я+1
ряда ^-2—р.
л= 1
2.	Записать ряд Фурье периодической (с периодом Т — 2тс) функции /(х), определенной равенствами:
/(х) =
3.	Построить графики и разложить в ряды Фурье четные периодические (с периодом 2тс) функции, определенные на сегменте (0, тс] равенствами:
1) /(*) =
х, 0<x<-J,
п 1С
2" ’ У х 1с’
к. , , . 2А I п •	\
2) /(х) = - (-2 - *)•
0 < х < «.
8
 РЯДЫ ФУРЬЕ М ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
п л. I
4. Разложить в ряд Фурье'на интервале (0, 2те) следующие функции:
2) /(х) = хг.
Построить графики сумм полученных рядов.
б. Разложить функцию f (х) — х2, 0 х < те, в ряд Фурье: 1) по косинусам кратных дуг; 2) по синусам кратных дуг.
Пользуясь полученными разложениями, найта оуммы рядов:
СО	СО	00
V	1	V	(—Оя+ .	V	1
Zj п2 ’ Zi п2 ’ Zi(2n~iy' л=1	л=1	п-1
6.	Каковы будут коэффициенты Фурье для тригонометрия п
ческого многочлена Тп(х) “ У» (ай cos kx + sin kx)?
* = 0
7.	Пусть функция /(х) периодическая, / (х 4- 2те) == f (х) для любого х. Каждое из выписанных ниже условий 1) —5) характеризует некоторую симметрию кривой у — /(х). Доказать, что:
1)	Если	— / (х), то все коэффициенты-Фурье
с четными индексами равны нулю: а0 — а2 = Ь2 — ... = а2п — = Ь2п— ... ~ 0.
Указание. Кривая у = f (х) приводится в совпадение сама с собой горизонтальным смещением на те и последующей симметрией относительно оси абсцисс.
2)	Если /(х-|~те)~ f (х), то все коэффициенты Фурье с нечетными индексами равны нулю: ах = Ьг — а3 = Ь3= ... . . . — Й2Л-1 “ ^2л-1 ~	~ 0.
У Казани е. Период этой функции равен те.
3)	Если /(—х) = /(х), /(х4-те) = — f (х),
то Ьа — 0, в = 1, 2, ...; а0 = а2= ... = а2п — ... =0.
У Казани е. Использовать свойство рядов Фурье для четных функций и задачу 1).
4)	Если f (— х) = — f (х), /(х-]-«)=—f (х), то ап *= О, n — Q, 1, 2, ...; Ь2 — Ь4= ... —Ь2п— ... =0.
S1]	ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
’9
Указание. Использовать свойство рядов Фурье для нечетных функций и задачу 1).
5)	Выяснить, какие коэффициенты Фурье обращаются в нуль, если: а) /(—х) = /(х), f (хit) = f (х); б) f(—x)=—f(x), /(х + «)=/(х).
8.	Пусть f (х) — периодическая функция с периодом 2я, ап и Ьп — ее коэффициенты Фурье. Доказать, что коэффициенты Фурье ап и Ьп функции /(х-|-Л) (А = const) следующим образом выражаются через ап и Ьп:
а'п—аа cos nfi-\-bn sin nfi, п — 0, 1, 2, ....
bn — bncosnfi — ans\nnh, n — i, 2, ...
9.	Построить график и разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2я) функцию f (х), определенную на
Г я Зя 1
сегменте I — -g-l равенствами:
/(*) =
COS X,
о.
Написать для нее ряд Фурье.
10.	Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках следующие функции:
1)	cosax (а—не целое число) на сегменте [—я, те];
2)	sin ах (а—не целое число) на интервале (—я, я).
1	X
Положив я = —, написать разложение для sin ;
3)	f (х) — | х | на сегменте [—1, 1];
4)	f(x) — x на интервале (1, 3);
б) f(x) — x на интервале (а, а-|-2/), а — любое число;
6)	х, 0 < х < 1,
/(х)=	1, I < х <2,
13 — х, 2 х 4 3,
на сегменте [0, 3];
10
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
II Л. I
7) Н, — 1<х<0, /(х)== -i, х = 0,	/(х-+-2) = /(х),
х, 0 < х < 1, на всей оси Ох.
11ь Показать справедливость следующих равенств:
СО	со
।	.	2	4 V cos2nx 8 vi sln2nx
1) |8шх| = ---2--4^Т==1Г244ЯГГТ: Л=1	Л=1
оо	.
2	4 VI (_1V + 1
2) I cos X I = - + - 2j	c°s 2лх.
Л = 1
Построить графики функций | sinx|, | cos х |.
12*. 1) Представить рядом Фурье в комплексной форме периодическую функцию /(х) (с периодом 2тс), определенную для 0 < х < 2« равенством f (х) = ех.
2)	Воспользовавшись полученным рядом Фурье в комплексной форме, записать в действительной форме ряд Фурье этой функции.
13.	Разложить в ряд Фурье функцию f (х) (с периодом 2тс), определяемую следующим образом:
(О, — « < х < О, /W = le-, 0<л<„.
Указание. Воспользоваться комплексной формой ряда Фурье.
14.	Записать ряд Фурье: 1) в комплексной и 2) в действительной форме для периодической функции /(х) (с периодом 2тс), определяемой на сегменте [—тс, тс] равенством / (х) = cos у •
15.	Разложить в ряд Фурье функцию /(x) = chx на сегменте ]—тс, тс].
Указание. Воспользоваться комплексной формой ряда Фурье.
16.	Разложить в ряд Фурье функцию /(x)=shx на интервале (—тс, тс).
У к а з а н и е. Использовать комплексную форму ряда Фурье.
§ 21
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
11
17.	Убедившись, что разложение в ряд Фурье нечетной функции /(х) (с периодом 2г), определяемой на интервале (О, тс) условием /(х) =	, запишется в виде
,, х Vi sin их
Л=1
х Ф 2kw, А —целое число, доказать, что
Л = 1
Указание. Использовать условие полноты тригонометрической системы
2 со	"•
т+2(а«+$=4/ [f{x)]idx-П=1	-я
18.	Функция ТС	л
--г • — тс <Г х <С О, 4	'ч '
/(*) =
О, it Т’
разлагается в ряд Фурье (см. задачу 1) следующим образом:
yi sin (2п — 1) х 2л-1
I X | < тс.
Используя условие полноты тригонометрической системы (см. указание к задаче 17), доказать, что
СО
V 1	— “2
ZjL (2n—I)2 — 8 *
"	Л=1
§ 2.	Ортогональные системы функций и ряды Фурье по ним
Пусть в промежутке с концами а и b, а < b (а и b могут быть как конечными, так и бесконечными), задана положительная непрерывная функция р (х) (весовая функция). Будем рассматривать различные функции <р (х), непрерывные на этом промежутке
12	ряды фурье и интеграл фурье'	ил. i
и удовлетворяющие условию ь J l<f(x)]tt(x)dx<-{-co. а
Функции <f] (х) и у, (х) называются ортогональными с весом р (х) (при з (х) s 1 - ортогональными) иа рассматриваемом промежутке, если
ь
J <Р 1 (•*) ?2 (х) р (х) dx = 0. a
Система функций
(•*).••, <fn(x), ...
называется ортогональной с весом р (х) на рассматриваемом промежутке, если любые две функции этой системы ортогональны.
Система {<рл(х)} называется нормированной с весом р(х) на рассматриваемом промежутке, если
ь
f	=	^1,2,...
a
Система {<?п (х)} называется ортоиормировапной с весом р (х), если
J (-v)p(-*)	j i ( Z==*.
a
Любую ортогональную систему можно нормировать, если умножить каждую функцию ?я(х) системы на соответствующий множитель (нормирующий множитель)
------- ~--:z 1 	, П = 1, 2, . . .
±1/ J p(x)dx
(знак у корня можно брать любой).
Рядом Фурье функции f (х) относительно системы {?л(х)}, удовлетворяющей указанным выше условиям, называется ряд
У СпЧп(х), i . 0=1
f 2]	ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ фУНКЦИЙ	13
где	*
J / (х) <Рл (х) р (X)
с„=£_------------------,	„= 1, 2, ...
J [?л(х)]2р(хИх а
(для ортонормированием системы ь
Сп= f f (х) Чп(х) $ (х) dx, n=l, 2, ...). а
В этом случае записывают
f (х) ~ S СЛ (х) Л=1
(вместо знака равенства записан знак соответствия <v, так как Функция /(х) может и не разлагаться в свой ряд Фурье).
19.	Показать, что если р и д(р4=9)— целые неотрицательные числа, то функции sin(р 4-х и sin^-f--|-jx ортогональны на сегменте [0, те].
20.	Проверить, что системы функций:
1)	1, cosx, cos2x....cos rax,
2)	sinx, sin,2x, ..., sin rax, ...
ортогональны на сегменте [0, те]. Нормировать эти системы.
21.	Показать, что система функций
sinx,. sin3x. sin5x, .... sin (2га— l)x, ...
ортогональна на сегменте £о, Написать формулы для ' коэффициентов Фурье функции /(х)относительно этой системы.
22.	Показать, что система функций
eoW=i; ei,.,w=CTS“-<y<"+1>x.
sin2 -J-
02я (ra+l)sinrax —nsin (n+\)x ,	n—\ 2, ....
sin2 -y-
ортогональна на интервале (0, 2те) с весом р (х) — sin2 ту-.
14
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
(ГЛ. I
23.	Трансцендентное уравнение tgx = x имеет бесчисленное множество положительных корней tip £2, • • • • 5Я- • • • • которые являются абсциссами точек пересечения тангенсоиды y = tgx и биссектрисы у = х (рис. 1).
Показать, что система функций sinq’x, sin$2x..............sin£„x, ...
ортогональна на сегменте [0, 1].
Указание. Использовать соотиошеиие 1 Г ,	,0 .	1 Г sin (а — ₽)	sin (а 4- ₽) I
J sin а х sin ₽х dx -т [--Ър-2----=
i
о В tg а — a tg 8	, оч
= cos a cos ₽ н	(а ¥= ₽)•
24.	Многочлены Чебышева имеют вид
Т„ (х) = cos (л arccos х), n=0, 1, 2, ...
1)	Записать их в виде
Т„ (х) = 41(х +	+ (х -	.
S 21
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ
IS
Указание. Сделать подстановку x==cos0 и записать сОзп! по формуле Эйлера.
2)	Записать многочлены Чебышева при n = 0, 1, 2, 3, 4.
25.	Показать, что система многочленов Чебышева
Тя(х), п — 0, 1, 2, ...
ортогональна на интервале (—1, 1) с весом р (х) =	?.	.
Нормировать ее1).
Указание. При интегрировании применить подстановку х = cos 0.
26.	Показать, что система многочленов
//.(*) =	.	« = 0, 1, 2, ...
У 1 — хг
ортогональна на интервале (—1, 1) с весом р (х) — У1 —• х*.
Нормировать ее.
Указание. При интегрировании применить подстановку х = cos 0.
27.	Написать ряд Фурье функции /(х) = |х| на интервале (—1, 1):
1) относительно системы многочленов Чебышева;
2) относительно системы многочленов Un(x), п = 0, 1, 2, ... (см. задачу 26).
28.	Многочлены Лежандра определяются формулами:
Р (х) = -а,-1-., 	(х2 * — 1 )’1. п = 0, 1, 2, ...
п 4 ' 2я • nl dxn '	'
Написать многочлены Лежандра при л = 0, 1, 2, 3, 4. •
29.	Доказать, что система многочленов Лежандра ортогональна на сегменте [—1, 1]. Нормировать ее.
Ук'азание. Использовать (несколько раз) интегрирование по частям.
30.	Записать ряд Фурье Относительно системы многочленов Лежандра для функции /(х), заданной на сегменте 1-1. И-
1) Многочлен нормированной системы будем обозначать той же
буквой, что и соответствующий многочлен данной системы, но
с «крышей» сверху. Например, Тя(х) для Гя(х).
16
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
(ГЛ. 1
81. Для функции, определяемой условиями (0. —1<х<0, /(Х) = 11,	0<х<1,
написать ряды Фурье: 1) относительно системы многочленов Чебышева; 2) относительно системы многочленов Лежандра.
32.	Написать ряд Фурье относительно системы многочленов Лежандра для функции /(х)=|х| на сегменте 1-1. И-
33.	Многочлены Якоби определяются формулой 4“.₽>(Х)=1,
1)лрС01. и—1,2..........
где р(х) = (1— х)“ (1 Н- х)3, параметры а и {3—действительные числа, удовлетворяющие условиям а > —1, р > —1. В частности, при а = р = О многочлены Якоби превращаются в многочлены Лежандра, а при а = р = — — в многочлены Чебышева.
Показать, что система многочленов Якоби ортогональна с весом р(х) = (1—х)”(1-{-х)? на интервале (—1, 1).
Указание. Использовать (несколько раз) интегрирование по частям.
Написать выражения для Ji“’₽)(x) и Л*' ₽)(х).
34.	Многочлены Лагерра определяются равенством
{х) = ех-^;{хпе-х), п — 0, 1, 2, ...
Интегрируя (несколько раз) по частям, показать, что
7°	го, I ф k, -
I L:(x)Lb (х) е~х dx = {
/ ‘	*	I (й!)2, i — k,
т. е. что система многочленов Лагерра ортогональна с весом р(х) = е~х на промежутке [0, Н-оо). Нормировать ее.
35.	Написать многочлены Лагерра при л —0, 1, 2, 3, 4 (см. задачу 34).
36.	Написать ряд Фурье относительно системы многочленов Лагерра для функции f(x) — e'x при х > 0.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИИ
17
f 2]
37.	Многочлены Эрмита определяются равенством
/7n(x) = (-l)V —е~*. п — 0, 1. 2, ...
Написать многочлены Эрмита при п — 0, 1, 2, 3, 4.
38.	Показать, что система многочленов Эрмита ортогональна с. весом р(х)== е~^ на всей числовой оси.
39.	Написать ряд Фурье относительно системы многочленов Эрмита для функции /(х), —оо<х<-|-оо.
40*..... Найти три члена ортогональной свесом р(х) = е-х на промежутке [0, -f-oo) последовательности многочленов, полученной путем ортогонализации последовательности 1, х, х2	хп, ...
41.	Ортогонализируя систему функций 1, х, х2.....................хя......
построить четыре члена системы многочленов, ортогональных на сегменте [—1, 1].
Указание. См. задачу 40*.
42.....Написать три члена ортонормироваиной с весом р(х) — е~х1 на промежутке (—оо, -f-oo) системы многочленов, полученной путем ортогонализации и нормирования (с весом р(х) = ^-ж2) последовательности 1, х, х2	хя, ...
Указание. См. задачу 40*.
43.	Пусть система функций
<Pi(x), <р2(х)..<ря(х), ...
ортогональна с весом р(х) на промежутке с концами а и b {а < Ъ). Эта система называется полной, если для любой функции /(х), удовлетворяющей условию
ь
J [/(x)]2p(x)dx < оо. а
выполняется равенство &	оо Ь
f [/(x)]2p(x)rfx = ^c2 J [<р,г (х))2 р (х) rfx, а	п-\ а
2 Н. И. Кожевников и др.
18
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
(ГЛ. т
где сп, п=\, 2.....—коэффициенты Фурье функции f (х)
относительно дайной системы.
Доказать, что для полноты системы {<р„ (х)) необходимо и достаточно, чтобы для каждой функции /(х), удовлетво-	*
ряющей указанному выше условию, выполнялось равенство	’
ь lim f л->оо
п
й=1
р(х) dx
§ 3. Улучшение сходимости тригонометрических рядов Фурье по методу А. Н. Крылова
Приведем две теоремы, характеризующие связь между дифференциальными свойствами функции f (х) и порядком убывания коэффициентов Фурье этой функции.
Теорема. Если периодическая, непрерывная функция f (х) имеет непрерывные производные до (k — 1>-го порядка включительно, а производная Л-го порядка удовлетворяет условиям Дирихле, то коэффициенты Фурье функции f (х) будут порядка не ниже ——.
пй
При этом ряды Фурье для всех производных функции f (х) до (Л—1)-го порядка включительно могут быть получены почленным дифференцированием ряда Фурье для /(х).
Теорема. Если коэффициенты тригонометрического ряда
4- (ап cos пх 4- bn sin пх) порядка не ниже -Ц (й>2), то л=1	п
сумма ряда — непрерывная функция периода 2я, имеющая производные до (k— 2)-го порядка включительно, которые могут быть получены последовательным дифференцированием данного ряда.
Из этих теорем видно, что более удобны тригонометрические ряды с быстро убывающими коэффициентами, так как их можно почленно дифференцировать, и, кроме того, в этом случае несколько первых членов ряда достаточно точно определяют его сумму. В связи с этим ставится следующая задача. Дан тригонометрический ряд (обозначим его сумму через f (х))
СО
f (х) = -у- 4- 2 cos пх 4- bn sin пх).
Л=1
Требуется выделить из данного ряда такой ряд, сумма которого ? (х)
известна, чтобы оставшийся ряд У (ап cos пх 4- $п sin пх)< т> е- РЯД>
Л=1
13}	УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ
19
удовлетворяющий условию
оз
/(х)=?(х)4- 2 (ал COS пх 4~ ₽я sin пх), .
П=1
имел достаточно быстро убывающие коэффициенты. Если поставленная задача решена, то говорят, что улучшена сходимость данного ряда. Так как обычно f(x)~ сумма данного ряда — не известна (в конечном виде), то и функция <р(х) определяется, исходя из ряда, а для этого нужно иметь набор тригонометрических разложений.
Таблица некоторых тригонометрических разложений приводится в конце параграфа.
44.	Улучшить сходимость данных тригонометрических рядов, доведя коэффициенты ряда до порядка . (Для каждого ряда значение k указано в скобках.)
1*) /(x)=2^Tsin”X	= 5);
л=2 оо
2)	/(х) = 2 ЙППГ81п/гх (* = 6); СО
3)	f (х) = 2 (— 1)я+1 -jJ^-sin пх (й = 2); /2 = 1
ОО
4)	/(x) = 2-^Tsinnx (Л = 4); /2=1
оо
5)	Х(х)==21т?' (Л = const, а > 0) (k = 4); /2=1
со
6)	/ (х) = 2 (— 1 )п sin пх (k = 5); л=2
" nsln-^-
7)	f (X) = \ - n2_ cos пх (k = 5); /2=2
2*
20	РЯДЫ ФУРЬЕ-И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ	[ГЛ, I
8) f (х)
sin пх
9) f (х)	cos пх
n»l
(А = 5),
(А = 4).
Таблица некоторых тригонометрических разложений:
ОО
Sin ПХ те — X п _
0 2л —Г~=~2“’	0 < х < 2те;
л= 1
оо
V1 COS ПХ , (п , X \ п „
2) 2^------— = —Ini 2sin-yj-I >	0<х<2те;
п СО	X
3)	= — У* 1п (2 sin -у )dx,	0 < X < 2л;
л = 1	0
оо
.. V4 cos пх _ Зх’ — бпх -J- 2л2	-	9
}	~~i?	I2~	'	°с х
п»1
•VI sin пх_х’ — Зпх24"2п2х
2d ~п’~ -	12
п=1
6)
0 < х <1 2п;
оо
V4 COS ПХ пз
п = 1
0<х<2я,
7)	-.<х<4
п»1
8)	—l)"+1.cos-”* = In^2 cos ,	— я < x < те;
п=1
9)	3^ (~ 1)П|1 sin-”* = У ln^2cosdx, —л<х<«; п=1	о
$4]	ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ	21
ОО
io>
Я=1
12)
13)
X X
— У* dx у* In ^2 cos dx, о 6
ОО
у	=	0<х<Я;
Zj 2«4-1	4 ’	’
п-0
— Л < х < п;
14)
15)
Seos (2n + 1) х___1_ х
2л 4-1	~	2 Ь2
п=0
О < х < чг;
Ssin (2n + 1) х (2«+1)2 л=0
In tg -у dx.
cos (2л + 1) х п2 — 2пх
2d (2л+1)2	~	§
л=0
со
17> £<-Т)- s"lgl+'|x --у-4-)-я=0
Л	1?
~Т<Х<’2:
ОО
181 V Г Пл cos <2» + О * _ 71	•
1 2л 4-1	“4’	2<х<2’
л = 0
§ 4. Практический гармонический анализ
Во многих случаях точное определение коэффициентов Фурье функции f (х) становится затруднительным или невозможным. Это происходит в случае, когда функция задана сложным аналитическим выражением, которое не позволяет найти значения соответствующих интегралов, а также когда функция задается графически или с помощью таблицы.
рады ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ‘
[ГЛ. 1
При этих условиях можно искать лишь приближенные значения коэффициентов Фурье. Для практических целей в большинстве случаев достаточно знать лишь несколько первых коэффициентов. Вопрос о способах приближенного вычисления коэффициентов Фурье имеет' важное значение и является содержанием так называемого практического гармонического анализа. Эти способы основаны на применении к выражениям ап и bn (л = 0, 1, 2, ...) формул приближенного вычисления интегралов. Если воспользоваться способом прямоугольников, разделив сегмент [0, 2п] иа т равных частей точ-
„ 2п _ 2я , 2п п
ками 0, — , 2 • —, ..(т — 1) • — , 2я при условии, что известны соответствующие значения функции: у0, yj.ут, то получим сле-
дующие приближенные равенства:
т-1
2 V	п 1 о
ап ——- 7, у. cos-----п, л==0, I, 2.....
л т АЛ т
*=о
т-1
,	2 V . 2Ая . _
Ьп — — У. уь sin----п, л =1,2,...
п т АЛ т k=o
Нетрудно показать, что при т = 12 (случай двенадцати ординат) для вычисления коэффициентов а0, alt blt а2, b2, а3, Ь3 можно пользоваться следующей схемой:
Уо У1	Уа	Уз	У,	Уз	Уз Ун	Ую	Уа	Уз	У?		
Сумма	Uq	^2	^3 ^4 ^5 ^6 Разность	Vi v2	v5		
	Ua U| и2 u3 u6 u5 u4	V1 v2 v3 Vs Vi
Сумма Разность	So Si s2 So	Сумма t0 i, t3	Разность	e2 a3 Xi
Получив указанные величины, можно записать: 6й0 = So -f- Sj Н" Sg So, 6a1 = Z0 4-0,866^4-0,5/2, 6и2 = Sq — Sj 4- 0.5 (Sj — s2), 6flg — tQ-------------------t2,
= 0,5aj 4- 0,866a2 4~ ®o» 6Z>2 = 0,866 (-c, 4- t2), 6ftj = aj — a2.
« 41
ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
23
45*. Периодическая (с периодом 2те) функция /(х) задана на сегменте [0, 2к] следующей таблицей:
/(0) = 27;	/Щ=32;	/(J) = 35;	/(j) = 30;
/(^) = 2б; /(4 9 = 26;	/(^-) = 20;	/(к)=18; /(19 = 30; /(|9 = 32: /(-У-9=36-
Записать для этой функции тригонометрический многочлен третьего порядка, используя указанную схему.
46.	На рис. 2 изображена зависимость касательного усилия Т на пальце кривошипа некоторой паровой машины от
угла <р поворота кривошипа. Выделить гармонические составляющие третьего порядка касательного усилия Т.
У казаиие. Сияв с графика двенадцать ординат, соответствующих значениям аргумента ?.=А-^- (k = 0, 1, 2..... 11),
получим:
70== —7200; 7, = — 300;	72	=	7000;	73	=	4300;
7\ = 0;	76	=	—5200; 7в = —7400; Т, = — 2250;
= 3850; r9 = 7600; Tte = 4500; Гц = 250.
24
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
47.	Функции /(х) и <?(х) заданы на сегменте [0,2it] со ответствующей таблицей:
X	0	6	т	т	2 т*	5
/(X)	2.3	3,2	2,1	1,6	—0,4	—0,2
?(Х)	3,042	2,134	1,273	0,788	0,495	0,370
X	тс	7тс 6	4тс		5тс Т	Нтс
	—0,4	0,3	0,7	0,9	1,2	1,6
?(Х)	0,540	0,191	—0,357	-г-0,437	0,767	2,714
Выделить указанные гармонические составляющие этих функций: 1) второго порядка для /(х), 2) третьего порядка ДЛЯ <р(Х).'
48.	Дана функция / (х) = 3-f-cos х — 5sin2x. Требуется 2п
составить таблицу ее значений для xk — k^ (& = 0, 1,..., 11). Используя схему для двенадцати Ординат, написать соответствующий ей тригонометрический многочлен второго порядка и сравнить полученный многочлен с выражением /(х).
49.	Периодическая (с периодом 2к) функция / (х) задана на сегменте [0,2к] равенством
/ (*) = 2^2- (*3 — Зтсл'2 + 2А')-
Составить таблицу значений f(х) для значений аргумента xk~k--^-, А = О, 1...........11.	Вычислить коэффициенты
Фурье ап(п = 0, 1, 2, 3) и Ал(п = 1, 2, 3) функции /(х), используя: 1) их выражение через интегралы; 2) по схеме для двенадцати ординат.
• Сравнить полученные результаты;
I <1
ПРАКТИЧЕСКИЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
25
50.	Показать, что если / (х) периодическая (с периодом 2к) функция, а сегмент [0,2к] разделен на и=в24-рав~ 2л
ных частей точками	(fe —О, 1, .... 24), соот-
ветствующие значения функции в которых ук(А=0, 1, ..., 24), то справедлива следующая схема для вычисления а„(л==0,
1, 2	 функции:	5) и bn (п — 1, .... 6) коэффициентов Фурье этой Уо У1 Уз Уз Уч Уе У4 Ут Ув Уэ У1в Ун Ун Узз Узз У31 Узо У19 У18 У17 У1в У15 Ун У13	
Сумма Разность	и0 и,	и2	и3	и4	и5	«»	и7	t Vi	V2	V3	vt	vs	vs	v7	t u.a ut u2 u3 ut us ue Uj2 Un U[q u3 u3 u7	Z3 U3	Uji Uj2 '8 V9 V14 Vt V2 V3 Vt Vi vt »11 fjo »9 V3 V7
Сумма Разность	So	s2 $з s4 $5 5б Сумма to ti h h h Ч Разность 5q	S2 Sg Sg Sg	al ®2 a3 a4 ®S aS Tj т2 X» T, Т» ' ’1 Т»
Сумма - Разность	k0 ki k2 k3	Сумма Ze Z( Z2	Разность	mi m2 П\ n2
12a, == ka 4" 4- k2 4- k3,
12a( = [Zo 4- 0,5Z4 4- 0-6124 (Z, 4- Z6)J 4-
4- [0,8660Z2 4-0,7071Z3 4- 0,3536 (Z,	Z5)l.
12а2==/04-0,8660/44-0,5/2,
12а» =s (Z, — Z4) 4-0,7071	—13 —13),
12at = (Ao — k3) 4- 0,5 (A, — A2),
12as === [Zo 4-0,5Z4 4-0,6124 (Zt 4-Ze)]—
— [0,8660Z2 4- 0,7071Z3 -f- 0,3536 (Z1 — Z5)J
12а, —- /, — Z2,
12Й! = [0,5j2 4-ae 4-0,6124 (а, + ч5)1+
4- [0,7071а34- 0,8660а4 — 0,3536 (at — а5)], 1262 = 0,5m i 4* 0,8660m2 -f- m3,	.	9
126» =a (a2 — ae) 4-0,7071 (a, -j- a, — a5), 126, =s 0,8660 (л, 4-из)>
126, ® [0,5а» 4-а» 4-0,6124 (at 4-e6)J —
126, = m, - m3.	-10'7071’’ + 0.8660a, - 0,3536 (a, - a,)).
26
РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
51. Используя схему, полученную з задаче 50, записать многочлены Фурье периодических (с периодом 2те) функций /(я) и заданных следующей таблицей:
	У»	Л	У»	У>	У.	Ун	Ув	У,	У»	У.	У»
/(ж)	200	243	223	171	123	102	100	91	50	-29	-123
Г(<р)	-7200	-4150	-300	3250	7000	7450	4300	2750	0	-2650	-5200
	Ун	Уи	У»	Ун	Ун	Ун	У17	Уи	Ую	Уг	Ум	Уи	Уа
fW	-191	-200	-143	-50	,29	50	—2	-100	-191	-223	-171	-50	91
ГМ	—7700	-7400	-4850	-2250	650	3350	6400	7600	6800	4500	2300	250	-5150
(Значения функции Т (?) сняты с ее графика. См. рис. 2.)
§ 5. Применение рядов Фурье к решению дифференциальных уравнений
52. С помощью тригонометрических рядов Фурье найти решения следующих дифференциальных уравнений:
1) у" — y — f(x), где /(х)— периодическая (с периодом 2те) функция, определенная на сегменте [—те, те] равенствами:
/(*)==
— 1, —те < х < 0,
1,	0 < х < те,
О, х — 0, —те, те;
’ 2) у" — 2у = f (х), где f (х) — периодическая функция (с периодом 2те), определенная на интервале 0 < х < 2те
равенством f (х) =s=	.
3) у" 4- у — f (х), где / (х) определена в п. 2).
$ 5] ПРИМЕНЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ’ УРАВНЕНИЯМ
2?
Указание. Разложить / (х) в рад Фурье и искать решение в виде тригонометрического ряда.
63. Методой Фурье решить следующие уравнения (описывающие колебания струны):
1*)	— ПРИ граничных условиях «(О, f) =
= и (/, f) == 0 при любом t и начальных условиях
. 4Лх (I — х) и(х, 0) =-----
и'(х, 0) = 0
на сегменте 0 < х < /;
2)	при граничных условиях и (0, f) = и (тс, t)== О
при любом t и начальных условиях .
и(х, 0) = sinx, ]
,.	.	1 на сегменте [0, it];
ut(x, 0) = sinx, J
д^и д2и
дх2 ПРИ гРаничнЫХ условиях и (0, t) — и (I, £) — О
при любом t и начальных условиях
«(х, 0) = 0>
«' (х, 0) = sin у х
на сегменте 0 х I.
64. Продольные колебания стержня длины I, у которого один конец (при х — 0) закреплен, а другой (при х = 1) свободен, определяются уравнением
д2и „ д2и dt2 а дх2 '
где и (х, t) — продольное смещение точки стержня с абсциссой х в момент времени t, и условиями 1) граничными: «|х=0 = 0, 4^1	=0 при любом t и 2) начальными: при
OX Jx = (
t — 0, и = ср (х) и ~ — ф (х). Найти функцию «(х, t).
55. Однородная струна длины I закреплена на конце х = 0, а к другому ее концу х — 1 прикреплено кольцо, массой которого можно пренебречь. Кольцо может скользить
28
РЯДЫ фурье и ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
по вертикальному гладкому стержню; оно отклонено на малое расстояние Л от положения равновесия и в момент / = 0 отпущено. Найти отклонение и(х, t) точки х струны в любой момент времени / от положения равновесия.
66. Однородная струна длиной I, закрепленная на концах х — 0 и х = I, колеблется под действием внешней гармонической силы F(x, ^) = /(x)sinwf, рассчитанной на единицу длины. Найти отклонение и(х, t) струны от положения равновесия при произвольных начальных условиях.
§ 6. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье
Теорема разложения. Если f (х) — абсолютно интегрируемая иа всей числовой оси функция, т. е. функция, удовлетворяющая условию
4-СО
J |У(х) | dx <4-со, — ОО	п	: 
кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на каждом сегменте, то ее интеграл Фурье
Ч-оо
J* [a (u) cos их b (и) sin их] du, о
где
+оо
а (и) = -1- J* f (t) cos utdt,
— оо
4-сю
J(u) = l У f(t)sinutdt, — со
равен / (х) в каждой точке непрерывности функции / (х) и равен
———в каждой точке разрыва функции / (х).
Таким образом, в каждой правильной точке х рассматриваемая функция / (х) равна своему интегралу Фурье:
СО
/(*)= У [а (и) cos их-^-Ь (и) sin их] du.	(1)
О
s 8J	ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	29
В случае четной функции / (х)
 +°°  
а (и) = ~ У* f (t) cos u.t dt, b («) = 0,	(2)
о
а в случае нечетной f(x)
+oo
a (u) = 0, b (w) = ~ У* f (Z) sin ut dt.	(3)
о
Равенства (2) и (3) можно использовать также для представления интегралом Фурье функции f (х), заданной лишь в промежутке [О, -f-oo) H удовлетворяющей в этом промежутке условиям, аналогичным тем, которые сформулированы по отношению ко всему промежутку (— оо, + со). В случае четного продолжения функций / (х) на промежуток (—со, 0) используются формулы (2) для коэффициентов четной функции, а при нечетном продолжении функции на промежуток (—оо, 0) используются формулы (3) для коэффициентов нечетной функции.
Если выражения коэффициентов а (и) и b (и) для четной функции подставить в равенство (1), то получится двойной интеграл Фурье для четной функции f(x):
4-оо	4-со
/ (х) — ~ У* sin их du. I f (Z) sin ut dt.
о	о
Положив
__ +00
? (x) —	“ У* f (0 c°s xt dt,	(4)
6
получим
4- co
f (x) = j/ ~ / <p (Z) cos xt dt.	(5)
6
Равенство (4) называется косииус-преобразованием Фурье для функции f (х)'И, следовательно, равенство (5) является косинус-преобра-зоцаиием Фурье функции (х).
Диалогичным образом для иечетиой функции получим
+ 00
? <х) — ]/~У* f (Z) sin xt dt, о
__+«>
f (x) = |/ ~ У <f> (Z) sin xt dt
6
30
РЯДЫ ФУРЬЕ и ИНТЕГРАЛ ФУРЬВ..... [ГЛ. I
— синус-преобразования Фурье соответственно для функций / (х) и <р (х).
Комплексная форма интеграла Фурье для функции f (х) имеет вид
+оо
J* с (и) d!ux du, — а>
где
+«
с (а) = J f \t)e~lat dt, — CO
с (a) = 2«	Of) = tt [e (a) — lb (a)J,	— oo < a < -f-oo.
Функция c(a) называется спектральной характеристикой функции /(л). Модуль спектральной характеристики с (а),
Ф(и)==|с(эН
называется спектром функции /(х).
Функция с (а) называется также преобразованием Фурье функции f(f). В этом случае ее обычно обозначают F (а), называют изображением функции f(t) н пишут:
/(а) 4-/(0 или /(0 4-Г (а).
Равенство
ОО
/(0 = i f F(u)elutdu,
— ОО
имеющее место в правильных точках функции / (0. называется формулой обращения преобразования Фурье.
57,	Представить интегралом Фурье следующие функции:
1)	.	1.	И<1.
/(х) = °’	Ц-| > 1.
Использовать полученный результат для вычисления оо Г Sinx .
интеграла / —-—dx. о
2)	( sgnx, Jx| < 1,
( 0,	|х|>1.
t 6} ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ	31
3)	f(x) задана на сегменте [—2, 2] графиком и равна нулю вне этого сегмента (рис. 3).
4)
I X I > 1.
и<1,
I X I > 1,
I X | == 1.
58. Функцию f(x) == е~х, 0< х < 4"°°> представить интегралом Фурье, продолжая ее: 1) четным образом, 2) нечетным, образом на промежуток (— оо, 0).
Найти значения интегралов
cos х
1 + х2
dx
и
ОО f xsinx . ./ r+^dx-о
Б9. Представить интегралами Фурье функции:
2>/W—rfjr-
У казаии е. Использовать результат задачи 58,
92	' РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬВ 	£гЛ:. i
60.	Найти функцию <р(а), если
СО
I (и) cos их du = 5—^——00 < х <4-оо. ,/	‘	, •	1 -4- X*	1
О •
Указание. Использовать результат задачи 58.
61.	Найти функцию ф (и), если
ОО
J $ (и) sin их du ~е~х. о
О < х < 4~ со .
Указание. Использовать результат задачи 59.
62.	Написать интеграл Фурье в комплексной, а затем в действительной форме для функций:
1) /(х) = е-«'-г1 (а > 0),
2) f(x) = xe~aixi (а>0).
63. Показать, что спектральной характеристикой функции
( е~ах, х > О,
/w = lo. *<0,
а > 0, является функция с (и) = .ц . спектра функции / (х).	.
Построить график
64*. Вычислить спектр прямоугольного импульса высотой Л и длительностью т (рис. 4) и построить график спектра.
У
,------*------,
I	_
Рис. 4.
65.	Вычислить спектр импульса в форме треугольника с основанием -с и . высотой Л (рис. 5) и построить график спектра.
»6]
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.'ФУРЬЕ
У казание. Функция f (х) определяется следующие-образом:
/(х) =
66.	Вычислить спектр косинусоидального импульса, вы-
резанного из косинусоиды с (рис. 6).
У казание. Функция f (х) определяется следующими равенствами:
/(*) =
h cos------,
t
О,
периодом 2т и амплитудой Л
67.	Записать преобразование Фурье для следующих функций:
1) =
2) /(0 = ^-1Н.
68.	Доказать, что если fx (f) -s- Fj («), /2 (/) -ь F2 (и), то С1/1 (0 + С2Л (О	(и) 4“ С2^2 («)> Где С1 И С2 постоянные
(свойство линейности).
69.	Доказать: если f (t) -j- F (и), то
1	a>0-
70.	Используя предыдущую задачу, найти изображения функций:
1) /(/) = <?-“''/ (а>0); 2) /(/) = /<?-“> Л (а> 0).
Указание. См. задачу 67.
71.	Доказать, что если ](/)-*- F (и), то
f (0cos«\/-ь [F(и — о>0)-4- F(«-+- «0)1;
/ (t) sin ш0/ н- IF (и — (Оо) — F(u -f- Юо)].
3 Н. И. Кюкевнико» и др.
РЯДЫ ФУРЬЕ и ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
72.	Используя предыдущую задачу, получить изображения следующих функций:
l)e~l*icos/; 2) е_|sin/.
73.	Доказать следующие свойства преобразования Фурье!
1)	если /(/)-+-F(«) и /(/) = 0 при /<0, то
/'(/)-hZzzF(«)-/(0);
2)	если /(/)-*- F (и) и /(/)== О при t < 0, то
о
3)	если f (t)-t-F (и), то
/(/ ± t^-т-e±lut,>F (и).
ГЛАВА II ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Скалярное поле. Градиент
Вели каждой точке М некоторой области пространства поставлен в соответствие скаляр у(М), то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Задавая в пространстве прямоугольную (правую) систему координат Охуг, имеем
? СМ) = <р (х, у. г) = <f (г),
где М(х, у, г) и г=ОМ-
Уравнение поверхности уровня скалярного поля
<р (М) — const или <р (х, у, г) = С.
Производная по направлению п в точке М от функции <? (М) = == Ч (*> У’ *У
_ цт У (Afi) — у (Л4)
<>п~м™м ММХ
где Mi лежит на луче, выходящем из точки М в направлении вектора и.
Если функция <f (М) = <f (х, у, г) имеет непрерывные частные производные первого порядка, то
W=»£osl+«cosH»co5|i
дп дх	' ду г'дг 1
где а,	— углы, составляемые вектором п с осями Ох, Оу, Ог.
Градиент скалярной функции <р(М) = <р(х, у, г) в точке М есть вектор, определяемый равенством
gfad ? {М) = ±140 z +	+ ±140 к.
6 т v ’ дх ' йу	дг
Свойства градиента:
1)	Производная от скалярной функции <р (М) по любому направлению п равна проекции ее градиента на это направление:
= пр„ grad <р (М).
3*
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ	(ГЛ. И
2)	Направление градиента характеризуется тем, чТр производная по этому  направлению будет найбольшей среди производных от <р в данной точке по всевозможным направлениям.
3)	Длина градиента ? (44) есть наибольшая из производных по направлениям от ’<? (М) в данной точке:
4)	Вектор grad ср (44tt) направлен по нормали к поверхности уровня <р (М) = ф (44О) в сторону возрастания функции <р (М).
5)	Если ср и ф —два скалярных поля, имеющих градиенты, а / — дифференцируемая функция одной или нескольких скалярных переменных в некоторой области, то
grad (<р + Ф) = grad? 4- grad ф;
grad (у • ф) = <р grad ф + ф grad grad/(?) = /'(?) grad <?;
grad /(<?, ф) =	grad ? + grad ф.
74.	Найти линий уровня плоского скалярного поля <р(Л1) = Г]-|-г2, где г1 = МА, г2 — МВ, А и В — фиксированные точки.
75.	Найти линии уровня плоского скалярного поля:
1)	?(Л1)==х2_|_у2_ 2х; 2) <р(44)=2х24-4у24-1;
3) <р (/И) — ху — 4;	4) ср (44) = Зх -ф- 4у—7.
76.	Найти поверхности уровня скалярного поля:
1)	ср (44) = У R2 — х2— у2 —z2, R — const;
2)	ср (44) = a res i п	...... ;
/х24-у2
3)	ср (44) = 2—х2 — у2;	4) ср (44) == х24~ у2 —- г2.
77.	Дано плоское скалярное поле и == ср (44) == х3 — — Зх2у 4- Зху2 4- 1. Определить производную поля 4^ в точке А в направлении вектора п = АВ, если А (3, 1), В (6, 5).	. ч
78.	Дано скалярное поле и = ср (44) — ху24~ г3— xyz.
Найти в точке А (1,1,2), если вектор П образует с осями координат углы соответственно равные 60\ 45° и 60э.

СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ГРАДИЕНТ
79.	Найти производную поля н = 1п(х4-у4-2:4_1) в точке Л1(х, у, z) по направлению, составляющему равные углы с координатными осями.
У» яР
80.	Найти производную поля и — —гв точке
Л4(х, у, г) по направлению радиуса-вектора г этой точки.
81.	Дано скалярное поле и — x3y2z. Найти grad и в точке Я(х0, у0, z0).
82.	Дано скалярное поле и = х2 4-У2-. Найти grad и.
83.	Дано скалярное поле и = 2ху. Убедиться, что grad и в каждой точке поля перпендикулярен проходящей через эту точку линии уровня.
8^. Дано скалярное поле <р(х, у, z) = r, где г = = ]/х24~У2 +-г2 Найтн: 1) grad г; 2) grad г2; 3) grad -у-.
85.	Найти градиент потенциала электростатического поля ср(х, у, z) = -, где г— ]/rx24-y24-z2.
86.	Найти grad (га), где а —постоянный вектор, а г — радиус-вектор точки М(х, у, г).	',	. .
87.	Найти grad / (г), где г — У х2 ~4 У2 4“ £2 •
88.	Вычислить grad | [сг] |2, где с — постоянный вектор, а г — радиус-вектор точки Л1(х, у, г).
89.	Пусть ср(Л4)— плоское скалярное поле. Известны д<? д<е
производные по двум направлениям и в некоторой точке М. Построить вектор grad ср (Ж).
90.	Показать, что grad ср(М) есть полярный вектор.
91.	Найти производную поля « = н(х, у, г) по направлению градиента поля v — v(x, у, г). В каком случае эта производная равна нулю?
92.	Пусть (г, 6) — полярные координаты точки М (х, у), лежащей в I четверти (х^О, у^>0). Тогда 0 —arctg^, г = у х2 4~ У2 • Найти линии уровня и градиенты этих полей.
93.	Дано семейство поверхностей уровня: ср (г) = const скалярного поля ср (г). Написать векторное уравнение нормали к поверхности уровня, проходящей через точку А10(го) и уравнение касательной плоскости в этой точке (используя grad ср (г0)).	.	,
3»
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ'
(ГЛ. II
94.	Найти наибольшую крутизну- подъема поверхности
z __	в точке М (2, 1, 3).
96.	Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z — x? в точке А (2, 2, 4).
96.	Найти точки, в которых градиент скалярного поля
, /	, 1 \	.	16 .
и = In ( хy-J равен г-----g-j.
£
97.	Найти точки скалярного поля «==(x2-f-y2)2 , в которых модуль градиента равен 2.
98.	Используя градиент скалярной, функции, выбрать на плоскости точку Р так, чтобы сумма расстояний ее от трех данных точек	Л43 была наименьшей.
§ 2. Векторное поле. Операции первого порядка
Если каждой' точке М' некоторой (будем считать ее одиосвяз-ной) области пространства поставлен в- соответствие вектор а (Л4), то говорят, что в этой области задано векторное поле. Задавая (правую) систему прямоугольных координат Охуг, имеем: а(А1) = = а(х, у, г).
Векторными линиями векторного поля а(М) называются такие линии, которые в каждой своей -точке М имеют направление а (М).
Дифференциальные уравнения векторных линий:
dx _ dy _ dz ~	~ az ‘
99.	Электрический ток l течет снизу вверх по бесконечному проводу, совпадающему* с осью Ог. Найти вектор И напряженности магнитного поля, создаваемого этим током, в произвольной точке М(х, у, г), используя закон Био — Савара.
100.	Определить векторные линии магнитного поля Н предыдущей задачи.
101.	Найти векторные линии поля а(Л4):
1)’ а (2И) = cxi — cyj — 2с zk	(с = const):
2) а (М) —(&—y)i -fc- (х — г) /-f- (у—x) It;
3) а (Л4) = (z — y)2	zj 4- yk
S 2| ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА -	39
Вели а — а(М) есть напряженность силового поля (сила, действующая на единицу массы), то работа А поля при движении материальной точки массы т по дуге MN равна
А = т J” a dr.
MN
Циркуляция векторного поля а (М) по замкнутому контуру L в выбранном направлении равна
Г = ф a dr
L
(интегрирование ведется в указанном направлении).
Векторное поле а (М) называется потенциальным в данной области, если его циркуляция вдоль любого замкнутого контура в этой области равна нулю:
Чтобы вентерное поле а = a (aW) = Pi-\-Qj-\- Rk было потенциальным, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих четырех условий:
а)	чтобы величина любого криволинейного интеграла a dr
MN не зависила от формы пути AW;
б)	чтобы подынтегральное выражение a dr было полным дифференциалом некоторой функции и — и(х, у, z):
a dr = Р dx -f- Q dy -f- 7? dz = dir,
в)	чтобы тождественно выполнялись равенства (предполагается, что Р, Q и R имеют непрерывные частные производные первого порядка в рассматриваемой области):
dR _ dQ .	dP _dR .	dQ _ dP.
dy ~ dz ’	dz dx'	dx dy '
г)	чтобы вектор a (M) был градиентом некоторого скалярного поля 7 (Al):
_	а = grad ?.
Силовая функция и (х, у, z) потенциального поля а = Pi 4--J- QJ 4* Rk равна
X
u{x, у, z)^ J P(x, ya, z9) dx +
У	*
4- jf Q (*. y. •*<>) dy 4- J R(x, y, 2)dz, y.	*»
40
ЭЛЕМЕНТУ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. И
где (х0, у о, z0) — фиксированная точка рассматриваемой области. Функция v(x. y,z)-—-u(x, у, z) называется потенциалом потенциального поля а(М).
Для потенциального поля работа вдоль пути AftA42 равна
j* du (х, у, г) = и (Л1г) — и (Aft) = v (Mfi — v (M2).
м,м2
Рис. 7.
102.	Найти циркуляцию вектора a — yi— xj вдоль замкнутой линии, образованной отрезками осей координат Ох и Оу и дугой астроиды r~R cos3 ti -|-sin3 tj, лежащей в первой четверти (рис. 7).
103.	-Найти циркуляцию вектора a = (zx + y)i 4-(zy — х) J — (х2-|-у2)Л вдоль кривой £: х2-(-у2== 1, z = 3. (Обход контура в направлении против часовой стрелки, если смотреть па него из точки (0, 0, 4).)
104.	Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг
оси Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, если плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (циркуляция рассматривается в направлении вращения).
105.	Дана напряженность а =
=: -у i -|-	У~|-2А! силового поля. Най-
ти работу поля при перемещении массы т вдоль одного витка винтовой линии х = a cos t, у — a sin t, z — bt из точки A (t = 0) в точку В (t = 2it).
106.	Найти работу поля a = xyi~}~ yzj xzk при перемещении точки единичной массы вдоль замкнутой линии, состоящей из трех прямолинейных отрезков, лежащих в координатных плоскостях, отсекающих на осях координат отрезки, равные
единице.
Направление обхода контура указано на рис. 8.
107.	Силовое поле образовано силой, равной по величине расстоянию от начала координат до точки ее приложе
§ 2]
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ, ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
41
ния и направленной к началу координат. Найти работу поля по перемещению единицы массы вдоль дуги параболы у2 8х от точки с абсциссой х — 2 до точки с абсциссой х == 4.
108.	Показать, что поле а (Ж) является потенциальным (в естественной области определения), и найти потенциал этого поля:
1)	а (Л4) = (4х3у3 — Зу2 + 5)1-]- (Зх4у2 — бху — 4) у;
2)	а (Л4) = (Юху— 8у) г + (5х2 — 8х +3) у;
3)	а(Л4) = (х2 — 2yz)Z + (y2 — 2хг) у + (г2 — 2ху)Л;
4)	а (Л4) = у г (2х + у + z) i + xz (х + 2 у + z) J +
—]— ху (х —]— у —]— 2z) k"
109. Показать, что векторное поле а(М) потенциально (в естественной области определения), й найти работу этого поля по перемёЩению единичной массы вдоль пути АВ от точки А к точке В:
1) а(/И)==уг1 + хг1/ + ху4!; 4(1, 2, 3); В(6, 1, 1).
2) a(Af) = (x+y+^)2/+(x + y+z)2/+'(x+y + z)2^;
4(1, 2, — 2); В (2, 3, — 3).
ПО. Найти потенциал гравитационного поля а — —^г, создаваемого массой т, помещенной в начале координат.
Если двусторонняя поверхность S расположена в области определения векторного-поля а~а(М), S, и 32— стороны поверхности S, то потоком векторного поля а(М) через поверхность 3 в направлении от S, к S2 называется выражение
или в координатной форме
jy = J" J Р(х, у, z) dy dz-\- Q (х, у, г) dz dx-j- R (х, у, z) dx dy.
111. Найти поток вектора а = хЧ + у2у + z2ft через часть поверхности сферы х2 + у2 + Z2 — 1, Лежащую в первом октанте (х > 0; у > 0; z > 0) в направлении оси Oz.
112., Найти поток радиуса-вектора г (г = xi + уу+ zk).
1) через боковую поверхность конуса х2+у2 + г2, 0 z
'г'
&
Ч.ЧЕМЕЙТЫ теории поля
[ГЛ. и
в направлении оси Oz и 2) через основание этого конуса в противоположном направлении.
113. Найти поток вектора а(М)=*= xi-±- у_/-|- zk через боковую поверхность прямого кругового конуса с основанием в плоскости хОу и вершиной на оси Oz в сторону, противоположную направлению оси Oz, если высота конуса равна 1 м, радиус основания 2 м.
114. Найти поток вектора а(М) -—yzi-{- xzjxyk через боковую поверхность пирамиды с вершиной в точке (О, 0, 2) и основанием О АВ, О (0, 0, 0); А (2, 0, 0); В (О, 1, 0) в направлении оси Oz.
11Б. Найти поток вектора
1)	а (Л4) = xyi-|- zxj + yzk через площадку, вырезаемую из плоскости x-j-y-j- z — 2 плоскостями х — 0, у = 0, х-1- у = 1 в направлении, противоположном оси Oz\
2)	а (Л4) = х2/ -|- у2/ -|- z2k через часть поверхности х2+у24-2аг = а2, расположенную во втором октанте (х < 0; у > 0; z > 0) в направлении оси Oz\
3)	а (Л4) — xyi — 5z2J + 86 через круг, отсекаемый на плоскости х-|~у = 3 сферой х2-|-у2-|- г2 = 9 в направлении оси Ох.
Дивергенция векторного поля а = a (Af) в точке Af0 определяется равенством
div а (Ма) = lim $У-.--,
У->ж0 V
где — бесконечно малая замкнутая поверхность, внутри которой лежит точка Л10, а V — объем тела, ограниченного этой поверхностью. Если а(М) = Р(х, у, z)i-f-Q(x, у. z) JR (х, у. z) k, то
л. л ип дР ।	1 dR
div а (М) = -з-г -т—h -т—.
' ' дх ' ду дг
Свойства дивергенции; Если а и Ь — векторные поля, а ? — скалярная функция, то
div (a -f- b) = div a div b, div (<p a) == <p div a-}-grad <p a.
Форм у л а Ост рог p а д с к о го. Если проекции Р (х, у, z), Q(x, у, z) н R(x, у, г) вектора а = Р1Qj-\-Rk непрерывны
-9 t
5 2] ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	0
вместе со своими частными производными в замкнутой области D, ограниченной поверхностью S, то
J" J" а	~ f f f div adx dy dz
S	D
или в координатной форме
f fp dy dz+Q dz dx±R dx dy~ff	dxdy dz
S	D
(интеграл J* J* берется по внешней стороне поверхности s\ . 5	/
Векторное поле а(М) называется соленоидальным в данной области, если в каждой точке этой области div а (М) = 0. Потоки векторного поля через различные сечения векторной трубки солено-ндального поля равны между собой.
Вихрь (ротор) векторного поля а (М) в точке Л1о определяется равенством
ф a dr
пр_ rot а (Ма) = lira -~,
5->лт0	°
где п—вектор любого направления с началом в точке Ма, С — контур бесконечно малой площадки, содержащей точку Л40 и перпендикулярной направлению п, a S — площадь этой площадки. Контур С пробегается против часовой стрелки, если смотреть на него из конца вектора п. Если =	то
\ду dz ) ' \ дг дх '\ дх ду )
Свойства вихря. Если а и b — векторные поля и — скалярное поле, то
rot (a -f- Ь) = rot а 4* rot ft, rot (?а) = <р rot a 4* [grad <ра].
Векторное поле а(Л1) называется безвихревым в данной области, если rot a (Af) = 0 в каждой ее точке М.
Формула Стокса. Если проекции Р (х, у, z), Q (х, у, г) и R(x, у, г) вектора а = Р14~ QJ 4~ Rk непрерывны вместе со своими частными производными на незамкнутой кусочно-гладкой поверхности S, ограниченной кусочно-гладким контуром Сив точках, близких к S, то
^adr=ff rot a dm. с s
Направление обхода контура С берется положительным иа выбранной
44	ЭЛЕМЕНТЫ-ТЕОРИИ ПОЛЯ	[ГЛ. II
стороне поверхности S. В координатной форме:
ф Р dx Q dy -f- R dz = c
f П dR dQ\...(dP dR\. . .IdQ dP\.. - J J [^~^]dydz+[Tz--dx)dzdx+\l)7--^rdy-. s
116.	Найти дивергенцию векторного поля:
1)	а (Ж) — г (М) — xl + yj + zk;
2)	а(Ж) = -^-гР где r\ — единичный вектор — вектор индукции единичного заряда е, помещенного в начале координат;
3)	а (Ж) — v (Ж) = [о>г] — линейная скорость вращения жидкости (w — const — угловая скорость);
2J
4)	а(М) — Н (М) = -р- (—yi-^xj)—напряженность магнитного поля, J — const, р = const;
5)	д (Ж) — rl, где / — /XZ	— постоянный век-
тор, а г = ]/’х24-у24- z2.
117.	Найти
i	J k
.. д	д д
IV дх ду dz
шу
118.	Какие из следующих векторных полей являются соленоидальными (в естественной области определения):
1)	а(Ж) = х(г2— y2)i-]-y(x2— z2)J-\- z (у2 — х2)й,
2)	а (Ж) = 3z (у2 4- х2) 1—2у (х24-г2) j 4- 4х (г2 4-у2) й?
119.	Используя формулу Остроградского, вычислить:
1)	поток вектора а = yi-±- zJ-±-xk через полную поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями х = 0; у = 0; z 0; х —|— у 4- z и (л 0);
2)	поток вектора а(М') — т-^- (т — постоянная) через произвольную замкнутую поверхность 5, окружающую начало координат; .
3)	поток вектора а (Ж) = xyi-\-yzj-}- zxk через полную поверхность восьмой части шара х24-у2-{--г2<4. лежащей в первом октанте (х, у, г 0);
9 31
СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА
4)	поток вектора а (Л4) — х2г + у2У~г z2k через лежащую в / октанте замкнутую поверхность, ограниченную ко* ординатными плоскостями и параболоидом
х2 у2 2а z — а2;
5)	поток вектора а (Л4) — x2y3i -|- j -|- zk через полусферу z =	— х2 — у2 в направлении оси Oz.
120.	Найти 1) rot г; 2) rot (/(г) г).
12J. Какие из следующих векторных полей являются безвихревыми (в естественной области определения):
1)	а(Л4) = (10ху— 3y3)i-j-(5x2— 9xy2 + 4y3)j;
2)	a(M) — ?ix2y2zi-\-2x2yzj-\-x2y2k-,
3)	а (2И) = (5х3 — 4ху)2 i — (2х	4х2у2 — у4) /?
122. Используя формулу Стокса, вычислить:
1) поток вихря поля вектора а(М) = yl-\- zj xk через часть поверхности z *=2(1—х2— у2), лежащую над плоскостью хОу;
2) циркуляцию вектора а (Л4):
а (Л4) = (у z) I -ф- (z + х) j (х у) k
вдоль эллипса C{jr = asin2/; у =* 2а sin£ cos t; z = acos2t, пробегаемого в направлении возрастания t.
§ 3.	Символика Гамильтона. Операции второго порядка. Векторные операции в криволинейных координатах
Оператор Гамильтона V (набла) — символический вектор:
V = /-A +к дх 1 J ду 1 dz
Операции первого порядка:
V<p = grad <?; Va = div a; [Va] = rot a.
Операции второго порядка:
V= div grad «р = Д¥ = U +-gt;
{VV<p] => rot grad? = 0;
VVa = grad div a;
V [Va] = div rot a = 0; J [V [VaJ] = ro t rot a = grad div a — \a.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
где
_ д2а д2а . Э2а ' а ~ дхх + <iy2 + dz2 '
Пусть и, v, w — криволинейные координаты точек пространства. Координатная поверхность есть геометрическое место точек (и, v, w), у которых или и — const, или v = const, или w = const. Пересечение двух координатных поверхностей называется координатной линией.
Между прямоугольными координатами х, у, z и криволинейными координатами и, v, w точек устанавливается взаимно однозначное соответствие, описываемое формулами:
г = г (и, v, w),
у = у [и, V, W),
x = x(u, v, w), а также формулами: u = u(x, у, z), Будем предполагать, г (и, v, w) непрерывны, первого порядка и якобиан р сматриваемой области пространства Ouvw. При этих условиях и функции и (х, у, г), v (х, у, г), w (х, у, г) будут обладать такими же свойствами в соответствующей области пространства Oxyz.
Пусть г = xZ-f- уУ+ гк. Векторы	— ненулевые.
ОН Cnf OW
Длины этих векторов
Я“==|‘ж|’ Я’’ = |‘5?|’	=
называются коэффициентами Ламе.
Векторы
1	1 $f*	1 Лм*
е“ = ~Н^~д^	е® = 7^^-единнчйЫе-
Система криволинейных координат Ouvw называется ортогональной, если в каждой точке и, v, w координатные линии попарно ортогональны, т. е. в каждой точке (u, v, ®) векторы еи, ev, ew попарно ортогональны.
Градиент скалярного поля <p = ?(Af) линейных координатах Ouvw: d<f д<? . ....	„ ~дй . dv
grad <f(M) = ea-jf- + Дивергенция векторного поля а~а(М) в ортогональных криволинейных координатах Ouvtv.
(ацНуН^-^—-f-	( awHaHv)
div а (М) ---------------ы-тт------------------•
W = W (X, у, z).
х(и, v, w), y<u, V, W),
v = v (х, у, г), что функции имеют непрерывные частные производные
д (х, у, г)
—  —- не обращается в нуль в рас-
в
ортогональных криво-
d<f dw
LJ
§ 3}
СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА
I
47
Вихрь векторного поля а = а(М) в ортогональных криволинейных координатах Ouvw:
(Ол/Нф)
rot а (Л!) =» ва--------7V-V7----
/7^П^р
dw (ааНм) —

HvHu.
Оператор Лапласа в тах Ouvw: d2<f	t)2?
. ....	1№ . dv2
“u	“v
j dy dv
~HJTV ортогональных криволинейных координа-
d2<? . dw2 ’ H2
** w
1 d
ffl *>
in
_L Ain Hvffv I
du H2a du Ha t
HWHU	д<р 1 d Jn HttHv
Hv	dw n\ dw Hw
Декартовы координаты x, у, z точки M выражаются через ее цилиндрические координаты г, «р, г по формулам:
х = г сое у,
y=rsfttq, z = z.
div a (М)
где О г < + оо, 0 <С <р < 2 л, — оо < г < 4- со-
Пусть / = /(Л1)— скалярное, а а — а(М)— векторное поля, определенные в некоторой области пространства. Тогда
df
grad f (М) = ег Ц- е, -%- + ez ,
аг	да. 1 да, да,
г	дг 1 г д<р * дг ’
(1 да, да, \ --------5^-14-г д<? дг /‘
/ даг даЛ /а. да, 1 даг\
+ Ч^~^/ + Ч~+-0Г-7-дП’
д/(М)=^+±^+^.+1^ дг2 -Ь Г1 ^2 + дл2 + г дг'
Декартовы координаты х, у, г точки М. выражаются через ее сферические координаты по формулам:
х = г cos в cos <р; у =-г соув sin f, z-^=* г sin 8,
0<г<4-оо, 0<у<2тг, —*<9^*.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
: Если / = /(Af) — скалярное и а = а (А4) — векторное поля, то df_
grad f (Af) =	+ ev + e. JL,
1 d (r2ar) 1 da~ 1 d (ae cos в) div a (M) = -j- — +---------------------—s-   „—-
' ' r2 dr	' r cos в d<p ' r cos 6 dO
/	1 dan 1 d(a„cos в) \
rot a (Af) = er I-r -3-----------г------------1 +
\ r cos в dy r cos в d6 / 1
(	(1 dar 1 d (rafi \ , /Id (ra?)	1 &ar
de r dr / + e'(r	dr r cos 0 d<p/'
.	1 д I n dfx
-	+ "-9--5-a”Sn- c°S0-^3-|.
r2 cos2 0 d0 \ dO /
123. Найти: 1) div (<p grad <p), 2) div (<pgrad ф), где <? = = y(M) и ф = ф(А1) — скалярные функции.
124. Правило. При применении оператора V к произведениям скалярных (<р = <р(М), ф = ф (М)) и векторных (в = а(Л1), ft = ft(Al)) полей: <рф; <ра; ab\ [а&] можно поступать так: применить оператор V к каждому из сомножителей отдельно, считая другой постоянным, и результаты сложить; затем каждое полученное слагаемое преобразовать по правилам векторной алгебры так, чтобы оператор V стоял на предпоследнем месте перед переменным множителем.
Используя сформулированное выше правило, доказать справедливость следующих формул:
Г. grad (<рф) = <рГф-f-ф V<p;
2.	div(<pa) = <?diva-]-agrad<p;
3.	div [aft] = 6 rot а — a rot ft;
4.	rot (<pa) = <? rot a[grad <p, a];
5.	grad (aft) ==(aV) ft-|-(ftV) «+•[«> rot ft] + [ft, rota];
6.	rot [aft] = (aV) ft -4- (6V) a + a,div ft — ft div a;
7.	rot rot a = grad div a — Да.
125.	Найти div [grad/(г)}, где r = Vx2	y2 z2.
В каком случае div [grad /(r)j = O? ,
§ 31
СИМВОЛИКА! ГАМИЛЬТОНА
t»49
126.	Производная вектора а(М) в точке М по направлению вектора п определяется равенством
да(М) 	... а(М')—а(М)
дп	М'М
где М'—точка, лежащая на луче, выходящем из точки А1 в направлении вектора п.
Полагая n = cos al -|- cos j3/4- cos yi, показать справедливость формул:
да да .да о . да	да ,
1)	-з— =-з— cosa + -т— cos ВЧ--Л— cos т; 2) з- = (иГ)а.
. ' дп дх 1 ду ' 1 дг •	' дп ' ’
127.	Градиентом вектора а по вектору « = | v |я, где » — единичный вектор, называется выражение (®, V)a. Показать, что градиент вектора а по вектору <о равен произведению производной вектора а по направлению вектора ® на длину вектора ®
/ гтч ।	। да
128.	Дано скалярное поле / f (А4) в цилиндрических координатах: /(г, ср, z) = r2cp + z2cp3— rcpz-|-3. Найти grad f(M) и Д/(Л1).
129.	Дано векторное поле а==а(М) в цилиндрических координатах: а(г, ср, z) = (z2+ r)e, -f- a'rcpe^ (z3+r<p) ez-Найти div a (Al) и rota(Af).
130.	’ Дано скалярное поле f — f(M) в сферических координатах: f(r, ср, 9) = r2cp9-|-r3cp2-f-ср-f-92-|-1. Найти grad f(M) и Д/(Л4).
131.	Дано векторное поле а = а(М) в сферических координатах:	а (г, <р, 9) = г2срвг-|- (гср20-4- г3)е „ + (г4Н- 1)е9.
Найти diva(Af) и rot а (/И).
132.	Пусть cp(r, t) — ср(х, у, г, /)==ср(А1, t) — скалярная
дифференцируемая функция в некоторой области D.
Показать, что частная производная
<3<р ____
~dt~~
lim
<f(M, t -f- Д/) — ср (Af, t)
и полная производная
rf? £ nfn <t W'. f+.AQ -<p(Al, О dt дг->о ;
4 Н. И. Кожевников и др.
ЭЛЕМЕН'ВЫ ТНОРИИ ПОЛЯ
[ГЛ. II
связаны соотношением

dx	dy	dz
Vy = -Zt ' vt = -dt'
§ 4. Смешанные задачи из теории поля
Пусть <? = <f> (М) — скалярное и а (М) = PlQJ-fc- Rfc— векторное полет, заданные в некоторой области пространства 0xyz, a S — кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, лежащая в этой области. По определению,
ff<P(M)d—iff<t (M) dy dz -f-y J J <f (M) dzdx-j-s	s	s
+ A f J ? (Al) dx dy, s
ff =	Qdxdy — Rdz dx-{-J £ J" Rdy dz — P dxdy-j-
s	s	s
Pdzdx— Qdydz.
S
Аналогичным образом определяются криволинейные интегралы Р <f(M)dr, J* [a dr], J" adS, поверхностный интеграл ff adS. АЗ	АВ	АВ	S
тройной интеграл J* J J* a dV и др. V
Объемными (пространственными) производными скалярного поля <р(А1) и векторного поля a(Af) в точке Ма называются следующие величины:
J" J* <р (М) dm sv
lim -----г;--— = grad <p (Af0),
v	V
J*J* a dm	j'j'fadt»]
Sy-	° и
11m -----jy---— div а	Hm ------------------ rot a (Af0),
>,w, V	V + м, У	'
$'<]'	СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ
где Sv — бесконечно малая замкнутая поверхность, внутри которой лежит точка Мо, а V — объем тела, ограниченного «той поверх* ностыо.
Обозначим через Si и Ss стороны двусторонней кусочно-гладкой поверхности S. Через поверхность S в направлении от Si к Ss можно определить:
1)	векторный поток скалярного поля у (Ж)
Р = у у f М) rfw;
s,
2)	скалярный поток векторного поля а (М) П — j' j~ a dm;
3)	векторный поток векторного поля а (М) R= f J JazZ<o].
133.	Найти объемную (пространственную) производную.
1)	скалярного поля у (Л4) = х2 yz Зху2 -f- zs — 1 в точке (3. —4, 1);
2)	векторного поля а (Ж) = (2ху 4- 1) i + xy2zj -|--|-(z2x-|-y — 1)й в точке (1, —2, 3).
134.	Модуль радиуса-вектора ОМ — г есть скалярная функция двух точек О и М. Найти gcadr а следующих случаях: 1) точка О фиксирована, г рассматривается как функция точки М, 2) точка М фиксирована, г рассматривается как функция точки О.
135.	Вычислить:
1)	векторный поток Р скалярного поля у = xyz через лежащую в / октанте часть плоскости х у + z = 1 в направлении от стороны Sj, обращенной к началу координат, к противоположной стороне S2;
2)	скалярный поток П векторного поля г — xi-±-yj-]-zk через ту же поверхность;
3)	векторный поток R векторного поля г — xl -j- yj zk через ту же поверхность.
136.	Показать, что
grad<p(4f0) = V -> Afo
J J	dS
Im —T5---
4*
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ ПОЛЯ	[ГЛ. II
где а — единичный вектор внешней нормали к замкнутой поверхности
У к азами е. Применить формулу Остроградского к вектору а(М) — с^(М), где с — постоянный вектор.
137.	Применяя формулу Остроградского к векторным полям: 1) а —ус, 2) а — [Ьс], где с — постоянный вектор, установить справедливость формул:
1) ffJ'VydV^-ffnydS,
2) f f f [Vb]dV= f f [nb]dS. V	s
V
Примечание. Формулы 1), 2) и формулу Остроградского Iff
v -  SV
можно объединить в одну
fjj V< ,./1'  ff V	s
138. Применяя формулу Стокса к векторным полям 1) а = ус, 2) a = [bc], где с — постоянный вектор, показать справедливость формул:
1) J" J* [»V<p] dS = ^<pdr, s	с
2) f j [[nV]b]dS = ^ldr&], s	c
где n — единичный вектор нормали к незамкнутой поверхности S в выбранную на ней сторону, а С — контур, ограничивающий поверхность S, пробегаемый в положительном направлении на выбранной стороне поверхности.
Примечание. Формулы 1), 2) н формулу Стокса
J J п [Va] dS = (£ adr s . с можно объединить в одну
S
с
$ 4]	СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ
139.	Записать формулу Остроградского для полей: 1) а — <р ?ф и 2) а =	— ф V<p, где ср == ср (44) и
ф = ф(44)— скалярные функции.
140.	Скалярное поле ср==ср(Л1) задано в ограниченной области V выражением
где р.(/С)— любая непрерывная функция в области V, а г(М, К)— расстояние между точками М и К- Найти градиент этого скалярного поля.
141.	Векторное поле R(M) задано выражением
= J Т<ЭД.У iV <*>•
где ®(К)— любая непрерывная функция в области V, е(М, К) — единичный вектор направления КМ. Найти поток вектора /?(44) через границу 5 объема V и div/? (44).
142.	Пусть а — а\К)— векторное поле, отличное от нуля только в некоторой ограниченной области V. Предположим, что проекции ах(К), ау(К), аг(К) поля а (К) имеют непрерывные частные производные. Построим векторное поле
Найти div 4(44) и ro't4(44).
143.	Показать, что векторное поле
V
где р (К) — непрерывная функция в области V, удовлетворяет системе уравнений:
f div Q (44) = р (44), | rot Q(A1) = 0.
Указание. Использовать результаты задач 141 и 142.
i>4	ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИЙ ПОЛЯ	[ГЛ. п
144.	Электростатическое. иоле образовано зарядом е, находящимся в начале координат. Найти напряженность поля в точке Л4 и потенциал поля.
146.	Электростатическое иоле образовано зарядами е2, е2.....е„, находящимися в точках Л4Р Л42...Мя
(ОЛ41 = гр ОМ2 = г2, .... ОЛ1а—гп). Найти потенциал поля.
146.	На поверхности 5 распределен заряд с плотностью <з — <з(К). Показать, что в любой точке М потенциал поля зарядов равен
«-//тйг®»
S
147.	В объеме V распределен заряд с плотностью р = р (Д'). Показать, что в любой точке М потенциал поля зарядов равен
. ГЛАВА IH
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Ряды с комплексными членами. Степенные ряды. Элементарные функции комплексного переменного
Число z = x-f-zy называется пределом последовательности комплексных чисел «л = хл4-/ул. п=1>2, если для любого числа »> 0 существует номер N такой, что для всех п> N выполняется неравенство
I •г'л— *1 <«
Для того чтобы a= lira гп, необходимо и достаточно, чтобы а->оо
х = Нт хп, у = Нт у№ Степенным рядом называется фуикциональ-д->оо	л->оо
оо
ный ряд ^Ап^г — а)п, где А„, п = 1, 2, .... и а — комплексные я=0	\
Числа.
со
Ряд An (z— а)п либо сходится только в точке г —0, либо п=о
сходится во всей плоскости ~z, либо для него существует так называемый круг сходимости | z — a\<R, внутри которого ряд сходится, а вне расходится. На границе крута сходимости могут лежать как точки сходимости, так и точки расходимости ряда. Радиус R (О < R < 4- со) этого круга называется радиусом сходимости ряда. В случае, если ряд сходится только в точке г = а или во всех точках г плоскости, принято говорить, что круг сходимости является соответственно точкой {R — 0) или всей плоскостью (/? = + со).
+ со
Ряд У, An (г—а)п по положительным и отрицательным сте-— ОО
пеням г — а является обобщением степенного ряда. Область сходимости этого ряда состоит из общих точек сходимости его
— ОО	оо
главной части У Ал(г— а)п и правильной части У AB(z —д)л. л=-1	л=о
5G
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. III
— оо
Если ряд У, Ап(г — а)п расходится внутри круга j г— а|<ги п= - 1
оо
сходится вне этого круга, т. е. при | z — а[ > г, а ряд Ап (г — а)п •	л=1)
4-00
имеет круг сходимости \z — а\ < R, где г < R, то ряд	—а)п
—оо
сходится в кольце г < |z—а| < R и расходится вне этого кольца, т. е. при | z— а\<г и |z— а| > /?. Такое кольцо будем называть кольцом сходимости данного ряда. На границе кольца сходимости могут лежать как точки сходимости, так н точки расходимости ряда. Если г = 0, /? = -|-оо, то «кольцо» г—плоскость г с выколотой точкой г = а; если г > 0, /? = + °°> то «кольцо» — внешность круга, т. е. | г — а | > г; если же г = О, R < оо, то «кольцо» — окрестность точки а с выколотой точкой at 0 < | г — а | < R.
148.	Построить на комплексной плоскости множества точек z, определяемых соотношениями: 1) |z— /| < 2; 2) 1 < fz—,3 + 41| <2;	3) |2г|>4;	4) Re(z)>3;
5) 0<Ihi(z)< 1.
149.	Построить множества точек плоскости, определяемых соотношениями: 1) O^argz<-^-; 2) |Re(z)| < 1; 3) |argz|< Ji 4) |£ф}|<1; 5) |г2-1|<1.
150.	Найти пределы последовательностей:
1>*.=2^-+'(|+4Г	....=
2)	zi=1.2,3,...;
3)	z„ = ntgl-4-Z^-,	n=l,2,3,...
ОО
151.	Исследовать на сходимость ряды %сп, где: л=0
. ч _ 1 at в
О сп g5 ’
2) сп = cos 7i 4-1 sin ti;
cos п 4- i sin n cn =------$--------.
$ t]	РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
152.	Найти кольцо (круг) сходимости ряда:
в V (1 + 0л(г-2)л . o'» V 0" • 1; Jj (п-Н)(«4-2) ’	< и «г(14-ол ’
л=1 оо	оо
/1=0	л=1
оо	оо	оо
л=0	л=0	л=1
ОО	оо
у	(г +1)"	V	«2 + 5	.
° 4U 3"(п+1)	^	(г + г)"	’
д=0	л-1
оо
>>s /1=*0
(г+1-Z)" , у 2*(п+1) . 5я (1 + Ш) ~Т~ (г + 1-+)п ’ Д=1
Элементарные функции комплексного переменного:
2*2	2*®
14- + -^+ др +
ОО
/1=0
1 г* I г* созг=1-2г+41— .	г’ л5
81пг = г-^- + зГ-
2*2	5»4
ch г = 1 +-2р +-jj- +
2Г®	2?®
8Ьг = г+-дг + 5Г +
00
VI	2Г2л
••• =	1)П 72п)Т ’
л=0
п=0
^2Д+1
(2«+ 1)1 ’
Sz2n
(2п)1 ’ л=0
у •г2л+1
~	(2п +1)!
л=0
для любого комплексного числа г. Формулы Эйлера:
е1г = cos г + i sin г;	е~/г = cos г — I sin г;
е1г-}-е~12	е1*'—,е~1г
cos г  -----------J sin г —-----яу——- •
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
Показательная форма записи комплексного числа: г = ге1^, где г — I z I, ? — любое нз значений аргумента числа г.
Связь между показательной и гиперболическими функциями:
ez = ch z -f- eh z; e~z = c\iz— ah z;
ch z =
ez-\-e z 2
е* — е~г sh^ =
2
Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями ch Zz=cos z\ cos iz = ch z;
sh iz = i Sin z; sin iz == I sh z.
Функции ez, chz и Shz имеют период 2л/: вг+2«1 _ ei	eiz.
ch (z -f- 2л/) — ch z\ sh (z 4" 2«/) “ sh z.
Функции cos z и sin z имеют период 2л:
cos (z 4-2л) в cos z;	sin (z 4- 2л) = sin z.
Натуральный логарифм комплексного числа, z 4= 0:
Ln z = In r 4-1 (? 4- 2<bt).
где r — I z I; <p — любое из значений аргумента числа z, k = О, ±1, ±2, ...
Главное значение натурального логарифма числа z: Lnz=lnr4-i?> W <p = argz.
Степень с комплексным основанием А, А =£ 0, и комплексным показателем В определяется равенством
= ев Ln А.
Обратные тригонометрические функции:
Arcsin z = j-Ln (iz 4- КГ—z5);
Arccos z = -iLn(z4-Fr'?2 — 1);
Arctgz=« ^-Ln-i^y, z^= ±i.
Обратные гиперболические функции:
Arsh z = Ln (z 4-	+ О»
Arch z	Ln (z 4-/z2—Л),
Arth z = -i- Ln . z =# ± 1.
§ I]
РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
59
153.	Вычислить действительные и мнимые части, модули и аргументы следующих комплексных чисел: 1) е3-2(; 2) cos(l —0; 3) sh(2 + 3Z); 4) th(I 4-/); 5) ^(/2-7/2); 6) ArcsinZ; 7) Arch 2; 8) Arctg2Z; 9) 3K+i; 10) Zi+1.
154.	Вычислить действительную- и мнимую части функций:
1)	ег’; 2) г2 sin z\ 3) tg z; 4) Lnz; 5) zi+l-
155.	Решить уравнения:
1)	sin z = 2; 2) cos 2 = 0; 3) sh2 = Z.
156.	Составить в комплексной форме уравнения: 1) прямой, проходящей через точки zx и д2; 2) оси О» и оси Оу; 3) окружности радиуса г с центром в точке гф 4) прямой Ах-j-Ву-ф-С=*О; 5) окружности х*-^-у1-^~2х—2у-}~ 1=0.
, 157. Написать в действительной форме уравнения линий:
, 1) z = z0 + re1'?, 0<<р<2к, г>0; 2) z~z-\-z + 4-2— 1=0; 3) z = «cos74-^sinZ, 0 < t < 2к, а > 0, b > 0; 4) z— at-\- la (1 4~ e~lt), 0^Z<2ir, а — действительное число; 5) zz-\-lz— Iz — 2 = 0-
158.	Построить на комплексной плоскости образы точки ^t=24-^ при отображениях: 1) ту = 32 4-С 2) = 3) да = 7^7-
159.	Найти образы линии А (х2-±-у2)-]- Вх Су -±-D — 0 (Д, В, . С, D — действительные числа) при отображении •ау = /(2) в следующих случаях: 1) ®» = Г2, г > 0; 2) <w = eaiz, а. — действительное число; 3) но = z-\- а, а — любое комплексное число.
160.	При отображении w = 22 найти образы линий:
1)	х = 2, 2) |z| = 3,
161.	При отображении ®» = 32 4~Z найти образы линий: 1) у = 2x4-3, —оо<х<4-оо; 2) х24~У2— 2х = 0.
162.	Найти образы линии х24~У2— 2х— Зх = 0 при . 1 1
отображениях но — — и но — -=.
163.	При отображении w —найти образ линии у = 2х, — оо < х < 4~
эд
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
164.	Найти образ линии х2+-у2=1 при отображении г + 2	.
да = —т-г.
г-Н
165.	При отображении =	найти образы
следующих линий: 1) [г| = 3; 2) |г|=1; 3) |г| = ^-: 4) arg z == у. г — | z | меняется от 0 до Г (не включая О
и 1); 5) arg z = у, г — | z | меняется от 1 до оо (не включая 1).
166.	При отображении да == г2 найти: !) образ полярной сетки полуплоскости Im z > 0; 2) образ прямоугольной сетки полуплоскости Im z > 0; 3) прообраз прямоугольной сетки плоскости да с разрезом вдоль действительной оси. •
167.	При отображении, осуществляемом функцией Жуковского да =-у (z+-A-j, найти: 1) образ полярной сетки, расположенной внутри единичного круга | z | < 1; 2) образ полярной сетки, расположенной вне единичного круга.
168.	Найти образ прямоугольной сетки плоскости z при отображении w — ez.
169.	Найти образ прямоугольной сетки плоскости z при отображении да = cos z.
170.	Найти образ полярной сетки плоскости z при отображении да = In z.
171.	Найти образ полуполОсы —я<х<дг, 0<у<+оо:
1	) при отображении да = sin z, разложив его на простейшие отображения да1 = /\г, да2 — ew‘, да3 = -^-, w — =	2) ПРИ отображении w — cos'Z, разложив
его на простейшие отображения w1 — iz, w2 — eWi,
1	/ , 1 \
да = -к- да2 Ч--•
2	\ 2 ‘ Wi )	.
172.	Показать справедливость соотношений: 1) axgz = = arctg у, если х > 0; 2) arg z — к -f- arctg , если x < 0, y^0; 3) argx = — «+ arctg—, если x < 0, у < 0.
§ 11
РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
61
173. Показать, что
1)
lini za =
4 < i.
и > 1. z = l,
О,
оо, 1,
не существует, если | z | = 1 и
2)	[ 0, |г|<1,
lim npzn = \	'	,
I сю. И>1.
где р — натуральное число.
174.	Точка z движется по лучу, выходящему из начала координат, неограниченно удаляясь от него. Показать, что:
1)	11m||=4-ое, если —у < arg г < 4~
А. . .	9 л	Я _	~ 3^
2)	lime* = 0, если -j-< argz <	;
3)	lime' не существует, если arg^=±^-.
175.	Найти кривые постоянного модуля и кривые постоянного аргумента для отображений: 1) •w = z2—1; 2) w = sinz; 3) w — e2.
eal 4- e~*1
176.	Используя формулу cos a —-------> показать
справедливость следующих соотношений:
l)cos2-a = ^br{lc2"'m-hC2mm-‘cos2a4-
4-Cim2cos4a4- ... 4-cos2mal;
2k
2) / cos2%da = ^-fe
j	j sinlm + yja
3) -j- 4- cos a 4- cos 2a 4~ • • • 4“ c°s	:„—— •
'	slny
177.	Конденсатор емкостью С = 2 мкф и реостат с сопротивлением г = 6 ом включены под напряжением V — 200 в. Частота напряжения f == 10 000 гц. Вычислить: 1) комплексное
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. III
сопротивление Z—r— где ®—2) комплекс-
1	V
ную проводимость У —	3) ток
178.	Электростатическое поле задано потенциалом: 1) w = Al In z-j-С; 2) w = A\nz-}-C, где А—действительное число, С — комплексное число. Найти силовые линии поля Im w = const и линии равного потенциала Re w = const.
179.	Комплексный потенциал течения жидкости равен: 1) w — az, а — комплексное число; 2) w = az2, а — ком-г/
плеисиое число; 3) w=tnz; 4)w=^-lnx (Г —действи-
тельное число); 5) w —
Найти линии тока ф(х, у) = Im w = const и эквипотенциальные линии <р(х, у) = Rew = const.
180.	Комплексный потенциал плоского течения жидкости (»2 \
z+—£-), где v и R — действительные
( pa i Г/
ZA------] — -5-Inz, vjsfi /? и Г — дей-
2 / ствительные числа.
Найти линии тока и эквипотенциальные линии.
§ 2. Производные и интегралы функций комплексного переменного
Производная комплексной функции действительного переменного Z (0 = х (0 + iy (ty.
dz .. z(t + ^t)—z(t)
2	= llm	А/---~’
at	Дг
dz _ dx , dy dt ~ dt^~l df
Производная комплексной функции комплексного переменного w == /4?):
-7Г-= /(*)= 1«П аг	Аг+о
/(г + Дг)-/(г) Дг
Для дифференцируемости функции комплексного переменного а = /(?) = и (х, y)-f-4v‘(x, у) в данной точке необходимо и доста-
М]	ПРОИЗВОДНЫ® и ИНТЕГРАЛЫ
63
точвд, чтобы в мой точке функции, и (х, у) и u&z* у), были дифференцируемы и удовлетворяли условиям Коши — Римана:
ди	dv '	dv	ди
дх ~~ д у ’	дх	ду'
При этом
. д» , dv «tat , da da дв йе . . xkz
/V?) -	—I
Фунвдм*	намывается ввалитияеетД * «блцет D,
ъслв она дяффереыярфуема в маждой тотие абгакт D. Функций яаяыцаежса аммжжичвсмей в тонне х, л #»оа, eetee ояв аналитична в некоторой ее онрастиосм-. Фдммвдш до?рх Действительных переменный и =* и (х, у)‘„ имеющая в области, 0 непрерывные частные Производные второго порядка и удовлетворяющая уравнению Лапласа
д2«ь . д*и__а
дхг * ду2 ~
называется гармвимяяеиоФ в области D.
ЯяАс*1й№з1я»ял ж мнимая чести аналитической в даноежязиой области 0 функции	(х, у}-4-г»^х, у) «маево» гфяи»
ческими функциями в области £>. Дяяввявавйгармяжизсвойв ждш> связной области D функции и (х, у) существует фузищи* Да> ч» = и (х, у) -|- iv (х, у), аналитическая в области D. Ее мнимая часть v(x, у) называется функцией, гармонически сопряженной с функцией и (х, у).
Если /(<) = « (0 -|- iv (t) — непрерывная комплексная функция действительного переменного t,	то
6	6
и (/) dt -f-1 J* v (t) dt.
1	6	t,	t.
Интеграл от непрерывной функции комплексного переменного z f(z)=*tt(x, y)-|-Zv(x, у)
вдоль кусочно-гладкой дуги АВ вычисляется по формуле
J f(z)dz= у и dx — v dy -|-1 J‘ v dx -ф- и dy t АВ	АВ	АВ.
или, есяи: х = х(/>,	т, е. ж»хЧЙ4-	г-»«(/),
ti < i <it, — параметрические уравнения дуги АВ, A^tu B^t2, то
ff(z)dz ^ f f(z(f))z'(i)dt.
АВ	ti
" ‘	.. . : i
64	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. ПТ
Интегра^ от функции / (г) по простому (несамопересекающемуся) замкнутому контуру С обозначается через ф / (z) dz или ф/ (z) dz с	с
(в зависимости от направления обхода контура С, указываемого стрелкой).
Основная теорема Коши для одиосвязиой области: если функция / (z) аналитична в одиосвязиой области D, то интеграл от этой функции вдоль всякого кусочно-гладкого замкнутого контура С, лежащего в £>, равен нулю.
Пусть С — простой кусочно-гладкий замкнутый контур, С1( Сг,	Сп — простые кусочно-гладкие замкнутые. контуры, лежа-
щие внутри О, но вне друг друга. Если функция / (z) аналитична в многосвязной области, лежащей между контуром С и контурами Ch Сг.....Сп, и на этих контурах, то .
 п • (^/(z)dz=^j ^f(z)dz
' С	ft=l
(основная теорема Коши для миогосвязной области).
Если функций /(z) аналитична в области, лежащей, внутри простого кусочно-гладкого замкнутого контура С и на этом контуре, то. в каждой точке z, лежащей внутри С, имеют место интегральные представления функции / (z)	<
 . . . с.
(интегральней формула Коши) и ее производных: -
„_1.2....
2nj Т (С—-г)"*1	I
С ..	J
181.	Найти производную z'(Z) функции: 1) z(f) = j = cos31 +	2) z(Z) = ln(Z24-l)-f-Zarctgy.
182.	Проверить выполнение условий Кван -^Римана и установить правила для дифференцирования функций: 1) /(г) = я3; 2)/ (z)*= ег; 3) /(z) = sinz; 4) ,/(z)==lnz.
183.	Показать, что при z + 0 функции 1) /(^т==|г |2 и 2) /(z) = zRez не имеют производнйх.
184.	Найти коэффициент растяжения и угол поворота z 4- 2
при отображении a) = /(z) в точке z = z^. 1)	—
z^ — 21-,	w=3Zz-f-2, Zj = l-J-Z; 3) rw — ez, zx~ I',
4)	=	=	
S 2]
ПРОИЗВОДНЫЕ И'ИНТЕГРАЛЫ
65
185.	Найти линии равного растяжения и линии равного угла поворота для отображений: 1) w~~ z3; 2) <w = ег.
186.	Показать, что если точка z описывает дугу I в области аналитичности функции f (z), то ее образ описывает дугу, длина L которой находится по формуле: 4 = | /' (г) | ds. Найти длину образа отрезка z — 1 + ti, Г
—при отображении w — z2.
187.	Показать, что если аналитическая функция <w — f(z) отображает область О плоскости z на область G' плоскости w, то
пл. G' = J* J* ] /' (г) |2 dx dy. ’	о
Найти площадь области изменения w при отображении w = z2, если переменная z меняется в области, определяемой условиями 1 < | z | < 2, — arg z < — .
188.	Доказать, что линейная комбинация гармонических функций есть функция гармоническая.
189.	Доказать, что всякая гармоническая в односвязной области G функция имеет семейство сопряженных гармонических функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое:
<х, У)
v(x, у) = f —-^-dx+—-.dy-f-C,
У»)
и найти функции, сопряженные с гармонической функцией «(х, у) = Х2 — у2-|-Х в плоскости хОу.
190.	Найти аналитические функции w = a-j-iv, если:
1)	и = х2— у2ху, w (0) — 0; 2) v — -гф-г > w (2)=0;
3)	и — In(х24~у2); 4) а = х34-6х2у—Зху2 — 2у3, w(0)=0.
191.	Вычислить интеграл от функции f (t) по промежутку [f0, Т):
1)	/(/) = sin3/4-/e-2'. /о = О, Г=1;
2)	/a)=(/2+i)4--p. 4>=Н-1. Г = 2.
5 Н. И. Кожевников и ДР,
66	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. MI
192.	Доказать следующие равенства: 1) ^xdz = lS; с
2)	^ydz — — S', 3) z dz = 2iS, где С — простой замк-с	с
нутый контур, ограничивающий область площади S.
193.	Вычислить интегралы:
1)	j" [z[dz по левой полуокружности с центром О АВ
радиуса 1, если zA =— I, zB = l‘,
2)	J* Re(z)dz, где L — отрезок прямой, соединяющей L
точку zx с точкой а2;
f dz ,
о)	/ где L — верхняя половина окружности с цен-
i V 2
тром О единичного радиуса; направление обхода положительное (УТ — главное значение корня, получаемое из общей формулы при А = 0).
194.	Вычислить интеграл 4- dz, где С — граница обла-с 2
сти 1 < | z | < 2, Im z > 0.
195.	Вычислить интеграл J* (г — d}ndz, п— целое число: с
1)	по полуокружности [z— a| = R, 0<.arg(z — (начало пути в точке z = а +7?);
2)	по окружности | z — а [ = R’,
3)	по периметру квадрата с центром з точке а и сторонами, параллельными осям координат.
Z
196.	Найти значение интеграла £ если путь инте-i
грирования не проходит через начало координат.
197.	Исследовать значения функций в зависимости от выбора пути интегрирования:
Z
1) arctg z= / . (путь интегрирования не проходит
Ю
через точки I и —I);
5 2]
ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
67

2) arcsinz — у ______ * (путь интегрирования не прохо-
дит через точки 1 и —1).
198. Какие значения могут иметь следующие интегралы, если за пути интегрирования принимать любые пути, вдоль которых подынтегральная функция непрерывна:
2	1
,,	Г dz Г dz с.
1	о
199.	Вычислить следующие интегралы:
1 + i	In 2	2:
1)	J* z2dz', 2) J* zezdz‘, 3) J* sinzdz. 1	о	0
200.	Используя основную теорему Коши и интегральную формулу Коши, вычислить	если: 1) точка 3Z лежит
с
внутри контура С, а точка — 3Z вне его; 2) точка — 3Z лежит внутри контура С, а точка 3Z вне его; 3) точки ±3Z лежат внутри контура С; 4) точки ±3Z лежат вне контура С.
201.	Используя основную теорему Коши и интегральные формулы для аналитических функций и их производных, вычислить следующие интегралы:
»	С^ + у’+^О!;
|z|=3	С
л\ JL ~ & dz . С (z 4-1) dz	t cos z dz
3) T (z+03’ 4) T z(z— l)2(z— 3)’ 5) Ф (z-f-l)2(z —2)' |z|=2	|z|=2	|z| = 3
"	1 C- dz
202. Вычислить	—тт—если: 1) точка 0 лежит
2Я»4! z(l—z)3	’
c
а. точка 1 вне контура С; 2) точка 1 лежит внутри, 0 вне контура С; 3) обе точки 0 и 1 лежат внутри С.
внутри, а точка контура
203. Найти ф
zdz _. .
—j---г , а > 1.
Z4 — 1
I z-а |=в
204.	Вычислить ф-gпо произвольному простому с
контуру С, не проходящему через точки 0, 1 и —1.
5*
68
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. иг
205.	Показать справедливость формул:
Г	2к
I еС03тсо8(з1п<р — ncp)rf<p = —;
б
2к
J" ecos ? sin (sin <р — яср) dcp = 0. о
Указание. Рассмотреть ф dz, положив z = evl,
<р < 2я.
206.	Показать справедливость формулы
fе~х‘cos2bx dx — У-£-е~ь'. о
Указание. Проинтегрировать функцию /(г) = е~г’ по границе прямоугольника |х|<R-, 0<у<6 и воспользоваться инте-
ОО
гралом Пуассона J* e-r’ dt = У я.
о
207.	Доказать равенство
J cosx2dx= j*sin x2dx —	(интегралы Френеля),
об	'
Указание. Проинтегрировать функцию / (г) = elz‘ по границе
К
сектора 0 < | z |< /?; 0 < arg z < .
208.	Доказать, что j* dx = ^ (интеграл Дирихле).
6 !
Указание. Проинтегрировать функцию / {г) = по границе области г < | г| < /?, 0< arg гя.
209.	Имеется плоское поле векторов А = А-НА (дАх	dAv \
div А = -д— + —И- =01 и без вихрей ох	/
§ 2]	ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ
69
А«	OAjg \
rot А === ~-^~--^-=0у. Показать, что функция тока
t/(x, у) = J* — Ay dx	Ах dy —|- С (С = const)
г<>
и потенциал поля
а(х, у) = J" Axdx-j-Aydy-j-C го
являются соответственно мнимой и действительной частями аналитической функции f (z) = и (х, y)-$-iv(x, у) (так называемого комплексного потенциала поля).
Указание. Использовать условия Коши —Римана.
210.	Дан комплексный потенциал плоского поля f(z) — — и(х, y)-j-iv(x, у). Показать, что в векторном поле A = /Ztz) (где f'(z)— комплексная функция, сопряженная с /'(г)):
1)	поток N поля через замкнутую кривую С вычисляется по формуле
N —Im ф/'^)*/.?;
с
2)	циркуляция Г поля вдоль замкнутого контура С вычисляется по формуле
r = Refyf'(z)dz.
с
Указание. Поток поля А
N — ф (Ли0) ds = ф Ах dy — Ау dx, с	с
где и0 — единичный вектор по внешней нормали к контуру С. Циркуляция Г поля вдоль контура С:
Г=ф(Ав0) ds = ^,Axdx-{-Avdy, с	с
где s0 — единичный вектор, направленный по касательной к контуру С в направлении обхода С.
70
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
211.	Комплексный потенциал / (г) поля равен:
1)	/ (*)=-£ In 2) f (z) = g In z-, 3) f (z) = In z. Найти поток поля через окружность | z | = г и циркуляцию поля вдоль этой окружности.
212.	Найти комплексный потенциал f (z): 1) поля точеч-N 1
ного источника Д = —— , где А—вектор; 2) поля точечного вихря Д == g ; 3) поля точечного вихреисточника д-^+/г 1
Л~ 2я z ‘
213.	Комплексный потенциал электростатического поля диполя равен »> = -£-, где р—действительное постоянное число (так называемый момент диполя). Найти вектор напряженности поля диполя Е — — и величину напряженности |Е|.
214.	Производная от комплексного потенциала № = /(.?) плоского течения жидкости есть комплексная скорость течения. Модуль комплексной скорости дает величину самой скорости. Найти комплексную скорость, величину и направление скорости для плоского течения с комплексным потенциалом:
1) w = az, где а = ах— 1а2‘, 2) w = az2, где а—дей-„	Q 1 /	,	Ml
ствительное число; 3) w — -^-in(z — а); 4) w — ------
г;
5) w = — 2^- In (г — а).
215. Найти комплексный потенциал плоского течения жидкости w — f (z), ' если: 1) его потенциал скорости ; 2) его функция тока ф = у — -2gy2-.
§ 3. Ряды Тейлора и Лорана
Если f (z) — аналитическая функция в круге | г — а | < R, 0 <7? <4-оо, то она разлагается в этом круге в ряд Тейлора
= 5 Дя(г —л)л, в=0
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
71
где
/я)(а)
2nZ Ф
/(?)
(z — a)',+1
dz, п = 0, 1, 2, ...
(С — любая окружность с центром а, лежащая внутри круга I z — а | < /?).
Если/(г)—аналитическая функция внутри кольца г< |г—а|<R, О < г < 7?<4-о°, то она разлагается в нем в ряд Лорана
4-со
/(•*) = S — — GO
где
А
„ =	л = 0, ±1, ±2,...,
2л/Т (г-а)в+1
(С — любая окружность с центром а, лежащая внутри кольца г < |г — а] </?).
21 в. Зная разложение
_±_=1+г+г2+ ... +/«+	<1,
найти разложение по степеням z функций: 1) ..	,2- ПРИ
|я| < 1; 2) —-при |^| < 1, р—натуральное число.
217. Написать разложение функции / (г) по степеням z в области D в ряд Тейлора или Лорана:

2)	£{И<1};
3>
4)	/(z) =	' £,l2<|z|<3};
5)	=	a)Di{H<lb б)Я2{1<И<2},
b)D3{|£|>2};
6)	/(^)=(г_д)1(г_»у а) *Мо<к1<И<1*11« б) Ог{|г|>1й|};
7)	D (И < 1}.
72
АНАЛИТИЧЕСКИЕ- ФУНКЦИИ
[ГЛ. ИГ
218. Разложить в ряд Тейлора или Лорана в окрестности точки z0 функции:
1)	/(*) =	(1	гу » а) z0— 9, б) —1, в) Zq — оо,
2)	/(*) =	14-г2 ’ а) zo~1' б) *о —°°;
3)	/(*) =	7-(г-1) ’ а) zo = °’ б) *о=1;
4)	/О)==	г2 —Згг —2’ ~о ~~ “Z>
5)	/(*) =	’ а) zo — ~ 3> б) z0 — oo, в) г0 = —2;
6)		(г-3)2’ а) z°	1( б) zo~ °°- в) *о — 3;
7)	f(z)=	(74И)^(г-2)’ а> *о = 3, б) z0=- 1, в) г0—2;
8)	f(z)=	z0 = l;
9)	f(z)=	6z	, „ 7-5—ТГТТ2—гг в окрестности точек г0=±2.
*о= ± 1-		
Ю) f(z) — lnz, zo=a^=O;
11) /(z)=(l-z)e*. го = О;
12) / (z) — sin 2z— 2 sin z, zo = O.
219. Разложить в ряд Лорана в указанном кольце или в окрестности указанной точки.z0 (в последнем случае надлежит определить окрестность, в которой разложение имеет место) следующие функции:
. г2 —2*4-5 (*-2)(*2-|-1)
1 <И < 2;
в окрестности точки z0 = 2
и в кольце
2)
1 (*24-1)2
1
в окрестности точек z0 = i и *0 = оо;
3)	z2ez в окрестности точек zo = O и *0 = оо; 1
4)	е1-г в окрестности точек г0=1 и z0 = oo; 1
Z 4-
5)	е г в области 0 < | z | < + оо;

» 3]
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
73
6)	sin z sin у в области 0 < | z | < 4- со;
7)	в окрестности точки z0 — оо.
220.	Используя предложение: «тейлоровские коэффициенты суммы равномерно сходящегося ряда с аналитическими ОО
членами /«(*): 2/лСг), получаются путем сложения одно-именных тейлоровских коэффициентов, взятых из разложения каждой функции /„(г)», написать разложение по степеням z функции
ОО
/1=1
221.	Подставляя ряд в ряд, написать первые четыре члена разложения в ряд по степеням z функций: 1) f (z) — ex~z 2) /(г) = 1п(1-Нг); 3) sin ylj.
222.	Используя умножение степенных рядов, разложить по степеням z функции:
(со \ 2
2	zaj • l«|<и
n-Q / (оо	\ / оо	\
2^п)( 2 л=0	/ \ л=0	/
оо
где радиус сходимости ряда 2 апгП отличен от нуля; п=0
3)	/(.?) = ег cos г;
4)	f (z) = ez sin z.
223. Используя деление степенных рядов, написать разложение по степеням z функций: 1) /(г) = р 2) /(z)= = zctgz; 3)	=	4) f(z) — secz.
224. Функция f(z) допускает приближение многочленами в некоторой области D, если существует такая последовательность многочленов [P„(z)], которая сходится равномерно
74	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. 1И
к функции f(z) в этой области. Показать, что следующие функции допускают приближение многочленами:
1)	f(z) = ez во всякой ограниченной области;
2)	/(.?) = sin г во всякой ограниченной области;
3)	/G3)==-j-^j в области |г|<р, р<1.
225.	Найти области сходимости рядов и их суммы:
СО.	оо
1)	2 а - *2)"; 2) 2 («+ь • л=0	д»0
оо
226.	Показать, что ряд У Спе~пг сходится в полупло-/1=0
1	00
скости х > 1п -к-, где /? —радиус сходимости ряда S Cnzn,
К	в=0
и расходится и полуплоскости х < In -i-.
227.	Показать, что в соотношении R min(7?i, Т?2) (где /?1 и Т?2 — соответственно радиусы сходимости рядов
ОО	оо
У anzn и J] bnzn, a R— радиус сходимости произведения Л=0	п=0
этих рядов) для произведения
*	/ 00	\ / 0°	\
(2 *“)( 2*я)
\д=0	/ \л«0	/
имеет место знак равенства, а для произведения
в-0	л—О
— знак неравенства.
Пусть функция w = / (г) аналитична в окрестности точки Точка называется нулем функции /(г) порядка k,, k >1, если разложение функции /(г) в ряд Тейлора в окрестности точки г, имеет вид:
/(г)= § Л„(г—го)л.
где Ак =£ 0.
5 3]
РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
7S
228.	Доказать, что точка z0 тогда и только тогда является нулем порядка k аналитической функции /(z), когда имеют место соотношения:
f (*о) = Г (*о) = Г (*о) = ... = /“-1) (*о) = 0, /(*> (z0) + 0.
229.	Найти порядок нуля zo = O для функций: 1) z2(e*!—-1); 2) 6sinz3+z3(ze —6); 3)
230.	Найти порядки всех нулей данных функций: 1) z2~t~ 9;
2)	; 3) z sin z\ 4) (1—e*)(z2— 4)3; б) 1—cos г;
Sin8 2
6) -у-.
231. Пусть / (z)—аналитическая функция в кольце 1 — 8 < | z | < 1 + 8 (8 > 0). Тогда в этом кольце ее можно + оо
разложить в ряд Лорана / (z) = 2 спхП> где
— ОО
2тс
12| = 1	О
Для точек z — elt единичной окружности
f (е“) = cp (f)= S cBelnt. — ОО
Показать, что этот ряд является рядом Фурье (в комплексной форме) для функции <р(/).
232*. Найти разложение в ряд Фурье функции
<р(х)== ^aacos(И I <
Указание. Положить elx = z и найти разложение функции от z в ряд Лорана.
233. Разложить в ряд Фурье следующие функции:
1 _л2
D Т <Х) ^Т- гасозЗД* (| а I < 1). л 1 лА* VV3 Л I*
I	1 —а COSх	/1 I 1 \
2) ср (х)_——-p-j	(I а К 1).
У казание. См. задачу 232*.
76
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
234.	Отделяя действительную и мнимую части разложения функции / (z) = у в ряд по степеням г, доказать справедливость следующих равенств:
СО
т—7?^---------2 — "X /’В-1 C0S	О С <р < 2л),
1 — 2r cos <р 4- г2 АЛ	т 4	т '
оо
-—. si.nT — V /-«-I sin пф (0 < г < 1, 0 < <Р < 2к).
1—2г cos ср-j-г2	т /
Л=1
235.	Используя соотношение
СО
1п(1-г) = -2<, И<1,
доказать следующие равенства: оо
1	VI Г**
у 1п (1 —2r COS <Р 4- Г2) = — 2j — COSflCp л-1
(О г < 1 ’ 0 ? < 2л),
, Г Sin Т V г"
arctg т-------1— = 7. — sin пф
ь 1 — г cos <? АЛ п т л-1
(О г < 1. О <р < 2 л).
236*. Найти суммы следующих тригонометрических рядов
. , . COSX . cos2x .	. COS ПХ
а)	1+—г_+_^г_+ ... 4-——_
,, sin х . sin 2х .	. sin пх .
б)	-П-+-Я--1- ••• +~^1-
2) а)
б)^
cos Зх । cos 5х “31	1	51“
sin3x 3!
4-(-i)n+1
। sin 5x
+" 51
cos (2n — 1) x (2n —1)!

sin (2n — 1) x (
(2л—1)!	'
5 fl
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
77
§ 4.	Особые точки
Каждая точка а, а со, в которой нарушается аналитичность функции /(г), является для этой функции особой точкой. Особая точка а называется изолированной особой точкой функции /(г), если существует окрестность О < | г — а | < 7?, в которой функция /(г) аналитична.
Если разложение функции /(г) в окрестности изолированной особой точки а в ряд Лорана
ОО
7(.г)= 2 (г-а)" — ОО
1)	не содержит отрицательных степеней z — а, то точка а называется устранимой особой точкой функции / (г);
2)	содержит конечное число членов с отрицательными степенями г — а, то точка а называется полюсом функции /(г);
3)	содержит бесчисленное множество членов с отрицательными степенями г— а, то точка а называется существенно особой точкой функции / (г).
Для того чтобы изолированная особая точка а была устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функции /(г), необходимо и достаточно, чтобы при стремлении z к а функция f (z) имела соответственно конечный предел, бесконечный предел или не имела предела (ни конечного, ни бесконечного).
Если а — устранимая особая точка f (z), то после доопределения функции / (г) в этой точке по непрерывности (/ («) = Нт / (г)) г->а функция становится аналитичной в точке а.
Если а — полюс f (z), то в окрестности точки а
ОО
/(г)==-(^^+ +т^ + ^Л«(г_в)В’ Где л-^°-л=0
Число т называется порядком полюса а. Для того чтобы точка а была полюсом f(z) порядка т, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности точки а имело место равенство
(z — a)m’
где <р (г) — аналитическая функция в точке а, <? (а) #= 0.
Если функция f (z) аналитична в окрестности | г | > г бесконечно удаленной точки, то точка а = оо называется изолированной особой точкой f (г}. При этом точка а = оо называется устранимой особой точкой функции f (г), полюсом или существенно особой, если разложение f (г) в ряд Лорана в окрестности точки а — оо
/ (г) = V Апгп
78	АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. II}
соответственно не содержит положительных степеней г, содержит конечное число положительных степеней г или содержит бесчисленное множество положительных степеней г.
_ 1
Подстановка л==у сводит изучение функции в окрестности точки а = оо к изучению функции в окрестности точки а=0.
Если в окрестности точки а = оо т — ОО где Ат Ф О, то точка а = оо называется полюсом порядка т функции / (г). Если в окрестности точки а = оо — т
,«>о. — со
где Л_тт£О, то устранимая особая точкаа = оо называется нулем порядка т функции f(z).
237. Точка zG является нулем порядка k для функции f (г) и нулем порядка I для функции <р(г). Что можно сказать о характере точки годля функций: 1) f (д)<р(г); 2) f (z) -1- <p (z);
238. Определить характер точки z0 для следующих функций: 1) sinz + 3sin2z, zQ = kv, k = 0, +1, ±2,
7t
COS у Z
2) sin(z — l)cos3^, z0=\\ 3) sin21)- го=1-
239. Используя результаты задачи 237 и определение порядка полюса, определить порядки полюсов z0 для следующих функций:
1) *o = °; •го = kit, k= ± 1, ±2, ..
21	г2——%. z _ р
> (г2 — 4)2(г— 1)3 ’ zo —го—
оч cos (тог) 4-1 .______________
Л) (г2_г____2)3 • ^0-- 1 > г0---
240. Показать, что если / (г) и <р(г) не имеют в области D других особых точек, кроме полюсов, то их сумма, разность, произведение и частное (последнее, если <р (z) ф 0) не имеют других особых точек, кроме полюсов и устранимых особых точек.
» 4)
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
79
241. Проверить утверждение задачи 240 для следующих функций и точек Zq.
1)	-4--Д—, za—±4i, z0 = kK, А —0,	±1,
’ Z1 2 4- 16 1 sin г 0	U
±2, ...;
2)	г2_|_ J ^0 = ±
3)	-(jrJnv ctg*о = ± 2-
242. Пусть Ра (z) и Qm\z) — многочлены соответственно л-й и яг-й степени. Показать, что точка г0 = оо является: 1) для функции Рп{z) -f- Qm (г) а) полюсом порядка A —max (я, т), если я =# яг; б) полюсом порядка А^я или устранимой особой точкой, если я = яг;
2) для функции Рп (г) Qm (z) полюсом порядка п 4- яг; Р (z\
3) для функции пп, <- а) полюсом порядка п — zn, если Qm \2)
п> т; б) устранимой особой точкой, если п (если л.	РпХ?)	4	\
я < яг, то z0 = oo — нуль функции -я-ЛА- порядка яг—я .
243.	Определить характер точки z0 — оо для следующих .	.	г24-г+1 г3г4-5.	2г34-Зг4-1.
функций. 1) (г,_|_г.>2(г_4)3 , 2) г(г,2_|_7) • 3) гз4-г24-10’ 4) За24-4,?4-5; 5) (2z4-7)(За24-9z4- 1).
244.	Показать, что если точка z0 для функции f (z) (f(z)^O) является устранимой особой точкой или полюсом, а для функции <р (z) существенно особой точкой, то она будет существенно особой точкой и для каждой из функций:
<p(z)±f(z); f(z)<p(z) и
245.	Показать, что точка z0 есть существенно
1	—I—
точка для следующих функций: 1)	•
1 г
1	1	cos —2lT
2) г5^4ег+2, го=—2; 3) г2_г+2 ’ zo—~~L
246. Показать, что если z0 есть существенно
точка для функции <р(г), то —т-т
особая
z0 = l",
особая
будет иметь в точке а0
80
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. III
либо существенно особую точку, либо неизолированную особую точку, являющуюся предельной точкой полюсов.
247.	Воспользовавшись предыдущей задачей, рассмотреть _______________L	1	I примеры: 1) в *2, z0 — 0; 2) =—, zn—оо; 3) -	:,
r r	' sin z 0	’ ' sin z — sin a
za — oo.
248.	Найти характер особых точек zQ для следующих Z	1	.
функций: 1) в1-г, z0== 1; 2) Z г, го = О; 3) sin j _г > te 1	2	*	1
z°=l; 4) е г, гй =	4. j) д ’ А = 0, ±b 5)ctg7’
z0—00; 6) sin/—Ц-\, z0 = oo; 7) sin /—zQ—oo.
I sin — I	I cos — I
\ Z /	\ z )
249.	Какие -особые точки имеют следующие функции: 1_______е* 1
1)	—-— при z = 0; 2) ctgz при z — 0 и z — k 3) ।
1 при 2 = 0 и z = cc; 4) cos г—sin z при z=oo; 5) е2-г при z — 2?
250.	Найти особые точки функций, выяснить их характер и исследовать поведение функции в бесконечности: .	_ Sin* .	*4-1 . 4. ег .
J (г — 1)2(г24-4) ’	*34-1 ’ sin* ’	14-г2’
о*	1 __ oz	1	ctg —
5) г(1—в-*2)’ 6) Г+Р; Р cos *4-cos а ’ в) 6 9)	+	10> eT+c0S^ И) J^pigcos-b,
12)	L—
co	s 7=2
251.	Построить примеры функций, имеющих в расширенной комплексной плоскости только следующие особенности: 1) полюс второго порядка в бесконечности; 2) полюс второго порядка в точке z — 0 с главной частью и простой полюс в бесконечности.
4J52. Найти общий вид функции, имеющей в расширенной комплексной плоскости только следующие особенности: 1) один простой тюлюс; 2) один полюс порядка п.
S 4]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ
81
253.	Пусть точка z0 для функции J\(z) является нулем порядка а, а для функции /2(д) — полюсом порядка р. Что можно сказать о точке z0 для следующих функций: 1) /i + f2> 2) ЛЛ; 3) А ; 4) А?
254.	Показать, что для функции
1
у_ е х2, х Q (х— действительное число),
О, х — О, производные всех порядков при х = 0 равны нулю. _____________________________________________i_
255.	Показать, что для функции w — е г3 точка z = О является существенно особой.
256.	Проверить, справедливость теоремы Сохоцкого для
1
функции f(z) — ez в окрестности существенно особой точки z — 0, т. е. найти последовательность zh —> 0, такую, что / (дй) -> А, где А — любое комплексное число и k -> оо.
257.	Функция /(г) аналитична в области D всюду, за исключением конечного числа полюсов. Показать, что в окрестности каждой точки а области D функцию f (z) можно представить в виде
/(.?) = (г —я)” ср (г),
где ср (г) аналитична в точке а, ср (а) =£ 0, п — целое число. Как, в зависимости от га, определяется характер точки га?
Точка, обладающая тем свойством, что полный (однократный) обход вокруг нее в любой достаточно малой ее окрестности по' какой-либо замкнутой кривой заменяет одну непрерывно изменяющуюся ветвь многозначной функции другой ветвью, называется точкой разветвления функции. Если после n-кратного обхода в одном и том же направлении мы возвращаемся к исходной ветви, то говорят, что точка разветвления имеет порядок п — 1 (такую точку называют алгебраической точкой разветвления).
258.	Показать, что:
Л
1)	для f (z)=\ z точки 2 = 0 и £ = оо являются точками разветвления порядка га — 1;
2)	для / (г) = У1 —г2 точки z — ±1 являются точками разветвления;
,6 Н. И. Кожевников и др.
82
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
3)	для /(z)=|/(l—я2)^1 — |-«2j точки z=±l; л-1
z = ± у — точки разветвления;
4)	для / (г) = z -j- )Аг2 — 1 точки z = ± 1 — точки разветвления.
259.	Показать, что в любой области D, в которой нельзя провести замкнутую линию, обходящую лишь одну из точек разветвления ±1 функции w = z -\-]fz2— 1 , можно выделить две однозначных ветви функции то = г-]-'|/гг2 — 1.
Если же в области D можно обойти точки 4-1 (—1), не обходя при этом точки —1 (4-1), то в такой области ветви функции w — zz2 — 1 отделить друг от друга нельзя.
- Если, совершая обход вокруг точки разветвления в любой ее достаточно малой окрестности, мы никогда не вернемся к исходной ветви, то такая точка называется точкой разветвления бесконечного порядка или логарифмической точкой.
260.	Показать, что:
1)	для функции w = Lnz точка z = 0— точка разветвления бесконечного порядка;
2)	для функции w = Arcsin z точки z — ± 1 являются точками разветвления порядка 1, a z = co — точка разветвления бесконечного порядка.
261.	Показать, что логарифмическую точку а функции f (z) = CLn(z— a)-\-g{z), где С — действительное число, a g (г) — аналитическая функция, можно интерпретировать как источник интенсивности N = С  2и.
262.	Показать, что логарифмическую точку а функции f (z) = Cl Ln (z — a)4* g (г), где С — действительное число, g(z)— аналитическая функция, можно интерпретировать как вихрь интенсивности Г = С • 2те/.
263.	Показать, что логарифмическую точку а функции f(z) — CLn(z— a)-{-g(z), где С — Сг-\-С21, можно интерпретировать как вихреисточник с интенсивностью N-^-lT — ==2irC.
264.	Показать, что простой полюс а функции
*§ 5]
ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
где С — действительное число, g(z~)— аналитическая функция, можно интерпретировать как диполь, полученный от слияния двух источников интенсивности ± N, расположенных в точках Zi~a — h, z2= а. При этом
C = -l-Iim(Nft).
Л->0
г
265.	Показать, что полюс а функции =
-f-§•(.£), W~C — действительное число, f (z)— аналитическая функция, можно интерпретировать как диполь, полученный от слияния вихреисточников интенсивности ± Г, расположенных в точках zt — а — ft, z2 — а. При этом С = = i Ит (ГЛ).
/7С л->0
Q
266.	Показать, что полюс а функции f (г) = —--|- g 0г).
где С — С1-\-1С2, a g(z) — аналитическая функция, можно интерпретировать как диполь, полученный от слияния двух вихреисточников интенсивности + (N-\-iT), расположенных в точках z^ — a — h, z2 = a. При этом С = C}-{-lC2 —
==-— lim (W+ /Г) ft.
Л->0
Замечание. Полюсы второго порядка функции f(z) = — -г-----могут быть интерпретированы как квадруполи,
уг — а)
полученные при слиянии двух диполей, расположенных в точках Q
Zi = а — Л; гг — а, с моментами ± 2л —.
§ 5. Вычеты и их приложения
Вычетом функции /(z) относительно конечной изолированной особой точки а называется число, обозначаемое Res / (z) и опре-а
делаемое равенством
Res f (z) = f (z) dz, a	c
где C — любая окружность с центром а достаточно малого радиуса
Res/(z)= а
6*
84.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. ПТ
где — коэффициент при д' в разложении f (?) в ряд Лорана в окрестности точки а. Если а — простой полюс f (z), то
Res f (z) — lim (z — a) f (z). a	z-ta
9 (2’)
Если f (z) =	> гДе f (г) и Ф (?) аналитичны в точке а,
«р (а) =/= 0, ф (а) = 0, ф' (а)	(т. е. а — простой полюс / (г)), то
Рг.-?<г) _ ?(а) ,Ф0 "ф'(«)’
Если а — полюс порядка п для f (z), то 1 •	rfn-1
Res f (г) = -4- Um r [(* - a)" f (г)]. a	(n—1)! г->а dz
Основная теорема о вычетах. Если функция f(z) аналитична на простом замкнутом контуре С и внутри него, за исключением конечного числа особых точек а,, аг......ап, лежащих
внутри С, то
п ^f(z)dz — 2т Res f (г).
; С	*=1
Функция / (z) называется мероморфной в области, если ее особыми точками в этой области являются только полюсы.
Принцип аргумента. Если функция f (г) аналитична на простом замкнутом контуре С, не имеет на нем нулей и меро-морфна в области, ограниченной контуром С, то
— Р, 2т Т f (г) с
где N—число нулей, а Р— число полюсов функции f (?) в области, ограниченной С, причем- Каждый нуль и полюс f (г) считается столько раз, каков его порядок.
Интеграл	называется логарифмическим выче-
с том функции f (г) относительно контура С.
Вычетом относительно бесконечно удаленной изолированной особой точки функции f (z) называется обозначаемое Res f (z) число, равное
2^-ф>/(г)4Гг, с
где С —любая окружность с центром в точке О достаточно большого радиуса.
Res/(^) =— Л_1(
$ 5)
ВЫЧЕТЫ и их приложения
88
где Л_!—коэффициент при — в разложении /(г) в ряд Лорана в окрестности точки г = со.
Если функция f(z) аналитична в расширенной комплексной плоскости всюду, за исключением конечного числа особых точек, то сумма вычетов функции /(z) относительно всех ее особых точек равна нулю.
Пусть f (г) — функция, имеющая лишь конечное число особых точек Лк, А = 1, 2, .... т, выше действительной оси н не имеющая особых точек иа действительной оси. Если f (z) при z->oo (в верхней полуплоскости) стремится к нулю быстрее, чем -у, т. е. f (г) = -	, где a (z) -> 0 при z -> оо (в верхней полупло-
скости). то +оо	т
J / (х) dx = 2nl Res f (z).
—оо	k — l &
Лемма Жордана. Пусть С„, п = 1, 2, .... бесконечная последовательность окружностей с центрами в точке О и неограниченно возрастающими радиусами, а — какое-нибудь действительное число. Г„ — часть окружности Сп, расположенная в полуплоскости Rez<a. Тогда, если функция F(z) непрерывна на совокупности дуг Гя и F (z) -> 0 при z на Гя, z -> оо, то lim Г F (z) dz — 0 для л->оо J
каждого t > 0.	”
267. Вычислить вычеты следующих функций относи-
тельно точек
cos z
’ z3(z-f-4)’
5) sin —, z — 1
z — a\ 1)
о = 0; 3)
а = 1; 6)
z3-f-1
(z4-2)a(z —3) ’ а==3’ а = — 2;
1
tgz, « = -§; 4) ег+2, а —— 2;
z<-f-2 z*-f-16 ’
а — фо;
z3-f-3z-f-l 2z*-f-5
а — оо.
268. Найти вычеты следующих функций /(z) относительно их особых точек: 1) —, *	. ; 2) -Д— (z 4= оо);
I	' (z-f-2)2z3	7 sinz '	7’
3) *г;	'(Г-fz)” ; 5) cpsz—sinz; 6)	7) zV;
8) '. ;	9) sin z sin -; 10) ———g--, A =# 0.
z2(z2-f-9)	’	z 1 z(l -e~h*)
16
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 1П
269. Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы:
1) ф —-dr,	2) ф ignzdz, л = 1, 2, 3,
Izi = l	I г |»л	•
3) Ф (gZ;gi)(g{.(y^ (z_gft) . где все z4 различны, I Z 1=Л
/(z)—аналитическая функция, f{z4) #=0; ¥ = 1,2,3......k.
Точки zlt z2......z( лежат внутри контура |z =R,
а точки zl+1, zJ+2, .... лежат вне контура jz — R.
д'» г'в dz
-* т (г24-1)(214-2)3 •
|г|=4
Указание. Использовать Resf (z).
sinzdz
} Д (z-f-l)2(*-0
|t| = 2
4 -t- j — *>
*Ф (2z-f-3)2z2 ГДе C — 9ЛЛИПС с
7)	ф j . где C — окружность я2~Ьу2 = 2*; c
8)	Ф (z-3)(z«-l) ’ |zl=2
Указание. Использовать Res / (z).
CO
9)	ф sin 2 dz-, 10) ф	•
l*l“T	5
270. Вычислить с помощью вычетов интегралы вдоль отрезка действительной рительно произведя замену elx = z‘. 1)
определенные оси, предва-з»
f dx
0 -J---COS Л
4
2«	2к
/* dx ят /* dx'
./ (5-4-4cos х)2 ’ 2 J cos x-fra о	о
(а > О-
f 5]
ВЫИЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
87
271. Вычислить с помощью вычетов следующие не-+ СО
собственные интегралы:
+ОО dx
(л2+1)(л2+4)(х4+9) ’’	J лг<4-хг+1 *
— со	—оо
dx
(х2 + 25) (9л2 4-1) ’
dx
+ОО
4) f-------------------
ахг-}-Ьх-{-с
№ — 4ас <0, а > 0;
а, Ь, с—действительные, числа, +00
/Хгт
1+ х2я ^Х' т<п> т и «—нату-
ральные числа.
272. Вычислить с помощью основной теоремы о вычетах следующие несобственные интегралы:
ОО
1л f co&xdx
l) J л2 + а2 *
°	У*
У казание. Рассмотреть интеграл от функции /(z) = -5—5—5
Zл а вдоль контура, который составлен из верхней полуокружности Сц [z = Re*1, 0< «р О} и отрезка действительной оси [—R, + /?]; Показать, что lira | f (z) dz — Q.
7?->оо J CR
C cos 2x — cos 3x .
2) / -------p-------dx.
Указание. Рассмотреть интеграл от функции / (z) = —-----
вдоль контура, состоящего из двух верхних полуокружностей: CR [г = Де*1, 0<<?<я} и Cf {z = re*1, 0<?<я}, г <R, и двух отрезков действительной оси [— R, — г] и [г, Д].
Показать, что -
J f(z)dz->0 при R -> оо,
4
+оо
Г eaJCdx
f f(z) dz-* —я при Сг
88
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. III
g/г
Указание. Рассмотреть интеграл от функции f (z) = - ~т~Гг * ”Т* вдоль прямоугольного контура, состоящего из
(I)	отрезка [—R, /?] действительной оси,
(II)	отрезка г = R-]-iy, О^у^п,
(III)	отрезка z = x-f-2«/, /?>х>—R,
(IV)	отрезка z =— R-j-iy, 2к>у>0.
Показать, что j'f(z)dz->0 при /?->оо,
(ii) j‘f(z)dz-^0 при /?->оо.
(IV)
лч / IttXrfX
} J (х2+1)2‘ о
Указание. Рассмотреть интеграл от функции f (х) =
вдоль контура, который использован в примере 2).
Показать, что j" f(z)dz->0 при R -> со
cfi
Inz (*2+1)’
Н
J" /(z)dz->0 при с.
к, f sin х • dx
Q) J х(х*+1)2’ о
Указание. Рассмотреть интеграл от функции f (z) = вдоль контура, который использован в примере 2).

273. Применяя лемму Жордана, вычислить интегралы:
a + ioo	a+ioo
Г t>tz	С	1
1) I ^rdx, a > 0; 2) J ~dz, a > 0; a-ioo	a— I oo
3) 7>-КЦ,т>0.
T— i oo
» 5J
ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
89
274.	Вычислить логарифмические вычеты функции /(z) относительно контура Г:
D	Г||г|=3); 2) JiL. Г{|г|=5|;
Г(|г|=2|:	Г(|г|=4].
275.	Вычислить интегралы вида
Ш".	• 
г
ме f(z)-. 1)	Г{(г| = 3};
Г{|г| = 3}; 3)z3-f-z2-|-.z, Г (|z| = 2}; 4)
ПИ = 5).
2) (z-f- l)2siftz, cos z (z+iy z^z-i) ’
Теорема Руше. Если / (z) и ? (г) — аналитические функции в области, ограниченной контуром С, н на ием и во всех точках контура С выполняется неравенство । f (z) | > [ <? (z) |. то f (z) и / (г) 4- с? (z) имеют внутри С одинаковое число нулей (сЧитая каждый нуль столько раз, какова его кратность).
276.	Используя теорему Руше, найти число корней следующих уравнений в указанных областях:
1) z9 — 2z6-J-z2— 8z — 2=0 в круге |z| < 1.
Ук а з а н и е. Взять / (z) = — 8z и <? (z) = z9 — 2ze -f-z2 — 2.
2)1 2z5— z3-f-3z2— z-4-8 = 0 в круге |z| < 1.
3) z7— 5z44-z2 — 2 = 0 в круге | z | < 1. •
4) z4—5z-f-l=0 в круге |z|< 1 ив кольце 1 <|z|<2.
277.	1) Чему равен вычет функции <p(z)
Г (г) f(z)
относи-
тельно точки z = z0, если /(z) в точке z0 имеет нуль порядка a, a <p(z) аналитична в этой точке?
2) Тот же вопрос в предположении, что f (z) имеет при z = z0 полюс порядка р.
278.	Вычислить интеграл
/'(*) /U)
dz.
90
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. П|
если п —натуральное число, а / (д)— аналитическая функция внутри С и на С, причем /(д)=/=0 на С, и имеет внутри С нули Z3, Z2, • ••. порядков ад, а2, .... aft.
279,	Функции / (z) и g (z) аналитичны в точке z0, причем /(^о)#=О, a g(z) имеет при £ = £0 нуль второго порядка. Какой вычет имеет —относительно точки z==z0?
S \z)
280.	Показать, что функция
П ------1_ Ду /(Q. <0 (0 — <> (z) „
UW — У? щ(£)
где ®(z) = (z — zx)2(z— z2)3(z— z3), zv z2, z3 различны; Г — замкнутый контур, охватывающий точки гг, z2, z3, /'$,) — аналитическая функция внутри и на контуре Г, 1) является многочленом степени не выше 5;
2) удовлетворяет следующим соотношениям:
n(zi)=/(a:i);
П(*2)==№); П (z3) =/(z3).
п'с^)-/'^);
П' (г2) ~ f' (^2);

3 а и е ч а и и е. П (г) есть интерполяционный многочлен для f (г), удовлетворяющий условиям 1) и 2).
§ 6.	Конформные отображения
Рассмотрим отображение, осуществляемое функцией w = f (г). ~ Будем говорить, что отображение w — /(г), определенное в точке г0 и ее окрестности, обладает в точке z0: 1) свойством консерватизма углов, если при этом отображении углы между кривыми, выходящими нз точки г0, сохраняются по величине и направлению, и 2). свойством постоянства растяжений, если при этом отображении коэффициент растяжения бесконечно малых дуг, выходящих из точки za, не зависит от направления этих дуг. Отображение w = f(z), обладающее в точке z0 свойствами консерватизма углов и. постоянства растяжений, будем называть конформным отображением. Отображение я» = / (г) называется конформным в области D, если оно конформно в каждой ее точке.
Для того чтобы отображение ® = f (z) было конформным в области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области функция w = f(z) была аналитична и ее производная /' (г) была отлична от нуля.
281.	Используя уравнения прямой и окружности в комплексной форме, показать, что линейная функция w — az -\-Ь,
5 6]
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ОТ
а 4* 0, отображает прямую в прямую и окружность в окружность,
282.	Найти линейную функцию, отображающую круг | z — 11 < 2 на круг ] чю — 2 | < 4.
288.	Найти линейную функцию, отображающую прямоугольник ABCD на прямоугольник PQRS, где 2Л = 3; zq === 5 —J— 2/; Zq 2 —J— 5/; zR = 3/; Wp = 1 4~ Л 'Wq —- 4 4" Л чвя = 4 4- 8Z; = 1 4~ 31.
284.	Найти линейную функцию, отображающую полосу — 2 < у — 2х < 2 на полосу 1 < Im чю < 5 так, что точка
4	2 \	/4
— =, -=- переходит в точку (0; 5), а точка (-=-, О	О /	\ D
5/
переходит в точку (0, 1).
285.	Найти линейную функцию, отображающую полуплоскость Im z > 2 на полуплоскость Rew< — 3 так, что принадлежащая первой полуплоскости часть мнимой оси переходит в принадлежащую второй полуплоскости часть действительной оси.
286.	Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг | z | < 1 иа полуплоскость Im w > 0 так, чтобы точки —1, -|-1, I переходили в точки оо, 0, 1.
287.	Найти дробно-линейную функцию, отображающую полуплоскость Imz>0 на полуплоскость 1ште»>0 так, чтобы точки оо, 0, 1 переходили в точки 0, 1, оо.
288.	Найти дробно-линейную функцию, отображающую круг-{г—.21 < 3 на круг | w| < 1 так, чтобы точки —1, 5, I переходили в точки 1, I, —1.
289.	Найти дробно-линейную функцию, отображающую полуплоскость Imz>0 на круг |w|<l так, чтобы точки —1, 0, 4-1 переходили в точки 1, I, —1.
290.	Найти дробно-линейную функцию, отображающую КРУГ |И < 1 на круг |та>| < 1 так, чтобы точки I, —I, 21 переходили в точки I, —I, 4* оо-
291.	Найти дробно-линейную функцию, отображающую полуплоскость Im z > у0 > 0 на круг | чв 4* I”| < 1 так, чтобы «’(2ув/) = — I.
292.	Найти дробно-линейную функцию, которая преобразует круг fz—'/1 1 в полуплоскость так, что точка z == I переходит в точку w = — 3/ этой полуплоскости, а граница круга — в прямую v — v0 > 0.
92
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. III
293.	Найти дробно-линейные функции, отображающие круг \z— Z|<1 на круг	< 1 так, чтобы точка
1 < Уо < 2’ круга | z — I [ < 1 переходила в точку ад0= — Z.
294.	Найти дробно-линейную функцию, отображающую область (I z —/| > 1, \ z — 211 < 2} на полосу 0 < Rew < 1.
Степенная функция и». = zn отображает взаимно однозначно и конформно внутренность любого угла с прямолинейными сторонами 2я
и вершиной в точке О, раствора 0, 0 < 0 < —, на внутренность соответствующего угла также с прямолинейными сторонами, вершиной в начале координат, раствора пЧ.
Отображение, осуществляемое функцией w = zn, сводится к повороту каждого вектора г иа угол (п — 1) arg г и растяжению его в | г |”-1 раз.
295.	Найти степенную функцию, отображающую область
О < arg z < на область Im w > 0.
296.	Найти функцию, отображающую область
0 < arg (г — 1 — I) < -у на область Re та» > 0.
297.	Найти функцию, отображающую область <argz<it на область 0 < arg та» < ^.
298.	Найти функцию, отображающую луночку между окружностями (х—1)2-}-у2=1 и х2—|—(у—1)2=1 на полуплоскость Im w > 0.
299.	Найти функцию, отображающую верхний полукруг |z | < 1 на полуплоскость Im та» > 0.
Функция Жуковского w = '2^z+~) взаимно однозначно и конформно отображает как внутренность, так и внешность единич-' ного круга | г| •= 1 плоскости г на внешность отрезка — 1 <	-f-1,
о = 0 (действительной оси) плоскости о». При этом каждая окружность | г | = г о < 1 преобразуется в эллипс с полуосями а= JL (r0 -{-J- V 4 =	---г0) и центром « = 0. Каждая
2 \ г0 / м \ г0 /
окружность | г | = r0 > 1 преобразуется в эллипс с полуосями , I /	1 \	„
; й == — I г0---1 и центром w = 0.
2 \	Fq /
а =
5 ч
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
93
300.	Используя функцию Жуковского, найти функцию, отображающую кольцо у | z | < 1 на область	< 1
с разрезом —4<«^4, о — 0.
301.	Используя функцию Жуковского, найти функцию, 4^2 отображающую кольцо 1 < [z |	2 на область —1
с разрезом —40^4, о = 0.
302.	Используя функцию Жуковского, найти функцию,
отображающую область 0 <argz<^, 0 < | z | < I на область 2«2— 2о2>1, и > 0, ча>0.
303.	Используя функцию Жуковского, найти функцию, отображающую внутренность верхнего единичного полукруга | z | < 1, Im z > 0 на верхнюю полуплоскость Im та > 0.
304.	Используя функцию Жуковского, найтн функцию, отображающую внешность верхнего единичного полукруга | Z | > 1, Im'z > 0 на верхнюю полуплоскость Imw>0.
305.	Используя функцию Жуковского, найти функцию, отображающую плоскость с разрезам по отрезку [—2, 4] действительной оси на внутренность круга | w | < 3.
306.	Используя функцию Жуковского, найти функцию, отображающую круг | z | < 1 с разрезом по отрезку прямой между точками z = 0 и Zj==l на полуплоскость Imw>0.
Показательная функция w — ег отображает взаимно однозначно и конформно полосу ширины Л < 2л, параллельную действительной оси, на угол раствора Л с вершиной в начале координат; при этом прямые, параллельные действительной оси, преобразуются в прямолинейные лучи, выходящие из начала координат,, а отрезки прямых, параллельных мнимой оси, . преобразуются в. дуги окружностей С центром в начале координат.
307.	Используя показательную функцию, найти функцию, отображающую:
- 1) полуполосу 0<х<+оо, .0<y<it на область | w | > 2, Im tv > 0;
2) полуполосу 0<лг<1, у>0 на верхний полукруг |w| < 1, Im w > 0.
308.	Используя логарифмическую функцию, найти функцию, отображающую:
1)	плоскость с разрезом вдоль отрицательной действительной полуоси на полосу 0 < и <1, ~ оо < v < 4-оо;
94
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ!
[ГЛ. III
2)	верхнее полукольцо 2 < | z | < 3, у > 0, на прямоугольник 0 < x<ln-|-, 0<у<«.
309.	Комбинируя элементарные функции, найти функции, отображающие:
1)	полосу —у < х <	. —со<у<4-оо на плоскость w с разрезами —оо < «	— 1, <1 = 0 и 1	< оо,
та = 0;
2)	полуполосу — к < х < it, у>0 на плоскость w с разрезами вдоль отрезка —® = 0 и луча « = 0, —оо < v < 0;
3)	полосу — -^ < х <	,	— оо<у<-|-оо на круг
| w | < 1 так, чтобы та» (± у j = + 1, та» (оо) = Г,
4)	полуполосу 0 < х < 2к, у > 0 на плоскость w с бесконечным разрезом — 1 < и < co, v = 0;
5)	полуплоскость Imz> 0 на круг |та»| < 1 так, чтобы точка zQ верхней полуплоскости переходила в точку та»о = О;
6)	круг |г|<1 на круг |та>|<1 так, чтобы точка za круга | z | < 1 переходила в точку та»0 — 0;
7)	полуплоскость Im z > 0 с разрезом вдоль отрезка с концами z — a и z—a-\-lh, а и h — положительные числа, на полуплоскость 1тта»>0 так, чтобы точка a-\-lh переходила в точку а;
8)	единичный круг с разрезом вдоль отрезка с концами г1 = гей, д2 = е/а, а — действительное число, 0 <г<1, на единичный круг | та» | < 1;
9)	плоскость z с разрезами —оо< х<; — а, у = 0 и а<х<4-оо, у = 0, а > 0, на полосу 0<1шта»<2та0 так, чтобы левый разрез переходил в нижний берег, а правый— в верхний берег;
10)	полосу —оо<х<4~оо, 0 < у < 2Н с разрезом — оо<х<а, а > 0, у = Н, //>0, на полосу: — oo<a<-J-oo, 0<та< 2Н;
11)	полосу — oo<x<-f-o°. 0 < у < 1 с разрезом! х —а, а > 0. 0<у<Л, на полуплоскость Im та» > 0 так, чтобы точка а -|- М перешла в точку а;
12)	область, расположенную вне двух кругов СА и С2, Cj лежит вне С2, на круговое кольцо;
««]
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
95
1'3) внешность дуги АВ на внешность круга С (рис. 9);
14) круговую луночку (рис. 10) на полосу 0 < Im w < Л;
15) область у2>на полуплоскость Imw> 0.
810. Рассмотреть отображение с помощью функции 4D — 'W{z), полученной в задаче 309, 13) окружности С', касающейся границы круга С в точке va — а, а > 0.
311.	Конденсатор состоит из двух шин в форме полуплоскостей. Одна из этих полуплоскостей является продолжением другой, расстояние между ними 2а и разность потен-
циалов 2<»0. Найти комплексный потенциал поля конденсатора <w — F{z), если известно, что он осуществляет конформное отображение области D (плоскость z с выброшенными лучами — сю < х — о, у = 0 и а < х < + оо, у = 0) на горизонтальную полосу в плоскости w, ширина которой равна 21,0 (0 < Im w < 2и0).
312.	Поле образовано двумя разноименно заряженными цилиндрами, лежащими вне друг друга, оси которых перпендикулярны плоскости z. Найти комплексный потенциал поля, если известно, что он осуществляет конформное
98
АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ, Ш
отображение области D (плоскость 2 с выброшенными из нее сечениями цилиндров) на круговое кольцо.
313.	Бесконечно глубокий поток идеальной жидкости обтекает плотину высоты Н с заданной скоростью на бесконечности. Найти комплексный потенциал поля скоростей.
314.	Поток идеальной жидкости обтекает параболу уг--~‘2рх. Величина скорости в точке г = 0 равна v0. Найти комплексный потенциал поля скоростей.
315.	Поток идеальной жидкости обтекает окружность | г | = R. Скорость в бесконечно удаленной точке равна vm= 1 и направлена вдоль действительной оси. Найти комплексный потенциал скорости w = Ф (г), если известно, что он осуществляет конформное отображение области D (плоскость г с вырезанным кругом | г | < R) на некоторую полуплоскость. Предполагается, что поток симметричен относительно действительной оси и удовлетворяет условиям: Ф(оо) = оо, Ф'(оо) — Нт Ф'(2)=\.
ГЛАВА IV
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Гамма-функция и бета-функцня
Определение гамма-функции T(s):
T(s) = J e~xxs~l dx, s > 0.
о
Формулы:
Г (s 1) = «Г (s) (формула приведения), s > 0; r(n-f-l) = »!. n = 0. 1. 2,
oo •
Г (s) = 2 У* dx (s > 0); Г = /Г;
0
+	Г.-;
Г(,)Г(1 — ~ siriW* ® < s < * (Ф°РмУла дополнения)}
T(s)= lira , ,	, L~Tns, s > 0.
n-> -boo S(S-f-l) ... (S-bn) ’
Определение бета-функцин В (p, q):
i
' В(p, q) = J* xP-1 (1 — x)q~x dx, p > 0, q > 0.
о
Формулы:
7
B(A. ?) = 2 J* cos2p_1 sin27-1 <f d<f, 7?>0, q>0;
7 H. И. Кожевников в др.
98
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
в(л	р);
В(т.	-QI,
'	' (m-f-п—1)1
в л;
т и п — натуральные числа;
+оо /» х/>-1 B<M) = J (1 +dx' p>(i' q>Qi
+оо
В (S, 1 — s) = I -X— dx, 0 < a < 1;
1 “ф* A? 0
В книге: Б. И. Сегал и К. А. С-емендяев, Пятизначные математические таблицы, М., Изд. АН СССР, 1962, имеются значения гамма-функции Г (х), х = 1 (0,001) 2, Г (п -f- 1), « = 1 (1) 50. Сокращенная запись обозначает, что аргумент х изменяется от 1 до 2 с интервалом 0,001.
316.	Вычислить интеграл	,,,	...
J* sin" х cos'" xdx, 2. p— где n и m — целые положительные числа.
Указание. Сделать подстановку sin2х = и, которая позволит выразить интеграл через гамма-функцию.
317.	Применяя формулу интегрирования по частям к интегралу, определяющему бета-функцию В(р, q), показать справедливость формул:
1) В(р. g) = В(л
2)В(/>, ?) = 747т1тв(Р-1-?)-
318.	Вычислить значения бета-функции В(р, 1) и В(р, п), где п — натуральное число.
319.	С помощью гамма- и бета-функций вычислить следующие интегралы:
а	со
1) / x*V&=^i!x (а >6); 2) f о	о
$ 1]	ГАММА-ФУНКЦИЯ И БЕТА-ФУНКЦИЯ	99
У к аз аи ие. Положить х4-/.
3) Г x?ne-Jfl dx (л.— натуральное число). ~ П-М~ о .	2-
820. Показать справедливость формул:
1
1) f хР-!(1— х'”)’-’ <1х = 1в(£, g), р, q. m > 0. о
Указание. Положить хт — у.
У к а на ши е. Положить у = (1 -f- р) •
321. Используя результаты задачи 320, 1), вычислить интегралы:
*	Л
2	2	р / Л)
1) f sin®”1 <р d<p = f cos“~1 <p dcp, a > 0;	-
о	o'	2 r^)
я J
2) f tg'ffy |c|<l. о
322.	Определить площадь P фигуры, ограниченной кривой, полярное уравнение которой г4 = sin3 ср cos ср. Кривая имеет две петли в I и III четверти.
Указание. Использовать формулы задачи 320, 1).
323.	Вычислить интеграл
Ж
Г dQ
J V 3 — cos 0 '
Указание. Положить cos 0 == 1 — 2 j/"x.
7*
100	 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ • 	(ГЛ; IV
324.	Используя формулу дополнения, доказать формулу удвоения (Лежандра)
Г(а)Г(а4-у)==(2тс)2 2^~2аГ(2а). а > 0,
о>.
32Б. Полагая х — ре^р, показать, что
)im ^<£±0.^/2^,
....... ”У\-р
т. е. что при больших р Г(р —|— 1) я» ]^2кр рРе~Р (асимптотическая формула).
326. Используя таблицы, найти значения гамма-функции'-
1) Г(1;414); 2) Г(15); 3) Г(3,3287); 4) Г(—0,2666).
§ 2.; Бесселевы (цилиндрические) функции
Уравнение Бесселя jc2y"-f-xy/-|- (хг — №)у = 0.
Бесселевы функции 1-го рода с индексом v:
/ „ \»+2Й +оо	I — |
Л(4 = (—1)й	•
й=0
В случае целого неотрицательного индекса •» = п имеем / „ \ л+2й
1	+«>	1_1
А (-*) =	(—1)* Й|(л + А)|
Л = .0	X
и, в частности,
+00	М]2*
<1,/ Q (-v) ~ 2 (“’D* "^1)8 ?  й=0	’ : • •	<	"
В случае нецелого индекса v общее решение уравнения Бесселя есть	' . ; • .	" -
у = C\J ч (дг) -f- CtJ (х).
S ч
БЕССЕЛЕВЫ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ
101
Если > я= — п (целое отрицательное число), то
Бесселевы функции 2-го рода с индексом »:
„ , . J, (х) cos vst — У_„ (х) г» (х) — —2-1—г---------если м _ ие целое;
'	sin чя	’
уя(х)— lim У7(х), если п — целое.
Общее решение уравнения Бесселя во всех случаях имеет вид У=СЛ(х) + С,ГДх).
где С| и Сг — произвольные постоянные.
Формулы приведения для бесселевых функций 1-го рода:
I d \т Jt (х)___z__j./n Jt+m (*) т 1 о
\xdx) х’ ( }	л-Л"1 ’	......
("х^х")	Ю’ Ш — 1, 2, ...,
2ХаЛ-1—4+р "^*Л = Л-1+Л+р ЛаЛ-1
Бесселевы функции 1-го рода с полуцелыми индексами:
/ 2	/ 2
Л (*) == 1/ =7 s|n *; J I (•*) = I/ ~ cos х' ~	г тел	w —	у тел
2	2
При целом положительном п:
, ч / ня 1	л+71 d \n sinx
J , (х) = (— 1)л 1/ — х Ч —з— I -------
n+l	V «	\ х dx J х
.	, . , Г 2 л+4 ( d \а cos х
J . 1 ч М в 1/ — х —3— I -----.
-(л+1) V к \xdxj х
Производящая функция системы бесселевых функций 1-го рода с целыми индексами:
+оо
е2 ' *'»= S Jn(x)za.
— 00
!02
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(ГЛ. it
Полагая г = как следствия последней формулы получаем:
+оо
COS (X Sin ф) = У о W + 2 У, Jim (•*) COS 2z”?;
m = l
+ oo
sin (x sin ?) = 2 2 Am+i (x) sin (2m 4-1) <p;
zn=O
cos (x cos tp) == Ja (x) -f- 2 2 (—O'” Jim (*) cos 2m<f>; m=l
sin (x cos ?) = 2 2 (-l)“An+i (*) cos (2m +1) ?.
m=0
Интегральное представление Jn(x):
Jn (x) e i y*cos (xsin<p — nep) dtp, n = 0, ±1, ±2,...
0
Асимптотическое представление бесселевой функции 1-го рода с целым индексом:
Л(*)~ |Л^С08[* —+	ПРИ х —>-4-со,
где означает, что найдутся такие числа ха и М, что при
х > х9 будет | о(у)| < -у--
Таблицы бесселевых функций имеются в книгах:
1.	Б. И. Сегал, К. А. Семендяев, Пятизначные математические таблицы, М„ Физматгиз, 1962.
7° (х), Jt (х), Го (х), Г, (х);	0
Ш, Л (х), К0(х), Kt(x);
2.	В. Н. Фаддеева, М. К. Г а в у р и н,. Таблицы функций Бесселя целых номеров, Гостехиздат, 1950.
Jn (х), х = 0 (0,01) 125; п = 0 (1) 120 (6-зиачные),
J„ (х), х = 0 (0,01) 15 (8-значиые).
Корни уравнений /п(х) = 0; п = 0(1) 115.
327.	1) Написать общее решение уравнения Бесселя
*гУ/ + ХУ' + (х2 — 4) у — 0.
5 2] БЕССЕЛЕВЫ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ	103
2)	Показать, что уравнение вада х2у"4-ху'4~(А2х2—р2) у=0 (где k — постоянное, не равное 0) приводится к уравнению Бесселя; написать его общее решение.
У казание. Сделать замену 5 — kx.
3)	Показать, что уравнение вида	г'4* г = 0
приводится к уравнению Бесселя; написать его общее решение.
Указание. Сделать замену г — х~ру.
4)	Написать общий интеграл дифференциального уравнения у" + у' 4- у = 0.
Указание. Полагая 2р-f-1 = 5, р — 2, приходим к уравнению предыдущего примера.
328.	Показать справедливость следующих формул: 1) J0(x)= ==—Л(х); 2) J2 — Jo=2Jo; 3) j2 = j£ — x'l4
329.	Показать справедливость следующих формул:
> t \ Г ^х sin х
ЛДОу ~2- = —;---------cosx;
<1(x)]/’-^- = |slnx4-(-^--.l)cosx.	,>
330.	Показать, что функция
К
Jn (х) — -i У* COS (X Sin <р — Вф) 6?ф о
при целом п удовлетворяет уравнению Бесселя х2у" 4* ХУ' 4-4-(х2 — в2) у = 0.
331.	Написать интегральные представления следующих бесселевых функций: 1) j2(x); 2) J0(x); 3) J_t(x).
332.	Записать асимптотические представления следующих бесселевых функций: 1) J_j(x); 2) J2(x); 3) J3(x).
333.	Показать, что |J„(x)| < 1, н==0, ±1, ±2, ...
Указание. Использовать интегральное представление функции Jn (х).
104
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
{ГЛ. IV
334.	Показать справедливость формул:
У* xn+1Jn(x)dx = xn+iJn+1 (х) + с.
У* x1~nJn(x)dx=^ — xi-nJn_l(x)-i-C, п — любое натуральное число.
Указание. Использовать формулу приведения.
335.	Используя производящую функцию для бесселевой функции 1-го рода с целым индексом,- доказать «теорему сложения»:
+оо
Jn(x + y)=	n =	±1, ±2, ...
k- — со
336.	Показать справедливость следующих формул: ОО
1) f e~aJCJ0(.l>x)dx =-7====-, а > О, £>0.
./	V a* -f- о*
о
Указание. Воспользоваться интегральным представлением J о оо
2) f e-a^bxyx^dx^-^^e"^,
6
а > О, Ь > 0, Rev> — 1.
Указание. Заменить (bx) степенным рядом.
337. Используя асимптотическое представление функции Бесселя 1-го рода с целым индексом Ул(х), показать, что при больших значениях х для корней этой функции справедлива приближенная формула хк «(2йn)
338. Бесселева функция комплексного переменного Z 1-го рода с индексом v определяется равенством
(» v+am J-. I
v— М mirjv-l-m-t-l) *J
m»0
S 2|
БЕССЕЛЕВЫ (ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ) ФУНКЦИИ
105
причем на плоскости z имеется разрез от точки z = О вдоль отрицательной части вещественной оси. Показать, что
J, (— z) =	(г), если 0 < arg z < it,
J„ (— z) — elmJ^ (z),	если — it < arg z > 0.
339.	" Пусть Jp(x) (p >— 1) — бесселева функция 1-го рода и Хр Х2, .... Х„, ... — последовательность ее положительных корней. Доказать, что система функций
Jp (XjX), Jp (Х2х), • ••• Jp(knx), ...
ортогональна с весом $(х) — х на интервале (0,1).
У Казание. Использовать равенство
1
p/р (X) Jp (р) — kip (р) /р (X) == (X2 — р2) у* х Jp (Jx) Jp (рх) dx. о
340.	Записать ряд Фурье функции /(х). заданной на интервале (0, 1) по системе бесселевых функций Jp(kix)> Jp0-2x)’ ••> JpO-n^- ••• (См* предыдущую задачу).
Указание. Использовать равенство
1
/ x4(Xx)dx = l[^+2(X) + (l-^-]^(X)]. О
341.	Показать, что функция
Ivk .
IJx) = e~~J,(lx)
является решением видоизмененного уравнения Бесселя х2у" + ХУ'—(х2-j-v2) у = 0. Функция /,(х) называется видоизмененной функцией Бесселя 1-го рода с индексом v. Показать, что
/ v \х+т
+ оо I I
Л(-*)=	«!Г(•* + «) *
т=0
342.	Показать, что для видоизмененной функции Бесселя 1-го рода /,(х) справедливы равенства
106	СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	(ГЛ. IV
1) /_п(х) = fn(x), если л —целое положительное число, 1 /’«•4.2л, +от
2) е2 '	= S/„(x)zn.
— СО
343.	Видоизмененной функцией Бесселя 2-го рода называется функция К^(х), определяемая равенствами
,, , х ® I--, (х)— 7, (х)
/С (х) == тг —, если v — не целое число, ,v '	2 smw
/Ся (х) = lira/С,(х), если п — целое число. »->л
Показать, что К^(х} есть решение видоизмененного уравнения Бесселя х2у" ху' — (х2+ у2)У = 0.
344.	Показать, что определитель Вронского W для двух бесселевых функций равняется: 1) W[J^{x), J_,(x)] = =_ 2^.2)w (x)i (x)J = 2_; 3)IF[/,(х)./_,(x)J = ==l£in^. 4) W[fAx)t tf,(x)] = -±.
Указание. Для вывода первого равенства использовать уравнение Бесселя.
345.	Исходя из результатов предыдущей задачи, показать, что:
1)	функции J,(x) и /_„(*) линейно независимы, если v отлично от целого числа, и линейно зависимы, если у— целое число;
2)	функции J,(x) и К,(х) линейно независимы при любом v;
3)	функции /,(х) и /_,(х) линейно независимы, если у отлично от целого числа, и линейно зависимы, если у — целое число;
4)	/, (х) и К,(х) линейно зависимы при любом у.
346. Показать, что общее решение видоизмененного уравнения Бесселя х2у" ху' — (х2	у2) у = О есть у =
== СгЦ (х) + С2/_„ (х), если у — не целое число, у = С/, (х) -f-Ч-С^(х) для любого у (Cj и С2— произвольные постоянные).
347. Используя производящую функцию для бесселевой функции 1-го рода с целым индексом, показать справедли
<1 3]
•ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
107
вость указанных ниже разложений по видоизмененным бесселевым функциям /„ (х):
СО
1) e-vcosT==/o(X)_|_2 2 fn (х)cos «?•
Я=1
СО
2) ех »«»*==/ (х0)~|—2	/„ (х) cos	.
а = 1
348.	В качестве характеристики диода взята зависимость анодного тока /(/) с напряжением на аноде я(/). Она имеет вид /(/) = Ле*в(/), где А и k — постоянные величины. Пусть в анодную цепь включена э. д. с. вида E — E0coswt. Считая падение напряжения на нагрузке постоянным и равным l0R, найти ток 1(f) после включения э. д. с.
349.	Используя таблицы, вычислить значения функций Бесселя: 1) J0(4,12); 2) Jj (5,228); 3) /С0(6>23); 4) *1(1.27)1 5) J2(4,22).
§ 3.	Интегральные функции. Интеграл вероятностей. Интегралы Френеля. Эллиптические интегралы
Интегральная показательная функция:
EI (х) =	(х < 0).
— CO
Для комплексного переменного
г
Ei(x) = [ ^dt,
— СО
где интеграл берется по произвольному пути L в комплексной плоскости г, разрезанной вдоль действительной полуоси [0, -|-со). При_х > 0 функция EI (х ± е1) имеет комплексное значение. Через Ei (х) обозначается действительная часть Е1 (х ± е1), где—Е1 (х)=> « [Ei (х 4- О/) + EI (х — 001/2.
Интегральный логарифм:
11(х) = J* 1^-	(0<х<1),
о
108	СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. IV
Интегральный синус:
+ 00
si(x) = — у*	81(+со)«=0.
X
Интегральный косинус:
4-оо
ci(x) = - у ^-dt, ci(4-oo) = 0. X
Таблицы интегральных функций имеются в книге: Е. Янке и Ф. Э м д е. Таблицы функций с формулами и кривыми, М., Физ-матгиз, 1959.
— Е1(— х): х = 0(0,01) 1(0,1) 5(1) 15,
Е1 (х): х = 0 (0,001) 1 (0,1) (1) 15,
Si (х) = si (х) -f- Ci (х) = ci (х),
х = 0 (0,01) 1 (0,1) 5 (1) 15 (5) 1000 (10) 200 (100) 107.
Запись х == 1 (0,01) 2 означает, что х изменяется от 1 до 2 с интервалом 0,01.
350.	Написать выражения неопределенных интегралов
соответственно через интегральные функции
Ei(x), НО). si О)» ci О).
351.	Показать, что неопределенные интегралы:
f R(x)exdx, f 4^-dx,
J ' J ‘nx
j* R(x)sl(x)dx, J" R (x) cos xdx,
где R(x)— рациональная функция, выражаются в конечном виде с помощью рациональных функций, логарифмов, арктангенсов и интегральных функций.
$ 3)
интег рАлййыё ’ ФУНКЦИИ
109
352.	Найти выражение интегралов 1)—6) через интегральные функции:
1) r^dx;	2)	3) Л**£;
’ J x-f-5	' J (x-J-2)2	' J inx
.. С еЗХ а кх /’sin2xrfx с. f e2x-f-3ex-f-l .
4) У 5> У —F“; 6> У
353.	Показать справедливость соотношений между интегральными функциями:
Ei (In х) = li (х), x < 1; li (ev) = Ei (x), x<0;Ei(Zx) = = ci (x) + Z si (x); Si(—x) = —Si(x); si(—x)=—si(x)—it.
354.	Показать справедливость разложений в ряд следующих интегральных функций:
Ei(x) = C4-ln(-x) + J]	х < 0;
Й=1 00 -li(x) = C + lnlnx + 2 п^г> *>1; Й=1
li(x)==C+1n(-lnx) + 2-fl^, 0<х<1; й=1
Si (х) = — -g +	(— 1 )* +1 (2k —I) (26—1)1 ’
ci(x) = C-4-lnx + ^ (— 1)*Yk(2*)Г’ й=1 где
1 _« -1.
С= l' 1~е ~е--------dt = 0,5772157 ...
6
‘—постоянная Эйлера.
355.	Показать, что при малых значениях х справедливы
приближенные формулы: Ei (— х) « € 1п х;
li(x)«
si (х) «=; х; Ci (х) « С + in х, где С — постоянная Эйлера.
IM	СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	[ГЛ. IV
356.	Показать справедливость асимптотических формул (при больших значениях ху, Ei (— х) х ~~р si С*) ~со|£. с!(х)«
357.	Интегрируя по частям, показать справедливость равенств:
f (пг-)2 dt =Si <2*) ~	>
о
х /1 __________________________________ л~«Х
Е1 (— mt) dt — х Ei (— тх)-------—-----.
о
X dt
^-7-.-ГТ" , X < 0.
I [t	1)
— оо
359.	Сопротивление излучения длинной прямой антенны определяется по формуле
те
gQ у* [COS (kl COS 6) — COS kiy дв 6
где k, l постоянны. Найти выражение Rf через интегральные функции Si(x) и Ci(x).
Указание. Применить подстановку t = cos 0.
360.	Используя таблицы, вычислить значения функций: Si (0,15); Ci (0,87); Ei (4,2); Ei(—0,45).
361.	Исследуя интегральные функции с помощью первой производной, построить их графики.
Интегралом вероятностей называется функция
erf х = - --L- Г е~р dt, erf (-{- оо) — 1.
у я J ' о
Для комплексного переменного erf? определяется аналогично.
Таблицы интеграла вероятностей имеются в книге: Б. И. Сега л, К. А. Семендяев, Пятизначные математические таблицы, Физматгиз, 1962: erf х для х = 0 (0,001) 2.5 (0,01) 3 и некоторые значения для х > 3.
% 3]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	111
862. Часто за интеграл вероятностей берется функция
ф (-*)=/ 4/ e'^dt о или (по С. Бернштейну)
•Ю=-Й;МЛ .	г о
Показать справедливость равенств: Ф (л) = erf •
еНх = Ф(х/2); ФБ(х) = 1 erf (-£=); erfx = 2ФБ(x/2);
2 Vr 2/
— (erf x) — -Я=г e-*'; — Ф (x) = e 2 ; f erf x dx « dx	V ® dx	г я	J
= x erf x 4- -7L- e_Jf! + C.
V я
368.	Показать справедливость следующих интегральных представлений:
erfx = -L f ^Ldt., er.f(xy) = -^- fe-^dt. У 7C t V t	V * •'
'o'	' о
364.	Показать, что erfx разлагается в степенной ряд:
г 2 V/ 1-Л+1	*2Й-1	। ।
(2й—1)(й —1)1’ 1*1 <°°’
1/”гё
365.	Показать, что функция <р (х) =	е^1 erf х удовле-
творяет дифференциальному уравнению <р' — 2х<р — 1, и получить отсюда разложение
erfx— е (2п-4-1)!!’	ИС®0*
'	п=0
366.	Используя правило дифференцирования по параметру а, показать, что
/	0 ~ «f (V^)]«
О
112
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ.. IV
367.	Вероятность попадания, случайной величины X с нормальным распределением в отрезок (а, р) равняется
	, л 	<-Г—Q)2
Р(а < X < А) = —/ е~ 2а» dXt v	1 o/2it j
<2
где а И р — постоянные, Показать, что
.. Р(а < X < р) — 1 [erf (— erf	.
2 L \«/2/ UK2./J
368.	Используя таблицы, вычислить значения функции вероятностей: erf (0,283), erf (2,45), erf (3,5).
369.	Исследовать с помощью первой производной функцию erf х и построить ее график.
Интегралами Френеля называются следующие функции: синус-интеграл Френеля
S(x)= |/ у f sin2 t dt, b'
косннус-интеграл Френеля
___ x
с (X) == у У* cos2 i dt, о
S(+ra) = l;
С(4-оо)==1.
Таблицы (4-зиачные) интегралов Френеля имеются а книге: Е. Яйке, Ф. Эм де, Ф. Лёш, Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, М., Изд-во «Наука», 1964.
S(/x), С (Ух) для х =» 0 (0,2) 1 (0,2) 20 (0,5) 50.
370.	Показать сцраредливость следующих интегральных представлений 5(х) и С(х):
с(,с,=гЬ/7Тл'
§ 3]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	НЗ
371.	Показать, что 5(х) и С(х) разлагаются ^ степенные ряды: ___ СО
5(Х)=|/	(2А 4-1) 1(4*-1-3) ’	|х|<оо,
л=о
__ оо
С(х)= у -2(“^(адГЙПП) *	|х|<ео.
Й=0
372.	Показать, что интегралы Френеля 5(х), С(х) связаны с функциями Ji (х), J 1 (х) и erf х следующими соот-7	-'2
ношениями: '	х*
5 (х) = | /* Л (?) dt, С (х) = | f J 2 (?) dt, о	о 2
С (х)+ IS (х) = erf ,
С (х) - IS (х) = pb erf (х /7).
373.	Интегрируя по частям, проверить соотношения:
f S (ах) dx = pS (ар) + cos(°*ffi .~1;
J	а у 2 тс
О	F
f C(aX)dx^pC(ap)-^p-.
J	а /2 к
374.	Используя таблицы, вычислить значения интегралов Френеля:
5(0,2), С (7), 5(2,5), С (0,9).
375.	Исследовать с помощью первой производной функции 5 (х) и С(х) и построить их графики.
Эллиптические интегралы имеют вид:
f-^dx, J V>(x)
8 Н. И. Кожевников в др,
114
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
где R$x)— рациональная функция от х, я Р(х)— многочлен 3-й или 4-й степени. Этот интеграл может быть преобразован к сумме интегралов, приводящих к элементарным функциям и к эллиптическим интегралам в нормальной форме:
эллиптический интеграл 1-го рода:
Sin f
F (и, 0) = I	dx- — где k = sin 6;
эллиптический интеграл 2-го рода:
sin у ________
Е (<р, 6) =	Л г- dx, где k = sin fl;
о ' х
эллиптический интеграл 3-го рода:
sin 7
П (?, X, В) = / ----------. dx	, где k = sin 0.
J (14-Хж»)Г(1~^)(1-й2^)
Число k называется модулем этих интегралов, а число X — параметром интеграла 3-го рода.
Таблицы эллиптических интегралов имеются в книге: Б. И. С е-гал, К. А. Семендяев, Пятизначные математические таблицы, М., Физматгиз, 1962. Значения Р (у, 0) й £ в) даны с интервалом в 1° по аргументу и с интервалом 5° по аргументу 0.
376.	Полагая x = stn^, показать, что эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода приводятся к нормальной тригонометрической форме:
<р	?
£(<р, 0) =5 J У1 — A>2 sin2 ф	J Дф
О	О
?	<Р
П (<р, X, 9) — У х sJj]2	sln2^ - ,/* (14- X sin2 ф) Дф ‘
§3]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
115;
1-3-5
377.	Показать, что эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода разлагаются в степенные ряды по степеням k с коэффициентами, зависящими от <р:
Р(?, в) = Л04-|А1йг+^3Л2й4 + 11|1|дзАб+ ....
Е(?, 6) = д0_^Д1А!2-515д2*4__2_а§л#__ ....
<р
где А„ = J* sin2" a da. о
378.	Выражения б) и б) называются полными эллиптическими интегралами 1-го и 2-го рода. Показать, что полные эллиптические интегралы разлагаются в следующие степенные ряды:
л=1
1 -4- V Г(2я-1)И12 k™
1-Т	[ 2ля! J 2л —1
Л = 1
379.	Используя таблицы, вычислить значения эллиптических функций:
1)	Г (<р, 6) при ф = 28°, 6 = 75°;
2)	£(<р, б) при ф==58°, sin2 б = 0,11698;
3)	Я(<р, 6) при <р=17°20', 6 = 37°;
4)	Е{<$, б) при ф=12°45', sin2 б = 0,6235.
380. С помощью эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода вычислить интегралы:
*0
1)	I*	(сделать замену sin$ ==2 sln/i);
2
Г dx
2)	I	(сделать замену х = соэф);
о "
1
/* х% dx
3)	/	(сделать замену х = cos ф).
,/ V г—х4
8*
116	специальные'функции т  - ’ ’ [гл. i'v*
Т
381.	Вычислить длину: I) эллипса х == a sin/; y —^cos/;. 2) лемнискаты г2 = 2a2cos2&.
382.	Время полного колебания простого маятника с длиной I и амплитудой колебания 2st выражается формулой
а Г dz
J У cos т — COS а
где g — ускорение силы тяжести. Выразить Т через эллиптический интеграл 1-го рода.
л	х	и
Указание. Сделать замену sin -g- = k sin ф, где k = sin .
383.	Коэффициент взаимной индукции М двух круглых коаксиальных петель, несущих токи, равняется
2 •	-	••
F О К1—
где р, а, Ь, k — постоянные и	Выразить М через
эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода.
§ 4. Некоторые системы ортогональных многочленов
Системой ортогональных многочленов называется система многочленов, являющихся решениями однородного дифференциального уравнения второго порядка
Ру" (х) -f- (а + ?') У' W ~ W (л) = 0< о. < х <Ь, п = 0, 1, 2,...
с коэффициентами
а(х) = а0-|-а1х; £ (•*) == Po4"Pi'r + М2.
где %, alt Р», Pi, Ра — действительные числа. Коэффициент уя зависит от п. Коэффициенты а(х) и р (х) связаны дифференциальным соотношением (уравнение Пирсона)
Р.1— ?(*)
...?• J4*)'.
в котором р (х) — неотрицательная функция, удовлетворяющая краевым условиям
Функция р (х) называется весрво^^ункцией иди весрм системы ортогональных многочленов." КйЖДая система Ортогональных Много
5 4] НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 117
членов характеризуется весом р(х) и промежутком (а, Ь).. Каждый многочлен системы, как решение линейного однородного дифференциального уравнения, определен с точностью до постоянного множителя.
Примеры систем ортогональных многочленов:
1)	многочлены Лежандра Рп (х): р (х) — 1, а
2)	многочлены Чебышева Т„ (х): р (х) =
3)	многочлены Эрмита Нп (х): р (х) = е ,
= — 1, 6 = 4-1;
-—2=^, а = — 1, К1 —X2
а = —оо, 6 = -]- оо(
4) многочлены Лагерра £^(х): р (х) = хке~х, где Л>—1,
а = 0, 6 = 4- оо.
384.	Показать, что в качестве функций а(х) и ^(х) в уравнении Пирсона можно взять:
1)	для многочленов Лежандра а(х)=0, р (х) =? 1—х2;
2)	для многочленов Чебышева а(х) = х, р(х) = 1— х2;
3)	для многочленов Эрмита а(х) =— 2х, р= 1; 4) для многочленов Лагерра а(х) = Х — х, р(х) —х.
385.	Пусть многочлен степени п, л = 0, 1, 2.
9n(x) = anxn^rbnx'‘-i + cnxa-2+ ... 4-/„ является решением дифференциального уравнения
(₽о + М + Р2*2) У" 4- (ао 4- ai* 4- Pi 4- 2М) У' — 1пУ = 0.
Показать, используя метод неопределенных коэффициентов, что
Ъ==л[«1 + (/1+ DN. Ьп = ^^-паа.
386.	Воспользовавшись предыдущей задачей,
1) вычислить значения для многочленов: а) Лежандра, б) Чебышева, в) Эрмита, г) Лагерра;
2) найти соотношения между коэффициентами ап и Ьл для этих многочленов.
887. Используя значения а(х), р(х) и написать дифференциальные уравнения, решениями которых являются: а) многочлены Лежандра, б) многочлены Чебышева, в) многочлены Эрмита, г) многочлены Лагерра.
388.	Показать, что дифференциальное уравнение, определяющее систему ортогональных многочленов, можно преобразовать к виду: ((Зру'У—1лРУ==0*
У к а з а и и е. Использовать уравнение Пирсона.
118	СПЕЦИАЛЬНЫЕ-ФУНКЦИИ	[ГЛ. IV
389.	Показать, что два многочлена различных степеней q:l(X) и qm(x), м=/=п, принадлежащих к одной системе (с весом р(х)), удовлетворяют условию ортогональности с весом р(х):
ь
J ЧпЮчМгЮбХ — О-.	а
Указание, Написать дифференциальные уравнения для многочленов qn (X) и qm (х) и, исходя из них, вычислить выражение ь
(7л ~ Im) f q^m^dx, используя для этого краевые условия. а
390.	Показать, что любой многочлен рп{х) степени п можно представить в виде линейной комбинации ортогональных многочленов q0(x), qx(x), .... qn(x), принадлежащих к одной системе, т. е, записать в виде
Рп (х) == Мо (*) ФMi (х) + • • • + <МЛ (х).
Указание. Вычислить коэффициенты чц, используя свойство ортогональности многочленов qf (х) с весом р (х):
»
/ рп <•*> «й <*> ? <•*) dx
ql (х) р (х) dx а Ъ
Величина (ху y(x)dx называется квадратом взвешенной нормы а
с весом р (х) многочлена qk (х).
391.	Показать, что ортогональный многочлен ?л(х) любой системы с весом р(х) ортогонален (с весом р(х)) к произвольному многочлену рл(х) степени k < п.
Указание. Использовать результаты задач 390 и 389.
м
392.	Показать, что ортогональный многочлен ?„(х) с весом р (х) имеет на интервале (а, Ь) в точности п различных корней.
f 4} НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ; ОРТОГОНАЛЬНЫХ- МНОГОЧЛЕНОВ ПО
ь
У к а за ни е. Рассмотреть J* дп(х)rm (x) о (х) dx, где гт (х) == а
— (х — Xi) (х — х2) ... (х — хт), н показать, что многочлен qn (х) меняет знак при прохождении через точки хь х2, х3, .... хп.
ь
Использовать соотношение J*9„(x)p(x)dx = 0 (см. задачу 391). а
393; Показать методом математической индукции, что выражение
—	1 z/n
^(х)==7^)-^-(р(х)^(х)Ь « = 0,1,2..............
где р(х)— весовая функция» удовлетворяющая уравнению Пирсона и краевым условиям, является многочленом степени п:
Qn (*)=«>" + Ьп**-1 + ... +Т„.
У к а з~а н и е. 1) Вычислить (рР")', (рРя)’,.... (рРя)<и^ 2) найти значение а„.
394.	Показать, что многочлен у = Q„ (х) = — (рРя)(л) (см. Р;
задачу 393) является решением дифференциального уравнения +(а 4- £') у' — if „у = 0.
Указание. Составить дифференциальное уравнение первого порядка для функции г = р^я и затем продифференцировать его л 4-1 раз, используя формулу Лейбница.
395.	Вычислить коэффициенты ап многочлена (х) в случае, если Qn(x) является: а) многочленом Лежандра; б) многочленом Чебышева, в) многочленом Эрмита, г) многочленом Лагерра.
398.	Показать, что для многочлена Qn (х) = у (pfP)(e* справедливо равенство
а	»
£«= f Qh dx~ (—1/ nl a„ f ppn dx.
a	a
Указание. Воспользоваться результатом задачи 390.
120
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
397. Вычислить квадрат взвешенной нормы для многочлена Qn(x), если этот многочлен является: а) многочленом Лежандра, б) многочленом Чебышева, в) многочленом Эрмита, г) многочленом Лагерра.
Нормировать систему ортогональных многочленов — значит однозначным образом указать для многочленов системы миожитель, с точностью до которого эти многочлены были определены. Примеры нормировки:
1)	коэффициент ап при старшей степени хп определяется по 2л
формуле: ап = JJ (“i + В этом случае имеем
Л=л+1
6п
«о + »31 «1 4~ 2прг
пап,
фя(х)==апх',4-#„хя-14- ... Ч-Zn (см. задачу № 393).
2)	Коэффициент ап полагаем равным единице. При этом 5л(х)==хя + 3'лхя~' + ... +4
3)	Взвешенную норму полагаем равной единице, т. е. ь
J* Q„ (х)Р (х) dx—l, и а„ считаем положительным, я
4)	В формуле Qn (х) — AnQn = Л„ j I? (•*)	(х)1 =
= алхя + £лхя“14- ... 4-/л (см. задачу № 396) коэффициент А„ выбран следующим образом:
а)	для многочленов Лежандра А„ = (—1)	.
б)	для многочленов Чебышева Лл = (— 1)я2я“^ур •
в)	для многочленов Эрмита Лл = (— 1)я,
г)	для многочленов Лагерра Лл =• 1.
1 dn
При таком выборе Лл формула Qn (х) = А„ —	{₽ (х) ?п(х)}
называется формулой Родрига для системы ортогональных многочленов.
398. 1) Написать формулу Родрига для: а) многочленов Лежандра Р„ (х), б) многочленов Чебышева Тп (х), в) многочленов Эрмита Нп (х), г) многочленов Лагерра (х).
 2) Вычислить значения коэффициентов при старших степенях х у этих многочленов.
$ 4) НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ 121
39	9.1) Написать первые шесть многочленов Лежандра, Чебышева, Эрмита, Лагерра.
2)	Вычислить квадрат взвешенной нормы многочленов Рп(х), Т„(х), нп{х), L^(x).
400.	Показать, что любые три последовательных ортогональных многочлена Qn(x~)< Qn+l(x) и фя+2(-хО. принадлежащих одной ортогональной системе, связаны рекуррентным соотношением

Т*?) <?»(*)+ “n+1 /
где
Дд-дп
Qm(x) — amxm + bmxm-‘l+ .... m = n, л-|-1, п-|-2; ь
dm — J Qm (X) р (х) dX. а
У казание. Разложить xQn (х) по многочленам Qa (х), Qi(x),.... Q„+I(x) и вычислить коэффициенты разложения.
401.	Воспользовавшись предыдущей задачей, написать рекуррентные соотношения для: а) многочленов Лежандра Рп(х), б) многочленов Чебышева Тп(х), в) многочленов Эрмита Нп(х), г) многочленов Лагерра L„\x).
Назовем производящей функцией системы ортогональных многочленов Qn (г) (г — комплексное переменное) функцию двух независимых переменных г и w, определяемую соотношением
+со
«•(г, да)==^У^£> wn. п-0 м
402.	Показать, что для любой системы ортогональных многочленов с весом р(х) производящей функцией является W(g, w) = _* -J , р (О |1 —И (Mi
где означает тот корень квадратного уравнения t—z — —«ф(/)==0, который при w, малых по модулю, близок к/ = г.
122
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. IV
Указание. Использовать формулу Родрйга для Qn (л), а затем интегральное представление производных высшего порядка от аналитических функций. Полученный при этом интеграл вычисляется с помощью вычетов.
403.	Написать производящие функции для:' а) многочленов Лежандра Pn(z~), б) многочленов Чебышева Т.(х), в) многочленов Эрмита Нп (а), г) многочленов Лагерра £« (а).
404.	Показать, что многочлены Лежандра Р„(х), Чебышева Тп (х) и Эрмита Нп (х) содержат при четном п только члены с четными степенями х, а при нечетном п только члены с нечетными степенями. Коэффициенты этих многочленов имеют чередующиеся знаки. Многочлены Лагерра L^’(x) содержат все степени х, начиная с хп. Коэффициенты этих многочленов имеют чередующиеся знаки.
Указание. Воспользоваться рекуррентными формулами (см. задачу 400).
ГЛАВА V ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
§ 1. Преобразование Лапласа и его свойства
Комплекснозначную функцию f (0 действительного аргумента t, непрерывную на промежутке [О, -f-оэ), за исключением, быть может, изолированных точек, и имеющую ограниченный рост, будем называть оригиналом. Число s0> обладающее 'тем свойством, что при
ОО
s > несобственный интеграл J" \f(i)\e~stdt сходится, а при о
s < s0 — расходится, является показателем роста оригинала f(t). Функция F(p) комплексного переменного p = s-\-iv, определяемая при Re р = s > $0 равенством
СО
F(p)~f f(t)e~pldt, о
.называется изображением (по Лапласу) оригинала /(0. Переход от оригинала / (I) к изображению F (р) называется преобразованием Лапласа.
Обозначения: "
Ht)^F(p), F{p)^f(t), L{f (f)) = F (р).
Согласно определению, оригинал /(0 задается на промежутке !0, -f- оо). В случае необходимости его доопределяют на промежутке — оо, 0) равенством f (t) — 0.
Простейшие свойства преобразования Лапласа:
Линейность. Если / (0 == Л (р) и у (0 == Ф (р), то Ctf (0 4*	(0 F4 CtF (р) С2Ф (р), где С] н Сг — любые комплексные
числа.
П о д о б и е. Если / (0 = Л (р), то/(а0 = i/7	для любого
числа а > 0.
Дифференцирование оригинала. Если f (0 — непрерывно дифференцируемая функцнв на промежутке [0, -|- оо) и /' (0 является оригиналом, то из соотношения / (0 = г (р) следует, что
/'(0 = рА(р)-/(+О).
124	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	(ГЛ. V
Если f(t) а раз непрерывно дифференцируема на промежутке [О, -4-со) и /я)(0 является оригиналом, то из соотношения f(f)==F(p) следует, что
/»)(0 pnF(р) - f (40) р"-1	(40)/-2_ ... _/»-П(40)
Дифференцирование изображения. Если/(/)== Г(р), то
-tf(t)^F'(p),
Для любого натурального числа п.
Интегрирование оригинала. Если оригинал /(0 не* прерывен на промежутке [0, 4-со) и f(t)=^F (р), то
t
J* f (u) du ===	.
о
Интегрирование изображения. Если / (<) === F (р) и
-у— оригинал, то
ОО
F(4)dq.
Р
Запаздывание оригинала. Если f(t) = F(р), то для любого числа т > О
f(t — г) = e-P'F (р).
Смещение изображения. Если /(f) ==&F (р), то для любого комплексного числа X
««/(/) =iF(p-X).
Умножение изображений (свертка оригиналов). Если оригиналы /(/) и ?(/) непрерывны иа промежутке [0, 4*оо) м /(Ог=^(Р). ЧЧО^Ф^Р). то
t
f f (и) <t (t — и) du «= (f * ?) = F (p) Ф (p). о
Формула Дюамеля. Если оригинал f(t) непрерывен, а оригинал <f (0 непрерывно дифференцируем иа промежутке (0, +<ю) и / (0 =& F (р), v (0	® (Р). то
t
(t — u)du=A pF (p) Ф (p).
1 tj ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО СВОЙСТВА	125
Теорема обращения. Если f(t) ===F(p), то в каждой точке/, в которой / (0 дифференцируема,
а + /оо
/(0=2г.Г / F(P)ep/dp, 
а — i со
где а — любое действительное число, большее показателя роста f (0.
a + i со
Вычисление интеграла J* F(p) ept dp. Если: 1) изо-a—loo
бражение F (р) аналитично в полуплоскости Re р = s > s0 всюду, за исключением конечного числа полюсов plt рг, .... р™, 2) существует система не проходящих через полюсы окружностей Сп: | р | = R\<Rt< ... < Rn < ... с неограниченно возрастающими радиусами, таких, что F (р) -> 0 при р иа Сп, р->са, равномерно относительно arg р и 3) для любого числа а > s0 интеграл . ант^-оо
I F (р) dp абсолютно сходится, то
а— I оо
,	а + /со	т
J” F (j>) ept dp = 2nj Res [Е (р) ept ]. a-1 со	6=1
Первая теорема разложения. Если изображение F(р) в окрестности | р | > R бесконечно удаленной точки имеет разложение в ряд Лорана вида
6=0 г
то оригинал /(0, соответствующий F (р), имеет вид
™=S4r- t>Q-
6=0
Если при t > 0 .
’	6=0
н если существуют числа М > 0 и se такие, что при всех t > О |/(0|<Л1вЧ
то/(0—оригинал,	।
f<t)^F(p).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
1ГЛ1 V?
F(p) в окрестности р=со разлагается в ряд Лорана
А = 0 г
Вторая теорема разложения. Если изображение Г(/>)— правильная рациональная дробь, то
А=1 Рц
где Pi, pt, .... рт—полюю* F(ft). В частности, если изображение F(p) =	. где А(р) и В(р) — многочлены, не имеющие общих
корней, имеет лишь простые полюсы р{, рг.рь, то
АО-Ё 4^
405. Используя таблицу оригиналов и их изображений, а также определение и простейшие свойства преобразования Лапласа, найти изображение Р (р) по заданному оригиналу /(/)’• 1)	=	т > 0,
(0, t < 0; ’’W=ll, / > 0;
2) /(0 = 71(^ — ’i) —	— t2)> гДе Функция т;(/) опре-
делена так же, как в 1), а 0 < Cj < т2;
f at-\~b, 0<f</0, 0.
f0>0, а и b— постоянные;
1-^, 0 Ti /о-f T3~* '° T8 — T2 0, f>T 1
5)	— a + bt\ 6) /(O== ^; 7)/(f)x=ch/cos/;
8) f (O == ch at sin at-, 9) / (Q = sh t sin t-,	10) / (/)

’2>
4) /(,) =
$ И
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА* И ЕГО СВОЙСТВА
127
— ~ sh at sin at-, 11) f(t) = — (ch / sin/—sh / cos /); 12) f (/)== x=-^-(ch/sin/4-sh/cos/); 13) /(/) = ch/sin/; 14) f(t)=* = sh/cos/; 15)/(/) = sin4/; 16) /(/) = e-4z sin 3/cos 2/.
406. Используя таблицу оригиналов и изображений, а также, где это необходимо, разлагая изображение на сумму более Простых функций, найти оригиналы для следующих изображений:
... ^+8____•
Ч р2 + 4р+5.
4).....£..+£____•
6> р(р+а)л '
—£i_L_ •	31______J____т
’ Р2 + 2р’	°' (р-1)(р-2)’ 5
5) (p2+«W + *2) ’ а * Ь'
_______5/? —{— 3_,	1	.
(р-1)(^+2р+5) ’	’ & +
9)	(Р,+ а2)2: 10) l^ + ^ + S)2'
407.	Найти свертку (/*<р) следующих оригиналов:
1)	—	<р(/) = /2;	2) /(/) = sin/;	<p(/) = cos/;
3) /(/)=/3; ср(/)=/2; 4) /(/)=sh/; <?(/)=/2; 5) /(/)=1;
<р (/) =	1 4~ ( ! 6) f (/) — sh /; <р (/) = sin /.
408.	Используя теорему умножения изображений и формулу Дюамеля, найти оригиналы /(/) для следующих изображений:
рг{р — а) :	2) р(р»4-й’> ’	3) р2(Рг + ^) :
(р»-{-а2)2 ’ 5) (Рг_^ аа)я >	6) (р2_6р_|_ 13)(ря—6/Ч-Ю) ’
7-) ______Г_______
} (Р2 + 4)(р24-9) •
409.	Используя теорему обращения, найти оригинал f (t), если известно изображение
1) у—г;	2) р2(р_ ц-;	3)	+ 5
4)________1_______
} (P-1)2(P2 + 1)
44 0. Используя первую теорему разложения, найти оригинал /(/)по его изображению: 1) —cos—; 2) 4-sin--.
Р Р Р Р
128
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
411. Используя первую теорему разложения, найти ори-1	I
гинал по его изображению: 1)	.• 2) ——е р,
я = 0, 1, 2, 3, ...	Р +1
412. Используя вторую теорему разложения, найти оригиналы f(t) для следующих изображений:
и __________^+1....	.	2)	•
} Р(/’+1)(/’4-2)(р4-3) ’	Р2(Р-!)(/> +2)’
3) (р-1)2(р^2)з’ 4) (/>4-1)3(р + 3) •
§ 2. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений операционным методом
Дано дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (0 +	(/) + ... + апх (/) = / (/). а0 ф О,
где/(/) — оригинал, являющийся линейной комбинацией функций вида /тех/(йг— натур&льныё числа, X — любые комплексные числа) л(О)=лго. лг'(0) = Л(.............^“’(О) = лгя_(.
Применяя правила ^дифференцирования оригинала и свойство линейности, пдлучим соответствующее операционное уравнение:
(аорп + atpn~l + ... + ап) X (р) = F (р)-\-ха (a0p"_1+a1pn-2+... • • • + ал-1) +-*1 (аоРЯ + ^iP”-3 + ••• +ал-г)+	+ -':Я_1ао,
где X (р) .=’ х (0 и Р (р) + / (/). т. е. уравнение
Л(р)Х(р) = Р(р)+В(р),
где Л(р) и В (р) — известные многочлены, a F (р) — правильная рациоиальи. я функция р,
Х(Л_ F<P) + B(p) Х^~- А(р) * Решение: £(/).—Л (р).
Аналогично применяется операционный метод и к реш«яию'£и-стемы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть, например, имеются система уравнений второго порядка
(0 +	(0 4-	(0) e А (0-, v 2- - "•
относительно неизвестных xt (t). хг (t).хп (0 н система началь-
f 2]	РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	129
ных условий
=	4(°) = h- Л =1,2, ..., п.
Предположим, что функции v = l, 2,	—оригиналы,
являющиеся линейными комбинациями функций вида tmekt. где т— натуральные, А. — любые числа.
Эту систему можно заменить операциоиной системой
п	п
(avftP2 + *vftP + cvft)^ft (Р) = v (Р) +	[(«v*p+	aft + «vft₽ftJ.
Й=1	Й=1
где Xk (р) .= xk (t);	т = 1, 2..п. Решая эту си-
стему как алгебраическую линейную систему уравнений, найдем изображения (р), а затем и их оригиналы хк (t).
Операционный метод можно применять к решению некоторых типов интегральных уравнений.
Найти решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющие заданным начальным условиям:
413.	х'" —2х" + х' = 4;
х(0)=1, х'(0) = 2, х"(0)== —2.
414.	х™ — 5х"-}-10х'— 6х —0;
х(0)=1, х'(0) = 0, х"(0) = 6, х'"(0) = —14.
415.	yIV 4- 2у" + у = 0;
«	у(0) = 0, у'(0)=1, у"(0) = 2, у'"(0) = — 3.
416.	х" -4- х — t cos 2/;
х (0) = х' (0) = 0.
417.	х'"~ х" = 0;
х (0) = х0, х' (0) = Хг, х" (0) - х2.
418.	—5лг"4-10х' —6х = 0;
х(б) = 1, х'(0) = 0, х"(0) = 6, х"'(0) = —14.
419.	x>v + 4xw + 4x" = 0;
х (0) = х0, х' (0) = хр х" (0) ~ х2, х'" (0) == х3.
420.	х"' —6х"+11х'—6х = 1;
х (0) = х' (0) = х" (0) = 0.
9 Н. И. Кожевников и др4
130	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГД. ▼
421.	х" —Зх'4-2х = е';
х (0) = х' (0) = 0.
422.	х" + п2х = a sin nt',
х (0) = х0, х' (0) = xv
423.	х" + 3х'4-2х== 1-Н-Н2;
х (0) = х0, х' (0) — xv
424.	xIV 4-2х"-|-х = Zsinf;
х (0) = х' (0) = х" (0) = х'" (0) = 0.
425.	х'" + х = у^<;
х (0) = х' (0) = х" (0) = 0.
426.	х"+n2x = a sin (mt -f- а); т^п,
х (0) = х' (0) — 0.
427.	х" — m2x — aemt 4- bent, т^=п,
х (0) = х' (0) = 0.
428.	К цепи, состоящей из самоиндукции L, сопротивления R и емкости С, включенных последовательно, в момент времени t = 0 приложена э. д. с. o = £, = const. В начальный момент t = 0 ток / = /0 = 0, заряд Q = Qo — 0. Найти ток / в момент времени t из уравнения
, di . D, . Q	dQ .
Ldi + RI + -C==v’ ri*^r=h
429.	Цепь состоит из самоиндукции L, сопротивления R и емкости С (конденсатор), включенных последовательно. Конденсатор, заряженный до потенциала Е, разряжается через сопротивление и самоиндукцию. В начальный момент /о==О; Q0 — CE. Найти ток / в момент времени t (см. задачу 428).
430.	Дифференциальное уравнение свободных колебаний вибратора при наличии силы сопротивления, пропорциональной первой степени скорости, имеет вид тхрх-]-сх = 0. Начальные условия: х(0) = х0; х(О)=хо. Найти x(t).
< «1	РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	131
Найти решения систем дифференциальных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
431.	’ Ъх' 4-2x4-у' = 1, U'+4/ + 3y = 0; Аг(О) = у(О) = О.
432.	х'— х—2у = 1, . —2х-\-у'— у = t\ х(0) = 2, у(0) = 4.
433.	х’ = 6х — 72у -f- 44z, у' = — 4х 4- 40у — 22z, z' — — 6x4- 57у — 31z; х(0) = 9,	у(0) = 5,	z(0) = 7.
434.	х'п (0 = — схп 4- СХп-1 (/1=1,2	k), Xg(t) = — cx0;
хо(О) = 1, х1(0) = 0, х2(0) = 0’---> xft(0) = 0.
435.	' 2х" — х' 4- 9х — у" — у' — Зу = 0, i. 2х" 4- х' 4- 1х — у" 4- у' — 5у — 0; х(0) = х'(0)=1,	у(0) = у'(0) = 0.
436.	х" — х 4- У + Z = 0, х4-у"— у4- z = 0, х 4- У — z" — z = 0;
х(0) = 1, у (0) = z (0) = О, х'(0) = у'(0) = z'(0) = 0.
437.	х" — 4х — у'—2y-j-z'—2z = 0, 2х' — у" 4- Зу 4- z" — 4z = 0,
	. х'—2х—y4-z" —4z = 0;
. x(0) = y(0) = z(0) = 1, х'(0) = 2, у'(0) = 3, z'(0)=l.
438. lx"— 4х'—у'4-у = 1, |х' 6х У" — У' — е4Л> х(О) = х0, У(О) = Уо- х'(0) = х1, у'(О) = уР
132
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
(ГЛ. V
439* J хг — х 2у = О, { х” — 2у' = 2/ — cos 2t\
х(0) = 0,	х'(0) = -1.	у(0) = 1.
440. I у' — z' — 2у 4-2г — 1—2/, ( y" + 2z' + y --0;
у (0) = z (0) = у'(0) = 0.
. 441. В задаче на включение воздушного трансформатора на постоянное напряжение Е при замкнутой вторичной обмотке приходится решать систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами:
"^+^ + ^> = 0.
при начальных условиях /1(0) = 0; Z2(0) = 0. Найти ток l2(t) в первичной обмотке и 12 (Z) во вторичной обмотке.
442.	Движение заряженной частицы массы т и заряда е, находящейся в электрическом поле Е, параллельном оси Ох, и в магнитном поле Н, параллельном оси Oz, определяется следующей системой дифференциальных уравнений:
d2y   еН dx dt2	с dt ’
(с = const)
Найти х, у, г, если частица в момент времени t — О обладает скоростью [и, V, w} и находится в начале координат.
443.	Движение относительно Земли частицы, начинающей свой путь из начала координат на широте X со скоростью
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
133
S 21
{и, V, w), определяется следующей системой дифференциальных уравнений; d2x „ dy , , , п dz ,	,,
------2ш sin л 2ш -п- cos л — О, dt2 dt 1 dt
>g- + 2.^slnX = O,
d.2z n dx , ___2<0-5FcosX==-g.
где w — угловая скорость вращения Земли. Здесь ось z направлена к центру Земли, ось х— на восток, ось у — на север. Найти x(f), y(f), z(t).
444.	Продольное движение самолета, происходящее при малом возмущении режима горизонтального прямолинейного полета с постоянной скоростью, определяется следующей системой дифференциальных уравнений:
dut
-аГ = ^2~Ъ
~^ = 2a1->rb2tt2 — q, d<f
Здесь а2, b2, h2, h6 — постоянные. Найти ар и2, <р, q.
445.	Найти решения следующих дифференциальных и интегральных уравнений (/(/)— оригиналы):
1)	У"« + А!2у(/) = /(О. y(0) = Clt у'(0)=С2;
2)	y"(t)~k2y(t) = f(t), у (0) = у'(0) = 0;
3)	х"-\-2х'-\-2х = f (f), х(О) — х0, х'(0) = хг\
4)	y"' + y"-4y' —4y = /(/). y(0) = 0,
у' (0) = 2, у"(0) = 0;
.	t
5)	у(£) ==а/-|- у sin (t — и) у (и) da;
о
t
6)	У (/) — t2 -h f et~ “У <«) da.
' 	о
10 H. И. Кожевников  др.
• 134
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА	[ГЛ. V
446. К цепи, состоящей из самоиндукции L, сопротивления R и емкости С, включенных последовательно^ в момент времени / = 0 приложена э. д. с. /(/). являющаяся произвольной функцией времени (оригинал). Начальный ток 1 и заряд Q равны нулю. Найти /(/). Предполагается, что 1 /?2
-цг —	> 0. Функция 1 (/) удовлетворяет системе уравнений
dQ dt ~~ ‘ ’
447. Дифференциальное уравнение вибратора при наличии возмущающей силы f(t) кмеет вид (/(/) — оригинал)
х-ф- 2nx-^-k2x =~- f(t) (k> п).
Начальные условия х0 — х0 = 0. Найти х (f).
§ 3. Ступенчатые оригиналы и их изображение
Если {hn} —произвольная последовательность чисел, то функция f{t), определяемая равенствами: /(/) = ЛЯ на [л, л 4-1). п = 0, 1,..называется ступенчатой функцией, порожденной последовательностью {hn} (рис. 11).
Если последовательность {Ля} такова, что степенной ряд с коэффициентами Ля, n = 0, 1, .... имеет радиус сходимости, отличный от нуля, то ступенчатая функция является оригиналом (необходимое и достаточное условие).
s 3J СТУПЕНЧАТЫЕ ОРИГИНАЛЫ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ 135
Если Ло = 1, Ля = 0, л = I, 2, ..то соответствующий ступенчатый оригинал 8(0 называется единичным импульсом. Нетрудно видеть, что
е-р
40 - Ч (0 - Ч V - О Н “ А, (р),
где ч(0 — единичная функция.
Теорема. Если f (0 — ступенчатый оригинал, порожденный последовательностью {*„}, /(0=д/’(/>), то
Р (Р) = A] (j>) Н (е~р).
где
Я(0 = 2 V* л=0
При этом изображение F (р) определяется в полуплоскости
1 °°
Rep >ln-n-, где R—радиус сходимости ряда V Лягп.
к	п = 0
Обратно, любая функция вида Д] (р) Н(е~р), где Н (z)— функция аналитическая в нуле, является изображением ступенчатого оригинала, порожденного коэффициентами разложения Н (г) по степеням г.
Если вместо ступенчатого оригинала иа промежутке [0, -f-oo) рассматривать оригинал f (0, определяемый равенствами
f(t)=ahn<f(i — п) на [п, n-f-1), n = 0, 1, ....
где ?(0— оригинал, заданный на промежутке [0, 1) произвольным образом и равный нулю вне этого промежутка, то сформулированная теорема (и ей обратная) остаются в силе при условии, что вместо Д] (р) рассматривается изображение функции у (0
1 ?(0=Ь <t(i)e-pt dt. о
Если последовательность {Ая} является последовательностью значений функции ф(0 при < = 0, 1, 2........... то	ступенчатую
функцию, порожденную этой последовательностью, будем обозначать через
1ф(0, т. е. /(0 = 1 ф(0.
10*
136
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. У.
. 44$, Найти им^ц^нмя.. следующих^сгуаектих'еэдри-гиналов:
1)	функция f(t) задана графиком (рис. 12);
2)	функция задана графиком (рис. 13);
3)	hn — 1. п — 0. 1.2, ...; построить график функции /(/);
Lf(t)
О
п л+/
Рис. 12.
t
4)	й„ = (—1)". « = 0, 1. 2 ции /(/) на сегменте (0, 6];
построить график функ
/{ I
1 2 3 4	[5
2\
6 t
Рис. 13.
5) ^//построить график у t на сегменте (0, 5].
У к а з а и и
6) 12‘;
7) Ля== а“.
ОО
2пггЯ==(1—а)2 * * 5 * * 8’ л=0
. ..	• « = 0. 1. 2, . . .;
8) £f(t—1). Построить график функций /(() на промежутке [0, 4).
Указание. п ( я-0
_	2z*
W- ..  ..II .	—
СТУПЕНЧАТЫЕ ОРИГИНАЛЫ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ
137
449.' Построить графики и найти изображения оригиналов /(0. если/(f) = hny(t—ti) на [я, «4-1). я=0, 1, 2, ...:
1)	Ая = 1.
2)	Ля = (-1)я,
3)	Л„ = 2Я.
О.ю. Тп).
1. 1Г0. 1);
450. Доказать, что если периодическая (с периодом Т = I) функция f(t)—оригинал, то ее изображением будет
где
1 = j dt.
о
451. Найти йзображёние периодической (с периодом Г= 1) функции /(f), определяемой на промежутке (0, 1) равенством —	s
Указание. См. задачу 450.
452. Найти изображение периодической (с периодом Т)
функции, определяемой на промежутке [0. Г) условием t.
T — t,

453. Показать, что заданная функция F (р) является изображением ступенчатого оригинала, и найти соответствующий’’оригинал:
1) Г(р) = А,(д)_1_..
Указание.	. где а = е~Р.,
138
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
[ГЛ. V
2) F (р) — МР)цгр^)*: 3) F(p) = i1(p) sine-^;
4) F(P)= p^-f-l)^ —2) 5 5) F(P) — р(ер—3) 5 6) /7(Р) =
-io еР-1
~1Ор(еР—3)3’
Пусть / (0 — какая-нибудь функция на промежутке [a, -f- оо). Конечной разностью первого порядка функции f(t) в точке t из рассматриваемого промежутка .при фиксированном h, h>0, назы-
вается обозначаемая через Д/(0 разность
Д/(0 = /(' + Л)-/(0.
Конечная разность л-го порядка функции / (/) в точке t при рассматриваемом h определяется равенством
Дя/ (0 = ДД"-1/ (/), л = 2, 3,...
Положим h — 1. Соотношение
Дя/ (0 = 3 (—I)""* Cknf (t -J- k)
ft=0
выражает конечную разность n-го порядка функции / (0 в точке t через значения функции в точках t, .... t-f-л.
Обратно, равенство
/(/-М=2Ф7(/)	(Д°/(0 = /(0)
й=0
выражает значение функции в точке t-j-n через значения / (0 и ее конечных разностей порядков. 1, 2,..., п в точке i.
Обобщенная степень t, определяемая соотношениями
/®=1, /<«)=/(/ — 1) ... (/_Л"=П) (л^Л==(л —1))
(ва»1, 2,...), обладает следующим свойством:
Д/(я)=п^»-1).
Факториальные многочлены определяются условиями:
Фо(О=1. <М0 = -^.	п=1, 2,...;
ири этомДФ„ (/) =“ Ф«-1 (0- Любой многочлен Р(/) степени п можно разложить по системе факториальных многочленов. Это разложение
р (0 = Р (0) Фо (0 + ДР (0) Ф, (0 + • • • + ^пР (0) Фя (0.
454*. Разложить многочлен Р(0 =/3 4-2/2 — 5 по факториальным многочленам.
§8] СТУПЕНЧАТЫЕ ОРИГИНАЛЫ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ
139
455.	Разложить степени t2, (3, по факториальным многочленам (по факториалам).
456.	Записать разложение по факториалам следующих многочленов:
1) Р(П = 3/'> —5/24-7, 2) P(() = 2f34-2( — 4.
457.	Используя теорему опережения (если f F (/>), то
f(t + c)=Leep
С
F(p)-$ f(t)e~ptdt о
(c>0)
выразить изображение	я=1, 2...... через изо-
бражение f (I) при условии, что /(/)— ступенчатый оригинал. Найти изображение
458.	Найти изображение ступенчатых оригиналов, используя изображение А/(0 (см. задачу 457): 1*)	с* сили
/(()==ск1 (с — действительное число); 2)
3)/(0= $Фп(0,п = 2, 3, ...; 4)/(/)=уР; 5)/(/)=ур.
459.	Используя изображения факториальных многочленов, найти изображения ступенчатых многочленов:
1)	/(0=1 0; 2) /(()= X (2(3 -5/4- 2).
460.	Найти изображения ступенчатых функций:
1)	/(0 = ХФ1(0с<;
2)	/(0=УФя(0с'. « = 2, 3, ...
Указание. Использовать изображение Д/ (0 (см. задачу 457).
461.	По ступенчатым оригиналам найти их изображения:-
1) /(0=Х(Р4-5)-3/; 2) /(/)=! (ЭР— 7/4-8) 2';
3) /(()= X (V—1/= (—1)(/1 X (4.
462. Доказать теорему: чтобы функция F{p) являлась изображением линейной комбинации функций вида J Фп(1)с1, необходимо и достаточно выполнение следующего условия:
F(P) — D (еР\
Д.(Р)^
где R (е₽) — правильная рациональная дробь относительно ер.
463. Найти оригиналы по заданным изображениям:
>•>	2) й-^у-д)(^-о;
3> 4 00	— I)5 (.₽ — 0 
140
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
|ГЛ. V
§ 4. Решение линейных уравнений в конечных разностях Операционным методом
Рассмотрим линейное уравнение л-го порядка в конечных разностях с постоянными коэффициентами
йоУ if + п) + а,у (/ 4- п — 1) 4- ... 4- апу (0 « f (t),	(1)
где f(t) — ступенчатый оригинал, аа =/= 0, а„ Ф 0, и начальными условиями
У (°) = Уа, У О) = У1.у (л — I) =. ул_
Решение y{t) этого уравнения в классе ступенчатых оригиналов определяется следующим образом:
У if) = Y (р) ~ -	У	X
Х{Пр)+Мр)«Ну0(«0е(л-1)^4-л1е(л-2)/’4- ... 4-Лл_1)4-
4~У1 («о^л_2)р4*й1^Л-3^/,+ ••• +«n-a)4- ••• 4“Ул-1йоП’
где F(p)==f (О-
Уравнение в конечных разностях может быть также записано в виде
М" у (04- МлЧ у (О 4- • •  + М (0 » / (О (2)
Начальные условия в этом случае запишутся так:
у(0) = с0, Ду(0) = Дя-1у(0) = cn_j.
Уравнение вида (2) можно записать в виде (I), с той лишь разницей, что соответствующие коэффициенты аа и ап могут оказаться равными нулю, уравнение вида (1) всегда можно записать в виде (2).
Уравнение (2) называется уравнением л-го порядка, если, записав его в виде (1), мы получим соответствующие коэффициенты аа и ап отличными от нуля, в противном случае это уравнение имеет порядок ниже л. Например, уравнение
Д’у (0 — 3 Ду (0 — 2у (0 = /
в форме (1) записывается следующим образом: у(/4-3)-Зу(/4-2) = /,
откуда следует, что данное уравнение порядка ниже третьего. Линейная подстановка /4*2 = t' приводит к уравнению первого порядка
у(Г4-1)-Зу(Г)«Г-2.
В этом случае заданное уравнение называется уравнением первого порядка.
Заметим, что, допуская возможность линейного преобразования, уравнение (2) всегда можно записать в виде (1).
s 4J	УРАВНЕНИЯ В. КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
141
464. Показать, что если /(О является линейной комбинацией функций вида £ Фп (t) с1, то и решение у (/) — линейная комбинация функций того же вида.
У казаии е. См. задачу 462.
465. Определить порядки следующих уравнений:
1) дзу (о+Д2у (о - Ду (о - у (0 = /2;
2) Д3у (Л 4- ЗД2у (0 4- 3 Ду (0 - у (0 = о.
466. Решить следующие уравнения в конечных разностях с заданными начальными условиями:
Г) у(/4-1)-2у(/)==1, у(0) = 0;
2)	Дяу(О = 0. уо^у^О, у2=1;
3)	у(/4-2)-9у(/4т1)4-20у(0 —0, у(0)=0, у (!)==-1;
4)	у (/4-0— ау(/) = с, у(О) = уо, а и с — действительные числа;
5)	У (t -j- 2)4~2у (14- 1) 4~ У (О — 0, у (0)=1, Ду (0)=— 1;
6)	Ду(/) = /2, у(О) = уо;
7)	У (/Н~2)—5у (/ 4" 1)4-бу (t) — /. У (0) — Уо> У (0 — Ур
8)	у(/4-2)-2у(/4-1)Ч-У(0 = 2<, у(0) = у(1) = 0;
9)	у(/4-2)-2у«4-1)4-у(0 = /2, у(0) = у(1) = 0.
467. Дана последовательность целых чисел, начиная с О и 1, в которой каждый последующий член равен сумме двух, предшествующих ему: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (числа Фибоначчи). Найти выражение общего члена последовательности.
ОТВЕТЫ
Глава I
•	4"^» г 2(Cj—Ci) sin (2п—1) х
1. / (*) --§-+ «-------Z'
л=1
2^-7- -/СО-^+ rfsl
Яй
2^, («I+ (-!)"<»]8in-5-	с+е 2(e,-es)4Z
+ _^------------------С08ЯЛв-1^_?-+_и__^Х
Л»1
V, (_118+^	я
2л —1 cos(2n—1)х для х & (2*4-1)^-, где k — целое
число. X Графики функций см. на рис. 14 и 15. 1)	=
, 2 V 1 ( пп Л ~	. 8Л Г ,1	_ ,
-f- — 2j J2 (cos “2-11 cos nx; 2) f(x) -^5- cos x 4- cos 3x 4-
Л=1
4- ~ cos 5л 4-... 4- (2д соз(2л—!)x4-...]. 4. 1)~ =
ОТВЕТЫ
143
81ПЛЛ л
О < х < 2«; 2) л2 =	+ 4 £
л«1
ОО
4я2 , .V* cos пх л_ V4 slnnx „	„	„ ,
«-g-4-4-----------**	j*—* °<Л<2п- Графики сумм
Л«1	Л=1
рядов I) и 2) см. на рис. 16 и 17. 5.1) л’=-^ + 4^^=^-созлх,
л»1.
О < х < я. Равенство имеет место и иа сегменте [—я. я];
Л=1 2 (cos пк — 1)
л»
sin пх =
сс>	со
п_ v* (—1)“+1 Sin пх	8 V4 sin (2л + 1) х п	„
«2*2/--------~п-------71~(2л-ьТЯ' ,0<л<я‘ Суммы
Л«1	л=0
Я2 Я2 Я2 _	_	.
рядов соответственно равны -g-;	-g~. 6. Ряд Фурье
многочлена Гл(х) совпадает с этим многочленом и, следовательно. «* = «*,	=	Л=1, 2,..., л. 7. 5), а) ft»=0, л=1,
2. .... Д1 = flj= — Лал-i = ... =0; б) яя = 0, л = 0, 1, 2.......=	ft8 = ...^=	! = ,,, »0. 9. График функции см.
на рис. 18; f(x) =* —+ тcos хГcos 2л—^.со54л4- ...
я 2	я I о	15
144
ОТВЕТЫ
• v -F(— I)"+1 4^4rfcos 2лл+...J, 10. I) COS ax =» --Л!? X (OO	\
+ У (—1)"+1 -Л0--^- ), — «<*<«;	2) Sin ax =•
П sl	/
2sin an 50 (—1)я+1Л81плх	,	. x
=	--- V ~—S—«5--------.	— « < X < n; Sin v »
я лшЛ nr — a* •	Z
H« 1
S'!
Рис. (8.
OO
= 1 2 (~1)Л+11Й^Т ’	3) |x| = l-
Л=8 1
OO
4	50 cos (2л — l)nX	t I ,.	„ n.,
-U, i (2Л-1У ~ •	-!<»<+I; 4) *-24-
Л*1
+ 1	(_i)"+i sln”?x.( l<x<3;	5) x->4-/ +
Л-1
2	3 V C°S
6)	—
Л«1
nna . nnx\	.
— cos —j— sin —j— I, a < x < я4-2/;
2ля ,
-g-	1	2
--5---- COS ПХ = tt — n*-----о
OO	co
9 50 1 2wix , 1 50 cos2*nx
2^ Zi IPC0S 3 + 2n’ Zi П2
л = 1	л=Г
0<x<3;
CO
. v 3 'I 1 50 / COS nn— 1 ,	« ,	\ . 3
7) /W=T+-?2j(^^CO8M-TS'nM)= 4~ n «1.
oo ; '	• r	•  'CO
2 50 : tOS;(2n — I) ЛХ • 1 50 Sin ППХ
~ 1? Zi (2л — 1)г я « л ’
ОТВЕТЫ
145;
11,;. Вт9рвй «ряд в . I) получается, если из результата подстановки в первый ряд х«=0 вычесть первый ряд. Графики
2к
функций см. иа рис. 19, 20. 12*. 1) /(х)= 	einx,
— ОО.
х =f= 2An, k — целое число; 2) / (х) =
-	оо
1 . /dos пх
у + 2Днр^~ л = 1
Л8|ПЛХ\1 , 01.	г.
---гт—г- . х #= 2йп, к — целое число. Решение.
I -f- п‘ / J
-к»
 cnginX > х 2ft>t,
1)/W-
2к	2it
сп =* f f (x)e~tnx 4x J'exe*"inxdx^ о	о
•'“Дг1	e'“ 0<* <2*-
••'OO. — 1 1
2) ae«=2Rec„= —-——, ««0, 1, 2, ....
6„ = —21тсл = — - -—n = 1, 2, ...;
Л, , Г < -- 4	— I 1 .	[ cos nx nslnnx\
/w--------- y+ .
лх!
x 2ft«, k — целое число.
146
ответы
IX /(х) = —--------1- — 2i-----iqLn2 — (cosnx+nslnnx),
*’	л» l
+оо , , 2 VT 6—1)я+1
х Ф kn, k—целое числа 14. 1) /(*)“— X ) *•
.. .	2,4V (—l)"+l
2) /W = v + v2^-14^=rCOS/,-r-i
IX chx
-	00
2sh я 1 । V (—0” cos nx
“я 2+Zrf 1-f-n2
Л-1
— я<х<я.
ta ,	2sh«: V (—I)”"*"1 «sinnx
16. shx----— 2j-—ПГТТР---------,-жх<я.
л®1
20.	1) г—1 > \f — cos х, ... \f — cos nx, ...; 2) l/"-?"sln x, pGt Г “	Г «	Г «
sin2x.. -|slnnx, ...
X 7
21.	cn = — j* f (x) sin (2n — 1) x dx, n «1, 2, ... о
24.	2) Ta (x) =. 1; Ti (x) - x; T2 (x) - 2x2—1; Г, (x)« 4x»-3x;
Г4(х) = 8x< — 8x2H-l.	_
25.	FoW-^7o(x). Fn(x)=	в-
= 1.2,... 26. tZ„ (x)= |/Г|"(7л(х), л = 0, 1, 2, ... 27.1)|x|-/
4.1 V ~ Ц- T^nW. -1<X<1;	2)	|x|~
Я П Zi n2------7
n «1	4
7----T\7----SV Utn (x)- -1 < * < !• 28. Pe (x)« 1;
Л»0 (л—-у) (л + yj
Р, (х) - х; Pt (х) - (Зх2 — 1); Р8 (х) - 1 (5х» - Зх); Р4 (х) =-в1(35х«-30х54-3).
О
ОТВЕТЫ
147
29.	Рл (х) «	Ря (х), п == 0, 1, 2, ...
ОО
30.	f (fy апРп (*)> ~ 1 х 1»
о=9
1
дя=в-^”±1 у* fix)Pn(x)dx.
-I со
31.	1) /(х)~1 +42 С-1)’2^FTri«+«W;
л«о
2)	/ (*)~4 + 2 С-1)"*1 “Wftfejr'- Р1п-'(Л)-0=1
82.	|х|~у + ^(—1)л+1 (п 41)! 0Ц-1)!	2™ РМ<
о = 1
33.	/1“'Р)(х) = |[(а + 1)(х+1)+(?+1)(х-1)1;
4’’	= 4 [(а + 1)(«+2)(х +1)2 +
4- 2(« + 2)(р+2) (х + 1) (х - 1) + (₽ +1) (? +- 2) (х - I)2].
34.	Дп(х)=-^-Д„(х), п=0. 1, 2. ...
35.	£0 (х) = 1; £1 (х) = — х + 1; £j (х) =» хг — 4х + 2;
£, (л) = — Xs — 9х3 — 18х + 6; 14 (х) = х4 — 16х» + 72х’~96х 4.24.
СО
36.	е“х~ ^4г£л(х)’ Л>0, 37, Яо(-0 = 1; Я1(х)==2х; о»0
//2(х)«4х2 —2; Я3(х)«Вх3 —12ж; Я4(л) « 16л* — 48х2+ 12. * '	00
39.	/ (х)	2 СвНа (х), где
Л»°
+«
Ся° 2«пГ/Г f f^Hn^^dx, n-0.1,2,...
40*. Pe(x) = l; Р,(х)=х —1; Pt (x) = xs — 4x +2. Решение. Воспользуемся методом ортогонализации. Положим Ро (х) = 1, Р) (х) = х + а. I «= х+-а и определим а из условия ортогональности с весом е~х на промежутке [0, +оо) многочленов
148
ОТВЕТЫ
+“
Р, (х) и Р0(х), т. е. из условия j* (х4-я) • 1. e_jrrfx=0. Имеем
6
а = — 1 н, значит, Р\ (х) == х—1. Положим теперь Р2(х) = х2+ . 4-ajPj (х)4- а0Р0 (х) =х2 4-(х—!) + %• 1 и определим а, н а0 из условий ортогональности Р2 (х) к Р{ (х) и Рй \х) с весом е~х на промежутке [О, 4* со):
+оо
У* [х24-я1(х—1) + во] • (х — t)e~*dx =* О,
У* [х2 4-et (х — 1) 4-о0]-1 -е~х<1х — 0. о
Решая эту систему, найдем «, » — 4, аа = 2 и, следовательно, Рг (х) = х2 — 4х 2. Многочлены Ро (х), — Pt (х) и Р2 (х) являются многочленами Лагерра.
41.	Ро (х) = 1; Р2 (х) = х; Р2 (х) = х2 — 4 J Р3(х) = х2 — О
3
— х. Эти многочлены только постоянными множите-о
лями отличаются от соответствующих многочленов Лежавдра.
.	1	„ , „ l^2x п , v	2х2 — 1	~
42.	Р0(х) =	1—;	Pi(x)=i------; Р2(х) =-----5. Это —
уи у* у зуа ортонормироваиная система (из трех членов) многочленов Эрмита.
.. л/ ч х3—Злх24"2(л2—3)х4-6л „ .	. V» sinnx
44.	1*) / (х) - —----2 sin х 4- £	.
л=2
О < х < 2я. Решеине. Используя ряд геометрической прогрес* л	л 1	, 1 , 1 ,
сии, запишем —=—= — (14- -V 4* —г + • • • I == л2 — 1	2 / j_ л\ 'л2 'л41 J
• 1 /, . 1 , I 1 \	1,1,	1
л(1 + л2+л4;—г =-r+^+w=i)-‘ и-сле*°ва-\	л2 /	.
ОО	00	00
Sn , V1 sinnx , V* sinnx ,
n2 —у sln nx “ Zi —----------------------Г
л«2	я«2	л=2
oo	co
, V sinnx ..	ЧП sinnx
'jjsi'n2 — h ‘ Исп0ЛЬЗУя таблицу, получаем X—— —
Я-2	’	л-2
ОТВЕТЫ
149
л— х , п п Vi sin пх х3 — Злх2 + 2л2х
—2-----sin х, 0 < х < 2 л, 2j —з  =---------jy--------------sin х,
п=2
О < х < 2л, откуда окончательно находим / (х) = - 9 Х — 2 sin х -}-
, х3—Злх2-|-2л2х . Vi sinnx ______х8—Злх2-]-2 (л2—3)х-|-6л
’	12	h и9(л2 —!) ~ ~	12
л=2 оо	оо
п ,	. Vi Sin ПХ .	— х VI sinnx
—2sin х-4- 7, ——гт> 0<х < 2л; 2) /(х)==—~---------->, , . ,
1 Л^п3(п2— 1)’	'	2	a4Jn(n54-l)
л=2	л=1
оо
О < х < 2л; 3) /(X) = £ + У (—l)n+1 ... ”	1 sin пх, — л<х<л;
tl \fl “у 1)
П—1
оо
, Л — X V* Sin ПХ _ о	v Л------------X ,
4)/(*) = ——2^T(^w <x< ; 5)	+
Л=1
л	00
+ « / 1п (2 sin A) rfx + 4 (хз + Злх2 - 2л2х) - аз 2	.
О	Лз= 1
0<х < 2л; 6) /(х) = — +sinx + 2(- О" . — "<*<»; • ”=2 п
7\fi \ л3 . л лх2	' Vi slnzl 2	л л
7) f (х) =32+ т—g 2 cos x+2j пз^-!) cos ях- - 2<X< 2 1
Л = 2
2 vi 2
8) / (x) = ? (x) + ?г (x) — - 2^ и3 (n2 —Tj Sln ПХ' °<х<"-гДе л=2
при 0<x<-^-,
при
л
о при х — -j;
л=2
пл
COS у
---5— 81ППХ =
П3
х3 , л л _ л
“	24 Х’ У’
(х---тс)3 . Л ,	. ТС
6п	1"24(х—®), "2 < х<я;
ISO
ответы
ОО
л. ., . Зх2—бях—2я2	V cos о. п
9)/(х) =----R-------2j7F+T’<X<
Л«1
Указание. Использовать равенство «4 —яа_|_ 1 j 1 Л2 (л4 4-1) л2 Л4 4-1 '
45*. Тз (х) = 27,83 4- 6,47 cos х — 0,07 sin х — 3,25 cos 2х 4* 4- 0,09 sin 2х — cos Зх — sin Зх.
Решение. 27	32	35	30	26	20	18
36 32 30 26 22
Сумма	27	68	67	60	52	42	18
Разность	—4	3	0	0	—2
	27 18	68 42	67 52	60		—4 3 —2 0	0
Сумма	45	110	119	60(s)	Сумма	—6 3	0(»)
Разность	9	26	15	(0	Разность	—2 3	(х)
6л„ = 45 4- 110 4-119 4- 60 = 334, бй) = 9 4- 0,886 • 26 4- 0,5 • 15 =« = 38,84, 6а2 = 45—60 4- 0,5 (110 — 119) = — 19,5,'6а3 = 9 — 15 = —6, 6&! = 0,5 (—6) 4- 0,866 • 3 = — 0,4,	6*2 = 0,866 (-2 4-3) = 0,866,
663 = — 6, откуда, определяя коэффициенты Фурье, получим Т3 (х) =» з
=	4- У* (а„ cos лх 4- bn sin лх) = 27,83 4- 6,47 cos х — 0,07 sin х —
п=1
— 3,25 cos 2x4-0,09 sin 2х—cos3x— sin3x. 46. Т3 (^) = 429 4-4- 1739 cos ? — 1037 sin <? — 6321 cos 2<f 4-1263 sin 2? — 1242 cos 3ep — — 33 sin 3?. 47. 1) T2(x) = 0,124-1,32cos x4-0,28 sin x—0,07cos2x4-4- 0,46 sin 2x;	2) T3 (x) = 0,960 4- 0,851 cos x 4- 0,915 sin x 4-
-f-0,542 cos 2x4-0,620 sin 2x4-0,271 cos 3x4-0,100 sin Зх. Для функции f (xk Tt (x) = 100 cos x4-100 sin x4-100 sin 2x4-100 cos 3x. Для функции T (?): Tt (?) =4274-1685 cos $—938 sin ?—6426 cos 2?4" 4- 1325 sin 2? — 1175 cos 3? — 87 sin 3? — 783 cos 4? — 318 sin 4? — — 163 cos 5? — 398 sin 5? — 304 cos 6? 4- 325 sin 6?. 52. 1) у = —-i X
00	OO
Ssin(2n4-l)x	V	sinnx	,
(2л4-1)1(2л4-1)24-1] ’ 2) y~ Ъ л(24-л2).’ х=£2к1С'
л=0	Л=1
ОТВЕТЫ
15!
.	о. х .	. V1 sinnx , о. .
Ь — целое число; 3) у = —g-cosx-f- V ~п------к > х	к—«е*
л	лл 7111 r Л )
п=2 _	(2л 4-1) an (2n-j-l)’t
32Л cos ~~ I ~1 sln I х 1 лое число. 53. 1) и(х. 0 = -^-^--------------(2л 4-1)»--------•
00
Решение. и(х, 0 = ^ (ляcos^P<4~ ^ns|n
Л=1 '
, rm sin —j— х,
где i
.	2 f 4Лх (Z—х) . лл
An=sl J —Ь's n Txdx' о i
„ atm 2 /* „ , tm .
В„ -j-—j I 0sin-j-xdx=0; о
2)	u(x, 0 = (cosZ4~sin0sinx; 3) «(x, 0 = -^-sin-p-Z sin у x.
z л Vf (2n4-l)«’tZ । «. . (2л4-1)ant] . (2n-j-l)n
54.	и (x. t)=2j [e« cos 2i-------l-bn sln %-----J sln - 21
л=0
где i
2 f (2л4-1)ях . an~TJ	—2Г—dx’
о
i
,	4 f . . . . (2л4-1) nx .
h" = (2л 4-1)^ J + <X> Sln ' 2Г- -dX-
0
Bs / 8Л ’V (—1)"	(2л-|-1)яа/	(2л-{-1)ял
55.	л (x. 0	(2ТНЛР COS ~ 2/" Sln • -^F-
л=0
Указание. Задача приводится к решению уравнения д2и . д*и	п . л ди(1, t) л
Х=а -дхг при Условиях »(0, 0«=О, ---------------А—^_=о,
00
. Ач Лх ди (х, 0)	„	„ , А V» .	, ,
в(х, 0)= —,------xdt =0. 	56. и (х, Z) = 2j (“л cos +
л=1
152
ОТВЕТЫ
+6Л sin <o„/) sin 4- V ------------ (<o Sin ®nt — u>n sin a>t) Sin
1 £We4) где i
ап==т/?^x)sln~T~dx' ?(X) = W(JC- 0)> о i
.	2 C < i \ > n7ZX j , , du(x, 0)
ол =----- / Ф (x) sin—;—dx, Ф (x) =--*rr—
" nr.a J T' ’ I T v ’ dt о i
fn — 1 J /(X)sin —j—dx, 0 V	о	d2U
У Казани e. Задача приводится к решению уравнения — d^Ur
— а2 -J- / (х) sin па>* при условиях « (0,1) =0, и {I, t) = 0 и (х, 0) = (х), -^..9) =ф(х) (0<х</).
4-со	4-со
__ .. ,, .	2 /* sinn .	7* sinx . л
57. 1)/(х) = — / —— cosuxdu;	/ —^~dx = -^‘,
тс J	И	J	X	£
о	о
4-со
оч ,, .	2 7* 1 — cos и ,	,	, , ,
2) / (х) — — I —------- sin их du,x=£± 1;
о 4-со
оч ,, .	4 Г (1—cos и) sin и .	.
3) /(«)»=— / i---------------sln их du",
It J	w
0 4-co
.. ., .	2 f (sin и cos и \ ,	,
<)/(•*) = - / I—~г--------г- sinnxrfn, x^=±l;
0 +oo
ex , x 2 Г Г Sin U . COS U — 11	.
5) f^=nJ [-J- + —U2--------------J C0SMXdU;
0
4-co
д\ z/ v 1 /* r2usln u + cos u— 1 .sinu — и , Ъ о) f (x)—— / --------------------coswx-f--2—sinux Wu;
0
ОТВЕТЫ
153
4-co Л
\ cos и у
7) /(*) = 4 /	cos их du;
о
sin ип
1—и2
cos их .	. л
-гт-л rfu, х>0;
sin их du. 58. 1) е~х =
+ оо
о. _ v 2 Г и sin их . п
2)е = й./ ~Т+^аа’ х>0:
л ♦
xsinx . Л
-г-;--5~dX = ^~
,14- хг 2е
О' 1+’л, -	Ч-оо	,	' 4-оо ' У* 4~и cos их du; 2)	~ J* е~“ sin их du. 0	, .	0
60. !?(«) = е~“, и	о	х» >0. 61. Ф («) = 4-ПГТ2-> и>0. 62. 1)/(х) = 71»	1 - "Г* *♦
— etnxdu\ fix)
l—Ч ТиЧН"'du;-те J (a*r|-ir)2
/(x)=— /  -2 .Ц- ^sinujvtZu.
J v 7 те J (a2-|-u2)2 . -	0	,
График спектра см. иа рис. 21. т Sin
т “1
, где q= hx.
64*. Ф(«) = q
Решение. Спектральная характеристика с (и) =	fit) в latdt —
— оо т
7	'.Iх
л	.	—	Sinu-y
h I е lutdt =--г"- [е~lttl] — hx-. Обозначим через
I ,/	IU	т	t	г
' _ I	""2	“7
2
11 Н. И. Кожевников и др.
154
ОТВЕТЫ
q=hx площадь импульса. Тогда
спектр
Ф (») = Q
г sin «-я-
“т
Ф(и)— четная функция. Для и > 0 ее график изображен иа рис. 22.
65. Ф(«) — q
График Ф(«)
9 = у Лт. Ф (и) — четная функция.
для и > 0 изображен иа рис. 23. 66. Ф («) =
2	2
q = - ftt. 67. 1) f (0 -ь F (и) = -j-f.............................,
’ It	/ J \ /	' >	] J. ц!
2)	’о- i)	;
2) / № («)=—4/О /(0*F(«> = i + (u+i)H-+ l + (B_ j)»’> 2 * 4) /(0 77 («) = «[i + ({t1)2 — ! + (B —1)2]’
Глава II
74. Эллипсы с фокусами в точках А и В. 75. 1) окружности х24-4- у2 — 2х — С; 2) эллипсы 2х2 -4- 4у2 = С; 3) гиперболы ху = С;
4) прямые Зх 4* 4у -f- С = 0. 76. 1) сферы х2 Ц- у2 + г1 = С; 2) ко-
нусы г2 = С2 (х2 4-у2); 3) параболоиды г = х2-[- у2 +С; 4) гипер-'•+>•-‘‘-С. ”(-£).,-» 7ЧМ-5 *' Жж =
“7+Т+7+Т- <Л 3F“V-	+
82. 2x14- 2у/ 83. grad и = 2у/ 4- 2х/ 84. 1) у; 2) 2г; 3) —
ОТВЕТЫ
155
85.	86. а. 87. /'(г).у. 88- 2 [ [сг] с] = 2г (сс) — 2с (гс).
ди grad и • grad v ди л	.	,	.	„ „
9‘-	= I grad v| • ~diT = 01 есЛН grad *1 grad v‘ “• Линин
уровня поля 0 = arctg —--полупрямые, выходящие из полюса О.
Вектор grad 0 = - J направлен по перпендикуляру к ОМ в сторону возрастания 0 и по модулю равен у. Линии уровня поля г- Ухг+у2 —окружности л2-|-у2 = С. grad г — у. 93. [(г—г0)Х 1Лх)
Xgfadf] —0, (г— гь)grad? = 0. 94.	«2,69. 95. tg<p « 4,87;
<р«78°24'. 96. (—“» 4i‘r —41. 97. Точки, лежащие на г	\	3 4 / \3	4/
9
окружности x24-y2=-Q. 98. £	М2РМ3~/_ МзРМ^ЮУ*.
о
2Z
99.	(-yi + xj), где р — расстояние точки М от провода.
₽	( х1 4- у2 = С,,	( ху=С,,
100. Окружность (	~	101.	1)	1 г
t Gj.	у — Gg^;
2. Гх + у4-е=С1, iy2 — z2 = Cl. 102	Зя/?2
’ ( х»4-у»4-г2= с2;	' { 2х + (г —y)s=Ca.	16
103. —2я. 104. 2яа>/?2. 105. Anbm. 106.--. 107. —14. 108. 1) и =.
= — х4уа4-3у2х — 5х-{-4у-{-С;	2) и = —5х2у + 8ху — Зу-f-С;
3) о = —-l(x»4-y34-e3)4-2xya4-C; 4) v = — xyx(x-f-y+e)4-C.
109. 1) 0; 2) -L ПО. —. 111.	112. 1) 0; 2)—nA3. 113. —An.
О	Г	о
114.0. 115. 1)	2)	+	116. 1) 3;
2J»0; 3) 0; 4) Q; 5) у (I, r). 117. 0. 118. 1) солеиоидальное; 2) несо-дёнойдальное. 119. 1) 0; 2) 4nm; 3) -Л-я; 4)
'	16	о \ 16	5)
2
5) -g- nR2. 120. 1) 0; 2) 0. 121. 1) безвихревое; 2) безвихревое; небезвихревое. 122. 1), — я; 2) 0. 123. 1) <f Д«р + (grad »2, где
Д? —оператор Лапласа; 2) <рДф + (grad <р grad ф). 125. /*(г) + f{r)~C->rfy:	128. grad/=(2r?-?a)ef +
Г	г
11*
156
ОТВЕТЫ
4-4~ Зг2? r Гг~]e<t 4~(W—ez; Д/= 4<p 4~	4~ 2?3 — ^7.
2^
129. div a — — 4~ •? 4" 3*2 + 2; rot a = (1 — г?) ег4~(2г—<f) ^4-2?^*
grad / = (2r?6 4- 3r2<f2)er 4- fl (r20 4“ 2г’Т 4- 1)^4-f tUo v
д/ = б?б4-12/у + 0 4-	tg64-
2^>0	(r4 4-1) tg fl
cos fl	r ’
131.
130.
+ у О’2? 4-20) е6;
 2С.. + _1_, ' cos2 0 ' cos в
rot a=[tg 6(?26 4’r2)~<f2ier~ 133.	1)	241 — 63J — 33*;	2)
134. 1) grad r	2) gradr =
2)	3) 0. 139.	f f (<fW + V<tW)dv
V
div a — r2?4
5r44~ 1	, fn 50 I Л 1 r 1
----l-s- e9 4- 2?20 4- 4r-o~ £«•
r cos 0 ? 1 L	cos 6 j ’
— 10;	-31 — 9/4-10*.
135. 1)	(i+J+k);
-ff^dS <neP' s
вая формула Грина); 2) J* j*J* (<p Д’р— | Д?) dV = J J* -
V	s
— <p-^-)rfS (вторая формула Грина). 140. grad f (Л4) = F (Л4) —
г2 (Л4 К)	К)—единичный вектор на-
V
правления Л4/С.	141. П = —4k j" J J if (К) dV(K); div R (М)=
Vs
=-4K<f(Al). 142. div4(Al) = f [ f div a(K)	rot Л(Л1) =
v
, K) a (/<)] dV (К), e (M /<) — единичный
Л .	g f	g
вектор направления MK- 144. E =<f = —. 145. У = 2j
Глава III
148. 1) Внутренность круга с центром в точке I и радиусом 2; 2) концентрическое кольцо, ограниченное окружностями радиусов г=1 иг=2 с центрами в точке 3 — 41; окружность радиуса г=2 принадлежит данному множеству, окружность радиуса г = 1 не принадлежит; 3) внешность круга радиуса г = 4 с центром в начале
ОТВЕТЫ
157
координат; 4) правая полуплоскость х > 3; 5) горизон тальная полоса, для которой 0<у<1. 149. 1) Угол, для которого 0<^<Л; 2) вертикальная полоса — 1 < х < 1; 3) правая полуплоскость х > 0; 4) правая полуплоскость х > 0; 5) внутренность лемнискаты Бернулли г2 = 2 cos 2?. 150. 1) -%+le; 2) 1-f-yZ; 3) 1. 151. 1) Сходится абсолютно; 2) расходится; 3) сходится абсолютно. 152. 1) 1г-2|<^Ь; 2) |x-Z|</2; 3) |*-1-3Z|>1; 4) \z— 14-/j > 1; 5) | *-2Z| >5; 6) 2< |*| <3; 7) 1 < |*-4-/| < 3; 8) 2 < | z 4* 1—i I < 5. 153. 1) e3 4(cos2 — i sin 2); 2) cos 1 cos 14-4- sin 1 sin I — cos 1 ch 1 4- i sin 1 sh 1;	3)	sh	2 cos 3 -4- Z ch 2 sin 3;
thi4-thitg2i tgi-thHtgi.	z_K \
1 4-th21 tg2 1 + 14-th2ltg2l ’ 2>lnz-r^ 4 + 26л — I In (/ 2—1),	1
6 = 0, ±1, ±2,...; 6)	.	_ |	6 = 0, ±1,
л (264-1)-/In (1+К 2), J
±2, ...j 7) ln(2 + K3)4-Z26u, | k =	±1> ±2,
ln(2 — /3)4-/26л, J
— у ln3, 6 = 0, ±1, ± 2,...; 9) Зе-2** [cos(ln3) -f- г sin (In3)], 6 = 0,
я—
±1, ±2,...; 10) ie~*' +2< 154. 1) ReZ = e*2-? cos (2xy), Im fP = ex2~y2 sin (2xy);	2) Re (*2sin z) = (x2— y2) sinx ch у—
— 2xy cos x sh y, Im (*2 sin z) = (x2 — y2)cos xsh у -f-2xy sin x ch y;
D ..	. tgx(l —th2y) , .. . th у (1—tg2 x) .. _ ,
3) Re (tg*) = утУ-а—. Im (tg*) = ,	4) Re Ln* =
l-f-tg2xth2y '*’ ’ 14-tg2xth2y ’
— -g- In (x2 -f- У2), Im Ln * = arg *+26л,	6 = 0, ±1, ±2,...;
5) Re *3+z = /(x2 + y2)3 e~are г+2Ля cos In (x2 4- у2) 4-3 arg *], Im *3+z = K(x24-y2)3 e-w 2+M* sin^lln(x24-y2)4-3 arg*].
rt — Zin (2 4-/3),
155. 1) л, =
— Z 1п(2— /З),
k = 0, ±1, ±2,
nl, k = О,
2) г = (26 ± 2- j «, 6 = 0, ±1, ±2, ± 1, ±2,... 156. 1) *=*|4(*а— z^t, t — действительный пара-
метр; 2)_* —* = 0; *4-* = О; 3) г = га ref1, 0_< ? < 2л;
4) A (z 4- z) 4- В (г — г) i+ 2с = 0; 5) **4-(14-Z)*4-(l — i)z +1 = 0. 157. 1) (х - х0У + (у - уоу = г2; 2) (х+1)’ 4- у* = 2; 3) £ -j- g = 1;
158
ОТВЕТЫ
4) х = а(/ — sln/), y = a(l— cos/); 5) x24-ys— 2y— 2=0. 159. 1) Л(и2+и2) + Вг«4-Сг»+£>г2 = 0; 2) Л(в24-о2)4-4~ (В cos а—С sin а) u + sin а -f- С cos а) и -f- D = 0; 3) А (и2 4- и2)-|-4- (В — 2.A#i) и 4” (С — 2Да^) v 4" A Qi2 4* ^1) ““ Вл^ — Cq^ *4* & = 01
160. 1) и = 4 — -—, 2) w = Ое2*1. 161. 1) и=2«4-10, —аэ<и<
<4-оо; 2) w = 34-г4-3^, 0<<р<2л. 162. («4-1?4-и2 = *
(1 \2	5
«4-"2 ) ~~4‘ 164. 2и4-4v4-3 = 0.
5 165. 1) « = -g- cos <р,
4 ,
V = у Sln <р,
0 < <( < 2л. 2) Дважды проходимый отрезок
Г 1 ! 1, U4UV , W 1 ЛЧ Л 2	16V2	, 1
[—1, 4-1]; 3)	4-Д-з-) =1; 4> 4и----3— =1> J<«<oo,
4а2	4о2	1ЛЗ
— со < о < 0;	5) —X-----s—=1,	< и < оо, 0 < о < оо.
О	1	Z
166. 1) Полярная сетка верхней полуплоскости Im z > 0 переходит в полярную сетку всей плоскости w с разрезом вдоль части действительной оси 0 < и < 4~оо. При этом | г\ — г переходит в | ®| = г2; arg г = <р переходит в arg w = 2ф. 2) Образом прямоугольной сетки верхней полуплоскости Im г > 0 являются два семейства парабол с общим фокусом в начале координат и с осями, совпадающими с действительной осью. 3) Прообразом прямоугольной сетки плоскости ® являются два семейства равнобочных гипербол. У одного семейства асимптоты есть биссектрисы координатных углов, а у другого асимптотами служат оси ОХ и ОУ. 167. 1) Окружность | г | < 1 отображается на эллипсы с полуосями у ± rj и с фокусами ±1, а пары диаметров, симметричных относительно координатных осей, отображаются на гиперболы с фокусами ± I и полуосями | cos а |, | sinal с исключением вершин этих гипербол. 2) То же самое. 168. Прямоугольная сетка переходит в полярную сетку. 169. Отображение w — cos г переводит сетку прямых, параллельных координатным осям, в сетку эллипсов и гипербол с общими фокусами ± 1. 170. Полярная сетка переходит в прямоугольную сетку (в полосе 0 < у < 2л). 171. Г) Полуполоса {— я < х < я, 0 < у < < 4- оо] отображается на плоскость w с разрезом по отрезку — 1<«C4*1> v = 0 и лучу—оо<о<0, в = 0. 2) Полуполоса — я < х < я, 0<у<4-оо отображается на плоскость w с разрезом— со<«^4-1, о = 0. 175. Кривые постоянного модуля: 1) (х2 4- у2)2 — 2 (х2 — у2) = С; 2) ch2^y — cos2 х = С; 3)* х = С. Кривые постоянного аргумента: 1)	= Ct; 2) —=, С,;
3) у = Ci. 177. Z « 6 — 7,95г; У я 0,06 4- $80г; / я 20a. 178/1) | г | =
ОТВЕТЫ
159
== const (окружности), <p — const (лучи); 2) ;p = const (лучи), | z | =» = coast (окружности). 179. 1) Линии тока — прямые, проходящие через начало, эквипотенциальные линии — прямые, проходящие через начало и перпендикулярные к линиям тока. 2). Линий тока — гиперболы с асимптотами х = 0, у=0, эквипотенциальные линии — гиперболы с осями х — 0, у = 0. 3) Линии тока — лучи, эквипотенциальные линии— окружности. 4) Линии тока — окружности, эквипотенциальные линии — лучи. 5) Линии тока — окружности с центрами на оси у, проходящие через начало, эквипотенциальные линии — окружности с центрами на оси х, проходящие через начало. 180.1) (х, у) = — о sin <f> = const, <f (х, у) = — и (г + )х
(R2 \ Г
г—pj-j sin «р— 2й In r = const, / рз\	г
? (х, у) ==— vlr-f-у I COS <( +	<( = const. 181. 1) z'(t}^
™—3 cos2 t sin t — i2te~p; 2) z' (t) = ;y ,------/ -r-т -2 
V
182. 1) (г3)' = Зг2; 2) (ег)' == «?г; 3) (sin г)' = cos z\ 4) (In г)' = 1. ,84-11 l-S-Lr1^
I 'г=1+/	\ az /z=i + l	z	Г az lz=i
_1 ?| _ 1; , _ „g (^-.rg .'-I « 87-17'; 4) | %	_1;
<p — arg	= 0.	185. 1) I I = 3r2 = const (окруж-
\ аг >z^3l	I аг I
иость), arg j = 2<f — const (луч из начала);
2)	j 1^-1 = ex = const; x — const,
г=х-±1у.	186.2/2" +
arg » У = const; у = const,
+ In (3 + 2 /2"). 187.7,5 л. 189. v (x, у) = 2xy + у + C. 190. 1) w •= = ^-(2 — /); 2) w = l —1; 3) w = 21n* + C; 4) ® =a3(2+l), 191. 1) 1(1—cos 3) +1/(1-e"2); 2)-B + /ln2. 193.1)2/;
О	Z	<3
2> _<*.-*,><*, + *>.	3)2(1- 1).	IM
Z	о
n/1 + 1
195.	1) “+“I ^(—1)"+1—11> если n=fz—1; it/, если n = —1; 2) и
3) 2(/ —1).
160
ОТВЕТЫ
3)	0, если п^=—1, 2-rcz, если п=—1. 196. lnz4-2/m', где п означает понимаемое алгебраически число обходов пути интегрирования
1	1__z
197. 1) arctg2’=-ST-ln-T-T—4-’ ь 2z 1-{-г 1
вокруг начала.
2 л («j 4 /г2), где nt
указывает, сколько раз и в каком направлении обходится точка /; пг указывает, сколько раз и в каком направлении обходится точка (—г); 2) arcsin г = In (zi-{- У"1 — z* 2)4- л/ У 2 (nt 4/г2), где —число обходов вокруг точки 1, п2 — число обходов вокруг
точки (—1).	198. 1) In 22n~i;	2)	4 2л (П’: 4 пг)-
199. 1) Д (—3420; 2) 21п2 — 1;3) 14/shl. 200. 1)	2) —
О	о	о
3)0; 4)0. 201.1)0;	2)— -1 sh2; 3) лй?"1!	4)—-|л/;
х	о
5) -^1 (cos 2 — cosl — 3 sin 1).	202.1) 1; 2) e; 3) !-{-«. 203.
204. Интеграл может принимать пять различных значений: —2п1;
— л/; 0; л/; 2лЛ 211. 1) Поток равен N; циркуляция равна 0. 2) Поток равен 0; циркуляция равна Г. 3) Поток равен N; цирку-fj	Ti
ляция равна Г. 212. 1) f (z) =-^-\п гС; 2) f (z) ~ -g^-ln z-f- С;
3) f{z)=	In г 4 С.	213. £ =	где z=r??;
214. . 1) -^-==«1—zzz2; v —I| — У ^4 zzj ;
2) ~ = 2ar, v = 2a Yx2 + y2 ~ 2ar, 3)	— .
' dz	' 1 z	’ dz 2л (г — a) ’
IQI. . 4.	M , I Af I dw
2 л | z — a | ’ ' dz  2л (z — с) ’ 2л | z — c \ ’ ' dz = _1, = —215. l)w = z + ~; 2)w=.
2л (г — а)	2л | z — a |	’	1 z . '
~z+±.	216. 1) 7Г±-Г=1+2г43г»+ ...	...
(И < 1):	2) —1—=14^+1г4^+2г24 ...
оо
... +c;+/+ ... (41 <1).	217. I)
ОТВЕТЫ
161
14- 2/ д_ 4 — 2/ “	5	'	5
4) V (—1)« ГAlEzbll _х
>	v 3я+2	“
л = 0	L
——г] г" +
оо
, -V 2nin	.	6 + 4/	_	— 29+2/ ,	_	_
+ С<Хгд+г’ гдеЛ=—З-д—,	В= ; С~В(
П*0
00	со	со	00
»> •> S(+r++’; »> S4-2 А’ •> 2 л=0	n=1 п=0	ч»1
/7 = 0	г оо	п- 1 оо	-1	/7 = 0	/7=1 оо
6) а) * т ' ' а — b	1 е 1 N « | !	, VI £П 1 /1 = 0	1 V Ь'1 — ап '	0) b — aZi zn+' ’ /7=1

7) ±(1 + |г + ^г2
б) 77=Г])г + уз?г:
I J_ V (__и/» .(?
+ 4 2/ ' (20й
п=0
. " оо
„ у ' (-0я .
°' A (z—1)ли ’
/7 = 0
оо
5) а) — (г + 3)« ;
4)
— / г — 2/
218. 1) а) ^пгп; 2>‘>2irhj + 3) а) _±-^г«; я=0
п-0
«>£+£+
со
7) а) ^(-1)я[/ЦЙ-^+ 4^т + с](г-3)«; б) -(^рр-4 /1 = 0
оо	со
+T+r-cS-^fe^: в) S(-3^+1 (*-2>я+
Л=0	/1 = 0
со С	12	2 VI
+ т±2> W Л = |. В = -|. С = |; 8) 2)/л-‘(г-9я;
. оо	/1 = 0
9) *о = 2,	-_±5- + 2(_1)^_1__1_^](г_2)«;
* 1 t
162
ОТВЕТЫ
Ли— —2,
7T2+S
л=0
1
3«+i,

1 г— 1
л=о
(-1)"	(-1)я
3«+1	2"+1
1)«;	Ж0«-1,
ОО
i-[-1	S[—' з"+*	2Л+* ] C*4" О”;
л=0
10) In г = In а 4-
,. z —a _ (г — а)2 . (z — а)3 (г — ау ' а 2а2	‘ За3 4а*
__1
<-l>’+,Jh=or2'”'
/1=1
оо
п>'+2г(^г п-\
2t9. 1> —2^4-
со
4-Z	(-1)”	(г_2)2 при о < | г—21 < УУ;
/1=0
оо	оо
2Х(-1)Л-?й— Егйт при 1<1,|<2;
Л=1	п-0
2)
I 4(z — i’)
1	, V (n + 3)2”(z-Z)"
4 (г —2п+* л=0
при
О < | г — г | <2;
оо	оо
при ]г|> 1; 3) | +	+	^^12)!g„ при
Л=1:	/1=1
со
Оси <оо; 4)	(—1)” я[ (г Щ- при 0<|г—1 |<оо; 1—-| +
л=о
°°	л-1
+ £С-лг-п при |г|>1, где С_й=-1+% MlJ1
n=2	fe«l
ОО	00	оо
S)2c^+2C.^-. г,. п*=0	л=1	Л=0
СО	ОО
Я*: О» 1Г 2, ,,	6)	2Л» гдб Сгя33
л»0	л»0
ОТВЕТЫ
163
7) 'S ....... при I * I > max (I «I. I ь I ) 220. F (z)» 2 ’ (*) **>
nz	*=i
/1=1
где t(A)— число всех делителей числа k. 221. l)/(r)»#Jl+r + + зг +"6 ^ + йг + "•J1 2>/<z)“ln2 + -2 + 8’~192+ ”•! 3) /(z) = o + vz + fv—-i- a)z24-^-|-v — ajz»4- .... где a = slnl;
v яа cos 1. 222. 1) 2 (n *Ь 0 гП'г 2) 2 “b №l *b °2 *ь  •  *ьгП> n=0 n
~ 2 2 cos-^
3'£“эт-4-*
/1=0
/1=0 n ~ 2s»"-?-2—зг1*Л2»1>-?=т-,-< л=0
co
^ь\Г•g2*’ 0<1'г1<2я, где коэффициенты Bn есть так назы-Л=1
ваемые числа Бернулли. Эти числа определяются соотношениями Ва=1; B0("tf) + «1(”t1)+ ... +B«(”+1) = 0. n-l. 2,3,..., Д*+1=0, А =1,2,3........ Д= —|, Д = 1, Я3==0,
СО
В<=—2) zctgz=i + S<-1)ft^Tz2ft- о<1^1<”;
Л=1
3) 4gz = 2	‘ ~ (22(2^)l1) g2* ггк~*’ 1 z 1 < 7’ 4> sec г =
оо
=V* (—1)*гзк, |г| < ?-, где коэффициенты Еп есть так на-^1	\мк)\	А
Л—о
зываемые числа Эйлера. Эти числа определяются из соотношений: Я«=1; £о + (22”)^ + (24”)£4+	+(2п212)£2'’-2 + £2'’==0’
Егй+1 = о, А = 0, 1, 2,.... £0=1, ^=0, Е2 = — 1, £3 = 0, Д = 5,.. • 225. 1) Виутрециость лемнискаты \ z — 111 z -J-11 < 1,
S =	;	2) область сходимости определяется соотношением
164
ОТВЕТЫ
-Л— .<1,.5 = {1+г’)«. 229. 1) 4; 2) 15; 3) 3. 230. 1) Точка | 1 -f- Z‘ |
г=±3г — нуль 1-го порядка; 2) точка z—±3i— нуль 1-го порядка; 3) z — G — нуль 2-го порядка: z = kr., k= ±1; ±2; ±3, ... — нули 1-го порядка; 4) г— ±2 — нули 3-го порядка;.г = 2Аш, А=0; ±1; ±2,...—нули 1-го порядка; 5) г— 2А-, А = 0; ±1, ±2, ... — нули 2-го порядка; 6) z = Ал, k = ± 1; ±2, .,. — нули
СО
3-го порядка. 232*. (х) = У, ап sin пх. Решение. Положив »=1
1__
eix = г, получим f(z)=—------------г-------. Учитывая, что
2Zp - («44)*+ Ч
1
корни знаменателя равны z1 — a, z2=—, запишем разложе-
ние / (г) на простейшие дроби: f (z) = i
сходящейся при |г|=1, получим f(z) —
откуда, после подстановки
।__z ' 1 — az •
Так как | а | < 1, то, используя сумму геометрической прогрессии, СО
i)’
Л = 1 asinx _ 1 — 2а cos x-j-a2
z = eix имеем
п=1
пх.
233. 1)
9 (х) = 1 + 22 в” cos пх, 2) у (х) л=1
= в” cos пх-л=о
_ eCOSJTsin (д|П
236. 1)
а) 9 (х) = eQ0SX cos (sin х), б) ф (х)
Решение. В результате сложения ряда а) ОО
с рядом б), умноженным на I, получим ряд 1 -ф-	= ег, z — е1х,
Л=1
откуда получим сумму рядов: а) v (х) = Re^iJ; = «COSJ;cos (sin х), б) Ф (х) = Im eelx — ezosx sin (sin х); 2) а) <р (х) = sin (cos х) ch (sin х), б) ф (х) = cos (cos х) sh (sin х). 237. 1) Нуль порядка k -f- Z; 2) нуль порядка не ниже, чем min (A, Z); 3) устранимая особая точка, если A>Z, полюс порядка Z — А, если А < Z. В случае А > Z, доопре-деляя функцию ' в точке za по непрерывности, получим нуль порядка А — Z. 238. 1) z0 = Ал — простые нули; 2) г0 — 1 — нуль четвертого порядка; 3) z0 = 1 — полюс первого порядка. 239. 1) za = О, /=1, А = 3, A—Z=2; г0 = Ал, А = ±1, ±2, ..., Z = О, А = 3,
ОТВЕТЫ
165
k —1 = 3;	2)2O = Z=1, А = 2, k — Z = 1, 20=1, Z=l, A = 3,
k —1 = 2; 3) za = — 1, 1 = 2, k = 3, k—l = 1, 20 = 2, Z = 0, k = 3, k — I = 3. 241. 1) z0 = ±41 — простые полюсы, z0 = kv. — простые полюсы; 2) гй=±1— простые полюсы; 3) г0=±2— полюсы третьего порядка. 243. 1) Нуль порядка 5 — 2 = 3; 2) устранимая особая точка; 3) полюс порядка 5 — 3 = 2; 4) полюс порядка 2; 5) полюс порядка 3.	247. 1) z0 = 0 — существенно особая точка;
2) z9 = oo — предельная точка полюсов; 3) za = ca— Предельная точка полюсов. 248. 1) za = 1—существенно особая точка; 2) 20=О— существенно особая точка; 3)г0=1—существенно особая точка; 4) го=О—существенно особая точка; 5) 20=оо—полюс 1-го порядка; 6) г0 = <х> — существенно особая точка; 7) 20 = со— устранимая особая точка. 249. 1) 2 = 0— устранимая особая точка; 2) z = 0 — полюс 1-го порядка; г = я — полюс 1-го порядка; 3) 2 = 0— полюс 1-го порядка; 2 = со—предельная точка полюсов; 4) 2 = оо — существенно особая точка; 5)2 = 2„—существенно особая точка. 250. 1) 2= 1 — полюс второго порядка, z = ±21 — простые полюсы, 2 = со — простой полюс; 2) z = — 1 и
1	, К 3	,
z = -g- ± Z ---простые полюсы, 2 = оо — существенно особая
точка; 3) z = kit, k = 0, ± 1 ± 2,... — простые полюсы, 2 = со — предельная точка полюсов; 4) z = ± Z — полюсы 1-го порядка, 2 = оо — существенно особая точка; 5) 2 = 0—полюс 2-го порядка, 2 = 2A«Z, k — ± 1, ±2,...—полюсы 1-го порядка, 2 = со — предельная точка полюсов; 6) z = (2k1)nZ, k=0, ±1, ±2,...— полюсы 1-го порядка, 2 = оо — предельная точка для полюсов; 7) если а Ф;тп, т = 0, ± 1, ±2,..., то г = (2k 4- 1) п ± а, А = 0, ±1, ±2, ... —полюсы 1-го порядка; если а=тп, то при т нечетном г = 2Ая, а при т четном 2 = (2A-f-l)7t— полюсы 2-го по-рядка, 2 = оо во всех случаях предельная точка полюсов; 8) 2 = -^-, А=±1, ±2,...—существенно особая точка, 2 = 0 — точка, предельная для существенно особых точек, 2 = со — существенно особая точка; 9) 2= ± j— простые полюсы, 2 = оо — существенно особая точка; 10) 2 = 0 и 2 = со — существенно особые точки; 11) г= ±41— простые полюсы, 2 = со — устранимая особая точка, г = 0 — существенно особая точка; 12) г = 2 — предельная точка полюсов. 251. 1) г2; 2)	252. 1) -- (а Ф 0) или
az + b (а 0);	2)	(а #= °) или а04-а,2 + ... +anz"
(а„¥=0). 253. 1) Полюс порядка {3; 2) полюс порядка ₽—а, если р > а; нуль порядка a — fj, если ₽<а; устранимая особая точка, если ₽ = а; 3) после доопределения по непрерывности нуль порядка a -f-₽; 4) полюс порядка а-f-p. 257. Если п > 0, то а — нуль /(г) порядка п; если п = 0, то а —точка аналитичности / (г), / (а) = ? (а); если п < 0, то а — полюс f (г) порядка т = — а.
OQ	EQ	_7	1
267. 1)	—g; 2)	3) -1; 4) 1; 5) 4; 6) 0; 7) —
166
ОТВЕТЫ
268. 1) Res/(z) = — —2	iv
Я
Res / (г) =	; 2) Res f (z) = (—I)4;
O	10	kK
3) Res/(z)»1; 4) Res/(2) = (—1)B+1 C2n„+1, Res/ (z)= (—I)" C"*1;
5) Res/(z)==0;	6) Res/(z) = e-1, Res /(z) = —1;
00	— 1	co
7) Res / (z) = 0;	8) Res f (г) = -i-, Res / (г) =
oo	0	a	3/
= —™ (sin 3 — I cos 3), Res / (z) = —A- (sin-3 4- I cos 3), Res / (z) = -J=- (sin 3 — 3); 9) Res / (z)=Res / (z)=0; 10) Res / (z)=—, 00	0	oo	0	*
Res / (z) =, A=±l, ±2,...	269. 1) 2я/; 2) — 4r.i;
2kici
3) 2я«Т_________/{г'}_______I_________/<г°)_______L.
L («1—22) ... (2!—2*)	(22 — Zj) ... (Z2 — 2ft)
•••+77—y/(xr*L—rrl; 4> 2nl< 5)71 [s|n 1“tos 1 + z<sH 1~cos W
Iff— 2i> • • • {*1 —	1	л
6) --^-;7)-^L; 8)-^; 9) 2M 10)^-. 270.1)^; 1/ 2	izi	10	о
2)—; 3) . 2” —. 271. 1) — я;2)-;3) -Д-; 4) -----.......;
27	/а2—1	560	60	/3 F^acs-fr2
я 2m 4-1	, я	я .. я
5) — cosec - я. 272. 1) -5—j-; 2)	3)—;; 4)—•=;
' n 2n	’ 2aea 2	’ sin an ’	4
5)	273.1) 0, если t<0,2nti, если7>0; 2) 0 при <<0.2я/ при
(х	.
2/лГ	\
1 —	/ е~аг du /. 274. 1) —1; 2) 4j 3) —4; 4) 0.
V я •/	/
275.	1) — 2яг; 2) 10яг; 3) 6ш; 4) — 4яг. 276. 1) 1; 2) 0; 3) 4; 4) 1; 3.
277.	1) a9(z0); 2) —P<p(zo). 278. Ojz”-f-a2zj-f- ... -f-afr3'2‘
279.	~ а°Ьз, где a, = —	(z0). Z>, = —	(z0), n = 0. 1, 2, 3.
/>2	vl	vl
1
282.	w=2e?zz-f-2 —ге'' , где — я < < я. 283. w=-y (l-)-0 г+ at
4--^-—284. w = — yr5’’'-a)zzЦ-3Z, где tga = 2. 285. w=»
= -2°~\3 iz + -а —уУ1> - • где У« > 2 " uo < —3- 286. w =
Z — y0	2 — y0	Z-f-1

ОТВЕТЫ	107
29L
2(-5-f-l yg~) *4-1 (i+oa+ivt) z-5 w — I
ИЛН  r—r = -n  
w+i 2 — 1 z tt>-{-3/
287. w «=—!—. 288. 1 —z
= — I	290.
z — 1
2yaletl  Ж
Г t’o + 9 gu (z_Z)
' vH(2v0 + 3)2	1
xoZ7jy^’?~Jlo6oe’
295.
298.
301.
304.
w-1 w-f-1
w—1 w — i
2 + 4zl W~ 41 —2z
+	гяе-я<<р<я. 292.t^-W3p-
w -j. i = _L efi x
Уо
2z — 41 w =-------.
z
. 289.
293.
294.
297.
300.
w = e4 У z-n( , 1 \ w — 2 z4- — I.
w = z3.	296. w = — i(z — 1 — I}2.
------r 299. w= (^tiy z — 1 — i! J	\ z — 1 /
z4-|). 302. w = |(z4-l). 303. w = -y(z+-^).
305. w = z—1-\-Уг2 — 2z — 8. знак корня
w — t
w = 2
w =
выбирается соответственно условию. 306. ® —-----------g-^lzz 4-j.
307.	1) w == 2ez\ 2) w — e~™. 308. 1) w = ~— -J—\nz-, 2) w =, = Inz— In 2. 309. 1) w = sin z; 2) w = sin z\ 3) w = tg z; 4) w — cos z; 5) w = evi ~ j у' — ” < ? <	6) w = efi	, — я я;
7)	w = K(z —я)2+й2 + «; 8) H' = (r^.1)2[2r(-zrg~<l>4-^e' j — ~(r _ 1)2 4. i/[2r (zz-'“ + 4 «4 - (r- l)2f - (r+ 1)‘ ];
2f;	_______
9)	w == —- I n (z 4- Уz2 — a2) 4- 2voz 4- С, где C — про извольное по-' я
стоянное; 10) w —— ln\z‘ /Л?
It	d
11) w =------------- X
.	. я (z — a) , , „ яЛ ,	z — a
X 1/ th2—^-g—^--Hg2~2 ^~a’ 12) ®=7-Z.Z>  гД'‘аи/>— ючки пересечения окружности С*, построенной как на диаметре на общей касательной к данным окружностям, с линией центров этих окружностей; 13) w = z + prz2—а2; 14) w = у 11 п
15) w — У.г — z у . 310. Окружность С' переходит в замкнутую
168
ОТВЕТЫ
кривую, охватывающую дугу АВ и имеющую в точке z = a точку возврата (эта кривая напоминает профиль крыла самолета). 311. то = ^-1п(г + Кгг^2). 312. w = KZln^=yj К — действительная постоянная, относительно а и b см. в ответе к задаче 12) № 309. 313. w = У г2 -|- Н2. 314. w = vn У‘2рг — р2.315. w — z-X-R2 Г
+4-+-2г1пг-
Глава IV
316. / sin/I.rcosm.rrf.r=-5--—у—:—л-г-Л 318. В (р, 1)« —,
./	2 rpi±B + 1)	Р
,.п) =--------Хл-1)|	----319. 1)Л^;2)4=;
J? (?+1) (/>+2). ••(/>.+ « ~1)	16	2Г2
3)
-P”~!>я
.2пл'\	2 г
я
„ Ст. :
2 со8 —
____Гг ЙI2
4/я [ \4/J
2)
lr/l)rg) = ^. ' 323. 8 U/ \4/ •	8
326.1) Г (1,414) = 0,88659; 2) Г (15) = 141=8,71783 • 1010; 3) Г (3,3287) =. =2,3287 • 1,3287 • Г (1,3287)=2,7647; ,4) Г (-0,2666)=^(U733^__ = = 4,682,- > 327. 1). у = СУг (х) + С2Г2(х); 2) у’= CiJp(kx) + .+ C2J^p (kx), если p — не целое число, у — C}Jp (kx) -f- С2Ур (Ах); если р — целое число; 3) у — С1/р(х)Х-^У-р(х), если ^ — нецелое число, у — C\Jp(x)-\-Сггр{х), если р— целое число;
322.
те
4) у=х~2 [Cj/j (-v)+C2K2 (х)]. 331.1) ЛОО—~ У* cos (ж sin 9—2?) ”	о
*	тс
2) Jo (х) — -- У* cos (х sin ?) d<f, 3) J_ । (x) = -i У* cos (x sin <p) d?.
’ ‘	°	’ i	°
332.	1) J_,(x)= cos(x + j) + o(^); 2) A(x) =
= V^C04*+?) + ° (l): 3) 7’ ^=1/ ^c‘os(x -?)+
GO	~
4-о(Д. 340; /(х)-^У Ьп}р(\пх), где c„=	. .. Гх/(*)7
1
ОТПЕТЫ
IM
ХЛ> dx, n=l,2,... 348. Z(Z)=3 /0(ЛСоН-22j /«(*/-»)с<»л«>Г .
L л- *	I
где В = Ae~kl>R. 349. 1) Jo (4,12) = — 0,38652; 2) J, (5,228) = 30,019; 3) /<0 (6,23) = 0,00097063; 4) Kx (1,27) = 0,38997; 5) используя рекур-
рентную формулу Л-1 (х)/п+1 (х) = —(х), получим (п=1)
2	'~
— 0,37372 -j- J2 (4,22) = —	0,14548, Л (4,22) = 0,30477.
352.	1) cos 5 ci (х + 5)-J-sin 5 si (х 4-5)4-С; 2)	-=-^4-
JC "т~ A
4- cos 2 ci (X 4- 2) + sin 2 si (x -4- 2) 4- C; 3) 11 (x>) 4- C; 4) ^7-^4-X V* A/
1 — Зе3* . 9e3 ../з-г-зч . ~ K. sin2x cos2x , 2sin2x +7(^-i) + —11	) + C-, 5) —gp-------3T2- + -3T--
- у ci (2x) 4- C; 6) 1 e2 li (^-2)-з(^2у - у e~* II (^+4) 4-+1 *’^+^$2 - v’2	+ 4 !n I 1 +
+ -3(x]p2j +C 358,	“T“ 2 Ei (x)-{-e Ei (x - 1).
359. Rr: = 601 C’4-\n2kl — Ci (2AZ) 4- -i sin 2ZA [Si (4Л/) — 2 Si (2AZ)J 4-4-4cos2A/[C4-ln(ftZ) + Ci(4A/) —2Ci(2W)]|, где С — постоянная Эйлера. 360. Si (0,15)=0,14981, Ci (0,87)=0,2546, Ei (4,2)=22,5774, Ei (—0,45) = — 0,6253. 368. erf (0,283) == 0,31101, erf (2,45) = 0,999469, erf (3;5)== 1 — 8-IO-7. 374. S(0,2) = S(K0,04) = 0,0021; C(7) = =4 C (^49) = 0,4455, 3(2,5) = S (/6,25) = 0,3441, С(0,9) = С(/0Ж) = = 0,6724. 379. I) 0,50785, 2) 0,99560, 3) 0,30087, 4) 0,22368.
1 1
380.	1)	a0), где Sin0o = -y, sin ?0 = 2 sin to
~/2£(-J, J). 381. 1) 4a£(-J,fl0), где sin 0o =
2) 4aF^, I). 382.T=2|/ LF |j. 38З.	%
®°)—°0)]* где A = sin 0o.
ta) Тя= —«(»+!); б) 7n = —n2; В) 7„=—2n; г) T„ = — n; 2) a) *„ = 0;	6) Z>„ = 0; в) *„ = 0; г) bn = — *(M-a)u„.
387. a) (1 — хг)у" — 2ху'4-л(п4-1)у = 0, б) (1 — x2) у* —xy'-f
12 H. II. Кожевников и др.
170
0ТВВТЫ
-|-п2у = 0, в) у" — 2ху' + 2яу = 0, г) xy"-f-(X4*l—х)у' -\-пу — 0. 893. 1)	=	Л = 0, 1, 2..п, &о = 1; &*-
многочлеи степени k, Qttn — Qn< Qnk = [“ + (« — * + 1) ₽'] n-t +
ЧЖ.Л-v	П (“i + ^2> 395. a)
k=n+\
6)	®) «» = (-i)"2'’; r)
397-а>2п = ^ГГ<п,)2: 6)	=	B> 2. = 2«n!^;
r) d\ = nl Г (X + n +1). 398. 1) Pn (x) ~ (-1)" 2^1 [(1 ~х2)П]~
r„ (X) = (-1)» /га	(1 _ XT] -
nn (*) = (-1)"	(*) = x~lex ~ [xh-xxn} ==
“	1^+Хв’Ж1-> 2> «»=Л«2Я; a) ^=(-1/-^ (-1)«^ »
(2п) I . x\ „  / 1\П 2" n I ( П” ^2я	_2я- !• n\ a  
} n~k n W( D ^-1)1 -1 •B)
= (-1)" (—1)л 2" = 2я; г) an = 1 • (—1)" = (-1/. 399. 1) Pa (x) = I; P,(x) = x; P2(x) = l(3x«-1); Pt (x) = 1 (5x2 - 3x); P4(x) = = 1 (35x4 — 30x2 4- 3); Ps (x) = 1 (63x5 — 70x3 + 15x); Te (x) = 1; T1(x) = x; T2(x) = 2x2—1; Ts(x) = 4x3—Зх; Г4(х) == 8x4—Sx’rf-l; T5 (x) = 16x5 — 20x3 -k 5x; Ha (x) == 1; Я, (x) = 2x; Нг (x) = 4x2 — 2; Hs (x) = 8x3 — I2x; //4 (x) = 64x4 —48x24-12;	7/6(x) = 32x6 —
- 160x3 + 120x; 4°) (x) = 1; £<°) (x) = 1 — x; L^> (x) = 2 — 4x + x2; 4°>(x) = 3 — 18x + 9x2 - x3; Z.<40) (x) = 24 — 96x + 72x2 — 16x3+x4; Z4O)=12O — 600x4-600x2 — 200x34- 25x4 — x5; 2) 4==-A.--, Йя = '1ёг}Г’’'	^ = 2яп1/к,	4 = п1Г(Х + «+1).
401. a)	n>l;
Ф г^п(-г)=2'^п+1	w^-2; xT i a	T3 2^'

ответы
171
хТо — Т$ в) хНп (х) = у Нп+! (X) 4- пН„ _, (х), п
1
403. a) t	У	;
J<l+4«>z + 4wI	«I
_	n/2(l-z’)	__________
I4wz-j-4w2 [У1 +4ги> + 4а>2—1—2z«]
+co ft (1A	i	zw
g) g—w’—2wz = V ZLdf? wn. r) —‘	e
’(v> — п > 0.
AU nl n=0
A «t n=0
Глава V
40&	2) Х(в-Р^ _е-^); 3) (у- + |) (1 -е~р‘>) -
f e~pt> • 44 X.
р °* *	’ 4) р2
д\ Ук ..» 7) „ X  8) ________________
'	’ Р1 + 4’ ' Р4 + 4а4
1п	2	12х Р2 . 13\ Рг + 2 .
п) р«4-4’ 12) р44-4’ 13) р44-4’
4р____1_А\- 1кч ХГ_
а(р’ + 2а’). р . агр . >	р4_|_4 >	р44-4а4»
14) р4Ч-4 ’15) Т(/>’+16~
Ю> "2 L(p + 4)’ + 25 + (p + 4)’+J-406. 1) «-2f(cos/ + 6sln0; 2) y + le-2'; 3) е* + ё* (t — 1);
* 5>
—cos 6Q; 6) 1—e~ai — aie~at', 7) ef — e_/^cos2< — -|-8in2<); 8V -;X- (sln at—at cos aty, S) -£- sine?; 10) te-^ sin2/ — -X e-a/ X
X (s«n2/ —2/cos20>	407.	1) 2?— 2 — 2t—1*\	2) y*sin<;
3)	4) 2 cht-2; 5) X[K(l + 08 -П; 6) l(sh<-sin^
40& 1) -X (e°z - at — ly 2) i- (=1 — cos kt)\ 3) -X (kt — sin kty> а*	к	к
12*
172
ОТВЕТЫ'
4) sin а/;
5) (sin at — at cos at)-, 6) -g- e3t (2 sin t — sin 2t);
7) 1(3 sin 37 —2 sin 27).	409.	1) ef; 2) e( — t— 1;
О
3)	-g-(cos7— cos 37); 4) ~ (tef — ef 4- cos () 410.	1) f(i) =
«>•
fc=0	* = 0
2) tTJ„(2^r). 412. 1)	2)
_ 14- -| e* + -1. e-2/;	3)1 (t2e2t — 4ie2t + 6<?2/ — 2tef - 6e');
4)	l(272e-< — 2te~t — e~f — e'at). 413. л = 47-f-3 — 2/. 414. x = = e1 (cos 7 4- sin t) — e~f sh 27.	415. у (7) = 7 (sin 7 4- cos t).
416.	x(t) — — -g- sin7 4- -jg- sin 27 4- j-1 2" sln — 7 cos 271. 417. x — — (x0 — хг) (xl — x2) 7 4- хге(. 418. x = ef (cos 74- sin 7) — e~zsh27. 419.	4x=‘4x0—3x2 — x3-[-(4xl-i-4xi-]~xa)t-{-(3xi-}-x3)e-2t-\-
4-(2х2 4-*з)7е-2'. 420. x = — 14- 1 ? — 1 e2t 4- 1 eat. 421. x = = e2< — (74~l)e^ 422. x—-^^ sin nt— 7 cos x0 cos n7 4-4--^-sinn7.	423. ' x=j — t+^t2^-(2x0—xt—2)e-f —
— ^о4~х1 -- e~2t’ 424. x — {(37 — 73) sin 7 — 372 cos7]. 425. x - 1 (/2 — 37 4-1)et — 1 (cos	t —/3 sin t}e2‘ —
—426. x =	cos « sin nt 4- n sin a cos nt —
— flsin (m?4-a)}. 427. x	(mtem( — sh mt) +	X
X {(zn — zi)«-'n*4~(/n4_n)e/n< — 2menl}. 428. I —	e"^ sin nt
n	.1	/?2	P
при л2 > 0, где p- = -нт-; n2 = yyv — j/iJ / »при n2 > $ Л1-»	Lt О	*tLr *	L
z==
E kL
,	p ,
e sh kt при n2 < 0, n2 — —k2.429.1 — —~p e~^ sin nt при
ОТВЕТЫ ‘
173
R	1 Л2 Г
п2 > 0, где f2 = от’» «2 — -гт> — TTi'y ! “ i е И f "I’11 п‘ <>; I • L>\*»	Л.
Р
“-----ht~ е ^sliAl при п2 < 0; k2 =—п2.	430. л (Т)^»
HL
= е_/1/Г*0 cos	sin A^l, если k > п, где А2==—:
L	й1	J	т
2п = ~^-; /if = А2 — л2; х (t) = e~nt [*о4"(*о + л*0)1], если я = А;
х (/) = e~nt [*0 ch nxt 4~ *°-~Ь ПХ- sh nxt j, если k < п; n2 = п? — А2.
11	3	1 (	-“Л
431.	—-=-е_/--ПТ* ”1 y=-rf\e~/ — е 11/. 432. х=»
2 о	10	5
y = ^es/ + e-/_|Z_^ 433. х=3 ! - 13 , г— '	13 ,
=—:11е27-|-20е 2 chiy^- t — е 2 sh -^М/, у=х — 11г2'4-jg	__ ig	_ l«*
+ 1б/Г * ch t -	е~^‘ sh	1,_ z = — \1e2t 4- 24eV * X
2	V97	2	.
Xch^^- t—	sh 1.	434. xn{t) —~ {ct}n e~ct.
2	/97	2	/Н '
433. x = i (ef-i-2cos 2t^- sln2t), У = -i (2^ — 2cos2f—sin2/). о	U
436. x = -|chOK2)4--|cos/> y = -ich(f/2)4- lCos/, z^y. О	о	о	о
437. х —____L et _L JLL e3t 1 ,JL e-3t v _ 1 et I AL e3t_L e-»t
w. X— 8 ^12	^24	’ y 8	12	24	'
•? = 4 e2t — i e~3i.	438. x— Х(бх0 — xt — y04-y,4-4V'4-
О	О	\	о /
4" ^Зхо — 2xt 4-У0.— У i -—2"j e2^ 4* f (3*i — 2л0 — Уо4" У1) e3t 4* ^TQ^’ у = 'Й‘(— 3°*o4'5*14'5Уо — 5yi— 4) e-'4--|(18x0— — 7*! 4- 7y0 — 3y, — 6) e‘ 4- -i- (— 12x0 4- 8*! — 4y0 4- 4y! 4- 2) 4-
t
4т I (6хо-9*,+ЗУо-ЗУ|) e3- 4-1. 439. x=-6-4Z -12 4- Л 4- t
4- -yj- cos 214- 5T sin 21, у = — 1 —1 — -j- 4“ "jy e 2 4* 3'4 cos.2/ 4~
174
ОТВЕТЫ
82 =	, b=V(8! — b2)24-4A2B1B2,
l2
лло Hv-^cE 4Z Л =---------------X
(at — sin aO —
t	VSinX—»cosX4.
z = wt. 443. x (t) =----2^------X
;	y(0 =
2a
у = vt
+ ^-sin2t 440. y = 2 — 2e_/ — 2/ep г = 2 — 2e~l—2te~f — t.
441. /,Л+	_л±к^1; Za==_^w x
Г) . L\b L p\	p% J	L-i-L^u
X (— ePl‘ -f- epst), где k = 	 — коэффициент связи; a = 1—k2—
V ^1^-8 коэффициент рассеяния; bj =	;
— (bi-f-fij)-}* A. _—(8i 4* 82) — b
Pl = --------------, P2----------------
X (1 — COS at) 4* sin at', u „	eH
----(1 — cos at), где a =	 a '	'	me
x (1 — cos 2*>t) 4-	(2a>/ — sin 2®04-sin 2a>^;
— sin X (v sin X — w cos X) zo а o g sin X cos X ,o ,z, =----------s-(2a>t — sin 2o>O — ——^5----------------(2o>2/2 —
- 14-cos 2a>0-M^ (l-cos 2a>^; (0
(2ce2/—14-COS 2a>0 4-^^T^ (1—COS 2(004*
444. xs (O = e~ait (С*1’ cos	4- D™ sln ₽^)4-
 2co (2(oZ — sin 2(«tf)
X (2<oZ—sin 2o>/) -f
-]~е~Хзе (C^2)cos j32/-|- D'psin fi2t), гДе $==1. 2, 3, 4; —al±i^l=p12;
— a± i$2—p,. суть корни полинома Д (р): Д(р}=р*—(^г-Ме)/’’+ -}-рг(ЬгЬв— 2аг~1-Аг)-{-2а2/1вр-1-2/1г (предполагается, что корни Д(р) комплексные, сопряженные, с отрицательными действительными частями), х» xt; иг = хг; ? = х3; q = xt. 445, 1) y=Ct cos А/4-t
+ sin AZ-f-r- / sin k (t—u) f (и) du\ 2) y=~ К	nt)
0
еЫГ 0
t
— e~kt
У* ekuf(u)du ;
3) x = x0e~/cost-f-(xl-f-xl>)e-*slnt-}-
о	J
t
+ J /(«)	sin (t— u)du\	4) у == sh 2/-{--L [/(0 * e2'4*
o
+ Зг-2'-4е-']: 5) y(0 = «(* + 4Z’)'> 6)У(0=|'2-^-t
'-i., Q
cos na—p. sin nu) f(t — u) du,
ответы
175
f(t)
Рно. 24.
Рис. 26.
О
f(t)
Рис. 28.
t
Рис. 29.
176
ОТВЕТЫ
t
______	0
X (i — t) f (t) dz, где Л, = Vкг — n2. 448. 1) Д1 (p) e~nP; 2) At (p) X X (e~p — 2e~ 5p)-, 3) Д, (p) y~^P = | (Рис- 24)>’ 4) д' <P> i^g+P (рис. 25);	5) Ai(p)^p^y (рис. 26);	6) ДДр)-^-^;
7)	8) MP) (Рис- 27). 449. 1) Д,(р)^.
g'—pPo — 0~~P	~
где Д| (р) —--------- (рис. 28); 2) Д, (р) -^туТ ’ где Д|
е-рТо_е~рт'	~ ер	~ l—e~Pr<'
=------------ (р11С. 29); 3) Aj(р)' где Д1(р)=---------
ОД	г—1 . 1 1 1 1
	। 1 ! । 11	। II	। it	1	। <|	।	। । 1	!	। —।	।	II 1	I	1 1	।	। ।	।	। ।	।	। । । ।	।	। -
0	4	/ Юа 2 2+1, 3 t
Рис. 30.
4) i [2я — (—I)"]; 5) 3"; 6) п (п - 1)  3« ,о
еР
(рис. 30).	451. ДДр)-^-—
1 е~Р где Д) (р) =-р----~2-(р + 1).
~ - ерг
452. Д] (р) —-------- где
epl — 1
т
Д> {P)=—A4-e-pT~^P Ч.
Рг \	/
453. 1) 1 при п четном, 0 при п нечетном; 2)	(—1)л+1л;
3) {Лл} записывается так; °-  « -!• » й...........
°- (-1)П (2п—1)1 ’	'‘;
454*. Р(/) = —5Ф0(О +
-f ЗФ1 (i) + ЮФг (t) 6Фз (0- Решение. Составим таблицу
t	Р(о	др(О	Д’Р (/)	Д’Р (0
О	—5	3	10	6
1	—2	13	16	
2	11	29		
3	40			
ОТВЕТЫ
177
Отсюда получаем: Р(0~—5Ф0 (04 ЗФ| (О 4 10Ф» (О 4 6Ф» (О-455. 4 = Ф, 4- 2Ф2, Р = Ф, 4- 6Фг 4- 6Ф,. t* =-. Ф, j НФ,4 36Ф, | 24Ф,. 456. 1) Р(О = 7Ф0—2Ф14-32Ф24-108Фз4-72Ф4, 2) Р(0~ -4Ф.4-4- 4Ф, + 12Ф2 + 12Ф,.	457. f (t 4-1) еР [Р (р) - f (0) Д, (р)|,
/ (t 4- «)= епр [4 (Р)~/ (0) Л। (Р)~/ (О	. (Р) ~ • •  - f (п -I) \
X е-("-1>рД1 (р)].	«=1,2,...;
-/(О)^Д,(р). «=1,2,...	458. 1*) I 4 =» Д, (р)	? •
Решение. Д? — 4'1 — cf = (с — 1)' , (с — 1) Р (/>) = (еР— 1)Р(р) — еР^(р). откуда р (?) = д, (р) —fL_;
2)	3> Тф.<0 = А,(Л—‘^тг..
л = 2, 3, ...;	4) /(/)== Д] (р) £	4- 2	_1)8 ;
5) f (0 =£ Д1 (р) [ ^еР _ р, 4- 6 ^еР _р)3 + 6	_гуу •
459. 1) /(0-д,(р)[-^^4-14-^^+36	+
Лр 1	Г  ^РР	рР
+ 24	- 2)р	3уЛу4-
+ 12 (^=1)з+ 12 (^Гф]-	° ХФ‘	:
2) I Ф„ (0	= д. (Р) ; р - -+1 . П = 2, 3, ... 461. 1) f (О =д
(ер — с)п^к
Д1 (р) 5 ей —з’ + 3 (ер_ 3)2 4-18 (ер _ 3)3 j; 2) f (t) =д бР	рР	рР	рР 1
Т= Д1 (р) [8 ер_ 2 — 8 ~^р_ 2)г	72 (еР — 2)3	144 (еР — 2У ]’
Д' I-” (еР4-1)!	14 <ер+ О3	36 (ер4-1)4
4-24 , П5 1.	463. 1*) /(0= I (3' —2<). Решение.
(еу -f-1) j
Р (Р)	1	о о	1
 . , \ „	= —5—е—г-с	. q = eP. Разложим	—=---=—иа эле-
д1(Р)в₽ я2 — 5? 4-6	Я1 — 5? 4-6
ментарные дроби: g, _	+ 6 = yTg-- угу • Тогда Р(р) =
-а, (р)-^т~д>	13<_ S2< = s(3<~2');
2)	/(0 = -^7г1(«<-^); 3) /(0 = 1 -(~2>'~1 I I-у 4 — 1	t
4)	/(0=1 (С_у ~ I 7±Гр 4651 ПеРвый> 2) третий.
178
ОТВЕТЫ
466. 1*) у (0 = — 1 + £ 2*. Ре ш е и ие. Так как 1 ==£ Д1 (/>)
то у (О =Д Г (р) = (gP 2'1)У— 2)' ’ откуда У(О = —1 + S2f! 2) у(/)=1<М0; 3) у(О=Х(4*-5'); 4) у (Q = с I-^-=1 + 4-Уо1«'; 5) у(О=1(-1)41 + 0-2Х(-1)4;	6) у(0=>
=ГЫ*+1)+ГМО+уо; 7)у(0 = лхз'+вХ2'+1^+|,
где Л=1-2у0 + у1,В^-1 + Зу0-у1; 8) у (О = J2‘- Jt- 1;
9) У(0= I Фз(0 + 2ХФ«(0. 467. /(n) = ~L-Г 5
(I_1/~5\"1
-----— j . Указание. Решить уравнение /(t + 2) =s —----1) + /(0 при условии: /(0) = 0; /(1) = 1.
п
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦА ОРИГИНАЛОВ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
№ п/п.	Оригинал	Изображение по Лапласу	Примечание
1	1	1 p	
2	tn	nl ?«+1	n — натуральное число
3	IP	г(М-1) pa+l	Re a > — 1
4		1 p — \	
5	а*	1 p — Ina	Re a > 0
6	Inf		C = 1^=0,57722-постоянная Эйлера
7	sin <of	co рг -f- Up	
8	cos чЛ	p ps -J- <3	
9	sh 4>t	Ш />’ — «*	
10	ch	p pi — <„2	
11	t sin <of	2шр (Р2 + ^У	
180 ПРИЛОЖЕНИЕ. ТАБЛИЦА ОРИГИНАЛОВ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИИ
Продолзкение
№ п/п.	Оригинал	Изображение по Лапласу	Примечание
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26	t COS wt e~u sin wt e~xt cos wt e~ltta te~u sin a>t te~11 cos wi Л(0 1)(< —T) 1	 У nt	сч	ем 3 з „ « ~	_1_ -1_ ~ з о	~ << 1 .о	L 7 3	5-. 1	~ + 1 + 3	<3 -Ц 5 СЧ	-J х ^1 -J х	1	_ »	» Lj	3 Ч И С! О)	
		[(р+м^»2]2 (p-f- X)2 	 О)2	
		((^+Л)2 + <«Т 1 р е-Р‘ Р~ 1 УГ 1	Единичная функция [ 0 при t < 0, 11	— ( 1 при t > 0
	a — b be~bt — ae~at	(рЧ-а) (/> + *) р	
	b — a pt-i 1	r—at (л-1)! 1 — t M0 erf (Ул?)	(/’+«)(/’+*) i (р+«)п 1п-^± р рп-i PV р+а	Дельта-функция или импульсная функция n-го порядка erf (л‘) ss "r—" 1 г л J
ПРИЛОЖЕНИЕ. ТАБЛИЦА ОРИГИНАЛОВ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ 181
П ро'Юлжение
№ п/п.	Оригинал	Изображение по Лапласу	Примечание
27	Erf (-4=-) \2/7 ]	_1_ е-а Vp Р	Erf (х) = 1 — erf (х)
28		1	Бесселевы (цилиндри-
		УУ-Н	ческие) функции
29	Jn(t)	(У ^4-1-рГ	
		F>2+1	СО
			
30	CAt	1 1 1 — In —г		. ,	Г COS Т Cl t = — / 	 di
		р Ур2+1	J t i
31	11/	 j-HM) г	n/= г J In T 0
			00
32	si t	it arctg р Чр	р	i
ЛИТЕРАТУРА
Романовский П. И., Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа, «Наука», 1964.
Алапашвнлн Г. Д., Основы векторного анализа и элементы теории поля, «Высшая школа», 1962.
Берман Г. Н., Сборник задач по курсу математического анализа, Физматгиз, 1962.
Борисенко А. И., Таранов И. Е., Векторный анализ и начала тензорного исчисления, Харьковский университет, 1959.
Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г., Сборник задач по теории функций комплексного переменного, Физматгиз, 1960.
Гарднер М. Ф. и Бернс Дж. Л., Переходные процессы в линейных системах, Физматгиз, 1961.
Г о л ь д ф а й н И. А., Векторный анализ и теория поля, Физматгиз, 1962.
Гончаров В. Л., Теория функций комплексного переменного, Учпедгиз, 1955.
Гюнтер Н. М. н Кузьмин Р. О., Сборник задач по высшей математике, т. Ш, Гостехиздат, 1951.
Демидович Б. П., Сборник задач и упражнений по математическому анализу, Физматгиз, 1962.
Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, ИЛ, 1948.
Карслоу X. и Егер Д., Операционные методы в прикладной математике, ИЛ, 1948.
Кочни Н. Е., Векторное исчисление н начала тензорного исчисления, АН СССР, 1961.
Кузнецов Д. С., Специальные функции, «Высшая школа», 1962.
Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, Физматгиз, 1958.
ЛИТЕРАТУРА
183
Лурье А. И„ Операционное исчисление и его приложение к задачам механики, Гостехиздат, 1950.
Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических функций, Физматгиз, 1961.
Меркни Д. Р., Алгебра свободных и скользящих векторов Физматгиз, 1962.
Толстов Г. П., Ряды Фурье, Физматгиз, 1960.
Фихтенгольц Г. М„ Курс дифференциального и интегрального исчисления, II и III, Физматгиз, 1960.
Фихтенгольц Г. М. и Натансон И. П., Криволинейные и кратные интегралы, ОНТИ, 1937.
Фукс Б. А. и Шабат Б. В., Функции комплексного переменного, «Наука», 1964.
ти 19
n а> и
С и
Е
I
Наум Иосифович Кожевников,
Таисия Ивановна Краснощекова, Николай Ефимович Шишкин
Ряды и интеграл Фурье.
Теория поля. Аналитические и специальные функции.
Преобразование Лапласа
М,, 1964 г., 184 стр., с илл.
Редактор И, Е. Морозова Техн, редактор С. Я. Шкляр. Корректор О. А. Бутусова.
Сдано в набор 3/IX 1964 г. , Подписано к печати 24/XI 1964 г. Бумага 84хЮ8’/а2. Физ. печ. л. 5,75. Уеловн. печ. л. 9,43..Уч.-изд. л. 8,45. Тираж32 500 зкз. Т-17084. Цена книги 35 коп. Заказ № 714.
I
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении:Соколовой ’Главволиграфпрома Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.