Леонарду Карлитцу,
Ому Прокату Джунеджа
и Ирвину Кра

ENCYCLOPEDIA OF MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS
Special Functions
GEORGE E. ANDREWS RICHARD ASKEY RANJAN ROY
CAMBRIDGE
UNIVERSITY PRESS

Р.АСКИ, Р. РОЙ, ДЖ. ЭНДРЮС
Специальные функции
Перевод с английского
под редакцией Ю. А. Неретина
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
Москва, 2013

УДК 517.58, 519.11/14, 511.33
ББК 22.16
А90
А90 Аски Р., Рой Р., Эндрюс Дж.
Специальные функции / Перевод с англ. под ред.
Ю. А. Неретина.-М.: МЦНМО, 2013.-652 с.
ISBN 978-5-4439-0210-4
Книга является учебником по теории специальных функций,
отражающим существенный прогресс в этой области, достигнутый во
второй половине XX в. Значительную часть изложенного материала
нельзя найти в стандартных монографиях и справочниках. Основной
предмет книги — одномерные гипергеометрические функции в
широком смысле слова (в том числе функции Гаусса, Куммера, Бесселя,
старшие pFq, а также q-ряды). Подробно обсуждаются Г-функция,
разнообразные аспекты теории ортогональных многочленов (в том числе
неоклассические ортогональные системы типа Вильсона),
многомерные интегралы Сельберга, анализ на сфере. Много места уделяется
приложениям, в том числе теоретико-числовым и комбинаторным
(например, анализ разбиений Макмагона). Для специалистов по
математике, теоретической и математической физике, прикладной
математике, а также для студентов и аспирантов этих специальностей.
ББК 22.16
Translated from the Englkh language edition:
Special Functions by George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy
Cambridge University Press, 2000.
ISBN 0-521-62321-9 (hardback), 0-521-78988-5 (paperback).
ISBN 978-5-4439-0210-4
9»785443»902104">
© Cambridge Univ. Press, 2000.
© Издательство МЦНМО, 2013.

Оглавление
Предисловие редактора перевода 11
Предисловие 15
Глава ι. Гамма- и бета-функции 19
§ 1.1. Гамма- и бета-интегралы; гамма- и бета-функции 19
§ 1.2. Формула отражения Эйлера 26
§ 1.3. Дзета-функции Гурвица и Римана 32
§ 1.4. Асимптотическая формула Стирлинга 34
§ 1.5. Формула умножения Гаусса для Г(гпх) 37
§ 1.6. Интегральные представления 1η Γ (х) и гр (х) 40
§ 1.7. Формула Куммера для разложения Фурье 1η Γ (χ) 43
§ 1.8. Интегралы Дирихле и объемы эллипсоидов 46
§ 1.9. Теорема Бора—Моллерапа 48
§ 1.10. Суммы Гаусса и Якоби 50
§ 1.11. Вероятностное вычисление бета-функции 57
§ 1.12. р-адическая гамма-функция 58
Упражнения 60
Глава 2. Гипергеометрические функции 73
§ 2.1. Гипергеометрические ряды 73
§ 2.2. Интегральное представление Эйлера 77
§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение 83
§ 2.4. Интеграл Барнса и гипергеометрическая функция 94
§ 2.5. Соотношения смежности 103
§ 2.6. Дилогарифмы ПО
§ 2.7. Биномиальные суммы 114
§ 2.8. Двусторонний ряд Дуголла 117
§ 2.9. Интегрирование по частям дробного порядка
и гипергеометрические интегралы 118
Упражнения 121
Глава з. Гипергеометрические преобразования и тождества 129
§ 3.1. Квадратичные преобразования 130
§ 3.2. Арифметико-геометрическое среднее и эллиптические
интегралы 136
§ 3.3. Преобразования уравновешенных рядов 143
§ 3.4. Преобразование Уиппла 146
§ 3.5. Формула Дуголла и гипергеометрические тождества 149
§ 3.6. Интегральные аналоги гипергеометрических сумм 152
§ 3.7. Соотношения смежности 155
§ 3.8. Многочлены Вильсона 158
§ 3.9. Квадратичные преобразования — подход Римана 160

6 Оглавление
§ 3.10. Неопределенное гипергеометрическое суммирование 162
§ 3.11. W-Z-метод 166
§ 3.12. Соотношения смежности и методы суммирования 172
Упражнения 174
Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные
гипергеометрические функции 183
§ 4.1. Вырожденное гипергеометрическое уравнение 184
§ 4.2. Интеграл Барнса для aFa 187
§ 4.3. Функции Уиттекера 190
§ 4.4. Примеры функций aFa и функций Уиттекера 191
§ 4.5. Уравнение Бесселя и функции Бесселя 194
§ 4.6. Рекуррентные соотношения 196
§ 4.7. Интегральные представления функций Бесселя 197
§ 4.8. Асимптотические разложения 202
§ 4.9. Преобразования Фурье и функции Бесселя 203
§ 4.10. Теоремы сложения 206
§ 4.11. Интегралы от функций Бесселя 208
§ 4.12. Модифицированные функции Бесселя 214
§ 4.13. Интеграл Николсона 215
§ 4.14. Нули функций Бесселя 217
§ 4.15. Более тонкие свойства нулей функций Бесселя 220
§ 4.16. Области, свободные от нулей функций jFj 222
Упражнения 225
Глава 5. Ортогональные многочлены 231
§ 5.1. Многочлены Чебышёва 231
§ 5.2. Рекуррентные соотношения 235
§ 5.3. Гауссовы квадратуры 238
§ 5.4. Нули ортогональных многочленов 242
§ 5.5. Непрерывные дроби 245
§ 5.6. Полиномиальные воспроизводящие ядра 248
§ 5.7. Формула Парсеваля 251
§ 5.8. Производящая функция моментов 254
Упражнения 256
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены 263
§ 6.1. Многочлены Эрмита 264
§ 6.2. Многочлены Лагерра 268
§ 6.3. Многочлены Якоби и определители Грама 277
§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби 280
§ 6.5. Полнота систем ортогональных многочленов 288
§ 6.6. Асимптотическое поведение Р„α'β\χ) при больших η 291
§ 6.7. Интегральные представления многочленов Якоби 294
§ 6.8. Линеаризация произведения ортогональных многочленов .... 297
§ 6.9. Паросочетательные многочлены 302
§ 6.10. Гипергеометрические ортогональные многочлены 309

Оглавление
7
§ 6.11. Обобщенные ультрасферические многочлены 311
Упражнения 315
Глава η. Еще об ортогональных многочленах 329
§ 7.1. Коэффициенты перехода 329
§ 7.2. Рациональные функции с положительными
коэффициентами разложения 336
§ 7.3. Положительность коэффициентов квадратурных формул
и неравенства Вьеториса . 343
§ 7.4. Положительные суммы многочленов и гипотеза Бибербаха . . . 351
§ 7.5. Теорема Тирана 354
§ 7.6. Положительность сумм ультрасферических многочленов 357
§ 7.7. Иррациональность ζ(3) 360
Упражнения 363
Глава 8. Интеграл Сельберга и его приложения 369
§ 8.1. Интегралы Сельберга и Аомото 369
§ 8.2. Доказательство формулы Сельберга, данное Аомото 370
§ 8.3. Обобщения интегральной формулы Аомото 374
§ 8.4. Доказательство формулы Сельберга, данное Андерсоном 378
§ 8.5. Проблема Стилтьеса и определитель многочленов Якоби .... 382
§ 8.6. Неравенство Зигеля 385
§ 8.7. Задача Стилтьеса на единичном круге 390
§ 8.8. Тождества для свободного члена 392
§ 8.9. Тождества для почти уравновешенного ряда 3F2 393
§ 8.10. Соотношение Хассе—Давенпорта 395
§ 8.11. Аналог интеграла Сельберга для конечного поля 399
Упражнения 403
Глава 9· Сферические гармоники 409
§ 9.1. Гармонические многочлены 409
§ 9.2. Трехмерное уравнение Лапласа 411
§ 9.3. Размерность пространства гармонических многочленов
степени к 413
§ 9.4. Ортогональность гармонических многочленов 414
§ 9.5. Действие ортогональной матрицы 415
§ 9.6. Теорема сложения 416
§ 9.7. Формула Функа-—Гекке 420
§ 9.8. Теорема сложения для ультрасферических многочленов 421
§ 9.9. Ядро Пуассона и задача Дирихле 425
§ 9.10. Преобразования Фурье 425
§ 9.11. Конечномерные представления компактных групп 427
§ 9.12. Группа SU(2) 430
§ 9.13. Представления группы SU(2) 431
§ 9.14. Многочлены Якоби как матричные элементы 433
§ 9.15. Еще одна теорема сложения 434
§ 9.16. Связь группы SU(2) с группой вращений SO(3) 436

8 Оглавление
Упражнения 437
Глава ю. Введение в теорию q-рядов 441
§ 10.1. q-интеграл 444
§ 10.2. q-биномиальная теорема 446
§ 10.3. q-гамма-функция 450
§ 10.4. Тождество тройного произведения 454
§ 10.5. Формула суммирования Рамануджана 458
§ 10.6. Представление чисел суммами квадратов 461
§ 10.7. Эллиптические и тэта-функции 464
§ 10.8. q-бета-интегралы 467
§ 10.9. Базисные гипергеометрические ряды 473
§ 10.10. Базисные гипергеометрические тождества 475
§ 10.11. q-ультрасферические многочлены 478
§ 10.12. Преобразования Меллина 482
Упражнения 491
Глава и. Разбиения 501
§ 11.1. Первоначальные сведения о разбиениях 501
§ 11.2. Анализ разбиений 503
§ 11.3. Библиотека алгоритмов анализа разбиений 505
§ 11.4. Производящие функции 505
§ 11.5. Некоторые результаты о разбиениях 509
§ 11.6. Графические методы 511
§ 11.7. Сравнения, связанные с разбиениями 514
Упражнения 517
Глава 12. Цепи Бейли 521
§ 12.1. Второе доказательство тождеств Роджерса—Рамануджана,
полученное Роджерсом 521
§ 12.2. Лемма Бейли 525
§ 12.3. Формула преобразования Ватсона 528
§ 12.4. Другие применения цепей Бейли 531
Упражнения 532
Добавление А. Бесконечные произведения 537
§ А.1. Бесконечные произведения 537
Упражнения 539
Добавление Б. Суммируемость и дробное интегрирование 541
§ Б.1. Средние Абеля и Чезаро 541
§ Б.2. Средние Чезаро (С, а) 544
§ Б.З. Дробные интегралы 545
§ Б.4. Исторические замечания 546
Упражнения 548
Добавление В. Асимптотические разложения 551

Оглавление 9
§ В.1. Асимптотическое разложение 551
§ В.2. Свойства асимптотических разложений 552
§ В.З. Лемма Ватсона 553
§ В.4. Отношение двух гамма-функций 554
Упражнения 555
Добавление Г. Формула суммирования Эйлера—Маклорена 557
§ Г.1. Введение 557
§ Г.2. Формула Эйлера—Маклорена 558
§ Г.З. Применения 560
§ Г.4. Формула суммирования Пуассона 562
Упражнения 565
Добавление Д. Формула обращения Лагранжа 567
§ Д.1. Обращение рядов 567
§ Д.2. Основная лемма 567
§ Д.З. Тождество Ламберта 569
§ Д.4. Преобразование Уиппла 570
Упражнения 571
Добавление Е. Ряды как решения дифференциальных уравнений 573
§ Е.1. Обыкновенные точки 573
§ Е.2. Особые точки 574
§ Е.З. Регулярные особые точки 575
Добавление Ж. Эллиптические гипергеометрические
функции (В.П.Спиридонов) 577
§ Ж.1. Введение 577
§ Ж.2. Обобщенные гамма-функции 578
§ Ж.З. Эллиптический бета-интеграл 581
§ Ж.4. Общие эллиптические гипергеометрические функции 584
§ Ж.5. Эллиптический аналог гипергеометрической функции
Эйлера—Гаусса 587
§ Ж.6. Биортогональные функции гипергеометрического типа 590
§ Ж.7. Эллиптические бета-интегралы на корневых системах 592
§ Ж.8. Эллиптическое преобразование Фурье и лемма Бейли 597
§ Ж.9. Связь с теорией представлений 599
§ Ж.10. Приложения в математической физике 601
§ Ж.11. Заключение 604
Добавление 3. Индексное гипергеометрическое
преобразование (Ю. А. Неретин) 607
§ 3.1. Индексное гипергеометрическое преобразование 607
§ 3.2. Приложения к специальным функциям 610
§ 3.3. Вывод формулы обращения. Скачок резольвенты 616
§ 3.4. Приложения к гармоническому анализу 620

10 Оглавление
Литература 625
Предметный указатель 649

Предисловие редактора перевода
Многие математики и люди, сталкивающиеся с теорией спецфункций и с ее
приложениями, воспринимают эту теорию как нечто законченное и
классическое, сверкающее или замшелое, в зависимости от личных пристрастий и
степени знакомства с предметом. Уровень общематематического интереса к
спецфункциям менялся со временем. В XIX в. спецфункции были важнейшей
частью математики. На протяжении XX в. интерес к ним уменьшался, чтобы
потом возродиться в последние два-три десятилетия.
Надо сказать, что и во времена снижения интереса теория спецфункций
продолжала успешно развиваться. Параллельно в самых разных областях
математики «для внутреннего пользования» возникали свои собственные спец-
функциональные сюжеты (например, в теории представлений, комбинаторике,
статистике, алгебраической геометрии, теории вероятностей, теории чисел,
теории интегрируемых систем или, скажем, в теории конечных абелевых
р-групп). С другой стороны, в вычислительных средствах (которые не сводились
к арифмометру 100 лет назад и не сводятся к нажатию клавиш компьютера
сейчас) нуждались не только математики. Скажем, реальными физическими
задачами интересовались такие авторы как Дж. Рака [293], Ф.Дж.Дайсон [111],
Л.Биденхарн [59], А.Ф.Никифоров, В.Б.Уваров [460].
Установочным текстом по спецфункциям многие годы оставался
замечательный трехтомник «Higher transcedental functions» [119], изданный в 1953 — 55 гг.
(и переведенный на русский язык Н.Я. Виленкиным в 1964 — 67 гг.). Сейчас,
50 лет спустя, даже такая классическая область, как теория ортогональных
многочленов, выглядит совсем иначе. Теория q-гипергеометрических рядов, о
которой большинство математиков в течение 100 лет после Гейне слышали
нечасто, в конце 80-х гг. XX в., после появления слов «квантовая группа», вдруг
стала чрезвычайно модна и обширна. Сейчас над ней уже «возведена» вполне
новая теория эллиптических гипергеометрических функций (см. добавление Ж
к настоящей книге). Теория представлений и некоммутативный
гармонический анализ дали внешний импульс для изучения многомерных спецфункций1.
За последние 30 лет этот предмет превратился в серьезную содержательную
область. Еще в конце 50-х гг. XX в. в работах [190] и [477] появились первые
спецфункции матричного аргумента. В 80-х гг. XX в. в теории бесконечномерных
групп и матфизике начали появляться спецфункции от бесконечного числа
переменных (например, сферические функции на группе диффеоморфизмов
окружности (см. [454]). В 80 —90 гг. XX в. рос интерес к уравнениям Пенлеве
(см. [204, 283, 143]).
Наконец, за время, прошедшее с издания книги «Higher transcedental
functions», по многим классическим вопросам удалось достичь более высокого
ι Основную роль сыграла деятельность, связанная со сферическими функциями и сферическим
преобразованием (интегральным «преобразованием Хариш-Чандры»). Ранний период — это работы
И. M. Гельфанда, M. А. Наймарка, Р.Годемана, Ф. А. Березина, Хариш-Чандры, И. M. Гиндикина,
Ф. И. Карпелевича 1950 — 62 гг. Переход сюжета непосредственно в теорию спецфункций
произошел благодаря книге [257] по сферическим функциям на ансамблях Брюа—Титса и работе [185]
об интерполяции преобразования Хариш-Чандры по параметрам.

12
Предисловие редактора перевода
уровня понимания и более высокого уровня ясности. Но, как и вообще в
математике, понять из читабельных текстов, что именно сделано и что именно
происходит, довольно трудно. Более того, последовательное изложение теории
спецфункций — задача объективно непростая. Сама теория выглядит как
необозримый и плотно переплетенный клубок формул, появляющихся как птицы из
шляпы фокусника.
Авторам удалось написать интересную книгу, которую в самом деле
можно читать и по которой можно учиться. Я не комментирую нетривиальный
стиль книги (лучше ознакомиться с ней самой), отмечу лишь, что изложение
ориентировано не столько на эти самые «формулы», сколько на способы их
получения и на прояснение этих способов (во многом с этим связан и большой
объем данной работы). По своему опыту должен отметить, что при чтении
книги бывает полезно иметь под рукой какой-либо старый более формально
написанный текст, например [119, 423, 346, 345] и т. п.
Авторы должны были столкнуться и с проблемой подбора материала. Книга
посвящена прежде всего теории гипергеометрических функций одной
переменной (гипергеометрических в широком смысле слова). Однако с этой «точки
обзора» авторы зацепляют ряд других сюжетов, например интегралы Сельберга,
общие свойства ортогональных многочленов, анализ на сфере, теорию
разбиений и комбинаторный анализ П. Макмагона. Приложения предмета вроде бы и
не являются самоцелью, но часто возникают по ходу дела, в том числе и вполне
неожиданно. Вообще, содержание книги очень разнообразно.
Так или иначе, книга является достойным памятником мысли и,
по-видимому, на ближайшие годы займет место трехтомника «Higher transcedental
functions» в качестве «установочного» текста по данному предмету.
Книга является одним из самых значительных собраний формул, причем
собранием современным. Но по жанру это не справочник, и вполне может
оказаться, что нужной читателю в данный момент формулы в книге не
окажется (или же она окажется, но не будет найдена). В связи с этим отмечу
несколько источников. Прежде всего, таблицы интегралов и рядов [463]. Это
нетривиальная оригинальная работа \ принципиально мажорирующая таблицы
И. С. Градштейна—И. М. Рыжика. Очень много самого разнообразного
материала (частью компилятивного, частью оригинального) содержится в [402].
Отметим в качестве собраний формул книги [155, 258, 414, 423, 40, 345, 460, 461, 226].
В книге теория спецфункций развивается на основе самой себя. В
принципе возможно изложение на основе каких-либо внешних организующих идей,
например теории представлений, спектральной теории или интегральных
преобразований. Опишу вкратце, что мы имеем на сегодняшни день.
1. Теория представлений. Данный подход берет начало с книги [441], которая,
конечно, устарела. Более поздние книги (которые, однако, не закрывают
имеющуюся «брешь» в литературе) — цитированная выше работа [402] и книга [378].
Отчасти, на сходной точки зрения основана недавняя книга [84], только в
качестве организующего начала в ней присутствуют не представления групп, а
представления «двойных аффинных алгебр Гекке».
ι Наиболее интересна глава 8 третьего тома, посвященная барнсовским интегралам, на ней
основана упоминаемая ниже «технология Маричева».

Предисловие редактора перевода
13
2. Задачи Штурма—Лиувилпя и спектральная теория. Известно, что
большинство классических спецфункций являются собственными функциями для
некоторых дифференциальных операторов. Наряду с дифференциальными
операторами бывают еще разностные. Например, рассмотрим пространство
последовательностей u(n) (где η может пробегать натуральные числа, целые числа
или конечный сегмент) и оператор вида
Du{n) = А(п)и(п + 1) + В(п)и(п) + С(п)и(п -1).
Известно, что классические системы ортогональных многочленов дискретного
переменного (т.е. системы Шарлье, Кравчука, Мейкснера, Чебышёва—Хана,
Хана—Эберлейна, Рак£) являются собственными функциями задач Штурма—Ли-
увилля.
Понятие разностных операторов допускает ряд нетривиальных обобщений.
Например, бывают разностные операторы вида
<£ /(χ) = AW fix + 0 + В(х)/(х) + СМ/(х - 0
в L2 на прямой (здесь i —мнимая единица). Скажем, многочлены Вильсона
являются собственными функциями задачи Штурма—Лиувилля для некоторого
оператора 5£ такого типа1.
Бывают разностные операторы с отражением — операторы типа Данкла
(скажем, в правой части вышеприведенных формул может появляться слагаемое
с /(—*); см. [ПО, 185]), есть и другие возможности.
В итоге есть много явно решаемых (но далеко не всегда решенных) задач
Штурма—Лиувилля; все гипергеометрические системы ортогональных
многочленов возникают как решения такого рода задач с чисто дискретным спектром.
Разумеется, бывают и неполиномиальные системы, и непрерывные спектры.
Для многих задач можно явно писать спектральное разложение в духе Г. Вей-
ля—Э. Ч. Титчмарша (см. [109]), далее каждое такое преобразование может
использоваться как спецфункциональный инструмент.
На разностных задачах Штурма—Лиувилля основана книга [461], более
широкому классу задач Штурма—Лиувилля посвящен обзор [229].
3. Интегральные преобразования. Как известно, система Вильсона, которая
находится наверху иерархии классических ортогональных многочленов, была
открыта примерно в 1980 г. Индексное гипергеометрическое интегральное
преобразование было обнаружено Г. Вейлем в 1910 г. Любой человек,
попытавшийся применить это преобразование к обычной ортогональной системе
Якоби, получил бы систему Вильсона немедленно и достаточно тривиальным
образом. Дальнейшая история теории спецфункций была бы иной.
Интегральные преобразования — мощный и несколько недооцененный
большинством специалистов инструмент для исследования специальных функций.
Мне не известно сколько-либо обстоятельного спецфункционально-ориентиро-
ванного текста об интегральных преобразованиях. Отмечу, что в книге [449]
излагается несколько очень простых (и даже скучноватых) приемов,
использующих преобразование Меллина и барнсовские интегралы; эти рецепты, однако,
оказываются поразительно эффективными. Насколько я могу судить, это одна
ι Пример с непрерывным спектром есть в добавлении 3.

14
Предисловие редактора перевода
из основных «high technologies», с помощью которых были получены таблицы
А. П. Прудникова, Ю. А. Брычкова, О. И. Маричева (есть также комментарии к
ним в работе [464]).
Чтение современных математических книг — дело, к сожалению,
непростое. Читатель данной книги, безусловно, столкнется с разными проблемами —
отдельными формулами, трудными для восприятия, замысловатыми
доказательствами, поясняющими вставками, которые сами иногда превращаются в
наиболее непонятные места, и т.д. и т.п.—книга длинная, в ней есть все.
Ко всему этому следует относиться спокойно. Обычно читатель современной
математической книги, не поняв ни слова, скажем, на странице 27, рискует
понять примерно столько же и в дальнейшем. Данная книга этим свойством
не обладает. Во-первых, изучаемые объекты сами по себе определяются
элементарно на уровне учебника Фихтенгольца — это значения явно выписанных
интегралов, рядов, произведений; никакой каббалистики (вроде необходимости
понимать язык высокого уровня, для понимания которого надо выучить язык
предыдущего уровня, для понимания которого...) в книге нет. Во-вторых, авторы
предпринимают всевозможные усилия для «демократизации» изложения, и, в
целом, это у них получается. Замечу, что вторая половина данной книги ничуть
не менее читабельна, чем первая (а тем самым и более интересна).
Ключевым местом для понимания книги является глава 2, при
определенном уровне ее восприятия любую другую главу, в общем, можно, временами
спотыкаясь, читать саму по себе.
К русскому изданию прилагаются два добавления. В добавлении Ж,
написанном В. П. Спиридоновым, обсуждается важный новый сюжет — эллиптические
гипергеометрические ряды. Добавление 3, написанное мною, содержит
введение в индексное гипергеометрическое преобразование Г. Ф. Мелера—В. А.
Фока—Г. Вейля—М. Н. Олевского—Э. Ч. Титчмарша; обсуждаются также его
возможности в качестве спецфункционального инструмента.
Кроме того, добавлен небольшой список полезных спецфункциональных
книг и важных статей, которые могли бы быть полезными человеку,
пытающемуся «найти концы» в «клубке» наличной литературы, а также несколько
ссылок на общепринятые у нас учебники.
Ю. А Неретин,
ИТЭФ, University of Vienna, МГУ

Предисловие
Пауль ТУран как-то заметил, что правильнее было бы говорить не «специальные
функции», а «полезные функции». Благодаря своим замечательным свойствам
специальные функции были предметом изучения на протяжении многих
столетий. Например, история тригонометрических функций насчитывает, благодаря
их многочисленным применениям к астрономии, более тысячи лет. Даже
разложения в ряды для синуса и косинуса (а может быть, и для арктангенса) были
известны Мадхаве еще в XIV веке. В XVII веке эти ряды были переоткрыты
Ньютоном и Лейбницем, и с тех пор теория специальных функций постоянно
развивалась; вклад в нее внесли множество математиков, включая таких, как
Эйлер, Лежандр, Лаплас, Гаусс, Куммер, Эйзенштейн, Риман и Рамануджан.
В течение последних тридцати летх, когда были открыты новые специальные
функции и увеличился список разделов математики, в которых специальные
функции применяются, интерес к этому предмету снова вырос. Новые
открытия, о которых идет речь, включают комбинаторные исследования, начатые
Шютценберже и Фоатой. Более того, в последние годы у некоторых частных
случаев давно знакомых специальных функций появились четкие определения
и приложения в качестве ортогональных полиномов.
В результате того, что специальные функции являются предметом нынешней
активной деятельности, но при этом имеют и долгую историю, авторы книги
по этому предмету ощущают импульсы, идущие в совершенно разных
направлениях. С одной стороны, имеются важные классические результаты, которые
необходимо включить в книгу, поскольку они чрезвычайно полезны. С другой
стороны, имеются и недавние результаты, с которыми необходимо ознакомить
тех, кто мог бы их применять. Хотелось бы также, чтобы новое поколение
математиков получило образование, позволяющее им и дальше развивать и
применять теорию специальных функций. Мы старались делать и то, и другое,
и третье, включив некоторые старые результаты, которые, на наш взгляд, были
незаслуженно забыты. Однако же мы не стали вдаваться в некоторые важные
современные исследования: чтобы трактовать их должным образом, пришлось
бы значительно увеличить объем книги. К счастью, недавно вышли монографии,
посвященные этим исследованиям: Петкошек, Уилф и Зайльбергер [286] (1996),
Макдональд [258] (1995), Хекман и Шилькткрулль [186] (1994), Виленкин и
Климык [403] (1992). Кроме того, Макдональд пишет новую книгу о носящих
его имя многочленах от нескольких переменных, а А. Н. Кириллов — о теории
Д-матриц.
О специальных функциях известно так много, что, разумеется, лишь малая
часть этого может поместиться в одну книгу. Мы решили сосредоточиться
в первую очередь на наиболее изученном классе функций —
гипергеометрических функциях —и на связанных с ними гипергеометрических рядах.
Гипергеометрический ряд — это ряд вида J] ап, в котором ап+1/ап является рациональной
функцией от п. К сожалению, гипергеометрические функции изучены намного
ι Оригинал вышел в 1999 г.—Ярим. пер.

16
Предисловие
хуже, чем следовало бы, если принять во внимание их важность и полезность.
Большинство степенных рядов, изучающихся в курсе анализа, являются
гипергеометрическими, так что некоторые свойства этих рядов хорошо известны.
Однако же многие математики и другие ученые, встречающиеся в своей работе
с гипергеометрическими рядами, не знакомы с общим случаем, знание свойств
которого могло бы облегчить им жизнь. Для них и функция Бесселя, и функция
параболического цилиндра суть совсем не те функции, что возникают в теории
квантового углового момента. А на самом деле все они — гипергеометрические
функции, и именно при таком взгляде на них многие их элементарные свойства
оказываются наиболее понятны.
Рад важных свойств гипергеометрических функций был впервые найден
Эйлером, одно полезное тождество — Пфаффом, одним из учителей Гаусса. Но
только сам Гаусс в полной мере осознал важность этих функций и предпринял
систематическое изложение их свойств в двух статьях, одна из которых была
опубликована посмертно. Интерес к гипергеометрическим функциям
объясняется, в частности, тем, что элементарные функции, так же как и ряд других
функций, важных в математике, выражаются через гипергеометрические. Через
полвека после Гаусса Риман развил теорию гипергеометрических функций на
основе другого подхода, в результате чего удалось получить основные формулы
при минимуме вычислений. Еще один подход к гипергеометрическим
функциям—с помощью контурных интегралов —был развит английским математиком
Э. Барнсом в первом десятилетии XX века. У каждого из этих подходов есть свои
преимущества.
У гипергеометрических функций есть два очень полезных свойства: их
специальные значения удовлетворяют некоторым тождествам, а для самих
функций существуют формулы преобразования. Мы рассказываем о многих
приложениях этих свойств. Например, в комбинаторном анализе
гипергеометрические тождества классифицируют суммы произведений биномиальных
коэффициентов. Далее, квадратичные преобразования гипергеометрических
функций позволяют понять известные еще Гауссу взаимосвязи между
эллиптическими интегралами и арифметико-геометрическим средним. Недавно ариф-
метико-геометрическое среднее было использовано для нахождения нескольких
миллионов знаков числа π, а ранее оно сыграло ключевую роль в гауссовской
теории эллиптических функций.
Гамма-функция и бета-интегралы, о которых идет речь в первой главе,
необходимы для понимания гипергеометрических функций. Гамма-функция
была введена в обиход Эйлером, когда он решал задачу продолжения функции
«факториал» на все действительные или комплексные числа, но предвидеть,
до какой степени эта функция окажется важной, Эйлер не мог. У гамма- и
бета-функций имеются также важные обобщения. В этой книге мы вкратце
излагаем теорию гауссовых сумм и сумм Якоби, являющихся аналогами гамма-
и бета-функций для конечных полей. Гауссовы суммы появились у Гаусса в
его работе о построении правильных многоугольйиков: там они возникли в
виде «резольвент Лагранжа», использовавшихся Лагранжем для исследования
алгебраических уравнений. Гаусс понял огромное значение сумм, названных
его именем, для теории чисел. Мы расскажем, как теорема Ферма о простых
числах вида 4п +1 может быть выведена из формулы, связывающей гауссовы

Предисловие
17
и якобиевы суммы и являющейся аналогом формулы Эйлера, связывающей
бета-интегралы с гамма-функцией.
У гамма- и бета-интегралов есть и многомерные аналоги. Первый из этих
аналогов был введен Дирихле, но он получался всего лишь итерацией
одномерных интегралов. Подлинно многомерные гамма- и бета-функции были введены
в 1930-х гг. специалистами по статистике и по теории чисел. В начале 1940-х гг.
Атле Сельберг нашел очень важный многомерный бета-интеграл в ходе своих
исследований целых функций, но из-за трудностей, связанных с войной, а
также из-за того, что формулировка и доказательство результата Сельберга
были опубликованы в малоизвестных журналах, до 1980-х гг. очень немногие
были знакомы с интегралом Сельберга. Мы излагаем два разных вычисления
интеграла Сельберга и приводим некоторые его приложения.
В дополнение к упомянутым выше обобщениям на конечные поля, у
гамма-функции и бета-интегралов есть также q -аналоги, играющие чрезвычайно
важную роль, так как эти аналоги приводят к базисным гипергеометрическим
функциям и рядам. Речь идет о рядах вида Σ°η> гДе сп+1/сп— рациональная
функция от qn (q — фиксированный параметр). Суммирование может
распространяться и на целые неотрицательные числа, и на все целые числа. Важный
пример такого ряда — тэта-функция
— 00
Этот и подобные ему ряды использовались Гауссом и Якоби в исследованиях по
эллиптическим функциям и эллиптическим модулярным функциям. Ряды такого
типа очень полезны во многих разделах комбинаторного анализа (впервые на
это обратили внимание Эйлер и Лежандр), и они также возникают в некоторых
разделах физики. Например, работы физика Бакстера по так называемым
уравнениям Янга—Бакстера вдохновили группу петербургских математиков на
введение понятия квантовой группы, и независимо связанную с этим структуру
определил японский математик Джимбо — также в результате изучения работ
Бакстера.
Многие базисные гипергеометрические и q -гипергеометрические ряды, как
конечные, так и бесконечные, поддаются исследованию с помощью алгебр
Хопфа (квантовые группы — не что иное, как алгебры Хопфа специального
вида). К сожалению, этот новый и чрезвычайно важный подход осветить в
книге мы не могли. Не включены также недавние результаты о многомерных
U (п) -обобщениях теорем о базисных рядах. Частично с ними можно
ознакомиться по работам [267] и [268]. Мы вкратце обсуждаем q -гамма-функцию и
некоторые важные q-бета-интегралы; мы показываем, что ряды и произведения,
возникающие в этой теории, имеют приложения в теории чисел, комбинаторике
и теории разбиений. Мы описываем метод анализа разбиений. П. А. Макмагон,
разработавший эту мощную технику, посвятил ей несколько глав в своем
монументальном труде «Combinatorial Analysis», но ее значение было осознано
лишь недавно.
Теория специальных функций с ее многочисленными красивыми формулами
прекрасно вписывается в алгоритмический подход к математике. В XIX в.
идеалом Эйзенштейна и Кронекера было выражать новые математические

18
Предисловие
результаты с помощью формул. До них такой подход к математике был также
весьма распространен, как показывают, например, работы Эйлера, Якоби и
отчасти Гаусса. В XX в. в математике стал брать верх более абстрактный подход,
ориентированный на доказательства существования. Соглашаясь с Харди в том,
что Рамануджан опоздал родиться на 100 лет, Литтлвуд однажды написал, что
«времена формул, по-видимому, прошли» (Дж. Литтлвуд. Математическая смесь.
М.: «Наука», 1990, с. 88). Однако в наши дни, с появлением компьютеров
и возрождением вычислительной математики, роль формул возросла снова.
Наша книга соответствует этой новой тенденции: мы показываем, что
красивые, интересные и важные формулы появлялись и после Рамануджана. Эти
формулы оказались весьма плодотворными; мы верим, что «времена формул»
еще вернутся. Мы надеемся, что читатель, изучая эти формулы, получит не
меньше удовольствия, чем получили его мы, излагая их выводы.
Мы благодарим Б. Берндта, Дж. Гаспера, У. Джонсона, М. Рахмана, Д. и Г. Чуд-
новского, высказавших замечания по различным главам этой книги в процессе
ее написания. Отдельная благодарность — М. Исмаилу за поддержку и за
множество подробных замечаний, способствовавших улучшению этой книги. Мы
благодарны также Ди Фране и Диане Репперт за подготовку рукописи, которую
они провели аккуратно, с юмором и терпением.

ГЛАВА I
Гамма- и бета-функции
Эйлер ввел гамма-функцию Г(х), желая расширить область определения
функции факториал. В итоге получилась мероморфная функция, равная (х — 1)!
при положительных целых х. Гамма-функция имеет несколько представлений,
но два наиболее важные, найденные Эйлером, задают ее в виде интеграла
с бесконечным пределом и в виде предела конечного произведения. Мы примем
второе из них в качестве определения.
Вместо того чтобы рассматривать бета-функцию как функцию, более
поучительно рассматривать ее как класс интегралов — интегралов, которые могут
быть вычислены через гамма-функции. Часто мы будем называть бета-функции
бета-интегралами.
В этой главе мы рассмотрим некоторые элементарные свойства бета- и
гамма-функций. Некоторые утверждения мы доказываем двумя или несколькими
способами. Обычно одно из доказательств имеет обобщения, а остальные нет.
Мы коротко обсуждаем аналоги гамма- и бета-функций для случая конечных
полей. Они называются суммами Гаусса и Якоби и важны в теории чисел. Мы
используем их для доказательства теоремы Ферма о том, что простое число
вида Ап + 1 может быть представлено как сумма двух квадратов. Мы также
рассматриваем предложенное Дирихле простое многомерное обобщение бета-
интеграла, из которого может быть выведен объем п-мерного эллипсоида.
Мы приводим элементарный вывод асимптотической формулы Стерлинга
для п! и даем комплексно-аналитическое доказательство красивой формулы
отражения Эйлера. Два других доказательства (Дедекинда и Герглоца) в
терминах вещественных аналитических функций включены в упражнения. Формула
отражения связывает гамма-функцию с тригонометрическими функциями.
Гамма-функция имеет простые полюсы в нуле и в отрицательных целых точках,
в то время как cosec nx имеет полюсы во всех целых точках. Разложение на
элементарные дроби логарифмических производных функции Г(х) приводит
нас к рассмотрению дзета-функций Гурвица и Римана, последняя из которых
имеет фундаментальное значение в теории распределения простых чисел. Мы
включили в изложение краткое обсуждение функционального уравнения на
дзета-функцию Римана, поскольку оно включает в себя гамма-функцию.
В этой главе мы также приводим доказательство Куммера собственного
результата о Фурье-разложении функции 1ηΓ(χ). Соответствующая формула
полезна в теории чисел. Приведенное доказательство использует интегральное
представление Дирихле функции 1η Γ(χ) и ее производной. Поэтому, мы
включили в изложение эти результаты Дирихле и соответствующие теоремы Гаусса.
§ I.I. ГАММА- И БЕТА-ИНТЕГРАЛЫ; ГАММА- И БЕТА-ФУНКЦИИ
Задача нахождения такой функции непрерывной переменной х, равной п! при
х = п, была исследована Эйлером в конце 1720-х годов. Можно предположить,

20
Глава I Гамма- и бета-функции
что эта задача была предложена Даниилом Бернулли и Гольдбахом. Ее решение
содержится в письме Эйлера к Гольдбаху от 13 октября 1729 года (см. [150,
с. 1 — 18]). Чтобы получить обобщение факториала, предложенное Эйлером,
предположим, что х>0ип>0 — целые числа. Запишем
|=Сх±п)!
где (α)η обозначает символ Похгаммера1, определенный равенством
(α)η = α(α + 1)...(α + η-1) дляп>0; (α)0 = 1, (1.1.2)
а—любое действительное или комплексное число. Перепишем равенство (1.1.1)
как
п!(п + 1)у_ п\пх (п + 1)х
Сх + 1)п Сх + 1)„
Поскольку
мы заключаем, что
П-400 Π
xl = Urn 7^5-. (1.1.3)
Заметим, что, пока χ является комплексным числом, не равным отрицательному
целому, предел в формуле (1.1.3) существует, поскольку
-1/
с^=Ш*ПИГИ)
и
Следовательно, бесконечное произведение
пигиг
сходится и предел (1.1.3) существует. (Читатели, плохо знакомые с бесконечными
произведениями, могут обратиться к добавлению А.) Таким образом, мы имеем
функцию
nw=tec??b αι·4)
определенную для всех комплексных хф—1, —2, —3, ..., причем П(п) = п!.
Определение 1.1.1. Для всех комплексных чисел хфО, —1, —2, ... гамма-
функция определяется равенством
ΓΟΟ = lim *£-. (1.1.5)
ι Β оригинале shifted factorial (здесь и ниже подстрочные примечания редактора перевода).

§11 Гамма- и бета-интегралы; гамма- и бета-функции
21
Непосредственным следствием определения 1.1.1 является следующее
утверждение:
Γ(χ + 1)=χΓ(χ). (1.1.6)
Также равенство
Г(п + 1) = п! (1.1.7)
немедленно следует из вышеизложенного рассуждения. Тот же результат можно
получить последовательным применением соотношения (1.1.6) с
использованием равенства
Г(1) = 1 (1.1.8)
Из равенства (1.1.5) следует, что гамма-функция имеет полюсы в нуле и
отрицательных целых точках, а 1/Г(х) является целой функцией с нулями в этих
точках. Каждая целая функция имеет представление в виде произведения1; это
представление для функции 1/Г(х) особенно изящно.
Теорема 1.1.2. Справедливо равенство
Г^=-ГХП{(1 + Ю<Г*/П}' (1.1.9)
где γ —постоянная Эйлера:
Γ="5ΐ(Σϊ-Ιη4 (1110)
Доказательство. Имеем цепочку равенств
Jfe-ja*+".£+''"-'a*+fX'4H'+fr-'"-
- а »<»»«-н») li{(i+!>"""}=«* ПК»+;У""1
k=l j=l
Бесконечное произведение в формуле (1.1.9) существует, поскольку
(»!>"Ч>+;Х>-;+&-)->-£+°(;?).
и множитель е~*/п был введен, чтобы сделать его существование возможным2.
Предел в равенстве (1.1.10) существует, поскольку существуют другие пределы,
но его существование можно доказать и непосредственно. Один из способов
сделать это состоит в том, чтобы показать, что разница между соседними
выражениями под знаком предела стремится к нулю как 1/п2. D
В принципе можно рассматривать формулу (1.1.9) как определение Г(х),
как делал Вейерштрасс (сама эта формула была получена ранее Шлёмильхом
и Ньюманом, см. [282, с. 12]).
ι См., например, [450, 60].
2 Так как 1/Γ(χ) = 0 при χ = —η, естественно попробовать поделить 1/Г(х) на J~[(l + χ/ή). Но это
произведение всюду расходится. Множитель е~х^п «гасит» эту расходимость. A priori
предсказуемо, что частное имеет вид Схе**, см. предыдущую сноску.

22
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Более чем за семьдесят лет до этого Эйлер и Валлис [405] предприняли
попытку вычислить интеграл
1 - +1
5 VT^3^dx=i $(l-x)1/2(l + x)1/2dx.
0 -1
Поскольку этот интеграл выражает площадь четверти круга, цель Валлиса
была получить выражение для π. Но он смог вычислить только интеграл
1
§ хр(1 — x)qdx при целых ρ и q или при q = 0 и рациональных р. Используя
о
значение этого интеграла и некоторые смелые догадки, он предположил, что
Конечно, он не представлял это выражение в виде предела и не использовал
гамма-функции. Однако этот результат мог привести Эйлера к рассмотрению
ι
соотношения между гамма-функцией и интегралами вида § хр(1 — x)q dx, где ρ
о
и q не обязательно целые.
Определение 1.1.3. Бета-интеграл определяется для Rex>0, Re у >0
соотношением
ι
В(х, у) = 5 t*"1 (I - ty-1 dt (1.1.12)
о
Можно также говорить о бета-функции В(х,у), которая получается из
интеграла аналитическим продолжением.
Интеграл (1.1.12) симметричен относительно перемены местами χ и у, что
можно увидеть с помощью замены переменной и = 1 — t.
Теорема 1.1.4. Справедливо равенство
Замечание 1.1.1. Основная идея представленного ниже доказательства
принадлежит Эйлеру [122,123] и состоит в установлении функционального соотношения для бета-
функции и последующего итерирования этого соотношения. Интегральное
представление для Г (χ) получается в качестве побочного результата. Техника функциональных
уравнений полезна для вычисления некоторых интегралов и бесконечных рядов; мы
увидим ее силу в последующих главах.
Доказательство. Сначала мы хотим вывести функциональное
соотношение ν+ ν
В(х, у) = -у^Ж*, У + 1). (11.14)
Заметим, во первых, что для Rex>0HRey>0 выполняется равенство
ι
B(x,y + l) = 5^"1(1-0(l-0y"1dt = B(x,y)-B(x+l,y). (1.1.15)
о
С другой стороны интегрирование по частям дает
BU,y + l) = [i^(l-Oy]VjStJC(l-Oy-1cit=jBU + l,y). (1.1.16)

§11 Гамма- и бета-интегралы; гамма- и бета-функции
23
Комбинируя равенства (1.1.15) и (1.1.16), получаем функциональное
соотношение (1.1.14). Другие доказательства тождества (1.1.14) даны в качестве задач
в конце этой главы. Теперь итерированием формулы (1.1.14) получаем
(* + у)(* + У + 1) т^ Лч (х + У)Пп,
в{х>у) = —WT\)—-в&>у+2) = - = м7^в(х^+Г1)·
Перепишем это соотношение в следующем виде:
(* + у)„ п\ eft Υ"1 f. t V+n-1 at
"*■*'*&&№ (>-:)
п|„х+у-1 (y)n Jr \ι η) αι·
При п—»» интеграл стремится к § i-^-1e—f dt. В этом можно удостовериться
о
с помощью теоремы Лебега о мажорированной сходимости1. Таким образом,
Г(у)_"
Положив у = 1 в соотношениях (1.1.12) и (1.1.17), получим
в(*^) = гЩо^"1<г^· (т7)
1 00
1 = С t^"1 dt = В(х, 1) = =f^rr Ϊ f^e"* dt.
χ J Г(х + 1) J
Тогда из формул (1.1.6) и (1.1.8) следует, что
00
\tx-1e-tdt = nx)
о
для Re χ > 0. Теперь используем это соотношение в равенстве (1.1.17) для
доказательства теоремы для Re χ > О и Re у > 0. Так как Г-функция мероморфна во всей
плоскости, формула (1.1.7) задаёт аналитическое продолжение В-функций2. D
Замечание 1.1.2. Аргумент Эйлера в работе [123] в пользу соотношения (1.1.13)
использовал рекуррентное соотношение по х, а не по у. Оно приводит к расходящимся
бесконечным произведениям и равному нулю интегралу. Эйлер рассмотрел два таких
интеграла, с у и у = гл, разделил один из них на другой и показал, что полученные
обращающиеся в нуль интегралы совпадают. Они сокращали друг друга, когда он брал
отношение двух интегралов с у и у = гл. В качестве результата получается бесконечное
произведение, которое сходится и дает правильный ответ. Выдающаяся интуиция Эйлера
приводила его к правильным результатам, даже когда его рассуждения были такими
смелыми, как в этом случае.
Эта теорема — основное средство для обоснования предельных переходов в книге. Напомним
ее. Пусть последовательность функций fn(x) сходится к f(x) для почти всех х. Пусть существует
функция g(x) такая, что 1Д001 <g(x) и {j gOO <ίμ(χ) сходится. Тогда § /η(χ)άμ(χ) сходится
м м
к ξ / άμ(χ). От меры μ требуется, чтобы она была конечной или σ-конечной, а все упомянутые
м
функции должны быть измеримы (т. е. в обоих случаях ничего не требуется), см. [447, 308].
См. добавление Б.

24
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Ранее, в 1730 г., Эйлер вычислил функцию (1.1.13) другим способом. Он разложил
(1 — t)y~l в ряд и проинтегрировал почленно. Для у = η +1 он представил значение этой
суммы в виде произведения.
Приведем важное следствие из этого доказательства.
Следствие 1.1.5. Для Rex>0 выполняется равенство
00
r(x)=\tx-1e-tdt. (1.1.18)
о
Этот интеграл для гамма-функции иногда называется интегралом Эйлера
второго рода. Он часто рассматривается в качестве определения Г(х) для
Rex>0. Интегралом Эйлера первого рода называется интеграл (1.1.12). Это
обозначение ввел Лежандр. Предложенная Лежандром функция Г(х)
предпочтительнее введенной Гауссом функции П(х), заданной выражением (1.1.4),
поскольку теорема 1.1.4 не имеет такого изящного вида, будучи сформулирована
в терминах функции П(х). Другая причина будет рассмотрена в § 1.10.
Гамма-функция имеет полюсы при значениях аргумента равных нулю и
целым отрицательным числам. Используя интегральное представление (1.1.18)
легко найти полюсы и аналитическое продолжение функции Г(х) явно:
ГСх)= \?-*β-4ί+1?-^άί = Σ -fcgLj + Jt-ie-'A. (1.1.19)
0 1 п=0 1
Вторая функция в правой части равенства целая, а первая показывает, что
полюсы такие, как требовалось, с вычетом (—1)п/п! в точке χ = —η, η = 0, 1, ...
Бета-интеграл можно представить несколькими удобными способами,
которые могут быть получены заменой переменных. Например, положив t = s/(s +1)
в формуле (1.1.12), получим бета-интеграл по полупрямой:
" *_?»?&> (1.1.20)
} (1 +
0 (1 + 5)*+* ~" Г(х + у) ·
Затем, положив t = sin2 θ, будем иметь
о
Возьмем χ = у = 1/2. Получим
или
π/2
{ sin2'-1 θ cos2*"1 θ άθ = Γ^)Γ!ων (1.1.21)
И1)Г «
2Г(1) 2'
Г(1/2) = Jn. (1.1.22)
Поскольку из этого следует, что
М§)Г-«/«.

§11 Гамма- и бета-интегралы; гамма- и бета-функции
25
мы получили доказательство формулы Валлиса (1.1.11) Мы также нашли
значения интеграла Пуассона1:
I е~х2 dx = 2 I е~х2 dx=\ Г1/2е"г dt = Г(1/2) = </π. (1.1.23)
-оо 0 0
Наконец, подстановка t=(u — a)/Q) — a) в выражение (1.1.12) дает
1(Ъ-иу-\и-ау-1аи=(Ъ-аУ+У-1В(х,у) = (Ь - а)^"1 ^00. (1.1.24)
Следует отметить частный случай α=—1, Ь = 1, поскольку он часто используется:
$ (1 + 0х"г(1 - О*"1 dt = 2х+у-* Щ£^. (1-1.25)
Ещё одно полезное представление аналитически продолженной
бета-функции:
ВСг,у) = §^4 = ^П ,(1+лТЯл. (11.26)
Оно следует непосредственно из теоремы 1.1.2. Заметим, что функция В(х,у)
имеет полюсы при значениях χ и у, равных 0 или целым отрицательным
значениям, и является аналитической при всех других значениях аргументов.
Как упоминалось ранее, интегральная формула для Г(х) часто
рассматривается в качестве определения гамма-функции. Одна из причин этого заключается
в том, что гамма-функция очень часто возникает в этой форме. Более того,
основные свойства функции могут быть легко получены из интегрального
представления. Мы имеем мощную технику интегрирования по частям и замены
переменных, которую можно применять к интегралам. В качестве примера мы
дадим другое доказательство теоремы 1.1.4. Это доказательство важно и потому,
что оно может быть использовано для получения аналога теоремы 1.1.4 для
случая конечного поля. В этой ситуации вместо интегралов работают с конечными
суммами.
Пуассон в работе [290] и, независимо от него, Якоби в работе [212] в
качестве отправной точки рассмотрения брали подходящий двойной интеграл
и вычисляли его двумя различными способами. Соответственно поскольку
рассмотренные интегралы сходятся абсолютно, выполняется равенство
00 00 00 00
$ $ г*"V-xe-(s+t) dsdt=\ ?-1е~* dt $ s^e"5 ds = Г(х)Г(у).
0 0 0 0
Применим замену переменных s = uu и t = u(l —1>) к двойному интегралу
и заметим, что 0 < и < <», 0 < ι>< 1 при 0 < s, t < оо. К такой замене переменных
приводит подстановка s + t = u. Вычисления якобиана приводят к соотношению
ds dt = u du di>, и двойной интеграл переходит в
00 1
$ e~uux+y-1 du $ υ*'1 (Ι -иУ~1 dv = Г(х + у)В(х,у).
ι Β оригинале normal integral (в связи с гауссовым нормальным распределением).

26
Глава I Гамма- и бета-функции
Сравнение двух выражений для двойного интеграла дает требуемый результат.
Это доказательство Якоби. Доказательство Пуассона похоже, с тем исключением,
что он использовал в двойном интеграле замену переменных t = r и s = ur.
В этом случае полученный бета-интеграл берется по интервалу (0, <»), как
в формуле (1.1.20) (см. упражнение 1).
В завершение этого параграфа, мы покажем, как представление Г(х) в
виде предела может быть выведено из интегрального представления для Г(х).
Сначала докажем, что когда η целое неотрицательное и Re χ > 0, то
5^-βΛ*=χ(χ+1)η.'(χ + η)· (LL27)
На самом деле это частный случай теоремы 1.1.4, но мы приведем
непосредственное доказательство по индукции для того чтобы избежать повторения
в рассуждениях. Очевидно, равенство (1.1.27) верно для η = 0 и
St-i(i-t)»«dc=St-4i-0(i-c)-dt = ^-7j^- = M121.
g g W„+l U+IJn+l UJ„+2
Это завершает доказательство равенства (1.1.27) по индукции. Теперь положим
t — u/n и перейдем к пределу при η -* оо. Из теоремы Лебега о мажорированной
сходимости следует, что
00 ,
\ ?-1е~1 dt = lim ^— для Rex > 0.
Таким образом, если мы начнем с определения гамма-функции Г(х) в виде
интеграла, то приведенную выше формулу можно использовать для
расширения области определения на все возможные значения аргумента χ (т.е. для
значений, не равных 0, —1, —2, ...).
Замечание 1.1.3. Интеграл (1.1.12) традиционно называют бета-функцией.
Возможно, с терминологической точки зрения было бы лучше называть его первым
бета-интегралом Эйлера, а (1.1.20) называть вторым бета-интегралом. Интеграл из упражнения 3
мы назовем бета-интегралом Коши. В последующих главах мы изучим и другие бета-
интегралы, но эти три имеют общий вид
SUiWlhWdt,
с
где Ζχ(0 и l2(t) —линейные функции переменной t, а С — подходящая кривая. Для
первого бета-интеграла Эйлера кривая состоит из отрезка, соединяющего два нуля,
для второго бета-интеграла это луч, соединяющий нуль с бесконечностью так, что
другой нуль не находится на этом луче, а для бета-интеграла Коши контур проходит
между двух нулей. Уиттекер и Ватсон в работе [423, § 12.43] описали примеры бета-
интегралов, интегрирование в которых происходит по кривым, отличным от описанных
выше. Важный пример такого рода дан в упражнении 54.
§ 1.2. ФОРМУЛА ОТРАЖЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Среди многих красивых формул, в которые входит гамма-функция, формула
отражения Эйлера особенно важна, поскольку она связывает гамма-функцию

§12. Формула отражения Эйлера
27
с функцией sin*. В этом параграфе мы выведем эту формулу и кратко опишем,
как из нее может быть получено представление тригонометрических функций
в виде произведения и суммы элементарных дробей. Формула Эйлера,
представленная в теореме 1.2.1, показывает, что в некотором смысле функция 1/Γ(χ)
является «половинкой» функции синус.
Теорема 1.2.1. Верна формула отражения Эйлера:
Г(х)Г(1-х) = -г£-. (1.2.1)
smnx
Замечание 1.2.1. Предлагаемое ниже доказательство использует интегрирование
по контуру. Поскольку гамма-функция — функция действительного переменного в том
смысле, что многие ее важные характеристики происходят из соответствующей теории,
три доказательства в терминах действительной переменной описаны в упражнениях.
(См. упражнения 15,16 и 26 — 27.)
Мы покажем (теорема 1.2.1), как некоторые факты из теории тригонометрических
функций можно вывести из формулы (1.2.1). Напомним, что функцию sin* можно
определить рядом е*-е-* х* xs
sin x = ——— = * — ■—- + — — ...
2ι 3! 5!
Функция косинус определена аналогичным образом. Из этого определения можно
показать, что синус и косинус имеют период 2π и что ет =—1. (См. [326, с. 182 — 182].)
Доказательство. Положив у = 1 — х, 0<х<1, в выражении (1.1.20),
получим, таким образом,
00 ,
Г(х)Г(1-х)= ξ γ^άί. (1.2.2)
о
Чтобы вычислить интеграл в формуле (1.2.2), рассмотрим интеграл
Jl-2
где С состоит из двух окружностей вокруг начала координат радиусов R и ε
соответственно, которые соединены вдоль действительной отрицательной оси
между точками —R и —е. По внешней окружности интегрирование происходит
против часовой стрелки, а по внутренней — по часовой стрелке. По теореме
о вычетах
$f^d* = -2πί, (1.2.3)
с
когда ζχ~ι принимает свое главное значение. Таким образом
? /ρΧρΰτθ Ζ tx-l ixn ~π ;Ρχριχθ £ tx-l -ixn
J„ 1-Re'e i 1 + t J 1-ee'9 ■> 1 + t
—π R π ε
Пусть R —> oo и ε -* 0 так, что первый и третий интегралы стремятся к нулю, а
второй и четвертый в сумме дают выражение (1.2.1) для 0 < χ < 1. Окончательный
результат получается с помощью аналитического продолжения. Аналитическое
продолжение можно провести следующим образом. Из равенства (1.2.1) для
0<х<1 равенство для 0<Rex<l следует по аналитичности; для Rex = 0,
хф0 — по непрерывности; и затем для х, сдвинутого на целое число, —из
тождеств Г(х +1) = хГ(х) и sin(x + π) = — sin(x). D
Следующая теорема является непосредственным следствием теоремы 1.2.1.

28
Глава I Гамма- и бета-функции
Теорема 1.2.2. Справедливы равенства
00
sin πχ = πχ J~](l - 4)> f1·2·4)
00 П
π ctg πχ = - + Vi-τ- + —) =limV -Ц-, (1.2.5)
6 Χ Ζ-Λχ + Π ДС-ПУ n-»oo Z-J X-k
n=l /e=—η
_д_ = I + 2x V _W = lim V £*£,· (1.2.6)
suitix χ Ζ-ΐχ2-π2 n-»oo Z-j x-fc'
n=l fc=-n
η
7rtg7rx = lim V --^—, (1.2.7)
k=-n 2
ЯБесях= lim V (~Χ) Ί, (1.2.8)
k=-n 2
sin27ix Z-j (χ + π)2
n=—00
Доказательство. Формула (1.2.4) следует из формулы произведения
тЬ=хеГхи(1+хпУх,п'
п—\
доказанной в предыдущем параграфе, и из теоремы 1.2.1 в форме
Г(х)Г(1 -х) = -хГ(х)Г(-х) = π/ sin πχ.
Формула (1.2.5) получается взятием логарифмической производной от
формулы (1.2.4), а формула (1.2.6) следует из (1.2.5) поскольку cosec χ = ctg χ/2—ctg x.
Формулы (1.2.7) и (1.2.8) являются просто вариантами формул (1.2.5) и (1.2.6).
Формула (1.2.9) получается дифференцированием формулы (1.2.5). D
Стоит отметить, что формула (1.2.6) следует непосредственно из (1.2.1).
Имеем
00 ι Ι ι 00 ι
,.χ-1 * л.х—1 ρ л.х—1
TT7dt=$TT7dt+ST+7dt =
0 0 1
О О Ц=0 J fc=_n
где
1
j.n+x . +п—х+1>
|Я„|< К (tn+* + tn~*+1)dt
Ό
n + x+1 n-x + 2*
Итак, формула (1.2.6) выведена из (1.2.1).
Перед тем как вернуться к изучению гамма-функции, мы отметим важное
следствие из формулы (1.2.5).

§12. Формула отражения Эйлера
29
Определение 1.2.3. Числа Бернулли Вп определяются как коэффициенты
разложения ряда
00 00
п=0 к=1
Легко проверить, что функция
X , £
ех-1 2
четная. Вот несколько первых чисел Бернулли: Вг =—1/2, В2 = 1/6, В4 = —1/30,
Вб = 1/42.
Теорема 1.2.4. Для любого натурального числа к выполняется равенство
fc+lo2fc-l
ΣΙ _ (-1Г-'2-"-' n 9fc n9rn
Доказательство. Согласно соотношению (1.2.10) мы имеем
формула (1.2.5) дает разложение
00 00 00
^=1+2Σώ=1-2ΣΣέ·
η=1 η=1 Ас=Х
Для завершения доказательства осталось приравнять коэффициенты при х2к
в двух рядах для χ ctg χ. Π
Эйзенштейн в работе [114] показал, что теория тригонометрических
функций может быть систематически развита из разложения на элементарные дроби
функции ctgx, если рассматривать формулу (1.2.5) в качестве отправной точки.
Согласно А. Вейлю [418, с. 6], этот метод приводит к простейшим
доказательствам ряда основных фактов для тригонометрических функций, полученных
Эйлером. Целью Эйзенштейна было сформулировать теорию эллиптических
функций подобным образом. Очень доступное изложение этой работы и связь ее
с современной теорией чисел имеется в книге Вейля. Вейль называет операцию
взятия предела в выражении lim J] <*к суммированием по Эйзенштейну.
П->°о_п
Теорема 1.2.2 показывает, что ряды вида
00
*-» ix + n)k'
— 00
где к целое, связаны с тригонометрическими функциями. Как мы увидим
в дальнейшем, «полуряд»
00
V *
имеет сходное отношение к гамма-функции. На самом деле, можно было бы
начинать изучение гамма-функции с этих «полурядов».

30
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Теорема 1.2.5. Справедливы равенства
Г'(1) = -Г, (12.12)
№_m=_yY_i L·.) Q213)
гоо г(1) ZAx + k k + i)> ^.δλο)
/e=0
*JjrM=V_i α2.14)
dx2 Z_j(x + fc)2
/e=0
Доказательство. Рассмотрим логарифмическую производную формулы
произведения для ζψ-τ в виде произведения. Это даст
до
= Y + 2J<x + k-l~kJ·
-γόο
Г(х)
Случай х = 1 дает формулу (1.2.12). Две другие формулы очевидны. D
Следствие 1.2.6. Функция 1пГ(х) является выпуклой вниз функцией
относительно χ при х> 0.
Доказательство. Очевидно, правая часть формулы (1.2.14) положительна.
D
Замечай и ε 1.2.2. Функциональное уравнение (1.1.6) и выпуклость логарифма могут
быть использованы для вывода основных результатов о гамма-функции. (См. § 1.9.)
Обозначим отношение Г'ОО/Пх) через гр(х). Она часто называется
дигамма-функцией. Гаусс доказал, что значения функции гр(х) в рациональных точках
могут быть представлены в элементарных функциях. Этот результат содержится
в следующей теореме.
Теорема 1.2.7. Справедливы равенства
гр(х + п) = - + -4т + ... + -Γ-Γ + ΨΜ, η = 1,2,3,..., (1.2.15)
Lq/2J
^(f) = ^-fctgf-lnq + 22co.^42«m2i), (1.2.16)
где 0 < ρ < q; ^ означает, что, когда q четное, слагаемое с индексом n = q/2
делится на 2. Здесь [q/2\ обозначает наибольшее целое число, не
превосходящее q/2.
Доказательство. Первая формула получается логарифмическим
дифференцированием из
Г(х + п) = (х + п-1)(х+п-2)...хГ(х).
Мы выведем формулу Гаусса (1.2.16) с помощью аргумента Йенсена [214],
используя корни из единицы. Начнем разложение Симпсона1 [344].
00
Если/(х) = £апхп, то
оо Ас—X
Σ <wm*fcn+m=IΣ «'"•''"w*).
η=0 j=0
ι В оригинале Simpson dissection.

§12. Формула отражения Эйлера
31
где w = e2nifk — примитивный ic-й корень из единицы. Это следует из равенства
]Г ш;т = 0 (mod ic), тфО. Далее, из соотношения (1.2.13) следует, что
j=0 оо оо
ν>(ρ/ί)-^(1) = Τ!ί-Γ7 τ—)= Ит Υί-ζτ г— У+п,=: Ит s(t)
Yr/V ^ ^JVn + 1 p + nqJ t-»i-o^-ivn + l p + nqJ t-»i-o
n=0 n=0
по теореме Абеля о непрерывности рядов*. Тогда в силу тождества — 1п(1 — О =
00
= Σ tn/n и разбиения Симпсона с ω = β2πί/ς получим
n=1 q-l
s(t) = -t1^ ln(l - tq) + J] ω"ηρ ln(l - ωη0 =
= -^^1η^^-α^-1)1η(1-0+Χ]ω-ηρ1η(1-ωη0.
Перейдя к пределу при t —* 1 — 0, получим
q-l
^(ρ/ς) = ^~1ης + 2]ω"ηρ1η(1-ωη).
Заменив ρ на q — ρ и сложив два выражения, получим
4|)+4£ϊ£)=-^-21η^2Σ4Ητ£)1η(1-ωη)·
Выражение в левой части является действительным, значит, оно равно
действительной части выражения в правой части. Таким образом
4f) + ^(ii£) = -2r-2lnq + £cosHTE42-2coST1)· (L217)
η=1
Но d
Ψ Μ -V>(1 -χ) = ^- 1η Γ(χ)Γ(1 -χ) = -π ctg π*.
ТогДа , , πρ
V'Cp/q) — VC1 — (p/q)) = -π ctg -f. (1.2.18)
Сложив это тождество с тождеством (1.2.17), получим
4?)=-r-f«gf-ln<i+i£cos?fE42-2cosT1)· α219)
η=1
тт 2π(ς-η) 2πη *
Ho cos —- = cos , так что сумма может быть разделена пополам, с
суммированием от 1 до [q/2\. Таким образом,
π=1
L4/2J,
= -Г-|«gf-1ης + 2Σ cos^ln(2sin^l). D
n=l
ι См. добавление A.

32
Глава 1 Гамма- и бета-функции
§ 1.3- ДЗЕТА-ФУНКЦИИ ГУРВИЦА И РИМАНА
Очень интересен «полуряд»
00
?(*>*)=Σ cdby *** х>0' α3·1)
называемый дзета-функцией Гурвица. Мы видели его связь с гамма-функцией
для положительных целых значений s в предыдущем параграфе. Здесь мы
рассмотрим этот ряд как функцию переменной s и представим очень краткое
изложение того, как в этом случае возникает гамма-функция.
При х = 1 ряд называется дзета-функцией Римана и обозначается £(s). Она
играет очень важную роль в теории распределения простых чисел. Ряд сходится
при Re s > 1 и определяет в этой области аналитическую функцию. Как мы
увидим, эта функция имеет продолжение на всю комплексную плоскость с
простым полюсом в точке 5 = 1. Несложно получить аналитическое продолжение
ζ(5) вплоть до Re5>0. Запишем ряд для ζ (5) в виде интеграла Стилтьеса1,
использующего [х\. Тогда для Res> 1
jL-ATI* J Xs Xs ι J JCS+1 5 — 1 J JCS+1
n=l 1+0 1 1
Последний интеграл сходится абсолютно для Re 5 > 0, и мы имеем требуемое
продолжение. Полюс при 5 = 1 имеет вычет, равный 1, и, более того,
= "а(1+51^*г)=йь(Ей-1пп)=г· α3·2)
1 m=l
Лучший способ построить аналитическое продолжение на оставшуюся часть
плоскости получается из функционального уравнения для дзета-функции. Мы
сформулируем это утверждение здесь, поскольку оно касается гамма-функции.
Есть несколько доказательств этого результата, и мы изложим изящное
доказательство Харди [180], наряду с некоторыми другими в упражнениях. В гл. 10
мы дадим еще одно доказательство.
Теорема 1.3.1. Для всех комплексных s
π"5/2Γ(5/2)ζ(5) = π-(α-5)/2)Γ((1-5)/2)ζ(1-5). (1.3.3)
Если 5 < 0, тогда 1 — 5 > 1 и правая часть равенства дает значение ζ (5). Это
соотношение было обнаружено Эйлером для целых значений 5 и для 5 = 1/2
и 5 = 3/2. Он доказал соотношения для целых 5, используя абелевы средние.
Интересное обсуждение истории вопроса можно найти в книге Харди [183,
с. 23 — 26]. Значение ζ (5) как функции комплексного переменного в изучении
распределения простых чисел было впервые осознано Риманом [310].
ι См. [447, § VI.6]. Появление 1 + 0 в следующей формуле связано с тем, что в точке х = 1
сосредоточена ненулевая мера.

§13. Дзета-функции Гурвица и Римана
33
Последний параграф содержит следующий результат:
Теперь несложно доказать нижесформулированные следствия.
Следствие 1.3.2. Справедливы равенства
£(1-2*) = =^, ССО) = —| и C(-2fc) = 0 для к = 1,2,3,... (1.3.4)
Следствие 1.3.3. Справедливо равенство
ζ'(0)=-|ΐη2π. (1.3.5)
Доказательство. Из функционального уравнения и равенства
следует равенство
4(1-*) = *-^Г(£-Ю/2)(5-1Ж5)· α3·6)
Далее, из соотношения (1.3.2) следует тот факт, что (s~l)^(s) = H-y(s~l) +
+A(s — 1)2 +... Тогда, взяв логарифмическую производную соотношения (1.3.6),
получим
C'(l-s) , Ι,ι,ΠΛ 1/,ГЗ-5Л г + 2А(5-1) + ...
Положим s = 1 и воспользуемся результатом Гаусса из теоремы 1.2.7 для ρ = 1
и q = 2. Это завершает доказательство следствия. D
Существует обобщение последнего следствия на дзета-функцию Гурвица
£(x,s). Имеется функциональное уравнение для этой функции, из которого
можно было бы определить ее для всех комплексных s, но нам нужно
продолжение только до некоторой точки влево от оси Res = 0. Это можно сделать
используя функцию £(s). Начнем с тождества
00
ζ(χ,5)~(ζ(5)-5Χζ(5 + 1)) = χ-5 + 2]π-5[(1+χΜΓ5-(1-5χ/π)].
п=1
Сумма в правой части равенства сходится при Re s > —1, и, поскольку функция
£(s) определена для всех s, мы имеем продолжение ζ(χ, s) до Re s > —1. Лерчем
была сформулирована следующая теорема.
Теорема 1.3.4. Справедливо равенство
(*ЙЬ£>) =]пЩ. (1.3.7)
Доказательство. Дифференцируя тождество £(x+l,s) = £(:x:,s) — x~s no
переменной s при s = О, получаем
(tfCx+Lf)) -(&&&) =Ых. (1.3.8)
V dS Λ=0 V ds Js=0
Для Res> 1 имеем
a2C(x,s)
= s(s + l)J]·
n=0

34
Глава I Гамма- и бета-функции
таким образом,
άχΛ ds Λ=ο Ζ-*{χ + η)2' U У)
n=0
Поэтому из равенств (1.3.8) и (1.3.9) и тождества (1.2.14) из теоремы 1.2.5 следует,
что
(S^L-c+brw.
Чтобы определить постоянную С = — ·= In 2 π, положим х = 1и используем
следствие 1.3.3. Это завершает доказательство теоремы Лерча. D
Ссылку на работу Лерча и также на несколько отличное от этого
доказательство теоремы 1.3.4 можно найти в работе [418, с. 60].
§ 1.4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА СТИРЛИНГА
Де Муавр [99] обнаружил, что п\ ведет себя при больших η как Спп+1/2е~п,
где С — некоторая константа. Стирлинг [364] определил, что константа С равна
ι/2π; де Муавр использовал этот результат Стерлинга для доказательства своего
утверждения (см. [386, с. 9 — 19]). Эта формула очень полезна, и весьма
вероятно, что читатель встречался с её приложениями. В этом параграфе мы
представим асимптотическую формулу для Г(х) при больших значениях Rex, когда
η
значение Imχ фиксировано. Отметим сначала, что In Г (χ + η +1) = J] ln(ic+χ) +
+ 1ηΓ(χ + 1). Затем мы воспользуемся тем фактом, что интеграл часто дает
старшую часть суммы ряда, т. е., если вычесть интеграл из ряда, получившаяся
величина имеет более низкий порядок, чем первоначальный ряд. (Мы уже
использовали эту идею в уравнении (1.3.2) в предыдущем параграфе.) В
добавлении Г доказывается формула суммирования Эйлера—Маклорена, которая
демонстрирует точную форму этой идеи для случая, когда интегрируемая функция
гладкая. Более полное изложение формулы суммирования Эйлера—Маклорена
дано Харди [183, с. 318 — 348] и Олвером [284, с. 279 — 289].
Теорема 1.4.1. Справедливо соотношение
Г(х) ~ у/2пхх~1/2е~х при Re χ -* ».
Доказательство. Обозначим правую часть уравнения
In Г(х + л) = J] ln(fc + χ) + In Г(х +1)
символом сп, тогда
Cn+i-cn = ln(x + n).
По аналогии между производной и конечной разностью учтем, что функция сп
приблизительно равна интегралу от 1п(х + п), и положим
сп = (η + χ)1η(η + χ) — (η+ *) + £!„.
Подставив это соотношение в предыдущее уравнение, получим
ln(x + n) = (n + l + jc)ln(n + l + jc)-(n + jc)ln(n + jc) + dll+1-dll-l.

§14. Асимптотическая формула Стирлинга
35
Таким образом,
dn+1-dn = l-(n + x+l)ln(l + ^) =
= 1 - (η + χ + 1)Г—τ п, 1 ч9 + 0, Х чо + ...1 = -п, \ , + „, Х ч9 + ...
'Ln + χ 2(n + x)2 3(n + x)3 J 2(п + х) 6(п+х)2
Действуя, как раньше, рассмотрим
ап = еп-^Ып^х)
и, подставив эти значения в предыдущее уравнение, получим
вп+1 ~вп=2 Ч1 + ΪΓΠJ " 2(п + х) + 6(п + х)2 + - = ~12(n + x)2 + °V(n+x)3J-
Далее,
п-1 п-1
е„ - е0=Σ(β,+1 - efc)=Σί-щ^+°(»τ^)]; α41)
/е=0 /е=0
следовательно lim(en~e0)=lC1(jc) существует. Положим
е" = *<*> + 15^30 +0(опЫ·
где ^(χ)=^!(Λ:) + β0. Член (n + χ)-1 получается из дополнения суммы в
формуле (1.4.1) до бесконечности и приближения добавочной суммы интегралом.
Таким образом, можно записать
cn = (n + x)ln(n + x)-(n + x)-|ln(n + x) + lnC(x) + 12(n1+x)+o( * ),
где JC(x) =1пС(х). Отсюда следует, что
Г(х + л) = С(х)(п + х)п+х4 ехр[-(п + х) + 12(πΧ+χ) + о(^^)]. (1.4.2)
Предположим, что С(х) не зависит от х. По определению гамма-функции
к™, г(п + х)^у-х _ Г(х) ь. (х)п „у-х _ Г(х) Г(у) _
п->ооГ(Г1 + у) Г(у) п-,00 (у)„ Г(у) Г(х)
Далее, из соотношений (1.4.2) и (1.4.3) можно заключить, что
! = Μ η-Γ^ = g£ limil + 2) V = gg.
П-»оо Г(П) С(0) n-»ooV Π У С(0)
Таким образом, С(х) является константой, и
Г(х) ~ Схх~1/2е~х при Rex -♦ оо.
Для того чтобы найти С, используем формулу Валлиса:
г- v 22п(п!)2 1 ,. 22nC2n2B+1e-2n4°(i) 1 С
уТГ = ИШ ,η Λ, — = 1Ш1 ■ 777~7= = ~~7=--
n-»oo (2nj! у^г η-»·» С(2п)2п+2е"2п+0^^ ν" ν2
Отсюда получаем С = \/2π, что завершает доказательство теоремы. Отметим,
что доказательство дает первый член оценки ошибки. D
Сейчас мы сформулируем более общий результат и выведем несколько
интересных следствий. Доказательство дано в приложении Г. Для формулировки

36
Глава 1 Гамма- и бета-функции
утверждения нам необходимо следующее определение: многочлены Бернулли
Вп(х) задаются равенством
п=0
Числа Бернулли имеют вид Вп = ВП(0) для η > 1.
Теорема 1.4.2. Для комплексного числа х, неравного нулю или
отрицательному действительному числу выполняется равенство
j=l О
(1.4.5)
Ветвь функции \пх выбирается такой, что In x принимает действительные
значения, когда χ действительное положительное число.
Разложение функции 1ηΓ(χ) в формуле (1.4.5) является асимптотическим
рядом1, поскольку интеграл, как легко видеть, ведет себя как 0(х~2т+1) для
|argx|<7r-6, δ>0.
Из этой теоремы немедленно получаются такие следствия.
Следствие 1.4.3. Для δ>0 и |argx|<7r —δ верно соотношение
Г Μ ~ V2nxx~l/2e~x при \х\ -* ».
Следствие 1.4.4. Если x = a + ib, al<a<ta2 и \Ъ\ -* оо, то
|Г(а + £Ь)| = У^я|Ь|а-1/2е-я|ь|/2[1 + 0(1/|Ь|)],
где константа, связанная с О, зависит только от аг и а2.
Доказательство. Выберем |Ь|>1, а>0. Легко проверить, что В2—В20) =
= t-t2. Таким образом, ||B2-B2(t)|<||t(l-t)|<| при 0<t<l. Поэтому
равенство (1.4.5) при т = 1 имеет вид
1ηΓ(α + ί5) = (α + ί5-|)ΐη(α + ί5)-(α + ι5) + |ΐη2π + Κ(Λ:),
где
Теперь заметим, что равенство
Re[(a + ib-|)ln(a + ib)] = (a-|)ln(a2 + b2)1/2~barctg^,
а также
ln(a2 + b2)1/2 = |lnb2 + iln(l + ^) = ln|b| + 0(^).
Более того,
Ь a if· еслиЬ>0;
arctg- + arctg5 = |^ ^^
ι См. добавление В.

§15. Формула умножения Гаусса для Г(тдс)
37
Так как arctgx~x при х-*0, мы приходим к равенству
-barctg|=-b[±f-f + 0(l)] = -f|b| + a + 0(l), Ь-=Ъ».
Собирая все вместе, имеем
1п|Г(а + £Ь)| = (а-|)1п|Ь|-||Ь| + |1п2я + 0(|^).
Условие а>0 устраняется процедурой из конечного числа шагов с
использованием функционального уравнения (1.1.6) и нижеприведенного следствия.
Заметим, что доказательство использует только условие а = о{Ъ), а не
ограниченность a. D
Следствие 1.4.5. Для |argx|<7r — δ, δ>0,
Следствие 1.4.4 показывает, что функция Πα + ib) экспоненциально убывает
при возрастании |Ь|. Этого можно было ожидать, основываясь на формуле
отражения
или
или
Аналогично
При Ъ -* ±оо,
гевдгс—ад = π 2π
-ib sin π5ί Ъ(епЪ — e~nb)'
\T(ib)\ ~ 1/2я|ЬГ1/2е"я|ь|/2 при b -► ±oo.
Итак, Г (х) быстро возрастает на положительной полуоси и быстро убывает
в мнимом направлении. Поведение Г(х) на некоторых «промежуточных»
кривых в С обсуждается в упражнении 18.
§ 1.5. формула умножения гаусса для Г(гпх)
Факторизация
<*.=*чат
вместе с определением гамма-функции приводит непосредственно к формуле
удвоения Лежандра, которая содержится в следующей теореме.
Теорема 1.5.1. Справедливо равенство
Г(2а)г(±) = 22а-хГ(а)г(а + ±). (1.5.1)
Наше доказательство заставляет предположить, что можно рассмотреть
более общий случай: факторизацию (a)mn при натуральных гл. Это рассмотрение
приводит к формуле Гаусса.

38
Глава I Гамма- и бета-функции
Теорема 1.5.2. Справедливо равенство
Г(гпа)(2я)(т-1)/2 = тта"1/2Г(а)г(а + ^)...г(а + 2^). (1.5.2)
Доказательство. То же самое рассуждение с факторизацией (а)тп
почти приводит к доказательству равенства (1.5.2). Точнее, оно дает
соотношение (1.5.2), но с заменой
(2я)¥т4 на г(£)...г(2£±)=:Р. (1.5.3)
Чтобы показать, что соотношение (1.5.2) верно, мы покажем, что
р2 = (2кг-1
т
По формуле отражения
т
Таким образом, достаточно доказать, что
om_i . π . 2π . (m —1)π
2m L sin — sin —... sin — = m.
τη τη τη
Начнем с разложения
m-l
Τ=τ = П(*~ехР(2Ьг*/т))·
Перейдя к пределу при χ -* 1, получим
т-1
т = [~[(1 -ехр(2ВДт)) = г"1"1 sin ^ sin ^... sin (ΓΠ~1)π.
fc=l
Это завершает доказательство равенства (1.5.2). D
Замечай и ε 1.5.1. Возможно другое доказательство равенства (1.5.1) или (1.5.2),
которое использует асимптотическую формулу для Г(дс) и элементарное свойство Г(дс+1) =
=хГ(х). В самом деле легко проверяется, что функция
-Γ„λ = 22*-ιΠ*)Γ(χ+1/2)
*К } Г(1/2)Г(2х)
удовлетворяет соотношению g{x +1) =g(x). Из формулы Стирлинга следует, что g(x) ~ 1
при χ —> оо, так что lim g(x + η) = 1, когда η целое. Поскольку g(x + η) = g(x), мы можем
П-*оо
заключить, что g(jc) = l. Аналогичное доказательство может быть представлено для
формулы Гаусса. Мы оставляем его читателю.
Элегантное доказательство формулы умножения, использующее
интегральное определение гамма-функции, принадлежит Лиувиллю [250]. Мы
воспроизводим его здесь.
Произведение гамма-функций в правой части равенства (1.5.2) представимо
в виде
I е-***"-1 ахг ] e-x*xa2Hl/m)-1 dx2... I е-*тха+т-1)/т)-1 dXm =
0 0 0
= 11 - I e-^^^-^^?-1^^1^-1...^^-1)/'"-1 άχλ dx2...dxm.
0 0 О

§15. Формула умножения Гаусса для Г(тдс)
39
Произведем замену переменных
1 *2-
Легко ввдеть, что якобиан равен
- *т _ -
х2~-хт
mzm-
х2хЗ'"Хт
и интеграл может быть переписан в виде
00 00
х (^в>(1Жиу+(М)Ж
Vx2...xm; 2 m *2*3~*m m
Для краткости обозначим t = х2 + *з + — + *т + *т/ (*2*з — *т)> и перепишем
интеграл в виде:
ГП ξ ξ ... ξ е-'*™-1^17"0-1^27mbl ...x((m-l)/m)-l ά% άχ^Λχ^ (L5.4)
0 0 О
Сначала вычислим:
оо оо т—1
1 = S~ $*"' Π^Γ3"1 dx2 dx3...dxm.
о о ;·=ι
Очевидно,
оо оо m—1
az J J 1 1 J+1 χ2—χτη
оо ]=ϊ
Теперь проведем замену переменных
Х2 =Zm/(XiX3... Хт),*з = *3> — >*m = *m
и
tl=x3 + x4 + ... + xm + x1 + zm/(x1x3...xmxi).
Якобиан имеет вид
*l*3—*m-l
а -т- задается выражением
оо оо т—1
О 0 ;=2
Следовательно,
/ = Ce~mz.

40
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Чтобы найти С, положим ζ = 0 в интеграле для J, а также в последнем уравнении,
и, приравняв, получим
Из формулы (1.5.3) следует, что
С = (2я)(т-1)/2ггГ1/2
и
/ = (2я)(т-1)/2т-1/2е-т2.
Подстановка этого выражения в интеграл (1.5.4) дает
00
Г(а)Г(а + 1/т)...Г(а + (гп-1)/т) = гп1/2(2я)(т-1)/2 $ β"™*™"1 ds =
о
= т1/2-та(2я)£г1Г(та),
а это и есть формула Гаусса.
Замечание 1.5.2. Ранее мы отмечали, что 1/Г(х) — это «половинка» от функции
sin(nx). В этом смысле формула удвоения является аналогом формулы двойного угла
sin 2πχ = 2 sin πχ sin π(χ + - J.
Обычно это выражение переписывается как sin 2πχ = 2 sin πχ cos πχ, и эту формулу
можно рассматривать как частный случай формулы суммирования для sin(jc + y). Для
гамма-функции формулы суммирования не существует.
§ 1.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ In Г(х) И ψ(χ)
В формуле из представления функции 1/Г(х) в виде произведения (1.2.13) мы
получили
00 00
Мы начнем этот параграф с повторного вывода этой формулы из бета-интеграла.
Заметим, что для х> 0 выполняется равенство
О Ле=0
что получается из разложения 1п(1 —х) в ряд и почленного интегрирования,
которое возможно из-за равномерной сходимости на отрезке [0,1-е]. Теперь
перейдем к пределу ε —> 0. По теореме Абеля о непрерывности для степенных
рядов выполняются равенства
-сх-1) S t*-2ina-t)dt=£ Cfc+V+fc)· α·6·0*

§16. Интегральные представления In Г (χ) и гр(х)
41
Мы можем ввести функцию 1п(1 — t) в бета-интеграл § tx~2{l — t)y dt, дифферен-
о
цируя по у. В этом случае
ог-и^а-о'л-АП^. ав.«
ИЛИ
Сг-1) S Р"2(1 - ty in(i -t)dt= гыгь+угм-гыгь+пгос+у»^
Подстановка у = 0 дает необходимый результат. Дифференцирование возможно,
поскольку оба интеграла (1.6.0), (1.6.00 непрерывны. С осторожностью надо
отнестись к тому факту, что рассматриваемые интегралы несобственные.
Детали достаточно просты и остаются на рассмотрение читателю. Следующая
теорема дает интегральное представление функции гр(х), полученное Дирихле
и Гауссом.
Теорема 1.6.1. Для Rex>0 выполняются равенства
00
ω (Дирихле) vw=S Ке_г_ ahr)dz>
00 _ _
(ii) (Гаусс) V>(x) = $ (Si - £L.) dz.
0
00 S
Доказательство, (i) Вычислим интеграл § § e~tz dtdz двумя различными
ο ι
способами изменяя порядок интегрирования, что приведет к формуле
00 _ _
\ е '~е "dz = lns. (1.6.1)
о 2
Аналогично двойной интеграл
$$*χ_1-—г—dsdz>
о о
будучи проинтегрирован сначала по ζ, даст (по формуле (1.6.1))
5 e-V"1 Insds = ^ $ e'V"1 ds = Г'(х).
о о
Если мы проинтегрируем двойной интеграл по s, то получим
r^lj{e-z-ahr)dz-
Приравнивая два последних выражения, получим формулу Дирихле.

42
Глава 1 Гамма- и бета-функции
(ii) Формула Гаусса получается из формулы Дирихле заменой переменных:
\1>Ю = lim (I г— dz-ϊ *l Л = lim [\ — dz- Ι τ^dt] =
{1η(1+δ) „ °° _#. #^ λ °° „ ν»
5 2 InflV' 1_e ;J 0 Z 1"e ^
1η(1+δ)
поскольку
,1η(1+δ) _ζ , δ
^ — d* < ^ - ds = In . ,* ~. -» 0 при δ-»0.
^ ζ , , J в.ч г 1η(1 + δ) r
δ ' ΐη(ΐ+δ)
Это доказывает равенство (ii). D
Интегральная форма последней теоремы дана в следующем утверждении.
Теорема 1.6.2. Для Rex>0 выполняются равенства:
(ϋ) 1ηΓ(χ) = ξ((χ-1)β-ϋ-^5^)^.
О
Доказательство. Интегралы в теореме 1.6.1 сходятся равномерно при
Rex>5>0, так что мы можем проинтегрировать от 1 до л: под знаком
интеграла. Интегралы в теореме 1.6.2 являются соответствующими интегральными
формами.
Замена переменных и = е~1 в формуле (ii) дает
Есть два других интересных интегральных представления для функции 1η Γ (χ),
полученные Бине. Доказательство одного из них кратко рассматривается ниже,
а другое оставлено в качестве упражнения. См. упражнение 43. D
Теорема 1.6.3. При Rex>0 выполняются равенства:
00
(i)tar(x) = (x-!)ln*-X+ita2n+$(i-i + ^)^dt,
О
~ arctg(t/x)
о
Доказательство. Формула Гаусса из теоремы 1.6.1 вместе с
уравнением (1.6.1) дают
^(x + l) = ^lnrU + l) = -L + lnx-5(i-i + ;rlT)e-"dt.
Интегрируя от 1 до χ и изменяя порядок интегрирования, получаем
m^rW = (x-l)\nX-X+lln2n + 2la^fdt.

§17. Формула Куммера для разложения Фурье 1пГ(дс)
43
Используя соотношение 1пГ(л:+1) = 1пГ(:х:) + 1пл: переписываем предыдущую
формулу так:
lnrCr) = (x-i)lnx-x + l+S(i-i + ?lI)^dt-J,
где
М(И+гУт*· о*»
Используя формулу Стирлинга, получаем / = 1 — (1/2) 1η 2π.
Вторая формула Бине может быть использована для вывода
асимптотического разложения для In Г (л:), содержащегося в следствии 1.4.5.
Разлагая функцию l/(e2nt — 1) в геометрическую прогрессию и интегрируя
ее почленно, увидим, что
\**Zldt- (2π)^ -(_1) 4*· α6·4)
Последнее тождество следует из теоремы 1.2.4. Далее, разложение
_J_ = 1_22 + z4_... + (_1)n-l22„-2 + (_1)n_|l_
дает после интегрирования
ww , t It* It* , (-Ι)"'1 t2n~l , (-1)" с z2ndz
arctg(t/x) = o~4+F"T + —+ "n 7"~^TT + 9n ι \ "5 ?·
Подставив это равенство в формулу Бине (2) и используя (1.6.4), мы приходим
к соотношению
Л д
ΐηΓω=(*4)ΐη*-*41η2π+Σ
+ χ2η~1 oU x2 + z2dZ)e2m-l'
Для |argx| < ? —е, ε > 0 можно увидеть, что -^—н ^ cosec ζε для всех ζ > 0. Из
этого следует, что последний член, содержащий интеграл, есть θ(. |2п+1). Мы
снова получаем асимптотический ряд, но только при |argx| <|-e, ане при
|argx| < π —ε. Уиттекер и Ватсон [423, § 13.6] показали, как расширить область
применимости. Возможно также вывести асимптотическую формулу для 1η Γ(χ)
из первой формулы Бине (см. [406, § 3.12]). Ссылки на работы Гаусса, Дирихле,
Бине и других приведены в работе [423, с. 235 — 259]. D
§ 1.7- ФОРМУЛА КУММЕРА ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУРЬЕ In Г(х)
Куммер [243] сформулировал следующую теорему.

44
Глава I Гамма- и бета-функции
-]n(.2smnx) = Ytc^f^- (1.7.1)
Теорема 1.7.1. При О < χ < 1 выполняется равенство
00
In ^Ш = -iln(2sin7rx) + кГ + 1η2π)(1-2χ) + - V Ц± sm2nkx,
V П k=l
где γ —константа Эйлера.
Доказательство. Начнем с тождества
~1η(1~β2πιχ) = β2πιχ + ^ + ^3- + ..., 0<х<1.
Действительная и мнимая части равны соответственно
1 cos 2knx
k=l
и
^α-2χ) = Σ^ψ^. (1.7.2)
k=l
Поскольку In Г (х)—дифференцируемая функция при 0<х<1, она имеет
разложение Фурье вида
00 00
In ГО) = С0 + 2 J] Ck cos 2кпх + 2 J] D*. sin 2&πχ, (1.7.20
где
ι ι
Ск = ξ In Г(х) cos 2ϋπχ dx и Dfc = § In Γ(χ) sin 2ϋπχ dx. (1.7.3)
о о
Для вычисления Ск и Dfc мы используем метод Куммера. Константы Ск легко
вычислить. Логарифмируя формулу отражения Эйлера (1.2.1), получаем:
In Г(х) + In Г(1 - х) = In 2π - ln(2 sin πχ) = In 2π + cos 2πχ +1 cos 4πχ + ...
Ряд Фурье функции In Г (χ) приводит к равенству
In Г(х) + In Г(1 - х) = 2С0 + 4СХ cos 2πχ + 4С2 cos 4πχ + ...
Сравнивая два последних равенства, получаем
С0 = |1п2я и Q = -£ для к<1.
Подставляя интеграл (1.6.2) для 1η Γ (х) в соотношение (1.7.3), получим в
результате
" *_1 Λ sin Iknxdu dx
*-SS(43F-*+i)!
Λ Λ - . - lnu
о о
Но
1 1
§ sin 2кпх dx = 0, § χ sin 2&πχ dx = — ττ—
о о
и((1пи)2 + 4к2я2)'

§17. Формула Куммера для разложения Фурье 1пГ(х)
45
Первые два интеграла легко вычислить, а третий является мнимой частью от
выражения г
I С е*(1пи+2кя0 fa = I . и~1
и J и \nu + 2kni'
Следовательно, г
* J V u((ln u)2 + 4k2n2) 2^JlnuJ
или, подставляя и = e"2;c7rt,
D.= J^Cf_l e-2knt)dt
Uk 2fcwHi + t2 Jt'
Рассмотрев ic = 1 получим
1 2πΗΐ + ί2 -/t'
Подставляя х = 1в формулу Дирихле (теорема 1.6.1), получаем
2π In He l + tJ t >
о
где у — константа Эйлера. Следовательно,
Из формулы (1.6.1) следует, что первый интеграл равен 1η2π, а с помощью
замены переменной t на Ι/t можно показать, что второй интеграл равен 0.
Тогда имеем ν Ί
Чтобы найти Dfc, заметим, что
1 ? β"2Λ-β-ΛΛ ^_ 1
о
где интеграл снова вычислен с помощью соотношения (1.6.1). Итак,
Dk = Ш{г + ln2kn^ k = 1>2> 3> -
Разложение Фурье таким образом имеет вид
00 00 00
ι w ч 1 ι о , V1 cos2;rfoc , 1, , ι 0 ч V^ sinlknx , 1 V"1 lnfc . OJ
lnr(x)=2ln2^ + L—2Γ~+π^ + 1η2π)Σ"^^ + πΣΊΓδΐη2,:πΧ·
fc=l k=l k=l
Применяя равенства (1.7.1) и (1.7.2), получим требуемый результат. D
Разложение Куммера для 1η(Γ(χ)/ι/2π) и теорема 1.3.4 имеют приложения
в теории чисел. Обычно они дают различные способы вывода одного результата.
Теорема 1.3.4 заставляет предположить, что дзета-функция Гурвица может быть
явно разложена в ряд Фурье. Такой результат существует,
№.0 - ag£?{-i« Σ ^ +«*»Σ *£*}· 0JA>
m=l m=l
Ί r p-2nt __ -2knt Ί

46
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Отсюда, в свою очередь, дифференцированием можно получить формулу Кумме-
ра, а функциональное уравнение на дзета функцию Римана является частным
случаем уравнения (1.7.4) при х = 1. Доказательство формулы (1.7.4) и другой
вывод формулы Куммера см. в упражнениях 24 и 25.
§ 1.8. ИНТЕГРАЛЫ ДИРИХЛЕ И ОБЪЕМЫ ЭЛЛИПСОИДОВ
Дирихле нашел многомерное обобщение бета-интеграла, которое полезно при
вычислении объемов. Мы будем следовать изложению работы Дирихле,
данному Лиувиллем [249], который был вдохновлен вычислением Якоби и Пуассоном
бета-функции как двойного интеграла.
Теорема 1.8.1. Если V — область, определенная условиями *|> О, i = 1, 2,..., η,
и Σ xi ^ l· тогда при Re а{ > О выполняется равенство
Π гад
}.~}хг х2 ...хп οχΎ...αχη Γ(1 + Σαί)·
Доказательство. Доказательство проводится по индукции. Очевидно,
формула верна для η = 1. Предположим, что она верна для п = к. Тогда для (к
+1)-мерного объема V имеем
S...Sxr1^1-*S?"1^i-^*+i =
ν
1 1—Χι Ι—χλ—χ2—...—χ*
0 0 0
= -Γ- \ - Xl S Xkl^1~1-4k~1 X d-^l-...-^)at+1 dXbdXb.^.dX!.
ш о о
Теперь положим
Xfc = d-Xl-...-Xfc-l)t
и получим
1 1-Х! \-Xi-...-xk_2 l
£S S ·- S К"-К-1*
*+1 о о о о
х (l-x1-...-xfc_1)a»+a»+1ta»_1(l-t)a»+1 d£djrfe_1...dx1 =
- + «*« + « J J '" J
χ χ?1"1... χ*?"1 (1 - χχ -... - У^· ахк.г ...dXl.
Сравним это выражение с интегралом, κ которому была применена замена
переменных, и по индукции получим
гк-1
Г(ак)Г{ам
+1} Cak + ак+1)Ш Π<*ί) jr(at + ak+1)
α*+ιΓ(α* + α*+1 + 1) / *+}
(ι+Ιβ<)

§18. Интегралы Дирихле и объемы эллипсоидов
47
Это сводится к выражению в утверждении теоремы. D
Следствие 1.8.2. Если V — область, заданнаяусловиямих^Ои^^/а^1 <
<1, то
J ν J ' п Φ + Σ(«ι/Λ))
Доказательство. Проведем замену переменных У{ = {xj a{)?i, ί = 1, ..., п.
Тогда
дУг Pi Уг'
а якобиан равен
1 # Xj^-"^
ΡΐΡ2···Ρπ 'УьУг-Уп'
Интеграл приобретает вид
αΐπα2 Π«π
α/α
1 "2
г1 S - W01^"1···^-1^^...^,
PlP2-Pn
где область У определена условиями у{ > О и J] yf < 1. Теперь следствие выведено
из теоремы. D
Πα,τα + 1/Ρι)
Следствие 1.8.3. Объем области Σ(*ί/αί)ρ' < l· ** >0 равен ^—= г-.
r(l + £l/PiJ
В частности, объем n-мерного эллипсоида Σ(*ί/αί)2 ^ 1 Раве«
Г(1 + п/2) '
Доказательство. Для доказательства первой части следствия возьмем
af = l. Для доказательства частного случая возьмем pt = 2 и используем
равенство г( « ) = ό ^· ^
Следствие 1.8.4. Если область V интегрирования задается условиями xt >
>0, u^l-1)1 <λ в интеграле Дирихле, то его значение равно:
Ay.(a./D.on«7Pt)r(at/pt0
r(i+I(«f/Pf)) "
Лиувиль предложил также следующее обобщение результата Дирихле,
которое может быть доказано тем же способом.
Теорема 1.8.5. Если область V задается условиями х( > 0, ίλ < Σ(*ί/αί)Ρί ^ h
и f — непрерывная функция от (ti,t2)> mo:
J ... $ ^..J^^f «^
V
= Щ^!Щ*1 Uica,/P,)-V(u)du.
гСЕ(«|/й)) ζ
Похожий интеграл дается следующей теоремой.

48
Глава I Гамма- и бета-функции
Теорема 1.8.6. Если область V задана условиями xt > О, J] х( = 1, то
5->;г,^'^'а-жй
i=l
(Σ«.·)'
Это поверхностный, а не объемный интеграл, но он может быть
вычислен непосредственно по индукции или из следствия 1.8.2. Он также является
частным случаем теоремы 1.8.5, если в качестве функции /(и) выбрана дельта-
функция, сосредоточенная в точке и = 1. Эта функция не является непрерывной,
но она может быть аппроксимирована непрерывными функциями1.
§ 1.9- ТЕОРЕМА БОРА—МОЛЛЕРАПА
Одна из задач, сформулированных Эйлером, заключалась в том, чтобы найти
непрерывную функцию от х>0, равную п! в целых точках х = п. Очевидно,
гамма-функция является не единственным решением этой задачи. Условие
выпуклости вниз (определенное ниже) не является достаточным, но тот факт,
что гамма-функция возникает столь часто, указывает на то, что она должна
быть в некотором смысле единственной. Правильные условия для
единственности были обнаружены Бором и Моллерапом [64]. Строго говоря, понятие
логарифмической выпуклости было извлечено из их работы Артином [19]
(оригинальное немецкое издание вышло в 1931 г.), изложения которого мы
и будем придерживаться.
Определение 1.9.1. Действительнозначная функция / на интервале (а,Ъ)
называется выпуклой вниз, если
/(Ях + (1-Я)у) < Я/(х) + (1-Я)/(у)
для х, у € (а, Ь) и а < Я < 1.
Определение 1.9.2. Положительная функция / на интервале (а, Ь)
называется логарифмически выпуклой, если функция In/ выпукла на интервале (а,Ъ).
Легко проверить2, что если / — функция, выпуклая на интервале (а,Ъ),
и a<x<y<z<b, то
/(г)-я*) < /ω-/ω ^ я«)-/(г) (191)
у—χ ^ ζ—χ ^ z—y
Воспользовавшись приведенными определениями, мы можем сформулировать
теорему Бора—Моллерапа.
Теорема 1.9.3. Если /— положительная функция при х>0 и, к тому же,
1) /(1) = 1 2) f(x + l)=xf(x) и 3) f —логарифмически выпуклая функция, то
/(х) = Г(х) при х>0.
Доказательство. Пусть η — натуральное, а 0 <χ < 1. Согласно условиям 1)
и 2) достаточно доказать теорему для таких х. Рассмотрим последовательные
интервалы [п, п + 1], [п +1, п +1 + х] и [η + 1, π+ 2]. Воспользуемся
неравенством (1.9.1) для того, чтобы увидеть, что отношение конечных разностей3
ι См. [447, § IV.4] и [444].
2 Нарисуйте картинку.
3 В оригинале difference quotient.

§19. Теорема Бора—Моллерапа
49
функции 1η/(χ) на этих интервалах возрастает. Иными словами,
, /(п + 1) . 1 , /(n + 1 + x) ., fin + 2)
fM X /(n + 1) /(n + 1)
Упростив это согласно условиям 1) и 2), получим
xlnn<ln[ j J <xln(n + l).
Преобразуем неравенства следующим образом:
0<ln*(x + g,-Cx + a)+ln/(x)<xln(l + l).
Следовательно,
и теорема доказана. D
Наконец1, напомним, что Г(х) сама является логарифмически выпуклой
(следствие 1.2.6).
Эта теорема может служить основой для изложения теории гамма- и
бета-функций. Так как обозначение Г(х) уже занято, обозначим через Г* 00
функцию, удовлетворяющую условиям теоремы. Представим себе, что мы еще
не знаем, существует она или нет. Покажем, как вывести формулы
00
Г* (χ) = \ е-*?-1 at, χ > 0, (1.9.10
о
\tx-4l-ty-4t=™Tl(£, х>0иу>0. (1.9.2)
Нам потребуется неравенство Гёльдера, доказательство которого кратко
рассматривается в упражнении 6. Если / и g —такие измеримые неотрицательные
функции на интервале (а, Ь), что интегралы в правой части выражения (1.9.3)
конечны, а р и q — такие положительные действительные числа, что 1/р + Ι/q = 1,
ТО Ъ ,Ъ \1/Р/Ь xl/q
S/gdx<(^/'dxj [Sgqdxj . (1.9.3)
Очевидно, что нам необходимо проверить только условие 3) для функции 1η Γ
(здесь Г —обычная гамма-функция, т.е. правая часть равенства (1.9.10). Это
условие может быть представлено в виде
Пах + βγ) < Γ(χ)αΠγ)β, а>0,]3>Оиа + ]3 = 1. (1.9.4)
Заметим теперь, что
00
Пах + βγ) = $ (e-ttJC-1)a(e~t^-1)^ dt,
о
и, воспользовавшись неравенством Гёльдера с a = 1/р и β = 1/q, получим
неравенство (1.9.4). Итак, правая часть (1.9.10 логарифмически выпукла, а поэтому
равна Г*(х). В частности, Г* 00 существует.
ι С этого места и до теоремы 1.9.4 текст при переводе сильно отредактирован. Смысл оригинала
не изменен.

50
Глава I Гамма- и бета-функции
Для доказательства формулы (1.9.2) рассмотрим функцию
Г*{х + уЖх,у) Г{х + уЖх,у)
JW Г*(у) Г(у)
где В(х, у) — интеграл в правой части (1.9.2). Мы знаем, что для него выполнено
функциональное соотношение (1.1.14). Это необходимо для доказательства того,
что /(* +1) = xf (χ). Очевидно, что /(1) = 1, и нам осталось проверить только
выпуклость вниз функции 1η /(χ). Доказательство снова использует неравенство
Гёльдера точно таким же образом, как и в случае с гамма-функцией.
Мы сформулируем еще одну теорему единственности, доказательство
которой предоставляется читателю.
Теорема 1.9.4. Если функция /(*) определена для х>0 и удовлетворяет
условиям 1) /(1) = 1, 2) /(x + l)=xf(x) и 3) lim /(x + n)/[nx/(n)] = 1, то
П-»оо
/Μ = Γ(χ).
Другие теоремы единственности читатель может найти в книгах [19] и [7].
См. также упражнения 26 — 30 в конце главы. Наконец, мы отметим, что
Атерн и Рудин [4] показали, что In |Г(лг-Ь iy)| является выпуклой функцией
переменной χ в области Re χ > 1/2, (см. упражнение 55).
§ Ι.ΙΟ. СУММЫ ГАУССА И ЯКОБИ
Интегральное представление гамма-функции может быть записано в виде
с* ι t
Здесь dt/t нужно рассматривать в качестве инвариантной меры1 на
мультипликативной группе (0, оо), поскольку
d(ct) = dt
ct t *
Для того чтобы найти аналог для конечного поля, рассмотрим подынтегральное
выражение e~cttx. Функции e~ct и tx можно рассматривать в качестве решений
определенных функциональных уравнений. Эта точка зрения подсказывает
дальнейшие аналогии.
Теорема 1.10.1. Предположим, что f является гомоморфизмом из
аддитивной группы действительных чисел в мультипликативную группу ненулевых
комплексных чисел С*, т. е.
/:R->C*
и
/(х + у)=/(х)/(у). (1.10.1)
Если функция f дифференцируемая и /\0)=сф0, то f(x) = ecx.
Замечание 1.10.1. Мы предположили, что /00/0 для всех х, но на самом деле
из соотношения g(x + y)=g(x)g(y), где g: R—>С, подразумевает, что если функция g
равна нулю в одной точке, то она везде обращается в нуль2.
ι Термин означает, что мера инвариантна относительно преобразования t*-^ct.
2 Эта теорема является «лирическим отступлением» для данной книги. Тем не менее отметим, что
доказано больше, чем сказано:

§ 110. Суммы Гаусса и Якоби
51
Доказательство. Во-первых, заметим, что /(0 + 0)=/(О)2 согласно
соотношению (1.10.1). Тогда /(0) = 1, поскольку значение функции /(0) не может
быть равно 0. Далее, по определению производной
J t-»0 t t-»0 t
= fix) lim f{0 /(0) = /W/'(0) = c/(x).
Тогда/(x) = ecx. D
Замечание 1.10.2. В вышеприведенной теореме достаточно предположить, что
функция / непрерывна или просто интегрируема. Чтобы увидеть это, рассмотрим
У У У х+У
такое число у е R, что § /(t) at Φ 0. Тогда /(χ) ^f{t)dt=^f(x + t)dt= § /(t) dt. Таким
0 0 0 χ
образом, χ+y
S /Wdt
/W = -f ·
Sftodt
0
Наша / интегрируема, поэтому интегралы в правой части непрерывны, а поэтому
непрерывна и / в левой части. Но тогда интегралы дифференцируемы, а поэтому
дифференцируема и /.
Следствие 1.10.2. Предположим, что g является гомоморфизмом из
мультипликативной группы положительных действительных чисел R+ в С*, гл. е.
gQ90 = g(x)g(y). (1.10.2)
Тогда g(x)=xc для некоторого с.
Доказательство. Рассмотрим отображение/=gоexp: R-*C, гдеехр(л:) =
= ех. Тогда / удовлетворяет условию (1.10.1) и g(e*)=ec*. Из этого следует
необходимое утверждение. D
Конечное поле имеет рп элементов, где ρ — простое число и π — натуральное
число. Для простоты мы рассмотрим η = 1, так что поле изоморфно Ζ(ρ), группе
целых чисел по модулю р. Аналогом соотношения (1.10.1) является гомоморфизм
^:Z(p)-*C*.
Поскольку Z(p) — циклическая группа порядка р, порождаемая единицей, мы
должны определить только i/j(1). Кроме того, гр(1)р = гр(0) = 1, и в качестве
значения функции гр(1) мы можем выбрать любой р-й корень из единицы.
Следовательно, мы имеем ρ различных гомоморфизмов:
xpjM = e2nijx/Pi ;=o,l,...,p-l. (1.10.3)
Они называются аддитивными характерами поля. Аналогично
мультипликативными характерами являются ρ — 1 характеров, определенных гомоморфизмами
из Ζ(ρ)* в С*. Здесь Ζ(ρ)* = Ζ(ρ) \ {0}. Поскольку группа1 Ζ(ρ)* — циклическая
а) использована лишь дифференцируемость в нуле.
б) если с = 0, то /' = 0, а / = 1.
в) если / измерима и |/| = 1, то (1.10.1) доказано в замечании 1.10.2.
г) случай, когда / измерима, /(x)el, сводится к предыдущему, если положить / = ехр (а/(*)).
д) произвольный гомоморфизм /: R —► С* есть произведение гомоморфизмов, описанных
в б), в). Итак, теорема 110.1 верна для измеримых гомоморфизмов.
ι Здесь Z(p)* обозначает группу ненулевых элементов поля по умножению.

52
Глава 1 Гамма- и бета-функции
порядка р —1, мы имеем изоморфизм Ζ(ρ)* = Ζ(ρ —Ι), ρ —1 характеров на
группе Ζ(ρ)* могут быть определены с помощью этого изоморфизма и
соотношения (1.10.3). По умолчанию мы будем обозначать мультипликативные характеры
χ или η.
Теперь очевидно, как определить «гамма-функцию» для конечного поля.
Определение 1.10.3. Для аддитивного характера xpj и мультипликативного
характера χ мы определим гауссовы суммы g;(#), j =0, 1, ..., —1 формулой:
р-1
*(*«)=Σ *c*w*)> αιο·4)
где область определения функции χ{ расширена с помощью равенства #(0) = 0.
Пусть j ф0. Тогда можно ограничиться рассмотрением сумм g(#) :=giQi).
В самом деле,
а(*) = Σ*(χ)^'(χ) = Σ* Μβ2Λ<ί*/ρ= *(/)*(/) Σ* Me2ni)x/P =
= K0 Σ Ζ 0*)е2"^/р = *Ш*)· (1-10.5)
X
00
Эта формула соответствует равенству § e~;jcxs-1dx = r(s)/;s, где ;—ненулевое
о
комплексное число с положительной действительной частью. Если в
равенстве (1.10.4) j = 0, сумма равна J] Χ 00 и> как утверждает следующая теорема,
X
обращается в нуль, если χ{χ)φ\ хотя бы для одного значения х.
Теорема 1.10.4. Для мультипликативного характера χ верно равенство
если χ φ id,
Σ*«=ί°' ,
χ (Ρ-1'
(1.10.6)
— 1, если χ = id.
Замечание 1.10.3. Единичный характер id —это такой характер, который
принимает значение 1 в каждой точке из Z(p)*.
Доказательство. Для χ =id результат очевиден. Если χ /id, то существует
такой у €Z(p)*, что χ (у) Φ1. Тогда
χ№ΣχΜ = Σχ№ = ΣχΜ,
XX X
из чего следует утверждение теоремы. D
Существует утверждение, двойственное к соотношению (1.10.6), которое
дается следующей теоремой.
Теорема 1.10.5. Для суммы по всем характерам верно соотношение
если χφ\,
Л (1.10.7)
— 1, если χ = 1.
Доказательство. Достаточно заметить, что если хф1, то существует
характер χ{χ) φ 1. Теперь теорема может быть доказана так же, как и
предыдущая.
Теперь мы определим аналог бета-функции.
Σ*«={°' ,

§ 110. Суммы Гаусса и Якоби
53
Определение 1.10.6. Для двух мультипликативных характеров χ и η сумма
Якоби определена равенством
Л*,Ч) = Σ zM4(y). (1.Ю.8)
Следующая теорема задает некоторые элементарные свойства суммы
Якоби. (Мы обозначим тривиальный или единичный характер буквой е.
Читателю стоит отметить, что последний результат аналогичен формуле В(х,у) =
= Г(х)Г(у)/[Г(х + у)].)
Теорема 1.10.7. Для нетривиальных характеров χ и η выполняются
следующие свойства
Де,*) = 0; (1.10.9)
J(e,e)=p-2; (1.10.10)
Л*, ζ"1) = -*(-«; αιο.ιΐ)
если Хг)фе, то 3{χ,η) = ^^ 0-10.12)
Замечание 1.10.4. Из определения характеров ясно, что произведение двух
характеров само является характером и, таким образом, набор характеров образует группу.
Аддитивные характеры образуют циклическую группу порядка р, а мультипликативные
характеры — циклическую группу порядка р — 1. Кроме того, χ~1{χ) = χ{χ~1) = 1/χΜ,
и, поскольку \χΜ\ = 1, справедливо равенство χ'1 Μ = #"(*)·
Доказательство. Первая часть теоремы является переформулировкой
теоремы 1.10.5, а вторая часть очевидна. Для того чтобы доказать равенство (1.10.11),
начнем с определения:
х хфО, 1
Теперь заметим, что, когда χ пробегает значения 2, ..., р —1, выражение
дс/(1—х) пробегает значения 1, ..., р —2. Значение у = р —1 = —1 (modp) не
рассматривается, поскольку χ = у (1 + у)-1. Следовательно,
Д*,*-1)^ Σ * (У) = -*(-!)
по теореме 1.10.4. Таким образом третья часть теоремы доказана.
Доказательство четвертой части очень похоже на доказательство Пуассона или Якоби
аналогичной формулы для бета-функции. Здесь перемножаются две суммы
Гаусса и с помощью замены переменных получается сумма Якоби или сумма
Гаусса. Тогда для хцфе имеем
*(*)*(ч)=Σ χ ме2п(х/р Σ ν№2πίγ/ρ=
χ у
= ΣχΜηωε2πίίχ+γ)/ρ= Σ *МЧ(У)+ Σ *Мч(У)е2яЛ/р.
х,У х+у=0 х+уф0
Первая сумма равна
Σ *(*Ж-*) = Ч(-1) Σ *ч W = °'

54
Глава 1 Гамма- и бета-функции
поскольку #7]/id. Во второй сумме делаем замену переменных t = x + y, х = х,
а потом новую замену x = st, t = t. Получаем
ίφΟ х ίφΟ s
Этим завершается доказательство четвертой части теоремы. D
Мы получили элегантные выражения для значений функции T(s) при
положительных целых и полуцелых значениях s. Вычисление гауссовых сумм
в некоторых частных случаях также возможно и является важной задачей, но
в любом случае абсолютная величина Гауссовой суммы может быть всегда
найдена.
Теорема 1.10.8. Для нетривиальных мультипликативных и аддитивных
характеров χ и гр верно следующее:
Ϊ^ΧΜ'ΦΜ
= VP.
Доказательство. Согласно соотношению (1.10.5) достаточно доказать, что
l*iCir)l2 = l*(*)l2=p:
χ У χφΟ,γφΟ
Положим x = ty. Тогда
ρ-1
ΐγφΟ 1 ίφΟ,Ι уфО
Первая сумма равна ρ — 1, а внутренняя сумма во втором члене равна —1. Итак,
|£(*)Ι2 = ρ-ι-Σ*(0 = ρ-ι + ι = ρ,
ίφΟ,Ι
и утверждение доказано. D
Следствие 1.10.9. Если χ, η и χη являются нетривиальными характерами,
то
1Л*,Ч)1 = 1/Р- (1.Ю.13)
Доказательство. Это утверждение следует из теорем 1.10.7 и 1.10.8. D
Мы получаем интересное утверждение.
Следствие 1.10.10. Если число р = 4п + 1 простое, то существуют такие
целые числа аиЪ, что р = а2 + Ъ2.
Доказательство. Группа Ζ(ρ)* имеет порядок р —1 = 4п, т.е. изоморфна
также группе мультипликативных характеров на Ζ(ρ)*. Поскольку последняя
группа является циклической, существует характер χ порядка 4, который
принимает значения ±1, ±ί. Следовательно, 3{χ,χ) = α + Η, где а и Ь —целые.
Поскольку #2/id, в силу следствиея 1.10.9 мы имеем р = а2 + Ъ2, что влечет
требуемый результат. D
Следствие 1.10.10 называется теоремой Ферма, хотя первым опубликовал
доказательство Эйлер (см. [419, с. 66 —69]). Позже мы докажем более изящный
результат, который дает число представлений положительного целого числа

§ 110. Суммы Гаусса и Якоби
55
в виде суммы двух квадратов. Этот результат будет следовать из формулы,
которая содержит еще один аналог бета-интеграла.
Мы видели, что характеры могут быть определены для циклических групп.
Поскольку любая абелева группа является прямым произведением циклических
групп, несложно найти все характеры абелевой группы и их структуру. Здесь
достаточно следующего наблюдения.
Если χι — характер абелевой группы Glf a χ2 — группы G^ то можно
определить характер χ: Ga x G2 -* С* формулой χ (χ, у) = χλ ОО^гСу)·
Таким образом, мы получили η аддитивных характеров группы Ζ(π) и ψ(η)
мультипликативных характеров1 группы Ζ(π)*. Для этих более общих
характеров суммы Гаусса и Якоби могут быть определены так же, как раньше.
Гаусс [157] нашел вывод закона квадратичной взаимности, оценивая сумму
Гаусса для квадратичного характера. (Характер χ /id является квадратичным2,
если #2 = id.) Подробности, касающиеся закона квадратичной взаимности,
содержатся в упражнении 37 в конце главы. Одна из проблем, которая здесь возни-
JV-1
кает и с которой имел дело Гаусс, состоит в вычислении суммы G = J] e2nvc /JV.
х=0
Так же как в теореме 1.10.8, можно показать, что G2 = ±N в зависимости от
того, верно ли равенство N = 1 (mod 4) или 3 (mod 4). Задача заключается
в нахождении подходящего квадратного корня для вычисления G. По словам
Гаусса, ему потребовалось четыре года, для того чтобы решить этот вопрос.
JV-1
Вычисление суммы J] e2mx /JV, проведенное Дирихле с помощью рядов Фурье,
дано в упражнении 323.
Якоби и Эйзенштейн рассматривали также более общую сумму Якоби:
Д*ъ *2·.., Χι) = Σ XittiMbUXittO- С1Л0.14)
Она является аналогом общего бета-интеграла в теореме 1.8.6. Далее следует
результат Эйзенштейна, соответствующий формуле в теореме 1.8.6.
Теорема 1.10.11. Если χλ, %ъ ..., %\ — нетривиальные характеры и
произведение Х1Х2—Х1 нетривиально, то
1( . g(Xi)g(X2)-gjXl) лптсл
ЛХг,Х,.,Х0= g(,iM) · (1.10.15)
ι Функция Мёбиуса φ (ή) — количество чисел, меньших η и взаимно простых с ним, у>(п) =
= η П(1 ~ 1/Р;)> где pj — простые делители п.
2 Он же называется символом Лежандра.
3 Есть еще такой способ. Вычисление этой суммы тривиально сводится к вычислению гауссовой
суммы для квадратичного характера (задача 37), далее встает упомянутая выше проблема
знака. Матрица преобразования Фурье в базисе из дельта-функций имеет вид {-ν/ρξ^}, где ζ —
первообразнаый корень степени ρ из единицы. Далее рассмотрим базис из невырожденных
мультипликативных характеров Ζ(ρ), константы и дельта-функции в нуле. Матрица преобразования
Фурье в этом базисе блочно-диагональна, с блоками вида ( ° g^ * J и одиноким (1 χ 1)-блоком
g(rj), где η — квадратичный характер. Далее приравниваем определители. В первом случае
получаем определитель Вандермонда, и его знак легко выписывается. Во втором случае получаем
const-g(Tj) f] |g(#)|, и, тем самым, знак #(η) находится.
хФ-п

56
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.10.7 и читателю стоит
детально разобрать его.
В § 1.8 объем п-мерной фигуры вида агх^1 + a2xS2 +... + α&*£* < Ь был найден
с помощью гамма-функции. Аналогичным образом для конечных полей число
точек, удовлетворяющих условию агх\1 + a2xs2 +... + <*&*£* = Ь, может быть
вычислено через суммы Гаусса. Сам Гаусс сначала нашел число точек на подобных
(но более простых) поверхностях и использовал это для вычисления
некоторых определенных сумм Гаусса. Вейль [415] обнаружил, что проще обратить
процесс и получать число точек через суммы Гаусса. Описание этого читатель
найдет у Вейля в работе [417]. Можно упомянуть, что знаменитые гипотезы
Вейля, касающиеся дзета-функций алгебраических многообразий над полями
конечных характеристик содержатся в его работе 1949 г. Она содержит также
ссылки на работы Гаусса. Также можно обратиться к работе [200] за
дополнительной информацией о суммах Якоби и Гаусса и за ссылками на статьи Якоби
и Эйзенштейна.
Вид сумм Гаусса также подсказывает, что они связаны с преобразованиями
Фурье. Обозначим за & векторное пространство всех комплекснозначных
функций на множестве Ζ(Λ0 целых чисел по модулю N. Пусть F — преобразование
Фурье на пространстве ^, определенное следующим образом:
JV-1
(FfKn) = 4= Σ / Me2nUuc'N. (1.10.16)
Можно показать, что след этого преобразования Фурье по отношению к базису
{δ0, δ1?..., δΝ}, где f
Mr)-!* ХФУ'
JV-1
является квадратичной суммой Гаусса J] e2mx /JV. Шур [336] дал другой способ
вычисления этой суммы из того же факта1. Детали представлены в
упражнении 47. Сначала доказывается, что четвертая степень F является единицей,
так что собственные значения равны ±1, ±i и задача по существу состоит
в нахождении кратностей этих собственных значений.
Дискретный, или конечный, Фурье-анализ не применялся широко до 1965 г.
из-за сложности численных расчетов. Ситуация изменилась, когда Кулей и Тур-
Алгоритм таков. Пусть для простоты имеется группа Z(JV) = Ζ(2Π), ξ = β2πι/Ν. На первый взгляд
для вычисления преобразования Фурье нужно Ν2 умножений. Но мы перепишем
в виде
2/(2т)С2^ + С*2/(2т + 1)С2ЫС.
Каждое слагаемое — преобразование Фурье на Ζ(2Π_1); легко видеть, что теперь нам нужно
вдвое меньше умножений, чем мы ожидали. Но к Ζ(2Π_1) применим тот же трюк и т. д. В итоге
мы можем обойтись 2JVlog2N умножениями, т.е. время вычисления преобразования Фурье
сравнимо с временем умножения функции на константу. В литературе по численным методам
встречается утверждение, что алгоритм был известен во времена ручных вычислений и что даже
Гаусс им пользовался. Я соответствующих литературных раскопок не проводил.

§ 111 Вероятностное вычисление бета-функции
57
кей в работе [87] ввели алгоритм, который они назвали «быстрое
преобразование Фурье» (БПФ), для того чтобы на несколько порядков упростить вычисления.
Читатель может обратиться к работе [33] для ознакомления с методом БПФ, где
подчеркивается его связь с теорией групп. Здесь также упоминаются
некоторые более ранние примеры БПФ. Вычислительные аспекты также интересны
(см. [93] и [398, § 1.4]).
§ I.II. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ БЕТА-ФУНКЦИИ
Если α и β — натуральные числа, то
Iх U Х) аХ (α + 0-Ι)! '
Можно было бы захотеть получить этот результат с помощью комбинаторных
рассуждений. Но, работая с конечным числом объектов, нельзя получить
интеграл. Здесь мы приводим комбинаторно-вероятностные рассуждения, которые
позволяют вычислить приведенный выше интеграл. Будем выбирать случайно
точки из отрезка [0,1]. Пусть вероятность попадания точки в интервал (а,Ъ)
равна Ь — а. Зафиксируем целое число η и обозначим1 через P(xk<t)
вероятность того, что из η случайно выбранных точек в точности к имеют значения
меньше t. Плотность вероятности величины Р(хк < t) равна
(t)=lim Ρ&4^£+Δ0-Ρ&4<0.
Н Δϋ-0 At
Теперь
P(xk<t + At) -P(xk<t) =
= вероятности того, что одна точка лежит в интервале (t, t + ΔΟ,
к — 1 точка лежит левее точки t и п — к точек — правее точки (t + At), +
+ вероятность того, что две точки лежат в интервале (t, t + At),
к —2 точки лежат левее точки t и п — к точек —правее точки (t + ΔΟ, + ...
Поскольку всего есть η точек, число случаев, когда одна точка лежит в интервале
{t,t + At)> к — 1 точка имеет координату меньше чем t и п — к точек имеет
координату больше чем t + At, равно
(;Χϊ:})-<ϊ:}>
Вероятность каждого такого события равна Δ£*-1(1 — t—At)n~k, и, поскольку
события являются взаимоисключающими, мы получаем
Р(хк < t + At) -P(xk < О = п(£~|)дг· tk~Hl-t-At)n~k+
+ ^^(nkZiy^)2tk-2a-t-Atr-k+...=
= n(£2})tfc-1(l-t-At)"-fcAt + 0((At)2).
ι Имеется в виду, что хк — к-л по счету слева точка.

58
Глава 1 Гамма- и бета-функции
Следовательно,
Поскольку
P(t) = n(fc-i)tW(1"t)n'
1
$p(t)dt = l,
!-fc
О
мы получаем
1 (fc-l)l(n-fc)! r(fc)r(n-fc + l)
5tfc-1(l-On"4cdt = -
η! Γ(η + 1)
ο
Мы использовали здесь теорию вероятностей, для того чтобы показать ее связь
с бета-функцией. Хотя мы не будем больше пользоваться этой связью, теорию
вероятностей можно использовать для вывода формул, содержащих некоторые
обобщения бета-функций.
§ Ι.Ι2. р-АДИЧЕСКАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ
В теории чисел существуют замыкания множества рациональных чисел,
отличные от действительных чисел, которые представляют большой интерес1. Это
р-адические пополнения рациональных чисел. Существует полезный аналог
гамма-функции определенный на р-адических числах. Дальнейшее изложение
является кратким описанием р-адической гамма-функции. Интересующийся
читатель должен обратиться к приведенным ниже ссылкам.
Предположим, что а — целое число и ρ — простое число. Обозначим через
ordp а наибольшую степень числа р, которая является делителем а. Пусть Q —
это множество рациональных чисел. Для χ = а/Ъ € Q, где а и Ъ — целые числа,
определим ordp χ = ordp α — ordp b. Далее, р-адическая норма на множестве Q
определяется соотношением
О, χ = 0.
Таким образом, р-адическая норма числа рп становится меньше, когда η
становится больше. Наоборот, для отрицательных значений η норма рп становится
большой. Таким образом, обоснована запись числа в виде сумм по степеням р.
Целое число имеет разложение вида
а0 + агр + а2р2 +... + апрп,
где ^-€{0,1,2, ...,р —1}. Для записи рациональных чисел также потребуются
отрицательные степени числа р. Отметим, что р-адическая норма неархимедова,
II* + У lip < max(IM|p, ||у||р). (1.12.0)
Расстояние между точками χ и у определяется как ||х —у||р в силу (1.12.0),
неравенство треугольника выполнено.
ι Материал этого параграфа в дальнейшем не используется.

§ 112. р-адическая гамма-функция
59
Мы можем построить замыкание1 множества Q с этой метрикой так же,
как R получается пополнением2 Q. Построение включает в себя рассмотрение
последовательности Коши рациональных чисел. Полученное таким образом
пополнение пространства Q обозначается Qp. р-адические числа могут быть
представлены рядом
b^ + b-^ + ...+ bf + b0 + blP + b2p> + ...
Подмножество множества Qp, содержащее все числа с положительными
степенями числа р, образует кольцо, обозначаемое Zp. Это кольцо р-адических
чисел. Натуральные числа Z+ образуют плотное подмножество в Zp. Это так,
поскольку элемент множества Zp может быть представлен в виде бесконечного
ряда
а0 + агр + a2pz +..., at е {0,1,..., ρ -1},
и частичные суммы являются целыми числами, которые сходятся к р-адиче-
скому числу. Тогда если есть функция /, определенная на натуральных числах,
и значения этой функции близки для двух целых чисел, которые р-адически
близки, то / имеет единственное непрерывное продолжение на Ζρ3.
Определим функцию / на натуральных числах формулой4
η
/(n) = (-l)nI~[k.
pk
Несложно показать, что
/(n + pm/)=/(n) (modpm),
где π, т и I — натуральные числа. Числа п + рп1 и η близки друг к другу
в р-адическом смысле и значения функции / в этих точках также р-адически
близки. Следовательно, / обладает непрерывным продолжением в Ζρ. Это
расширение дает, согласно Морита [271], обобщение гамма-функции, р-адическая
гамма-функция определена соотношением Гр(х) :=— /(* —1). Эта функция
также обладает функциональным соотношением и другими полезными свойствами.
Существует формула Гросса и Коблица [175], которая задает сумму Гаусса в виде
произведения значений р-адической гамма-функции.
Интересная трактовка р-адических чисел и функций дана Коблицом [224].
Описание р-адической гамма-функции и формулы Гросса—Коблица можно
найти в книге [244], содержащей ссылку на статью [67]. Существуют также
р-адические аналоги бета-функции и преобразования Меллина5.
ι См. [442]
2 См. [447, § П.З].
3 См. [447, § Н.2].
4 Здесь ρ | к (соответственно ρ к) обозначает то, что к делится на ρ (или к не делится на р).
5 Существует также С-значная р-адическая гамма-функция. Пусть π(χ) — мультипликативный
характер Qp. Его преобразование Фурье имеет вид Γ(π)π(χ)|χ|_1, где Γ(π) — некоторая константа,
она и называется гамма-функцией, см. [442]. В формулах гармонического анализа она проявляет
себя так же, как обычная Г, см., например, [257].

60
Глава 1 Гамма- и бета-функции
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Пуассон) Используя замену переменных s = ut, покажите, что
00 00
Г(х)Г(у) = $ $ t'-V-V^0 at as
о о
равно Г{х + у)В{х,у).
2. Пусть / = § е ах. Заметим, что I2 = § § е~(х^+у } cbcdy. Вычислите этот двойной
О 0 0
интеграл с помощью перехода к полярным координатам и покажите, что / = Утг/2.
3. Ниже кратко описано доказательство формулы Валлиса.
а) Покажите, что
С их _ η
\ х2 + а ~~ 2у/а'
б) Возьмите производную от обеих частей равенства η раз по параметру α и
убедитесь, что
άχ 1·3·5...2π-1π Ι
с ад
0 {χ2 + α)Π+1 2 · 4 · 6...2п 2 ап+№ *
в) Положите х = у/-/п, а = 1, перейдите к пределу η —> оо и, используя упражнение 2,
получите формулу Валлиса.
ι
4. Вычислите интеграл ξ (1 — t2)*"1 dt двумя различными способами для доказатель-
-1
ства формулы удвоения, данной в теореме 1.5.1. Получите другое доказательство,
вычислив π/2
о
двумя разными способами.
5. Предположим, что функция / дважды дифференцируемая. Покажите, что условие
/" > О эквивалентно условию f(ax + β у) < af(x) + β/iy) для таких неотрицательных
чисел а и β, что а + β = 1.
6. Понятие выпуклости может быть использовано для доказательства некоторых
важных неравенств, например неравенства Гёльдера:
1/Р ( Ь Л Vq
.0 . г D ч 1/р г О ч 1/q
где / и g — интегрируемые функции и - + - = 1. Здесь мы приводим набросок
доказательства.
а) Заметим, что функция ех выпуклая вниз; используя это и результат упражнения
5, покажите, что если ииу- неотрицательные целые числа, то
uv < 1 .
р q
Равенство достигается если и только если ир = uq.
б) Получите неравенство Гёльдера из а).
Возможно, более правильно называть это неравенством Роджерса—Гёльдера,
поскольку Роджерс [311] получил этот результат раньше Гёльдера [195]. Другие важные
результаты Л.Дж. Роджерса обсуждаются в книге ниже.

Упражнения
61
7. Здесь представлено другое доказательство функционального соотношения
В(х,у) = ^В(х,у + 1).
У
Запишите х
B(x,y + l) = $^-1(i^)ydt
О
и с помощью интегрирование по частям покажите, что
B(x,y + 1) = -JL-B(x,y).
8. Покажите, что
Возьмите производную по параметру с и выведите функциональное соотношение
В(х,у) = ^В(х,у + 1).
Проведите подобные рассуждения, используя интеграл
l^Hc-tYdt
о
9. Перепишите формулу Гаусса (1.5.2) в виде
Пг((х + В/п)
гм = _*Ξ2
(2n)(n-lV2nW-x
Покажите, что правая часть удовлетворяет всем условиям теоремы Бора—Моллерапа.
ыведите отсюда доказательство формулы Гаусса.
10. Дайте доказательства формулы Гаусса, используя определение функции1 Г(х).
11. Докажите формулу Гаусса с помощью метода, данного в замечании после
теоремы 1.5.2.
12. Из равенства Г(х +1) = хГ(х) очевидно, что
ξ In Г(0 dt = χ In х-х + С.
χ
Покажите, что С = - 1η 2π. Сработает формула Стирлинга, но существует более
элегантное рассуждение, использующее вначале формулу умножения Гаусса.
13. Существует другой бета-интеграл, впервые полученный Коши. Он определяется
формулой
т ϊ С dt я-22-*-Уг(х + у-1) D , ^ . ^ л
C{x>y)=lil + it)41-ity= FWTOO ' Re(x + y)>l.
а) Для того чтобы это доказать, покажите, что
1) интегрирование по частям дает равенство
CQt,y + l) = --CQt + l,y);
2) запишите
ι Видимо, предлагается восстановить начало доказательства теоремы 1.5.2.

62
Глава I Гамма- и бета-функции
это вместе с п. 1) дает
C(x,y) = 7^z^ax,y + iy,
3) итерационная процедура дает
С(х,у) = ^*)n(f,)nC(x + n,y + n);
С(х + п,у + п)= ^ (1 + адх+п(1 __аду+п = J^ (i + f2)n(i + адх(1 _ аду.
Замените t на t/^/n во втором интеграле и перейдите к пределу при π —»оо.
б) Подстановка t = tg θ приводит к важному интегралу. Найдите его.
14. Используя метод получения формулы Стирлинга, покажите, что
где
Тг + Т2 + - + Тп=2^+С + &п+0Ш'
С = Ч1 + ^(1-^ + ^-£ + ...).
Просуммируйте
η η
c„ = ^(cfc~cfc-i)' где °«=Σ^Γ~2ν^·
Jt=l Jt=l VK
Используя алгебраические преобразования преобразуйте выражение οη — €η_λ к
выражению, которое стремится к нулю как п~3/2, и покажите, что
Σ1 =f/2 ι цУНГ
Дальнейшие результаты такого типа см. у Рамануджана [305, статьи 9 и 13].
15. Здесь представлен набросок доказательства равенства (1.2.1) в терминах
действительной переменной. Пусть
σ(χ) = — Hm V1 .
*1 - -Ν
Тогда справедливы следующие утверждения:
а) g'M = -π2/ sin2 πχ + Σ 1/(π+χ)2;
—00
б) функция g'OO непрерывна при 0 < χ < 1, если g'(0) = g'(l) = 0;
в) g'Qt/2) +g'«x+1)/2) = 4g'(*);
г) если Μ = max lg'001, το Μ < Μ/2, т. е. Μ = 0;
0<χ<1 »
ύ8ίχ/2)-ξαχ + 1)/2) = 2π/{8ίηπχ)-2Σί-ΙΤ/ίη + χ);
e)g(x + l)=g(x);
ж) g(x) = const;
00 00 00 00
з) 5^-1/(1 + 0^=Σ(-1)π/(π + χ) + Σ(-1)π/(π + 1-χ)=Σ(-1)π/(π + χ), так что
О п=0 п=0 —в»
условие (1.2.1) выполняется. Это доказательство, предложенное Герглоцем, было
опубликовано Каратеодори [77, с. 269 — 270]. Обзор [63] работ Герглоца также
содержит это доказательство.
16. Ниже приведено доказательство формулы Г(х)Г(1— x) = n/sinnx, предложенное
Дедекиндом [100]. Положим

Упражнения
63
а) Покажите, что
\£^dt=tfiMs~x' \ΐΓ$<1ί=φΜ'χ~1·
б) Выведите равенство
ψΚΧ} S-l J (5t+l)(t + 5)"C·
в) Используя вторую формулу в п. а), получите равенство
^2=\MWsdt)ds->
0^0
изменив порядок интегрирования, получите, что
[ΨΜΫ = \ ^dt.
о
г) Покажите, что v „
$ Mx)]2dx=y ; dt.
l-y 0 l L
д) Проинтегрируйте равенство из п. б) по s по интервалу (0, <») и, используя п. г),
выведите равенство
1-х 0
е) Покажите, что из равенства φ(χ) = φ(1 — χ) следует, что ^'(^J3^ и
I [</>(t)]2dt = 2 $[</>(t)]2dt.
1-х 1/2
ж) Выведите равенство
φω \mt)]2dt = 4>'{x).
1/2
з) Покажите, что функция φ удовлетворяет дифференциальному уравнению
и) Решите это дифференциальное уравнение с начальными условиями ψ{^) = π
и ¥>'(«) = 0, получив в результате равенство φ(χ) = Trcosec πχ.
<2
17. Покажите, что
t*-4l-ty-l)dt _ Г(х)Г(у)
S,.;m;°S· ^>0,Β^>0,α>0.
18. Покажите, что
19. Докажите, что для α > 0
sin αχ , _ 1 ь-ι cosec(7rb/2)
\s^dx=±na^coseZ, > 0<Reb<2,
J γ" 2 Γιο)
0
xb 2 Г(Ь)
г cos αχ , 1 ь-i secinb/2) Л ^ _ , -
5__<1χ=_πα6ΐ___) 0<Reb<l.

64
Глава I Гамма- и бета-функции
20. Для λ>0,х>О и —π/2< а< π/2 докажите, что
00
$ ?-1е-**«*а cos(At sin a) dt = λ~χΓ(χ) cos αχ,
о
00
$ t*-^-**30»" sin(At sin α) dt = λ"χΓ(χ) sin ax.
о
21. (Харди) Докажите, что ^s/2r(s/2)C(s) = ^(1~s)/2r((l-s)/2)£(l-s), следующим
образом.
а) Заметьте, что:
п=1
для ттг<х<(т + 1)7Г, т = 0, 1, ....
б) Умножив уравнение на Xs'1 (0 < s < 1) и проинтегрировав по интервалу (0, <»),
покажите, что левая часть равна T(s) sin(s7r/2)(l — 2~s_1)£(s +1) и что правая часть
является аналитической функцией при Re s < 1 и равна 2(1—ss+1)£(l — s) при Re s < 0.
в) Выведите функциональное уравнение, которому удовлетворяет дзета-функция.
22. Пусть С — это контур, который начитается в бесконечности на отрицательной
действительной оси, обходит начало координат в положительном направлении
и возвращается обратно в — оо. Докажите, что
T(s) 2πι J
Эта формула выполняется для всех комплексных s.
а) Заметьте, что интегральное представление является аналитической функцией s.
б) Контур С может быть выбран таким: линия из оо до —δ, затем окружность радиуса
δ в положительном направлении и, наконец, линия от — δ до — оо. Покажите, что:
00
§ е'Г$ dt = 2i sin ns § e~uu~s du + /,
с δ
где / — это интеграл по окружности \t\ = δ.
Это представление гамма-функции получено Хенкелем (см. [423, с. 244]).
23. Докажите, что
Г( , е-''™ ГЦ-s) с t'-V* .
C(*'S)= 2πί $T^dt'
где контур С начинается в бесконечности на положительном луче действительной
оси, обходит начало координат в положительном направлении, исключая точки
±2ηπί, где η — натуральное число, и возвращается в +оо.
Указание. Сначала докажите, что
а затем воспользуйтесь идеями из предыдущего упражнения. (Заметьте, что функция
ζίχ,ε) определена теперь как мероморфная функция с простым полюсом в
точке s = l.)
24. Докажите, что выполняется функциональное уравнение
rf Λ 2Г(1—s) I . f /ηΛ \^ cos2m7rx , f /ηΛ V^ sin2m7rx 1
ζ{Χίs) = Тад^isin(7rs/2) 2-· m^ + cos(™/2) Zj mi-s r·
* m=l m=l '

Упражнения
65
Указание. Пусть контур Сп состоит из линии вдоль положительной действительной
оси из оо в (2η + 1)π, затем квадрата с углами (2η + 1)π(±1±ί), а затем линии из
(2η + 1)π в оо. Покажите, что
Sts~^e~xt с ts~^e~xt
_,. dt= } _t dt —сумма вычетов в точках ± 2тш, т = 1,..., п,
с сп
где С — это кривая из предыдущего упражнения.
Обратите внимание на то, что сумма вычетов в точках ±2mni равна
-2(2mny-leins sm{2mnx + nsll).
Перейдите теперь к пределу при η —»оо и покажите, что § —* 0.
Οι
25. Покажите, что из функционального уравнения для ζ{χ, s) несложно следуют
а) функциональное уравнение на £(s)
б) куммеровское разложение Фурье для 1ηΓ(χ)/^2π.
Следующие пять упражнений взяты из книги [19].
26. Пусть φ (χ) при 0 < χ < оо — положительная и дважды непрерывно дифференцируемая
функция, удовлетворяющая условиям: а) </?(*+1) = </?(*), б) φ(^)ψ(^—)Ζ=άφ(χ)9
где d — константа. Докажите, что φ — константа.
d2
Указание. Пусть g(x) = —j In φ (χ). Заметим, что g(x +1) = g(x) и
JMIMH1))-·»·
27. Покажите, что φ (χ) = Г(х)Г(1 — дс) sin гас удовлетворяет условиям предыдущей
задачи. Выведите формулу отражения Эйлера.
28. Докажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция /, которая
положительна при 0 < χ < оо и удовлетворяет условиям а) /(* +1) = xf (дс) и б) l2*"1 fix) x
*/(*+ -J = <ν/π/(2*), тождественно равна Г(х).
29. В предыдущей задаче достаточно предположить, что / непрерывно
дифференцируема. Это видно из следующего: если функция g непрерывно дифференцируема,
g(x + l)=g(x) Hg(|)+g(^2-)=g00, Tog = 0.
Указание. Заметим, что
2"-1
Jk=0
1
Левая часть стремится к § g'OO d* = g(l) — g(0) = 0 при п -> оо.
о
30. Убедитесь, что пример функции g(x) = Σ — sin (2П гас) показывает, что в предыдущей
п=1 2
задаче просто непрерывности недостаточно.
3L Предположим, что / и g —такие дифференцируемые функции, что
/(x + y)=/(x)/(y)-g(x)g(y) и g(x + y)=/(x)g(y)+gQt)/(y).
Докажите, что /(*) = е" cos Ьх и g(x) = e" sin Ьлг или /(*) = g(x) = 0.
JV-1 , , —Ν
32. (Дирихле) Докажите, что £ e2nix^/N = ———ι/?7, где ί = v^1!.
JV-1
а) Положите /(t) = Σ e2,ri(x+i) /N,0<t<l. Заметьте, что Д0)=/(1) и продолжите
/(t) периодически на всю действительную ось.

66
Глава 1 Гамма- и бета-функции
б) Заметьте, что f(t) = Σ απβ2πιηί, где αΠ = § /(Oe 2mnt dt. Из этого можно заключить,
-оо О
4το/(0)=Σ1ε2π^/Ν = Σαη.
JC=0 -оо
Ν(1-π/2)
в) Покажите, что ап = e~2niNn2/4 $ е2п*2'" аУ·
-т/2
г) Покажите, что
оо г Ν-ηΝ/2 Ν-ηΝ/2\ οο
Σα"= Σ S +Γ" Σ S e2"^dy = (l + r~)Se2^wdy.
-οο νπ четно -Νη/2 π нечетно -Νη/2 </ -°°
д) Используя упражнение 19, вычислите интеграл в последней формуле. Другой
способ заключается в том, чтобы положить N = 1 в п. г).
33. Если р —нечетное простое, то существует ровно один нетривиальный характер χ2,
который отображает Ζ(ρ)* на {±1}. Напомним, что Ζ(ρ)* —это множество целых
чисел по модулю ρ без 0. Докажите, что ^2(α) = 1 тогда и только тогда, когда
уравнение х2 = а (mod ρ) имеет решения, т.е. а —точный квадрат в Ζ(ρ)*. (Обычно
пишут #2(α) = (~)ί такое обозначение называется символом Лежандра.)
34. Докажите, что если α — натуральное взаимно простое с ρ число, то ар~1/2 = ί - J
(mod ρ). Здесь ρ — простое нечетное число. (Используйте тот факт, что группа Ζ(ρ)*
циклическая.)
35. Для нечетного простого р, используя предыдущую задачу, докажите, что ί — J =
= (-l)(p-i)/2 и ^^(-цСр2-!)^. (Используйте равенство
2Р/2 = (вЖ/4 + е-Ш/4у Ξ βρπί/4 + g-pm/4 (mod p)
Отдельно рассмотрите два случая: р = ±1 (mod 8) и р = ±3 (mod 8).)
36. (Гаусс) Докажите квадратичный закон взаимности: для нечетных простых ρ и q,
выполняется равенство Г -д -J = (—1) 2 2 .
р-1
а) Для S= Σ(~)ε2π"Γ/ρ покажите, что S2 = f—Jp. (Доказательство аналогично
дг=1 Ρ Ρ
доказательству теоремы 1.10.8.)
б) Используя а) и упражнение 34, докажите, что Sq~l = (—1) 2 2 Г ?- J (mod q).
в) Покажите, что S4 = Σί£ Vfri,x/p =(-)s (mod q).
г) Выведите теорему взаимности из пп. б) и в).
37. (Гаусс) Для целых чисел α и N таких, что N > 0, определим G(a,N) = Σ е
а) Для простого числа ρ покажите, что G(l, ρ) = Σ (-е2пис/р J.
б) Для простого числа ρ покажите, что G(a,p) = i-jG(l,p).
в) Докажите, что G(q,p)G(p,q) = G(l,pq), если ρ и q —нечетные простые.
г) Теперь воспользуйтесь результатом упражнения 32 для вывода закона взаимности.
Обсуждение упражнений 32 — 37 и соответствующие ссылки содержатся в книге [332,
гл. 6 и 8].
38. Докажите теоремы 1.8.5 и 1.8.6.
N-1

Упражнения
67
39. Докажите теорему 1.9.4.
40. Аппроксимационная теорема Вейерштрасса. Предположим, что / — непрерывная
функция на замкнутом ограниченном интервале, в качестве которого можно выбрать
[0,1] без потери общности. Следующее упражнение показывает, что функция /
может быть равномерно аппроксимирована многочленами на отрезке [0,1].
а) Покажите, что достаточно доказать результат для случая /(0) =/(1) =0. Теперь
продолжим / непрерывно на всю действительную прямую, взяв /ξ0 при х<0
и х>1.
б) Заметим, что
0.(0 = ^^(1-^)"
— это такой многочлен, что
1
-1
1
Покажите, что Рп(х) = § /(* + 0 On (О dt —многочлен по χ при хе [О,1].
-1
в) Используя формулу Стерлинга, покажите, что для 5>0и5<|г|<1 выполняется
условие Qn{t) ->0 равномерно при η->».
г) Заметим, что для 0 < χ < 1 выполняется условие
1
Р„Сх)-/Сх)= $(/(* + t)-/Qt))Qn(t)dt.
-ι
Для того чтобы показать, что Рп(х)-*/(*) равномерно на отрезке [0,1], разбейте
-δ δ ι
интеграл на три части, § + §+§> и воспользуйтесь утверждением п. в).
-ι -δ δ
41. Докажите формулу Плана (ссылки на Плана см. в [423, с. 145]): для натуральных m
и η выполняется условие
V φΠΛ - ¥>("*) +У (Ό + С гхл άχ_{ Г y(n + (y)-y(m + iy)-y(n-jy) + y(m-y) ,
*=m mO в -
где φ(χ+iy) — ограниченная аналитическая функция, заданная при т<х<п.
Указание, а) Рассмотрите интеграл
$у(Й/(е-2я*-1)&,
с
где С подходящий вытянутый прямоугольник с вершинами fc, k +1, к +1 -I- Li и fc -I- Li.
Затем перейдите к пределу при L —»».
б) Замените теперь i на —i в определении контура С и повторите процедуру из п. а).
в) Сложите результаты из п. а) и б) и просуммируйте по к.
42. а) В формуле Плана положив m = 0, η —»» и предположив, что φ (π) —»0, φ (η ± iy) —> <»,
получите следующий результат:
б) Выведите формулу Эрмита (ссылки см. в книге [423,13.2])
rrv ^-*"s . *1-s . о С (x2 + t2r*/2sin(5aictgt/x) ^

68
Глава 1 Гамма- и бета-функции
в) Пользуясь вышеизложенным выведите, что
№.2)«£ + i + S 4xtdt
2х2 х % (χ2 + ί2)2(β2πί-1)*
43. а) Для гр(х) = Г'(х)/Г(х) проверьте, что ψ'(χ) = ζ(χ,2).
б) Выведите формулу
1 °°
1/>(х) = 1пх----$
2tdt
2х J (jc2 + t2)(e27rt-l)'
(Используйте часть в) предыдущего упражнения.)
в) Выведите вторую формулу Бине
torW = (x-i)bx-x+itoa*) + 2SipS^a.
arctg(t/x)
о
где χ — комплексное число и Re χ > 0.
г) Используя формулу Эрмита из предыдущей задачи, получите формулу Лерча (1.3.7)
44. Докажите следующие свойства многочленов Бернулли:
a)B,(x+l)-B,(jc) = qjc«-1;
б) Σ η« = τχτ{β,+ι(АО -В,+1 (М)};
п=м 9"
B)Bn(x) = t(J)Bfcx-fc;
г)Вп(1-х)"=(-1ГВп(х);
/-1
Α)Βη(/χ) = Ζ"-1Σβη(^+τ)
45. а) Докажите, что
00
В^Сх-М) = 2(-iy(2q-l)lX| g^ffi, « > 1,
п=1
в^х-[х]) = 2(-1)«-Чад.£^.
п=1
б) Выведите
C(2q)=(_irl(gi^ q>1,
46. Докажите, что
(р-1)|2п ^
где G2n — некоторое целое число и ρ пробегает простые числа так, что 2п делится
на р —1. (фон Штаудт (von Staudt), Клаузен)
00 00 t
Указание. Определим J] -γ хп = J] -^ хп (mod k) если fc является делителем ап — Ьп
п=о п- п=о п!
для всех η > 0. Покажите, что
*3 ·> „7
a)(e«-l)3S2(|i + |T + fi + ...)(mod4);

Упражнения
69
б) для простых ρ выполняется сравнение
f zP'1 z2(p-l) z3(p-l) λ
(' - υ'"1 = 4 cFui+ SFw+ ^F»i+ -)(mod p):
в) Для составных m > 4 выполняется сравнение (ez — l)m_1 = 0 (mod m);
,λ ж =1 e»-l ■ (ez-D2 (e'-l)3
; ez-l 2 3 4
Выведите результаты, касающиеся чисел Бернулли. (См. книгу [292, т. II, с. 339].)
47. Пусть для нечетного натурального числа η множество C(Z(n)) — это множество
всех комплексных функций на Z(n), где Z(n) — множество целых чисел по модулю
п. Определим F: C(Z(n))-*C(Z(n)) следующим образом:
п-1
СРПСх) = 4= Σ/№)ε2π**/π для χ € Ζ(η).
1 п_1
а) Покажите, что TrF = -±= Σ е2** /π·
vnfc=o
Указание. Используйте функции δχ, χ€Ζ(η), где 5х(у) = 0, χ/у, и δχ(χ) = 1, в
качестве базисных функций на Ζ(η).
б) Докажите, что (F2/)(x)=/(—х). Отсюда следует, что F4 = id и, таким образом, ±1,
±i — это собственные значения F. Пусть тъ т2, m3, m4 —это кратности значений 1,
i, —1 и —i соответственно. Тогда тх + т2 + т3 + т4 = 1.
в) Покажите, что TrF2 = l, и выведите, что т1— т2 + тъ — т4 = 1.
г) Покажите, что
п-1
Используя а), получите равенство
e2nik2/n
2
= 1.
(m1-m2)2 + (m3-m4)2 = l.
д) Докажите, что
w «/, [(тх-тз)^1-^2, n = l(mod4),
detF = i(m2~m4)+(mi~m3)~(n+1)/ = Ί
l(m2-m4)i(1-,,)/2, n = 3(mod4),
и также
detF = det(-±ze2nixy/n) = Ki(1-n)/2,
где К — положительное число.
е) Покажите, что тпх = а+1 и что m2 = m3 = m4 = α, когда π = 4α + 1, и m1 = m2 = m3 = α
и m4 = α — 1, когда п = 4α — 1.
1 П_1 · 2
ж) Найдите значение -ρ Σ β2π* /п для нечетных п. (Шур)
νΠ*=ο
Пусть m — натуральное число и пусть χ — характер на группе Z(m)*. Функция
χ может быть определена на всех целых числах, если положить χ(κ) = 0, когда
НОД№, гл)>1. Очевидно, что χ имеет период т. Мы будем называть характер χ
элементарным, если он не имеет меньшего периода. Далее, характер χ четный, если
#(—1) = 1, и нечетный, если #(—1) = —1. Также определим
&(*) = Σ*(η)β2» и &(*)=*(*).
п=0

70
Глава I Гамма- и бета-функции
AS. Пусть для α € Ζ(ρ) Ν(χη = α) обозначает число решений уравнения хп = а. Докажите
для Ν|ρ —1, что
где суммирование идет по всем нетривиальным характерам с порядками,
являющимися делителями числа п.
Пусть α — ненулевое целое число. Рассмотрим эллиптическую кривую Е,
определенную уравнением Xqx\— х\ — ах3 = 0, которая в аффинных координатах имеет
вид у2=х3 + а. Предположим, что рф2 или 3 это простое число, которое не
является делителем а. Тогда у2 = χ3 + α — это эллиптическая кривая над Ζ(ρ) с точкой
в бесконечности. Если Νρ обозначает число точек кривой из множества Ζ(ρ), тогда
Np = l+N(y2=x3 + a).
а) Покажите, что если ρ = 2 (mod 3), то Νρ = ρ +1.
б) Пусть ρ ξ 1 (mod 3), и пусть #3 и #2 обозначают кубический и квадратичный
характеры в Z(p)*. Заметим, что
N(y2 = jt3 + a)= 2 N(y2 = u)N(x3 = -i/).
Покажите, что
Np = p + 1 + Х2Хз(аШХ2> Хъ) + XiXs(а) ' Д*2> *з·
в) Покажите, что если Np = ρ +1 — αρ, то |αρ| < 2^/р.
49. С помощью метода, использованного в предыдущей задаче, покажите, что
|N(x3 + y3 = l)-p + 2|<21/p.
Упражнения 48 и 49 представлены в книге [200, гл. 8 и 18].
50. Докажите, что если χ — элементарный характер, то
_ [~x№z№> K0I*a Н°Д№> ™) = *>
|θ, когда НОДОс, гл) > 1.
Определим L-функцию Дирихле с помощью соотношения
п=1
Ряд сходится при Re s > 0, когда характер χ нетривиален, т. е. χ(η) Φ1 хотя бы для
одного neZ(m)*.
51. а) Докажите, что если характер χ нетривиален, то
m-l
L(*>»=^ Σ&(*>1η(1 -е_2я*/т)·
б) Покажите, что если характер # примитивный, то
«*.1)--**^ Σ 7ft)ina-e-**^)—гЬШй Σ J(fc)(lnsing+^i).
fceZ(m)* fc€Z(m)*
в) Покажите, что если характер χ четный, то ^Yik)k = 0, а если χ нечетный, то
Σ 7№) In sin — =0.

Упражнения
71
■-=-^- 2а XW In sin —, когда характер χ четный,
m fc€Z(m)* Ш
k<m/2
—Г" 2j #(*)*> когда характер χ нечетный.
m fc€Z(m)*
г) Докажите, что
52. Докажите, что
а) Шадхава-Лейбнац) 1 -1 +1 -1 +... = J;
б) (Ньютон) i + i-I-i + i + ±-... = -^;
-)<3iU*)l44-H-i + -" = I^
Wf,M л-1,1 1,1 1 1.1, π
Γ) (ЭиЛвр) 1 + --- + ^---- + -+...= -;
λ ι 1 1 ι 1 ι 1 1 1.1.1 2ι 1+^5
Д) 1—« — ο + τ + 7"-- — « + « + ττ — — = "7=1η —-—.
2346789 11 ^5 2
Ряд для π/4, обычно называемый формулой Лейбница, был известен еще Мадхаве
в четырнадцатом веке (см. [324]). Ньютон [281] вывел свой ряд в ответ на формулу
Лейбница, вычислив интеграл:
двумя различными способами. Ряды в) и г) Шарлау и Ополка [332] приписывают
Эйлеру.
Определим обобщенные числа Бернулли формулой
Σχ(α)χεαχ _ уч χ^_
a=l n=0
53. а) Докажите следующее функциональное уравнение для L{x,s), где χ
—примитивный характер:
L(y л-*Ю(2*У LQcAs)
U*'SJ~ 2^U;r(5)cos^'
где δ = О или 1 в зависимости от того, является ли χ четным или нечетным.
Указание. Рассмотрите интеграл
с
t5"1 Σ *(<0eal
α=1
emt-l
S g-! *·
где контур С такой же, как в задачах 23 и 24. Повторите процедуру, описанную
в этих задачах.
б) Покажите, что для любого целого η > 1 выполняется равенство
в) Докажите, что для любого η > 1 и η = δ (mod 2) (символ δ определен так же, как

72
Глава I Гамма- и бета-функции
54. Пусть Ρ — это любая точка между 0 и 1. Покажите, что
I U J Г(1-а)Г(1-0)Г(а + 0Г
Обозначения подразумевают, что интегрирование происходит по контору, который
начинается в точке Р, обходит точку 1 в положительном направлении (против
часовой стрелки), возвращается в Р, затем обходит начало координат в положительном
направлении и возвращается в Р. Символы 1—, 0— показывают, что теперь контур
интегрирования обходится по часовой стрелке, сначала вокруг 1, а потом вокруг О
(см. [423, с. 256-257]).
55. (Арен и Рубин) Пусть G{z) = ]nT{z). Покажите, что
а) если χ > 1/2, то Re G"{x + iy)>0 для всех действительных у;
б) если χ < 1/2, то Re G"(x + iy) < 0 для всех достаточно больших у;
в) если 1/2 < α < b, тогда:
ПЬ + fy)
argT(a + iy)
является возрастающей функцией от у на интервале (— оо, оо);
г) утверждение п. г) верно также, если 0<а<1/2иЬ>1 — а.
56. Покажите, что
Эта задача была предложена Армендом [6].

ГЛАВА 2
Гипергеометрические функции
Почти все основные элементарные математические функции являются или
гипергеометрическими функциями, или их отношениями. Ряд £ сп называется
гипергеометрическим, если отношение сп+1/сп — это рациональная функция
параметра п. Многие неэлементарные функции, которые используются в
математике и физике, также имеют представления в виде гипергеометрических
рядов.
В этой главе мы рассмотрим три важных подхода к гипергеометрическим
функциям. Первый — эйлеровское представление в виде интеграла дробного
порядка—легко приводит к выводу важных тождеств и преобразований
гипергеометрических функций. Второй метод—линейное дифференциальное уравнение
второго порядка, которому удовлетворяет гипергеометрическая функция. Это
уравнение также было получено Эйлером и затем изучалось Гауссом. Позже Ри-
ман заметил, что характеризация уравнения второго порядка с тремя
регулярными особыми точками приводит к мощной методике, требующую минимальных
вычислений, для получения формул для гипергеометрических функций.
Третий подход — это представление Барнса гипергеометрической функции в виде
контурного интеграла, который можно рассматривать как формулу обратного
преобразования Меллина. Некоторые из интегралов, которые здесь возникают,
являются обобщениями бета-интегралов. Они также возникают в соотношениях
ортогональности для некоторых специальных ортогональных многочленов.
Гаусс получил полный список соотношений смежности для функций 2?ъ
чувствуя их важность. Они имеют множество приложений. Мы покажем, как
они приводят к некоторым разложениям гипергеометрических функций в
цепные дроби и также содержат трехчленные рекуррентные соотношения для
гипергеометрических ортогональных многочленов. В этой главе мы обсудим
один из примеров последних, а именно многочлены Якоби.
§ 2.1. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Гипергеометрический ряд — это такой ряд J] сп, что сп+1/сп является
рациональной функцией п, т.е. cn+1/cn = P(n)/Q(n), где Ρ и Q — многочлены от п. Разлагая
многочлены Ρ и Q на множители, получим
сп+1 (η + αι)(η + α2)-(η + αρ)χ
сп (п + Ъ{Кп + Ъ2)...{п + bq)(n +1) · ^ΔΛΛ)
Множитель χ возникает потому, что многочлен может быть не нормирован1.
Множитель η +1 может возникнуть из факторизации, а может и не возникнуть.
Если он не возникает, то добавим его вместе с компенсирующим множителем
п +1 в числителе. Сейчас причиной для включения этого множителя является
ι Многочлен называется нормированным (monk), если коэффициент при старшей степени равен
единице.

74
Глава 2. Гипергеометрические функции
сп+1
введение п! в гипергеометрический ряд Σ°η- Этот множитель удобно иметь
в гипергеометрических рядах, поскольку он часто возникает естественным
образом во многих случаях, которые достаточно важны, для того чтобы дать
им названия. Позже в этой главе мы назовем и более существенную причину.
Из формулы (2.1.1) имеем
Σ.-·Σ|^?=^Λ(«.;:;«:;4 ω
Здесь bt не могут быть отрицательными целыми или нулем, поскольку это
привело бы к обращению в нуль знаменателя. По причинам типографского
характера мы будем иногда обозначать сумму в правой части равенства (2.1.2)
так: pFq(al9..., ар; Ъъ..., bq; χ) или pFq. Для определения сходимости ряда (2.1.2)
естественно применить признак Далабмера1. Таким образом,
IxIn^-Hl + lail/nJ-d + lapl/n)
|(1 + 1/п)(1 + Ь1/п)...(1 + Ь,/п)| "
Непосредственным следствием этого является такое утверждение.
Теорема 2.1.1. Ряд pFq(al9..., ар; Ъъ ..., bq; x) сходится абсолютно для всех х,
если ρ <q, и для \х\ < 1, если ρ = q +1, и расходится для всех хфО, если ρ > q +1
и ряд не обрывается.
Доказательство. Очевидно, что |сп+1/сп|-*0 при п-*<», если p<q. При
p = q + l выполняется равенство lim|cn+1/cn| = |х|, а для p>q + l мы имеем
lcn+i/cJ "~* °° ПРИ п "~* °°· Теорема доказана. D
Случай \х\ = 1, когда ρ = q +1, представляет большой интерес. Следующий
результат дает условия сходимости в этом случае.
Теорема 2.1.2. Ряд q+iFq(al9 ...,aq+1;b!,...,bq;x) при \х\ = 1 сходится
абсолютно, если
Re&-EaO>0·
Ряд сходится условно, если χ = elQ φ 1 и
0>Re(Yibi-Yiai)>-l,
и расходится, если
Re(Zb«-Ea0<-1·
Доказательство. Коэффициент n-το члена ряда q+iFq равен
(fll)n-"(gg+l)n
и, как следует из определения гамма-функции, этот член имеет порядок
. ΠΓ(α,) Σα-α,-ι
Ппь.)
ι Β оригинале ratio test.

§2.1 Гипергеометрические ряды
75
при η —> оо. Обычно для получения этого результата используют формулу
Стерлинга, но в этом нет необходимости (см. формулу (1.4.3)). Отсюда
непосредственно следуют утверждения об абсолютной сходимости и расходимости.
Утверждение теоремы, касающееся условной сходимости, может быть доказано с
помощью суммирования по частямх D
В этой главе изложение будет в основном касаться частного случая — ряда
2Fi(a,b;c;x), хотя в нескольких местах будут рассмотрены более общие ряды.
Ряд 2^1 изучался Эйлером, Пфаффом, Гауссом, Куммером и Риманом. Большая
часть этой и следующей глав посвящена обсуждению их основополагающих
идей.
Мы уже упомянули, что 2рЛа> Ь; с; х), вообще говоря, расходится для х = 1
и Re(c—a —b) <0. Следующая теорема, принадлежащая Гауссу, описывает
поведение ряда при χ -* 1 — 0. Доказательство будет дано далее в тексте в том месте,
где оно возникает естественным образом.
Теорема 2.1.3. Если Re(c — a — b) <0, тогда
2Fl{a,b;c;x) Г(с)Г(а + Ь-с).
х^о (1-*)<-*-* Г(а)Г(Ь) '
и для с = а + Ъ выполняется соотношение
2F1(a,b;a + b;x) _ Г(а + Ь)
JS!o ln(l/(l-x)) Г(а)Г(Ы
Следующий результат, касающийся частичных сумм ряда 2^ι(α, Ь; с; 1),
принадлежит Хиллу [193]. Его можно обобщить на случай p+iFp. Доказательство
предоставляется читателю в качестве упражнения.
Теорема 2.1.4. Пусть sn обозначает п-ю частичную сумму ряда 2^ι(α, Ь; с; 1).
Тогда для Re(c —a —b) <0 выполняется соотношение
Г(с)п'
а+Ь-с
п Г(а)Г(Ь)(а + Ь-с)'
и для с = а -I- Ъ — соотношение
Г(с)1пп
5„~
" Г(а)Г(Ь)"
Утверждение теоремы выглядит достаточно естественным, если заметить,
что п-й член ведет себя как
„ Г(С) д+Ь-с-1
Г(а)Г(Ь)п
Необходимый результат получится, если мы заменим сумму на интеграл.
ι То есть дискретный аналог интегрирования по частям:
М М-1
п=1 п=0
У нас в учебниках это называется преобразованием Абеля.

76
Глава 2. Гипергеометрические функции
Многие из элементарных функций имеют представления в виде
гипергеометрических рядов. Здесь мы рассмотрим несколько примеров:
ln(l + x) = x2F1(Y;-x); (2.1.3)
arctgx = x2F1(1^1;-x2); (2.1.4)
arcsin χ = χ 2Рг( 1/23·^2; х2); (2.1.5)
(l-x)-a=1F0(a;x). (2.1.6)
Последнее соотношение является просто биномиальной теоремой1. Также
имеем
sinx = xQF1(~2; -x2/4); (2.1.7)
cos x = 0Fi{^2'· _χ2/4); (2.1.8)
ex = x0F0(—;x). (2.1.9)
Следующий набор примеров использует предельные переходы:
** = ■$?.*№ 55> (2-LU)
1F1C;,)=lim2F1(a;b;f); (2.1.12)
Λ(Τϊ')=4£?.Λ(β,Γ6··έ)· (2·Ι13)
Пример ln(l — χ) = —дс 2FX (1,1; 2; jc) показывает, что, хотя ряд сходится при
\х\ < 1, он имеет продолжение как однозначная функция в комплексную
плоскость, из которой исключена линия, соединяющая точки 1 и оо. Это
соответствует общей ситуации; функция 2FX имеет продолжение в комплексную плоскость
с точками ветвления в 1 и оо2.
Определение 2.1.5. Гипергеометрическая функция 2F\ (α, Ь; с; х)
определяется
Zj (c)nnl х
п=0
при |х| < 1 и своим аналитическим продолжением вне этой области.
Обычно слова «гипергеометрическая функция» относятся к функции
2Fi (a, b; с; χ), Мы в основном будем следовать традиции, но упоминание о
гипергеометрическом ряде не обязательно означает лишь 2F\* Гипергеометрическим
рядом будет называться ряд, определенный в формуле (2.1.2).
ι Термин, у нас не принятый. Имеется в виду разложение (1 -х)~° = 1 + ах+... в тейлоровский
ряд.
2 Надо сказать аккуратнее. Выйдя из 0 и обойдя 1, мы окажемся на другой ветви, которая уже
имеет ветвление в нуле. Как ясно из рассмотрений в § 2.3, других ветвлений, кроме 0, 1, »,
быть не может.

§ 2.2. Интегральное представление Эйлера
77
§ 2.2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЙЛЕРА
В следующей теореме содержится важное интегральное представление функции
2FX, принадлежащее Эйлеру [125, т. 12, с. 221—230]. Этот интеграл также может
быть интерпретирован как интеграл дробного порядка, что обсуждается в § 2.9.
Теорема 2.2.1. Если Rec>Reb>0, то
в плоскости х, разрезанной вдоль действительной оси от 1 до °°. Здесь
подразумевается, что arg t = arg(l — t) = 0 и (1—xt)~a принимает свое главное значение.
Доказательство. Предположим сначала, что |х|<1. Разложим С1 — jet)-°
по биномиальной теореме, представленной формулой (2.1.6), тогда правая часть
формулы принимает вид
Г(с) V1 И l
L V ±«кхп С fn+b-l (1 _ 0c-b-l dt
с-Ь) Δα п\ J
Г(Ь)Г(с _ ... п
Это бета-интеграл, который, будучи выражен через гамма-функцию, равен
Г(п + Ь)Г(с-Ь)
Г(п + с)
Подставив это отношение в предыдущее выражение, получим
Г(с) У^(а),Г(п + Ь) рГа,Ь. Λ
T(b)Zj п!Г(п + с) * -2^ с >*J·
п=0
№ этого следует утверждение для |х| < 1. Поскольку интеграл аналитичен на
разрезанной плоскости, теорема верна также и в этой области. D
Интеграл в теореме 2.2.1 можно рассматривать как аналитическое
продолжение ряда 2^ь но только когда Rec>Reb>0. Функция {\ — xi)~a в
подынтегральном выражении является в общем случае многозначной, и можно
изучать многозначную структуру функции 2^ι (α> Ь;с;х), используя этот интеграл.
Для более глубокого обсуждения потребовалось бы рассмотрение некоторых
идей теории римановых поверхностей, которые выходят за рамки этой книги
(см. [222]).
Важно также отметить, что мы рассматриваем 2^Ла> Ь;с;х) как функцию
четырех комплексных переменных а, Ь, с и χ вместо одной переменной х. Легко
видеть, что ρ7-τ2^ι(α> Ь; с; х) есть целая функция от а, Ь, с, если χ фиксировано
и |дс| < 1, поскольку в этом случае ряд сходится равномерно в каждой компактной
области пространства переменных а, Ь, с. К параметрам а, Ь, с может быть
применено аналитическое продолжение. Результат может быть получен при
некоторых начальных ограничениях и потом расширен. Например, справедлив
следующий результат.
Теорема 2.2.2 (Гаусс [158]). Для Re(c —a —b)>0 выполняется равенство
Σ°° (а)п(Ь)п Г(а,Ъ.Л= Г(с)Г(с-а-Ь)
п\(с)п 2ГЧ с >L) Г(с-а)Г(с-Ь)*

78
Глава 2. Гипергеометрические функции
Доказательство. Перейдем к пределу при χ -* 1—0 в интеграле Эйлера для
2FX. Результатом, согласно теореме Абеля о непрерывности1, будет равенство
2Ч с Л)-Г(Ь)Г(с-Ь) У (1"° dt-r(c-a)r(c-by
когда Rec>Reb>0 и Re(c — a — b)>0. Условие Rec>Reb>0 может быть
устранено аналитическим продолжением. Однако поучительно рассмотреть
доказательство, которое не использует принцип аналитического продолжения.
Нашей первой целью является доказать соотношение
*(V=0-%№*(«■& ι). азл
Если
_ (а)па>)„ _ (а)„(Ь)„
Λη — _,, ν И £>„ —
п!(с)„ "» п!(с + 1)„·
то
с(с_а_ИЛ_(с_а)(с_МВ„ = ;^[с-а-Ь-£^]
^-(„ + 1М^ = ^[„-<£±^].
Таким образом, поскольку правые части в двух последних выражениях равны,
мы получаем
с(с — а — Ь)Ап = {с — а){с — Ъ)Вп + спАп — с{п +1) Ап+1
и
с(с-а-Ь)^Ап = (с-а)(с-Ь)^Вп-сда+1Мм.
о о
Теперь устремим N —> оо и заметим, что (N + 1)AN+1 ~ l/iV0"^1-b -* 0, поскольку
Re(c—a—b) > 0. Отсюда следует соотношение (2.2.1). Производя итерацию этого
соотношения η раз, получим
Г(с-а)Г(с-Ь) f Q,b. ^ _ Г(с + п-а)Г(с + п-Ь) р ( а,Ъ «\
Г(с)Г(с-а-Ь)2 Ч с '-V Г(с + п)Г(с + п-а-Ь)2 Чс + гГ Г
Легко проверить, что правая часть стремится к 1 при п—> оо. Отсюда следует
утверждение теоремы для Re(c — a — b)>0. Эта теорема называется формулой
суммирования Гаусса. D
Случай, когда один из верхних параметров является отрицательным целым
числом, делая таким образом 2F\ конечной суммой, стоит упоминания2.
Вообще-то, этот результат был известен китайскому математику тринадцатого века
Чу и был открыт заново позднее (см. [21, гл. 7]).
Следствие 2.2.3 (Чу—Вандермонд). Справедливо равенство
(с-а)п
Л("Г:>)-
(с)„
ι См. добавление Б
2 Он часто встречается ниже. В этом случае говорят, что ряд — «обрывающийся» (terminating).

§ 2.2. Интегральное представление Эйлера
79
Интеграл Эйлера для 2F\ может быть обобщен на случай pFq. Перепишем
его в виде
АС·» = ТШЬ) \ ^d-O--1 ACa;*)dt.
Таким образом, интегрирование XF0 с весом, заданным бета-распределением
tb-1(l — t)c~b~l, дает 2^ι, т.е. параметр Ъ добавляется в числитель, а с —в
знаменатель исходного ряда iF0(a;t).
В более общем случае имеем
гаъ ...,αρ,αρ+1 ч _ Г(Ь,+1) J χ
>+1'<+1l blf..., bq, bq+1 ' *J ~ Γ(αρ+1)Γ№ς+1 -αρ+1) J f
x a-t)b^-^-\Fq{lli'''iap;xt)dti (2.2.2)
когда Re bq+1 > Re ap+1 > 0. Это условие необходимо для сходимости интеграла.
С помощью замены переменных выражение в правой части равенства (2.2.2)
также можно представить в виде
Гг/У^а 1 I t^-\X-t)b,^-\Fq(l*>-'a>;t)dt. (2.2.3)
Γ(αρ+ι)Γ№ς+1-αρ+1) J ρ 4vblf...,bq У
Отметим еще, что соотношение (2.2.2) можно использовать для изменения
значения параметра в числителе или в знаменателе в выражении
pFq{al9..., αρ; Ъъ ..., bq; x).
Например, взяв ap+l=bq в формуле (2.2.2), получим
/ alf...,ap ш \ _ Г(Ь,+1)
Λ4,...Α-ιΑ+ι ^ r(bq)r(bq+1-bq)
ι
х 5^-1(l-0bq+1"bq"1pFq(^1,,,,,^;jct)dt. (2.2.4)
о ь1? ...,bq
Необходимо отметить, что когда в формулах с (2.2.2) по (2.2.4) χ — комплексная
переменная, то pFq является, вообще говоря, многозначной функцией. Таким
образом, область изменения переменной χ должна быть ограничена таким
образом, чтобы функция pFq была однозначной. Мы отметим частный случай (2.2.4).
Теорема 2.2.4. Для Re О Red >0, хф\и | arg(l —х)| < π верно равенство
Отметим одну тонкость, связанную с интегралом Эйлера для 2F\. Функция
2F1? очевидно, симметрична по верхним параметрам а и Ь, в то время как
не очевидно, что интеграл остается неизменным при перестановке а и Ь.
Эрдеи [116] нашел двойной интеграл, из которого могут быть получены оба
интегральных представления:
Г(а)Г(Ь)ГГ(с-]1)Г(с-Ь) | S t^Cl-t)-*-1 x H-s^Hl-tsx^dtds.
(2.2.5)
χ

80
Глава 2. Гипергеометрические функции
Следующая теорема дает важное приложение интеграла Эйлера к выводу
двух формул преобразований гипергеометрических функций.
Теорема 2.2.5. Справедливы равенства
2Fi(a'cb;x) = (l-x)-a2F1(a>c-b;^), (Пфафф) (2.2.6)
2F1(a^;x) = (l-Jr)c-a-Vi(C"a;C_b;4 (ЭйлеР} (227)
Доказательство. Заменим t на 1—s в интеграле Эйлера (теорема 2.2.1)
и получим
'*№*)=rd^
= (1-*ГТ(с) \r __xsjpsc-b-iQ_s)b-ids
Г(Ь)Г(с-Ь) Η1 χ-lJ s u SJ as'
Это доказывает преобразование Пфаффа [287] для Re с > Re b > 0. Полностью
результат будет доказан после аналитического продолжения по с и Ь.
Гипергеометрическая функция симметрична по параметрам а и Ь, так что
мы можем применить к ней преобразование Пфаффа:
л(^')=«-"1>-АГлГГ^)'
Это формула Эйлера [126]. Теорема доказана. D
Ряд в правой части формулы преобразования Пфаффа сходится при
\х/(х —1)1 <1. Это условие выполняется при Re χ < 1/2; тогда мы имеем
продолжение ряда 2РЛа> Ь; с; х) в эту область по формуле Пфаффа.
Следующие два примера показывают мощь формул преобразования.
Согласно преобразованию Пфаффа
В гл. 1 мы показали, как гамма-функция может использоваться для изложения
некоторых аспектов теории тригонометрических функций. Из
вышеприведенных соотношений можно вывести соотношения между тригонометрическими
функциями в прямоугольном треугольнике.
В качестве второго примера запишем преобразование Эйлера в виде
С1-х)^А(в^*) = А(е-в;с-ь;*).
Приравняем коэффициенты при хп в обеих частях и получим
Σ
{а)^Ь)^с-а-Ь)пЧ (с-а)п{с-Ъ)п
. Λ jWjin-jV. n№n
Перепишем это в следующем виде.
Теорема 2.2.6 (Пфафф—Заалыиютц). Справедливо равенство
-п,а,Ъ -λ (с-а)п(с-Ъ)п
зРАс,1 + а + Ъ-с-пЛ)- {c)n{c-a-bV (2'2·8)

§ 2.2. Интегральное представление Эйлера
81
Формула суммирования Гаусса для 2F\ (теорема 2.2.2) получается при
стремлении η -* оо. Корректность процедуры взятия предела может быть
подтверждена теоремой Таннери, которая является дискретной формой теоремы Лебега
о мажорированной сходимости1. Утверждение теоремы 2.2.6 было впервые
получено Пфаффом [288], а затем, заново, — Заалыиютцем [328]. Часто ее
называют теоремой Заалыиютца, но такое название не отдает должного Пфаффу.
Удивительно, но похоже, что частный случай теоремы был найден Чу (см. [377]).
Замечание 2.2.1. Тождество Чу—Вандермонда (следствие 2.2.3) дает сумму
обрывающегося ряда 2^1- Тождество Пфаффа—Заалыиютца касается такого частного случая 3F2,
что сумма параметров в знаменателе на единицу больше суммы параметров в числителе.
Такой ряд называется уравновешенным. Это тождество было получено путем
факторизации 2^ι, и стоит отметить, что тождество Чу—Вандермонда может быть получено из
факторизации ^0. В самом деле, можно приравнять коэффициенты при хп в левой
и правой частях равенства
(1 - х)-" (1 - х)"6 = (1 - *Г(а+Ь)
и получить эквивалентное тождество
S(g)fc(b)n.fc _ (а + Ъ)п
к\(п-к)\ п\ '
Jt=0
Правая часть формулы преобразования Пфаффа, будучи разложена в ряд, равна
S(q)fc(c-b)fc k rV^_Vy(e)*(c-b)fc gtfl + Bj |
(c)fcfcl l } U } "ZjZj (c)kk\ l X) j\ Xu
k=0 K Jt=0 j=0 JK J
Заметим, что (a)k(a + fc); = (a);+jt; тогда запишем ; -l-к = η и увидим, что сумма равна
V &к V (-»)fc(c-b)fc „ yi (a)n(b)n
где внутренняя сумма была вычислена с помощью тождества Чу—Вандермонда. Таким
образом, мы получили другое доказательство формулы для преобразования Пфаффа.
Следующее определение подсказано формулой Пфаффа—Заальшютца.
Определение 2.2.7. Ряд
f^a; »
называется уравновешенным, если χ=1, один из параметров числителя является
целым отрицательным числом и аг +... + ар+1 = Ьх +... + Ьр.
Замечание 2.2.2. Тождество Пфаффа—Заальшютца может быть переписано в виде
(c)^c + a + b)n3F2(c^:abC^c;l) = (c + a)n(c + b)n.
Это полиномиальное тождество относительно a, b, с. Дуголл [107] заметил, что обе части
равенства являются многочленами степени π по а. Следовательно, равенство верно, если
обе части равны для η +1 различных значений а. Очевидно, утверждение верно, когда
ι Пусть сп>0 и ряд £сп сходится. Пусть для любого η последовательность ап стремится к ап,
причем \ап | < \сп\ для всех j. Тогда Σ αη ~* Σ αη· Это частный случай теоремы Лебега, в качестве
η J
«пространства с мерой» рассматривается множество натуральных чисел.

82
Глава 2. Гипергеометрические функции
п = 0. Предположим, что оно верно для п = 0, 1, ..., £— 1. Теперь положим п = к. Из
симметрии между α и π следует, что равенство верно для а = 0, 1, ..., к — 1. Это дает
к значений; следовательно, если мы сможем найти еще одно значение а, для которого
тождество выполняется, то оно будет доказано. Заметим, что
(1-a-b-n.c),=C-l)'(c + a + b)_,.
Таким образом, если а = —Ь = —с, то обе части тождества равны (—а)п(—Ь)п. Таким
образом, тождество доказано. Дуголл показал, что этим методом может быть доказано
более общее тождество. А именно,
(а, 1 + L·, -b, -с, -d, -e, -п А
ι ί1 =
±a,l + a + b,l + a + c,l + a + d,l + d + e,l + a + n у
= (l + a)n(l + a + b+c)n(l + Q + b + d)n(l + a + c + d)n
a + a + b)n(l + a + c)n(l + a + d)n(l + a + b+c + d)n' l * *
где l + 2a + b + c + d + e + n = 0Hn — натуральное число. Это условие означает, что ряд
обрывается и что сумма параметров знаменателя на 2 больше суммы параметров
числителя. Такой ряд называется 2-уравновешенным (1-уравновешенный ряд уравновешен, как
в теореме Пфаффа—Заалыпютца). Отметим, что сумма параметров в столбцах в функции
7F6 дает ту же величину. Таким образом,
1 + а = 1 + ^а + ^а = 1 + а + Ь-Ь = 1 + а + с-с
и т.д. Ряды такого типа называются хорошо уравновешенными. Тождество Дуголла
дает сумму для класса хорошо уравновешенных 2-уравновешенных рядов 7F6. Такой ряд
называется очень хорошо уравновешенным, поскольку ряд содержит множитель
(1"),
(а
а + 2к
Jk
Это тождество было получено Рамануджаном примерно в то же самое время, когда
и Дуголлом (см. [182, с. 102]). Доказательство тождества (2.2.9) приведено ниже. Для
того чтобы получить другое важное тождество из тождества Дуголла, перейдем к пределу
при η —»оо и получим
^|,a + b+l,a + c + l,a;fd + l J
(2.2.10)
_ r(a + b+l)r(a + c + l)r(a + d+l)r(a + b + c + d+l)
"" r(a + l)(a + b + c+l)r(a + b + d + l)r(a + c + d+l)
если Re(a + b + c + d +1)>0. Затем возьмем d = —a/2 и получим
F( *,-Ъ,-с л г(| + 1)г(а + Ь+1)Г(а + с + 1)г(| + Ь + с + 1)
3 Ча + Ь+1,а + с + 1' J Г(а + 1)г(| + Ь+1)г(|+c + l)r(a + b + c + l)"
Это равенство дает сумму общего хорошо уравновешенного 3^2-ряда. Оно было получено
Диксоном [105]. Возможность взятия предела подтверждается теоремой Таннери. Более
общий, чем (2.2.10), результат был получен Роджерсом в работе [313]. Этот результат
будет представлен позже.
Зам ε чан и ε 2.2.3. Мы видели, что тождество Чу—Вандермонда может быть получено
из интеграла Эйлера, выписанного в теореме 2.2.1, которая является непосредственным

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
83
следствием выражения для бета-функции. Верно и в некотором смысле обратное
утверждение. Тождество Чу—Вандермонда есть дискретный аналог формулы для
бета-интеграла
J Γ(α + b)
По замечанию 2.2.1 имеем
π! γ1 (в)*(Ь)п-* _Ί
Мы коротко поясним доводы, показывающие, что предельный вид этого тождества —
формула для бета-интеграла. Перепишем тождество в виде
(п + 1)1 1 У"»
(a + Wn'n + lfJ
(аМЪ)п-к =1
и η W(n-fc)!
Jt=o
или
ιΐ-βΓ/Λ. /ыитп -l ι ΙτλΙ—Ь,
Лп + iZj (n + D^^Ca + Wn/n! U + lJ ν n + lJ
Напомним, что по определению
(a),(fc + l)1-fl_ 1
к-»» Μ Γ(α)
Если мы разобьем суммы следующим образом:
1η π π—In π π
fc=0 In π π—In π
то первая и третья суммы будут стремиться к нулю, а вторая будет стремиться к
Πα + Ь) ρ ta-i(1, t)b-idt ^
Г(а)Г(Ь) J 1 ; р
Это выражение равно единице, и таким образом, мы получили требуемый результат.
Читателю предлагается попробовать найти непрерывный бета-интеграл, который
соответствует формуле Гаусса для функции 2Fi при х = 1.
§ 2.3- ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Гипергеометрическая функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
второго порядка с тремя регулярными особыми точками. Это уравнение было
введено Эйлером [125] и широко изучалось Гауссом [158] и Куммером [242].
Риман [309] разработал более абстрактный подход, который очень важен.
Наше изложение будет в основном следовать идеям Римана в более явной
форме, представленной Паперицем [285]. Читатель, не знакомый со свойствами
дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками в виде рядов,
может найти для себя полезным сначала ознакомиться с добавлением Е1.
ι Стоит формулировать логические связки более формально. Говорят, что 0 — регулярная особая
точка уравнения (2.3.1), если оно имеет вид
у" + х~1и(х)у/ + x~2v(x)y = 0,

84
Глава 2. Гипергеометрические функции
Пусть ρ (χ) и q(x) — мероморфные функции. Предположим, что уравнение
§ + P(*)^ + qWy = 0 (2.3.1)
имеет регулярные особенности лишь в конечных точках α, β, γ и что
определяющие уравнения в этих точках имеют решения аъ а2; Ъъ Ъ2 и сг; с2
соответственно. Предположим, что а1 — а2) Ьг — Ъ2 и сг — с2 — нецелые числа.
Проследим условие отсутствия особенности на <». Положим x = l/t, тогда
дифференциальное уравнение примет вид
§ + (f - ?p(1/'))3f + 7qa/t)y = °· (2·3·2)
Поскольку о© является не особой точкой, функции 2х — х2р(х) и x4q(x) ана-
литичны в оо. Более того, поскольку α, β, γ являются регулярными особыми
точками, мы имеем
р(*) = —+ -Λ*+ —+ "ι(χ)
г χ — α χ — β χ — γ L
U-a)U-/3)(x-r)qU)=^ + ^ + ^ + u2W,
где иг(х) и и2(х) являются аналитическими функциями.
Два последних соотношения и аналитичность функций 2х — х2р{х) и x4q(x)
в бесконечности влекут, что А + В + С = 2 и и1(х) = и2(х) = 0. Рассмотрим ре-
00
шение, имеющее вид J] αη(χ — α)η+λ, где характеристическая экспонента λ
удовлетворяет определяющему уравнению
А(А-1) + ЯА + т ^ г = 0.
Поскольку аг и а2 — корни этого уравнения, мы имеем
аг + а2 = 1 — А
D
а1а2~ (α-βΚα-γΥ
Следовательно,
А = 1 — а1 — а2 и D = (а — /3)(а — тОа^.
Аналогично
B = l-bx-b2 и E = (/3-a)(/3-r)b1b2
где и(х) и υ Μ аналитичны вблизи нуля. Мы ищем решения в виде ряда γ(χ) = χμ Σ cjx*-
Обозначим /ι(μ) = μ(μ — 1) + ϋ(0)μ + ν(0). Подставляя у (х) в уравнение, получаем
/ι(μ)^"2 + [θχ/ι(μ +1) - Т0с0]х^3 + [ο2/ι(μ + 2) - 7*^ - 7? с^дс^4 +... = 0,
где 7JJ —линейные выражения от тейлоровских коэффициентов функций u(x), ι;(χ)· Приравняем
коэффициенты к нулю. Во-первых, h (μ) = 0 («определяющее уравнение», его корни —
«характеристические экспоненты»). Если μ — корень, мы полагаем с0 = 1 и дальше последовательно находим
съ с2, ... Это возможно, если /ι(μ+1)^0, /ι(μ + 2), ..., т.е. если разность характеристических
экспонент не целая, см. [474].

§2.3. Гипергеометрическое уравнение
85
С = 1-сг-с2 и F = (y-a)(r-j3)ciC2.
Поскольку А + В + С = 2, характеристические экспоненты дифференциального
уравнения связаны соотношением
аг + a2 + bx + b2 + cx + с2 = 1. (2.3.3)
Мы собрали полученные результаты в следующей теореме, принадлежащей
Паперицу [285].
Теорема 2.3.1. Дифференциальное уравнение с тремя особыми точками а,
β, γ и характеристическими экспонентами аь а2; Ьъ Ъ2; и съ с2 соответственно
имеет вид
Й2
d2y fl-ai-a2 1-Ъг-Ъ2 l-cl-c2^dy |
dx2 1 χ —α χ —в χ —γ ϊdx
ι!
άχ2 Ι χ — α χ —0 χ — γ J dx {χ — ά){χ — β){χ — γ)
(α-β)(α-γ)α1α2 | QB-oQQB-г)ЬА | fr-aXr-fl)^] =0
χ —a jc — /8 χ —^ J '
и характеристические экспоненты удовлетворяют условию (2.3.3).
Общепринято брать в качестве особых следующие точки: 0, 1 и оо. Тогда
положим а = 0, β = 1 и γ-*<χ> в полученном дифференциальном уравнении
и будем иметь
х2(х-1)20 + {(1-а1-а2Мх-1)2 + (1-Ь1-Ь2)х2(х-1)}^ +
+ {αλα2(\ -х) + bib2x + сгс2х(х- 1)}у = 0. (2.3.4)
Гипергеометрическое уравнение получается из этого следующим упрощением.
Запишем это уравнение в виде (2.3.1). Если у удовлетворяет уравнению (2.3.1)
и у = χλ/, то / удовлетворяет уравнению
0*(рм+?)|+(,м+гй!)+г2?ау-а
Это уравнение по-прежнему имеет 0, 1, о° в качестве особых точек, но у него
другие характеристические экспоненты. Уравнение (2.3.4) имеет
характеристические экспоненты аг и а2 в точке 0, новое уравнение имеет в нуле
характеристические экспоненты аг — Х и α2 — λ. Характеристические экспоненты в оо,
однако, равны сг + λ и с2 + Я. С помощью этой процедуры мы можем добиться
того, чтобы одна характеристическая экспонента в точке 0 и одна экспонента
в точке 1 были равны 0. (При χ = 1 мы положим у = (1 — x)xf(x).) Тогда новое
уравнение имеет характеристические экспоненты 0, а2—аг; 0, Ъ2—Ъг; сг + аг + Ъг,
c2 + a1 + bl. Это приводит к существенному упрощению соотношения (2.3.4),
поскольку члены ага2 и bib2 обращаются в нуль. Традиционными
обозначениями являются а = сг + а1 + Ьг Ъ = с2-\-а1-\-Ьг и с = 1 + аг — а2. После упрощения
уравнение принимает вид
x(l-x)^+[c-(a + b + l)x]^-aby = 0. (2.3.5)
Это гипергеометрическое уравнение Эйлера. Его регулярные особенности
находятся в точках 0, 1 и оо с показателями степени 0, 1 —с; 0, с — а — Ъиа, Ъ

86
Глава 2. Гипергеометрические функции
соответственно. Если не утверждается обратного, то мы будем считать, что
с, а — Ъ и с —а —Ъ —нецелые.
Риман [309] обозначил набор всех решений уравнения из теоремы 2.3.1
символом1 0
ία β γ
ρ\αλ bx сг χ
[а2 b2 c2
В частности, набор решений уравнения (2.3.5) обозначается так:
ι
(2.3.6)
(0 оо 1 ч
О α 0 xl
1-е Ь с—а—Ь )
Из наших предыдущих рассуждений следует, что
ГО
χλ{\-χ)μΡ
1 \ ГО оо ι \
Ьх χ \ =Ρ < αχ + Α ^—λ — μ Ьх+μ χ \
b2 ) \α2 + λ Сч — λ — μ Ъ-ζ+μ )
αι ci b\ х}=Р <аг + Х Cx—λ — μ Ь
[а2 с2 b2 ) [α2 + λ с2 —Α —μ Ь2
Любое конформное отображение римановой сферы CU{<»} имеет вид
λχ + μ
(2.3.7)
t = -=—-, (2.3.70
δχ+ν9
где Αν — μδ = 1. Такое отображение переводит любые три различные точки
{α, β, γ} в три другие различные точки {аъ βΐ9 γλ}. В этом случае
α β Г } (<*ι βι Τι
α ρ γ \ rax px
ΐχ Ьх сг χ Ι = ρ J аг Ьх
Ц b2 c2 ) [а2 Ь2
(2.3.8)
[а2 Ь2 с2 ) \а2 Ь2 с2
Это легко проверить. Более того, существуют шесть дробно-линейных
преобразований, которые переводят три точки в перестановку этих трех точек.
Например, набор точек {0,1, со} переводится в себя отображениями
1-х, -,
' х9
1-1 = 2=1,
X X
1-х9 χ χ 9 1-1/х x-V
Мы отметим несколько частных случаев формул (2.3.7)—(2.3.9):
(Oool ч Г 0 <х> I \
О а 0 χ I = р J 0 α 0 1-х I =
1-е Ь с—а—Ь ) [с—а—Ь Ь 1-е J
-Ι-
(2.3.9)
(2.3.10)
1-е с—Ъ Ъ — а
(А)
(Б)
Опишем общий план происходящего, чтобы он не потерялся в деталях. Есть два вида
преобразований, переводящих уравнение с тремя регулярными особыми точками в уравнения
того же вида. Во-первых, это конформные преобразования сферы Римана Си». Во-вторых,
в уравнении (2.3.1) можно сделать замену у = (χ — α)μ(α — β)ν(χ — у)*уУ где μ+ ν+χ = 0. Выше
были введены координаты на пространстве интересующих нас уравнений. В этих координатах
наши преобразования выглядят вполне тривиально.
Далее, для фиксированного эйлеровского уравнения (2.3.5) существуют 24 преобразования,
переводящих его в уравнения того же вида (с другими а, Ь, с). Ниже это обстоятельство
обыгрывается. Кстати, отсюда же «умозрительно», без вычислений получается известный список
24 куммеровских рядов, см. [119].

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
87
(В)
(Г)
(Д)
(Е)
[1-е c—b a + b — c )
(О оо 1ч
О Ι + α-c О х[. (Ж)
с-1 1 + Ь-с с-а-b J
Теперь из полного набора решений Р{} уравнения (2.3.5) мы выберем два
линейно независимых решения, которые образуют базис, в окрестности точ-
00
ки х = 0. Для решения вида χλ J] anxn характеристическая экспонента должна
о
быть равна 0 или 1-е. Когда А = 0, коэффициенты ап удовлетворяют условию
_ (a)n(b)n
п (D„(c)„·
Таким образом1, одно из решений есть 2РЛа>Ь;с;х). Если с не целое, то
гипергеометрическое уравнение имеет только одно независимое решение,
аналитическое при х = 0. В частности, 2Fifa>b;c; x) является единственным
решением, аналогичным при х = 0 со значением 1 в точке х = 0. Другое
решение имеет вид W = x1~cg, где функция g аналитична при х = 0. Из
соотношения (2.3.10), (Ж) следует, что g = k2F1(a + l — c>b + l — с; 2-е; χ), где к —
константа. Следовательно, независимыми решениями являются 2*1(а,Ь;с;х)
и дс1_С2^1 (а +1 ~~ с> Ь +1—с; 2—с; х). Подобным образом из соотношений (2.3.10)
следует, что два независимых решения в точке χ = 1 имеют вид
2Fi(a,b;a + b + l-c;l-x)
и
(l-x)c^-Vi(c-a>c-b;c + l-a-b;l-x),
(-χ)-" 2FX (a, a +1 - с; а +1 - b; 1/x)
а в точке оо это
(-хГь 2FX (Ь, Ь +1 - с; Ь +1 - α; 1/х).
Степени —1 были введены для удобства записи некоторых дальнейших формул.
ι За этими словами стоит пропущенное вычисление, которое следует провести.

Глава 2. Гипергеометрические функции
Важно отметить, что некоторые формулы преобразований
гипергеометрических функций могут также быть получены из соотношений (2.3.10).
Преобразование Пфаффа
2F1(a,b;c;x) = (l-x)^,2F1(a,c-b; с; х/(х-1))
является непосредственным следствием формулы (2.3.10), (Б) и того факта,
что существует только одно решение, аналитическое и равное 1 при х = 0.
Преобразование Эйлера
2Fi (a, b; с; χ) = (1 - χΤ^^ι ic-a,c-b\c\x)
следует из соотношения (2.3.10), (Е).
Число соотношений на гипергеометрические функции возрастет, если
воспользоваться тем фактом, что гипергеометрическое уравнение имеет ровно
два независимых решения и, таким образом, любые три решения должны быть
линейно зависимыми.
Теорема 2.3.2. Справедливы равенства
Λ(.+,νι_ί!ι-«)--ΑΑ(ν=')+*^Λ(Ι+,-ϊ'ιΙ«+'-,ί«).α»«
где
Г(а + Ь + 1-с)Г(1-с) Г(с-1)Г(а + Ь + 1-с).
Г(а + 1-с)Г(Ь + 1-с) Г(а)Г(Ь)
Г(с)Г(Ь-а) Г(с)Г(а-Ь)
Г(с-а)Г(Ь) Г(с-Ь)Г(а)в
Доказательство. Когда х = 0 и Rec<l, формула суммирования Гаусса
дает
, Г(а + Ь + 1-с)Г(1-с)
Г(а + 1-с)Г(Ь + 1-с)в
Заметим, что условие Rec<l использовалось дважды. Первый раз оно
использовалось для того, чтобы обратить в нуль второе слагаемое в правой
части (2.3.11); также это условие того, что ряд в левой части сходится при
χ = 0. Тогда условие χ = 1 дает (для Re (с — а — Ъ) > 0) соотношение
1= ,Г(с)Г(с-а-Ь) „Г(2-с)Г(с-а-Ь)
Ar(c-a)r(c-b)tfl Г(1-а)Г(1-Ь) *
После несколько утомительных тригонометрических вычислений, которые
проводятся после применения формулы отражения Эйлера по второму слагаемому
в правой части, мы приходим к значению В, требуемому в теореме.
Равенство (2.3.11) доказано.
Предположим, что Re Ъ > Re α. Правая часть равенства (2.3.12) при χ -* оо
ведет себя как С{—х)~а. Для того чтобы понять, как ведет себя левая часть,
воспользуемся преобразованием Пфаффа. Тогда будем иметь
Α(ν:χ)-α-χϊ-«Λ(···-'Ά)~

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
89
Предположение, что Re Ъ > Re а > О было использовано еще раз на последнем
шаге, для того чтобы вычислить 2^ι(1) с помощью формулы Гаусса. Получается,
что
Г(с)Г(Ь-а)
Г(с-а)Г(ЬГ
Значение коэффициента Ό можно получить, используя симметрию
относительно α и b. D
Следствие 2.3.3. Справедливы равенства
**А с 'χ)~ Пс-атс-П^Аа + Ъ + г-с'1 *Г
Λ^Ψτ'Λί,^Ι--) WW*) (2.3.14)
Доказательство. В равенстве (2.3.11) заменим л: на 1—хиснаа + b + l—с.
Это дает (2.3.13). Далее, просто положим а=-пи вспомним, что ψτζ~\ = О» когда
п — неотрицательное целое число. D
Первая часть теоремы 2.1.3 также следует из формулы (2.3.13). Следует также
отметить, что, поскольку формула Пфаффа
2F1(afb;c;x) = (l-x)-4I2F1(afc-b;c;x/(x-l))
дает продолжение 2Р\ из области \х\ < 1 в область Re χ < 1/2, формула (2.3.13)
даст продолжение в область Re χ > 1/2, разрезанную вдоль действительной оси
отдс = 1дох = <». Разрез надо провести из-за наличия точек ветвления у функции
(1—x)c~a-b. (Поскольку эта функция определена на римановой поверхности,
функция 2*Ί (α> Ь; с; х) определена там же.)
Рассмотрим теперь функцию
SW=S(1 + t)i/3(jc + tr
Мы покажем, как теорема 2.3.2 может быть использована для того, чтобы найти
асимптотическое разложение этой функции. Вонг [430, с. 18] использовал эту
функцию, чтобы показать, что к асимптотическому разложению функций нужно
подходить с некоторой осторожностью. В этом примере, если воспользоваться
методом интегрирования по частям1, получается разложение2
00
Six) Σ2·Μ3η-1)Χ"° ПРИ Х~*°°' (2·3·15)
которое, очевидно, неверно, поскольку интеграл положителен, а каждый из
членов разложения отрицателен. Однако для t > 1 мы имеем
(1 + о~1/3 = Σ (1/3)п,(~1)Пг"-1/3.
п=0
ι Мы последовательно интегрируем по частям, выписываем вклады от граничных точек, а об
интегральном слагаемом (не пытаясь его оценить) забываем.
2 См. добавление В.

90
Глава 2. Гипергеометрические функции
Если в интеграл подставить этот ряд, то почленное интегрирование приведет
к расходящимся интегралам:
i x+t
Если их интерпретировать в смысле обобщенных функций1, то значения этих
интегралов можно положить равными
2π (-1)"
Лх"+1/г
В такой интерпретации S(x) имеет разложение (после почленного
интегрирования)
00 С1)
δ(χ)~^ΣΗι *~"~1/3 при х~*ж· (2·3·16)
Правильным результатом, однако, является сумма разложений (2.3.15) и (2.3.16).
Мы получим этот результат из теоремы 2.3.2. Прежде всего отметим, что для
Re (а + 1 — с) > 0 и Re Ъ > 0 выполняется равенство
Это следует из представления функции 2F\ в виде интеграла Эйлера, данного
в теореме 2.2.1. Для того чтобы свести этот интеграл к эйлеровому виду,
положим t = u/(l —и). Из соотношения (2.3.17) следует, что
00
Six) = | S (1 + 0~1/3(ΐ + t/χΤ1 dt =
хо
_ Г(1)Г(1/3) Ш П_3 rfM., П
~ *Г(4/3) ^Ц/З'1 x)~x2tlUirl хУ
Воспользовавшись формулой (2.3.11), ползучим
^..л-ЗГГ(4/3)Г(-2/3) Г(\Л.1\. Г(2/3)Г(4/3) 2/3 f 1/3,1/3. 1ΛΊ _
iW-xl Г(1/3)Г(1/3) 2l4s/3*xJ + Г(1)Г(1) * 2*Ч 1/3 ' χ Л -
-3/1 Γ/Ί,1.1Λ. 1 π 2/з р (1/3,1/3. 1Λ1 _
~xl 22РАъ/ГхГЪ%тп1ЪХ 2*А 1/3 'хЛ-
-_JL »ί1·1.1ΐ4.Μ± Ρ П/ЗЛ/З. 1Λ
~ 2х2'Ч5/3'х^ VSxi/s^v 1/3 'х>
что эквивалентно сумме рядов (2.3.15) и (2.3.16).
Замечание 2.3.1. Мы видели, что функция 2^Ла> Ь; с; х) является одним из решений
гипергеометрического уравнения. Этот факт был использован для того, чтобы показать,
что другим независимым решением является
x1-c2F,(a + l-c,b + l-c;2-c;x).
Здесь мы покажем, как из ряда для 2F\ могут быть формально получены другие решения.
Мы должны представить гипергеометрический ряд в виде двустороннего ряда
V^ (<0n(b)„
ία (с)„Г(п + 1)
х'1
ι См. добавление Б.

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
91
Поскольку Г(1+дс) имеет полюсы при х = — 1, —2, ..., ряд не содержит отрицательных
степеней х. Очевидно, что замена переменной η —> η + m, где m — целое число, не
изменяет двустороннего ряда. Рассмотрим преобразование η -> η + α, где α — нецелое
число. Тогда ряд примет вид
ЕЮп+а(Ъ)п+ахп+а = (a)g(b)a γ« (a + a)n(b + a)
п. . Wn+eWn+e (c)a(Da „-ft (c + a)n(l + a)/ * ™
В последнем выражении члены с отрицательными значениями η обращаются в нуль,
если мы положим с + a = 1 или 1 + a = 1. Последнее условие снова даст исходный ряд
2FV Первый случай, когда а = 1 —с, даст соотношение
.Л-сТГ (a + l-c)n(b + l-c)n _ л^ /a + i_Cjb + i-c \
Х L· (l)n(2-c)n "X 2FlV 2-е >ДС>
т.е. второе независимое решение. Решения в оо получаются подобным образом, путем
замены η на —п. В этом случае (А) принимает вид
, γα γ1 (a + a)-n(b + a)-n n
Π=—oo
где fc — константа. Поскольку
(a + a)_„ = (-1)7(1-a-a)nf
запишем последний ряд таким образом:
ι.να V (l-c-a)nx-n(-a)n
** ^(1-а-а)п(1-Ь-а)/ β
Для того чтобы опять исключить часть суммы, содержащую отрицательные значения п,
возьмем а = —а или а = —Ь. В первом случае мы получим1
aTVi (a +1 - с, a; a +1 - Ь; 1/х),
а во втором —
oc~Vi (Ь +1 - с, Ь; Ь +1 - α; 1/х).
Замечание 2.3.2. Пусть а — Ь не является целым числом. В § 2.1 мы доказали, что
ряд 2^1 (a, b; с; дс) имеет радиус сходимости, равный 1. Теперь мы изменим точку зрения,
принятую в замечании 2.3.1, на обратную и посмотрим, как можно было бы получить
область сходимости из теории дифференциальных уравнений. Поскольку особенности
уравнения находятся в точках 0, 1 и оо, радиус сходимости равен по крайней мере 1.
Если он больше единицы, то ряд — это целая функция. Более того, согласно
соотношению (2.3.12) она является линейной комбинацией функций x^f^x) и x~bf2{x)i которые
являются решениями в точке оо. Это возможно только если α или Ь — целое число. Иначе
оба решения в точке оо многозначны. Теорема Лиувилля показывает, что это целое число
должно быть отрицательным и что 2F\ является многочленом. Следовательно, если 2F\ —
это бесконечный ряд, то радиус сходимости должен быть равен 1.
ι Авторы переходят к «логарифмическому случаю», когда разность двух характеристических
экспонент—целое число (см. сноску на с. 83). Конкретно, теперь одно из чисел с, а — Ъ, с—а — Ъ
целое.

92
Глава 2. Гипергеометрические функции
Теперь мы рассмотрим случай, когда с —целое число1. Предположим, что
с—натуральное число, тогда
Рл :=
Г(а)Г(Ь)
Г(а,Ъ. ¥Л yr(a + fc)r(b + fc) fc
-1' Г(с) 2 Ч с ,л) Zj fcir(c + fc)
/е=0
„ ,_ Г(а + 1-с)Г(Ь + 1-с).Л-с ρ fa + c-l,b + c-l Λ
*2- Щ=7) Х 2FA 2-е >Х)~
_ 1-е V r(a + l-c + fc)r(b + l-c + fc) fc
* Zj fc!r(2-c + fc) *
/е=0
равны. Для того чтобы найти второе решение в этом случае, предположим, что
а и Ъ — неотрицательные целые числа. Рассмотрим предел
lim ^-—^ = l-Ci7! -^2)|С=Г1 =
с^п С — П дСк 1 "К-*
Zj fcir(n + fc)r(n + fc) X ^X ШLa fcir(2-n + fc) X "*"
/e=0 /e=0
ι_η γ^ r(Q + l-n + fc)r(b + l-n + fc)rr(g + l-n + fc) r(b + l-n + fc)-| fc_
Zj fcir(2-n + fc) Lr(a + l-n + fc) + r(b + l-n + fc)J
/e=0
00
Второй ряд равен
r(a + l-c + fc)r(b + l-c + fc) r'(2-c + fc) fc
fcir(2-c + fc) ' r(2-c + fc)* '
/e=0
r(fl)r(b)1nx Fia'b-*!
Г(п) lnx2FA n >x)
а первые л — 1 членов в третьем ряду равны нулю, поскольку ( ,. = О
для fc = 0, 1, ..., п —2. Это неверно для четвертого ряда, поскольку функция
ι Этот «сеанс черной магии» нуждается в комментариях. Двусторонний гипергеометрический ряд
Г(п + а + а)Г(п + а + Ь) п+а
ΣΓ(η + α + α)Γ(η + α + Ρ) π
Г(п + а + с)Г(п + а + 1)*
является решением дифференциального уравнения (2.3.5) при любом а. Авторы просто
перебирают такие ряды, обрывающиеся слева или справа.
Здесь же ответ на риторический вопрос из начала § 2.1: почему мы не смешиваем ряды
feLn!
п>0
(0лп!
у (Д)п(Ь)П;:;П
Дело в том, что второй ряд является оборванным в случайно выбранном месте двусторонним
рядом (по существу, частичной суммой). В стандартном гипергеометрическом ряде члены
с отрицательными номерами обращаются в 0 естественным образом.
Двусторонний ряд сходится лишь на окружности |*| = 1; если а + Ь—с —1> 0, то эта сходимость
определена лишь в смысле обобщенных функций.

§ 2.3. Гипергеометрическое уравнение
93
Г'(2—с + к)/Г(2—с + к) не имеет полюсов в этих точках. По формуле отражения
Эйлера
Г (1-х) _ Г(х) гг .
[Г(1-х)]2 " Г(х)Г(1-х) +C0S7rxl W·
Положив χ = л — fc — 1, получим
u r'(2-c + fc) f-iyi-fc-irfn-fc-n
Четвертый ряд теперь может быть переписан как
Σ""1 г ,чм(fc-Dir(a-fc)r(b-fc) -*_ V r(a + l-n + fc)r(b + l-n + fc) fc
1 ; (n-fc-1)! Zj fc!r(n + fc)
Таким образом, когда а и b не являются отрицательными целыми числами,
второе решение имеет вид
00
2F1(\b;x)lnx + Yi^^{xP(a + k) + xP(b + k)-^a + k)-^(.n + k)}xk +
k=0
Г(о)Г(Ь) 2j(-1) (n-fc-1)! * ' (2·318)
Если a — отрицательное целое число, скажем —m, тогда \p(a + k) не
определено для некоторых значений ic. Соответственно приведенное выше решение
не работает. Для преодоления этой сложности заметим, что
hm {·φ(α +к)—ф(.а)} = гр(.1 + т-к)—ф(.1 + тп) для к < т. (2.3.19)
а-*—тп
Теперь, если вычесть функцию ψ(ά) 2^ι(α, b; с; х) из второго слагаемого в
соотношении (2.3.18), то результирующий ряд снова является решением
гипергеометрического уравнения, но теперь мы можем устремлять а к отрицательному
целому числу —т. Читатель должен проверить равенство (2.3.19), а также то,
что в этом случае второе решение есть
Л(-^ь;х)1пх-
+ ^^^{^а + т-к) + ^(Ь + к)--ф{п + к)-хра + к)}хк-
(п-1)! ХГ №-1)!Г(Ь-1к)
ΣΛ-та^·<»*>
rtw,.,
Случай, когда α и b одновременно являются отрицательными целыми, можно
рассмотреть тем же способом. Если с = О, —1, —2,..., то определяющее уравнение
показывает, что первое решение имеет вид
Второе решение в этом случае может быть получено из соотношения (2.3.18)
с помощью замены аиЬнаа — с + 1иЬ — с + 1 соответственно.

94
Глава 2. Гипергеометрические функции
Теорема 2.3.2 и ее следствие должны быть модифицированы, когда хотя бы
одно из чисел с, α — b или с—а — Ъ является целым. Читателю следует разобрать
необходимые изменения.
Интересная история гипергеометрического уравнения содержится в работе
Грея [172].
§ 2.4- ИНТЕГРАЛ БАРНСА И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
В серии работ, опубликованных в 1904 — 1910 гг., Варне разработал
альтернативный метод работы с гипергеометрической функцией 2F\- Краеугольным камнем
этой конструкции является интегральное представление функции 2^ι(α, b;c;x).
Понимание этого представления может быть достигнуто с помощью
преобразования Меллина. Мы начнем с простого и общеизвестного примера:
00
r(s)=\xs-1e-xdx.
о
Оказывается, возможно восстановить подынтегральную функцию е~х через
комплексный интеграл, включающий в себя T(s). Эта формула обращения имеет
вид
c+i оо
е_' = ^т ξ jrT(s)ds, с>0. (2.4.1)
С—1*00
Это можно доказать с помощью теоремы Коши о вычетах. Рассмотрим
прямоугольный контур с вершинами c±iR, —\N-\--^)±iR9 где Ν —натуральное
число. Полюсы функции Г(х) внутри контура находятся в точках 0, —1, ..., —Ν,
а вычеты в точках ; = 0, 1, ..., N равны (—1);V/;'!. Теорема Коши дает
2^$*-sr(s)ds = 2(-W7j!.
Теперь устремим R и N к бесконечности и воспользуемся теоремой 1.4.1 и
следствием 1.4.4, чтобы показать, что разность интегралов по контуру I и по
отрезку, соединяющему точки c — iRnc + iR, стремится к нулю. Таким образом,
соотношение (2.4.1) доказано1.
Преобразование Меллина функции /(*) определено интегралом
00
F(s) = [x5^fMdx.
о
ι Это важное место, заслуживающее аккуратного продумывания. Полезно представлять себе
график функции |Г(х)| в комплексной области (см. [450, § 7.4]). Мы имеем уходящие в
бесконечность «пики» в точках х = 0, —1, —2, ... и экспоненциальное убывание в мнимом направлении.
Высота «перевалов» между «пиками» в точках (—N) и (—N — 1) оценивается с помощью формулы
отражения и формулы Стерлинга; оказывается, эта высота сверх экспоненциально стремится к О
при N-»оо. в итоге отрезок контура Г—N iR, —Ν hiR\ проходит по «глубокой ложбине»
между двумя «пиками».

§ 2.4. Интеграл Бориса и гипергеаметрическая функция
95
Мы имели возможность видеть другие примеры преобразований Меллина в гл. 1.
Например, интеграл
ι
о
как функция от s является преобразованием от
[о, χ> ι,
является преобразованием от /(*) = 1/(1 + хУ. Опять можно доказать, что
и-*)5г1 = ш S x_sfiSods' Ret>0 и с>0' (2А2)
1 1
(ГиО^г^Ю S *~sns)r(t-s)ds, 0<c<Ret. (2.4.3)
с—ioo
Явление, наблюдаемое в примерах с (2.4.1) по (2.4.3), можно видеть для
обширного класса функций /(*). Соответственно если
00
F(5) = $x*-i/QOdx, (2.4.30
о
то равенство
c+ioo
/to = 2^ S x-sF(s)ds (2.4.3")
с—ioo
верно для целого класса функций. Мы не станем излагать эту теорию
целиком, но рассмотрим несколько интересных частных случаев1. Преобразование
Меллина обсуждается в дальнейшем в гл. 10 в связи с другими вопросами.
Вышеизложенные рассуждения показывают, что, если мы хотим найти
комплексное интегральное представление для гипергеометрической функции,
ι Заменяя переменную х = еу в (2.4.3'), мы получаем, что F(it) есть преобразование Фурье от
/(еу). Теперь любые высказывания о преобразовании Фурье (см. [308]) легко переводятся на
язык преобразования Меллина. Область абсолютной сходимости интеграла (2.4.3') (если она не
пуста) — вертикальная полоса в плоскости 5 € С, эта полоса может вырождаться в вертикальную
прямую. Если эта область действительно полоса, то формула обращения (2.4.3") верна в
буквальном смысле (с + iR — прямая внутри полосы). В противном случае надо сделать обычные
оговорки.

96
Глава 2. Гипергеаметрические функции
мы можем попробовать найти преобразование Меллина от нее. Далее,
I*'"'г?х{а'сЪ\-χ)dx = I«-* r™_b) I tb-4i-ty-b-\i+xtr°dtdx =
О 0 0
= Ш С tb-i (χ _ t)c-b-i С χ5"1 djc dt =
Г(5)Г(а-5)Г(с) ρ tb-s-in _ty-b-i Ht _ Г(5)Г(а-5)Г(с) Г(Ь-5)Г(с-Ь)
Г(а)Г(Ь)Г(с-Ь) У U Cj аГ Г(а)Г(Ь)Г(с-Ь) Пс-s)
_ Г(с) Г(5)Г(а-5)Г(Ь-5) Г94Д.
Г(а)Г(Ь) Г(с-5) · ΙΖΛΛ;
Эти формальные преобразования можно обосновать рассмотрев ограничение
min(Rea,Reb)>Res>0. После того, как интеграл вычислен, дополнительное
условие Rec>ReЪ может быть устранено аналитическим продолжением или
с помощью соотношений смежности, которые рассматриваются в § 2.5.
Отметим, что мы интегрируем 2Р\ при значении аргумента —х. Напомним, что,
вообще говоря, функция 2F\ (α, b; с; х) имеет точки ветвления χ=1 и χ = оо, а в
соотношении (2.4.4) интегрирование идет по положительной действительной оси.
Другое доказательство равенства (2.4.4) представлено в упражнении 35.
Исходя из формулы обращения, мы ожидаем, что
k+i оо
Г(а)ПЬ) (а,Ъ \_ 1 с Г(5)Г(а-5)Г(Ь-5) ,_s. ,
Г(с) 2*Ч с ·Χ)-2Ϊύ J Г(^Т) (_Jf) d$' (2A5)
/e-ioo
где min(Rea,Reb)>ic>0 и с/0, —1, —2, ... Это формула Барнса, и она дает
основания для альтернативного построения теории гипергеометрических
функций. Ниже должно стать очевидно, что мы можем представить любую функцию
pFq с помощью похожего интеграла. Точная форма теоремы Барнса [47]
представлена ниже.
Теорема 2.4.1. Справедливо равенство
Г(а)Г(Ь) „Га,ЪЛ\ 1 '? r(a + s)r(b + s)r(-s)
р(а9Ь.\_ 1 г Г(а + 5)Г(Ь + 5)Г(-5)Г у.
Г(с) 2 Ч с ,JV 2πί J r(c + s)
—too
|arg(—x)| < п. Контур интегрирования искривлен, если необходимо, для того
чтобы отделить полюсы s = —a—n,s = —b — nom полюсов s = n, гдеп — натуральное
число. (Такой контур всегда можно провести, если а и b — неотрицательные
целые числа.)
Доказательство. Сначала мы покажем, что вышеприведенный интеграл
определяет аналитическую функцию при |arg(—х)\ < π —δ, δ>0. По формуле
отражения Эйлера подынтегральное выражение можно переписать в виде
r(a + s)r(b + s)(-x)^
Γ(θ + 5)Γ(1+5)8ίΐ15π *
Согласно следствию 1.4.3 это выражение имеет асимптотику
„а+Ъ-с-1 П(-ХУ
sin sn

§ 2.4. Интеграл Бориса и гипергеометрическая функция
97
Положив s = it, получим
pit(ln \x\+i arg(-jf))
_(it)a+b-c-l2m.e____ = 0(|t|a+b_c_le_|t|5)
e~ni—e71
при |arg(—x)| <π —δ. Эта оценка показывает, что интеграл представляет
аналитическую функцию при |arg(—χ) | < π — δ для любого δ > О и, следовательно,
он аналитичен при |arg(—х)| < π.
Теперь мы покажем, что интеграл представляется в виде ряда
E^Uf^*" - μ<ι·
п=0
Общее утверждение будет следовать отсюда по принципу аналитического
продолжения. (Отметим, что интеграл Барнса даст продолжение 2Р\ (а, Ь; с; х) в
разрезанную область | arg(—х)| < π.)
Пусть I — это замкнутый контур, образованный частью кривой, упомянутой
в теореме, от — yN + « )i до yN + « )i> и полукругом радиуса Ν + -ζ, проведенным
справа, с центром в точке 0. На полукруговой части контура I подынтегральное
выражение имеет вид
0(Г+ь-с-1^
sins π
при больших N. Для s = (Ν + «Э^ и |х| < 1 выполняется равенство
(-*)' _ qT (JV^-i)(cosβln|x|-sinβaгg(-x)-π|sinβ|)1
8Η15π L J*
Поскольку —π + δ < arg(—χ) < π — δ, последнее выражение представимо в виде
0Ге(*+!)(со8 θ In |x|-5| sin 0|) 1
При 0< |0| < ^ выполняется условие cos θ > —, а при ^ < |0| < тг —условие
| sin θ\ > —=. Таким образом, поскольку In \x\ < 0, подынтегральное выражение
имеет вид
приО<|0|<| и
0^a+b-c-le^(N+l)ln|x|j
при j < |θ| < ~. Из этого следует, что интеграл по полукругу стремится к нулю
при N -* оо. Поскольку полюс s = n подынтегрального выражения имеет вычет,
равный
Г(а + п)Г(Ь + п) п
п!Г(с + п) '
теорема доказана. D
Из интеграла Барнса достаточно легко восстановить асимптотическое
разложение, содержащееся в формуле (2.3.12). Предположим, что a —b —нецелое

98
Глава 2. Гипергеометрические функции
число. Сдвинем контур интегрирования влево на т единиц и соберем вместе
вычеты в точках 5 = —α — η и 5 = —b — п. Вычет в точке s = —a — n равен
( ^ПЬ-а-гОПа + пХ-хГ"* аГ(а)Г(Ь-а) (а)п(1 + а-с)
1 1) п!Г(с-а-п) 1 Х) Г(с-а) * п!(1 + а-Ь)п
после небольшого упрощения. Тогда
Г(а)Г(Ь) Г(а,Ъ.\_ 1 ~Т°° Г(а + 5)Г(Ь + 5)Г(-5)(-х)' ^ ,
Г(с) 2*Ч с '*J~2^? V ffc+7) dS +
—m—too
-аПсОПЬ-а) V (а)н(1 + А-с). -„ ,
"^ χ; Г(с-а) Zj п!(1+а-Ь)„ * "*"
где гп(а) — это такое наибольшее целое число п, что а + π < гл. Определим гп(Ь)
аналогично. Тогда интеграл равен
ΐοο
1 "т С Г(а-т + 5)Г(Ь-т + 5)я ( у ,
2πι J r(c-m + s)r(l-m + s)sii^sl ; α*β
—ΐοο
Для I arg(—x)| < π —δ, δ > 0, последний интеграл является ограниченной
функцией от т и х. Отсюда следует, что это выражение есть 0(1/хт), так что
выражение (2.4.6) есть асимптотическое разложение функции 2Fi(a>b;c;x).
Если а — Ь — целое число, то некоторые из полюсов функции r(a + s)r(b + s)
будут двойными, что приведет к появлению логарифмических членов. Читателю
следует разобрать этот случай в качестве упражнения.
Обсудим дальнейшие результаты Барнса [48]. Предположим, что F(s) и G(s)
являются преобразованиями Меллина от функций /(*) и g(x) соответственно.
Задача заключается в том, чтобы выяснить, как преобразование Меллина от
функции f(x)g(x) связано с функциями F(s) и G(s). Если поступить формально,
то легко получить, что1
00 00 С~\~100
lxs-1f(.x)g(x)dx = ±ilxs-1g(x) 5 FVx-'dtdx^
О 0 c-i oo
C+i оо oo C+ίοο
= ά S P(t)$x**-1gMdxdt=-±.i $ F(t)G(s-t)dt. (2.4.7)
с—ίοο 0 с—ioo
Случай, представляющий для нас интерес,—это случай 5 = 1. Тогда
oo c+i оо
S/Cr)g(x)dx = ^r J F(t)G(l-t)dt. (2.4.8)
О с—ioo
ι Стоит отметить другой вариант теоремы о свертке: функции h(x) = § f(y)g(x/y)dy/y соответ-
о
ствует H(s) =F(s°)G(s). Она превращает барнсовские интегралы в мощный спецфункциональный
инструмент. См. сноску 2 на с. 211.

§ 2.4. Интеграл Барнса и гипергеометрическая функция
99
Применяя это равенство к парам функций, связанных преобразованием Мелли-
на
хъ г,, Л_ r(b + s)r(a-b-s)
/w = » F^ =
Γ(α)
„м _ xd г(сЛ T(d + s)T(c-d-s)
*Μ-π+ϊ?' G(s) —m—'
мы получим
fc+ioo
1 "г r(b + s)r(a-b-s)r(d + l-s)r(c-d--l + s) , _
2πί, J Г(а)Г(с) as
fc—ioo
r xb+d , r(b + d + l)r(a + c-b-d-l)
J (l+x)a+c Г(а + с)
для некоторого подходящего ic. Заменяя обозначения параметров, это
соотношение можно переписать в виде
1 Τ w . лт^к . лт^г лт^л л л r(a + c)r(a + d)r(b + c)r(b + d) ,0 . ηΛ
2- $ r(a + s)r(b + s)r(c-s)r(d-s)ds = r(a + b + c + d) ' (2A9)
—ioo
Эта формула была получена Барнсом, а вышеизложенное доказательство
принадлежит Тичмаршу [381]. Оно верно, когда Re (a, b, с, d) > 0. Мы дадим другое
доказательство, поскольку здесь мы не излагаем общую теорию преобразований
Меллина достаточно строгим образом. Но сначала отметим, что если мы
возьмем /(*) = х+(1—x)+~a_1 и g(x) =х+~1(1—x)+~c_1 в формуле (2.4.8), то получим
k+ioo
JL_ с r(a + s)r(c-s) , r(a + c)r(b + d-a-c-l)
2πΜ r(b + s)r(d-s)as r(b-a)r(d-c)r(b + d-ir
К—ioo
max(-a,-b) <k<min(c,d). (2.4.10)
Теорема 2.4.2. Если контур интегрирования изогнут так, чтобы
отделить полюсы функции r(a + s)r(b + s) от полюсов функции Г(с —s)T(d — s), то
г.- 1 Τ ггпмслгги^слгг, с^гм ^ -i._ r(a + c)r(a + d)r(b + c)r(b + d)
1:=2Ш 3 r(a + 5)r» + 5)r(c-5)r(d-5)ds- r(a + b + c + d) ·
—ioo
Отметим, что а + с, а + а,Ъ + с,Ъ + ане могут равняться 0 или отрицательным
целым числам.
Доказательство. Как в доказательстве предыдущей теоремы,
воспользуемся формулой отражения Эйлера, для того чтобы переписать подынтегральное
выражение в виде
r(a + s)r(b + s) π^
Г(1 — c + s)(l— d + s) sin tt(c — s) sin n{d — s)'
Пусть также I будет замкнутым контуром, образованным частью кривой из
условия теоремы и полукругом радиуса R справа от мнимой оси. По
теореме Стерлинга (следствие 1.4.3) подынтегральное выражение имеет порядок

100
Глава 2. Гипергеометрические функции
0(sa+b+c+d 2e 27u|ims|) ПрИ j^j —> 00 на1 I. Таким образом, интеграл в
теореме 2.4.2 сходится, но очевидно, что показатель Ims в § может быть сколь
L
угодно малым, когда \s\ велико. Таким образом, необходимо предположить, что
Re(a + b + c + d —1) <0, для того чтобы обеспечить стремление интеграла по
полукругу к 0 при R-* оо. По теореме Коши о вычетах
00
'-Σ
п=0
Г(а + с + п)Г(Ь + с + п)Г(с1-
-c-nK-ir ,
п!
, v«r(a + d + n)r(b + d + n)r(c-
'2j
л=0
π!
-d-
-η)(-
-1)"
= Г(а + с)Г(Ь + с)Г(й~с)2^(^Ь_^с;1) +
Функция 2^ι может быть получена суммированием по формуле Гаусса. После
некоторых упрощений с использованием формулы отражения Эйлера и
тригонометрии, получается правая часть формулы в утверждении теоремы. Мы
доказали теорему при условии Re(a + Ъ + с + d — 1) < 0. Полностью утверждение
следует из аналитического продолжения по параметрам а,Ъ, с, d. D
Теорема 2.4.2 представляет из себя интегральный аналог гауссова
суммирования для 2^ι при лс = 1. Более того, если мы положим b = e — it, d = f — it
и s = itx в теореме и перейдем к пределу при t —> оо, то получим, после некоторых
упрощений с использованием формулы Стирлинга, следующее:
}х и X) ах- rfa + c + e+n ·
Г(а + с + е + /)
Таким образом, интегральная формула Барнса является обобщением также
бета-интеграла на интервале (0,1) и поэтому называется бета-интегралом
Барнса. Она называется также первой леммой Барнса.
Теоремой 2.4.2 можно также воспользоваться для того, чтобы доказать
следующее равенство:
Г(а,Ъ Λ Г(с)Г(с-а-Ь) р( а,Ъ \
Г(с)Г(а + Ь-с)п „чс-а-ь ρ Г с-а>с-Ь . п J\
+ Г(а)Г(Ь) (1~*} аМс-а-Ь + Г1"**
с—а —Ь —нецелое число. Доказательство предлагается в качестве упражнения.
В предыдущем параграфе этот результат был выведен из гипергеометрического
дифференциального уравнения.
Следующая теорема дает интегральный аналог тождества Пфаффа—Зааль-
шютца.
ι Это очевидная неточность, так как подынтегральное выражение имеет полюсы в области Re s > 0.
Нужно, как и в доказательстве теоремы 2.4.1, «протиснуть» контур в ложбину между полюсами.

§ 2.4. Интеграл Барнса и гипергеометрическая функция 101
Теорема 2.4.3. Для надлежащей кривой интегрирования, а именно такой,
что убывающая последовательность полюсов лежит слева, а возрастающая
последовательность полюсов лежит справа от нее, верно следующее
J_ с Г(а + 5)Г(Ь + 5)Г(с + 5)Г(1 -d -s)r(-s) , _
2πί J ГГе + sl "S
= r(a)r(b)r(c)r(l-d + a)r(l-d + b)r(l-d + c)
Г(е-а)Г(е-Ь)Г(е-с)
2()ed + e = a + b + c+l.
Доказательство. Начнем со следующего частного случая теоремы 2.4.2:
Г(с-а)Г(с-Ь)Г(а + п)Г(Ьн-п)=_|, 'J r(a + s)r(b + s)r(n_s)r(c_a_b_s)d,
-ioo
Умножим обе части на (d)n/[n!(e)n] и просуммируем по п. В результате получим
Г(с-а)Г(с-Ь)Г(а)Г(Ь) р(а,М.-Л_
= 2^ S 2^r(a + s)r(b + s)r(n~s)r(c~a^b~s)ds =
-ioo n==0 ' п
ioo
= 2ii S na + s)r(b + s)r(c-a-b-s)r(-s)2F1(~se'd;l)ds =
—ioo
ioo
_ 1 г Г(е) r(a + 5)r(b + 5)r(e-d + s)r(c-a-b-s)r(-5) J. ,_
-2И i n^d) Т£Тю ds· (2A11)
-ioo
Возьмем c = d, тогда 3F2 в левой части равенства перейдет в 2F\ и мы получим
Г(а)Г(Ь)Г(е)Г(е - а - Ь)Г(с - а)Г(с - Ь) _.
Г(с)Г(е-а)Г(е-Ь)
Г(е) 1 lc r(a + s)r(b + s)r(e-c + s)r(c-a-b-s)r(-s) ,
t i FT^TTi ds·
Г(е-с)2ти* J T(e + s)
-ioo
Требуемый результат получается после переобозначения параметров. Отметим,
что некоторые из действий, которые мы производили при доказательстве,
могут производиться только при подходящих ограничениях на параметры. Эти
ограничения могут быть устранены с помощью аналитического продолжения.
Читатель может проверить детали. D
Следствием доказательства предыдущей теоремы является приведенная
ниже интересная формула.
Теорема 2.4.4. Справедливо равенство
нГаЛс.-Л, r(d)r(d-a-b) ( аХе-с \
з1Н d,e '4~r(d-a)r(d-b)3'4c,l + a + b-d'V +
r(d)r(e)r(d + e-a-b-c)r(a + b--d) (а-а,а-Ъ,а + е-а-Ъ-с λ
r(a)r(b)r(d+e-a-b)r(e-c) 3*Ά d + e-a-b,d + l-a-b ;iJ'

102
Глава 2. Гипергеометрические функции
Доказательство. В силу теоремы Коши, выражение (2.4.11) равно
Г(е) [\^Г{а + п)Г{Ъ + п)Г{е-а + п)Г{с-а-Ъ-п){-1У
r(c-b + n)r(c-a + n)r(c + e-a-b-d + n)r(a + b-c--n)(-
Г(е-с) Z-J п!Г(е + п)
Ln=0
+
^-J п!Г(с + е-а-Ь + п)
п=0
irl
Приравняем это выражение к функции 3F2 из левой части формулы (2.4.11)
и после упрощения получим утверждение теоремы. D
Следствие 2.4.5. Если d + e = a + b + c+l, то
Ρ (а,Ъ,ст Л\ r(d)r(e)r(d-a-b)r(e-a-b)
3 2V d,e 'V r(d-a)r(d~b)r(e-a)r(e-b)
, 1 r(d)r(e) p( d-a,d-b,l Λ
+ a + b-dr(a)r(b)r(d + e-a-b) 3 2Vd + e-a-b,d + l--a-b' J"
Доказательство. Если d + e = a + b + c + l, функция 3F2 в правой части
формулы из теоремы 2.4.4 переходит в 2F\- Вычислим 2F\ с помощью формулы
Гаусса и получим необходимый результат. D
Отметим, что, когда а или Ъ равны отрицательному целому числу, второе
выражение в правой части пропадает из-за множителя 1/[Г(а)Г(Ь)], и мы
приходим к формуле Пфаффа—Заалыпютца. Таким образом, этот результат
является бесконечной формой тождества Пфаффа—Заалыпютца.
Второй член в правой части формулы из теоремы 2.4.4 обращается в нуль,
если положить с = е + п —1, где п>\ целое число. Полученная формула имеет
вид
Т?(а,Ъ,е + п-\^\_Па)Т{а-а-Ъ) „ ( a,b,l-n \ η ,
FA d,e '1J-r(d-a)r(d-b)3Ma + b-d + lfe'1> (2A12)
Отсюда получается интересный результат, который касается частичной суммы
ряда 2Fi(a,b;e; 1). Положим d = a + b + n + e и, перейдя к пределу при ε—>0
(и переставив левую часть с правой), получим
2F1^a' ; 1J [первые η слагаемых] =
_ Г(а + п)Г(Ь + п) rfa,b,e + n-l λ r0A1Q4
~Г(а + Ь + п)Г(п)3М е,а + Ъ + п >Ч {2А'13)
Частный случай, когда а = Ь = -^,е = 1 был получен Рамануджаном в следующей
замечательной форме:
\2 ι гл. <ι\1
3
η \2J n + 1 \2Л) n + ;
= {"г ^п"1" 2^J l1-1-^) ^к^а) + —пеРвые п слагаемых}.
; + ...=
\2
Байли [37, 38] доказал и более общую теорему.
Теорема 2.4.6.
Г0с + т)Г(у + т)
Г(т)Г(х + У + т)3^(ХЙи++у + т1; О ПеРвШ П <****»*« =
«Г&г^ГЦ+Ю /,,зг,и + „-1 ^ первыепслагаемых.
Г(п)Г(х + у + п)0 z\ u,x + y + n ' J *

§ 2.5. Соотношения смежности
103
Существует простое доказательство, следующее из теоремы 3.3.3.
Замечание 2.4.1. Преобразование Меллина можно рассматривать как
преобразование Фурье по мультипликативной группе (0, <») с помощью экспоненциальной функции.
00
В выражении F(s) = jj xs~lfW dx, записав s = a + itnx = e2nu, получим
о
00 00
F(a + it) = 2π $ (Де27Ш) · e2n(JU)e2nitu du =: In $ g(u)e2nitu du.
Новой чертой в теории преобразований Меллина будет то, что функция F(s) аналитична
в вертикальной полосе1.
Так же как гамма-функция, частный случай преобразования Меллина, имеет аналог
для конечных полей, в более общем случае аналог тоже существует. Пусть Fq обозначает
конечное поле из q элементов, a F* — его мультипликативную часть. Пусть / — это
комплекснозначная функция на F*. Ее преобразование Меллина определено на группе
характеров F* как F(x)= J] #(α)/(α). Читатель может проверить, что существует об-
aeF*
ратное отображение /(s) = —-- Σ #"(a)F(#). Существует также аналог формулы Барнса
q 1 χ
(теорема 2.4.2), который получили Хельверсен и Пасотто [188]. Доказательство,
основанное на преобразованиях Меллина, дано у Хельверсена и Пасотто и у Соле [189].2
§ 2.5. соотношения смежности
По определению Гаусса две гипергеометрические функции называются
смежными3, если они являются функциями одной и той же переменной, по которой
производится разложение в степенной ряд, и если два параметра попарно равны,
а третья пара параметров различается на единицу. Мы используем запись F(a±)
для обозначения 2^ι(α± 1, Ь; с; х) соответственно. Функции F(b±) и F(c±)
определяются аналогично. Гаусс [158] показал, что гипергеометрическая функция
и две другие смежные с ней функции линейно зависимы. Поскольку есть шесть
функций, смежных к данной функции 2F\, мы получаем φ = 15 соотношений.
В действительности, если учесть симметрию по параметрам а и Ь, мы будем
иметь в виду лишь девять независимых условий. Соотношения могут быть
продолжены итерациями, так что любые три гипергеометрические функции,
параметры которых отличаются на целое число, будут линейно зависимыми4.
Такие соотношения называются соотношениями смежности. В этом параграфе
мы показываем, как выводятся пятнадцать соотношений Гаусса, затем мы
кратко отмечаем связь с бесконечными дробями и ортогональными многочленами.
ι Это (неудачно сформулированное) замечание переведено дословно. На уровне абстрактной
теории преобразование Фурье и преобразование Меллина одинаковы. В частности, преобразование
Фурье точно так же может оказаться определенным в горизонтальной полосе (теоремы типа
Пзли— Винера, см. [308]).
2 Списки барнсовских интегралов см. в [463, т. 3, гл. 8.4].
3 В оригинале contigous.
4 Возможность провести итерацию, кажется, не вполне очевидна. Приведём другое,
почти конструктивное, доказательство. Функция 2Fi(a + Kb + l;c + m;x) представима в виде
D-2F\{ayb\c\x), где D — некоторый дифференциальный оператор с рациональными
коэффициентами (см. (2.5.5)—(2.5.10) или [119], (2.8.20)—(2.8.27)). Так как 2F\ удовлетворяет
дифференциальному уравнению второго порядка, мы можем убрать из D все дифференцирования порядка
не меньше 2. Теперь линейная зависимость очевидна.

104
Глава 2. Гипергеометрические функции
Соотношения смежности могут быть продолжены итерациями, и мы будем
использовать слово «смежные» в более общем смысле, считая, что параметры
различаются на целое число. Легко проверить, что
Поскольку данная функция 2Fi удовлетворяет уравнению
х(1 -х)у" + [с - (а + Ъ + 1)х]у' - аЪу - 0,
мы получаем соотношение смежности
*(1 *J c(c + l) 2F4 c + 2 '*J +
+ (£Ζ^±^Λ(« + 1;6 + 1.χ)_Λ(«,5.χ) = α (252)
С помощью формул преобразования из последнего равенства могут быть
получены другие соотношения смежности.
Применим преобразование Пфаффа
*Ρ·'!>0-»-«-α(··7'Ά)
к каждому слагаемому в вышеприведенном уравнении. После небольшого
упрощения, при котором мы вводим и = х/(х — 1) и заменяем с — Ъ на Ь, получаем
в результате
Λ1 с '*J~ с" 2F4 c + 1 jlV
(а + 1)(с-Ь + 1)ц v(a + 2,b \ (0 .
Это соотношение смежности было получено Эйлером, который вывел его
несколько иным способом. Если мы применим преобразование Эйлера
Aft6,·*) = a-*)—h-2*i{e-%e-b;x)
к формуле (2.5.2), мы получим другое соотношение смежности:
■ (с-о + 1)(с-Ь + 1) р(а,Ъ \ (2Б4)
+ с(с + 1) ai4c + 2'*> t2-5-4J
Это одно из соотношений, полученных Гауссом. Метод Эйлера получения
соотношения (2.5.3) состоял в использовании интегрального представления для
2FX. Прямым интегрированием он вывел формулу, частным случаем которой
является следующая:
ι ι
а $ ta-la-ty-a-la-txybdt= (c+(a + l-b)x) $ ta(l-Oc~a_1(l-t*rbcit-
о
1
-(с-Ь + 1)х $ ta+4l-0c~a~1(l-t*)~bcit. (2.5.30
о о
1

§ 2.5. Соотношения смежности
105
Это соотношение эквивалентно формуле (2.5.3). Простое доказательство этого
соотношения см. в упражнении 23. В качестве другого примера использования
интегрального представления, заметим, что
(l-jrt)"e = (l-jrt)-e"1(l-xt) = (l-jrt)-e"1[l-x+(l-Ox].
Подставим правую часть в равенство
и получим
л№*)-о-алГ,1Ч+^л(7ДЧ·
Эти примеры показывают, как возникают соотношения смежности. Теперь
мы приведем вывод основных соотношений смежности Гаусса. Сначала мы
получим шесть соотношений, из которых пятнадцать соотношений Гаусса
получаются приравниванием ί Λ пар из них. Первые три соотношения из шести
суть
*£=a(F(a+)-F)' (2·5·5)
xg=b(F0>+)-F), (2.5.6)
xjj£ = (с- l)(F(c-) -F), (2.5.7)
где
F:=A(e'b;x) и Р(а+):=л(в+е1'Ь;х)1
и т.д. п-м слагаемым разности F{a+)—F является выражение
г (а + 1)Я(Ь)Я {а)п{Ъ)п ι _ (а 4- Р^СЬ), ,n_n (aUVn уУ|
L п!(с)п п!(с)п Г - п!(с)п 1а + П а;Х ~а п!(с)п *'
поэтому
^ - V пЫпОЯп χη
UL = V —
Это и доказывает равенство (2.5.5). Формула (2.5.6) следует из симметрии по
α и Ь. Формула (2.5.7) доказывается аналогично. Для вывода трех оставшихся
уравнений положим δ:=χ-τ- и убедимся, что гипергеометрическое уравнение
может быть записано в виде
[5(5 + с-1)-х(5 + а)(5 + Ь)]у = 0.
Поэтому
[5(5 + c-l)-x(5 + a-l)(5 + b)]F(a-) = 0.
Теперь, поскольку
5(5 + с-1) = (5 + а-1)(5 + с-а)-(а-1)(с-а),
мы получаем
[(5 + c-a)-x(5 + b)](5 + a-l)F(a-) = (c-a)(a~l)F(a-).

106
Глава 2. Гипергеометрические функции
Применим равенство (2.5.5) в виде (δ + α — l)F(a—) = (α — 1)F к предыдущему
уравнению и получим
[{5 + c-a)-x{5 + b)]F = {c-a)F{a-),
или
х(1-х)^ = {c-d)F{a-) + (a-c + bx)F. (2.5.8)
Оставшимися двумя соотношениями являются следующие:
jc(I-jc)^ = (c-b)F(b-) + (b-c + ax)F} (2.5.9)
c(l-x)^ = (c-a)(c-b)F(c+) + c(a + b-c)F. (2.5.10)
αχ
Формула (2.5.9) получается из (2.5.8) благодаря симметрии по а и Ь, а
формула (2.5.10) доказывается подобно (2.5.8). Пятнадцать соотношений смежности
dF
Гаусса выводятся приравниванием двух значений х-т- из формул (2.5.5)—(2.5.7)
и (2.5.8)—(2.5.10). К примеру, равенство
[c-2a- (b-a)x]F + a(l - jt)F(a+) - (c-a)F(a-) = 0
следует из соотношений (2.5.5) и (2.5.8), в то время как соотношения (2.5.5)
и (2.5.10) дают равенство
c[a-{c-b)xW-ac{\-x)F{a+) + {c-a){c-b)xF{c+) = 0.
Мы уже встречались с частным случаем последнего соотношения смежности.
Положим х = 1и получим
cic-a-b)F(a>cb; l) = {c-aKc-VF^^; l).
Мы использовали это соотношение в § 2.2 для вывода формулы Гаусса для
2Fl(a,b;c; 1). Читателю следует вывести несколько дополнительных
соотношений смежности в качестве упражнения. Должно быть также очевидным, что
любое соотношение смежности легко проверить, рассматривая коэффициент
при хп в каждом слагаемом. Например, равенство
верно, в силу того что
(a)n(b + l)n а{с-Ъ) (а + 1)П_1(Ь + 1)П_1 _ {а)п(Ъ)п
п!(с + 1)п с(с + 1) (п-1)!(с + 2)п_1 п\(с)п '
Гаусс использовал соотношение (2.5.11) для получения интересной
непрерывной дроби для отношения двух ассоциированных1 гипергеометрических рядов.
Перепишем равенство (2.5.11) как
2F1{a,b;c;x) а{с-Ъ) 1 игх
2F1(a,b + l;c + l;x) с(с + 1)*' 2Р1(а,Ъ + 1;с + 1;х) 1 υχΧ
2Fi (a + 1, Ъ +1; с + 2; χ) 1
и2х
1 —
υ2χ
1-—..
ι Ряды F(a + k,b + l;c + m;x) и F(a, b; с; х) с целыми k, lt m называются ассоциированными.

§ 2.5. Соотношения смежности
107
где
_ (g + n-l)(c-b + n-l) _ {b + n){c-a + Ti[
(c + 2n-2)(c + 2n-l) n (с + 2п-1)(с + 2п)'
Удивительно, но Эйлер ранее придумал другую непрерывную дробь для
2FX (α, Ь; с; χ)/2ίι (α, Ь +1; с +1; χ).
Она может быть получена из равенства (2.5.3), если в ней поменять местами а
и b и переписать его в виде
„. JMh^x) =c+(1 + b_a)x_. (b + l)(c-a + l)*_
2^(а,Ь + 1;с + 1;х) v J 2Ух(а,Ь + 1;с + 1;х) '
1 Vifo>b + 2;c + 2;x)
Теперь мы имеем бесконечную дробь
(Ь + 1)(с-а + 1)х (Ь + 2)(с-а + 2)х
с+(1 + Ь-а)х--
(с +1 + (2 + b - а)х)_ (с + 2 + (3 + b - а)х)_ ***
Очевидно, многочисленные примеры непрерывных дробей могут быть
получены таким же образом из соответствующих отношений
гипергеометрических функций. Заметим, что равенство (2.5.2), являющееся просто следствием
дифференциального уравнения для гипергеометрической функции, также дает
непрерывную дробь для 2F\ (a +1, Ь +1; с +1; х)1г£\ ia> Ь; с; х). Эта непрерывная
дробь содержит квадратичные по χ слагаемые и приведена в упражнении
26. Мы не указали условия сходимости этих непрерывных дробей. Читателю
следует обратится к работе [256], где он найдет обсуждение сходимости для
непрерывных дробей. В книге Берндта [56, с. 137] можно найти ссылки на
непрерывную дробь Эйлера и работу Рамануджана на эту тему.
Один из способов получения связи между гипергеометрическими
функциями и ортогональными многочленами (определенными ниже), является
использование формулы Якоби, которую мы сейчас выведем. Умножим
гипергеометрическое уравнение на хс~1(1 — х)а+ь~с и запишем его в виде
3J [*(1 - *)*с-1(1 - х)в+ь"У ] = abxc~l (1 - х)в+ь^у,
гдеу = 2^1(а,Ь;с;х).
Из формулы (2.5.1) следует, что производная гипергеометрической функции
снова является гипергеометрической, а потому удовлетворяет
дифференциальному уравнению с параметрами а, Ь, с, замененными на а +1, Ь +1, с+1. По
индукции из этого можно доказать, что
^[x^i-^W^^Ca+fc-Oib+fc-i^-Hi-^^W^13,
где Μ = xc~l(l — x)a+b~c. Таким образом, имеем рекуррентное соотношение
= (а + к-ЖЪ + к-Ъ-^^а-х^Му*-»] = (а)к(Ь)кМу.
Подставим
,.ал _ (а)*№)> г (а + к,Ъ + к \
У ~ м- 2FA с + к '*)
(О,
к

108
Глава 2. Гипергеометрические функции
в предыдущее уравнение и получим
£[xHl-XYM2Fl(a+^bk+k;X)] = (с)** *(«·».
Если Ъ — отрицательное целое число —п, тогда для к = п получаем формулу
Якоби
2F№a;x) = ^%f~£[*»~4l-x)~]. (2.5.12)
1 —у
Чтобы преобразовать (2.5.12) к более симметричному виду, положим х = —^-,
с = а + 1 и α = η + α + β + 1, и тогда мы придем к формуле
Л1 a + 1 ;"T"J~
Определение 2.5.1. Многочлены Якоби степени η определяются как
P(a.mrvV_(<* + l)n -(-η,η + α + β + Ι.ΐ-χΛ
^п W — п\ г^А а + 1 ' 2 Г
Одним из их фундаментальных свойств является следующее:
+1
$ ^MP^Wd-^^l + χΫ dx =
-ι
= 2«+'+1Γ(η + α + 1)Γ(η + /8 + 1)
(2η + a + β + 1)Γ(η + a + β + 1)η! °mne ^^--W
Это легко доказать с помощью (2.5.13) и интегрирования по частям.
Замечание 2.5.1. Формула (2.5.13), которая может быть записана как
(1-χ)α(1+χ)*Ρπ(α^00 = ^|Η(1~*)Π+α(1+*)Π^]' (2.5.130
часто называется формулой Родрига для многочленов Якоби. В частном случае
многочленов Лежандра, с a = 0 = 0, она была опубликована О. Родригом в журнале
Политехнической школы в 1816 г. К сожалению, к работе Родрига не было проявлено должного
внимания. Формула была заново выведена независимо Ж. Ивори в 1822 г. и Якоби
в 1827 г. Замечательно, что позднее Якоби предложил Ивори написать совместную статью,
посвященную этой важной формуле, и опубликовать ее во Франции, где она до тех пор не
была известна. Их статья была опубликована в журнале Лиувилля в 1837 г. Интересно
также, что учитель Родрига Лаплас в цикле работ по теории вероятности (1810 — 11),
вывел похожую формулу (см. (6.1.3) для многочленов Эрмита. Соответствующие ссылки
см. в [325].
Пусть р0, ръ ...—последовательность многочленов, причём рп имеет
степень п. Говорят, что система рп ортогональна, если существует такая
положительная мера άμ(χ) с конечными моментами1 всех порядков, что
$ РпМРтМ άμ(χ) = 0, тфп.
ι Напомним, что моменты меры μ — это числа § хп άμ.

§ 2.5. Соотношения смежности
109
Таким образом многочлены Якоби ортогональны по мере
f(l-x)a(l + x)0dx, -1<х<1,
άμΜ = {
10 для остальных х.
В гл. 5 мы увидим, что любая последовательность ортогональных
многочленов удовлетворяет трехчленному рекуррентному соотношению
хрп{х) = Апрп+1(х) + Впрп(х) + Спрп_х(л:), р0 00 = 1, Ρ-ιΜ = 0>
Αη, Bn, Cn+l —действительные числа, АпСп+1 > 0, η = 0,1,...
И наоборот, любая последовательность многочленов, удовлетворяющая такому
рекуррентному соотношению, является ортогональной с некоторой
положительной мерой, которая, вообще говоря, определяется неоднозначно.
Трехчленное рекуррентное соотношение для многочленов Якоби следует из
соотношения смежности
~[(1~2х)(Ь~а~1)3 + (Ь~а)(Ь + а~1)(2с~Ь~а~1)]2^(а^;х)~
-2a(b-c)(b~a + l)2F1(a + 1^b~1;x) = 0. (2.5.15)
после надлежащего выбора параметров. В частности, мы требуем, чтобы
выполнялось равенство а = —п, где η есть натуральное число. Однако
равенство (2.5.15) выполняется и в том случае, когда ряд не обрывается. Другое
соотношение смежности, которое определяет последовательность
ортогональных многочленов, имеет вид
a{l-x)2Fl(a + *>b;x)+[c-2a-(b-a)x]2Fl(a>cb;x)-
-(с-а)2У1(а"с1'Ь;х) = 0. (2.5.16)
Более подробно мы изучим ортогональные многочлены в последующих
главах. Тем самым будет подготовлено естественное обоснование для введения
некоторых соотношений смежности в смысле, подразумевавшемся в
предшествующих замечаниях.
Куммер [242] рассматривал проблему расширения соотношений смежности
на pFq, однако остановился на замечании, что для 3F2(a,b,c;d,e;x) формулы
более сложны. В частности, в линейных соотношениях смежности участвуют
четыре функции: 3F2 и три смежные с ней. Куммер также отметил, что только
лишь при χ = 1 формулы действительно упрощаются. Последний случай
является ключом к трехчленным соотношениям для некоторых старших ρ и q. Эта
тема будет обсуждаться в следующей главе.
Замечание 2.5.2. Следует заметить, что непрерывная дробь из формулы
Гаусса (2.5.11) содержит как частный случай непрерывную дробь для arctg x. Ряд Тейлора для
arctg χ при χ = 1 сходится очень медленно, в то время как сходимость непрерывной дроби
очень быстрая и потому была когда-то очень полезна для приближенного вычисления
числа π. См. упражнение 25.

no
Глава 2. Гипергеометрические функции
Замечание2.5.3. Условие ортогональности (2.5.14) есть не что иное, как обобщение
хорошо известного факта из тригонометрии:
π
^ cos τηθ cos ηθάθ = 0 для τη Φ п. (2.5.17)
о
Действительно, положим Тп(х) := cosηθ, где x=:cos0. Тогда Тп(х) есть многочлен
степени η и (2.5.17) превращается в
ι
\Tmix)TnMil-xr1/2il+xT1/2dx = 0 для шфп.
-1
Несложно показать, что СГп(х)=Рп(~1/2"1/2)(х), где С = (2п)!/[22п(п!)2]. Другой похожей
последовательностью многочленов является
гт , ПЛ sin(n + l)0
ϋ"(ε08ί,)=-^-·
Тп(х) и !/„(*) называются многочленами Чебышева первого и второго рода
соответственно. Трехчленное соотношение для Тп(х) имеет вид
Это ничто иное, как тригонометрическое тождество
2cos0cosn0 =cos(n + l)0 + cos(n —1)0.
Некоторые свойства многочленов Чебышева могут быть интерпретированы как
простейшие тригонометрические тождества. Эти многочлены служат отправной точкой
для обобщения на случай многочленов Якоби и других последовательности
ортогональных многочленов. По этой причине читателю следует помнить о них при изучении
«классических» ортогональных многочленов. Некоторые упражнения в конце этой главы
посвящены многочленам Чебышева. Мы также называем многочлены
wr m sin{(2n + 1)0/2} м/, m cos{(2n +1)0/2}
V"(C0S*)= sin0/2 И ^(C0S*)= cos0/2
многочленами Чебышева третьего и четвертого рода соответственно. Однако эти
многочлены не играют для нас принципиальной роли.
§ 2.6. дилогарифмы
Все примеры спецфункций, выражаемых через гипергеометрические функции,
приведенные в § 2.1 содержали либо 2Р\> либо функции более низкого уровня.
Дилогарифмическая функция —это пример функции 3F2- Она впервые
обсуждалась Эйлером, а впоследствии многими другими математиками, включая Абеля
и Куммера1. Однако лишь в последние два десятилетия она стала появляться
в различных математических контекстах. Ее возрастающее значение нашло
отражение в двух книгах, посвященных дилогарифму и его обобщению —
полилогарифму. См. [247, 248]. Здесь мы приводим несколько элементарных
свойств дилогарифма. У читателя, возможно, также возникнет желание изучить
работы [221] и [432]. В последней приводятся многочисленные интересные
применения в теории чисел и геометрии.
ι Стоит также упомянуть работы Лобачевского об объемах трехмерных гиперболических
многогранников, см. [438].

§ 2.6. Дилогарифмы
111
Дилогарифм определяется как ряд
00
η=1
Из разложения в ряд Тейлора функции ln(l — t) следует, что
v In(l-t)
о
Ii2(x) = -$ ^-^dt. (2.6.2)
Интеграл определяется как однозначная функция на комплексной плоскости
с разрезом С\ [1,<»); таким образом, мы имеем аналитическое продолжение
Li2(x) на эту область. Многозначность функции Li2(x) может быть также легко
изучена. Точки 1и» являются точками ветвления. Если Li2(x) продолжается
вдоль петли, обходящей вокруг х = 1 один раз, то значение Li2(x) изменяется
на —2πι"1ηχ. Это легко видеть из интегрального представления.
Получим теперь гипергеометрическое представление из интеграла
χ 1
Li2Сх) = ] 2*i( V: 0 dt = х S 2^ι( V;»)du = χ2Fi( Vj1;x)
0 0 '
при помощи формулы (2.2.2). Хотя можно изучать свойства дилогарифма, не
прибегая к теории гипергеометрических рядов, мы выделим один пример,
в котором можно применить преобразование Пфаффа.
Теорема 2.6.1. Справедливо равенство
U2(x) + Li2(x/(x-1)) = -|[ln(l-x)]2
(преобразование Ландена).
Доказательство. Из преобразования Пфаффа (теорема 2.2.5 получаем
4*)-5Λ(Υ;·)*-»!Λ(νΆ)ίΐ·
о о
Положив ii = t/(t—1) в последнем интеграле, получим
*/(*-1) г Λ Λ ч А Х/{Х~г) г Λ Λ ч X/{X-1) г Λ Λ ч
- S *№«&-- S *№· *- S Ал Υ;« *·
0 0 0
Первый интеграл равен Li2(x/(x —1)), а второй, соответственно,
что и доказывает результат. D
Мы дадим еще одно доказательство, использующее другое представление
дилогарифма как гипергеометрической функции. Это представление дается
выражением
^«-teFWiV.;»)-1}· (2·6·3)

112
Глава 2. Гипергеометрические функции
Пусть χ принадлежит области {χ: |χ|<δ<1}η{χ: |х/(х — 1)|<5<1} = S5, δ>0.
Применим преобразование Пфаффа к равенству (2.6.3) и получим
=!lmo?{(1-^(1-χ)+γ[Ш(1-^2+0И(1+eΣ^fe),,)-1}·
Далее,
2^ηΎε\7^ϊ) = Ι^ηΙΤ^) + 2ЛпТе~п)\'х::л) =
Таким образом,
U2(x) = lim^|(l-eln(l~x) + y[ln(l-x)]2 + 0(e3))x
v n=l ' '
= -i[ln(l-*)]2-Li2(^).
Операция взятия предела обосновывается тем фактом, что для xeS5 и |ε| < 1/2
соответствующие ряды являются аналитическими функциями переменных χ
и ε. Таким образом, мы снова доказали теорему. Еще одно доказательство
содержится в упражнении 38.
Теорема 2.6.2. Пусть ω — примитивный корень п-й степени из 1. Тогда
±1л2(хп) = ^1л2(<окх); (2.6.4)
fc=0
±Li2(x2) = Ii2(x) + Ii2(-x); (2.6.5)
U2(x) + Ii2(l-x)=^-lnxln(l-x). (2·6·6)
Доказательство. Для доказательства равенства (2.6.4) сначала разложим
на множители выражение 1—tn = (1—t) (1 — ωί)... (1 — ωη~ιt). Возьмем логарифм
от результата и, проинтегрировав, получим
_ С In(l-f) dt = _\ jnOza dt_ ? ha-«0 dt _ г 1η(1-ω-4) dt
О 0 0 О
С помощью замены переменных показываем, что интеграл в левой части
есть - Li2(xn). Таким образом, доказываем равенство (2.6.4), а равенство (2.6.5)
получаем, полагая η = 2.

§ 2.6. Дилогарифмы
113
Для вывода формулы (2.6.6) интегрируем по частям:
U2(x) = -$!i^dt = -ln*ln(l-*)-$^dt.
О О
Последний интеграл после замены переменных и = 1 — t принимает вид
_^1п(1ри)йи = 1.2(1_х)_1.2(1)
о
Но
ι
согласно теореме 1.2.4. Доказательство теоремы закончено. D
Вероятно единственными значениями х, при которых Li2(x) может быть
вычислено с использованием элементарных функций, являются восемь значений
v-n 4-1 I -1±^5 1-У5 3--/5
х-и, υ, 2, 2 ' 2 ' 2 '
Теорема 2.6.3. Справедливы равенства
Li2(0) = 0, (2.6.7)
Li2(l) = £, (2.6.8)
π2
Li2(-D = -^. (2.6.9)
и*Ш=ё->2]2> (2·6·10)
"2(^)=ё4М«> (2·613>
Доказательство. Соотношение (2.6.7) очевидно, а соотношение (2.6.8)
было доказано при доказательстве теоремы 2.6.2.
Для доказательства равенства (2.6.9) заметим, что
>«-»-1:*?~(1-*+?-?+-)-
1
=-[1+?+?+έ+···-2(?+?+···)]=
-_Г2£-2_ π2]_-π2
L 6 22 ' 6 J 12 '
Положим х= 2 в (2.6.6), для того, чтобы получить (2.6.10).
Тождества (2.6.11) и (2.6.12) можно вывести следующим образом:
преобразование Ландена и формула (2.6.5) вместе дают соотношение
Μτ=ϊ)+ |Li2(x2)-U2(-x) = -|[1η(1-χ)]2. (2.6.15)

114
Глава 2. Гипергеометрические функции
Положим аргументы первых двух дилогарифмических функций равными
друг другу. Тогда х/(х — 1) = х2, или х2—χ—1 = 0. Одним из решений последнего
уравнения является х=(1 — V5)/2. Подставляя это значение χ в формулу (2.6.15),
получаем
§u2(^)-u2(^) = -i[4W
Для нахождения другого уравнения, содержащего
Ii2((3-i/5)/2)
и
Li2((l-</5)/2),
подставляя х = (3 — -/5)/2 в формулу (2.6.6), получим
Теперь разрешим эти уравнения и получим искомый результат. Доказательство
формул (2.6.13) и (2.6.14) оставляется в качестве упражнения. D
Для дилогарифма имеются также уравнения относительно двух переменных.
Нижеследующий результат обычно приписывается Абелю, хотя первоначально
он был опубликован Спенсом. Необходимые ссылки см. в книге [248]. Имеется
в виду следующая формула:
^[^•T^l^ii^l+u^J^u.w^u^)^
-lnQ-x)ln(l-y). (2.6.16)
Она легко проверяется при помощи вычисления частных производных по χ или
у, что предоставляется проделать читателю.
В общем виде мы можем определить полилогарифм как ряд
00
"»πχ:=Σ£ Для |х|<1, гп = 2,3... (2.6.17)
Соотношение
£lim(x) = il^-iCx)
легко доказывается и может быть использовано для определения
аналитического продолжения LimQc). Полилогарифм может быть также представлен как
гипергеометрическая функция,
Цп(*) — Хт+г^ту 2 ' 2 iX)'
Мы не будем далее углубляться в свойства этой функции, но вместо этого
отсылаем читателя к работе [432] и книгам, упоминавшимся ранее.
§ 2.7- БИНОМИАЛЬНЫЕ СУММЫ
Одной из областей, где гипергеометрические тождества оказываются очень
полезными, является вычисление сумм произведений биномиальных
коэффициентов. Основные свойства этих сумм обнаруживаются при записи их как

§ 2.7. Биномиальные суммы
115
гипергеометрических рядов. Суммы биномиальных коэффициентов, которые
выглядят совершенно отличными друг от друга, оказываются экземплярами
одних и тех же гипергеометрических рядов. Одна из причин этого в том, что
одно и то же выражение может быть разными способами представлено как
произведение биномиальных коэффициентов. Несколько примеров, приведенных
ниже, это продемонстрируют.
Рассмотрим сумму
Чтобы записать ее как гипергеометрический ряд, взглянем на отношение
Cj+i/Cj, как мы делали, когда определяли гипергеометрические ряды. Простое
вычисление показывает, что
cJ+l Q'-fcjQ'-n)
Cj (j-fc + l)0 + 2)·
Так что
γη (-*),(-η), -Г*~М
S-bZjir-k + lUZ), И C°~V η У
i—c\ J J
J=0
Теперь, как объяснялось в § 2.1, можно записать j! = (1);· в числителе и
знаменателе, и получить
Мы научились суммировать два типа рядов для 3F2: уравновешенный и хорошо
уравновешенный (см. § 2.2). Однако данный ряд в действительности лишь
«почти» уравновешенный ряд, а такие виды рядов мы пока не рассматривали.
Тем не менее есть способ обойти эту сложность. Заметим, что в знаменателе
содержится (2);, что может быть записано как (1);+ι· Теперь
(-Ю v« (-fc-lW-n - l),+i _
r-ffc-n НО у \r-*-uJ+iKr-n-.
I n J(n + l)(k+l)Zj (l)j+1Hty+1
j=0
fk-ΙΛ (-fc) γ
^ π J(n + l)(k+l)Z-i
(-fc) ^(-fc-l)i(-n-l),
(!),(-«(
2Fx может быть вычислена с помощью формулы Чу—Вандермонда, так что после
упрощения мы получим
«-iM.:i)+t-»"l·
В качестве другого примера рассмотрим сумму
к>0 к>0

116
Глава 2. Гипергеометрические функции
Здесь
т.е.
Cfc+i _ № + n + l)(k + ±)№-m + n)
с* "(fc+f + l)(fc + ^)(fc + 2)'
«-о
3^2
—1 — n + m,n,— 7
m —1 m
2 ' 2
;i -i
3F2 уравновешена, и мы можем применить тождества Пфаффа—Заальшютца.
Получим
l~~2 "λ+Ι-πΛ^λ
MS)
-1
/п+1—m
(s=i) (a_n)
что упрощается до ( n~ J. Читатель может проверить, что сумма
ΖΛ jfc A n-fc Am + nJ
fc>0
также сводится к примеру ряда Пфаффа—Заальшютца.
В качестве последнего примера рассмотрим ряд
Е^&ХЛХЛЬ*
k=-l
где мы полагаем, что Ζ = min(Z, m, η). Последнее выражение сводится к ряду
(-1У(2т)!(2п)! „ /--2Ζ,-Γη-Ζ,-π-Ζ.
(m-Z)!(m + Z)!(n-0!(n
F (-2l,-m-l,-n-l-\
+ !)32U-! + l,n-I + r i'
Это хорошо уравновешенный ряд (см. § 2.2), который может быть
просуммирован с помощью формулы Диксона. Однако в данном случае этого нельзя
сделать прямо, поскольку возникающий при этом множитель Г(1 —Ζ)/Γ(1 —2Ζ)
не определен. Чтобы обойти эту сложность, будем использовать следующий
вариант формулы Диксона:
зЫ
—2Ζ — 2ε, — т — Ι — ε,—η — 1 — ε
■Л)-
_ r(l-Z-g)r(l + m-Z-g)r(l + m + n + Z + g)
3Ά m-Z-g + l,n-Z-g + l ,XJ~ Г(1-2*-2г)Г(1 + т)Г(1 + п)Г(1 + гл + п) '
Применим формулу отражения Эйлера к правой части и получим
sin7i(2Z + 2g)r(2Z + 2g) r(l + m-Z-g)r(l + n--Z--g)r(l + m + n + Z + g)
sin π{1 + ε) Γ{1 + ε) ' Г(1 + т)Г(1 + п)Г(1 + гл + п)
В пределе при ε ■
Таким образом,
► 0 это выражение принимает вид
4K2Z-l)!(m-Z)!(n-Z)l(m + n + Z)
2С-1)1
(Ζ-1)1
т\п\{т + п)\
(Z + m + n)!(2Z)!(2m)!(2n)!
(l + m)\{l+n)\{m + n)\l\m\n\u

§ 2.8. Двусторонний ряд Дуголла
117
Другой пример, который дает хорошо уравновешенный ряд 3^2>—ряд
Можно привести и другие примеры, однако рассмотренных выше случаев
достаточно для объяснения того, как применяются гипергеометрические тождества
при вычислении биномиальных сумм. См. упражнение 29 в гл. 3.
§ 2.8. ДВУСТОРОННИЙ РЯД ДУГОЛЛА
Предмет этого параграфа—двусторонний ряд
ΣΓ(α + η)Γ№ + η)
r(c + n)r(d + n)·
П=—оо
Вообще говоря, гипергеометрический ряд 2Яг(а> Ь; с; 1) должен рассматриваться
как частный случай двустороннего ряда с d = l, так как 1/Г(п) = 0 для
неположительных целых п. Это объясняет, зачем мы ввели 1/п! в п-е слагаемое
гипергеометрического ряда.
Предыдущее замечание указывает нам способ вычисления таких
двусторонних рядов. Для d = 1, 2, ... сумма сводится к ряду, который может быть
просуммирован с помощью гауссовского суммирования для 2Fi(a> Ь; с; 1). Следующая
теорема, принадлежащая Карлсону, позволяет вычислить двустороннюю сумму
из значений этого ряда при d = 1, 2, ...
Теорема 2.8.1. Если f (ζ) — аналитическая функция, ограниченная при Re ζ>
>0, и если /(2;) = 0 для ζ = 0, \, 2, ..., то функция f{z) тождественно равна
нулю.
Замечание. Условие ограниченности может быть ослаблено. Достаточно
полагать, что f{z) = 0(e'c'zl), где ic < π. Приведенное ниже простое доказательство
нашего частного случая было дано Сельбергом [340].
Доказательство. По теореме Коши о вычетах
ffn. _ (α-1)(α-2)...(α-η) lc /(*) ,
/W~ 2πΐ ) {ζ-αΚζ-1)...ίζ-η)αΖ
-too
для η > а > 0. Тогда для а > 1 мы имеем
ш Ή< [q]l(n-[q])l ? 1/COI dt [q]l(n-[q])l С 1/№)| ,
UWl" 2π Λ V(a2 + t2)(l + a...(n2 + t2)" 2πη! j, (a'+1») ""
Перейдем к пределу при п->» и увидим, что /(a) = 0 для всех
вещественных а>1, откуда и следует утверждение теоремы. D
Теорема2.8.2 (Дуголл). Для l+Re(a + b)<Re(c + d) выполняется равенство
V» Г(а + п)Г(Ь + п) π2 r(c + d-a-b-l)
Z-J r(c + n)r(d + n) si^asin^r(c-a)r(d-a)r(c-b)r(d-b)'
П=—оо
Доказательство. Для1 Red>Re(a + b —c) + 1 функции справа и слева
являются ограниченными аналитическими функциями переменной d. Пусть т —
ι Другое поучительное доказательство есть в [119, § 1.4].

118
Глава 2. Гипергеометрические функции
целое число на этой полуплоскости. Для d = τη ряд в левой части
ΣΓ(α + η)Γ0? + η) Г(а-т + 1)Г(Ь-т + 1) γπ (а-т + ЩЬ-т + 1),
Г(с + п)Г(т + п) Г(с-т + 1) Zj (с -т +1),(1)!.
n=-m+l /=0
может быть просуммирован с помощью формулы Гаусса для 2^χ. Таким образом,
результат Дуголла может быть проверен для d, равного целому числу на
полуплоскости. Теперь из теоремы Карлсона следует утверждение теоремы 2.8.2. D
Сумма Гаусса для 2F\ тоже может быть выведена из теоремы 2.8.1. Нам
необходимо доказать, что
к (-Ъ,а.\_ Г(с)Г(с-а + Ь)
2/Ч с >LJ Г(с-а)Г(с + ЬГ
Это соотношение верно для Ь = 1, 2, ... согласно тождеству Чу—Вандермонда.
Теперь общий случай следует из приведенных выше рассуждений.
В качестве другого примера, где можно применить теорему Карлсона,
рассмотрим формулу
1 Г(а)Г(/8)
$xa-1(l-*y*"1cis =
Г(а + 0Г
Ее легко доказать по индукции в случае, когда а — натуральное число. Мы
сталкивались с этим в гл. 1. Интеграл ограничен и аналитичен при Re а > δ > О,
что верно и для выражения в правой части. Утверждение доказано.
§ 2.9- ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА
И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 2.2.1 дает интегральное представление Эйлера для
гипергеометрической функции. Недостаток такого представления в том, что симметрия по
параметрам а и Ъ в интеграле становится неочевидной. Мы замечали, что
с помощью двойного интеграла Эрдеи (2.2.5) можно получить два различных
представления, меняя порядок интегрирования. В этом параграфе мы покажем,
как можно использовать интегрирование по частям дробного порядка, чтобы
преобразовать интеграл для 2F\ (о, Ь; с; х) в другой интеграл, в котором а и Ъ
меняются местами. Вообще говоря, интегрирование по частям дробного
порядка—довольно мощный метод, и мы также используем его для доказательства
формулы Эрдеи. Многие формулы из этой главы могут быть получены данным
методом. Метод также применяется в теории ортогональных многочленов,
которая будет обсуждаться в гл. 6.
Пусть
χ
a/)W:=S/(t)dt.
a
Переставляя порядок интегрирования, получаем
(/2/)(х) :=I2fW = I \ f(tl)dtldt=l{x-t)№dt.

§ 2.9. Интегрирование по частям дробного порядка и гипергеометрические интеграАЪ9
По индукции для натурального числа η выполняется равенство
(/„/)(*) :=Г/(х) = I J ... "f f(.tn_1)dtn_,...dt1dt = r^ lix-tr-'HOdt.
a a a 'a
Интеграл дробного порядка Ia для Re α > 0 тогда определяется как
(/«/)(*) := fL· SCx-O^/CO A. (2.9.1)
α
Условие Re α > 0 может быть снято с помощью контурных интегралов1. Теперь
очевидна интерпретация интеграла Эйлера для 2Ρι (α> Ь; с; х) как интеграла
дробного порядка.
Производные дробного порядка также могут быть определены с помощью
формального соотношения
ψξ. = -»-^ (2.9.2)
dwv Γ(μ—ν+1)
в случае, когда правая часть имеет смысл.
Для введения формулы интегрирования по частям дробного порядка
положим, что функции и и υ определяются формулами
00 00
и = 2 Аг (х - аУ+Г-\ ν = J] Bs (Ь - χ)™-1.
Г=0 5=0
Тогда
1и1^ах=^1^аУ<1х (2.9.3)
α α
при условии, что интегралы существуют. Формула может быть прямо проверена
подстановкой соответствующих рядов для и, ι/ и их производных, которые
находятся почленным применением равенства (2.9.2). После почленного
интегрирования мы находим, что левая и правая части совпадают. Заслуживает
внимания тот факт, что формула (2.9.3)) при Re v<0 эквивалентна тождеству2
Ъ ГЬ Ί Ъ Гх
$ иЩ \iy-xy-lv(y)dy \dx = $ vM\ SU-yr-^OOdy
a Lx J α La
dx,
где v = —α. Эта формула выполняется в силу того, что обе ее части равны
двойному интегралу
^uMuWiy-xy^dxdy.
Теперь покажем, как перейти от одного интегрального представления
функции 2^ι (α> Ъ;с;х) к другому. Из равенства (2.9.2) очевидно, что
Г(с)
Г(МГ(с
—гг \ tb~l (1 - t)c"b_1 (1 - xtTa dt =
-Ь) J
Г(С) {tb-Hl-xt)-*^1-*""1 dt (294)
Г(Ь)Г(с-а) У U Xt) d(l-t)b- at* ^УЛ)
ι Эта фраза содержит задачу.
2 Можно сказать, что вычисляется L2-сопряженный оператор к интегральному оператору 1а\
впрочем, в данном случае все сводится к перестановке пределов интегрирования.

120
Глава 2. Гипергеометрические функции
Интегрированием по частям формулы (2.9.3) получим
Г(С) {a-tY-*-1^'41-*^ dt (295)
Г(Ь)Г(с-а) JU t} dtb~° Utt W"*bJ
Биномиальная теорема совместно с формулой (2.9.2) дает равенство
db-qtb-l(1__xt)-q db-a ^ Г(д + Γ)^Γ-1χΓ * Г(Ь + у^+г-у r(fe)
dtb-a dt^^-i Г(а)г! Zj Г(а)г! Г(а) U j *
г=0 г=0
Подставим последний результат в формулу (2.9.5) и получим
Г(с) a
^у 5 ^(ЬО^а-Л)4*.
Г(а)Г(с _, о
Это есть не что иное, как выражение из формулы (2.9.4) с переставленными а
и Ь. Наша цель достигнута.
В качестве другого примера использования интегрирования по частям
дробного порядка мы заново выведем следующую формулу из теоремы 2.2.4:
когда Re с> Re d > 0, χ Φ1, | arg(l—χ)| < π. Применим формулу (2.9.2) и увидим,
что выражение (2.9.4) равняется
r(b)r(c-d)H U Xt) d(l-t)"
"r»)r(c-d) Г1 rj dt" '
а также
d^t^a-xtr1 _ d^ V1 r(a + r)tb+r-V
dr" Zj '
dt" dt" ^ Г(а)г!
r=0
Σ" Г(а + г)Г(Ь + г)Га+г-У __ Г(Ь) fd-i РГа,Ь, Л
T(a)r(d + r)r! "T(d)r 2 4 d ' V'
r=0
Подстановка данного результата в последний интеграл и завершает
доказательство формулы (2.9.6).
Теперь приведем и докажем формулу Эрдеи [118], упоминавшуюся ранее.
Теорема 2.9.1. Для Rec>Reμ>0, хф\, | arg(l —х)| <π имеет место
равенство
0 ^е-^-ь:»ы'*^-"··1^)*-

Упражнения
121
Доказательство. Применим преобразование Эйлера из теоремы 2.2.5
к 2^ι в подынтегральном выражении в формуле (2.9.6). В результате получим
*(*» = йшЬ) | 'Я-'0-*-Я-' О-»'^-1 Л(А-V"':»)*-
Мы можем убедиться, что согласно формуле (2.9.2) и представлению 2F\ в виде
ряда выполняется равенство
Г(Я) 2*Ч Я ' *Ч " Л*"* Ι Γ(μ) 2FA μ > Xt)l·
Подставим это соотношение в последний интеграл и используем формулу (2.9.3)
интегрирования по частям дробного порядка. Получим
*("■»-
"Γ(μ)Η 2i4 μ 'XtJd(l-t)^i Г(с-Я) (1 X° Idt'
Запишем выражение в фигурных скобках в виде
Возьмем производную порядка μ — λ от этого выражения и получим
U~*J ГСс-μ) 2Ч c-μ '~7=ГУ
С помощью преобразования Пфаффа (теорема 2.2.5) приведем последнее
выражение к виду
( ^я-А-ьа-О^-1 -(а + Ъ-λ,λ-μ. (ΙζΟχλ
Подставив результат в последний интеграл, докажем утверждение теоремы. D
УПРАЖНЕНИЯ
1. Завершите доказательство второй части теоремы 2.1.2, касающееся условной
сходимости.
2. Пусть
Σ ак и Σ \ак I стремятся к бесконечности одинаковым образом, а именно
Jt=l I Jt=l
Jt=l Jt=l
для любого п и К не зависит от п. Докажите, что
π
Σ bit ь
lim *^_ = lim \
Jt=l

122
Глава 2. Гипергеометрические функции
полагая, что предел в правой части существует.
3. Используя результат упражнения 2, докажите теорему 2.1.4.
4. а) Покажите, что i((H-x)n4-(l-x)n) = 2F1(-n/2,-(n-l)/2;l/2;x2). Найдите
подобное выражение для -((1 + х)п - (1-х)").
б) Покажите, что (l+x)n = l + nx2Fi(l-n, 1;2;-х).
5. Получите тождество Чу—Вандермонда приравнивая, коэффициенты при хп в обоих
частях тождества (1 —хГ^О -х)-6 = (1 -х)~(<н*Ь).
6. Пусть 1п(14-х) определяется рядом (2.1.3). Используя преобразование Пфаффа
(теорема 2.2.5), докажите тождество 1п(14-х) = —ln(H-x)"1.
7. Покажите, что преобразование Пфаффа эквивалентно равенству
Это один из способов избавиться от ограничения Rec>Reb>0, использованного
при доказательстве теоремы 2.2.5.
8. Докажите тождества (2.1.10)—(2.1.13).
9. Покажите, что XFX (а; с; х) = ех xFi (с — а; с; —х).
10. Пусть χ — комплексное число, не равное нулю или отрицательному целому.
Покажите, что
r(x) = Vi( x1;-l)+^^-1e^dt = V-^- + ^-1e-tdt.
χ1 Ηχ + Ι' J J Z-in!(n + x) ί
Обратите внимание на то, что выражение для ряда jFj явно содержит полюсы
и вычеты функции Г(х).
11. Покажите, что
С e-stta-i F i-α2,...,αρβ Λ Γ(α) гаъ...,аруа, χ\
когда p<q, Res>0, Иеа>0и возможно почленное интегрирование.
12. Покажите, что
cosmx
sin mx = m sin x 2F]
13. Докажите, что каждая из функций
_ ί 2a,2b,a + b A
"" 3 2\^2a + 2b,a + b+|,XJ
Уг
удовлетворяет дифференциальному уравнению
x2(x-l)y,,,-3x(a + b+±-(a + b + l)x)y,,+
+ {[2(a2 + b2 + 4ab) + 3(a + b) + l]x-(a + b)(2a + 2b + l)}y, + 4ab(a + b)y = 0

Упражнения
123
и тем самым докажите тождество Клаузена (см. [86])
i 2
{λ [α+α5+1;*J| - 3f2 [2a2+a;b2 ;a++b+1:*J ·
Докажите также, что
2*1
■Г a,b ·*ϊ ρ (*-*·*-" -Л-- F(a-b+\-b-a+i\ Λ
14. Покажите, что тождество Пфаффа—Заалыпютца (2.2.8) может быть записано в
полностью симметричной форме:
T(d)r(e) [cos πd cos ne + cos πα cos nb cos nc]
р(*,Ъ,с \_ yrT(d)r(e)[cc
з1Ч d,e 'J r(d-a)r(d-
-b)r(d-c)r(e-a)r(e-b)r(e-c)
когда ряд естественным образом обрывается Hd + e = a + b + c + l. Это наблюдение
было сделано Р. Уильямом Госпером.
15. Докажите, что
[п/2]
γ„(*) = Σ(£>"-24*2-ι)\
Jk=0
где Тп (х) — многочлен Чебышёва первого рода. Найдите аналогичное выражение
для многочлена Чебышёва второго рода ί/π(χ).
16. Докажите следующий аналог малой теоремы Ферма: если χ — натуральное число
и ρ — простое нечетное число, то Гр(х) = Гх(х) (mod p).
17. Уравнением Пелля называется уравнение х2 —Dy2 = l, где D — натуральное
число, свободное от квадратов. Пусть S —множество всех положительных решений
(*>У) уравнения Пелля, а (xi,yi) —решение из S с наименьшим х. Покажите, что
(Гп(х1),у117п_1(х1)), п>1, также является решением и, следовательно, уравнение
Пелля имеет бесконечно много решений, если оно имеет хотя бы одно.
18. Пусть Sn(x) = Un_1(x) и [/_!(х) = 0. Докажите, что HOA(SnM,SmM) = SHOAimn)M,
где χ, m и π — натуральные числа.
19. а) Покажите, что
ι
$ Pn(a'-1/2)(2x2-l)p(x)(l-x2)adx = 0,
-ι
где ρ (χ)— любой многочлен степени не выше 2п —1. Выведите также, что
p(a,a)/Vi _ Γ(2π + α+1)π1 p(g,-i/2)i?v2 1Ί
*2" W""r(n + a+l)(2n)r» Ш 1J·
б) Покажите, что
р(а,а)Гул _ Γ(2π + α + 2)π1 r(g.i/2)fnr2 «ч
в) Какой смысл а) и б) имеют дця многочленов Чебышёва первого и второго родов
соответственно?
20. Докажите, что
_ (а+1)п/-1 + дсЛ" r-η,-η-β. х-1\_ (η + α + β+1)η(χ-ΐγ ί-η,-η-α 2 \
~ л! V 2 J 2*Ч o+l 'x + lJ- π! V. 2 J 2flla-e-2ri'l-x>

124
Глава 2. Гипергеометрические функции
21. [Якоби) Пусть x = cos θ. Докажите, что
d^sin2"-^,^-!)"-1 (2п)! . д
Γ"Γ"Ί = ~п , Sin TZU.
22. Докажите, что многочлены Якоби Ρ^α,β) (χ) удовлетворяют трехчленному
рекуррентному соотношению
2(η + 1Κη + α + β + 1Κ2η + α + β)Ρ™Μ =
= {2η + α + β + №2η + α + β + 2){2η + α + β)χ + α2-β2}Ρΐ;α>β\χ)-
-2ίη + α)ίη + β)·2ίη + α + β + 2)Ρ^1β\χ) = 0,
η = 1, 2, 3, ... (Ср. с формулой (2.5.15).)
23. Докажите соотношение смежности Эйлера в интегральной форме (2.5.3'), заметив,
что
ι ,
0=^(ta(l-t)c-a(l-tx)1-b)dt, Rec>Rea>0.
о dt
24. Докажите следующие соотношения смежности:
а) (c-2a-(b-a)x)F + a(l-x)F(a+)-(c-a)F(a-) = 0;
б) (c-a-l)F + aF(a+)-(c-l)F(c-)=0;
в) (b-a)(l-x)F-(c-a)F(a-) + (c-b)F(b-) = 0;
г) с(Ь - (с - a)x)F - bc(l - x)F{b+) - (с - b)F(b-) = 0.
25. Докажите следующие разложения:
a (c-a)x
Λ _ χ \2х222х2Ъ2х2
в) arctgx = - —— — ...;
π 1 Ι2 22 32
γ) — = — — — —... (девятый порядок приближения дает верное значение для
π/4 с точностью до семи знаков после запятой);
12 3
„л ι„ *+1 __ 2 2 3 4 .
ю ^^-^ΤχΖτ^τ^:--
2х 3х 4х
χ arcsinx _ χ 1·2χ2 1·2χ2 3·4χ2 3·4χ2
VT^X2""1- 3- 5- 7- 9- '"
26. Покажите, что
2F1(a' ;x) с_(а + Ы-1)л:
/а + 1,Ь + 1 ч (а+1)(Ь+1)
Л( е + 1 ·*) «(!-«) с(с + 1)
с Л
(а + 2)(Ь+2)
с + 1-(а + Ь+3)х | *(1 *} (с + 1)(с + 2)
(с+1) с + 2-(а + Ь+5)х
(с+ 2) + ...
27. Используйте интегральное представление Барнса для 2FX и бета-интеграл Барнса
(теорема 2.4.2) для доказательства формулы (2.3.13). Рассмотрите также случай,
когда с — а — Ъ — целое число.
28. Умножив уравнение (2.3.13) на xd~l (1 — χ)*"*'1 и проинтегрировав от 0 до 1, получите
другое доказательство теоремы 2.4.4.

Упражнения
125
29. Докажите следующие формулы Рамануджана [305, статья 11]:
г1 + (*/(Ь+1))2 1 + (*/(Ь+2))2 УпГ{«+1У(Ь + 1ЙЬ-а+\)
aJ l 1 + (*/α)2 1 + (χ/(α + 1))2- 2 Γ(α)φ + 1)Г(Ь-а + 1)
при 0<а<Ь— -;
dx
, а>0, Ь>0.
бл г ах =
} \ (l + (jc/a)2)(l + (jc/(a + l))2)...(l + (jc/b)2)(l + (jc/(b+l))2)...
_ ^Г(а)г(а+|)г(Ь)г(ь+|)г(а + Ь)
"Τ φΤ^Ι)
30. Докажите, что для Re t > 0 верно тождество
00 00
^ β-(η+α)2πί =_1_Γ e-n2n/te2ninat
П=—оо V п=—оо
Указание. Обозначьте левую часть за /(a) и заметьте, что / имеет период, равный 1.
Разложите / в ряд Фурье
Σ Ле2яйм
П=—оо
и покажите, что
Ап = $ е-^е-2*** dy.
— 00
31. а) Путь χ — нетривиальный четный примитивный характер (mod Ν). Докажите, что
Σ *(п)е-2" = ^= Σ ^η)«-π2π/(Ν2°,
^ VN2t ntToo
N
П=—оо
где Re t > 0 и
Указание. Сначала заметьте, что
N
Σ *(Όβ-η2,*=Σ*ω Σ e-*t(Nn+<
α=1 п=-оо
Затем примените результат предыдущего упражнения.
б) Пусть χ — нетривиальный нечетный примитивный характер (mod N). Докажите,
что
Σ »* ω'-"2"'=38г Σ πΐ(η)β-«2^2".
Af2t3/2
32. а) Покажите, что tt"T(s)£(2s) для Res> 1 есть преобразование Меллина от
Σ>-2π'·
б) Используя результат упражнения 30, покажите, что

126
Глава 2. Гипергеометрические функции
в) Заметьте, что выражение в правой части б) не меняется при замене 5 на 1—5.
Найдите аналитическое продолжение и функциональные уравнения для
дзета-функции.
33. Получите функциональное уравнение для !(#,$), где χ —примитивный характер
(mod АО, используя упражнение 31 и идею упражнения 32. (Согласно упражнению 53
из гл. 1 функциональное уравнение имеет вид
«*.«=^т
* 1(7, i-s)
2i5 \NJ r(s)cosn(s-δ)/2*
где 5 = 0 или 1 в зависимости от того, четный или нечетный характер χ.)
34. Имея в виду функциональные уравнения для дзета-функции, примените обратное
преобразование Меллина и докажите, что
Σ^-^Σ^·
35. Найдите преобразование Меллина от 2Fx[a,b;c;—x) следующим образом:
Га.Ь \ , с j_i„ . ..-о г,(а,с — Ъ х
dx.
Положите и = х/(х+1) и почленно проинтегрируйте ряд для 2Fi-
36. Пусть Fi(s) есть преобразование Меллина от ^(х). Покажите, что
±'ХFl(s)F2(S)F3(S)dS= l ξ/ι(„)/2(„)/,(±)^«1.
k—ioo 0 0
Получите непрерывный аналог Барнса (теорема 2.4.3) тождества Пфаффа—Зааль-
шютца.
37. а) Докажите, что
00 00
^ns-ie2nina = Γ(5)(2π)^β"π/2 J] (a + n)"s> Ima > 0, Res > 1,
Π=1 Π=—οο
используя теорему Карлсона. (Эта формула была получена Липшицем.)
б) Разложите £(a + n)~s, lma>0, в ряд Фурье ^Ате2пШа. Представьте Ат как
—00
интеграл по (—»; »). Используя результат а), получите формулу Ганкеля для 1/Г($).
См. упражнение 1.22.
38. а) Проверьте справедливость теоремы 2.6.1, дифференцируя обе части уравнения.
б) Проверьте справедливость тождества Абеля—Спенса (2.6.16).
в) Докажите тождества (2.6.13) и (2.6.14).
39. а) Докажите, что
б) (Куммер) Докажите, что
См. [248].
в) (Роджерс) Докажите, что

Упражнения
127
г) Покажите, что если 0<х<1, /€С2((0,1)) и / удовлетворяет равенству (2.6.6),
и функциональному соотношению из п. в), то /(x) = Li2(x). См. [314].
40. Пусть χ — элементарный характер Дирихле (mod N). Покажите, что
«*·2) = Σ ψ = ψ Σ X№2(e-™<N),
π=1
где g(x) — гауссова сумма, определенная в упражнении 31.
41 Пусть π — натуральное число. Введем
(lnp, п = рк, (степень простого числа),
0, в остальных случаях.
а) Покажите, что C(s) = Y\{l — p~s)~l Д71* Res>l·
ρ
б) Покажите, что
ζ'Is) _ V1 Л(п)
CW
Σ^ Для R«>1.
π=1
в) Пусть ψ{χ) = Σ Л(л). Покажите, что -0и) = О(х), *->+<», и
5x-s-VW^ = ~77T^ Res>l.
0 s ^s^
г) Докажите формулу обращения
C+iоо < у/г \
ψ (х) = — —: ^ ~~ ^тт ds о 1, х — не целое число.
C-iao ^ '
д) Пусть
* о
Покажите, что
Ι^'^^—τάτΜ' Res>1·
е) Проверьте непосредственно формулу обратного преобразования Меллина для
п. д),
1 c+r°° xs i'(s)
00
ж) Покажите, что образ преобразования Меллина от J] Л(п)е~п* есть —Г(5)ζ7(5)/ζ(ί).
η=1
з) Докажите формулу обратного преобразования Меллина для п. ж), а именно
-aiT^rw|gds = f]A(n)e-( с>1 *>0.
С—I» SV 1
42. Пусть а, Ь, с, d — комплексные числа.
а) Пусть с — не целое число и Re(a + b) > —1. Докажите, что
2-1 (с +
(-D*
fc)r(a + l-fc)r(b+l + fc) sinc7rr(a + c+l)r(b-c + l)·

128
Глава 2. Гипергеометрические функции
Σ
б) Пусть Re(a + Ь + с + d) > —1. Докажите, что
1 Г(а + Ь + с + <* + 1)
r(a-fc+l)r(b-fc + l)r(c + fc+l)r(d + fc+l) Г(а + с+1)Г(Ь+с+1)Г(а + о+1)Г(Ь + о + 1)'
Jt=—00
в) Какой из непрерывных бета-интегралов соответствует п. б)?
43. Эта задача дает быстрый способ получить дифференциальное уравнение для у =
= 2^х(а, Ь; с;х). Из ряда для у и преобразования Эйлера мы имеем
а)/=72^(а + 1>Ь + 1;с + 1;х) = ^(1-х)с-а-ь'12^(с-а,с-Ь;с + 1;х);
б) ^[xe-12F1(o,b;c;x)] = (c-l)jr22F1(afb;c-l;x).
Используйте пп. а) и б), чтобы показать, что
£ [хс(1 - χ)β+*+1^/] = abxc~l 2F1{c-a,c-b; с; х) = abxc~l (1 - х)в+*^у.
Дифференциальное уравнение получено после вычисления производных в левой
части.
44. Вычислите интеграл
π/2
J (l + e2i0)a(l + e-2i0y*d0,
-π/2
используя биномиальную теорему и теорему 2.2.1, и покажите, что
T(cos 0)a+' cos(a-i3)0 d0 = "Γ(α + * + 1) .
J H 2α+^+1Γ(α + 1)Γ(/5 + 1)

ГЛАВА 3
Гипергеометрические преобразования и тождества
Работа Гаусса по гипергеометрическим функциям содержит обсуждение моно-
дромии для решений гипергеометрического уравнения. Гаусс открыл и
проанализировал квадратичные преобразования гипергеометрических функций, что,
очевидно, и привело его к задаче о монодромиях. В отличие от линейных
(дробно-линейных) преобразований этих функций, примером которых служит
формула Пфаффа в теореме 2.2.5, квадратичные преобразования существуют
только при определенных условиях на параметры. Тем не менее, они очень
важны и полезны. Мы расскажем об одном их применении после вывода
нескольких основных формул. Квадратичные преобразования интересным образом
используются в доказательстве теоремы Гаусса о представлении арифметико-
геометрического среднего через эллиптические интегралы.
Эта глава содержит также обсуждение некоторых методов суммирования
некоторых типов гипергеометрических рядов1. Мы используем квадратичные
преобразования для вывода тождества Диксона для хорошо уравновешенного
ряда 3F2 при х = 1. Затем мы применим метод Бейли для получения тождеств для
рядов p+iFp специального вида с 2 < ρ < 6, включая тождество Дуголла,
упомянутое в замечании 2.2.2 предыдущей главы. Важная формула преобразований
Уиппла будет получена тем же методом. Подобно тому как интеграл Барнса
от произведения гамма-функций был аналогом гауссовской суммы 2F\, эти
тождества также имеют интегральные аналоги, которые мы обсудим.
Гипергеометрические тождества обеспечивают систематический подход к вычислению
однократных сумм биномиальных коэффициентов.
Соотношения смежности для гипергеометрических рядов содержат
огромное количество скрытой информации. Имеются трехчленные соотношения для
уравновешенных функций 4F3, полученные Вильсоном [426] и независимо
Рейналом [307], а также для функций 3F2 при χ = 1 — факт, отмеченный Кум-
мером намного раньше. Мы опишем простую технику Вильсона для вывода
соотношений смежности, содержащих в том числе трехчленные рекуррентные
соотношения для многочленов Вильсона. Эти многочлены вида 4F3 содержат
целый спектр классических ортогональных многочленов в качестве частных или
предельных случаев. Мы посвятим отдельный параграф этой главы
доказательству ортогональности многочленов Вильсона. Они являются ортогональными
с весом, который возникает как подынтегральное выражение в интегральном
аналоге тождества для 5F4.
Госпер, Цейльбергер и Уилф проделали значительную работу по разработке
численных алгоритмов поиска и доказательства гипергеометрических тождеств.
Мы обсудим метод Уилфа—Цейльбергера и сравним его с методом Пфаффа,
поскольку оба они служат примером применения соотношений смежности.
ι Стоит иметь в виду, что старые книги [40] и [345] все еще остаются полезными текстами.

130 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
§ 3-1. КВАДРАТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В упражнении 19 из гл. 2 читателю предлагалось доказать следующее
соотношение для многочленов Якоби:
р(«,«), . nl(a + l)2n p(g -1/2) f 2 2 _ -.ч (ΟΙ V)
^2п W (2π)!(α + 1)/η U* ij' ^•i-lj
Эта важная формула может быть записана в гипергеометрической форме:
2F1(-2n'2an++12a + 1;(l-x)/2) = 2F1(-n'na^^;l-^). (3.1.2)
Обратите внимание на то, что функция 2F\ в левой части линейна по х, а
функция 2^ι в правой части квадратична по х. Это и есть пример квадратичного
преобразования. В этом параграфе мы сформулируем основные результаты для
квадратичных преобразований с двумя свободными параметрами.
Естественно ожидать, что равенство (3.1.2) остается верным и в случае,
когда два ряда не обрываются. Последнее может быть прямо установлено
записью соотношения (3.1.2) в виде
4х(1-х)] (3.1.3)
и разложением правой части в ряд по степеням х. Коэффициент при хп есть
уравновешенный ряд 3F2, который может быть просуммирован с помощью
тождества Пфаффа—Заальшютца (теорема 2.2.6). Однако приходится отдельно
рассмотреть два случая: четного и нечетного п. В случае с аналогичным
нижеследующим тождеством (3.1.4) такая проблема отсутствует.
Применим преобразование Пфаффа (теорема 2.2.5) к левой части и
переобозначим параметры и переменную. Утверждение, которое мы хотим доказать,
принимает следующий вид.
Теорема 3.1.1. Для любого χ из области, где ряды сходятся, выполняется
равенство
<*>Ь . J\_n_~v-a τ, fQ/2,(l + a)/2-b. -Ax
(1-х)2
Доказательство. 1 Запишем ряд из правой части в виде
F( *,Ъ Λ_η .-a rfa/2,(l + a)/2-b. -Ах \ m д.
2*4a-b + l'*J-(1 х) 2i4 a-b + 1 'a-xW' C3-14)
у (Q/2)t(-b + (Q + l)/2)t k _ .(_а+2Ю _
Z-i fcICa —Ь + 1)д. l * J U J
_ V (a/2)t(-b + (a + l)/2)t k V (0 + 2*),,
~Zj fc!(a —Ь + Djk l * } Z-i jl x'
В этом параграфе обсуждаются различные способы вывода квадратичных преобразований.
Отметим еще один способ, идеологически очень простой. Функция
2Fx (a/2, (l + a)/2; a-b+1; *)=:$(*)
удовлетворяет гипергеометрическому дифференциальному уравнению. Нужно написать
уравнение, которому удовлетворяет (1 — x^gi—4x/(l — х)2), и убедиться, что оно гипергеометриче-

§3.1 Квадратичные преобразования
131
Легко заметить, что коэффициент при хп в последнем выражении есть
уп (g/2)fc(-b + (α + l)/2)fc(-4)fc(a + 2к)п_к
Zj (a-b + l)fc/c!(n-/c)!
fc=0
Теперь заметим, что
(a)n+fc (a)n(a + n)fc
(3.1.5)
(a + 2k)n_fc =
(a)* 224a/2),((a + l)/2)fc'
Поэтому ряд (3.1.5) равен
(a)n ^ (-b + (a + l)/2)fc(a + n)fc(-n),
n! Z-j
(a-b + l)fc((a + l)/2)fcfc! '
Применение тождества Пфаффа—Заальшютца показывает, что сумма данного
уравновешенного ряда 3F2 равна
п!(а-Ь + 1)п·
А это, очевидно, есть также коэффициент при хп в левой части равенства (3.1.4).
Теорема доказана. D
Следствие 3.1.2 (Куммер [242]). Справедливо равенство
а,Ъ . ^_ Г(а-Ь + 1)Г(а/2+1)
Λ(..ν+1ί-0-
Г(а + 1)Г(а/2-Ь+1)'
Доказательство. Перейдем в соотношении (3.1.4) к пределу при х —> — 1
и в силу теоремы непрерывности Абеля получим, что
А( eLb1;-i) = ^2F1fe/2^(e + 1)-b:iV
2 Ча-Ь + 1' У 2 ^ а-Ь+1 J
Теперь просуммируем 2F\ B правой части по формуле суммирования Гаусса
(теорема 2.2.2). После применения формулы удвоения Лежандра (теорема 1.5.1)
получаем искомое следствие. ϋ
Формула квадратичного преобразования в теореме 3.1.1 выполняется, когда
оба ряда сходятся. Однако этого недостаточно в случае (3.1.3). Обе части
равенства (3.1.3) сходятся для -<х<1. Взятие предела при х^1 от левой
и правой частей дает равенство
ί 2α,2Ъ \
Отсюда после применения формулы суммирования Гаусса следует, что
r(a + b+i)r(i-a-b) C0S7r(a_b)
r(b-a + i)r(a-b+l) «>5π(α + ί>)
= 1. (3.1.6)
Это тождество, вообще говоря, неверно, хотя оно и выполняется для целых а и Ъ.
Если α или Ъ — отрицательное целое число, то равенство (3.1.3) выполняется для

132 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
любого х. В противном случае оно выполняется в содержащей х = О компоненте
связности, определяемой неравенствами \х\ < 1 и |4х(1—х) | < 1. Гаусс первым
обратил внимание на это свойство, хотя его работа оставалась неопубликованной,
до тех пор пока не появилось понятия аналитического продолжения. Гаусс понял,
что гипергеометрическая функция многозначна, приводя в качестве подобного
примера sin-1 x. Таким образом, он осознал, что равенство (3.1.3) выполняется
не для любого х, даже если обе части выражения сходятся. См. упражнение 6,
где содержится правильное тождество для ~ < х < 1.
Интервал « < х < 1 в формуле (3.1.3) отображается в множество χ < —\ в
формуле (3.1.4). Функция в правой части выражения вычисляется в точке внутри
единичного круга, однако в левой части требуется аналитическое продолжение
для придания функции смысла.
Наше первое вычисление 2^ι(α, b; с; х) при х = 1 использовало интегральное
представление Эйлера:
Тождество Куммера из следствия 3.1.2 возможно вывести, полагая в интеграле
χ=—1. В этом случае с=a—b +1, откуда следует равенство степеней 1—t и 1—xt.
Другое важное квадратичное преобразование получается при взятии равными
степеней t и 1 — t, т. е. с = 2а.
Теорема 3.1.3. Для всех χ из области сходимости выполняется равенство
2^1
(^-)=0-!rV,(№a№+f2fe)!)· ««
Доказательство. Левая часть равна
Г(2а)
Г(а) Г(а) 0
$«-*>iHH)T'*·
Подставив s = 1 — 2t или t = (1 — s)/2, после упрощения получим
_ Γ(2α)(1-(χ/2)Γ» у. Μη(_χ_γ с ς„η _ς2ν,-ι ,.
l^Ua)2 Li nl \x-2J Jsu S) as-
n=0 -1
В случае, когда п нечетное, последний интеграл равен нулю. В противном случае
он равен
i ι , r(m + i)r(a)
о r^m + a + ^J

§3.1 Квадратичные преобразования
133
где η = 2т, т. е.
F(a,b \ Г(2а)(1 -Сх/2)Г» yi Wa«r(m + §)Г^Г χ γ*
ΛΙ 2α >*J Γ(α)*2- 2- (1)2тг(т + а + 1) Ь"J
Г(2а)г(1)(1-(*/2)ГЬ fb/2,(b + l)/2 , х «\
" Γ(α)Γ(α + Ι)2- Л\, аЧ 5 l^J J' (
Применение формулы удвоения Лежандра доказывает теорему. D
Замечание 3.1.1. Стоит заметить, что формула удвоения Лежандра следует из
формулы (3.1.8), если положить в ней х = 0.
Теоремы 3.1.1 и 3.1.3 содержат простейшие квадратичные преобразования.
Другие формулы могут быть выведены из этих двух при использовании дробно-
линейных преобразований или трехчленных соотношений, связывающих
различные решения гипергеометрического дифференциального уравнения.
Применим преобразование Пфаффа к правой части равенства (3.1.4) и
получим
Заменив 4х/(1 + х)2 на х, выведем аналогичную формулу
Α(^Υ+?/2ί*)-« + ^^^Λ(.-ν+ΓΪΤ^> ол.
Ю)
Комбинация формул (3.1.10) и (3.1.7) дает другое полезное преобразование,
а именно
Для доказательства этого соотношения заменим χ на 4х/(1 + х)2 в
формуле (3.1.7) и, поменяв местами а и Ь, получим
*# «а?)=<-*>»α+Λ-ν, (°'ΖΓ&) ■
Из равенства (3.1.10) следует, что правая часть последней формулы равняется
правой части равенства (3.1.11), что и доказывает последнее.
Для того, чтобы увидеть, как трехчленное соотношение может
использоваться для вывода дополнительных квадратичных преобразований, вспомним
формулу (2.3.13):
г(а,Ъ Λ Г(с)Г(с-а-Ь) р( а,Ъ \
Г(с)Г(а + Ь-с)г у_а_ь р ( с-а,с-Ъ . λ
+ Г(а)Г(Ь) (1~*} ^ilc-a-b + l'1"**

134 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Применим ее к соотношению (3.1.3) и получим
(в + Ь + з)Г(2)„Г«,Ь ,л_
2Г1
' 2а,2Ъ * + Л г(а + Ь+ЮГШ Г(а,Ъ
а + Ъ+1' 2 ) Γ(β+ΐ)φ+ΐ)^ι/2·
χ
■)■
Приведем несколько общих замечаний о квадратичных преобразованиях.
В формуле квадратичного преобразования есть две части: линейная и
квадратичная. В линейную часть переменная входит линейно или как образ
дробно-линейного преобразования х(х — 1)~1. Параметры линейной части ограничены
одним условием, которое приходит из записи 2F\ в качестве эйлерова интеграла
и приравнивания каких-либо двух из степеней функций в подынтегральном
выражении. Это дает равенства с = 2а, с = а — b +1 или а + Ъ = 1. Для получения
полного набора условий используются симметрии по параметрам α и Ь, а также
преобразование Пфаффа. Вот полный набор этих условий:
c = 2a, c = 2b, c = a-b + l, c = b-a + l, a + b = l, c = a-hb-h|. (3.1.13)
В квадратичную часть переменная входит квадратичным образом. На
параметры накладываются такие условия: либо параметры в верхней строке отличаются
на «J либо параметры в нижней строке отличаются на « от 1 (т-е- с==о
3
или с = ^), либо параметры связаны преобразованием Пфаффа. Мы имеем
следующие условия:
а = Ъ + ±, Ъ = а + \, с = а + Ъ + ±, с = а + Ъ-±, с=±, с=§. (3.1.14)
Заметим, что а, Ъ и с используются для обозначения параметров в общем случае
и поэтому обозначения могут различаться в отдельных формулах.
Формулы квадратичных преобразований разбиваются на две группы. В
первой параметры линейной части1 удовлетворяют условиям с = 2а или с = 2Ь, а в
другой—любым из оставшихся соотношений (3.1.13). Для квадратичной части
первая группа соответствует выбору с=~ или с = ^, а вторая — оставшимся
соотношениям из набора (3.1.14). Обратим внимание на то, что соотношение
(3.1.7) связывает с = 2а cb = a+-z> & соотношение (3.1.4) связывает с = а — Ъ +1
1 3
с с = a + b +1/2. Преобразования, которые относятся к группе с=« и с = ^,
возникают из трехчленных соотношений. Одним из примеров такого рода
является соотношение (3.1.12).
Отметим простой способ, которым можно отличить квадратичные
преобразования, полученные из соотношения (3.1.4), от тех, что получены из
соотношения (3.1.7) с помощью линейных преобразований. В соотношении (3.1.4)
параметры знаменателя равны друг другу, а в соотношении (3.1.7) они разные,
за исключением одного значения. Заметим, что преобразование (3.1.11) не
является квадратичным. Обе части удовлетворяют условиям из набора (3.1.13),
ι Имеется в виду, что аргумент 2Г\ линеен по х.

§3.1 Квадратичные преобразования
135
а то, что эти части равны, было доказано после замечания, что каждая из них
равняется функции с одним выполненным условием из набора (3.1.14).
Вернемся к доказательству теоремы 3.1.1 и отметим, что уравновешенный
ряд 3F2, который встречается в ее доказательстве, имеет одну особенность,
позволяющую не суммировать его. Это заставляет предположить, что есть
более общее квадратичное преобразование с одной дополнительной степенью
свободы. Хорошо, если бы это было преобразование для 2FX общего вида,
однако из обсуждения связи между квадратичным преобразованием и
эйлеровым интегралом следует, что это маловероятно. Дополнительная степень
свободы появляется лишь на уровне 3F2. Уиппл нашел следующее квадратичное
преобразование:
зЫа-ьЛаС-с + 1;*) =
-Π νϊ"α Fffl-b-c + l,a/2,(Q + l/2). -4x \ miq.
-(1-х) 3*4 а-Ь + 1,а-с + 1 ' (l-*)a> (3JJ5)
Доказательство этой формулы схоже с доказательством теоремы 3.1.1.
Коэффициент при хп в правой части равенства (3.1.15) снова есть уравновешенный ряд 3F2.
Детали мы оставляем на рассмотрение читателю. Существуют также примеры
кубических преобразований, хотя они и менее изучены, чем квадратичные. Два
примера таких преобразований приводятся в упражнении 38.
Куммер [242] вывел несколько квадратичных преобразований для 2Fr с
одним свободным параметром. Параметр был выбран так, чтобы к функции 2FX
могло применяться более чем одно преобразование. Рассмотрим следующие
два важных преобразования:
а>Ь .J\_ri_i_^-a г fa/2,(a + l)/2.
а также
Λ(..ν+ι:')-ο+«Γ·Λ(^;+Γ=*/ο+^
2Fi(2b ;Χ) = ί1~ί) 2i?i(a b +(1/2) ; (Й?) J ·
Функции 2Fi в левых частях становятся равными, если приравнять параметры
в знаменателях. Это означает, что 2Ь = а — Ь +1 или Ь = (а +1)/3. В этом случае
(л хГ" „(α/2.(α + 1)/2/ χ γ\_ /α,(α + 1)/3 \_
\}-2) *ΡΑ b + (l/2) 'l2=x"J )-2^У{2а + 2уз'Х)-
-a+jf) 2рг{ (2α+2)/3 '(ϊτι^;-
-η-^Αί·*»-^)- (3U6)
Последнее равенство было получено применением преобразования Пфаффа.
Перейдем к пределу при χ -* —1 в первом и последнем выражениях в
формуле (3.1.16) и получим
(α/2,(α + 1)/2.ΐΛ МГ" Ffa/2,(aH)/6\
2М (2a + 5)/6 '^"Ш 2/4 2(a + l)/3 ' V"
-ш
3Y» νπΓ((2α + 2)/3)
Γ((α + 4)/6)Γ((ο + 1)/2)'

136 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Теперь используем квадратичное преобразование Гаусса (3.1.3), а затем
преобразование Пфаффа (2.2.6) и найдем, что
/α,(α + 1)/3 \_ (α/2,(α + 1)/6 \_
2i42(a + l)/3'*J-2i4 2(a + l)/3 '4x^-xV~
= (l-4x + 4x2ra/2,F1fa/2,(a + 1)/2· 4χ2~4χ ) (3118)
U 4X + 4XJ 2J·^ 2(a + 1)/3 >4jc2_4jc + 1J· WJ-ВД
Вспомним, что формула Гаусса выполняется в содержащей начало координат
компоненте связности области |4х(1—х)\<1. Таким образом, у/1—4х + 4х2 =
= 1 — 2х. (Подобные рассуждения применяются и при получении последнего
равенства в формуле (3.1.16).) Используя совместно соотношения (3.1.16) и (3.1.17),
получим
П+*Га rfq/2,(a + l)/2. Αχ \_ Γα/2,(α + 1)/6 Λ
(1+*) 2Fi{ 2(a + 1)/3 'а+ху)-гРА 2(a + l)/3 ,4*(1 x)J~
-Π 2г1-° rfe/2,(a + l)/2, 4*2-4x Л m 1Q.
-d ад 2i^ 2(a+1)/3 »4x2_4x+1J· i3-L19>
Перейдем к пределу при χ —»= и получим, что
(α/2,(α + 1)/2. 8ϊ _ Г2Л"0 Р (α/2,(α + 1)/6 λ
2Ή 2(a + l)/3 '9>>~Ы 2i4 2(a + l)/3 ' ^ ~
- (3У У^Г((2а + 2)/3) „
"Ы Г((а + 4)/б)Г((а + 1)/2)· K*'LM)
Формула (2.3.13) связывает следующие три функции 2F\ '■
/·α/2,(α + 1)/2 . л (α/2,(α + 1)/2 Λ
*Ч 2fa + l)/3 ,8/9> 2i4 (2a + 5)/6 ' 1/9J
f(a + 4)/6,(a + l)/6 . \
2*Ч (7-2a)/6 '1/9J·
Таким образом, третья функция 2$\ также может быть вычислена. В
упражнении 2 мы приведем еще несколько результатов Куммера для квадратичных
преобразований с одним свободным параметром.
§ 3-2. АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СРЕДНЕЕ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Определение 3.2.1. Пусть 0 < к < 1. Следуя Лежандру, интеграл
χ ,
\ . dt при хе [-1,1] (3.2.1)
I V(l-t2)(l-fc2t2)
называется эллиптическим интегралом первого рода. Если х = 1, то этот
определенный интеграл называется полным эллиптическим интегралом и
обозначается буквой К. Таким образом,
К := К(к) := { dt = = \ , άθ (3.2.2)
I V(l-t2)(l-fc2t2) I νΊ-kWe

§ 3.2. Арифметико-геометрическое среднее и эллиптические интегралы 137
Чтобы лучше исследовать интеграл (3.2.1), необходимо изучить обратную
к нему функцию, которая является эллиптической функцией Якоби. Это ана-
х
логично изучению интеграла 5 (1 —12)~1/2 dt как обратной функции к синусу.
о
Теория эллиптических функций Якоби будет коротко рассмотрена в гл. 10.
Сейчас мы покажем, как некоторые сведения из теории гипергеометрических
функций могут быть использованы для получения интересных результатов,
касающихся интеграла (3.2.2). Сначала заметим, что разложение подынтегрального
выражения (1 — ic2 sin2 θ)-1/2 в ряд, слагаемое за слагаемым при почленном
интегрировании даст равенство
K(fc) = §2Fi(1/2i1/2;fc2)· (з.2.з)
Теперь заменим χ на (1 — Vl— x2)/(l + Vl—x2) в формуле квадратичного
преобразования (3.1.11) и получим
2i4 2b'*J-l 2 J 2i4 b + 1/2 4ΐ + ι/ϊ=ϊ" J'
Применим эту формулу к гипергеометрической функции в формуле (3.2.3).
Имеем
*»> = ш*(Ш (3·2·4)
где k'2 = l — k2. Чтобы проитерировать этот результат, введем следующие
обозначения:
ко'-=К fcm-V^1^ и ^+1:=1Ζ^·, rn = 0,1,2,... (3.2.5)
т
Из формул (3.2.4) и (3.2.5) следует, что
η
κ№) = κ(^+ι)ΠϊΤΓ·
m=0 m
Заметим, что
ι-ι/ϊ^
ikm+1 = —£—!^<i-A/i^H<i-(i-fcb = F1
m+1 -ι , /-i __ r.2 v m ч m' m3
т.е.
^m^2" и ^m""*0 ПРИ ТП-*00·
Более того, произведение
П-та = П(1—τ51)
m=0 m=0
сходится, так как сходится ряд J] (1 — \/l — fc^) < Σ k2"· Таким образом,
m=0 m=0
m=0 m m=0 m

138 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Значения к'т могут быть получены последовательно из формулы
*т+1 = ТШ- (3·2·6)
Правая часть есть отношение геометрического и арифметического средних 1
Hit'·
m
Пусть имеются две последовательности {ап} и {bn}, а0 = 1 и Ь0 = к', причем
^L = l·' и g*±l = г + кп С3 2 7)
п~1 ι+fcl
Тогда
η απ_χ ' αη_2'"α0 1 1 2
m=0
И
m=0
Более того, если к' -* 1, то
lim bn = lim αη.
П->оо n->oo
Из соотношений (3.2.6) и (3.2.7) получаем
а„+1 = ^4^ и Ьп+1 = АЛ. (3.2.8)
Наоборот, легко увидеть, что если две последовательности {ап} и {Ъп}
удовлетворяют условиям (3.2.8) с а0 = 1 и Ь0 = к', то условия (3.2.7) также выполняются.
Общий предел двух последовательностей называется их арифметико-геометри-
ческим средним и равняется
2 г dt Ί-1
g v^(i-t2)(i-fc2t2)
Этот результат был получен независимо Лагранжем и Гауссом. Смотри Кокс[90].
Мы сформулируем его как теорему после формального определения арифмети-
ко-геометрического среднего.
Определение 3.2.2. Пусть {ап} и {bn}—две последовательности, причем
а=: а0 и Ъ =: Ь0 — вещественные числа, α > Ъ > 0 и ап+1 = (αη + bn)/2, bn+1 = у/апЪп.
Тогда, как мы увидим, эти две последовательности сходятся к общему пределу
М(а9 Ь), который называется арифметпико-геометприческим средним.
Теорема 3.2.3. Справедливо равенство
π/2 de
1 =2 г άθ
М{а,Ъ) π J (α2cos2 θ +b2sin2 θ)1'2'
Доказательство. Из определения очевидно, что Μ(λα, Xb) = XM(a, b).
Поэтому М(а,Ъ)=аМ(1,Ъ/а). Утверждение следует из результата в предыдущем
абзаце, если положить к' = Ъ/а. D

§ 3.2. Арифметико-геометрическое среднее и эллиптические интегралы 139
Тот факт, что две последовательности в определении 3.2.2 имеют общий
предел, может быть прямо установлен. Легко увидеть, что
а = а0>а1> а2> ...> ап> ... > Ъп > Ьп_г > ... >Ь0 = Ь,
а также
и <-„ и - ап + ьп и — ап"ьп
G/i+1 -Ьп+1 ^ αη+1 -bn - —2 ьп - —2—'
Таким образом,
и две последовательности сходятся к одному и тому же пределу. Из равенства
αη+ι ^i-4(an+1+bn+1)
следует, что сходимость квадратичная. Гаусс заметил эту быструю сходимость,
рассматривая численный пример са = ^2иЬ = 1. Первыми несколькими
значениями а„ и Ъ„ являются
0 1,41421356237 1,00000000000
1 1,20710678118 1,18920711500
2 1,19815694809 1,19812352149
3 1,19814023479 1,19814023467
4 1,19814023473 1,19814023473
Гаусс произвел расчеты вплоть до двадцать первого знака после запятой, однако
уже приведенной таблицы достаточно для иллюстрации нашей идеи. Несколько
позднее он посчитал отношение π/ώ, где
ι
(2 = 2$(1-х4Г1/2с*х.
о
30 мая 1799 г. Гаусс записал в своем дневнике, что М(\/2,1) и π/ώ согласуются
с точностью до одиннадцати знаков после запятой, и предположил, что они
равны. Позднее он доказал более общий результат, содержащийся в теореме
3.2.3. Сделав подобное предположение, не слишком трудно, однако, и доказать
этот результат. Если обозначить интеграл в утверждении теоремы через Да, Ь),
то достаточно доказать, что
Ι(α,ν=Ι{αΜ, (3.2.9)
и затем установить, что
Да, Ь) = Да1? Ъг) = ... = Дат, Ът) = ... = Нт Дат, Ьт).
т—»<»
Для доказательства равенства (3.2.9) Гаусс ввел новую переменную вг:
. Λ 2α sin Θχ
а + Ь +(α-Ь) sin2 θχ
и заметил, что
(a2 cos2 θ + b2 sin2 θ)-1/2ίθ = (α2 cos2 0X + Ь2 sin2 θ^"1/2 d0x.

140 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Это требует небольших вычислений, но отсюда сразу получается равенство
(3.2.9).
Мы начали с эллиптического интеграла и затем ввели арифметико-геометри-
ческое среднее. Очевидно, Гаусс решал задачу в направлении, обратном к
изложенному здесь. Рассмотрим другой способ получения эллиптического интеграла
из арифметико-геометрического среднего. Гаусс также изучал функцию
/(Х) .= ι = I
iW- ма+χ,ι-χ) M(i,Vi=*y
Далее,
= м(1^м-а = (1+'2)/('г)· сз-210)
Будем считать, что / — аналитическая функция в окрестности точки t = 0. Нам
нужна аналитическая функция, которая удовлетворяет условию /(0) = 1, а также
функциональному уравнению (3.2.10). Так как функция /, очевидно, четная,
fix) =g(*2) Для некоторой функции g и
s(a^H1+t2)s(t4)·
Заменим t2 на χ и получим
*(отЫ = (1+*№2)·
Представим g в виде ряда g(x) = Σ αηχΤΙ и> используя последнее
функционально
ное уравнение, получим
I2 · З2 I2 · З2 · 52
αι = αο/4, 0.2 = 22.42 ao> аз == 22·42·62α°'
Отсюда можно догадаться, что
I«-*(1/Y/V)-5'·
Формула (3.1.11)
2^(2ЬЬ;4х/(1 + х)2) = (1 + х)2а2^
2
наводит нас на такое же тождество. Можно прямо показать, что fix) =gix2)—
аналитическая функция. См. первые страницы книги [66]. Тем не менее, легче
проводить рассуждения в другом направлении, как и было сделано выше.
Определение 3.2.4. Полный эллиптический интеграл второго рода
определяется как
π/2
E:=Eik):= j (1-Jfc2sin2 θ)1/2άθ. (3.2.11)

§ 3.2. Арифметико-геометрическое среднее и эллиптические интегралы 141
Теорема Лежандра связывает полный эллиптический первого рода с полным
эллиптическим интегралом второго рода. Перед ее доказательством
сформулируем лемму о вронскиане гипергеометрического уравнения. (Ссылки на книгу
Лежандра, где был получен этот результат, см. в работе [423, с. 520].)
Определение 3.2.5. Если уг и у2 — два решения дифференциального
уравнения второго порядка, то их вронскианом называют функцию W(yl9y2) :=
Лемма 3.2.6. Если уг и у2 —два линейно независимых решения
гипергеометрического уравнения х(1— х)у" +{с — (а + Ъ+ 1)х)у' — аЪу = 0, то
™{У\,У2) = хс(1_ху+Ъ-с+1>
где А — постоянная.
Доказательство. Умножим уравнение
xil-x)yZ+ic-{a + b+l)x)/2-aby2 = 0
на уг и вычтем из результата уравнение, полученное перестановкой уг и у2.
Получим
х(1-х)(У1У2/-У2УГ) + (с-(а + Ь+1)д:)(у1у^у2у1/) = 0
или
xil-x)W(yl9y2) + ic-ia + b+l)x)W = 0.
Теперь решим последнее уравнение и убедимся в справедливости утверждения
леммы. D
Нам понадобятся частные случаи следующих двух линейно независимых
решений общего гипергеометрического уравнения:
У1=2^(а;Ь;4 (3-2.12)
у2 = х^а-хУ-^гЦ^'Х+с-, 1-х). (3-2.13)
Заметим, что из (3.2.11) получается равенство
*(*) = §2*ιί5*~5;*2)· (3-2.14)
Теорема 3.2.7. Справедливо соотношение ЕК'+Е'К-КК' = ^ где К' :=К(к'\
Е':=Е(.к')ик'2 = 1-к2.
Доказательство. Пусть х=к2, так что 1—х=к'2. Соотношение смежности
(2.5.9) дает нам уравнение
χ (1 - х) g = \Е - \ (1 - х)К. (3.2.15)
Аналогично
-х{1 -χ">% = \Ε'- f *'· (3.2-16)
Умножим уравнение (3.2.15) на К', а уравнение (3.2.16) на 1С и сложим
результаты:
ЕК' + Е'К - КК' = 2х(1 - х) W(K', К).

142 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
При a = b = -z и с = 1 из леммы 3.2.6 следует, что W(K',K)=A/x(l—x). Поэтому
ЕК' + Е'К—КК'— постоянная. Исследование асимптотического поведения К при
χ -* 1 показывает, что эта константа должна быть равной π/2. Доказательство
последнего факта предоставляется читателю. D
Формула в теореме 3.2.7 называется соотношением Лежандра.
Точно таким же образом можно доказать следующий, более общий результат
Эллиота [115]. Доказательство оставляется в качестве упражнения.
Теорема 3.2.8. Справедливо соотношение
2 ^ а+Ъ+1 J \ Ь+с+1 J
2 Х^ α + b + l J2 \ b + c + 1 J
2 ^ a + b + 1 J2 ^ b + c + 1 J r(a + b + c + §)r(b + i)
Саламин [331] и Брент [69] независимо скомбинировали соотношение
Лежандра с арифметико-геометрическим средним для получения алгоритма
приближенного вычисления π. Мы завершим этот параграф коротким
описанием такого их применения. Детали мы оставляем читателю для продумывания.
Лемма 3.2.9. Если {ап} и {Ъп} — последовательности из определения 3.2.2,
то
где
π/2
jn~ J ia2ncos2e + b2nsin2e)V2de.
о
a In задается аналогично, но со степенью —ζβ подынтегральном выражении.
Лемма 3.2.10. Справедливо соотношение
где с2 = а2 — Ъ2
η η η
Доказательство. Из формулы (3.2.9) нам известно, что 1п=1(а,Ъ)=:1.
С помощью леммы 3.2.9 устанавливаем, что
2G/„+i" а2п+11) - (J„ - a2/) = (a A - 2а2п+1 + а2)/ = |с^7.
Переписываем это равенство в виде
2n+1 (J„« - α2+1ί) - 2»(J„ - a2/) = 2»-^/
и суммируем его по η от 0 до гл. Получим
J-2
m+l
^ n=0 '

§ 3.3. Преобразования уравновешенных рядов
143
где J :=J0- Далее,
π/2 . 2
om+lrr „2 г л _ 0m+lr2 С -Sin θ άθ
* Wm+l-^+iWlJ-^ Cm+1 J
0 Vam+lCOS20+b2+1sill20'
Поскольку с^+1 стремится к нулю квадратично, последнее слагаемое стремится
к нулю. Положим в формуле (3.2.17) т —> оо и возьмем а = 1 и Ъ = к', тогда лемма
будет доказана. D
Теорема 3.2.11. Справедливо равенство
„ М2(У2,1)
1-Z2"c2
п=0
гдес2п = а2п-Ъ2п, а0 = 1иЪ0 = -±=.
Доказательство. Возьмем fc = —. Тогда к' = — и соотношение Лежандра
принимает вид
| = (2£-КЖ, где E = E(j=) и К = <^).
откуда следует равенство
[ι-Σ2η*2=!·
п=0
Поскольку 1С = π/ί 2М( 1, — J J, из последнего соотношения немедленно следует
утверждение теоремы. D
Алгоритм, основанный на этой теореме, использовался для вычисления
миллионов разрядов числа π. Пусть
π ... 2d
ι-Σ2"^
п=0
Тогда тгт монотонно возрастает к значению тт. Заметим, что сп = ^/а^ — Ь2 =
= с^х/4ап. Числа αη и bn находятся с помощью алгоритма арифметико-гео-
метрического среднего. Дополнительную информацию о вычислении числа π
можно найти в работе [54].
§ 3-3- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНОВЕШЕННЫХ РЯДОВ
В предыдущей главе мы видели как функция 2F\ общего вида вела себя при
дробно-линейных преобразованиях и как можно вычислить сумму ряда при
х = 1. В случае квадратичных преобразований мы столкнулись с ограничениями
на параметры. Для высших функций p+iFp общего вида формул преобразования
и суммирования, вообще говоря, не существует. Однако есть два класса
гипергеометрических рядов, для которых могут быть получены некоторые результаты.

144 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Определение 3.3.1. Гипергеометрический ряд
ra0,...,ap \
p+1 "U Ъ ,Х)
называется k-уравновешенным, где ic — положительное целое число, если χ = 1,
одно из at — отрицательное целое и
Р Р
i=0 ί=1
Условие того, что ряд обрывается, может показаться искусственным, однако
без него многие следствия не выполняются1. Случай ic = 1 очень важен — в этом
случае ряд называется уравновешенным или заалыпутцевым.
Определение 3.3.2. Если параметры гипергеометрического ряда
удовлетворяют соотношениям
а0 +1 = аг + Ъг = ... = ар + Ьр
ряд называется хорошо уравновешенным. Он называется почти уравновешенным,
если все пары параметров, за исключением одной, имеют одинаковую сумму.
В § 3.4 мы укажем связь между двумя типами рядов, рассмотренными
в определениях 3.3.1 и 3.3.2. Начнем с изучения уравновешенных рядов.
Основной теоремой этого параграфа является следующий результат Уиппла, который
преобразует уравновешенный ряд 4F3 в другой уравновешенный ряд 4F3.
Теорема 3.3.3. Справедливо равенство
ρ Г-п,а,Ъ,стЛ\_ (β-α)η(/-α)η / -n,a,d-b,d-c -Λ
4/Ч d,e,f >Ч- (e)n(/)n 4^U,a + l-n-e,a + l-n-/ji>
где
Доказательство. Начнем с преобразования Эйлера
2F1(a'cb;x) = a-xy-a-b2F1(c-a>cc-b;x).
Перепишем последнее, используя новые параметры:
a-xy-d-<2F1{f-d'/-e;x) = 2F1(d>fe;x).
Предположим, что c — a — b = f — d — e. Перемножив два тождества, получим
A(V"W/"*/"'i')-A(e-v'")^(V'4
Коэффициент при хп в левой части равен
γ. iaMbMf-d)n_k(f-e)n_k
fa (с)кк\(/)п_к(п-ю\ ■
Ле=0
ι Стоит сказать, что именно происходит. Например, в ситуации теоремы 3.3.3 для нецелого η есть
тождество общего вида: сумма четырех 4^з(1) равна нулю, перед 4^з стоят гамма-множители.
При целых η два слагаемых обращаются в нуль за счет множителей Г(—п) в знаменателе. Тот
же эффект в случае тождества Пфаффа—Заалыпютца обсуждался выше (следствие 2.4.5).

§ 3.3. Преобразования уравновешенных рядов
145
Это выражение может быть переписано в виде
(/-<*)η(/-β)η / fl)b,i-/-n,-n л
Ш(/)п ^34d-/-n + l,e-/-n + l,1J'
Приравнивая это выражение к коэффициенту при хп в правой части, получим
_ / -п,а,Ь,-/-п + 1 л №п(е)п (-п,с-а,с-Ь,1-/-п \
4/4c,d-/-n + l,e-/-n + l' V (/-Юп(/-е)„4 3V c,l-d-n,l-e-n ' Vе
Это соотношение эквивалентно утверждению теоремы. Утверждение было
доказано Уипплом [421]. Другое доказательство см. в замечании 3.4.2. D
Следующий результат был получен Шеппардом [341].
Следствие 3.3.4. Справедливо равенство
„ Г—п,а,Ь ηΛ _ (d — α)η(β — α)η /—η,α,α + b —η —d —e + 1 -Λ
з/Ч d,e ;iJ~ (d)n(e)n 3/4a-n-d + l,a-n-e+i;i>
Доказательство. В теореме 3.3.3 перейдем к пределу при /-* оо, сохраняя,
однако, / — с конечным, так, чтобы имела место сходимость
Г-п,а,Ъ,с -Λ ρ f-n,a,b λ
Аналогичное изменение происходит и в правой части, поэтому мы имеем
„ (-п,а,Ъ^\_ (β-α)π / -η,α,ά-Ь \
3М d,e '^"ΊήΓ^,α + Ι-η-β'1}
Преобразование Шеппарда получается применением вышезаписанного
преобразования к самому себе. Следствие доказано. D
Формула в следствии 3.3.4 имеет некоторые интересные частные случаи.
Например, предположим, что левая часть к -уравновешена, т. е.
d Ч-е = fc — п + а + Ъ.
Тогда правая часть есть сумма к слагаемых. В частности, при к = 1 мы
восстанавливаем тождество Пфаффа—Заалыиютца.
Следствие 3.3.5. Справедливо равенство
(а,Ъ,с Λ r(e)r(d + e-a-b-c) „ (a,d-b,d-c λ
з/Ч d,e 'V~r(e-a)r(d + e-b-c)3Md,d + e-b-c'-V
когда оба ряда сходятся.
Доказательство. Перейдем κ пределу при п-*оо, полагая / + п
фиксированным. Так как число слагаемых ряда стремится к бесконечности, для
обоснования предельного перехода может быть использована теорема Таннери.
Левая часть формулы из теоремы 3.3.3 принимает вид
Чтобы найти правую часть, запишем
(e-a)n(/-a)n Γ(ε-α + η)Γ(/-α + η) Г(е) Г(/)
(е)п(/)п Г(е-а)Г(/-а) ' Г(е + п)Г(/+ п)
Г(е) Г(а-/+1)Г(-п-/ + 1) Пе-а + п)
Г(е-а)Г(а-/-п + 1)Г(-/+1) ' Г(е + п) *

146 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
где для вывода второго равенства использовалась формула отражения Эйлера.
Вспомним, что 1 —/ — n = d + e — а — Ъ—с. Поэтому
(β-α)η(/-α)η r(e)r(d + e-g-b-c) /Γ(α-/+1) Γ(β-α + η)λ
(е)п(/)„ Г(е-а)Г(с1 + е-Ь-с) Л Г(-/ +1) Г(е + л) >
Поскольку η -* оо при фиксированном η + /, мы имеем -/->оо и выражение
в скобках в пределе дает 1, откуда и вытекает следствие. D
Следствие 3.3.5 было получено Куммером [242]. Если мы применим
преобразование Куммера к самому себе, то получим следующую теорему Тома [380].
Следствие 3.3.6. Справедливо1 равенство
Г (а,Ъ,с \_ Г(ДГ(е)Г(5) (а-а,е-а,5 \
3*2V d,e 'Ч~Г(а)Г(5 + Ь)Г(5 + с)з/Ч s + b,s + c ' Ч'
где s = d + e — a — b—c.
§ 3·4· ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УИППЛА
Основным результатом этого параграфа является важная формула Уиппла [421],
которая связывает конечные хорошо уравновешенные ряды 7F6 с
уравновешенными рядами 4^з· Мы докажем ее методом Бейли, который требует знания
значения хорошо уравновешенного ряда 3F2 общего вида в точке χ = 1. В гл. 2
мы показали, что этот результат, известный как теорема Диксона, есть следствие
теоремы Дуголла. См. замечание 2.2.2 в гл. 2. Поскольку теорема Дуголла, сама
по себе есть следствие формулы преобразования Уиппла, было бы приятно
иметь прямое доказательство формулы Диксона, а именно без использования
формулы Дуголла. Известно несколько таких доказательств. Мы приведем то
из них, которое следует из квадратичного преобразования, указанного в § 3.1.
Теорема 3.4.1. Справедливо равенство
Г а,-Ъ,-с Л= Г(а/2 + 1)Г(а + Ъ + 1)Г(а + с + 1)Г(а/2 + Ъ + с+1)
3 2Vl + a + b,l + a + c' J Г{а + 1)Г{а/2 + Ъ + 1)Г{а/2 + с+1)Г{а + Ъ + с + 1)'
Доказательство. Если в квадратичном преобразовании (3.1.15) а = —п —
отрицательное целое число, то обе части равенства — многочлены по х. Возьмем
х = 1. Если а —четное отрицательное целое число, то мы имеем
3 2Vi-2n-b,l-2n-c' Ч {Ъ + п)п{с + п)пп\'
Если же а — нечетное отрицательное целое число, то
( -2п-1,Ь,с, л
зр2[_2п_ь_2п_сЛ)-0.
Таким образом, теорема 3.4.1 проверена для целых отрицательных а. Теперь
предположим, что с — натуральное число и а — произвольное число. В этом
случае обе части равенства — рациональные функции переменной а и
тождество верно для бесконечного числа значений а, т.е. мы показали, что
тождество выполняется для целого с и произвольных а и Ь. В общем случае,
ι По поводу вычислений значений 3F2 (1), а также двух- и трехчленных равенств типа £ 3^2 (D = О
см. книги [40] и [345]. Списки формул без комментариев есть в [463, т. 3, гл. 7]

§ ЗА. Преобразование Уиппла
147
для Re О Re(—а/2 — b — 1), обе части тождества — ограниченные аналитические
функции переменной с, равные при с=1, 2, 3, ... Утверждение доказано
в соответствии с теоремой Карлсона. D
Тождество Куммера, которое позволяет вычислить значение хорошо
уравновешенного ряда 2^ι в точке х = —1, есть следствие теоремы Диксона. Чтобы
это увидеть, перейдем к пределу при с-* оо.
Замечание 3.4.1. Как мы отмечали ранее, уравновешенные тождества в своей
простейшей форме получаются из факторизации
(1 - *ГЧ1 - хГь = (1 -х)-°-ь.
В том же смысле хорошо уравновешенные ряды возникают из соотношения
(1-хГ*(1+х)-* = (1-х2)"*.
Приравнивая коэффициенты при х2п в обеих частях равенства, получим
fc=0
или
Σ, .i4fc(b)fc(b)2n-fc
1 } fc!(2n-fc)!
^(b)fe(b)2n-fe_(b)n
п\ >
-2п,Ь Λ\ (b)n(2n)!
Г -2п,Ь . Л=(ЦП
2 Ч1-2п-Ь' V п!(Ь)2п '
Последнее есть тождество Куммера для функции
когда α — отрицательное четное целое число. Повторяя доводы из доказательства
теоремы 3.4.1, мы можем получить общее утверждение Куммера. Результат для 2FX оказался
таким частным, что Куммеру не удалось осознать, что подобные ряды могут быть
вычислены не только для 3F2, и для высших уровней. Это не удивительно, так как
для хорошо уравновешенных рядов результат не лежит на поверхности.
Для доказательства теоремы Уиппла нам потребуется следующая лемма. Она
доказывается методом Бейли [40], упомянутым в начале параграфа.
Лемма 3.4.2. Справедливо равенство
р( а,Ъ,с,а,-т -{] =
54\а-Ъ + 1,а-с+1,а-а + 1,а + т+У J
= (a + l)mCl)-d + l)m ( a/2,a-b-c + l,d,-m \
(a/2 + l)m(a-d + l)m4 Aa-b + l,a-c + l,d-m-a/2' У
Доказательство. Согласно тождеству Пфаффа—Заальшютца для
уравновешенных рядов 3F2 мы имеем
S(-n)r(a-b-c + l)r(a + n)r __ (Юп{с)п
л r!(a-b + l)r(a-c + l)r (a-b + l)n(a-c + l)n'

148 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Так что
ρ ( a,b,c,d,-m λ =
5 4a_b + 1)a_c+1)a_d + lja + m + 1> J
(a)n(d)n(-m)n γ (-n)r(a-b-c + l)r(a + n)r
л . -d + l)n(a + m + l)nZj
n=0 r=0
(-l)r(a)n+r(d)„(-m)„(a-b-c + l)r (положим t=n-r)
Cn-r)!r
r=0 n=r
S(a)n(d)n(-m)n γ (-n)r(a-b-c + l)r(a + n)r _
n!(a-d + l)n(a + m + l)nZj r! (a-b + l)r(a-c + l)r
n=0 r=0
= V^f (-l)r(a)n+r(d)n(-m)n(a-b-c + l)r
ZjZj (n-r)!r!(a-b + l)r(a-c + l)r(a-d + l)n(a + m + l)n
m m
m m—r
ZjZj t!r!(a-b + l)r(a-c + l)r(a-d + l)t+r(a + m + l)t+r
r=0 t=0
m—r
S(a)2r№r (-"ОДД - Ь - с + 1)Д-1)Г γι (α + 2r)t(d + r)t(-m + r)t
r! (a - b + l)r (a - с + l)r(a - d + l)r (a + m + l)r Zj t! (a - d + r + l)t (a + m + r + l)t'
r=0 t=0
Внутренняя сумма может быть подсчитана с помощью тождества Диксона
(теорема 3.4.1). Простое вычисление теперь дает требуемое соотношение. D
Лемма 3.4.2 преобразует хорошо уравновешенный конечный ряд 5F4 в
уравновешенный ряд 4^з·
Следствие 3.4.3. Справедливо равенство
Г a,a/2 + l,c,d,-m \ = (a + l)m(a-c-d + l)m
5 На/2,а-с + 1,а-^ + 1,а + т + 1' J (a-c + l)m(a-d + l)m'
Доказательство. Возьмем Ъ = а/2 + 1 в лемме 3.4.2. Ряд 4F3 сводится
к уравновешенному ряду 3F2. □
Теорема 3.4.4. Справедливо равенство
Ρ С а, а/2 +1, Ь, с, d, е, -т и \ =
7 6va/2,a-b + l,a-c+l,a-d + l,a-e + l,a + m + l' J
_ (a + l)m(a-d-e + l)m / a_b-c + l,d,e,-m \
(a-d + l)^a-e + l)m4 4a-b + l,a-c + l,d + e-a-m' J'
Доказательство. Доказательство этой теоремы в точности такое же, как
и доказательство леммы 3.4.2, за исключением того, что вместо теоремы
Диксона используется следствие 3.4.3, т. е.
а, а/2 +1, Ь, с, d, e, —m
р. ( a,a/2 + l,b,c,d,e,-m · ll =
7 6Va/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l,a + m + l' J
Σ(α)η (α/2 + l)n (d)n (e)n (-m)n γ (-n)r (a - b - с + l)r (a + n)r
n!(a/2)n(tt-d + l)B(a-e + l)B(a + m + l)B2j r!(a-b + l)r(a-c + l)r '
n=0 r=0
После вычисления, подобного проделанному, в лемме 3.4.2 сумма становится
равной
γ (a)2r(a/2 + l)r(d)r(e)r(-m)r χ
£*tr\(a-b + l)r{a-c + l)r{a-d + l)ra/2r(a-e + l)r(a + m + l)r
Σ (α + 2r)t(a/2 + r + l)t(d + r)t(e + r)t(-m + r)t
t! (a/2 + r)t(a - d + r + l)t(a - e + r + l)t(a + m + r + l)t'

§ 3.5. Формула Дуголла и гипергеометрические тождества 149
Внутренняя сумма может быть вычислена с помощью следствия 3.4.3, и
утверждение следует из непосредственного вычисления. D
В последующих главах мы дадим более естественное доказательство
теоремы Уиппла как следствия некоторых свойств многочленов Якоби. Мы будем
называть упомянутый ряд 7F6 очень хорошо уравновешенным рядом 7F6. Слово
«очень» обязано множителю
(α/2 + pfc = а + 2к
а/2к а
В следствии 3.4.3 ряд 5F4 также очень хорошо уравновешен.
Замечание 3.4.2. Теорема 3.3.2 является частным случаем теоремы 3.4.4 вследствие
симметрии по параметрам Ь, с, d и е в 7F6.
Уиппл также сформулировал теорему 3.4.4 в более общем виде.
Теорема 3.4.5. Справедливо равенство
Г a,a/2 + l,b,c,d,e,/ λ_
7 6W2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l,a-/ + l' J
_ r(a-d-H)r(a-e-H)r(a-/-H)r(a-d-e-/-H)
"~ r(a + l)r(a-e-/ + l)r(a-d-e + l)r(a-d-/ + l) X
f a-b-c + l,d,e,/ λ
4 3Уа-Ъ + 1,а-с + 1,а + е + /-а' J
при условии, что ряд в правой части обрывается, а в левой части — сходится.
Доказательство. Последнее является следствием теоремы Карлсона и
теоремы 3.4.4. Читателю следует изучить детали самостоятельно или обратиться
к книге [40, с. 40]. D
Теорема 3.4.6. Справедливо равенство
f a,a/2 + l,b,c,d,e # \ =
6 5Va/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l' J
r(a-d + l)r(a-e + l) p ( a-b-c + l,d,e Λ
"" r(a + l)r(a-d-e + l)3/<2Va-b + l,a-c + i; У
Доказательство. Перейдем к пределу при гп-*оо в теореме 3.4.4 и тем
самым докажем утверждение. D
Отметим, что теорема 3.4.6 связывает значение ряда 3F2 общего вида
в точке χ = 1 со значением очень хорошо уравновешенного ряда 6F5 в точке
х = -1.
§ 3-5- ФОРМУЛА ДУГОЛЛА И ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Положим в теореме 3.4.4 2a + l = b + c + d + e —гл. Ряд 4F3 сводится к
уравновешенному ряду 3F2, который может быть просуммирован. Результатом этой
операции является формула Дуголла.
Теорема 3.5.1. Справедливо равенство
Ρ f a,a/2 + l,b,c,d,e,-m л =
7 6Va/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l,a + m + l' J
(a + l)m(a-b-c + l)m(a-b-d + l)m(a-c-d + l)m
{a-b + l)m{a-c+l)m{a-d + l)m{a-b-c-d + l)n

150 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
когда 2a + l = b + c + d + e — гл. Эта формула позволяет просуммировать 2-урав-
новешенный очень хорошо уравновешенный ряд 7F6.
В следующих тождествах будет необходимо накладывать условие
сходимости. Они не накладываются явно, так как в каждом случае очевидно, как это
сделать.
Следствие 3.5.2. 1 Справедливо равенство
Г a,a/2 + l,c,d,e λ =
5 4Va/2,a-c + l,a-d + l,a-e + l' J
= r(a-c-H)r(a-d-H)r(a-e + l)r(a-c-d-e-H)
"~ r(a + l)r(a-d-e + l)r(a-c-e + l)r(a-c-d + l)·
Доказательство. 2 Подставим b = 2a—с —d —e + rn + 1 в формулу из
теоремы 3.5.1, а затем перейдем к пределу при т —> оо. Эта процедура обосновывается
теоремой Таннери. Далее утверждение следствия получается очевидным
образом. D
Это следствие может быть также выведено из следствия 3.4.3 предыдущего
параграфа при помощи теоремы Карлсона. Формула Диксона вытекает из
следствия 3.5.2> если положить е = а/2. Другое следствие позволяет вычислить
значение очень хорошо уравновешенного ряда 4F3 в точке лс = —1.
Следствие 3.5.3. Справедливо соотношение
a,a/2 + l,c,d ..л r(a-c+l)r(a-d + l)
Г a,a/2 + l,c,d . -Λ Γ(α-
4 3Va/2fa-c + lfa-d + l' J Γ(α +
l)r(a-c-d + l)e
Доказательство. Утверждение доказывается взятием предела при е-*—оо
в следствии 3.5.2. Иначе можно взять Ь + с = а + 1в теореме 3.4.6. D
Вот еще несколько формул суммирования.
Теорема 3.5.4. (0 Справедливо соотношение
р( *.Ь ,Ί/:Λ Г(1/2)Г((а + Ь + 1)/2)
2 гУ(а + Ъ +1)/2' ' J Г((а +1)/2) Г((Ь +1)/2)'
(ii) Справедливо соотношение
F(a,l-a. /0\ Г(с/2)Г((с+1)/2)
2ГЧ с ji/Z; Г((с + а)/2)Г((с-а + 1)/2)'
ι Стоит отметить двусторонний вариант этой формулы, обнаруженный тем же Дуголлом:
а + п sin2na Γ(αλ +α2+α3 + α4-3)
ν^ α + η
j=i
2 Вот другой вывод. Разложим функцию / на отрезке [—1; 1] в ряд по многочленам Якоби J] спР* .
Это определяет унитарное преобразование из L2 на отрезке в 12 на неотрицательных целых
числах. Мы раскладываем в ряды ДОО = (1 — χ)μ и /г 00 = (1 — хУ и приравниваем скалярные
произведения в L2 и 12.
Чтобы получить преобразование Уиппла (теорема 3.4.4), мы берем функции
ЛСх) = а-хУР^+Цх), /2 W = (1 -χ)νΡΪ>β+νίχ)
(их разложение получено в теореме 7.1.2, хотя там результат сформулирован несколько иначе).
Но в этом случае вычисления требуют определенных усилий.

§ 3.5. Формула Дуголла и гипергеометрические тождества 151
Доказательство. Перейдем к пределу при χ -*—1 в преобразовании
Пфаффа (теорема 2.2.5)
2Рг{а'сс-Ь;х) = (1-Х)-а2Р1{а'сь;хПх-1)).
и получим
2F1(a'c-b;-i) = 2-Vi(a;b;i/2>
Есть два случая, в которых ряд слева становится хорошо уравновешенным,
и тогда его можно просуммировать с помощью тождества Куммера (следствие
3.1.2). а) 2с — b = a + l и б) а + с = с —Ь+1, или а + Ь = 1. После этого сразу
получаем оба утверждения теоремы. D
Теорема 3.5.5. (i) Справедливо соотношение
f( a,b,C -il= г(1/2)Г(с + (1/2))Г((а + Ь + 1)/2)Г(с-(а + Ь-1)/2)
3 2V(a + b + l)/2,2c' ) Г((а + 1)/2)Г((Ь + 1)/2)Г(с-(а-1)/2)Г(с-(Ь-1)/2)'
(ii) Справедливо соотношение
Ρ [аХс. Λ = πΓ(β) Γ(/)
3 Ч е,/ ' J 22с-1Г((а + е)/2)Г((а + Л/2)Г((Ь + е)/2)Г((Ь + Л/2)'
когда a + b = l и е + / = 2с +1.
Доказательство. Эти утверждения следуют из формулы Тома (следствие
3.3.6) при соответствующем выборе параметров.
Выберем параметры так, чтобы правая часть была хорошо уравновешена.
Надо положить d = (a + b +1)/2, е = 2с, и тогда формула Тома дает
р( a,i
а,Ъ,с ..Λ Г((а + Ь + 1)/2)Г(2с)Г(с-(а + Ь-1)/2)
1)/2,2с' -/ Г(а)Г(с-(а-Ь-1)/2)Г(2с-(а + Ь-1)/2)
г2с-а,(Ь-а + 1)/2,с-(а + Ь-1)/2 \
3 Ч 2с-(а + Ь-1)/2,с-(а-Ь-1)/2 ' У
Теперь применим тождество Диксона и получим утверждение 1. Заметим, что
нам необходимо, чтобы выполнялось равенство О (a + b —1)/2. Значение 3F2
существует также и без этого условия при с = —п, где η — отрицательное целое
число, если ряд рассматривается обрывающимся на (п + 1)-м слагаемом.
Значение этого ряда может быть найдено, однако оно будет отлично от значения,
полученного при с-*—п.
(ii) Для доказательства этого тождества выберем параметры так, чтобы
правая часть совпадала с 3F2 из п. 1, т.е. возьмем a + b = l и е + / = 2с + 1
и получим
Г(а,Ъ,с \_ Г(е)Г(ДГ(с) fe-a,f-a,c \
3 Ч е>/ 'Ч~Г(а)Г(Ь + с)Г(2с)3'Ч Ь + с,2с ' Ч'
Применив теперь утверждение 1, получим утверждение 2. D
Отметим, что теорема 3.5.4 (1 и 2) является предельным случаем теоремы
3.5.5, (1 и 2) соответственно. Чтобы это увидеть, перейдем к пределу при с-* оо.
Часть 1 последней теоремы была получена Ватсоном [411], который доказал
ее для случая а = —п — отрицательного целого. Теорема Ватсона может быть
также получена приравниванием коэффициентов при хп в обеих частях
квадратичного преобразования (3.1.11). Общий случай теперь следует из теоремы

152 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Карлсона. Еще один способ состоит в умножении уравнения (3.1.3) на Qc—х2У~1
и интегрировании по интервалу (0,1). Однако это работает лишь для конечных
рядов.
Замечание 3.5.1. Мы заканчиваем этот параграф следующим замечанием о хорошо
уравновешенных рядах. Пусть
/«=-!*,(! :ηΐ,αΤη α ·>-χ)-
4 ^ч1 — π — αχ,..., ι — π —aq J
Тогда многочлен fix) удовлетворяет соотношению
/00 = (-1Г *7(1/х).
Многочлен g(x), который удовлетворяет условию g(x)=xng(l/x), называется
возвратным многочленом степени п. Такие многочлены имеют вид
g(x) = α0 + ахх + а2х2 +... + а2хп~2 + аххп~1 + а0хп.
Заметим, что /00 — возвратный, если либо q, либо η четные. Легко проверить, что если
g — возвратный многочлен, указанный выше, то
g00 = α0(1 + х)п + alX(l + х)п~2 +... + ανχν(1 + χ)η~2ν (3.5.1)
для некоторых α0, аи ... , αν, которые могут быть определены через а0, аи ... Здесь
ν= [η/2]. Можно показать, что
0<2г<п J
a^Sc-D^f-^O^a, (3.5.3)
0<i<j J J
Заметим, что равенство (3.5.1) также может быть записано в виде
gM = a + xrJ^ak-^rk. (3.5.4)
Отметим связь равенства (3.5.4) с квадратичными преобразованиями (3.1.4) и (3.1.15).
§ 3.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ АНАЛОГИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ
В гл. 2 мы встречались с двумя интегралами Барнса, которые были
непрерывными аналогами тождества Гаусса для 2F\ и тождества Пфаффа—Заалыпютца для
3F2. Имеются также интегралы барнсовского типа для старших сумм pFq,
встречавшихся в данной главе. Путь интегрирования будет проходить параллельно
мнимой оси, однако иногда его надо соответствующим образом продеформиро-
вать так, чтобы возрастающая последовательность полюсов подынтегрального
выражения была отделена контуром от убывающей последовательности.
Следующая теорема Бейли является аналогом следствия 3.5.2,
суммирующего очень хорошо уравновешенный ряд 5^Ч в точке х = 1. См. [40, с. 47].
Теорема 3.6.1. Справедливо соотношение
1 с Г(а + 5) Г(а/2 +1 + s) Г(Ь + s) Г(с 4- s) T(d + s) Г(Ь - а - s) T(-s) as _
2ni J r(a/2 + s)r(a-c+l + s)r(a-d + l + s) ~
_ Г(Ь) Г(с) r(d) Г(Ь + с - а) Г(Ь + d - a)
~ 2r(a-c-d + l)r(b-l-c-l-d-a) '

§ 3.6. Интегральные аналоги гипергеометрических сумм 153
Доказательство. Доказательство сходно с доказательством теоремы 2.4.2.
Недостающие детали предоставляется восполнить читателю. Мы разлагаем
интеграл в ряд по вычетам. Вычеты в полюсах функции Г(Ь — a—s) Г(—s) справа
от контура. В итоге получаем представление интеграла в виде суммы двух
очень хорошо уравновешенных рядов 5^4- Они могут быть просуммированы
с помощью следствия 3.5.2, что и завершит доказательство теоремы. D
Другая полезная форма теоремы 3.6.1 была сформулирована Вильсоном [427].
Мы приведем ее здесь.
Теорема 3.6.2. Справедливо соотношение
J_ с Г(а-Ь5)Г(а-5)Г(Ь-Ь5)Г(Ь-5)Г(с-Ь5)Г(с-5)Г(с^-Ь5)Г(с^-5) ,
2πί J T(2s) T(-2s) aS
_ 2Γ(α + b) Γ(α + с) Γ(α + d) Г(Ь + с) Г(Ь + d) Г(с + d)
Πα + b + c + d)
Здесь контур расположен вдоль мнимой оси и соответствующим образом
деформирован (см. теорему 2.4.2). Как всегда, мы полагаем, что а, Ъ, с, d таковы,
что это возможно сделать.
Доказательство. В теореме 3.6.1 заменим а на 2a, a Ь, с и d на Ъ + а, с + а
и d + α соответственно. Заменим также s на s — α. Получим
r(a + s)r(s + l)r(b + s)r(c + s)r(d + s)r(b-s)r(a-s) ,
as =
2ni J r(s) Γ(1 - с -I- s) Г(1 - d + s)
_ Γ(α + b) Γ(α + с) Γ(α + d) Г(Ь + с) Г(Ь + d)
2r(l-c-d)r(a + b + c + d)
Используя формулу отражения Эйлера, перепишем последнее выражение в виде
r(a + s)r(b + s) r(c + s)T(d + s) Г(а-5)Г(Ь-5)Г(с-5) T(d-s)
— \
2πί J
2πί J T(2s) T(-2s)
sin (с — s) π sin(d — s) π
ds =
— sin sn cos 5π sin(c -f d^
_ 2Γ(α + b) Г(а + с) Г(а + d) Г(Ь + с) Г(Ь + d) Г(с 4- d)
Πα + b + c + d)
Тригонометрическое выражение в подынтегральном выражении есть
sin en sin dπ cos2 sn + cos οπ cos dπ sin2 $π
l-:
sin(c -f d)π sin 5π cos $π
Теперь заметим, что второе слагаемое, содержащее тригонометрические
функции, меняет знак, если s заменить на —s. Следовательно, эта часть интеграла
равна нулю, и теорема доказана. D
Если a, b^c, d — положительные числа или выполнено хотя бы одно из
равенств а = Ъ, c = d, причем вещественные части a, b, с, d положительны, то
формулу Вильсона можно переписать в виде
00
Γ(α + ix) Г(Ь + ix) Г(с + ix) Γ(ά + ix),2
dx =
(3.6.1)
Γ(2ίχ)
_ r(a + b)r(a + c)r(a + d)r(b + c)r(b + d)r(c + d)
Па + Ъ + с + а)

154 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Этот результат был ранее получен также де Бранжем [94, 95]*. Формула (3.6.1)
выполняется и в случае, когда один из параметров равен нулю. Записанное
ниже следствие есть результат взятия предела при d -* <»:
J_ r|r(a + ix)r(b + L
jjc)r(c + ijc)12
dx = Γ(α + b) Γ(α + с) Г(Ь + с). (3.6.10
Имеется также аналог формулы Дуголла для 7F6. Это следующая теорема, также
доказанная Бейли.
Теорема 3.6.3. Справедливо соотношение
— ΐ
2πι J
Γ(α + s) Γ(α/2 +1 + s) Г(Ь + s) Г(с + s) Г« + s)
2πί J r(a/2 + s)r(a-c+l + s)r(a-d + l + s)
Г(е + 5)Г(/ + 5)Г(Ь-а-5)Г(-5) ,
X r(a-e + l + s)r(a-/+l + s) dS ~
Г(Ь) Г(с) Г(с1) Г(е) Г(/) Г(Ь + с-а)
(3.6.2)
2r(a-d-e+l)r(a-c-e + l)r(a-c-d + l)
Г(Ь + 4-а)Г(Ь + е-а)Г(Ь + /-а)
Γ(a-c-/+l)Γ(a-d-/ + l)Γ(a-e-/+l),
когда 2a + l = b + c + d + e + /.
Доказательство. Здесь не получится вывести этот интеграл так же, как
и при доказательстве теоремы 3.6.1. Два ряда 7F6 могут быть просуммированы
с помощью формулы Дуголла только в случае, когда эти ряды обрываются.
Однако если они обрываются, то контур, разделяющий возрастающую и убывающую
последовательности полюсов, построить невозможно. Возможно, тем не менее,
дать доказательство, которое является интегральным аналогом доказательства
теоремы 3.4.4. Начнем с формулы из теоремы 2.4.3 в следующем виде:
r(d + s)r(e + s)r(/ + s)
r(a-d + l + s)r(a-e + l + s)r(a-/+l + s)
1
r(a-d-e + l)r(a-d-/ + l)r(a-e-/+l)
v 1 г r(d + t)r(e + t)r(/ + t)r(tt-d-e-/-H-t)r(s-t)jA rQ , Q,
Χ2ΪΪ) Γ(α + 1 + 5 + 0 dt' (3A3)
Левая часть равенства (3.6.4) есть составляющая подынтегрального выражения
в (3.6.3). Подставляя ее значение в формулу (3.6.3), получим
2ni J
r(d + t)r(e + 0r(/ + 0r(a-d-e-/+l-t)
2πί J r(a-d-e + l)r(a-d-/ + l)r(l-e-/+l)
Γ(α + s) Γ(α/2 +1 + s) Г(Ь + s) Г(с + s)
χ
— ^
2πί J
2πί J r(a/2 + s)r(a-c+l + 5)
ПЬ-a-sms-tm-s)
r(a + l + s + t)
Вычислим внутренний интеграл с помощью теоремы 3.6.1. Полученный
интеграл сведется к 1, что может быть получено из равенства (3.6.4) при 2а +1 =
= b + c + d + e + /. Теорема доказана. D
ι Есть простой вывод этой формулы, предложенный Корнвиндером, см. добавление 3.

§ 3.7. Соотношения смежности
155
Может быть получен и аналог диксоновского хорошо уравновешенного
ряда 3F2. Чтобы получить требуемый результат, возьмем в теореме 3.6.1 d = a/2:
— ς
r(a + s)r(b + s)r(c + s)r(b-a-s)r(-s)d_
2πί J r(a-c+l + s)
_ Г(Ь) Г(с) Γ(α/2) Г(Ь + с - α) Г(Ь - a/2)
(3.6.4)
2Г(а/2-с+1)Г(Ь + с-а/2)
Для получения формулы более симметричного вида, заменим а на 2а и Ь, с на
b + α, с + а соответственно, а также s на s — α и получим
r(a + s)r(b + s)r(c + s)r(b-s)r(a-s)
— Ϊ
2πί J Γ(1-c + s)
_ Γ(α) Г(Ь) Γ(α + b) Γ(α + с) Г(Ь + с)
(3.6.5)
2Г(1-с)Г(а + Ь + с)
Теперь применим формулу отражения и упростим результат (как это было
выполнено при сведении теоремы 3.6.1 к вильсоновскому интегралу), получив
2^т ξ r(a + s)r(b + s)r(c + s)r(a-s)r(b-s)r(c-s)cossnds =
Г(а) Г(Ь) Г(с) Г(а + Ь) Г(а + с) Г(Ь + с) ,Q,,.
= 2Г(а + Ь + с) (ЗА6)
Если a, b и с положительны, можно записать эту формулу в виде
00
| 5 |Г(а + ix) Г(Ь + ix) Г(с + ix)|2 ch πχ dx =
о
_ Г(а) Г(Ь) Г(с) Г(а + Ь) Г(а + с) Г(Ь + с)
Г(а + Ь + с)
§ 3-7- соотношения смежности
(3.6.7)
В предыдущей главе мы приводили трехчленные соотношения смежности Гаусса
для функций 2*1- В более общем случае имеются (q + 2) -членные соотношения
для pFq, где ρ < q + 2. При определенных условиях эти соотношения
превращаются в трехчленные соотношения. Куммер заметил, что для 3F2 такие
соотношения возможно получить при х = 1. Бейли [44] предъявил процедуру вывода
этих соотношений, использующую дифференциальное уравнение, которому
удовлетворяют ряды 3F2. Более простой метод был предложен Вильсоном [427].
Он применим к функциям более общего вида — pFq. В этом параграфе мы
используем метод Вильсона, чтобы вывести его результаты применительно
к трехчленным соотношениям смежности для уравновешенных рядов 4^з· Среди
них есть трехчленные рекуррентные соотношения для ортогональных
многочленов, открытых Вильсоном, частным случаем которых являются «классические»
ортогональные многочлены1.
Перед описанием метода Вильсона отметим, что можно получить
трехчленные соотношения для 3F2 из соотношений смежности для 2Fl с помощью
интегрирования. К примеру, умножим уравнение
(Ь - a)F + aF(a+) - bF(b+) = О
ι Точнее, как предельные случаи.

156 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
на xd χ(1 — хУ d l и, проинтегрировав по интервалу (0,1), получим
В качестве другого примера применим эту процедуру к равенству
2FA с+1 'Ч'^А с >XJ- c(c+l) 2*Ч с + 2 '*J
и получим
3F4 с+1,е '^"з^ с>е > 1J - с(с+1)е з1Ч с + 2,е + 1 ЛУ
Обратимся теперь к методу Вильсона, который дает возможность
систематического вывода всех соотношений смежности для уравновешенных рядов 4F3.
Заметим, что если изменить только один параметр в уравновешенной
функции 4F3, to новая функция 4F3 уже не будет уравновешенной.
Определение 3.7.1. Пусть дан уравновешенный ряд 4F3, тогда смежный
к нему ряд 4F3 получается из него изменением двух параметров на ±1 так, что
новый ряд будет также уравновешен. Как и прежде, связь между смежными
функциями называется соотношением смежности.
Обозначим уравновешенную функцию ^F3(a, b, с, d; e, /, g; 1) через F.
Положим, что один из параметров числителя равен —п, а сумма параметров
знаменателя на единицу больше суммы параметров числителя. Имеем 2 χ φ = 42
функции 4F3, смежные к F. Рассмотрим разность F{a—,b+)—F. Поскольку
(a-l)fc(b + l)fc(c)fc(d)fc (a)fc»)fc(c)fc(d)fc _
*Ke)fc(flk<0k WMkCflfcfe)*
_(a)fc-1» + l)fc_1(c)fc(d)fc
[(a-l)(b + fc)-(a + fc-l)b] =
ν
(a-b-1).
(a)fc.1(b+l)fc.1(c)fc(d)fc
№-l)!(e)fc(flfc(tffc
мы имеем
F(a_ b+)-F= (fl~*~1)cdF+(a-), (3.7.1)
где F+ получается из F увеличением всех параметров на 1. Аналогично
Па-, e-)-F= ^^F+(a-), (3.7.2)
F(a+) e+) -F = ^М*+(е+). (3.7.3)
Учитывая симметрию по параметрам, мы получим выражения для всех
разностей между F и смежными к ней функциями. Некоторые из соотношений
смежности—немедленные следствия этих соотношений. Из формулы (3.7.1)
имеем
F(g-,cf)-F=fa-;-1)MF+(g-).

§ 3.7. Соотношения смежности
157
То есть, приравнивая два выражения для F+{a—)f мы получаем
Иа-с-1){Р{а-М)-Р) = саа-Ь-1){Р{а-9с^)-Р).
Другие соотношения смежности будут получаться очевидным образом, как
только мы найдем уравнение, связывающее F с F+(a—) и F+(e+). Тогда это
уравнение даст другие необходимые соотношения благодаря симметрии. Чтобы
вывести требуемое соотношение, возьмем а = — η и, применив, преобразование
из теоремы 3.3.3, получим
(Dn(g)n ρ р( a,b,e-c,e-d .-Л _. ρ
tf-b)„(g-b)„ ^W + Z-c-^e + g-c-d'-V ·Γ>
(f-b)nig-b)n +к 4 3Ve^-l,e^-/-c-d,e^-g-c-d, J '
и
Cf + Dn-ife + Dn-iF ГгП_ pi a + l,b + l,e-c+l,e-d + l .-Л _ S Гр . ч
Теперь связь между F, F(b+,e+) и F+(e+) дается формулой (3.7.3). Отсюда
следует соотношение для F, F+(a—) и F+(e+), которое имеет вид
#F- (/-a)fe-a)F+(a-) + ^'^'^'^' *+(«+) = 0. (3.7.5)
При выводе последней формулы мы также использовали тот факт, что а + Ъ +
+ c + d + l = e + / + g. Заметим, что для формулы (3.7.5) неважно, какой из
параметров числителя — отрицательное целое число. Это так, в силу того что
F — рациональная функция пяти свободных параметров. Таким образом, мы
также имеем
fgF- (/-b)(g-b)F+(b-) + He-al[l;?fe-d)F+(e+) = 0.
Избавимся от F+(e+) в последних двух уравнениях и получим
Ke-a)(f-aXg-a)F+(a-)-a(.e-bXf-bXg-b)F+(.b-) +
+ (a-b)efgF = 0. (3.7.6)
Последнее нужное нам соотношение аналогичным образом получается из
формулы (3.7.5). А именно,
(e-a)(e-b)(e-c)(e-d)f (e+)_
Все соотношения смежности могут быть теперь получены из формул (3.7.1)—
(3.7.7). В качестве еще одного примера подставим значения F+(a—) и F+(b—) из
формулы (3.7.1) в соотношение (3.7.6) и получим
He-aW-a)(g-a)ina_M)_p)_
a(e-b)Cf-b)(g-b) (J?(a+j M _ F) + cd(a _ b)J? = 0 (3 7 8)

158 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Соотношения смежности для 3F2 находятся переходом к пределу при η -* оо
в соотношениях для 4F3. Можно также записать фундаментальные соотношения,
соответствующие формулам (3.7.1) (3.7.7) вывести из них остальные. Приведем
несколько примеров. В (3.7.1) положим а = — η и η-* <» и после переобозначения
параметров получим
F{a+)-F=feF+, (3.7.9)
где F обозначает ряд 3F2 общего вида при χ = 1. В формуле (3.7.2) выберем d = —n
и е = — п + а + Ъ + с — / — g— 1, а также положим п-*<». После переобозначения
параметров
F(a-)-F = -^F+(a-). (3.7.10)
Соотношение (3.7.10) можно также получить из формулы (3.7.1). Аналогично
имеем
'«->-'=й^з^ (3·7·ιυ
F(d+)-F=-ddrbF+(d+)· (37Л2)
Вычисляя предел в формуле (3.7.5) двумя разными способами, получим еще два
соотношения:
deF-a(d + e-a-b-c- 1)F+ - (d - α) (e - a)F+(a-) = 0 (3.7.13)
и
eF-(e-a)F+(a-) - fl(dd^)"c)F+(d+) = 0. (3.7.14)
Оставшиеся соотношения могут быть найдены подобным образом. Вообще,
все соотношения смежности для 3F2 следуют из формул (3.7.9)—(3.7.14) при
использовании симметрии по параметрам.
§ 3-8. многочлены вильсона
Рассмотрим многочлены рп степени η > 0, определяемые соотношением
^Γν2ϊ- с- f-n,n + a + b + c + d-l,a-ix,a + ix \
где а, Ъ, с, d — вещественные и положительные числа. Из соотношений
смежности (3.7.8) находим, что рп удовлетворяет трехчленному рекуррентному
соотношению
A„(p„+i(x) -РпШ + Cn(pn_!(x) -рп(х)) + (а2 + х)рп(х) = 0, (3.8.2)
где
. _ {n + a + b + c + d-l){n + a + b){n + a + c){n + a + d)
п~ (2п -ha-hb-hc-hd — 1) (2п H-a-hb-hc-hd)
и
с _ n(n + c + d-l)(n + b + d-l)(n + b + c-l)
п~ (2n + a + b + c + d-2)(2n + a + b + c + d-l)*

§ 3.8. Многочлены Вильсона
159
Как мы отмечали ранее, поскольку АпСп+1>0 для п>0, многочлены рп
ортогональны с некоторой положительной весовой функцией. Чуть ниже будет
показано, что
1 г|Г(а +
2пЦ
ix) Г(Ь -I- ix) Г(с -I- ix) T(d + ix)
2
pn{x2)pm{x2)dx =
ПИх)
= 5тгПп\ (n + a + b + c + d-l)nx
Г(а -I- b + ή) Γ(α -I- с -Ι- ή) ...Г(с -I- d + ή)
, (3.8.3)
r(a + b + c + d + 2n)
где
pn{x2) = (а + Ъ)п(а + с)п(а + а)прп(х2).
Приведенные выше соотношения выполняются и тогда, когда верно хотя бы
одно из равенств а = Ъ и c = d, если вещественные части этих параметров
положительны.
Определение 3.8.1. Многочлены Вильсона рп(х) определяются как
г 2λ ( , ил f . л г . λ\ η f-n,n + a + b + c + d-l,a-ix,a + ix -Λ
где a, b, с, d — комплексные параметры.
Из определения очевидно, что многочлены рп(х) симметричны по Ь, с
и d. Применение теоремы 3.3.3 показывает, что существует симметрия по
всем четырем параметрам a, b, с, и d. Многочлены Вильсона ортогональны
с подынтегральным выражением из теоремы 3.6.2 в качестве весовой функции.
Обозначим его /(s).
Теорема 3.8.2. Пусть контур интегрирования и параметры а, Ъ, с, d
выбраны так же, как в теореме 3.6.2. Тогда
2^S/(5)p„(-52)pm(-s2)ds = 5mjn2n!(n + a + b + c + d-l)nx
Г(а + Ь + п)Г{а + с + п)Г{а + а + п)Г{Ь + с + п)Г{Ъ + а + п)Г{с + а + п)
r(a + b + c + d + 2n)
Доказательство. Сначала заметим, что можно записать
т
Pm(-52)=2]Afc(b-s)fc(b + s)fc,
fc=0
где Ak — соответствующие константы. Вычислим
£■ Sf(s)pn(.-s2)(.b-sUb + s)kds =
v-Ц (-iOjOi + a + b + c+d-l);
= (a + b)"(a + c)"(b + c)"L (а + Ь¥а + с)ДЬ + су1 Х
х 2Н S/(5)(a-s);(a + s);(b-s)fc(b + s)fcds. (3.8.4)
с
Интеграл под знаком суммы может быть переписан в виде
J_ r r{a + j + s)r{a + j-s)r{b + k + s)r{b + k-s)r{c + s)r{c-s)r{d + s)r{d-s)
2πί J T(2s) f(-2s) dS'

160 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Интеграл может быть вычислен с помощью теоремы 3.6.2. После небольшого
упрощения, мы находим, что выражение из формулы (3.8.4) равняется
2r{a + b + k)r{a + c + n)r{a + d + n)r{b + c + k)rQ) + d + k)r{c + d){a + b)n
Πα+b+c+d+fc)
„ r-n,n + a + b + c + d-l,a + b + kt~\
*3 2V a + b,a + b + c + d + k ' У
Этот ряд 3F2 уравновешен и может быть просуммирован с помощью тождества
Пфаффа—Заалыиютца. Теперь мы имеем
ofe S /(s)pn(-s2)(b-s)fc(b + s)fcds = 2(-fc)„x
pn(-s2) = ^(n + a + b + c + d-l)n(b-s^^
2πϊ
T(a + b + k)T(a + c + n)T(a + d + n)T(b + c + k)T(b + d + k)T(c + d + n)
r(a + b + c + d + n + fc)
Множитель (—fc)n равен нулю для к < п. Из симметрии по а и Ъ следует, что
(-On,
fc=0
Тем самым доказательство теоремы завершено. D
Результат (3.8.3) следует из теоремы 3.8.2, если а, Ь, с и d положительны
либо а = Ъ, c = d и эти параметры имеют положительные вещественные части.
Много систем ортогональных многочленов являются предельными или
частными случаями многочленов Вильсона. Здесь же мы покажем, как могут быть
получены многочлены Якоби (введенные в предыдущей главе).
Положим a = b = (a + l)/2, c = d = (β + 1)/2 + ι'ω и х = сод/(1-0/2 для 4^3
в определении 3.8.1. Пусть ω -* оо. Получим, с точностью до постоянного
множителя, многочлен Якоби
Λ1 a + 1 ;"2">
§ 3.9. КВАДРАТИЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ—ПОДХОД РИМАНА
Риман в полной мере использовал идею о том, что функция в большой степени
определяется своими особенностями. Пример этого приводился в предыдущей
главе при обсуждении гипергеометрического дифференциального уравнения.
Здесь мы покажем, как развитые там идеи приводят к основному результату
Римана о квадратичных преобразованиях.
Гипергеометрическое уравнение имеет регулярные особенности в точках О,
1, и о© и не имеет других особенностей. Предположим, что характеристические
экспоненты в точке 0 равны 0 и 1/2. При замене переменных χ = t2 решения
становятся аналитическими в 0. Однако теперь особенности возникают при t = ±l,
и мы имеем другое гипергеометрическое уравнение. Подробнее, заметим, что
согласно соотношению (2.3.4) в гл. 2
оо 1 ^
(3.9.1)

§ 3.9. Квадратичные преобразования —подход Римана
161
есть набор решений уравнения
d2y . ί 1 . l-b,-b
L=0.
/jc(jc-1)
(3.9.2)
При замене переменных χ = t2 имеем
dy_ = ±dy d2y ir-ldy l d2yi
dx ltdt dx2 2tl2t2 dt 2t dt2 У
Подставив это соотношение в уравнение (3.9.2), получим уравнение вида
d2y , (\-Ьх-Ъ2 , \-bx-b2\dy , (2ЬХЪ2 , 2ЬХЬ2 , л_ _\ у
dP" + l t-i + t+i JdF + lT^T + T+T + 4cic2j?rT = 0· (3.9.3)
Применив теорему 2.3.1, заключим, что набором решений уравнения (3.9.3)
является
(-1 со 1 л
Ρ ·[ bj 2cj i>! 11.
[ b2 2c2 b2 J
Верна следующая теорема.
Теорема 3.9.1. Справедливо равенство
= Р
[ь2
00 1 \
2с, Ъ, t
2с2 Ъ2 1
,=р<
ГО оо 1
К 2с, Ъ,
\b2 2c2 b2
1+1
(3.9.4)
Это теорема Римана о квадратичных преобразованиях. Выведем два
основных квадратичных преобразования для 2F\> полученные в теоремах 3.1.1 и 3.1.3.
Запишем соотношение (3.9.4) в виде
\
ГО оо 1
с с 2а
Id d 2b
х+1
х-1
= Р
Положив с = 0 и заменив 2Ъ на 1 — 2Ъ + а, 2а на а и d на Ъ — а, получим
или
(О оо ι
0 0 а
Ъ-а Ъ-а а-2Ь + 1
(О оо 1
О а О
Ъ-а Ъ \-2Ъ
*\=Р
= Р
О
о
а/2
1
О -
4х
Ъ-а Ц±-Ъ 1/2
(1-х)2
О
О
а/2
1
О -
а±1-Ь 1/2
4*
а-*)2
Так как есть только одно решение, аналитическое в нуле со значением 1 в этой
точке, находим
Π rVFf a'b ·νΊ- ~(а/2,(а + 1)/2-Ь. 4х >|
Это результат теоремы 3.1.1. Аналогично имеем
(О оо ι \ го оо ι
a 0 с ± Up J 2a с с ^
Ь 1/2 d * J [2b d d

162 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
или
\2а с с х\=р\а 0 с (^J I
[2b d d J [b 1/2 d J
Меняя соответствующим образом параметры, можно записать последнее
соотношение в виде
(1-х)а/2Р
или
I ±-Ь (а + 1)/2 Ь-а
зыа2ьь-)=(-!п<л(;+Г;(^)2>
Это снова доказывает теорему 3.1.3.
Дифференциальное уравнение вида
(l~jcV/-2xy/+[v(v+l)~j^]y = 0
называется дифференциальным уравнением Лежандра. Оно имеет лишь
регулярные особенности в точках —1, 1, оо. Очевидно, что набор его решений есть
Г -1 - 1 л
Ρ μ/2 ν+1 μ/2 χ Ι (3.9.5)
(-μ/2 -ν -μ/2 J
Сравним (3.9.5) с (3.9.4). Мы видим, что гипергеометрические уравнения,
допускающие квадратичные преобразования, являются уравнениями Лежандра
(с точностью до естественной эквивалентности, см. 2.3).
§ З.Ю. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ
В этой главе мы вывели много гипергеометрических соотношений. В данном
параграфе мы рассмотрим проблему вычисления частичных сумм
гипергеометрических рядов. Госпер [170] указал алгоритм, который позволяет найти
значение такой суммы при условии, что она является факториальным выражением1.
η
Более точно, предположим, что £ ск — частичная сумма гипергеометрического
к=1
ряда. Необходимо найти такую функцию У (к), что
ск = У (к) -У (к-1), (3.10.1)
где полагается, что У(к)/У(к — 1) — рациональная функция переменной к.
Мы будем называть такую функцию У (к) факториальным выражением2. Из
ι Β оригинале hypergeometric element.
2 То есть У (к) = const· ' hk. ,
1 [(Pih

§ 3.10. Неопределенное гипергеометрическое суммирование 163
формулы (3.10.1) очевидно, что
η
к=1
Запишем
.£Le-jeW «W (3.10.2)
Cfc-i р№-1) r(fc)
где р(к), q(ic) и г(ic) —многочлены от ic, удовлетворяющие условию
HQZl(q(ic),r(ic + ;)) = l (3.10.3)
для всех целых j > 0. Важность этого условия станет очевидной позднее, а пока
покажем, что q(ic) и r(ic) могут быть выбраны так, чтобы равенство (3.10.3)
выполнялось. Из условия (3.10.3) следует, что если q(k) и r(ic) делятся
соответственно на ic + α и k + β, то α —β не может быть неотрицательным целым.
Предположим, что изначально в разложении (3.10.2) выполняется равенство
HQZl(q(ic),r(ic +j)) =gk. Тогда заменим q(ic), r(ic) и р(к) на
Легко проверить, что
Теперь ясно, что после конечного числа повторений этого процесса условие
(3.10.3) будет выполняться для любого j > 0.
В качестве следующего шага напишем
У(к) = *У^№ск. (3.10.4)
Подставляя это равенство в формулу (3.10.1) и используя равенство (3.10.2),
найдем соотношение для /(ic), единственного неизвестного в соотношении (3.10.4).
Тогда
p(fc) = q(k + l)/(fc) - r(fc)/(fc -1). (3.10.5)
С помощью условия на У (к) мы находим, что /(ic) —рациональная функция
от ic. Покажем, что она является многочленом. Пусть
/(k) = Zft)/mft),
где Z(ic) и rn(ic) — многочлены от /с, не имеющие общих множителей.
Предположим, что rn(ic) действительно зависит от ic. Пусть j — наибольшее
неотрицательное целое число, и ic + λ, и ic + λ + ; — множители rn(ic). Подставим выражение
для /(ic) в формулу (3.10.5) и получим
p(fc)m(fc)m(fc-1) = q(fc + l)Z(fc)m(fc-1) - r(Jfc)Zft- l)rn(Jfc). (3.10.6)
Поскольку ic + λ — 11 rn(ic— 1), из последнего уравнения следует, что
fc + A-l|r(fc)Z(fc-l)m(fc).

164 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Однако НОД(гп(к — l),Z(ic —1)) = 1 ик + λ — Ι не является делителем rn(ic) в силу
максимальности ;. Поэтому
Jt + A-l|r(fc). (3.10.7)
Аналогично из того факта, что ic + λ + j | q(k + l)l(k)m(k— 1), следует, что
fc + A + j|q(k+O или fc + A + j-l|q(fc). (3.10.8)
Из формул (3.10.7) и (3.10.8) находим HQZKq(ic), r(ic +j)) /1. Это противоречит
соотношению (3.10.3) и мы можем заключить, что / — многочлен степени d,
скажем, задаваемый выражением
/ft) = a0kd + α***"1 + ...ad. (3.10.9)
Подставим это выражение для /(ic) в формулу (3.10.5), чтобы получить систему
линейных уравнений для а0, аь ..., ad. Если эта система непротиворечива, мы
находим значения а0, аъ ..., adi решая уравнения. Значения У(к) находим,
подставляя /(ic) в формулу (3.10.4).
Чтобы найти возможные степени многочлена /(ic), запишем равенство
(3.10.5) в виде
P(« = C4«+i)-rM,m±fbm+(,tt+1)+rft))№2zZ№zi».
(3.10.10)
Есть два случая. Во-первых предположим, что
deg(q(fc +1) + r(fc)) < deg(q(fc +1) - г ft)) = d'.
Поскольку deg(/(ic) —/(ic —1))/2 < d, мы получаем
d = degp(Jfc)-d/.
Во-вторых предположим, что
(q(fc +1) +r(fc))/2 = bfcd/ +..., b / 0,
и
(qCJfc +1) - r(fc))/2 = ckd'-1 + ...
Подставим эти выражения в формулу (3.10.10) и получим
pflfc) = (a0c + a0bd/2)kd+d'-1 +...
Если а0с + a0bd/2 / 0, то
d = degp(fc)-d'+l.
В противном слз^чае
d = -2c/b и d>degp(fc)-d/+l.
Последнее значение d используется только в том случае, если d —целое число,
большее degp(ic) — d'+1. На этом описание алгоритма Госпера завершается.
Этот алгоритм выясняет, возможно ли представить частичную сумму
гипергеометрического ряда как гипергеометрический элемент, и если можно —
выдает значение суммы.
Цейльбергер [433] расширил область применения этого алгоритма,
рассмотрев ск как функцию двух переменных π и ic, а не только лишь одной

§ 3.10. Неопределенное гипергеометрическое суммирование 165
к. Мы обсудим метод Уилфа—Цейльбергера в этом и следующем параграфах.
Этот метод—довольно мощный инструмент для доказательства
гипергеометрических тождеств.
Предположим, что тождество, которое необходимо доказать, можно
записать в виде
2]т(пД) = Л(п),
к
где A(ji) фОип>0. Поделим обе части на А{п) и перепишем тождество в виде
JV(n,k) = l. (310.11)
к
Отсюда следует, что
J](F(n + l,fc)~F(n,fc)) = 0.
к
Ранее мы пытались выразить F(n, к) или даже Т(п, к) как разность У (к +1) —
-У (к), что, однако, не всегда возможно. В качестве примера рассмотрим сумму
к=0
при ; < п. Выполняя шаг за шагом алгоритм Госпера, можно увидеть, что эту
сумму нельзя представить в виде факториального выражения1.
В методе Цейльбергера мы пытаемся записать разность F(n +1, k) —F(n, к)
как У(к + 1) — У(к). Это улучшает ситуацию. Предположим, что есть такая
функция G(n, к), что
F(n +1, к) -F(n, к) = G{n, к +1) - G(n, к). (3.10.12)
Эта функция G может быть найдена посредством алгоритма Госпера2. Тогда
κ
^(F(n-l· 1, к) -F(n, к)) = Gin, К +1) - G(n, -L). (3.10.13)
k=-L
Если предположить, что G удовлетворяет условию
lim G(n,fc) = 0, (3.10.14)
к-*±<х>
то получим, что
У] F(n,fc) = const.
к
Теперь достаточно проверить тождество для одного значения п, скажем η = 0.
Таким образом, для доказательства соотношения (3.10.11) мы попытаемся
найти функцию G, которая удовлетворяет условиям (3.10.12) и (3.10.14). Если
такая функция G существует, то равенство (3.10.11) будет доказанным после его
ι И, в частности, мы не преуспеем в вычислении (3.10.11/) в пределах J].
2 Сказано чуть-чуть неаккуратно. Такая функция всегда существует и определена с точностью до
прибавления слагаемого вида γ(ή). Но найти ее мы сможем, лишь если она факториальна по к.

166 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
проверки для η = 0. Этот метод работает для очень широкого класса тождеств.
Примеры и дальнейшие результаты читатель найдет в работах [286] и [277].
Для иллюстрации рассмотрим тождество
уч (-l)*(-n)t = Ί
k
Здесь
и можно показать, что функция
G(n,k) =
(fc-l)!2n+1
удовлетворяет условиям (3.10.12) и (3.10.14). Справедливость тождества, таким
образом, доказана, поскольку оно верно при η = 0.
Следующий параграф содержит дальнейшее рассмотрение метода Уилфа—
Цейльбергера и сравнение с родственным ему методом Пфаффа.
§ 3·ΐι. w—z-метод
В ряде работ Цейльбергер (иногда совместно с Уилфом) разработал технику,
которую назвал creative telescoping1. Этот метод часто называется W—Z-методом,
ввиду того что значительная его часть была опубликована в статье Уилфа
и Цейльбергера (Wilf, Zeilberger). Весь метод можно удивительно легко
описать полностью, однако для простоты мы применим его лишь к некоторым
элементарным тождествам и затем сравним его с методом Пфаффа, который
также будет описан.
Предположим, что для частичной суммы мы хотим доказать линейное
однородное рекуррентное соотношение. Другими словами, положим
S(n)= Σ F(n'fc)'
k=-oo
где для каждого η величина F(n, k) равна нулю для всех, кроме конечного числа
значений к. Предположим, мы ожидаем, что для некоторых многочленов а(п),
β in)
a(n)S(n) = j3(n)S(n-l)
η
(так что на самом деле S(n) =S(0) Π(β0)/α0)))· Тогда W—Ζ метод позволяет
строить функцию Gin, k) (которая снова равна 0 для любого η для всех, кроме
конечного числа значений к), удовлетворяющую условию
a(n)F(n,fc)-j8(n)F(n-l,fc) = G(n,fc)-G(n,fc-l).
ι Перевод затруднителен. Мы используем неологизм «креативное сматывание».

§ 3.11 W-Z-метод
167
Если это удается, то желаемое рекуррентное соотношение следует
непосредственно. Действительно,
a(n)S(n)-]8(n)S(n-l) = 2](a(n)F(n,fc)-j8(n)F(n-l,fc)) =
к
= 2](G(ra)-G(rU-l)) = 0,
к
поскольку конечная сумма сворачивается. Этот пример иллюстрирует
уместность названия creative telescoping.
Лучший способ оценить этот метод — рассмотреть несколько примеров.
Рассмотрим суммирование Чу—Вандермонда. Мы хотим доказать, что
^СЮ = ^р!1, где Sv(n) = YFv(n,k)
1 )п ыо
и
F Πι Μ - (~Π)*(α)*
Другими словами, мы хотим найти такую функцию Gin, к), что
(b + n-l)Fi;(n,fc)-(b-a + n-l)Fi;(n-l,fc) = G(n,fc)-G(n,fc-l). (3.11.1)
Цейльбергер полностью реализовал алгоритм нахождения функции Gin, к) на
компьютере. Он показал, что для задач, имеющих дело с гипергеометрическими
рядами типа Svin), функция Gin, к) должна иметь вид
G(n,fc)=R(n,fc)F(n-l,fc).
Однако мы можем легко найти значение Gin, к) с помощью следующих
наблюдений. Положим /с = 0 в формуле (3.11.1). Теперь, полагая Gin, —1) = 0, мы видим,
что
G(n,0) = (b + n-l)Fi;(n,0)-(b-a + n-l)Fi;(n-l,0) =
= (b + η -1) - (b - a + η -1) = a.
Пусть в формуле (3.11.1) fc = 1. Тогда
Gin, 1) = Gin, 0) + (b + η- l)Fu(n,l)-(b-a + η- l)Fu(n-1,1) =
= a + (b + n^l)(^f)^(b^a + n^l)(^i^) =
= ("n^1)fl(a + l) = (a + l)Fi;(n-l,l).
Таким образом мы можем проверить (вручную или с помощью
компьютерных вычислений) предположение, что
Gin, k) = ia + k)Fvin -1, fc). (3.11.2)
После того, как мы высказали предположение о виде aeyrwbb Gin, к),
доказательство формулы (3.11.2) — вопрос исключительно алгебраических преобразований.

168 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Мы имеем
(b + n-l)Fv{n,k)-(b-a + n-l')Fv(.n-l,k) =
_ (b + n-l)(-nt)(a)t (.b-a + n-l)(.-n + l)k(.a)k _
k\(b)k k\(b)k
(-π + Dk-iiflh.
k\ №)»
L[(b + n-l)(-n)-(b-a + n-l)(-n + k)] =
= i~n+k^-fa)k(.-an-k(.b-a + n-l)). (3.11.3)
Однако
G(n,*)-G(n,*-1)- щ^ (fc-DKb),., ~
= fcKb^ [-an-ic(b-a + n-l)] =
= (b + n-l)F^n,fc)-(b-a + n-l)Fi;(ri-l,fc)
(согласно соотношению (3.11.3)). Следовательно, креативное складывание
показывает нам, что
(b + n-l)Sw(n) = (b-a + n-l)Sw(n-l),
и с помощью итераций получаем, что Sv = (b — a)n/(b)n, как мы и хотели.
Теперь обратимся к формуле суммирования Пфаффа—Заалыиютца,
рассмотренной в гл. 2. Теперь она может быть записана следующим образом:
SP^=tcUc-Ca-b]n' ГДе «ρ(«) = Σν«.«.
п п к=0
а г ρ (π, κ) = ,,, Λ ,., ■—-τ—ς-. (3.11.4)
ρ ' J k\(c)k(l-n + a + b-c)k
Заметим, что соотношение (3.11.4) очевидным образом эквивалентно равенству
(c + n-l)(c-a-b + n-l)Sp(n) = (c-a + n-l)(c--b + n-l)Sp(n-l).
Мы действуем, как и прежде. Положим
Gp(n,fc) = Rp(n,fc)Fp(n-l,fc).
Мы хотим построить такую рациональную функцию Rp(n, ic), что
(c + n-l)(c-a-b + n-l)Fp(n,ic)-
-(c-a + n-l)(c-b + n-l)Fp(n-l,fc) = Gp(n,fc)-Gp(n,fc-l). (3.11.5)
Соответственно при ic = 0 в формуле (3.11.5) мы получим
Gp(n,0) = (c + n-l)(c-a-b + n-l)-(c-a + ri-l)(c-b + ri-l) =
= (c + n-l)(-a) + a(c-b + n-l) = -ab.
Теперь из формулы (3.11.5) при ic = 1 следует, что
Gp(n,l) = Gp(n,0) + (c + n-l)(c-a-b + n-l)^
-(c-a + n-l)(c-b + n-l)c(3J^

§ 3.11 W-Z-метод
169
т.е., как и в формуле (3.11.2), мы можем предположить, что
Gp{n, к) = -(а + Ю(Ь + ic)Fp(n -1, к). (3.11.6)
Доказательство этого предположения — снова только лишь алгебраическое
упражнение. В каждом случае мы имеем
(c + n-l)(c-a-b + n-l)-(c-a + n-l)(c-b + n-l)Fp(n-l,fc) =
= Gp(n,fc)-Gp(n,fc-l) =
f (a + fc)(b + fc)(l-n)t(a)t(b)t (а + ^-1)(Ь + к-1)(1-п)ы(а)ы(Ь)ы>|
V fc!(c)k(2-n + a + b-c)k (fc-1)! (c)k_i (2 - η + a + b - с)к_х У
что упрощается до желаемого результата. Таким образом, равенство (3.11.4)
доказано W—Z-методом.
Исследуем теперь суммирование Бейли рядов 4F3, что несколько сложнее.
Наша цель здесь—доказать равенство
fa/2,(a + l)/2,b + n,-n.^_ (Ъ-а)п П117,
ΛΙ b/2f(b + l)/2fa + l ·4-"Ί»Γ' С ^
Отметим, что этот ряд 4F3 уравновешен. В подходящих для W—Z-метода
обозначениях мы хотим доказать, что
SB(.n) =
№)» '
где SB(n) = Σ FB (п, ic), а
fc=0
FB(n,fc)=(a)^(b + ^("^
fc!(b)2k(a + l)k *
В этот момент мы надеемся, что сможем сразу доказать равенство
(b + n-l)SB(n)-(b-a + n-l)SB(n-l) = 0.
Однако метод, использовавшийся в двух предыдущих примерах, изначально
терпит неудачу. Именно в этот момент мы осознаем, как нам полезны в таких
исследованиях вычислительные возможности компьютера. Оказывается, что
можно использовать W—Z-метод для получения трехчленного рекуррентного
соотношения, а именно
(п+1) (-п - Ъ + a)FB (π, к) + (-a2 + ba - а + 2nb + 3b + 2 + 4n + 2n2)FB (n +1, k) -
- (b + η + l)(a + η + 2)FB(n + 2, ic) = GB(n, k) -GB(n, k-1),
где
ГГяМ. (a + l + 2fc)(a + 2fc)(b + n + fc)(n + l)„ , ,.
Из последнего соотношения следует равенство
(η +1) (-η - Ъ + a)SB{n) + (-a2 + ba - a + 2nb + 3b + 2 +
+ 4n + 2n2)SB(n + l)-(b + n + l)(a + n + 2)SB(n + 2) = 0. (3.11.8)

170 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Кроме того, поскольку SB(0) = 1, SB(l) = (b —a)/b и поскольку (b — a)n/(b)n
удовлетворяет вышеуказанному рекуррентному соотношению, мы видим, что
соотношение (3.117) доказано.
Здесь следует сделать пару замечаний. Во-первых, тождества, подобные
(3.11.7), часто возникают на практике как предположения. Другими словами,
если тождество (3.11.7) верно, то мы получаем некоторый полезный результат
(см. [15]). Соответственно обычно вид желаемого тождества суммирования
известен до попытки его доказательства. Во-вторых, предположим, что мы
имеем дело с более сложным тождеством, где мы, возможно, не смогли точно
определить, как будет выглядеть формула суммирования. Для этого Марко
Петковшек разработал дополнительный алгоритм для W—Z-метода. Он находит
минимальное рекуррентное соотношение, которому удовлетворяет исследуемая
сумма. Так, в нашем случае, алгоритм Петковшека, примененный к формуле
(3.11.7), даст тождество (3.11.8).
Существует несколько иной метод суммирования, придуманный Пфаффом.
Этот метод менее алгоритмичен по сравнению с W—Z-методом. Однако он
заменяет проблему алгебраических вычислений на поиск систем рекуррентных
соотношений. Соответственно он может предложить новые формулы
суммирования вдобавок к тем, которые мы хотим доказать, и, кроме того, может
позволить существенно упростить вычисления по сравнению с необходимыми
в W—Ζ методе. Метод Пфаффа напоминает W—Z-метод, однако он позволяет
играть важную роль в суммировании различным дополнительным параметрам.
Применение метода Пфаффа начинается очень просто. Мы всего лишь вычитаем
почленно сумму при п — 1 из суммы при п.
Рассмотрим еще раз формулу суммирования Чу—Вандермонда.
Сформулируем задачу несколько иначе. Пусть
.ГппМ_уН)М
Sv{n,a,b)-2^ j|(W .
Теперь заметим, что1
,ч о г , ,ч νγ(-η),·(α),· (1-η) (α) \
S^n,a,b)-Vn-l,a,b)=g(-7R^-i Щр) =
(а)Д1-п);_! ^(а);(1-п);_!
-1. am, c(-*)-c-n+j))—2^ 0._
a v^ (a + l),(l-n), a
= -ϊΣ ЖЬН-I), =-рЛп-1,а + 1,Ъ + 1). (3.11.
Обратим внимание на то, что соотношение (3.11.9) совместно с условием
Sv(0, a, b) = 1 единственным образом определяет Sv(n,a, b). Однако если
συ(η,α,ΰ) := —^—,
ι Отметим также, что п-й член S(n — 1) равен 0.

§ 3.11 W-Z-метод
171
то
rr ы „ м ^ г„ ι „ м - (b~a)n (b-a)n-i _
a,,(fi,a,b) —σ,,(η —l,a,b) = —щ щ =
Следовательно,
S„(n, a, b) = σ„(η, a, b) = 0>-a)n/(]b)n,
как мы того и хотели.
Вывод формулы Пфаффа—Заалыиютца по методу Пфаффа проводится
следующим образом. Пусть
SP("'a'b'C) - 2-, ЛСсШ-п + а + Ь-О/
Теперь заметим, что
Sp(n9 a, b, c) - Sp(n -1, a, b, c) =
i-rijialjiVj (1-η),(α),№);
/! ic:
__(а)ДЬ)Д1-п)Ь1
/! f(
;=0
(а)ДЬ)у(1-п)Ь1
= yi (-п);(а);(Ь), (1-п)Да)ДЬ),
2-ι j!(c),(l-n + a + b--c), j!(c),(2-n + a + b-c), ""
j=0 ' J J J
=Σ Я ^ί^α^-Ο^ ((-n)(l-n+a+b-c+J))-(n+J)(l-n+a+b-c) =
ΣΙ
4^ O'-DKcDjtt-n + a + b-c),.!
n(a + b + l-c)ab y« (l-n);(a + l);(b + l);
= n(a + b + l-c)ab yi (1-п)Да + 1)ДЬ + 1),
c(l-n + a-l-b-c)(2-n-l-a-l-b-c) Zj j! (c + l);(3-n + a + b-c);
= -ri ^ ?J"btro C)? ^i ,Sp(n-l,a + l,b + l,c+l). (3.11.10)
c(l — n + a + o — c)(2 — n+a+b— c) p
Показав, что выражение
(c-aUc-bX/KcUc-a-b)»]
удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению и равно 1 при п, равном 0,
получим желаемый результат.
Это в точности доказательство этой формулы, данное Пфаффом в 1797 г.
В завершение мы докажем формулу суммирования Бейли ряда 4F3 методом
Пфаффа.
Так же как и в случае с W—Z-методом, который не работал, как от него
ожидалось, метод Пфаффа иногда требует дополнительного трюка. Мы хотим
здесь доказать, что
SB(n,a,b) = -^=^, (3.11.11)
где
SB(n,a,b)-2^ ;!(b)2;.(a + l), '
j=0

172 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
Вычитая почленно находим
SB(n,a,b)-SB(n-l,a,b) = ai\^b^nhB{n-l9a^29b^2)9 (3.11.12)
где
(a)2;(b + n-l);(-n);
vn(a)2/(b + n-l),(-n)y
ΤΒίη,α,ν=Σ 2}jHb)vial '. (З.П.13)
Таким образом, мы ввели новую сумму. Вычисление этой суммы для η = 1,2
и 3 позволяет предположить, что
^«•tt-p+fflgWr (3-1L14)
Попробуем теперь сравнить почленно Τβ(π, α,Ь) с SB(π,a,b) hSb(/i- 1,a, b). Из
второго сравнения следует, что
ΓΒ(π,α,^-5Β(π-1,α,^=-№ + ^^ + π)ΓΒ(Γΐ-1,α + 2^ + 2). (3.11.15)
Два рекуррентных соотношения (3.11.12) и (3.11.15) вместе с начальными
значениями
SB(0,a,b) = TB(0,a,b) = l
полностью определяютSB(n, a, b) и Γβ(η, a, b). Теперь убедиться, что (b—a)n/(b)n
и (b~a)n/((b + 2n~l)(b)n_1) удовлетворяют одинаковым рекуррентным
соотношениям и начальным условиям, — снова всего лишь простое
алгебраическое упражнение. Поэтому мы доказали не только соотношение (3.11.11), но
и (3.11.14).
§ 3-12. СООТНОШЕНИЯ СМЕЖНОСТИ И МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
Из формул (2.5.6) и (2.5.8) мы получаем одно из соотношений смежности Гаусса,
а именно
(c-a-b)F=(c-a)F(a-)-b(l-x)F(b+).
Полагая а = —п +1, находим
(с + π — 1) 2F\ (—n, b; с; χ) — (с — b + η — 1) 2^ι (—η +1, Ь; с; х) =
~2jI j\(c)j O-DKc);-! Г ·
Теперь положим χ = 1 и увидим, что в точном соответствии с методом
креативного складывания Цейльбергера правая часть равна 0 и мы нашли доказательство

§ 3.12. Соотношения смежности и методы суммирования 173
формулы суммирования Чу—Вандермонда W—Z-методом. Аналогично
(с + η — 1) (с — а — Ъ + η — 1) 3F2 (—π, a,b;c,l — n + a + b — c;x) —
— (с —α + η — 1)(с —b + n — 1) 3F2 (—π +1, α, b; с, 2 — η + а + b —с; χ) =
Μ v-iV (1-п),(а),+1(Ьу1х' _
"" U X;Zj;!(c),(2-n + a + b-c),
у, (l-nVi(q)jft), (1-η),(α),+ι№),+1 λ ;.
^V 0"-l)KcVi(2-n + a + b-cVi ;!(с)Д2-п + а + Ь-с);Г
= -ab (1 - x) 3F2 (1 - n, a + 1, Ь +1; c, 2 - η + a + Ь - c; x),
и если мы будем считать, что лс = 1, то получим доказательство формулы
суммирования Пфаффа—Заальшютца W—Ζ методом. Так, мы видим, что W—Z-
метод является эффективным алгоритмом для получения полезных примеров
соотношений смежности. В случае с соотношениями Бейли для 4F3 W—Z-метода
не удается найти рекуррентных соотношений первого порядка в силу того что
не существует трехчленных соотношений смежности, связывающих
(h + n-π F(a/2,(a + l)/2,b + n,-n Λ
ф + п 1UF3[ b/2>(b + 1)/2>a + 1 >*J
(h n + n Ή π ra/2,(a + l)/2,b + n-l,l-n \
-ib-a + n-l)4F3{ b/2fft + 1)/2fa + 1 .*)
с третьей функцией 4F3, умноженной на выражение, содержащее 1-х. Однако
когда мы переходим к соотношениям для четырех смежных функций, такое
соотношение появляется и доказательство суммирования Бейли W—Z-методом
получается, если взять х = 1.
Метод Пфаффа даже с большей очевидностью является методом
соотношений смежности. В этом методе χ полагается равным 1 с самого начала. Полное
доказательство соотношения Чу—Вандермонда методом Пфаффа
непосредственно получается после установления соотношения смежности
(-η,α \ (-η + 1,α λ α „ (-η + 1,α + 1 λ
2i4 b 'Ч^^А b '^""ЬЛ1 Ь + 1 ЛГ
Доказательство Пфаффа тождества Пфаффа—Заальшютца основано на
соотношении
„( -п,а,Ъ -Λ „ ( l-n,a,b λ
3*Ас,1-п + а + Ъ-с'Ч 3*2Ус,2-п + а + Ъ-с'Ч-
= n{a + b + l-c)ab Г l-n,a + l,b + l λ
"~ c(l-n + a + b-c)(2-n + a + b-c) 3 2Vc + l,3-n + a + b-c; Г
Доказательство формулы Бейли целиком основано на двух соотношениях
смежности:
(a/2,(a + l)/2,b + n,-n \ /a/2,(a + l)/2,b + n-l,l-n л =
4 3V b/2,(b + l)/2,a + l ' J 4 3V Ь/2, (Ь + 1)/2,а + 1 ' J
_ a(l-b-2n) (a/2 + l,(a + 3)/2,b + n,l--n Λ
b(b + l) 4'3ν b/2 + l,(b + 3)/2,a + 2 'J

174 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
и
(α/2,(α + 1)/2,5 + η-1,-η λ (a/2,(a + l)/2,b + n-l,l-n л =
4 3V b/2,(b + l)/2,a 'J 4 3V b/2,(b + l)/2,a + l ' V
_ (Ь + п-1)(а + п) (a/2 + l,(a + 3)/2,b + n,l--n л
b(b + l) 4/Ч (b/2) + l,(b + 3)/2,a + 2 'J
Открытия Уилфа и Цейльбергера произвели настоящую революцию в
исследованиях суммирования конечных гипергеометрических рядов. Важная ветвь
этой работы— реализация этих алгоритмов с помощью MAPLE, также
произведенная Цейльбергером. Дополнением к этим результатам послужили
философские дискуссии одного из нас [12] с Цейльбергером [434] о применении этих
открытий в создании искусственного интеллекта.
В текущий момент внутренние ограничения MAPLE не позволили доказать
с помощью W—Z-метода равенство
/-2n,x + 2n + l,x-z+^,x + n-l,z + n + l \
5 4^ (х/2) + 1,(х+1)/2,2г + 2п + 1,2х-2г ' >
(l/2)n(2s-x)n(2s-x + n + 2)n ц
(x + l)n_3{x + 2n-2)3(x-z)n(z + n + ±)n
Для доказательства равенства методом Пфаффа требуются сложнейшие
вычисления, работающие одновременно с двадцатью тождествами указанным выше
способом. Без сомнения, развитие вычислительной техники и программного
обеспечения в конечном итоге позволит доказать равенство (3.12.1) с помощью
W—Z-метода.
Мы надеемся, что это соперничество между методами послужит осознанию
того факта, что прогресс достигается применением человеческого разума при
поддержке машин к любой заданной проблеме. Не следует, однако, забывать,
что метод Пфаффа и W—Z-метод — ценнейшее применение классической теории
соотношений смежности к задачам суммирования рядов. Вряд ли такие
методы—единственное возможное применение соотношений смежности, поэтому
имеет смысл проводить дальнейшие исследования.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите следующие формулы квадратичных преобразований:
*i р( 2аЛЪ -Л-П-ТхУ* F f fl'fl+5.4*(*-l)\
*Λ(*χ)-α-^Λ(\»ρ-*=£3:}
■»A(..v+liJ.)-o+^A(f:i;|:5^}

Упражнения
175
г(а + |)Г(-Ы-1) Vl/2 1
„(2а,-2Ь + 1. 1 Г^-. 1Л. „ Г 2а,-2Ы-1. 1 Г"х-, 1Л
2*Ч α-b + l ,2VTTI + 2>' + 2F4 а-Ы-1 '~2УТП + 2>
2. Выведите следующие однопараметрические семейства преобразований Кумме-
ра [242]:
3) I 2 i 2*Ч (2α + 5)/6 'Ч + УГ^ J-(1+JC) ^l (2(α + 1))/3 ' θΤ^>
βϊ Π+ /ΤΙ"2" гГа.С4а + 1)/6. 4у^ \_( χγ° (α/2,(α + 1)/2. (_х_ЛаУ
6H1 + V*) 2^4 (4α + 1)/3 '(l + V*)2^ 2-1 zFli (2α + 5)/6 Лг^) )'
./-lWTEir2a ρ Г2а'а+4\УГ^-Л_п ■ „w Γ/-α/2,(α + 1)/2, 4χ Λ
ΒΗ 2 J 2^ α+3 '7^f7lJ-(1+X) 2^ α + 3/4 '(ΪΤΙ)5>
3. Покажите, что
Λα/2,(2-α)/6. , Λ ^/2 Λα/2,(α + 1)/6 Λ_η_/2 Γ((2α + 2)/3)Γ(1/2) ,
3j2i4 (2α + 5)/6 ' l'°J-z *eA 2(α + 1)/3 ' " Γ((α + 1)/2)Γ((α + 4)/6)'
rf2a,a+l Л_Л r(a+|)rq/4)
6bFl^ a+| 'V2 + lJ-(4 2V2) Γ((2α + 3)/4)Γ((2α + 1)/4)·
4. Получите тождество Куммера, приведенное в следствии 3.1.2, из интеграла Эйлера
Для 2F1.
5. а) Докажите, что соотношение (3.1.2) эквивалентно равенству
( -2п,2Ъ Л ( -п,Ъ Л
Здесь η — натуральное число.
б) Умножьте полученное соотношение на хс_1 (1 — jc)d-c-1 и проинтегрируйте по
интервалу (0,1), и получите
3^2
в) Получите тождество
3^2
[ ~2п'2Ь'г ;iWf Л"'''*" ;il
\-n + b+l,d J 3v-n + b+i,d/2,(d + l)/2' J
(ество
ya + b+\,d' J 4 3^a + b+|,d/2,(d + l)/2' J'
где к — натуральное число.
г) Положив d = Κε и fc—к», докажите, что п. а) выполняется без ограничений
на п.
6. Покажите, что для 0 < χ < - выполняется равенство
Va + b+l >/ r(a-b+|)r(b-a + i) Va + b+l J
Ч i—ь·
ν 2; V. 2)-x\—\\-xY2-a-bx2FA \ z ;4х(1-х)
Г(2а) Г(2Ь)
7. Докажите формулы (3.2.3) и (3.2.14) для эллиптических интегралов Ε и К.
8. Докажите результат Эллиота, содержащийся в теореме 3.2.8.
9. Докажите лемму 3.2.9.

176 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
10. Пусть 02(ς):=Σ<ϊ(π+5) , β3(ί):=Σίη . ^(tf-ZC-W Для |q|<l.
а) Докажите, что (02(q) + 02(q))/2 = 02(q2) и ^e32(q)042(q) = e42(q2).
б) Докажите, что арифметико-геометрическое среднее функций 03(q) и #4 fa) равно
l(T.e.M(02(q),02(q)) = l).
в) Докажите, что 02(q) - 02(q2) = 022(q2).
г) Получите, используя пп. в) и а), что 02(q2)- 02(q2) = 02(q) и 034(q) = 0*(q) + 024(q).
д) Пусть fc := fc(q) := 022(q)/02(q) для 0 < q < 1. Докажите, что 0 < k < 1 и M(1, fc') =
= 03~2(q), где k'2 = 1 — fc2. Докажите также, что
K(fc) = §02(q).
11. а) Используя упражнение 30 гл. 2, покажите, что
ν^03(β-π*) = 03(β-π/*) и ν^02(β"πχ) = 04(β"π/χ).
б) Для fc(q) из упражнения 10 гл. 2 покажите, что fc(e_7tJC) = £'(β~π/χ).
в) Докажите, что -щ^ = х или — = *.
г) Покажите, что единственным решением уравнения 0|(q)/0|(q) = k для 0 < fc < 1
является q = e~nK',K.
12. Докажите формулу (3.2.9), а именно /(a,b)=/((a + b)/2, \/ab).
13. Пусть а<Ь<с. Докажите, что
S
dx
; v4*-a)(x-b)(x-c) MCV^Vc^)'
dx in
S
J V(*-a)(x-b)(x-c) M(i/c=5, i/F=a)"
14. Умножьте формулу преобразования Эйлера
2F1(a'cb;X) = (l-XY-°->2F1(c-a'cC-b;x)
на jc^Hl—^)e-d~1, проинтегрируйте от 0 до 1 и получите следствие 3.3.5.
15. Докажите, что
Г -п,-а,-Ъ \= (b + c-l)n(a + c)nr an ]
3 2\с,2-п-а-Ъ-с' ' (a + b + c-l)n(c)nL (b + c-l)(a + c + n-l)-T
16. Докажите тождество Ватсона в теореме 3.5.5 (1), умножив уравнение (3.1.2),
(-2п,2Ъ Л ( -п,Ъ Л
на хс~1(1 — х)с~1 и проинтегрировав от 0 до 1. (Обратите внимание на то, что п
в вышеуказанной формуле есть неотрицательное целое число. В противном случае
формула не выполняется на интервале (0,1).)
17. а) Покажите, что
р( a,b,c,d,-n , (l + a)n(l + a-b-c)n(|-b + l)n(|-c + l)n
5 Ai + a-b.l + a-cl + a-d.l + a + n' J (1 + в_Мя(1 + в_с)я(«+1Щ_ь_с + 1)п*
если 3a + 2 = 2(b + c + d-n).
2*1

Упражнения
177
Л
б) Докажите, что
а,Ъ,с
( а,Ъ,с-п , (q + l)n(q + l-2b)2n(|)n
Vl + a-b,l + a-c,l + a + n' J (a + 1__b)n(a + 1)2n(l-b)
Г(а-2Ь + 2п + 1)г(п + |)г(а-Ь+1)Г(а + п + 1)г(|-ь)
Γ(a-2b^-l)г(i)г(a-b^-π^-l)Γ(a^-2π^-l)г(i-b^-π),
если l + 2a = 2b + 2c-2n.
в) Покажите, что
( -fc,a,b,c Л
4 ^i-a-M-b-M-c-fc'V
(2a)fc(2b)fc(a + b)fc
(a)fc(b)fc(2a + 2b)fc'
если l-2c = 2a + 2b + 2fc.
г) Получите тождество Клаузена
2*1
а + Ъ +
1'>х
Ъг2
ί 2a,2b,a + b A
^a + b+|,2a + 2b'*J'
Указание. Приравняйте коэффициент при хп в обеих частях равенства.) Обратите
внимание на то, что другое доказательство этого тождества было дано в упражнении
13 гл. 2.
18. Докажите, что
(q-d-e + l)n / a-b-c + l,d,e,-n .·Λ =
} (a-d + l)n(a-e + l)n4 3Va-b + l,a-c + l,d + e-a-n' J
a — d — e + l,b,c,— π
_ Ca~P-c + lJn r a-d-e + l,b,c,-n Λ
(a-b+l)n(a-c + l)n4 3Va-d + l,a-e + l,b + c-a-n' J
fa F( a,a/2 + l,b,c . -Λ Г(а-Ь + 1)Г(а-с + 1)
J 4 3Va/2,a-b+l,a-c + l' J Г(а + 1)Г(а-Ь-с + 1)*
19. а) Используя метод из доказательства леммы 3.4.2, докажите тождество
а,Ъ,с,-п # -Λ (d-a)n
f а,Ъ,с,-п у
«^Va-b + l.a-c + l.d'V"
W)n
l + l;1>
pf a-d + l,a/2,(a + l)/2,a-b-c + l,-n
5 4Va_b + la_c + lj(a_d_n + 1)/2,(a-d-n)/2-
Оно позволяет преобразовать почти уравновешенный ряд 4*з в уравновешенный
РЯД 5*4·
Покажите, что
-. _, fa,a/2 + l,-n И_ (d-a-n-l)(d-a)n-i
βΛι a/2,d ;1J- й; ;
( a,b,-n ^ (a-2b)n(a/2 + l-b)n(-b)n
j3 2\a-b + l,2b-n + V J (a-b + l)n(a/2-b)n(-2b)n'
. f a,a/2 + l,b,-n \= (a-2b)n(-b)n .
J4 Ha/^a-b + l^b-n + l' V (a-b + l)n(-2b)n'
(a-2b-l)n((a + l)/2-b)n(-b-l)n
ч Ff a,a/2 + l,b,-n л_ Ca-2b-]
M 4 3Va/2,a-b + l,2b + 2-n' У (a-b+l)n(a/2-b-(l/2))n(-2b-l)n'
e) (Уиппл)
( -п,Ъ,с,е \
***\1-п-Ъ91-п-с,а9Ч
И-е)„.
( e,l-n-b-c,-n/2,(l-n)/2,l-n-d Λ
5 ^-n-kl-n-c^l + e-d-rOACe-d-fO/^ + l' Г

178 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
За необходимыми ссылками на работы Уиппла читатель может обратиться к
книге [40, § 4.5, 4.7].
20. Докажите, что
[Л{ с .'JJ -2, (с)п(2с-1)пП. *[ в+1,ь+1.3_в_е Л)Х ■
Указание. Примените результат упражнения 19 е) к функции 4^з, возникающей после
возведения в квадрат 2Fi- Затем примените теорему 3.3.3.
21. Получите преобразование из упражнения 19 а) умножением квадратичного
преобразования Уиппла для 3F2, представленного формулой (3.1.15), на xd+n~l и
приравниванием коэффициентов при хп.
22. Получите формулу
f a,a/2 + l,b,c,-n \_ (d-a-n-l)(d-a)n.i
5 4Va/2,a-b + l,a-c + l,d' J (d)n
„ ( a/2 + l,(a + l)/2,a-b-c + l,a-d + l,-n # .Λ
*5 44a-d-n + 3)/2,(a-d-n + 2)/2,a-b+l,a-c + i; J
используя формулу из упражнения 19 б) вместо теоремы Диксона из доказательства
леммы 3.4.2. Вышеуказанная формула преобразует почти уравновешенный ряд 5F4
в уравновешенный ряд 5F4. См. [40, § 4.5].
23. а) Переходя к пределу при а->0в следствии 3.5.2, вычислите сумму
Σ°° (b)n(On(d)n
_к (l-b)n(l-c)n(l-d)n*
б) Докажите более общее утверждение:
E(q + b)n(a + c)n(a + d)n
_β (a-b + l)n(a-c + l)n(a-d + l)n
_ r(a-b+l)r(a-c + l)r(Q-d + l)r(l-b-c-d)r(b)r(c)r(d)
r(a + b)r(a + c)r(a + d)r(l-b-c)r(l-b-d)r(l-c-d) '
24. а) Докажите, что формула Дуголла может быть записана в виде
_, ( k,k/2 + l,k + b-a,k + c-a,k + d-a,a + n,-n . ..λ _
7 6\.k/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,k-a-n + l,k + n + l' J
_ № + 1)п№)п(с)п(Дп
(a-fc)n(a-b + l)n(a-c + l)n(a-d + l)n'
если k = 2a — Ь — с — d + 1.
б) В доказательстве леммы 3.4.2, используя а) вместо тождества Пфаффа—Заалыпют-
ца, получите
Ρ Г a,a/2 + l,b,c,d,e,f,g,-n -l) =
9 8va/2,a-b + l,a-c + l,a-d + l,a-e + l,a-/ + l,a-g + l,a + n + l, J
= (α + 1)π№-β + 1)π№-/ + 1)π№-^ + 1)π χ
(fc + l)n(a-e + l)n(a-/ + l)n(a-g+l)n
-( k,k/2 + l,k + b-a,k + c-a,k + d-a,e,f,g,-n \
9 8U/2,a-b^-l,a-c^-l,a-d^-lД-e^-lД-/^-lД-g^-lД^-π^-l, /'
если fc = 2a-b-c-d + l и b + c + d + e + / + g-n = 3a + 2.
в) Получите из б) теорему 3.4.5. См. [40, § 4.3].

Упражнения
179
25. а) Покажите, что
Г а,а/2 + 1,Ь,с \= Г(а-Ь-И)Г(а-с + 1)Г((а + 1)/2)Г((а + 1)/2-Ь-с)
4 31а/2,а-Ь + 1,а-с + 1' J Г(а + 1)Г(а-Ь-с + 1)Г((а + 1)/2-Ь)Г((а + 1)/2-с)'
б) Из этого тождества и упражнения 18 б) получите формулу для
7*6 |
(a q-H α - Ь Ь + 1 с_ d + 1 \
2, 2 , 4"»"1,2, 2 ,2, 2 #1 J
α a^J> , л а — Ъ + 1 "\_ а—с . 1 a^£+J. ' I"
4' 2 ' 2 »2' 2 ' 2 У
26. Покажите, что
'П3 . ЛП-ЗЛ3 ,0Г1-3-5Л3 , 2
23/2
б> 1 + К?)4 + "(ИГ + 25(Т#П)4 + ··· = ^{Г(3/4)Р ·
B)1-SG)VK^)5-13(^)4...= 7F^;
г) (Рсшануджан) l-(i)4(l^)3-... = {F^^L}2.
27. Покажите, что
в «»«.) .-(,+^+ΰ+^ώ^ϊ}'-...»^.
Упражнения 26 и 27 приведены в работах [182, с. 105 — 106] или [40, с. 96].
28. (Такебе Кенко) Докажите, что
,2 _, 02п+1ГпП2
?=1+Σ
2M+Lln\y
4 Z-J (2п + 2)! '
п=1
Ссылки см. в [324].
29. Вычислите суммы
. v( n + k \(2k\(-l)k
} £Лт + 2*Л k J к + 1
к>0
«шаг;;;-').
- /5с >V Дс ^v n + r
'2к^
fc>0
2n + l VP + fc
ΛΣ(2ρ2+"Λ)(Ρί*).
'P + Jc
I L· A L·-,· A
fc>0
2n
*£сгт.+-7х:«).
"'.tmrir').
fc=0

180 Глава 3. Гипергеометрические преобразования и тождества
J &>п + кУ 2к А к )к + р'
*Σ(-υ'(ί)(2"Γ)(?)-.
30. Докажите, что
Г a,l + a/2,d/2,(d + l)/2,a-d,l + 2a-d + m,-m \_ (l + a)m(l + 2a-2d)m
7 6va/2,l^-a-d/2,a^-(l-d)/2,l^-d,d-a-m,l^-a^-m, J (l + a-d)m(l + 2a-d)n
См. [40, с. 98]
31. Докажите, что
a)2F,
,ч/л λ ί α,Ι) λ „ ί <*,b-l "\ ^ f 2a,2b-l,a + b-l A
бНОрр)2^^ + ь4;х]Л^ + ь4;^ = з^^а + 2Ь_2а + ь4;,|
См. [40, с. 86]
32. Докажите теорему 3.6.1.
33. Докажите, что
Г(х + т)Г(у + т)
Г(х + т)Г(у + т) _ fx,y,v + m-l -\ г ,
w ЧТ,,—— гз*21 ; 1 = [сумма π членов]
Г(т)Г(х + у + т)3 2v у,х + у + т ' J L J J
= -Ζ7-Τ7Γ,— 7з*21 ; 11 [сумма т членов].
Г(п)Г(х + у + пу 2v y,x + y + n ' J L J
34. Докажите формулу (3.8.2).
35. Докажите, что многочлены Вильсона, заданные определением 3.8.1, симметричны
по а, Ь, с и d.
36. Покажите, что
F( a,(a + 2)/2,b,c,d,e,-n λ_
7 ^α/^α + Ι-^α + Ι-ο,α + Ι-^,α + Ι-β,α + Ι + η' J
_ (a + l)n(a-b-c)n(a-b-d)n(a-c-d)n г n(n + 2fl-b-c-d)(a-b-c-d)-|
(a + l-b)n(a + l-c)n(a + l-d)n(a-b-c-d)nL (a_b-c)(a-b-d)(a-c-d) J'
если e = 2a + n —b —с—d. Ряд 7F6 4-уравновешен и очень хорошо уравновешен.
37. Докажите формулы (3.5.2), (3.5.3) и (3.5.4), касающиеся двойственных многочленов.
38. Докажите формулы кубических преобразований Бейли:
(a,2b-a-l,a + 2-2b Л / 3, —, — -27x \,
аЬ^ b>a+|_b ,4J-a *) 3^M_b+3 '4(l-x)3j'
/" . 1 .4 f α Д + 1 a + 2 . \
6bF^ 2b,2a + 2-2b '^J-i1 J 3^ b,a+ |-b ' (4-*)»J
Комментарии по кубическим преобразованиям и ссылки на работы Бейли см. в [25].
39. Покажите, что
„(α,α + 1/2 W 2 л*
(-α,α + 1/2 Λ _ 1 f 2 Λ*
40. Пусть
n-l
φ (дс; η) = [~](α; + xb;), φ (χ; 0) = 1.

Упражнения
181
Покажите, что
fc=0 Г
если
η
/(n) = J](-l)'i(J)v(fc;n)g(ic).
fc=0
См. [Ш].
4L С помощью подходящего выбора g(k) и φ (к; п) покажите, что формула
_. Г-п,п + а,1 + а-Ъ-с -λ_ (Ь)п(с)п
3 2V 1 + a-b.l + a-c 'J (l + a-b)n(l + a-c)n
дает сумму конечного очень хорошо уравновешенного ряда 5F4·

ГЛАВА 4
Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические
функции
В этой главе мы обсудим вырожденное гипергеометрическое уравнение и
связанные с ним уравнения Бесселя и Уиттекера1. Уравнение Бесселя важно
для математической физики, поскольку возникает из уравнения Лапласа при
наличии цилиндрической симметрии. Вырожденное гипергеометрическое
уравнение получается из дифференциального уравнения второго порядка, которое
имеет только регулярные особенности в точках О, Ъ и оо и больше никаких
особенностей; мы положим Ь-> оо. Для полученного уравнения точка оо будет
нерегулярной особой точкой, получающейся при слиянии двух регулярных
особых точек. Таким образом, вырожденное уравнение можно получить из
гипергеометрического уравнения с помощью замены независимой
переменной χ на х/Ъ, перейдя к пределу при Ъ -* оо. Решениями являются функции ^ь
и некоторые свойства этих функций можно получить с помощью предельного
перехода из свойств функций 2F\. Однако часто бывает легче вывести результаты
непосредственно, чем обосновывать взятие пределов.
Уиттекер преобразовал вырожденное уравнение в уравнение с нулевым
коэффициентом перед производной первого порядка. Решения такого
уравнения называются функциями Уиттекера. Мы получим их представления в виде
интеграла и ряда, их асимптотическое поведение, а затем продемонстрируем
некоторые важные примеры, такие как функция ошибок и функция
параболического цилиндра.
Уравнение Бесселя быть получено из частного случая уравнения Уиттекера.
Решая его, мы получаем функции Бесселя, которым мы посвящаем большую
часть этой главы. Эти функции важны, например, из-за своей роли в
преобразованиях Фурье функций многих переменных. Мы дадим некоторые
интегральные представления функций Бесселя, которые были получены Пуассоном,
Гегенбауэром и другими. Далее мы обсудим некоторые интересные конечные
и бесконечные интегралы с функциями Бесселя, входящими в подынтегральное
выражение. Некоторые из них являются пределами производящих функций для
многочленов Якоби.
Функции синус и косинус являются частными случаями функций Бесселя.
Таким образом, полезно поискать обобщения формул для этих
тригонометрических функций на функции Бесселя. Николсон нашел замечательное обобщение
соотношения sin2 χ + cos2 x = 1 на функции Бесселя; он выразил это соотношение
в виде интегральной формулы. Мы приведем формулу Николсона и покажем,
как Лорх и Сегё воспользовались ей, чтобы получить результаты о нулях
функций Бесселя.
ι Напомним, что теория бесселевых функций подробно излагается в трактате [414]. По
вырожденным гипергеометрическим функциям есть хорошая книга [346].

184 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
В конце этой главы мы обсудим работу Заффа и Варга об областях,
свободных от нулей многочленов заданных последовательностей, как-то: частных
сумм экспоненты и, как более общий случай, частичных сумм функций iFx.
§ 4.1. ВЫРОЖДЕННОЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
Легко видеть, что гипергеометрический ряд
является формальным решением дифференциального уравнения
{5(5 + b1-l)...{5 + bq-l)-x(5 + a1)...{5 + ap)}y = 0, (4.1.2)
где
αχ
Когда ρ > 2 или q > 1, это уравнение имеет порядок тах(р, q +1) > 2, и
получающееся в результате уравнение не так удобно в применении, как
гипергеометрическое уравнение. Когда q = l и р = 0 или 1, уравнение является
уравнением второго порядка с регулярной особой точкой х = 0, но второй
особой точкой является точка х=<», и это иррегулярная особая точка. Хотя
иррегулярные особые точки вызывают серьезные трудности, можно сказать
кое-что о решениях в окрестности этих точек.
Рассмотрим случай p = q = l. Тогда гипергеометрическое уравнение имеет
вид
ИЛИ
ху" + {с-х)у'-ау = 0. (4.1.3)
Это уравнение может быть получено из гипергеометрического уравнения
x(l-x)/4{c-(a + b+l)x}/-aby = 0
с помощью следующей процедуры. Заменим χ на χ/b, тогда новое уравнение
имеет особенности в точках 0, Ъ и <». Теперь перейдем к пределу при b -* 00, тогда
в точке бесконечность происходит слияние двух особенностей. Получающееся
таким образом уравнение (4.1.3) называется вырожденным
гипергеометрическим уравнением.
Если с не целое число, гипергеометрическое уравнение имеет два
следующих линейно независимых решения в окрестности точки χ = 0:
Λ(^;χ) и ^л(а + 1-с:Ьс+1-С;х).
Заменив в этих выражениях χ на χ/b и переходя к пределу при b -* 00, получим
Aft*) и x^a + l-c.^ · (414)
Это два линейно независимых решения уравнения (4.1.3), которые явно
разлагаются в ряды в окрестности точки χ = 0. Они определены на всей комплексной

§ 4.1 Вырожденное гипергеометрическое уравнение
185
плоскости, поскольку функция iFj целая. Для того чтобы исследовать поведение
решений в окрестности бесконечности, необходимо действовать аккуратнее.
Решение гипергеометрического уравнения в окрестности бесконечности имеет
вид
^ (α,α + 1-c η
2 Ч α + 1-b ' х)
Если заменить χ на х/Ъ и перейти к пределу при Ъ -* <», это выражение почленно
перейдет в выражение
Х-А(«.««-<;-1).
Этот ряд расходится, так что непосредственно он не дает решения уравнения
(4.1.3). Однако возможно найти интегральное представление решения
уравнения (4.1.3), которое имеет этот ряд в качестве асимптотического разложения.
Чтобы найти это интегральное представление, возьмем гипергеометрический
интеграл Эйлера
2 Ч α + 1-b ' х)
_ -аПа-Ц-ЬХ-Ы1 ~£' ^^c-α-l ,г , v-b
iiFsC^r <°--(W) *■ с«и
Г(а)Г(1 _, 0
В этом интеграле можно перейти к пределу при b -*—о°, хотя левая часть (4.1.5)
при таком предельном переходе уже не имеет смысла. Правая часть равенства
(4.1.5) стремится к интегралу
Ш \ е~^1 + хГ"1 dt = гЬ I e"ta_1(1 + t)C_a_1 dt· (4L6)
Этот интеграл сходится при Re а > О и Re x> 0. Легко проверить, что выражение
(4.1.6) является решением вырожденного уравнения (4.1.3).
Замечание 4.1.1. Существует другой способ получить решение дифференциального
уравнения (4.1.6). Положим
yQt) = $e-*/(t)dt.
о
Тогда
00
ху" + (с - х)у' - ay = $ {xt2 -(c-x)t- α)β"Λ/(0 dt =
о
=$[(-^е"м>2-(1е_л>-(а+сг)е"х']^0<1г=
00
= $ e-^tttVCOr + [tf (ОГ - (а + ct)/(t)} dt = 0.
о
Последнее условие выполняется, когда
/40 = a-l-Kc-2)t = a-l c-a-1
/(t) t(t+l) t t+1
или
/(t) = ta-1(a + t)c"a-1,
и мы снова получаем интеграл (4.1.6).

186 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Предположим, что в выражении (4.16) х> 1. По теореме Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа
(i+i)fr4-i=i+g(-i)tfa,.:i-c)>4+
χ) Δ-λ k\
+ (-1)п(а + 1-с)п гп(Л , Qty-a-n-\
У1 + -) , (4.17)
n\ χη\ χ J
где 0 < θ < 1. Поэтому
0 fc=0
где
Интеграл сходится, и
ДпМ = 0(рг) при χ-^оо.
Таким образом, мы видим, что с точностью до постоянного множителя
выражение
дает асимптотическое разложение решения вырожденного
гипергеометрического уравнения при больших х> 1. На самом деле нет необходимости
ограничивать себя положительными значениями х, если вместо формулы (4.1.7)
использовать равенство
k=0 О
Это соотношение выполняется, если 1 + - не является действительным
отрицательным числом. Для того чтобы устранить ограничение Re a > 0, которое
необходимо для сходимости интеграла (4.1.6), рассмотрим интеграл
(0+)
$ e-xtta-l{\ + ty-a-ldt, (4.1.9)
или
(°+> - - чс-в-1
х"0 5 e-V^l + j)' α dt. (4.1.10)
00
Эти интегралы также являются решениями вырожденного уравнения, но без
ограничений на χ и а, необходимых в условии (4.1.6). Из соотношений (4.1.10)
и (4.1.8) можно снова получить асимптотическое разложение 2^о при больших
|х|, когда |argx|<7r —δ<π.
Соотношения между решениями гипергеометрического уравнения влекут
соответствующие соотношения между решениями вырожденного уравнения.

§ 4.2. Интеграл Барнса для jfi
187
Это утверждение может быть строго доказано. Аналогично преобразования
гипергеометрических функций приводят к преобразованиям функции гРг. Дадим
несколько примеров.
В преобразовании Пфаффа (2.2.6)
Л(^*И1-*г>Л(мГа;А)·
заменим χ на χ/b и, переходя к пределу при Ъ -* <», получим первое
преобразование Куммера
1F1(ac;x) = ex1F1(c-a;-x). (4.1.11)
Аналогичная процедура, примененная к квадратичному преобразованию (3.1.11)
приводит ко второму преобразованию Куммера
Л(2аа;4х) = е%^(а+-/2;х2). (4.1.12)
Наконец, трехчленное соотношение
, .-β (α,α + 1-c. 1\_ Г(1-с)Г(а + 1-Ь) „(а,Ь.\.
1.-х) 2Fi{ a + 1_b >х)-Г{а + 1-с)Га-Ъ)2рЛ с 'Х) +
, Г(с-1)Г(а+1-Ь), .1-е „Га + 1-е,Ы-1-е Л
+ Г(а)Г(с-Ь) (~*} Л1 2-е '*J
приводит к соотношению
Г(1-с) гГа.гЛ , Пс-1) 1-е rfa + 1-c \
r(a+l-c)lFAc>X)+ Г(а) Х Л1 2-е '*J
■*-Vo(a'a + 1_C;4). (4.1.13)
Формулы (4.1.11) и (4.1.12) могут быть доказаны непосредственно. Таким
образом, коэффициент при хп в правой части равенства (4.1.11) равен
η
SCc-aM-lr 1 p(-n,c-a -Л JaJ^
(c)jtfc!(n-fc)! n!2f4 с ' V п!(с)п
/e=0
и равен, таким образом, коэффициенту при хп в левой части соотношения.
Существует похожее доказательство преобразования (4.1.12). Мы приведем
доказательство соотношения (4.1.13) в следующем параграфе, где рассмотрим
эту тему с другой точки зрения.
§ 4-2. ИНТЕГРАЛ БАРНСА ДЛЯ ^
Представление функции ^(α,-ο;*) в виде контурного интеграла может быть
получено с помощью вычисления ее преобразования Меллина. Эта процедура
аналогична нахождению такого представления для гипергеометрической
функции. Положим
/ = ξχ-νι(;;-*)<ι*.

188 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
С помощью первого преобразования Куммера (4.1.11) получим
j = Г s-ie-x Ffc-a \ d = г у (£z£ke-^s+n-i άχ =
-r(s)2F^ c ,*)-г(а) r(c_s) ·
Из обратного преобразования Меллина мы должны иметь
гг^с-Га. i^-Пс) 'Г Г(а-д)Г(5).,_5 j. , .
—ioo
ИЛИ
too
—ioo
Конечно, поскольку мы знаем интеграл Барнса для 2F\> этот интеграл может
быть выписан по аналогии. В уравнении (4.2.2) мы имеем —х > О, но эта область
может быть расширена. Следующая теорема, полученная Барнсом, дает это
расширение.
Теорема 4.2.1. Для |arg(—х)| < π/2 и а, неравного отрицательному целому
числу, или нулю, выполняется соотношение
Г(а)А(а;с;*) = Ш J £g±i2r(-s)(-*rds,
—ioo
где контур интегрирования, если необходимо, искривлен, для того чтобы
отрицательные полюсы были отделены от положительных.
Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2.4.1.
Читателю предлагается самостоятельно разобраться в деталях.
Снова, как в гл. 2, это представление ^ может быть использовано для
получения асимптотического разложения с помощью сдвига контура
интегрирования влево. Вычеты получаются в полюсах функции Г (a + s), которые имеют
вид s = —a — n. Результат процедуры содержится в следующей теореме.
Теорема 4.2.2. Для Rex<0 выполняется соотношение
Λ<<-^~^<-^Α(α·α-'"';-;)·
Следствие 4.2.3. Для Rex>0 выполняется соотношение
пГл(/,,ч Г(с)е* „ fc-α,Ι-α. 1Λ
Доказательство. Это следует из теоремы 4.2.2 при применении формулы
(4.1.11) D
Заметим, что 2Fo в теореме 4.2.2 обозначает интеграл
ι ίο°
J = Ui $ r(-s)r(l-c--s)r(a + s)xsds. (4.2.3)
—ioo
Как и для предыдущей теоремы, контур интегрирования выбран надлежащим
образом. С помощью сдвига контура интегрирования влево и выбора вычетов

§ 4.2. Интеграл Барнса для ^
189
в точках s = —к — а, где к > О целое число, мы получим
(а)п(1 + а-с)п/
к=0
7 = Г(а)Г(1 + а-с)^Х;Ш1±^^(-1)П
—a—n+i оо
+ 2πϊ § r(-s)r(l-c-s)r(a + s)xsds. (4.2.4)
—a—n—ioo
Для того чтобы убедиться в правильности этой формулы, мы должны оценить
подынтегральное выражение при s = σ + ιΓ, где Τ велико и —a — η < σ < 0. По
формуле Стерлинга (см. следствие 1.4.4) имеем
|Г(-5) Г(1-С-5) T(a + S)xs| ~ (2я)3/2Т^(а-с-1/2)е-Г(аг8х+Зя/2)е-§|Im(a+c)|| Г 1<Т
Выражение в правой части равенства экспоненциально убывает, если |argx| <
<3π/2 — δ<3π/2. Мы предполагаем, что это условие выполняется, и тогда
уравнение (4.2.4) верно. Последний интеграл в формуле (4.2.4) равен
_ ί°°
*££■ ξ r(a + n-s)r(H-a-c + n-s)r(s-n)x5ds = 0(jc-a-'1),
—ioo
если значение \х\ велико. Тогда
J-r(a)r(l + a-c)x-4,2F0(a,1t.a"C;~) W·2·5)
и асимптотическое разложение верно при |argx| <3π/2.
Однако, смещая контур интегрирования вправо, можно показать, что
J = r(a)r(l~c)1F1(^x) + r(a + l~c)r(c~l)x1-V1(a^;c;x), (4.2.6)
где |argjc| < 3π/2 — δ < 3π/2. Это доказывает следующую теорему:
Теорема 4.2.4. Для |argx| <3π/2 выполняются соотношения (4.2.5) и
(4.2.6) и
r(a)r(l-c)1F1(J;x) + r(a + l-c)r(c-l)x1^1F1(a^7^x)-
-rc^rca + i-dx^^^1"0;1?)·
Отметим, что это соотношение совпадает с формулой (4.1.13).
Данная теорема дает линейную комбинацию двух независимых выражений
для xFl9 дающую рецессивное решение1 вырожденного уравнения. Это
представляет особый интерес для приближенных вычислений. Для того чтобы пояснить
это утверждение, рассмотрим простое уравнение у" —у = 0, парами линейно
независимых решений которого являются {shx,chx} наряду с {е*,е~*}. Это
уравнение имеет существенную особенность в точке оо, и е~х является
рецессивным решением в окрестности этой точки для Re χ > 0. Любое другое решение,
отличное от е~х, является доминантным решением. Таким образом, комбинация
Аех + Ве~х может быть вычислена с высокой точностью при заданных ех и е~*.
Однако комбинация A ch χ—В sh χ приводит к трудностям, особенно когда А « В
и χ имеет большую положительную действительную часть2.
ι Это решение имеет полиномиальную асимптотику, а все остальные решения —
экспоненциальную.
2 То есть в этом случае надо знать chx и shx с очень малой относительной погрешностью.

190 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
§ 4-3- ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА
Уиттекер [422] представил вырожденное уравнение в другой важной форме.
Она получается из уравнения Куммера (4.1.3) с помощью преобразования,
которое исключает из уравнения производную первого порядка. Положим
у = ех/2х~с/2а>00 в уравнении (4.1.3). Тогда уравнение, которому удовлетворяет
функция ω, имеет вид
"·+Η+(§-)Μ(ι-§)&*-*
Два независимых решения этого уравнения будут иметь более симметричный
вид, если мы положим
c = l + 2rn, | —a = ic,
или
В результате получим уравнение Уиттекера
1 _т2
W" + {— + £ + ±-^-}w = 0. (4.3.1)
Из решений (4.1.4) уравнения (4.1.3) видно, что когда 2тп не является целым
числом, два независимых решения (4.3.1) имеют вид
Mk>m(χ) = e-^x^F, ( ^"S *) (4.3.2)
И
Mfc,_m(x) = е^хНл(^;х) · (4.3.3)
Решения Mkj±m(x) называются функциями Уиттекера1. Из-за множителей Х2±тп
эти функции не являются однозначными на комплексной плоскости. Обычно
на χ накладываются ограничения |argx| < π.
Формулы для xFi очевидным образом переводятся в формулы для функций
Уиттекера. Например, первая формула Куммера принимает вид
x-l2-mMktTnW = (-χΓ^Μ,^-χ). (4.3.4)
Недостатком функций Mkj±m(x) является то, что одна из них не определена,
когда 2тп равно целому числу. Более того, из этих функций непросто получить
асимптотическое поведение решения уравнения Уиттекера. Поэтому мы
воспользуемся интегралом (4.1.10) и выведем другую функцию Уиттекера, Wkjn(x).
Она определяется равенством
Щ,тМ := -2^ф + § - т)е-х'2хк $Vt)-H+™(i + £)H+V dt, (4.3.5)
00
где arg χ принимает главное значение и контур не включает в себя точку t = —дс.
Более того, |arg(—1)| < π, и, когда t стремится к 0 вдоль контура, arg(l + t/x) -*0.
ι Сами функции ^ называются также функциями Куммера.

§ 4A. Примеры функций xFi и функций Уиттекера
191
Таким образом, подынтегральное выражение становится однозначным. Легко
проверить, что Wkm также является решением уравнения (4.3.1). Отметим,
что уравнение Уиттекера не меняется, когда χ и к меняют знак. Поэтому
функция W_km(—x) тоже является решением, и притом независимым от WkjmQc).
Это становится очевидным, если рассмотреть асимптотическое разложение
функции Wkm(x). Читатель должен проверить, что из замечаний после формулы
(4.1.10) следует, что
wfc,m(x)~e-/V2F0(^"fc+m:2"fc"m;4)' М-». W·3·6)
где |argx\ < π — δ < π. Следовательно,
W±Kmi±x) = e**/a(±x)±fc{l + og)}.
Отсюда видно, что W^ mQc) и W_km(—x) линейно независимы.
§ 4·4· примеры функций xFi и функций уиттекера
Этот параграф содержит несколько важных примеров функций гРг и функций
Уиттекера, которые возникают в математике, статистике и физике достаточно
часто, чтобы им можно было дать названия.
1. Простейший пример имеет вид
β* = Λ(α;α;χ). (4.4.1)
2. Интеграл вероятности (error function)
χ
erf χ := -= \ e~t2 dt =: 1 — erfс χ (χ — вещественное число), (4.4.2)
f* о
где
00
erfcx = -= \ е~*2 dt.
Разлагая e"t2 в ряд, получаем erf х= — 1F1(l/2; 3/2; —χ2).
Для того чтобы выразить интеграл вероятности через WktTn(x), нужно1
переписать соотношение (4.3.5) как интеграл по полуоси (0, оо). Предположим,
что Re(ic — χ — τη\<0; тогда соотношение (4.3.5) можно переписать в виде
4tm W = е~х/2хк φ + J - m) 4г S е"Г
Wfc^nW = e"x/V ΠJfc + ± _m) ^^ '- \ е-<Ск-2+та + t/xf~+m dt =
о
= ,Γ*/2*' λ 1 е-*Гк-2+т(1 + t/x)k-2+m dt. (4.4.3)
r(J-fc + m) о
Интеграл сходится при Re(ic — -ζ — τη) < 0 и Re χ > 0. Отметим связь
соотношения (4.4.3) с интегралом в формуле (4.1.6). Положим t = u2 — s2, где и—новая
ι Это, впрочем, можно фазу получить исходя из предыдущей строчки.

192 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
переменная. Тогда
г(±-к + т) i \ x J
Положив k = —1/4, m = l/4 и x = s2, получим
W-i/4,i/4(*2) = 2es2/2^Se-u2du.
S
Таким образом,
erf χ = 1 —±=e-x2/2x-1/2W_1/41/4(x2). (4.4.4)
Из этой формулы и соотношения (4.3.6) можно получить асимптотическое
разложение функции erf χ.
3. Неполная гамма-функция определена с помощью равенства
X оо
γ(α, χ) = ξ е~Ча-1 dt = Γ(α) - $ e^t0-1 dt = Γ(α) - Γ(α, χ). (4.4.5)
ο χ
После разложения e-t в ряд по t и почленного интегрирования очевидно, что
γ(α; χ) = £ ^(α; α +1; χ). (4.4.6)
Читатель может также проверить, что
Γ(α,χ) = e~x,2x'*LW*i 2(χ). (4.4.7)
2 »2
4. Интегральный логарифм определен равенством
Проверьте, что
li(x) = -(-lnx)-1/2x1/2W-1/2f0(-Inx).
Если х —комплексное число, возьмем |arg(—1пх)| < π.
Дополнительные примеры функций Уиттекера, например интегральные
синус и косинус и интегралы Френеля, представлены в упражнении 4.
5. Функции параболического цилиндра также являются частными случаями
функций Уиттекера. Для того чтобы увидеть, откуда они возникают, рассмотрим
уравнение Лапласа
ί« + Λ + Λ=α (448)
дх2 ду2 dz2
Координаты параболического цилиндра ξ, η, ζ определяются с помощью
равенств1
χ=|(ξ2-7]2), γ = ξη, z = z. (4.4.9)
ι Координатными поверхностями являются горизонтальные плоскости и два семейства
параболических цилиндров, имеющих Oz в качестве общей фокальной оси.

§ 4.4. Примеры функций tFi и функций Уиттекера
193
Произведем замену переменных (4.4.9) в уравнении Лапласа. Проведя
некоторые вычисления, в результате получим
ξ2 + η2^θξ2^ θη2)^ dz2
Это уравнение имеет частные решения вида υ(ξ)ν(η) W(z), которые могут быть
получены с помощью разделения переменных. Например, уравнение, которому
удовлетворяет £/, имеет вид
0 + (σξ2 + λ)[/ = Ο,
где σ и λ — константы. После простой замены переменных уравнение можно
переписать в виде
g + (n + |-|*2)y = 0. (4.4.10)
Уравнение (4.4.10) называется уравнением Вебера. Можно проверить, что
Оп(х) = 25+4х-2 1Ул + 1_1(х2/2) (|aigx|<3ir/4) (4.4.11)
2 4' 4
является решением уравнения (4.4.10). Постоянный множитель выбран так,
чтобы сделать коэффициент при первом члене в асимптотическом разложении
функции Dn(x) равным единице; Dn(x) называется функцией параболического
цилиндра1. Когда η принимает натуральное значение, Dn(x) имеет вид произ-
ведения е 4Л на многочлен, который с точностью до постоянного множителя
равен Нп(х/\/2), где Нп(х) многочлен Эрмита степени п. Эти многочлены
изучаются в гл. 6.
6. При изучении рассеяния заряженных частиц в сферически симметричных
потенциалах мы можем рассмотреть (см. [333, гл. V]) решение уравнения
Шрёдингера
-%-V2u + Vu = Eu
2μ
вида
00
"(γ,Θ) = Σ^Ρ^Ο8 0),
где Pi — многочлен Лежандра степени Z, a yi удовлетворяет уравнению
Л Л
С помощью замены переменных мы можем сделать так, чтобы ic равнялось 1.
Кулоновский потенциал задается равенством 1Г(г) = 2т]/г. В итоге уравнение
относительно у примет вид
ι Другой термин — функции Вебера—Эрмита.

194 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Сравнение этого уравнения с уравнением Уиттекера (4.3.1) показывает, что
>i = rz+1e-ir1FiO + l-i4;2Z + 2;2ir).
Функция
Φζ(τ?,Γ):=β"ινιΟ + 1-ί4;2Ζ + 2;2ίΓ)
называется кулоновской волновой функцией.
§ 4-5- УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Функции Бесселя важны в математической физике, поскольку они являются
решениями уравнения Бесселя, которое получается из уравнения Лапласа в
случае, когда есть цилиндрическая симметрия. Оставшаяся часть главы посвящена
изложению некоторых элементарных свойств функций Бесселя.
Положив в уравнении Уиттекера ic = 0 и т = а, мы получаем уравнение
d2W + г 1, l/4-α2
άξ
2
[-1+^]"=°·
Если положить у(х) = y/xW(2ix), то функция у должна удовлетворять
уравнению
g + j& + CI-«V*"*-0. (4.5.1)
Это уравнение называется уравнением Бесселя порядка а. Легко проверить, что
функция
является решением уравнения (4.5.1). Функция Ja(x) называется функцией
Бесселя первого рода порядка а. Из соотношения (4.1.12) получается другое
представление функции Ja{x), а именно
Уравнение (4.5.1) не меняется при замене а на —а. Это означает, что J_a(x)
также является решением уравнения (4.5.1). Можно проверить непосредственно,
что, когда а —не целое число, Ja(x) и J_a(x) являются линейно независимыми
решениями. Если а —целое число, например а = п, тогда
J_n(x) = (-l)nJn(x). (4.5.4)
Следовательно, функции J_n(x) и Jn(x) линейно зависимы. Второе линейно
независимое решение может быть найдено следующим образом. Поскольку
(—l)n = cosn7r, мы видим, что Ja(x) cos πα — J_a(x) является решением
уравнения (4.5.1), которое обращается в нуль при целых а. По определению
JaMcosna-J_aM
а sin πα
Когда α = η —целое число, функция Ya(x) определена как предел. По правилу
Лопиталя
ВД = 1*тВД = \ {&-(-Dn£&}|a=n· (4.5.6)

§ 4.5. Уравнение Бесселя и функции Бесселя
195
Заметим, что
"" \2к+а
νπ (-1)*(х/2)2*+а
JaW Zjfc!r(k + a + l)
fc=o
Отсюда видно, что функция Ja(x) является целой функцией параметра а.
Л 7 Я 7
Следовательно, функции -г2· и -г112- в выражении (4.5.6) имеют смысл.
Более того, функции Ja являются аналитическими функциями переменной χ
на разрезанной плоскости. Таким образом, мы можем проверить, что ΥηΜ
является решением уравнения Бесселя (4.5.1), когда α = п —целое число. Итак,
мы видим, что функция (4.5.5) является решением уравнения (4.5.1) во всех
случаях. Функция Ya(x) называется функцией Бесселя второго рода.
Подстановка ряда для JaM в (4.5.6) после упрощения приводит к равенству
п-1
fc=0
fc=0
к
fc=0
Здесь п является неотрицательным целым числом, |argx| <пихр(х) = ΓΌΟ/ΓΟΟ.
Отметим, что уравнение Бесселя можно переписать в виде
Предположим, что а — не целое число. Из уравнения (4.5.8) легко вывести, что
или
xU-aWJ'aW -JaW-аШ = С = COIlSt.
Для того чтобы найти С, перейдем к пределу при х-*0 и воспользуемся
равенством (4.5.2) вместе с формулой отражения Эйлера. В результате получим
С = 2 sin απ/π.
Таким образом, вронскиан W(Ja(x), J__a(x)) =JaWJ-aW "«^-aM^W задается
формулой
W(Ja(x), J_a(x)) = —2 sin απ/πχ
для нецелых α, и
W(JaW,YaW) = 2/nx
не только для нецелых а, но и для а = η по непрерывности.
Многие дифференциальные уравнения могут быть сведены к уравнению
Бесселя (4.5.1). Например, функция
u = xaJa(bxc)
удовлетворяет уравнению
и" + <Ц?2> „' + [(Ьсх*-1)2 + ^f^]u = 0. (4.5.9)

196 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
При χ = 1/2, Ъ = 2/3, с = 3/2 и а2 = 1/а это уравнение сводится к уравнению
u" + xu = 0. (4.5.10)
Это уравнение Эйри, которое в качестве точки поворота1 имеет точку χ = 0, так
что решения осциллируют при х>0 и меняются монотонно при χ<0. По
существу решения уравнения Эйри могут быть использованы как приближенные
решения многих других более сложных дифференциальных уравнений, которые
обладают точкой поворота. Например, дифференциальное уравнение (6.2.12)
имеет в качестве точки поворота χ = V2n +1. Функции Эйри можно
использовать для того, чтобы равномерно аппроксимировать многочлены Эрмита
в двусторонней окрестности точки поворота (см. [121]).
§ 4-6. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Отметим две важные формулы для функций Бесселя:
d „α τ ,„л _ γ1 (-1)42η + 2α)χ2η+2α-1 = γι (-iyx2n+2a-i
Zj Γ(η + α + 1)η!22π+α Zj
η=0 η=0
±X*J (Χ) - V ("1)Π(2Π + 2а^х2П+2а'1 - V (-ir,*»+2g-1 - -.«, ω ИбП
άχΧ JaW - ^j Γ(η + α + 1)η, 22π+α - ^J Γ(η + α)η| 22π+α-1 - Χ Ja-l W W>.lj
и аналогично
g^JeCx) = -x^Ja+i (*)· (4.6.2)
Из выражений для косинуса и синуса в виде рядов следует, что
Jl/2M = )[^smx, (4.6.3)
J-i,2M = )[^cosx. (4.6.4)
Перепишем равенства (4.6.1) и (4.6.2) соответственно в виде
aJa{x) + xfa{x) = xJa-гМ
и
-aJa{x) + xJ^(x) = -xJa+1(x).
Исключение производной Ja приведет к уравнению
Ja_x(x) + Ja+1(x) = 25ja(x). (4.6.5)
Исключение Ja(x) даст равенство
Ja_x(x) -Ja+1(x) = 2JaQc). (4.6.6)
Из соотношений (4.6.1) и (4.6.2) следует, что
(χ έ)"(χβ,/β(χ)) = xa""Ja-« ^ (4.6.7)
и
(x"3xT(x"aj<'(jf)) = (-D^"a""^+n W. (4-6.8)
ι TUrning point, точка смены знака «потенциала» х.

§ 4.7. Интегральные представления функций Бесселя
197
Воспользовавшись этими равенствами, из соотношений (4.6.3) и (4.6.4)
получим
Две следующие формулы могут быть доказаны по индукции (детали остаются
читателю):
! (2x)2k +
[(η-1)/2] . ч
г /пл V (-lr(n + 2fc + l)! I ,.,--Λ
+ сс*(*-пя/2) ^ (2fc + 1)!(n-2fc-1)i(^+1}> С4АИ)
/ [π/2] λ
v /e=0
[n/2]
— (-l)*(n + 2fc)l
-2k)\{2x)2k
[(n-l)/2] . л
w , /ол V (-l)k(n + 2fc + l)! 1 ,.,-ΟΛ
-sinC* + n*/2) 2 (2^1)|(п-2^1)!(2х)^Г(4А12)
fc=o J
§ 4.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Положим у = хаи в уравнении Бесселя
/' + £/ +(1-«2/*2)У = 0.
Тогда функция и удовлетворяет уравнению
хи" + (2а + 1)и' + хи = 0. (4.7.1)
Поскольку уравнения с линейными коэффициентами имеют в качестве решений
интегралы Лапласа, мы будем искать решение в виде
u = A$e*7(t)dt,
с
где А — константа, а С — контур, который предстоит выбрать. Подставим это
выражение в уравнение (4.7.1). Тогда
0=5/(Ο(^2 + (2α + 1)ί + χ)β^^=5/(θ[α2 + 1)^ + (2α + 1)ψ^^ =
с с
= [e^Ct2 + l)/(t)]c + S ^{-^[(t2 + l)/(t)] + (2α + l)tf(t)} dt
С
после интегрирования по частям1. Это равенство удовлетворяется, если
[е*и2 + 1)/(0]с = 0 (4.7.2)
ι []с обозначает подстановку концов контура.

198 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
| [(t2 +1)/(f)] = (2а + l)/(t). (4.7.3)
Условие (4.7.3) выполняется, если /(t) = (t2 + 1)а-1/2. Условие (4.7.2)
выполняется, когда контур С—линия, соединяющая точки —i и i, и Re α>—1/2. Заменяя
t на it, получаем, что
ι
у = Аха $ eixt(l - t2)a"1/2 dt (4.7.4)
-ι
является решением уравнения Бесселя. Допустим, что arg(l —t2) =0. Для того
чтобы увидеть, что формула (4.7.4) дает интегральное представление функции
Ja(x) при Re a > —1/2, разложим экспоненту в подынтегральном выражении
в ряд и проинтегрируем. В результате после простых вычислений с
бета-интегралами получим
у (*) = АхТСа +1/2) У £&£l£±№
yW AX Ua+1/ZJZj (2fc)ir(a + fc+l) '
fc=o
Применение формулы удвоения Лежандра (теорема 1.5.1)
22к Г(1с +1) Г(1с +1/2) = VW(2fc)!
дает равенство
у (х) =A^r(a + l/2)2aJaW.
Следовательно,
J«w = vWnbrm(x/2r I e"a "f2)a_1/2 dt (47·5)
при Re a >—1/2. Положив t = cos Θ, получим интегральное представление
Пуассона
J«W= ^r(aVl/2)№)i^C°S0Sin2aede =
= ^г(д + 1/2) (x/2)a ξ cos(x cos θ) sin2a θ d0 (4.7.6)
при Re a >—1/2. Важным следствием формулы (4.7.5) является формула Геген-
бауэра, которая представляет функцию Бесселя в виде интеграла от
ультрасферического многочлена1. Она имеет вид
при Re v>—1/2. Когда v-»0, мы получаем интеграл Бесселя (4.9.11) для функции
ι Ультрасферические многочлены, они же многочлены Гегенбауэра, вводятся и подробно
обсуждаются ниже (гл. 6, 9).

§ 4.7. Интегральные представления фрисций Бесселя
199
-1
Рис. 4.1
Для того чтобы это доказать, возьмем в формуле (4.7.5) а = ν + η и,
проинтегрировав по частям η раз, получим
Т (ХЛ = (0П(Х/2)У Г Jxt£_(1 _ f24 v+n-1/2 df
Jv+nW 2"Γ(ν + η + 1/2)Γ(1/2)_\β A»U Γ; αΓ*
По формуле Родрига (2.5.13) мы получаем
d"(l-t2)v+"-1/2 = (-2)"η!Γ(ν + η + 1/2)Γ(2ν) _ ^v-i/2rvm
dtn Γ(ν+1/2)Γ(2ν + η) U ; nWt
Используя это соотношение в предыдущем интеграле, получим формулу Геген-
бауэра (4.7.7)
Условие (4.7.2) выполняется и тогда, когда контур С является замкнутым
контуром, при обходе которого переменной t один раз функция elxt(t2 — l)a+l/2
принимает начальное значение. Мы возьмем контур С таким, как показано на
рис. 4.1, и будем записывать интеграл по контуру С следующим образом:
(1+.-1-)
J fWdt.
А
Здесь 1+ означает, что точка 1 обходится в положительном направлении, и —1—
означает, что точка —1 обходится в отрицательном направлении. Нас интересует
интеграл
(1+.-1-)
уМ = ха $ eixt(t2-l)a-l/2dt,
А
который определен для всех а, поскольку контур С не проходит через
особенности подынтегрального выражения. Когда Re a > —1/2, мы можем деформировать
контур С так, чтобы он превратился в пару отрезков от -1 до 1 и обратно.
Выберем arg(t2 — 1) = 0 в точке А; тогда
y(jc) = jce[j e^[(l-t2)e-^]a-1/2dt+ $ eixt[(l-t2)eni]a-V2 dt] =
-1 1
= xa2isin(i -α)π \ ete(l-t2)""1'2 dt = ^^-Ja(x).
ла Ганкеля
-^=-i (х/2)« ^ J W - D-V2 dt$
если a / 2пЧ"1, η = О,1, 2, ..., и arg(t2 -1) = 0 в точке А.
Из этого следует формула Ганкеля

200 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Рис. 4.2
Докажем теперь другую формулу, принадлежащую Ганкелю
J-aW =
Γ(1/2-α)βπία(χ/2)α Ι
(-1+Л+)
yft
2ni
5 e^tf-iy-^dt,
(4.7.9)
где Rex>0, —37r<arg(t2 —1) < π и α+ 1/2/1, 2, .... Контур интегрирования
в формуле (4.7.9) показан на рис. 4.2. Предполагается, что контур лежит вне
круга единичного радиуса.
Для того чтобы доказать формулу (4.7.9), нам понадобится следующая
формула, принадлежащая Ганкелю (см. упражнение 22 гл. 1):
(0+D (0+1)
—00β|β
для |θ|<π/2.
Разложение выражения (t2 —1)α-1/2 в ряд по степеням Ι/t равномерно
сходится на контуре. Мы имеем
00 ί±-αϊ
(f2 _ 1)β-1/2 = t2a-l 2 ^j-^f
k=0
■2k
"λττ τι
H-^<argt<|.Tbrfla
(-1+Д+)
xa 5 eixt{t2
-1)«"1/2 dt = J] V2fc! Λ ξ t2a-l-2fcei,t df (4 7 u)
fc=0 ' i°°
Поскольку Rex>0, мы имеем |argx| = |θ| < -π. Положим u = ein/2xt. Тогда
(-1+Л+) (0+)
5 t2a"1"2fceixtdt=(-l)fce"41frijc2fc"2fl $ euu2a-l~2k du =
ioo -оое'б
= Г ι ^Γ-απί v2fc-2a 2πί
1 ; * r(l-2a + 2fc)*
Подставим это соотношение в формулу (4.7.11) и применим формулу удвоения
Лежандра. Тогда формула (4.7.9) доказана.
Заменим теперь контуры интегрирования в формулах (4.7.7) и (4.7.8) на
показанные на рис. 4.3 и 4.4 соответственно. Положим в формулах (4.7.7) и (4.7.8)

§ 4.7. Интегральные представления функций Бесселя
201
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Rex> 0. Отодвигая горизонтальные участки этих кривых на бесконечность, мы
получаем
JaM =
г(±-а)(х/2)« г Γ(ΐ+) (-1-)
'■ гц+) (-1-) η
Ll+ioo —1+ioo J
-αω = -^—Ц + у e^-ir-учА.
Ύ Ll+ioo —1+ι<χ J
(4.7.12)
(4.7.13)
В формуле (4.7.12) arg(t2 — 1) равен 0 в точке Л и π в точке В, в то время как
в формуле (4.7.13) arg(t2 — 1) равен 0 в точке Л и —π в точке В. Для того чтобы
получить arg(t2 —1) = π в точке В в формуле (4.7.13), умножим (t2 —1)а_1/2 во
втором интеграле на е~2(а—1/2)π£. Формулу (4.7.13) теперь можно переписать
(после обращения направления контура во втором интеграле) в виде
Ux) =
г(1-«)(х/2)« Г CW
-Jnlni
S eixt(t2-l)a-1,2dt +
И" оо
(-1-) 1 "I
+ β-παί ^ eixt(t2-l)a"2dt . (4.7.14)
-l+ίοο J
Вид формул (4.7.12) и (4.7.14) подводит к следующим двум функциям, которые
называются функциями Бесселя третьего рода или функциями Ганкеля:
а v J sin απL av J aV J1
H®U):=
—i
.[e-am
:[eaitiJaW-J_aU)].
(4.7.15)
(4.7.16)
a ""' sin απ'
Наиболее просто их переписать через функции Ja(x) и Ya(x) (последние —
функции Бесселя второго рода). А именно,
И™ Μ = JaM + iYaM, (4-7.17)
Η® (х) = JaM ~ ίΥαΜ, (4.7.18)
Η™w= Kl_ /U/2)a ί eto(t2-Da_1/2dt (4.7.19)
" ΤΙ J
1+ίοο
yfnni

202 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
(-1-)
H«>(jc)= ^ Лх/2)а ϊ β^α2-!)^1/2^.
л/ππι _J.
(4.7.20)
-1+ι'οο
Интегральные формулы для функций Hfp(x) и Н£2)(х) выполняются, если
Re χ > О, a 4-1/2 /1, 2, ... Более того, arg(t2 — 1) = —π в пределе при t —> 1 + i<»
и arg(t2 — 1) = π при t-* —1 + ioo. Отметим также, что
Н%2 W = /J(cos * + * sin x) = ^е* = ffg> Μ (4.7.21)
и
Ηι(8ω = ^β"4*=Η3/2«.
(4.7.22)
Ссылки на работы Бесселя, Пуассона, Гегенбауэра и Ганкеля можно найти в [414,
гл. 2, 3, 6].
§ 4-8- АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Положим в формуле (4.7.19) t = 1-l· iu/x. Интеграл примет вид
~е^(е^/2х)-а-1/22«-1/2 Υ e-"(~u)a-1/2(i + g)a"1/2 du. (4.8.I)
00
Сравнив это выражение с соотношением (4.3.5) и (4.3.6), получим
асимптотическое разложение
Ганкель ввел обозначение
(о, fc) :=(-!)'
(1~аШ + аХ _ (4a2-l2)(4a2-32)...(4a2-(2fc-l)2)
fc! 2**1
Тогда соотношение (4.8.2) можно переписать таким образом:
-Jt-i
a V πχ L^-j (2uc)'
Lj=0
Л
+ О0Г*)
(4.8.3)
С помощью аналогичных рассуждений получим
Lj=0
+ 0(x~k)
(4.8.4)
Поскольку
Je(x) = -s 2"^ и re(jf) = -s '-%-* ,

§ 4.9. Преобразования Фурье и функции Бесселя
203
из соотношений (4.8.3) и (4.8.4) получим
ir\ /~2~Г ~J <*π π Λ V^ (-DJ'(e.2j)
J«M~V^|C0S1X~T-2JL—сад5/
ι
~НХ—2-4)1^ (2χ)^ (4·8>5)
;=ο -ι
j=o
J=0
J=0
(4.8.6)
при |argx|<7r. Отметим, что формулы (4.6.11) и (4.6.12) являются частными
случаями формулы (4.8.5).
§ 4-9- ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
При изучении преобразований Фурье возникают многие специальные функции.
В гл. 6 мы изучим связь между многочленами Эрмита, о которых упоминалось
в § 4.4, и преобразованиями Фурье функций одной переменной. Здесь мы
рассмотрим связь с функциями Бесселя и в качестве побочного результата
получим производящую функцию для Jn(x). Начнем с преобразования Фурье
в двух измерениях. Имеем
Пи,и) = ±] $/(x,y)e^+^dxdy.
(4.9.1)
Введем полярные координаты в плоскостях (х, у) и (и, ι;) следующим образом:
x = rcos0, у = г sin Θ; u = Rcosy>, i/ = Rsin^.
Тогда
oo 2π
F(u,i/) = ^ $ J fir cos 0, r sin e)eirRcosie-^rde dr.
о о
Разложив функцию / в ряд Фурье по переменной Θ:
00
/(г cos θ, г sin 6»)= J]/n(r)eine,
П=—oo
получим
00 oo г 2π
F(u,i/)= J] $/n(r)r 2^ S βίπββΜ«(β-φ)ίίθ
Π=—00 0
dr.
(4.9.2)
Выражение с функциями Бесселя содержится во внутреннем интеграле.
Поскольку подинтегральное выражение периодическое (с периодом 2π), достаточно

204 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
рассмотреть интеграл
Fn(x) = i $ β*« V* d0. (4.9.3)
2*ο
Разложим экспоненту и, проинтегрировав почленно, получим
2π
F"w = h Σ ΊΓ Scosfc θ еШ άθ· (4·9·4)
k=0 0
Теперь
2* cos* θ = (e* + β"Ύ = e™ + (J)^*-^ +... + (J)^*-** + e"'™.
Таким образом, записьшая ic = η + 2m, получим
'■«■Σδ^('?")-,«* «*»
m=0
Это соотношение интересно тем, что оно дает разложение Фурье функции
Лх cos θ.
00 00
e*cos0= J] inJn{x)eine = J0(jt) + 2 J]inJn(χ)cosηθ. (4.9.6)
n=-oo n=l
Последнее равенство следует из соотношения J_n(x) = (—l)nJn(x). Приравнивая
действительную и мнимую части, получим
00
cos(x cos θ) = J0M + 2 2](-l)nj2nM cos 2n0 (4.9.7)
sin(xcos0) = 22(-l)V2n+1(x)cos(2ri + l)e. (4.9.8)
В интересном частном случае θ = π/2 из формулы (4.9.7) получается равенство
00
1 =./о(*)+ 2 J] J2n(*)· (4·9·9)
Замечание 4.9.1. Здесь стоит упомянуть алгоритм Миллера. Ряд (4.9.9) показывает,
что для любого заданного χ = х0 и достаточно большого η значение J2n (x0) мало. Тогда
положим J2n (х0) Д^ достаточно большого η равным нулю, а значение J2(n-i) (*о)= с будем
считать неизвестным. Воспользуемся рекуррентным соотношением (4.6.5) и вычислим
J2(n-2)(*o) и т· Д· Д° ^2(*о) и Л)(*о) через константу с. Поскольку равенство (4.9.9) можно
аппроксимировать с помощью соотношения
η
Jo(*o) + 2][]J2k(*o)*l·
Jt=l
мы получаем приближенное значение с и, следовательно, значения функций Бесселя
^2*(*о)· Это пример алгоритма Миллера. (См. статью [162, с. 46].)

§ 4.9. Преобразования Фурье и функции Бесселя
205
На уравнение (4.9.6) можно посмотреть с другой стороны. Положим t = iew.
Тогда
00
exp(x(t-l/t)/2)= Σ^(χ)ίη. (4.9.10)
П=—оо
Таким образом, exp(x(t—1/0/2) является производящей функцией функций
Бесселя целого порядка.
Заменим θ на -г- — θ формуле (4.9.3), затем воспользуемся равенством (4.9.5)
и периодичностью подынтегрального выражения и получим формулу Бесселя
π
jn(x) = ^- 5 ехР(~*и0 + ix sin Θ) άθ =
—π
π π
= -^ ξ expC-ίηθ + ix sin θ) άθ + -^ § exp(m0 - ix sin θ)άθ =
о о
= λ [ cos(n6 -χ sin θ) άθ. (4.9.11)
О
В § 4.7 мы получили это выражение из интегральной формулы Пуассона. Мы
можем пойти в обратном направлении и вывести формулу
jn(jc) = (*/g" С cos(jc cos θ) sin2n θ d0 (4.9.12)
(x/2)n_
1 ο
из соотношения (4.9.11), используя формулу Якоби
""У'β = ^p2"(l/2)nsinn0, у = cos θ,
данную в упражнении 21 гл. 2. В формуле (4.9.12) п— неотрицательное целое
число. Но это ограничение может быть снято. Сначала умножим обе части
равенства (4.9.12) на (2/х)пГ(п + 1). Тогда они станут аналитическими
функциями переменной η при Re η >—1/2. По теореме Карлсона мы приходим
к заключению, что равенство (4.9.12) верно для таких значений п. Эта формула
выполняется для остальных значений χ по непрерывности.
Мы закончим этот параграф доказательством следующих неравенств:
IJoMI < 1 и \Jm(x)\ < I/1/2 для т = 1, 2, 3, ... (4.9.13)
для вещественных х. Первое неравенство следует из формулы (4.9.12), но есть
другое доказательство, которое подходит сразу для всех неравенств. Произведем
замену t на —t в производящей функции (4.9.10) и получим
00
exp(-x(t-l/t)/2) = Σ (-l)nJn0c)tn. (4.9.14)
П=—00
Домножив равенство (4.9.10) на (4.9.14), получим
00 00 00 00
1= Σ JmMtm Σ (-i)4.Mf= Σ f" Σ (-DmJmWVmW·
П=—00 η=—οο Π=—οο m=—00

206 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t и, воспользовавшись
равенством J_n(x) = (—l)nJn(x), получим
00 00
J] J2n{x) = Jlix) + 2j]jn200 = 1 (4.9.15)
n=-oo n=l
и
00
J] (-l)mJm00Jn_m(x) = 0 дяя n/0. (4.9.16)
m=—oo
Неравенства (4.9.13) следуют из соотношения (4.9.15).
Замечание 4.9.2. Заметим, что в формуле Бесселя (4.9.11) η должно быть целым
числом, поскольку если η = а не целое, то интеграл в правой части формулы (4.9.11) не
является решением уравнения Бесселя (4.5.1). Однако интегральная формула Пуассона
(4.9.12) выполняется для всех п, для которых Re η >—1/2. Отметим также, что Якоби
получил непосредственное преобразование формулы (4.9.12) в (4.9.11) с помощью
рассуждения, изложенного здесь, в обратном порядке. Ссылки и детали доказательства Якоби
можно найти в работе [414, § 2.3—2.32]. Заметим также, что формула Якоби, упомянутая
после формулы (4.9.12), является на самом деле следствием формулы Родрига (2.5.130
при использовании последней для многочленов Чебышёва второго рода.
§ 4-Ю. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ
В этом параграфе мы докажем полезную теорему сложения Гегенбауэра.
Сначала покажем, что
00
Jn(X + y)= Σ Jm(*V„-mOO· (4.Ю.1)
m=—oo
Это непосредственно вытекает из следующего факта:
exp((x + y)(t-l/t)/2) = exp(x(t-l/t)/2)exp(y(t-l/t)/2),
откуда следует, что
00 00 00
2 Jn(x+y)t"= J] Jm(x)tm Σ J„(x)f.
n=—oo m=—oo n=—°o
Формула (4.10.1) получается, если приравнять коэффициенты при tn. Заметим,
что соотношение (4.9.16) следует из этой формулы сложения.
Для того чтобы сформулировать вторую теорему сложения, предположим,
что а, Ъ и с являются длинами сторон треугольника и1
c2 = a2 + b2-2abcos0.
Тогда
00
■Ш = Σ Jm(a)Jm(b)eime. (4.10.2)
m=—oo
Положим
d = aew-b.
ι Ниже с понимается как функция от а, Ь, Θ.

§ 4.10. Теоремы сложения
207
Тогда с2 = dd, так что с и d имеют одинаковые модули. Следовательно,
существует такое действительное число гр, что
С помощью короткого вычисления можно показать, что из последнего
соотношения следует равенство
с sin φ = a sin(0 + гр + φ) — b sm(\p + φ).
Согласно соотношению (4.9.11) мы получаем
2π 2π
JQ(C) = _L С eicsin</> (Jpl [ et[asin(0+i/>+<,)-bsin(i/,+<,)] ^
2π ο 2π ο
Поскольку i/j не зависит от φ и подынтегральное выражение периодично,
согласно (4.9.10) имеем
2π °° ^ 2π
J0(C) = -L J ei[asin(^)-bsin^]dv= ^ Jm(a)eim0_L j e-*sin Vm^ ^ =
0 m=-oo 0
oo 2π °°
= J] Jm(a)eim^ J eibsin^e-^dv= 2 Jm(a)Jm(b)eim*.
Последнее равенство следует из соотношения (4.9.11).
Поскольку J_mQc) = (—l)mJmQc), мы можем записать формулу сложения
следующим образом:
00
Мс) = J0(a)J0(b) + 2 J] Jm(a)Jm(b) cos γπΘ. (4.10.3)
m=l
Отметим, что
-—=—-—— (4104)
cdc ab sin Θ άθ> ^-ш.ч)
подействуем этим оператором на обе части равенства (4.10.3) и,
воспользовавшись соотношением (4.6.2), получим
^-'Σ
Л(с) „V1 ^mfeMnWsinmfl
— гп
ab sin θ
m=l
Перепишем это равенство в следующем виде1:
^ = 2|](m + l)Jl^(a)Jl+-(b)C^cos0).
m=0
Подействуем оператором (4.10.4) на последнюю формулу; снова
воспользовавшись соотношением (4.6.2), получим
= 22Yi(m + 2)J-^-J-^C2Jcose).
ι Напомним, что С* — многочлен Гегенбауэра; С* — многочлен Чебышёва.

208 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеаметрические функции
Есть следующее выражение для производных ультрасферических многочленов:
^C;J(cos 0) = -2λ sin θ C^Ccos 0).
Воспользовавшись индукцией, мы получаем соотношение
^ = 2° Г(а) |> + a)J^Wb)ca(cos θ)) (410 5)
т=0
где a = 0, 1, 2, ... Из формулы (6.4.11) следует, что C£(cos 0) является
многочленом от а; отсюда и из замечаний, сделанных после формулы (4.9.12), следует,
что обе части равенства (4.10.5) являются ограниченными аналитическими
функциями в правой полуплоскости. В силу теоремы Карлсона, тождество
верно в полуплоскости Rea>0. Благодаря аналитическому продолжению
равенство (4.10.5) верно для любых α кроме а = 0, —1, —2, ... Уравнение (4.10.5)
называется формулой сложения Гегенбауэра.
Приведем также без доказательства следующий результат Графа:
00
^α(θ(^?)α 2 = Σ Ja+mWm(b)eime (4.10.6)
m=—oo
при Ъ<а. Если а, Ъ и 0 являются комплексными числами, мы требуем, чтобы
выполнялись условия \Ъе±1в /а\ <1ис->а при Ь-*0. Формула Графа включает
в себя формулы (4.10.1) и (4.10.2) в качестве частных случаев (см. книгу [414,
§ 11.3]). Упражнение 29 дает доказательство формулы (4.10.6) в случае, когда a
целое.
§ 4Л1. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Разложим функцию F(u, ι;) из формулы (4.9.2) в ряд Фурье:
оо 2π
F(u,v)= J] Fn(«)ein^= ξ ± $ giRrcosce-^) £ /n(r)eineάθrdr =
n=—oo 0 0 n=—oo
oo 2π °°
= $ L· $ еШГСОВ9 Σ fn(r)einie+*)ddrdr =
0 0 n=-oo
oo 2π °° oo
0 0 m=—oo n=—oo
= Σ m^OW/nWrdrW (4.11.1)
n=-oo L о J
Отсюда получаем
00
(-i)nFn(R) = $ /n(r)Jn(Rr)rdr. (4.11.2)
о
Обратное преобразование Фурье от преобразования (4.9.1) имеет вид
00 00
Дх,у) = ^ $ $ FfaiOe-^+^dudi/.
—оо —оо

§ 4.11 Интегралы от функций Бесселя
209
Если провести вычисление, подобное (4.11.1), то мы получим
00
/„(г) = (-0П $ FniR)Jn(Rr)RdR. (4.11.3)
о
Интеграл в формуле (4.11.2) называется преобразованием Ганкеля порядка η от
функции /п(г). Соответственно преобразование (4.11.3) называется обратным
преобразованием Ганкеля. Для функции /(*), которая является достаточно
гладкой и убывает на бесконечности достаточно быстро, мы имеем в более
общем виде пару Ганкеля1 порядка а:
00
Р(У) = $ fWJa(yx)xdx (4.11.4)
о
и
00
/00 = $ F(y)Ja(xy)y dy. (4.11.5)
о
Для того чтобы получить интересный интеграл, умножим формулу Гегенбауэ-
ра (4.10.5) на С" (cos θ) и воспользуемся соотношением ортогональности,
которое следует из формулы (2.5.14), а именно
\ Са(хКа(х)(1 χ2Ία~Ξ dx - 2ΐ"2απΓ(" + 2α>5
_J^WC«WU *J **~[Γ(α)]2(η + α)ηΓ™·
В результате получим
I ^4«(cos θ)sin2* θ d0 = ^ff^^^^Sr^, (4.11.6)
где a, b и с являются сторонами треугольника2, т.е. c2 = a2 + b2 —2abcos0.
Переобозначив χ -* ах, b —> Ъх, с —> сх и положив η = О, получим
г Jg(cx) 2a д j/i « πΓ(2α) Ja(ax)Ja(bx)
i-^-Sin ^d^-2a.lr(a) хаШа ·
Перепишем это равенство в виде
Τ №^)2-^-^f-(fl-^-iJa(a)cdc=
|а-Ь| °
г3""1 νπ Γ(α + \/2)Ja(ax)Ja(bx)№
. (4.11.7)
ι To есть преобразование Ганкеля в квадрате есть тождественное преобразование. Простейшее
доказательство такое (Миллер-Лебедева). Для функции / на полупрямой рассмотрим ее преоб-
00
разование Лапласа /(ζ) = § f(x)e~zxxa~1 dx. Легко проверить, что на уровне функций / преоб-
о
разованию Ганкеля соответствует отображение h(z) —>h(z~l)z~a. Квадрат этого отображения —
тождественное преобразование.
2 То есть с рассматривается как функция от Θ.

210 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Тогда согласно формуле обращения Ганкеля мы получаем
IJ (ax)J (bx)J (с*)*1"*dx = [c2-(a-b)2]q-h(g-bb)2-c2]q4
J JataxjJatWJatcxjx d* - 23-^Γ(α + l/2)(abc)° l4elLej
для Re a > —1/2, \a — b\ < с < a + b. Если условие не выполняется, то значение
интеграла равно 0. Если воспользоваться формулой Герона для площади
треугольника (обозначенной за Δ) через его стороны, то правую часть равенства (4.11.8)
можно переписать в виде
2а-1д2а-1
V^r(a + i)(abc)a*
Существуют важные обобщения интеграла (4.7.6), которые были получены
Сониным. Они содержатся в следующей теореме.
Теорема 4.11.1. При Ι1βμ>—1 и Re v—1 выполняются равенства
ν+1 π/2
■Wi to = 2»Γ(ν+1) S J"(*Shl θ) SinM+1 θ C°S2V+1 θ άθ> (4 JL9)
о
ν.μνντ ιγ 2 , у2л1/2| π/2
(^Ty^vi/2 = S J,Usin0)Jv(ycose)sin^10cos"+1ed6. (4.11.10)
Интегралы (4.11.9) и (4.11.10) называются интегралами Сонина первого
и второго рода соответственно.
Доказательство. Доказательство первого равенства тривиально.
Разложим функцию JM(xsin θ) в степенной ряд и проинтегрируем почленно. Тогда
»Γ(ν+1) $ ^μ(* sin 0) sin"*1 θ cos2v+1 θ άθ =
оц+у+2т (~" * „„ „ ξ Sin2^2m+1 θ C0S2V+1 θ d0.
2^+у+2тгп!Г(м + т + 1)Г(у+1) J
m=0 0
Последний интеграл является бета-интегралом и равен
Подстановка этого равенства в вышеупомянутый ряд приводит к требуемому
результату.
Докажем второе равенство. В этом случае разложим функции JM(xsin6)
и Jv(j cos θ) в степенные ряды и проинтегрируем почленно. Детали
доказательства предоставляются читателю.
Заметим, что формула (4.11.9) является частным случаем формулы (4.11.10).
Разделим обе части формулы (4.11.10) на yv и устремим у к 0. В результате
получим равенство (4.11.9). D
Следствие 4.11.2. При Re a >—1/2 выполняется равенство
JaW = г^*!/^ I cos(* cos G) sin2a θ de- (4·7.6)

§ 4.11 Интегралы от функций Бесселя
211
Доказательство. Положим μ = —1/2, ν+ 1/2 = α и вспомним что
^-ι/2 Μ = vJC0S*·
D
Первый интеграл Сонина (4.11.9) можно также переписать в виде1
■WiΜ = 2»Г(г+В S tM(1"f >+JM(xt)tdL (4'1L11)
С помощью формулы обращения Ганкеля получим
00 J (χ}
2νΓ(ν+1) J μ^χ νμ(χτ)χ<!χ = ^(1-^ (4.11.12)
ο χ
для Re μ > —1, Re ν > —1.
Перейдем теперь к вычислению преобразования Лапласа от функций
Бесселя. Ганкель выразил преобразование от ίμ~ι Ja{yt) через функцию 2fi. В частных
случаях, соответствующих частным значениям α и μ, функция 2F\ сводится
к более элементарным функциям. Далее мы рассмотрим этот класс
интегралов. Простейший интеграл такого вида был получен Липшицем. Он получил
следующий результат: при Re(x± iy) > О выполняется равенство
00
J е-*/0(уО dt = J—. (4.11.13)
Из асимптотического разложения функций Бесселя (4.8.5) очевидно, что условия
Re(x± iy) > О достаточно для сходимости интеграла. Воспользовавшись
формулой (4.9.11), заметим, что
I e-xtJ0(yt) dt=±l e~xt I t*"*B dedt=±l άθ Q = ί2 * 2.
ο π ο ο π о х~1УС0*е (х2 + у2)1/2
Более общий результат, который дает преобразование Лапласа от функции
tUr~lJaiyt)9 принадлежит Ганкелю [179].
Теорема 4.11.3. При2 Re(a + μ) > 0 и Re(x ± iy) > 0 выполняется равенство
Доказательство. Предположим сначала, что \у/х\ < 1. Подставим
функцию Jv{yt) в виде ряда в интеграл и получим
- (.1Г(у/2Г2т « +a+2m_! t γ, ί-lT(y/2r+2mna + μ + 2m)
Zj т!Г(а + т + 1) J Ζ-ι m! Г(а + т + 1)
m=0 ' ' 0 m=0
ι Здесь (1 — t2)+ = (1 — r2)v, если (1 — t2) > 0, и 0 в противном случае.
2 Вот другое доказательство, демонстрирующее силу барнсовских интегралов. Наш интеграл
сводится к вычислению мультипликативной свертки е-1^ и 7α(ί)ίμ_1. Преобразования Меллина
этих функций суть Г(—5) и —. Преобразование Меллина от свертки равно
произведению этих выражений. Далее применяем теорему 2.4.1 и получаем искомый результат. Если
μ = а +1 или а + 2, то Г-множитель в знаменателе сокращается и получается следствие 4.11.4.
Очень многие интегралы, выглядящие нетривиально, сводятся таким способом к перемножению
Г-функций. В качестве простого упражнения можно предложить теорему 4.1L7, в качестве более
сложного — интеграл Николсона, рассматриваемые немного ниже.

212 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Поскольку \у/х\ < 1, последний ряд сходится абсолютно. Поэтому его можно
почленно интегрировать. Таким образом, мы доказали соотношение (4.11.14)
при условии \у/х\ < 1. Полностью утверждение получается при аналитическом
продолжении, поскольку обе части равенства (4.11.14) являются
аналитическими функциями у при Re(x ± iy) > 0. Теорема доказана. D
Если μ = а +1 или а + 2, ряд 2^ι в формуле (4.11.14) сводится к ряду xF0i
который может быть просуммирован по биномиальной теореме при \у/х\ < 1.
Результаты представлены в нижеприведенном следствии.
Следствие 4.11.4. Для Re(x± iy) > 0 выполняются равенства
le-'%Wt°d,= W™ + V®, ^ Rea>_1/2> (4Ш5)
^J.(yOr*«.*WJ%™. ,ie Rea>-1. Ш
2y(2x)°T(a + 3/2)
0 (x2+y2)a+3/2V^ '
Следствие 4.11.5. Для Re(x± iy) > 0 выполняются равенства
? ΙΎν2 + v2W2 — νΊα
$e-'tJa(yt)r1dt=i^-^5—ii-, где Rea>0, (4.11.17)
(4.11.18)
aya
f -*, , 4j [(*2+y2)1/2-*]a Λ „
\e*Ja(yt)dt = ya(j+y2)1/2 . гае Rea>-1.
Доказательство. Примените упражнение 39. D
Формулы в двух следствиях могут быть получены с помощью предельных
переходов из некоторых формул для многочленов Якоби, введенных в гл. 2.
Напомним, что они определяются с помощью соотношения
p(^Cx) = ^aF1(-n-n^^ + 1;lfi), „ = 0,1,2,.··
Теорема 4.11.6. Для действительных а и β выполняется равенство
lim n-°P^>(cos f) = lim n^W»(l- |,) = U/2)-Ja(x).
Доказательство. Утверждение1 следует непосредственно из теоремы Тан-
нери (или из теоремы Лебега о мажорирующей сходимости). Предположим,
что α не является отрицательным целым числом. Тогда почленная сходимость
рядов легко проверяется. Более того, мажорирование сходящимся рядом видно
из того факта, что для больших η справедлива оценка
n-a(n + a + j3 + l)fc(a + l)n < (2n + a + j3)*(a + l)nn-a <
k\ (n-fc)! (α + 1)*2*η2* k\ (α + 1)*(2η)*η! k\ (a + l)*'
где С — одна и та же константа для всех fc, 0 < к < п.
Когда α = —Ζ — отрицательное целое число, для того чтобы получить
требуемый результат, воспользуемся тем фактом, что
(;K^cx)=(n;/,x^),p£f,cx) при ып.
ι Теорема красиво используется ниже (§ 4.14). Другое ее красивое применение есть в [441].
Оказывается, этот предел при α = β=η имитирует вырождение сферы в плоскость при стремлении
радиуса к ».

§ 4.11 Интегралы от функций Бесселя
213
D
Интегральные формулы (4.11.15) и (4.11.18) являются предельными случаями
формул для производящих функций для многочленов Якоби, три из которых
будут доказаны в гл. 6. Соответствующие формулы имеют вид
A(a + j3 + l)nPnCa^(*)rn
Ь (« + «,.
(α + β + 1 α + β + 2 λ
2 «+ι 2 ;7Г^| (41119)
А (2п + а + β +1) Г (η + а + 0 + 1)Рп(а^)(х)гп _
2j Г(п + 0 + 1) ""
ία+β+2 α+β+3 λ
_ Г(а + 0 + 2)(1-г) [ —г-,—т-.гга+х)] ( 2)
"Г08 + 1)(1 + г)^+аЛ^ /8 + 1 ' U+r)2J' ^•11^j
00
Σ ϊΓτ^ρπ(α,~1} Wr"= 2<ϊ(1"Γ+я)~а> (41121)
π=0
гдеЯ=(1-2лх + г2)1/2, и
00
2] P„(a'w (х)гп = г^^К"1 (1 - г + R)~a(l + г + Л)"*. (4.11.22)
п=0
Доказательство более общего, чем (4.11.21), результата кратко описывается
в упражнении 31. Другие формулы для производящих функций доказаны в гл. 6
(§ 6.4).
Следующая теорема, которая принадлежит Ганкелю, дает значения другого
интеграла с бесконечными пределами от функции Бесселя.
Теорема 4.11.7. Для Яе(д + ν) > 0 выполняется равенство
W^-^it^J>^\F^:f-,-^). (4Л1.23)
Доказательство. Условие Яе(д+ ν) >0 необходимо для сходимости
интеграла в нуле. Асимптотическое поведение функции Jv(x), заданное формулой
(4.8.5), показывает, что интеграл сходится абсолютно. Значит, интеграл можно
вычислять почленно. Это приводит к равенству
0 т=0 0
Поскольку интеграл в правой части равен
r(^ + rn)/2pWm,
мы получили требуемый результат. D

214 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Следствие 4.11.8. При Яе(д + ν) > 0 выполняется равенство
№«Of-V»'dt= l 22;Γ(ν + 1) ^ J + i ;^j. (4.11.24)
Доказательство. Применим первое преобразование Куммера (4.1.11) для
ряда XFX к формуле Ганкеля в теореме 4.11.7. D
Важным частным случаем, которым мы будем пользоваться в дальнейшем,
является следующий:
00
$ Jv(at)tv+1e^2t2 dt = -ф^е-«21Ъ\ Re v > -1. (4.11.25)
Ссылки можно найти в книге [414, гл. 12 и 13].
§ 4-12. МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
Дифференциальное уравнение
где х-действительная переменная, часто возникает в математической физике.
Легко видеть, что Ja{ix) является решением этого уравнения. Более того, для
действительных χ функция e~am/2Ja{xem/2) принимает действительные
значения. Определим модифицированную функцию Бесселя первого рода следующим
образом:
_ (e-a^2Ja(xe^2)9 -π < argx < π/2, _ д - (χ/2)Λ
IaW " \e**«"*Jaixe-*«"*), \n < arg* < π " (*/2)"2, *!Γ(α + * + 1)'
(4.12.2)
Если α не является целым числом, то Ia(x) и /_„(*) являются линейно
независимыми решениями уравнения (4.12.1). Если α = п —целое число, то
/п(х)=/_п(х).
Для того чтобы справиться и с этим случаем, определим модифицированную
функцию Бесселя второго рода:
К*М := 2iE^[/-«W~7«(x)L (4Λ2·3)
Легко проверить, что
ImM = )f^shx и i-.1/2(x) = yjdix. (4.12.4)
Тогда
К1/2М = у[^е~х. (4.12.5)
Мы видим, что Ja(x) соответствует функциям синус или косинус, а 1а(х)
соответствует экспоненте. Может быть, поэтому британский математик девятнадцатого
века Джордж Стоке рассматривал в качестве основной функцию 1а(х), а не
функцию Бесселя.

§ 4.13. Интеграл Николсона
215
Асимптотические разложения функций 1а(х) и Ка(х) можно получить тем
же способом, что и в случае Ja(x) и Ya(x). Мы имеем
г оо η
*«W~\^e~|1 + Ze$ (larg^l < 3π/2), (4.12.6)
!°M~J^Ij ШГ + Л^7 λ(2^ (-я/2<аг§*<Зя/2)
(4.12.7)
V2^^-| (2дс)" T V21E ^(2х)п
e* yi(-l)"(a,n) , β-4°+Ι)"ί yi (q,n) ^„„v-^^/9Λ
/вСг)~Л^1| (2x)" + -^^-LaW5- ("3^/2 <argx< π/2).
n=0 n=0
(4.12.8)
Здесь (α, л) := (-l)n(a + l/2)n(-a + l/2)n/n!.
§ 4.I3. ИНТЕГРАЛ НИКОЛСОНА
Интегральные представления модифицированных функций Бесселя могут быть
получены из представлений обычных функций Бесселя. Аналогично существуют
формулы для интегралов от модифицированных функций Бесселя. Для примера
положим y = iHRex>lB формуле (4.11.18) и получим
$e-*Ja(t)dt=£^^^. (4.13.1)
о Vx2-1
Положим x = ch/3, тогда формулу (4.13.1) можно переписать в виде
5e-tch^a(t)dt=g. (4.13.2)
Теперь, поскольку
Ka(t)~yf%e-* при t-*», (4.13.3)
из формулы (4.13.2) при замене α на —а мы видим, что
π sha0
О
Перейдя к пределу при a -* 0, получим
Se-t*"lCe(t)dt = 5^^, где Re(ch/3)>-l. (4.13.4)
О, получим
Se-tch^o(t)dt=^. (4.13.5)
Если β=ίπ/2, то
00
$Ko(t)dt=f. (4.13.6)
О
Формула Николсона
8
о
АТС*) = 4 J К0(2* sh t) ch(2at) dt = J2a{x) + Уа2(х), Re χ > 0, (4.13.7)

216 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
является обобщением тригонометрического тождества sin2 χ + cos2 χ = 1, что
можно увидеть, положив α = 1/2 и применив равенство (4.13.6). Мы изложим
процедуру проверки формулы (4.13.7), предложенную Вилкинсом [425].
Проверка состоит в том, чтобы показать, что обе части формулы (4.13.7) удовлетворяют
одному и тому же дифференциальному уравнению, и затем проанализировать
их асимптотическое поведение.
Сначала покажем, что
Ν(χ)~έ при *~"*°°> (4.13.8)
где Ν(χ) обозначает левую сторону равенства (4.13.7). Достаточно доказать, что
00
lim xN(x) = lim 4 \ хК0(2х sh t) cht dt = -. (4.13.9)
Х-юо х-юо П i П
Второе равенство в (4.13.9) следует из соотношения (4.13.6). Что касается
первого равенства, мы покажем, что
F{x, t) = хК0(2х sh t) (ch 2at - ch t)
поточечно сходится к 0. Из соотношения (4.13.3) следует, что
|F(x,t)| <A0U/sht)1/2e-2jcsht|ch2at-cht| <
<AoUA)1/2e_:brsht(2|a| + l)t(sh2|a|t + sht).
Второе неравенство получается при применении теоремы о среднем значении
к функции ch2at —chf; кроме того, использовано неравенство 1/ sh t < 1/t.
Пусть х> 1. Поскольку sht> t и функция {xt)ll2e~xt ограничена, мы имеем
|F(x,t)l<A(sh2|a|t + sht)e^sht<A(sh2|a|t + sh0e-sht.
Теперь равенство (4.13.9) вытекает из теоремы о мажорируемой сходимости.
В качестве следующего шага проверим, что произведение любых двух
решений уравнения у" + ру' + qy = 0 удовлетворяет уравнению у'" + Ъру" +
+ (2р2 + р' + 4q)y' + (4pq + 2q')y = 0. Применим это соображение к уравнению
Бесселя, чтобы увидеть, что функции {Н^ОО}2, {Н£2)(х)}2 и J200 + У200
являются независимыми решениями уравнения
/" + !/Ч(4 + ^)/-ф = 0.
Используя дифференцирование под знаком интеграла, читатель должен
проверить, что N00 удовлетворяет этому дифференциальному уравнению.
Дифференциальное уравнение
которому удовлетворяет функция К0(х), также используется при вычислении.
Таким образом, мы имеем
N00 = A{J2a{x) + У200} + Β{Η<1}(*)}2 + С{Н£2) 00 }2.
Пусть х-* оо тогда, используя соотношения (4.8.3) и (4.8.6), получим
1 = А + ея(*-5ая-^)в + e-2i(*-ia7r-Hc + о(1).
Следовательно, В = С = 1, А = 1, и формула Николсона доказана.

§ 4.14. Нули функций Бесселя
217
§ 4.14- нули функций бесселя
Легко видеть, что все нетривиальные решения уравнения Бесселя (4.5.1) имеют
лишь простые нули кроме как, может быть, точки1 х = 0. Первые производные
таких решений также имеют простые нули кроме как, может быть, в точке О
и в точках ±а и 0.
Из формулы (4.8.5) можно сделать вывод, что для действительных а функция
Ja(x) меняет знак бесконечно часто при х-* ». Отсюда следует, что функции
Ja(x) и J'a{x) имеют бесконечно много положительных нулей. (Утверждение
для J'a(x) следует из теоремы Ролля2.)
Предположим, что последовательность )ау\>)а,г>— образована
положительными нулями функции Ja{x) в порядке их возрастания. Тогда для а>—1
выполняется цепочка неравенств
0 < ja,l < Ja+1,1 < ;'a,2 < Ja+1,2 < Ja,3 < - (4.14.1)
Из формулы (4.6.1) и теоремы Ролля следует, что между двумя нулями функции
xa+1Ja+\M находится нуль функции xa+lJa(x). Аналогично из формулы (4.6.2)
следует, что между двумя нулями функции x~aJa(x) существует нуль функции
x~aJa+iM- Таким образом, соотношение (4.14.1) доказано.
Когда а<—1, нули функций Ja(x) и Ja+\ — также чередуются по тем же
причинам, но наименьший нуль функции Ja+1 (x) ближе к 0, чем наименьший
нуль функции Ja(x). Также можно доказать, что при —2s<a<— (2s+ 1), где
5 — положительное целое число, Ja(x) имеет 4s комплексных нулей, которые
обладают ненулевыми действительными частями, а при — (2s +1) < a < — 2(s +1),
где s — неотрицательное целое, Ja(x) имеет 4s+ 2 комплексных нулей, два из
которых чисто мнимые. Доказательство см. в книге [414, с. 483].
Из теорем 4.11.6 и 5.4.1 следует следующая теорема о функциях Бесселя.
Теорема 4.14.1. Пусть Χιη>Χ2η> — нули функции Ρηα'β Μ на отрезке
[-1,1], и пусть xkn = cos вкш 0<вкп< π. Тогда для фиксированного к
выполняется равенство
\imnekn = jaik.
П—»оо
В частности, Ja(x) имеет бесконечно много положительных нулей.
В следующей главе мы докажем, что при α,β>—\ все нули функции Р„ (х)
лежат на интервале (—1,1). Это утверждение вместе с теоремой Гурвица
показывает, что функция при а>— 1 x~aJa(x) имеет только действительные
нули. Теорему Гурвица можно найти в книге [194, с. 180].
Другой способ убедиться в вещественности нулей функции Ja(x) при а>— 1
основывается на формуле
χ
(Ь2-а2) ξ tJa{at)Ja№ dt = x[Ja{bx)J,a{ax)-Ja{ax)fa{bx)]. (4.14.2)
о
ι Следует из теоремы существования и единственности для решения дифференциального
уравнения с данными начальными условиями; в точке 0 условия теоремы не выполнены.
2 В оригинале mean value theorem.

218 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Для того чтобы ее доказать, заметим, что функция Ja(ax) удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению:
Умножим это уравнение на Ja{bx) и умножим соответствующее уравнение для
Ja(bx) на Ja(ax)\ вычитая одно из другого, получим
Jaibx)±{xt^)-Jaiax)±(x^^) = (b2-a2)xJa{ax)Jaibx),
ИЛИ
^[хЗа{Ъх)Га{ах)-хЗа{ах)Га{Ъх)] = {b2-a2)xJa{ax)Ja{bx).
Формула (4.14.2) получается из данной интегрированием. Далее, если а — это
комплексный нуль функции Ja{x), то а тоже ее нуль. Положим х = 1,Ь = а
в формуле (4.14.2) и отметим, что подынтегральное выражение tJa(at)Ja(at)
положительно. Отсюда видим, что левая часть равенства (4.14.2) не равна
нулю, а правая равна. Из этого противоречия следует, что у функции Ja(x)
нет комплексных нулей.
Способом, связанным с использованием дифференциальных уравнений
также можно воспользоваться для того, чтобы показать, что функция Ja(x) имеет
бесконечно много положительных действительных корней для действительного
а. Этот метод восходит к Штурму. Вариант теоремы сравнения Штурма,
приведенный ниже, принадлежит Ватсону [414, с. 518].
Теорема 4.14.2. Пусть их{х) и и2(х) — такие решения уравнений
d2u* , ч Л d2u2
-jgr + ViMmi = 0, -jjp- + ч>2Ми2 = 0,
что
иг(а) = и2{а), и[(а) = и'2{а).
Пусть функции φλ{χ) и φ2(χ) непрерывны на отрезке а^х^Ъ и и[{х) и и2[х)
непрерывны на том же отрезке. Тогда если ч>г(х) > ψ2Μ на всем отрезке, то
\и2(х)\ превосходит \иг(х)\, если χ лежит между а и первым нулем функции
иг(х) на интервале. Таким образом, первый нуль функции иг(х) на отрезке
находится слева от первого нуля функции и2(х).
Доказательство. Без потери общности предположим, что иг(х) и и2(х)
являются положительными непосредственно справа от х = а. Вычтем первое
уравнение, умноженное на функцию и2, из второго уравнения, умноженного
на иъ и получим
и11^'~и2~аФ' = (¥>ι(*)"¥>2(*))ηιΗ2 > °·
Интегрирование приводит к неравенству
г du2 dux γ. _
Поскольку выражение в скобках обращается в нуль в точке а, мы имеем
du2 dux . _

§ 4.14. Нули функций Бесселя
219
Следовательно,
d(u2/u0 ^ „
—ώ^>0>
или
1и11а
откуда следует, что и2{х) > iix(x). Теорема доказана. D
Предположим, что \а\ > -ζ, α—действительное число, и положим
Vl(jc) = l-(a2-l/4)/x2
и
¥>2(х) = 1-(а2-1/4)/с2.
Тогда при х>с выполняется неравенство ψλ{χ)>φ2(χ). Отметим, что функция
иг=xl,2Ja 00 является решением уравнения и" + φΎ 00иг = 0. Обозначим общее
решение этого уравнения х1,2Са{х). Очевидно, что и2 = Л cos ωχ + В sin ωχ, где
ω2 = 1 —(a2 —l/4)/c2. Из теоремы 4.14.2 следует, что если с —любой нуль
функции Ca(x), то следующий по возрастанию нуль —это по крайней мере
c + π/ω. Если |а|<1/2, то положим φ200 = ω2<1. Таким образом, для
действительных α функция Ja00 имеет бесконечно много действительных нулей.
По существу, теорема Штурма утверждает, что чем больше значение φ, тем
быстрее осциллируют решения уравнения при росте х.
Теорема 4.14.2 может быть также использована для доказательства
того факта, что правые разности1 положительных корней функции Ja00
убывают при \а\ > 1/2 и возрастает при \а\ < 1/2. Предположим, что \а\ > 1/2,
и пусть jatn-i <ja,n <Ja,n+i — три последовательных положительных корня
функции Ja(x). Тогда положим φλ{χ) = 1 — (a2 —1/4)/χ2 и φ200 = φ^χ — k), где
Ь=}а,п~~]а,п-\- Далее, φτ (χ) — возрастающая функция, так что φτ (χ) > φ2(χ).
Рассмотрим интервал [jan>;α,η+ι]. Если x = jaгП, то иг = Ja00 = 0 и и2 = Ja(x—fc) =0.
По теореме Штурма функция иг осциллирует чаще и, следовательно, ;an+1 —
—)а,п < Ja,n~Λχ,η-ι· Подобное рассуждение применимо и к случаю |а|<1/2.
Должно быть очевидно, что аналогичное рассуждение работает для общего
решения уравнения Бесселя.
Напоследок мы обсудим формулу для бесконечного произведения функций
Ja00 при действительном а. Для больших χ из асимптотической формулы
(4.8.5) следует, что асимптотическое поведение нулей функции Ja00
определяется соотношением
χ ~ Ы + (2а + 1)/4)π. (4.14.3)
Поскольку нули функции Ja00 простые и действительные, следует ожидать, что
число нулей функции x~aJa (χ) между мнимой осью и линией Re χ = ί τη + ^-τ— J π
при больших χ равно т. Это верно (см. книгу [414, § 15.4]). Оказывается2, целая
2 Такие разложения — факт абстрактной теории целых функций, см. [450, § 7.2] или [60]. Кстати,
формула очевидным образом упрощается в Y[0- — ^/j%n)·

220 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
функция χ aJa(x) раскладывается в произведение
r(a + l)(x/2)-eJe(x) =
00 00
= Π{(1 -χΙ)«,η) expU/;'a,n)} Π{(1 +χ/ί«,η) exp(-x/;a,n)}. (4.14.4)
Это верно и при комплексных α (см. книгу [414, § 15.41]).
§ 4.15- БОЛЕЕ ТОНКИЕ СВОЙСТВА НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
Теорема Штурма о сравнении для дифференциальных уравнений,
сформулированная в предыдущем параграфе, дает информацию, касающуюся нулей
решений дифференциального уравнения
g+(l_^> = „. (4л,и
Штурм использовал свою теорему также для того, чтобы доказать, что все
вторые правые разности положительных нулей любого нетривиального решения
приведенного выше уравнения положительны, если | v| < 1/2, и отрицательны,
если |ν|>1/2. Лорх и Сегё [254] существенно обобщили этот результат на
разности старших порядков1. В этом параграфе мы сформулируем одну из их
теорем. Дальнейшие обобщения и другие связанные с этим результаты можно
найти, воспользовавшись ссылками на литературу.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
у" + /(*)У = 0, (4.15.2)
где χ el, / — открытый интервал. Пусть Я>—1 и функция у(х) является
произвольным решением уравнения (4.15.2), нули которого в порядке возрастания
образуют последовательность хъ х2, ... Положим
*Jt+l
Мк=МкШ= $ \yM\Xdx, k = 1,2,... (4.15.3)
Хк
Заметим, что если λ = 0, то Мк равно Ахк — разности последовательных нулей
функции у(х). Если Я = 1, то Мк задает площадь под дугой, образованной
функцией у(х) от хк до хк+г.
Мы приводим следующую теорему Лорха и Сегё без доказательства.
Читатель может найти доказательство, которое слишком длинно, чтобы приводить
его здесь, в статье-оригинале. При формулировке теоремы обозначение Δημ*
используется для п-й правой разности последовательности {μ^}. Тогда
Δ"μ* = Δ"-4+ι-Δ"-4 и Δ°μ* = μ*. (4.15.30
Теорема 4.15.1. Пусть уг и у2 — два линейно независимых решения
дифференциального уравнения (4.15.2) на отрезке I. Предположим, что
(-l)n£^{[ji (*)]2 + [у2(*)]2> > 0 для η = 0,1,..., N
ι См. (4.15.37).

§ 4.15. Более тонкие свойства нулей функций Бесселя
221
где N-я производная существует в открытом интервале I, и младшие
производные непрерывны на L Тогда
(-1)ηΔηΜ*>0 для η = О,...,N; fc = l,2,...
В частности,
(-1)п~1Апхк > О для n = l,...,N + l;fc = l,2,....
Более того, если у(х) обозначает другое решение уравнения (4.15.2) с нулями
хъх2> ··· и если χι >Хъ то
(-1)ηΔη(χ*-ϊ*)>0 для π = 0,...,Ν; к = 1,2,...
Эта теорема, если использовать ее применительно κ уравнению (4.15.1), дает
результаты, касающиеся функций Бесселя. Два независимых решения
уравнения—это функции </xJv(x) и </xYv(x). Обозначим </xCv(x) общее решение. Для
того чтобы использовать теорему 4.15.1, мы должны исследовать выражение
Ρ 00 = x[JvM]2 + x[YvM]2, (4.15.4)
которое может быть представлено с помощью интеграла Николсона (4.13.7).
В дальнейшем нам понадобится следующая формула:
00
K0(x)=\e-xchtdt. (4.15.5)
о
Доказательство содержится в упражнении 11. Теперь согласно формуле (4.13.7)
имеем
00
р'М = 4-[xU2vM + Υ2ΜΏ = Λ $ [*o(2*sht) + 2χshtK'0(2xsht)] ch2vtdt.
αχ π 0
Проинтегрировав по частям второй член, получим
Ах) = А Кo(2xshi)thtch2vi]r-h4^o(2xshi)ich2vi-^:(thich2vt)>)di.
π* Ιο π q v dt J
Первый член в правой части равенства равен нулю, поскольку из определения
(4.12.3) следует, что функция К0(х) ведет себя как 1п(дг) при х—>0, в то время
как уравнение (4.12.6) описывает поведение функции К0(х) при х—► ». Тогда
р'(*) = 4S^o(2^sht)thtch2vi[tht-2vth2vi]di.
Легко проверить, что выражение в скобках отрицательно при | v| > 1/2, а
остальная часть подынтегрального выражения положительна. Таким образом p'Qc) < 0.
Аналогично можно показать, что
pWQc) = A 5^n"1)(2jcshO(2sht)n-1thtch2vt[tht-2vth2vt] dt.
Из равенства (4.15.5) очевидно, что (—1)п^п) > 0 при х>0, п = 0, 1, 2, ...
Таким образом, условия теоремы 4.15.1 выполняются для уравнения (4.15.1)
при | v| > 1/2. Итак, мы приходим к следствию.

222 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Следствие 4.15.2. Пусть cvk,cvk обозначают k-е в порядке возрастания
положительные нули любой пары нетривиальных решений уравнения Бесселя
(4.15.1), причем |ν|>1/2. Предположим, что Я>— 1, и положим
cv,k+l
Mk= 5 xx/2\CvM\xdx.
Тогда для к = 1,2, ... выполняются неравенства
(-1)"Δ"Μ* >0, π = 0,1,...,
(-1)η-χΔη^ > 0, π = 1,2,...,
(-l)nAn(cv,m+Jt -cvk) > Ο, η = 0,1,...
где т —фиксированное неотрицательное целое число, при условии cvm+1 >cvl.
В частности,
(r-l)n-lbnjvk > 0, (-D^A^vit > О, η = 1,2,...
и
(-1)ПА"0\*-Уг*)>0, π = 0,1,...
где jvk u yvk обозначает fc-e положительные нули функций Jv(jc) и Yv(x)
соответственно.
Замечание 4.15.1. Лорх, Мулдон и Сегё [252] обобщили теорему 4.15.1 для изучения
свойств высшей монотонности интегралов
Мк= $ W{x)\y(x)\xdx,
Хк
где W(x) — функция, на которую наложены некоторые ограничения. В качестве примера
можно рассмотреть W(x) =χ~1/2, когда у является решением уравнения (4.15.1). Отсюда
следует монотонность функции
cv,jk+l
(-1)"Δ" ^ KM\dx,
Cv,k
где интеграл — это площадь под дугой общей функции Бесселя, а не произведения х112
на функцию Бесселя. Дальнейшие обобщения этого результата можно найти в [253].
§ 4·ΐ6. ОБЛАСТИ, СВОБОДНЫЕ ОТ НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ XFX
Мы заканчиваем эту главу результатами Заффа и Варги [329], касающимися
областей, не содержащих нулей последовательности многочленов,
удовлетворяющих трехчленным рекуррентным соотношениям. Эти многочлены могут
быть частичными суммами функций ^ъ так что мы можем использовать
теорему Гурвица о нулях аналитической функции1, которая является пределом
последовательности аналитических функций, для того чтобы найти области,
свободные от нулей функций λ¥λ.
Основной теоремой Заффа и Варги является следующая теорема.
ι Пусть /п равномерно сходится к / в некоторой области. Пусть /(а) = 0. Тогда в любой окрестности
точки а все функции /п с достаточно большими номерами обращаются в нуль.

§ 4.16. Области, свободные от нулей функций XFX
223
Теорема 4.16.1. Пусть {pk(z)}[J —это конечная последовательность
многочленов, удовлетворяющих условиям
р№=(^+1b-i(z) - tPjt-2(z)' fc=г> 2i"" п> (4·16·υ
где ρ_ι(ζ) :=0, р0(з) = РоФ®> abku ck —положительные действительные числа.
Пусть
а := тш{Ьк(1 - bk_Jck): k = 1,2,..., п}, Ь0 = 0. (4.16.2)
Тогда если а > 0, то следующая параболическая область с проколом на границе
Pa = {z = x + iy:y2 < 4а(х + а), х > -а} (4.16.3)
не содержит нулей функций pk(z), k = 1,2,..., п.
Доказательство. Предположим, что ζ€Ра —фиксированное комплексное
число, которое не является нулем никакой из функций pk(z), fc = l, ..., п.
Положим
Vk:=Vk(z)-=zPk-i(z)/bkPk(z) Для fc = l,...,n.
Доказательство основывается на следующих двух утверждениях:
1. многочлены рк (ζ) и р^_х (ζ) не имеют общих нулей для любого к, к = 1,..., п;
2. ΙΙεμ^ <1 при fc = l, ..., п.
Предположим, что эти условия выполняются и что для некоторого к
многочлен Pk(z) обращается в нуль в точке ζ0€Ρα. Заметим, что кф\, поскольку
функция Pi(z) = p0(z + b1)/b1 имеет ноль в точке — Ъъ которая, согласно
соотношению (4.16.2), имеет координату, не превосходящую —а, и, следовательно, не
может содержаться в Ра. Поскольку ρ^(ζ0) = 0, из условия (4.16.1) следует, что
{zjbk + 1)ρ*-ι(ζο) = (*о/с*)Р*-2(*о)·
Утверждение 1 подразумевает, что рк-\(%о)Ф®> поскольку рк и p^-iHe имеют
общих нулей. Таким образом, мы можем поделить на ρ&_ι(ζ0) и получим
b\^o + h-) = bZ°Pk;2iZ(°\ = μ*-ι(%>· (4-16.4)
°к-\°к Dfc-lPfc-lW
Из второго утверждения и из непрерывности μ следует, что Re μ^_χ (ζ0) < 1. Тогда
согласно соотношению (4.16.4) получаем
Rez0 < -Ък{\ -bk_Jck) < -α,
что противоречит предположению, что ζ0 €Ρα. Это означает, что функции pk{z)
(ic = 1, ..., η) не имеют нулей в области Ра.
Остается только доказать два использованных утверждения. Из формулы
(4.16.1) очевидно, что ни один из многочленов pk{z), fc = 0,1, ...,η не
обращается в нуль в точке 0. Предположим, что ρ&(ζ0)=ρ&_ι(ζ0) = 0, где ζοΦ®> Для
некоторого к> 1. С помощью последовательного применения формулы (4.16.1)
мы получим Ро(з0) = 0, что противоречит предположению, что р0ф0. Таким
образом, многочлены pk{z) и pk-\{z) не имеют общих нулей.
Докажем теперь по индукции, что Κεμ^(ζ) < 1. Очевидно, что
ζ

224 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
Поскольку ?€Ра, мы получаем Rez>— а>— Ьх. Таким образом, Κεμχ < 1. Теперь
из формулы (4.16.1) с очевидностью следует, что
k z + bfc-bfcC^bfc-iMfc-i'
или
μ* = Γ*(μ*-ι)>
где Tk(w) является дробно-линейным преобразованием, определенным
соотношением
k "z+h-hc^b^w'
Функция Tk{w) имеет полюс в точке wk = (z + bk)l{bkc^lbk_{) действительная
часть которой больше 1 согласно соотношениям (4.16.2) и (4.16.3). Таким
образом, Тк отображает область Re w < 1 в замкнутый диск с центром в точке
ξ^ = Тк(2—~шк), где 2 — wk — это точка, симметричная полюсу wk по отношению
к линии Re w = 1. По определению функции Тк имеем
2ЪеЪ+2Ък(1-Ък_гСъ1)
Кроме того, точка 0 = Г^(оо) лежит на границе этого диска, поэтому его радиус
равен |ξ^|. Таким образом, действительная часть числа, изображаемого любой
точкой диска, не превышает
Rez + |z| Rez + |z|
2ЪеЪ+2Ък(1-Ък_гСъ1) ^ 2(Rez + a)
где первое неравенство следует из формулы (4.16.2), а второе — из
формулы (4.16.3). Далее, по предположению индукции ReμJt_1<l; таким образом,
Re μ^ = Re Γ^(μ^_χ) < 1. Теорема доказана. D
Следствие 4.16.2. Пусть для бесконечной последовательности многочленов
{р* (*)}£, удовлетворяющей трехчленному соотношению (4.16.1),
a = inf{bfc(l-bfc_1c-1)}>0.
Тогда область Рш определенная в теореме, не содержит нулей многочленов pk(z).
Более того, если pk(z)—>/(z)^0 равномерно на компактных подмножествах
области Рш то функция f(z) не содержит нулей в области Ра.
Доказательство. Первая часть утверждения очевидна. Для
доказательства второй части следует воспользоваться теоремой Гурвица. D
Приведенное ниже следствие применимо к последовательности
многочленов, полученных как частичные суммы степенных рядов.
к
Следствие 4.16.3. Предположим, что многочлены 5*0&):=Σ a/*J" имеют
;=о
строго положительные коэффициенты и
а := min if— - —)} > 0, где а_г/а0 = 0.
Тогда многочлены sk(z\ k = 1,2,..., η, не имеют нулей в области Ра.

Упражнения
225
Доказательство. Заметим вначале, что
**(*) = (^ +1 k-i(z) - ^wW, fc = 1,2,..., η,
где 5_х = 0. Затем применим теорему 4.16.1 и получим требуемое утверждение.
D
Заметим, что следствием вышеприведенных результатов является то, что
η
для частичных сумм sn{z)=^zn/n\ экспоненты область у2<4(х — 1),х>—
Ιο
область, свободная от нулей. На границе этой области есть нуль функции
sx(z) = 1 + z, кроме того, сколь угодно близко к этой границе «подходят» нули
сумм sn{z). Нижеприведенное следствие касается более общей вырожденной
гипергеометрической функции jFj. Доказательство предоставляется читателю.
Следствие 4.16.4. Предположим, что sn(z) является п-й частичной суммой
ряда iF2 (с; d; z). Тогда многочлены sn(z), п = 0, 1, 2,..., не имеют нулей в области
1 Pd/c если 0 < d < с,
2. Рх, если 1 < с < d,
3. Pa, a = (2c-d + cd)l(c2 + c), если 0<с<1 u c<d <2с/(1-с).
Более того, функция iFx(c; d; z) не имеет нулей в соответствующей внутренней
области.
Другие применения теоремы 4.16.1 можно найти в [98].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что
при Re c> Re a > 0.
2. Пусть lF1(a—) = 1F1(a — l;c;x), и функции !^(α+) и т.д. определим аналогичным
образом. Докажите соотношения смежности
а) (с -α) Λ (а-) + (2а- с + х) Λ~αΛ(α+) = 0,
б) с(с -1) Λ (с-) - с(с -1 + х) гРг + (с - а)х гРг (с+) = 0,
в) (а-с +1)lFl-alFl(a+) + (с-1)Л(с-) = 0,
г) с^-с гРг (а-) - χ гРг (с+) = 0,
д) с(а + χ) Λ - (с - а)х ^ (с+) - ас гРг (а+) = 0,
е) (a-l + Jc)1F1 + (c-a)1F1(a-)-(c-l)1F1(c-) = 0.
3. Докажите формулы:
а) £zlFl(a;c;x) = ^lFl(a + n;c + n;x),
б) |^[e-Vi(a; с;дс)] = (-1)"^=^e"Vi(a; с + п;х).
4. Выразите следующие функции через функции Уиттекера:
JC
а) интегральный синус Si(x) = § f"1 sin t dt;
о
00
б) интегральный косинус Ci(x) = — § t"1 cos t dt;
χ
в) интегралы Френеля
JC JC
CQc) = ξ Г1/2 cos t dt/</2π, SQc) = ξ Г1/2 sin t dt/y/ϊπ;

226 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
г) интегральную экспоненту
5. Воспользовавшись формулами (4.3.6) и (4.4.4), получите асимптотическое
разложение функции erf χ.
6. Докажите, что
00
$ e-5*xc-Vi(a; с; дс)Л(а!; с; Ях) dx =
о
= r(c)(5-l)-a(5-A)^5a+a^2F1(a,a1;c;A/[(5-l)(5-A)]).
7. Покажите, что для функции параболического цилиндра Dn(x), задаваемой формулой
(4.4.11), выполняются следующие свойства:
а) Dn (χ) = Jn 2n/2e-x2'2lFl (-π/2; 1/2; χ2/2)/Γ((1 - π)/2) -
-v^2(n+1)/2xe-Jf2/41F1((l-n)/2;3/2;x2/2)/r(-n/2);
6)ϋη(χ) = (-1)"β^4|^(β-^2).
8. Докажите формулы (4.6.11) и (4.6.12) для функций J„+i/2(x) и J_n_1/2(x).
9. Покажите, что при Re a>—1/2
9 π/2
r(a + l/2)Ja(x) = -y=(x/2)a ξ cos(xsin0)(cos0)2ad0,
уЩУ
о
1
Γ(α + 1/2)/α(χ) = -^=(x/2)a \ e^d-t2)*"1'2*.
Выведите отсюда, что
|Ja(x)|<|x/2|aeM/r(a + l), где x = u + iv.
10. Используя формулу (4.9.11), получите формулы Неймана (см. [414, с. 32])
ι π ι π
J2(x) = - ξ J2n(2x sin 0) d0 = - $ J0(2x sin 0) cos 2n0 d0.
π ο π о
11. Покажите, что при |argx| < π/2 выполняется равенство
= Γ(1/2-α)β2^(*/2)« (1%-1+) 2_ 1/2
'-«^ 2πίΓ(1/2) 2
Выведите отсюда, что при Re a > —1/2 выполняется равенство
Γ(1/2-α)β2π*α(χ/2)α
/-*(*) =
2πίΓ(1/2)
(Ι-β"4™) ξ e-xt(t2-l)a-1/2dt +
ι
1
+ i(e~nia + e~3nia) $ e"*(1 - t2)a"1/2 at
-1
Следовательно,
^(*/2)а Г Л. 2 _ )a_1/2 d ^(*/2)а С -*ch0 h2a g aQ
*aW T(a + l/2)Je U iJ at r(a + l/2)J6 5П У£Ш'
12. Докажите, что при х > О и a > —1/2 выполняется равенство
2αΓ(α + 1/2) г cosxt
КаМ~ χ«^Έ J(l + t^V2dt·

Упражнения
227
13. Покажите, что при α > —1 и с > 0 выполняется равенство
C+ioo ^ 2
С—ioo
я результат Сонина и Шафайтлина:
г >/a-^CaOJr-i(bO ^^ = fer-1 Γ(α) ^M.b^
J tr-o-^ 2Γ-α-0αα+0Γ(ν)Γ(1-β)2 aV r ' a2'
14. Докажите следующий результат Сонина и Шафайтлина:
Ja-β (aOJr-i (bf) j. _ Ы~1 Γ(α) „fa,fieb2*
0 t. ■ 2r-a~fiaa+P Г(г) Г(1-|8) :
ддя 0<Ь<а и
2r-a-^b2«-r+ir(r-a)r(a-)8 + l)2 aV a-0 + 1 ' b2'
ддя О < a < b при условии, что интеграл сходится.
Рассмотрите следующие частные случаи: а) /3=0, у — а — \\ б) у= 3/2, a+ /3 = 1/2;
в) г = 1/2, a + j8=-l/2; г) г = 3/2, a + jS = 3/2; д) г = 1/2, a + jB = l/2.
См. [414, § 13.4].
15. Покажите, что в упражнении 14 при a = b получается равенство
Лив (аО^-ι (аО dt = (а/!)*-*-?-1 Г(Г - a - )8) Γ(α)
о tr-a-* " 2Г(1-0)Г(Г-а)Г(Г-)8)
S
при условии, что Rea>0 и Re(/ — α — β)>0.
16. Покажите, что
г г„и г п.^ - (ах/2)ЧЬх/2^ ν (-l)Vi(-я,-α-η;β + 1;Ь2/a2) (ax/2)2"
Ja(ax)J„(bx) - rQ5 + 1)r(a + 1) Zj ηΙ(α + 1)„ '
η=0
Выведите отсюда равенство
(s/2)tt+* yi (-1)η(α + )8 + 1)2η(*/2)2
n=0
17. Покажите, что при α, Ь>0и— l<Rea<2Rej8 + 3/2 выполняется равенство
xa+1Ja(bx)
τ (УЛ1 Μ = 1*№α+Ρ V ("1)Π(α + £ + 1)2η(*/2)2π
Ι ΖΪΤαψ* dX = 2«Па + 1)К«-?Ш'
(Отметим, что \ e-(x2+fl2 V at = ^t1* при Re β > -1.)
J (jc2 + a2)^+1 Y
18. Покажите, что
*«(*) = ^ψ- \ e-^/4tr«-i dtj |argJC| < π/4.
о
19. Докажите, что при а>0,Ь>0,у>0иПе/3>— 1 выполняется равенство
Рассмотрите случай α = 1/2, /3 = 0.
20. Докажите следующую формулу ддя интеграла Эйри:
AiW^Wt'+xOd^f^iff).
(См. [414, § 6.4]).

228 Глава 4. Функции Бесселя и вырожденные гипергеометрические функции
21. (Сонин) Пусть φ(χ) это положительная монотонная функция из С1(а,Ъ), и пусть
у (х) — решение дифференциального уравнения
у" + Ч>Му = 0.
Покажите, что относительные максимумы функции |у| при возрастании χ от а до Ь
образуют возрастающую или убывающую последовательности, если функция ψ(χ)
соответственно возрастает или убывает.
Указание. При f(x) = {y(x)}2 + {y'(x)}2l4>(x) покажите, что sgn/'(*) = — sgn (//(*)·
22. (Бутлевскии) Предположим, что функции к(х) и φ(χ) положительны и принадлежат
Cl(a,b). Покажите, что если у(х) является решением уравнения
№(*)/]'+ У>(*)У = О,
то относительные максимумы функции \у\ образуют возрастающую или убывающую
последовательность в зависимости от того, является ли функция κ(χ)φ(χ)
соответственно убывающей или возрастающей.
23. Покажите, что функция и=xaJa(bxc) удовлетворяет дифференциальному уравнению
и-+!=**„!+r(bC3t-i)2+η1ζ|!ξ! ]ц = о.
X L χ* Λ
1/4— а2
24. Положим φ (χ) = 1 + ——^—· Воспользовавшись формулой (4.8.5) и упражнением 21,
докажите, что
( л/2/π, если -1/2 < α < 1/2,
supy/x\JaW\ = \
χ>ο ^конечно и больше у 2/π, если α > 1/2.
Упражнения 21, 22 и 24 и ссылки на работы Сонина и Бутлевского можно найти
в книге [375, с. 166 — 167].
25. Пусть а = λ —1/2, 0<λ<1. Обозначим положительные нули функции Ja(x) через
h < h < h < — и нули ультрасферического многочлена C*(cos 0) через θ1 < θ2 <... < 0η.
Воспользовавшись теоремой 4.14.2, покажите, что
θ*<Α/(η + Α), Jc = l,2,...,n.
Заметьте, что функция а = (sin0)AC*(cos 0) удовлетворяет уравнению
^ + {(π + λ)2+*^}α = 0
άθ2 lv sin2 θ J
и сравните это уравнение с уравнением, которому удовлетворяет функция
У£/а{(п + Я)0}.
26. Предположим, что —1/2<а<1/2 и Γηπ<χ< (гп + 1/2)я,гп = 0, 1, 2, ... Покажите,
что функция Jv(x) положительна для четных т и отрицательна для нечетных т.
Заметьте, что если χ = (т + 0/2) π, где 0 < 0 < 1, то
/ М = 2(π/4)« 2mr+* С05(тш/2)
aW r(a + l/2)v^(2m + 6>)« ] [(2m + 0)2-u2]1/2-a '
и покажите, что
sgn Ja(rrm + 0π/2) = sgn[(-l)m{i/ + (vm -ι;^) + (vm.2-vm_3) +...}] = sgn(-l)m,
где
г л\г Г cos(nu/2) j
2r-2
{(гт + ^-и2}1/2"01

Упражнения
229
и
f-r)mv' =2Y cos(ttu/2) du
λ {&т + в)2-и2}1'2-а'
27. Покажите, что
$ tJ2a(.t)dt=j[x{J'a(x)}2-Ja(x)j-{xJ'a(x)}].
0
Выведите отсюда, что ненулевая функция вида f(x)=AJa(x) + BxJ'a(x) не имеет
кратных нулей, кроме χ = 0. (Этот результат принадлежит Диксону. См. [414, с. 480].)
28. Пусть f{x)=AJa{x) + BxJ'a{x) и g(x) = CJa(x) + DxJ'aW, причем AD-ВСфО.
Докажите, что положительные нули функции fix) чередуются с нулями функции g(x).
(Покажите, что функция v?(x) = /00/g(x) монотонна.)
29. Докажите формулу Графа (4.10.6), когда α целое, используя тождество
ea(t-l/t)/2e-Hte-w-l/(te'w))/2 _ ес(ш-1/(Ш))/2
где u = (a — be~w)/c.

ГЛАВА 5
Ортогональные многочлены
Хотя ортогональные функции впервые были введены Мерфи в 1835 г., основная
заслуга в осознании их важности принадлежит Чебышёву. В своих работах
начиная с 1885 г. он отталкивался от аналогии с рядами Фурье, теории
непрерывных дробей и теории аппроксимации. В начале этой главы мы рассмотрим
многочлены Чебышёва первого и второго рода. Некоторые из их элементарных
свойств в общем случае представляют интересные области для исследования.
Остаток главы посвящен изучению свойств общих ортогональных многочленов.
Ортогональные многочлены удовлетворяют трехчленным рекуррентным
соотношениям. Это указывает на их связь с непрерывными дробями. Мы обсудим
некоторые следствия этих соотношений, например формулу
Кристоффеля—Дарбу и ее следствия для нулей ортогональных многочленов. Кроме того, мы
дадим интегральное представление Стилтьеса для непрерывных дробей, также
возникающее из ортогональных многочленов.
В своей теории аппроксимирующих квадратур Гаусс использовал
многочлены, возникающие из разложения lnf у^Ч в непрерывную дробь. Позже
Якоби [209] заметил, что эти многочлены являются многочленами Лежандра
и их ортогональность — важное и фундаментальное свойство. Один из
параграфов этой главы мы посвятили гауссовой формуле квадратур и некоторым
ее следствиям. Доказаны также неравенства Маркова—Стилтьеса для констант
в формуле Гаусса.
Наконец, с помощью элементарной теории графов мы находим разложение
производящей функции моментов в непрерывную дробь. В последние двадцать
лет заметные успехи в изучении ортогональных многочленов принесли
комбинаторные методы.
§ 5-1. МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА
Как мы уже отметили, многочлены Чебышёва являются фундаментальным
примером ортогональных многочленов, поэтому их следует постоянно иметь
в виду при рассмотрении ортогональных многочленов. Многочлены Чебышёва
первого и второго рода, обозначаемые Тп(дс) и Un(x) соответственно,
определяются формулами
р(-1/2,-1/2) ( л = (2П)1 J г, (2п)1 Q (
rn w 22п(п!)2 " 22п(п!)2 еиьгш ip.±.±j
р(1/2,1/2) м = (2п + 2)! (2n + 2)! sin(n + l)fl
W 22"+1[(п + 1)!]2 nW 22n+1[(n + l)!]2 sin θ > ^'λ^
где jc = cos0.
Соотношение ортогональности для Тп(дс) выглядит следующим образом:
+1
$ rnQc)TmQc)(l - χ2)"1/2 dx = 0, где тпфп.
-1

232
Глава 5. Ортогональные многочлены
Действительно, подставив х = cos 0, мы приходим к тривиальному равенству
π
§ cos τηθ cos ηθ άθ = О, где τη Φ η.
о
Аналогично ортогональность для многочленов (5.1.2)
1
$ Um{x)Un{x){\-x2Y'2 dx = 0,
-1
где тфп, сводится к соотношению
π
$sin(n + l)0sin(m + l)0d0 = O, где тфп.
о
Для дальнейшего изучения ортогональных многочленов нам будет полезно
рассмотреть некоторые свойства многочленов Чебышёва. В частности, интересно
изучить трехчленное рекуррентное соотношение
2хТтМ = Тт+1(х) + Тт_гЫ, (5.1.3)
эквивалентное соотношению
2 cos 0 cos τηθ = cos(m + 1)0 + cos(m-1)0. (5.1.4)
Последнее соотношение является частным случаем формулы линеаризации
2 cos τηθ cos ηθ = cos(m + ή)θ + cos(m — ή)θ (5.1.5)
или, что то же самое
ТтЫТпЫ = |(Тт+п(х) + Гт_п(х)). (5.1.6)
Иногда возникает вопрос нахождения коэффициентов а(к,тп,п) в выражении
гп+п
PmMPnW = ^ a(fc, m, η)ρ^(χ), (5.1.7)
fc=0
где {PnQc)} —данная последовательность многочленов, причем р„(дс) имеет
степень п. Простейшим, но тем не менее важным случаем является равенство
γΤΤΙγΐΙ γ,Τη+fl
В общем случае, о коэффициентах а(к, τη, ή) удается выяснить не так много.
Позже мы рассмотрим важный пример, обобщающий формулу (5.1.5) и следующее
выражение для произведения многочленов Чебышёва второго рода:
тЛп
sin(m + l)0 sin(n + l)0 _ V^ sin(rn-t-n + l-2fc)0 ,- - ~
sin0 sin0 ~L· sin0 lb,LBJ
k=o
Здесь mAn = min(m,n). Данная формула легко доказывается с помощью
соотношения sin(m + η +1 — 2fc)0 sin 0 = - [cos(m + η — 2fc)0 — cos(m + n — 2fc + 2)0].
Двойственное к формуле (5.1.8) выражение имеет вид
θ+φ
sinOi + DesinOi + l)^^ $ sin(n + 1)гр dip, (5.1.9)

§5.1 Многочлены Чебышёва
233
Соотношение, дуальное к формуле (5.1.5) выглядит аналогично:
COSn0COSn</? = -(cOSn(0 + </?) + COS п(0 — </?))·
В гармоническом анализе периодическая функция /Qc) представляется в
виде ряда синусов и косинусов. Это приводит к рассмотрению частичных сумм
вида
2ао + ]Г] (ат cos τηθ + bm sin m0),
m=l
где
2π
5
О
If If
am = - ) f ίφ) cos τηφάφ и bm = - } /(</?) sin τηφάφ.
о
Следовательно,
η
2αο + ]T](am cos m0 + bm sin m0) =
m=l
2πΓ η
= - J 7 + 2j (cos ™θ cos m</? + sin τηθ sin m</?)
m=l
/((/?) d(/? =
m=l
/(φ)<ίφ.
Используя тригонометрическое тождество
2sin(0/2) cos πιθ = sin(m +1/2)0 -sin(m- 1/2)0,
легко проверить, что
! + 2cosm0 = -A-^=:Dn(0).
m=l
(5.1.10)
В этих обозначениях сумма в последнем подынтегральном выражении равна
Όη{θ — φ). Функцию Dn(0) называют ядром Дирихле. Определим многочлены
Чебышёва третьего рода соотношением
Vn(χ) = 2Dn(0), где χ = cos 0.
(5.1.11)
Несложно проверить, что последовательность У„(дс) ортогональна с весом
(1—χ)"(1 + χ)" на интервале (—1,1). Многочлены, эквивалентные Vn(jc),
изучались еще Виетом (см. [113, с. 8]).
Следующее тождество обобщает формулу (5.1.10):
1 + 2_. 2 cos τηθ cos τηφ =
m=l
cos(n 4-1)0 cos ηφ — cos ηθ cos(n 4- 1)φ
cos 0 —cos φ
(5.1.12)
Это частный случай формулы Кристоффеля—Дарбу, которая существует для
всех ортогональных многочленов (см. ниже). Заметим, что из трехчленного

234
Глава 5. Ортогональные многочлены
рекуррентного соотношения (5.1.4) следует равенство
2 cos τηθ cos τηψ (cos θ — cos ψ) =
= [cos(m +1)0 + cos(m —1)0] cos τηψ — [cos(m + ί)ψ + cos(m — ί)ψ] cos τηθ.
(5.1.13)
Сложив эти уравнения, при различных значениях т мы получим равенство
(5.1.12). Чтобы выяснить смысл множителя 2 в формуле (5.1.12), заметим, что
ji if длят^О,
\ cos2 m0d0 = < Z (5.1.14)
для т = 0.
Таким образом, нормированной функцией является J — cos τηθ при τη Φ 0 и —
при m = 0.
Ядро Пуассона1 для многочленов Чебышёва, определенных через cosnx,
задается суммой
00
1 + ]Г(2 cos τηθ cos m</?)rm =: Pr(cos 0, cos φ). (5.1.15)
m=l
При </? = О имеем
00
1-r2
^cosmc; r = -—;
1 — j.
m=l
1 + V 2 cos τηθ rm = Λ * r'—r. (5.1.16)
^ l-2rcos0 + r2
Отсюда следует положительность сумм Pr(cos 0,1) при \r\ < 1, из чего, в свою
очередь, ввиду тождества
2 cos τηθ cos τηψ = cos m(0 + φ) + cos m(0 — </?)
следует положительность функции Pr(cos 0, sin 0) при \r\ < 1.
В конце этого параграфа мы приведем некоторые результаты о нулях
многочлена Гт(х). Легко вычислить их точные значения. Так как cosm0=O
при 0 = (2n + l)7i/2m, многочлен Гт(х) имеет т простых нулей на интервале
(—1,1), соответствующих cos(2n + l)7i/2m, где п = 0, 1, 2, ..., т — 1. Отметим,
что нули многочленов Гт(х) и Гт+1(х) не могут совпадать. Также следует
заметить, что между соседними нулями многочлена Гт(дг) — cos[(2k + l)7i/2m]
и cos[(2k + 3)7i/2m] —найдется при п>т нуль многочлена Гп(дг). Это можно
объяснить тем, что мы всегда можем найти такое неотрицательное целое число
Z<n — 1, что
2fc + l 2Z + 1 2fc + 3
2гп 2п 2m *
Подобные свойства нулей многочлена Гп(х) имеют место и вообще для
ортогональных многочленов.
ι Ядра Пуассона введены ниже.

§ 5.2. Рекуррентные соотношения
235
§ 5-2. РЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Пусть α(χ) — неубывающая функция с бесконечным числом точек возрастания
на промежутке [а,Ь], возможно бесконечном. Предположим, что существуют
ь
моменты всех порядков, т. е. определены интегралы § xnda(x) для п = 0,1,2,...
α
Определение 5.2.1. Будем говорить, что набор {pnQc)}o, где р„(х) —
многочлен степени п, является ортогональным относительно меры da(x), если
выполняется условие
ь
(5.2.1)
a
Можно показать, что такой набор {рпМУо всегда удовлетворяет некоторому
трехчленному рекуррентному соотношению.
Теорема 5.2.2. Если положить ρ_ι(χ) = 0, то последовательность
ортогональных многочленов {pnW>o удовлетворяет соотношению
Pn+iW = (AnX + Bn)PnW-CnPn-iW для п>0. (5.2.2)
В данном выражении при η = О,1,2,... коэффициенты Ап,Вп,Сп —
вещественные константы, причем при η = 1,2,... выполняется неравенство Ап_гСпАп > 0.
Если обозначить через кп коэффициент при старшей степени многочлена рпМ,
то
К-п+1 — Άη-n *п
А — η+1 Γ —
п~ l· ' n+l ~ м π
где hn задается формулой (5.2.1).
Доказательство. Сначала определим Ап, потребовав, чтобы pn+iCxO —
-Апхрп(х) являлось многочленом степени не выше п. Тогда
η
Ρη+ιΜ -ΑηχρηΜ = J] bkpkM (5.2.3)
k=0
для некоторых констант bk. Заметим, что если QQc) — многочлен степени т<п,
то из соотношения (5.2.1) следует, что
ь
$pnQc)QQc)daQc) = 0.
a
Из чего вытекает, что bk = 0 при к<п — 1. Для доказательства следует
проинтегрировать обе части выражения (5.2.3), умножив их на рк. Формула (5.2.2)
доказана. Очевидно также, что Ап = -^-. Чтобы окончательно доказать теорему,
умножим равенство (5.2.2) на pn_iCxO и проинтегрируем. В результате получим
ь ь
0 = Ап $ рп Wxpn-iΜ da(x) - Сп $ ρ*_! 00 da{x).
а а
Отсюда ввиду соотношения
к п~1
xPn-iM = -^PnM +Y^dkpkW
п к=о

236
Глава 5. Ортогональные многочлены
следует, что
•jJL-hn-Cnhn_l=0.
/in_l
Теорема доказана. D
Следствие 5.2.3. Справедливо равенство hn = CA0/An)C1C2...Cnh0.
Данное утверждение легко выводится итерациями выражения
Из следствия 5.2.3 видно, что !2-норма многочлена рпМ может быть
вычислена из рекуррентных соотношений. Обращение теоремы 5.2.2 также верно.
Если последовательность {рпМУ удовлетворяет условию (5.2.2), то многочлены
{рпМУ ортогональны относительно некоторой положительной меры. Данный
результат носит название теоремы Фавара (см. [375, § 3.2] и [85, с. 21]).
Замечание 5.2.1. Данная в соотношении (5.2.2) форма рекуррентного
соотношения наиболее удобна при нахождении ρ„+ι(χ) по известным рп(х) и ρη_ι(χ). Однако
в приложениях к другим вопросам иногда удобнее рассматривать другие формы записи
трехчленного рекуррентного соотношения. В частности, полезной бывает форма
апРп+1 M+KPnM+CnPn-lM,
где ап,Ъп и сп вещественны. Подобные вычисления приводят к равенству
Из этого следует, что ап_гсп > О для η = 1,2,... Тогда квадратный корень из 12 — нормы
многочлена р„0Ю, т.е. hn, имеет вид
сгс2...сп
Важным следствием рекуррентных соотношений из теоремы 5.2.2 является
следующий результат, носящий название формулы Кристоффеля—Дарбу.
Теорема 5.2.4. Пусть многочлены рп(х) отнормированы так, что
ь
K=\p2nWdaW = l
а
и кп —коэффициент при старшей степени многочлена рп(х). Тогда
Μρη (У)" Ρη+ι WPn Μ
Рт УУ)Рт Μ = τ —Ζ · (5·2·4)
m=0
Доказательство. Из рекуррентного соотношения (5.2.2) следует, что
Pn(y)Pn+i(*) = i\x + BJPnWPnW-CnPn-iWPnW
и
Рп WPn+i(y) = W„y + Вп)рп(у)рпМ - Cnpn_!(y)pn(x).
Вычитая одно равенство из другого и деля на Ап(х — у), получаем
1 Рп (y)Pn+i 00 ~ Рп MPn+i (У) _
х-у
/ιη-ι х У

§ 5.2. Рекуррентные соотношения
237
Здесь мы воспользовались тем, что Сп = Ап/Ап_г, так как hn = l. Складывая
теперь выражения (5.2.5), соответствующие различным п, мы, пользуясь тем,
что Ап = fcn+i/fcn, получаем требуемый в формулировке результат. D
Замечание 5.2.2. В случае, если hn Φ1, формула (5.2.4) принимает вид
ΣΡτη (у)Рт Μ _ К Ρη+ι МРп Су) - Рп+1 Су)Рп Μ
п К К+1 (x-y)h
Следующее утверждение получается из формулы (5.2.4) при слиянии точек,
т.е. при х = у.
Теорема 5.2.5. Пусть h„ = l. Тогда
Σρ'Μ = JT-CPn+iWPnM-Pn+iWP^M)· (5.2.6)
feo n+1
Доказательство. Перепишем правую часть равенства (5.2.4) в виде
К (Ρη+ι (*) - Pn+i iy))pn (У) - ίρη (*) - ΡηϋΟ)ρ„+ι (У)
и перейдем к пределу при у —> дг. Теорема доказана. D
Следствие 5.2.6. Пусть fc; > 0. Яри всех дг выполняется
P'n+iMPnM-Pn+iMPnW > 0.
Теперь, в конце этого параграфа, мы покажем, как можно найти
рекуррентное трехчленное соотношение для многочленов Якоби. Ранее это соотношение
было выведено нами из граничных условий, однако данный способ нельзя
признать достаточно удобным и практичным. Предлагаемый же метод применим
и к другим гипергеометрическим ортогональным многочленам.
Рассмотрим многочлены
лм=т&глФ°оо=α(-,·π^+1; Ψ)- (5·27)
η = 0, 1, 2, ..., и запишем рекуррентное соотношение в виде
(1 - х)рпМ = Апрп+1М + ВпрпМ + Cnpn_x(x), η = 0,1,...,
полагая р_х(дг) = 0. Найдем Ап, приравняв коэффициенты при (1 —x)n+1.
Остается вычислить Вп и Сп. Подставляя х = 1, получаем
0 = Лп + Вп + Сп,
или же
Bn = -(An + Cn).
Из замечания 5.2.1 видим, что
Οι = An-ihn/hn-i,
где h* — норма многочлена рпМ в 12. Ее значение для многочленов Якоби
вычислено нами в (2.5.14). Итак, рекуррентное соотношение найдено.
Следующий метод одновременно не только позволяет получить
рекуррентное соотношение, но и показывает ортогональность многочленов Якоби.
Очевидно, что
(^)Рп Μ = An+lPn+1W + АпРпМ + A^p^W + ... + Λ0Ρ0Μ. (5.2.8)

238
Глава 5. Ортогональные многочлены
Подставляя х = 1, получаем
Αι = -GVx + Λη_χ + Ап_2 +... + Α0). (5.2.9)
Отсюда следует, что
(^у^)рп(*) = Αι+ι(Ρη+ιΜ -PnW) -A„_i(p„W -p„-iW) + другие слагаемые.
Несложное вычисление показывает, что
Pn+1W-pnW = -^^(^)2F1(-n'"::^ + 2;^). (5.2.10)
Следовательно,
l^2"JP«W" 2 ί+Ί Α«+ιΛ1 a + 2 '~2~J +
l-x2n + a + j8. /_n + i,n + a + j8 + l 1 —χΛ ,
+ ^ 5+1 A"-i2FiV a + 2 ; ~2"J + другие слагаемые.
1—jc
Приравнивая старшие степени —«—, получаем
_ (n + a + l)(n + a + j3 + l)
n+1 ~ (2n + a + j8 + l)(2n + a + j8 + 2)'
Следующая степень дает равенство
А = n(n + j8)
"-1 (2n + a + j8)(2n + a + j8 + l)·
Мы видим, что при вычисленных значениях Ап и Ап_г сумма первых двух
слагаемых в правой части в точности равна многочлену в левой части.
Следовательно, Ап_2 = Ап_3 = ... = А0 = 0, и трехчленное рекуррентное соотношение
получено. Более того, доказана и ортогональность многочленов Якоби, так
как по теореме Фавара подобному соотношению могут удовлетворять лишь
многочлены, ортогональные по некоторой положительной мере1.
§ 5-3. гауссовы квадратуры
С момента возникновения интегрального исчисления существовала
потребность в вычислении интегралов, которые не могут быть взяты точно. Ньютон
для этого брал интерполяцию функции по η точкам и интегрировал
получившееся приближение. Для интерполяции Ньютон использовал многочлены.
Мы будем в этих целях использовать многочлены Лагранжа. Пусть нам даны
упорядоченный по возрастанию набор η чисел хг < х2 <... <хп и произвольный
набор чисел уъ у2,..., уп.
ι Строго говоря, доказано, что многочлены Якоби ортогональны по некоторой мере (не
установлено, какой именно).
Полезно еще иметь в виду такой прием. Пусть D — симметричный дифференциальный
оператор, пусть Df = Xbf, Dg = μgb. Тогда
ь ъ ь
(λ - μ) $ fg dx = $ (D/)g dx- $ f{Dg) dx.
a a a
В правой части после интегрирования по частям остаются лишь выражения от значений /,
/'> ···> g> g'> ··· в точках а, Ь. Читатель может «довести» это рассуждение до соотношений
ортогональности для многочленов Якоби.

§ 5.3. Гауссовы квадратуры
239
Определение 5.3.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа — это
многочлен степени п — 1, принимающий в точках xt значения yt. Такой многочлен
имеет вид
w=Zp^.)(/V (5·31)
где
Ρ(χ) = (χ-χι)...(χ-χη).
Введем обозначение
№= rJ$-Xiy J = 1.2.....n. (5.3.2)
Очевидно, что
Следовательно, если fix) — непрерывная на отрезке [а,Ь] функция с
известными в точках xt на этом отрезке (i = 1,2,..., п) значениями, то
η
— многочлен степени не выше л —1, приближающий fix) на отрезке [а,Ь].
Формула (5.3.3) может быть использована для приближенного
интегрирования. Имеем
Ъ η Ъ η
$ fix) daix) « J] /Ц) $ h W daW = Σ V(*P> ί5·3·4)
где
b
Я;. :=$Z;-00da(x). (5.3.5)
a
Очевидно, что в случае, когда fix) — многочлен степени не выше п—1, в
формуле (5.3.4) имеет место точное равенство. В этом случае Lnix)=/Qc). Существуют
различные способы оценки качества приближения интеграла квадратурами.
Самый простой — через разность между интегралом и его интерполяцией. С
другой стороны, есть весьма эффективный способ повысить точность метода —
максимально возможно расширить класс функций, для которых квадратурный
метод дает точный результат.
В приближенной формуле (2.3.4) для вычисления интеграла используется
2п параметров, Хк и хк. В случае, когда хк заданы, легко найти Xki
обеспечивающие выполнение точного равенства (5.3.4) для полиномиальных функций
fix) степени не выше п — 1. Для этого достаточно потребовать, чтобы значения
аппроксимирующего многочлена совпадали со значениями / в η точках —из
этого будет следовать, что он совпадает с /, если deg/<n — 1. Это максимум,
чего мы можем достичь интерполяционным методом Лагранжа с
фиксированными хк. Если же не фиксировать xki то возможность варьировать каждый из
параметров хк добавляет единицу к степени аппроксимируемого многочлена.

240
Глава 5. Ортогональные многочлены
Таким образом, максимальная степень, которой можно достичь, варьируя все хк,
равна 2п — 1.
Подобная процедура кажется сложной нелинейной задачей, так как нам
требуется решить 2п уравнений, линейных по Xki но нелинейных относительно хк:
η ь
2 А**;* = ξ xjdaW, j = 0,1, ...,2n-l.
Jk=l α
Ответ на этот вопрос дается гауссовой квадратурной формулой, содержащейся
в следующей теореме. Прежде чем ее сформулировать, уточним некоторые
обозначения. Итак, {Рп(х)У — последовательность многочленов, ортогональных
относительно меры daQc):
ь
$PnQc)PmQc)daQc) = 0 для тфп. (5.3.6)
a
Обозначим через х; = х;п = х; п, где j = 1,2,..., η, нули многочлена PnQc). В
следующем параграфе мы покажем, что эти нули простые и лежат на отрезке [а, Ь].
В качестве примера можно рассмотреть многочлены Чебышёва первого рода
Гп(х), имеющие на отрезке [—1,1] по η нулей.
Теорема 5.3.2. Существуют такие положительные числа Ax,...,An, что
для многочлена /(дг) степени не выше 2п — 1 выполняется равенство
ь η
5 /Qc) da(x) = J] A;/(jc;), (5.3.7)
где χ ρ j = l, ...,η определены в тексте перед теоремой, а А; = А;п = А;п
вычисляются по jc;· с помощью формулы (5.3.5).
Доказательство. Пусть /(х) — произвольный многочлен, тогда с
помощью деления с остатком мы получим
/Qc)=PnQc)QQc)+RQc).
Здесь многочлен Рп(х) определен выше, в формуле (5.3.6), а degR<n — 1.
Так как дг; — нули многочлена PnQc), мы получаем
f0Cj) = R0Cj) для j = 1,2,..., π
и, следовательно,
Ь Ь η
5 fix) da(x) = ξ PnWQQOd«W +Σ Я;Я*Р> (5·3·8)
a a ;=1
где Xj определены с помощью равенства (5.3.5). Тогда формула (5.3.7) будет
точна, если будет выполняться равенство
ь
5Pn(Jc)Q(x)da(jc) = 0. (5.3.9)
a
Так как равенство (5.3.9) всегда выполняется при degQQc) <п — 1, формула
(5.3.7) верна для всех многочленов fix) степени не выше 2п—1. Осталось только

§ 5.3. Гауссовы квадратуры
241
доказать положительность параметров Я;. С этой целью заметим, что tf — lj —
многочлен степени 2п — 2, обращающийся в ноль в точках xk, fc = l, 2, ...,η.
Следовательно,
q-ij = pnMQM,
причем deg Q < η — 2. Отсюда следует, что
ь ь
$ (Ζ;2 - lj) daW = $ P„Qc)QQc) daW = О,
а а
и, таким образом,
ь ь
Я; = $ *,(*) da(x) = $ Z;2Qt) da(x) > 0.
a a
Теорема доказана. D
В случае, если /(х) не является многочленом степени не выше 2п — 1, хотя
теорема и не выполняется, правую часть равенства (5.3.7) можно использовать
как аппроксимацию левой. При этом очень важен вопрос о погрешности
приближения. Мы не будем в него углубляться, только докажем, что если /(х) —
непрерывная функция, то правая часть равенства (5.3.7) стремится к левой при
Теорема 5.3.3. Если функция /(дг) непрерывна на конечном отрезке [а, Ь],
то
η Ъ
lim ^Г Xjnf{xjn) = ξ /W da(x),
где А; и Xj определяются так же, как в теореме 5.3.2.
Доказательство. Сначала заметим, что по теореме Вейерштрасса об
аппроксимации (см. упражнение 40 гл. 1) для любого ε>0 существует такой
многочлен pQc), что
|/(х) — рМ\ < e/(2S) для любого χ € [a, b],
где
Положим также, для согласованности обозначений,
Ь η
Kg) = § «(*) da(x) и Jn(g) = J] A;ng(x;n),
где g —произвольная непрерывная на [a,b] функция. Тогда
ь
|ДЯ-ДР)1< $ |/Qc)-pQc)|daQc)<*/2
a
И
η
IW) -UP)I < Σ A;n|/(jc;n) -ρ(*;„)| < e/2,

242
Глава 5. Ортогональные многочлены
следовательно,
|/„CfW(fll < Un σ) - /п (р) I + |/п Ср) - /(ρ) Ι + |/(р) - /(Л I.
Теперь выберем такое п, что 2п — l>degp(x), чтобы выполнялось условие
/п(р)=/(р), а следовательно, и
IWfW(f)l<*.
Из последнего неравенства немедленно следует утверждение теоремы. D
Замечание 5.3.1. Гаусс получил утверждение теоремы 5.3.2 для случая da(x) =dx.
Возникающие при этом многочлены — многочлены Лежандра, имеющие для отрезка
[-1,1] вид
Замечание 5.3.2. В случае da(x)=dx/>/l —χ2 мы получаем многочлены Чебышёва
первого рода. Можно проверить, что
λλ = λ2 =... = λπ,
и равенство (5.3.7) принимает вид
ХюъЬ-ЯК-Ф")
для полиномиальных функций / степени не выше 2п — 1. См. также [453] и упражнения
3-10.
§ 5-4- НУЛИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
Как мы видели, многочлены Чебышёва первого рода Гп(х) имеют по η простых
нулей на отрезке [—1,1]. Можно показать, что этим свойством обладают
и многочлены Якоби. Это можно увидеть, если использовать индукцию, теорему
Ролля и представление многочленов в виде
С(1-х)-в(1+хГр^г{(1-х)п+в(1+х),|+р}.
Следующий результат показывает, что данное утверждение верно и для
произвольных ортогональных многочленов.
Теорема 5.4.1. Пусть {Рп(х)} — последовательность многочленов,
ортогональных относительно меры da(x) на отрезке [а,Ь]. Тогда Рп(х) имеет на
отрезке [а, Ъ] ровно η простых нулей.
Доказательство. Предположим, что на отрезке [а,Ь] многочлен РпМ
имеет в точности m нулей нечетного порядка хх, x2,...,хт. В этом случае
Q(jc) = Pn(jc)(jc-x1)(jc-jc2)...(jc-jcm)>0 (5.4.1)
для любого χ из отрезка [а,Ь]. Если т<п, то из ортогональности
многочленов Рп(х) следует равенство
ь ь
$ Q(х) dx = ξ Р(х) · (х - хх) (х - х2)... (х - xm) dx = 0. (5.4.2)

§ 5.4. Нули ортогональных многочленов
243
Однако из неравенства (5.4.1) следует, что интеграл (5.4.2) является строго
положительным. Из полученного противоречия следует, что т = п, и также
отсюда следует простота всех нулей. D
В следующей теореме мы будем обозначать нули многочлена РпМ в
возрастающем порядке хы < х2п <... < хпп.
Теорема 5.4.2. Между каждыми двумя нулями многочлена Рп+\М
находится нуль многочлена Рп(дг). Иными словами, нули данных многочленов разделяют
друг друга1.
Доказательство. По следствию 5.2.6 получаем
Pn+1WP^x)-PnMPUiM < 0.
Так как χ^>η+ι является нулем многочлена Ρη+ιΜ, мы имеем
^Κη+ΐ)Ρή+1^η+ΐ)>°·
Так как все нули простые, значения Ρ„+1(^η+1) Ρ„+1(^+ι,η+ι) имеют различные
знаки. Следовательно, Ρη0χ*,η+ι) и PnCxjt+i,n+i) также имеют разные знаки. Из
непрерывности многочлена Рп следует наличие между Xk,n+iи xk+i,n+i> fc = 1,.», π,
хотя бы одного нуля этого многочлена. Теорема доказана. D
Используя гауссову формулу квадратуры, мы можем усилить утверждение
теоремы 5.4.2.
Теорема 5.4.3. Пусть т<п, тогда между любыми двумя нулями
многочлена РтМ найдется хотя бы один нуль многочлена Рп0с).
Доказательство. Предположим, что между хкт и Xk+i,m нет ни одного
нуля многочлена PnQc). Рассмотрим многочлен
gW =
С* ~" хкт ) С* ~ хк+1,т )
Очевидно, что g{x)Pm{x)>0 для χ Φ (хкт> xk+i,m) - β соответствии с гауссовой
формулой квадратур
Ь η
5 gMPmW daW = J] A;g(x;n)Pm(x;n).
Так как g(x;n)PmQc,m) > 0 и это выражение не может быть равным нулю для всех
j = 1,..., η, ввиду условия Я; > 0 сумма в последнем выражении положительна.
Однако по причине ортогональности многочленов, интеграл должен быть равен
нулю. Полученное противоречие доказывает теорему. D
В завершение этого параграфа мы приведем неравенства Маркова—Стил-
j
тьеса для сумм J] Хк, где j < п. Снова обозначим через х;, j = 1, j2,..., η, нули
Jk=l
многочлена PnQc), упорядоченные по возрастанию.
Теорема 5.4.4. Следующее неравенство Маркова—Стилтьеса верно для j = 1,
2, ..., η:
k=l a fc=l

244
Глава 5. Ортогональные многочлены
Доказательство. По формуле квадратур
Ь η
$ /Qc) da(x) = J] Afc/(xfc), (5.4.3)
a Jk=l
где / — многочлен степени не выше 2п — 1. Как мы уже видели, при /Qc) = l
это дает равенство
JTAfc = SdaCx).
Jk=l a
Если бы равенство (5.4.3) выполнялось для ступенчатой функции
fl, *<*,,
мы могли бы представить J] Afc как § da(jt). Однако /,(.*) не является МНОГОЧЛе-
И^г а
ном (ф тем более степени, не превышающей 2п — 1), поэтому мы воспользуемся
следующим методом. Потребуем от многочленов φη(χ, j) и Фп(х, j) (см. рис. 5.1)
степени не выше 2п — 2, чтобы выполнялись условия
4>nOCk,J) = \n , . (5-4.4)
fl, k = l,...,j,
#-^я = {о, k^n.,» (5Λ5)
И
VnbJXfjM < Ф„(х, J). (5.4.6)
Сначала для доказательства неравенств Маркова—Стилтьеса, мы предположим
существование таких многочленов, а позже и обоснуем его. Подставив
многочлен φη(χ,]) степени меньше чем 2п — 1 в квадратурную формулу (5.4.3), мы
получим
J-1 Ь Ь Xj
Σ Я, = $ ¥>„(*, J) da(x) < ξ /;Wd«W = $ <*α(χ).
ι Стоит отметить аналогию с осцилляционной теоремой Штурма из курса обыкновенных
дифференциальных уравнений.

§ 5.5. Непрерывные дроби
245
Подстановка Фп(дг, j) приводит к неравенству
£*k>$'da(x).
Jk=l a
Вместе эти неравенства дают неравенство
][]Afc<SdaCx)<][]Afc,
Jk=l a Jk=l
т.е., неравенство Маркова—Стилтьеса.
Чтобы доказать существование многочлена φη{χ,)), заметим, что условия
(5.4.4) вместе с условиями
Vn(*b# = 0, k*h (5А7)
определяют многочлен степени не выше 2п — 2. Достаточно теперь показать,
что φη(χ, j) касается, но не пересекает прямую у = 1, пересекает прямую у = О
в точке Xj и нигде не пересекает ее правее χ у Заметим, что если φη(χ,))
пересекает прямую у = 1 в νχ точках и прямую у = 0 в ν2 + 1 точке, то по
условиям (5.4.4) и (5.4.7) многочлен φη{χ,)) — \ имеет не менее 2(j — l) + v1
нулей при Jt<Jtj, а φη{χ,)) имеет как минимум 2(п — ;) + ν2 + 1 нулей, при
*>*,·, с учетом кратности. Из этого следует, что φ'η(χ,]) имеет не менее
2(j —1) + V\ — l + 2(n — j) + v2 = 2n — 3+ vx + v2 нулей. Так как степень
многочлена φ'η равна 2п — 3, и уъ и ν2 должны быть равны нулю. Это доказывает
первое из неравенств (5.4.6), второе доказывается аналогично. Кроме того, оно
является следствием первого неравенства: достаточно заменить хк на Ь—хк и φ
на1 — φ. Ώ
§ 5-5- НЕПРЕРЫВНЫЕ ДРОБИ
Есть связь между ортогональными многочленами и непрерывными дробями
определенного вида. Связь эта активно изучалась и достаточно хорошо описана.
В данном параграфе мы коснемся некоторых ее аспектов и дадим
доказательство интересного утверждения, принадлежащего Стилтьесу.
Пусть {an}J° и {bn}J° — две последовательности комплексных чисел. Мы
будем обозначать непрерывную дробь через
aa a2 a3 re с-η
^ + Μζ+ξ+··· (5·5·υ
Через Сп мы будем обозначать п-ю подходящую дробь, т. е.
г - и -. Ло г - и _l ai - bobi + fli _. Λι
_ _£i_£2_b . Qi _b0Q>1b2 + a2) + <iib2 _mA2
^2-D0l-bi+b2 °0^bi+a2/b2 Ъ^ + Оъ ' Β2·
Определение 5.5.1. Непрерывная дробь (5.5.1) сходится, если существует
предел lim Сп и не определено не более чем конечное число дробей С„. (В дан-
ном выше примере С2 не определена, если B2 = bxb2 + a2 = 0.)

246
Глава 5. Ортогональные многочлены
Определенные нами последовательности {Ап} и {Вп} удовлетворяют
трехчленному рекуррентному соотношению, данному в следующей лемме.
Лемма 5.5.2. При п>\ числа Ап и Вп определяются соотношениями
К = К Λη_χ + αηΛη_2, Α_ι = 1 (5.5.2)
и
Вп = b„B„-i + апВп_2, В_х = 0. (5.5.3)
Доказательство. Заметим, что, так как
Г -h м fll fl2 fl"
С„ — On + 7—Г 7—Г —
ΤΗ
»°^ъг+ъ2+-ъп
cn+i-&o + i—τι—г.
b1+b2+-"bn+bn+1'
мы можем получить Сп+1 из Сп, подставив anbn+1 вместо ап и ЬпЪп+1 +αη+1 вместо
Ьп. Далее, утверждение леммы, очевидно, верно при п = 1. Предположим, что
утверждение верно для чисел до η включительно. Для η +1 имеем
Αι+1 = (ЬпК+l +αη+ΐΜη-1 + αη&η+ΐΑι-2 =
= Ьп+1(ЬпЛп-1 + αηΑη_2) + αη+ιΛι-ι = &η+ιΑι + αη+ιΑι-ι·
Таким образом для Ап результат доказан по индукции. Доказательство для Вп
проходит аналогично. Лемма доказана. D
Для доказательства следующей леммы мы воспользуемся методом,
использованным при доказательстве тождества Кристоффеля—Дарбу.
Лемма 5.5.3. Справедливо равенство
АпВп^-ВпАп^ = (-1)η+1αχα2...αη, η > 1.
Доказательство. Умножим равенство (5.5.2) на Вп_х, а (5.5.3) —на Ап_г
и вычтем одно из другого. Получим
АА-1 - Β,Λι-ι = -αη GViBn-2 - Β„-ι Αη_2) -
Результат теперь можно получить, применив данную процедуру нужное число
раз. D
При сравнении рекуррентного соотношения (5.2.2), которому
удовлетворяет последовательность ортогональных многочленов {PnGc)}, с соотношением
(5.5.3) хочется написать непрерывную дробь
d° 9l £2 (554)
A0x + B0-Alx + B1-A2x + B2-'" к ' J
Для этого случая п-я подходящая дробь является рациональной функцией со
знаменателем PnGc). Обозначим последовательность числителей через {P*Gc)}.
Последовательность {P*Qc)} удовлетворяет тому же соотношению
Pn*+1(jc) = (Anjc + Bn)Pn*(jc)-CnPn*_1(x), п>1, (5.5.5)
однако с иными начальными условиями
Р0*(*) = 0, Р1*(х)=А0.
Предположим, что последовательность {Р„(х)} ортогональна относительно
меры da{x) на отрезке [а,Ь]. Следующий результат показывает связь между
{РпМУ и {Рп*(х)}.

§ 5.5. Непрерывные дроби
2А7
Теорема 5.5.4. Пусть РпМ и Р*(дс) — определенные выше многочлены. Тогда
выполняется соотношение
Р:М = 5уЛХ11™ааЮ, п>0, (5.5.6)
а
с некоторой константой δ.
Доказательство. Если n = 0, to P0(jc) = const и утверждение верно. При
п = 1 имеем Рх (х) = кгх + const и утверждение опять верно при подходящем
выборе δ.
Пусть теперь п>2. Обозначим правую часть равенства (5.5.6) через Rn(x)
и заметим, что
RnM - GVj* + Bn_i)Rn_i Μ + Cn_!Rn_2(x) =
= 5ξ Pn(x)-Pn(t)-(An.1x + Bn.1)(Pn.1(x)-Pn.1(Q) Сп_г{Рп_2Ю-Рп_2Ю)
J x — t x—t ^'
a
= δ I -^-^B^P^iA^x^^P^t) da(f) = δΑηΐ ξ pni(t) da(t) = 0
a a
Таким образом, RnQc) удовлетворяет тем же рекуррентным соотношениям
и начальным условиям что и Р*(х). Теорема доказана. D
Пусть xki fc = l, 2, ..., η нули многочлена Рп(х). Следующий результат
получается при использовании формулы квадратур.
Теорема 5.5.5. В обозначениях теорем 5.3.2 и 5.3.3 выполняется
соотношение
где δ — константа, стоящая в формуле (5.5.6).
Доказательство. Запишем рациональную функцию Р*(дг)/Рп(дг) в виде
дроби
W=v_W_
РЯМ ^Рп'(**)(*-**)'
(Заметим, что степень многочлена Р*(дг) ниже степени многочлена Рп(х).) По
теореме 5.5.4 имеем
wHw^"'0^· (5·5β)
Последнее равенство следует из гауссовой формулы квадратур (теорема 5.3.2).
Теорема доказана. D
Теорема 5.5.5 доказана Стилтьесом [363, статья LXXXI]. Следующий результат
принадлежит А. А. Маркову.
Теорема 5.5.6. Пусть [а, Ь] — конечный отрезок. Тогда для любого χ € [а, Ь]
выполняется равенство

248
Глава 5. Ортогональные многочлены
Доказательство. При всех χ φ [α, Ь] функция —— является непрерывной
на [а,Ь] функцией от t. Из этого наблюдения и теорем 5.3.3, 5.5.5 следует
утверждение теоремы. D
Замечание 5.5.1. Так как Хк>0, вследствие соотношения (5.5.8) нули
многочленов Р*(х) и Рп(х) чередуются.
Замечание 5.5.2. В теореме 5.5.6 мы можем взять также и комплексное х, не
лежащее на [а,Ь]. Обозначив через F(x) правую часть равенства (5.5.9), мы получим
следующее обращение формулы Стилтьеса:
1 г
a(c)-a(d)=-- lim \ lmiF(u + w)}du.
71 v->+0 J
с
Таким образом, мера может быть найдена по F.
§ 5-6. полиномиальные воспроизводящие ядра
В § 5.1 мы заметили, что частичная сумма ряда Фурье в интегральном
представлении дает многочлены Чебышёва третьего рода: Уп(дс) = sin(n +1/2)0/ sin(0/2),
jc = cos0. Более общим образом, можно сказать, что при изучении частичных
сумм с использованием ортогональных многочленов мы получаем
полиномиальные воспроизводящие ядра1.
Пусть {рпМУ — последовательность многочленов ортогональных
относительно меры da(x) на отрезке [а,Ь]. Как и ранее — a><cz<b<oo. Пусть / —
ь
такая функция, что интеграл § f(t)pn(f) da{t) определен при любом п.
a
Ряд, соответствующий ряду Фурье, имеет вид
а0р0 Μ + агрг (х) +... + апрп{х) +..., (5.6.1)
где
ь 1ь
ап = $ ДОРп(0 da{f) / ${pn(t)}2 da{t). (5.6.2)
a /a
знаменатель ап мы будем полагать равным единице, т.е. набор {рпМ} —
ортонормированным. Частичная сумма Sn(x) имеет вид
η Ь Ь
SnW = J] pkW $ ДОр*(0 da{t) = $ f{f)Kn{t9 χ) da{t), (5.6.3)
Здесь
η
Kn{t,x) = ^pk{t)pk(x). (5.6.4)
k=0
Определение 5.6.1. Пусть {pn(x)} — ортонормированная
последовательность многочленов. Тогда последовательность {Кп(х0,х)}> где
η
Кп(х0, х) = J] pk(Xo)PkW,
к=0
будем называть последовательностью полиномиальных воспроизводящих ядер.
ι Β оригинале polynomial kerneh.

§ 5.6. Полиномиальные воспроизводящие ядра
249
Лемма 5.6.2. Пусть QM— многочлен степени не больше п. Тогда1
ь
а
Доказательство. Очевидно, QQc) можно представить в виде
η
QM = Y^akpkM
Jk=0
с некоторыми постоянными коэффициентами ак. Умножая обе части на рДх)
и интегрируя, из ортогональности получаем
ъ
^QWPjWdadt^aj.
а
Лемма доказана. Π
Теорема 5.6.3. Пусть х0<а и оба эти числа конечны. Тогда
последовательность {Кп(х0,х)У является ортогональной относительно (знаконеопреде-
ленной) меры (t — x0)da(t).
Доказательство. Применим лемму 5.6.2 к QiO^it—x^Q^it), где
Qn-i(0 — произвольный многочлен степени п — 1. Теорема доказана. D
Замечание 5.6.1. Подобное утверждение верно и при конечных х0 > Ь.
Замечание 5.6.2. В случае многочленов Чебышёва Тп(х), если х0 = а = — 1, для
jc = cos0 имеем
^^-l,cos0) = i-cos0+cos20-... + (-ircosn0 = (-l)"i5ggi^.
Многочлены
cos(n + ±)e
W„(*)= в > * = cos0,
cos I
называются многочленами Чебышёва четвертого рода. По теореме 5.6.3 многочлены
/1 + jc
{Wn(x)} ортогональны, весовая функция— утз~· Если же взять х0 = Ь = 1, мы
получим многочлены Чебышёва третьего рода Vn(x), ортогональные по весовой функции
[(Ι-χνα + χ)]1'2.
Замечание 5.6.3. Другим следствием теоремы 5.6.3 является то, что если
многочлены {рп(х)У ортогональны, то многочлены qnM, определяемые из
ΡηΜ Ρη+ιΜ _ . п rvVv *
Ш-Ша)-К<1ЛхКХ-а)·
ортогональны относительно (t — a)da(x). Действительно, имеем
v (п ^ _ V PkMPkW _ ΑηΡη(α)Ρη+ι№[Ρη+ιΜ PnMl _„ п ΓνΛ
с некоторой постоянной μη. Из последнего уравнения также следует, что
Vn<lnW-V>n-i<ln-iW = ζ ·
Данный результат потребуется в дальнейшем нам в гл. 6, § 6.4.
ι То есть лемма дает формулу для проектора из пространства I2 на подпространство многочленов
степени не выше п.

250
Глава 5. Ортогональные многочлены
Формула Кристоффеля—Дарбу позволяет дать компактное выражение для
полиномиальных ядер:
KniXo,x) = ^^WP"(*o)-P,,+1(*o)P,,W (565)
Νι+ι χ хо
Если мы выберем х0 = хк, где хк — корень многочлена pnQc), то
Kntxbx) = -^Pn+f^nM. (5.6.6)
Νι+Ι х хк
Вид Кп наводит на связь с формулой квадратур. Ее описывает следующая
теорема.
Теорема 5.6.4. Числа Хк (или Хкп) в формуле квадратур Гаусса имеют вид
Ak = ~tfp^№); (5·67)
а обратные им величины имеют вид
η
1/Xk = Кп(хь хк) = Σ(ρ; (х*))2. (5·6·8)
Доказательство. В формуле Гаусса Хк выражаются как
b pn(t)da(t)
Xk~^vi
Р'пШЬ-ХкУ
Из леммы 5.6.2 и формулы (5.6.6) имеем
1с Ъ 1с
К = "If · jwiCx*W) S *"(*ь°da(t) = ""TjWiCxipiCx*)·
Формула (5.6.7) доказана. Для вывода формулы (5.6.8) в соотношении (5.6.6)
перейдем к пределу при χ —> хк и получим
К(хк,хк) =-Tr^Pn+itek)Pn(xk)·
Νι+ι
Отсюда следует соотношение (5.6.8). D
Как показано в следующей теореме, для полиномиальных воспроизводящих
ядер выполняется свойство максимума, описанное в сформулированной ниже
теореме.
Теорема 5.6.5. Пусть х0 —вещественное число, QM— многочлен степени
не выше η и выполняется условие
ь
$(Q(t))2da(t) = l
a
т.е. многочлен Q(jc) нормирован. Тогда максимальное значение выражения
(QQco))2 достигается при
QM = ±Кп(х0,*)/лДп(хо,*о)
и равно Кп(х0,х0).

§ 5.7. Формула Парсеваля
251
Доказательство. Так как многочлены QQc) имеют степень не больше п,
мы имеем
Q(x) = а0Ро (*) + а\Р\ Μ +... + fliiPiiC*)·
Условие нормировки приводит к равенству
ag + a5 + ... + a; = l.
По неравенству Коши—Буняковского—Шварца
η
[Q(*o)l2 < Σ ^ Σ Ρ* (*ο) = Σ rf(xo) = *n(*o, *o)·
fc=0
Равенство достигается при ак = APfc(x0), где Λ находится из условия
Α2Σρϊίχ0) = 1.
fc=0
Теорема доказана. Π
§ 5·7· ФОРМУЛА ПАРСЕВАЛЯ
Обозначим через Lpa(a, Ь) класс таких функций /, что
ъ
$|/|'da(x)<oo.
a
b
Как всегда, мы предполагаем, что § jcnda(jc) < », для η>0. В этом параграфе нас
a
будет интересовать случай L2a(a, b). Из неравенства
Коши—Буняковского—Шварца следует существование интегралов
ь
5/(x)x"da(x)
a
при всех π > 0.
Теорема 5.7.1. Пусть /€ΐ£(α, b), a QQc)—многочлен степени п,
η
QM = YtakPkW>
fc=0
где {рп(х)У — последовательность многочленов, ортонормальных по мере da(x).
Тогда интеграл
ь
$[/(*)-QQc)]2 da(x) (5.7.1)
а
достигает минимума при
ь
ak = \fMpkMdaM. (5.7.2)
a

252
Глава 5. Ортогональные многочлены
Более того, при таких ак выполняется неравенство
η Ь
2a'<$[/(*)]2daQc). (5.7.3)
к=0 а
Доказательство. Положим
ь
<* = §/(*)?*(*) da(x).
a
Из ортогональности многочленов {рп00} получаем
0< $[/Qc)-QQc)]2da(x) = $[/(χ)-Σα*Λ(χ)] da(x) =
α α fc=0
b η η b η η
= 5[/W]2da(x)-22^c, + 2^= St/Ml'daM-S^ + ^i^-c,)2.
a k=0 fc=0 а k=0 k=0
Последнее выражение минимально при ак = ск. Оба утверждения теоремы
доказаны. D
Следствие 5.7.2. При / €ί,2(α, Ъ) и определенных в теореме ак выполняется
неравенство
00 Ь
2a2<$[/Qc)]2da(x). (5.7.4)
η=0 α
η
Доказательство. Последовательность частичных сумм sn = J] a£ является
Jk=0
ограниченной и возрастающей. D
Неравенство (5.7.4) называется неравенством Бесселя. Исследуем когда
может достигаться равенство. Предположим, что отрезок [а, Ь] конечен.
Воспользуемся следующим результатом из теории меры и интеграла.
Лемма 5.7.3. Для любой функции /€l£(a,b) u всякого ε>0 существует
такая непрерывная функция g(x), что
ь
$[/Q0-g(x)]2daQc)<*.
a
Теорема 5.7.4. Пусть отрезок [а,Ь] конечен. В обозначениях теоремы 5.7.1
верна формула Парсеваля
* ь
2a2=$[/Qc)]2da(x). (5.7.5)
k=0 a
Доказательство. Возьмем функцию gQc), указанную в лемме 5.7.3. По
теореме Вейерштрасса об аппроксимации для всякого ε > 0 существует такой
многочлен QnQc), что
ь
$teQ0-Qn(*)]2daQc)<*.

§ 5,7, Формула Парсеваля
253
Отсюда следует неравенство
ь
$ [fM - QnM]2 daM < 4ε, (5.7.6)
α
η
По теореме 5.7.1 мы можем выбрать QQc) = Σ акрк Μ с коэффициентами afc
Jk=0
заданными формулой (5.7.2). Как и в доказательстве теоремы 5.7.1, получаем
из неравенства (5.7.6), что
Ь η
\иМ]2ааМ-^а2к<4е.
a k=0
Так как ε может быть сколь угодно мало, теорема доказана. D
Следствие 5.7.5. Пусть [а, Ь] — конечный отрезок, /€l£(a,b) и для всех
η > О выполняется равенство
ь
$/Qc)xnda(x) = 0. (5.7.7)
а
Тогда /(*) = 0 почти везде.
Доказательство. Поскольку ак = 0 для любого fc, из формулы
Парсеваля (5.7.5) следует, что
$[/Qc)]2daQc) = 0.
ь
Следствие доказано. D
В упражнениях 24—28 этот же результат дается для бесконечных интервалов.
Доказательства даны в книге Стоуна [365].
Замечание 5.7.1. Можно дать другое доказательство. Пусть QM удовлетворяет
условию (5.7.6), тогда из формулы (5.7.7) и неравенства Коши—Буняковского—Шварца
следует
ν2 гь \2
($[/Qt)]2 daM] = U f MUM-QnM] daM]
ь
$[/(х)]2daM $UM-QnM]2daM.
ь
Отсюда получаем
ь
\UM]2daM<4e,
а
и следствие доказано.
Следствие 5.7.6. Пусть /€ΐ£(α,ϊ>) (как и в следствии 5,7,5),
η
snM = Y^akpkM,
Jk=0
причем, коэффициенты ak взяты в соответствии с формулой (5.7.2). Тогда
ь
WsnM-fM\\22=\[snM-fM]2daM^0 при n->«.

254
Глава 5. Ортогональные многочлены
Доказательство. Данный результат показывается в процессе
доказательства теоремы 5.7.4. D
Если отрезок [а,Ь] не является конечным, то, вообще говоря, теорема
5.7.4 и ее следствия неверны. В качестве примера можно рассмотреть (см.
упражнение 20 гл. 1)
da{x) = ехр(—χμ cos μπ) dx, /Qc) = 8ίη(χμ sin μπ), 0 < μ < 1/2.
Тем не менее существуют важные примеры многочленов, ортогональных на
бесконечных промежутках, в частности многочлены Лагерра на (0, оо) и
многочлены Эрмита на (—оо, оо). в следующей главе мы покажем, что в их случае
утверждение теоремы 5.7.4 верно.
§ 5-8. производящая функция моментов
В этом параграфе мы получим представление в виде непрерывной дроби для
производящей функции моментов ][] μηχη, где
Ь
Mn = (l,t")=$tnda(t). (5.8.1)
a
Подход, изложенный здесь, принадлежит Годсилу [166], в его книге
содержится более подробная информация об алгебраических комбинаторных методах
в теории ортогональных многочленов. В данном параграфе мы предполагаем
у читателя минимальное знакомство с терминологией теории графов.
Пусть G — граф с η вершинами. Определим матрицу смежности A = A{G)
следующим образом: Λί; = 1, если i-я и j-я вершины являются соседними, т. е.
соединены ребром, иначе Ai; =0. Ребро {i,j} мы считаем состоящим из двух дуг,
(i,j) и 0, i). Путем на графе называется перемежающаяся последовательность
вершин и дуг, где каждая дуга соединяет соседние с ней в последовательности
вершины. Если первая и последняя вершина в последовательности совпадают,
путь называется замкнутым. Длиной пути называют число дуг в нем. По
индукции несложно установить следующий результат: число путей из точки i в точку;
длины т равно (Am)i;·, т. е. элементу матрицы Ат, стоящему на пересечении i-й
строки и j-ro столбца.
Нам потребуется рассматривать направленные ребра с весом *, элемент СА)у
будет равняться весу дуги (i,j). Для этой матрицы мы сохраним обозначение
A = A(G). Положим
</>(G,jc) = detQcJ-A(G))
и
^(G,x)=J(An)/.
Тогда W;;(G,jc) — производящая функция для числа путей в G из i в j. Пусть
W(G,x)— матрица с элементами W^(G,jc). Очевидно,
W(G,x) = ^AV.
ή>0
ι Под «весом» подразумевается кратность; ниже она не обязательно является целой.

§ 5.8. Производящая функция моментов
255
Из того факта, что A adjCA) = det(A) J, где adj(A) — матрица присоединенная к А,
имеем
W{G,x) = χ-ιφ{Ω,χ-ιΥι adj(x_1/-A). (5.8.2)
Отсюда получаем
Щ&х) = x-l<p{G\i,x-lV<ptG9x-l)9 (5.8.3)
где G\i — граф, получающийся из G удалением вершины i.
Проделанные рассуждения имеют связь с ортогональными многочленами,
которую мы сейчас раскроем. Пусть {рпМУ — последовательность
ортогональных многочленов, удовлетворяющая рекуррентному соотношению
Рп+ιΜ = (x-an)pn(x) -bnpn_x(x), n > 1. (5.8.4)
Все многочлены предполагаются имеющими старший коэффициент единица.
Рассмотрим матрицу
I 1 ах Ь2
А=\ 1 а2 Ь3
ν ·· '··;
Занумеруем ее столбцы и строки неотрицательными целыми числами.
Обозначим через Ап матрицу состоящую, из η первых строк и столбцов матрицы Л.
Отметим, что, раскладывая det(jc/ — An) по последней строке, мы получаем
det(x/-An) = 0с-ап_1)рп_1М-Ъп_1рп-2М=РпМ-
Следовательно, рпМ является характеристическим многочленом матрицы Ап.
Заметим, что матрица А является матрицей смежности для некоторого
взвешенного графа G с множеством вершин, занумерованных неотрицательными
целыми числами. Если взять только первые η вершин графа G, то матрицей
смежности получившегося подграфа Gn будет Ап.
Производящую функцию моментов ][] (1, tn)jcn мы будем понимать как
некоторый формальный ряд. Чтобы найти ее представление в виде непрерывной
дроби, нам потребуется следующая лемма. Предположим, что μ0 = (1,1) = 1.
Лемма 5.8.1. Для неотрицательных η выполняется равенство
μη = (1,χπ) = (Λη)οο.
Доказательство. Заметим, что WC)00 = (A^)00 для k<2n + l, так как
замкнутый путь длины не больше 2п + 1, начинающийся в точке 0 не может
содержать вершины с номером больше п. Следовательно, (рп(А))00 = (рп(Лп))оо.
Мы уже видели, что при п> 1 многочлен рп(х) является характеристическим
многочленом для Ап. По теореме Гамильтона—Кэли рп (Ап) = 0, и, следовательно,
аРп) = (Рп(А))оо
при п>1. При п = 0 равенство выполняется по определению. Утверждение
теоремы следует теперь из того, что хп является линейной комбинацией
многочленов Ро,ръ...,рп. □

256
Глава 5. Ортогональные многочлены
Теорема 5.8.2. Для определенных в формуле (5.8.4) коэффициентов ап и Ъп
выполняется равенство
х% х2Ъ2
Ун t»)xn = —ϊ xbl xb2
Zju,c jx ΐ-χα.-1-χα,-Ι-χαο'"
n>0
Доказательство. Обозначим через Ank матрицу, получающуюся из Ап
отбрасыванием к первых строк и столбцов. Положим
qn-kW = detU-xAntk).
Заметим, что
<р&п9 χ) = det(xJ-An) = xn detQ-x-lAn>0) = jc^QT1)
и
4>(Gn\0,x) = det(xJ-Antl) = x^detd-jrXi) =xtlr'lqn^x'1).
Из равенства (5.8.3) и двух последних равенств следует, что
х Woo(Gn,x )- y(GwX) -x -^дргу. (5.8.5)
Разложение det(jc/ — An) по первой строке приводит к равенству
qnM = (1 -xa0)qn_l (χ) - x\qn-2 W>
или
gn-lW _
qnM 1-хао-х2ЬгЧп-2М/Чп-1М'
По лемме 5.8.1 мы получаем
]Г(1, t")*n = ΣWn)oo^n = ^oo(G,x) = Ит ^^.
Этот факт вместе с соотношением (5.8.6) доказывает теорему.
УПРАЖНЕНИЯ
1. а) Доказав, что
(5.8.6)
l + V2cosmflrm= * \—J
^Н l-2rcos0 + r2
выведите положительность ядра Пуассона для Тп(х) на интервале —1 < г < 1.
б) Вычислите ядро Пуассона
sin(m + l)fl sin(m + l)v> m
si)
sin 0 sin y>
ffl— V
для ί/η(χ). Обратите внимание на его положительность при —1 < г < 1.
в) Покажите, что ядром Пуассона для многочленов sin(n +1/2)0 является функция
00
£] гп sin(n +1/2)0 sin(n +1/2) φ =
_ (l-r)sin(0/2)sin(y/2)[(l-r)2 + 4r(l-cos(0 + y))/2cos(0-y)/2]
~ [l-2rcos(0 + <^)/2 + r2][l-2rcos(0-¥>)/2 + r2]

Упражнения
257
2. Пусть функция / имеет на [а,Ь] непрерывные производные до порядка η
включительно и хг < х2 <... < хп — точки на этом же отрезке. Докажите следующую
интерполяционную формулу Лагранжа с остаточным членом:
/(дс)=1п(х) + ^Р(х-дс1)(дс-дс2)...(х-дсп).
Здесь а < min(x,хг,х2,...,хп) < ξ < max(x,xl9 x2,..., хп) < b, a Ln(x) —
интерполяционные многочлены Лагранжа (определенные с помощью формулы (5.3.1)) со
значениями f(Xi) в точках xif i = 1,2,..., п.
Обзор результатов упражнений 3—10 содержится в книге [453]. Также в ней есть
ссылки на упоминаемые ниже работы Эрмита и Фейера.
3. В обозначениях упражнения 2 положим
η
Ln(x) = ^Ak(x-x1)(x-x2)...(x-xk).
fc=0
Покажите, что
* =y w
1 4f (^-^ι)···(^-^-ι)(^·-^+ι)···(^-^)
Теперь пусть х}г = а + (j — l)h, j = 1,2,..., п. Докажите, что
где
Δ/(χ;.)=/(χ;+1)-/(χ;.)
и
Az/(jc;) = A(Ai-1/(jc;·)).
4. Возьмем Z;(x), определенное в формуле (5.3.2), где Р(х) положим равным
(х-хг)(х-х2)..Хх-хп).
Проверьте, что Vj(Xj)=P//(xj)/P/(Xj). Покажите, что функция Я(х), определенная
формулой
(где уг, у2,..., уп> у[, у2,..., у'п заданный набор 2п вещественных чисел), удовлетворяет
условиям H(Xj)=yj и H'(Xj)=y' (Через Я' обозначена производная функции Я.)
Докажите, что если / имеет производные порядков до 2п, то
/Qc) = HQc) + ^^P2Qc),
где в определении функции Я полагаем у; =/(х;) и y' = f'(Xj), ξ лежит в том же
интервале, что и раньше.
5. В предыдущей задаче примените к /(*) гауссову формулу квадратур и покажите,
что
Ь п г (2п) f л &
$ fix) da(x) = Σ Afc/(xfc) + J—ψ $ P2(x) da(jc), a < r? < b.
Здесь {Рп(х)У — последовательность ортогональных на [a,b] относительно меры
άα{χ) многочленов со старшим коэффициентом единица.

258
Глава 5. Ортогональные многочлены
6. а) Покажите, что для многочленов Лежандра
nW 2пп\ άχΛ }
выполняется равенство
б) Воспользуйтесь формулой Кристоффеля—Дарбу и покажите, что
г Pn(OPn-iM-PnMPn-i(t) ,2
\ t-x η'
Pnit)Pn-iM-PnMPn-i(t) ^2
-1
в) Выведите из п. б), что если хк> к = 1,..., п —нули многочлена Рп(х), то
1
ρ„ω
nPn-iW'
г) Используя упражнение 5 и уже доказанные части данного упражнения, получите
формулу
у max Ljnpn_liXk)p>iXk)+ [(2п)1]з 2n + l'
где -1 < ξ < 1.
7. (Эрл€агп) Используйте многочлены Чебышёва ддя доказательства следующей
формулы, аналогичной г):
С /М dx = - Ϋ ffcos (2fc-D*n π (2η)
где —1 < ξ < 1. Заметьте, что в этом случае все Хк равны —.
кп
8. а) Докажите, что корнями многочленов Чебышёва Un(x) являются cos—-, Jc = l,
2кп
2, ..., п, а корнями многочленов Vn(χ) — соответственно cos- -, к = \, 2, ..., л.
(Напомним, что Tn(cos0) = cosn0 и i/n(cos0) = sinn0/sin0.)
б) Докажите квадратурные формулы
~l fc=l
где — 1 < ξ < 1. Конечно же, различным функциям / отвечают разные ξ.
9. (Фейер) Докажите, что при хк = cos — выполняется неравенство
\ T»Mdx >о
Указание. Перепишите интеграл в виде
(-l)b-i^^t ™ηθ ο sinedfl,
Π J COS θ — COS0fc

Упражнения
259
где 9к = -—~ , примените формулу Кристоффеля—Дарбу и проинтегрируйте
почленно.
10. (Фейер) Докажите, что если Un(xk) = 0f то
Ц.М
_\ U'n(xkKx-xk)
dx>0.
11. Пусть {РпМУ — ортогональная последовательность многочленов, хк, к = 1,2, ...,п,—
нули многочлена Рп(х). Рассмотрим разложение Рп_1(х)/Рп(х) в сумму простых
дробей
Рп-гМ
*nM
fc=l
*-*fc
Докажите, что ак > 0.
12. В обозначениях леммы 5.5.2 покажите, что
£=*+!<-»
fc=l
fc+lala2-afc
при условии b( φ0, ΒΐφΟ (1 < i < π).
13. Докажите, что если последовательность многочленов {Рп(х)У удовлетворяет
соотношениям
РпМ = (A^x + B^Pn-iM-Cn-iPn-iM при π > 1
и Ρ_α(λ:) = 0, то
ад =
Д0* + Яо 10 0
Са Агх + Вг 1 0
0 С2 А2х + В2 1
0,-2 A,-2* + Sn-2 1
Cn_! A^X-bB^
14. В условиях упражнения 13 предположим, что А„ = 1 при всех п, a Cn = |dn|2 = dndn.
Тогда нули многочлена Рп(х) являются собственными значениями матрицы
f-B0 dx 0 ... 0 0 0 "\
5ι -Βι d2 ... 0 0 0
do —В2 do
*.0 0
dn_2 —Bn_2 dn_j
0 dn_! -В,
n-lj
15. Докажите следующие рекуррентные соотношения для многочленов Лагерра и Эрми-
та соответственно:
а) (n + l)L«+1(jc) = (-Jc + 2n + a + l)L«(jc)-(n + a)L«_1(jc), п = 0, 1, 2, 3, ...;
б) Яп+1(х) = 2дсЯп(х)-2пЯп_1(х), п = 0, 1, 2, ..., H0Qt) = l, Н.1(х) = 0.
16. Пусть {pn(jc)>Q — ортонормированная по мере da(x) последовательность
многочленов. Положим
ь
μη = \χηάα(χ), π = 0,1,2,...

260
Глава 5. Ортогональные многочлены
Докажите, что
рпМ = сп
мо μι Μ2
μι Μ2 мз
Мп+1
Μη-1 Μη Μη+1 ··· М2л-1
1 jc jc2 ... jc"
где константа Сп находится по формуле Сп = (Dn_iDn) 1/2, a Dn является
детерминантом [Mfc+rnlfc.m^.l η·
17. Докажите, что в обозначениях упражнения 16 выполняется равенство
рпМ = сп
μ0χ-μι μ\Χ-μ2
μλχ-μ2 М2*~Мз
Μη-ι^-Μη
Mn^-Mn+i
|μ„_ΐ*-μ„ μηχ-μη+1 ... μ2„-2*-μ2η-ΐ |
18. {Гейне) Докажите, что в обозначениях упражнения 16 выполняются равенства
с ъ ъ n-i
P„W = ~ $ ... $ Π(χ"^ Π (Xi-xj?da(x0)da(xl)...da(xn_1)
α ί=ο
b b
0<i</<n-l
D"=(^TTiS--S Π (^-^)2da^o)daUi)...daUn).
α α 0<i<j<n
(Ссылки на Гейне см. в [375, с. 27].)
19. (Стилтъес) Пусть 1> Xj (α, β)>χ2(α,β) >...>*„ (α, j8)>—1 — корни многочлена Яко-
би Рп(а^Ч*)· Покажите, что при а> — 1 и β > — 1 выполняются неравенства
S<0' !f>0· *=1.2...·.π.
Действовать предлагается следующим образом.
а) Подставьте в квадратурную формулу Гаусса (теорема 5.3.2) α=—1, Ь = 1 и da(x) =
= (1—χ)α0.+χγ dx. Взяв производную по α, получите
1 η η
ξ /Qc)(l - х)а(1 + χΫ 1η(1 - jc) dx = Σ A;/'Qc;)*;(a) + J] AJ/(x,).
j=i
J=l
б) Положите /(x) = {Pn(a,^)W}2/(^ — **) и покажите, что
S{ln(l-x)-ln(l-^}(l-s)°(l+x)^"y_^ dx = Xk{a.y-^{^—(.xk)) ·
—1 *
Теперь следует заметить, что выражение в фигурных скобках и [х-хк) имеют
различные знаки. Утверждение —£ > 0 доказывается аналогично.
др
20. (Марков) Обобщим результат упражнения 19. Пусть ω(χ, τ) — весовая функция,
зависящая от параметра τ, положительно определенная и непрерывная при а<х<Ь,
Tj < τ < τ2. Предположим, что частные производные — существуют и равномерно
непрерывны при а<х<Ъ, τχ <τ <τ2, а интегралы
θτ
θτ
$*fc^£^d*, k = 0,l,...,2n-l,

Упражнения
261
сходятся равномерно на любом отрезке τ' < τ < τ", лежащем в (τα, τ2). Если хг(т) >
> *2(τ)> — > *η (τ)— нули многочленов Ρη (χ) = Ρη (χ> Ό (ортогональных
относительно ω (χ, τ)), то к-й нуль .χ* (τ) является возрастающей функцией переменной τ,
а —-/ω — возрастающей функцией переменной χ, α <χ < b.
σΤ
21. Пусть ω (χ) и W(x) — две непрерывные положительные весовые функции на [а,Ь],
W(x)
и пусть функция —рг является возрастающей. Докажите, что если {хк} и {Хк} —
нули соответствующих ортогональных многочленов, упорядоченные по возрастанию,
то
хк <Хк, к = 1,..., п.
Указание. Примените результат упражнения 20 к функции ω(χ, τ) = (1 — τ)ω(χ) +
+ tW(x).
Доказательства утверждений упражнений 19—21 и соответствующие ссылки можно
найти в [375, § 6.12 и § 6.21].
22. Используя результат упражнения 20, покажите, что для нулей многочленов Якоби
ρ(α>β\χ) при α, β € [—1/2,1/2] верно неравенство
2fc-l ^ ^ 2k ь ι о
23. Пусть {рп(х)}q —последовательность многочленов, ортонормированная
относительно меры da(x), и пусть
η Ь
sn(x,/) = sn(x) = 2cfcpfc(x), где cfc = ξ /(x)pfc(x) da(x).
Докажите, что
ь
/(x0)-sn(x0) = $[/(*o)-/(*)]Kn(x,x0)da(x).
a
24. Предположим, что функция /: [0, <») —>R непрерывна и lim /(χ) = 0. Покажите, что
Jf—»0О
функция /(χ) может быть равномерно приближена функциями вида e~ajfp(x), где
ρ (χ) — многочлен, а a — фиксированная положительная константа.
25. Докажите, что если /€LP(0, <»), р> 1 (или / — ограниченная измеримая функция)
и (для некоторого заданного а) выполняется условие
§ /(х)е~аххп ах = 0 для π = 0,1,2,...,
то /(х) = 0 почти всюду.
26. Предположим, что функция /: (—оо, oo)->R непрерывна и lim /(x)=0. Покажите,
что /(х) может быть равномерно приближена функциями вида е~а р(х), где р(х) —
многочлен.
27. Докажите, что если /€LP(—оо, оо), р> 1, и
$ /(x)e-aVxn dx = 0, π = 0,1,2,...,
— 00
то /(х) = 0 почти всюду.

262
Глава 5. Ортогональные многочлены
28. Покажите, что
fc=0
2-*-f> Г(п + 2) Г(п + а + β + 2) P„(ff}ООР^Ск) -Р^Cx)P„(ff V)
2η + α + 0 + 2 ' Γ(η + α + 1)Γ(η + 0 + 1) дг-у
29. а) Докажите что многочлены Лежандра Р„(х) являются решениями уравнения
(1 -χ2)/'- 2ху' + п(п + 1)у = 0.
б) Покажите, что многочлены QnW = « 5 -!з~ dt, χ ^ [—1,1], также являются
решениями уравнения из п. а).
в) Покажите, что QnW=PnWQ0W — УУп_г(х), где Wn_x —многочлен степени п — 1,
задаваемый соотношением
При —1<х<1 доопределим Qn(x) соотношением Qn(x)=Pn(x)Q0(x) — Wn_l(x)J по-
лагая Qo(x) = - In γ—^.
г) Докажите следующие рекуррентные соотношения:
(2п + 1)хРп(х) = (п + 1)Рп+1(х) + πΡη_!(χ), η = 0,1,...,
(2η + l)*Qn(χ) = (η + l)Qn+1M + nQn-iW, π = 1,2,...
д) Докажите, что
£(2fc + DQ*(*)Q*(y) = M^QoW + (n + 1)[Qn+iWQnO0-QnMQn+i(y)]
и
η
-^+]T](2k + l)[Q*Qc)]2 = fa
е) Покажите что 0„(χ) имеет η +1 нуль при — 1 <χ < 1 (см. [148]).

ГЛАВА 6
Специальные ортогональные многочлены
Специальные ортогональные многочлены начали появляться в математических
исследованиях раньше, чем была осознана польза соответствующего общего
понятия. Так, Лаплас использовал многочлены Эрмита в своих исследованиях
по теории вероятности, а Лежандр и тот же Лаплас пользовались в работах
по небесной механике многочленами Лежандра. Большая часть этой главы
посвящена многочленам Эрмита, Лагерра и Якоби. Эти многочлены наиболее
активно изучались и имеют наиболее долгую историю.
Мы воспроизведем принадлежащий Вильсону вывод гипергеометрического
представления многочленов Якоби из определителя Грамма. Также мы покажем
два различных способа получить производящую функцию для многочленов
Якоби. Один из них, принадлежащий Якоби, использует обратное преобразование
Лагранжа. В другом используется замечательное рассуждение Эрмита о виде
интеграла от произведения многочлена и производящей функции. Затем мы
используем эту производящую функцию для описания поведения многочленов
Якоби Рп Μ при больших п. С помощью теоремы Невэ из асимптотического
поведения Pn(a,/3)Gc) мы найдем их весовую функцию.
Важным является и тот факт, что классические ортогональные многочлены
являются гипергеометрическими. Для нахождения интегральной формы
многочленов Якоби мы воспользуемся формулой дробного интеграла Бейтмена для
гипергеометрических функций, выведенной в гл. 2. Данный результат будет
полезным при доказательстве утверждений о положительности сумм многочленов
Якоби. Следуя Бейли, мы с помощью преобразования Уиппла находим формулу
линеаризации произведения двух ультрасферических многочленов. Один из
простейших примеров линеаризации —формула
cos τηθ cos ηθ = «[cos(m + ή) θ + cos(m — ή) θ].
Мы увидим, что формула линеаризации для некоторых ортогональных
многочленов эквивалентна формуле интеграла для произведения трех таких
многочленов.
Также мы кратко обсудим связь между ортогональными многочленами
и комбинаторикой. В последние годы она активно изучалась Вьенно, Годсилом
и многими другими. Мы проведем два комбинаторных вычисления интеграла
от произведения трех многочленов Эрмита.
Завершается глава кратким введением в теорию q-ультрасферических
многочленов. Мы мотивируем это обсуждение следующей проблемой,
сформулированной и решенной Фельдхеймом и Ланцевицким. Предположим, что f(z)
аналитическая функция и |/(ге1в)|2 является производящей функцией
последовательности многочленов pn(cos0). Могут ли многочлены pn(cos0)
образовывать какую-либо иную последовательность ортогональных многочленов,
кроме ультрасферических многочленов? Ответ дается интересным нелинейным
разностным уравнением, которое удается точно решить.

264
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
§ 6.1. МНОГОЧЛЕНЫ ЭРМИТА
00
Как известно, интеграл § е~*2 dx играет важную роль в теории вероятности
—00
и многих других разделах математики. Его значение было вычислено в гл. 1.
Подынтегральное выражение обладает различными интересными свойствами.
В частности, оно является своим собственным образом Фурье. Действительно,
е~х2 = ± I e~t2e2ixtdt. (6.1.1)
Существуют разные способы доказательства этого равенства (см. упражнение
1). Интеграл сходится равномерно в любом круге |дг| < г и мажорируется в нем
сходящимся интегралом
-4= I e-^e^i dt.
▼ —00
Следовательно, интеграл можно дифференцировать по х. Получаем
dxn fR j{
$ e-t2tne2ixtdt. (6.1.2)
сГе-*2 (2i)n
\ e ι e αι. ^ο.
—00
Многочлены, ортогональные относительно нормального распределения е"*2,
называются многочленами Эрмита. Они могут быть заданы формулой
HnW = (-l)V2^. (6.1.3)
Несложно проверить, что HnQc) является многочленом степени п.
Из равенства (6.1.2) следует, что
НпМ = ("2l^e I e-t2tne2ixt dt. (6.1.4)
Докажем ортогональность многочленов HnQc), т.е. равенство
00
5 е-*гНп{х)Нт{х) dx = 2"п! л/π 5тп. (6.1.5)
—00
В соответствии с определением (6.1.3) интеграл можно переписать в виде
Пусть п>т. Проинтегрируем η раз по частям и получим, что интеграл равен
нулю. Случай тп = п будет рассмотрен позже.
Многочлены Эрмита имеют простую производящую функцию.
Действительно, из вида подынтегрального выражения, содержащего tn, следует равенство
у Д.00 гп = efl г е-,*е2*С*-г) dt. (6.1.6)

§6.1 Многочлены Эрмита
265
Вычисляя интеграл с помощью формулы (6.1.1), мы получаем производящую
функцию для HnQc):
£MOrn = ew (617)
п=0
Производящей функцией можно воспользоваться для вывода некоторых свойств
многочленов Эрмита. В частности, существует следующее представление этих
многочленов:
1п/2\ к
«"W = Era^2· с6·1·8)
к\(п-2к)\
к=0
Его можно получить, положив
а2хг-г> _ V &*УГР V С"1^2*
2 = У . ,
Z-j p! L·^ q\
р=0 r q=0
и сравнив коэффициенты при гп в левой и правой частях равенства.
Из формулы (6.1.8) следует, что
^f^ = 2"n!. (6.1.9)
Теперь мы можем завершить доказательство формулы (6.1.5). Интегрирование
по частям при т = п приводит к соотношению
— 00 —00
где последнее равенство получается с помощью формулы (6.1.9).
В предыдущей главе мы видели, что ортогональные многочлены
удовлетворяют некоторому трехчленному рекуррентному соотношению. Чтобы найти
соответствующее соотношение для многочленов Эрмита, заметим, что функция
F(jc,r) = e2xr"r2
удовлетворяет условию
g-(2x-2r)F = 0.
Подставляя вместо F ряд из формулы (6.1.7), получаем рекуррентное
соотношение для многочленов Эрмита:
Нп+1(х)-2хНпМ +2пНп^х) = О, η = 1,2,... (6.1.10)
Другое соотношение можно вывести из условия
^-2rF = 0.
дХ
Отсюда следует, что
Н'пМ = 2пНп_1М, π = 1,2,... (6.1.11)
Исключая Нп_гМ из соотношений (6.1.10) и (6.1.11), получаем
Яп+1 (х) - 2хНп(х) + Н'пМ = 0.

266
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Продифференцировав последнее равенство и снова воспользовавшись
формулой (6.1.11), получим
Н'^х) - 2хН'пМ + 2пНпМ = О, η = 0,1,2,...
Итак, многочлены Эрмита Яп(х) удовлетворяют линейному
дифференциальному уравнению второго порядка
и" - 2хи! + 2пи = 0. (6.1.12)
Это эквивалентно утверждению о том, что функция
VM = e-x2/2Hn(x)
удовлетворяет уравнению
V" + (2n + l-x2)V = 0.
Интегральное представление (6.1.4) многочленов Эрмита можно также
применить для получения в конечной форме ядра Пуассона для многочленов
Эрмита1
00
у #nOO#n(y)rn = (! _ r2yl/2e[2xyr-(x2+y2)r2]/(l-r2) (6.1.13)
п=0
В соответствии с формулой (6.1.4) мы получаем
* —00
Следовательно, при \г\ < 1 левая часть равенства (6.1.13) принимает вид
!—^ $ $ e-^-ti+2**+2to-attrdsdt.
— 00 —00
Теперь соотношение (6.1.13) будет получено, если мы дважды воспользуемся
формулой
С e-a2x2-2bxdx=Vneb2/a2
J α
в записанном выше двойном интеграле. Корректность проделанных переходов
следует из абсолютной сходимости задействованных интегралов.
Другой способ получить равенство (6.1.13) состоит в использовании
трехчленного рекуррентного соотношения. Обозначим через К (г, х,у) ряд в левой
части равенства (6.1.13). Из соотношений (6.1.10) и (6.1.11) получаем
дК γ Нп_г(х)Нп(у) γ HnMHn+ljy)
дх Ljl 2η~ι(η-1)\ £-* 2пп\
η=1 η=0
_ „„, V Нп(дг)Нп(у) γι Н.МН^ОО
-ΔΤ* 2-ι 2"π! Γ rZj Σ-Ηη-Ι)!
η=0 η=1
ι Это формула Мелера.

§6.1 Многочлены Эрмита
267
Следовательно,
к-2гук-г^
и, благодаря симметрии относительно замены χ на у и наоборот,
— = 2гхК — г—.
Из последних двух уравнений получаем
1 дК 2гу-2г2х
К дх 1-г2 '
и, следовательно,
2гху — г2х2
\пК = —frp— +*(У>г),
или
X = h(y,r)e(2r^-r2jf2)/(1-r2).
Вновь использовав симметрию по дг и у, получаем
Подставляя дг = у = 0, находим с(г):
~ , Я2(0)г"
!
η=0
В соответствии с формулой (6.1.8) мы получаем
Я2п(0) = (-1)п^ и Я2п+1(0) = 0. (6.1.14)
Следовательно,
с(г)=ν %§¥-=έ^=α- ν>τν\
η=0 η=0
Таким образом, мы дали еще одно доказательство равенства (6.1.13).
Замечание 6.1.1. Из формулы (6.1.13) можно формально вывести интересное
свойство преобразования Фурье. Умножив обе части равенства (6.1.13) на Нп{у)е~у2 и
проинтегрировав по у по (—оо, оо), получаем
-7= $ £ -?== Hniy)dy = HnMr».
V π _оо VI—Г2
Ясно, что формула верна при |г| < 1. Переходя к пределу при г —> ί получаем, по крайней
мере формально, что
_1= ξ е^е-^/2Яп(у) dy = ine~*l2Hn(x). (6.1.15)
Данное соотношение показывает самовзаимность (self-reciprocity) многочленов Эрмита.
Также из него видно, что е~*,2Нп{х) является собственной функцией преобразования
Фурье с собственным значением ίη. Существуют различные способы доказательства

268
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
соотношения (6.1.15), один из них описан в упражнении И1. Также можно обратиться
к упражнению 12, в котором воспроизводится доказательство Де Брюйна неравенства
Гейзенберга с помощью соотношения (6.1.15).
§ 6.2. МНОГОЧЛЕНЫ ЛАГЕРРА
Многочлены Лагерра являются ортогональными относительно распределения
e~xxadx, где а>— 1. Определение многочленов Эрмита и доказательство их
ортогональности, демонстрируемой формулой (6.1.5), наводит на мысль об
изучении многочленов вида
х~аех£;(е-ххп+а).
Из правила Лейбница следует, что данное выражение является многочленом
степени п. Многочлены Лагерра определяются формулой
LnM := ir£(e"V+a) для π > 0. (6.2.1)
Легко проверить, что
к=0 К
Ортогональность многочленов Лагерра описывается соотношением
I LamML«Mxae-x dx = Г(а+п" + 1)5тп, a > -1. (6.2.3)
о
Интеграл из левой части равенства (6.2.3) можно записать как
о
Положив п>т и проинтегрировав η раз по частям, получим, что интеграл
равен нулю. Для случая т = п следует сначала заметить, что равенства (6.2.2)
мы имеем
£ι;« = (-υπ,
и, таким образом, интегрирование η раз по частям с последующим вычислением
интеграла гамма-функции дает соотношение (6.2.3).
Производящая функция для 1£(х) имеет вид
Στ«(γΛΓη = V Г"(а+1)" V (-n)fc** = V (-*}* V (а+1)"Г" =
Ьп^г Zj п! Zj(a + l)fcfc! Zj (a + l)fck! Zj (n-fc)!
V (-s)*r* γι (a + k + l\rn _гл-а-1 V (-*r)fc _
Zj fc! Zj π! u r; Zjfc!(i-r)fc
fc=0 n=0 fc=0
= (1 - гГа~1 exp(-jcr/(l - r)). (6.2.4)
ι Вот еще одно упражнение по функциональному анализу. Обозначим через V(r) интегральный
оператор в L2(R), ядро которого есть выражение (6.1.13), умноженное на е~(д^+-)Г"2. Тогда этот
оператор ограничен при |г| < 1, унитарен при |г| = 1, а V(i) — преобразование Фурье.

§ 6.2. Многочлены Лагерра
269
Обозначим производящую функцию за FQc,r). Легко видеть, что
(l-r)2f£ + [x-(l + a)(l-r)]F = a
Отсюда получаем трехчленное рекуррентное соотношение
(п + l)L°+1Qc) + (х- а - 2п - 1)Ι«(χ) + (η + α)Ι«_χ(χ) = 0 (6.2.5)
для π = 1,2,3,...
Для вывода дифференциального уравнения, которому удовлетворяет 1£(х)
получим сначала соотношение для производной L"Qc). А именно,
Х^1ЕГ = nLn М ~(п + α)Ιπ-ι ПРИ п > L (6·2·6>
Эта формула получается из соотношения
a_r)g+rF = o,
которое влечет равенство
—^ fa— + !„_! (х) = 0 для η > 1. (6.2.7)
Исключая liJLxQO из соотношений (6.2.5) и (6.2.7), получаем
dLa Ос) dLa (x)
(y-n-D-j^ + Cn + l) % +(2π + 2 + α-χ)ί°(χ)-(π + 1)ί°+1(χ) = 0
для π > 0. Заменяя в этом уравнении π на π — 1 и подставляя вместо (d/djOljj^Oc)
соответствующее выражение из формулы (6.2.7) получаем уравнение (6.2.6).
Продифференцировав уравнение (6.2.6) и применив к полученному
результату соотношения (6.2.6) и (6.2.7), получим
d2La (x) dLa(x)
χ £ +(α + 1-χ)-^ + πΙ°(χ) = 0 дляп>0. (6.2.8)
Следовательно, функция и = !£(*) является решением линейного
дифференциального уравнения второго порядка
хи" + (а +1 - х)и' + пи = 0. (6.2.9)
Так как нормальное распределение является частным случаем
гамма-распределения1, должна существовать возможность выразить эрмитовы многочлены
через многочлены Лагерра. Такое выражение имеет вид
Н2тМ = (-Dm22mm!i;1/2(jc2) (6.2.10)
и
H2m+i(*) = (-Om22m+1m!xL;f (χ2). (6.2.11)
Для доказательства того, что H2m(x) = CLm Qc2) для некоторой константы
С = С(т), достаточно показать, что для всякого многочлена q(x) степени не
выше 2т — 1 выполняется равенство
1 .2
~*хае~х dr. Если в нопмальном пастгоелелении —e~*t
ι Гамма-распределение — это Г(а) lxae xdx. Если в нормальном распределении —е * dy сде-
лать замену у = У*, то мы получим частный случай гамма-распределения.

270
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Всякий многочлен можно разложить на сумму четного и нечетного. Для
нечетных многочленов q соотношение очевидно. Если же многочлен q четный, то
его можно представить в виде q = rQc2), где г— многочлен степени, не большей
т — 1. Теперь для у = х2 получаем
00
SC/2(y)r(y)y"1/2e^dy = 0.
о
Интеграл равен нулю благодаря ортогональности многочленов 1^ 00.
Величину С можно найти подстановкой х = 0. Соотношение (6.2.11) доказывается
аналогично или дифференцированием равенства (6.2.10).
Существуют и другие связи между интегралами по нормальному и по
гамма-распределениям. Интеграл Пуассона получается из гамма-интеграла
предельным переходом. Это дает еще одну связь между многочленами Лагерра
и Эрмита.
По формуле Стирлинга
\{$Ie~ix~a)jh^^=ie~x2dx пРиа^°°-
Замена χ = а + u/V2a дает соотношение
00 -__ 00
$ (l + y|u)ae-VE"du—► § e~x*dx приа-оо. (6.2.12)
Соотношение ортогональности для L"(x) приводит к соотношению
jj(L°(*))Ve-'d*=r(n+n? + 1).
О
Полагая х = а+ V2au, получаем по формуле Стирлинга
5 (f)n[Ln(«+v^u)]2(l+y|u)V^udu-
-V«/2
г-2пд + п/аГ+а+1/2е-п ,, 0 10,
~ у/п — при а -> оо. (6.2.13)
Сравнивая соотношения (6.2.12) и (6.2.13), можно предположить, что
lim(J )П\(а+ ν^χ) = (-1)"^. (6.2.14)
α->οο\α-/ π Π!
Данное соотношение можно доказать, используя производящие функции
многочленов Эрмита и Лагерра. Детали мы оставляем читателю. Также можно
воспользоваться рекуррентными соотношениями или определениями (6.2.1)
и (6.1.3).
При изучении многочленов Эрмита мы пользовались интегральным
представлением функции е"х . Подобный прием полезен и при изучении
многочленов Лагерра. Из формулы (4.11.25) следует равенство
00
е-ххп+а _ ^ (A/3rt)n+ae-tJn+a(2A/Jrt) dt.

§ 6,2, Многочлены Лагерра
271
Применяя формулу (4.6.1), мы получаем интегральное представление для I" (х)
при а>— 1:
ΙζΜ = ^^ 11п+а^а(2у/*)е-<dt. (6.2.15)
о
Читателю предлагается проверить, что из формулы (6.2.15) легко можно
найти производящую функцию многочленов Лагерра. Кроме того, из равенств
Ji/2W = visinx и J-i/2M = vJC0SX
L-V*W = "77= I е-***2*1 cos(2VH) dt
oo
iy2(x) = -=$= ^ e-f2t2n+1 sin(2^H) dt.
следует, что
о
Сравнивая полученные равенства с формулой (6.2.4), получаем альтернативное
доказательство соотношений (6.2.10) и (6.2.11).
Отметим еще несколько полезных элементарных соотношений:
£W = -!£}(*), (6.2.16)
£ [xaLan (χ)] = (η + α)*"-1!""1 (χ), (6.2.17)
£ [e-'I^(jc)] = -e-'I«+1 (x), (6.2.18)
£ [xae"'I«(jc)] = (η + l)*-1^!^ (x). (6.2.19)
Мы докажем формулу (6.2.19), прочие соотношения получаются подобным
образом. С помощью формулы (6.2.2) и преобразования Куммера (4.1.11) получаем
£[xV*I«(x)] = £±&£[х«е*А(-п; а+ 1;х)] =
= τέ[ϊ°ιίι("+α+1;α+1;-ϊ)]=
(α+1)η γι (η + α+1)>(-1)*(* + α)***'-1 «(α + 1)η α-1 γ. (n + q+l)t(-x)»
π! Zj (a+l)Jt! η! * Zj (a^fc!
fc=o * fc=o *
= ^px^e-ViC-n-1; a; jc) = (n + Dx-^I^JW.
Формулы (6.2.17) и (6.2.18) допускают следующее обобщение в виде
интегралов дробного порядка. Чтобы обобщить соотношение (6.2.17), мы используем
формулу
^"-Vafab + M;*) = ffjrff) SU-O^t'-VjCajbjOdt (6.2.20)
при Ι1βμ> 1. (См. формулу (2.2.4).) Перепишем это равенство в виде
«^М = r(j9-a)+rfn++a+l) ^У^^СО* (6.2.21)

272
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
при β > α. Формула (6.2.18) принимает несколько другой вид:
е-хКМ = ψφ-j S(r-x)'—differ)Л
(6.2.22)
для β>α. Ниже мы дадим доказательство, использующее формулу (6.2.21),
ортогональность и полноту системы 1"(х). Доказательство полноты дано в § 6.5.
Заметим, что
00
$x*Ijf(x)l£Cx)e-*dx =
о
= l^Sil) Sl£Cr)e-dxS(r-t)^-^iyt)dr =
= Щ^ЩтГ, 5wf[5 Ijl Cx)Cx-t)'-1e-dx]dt. (6.2.23)
Применяя соотношение ортогональности (6.2.3) к равенству (6.2.23), получаем
о Lt
I^W(JC-t)^_a-1e-JCdx
dt =
Γ(/3-α)Γ(η + α+1)
Γ(η + 1)
Из формул (6.2.3), (6.2.23) и (6.2.24) следует соотношение
(6.2.24)
оо Г оо
iiWix-t^-'e-1 dx-VL (Ое-4
dt = 0
при n = 0,1,.... Теперь в силу полноты системы L"(x) имеем (6.2.22).
Формула ядра Пуассона для многочленов Лагерра имеет вид
n\LanMLan(y)r"
Σ "-ШШ- = O-D-e—™-'W4(^)
(6.2.25)
n=0
для |г|<1 и а>—1, где /а — модифицированная функция Бесселя порядка а.
Формула (6.2.25) доказывается с использованием производящей функции (6.2.4)
и формулы (6.2.19). Перепишем левую часть равенства (6.2.25) в виде
ϊχ^ΓΪ) Σ LnaWr" Σ (a+l£]fc! " Σ Г(к + £+1)1к! Σ(π + υ^π^Wr"·
(6.2.26)
Чтобы найти выражение для внутренней суммы, применим формулу
производящей функции
]Г If kMrn = е-^/(1-г)/(1 - г)а+к+\
п=0

§ 6.2. Многочлены Лагерра
273
Умножим обе части на хк+ае х, возьмем fc-e производные и используем
формулу (6.2.19). В результате мы получим
Л- Х> + l)kL°n+k Mr" = а^)а+м£к[х^е-*^] =
dk
П + Wn+k W'" = П-гу**+1
n=0
(l_r)a+fc+i Zj (l-r)nn! (i-r)«+w Zj (l-r)"n!
n=0 n=0
= (i^^i iFi№ + a + l;a + l;-x/(l-r)). (6.2.27)
С помощью преобразования Куммера (4.1.11), примененного к функции jFj,
можно увидеть, что выражение (6.2.27) равно
(1 -г)-*+1 (" + 1)к lFl (~fc; " + 1; У/(1 ~ Г»е~*/С1~Г) =
= а_^^цгсх/а-г))е^о^.
Применяя полученный результат к внутренней сумме в формуле (6.2.26),
получаем
Zj Γ(η + α + 1) (i-r)a+1Zj Г(к + а + 1) Vl-rJ ' lo.z.zoj
n=0 Jc=0
Сумма в последнем выражении может быть переписана следующим образом:
Z-iZj r(/ + a + l)/!k!Vl-rJ VI —гУ
fc=0 j=0 v ^
^ i-x/g-rW γ. (-уг/(1-г))^(-гС-Л,·
j=0 Jk=0
=Σ ШШ Σ !=2ΖΤ£ίί - *-""-" №Tw*»* -r».
Последнее уравнение получено разложением в ряд модифицированной функции
Бесселя /а(дг). Это заканчивает доказательство формулы (6.2.25) *.
Из формулы (6.2.25) мы можем вывести формулы преобразования Ганкеля
и обратного преобразования. Приведенные здесь рассуждения можно проделать
с достаточной строгостью. Подробности можно найти в [424, с. 64 — 70], где
ι Стоит отметить оригинальный вывод этой формулы (Вера Миллер-Лебедева, 1907). Рассмотрим
оператор
D = jc-^ + (a+l-Jc)-f.
dx2 dx
Мы хотим явно записать его как экспоненту в виде
exp(rD)/(jc) = $ К (χ, у; r)/(y)e^ya dy.
Для этого мы делаем преобразование Лапласа по х. Получается дифференциальный оператор
первого порядка. Его экспонента легко считается, после чего делается обратное преобразование
Лапласа.

274
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
формула обратного преобразования Фурье получена из ядра Пуассона для
многочленов Эрмита.
Итак, пусть
Тогда равенство (6.2.25) можно переписать в виде
*ЪуЛ~**™~°~Г%>™*-«>-±+.ЬЖЬ*. (6.2.29)
п=0
Пусть f{x) — достаточно гладкая функция с конечным носителем. В таком
случае fix) имеет разложение Фурье—Лагерра
00 /00
/Μ = Σ(5 /Су Wn(y) dy V W.
η=(Λθ /
Умножая равенство (6.2.29) на /(у) и интегрируя, получаем
00 °° 00
S /(у)Я(х, у, 0 dy = Σ г/>п(*) $ /(у W„(y) dy f.
0 n=0 0
Переходя к пределу при t —»е~Я1, получаем
00 °° 00
$ /(y)e^/2/a(^2) dy = Σί-1)η $ /(у)^„(у) dy xpnix) =: g(x). (6.2.30)
О n=0 0
Следовательно,
00
g(x) = $ /CyVaCv^) dy. (6.2.31)
о
Как мы увидели, g(x) имеет разложение Фурье—Лагерра, что, по определению
функции gix), дает равенство
00 00
$ gix)xpnix) dx = (-1)" $ fix)xl>nix) dx.
о о
С помощью аналогичных рассуждений, проделанных при выводе формулы
(6.2.31), можно получить, что
00 00
$ gMJAVW) dx = ]Г(-1)П $ g(y)i/>n(y) dy Ψ„Μ =
η=0
= SS/(y)^n(y)4y^nW=/W· (6.2.32)
π=0 Ο
Формулы (6.2.31) и (6.2.32) можно переписать в виде пары Ганкеля
00 00
4fiy2)Ja(.xy)ydy = g{x2), $g(jc2)j„0«y)*djc = /(y2). (6.2.33)

§ 6.2. Многочлены Лагерра
275
В этом месте стоит отметить, что в пределе соотношение (6.2.21) дает первый
интеграл Сонина (4.11.11). Данный факт следует из того, что
lim n-aL"(x/n) = x-a/2Ja(2jx). (6.2.34)
П->оо п
Если в образе обратного преобразования Ганкеля первого интеграла Сонина
(4.11.12) мы заменим χ на x/t и в полученной формуле заменим t на 1/5, мы
получим
J J,Cx) Jx(xs)x^x dx = —±—r*tf -1)*-""1,
при λ>μ>— 1. Обратное преобразование Ганкеля приводит к равенству
^μΜ = Γ(Α-μ)2^-ι \ S_A(s2 " V^hW»ds
при μ < Я < 2μ 4- 3/2. Перепишем это соотношение в виде
*-%(*> = щ^) 5 ^^ωα2-*2)*-"-1 л,
где —1 < μ < Я < 2μ + 3/2. Это выражение является аналогом формулы (6.2.22).
Второму интегралу Сонина соответствуют соотношения
η
L (α+0+1) (д, + у ) = ^ Ι«(χ)Ι ^(у) (6.2.35)
Jk=0
и
^оо = Γ(α-нцгуц ξ ^(1_0^Ц^^а-о]
Lm+„(°) Γ(α-£) g ι£α» ьГ^Чо)
Формула (6.2.36) получена Фельдхеймом [135]. Формула (6.2.35) выводится
с помощью производящей функции (6.2.4). Формула (6.2.36) доказывается
с помощью представления многочленов Лагерра в виде рядов, вычисления
бета-интегралов и сумм Чу—Вандермонда. При у = 0 соотношение (6.2.35)
эквивалентно равенству
к=0
Данное соотношение является следствием формулы (6.2.4). Детальное
рассуждение приведено в § 7.1. Последняя формула эквивалентна соотношению
С r0rvV«rvW«p-* Λν - r(n-fc + /3-q)r(fc + g + l)
Формулой (6.2.38) можно воспользоваться для того, чтобы показать, что
разложение Фурье—Лагерра для xa~^L^{x) дается в терминах 1„ (дг) формулой
Хае-Ча(х) = у Г(п-»с + 0-а)Г№ + а + 1)Г(п + 1) £gf ^ -, (6239)
* е LkW Zjr(n-lk + l)r(/3-a)r№ + l)r(n + /3 + l)L"WJC е * №·*·-»'

276
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
где α>(β —1)/2. В теореме 6.5.3 и замечании после нее показано, что это
условие на а и β необходимо для сходимости. Заметим, что формула (6.2.39)
является обращением формулы (6.2.37). Так же как интеграл Сонина и его
обращение могут быть использованы для решения двойственных интегральных
уравнений, формулы (6.2.37) и (6.2.39) могут быть применены для решения
двойственных последовательностей уравнений, содержащих многочлены Лагер-
ра.
Теорема 6.2.1. Пусть заданы α, λ,с, причем с> (Я — 2а — 1)/2,а, Я>— 1.
Тогда если существуют такие достаточно малые ап и Ьп, что
00
ап = ξ хс/(хЩМхае~х dx, η = 0,1,...,Ν,
о
00
Ьп = $ /Qc)L*Qc)xV* dx, η = Ν +1, Ν + 2,...,
ο
и выполняется равенство β = а + с, mo
гМ_\ГТГ Пп-к + β-α) Г(п + 1) д
JW"ZjZjr(n-fc + l)r(j8-a)a'cr(n + i8 + l)-«W
n=0 fc=0
Ег№-П + 1)Г(я4)Г(^а-И)Ь^^· С6·2·4*»
n=JV+l Jk=n
Доказательство. Из формулы (6.2.37) получаем
Σ г(п-^^(7Л)°> -1 №«*<- *·
Далее, из формулы (6.2.39) следует, что
Zjr(fc-n + l)r(A-/3)r(n + l)r№ + A + l)°fc J/WLnWxe a*·
fc=n 0
Используя теперь разложение Фурье—Лагерра для fix), получаем формулу
(6.2.40). В случае достаточно малых а и β проделанные рассуждения и
полученные равенства перестают быть чисто формальными. Теорема доказана. D
Аналогично для решения двойственных уравнений на ряды с
использованием многочленов Лагерра можно применить формулы (6.2.21) и (6.2.22).
Теорема6.2.2. Пусть a>5>—lua<min(5 +1,2δ +1). Предположим, что
п=0
U
00
п=0

§ 6.3. Многочлены Якоби и определители Грама
277
Тогда
+ 5 π^δ) [ 5 ζωβ-'α-*)"-5-1 λ]ι« οο*δ dx}.
§ 6.3. МНОГОЧЛЕНЫ ЯКОБИ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ГРАМА
Пусть заданы моменты
ь
cn=\xndaW
а
относительно некоторого распределения da{x). Тогда многочлены
РпМ = \ ] (6.3.1)
являются ортогональными относительно того же распределения daQc). На
первый взгляд кажется маловероятной возможность получения какого-либо
более полезного представления многочленов с помощью определителя. Однако
Вильсон [427, 428] показал, что в некоторых интересных случаях с помощью
определителей можно получить гипергеометрическое представление для pnGc).
В данном параграфе мы найдем гипергеометрическое представление для
многочленов Якоби.
Сначала мы обобщим результат (6.3.1) следующей леммой.
Лемма 6.3.1. Пусть {φη}% — последовательность независимых функций.
Тогда последовательность функций {р„(дс)}, определенных формулой
с0
Cl
c„-i
1
Cl
с2
с„
X
с2 .
с3 ·
Сп+1 ·
X2 .
·· сп
·· сп+1
·· С2п-1
.. Хп
Рп(*) = С„
Μο,ο Μο,ι
Μι,ο Μι,ι
Μο,η
Μΐ,η
Μη-1,0 Μη-1,1
Υ>0 Vl
Mn-l,n
(6.3.2)
где
^U = S ViWV;Wd«W,
a Cn постоянны удовлетворяет условию
ь
5 PnWVmW da(x) = 0 для т<п
a
(a(x) не обязана быть положительной мерой, но мы предполагаем, что все
интегралы определены.)

278
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Доказательство. Разложим определитель (6.3.2):
Jk=0
Тогда
$ ΡηΜψτηΜ da{x) = Сп J] А^щк.
(6.3.3)
fc=0
При т < π — 1 правая часть равенства (6.3.3) представляет собой определитель
матрицы с двумя совпадающими строками и, следовательно, равна нулю. Лемма
доказана. D
Замечание 6.3.1. Пусть заданы две последовательности: {φη}% и {ι/>η}ο. Определим
рп (х) аналогично формуле (6.3.2) с помощью формулы
Тогда
/4j = S^Mdaijc)·
5 рп(х)\рт(х)da(x) = О для m<n-l.
Обратимся теперь к конкретному случаю интервала (—1,1) и весовой
функции da(x) = (l— х)а(1 + х)Р dx. Найдем соответствующие многочлены pnQc).
Для этого положим (/^00 = (1—х)к и г/^ОО = (1 + х)к. Можно выбрать и другие
многочлены степени fc, но данный выбор упрощает вычисления. Тогда
μ,,; μι XJ U+Xj ax ζ Γ(α + 0 + 2 + ί + ;)
_ο«+^+,Γ(α + 1)Γ(£ + 1 + 0 24α + 1),
Γ(α + 0 + 2 + ί) '(a + j8 + 2 + i)/ l ;
Теорема 6.З.2. Многочлены вида (6.3.2) с коэффициентами μί>;,
определенными формулой (6.3.4) пропорциональны многочленам Якоби
pC^W=i£L±lil2Fl(-"." + «;^1;l^). (6.3.5)
Доказательство. Вынесем из каждой строки (номера строк ί = 0,..., η —1)
первый множитель и внесем его в константу Сп. За полученной константой
сохраним старое обозначение Сп. Затем вынесем из каждого столбца 2;(а + 1);,
j = 0,..., п. Получившийся определитель будет иметь вид
Μο,ο
Μι,ο
Мод
Ρι,ι
Μο,η
Дм
Μη-1,0 Μη-1,1
Mn-l,,
Ψη
где
Λ J =
(a + j8+2 + i), И V'W 2>(1 + а)/

§ 6.3. Многочлены Якоби и определители Грама
279
Раскладывая по последней строке, получаем
Сп Σ Τ^Τττί^ΐ det№,P o<i<n-i · (6.3.6)
Положим A = a + β + 2. Остается вычислить определитель
Δ(Α, π, fc) = detiTj^-) ο<κη-ι , ΔΜ, 0,0) = 1.
Заметим, что при fc φ 0 первый столбец определителя состоит из единиц.
Рассмотрим подробнее этот случай. Вычтем из л-й строки (л — 1)-ю, из (л — 1)-й
(п —2)-ю, и т.д. В первом столбце останется единственный ненулевой элемент,
стоящий в первой строке и равный единице. Раскладывая по первому столбцу,
получаем
А(Л, л, fc) = detk f 1 ο<κη-ι ·
Но ввиду того что
(лТгЬ^-Ш^=(лТо^[(А+°-(А+г+;' + 1)] =
_ -O' + i) _ -Ο' + υ
Δ(Α,η,fc) - det[(A + 0(A + i + 1)(A+i + 2).]0 ™*»J*·
CA + Oi+2 (A + i)(A + i + l)(A + i + 2)/
имеем1
-O + i)
Теперь —(j +1) является общим множителем в j'-м столбце, а 1/[(А+1)(Α+ί +1)]
в i-й строке. Вынесем их из определителя:
п-1 / п-2
|Д(А + 2,п-1Д-2) =
[п-1 / п-2
(-ί)""1 Πθ, + ΐ)/Π(Λ+ί)(Λ+ί+1)
(-1)""^!
А(Л + 2,л-1Д-1).
kWn-M+Vn-l
Повторяя указанную процедуру fc раз, получаем
А(А,пД) = {1 Π (a^^Ta+^+L-, }*A + *>»-k'V- (6.3.7)
v s=0 '
Напомним, что мы считаем, что fc φ 0. В случае fc = 0 уравнение является
тривиальным, если считать произведение в скобках равным единице. В определителе
A(A + 2fc, л — fc, 0) индекс j, соответствующий столбцам, пробегает от 1 до л —fc,
не принимая значения 0. Следовательно,
АСА + 2fc, л - fc, 0) = det( } )0<1<n-fc-i =
V С А + ZK + l)j+l O^n-Jk-l
_Λχ( 1 ^ _ A(A + 2fc + l,n-fc,n-fc)
-de4(A + 2fc + 0(A + 2fc + i41);J§<j<«4l11 ~ (A + 2fc)n_fc
ι По поводу таких вычислений см. [241].

280
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Вместе с (6.3.7) это дает, после переупорядочения,
п-1
1 ' ' ; к!(п-к)! 1 1 (Л + 25)^.!(Л + 2s + !)„.,_!
Произведение зависит только от η и, следовательно, может быть внесено в Сп.
Подставляя это значение определителя в (6.3.6), получаем
уч (-1)* ία + β + η + 1)Η(ΐ-χγ _Сп r-η,η + α + β + Ι 1-хЛ
c"Zj(a + l)fc fc!(n-fc)! V 2 J π! 2/<1V α + 1 ' 2 У
к=0
Осталось проследить, что Сп = (а + 1)п. В итоге мы получаем
гипергеометрическое представление многочлена P(a»W(*). Теорема доказана. D
Немедленным следствием гипергеометрического представления (6.3.5)
многочленов Якоби является формула для производной:
£{Рп(вЛ(*)} = i(n + a + )8 + l)Pn(!^+1)W. (6.3.8)
В гл. 3 было показано, что 2FAa> Ь; с; дг) является решением уравнения
х(1-х)0 + {с-(а + Ы-1М^-аЬу = О.
Следовательно, и = Р„ ^ является решением уравнения
{1-χ2)ά' + {β-α-{α + β + 2)χ}ά + η(η + α + β + \^ = 0. (6.3.9)
Другим следствием соотношения (6.3.5) является явный вид коэффициента
(α + β + η + 1)η
при хп в Р„ , а именно
2пп!
§ 6.4- ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
(6.3.10)
Производящие функции играют исключительно важную роль при изучении
ортогональных многочленов. Мы уже нашли производящие функции
многочленов Эрмита и Лагерра. В данном параграфе мы двумя различными
способами найдем производящую функцию многочленов Якоби. Один из способов
принадлежит самому Якоби и использует обратное преобразование Лагранжа.
Другим способом функцию нашел Эрмит. Кроме того, в этом параграфе мы
выведем другую производящую функцию, часто используемую при изучении
ультрасферических многочленов.
Как мы уже сказали, производящую функцию многочленов Якоби
можно найти с помощью обратного преобразования Лагранжа. Нам понадобится
следующая лемма. Ее доказательство и некоторые приложения содержатся
в добавлении Д.
Лемма 6.4.1. Пусть φ (у) и f (у) —функции, аналитические в окрестности
точки у = х, и
00
г=Ш = 2а"^-*)П' гд^г^0. (6.4.1)
п=1

§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби
281
Тогда функция /(у) допускает следующее разложение по степеням г:
00
/(У) = /Μ + Σ £|£т(//(*)(¥>(*))',)| · (6.4.2)
Теорема 6.4.2. Производящая функция многочленов Якоби Ρ£αβ\χ) имеет
вид
00
FQc, г) = 2a+PR7l (1 - г + Я)~а(1 + г + R)~* = J] ~Ρηα^ (χ), (6.4.3)
rt=0
где
R=(l-2jtr + r2)1/2.
Доказательство. Выберем функцию ψ (у) = (у2 —1)/2, подставим ее в
формулу (6.4.1) и выразим у. Получим
_ 1 (1-2хг + г2)1/2 _ 1 R
У — г г г г'
Дифференцирование по χ обеих частей равенства (6.4.2) приводит к уравнению
00
В случае /'(х) = (1 — х)а(1 +х)'5 это уравнение принимает вид
в °°
а-уга+у) =(1_x)a(1+x)g+^^g.((1_x)«(1+x)/i(x2_1)n/2n)>
Используем формулу Родрига (2.5.130
(1-χ)α(1 + ^Ρη(α^(χ) = ^£τ{(1-χ)η+α(1 + χ)η^}
и получим
Несложным вычислением проверяется, что
1-У __ 2 1 + у _ 2
1-х l-r + Я 1 + х 1 + г + Я*
Это завершает доказательство теоремы. (См. [213].) D
Если теперь взять за определение многочленов Р,[ (дс) соотношение
00
FQc, г) = 2α+0/Γχ (1 - г + R)~a(1 + г + R)~* = J] Pn(a'^ Qc)rn, (6.4.4)
о
то возникает вопрос об их ортогональности. Случай α = β = 0 дает нам
многочлены Лежандра PnQc). Для них, как установил Лежандр, выполняется соотношение
1 inl+^I \ dx =\ Vpn(jc)Pm(jc)r"smdjc,

282
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
из чего следует ортогональность1. П. Л. Чебышёв [81] применил подобный метод
к многочленам Якоби общего вида. Доказательство было довольно сложным
и свидетельствовало о мастерстве Чебышёва. Более простое доказательство
было дано Эрмитом [191]. Он рассматривал случай многочленов Лежандра, но
его рассуждения очевидно обобщаются для общих многочленов Якоби.
Теорема 6.4.3. Последовательность {Рп (х)} задается условием (6.4.4)
тогда и только тогда, когда она является ортогональной с весовой функцией
(1-х)а(1 + х)0.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
ι °° ι
1т= ξ xmF(x,r)(l-x)a(l+xy*dx = J]rn $ xmPn(a'^x)(l-x)a(l+x)^d*.
-ι η=ο -ι
Положим
(l-2jtr + r2)1/2 = l-ry,
при этом
Тогда
х = у+§(1-у2).
im= ^[y+'-^^Ya-yra+y^dy.
Очевидно, 1т является многочленом от г степени т. В таком случае должно
выполняться соотношение
1
$ xmPn(a^)W(l-x)ad+^dx = 0, n = m + l,m + 2,...
-ι
Это равносильно условию
1
$ p^w^wa -*)aa+χ)β dx=о,
-ι
Докажем теперь обратное утверждение. Снова рассмотрим 1т. Та же самая
замена переменных дает равенство
1т=\[у+Г^ТпХ,г)[^^]а*
-1
x^^'^^fa-rym-yra+y^dy.
Данное выражение является многочленом степени m от г, если выполняется
соотношение
F(jc,r) = C(l-r + l-ryra(H-r+l-ry)^(l-ryr1,
где С —некоторая константа. Чтобы ее найти подставим х = 1 и получим
00 00
F(l, г) = J] Ρη(α'0} (l)rn = J] (a + 1}"rn = (1 - гТ"'1 = С · 2-a^ (l - г)-""1.
Таким образом, С = 2a+/5. D
ι В левой части присутствуют лишь слагаемые с (2s)k.

§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби
283
Замечание 6.4.1. Последняя теорема дает еще один способ находить многочлены,
ортогональные относительно бета-распределения (1—χ)α(1 + χ)β dx. Такие многочлены
должны иметь производящую функцию вида (6.4.4). В этом случае, применив обратное
преобразование Лагранжа, можно установить, что такие многочлены должны иметь вид
Важным подклассом многочленов Якоби ?„*(*) с α = β являются
ультрасферические многочлены. Они отличаются от многочленов Pn(a'a)Qc) другой
нормировкой, что позволяет в случае α = β получить более простую
производящую функцию чем (6.4.4). Эта новая производящая функция полезна при
изучении некоторых свойств ультрасферических многочленов. Чтобы найти ее,
рассмотрим ядро Пуассона
00
^P^W^OOrVb* (a,/3>-D, (6.4.5)
где
пк ^1Ук WJ U X) U + xj ax (2fc + a + /3 + l)r(it + a + /3 + l)r(k + l)·
Полагая в формуле (6.4.5) у = 1, получаем
Γ(α + /3 + 1) γ. (2fc + a + β +1) (a + β + l)k ,αβ) k
2β+"+1Γ(α + 1)Γ(/3 +1) £j (.β + Dk k W *
Заметим, что этот ряд, с точностью до множителя, получается
дифференцированием из ряда
Перепишем эти ряды с помощью гипергеометрического разложения Р,[ (дс)
по степеням (1+ х)/2:
γι γι (1 + a + fi)n+kgx + 1)/2)Ч-1)яг" = γι (l + a + fi)n+2k(x + !)*(-!)nrn+k =
L·L· (n-k)\k\a + fi)k £-* n\k\(l + fi)k2k
п=0к=0 к,п
00 00
2-iL· n\ Jt!(H-j8)fc2fc ^ it!24l + r)a+^+1+2*
k=0n=0 ^ * fc=0
1 ^((1 + а + /3)/2^((2 + а + /3)/2^2*(х + 1)*г*
(l + r)«^Zj Jcl(l + 0)fc(l + r)*
В вычислениях мы воспользовались биномиальной теоремой и тем фактом, что
(a)2fc = 22fc(a/2)fc((a + l)/2)fc.

284
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Окончательно мы получаем
п=0
-о7ЙД5Л(в,+''+а?+Г'+ад!*а+х)/(1+г),> (6А7)
Это и есть производящая функция, которую мы искали. Подстановка α = β
приводит к равенству
(2α + 1)πΡη(α'α)(*)Γη
п=0
Таким образом, можно определить многочлены
Σ (aVl). =OT^(1-f?|;:) --(l-^ + ^-i. (6.4.8)
Γλ(γΛ — (2λ)η pA-q/2).A-tl/2) <-„->
t,»w,~(A + (l/2))/» w
(6.4.9)
с производящей функцией
oo
(1 - 2xr + г2)-я = J] C;J(x)rn. (6.4.10)
При А = 0 полагаем C*(jc) = 0. Таким образом, в дальнейших формулах этот
случай следует понимать как1 А->0. Многочлены C*(jc) называют
ультрасферическими многочленами или многочленами Гегенбауэра. Они являются
ортогональными с весовой функцией (1 — χ2)λ"1^2, где Я>—1/2.
С помощью производящей функции (6.4.10) можно получить важное
выражение для C*(jc). Полагая jc = cos0, разложим левую часть (6.4.10), пользуясь
тем, что
l-2rcose + r2 = (l-reie)(l-re*"ie).
Раскладывая по биномиальной теореме и сравнивая коэффициенты при гп,
получаем
Ф» « - Σ $£&«·*"· - Σ $Г=Ж «0. -«)·. С6-4.Ю
Лс=0 Лс=0
Второе равенство объясняется тем, что С* (cos 0) вещественно, а вещественной
частью функции ei{jl~2k)e является cos(n—2k)θ. В случае Я > 0 из формулы (6.4.11)
следует, что
|Спя(со8 0)|<Спя(1) = ^.
ι Что имеется в виду, неясно. Чтобы получить производящую функцию ln(l — 2xr+r2) для
многочленов Чебышёва Тп{х), нужно продифференцировать обе части равенства (6.4.10) по λ и
подставить λ = 0, см. (6.4.12).

§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби
285
Другое гипергеометрическое представление функции СяСх·) можно получить
при иной факторизации левой части:
α-^+Α-*-α+^ι-^Γ-Σ^α^-
fc=0
= Σ ^^^(.-1Г(.2х)кгк+2" = J] i^(2xr)4-l)nr2'1 =
n,k n,k
n=0
Таким образом,
i^Ht!:?'2·^)·
cnA Or) = ^θχ)·Λ(^:?/2; £)· (6Λ12)
Несмотря на то что ультрасферические многочлены являются всего лишь
частным случаем многочленов Якоби, их исключительная важность побуждает
нас отметить и обсудить некоторые их свойства. При Я —>0 получаем как их
предельный случай многочлены Чебышёва первого рода:
^п+Асхм=) (6413)
-о Я [2Γη0Ο, η = 1,2,...,
lim
я
U^u = T-w· (6Л13'}
При Я —> oo получаем
λ-» Спя(1)
Формула Родрига (2.5.13') принимает вид
(1_х2)я-1/2ся(х) = НЩ^ц.^а+п-^ (6.4.14)
Формулы дифференцирования и трехчленной рекуррентной зависимости
имеют вид
^Ся(х) = 2ХС^\ (х) (6.4.15)
и
пСпяОс) = 2(п + Я - DxC^Cx) - (η + 2Я - 2)Ся_2(х) (6.4.16)
при η > 2; Ся(х) = 1, Ся(х) = 2Ях.
Следует также заметить, что функция u(0) = (sin 0)яСя(соб 0) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
SH<»+»!+wb=°· (6·4·17)
Докажем формулу (6.4.15) с помощью производящей функции для Ся(дг).
Дифференцирование соотношения (6.4.10) по χ приводит к равенству
00 00
Σ Έί€η (*)г" = 2Яг(1 ~ 2xr + r2Ta+1) = 2Xr J] C*+1 (х)г".
п=0 п=0

286
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Отсюда немедленно следует соотношение (6.4.15). Для получения формулы
(6.4.16) следует продифференцировать соотношение (6.4.10) по г. Получаем
00
2А(х-г)(1-2дсг+г2Гя = (l-2xr + r2)2nCnWr"~1·
п=0
00
Левая часть равна 2λ{χ — г) J] C*Gc)rn. Соотношение (6.4.16) можно теперь
п=0
получить, приравняв коэффициенты при соответствующих степенях в обеих
частях последнего равенства.
Установим для ультрасферических многочленов свойство относительного
экстремума. Обозначим через yjf%,k = l, ...,n — 1 нули производной функции
Pn(a'a)Qc). Упорядочим их так, чтобы выполнялось неравенство yjf% < yj^ п,
и положим Уо,п(а) = 1> Уп,п(°0 =—1. Определим
М*,п(«) = 1^}(>^(а))1/^(1М1)а). * = 0,1,..., п. (6.4.18)
Данные числа удовлетворяют неравенствам
μΜ(α) < μΜ_ι(α), α > -1/2, к = 1,2,..., π-1, π = 1,2,... (6.4.19)
При —1 < α < —1/2 неравенства обращаются, а при а = —1/2 имеем μ^,η(«) = 1.
Для а = 0 соотношение (6.4.19) было замечено Тоддом [383] при изучении
графиков многочленов Лежандра. Его предположение было доказано Сегё [374].
Мы докажем формулу (6.4.19) при а = 0 способом, который можно обобщить на
общий случай. Само доказательство общего случая мы предоставляем читателю.
Для начала приведем некоторые необходимые замечания о многочленах
Якоби. Приведенные ниже два тождества следуют из замечания 5.6.3:
(π + α + DP^Kx) - (η + ΐ)Ρ™ω = ^2η + α + β + 2^1-^ρία+ι,β) W> (6.4.20)
(2η + α + β + 1)Ρη(β·Α (χ) = (η + α + β + 1)Ρ^+1-^ (χ) - (η + β)Ρ^ 1β\χ). (6.4.21)
Кроме того, заметим еще раз, что
£j**>Cx) = " + а^ + Ч-^+1)(*) (6.4.22)
и
ρΐα,βϊ (_*) _ (_1)»р ».«) (χ) (6.4.23)
Как и ранее, через Рп(х) будем обозначать многочлены Лежандра Р^0,0)(*). Из
формул (6.4.20), (6.4.23), а затем (6.4.21) получаем
[P„(*)]2-[Pn+iOO]2 = [P»(x)-Pb+i(jO][P„(x) + Wx)] =
= (1-χ)Ρη(1·0)(*)(1 + х)Р„(0'1)(*) =
= (1-*2)
2 (n + 2)P„aiJC>f) - (и + DP^i'Cx) (n + 2)P«-»(x) + (π + 1)Ρη(ΐΊυω
2(п + 1) 2(п + 1)
ί2
Последнее равенство получено из формулы (6.4.22).

§ 6.4. Производящая функция многочленов Якоби
287
Следовательно,
/м == [р„ м]2 + (^[έρ" (Х)Г = [p"+iW]2 + (ϊτ^[έρ"+ι(Χ)Γ·
Среди нулей многочлена /'(х) есть как нули многочлена P^W =Ρ^Μ/29 так
и нули многочлена Р^+1(х) =РП(1,1) Qc)/2. Так как /(х) имеет степень 2п, должно
выполняться
/4χ) = ληΡη(1·1)(χ)Ρη(Ιί)(χ).
Сравнивая коэффициенты при старшей степени, получаем
Ап = 1/(4п + 4).
Ввиду чередования нулей для Pn(1,1)(^) и Р^Ч*) они имеют различные знаки
при укп <х< у^п+1. Следовательно, на этом интервале / (дг) убывает, и для α=О
формула (6.4.19) доказана.
Несложно показать, что
ММ < μ*-ι,η. * = 1.2,..., [η/2], (6.4.24)
где Mjt,n = Mfc,n(0)· Рассмотрим определенную в упражнении 40 функцию /(дг)
при а = )8 = 0. Имеем
/Сх) = [Р«Сх)12 + (17(пЙГ12· (6А25)
Найдя /'(*) можно увидеть, что /Qc) возрастает при 0 < χ < 1. Отсюда следует
неравенство (6.4.24).
Жаж [369] доказал неравенство (6.4.19) способом который работает и при
-К а < —1/2, но не заметил этого. Позже им был получен аналогичный
результат для эрмитовых функций (см. [370]). Упражнение 10 содержит формулировку
этого результата.
В завершение этого параграфа заметим, что многочлены Эрмита и Лагерра
являются пределами многочленов Якоби. Эти пределы можно получать разными
способами, в частности с помощью производящих функций. Заметим, что
lim(l-2f + ^rA = e2-r2,
Я—>оо^· A A J
следовательно,
lim A-"/2C*Qc/A) = Нп(х)/п\. (6.4.26)
λ->οο
Другой способ основан на гипергеометрическом представлении
£l**(l-*/W. Ш uiit g '-"^^"V = ЧИ. (6.4.27,
Из такого предельного представления следует, что свойства многочленов
Лагерра и Эрмита можно можно вывести из соответствующих свойств
многочленов Якоби, однако обычно легче доказывать их напрямую, как мы это делали
в § 6.1 и 6.2.

288
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
§ 6.5- ПОЛНОТА СИСТЕМ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
В предыдущей главе мы уже кратко касались вопроса о представлении
произвольной функции в виде разложения по ортогональным многочленам. В данном
параграфе мы рассмотрим разложения по многочленам Якоби, Лагерра и Эр-
мита. Последние два случая особенно интересны, так как в них мы используем
интегрирование по бесконечным промежуткам. Как и в случае преобразования
Фурье, несложно получить интересующий нас результат для функций из L2(a, b),
т.е. из гильбертова пространства функций, интегрируемых с квадратом. Мы
приведем доказательство полноты многочленов Эрмита и Лагранжа,
принадлежащее Хьюитту [192]. В доказательстве используется теорема единственности
преобразования Фурье для интегрируемых функций, и для полноты изложения
мы, следуя [45, с. 228], приведем комплексно-аналитическое доказательство
данного факта.
Теорема 6.5.1. Если функция f интегрируема на (—<», °°) и
00
—00
то f = 0 почти всюду
Доказательство. Очевидно, что
] /(Ое*(м)Л = 0,
—00
и, следовательно, если а вещественно, то
α oo
I /(t)elx(M)dt = -\/(t)eix(t-a)dt. (6.5.1)
—oo a
Определим следующие две функции комплексной переменной z = x + iy:
а оо
ΙΟ) = ξ /(t)ei2(t_a) dt; R(z) = - $ /(t)ei2(t_a) dt.
—oo a
Видно, что при lmz<0 функция Ι (ζ) определена и при lmz<0 является
аналитической. Аналогично при Im ζ > 0 определена аналитическая при Im ζ > 0
функция R(z). Кроме того, по теореме о мажорированной сходимости и в силу
соотношения (6.5.1) имеем
a
HmLQc + iy)= \ f{t)eix{t-Q4t= limRQc + iy).
Таким образом, функция
(L(>), Imz<0,
RO), lmz>0,
является ограниченной целой функцией1 и, следовательно, по теореме Ли-
увилля является константой. Также из теоремы о мажорированной сходимости
ι По построению F{z) может иметь особенность на оси z€R. Поэтому здесь нужно использовать
какой-либо вариант леммы о стирании особенности.

§ 6.5. Полнота систем ортогональных многочленов 289
имеем
00
lim F(iy) = lim {- \ /(t)e_J'(t-a) dt) = 0.
V—>00 V—>00V J J
J J a
Следовательно, F(z) = 0, в частности F(0) = 0. Отсюда для всех вещественных a
получаем
J /(t)dt = 0,
— 00
что влечет равенство / = 0 почти всюду. Теорема доказана. D
Пусть ρ (О —некоторая интегрируемая с квадратом функция,
экспоненциально убывающая на бесконечности:
pit) = 0(e~a,t|) для некоторого a > О при \t\ -> оо. (6.5.2)
Теорема 6.5.2. Пусть —оо < а < Ъ < оо и p(t)eL2(a, Ъ), причем функция p{t)
удовлетворяет (6.5.2) в случае а = — оо или Ь = оо и не равно нулю для почти
всех L Тогда если f €1?{а,Ъ) и
ь
$f7(t)p(t)dt = 0 для π = 0,1,2,...,
a
то / = 0 почти всюду1.
Доказательство. Определим для z = x + iy функцию
ь
F(z)=5eiztp(t)/(t)dt.
a
Если —oo<a<b<oo F{z) является целой функцией, иначе F — аналитическая
при —а<у<а. Следовательно,
ь
F{n\z) = in\eizttnp{t)f{t)dt.
а
По условию имеем F(n)(0) = 0 для п = 0,1,2,... Следовательно, F(z) = 0 при
—a < у < а, в частности
ь
F(x)=5eixtp(t)/(t)dt = 0.
a
Так как произведение pit)fit) интегрируемо на ia,b), из единственности
преобразования Фурье следует равенство ρ it) fit) = 0. Так как pit) φ 0 почти всюду,
fit) = 0 для почти всех t. Ώ
В следующей теореме под da(x) можно понимать хае~х dx или е-*2 dx. В
первом случае полагаем (а, Ь) = (0, оо), во втором (а, Ь) = (—оо, оо). Соответственно
под ψη будут подразумеваться многочлены Лагерра или Эрмита, нормированные
так, чтобы выполнялись равенства
\ψ2ηάαΜ = 1.
ι Лучше сказать «почти всюду по мере ρ (t) dt».

290
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Для всякой такой функции /, что
ь
$|/Qc)|2daQc)<«>,
a
определим
ь
сп= §/00</?n(x)da(x).
Теорема 6.5.3. Пусть sn= ]Г cktpk. Тогда
к=0
5l/(x)|2da(x) = 2k„l
a n=0
b
lim$[/Qc)-snQc)]2daQc) = 0.
a
Доказательство. Ясно, что для п>т выполняется соотношение
Ъ. η 2 η
S Ес*Ч <*«(*)=Σ|с*'2· (6·5·3)
α m+l m+1
Таким образом, из неравенства
ь
\lfM-snM]2daM>0
а
следует, что
η Ь
ΣΜ2< $|/Qc)|2 da(x). (6.5.4)
Jk=0 a
Из соотношений (6.5.3) и (6.5.4) видим, что {snGc)} является
последовательностью Коши в 1?а{а,Ъ). (Под 1?а(а,Ъ) мы понимаем множество функций,
интегрируемых с квадратом по мере da.) Следовательно, существует такая функция
g€l2, что
ь
lim \ [g(x) -snQc)]2 da(x) = 0. (6.5.5)
П-»оо ^
a
Теперь для n>fc из неравенства Коши—Буняковского—Шварца и того факта,
что норма функции ipk равна единице, имеем
ь ь ь
§ «(*)¥>*(*) da(x) -с*. = ξ [g(*) -sn(x)]</?*(*) da(x) < ξ Ш"5пМ]2 da{x).
a a a
Перейдя к пределу при η —> », получаем
ь
<* = §g(x)</?k(x)da(x).
a

§ 6.6. Асимптотическое поведение Ρ^α'β)(χ) при больших п. 291
И в соответствии с теоремой 6.5.2 почти всюду выполняется равенство / = g.
Из соотношения (6.5.5) следует, что
ь ь
lim $|snQc)|2daQc) = $|/Qc)|2daQc)
a a
и поэтому
2lcn|2 = $(/Qc))2da(*).
n=0 a
Теорема доказана *. D
00
Замечание 6.5.1. В доказанной теореме ряд ][]сп¥?п сходился к / в I2. Поточеч-
о
ную сходимость можно получить, потребовав от / гладкости или кусочной гладкости.
В последнем случае для χ не являющихся точками непрерывности ряд будет сходиться
к1/2[/(х + 0) + /(х-0)].
С помощью теоремы 6.5.2 можно доказать следующее утверждение: пусть
{рпМУ последовательность многочленов ортогональных относительно весовой
функции wQc) = 0(e~cv^) на (0, <»), тогда последовательность {рпМУ является
полной.
Данное утверждение можно доказать с помощью другой последовательности
{qn(x)}, ортогональной относительно xwM на (0, °о). Построим из ρ и q
последовательность {rnQc)} следующим образом:
Ъп Μ = P„U2), r2n+lM = xqn(x2).
Эта последовательность будет ортогональной относительно |дг|ш(х2) на (—«>, <»).
Данное распределение удовлетворяет условиям теоремы 6.5.2.
Следовательно, последовательность {rnQc)} является полной, что влечет полноту системы
ihnW} B пространстве многочленов четной степени, а следовательно, и
доказательство нашего предположения.
Сравните этот результат с комментарием после следствия 5.7.6.
§ 6.6. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ Р„ 00 ПРИ БОЛЬШИХ П.
с»
Пусть /(г) = J] апгп аналитическая в окрестности нуля функция с конечным
п=0
числом особенностей на границе круга сходимости. Для определенности
положим радиус сходимости равным единице. Хотелось бы получить оценку ап
при больших п. Рассмотрим, как можно, зная особенности /, приблизительно
найти an. Предположим для простоты, что все особые точки являются полюсами
первого порядка. Пусть сингулярная часть функции / на единичной окружности
имеет вид
l-ftr 1-ftr - 1-ftr·
Данные функции можно разложить по биномиальной теореме. Коэффициенты
этого разложения при г" обозначим Ьп. Функция / — S = ][](an — bn)rn имеет
ι В случае многочленов Лагерра IJJ полнота доказана при а > —1/2.

292
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
больший радиус сходимости, чем был у /. Следовательно,
(ап-Ьп)гп = о(1)
для некоторого г > 1, или
an-bn = o(r-n).
Таким образом, зная Ьп, мы можем оценить αη. Описанная идея составляет
основу метода Дарбу оценки асимптотического поведения ап.
Ввиду того что рассмотренные выше производящие функции имеют п-й
ортогональный многочлен коэффициентом при г", возникает возможность
применения описанного метода к описанию ортогональных многочленов. В этом
случае следует рассмотреть и алгебраические особые точки. Возьмем,
например, производящую функцию многочленов Лежандра, равную (1 — 2jcr + r2)~1/2.
Подставляя jc = cos 0, получаем
/(г) = (1-2хг + г2Г1/2 = (1-гешГ1/2(1-ге-ш)-1/2.
Особыми являются точки r = ew и r = e~w. В окрестности точки r = ew функция
/(г) ведет себя как
g=a-e2Wr1/2a-re-wyv2.
Таким образом, /(г)—g(r) = h(r)(l —ге~1/2)1/2 где функция h(r) непрерывна
в точках ew. Мы видим, что f — g все еще имеет алгебраическую особенность,
хотя уже и является непрерывной. Следовательно, возможно оценить ап — Ъп.
Точная формулировка для общего случая содержится в записанной ниже
теореме. Прежде чем ее сформулировать, рассмотрим случай
/(г) = (1 -rewTx{\ -re~wTx.
Если А> 1, то вычитание слагаемого вида g уже не позволит получить
непрерывную разность f — g. Необходимо вычесть дополнительные слагаемые. Их
можно найти разложив (1 — ге1в)~х по степеням (1 — re~w). При r = ew имеем
/(г) = (1 - re-wyx[l - -β^α - re~w)]~\l -β2ίθΓλ =
Wkf e2W γ,Λ ^-1влк
= (\-re-i9Tx{\-e2ieTXi
'-Jk=0
Если для целого η выполняется неравенство η — Я > 0, то можно взять
ΣΨ(^ϋ»-«-"ϊ
" Wtf "2W
g = (l-re-ierA(l-e2ierAX;^f(^T)(l-re-e)k.
Лс=0
00
Теорема 6.6.1. Пусть1 f{ζ) =^αηζη — функция, аналитическая в \z\<r,
о
r<oo u имеющая при \z\=r конечное число особых точек. Предположим g =
00
= Σ bnzn также является аналитической при \z\ < г и разность f—g непрерывна
о
на \z\ = г. Тогда ап — Ъп = о{г~п) при η —> ».
ι Здесь сказано буквально следующее. Если /ι(г) = J] cnzn голоморфна в круге \z\ < 1 и непрерывна
вплоть до границы, то сп -* 0.

§ 6.6. Асимптотическое поведение Ρη(α,^(*) при больших п. 293
Доказательство. По теореме Коши из условий на f — g следует, что
а«-Ь« = Ш S fJ^^dZ = ^^rei6)-gire^e-^de.
\z\=r О
Применяя лемму Римана—Лебега для рядов Фурье, получаем, что последний
интеграл стремится к нулю при η —> ». Теорема доказана. D
На самом деле требование непрерывности функции /—g на окружности \z\ =
= г в предыдущей теореме является излишним. Достаточно чтобы функция f—g
имела на окружности \z\ = r конечное число особых точек z; и в каждой из них
выполнялось бы равенство
/(*) -g(z) = ΟΚζ-ζρ^-1), ζ -+ zj9
с некоторым постоянным положительным показателем σ;. Об этом см. в
работе [375, § 8.4] и [284, §8.9]1.
Производящей функцией для P^ Q0 является функция
2a+^(l-r+Vl-2rx + r2)~a(l + r+Vl-2rx + r2)~^(l-2rx + r2r1/2.
После замены jc = cos θ указанная функция имеет особенности в точке г = е±1в.
В окрестности точки г = е1в производящая функция ведет себя как
2«+0(ΐ _е'в)-«(1 + ewyP(l -e2i0)"1/2(l -ге"^Г1/2 =
00
= 2α^(1-6ιθ)-α4(1+6ιθ)-Η J] С^^-^п
о
Следовательно,
P^icose) ~ [2a+^(l-eI0)-a-i(H-eI0r^-ie-in0 +
+ сопряженное слагаемое] —ρ2·, π -> оо.
Положим
А = (1 - ешГа4 (1 + eI0)^-i = \А\е~1*,
где
|Л| = г , χ = cos 0.
2(а+0+1)/2^/(1 _^α+Ι ц + χ)^+1
Следовательно,
Pn(a^(cos θ) - ^^2α+^+1|Λ| cosine + ψ).
Заметим, что, с точностью до множителя 2а+^+1(1—дг2)1/2, знаменателем
дроби \А\2 является (1—χ)α(1+χ)^, т.е. весовая функция многочленов Якоби. Это
не случайно. Чтобы сформулировать теорему в форме Невэ [279, с. 141 — 143],
положим
?η+ι Μ = (Апх + Вп)РпМ - СпРп_г(χ), η = О,1,...,
Р_!=0,Р0 = 1 и Ап_гАпСп>0 дляп = 1,2,...
ι Лемма Римана—Лебега верна для любой интегрируемой функции, см. [447, § VII.1].

294
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Теорема 6.6.2. Если ряд
п=0
сходится, то άψ можно выразить соотношением
dipW = грМ dx + d^jumpU).
Здесь функция гр(х) непрерывна и положительна на suppi/>CxO = (—δ, δ), α
ψ^итр00 — ступенчатая функция, постоянная на (—δ, δ). При этом почти на
всем множестве supp(di/>) выполняется предельное соотношение
lim sup{i/>(*)у/δ2 -x2P^x)/hn} = ±.
Особые точки производящей функции многочленов Лагерра устроены
сложнее. Это затрудняет применение к их изучению метода Дарбу, тем не менее
Фейер показал, что это все-таки возможно (см. [375, § 8.2 — 8.3]).
§ 6.7- ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОБИ
Интегральные представления гипергеометрических функций, в частности, дают
и интегральные представления для многочленов Якоби. В этом параграфе мы
дадим несколько полезных интегральных представлений.
Для начала напомним формулу Бейтмена[49] с интегралами дробного
порядка
где Κ6ο>0,Κεμ>0 и |дг| < 1, если ряд бесконечен. Данная формула является
частным случаем формулы (2.2.4). Мы ею воспользуемся при доказательстве
следующей теоремы (формулы Дирихле—Мелера).
Теорема 6.7.1. При 0<θ<π многочлены Лежандра можно представить
в виде
2 £ cos(n + |)y? 2 г sin(n + !)y?
P"(C0S6)= π \ (2cos^-2cos0)V2^ = ;? \ (2cos0-2cos^/2 ^
Доказательство. Подставим в формулу Бейтмена а = —п, Ь = п + 1, ο = μ =
= 1/2, χ = sin2 (0/2) и t = sin2((/?/2). Получаем
1 с
Pn(cos0) = ±$
2Fi(-n, n +1; 1/2; sin2 (φ/2)) cos(y/2) άφ
{ϊ\η2(θΐ2)-ϊ\η2(φΐ2)γΙ2
Функция 2^ι в подынтегральном выражении — это гипергеометрическая форма
многочлена Чебышёва четвертого рода. Она равна
cos(n+ -^)φ
cos(</?/2)

§ 6.7. Интегральные представления многочленов Якоби
295
Для получения второй формы интеграла следует заменить 0 и </? на π — θ ип — ψ
соответственно и воспользоваться тем, что Рп(—х) = (—1)пРп(дс). D
Воспользовавшись этой теоремой можно, как это сделал Фейер, показать, что сумма
η
многочленов Лежандра ][] Р*(х) не меньше нуля при 0<х< 1. Действительно,
к=0
γι Pfc(1/2>~1/2)(cosfl) _ ^Ц Sjn(fc + 1/2)9 _ fsin(n + l/2)fly* >
Zj p(-i/2,i/2)m ~Zj sin(0/2) ~V sin(0/2) J "
к=0 к v J k=0
Дальнейшие результаты и ссылки см. в [21, лекция 3].
Теорема 6.7.2. При μ > 0, — 1 < χ < 1 выполняются соотношения
Ρη(α+μ·ρ-μ)(1) Γ(α + 1)Γ(μ) JU 7 ρη<α·«(ΐ)1У ; У'
а>-\;
OMltJ Ρη(ί+μ·α-μ)(1) П)8 + 1)Г(м)Ди + У; pf^Q)
/3 > —1;
(l-x)«^ Р.(ач^М 2»Τ(α + μ + 1) £ (l-y)° P^W _ г
Bj (l+x)n+a+1pn(a+">«(i) Γ(α + 1)Γ(μ) J (l+y)«+a+M+1 рЗДц)1-7 J ^
a>-l;
(1 + »)'*' P^fr) 2TQ8 + μ +1) ? (1 + jrV P^OO, ,
(1-χ)η+^+1ρη(Ρ+"·α)(1) Γ(/3 + 1)Γ(μ) Д (1-у)«+^+м+1 p^d)1- yj 7'
/3>-l.
Доказательство. Формула а) получается применением формулы Бейтме-
на и соответствующей заменой переменных в гипергеометрическом
представлении многочленов Якоби.
Формула б) следует из а). Следует воспользоваться тем, что Рп (—*) =
= (-l)nP„tf,a)(x).
Формулы в) и г) можно получить из а) и б) с помощью преобразования
Пфаффа:
2F1(a>cb>;x) = a-x)-a2F1(a>cc-b;x/<ix-l)).
Заметим, что, применяя преобразование к формуле Бейтмена, получаем
Теорема доказана. Заметим, что и формула Бейтмена, и все результаты
теоремы являются частными случаями теоремы 2.9.1. D
Важные интегралы Виленкина [440] и Фельдхейма [136] могут быть
получены из п. в) квадратичным преобразованием
Р%а\х) _P^-ll2\2x2-Y)
Р£^(1) " Ρπ(α·-1/2)(1)

296
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
р£$Ы =хР?Л/2Ч2х2-1)
*&?(« Р^'Ч!) '
если положить β = ±1/2. В результате получим
C„v(cos0) sin2"-1 Θ 2Γ(ν+1/2) г . 2Я [cos2 у -cos2 θ]^'1 C*(cos ψ)
q(l) cosn+2A+10~r(A + l/2)r(v-A) JSU1 ψ cosn+2l> CnA(l) V'
O<0<§, ν>λ>-\.
Заменой переменных из последней формулы можно получить следующий
результат.
Следствие 6.7.3. Для ν>λ>—1/2, 0<θ<π выполняется равенство
C"(COS0) - 2Г(г+1/2) X sin2A cos21-2A-1 п _ sin2 ρ CQS2 -,η/2 χ
c:a) πλ+ι/2)Γ(ν-λ) j sin vcos φ11 sin ycos φ]
C„*(cos θ (1 - sin2 θ cos2 ¥>Γ1/2) ,
X С*Ш άψ·
причем
Cn°(cos0) C*(cos0)
-^- = i1-?o-^ar=cosne·
В последней теореме данного параграфа дается представление
ультрасферических многочленов в виде интеграла Лапласа. Данный результат принадлежит
Гегенбауэру [163].
Теорема 6.7.4. При А>0 выполняется равенство
к
С"(C0Sθ) = г^пКГЩ)2 S[C0Sθ + ί8[ηθcos Vl"«η2*'1 VdV.
Доказательство. Вспомним, что
Jc=0
Перепишем данную формулу с помощью бета-интеграла. Получаем
С"(C0S θ) = Sf^ Σ \ у^-\1-у)^-к-ЦУ«-™ dy =
k=o о
= g^ I у*-Ч1-у)*-Чуе-» + (1 -у)е»]« dy.
Положим у = sin2 г/>. Это приводит к равенству
π/2
C*(cos θ) = ^"nffi S [cos ^ + i sin θ (cos21/> - sin2 г/ΟΓ sin2*"1 i/> cos2*"1 xp dxp
Теперь после замены φ = 2ι/> получим утверждение теоремы. D

§ 6.8. Линеаризация произведения ортогональных многочленов 297
§ 6.8. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
Из формулы для суммы косинусов следует, что
cos m0 cosn0 = -cos(n + m)0 + -z cos(n — m)0.
В предыдущей главе мы видели, что это утверждение связано с многочленами
Чебышёва первого рода P(~1/2,~1/2)Qc), где jc = cos0. Формула, позволяющая
представить произведение двух многочленов в виде линейной комбинации
других многочленов, называется формулой линеаризации. В общем случае,
когда задана последовательность многочленов {рп0с)}, можно поставить вопрос
о виде коэффициентов а(к, т, п), где
т+п
РтМРпМ = ]Г] а{к, т, п)рк (х). (6.8.1)
к=0
Если многочлены рп(х) ортогональны относительно da(x), то выполняется
равенство
a(fc,τη,ή) = γ\ РтМРпМРкМda(x). (6.8.2)
Таким образом, вопрос о вычислении интеграла от произведения трех
ортогональных многочленов одного вида эквивалентен проблеме линеаризации.
Другим примером формулы линеаризации может служить тождество
min(m,n)
sin(n +1)0 sin(m 4-1)0 _ V^ sin(n-t-m + l-2fc)0
sin0 sin0 ~~ L·* sin0
fc=o
Одним из способов нахождения формул линеаризации является
рассмотрение многочленов, для которых интеграл (6.8.2) может быть достаточно легко
вычислен. Интегралы, в которые входят два многочлена, позволяют получать
лишь соотношения ортогональности. Как мы уже видели, получать соотношения
ортогональности иногда удобно с помощью производящей функции.
Простейшую производящую функцию имеют многочлены Эрмита, так как в нее входит
экспонента, которую легко умножать на себя, получая достаточно простой вид
ответа. Например, для соотношений ортогональности имеем
SZHmSWrm5VJf2d;c= I е2ХГ~r2+2xs~s2-x2dx= I e-(m)2e2r5dx=v^e2r5.
-°° m,n ' — °° —°°
Разлагая правую часть в ряд, получаем
00
$ Hm(jc)Hn(jc)e-x2dJC = 2mv^m!5mn.
—00
В случае произведения трех многочленов Эрмита аналогичным образом имеем
г yi H/(jc)Hm(jc)Hrt(jc)^^m^n^_JC2 ρ e2xr-r2+2xs-s2+2xt-t2-x2 dx =
J zLj l\m\n\ J
— 00
> l,m,n
= I e-c*-'-*-o2 djc.e2(rs+rt+s0v^2
na+b+c -a+b *.b+c ~a+c
alblcl
a,b,c

298
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Отсюда следует, что
^Hz(x)Hm(x)Hn(x)e dx= f ,fJvw^ (6.8.3)
в случае, когда 1 + т + п четно и сумма любых двух из этих чисел не меньше
третьего. Во всех прочих случаях интеграл равен нулю.
Теорема 6.8.1. Справедливо соотношение
min(m,n)
Hm(x)Hn(x)= J] (^)(j)2fcfc!Hm+n_2,(x).
fc=0
Доказательство. Данный результат следует из формулы (6.8.3) и
соотношения ортогональности для многочленов Эрмита. D
Замечание 6.8.1. Важным свойством коэффициентов в формуле линеаризации
является их положительность, то же свойство имеет и интеграл (6.8.3).
Итак, мы знаем формулы линеаризации для рг[1/2'1/2) (<х-)> р^-1/2,-1/2) ^ и мн0
гочленов Эрмита. Многочлены Якоби Ρπ(α,α) называются ультрасферическими
многочленами или многочленами Гегенбауэра и имеют предельным случаем
многочлены Эрмита, так как
^=ИтЯ-"/2Ся(х/УЯ).
π! α-» η '
Это дает повод предположить, что и для многочленов Гегенбауэра тоже
существует формула линеаризации. Кроме того, с помощью квадратичных
преобразований рп(1/2'1/2) (χ) и р^-1/2,-1/2) Q^ можно получить формулы линеаризации для
многочленов Чебышёва третьего и четвертого рода Рп(1/2,-1/2) (х) и Рп(-1/2,1/2)(х).
Идея использовать для получения формулы линеаризации многочленов
Гегенбауэра производящую функцию (1 — 2хг + г2)я не кажется перспективной,
так как произведение трех таких выражений не имеет сколько-нибудь удобный
для работы вид. Более удобным способом [39] кажется представить C^Qc) в виде
гипергеометрического ряда и применить преобразование Уиппла к очень
хорошо уравновешенному ряду 7F6, с тем чтобы найти вид C*Qc)C*Gc). Полученная
таким образом формула линеаризации принадлежит Дуголлу [108]. Интересно,
что более общий результат был известен еще Роджерсу [313], см. (10.11.10).
Теорема 6.8.2. Справедливо равенство
min(m,n)
Σ
fc=0
(m + η + λ - 2k) (A)fc(A)m_k Щп_к (2A)m+n_k (m + η - 2fc)!
Оп + п + Х-к)к\(.т-кЖп-кШ)т+п-к (2A)m+n_2ik *
Доказательство. Напомним, что
Cj (си θ) = ** J] ^fgf e~™ = ^V» Vx( α ~_";\; e~2W). (6.8.5)
fc=0
CiWC„AW= J] a(fc,m,n)Cm+n_2,(x), (6.8.4)
где
a(k, m, n) =

§ 6.8. Линеаризация произведения ортогональных многочленов 299
Применяя к последней формуле преобразование Эйлера (теорема 2.2.5),
получаем:
C*(cos0) = ^eu"eCl-e-2fe)1-2*2F1(1-^-f^-m; е"яв). (6.8.6)
Перемножая два предыдущих уравнения, имеем
C>os 0)CnA(cos 0) = (A^)V(m+n)e (1 - е"2*)1-2* *
Ж2-1(1-Я-п№е 2j j!(l-A-m), 6 * (6-a7)
В случае s = j + к суммы можно переписать как
(l-A).(l-2A-m),._2,t0 v (.-n)kWk(.m + X-s)k
(l-A-m)s Zjfc!(l-A-n)k(A-s)k(2A + m-s)fc
s>0 Jc>0
_ yi (1-Я)5(1-2Я-гп)5 / -nfXf-SfTn + x-s \ 28ίθ ffiocn
-L· (Ι-λ-m). ^U-A-^A-s^A + m-s'1^ ' (6A8)
Полученный ряд 4F3 является уравновешенным. Применим формулу Уиппла
(теорема 3.4.5), переводящую уравновешенный ряд 4F3 в очень хорошо
уравновешенный ряд 7F6:
„( a + l-b-c,d,e,-s л (a + l-d)5(a + l-e)5
4 3Va + l-b,a + l-c,d + e-a-s' J (a + l)s(a + l-d-e)s
χ F ( a,l + a/2,b,c,d,e,-s л
7 ^a/^a + l-bja + l-^a + l-dja + l-eja + l + s' у
при 5 = 0,1,2,... Положим α = —λ — τη — η, b = —m, c = l — 2λ — τη — n + s, ά = λ
и е = —п. В этом случае соотношение (6.8.8) примет вид
S(l-A)<(l-2A-m-n)<e"2rie γι (-A-m-n)fc(l-(A + m + n)/2)fc(-m)fc
s!(l-A-m-n)s Zj fc!(-(A + m + n)/2)fc(l-A-n)fc X
s к
(l-2X-m-n + s)k(X)k(-n)k(-s)k
(A — s)fc (1 — 2A — m — n)k(l — A — m)k (1 — A — m — π 4- s)fc'
Изменим порядок суммирования, положим 5 = к +1 и упростим полученное
выражение. Результат подставим в формулу (6.8.7) и применим к внутренней сумме
из формулы (6.8.6) полученная формула будет тождеством Дуголла (6.8.4). D
Из данного результата предельным переходом А—>0 можно получить
рассмотренное выше равенство для cosm0cosn0. Подстановка А = 1 дает
тождество для sin(m +1) θ sin (η +1) θ. В случае же λ —> οο тождество Дуголла принимает
вид
Следующий результат, вытекающий из теоремы, был получен Ферре [137]
и Адамсом [2].

300
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Следствие 6.8.3. Для многочленов Лежандра РпМ имеет место следующее
соотношение:
min(m,n)
Р (xW (χ) - V 2m + 2n + 1-4fc x
rmWrnW- Zj 2m + 2n + l-2fc
fc=o
(l/2),(l/2)m_fc(l/2)n_fc(m + n-fc)! - ,, ,,RQ.
X кКт-пЖп-кЖ1/2)т+п_к P«+-2fcCx). (6.8.9)
Доказательство. Утверждение следствия получается подстановкой в
тождество Доугала Я = 1/2. D
Замечание 6.8.2. Коэффициенты а(к, гп, п) в формуле (6.8.4) являются
положительными при λ > 0. Более того, из теоремы 6.8.2 следует обрывающаяся форма формулы
Клаузена, точный вид которой можно найти в упражнении 17 (г) гл. 3.
Следствие 6.8.4. При Я>—1/2 и λφΟ выполняется равенство
ι
$ CzA(x)C^(x)CnA(x)(l-x2)A-1/2dx =
-ι
(A)5_,(A)5_m(A)5_ns! 21-2ЯяГ(5 + 2Я) ,
(s-0!(s-m)!(s-n)! [r(A)]2s!(s-^y ^ΟΛυ)
в случае, когда I + m + η = 2s четно и сумма любых двух чисел из 1,т,п больше
или равна третьему Во всех других случаях интеграл равен нулю.
Данное утверждение напрямую следует из тождества Дуголла и содержит
формулу (6.8.3) как предельный случай.
Интегралам, содержащим произведение нескольких ортогональных
многочленов, можно дать и комбинаторную интерпретацию. В параграфе 6.9 мы
покажем, как можно получить формулу (6.8.3) комбинаторными вычислениями.
Коэффициенты a(k,m,ri) в формуле (6.8.1) можно для рп=Рп 00
вычислить в терминах гамма-функции если а и β различаются на единицу, в частности
в случае многочленов Чебышёва третьего и четвертого рода.
Ксю [197] показал, что из формулы (6.8.10) можно получить
соответствующий результат для интегралов от функций Бесселя:
ljaiaOJaQ>OJa(cOtl-adt =
если а,Ь,с — стороны треугольника площади Δ.
{0, если а, Ь, с не являются сторонами треугольника,
2α-1Δ2α-1
урк Г{а +1/2) (аЪсУ
Данный интеграл был вычислен другим способом в § 4.11.
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют ультрасферические
многочлены, имеет и решение, сходящееся к Υα00 — второму решению
уравнения Бесселя. Подобное утверждение имеет место и для общих ортогональных
многочленов {рп(дг)>. Для простоты предположим, что мера da(x),
относительно которой многочлены являются ортогональными, имеет носителем конечный
отрезок [a, b] и на нем выполняется равенство
da(0 = coO)dt,

§ 6.8. Линеаризация произведения ортогональных многочленов 301
где функция o>(t) непрерывно дифференцируема и интегрируема с квадратом.
Определим вне [а, Ь] функцию qn следующим образом:
ь (.
9nW = S ?=t ω(0 dt, ζ € С, ζ φ [α, Ь], (6.8.11)
α
а на интервале (α, b) так:
b p„(0
«IWnlX-riKJ-rWnlX — LYJJ— Ύ
y-H-0
qn(x) = lim 5(q„(JC + iy) + q„(JC-iy))= t^^COdt, (6.8.12)
v-*+0 ^ J JC — Г
a<x<b. Заметим, что на этом интервале qn является образом ωρη при
преобразовании Гильберта с конечными пределами. Ультрасферические многочлены
второго рода D^(jc) определяются соотношением
(l-xV-1/2Dn4x) = ^qnW = ij^(l-t2)A-1/2dt. (6.8.13)
Можно показать, что
lim n1-2^1" έ) = -i#21/2-V/4-A/2lA-i/2(Vy)· (6-8.14)
Аски, Корнвиндер и Рахман [29] рассмотрели интеграл вида
ι
$ ^W^MCfWd-Jf2)2^1 dx. (6.8.15)
-ι
Интеграл равен нулю, если 1 + т + п четно и если существует треугольник со
сторонами Z, m, п. В остальных случаях его значение равно
[Г(Я + 1/2)]2(2Я)п(2Я),(2Я)т_
[Г(Я + 1)]2п!Пт!
= (Я)(п+т+,+1)/2 ((п + гп -1 -1)/2)! (-Я)(п.тЧ+1)/2 ((п - т -1 + 1)/2),
(2Я)(п+т+г+1)/2(Я + l)(n+m-i-l)/2 W(n-m+i+l)/2
Также они вычислили и более общий интеграл, в который вместо D*Qc) входит
функция другого порядка D„ Qc). В доказательстве было использовано
преобразование Уиппла для 7F6. Также были вычислены и соответствующие интегралы
с функциями Бесселя. Ссылки и точные формулировки результатов читатель
найдет в их работе. Следует заметить, что их труд основывается на более
ранней работе Дина [104], в которой был изучен некоторый частный случай.
Для общих многочленов Якоби Рп Μ коэффициенты линеаризации не
представляется возможным найти в виде произведений. Хиллераас [198] нашел
для них трехчленное рекуррентное соотношение, изучив дифференциальное
уравнение, которому удовлетворяет произведение Рп МРт (*)· Помимо
изучения случая α = β, Хиллераас показал, что коэффициенты линеаризации
можно найти в виде произведения, если α = β +1. Во многих задачах достаточно
знать, что коэффициенты неотрицательны. Гаспер использовал рекуррентное
соотношение Хиллерааса, чтобы найти пары (α, β), при которых все
коэффициенты линеаризации неотрицательны. Многие годы лучшим известным видом

302
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
□ X ISI
<? G *4
Рис. 6.1
коэффициентов оставалось представление в виде двойного ряда. Рахман [296]
показал, что коэффициенты линеаризации можно записать как очень хорошо
уравновешенный 2-уравновешенный ряд 9^8- Эти ряды удовлетворяют
трехчленным соотношениям смежности и представляют собой наиболее обыщи
класс гипергеометрических рядов, удовлетворяющих трехчленным
рекуррентным соотношениям. Хотя открытие Рахмана было неожиданным, теперь, в
ретроспективе, кажется, что довольно естественным было бы ожидать подобного
результата.
Если нормализовать многочлены Якоби так, чтобы они были
положительными при χ = 1, какими они, например, являются при а > —1, то коэффициенты
линеаризации будут положительными при α>β>—\/2, при α + β>0, — \<β< 1/2
и при некоторых а < —β, если — 1 < β < —1/2. Для первых двух областей
неотрицательность следует из общего принципа максимума для гиперболических
дифференциальных уравнений. Подробности можно найти в работе [376].
§ 6.9- ПАРОСОЧЕТАТЕЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Ортогональные многочлены естественным образом связаны с различными
комбинаторными объектами. В последние годы эта связь интенсивно изучалась.
В данном параграфе мы введем паросочетательные многочлены для графов
и покажем их связь с многочленами Эрмита. В дальнейшем мы используем
эту связь при вычислении интегралов от произведения многочленов Эрмита,
в частности мы еще раз докажем их ортогональность. Для начала напомним
некоторые определения из теории графов.
Пусть нам дан граф G. Мы можем рассматривать его как упорядоченную
пару (V,E), где V —множество вершин графа, а Е — множество его ребер,
соединяющих пары вершин. Обозначим число вершин \υ\. Граф G является
полным, если каждые его две вершины соединены ребром. Полный граф с τη = \υ \
вершинами мы будем обозначать Кт. Дополнением G графа G называется граф
с тем же множеством вершин, что и G, но содержащий те ребра графа Κ\ν\,
которых нет в G. Иллюстрации этих понятий даны на рис. 6.1. Будем называть
fc-паросочетанием графа G набор из к несмежных ребер, т.е. ребер, никакие
два из которых не встречаются в одной вершине.
Пример 1. Набор ребер {{1,2}, {3,4}} на графе, изображенном на рис. 6.2, является
2-паросочетанием. В данном примере ни одного 3-паросочетания не существует.
Пусть p(G,fc)— число fc-паросочетаний графа G. Положим p(G,0) = l и
p{G, —1) = 0. Заметим, что p{G, 1) — это число ребер графа G и что p{G, к) = О
при fc> [т/2] = [И/2]. Если в fc-паросочетание входят все вершины графа G,
то оно называется полным и обозначается pm(G).

§ 6.9. Паросочетательные многочлены
303
Для графа G определим паросочетательный многочлен a(G) формулой
[т/2]
a(G) = a(C, χ) = j] (-D*p(G, fc)xm"2fc (6.9.1)
Jk=0
где m = |i;|.
Теорема 6.9.1. Справедливо равенство а(Хт,х) = 2~т/2Ят(х/У2).
Доказательство. Ранее нами было доказано, что
[т/2]
Лс=0
Следовательно, достаточно показать, что
1 т\
Р(Кт,Ю =
2kk\(m-2k)V
Итак, нам следует найти число fc-паросочетаний в полном графе с т вершинами.
Число способов, которыми можно выбрать 2fc вершин из т данных, равно
V2k)· ВеРшинУ из выбранных 2fc можно для получения пары соединить с 2fc — 1
вершиной. Из оставшихся 2к — 2 вершин каждую можно теперь соединить
с 2fc — 3, и т. д. Таким образом, получаем
Р(хтД) = (2т^(2^-1)(2к-з)...за = ^^^^.
Теорема доказана. D
Дадим еще одно доказательство.
Доказательство. Более интересный и продуктивный подход состоит в
доказательстве того, что a(JCm, fc) удовлетворяет тем же рекуррентным
соотношениям и начальным условиям, что и Нет(х) :=2~т/2Ят(дг/У2). Из рекуррентного
соотношения (6.1.10) для Нт(х) получаем
Нет+г Μ = хНетМ - тНет_гМ, Не0(х) = 1, Нег Μ = χ.
Докажем сначала, что
P(Km+i> Ю = р(Кт, к) + гпр{Кт_ь к -1).
Возьмем вершину veKm+1. Эта вершина может входить в fc-паросочетание т
способами, а число способов, которыми каждое из этих паросочетаний можно

304
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
дополнить до полного, равно р(Кт_г, к — 1). Если же υ не входит в к-паросоче-
тание в Кт+1, то число таких fc-паросочетаний равно р{Кт, к). Рекуррентное
соотношение для ρ доказано. Далее
[&п+1)/2]
affm+i,*)= Σ (-l)fcPWm+i,Wxm+1-2fc =
fc=0
[&n+l)/2] t(m+l)/2]
= J] (-l)kp(iKm,k)xm+1-2k+ J] (-l)fcFnp»m-l.k-l)'m+1"2fc.
fc=0 fc=0
Если в первой сумме [(m +1)/2] > [m/2], то p(Km, [(m +1)/2]) = 0. Таким
образом, первая сумма равна
[т/2]
х J] (-1)*р(Кт, к)*"1"2* = ха(Кт, к).
к=0
Во второй сумме заменим к на к +1. Получим
Km-l)/2]
Σ (-l)'+1mp(Km-i, Wx"1"1"2* = -maCIT^!, к).
Jk=0
Теорема доказана. D
Следующей нашей целью будет комбинаторное вычисление интеграла1
00
1{пъп2,...,пк)= J Hni(x)Hn2(x)...Hnt(x)e-x2dx.
—00
В случае к = 2 мы должны получить ортогональность многочленов Эрмита.
С исходным интегралом связан интеграл
00
J(nl9 n2,..., пк) = 5 НеП1МНеП2М...НеПкМе~х2/2 dx,
—00
где Нет(х) = 2~m/2Hm(x/V2). Замена переменной приводит κ тождеству
Ппи п2,..., пк) = 2^'"^-^2J{nl9 п2,..., пк).
Нам будет удобно сократить обозначения и положить π = (пх, п2,..., nfc). Введем
также обозначение
J~ = J(nl9..., щ_ъ щ — 1, ηί+1,..., nfc).
Аналогичным образом jil,;) будет означать, что i-й и j-й параметры уменьшены
на единицу. В следующей лемме дается рекуррентное соотношение для Jn.
к
Лемма 6.9.2. Справедливо соотношение »/я = Σ ni
i=2
ι Стоит заметить, что способ, которым была выведена формула (6.8.3), действует и в этом случае.
Мы получаем
£(n!)-VHtH = v^exp(£tfctz).
k<l
Это дает теорему 6.9.4.

§ 6,9, Паросочетательные многочлены
305
Доказательство. Заметим, что из формулы (6.1.3) для многочленов Эрми-
та, аналогичной формуле Родрига, следует равенство
Яет(*) = (-1)те*2/2£ге-*2/2.
Из формулы (6.1.11) получаем
Не'т = ±НетМ = тНет_1Ы.
Интегрирование по частям приводит к равенству
Jn=l{(-ir^e-^2}Hen2W...HemkWdx =
—оо
-°° 4=2 j=2 1
к оо к к
Для Jg имеем
i=2 -°° j=2 i=2
S e-2/2djc = V^F.
Лемма доказана. П
Комбинаторный объект со свойствами, описанными в лемме 6.9.2, можно
получить следующим образом. Пусть Vlt У2>..., Vk — непересекающиеся множе-
к
ства верпшн, V = V1UV2U,„\JVk, Пусть |V;|=nf и, таким образом, Μ = Σπί·
1=1
Построим из графа V граф G, взяв те же вершины и соединив ребрами все пары,
которые не лежат в одном и том же множестве V{, Граф G называют полным
k-дольным графом на Уг U V2 U... U Vj^. Обозначим через P(nl9 п2,..., пк) =РП число
полных паросочетаний графа G, т. е. число паросочетаний, в которые входят все
вершины графа G, В соответствии с предыдущими договоренностями полагаем
к
Р$ = 1. Очевидно что если J] щ — нечетное число, то Рц = 0. Определим также
i=l
Рй ; аналогично тому, как это было сделано для ji1' .
к
Лемма 6.9.3. Справедливо соотношение Рд = Σ ni^fi1,0' *о = 1·
i=2
Доказательство. Выберем какую-либо вершину из Уг, Ее можно
соединить с щ вершинами из Vif где ίφΐ. После этого у нас остается Рй(1,1) способов
достроить паросочетание до полного. Поэтому мы получаем
i=2
Утверждение доказано. D

306
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Так как Jn и Рп удовлетворяют одним и тем же рекуррентным соотношениям,
имеем следующую связь между ними.
Теорема 6.9.4. Справедливы равенства Jn = </2пРп, Ιη = (2η*+η*+~+η><π)1/2Ρη.
Теорема 6.9.5. Справедливо равенство Р(т, ή) = т\5тп.
Доказательство. В этом случае У = УгиУ2, |Vil = m и |У21 = и. При тфп
ребер между вершинами из множеств Vx и V2 не существует, и, следовательно,
Р(т, п) = 0. В случае же m = η число полных паросочетаний, очевидно, равно т!.
Теорема доказана. D
Из доказанной теоремы следует ортогональность многочленов Эрмита:
00
$ Нт(х)Яп0с)е-*2 dx = 2mm\ft 5mn.
— 00
Положим теперь V = Vi + V2 + V3i где V\,V2iV3 состоят из i,m и η элементов
соответственно. Если 1 + т + п нечетно или если 1>т + п, легко увидеть, что
P(l, m, п) = 0. В следующей теореме мы рассмотрим иную ситуацию.
Теорема 6.9.6. Предположим, что 1 + т + п четно и s = (I + m + π)/2. Пусть
также сумма любых двух чисел из 1,т,п больше или равна третьему Тогда
όπ ~, „л — 1\т\п\
PQ>m>П) " (s-Z)!(s-m)!(s-n)!·
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что т>п.
После того как все вершины из множества Ух соединены с некоторыми вершинами
из множеств V2 и V3, в V2 и V3 должно остаться равное число вершин, чтобы
существовала возможность достроить полное паросочетание. Следовательно,
в данном полном паросочетаний ребер из Ух в V2 на m — η больше чем из Уг
в V3· Следовательно, если обозначить за χ число пар V\—V2, а за у —число пар
Vi—V3, TOJC+y = Z, ax—y = m — п. Отсюда следует, что x=s — nay=s — m. Таким
образом, число пар V2—V3 равно s — l. Существует ( __ J способов соединить
χ элементов из Уг с элементами V2, Оставшиеся вершины следует соединить
с элементами из V3. Заметим, что для любых данных 2(5 — п) элементов, где s—n
вершин принадлежат Уъ а остальные s — n принадлежат V2, существует (5 — п)!
способов соединить их ребрами. Из всего вышеизложенного следует, что
'«.".■0-(,1.Х,;,Х..">-<№-0№-«)1->_0Д,(.-Ю,·
Теорема доказана. D
Из теоремы следует, что
I H,(xW (xW fjr)e-x2dx = 2(/+m+n)/2 Z!m!n!^
в случае, когда 1 + т + п четно и любое из этих чисел не превосходит суммы
двух других. В остальных случаях интеграл равен нулю. Также можно вычислить
и Ρ(k, I, m, п), но ответ в этом случае будет иметь вид суммы, а не произведения.
Этот и прочие результаты можно найти в [34]. Дальнейшее исследование
паросочетательных многочленов содержится в [165].
Мы дадим еще одно доказательство равенства Jn = V2nPn. Для этого сначала
заметим, что паросочетательный многочлен графа G может быть представлен

§ 6.9. Паросочетательные многочлены
307
в виде
С?2 Gj U G2
Рис. 6.3
a(G) = a{G, x) = ]T(-l)|a|xm-2|a|,
где α пробегает все паросочетания графа G, а \а\ равно числу ребер в паросоче-
тании а. Обозначим через Gx UG2 несвязную сумму графов Gx и G2, см. рис. 6.3.
Лемма 6.9.7. Справедливо равенство
a{GlUG2) = a{Gl)a{G2).
Доказательство. Пусть Gx и G2 имеют тип вершин соответственно.
Тогда
а&г)а&2) = r2(-WW^^e|)(Z("1)Wxm"21'1) = Z(-1)lrljcm+n_2lrl·
Равенство следует из того, что всякое паросочетание γ раскладывается на
паросочетания α и β в Gx и G2. Лемма доказана. D
Пусть φ — линейный функционал, определенный на многочленах
следующим образом:
00
φ{χη) = -±= \ xne-x2/2dx.
Если η нечетно, то </?Qcn) = 0. Если же η = 2т четно, то
</?(*") = (2т-1) (2т-3)...5-3-1.
Заметим, что это число совпадает с числом совершенных паросочетаний на Кт,
которое мы будем обозначать рт(Кп).
Под совершенным паросочетанием мы понимаем следующее. Пусть графы VJ
содержат по щ вершин и V = Vi U V2 U... Vj^ — их несвязное объединение. Возьмем
полный граф Kv на V. Будем называть ребра KVi соединяющие вершины
одного и того же графа V^· однородными, а прочие ребра — неоднородными.
Тогда Рц является числом совершенных паросочетаний на Кп, не содержащих
однородных ребер.
Лемма 6.9.8. Справедливо равенство
-±=Jn =: Ln = 2(-D|a|pm(lCn_2|a|),
k
где а пробегает все паросочетания G = KVi U Ky2 U... U KVk и η = J] щ.
ί=1

308
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Доказательство. По предыдущей лемме в соответствии с приведенными
выше рассуждениями имеем
Ln = (^(ЯеП1(х)ЯеП2(х)...ЯеПк(х)) = φ(α(Χηι)α(Χη2)...α(^)) =
= </>(a(G,x)) = φ^ί-Ι^χ^Α = 2(-D|a|pm(lCn_2|a|).
V a J a
Лемма доказана. D
Выражение ^(—1)аргп{Кп_2\а\) можно переписать в виде
а
Σ (-l)|ail+~+|a'lP'n(Kn_2W),
где at являются паросочета^^дми в KVr Окончательно получаем
У (_ΐ)|βιΙ+.»+|β*Ι^
alt...,ak,Y
где γ пробегает полные паросочетания Кп_2\а\ для lal^aJ + .-. + lajJ. Взятые
вместе паросочетания al9 α2,..., ак, γ дают полное паросочетание на Κν.
В качестве последнего шага нам потребуется лемма о раскрашенных полных
паросочетаниях на Κν. Для всех паросочетаний ах, а2,..., ак, γ раскрасим ребра,
входящие в аь красным, а в γ — голубым. Все красные ребра будут однородными,
в то время как голубые могут быть как однородными, так и неоднородными.
Таким образом, паросочетания ax,a2, ...,afc, по которым происходит
суммирование, образуют множество паросочетаний X, в котором все однородные ребра
являются красными. Пусть У с χ — множество всех паросочетаний, состоящих
только из неоднородных ребер (синего цвета). Такие спаривания являются
полными паросочетаниями к -дольного подграфа в Κν. Если обозначить число
красных ребер в а через г{а), то по лемме 6.9.8 получим
1й = 2(-1)Ка)·
а€Х
Следовательно, по определению имеем
Ρη=Σ1·
α€Υ
Следующая лемма завершает доказательство равенства Рй = 1й.
Лемма 6.9.9. Справедливо равенство
J] (-l)r(a) = 0.
cx=X\Y
Доказательство. Определим на Χ \ Υ инволюцию Θ. Занумеруем как-либо
ребра графа Κν. Для любого aeX\Y рассмотрим множество всех однородных
ребер из а. Такое множество непусто. Возьмем в этом множестве ребро с
минимальным номером и изменим его цвет с красного на синий или наоборот.
Таким образом мы получим новое паросочетание а! — θ (α) на Χ \ Υ. Очевидным
образом имеем 0(0 (а)) = а. Кроме того, очевидно, что (—1)г(а) + (—1)Γ(θ(α)) =0.
Лемма и теорема доказаны. D
Приведенное доказательство следует изложению [103]. См. также [399].

§ 6.10. Гипергеометрические ортогональные многочлены 309
§ 6.10. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Гипергеометрические представления многочленов Якоби, Лагерра и Эрмита,
изучению которых мы посвятили эту главу, имеют вид
(<* + !)„ Ώ (-η,η + α + β + 1, 1-χ\ (α + Ρη „ ( -η . Λ
~nJ~ 2Ч α + 1 ' ~h ~η~Γ~ l*Aa + VxJ
(2,)"2F0(-^-^-«/2;-^)
соответственно. В гл. 3 мы дали определение многочленов Вильсона. Их можно
представить в виде гипергеометрической функции 4F3 следующим образом:
Wn(x2;g,b,c,d) _ (-п,п + а + Ъ + с + <1-1,а + 1Х,а-1Х -Λ ffiin-n
(a + bUa + cUa + dX 4 3V a + b,a + c,a + d ' Ч' 1°Ла1;
Можно заметить, что, в то время как многочлены Лагерра и Эрмита являются
предельными случаями многочленов Якоби, сами многочлены Якоби могут быть
получены предельным переходом из многочленов Вильсона. Возникает вопрос,
существуют ли гипергеометрические ортогональные многочлены, которые
можно задать гипергеометрической функцией 3F2. Ответ на него оказывается
положительным, некоторые из примеров мы разберем, другие можно найти
в упражнениях к данной главе. Более глубокое изучение этого вопроса можно
найти в [227].
Заметим, что
r Wn(x2;a,b,c,d) ил Л f—n,a + ix,a — ix -Λ с г 2 и ^
fa (a + dX =(a + b)n(a + c)n3F2( a + b>a + c ; lj =: Sn{x2,a,b,c)
(6.10.2)
и
,. W„ ((χ +1)2; a-it,b- it, с + it, d + it)
йг <=w% =
.n(a + c)n(a + d)n f—n,n + a + b + c + d — l,a + ix -Λ f , ,Λ ,, 1Λ 0.
= l Si зЫ a + c,a + d ;l)=:Pnix;a,b,c,di. (6.10.3)
Многочлены рп{х\а,Ъ,с,а) и Sn(x2;a,b,с) называются непрерывными
многочленами Хана и двойственными непрерывными многочленами Хана
соответственно. Утверждение об их ортогональности и рекуррентное соотношение,
которому они удовлетворяют, можно получить из соответствующих свойств
многочленов Вильсона, которые были нами установлены в гл. 3. Напомним их
еще раз. В случае, когда Re(a, b, с, d) > 0, а мнимые части параметров попарно
сопряжены, ортогональность многочленов задается соотношением
00 I
4$
г(а+адг№+ь)ГЕ+1»)ги+ад i2^^. ^ ъ> с> т^ α> ъ> с> d) άχ =
ГСНг)
= (n + a + b + c + d-l)„n!x
Г(п + а + Ь)Г(п + а + с)Г(п + а + ЮГ(п + Ы-с)Г(п + Ы-d)f(n + с + d)
5тп. (6.10.4)
r(2n + a + b + c + d) m"·
Рекуррентное же соотношение имеет вид
-(a2 + x2)Wn(x2)=AnWn+1(x2)-(An + Cn)Wn(x2) + CnWn_1(x2), (6.10.5)

310
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
где
W (х2) = W(x2-abcd)= W"(*2;fl'b'c'd)
wn{x j ννηίχ ,a,D,c,aj (a + b)n(a + c)ri(a + d)n>
_ (n + a + b + c + d-l)(n + a + b)(n + a + c)(n + a + d)
n ~ (2n + a + b + c + d-l)(2n + a + b + c + d)
c _ n(n + b + c-l)(n + b + d-l)(n + c + d-l)
n~ (2n + a + b + c + d-2)(2n + a + b + c + d-l)'
Кроме того, многочлены удовлетворяют разностному уравнению,
двойственному к рекуррентному соотношению. Это уравнение имеет вид
n(n + a + b + c + d-l)y(x) = B(jc)<y(jc + i)-[B(jc)+D(jc)]y(jc)+
+ DQc)yQc-i), (6.10.6)
где
y(x) = WnQt2;a,b,c,d),
п( ч (a-ix)(b-ix)(c-ix)(d-ix)
1 ; 2ίχ(2ίχ-1)
пг ч (а + иг)(Ь + IX)(с + ix){d + ix)
1 ; 2ix(2ix+l)
Запишем соответствующие соотношения для непрерывных двойственных
многочленов Хана. Соотношение ортогональности:
00
Γ(α + 1х)Г(Ь + 1х)Г(с + ίχ)
0, Γ(2ΐχ)
2Sm(x2)Sn(x2)dx =
= Г(п + а + Ь)Г(п + а + с)Г(п + Ь+с)п!5тп. (6.10.7)
Здесь мы полагаем Sn(x2) = Sn(x2; a, b, с), причем a, b, с либо все положительны,
либо одно из них положительно, а два других комплексно сопряжены и имеют
положительную вещественную часть.
Рекуррентное соотношение:
-(а2 + x2)Sn(x2) = AnSn+1 (χ2) - (Αη + Cn)Sn(x2) + C^ (x2), (6.10.8)
где
Sn(x2) = Sn(x2)/[(a + b)n(a + c)n],
An = (η + a + b) (η + a + с)
Cn = n(n + b + c-l).
Разностное уравнение
ny (χ) = В(х)у (χ + 0 - [Β(χ) + D(x)]y (χ) + D(x)y (x- i), (6.10.9)
где
y(x) = Sn(x2),
оГул _ (a-ix)(b-ix)(c-ix)
DW 2ix(2ix-l)
nr ч (a + ix)(b + ix)(c + ix)
1 ; 2ix(2ix+l)

§ 6.11 Обобщенные ультрасферические многочлены
311
В случае непрерывных многочленов Хана имеем следующие формулы:
00
j- $ T(.a + ix)nb + ix)r(.c-ix)r(.d-ix)pmMpnMdx =
2π
— 00
_ r(n + g + c)r(n + g + d)r(n + b + c)r(n + b + d)g rfiinim
~ (2n + a + b + c + d-l)r(n + a + b + c + d-l) °mn 1°·ιυ·ιυ'
при Re(a, b, c, d) > 0, с = α и d = b;
(a + ix)pn(x) = Anpn+1(x) - (An + Cn)pn(x) + Οηρη_χ(χ), (6.10.11)
где
ЛW = na + cUa + d)nP^X'> a>b>c>d)'
__(n + Q + b + c + d-l)(n + a + c)(n + Q + d)
Cn =
(2n + a + b + c + d-l)(2n + a + b + c + d)'
n(n + b + c-l)(n + b + d-l)
"n (2n + a + b + c + d-2)(2n + a + b + c + d-l)'
Разностное уравнение имеет вид
n(n + a + b + c + d-l)y(x) =
= В(х)у(х + О - [BQc) + DQc)]y(x) + DQc)yQc-i), (6.10.12)
где
y(x) = pn(*;a,b,c,d),
B(*) = (c-ix)(d-ix)
D(jc) = (a + ijc)(b + ix).
Ранее мы замечали, что многочлены Якоби являются предельным случаем
многочленов Вильсона. При соответствующем предельном переходе разностные
уравнения на многочлены Вильсона, переходят в дифференциальные уравнения
для многочленов Якоби. Некоторые другие примеры гипергеометрических
ортогональных многочленов даны в упражнениях. Дальнейшие результаты о
рассмотренных здесь многочленах, их применение и развитие некоторых других
идей можно найти в [280].
§ 6.II. ОБОБЩЕННЫЕ УЛЬТРАСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Как известно, производящая функция ультрасферических многочленов является
произведением множителя вида (1 — rew)~x и сопряженного к нему. Более
общую ситуацию рассматривал Фейер [131], им изучались многочлены,
описываемые следующим образом.
00
Пусть /0s) = Σ αηζη — функция, аналитическая в окрестности точки ζ = 0,
п=0
причем коэффициенты ее ряда вещественны. Обобщенные многочлены Лежанд-

312
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
ра, или многочлены Лежандра—Фейера, определяются так:
l/(re">)|2 = 2r"2^n_fcei(n-2W =
n=0 k=0
оо η οο
=Σг" Σ α*α"-*cos(n ■2к)в := Σ ^«(cos Θ)γ"· (61L1)
η=0 Лс=0 n=0
Фельдхейм [134] и Ланцевицкий [448] независимо друг от друга поставили
вопрос о том, может ли pn(cos 0) дать какие-либо ортогональные многочлены,
отличные от многочленов Гегенбауэра. Мы знаем, что если многочлены рпМ
ортогональны относительно некоторой положительной меры, то они
удовлетворяют соотношению вида
хрпМ = AnPn+lM + BnpnW + Cnpn_!(x), η = О,1,2,..., (6.11.2)
где Ап, Вп и Сп вещественны, причем АпСп+1 > 0. Можно считать, что
последовательность отнормирована, взяв ρ_χ(χ) = 0 и р0(х) = 1. Обратное утверждение
также верно, хотя нами и не доказано. Таким образом, для доказательства
ортогональности многочленов рпМ достаточно показать, что они удовлетворяют
некоторому трехчленному рекуррентному соотношению.
Заметим, что если
η
pn(C0S 0) = 2^ akan-k COS(n — 2k) 0,
k=0
то, заменив 0 на 0 + π, мы получим
pn(-cos0) = (-l)npn(cos0).
Следовательно, если многочлены рпМ удовлетворяют соотношению (6.11.2), то
должно выполняться тождество
2хРпМ = Anpn+lM + Cnpn_x (χ).
с вещественными коэффициентами Ап, Сп, АпСп+г > О, п = 0,1,2,... Отсюда
вытекает, что
η η+1
2 cos 0 ^ а-кап-к cos(n — 2k)0 = Ап У] α^αη+ι-& cos(n +1 — 2k)0 +
Jk=0 fc=0
n-1
+ Cn ^] a^a,,.!.*. cos(n -1 - k) 0. (6.11.3)
k=0
Воспользуемся теперь тригонометрическим тождеством
2cos0cos(n-2k)0 = cos(n + l-2k)0 + cos(n-l-2k)0
и перепишем левую часть равенства (6.11.3) в виде
η η
/] dfcfln-fc cos(n +1 — 2k) 0 + 2J &кап-к cos(n — 1 — 2k) 0.
fc=0 fc=0

§ 6.11 Обобщенные ультрасферические многочлены
313
Подставляя последнее выражение в формулу (6.11.3) и приравнивая
коэффициенты при cos(n +1)0, получаем
Апа0ап+1 = а0ап>
ИЛИ
Ап = ^-.
Приравнивание коэффициентов при cos(n — 1 — 2k) θ дает равенство
n afc ап_к_г an+1 ak ап_к_г'
Подставив к=0 и 1 мы получим уравнение для а. Чтобы его упростить, перейдем
K5n = an/an_x. Получим нелинейное разностное уравнение.
51+Sn ς — 52+sn-l ς у
sn+l sn+l
или, что равносильно,
Для дальнейшего упрощения положим sn = tn + sx. Уравнение примет вид
tn+i ft„ - tn-i" t2) = -htn-ъ h = 0.
Подставив tn = t2un, получаем
"n+i ("n - "n-i -1) = -ип_ъ "i = 0.
Линейные разностные уравнения имеют полиномиальные решения вида ][] Anqn.
В нашем случае подобного решения нет, и, так как общего метода решения
нелинейных уравнений не существует, мы попробуем подобрать решение в виде
простейшего рационального выражения, пользуясь тем, что иг = 0. Положим
Ad-q"-1)
Un~ 1-Bqn '
где \q\ < 1, с тем чтобы выполнялось равенство un(q, А, В) = un(q_1, A/(Bq), β"1).
Кроме того, должно иметь место равенство
Аа-д^гАд-д^-а-Вд")-! гА(1-дп)-(1-Вдп+1)-|А(1-дп-2)
l-Bqn+1l 1-Bqn J L 1-Bgn+1 J l-Bg""1 '
из чего с необходимостью следует, что В = 1 и
(l-qn-1)(A-l-(A-q)qn-1) = (l-q"-2)(A-l-(A-q)qn).
Последнее автоматически выполняется при А— 1 = q. Таким образом,
Следовательно,
_(l + q)(l-q''-1)(s2-s1) , ,
-с
откуда видно, что при некоторых аи β выполняется равенство
_ а(1-/3д"-')

314
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
Отсюда следует, что
l-qn+1
A- = ^fe с6·11·5)
и, после несложного упрощения,
С"" 1-β? ■ (6·1Ι6)
Рекуррентное соотношение для р„00, таким образом, имеет вид
2хо(1 - /3q")pn = (1 - qn+1)pn+1 + α2(1 - ру-1^,
причем
Здесь мы предположили, что |q| < 1. В случае q = 1 значение ип в формуле (6.11.4)
находится как соответствующий предел при q -> 1. В этом случае также имеется
возможность получить ортогональные многочлены, например, взяв в (6.11.5)
и (6.11.6) j8 = q\ получаем (приа = 1) An = (n + l)/(n + A), Cn = (n + 2A-l)(n+A).
Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение для
ультрасферических многочленов. Очевидно, однако, что кроме рассмотренного случая
возможны и другие ситуации, когда в формуле (6.11.5) или (6.11.6) происходит деление
на нуль. В этом случае мы не получим ортогональных многочленов всякой
степени, если только q не будет корнем из единицы. Рассмотрим ситуацию,
когда подобных проблем не возникает, и исследуем получившиеся многочлены.
Найдем выражение для ап. Имеем
<h A„-iAn_2...Ao (i_q)(i_q2)eee(1_qn) ·
Следовательно,
fire")-α У'1-^-^)-'1-^'),.^
Полагая α0 = α = 1, получаем
Pn(cose) = V (1-f •·?-^:;!;-?···5,1-/ίΓ1) cos(n-2fc)8.
n ^ (l-q)...(l-qfc)(l-q)...(l-qn-fc)
Полученное на данном этапе выражение может показаться странным. Как было
отмечено ранее, подстановка β = qA и переход к пределу при q —> 1 дают
ультрасферические многочлены. Впоследствии мы еще обратимся к этой процедуре
и в гл. 10 рассмотрим объекты подобного вида. Развитыми в ней методами
можно показать, что производящая функция в рассматриваемом нами случае
будет иметь вид
|ffreifl4|2 -Π Ц-£ге'У)(1-£ге-у)
l/ire Л "Π (i_re«Y)(l-re-iV) ·
Полученное выражение кажется более гораздо более сложным, чем
производящая функция ультрасферических многочленов, которую оно должно обобщать.

Упражнения
315
Однако в некоторых аспектах оно оказывается более простым. Вспомним,
что нули производящей функции содержат информацию об асимптотическом
поведении многочленов и весовой функции (см. теорему 6.6.2). В то время
как производящая функция ультрасферических многочленов имеет
алгебраические особенности, полученное нами выражение имеет лишь простые полюсы,
что упрощает исследование. Ближайшими к нулю полюсами являются r = ew
и r = e~w. Вблизи полюса r = ew производящая функция ведет себя как
02ίΘ„η\
n(l-j8e2iy)(l-j3q") l
n=o d-^Vxi-q"*1) i-re-"'
Следовательно,
" (l-/3e2lV)(l-/3q")._ine
n=0
Перепишем произведение как Rew. При η -»<» получим
p„(cos θ) » Π α -ffff-ffi *** + сопряженное, π·
РП(со5е)^ЦТ^г[[| α^)α_^, q} J 2οο8(ηθ-φ)
n=0 n=0
По теореме 6.6.2 весовая функция должна иметь вид
(l-e2fV)(l-e-2lV) _п (l-2cos2flqn+q2n)
ω^0δθ) = 1 l(l-^V)(l-i8e-2V)=i O^
(l-j8e2i0qn)(l-j8e-2i0qn) I 1 (l-2j8cos20qn + j82q2")·
Полученные бесконечные произведения хорошо известны в теории
эллиптических функций. В гл. 10 будет показано, что они имеют вполне естественную
трактовку и происхождение, несмотря на довольно громоздкий вид.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислите интеграл
00 00
/ = $ e-'V* dx = 2 $ е"2 cos 2xt dx
—00 О
а) интегрированием по контуру, б) разложением cos 2xt в ряд по степеням χ с
последующим почленным интегрированием, в) показав, что интеграл удовлетворяет
дифференциальному уравнению
f=-2tl.
dt
2. Показав, что
докажите, что F{x, г) ^е2*""^ = У. п , г".
п=0 п!
3. Докажите, что
a-»ooVa-/ " η!
Указание. Можно воспользоваться или рекуррентным соотношением, или
производящей функцией, или формулой Родрига.

316
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
4. Докажите, что функция ип =е ^/2Яп(х) удовлетворяют уравнению
а;Ч(2п + 1-х2)ап=0.
Покажите, что
fc(U'nUm -U'mUn) +2(П-Ш)итип = О,
и выведите ортогональность многочленов Эрмита, т. е. докажите, что
00
§ итипdx = 0 цдятфп.
—00
5. Используя производящую функцию многочленов Эрмита, данную в упражнении 2,
покажите, что
H^xcosH + ysmH) = n!]T^
fc=0
6. Пусть η — неотрицательное целое число. Покажите, что
χ2η = (2п)! V1 Н2кМ
22n Z-J (2fc)!(n-fc)!
fc=0
2n+l _ (2Π + 1)1 γ» Н^-ц(У)
22n+i Zj (2fc+l)!(n-fc)!*
fc=0
7. Определив
покажите, что
sgnx
_il, x>0,
\-l, x<0,
ι ν (-1)" tr , >
8. Воспользовавшись производящей функцией многочленов Лагерра (6.2.4), покажите,
что
V ^grn = (1 + 4г2Г3/2(1 + 2xr + 4r2)e4*V/(1+4r2).
£о Ln/2J!
9. Вычислите производящую функцию многочленов Лагерра (6.2.4) с помощью
интегрального представления (6.2.15).
10. Пусть φη (χ) = β-χ2/2Ηη (x)/V2nn\, η = 0,1,2,... Обозначим локальные максимумы
функции |φη(χ)| начиная от +оо к 0 через Mo,n>Mi,n>M2,n> — Покажите, что
Докажите, что |</?n(x)|<max|</?0Cx:)| = l. (См. [370].)
11. Докажите, что фурье-образом функции ип00 = е~**,2Нп(х) является inun{x). С этой
целью проделайте подробнее и обоснуйте следующие преобразования:
\ ип(х)е*ах= \ е-х2£^е(хУ+х2^ах = (-1ГеУ2/2 ] Г* f^e(Jf+*)2/2 dx =
—00 —00 —00 J
= ?^l2fli I е-^/2+^-^/2 dx = inV2tu„(y).
J —00

Упражнения
317
12. Пусть ψη(χ)= η 1/2—^Hn(V2nx)e πχ2. Предположим, что функция /
интегрируема с квадратом на (—», »), a g является ее фурье-образом. Будем считать, что1
п=0 п=0
00 00
п=0 п=0
а) Покажите, что an=inbn.
б) Используя рекуррентное соотношение для многочленов Эрмита, покажите, что
V4n χψη (χ) = Vn + l\pn+l(x) + Vnipn-i(x).
в) Из пп. а) и б) выведите равенства
V4n cn = Vn + lan + Vn αη_α,
V4n~dn = Г""1 [VnTTan - λ/π αη_!].
г) Покажите, что
I x2\f(x)\2dx + I x*\g(x)fdx>± I \f{x)\2dx,
причем равенство достигается, только если /(*) отличается от ехр(—πχ2) лишь
постоянным множителем.
д) Покажите, что из п. г) следует неравенство
Р2 I x2\fM\2dx + p-2 I x2\g(x)\2dx>± I \fM\2dx.
.) Выведите из п. д) неравенство Гейзенберга2:
[ I x2\f(x)\2dxf2[ I x2\g(x)\2dxf2> ^ I l/Wpdx.
—00
]e->Wn(t)dt= n[
2π _
e) (Cm. [97].) Выведите из п. д) неравенство Гейзенберга2:
Ί1/2Γ ? о. . ..о . lV2
4π _^
13. Покажите, что
Γ(η + α + 1) (5-1)"
14. Покажите, что
15. Докажите, что
16. Докажите, что
22" Z-i fc!(n-fc)!
fc=0
ΐΓ"+1^+^=Σ^ω^ω·
fc=0
ι Знак ~, видимо, стоит, чтобы читатель не задумывался о сходимости рядов. Того же эффекта мож-
V
но достичь, положив ap =o(n L) для всех I; это эквивалентно тому, что / лежит в пространстве
Шварца.
2 Имеется в виду принцип неопределенности Гейзенберга; см. его доказательство в учебниках по
квантовой механике.

318
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
17. Докажите, что для Re(a +1) > 0, Re β > О, выполняются равенства
и
ra+j8+l
Γ(α+1)Γ(α + /9 + 2) г ..а^),·, ,fll£(s(l-t)) Сп*
(X)
Й:Ш/ - о^+л-^гт^чиКс»·
о -»>- С(0) С^+1(0)'
18. Докажите следующие равенства:
a) ZAkimoy ^^ } i?(o) '
fc=0 * η
η
fc=0
19. Докажите тождество
20. Покажите, что для а>-1,г>0их>0 выполняется тождество
п=0
21. Докажите, что для многочленов Лежандра Рп(х) выполняется равенство
00
n=0
Более общая формула имеет вид
J] %^^ = 2Я"1/2Г(Я + 1/2)е^(Л^?гГя+1/2 · JA(VT^?r), λ > -1/2.
„=0 η ^ П
22. Обозначим через Рп(х) многочлен Лежандра степени п. Неравенство Турана гласит,
что
[ΡηΜ]2-Ρ*-ιΜΡη+ιΜ>0, п>1, -I < х < 1.
В данном упражнении мы дадим набросок его доказательства. Подробности даны
в [373].
а) Покажите, что если все корни многочлена
SnW = u0 + {n1)u1y + (n2)u2y2 + ... + (nn)unr
вещественны, то
"n-i-aA-2>0.
б) Из комплексного анализа известно следующее утверждение о целых функциях.
Предположим, что
00
/(y) = limSn(y/n)=2^yn
Π—»оо ^«^ Til
n=0
— целая функция, которую можно разложить на множители следующим образом:
00

Упражнения
319
причем α > О, β и βη вещественны, а ряд Σ j8* сходится. Тогда все корни многочле-
п=0
на Sniy) вещественны.
Для завершения доказательства неравенства Турана следует воспользоваться
упражнением 21 и формулой (4.14.3).
23. а) С помощью результатов упражнения 19 покажите, что в упражнении 22 а) при
ик=Рк(х)
все корни многочлена Sn(x) вещественны. Таким образом можно получить другое
доказательство неравенства Турана.
б) Распространите неравенство Турана на случай многочленов Hn(x), L"(x) и С*(х).
Докажите соответствующие неравенства двумя различными способами.
24. Докажите следующие результаты о многочленах Лежандра Рп(х):
а) \pnWe-**dx = i-nJ^Jn+1/2(.ty,
" ,,, (V2ninPnM, если-1<*<1,
б) $ t-V2Jn+1/2(.t)e«*dt={
[О, если χ > 1 или χ < —1;
в) \ Рп(х)хп+2к dx=-——-—ξ— при неотрицательном целом к.
_! 2 (К + 1/2)п+1
25. Пусть α, β > —1. Покажите, что гипергеометрическое уравнение
(l-jc2)0 + [j8-a-(a + j8 + 2)jc]£ + Ay = O
имеет нетривиальное решение в виде многочлена тогда и только тогда, когда λ имеет
вид п(п + α + β +1), где η — целое неотрицательное число. Указанное решение имеет
вид С-р(а,Р)(х), где С —константа.
26. Докажите для ультрасферических многочленов следующие равенства:
а) limjrnCAQc) = 2n^;
JC-»oo " Π!
б) Σ У£^СНх)гп = 2х-1/21СЧ1-хг + КГх+1/2, гдеЯ=(1-2хг + г3)1'2;
n=o (2AJn
B)t(HA)c>w=("+^-(";1)C^.
27. Воспользуйтесь формулой Родрига для доказательства следующих утверждений:
а) Ρ„α'β)Μ = —. ^ (9Г _ j (тз") (ι J dt при интегрировании по простой
замкнутой кривой вокруг точки t = x, не содержащей t = ±l, если х/±1;
1
б) 2п Sil-y^l + y^P^iyH^il-x)^
28. Докажите, что
aJC2m^ (1/2),/»» ^* ^ (2т)! 2*4 А+1/2 ' Х * >
°JC2m+iW (l/2)m+i ή ^* 1J (2m+l)!*2i4 А+1/2 ' l X )'
В следующих задачах мы будем изучать некоторые важные гипергеометрические
ортогональные многочлены. Пусть N целое неотрицательное число, фигурирующее
в определении дискретных ортогональных многочленов. Мы будем пользоваться
следующим обозначением:
гг и и л _V J^-^A к
pFq{alf..., ар; Ьг,..., bq; χ):- ^ fcI(bl)fc...(bq)/ *

320
Глава 6. Специальные ортогональные многочлены
29. Определим многочлены Рака
«„(ЯМ) := Я„(А(*); α, β, у, 5) := ДГ>" ^М Л7£+Л+ " + ''1)
для η = 0,1,2,..., Ν, полагая, что
Я(х)=х(х + г + 5 + 1)
и один из нижних параметров равен — N. Покажите, что соотношение
ортогональности имеет вид
у1(Г + Д+1)х((Г+Д + 3)/2)х(а + 1)х«8 + 5 + 1)х(г+1)Хп пмЛп ги^ЛЛ-
£ х!((г + 5 + 1)/2)х(Г + 5-а + 1)х(Г-^ + 1)х(5 + 1)х Rm^M^n^M) -
= Λη + α + β + 1)ηφ + 1)η(α-δ + 1)η(α + β-γ+1)ηη\
(a + j8 + 2)2n(a + l)n(j8 + 5 + l)n(r+l)n
где
(r + 5 + 2)N(-j8)N
если а 4-1 = —N,
л>г j (r + g + 2)N(5-a)N β„„„Λ . * . ι_ м
Μ = < -—-^ гтгтгттт"» если р + о + 1 = —Ν,
если χ +1 = —Ν.
(-5)N(a + j8 + 2)N
.(a-5 + l)NQ8 + lV
Выведите рекуррентное соотношение для многочленов Ракка
Я(х)Д„ (Я(х)) = АпЯп+1 (Я(х)) - (Лп + Cn)Rn (AW) + Сп Д^ (λ(χ)),
где
_ (n + a + j3 + l)(n + a + l)(n + j3 + 5 + l)(n + r+O
Cn =
(2η + α + β + 1)(2η + α + β + 2)
η (π + ff) (π + α + j3 - γ) (π + α - δ)
(2n + a + j8)(2n + a + j8+l) *
Покажите, что функции y(x) = Rn(X(x)) удовлетворяют разностному уравнению
n(n + a+l)y(jc) = B(jc)y(jc-Hl)-[B(jc) + D(jc)]y(jc) + D(jc)y(jc-l),
где
_, ._ Qc + a + l)(jc + j8 + 5 + l)Qc + r + lX* + r + S + l)
D(jc) =
{2χ + γ + δ + ν){2χ + γ + δ + 2)
JcQc + 6)Qc-j8 + r)(*-a + r + 5)
(2jc + r + ^)(2jc + r + 5 + l)
30. Многочлены Хана получаются предельным переходом из многочленов Рака:
Jim Rn(λ(χ); α, β, -Ν -1, δ) = Qn(χ; α, β, Ν)
5—» οο
или
lim Яп(Я(лг); a, j8, r,-j8-Ν-1) = Qn(x; a, j8,N).
Г_юо
Покажите, что
а) Qn(x;a)/3)N)=3F2(-n>n^^j;1'-X;l)) n = 0,1,...,Ν;
б) g0=(a+xl)(N^1l)W"XQm(X:a'^N)Q"(X;a'^N) =
(-Dnnl(j8 + l)n(n + a + j3 + l)N+i,
JV!(2n + a + |8+l)(-N)„(a + l)„ '

Упражнения
321
в) -xQnW = AnQn+lW-(An + Cn)QnW + CnQn_1W, где
_ (η + α + 0 + 1)(η + α + 1)(Ν-η)
n~ (2n + a + j8 + l)(2n + a + j8 + 2)
и
_ n(n + j3)(n + a + j3 + N+l) л
n~ (2η + α + 0)(2η + α + 0+1)'
г) функции Qn (χ) удовлетворяют разностному уравнению
п(п+ a + j8 + l)y(jc)=B(jc)y(jc + l)-[B(jc) + D(jc)]y(jc) + D(jc)y(jc-l),
где
BQc) = Qc-N)(jc + a+l),
Ό(χ) = χ(χ-β-Ν-1);
д) используя результаты п. б), покажите, что Qn(x; α, β, Ν) = CnQn(N—χ; β, α, Ν), где
Cn = (-1)η(α + l)„/(j8 -Ι-1)„, и выведите следствие 3.3.4.
31. Определим двойственные многочлены Хана соотношением
Rn(AQc); г, 5,N) := Jim Rn(AQc); -Ν-1, г, δ).
β—>ο°
Выведите ддя этих многочленов утверждения пп. а)—г) предыдущего упражнения.
Обратите внимание на то, что двойственные многочлены Хана получаются из
многочленов Хана перестановкой η и х.
32. Покажите, что ддя многочленов Хана Qn00, определенных в упражнении 31, верна
следующая предельная формула:
lim Qn(Nx;a, j8,N) = *п ll Z*J.
N->oo Ρη(α^41)
33. Определим многочлены Мейкснера следующим образом:
limQn(jc;b-l,^^,N)=:Mn(jc;b,c).
Покажите, что
а) Мп(х;Ь,с) = 2^1(-п,-х;Ь;1-1/с);
б) Σ ^схМт(х-,Ъ,с)Мп(х-,Ъ,с)= с""п! gmn, Ь>0и0<с<1;
в) (с — 1)хМп(х) = с(п + Ь)Мп+1(х) — [п + (п + Ь)с]Мп(х) -I- пМп_г(х) (Заметим, что с
помощью преобразования Пфаффа (теорема 2.2.5) можно показать, что многочлены
Мейкснера удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению. Из этого,
в соответствии с теоремой Фавара можно сделать вывод, что эти многочлены
являются ортогональными относительно некоторой положительной меры при с> 1.
Предоставляем читателю найти соотношение ортогональности с помощью
результата п. б).);
г) п(с- 1)Мп(х) = с(х + Ь)Мп(х +1)-[х + Qc + Ь)с\Мп(χ) + χΜη(χ-1).
Обратите внимание на то, что пп. в) и г) показывают двойственность пи х.
34. Определим многочлены Кравчука следующим образом:
Kn(x;p,N):=]imQn(x;pt,a-p)t,N).
t—»оо
Докажите следующие соотношения:
а)