ACADEMIC PRESS RAPID
MANUSCRIPT REPRODUCTION
Mathematical
functions
and their
approximations
Yudell L. Luke
University of Missouri
Kansas City, Missouri
Academic Press Inc.
New York San Francisco London 1975
A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich, Publishers

ю.люк
Специальные
математические
функции
и их
аппроксимации
Перевод с английского
Г. П. Бабенко
под редакцией
К. И. Бабенко
Издательство «Мир»
Москва 1980

УДК 517.52+ 518с5
Справочник по специальным функциям с таблицами, приспособленными
для использования их на ЭВМ. При расположении таблиц в памяти
машины важно, чтобы они занимали минимальный объем. Именно такого
рода таблицы содержатся в данной книге. Для каждой функции
приводится краткий перечень необходимых определений и формул и даются
коэффициенты аппроксимаций. В книге представлены обобщенные
гипергеометрические функции, гауссовские гипергеометрические функции,
функции Бесселя, Ломмеля, Струве и др. Библиография содержит более 600
названий.
Книга нужна каждому специалисту по прикладной математике и многим
инженерам.
Редакция литературы по математическим наукам
Ю. ЛЮК
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ИХ АППРОКСИМАЦИИ
Научный редактор Маховая И .А.
Мл. редактор Суркова Л.С,
Художник Кош мин ВВВ~
Художественный редактор Шаповалов В.И.
Технические редакторы Ящук Е.Б., Бронзберг Л.М.
Ст* корректор Максимова ИЛ.
ИБ№1901
Подписано к печати 07.03.80 г. Формат 60 х 90'/{6. Бумага офсетная №2.
Печать офсетная- Объем 19 бум. л. Уел* печ. л. 38* Уч.-изд. л. 31,29*
Изд. № 1/9834. Тираж 23.000 экз. Зак.29 6. Цена 1 р. 90 к*
Издательство "Мир"
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Можайский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
г. Можайск, ул. Мира, 93.
1702070000
20204-48;
041 @1)-80 ХК^^Х/ © Перевод на русский язык, "Мир", 1980
20204-482 lA^s^W 1 СР 1975, by Academic Press, Inc.
Л 28-79 vv x ^л/ L"

Предисловие
редактора перевода
Развитие численного анализа и усовершенствование ЭВМ приводят ко
все возрастающей роли специальных функций. Объясняется это
многими причинами и прежде всего тем, что в прикладной математике
насчитывается огромное число задач, решаемых с помощью специальных
функций, а наличие ЭВМ облегчает работу с последними. Желание иметь
более эффективные алгоритмы для решения задач математической
физики приводит к появлению новых классов алгоритмов, в которых
значительная роль отводится работе со специальными функциями. Наконец,
все более популярными становятся методы работы, при которых
аналитические операции выполняются на ЭВМ; естественно, что при этом
роль специальных функций весьма велика. Таким образом, в настоящее
время математическое обеспечение любой современной ЭВМ должно
включать большое число стандартных программ для работы со многими
классами специальных функций.
Однако указанные причины влекут за собой и новый подход к воп-.
росу о табулировании функций. Раньше, во времена ручных вычислений,
мы были, как правило, заинтересованы в том, чтобы иметь обширную
таблицу, которая позволяла бы вычислять значения функции с помощью
простейшей интерполяции. Теперь, используя при вычислениях ЭВМ, мы
очень часто заинтересованы в том, чтобы иметь таблицу минимального
объема, даже если алгоритм восстановления функции достаточно сложен.
Таким образом, возникает задача построения оптимальных по объему
таблиц.
Предлагаемая книга Ю. Люка примечательна в том отношении, что
она является не только справочником по специальным функциям, но и
содержит большой табличный материал, причем представленные
таблицы, несомненно, близки к оптимальным. Как правило, это либо таблицы
коэффициентов разложения функции в ряд Фурье — Чебышева, либо
таблицы коэффициентов рациональных аппроксимаций Паде.
Все содержащиеся в данном справочнике функции аналитичны в
некотором круге и допускают аналитическое продолжение в более
широкую область. Рассмотрим пространство А функций, аналитических
внутри эллипса с фокусами в точках z = ± 1 и полусуммой осей, равной

6 Предисловие редактора перевода
р > 1. После очевидной замены переменных в пространство А
попадают многие специальные функции из справочника и возникает вопрос о
построении таблицы для вычисления значений таких функций на
отрезке [-1, 1]. Если рассматривать класс А (М) тех функций из Ар,
которые внутри упомянутого эллипса ограничены некоторой константой М,
то, как показал А. Г. Витушкин, оптимальной таблицей функции этого
класса является таблица ее коэффициентов ряда Фурье — Чебышева,
которые нужно взять с соответствующим округлением. Если отбросить
условие ограниченности функции и потребовать, чтобы она на границе
эллипса имела особенности фиксированного типа, то результат А. Г. Ви-
тушкина остается в силе.
Эти теоремы оправдывают способы табулирования, применяющиеся
в книге Ю. Люка, хотя мы и не можем доказать их оптимальность, так
как рассматриваемые совокупности функций образуют в А (М) слишком
тощие множества. Однако если ограничить сложность алгоритма,
восстанавливающего функцию по ее таблице, то вряд ли мы найдем
альтернативные способы табулирования.
В практической деятельности сплошь и рядом возникает ситуация,
когда при работе на ЭВМ невозможно использовать готовую таблицу.
В таких случаях вычислителю приходится самому конструировать
способ табулирования. При этом нужно всегда помнить о связи,
существующей между задачами табулирования и теорией е -энтропии
функциональных компактов, которая является основой теории табулирования.
Рациональное построение таблиц возможно лишь при учете этой связи.
В данной книге широко используется и аппроксимация Паде. Чисто
алгоритмическая сторона вопроса, связанная с построением
рациональных дробей Паде, обстоятельно изложена в справочнике, но о
свойствах этой аппроксимации ничего не говорится. Вместе с тем в
приложениях нужно понимание общих свойств сходимости аппроксимаций Паде.
Ссылки на работы, посвященные сходимости аппроксимаций Паде,
читатель легко найдет в обширном списке литературы, приведенном в
справочнике.
Мы остановились лишь на двух характерных особенностях
справочника Ю. Люка; уже беглый взгляд на оглавление дает читателю
представление о богатстве его содержания, а ориентация на использование
ЭВМ делает справочник Ю. Люка крайне необходимым и своевременным.
К.И. Бабенко

To my daughters and their husbands
Molly and Phillip
Jan is and Masuo
Linda and Harry
Debra and Mark
Предисловие
В 1954 г., 15—16 сентября, автор имел честь присутствовать на
происходившей в Кембридже (штат Массачусетс, США) конференции,
посвященной математическим таблицам, которая была организована
Национальным научным фондом и Массачусетским технологическим
институтом. Задачей конференции было установить, не отпала ли
надобность в таких таблицах, учитывая возможности, предоставляемые
быстродействующими ЭВМ. Все участники этого форума пришли к
единодушному соглашению, что необходимость в таблицах не исчезнет. Более того,
принимая во внимание тот факт, что в работах по естественным и
общественным наукам очень часто приходится сталкиваться с широким
классом функций, к числу которых относятся и так называемые
специальные функции математической физики, конференция признала острую
необходимость в усовершенствовании "Таблиц функций с формулами и
кривыми" Е. Янке и Ф. Эмде. Новый переработанный Ф. Лёшем (F. Losch)
вариант этой книги был выпущен в 1960 г.
Решение, принятое на конференции, способствовало созданию
справочника "Handbook of Mathematical Functions with Formulas. Graphs and
Mathematical Tables" (под редакцией М. Абрамовича и И. Стиган),
National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55, U.So Government
Printing Office, Washington, DeC. Для краткости в ссылках будем
именовать его AMS 55. Этот огромный фолиант в 1043 страницы, в создании
которого принимали участие 28 авторов, состоит из 29 глав, содержащих
колоссальный объем информации, рассчитанной на то, чтобы
удовлетворить нужды специалистов всех областей науки и техники, занимающихся
прикладными вопросами. В нем представлено огромное количество
специальных функций. Сама книга, которая пользуется исключительной
популярностью у специалистов, переиздавалась уже девять раз и
разошлась в количестве 200 000 экземпляров (включая издание Довера в
мягкой обложке).
Большая часть результатов, помещенных в упомянутом справочнике,
была получена до 1960 г. За последние 15 лет стало известно много новых
интересных фактов о специальных функциях, поэтому было высказано
предложение издать новый исправленный и дополненный вариант AMS 55

8 Предисловие
В настоящее время задача эта невыполнима, скорее всего по
экономическим соображениям, поскольку ее решение потребовало бы
колоссального объема работы и времени. Выходом из создавшегося положения
может явиться справочник, написанный в стиле AMS 55, который
главным образом дополнил бы его.
Настоящую книгу можно рассматривать как новейшее дополнение
к тому разделу AMS 55, в котором рассматриваются специальные
функции. Здесь не воспроизводятся многие таблицы и описания свойств
функций, приведенные в AMS 55. Однако, чтобы книга имела
завершенный вид, она снабжена достаточным количеством описательного
материала.
Математические таблицы в своем классическом виде рассчитаны
в сущности на произвольную вычислительную машину. Однако при
работе с ЭВМ экономически невыгодно печатать таблицы в памяти машины,
а затем составлять программу для поиска нужной таблицы и
последующей ее интерполяции. Для ЭВМ необходимы эффективные алгоритмы и
схемы, позволяющие выполнять вычисления требуемых функций.
Принятый здесь подход к вопросам приближения имеет глобальный характер.
Численные значения функций являются всего лишь аспектом всей
проблемы в целом. Аппроксимация нужна нам для нахождения значений
функций и их нулей, для упрощения математических выражений, таких, как
интегралы и другие функционалы, а также чтобы облегчить решение
большого многообразия функциональных уравнений, таких, как
дифференциальные уравнения, интегральные уравнения и т.д. Поэтому
основной акцент в настоящем справочнике сделан на разработку
аналитических выражений и аппроксимаций функций для универсального
использования.
Рассмотрим теперь некоторые главные особенности этого
справочника. В нем дается механизм разложений обобщенных
гипергеометрических функций (назовем их для краткости Fq) и некоторых других
функций в бесконечные ряды по многочленам Якоби и Чебышева
первого рода. В виде таблиц приводятся численные значения коэффициентов
чебышевских разложений для широко известных функций. Изложены
полиномиальные и рациональные аппроксимации для
гипергеометрических функций Fq, а также для некоторого класса G-функций, которые
являются обобщением функций Fq- В некоторых случаях рациональные
аппроксимации являются аппроксимациями типа Паде. В справочнике
также даны коэффициенты полиномов числителя и знаменателя этих
рациональных приближений для многих известных функций.
Удивительным свойством чебышевских разложений и
полиномиальных и рациональных приближений, излагаемых в справочнике, является
их лучшая сходимость по сравнению с рядами Тейлора. Однако еще

Предисловие 9
лучше они сходятся в тех областях, где соответствующие степенные
ряды расходятся, но являются асимптотическими разложениями.
Действия с усеченными чебышевскими разложениями можно осуществлять
так же просто, как и с обычными полиномами, а именно не преобразуя
сначала сумму чебышевских полиномов в обычный полином.
Преимущество полиномиальных и рациональных приближений, особенно
последних, состоит в том, что полиномы, участвующие в этих приближениях,
удовлетворяют простым рекуррентным формулам, которые можно затем
использовать для вычисления значений полиномов. В целом ряде случаев
мы можем показать, что такая схема вычисления является устойчивой;
в тех же случаях, когда доказательство привести невозможно,
устойчивость подтверждается многократными численными проверками.
Коэффициенты в чебышевских разложениях для многих функций также
удовлетворяют простым рекуррентным формулам. В этих случаях
коэффициенты легко определяются с помощью обратного рекуррентного
процесса.
Аппроксимации Паде для многих элементарных функций и неполных
гамма-функций известны в замкнутом виде. Основное диагональное и
первое субдиагональное приближения приводят к двусторонним
неравенствам для этих функций. Их можно использовать как исходные при
получении подобных неравенств для целого ряда других функций. В
настоящем справочнике рассматриваются эти и многие другие неравенства.
В отличие от AMS 55 мы не приводим таблиц функций в
классическом смысле. С перечнем существующих математических таблиц можно
ознакомиться по второму изданию замечательного указателя "An Index
of Mathematical Tables" (A. Fletcher, J„CoP<, Miller, L. Rosenhead И
L.Jo Comrie, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1962). Сокращенно
будем называть это пособие FMRC. Как оказалось, большая часть
упоминаемых в этой книге результатов была получена также до 1960 г.
В нашем справочнике дается краткое описание и приводятся ссылки на
численные таблицы рассматриваемых функций, которые появились
позже, примерно в 1960 г., и не помещены в FMRC. В журнале Mathematics
of Computation приводится подробный обзор такого материала по мере
его появления.
В настоящем справочнике кратко описано развитие теории
аналитических приближений и разложений, а также даны ссылки на авторов,
работы которых способствуют прогрессу в этом вопросе. Несмотря на
то что в теории приближений нас прежде всего будут интересовать
приближения аналитического характера в отличие от численного
определения "наилучших" чебышевских полиномиальных и рациональных
приближений, в справочнике дается описание и таких методов, а также ссылки
на соответствующие работы.

10 Предисловие
Имеется целый ряд тем, которые из-за недостатка места и
времени рассматриваются в данном справочнике довольно кратко. В будущем
мы надеемся дать подробное изложение таких вопросов, как
вычисления с помощью рекуррентных формул, приближений Паде,
аппроксимаций функциональных уравнений, эллиптических функций и интегралов.
Чтобы облегчить читателю работу с настоящим справочником, мы
снабдили его подробным оглавлением, списком условных обозначений
и предметным указателем. В силу справочного характера книги, в ней
фактически отсутствуют доказательства, но даются многочисленные
ссылки на первоисточники. Список литературы включает более 600
названий работ, из которых большинство (примерно 85%) появилось в
течение последних 15 лет.
Юделл Л, Люк
Канзас-Сити, Миссури
Апрель, 1975 г.

Глава 1 Гамма-функция и функции,
с ней связанные
1.1. Определения и элементарные свойства
r(z)=p*Ye-fittz-1dt, R(p)>0, R(z)>Q;
о
R(p) = 0, если 0< R(z) < 1. A)
r(z+n)=[H(z+*)lr(z)- B)
Г(г)ГA-z) = 7rcosec?7Z. C)
D)
r(mzM2*)a-m)/2mwz-'4l ХГB+г/т).
Для логарифмической производной гамма-функции имеем
W(Z) = 7Tlnr(z) = T[zT Мб° ЬГ(*)« /?(t)dt.
E)
m-l
V(mz) = m-i2 Ч»(г + й/т) + 1пт. F)
k=Q
4'(z+ra)=nf1(z + ft)-1 + ,P(Z). G)
fe=o
vp(l) = -y, y = 0.57721 56649 01532 86061. (8)
4(z)-4(l-Z)=-7Tctg7TZ. (9)
1.2. Степенные ряды и другие разложения в ряды
1пГ(г + 1)= 2 (-l)kSkZk/k, |z|< l,
S =-Ч'A)=у, Sfe=l r"*, A> 1. A)
1 r=l
l/r(z + l)= S afezfe, a0= 1, \z\< oo,
fe=o

12 Гл. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
га
-?x{-\)k^Skar_k, г>0.
B)
Таблица 1.1
Коэффициенты для разложений в ряд Тейлора функций
[Г> + 1)]-1 иГ>+3)
[r(z + l)]-i=2 anzn, |z|<.
n=0
r(z + 3) = S bnzn, \z\< 3
n=0
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1.00000
0.57721
-0.65587
-0.04200
0.16653
-0.04219
-0.00962
0.00721
-0.00116
-0.00021
0.00012
-0.00002
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
00000
56649
80715
26350
86113
77345
19715
89432
51675
52416
80502
01348
12504
11330
02056
00061
00050
00011
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
a
n
00000
01532
20253
34095
82291
55544
27876
46663
91859
74114
82388
54780
93482
27231
33841
16095
02007
81274
04342
07782
03696
00510
00020
00005
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
86061
88108
23553
48950
33675
97356
09954
06511
95097
11619
78824
14267
98170
69776
10448
64447
57049
67117
26344
80562
03703
58326
34812
22678
11813
00119
00141
00023
00002
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
2.00000
1.84556
1.24646
0.57499
0.23007
0.07371
0.02204
0.00544
0.00135
0.000 26
0.00006
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
bn
00000
86701
49959
41689
49407
50466
11093
87540
52208
47856
120 30
85055
24061
00880
01142
00163
00086
00024
00008
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
96934
51346
20612
54114
16023
67516
75820
60239
63045
62819
79174
77240
23909
22764
14752
23497
41104
72915
83902
95608
31782
10610
03536
01179
00393
00131
00043
00014
00004
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
27879
52897
22755
06302
86878
96733
30942
43520
49638
20073
88135
13144
90648
53422
10083
38998
02524
06387
95131
89805
70013
93470
84281
38189
18677
08214
69853
56734
85607
61876
53961
17987
05996
01999
00666
00222
00074
00025
00008
00003
00001

Таблица 1. 2
Чебышевские коэффициенты для функции ГA + х) и ее обратной
ГA + х) = 2 апТ*{х) [ГA + х)Г1 = 2 ь 2? (*)
п=0 п=0
0<х<1
0
1
2
3
А
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2Ъ
24
25
26
0.94178
0.00441
0.05685
-0.00421
0.00132
-0.000 18
0.00003
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
55977
53813
04368
98353
68081
93024
60692
60567
10558
01811
00311
00053
00009
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
95494
24841
15993
96418
81212
52979
53274
61904
29546
96736
77249
54219
19327
57794
270 79
04646
00 79 7
00136
00023
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
66571
00676
63379
56050
46022
88804
41245
46086
30228
55424
64 715
63902
55199
12803
80623
81865
33502
80782
47319
02743
69101
11856
02034
00349
00060
00010
00002
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1,06377
-0.00498
-0.06419
0.00506
0.00041
-0.00008
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
30078
55872
25436
57986
66091
04814
29600
02689
00333
00010
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
05261
86840
10915
40 286
38709
12497
11775
75996
96463
89653
51385
06600
00247
00002
00000
00000
00000
00000
97553
03595
82288
08725
68886
84711
18802
440 60
06868
86454
01863
74100
69163
20039
67072
03132
00039
00003
Таблица 1. 3
Чебышевские коэффициенты для функций Г(х + 3) и 1пГ(я + 3)
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17,
Г(х + 3)
3.65738
1.95 754
0.338 29
0.04208
0.00428
0.00036
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
оо
= 2 апТ*(.
п=0
а
п
77250
34566
71138
95127
76504
52121
74006
18124
01096
00059
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
83382
61268
26160
65575
82129
69294
42226
02333
57758
87184
07690
14317
00651
00025
00001
00000
00000
00000
х)
0 < х < 1
43850
26928
38916
49199
08770
61767
42200
65124
65997
04552
80535
9 30 30
08773
95850
10789
03547
00169
00003
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1пГ(х + 3)
0*52854
0.54987
0.02073
-0.00056
0.00002
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
= Ь2
к
30369
64461
98006
91677
32458
11306
00606
00034
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
оо
+ 2 ЪпТ*(х)
71=0
82234
21414
16136
04215
72104
07585
56530
62843
06249
12663
00795
00050
00003
00000
00000
00000
00000
59887
11418
65136
43842
00169
70393
98948
57770
98806
51116
31007
82077
29187
21556
01424
00095
00006

14 Гл. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
Таблица 1. 4
Чебышевские коэффициенты для функции ЬГ(хI^
1пГ(я) = (*-_)lnx-*+ — In27r + S(*)
2 2
S(*)-A2*)-i| (-1)%Т2пA), *>1
п=0 *
с„ п
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
,98575
,01357
,00060
,00005
,00000
,00000
,00000
,00000
,00000
,00000
.00000
.00000
.00000
.00000
15540
51199
97577
47947
72256
12227
02472
00571
00147
00041
00012
00003
00001
00000
05098
40355
84871
47404
71298
85636
06061
76475
06251
24183
43043
98333
34579
47620
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
,00000
,00000
,00000
,00000
.00000
.00000
.00000
.00000
,00000
.00000
.00000
.00000
.00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
17553
06710
02651
01079
00451
00193
00085
00040
00017
00008
00004
00002
00001
Эти коэффициенты получены Неметом A967).

7.2. Степенные ряды и другие разложения в ряды 15
Таблица 1. 5
Чебышевские коэффициенты для функции W (х + 3)
и ее первых шести производных1*
?<"*(*+3) = 2 4m)T*(*), т=0, 1,..., 6,Ф@)(* + 3)=Ф(к + 3)
п=0
0< х< 1
-@)
,A)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1.09632
0.16629
-0.006 85
0.00037
-0.00002
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
65312
18012
27220
33963
27095
14623
00974
00066
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
32801
71471
20053
42378
69468
88714
17753
31970
58133
31971
02247
00158
00011
00000
00000
00000
00000
00000
58001
81741
29673
60654
03564
57953
95695
83199
78140
21417
37976
81140
26604
80152
05715
00408
00029
0000 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0.33483
-0.05518
0.00451
-0.000 36
0.00002
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
86979
74820
01907
57058
94346
23527
01868
00147
00011
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
10944
48730
36011
88303
27468
76815
53176
50720
57993
90439
07029
00543
00041
00003
00000
00000
00000
00000
00000
38576
09463
50186
72083
22336
15061
63281
18379
33714
17904
62700
98873
92525
21903
24630
01878
00143
00011
00001
B)
.C)
0
1
2
3
4
5
6
7
6
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
-0.11259
0.03655
-0.00443
0.00047
-0.00004
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
29353
70017
59424
54758
74718
45218
04163
00373
00032
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
45473
42820
96027
54728
36382
15237
00079
38998
79914
83211
24104
02026
00168
00013
00001
00000
00000
00000
00000
83037
94137
28223
92648
63232
35268
62011
16535
47410
37682
02848
29690
52418
88481
13451
09201
00741
00059
00005
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0.07601
-0.03625
0.00579
-0.00076
0.00009
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
26046
71864
72023
96465
149 20
00971
10557
01059
00102
00009
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
55110
81828
38937
13610
82189
31488
77442
29577
85494
72314
89884
08153
00727
00064
00005
00000
00000
00000
00000
00000
38390
73882
00231
48095
88449
36381
83084
48119
20092
31000
63545
17069
57169
01023
56152
47789
04066
00343
00029
00002
1) Подробное описание техники нахождения этих коэффициентов
можно найти у Люка A969).

16 Гл. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
Продолжение табл. 1.5
С <*> П <?
п п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-0.07723
0.04786
-0.00944
0.00148
-0.00020
0.00002
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
47240
71634
07021
95447
49440
56714
30013
03327
00353
00036
00003
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
56994
51599
86674
4010 3
23348
25Q65
93581
66437
65412
30622
62096
35237
03357
00314
00028
00002
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
79348
46688
63167
44841
86027
29656
58404
35634
11070
92684
95057
50903
44020
06802
90815
62300
23498
02081
00182
00016
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0. 10493
-0.07887
0.01839
-0.00335
0.00052
-0.00007
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
30344
79016
74151
22841
28782
31797
94497
11463
01322
00146
00015
0000 1
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
59278
52793
12159
59396
30918
85814
29612
39Н56
69366
46669
66940
62791
16490
01634
00158
00015
00001
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ооооо
63245
55735
39737
50400
01646
73963
08531
72257
10768
18029
74162
15730
34452
02764
80745
17110
42724
13243
01214
00110
00010
00001
с(б) х>
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
-0.17861
0.15577
-0.04172
0.00859
-0.00149
0.00023
-0.00003
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
76221
6 46 22
36376
71413
62277
10896
26320
42960
05345
00634
00072
00008
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
42502
00520
73831
03245
61073
08557
44778
97867
28790
78151
48699
00521
85888
08985
00919
00092
00009
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ооооо
75322
57932
27704
40038
22905
13710
43649
08959
20447
64391
71418
97925
79302
44247
35574
22505
08955
88173
08431
00796
00074
00007
00001
Эти коэффициенты даны с точностью до 19 D.

1.3. Асимптотические разложения 17
r(z + l) = S bkz\ Ь0 = 1, |z|< 1,
Г
rbr=-ft?1(-1)fe+1Sfe&r-ft' '>°>
2 akbr_k = Q, r> 0. D)
fe=o
Ренч A968) составил таблицу коэффициентов для функций
1/Г(*)Л/я*"и l/r(z)-z(l+z)i gnz", E)
n=l n=0
в которой коэффициенты представлены с точностью до 31D; см. также
работу Морриса A973). Заметим, что
an = fn+l. F)
См. также 1.4A). Последующие соотношения вытекают из формул A) —
F) и определения 1.1 E).
Рациональные приближения для
^щр. 4B) = B^(^ + с+|)^ехр[-B + с+1)], (8)
впервые полученные Ланцошем A964), были тщательно проверены
Люком A969). Приближения для функции Г(г + 1), основанные на
приближениях Паде для двух видов неполной гамма-функции, были также
исследованы Люком A9706). См. также 4.5 A0).
1. 3. Асимптотические разложения
1пГ(г) = (г- )lnZ_ Z+i-lnB77)
Л B2k[Bk-lJkz2k-4-1 +Rn(z),
|argz|<77-e, e>0, Rn(z)=0(z-2n-3), A)
где B2k суть числа Вернулли, см. п. 14. 2. Если г — число
действительное и положительное, то Rn( z) по величине меньше первого пренебре-

18 Гл. 1. Гамма-функция ифункщи, с ней связанные
гаемого члена и имеет с ним одинаковый знак. В дальнейшем при
рассмотрении остатка будем считать, что
Sn(z) = B2n+2 [Bп + 1) Bn + 2)z2w+4-1, B)
argz =?.
Теорема 1„
#n(z) = 0Sn(z),
|0|< 1, если - ^ < ^ < —, C)
|0|<cosec2?, если HL<?<J[
4 2 "
В самом деле, если 0 < С < ~, то 0 < arg в 4 %С> и в лежит либо
^ тг
на действительной оси. либо выше. Если же — у < С < 0, то 2 С <
< arg0< 0, и в лежит либо на действительной оси, либо ниже.
Теорема 1 неприменима к тем значениям z, которые находятся у
мнимой оси. Этот недостаток устраняет следующая более строгая
Теорема 2. Предположим, что -л < ?< л . Можно найти такое
число р, что
-J<P<J' -2<f-^<2' <4>
Тогда
\Rn{z)\=e(cosp)-2n-*\Sn(z)\,
<т = 1 при |р-?|<* E)
<T = |cosec2(p-0! *р« -J< |р_?|<-1.
Поясним соотношение E) на примерах.
Пример 1. Пусть — ^ |?| < JL.
(а) ??сл« С > 0» береле р = ? -—, ягогдо а = 1 и cosp = sin(?+-j)-
F)ЕслиС< 0, ff«pe*p = ?+j, яшдаа = 1 и cosp = sinD +-).

1.3. Асимптотические разложения 19
Для таких ?
\Rn(z)\<[sin(\?\+l)]-2n-*\Sn(z)\<2n+1\Sn(z)\. F)
Совершенно очевидно, что соотношение E) точнее для значений z,
находящихся у мнимой оси, нежели соотношение C).
Пример 2. Пусть тг/4< |?| < п.
(а) Если С > 0> берем р = 2?/3- я-/6, тогда а = cosec B?/3 +
+ 77/3), a COS р = 1.
(б) Если С < 0, берем р = 2i;/3+ * W0iaa a = cosec(-2?/3 +
о
+ 7г/3), G COS p = 1.
|/?n(z)|<[sinBKI/3 + ^/3)]-2n-3|5n(z)|. G)
Теорема 3.
|/?n(z)|<2|B2n/Bn-l)||/(z)|1-2n,^^^(z)< 0,Z(*)*0;
(8)
l*n(z)l< E2n/Bn-l)||z|1-4 «ми R(z)>0. (9)
Теоремы 1 и 2 и примеры, иллюстрирующие теорему 2,
принадлежат ван дер Корпуту A955); теорема 3 была предложена Спира A971).
Соотношение A) равносильно соотношению
rB) = *-*z*-KBir)K[? ckz-k+0(z-n-i)],
. n *=° A0)
|aigz| < n - €, € > 0. v '
Точные рациональные значения для ck, k = 1 AJ0, были даны Ренчем
A968). Ренч также вычислил эти коэффициенты с точностью до 50 D,
которые и представлены ниже в табл. 1. 5(а). При k = 21A) 30 Спира
A971) дает точные рациональные значения для cfe, а также
соответствующие им коэффициенты с точностью до 45 D.
Замечание. Первые четыре коэффициента представлены в виде
периодических дробей, периодические части которых отмечены
точками сверху. Эта таблица, перепечатанная нами с разрешения
Американского математического общества, взята из работы Wrench J.W.
"Concerning two series for the gamma function", Mathematics of Computation,
2A968), No, 103,p,620.

20 Гл. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
Таблица 1. 5(a)
Первые двадцать коэффициентов асимптотического ряда функции Г(* ]
представленные с точностью до 50 D
Ci
<h
Сг
Са
Съ
с6
с7
с8
Съ
Сю
Си
Си
Си
Си
С\ъ
Ci6
Сп
Ci8
Cl9
Cao
0.083
0.00347
- 0.00268
- 0.00022
0.00078
0.00006
- 0.00059
- 0.00005
0.00083
0.00007
- 0.00191
- 0.00016
0.00640
0.00054
- 0.02952
- 0.00248
0.17954
0.01505
- 1.39180
- 0.11654
2
13271
94720
40392
97281
21664
17179
94987
20489
44384
25162
33628
01647
78809
17436
01170
61130
10932
62765
60493
93621
21720
37583
37353
09082
20672
54160
98565
62783
33808
67892
45699
00264
61234
40026
65337
99463
8
39917
06662
65857
69388
60592
08727
20010
47752
91581
06979
60451
12050
99773
85610
42441
48139
20085
69547
74740
77429
28648
19337
99933
55908
65008
68986
48236
51804
54406
09156
76994
23842
91477
07340
32510
34881
39882
36225
05784
57516
57193
98858
35123
38090
67508
51054
58368
07722
21877
63542
36907
28806
44228
85757
60440
30020
76498
02250
32852
98027
26579
57024
69382
74346
22633
13112
27314
14796
584
88496
83308
11873
58822
34451
15052
25448
09981
58304
17355
44465
43239
05309
72602
93580
96789
96257
29359
91585
81785
98182
06345
76893
05872
01894
47254
65482
75168
12823
59815
45617
37334
1.
10366
63594
19680
34534
11159
17380
57895
59193
09396
41598
82544
04723
38692
45541
72646
38371
В обобщенном виде соотношение A) записывается следующим
образом:
1пГ(г+<г) = (г + а -l)bz-z+lln2 77
^ 2
2 и"".н"г1>0^-,|,
|argz | < л- (, е > 0.
При а = 1/2 значения Bk(a) обращаются в нуль, если k нечетное, и
1пГB + .1) = гAп2_1) + .11п2я
(И)
Л
+2 2 zi-2* + 0(z-an-i)>
ft=i2&Bfc-l)
| arg z | < я- - e, e>0
A2)
ГB + а) = za-b?
Г (z + b) k=o
N-i(-l)kBla-b+»(a)(b -a).
.-h
k\
+ za-bO{z-N), |arg(z + a)|5?;7-e, <r > 0,
A3)

7.3. Асимптотические разложения 21
где а и b суть ограниченные комплексные числа, а Б|а_6+1)(а) —
обобщенный полином Бернулли. Если Ъ - a = 1 -N, соотношение A3)
будет точным. Таким образом, можно опустить член 0{z~N) и
ограничение, наложенное на arg z. Далее если Ь - a — положительное целое
число m и |z| > max{|a|, |Ь - 1|}, то при N -> во асимптотическое
разложение A3) сходится к l/(z + a)m . Следовательно, в этом случае
также можно пренебречь членом О (z~N) и ограничением, наложенным
на argz. Сходящееся факториальное разложение для функции
Г(г + а)/Г(г + Ь), аналогичное соотношению A3), было дано Нёрлюн-
дом A961, соотношение D3)).
Филдс A966) показал, что
__.(« + а.р)-*Хо —
+ (z + a-p)*-*0((z + <z-p)-2N),
2р=1 + а~Ь, |arg(z + a)|< 77-?, е > 0. и*'
Заметим, что этот ряд является фактически рядом по четным
степеням переменной z + a - p.
Функция Г(г + a)/T(z + fe) имеет полюсы в z = -a - n, где п -
положительное число либо нуль, но при достаточно большом \z\,
| arg(z + а) | < 77, выражения A3) и A4) будут справедливы. При
умеренных же значениях z это приближение теряет силу, если z
находится у одного из указанных полюсов. Для устранения этого затруднения
воспользуемся сначала формулой дополнения для гамма-функций и
получим
Г{±±о) _ sinrr(z + b) T(l-z-fr)
T(z + b) sin77(z + a) r(l-z-a) '
а затем применим асимптотическое разложение для отношения этих
гамма-функций в правой части последнего уравнения при
larg(-z)| < тт - е, е > 0.
При z = п, а = -я и & = 1 мы из соотношений A3) и A4) получаем
полезные выражения для биномиального коэффициента. Так,
соотношение A3) дает
х (_ij»n-<*+»~ (*+1)кВ$Гя)
\ П) ~—-г ¦ 2*
Г<-*> ft=0 k\n*

22 Гп. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
,хх (_l)nra-(x+1) r (*>2 (х)8(Зх+1) (хL(хJ
vn)~——-— [1 + —— + +
Г(-х) 2га 24га2 48пз
(*>5
+ A5х3 + 30х2 + 5х-2) + ...], A5)
5760га4
соотношение A4) дает
, xv (-1)п(п - x/2)-<*+D ~ Щр\р) (* + 1Jк х
Г(-х) k=o Bk)\{n-x/2Jk 2
,xv <-l)n\n-x/2)-(«+» (x), (xMEx-2)
U) —— [1 + + A6)
1 {~х) 24(га-х/2J 5760(n-x/2L
(xOC5x2-42x-16)
+ + ...]•
2903040(n-x/2N
Ясно, что соотношение A4) более сильное, чем соотношение A3). Если
в выражениях A5) и A6) взять, например, х = -_ , получим соответ-
2
ственно выражения
(гаП424п 1 1 ч
"--^ [l-_L+_J_+_2 +0(n)]2, П-+-0,
га[Bга)!]2 bw 128n2 Ю24п»
A7)
4(n!L24» i 21 671 180323 20898423
L1 + +
у[Bга)!]2 4у2 32у4 128у6 2048у8 8192уЮ
^ 7 426362 705 1874409465055 Л/_]бП2
+ + 0(у *)\2,
65 536у12 262144у14 „0.
л 1 "о)
у = 4га + I, га -» + <*>.
Если га = 20, то, учитывая только три первых члена в A7), получаем
значение п с ошибкой, равной 0. 38 • Ю-5. Если га = 10, то, учитывая
только три первых члена в A8), получаем значение п с ошибкой,
равной — 0.69 • Ю-8, в то время как, учитывая все члены в A8), получаем
значение п с ошибкой, равной 0.56 •!О-16.

1.4. Рациональные приближения для 4?(z) 23
1. 4. Рациональные приближения для Ч!(z)
Поскольку функцию V(z) можно представить в виде
гипергеометрического ряда
•«¦'¦'-^AC-ii;:!-).
A)
то рациональные приближения вытекают из преобразований,
выполняемых в п. 5.12. С подробным изложением этого вопроса можно
ознакомиться по книге Люка A971), где также рассматриваются рациональные
приближения для функции ? (z + 1/2) - 4t (z). Мы имеем
2(z-lLn(z)
zBn(z)
n {-n)k{n + l)ftB - z)k
An(*) = C - *)„ *n
fc=° [B)ft]2C-z)ft
l-n + k,n+\+k, z+l + k, II \ ...
*F*\i+k, 2+k, s-z+* I-1;. C)
fl.W-C-^ a^^^'^a-zl-1)' D)
AQ(z) = 1, 4x(z) = (z + 6)/2, 42(z) = (z2 + 82z + 96),/6,
43 (z) = (z3 + 387 z2 + 2906 z + 1920)/12, E)
44 B)= Cz4 + 3643z3 +86 068 z2 + 293508z +149760),/60,
B0(z) = l, B!(z) = 4, B2(z) = 4Bz + 7),
B3(z) = 14z2+204z + 310, F)
В (z) = 22z3 + 864z2 + 4958z + 4956.
Как A (z), так и Bn(z) удовлетворяют одному и тому же разностному
уравнению четвертого порядка
Bп - 3)(п + l)Bn(z) = Bп - 1)[3(п - l)z + 7п2 - 9w - 6]Bn_1 (z)
-Bга - 3)(г - тг - 1)[3(и - l)z - 7п2+ 19" - 4] Вп _2(г)
+Bга - 1)(п - 3)(z -n - l)(z + n - 4)Bn_„(z), n> 4.
G)

24 Г п. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
При z = 2 имеем 4n(z) = ?n(z), и этот факт дает возможность
провести точную числовую проверку рассмотренных выше полиномов и всех
полиномов, вытекающих из них. Более того, если z — целое положитель
ное число т, т > 2, то
3^2
/1,1,2-
\ 2, 1 +
-т
т
-1 -
т
m-l
2(m-l)r=l
г-
Л»(*)
п>т-2. (8)
Для остатка имеем
0A)
U*)'
й(г)> О,
ГC-2) ,N2z-7/4
———±-(Т) &\N€ + 0{N-i)),
B|г)^ГA + z) z
(9)
ch?=3, в-6 = 3-28/2да 0.17157..., W2 = n(n+1),
limSn(z) = 0 (z фиксированоL, /?(z)> 0.
П->оо
Согласно соотношению (9), сходимость улучшается, если брать
R(z) > 7/4. Заметим, что рациональные приближения сходятся
значительно быстрее, чем разложения в ряд функции F2. В приведенной
ниже табл. А представлены рациональные приближения для функции
3F2 при z = у и z = 1, которым соответствуют точные значения Ь2
и 77-2/12. Для вычисления 1п2 и п2,/12 с точностью соответственно до 5-го и
10-го десятичных знаков, необходимо иметь около 100000 членов ряда 3^2при
z = _ и z = 1 соответственно. Эффективность рациональных приближений
очевидна. В табл. В представлены значения функции у + W(z) для z =
= 2.5 + 4 г. В этой таблице дается также мнимая часть функции W(z)
при z = 1 + Di, которая равна (тт D cthn D - 1)/2D. В табл. А и В ус-
лобные обозначения A(N, Z) и B(N, Z) используются вместо \(z) и
Bn(z) соответственно. Значения An(z) и Bn(z) при п = 0, 1, 2 и 3 были
получены на ЭВМ с помощью соотношений E) и F) соответственно;
все значения производных этих полиномов были получены по
рекуррентной формуле G). В результате вычислений, выполненных автором (Люк
A971)), были получены значения
8n(z) = | C(z) \\An(z)/Bn(z) - A^zl/B^z) | A0)
при n = 1, 2,..., N, где в качестве C(z) берется либо 1, либо 2 (z - l)/z,
а N таково, что 8 (z) < 0Л • Ю-26 при п> N. Ниже мы даем только
часть этих таблиц.

I А. Рациональные приближения для Ч*(х) 25
Таблица А
Значения An(z)/Bn(z) для г =— и z = 1
Z =
Л7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
IS
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
5.0000000000000000000000000000D-
A(N.Z)/B(N3Z)
8.125OO0OOO0OOO0O000O00OO0OOOOD -
7.1484375000000000000000000000D -
6.9592358604091456077015643802D-
6.9353054058468071206924710110D-
6.9320316214931050879695672850D-
6.9315565472978875374472655149D-
6.9314849409236780351403667432D-
6.93I4738753724831290421294092D-
6.9314721356667069137522060602D-
6.9314718537150800717752853328D-
6.9314718142079355217622304567D-
6.9314718070026171946091597912D-
6.9314718058292386228898045798D-
6.9314718056372305936505710800D-
6.9314718056056844195730624602D-
6.93147180560O4838592164015455D-
6.9314718055996240196697686433D-
6.9314718055994814987529553842D-
6.9314718055994578234427851257D-
6.9314718055994538829095250833D-
6.9314718055994532259147097164D-
6.9314718055994531162070640862D-
6.9314718055994530978622951405D-
6.9314718055994530947909395183D-
6.9314718055994530942761371596D-
6.9314718055994530941897597577D-
6.9314718055994530941752529779D-
6.9314718055994530941728144942D-
6.9314718055994530941724042736D-
6.9314718055994530941723352114D-
6.9314718055994530941723235769D-
6.9314718055994530941723216157D-
6.9314718055994530941723212848D-
6.9314718055994530941723212295D-
6.9314718055994530941723212201D-
-01 0.
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
^01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
z =
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
1 .OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOD + 00 0.
AW3Z)/B(/f3Z)
8.75OOOO00OO0O0OOO0O0OO0OO0000D-
8.2870370370370370370370370364D-
8.2291666666666666666666666666D-
8.2250308641975308641975308648D-
8.2247038917089678510998307962D-
8.2246738636392172225110051413D-
8.2246707391182694157354458494D-
8.2246703835935517041566925571D-
8.2246703405274466475587162974D-
8.2246703350690207957580740730D-
8.2246703343530682887274455002D-
8.2246703342565934175426132486D-
8.2246703342433059920392371467D-
8.2246703342414424307534160725D-
8.2246703342411770340454662436D -
8.2246703342411387391170360411D-
8.2246703342411331502837508557D-
8.2246703342411323264869706829D-
8.2246703342411322039879729626D-
8.2246703342411321856294526147D-
8.2246703342411321828588049469D-
8.2246703342411321824380179178D-
8.2246703342411321823737457919D-
8.2246703342411321823638775615D-
8.2246703342411321823623551998D-
8.2246703342411321823621193208D -
8.2246703342411321823620826263D-
8.2246703342411321823620768962D-
8.2246703342411321823620759986D -
8.2246703342411321823620758575D-
8.2246703342411321823620758350D
8.2246703342411321823620758315D ¦
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
-01
Эта и следующая таблицы взяты из работы Люка A971) "Rational
Approximations for the Logarithmic Derivative of the Gamma Function",
Applicable Analysis, 1A971), F5 - 73) (Gordon and Breach).

26 Гл. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
Таблица В
Значения функции y+^iz) для % = 2. 5
+ 4г
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
B(Z-l)/Z)A(N9Z)/B(N9Z)
(действительная часть)
1.7064606741573033707865168539D+00
2.1000117041198501872659176027D+00
2.0712647591877834958918510965D+00
2.0739539567762721314823575619D+00
2.0738453559739868901275605649D+00
2.0738356152686577282107330596D + 00
2.0738373874313878583713603884D+00
2.0738373928150860872828865867D+00
2.0738373773522742891263168979D+00
2.0738373771290208030649348766D+00
2.0738373772659847543482983821D+00
2.0738373772756103102744550999D+00
2.0738373772749177377048057366D+00
2.0738373772747547577207206951D+00
2.0738373772747455535927027496D+00
2.0738373772747463395021554933D+00
2.0738373772747465488655487447D+00
2.0738373772747465684058102116D+00
2.0738373772747465686821652637D+00
2.0738373772747465684722110170D+00
2.0738373772747465684335272232D+00
2.0738373772747465684296622706D+00
2.0738373772747465684295053457D+00
2.0738373772747465684295315995D+00
2.0738373772747465684295390229D+00
2.0738373772747465684295401127D+00
2.0738373772747465684295402220D+00
2.0738373772747465684295402278D+00
2.0738373772747465684295402273D+00
2.0738373772747465684295402272D+00
B(Z-1)/Z)A(N9Z)/B(N9Z)
(мнимая часть)
1.2696629213483146067415730337D+00
U087312734082397003745318351D+00
1.1049820733740498482429652941D+00
1.1056510099400000218945525061D+00
1.1054467111269958902843036618D+00
1.1054642344298933636818766424D+00
1.1054645618883228432227514933D+00
1.1054643973372486187883685677D+00
1.1054643968942664032287279395D+00
1.1054643983692476936171733204D+00
1.1054643984238233497986679847D+00
1.1054643984124270031338871359D+00
1.1054643984110480314919296883D+00
1.1054643984110462457963794309D+00
1.1054643984110611961140198015D+00
1.1054643984110629547887578608D+00
1.1054643984110630039265729954D+00
1.1054643984110629893066780347D+00
1.1054643984110629865079410469D+00
1.1054643984110629862548584140D+00
1.1054643984110629862500724409D+00
1.1054643984110629862527123005D + 00
1.1054643984110629862532591437D + 00
1.1054643984110629862533239837D+00
1.105464398411Q629862533285120D+00
1.1054643984110629862533284393D+00
1.1054643984110629862533283545D+00
1.1054643984110629862533283378D+00
1.1054643984110629862533283356D+00
1.1054643984110629862533283354D + 00
1.5. Неравенства
Люк A9726) показал, что
т м 24(z)Ez2 + 20z + 19)
L '*) = — < Tlz + 1)
(Z + 2)(z + 7) l [Z + 1;
<R(z) - 2z^(z)Cz + 4) z* + 36z3 + 266Z* + 690z + 579
(z + l)(z + 13) W (llz + 71)(z + 2)(z + 3)
4(z)=(z + l)«tf-U+i), 0< z< 1.
Вычисления, проводимые при z = 0 @. 05) 1. О, показали, что Г(г + 1) -
- L (z) монотонно возрастает от 1. 47 • 10, когда z = 0, до 7.54 • 10~3,
когда z = 1; R(z) - T(z + 1) равно 0.103-104 и 1.61 • 10 соответст-

7.5. Неравенства 27
венно, когда z = О и z = 1, и имеет локальный максимум вблизи точки
z = 0.25, а в самой точке z = 0.25 значение R(z) - T(z + 1) равно 6.4 х
х 10~4. Таким образом, неравенство это довольно точное.
Интегрируя неравенство A)> получаем неравенство
4z - 151n(l + z/5) < yz + lnT(z + 2)
< 5z-iiln(l + z/2)-^ln(l + ^/13), -V2<z<l, B)
которое переходит в равенство, если z = 0.
При 0<t;< 1 и 0<м< 1 обычные двусторонние неравенства
для Г(г; + 1)/Г(м + 1) вытекают из A). Гаучи A959 а) показал, что
если п — положительное целое число,
nl_s< Г^_1) < (я + 1I-*# 0<s< 1. C)
Г(гг + s)
Кецкич и Васич A971) доказали, что
jx,-\ey _,, . х-У2
* 4m4^_lL, Х>У>1; D)
уу-1ех Г (у) 1
е
2 „х
положив х = гс + 1 и у = я + s, проведем сравнение неравенств C) и
D). Для 5=1 эти неравенства совпадают. Для s = 1/2, п = 1 левое
неравенство D) слабее соответствующего неравенства C). Для 5 = 3/4,
п = 1 левое неравенство D) точнее соответствующего неравенства C).
Таким образом, при указанных значениях хку нельзя провести
эффективное сравнение левых частей неравенств C) и D). Авторы,
названные выше, сообщают, что Славич с помощью ЭВМ провел сравнение
неравенств C) и D) и получил в результате, что для большого числа
значений s и п правое неравенство D) сильнее правого неравенства C).
Люк A9726) доказал также неравенства E) и F):
_gijJL,H^)Kn» + i)<{4z + i ,/2 z>1.
3rzDz + 3) к 2Г(г + 1/2) * 5z ' '
7 J
E)
при z = 1 имеет место равенство. Если 0 < z < 1, E) будет
справедливо при обратных знаках неравенства. Если в C) положить s = 1/2
и сравнить полученное с неравенством E), когда z — целое
положительное число, то можно видеть, что левая часть неравенства E)
превосходит левую часть неравенства C). Если 1 < z < 40, то же самое мож-

28 Гл. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
но наблюдать относительно правых частей этих неравенств.
z + 1 < 2-~2^1/2П*+1) (l-z)Bz2+5z + l)
2z2 + z + l Hz+1/2) (z + lJBz + l)
8z2(z + 2J
F)
(z + lJBz + l)Bz2 + 5z + 5)
0< z< 1.
Более подробно с этими, а также с целым рядом других неравенств
для гамма-функций, соотношениями между неравенствами и другими
связанными с неравенствами вопросами можно познакомиться в
следующих работах: Митринович A970), Кецкич и Васич A971), Кецкичи
Станкович A972), Люк A9726).
Амос A973) доказал, что
r(z + l,/2) 4z 32z2 128z3 5z*
есть неравенство, асимптотически точное во всех членах, за
исключением последнего.
Ниже дано несколько числовых примеров, иллюстрирующих
сказанное. Из B), если z = -1/2, 1/2 и 1, мы получаем соответствующие
неравенства:
-0.41959 < Aп(тг/4) - у)/2 = -0.40939 < -0.40693,
0.57035 < (у + 1п(9тг/16))/2 = 0.57328 < 0.57378, (8)
1.26518 < у+1п2 = 1.27036 < 1.27114.
При z = 1/2, 3/2 и 5/2 из неравенства E) и следующего
непосредственно за ним замечания получаем соответствующие неравенства:
4/5 < 7Г2/12 = 0.82247 < ill = 0.82963,
135
1792 = 0.81939 <«V12< "|, (9)
2187 ' 135'
^ . 0.81687 < ,V12 < ||« , „.83437.
При z = 0 либо z = 1 неравенство F) обращается в равенство. При
z = 1 /2 неравенство F) дает
3/4 < тг/4 = 0.78540 < 57/72 = 0.79167. A0)
Неравенства A1) - A3), приведенные ниже, также принадлежат Люку

7.5. Неравенства 29
A9726). Прежде всего имеем неравенство
z(z + 4) w 7 z z(z + l)(z + 12)' '
(П)
которое при z = 1 либо z = 2 обращается в равенство. Если знаки
этого неравенства поменять на обратные, то A1) станет справедливо
для 1/2 < z < 1. Далее, имеем неравенство
2 + 1.i * <^[у + *(*>]<1 4~*2
2-z z + 1 2(z-l)Ly*'™ C - z)(z + 1)
D_z2)(z + 2) 5
+ ln-
C-zJ(z+l) Z + 2 '
X/2 < z < 2, (lZ>
которое обращается в равенство, если z = 1,/2 или z = 2. И наконец,
для z > 0 имеем неравенство
?±| < z№ +1/2) - ад < «z\+64z + iL , аз)
4z + 1 Bz + l)Dz + 3)
переходящее в равенство, если z = 0 или z = <»; см. также Шафер
A973).
Приводимые ниже примеры подтверждают точность неравенств
A1) — A3). Из A1) (см. также комментарий, следующий
непосредственно за этим неравенством) для z = 1/2 и z = 3/2 получаем
соответственно
2/3 < 1п2 = 0.69315 < 0.7,
20/33 = 0.60606 < 2 - 2Ь2 = 0.61371 < 83/135 = 0.61482. A4)
Разделим все части неравенства A1) на z - 1 и устремим z к 1.
Тогда получим неравенство
4/5 < 772/12 = 0.82247 < 43/52 = 0.82692. A5)
Задавая в неравенстве A2) z = 1 и z = 3/2, получаем соответственно
неравенства
0.81093 < 772/12 = 0.82247 < 0.82468,
0.91161 < 3A - 1п2) = 0.92056 < 0.92171. A6)
При z = 1 из неравенства A3) получаем
3/5 < 2 - 21п2 = 0.61371 < 13/21 = 0.61905. A7)

30 Гл. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
1.6. Библиография и информация о таблицах
1. 6.1. ОСНОВНЫЕ ИСТОЧНИКИ
Сведения о гамма-функции и функциях, связанных с ней, можно
найти в следующих работах: Уиттекер и Ватсон A934), Эрдейи и др.
A953), Абрамович и Стиган A964), Артин A964), Нильсен A965), Кемп-
белл A966) и Люк A969), а также в работах, на которые ссылаются
перечисленные авторы. В статье Дэвиса A959) дается краткий отчет
о развитии теории гамма-функции. См. также ссылки на литературу
в п. 5.1.
1.6.2. ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
Гамма-функция и функции, с ней связанные
Славич A971). Г», 1/Г(*), х =1@.01J, точность 30D, а также
(-1)пЩп + 1)/Г(п + 1), п = 0AK0, точность 30D.
Хамис A965). I», n = 1@.025J, точность 10D.
Талант и Берд A968). Tip/q), hiFip/q), p = 1, 2,..., q-\,2p±q,
q= 3, 4, 5, 8, 10, точность 60D.
Киреева и Карпов A959). ГA "р )/21+*>/2п/*, T(-L)/2l+P/2 Bтг)Ч
Z* 2
р = 0.05@.05H.95, 1.05@.05I.95, точность 9D.
Карпов и Чистова A964). п1/*/2№Г{-р), р = 0.05@.05I.95, точность 10D.
Аскари A968). См. стр. 155*
Коуди и Гилстром A970). Нули argT(l + iy), точность 22D.
Отношение гамма-функций
Смирнов A961). (пр)~1/2Г{]——)/Г(—) и ее десятичный логарифм,
z &
р = 1AJ4, точность 6 Do
а т, /in™ Г>+п + 1/2)Г(п-т+5/2)
Феттис и Кэслин A970). , т= П(Ш0
Г(п + 1,/2)Г(п - 1/2) 'Ш UU,1U'
п= 0AL50, точность 16S.
Пирсон A968). См. стр. 297.
Осборн и Мейди A968). См. стр. 297.
Пси-функция и функции, с ней связанные
Диткин A965). Щх + iy), х = 1@.01J, у - 0@.01L, точность 7S;
?(n>(x + iy), п = 1AI0, х = 1@.1J, у = 0@.1L, точность 7S.
7Г/2
Кёльбиг A971). A =f (lncosx)n(lnsin^dx, n, p = 0AM,
р о
точность 16S.

7.6. Библиография и информация о таблицах 31
Коуди, Стрекок и Тэчер A973). Положительный нуль функции ф(х),
точность 36 D.
Робинсон A973). ф'{х), к = гс + а,гс = 0 AM0, a = 0, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4,
3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, точность 58 D*
Кнут и Букхольц A967). Точные значения эйлеровых чисел для гс< 404,
тангенциальные числа для п4- 418 и числа С2п, п< 418, которые
определяются формулой В2п = С2п - 21/р, где сумма берется
по всем простым р, таким, что (р - 1)|2гс. Эти простые числа р
перечисляются для каждого С2П.
Боас и Ренч A971). Пусть пЛ — наименьшее целое число п, такое, что
2 k~l > А(А > 3). Пусть еА~У = m+ 5, пг- целое число, 0< 8<1,
у - константа Эйлера. Тогда пА = тп, если S < 1/2 - (Юга);
пл = т+ 1, если S > 1 /2 + п-1. В таблице даны значения еА^У
для Л = 1AJ0, 100, точность 16S. В этой же таблице даны зна-
п
чения S = 2 ft-1 Для различных п с точностью до 10D.
п fe=i
1.6.3. ОПИСАНИЕ ДРУГИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И РАЗЛОЖЕНИЙ
С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
Кленшо A962). Г(х + 1) и ее обратная, СТ*{х), a = 1, точность 20D.
Кленшо, Миллер и Вуджер A963). 1/Г(х + 1), СТ*(х), a = 1, точность
15D.
Уимп A961). 1пГ(х + 6), ?(х + 6), Ь = 2, 3, 4, 5, СТ{х), a = 1, точность
8D.
Филдс и Уимп A963). ?A +х),Г{х + 3), [Г(х)], СГ*(к), a = 1,
точность 10D. Последние пять цифр в коэффициенте для /г3
следует читать 33909 вместо 23 167.
Коуди и Гилстром A967). Коэффициенты в наилучших чебышевских
рациональных приближениях для функции, связанной с In Г (х).
Значения х берутся в следующих интервалах: 0.5 < х4 1.5,
1.5 < х<: 4.0 и 4.0 < я< 12.0. Возможная точность составляет
примерно 20S.
Харт и др. A969). Оптимальные полиномиальные и рациональные
приближения для Г(х) и 1пГ(х) в различных интервалах, точность
примерно равна Ю-23.
Вернер и Коллинж A961). Г(х + 2), ВСР{х), a = 1. N = 7, 8, 10, 13, 15,
17, 20. Точность меняется от 0.25 • 10*7 для N = 7 до 0.10* 10~18
дляМ = 20.

32 Гл. 1. Гамма-функция и функции, с ней связанные
Люк A969). Коэффициенты gk в
Г(* + 1) = A(z) ft gkHk (z) + Sn (z)],
fe=0
4(z) = B*)* (z + 11/2)*+К*-<*+11Л>,
R(z) > -11/2, Hfc(z) = [(z + l)fe(z + 1L*], * = 0AI5,
точность 15 D.
Представлены также некоторые данные относительно Sn(z).
Коуди и Гилстром A970). Представлены почти оптимальные
чебышевские рациональные приближения для argT(l + iy).
Максимальные относительные ошибки снижены и лежат в интервале от
4.24-109 До 1.09. Ю-20.
Муди A967). Наилучшие чебышевские коэффициенты для функции,
находящейся в линейной зависимости от ?(х +1). Представлены три
группы коэффициентов, точность поэтому меняется от 6 до 8
десятичных знаков.
Коуди, Стрекок и Тэчер A973). Даны рациональные чебышевские
приближения для Щх) при 0.5<х<3.0ия>3.0. Максимальные
относительные ошибки снижаются до величины порядка 10~20.
Хованский A956). Представления в виде непрерывных дробей для
функций ГA + х), 1пГA + х) и Щ1 + х).
Шентон и Бауман A971). Представления в виде непрерывных дробей для
функции 1пГ(я) и некоторых ее производных низшего порядка.
Получены отдельные неполные частные для общего случая.
Люк A969, т. 2, стр. 306). х?A + х), СТ*{х), a = 1; -1п?(х), где
?(х) = A/2M E - 1) !г-*1>/2) C{s), CT(x), a = 1, точность
20 D; и некоторая третья функция, зависимая от ?(х), СТ*(х),
a = 1, точность 15D. Коэффициенты для первой функции даны с
точностью до 20D, но они верны всего лишь до 16D, да и то при
том только условии, что 16-я цифра в а0 должна быть
увеличена на единицу. В связи с этим см. работу Пиессена и Брандера
A972), в которой коэффициенты для х?A + х), как и выше,
представлены с точностью до 23D и с такой же точностью, т.е. до
23D, даны коэффициенты для ?(я + k), k = 2AM, 8, СТ*(х), а =1.
Коуди, Гилстром и Тэчер A971). Наилучшие чебышевские рациональные
приближения для ?(я) по сегментам действительной оси, причем
0.5 <: х 4 55. Точность от 8 до 22 S.

Глава 2 Биномиальная
функция
2.1. Степенные ряды
A + *)<¦ = ^{-а; -z) = JP^-a, b; b; -z), | z |< 1. A)
(l+z)** + (l-zf°=22F1(-a,i-a;i;z2), I * К 1. B)
A + *Jа - A - *)*• = 4az ^(i _ в, 1 - в; |; г2), | * |< 1. C)
й + «1 - гI'2]1-2" = Л(в, а - 4; 2а; г), | * |< 1. D)
A+г)A-г)-2"-1=2^1(й+1>2а;й;г), |*|<1. E)
2.2. Разложения в ряды по полиномам Якоби и Чебышева
(а + *)-» = ? C.l?-rt(*),
п-0
С" _ в«+"(п + А)п »*» I А + 1+2» |~а/' A)
в ^ - 1, | arg(l + 1/в)| < w, 0 < ж < 1.
п=0
г 4[(а + 1I/г - a^Jr+'Wfo + « + 1)Д» + 2а + 1)
(«2 + аI/2(|)аДп + а + 1) ' B)
q = la + I - 2(а2 + aft*,
(а + *)-i = (а2 + в)-*/* f cn( -1 J-e-atW- C)
Условия, обеспечивающие справедливость соотношений B), C), те
же, что и для соотношения A).
~В Г(В 4- 1 4- s\ У {-1ГBп + \)Г(п + \)(-s)n f .
а > -1, /3 > -1, -ОД < min@, ?(j8 ~ ex)), 0 < X < 1. D)

34 Г п. 2. Биномиальная функция
A - k2 sin2 0)-« = ? €nhn cos 2я0,
К
(-l)w(g+ lJtVl(")n ~ /и4-о>,о>
^(« + 1 14 E)
_ 2 -А2 -2A -fe2I/2 4g
9~ А» ' (<? + 1J'
f «»*. = 1, ? (-1)"«А = A - А2)- = [A - ?)/(! + 9)]ш- F)
h _ {[n(l + <?2)/Wn + (я + 1 - w)hn+1} G)
"n-i — — : ; . v '
П -\- OJ — 1
Здесь и в дальнейшем будем считать
€0 = 1, еп = 2, если т» > 0. (8)
Люк A969, т. 2, табл. 50 и 51) дает с точностью до 20 D значения К
= Cn(k2), к2 = 0.1 @.1) 0.9 при со= -1/2 и со=1/2 соответственно.
2.3. Разложения в ряды по функциям Бесселя
2 ос (г/2)"
(—)° = Г(а + D 2 — /л+в(*Ь A)
2 л = 0 п!
2 оо (-1)ЛBл + о)Г(га + а)
V =2 0—^ j '2я + о<*>. B)
z л = о л,!
а — неотрицательное целое число,
ОО ОО
1 = /0(г) + 2 2 J2a(z) = /0(г) +22 (-1)" /2д (г),
тг = 1 П- = 1
2.4. Приближения Паде
2.4.1. A + — )"с
C)
Пусть
?(*)= ^0(с; __) = (! + — )"с; A)

2.4. Приближения Паде 35
Таблица 2.1.
Чебышевские коэффициенты для A + х)~ *, A + х)~^2 и A + х2)~у*
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
A + *)-! anT*(x)
п-0
>,
ц + %2)-1/2= I ьп
/1=0 ^
0< х<
a
п
0.70710 67811 86547
-0.24264 06871 19285
0.04163 05603 42615
-0.00714 26749 36409
0.00122 54892 75843
-0.00021 02607 18649
0.00003 60750 36051
-0.00000 61894 97660
0.00000 10619 49909
-0.00000 01822 01799
0.00000 00312 60886
-0.00000 00053 63520
0.00000 00009 20234
-0.00000 00001 57887
0.00000 00000 27089
-0.00000 00000 04647
0.00000 00000 00797
-0.00000 00000 00136
0.00000 00000 00023
-0.00000 00000 00004
oiooooo ооооо ооооо
-0.00000 00000 ООООО
0.00000 ООООО ООООО
-0.00000 ООООО ООООО
0.00000 ООООО ООООО
-0.00000 ООООО ООООО
0.00000 ООООО ООООО
< 1
52440
14641
82963
83137
15857
12008
56190
25132
94605
42497
60376
19759
58178
29310
17684
76796
43091
81751
47417
02753
69102
11856
02034
00349
00060
00010
00002
A
гая(*)
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
+ «)-»-
0.83462
-0.14373
0.01851
-0.00264
0.00039
-0.00006
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
2 Ь
71= 0
п
68416
41563
87309
94146
78961
14567
96673
15403
02477
00401
00065
00010
00001
ООООО
ООООО
ООООО
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
•JW
74073
44519
28697
51037
13409
65156
53519
87437
96599
56585
45740
72084
76284
29083
04811
00 798
00132
00022
0000 3
ООООО
ООООО
ООООО
ООООО
ооооо
ооооо
ооооо
18628
99644
86157
73765
89251
74189
58914
40443
15423
74937
80578
16458
90447
61832
92026
10029
65691
09145
68509
61564
10299
01725
00289
00049
00008
00001
представим Е (z) в виде
E{z)-[An(z, c)/Bn{z, с)] + Rn(z9 с). B)
Тогда
Bn(z, c) = 2F1(-ti, д + 1 -а; с + 1 -а; -z), C)
nz ( I "~ с )
An{z,c)={— )a . +1 " 2^-*п + 1;1 + а-с;-х),D)
1-е (с +l-a)n
Bn(-u)=(;1)n+A~c), 4,<-1.*)-<-1)»о./су». E)
(с + 1 -a)n
Как В (z, с), так и An(z, с) удовлетворяют рекуррентному соот-

36 Гл. 2. Биномиальная функция
ношению
(я + 1 — а) {п + с + 1 — а)
Bга + 2-а)Bп+1-а) В"+1 (*' С>
2га2 + 2вA- а) -а(с + 1-е)
= { 2+ 79 W9-T9 \ * Bn(z> e>
( 2га — о) Bга + 2 — а)
га(ге — с )
Bга -о) Bга + 1 -a) S""l(z' C )-
(-1I-а2с(8тттсJ2с+1ехр[-Bга + с+1-аН[1 + 0(га-1)]
(l-e-«f c{l + exp[±Tri (c+i/2_0)]exp[_Bre+l_a)M)]J
F)
G)
где e-u; и знаки выбираются в соответствии с теми же условиями,
что и в 6.10 A4 — 17). См. также табл. 2.4. Ясно, что для
фиксированного г
lim Rn(z, с) = 0,Z#0,2 + -1, |arg(l+ l/z)|< тт. (8)
Кроме того, нами был рассмотрен случай с =±1/2; результаты,
полученные для этого случая, даны в п. 2.4.2.
В 2.4.1B) возьмем z/(l + z) = х. Тогда при с = х и с = 1/я
можно получить рациональные приближения соответственно для хх и
% /Л;. Более подробно это изложено в работе Люка A969).
2.4.2. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ
Рассмотрим простейшие тождества:
ch Bn+lH shBn+lH eA2n+1)Q&9
Жв sh0 shBra+lH* W
shBra+lH chBra+lH e^2""lN ctg0
Ctg9= ""ив ' —*Гв + chBra + lH ' B)
sh0sh2ra0 , , n Л e-2n9the
g ch0 ch2ra0
,sh0sh2ra0 е_2пвсЛ0
ctg 0= ch 2n0/ D)
ch0 sh2ra0

2.4. Приближения Паде 37
Далее,
chBn+l)<9 shBn + l)e shesh.2nd
•, ch Ъг в,
ch<9 sh<9 chd
суть полиномы от sh20 степени и. Поэтому, если
z = sh20,ee= A + *)K±2X, E)
где знак выбран таким образом, что имеет место неравенство |ее| >
> 1, которое выполняется для всех г, кроме случаев, когда —1< z^
< 0, то
Л0= (l + 1/z)-1/^ F)
Теперь ясно видно, что A), C) и B), D) дают рациональные
приближения для A + l/z)~1/2 и A + 1/z) соответственно. Пусть Rn(z)
представляет любой остаточный член в A) - D), тогда для
фиксированного Z
lim R (z) = 0, г Ф 0, z ф -1, |arg A + 1/z) \ < те. G)
П->оо
А теперь свяжем все сказанное с результатами, полученными в
п. 2.4.1, и запишем
('+Тт = 1щ^+ «•<*¦'>-•">• --1»2. (8)
?„(*, | —т) = 2^i(—«, я + 1 — я; f — a — т\ —яг), A0)
4»(*. 2 яг) _ ^ 2m _ j J ____Л ( w + ^ _ ^ | -*j. A1)
Заметим, что
3 3
An(z> у - ») = Bre+lJm-3SnB, m-—), если а =0, A2)
если а = 0, A3)
"V ' 2 Bn+l)(l + z)* 2ra + 1 A4)

38 Гл. 2. Биномиальная функция
вп(*> у) = (-D* К (-*>« Ь-1)" т*п&% >' если вв1« <15)
Л^, 4-) = 22(-1Г+1[/*_1(^) = (-1)^1/^^_1(^1/2),еслиа= 1,
2 я> 0. A6)
Легко показать, что при т= 1 и а = 0 соотношения A) и (8)
идентичны, что при т= 2 и а = 0 идентичны соотношения B) и (8) и
что при 77i= 1 и а = 1 идентичны соотношения C) и (8). В этих
случаях остаточные члены в A) — C) совпадают с выражением, которое
дается формулой 2.4.1G). Приближение D) занимает позиции (п + 1,п)
в матрице Паде.
Поскольку нули многочленов Чебышева известны, рациональные
приближения можно легко выразить в виде суммы элементарных дробей. Пусть
z = р\ вк = ктт1Bп + 1), 9к = Bk - 1) 7г/4п. A7)
Тогда
A + я- = B« + D- [-;+21 -^+А^]+^Р • A8)
a -О,
A + p2)_1/2 = n'x I FTw^ + w «• - = ь B0)
Пользуясь интерациями Ньютона — Рафсона для нахождения
квадратного корня, получаем в результате приближения типа Паде,
Подробнее об этом изложено в работе Люка A969).
2.4.3. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПАДЕ
В табл. 2.2 и 2.3 этого пункта даются коэффициенты
многочленов приближений Паде для квадратных и кубических корней.
Условные обозначения те же, что и в п. 2.4.1, причем a = 0. Последующие
многочлены можно получить с помощью 2.4.1 F), Для определения
ошибки применяем 2.4.1G) и табл. 2.4, представленную ниже.
Заметим, что при с = ± 1/2 соотношение 2.4.1G) будет точным, если в
нем опустить член 0(п~г).

2.4. Приближения Паде 39
Таблица 2.2.
Коэффициенты Паде для квадратного корня
1
1 у Bn+l)B„(z, "о") 1
Z 1
Вя(г.-±)
g + lA д»^-т> + /г(г 1)
zH,z ? -l,|arg(l + 1/z) | < n
<&+!)«„<,, 1-)= kiQaS, Bn{z,-L)=iQbkZ><
a
Q, aj, ..., an
0 l
1 3, 4
2 5, 20, 16
3 7, 56, 112, 64
4 9, 120, 432, 576, 256
5 11, 220, 1232, 2816, 2816, 1024
6 13, 364, 2912, 9984, 16640, 13312, 4096
b0, bv ..., bn
0 1
1 It 4
2 1, 12, 16
3 Ь 24, 80, 64
4 1, 40, 240, 448, 256
5 19 60, 560, 1792, 2304, 1024
6 1, 84, 1120, 5376, 11520, 11264, 4096

40 Гл. 2. Биномиальная функция
Таблица 2.3.
Коэффициенты Паде для кубического корня
п. 1 % D/3)„Вп(г> 1/3)
z B/3)л Bn(z, -1/3)
1 v B/3) Я (z, -1/3)
z± 0, z±- 1, | arg(l + l/z)| < тг,
вя(*, i/3)-e-o1 ^«.А вя(*# -1/з) = ь^Д0*л**
* go» ci> •*•> °п
0 1
1 2, 3
2 14, 63, 54
3 7, 63, 135, 81
4 91, 1365, 5265, 7371, 3402
5 52, 1170, 7020, 16848, 17496, 6561
6 988, 31122, 2 66760, 9 60336, 16 62120, 13 71249, 4 33026
* 0' & 1» •••' ^л
0 1
1 1, 3
2 5, 45, 54
3 2, 36, 108, 81
4 22, 660, 3564, 6237, 3402
5 11, 495, 4158, 12474, 15309, 6561
6 187, 11781, 1 41372, 6 36174, 13 01265, 12 26907, 4 33026
2.4.4. ФУНКЦИЯ e~w
Оценка погрешностей в целом ряде представленных в этой
книге приближений Паде облегчается благодаря наличию численной
таблицы абсолютных значений для функции e~w, которая определяется

2.4. Приближения Паде 41
следующим образом:
e~w=2z + 1 =F 2(z2 + z)K, A)
где знак выбирается так, чтобы неравенство \e~w\ < 1 вьшолнялось
для всех z, таких, что | arg A + 1/z) \ < п. Если -1 < z < 0, то | e~w\*
= 1. Имеем разложения
|е-ю|= l + 2rcos2 — -г1/2(г+2) cos -1 + О (г*7*), * = re'*e, B)
•¦"-Т--ПГ +т^-+о(.-).1.|>1. C)
В основании приведенных ниже приближений для функции е"™,
которые мы обозначаем через f(z), лежат приближения Паде второго
порядка для квадратного корня. Для каждой формулы дана область ее
применения. Следует заметить, что оптимальные результаты при
использовании формул D), E), F) и G) получаются, если \z\ > 1,
|2|<1,М<1и|и|<1 соответственно. В практических целях
вполне достаточно руководствоваться только этим замечанием,
поскольку дополнительное испытание на надежность выполняется
простым сравнением полученных результатов с абсолютными
числовыми значениями, представленными ниже в табл. 2.4.
'0rt--iJ|niETl'|-"<,tT,l<- D>
16 +12z + z2 E)
| arg A + г) | < я, -п < arg г < п.
, „ „ у 16 + 20г> + bv2
/г = -1 -2v + 2«/г д- ,
' 16 + 12» + v2 ' F)
z = -1 - v, | arg г> | < _ .
„ 1/ 16 - 20u + 5u2
/¦(г)=-1 + 2и-2шН
16 - 12u + u2 ' G)
= - 1 + u, | arg u | < __

42 Гл. 2. Биномиальная функция
Таблица 2.4.
Значения | e~w\ = \2z+lT 2{z2 + z)*\
(Знак выбирается так, чтобы имело место неравенство | e~w\ < 1.
Это неравенство выполняется при всех z = ге'е, г ф 0, кроме случая,
когда 0 = п и 0<г< 1.)
г/в
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
г/в
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
0е
1.000@)
0.537@)
0.420@)
0.351@)
0.303@)
0.268@)
0.240@)
0.218@)
0.200@)
0. 185@)
0.172@)
0.101@)
0.718(-1 )
0.557С-1)
0.455(-1 )
0.385(-1)
0.334(-1 )
0.294(-1)
0.2бЗ(-1)
0.238(-1)
165°
1.000@)
0.917@)
0.878@)
0.844@)
0.810@)
0.774@)
0.734@)
0.687@)
0.632@)
0.565@)
0.493@)
0.168@)
0.100@)
0.713(-1
0.555(-1
0.454(-1
0.384(-1
0.333(-1
0.294(-1
0.263(-1
45 е 90° 135°
1.000@) 1.000@) 1.000@)
0.560@) 0.635@) 0.777@)
0.443@) 0.521@) 0.689@)
0.372@) 0.446@) 0.621@)
0.322@) 0.390@) 0.562@)
0.285@) 0.346@) 0.509@)
0.255@) 0.310@) 0.461@)
0.232@) 0.281@) 0.417@)
0.212@) 0.256@) 0.378@)
0.195@) 0.235@) 0.342@)
0.181@) 0.217@) 0.311@)
0.105@) 0.120@) 0.147@)
0.742(-1) 0.817(-1) 0.934(-1
0.573(-1) 0.618(-1) 0.682(-1
0.466(-1) 0.496(-1) 0.536(-1
0.393(-1) 0.415(-1) 0.442(-1
0.340(-1) 0.356(-1) 0.376(-1
0.299(-1) 0.312(-1) 0.327(-1
0.267(-l) 0.277(-1) 0.289(-1
0.24К-1) 0.250(-1) 0.259С-1
170° 175°
1.000@) 1.000@)
0.944@) 0.971@)
0.917@) 0.957@)
0.892@) 0.945@)
0.868@) 0.931@)
0.841@) 0.917@)
0.810@) 0.899@)
0.772@) 0.876@)
0.722@) 0.843@)
0.651@) 0.784@)
0.559@) 0.661@)
0.170@) 0.171@)
0.101@) 0.101@)
0.716(-1) 0.717(-1)
0.556С-1) 0.557(-1)
0.455(-1) 0.455(-1)
0.385(-1) 0.385(-1)
0.333(-1) 0.334(-1)
0.294(-1) 0.294(-1)
0.263(-1) 0.263(-1)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
150°
1.000@ )
0.842@)
0.775@)
0.718@)
0.666@)
0.616@)
0.566@ )
0.516@)
0.467@)
0.420@)
0.3 76@)
0.158@)
0.972С-1 )
0.70СХ-1)
0.547(-1)
0.4491-1)
0.38К-1)
0.330(-1)
0.292(-1)
0.26К-1)
180°
.000@)
.000@)
.000@)
.000@ )
.000@)
.000@)
.000@)
.000@)
.000@)
.000@)
.000@)
.172@)
.101@)
.718(- 1 )
.557(-1 )
.<t55(-l)
.385(-1 )
.334(-1)
.294(-1)
.263(-1)

2.5. Неравенства 43
2.5. Неравенства
Обозначим Bn{z, с), см. п. 2.4.1, через Bn(z, с, а) к подобным
же образом введем обозначения для А (г, с) и R {z, с). Тогда
AAz~l, с, а)
Bn(z \ с, а) п
Если
z > О, с + 1 - а > О, п + 1 - а > О,
ТО
/ \ 1 —а /1 __ \
*mRni?-l.c, а)= sgn { _Ll 5- }. B)
(re — а)!
Таким образом, если z>0, 0<с<1иг- целое число либо нуль,
то
AAz-\ c,\) А(г-\с,Щ
{1 + г)Г-тт^—w <a^)r-c<<1 + z)r / _ '.C)
Bn(z ,с,1) B^z \с,Щ
т,п> О,
ТО, 71 > 0.
Последующие неравенства можно получить, если воспользоваться
такими фактами.
Если принятые в B) условия сохраняют силу и и< с < и + 1 и
я + 1 — с > 0, где и — положительное целое число, имеем
sgn Rn(z-\ c,a)=(-l)"+1-*.
При тех же условиях, что и выше, но при п + 1 — с < 0 имеем
sgn/y*-1, с,а) = (-1)*+1-а.
Например, имеем неравенство
1— С 2с A + С ) 2Г
A+ «)-»< A + 2)-с< + [ l + l—L]-1, E)
1 + с 1 + с 2
г > 0, 0< с < 1,
которое обращается в равенство, если либо с = 0, либо с = 1. Кро-

44 Гл. 2. Биномиальная функция
ме того, имеем неравенства
4(г + 2) .. z2 + 12г + 16
3 1/2+3
< A + г)-/з< , 2> 0, (8)
2 + 3 2г + 3 '
3Eг+ 9) х. 5г2 + 45г + 54
< A + г)~4 < ,, - , 00 , e,,z> 0. (9)
222 + 24z + 27 v ' 14г2 + 63г + 54
Соотношения E) - (9) при г = 0 обращаются в равенства,

Глава 3 Элементарные функции
3.1. Логарифмические функции
3.1.1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
П'1
ЬA +г) = z2F1 2
- {-\)kzk
-z 1=2 2 —^ ;—
/ д. = 0 к + 1
|z|< I, z * -1 .
1 + z \ L
Z +
|, М*)> -1/2.
/1/2,1
In (z + o)= In с + 2%2F11 з/2
л;
= In a + 2 л; S
л;
2*
* = о 2к + 1
2 , а > 0, #(z) > -а ф z
+ 2а
]п (z + a)= In a +-
(a(z + с))%
/1/2,1/2
гМ 3/2
A)
B)
C)
4а (z + а) ,
In а +-
(V2)fe(-l)fe
Иг+а)I/* fe=0 *1B*+ 1) Ua(z + a)
а > О,
4a(z + о)
D)
<1, z + 2a 4 0.
In (г + а) = 1п а + *(г + а 2/Г1 з
i,i
/2
4a(z + а)
E)
а > 0,
4а (г + а)
« 1, z + 2а4 0.

46 Гл. 3. Элементарные функции
, . . . 2((z + o)*-o*)
In (z + в) = lno + -ii '- - '-
{*(z + a))'*
f 1/2,1/2 I !(г + о)^а^^\
2M 3/2 I 4(* + в)* ]'
a > 0, | {(z+а)* - а* 12а*|«4|(г + а)*|, F)
| arg (z + a) | < 77 .
la a+z =*±2F, f172'1
а —z о V 3/2
_L_ J , a >0, |*|<a, z^±a,
G)
ь а + z = _2_z_ _ 4(o -vJ 2 F, ( 1/2, 1
а — z v 3 vz \ 5/2
v = (a2 -г2I/г , | arg (а2 + z2)| < n , z2 Ф- a
{a-_1)* ,
(8)
3.1.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА
1п(*+о) = 1пв-2ЬA-д)-2 I (~1)П?" Г„*(*)'
п =1 га
9 = 2о +1-2(а2 + а)* ,
в/-1, |arg(l + 1/а)| < я-, 0<ж<1.
A)
Разложения других логарифмических функций даны в табл.
3.11.

3.7. Логарифмические функции 47
Таблица 3.1
Чебышевские коэффициенты для функций In A + х) и х~~л 1пA + х)
ln(l+*) =
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,37645
0,34314
-0.02943
0.00336
-0.00043
0.00005
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
оо
2 апТ*(х)
п =0
ап
28129
57505
72515
70892
32758
94707
85029
12504
01877
00286
00044
000О6
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
0< х-С 1-
19195 43163
07619 80479
22859 41438
55564 38925
88610 04446
11989 57983
67541 20286
67362 20057
27995 65082
30250 64840
20956 98068
89560 27323
08450 68551
17175 87317
02736 42009
00438 19577
00070 48360
00011 38172
00001 84431
00000 29978
00000 04886
00000 00798
00000 00131
00000 00021
00000 00004
00000 00001
In A + *Ь
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0.82842
-0.15104
0.01781
-0.00233
0.00032
-0.00004
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00*000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
со
х 2
п = ¦
к
71247
29978
47481
55046
46180
68351
69349
10467
01603
00248
00038
00006
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
ьп т*(Х)
0
46190
15598
69295
14431
81823
03656
73447
13403
22808
44196
86586
12804
97263
15524
02490
00401
00064
00010
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
09760
46868
96133
11150
81869
70370
90804
92385
74191
16327
17822
11591
14651
91914
18446
13015
85891
52206
71208
27933
04568
00749
00123
00020
00003
00001
Если х находится вне сегмента 0 4 %4>1, то следует положить
I + x=2m (I +у), где 0 < у 4 1, т — положительное или отрицательное
целое. Тогда In A + х) = In A + у) + m In 2.

48 Гл. 3. Элемен тарны е функции
3.1.3. ПРИБЛИЖЕНИЯ ПАДЕ
Таблица 3.2
Коэффициенты Паде для функции z ЬA +— )
Эти приближения получены из формул 6.10 A - 5) при Ь = с = 1. Мы
имеем
zb A + 1/г) = An{z)/Bn(z) + Rn{z),
z+Ъ, *? -1, |arg(l + l/z)| < 77.
Ниже даются коэффициенты этих полиномов для п = 0 A) 6, о = 0 и
a = 1. Применяя соотношение 6.10 A3), процесс получения полиномов
можно продолжить. Приближенное значение ошибки определяется с
помощью соотношения 6.10 A7) и табл. 2.4.
к = О
П ГП> °0> а1> осв 9 аТ1
0 Ь 1
1 4, 1, 6
2 9, 1, 21, 30
3 48, 3, 140, 510, 420
4 150, 6, 505, 3360, 6510, 3780
5 180, 5, 672, 7035, 23520, 30870, 13860
6 490, 10, 1981, 29904, 1 50780, 3 31100, 3 28020, 1 20120
Вп(г) = Ь-1 ? Ъкгк, а=0
/с = о
W ^ О > ^1 » ° ° ° > ^п
0 1
1 2, 3
2 3, 12, 10
3 4, 30, 60, 35
4 5, 60, 210, 280, 126
5 6, 105, 560, 1260, 1260, 462
6 7, 168, 1260, 4200, 6930, 5544, 1716

3.7. Логарифмические функции 49
Продолжение табл. 3.2
An(z) = s-* 2 cAi*, a-1
А; = 1
п sn, с1 , с2, оо„ ,сп
о
1 It 2
2 1» 3, 6
3 3, lb 60r 60
4 6, 25, 260, 630, 420
5 30, 137, 2310, 9870, 15120, 7560
6 10, 49, 1218, 7980, 20720, 23100, 9240
Bn(z)= i dkz\ a =1
k =0
П flQ' 1' ' ° ' ' n
0 1
1 It 2
2 It 6, 6
3 1, 12, 30, 20
4 1, 20, 90, 140, 70
5 1, 30, 210, 560, 630, 252
6 1, 42, 420, 1680, 3150, 2772, 924
Небезынтересно показать на примере эффективность этих
приближений Паде и удивительную близость оценки погрешности к ее
истинной величине. Возьмем z = 1 и получим
In 2 = Ап A)/Вп A) + Rn A) = 0.6931471806,
где остаток заменяется на его приближенную величину
2тг(-1I-0 е~{2п + 2~a )w .

50 Гл. 3 Элементарные функции
К/вп
-Я-
о
1
2
3
4
5
Истинная
ошибка
О
7
69333 33333
69315 24548
69314 73324
69314 71850
185
544(-2)
160(-3)
472(-5)
139(-6)
0.409(-8)
307
685(-2)
186(-3)
527(-5)
0.15К-6)
0.440(-8)
a =1
О
1
2
3
4
5
к/к.
0.66666 66667
0.69230 76923
0.69312 16933
0.69314 64174
0.69314 71579
0.317(-1)
0.934(-3)
0.275(-4)
0.809(-6)
0.238(-7)
Истинная
ошибка
0.265(-1)
0.839(-3)
0.255(-4)
0.763(-6)
0.222(-7)
Заметим, что асимптотические оценки ошибки исключительно точны
даже в том случае, когда п мало. Приближения при a = 1 и a = 0 дают
к тому же соответственно нижнюю и верхнюю границы для In 2. См.
соотношение 3.1.4 A).
3.1.4. НЕРАВЕНСТВА
Обозначим многочлен A (z), рассматриваемый в п. 3.1.3, через
Лп (г, а) и применим аналогичное обозначение для многочлена Вп (z).
Тогда
<*ln(l+ -) < п , z> О,
Bn(z,l) z Bn(z,Q)
которое обращается в равенство при z -> «>. Например,
z > О,
2z < sln(l+ I)< 6г + 1
2г+1
6г + 4
A)
B)

32. Показательная функция 51
6*2 + 3' <21„а + I)< 30г2 + 2Ь + 1 , х>о. C)
6z2 + 6z+l 2 30z2 + 36z + 9
Таким образом, если г - 1,
2/3 < In 2 <0. 69315 < 0.7, D)
9/13 = 0.69231 < Ь 2 < 52/75 = 0.69333 . E)
Пусть
F(z) =
z(ln(z +о) - In a) __?__, у>0. F)
2(z + 2o)y 4o(z + a)
Тогда
3 <F(s)< 15 + 2У , G)
3 + 2у 15 + 12у
105+ 50у < F B) < 315 + 210у + 8у2 # (8)
105 + 120у + 24у2 315 + 420у + 120у2
Например, пусть z = 2, о = 21/г - 1. Тогда у = 1 и F (z) = 2 -1/* In A +
+ 2У*) = 0.62323. Следовательно,
3/5 < F{z) < 17/27 = 0.62963, (9)
155/249 = 0.62249 < F(г) < 533/855 = 0.62339. A0)
Более подробно эти неравенства рассматриваются в п. 6.11.
3.2. Показательная функция
3.2.1. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
e2=0FQ(;z)= I ?. | *|<... A)
к =0 Я.
e-^a + ^F^z^ + ^-z), Д(*)>-1. B)
Последнее разложение в ряд справедливо фактически для всех z, но
когда z - отрицательное целое число, следует использовать
предельный переход для преобразования конечной части ряда. При R(z) > —1
ряд B) сходится быстрее, чем A).

52 Гл. 3. Элементарные функции
3.2.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ
И ЧЕБЫШЕВА И БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ
п =0 (га + Л)п
-U*<1. A)
п = о (га + А)
'/3+1 +га
1Г1 \Л + 1+2га
F. (TiToJ e) К„(а'?>(*),
п
0<ж< 1
B)
,«* _ JAiL V (я + « + «Дп + 2«+1) Ыр<«.«>ы C\
е°* = ? €Я/„(*)ВД,
п=0
е~ = ,«/2 ? еп7пAй)г*(х))
п=0
аХ = й1/2?еп4A1па)Г*(л))
п=0
а-« = а-1/2 ? (-i)«€n4(i in а)гп*(*),
7i=0
,-«** = е-а/2 ? en(-l)«In{la)T2n{x),
-1 <* < 1.
-1 <* < 1.
О <ж < 1.
О <* < 1.
О <ж < 1.
-1 <* < 1.
D)
E)
F)
G)
(8)
.-B,,..-L_ I (-^^ + 2a)r{n + 2a)In+a(z)t
A/2)в п = о л!
(9)
2 о - неотрицательное целое число.
e-* = I0(z) + 2 2 (-1)»/„(*).
Л = 1
A0)

3.2. Показательная функция 53
1
-2х
= 2 Un(k)Tf{\/x), х>\.
(И)
Более подробно разложение A1) рассматривается в работе Лкка A971-1972).
Таблица 3.3
Чебышевские коэффициенты для экспоненциальной функции
е* = I Сп (а) Т* (х/а), е -* = е ~а X (-1)» Сп (а) Т* (ж/о),
71 = О
ГС = О
О < я < а
Для вычисления экспоненциальной функции, лежащей за
пределами указанной области, используем формулу умножения ех +у = ехеу.
Для определения ех9 х — действительное число, полагаем % log2e =
= m -у, где 0 < у < 1 итгг- положительное или отрицательное целое
число. Тогда имеем ех = 2т 2 ~у, и можно использовать табл. 3.4. Для
вычисления ch x и sh x имеем
ch*= 2 D(a)T* {x/a), sh x = 2 ?п (а) Г* (*/в), 0< л:< а,
п =0
л =0
0„(»)= }П + (-1)" е-" ЗС„ (а), Я„(в) = i[l - {-Dne-°]Cn(a).
Чебышевские коэффициенты для {2/ттI^ ch я и {2/яI/2 sh л,
справедливые при 0>^ х4 8, даны в табл. 9.19 из п. 9.7.
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
сп (°)>
1.75338
0.85039
0.105 20
0.00872
0.00054
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
76543
16537
86936
21047
34368
71154
11281
00402
00012
00000
00000
00000
00000
00000
00000
, а =
77090
808 10
30936
33315
31150
34913
32888
45582
56584
34880
00871
00019
00000
00000
00000
1
39572
96654
92530
56411
15596
06869
78208
29871
41828
91362
52789
79 808
41229
00793
00014
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Сп
16.84398
23.50660
10.18135
3.14389
0.74967
0.14520
0.02364
0.00331
0.00040
0.00004
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
(в).
36812
99038
74586
49866
24987
49914
75415
97424
93443
49873
44585
04022
00333
000 25
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
а = 4
58988
83644
34331
14982
89384
5 7446
02153
44527
90463
20821
0 30 70
90115
11800
48509
81177
12028
00 749
00043
00002
00000
00000
00000
00000
06741
88885
24596
39694
05514
17637
17329
13665
21676
40254
59393
46324
49829
48372
20993
54472
03917
91802
43280
12771
00637
000 30
00001

54 Гл. 3. Эпементарные функции
Продолжение табл. 3.3
п Сп (а), о = 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
617.06403
1065.69748
701.27931
364.41816
154.65206
55.11403
16.86698
4.51307
1.07120
0.22824
0.04409
0.00778
0.00126
0.00019
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
04056
54103
81060
73043
71495
30052
46363
90962
77996
78975
22605
65946
59900
06 545
67353
35070
04321
00 501
00055
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
25796
97316
52934
44382
36360
71660
57208
00034
5 708 7
71683
84510
49131
14287
63407
52136
98450
13760
88363
12674
74292
56892
05372
00484
00041
00003
00000
00000
00000
00000
00000
11338
30776
07289
23487
72058
79371
73630
58481
68945
82 701
46791
48746
28686
76628
80606
12386
87713
10681
46923
88370
0 7408
14292
57339
83565
46336
27538
02106
00155
00011
00001
Сп (" ) > a = 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1573.60494
2770.58737
1915.83771
1067.62050
492.34370
192.34280
64.91525
19.23545
5.07160
1.20310
0.25919
0.05111
0.00929
0.00156
0.00024
0.00003
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
22133
047 20
97724
84520
85030
44465
41773
99737
09258
11263
64204
70356
09126
55014
57933
61207
49881
06496
00800
00093
00010
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
66755
49063
89482
58411
78267
85936
31741
01292
16608
53352
03199
72467
71135
26409
18547
77667
34094
01885
30960
54199
39946
10226
11162
01082
00100
00008
00000
00000
00000
00000
00000
41881
06815
80734
68385
22887
61030
42822
80172
26732
29567
08464
47507
87319
484 70
73935
99542
43654
33560
78976
01752
86403
89282
53107
14458
60868
98530
77204
06391
00510
00039
00003

3.2. Показательная функция 55
Таблица 3.4
Чебышевские коэффициенты для функций 2х и 10*
2* = 2 2 {-1)паТ*{х)
п = О
2"* = 2 I а„Г*(*)
Д =0
10^= 2 Ь„ГВМ*)
л = О
10"- = Ю-1 2 {-\)пЬпТ*(х)
п = О
.()<;*;< 1.
я
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0.72849
-0.24876
0.02144
-0.00123
0.00005
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
п
99375
24339
65559
57140
34530
18506
00534
00013
00000
00000
00000
00000
00000
00000
06481
05220
94839
81997
58179
90713
11876
21516
28613
00550
00009
00000
00000
00000
47962
94259
81983
92534
04256
86222
87701
38145
23785
73811
54096
15027
00217
00003
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
4.30022
4.27816
1.16852
0.21828
0.03090
0.00351
0.00033
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
к
91548
40812
60969
85943
77131
98061
50657
73928
19620
01250
00071
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
49946
99252
60052
41690
39888
03259
79592
43619
76422
36785
76132
74599
17931
00792
00032
00001
00000
00000
00000
95129
58760
96801
87392
00947
00425
55033
26469
96037
21154
27776
22597
70005
5-8354
53785
24697
04481
00152
00005
Чтобы вычислить значение х, находящееся за пределами
указанной области, положим х = /V + у, где /V - целое число, 0 < у < 1. Тогда
рх = рКру, р = 2 илир= Ю.
3.2.3. ПРИБЛИЖЕНИЯ ПАДЕ
Элемент с номером (п - а, п), а = 0 либо а = 1, матрицы Паде
для функции е~2 задается следующими соотношениями:
An(z, о)
е~2 =— +S (z, a), A)
Вп(г, а)
Bn(z, o) = (n + l -e)n 1F?(-n;-2n + a;z)
= zn2F0(-n,n+l-a;-l/z), B)

56 Гл. 3. Элементарные функции
Ап (z, о) = (га + 1 — a)n 1 F* а(а— га;—2га + а; —-г)
= па (-*)"-° 2 F0 (а _„, в+1;1/г), C)
б„(г.0)=ЛД-2, 0). D)
Как В„ (z, а), так и Ап (z, а) удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле
Вп + 1 (** *) =
1-
Bга+1 -<z)Bra+2 -g)
га 4- 1 — а
Bп — а)Bп + 2— а)
Вп(г,а)+1^1^^Вп_Л{г,а).{Ь)
\п + 1 — а)Bп-а)
Sn(z, a)
(-1)"+1- а „п\{п-а)\ г2" + 1~а е-г + г(г-4а)/4B>г+1-о)
24" ~2а B » + 1 - а )[Г (п + -Ц-2- ) Г (п + ^-I2
s >, «) =
х[1+0(п-3)], F)
/ -цгс + 1-а „„Ъп + Л-а —z _ .
(-1/ nz L_ A+0 (га-1)). G)
24гс + 1-2а я|(п_а)!
Следовательно, для фиксированного z
lim Srt (z, a) = 0 .
(8)
га -» оо
Априорная оценка ошибки осуществляется с помощью соотношения
rz(WzrtVi
S(z, a)
%
Rn(z)(l + 0(n-3));
значения Rn(z) даны в табл. 4.6 п. 4.8.3.
При а = 0 удобно положить
GJz) = Bn(z,0)=Mn(z2) + ZNn(z2).
Таким образом, если Sn (z) = Sn (г, 0), то
e-z={G(-z)/Gn{z)\ + SAz).
(9)
A0)
(П)

3.2. Показательная функция 57
И в гипергеометрической форме
1
in
*2*l
— >—6—2гс, 1/2 — 6—2гс
s2/4
A2)
6 = 0 или 6=1,
1 — п91 /2— п
1,1-6-2*, 1-6-2*
^2 2
6=0 или 6 = 1. A3)
Нахождение этих рациональных приближений к фунщии e~~z
значительно упрощается, если вычислять полиномы Мп (z2) и Nn{z2). Здесь
следует заметить, что полиномы Gn (z), Mn (z2) и Nn (z2)
удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле
Gn +1 {z) = 2 B* + 1) Gn (z) + z2Gn_, (z), A4)
устойчивой при применении в прямом направлении.
Таблица 3.5
Коэффициенты Паде для экспоненциальной функции
(условные обозначения см. в п. 3.2.3)
с»«
2 в/
к =0
~п — к
aQ9 av «eo , ап
0 1
1 ]
2 ]
3
4
ь
6
, 2
1, 6, 12
L, 12, 60,
L, 20, 180,
L, 30, 420,
L, 42, 840
120
840, 1680
3360, 15120, 30240
10080, 75600, 3 32640,
6 65280
В работе Люка A969) даются коэффициенты вплоть до п = 7 A) 10.

58 Гл. 3. Элементарные функции
Продолжение табл. 3.5
п -1
An(z, 1)= 2 akz'
k =0
Л -1- А;
40U, 1) = 0
Go> а1>
'га - 1
1 1
2 -2, 6
3 3, -24, 60
4 -4, 60, -360, 840
5 5, -120, 1260, -6720, 15120
6 -6, 210, -3360, 30240, -1 51200, 3 32640
Bn(Z}\)= _2 bkz"~k
k =0
Ь0' Ь1' •••> Ьи
о
1
2
3
4
5
6
, 1
, 4, 6
, 9, 36, 60
, 16, 120, 480, 840
, 25, 300, 2100, 8400, 15120
, 36, 630, 6720, 45360, 1 81440, 3 32640
Приводимые ниже данные демонстрируют эффективность
рассматриваемых приближений Паде для экспоненциальной функции и
поразительную близость оценок ошибки к ее истинному значению. Пусть
z = 2. Тогда
е ~2 = Ап B, *)/Вп B, a) + Sn B, a) = 0.1353352832,
где остаток заменяется его приближенным значением
п (-1)
п + 1 - a
Bn)a -2 +A- la )/ Bп + 1 -a )
2 ** (я!J

3.2. Показательная функция 59
п
0
1
2
3
4
5
п
0
1
2
3
4
5
а
V*»
1.0
0
0.14285 71429
0.13513 51351
0.13533 83459
0.13533 52530
a =
0.33333 33333
0.11111 11111
0.13636 36364
0.13531 35314
0.13533 55580
= 0
Sn Истинная ошибка
-1.156
0.148
-0.81К-2)
0.213(-3)
-0.322(-5)
0.316(-7)
: 1
Sn 1
-0.129
0.207(-1)
-0.937(-3)
0.203(-4)
-0.26К-6)
-0.865
0.135
-0.752(-2)
0.200(-3)
-0.306(-5)
0.302(-7)
Истинная ошибка
-0.198
0.242(-1)
-0.103(-2)
0.218(-4)
-0.275(-6)
При п = 5 и о =0 приближение Паде дает точность почти до десяти
десятичных знаков по крайней мере для всех z в единичной окружности.
Следует заметить, что приближения Паде, примененные должным
образом, дают верхние и нижние границы. См. 3.2.4 A,2).
3.2.4. НЕРАВЕНСТВА
Агп(*>1)
б2п(*>1)
В частности,
2-2
< е
2 + г
6-2г
6 + 4.Z + 2
0)
— <е~
0)
<е-г<
-'<т
- <е~г
2
-2< A2n+l(Z
S2n+1(*
A2n(Z>
В2п <«:
1
9
+ z
<iLi
12 +
0)
2 >
6г +
6г +
, 1)
¦Л)
п >
0„
22
7
0,
Z
г > 0.
z>0.
>0,
A)
B)
C)
D)

60 Гп. 3. Элементарные функции
Если z = 1, то
1/3 < е-1 =0.36788 < 1/2, E)
4/11 = 0.36364 < е~1 < 7/19 = 0.36842. F)
4+2z-z2 ^ _. z3 + 8z2 + 13z + 6
,2>0.
A + *)D + 2z + 22) (* + lJ{z + 2)(z2 +2z+ 3)
G)
3.3. Тригонометрические и гиперболические функции
3.3.1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
cos z = I (e»* + в-*) = ch f* = 2 (~V* , A)
2 Л = о BА)!
&z2&+1
sin2=-L (e*z-e--) = -ish«2= I (~1}. Z"., , B)
2i u=0 Bft+1)!
e = cos z + i sin г = Z —— > \°l
k = o kl
ch. * <в' + в-)- 1-gL , D)
2 /b=0B«)!
shz 1 (ez-e~z)= S 4^1.. E)
2 *=oB* + l)!
Ряды A) — E) сходятся для всех z.
3.3.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ
И ЧЕБЫШЕВА И БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ
Разложения в ряды по полиномам Якоби и Чебышева для cos ax
и sin ax следуют из соотношений 3.2.2 A,2), где а заменено на ia.
2ГЩ " (-1 )«Bit + « + 1)ГBя + 2а + 1)
х /2n+a+^)P2na)W, -1 < * < 1. A)
^х \2/ V^
cos ал: = _ . , . )
f2a)a+i A
sinax = 2ГФ у И№ + « + |)Ц2п + 2« + 2)
B*)а+* ?0 Д2я + а + 2)
X /2п+а+|(я) P&ft*), "I < * < I- B)

3.3. Тригонометрические и гиперболические функции 61
cos ах = ? *п(-)пЛп(*)Г2п(*), -1 < * < 1. C)
п=0
sin ах = 2 ^ (-)пЛ„+1(*)Ггп+1(*), -1 < х < 1. D)
п=0
Так как
tg^ = ^I^. S = 2B„ + l), E)
мы имеем
1
% -з- = I <Л(*)> -1 < * < 1,
л _ 8с* ? [д + (g2 - lyi*]-*" m
При малых и средних к разложение для а^ сходится довольно
медленно. Это положение можно исправить, если воспользоваться формулой
суммирования Эйлера — Маклорена и известными значениями tg j x .
Более подробно об этом см. в работе Люка A969). Чебышевское
разложение для ctg 7гх/2 можно подобным же образом получить из
формулы
^ctg^=l + 2 2 (l- ,4»2 \ . (8)
П = 1
4 и2—2
Чебышевские разложения для ch х и sh х следуют из комментария
к табл, 3.3,
Чебышевское разложение для
th z = 1 - -1?— , х = е~2 > 0, (9)
1 + я
следует из табл. 2.1.

62 Гл. 3. Элементарные функции
Таблица 3.6
Чебышевские коэффициенты для функций cos x и sinx
00 °0
cos x = ? Cn{a) T2n(xla), sin x = ? Dn(a) T2n+1(*/a),
00
sin x = (*/a) ? ?n(tf) T2„(x/a), —a < x < a.
n=0
Для вычисления тригонометрических функций, лежащих за
пределами указанной области, пользуемся дополнительными формулами
cos (a ± /Э = cos a cos /3+: sin a sin /3,
sin(a±/3) = sin a cos/3 ± cos a sin ^3.
В частности, в случаях a = 7г/2 и а = я- поступаем следующим обрат
зом. Записываем указанные выше разложения в виде
оо
cos ax = ? Cn(a) T2n(*),
n=0
00 00
sin a* = ? ?>„(*) Г2я+1(*) = * ? Sn(a) T2n(*), — 1 < x < 1.
Пусть /V - целое число и
* = 2/V + г + у, -1<у<1, a=-, s = 1, 2;
s
тогда имеем
1
1
2
2
0
1/2
0
1
7Г
7Г
7г/2
7Г/2
COS 7Гу
—sin Tty
("l)N cos тту 12
(~l)N+1 sin тгуЦ
sin 7ry
cos эту
D)"sin7o;/2
(-1)" cos тту/2
Чебышевские коэффициенты для функций B/п)/2 cos х и B1 ri)^x 1sin*5
имеющие силу для —8 < я< 8, даны в табл. 9.13 п. 9.7
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
сп
0.85163
-0.14643
0.00192
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
и,
19137
66443
14493
99649
00275
00000
00000
00000
00000
a = 7г/4
04808 01270
90836 86332
11814 64680
68489 82930
76595 60719
47399 49808
00055 49549
00000 04710
00000 00003
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Сп(а),
0.76519 76865
-0.22980 69698
0.00495 32779
-0.00004 18766
0.00000 01884
-0.00000 0000 5
0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
а = 1
57966
63800
28219
76004
46883
26123
00999
00001
00000
55145
96094
91009
77854
45209
02474
94364
37708
00144

3.3. Тригонометрические и гиперболические функции 63
Продолжение табл. 3.6
n Dn(a), a = тт/ 4
0 0.72637 56766 93734 66359
1 -0.01942 00290 53201 50631
2 0.00015 16929 22851 07399
3 -0.00000 05605 80468 41200
4 0.00000 00012 05324 16785
5 -0.00000 00000 01694 13931
6 0.00000 00000 00001 67781
7 -0.00000 00000 00000 00123
n En(a)> a = тг/4
0 0.74594 79604 57275 64210
1 -0.03914 45675 27081 95702
2 0.00030 45094 20678 94441
3 -0.00000 11235 74976 79642
4 0.00000 00024 14039 97241
5 -0.00000 00000 03391 63671
6 0.00000 00000 00003 35809
7 -0.00000 00000 00000 00247
п Сп (а)9 а = 77/2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.47200
-0.49940
0.02799
-0.00059
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
12157
32582
20796
66951
67043
00465
00002
00000
00000
00000
00000
68234
70407
17547
96548
94869
32295
19345
00 748
00001
ооооо
00000
76745
08740
61751
84650
91684
89732
76590
16487
93230
00391
00001
n Dn(a)9 a = n/ 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.13364
-0.13807
0.00449
-0.00006
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
81778
17765
07142
77012
05891
00033
00000
00000
00000
00000
11747
87192
46554
75842
29533
38059
13297
00039
00000
00000
87542
10354
91791
15249
02893
40892
02838
27500
08945
00016
n Dn(a)9 a = 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.88010
-0.03912
0.00049
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
11714
67079
95154
30046
00104
00000
00000
00000
00000
89867
65336
60422
51634
98 500
23960
00038
00000
00000
03192
81184
46886
87362
35982
13493
51234
04595
00004
n En(a)9 a = 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.91973
-0.07925
0.00100
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
04100
84771
50612
60303
00210
00000
00000
00000
00000
89760
99786
69112
48267
44998
47997
00077
00000
00000
23931
41479
79111
85339
10616
38651
11666
09199
00008
n Cn(a)9 a = 7T
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-0.30424
-0.97086
0.30284
-0.02909
0.00139
-0.00004
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
21776
78652
91552
19339
22439
01899
07782
00108
00001
00000
00000
00000
00000
4409 3
63018
62699
65011
91176
44510
76701
26530
13510
00929
00006
00000
00000
86420
21941
42151
12115
23186
75494
18153
34186
91779
52966
11136
03298
00015
n Dn(a)9 a - 77
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0.56923
-0.66691
0.10428
-0.00684
0.00025
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
06863
66724
23687
06335
00068
58502
00953
00011
00000
00000
00000
00000
00000
59505
05979
34236
36991
84950
48308
47727
45638
10574
00077
00000
00000
00000
51469
07078
94948
57901
38623
63914
50299
44171
27262
35271
45960
00226
00001

64 Гл. 3. Элементарные функции
Продолжение табл. 3.6
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
/г
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
En(a)9 a ¦¦
1.27627
-0.28526
0.00911
-0.00013
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
89624
15691
80160
65875
11849
00067
00000
00000
00000
00000
Сп(а)9 а
0.17165
0.22598
-0.21071
-0.67515
0.44690
-0.12153
0.01924
-0.00203
0.00015
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0*00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
08071
34408
48697
18002
99727
40535
76436
85123
60127
90761
04161
00154
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
= 7т/2
02265
81036
06651
13541
61857
02791
26672
00078
00000
00000
= 8
37553
48150
50777
27186
02205
48 502
24363
27064
90934
87888
16592
49541
74549
12269
00270
00005
00000
00000
00000
88021 1
00957
80250
96667
66169
60383
78599
72922
17923
00032
90609
49999
87408
15493
90857
31263
26081
67258
61655
00372
79434
91187
70621
03972
83252
16620
08604
00126
00002
п Ет
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1.21074 6
-1.48294 ?
2.64747 "
-1.90437 t
0.62202 ]
-0.11673 (
0.01435
-0.00125 i
0.00008
-0.00000 *
0.00000 (
-0.00000 (
0.00000 (
-0.00000 (
0.00000
-0.00000 <
0.00000
-0.00000
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
п
0
1
2
1 3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Д<0, а
Еп(а)9 а = тт
1.34752
-1.55659
0.22275
-0.01419
0.00051
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
63146
12566
79118
31743
19072
18935
01930
00023
00000
00000
00000
00000
00000
Dn{a),
0.46927
0.58226
0.37154
-0.64117
0.25264
-0.05119
0.00654
-0.00058
0.00003
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
Те
>8348 30450 16550
J2822 45241 83347
Г1105 09050 83099
J0217 46797 58163
L7098 27492 36621
J1309 37973 94736
L4420 84980 80303
?2691 91794 38248
L8557 95528 09495
¦1668 64317 45012
31701 04536 06146
Э0056 98389 50671
30001 59575 03085
30000 03793 03215
Э0000 00077 51445
30000 00001 37687
30000 00000 02146
30000 00000 000 30
26937
44141
95443
81559
17894
33444
95864
52066
88444
19983
00822
000 27
00000
00000
00000
00000
00000
00000
73990
28969
17011
48537
74554
04653
08036
12581
21304
00155
00000
00000
00000
а = 8
07829
31904
81126
59652
44759
26496
46593
98133
65605
79890
03073
69407
77890
01857
00038
00000
00000
00000
17123
31308
17152
27256
11454
34208
06380
05781
17439
62915
92373
00454
00002
24876
49876
62468
60771
20942
57216
21028
14377
32242
69433
27737
23793
99935
75885
06879
67771
01058
00015

3.3. Тригонометрические и гиперболические функции 65
Таблица ЗЛ
„ ттх ттх
Чебышевские коэффициенты для функций tg и ctg —
4 2
* п =0
-1<*< 1
*ctg^- = 2Лг2я(%)
л = О
71
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.88507
0. 10675
0.00758
0.00054
0.00003
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
a
п
37113
39285
61015
41703
90663
28048
02013
00144
00010
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
31335
70380
77835
81657
69546
16136
76576
58186
38051
74528
05350
00384
00027
00001
00000
00000
00000
00000
57028
06708
02721
91150
88324
39434
94228
58815
08512
71466
72096
17884
58280
98036
14218
01021
00073
00005
^ " ^ -—
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
71
0.33443
-0.31720
-0.01604
-0.00110
-0.00007
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
41422
38386
55338
04059
83173
56125
04027
00289
00020
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
к
00192
49646
22381
17927
07329
49263
99819
17123
76114
49057
10701
00 768
00055
0000 3
00000
00000
00000
00000
00000
96061
28360
91347
72992
73714
33059
08717
36430
25478
62416
84507
35773
16560
96071
28437
02042
00147
00011
00001
Если | х| > 1, то пусть х = 2т + у, m — целое число, — 1 < у < ].
Тогда tg ттх/ 4 = tg тту/ 4, если m — четное число; tg ттх/ 4 = — ctg ny/i,
если m - нечетное число;
ctg ттх/ 2 = ctg тту/ 2 .
3.3.3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЯ ПАДЕ
Приводимые ниже рациональные приближения для
тригонометрических функций основаны на главных диагональных приближениях Паде
для е-2; см. 3.2.3 A1). Имеем следующие соотношения:
e~iz = Un (z2)/Wn (z2) - izXn(z2),/Wn (z2) + S„ (iz), A)
zX„ (z2)
+ R(Sn(iz)),
7n (z2)
-KSJiz)),
B)
C)

66 Гл. 3. Элементарные функции
*L~±?L . D)
* Vn(z2)
?/„(*«) = [Mrt-z*)? - z*[Nn{-z*)]\ Xn(z*) = 2Mn(-*«) JV,(-*«),
W„(*«J = [Afn(-**)]« + а»[ЛГ„(-*«)]». E)
Многочлены Un (г2), Хп (z2) и Wn (z2) удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле
Bп - 1) H'n+i(*2) = [4Dя* - 1) - *«][Bя + 1) W„(*2) - *2Bп - 1) И^Л*1)]
+ г«Bп +1) ^.2B2)} F)
которая устойчива при применении в прямом направлении.
Из соотношений 3.2.3 (8,9) имеем
lim Sn (г) = 0 , z фиксировано, G)
п -> во
SB (*) = 2 | е" (гс/ттгI/* | Яя (,)A + О (и)), (8)
причем значения R {z) даются в табл, 4« 6 п. 4« 8« 3. Последующие
коэффициенты, подобные тем, которые представлены в табл. 3.8 для п =
= 7 A) 10, можно найти в работе Люка A969).
Таблица 3.8
Рациональные приближения для тригонометрических функций
(/п(*2)= 2 bkz2"-2'<
к - О
п Ь0$ bv ... , Ьп
0 1
1 -1, 4
2 It -60, 144
3 -It 264, -6480t 14400
4 1, -760, 69360, -13 10400, 28 22400
5 -1, 1740, -4 08240, 258 04800, -4318 27200, 9144 57600
6 1, -3444, 17 03520, -2578 86720, 1 35390 52800, -21 12397 05600,
44 25974 78400

3.3. Тригонометрические и гиперболические функции 67
Продолжение табл. 3.8
k = О
1
0 о
1 4
2 -12, 144
3 24, -1680, 14400
4 -40, 8880, -3 69600, 28 22400
5 60, -31920, 37 90080, -1270 08000, 9144 57600
6 -84, 90720, -239 50080, 21388 14720, -6 37072 12800, 44 25974 78400
Гп(г2)= 2 dkz
к = О
гк
do> dv ••• > ^
0 1
1 It 4
2 1, 12, 144
3 1, 24, 720, 14400
4 1, 40, 2160, 1 00800, 28 22400
5 1, 60, 5040, 4 03200, 254 01600, 9144 57600
6 1, 84, 10080, 12 09600, 1270 08000, 1 00590 33600, 44 25974 78400
Приведенные выше рациональные приближения не являются
приближениями типа Паде. Ниже мы даем {п - а, п) приближения Паде
для функции th z/z.
th z Clz, a)
z Dn(z,a)
WM)-2Hf2Btl.eD,2)l A0)

68 Гп. 3. Элементарные функции
bnDn(z,a) = M2n+,_aDz2), A1)
Ьп-2^- (»-• + !¦)„ (»+D. + i... A2)
где Mn {z2) и Nn (z2) определяются соотношениями 3.2.3 A0 - 13). См.
также табл. 3.5.
(-1)-(*/2)-° /,„_<*)
En (z) = , A3)
2<^2Jя + 1_вОп(*,«)/_н(*)
En(z) = (-1I"° "(z/2L*+2~2g [1 + otn)] . A4)
2(B^+l~a)!Jch2 z
Например, пусть z = i, д = 2ио =0. Тогда tg 1^ 1. 55740741 и
истинная ошибка равна 0.317 (-6). Ошибка, получаемая с помощью
соотношения A4), когда мы пренебрегаем членом О (га"), равна 0.365 (-6).
При п = 3, a =0 точность рассмотренного приближения равна по
меньшей мере 10 D для всех | z | < 1.
3.3.4. НЕРАВЕНСТВА
Используя обозначения 3.3.3 (9), имеем
??1 <Л11 < ЬШ , г>о. О)
Dn (z, 1) г Dn B, 0)
В частности,
3 ф* <15+г2 B)
3 + 22 Z 15+6Z2 '
105+10z2 „ th z „ 945 + 105г2 + г4 - /Л
< < , 2 > U. (о)
105 + 45z2 + 24 г 945 + 420 22 + 15г'
Например,
3/4 <th 1 = 0.7615941560 < 16/21 = 0.7619047619. D)
115/151 = 0.7615894040 < th 1 < 1051/1380 = 0.7615942029. E)
С„ (iz, a) th г
" < ,о=0 или а=1, 0<2<я/2. F)
Dn (iz, a) z

3.4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции 69
3.4. Обратные тригонометрические
и гиперболические функции
3.4.1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
arc sin z = z A - z2I/j 2 F, A; 1; 3/2; z2), | z | < 1, A)
arc sin z = 22f, A/2, 1/2; 3/2; z2), | z | < 1, B)
arc sinz = 2^A/2, 1; 3/2; z* ), R(z2)< 1/2,
A-z2I/* V z2-l/ C)
arc sin z =^ -A - z2)H 2 /r, A/2, 1/2; 3/2; 1 - z2), |z|<l.
D)
IT
arc cos z = arc sin z . E)
2
arc tgz = 2^A/2,1; 3/2;-z2), |z|«l, z2^-l, F)
arctg.-Ti-72F1(l,l;3/2;T?!T),
1 + zz 1 + zz G)
2 = *+ iy, y2 - X2 < 1/2 ,
arc tg z = ± + JiUzill 2^A/2, 1; 5/2; -(—И ,
м; 3 wz z
«; = A + z2)V> , iarg(l + z2)|<77, z2^-l. (8)
arc ^ = у ~ агс Ч (l^z) • (9)
arc sh z = — i arc sin iz . A0)
arcsh* = z(l + z2I/2 2F1A, 1; 3/2;-г2), |z|<l. A1)
2
A + z2)'2 " " я2 Л A2)
arc sh г = Z—^r 2F, A/2, 1; 3/2; _?-_),
'i ,2|Уа 2 ,2.1
z = л + iy, у2 -x2 < 1/2, | arg(l + z2) \ < тт .
arc sh 2 = ln(z + (z2 + l)y2), A3)
|arg(l + Z2)\ < 77, — 77 < arg (z + (z2 + l)ly2) ^ 77 .

70 Гл. 3. Элементарные функции
1 « (-1)*A/2)А
arc sh z = In B z) — — 2 ,
= laBz) + -L-3F2(l, 1,3/2; 2, 2;-J- j ,
A4)
— n < arg z < 77, | z2 | > 1.
arc ch 2 = arc cos iz , A5)
arc ch z = In (z + (z2 - lI^),
A6)
I arg (z2 - 1) I < n, - n < arg (z + (z2 - 1I/j) < n .
arc tfa z = — i arc tg iz , A7)
arc th z=-^-ln((l+z)/(l-z)), |arg(l + z2)| <n. A8)
3.4.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА
Пользуясь данными табл. 6.9, можно получить коэффициенты
разложения в ряд по полиномам Чебышева для функций, представленных
в п. 3.4.]. Либо, в некоторых случаях, эти коэффициенты можно
построить, используя результаты интегрирования полиномов Чебышева,
которые приводятся в пп. 11.4 и 11.5. В отдельных случаях могут оказаться
полезными приемы, используемые в п. И .6. В связи с этим заметим, что
arc tg z = Г 9 arc sin z = Г —ут- A)
о 1 + '2 о A - *2)V*
и
3F2A, 1,3/2; 2,2;-z) = z } t~'(I - A + с)~Ц dt. B)
О
Например, интегрируя 2.2 C), где а и я заменены на о2 их2
соответственно, находим
arc tg U/c) =2 2 ___ r2n+iW>
л =0 l^Ti + Ч
C)
а2 ^ -1, |arg(l + 1/а2)| <тг, -1< х< 1,
а также
arc tg я; = 7т/ 4
D)

3.4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции 71
Численные значения чебышевских коэффициентов для основных
функций этого пункта приводятся ниже в таблицах. Мы также даем
коэффициенты для дилогарифма и интеграла от arc tg t/1.
Таблица 3.9
Чебышевские коэффициенты для функций arc tg* и arc tg*;/*
arctg*= 2 anT2n^ (x)
n = 0
arctg* = % 2 bnT2n{x)
n = 0
n
0
1
2
3
4
5
6.
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0.82842
-0.04737
0.00487
-0.00059
0.00007
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
n
71247
85412
73235
77260
97638
11970
16255
02417
00365
00056
00008
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
46190
43650
27902
15160
88582
79759
58988
14919
92697
17439
72009
36603
21562
03425
0054 7
00087
00014
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
l^x^ A—
09760
16267
56610
92785
90437
12191
91589
00658
33444
10602
68575
36477
43750
49018
18870
82579
15528
28988
37164
06049
00987
00162
00026
00004
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
n
0.88137
-0.10589
0.01113
-0.00138
0.00018
-0.00002
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
к
35870
29245
58420
11950
57429
62151
38210
05699
00864
00133
00020
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
19543
46705
5940 5
03600
73278
96112
36594
18616
88778
03383
68 505
24486
51279
08154
01303
00209
00033
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
02523
85526
52991
39771
54201
73327
48945
65767
64451
97562
76359
39209
66256
78756
80719
42978
77821
46765
88789
14460
02361
00386
00063
00010
00002
Для х} лежащего за пределами области - 1 <*< 1, имеем
следующие формулы:
оо
arctg*=-^ + 2 алГ2п+1 [(*- 1)/(*+ 1I, -«> <*<«>,
arc tg x = arc tg x~~1, arc tg x = arc sin x A + x ) " '2 .
В связи с последней формулой см. табл. ЗЛО.

72 Гл. 3. Элементарные функции
Таблица 3.10
Чебышевские коэффициенты для функций arc sin х и arc sin x/x
arc sin x = 2 an T2n^ BУ* x) arc sin % = B V*x) S bRT2n B%)
n =0
л =0
71
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0.76275
0.02086
0.00158
0.00016
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
a
n
97635
92375
69316
08227
86910
23540
03125
00430
00061
00008
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
01813
69303
27766
52687
74902
64165
75618
86361
0 70 59
84495
30325
19473
02944
00449
00069
00010
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
18806
68915
01239
70322
95281
32512
54557
27501
21779
91957
15812
89696
02572
47589
20379
73296
67523
26295
04148
00657
00105
00017
00003
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0.74333
0.03885
0.00288
0.00028
0.00003
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
b
32466
30337
54414
84218
32236
41584
05496
00755
00106
00015
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
n
43551
16522
22084
33447
71927
77878
50452
00 784
71938
42180
26811
33838
05108
00779
00119
00018
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
73448
90716
47113
55366
85279
05283
59742
49372
05630
37928
45985
85639
93752
11392
83786
56973
89619
45428
07162
01134
00180
00029
00005
00001
Для других областей и для функции arc cos x имеем
arc sin x = arc cos A — x ) 2 = тт/2 — arc sin A — x ) 2 , </< # < 1,
arc cos x = 7т/2 — arc sin x, —d < x < d,
arc cos x = arc sin A — x2) '* , c?< *< 1.

таопица j.n
Чебышевские коэффициенты для обратных гиперболических функций
arcsh*= I anT2n^№
n = О
-1 < х4 1
arc sh x = х 1 bn T2n (x)
n = 0
-1 < *< 1
arc sh x= ln2# + 2 c„ 7^ (l/#)
л =o
Л > 1
ГС
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2Ъ
0.90649
-0.02704
0.00211
-0.00021
0.00002
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
n
39198
21478
68145
766 50
55196
32329
04310
00596
00084
00012
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
46333
78869
57973
54603
04364
14485
66959
06134
69211
29008
81376
27138
04107
00627
00096
00015
00002
00000
00000
00000
00000
0000G
00000
00000
18450
64300
55992
40215
81302
28777
88437
55196
32069
59356
78501
45802
37046
69516
72449
01221
34467
36824
05812
00921
00147
00023
00004
00001
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0.93589
-0.05881
0.00472
-0.00049
0.00005
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
bn
98004
17611
74654
38363
85062
74669
10011
01390
00198
00028
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
41309
89951
32212
16265
07058
98328
69358
35438
23169
84746
26729
63976
09699
01484
00229
00035
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
06828
76757
48156
36172
55741
93137
35582
58708
48317
84178
65467
08465
16861
42770
03738
58840
56397
87463
13815
02192
00349
00056
00009
00001
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0.10037
0.09350
-0.00618
0.00059
-0.00006
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
cn
21321
60801
98182
85212
79770
84463
11116
01522
00214
000 31
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
67212
53666
58528
42396
86241
81136
41057
82266
85481
00806
55609
67925
10249
01562
00240
00037
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
85013
81550
94325
69563
56795
59092
46485
61319
00162
17346
22836
43622
60533
38481
23094
21486
80277
91001
14344
02271
00361
00058
00009
00001
Либо, для того чтобы вычислить обратные гиперболические функции, можно использовать табл. 3.1 и
следующие формулы:
arc sh x = In [x + {х2 + 1I/а], arc ch x = arc sh (x2 - 1)^ = In [x + (х2 - lI^] ,
arc th x = arc sh x(l - x2) ~X/l = -y ln[(l + x)/(l - x)] .

74 Гл. 3. Эпемен тарны е функции
Таблица 3.12
Чебышевские коэффициенты для дилогарифма и интеграла от arc tg t/ t
L(x)= ft^\n(l + t)dt= 2 %Tn*(x)
о n =°
0<*< 1
T{x)=ft-'arctgtdt= 2 bnT2n+,(x)
0 n =0
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0.42996
0,40975
-0.01858
0.00145
-0.00014
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0,00000
0.00000
an
69356
98753
84366
75108
30418
58841
19078
02419
00319
00043
00006
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
08136
30771
50145
40622
44423
55418
49593
51808
33412
45450
05784
86120
12443
01822
00270
00040
00006
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
97204
05847
91965
67855
40049
79553
86583
54165
742 52
62677
80118
97799
31660
55696
06766
42209
10325
92863
14226
02193
00340
00053
00008
00001
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0.93432
-0.01950
0.00125
-0.00011
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
b
00492
47944
17037
19241
17754
13652
01688
00218
00029
00004
00000
OOOCO
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
n
92895
34351
06300
41205
53855
83304
82892
80246
35063
04523
56976
08168
01188
00175
00026
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
95286
89753
59276
63855
07085
87376
73643
51007
60647
41419
00371
82727
68900
15916
09029
92271
59463
09079
01395
00216
00034
00005
00001
Для значений x, лежащих вне указанной области, используем
следующие формулы и приведенные выше разложения [см. работу
Левина A958)J:
Цх) + Д*-1) = тг2/6 + ?Aп *J; Т(х) = -Т(-х).
Ц-х) + ЦхЦ\ - х)] = ?ПпA - *)]2, х < 1; Т(х) - Т(х~1) = (тг/2) In х, х > О.
Ц-х) + Д-лг1) = ?Aп *J - тг2/3 + i-п In x, x > 1
Ниже мы даем еще две формулы, полезные для контроля:
Ц-х) + Цх - 1) = (In x)(ln(l - х)) - тг2/6, 0 < х < 1,
Ц-х) + Д*/A - х)] = J[ln(* - I)]2 - ?!г\2 + 2iV In x - i-n ln(x - 1), x > 1.

3.4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции 75
3.4.3. ПРИБЛИЖЕНИЯ ПАДЕ
Таблица 3.13
Коэффициенты Паде для функций arc tg/z
Эти приближения следуют из 6.10 A9 — 22), где Ь = с =1/2, а
z заменено на г2. Мы имеем
H(z2) = arc tg z/z = An(z2)/Bn(z2) + Vn(z2)} |arg(l+ z2)\ <
A)
а также
Я(-*2) = Bz)-1 ln[(l + *)/(l - *)]. B)
Ниже даны коэффициенты многочленов An {z2) и Вл (z2) для я = 0 A) 6,
а = 0 и а =1. Кроме того, полиномы с большими индексами можно
получать с помощью формулы 6.10 B6). Для приближенного
определения ошибок следует пользоваться формулой 6.10 C0) и табл. 2.4, в
которой z заменяется на 1/z2 .
An(z2) = a-' I akz2k,a = Q
k = 0
n aQ9 av . . . , an
0 l
1 15, 4
2 945, 735, 64
3 15015, 19250, 5943, 256
4 38 28825, 68 31825, 37 38735, 6 38055, 16384
5 3055 40235, 6983 77680, 5524 73922, 1758 55680, 192 25635, 3 27680
6 5 85618 78375, 16 31924 34405, 16 92692 90190, 8 01912 17106,
1 69794 77515, 12960 36105, 157 28640
B„(Z2)=b-1 I bkz2k,a=0
k =0
n bQ9 ЪЛ, . . . , bn
0 l
1 5, 3
2 63, 70, 15
3 429, 693, 315, 35

76 Гл. 3. Элементарные функции
Продолжение табл.
*п
п
3.13
(z2)-b~
ь0, ъ19 .
п
1 2
&=о
, . . ,
bkz
Ьп
2k
9
a
= 1
4 12155, 25740, 18018, 4620, 315
5 88179, 2 30945, 2 18790, 90090, 15015, 693
6 13 00075, 40 56234, 48 49845, 27 71340, 7 65 765, 90090, 3003
Aa(z2) = c-' V ckz2k, Ло(г) = 0, а = 1
k = 0
n C 09 C 1' ' ' ' > C п-Л
1 1
2 21, 11
3 165, 170, 33
4 2 25225, 3 45345, 1 47455, 15159
5 13 22685, 26 91780, 6 00054, 4 37580, 27985
6 34236 17505, 86830 87875, 48296 46822, 15810 50394, 4991 68285,
218 18175
Bn(z2)=d-i I dkz2Ka=\
k = 0
n dQ9 d^9 . . . , dn
0 l
1 3, 1
2 35, 30, 3
3 231, 315, 105, 5
4 6435, 12012, 6930, 1260, 35
5 46189, 1 09395, 90090, 30030, 3465, 63
6 6 76039, 19 26015, 20 78505, 10 21020, 2 25225, 18018, 231

3.4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции 77
Таблица 3.14
Коэффициенты Паде для функции г" A + z2) "^ arc sh z
Эти приближения следуют из формул 6.10A9 - 20), где 6=1,
с = 1/2 и z заменено на z . Мы имеем
Т1, о. arc sh. z
z A+ г2O2
= Л^(г2)/ВЛ22) + ^^2Ь |arg(l + z2)i<77, C)
H(z2)= ln(z+A + g2I/2)? g(-^2)= arcsin* . D)
гA + г2)^ *A-*2)*
Ниже даются коэффициенты полиномов Ап (г2) и Вл(г2) для я = 0 A) 6,
a = 0 и а = 1. Кроме того, полиномы с большими номерами могут быть
получены с помощью формулы 6.10B6). Для приближенного вычисления
ошибок следует пользоваться формулой 6.10 C0) и табл. 2.4, в которой
z заменяется на 1/z2.
An(z2)=a-' 2 akz2k9a=Q
k = 0
a
о* °1>
0 l
1 15, 2
2 315, 210, 8
3 15015, 17710, 4648, 80
4 7 65765, 7 23690, 6 48648, 93456, 896
5 1018 46745, 2230 92870, 1666 30464, 485 76528, 44 57024, 26880
83659 82625, 2 25323 79870, 2 23868 84520, 1 00034 28864,
19357 76128, 1233 70624, 5 06880
6
Bn(z2) = 6-1 X V2*
k = 0
w
Ь0» Ь1» ' ' • > Ьгс
0 1
1 5, 4
2 21, 28, 8
3 429, 792, 432, 64

78 Гл. 3. Элементарные функции
Продолжение табл. 3.14
*»<*'>-*ol|,V"
п b0, bv . о . , Ьп
4 2431, 5720, 4576, 1408, 128
5 29393, 83980, 88400, 41600, 8320, 512
6 1 85725, 6 24036» 8 13960, 5 16800, 1 63200, 23040, 1024
4„B2) = C-1V ckz2k, Ло(г2) = 0, «=1
к = 0
1 1
2 21, 10
3 165, 160, 28
4 2 25225, 3 30330, 1 32440, 12176
5 13 22685, 25 98960, 16 60932, 3 78144, 21472
6 1801 90395, 4439 47350, 3915 69024. 1477 80864, 219 64096, 8 46976
Bn{z*) = d~* 2 dp*, a
&=0
d09 dv . m . f dfL
0 l
1 3, 2
2 35, 40, 8
3 231, 378, 168, 16
4 6435, 13728, 9504, 2304, 128
5 46189, 1 215,50, 1 14400, 45760, 7040, 256
6 6 76039, 21 16296, 25 19400, 14 14400, 3 74400, 39936, 1024

3.4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции 79
3.4.4. НЕРАВЕНСТВА
Обозначим An (z2) в формуле 3.4.3 A) через An (z2, a) и подобным
же образом обозначим Bn (z2). Тогда
An{z2,l) An{z2,0)
< arc tg z/ z < — , n > 0 , z > 0 . A)
e„(*M) eB(«2,o)
Следовательно, для z > О
3 „ . , , 15 + 4z2
г < arc tg z/z< 2 ,
6 + z 15 + 9zz
B)
105 + 55z2 / * / ^ 945 + 735z2 + 64z4 ,«%
< ate tg z/ z < -— —oor A • W)
105 + 90 z2 +9И 945 + 1050 г2 + 225 z4
В частности, если z = 1, то
3/4 < тг/4 = 0. 78540 < 19/24 = 0.79167, D)
40/51 = 0.78431 < тг/4< 436/555 = 0.78559 . E)
Пусть
F(z) = 3u(arc tg z — z/u)/2 v2z , F)
где
y2
u = A + z2) , v = {u— l)/z, z > 0.
Тогда
5 <FB)< J^», , G)
5+v2 35 + 15i>2
315+ 147t;2 ^ „. .^ 3465 + 2457i>2 + 192t>4 ^ „ /BV
< F(z) < , z > 0. (8)
315 + 2НЬ2 + 15И 3465+ 3150^2+ 525 И
Например, если z = 3^, мы находим, что
29 C) V16 = 3.13934 < я < 653 C)fy 360 = 3.14175, (9)
526C)^/29 = 3.141582 < п < 18664C)% /10290 = 3.1415934. A0)
Если z -> оо, то
28/9 = 3.11111 < я <236/75 = 3.14667, (И)
424/135 = 3.1407 <ж 5608/1785 = 3.1417. A2)
Теперь в формуле 3.4.3 C) обозначим An(z2) через Лп(г2, а) и

80 Гл. 3. Элементарные функции
соответствующим же образом обозначим Вп (г2). Тогда
Ап (г2, 1) arc sh z Ап {z2, 0)
< < -Jtl 1 , п > 0, г > 0. A3)
Bn(z2, 1) *A + *2)* б„(г2,0)
Таким образом, для г > 0
3 arc sh z In [г + (г2 + \)Ц 15 + 2z2
3+2z2 гA4*2)Н ZA + 22)V2 15 + 12г2
A4)
105+50 z2 arcshz 315 + 210г2 + 8 г4 ....
< г, < • V15)
A6)
105+120z2 + 24z4 z(l+z2)v* 315+ 420 г2 + 120 г*
В частности, если z = 1,
3/5 < lnA + 2/2) = 0.62323 < 17/27 = 0.62963,
2*
155/249 = 0.62249 < 1пA + 22) < 533/855 = 0.62339. A7)
2*
Применяя формулы 3.4.1A3, 14) и 5.14C), находим
_ifL <422Ь*+(*2 + 1>1/2<72*2 + 13 , z>0. A8)
822+3 2z 72 z2 +40
При z = 1 и z = 2 имеем
1 +2у2
8/11 = 0.72727 < 41п 1±±— = 0.75291 < 85/112 = 0.75893. A9)
32/35 = 0.91429 < 16 In ±1±L = 0.91746 < 301/328 = 0.91768.
4
B0)
3.5. Библиография и информация о таблицах
3.5.1. ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
Шенкс и Ренч A969). Значение е представлено с точностью до 1Q0 000D.
Кёльбиг, Миньяко и Ремидди A970). Пусть S* п (х) = р ! рп х~р с t ~1x
п,р j
х (In г)л ~ 1 Aп A — tx))p dt, n и t — положительные целые числа,
С Т ( i^±i ), -1 < х 4 -1, р = 1 A) 4, п = 1 A) E - р); точ-

3.5. Библиография и информация о таблицах 81
ность 15D. Нули для S* {х) как функции от х даются при тех
же значениях р и п, что и выше, с точностью до 14 S. Пусть
Sn>p(X) = xPS*n>p(X)/P\p" = sn>p(x)+ ft-' Sn_,>p(t)dt.
1
В работе представлены числовые данные, касающиеся функции
ДимсДейл и Инсельберг A972). Г @ = - / **Aп *) *_1 dx,
о
Г@, Г(*)/П*), * = 0.5 @.5) 10, точность 8S.
3.5.2. ОПИСАНИЕ ДРУГИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И РАЗЛОЖЕНИЙ
С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
Кленшо A962). Даются коэффициенты разложений СТ(х) и СТ*{х) для
функций sin ax, cos ax, a = тт/2, тт, tg nx/4, x ctg ттх/2, arc sin #,
arc tg x, ex} 2~x, ln(l + x), arc sh x. Точность 20D.
Кленшо, Миллер и Вуджер A963). Представлены коэффициенты
разложения в ряды по полиномам Чебышева первого и второго рода
ДЛЯ функций sin ттх/2, tg тгх/4, arc sin x9 arc tg x9 2~x, In (I + #)«
Точность 15D. Для функции ех эти коэффициенты даются с
точностью 9D.
Люстерник, Червоненкис и Янпольский A963). Дается аналитическое
описание элементарных функций, таких, как квадратный корень,
показательная функция, логарифмическая функция,
тригонометрические функции и их обратные, гипербрлические функции и
их обратные. Для многих из перечисленных функций даются
коэффициенты разложения в ряды по полиномам Чебышева
первого рода, точность в основном 11D, а также коэффициенты
разложения в ряды по полиномам Лежандра и коэффициенты ВСР{х).
Для большинства из указанных функций даны также
представления в виде непрерывных дробей.
Хованский A956). Даются представления элементарных функций в
виде непрерывных дробей.
Харт и др. A969). Даются наилучший чебышевский полином и
рациональные приближения различных порядков для элементарных
функций. Относительная точность приблизительно 10 "~24. В
некоторых случаях рассматриваемые приближения являются
наилучшими в норме абсолютной погрешности.
Спеллуччи A971). Дается представление в виде наилучших
чебышвеских рациональных приближений для In x, ех, sin x, cos x и tg x
в виде дробей Тиле и Якоби. Точность от 20 D и выше.
Шпильберг A961). Идея этой работы состоит в том, что аппроксимация

82 Гл. 3. Элементарные функции
f (л) выполняется посредством нахождения отношения двух
полиномов, каждый из которых является конечной суммой чебы-
шевских полиномов Тп(х). Это легко осуществляется, если
известно СТ(х). В работе даны коэффициенты для целого ряда
элементарных функций.
Симоти A964). sin тгх/i, *~1 sin ттх/4, cos ттх/4, ВСР{х), a = 1,
точность 15D. При х = w+ u имеем
te w + tg u
1 — tg w tg u
рассматриваются также аналогичные разложения для tg u и
для всех w = B к - 1)/32, к = 1 A) 4. При x = w + u, v = иA +
+ м;*)-1 имеем
arc tg x = arc tg м; + arc tg г>;
подобные же разложения рассматриваются для arc tg v для
всех w = B к — 1)/8, к = 1 A) 4. В этой же работе
рассматриваются аналогичные разложения для ех, 10* и 1пA + х).
Вионне A960). 1пA + 0.16*), СТ(х), a = 1, точность 24D. arc sin 2"%,
СТ(х), a = 1, точность 23 D. Даются также усеченные разложения
этих функций по степеням х0
Немет A965в). *~1 1пA + х), СТ*{х), а = 1, точность 30D.
Шпильберг A962). В работе даются коэффициенты разложения
логарифмических функций в многочлены и непрерывные дроби.
Карлсон A972). Рассматривается алгоритм вычисления логарифмов и
арктангенсов. Для получения точности, равной 10 D, нужно
вычислить всего лишь 3-4 квадратных корня.
Келиски и Ривлин A968). Рассматривается применение г-метода для
получения рациональных аппроксимаций для In ze Большинство
результатов является частным случаем результата,
полученного в п. 5.12.
Булирш A969). arc sh x, CT(x), a = 1, точность 15D.
Коуди, Мейнардус и Варга A969). Даются наилучшие рациональные че-
бышевские аппроксимации для е~х в интервале [0, + »], л =
= 1 A) 14. Точность колеблется от 0.67.10 " до 0.18.103.
Беллман, Кашеф и Васудеван A972). Приводится дифференциальная
_,2 W _а t
аппроксимация для е в виде суммы 2 bt e l , 0 < t < 1.
i =1
Коэффициенты даются для /V = 3 и 5 с точностью 4 D.
Максимальная величина погрешности для /V = 3 и 5 равна примерно 0.13 х
х 10"~3 и 0.2 • 10~6 соответственно.

3.5. Библиография и информация о таблицах 83
Пьерр A964). Даются рациональные аппроксимации для ехр (— zty.
Бут A955). sin 7тх/2, cos ттх/2, CT{x)f a = 1, точность 11D. В этой
же работе даны коэффициенты разложения этих функций в
ряды по полиномам Лежандра.
Хорнекер A958). х~Л sin га/4, cos пх/А, A + х)"\ \ х\9 ВСР(х), а=
= 1. При различных значениях N точность достигает 9D.
Вионне A959). sin ттх/4, х~Л sin ттх/4, cos ттх/4, ех, СТ(х), а =\,
точность 24D. Приводятся также усеченные по степеням х
разложения этих функций.
Перлен и Гарре A960). arc tg х9 СТ(х), a = tg 77/24, точность 22 D.
Люк A969, т.2, с. 273 — 281). Рассматривается использование
аппроксимаций Паде для L (t) = tie1 — 1)~ и для получения аппрок-
Z
симаций для функций Дебая вида (m/zm) f tm~A L{t)dt,m —
о
положительное целое число.

Глава 4 Неполные гамма-функции
4.1. Определения и разложения в ряды
Z
y{v, z) = f tv~^ e~b dt9 R(v)>Q, A)
о
I>, z) = I»-y(i/, z), B)
oo ei8
Г (i/, г) = | tv~1 e t dt9 8 - действительное число,
z
C)
\8 | <тг/2, ДA/)>0 либо |8 | =77/2, 0 <R(i/) <1.
Здесь путь интегрирования лежит в разрезанной плоскости | arg z\ < тт
и является лучом г exp (id), г -* <*>, если не считать начальной части
пути. При z ? 0 интеграл в соотношении B) будет существовать без
ограничений на^. Если же т/-> 0 в соотношении B), получаем интеграл
от экспоненты, и тогда путь интегрирования нужно выбрать так,
чтобы точка 2 = 0 ему не принадлежала. Мы имеем также следующие
представления:
y(i/,s) = B/ir)% / tv-*K^(t)dt, ЯМ>0, D)
о
T{v,z)=zue-Z /в"** A + *)"-1 dt, K(z)>0, E)
о
r^z) = -?^i—I 1 e-Ztt-v(\ + t)-Ut, R(z)>Q, R(u)<\
F)
y(i/, Z) = ^-12^ ^foi/H-l;-*), G)
y<i/,*) = i/-1z,,e-r1F1(l;i/ + l;z), (8)
I>, z) = e-*(/(l-„, l-v;^ = zVlf(l, l+v;z), (9)

4,2. Дифференциальные уравнения и уравнения в конечных разностях 85
Г (i/ , z) ч" zЛ
FA1, 1-1/;-!/г),
2х О
, z | -> оо, | arg 2: | <: 3 7г /2 — е, е > 0.
¦ и * —z
ГA-а, z) =
k = о (z + u)
2k
+ Km(z> «)
A0)
A1)
fk + 1 (z) = (« - 2 M/& (z) + z (z + «) / & (z)> fo = l
равномерно для всех u и z; величина | z + u | - большая. Для
положительных миг
1
am<umRiz, u)<6m A +
Ь
A2)
2 + U
где все ощ и ?>ш являются соответственно нижними и верхними
границами величины umfm(x)/(x + uJm, когда * >0. Первые восемь
многочленов fm(x) и соответствующие им значения am и Ь^ были даны Гау-
чи A959 6).
Чебышевские разложения следуют из определений п. 4.1 и
материала, изложенного в п. 5.10.2. Подобным же образом можно получить
и разложения в ряды по функциям Бесселя; см. также п. 5.11.
Чебышевские разложения можно также получить из уже известных нам че-
бышевских разложений для показательной функции; см« Люк A969).
4.2. Дифференциальные уравнения и уравнения
в конечных разностях
Пусть
g(v, z) = vez z vy{v, «) = 1F1 A; i/+ 1: z),
G{v, z) = ezz*~vr{v, z).
Тогда
(zD + v - z) g(v, z) = v,
(zD + v — z — 1) G (i/, z) = —z} D = d/ dz ,
^gOi + v, г) = -(|/ + 1)д 1F1,l-1(i;^+ i; *)
+ (" + 1)„g(^ ^), E)
«A1 + 1/, z) = (z/v)(v)n ^-Ul-.v+l; z) + (v)n G(u9 z),
A)
B)
C)
D)
F)
n = 0, 1, 2, ... .

дд Гл. 4. Неполные гаммагфункции
В частности,
[*/(!/+ l)]g(l/+l, Z) = g(v, *)-1, G)
G(l/+1, Г) = A//2Г)С(|/, 2г) + 1. (8)
Все три функции y{v, z), Г{и, z) и Y(v) удовлетворяют соотношению
h(v + 2, z) - (i/ + z + 1) &(i/ + 1, z) + i/zA (i/, z) = 0. (9)
4.3. Приближения Паде
4.3.1. ФУНКЦИЯ 1 F1 A; v + 1; -z)
Для удобства положим
Л(|/, z) = 1F1(l;i/ + l;-z)
= vz-ve-z-ivTry\y, zei7T)
vz
-vn —z с Л .v —\
e~z f eltv -Л dt, tf(i/)>0. A)
о
Приближения для функции A) в позиции (n - a , n) таблицы Паде
являются конфлюентными формами приближений для функции 2 F1,
представленной соотношениями 6.10A9 — 28). Мы имеем
H(v, z) = [An{v, z)IBJy, *)] + J>>, *), B)
вп(у, *) = Л(—n; —2п + * —у; *)
= (w + p + l_a)n^o(-»,« + v+l-a;-l), C)
Л л, z\ = Г«(« + ")f *n у" (а - »)> (« + " + 1 )*
•*' ; L * J (n + v+l-a)n ?, (v+l)t(l+e)*
1\
.. c, /—Я + в + А, Я + V + 1 + A, 1 1\ ,,\
X»M l+a + A |_;j- i;
-и + a + A, n + v + 1 + A, 1
1 +a + k
Vn(y, z) = PJy, z)IBn(y, z), E)

4.3. Приближения Паде 87
/_1 \n+l-ava~-vp-z rz
(v + 1 - a)n (n + v + 1 - a)n J 0
R(y) >a - 1,
= (-lI-^^^)^-2 Г1 tv-.aeZt
(n + v + 1 — d)n J 0
хлР!;+1к-1"в1')л' **)>«-».
Г -1 )n+1~an! #2n+i—ag-z
(v + lI-» (* + 2 - аJп (я + v + 1 - a)„
X Л(и + v + 1 — a; 2и + v + 2 — a; z). F)
Из соотношения D), в котором левая часть остается без изменения
при а = 0 и делается подстановка An (v, г) = On (v, z) при а = 1, имеем
А0(у, z) = 1, Afr, z)=l- [*/(„ + l)(v + 2)],
. (у - 2) z 2*2 G)
2 <v>2' + („ + !)(„ + 4) + („ + 1)(„ + 2)(v + 3)(v + 4)'
O0(v, ,) = 0, Ofr, z) = 1, OJy, я) = 1 + (y ^ "^ 3) . (8)
Из соотношения (З) получаем
BJy, *) = 1, Bx{v, z)=\+ [zl(y + 2 - a)],
2z
(9)
BJy, z)=l+ -—-. +
(y + 4 - a) {v + 3- a)(v + 4 - a) '
Как An (v, z), так и Sn (i/, z) удовлетворяют рекуррентной формуле
*-(*• *H' + Bn + ,-(:)Bn+gv + 2-a)i *«<"• *>
я(и + i> — a) z2
+ Bя + v - 1 - а)Bя + v - a)* Bn + v + 1 - a) Bn-^v' ^»
A0)
устойчивой, если она применяется в прямом направлении.

88 Гл. 4. Неполные гамма-функции
{-l)" + *-°„r{v+l)n\r(n+v+l-a)z2n^-aex1>[-z+ 2(z + 4^~^)]
4Bra+t^ + l — a)
24n+2v-2a Bn + v + 1_вIГ[» + A/ + 1- o)./2]rU+(i/ + 2-a)./2]}2
x[l+0(re-3)] A1)
(_1)B+i-e ffr^+l)z2n+1-aB°-^exp[-Z+ *(» + 4i/-4g) ]
= 4Bra+^ + l-a)
24n+2l/+1-2a ^2
x[l+0(n-1)]. A2)
Следовательно, для фиксированных z wv
lim Гв(„, zj = 0. A3)
Чтобы проанализировать общий случай, когда i/— рациональное
число, и г/ ^ 0, следует рассмотреть многочлены, приближающие
#(i/, z), все коэффициенты которых суть целые числа. Для этого
положим
Cn(v, z) = q2n(v + 1 - aJn AJy, *),
А.1Ч *) = <?2n(" + 1 - *)*. Д«(Ч *), v = />/<?> <? Ф 0,
где р и q — взаимно простые целые числа. Следовательно, Cn (u9 z\
и Dn (i/, z) удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле
Ai+i(". *) = [B* + * - *)Bw + v + 2 ~ *) + (" - a) *]
q2{2n+v+l_a)
x Qn + v-a) Vn{Vi Z)
q4n + v a){2n + v + 2-a) ^
Bя + v - a) n u » ;
В табл. 4.6 п. 4.8.3 представлены коэффициенты Паде, когда v = 1/2,
о=0иа = 1. В этой же таблице даны значения функции
Яя(*) = | 2z^ez{Vn{h *))a=o I, (Щ
для обширной области комплексных значений z к п. Здесь величина

4.3. Приближения Паде 89
I ^п ("о"» z)^a =0 определяется формулой A1) при v = 1/2, a = 0, а
члены 0(тг~3) опускаются. Этого достаточно, чтобы оценить ошибку
для общих значений v и a = 0 либо о = 1, поскольку из A1)
*>, *I
Г(у + 1)яа+»-"е-
7Г1/222,-2а-1;га+|
ВДП + 0@]. A7)
Напомним, что функция Н (О, z) = е 2 и ее приближения
рассматривались в п. 3.2.3.
4.3.2. ФУНКЦИЯ z^-vezT(vt z)
Приближения для
оо
zy-vetT(v,x) = z'K-vez /t" e~* dt, A)
z
находящиеся в позодии (п - о, п) таблицы Паде, определяются
следующими формулами
я*-е*Цу, z) = [?„(„, *)/*¦„(„, а)] + 7>, а), B)
Fn(v, г) = Л(-«; 2 - « - *; -*) = [я!/B - a - *)J ^Л-*). C)
г- ^ Г Я2Г 1'У(»-»),A -»)> „ / -Я+в+ft, 1 I \
D)
r»(v,*) = [S,,(v, «)//?>,*)], E)
Sn(v, z) = (y— \y-azl-ve2 J (t - г)" г+в-2-"в-* Л,
г=?0, |arg«| <it, F)
5„(v, *) = (v - II-0»0 Г f"(l + *)-¦«-*-»«-«« А, г ^ 0, | args | < w, G)
J 0
SB(v, z) = (v - 1 J1-" г°и! J/(я + 1; v + a; z). C)
Пусть ?n (i^, z) = ?n (t/, г), если a = 0, и En {у, z) = Mn (v, z), если
a =\. Тогда
EJv, x) = 1, ?i(v, *) = B - v)-i A + «),
?2(,, a) = [B - v)C - v)]-i [2 + E - v) z + z*],

90 Гл. 4. Неполные гамма-функции
M0(v, яг) = О, Мг(р, *) = A - v) яг,
M2(v, яг) = [A - v)B - v)] [C -v)z + *2],
а также
z
F0(v,z)=l, F1(y,z)=l+;
2-a-v'
2z z* (")
F2(v,*) = 1 + B _a _y) +B _a _ v)C _ д _ y) ¦
Функции En {v9 z) и Fn (i/, z) удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле
(n + 2-a-v) Fn+1(v, z) = (z + 2n + 2-a-v) Fn(y, z) - nF^Jy, *).
A2)
При работе с приведенными выше формулами, если v - рациональное
число, предпочтительно табулировать многочлены в приближении Паде,
все коэффициенты которых суть целые числа. И наконец, пусть v = p/q9
q ? 0, где р и q — взаимно простые целые числа, и пусть
G»(v, яг) = q»B -a-v)n En(v% яг), %Hn(v, z) = ^B - л - *)• Fn(v, яг). A3)
Отсюда следует, что и функции Gn (v, z) и Ял (v, z) удовлетворяют
одной и той же рекуррентной формуле
Hn+1(vy z) = (z + 2n + 2-a- v)qHn{v, z) - n(n + 1 - a - v)qmn_1(vi z).
A4)
Погрешность определяется формулой
& = rc + 1 — (a + i/),/ 2,
г/0,гИ1/ ограничены, | arg z I < 7Г - 6, I arg (fez) % | < 7r/2 - б, е > 0.
A5)
Поэтому везде в комплексной плоскости, за исключением
отрицательной части действительной оси и, возможно, окрестности нулей функции
Fn (v, z), будет иметь место сходимость. Если а > 1, нули функции
L w {х) имеют действительные и положительные значения, и, следоваг
тельно, можно предполагать, что z не будет находиться на
отрицательной действительной полуоси. Подробное описание нулей функции L^a)(x)

4.3. Приближения Паде 91
для действительных значений а было дано Сегё A967). При
комплексных значениях а нули функции L^a) (х) будут также комплексными, и
совершенно очевидно, что области, содержащие их, следует исключить.
Если z фиксировано, а п берется достаточно большим, формул а A5)
эффективна для практических целей. Рациональное приближение для
функции Г (i/, z) основано на ее асимптотическом разложении в ряд. Для
заданного количества членов погрешнрость в асимптотическом
разложении уменьшается по мере увеличения значения | z\. Таким образом,
для заданного п следует ожидать, что погрешность в приближении
Паде будет вести себя подобным же образом. Это действительно так, но
формула A5) этого не отражает. Теперь обратимся к асимптотическим
разложениям погрешности, справедливым равномерно по z.
Если z - действительное число, скажем z = х, следует
рассмотреть четыре случая, а именно 0 < х / 4 & <«>, —1 < х/Ак < 0, х/ 4&~ — 1
и*/4&<-1.В более общем виде, если гик — комплексные числа, мы
исследуем области | arg z/к\ < тт и I arg z/к I = тт, где последняя
разбита на три подобласти. Случай, когда а:/4 к^— 1, иногда называют
областью перехода.
4.3.3. ПОГРЕШНОСТЬ Tn(v, z) при | arg z/k\ < тт
Для удобства дадим сначала соответствующие асимптотические
выражения для основных конфлюентных гипергеометрических функций
1F1 (d; с; z) и U A - d, 2 - с; z). Пусть
к = с/2-е/, A)
*/4&=sh2a . B)
Поскольку z и к могут принимать комплексные значения, мы,
определяя sh a и а, будем выбирать такую ветвь, для которой при
положительном действительном значении величины z/ik значение sh a будет
также действительным и положительным. Например, пусть
sh2a = z/4k = peie, p>0, |0|<тг,
C)
a = ft + i8 9 /3 и S - действительные числа, /3 > 0, 18\ < тт/2,
и
-"-(к
1 + р + Ц1 + рJ - 4psin2 i-0}1/2]j
D)
sin д ch /3 = ру* sin 0/2, cos 8 sh j8 = р y* cos 0/2. E)

92 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Тогда
„ . . «^ в-1/2^-^-1/2ГB?7гч-1)AЬаI/^ехр M4m2 ~l)/24fe2]
1*1 \®> с , ze )**
Bтт)Ъкт
х [ехр{йBа + sh 2a)} U(a, -fc) + 0(k~3)]
+ exp{x {2m +— )stf}exp{ — feBa + sh 2a)}
it
x\A(a,k) + 0{k-3)}], F)
где знак минус берется, когда 0< arg z< n, а плюс, когда -я < arg z<
< 0. Здесь
m = (c-l)/2, k = c/2-d, G)
4(а, й) = 1 + Р, (а) А + Р2 («)&" 2 (8)
и
РЛ (а) = (96с43а)~1 {3Aбт2 - 1) cth4a - 6сА2а +5},
(9)
Р2(а) = A8432 cth6 а)~1 {9 A6 т2 - 9)A6т2 - l)cth8 а
+ 36D8т2 - 7)сЛ6а + 6A21 - 112т2) cth4a - 924cth2a
+ 385}.
В действительности при к -»«>, I arg к \ <п/2, можно опустить член,
содержащий expBm + l/2)iп, поскольку он экспоненциально убывает.
В этом случае полагаем ге|,,г = -гв левой части формулы F).
Полученное в результате выражение будет справедливо для | arg г | < п.
Формула F) очень удобна, так как из нее можно легко получить
представление функции , F, («?; с; z) для 0 < z/ik < 1 (см. 4.3.4 B)).
Далее,
V A - d, 2 - с ; z)~ ez/l z m "* (th a)%
х exvlk - к In к - к{2а + sh2a) - A2m2 - l)/2ik\{A{a,k) + 0(k~3)\,
A0)
где а определяется соотношениями C), а РАа), j = 1, 2, формулами (9).
Для построения функции Тп {у, z) учтем, что
m = — A - а - */), fc = » + l-JL(a+!/) = n + j» + — . A1)
2 2 2

4.3. Приближения Паде 93
Следовательно, принимая во внимание условия C), имеем
Tn{v, z)-(-lI-a27rezz1-l/exp[-2^Ba + sh2a)]
х [A(a, к) + 0(к3)][ГA - v)\A(a, -к) + 0(к~3)
+ ехр{± 1ттBт + l/2)\ exp\-<2kBa + sh2a)}
x\A(a, k) + 0(k-3)\]]-' A2)
равномерно по z, где знак плюс соответствует случаю 0 < arg z < тт9
а знак минус — случаю — тт < arg z < 0.
Если v фиксировано, п -> оо, условия C) и | arg kz \ < тт остаются
без изменения, то
lim Tn (v, z) = 0, 0^0, j arg z\ < тт A3)
П -> оо
равномерно по z. Следует заметить, что при этих обстоятельствах в
формуле A2) можно опустить член, содержащий ехрB/7г + 1/2) in.
Однако для получения численных значений формула A2) применялась в
том виде, как она представлена выше.
Если z мало по отношению к п, то z~ 4ка2 и из A2) легко
получить 4.3.2A5).
Если п большое, но фиксировано, а [ z \ настолько велико, что
j г,/44| »1, то
Г>,*)~±12 2 iliL, |argft|<JL, A4)
r(l-v)z2n+'~a 2
откуда видно, что при фиксированном, но достаточно большом п
приближение Паде ведет себя так же, как и асимптотическое разложение
для функции T(v, z). В самом деле, если z = % > 0, погрешность,
получаемая при учете 2 л + 1 членов асимптотического разложения функции
z Л~уez T(i/, z), см. 4.1 A0), есть величина отрицательная при условии,
что v< 1, и не превышает по величине х~~2л ~ A — vJ +1 . Для
достаточно большого п отношение правой части в A4) при а = 0 и
опущенном знаке к этой последней величине приблизительно составляет
2 -in-1 +i/ („./л) 4 в Следовательно, при указанных условиях можно
сделать вывод, что для практически одинакового числа операций
приближение Паде лучше, чем асимптотическое разложение.
Чтобы облегчить вычисление приближенных значений погрешности,
в табл. 4.3 и 4.7 даны значения величины | е ~~z zv ~1 Tn {y9 z)\ для а =
= 0,1/ = 0и1/= 1/2 соответственно, где Tn(v, z) определяется правой
частью формулы A2) при а = 0 и опущенных членах О {к). На самом
деле достаточно иметь таблицы только для а = 0 и v = 0. Чтобы убе-

94 Г п. 4. Неполные гамма-функции
диться в этом, предположим, что при a = 0 величины Tn (v9 z), a, k
и m определяются, как и выше, а при a = 1 соответствующими их
значениями будут Rn (v9 z), a1, hx и m%. Тогда
r> / ч rr / t го th a (th a)Bch2a + 1) ~/7
rj Dттг- l)ctha + Dти-1J cth2a
4& 32fe2
1 5 d / ч D те - l)ctha 1
ь-—3\i
i2 1 w 8 64ch2a
x [Dm - l)Dni - 3) cth a + 2 th a - 5th3a]} + 0(й~3)],
A5)
где член, содержащий ехр [ ± inBm + 1/2)], в A2) и аналогичный член,
возникающий в разложении для функции Rn (i/, z) опущены. Подобным
же образом можно показать, что при a = О
ГA - v) zvTn („, z) ~ Гп @, z) ехр [2a0i/ + Ц-^- + О (fe )]
4^о
х [1 ^- + О (А*)], A6)
1/B — 1/) ch aQ
где aQ и &0 — значения величин а и А; соответственно, принимаемые
ими при v = 0 и a =0.
А теперь для иллюстрации формул F) и A2) дадим несколько
числовых примеров. В табл. А сравниваются точные значения
(округленные до 5D) функции 1 /г1 (— т^; 3/2; -z) при п = 5 и различных z = хе1СР,
х = 4, с приближенными значениями, полученными при помощи
формулы F). Все данные получены при a = 0. Из соотношения 4.3.2C)
видно, что указанная выше функция 1F1 есть Fn A/2, z). Следует
заметить, что формула F) справедлива, если | arg z \ = п, при условии что
| z/ Ак\ < 1. В связи с этим см. замечания, следующие за (9).
В табл. В приводятся значения функции Г [u, z) для v= 0, 1/2, ее
рациональное приближение 4.3.2B), точная погрешность и
приближенное значение погрешности, получаемое по формуле A2).
Представленные данные получены для z = 2eic? vm = 4, а также a = 0. При z = 2
отношение величины z~% е ~z ТЛ A/2, z) к величине z~1 е ~z Г4 @, z)
равно 0.685, в то время как соответствующая величина, полученная
по формуле A2), равна 0.677.

Таблица А
z = 4e
Ф
0
7Т-/4
Тг/2
Зтг/4
7Г
Таблица В
z = 2eicf>
Ф
0
тг/4
Зтг/4
z = 2eJ
<?
0
Тг/4
7Г/2
Зтг/4
z = 2е*'
0
0
тг/4
W2
Зтг/4
z = 2
<?
0
тг/4
W2
Зтг/4
10
со
/
Z
F5<Y'
Значение, полученное
по формуле F)
130.58725
- 47.95306 + 84.34664*
- 19.99510 - 32.27692*
6.60906 - 0.98754:
0.09123
?~1 е"* it
4.89005 • Ю-2
- 3.95846 • Ю-2 8.22921г • 10 -
- 4.22981 • Ю-1 + 3.46167* • 10
-2.16947 +0.31777*' -
1ф
Ф
е1Ф
Г
2-1в-2:г4@,
Точное значение
- 0.185 • Ю-4
- 0.194 • Ю-4 - 0.507: • Ю-4
0.999 • Ю-3 + 0.248i" • 10
- 0.412 • Ю-1 -0.468* • Ю-1
оо
2
8.06471 • Ю-2
- 2.03962 -Ю-2 - 0.146768*
- 0.560363 - 0.337570*
- 2.14095 - 2.19684*
z-^e-zl
Гочное значение
- 0.126 • 10-4
- 0.074 • Ю-4 - 0.36* • Ю-4
0.573 • Ю-3 -f 0.348* ¦ Ю-3
- 0 120 • 10 - 0.366* • 101
.*)
Точное значение
130.58615
- 47.95274 + 84.34563*
- 19.99471 - 32.27629*
6.60883 - 0.98770*
0.09110
z-1e~2?4@,z)/F4@, z)
4.89190 • 10-2
3.95652 • lO - 8.22414* • 10~2
4.23980 • lO + 3.43682* • 10
2.12827 + 0.36462*
*)
Приближенное значение
-0.184 • lO
- 0.194 • 10 - 0.507* • Ю-4
0.996 • lO + 0.249* • Ю-3
- 0.412 • Ю-1 - 0.473* • Ю-1
2^e-2?4(l,,)/F4(I)Z)
8.06597 • lO
- 2.03888 • Ю-2 - 0.146732*
- 0.560936 - 0.337918*
- 2.12898 - 2.16019*
4<у.*>
Приближенно.е значение
- 0.126 • Ю-4
- 0.074 • lO - 0.36* • Ю-4
0.572 • lO + 0.348* • 10
- 0.119 10 - 0.369* • Ю-1

96 Гл. 4. Неполные гамма-функции
4.3.4. ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ
И НУЛИ ФУНКЦИИ Fn{y9 z)
В этом и следующем разделах приводятся равномерные асимптс
тические формулы для погрешности и других величин в областях,
содержащих отрицательную часть действительной оси. Условимся
выписывать формулы для Tn(v, ze±l7T) так, что z > О соответствует
отрицательной части действительной оси в смысле наших предыдущих
соглашений. В результате получаем полезные приближения для нулей
функции Fn (i/, z). Ясно, что в окрестности этих нулей нельзя
использовать рациональные приближения. В самом деле, как было показано,
для того чтобы имела место сходимость, необходимо выполнение
неравенства | arg z/k | < тт, которое мы записываем, сохраняя те же
условные обозначения, что и выше. Однако в п. 4.3.5 доказывается, что
если j arg z/k| = 7г, \z/k\ ^.3/4 приблизительно, а п фиксированное,
но большое по величине, то lim z2n T (v, — z) = 0, т.е. рациональные
приближения для функции Г (i/, -x), х> 0, ведут себя так же, как и
асимптотические ряды для Г(г/, -%).
Прежде всего выпишем разложение для функции 1F1 {d; с; z) при
О < г/4& < 1. Его легко получить из формул 4.3.3B - 9), если а
заменить на + I (a - тг/2), агнаге ±l n. Тогда при
г/4 А; = cos2 a A)
1 1
/ ~~т— _
,F,(d;c;z;)~ez'2z 2[B/*)ctga] 2k-mTBm + \)
х ехр [тDт2 - 1)/24&2][{ 1 - S2 (a)k~2 + 0(/fc-4)}sin cu
+ {S1(a)&-1 + О (k~3)\ cos ©], 0<z/4k< 1, B)
to - k (sin 2a — 2a + n) — ттг + тт/ 4, C)
S, (a) = (96tg3a)-1 {3A6m2 - l)tg4a + 6tg2a + 5} ,
S2 (a) = A8432 tg6a) {9A6w2 - 9)A6m2 - l)tg8a - 36 D8 m2 -7)
x tg6« + 6A21- 112m2)tg4a + 924 tg2a + 385}. D)
Этот результат справедлив фактически для всех г , | arg г | < тт, с той
оговоркой, что мы опускаем начало координат и луч 1 <; г/44 < °°.
Понятно, что если значением z/4A служит действительное
положительное число, то а - также величина действительная и положительная.

4.3. Приближения Паде 97
Следовательно,
cos2a = z/4k = pei& , 0<р<1, | в \ < тт ,
а = /3- i89 /Зи S действительные, /8 > 0, E)
cos j8= ( I [1 + р - {A + рJ - 4р cos* 1 в }Vl ])/2 > ^
« 2
cos j8 ch 8 = p ^ cos — в , sin j8 sh S = p '* sin — 0 . G)
Если 0 < z/ 4 A; < 1, то приближенные значения нулей функции
1 F1 {d; с; z) можно найти из формулы B), решив трансцендентное
уравнение
A — S (а) к" ) sin со + S1 {а) к~ cos со = О (8)
для а, из которого затем, применяя соотношение A), мы определяем
z. При достаточно большом к имеет место равенство sino> = 0, ао>
кратно п. Приближенное решение (8) в замкнутом виде получить не
так просто. Люк A969) показал, что если хг есть г-й положительный
нуль функции 1F^ {d; с; z), a j2m г есть г-й положительный нуль
функции J2m(x), то при тех же значениях для тик, что и в 4.3.3 G), имеем
v _Лт,\Л Л 2Dт2 - 1) + jj
4k
1* + 2Dm Л+]Ч+о^>
hrn.r =- -*(r + m-l)- [A6m* _ mn{r + m_i)]+ 0(r-% (9)
и если п достаточно большое, наибольший корень функции Fn(v, —x)
fee превышает 3 к.
Чтобы проиллюстрировать эти результаты, прежде всего
предположим, что д=5, ai/ = l/2. В табл. С даются точные значения нулей хг
функции F5 A/2, —х) и приближенные значения нулей, полученные по
формуле (9), а также значения со = со г, полученные по формуле C)
для точных значений нулей хг. Все данные приводятся для а = 0.
Обратите внимание, что, как и предполагалось, соТ приблизительно
равно 77г, а также что погрешность приближенных значений хт возрастает
с ростом г. Но, несмотря на это, полученные цифровые значения
достаточно точные. К более точным приближенным значениям для двух
наибольших корней легко придем следующим образом. Предположим,
что первые (г - 2) корней известны с достаточно большой точностью.

98 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Таблица С
г
1
2
3
4
5
Точное знаг
чение
0.43140
1.75975
4.10446
7.74671
13.45768
хг
Значение,
полученное
по формуле
(9)
0.43138
1.75753
4.07453
7.54250
12.38561
*>г
3.14007
6.27986
9.41884
12.5556
15.6818
Поскольку точное значение суммы и произведения этих корней
известны на основании предположения, легко получить приближенные
значения суммы и произведения двух наибольших корней, откуда, решив
некоторое квадратное уравнение, приходим к приближенным значениям
двух наибольших корней. Поясним сказанное на примере: сумма и
произведение первых трех корней хт в третьей колонке табл. С равны
соответственно 6.26344 и 3.08913. Точные сумма и произведение двух
наибольших корней равны соответственно 55/2 и 10395/32, а
приближенные значения суммы и произведения равны соответственно
21.23656 и 105.15696. Решая квадратное уравнение, мы получаем более
точные приближенные значения этих корней, а именно 7.86311
и 13.37345.
И, наконец, дадим асимптотическое представление для функции
Tn (i/, ze±l7T), 0 < z/ik < 1. Здесь условия, обеспечивающие
справедливость этой формулы, те же, что и для формулы B) [см. также
замечания к D)]. Имеем
Tn(p, ze^)
7re-zz1-v
ГA - v)[{\ - ЗД k~* + 0(А)} sin w + {S^cx) k-1 + 0(k-*)} cos w]
X [{1 - S2(a) k~2 + 0(?-4)} COS a> - {S^oc) k-1 + 0(?)} sin ш
T *0 - S2(oc) k~2 + 0(k~*)} sin w =F *'{Si(«) к + C(*~3)} cos со].

4.3. Приближения Паде 99
4.3.5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ Tn(v, ze ±l7T)
В ОБЛАСТИ ПЕРЕХОДА И В ОБЛАСТИ \z/Ак\ > 1
Рассмотрим представление для функции Tn(v, ze±l7T) при z/4k^.
~1. Пусть
*-4* = 2б = 0[(г/6)*]. A)
Тогда
,__.л»>
_( (с* + с2 + 12т* - 33/35) г И 1)
^(г/ЗI/3 Г- 6* "^ l(*/3)*Jr
I arg « | <у. B)
Если z = х- действительное положительное число, то
27>, -х) = 7>, *«*•) + Г„(*е-").
Следовательно,
п(* х) ш-.*/-*> • (d)
И наконец, дадим асимптотическую формулу для функции Тп (г/, ze±l7T\
когда | z/ 4i | > 1:
z/4& = ch2a . D)
Тогда
™ 7 +17Г, 2ne~~zz 1 ~ v ехр [2 A; (sh 2a - 2a)]
г»(,,'*в~ >~ f(T^j
[1 + <>, (a) i + С2 (a) fe~2 + О (к -3)]
* [1 - Q,(a)k-' + Q2(a)k~2 + 0(к~3)}
к->°о, ]z/Ak\>l, |arg z/k\ < it/2.
E)
Здесь Q. (a) = Р. (а + 17т/2), ; = 1, 2, т.е. формула для Q. (а)
идентична формуле для Р. (а) [см. 4.3.3(9)], если в этой последней формуле
cth а заменить на th а. Если z и к — комплексные числа, то для
определения а выбираем такую ветвь, для которой при действительных
положительных г и А; значение а будет также действительным и положи-

700 Гл. 4. Неполные гамма-функции
тельным. А именно:
z/4fc = ch2a = rjeir , 77 >0, a =pt + ??, /z и f -
действительные числа, /х > 0, F)
ch p = ( 1 [Ч + 1 + {(ч - lJ + Arj sin2 -L г }*])* , G)
cos ? ch ц = 77 ^ cos г / 2, sin f sh /x = 77 ^ sin — г . (8)
Теперь предположим, что | z/ 4 А; | » 1. Тогда
Tn(y, ze±in)~[n*-v-a (П!J]/[ГA - v)z2n +1~°],
|argA;| <y (9)
и, следовательно,
Hm z2nTn(v,-z) = Q. A0)
Таким образом, если z = х9 х > О, и порядок рационального
приближения фиксирован, то точность рационального приближения будет
возрастать по мере возрастания х, т.е. рациональные приближения и
асимптотическое разложение для функции Г(^, -х) [см. 4.1 A0)] ведут себя
одинаковым образом. Однако если применяется усеченное
асимптотическое разложение, то нельзя эффективно оценить погрешность. Если
мы усекаем асимптотическое разложение функции хЛ ~~v e~x Г (ъ>,-х)
после определения 2 п + 1 членов, то погрешность, вне всякого
сомнения, превысит величину х~2п ~1 A — vJn +1. Отношение правой
части второго выражения в (9) при a = 0 к этой последней величине
равно 2 ~2п" + v (n/n)^ при достаточно большом п, и совершенно
очевидным становится преимущество приближений Паде.
Утверждение, аналогичное 4.3.3A5), имеет следующий вид:
Rn{u9ze±in)
~Tn(v, ze^)exp[2a+ **?L + (cth a)Bsh2a - 1) + Q(t-3)]
U 48&2sh2a
M Dffi-l)tha D/Ti - lJ th2a 1 <n /4
x [1 - - - + - - + \Q. (a)
4& 32u2 k2 1
- Dyyi~1)tha + 1 [Din _ l)Dm - 3) tha + 2 cth a - 5cth3a]l
о 64sh2a
+ 0(A;-3)].
(")

Таблица Da
X
9
10
12
14
15
16
18
20
25
S2@,-*)/F2@,
1.15151 515@)
1.13043 478@)
1.10256 410@)
1.08474 576@)
1.07801 418@)
1.07228 916@)
1.06306 306@)
1.05594 406@)
T2
Истинное
значение
-*)
0.124( — 2)
0.104(- 2)
0.410(- 3)
0.146(- 3)
0.889(-4)
0.558(-4)
0.239(-4)
0.118(- 4)
@,
-*)

Приближенное
значение
0.116(-2)"
0.104(- 2)ь
0.410(- 3)"
0.145(- 3)"
0.947(-4)с
0.571(- 4)с
0.242(- 4)с
0.117(-4)с
EA(b,-x)/FAQ,-x)
1.07810 3837@)
1.07234 3632@)
1.06308 6548@)
1.05595 5678@)
1.04366 1924@)
Г4
Истинное
значение
- 0.729(- 6)
0.134(- 5)
0.730(- 6)
0.227(- 6)
0.12(- 7)
@,
-*)

Приближенное
значение
- 0.445(-6)ь
0.13Ц- 5)ь
0.732(-6)ь
0.227(- 6)ь
0.12(-7)ь-с
аВсе величины получены при а = 0. Числа в скобках, расположенные вслед за основными числами,
показывают степень 10, на которую нужно умножить основное число.
Приближенная формула B).
0 Приближенная формула E).

102 Гл. 4. Неполные гамма-функции
В заключение этого пункта приведем несколько численных
примеров, иллюстрирующих применение формул B) и E). В табл. D даются
рациональное приближение для функции xe~xEi(x), истинное значение
функции Тп @, - х) и ее приближение при различных значениях хкп =
= 2, 4,
Таблица Еа
х Bх) 1 Е2( — > -х2) Истинная Приближенная
2 ошибка погрешность
3
4
5
а
0.17808 219@)
0.12934 631@)
0.10213 40744@)
а
= 0
0.740(- 4)
0.169(- 5)
0.794(- 7)
= 1
0.741 (-4)ь
0.158(- 5)с
0.793(- 7)с
3 0.17808 219@) 0.189(- 3) 0.189(-3)ь
4 0.12934 132@) 0.668(-5) 0.607(- 5)d
5 0.10213 34544@) 0.620(-6) 0.619(-6)d
°Числа в скобках после основных значений показьюают степень
10, на которую нужно умножить основные числа.
ъ Получено с помощью формулы B).
0 Получено с помощью формулы E).
d Получено с помощью формулы A1).
И наконец, в табл. Е даются приближения Паде для функции
е -х Erfi (x) при различных значениях х, а также истинные значения
погрешностей и их приближенные значения, полученные при помощи
формул B), E) либо A1).

4.4. Неравенства 103
.4.4. Неравенства
4.4.1. ФУНКЦИЯ Н (г/, z)
Обозначим Ап (i/, z) в 4.3.1 B) через Ап (и, z, a) и т.д. Тогда
An(v> z> l) Amlv> z> °)
z > 0, у> — 1, яг > тг > 0,
где знак > (<) имеет место, когда тип — оба нечетные (четные).
Кроме того, если z > 0, v < 0, но v не есть целое отрицательное число,
т + v + 1 — а > 0, л + 1^+1 — а >0иг<-у<г +1, где г —
положительное целое число либо нуль, то справедливо соотношение A), в
котором знак > (< ) имеет место, если г + пкг+т — оба нечетные
(четные) числа. При z = 0 соотношение A) обращается в равенство.
Если 1/>0и2 = -%,я>0, то в силу 4.3.1 F) значение Р (i/, -x) -
положительное (отрицательное) при четном (нечетном) гс. Таким обрат
зом, установив знак Вп (и, -*), можно получить еще дополнительные
неравенства. Известно, что при фиксированных i/иж, для которых
сохраняются указанные условия, Bn(v, -x) будет величиной
положительной, если п достаточно велико.
Если V— отрицательное, но не целое число, то из A) и
соотношения
s — 1 / vv к к 1 -ivs s
к=о (»'+1)fc <У + Ч3
можно получить еще целый ряд неравенств.
Например, при п = 1 и 2 получаем соответственно
(v + l)[(v + 2)+ 2] J0 v + i+2'
(v + 2)[(v + D(v + 3) + (v - 1) »] < vz_ve_z |- r_v Л
J ft
(v + l)[(v + 2)(v + 3) + 2(v + 2) * + a*l
0
D)
c (у+1L + (.-2)(у + 2Jг + 2^
(" +1J К"+ 3), +2(^ + 3) * + *"]• ^ ' -"
При v - 1/2 из C) и D) имеем соответственно
jf^<^/>*<_?_, ,>0, E)

104 Гл. 4. Неполные гамма-функции
105 - 10*2 ^ _, * г2 ,2 . ^ 945 - 210*2 + 32*4
<*-*** j/*< 20z *>o. F)
105 + 60*2 + 12s4 ^ J 0 ^ 945 + 420*2 + 60*4 '
Если взять, например, z = 1, то получим
0.52381 < 0.53808 < 0.6, G)
0.53672 < 0.53808 < 0.53825. (8)
4.4.2. ФУНКЦИЯ ГA/, z)
Используя условные обозначения, принятые в 4.3.2 B), обозначим
функцию En (i/, z) через En (v, z, a) и т.д. Тогда
если z -> oo, имеем равенство. Если взять i» = 1 и 2, получим
соответственно
—4 < *-** Г t^e-* dt < * + * , B)
# + 1 — V J z Z + 2 — V
z* + E-v)z + 2 C)
z2 + 2C - v)z + B - v)C - v) *
где z и f имеют те же значения, что и в 4.4.1 A). Отсюда для v = 0
мы имеем
—*-— < ze* Г t-ie-* dt < ^4-4" > 0<z<oo, D)
z +1 J z z -\-1
*(* + 3) ,Г , fJ, «2 + 5* + 2 . ,,\
^ + 4, + 2<^J/"lg"t^<^ + 6, + 6' <><*<«, E)
При z = 2 из неравенств E) получаем
0.71429 < 0.72266 < 0.72727. F)
Гаучи A959 а) доказал, что
\ [(zP + 2I/Р -г] < exp (zP) / ex?(-tP)dt4cp[(zP + c~lY/p-z],
ср=[ГA + 1/р)Р/(Р-1>, 0<2<eo. G)

4.5. Несколько замечаний о вычислении неполной гамма-функции 105
4.5. Несколько замечаний
о вычислении неполной гамма-функции
Последующий анализ должен помочь эффективному
использованию приводимых здесь таблиц для вычисления неполной
гамма-функции в комплексных плоскостях ги^, каждая из которых
соответствующим образом разрезана.
Наилучшим методом вычисления простых частных случаев
неполной гамма-функции являются рассмотренные выше чебышевские
разложения. Поскольку | Т* {%) | <: 1 при 0< х4 1, можно легко
вычислить погрешность, если эти ряды усечены; для этого следует просто
просуммировать абсолютные значения отброшенных коэффициентов.
Следует сказать, что суммирование чебышевских рядов легко
выполняется методом, который описан в п. 11.8. Что же касается
значений v, не представленных в таблицах этой главы, то
чебышевские коэффициенты можно легко получить с помощью рекуррентных
соотношений, используя их в обратном направлении.
При произвольных значениях v и z для средних значений v
наилучшие результаты достигаются с помощью рациональных приближений
и приближений Паде. В самом деле, из п. 4.3.1 видно, что поведение
приближений Паде для функции Н (i/, z) похоже на поведение этой
функции при большом | v |, v — неотрицательное целое число.
Следовательно, большие значения | v |, о которых только что шла речь, вполне
допустимы в п. 4.3.1. Однако из 4.3.1A2) ясно, что для заданного п
погрешность растет, если R (i/) -* — <», v — неотрицательное целое число.
На основании результатов, полученных Гаучи A967), можно
сделать вывод, что у(ь>, z) является минимальным ранением уравнения
4.2(9), из чего следует, что соотношение 4.2 (9) можно применять в
обратном направлении. В данном случае нам необходимо иметь две
исходные величины, которые можно легко получить из представлений,
данных в пп. 4.1, 4.3 и т.д. В силу 4.2A) очевидно, что для
вычисления функции y(v, z) вместо соотношения 4.2(9) вполне можно было бы
использовать соотношение 4.2G), применив его в обратном
направлении. В результате простого анализа соотношения 4.2 G) видно, что
величины погрешностей будут непременно уменьшаться, если \z/ (ь> + 1)|<
< 1. Если же | z/ (у + 1)|| > 1, величины погрешностей будут
обязательно возрастать, но при возрастающей g(u9 z) относительная ошибка в
искомом решении либо будет иметь слабое влияние, либо никакого
влияния иметь не будет. В соотношении 4.2 G) заменим v на v + m -1,
гдет/ фиксировано, am- целое число. Рассмотрим формулы
1F1 A; v + 1; z)T{m -ь v + 1)
<*(*, t) = Pt/ps , Pn
1F1 A; m + v + l; z)zmT{v+\)
A)

106 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Гаучи A972) показал, что при переходе от шага s к шагу t величина
погрешности увеличивается, если ръ > ps , и уменьшается, если рь <
< ps . Говорят, что рекуррентное соотношение 4.2G) устойчиво для
искомого решения 1F1 A; v + 1; z), если имеемся такая положительная
константа С, что sup a (s, tL С < «> для s < t. В противном случае
это соотношение неустойчиво. Для получения идеальных результатов
рекуррентную формулу 4.2G) следует применять в направлении
убывания рт. Для получения равномерных асимптотических оценок функции
1F1 A; v + 1; z), если обе величины v и z большие, необходимо
провести подробный анализ соотношения A).
Теперь рассмотрим функцию Г (у, z). Как видно из 4.3.2A5), для
эффективного использования приближений Паде необходимо, чтобы
величина | к | была большой. Так, если R {и) возрастает, то для
сохранения одного и того же уровня точности необходимо, чтобы п также
возрастало. Если величина | i/j большая, R (v) < 0, то очень хорошие
результаты дает применение приближений Паде на соответствующих
секторах комплексной плоскости (см. п. 4.3.2). Ясно, что функция Г(г/, z)
не является минимальным решением уравнения 4.2 (9), поэтому, если
для вычисления Г(г/, z) используется соотношение 4.2(9), его следует
применять только в прямом направлении. Если учесть соотношение
4.2 B), то для вычисления функции G(v, z) можно применить
соотношение 4.2(8). Заменим в 4.2 (8) величину v на^ + т — 1, где i;фиксировав
am — целое число. И в этом случае имеем аналогичное A)
соотношение, где
= I Г {и, z)T(m + v) | ^)
т J Г(/71 + 1/, Z)T{V) I '
И здесь, так же как и в предыдущем случае, для получения идеальных
результатов с помощью 4.2(8) необходимо, чтобы величина рт убыва-
ла. Полный анализ соотношения B) невозможен прежде всего из-за
отсутствия равномерных асимптотических оценок функции Г (и, z) при
больших i/иг.
Ситуация станет более ясной, если мы рассмотрим некоторый
исследованный Гаучи A972) частный случай. Допустим, нам необходимо
вычислить интегралы
оо
Еп (*) = f t~n e~xt dt, п=1,2, ..., x > 0, C)
1
Еп(х)=х»-'ГA-п,х), D)
использовав для этого рекуррентную формулу
En+,(x) = [e-x-xEn(x)]/n.
E)

4.5. Несколько замечаний о вычислении неполной гамма-функции 107
Теоретически эту рекуррентную формулу следует применять в том
направлении, в котором происходит убывание величины
*" ?, (ж)
о= 1__ . F)
" »!*B+i(*)
Если о, ,$ 1, то я < 0.61006..., и можно показать, что an убывает на
множестве положительных целых чисел от 1 до 0 и, таким образом,
формула E) будет устойчивой в прямом направлении. Если % > 0.61001
..., то an сначала возрастает, а затем после достижения максимума
в точке п0 = [х] монотонно убывает до нуля. Гаучи A972) дает
несколько графиков поведения^ для х = 0.1, 0.5, 2, 5, 10, 15, 20. Если
увеличение погрешности функции an не превосходит допустимых
пределов, то формулу E) можно применять в прямом направлении для всех
п = 1, 2, 3, ... . Если же увеличение погрешности превосходит
допустимые пределы, то для получения Еп при 0 < n < nQ следует применять
рекуррентную формулу в обратном направлении, если же n > nQ, то в
прямом направлении. Здесь для определения исходной величины Еп
необходимо воспользоваться каким-то другим методом. °
В качестве еще одного примера рассмотрим вычисление
Г (т + 1, z) = т ! e~~z em (z) = zm e~~z G (m + 1, z),
G)
em(z) = 2 zk/k\
k =0
при помощи соотношения 4.2(8). когда v = т. В этом случае из B)
получаем соотношение рт = [ | ет {z) \ ] ~1 , откуда следует, что
рекуррентную формулу 4.2 (8) можно с уверенностью применять в прямом
направлении, если R {z) > 0. Гаучи A972) дает графики поведения рт
при z < 0, из которых видно, что применение формулы 4.2 (8) в прямом
направлении целесообразно на отрезке 1 <: т <: [-z] и сомнительно на
отрезке [ — z]< т 4 °° •
Если нам известны значения функции Г(^), то вполне естественно
возникает вопрос, какую же из функций y(i/, z) или Г(ъ>, z) в формуле
4.1 B) следует вычислять с помощью аппроксимаций Паде (см. п. 4.3).
При малых и средних значениях z (z фиксировано, | arg z\ <п) функцию
у(у, z) лучше всего вычислять с помощью приближений Паде для
функции Н {v, z), рассмотренных в п. 4.3.1, а не приближений Паде п. 4.3.2.
В самом деле, приближения для функции Н {v, z) имеют силу при любых
значениях z и v, когда v не есть отрицательное целое число; наилучшие
же результаты с помощью приближений Паде для функции Г (u, z)
можно получить лишь при средних значениях v и при условии, что величина

708 Гл. 4. Н еполные гамма-функции
| z | большая и z подчинено ограничениям 4.3.2A5). Как видно из
формулы 4.3.1 A1), с увеличением п значения функции Vn (u, z) довольно
быстро убывают, так как
vn +i W> z) z2(n+ 1)(я + у+ 1 - a)
Vn (и, z) Bn + v + l -a)Bn + v + 2- aJBn + v + 3- a)
x exp [ *(*-4i/ + 4q) ][1 + О (и ~3)], (8)
2 B тг -h v + 1 — a)Brc + i/ + 3 — a)
а при тех же условиях значения функции Тп (и, z), см. 4.3.2A5),
убывают очень медленно, поскольку
Т I \
**1 = ехР [- 2 (ж/ ф ][ 1 + О (к ' *)]. (9)
Tniy9z)
На самом же деле для вычисления функции T{v) нужно с помощью
приближений Паде вычислить две неполные гамма-функпщ, поскольку.
1» = уAл z) + F(v, z); A0)
см. Люк A970 б). Здесь z произвольно, | arg z \ < п, и, как стало ясно,
z = 8 - вполне подходящее значение. В упомянутой выше работе даны
таблицы (здесь не представленные), дающие возможность еще более
упростить определение погрешности в приближениях Паде.
Для того чтобы анализ бщл полным, нам следует рассмотреть
случай, когда v умеренной величины и, скажем, v — действительное
число, величина | z \ — большая и z лежит в секторе, включающем
arg z = 7г, например, | arg ze ~l7T\ <6, 6 = тг/4. Здесь для вычисления
величины Г {и, z + h), зависящей от функции Г {и, z) и ее производных,
мы предлагаем использовать разложение в ряд Тейлора. Для
определения значений функции Г(щ z) вычисляем функцию у {у, z) так, как
это было сказано выше, и используем соотношение Г (и, z) = Г (и) -
- y(i/, z), v ^ 0. При v = 0 мы используем соответственно 4.6.1A,8)
либо 4.6.1 B,9) и приближения, представленные в п. 4.6. Либо можно
вычислить функцию T(i/, ze ~l7T) с помощью приближения Паде,
когда п фиксировано, величина | z \ - большая, | arg ze ~ъ n \ <в.
Последующий анализ разложений в ряд Тейлора справедлив для
всех и, за исключением особо оговоренных случаев. Так, случай,
когда v = 1/2, т.е. когда функция ГA/2, z) связана с функцией
ошибок, является совершенно исключительным с точки зрения
соотношения 4.8.1 B7), и поэтому его рассмотрение отнесено в конец этого
раздела.

4.5. Несколько замечаний о вычислении неполной гамма-функции 109
Имеем следующие разложения в ряд Тейлора:
I>,z + ft) = I>,z) + 2 7*Ц1- D'+1 1>, *)+«N(z), (И)
D' + 1 Г>, *) = (-l)r+1 ш"-Л-т A - i/)r e~Vi (-^ ^ " г; *) A2)
Г+1 „I/ -1 —Z
Fn(-r,l-i/j-l/*)
2* О
= (-1)' + 1 г""' A - „)r 1F1 („; „ -r; -*).
A3)
A4)
Здесь формула A3) справедлива при любых значениях и, формулы A2)
и A4) справедливы при любых значениях и, кроме v = m + I, г > m +1
И1/=1-ш,1л>1, где тп - положительное целое число либо нуль. Анаг
лиз случая, когда v = m + 1, не вызывает никаких затруднений,
поскольку функция Г(т -ь 1, z) определяется формулой G). Кроме того, мы
имеем соотношение
771 х 7
zm"e~x
(m+ l)!
,F, A; m + 1; z),
A5)
где функция 1F,, легко вычисляется разложением в ряд или с помощью
приближений Паде, рассмотренных в п. 4.3.1. Что же касается второго
исключения, когдаi/ = 1 — m, m> 1, то мы имеем
/>г + 1ГA-го,г) =
(-1)
г + 1 „—z —m —г
(от + Г - 1)!
(ш-1)!
х 1F1 (— г; 1 — ш— г; г), т> 1,
A6)
D
г + 1
Г(т + 1, z) = <
/ 1 *Г +1 -771 | —Z
iZii _ 1F, (-m; г + 1 - m; z), r>m^
(r-m)\ A7)
(_1)Г + 1-"|г!
1F1 (г + 1; г + 1-ттг; -z),
(Г -771)!
г>ет. A8)
Легко показать, что если i/ = m + 1, ряд Тейлора сходится для всех h,
если же v 4 m + 1, он сходится для | h/ z \ < 1.
Из формул A4) и 7.3.2B) вытекает, что DTT{v, z) удовлетворяет
следующему рекуррентному соотношению:
^r+2 + (r + 1 + z~v^r+i +rgr =0. A9)

110 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Можно показать, что если v = m + l, r >т, функция DTT(v, z)
является минимальным решением соотношения A9), и она не будет
минимальным решением соотношения A9), если i/не есть положительное
целое число. На этом мы и закончим рассматривать случай v = т + 1.
Если v не есть положительное целое число, соотношение A9) нельзя
применить для определения q г по дг + , к дг+2, но на основании теоремы
Уимпа A972) оно вполне может быть применено в прямом направлении,
т.е. для определения qr+2 no дг+1 и qr. Дело в том, что относительная
погрешность, получаемая при вычислении функции DrT(i/, z) с помощью
соотношения A9), когда мы применяем его в прямом направлении, будет
мала, если малы исходные погрешности в значениях функций Г(и, z)
и DT(v, z) и если малы относительные погрешности значений функций
DsT(i/, z), s<r.
Идея использовать ряд Тейлора для вычисления функции Ei (± х)
была предложена и исследована Дидри и Ги A962). Флекнер A968)
исследовал применение этого метода для вычисления интегралов Френеля.
Как уже было нами замечено, функция ошибок представляет собой
исключительный случай. Так, если
у(г) = ez erfc (z) , B0)
то с помощью ряда Тейлора и соотношения 4.8.1 B6) имеем
y(z + h)= I (-l)*BA)*f*erfc(z). B1)
k = 0
На основании 4.8.1 B9) этот ряд сходится для всех h. Функция ineric(z)
является минимальным решением соотношения 4.8.1 B7), которое
совместно с соотношением нормировки i ~*1 erfc Ы = 2 е ~~2 /п/2 можно
применить в обратном направлении для вычисления нужных значений
функции ikeric (z). Подробный анализ этого случая дает Гаучи A970 stj*
И наконец, рассмотренные в п. 4.8.4 приближения для функции
ошибок с помощью правила трапеций являются универсальной схемой для
вычисления этой функции по всей комплексной плоскости.
4.6. Интегральные показательные функции
4.6.1. СВЯЗЬ С НЕПОЛНОЙ ГАММА-ФУНКЦИЕЙ
И ДРУГИЕ СВОЙСТВА
ooel'S
?1(^) = ~Ei(-z)= / *-1e-'А =Г@, z) = e~z VA; 1; z). A)

4.6. Интеграпьные показательные функции 111
Относительно выбора пути интегрирования см. соотношение 4.1 C) и
комментарий, следующий за ним.
Ei(*) = -V. P. / *~1e-< dt
— х
X
= V. Р. / *-V dt =-Г@, -x) = exU(l; l;-x),x> 0.B)
Ei(ar) = Ei(— ze±in) T «V. C)
Щ±Ъ) = e^zliyn \*?L I T^l 1. D)
«- W lv—1/2 ^ Ul/2J
f t-\l - e~l) dt = lim {a-V* - y(a, *)} E)
J 0 a-»0
J» n=l я!
|%-Hl-«-')A=«2F2(^|-z). G)
ВД + (y + I" *) = f «"HI - О А- (8)
Ei(*) - (y + in z) = f «-!(«' - 1) dt. (9)
П-я,*)= idil[^(n + i)-b *]-*-» i hl^ii . (io)
A; ^ ra
4.6.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА
z
Разложения для функции 1 t "~1 A - е ±f) ^ следуют из
соотношений 4.6.1 G) и 5.10.2A0). Эти разложения можно также получить из
соотношений 11.6.2(9 - 12) и уже известных нам чебышевских
разложений для показательной функции. Разложения для функций ?1 (z) и ЕЦя)
следуют из соотношений 4.6.1A,2) и 5.10.1A1).

112 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Таблица 4.1
Чебышевские коэффициенты для интегральной показательной функции
и функций, связанных с ней
/*-1A-е-у*= 2 anT*{x/8) /*-1(ег-1)^= 2 ЬпТ*(х/8)
О п =° 0 п =0
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2Ъ
24
1.67391
1.22849
-0.31786
0.09274
-0.02602
0.00674
-0.00159
0.00034
-0.00006
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
о.ооооо
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
71
435^7
447Я5
98982
60391
7 3631
81530
89706
59445
85365
24859
21013
03281
00477
00065
00008
0000 1
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
42720
47155
98373
9729?
69001
94642
89342
38800
26820
32391
44638
84479
68786
05816
32101
00281
11422
01233
00126
000 12
00001
00000
00000
00000
00000
______ W ^J. ~
57853
95018
61369
19112
19930
28057
25285
95403
11094
73701
71704
81081
45154
88192
93692
01125
29304
07945
48523
35706
15226
10276
00878
00072
00006
П
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
100.45508
166.43057
98.99379
46.29118
17.72313
5.72909
1.60025
0.39319
0.08619
0.01704
0.00307
0.00050
0.00007
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
ьп
96546
54008
59517
62994
53141
85775
92468
28655
01547
87404
16972
80630
76592
10326
146 39
01822
00213
00023
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
02520
54275
45053
06148
47393
35024
73221
59692
03137
95589
52687
37137
68861
32657
27623
17797
57358
65156
48223
24755
02351
00213
00018
00001
00000
00000
00000
00000
21261
91901
15793
50738
99804
78695
35378
28983
60832
22176
03632
14702
29861
22594
35879
31061
09922
95193
35860
84899
98394
34535
51442
54002
12299
00945
000 70
00005
it~le-ldt =*-!<?"* 2 см2?EД)
X П=0
х >.5
V. P. fr^dt =x"V 2 ^Т*(8Д)
ос П=0
X >,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.92078
-0.07343
0.00520
-0.00050
0.00005
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
51444
41178
98119
21407
92079
80856
12372
02075
00375
00072
53893
31621
67272
19895
69379
45130
03656
01768
60054
54109
91645
28775
32977
99012
26337
97880
47926
60 70 3
74022
76004
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.08158
0.08967
0.009 32
0.00134
0.00004
-0.00009
-0.00003
0.00000
0.00000
0.00000
51832
51661
57117
14749
44875
44120
55365
13764
47035
04780
53608
74404
93980
99410
08106
60877
08652
01560
53094
19500

4.6. Интегральные показатепьные функции 113
Продолжение табл. 4.1
ft~le-*dt =x-le-* 1 спТ*{Ь/х)
х п=0
х >, 5
V. P. rt-le*dt = x~le* 2 dnT*(Q/x)
-оо П=0
я> 8
п
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
сп
00014
ооооз
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
81816
17956
71269
16612
04011
01000
00256
00067
00018
00005
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
01182
82863
35828
31319
55069
38792
93341
80374
34785
08209
43861
41560
12238
03669
01119
00347
00109
00035
000 11
00004
00001
п
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
2а
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
dn
-0.00000 06457
-0.00000 01031
0.00000 01066
0.00000 00138
-0.00000 00204
-0.00000 00003
0.00000 00040
-0.00000 00006
-0.00000 00007
0.00000 00002
0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
0.00000 00000
-0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
-0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
-0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
-0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
19093
03516
10083
53456
26935
99461
73797
14592
33329
98349
88133
92197
06840
19820
08394
01913
02849
00634
00485
00377
00037
00087
00051
00001
00014
00008
00000
00002
00001
ft
-1 л -t
it = J* A - e~b)dt -(y + Ь х)
V. P. /*-V</*= f t"\et-l)dt +(y+lnx)
4.6.3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
И ПРИБЛИЖЕНИЯ ПАДЕ
Рассмотрим сначала функцию
zE(z)= ft~*(l - e-l)dt,
A)
которая является функцией гипергеометрического типа (см. 4.6.1 G)).

114 Г п. 4. Неполные гамма-функции
Рассмотрим соотношения 5.12A - 11), в которых z и у заменены на
— г и —у, и будем считать, что г = у и
р=д = 2, а1=а2 = 1, р1=р2 = 2, а = О,
B)
/ = g = 1, с , = 2, «/, = 1, a = /8 = 0.
Тогда
Я (*>-Р„ (»>./*„ (*) + Л„(*), C)
n (-ra)fe(n + l),
Vn(z) = z" 2
-n + k, n + 1+ &, 2+ k9 1
X F
\ 1 + &, 1+ A;
|-l/zl,
Г„ (z) = г" 3F, (-m д + 1, 2; 1; - 1/z), D)
R iz) = if^l (ff/„Le-»«/2(»+i) 0(B2)f {5)
" re!
lim fi„(z) = 0 F)
П ->oo
равномерно по любым компактным подмножествам z-цлоскости, z ^ 0.
Как функция Кл (z), так и функция №„ (z) удовлетворяют следующей
рекуррентной формуле:
(п + 3)Bд + 3) 1ГП +3 (^) = B я + б)((п + 1)* + 2(n + 4)Bn + 3pn+2(z)
+ B я + 3)г((п + 3) z - 2 л Bл + 5))^ +1 (г)
-(„ + l)Brt + 5)z3ir„(z). G)
Ниже, в табл. 4.2, даны коэффициенты многочленов Vn (z) и IT {z) при
я = 0 A) 6. Люк A969) дает коэффициенты этих многочленов при п =
= 7 A) 10. В табл. 4.2 даны также значения функции Rn{z); здесь
следует заметить, что оценки, получаемые с помощью формулы E), очень
завьшены. Что же касается точности, получаемой с помощью
рассмотренных в данном пункте приближений, она несколько ниже той
точности, которую получил Люк A969), применяя для вычисления функции A)
приближения Паде. Но поскольку нам неизвестны рекуррентные
соотношения замкнутого типа для приближений Паде, предпочтение
следует отдать приближениям C).

4.6. Интегральные показательные функции 115
Таблица 4.2
Коэффициенты рациональных приближений функции
z
z-1 /*-1A-е-*)Л
о
и погрешность этих приближений
Z
Е (z) = z -1 /t-1 A - е -«) dt = Vn (z)/Wn(z) + Rn (z)
О
Л
°0»
°1>
A: =0
... ,an
0 1
1 0, 4
2 0, 3, 36
3 0, 17/3, 60, 480
4 0, 25/6, 500/3, 1260, 8400
5 0, 197/30, 210, 4620, 30240, 1 81440
6 0, 49/10, 2058/5, 8190, 1 37760, 8 31600, 46 56960
& = 0
i
1 bo> bv. . . ,ЪП
0 l
1 1, 4
2 1, 12, 36
3 1, 24, 180, 480
4 1, 40, 540, 3360, 8400
5 1, 60, 1260, 13440, 75600, 1 81440
6 1, 84, 2520, 40320, 3 78000, 19 95840, 46 56960

116 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.2
\Rn{z)\,z = reie \Rn(z)/E(z)\
Г = 1
3
4
5
6
7
8
9
10
0.5931-5)
0.1881-6)
0.376(-8)
0.7601-10)
0.1441-11)
0.259(-13)
0.439(-15)
0.6581-17)
0.1771-4)
0.2871-6)
0.6321-8)
0.1251-9)
0.2361-11)
0.4201-13)
0.7091-15)
0.1141-16)
0.4871-4)
0.7541-6)
0.1251-7)
0.2251-9)
0.4071-11)
0.7121-13)
0.1191-14)
0.1881-16)
0.3691-4)
0.5711-6)
0.9471-8)
0.1701-91
0.3081-11)
0.5391-13)
0.9021-15)
0.1421-16)
г = 2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.2721-4)
0.4071-5)
0.1401-6)
0.6021-8)
0.2291-9)
0.8251-11)
0.2801-12)
0.8981-14)
0.2911-3)
0.5431-5)
0.3791-6)
0.1541-7)
0.5791-9)
0.2081-10)
0.7081-12)
0.2271-13)
0.2191-2)
0.7031-4)
0.1881-5)
0.5591-7)
0.1851-8)
0.6261-10)
0.2061-11)
0.6461-13)
0.1191-2)
0.3821-4)
0.1021-5)
0.3041-7)
0.1011-8)
0.3401-10)
0.1121-11)
0.3511-13)
г = 3
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1341-4)
0.2261-4)
0.9181-6)
0.6651-7)
0.3701-8)
0.2011-9)
0.1021-10)
0.4921-12)
0.1481-2)
0.1551-4)
0.4491-5)
0.2531-6)
0.1371-7)
0.7591-9)
0.3911-10)
0.1891-11)
0.3171-1)
0.1801-2)
0.6741-4)
0.2331-5)
0.9361-7)
0.4311-8)
0.2051-9)
0.9521-11)
0.1151-1)
0.6551-3)
0.2451-4)
0.8471-6)
0.3401-7)
0.1571-8)
0.7451-10)
0.3461-11)
г = 4
3
4
5
6
7
8
9
10
0.8701-4)
0.7161-4)
0.2901-5)
0.3371-6)
0.2361-7)
0.1731-8)
0.1171-9)
0.7471-11)
0.4441-2)
0.1981-3)
0.3061-4)
0.1841-5)
0.1181-6)
0.9391-8)
0.6551-9)
0.4251-10)
0.284@)
0.2761-1)
0.1481-2)
0.6031-4)
0.2401-5)
0.1161-6)
0.6571-8)
0.3921-9)
0.6431-1)
0.6241-2)
0.3351-3)
0.1361-4)
0.5431-6)
0.2621-7)
0.1491-8)
0.8871-10)
г = 5
3
4
5
6
7
8
9
10
0.2861-3)
0.1661-3)
0.5981-5)
0.1131-5)
0.9051-7)
0.8531-8)
0.7101-9)
0.5661-10)
0.9751-2)
0.1021-2)
0.1451-3)
0.8831-5)
0.5261-6)
0.6481-7)
0.5711-8)
0.4631-9)
0.17511)
0.32610)
0.2421-1)
0.1291-2)
0.5511-4)
0.2371-5)
0.1271-6)
0.8311-8)
0.23010)
0.4291-1)
0.3181-2)
0.1701-3)
0.7251-5)
0.3121-6)
0.1671-7)
0.1091-8)

4.6. Интегральные показательные функции 117
Продолжение табл. 4.2
п/в
1в
Rn(z)\, z = rew \Rn(z)/E{z)\
0 n/2
3
4
5
6
7
8
9
О
0.566(-3)
0.3i5(-3)
0.916(-5)
0.295(-5)
0.25K-6)
0.297C-7)
0.290(-8)
0.267(-9)
0.172(-
0.317(-
0.504(-
0.290(-
0.142(
0.327(-
0.330(-
0.315Г
-1)
-2)
-3)
-4)
-5)
-6)
-7)
-8)
0.719C1)
0.374( 1)
0.314('0)
0.229(-l)
0.120(-2)
0.528(-4)
0.235(-5)
0.133(-6»
0.517@)
0.269@)
0.226(-l)
0.165(-2)
0.863(-4)
0.380(-5)
0.169(-6)
0.956(-8)
3 0.895(-3) 0.259(-l) 0.206B) 0.762@)
4 0.524(-3) 0.724(-2) 0.274C) 0.101B)
5 0.107(-4) 0.136(-2) 0.318A) 0.118@)
6 0.649(-5) 0.936(-4) 0.343@) 0.127(-1)
7 0.558(-6) 0.627(-5) 0.229(-l) 0.848(-3)
8 0.820(-7) 0.142(-5) 0.120(-2) 0.444(-4)
9 0.904(-8) 0.1421-6) 0.535(-4) 0.198(-5)
10 0.10K-8) 0.15K-7) Q.24K-5) 0.893(-7)
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
5
6
7
8
9
10
0.125(-2)
0.787(-3)
0.860(-5)
0.126(-4)
0.105(-5)
0.192(-6)
0.23K-7)
0.296(-8)
0.160(-2)
0.110(-2)
0.117(-5)
0.22U-4)
0.172(-5)
0.399(-6)
0.509(-7)
0.742(-8)
0.345(-l)
0.133(-1)
0.298(-2)
0.288(-3)
0.34K-4)
0.555(-5)
0.474(-6)
0.546(-7)
0.413(-1)
0.209(-l)
0.553(-2)
0.778(-3)
0.130(-3)
0.189(-4)
0.124(-5)
0.154(-6)
0.490B)
0.773B)
0.216B)
0.465A)
0.367@)
0.242(-l)
0.126(-2)
0.569(-4)
9
0.110C)
0.126C)
0*848B)
0.825B)
0.493A)
0.418@)
0.266(-l)
0.139(-2)
0.896@)
0.141A)
0.395@)
0.850@)
0.67K-2)
0.442(-2)
0.230(-4)
0.104(-5)
0.957@)
0.110A)
0.737@)
0.717@)
0.429(-l)
0.363(-2)
0.23K-3)
0.12И-4)
10
3
4
5
6
7
8
9
0
0.193(-2)
0.145(-2)
0.129(-4)
0.360(-4)
0.255(-5)
0.754(-6)
0.995(-7)
0.164(-7)
0.454(-l)
0.288(-l)
0.895(-2)
0.178(-2)
0.380(-3)
0.558(-4)
0.283(-5)
0.426(-6)
0.243C)
0.256C)
0.228C)
0.508C)
0.506B)
0.638A)
0.484@)
0.256(-l)
0.976@)
0.103A)
0.916@)
0.204@)
0.203@)
0.256(-l)
0.194(-2)
0.1031-3)

118 Гл. 4. Н еполные гамма-функцип
Таблица 4.3
Коэффициенты приближений Паде функции
00
z
и погрешность этих приближений
Относительно приведенных здесь данных см. пп. 4.3.2 - 4.3.5 при v =
= 0. Имеем
/е""^ it = e~~zz
z~ -1
С„@, »)
+ Tn@,z)
, z 4 0, |argz| <ff,
Sn(z) = \e-zz-4Tn(a,z)]a=0\.
Ниже приведены коэффициенты многочленов Gn @, z) и Hn @, z) для
n = 0 A) 6. Люк A969) дает коэффициенты этих многочленов для п =
= 7 A) 10. Последующие многочлены можно получить с помощью
формулы 4.3.2A4). В этой таблице представлены также значения функции
Sn (z) для большой области значений п и z. Величину погрешности
можно получить либо из формулы 4.3.2A5), либо из формулы
4.3.3A2).
Gn@, z)= 2 akzn~k, a=0
k =0
a0>aV • ¦ • > an
0 ]
1
2
3
4
5
6 ]
»
• t
t
. t
. *
f
1
5, 2
lit 26, 6
19, 102, 154, 24
29, 272, 954, 1044, 120
41, 590, 3648, 9432, 8028,
720

4.6. Интегральные показательные функции 119
Продолжение табл. 4.3.
Hn@,z) = 2 b,zn-k, a=0
А; =0
Ь0, bv
>ъп
0 1
1 It 2
2 1, 6, 6
3 1, 12, 36, 24
4 1, 20, 120, 240, 120
5 1, 30, 300, 1200, 1800, 720
6 1, 42, 630, 4200, 12600, 15120, 5040
Сп@,г)
П
CLZ
n —к
к =0
= 1
n
0
1
2
3
4
5
6
0
1,
1,
1,
1,
1 f
1,
C0> СЛ>
0
3, 0
8, 11, 0
15, 58, 50, 0
24, 177, 444, 274, 0
35, 416, 2016, 3708, 1764, 0
Я„@, z)= 2 dkz
к =0
n-k
a =1
do> d1>
»«*„
0
1 ]
2 ]
3
4
5
6
,
f
»
I.
,
,
1
4, 2
9, 18, 6
16, 72, 96, 24
25, 200, 600, 600, 120
36, 450, 2400, 5400, 4320,
720

Продолжение табл. 4.3
Sn(*)> z = rel
г = 1
Ve
4
6
8
12
16
20
0е
0.9011-3)
0.172(-3)
0.4141-4)
0,363(-5)
0.4551-6)
0.7 20(-7)
45е
0.1841-2)
0.3961-3)
0. 1061-3)
0.1111-4)
0.1621-5)
0.2951-6)
еое
0.3141-2)
0.742(-3)
0.2151-3)
0.2591-4)
0.4261-5)
0.8601-6)
75°
0.6101-2)
0.162(-2)
0.519(-3)
0.7451-4)
0.1421-4)
0.329(-5)
90е
0. 133(-i)
0.4081-2)
0. 1^7(-2)
0.2601-3)
0.5941-4)
0.160(-4)
п/в
4
6
8
12
16
20
105°
0.322(-1)
0.1161-1)
0.4791-2)
0.107(-2)
0.301(-3)
0.9731-4)
120е
0.8501-1)
0.36П-1)
0.175(-1)
0.5121-2)
0.180(-2)
0.7101-3)
135е
0.241@)
0.121@)
0.695(-1)
0.2741-1)
0.123(-1)
0.6021-2)
150е
0.729@)
0.417@ )
0.291@)
0.164@)
0.9231-1 )
0.5681-1 )
165°
2.2 74@)
1.32М0)
1.199@)
1. 164@)
0.694@)
0.556@ )
г = 2
п/в 0е 45е 60е 75е 90°
4
6
8
12
16
20
0.1841-4)
0.184(-5)
0.250(-6)
0.823(-8)
0.444(-9)
0.3321-10)
0.5431-4)
0.635(-5)
0.995(-6)
0.4191-7)
0.280(-8)
0.253(-9)
0.1211-3)
0.1611-4)
0.2801-5)
0.1431-6)
0. 112(-7)
0.1171-8)
0.326(-3)
0.506(-4)
0.1021-4)
0.6571-6)
0.635(-7)
0.800(-8 )
0.103(-2)
0.193(-3)
0.458(-4)
0.395(-5)
0.490(-6)
0.770(-7)
п/9 105° 120е 135° 150е 165°
4
6
8
12
16
20
0.3701-2)
0.8681-3)
0.250(-3)
0.300(-4)
0.495(-5)
0.100(-5)
0.147(-1)
0.444(-2)
0.159(-2)
0.277(-3)
0.627(-4)
0.1б8(-4)
0.627(-1)
0.252(-1)
0. 114(-1)
0.2971-2)
0.952(-3)
0.347(-3)
0.280@)
0.156@)
0.882(-1)
0.3601-1)
0.1651-1)
0.8371-2)
1.274@)
1.098@)
0.668@)
0.502@)
0.302@)
0.227@)
г = 4
а/в 0* 45е 60е 75е 90е
4
6
8
12
16
20
0.6511-7)
0.2641-8)
0.1631-9)
0.1361-11
0.2261-13)
0.5871-15)
0.3571-6)
0.1771-7)
0.1311-8)
0.1531-10
0.3371-12)
0.1141-13)
0.1241-5)
0.7241-7)
0.6191-8)
0.9271-10)
0.2561-11)
0.1061-12)
0.5671-5)
0.4061-6)
0.4181-7)
0.8651-9)
0.3171-10)
0.1691-11)
0.3211-4)
0.2951-5)
0.3811-6)
0.1171-7)
0.604 1-9)
0.4381-10)
п/в 105е 120е 135е 150е 165е
4
6
8
12
16
20
0.2121-3)
0.2641-4)
0.4431-5)
0.2161-6)
0.1661-7)
0.1711-8)
0.1561-2)
0.2741-3)
0.6231-4)
0.5101-5)
0.6111-6)
0.9401-7)
0.1211-1)
0.3151-2)
0.1001-2)
0.1451-3)
0.2851-4)
0.6751-5)
0.9561-1)
0.3881-1)
0.1761-1)
0.4761-2)
0.1571-2)
0.5921-3)
0.69410)
0.529@)
0.313@)
0.169@)
0.9801-1)
0.5851-1)

Продолжение табл. 4.3
sn(*)>
z = re
id
n/e
4
6
8
12
16
20
0°
0.719(-9)
0.1501-10)
0.5111-12)
0.1531-14)
0.1031-16)
0.1211-18)
45*
0.7021-8)
0.1831-9)
0.769(-ll)
0.3361-13)
0.3191-15)
0.5081-17)
r = 6
60*
0.368(-7)
0.1151-8)
0.5681-10)
0.333(-12)
0.4121-14)
0.8341-16)
75*
0.27H-6)
0.1061-7)
0.6521-9)
0.5601-11)
0.97K-13)
0.2671-14)
90*
0.257(-5)
0.1341-6)
0.107<-7>
0.1471-9)
0.3831-11)
0.152(-12)
n/e
L05*
120°
135*
150*
165*
4
6
8
12
16
20
n/9
4
6
8
12
16
20
0.2861-4)
0.213(-5)
0.232(-6)
0.551 (-8)
0.2321-9)
0.1411-10)
0°
0.139(-10)
0.168(-12)
0.3531-14)
0.4511-17)
0.1451-19)
0.875(-22)
0.3451-3)
0.3871-4)
0.609(-5)
0.27K-6)
0.196(-7)
0.194(-8)
45*
0.239(-9)
0.365(-ll)
0.96K-13)
0.1851-15)
0.870(-18)
0.7391-20)
0.4221-2)
0.762(-3)
0.18K-3)
0.163(-4)
0.2151-5)
0.362(-6)
r = 8
60*
0.187(-8)
0.345(-10)
0.108(-11)
0.289(-14)
0.182(-16)
0.2021-18)
0.505(-l)
0.1541-1)
0.575(-2)
0.11K-2)
0.280(-3)
0.835(-4)
75*
0.218(-7)
0.516(-9)
0.2041-10)
0.830(-13)
0.762(-15)
0.119(-16)
0.623@)
0.308@)
0.188@)
0.822(-l)
0.41K-1)
0.22K-1)
90*
0.338(-6)
0.109(-7)
0.576(-9)
0.394(-ll)
0.573(-13)
0.136(-14)
n/e
105°
135°
150*
165°
4
6
8
12
L6
10
n/e
4
6
8
12
16
20
0.612(-5)
0.290(-6)
0.217(-7)
0.276(-9)
0.69K-11)
0.268(-12)
0*
0.132(-13)
0.663(-16)
0.635(-18)
0.202(-21)
0.193(-24)
0.388(-27)
0.116(-3)
0.866(-5)
0.9781-6)
0.255(-7)
0.119(-8)
0.805(-10)
45*
0.697(-12)
0.447(-14)
0.543(-16)
0.2731-19)
0.398(-22)
0.119(-24)
0.208(-2)
0.267(-3)
0.484(-4)
0.284(-5>
0.266(-6)
0.332(-7)
r = 12
60*
0.120(-10)
0.935(-13)
0.138(-14)
0.990(-18)
0.202(-20)
0.819(-23)
0.332(-l)
0.80H-2)
0.247(-2)
0.354(-3)
0.702(-4)
0.170(-4)
75*
0.348(-9)
0.352(-ll)
0.665(-13)
0.769(-16)
0.24K-18)
0.146(-20)
0.442@)
0.227@)
0.127@)
0.469(-l)
0.206(-l)
O.lOO(-l)
90*
0.14 К-7)
0. 198(-9)
0.516(-11)
0.108(-13)
0.579(-16)
0.574(-18)
n/e
105*
120*
135*
150*
165*
4
6
8
12
16
20
0.6571-6)
0.139(-7)
0.537(-9)
0.230(-ll)
0.235(-13)
0.417(-15)
0.289(-4)
0.102(-5)
0.633(-7)
0.635(-9)
0.137(-10)
0.476(-12)
0.102(-2)
0.6751-4)
0.7381-5)
0.1981-6)
0.9991-8)
0.7391-9)
0.2561-1)
0.3671-2)
0.780(-3)
0.6391-4)
0.8221-5)
0.1391-5)
0.466@)
0.165 10)
0.7371-1)
0.2021-1)
0.7121-2)
0.2891-2)

722 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.3
г = 16
n/e О* 45* 60* 75* 90*
4
6
8
12
16
20
0.254(-16)
0.638(-19)
0.324(-21)
0.334(-25)
0.118С-28)
0.955<-32)
0.416(-14)
0.132(-16)
0.858,-19)
0.142(-22)
0.786(-26)
0.9791-29)
0.158<-12)
0.6091-15)
0.479<-17)
0.116(-20)
0.919(-24)
0.16Н-26)
0.114<-Ю)
0.569(-13)
0.580(-15)
0.232(-18)
0.293(-21)
0.796(-24)
0.122(-8)
0.842<-11)
0.119(-12)
0.896(-16)
0.204(-18)
0.957(-21)
п/е
4
6
8
12
16
20
105*
0.145(-6)
0.152(-8)
0.324(-10)
0.53И-13)
0.247(-15)
0.222(-17)
120*
0.147(-4)
0.258С-6)
0.918(-8)
0.385(-10)
0.416(-12)
0.803(-14)
135*
0.984(-3)
0.334(-4)
0.223(-5)
0.287<-7)
0.819(-9)
0.377(-10>
150*
0.355(-1)
0.285(-2)
0.410(-3)
0.1941-4)
0.166(-5)
0.20П-6)
165*
0.560@)
0.156@)
0.560(-1)
0.115(-1)
0.329(-2)
0.1121-2)
г = 20
п/е
4
6
8
12
16
20
0*
0.754(-19)
0.106(-21)
0.314(-24)
0.124(-28)
0.185(-32)
0.689(-36)
45*
0.383(-16)
0.675(-19)
0.2561-21)
0.163(-25)
0.3901-29)
0.228(-32)
60*
0.323(-14)
0.6851-17)
0.315(-19)
0.2951-23)
0.103(-26)
0.8571-30)
75*
0.5861-12)
0.1591-14)
0.946(-17)
0.148(-20)
0.844(-24)
0.113(-26)
90*
0.165(
0.616(
0.509(
0.154(
0.163(
0.389(
п/е 105° 120* 135* 150* 165*
4
6
8
12
16
20
0.5101-7)
0.283(-9)
0.355(-11)
0.24К-14)
0.5461-17)
0.2651-19)
0. ПК-4)
0.1111-61
0.233(-9)
0.4301-11)
0.2431-13)
0.273(-15)
0.1591-2)
0.274(-4)
0.1111-5)
0.690(-8)
0.115(-9)
0.339(-11)
0.857(-1)
0.340(-2)
0.319(-3)
0.860(-5)
0;494(-6)
0.434(-7)
1.691@)
0.191@)
0.5321-1)
0.807(-2)
0.185(-2)
0.534(-3)
4.7. Интегральный косинус и интегральный синус
4.7.1. СВЯЗЬ С ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ
И ДРУГИЕ СВОЙСТВА
-9)
-12)
-14)
-17)
-20)
-23)
Ci(a, z) + i Si(a, z) = Г t—e" dt = е™а-")/2у(\ - a, ze~iir/2)y
R(«) < 1. A)

4.7. Интегральный косинус и интегральный синус 123
К A -«) 2'K3-<x),i
—«2
/;
t~" Sin tdt = -Г7Г-
o B
a) ^« lK4 - a), !
J-) , R(cc) < 1. B)
j-) , R(«) < 2. C)
Ci(*) + /(тг/2 - Si(*)) = -?¦,( *e'"/2) == f rJe-" Л.
Ci(*) - (y + In s) = — f f-^l — cos t) dt
= -(*,/4)At,12,U|-*,/4)"
ei(*) + W2 = Si(«) = Г ri sin t Л = z jF, (з^^ з/2 | ~*2/4)
Ci(«) + tsi(*) ~ -z-Wiz-13F0CI2,1,1; -4/*2)
+ ч^оA/2, l.l;-4/*2)},
| г | —>- oo, | arg г | < w — e, e > 0.
D)
E)
F)
G)
4.7.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА
Таблица 4.4
Чебышевские коэффициенты для интегрального косинуса
и интегрального синуса и связанных с ними функций
/г~1 A - cos t)dt =2a/2^/8)
О п = 0
ft~'sin tdt =2 bnT2n+1(*/8)
n=0
0
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.94054
0.94134
-0.57984
0.30915
-0.09161
0.01644
-0.00197
0.00016
-0.00001
0.00000
a
n
91464
09132
50342
72011
01792
37407
13091
92538
09 39 3
05522
83554
86521
92992
15927
20771
51546
95216
85083
29573
38 574
v>^ «"
93374
34390
76547
13017
33969
24963
41024
49925
10627
83778
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.95222
-0.68840
0.45518
-0.18045
0.04104
-0.00595
0.00060
-0.00004
0.00000
-0.00000
К
097 59
42321
55132
71236
22133
86169
01427
44708
25300
01141
53071
25715
25584
83877
75859
55588
41414
32910
78230
30 759
08224
44408
84126
85342
23964
85229
43021
74925
75133
30294

124 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.4
ft-Ц! - cos t)dt = ! anT2n(x/%) ft-lsintdt =1 bnT2n+1(x/8)
О п=0 О n=0
-8< л:< 8
10
11
12
13
14
15
16
17
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
00223
00007
00000
00000
00000
00000
00000
00000
99493
46533
20818
00^9 3
00010
00000
00000
00000
31410
25345
33157
12353
04784
17803
00277
00004
10
11
12
13
14
15
16
0.00000 00041
-0.00000 00001
0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
-0.00000 00000
0.00000 00000
85783 94210
27347 05516
03267 36126
00071 67679
00001 36020
00000 02255
00000 00033
x n = 0
с =#@ + Н(с„)
n v n ' ч n '
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
*(«„)
0.97615
-0.03046
-0.00578
0.00083
-0.00002
-0.00001
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
52711
56658
07368
86432
15746
56456
40400
04349
00534
00385
00100
00012
00001
00001
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
28712
03069
31483
56650
20728
41351
10138
85305
30218
02885
73535
80496
86917
70673
58800
12157
00474
00905
00500
00166
00034
OOOOO
00003
00002
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
28562
59120
85631
89313
12156
02321
43204
97434
60611
51259
82172
19406
28895
48371
44115
23809
81418
90381
96832
16291
84536
57400
68837
178^22
81978
21304
02270
01445
01220
00577
00199
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.08968
0.08508
-0.00507
-0.00033
0.00012
-0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
Псп)
45854
92472
18267
42234
85606
52025
05958
07134
01760
00192
00033
00024
00007
0000 1
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
91642
92794
77756
15981
50086
51359
96122
72533
03581
57654
63591
2546H
13431
14604
06784
12656
05323
01400
00180
00050
00046
000 19
00005
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
OOOOO
30208
52754
90802
73821
06518
72619
75216
53084
15661
44417
94377
70827
29834
07035
17843
12487
09477
46450
45804
26164
00566
53107
62862
89561
16803
21351
10783
03813
00919
00052
00099

4.7. Интегральный косинус и интегральный синус 125
Продолжение табл. 4.4
ft-ie-i'dt =-ix-1e-ix 2 спТ*(Ъ/х), х>5
X П=0
cn = R(cn)+ il(cn)
Жс«)
'(«»>
31 0.00000 00000 ООООО 00046
32 -0.00000 ООООО ООООО 00001
33 -0.00000 ООООО ООООО 00006
34 0.00000 ООООО ООООО 00005
35 -0.00000 ООООО ООООО 00002
36 0.00000 ООООО ООООО 00001
31 -0.00000 ООООО ООООО 00073
32 0.00000 ООООО ООООО 00034
33 -0.00000 ООООО ООООО 000 1?
34 0.00000 ООООО ООООО 00003
/ t 1 cos t dt = ft 1 A - cos t)dt -(y + In x)
x 0
oo X
ft" sin t dt = тт/ 2 — f t~* sin t dt
x 0
/ t-\-il dt = *~1 е~1х[х-ЛР(х) - iQ(x)]
X
P(x)= i ej2n@/x) Q(x)= 2 /Br2n(8/*)
n =0
л =0
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
H
0.96074
-0.03711
0.00194
-0.00017
0.00002
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
en
78397
38962
14398
16598
11263
32716
06006
01258
00293
00074
00020
00005
0000 1
00000
00000
52035
12398
88991
84?51
77532
32567
92116
67944
25634
56959
41054
95022
83229
59205
19965
л, 4. v
96305
05610
90367
47079
31466
11532
14777
03387
57996
20628
78359
30388
67411
06078
16518
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0.98604
-0.01347
0.00045
-0.00003
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
fn
06569
17382
32928
06728
31319
04211
00690
00131
00028
00006
0000 1
00000
00000
00000
00000
62382
08295
41165
86516
91976
01964
72448
83212
36974
73292
73396
47869
14032
04334
01402
59766
21313
22654
55165
01087
96310
30282
90423
32997
34255
86940
38904
34652
95713
72653

726 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.4.
ft^e-i'dt =x-le-ix[x-1P{x)~ iQ(x)]
Р(х)=2 епТ2п(Ъ/х)
п=0
Q(x)= 2 /иГ2п(8,/х)
12=0
п
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
21
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
е
п
ооооо
00000
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
06995
02536
00949
00365
00144
00058
00024
00010
00004
0000 1
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
«и "N. Q -
х ?. о
11401
85774
28512
52312
48739
51312
23290
24704
41796
93968
86623
39309
18110
08463
04009
01923
00934
00459
00228
00114
00058
000 30
00015
00008
00004
00002
0000 1
00001
п
15
16
17
18
19
20
21
22
2Ъ
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
/
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
п
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
00473
00165
00059
00022
00008
0000 3
00001
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
06173
57878
93808
37213
58807
38292
36473
56287
23698
10171
04445
01975
00892
00409
00190
00090
00043
00021
00010
00005
00002
00001
00001
/ t" cos t dt = / * A - cos t) dt -(y + In x)
x 0
/ t~y sin tdt = 7r/2 — J*?~1 sin tdt
X r\

4.8. Функция ошибок 127
4.8. Функция ошибок
4.8.1. СВЯЗЬ С НЕПОЛНОЙ ГАММА-ФУНКЦИЕЙ
И ДРУГИЕ СВОЙСТВА
Erf(*) = f е-*2 Л = hih *2) = * Л(*; f; -я2) = zer* ^A; |; *2). A)
Erfc@) = Г г-«*Л = К/г - Erf(*) = \Щ, *») = ?<г*Ш; i; «•)• B)
J г
Часто применяется обозначение erf (z) = B/ ^/1F) Erf (z).
Erfi(*) = -г Erf(«) = Г e'2 А. (З)
Erfc(s) ~ (f-V2») .PoO, 1/2; - l/*2)
I * I ->¦ oo, | arg г | < 3*-/4 - e, € > 0. D)
Erfi(*) ~ (e*llz) 2F0A,1/2; l/*2) - (in^/l),
\z | — 00, - C + 2e) W4 < arg z < C - 2e) w/4, € = ±1. E)
Чтобы получить приближения Паде для функций ошибок, следует
обратиться к анализу, проведенному нами в п. 4.3, из которого эти
приближения легко вытекают; нужные коэффициенты даны в п. 4.8.3.
Неравенства представлены в п. 4.4.2. Для удобства запишем здесь
некоторые связующие соотношения.
2 гС„A/2, -г2) 1
ErfB) = 2e-2 — +MV2, z2e~i7T) \, F)
LD„(l/2,-22, J
2 г С„A/2, г2) -1
LD_(l/2, *2) -I
г2 г СвA/2, г2)
J1/2, г2)
е-г2 Г Gn(l/2J2)
G)
Erfc(z)= —Ln(i/2,22)+r"(i/2^2)J'
г ^ 0, |arg2| <*т/2. (8)
1
ErfiB)= -— in <i€ +
е
2 'С A/2, -z2)
2 2
г
,v + T (l/2,z2ei7T)
lHn(l/2,-z2) »W
(9)
-C + 2fO7/4<arg2<C - 2е)я-/4, с = ±1.

128 Г п. 4. Неполные гамма-функции
Иногда в приложениях возникает необходимость оперировать с
функцией
2* \ t2 _ л
Ы = е-*2 #A + -4=Т fe* dt) = e~z erfc (-fc)
w V77 о
w
2
W
u(x, y)= — f — — ~ dt>
„-t2
7T _«*, (x-tJ +y2
Л оо ,2
A0)
(z) = e~z +2»ff-^Erfi(«) . A1)
• °° „-*2 2
w(z) = — / — dt + 2ae-* ,
IT _«, Z'—t
A2)
o=0, если /(я) > 0, a = 1, если /(г) < 0.
Если
z = x+iy, у > О, иф) = и(я, у) + ?г;(%, у), A3)
ТО
У г ?_'
(*-гJ+У2 A4)
в(,, У) = 2?е Х / е '~сЬ2*' Л • A5)
77 о у 2 + г
v{Xt у) = Af^L / te"fsh72^ л. A6)
77 о У + *
Определенный интерес представляет функция
Г(р.0--2-5- 7 -^-А.-<-?-)* .«'erfcfc),
g = (l-*p)/2t* ,
г(р, о = г/(р,*) + ^(р»0, A8)
где функции
оо _(р _ у ) 2 / 4t

4.8. Функция ошибок 129
оо _ip _ у ) 2/ 4?
Г(р, 0 «(^Г* / У6 л 2 dy B0)
называются функциями Войгта. Если
Р + j
2 г у>
то
У(р, 0 = f/(p, t) + iV(p, t) = (п /At)* [u(x, у) + iv (x, у)]. B1)
В работах Томпсона A965) и Вуда, Кенанаи Глессера A966)
установлено, что
(',*..'.*(,>- I ™?н-,ГГ_<„)
4г д=о (р2 + 1)гг+/г
+ *r2n+1(up)]f B2)
и = (р2 + 1) /г, ^ = A - гр)/2г1/2, риг- действительные числа,
Повторные интегралы и производные
Положим
9 -г2
r1erfc(Z)=— , i° erfcW = erfc (z) =2ir"^ErfcU) ,
ir*
oo
;П - 1
B3)
fnerfc(Z) = /i"-1erfc(t) dt.
2
Имеем
;« erfcM - e~°* F (in + 1)/2 I ^
i ertc@) - + 1) *M 1/2 Г /
¦Дп/2 + 1) x x V 1/2 I / B4)
2<r*a _ /я/2 + 1 ' -
2"-1Г[(и + l)/2] * J \ 3/2
аГзГИ-
-22
f»erfc(z) = — t/(-i±I ; J_; z2) , B5)
2" 7Г '4 2 2
d" , 22
</zn
(e 2 erfc (z)) = (-1)" n !2 n in erfc (z) . B6)

130 Гл. 4. Неполные гамма-функции
inedC{z)+{z/n)in-y erfc(z) -Bп)~1 in~2 erfc(z) = 0 . B7)
t- еНф) ~ Г ^0((я + l)/2, «/2+1; -!/*•),
2?Z
Bг)"
| z | -»- oo, I arg г | ^ Зя-/4 — e, € > 0. ,28)
i»erfc(*) = 2пГ//2 + t) [1 + 0(я-1/2)], г ограничено, n-к». B9)
4.8.2, РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА
И ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ
Щ«) = ае-^l -Ш1 [/. D-) + 4+1 D)] W*>.
-1 < х < 1. A)
00
ВЩах) = * ? ВпТгп(х), -1 < х < 1,
п=0
+ 4 V (n + k + l) /*\i
?i Bn + 2k + l)Bn + 2k + 3) n+fc+11 2 /J*
fc=0
B)
iBn + 2* + lX2» + 2* + 3)
«*" Erf(«) = /2'°2/2 I /n+i(«2/2)r2n+xW, -1 < x < 1. C)
e°8*2 Erf(a*) = * f 4,Г*(*), -1 < x < 1,
n=0
4, = ttVV2/4 ? (-1)*4+*+}(а2/2).
D)
Чтобы получить разложения для функции Erfi (г) в указанных выше
разложениях, производится очевидная замена переменной.
Другие разложения следуют из определения 4.8.1 B) и формулы
5.10.1A1).

4.8. Функции ошибок 131
Таблица 4.5
Чебышевские коэффициенты для функции ошибок
и дополнительной функции ошибок
fe~t2dt= I anT2n+,(XJ3) }et2dt= 2 ЬвГ2в+1 (*/3)
о п = 0 о
гс = 0
- 3< *< 3.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2Ъ
24
25
1.09547
-0.28917
0.11045
-0.04125
0.01408
-0.00432
0.00119
-0.00029
0.00006
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
12997
54011
63986
31882
28380
9 29 54
82719
99729
83258
42469
27354
04861
00803
00124
00017
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
77623
26989
33795
27856
70651
47431
01592
62353
60378
88454
08772
91287
8 72 76
18418
99532
45479
31625
03859
00447
00049
00005
00000
00000
00000
00000
00000
19604
01480
06164
54783
63996
43677
28759
249 30
87479
86775
83989
19754
21172
31213
58879
48775
08603
02200
20291
33613
19303
52258
05037
00466
00041
00004
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
564
427,
254
123.
50
17
5
1
О
О
О
О
О
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
о
.93377
.37482
.46516
.27359
.00015
.37648
.27074
.41638
.34133
.07451
.01486
.00272
.00046
.00007
.00001
.00000
.00000
.00000
.00000
.00000
.00000
.00000
.00000
.00000
.00000
.00000
.00000
00000
.00000
.00000
09320
53497
33961
99890
06760
41276
54850
59047
82175
87925
28131
77906
35246
33171
08451
15064
01972
00244
00028
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
26671
79790
29321
67173
82055
25572
34282
88468
99699
75012
95052
30521
74683
17103
31424
18237
06009
10182
652 74
19778
34014
03455
00336
00031
00002
00000
00000
00000
00000
00000
65422
13041
33705
81178
10310
0 7028
53383
45344
05632
09561
25783
62621
58331
43030
81434
43027
50459
48054
12590
92898
14529
73355
01288
32561
80480
24157
02004
00160
00012
00001
X
-<2dt = e
- 2 cnT2n(Z/x)
Lx rc = o
*>3
о
*2dt =
lx
2 dnT^(Z/x)
n=o
n
0 0.97508 34237 08555 92854
1 -0.02404 93938 50414 60496
2 0.00082 04522 40880 43199
3 -0.00004 34293 08130 34276
4 0.00000 30184 47034 03493
5 -0.00000 02544 73319 25082
0 1.03262 24550 64934
1 0.03455 14313 66641
2 0.00215 99451 18650
3 0.00026 45367 70758
4 0.00003 40993 28995
5 -0.00000 20792 21959

132 Гл. 4. Иеполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.5
ое 9
X
п
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
оо
/
0
dt = —
2
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
,2
X2 оо
— 2
cnT2n^M
X n=0
cn
00248
00027
00003
ooooo
00000
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
1 -
"T"'
58353
31720
30R47
43505
061*1
00922
00146
00024
00004
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
1
2~
v \ Q
x ?, о
02051
13238
22797
49080
21457
36Я28
35665
39278
24976,
77084
14507
02824
00567
00117
00025
00005
00001
X 2 Q^1 OO
jV dt= 2 «„C/x)
0
n
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
IX П=0
dn
-0.00000 35534 10422
-0.00000 09174 72782
0.00000 01451 00081
0.00000 01365 12657
0.00000 00018 58501
-0.00000 00185 45233
-0.00000 00014 17393
0.00000 00028 37303
0.00000 00001 92580
-0.00000 00004 92284
0.00000 OOOOO 04740
0.00000 OOOOO 90213
-0.00000 OOOOO 13272
-0.00000 OOOOO 15602
0.00000 OOOOO 05643
0.00000 OOOOO 02055
-0.00000 OOOOO 01693
-0.00000 OOOOO 00015
0.00000 OOOOO 00384
-0.00000 OOOOO 00111
-0.00000 OOOOO 00055
0.00000 OOOOO 00045
-0.00000 OOOOO 00003
-0.00000 OOOOO 00010
0.00000 OOOOO 00005
0.00000 OOOOO 00001
-0.00000 OOOOO 00002
4.8.3. ПРИБЛИЖЕНИЯ ПАДЕ
Таблица 4.6
z
Коэффициенты приближений Паде к функции f e* t~%dt
и погрешности этих приближений 0
Эти приближения следуют из формул, представленных в п. 4.3.1
при I/ = 1/2; см. также 4.8.1 F - 7). Мы имеем
2 , , гСяA/2, z) -]
1еЧ-Ъ*=2ежгЪ Г " , +V A/2, z) ,
126***^A/2,*)! =\n/4z\a Rn(z)[l+0(n-3)].
Ниже приводятся коэффициенты многочленов Сп A/2, *) и Dn A/2, *)
для л = 0AN, а = 0 и а = 1. Коэффициенты этих многочленов для п =
= 7A) 10 можно найти в работе Люка A969). Последующие многочлены
можно получить из формулы 4.3.1 A5). В таблице также представлены
значения Rn (*) для широкой области значений п и *

Продолжение табп. 4.6
L к = 0
n aQ9 a,9 . . . , an
0 I ~~'~—'
1 -4, 15
2 32, -210, 945
3 -128, 1932, -9240, 45045
4 2048, -43560, 5 40540, -22 52250, 114 86475
5 -8192, 2 81424, -38 91888, 453 33288, -1745 94420, 9166 20705
6 65536, -28 85792, 699 73904, -7914 94704, 89625 13560, -3 27946 51890,
17 56856 35125
»nD->*) = * hzn~k> a = °
Z & =0
0 1
1 6, 15
2 60, 420, 945
3 280, 3780, 20790, 45045
4 5040» 1 10880, 10 81080, 54 05400, 114 86475
5 22176, 7 20720, 108 10800, 918 91800, 4364 86050, 9166 20705
6 1 92192, 86 48640, 1837 83600, 23279 25600, 1 83324 14100, 8 43291 04860,
17 56856 35125
Cn(T'z)= * «**"-*.¦-l
П С0Э C1> # ' ' » °7l
0 0
1 0, 3
2 0, -10, 105
3 0, 84, -420, 3465
4 0, -744* 23100, -90090, 6 75675
5 0, 5104, -82368, 17 29728, -61 26120,
6 0, -25376, 15 53552, -171 53136, 3026
436 48605
30328, -10184 67450, 70274 25405

734 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.6
Dn(i-,Z)= I dkz»~K « = 1
* A: =0
dQ9 dv . . . , dn
0 i
1 2, 3
2 12, 60, 105
3 40, 420, 1890, 3465
4 560, 10080, 83160, 3 60360, 6 75675
5 2016, 55440, 7 20720, 54 05400, 229 72950, 436 48605
6 14784, 5 76576, 108 ЮвОО, 1225 22400, 8729 72100, 36664 82820,
70274 25405
RJz), z = rei0
n/e
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0.896<-3)
0.52K-5)
0.178(-7)
0.40П-10)
0.639{-13)
0.757(-16)
0.693(-19)
0.505(-22)
0.300<-25)
0.509(-l)
0.11H-2)
0.147(-4)
0 . 1 30 ( -6 )
0.812(-9)
0.380(-ll)
0.138(-13)
0.400(-16)
0.943(-19)
0,651@)
0.294<-l)
0.833<-3)
0.160(-4)
0.220(-6)
0.228(-8)
0.184(-10)
0.119C-12)
0.625(-15)
r = 1
n/2
0.747(-3)
0.456(-5)
0.160(-7)
0.368(-10)
0.59 3(-13)
0.710(-16)
0.655<-19)
0.480C-22)
0.286<-25)
r = 2
0.295(-l)
0.746(-3)
0.107<-4)
0.998(-7)
0.650C-9)
0.313(-11)
0.116C-13)
0.343(-16)
0.820(-19)
r = 3
0.219@)
0.132(-1)
0.4431-3)
0.949(-5)
0.14И-6)
0.155(-8)
0.13K-10)
0.872(-13)
0.473(-15)
TT
0.747(-3)
0.4561-5)
0.160(-7)
0.368(-10)
0.593(-13)
0.710C-16)
0.655(-19)
0.480(-22)
0.286(-25)
0.354(-l)
0.853(-3)
0.119(-4)
0. 109(-6)
0.700(-9)
0.334(-ll)
0.123(-13)
0.36K-16)
0.8601-19)
0.377@)
0.197<-1)
0.608(-3)
0.123(-4)
0.176(-6)
0.188(-8)
0.155(-10)
0.102(-12)
0.5441-15)

4.8. Функция ошибок 135
Продолжение табл. 4.6
RJz), г = те1
Г = 4
п/в 0 тт/2 тт
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.477A)
0.344@)
0.162(-1)
0.532(-3)
0.127(-4)
0.228(-6)
0.322(-8)
0.364(-Ю)
0.337(-12)
0.774@)
0.905(-1)
0.567(-2)
0.223(-3)
0.603(-5)
0.120(-6)
0.182(-8)
0.218(-10)
0.217(-12)
г = 5
0.2 30A)
0.202@)
0.107(-1)
0.375(-3)
0.94К-5)
0.176(-6)
0.256(-8)
0.296(-10)
0.280(-12)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.268B)
0.264A)
0.181@)
0.879(-2)
0.316(-3)
0.866(-5)
0.187(-6)
0.325(-8)
0.464(-10)
0.175A)
0.358@)
0.373(-1)
0.238(-2)
0.1041-3)
0.329(-5)
0.793(-7)
0.15К-8)
0.23К-10)
0.108B)
0.136A)
0.108@)
0.569(-2)
0.218(-3)
0.627(-5)
0.1401-6)
0.25К-8)
0.368(-10)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.132C)
0.160B)
0.144A)
0.949С-1)
0.470(-2)
0.180(-3)
0.547(-5)
0.134(-6)
0.272(-8)
г = 6
0.290A)
0.973@)
0.158@)
0.153(-1)
0.993(-3)
0.465(-4)
0.165(-5)
0.458(-7)
0.102(-8)
0.443B)
0.719A)
0.765@)
0.563(-1 )
0.302(-2)
0.122(-3)
0.388(-5)
0.987С-7)
0.2061-8)
г = 7
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.609C)
0.838B)
0.923A)
0.774@)
0.498(-1)
0.250(-2)
0.1011-31
0.329(-5)
0.89К-7)
0.375A)
0.200A)
0.484@)
0.678(-1)
0.625(-2)
0.41К-3)
0.203(-4)
0.7831-6)
Q.242(-7)
г = 8
0.171C)
0.330B)
0.442A)
0.421@)
0.296(-1)
0.159(-2)
0.674(-4)
0.230(-5)
0.643(-7)
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.275D)
0.402C)
0.513B)
0.520A)
0.414@)
0.26К-1)
0.133(-2)
0.553С-4)
0.192(-5)
0.395A)
О.ЗЗК 1)
0.116A)
0.227@)
0.287(-1)
0.256(-2)
0.170(-3)
0.873(-5)
0.359С-6)
0.642C)
0.138C)
0.221B)
0.259A)
0.229@)
0.156(-1)
0.840(-3)
0.367(-4)
0.132(-5)

136 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.6
Rn(z), z = rel
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.125E)
0.183D)
0.259C)
0.305B)
0.288A)
0.220@)
0.138(-1)
0.70К-3)
0.30 К-4)
0.578E)
0.813D)
0.123D)
0.161C)
0.176B)
0.158A)
0.117@)
0.716(-2)
0.370(-3)
г = 9
0.349A)
0.454A)
0.227A)
0.609@)
0.103@)
0.12К-1)
0.104(-2)
0.698(-4)
0.37К-5)
г = 10
0.262A)
0.53К 1)
0.375A)
0.135A)
0.300@)
0.455(-1)
0.503(-2)
0.427(-3)
0.287(-4)
0.243D)
0.552C)
0.100C)
0.139B)
0.148A)
0.123@)
0.817(-2)
0.442(-3)
0.198(-4)
0.938D)
0.214D)
0.428C)
0.677B)
0.84К 1)
0.829@)
0.6591-1)
0.429(-2)
0.232(-3)
Таблица 4.7
оо
Коэффициенты приближений Паде функции / e~lt ~~1/2 dt
Z
и погрешности этих приближений
Эти приближения следуют из формул, рассматриваемых в
пп. 4.3.2 - 4.3.5, при v = 1/2; см. также формулы 4.8.1 (8,9). Мы
имеем
KVV,t=e-v4^1 + r„A/2)Z,l(
lHJ/2,z) J
2 4 0 , | arg Z | < 77 ,
Vn{z) = \e-*z-4{Tn(\J2,zKa=Q\.
Ниже приводятся коэффициенты многочленов Gn A/2, z) и Нп A/2,z)
для /1 = 0A) 6, о=0ио=1. Коэффициенты этих многочленов для
п = 7 A) 10 даны в работе Люка A969). Кроме указанных, дальнейшие
многочлены в рассматриваемых приближениях Паде можно получить
с помощью формулы 4.3.2A4). В таблице также представлены
значения Vn (z) для широкой области значений п и z. Коэффициенты
погрешности для a = 1 легко получаются либо из формулы 4.3.2A5), либо из
формулы 4.3.3A2)

Продолжение табл. 4 J
п aQf alf . . . , an
0 l
1 2, 2
2 4, 18, 8
3 8, 80, 174, 48
4 16, 280, 1380, 1950, 384
5 32, 864, 7504, 24360, 25290, 3840
6 64, 2464, 33120, 1 90512, 4 59060, 3 74850, 46080
4.A. «) Л bkz"-\ a = 0
Z fe=0
n fe0, blt . . . ,bn
0 l
1 2, 3
2 4, 20, 15
3 8, 84, 210, 105
4 16, 288, 1512, 2520, 945
5 32, 880, 7920, 27720, 34650, 10395
6 64, 2496, 34320, 2 05920, 5 40540, 5 40540, 1 35135
Gnd,z)A ckzn~k, a-*
Z fc=0
1 c0' cl> * • * ' cn
0 о
1 2, 0
2 4, 10, 0
3 8, 56, 66, 0
4 16, 216, 740, 558, 0
5 32, 704, 4704, 10560, 5790, 0
6 64, 2080, 22752, 1 00464, 1 66740, 71370, 0

138 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.7
* к = 0
lQ9 d,9 . . , 9 dn
0
1
2
3
4
5
6
1
2, 1
4, 12, 3
8, 60, 90, 15
16, 224, 840, 840, 105
32, 720, 5040, 12600, 9450, 945
64, 2112, 23760, 1 10880, 2 07900,
1 24740,
10395
Vn(z), z = rei
Г = 1
n/e
4
6
8
12
16
20
0°
0.535(-3)
0.102(-3)
0.243C-4)
0.212(-5)
0.264(-6)
0.417 (-7)
45°
0.109(-2)
0.233(-3)
0.619(-4)
0.646(-5)
0.942(-6)
0.17K-6)
60°
0.185C-2)
0.436(-3)
0.125(-3)
0.150(-4)
0.247(-5)
0.497(-6)
75°
0.360(-2)
0.95H-3)
0.303(-3)
0.432(-4)
0.823(-5)
0.189(-5)
90°
0.785(-2)
0.238(-2)
0.856(-3)
0.150C-3)
0.342(-4)
0.923(-5>
n/9 105° 120° 135° 150° 165°
4
6
8
12
16
20
0.189(-1)
0.67H-2)
0.277(-2)
0.619(-3)
0.173C-3)
0.5581-4)
0.490(-l)
0.208(-l)
0.10K-1)
0.294<-2)
0.103(-2)
0.406(-3)
0.134@)
0.69K-1)
0.403(-l)
0.157C-1)
0.699C-2)
0.343(-2)
0.370@)
0.237@)
0.176@)
0.917(-1)
0.519(-1)
0.326(-l)
0.940@)
0o783@)
0.880@)
0.554@)
0.384@)
0.355@)
г = 2
n/e
4
6
8
12
16
20
0°
0.126(-4)
0.122(-5)
0.163(-6)
0.524(-8)
0.278(-9)
0.206(-10)
45°
0.366(-4)
0.417(-5)
0.642(-6)
0.264(-7)
0.174(-8)
0.156(-9)
60°
0.810(-4)
0.105(-4)
0.180(-5)
0.894(-7)
0.694(-8)
0.720(-9)
75°
0.215(-3)
0.326(-4)
0.644(-5)
0.408(-6)
0.390(-7)
0.487(-8)
90°
0.670(-3)
0.123(-3)
0.287(-4)
0.243(-5)
0.298(-6)
0.465(-7)

4.8. Функция ошибок 139
Продолжение табл. 4.7
vn iz)> z = re
id
n/e 105° 120° 135° 150° 165°
4 0.236(-2) 0.92К-2) 0.388(-1) 0.176@) 0.939@)
6 0.543(-3) 0.273(-2) 0.152(-1) 0.900(-1) 0.530@)
8 0.154(-3) 0.965(-3) 0.679(-2) 0.515(-1) 0.389@)
12 0.183(-4) 0.166(-3) 0.176(-2) 0.210(-1) 0.277@)
16 0.298(-5) 0.373(-4) 0.560(-3) 0.958(-2) 0.175@)
20 0.600(-6) 0.998(-5) 0.203(-3) 0.485(-2) 0.132@)
г = 4
п/е 0е 45° 60е 75 е 90е
4 0.519(-7) 0.279(-6) 0.957(-6) 0.428(-5) 0.236(-4)
6 0.20К-8) 0.132(-7) 0.532(-7) 0.293(-6) 0.208(-5)
8 0.120(-9) 0.948(-9) 0.44К-8) 0.292(-7) 0.26К-6)
12 0.960(-12) О.Юб(-Ю) 0.636(-10) 0.584(-9) 0.776(-8)
16 0.155(-13) 0.228(-12) 0.17К-11) 0.209(-10) 0.392(-9)
20 0.395(-15) 0.756(-14) 0.695(-13) O.llO(-ll) 0.280(-10)
п/е 105е 120е 135е 150е 165°
4
6
8
12
16
20
0.15К-3)
0.18К-4)
0.296(-5)
0.140(-6)
0.106(-7)
0.108(-8)
0.107(-2)
0.182(-3)
0.405(-4)
0.323(-5)
0.382(-6)
0.580(-7)
0.795(-2)
0.20К-2)
О.бЗО(-З)
0.898(-4)
0.174(-4)
0.408(-5)
0.600(-1)
0.238(-1)
0.107(-1)
0.285(-2)
0.934(-3)
0.350(-3)
0.432@)
0.294@)
0.187@)
0.959(-1)
0.567(-1)
0.340(-1)
п/в
4
6
8
12
16
20
0е
0.637(-9)
0.124(-10)
0.407(-12)
0.115<-14)
0.753<-17)
0.860(-19)
45е
0.607(-8)
0.149(-9)
0.6001-11)
0.248(-13)
0.228(-15)
0.355(-17)
г = 6
60°
0.313(-7)
0.915<-9)
0.436(-10)
0.243(-12)
0.29К-14)
0.576(-16)
75е
0.225(-6)
0.830<-8)
0.490(-9)
0.40К-11)
0.674(-13)
0.18К-14)
90е
0.206С-5)
0.102(-6)
0.784(-8)
0.103(-9)
0.2601-11)
0.10К-12)
п/9 105° 120° 135° 150е 165°
4
6
8
12
16
0.220(-4)
0.155(-5)
0.164(-6)
0.374<-8)
0.154(-9)
0.254С-3)
0.272(-4)
0.415(-5)
0.179(-6)
0.127(-7)
0.294<-2)
0.510(-3)
0.118(-3>
0.103(-4)
0.134С-5)
0.329С-1)
0.978(-2)
0.358(-2)
0.680(-3)
0.170(-3)
0.355@)
0.194@)
0.109@)
0.477(-1)
0.239(-1)
20 0.922(-11) 0.124(-8) 0.224(-6) 0.50К-4) 0.129(-1)

7 40 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.7
Vn{z),
z = re"
г = 8
n/е 0е 45* 60* 75* 90#
4 0.1341-10) 0.2241-9) 0.1721-8) 0.1951-7) 0.2921-6)
6 0.1501-12) 0.3181-11) 0.2951-10) 0.4291-9) 0.878(-8)
8 0.3001-14) 0.7971-13) 0.8811-12) 0.1621-10) 0.4441-9)
12 0.3591-17) 0.1451-15) 0.2211-14) 0.622<-13) 0.2871-11)
16 0.1111-19) 0.652(-18) 0.1341-16) 0.5511-15) 0.4051-13)
20 0.6491-22) 0.5391-20) 0.1451-18) 0.8411-17) 0.9401-15)
п/6 105* 120е 135° 150° 165°
4 0.5061-5) 0.9071-4) 0.1521-2) 0.2251-1) 0.279@)
6 0.2241-6) 0.6391-5) 0.1861-3) 0.5221-2) 0.134@)
8 0.16К-7) 0.695(-6) 0.3271-4) 0.158(-2) 0.766(-1)
12 0.1951-9) 0.1741-7) 0.186(-5) 0.220(-3) 0.277(-1)
16 0.4741-11) 0.790(-9) 0.170(-6) 0.4311-4) 0.12К-1)
20 0.180(-12) 0.525(-10) 0.209(-7) 0.1041-4) 0.588(-2)
г = 12
п/в 0° 45° 60° 75° 90е
4 0.143(-13) 0.740(-12) 0.125(-10) 0.352(-9) 0.138(-7)
6 0.662(-16) 0.434(-14) 0.890(-13) 0.325(-11) 0.177(-9)
8 0.597(-18) 0.4981-16) 0.123(-14) 0.5801-13) 0.4351-11)
12 0*1761-21) 0.2311-19) 0.8231-18) 0.6221-16) 0.8451-14)
16 0.1601-24) 0.3211-22) 0.1601-20) 0.1871-18) 0.4351-16)
20 0.-3091-27) 0.9241-25) 0.6271-23) 0.1101-20) 0.4191-18)
п/9 105° 320е 135е 150° 165е
4 0.6111-6) 0.2531-4) 0.8261-3) 0.1881-1) 0.28810)
6 0.1191-7) 0.8211-6) 0.5061-4) 0.2531-2) 0.10110)
8 0.4331-9) 0.4841-7) 0.5291-5) 0.5201-3) 0.4531-1)
12 0.1731-11) 0.4571-9) 0.1351-6) 0.4111-4) 0.1221-1)
16 0.1701-13) 0.9521-11) 0.6631-8) 0.5191-5) 0.4251-2)
20 0.2941-15) 0.3241-12) 0.4811-9) 0.8631-6) 0.1711-2)
п/е
4
6
8
12
16
0е
0.3061-16)
0.6951-19)
0.3311-21)
0.3121-25)
0.1041-28)
45 е
0.4871-14)
0.1401-16)
0.8501-19)
0.1291-22)
0.6741-26)
г = 16
60е
0.1811-12)
0.6321-15)
0.4651-17)
0.1031-20)
0.7721-24)
75 е
0.1281-
0.5741-
0.5461-
0.2001-
0.2401-
-10)
-13)
-15)
-18)
-21)
90°
0.1311-8)
0.8171-11)
0.1081-12)
0.7471-16)
0.1621-18)
20 0.8061-32) 0.8061-29) 0.1301-26) 0.6271-24) 0.7311-21)

4.8. Функция ошибок 141
Продолжение табл. 4.7
VnM>
z = rei(>
n/е 106 е 120° 135° 150° 165е
4 0.149С-6) 0.142(-4) 0.887(-3) 0.290(-1) 0.397@)
6 0.140(-8) 0.224(-6) 0.270(-4) 0.208(-2) 0.103@)
8 0.280(-10) 0.749(-8) 0.169(-5) 0.285(-3) 0.355(-1)
12 0.423(-13) 0.292(-10) 0.20М-7) 0.129(-4) 0.707(-2)
16 0.187(-15) 0.30К-12) 0.562(-9) 0.107(-5) 0.199(-2)
20 0.163(-17) 0.566(-14) 0.253<-10) 0.128(-6) 0.67К-3)
г = 20
n/е 0е 45 е 60е 75° 90е
4 0.983(-19) 0.487(-16) 0.402(-14) 0.71К-12) 0.194(-9)
6 0.124<-21) 0.770(-19) 0.765(-17) 0.173(-14) 0.64М-12)
8 0.343(-24) 0.27К-21) 0.326(-19) 0.95К-17) 0.493(-14)
12 0.123(-28) 0.157(-25) 0.278(-23) 0.135(-20) 0.135(-17)
16 0.172(-32) 0.352(-29) 0.907(-27) 0.724(-24) 0.135(-20)
20 0.61Н-36) 0.197(-32) 0.725(-30) 0.926(-27) 0.309(-23)
п/е 105° 120° 135е 150е 165е
4
6
8
12
16
20
0.57М-7)
0.282(-9)
0.327(-11)
0.202(-14)
0.433(-17)
0.203(-19)
0.129(-4)
0.104(-6)
0.202(-8)
0.34К-11)
0.183(-13)
0.199(-15)
0.158(-2)
0.238(-4)
0.89К-6)
0.51И-8)
0.812(-10)
0.233(-11)
0.78Н-1)
0.266(-2)
0.233(-3)
0.587(-5)
0.327(-6)
0.28К-7)
1.671@)
0.127@)
0.34М-1)
0.502(-2)
0.113<-2)
0.323(-3)
4.8.4. ПРИБЛИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРАВИЛА ТРАПЕЦИЙ
Рассмотрим функцию
2 2 °° -a 2t2
Erfc(az) =1г"И ze~a z / — -dt9 |arga|<77/4,
0
z2 + t2
I arg z | <тг/2. A)
Область определения этого интеграла можно расширить, вращая
прямую интегрирования. При | arg а \ < л/ 4 мы можем принять | arg z | =
= 77/2, если будем считать этот интеграл интегралом, в смысле
главного значения по Коши.
Пусть
и) = 2пг/к> u = az, v = w/2a, B)

142 Гл. 4. Неполные гамма-функции
T(a, z, h) = тт & zhe'
2„2
[_2z
оо -а2?2Л2
.+ 2
л=1 k2h2 + z2 J
М(а9 z9h) = 7Т /2 zhe '
2 2 °° -а 2 B&+1 ) 2Л2/4
ЬоBЬ1)Ч2/4 + г2
, C)
D)
Соотношение C) есть приближение с помощью правила трапеций для
интеграла A). Соотношение D) мы называем модифицированным
приближением с помощью правила трапеций. Имеем следующее соотношения:
Erfc(az) = T(a, z9h) + P(h)9 E)
Erfc (a z) = U (a, z9 h) + Q (h), F)
P(A) = -2 2 Gr, 0(A) = -2 2 (-l)rCr,
г = 1 г =1
G = 7Г /2 ze
0 oo -a2t2
2»2 - e cos wt
z2 + t2
dt ,
Gr = - [ezw Erfc {u + v) + e-zwEric(u -v)].
17)
(8)
(9)
Остаточные члены P(h) и Q{h) зависят от Gr. Имеем следующие
асимптотические оценки:
ие
2 2
-{и + iT)
2 (и2 -v2)
[1 +0(u± v)-2],
A0)
и + г>|-»оо, |arg(u±v)| <3n-/4,
^Уг .-«« , ае-<+>
Gr=— « ~~ +
2 (и2 -v2)
A+01{и± v)~2\),
(И)
и±»| -»°°, |argU+ v)| < Зя-/4, Зтг/4 < | arg(u -и)| < я,
C.=ji е-^-Л^-е-^^+ОЦи-^)-2})
4
2 2
,-{и +v*)
(l+0\(u + v)-2\)9
4{и + v)
и— v\^0, \u+v\^>oq9 |arg(u + i;)| <3n/i.
A2)

4.8. Функция ошибок 143
Ниже мы будем предполагать, что если | и - v | -» 0, как в A2), то
обязательно должно иметь место равенство г = 1. Тогда надежные
априорные оценки погрешности следуют из соответствующих оценок Gr только
при г = 1. Для увеличения точности нужно встречающиеся в A1) и A2)
члены 77 ^ е ~~zw изъять из соответствующих остаточных членов, а
учитывать их при вычислении функций Т(а9 z9 h) кМ(а, z, К)
соответственно. Пусть
Г*(г) = - 2 e-zw = -(e27Tz/h-l)~' , A3)
г =1
М*{г) = - I (-l)r e~zw = (e27Tz/h + 1)~1 . A4)
г = 1
Обозначим через А, В и С условия, наложенные на и ± v в формулах
A0),A1) и A2) соответственно. Тогда
Erfc (az) = Т(а9 г9К) + ЪТ* (z) + R (А), A5)
Eric(az) = M(a9z9h) + bM*(z) - R(h), A6)
где
6=0, Д (А) = - 2 G1, Gr, как в A0), и выполнено условие А,
&.,*, Д(А)--в"Р(Г(в22^2))[1+0{(»±«>)-2Н,
2 (mz - vz)
г = 1 и выполнено условие В,
b=i-ir*, К(А) = е-гм'(И-);К1 + 01(и-Г2!) A7)
- «фЫ»2 + »>»)) [1+0{(вн.„Г2П)
2 (u + v)
г = 1 и выполнено условие С.
Заметим, что если г = 1, аа иг — действительные числа, условия Л,
В и С равносильны соотношениям z > n/ ha29 z < я/ha2 и z = п/ha2
соответственно.
Если в формулах A5) и A6) опустить член К (А), то точность
оценок, получаемых с помощью формулы A5), будет несколько
отличаться от точности оценок, получаемых с помощью формулы A6), но обе
эти формулы будут вполне эффективны даже для сравнительно
больших значений К почти для всех значений az правой полуплоскости.
Точность, действительно, сохраняется высокой даже при z = 0, когда
теряет саду формула C). Однако приближение с помощью этих формул
невозможно при z = ikh и оно численно неустойчиво, когда z прибли-

144 Гл. 4. Неполные гамма-функции
жается к одному из этих значений. Подобйые замечания относятся и к формуле
D), которая теряет силу при z = iBk + 1) h/2. Эту трудность часто
можно избежать, если разумно выбирать h, хотя и это средство не
даст никакого эффекта, если z приближается к нулю. Лучший эффект
достигается применением формулы A5) при 1/4 < f{y/h) < 3/4 и
формулы A6) в противном случае, где z = % + iy9 a / (y/h) обозначает
дробную часть y/h, т.е. y/h —[y/h]. Например, воспользуемся
формулой A6), когда z является действительным числом, малым по
величине. В самом деле, если z = 0, формула A6), в которой опущен
член R (h), дает точно Erfc @)= — п & , в то время как правая часть
формулы C) обращается в бесконечность.
Изложенные замечания основываются на результатах,
полученных Люком A969), а также содержат предложения, сделанные Чиарел-
лой и Рейчелом A968) и позднее Маттой и Рейчелом A971) и Ханте-
ром и Риганом A972). Матта и Рейчел дают приближения с помощью
правила трапеций для функции w(z), функций Войгта и других видов
функции ошибок (см. 4.8.1 A — 21)). Тесную связь с рассматриваемым
здесь вопросом имеют интегралы функции w(z), исследованию
которых посвящена работа Рейчела A967).
4.8.5. НЕРАВЕНСТВА
Из формул 4.4.2B,3) при v = 1/2 имеем
ъГП<^Гш^Л<&Тз- 0<*<ю' A)
Если z = 3, соотношение B) дает
0.45217 < 0.45268 < 0.45283. C)
Еще одно неравенство следует из формулы 4.4.2G) при р = 2. Бойд
A959) получил следующие сильные неравенства:
(**+„)* +{n-\)Z 2 ((»Г-2J*2+1г)*+2*
0 < Z < оо . D)
Стрэнд A965) показал, что
2 2
еу2-*2
, erfc (*) | < -?-; A+У2/*2), z = *+Jy, *>0. E)
тт1/* х

4.9, Интегралы Френеля 145
Другие неравенства и приближения для функции ошибок см. в par
боте Митриновича и Васича A970)
Пусть
уп (z) = in erfc (z) , гп (z) = уп (z)/yn_ , (z). F)
Амос A973) показал, что для действительного z и п > 1
Cn(z)<rn(z)<Dn(zU G)
где пара Сп (z) и Dn (z) может быть любой из следующих:
Сп W = {z2\2n\2)V2-Z > К W " Сп _ , W. (8)
Z тг + Z
^U)=(z2 + 2r2I/2"Z> РпЫ=(г2 + 2//2-г . (9)
СЯМ = — > *>„(*)-
(z2 + 2nan)* + z " (z2 + 2(ti + l)on +1I/2 + z
я > 0, A0)
С*(*) = 9/, , П„ ' D»W =
г< 0, A1)
гдевA0)иA1)
п
а =
Г(д/2 + 1/2)
A2)
п 2 Lr(n/2 + l)
Нацлучшие результаты с помощью уравнений (8), (9) и комбинации
уравнений A0), A1) получаются соответственно при большом
положительном z, при большом положительном - z и когда z мало. При z = 0
обе функции, определяемые соотношением A0), равны друг другу.
Таблицы, иллюстрирующие эффективность этих неравенств, были даны
Амосом A973). Интегрируя неравенство G), получаем неравенство для
уп (z) через у0 (г) = erfc (z), которое совместно с D) дает прямое
неравенство для уп (z)«
4.9. Интегралы Френеля
4.9.1. СВЯЗЬ С ФУНКЦИЯМИ ОШИБОК И ДРУГИЕ СВОЙСТВА
C(z) + iS(z) = Btt)-v* Г t-i/2eit dt = B7r)-i/2 *<*'V(i ze-*«'*)
J о
= 2Bir)/2 е*«'* Erf^1'V^'4). A)

146 Г п. 4. Неполные гамма-функции
C(z) + iS(x) = Bt7)-i'2 e*»*V/2 - Щ, ге-^/2)}. B)
C(z) + iS(x) = B*/тг)"« |Л D*4 | -=^) + К»'*) Л (^s | -=J-)| • C)
C(z) + iS(z) = Bя№ f \,F2 (fJ4 | -?-) -§(«)Л (^ | -^-)J . D)
C(*) + iS(z) ~ A + i)/2 - B»*)-i« ^{(^-^„(l, 3/4, 5/4; -4/*2)
+ t3F0(l,l/4K/4;-4/*2)}) | z | -* со, |arg*|<,r. E)
Приближения для интегралов Френеля следуют из приближений
Паде для функций ошибок (см. п. 4.8.3). Мы имеем связывающие
соотношения
с„а/2,и)
C(z) + iS(z) = eiz {2z/n)t
I DJl/2,iz)
+ Vn(l/2,zerri/^)
F)
C(z) + iS (z)
B теI
¦lz rG„(l/2, -iz)
-^ -+Tn (l/2,ze-™/2)
Hll/2,-iz)
П Л
n
z 4 0, — 3 7г/2 < arg г < 7г/2.
Через С (z) и S(z) иногда обозначают функции, тесно связанные с
функциями, указанными выше.
4.9.2. РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА
Таблица 4.8
Чебышевские коэффициенты для интегралов Френеля
G)
/ t~Ъ cos t dt = х ^ 2 an T2n (x/ 8) /1 -y* sin tdt-x^l ЬПТ^^ (х /8)
n = o
n=o
n
0
1
2
3
4
5
6
0.76435
-0.43135
0.43288
-0.26973
0.08416
-0.01546
0.00187
a
n
13866
547 54
19997
31033
04532
52448
85542
41860
76601
9 7266
83871
08769
44613
34398
00189
79313
53054
11029
35378
81958
22018
(k x< 8.
0 0.63041 40431 4D705 39241
1 -0.42344 51140 57053 33544
2 0.37617 17264 33436 56625
3 -0.16249 48915 45095 67415
4 0.03822 25577 86330 08694
5 -0.00564 56347 71321 90899
6 0.00057 45495 19768 97367

4.9. Интегралы Френеля 147
Продолжение табл. 4.8
ft-l/2costdt = xV>2 апТ2п(х/Ъ) ft-*sintdt = x*2 ЬпТ2п+1{х/Ъ)
О п=0 О ^=0
0< х4 8
п ап п Ьп
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-0.00016
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
26497
05739
05360
00218
00007
00000
00000
00000
00000
00000
00000
76188
76563
93398
16584
29016
20373
0048 3
00009
00000
00000
00000
87547
83260
89243
54933
21186
32548
440 33
86533
1750.2
00272
00004
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
-0.00004
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
28707
24512
01109
00040
00001
00000
00000
00000
00000
00000
15321
07499
88418
82497
24498
03200
000 70
00001
00000
00000
02004
23299
40868
31696
30219
48425
32416
33638
02219
00032
/ Г* е-" it = -ix-Ъ е~ix 2 спТ*E/ж), х > 5
% п = О
ca = R(cn)+U{cn)
*(«„) » Пся)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
0.99056
-0.01218
-0.00248
0.00026
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
04793
35098
27428
60949
10790
48836
09990
00750
00190
00090
00019
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
73497
31478
23113
52647
68987
81753
55266
92717
79487
90797
66236
64772
63079
36423
10536
01716
00107
00204
00090
00025
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00Q00
00000
54867
99746
Q6034
24735
40635
93328
36813
37211
57288
29266
03267
91058
71380
21895
9 30 30
43801
12365
09885
06395
50616
03556
56958
76174
36288
11797
02467
00016
00331
00203
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
0.04655
0.04^99
-0.00175
-0.00014
0.00003
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
77987
21302
42871
65340
91330
34932
03153
01876
00377
00026
00010
00005
0000 1
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
37516
01239
39651
02581
40863
28659
53003
58200
55280
65516
88144
35500
31576
15286
03394
02702
00946
00207
00012
00013
00008
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
ооооо
45606
41396
45324
06784
01585
77307
23452
85285
49 30 2
50103
81222
76711
54466
08809
76460
02670
31418
15651
69314
97562
59293
10695
75146
06478
05224
03863
01651
00504
00092

748 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Продолжение табл. 4.8
Tt-He-Hdt = -«е-**-*"* 2 спТ*E/х), х>5
ж п=0
С„=К(*»)+ i/(c„)
Жс„)
'(*«)
29 0.00000 00000 00000 00083
30 -0.00000 00000 00000 00025
31 0.00000 00000 00000 00004
32 0.00000 00000 00000 00001
33 -0.00000 00000 00000 00001
34 0.00000 00000 00000 00001
29 -0.00000 00000 00000 00011
30 0.00000 00000 00000 00020
31 -0.00000 00000 00000 00011
32 0.00000 00000 00000 00005
33 -0.00000 00000 00000 00001
со
/ r^e-Udt -(ir/2)*(l-i)
/ *-* е -u dt=x -be-ix [B«Г1 р(х) - *?(*)!
Р(*)= 2 еяТ,Шх)
п = 0
п 2п
?<*>= 2 f«T2nW*)
71 = 0
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0.97462
-0.02424
0.00103
-0.00008
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
еп
77909
70187
40090
05245
90596
13101
02277
00455
00102
00025
00006
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
32968
39693
68429
02469
24819
69967
08 20 3
86235
15675
11145
67047
89315
56898
17982
05941
02042
00727
00267
00101
00039
00015
00006
00002
22410
21371
77317
08016
66582
57743
91497
52026
37083
08133
61275
12852
98935
19359
62963
85065
97580
97428
60694
58559
81262
46411
69981
П
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0.99461
-0.00524
0.00013
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
fn
54517
27676
32586
77085
07084
00881
00135
00024
00005
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
94079
60842
42298
64526
80770
25174
97847
68582
09257
16534
29065
07798
02228
00672
00212
00070
00024
00008
00003
00001
00000
00000
00000
28910
97210
83909
42713
32045
11602
17148
95747
89921
00634
78309
47361
02542
39338
96411
41482
19805
61080
16287
19596
46444
18485
07527

4.10. Библиография и информация о таблицах 149
Продолжение табл. 4.8
и-*е-**Я = х-*е-**[Bх)-1Р{х)- iQ{x)]
X
Р(х) = J^T2n(8A) Q (*) - Jo /rtT2n(8/x)
х > 8
п еп п fn
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
3?
38
39
40
-0,00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
00000
00000
00000
00000
ооооо
00000
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
00001
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ООООО
ООООО
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
15038
49942
22064
09910
04520
02092
00982
00467
00225
00110
00054
00027
00014
00007
00004
00002
00001
00001
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
ооооо
031:31
01328
00574
00252
00113
00051
00024
00011
00005
00002
00001
00001
оо
/Г^в-*'Л =(тг/2I/*A-0
о
4.10. Библиография и информация о таблицах
4.Ю.1. БИБЛИОГРАФИЯ
В качестве основных источников по неполной гамма-функции и
функций, с ней связанных, следует указать работы Эрдейи и др. A953),
Люка A962), Абрамовича и Стиган A964), Нильсена A965), Люка
A969) и работы, на которые ссылаются в этих источниках. См. также
ссылки в п. 7.11.1. Анализ нулей неполной гамма-функции дается в
работах Кёльбига A970, 1972).
Коррингтон A961), а также Геллер и Нг A969) составили
таблицы интегралов (в аналитической форме), содержащие интегральную покат
зательную функцию. Подобные таблицы, содержащие функцию ошибок,
можно найти в работах Нг и Геллера A969) и Геллера и Нг A971).

7 50 Гл. 4. Неполные гамма-функции
4.10.2. ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
Функция ft v'~1 e~l dt и функции, связанные с ней
х
ХамисA965). Р(д,*) = [2"Г»]-1 / tn~ 1 e~t/2 dt, » = 0.05@.05)
о
10 @.1) 20 @.25) 70, х = 0.0001 @.0001H.001 @.001) 0.01 @.01)
1 @.05) 6 @.1) 16 @.5) 66 A) 166 B) 250, точность 10 D.
X
ПагуроваA963). (^ГЦ / гш~1 е~ьdt, т = 0@.05) 3, % =0@.05I,
о
точность 7D. Протабулированы также некоторые
вспомогательные функции.
Нарасимхан A966). g(b9 х) = Ъе~х ftb~lextdtG{b9 х) = -Ъех j°tb^x
о 1
х e~xtdt. g{b,x):b =0@.2J@.5M, х =0@.1J@.25K@.5)
5AI0, точность 5D. G(b9 х), -Ь =0@.2J@.5M, величина*
та же, что и выше, точность 5D.
оо
ПагуроваA959). ех f u~ve-xudu9 v = 2A) 10, * = 10@.1) 20, точ-
1
ность 7 D. А также даны таблицы для той же самой функции
при v = 0 @.1) 1, х = 0.01 @.01) 7 @.05) 12 @.1) 20; точность 6-7
десятичных знаков, но максимум 7D.
v
Хартер A964). Пусть 1(и, р) = (Г(р + 1))~1 / tP е~% dt9 где v = u(p + lI/*,
о
р(х2, v) =1{и,р), и = x2/BvI/*y р = i//2 - 1. 1(и, р), р =
= -0.5@.5O4AI64, и = 0@.1) до значения, где/(а, р) = 1,
точность 9D, max w = 21.5, точность 9D. Даны значения и в
Р (х 2, v) при v = 1 A) 150 B) 330, р = 10-У, 5 • 10-У , у = 2, 3,4;
р = 0.025, 0.1@.1H.9, 0.95, 0.975, 0.99, 0.995, 0.999, 0.9995,
0.9999, точность 6 S.
X
Энкер и Гафарян A962). / (х, у) = j"ug(y, u)du, где g(y, и) =
о
= f 1У-Л e~ldt9 х9 у = 0.1 @.1) 10, точность 6S.
о
х
Фривел A973). (ГA + 1/1/)Г1 fexpi-Wdt, х = 0@.01) 2, где 1/v-
о

4.10. Библиография и информация о таблицах 151
- абсцисса главного минимума функции ГA + х), точность 5S.
оо оо
Брейг и Кросби A974). Л1 (*, у) = / u^e~uxdt9 А2(х9у) = / t~2e~uxdt9
1 1
оо
u = (t2 + у2)Уг, 43(*,y) = * /Л2(л^ y/t)dt, x =0@.001)
1
0.01 @.005) 0.1 @.1) 1.0 @.25) 2 A) 5; у = 0, 10", 2 .10", 5 .10",
1000, и = — 1 A) 2, точность для всех табличных данных,
абсолютная величина натурального логарифма которых меньше 44,
в основном равна 5S.
Функция ftne "t dt9 n - целое число, и функции, связанные с ней
оо
Миллер Дж,, Герхаузер и Матсен A959). / e~attndt9 а = 1/8A/8J5,
п = 0 A) 16, точность 14S.
оо оо
ГуптаБ.К. A963). Лп{а) = / e~at tndt, Fn = / e~attnQ(t)dt, где
1 1
Q{t) = — In-ii-i, a = 3.1@.1I0, n = 0AI0, точность 10S.
Ct t "~ 1
00 1
Кругляк и Витман A965). f e~axxndx9 f e~axxndx9 rc=0(lI5,
1 -1
a =0@.01M0, точностьбЗ; п = 0A) 17, a = 0@.125J5,точность
равна 10, 12 либо 14 S«
X
Тупери Марк A968). / 1~л shtdt9 x = 1AK0, точность 13S.
о
оо
Кумар С.С. A962). Пусть Еп (х) = / и ~п е -хи du, А (/(*)) =
1
оо оо
= L / E,(\t-x\)f(t)dt, В (/(*)) «2 / E2(t-x)f(t)dt-
2 о х
оо
- 2 / Е2(х- t)f{t)dt. Все табличные данные даны с точно-
о
стью до 6D.
Я (х - Ь), 4 (е ~kx), B(e -kx)> x = 0.001, 0.005, 0.05, 0.1 @.1)
1.5@.5) 9.5, к = 0.01, 0.05, 0.1 @.1) 1 A) 10 E) 30.

152 Гп. 4. Неполные гамма-функции
А (хт), В (хт), х = 0 @.01) ОЛ @.02) 0.2 @.04) 0.64, 0.72,
0.8@.1) 2 A) 9, 9.5, т = О A) 5.
оо оо
J_ f e~ktE,(t)dt9 2 f e-kt \E2(t)-E2{-t)\dt9
2 о о
k = 0.01, 0.05, 0.1, 0.2 @.2) 1 A) 10 E) 30.
Мурнагхан и Ренч A963). Для упрощения вычисления функции Ei M
табулируются множители Сп (п + 1) и Сп (п + 1/2)9п = 5A) 20,
точность 45D, а также для -Ei(-*), n = 4AJ0, точность 48D.
Даны таблицы значений функций Ei Ы и - Ei(— х), х = 6 A) 20
и х = 21 для последней функции; точность соответственно 44 S
1
и45Б. Даны также таблицы значений R. = / ti е ~ь dt9 j =
о
= 0 A) 50, точность 45D.
X X
Чипмен A972). F(x)= f t^ H(t) dt, G(x) = / *~1 e~b H{t) dt9H{t) =
о о
-Ei(«)-y-lnM, F{±x), G(±x),x = 0.1 @.1) 2 @.2M@.5J0
AL0B)80, точность 12S.
2
Функция fe~l dt и функции, связанные с ней
Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР A960). А {х) =
х 2
= /е"" /2du, « = 0@.001J.5@.002K.4@.005L@.01L.5@.1N,
о
точность 10D; lgw A/2 - А (х)), х = 5A) 50A0) 100E0) 500
точность 10 D; (-1) s ~1 (s !) "Я (d/dx) s ~ 1 (e ~%t/ 2), s = 2 A)
21, x = 0 @.002) 4, точность 7 D.
* 2
Смирнов A960). F(x) = |/(ц)Ж*,/(в) =e-" /2, * = 0@.001J.5
о
@.002K.4@.005) 4@.01) 4.5, точность 7D; * = 4.5@.01N,
точность 10D; - log[ 1/2 - F{x)], x = 5{l) 50A0) 100E0M00,
точность 5D; (-l)s -1 (s\) ~^DS  f(x), D = d/dx, s =2AJ1,
x = 0@.002) 4, точность 7D. Эти же таблицы даны в Трудах
Матем. ин-та АН ССР, см. выше.
Стиган и Цукер A970). erf (х), erfcU), х = 0 @.05) 1 @.5) 27, точность
18S.

4.10. Библиография и информация о таблицах 153
Пимбли и Нельсон A964). ху* е~х ft ~Ъе l dt, х = 0 @.1) 10 A) 100,
о
точность 12 D.
a
Смирнов и Большее A962). T{h, А) = Bтг)-1 / и exV[-h2u/2]dx,
о
и=1+*2, А = 0@.01K, a =0@.01I; h = 3@.05L, a =0.05
@.05) 1; точность 7 S. h = 4@.1) 5.2, a = 0.1@.1) 1; точность
h
7S.exp(- A2/2), F(A) = B7.)-y2 | exp(-*2)rf*, Г(А, 1) =
о
= {1 _ 4F2(A)}/8, A = 0@.001K@.005L@.01M@.1N,
точность 7S.
Рассел и Лэл A969). [2v>n Г{±-п)]~^ f t~ ~ 1 e~'2^, /i = 1A) 50,
У
у = 0@.001) 0.1 @.01) 0.1@.1I07, точность 5 D.
Бритни и Уинклер A970). Bтг) ~Ъ / tn е ~l /2 dt, я = 1 A) 6, г =
—оо
= 0@.01M, точность 11S.
х 1 «2
ИхмA961). Bтг)-1/2 / е~^(* Г) dt, * =0@.1K.9, у = 0@.1J.5,
точность 4D.
2 . 2
МарцA964). /е'77" <fo, z = *+*y, у = -2.60@.02) 1.82, значения
о
X ЗЖИСЯТ ОТ у, ТОЧНЭСГЬ 5 S.
2 Z 2
Фадеева и Терентьев A954). е-2 A+2?тг/2 /е' rf*)> z = * + *y,
о
х = 0 @.02) 3, у = 0 @.02) 3; * = 3 @.1) 5, у = 0 @.1) 2.9; х =
= 0@.1M, у= 3@.1M, точность 6 D.
г 2
Карпов A958). F(z)= f el dt, z = pei6, в = 45°@.3125°)
о
48.75° @.625 °) 55° A.25°) 65° B.5°) 90 °, р'< р<р", р« за-
висит от в и принимает одно из следующих значений: 1/2, 1,
3/2, ..., 4, р" также зависит от 0 и принимает значения 3, 4
либо 5; шаг по р равен 0.01, точность 5D.

754 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Карпов A954). е~22 / в'2 Л, z = Peid, в = 0° B.5°) 30° A.25°)
о
35° @.625°) 45°, 90°, р = 0.@.01) 5; более мелкий шаг в
некоторых случаях зависит от в, р = 0 @.01) 10 при 0=0, точность
5D.
2 iz 2
ФрайдиКонтеA961). 2ie_z /е~г Л, г = х + iy, х = 0@.1) 10,
— оо
У = -10@.1) 10, точность главным образом 6S. Согласно
замечаниям, сделанным авторами впоследствии, в этой работе
имеют место некоторые неточности, в частности при у < 0.
00 2
Фетти, Каслен и Крамер A972). z(p) = п~У> f (г-рр1 e~l dt =
— оо
2 'Р 2
= 2ie~P / е-1 dt, z4 (p), р = * +?у, * =0@.1) 20, у =
— оо
= ±0@.1) 10, точность 11S. Даны значения первых 200 нулей
функций z(p) иг' (р), точность 10D.
Кук и Эллиотт A960). Рассматриваются функции U(р, г), ^(р> 0> см-
4.8.1A9, 20), р/A + р) = 0@.05I, * =0@.025H.2@.05I@.1J,
оо
точность 5D, а также функция / \U(p,tj\n dt при n = 1 AI0,
— оо
значения t те же что и выше, точность 5D.
Хетнарски A964). Пусть U(t, p, a)±V(t, p, a) = a~1/2 exp(at + раЩх
х erf с \±(at) у2 + р/2 ^}; *У(*,р, a), F(*f р, а), Д= U = 02, р = 0.25,
0.3, 0.5, 1.0; t = 1 A) 4, рассмотрено около 9 значений р от 0.1
примерно до 4 (в зависимости от t), точность 5D.
Финн и Магглстоун A965). Даны значения функции и (х, у), см.4«8ЛA4),
у = 0@.01) 0.2 @.04) 0.48, 0.55@.05H.7@.1) 1, х = 0 @.25)
6 @.5) 10 A) 22, точность 6 S . Также даны коэффициенты
многочлена четвертого порядка от у, и{х, у)^р + qa + га2 + sa3 +
+ to4, вычисленные с помощью метода наименьших квадратов,
х =0@.25N@.5I0, 11, 12, O.OOUa <0.2.
Хаммер A965). Даны значения функции г (х, у) = п~х/* и{х, у), где
функция и(х, у) определена выше; у = 0, 1 • 10~~л , 2 • 10~п,
3 .10-*, 5 • 10 -я, 7 . Ю1 при л = 2, 3, 4 и у = 0.1 @.05) 0.5,
х = 0 @.05) 5 @.1) 10, точность 8 S.
Рейчел A969). Пусть U (р, г) определяется так же, как и в 4.8.1 A9).

4.10 Библиография и информация о таблицах 155
Значения / { U(p, t)\n dt протабулированы для п = 1 A) 25 и
о
различных t с точностью до 9S .
Миллер К.Л., Молмуд и Мичем A963). Даны значения функции
2
/ (*-z)~1 1те~ь dt, z = x + Ly, х =-Ю@.2I0,у = 0@.2I0,
о
яг = 0, 4, точность 6 S .
Аскари A968). Даны таблицы значений функций Ап = 2пГ(п/2 + 1),
Л~1, п = 1 A) 24, точность 12S, а также функции Апin erfc (*),
п = 1 A) 24, х = 0 @.01) 5.20, точность 10 S .
Берлянд, Гаврилова и Прудников A961). Протабулированы значения
функции 2 п Г (я/2 + 1) ъп erfc (*), и = 1 A) 30, х = 0 @.01) /V, /V
зависит от п и монотонно изменяется от 3.50 при п = 1 и 2 до
1.0 при гс = 26 - 30. Точность меняется от 6S в начале до 2S
в конце таблицы. Дана также таблица значений функции erfc (x),
х = 0.01 @.01) 3.50, точность 6S. Пользуясь этой таблицей,
следует соблюдать определенную осторожность. См. Math Сотр.
16 A963), 470 - 471; 22 A968), 898 - 899.
Фетти, Каслен и Крамер A973 а). Дана таблица первых ста нулей
функций erf(z) и е ~~z erfc (—iz), точность до 11 S . Авторы
этой работы вместо обозначения erfc (z) используют
обозначение Erfc U).
Фетти, Каслен и Крамер A973 б). Вычислены первые сто нулей
производной функции е ~z erfc (— iz), точность до 11S . Вместо
нашего обозначения erfc U) авторы используют обозначение
Erfc (z).
Спайсер A963). Протабулированы значения Ь в интеграле Р =
2 Ъ
= — / е- du при Р = 0@.0001H.9@.00001H.99997, точ-
ность 9D.
6 2
Кришнан A965, 1966). Пусть ф (х) = Bт7)"у2 / e~u /2 du,
— оо
р + A - р) ф {к) = ф (х). Даны значения х для р = 0.01 @.01) 0.99,
* + 5 = 0.4@.1O.3, точность 4D.
Мурнагхан A965). С целью облегчить вычисление функции
оо
_ / t~1/2 е ~ь dt даны значения множителей сходимости Сп (п + 1) и
^ У.

7 56 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Сп(п + 1/2) и приведенных производных при п = 2AN4 и п = 0AN4
соответственно; точность до 63D.
х
Ренч A971). Чтобы упростить вычисление ехр (— х2) / ехр (г2) dt, про-
о
табулированы множители сходимости С (я + 1/г) и С (я) и
приведенные производные при п = 1 A) 40; точность 30 D.
Функция /г" е** dt u функции, связанные с ней
Ренч и Олли A972). Для упрощения вычисления функций si (z) и Ci(z)
протабулированы значения множителей сходимости Ps (s) и
Ps + 1 (s), Os {s), Os +1 (s) и приведенных производных, s =
= 1 A) 70, точность 33 D. Авторы также дают значения функций
si U), Si (*) и Ci U), x = 1 A) 70; точность 28 D.
2
Лин и Линь A971). Дана таблица значений функции — Si (nn/2),
77
7i = 1 AJ00; точность 25D.
Стрёмгрен A962). Таблица значений функции / A + и)" 1пA + их/у)
о
xe~iuxdu9 х,у = 0 @.1) 2 A) 10; точность 6 D.
Люк Ю.Л., Фэр, Кумбс и Моран A965). Дается значение Ь, 0 < Ь < 1,
а
такое, что / u~b cos и du = 0, а = 377-/2; точность до 15D.
о
Хальбгевахс и Шах A967). См. стр. 160«
Функция ft ~^2е}г dt и функции, связанные с ней
х
Сайретт и Уилсон A966). Даны значения функции / ехр {i7rt2/2) dt,
о-
х = 0@.001J@.01I0; точность 28 S.
Ренч и Олли A973). С целью упрощения интегралов Френеля
протабулированы множители сходимости различного вида и приведенные
производные, х = 2AO1, точность 35D. Авторы также дают
х
таблицы значений функции / ехр (-^- *2) it, х = 1 A) 6, точ-
о 2
х
ность 28D, функции Bп)~Ъ f t~v* exp(it)dt, x= 1AO0, то^ь
о

4.10, Библиография и информация о таблицах 157
ность 28D, и функции ехр(- ix) f t ^ exp{it) dt9 x = 1 A) 70,
x
точность 28 D.
Крейсциг A975 а). Даны значения zn и г*п - комплексных нулей функ-
Z Z
ций / cos t2 dt и / sin t2 dt соответственно, п = 1AM0, точ-
o о
ность 2D.
оо оо
Крейсциг A9576). Пусть c{z) = / cos t2 dt, s(z) = J sin t2dt. Даны
z z
значения хп и x* - действительных нулей функций c(z) и s (z)
соответственно, п = 0 A) 25, точность 2D, а также даны
значения функций с(z), s(z), 2 = 0@.2L@.5J0, точность 3D; c(z),
s(z), z = x + iy, x = 0 A) 20, у = 0 A) 5, точность 2D.
2
Уолтере и Уэйт A964). Даны значения функции / f (z)e~t7TZ /2 dz
—оо
с точностью 5D, причем рассматриваются три случая: в первом
случае / (z) = 1 + ехр [—2 A {z — zQ)], в каждом из следующих
случаев (- оо, оо) разбивается на три подынтервала. Более
подробное описание можно найти в Math. Comp 19A965), 510, 511.
4.10.3. ОПИСАНИЕ ДРУГИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И РАЗЛОЖЕНИЙ
С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
Хованский A956). Дается представление неполной гамма-функции в
виде непрерывной дроби.
Барака A961). Из 4.1 A) и 3.2.2 D) мы имеем у (i/, ix) =
оо 1
=(**Г 2 cn(-i)»Bn{v)Jn(x), Bn{v)= ft"-'Tn(t)dt.
/1 = 0 О
Автор дает таблицу значений функции Вп (и) для v = 0.2 @.2) 0.8
и v = 1/2 с точностью до 8 D.
х
Немет A963). Для вычисления функции Fa (у) = / ехр(— ya) dy дана
о
таблица любопытных коэффициентов при 0<*<1, *=я/4,
а Ь = 1, точность 11D, а также таблица коэффициентов для
функции Ga (х) = Г(Ь + 1) - Fa (х) при 0 < с < 1, с = Мха,
а > 1, точность 11D.

158 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Вербек A970). Пусть Ev(x) = f t've"xt dt, * > 0, i/> 0,
1
1 - xexE1/{x) = [/x2 (z) - fi, (z)]/(i2 {z) = zw(z)/ii2 (z), zx = 1.
Применяя дифференциальное уравнение для функции Е (x)}
можно получить уравнение, содержащее функции w(z), fi2(z)
и производные от этих функций. Если предположить, что
A, (z) и fi2 (z) являются многочленами по z степени т, такими,
что /х1 @) = \l2 @) = 1, то с помощью тау-метода можно получить
приближенные решения этого уравнения. В работе даны
значения коэффициентов этих полиномов для i/4-1/2 = l(lN, 1 < * <
< °о при т = 2, 3, 4; точность 9D. Приближения к Ev{x)
находятся в интервале примерно от 6 • 10  до 10 ~"9. В подобной же
манере рассматривается случай v = 1 A) 5, 1 < х < «>.
Рассматривается также применение тау-метода для получения
приближающих многочленов для целой функции, связанной с функцией
Еу (х); значения v те же, что и выше, 0 < %< 1.
Грей, Томпсон и Мак-Уильяме A969). Рассматривается последователь-
оо
ность приближений {i для функции / е ~~х х z  dx9 z > 0;
a
Ijl0 = e~a az/p9 /x1 = fiQ {1 - (z - l)/(p2 + 2c)}. Дано также
[i2. Здесь р = a + 1 - z.
Кленшо A962). Даны СТ{х) для -?1 (х) - In | x\, a = 4, точность 20D;
С Г* (у), о = 4 для ех?1 (ж), точность 20 D; erf (x), СТ(х), a =
=. 4, точность 20D и СГ(у), о = 4, точность 20D.
Кленшо, Миллер и Вуджер A963). Ei (х) - In | х \, СТ(х), a = 4,
точность 15D; - exEi(-x), CT*(y), a = 4, точность 15D; erfU),
СГ(%), о = 4, точность 20 D и С Г (у), а = 4, точность 8D.
оо
ЛюкЮ.Л. и УимпA963). ех / t-\-lit, CT*{y), a = 4, точность
20D; Ci (ж) + » (тг/2 - Si (*)) = х~1 е "**[- В (х) + *Л (х)], А (*),
В{х), СТ*{у), а = 4, точность 20D (в работе обозначения С\{х)
и SiM имеют иной смысл, чем те же обозначения здесь); да-
2 °° 2
ны также ех J e ~ь dt, CT(y), а = 2, точность 20 D.
х
оо
Немет A964а). Для функции / ь~Л e~l dt даются усеченные разло-
X

4.10. Библиография и информация о таблицах 159
жения СТ*{х), a = 4 и усеченные разложения СТ*(у), a =• 4,
которые берутся по степеням х и х~Л соответственно;
точность 10D; В этом же отчете даются результаты приближений
функции / t~u~~2 {I — e ~xt) dt, 0 < х < 4 с помощью мно-
0
гочленов; точность 10 D. В основе такого приближения лежит
чебышевское разложение для показательной функции.
Коуди и Тэчер A968). Рациональные чебышевские приближения для
интегральной показательной функции ?1 (х) = -ЕЦ- х) в
интервалах @,1], [ 1, 4] и [4, оо); максимальные относительные
погрешности снижены до 10 ~1. Первые 40 коэффициентов
функции ?1 (х) + у+ In х, представленной в виде непрерывной дроби,
даны с точностью до 25 S .
Коуди и Тэчер A969). Даны рациональные чебышевские приближения
функции Ei (x) в интервалах @, 6], [6, 12] [12, 24] и [24, оо).
Величина максимальных относительных ошибок изменяется
от 8 • 10 ~19 до 2 • 10 ~~21. С точностью 30 D приводится у =
= 0.37250..., Ei (у) = 0.
Люк Ю.Л. A969). (а) Даны коэффициенты в основных диагональных
приближениях Паде для функции z~1 jz ь"~Л A - e"t )dt no-
о
рядка п = 1 A) 10; точность 20 S . Абсолютные значения
погрешностей в этих приближениях даются для значений п,
приведенных выше, z = ге1*} г = 1 A) 10, в = 0, в = it/2, it; точность 3S.
Протабулированы также значения относительной погрешности
для в = 7г. (б) Даны коэффициенты в основных диагональных
z
приближениях Паде для функций 4z~ / г~1 A - cos t) dt
о
z
иг1 J г" sin t dt порядка п = 2B) 10; точность 20 S . Аб-
o
солютные значения погрешностей в этих приближениях даются
для z = 1 A) 10, п - то же, что и выше; точность 3S .
Чипмен A972). Даны первые 50 коэффициентов разложения в
непрерывную дробь функций А (-х) = - ]*°° ?-1 Ei i-t) dt9 x > 0
X
X
и В (- х) = - V. Р. / t ~ Ei (-1) et dt9 x > 0; точность до
— оо
18S.

7 60 Гл. 4. Неполные гамма-функции
Уимп A961). Ci U), SiU), CT(x), a = 2, 5; точность 10D.
Немет A9656). Ci (*) + i (n/2 - Si (*)) = л:" е "ix [- В (*) + ?Л (*)];
А (х), В{х), СТ(у), a = 8; точность 12D. Коэффициент CQ(a)
неверен, см. / в табл. 4.4 настоящей работы.
Булирш A967). Ci(*), SiU), СТ(х), a = 16, точность 15D ;
х ni 2 °°
/ еТ Л, СГ(*), о = 3, точность 15D; ixeix / t"^e~ltdt9
О я
СПу), а = 16, точность 15D. Для интегралов Френеля
аналогично, СТ(у), a = 3, точность 15 D.
Брион A964). Si От*/4), СГ(%), а = 1, точность 10 D.
Хальбгевахс и Шах A967). С(х, p) + iS (*, /3) = Bт7)""у2 j г ~Р е1'* dt9
о
С7», а = Зтг/2. /3 = 0.3084, 0.3085, 0.9999, точность 10S.
А также С(х, j8), S(x, j8), (9 = arctg S(x9 fi)/C(x9 /3), если
j80< 0<lf 0 = -arctg S(*fj8)/C(*,j8), если 0 < /8< 0O,
CU, /80) = 0; x= Зтг/2, p = 0@.1H.9, 0.306, 0.308, 0.3084,
0.3085, 0.99, 0.999, 0.9999, 0.99999; точность 10S .Значение j8Q
дано с точностью до 10 D.
Х 2
Немет A9646). Для функции / е ь it даны усеченные СТ(х), a = 2,
о
и усеченные СТ{у), a = 2, причем каждое из разложений
представлено по степеням х2 и l/х2 соответственно; точность 10D.
Немет A966). Erfi {x), СТ(х) и СТ{у) для а = 4 в обоих случаях;
точность 13 D.
Анолик и Мильнер A970). F(x) = exp(-*2)Erfi Ы , F1 (я), СТ(х), a =5.
Точность для F и F1 равна соответственно 16 D и 15 D.
2 °° 2
Рей и Питмен A963). ех /2 / е~ь /2 Л, СГ(*), о = 1, точность 7D;
С Г (у), а = 1, точность 7D, но, по-видимому, в двух
коэффициентах, а именно в Ъ 0 и Ь 2б , неправильно определен шестой
десятичный знак.
2 * 2
Хаммер A964). е~х f e* dt, CT(x), a = 5, точность 16D.
о
ВудA967). ierfcU) +x\ *~1 {4i2erfcU)-l-2*2}, CT(x), а=1,
точность 7D. А также *w +1 e*2imerfcU), CT(y), m = 1, 2,
а = 1, точность 7D.

4.1 0. Библиография и информация о таблицах 161
Коуди A969). Представлены почти наилучшие рациональные чебышев-
ские приближения функции erf U) в интервале | х | < 0.5 и
функции eric(x) в интервалах [0.46875, 4], [4, <х>]; величина
максимальных относительных погрешностей изменяется от 6 • 10 "~19
доЗЛО-20.
Харт Дж. Ф. и др. A969). Даны нацлучшие рациональные чебышевскив
приближения функции erfc (x) в разных интервалах; точность
до Ю-23.
Коуди, Пацёрек и Тэчер A970). Почти наилучшие рациональные чебы-
_ 2 х 2
шевские приближения функции е х f e* dt при | х\ < 2.5
о
и в интервалах [2.5, 3.5], [3.5, 5.0], [ 5.0, °о); величина
максимальной относительной погрешности изменяется от 2 • Ю0
до 7 -Ю-22.
1 _ 2
Мозьер и Шиллади A972). Пусть F (z) = / е zu du. В этой работе
о
даны приближения для 0 < z < 22.5 с помощью многочленов
четвертого порядка от z - s^- , где интервал i и
соответствующее ему значение st вычисляются по заданному z с
помощью простых формул. Коэффициенты в этих многочленах
даны для i=l A) 19 с точностью 16 D. Величина погрешности
все время меньше 4 • 10~12.
Финн и Магглстоун A965). См. стр. 154*
Оулдхем A968). F{x) = JL „*? *e*2erfc(*) = П + [1+ 2х~2А(х]№ \~\
А (х) = 1 - A - — )е~хР {х)9 р(х) = a [1 - Ьх2A - ах/тт2)],
тт
а = 0.8577, Ъ = 0.024. Это приближение является почти
наилучшим чебышевским приближением с величиной максимальной
относительной погрешности для F(x), равной 1/7000. При х -> 0
либо х -»оо мы получаем точные значения. С другими
эвристическими приемами приближения erfc (x), аналогичными
приведенному, можно познакомиться в работах Харта A966) и Шука-
ны и Грея A968).
Стрекок A968). Получены формулы и коэффициенты для вычисления
функции, обратной к функции ошибок; точность по меньшей
мере 18 S для всех возможных аргументов вплоть до аргумента,
равного по величине 1-10 -300. Представлена также форму-

762 Г п. 4. Непопные гамма-функции
ла для вычисления erf (х), \ х\ < 5я-/2; наименьшая точность
22 D.
БерсмаA960). eteD/*)*[C(*) -iS(x)],r СР(х), a = 4, точность 9D;
С (ж) - «(*) =у A - *) + в-'*D/*)^ Л (ж), Л (*), гСР(у),
о = 4, точность 9D.
Немет A965а). х~Ъ[С{х) + iS(x)], CT{x), a = 8, точность 12 D;
С(х) + iS(x) = i- A + * ) - {2nx)-1/*eix[A(x) + iB(x)],A (x),
La
B(x), CTiy), a = 8, точность 15D.
Хангельброк A967). E/*)y* [C(x) - iS{x)], CT*{x), a = 5, точность
14D; C(x)-iS{x)~(l-i)- E/*)* e'* [?(*)- iF(*)],
?(%), F(%), СГ*(у), a = 5, точность 14D.
Сайретт и Уилсон A966). Даны приближения с помощью многочленов
мнимой и действительной частей функции / exp(int2/2) dt,
о
я > 0, выраженных в виде сумм чебышевских многочленов. Эти
приближения получены в результате усечения ВСР более
высокого порядка. Для покрытия всех трех различных областей
.изменения аргумента даны два множества приближений.
Коэффициенты этих двух множеств приближений даны с точностью
8 S и 20 S соответственно.
Коуди A968). Даны наилучшие рациональные чебышевские
приближения для действительной и мнимой частей функции
х
/ ехр(— nit2/2) it в следующих интервалах: \х\ < 1,2 [1.2,
о
1.6], [1.6, 1.9], [1.9, 2.4], [2.4, °о)а Величина максимальной
относительной погрешности снижена до 2 -10 "~19.

Глава 5 Обобщенная
гипергеометрическая
функция pFq и G - функция
5.1, Введение
В этой довольно обширной главе рассматриваются функция F
и ее обобщение, G-функция. Система расположения материала в этой
главе позволяет быстро находить нужные формулы. G-функция имеет
особое значение, поскольку многочисленные специальные функции,
возникающие в прикладной математике, либо являются ее частными
случаями, либо тесно с ней связаны. Таким образом, всякая формула,
связанная с G-функцией, становится основной либо ключевой
формулой, из которой можно получить целый ряд результатов для функций
Бесселя, функций Лежандра, конфлюентных гипергеометрических
функций и т.д., различных комбинаций этих функций и других функций, с
ними связанных.
Известная еще со времен Эйлера функция F имеет большое
прошлое, но мы не собираемся здесь прослеживать исследование этой
функции в историческом аспекте; заинтересованный читатель может
познакомиться с историей исследования этой функции в работе Слей-
тера A966). G-функция — молодая функция — была введена Мейером
в 1936 г. Подробное описание этой функции, ее свойств и т.д. можно
найти в оригинальных работах, посвященных исследованию
функции, а также в книгах Эрдейи и др. A953, 1954) и Люка A969).
Поэтому в процессе изложения материала в данной главе мы даем ссылки,
там где это необходимо, на работы, связанные с исследованием G-
функции, а также на новые работы, посвященные исследованию
функции^.
Ниже следует список работ, посвященных исследованию
специальных функций вообще: Уиттекер и Ватсон A934), Бей ли A935), Ватсон
A949), Эрдейи и др. A953), Хобсон A955), Кратцер и Франц A960), Рен-
виль (I960), Хохштадг A961, 1971), Снеддон A961, 1972), Люк Ю.Л.
A962, 1969), Шефке A963), Абрамович и Стиган A964), Митринович,
Дьёкович и Драгомир A964), Ван и Го A965), Кузнецов A965),
Лебедев Н.Н. A965), Слейтер A966), Инуи A967), Арсенин A974), Спейн
и Смит М.Г. A970), Эйан и Борг A971), Митринович A972), Митринович,
Тосич и Янич A972). См. также ссылки к пп. 1.6.1, 6.12.1, 7.11.1,
9.13.1, 10.5.1, и 11.1.

164 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Из наиболее интересных монографий по асимптотическим методам,
в которых рассматривается применение этих методов к специальным
функциям, следует назвать следующие: Эрдейи A962), де Брёйн A961),
Форд (I960), Евграфов A962), Джеффрис A962), Хединг A962), Фрё-
ман Н, и Фрёман П.О. A965), Копсон A965), Вазов A965), Ловерье
A966), Берг A968), Сирович A971), Дингль A973), Найфэ A976), Олвер
A974) иМюррейA974).
Таблицы интегралов, интегральные преобразования и ряды,
связанные со всем спектром специальных функций можно найти в
следующих работах: Магнус и Оберхеттингер A948), Эрдейи и др. A954),
Оберхеттингер A957), Рыжик и Градштейн A957), Грёбнер и Хофрейтер
A961), Оберхеттингер и Хиггинс A961), Градштейн и Рыжик A965),
Мангулис A965), Дж.Э. Роберте и Кауфман A966), Магнус,
Оберхеттингер и Сони A966), Коломбо и Лавуэн A972), Оберхеттингер A972, 1973а,
19736, 1975), Оберхеттингер и Бадий A973) и Хансен A975).
Указатели ко всем типам численных таблиц составлены авторами
следующих работ: Лебедев А.В. и Федорова A956), Бурунова A959),
Флетчер, Миллер Дж.Ч.П., Розенхед и Комри A962), Гринвуд и
Хартли A962) и Шютт A966). Полезным для работы со специальными
функциями может оказаться также сводный указатель с предметной
классификационной системой, составленный для журнала Mathematics of
Computation [ авторы Люк, Уимп и Фэр A972)], в котором дается
также исправление ошибок, обнаруженных в целом ряде перечисленных
выше работ.
В настоящей главе рассматриваются двусторонние неравенства
для функции F , целый ряд частных случаев функции F и
некоторый класс G-функций (см., например, п. 5.14). Дополнительными
источниками неравенств, связанных со специальными функциями, могут
служить следующие работы: Эрбер A960), Карлсон A965, 1966, 1970 6),
Карлсон и Тоуби A968) и Митринови^ A970).
5.2. Функция F
5.2.1. СТЕПЕННОЙ РЯД
Обобщенный гипергеометрический ряд определяется соотношением
, <Ла1 у а2 >•••> ар; р\ > р2,—, pQ; ^) = Л z)
У>1 , р2 ,—, Pq I /
fc=0 1_Л=1 / Л=1 J
(a)k = F(a +к)/Г(а)и?.ц. A)

5.2. Функция pFq 165
Предположим, что ни один из параметров pi не есть ни
отрицательное целое число, ни нуль. В дальнейшем, имея в виду
соотношение A), будем говорить о функции F что не должно вызывать
никаких недоразумений. Часто для удобства соотношение A) записывается
в сокращенном виде:
JFJL*, ; Ря ; *) = PFQ ("» I *) = ? [(с^/(*)**!]. B)
означает
р
Таким образом, Г (а + fc) означает П Г (а. + к); (а )к
р /=1
Р Р
П (а.-)д.; ар означает П а. и т.д. Пустой член трактуется как
/ - 1 / =1
единица, так что, например, если р = 2, то (^fl)k = 1 при h > 2.
Величины ад и ph называются параметрами числителя и знаменателя
соответственно, a z называется переменной. Функция F симметрична
относительно параметров числителя и также симметрична относительно пат
раметров знаменателя. Если некий параметр числителя совпадает с
параметром знаменателя, то эти параметры могут быть опущены, и
вместо функции F мы получим функцию __ ., F _ 1. Ряд функции
F обрывается, и, стало быть, она является многочленом, если
какой-нибудь параметр числителя есть отрицательное число либо нуль,
в то время как ни один из параметров знаменателя не является ни
отрицательным целым числом, ни нулем.
Ряд функции р Fq
сходится для всех конечных z, если р < а,
сходится для | z | < 1, если р = q + 1, C)
расходится для всех z, z 4 О,
если р > q + 1.
Ряд функции Fq
абсолютно сходится для \ z\ = 1, если R{rj) < О,
условно сходится для | z \ = 1, z 4 1,
еслиО<Я(?7)< 1, D)
расходится для | z | = 1, если 1 < R {rj),
L q
А = 1 h = 1

166 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функщя
Если m — положительное целое число, то
p /-от, 1 - w - c, 1 - w - p„ I (-1 )*+«+i \
x «**. ^ 1 - m - <v | i ]'
E)
где ни с, ни какой-либо из параметров ph не являются ни
отрицательным целым числом, ни нулем. Если ни одно из чисел ph не является
ни отрицательным целым числом, ни нулем, если для удобства, чтобы
упростить рассуждение, ни одно из чисел ah не является ни
отрицательным целым числом, ни нулем и если с - отрицательное целое
число либо нуль, с = - п, то
в+1^в+1 (~m' a* z\ не определено, если n<m9 F)
V —я, Ре I /
w^i (~? !" I *) = Л (? I *), ес™ » - «и, G)
\ —я, ^с I / \pQ I /
/-тя, а„ I \ _ (и—т)!Ютаягто
X q+2-Гр I
-m, и + 1 - m, 1 - m - Pq I (-l)p+g+1
1 — Я2 — GLV I #
(w - m)\ т!(*р)я+1( -1 )^+^^+1
+ »!(* + 1)! (Pe)n+1
_ /я + 1 — m, я + 1 + aD I \ /0v
X-M п + 2,« + 1+/|г)'еСЛИл>в- W
Часто возникает необходимость рассмотреть усеченный
гипергеометрический ряд. В соответствии с этим
77^/a2> \ Л — V l°Wfe*
(pJmml^M 1-m-a, I * У
где ни одно из чисел ph не есть ни отрицательное целое число, ни
нуль.
Пусть
A-pFq{up,vqtgx)}B^rFs{ar)bs)wx)iAB^ ****** (Ю)

5.2. Функщя pFq 167
Если ни А, ни В не являются многочленами, то
wk(ar)k _ f-k, 1 - Ь,
с7. =
W
p+s +1 * p + r
>up
либо
Си =——:—гт— g +r+1 ' p+s'
4)**'
1 - ar-k, v
-k, 1 - vq -k, ar
, 1-»„-*, b.
(~l)r+S+1g
(П)
(-l)P*g+1 w
A2)
Если только А является многочленом ,степени т (например при и h =
= -т, h = р), то указанные выше соотношения для ск справедливы при
к = 0, 1, ... , т и
с* =
w*K)fc
(Mi*'
»р_, -k,l- bs-k
I — иь» U/
x p+s +1 Vr\ Vg, 1-е,-*
A; = 771 + 1, 771 + 2, . . . .
(-l)r+s+1g , A3)
Если как A , так и В суть многочлены (пусть ah = -я, если h = г»
т< п), то соотношения A1) и A2) справедливы при к= 1,2, ..., т,
соотношение A3) справедливо при к = т+ I, m + 2, ...,тг, и
<-*>*<Vi>*^<-">"K-i>»
п+Л
/Г
Э + S +1 2 <7+Г
А; —771, и -, + &, —тг, 1 — bs—n
v + к» к + 1, 1 — оГ_1 —тг
(-1)
r+s +1
?
м;
А;= 1, 2, ..., ттг . A4)
В приложениях часто возникает необходимость разбить
гипергеометрический ряд на четную и нечетную части, которые также будут ги-

168 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция jp и G-функция
пергеометрическими рядами. Таким образом,
РРЯ
= л (*)+-?• *B{z),
/Кар, У2ар + У2
6B) = 2pF2g+l
3/2'^Р<7+ '/г/^Ро*1
Очевидно,
2A(z) = pFq(z)+pFq(-z),
*B(*)-0F(z)-F{-z)
Р Я
Р Я
4Р-9-1 г2
4р-д-1г2
A5)
A6)
Процедуру A5) можно обобщить и тогда получим
f-(z> = 2 —гтп—
р 9
A7)
где каждое Ак имеет вид 1 F (fl+1} +fl. Мы опускаем детали
вывода, поскольку это соотношение можно рассматривать как частный
случай соотношения 5.3.2E). Последнее можно также использовать
для вывода соотношений, аналогичных A6). Целый ряд уравнений
подобного типа, связанных с 5.3.2E), при к = 2 и различных значениях т,
n, p и q представлен в работе Карлсона A970 а). Ослер A975) получил
некоторый общий результат для степенных рядов, из которого легко
получается обобщение соотношения A6). Мы имеем следующие
результаты.
Пусть п и к — положительные целые числа, к <n, w = ъх.р{2т/п)
и
F(z) = 2 Frz\ |*| <R.
г =0
Тогда
т = О
п -1
Л s =0
S *,|,m + **B", + *=J- Y о,"*» F(r«,*).
A8)
A9)

5.2. Функция pFq 169
W X
Для гипергеометрических функций имеем
/{ар+ к)/п, {ар + к + 1)/п, ..., (ар + к + п -1)/п9 1
B0)
где ph = 1, если А = g + 1. В силу этого последнего условия лр+1 F +п
просто совпадает с пр Fnq+n_ 1
5.2.2. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
И РОДСТВЕННЫЕ СООТНОШЕНИЯ
(а
fL F р..
dn
dzn
Ы, F fa? + n
(PB) P q
q'n
Pq+n
A)
za F
P 4 \Pi
G+1, a
B)
Если о- + 1 — я есть отрицательное целое число или нуль, соотношение
B) можно записать в более удобном виде:
dzn
z° F
p ч
A
(ap)n-an! F K + n-a.n+i
= (Pq)n-a(n-a)\ P+1 q*\Pq+n-<T> n+w l V • C)
? [- л- C; I *)] - <° - ">"*"- -F« (. -; P. 14 E>
Пусть
F= F
p V
F)

170 Гп. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ppq и G-функция
/а^ +1, а2, . .. , ар
v 1 ' Р Ч \ ?п
Ч
а
Ч»!. Р2"-- > Pq
G)
(8)
Тогда, если п = 1, соотношения D) и E) примут соответственно вид
(8+ai)F = aiF(a1+), (9)
(S+p, -l)F = (Pl-l)F(Pl -), A0)
где8 = zd/ dz.
В работе Ренвщя A960) приводятся и другие родственные
соотношения.
5.2.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЫ,
СОДЕРЖАЩИЕ ФУНКЦИИ _F
г Ч
Бетагпреобразованил
Р+11' 0+1
-WJ^-^-CI-)* B)
=%п# /."/2 (sin "JS_1(cos *Jo_1 л С: Iz sin2 *)*
=w С(cos *Je_l(sin *J*_I л С: Iz cos2 •) "*
C)
D)
при следующих условиях
p < 9 + 1, R (j8) > 0, R (a) > 0; | z | < 1, если p = q + 1.
Поскольку ряд функции 2 F1 (z) можно аналитически продолжить
из единичного круга D1 в разрезанную комплексную плоскость D2 =
= \z:\ arg(l — z)\ < 77}, ясно, что B) может служить для
аналитического продолжения функции 1 F из D1 в D2. Для аналитически
продолженной функции мы будем пользоваться теми же условными
обозначениями, что и для ряда. Таким образом, если р = q + 1, соотноше-

5.2. Функция pFq 171
ния A) - D) имеют силу при | arg(l — z)\ < 77. Процедуру
аналитического продолжения можно также выполнить с помощью других
интегральных представлений.
Прямое и обратное преобразования Лапласа
Соотношение
МГ;Н-тГгн"Н:П"'
E)
справедливо в пяти случаях, которые мы перечисляем ниже. В
каждом случае R (о) > 0 и z ф 0. Для удобства примем следующие условия:
Ща-Ч) < 1, /= 1,2,...,/>,
V Q
v = X аЛ — Z Ph •
Случай 1* р < q9 \ argz| < 77-/2.
Случай 2о р = q — 1, | arg z\ = к/ 2, arg со = 77,
tfDa + 2i/)<3.
Случай Зо р = д, |arg z| < 77,/2, Л (г) > /? (о>) либо
R (z) = К (й>), * ^ о> и Я (<т + i/) < 1.
Случай 4о р = q9 \ arg z| = 77/2, 77-/2 < I arg со \ < Ътт/2, F).
Случай 5. р = q9 \ arg z| = I arg со \ = 77/2, z Ф со , F),
Я(<7 + 1/) < 1.
Д(<т) > 0, | argjy | < тг, | arg z \ < rrjl
ИЛИ |argz| =77/2 и/г(а-ау)< 1, / = 1, 2, ..., р,
где G-функция определяется соотношением 5.3.1 A).
P+2-^tf
Для Я (а) > 0 и г ф 0 мы имеем также
/ст, а + ?, ар
arg* | < тг/2;
Р<7
/> < Я - 2,
(а)
или
(Ь) Д(*) = 2| Д(ш)| > О,
R(a + v) < -\
F)
G)
(8)
(9)

172 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
или
(с) R(z) = R(a>) = О,
Д(<7 + V) < -J,
R(cr-2<xh) < 1, h= l,2,...,/>,
гдет/ определяется соотношением G).
с- Л+1 (,«; I«.) = Ш Г°>^ (*> I ,„) *, <"»
\р, pff I / Z?rt j с_гоо V<? I '
аз - действительное, о> ^ 0, К(/3) > 0, с > О, р< q.
\ arg A — г/ с) | < 7Г, если р = q + 1.
Преобразование Меллина
Jo V<7 I ' Г(*Р)Г(Р<, - °)
О < Д(а) < %•), У = 1, 2,...,/), ту 9fc О, (И)
?=/> + l, /?(v + 2a)<i 77>0,
либо ? = p, | arg r/1 < 7г/2 или | arg 7/1 = 77/2, если R (y + cr) < 1;
либо gr = p — 1, | arg rj] <7T,
где 1/ задается соотношением G). Это предельный случай
соотношения E).
Неопределенный интеграл
а.
rji) rft =- —
fiff-1 F I P
J ' « V». ' ¦•¦/ " (pq)mml
x[»P(l+ro) + 2 ^(p.+m)- ? V(a, +m)-ln(q*)]
/=1 ; / =1
.,. i (°PM-'>^r _ A2)
k=o {k-m)(pq)kJc\
k ? m
где a - отрицательное число или нуль, скажем а = - т. Условия, при
которых A2) имеет саду, те же, что и для A1), исключая условие
R (а) > 0. Интегральное представление Меллина — Барнса для
функции F следует из соотношений 5.3.1 A - 4, 12).

5.2. Функция pFq 173
5.2.4. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧАСТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПЕРЕМЕННОЙ
И ПАРАМЕТРОВ
На протяжении этого пункта п является положительным целым
числом либо нулем. Формула Залыиютца имеет вид
Р( -п,а,Ь | \ (с-а)п(с-Ь)п (,
2 \с, 1 + а + Ь - с - п I / (с)п(с -а-Ь)п ' К '
гл 2
а также
—п, п + а,Ъ I \ _ (с — Ь)п(а — с + \)п
*¦?\
/ -п,п+а,Ь \ _ (с — Ь)„(а — с+ 1)п ,„\
\е.а + Ь+1-с\Ч (с)п(а + Ь + 1 - с). " W
X
Следующие далее соотношения C), D) и E) известны как
соотношения Диксона, Ватсона и Уиппла соответственно.
г I а,Ь,с \Л ГA+1а)Щ+а-Ь)
^Л\+а-Ъ,\+а-с\1) Щ+а) Д1 + \а - Ь)
Д1 + g - с) Ц1+Ъа-Ь- с) C)
ГA + Je - с) ГA+ в - 6 - с) '
Д{а - 2Ъ - 2с) > -2.
F/ в, ft, с I ч ГA)Щ + 0Гд + 1а + Р)
з 2 ц^ + ft + 1); 2с 11; щ + ^ r(i + ^
At - ja - j* + с) D)
Х Щ -\а + с) Щ -ib + c)'
Щ2с - а - Ь) > -1.
/ а, 1 - а, с I
3М/,2С+1-/|
7гГ(/)ГBс + 1-/)
2»~Ч\с + Ца + 1 -/)] Г[?(а +/)] Г[1 + с - \{а +/)] ЩA -а +/)] •
Ще) > 0.
E)
Левая часть соотношения E) имеет смысл, если с —
отрицательное целое число либо нуль, скажем с = — п. В этом случае значение
левой части E) не совпадает со значением правой части, если
только а не есть целое число либо нуль. Имеем
р(-п,аЛ-а \Л_ 2^{\а + \fU\a -jf+j-n)n F)
2 I/, -2п -/+ 1 | Ч ~ (/)n(l -2n -f)n

7 74 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и с-функщя
e,f
Г(е)Г(/)Щ (e-aj-a,s
Г(о) Г{$ + Ъ) r(s + с) 3 2 I s + b, s + с
s = е -\- f — a — Ъ — с, s ФО.
*М ej \Ч~ Г(о)Г(з
l) , G)
F /*, Ь,с\ л Г(\-а)Г(е)Г(/)Г(с-Ь)
3'2 I ej I 4 Г(е - Ъ) Г(/ - Ъ) Г{\ + Ъ - о) Г(с)
,b,b-e + ltb-f+l\ л
+ подобное выражение, в котором произведен взаимный
обмен между Ь и с. (8)
Формулы G) и (8) - всего лишь два соотношения из большого
множества соотношений, известных как формулы преобразования для
функции з F2 с единичным значением аргумента. Болве подробно о
такого рода соотношениях см. Бецли A935), Слейтер A966) и Люк
A969).
Если в формуле для функции 3F2 какой-либо параметр
числителя больше параметра знаменателя на некоторое целое
положительное число, скажем m, то функцию 3 F2 можно представить в виде
суммы m -f 1 слагаемых вида 2Fr Просуммировав, мы определим
функцию 3F2. Например, поскольку
/а,Ь,с + 1 I \ „ (a)k(b)k(c + k)zk
3F2\ d9c \z = 2 ——
a9b I
d z
-2*1
abz r
+ Г 2*1
a + 1, Ь + 1
J+l
(9)
имеем
/г
3Г2
о, i, c + 1
с?, с
/?(rf- а- Ь)> 1.
1 =
Г(Д)Г(<*-о-Ь) [j ofe
Г(</-а)Г(</-Ь) L c(a+b+l-rf)J
A0)
Это частный случай 5.10.2D).

5.2. Функция pFq 175
С помощью формулы
/а, Ь9 с |
.rf+1, с +1 I
3*2
с — d
d
-d
2*1
З1 2
fa9 Ь
\d + l
I a, 6, с
\d9с+1
(ii)
можно доказать, что
f—n9 n + а 9 с
3^2
/г
Зг2
а (а- с)п
а + 1, с + 1
—га, тг +а +1, с
а9 с +1
(о-с)(а)в(с + 1)я
, ге> 0.
A2)
1 =
R!
а(а+1)п
C(_l)n_!c-o)(o+1-c^,
<«+!>„
A3)
Формулу A1) можно легко обобщить на функции +1 F . При р = 3
4^3
а 9Ъ 9 с 9 d
g, с + 1, d + 1
- «*(«-<** «Г, Л'^
(с-<0*
3х 2
12
т—: г я1
(c-d)g
3х 2
g+ 1, С + 1
/а 9Ъ 9 d
\g+\,d + \
A4)
а если г = 1ис +Ь =g+l, то каждая функция 3F2 может быть
вычислена по формуле Зальшютца и, значит, можно будет найти их
сумму, откуда следует, что значение функции 4F3 также может быть
вычислено.
Из соотношения
Vi',+iL,2
pq-1
«р-1
\-pq\pq-l
-1
A5)
получаем
/*, 6, 1 I л _ (f-1) гГ(с-1)Г(с-а-Ь + 1) i
Л1 с, 2 |Ч ~ (в — 1)(* — 1) L Г(с-а)Г{с-Ъ) 1 V AЬ>
а Ф 1, 6^1, й(с-а-6) > -1.

176 Г п. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и G-функция
Согласно правилу Лопиталя,
*F* Ce.V 11) = (Йу[ф{с ~1}- ф(с - а)]'а ф *> R(c - «) > °. A7>
Ще) > 1. A8)
Из соотношения
*,Ft(e'VU) = T
V с, 3 I / (а
_ 2(с - 2),
2JF -
2*(с - 1)
(а - 2JF - 2J К1 (
а - 2, 6
¦)->]
(а _ 1)F _ 1}
A9)
получаем
/а, 6, 1 I л 2(с - 2J гГ(с -2)Г(с-а-Ь + 2) _ i
321с, 3 Г/ (й - 2JF - 2J I Г(с - а) Г(с - 6) Ч
-(ai(<iOft-i)' «^^г; 6 ^ 1,2; Д(с-а-6)>-2. B0)
Л (""'7Х'I'M l)= ^^He-D W+7t) +
4X 3
1 + в, 1 + 6, 1 + C, 1
2 + с — b9 2 + a —c, 2
(i» + lJ(in-X- 1)
+ ф(е + n) - i/r( J - 1) - ф(е - 1)] ,
Л + 1 = d + e.
11- A + g — b)(l + a — c)
I abc
ГA + %а)Г{1 + а-Ъ)ГA + а-с)Г{1 + %а -Ъ -с) _{
ГA + а)ГA + Via -Ь)ГA + У2а -с)ГA + а - Ь-с)
R(a -2Ь-2с)>-2.
' 1 + о, 1 + Ь, 1, 1
B1)
B2)
4х 3
2 + а-6,2 + а — с, 2
Л _ A+о-Ь)A + в)
/ ah
х [i/r(l + У2а) -ДО1 + а) + *РA + а - Ь) - Щ1 + «а - Ь)],
К(а-2Ь)>-2. B3)
41 3
Ь, 2 г; + 1, г;, и + 3/2
\2v + 2- Ь, v + 2, v + l/2
{v+2-b)vr(v + 2)
' 2^C/2)^A -iittll)!
g = ±l, B4)

5.2. Функтя pFq 177
при условии, что R(b) < A - g)/4. Этот результат был получен Рай-
сом A944).
/а+Ь,,а + Уг, Ъ + Л, Ъ + Уг
Л
,Уг + h, a — 6 + 1, о— 6 + lA + h
1
2-Ba+1+2fe)rBg_ 2fc +\ + h)
A -Л + Аа6)Г(а +1-26)
А =0,1, йF)<1/4.
/ а, 1 + 1Аа, 6, с
Г{У2-2Ь) {1-2Н)Г{%)
4 3 \i/
а, 1 + а — 6,1 + а—,
1 =
4х 3
'-ГС, 71 + а, {1, Ц + 54
ч^в +^, Йа + 1, 2/х
1 =
|.Ш+а-2Ь) ГС/г + о)
A + а -Ь -с)ь
ЯBЬ +2с -а)< 1.
o(a + l-2/z)
(«+2и)(а)Л
B5)
B6)
B7)
Последний результат получен Карлиц ем A963).
4* 3
—л, i;,%i; +1,/i+t;+l
71+1 + V 9 Ы V 9 —\L
-1 =
(-1)» !> + !-,•)<» + II
г Ои-1)
B8)
Это соотношение справедливо также в том случае, еслиц —
положительное целое число > п при условии, что функция 4F3
рассматривается как сумма ее первых (п + 1) членов.
Bа, 26, а + 6 ' ^ - ¦- «•¦ -2
3 2 \2о +26, а +6 +
~L (XL J
B9)
3^2
3f2
3^2
2а, 2b, o+ fe
^2a + 26 — 1, a + b + LA
2a, 26 — 1, a + 5 — 1
s^2a +26 —2, a + b — V2
'1,1,2-a
1 =--
B6 - l)Ba - 1)
2a + 2 6 — 1
F+K2) J2
1 =
v2, 1 + a
]
2 (a- 1)
Ub-lA)a}2
(y + ^(a)).
C0)
C1)
C2)

178 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и (^функция
F
з1 2
3^2
/1, 1, 2о +1 \ о 1
_1 =_?fJJL(<A(a+1/2)-^(a+l) +
\ 2, 1а +2 ' / 4о
а, 1 — а, Зо- 1
2а, а + Уг
+ 2 In 2).
-Ve) =B
C3)
За —3
/it)
Т2
C4)
ГГ(а/2)Г(а+Х)
L Г (За/2) J
Последнее соотношение получено Чемпионом, Дэниельсоном и Мик-
селлом A969).
В многочисленных приложениях квантовой теории табулируются
некоторые коэффициенты, известные как коэффициенты Клебша - Гор-
дана и коэффициенты Рака с индексами 3 - / и 6 — /. Эти
коэффициенты связаны с некоторыми обрьюающими рядами функций 3F2 и 4F3
при единичном значении аргумента [см. Дж. Миллер, Герхаузер и Мат-
сен A959), Симпуку (I960), Исидзу A960), Ротенберг, Бивинс, Метро-
полис и Вутен A960), Чжи A962), Биденхарн и ван Дам A965),
Никифоров, Уваров и Левитан A965), Минтон A970) и У. Миллер A972)].
Пусть
В = Fm
um p +1 гр
'V1
+ р«
Тогда
вт -В-
m
Если
т-1= A+Рр)и
nOm+l
Sm = Л + ,
A+PD)
р' то
где /? и Г не зависят от т, то
т р
Рр <ар) то+1
Р-ар TPp'^JiTTp-^
при условии что
st («») = St (рр), « = О, 1, ... , р - 1,
C5)
C6)
C7)
C8)
C9)

5.2. Функция pFq 779
где Sr(A ) определяется соотношением
П (* + Л.) = 2 Sr(Ap)xP-r .
Следовательно, соблюдая условия C9), имеем
F
+ 1 Гп
'V1
1 =
Рр~аР
\_г(рр)
П«р)
D0)
D1)
F
Р р-1
-">ар-1
^ ! + Рр-1
1 =0.
D2)
В условии C9) для последнего соотношения а^ = —п при h = р и ph =
= 0 при h = р. Вывод C5) - D0) предложен Слейтером A966). Для
иллюстрации полученных выше результатов приведем формулу
(а,Ь,с | \ (а +1)т(Ъ +\)т(с +1)
Fm
32 \ ../ Г/ (•)-(Лж»1
если a+fc+c+2 = e + /, ab + ас + be = (е — 1)(/ — 1) о
Карлиц A965) доказал, что
D3)
рт
р + 21р+1
'ар, 1 + g, 1
Ч 1 + Pp»g
1 =1 +
(рр-ар)A + Рр)
D4)
^ар)т+1
при условии что C9) имеет силу при «=0,1,...,р — 2и
g-'=Sp_,(ap)-Sp_,(Pp). D5)
Верма A967) применил результаты C5) - D5) для суммирования
выражений следующего вида:
2 («Л/(рД-
& = — s
Далее,
р + 1 f p 1
1) =0, п> р.
D6)

180 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^Q и G-функция
Вычисление последнего выражения при п < р см. в работе Люка A969).
(V F (-n,n + a,l+ap
— - P+2Vi I . ' Х
I (о + р + 1) \ р + 1 + a , a
(-1)Р(я + а-а )п! /n-p9n + a,\ + n + a-a
Р* р
(р-д)!ГB|1+а +1) ^ ' \ 2п + а+1, n + а -а
Р
Р
v
D7)
последнее есть нуль, если 0 < р < п -1.
2^0(-тг, 2| -1/ш) = /тг, ти- 1 = т. D8)
5.3. G-функция
5.3.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВЯЗЬ С ФУНКЦИЕЙ pFq
G -функция определяется интегралом Меллина - Барнса
Qm,n (z I ai '-•' av\ _ i^w.n / I ap\
°"\*\b1,...,bJ-G>>.A*\bJ
- ant)-* f ПГ=1 A*, - s) пг-х Д1 - a, + f)
Часто эту функцию обозначают через G ™9 n (z). Здесь пустое
произведение равно единице, Q^m^q, 0 <тг< р, а параметры ah и Ъh
таковы, что ни один полюс функции Г(Ь, - s), / = 1, 2, ... , ттг, не
совпадает ни с каким полюсом функции Г A — ak + 5), к = 1, 2, ... , тг.
Таким образом, ак - Ь. не есть положительное целое число. Будем
придерживаться этих предположений и в дальнейшем, а также будем
считать, что z ф 0.
Имеем три различных пути интегрирования L :
L идет из а- г ©о к а+ г «> таким образом, что все полюсы функ- |
ции Г(Ь . - s), у = 1, 2, ..., m, находятся справа от этого пути,
а все полюсы функции ГA — ак + s), к = 1, 2, ... , п, находятся
слева от него. Для того чтобы интеграл сходился, необходимо,
чтобы 8 =m + n-— (Р + 9)> 0> largzj <S7r- Если |argz| =?77,
8 > 0, интеграл абсолютно сходится, когда р = д и Я (v) < - 1; f B)
когда же р ^ д, то при s = а + ir , где а и г — действительные

5.3. G-функция 181
числа, должно выполняться условие
{q - р) а > R {у) + 1 - — (q - р) при т
где
9 Р
^ = 2 Ь. - 2 а. .
/ = i 7 /=i 7 У
L начинается и заканчивается в + оо, причем он только однажды ^
обходит в отрицательном направлении каждый из полюсов функции
Г (Ь. - s), / = 1, 2, ..., т, и не обходит ни одного из полюсов > C)
функции ГA - ak + s), к = 1, 2, ..., п. Интеграл сходится, если I
q > 1 И Либо р < q, ЛИбо р = g И | z ] < 1. '
L начинается и заканчивается в -оо, причем он только однажды ^
в положительном направлении обходит каждый из полюсов
функции Г A - ак + s), к = 1, 2, ..., п, и не обходит ни одного из по- > D)
люсов функции Г(Ь. — s), / = 1, 2, ... ,тгс. Интеграл сходится,
если р > 1 И ЛИбо р> q , ЛИбо р = q И | z | > 1.
Предполагается, что параметры ah, bh и переменная z таковы, что
выполняется по крайней мере одно из условий B) - D). Если
выполняется более чем одно из этих условий, то получаемые интегралы будут
совпадать.
Если мы используем условие C), интеграл можно вычислять как
сумму вычетов. Если нет ни одной пары чисел bh, h = 1, 2, ..., m,
которые отличались бы друг от друга на целое число либо на нуль, то
все полюсы будут простыми, и мы имеем
r»nL\a*\- У rfci А** ~ Ьн)* UU Д1 + &* - *,)*»»
S;* \" I V k Yl%m+1 Ц1 + bh - *,) П?=п+1 Ца, - bh)
„ /1 + *»
V
F /1 + °h — av Лр-т-пЛ
p < g ИЛИ p = q И I z I < 1.
E)
В функции F __., запись 1 + Ьд - Ь * означает множество из q - 1
следующих параметров: 1 + Ь h - fe1, 1 + bh - Ь2, ..., 1 + bh - ЬЛ-1,
1 + bh — bh +1 , ..., 1 + bh — b , т.е. в множестве из q параметров
1 + bh -b опускается единица Таким же образом выражение Г(Ь.—
- bh) * означает, что опускается член, соответствующий / = h. Этой
системой обозначений будем пользоваться все время.

182 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Если m = 0 и используется путь C), подынтегральное выражение
является аналитической функцией и внутри контура и,
следовательно,
^ИЭ = 0-
F)
Ясно, что G-функция есть многозначная функция от z с точкой
ветвления в начале координат. Дальнейшее исследование особенностей
G-функции см. в пп. 5.3.3 и 5.7.2.
Если среди параметров bh находятся два таких, которые отлича
ются друг от друга на целое число или на нуль, можно, применив пра
вило Лопитапя к тем слагаемым правой части соотношения E), где на
ходятся эти величины, получить представление G-функции в виде ряда
Предположим, что Ь2 - Ь1 = s, s - положительное целое число или
нуль. Запишем E) в следующем виде:
i
Х > "«' Л=1
где смысл Cj^> очевиден. Тогда
»•« Г I К) - к А + *•< Г | 1 + а„ - Ь.)
G)
+
1 + яР ¦
( -1 )«+У. П"з А*, ~ &,) ГС-1 Д1 + h - а3)
*| П?=т+1 Д1 + ъг - ь,) nu+iг^ - *.)
гн п
\(у + In *) - ? W>, - 62) + I ф{\ +b2- a,)
X ^(i + 62 - 6,) + ? 0(а, - ад - ф(\ +,)
X j)-*'9-
1 V Q-
(-l)v-m-nz)
\ +Ъ2 — av
1 + b2 — av || 1 + b,
1 +6,
8-6,*lll+J8-ftJl ^
-ns)
b2 = Ьг + s,
(8)

5.3. G-функция 183
где
Тп'п U
Р>Я \
l,l + bq -Ь2\
1+ар-Ь2 /
_ rpm,n [
lp>q \z
ъл m
1, 1 - S, 1 + Ъ3-Ъ 2, * . . , 1 + bq*~b2\
1 +o1 -b29. . . ,1 + ap- b2 /
z 1 П Г(Ь. -6,) П ГA + Ь1 -а.)
/=3 -•-• 7
= 1
П ГО + ^-Ь.) П Г(а--Ь1)
j =m +1 / = tz + 1
s_1 A + fc a ) (s_ 1 -i)!(-l)*(BI + ,l+1-P,z*
x ? ?
& = 0 1
П A + ^ -b.)kk\
1 =3
z^i{zexpMm + n + l-p)]H-177m+n-^-2ft Г(Ьо -я,-)П sin^a,--Ьт)
(s-1)! П Г(Ь2-Ь.) П simr^.- -Ь,)
/=з /=з
x q +1 Fp
% 1 + b. - b2
l + ap-b2
(-1)
q — 771—П
' Ь2~Ь\
(9)
X f' 1 Iй \z) = ? bkg {tA(y„ + A) _ ^j _ де„ + ft) + 0(8.)}. A0)
В последнем соотношении <А(уи) есть краткая запись суммы
2 ф(у.) и т.д.
7 = 1
Если еще одна пара параметров Ь. отличается друг от друга на
положительное целое число или нуль, скажем Ъ2 - Ь3 = г, но Ъ2 и Ь1
не отличаются друг от друга на целое положительное число или нуль,
то нужно применить проведенный выше анализ к функции С™ + С™ .

184 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и G-функция
Если три или более параметров Ь. отличаются друг от друга на целое
число или нуль, можно легко обобщить предыдущий анализ.
И напротив, формулы (8) - A0) и их обобщения можно получить,
применив теорию вычетов к интегралу A), если считать, что кроме
простых полюсов имеются еще и сложные полюсы. Мак-Роберт A961,
1962) дает анализ частного случая G-функции, когда два или более
параметров Ь. отличаются друг от друга на целое число или нуль.
Если нет двух таких параметров a h, h = 1, ... , n, которые
отличались бы друг от друга на целое число или нуль, тогда, используя
контур D), получаем
v L n^i n 1 + а, - ah) nu гк - ад
QF1>-1 {
1 + bq - ah
1 + av — at
(-У
--)¦
A1)
если q < p или если q = p, I z I > 1.
Если два или более параметров ah отличаются друг от друга на целое
число или нуль, то, в силу соотношения 5.3.2C), формулу A1) легко
получить из G), сведя все к случаю, когда два или более параметров
bh отличаются друг от друга на целое число или нуль.
Из формулы E) и A1) ясно, что функцию F можно выразить
через G-функции. Имеем следующие соотношения:
?1.« L I "*\ = UU Д1 + К - а,) я*
™ [ I V П?=2 А1 + К - ь,) YlU+i Пъ - fti)
Gb
X p-t'g.
1 + Ьх — av
+ h- К
если р <q или если р = q, | г] < 1;
¦¦(!
(-у-1-**),
A2)
'1+а -
PF,
Ч
п
Ро
^ + Pq ~ Р О
ГA+Р,-р0) П Г(р -e/)Uexp[-ff»(»+l-p)]}
/=га+1 '
Ро
-1
П ГA+а/-р)
xGp,g+1 I z exp[-ffi(n+ 1 -P)l
1-
1 -р0, 1 -р,,..., 1 -р
Л13)

5.3. G-функция 185
если р< q либо если р = q + 1, | z | < 1;
**<\р,\*)- цар)ь™+А z\o,i-PJ>
если р < q либо если р = g + 1, | z | < 1.
G«-i k I *») - ГЕ-хД^-ах + О»-1
*•« * I V ~ njL, Д1 + а, - в1) Щт+1 Д«1 - *,)
X
(-1)'
Q—т—1ч
/1 + ^-all(-lf-"'-^
"-1 ll + вр - в*| г Г
РРЯ
если ? < р либо если q = p, \z\ > 1.
'о
*
'! + аР - Ро
ч1 + Р„ - Ро
A4)
A5)
П ГA+р. -р) П Г(р0-а.)Ь ехр[-^(Л+1-рI}Р°
/ = 1 ' /=п+1 '
П ГA+а. -р0)
/=1
хС9'+11,р U~1exp[w(n + l-p)]
Р0' Pi Pq
если р < ? либо если р = q + 1, | z ] < 1.
*« L I *J ~ ДсО *+*-Р [ | а J.
A6)
A7)
\р„ I / Да„)
если р < ? либо если р = <? + 1, | z | < 1.
Комбинация соотношений E) и A2) дает формулу разложения
G Р,Ч
П [r(brbh)*r(l + bh-bj)*]exP[-7ribh(p+l-m-n)]
= 2 _LzJ
П [Г(в.-ЬА)ГA + ЬА-в.)]
/ = п + 1 ' '
х G^P ((-1)Р+1-т-л z\ P ) A8)
Р. 9
ь» ъ*/

186 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и 0<рункция
Также получаем формулу
°Р,Я
= 2
%
\
п
П [Г(ад —о.)* ГA + о. —Од)*] ехр[— ni(ah — l)(g + 1 — m-n)]
/=1
П [Г(ак-Ь.)ГA + Ь.-ак)}
/ = т + 1
h a (i9)
** /
Первоначально G-функция была определена Мейером A936) с
помощью ряда E). Позднее [см. Мейер A941а, стр. 83; 1946)] это
определение уступило место определению посредством интеграла Мелли-
на — Барнса A), где путь L берется таким, как в данных выше
определениях пути B) и C) соответственно. Полное определение G-функ-
ции A) - D), за исключением случая, когда | arg z\ = 8n9 8 > 0, если
берется путь B), было дано Эрдейи и др. A962, т. 1).
^-функцию, введенную Мак-Робертом A938), можно определить
соотношением
Е(а±, а2 ,..., ар;Ь19 Ь2 ,..., bq ; z) = Е(ар ;bg;z) = G^v (z | l?). B0)
Как Е-функция Мак-Роберта, так и G-функция Мейера явились
результатом попытки придать смысл функции F , когда р > q + 1.
5.3.2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА
G-функция симметрична по своим параметрам ау9 . . . , ап;
% + Л,. . . , ар ; Ь1,. . . , Ът и Ът + 1, . . . , bq. Следовательно, если
один из параметров ah, h = 1,..., n, равен какому-либо из
параметров Ъ., / = т + 1,..., q, G-функция редуцируется в функцию низшего
порядка. Например:
Gm'n (z I а1> — >а1> \ _ Qmtr>-1 (z\ a2> — >ap\ . > | ,-ц
Подобным же образом, если один из параметров ah, h = n + 1,..., р,
равен какому-либо из параметров Ь., / = 1, 2,..., т, G-функция реду-

5,3. О-функция 187
цируется в функцию низшего порядка. Например:
Gm,n L I *i.-. "*-1 Л\ = Grn-in L I «1.-. **-i\ ™, />, <? ^ 1. B)
"¦« \ I bl9b2,...,bq I p-i.e-iV I Ь2,...,ЬдГ
Исходя из соотношения
G-И9 =G- И!-«;)' arg(S = -arg*- C)
при анализе G-функций можно без потери общности предположить,
что р < q. Еще одно необходимое для анализа G-функций соотношение
имеет вид
z°G^{z\aA = G™(z\^ + °\ D)
*•« \ I V P-Q \ I 6в + а/
Формулы A) - D), а также формулы, представленные ниже,
легко получаются из 5.3.1 A):
G'-« I* I ftj =B,r) * G»^ 1Ь^П I dlk, d2k,..., dj-
« = (* - 1)[KP + ?)-«-«], » = t *i> - f a, + KP - ?) + 1, E)
где с,. и <fAfe обозначают соответственно множества параметров
% ^ + 1 aft + fe — 1 ь _ i ? Л
у, —^— ,..., j , «-i,z,...,p,
6ft 6„+l frft + * ~ 1 U-\ 7. a
GJSii (* I % °ь) = (-1 )r G?:,fc (* 11*} н = ° + г>г - ч^06 "и™0- F)
r - целое число или нуль. G)
(i - <h + К) eft (* | У = G*; (. |* - !«*'-'й»)
т
, п > 1. (8)

188 Г п. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и G-функция
l^nkp-h h=p. (9)
m < ? - 1. A0)
G?:,n (* | 3 = B"»") jexP(t™n+1) G-»« (*«-* | **)
- exp(-*Wn+1) G»;;+i («" | J")],
я </> — 1.
(П)
Gm+2 n
P» 9 + 2
P
о, к, ь
P» 9+2 \
P, 9+2 \
in
9
К , bq > 0У
0, ^,'/2
A2)
лГ lG-l^UJ|- * lG™\*\i+blfbt,...,bJ'
L-bh Qm.n L \aA\= z-l-bhGm,n L\ av \
\ P'Q \ \bj) p'q \ \bl9...,bQ_lt 1 +bQ)
d_
dz
q-\ у a -r vq,
m < q, h = q
d_
dz
j^-ei^:;(*|^|=^iG?.a"(*
tfl — 1> «2 >•••> й3
)¦ ¦
> 1.
-? |*i-°* G»-« (* I *')! = -*-»G»-« (* I ai •-' ^T1' *' ~ %
dz { "•» V I 6.Л p,? \ I К !
A3)
A4)
A5)
n < p, h = p. A6)

5.3. G-функция 189
zk ^L |с«.» L I a*\\ - G--1+1 (z I °' a*\ A7)
zk ^L \nm.n (z-l \aA\ /j \fc /jm.n+l /~-l I 1 ~~ ^ M A8)
5.3.3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
ФУНКЦИИ G™'" B)
Если в 5.3.1 A) положить р = q, а в качестве L взять путь 5.3.1 C),
то необходимо, чтобы 0 < | z | < 1, если же путь L определяется 5.3.1D),
то | z | > 1. Если L соответствует пути 5.3.1 B), мы имеем
представление, справедливое для всех z, z 4 0, при условии, что т + п > р + 1
и | arg z\ < (т + п —рOт. Если | z\ < 1, можно, не изменяя значения
функции G{z) = G™' n (z), деформировать путь 5.3.1 B) таким образом,
чтобы он совпал с путем 5.3.1 C). Из 5.7.2A) следует, что G(z)
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению р-го порядка,
для которого каждая конечная точка z-шюскости является
обыкновенной точкой, за исключением регулярных особых точек z = 0 и z =
= (- 1) m+n ~P . Для определения функции G (z) за пределами
единичного круга введем разрез в z-плоскости, проходящий по прямой линии от
(_1,*+»-р к(-1Г+7г"Р A + оое1>), -7г/2</х<тг/2. A)
В A) мы почти всегда берем \i = 0. В этой разрезанной плоскости
функция G (z) будет иметь единственную особую точку, а именно
точку разветвления z — 0. Если m + п > р + 2, сектор | arg z| < (m + п — р)п
содержит точку (-1)т+п ~р. Но в этом случае, как было замечено
выше, G(z) является регулярной функцией в точке z = (— \)т+п~Ря
таким образом, если т?г + 71>р + 2и| arg z\ < (т+ п — р)п, введенный
нами разрез не нужен. Следовательно, мы доказали, что если т + гс>
> р + 1 и | arg z\ < (т+ п -р)п, то с помощью разложения 5.3.1 A1),
когда q = p, функцию G{z) можно аналитически продолжить из
единичного круга с центром в начале координат в его внешность. Легко
получаемое соотношение
9+1 °^к н-ж^к™ uur^-ah)
р /1 + ah - ЬР , ah\ л
О < arg z < 2тг, B)
дает аналитическое продолжение функции +1 F , находящейся в его

190 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и с-функция
левой части, из единичного круга за его пределы. Таким образом, мы
полностью обобщили результаты, которые будут получены в гл. 6 для
функции 2F1, касающиеся поведения решений 5.7.1 A) в окрестности
особых точек г = 0и^ = <х>и связи между этими решениями.
Поведение решения в окрестности особой точки z = 1 в случае функции
р + 1F при р > 1 довольно сложно, поскольку решение не принадлежит
к гипергеометрическому типу. Здесь мы не будем рассматривать этот
аспект проблемы; читателю же предлагаем познакомиться с
прекрасной статьей Нёрлюнда A955).
Дальнейший анализ аналитического продолжения функции Gm' n(z)
см. в 5.9.1 A0, И) и 5.9.2B1 -23). р,р
5.4. Принцип конфлюентности
Чтобы ввести понятие конфлюентности, заметим, что если z
ограничено, то, как известно,
lim A — z/a)~° = lim exp[—a ln(l — z/a)]
|ст|-»оо ' |a|-»oo
= f (lime exp{(*2/2a)[l + 0(z/a)]} = e\ A)
В принятых нами обозначениях для гипергеометрических функций
соотношение A) будет иметь вид
lim xFlo, zja) = 0ВД = Л B)
|ст|-»оо
Этот результат можно получить и другим способом. Общий член в
разложении в ряд Маклорена для A - z/a) ~a имеет вид
v^/kl = Да + k)zk/r(a)Gkk\ C)
а из 1.3A3) при фиксированном к имеем
lim v. = 1. D)
Следовательно, при фиксированном z
lim A - фу = Hm ? (»***/*0 = ? (**/*0 ,u,m ** = ? *к№ = **•
С другой стороны, если в функции 2F^(a, Ъ; с; z) заменить янаг/б,
получим степенной ряд от z, радиус сходимости которого есть | Ь|.
Полученный степенной ряд определяет некоторую аналитическую функцию
с особыми точками при z = Ъ иг = ю, Пусть | Ъ | -> во. В пределе полу-

5.4. Принцип конфлюентности 191
чим целую функцию с особой точкой при z = ©о, которая является
слиянием двух особых точек z = Ь иг = оо функции 2F,{a, b; с; z/ Ъ). Таг
ким образом,
lim 2^(я, Ь; с; zjb) = ^(а; с; z), F)
\0 |-»ао
а функция 1F1 является конфлюентной формой функции 2F1. Поэтому
функцию 1F1 называют конфлюентной гипергеометрической функцией.
Естественным обобщением соотношения F) является
Этот процесс перехода к пределу называется конфлюенцией
относительно а, а результирующий предел называется конфлюентным
пределом. Соотношение G) имеет большое значение, поскольку оно дает нам
возможность с помощью известных представлений для функции +1 Fq
получать подобные же представления для функции F , которые
нельзя получить в результате простого исключения параметра числителя
в функции p^Fq.
В соотношении G) конфлюенция происходит относительно
параметра числителя функции 1 F . Однако процесс нахождения предела
можно выполнять относительно параметра знаменателя; имеем
| arg р | < тг - 8, 0 < 8 < тг/2,
| z | < R, если | arg )81 < яг/2, (8)
\z\ <jsin (arg j3) | R, если 7г/2 < | arg /3| < тт - § ,
где R = 1, если р = д + 1, ий = «>, если р < #.
Эти результаты являются частными случаями общих теорем,
предложенных Филдсом A967). Ниже мы приводим эти теоремы вместе с
применениями к функциям F .
Теорема 1. Пусть при \z\ < R сходится ряд
2 akz
к = 0
(9)
Тогда при \ z/o\ < R сходится ряд
F(z, а) = ? faMt/ЭД'М*. A°)
fc=0

192 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
u F(z, a) можно преобразовать, с тем чтобы получить ряд по степеням
1/а:
?{*,*)= ?&(*)*-', \Ф\ <Д. (П)
3=0
Этот ряд сходится для \ z/a\ < R, причем g. (z) суть целые функции от z,
определяемые соотношением A3), приведенным ниже. Кроме того,
если j > 1, то g.(z) можно выразить через производные функции gQ{z) =
= *(*)•
« ak«jtkz* " ak{\ - *),В<*>**
gAz) = L —й\— = L /TTi > vlz>
где В. - обобщенное число Бернулли; см. п. 14.2. Если Д -
оператор конечной разности вперед по отношению к переменной к, то
/м = i (-Лтг- л^м к D- .
A3)
Поскольку коэффициенты при z 1 + '+Г g0A +/ +г * (z) в A3) не зависят
от gQ (z), эти коэффициенты можно вывести, воспользовавшись
частным случаем формул A1) и A3):
F(z, а) = A - ф)- = е* ехр ? (°1ЖФУ > *о(*) = «"- A4)
W=2 )
Первые несколько функций g. (z) имеют вид
*о(*) = *(*) = ? «***/*!, &(*) = (*W2)(*).
fc=0
л(«) = (*W3,(*) + (*«/8)*<«(*), A5)
g3(z) = (*«/4)*<«(*) + (*«/6)*«»(*) + (*6/48)?<в>(*),
Л(*) = (*5/5)?E,(*) + (Ш6/72)?'6>(*) + (*'/24)?<"(*) + (яв/384)^«»(яг).
Теорема 2. Имеет место соотношение
P+1FV f- a | яг/а) = „F, (? | *) + ^ + ^ (8A3(z) + ЗЛ4(*))
+ J-5 A2Л4(*) + 8А(*) + Л.(*)) + 3^5
X (U52As(z) + 1040Л6(я) + 240A7(z) + 15A8{z)) + •••,
A6)

5.4. Принцип конфпюен тности 193
где
A(z)-Zr_^_ F /«* I Л _ Юг*г F /«* + г I \
^и - ^ р*. ^ | *] - {Pq)r л ^ + г | *j.
/> = ?, |*|<|а|; /><?, |*|<оо.
Теорема 3. Пусть в круге \ z \ < R сходится ряд
/(*) = 2 ckzk . A7)
к = О
Тогда ряд
Ц*,Я = %ЫШ(Р*Г A8)
fc=0
сходится для всех z, если /3 ^ 0, — 1, — 2,..., и
T(z,P)^ ?/,(*)(-?)-'> 1?|-*оо, |arg?| <тг-8, 0<5<тг/2,
i-o A9)
|*|<Д, если |arg j8| < тг/2;
| z | < | sin (arg fi)\ R9 если тт/2 < | arg /3| < 77 - 8 ,
$de /. (z) суть аналитические функции от z в круге \z\ < R,
определяемые соотношением B1;, которое дается ниже.
При / > 1 /. (z) можно выразить через производные функции f0(z) =
/К») = I *( V «*• B0>
2i-2 r+2
П?чЙ1 . i>l. BD
Я^)=1о7ы/Г,ик(^Ту)]й=2. У>1
Ниже мы даем первые четыре функции f(z):
М*) = /W = Е ^/- ЛИ = (*2/2)/B,(*).
fc=0
Л(*) = (*2/2)/<2>(*) + B»»/3)/«»(*) + (*«/8)/««(*),
/3(*) = (*2/2)/B,(*) + 2а»/«>(*) + C*«/2)/<«(*)
+ (^/3)/,5,(^) + (*e/48)/<e)(«).
/,(*) = (*2/2)/<2>(s) + A4*»/3)/«>(*) + F1**/8)/<«(«) + F2^/15)/«5»)(^)
+ A3be/144)/F>B) + (zyi2)f"\z) + B8/384)/l8,(^).
B2)

7 94 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и G-функция
Теорема 4. Имеет место соотношение при | /3|
A2(z)
**<+* (р?9р I Р*) = *М? I *) V + 2АР{12АМ + l6AM + ЗЛ*(*)}
1 {24A2(z) + 96A3(z) + 72Л4(*) + 16Ab(z) + Л6(*)}
48^
+ JfW*{2mA2{z) + 2688M»W
+ 43920Л4(*) + 23808Л5(*) + 5240Л6(*)
+ 480Л7(*) + 15Л8(*)} + 0(р'% B3)
причем | arg j8| < 77 -S, 0 < S< 77/2, если р< q ; | z\ < 1 яри р = д + 1,
еслиЯЦЗ) >0; | z | < sin S, 0 < S < тт/2, если /?(?)< 0;g%«rcz(#wilr(z)
определены формулой A6).
5.5. Теоремы умножения
Будем считать, что «z ^ О, am, n, р и д — целые числа, причем
<7>1, 0 < 71 < р< #, 0 < 771< ?,
Тогда соотношение
справедливо в следующих пяти случаях.
1. р <?, \vo - 1| < 1.
2. р = ?, (-1)т+л-Рг^ 1, | и>-1|<1, если(-1)т+п-РЙBК
1 .
<— '
2
|м>- 1| <| 1- (-i)m+""p |, если1<(-1)т+"-Р/?(г)<1;
z 2
-1| <| /B)|/|г|, если(-1)т+"-РК(г)>1.
m + п
w- 1| <1.
Случай 3. р = д, иг + л — р > 1, | arg z| < (т + тг ~ р —¦ O7,

5.5. Теоремы умножения 195
Случай 4. т = 1, р < q, Ъ^ — неотрицательное целое число; при
этих ограничениях соотношение A) справедливо для
всех z и w.
Случай 5. /л = 1, р = ?, ЬЛ — неотрицательное целое число,
(-i)»+»-pz^ l, |„-i|<|i--Lii |,
z
если(-1)в+1"РД(*)<1;
|ю-1| <|Z(z)|/|z| , если(-1)га+1-РйB)>1. B)
Если т, п, р и q такие же, как и в A), тогда соотношение
C)
справедливо в следующих трех случаях.
Случай 1. р < q, R(w) > Уг .
Случай l.p = q, (-1) т+п~Р z 4 1, R (иг) > 1/2, если
|l_(_l,«»+»-P2| >!;
|1/ю-1| <|l-(-l)m+B-Pz|, если 11 - (-l)m+n-Pz|< 1. D)
Случай 3. p = q,m + n—p^l,\ arg z | < (m + i — p -)n,
R(w)> 1/2.
Из приведенных выше соотношений легко получаются следующие
результаты:
р,я \ ? , 0/ *-* Л' p,ff \ \ Ь . k/
4 | uq-i »v/ fc=o ' <?-i » '
^(^Ч1:)=-\|0т^с-(И^^+о- *=* F)
O- (- I у - ^ ? *Ц^ G~ (. | , + ^ X _ ,J. G)
Gm.n Lw I M = у A ~ «0* Gm+1.n / I a, , 0\ (8)
'•« V I ft, ^ io A! °™ Г I bq )' W

196 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция рр и с-функция
°s (-11) - --11^1 °:: («|* X ¦*¦-*).
n <p,h = p. (И)
Обобщения разложений E) - A1) представлены соотношением
5.10.1 A). Формула A) впервые была предложена Мейером A941 б);
см. также Мейер A952 - 1956, стр. 376) и Ноттнерус A960). Это
соотношение является обобщением хорошо известных результатов для
бесселевых функций, конфлюентных гипергеометрических функций
и гипергеометрических функций. Условия, принятые в случаях 2 и 5,
для соотношения A) отличаются от условий, предложенных Мейером;
объяснение этому факту дает Люк A969).
Рассмотрим на примере применение соотношения E), когда m =
= 1, л = р = 0, q = 2, a z kw заменены на z2/4 и w2 соответственно.
Тогда, используя соотношение 8.3(8), получим
]v(wz) = ur I d-™2)k{z/2)k Jv+k{z),\w\<~- A2)
5.6. Интегралы, содержащие С-функцин
Условия, обеспечивающие сходимость рассматриваемых в этом
пункте интегралов, являются достаточными, подробное их описание
дает Люк A969).
Преобразование Меллина
Пусть
1 < гс < р < q , 1< m< q ,
8 = m + n-i(p + q), (l)
—min R(bh) < R(s) < 1 — max R{a3).
Тогда
J 0 y u™ \w I bj ay nu+i A1 - b> -') П?=п+1 Па, + s)'
8 > 0, г, ф 0, I arg v | < 8n. B)

5.6. Интегралы, содержащие G-функции 197
Интеграл от произведения двух G-фунщий
Пусть
1 < п4 P4q> 1< ™< q,
1 <i^< а4 г , 1< /?<г ,
§ =Я1 + ГС (р + <?), р = JZ <+ V (<7 + г).
^ 2
Необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
R {bj + dh) > - 1, у = 1, 2, ..., т , А = 1, 2,..., yi.
R (aj + ch) < 1, / = 1, 2, ..., п, h = I, 2, ...,i/.
а. - 6, не есть положительное
целое число, / = 1, 2,..., п; h = 1, 2,..., тп.
с. - Ji не есть положительное
у h
целое число, / = 1, 2,..., и; К = 1, 2,..., /х.
7/^ 0,6) /0.
Тогда
/С-;; ^,| ^ GW\»,
dx
- — G n+lJL> m+1/ [ °*
q+CF, p+T
1 rm+v, n +/x / 1
= - P+r)9+a I
-b„.
ym + 19 '
.-A
»,,.
•i»-
C).
D)
E)
S > 0, | arg r]\ < Sn, p > 0, | argu) | < pn.
Соотношение E), предложенное Мейером {1941 а), является очень
важной ключевой формулой. Ниже мы даем несколько частных случаев
этого соотношения; условия справедливости опущены; см. E) и
работы, ссылки на которые помещены в начале этого пункта
_ ГA + d1-dT) _dl_! ^m+a.n+i /?_ I «i.—. a» . — dr , an+l,..., av\ F)
~ I\l+d1-ca)°t U"+T''+a l со U ,..., 6m , -c„ , bm+1,..., bj'

7 98 Гп. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и с-функщя
Преобразование Ханкеля и преобразования У, К, Н соответственно имеют вид
J о ' «
_ o-i ^«n.n+2 M I « + ?v, а — \v, av , a + \y + i\
-« ^»+8.«+i^M a e + i., + 1 />
>"~1 ^m.n+2 M I « + i", в — Jv, a„\
2 D+2-" la. I 6„ /'
(8)
(9)
A0)
l"x-^2{wx\in)GZ;(vx\%)dx
a-i /мп+i.n+i СП \a — \—\v,av,a — \v,a + \v\ . -.
fc (* + J) С?;? (^21 J) dy = Bir) G^2^2 (^ | 0, i *^
|arg*| <tt. A2)
Прямое и обратное преобразования Лапласа
j^ e-«»y-« G™ (zy | ?) rfy = a,-1 G^+,X (? | %""). A3)
Соотношение A3) является частным случаем E); оно также
справедливо для | arg со | = 7т/2 при дополнительном условии, что R (а - а.) >
> -1, / = 1, 2,...,».
/"«* G?;: («*> | ?) Л = тг^/Г1 GJ?? (? | °' |' *'),
8>0, |arga|<87r, *(j8)>0, ДF,)>-*, / = 1,2 m, A4)

5.6. Интегралы, содержащие G-функции 199
значение 8 удовлетворяет C), кроме того, разность a. - bh, как и
в D), не является положительным целым числом. Соотношение A4)
также справедливо при | arg j81 = п/2, если R (а.) < 1, ] == 1, 2,..., п.
Предположим, что m, n, р, q и 8 удовлетворяют условиям C), а
разность a. -bh удовлетворяет условиям D). Пусть
с > 0, z - действительное число, z 4 0, у 4 О, /jg\
R (а — bh) < 1, h = 1, 2,. . ., т.
Тогда
х I uq > <*' ^ с—гао х "^ ' ^д '
при условии, что 8 > 0, | arg у | < 8п,
с >max{0, R[(-l)m+n~Py]} , еслир = д.
Далее A6)
С ^. (!:::;; И «ЖГ;)л
_ 2ттгГA +а — ds) _a ™,п+г / I сг , дР \
- Д1 + а - cr) V u*+*-*+»i {*>* \bq,d99 *)'
при с > О, ? ^ 1, 0 < я < /> < #, 0 < *я < #;
*7 ^ О, г ^ 0, с > | г | , если р = q;
Д(с, — bh) < 1, 7 = 1, 2,..., г, А = 1, 2,..., т;
г = s, 7j>0, R (а + ? 4г - Z с>, - 6А) < 1, А = 1, 2,..., ет;
\ j=i i=i /
г = s + 1, | arg ^ |< тт/2, с < R(\lv). A7)
Преобразования Фурье
?coey*GU"(«»|?) Л = -1V1G^r,1(^| "'^'0)' у >0
5 > 0, | arg а | < &г, ВД > - ?, У = 1,2,..., т, Д(я,) < 1,
j = 1,2,..., я, A8)

200 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функщя pFq и G-функция
f°° „:« ~ r^rn.n I 2 I ap\ j„ 1/2 -1 fvm.n+1 ( 4a I О, Лр , 2\ ^ n
sinyxCPi, o« Л? = 7г у G; + 2,„ (—-2- I, y^O,
8 > 0, | arga | < 8тг, ОД) > -!, ; = 1, 2,..., m, #(a,) < 1,
У = U2 n, A9)
если S удовлетворяет условию A), а разность a. -hh условию D); см.
также соотношения A3) и A4), в которых со и /3 заменены на io> и i?
соответственно.
Преобразования Эйлера
Пусть m, n, p, q к8 удовлетворяют условиям A), но только т >2.
Пусть г/ Ои
RF1 +b2)<R(o + j8)f й(а7.)<1 + Л(ЬЛ), &=!, 2, / = 1, 2, ...,*;
a--bh не является положительным целым числом
для У = 1, 2,..., п, ft = 1. 2,..., т. ' '
Тогда
х<*;Н «,,,,?....*.)* = д«+/»-*i -*><*;(«?).
S > 0, | arg z | < 8тг. B1)
jVd - 3-Г8-1 GT," (*У | ?) «*У = А* - Р) С%&1 (* | ?"j) -
О < я < />< ?, 1 < »г < ?, Д(]3) < Щос) < ВД + 1 B2)
при / = 1, 2,... , го и при условии, что разность а- — bh удовлетворяет
условиям D).
5.7. Дифференциальные уравнения
5.7.1. ФУНКЦИЯ F
Рассмотрим дифференциальное уравнение
[«(« + Ра - 1) - *(s + «•)] Щ*) = °> 8 = zD, D = «*/«&, A)
где мы используем такие же сокращенные условные обозначения, как
и в п. 5.2.1, т.е. (8 + а ) обозначает П (8 + а.) и т.д. Анализ свя-
р / = 1 /

5.7. Дифференциальные уравнения 201
зей между операторами 8 и D, а также другие связанные с ними
результаты см. в п. 14.3.
Уравнение A) имеет порядок max (p, q + 1). Если р < q + 1,
особыми точками уравнения A) будут z = Ghz = °o;z = 0 будет регулярной
особой точкой, a z = <» — иррегулярной особой точкой. Если р = q + 1,
то регулярными особыми точками будут z = 0, z=l, z = «>.
Фундаментальные решения уравнения A) в окрестности z = 0
пропорциональны
tf*(*) = **-* vFq ([ + а* " pl I *), А = О, 1,..., *, B)
при условии, что нет двух таких параметров ph, которые отличались
бы друг от друга на целое число или нуль. Здесь и далее знак *
означает, что член 1 + р • - ph опускается, если / = А. Кроме того,
Ро-1-
U0(z) = F(Z)=pFq (Яр \z) , C)
\Ря
(8+Р,-1)-*
lVrfwV(*) -/, \ZF(t)dt = (Pq - 1),
0». - 0 = П (P» - 0. И Т.Д. Л = (8 + «t)(S + cch+1) - (8 + a„), ?P+1 = 1,
/» =1, Л = («x - 1)(<*2 - 1) - К - 1). D)
Если какой-либо параметр числителя равен единице, скажем а^ = 1,
то F{z) удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению
порядка max (р — 1, q). Следовательно,
[(8 + Р9 - 1) - *(8 + «,) - (8 + <*,)№) = 0), - 1),
д*> = л A,в1"'" "•!*)• E)
Мы также имеем
[8(8 + Рд - 1) - *(8 + *,)] A(z) = fa + я, - 1) **,
[(8 + /*)(в + р + р, - 1) - *(8 + р + «,)] ?(*) = Мм + Р« - 1),
В(г) = г-М(г). G)

202 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Если р > q + 1 и нет двух таких параметров a., которые
отличались бы друг от друга на целое число или нуль, то имеется р фунда-
ментальных решений уравнения A) в окрестностях точки z = «>,
пропорциональных
|9+1-Р
Г»(*) = *-* ,+Л-х A + ? _ С* I i4—")• k = h 2>-'p- (8)
Здесь также р0 = 1.
Как уже было замечено раньше, точка z = 1 является регулярной
особой точкой уравнения A), когда р = g + 1. Фундаментальные
решения в окрестности этой особой точки читатель может найти в
прекрасной работе Нёрлюнда A955).
Если какие-либо параметры ph отличаются друг от друга на целое
число, то для того, чтобы получить фундаментальные решения в
окрестности точки z = 0, нужно установить связь между функцией F и G-
функцией и применить формулы, полученные в п. 5.3.1. Подробное
описание этой процедуры дается Люком A969). Подобным же образом
следует поступать для получения фундаментальных решений в
окрестности точки z = ¦ оо, если какие-либо из параметров а- отличаются друг
от друга на целое число или нуль.
5.7.2. G-ФУНКЦИЯ
Дифференциальному уравнению
[(-1)т z{8 - ар + 1) - (S - bq)]y(z) = 0, 8 = zd/dz ,
т - m + n — р, A)
удовлетворяет функция G"j»" (z). Это уравнение порядка max(p, q)fu
на основании 5.3.2 C) можно предполагать, что р < q. Если р < q,
единственными особыми точками уравнения A) будут z = 0 - регулярная
особая точка иг = оо- иррегулярная особая точка Если р = q, точки
г = 0и2 = оо будут регулярными особыми точками и, кроме того,
появится еще одна регулярная особая точка z = (— 1)г . Решения
уравнения A) в окрестности особых точек z = 0 m z = <*> полностью
исследованы Мейером A946, стр. 344 — 356). Что же касается
фундаментальных решений в окрестности точки z ¦= (- 1)г, в специальной
литературе о них нет никаких сообщений; см. в связи с этим работу
Нёрлюнда A955).
В окрестности точки z = 0 q функций
yh(z) = exp[*V(r + 1) bh] G1^ (* ехр[-йг(т + 1)] I *» A
A = 1,2,...,?, B)

5.7. Дифференциальные уравнения 203
образуют фундаментальную систему решений уравнения A) при
условии, что нет двух таких параметров bh, h = 1, 2, ... , т, которые
отличались бы друг от друга на целое число или нуль. В действительности
это условие не является обязательным; см. анализ соотношения 5.3.1 G).
Ясно, что
Л, м ГA +bh- av) p /1 + bh - av I y\ m
**« = r(\+bh-bQ) zh ^ ll + bh - К I( l} V' {S)
причем
р<9-1, ИЛИ p = q И |z|<l.
Следовательно, функция Gm% n (z) - это линейная комбинация функций
B); см. формулу 5.3.1 A8), которая представляет собой аналогичную
комбинацию.
Теперь рассмотрим решения уравнения A) в окрестностях
иррегулярной особой точки z = оо . Следует различать два случая.
Случай 1. р < q. Для любого значения arg z можно найти такие
целые числа X и со , что
|arg* + (v-2A+lOT| < (^+1O7, D)
I arg* + (у-2ф)тг | < (<т + е)тг, 0 = oj,w 4- 1,...,а> +<т-1, E)
где у, а и е определены в 5.9.1 A, 2). Тогда р функций
G?i(* «4>[«K" ~ 2А + 1)]|| *«), * = 1, 2,...,/> F)
линейно независимы и удовлетворяют уравнению A); здесь
использовано обозначение, введенное в 5.9.1F), и предполагается, что
выполнено условие (С)из п. 5.9.1. Далее из соотношений 5.9.1 G), (8) следует,
что эти функции стремятся алгебраически к нулю или бесконечности.
В силу замечаний, сопровождающих соотношение 5.3.1A1), условие,
принятое для параметров ah, в действительности не обязательно. В
дальнейшем в случае, когда условие для параметров ад нарушается,
независимые линейные решения следует искать с помощью ранее
упомянутых методов. В этом случае алгебраический характер решений
не меняется. Итак, F) дает нам р решений в окрестности точки z = во.

204 Гп. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Чтобы получить остальные a = q - р решений, рассмотрим
GQP'°Q (z exP[*V(v - 2ф)] | *»), ф = «,, ш + 1,.-.., « + а - 1. G)
Эти функции также удовлетворяют уравнению A) и, в силу 5.9.1A2, 5),
экспоненциально стремятся к нулю или к бесконечности, если | z \ ->
->оо. Кроме того, решения G) линейно независимы. Таким образом,
система фундаментальных решений уравнения A) в окрестности
точки z = оо образована р функциями F) и a = g -p функциями G).
Случай 2: р = д. Допустим, что
arg z — г гг 4" i 2 &77, ft = 0, 1, 2, . (8)
Тогда, согласно D), можно найти такое целое число \, чтобы
|arg z-(г +2\- 1)тг |< тт. (9)
В этом случае функция F), где q = р, удовлетворяет уравнению A).
В силу 5.9.1G, 11), эти р решений линейно независимы.
Может случиться так, что формула F) определяет не р решений, а
всего лишь n < p решений, а именно:
G?j(* exp[z7r(v - 2Л + 1)]|| at), t = 1, 2,..., я, A0)
либо будет п решений, когда р = q.
Если мы имеем дело с меньшим множеством функций G q> ° (z)f
чем а, а именно с множеством а (а < а) функций
Cj;;(zexp[i7r(i/-2^)]
, ^г= а>,й) + 1,... ,й> + а — 1,A1)
то условие E) не обязательно должно выполняться для ф = со , о> + 1,...
..., со + сг - 1; оно должно удовлетворяться только для ^г- <а , о> + 1,..,
... ,со + а — 1.
5.8. Ряды 6-функцмй
5.8.1, ВВЕДЕНИЕ
Рассмотренные нами в п. 5.5 теоремы умножения дают
возможность получить разложение G-функций в ряды из G-фуикций. Еще
одна группа формул подобного типа рассматривается в п. 5.10.1. В
п. 5.8.3 мы дадим четыре важных разложения, в которых функция
G™'q{z) выражена как конечная сумма G-функций с теми же р, q, но
сго = дию = 0 или 1.

5.8. Ряды G-функций 205
Каждой теореме разложения соответствует теорема (а в одном
примере даже больше чем одна), дающая условия, при которых с
помощью теоремы разложения функция G7?' "(z) представляется в виде
фундаментальных решений уравнения 5.7'.2A), имеющих место в
окрестности точки z = оо. Эти представления вместе с
асимптотическими разложениями функций G •?'л (г) и Gq>° (z), рассматриваемыми
в п. 5.9.1, дают асимптотические разложения для функции G™'" {z),
которые рассматриваются в п. 5.9,2. Асимптотические разложения
для функции F рассматриваются в п. 5.9.3.
Описание теорем разложения и асимптотических разложений,
которое мы здесь приводим, взято из работы Мей ера A946). Мей ер
дает обобщения теорем разложения, рассматриваемых нами в
п. 5.8.3, но создается впечатление, что с этими обобщениями и
связанными с ними другими результатами на практике встречаться не
приходится. Выполняемые им выкладки перегружены множеством
специальных обозначений и данных, представляющих второстепенный
интерес. Читателю, очевидно, следует вначале ознакомиться с
упрощенным изложением данногб вопроса, которое дают Люк A969) и
ФилдсA972а).
Браксма A963) дает прекрасный анализ асимптотических
разложений для Я-функций, где как частный случай рассматривается
разложение G-функций.
5.8.2. УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Мы будем пользоваться условными обозначениями 5.9.1 A — 5),
а также некоторыми другими. Пусть
Лт.п(Л _ ( л у+! Щ-1 Г(аг - лу)* ГA + я, - at) nv
Вместо Am' q (t) мы будем просто писать А (г). Такая практика
опускания верхних и нижних индексов, когда это уместно, обычно
принята в определениях следующего вида. Так, мы определим
A=Am'^(-lYBnirex?L(fjaj- ? b\\. B)
Если в правой части соотношения B) i заменено на -i, получаемое
в результате выражение будем обозначать через А™> п или, если это
будет необходимо, просто через А. Это же правило действует и по
отношению к величинам, определяемым в C) - E) и A3) - A6) ниже. Та-

206 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
ким образом,
( / m v \)
В = В™ = (-1 у (ЪпУ ехр йг ? *, - I a А , C)
( \j=l 3=П+1 I )
!/ m v \ )
\j=l j=n+l I )
D)
Предполагается, что параметры таковы, что эти и все другие
определения имеют смысл. Пусть
Ш=™+1 [1 - * ехрBгтг^)] _ Д 0т,п(ЬЛ *
E)
| х ехрBгтг0,.)| < 1, Qm'nq(k) = Q(k).
Ниже приводятся некоторые формулы, облегчающие вычисление Q (А).
Полагаем
п п
?о = *> ?1 = Z ехрB*тга,), ?2 = ? ехр[2|тг(л, + afc)],...,
fr= I «рBйг?аЛ г>1, F)
Со = 1» ?г= I «рBиг?&Д г 2*1. G)
1<Л1<Аа<-"<Лг_1<Лг \ i»l /
Тогда
Q—m in \ / оо \
I (-1 )г^ = ( I (-1)' Ы I Я(А) А (8)
и, следовательно, если Я@) = 1, имеем рекуррентную формулу
Q(k) = (-1 )* ({» - &) + *? ИГ1 6Д* -r), * > 1. (9)
В частности,
ЯA) = i
ЯC) = ?,-{,+ &ДB) - &QA).
ОД = fi - «!, ЯB) = ?2 - *, + fAl), A0)

5.8. Ряды G-функций 207
Кроме того,
Q{k + 1) = [V(k + 1)] ? (Sr+1 - Tr+1) Q(k - r), A1)
Sr = ? ехрBи«г,г), Tr = ? ехрB1тг6,г)> r > 1. A2)
Пусть
ПГ=1[1-^ехРB^)] ~io ' W '
| * expBwA, |< 1, E™-n{\) = E(\), A3j
njLn+i [1 - * ехрBйгд,)]
A4)
1 L=n+1 Li — ^ cxp^TTtf^j = у вт,ПA . г
[1-^ехрB^г)]ПГ=Л1-^ехР^Ч)] -о ' l' ' '
| я expBzV^)| < 1, | х ехрBгтгаг)| < 1,
Заменив соответствующим образом обозначения в F) — A2), мы
получим рекуррентные формулы для вычисления функций Е (А) и &A, г).
Положим
Ф?;(А, Л) = *?~* Д(г)&'*ЦН + Л - г - 1), Ф??(Л, Л) = Ф(Л,Л), A5)
г=1
О. А) = Е ?(А - г) №••& - г), №%h, A) = ДО, А), A6)
K%(h, А) = Л"'ЗФ(А, А) - А*'*ЩН, -г - А + 1), !?•,"(*, А) = R(h, A),
A7)
П^е, А) = -{«р(й1*1) Bfl(/, А - 1) + tx^-таг) ВВ{1, -г - А)}
X Л°-Ц1) + ехр[тгг(т + 2А - 1)] J-^Q,
Г™;Д/,А) = Г(/,А).
ВДА) = (-2*/)~ exp L (l в, - t *л) поЧ
( \ft-i ft=i / ) AЩ
X {ВЕ(Х) - ВЕ(-т - A)}, D^"(A) = ДА).

208 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функции
5.8.3. ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ1*
Теорема 1.1. Если выполняются условия (А), (В), 1 < п 4 р < q9
1</71<<7, i/ + l<0, А. — произвольное целое число, такое, что 0 <: Л<
< -i/ — 1, то
ОД*) = I exp[-iW + 2А + 1)] A(t) Gl%z exp[tV(* + 2Л + 1)]|| at). A)
Теорема 1.2. Вслм выполняются условия (к), (В), 1< и<
< р<2, 2 < m< g, I/ + 1 < 0, | arg 2r| < р-п, А шисов аже, как в A),
-rjn < arg г + 2Л77 < р7г, ш формула A) дагяг выражение для
функции Gm> n (г) ^ер^з фундаментальные решения, определенные в
окрестности z = о* B)
Теорема 2.1. Вели имеют силу условия (А), (В), д > 1, 0 < л ^ р4
< <7, 0 < m <: <?, г- произвольное целое число, такое, что
г > max @, v+ 1), то
GSR*) = ^ I] «(*) <?Й(* exp[tV(v - 2*)])
fc=0 v
C)
+ ? cx?\tnatBr - v - 1)] J(«) GJ-> exp^* - 2r + 1)]|| a<).
Это разложение будет также справедливо, если i заменить на- i.
Теорема 2.2. Если выполняются условия (А), (В), 1 <: п< р < д,
2< /л< д, г/+ 1^0, — 7/77 < arg z < (г + ?Oт, г — произвольное целое
число, такое, что г > 0 и -,рп <2пг —arg z <rj7Tj mo формула C)
дает выражение для функции G™' n, (z) через фундаментальные
решения, определенные в окрестности z = оо. D)
Теорема 2.3. Если выполняются условия (А) ,(В), 0 ^ n< p < q9
3 11
1 ^m^q, — р + —д б<от + п^:^ + 1, — рп < arg г < (г + е)тг,
т т. Zi
г — произвольное целое число, такое, что г >v + 1, — рп < 2пт-
— arg z < rjn, то формула C) дает выражение для функции С™'п(
через фундаментальные решения, определенные в окрестности
E)
1) Формулировки условий (А), (В), (С), фигурирующих в приводимых
ниже теоремах, и объяснение некоторых обозначений читатель найдет
в п. 5.9.1. - Прим. ред.

5.8. Ряды G-функций 209
Теорема 2.4. Если выполняются условия (А), (В), 1 <: п < р < q,
2 <$ т^ q, v + 1 < 0, — (г + б) 7г < arg z < —1\ n, - — произвольное
целое число > 0, такое, что - рп <2nr + arg z < 7j7T9 то
формула C), если в ней произвести замену (на— i, дает выражение
для функции G™'*(z) через фундаментальные решения,
определенные в окрестности z = «>. F)
Теорема 2.5. Если выполняются условия (А), (В), 0 < п^р <q,
О I I
1< m<q, —Р + —Ч ~ —€ < та + л<? + 1, -(г +е)тг <arg z < р?г,
4 4 2
г -произвольное целое число, такое, что г > v + 1, -ря- <277г +
+ arg z <7]тт, то формула C), если б #?# произвести замену I
на -i , дает выражение для функции G™> n (z) через
фундаментальные решения, определенные в окрестности z = <х> . G)
Теорема 3.1. Если выполняются условия (А), (В), q >1, 0< п4
<Р<^?> 0</п<7, v+ 1 >0, г - произвольное целое число, такое,
что 0>? r< i/+ 1, то
г-1
т.
fc=0
<?'."(*) = А ? Д(А) СЛ(^"<"-2*?)) + Л I А*) СвЛ(^";,'(',_28>)
(8)
+ ? exp[tVa<Br - v - 1)] J(<) GJ> exp[w(v - 2r + 1)]|| a,).
t=l
Это разложение справедливо и тогда, когда i заменено на — i,
при УСЛОВИИ ЧТО г > max @, v + 1).
Теорема 3.2, Если выполняются условия (А), (В), 0 < п^р < q,
l<ffi<$9, p+l<$™+rc^— 9 + — p-le+1, |arg z| < (г + f)?r, г
4 4 2
- произвольное целое число, такое, что 0< г < т/ + 1, -рп < 2пг-
- arg z < 7Г77, ш формула (8) д#ш выражение для функции G™'" (z)
через фундаментальные решения, определенные в окрестности
Z = oo. (9).
Теорема 4.1. Если выполняются условия (А), (С), q > 1, 0 <
^тг^Р<д,0<т^9, X и ii - произвольные целые числа, 0 < /х <
^ ^ — р, »

210 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и G-функция
СЖ*)= I i?(A,A)GJ>eXpMv-2A-2A + 2)])
+ ? exP[*W? - /> — 2/x)] 7\?, А)
X G?i(* exp[>VB/> -q-m-n-2\ + 2fi + 1)]|| efc). A0)
Теорема 4*2. Веля выполняются условия (А), (С), 0< т&< р <
< q, 04 т4 Ч> А « р - произвольные целые числа, такие, что
(Т + ? + 2Л - 2)/Г< arg Z < (Г +6 + 2 Л) 77, (/71 + 71 - — р + -1 q +
2 2
+ 2X-2O7<277fz+argz< (ттг + гг Р + —4 + 2Х)т7 ,
иго формула A0) дагяг выражение для функции Gm,n (z) через
фундаментальные решения, определенные в окрестности z = <» % (Ц)
5.9. Асимптотические разложения
5.9.1. ФУНКЦИЯ Gl> n (г), п =0, 1
Для удобства введем здесь некоторые условные обозначения,
которые уже использовались в п. 5.8.2. Пусть
т + п— р = т9 q —m —n = v, A)
11 3 1
771 +71 -— (p + ?) = _(r -V)=p, —Я- —Р- Г71-7г+2 = 77,
Ч-Р = °, B)
6 = 1/2, если а=1, 6 = 1, если сг > 1.
Параметры а^ и Ь^ удовлетворяют некоторым ограничениям,
указанным в условиях приведенных выше теорем разложения. Они обозна-
чаются через (А), (В) и (С) и читаются следующим образом:
(A) a. -bh ф 1, 2, 3, . о. при / = 1, 2, .. .,71, А = 1, 2, ... ,771.
C)
(B) a.-at4 0,±1,±2,... при /,* =1, 2, ...,п,/^ г. D)
(C) а;.-аЛ^0,±1,±2,... при /,й=1,2, .-.,р,/^ Л. E)
Гипотезу (В) фактически можно изъять из наших предположений,
зная, что, если (В) не верна, следует перейти к пределу, как мы дела-

5.9. Асимптотические разложения 211
ли это при анализе 5.3.1 G). То же самое можно сказать и о гипотезе
(С).
Определим
<%!** II Щ) = G? (* | a" ai ••- а'' °t+1'-' "»). F)
Кроме того, при 1 < t < p < ^ мы формально имеем
F Г.-II .^ ^'"irA + *«~а«) г- /!+*«-«« I 1\ /7\
*••«<* II ««) - Д1 + flp _ ej) «'-I (i + вр _ e* I ~ i)' <7>
если условие (А) [см. C)] выполняется при / = t am = q.
Теорема 1. Если 1<Кр<?« выполняется условие (А), то
G?> || «,) ~ ?„.<,(* 1Ю,
|*|-»оо, |arg*| < (icr + 1) тг - 3, 8>0. (8)
Теорема 2. Если 1<в<р<д,1^и<?я выполняются
условия (А) я (В), ш> ирм р > О
<?№) ~ I exp[-tV(v + 1) at] Am-«(t) Ep^z exp[«W(v + 1)] || at),
t=l
| * | -* oo, I arg z | < ртг - S, § > 0, (9)
где Д™>л (г) определяется формулой 5.8.2A).
Теорема 3. Если т + п >р + 1, выполняются условия (А) и
(В) и | arg г | < (т + л - р) 77, то с помощью разложения
<ЭД«) = Z «р[-йг(р - m - я + 1) «J ^? «
X ?,.„(* ехр[гтт(/> - т - п + 1)] || at) A0)
функцию Gm*n (z) можно аналитически продолжить во внешность
единичного круга.
Теорема 4, Если условие (А) выполняется при п=1ит = р,а
|arg z | < п, то с помощью соотношения
G**(z\\at) = Ep.A*\\at) A1)
функцию Gp>1 (za?) можно аналитически продолжить во внешность
единичного круга.

272 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция рр и с-функц<1Я
Теорема 3 является утверждением, эквивалентным формуле
5.3.3B). Теорема 4 является частным случаем теоремы 3, когда
Теорема 5.
Gli(*\ab»)~HPtQ(z)y
| z | -* оо, | arg z | ^ (a + e) 7г - S, 8 > 0, A2)
где a u e определены в A), B) м где для краткости мы полагаем
#*.<(*) = ^ ' «рЬс^у»}*» I м*(*)-*/°,
М0 = 1, о0 = Ш1 - о) + Бх - Лг}( A3)
Q V
Ег = ^Ьп, Лх = X «/. •
ft=l ft=l
Мг = (Л2 - S2) - (yll~gl) ИЛ, + S,) + (Л, - 2,)] - ^1=-1>, A4)
где
q h—1 р h—l
s2 = Z Z *A, л2 = Z Z **«*. A5)
h=2 k=l h=2 k=l
Функции Mk не зависят от г и могут быть определены с помощью
рекуррентной формулы; см. Люк A969). Один из способов получения
рекуррентной формулы состоит в том, чтобы в дифференциальное
уравнение для функции G?' ° (z) подставить формулу для функции
Н (z) и составить уравнения для коэффициентов при степенях z.
В п. 5.9.3 рассматривается несколько частных случаев.
5.9,2. ФУНКЦИИ G™>" (z)
Как уже было замечено, асимптотические разложения функции
Gm*n (z) для всех значений т, n,p9q (когда р < q) и arg z при | z | ->«>
можно получить из теорем п. 5.8.3 и теорем 1 и 5 п. 5.9.1. Мейер A946)
провел исследование всех G-функций , возникающих в правой части
формул разложения, рассмотренных в п. 5.8.3, и выявил среди этих
функций доминирующие. Прежде всего объясним, что значит
доминирующая функция. Мы говорим, что функция А (г) является доминантой
по отношению к функции В (z) либо что функция В {z) является субдо-

5.9. Асимптотические разложения 213
минантой по отношению к функции А (г), если порядок первого члена
асимптотического разложения функции В (z) меньше порядка
остаточного члена в асимптотическом разложении функции A (z).
Например, рассмотрим асимптотические разложения
At(z) ~ е- ? alkz~\
fc=0
AM ~ *1/г ? a3kz~\
fc=0
00
Ь-0
А(*) ~ *• I «2*^*.
fc=0
00
Л4(*) - Л"8 X aikz~\
k=0
00
fc=0
где предполагается, что ни одно из at 0, i = 1, 2,..., 6, не является
нулем. Предположим, что z > 0; тогда ясно, что функция Л1 (z)
является доминирующей по отношению к функциям A2(z),... ,A6(z).
По отношению к функциям A {z) и Л6 (z) доминирующими будут
функции А2 (z)} A3 (z) и Л4 (z), а функция Л 5 (z) является доминирующей
по отношению к функции А6 (z). Однако функция А2 (z) не является
доминирующей по отношению к функциям А3 (z) и Л4 (z). Таким
образом, среди функций А2 (z),..., А б (z) всего три доминирующих функции,
а именно А2 {z), А3 (г) и А4 (z). Чтобы дать качественные
характеристики этих функций, мы говорим, что функция A j (z) экспоненциально
возрастает, функции A5(z) и A6(z) экспоненциально убывают, функции
А2 (z) и 43{z) имеют алгебраический рост (убывание), а функция A^{z)
алгебраически убывает и синусоидально колеблется.
Для того чтобы получить асимптотические разложения для
функции Gm>у (z), нужно всего лишь сохранить доминирующий член или
члены в пр'авой части формул разложения, представленных в п. 5.8.3,
если только, конечно, коэффициенты этих доминирующих членов не
равны нулю. Эти коэффициенты зависят от параметров a. и Ь. и, вообще
говоря, не равны нулю. Поэтому будем полагать, что если имеется
только один доминирующий член, то коэффициент у него не нуль.
Если имеются два или более доминирующих члена, то коэффициент по
меньшей мере одного из них не равен нулю. Если все коэффициенты
доминирующих членов обращаются в нуль, то необходимо дальнейшее
исследование свойств указанных выше разложений; это исследование
мы опускаем.
Подобно Мейеру, мы даем только доминирующий член или члены
в асимптотических разложениях. Однако мы будем указывать, из ка-

214 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
кой теоремы разложения вытекает данный результат, с тем чтобы
читатель мог, если в этом есть необходимость, получить полное
разложение. Проиллюстрируем это на примере, когда будем рассматривать
полное асимптотическое разложение для функции Fq, р < g. В
следующих теоремах широко используются обозначения, введенные в
пп. 5.8.2 и 5.9.1.
Теорема 1. Если выполняются условия (А), (В), 1 < тг< р< q9
1 <: т 4: ъ Р > 0, то
<???(*) ~ I exp[-*Wv + 1)] A(t) EPtQ(z exp[*V(v + 1)]|| at),
t=i U)
I jar | —> oo, | arg z | < pn — 8, 6 > 0.
Это вытекает из 5.8.3A,2), если v + 1 <: 0, и из 5.8.3C, 5), если
р > 0 и v + 1 >0.
Теорема 2. Если 1<р + 1<т<д,»го
Gp!q^ ^Ач9° Hp>q(zei7T^-m))tecnu m«9-l,
| z | -»©о, 8 4r arg z < (т — р + 1) п — 8, § > 0; B)
| z | -> ©о, 8 —(т — р + 1) п ^ arg z 4 — 8, S > 0; C)
если 77i<^ — 1, г -> + ©о, яг<,?в arg z = 0; D)
P>9V ' P>9V ;'
\z\ -» во, j arg z\ < (cr + б) тг — 8 , § > 0. E)
Соотношения B) - D) следуют из 5.8.3C), Соотношение E)
эквивалентно 5.9.1A2).
Теорема 3. Если выполняются условия (А), 0<л<р<^-2,
1^г<"^' [либо р + 1<? т + п4 — (P+Q)], то
G») ~ АНРЛ(*е™),
| ar | — со, 8 < arg z < (т + 1) it - 8, 8 > 0; (б)
| яг | —^ оо, 8 — (т + 1) 77 < arg я < -8, 8 > 0; G)

5.9. Асимптотические разложения 215
р>ч р>ч р>як
если 1 ^т < — a,z->oo, т.е. arg z = 0; (8)
Li
<???(*) ~ AHv,q(ze™) + AH^ze'™)
+ t exp[-tWt(v + 1)] A(t) E^ze1^ ц a,), (9)
??/ш p = 0, выполняются условия (В) w z -> «>, т.е. arg z = 0.
Эти соотношения следуют из 5.8.3(8,9).
Теорема 4. Если выполняются условия (А), 0 < л < р < д,
1 4 /7г < ^, р > 0, то
GZRz) ~ AHv,Q(zen,
| z | ->¦ оо, 8 + рт7 < arg г < (т + е) тг - 8, 8 > 0; A0)
| * | -> со, 8 - (т + е) п < arg z < -ртт +8, 8 > 0; A1)
G?;» ~ АН,Дж?П + J exp[-«Vfl((v + 1)] J(*) ?„.4(**Ы*+1) || ««), A2)
если выполняется также условие (В), | z | -»<», arg z = рп;
G?» - AHU**-*-) + t exp[*W + 1)] ^W Яр.^»^'^ II at\ A3)
если выполняется также условие (В), arg z = —рп, \z\ -> ©о.
Соотношения A0) и A2) следуют из 5.8.3C - 5)
соответственно, соотношения A1) и A3) следуют из 5.8.3C — 7) соответственно.
Теорема 5. Если выполняются условия (А), 0^п<р<д — 2,
1 >$ яг< q; если г < 1, Л. — произвольное целое число; если г > 2, X -
либо произвольное целое число ^,0, либо произвольное целое число
^ — т, то
G";Z{z) ~ D(X) H^ze'^-2»),
|*|-* оо, 81 + (r + 2A-l)w<arg2r<(T + 2A + lO7 + 82, A4)
где 8, и 82 - произвольные малые величины, знаки которых выбира-

216 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и С-функцм
ютсл таким образом, чтобы замкнутый интервал [51 + а, 82 + Ь]
заключался в открытом интервале (а,Ь);
G?;"(*) - Д(Л) Ям(* exp[ur(v - 2Л)]) + ЩХ - 1) #,.«(* exp[tV(v - 2Л + 2)]),
q>p + 2, |^|->oo, arg* = (т + 2Л-1)тг; A5)
<&(*) ^ ВДЛЛ) ЯР§1Н.2(* ехр[-гтг(т + 2Л - 2)])
+ /)™;*+2(Л - 1) tf,,„+2(* exp[-*V(r + 2А - 4)])
+ ? exp[-2tV(A + 1) «J Г??2(*, Л) EVtV+2(z ехрИ^т - 3)]|| *,)¦
t=1 A6)
??^ш выполняется условие (С), | z | -> «>, arg z = (г + 2 Л — 1) я-.
Эти результаты следуют из 5.8.3A0, 11). Необходимо заметить,
что, в силу 5.3.1 F), случай, когда т = 0, рассмотрению не подлежит
Для специальных значений Лиг теорема 5 редуцируется к
предыдущим утверждениям следующим образом:
Если г > 1 и Л = 0,то A4) редуцируется в F).
Если т > 1 и X = -г, то A4) редуцируется в G).
Если г > 1 и Л = 0, то A5) редуцируется в F).
Если т = 1 и Л = 0, то A5) редуцируется в (8), причем г = 1.
Если г > 1 и X = 0, то A6) редуцируется в A2), причем q = р + 2.
Если г = 1 и X = 0, то A6) редуцируется в (9), причем q = р + 2.
Теорема 6.1. Если выполняются условия (А), (С), р > 1, 0 >$ п4
<р, 1<т^р + 1, Л — произвольное целое число, то
G?.?i(*) ^ I ехр[-йга,BЛ + 1)] Т?;^*, Л) ЯРвР+1(* exp[-*V(r - 2)]|| а,),
|*|-*со, 81 + (т+2Л-|)тг <arg2r<(r+2A-iOT + S2. A7)
Это разложение не справедливо, если п = А = 0 и т = р + 1. Для
п = 0ияг = р + 1, см. B) - E). Разложение A7) имеет силу также в
случае, когда
1 1
г >2, -г <Л< 0, (г+2Л )zr<argz< (г + 2Л+ )п+ 82

5.9. Асимптотические разложения 217
либо
3
г ^2, 1-г<А<1, argz = (r + 2A ) тт.
z
Замечание. Если Ц^яи1-г<Х<0, то ^Г'Г+1(^ А) =
= ехр[тп"а( (г + 2А - 1)] Д™^| (*); если п + 1< t 4 Р и 1 - г < А < 0, то
Т^'Д 1 (^, А) = 0; таким образом, соотношение A7) при п > 1, г > 1 и
I - г 4 А < 0 есть не что иное, как формула A) при q = р + 1.
Теорема 6.2. Если выполняются условия (А), ? > 1, 0 <: п 4 Р>
1 < m ^ ? + 1, г ^ 2, А- произвольное целое число > 0 либо <: -г, то
G™;Z+1(z) ~ Z)™+1(A) #*.*+i(* ехр[-гтг(г + 2Л - 1)]),
8х + (т + 2Л - 1)тг < arg* < (т + 2Л + 1)тг + 82 . A8)
Эяю утверждение справедливо также, если т 4 1, А — произвольное
целое число.
Теорема 6.3. Если выполняются условия (А), (С), Р > 1, 0< п<
<р, 1<7п<р + 1, г>2, А- произвольное целое число > 0 или 4-г, то
GZSnW - ^n+i(A) #„.р+1(* exP[-*V(r + 2А - 1)])
+ ? ехр[-гтгя,BА + 1)] Т?/^*, А) ?„.Р+1(* ехр[-*тг(т - 2)]|| at),
| яг | -* оо, arg* = (т + 2Л - J)тт. A9)
Это утверждение справедливо и в том случае, если г 4 1, А —
произвольное целое число.
Теорема 6.4. Если выполняются условия (А), (С), Р > 1, 0 < п4
4 Р, 1 < 77z<: р + 1, г>2, А- произвольное целое число > 1 либо
4 -г + 1, яю
G??i(*) - D?;^i(A - 1) H0b0+1(z ехР[-?тг(т + 2А - 3)])
+ f exp[-iW2A + 1)] Z??i(*, Л) Д^* ехр[-гтг(г - 2)]|| at),
| z | — oo, arg г = (r + 2A - f) ». B0)

218 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Это утверждение верно и тогда, когда г < 1, Л — произвольное целое
число.
Соотношения A7) - B0) следуют из 5.8.3A0, 11).
Следующая (и последняя) теорема этого пункта касается
аналитического продолжения функции G™'?(z) в общем случае.
Теорема 7. Если выполняются условия (А), (С), Р > 1, 0<: гс< р,
0<: т< р, А - произвольное целое число, такое, что (г + 2А- 2)п <
< argz < (т + 2Л)тг, то функция G™»?(z) в окрестности z = <* может
быть выражена через фундаментальные решения, а именно
&2:№ = t T™(t, A) G?i(* ехр[-гп(т + 2А - 1)]|| at\ B1)
t=i
и с помощью представления
GZ:№ = t exp(-2zVAa<) T™(ty A) EPt9(z exP[-*V(r - 1)]|| at) B2)
t=i
она может быть продолжена за пределы единичного круга \ z | = 1.
Если г =т + п-{?>1» 1-г< А< 0 и если использовать свойства
функции T™>™(t> А), о которых говорилось в замечании к
соотношению A7), то
G%:2(*) = ? exp[*Va,(T - 1)] J'^) EPtP{z exP[-*V(r - 1)]|| at\
I arg s | < Т7Г, arg z Ф (t - 2A) тг, Л = 1, 2,..., [т/2]. B3)
Заметим, что если р = q, -r =v= p, то разложение B3)
эквивалентно разложению A) яри р = q.
Теорема 7 вытекает из 5.8.3A0, 11). По существу соотношение
B3) есть не что иное, как 5.9.1A0), хотя в B3) и имеет место
некоторая потеря общности, поскольку мы исключили здесь те значения
z, для которых argz = (г — 2kOT, k = 1, 2, ..., [г/2].
5.9.3. ФУНКЦИЯ pFq{z)
Пусть
rww y-JXttQAqb-oQ* F /«t,l+«t-p,l(-l)-,,\
L™(*) = Дрв - a,) '+1^J>-1 I 1 + «t - «J I г )' (D

5.9. Асимптотические разложения 219
или положим
i,» = G^.,(*-l|1'4 B)
используя для этого формулу 5.3.1A1) без ограничений на р, q и г.
Заметим, что если два или более параметра ah отличаются друг от
друга на целое число или нуль, то функцию L. (z) можно определить
с помощью предельного перехода, как уже указывалось выше.
Используя введенные нами выше обозначения, имеем
^1#р.«(*«РМ* -Р- 2k)]) = i^(*exp[-*VB* + 1)]),
К*М = {2W?T* [«Ф(^/Я}] *V t ***""'. ^о = 1, C)
P = q + l-p, $у = (/3 - l)/2 + B1 - Сг, B1=f«ft, С, = ?,>».
D)
При определении величин Nr нужно использовать замечания к 5.9.1A5).
Если г = 1, имеем
N, = С2 - В2 + (#)-1 (Bt - C1)DS(B1 + Q) + Ях - d - 2]
+ B4j8)-iOS-l)(j8-ll),
3> S-l <7 S—1
Б2 = Z Z "Л > C2 = Z Z PsPt • E)
s=2 t=l s=2 t=l
Для удобства в приложениях заметим, что
K0JL*P) + К,.****) = 2B"/Г>/2 [ехР{^1/е cos „lfl\ z*
X Z #,*-"* COsGrr/j3 - iry - pZ1'* Sin 7r/j8). F)
r=0
Исследование асимптотических разложений для функции Jf7 (z)
распадается на два случая. Здесь мы рассмотрим случай, когда и <:
< Р < Q - 1, т.е./8 >2. Случай, когда р = q, рассматривается ниже, см. C3)»
vFq ("» I -*) ~ ^ ! I rl'iiW *™(* ехр[-йгB* + 1)])
+ Z ^uiW **.Л* ехр[гтгB, + 1)]) + Lv>Q{z)l 0 < p < ? - 1, G)
s=0 )

220 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
где | z | -> ое, г - произвольное целое число, такое, что 0 <: г <: /3,
| arg z | < 2тт - 8, S > О,
Si + Dг - 3K - 2)тг/2 < arg* < Dr - 0 + 2) тг/2 + 82,
где S1 и 52 такие же, как в 5.9.2A4), а Г^ (k) есть фунющ Г?Д(Л)
(определяемая соотношением A0) ниже), в которой i заменено на -г.
Если взять г = [(/3 + 1)/2], то получим следующие ограничения на argz
8 - Ътг/2 < arg z ^ 2тт - 8, если /3=3,
|argz | <: 2п -8, если 0 ? 3, 8 > 0, (8)
если же г = [ j8/2], то
8 - 2тт < argz< Зтг/2 - 8, если /8=3,
| arg z | <с 2тг - S, если /3^3, 5 > 0. (9)
По определению
п?р'-~Л5ЭД1 = I7"'-'*'"' l"*s"»<1' A0)
Положим
fo = Ь f 1 = Z exP(— 2^), |2 = ? ехр[-2гтг(а, + afc)], ...,
(П)
?r = Z exP (-2*V ? <**,), r > 1,
{o = l, ?r = ? exp (-2ЙГ t A r>l. A2)
Тогда
? (-1 )V = ( f (-1)ГЫ(? /*¦•*(*) A A3)
r=0 \ r=0 / \fc=0 /
и, следовательно, если Г 1'^ @) = 1, то
J*?i(*) = (-1)*(Ь - ft) + I! (-1 )r-1frr1-+1(^ - r), * > 1, A4)

5.9. Асимптотические разложения 221
J*?iC) = *, ~ ?з + ^?iB) - ^^A), A5)
и т.д.
Если интерес представляют только доминирующие члены,
получаем следующие результаты:
\рд\ / 1 («„)
0</><<?-1, |*|->оо, |arg^|<7r-8, S>0. A6)
Л Г" I -*) - ^ {*рЛ**0 + *™(*^)},
х Pq I ' -1 Vap/
0«р< *-1, т.е. 0>3, A7)
z -> +оо, т.е. argz = 0.
Случай, когда /3 = 2, имеет много важных приложений, поэтому
асимптотическое разложение для этого случая запишем полностью:
p*Wi ( "" I -*) --^f {^.^i(«*') + АГр§р+1(*^) +LP.1H.1(*)}
Vzh-i I ' * (aj>)
I z I -> oo, I arg яг | < 2тг — 8, 8 > 0. A8)
Чтобы упростить вычисления в A7) и A8), следует использовать
формулу F). В целом ряде приложений удобно заменить z на z2/4, в
результате чего получаем
Л+1 ("' I^Р) ~Ц&у{^.,+i([^'W2]2) + K*.«n№"r*"V)
\pv+1 14/ 1 (ocv)
+ LPtV+1(z*l4)}9
| * | -> oo, I arg z | < 7г — 8, 8 > 0. A9)
Имеем также
Vp+i I 4 7 y (ap)
, 8-B + eOr/2<arg^<B-€Or/2-S, e = +l, 8 >0. B0)
* -> oo

222 Г п. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Кажущееся противоречие с условиями (8) при | argz | < тт/2 есть
проявление феномена Стокса.
Мы имеем
K*.„+i([i*]2) = -^ГТЖ I 4*Л d0 = 1,
у = i U + I щ - I Ph\ = № + в, - су. B1)
' Л=1 Л=1 )
Приведем рекуррентные формулы для величин dk, когда р = 0, 1 и 2.
Заметим, что
<** = 2Ч> B2)
где /Vfe, как в D, 5), при q = p+l. Если q = p + \, можно показать, что
N2=-N*-V2, N3 = N*/(>-N,V2-U3,
t/2 = A6)~1(В1 -CJ(№2 -5В* -C^-28,0,+ 66^20,-3/4) +
+ D)(В2 - С2)(В, + С, - 2) - BГ1(В3 - С3),
у3 = (i92)-x(Bi - Qxcv» + sb^2 + збВ^С! - Ю5В!3 + гзбв^
+ 160В!В2 - 24В2СХ - 8CjC2 - 405^! - 4Су - 192В2
- 64В3 - 291BJ2 - CJ2 + 9) + B4)(В2 - С2)BС2 - 10В2
+ 6СХ - 30В1 - W& + 15В!2 + 73/4)
+ F)-ЧВ3 - CaXQ - ЗВ, + 6) + C)-ЧВ4 - С4) + 21/1024.
B3)
Как было замечено, Л?1 задается соотношениями D, 5) при q = р + 1.
Величины В,- и Cf, i = 1, 2, такие же, как в D, 5). Для того чтобы
определения величин U2 и U3 были полными, необходимы следующие соотношения:
V ПН а>+1 r-1 S-1
Вз = I I I W. • Сз = II I РЛР. . B4)
r-3 s=2 t=l r=3 s=2 t=l
Случай 1: р = 0. Если р1 = i/ + 1,
1 1
d ш B5)
* 24!
См. комментарий к C7).

6.9. Асимптотические разложения 223
Случай 2: р = \-
2(k + 1) 4+1 = [З*2 + 2АA +С1- ЗВХ) + 4WJ 4
-{k-2y-\){k-2Y + \ _ 2ft)(A - 2у + 1 -2P2L-i>
B6)
Случай 3: ? = 2.
2F + 1) 4+i = {5*2 + 2*C + Вх - ЗСа - 10у) + 4ЛГХ] 4
- [4А» - 6^(СХ + 4у) + 2*B4у2 + 12уСх + Сх + 4С2 - 1)
- l2-f-2bfCr-4y{Cx +4C2-1) +2C1-4C2-8C3-l]4-i
+ (* - 2у - 2)(Л ~ 2у - 2Pl)(* - 2у - 2Яг)(* - 2у - 2Рз) 4-2 •
Если /3 = 3, полное асимптотическое разложение имеет вид
Л+2 ( «° I -*) ~ ^±f №) + FB) + ?„„+2(г)}, | ж | - оо,
Щя) = K9w9Jzf) + Kp.„Aur*'), B8)
и в зависимости от того, какое из условий 8 — Зя-/2< argz < In — 8
или S - 2jt<; argz < Зп-/2 - 8, 8 > 0, имеет место, мы будем иметь
соответственно одно из равенств:
V(z) = Vt(z) = I*-bJ\)K,.^L*e~4,
B9)
V(z) = V2(z) = Г-1М)К,.*Ж**)-
Кажущееся противоречие с A5), когда | argz | < Зя-/2, есть
проявление феномена Стокса. Легко показать, что
1 Р Р+2
V,{z)=———[ ? exp(-2iria-) - 2 exp(-2nip,)]
x«qp[-3z^]zYe-3in'r2 (-l)rNrz_r/3- C0)
r = o
Если /3 = 4, то
л+з С1+з I ~*) ~ "тк!1 {A{Z)+B{z)+L»-™w}>
| * | -+ оо, | arg z | < 2тг - S, S > 0, C1)

224 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Р*
I P V+Z ) C2)
br(z) = \ Y cos Ittolj — Yj cos З^Рц cos(Grr/4) + Зтту + 4s1/4 sin 7r/4)
( 3=1 3=1 )
P 33+3 \
Y sin 27га;- - Y cos 2tt/)J sin(G7r/4) + Зтту + 4#1/4 sin 7r/4).
3=1 3=1 )
Этим мы и закончим рассмотрение случая 0 <: р < q - 1. Теперь
вернемся к случаю, когда р = q-
Гр ("" I -*) ~l^{K9t9(zer**) +LPtV(z)}y
| z I -* oo, 8 - тг/2 < arg * < Зтг/2 - 8, 8 > 0. C3)
VFV (У I -*) ^^A{KVtV{ze^) + L„(*)},
| * | -> со, 8 - Зтг/2 < arg яг < тг/2 -8, 8 > 0. C4)
Мы также имеем
VFP (У I *) ~ ^ <*•.•« + *•.*(***». I * I - oo,
\р„ I / i («J
8 - B + €) тг/2 < arg z < B - e) тг/2 - 8, € = ±1, 8 > 0. C5)
Положим
*p.pB«) = e^Bzy Y d#-\ 4, = 1, У = Y («* " Pa) = ^i " Q. C6)
Ниже приводятся рекуррентные формулы для величин dk при р = 1
и р = 2.
Случай 1: р = # = 1.
j _ (Pi — <*i)fc A — «i)fc C7)
dk~ 2^! *
Заметим, что если р1 = 2at = 2i/ + 1, то C7) и B5) дают один и тот же
результат, а величины dfe являются коэффициентами, связанными с
асимптотическим разложением функции /v(z); см. 9.5G).

5.10. Разложения по многочленам Якоби, Лягерра и Чебышева 225
Случай 2. р = Q = 2.
4(* + 1) 4+i = 2[2*2 - К2у + Вг - 1) + N,] dk
-(Л - 1 -y){k -Pl -y)(k -Р2 -y)dk_lt C8)
где N^ задается соотношением E) при р = # = 2и)8=1. Если а2 = 1,
1 1
р1 = а1 + v + —, р2 = а1 - V + — , то dfc задается соотношением
B5). Если один из параметров числителя равен единице, скажем а1 = 1,
то, как показал Ким A972), при а2 = а
K2f 2Bz) ^ e2*Bz)Y2F0(p, -а,р2- a; l/2z). C9)
Джоуши и Мак-Дональд A972) дали для величин dk выражение в
замкнутом виде при любых значениях р.
5.10. Разложения в ряды
по обобщенным многочленам Я коби,
обобщенным многочленам Лягерра
и многочленам Чебышева
5.10.1. РАЗЛОЖЕНИЯ G-ФУНКЦИЙ
В этом пункте мы приводим имеющие большое значение теоремы
разложения G-функций в ряд по иным G-функциям, коэффициенты
которых суть обобщенные многочлены Якобы или обобщенные
многочлены Лягерра. Соответствующие разложения для функции . F даны в
V Ч.
п. 5.10.2. Поскольку приводимые ниже результаты включают
огромное количество частных случаев, исследованию которых посвящено
множество работ разных авторов, мы даже не делаем попытки дать
здесь исчерпывающую библиографию; в связи с этим читателю
рекомендуется обратиться к работе Люка A969) и тем работам, которые
будут здесь упомянуты.
Теорема 1.
A) Пусть (>1, 0 < тгс < q,Q4 & < Р, Q + s > 1, z^Q.
B) Предположим, что ни одна из следующих величин не является
отрицательным целым числом: bh; <*• + bh, j = 1, 2, ..., t; bh - a-,
j = 1, 2, ..., k. Здесь и в условиях ниже h = 1, 2, ..., m.

226 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
1 1
C) Пусть - R(bh) < min {аЛ, ал + ), а, = j8 + 1, Л = а +
^ т;
+ J8+ 1, а>-1, |8> -1.
D) Предположим, что справедливы следующие неравенства:
R(l + bh-Cj)>0, /=1,2,..., r; R(j8y + ЬЛ) > 0, / = 1, 2,..., и;
S Г U t 1
K!Si-2c.-+E /8, - 2a;-2i>J<s-r + — .
J J ] J n o
7 = 1. ; = 1 /=1 7 = 1 z
E) Яг/сш>
(a)p + r<:# + ,s — 1 ftr+u+l=s+? (откудар + t^ q + u),
| z | < oo, 0 < oo < 1 либо
F) p + r = q + 5 ft r + u+l = s + ? (откуда p + t=q + u+l),
Zt{-\)m + k-P, |arg(l-(-l)m+fe-^z)| < 77, 0< 6> < 1.
Тогда
Cm,c+r I К, <V| _ Г(\ - сг)Щи) - (-1)"Bп+А)Г(и + А)
0, 1 — at , av
*+m-e+u+2l k,l-|Su)-n-A,J
/-„,„+A, 1 -сг,Д,| J A)
\ oct, 1 — ds I /
Замечание 1. Неравенство, содержащее величину fo^ в условии C),
опускается, если многочлен r + u + 2Fs+t при условиях B) не
редуцируется до 2FV Если же такая редукция имеет место, опускается
условие D).
Замечание 2. В приведенной теореме и во всех теоремах
подобного типа изложенные условия являются всего лишь достаточными.
Если r = s = u = 0, ?=1иа1 = /3 + 1, теорема 1 читается
следующим образом:
Теорема 2.
A) Пусть $4 т4 q> 0< &< р, q>\, z^O.
B) Предположим, что ни одна из следующих величин не является
отрицательным целым числом: bh, /3 + 1 + bh, bh - a-, j = 1, 2, ..., k\
здесь и далее h = 1, 2, ..., т.
1 3
C) Яусш, - R(bh) < min (/3 + 1, — /3 + — ), & > -1.
2 4

5.10. Разложения по многочленам Якоби, Лягерра и Чебышева 227
D) Пусть
(а) Р 4 Я. - 1, I z | < °°7 0 < со < 1 либо
(б)р = *, z*(-l)m + *-*, targ(l-(-ir + fe-^z)| < n,
0< со < 1.
Тогда
Теорема 3.
1
A) Душ* 0^г?г<<?, 0< &< ?, 8 =т + k (Р + q).
B) ffycfll* a > -1, /3 > -1, Л = а + /3 4- 1.
C) Предположим, что Ь- - ah не есть отрицательное целое число,
У = 1, 2, ..., т, h = 1, 2, ..., А.
D) Пусть |argz| < Stt, S > 0, 0<: а> <j 1 и | arg(l-(-lNz)| < 77,
если р = q.
Тогда справедливо разложение B). Это же разложение имеет
место и тогда, когда \ arg z | = 8nt 8 > 0, если р 4 q u
R{v _ ^ _ ?)&.} < 1^ _ р) _ g _ 2, у = 1, 2,..., m,
? = тах(а, 0, —?), i/ = ? 6,- - ? я3f . C)
Теорема 4.
A) Пусть 0< т<: q, 0 4 ^4 Р> Я. + 5 > 1» * =? О-
B) Пусть ни одна из следующих величин не является
отрицательным целым числом: bh\ aj + bh, j = 1, 2, ... ,t;bh- a., j = 1, 2, ...
..., ft. Здесь и далее h = 1, 2, ..., т.
C) Пусть выполняются следующие неравенства;
Щ +bh- с,) > О, j= 1, 2,..., г; Д(& + bk) > О, j = 1, 2,..., и,
*! ? 4- -1 <* + i а- i «* - 2М <* -г+*¦
'з=1 5=1 j=i э=1
D) /7г/шъ
(a)p + r<<? + s-lMr + u+l = s + J (откуда р + t < q + и),
| z | < во, 0 < со < оо; либо
(б)р+ г =q + s-lur + u+l = s + t (откуда р + t = q + и),

228 Гп. 5. Обобщенная гипергеометрическап функция pFq и G-функция
1
(-1)т+ * ~PR(z) < —, 0 < й> < ~; либо
(B)p + r=q + s-l и г + и+ 1 = s + t (откуда р + t = q + и),
1
m + k — p^l, z ф О, | argz | < (m + & - p - O7, 0 < <y < oo; либо
Jit
(r) p + r < q + s и г + u = s + t (откуда p + t < q + и), \z\ < <*>,
| cl> — 11 < 1; либо
(p) p + r = q + s и r +u = s + t (откуда p + t = q + u),
(-l)m + k~pR(z)< —, |fi>-l| < 1; либо
z
(e)? = q, r=s = t = u=Q, {-l)m + k-Pz?l, \ a - 1| < 1,
если (-lP + ^-^RlzX —, |<u-l| < |1-(-1)т + *-*Уг|, если
2
<? (-l)m + k-t>R(zLl, |<u-l|< |/(z)|/|z|,^M(_l)TO+*-PR(z)>
2
> 1; либо
(ж)р = д, r=s = t = u = 0, m + k -p >1, | argz | <
1
< (m + ft - p - ) n, | <a - 11 < 1.
it
В случае, когда выполняются условия 4 (г) - (ж), третье
неравенство в предположении C) можно опустить. Тогда
о_ _ ^ | к ^ dj _ ГA _ ds)r{a() I, —
'P+r.<7+S '
v /o,m.fc+«+i / I 0, 1 — a^, av \
X^t+1'Q+u+1\Z\bqil-pu,n)
х^ЛЦ aol_^ |*J. D)
Замечание. Теорема 4 есть конфлюентная форма теоремы 1.
Гипергеометрическая функция в D) является многочленом Лягерра,
если г = м = 5 = 0и?=1.
Теорема 5.
Формула

5.70. Разложения по многочленам Якоби, Пягерра и Чебышева 229
^¦•rUJ-.S Цп+р + 1)
х вики («Iе" 117ДЯ1л + *) *-ЛA/ш)
(-1)"Bи + Х)Г(п + Л)
X GZZ&1 (* | * ~ Яр+["Ь+ 1 + 1) &*«М> E)
справедлива при тех же условиях, которые имеют место в теореме 3,
за исключением условия 1 < со < «>. йслм | argz | = §7г, § > 0, соояг-
ношение E) также выполняется, если принять дополнительное
условие, а именно q > р, и условие C) заменить на
R{v ~(q- p)ah) <^p-q)-g-2> h = 1, 2,..., Л,
? = max(a, 0, -?). F)
При fe = 1 соотношение E) можно доказать, приняв иные условия.
Теорема 6.
A) Пусть 0^m<<?, ? > О, я > р + 1.
B) Ztyem» Ь., 0 + 1 * 0, -1, -2, ..., j = 1, 2, ..., q.
1 1
C) Пусть т> (р + q - 1), |argz| < тг[т+— (\-p-q)], z ^O.
z z
D) /7г/сш> 1 < со 4 °°-
Тогда
1, ал " Bii + Л)Г(» + A) ,(w), 4D<e.fl)i
¦1ЛГШ1 *J = n?0 Дя + Э + 1) n () n (/)' G)
Фп (*) = bv+3fQ+2 |* | 1, fi + 1, 6 /* ' '
Как станет видно при анализе формулы A6), теорема 6 имеет
важные приложения. Но прежде всего она дает ценную информацию об
асимптотическом поведении (8), когда п велико. Более подробно о
связи теорем 6 и 7 говорится в работах Уимпа A967), Люка A969) и Фэ-
ра A9726)

230 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pF„ и G-функция
Теорема 7. Пусть
_ {2p + 2v + 2+p-q) A)
2{q-p+l)
, 2[jS + v - Л - 1/2 - (Л/2 + l)(g - р - 1)]
rf' = («-> + П ' B)
v=ib,-iat, C)
8 = min (_2 ?,-|-Ь D)
Fn(*) = exp | -я [(? - p + l)x->l2 - i*-3"/2
+
Щя-p + l) -И' ll
р/2 = (*-/>-1)/(?-р + 1), F)
ft™ - коэффициент при xk в произведении
ч
П [1-хехрB?тг&.)], G)
7 = m + 1
и пусть выполняются условия теоремы 6. Тогда (8)
Ы (-1)"Bтг)*^)(-2тг|)^ ^д^2 exp(-trr[Xq=rn+1 *, - <Цу - т)])
п {z) (я-р + 01/2
X ? ^т>ехр(-2г-тг^)
fc=0
X Vn(n{z exp[wr(g -m- 7k)}}-W-*-V)[\ + 0(я)]. (9)
Теорема 6 чрезвычайно важна в приложениях. Заметим, что
функция G™llfq(zco) имеет асимптотическое представление по убывающим
степеням величины zco. Отсюда G) можно рассматривать как некий
метод суммирования, преобразующий общую расходящуюся
последовательность в сходящуюся. Как частные случаи G) получаем разложения
для конфлюентных гипергеометрических функций (к которым
относятся и функции Бесселя) и функций Ломмеля в окрестности z = «> в ряд
по многочленам Якоби.

5.10. Разложения по многочленам Якоби, Лягерра и Чебышева 231
Например, из 8.3C) и теоремы 6 имеем
(aafViai с; <оя) = [Г(а)ГA + a - с)]~^ СЦ (со* | e> j + в _ с), ДО)
(wz)°U(a; с; ш*) = ? С^ТЩ/ш),
fl)l+fl-^0,-l, —2,...,
z ф О, | arg z | < Зтг/2, 1 < oj < оо, (И)
где
Г /уч _ fn Г4.1 / I 1, 1 - «, « + 1 \
44 " Щ)Г(о)Г{\ Л-а-с) U*-< Г I 1, 1, а, 1 + a - с)
€„(-1)" Г3.1 / I 1 - Я, Я + 1\
Г(|)Г(я)ГA + a - с) ^2'3 I \\,a%\+a-c)
_ en(-\)n Г1.з /1 1 i 1 -й,с-д\ n2v
~ Щ)Г(д)ГA + л - с) 3*2 I* I я, -я /' V '
Поскольку A1) сходится, для фиксированного z, удовлетворяющего
условиям A1),
lim Ся(*) = 0, A3)
и для дальнейшего применения заметим, что
lim {wz)aU(a\ c\ a>z) = 1, | arg * | < Зтг/2, A4)
откуда следует, что
2Cn(z)
2 (-l)nCn(z)=l, |argz|< Зтг/2. A5)
n=o
Из п. 5.13.4 вытекает, что Cn(z) удовлетворяет рекуррентной формуле
•M-itn+nU- B" + 3)(« + a + l)(«+^+l)
е. ~ А + Д' I 2(и + 2)(и + a)(n + Ь)
2z \г ы + il 2(» + 1)B» + 3 - 20)) ы
(я + a)(n + A)i n+A) + Г („ + «)(„ + &)—| С«+г(г)
(я + !)(« + 3 - a){n + 3-6)
(и+ 2)(л+<*)(« + &) Ся+3^;'
6 = 1 + a - с. A6)

232 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Применив (9), получим
А( -I \п7Г1/2п2Bа~с-1) /3~<4а+1-2с) /6
с)
arg 2 | < 37г/2.
(И)
Формула A6) есть разностное уравнение третьего порядка, и,
согласно теории Биркгофа - Трицинского A932) о сингулярных разностных
уравнениях, существуют еще два линейно-независимых решения этого
разностного уравнения, которые ведут себя следующим образом:
УгЫ = ^(~1)П^ехр(-За>гп2/з21/з)[1 + 0(п-1/з)], г = 1,2, A8)
5 = 2Bа -с- 1)/3,
сог = е
2тп'г/3
iargz | < Зтг/2,
где 8Г не зависит от п. Заметим, что A8) можно использовать для
характеристики функции Cn(z), если взять г = 0. Смысл условного
обозначения ут(п)в A8) см. в п. 12.2, считая h = г. Если к A5) - A6)
применить обратную рекуррентную формулу (см. 12.2C - 8)), мы
получим искомые значения функции Cn(z) при | argz | < тт. Если | argz |=тг,
то применив 12.2A6 - 18), добьемся того, что эта процедура будет
сходящейся. Разложение в ряд по функциям Т2п(\/со) для функции U(a;
с; coz) см. в работе Дж.Ф. Миллера A966а).
В качестве еще одного примера применения теоремы 6
рассмотрим такую G-функцию, которая как частный случай может быть
функцией Ломмеля, интегральными косинусом и синусом, интегралом
Френеля и произведением функций Ганкеля; см. 8.3A7, 21, 22, 31). Мы имеем
~4~
1, 1 — я, n + 1
1, \y a, by с
)
= ,„W»-"'G\i(-±-
4 I J, 1 - «, 1 - M
Л
*^0,
arg z | < -я-, 1 < to < oo,
A9)
если к тому же ни одна из величин а, Ъ, с не является отрицательным

5.70, Разложения по многочленам Якоби, Лягерра и Чебышева 233
целым числом или нулем. Мы также имеем соотношение нормировки
S (-1)пЛпB) = Г(а)ГF)Г(с), largz| < 77. B0)
п = 0
Сохраняя условия, принятые в A9), мы из (9) имеем
(~1)П2^77 UZ 1,, . . HZ t/ xt ,
ЛпB)=-— ( )/a(fl + 6 + c-1)exp[-4( )^][l + 0(n-^)].
n 2 2 B1)
На основании анализа, проведенного в п. 5.13.4, вытекает, что
функция An(z) удовлетворяет некоторому разностному уравнению
четвертого порядка; согласно же теореме Биркгофа - Трицинского A932),
существуют еще три линейно-независимых решения этого
разностного уравнения, которые ведут себя следующим образом:
n(„\z) = Sr(-l)nnsexp[-4u)r(nz/2I/2][l + 0(n-1/2)],
1
г =1,2,3, 5= — (а + Ь + с-1), B2)
2
сог =е7Т,'г/2, | arg z | < тг,
где 8Г не зависит от гг. Заметим, что если г = 0, B2) определяет
функцию An(z). Поступая таким же образом, как при анализе формулы A9),
можно показать, что применение обратной рекуррентной процедуры
12.2C - 8) к разностному уравнению для функции An(z) совместно с
B2) дает искомые значения функции An(z), если | argz | < тт/2. Если
| argz | = 7г/2, то, применив формулы 12.2A6 — 18) и удовлетворив все
требуемые условия, также получим сходящуюся процедуру
5о10„2. РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ pFq
В этом пункте будем полагать
Л = а + /3 + 1, а > —1, # > —1, Xне есть отрицательное целое
число, A)
б0 = 1, бп = 2 для п > 1. B)
Все результаты, излагаемые в этом пункте, являются частными
случаями результатов, полученных в п. 5.10.1.
Теорема 1. Пусть

234 Гп. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
A) t > 1, ал = В + 1, А = а + j8 + 1, где А не есть отрицательное
целое число;
B) (о) р + г 4 Q + s и г + и+ I = s + t (откуда p + t^Q + u+l),
| z | < во, |о> | < оо; либо
F)p + r = q + s+l и г + и+ 1 = s + t (откудаp + t = q+u + 2),
zfl, |arg(l - z)\ <тг, 0< со 4 1; либо
(в) р + r4 Q + s и s + ? <: г + и (откуда р + t^ Q + и), \z\ < <*>,
\ СО \ < оо] ЛибО
{r)p + r = q + s+l и s + t4 г + и (откуда р + 14 4 + и + 1),
zco ф 1, | arg(l — zco) | < 7г; либо
(д) г + и + 2 < s + t и р + t4 Q + и + 1 (откудаp + r+l^^ + sj,
| z | < ов, |й> | < с»; либо
(e)r + u+2<s + * ft ?> + * = # + и+2 (откуда р + r4 Q + s)>
zf\, |arg(l - z)\ < тг, <y >0.
Тогда
»****+• \bq , </s I *ш) - ?0 n! 0ШШ» + A)n
v F ( «t + nyav + n I \
X p+f*e+tt+1 Ц + i + 2я, ft, + *Л + * I *
X r+tt+2^s+« „ J 4- C)
Теорема 2. Яг/сш>
(а) ? + г < <? + s ft r + u+ 1 = s + t (откуда p + t 4 q +u), \z\<
< oo, j со | < ос; лмбо
F)p + r = q + sur + u + l = s + t ( откуда p + t = q + u + l),
1
R(z) < , | со | < oo; либо
(в) ? + r <: g + 5 ft r + u = s + г (откуда p + t ^ q + u), \z\ < *>,
\ co\ < oo; либо
(r)p + r=q + s + l и r + u = s + t (откудаp + t = q + и + \),
1
R(z) < , 11 - u> | < 11 - 1/z |; либо
z
(д)м = ^ = 0, p = g + 1 ft r + 1 < s (откуда p + r < q + s), R{z) <
< 1/2, |u>| < «,; JZftfo
(е) r = s = ? = и = 0, p = q + 1, z ^ 1, 11 - со \ < | 1 - 1/z |, дела
R(z)< 1, |o> - 1| < |/(z)|/|z|, ecnuR(z) > 1; JZftfo

5.10. Разложения по многочленам ЯкоОи, Лягерра и Чебышева 235
(ж)? + г<? + Н5 + Цг+и-1 (откуда р + t 4 Я + и),
| z | < во, | со | < °о; либо
(з)?> + г=2 + 5 + 1и5 + ?<:г+и-1 (откуда р + t < q + и),
\zco\ <. 1.
(и) р + t 4 Q + и, г +и < s + t (откуда р + г < q + s), \ z \ < во,
\со\< во, 0 < 1 + Min(R(a^), С}, a:, /3k), причем минимум берется,
если h = 2, 3, ..., р; i, j и k = 1, 2, ..., г, t и и соответственно.
Тогда
F (а* ' Сг L \ - V ()я((Х<)п(Др)я^я ^ /*t + n, av + п \ \
»+r**+s \bQ , ds I * - ? n\ (j3u)n(fte)n "+^+w lj8u + »,&, + »!'
хг+лг;,Сг/и|4 D)
\ (xt ,as 1 /
Условия (а) - (з) даны Люком A969), условия (и) предложены Диазом
и Ослером A974).
Следующие ниже соотношения являются частными случаями
теоремы 1.
,F, ("*!*»)- 2 СПРП(«.Р>Ы.
с« =
(a,)nzn /0+1 +я, av + n
р /0+ I +и,в„ + я \
'««и + ц-гя.й. + яГ/'
'" (Ьа)п(п + A)n"+1* e+1 VA + 1 + 2я,&, + 1
р ^.q, | z | < оо, | со | < оо;
/> = q + 1, яг # 1, | arg(l - *)|< -л, О < w < 1. E)
„F, ("» I *A + «о)) = ? CPjr-%0, € = ±1,
2» ,
/> < ?. I * I < °о. I <о | < оо;
* = ?+!, z Ф \, | arg(l - 2*)| < w, -1 < о» < 1. F)

236 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функщя ^р и G-функфя
* А Си I ***) = ? Cjti&x), е = О, 1,
Х01 ' ' 71=0
Ю„Bя + с)! (а + !)„*"
С„ =
п F,)пп! (я + a + \ + *)„(<* + 1W
X Р+1^<7+1
+ € + я, а„ + я
n\z)< Р <Ч< I « I < оо, |*| < оо;
€ + а + 2я, Ь„ + :
p = q+l, Хф\, | arg(l -z)\<n, -1 < « < 1. G)
„Fe (f» Ы = ? CnP(™\a>),
W° ' ' n=0
av + n av + 1 + я
C„ =
(а„)„B*)"
2 '
" F,)„(я + 2а + 1)п!
| + a + W)V^ *.+_.!+»
4</+i-p I»
2 ' 2
? < ?> I * | < oo, | oj | < go;
/> = ? + l, *2^1, | arg(l - #)\ < 77, -1<W<1. (8)
*5 Л (JP I И = ? BnT2n+6(x), 8 = 0, 1,
о _ Ml - 8) + §]КЩ4)» p (l + 8+n9ap + n\ \
(bQ)nn\ р+Л+1A+Н2^в + йГ)'
P < ?> 1^1 < oo, I * I < oo;
/> = ? + 1, z ф 1, | arg(l — jsr)| < 7Г, — 1 < x < 1.
"~ F,)n«! "+1'«+1 ll + 2яЛ + « I''
(9)
Д
p < q, | 2 | < oo, | to | < oo;
p = q + l, Яф\, | arg(l -z)\<ir, 0 < со < 1.
A0)

5.11. Разложения в ряды по функциям Бесселя 237
„F, (f » Ы = ? BnTn(a>),
W« ' n=0
a„ + я Др + 1 + и
4<z+i-p г
2 ' 2
/> < ?, | z | < oo, | o> | < oo;
p = q+l, **ф1, | arg(l - *»)| < ir, -1 < w < 1.
(И)
5.11. Разложения в ряды по функциям Бесселя
«, I zW \ _ /2\Л ? (-1)"Bя+А)Г(и + А)
А&Р?-)-©!
и!
-*2п+л(*)
/—Я, Я + Л, Сг I
X r+2^s( ^'
¦)¦
я)
X не есть отрицательное целое число, г 4- s либо г = s + 1 и
(а»J*1,
|arg(l - z2uJ)| < тт.
,cr I «W \ _ /2\' Д (-l)"@/2)"
Л U. I ~i~~J - © rA + *> A—«i—/n+^
(-l)"(*/2)"
n=0
p /—Я, Cr , 1 + V ,
')•
r <: s либо r = s + 1 и | zo> | < 2.
B)
Н)"(я + АХя)ц
Хп+Л
X r+2*s+l (
—n, n + 2Л, cr
•)!¦
Л не есть отрицательное целое число, г <: s либо
r=5+lHZu)^l,
|arg(l- zo>)| < тт.
C)

238 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
л?М
2Г(ц + 1)Г(у + 1)B/я)"+-
Г^ + У + 1)
n=0
I, D)
—я, w + fju + v, /x + 1, v + 1, <V
/x + v + 1 /x + у + 2
^ +1/ не есть отрицательное целое число, г < 5 либо г = s + 1 и
|arg(l - Z2W2)| < 77.
5.12. Полиномиальные и рациональные приближения
В этом пункте мы даем полиномиальные и рациональные
приближения функции Fq и некоторой G-функции, включающей как частный
случай ряды по функциям F . Для получения таких приближений
можно использовать метод, рассматриваемый в п. 13.4, либо метод,
рассматриваемый в п. 13.5. На этот счет существует несколько точек
зрения. Более подробно об этом см. Люк A969), Филдс и Уимп A970)
и Филдс A9726).
Пусть
H(z) = pFq(ap; Pq; z). A)
Пусть Hn(z) - приближение к функции H(z) и Sn(z) - остаток. Мы имеем
H(z) = Hn(z) + Sn(z), B)
Hn(z)= An(z, y)/Bn(y), C)
Sn(z)=Xn(z,y)/Bn(y). D)
Тогда
R /v\ _ у д v-fc д _ (— n)k (n + A)fc (pQ — a)k (cf)k
fc=0 (P + l)fc («p + 1 — *)fc №)fc
\ p H- 1, a + 1 — д, rf I y/

5.72. Полиномиальные и рациональные приближения 239
А„{*, у) = у"° I ak(zlyf ? An,r+k+Jy*
_ г -n(n + A)(Pg - 1) cf 1° "~tt (a -n)k(n+\ + a)k (осР)к jct + a)k {zlyf
I y(? + l)V„ -1 ilo (/3 + 1+a)fc К+1)*D,+«)**'
/— n + a + k,n+\ + a + k,pg + k,cf + a + k,l\l\
= У"" I У~к I «И..г+»*.(*/у)Г
fc=0 r=0
г -n(n + X)(Pq - 1) ct i« ™ (a - »)t (я + Л + a)k (Pg)fc (g/ + a)u У~к
1a '*—
L y(jS + l)a^ J ?0 (j3 + l+fl)fc(ap+l)fc№+e)fc
/-w + я + &, n + Л + a + k, pQ + fc, cf + a + &, a„ I s\
x P+,+/+2i w+g+1 ^ ^ + 1 +л + л>а^ + 1 +л>^ + в + л>Яв |yj>
F)
/ —и, и + Л, а„ + 1 — a + k, Pq — a, cf , 1 \z\
X v+Q+f+zPP+Q+g+2 ^ + j + ! _ a + ft> 2 _ л + л + j _ Дэ ^ | yJ •
G)
\p + l,Pq + l-a + k,2-a + k.
у t~ \ = ( zav V'* V (~n)fc (* + A)fc (Pq - g)fc (c/)fc (gMfc
\pQ + 1 - a + *, 2 - я + A I/ ' w
V+lr G+1
В приведенных выше соотношениях ak есть коэффициент при z* в
функции H{z), a = 0 либо а = 1, а а, /3 и Л такие же, как в 5.10.2A).
Ниже, в теореме 6, на Л будут наложены еще большие ограничения.
Заметим, что ynAn(z, у) - многочлен по z степени п - а, а
упВп(у) - многочлен по у степени п. Однако если у = z, то znAn(z, z) =
= znAn(z) и znBn(z) будут многочленами по z степени п - а и п
соответственно. Следовательно, рассмотренные нами приближения
довольно гибкие, поскольку они могут быть многочленами или
рациональными функциями.
Имеем следующую теорему сходимости.

240 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и Офункция
Теорема 1. Если
A) Р 4 Я. (случай I), либо
B) р = q + 1, z ф 1, | arg(l- z) | < тг (случай 2),
C) ah не есть отрицательное целое число или нуль, h= 1,2,..., р,
D)Я(Р/г)> О, й=1, 2, ...,<?,
E) Pft ? «,
F) а = О ои а = 1,
(?)/ = ?,
(8) 0 < z/y < 1, z/y фиксировано.
Тогда, если п -> <*>, приближения An(z, у)/Вп(у) [см. E) ю F)] равко-
мерно сходятся к JFAa^\ p ; z) «а компактных подмножествах С
z-плоскости, не содержащих z = 0 (гслм ?> = <?+ 1, ш?чя;м подмножеств
С должны также удовлетворять условию B)).
Замечание. Предположения D) и E) теоремы 1 не слишком
обременительные, поскольку
тр («» 1 Л _ У («»)*** , («»)ш*ж F /«» + «.! IJ
^* Ч I ' & (*)*« + (PQ)mm\ »+1*'+1 U + m, 1 + * Г i '
и наш анализ можно применить к функции р +1F +1, когда m
достаточно велико.
Доказательство этой теоремы конструктивно и приводит к
оценке погрешности. При соответствующих условиях функция Xn(z, у)
самое большее растет степенным образом по п, а функция Вп(у) растет
экспоненциально по п, и это обеспечивает сходимость, в силу
формулы D). Имеем
0(п»)
Sn(z) = > п ¦* °°> равномерно для 0 < z/y < 1,
Вп(у)
pi = maxBa, -2R(ch), „, 2я + Н(Л)), /г = 1, 2, ...,/, (9)
/
77=a-l/2 + R{ 2 (cy-dy)-0L
Теперь дадим асимптотику функции Вп(у) при / = g.
BnM = sJl-— np-q[l + 0(n-*)'M, если р< q,
с*
Вп(у) =8пе п{1 +0(п-2)\, если *> = <?,
8я

5.12. Полиномиальные и рациональные приближения 241
где
П~ ($+Dn(ap + l-a)n(df)nyn
• a ¦+¦ n) n!
[l + 0(n-1)],
(_1)х-1?D/у)ппС0Г(р9-а +n)n\
Г(ар + 1 - a +n)
ГШ+1)Г{ар + 1-а)ГШ
E = ? i— , A1)
Г(рд-а)Г(С/)ГA/2)
' 1
0,-2 (c.-dA- — -/3,
;'=1 2
(n + /3)(n + Од - a) (n + df - 1)
Mn"
Bn + A - l){n + pp - 1 - a)(n + cf - 1)
Если p = q + 1, то
Bn(y) ~ ? (8h — JCT(ch — )_2a-A[l + 0(W-2)]W2crchDV^+0(iV-,)L
ch? = 1 - 2/y, 0 = q + 1, | arg(-y)| < * - «, e > О, Ц2)
B„(y)-(-!)"?( ch — Jff(sh— )-2ff-A[l + 0(W-2KW2ffch[Wr,+0(^-1)],
ch/7 =2/y - 1, p = q + l,y± 1, |arg(l/y-l)|<7r-6, б > 0,
где
q 4+1
Af2 = n(w + A), 2G = a + o-?+ S pft- 2 аЛ, A4)
a E и а> определены в A1).
Следствие. Если в предыдущей теореме
A)Р< q>
B)H(z)-pFg(VPe;z)- 2 —^— + Tn(z),
k=o \Pq)kk\
A3)

242 Г п. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
то
Sn(z)/Tn(z) = 0[D*/у)-%П
ф = p + a(q -p) + max{a, За-17, a - 7? -2Я(сл), a +77 +Я(Л)}, A5)
когда /г u n такие же, как и в (9).
Теорема 2. Если
р = 2, 4 = 1, а1 = 1, а2 = 6, i81 = с + 1,
у = z, a = 0, fi = с — а, т.е. X = с + 1 - а,
a z заменено на —1/z, то рассмотренные в теореме 1 приближения
Hn{z) = 4n(z)/?n(z) тс функции 2F1A, Ь; с + 1; -1/z) занимают
позиции (п - а, п) в таблице Паде. [См. п. 6.10, а также замечание к
формуле 4.3.1A).]
Замечания.
A) Величина Ап k в формуле E) выбрана нами таким образом,
что Вп(у) удовлетворяет линейному разностному уравнению конечного
порядка. Далее, An(z, у) удовлетворяет некоторым .линейным
разностным уравнениям, таким, что однородные части обоих уравнений идентичны.
Описание этого см. в п. 5.13.3.
B) Заметим, что H(z) = pFqiap'9 Рф z) не имеет полюсов в конечной
плоскости. Однако рациональные приближения к H(z) имеют полюсы в нулях
функции Вп{у), что вытекает из E), причем счень важно знать природе этих нулей.
Если р = q +1 и все параметры числителя и знаменателя в формуле для Вп( у)
суть действительные числа, то, как вытекает из результата, предложенного
Люком A969) [т. 1, 7.4.2(8)], при соответствующих дополнительных
ограничениях, наложенных на эти параметры, все нули функции Вп( у)
(если п достаточно велико) лежат на действительной оси в интервале
A, ©о). Поскольку мы не имеем точных данных относительно нулей,
этот вопрос все еще остается открытым. Во всяком случае, очевидно,
что окрестности этих нулей следует исключить из областей
применимости полиномиальных и рациональных приближений. Если ?>< q, нам
мало известно относительно нулей функции Вп(у), за исключением
того случая, когда Вп(у) приводится к функции 2Fo(-n> п + ^5 1/у)«
Последняя называется многочленом Бесселя, который при А = 1
становится, если не считать некоторой мультипликативной константы,
модифицированной функцией Бесселя Кп+у2 (у/2); пользуясь этим
фактом и результатами, полученными Олвером A960), можно установить
характер нулей функции Вп(у). Вообще нули многочлена Бесселя прос-

5.12. Полиномиальные и рациональные приближения 243
ты и лежат в левой полуплоскости. Эти многочлены имеют большое
значение при построении гауссовских квадратурных формул для
вычисления обратного преобразования Лапласа, и мы имеем значительный
объем информации относительно этих нулей. В связи с этим см.
работы: Кублановская и Смирнова A959), Зальцер A961), Скобля A964,
1965), Крылов и Скобля A968) и Пиессен A971). Ранее мы
предположили, что все нули лежат в круге с центром в начале координат, радиус
которого возрастает с ростом п не более чем линейно, если р < q. Из
A0) и A1) ясно, что для достижения высокой степени точности
необходимо, чтобы п » | у |. Таким образом, определение местоположения
нулей не представляется крайне необходимым.
C) Если р < q, гипергеометрический ряд функции H(z) сходится
для всех z. Если же р = q + 1, ряд, представляющий функцию q+lFq,
сходится, если \z\< 1. Однако функция #(z), для которой
представление в виде гипергеометрического ряда имеет силу только в единичном
круге, определена по всей комплексной плоскости, если |arg A - z)\ <
< п. Следовательно, процесс приближения сходится в некоторой
области, где представление в виде гипергеометрического ряда
расходится. Например, функцию z~l ln(l + z) можно представить в виде ряда
2FXA, 1; 2; -z), \z\ < 1. Тем не менее процесс приближения сходится
для всех z, при условии, что мы исключаем отрезок отрицательной
действительной оси (-<*>, -1) и достаточно малые окрестности нулей
функции В (у). Если в рассматриваемом нами примере взять / = 0 и
? = 0, то функция Вп(у) будет по существу многочленом Якоби, и все
ее нули будут лежать на отрезке (-«>, -1).
D) Пусть H%(z) будет суммой первых к + 1 членов разложения
функции H(z) в ряд Тейлора. Тогда Hn{z) можно считать взвешенной
суммой многочленов Я* (z), k = 0, 1,..., п. Теперь весь вопрос в
технике суммирования. Говорят, что метод суммирования является
регулярным, если он суммирует сходящиеся ряды к их обычной сумме.
Следовательно, процесс суммирования, описанный в B) — (8) и
подчиненный условиям, обеспечивающим сходимость, является регулярным.
При р = q + 1 наш процесс имеет очень важное положительное
свойство, состоящее в том, что при большом наборе условий, которые мы
установили, он сходится к функции H(z) в области, где представление
ее в виде гипергеометрического ряда расходится. Таким образом, с
точки зрения суммируемости наш процесс расходящуюся
последовательность преобразует в сходящуюся последовательность. При подходящих
условиях то же самое будет верно и для р > q + 2, если функция H(z)
есть некоторая G-функция, асимптотическим разложением которой при

244 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^р и G-функция
большом z в соответствующей области комплексной плоскости
является ряд pF . Анализом таких приближений мы сейчас и займемся.
Рассмотрим для произвольных р и q
H(z) = (Г(Рд)/Г(арЩР+1 (-zj^, A6)
H{z)-pFq(api Pq; г),
p< q либо р = q + 1 и |arg(l - z)\ < n,
H(z) ^pFq (ap; pq; z), p > q + 2,
z -> 0, |arg (-z)\ « (p + 1 - *) */2 - 6, * > 0. A8)
Тогда наши приближения к A6), по крайней мере формально, могут
иметь тот же вид, что и в A) - G). Теорема сходимости и следствие,
когда р< q + 1, будут такими же, как теорема сходимости и ее
следствие, изложенные выше. Тем не менее современная точка зрения
допускает приближения для упомянутой выше G-функции, когда р > q + 2.
Теорема 3. Если либо
A) Р = Q + 2 и | arg z | < 7г/2, либо
Р =# + 2, |argz | = 77-/2 и R(a) > -1 - q, либо
р =q + 3, z > 0 мй(а)>-1-д/2,
G= B <%-* ftfc + (*-?)/2)/U>-*-l)
Л=1 л=1
B) z ^ 0,
C)aft «в #сш> отрицательное целое число или нуль,
h = 1, 2,..., р,
D)Д(рл)> 0, /г = 1,2,...,з,
E) a = 0 мм a = 1,
F) Ph^ a,
G)/=g,
(8H< y/z< 1,
mo при и -» oo рациональные приближения
An(-l/z,-l/y)/Bn(-l/y)
равномерно сходятся к fl(-l/z), где H(z) задана формулой A6), в лю-
бом компактном подмножестве z -плоскости, не содержащем точку
z = 0.

5.12. Полиномиальные и рациональные приближения 245
Теорема 4. Если
A)р = 3, q = Q и w = 2zK> О,
B)аг = 1,  = ^ +*-/*)> «з=^A-^-^Ь Д(р)>-3/2,
C)/=g = l, Cl =2, dj =1
и справедливы предположения C), E) и-(8) теоремы 3, wo wpw n -> «>
рациональные приближения, рассматриваемые в теореме 3, равномерно
сходятся к H(-l/z) = wl~^S (w) (см. 8.3A7)), в любом компактном
подмножестве действительной оси, лежащем в интервале О < z < <».
Теорема 5. Если
A)р = 2, <? = 0, |argz | < тг, z^O,
B) ах = 1, а2 = 1 - г/,
C) I/ м? является положительным целым числом и выполняются
предположения E), G) и (8) теоремы 3 ярм / = 0, то при п -> <*>
рациональные приближения, рассматриваемые в теореме 3, сходятся к
z1-vezT(v, z), (см. 4.1C)) я любом компактном подмножестве z-плос-
кости, не содержащем точку z = 0. Кроме того, если а фиксировано,
]8 -> оо и у = z, яю эш приближения занимают позицию (п - а, п) в
таблице Паде (см. 4.3.2).
Так же как и в случае теоремы 1, доказательства теорем 3, 4 и 5
конструктивны, и в каждом отдельном случае можно показать, что
погрешность можно охарактеризовать с помощью формул
S (-1/z) = —* , п -» <*>, равномерно для
вп(-1/у) П9)
0 < y/z < 1, z j? 0, (л такое же, как в (9).
Для / = g, P><7 + 2 имеем
R / 1 / ч - /~гс, я + \, Pq - а, cf, 11 \
^(-Vy) = *+/+3Fp+/+i L i * .; -у) *
\j8 + I, ap + l -a, df I /
Bn(-l/y)-4(N2y)ttexp[S(iV2yI/b-0y/3+O(N-1)], B0)
lergyl^ Я- €, €> 0,
1-6
^ B it) 2 Г(/3 + 1)Г(ар4-1-а)Г(^)
S =? -<? + 1 > 3, iV2 =n(n +A), 6 = 1, если S = 3,
0=0, если S >3,

246 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
o = 8-l[a(p-q)-l{p+q) + i р.. - { ау - j8 + 1 (с, - <*,)]. B1)
Z ;=1 ' ;=1 ;=1 '
В B1) предполагается, что ни один из параметров p. -a, ci не
является ни отрицательным целым числом, ни нулем. Полное
асимптотическое описание Вп(у) для произвольных /, g, p и q и справедливое для
других областей комплексной у-плоскости см. у Люка A969). В этой
же работе читатель найдет конфлюентную форму соотношения B1);
при конфлюенции мы получаем так называемые обобщенные
многочлены Лягерра.
Замечания.
1. В теоремах 3 — 5 удобнее оперировать с функцией #(-l/z), a
не с функцией H(z), поскольку при р > q + 2 функция F в формулах
появляется именно в таком виде.
2. При довольно общих условиях на параметры мы предполагаем,
что теорема 3 справедлива при | arg z | < n- e, е> 0 и р > <? + 2. На
эту мысль наводят теорема 5 и оценка погрешности для рациональных
приближений к функции К (z), которая дается в п. 9.9. Частичным
результатом в этом направлении является теорема 6, рассматриваемая
ниже.
3. Доказательство теорем 3—5 можно усовершенствовать,
показав, что погрешность удовлетворяет некоторому дифференциальному
уравнению, тесно связанному с дифференциальным уравнением,
которому удовлетворяет функция H(z), а затем дать решение этого
уравнения. В связи с этим см. анализ г-метода в п. 13.4. В п. 5.13 дан
вывод рекуррентных формул для функций Hn(z, у) и Вп{у), определенных
соотношениями E), F). Ясно, что погрешность процесса приближения
также удовлетворяет некоторому линейному разностному уравнению.
Прямое отношение к данному вопросу имеет анализ, представленный в
п. 13.5. Таким образом, решив это разностное уравнение, можно дать
характеристику погрешности. Именно таким приемом воспользовался
Филдс A9726) при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 6. Если
(l)p>q + 2,
B) у = z ? 0 и |argz | < 77,
C) р. - ak не есть отрицательное целое число или нуль,
j = 1, 2,..., q; k = Q, 1,..., р; aQ = a,
D) ни одно из чисел pk _ p.9 ak _ а. не есть целое число,
если j ? k,
E) а = 0, 1,... или р - 1,

5.13. Рекуррентные формулы 247
F) /3= 0, а= О, 1,... или р - 1 -а, т.е. Л= 1, 2,... или р -а,
G)f = g=0,
wmda ярм п ^ оо рациональные приближения, рассматриваемые в
теореме 3, равномерно сходятся, когда y = z, к функции H(-l/z) на любом
компактном подмножестве z-плоскости, не содержащем точки z = 0.
Далее, для определения погрешности мы имеем асимптотическую
формулу
Sn(-l/z) = 0(exp[4(z)|zN2|1/6]b
€(z) = 2 8(cos<f>){cos(<f> + \argz\/8)\, ф=тт/2-7г/8, |argz| < щ B2)
где 8 и N2 такие же, как в B1).
Замечания.
1. Представляется, что условие D) теоремы 6 можно ослабить,
поскольку, когда оно нарушается, появляются логарифмические члены,
которые не изменяют асимптотику погрешности. По-видимому,
условие C) можно также нарушить.
2. За исключением ограничения на argz, теорема 3 в основном
сильнее теоремы 6, поскольку в последней необходимым условием является
y=z. Кроме того, условия, налагаемые на /3 и Л в теореме 3, мягче,
чем соответствующее условие F) теоремы 6. Однако на практике
предпочтительнее, чтобы выполнялось именно условие F) теоремы 6, так
как в этом случае, когда у = z, многочлены как числителя, так и
знаменателя рационального приближения удовлетворяют одному и тому же
линейному однородному разностному уравнению.
3. Фцлдс A9726, 1973) получил в замкнутом виде представление
погрешности в случае рациональных приближений теоремы 6 и
установил соответствующие асимптотические формулы. Эти данные мы здесь
не приводим.
5.13. Рекуррентные формулы для многочленов н функций,
встречающихся в приближениях
к обобщенным гипергеометрическим функциям
5Л3.1. ВВЕДЕНИЕ
В п. 5.12 мы выяснили, что многочлены знаменателя рациональных
приближений для гипергеометрических функций являются
многочленами гипергеометрического типа. Далее, многочлены числителя также
можно представить в виде многочленов гипергеометрического типа.
С другой стороны, в п. 5.10 мы заметили, что в разложении
гипергеометрических функций в ряд по обобщенным многочленам Якоби и Ля-

248 Г л, 5. Обобщенная гипергеометричоская функция pFq и С^рункция
герра коэффициенты этих разложении также относятся к семейству
гипергеометрических многочленов.
Рекуррентные формулы имеют очень большое значение как в
теоретических, так и в практических вопросах вычислительной
математики, поскольку они позволяют из приближений низшего порядка получить
приближения более высокого порядка. Если взять, например,
приближения Паде, то совершенно ясно, что многочлены числителя и
знаменателя должны удовлетворять одной и той же рекуррентной формуле.
В п. 5.13.2 мы даем рекуррентные формулы для обобщенных
многочленов Якоби и Лягерра. Эти выражения линейны, неоднородны и
конечной длины. Следовательно, в обозначениях 5.12E) мы имеем
рекуррентную формулу для функции Вп( у). С точки зрения соотношения
5.13G) функция An{zf у) удовлетворяет другой неоднородной
рекуррентной формуле, отличающейся от формулы, которой удовлетворяет Вп(у),
только неоднородным членом. Формулы для функций Bn(y) uAn(z, у)
рассматриваются в п. 5.13.3. Далее, если у = z, при определенных
условиях, с которыми всегда можно встретиться на практике, функции
Bn{z) nAn(z) удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле.
Этот факт имеет большое значение для приложений. Преимущество
разложения в сходящийся ряд Тейлора заключается в том, что
увеличение точности может быть достигнуто за счет добавления новых
членов. В случае полиномиальных и рациональных приближений может
случиться так, что n-е приближение полностью не связано с
предыдущими приближениями. Таким образом, для получения последующего
приближения нужно вновь применить тот же самый метод, с помощью
которого было получено предыдущее приближение. Упомянутое выше
преимущество разложений в ряды Тейлора по существу сохраняется в
наших рациональных приближениях, и этот факт вместе с тем, что эти
рациональные приближения могут сходиться в областях, где ряд
Тейлора расходится, усиливает прикладное значение рациональных
приближений.
В замечании 5 п. 5.13.3 мы показываем, что гипергеометрический
многочлен, который появляется в третьем выражении формулы 5.12F),
порождается неоднородной рекуррентной формулой первого порядка, и
это доставляет еще один способ вычисления функции An(z, у).
Как уже было замечено, коэффициенты разложений обобщенных
гипергеометрических функций в ряд по обобщенным многочленам
Якоби являются функциями гипергеометрического типа. Эти функции также
удовлетворяют разностному уравнению, что облегчает их вычисление.
Об этом говорится в п. 5.13.4. Результаты, представленные в п. 5.13.2,
за исключением 5.13.2D1 - 50), взяты из работ Уимпа A968), Филдса,
Люка и Уимпа A968) и Люка A969).

5.13. Рекуррентные формулы 249
A)
5.13.2. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЯКОБИ И ЛЯГЕРРА
Рассмотрим обобщенную функцию Якоби
6n(z, Л) = r+3Fs [~n' n + X'ar'1\z\, n произвольное,
г + 3< s либо г + 2 = 5 и | arg A - z) \ < п.
С функцией A) тесно связана функция
^/г Лч_ (^-l)^-1 F / 2-Л..1 1 H)s-r\
¦*•**• A^ (Я + i)(„ + л - \){ar - 1) *+1*'+8 12 + я, 2-л-Л, 2-я, I 0 ^
B)
r + 1 > s либо r + 2 = s и |arg(l- 1/z) I < 7Г
в том смьщле, что обе эти функции являются частными решениями
дифференциадьного уравнения
[(8 + bs - 1) - 2(8 - «)(8 + я + А)(8 + о,)] &(z) = (bs - 1), 8 = *<*/</*.
C)
Помимо того факта, что функции A) и B) удовлетворяют одному и
тому же линейному неоднородному разностному уравнению,
оказывается, что соответствующим образом нормированный базис решений
однородного дифференциального уравнения
[(8 + К - 1) - 2(8 - п)(8 + и + А)(8 + от)] #-(*) = 0 D)
в особых точках z = 0 и z - 00 также удовлетворяет этому
родственному однородному разностному уравнению.
Чтобы было удобнее рассматривать базисы решений,
нормированные относительно п, примем следующие условия:
г + 3< s либо г + 2 =5 и |arg(l - z) | < п;
нет двух таких параметров bh, h = 1, 2,..., s, которые E)
отличались бы друг от друга на целое число или нуль.
г + 1 > s либо г + 2 = 5 и |argA - 1/z) | < тг;
нет такой пары из параметров чп, п + Л, а-, / = 1, 2,..., г, F)
в которой параметры отличались бы друг от друга на целое
число или нуль.
Если выполняются условия E), то в качестве нормированного базиса

250 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
решений уравнения C) берем
&n.h(z, Л) = (n + bh\_bh{n + ХЪ^зг-ъ
„ /1 - bh - п, 1 - bh + n + Л, 1 - bh + ar I \
Xr+2s-1l i_bfc + fc* \*h
h = 1,2,..., 5.
G)
Если выполняются условия F), в качестве нормированного базиса
решений уравнения C) берем
*пЛ*> А) = (п + 1 + а,)_а.(п + X)_a.z-a>
xj / 1+а,-Ь.
Л ^r+1 U + а,, + п, 1 + а5 - п - А, 1 + в, - а*
У = 1,2,..., г,
Г(п + 1) ГBя + А) Г(п + аг)(ге™)п
И)»
^».т(*. А) =
Г(п + А) Г(п + 6.)
р / 1 - *. - я
^r+1 VI - 2п - А, 1 - ат - п
ИM
-)¦
(8)
(9)
^n.r+2(*, Л) =
Г{п + 1) Г(/г + А + 1 - &s) ехр[гуE - г - 1) ф-п-
X
Г(/г + Л) ГBи + А + 1) Г(и + Л + 1 - аг)
п + Л + 1 - bs I _(-1>
2я + Л + 1, п + Л + 1 — ат \ z
егя> _ _1#
Ли (
¦)¦
00)
Справедлива
Теорема 1- Функции &n(z, Л) и Kn(z, Л), подчиняющиеся
ограничениям наг, s uz E) и F) соответственно удовлетворяют разностному
*•(*, А) + ? [Лж(тг, Л) + *Вт(я, Л)] 0n_m(z, А) = (** iyt>)n ,ч >
m=l lw + &s — 1)(» + Л — t)n
t = max(r + 2, s), Б4(гг, Л) = О,
(И)

5.13. Рекуррентные формулы 251
где
(п + 1 — m)mBn + А — 2mJm(n — m — 1 + bs)
*™КЩ Л) m\ (n + Л - m)mBn + Л - t - m)Jn - I + bs)
/ —m, 2n + X — t — my n — m -\- bs \ \
X s+2^s+i ^2fi + A+l— 2т,я — « — 1+ft.l1/ <12>
_ (-!)'(* + l-m)mBn+\-2m)Bn + \-t + l^fo + A-f + l-bs)
~ {t-m)\ (n + X-m)mBn + X-t-m)Jn-\ + bs)
/—t + mi2n + \ — t — m>n+\ — t + 2—bs\\
x s+2rs+1 у 2n + \ + l-t,n + \-t + l-bs \49
A3)
(n + 1 — ra)mBft + A — 2mJm(n — m + ar)
BJn, A) =
(m - 1)! (n + X - т)шBя + A - t - m + l)m_i(w - 1 + bs)
F /I — m,2n + \ — t — m + I, n — m + 1 + ar \ \
X r+2*r+1 ^ 2n + A + 1 - 2m, я - w + ar | V
A4)
(-l)r(n + 1 - m)mBn + A - 2m)Brc + A -1 + l)t_i(» + A -1 + 1 - ar)
(t-rn- 1)! (/г + A-m)mBw + Л- t-m + \)m-i{n- 1 + ft.)
/-* + m + l,2n+A-*-m + 1,гг + А-* + 2-лг I \
; r+1l 2w + A + 1-/я+Л-* + \-ar I/*
A5)
Далее, функщш 3n,h(z> АЬ Л = 1, 2,..., s, w §nfj(z, Л), / = 1, 2,...,r+2,
подчиняющиеся условиям E) w F) соответственно, удовлетворяют
разностному уравнению
*»(*, А) + Z [Лт(п, А) + *Вт(я, А)] ф^*, Л) = 0. A6)
Я наконец, если нет такого параметра bh, который был бы равен како-
му^либо из параметров а^у то тогда ни одна из указанных функций не
будет удовлетворять нетривиальному уравнению аналогичного вида,
но порядка меньшего, чем t.
Следствие 1. Функция
ЦЬ8)
*(п, *, А) =
Г(-П) Г(п + Л) ДО
v ^i.r+з / v I °> 1 + w> 1 - w - A, 1 - ar\ n„.
X Сг+3.5+1 ^-* | 0, 1 - 6. ' [

252 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^ и (^функция
удовлетворяет уравнению (И) и не удовлетворяет нетривиальному
уравнению аналогичного вида, но порядка меньшего, чем t, при
условии, что нет такого параметра bh, который был бы равен какому-либо
из параметров а^.
Замечание 1. Если в A) положить s = # + 1 и Ьд = 1 при h = q +1,
то обобщенная функция Якоби A) утратит свою специфичность.
Замечание 2. Как уже отмечалось ранее, при выполнении условий
E) и F) функции 3^B, Л) и §п у (z, Л) соответственно образуют
базис решений дифференциального уравнения D), следовательно, они
линейно независимы как функции от z. Они независимы также и как
функции от п.
Замечание 3. Если в E) и F) не выполняются условия на
параметры, то решения разностного уравнения A6) можно получить,
использовав те же самые предельные переходы, которые мы применяли для
получения решений дифференциального уравнения D).
Замечание 4. Если п - положительное целое число или нуль, то
для того, чтобы функция &n(z, Л) была корректно определена и чтобы
выполнялось разностное уравнение A1), нет никакой необходимости в
каких-либо ограничениях на г, s и z. В связи с этим следует быть
особенно внимательными при тех предельных переходах, которые могут
встретиться. Например, предположим, что г = О, s = 1, bl = l. Тогда
из A2) имеем
Аг(п, Л) = -Bп + Л - 2)(Л - Щп + Л - 1)Bя + А - З)].
Если нужно вычислить ^ (п, А) при п = 1 и Л = 1, мы сначала должны
положить п = 1, а затем устремить Л к 1. Таким образом, А^{п9 А)= -1
для п = 1 иЛ1(пД) = 0 для п ? 1.
Как следствие изложенных выше результатов мы даем разностное
уравнение, которому удовлетворяют обобшенная функция Лягерра и
семейство функций, удовлетворяющих тому же дифференциальному
уравнению, которому удовлетворяет обобшенная функция Лягерра.
Необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
г + 2 < s либо г + 1 = 5 и | arg A - z) | < 7г;
нет такой пары параметров bh, h = l,...,s, в которой параме-A8)
тры отличались бы друг от друга на целое число или нуль;
г > 5 либо г + 1 * 5 и | arg A - 1 /z) | < 77;
среди параметров -п, a., j = 1,..., г, нет такой пары
параметров, в которой параметры отличались бы друг от A9)
друга на целое число или нуль.

5.73. Рекуррентные формулы 253
Пусть также
lim*n(*/AfA) = *n(*)f
А—>-оо
*»(*, л) = *я(*. л), л;^, л), ^,л(*, л), h = 1,2,..., 5,
»я.Л*,А), 7= 1.2 г + 1. B0)
Предельной формш теоремы 1 [см. A1) - A6)] и ее следствия [см.A7)]
является следующий результат.
Следствие 2. Функции &n(z) и Kn(z), если выполняются условия
на r,s и z A8) и A9) соответственно, удовлетворяют разностному
уравнению
<ВД + ? [AJn) + zBJn)} 0n_m(z) = +Г-П '
7П=1 \ I S */
** = max(r+ l,s), B1)
где
. (n + 1 - от)т(и - от - 1 + bs) i-m,n—m + bs\\ ,„«,.
Л"-(И) = от! (n - 1 + ft.) s+lFs U - « - 1 + ft. I V B2)
(я + 1 - otU-I)"8 у (s - и)! (_) ,.
= „!(„_!+*,) I, (,_«-«)! B~5> - * - 1 + ft.), B3)
BJn) - (W + ' '•"У" - " + ^ r+1Fr A -»»"-" + 1 + "r I Л B4)
w (m-1)! (w-1 + 6S) +1 \ n-m + ar I /
(я + 1-от)го(-1)"--^^ (r-n)l u_) 5f„_w + a4
" (—1I0.-1+ft.) i (r + 1-«-«)'• г+1-"-Л(Я W™
где в?а) определено в п. 14.2 uSu(fiq) суть симметричные многочлены,
неявно определенные соотношением
В частности, Лт(п) = 0, т > s + 1 w Bm(n) = 0, т > г + 2. Кроме того,
функции \>h{z)> /г = 1, 2,..., s, и §n,/(z), ; = 1, 2,..., г + 1, если
выполняются условия A8) и A9) соответственно, удовлетворяют разност-

254 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
ному уравнению
Фя(*) + ? [An(n) + *BJn)] <Pn_m{z) = 0. B7)
7П = 1
Далее, функция
^(W'Z) = Г(-п)Г(аг) G-2's+1 Г* I 0, 1 - *. / (
удовлетворяет уравнению B1). И наконец, поскольку среди параметров
6. нет ни одного, который был бы равен какому-либо из параметров aj,
указанные функции не удовлетворяют никакому нетривиальному
уравнению того же вида, но имеющему порядок ниже, чем t*.
Продемонстрируем основные результаты этого пункта на примерах.
Если п — положительное целое число, то функция
удовлетворяет уравнению
? [AJn, А) + zBJn, Л)] ^_т(*, Л) = О,
А0(п, А) = 1, В0(п, А) = В4(п, А) = 0, C0)
где
А(яХ\= (" - 1)B« + А - 2J(я + 6-2)
"lV ' ' (я + А - 1)Bя + А - 5)(я +6-1)
г яBя + А - 5)(я + 6-1) л
I (я_1)Bя + А-1)(п + *-2) J'
А2(п, А) =
X 11-
+
А(я, А)
(я - 1)Bя + А - 1)(я + 6-2)
(я - 2JBя + А - 4)«(н + 6-3)
2(я + А — 2JBя + А — 6J(я + 6 — 1)
2(я - 1)Bя + А - 6)(и + 6 - 2)
(я - 2)Bя + А - 3)(п + 6-3)
яBя + А — 6J(я + 6-1) |
(я-2)Bя+А-3J(я + 6-3)Г
(я - 2JBя + А - 2J
(я + А - 2JBя + А - 5)(я + 6-1)
v ((я + А - 4)Bя + А - 3)(н + А - 3 - 6) )
Х I (я + А-3)Bя + А-7) (я + А-2-6)|,

5.7 3. Рекуррентные формулы 255
А(«Х\- (*-3)зB«+А-3K(и + А-3-г>) * _
R, B» + А - 2J(я + а - 1)
(я - 1X2» + А - 2JBя + А - 4)
А ' ; ~~ (я + Л - 2JBп + А - 5)(и + Ь - 1)
X {Bя + А - 3)(я + а - 2) - Bя + Л - 5)(я + а - 1)},
я, „ (я - 2JBя + Л - 3K(я + Л - 3 - а) ...
Вз(Я' А) *' (я + А-3)зBя+А-5)(« + 6-1) • C1)
3
Здесь (п + и + Ь) - сокращенная запись П (п + и + fet-), а (п + и + а) —
сокращенная запись П (п + и + а,-) и т.д.
Применяя принцип конфлюентности, покажем, что функция
**.4-A(-j,V;i;'l') и
удовлетворяет уравнению
? [AJn, А) + ,В*(я, A)] 9*Jzt А) = 0, В*(я, А) = В*(я, А) = 0, C3)
причем функция А^п, Л) такая же, как и в C1), и
Bя + А - 2J(я + а - 1)
ВГ(я,А) =
(я + Л-1)(я+6-1) '
„*, Л. _ (я - 1)Bя + А - 2JBя + А - 4)(А - 1 - 2а) .
2 (Я'А) ~ (я+А-2JBя+А-5)(я + 6-1) ' C4)
в*С„ А\ = _ (я - 2JBя + А - 3K(я + А - 3 - а)
зУ ' > (я + А - 3KBя + А - 5)(я + Ь - 1) *
В качестве еще одного примера рассмотрим функцию
г / %\ г. /—я>я + А, а | \
Л(*.А) = Л( >bJh' \,), C5)
которая удовлетворяет уравнению
3
I [Ст(я, А) + zDJn, A)] /„^(я, А) = 0, C6)

256 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
С0{п, А) = 1, ?>„(«, А) = Г»3(и, А) = О,
(я - 1)Bя + А - 2)8(я + 6-2) яBя + А - 2)
С1(я,А) =
С2(я, А) =
(я + А - 1)Bя + А - 4)(я +6-1) я + А-1 '
(я - 1)Bя + А - 1)(я + А - Ь - 1)
(я + А - 1)(я + 6-1)
(я - 1)(я + А - 3)Bя + А - 2J(и + А - Ь - 2)
- C7)
у* | #* ~;2^-'«- I /% «'Л" • v x/
(<* — 1\-П* Л- \ — 9W*, Л- \ — Л _ 1\
С8(Я, Л) =
Di(«, A) =
D2(n,A)= -
(я + Л - 2JBя + Л - 5)(я + 6-1)
(я - 2JBя + Л — 2J(я + Л — 6 - 2)
Bя + Л - 5)а(п + А - 2)8(я + Ъ - 1) '
Bп + А - 2)а(я + д - 1)
(п + Л - 1)(п + 6-1) '
(я - 1)Bя + А - 2J(я + А - а -2)
(„ + Л - 2J(я + Ъ-\)
где (п + Ь - 1) означает (гс + Ъ1 - 1)(п + Ь2 - 1) и т.д. Можно также
соотношения C5) - C7) получить из B9) - C1), для чего нужно
поступать следующим образом. В B9) полагаем а =Ъъ=п + к-Ъ. Тогда
легко видеть, что Л4(п, Л) = В3 (п> ^) = О» 4* \п> ^) - С,- (п, А), г = 1,2,3,
a By(n,A)=Dy(n, A), ; =1,2.
И снова, применив принцип конфлюентности к C5) относительно А,
получим, что функция
Ш = МьУ}*)
C8)
удовлетворяет уравнению
? [CJn) + zDJn)]/_,,(*) = 0, C9)
С0(я) = 1, ?>0(и) = Д,(я) = О,
CfaV.- (n-l)(n + ft-2) (и-2)(я-1)
CiW - („ + 6 - 1) п' С*п> ~ ~ п + Ъ-1 '
ОД = -[1 + Сх(я) + С3(я)],
„.. я + а — 1 (я — 1)
^(») = я + 6-1 ' °**) = - „ + 6-1 •
D0)
Следующий ниже результат, полученный Уимпом A969), является
обобщением хорошо известного результата для многочленов Якоби.

5.13. Рекуррентные формулы 257
Теорема 2. Пусть
Fn(Z> Л) = p+2Fq(-n> П + Х> ар> bq> z)> D1)
гдеп - произвольное число, если р< q - 1 (необходимо также, чтобы
выполнялось неравенство |arg(l - z) \ < щ если р = q - 1), и п -
положительное целое число, если р > q. Тогда
z(u-vz)dEn(z,\)/dz=^{Pm(n, A) + zQm(n,A)}Fn_m(z,A), D2)
где
v = 1, если р + 1 > q; v = 0, если р + 1 < q;
и = 0, если f? + 1 > q; и = 1, если р + 1 < q; D3)
? =тах(р + 1, <?)
и не существует такого уравнения, имеющего порядок меньше, чем t,
если не выполняется ни одно из соотношений ak = Ь- при h = 1,2,...,р;
j = 1, 2,..., q. Функции Рт{п, Л) и Qm(n, Л) определяются единственным
образом и
Рт{п, V = ?[(-1)т+1" + И)'+1/*!]
т (-m)s(n-s)(n-s-1 +fe9)
х 2 п \ , ти > и;
s=o (m+s-2n-X)t_1_m
р^л)=^-(?^^
Q>>) - <Ш-1)т" + И)т/(т - 1)!]
т-1 A -m)s(n-s-l+aj
х2 ; —-^, т> О;
s=o (т + s + 1 - In - A)t
Qm(n, A) = -iw, т= 0;
г: _ Bт
Г(гг + А)Г(п + 1 - т)
D4)
> = Bт - 2гс - А)Г(п + 1)Г(п - тп + А) ,--*
Замечание. Если в D1) положить ? + 1 = д и z = 1, мы получаем
рекуррентную формулу для функции Fn(l, Л), имеющую порядок t =q,
что на единицу меньше порядка уравнения A1), когда г = р, s = # + 1
и bh = 1 для h = <? + 1.
Предлагаемая ниже (и последняя в этом пункте) теорема была
сформулирована Цаем A970).

258 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-Функция
Теорема 3. Для произвольного п пусть
п , * 2"Г^)^ М|1-ар,д/2+1,я/2 + 1/2
и( ,_ Г(ар) Gf,+2'9+1 Vz»|0.1-b,
Bz)n
= Ппч-1) P+2F^(-n/2' ^ - п/2> V Ь^; -1/z2),
D6)
где
q > р + 1 ЛИ#0 q ~р + 1 U | arg A + l/z2) I < 77. D7)
Если п - положительное целое число, эта гипергеометрическая
функция превращается в многочлен, и можно опустить ограничения,
наложенные нар, q и z. Тогда
W
B0Gn(z) + 2 DтB2Г-2 + BmBz)m)Gn_m{z) = О,
m=l
D8)
D9)
w = max(p + 2, # + 1),
где
^ _(rc-m+2ap) /2-m, n +1-m + 2ap I N
m" 2*(m-2)! *+1^\п-т + 2ар 'у
(n - m - 2 + 2&^+1) /_m^n_m_l +
Далее, если не выполняется ни одно из соотношений ai = b., i = 1,2,...,р;
; = 1, 2,..., #, «го функция Gn(z) не удовлетворяет нетривиальной
рекуррентной формуле такого же вида, но порядка меньшего, чем w.
Замечание. Если р = 0 и q = 1, функция D), по существу, если
учесть 113.1C) и 6.4C), является функцией Якоби. Цай A970) дает
формулы для Ат и Вт , имеющие сходство с формулами B3)
и B5).
5.13.3. РЕКУРРЕНТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ ЧИСЛИТЕЛЯ
И ЗНАМЕНАТЕЛЯ В РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ
ОБОБЩЕННОЙ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
В этом пункте мы даем рекуррентные формулы для многочленов,
входящих в рациональные приближения функции pFq{z),
рассмотренные нами в п. 5.12. Следующая теорема представляет эти результаты
в удобном для приложений виде.
Теорема. Пусть

5.13. Рекуррентные формулы 259
Щг) = pFa(*v ; Ря ; z),
В М- F (~п' « + А, />, - в, с/ , 1 I 1\
*АУ) - «WW+i \ р + lf ap + j _ й> dg \~)>
A(zy)= Г -я(я + АХр, - 1) g/¦¦«
xl
y(P + l)apdg
(a - w)t(w + A + аМ«Л(с/ + a)*kzMk
0 + 1 + а),К + l)*(rf, + «)**!
P /-» + a + &, и + A + в + fc, p, + A, c,+ а + k, 1 I h
в+/+3 P+s+1l /J+l+«+*,«,+l+M,+«+* I/
a)
шя что An(z,y)/Bn(y) является по меньшей мере формальным
приближением к функции H{z).
Пусть t, Km и Lm определяются формулами D) (см. стр. 260)-
Тогда
У (к 4- -L U м = %-fl)№- l)(» + *)n
iiV m У т> n'mW (n+p)(n + *P-a)(n + dg-\)(n+\-t)n,
B)
? (Кт + l-Lm) фп_т(*> у) = \- Пфя~ 0 Г НИ - 1) «J*-
m-o v У ' L У J
Bп + А - р^Дп + А + а — О
Х (п + Р)(п + <хр- а)(п + dg-\) Г(п + А)
;)•
C)
-у f /а — п, и + Л -f- л — <, с, + а I ?\
х,+2^ p + a>dg + a_{ \у)-
Разностные уравнения B) и C) 6г/3рг однородными, если
]8(ap-a)(<*g-l) = 0 к [c^-ljF-O
соответственно. В частном случае y = z, А = а + j8 + 1 уравнение C)
fo/dew однородным, если f - g = 0 и гяли а + 2 + а - ? #сш> отрицате.
нов целое число или нуль.
Следствие. Если fi = Q, f = g=Quy = z, то функции Bn{z) и
Aniz> z) Удовлетворяют одному и тому же однородному разностному
уравнению при условии, что г есть отрицательное целое число или
нуль и имеют место следующие соотношения:
г -q - а - а, если р4 0. + 1*
г = р - а - а- I, если р> q + 1.

* = max(q+f+2,p+g + 1),
= (я + 1 - от)гоBя + A - 2отJт(я - от + Р)(п — т + а„ — а)(п — т + dg — I)
от! (я + А - от)тBя + А - t - m)Jn + |8)(я + «„ - а)(я + 4, - 1)
„ /—от, 2я+А — t — от, я— от + /J + 1, я — от + <х„ + 1 — а, п — т + d„\ \
X .>Wwf-w [ 2я + А + 1 - 2от, я - от + ]8, я - от + «„ - а, я - от + rf„ - 1 |, 7
= (-1)"+"+'(я + 1 - я»)гоBя + А - 2от)Bя + А - t + \)t-i(n + А - t - /3)(я + А - t - «, + а)(п + А - < + 1 - d„)
{t - от)! (я + А - от)тоBя + А - t - от)т(я +0)(я + «, - а)(я + rf„ - 1)
/—« + от, 2я + А-*-от, я +A-t + l-/3, я+А-< + 1-ар + а, я+А-<+2-^|\
x»WWwl 2« + A + l-«,e + A-*-j8,fi + A-*-«J, + e,« + A-* + l-d; I /' D)
Lm =
(я + 1 — я»)тBя + А — 2отJт(я — от + ря — л)(я — m+Cf)
(от - 1)! (я + А - от)тBя + А - t - от + 1)т_1(я + Д)(я + «, - а)(я + 4,-1)
/1— от, 2и+А — t — от + 1, я — от+1+/»в — я, я — от + 1 + <7 I , \
х ,+/+ггс+/+1 ^ 2я + А + 1 - 2от, я - от + р, - в, я - от + с, I 7
(-1)«+'(я + 1 - т)тBп + А - 2от)Bя + А - t + l)t_i(ff + A - t + 1 - р„ + а)(я + А - t + 1 - с,)
(t-m- 1)! (я + А - от)тBя + А - t - от + 1)т_х(я + ?)(я + «, - «)(я + d, - 1)
/_< + от + 1,2я + А-<-от + 1,я + А-« + 2-/о, + в,я + А-« + 2-<г/|л
х я+мгя+м у 2п + А + I - t,n + \ - t + I - Pq + а,п + А - t + I - с, I 7*

5.13. Рекуррентные формулы 261
Замечание 1. Заметим, что функция f+2F+1 в правой части
разностного уравнения C) является обобщенным многочленом Якоби и,
следовательно, может быть получена в результате применения
рекуррентной формулы, установленной в п. 5.12.3.
Замечание 2. Если а = 0 и f$(dg - 1) = 0, уравнение C)
записывается более компактно:
V (К +Ь \а (*„\- "(*/у)Bи + А - t)tr(n + А + 1 - t) ocpcf
h \ m У m> AM**'y' " (п + fS)(n + ocp)(n + dg-l) Г(п + Л)
/1 — я, л + Л + 1 — *, с, + 1, 1 I *\
X/+3i7+2l j8 + l,rf,,2 1уГ
E)
Замечание 3. Если в #п(у) [см. A)], параметр числителя с и
параметр знаменателя d совпадают, то уравнения B) и C), вообще говоря,
упростятся только тогда, когда с =d = n + \ + l-t. Если же с =
=* d(^ п + Л + 1 - О* уравнения B) и C) хотя и будут все еше
оставаться в силе, но не будут уже теми необходимыми нам наиболее
короткими рекуррентными формулами.
Замечание 4. Чтобы получить конфлюентные формы последней
теоремы и ее следствия, нужно у заменить на у Л и устремить Л -» «>.
Замечание 5. Имеется еще один способ вычисления функции An{z, у).
Для этого рассмотрим третье выражение 5.12F). Пусть
^.*(у) = г+3*Ц ^ + л |-j-
Тогда
l/ м-U (-я + А-1+^)(п + л + а-1+^Ж-1 +Л)
Vn,n_a(y) = 1. F)
5.13.4. РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
В РАЗЛОЖЕНИИ G-ФУНКЦИИ В РЯД
ПО ОБОБЩЕННЫМ МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ
На основании формулы разложения 5.10.1A) достаточно рассмотреть
V{n,z,\) = GZlM(z\ J^_A)> 0<т<?, 0<*</> + 1. A)

262 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Из 5.7.2A) вытекает, что V(n, z, Л) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
^y+i-jc-m^s + ! _ Up+i) _ (8 _ п)(а + п+ Х)(8 - bQ)] V(z) = 0,
8 = zd/dz. B)
На основании анализа, проведенного в п. 5.13.3, видно, что функция
V(n, z, X) и те G-функции, которые составляют соответствующим
образом нормированный относительно п базис решений уравнения B) в
окрестности его особых точек z = 0 и z = °o, удовлетворяют одному
и тому же разностному уравнению. Необходимо, чтобы выполнялись
следующие условия:
(а( - ЪЛ не есть положительное целое число, i = 1,2,...,?,
/= 1, 2,..,,77Z, C)
bh = п, если h = q + 1, и bh=-n - Л, если /г = # + 2.
Имеет место
Теорема. Stfjm выполняются условия C), функция V(n, z, Л) «/доб-
летворяет разностному уравнению
? (Яг(я, Л) + *-i/r(n, Л)) Fn+r(s) = О,
1, /o(M) = /((n,A) = 0, t = rmx(q + 2,p + \), D)
(-1)Ч2п+Л + 2г)Bи+Л)г
Bи + А) г!
/-г,2я+А + г,я + 2-й„+1| \ ..
(-1)^р+1Bя + А + Щя + А + г - 1 + ау+1)
(t - г)! Bя + Л + ОХ» + 1 - ар+1)
X *«f ,** ^2« + А + 2г + 1, и + А + г - 1 + а,+11 V' W
Я0(я,А) =
где
Я,(и,А) =

5.13. Рекуррентные формулы 263
г, ,, (-1)^1+*-,пBя + А + 2г)Bя + Л + 1)г(я + 1 - Ц
ДЯ'Л) ~ (г-1I(» + 1—«)
v F Л-г,2п + Х+г + 1,н + 2—Ь,\ \
(-1)г+а+Р+1+«=-тBи + Л + г)Bя + Л + !)<(» + А + г + 6,)
(* - 1 - г)! Bя + А + г)г(п + 1 - а^)
Х0+2^,+1^ 2я+А + 2г + 1,я+А + г + *€ ! Г W
Более того, приведенная выше функция A) не удовлетворяет
нетривиальному уравнению вида D), имеющему порядок меньший, чем t, при
условии, что не выполняется ни одно из соотношений а{ = Ъг, i =
= 1, 2,..., р + 1, / =1, 2,..., д.
Замечание 1. Если взять m = q + 2, функция A) будет также
удовлетворять уравнению D); если взять т = q + 1, то функция A),
умноженная на е'Фя, е'Ф = -1, будет также удовлетворять уравнению D).
Замечание 2. Базис решений уравнения B) в окрестности особых
точек z = 0 и z = «о можно легко получить на основании анализа,
проведенного в п. 5.7.2. Так, если р > q + 1, функции
е'*" <Ж+2 (* exp[-f4m + *-*)] | я> bg ""„ _ д)'
«*" сйгг+t (* exp[-«K«+* - »] | _„ _!"^ t J. е<ф = -1.
СЙ&« (* exp[-UKm + *-*)] L ft ft f 6 я -я - а)'
* = 1,2,...,?, (9)
С5ЙГ« (* «ф[М2г + m + *-/>- 1)] | ^ ^ _ Л)'
г = 1,2,...,/) — q — 1,
удовлетворяют уравнению B). Эти функции удовлетворяют также урав-

264 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
нению D). Подобным же образом при q + 1 > р функции
„+1.^+2 [* ехр[*тг(? — m — k + 1)J I ft n__n_\ у
r = l,2,...,p + l,
A0)
Gl++\'°Q+2 (z ехр[-йгBА +m + k-q)]\b^ na^n _ J,
h = 1,2,...,? + 1 — />,
удовлетворяют как уравнению B), так и уравнению D). Более того,
описанные базисы решений уравнения B) линейно независимы как
функции от п.
Замечание 3. Если условия на параметры в соотношении A) не
выполняются, в результате чего некоторые решения, рассматриваемые
в п. 5.7.2, становятся зависимыми, тр решения можно найти с помощью
предельных переходов. Найденные таким способом решения,
соответствующим образом нормированные, также удовлетворяют уравнению D).
Замечание 4. Между рекуррентными формулами для обобщенной
функции Якоби и для функции V(n, z, А) имеется тесная связь. Чтобы
понять это, следует заметить, что
/(-я, -.-\ -Л) = Г(Я)Г(,ГИ%ГЫ <Ж+3 (. | аг ^ _ J, A1)
и если не учитывать множителей, являющихся отношением
гамма-функций, правую часть соотношения A1) можно было бы, произведя простую
замену условных обозначений, привести к виду A).
Замечание 5. Рекуррентная формула для функции
y^z) = G^lQ+1(z\l^ A2)
и для функций, удовлетворяющих тому же дифференциальному
уравнению, что и F(n, z), в окрестности особых точек z = 0 и z = °о, вытекает
из D) с помошью принципа конфлюентности.
Замечание 6. Если мы оперируем с коэффициентами разложения
функции UFV в ряд по обобщенным многочленам Якоби, то на основании
5.10.2E) достаточно проанализировать функцию
^/ чч (ap+i>nzn ^ (ap+i+n \\ /1Qv

5.13. Рекуррентные формулы 265
где р < q либо р = q + 1 и | arg A - z) | < 7г.
Когда гг - положительное целое число, имеем
niz'X)= П^Й G^Kz\nA-bq,-n-xh
A4)
и если не учитывать множителя, это первая G-функция, которую мы
привели в замечании 2 при & = р +1 и m = 0.
Для приложений удобно иметь функции, которые удовлетворяли бы
тому же дифференциальному уравнению и тому же разностному
уравнению, которым удовлетворяет функция Cn(z, Л). Когда р< q либо
р = q + 1 и | arg A - z) | < 77, такими функциями будут
Р«(.,Л) = B«+А)Г(„ + А)^
Щ - bh - п) Г(п + Л + 2 - 6ft) п! Д1 + К - Ь„)
1 + av+l — bh
X F ( l+aP+1-bh l \
X»+1*°+1\l+bg-bZy2-bh-n,n + \ + 2-bh\ZJ'
h=l,2,...,q, A5)
n(,X\- Bn + А) Г(п + Л)(аа,+1)_„_ля-"-А
Qn(z,A}- Д1 _ 2„ _ A)(be)__»!
x „+Л+1 F „"!! Л i _ л _ 2й I *)¦ <16)
В A3), A5) и A6) предполагаем, что все параметры таковы, что эти
функции имеют смысл. Как функции от z и п эти решения линейно
независимы при условии, что ни одно из чисел А + 1 + 2n, bh + n, h =
= 1,2,..., q, не является целым числом или нулем и что среди этих
чисел нет двух таких, которые отличались бы друг от друга на целое
число или нуль. Если А = 0, а п — положительное целое число, Qn(z, Л) =
= Q,(z, А). В этом случае линейно независимое решение можно
определить с помощью формулы
q*(*) = lim С.(»,А)-<Ц»,А) _ A?)
А—»-о 2 А

266 Гп. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
Таким образом,
«Л*> = шШ I (Ъ ^ъ?г\ Jfel i**»-*(*» + 1 +*)-*(! +*)
(&c)nBn)! ?j (^ + n)fcBn + l)fc«! (
+ X ««» + « + A) - I ДО» + « + *)
(,l)n(P+q+i)A _ 6q)nBn - 1)! у К+1 - n)^ .
(i - *„+i)n*n & (*« - «mi - 2*)**! • l o;
Подобным же образом во всех случаях, где параметры таковы, что
решения сливаются, независимые решения можно построить, следуя
способу, представленному в 5.3.1G - 10).
Приведенные результаты продемонстрируем на примерах.
Рассмотрим функцию
n( ' > ~ Шп + \)nn\ 4М Ъ, + ntb2 + я,Л + 1 + 2п \*)> {™>
которая удовлетворяет уравнению
X [?m(n, Л) + arVJii, Л)] Ся+т(*, Л) = О,
?0(я, А) = 1, F0(n, A) = F4(n, А) = 0, B0)
где
Bя + А)(я + 1) г Bя + А + IX» + * + 1I
^"'Л) - (я~+А) L ~~ Bя+А + 5)(я + «) J'
?2(„>А)=BИ + Л^И + 1^
2(я + АJ
Г, _ 2Bя + А + 2)(и + Д + 1) , Bи + А + 2J(я + а + 2)
L1 Bп+А + 5)(я + а) + Bя + А + 5J(я + а)
Bя + АK(я + 1)з(« + А + 3 - а)
Е3(п, А) - (я + Л)зBя + д + 5)г(п + а)
х ,, Bя + А + 3)(я + А + 4 - а)
г (/я + А + i)[n + л + 4 - а)л
L Bя+А + 7)(я+А + 3 -а)У
п
?4(я,А) =
Fx(n,X) =
B„+A + 7)(n+A + 3-a)J' B1)
Bя + АL(п + 1L(я + А + 4 - а)
(я + АLBя + А + 5L(п + а)
Bя + АJ(я + 1)(н + Ь)
(я + А)(я + а)

5.13. Рекуррентные формулы 267
F(« \\ Bи + Х^п + 1^и + b) U B" + А + 3)(и + 6 + 1I
*Ап,л) (и+ЛJ(и + й) [* B„ + А + 5)(и + *) Г
v. «_ Bя+АL(я+1K(я+А + 4-6)
3V- <v (я + А)зBи + л + 5)г(я + в) •
Здесь п + а — сокращенная запись для (n + a1)(n + a2Mn + аз)(п + а4)»
я + Ь - сокращенная запись для (п + ЬМп + Ь^ и тд.
Подобным же образом функция
^ Л) - Ш» + А)пп! Л I 6 + „, Л + 1 + 2» Г) B2)
удовлетворяет уравнению
X [Gm(n, А) + ar^Un, A)] Dn+Jz, А) = О,
7П=0
G0(n, А) = 1, Я0(я, А) = Я3(я, А) = 0, B3)
где
B» + А)(» + 1) г Bя + А + 1)(я + а + 1I
°1(И' ,_ (я + А) I1 Bя + А + 4)(я + а) J'
г /я Лч = Bя + АK(я + !),(« + А + 3 - д)
^я, ; (п + АJBя + А + 4J(я + «)
г Bя + А + 5)(я + А + 2 - ah
1 Bя + А + 2)(я+А + 3-а)Г
г , л. _ Bя + АK(я + 1K(я + А + 3 - а) /24)
°Л». '- („ + АKBя + А + 4K(п + а) '
„ . л, _ Bя + АJ(я + 1)(я + Ъ)
Н*П'Х)- (»+А)(я + в) '
„ („ Лч = _ Bя + АK(я + 1J(я + А + 3 - Ь)
И*П' > (я + АJBя + А + 4)(я + а) '
Уравнения B2 — 24) можно получить непосредственно из A9 — 21),
если положить а4 = Ь = га + Л + 4. Рекуррентная формула, имеющая так-

268 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция ^q и G-функщя
же три члена, для функции
(a )nz /аЛ + п, а<у + п\ \
*"=Ф-М Л+.+2„1г) <25>
следует из B2 - 24), если положить а3 =Ь = п + Л + 3.
5.14. Неравенства
Более подробно о получении следующих ниже неравенств, их
обобщении и возможном улучшении см. в работе Люка A972а). Другие
неравенства, здесь не рассматриваемые, можно найти в работах, ссыжи
на которые мы давали в п. 5.1.
В этом пункте используются условные обозначения, принятые
нами при анализе функции pFq и G-функции. Пусть также
д ОСр OLv + 1 OLp + 2 m
Pz> />d + 1 Р* + 2
Напомним, что
Р
Ф = .П (а. * 1)/(р . * 1) B)
j=l «/ «/
В теоремах 1—8 неравенства становятся равенствами, если z -»0
или если какой-либо из параметров числителя стремится к 0.
Неравенства, представленные в теоремах 9 - 12, становятся равенствами,
если z -> оо, а также при некоторых значениях параметров, так,
например, когда а-» 0 в A7).
Теорема 1.
11+ °0z]-*<MFJa'"9\-z)
(а + 1)<р "•" (а + 1)9 L1 ^ 2 J '
z >0, 0 < а < 1, р,>ач> 0, j = 1, 2,...,р;
Теорема 2.
1-c(a+1) + c(fl+l)[1+ c+1 J <»+>F™{ c,Pp \-Z)
9? <р L ел
z>0, 0<с<а, р, >а,>0, 7=1,2,...,/?. D)

5.7 4. Неравенства 269
Теорема 3.
a a L ff+1 J Vex, pP I /
<p cp l a a
z > 0, a > 0, pj ^ a, > 0, 7=1,2,..., p. E)
Теорема 4.
B - a)- [1 + 0z]- - 4?l + %=& [1 - {1 + (a - D^z}-]
z>0, 1<ct<2, p,>a;. >0, y=l,2,...,/7. F)
Теорема 5.
1 " (afifc; " " t1 + <* + ^"Ч < -Л (%* | -*)
<r 1 - g6>z _ 2^+ О Ti _ Si л- (<7 + 2)flz rh
<r + 2 (C7 + 2J L1 Г + 2 I J'
z>0, -l<a<0, Pj^cxj>09 7=1,2,...,/?. G)
Теорема 6.
l
2св 2a9 г, ((т+ O^zi-1
+ ijf^[' + j?TffiL] <.*(?H
(a+1)9 ' (a+l)9L ' 2 J ^+15lpp
3a(G+ lH(pz 9G(<j+ lH<p
< 1 - adz +
2(a + 2)V 2(cr + 2) V
(a + 2)t?z \^1
X[,_A + J-^IL)-],
z>0, -1<с7<0, р,^<х,>0, 7= 1,2,..., p. (8)
Теорема 7.
(l + fc)- < mf9 (a> °4 -z) < i - e + 0(i + z)-
z > 0, a > 0, p, > a, > 0, 7=1,2,..., /?; (9)

270 Гл. 5. Обобщенная гипергеометрическая функция pFq и G-функция
A - fc)- < ,+1Fp (*' °Ч z) < 1 - в + 9A - z)-
V pv I /
<Z<1, C7 >0,
l-^(l--f)z-2A+z)o+1
P*>
0<z<1, o->0, pj>ocj>0, 7= 1,2,...,/?; A0)
<70<pz
/G, 0LV I _ \ _ ofe
< *+!*, \ ^ I z) < A + (9,z/2))o+i'
z>0, ct>0, pi><*i>09 7=1,2,...,/?; A1)
! , <tOz /or, ap I \
+ A - (<pz/2)r^ < *+Л \ Рр Г/
0<z<l, а>0, р$>(*,>0, 7=1,2,...,/?. A2)
Теорема 8.
е-** < VFV (*» | -z) < 1 - 6» + fcr", A3)
*02 < Л (°4 z) < 1 - 0 + &>*, A4)
\pp I /
1 - 9z (l - |- + -J e-«) < PFP (a* | -z) < 1 - fee—/2, A5)
1 + 9ze»*/* < VFV ("» | z) < 1 + 6z (l - |- + -Je*),
z > 0, />, ^ a, > 0, 7=1, 2,..., p. A6)
Теорема 9.
Q-gfl Л/>Р) ^+2,1 / I l,p„ \
z + <7€0 ^ Г(а)Д€) Г(а„) Р+1-Р+2 V I a, e, a J
<1 «?
z + [(a + 1)(€ + lfc/2]'
z>0, 0<<т<1, €>0, pi>oLS>09 7 = 1,2,...,/?. A7)

5.14. Неравенства 271
eadjc
z+[e(a+lH/(c + l)]
tad/c
Теорема 10.
< Г(е)Па)Г(ссР) 0"+2^3 lZ I €, 1, a, J
< l ~ Z + [(€ + lHC<p/c]
z>0, 0<c<a, €>0, />,^а,>0, у = 1,2,...,/?; A8)
1" 72^)[z + «** + ^%^Гtz + (€ + 1)(a - 1)<pl_1
< Д«) Да) Да,) °'+1-'+i \Z I e; a, «J
. , ca(a — 1H г еаа] eaa ,_,
<1+ B-a) [Z + T-J --С2-=^[г + (€+ад '
Z>0, 1<ст<2, €>0, Pl^a,>Q, y=l,2 />; A9)
Теорема 11.
Де) Да) °12 la I e, J < Г(е) Г(о) Дог,) °»+1"+2 V I e, a, J
z>0, a>0, e>0, p, >«,>(), y= l,2,...,/>; B0)
€aa(l - q>/2) a^
1 -
aJCj:i(ZL + l,a+l)
<
z 2Д*) Д
^V*>) rv+2.l (,\ l.Pp \
Д6)Да)Д«р)°*+1-'+М4|«,а,«„/
)T(a)z "V 2 le+ 1,<
z > 0, a > 0, € > 0, Pj ^ a, > 0, у = 1, 2,..., p. B1)
< ' ~ Де)Да)гС^ (~2~ I e + 1, a + l)'

Глава 6 Гипергеометрическая
функция Гаусса 2F j
6.1. Введение
В этой главе мы исследуем в основном только такие
свойства функции 2FV которые не являются следствием свойств функций,
рассмотренных в гл.5.
Ссылки на работы, связанные с рассматриваемыми здесь
вопросами, можно найти в п. 5.1. В указанных работах, за исключением
работы Ранкела A971), дается исключительно мало информации
относительно нулей функции Fx общего вида. Дёринг A966а) дает
представление для нулей функции w = f (z), когда a (z) w" + Ь (z) w' +
+ с (z) w = 0.
6.2. Элементарные свойства
6.2.1. ПРОИЗВОДНЫЕ
?И1-.>«~ л (VI-)]
-(»- + D^Af-y+-1^.+ ,|.). A)
?^-'у^ма+;+п+я\')]
г (с)^-\ 1 - *)«+»-« 2Ft (*>* | ,). B)
?[*в-в+-1A-*гв-л(в^|*)]
= (с - a)nz<-*-\\ - »)«+•-«-« 2FX (а ~*> Ь | *). C)

6.2. Элементарные свойства 273
?[<i-r~A(Vl')l
-^--^-%-*)--<-«Л(Д*Я|«). E)
V а + 1 — я | /
F)
а не есть целое число < п.
<2" г 1
& И1 - *>•]
(я — s)! х \п — 5 + 11 /
s -целое число, s < п. G)
^H'-^-^MVHl
= (с - я)„*^-»( 1 - *>»-« 2fx (a;~_V14 (8)
?[(!-)— Л (VI')]
~ A! v\(v + ц)\ (м + Л)! dz>+» LA г) dz*1* 1ПA *'Ф
где каждое из чисел v, д, А может быть либо положительным целым
числом, либо нулем. Заметим, что правая часть формулы A0) дает
аналитическое продолжение функции 2F1; фигурирующей слева, во
всю комплексную плоскость, за исключением точек действительной
оси, удовлетворяющих условию 1 < z < <».
6.2.2. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ СМЕЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Шесть функций
2F1{a±\,b;c;z), .^(a, b ± 1, с; z), ^{a, b; с ± 1; z) (\)

274 Г п. б. Гипергеометрическая функция Гаусса 2?\
называются смежными относительно функции Fx (а, Ь; с; z).
Символы Ft («+) и 2Ft (а-) используются для обозначения функции 2Flf
когда а заменено наа+ 1ио- 1 соответственно и т«д« Гаусс доказал,
что между 2F1 и двумя смежными функциями имеется линейное
соотношение, коэффициенты которого линейны по z. Имеется 15
соотношений подобного рода, но только 4 из них действительно независимы, все
остальные соотношения можно получить либо исключением, либо на основа-
нии того факта, что функция 2FX симметрична по а и Ь. В силу
симметрии, достаточно записать только девять из этих пятнадцати
соотношений, а именно:
(с - а) 2/ч(я-) + Bа - с - az + bzJFx + a(z - 1JЛ(«+) = °- <2>
с(*-1)(*-1)Л('-)
+ с[с-\ -Bс-а-Ъ- 1)*] 2FX + (с- а)(с - *)*8^(<г+) = 0. C)
ф, + (Ь - c)z]2Fx - ас(\ - zJF1{a+) + (с - а)(с - b)zF(c+) = 0. D)
<*!-*J^1 ~ сЛ(«~) + (' - *)*2^+) = °- E)
(Ь - a) 2F, + а ,Л(л+) - 6 3^F+) = 0. F)
(с-a- b)tFx + аA - *),Fi(a+) - (' ~ *)F(*-) = 0. G)
(с - л - 1JFX + e^fl+l -(с- 1),Л(?:-) = 0. (8)
F - а)A - *Ji4 - (с - aJFx{a-) + (с - 6)^F-) = 0. (9)
[а - 1 + (Ь + 1 - c)z] 2Ft
+ (с- a)J?x{a-) -{с- 1)A - *)Л(<:-) = 0. A0)
Соотношение B) можно рассматривать как разностное уравнение
второго порядка по параметру а. Второе решение этого разностного
уравнения можно взять в виде
[ГA + а-с)/Г(а)] w29 (И)
где w2 дается формулой 6.3 F). Таким образом, два решения диффе-
ренциального уравнения 6.3A) также удовлетворяют одному и тому
же разностному уравнению* По аналогии второе решение уравнения
C) можно взять в виде
(Г (с - 1) Г A + а - с) Г A + Ъ - с)/Г A - с)) и, A2)

6.3. Дифференциальные уравнения 275
2Fi(a + b + l_c
6.2.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Л (%" | *) = nc-a^a) fr{l ~ t)C"(l - Zt)~b Л'
R(c) > R(a) > 0, | arg(l - *)| < ir. A)
Рад слева сходится, если | z | < 1: интеграл справа сходится и
является аналитической функцией, если jarg A - z) \ < п< Следовательно,
этот интеграл дает аналитическое продолжение функции Fu Для
аналитически продолженной функции будем использовать те же
условные обозначения, что и для ряда* Имеем также
л (V | *) = тщЬг) Г. ta-1(l + t)b'v +' - zt)'b dt<
R(c) > R(a) > 0, | arg(l - z)\ < „, B)
ИЛИ
"¦'.-.I'-)
Д(я)>0, R(b + \-c)>0, |arg^|<77. C)
6.3. Дифференциальные уравнения
Единственное дифференциальное уравнение второго порядка с
тремя изолированными регулярными особыми точками z = О, 1 и «>
можно записать в виде
|>A - *) D2 + {с - (а + Ь + 1) z} D - аЪ] w = О, D = d/dz A)
или
[8(8 + c-l)-z(S + a)(8 +b)]w = Oy 8 = zD. B)
Интегрируя B), получаем
[(в + с - 1) - z(§ + b)- z(a ~l)]w-(a- l)(b - 1) С w(t)dt = с - 1
C)
и, таким образом, если Ъ = 1, м;удовлетворяет неоднородному
дифференциальному уравнению первого порядка
[($ + с - 1) - *(8 + 1) - z{a - 1)] я; = с - 1. D)

276 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2р
Линейно-независимые решения уравнения A) в окрестности
начала координат пропорциональны
wi = 2Fi(a> b; с; z), E)
и
w2 = ^^A + a - с, 1 + Ь - с; 2 - с; *), F)
при условии, что с не есть ни целое число, ни нуль.
Ясно, что следует дать более подробное определение решений уров-
нения A), когда с является целым числом либо нулем. Прежде всего
заметим, что w t — многочлен степени m, m — положительное целое
число или нуль, если либо a = - т, либо Ь = - т. Поскольку w1
симметрично по параметрам а и Ъ и если по ходу нашего анализа один из
этих параметров будет детализироваться, будем считать, что это
параметр a. Если a = - туг, ас — отрицательное число, т + с < 1,
тогда решение уравнения A) имеет вид
Г(а Ъ- е- z) - У {a)k{b)kZk - V iz^MML
(s-l- m)\ (b)mz«
Mr-'LZIH. m
(s - 1)!
с = 1 - s, s - положительное целое число, т < s,
и это решение линейно-независимо с w2o Подобным же образом, если а
и с — положительные целые числа, а < с, то
^-с/A + а - с, 1 + 6 - с; 2 - с; z)
_я у (ш - s)k(b - *)^*
ir0 (i-0**i
(м- 1)Щ/3-ю)*-™ / iff - s, m I \ (8v
(s - 1)! Г{Ь-з) 2 x VI + m
где а = 77i есть положительное целое число, с = 1 + s, s —
положительное целое число либо нуль, т < s + 1, является корректно
определенным решением уравнения A), независимым от w^ В G) и (8)
обозначение 2Fj применяется только в том случае, когда 1 - ттг - & и 1ч- ттг—Ь
соответственно не являются отрицательными целыми числами*
Если а = с, то wx (z) = A - z) - ь9 и второе решение дается
соотношением F) при условии, что а не есть положительное целое число.

6.3. Дифференциальные уравнения 277
Если а= с, можно показать, что решением уравнения A) является
и = A - e)(l - *)-* f t-%\ - if-* dt. (9)
В частности, если величины т и п — положительные целые числа либо
нули, а константой интегрирования в (9) можно пренебречь, то
U = ^-п-1(Х — Z)-1 У Ц г^ Г ,
с = а = п + 2, Ь = п — тя + 1, п ^ т, A0)
. = A -,)(!-,)— I k^[m +C-iT-^C-iL'
с = a = m, b = m + n + \. A1)
Если с - отрицательное целое число либо нуль, скажем с = -га, то шг не
определено. В этом случае решение можно взять пропорциональным
функции
lim -^ = ЩЩ^+^^т + в + 1, m + * + 1; w + 2; *).A2)
c^-m Г(с) \т + 1)!
И тем не менее оно пропорционально м; если с = - т.
Полное решение уравнения A) рассматривается в п. 6.6. В
следующем пункте даются решения уравнения A) в окрестности особых
точек z = 1иг = оо0
Дифференциальному уравнению
+ MJL+f-h' + uyh' - -^ -/-л-] + «б} ^ = о. A3)
где h = h (z), f = f (z) и у = у (z), удовлетворяет функция
y(z) = z-'e-^> 2FX f'b\ h(z)) . A4)

278 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fx
6.4. Решения Куммера и формулы преобразования
Ниже даны 24 решения дифференциального уравнения 6.3A),
полученные Куммером:
w\ = 2F\{.a^b\c\z) A)
= A - *)'-«-> JF^c -a, с- ft; с; z) B)
= A - z)~« 2/ч(я, с - ft; с; zj{z - 1)) C)
= A - z)~b ^(c - а, ft; с; */(* - 1)). D)
w2 = zx-c 2^A + a — c, 1 + b — c\ 2 — c\ z) E)
= z*-*(l - *)«—* 2^A - я, 1 - ft; 2 - c; z) F)
= ^"c(l - zy-*-1 2FXA +a-c,l-b;2-c; z/(z - 1)) G)
= zl~c{\ - z)c-b~l 2^i(l +b-cy\ -a;2-c; z/(z - 1)). (8)
«ъ = A(«> *;* + b + i -c; i - *) 0)
= я1"' 2Fx(a + l-<:,ft + l-c;a + ft + l-c;l-*) (Ю)
= z~a 2^(в, fl + 1— c;a + 6 + l— с;1- я) (Н)
= *~b 2^F, ft + l-c;a + ft + l-c;l- я-1). A2)
«,4 = A - *)*-«-* ^(с - л, с - ft; с + 1 - a - ft; 1 - z) A3)
= ^"c(l - z)c-a-b 2^i(l ~ «, 1 ~ b; с + 1 - a - ft; 1 - z) A4)
= za~c(l - z)c~a-b JF^c -a,l -a;c +1 -a-b;l - z-1) A5)
= zb~c(l - z)c-a~b 2Fx(c -bA ~b\c+\ -a-b\\ - я). A6)
wb = (*-V»)e JFfa a + l -c;a + l-b; я) A7)
= (z^e^y-^l - z)c'a-b 2^A - ft, с - ft; a + 1 - ft; z-1) A8)
= A - *)- ^(e, с - ft; a + 1 - ft; A - я)) A9)
= (z-h^y-^l - zy-1-* ^A - ft, a + 1 - c\ a + 1 - ft; A - я)).^)
W{J = (*-V*)* ^(ft, ft + 1 - c\ b + 1 - a; z-1) B1)
= (^-V-)c"a(l - zy-*~b 2^A - a, с - a; ft + 1 - a; z-1) B2)
= A - *)-& Л(*. с - e; ft + 1 - e; A - я)) B3)
= (z-le™y-\l - zy-1-** 2^A - a, ft + 1 - c; ft + 1 - a; A - я)). B4)

6.5. Аналитическое продолжение 279
Условия сходимости для указанных выше рядов можно вывести из
5.2.1C,4).
Пары C), D) и G), (8) представляют аналитическое продолжение
w1 и w2 соответственно из единичного круга с центром в начале
координат в полуплоскость R (z) < У2. Подобным же образом пары (И), A2) и
A5), A6) дают аналитическое продолжение w3 и w4 соответственно из
единичного круга с центром в точке z = 1 в полуплоскость R (z) > У2, а
пары A9), B0) и B3), B4) обеспечивают аналитическое продолжение
w5 и w6 соответственно из области, лежащей за пределами единичного
круга с центром в начале координат, в область, получающуюся от
пересечения этого круга с левой полуплоскостью.
Из решений Куммера следует, что если с не является ни целым
числом, ни нулем, то, как только хоть одно из чисел а, 6, с —а,с —Ь
будет целым числом или нулем, одно из фундаментальных решений
уравнения 6.3 A) будет состоять только из конечного числа членов.
Это же условие можно выразить иначе, сказав, что по меньшей мере
одно из восьми чисел ± (с - 1) ± (а - Ь) ± (а + Ь - с) есть нечетное
целое число. Такие решения называются вырожденными.
6.5. Аналитическое продолжение
Интеграл 6«2«3A) определяет однозначную аналитическую
функцию otzb области | arg A - z)|< 7г и, следовательно, служит для
аналитического продолжения гипергеометрического ряда функции 2FX
в эту область» Для удобства аналитическое продолжение рэда функции
2FX обозначим через 2Fl9 подразумевая, что рассматривается главная
ветвь этой аналитической функции, порожденная таким
гипергеометрическим рядом. Подобным же образом представление с помощью
интеграла Меллина — Варна (см. п. 5.3.1 и заключительный комментарий в
п. 5.2.3) служит для аналитического продолжения функции Ft в область
| arg (- z) | < тт.
Теперь предположим, что w1 и w2, ws и w4, ws и w6 (см. п. 6.4)
суть фундаментальные решения уравнения 6.3 A) в окрестности точек
z = 0, 1 и», Ясно, что все эти шесть функций не могут быть
независимыми, и любые три из них должны быть линейно зависимы.
Из этого факта вытекают двадцать соотношений. Пусть Dlt
D и D3 обозначают области |z| < 1, | 1 -г | < 1, | z \ > Ь Тогда
соотношения A) - D), E) - (8) и (9) - A2) дают связь между функциями в
областях Dx и D3, Dx и D2 и D2 и D3 соответственно. Мы опускаем здесь
восемь соотношений, содержащих по одной функции из каждой области.
Г(Ь-а)Г(с) Г(а-Ь)Г(с) ц)

280 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2f1
ЦЬ - а) Ц1-с)*-™ Г(а-Ь)ГB-с)е**"-«
Щ~ ГA-а)ГA+Ь-с) W& + Д1 -Ь)Ц1+а- с) ™* ' B)
= Д1 + а - Ь) Д1 - с) + Д1 + а - 6) Дс - 1) «"<-» C}
zn
'5
ГA - 6) ГA + а - с) J ^ Да) Дс - Ь)
»• = Щ-а)ГA+Ь-с)Wl + ЩЦс-а) "*' D)
Г(а + b + 1 - с) Д1 - с) Г(а + 6 + 1-с)Дс-1)
»з = Г(Ь +1 _с)Г(а +1 -С)Wi+ mm w*- E)
Цс+l-a-b) Д1 - с) , Дс + 1 - a - Ъ) Дс - 1)
»«= д1-а)Д1-й)—+ д7^)ДГ=1>) "*• F)
и;
Г{с-д-Ь)Г(с) Г{а + Ь-с)Г(с)
1 - Дс - а) Дс - 6) Щ + Да) Д6) *°4' {П
Дс-а-6)Д2-с) Г(а + 6-с)Д2-с)
'2 - Д1 - а) Д1 -Ь) ™3 + Да + 1 - с) Д6 + 1 - с) W* " W
= ГF - д) Г(д + b + 1 - с) е-™а Г(а - Ь) Г(а + Ь + I - с) е~
Г(\ + Ь - с) Г(Ь) ^ + ГA + а - с) Г(а) (д)
_ Г(Ь -а)Г(с +\-а-Ъ) ешь~с) Г(а - Ъ) Г(с + 1 - а - Ъ) е^а~с)
W* ~ ГA-а)Г(с-а) "• + ГA-Ь)Г(с-Ь) Jj j
_ Г(с-а-Ь)Г(\ +а-Ь)е1"а Г(а + b - с) Г(\ +а-Ь) еШс~Ь)
ГA - Ь) Г{с -Ь) ю» + ГA+в-,)Г(в) Jj j
_ Г(с-а-6)ГA +Ь-а)е*"ь Г(а + b - с) ГA + b - а) еШс~а)
ГA-а)Г(с-а) W* + Ц1+Ъ-сIЩ ? '
6.6. Полное решение и вронскианы
Теперь рассмотрим вопрос о получении полного решения
гипергеометрического уравнения 6.3 A) в окрестности ранее указанных
нами особых точек, Напомним, что величины wt и w2 либо не
являются независимыми, либо одна из них не определена, если с — целое
число или нуль, и ни одно из чисел о, Ь, с - а, с - Ъ не есть целое
число. То же самое можно сказать относительно пар w%> w4 и ws, w6.

6.6. Полное решение и вронскианы 281
если величины а+?+1-сиа+1-6 соответственно суть целые
числа или нули. В вырожденных случаях, когда какое-либо из чисел а, Ъ,
с — о, с — Ъ является целым числом, фундаментальные решения
можно выбрать из 24 решений, предложенных Куммером, см.
замечания, заключающие п0 6.4. Здесь мы рассмотрим разложения, которые
являютоя решениями уравнения 603 A), когда параметры знаменателей
функции 2Fl9 присутствующие в wv wv ..., w6, суть целые числа.
Так, например, рассмотрим разложения, удовлетворяющие уравнению
6.3 A) и не зависящие от w1$ когда с - положительное целое число
или нуль. Кроме того, автоматически дается аналитическое
продолжение этих решений. Рассматриваемые здесь решения, за исключением
нескольких вырожденных, содержат логарифмы и называются
логарифмическими решениями. В связи с этим вырожденные решения -
побочный результат логарифмических решений. Хотя основные результаты,
рассматриваемые в этом пункте , и являются частными случаями
соотношений 5.3.1 (8 - 10), с точки зрения их применения они
заслуживают рассмотрения при анализе функции /г
Чтобы упростить наш анализ, рассмотрим
-ГF0-а2)ГA+Й1-6г)^ > °2М 1+^-Л П
Г(Ь1-Ь0)ГA Ч-Дх-д,) ,„у1_,, F /I + «i - *!, 1 + «г " *i I \ .
0 <arg« <2tt. A)
Таким образом, подставляя в A) соответствующие значения из
следующей таблицы, мы получаем возможность представить любую из формул
6.5A-4).
V(z)
€iirlc-l)9V2
W6
Формула
6.5A)
6.5B)
6.5C)
6.5D)
z
z-le*ni
z-le*iri
Z
Z
°1
0
1 - с
a
b
a2
1 - с
0
b
a
К
1 - a
1 - a
1
1
*1
1 - b
1 -b
с
с
B)

282 Г/7. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2F
Подобным же образом соотношения 6.5 E — 8) получаются из формулы
\ 1 + Я! ~ Я 2 I /
Д60-Л)ГA +fli-fl2) p (I +<*i-b0ib1-a2 I \
|arg(l-*)| <тг. C)
с помощью таблицы
W(z) Формула z ax a2 b0 ь
w3 6.5E) 1 — z а с — b 1 с
A - z)a+b~cwA &.5F) 1 - г с - а 6 1 с
«>! 6.5G) z a l+a-cla + b+\— с
а 1 а + Ь + \ - с
D)
Правые части соотношений 6о 5 (9 - 10) и 6.5 A1 - 12) можно
выразить через функции W и V соответственно, поскольку
*+i- Л A + * ~+*- *_+^ - ** | 1 - ,) = ^(i _ ^-1) E)
*-*"/«i(*-V»)i+«i-*o A - *)i-*o 2^(! + ^i ~ *о . *i ~ «2 I ^-i\
" 1 + *1 — *2 I /
= К({1 - *} в»»*). F)
Кроме того, легко установить связь функции W(z) с функцией
V(\ __ z-1): поэтому достаточно было бы провести анализ, основанный
только на A) и B)о Тем не менее мы считаем целесообразным
выполнение анализа как для функции V (z), так и для функции W(z).
Пусть
(*е-*0"-»1>ГA + Д1 - а2)
УА*> Щ.-а^Щ+а.-Ъ»)
w У A + аг - Ц»A + а2 - &,М5 - 1 - k)\ (-1 )***
Х ^ k\
fc=0
(ягУ«)»оГA + Д1 - д2)A + ^ - ^^A + а2 ~ &i)s-i
М + Ь0 — ах , 1 + Ь0 — а2 I /

6.6. Полное решение и вронскианы 283
s - 1
Понятно, что если s = О, функция Vx (z) обращается в нуль, т0ев 2
к = о
равна нулю при s = 0. Это условие будет иметь силу и в дальнейшем»
Тогда
VM -Ш + (¦1ГН^')»->»>ГA+Д1-Да)
к(*) - ^lW + jf r{bQ _ ^ Д1 + ^ _ ^
X [[у + 1п(**-") + 0A + аг - Ь0) + 0FО ~ *а) ~ 0A + *)]
n/ /г Z1 + *i _ ^о > 1 + а2 - К \ Л
Х »М 1+s I )
, V 0 + «1 - *оМ1 + *2 ~ W
X @A + ах - Ь0 + Л) - 0A + *i - *0)
+ 0A + «2 - К + Ь) - 0A + а2 - Ь0)
-ф(\+5 + к)+ 0A + 5) - 0A + k) + 0(l))j , (8)
6 j = bQ + 5, 5 - положительное целое число либо нуль,
1 + о2 - Ь0 не есть ни отрицательное целое число, ни нуль,
1 + а2 _ Ь0 не есть ш целое число, ни нуль,
О < arg z < 2 п.
Теперь рассмотрим ограничения, наложенные на 1 + а - Ь0 и
1 + а _ Ь0 в A3). Если 1 + ах - bQ есть отрицательное целое число
или нуль, то Vx (z) = 0, и формула (8) принимает вид
V{.) = (-1№+/)'-Д1+^-а2) (^„)A_fto) F t-m, \+--*>.\я),
v у s\r(b0-a2) v ' 2 * \ 1 +s I /
(9)
1 + ах _ Ь0 = - щ т - положительное целое число или нуль, что
соответствует формуле AH
Если bQ _ а2 есть отрицательное целое число или нуль, в
результате подобных рассуждений получаем
х Л Г ' 1++Г ** I *) ¦ A0)

284 Г п. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2FX
(,-1)!ГA+а1-а2)(^")»-ь1»
lW (* - я>)! ГA + ах - ft0)
у (w - *)fc(l + Ог - Ц»»*
= (от ~ !)! Д1 + at - аг) Д«1 ~ Да) r2,-i„Vi-blJS-m
(, - m)\ Г(\ +a,- b0) ГA +a1-b1)( >
хл( "-'•" Н, (id
\w + о0 — ax I /
Ь _а=1 — /7i, /7i— положительное целое число,
О 2
и этот результат можно получить непосредственно из формулы A).
Теперь предположим, что bQ _ a2 есть положительное целое число.
Тогда
„., - к,,., ¦'-""' '--*>'-Т(и.,-,,
s! го! Г A+ Oj -bj)
X j[y + ln(*e-*-) + 0A + «x - ft0)
1 -
1+*
+ ф{\ + m) - ф{\ +,)] л (-"*•l+a; - b° I,)
, v (-«Ml +ai-fto)t«*
X @A + «!-?„+ A)-0A +а1-Ь0)+фA + m-ft)-0(l +т)
- «/.A + , + k) + 0A + 5) - 0A + ft) + 0A)) + (-)"«!
Д A -h «ж - &qM* - ж - 1I «* t
Jr., A + *)**! I
/c=m+l
A + ,)»*!
bx = b0 + s, 1 + ^2 - 60 = -m, 0 < arg # < 27Г, A2)
где /7i и s суть положительные целые числа либо нули. Заметим, что
последний бесконечный ряд в A2) можно выразить через функцию F2.
Таким образом, соотношение (Ц) справедливо без упомянутых
выше ограничений на 1 + ах - Ь0 и 1 + а2 - Ь0. Дело в том, что, когда
сняты эти ограничения, получаемое разложение свободно от логарифмов,
если величина bQ _ а2 не являетоя положительным целым числом.

6-6. Полное решение и вронскианы 285
Если о
! = Ь0 + v> а2 = Ъ0-,х-\-\кЬ1=Ь0-ц либо a1
Ьп +
+ v+ ц, а2 = Ь0 -Л - 1 и Ъ j = Ь0 + ц, где (I, v и Л принимают значения
целых положительных чисел или нуля, то логарифмическое решение
для функции V (z) можно записать в виде 6.2.1 A0). При bQ = a2 либо
Ъх = о2 см. 6.3 (9).
Для функции W (г) имеем
Щ*) =
A-*)-ГA+«!-*,)
ГF, - <г2) ГA + Й1 - 60)
v у (!+"!- Mfc(&o ~ «iM* - 1 - А)! (-1)*A - г)*
(-1)^^A + «1 - *2)A + *! ~ 61),_1F„ - Д^^
A - *№ - а2)ГA + а, - b0)(s - 1)!
W(z) = Щж) +
X ,F, (j
(-1)^ГA+Д1-а2)
тЫ-
A3)
*!Г(&0-а2)ГA +а1-Ь1)
X [[у + 1пA - z) + ^A + Й1 - 60) + ^х - а2) - ф(\ + s)]
X.F,
'¦(
1 + ах - Ь0 , Ъх - а2
1 +s
1-я
+ Z
A +a1-bQ)k{b1-a2)k{\-zf
X @A +^-^ + ^-0A +a1-^+^l-*2+*)-'A(*l-a2)
- 0A+ * + k) + 0A + *)-0A + k) + 0A))| , A4)
где 61 = b0 + s, s - положительное целое число либо нуль и ни 1 + а -
-Ь0, ни Ь1 — а2 не являются отрицательным целым числом или нулем, а
также | arg A - г) | < яг.
Если 1 + аг - Ь0 есть отрицательное целое число или нуль, то
непосредственно из C), снимая условие, что Ьг должно быть
положительным целым числом, имеем
-т, Ьг — а2
w г 1 \ 1 - т - аг \ ) (а2)т 2 г\ Ьг
Oj = - т, т— положительное целое число или нуль.
-)•
A5)

286 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2F
Если Ьх - а2 есть отрицательное целое число или нуль, опять по-^чаем
формулу A5), поскольку функция W(z) симметрична относительно параметров
ее числителяо
Теперь предположим, что bQ = Ьх + s, s - положительное целое
число или нуль0 Тогда функция W(z) дается правой частью формулы
A1), если в ней произвести взаимную замену bQ иЬ1У а затем
умножить всю правую часть на A - z)sa
Если ах = ^4- 1, а2 = - д - А и Ъх = v- Л + 1 либо если ах = i/+ д +
+ 1, а2 = -ХиЬ1==1/-л+ 1, где д, I/ и Л суть положительные целые
числа или нули, то логарифмическое решение также дается формулой
6.2.1 A0). ПриЬ0 = а2 либо Ь = 1+ аг см, 6.3 (9).
Соответствующие результаты для функций T(z) и U(z) следуют
из соотношений E) и FH Эти результаты, а также полную таблицу
решений уравнений 6.3 A) для вырожденных случаев см. в работе Люка
A969). Нёрлюнд A963) дает соотношения куммеровского типа для
логарифмических решений. См. также работу Люка A969).
Вронскианы
Пусть
wu = w(wi > wj) = wi(z) w'№ — wi(z) wj(*)> A6)
A = z~c(\ -z)c~a-b-K A7)
Тогда
Г{а)Г(Ь)
A8)
Цс-а)Цс-Ь) "' S Ца)Це-Ь) \щ
Г(а + Ь + 1-с)ГB-с) Г(с+1-а-Ь)ГB-с)
Г(а + 1-с)Г(Ь + 1-с) ' 24 ГA-а)ГA-Ь) '
^=-ЯтаГТ^7)* "'«--С — »)* »)
Да + ^ + 1 - с) Д 1 + а - Ъ) е'""-"'
Г(а + 1 - с) Да)
Wu = l* + °^r.C\V7„I > А, B1)
И. Г(с+1-а-Ь)ГA+а-Ь)е<™ .
^45~ Д1 - Ь) Г(с - Ъ) Л' КШ

6.8. Функция 2Fi ПРИ частных значениях аргумента 287
W56 = (b - а) ё"«А. B3)
Для того чтобы получить Wfr при i = 1, 2, 3, 4, выполняем взаимную
замену а и Ь в Wis .
6.7. Квадратичные преобразования
2^B*, 2* - с + 1; с; *) = A + *)а 8FX (в, а + -|; г; ^J) , A)
ЛBв, 2* - г + 1; с; яг) = A - z)~*« 2FX (а, с - a - *; с; - ^ ) , B)
Л(в> a + J(l - г); \{с + 1); *2) = A + *)-*Л (а, ^; с; ^ ) , C)
ЛBв, 26; а + Ъ + 1; яг) = 2^(а, Ь; а + Ь + J; 4*A - я)), D)
2^Bа - 1, 26 - 1; я + Ь - i; z) = A - 2*J/^(а, 6; а + Ъ - ?; 4*A - *)),
E)
2^(а, 1 - а; с; z) = A - *)^/# ~ в), *(* + * ~ 1); '5 4*A - яг)), F)
Л(в> 6; 2а; яг) = (jyyf Л (м + *-*;« + i; (j^y)*) >
у = A - ягI/», G)
2*\(а, 6; 2а; 2яг) = A - *)-ьЛ (&, \{Ъ + 1); а + J; (у^-)') -
(8)
Выписанные формулы справедливы в окрестности точки z = 0 при
условии A - zM > 0, когда Ъ - действительное число, а 2 < 1. Из
A) _ (8), применяя формулу Куммера из п0 6»4, можно получить целый
ряд новых формуле
Формулы квадратичного преобразования для логарифмических
решений гипергеометрического дифференциального уравнения были даны
Нёрлюндом A963). СМо также работу Люка A969)»
6.8. Функция 2F1 при частных значениях аргумента
Г (с) Г (с- а- Ь)
2F, (а, Ы с; 1) = Г(с_в)Г(с_М ' A)
с не есть отрицательное целое число или нуль, R(c-a-b)>0.

288 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2р\
Г(с)Г(а+Ь-с)
lim(l-Z)°+ Ь~с ,F, (а, Ь; с; *) = ^ , х ^ , г х ,B)
2-1
2FX (о, 6; с; *) = Г(а)Г(Ь)
с не есть отрицательное целое число или нуль, R(a+ Ь - с)> О
2^i(—и> *;с; i) =
@. '
\c)n
C)
D)
где п — положительное целое число или нуль, а с не есть ни
отрицательное целое число, ни нуль. Если с - отрицательное целое число
или нуль, с = - m, a m > п, то справедливо соотношение
V (-")*(*)> (ж - яI (ж + ft + 1 - я).
to <-«)**! ™!
известное как теорема Вандермонда
2-*>(с - а)я
iF1Ba,2a-c + \;c;-\) =
A).
ЛB*, 26; в + * + *; J) = .
2^i(«. 1 — а; с; ?) =
Г[(с + в)/2] Г[(с - а + 1)/2] '
E)
F)
G)
(8)
1 п^ Г(а+Ъ+ 1)
2М2а, 2Ь; о+Ь+1; —) = .
6 — а
1
1
Г(Ь)Г(в + -^) Г(о)Г(Ь + у)
(9)
2^ Bа, 26; а+Ь; — ) - >г '* Г (о + Ь)
1
1
Г(Ь)Г(о + 4) Г(о)Г(Ь + -^-)
(Ю)

6.8. Функция 2fj при частных значениях аргумента 289
aF, Bа, 2Ъ; a + Ь - — ; — ) = п '* Г (а + Ь - — )
z z 2
а + 6 -
Г(о+ |-)Г(Ь +у)
Г(а)Г(Ь)
Формулы (9) - A1) предложил Митра A943).
i^i
— п, с
t 2с
(-2)в(с)в
Л(~
/ Bс)„
2с
Л
•га, 1 — га _ 2с
1 — га — с
1
(П)
= 0,
7\ = У2)тг
/г - нечетное число, A2)
A3)
Формулы A2) и A3) справедливы, когда с -отрицательное целое
число, при условии, что в A2) выполняется неравенство - 2с > n, a
функция 2Fj является суммой либо ее первых п + 1 членов, либо 1-е
членов в зависимости от того, какое из этих чисел окажетоя меньше;
в A3) выполняется неравенство с > п9 а функция Fx является
суммой либо ее первых 2гс + 1 членов, либо 1-е членов в зависимости
от того, какое из этих чисел окажетоя меньшим.
Щ-а)Щ-Ъ)
fBa,2b;c;i) =
1
тгЧ2ГA - с)
A4)
где с = а + Ъ ч- — есть отрицательное целое число, а либо Ь равно
0, — 1 — С | с | / 21 ;
Д2в, 26; <:;*) = О, A5)
где с такое же, как в A4), а либо Ь равно —
1 г с1
/Bа, 2а — с + 1; с; — 1) = —п -т—- ,
\2 u)a
3
Т
A6)
где с — отрицательное целое число, а — неположительное целое чис-

290 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2F i
ло>с/2, 6 = 0; 2а = с- 1, с- 2, о„0, 2 с - 1, е = 1;
/(в 1 - а- с- J) = Д1-(^ + 0/2)Г(A+а-.)/2)
где а - целое число, с 4 а < 1-е, «_ отрицательное целое число.
В A4) - A7) функция/(а, Ъ; с; z ) определяется соотношением
6.3G).
i <-?)Т<.)Г<8.)
^(в'Т3а; 4)= {ГBв)}2 • (М)
! _ 2-°Г (а) Г (За)
2F, (а, 1-а; За; у)- (ГBа)}2 ' A9)
^ г 2Г(а)ГBа + — )
2М1-°,у;2а+т;т) =
ЗГ (о + — ) Г Bа) B0)
Уравнения A8) - B0) предложены Шпигелем A962).
я 4 3
{« }а. Г (-)ГBа+ -)
1 3 1 9
2 Г(А)ГBа+-) B1)
2 ф"Г<|)ГBа+{>
2^Cа, За+у;3а+ j;-) =
2 6 9 1 5 v
Г (а+ —) Г(а+ — )
2 b
B2)
е'тм/2Г(а)ГBа + --)
2М°4'3о;2о + Те ) = Г"*-
Г (За) Г (у)
B3)

6.70. Приближения Паде для функции 2FXA, a; р + 1; -1 /z) 291
A)
6.9. Разложения в ряды по многочленам Чебышева
В дополнение к нижеследующему см. п. 5.10.2.
Л (а'Ь U) = ? CJz)T*(x),
4 С ' ' п=0
0<*<1, *#1, | arg(l - *)|< тг,
Д'_ 2^)„«! 3 М с + п,1+2п \*)'
2С«(») = < _ B» + 3)(я + а + 1Х« + &+ 1)
К ^ '( (я + 2)(п + о){п + 6)
¦ 4(я + Q ) 2
+ *(я + а){п + Ь)\ п+1{ ] + (я + а){п + Ь)
X |[(я + 2 - а)(и + 2 - Ь)(п + §)
-(« + 3-a)(W + 3^)(n + l)]+2(" + 1^ + 3-C)j Сп+2(*)
(я + IX» + 3 - а)(п + 3-6) ,«
(„ + 2)(Я + в)(я + Ь) С*+Л*Ь * /
Sft(-l)nC„(z)=L C)
71 = U
Если z такое же, как в A), то вычисление функции Сп (z) с помощью
рекуррентной формулы, используемой в обратном направлении, будет
процессом сходящимся»
6.10. Приближения Паде для функции 2FX A, а; р + 1; - 1 / z)
Пусть
Я(*) = ЛA,ог;р + 1;-1/*). A)
Тогда при а = 0 или 1
0„(*) = ЛС-и. я + Р + 1-в;а+1-а; -г), ( 3)
P(-n^(-1^+1-g)" D)

292 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2FX
?«(*) = [
n(n + p + l -a)zy n~a (-l)fc(fl-n)fc(/t+p + l)fc^
J ttb («г + 1)* A + a)k
v p /—я + л + &, n + p + 1 + k, o, 1 I \
X*M a+l+k,l+a+k,p + l \4'
Д»(*) =
-* \i-« и!(р + 1-<т)„ ,„ + l(„ + i+CT-a
F (z) - ( -° V W! U> + * - °)n pi-
nW Ip + 1/ (p + 2 - aJn 2«+!-a 2 4 2n + p + 2 - a
F <z\ = ( -a \1~" n\(P + l-a)nz«
"W lp + 1/ (p + 2-a)to(*+l)«+1
+ 1.И+Р+1 -
2n + p + 2 — a
/и +1,я+p + 1 -<H _1\
ХЛ1 In + р + 2 - a I 7+7"/'
E)
F)
G)
(8)
= {-ay—p^p + 1 - «),*«(* + iy~ f°° (t - я)»
nK ' (p + 1 -a)„ )z <«+"+!-<¦(< + l)n+P+wal
R(P) > a - 1, z ф 0, | arg z | < тг.
r лл _ i r / \ _ , _ <P + 2) (p + 2) ж
Co() ' Cli)~l (- + i)(P + i)+"FflT'
(9]
Г. Ы = 1 - 2g(P + 3> 4. <P + 3)(P + 4>
°2W (a + 1H» + 1) + (a + 2)(p + 2)(p + 1)
+ BQ. + 3) a(P + 3)(p + 4) К , (p + 3)(p + 4)g2
A0)
I " + 1 (p + 1)(» + l)(a + 2) Г ^ (a + l)(a + 2) '
?„(*) = 0, Ll{z) = iP±nit
L2B) = (P + 2)(P + 3)g j 2 + 2p + a(p-l)|
^ ' o(a + 1) Г + (p + l)(p + 3) i'
A1)
A>(*) = 1, A(*) = 1 +
(p + 2—aH
(a + 1 - a) '
n (Z) = 1 + 2(p + 3-a)s (р + 3-а)(р+4-а)^
W' ^ (a + 1 - <г) + (a + 1 - a)(<r + 2 - a) '
A2)

6.10. Приближения Паде для функции 2fx A, a; р +1; -1 /z) 293
В формулах A0) - A1) функции Сп (*) и Ln(z) получаются из
формулы E) при a = 0 и a = 1 соответственно. Последующие многочлены
легко вычисляются, поскольку как Dn (z), так и Сл ( z) удовлетворяют
рекуррентной формуле
(я + Р + 1 - д)(я + сг + 1 - а) л , ч
B„ + р + 2 - а)Bя + р + 1 - а) "+А*>
I 2п* + 2п(Р + 1 - а) + (р - *)(<х + 1 - д) |
| I" Bw + p_a)Bn + P + 2-a) $ nW
w(w + p — a)
Bn + p - Л)Bя + p + 1 - a)A^,e <13)
Рассмотрим теперь остаток; для этого положим
е-€= 2* + 1Т2(г2 + г)^ A4)
где знак выбирается таким образом, чтобы | е~~€ j < \о это возможно
для всех z, таких, что | arg A + 1/z) | < тт. Если - 1< z < 0, то
| е-€ | = 1. Для более подробного анализа соотношения A4) см.
п. 2с 4с 4. Положим также
l-e5=(e«-De**"*, A5)
где верхний ( нижний) знак берется, когда / ( z) > 0 (/ (z) < 0).
Тогда
tf„(*) = (-aI"* pan*°<P+ 1-cf)„ (а+ 1-а)п
хеЧ>[-Bя^ог+ 1-а) f] A+ e-€JP-2ff [1 + 0 (л")]
х{2^Р-2ст-1(р+ 1-а)пЯ![1+еХр[±г^ (а + — -а)]
хехр[- 2/г + р+ 1-е) fill <16)
либо
Д/гB) = (-аI-° р°772а Г(р+ 1-а)ехр[-Bп + а+ 1-а)?]
A+е-§JР-2а[1 + 0(п-1I
х{Г(р+ 1-а)Г(а + 1-а) г2^^1
х[ 1+ ехр[± in (а+ -1- ~ с)] ехр [- (Ъг + р + 1 - а) f]]}"-
2 A7)
В A6) и A7) верхний ( нижний) знак берется, когда I (z)> О
(/ (z) < 0)о Следовательно, для фиксированного z
НтВД^О, *^0, *=?-!, I arg(l + 1/*)|< *г. A8)

294 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi
В приложениях удобно пользоваться приближениями Паде для
функции Е A/ г). Кроме того, при о = 0 или о = 1 имеем
H(z)= F1[l,a;p+ l;-z), A9)
An(z) C"A/z>
*<*> = T7^+F"(Z)=^T+*"A/Z)' B0)
(o+l-a)nzn
Bn(z) = - Dn{l/z)
n (n + p+l-a)n
= 2Fj (-n, -n + a- a; -2n + a - p; -z), B1)
4 «) = - — Cn(\/z),
n (n + p+l-a)
B2)
где Dn (z) и Cn (z) даются формулами C) и E) соответственно.
Пусть An (z) = An (z) при о = 0 и An ( z) = Pn (z) при a = 1.
Тогда
*,<*)= 1, AW = ¦ + ^i'x"^) ¦
^-¦ + И^?-,-тт1
B3)
((a + l)(a + 2) _ 2a(g + 2) c(a + 1)
+ I (p + 3)(p +4) 0> + l)(p + 4) ^ (p + 1)(P + 2) »
Po(*) = 0, P1{z) = 1,
B4)
z.
B5)
*¦> - + |-*#Ч-тт1
Также имеем
ад = 1, ад - i + ^2-У '
RW_,, 2(a + 2 - а) г (а + 2 - а)(а + 1 - а)««
"iW-Ч- (p+4-e) + (р+4-«)(р + 3-а) '
Как Л„ ( г), так ий„ (г) удовлетворяют рекуррентной формуле
R (z\ - \\ + [2п2 + 2и(р + 1 -а) + (р-аХа + 1 -а)] » } R , ,
и(и + Р - <?)(" + р - а)(н + g - а) г2
Bя + р - 1 - а)Bя + р - аJ Bя + р + 1 - а)д—*W" t <">>

6.7 0. Приближения Паде для функции 2^1 A1 сг; р + 1; —1 /z) 295
Для определения погрешности аппроксимации заметим, что V ( z) =
= Rn(l/z).Ec*KVn(z) = Sn(z)/Bn(z),TO
с /~ч = (-стI-^ р*(ог + 1 - я)п (р + 1 - ст)п A + z)p-° rz(z-t)ntn+>-«
nK } (p + l-<*)n(n + p + l-a)nz> J 0 (t + l)«+p+i-a *f>
Д(р)>*-1, |arg^|<77. B7)
Пусть
e-E = * + 2+ 2(z+ 1) V*, B8)
где знак выбирается таким образом, чтобы | е~ ? | < 1, что
возможно для всех z, таких, что | arg A + z) | < тг« Если z< -1, то
| в"| = 1# Заметим, что формула B8) эквивалентна формуле A4),
если в ней заменить z на 1 / z. Для более подробного анализа
формулы A4) см. п« 2«4«4« Пусть также
1-в? = (е? - 1) e±fTr, B9)
где верхний (нижний) знак берется, когдаI(z) > 0 (I(z) < 0). Тогда
Fn (z) = (-C7I-a Pa *z~° (p+ 1-*)я (* + I-*)*
^exp[-B7i + a+ l-a)?] A + e"iJP-2<J [1 + 0 (л-1)]
x{22p-2a- i (p+ 1-a) и!
1
x [ 1 + exp [ + in (a + — - a)]
xexp[-Bra + p+ 1-«)?Ш-1, C0)
^B) = (-^I-a Pa ^2_a Г(р+ l-a)exp[-Bn + a+ l-aL1
хA+е-^JР-2^П + 0 (n-1)]
x{ 22Р-га-1Г(р+ 1_<т)Г(р+ 1-е)
x [ 1+ exp [+ in (a + a)]
хехр[.-Bи + р+ 1-a)^]]}-1. C1)
В C0) и C1) берем верхний (нижний) знак, когда/ ( z) > 0 (/ (z)< 0).
Следовательно, для фиксированного z
UmF„(z) = 0, | arg(l+z)|<ff. C2)
71 -> oo

296 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2F\
6.11. Неравенства
Для удобства запишем 6.10 ( 20) в виде
H(z)=Hnlz,a)+Vn{z),Hn(z,a) = An(z)/Bn<z). A)
Если
z> 0,(т+ 1 - а > 0,гс + р+ 1-а> 0,
ТО
, (-аI-аРа(р+1-а)„
818П F" {Z)= 88П ( (Р+1-а)л h B)
Далее, если
z> 0, р>0, ст> 0, р+ 1-а> О,
то
Hm(z,l)<H(z)<Hn (z9 0);m,n,> 0. C)
Кроме того, если выполняются условия, указанные выше для
справедливости формулы C), нор+ 1 - a < 0 ир+ 1-о-не есть целое
отрицательное число, тогда каждое из неравенств C) имеет силу, когда
(р + 1-о)т - положительное число, г = п либо г = т; если же (р + 1 ~
-сг)г — число отрицательное, тогда C) имеет силу при обратных
знаках неравенства. Если 2 = 0 либо a = 0, эти неравенства обращаются
в равенства.
Частный случай, когда р = 0, был рассмотрен в п. 2.5. Исходя из
результатов для этого случая, можно получить неравенства
относительно функциир+ xFp; см. п. 5,13. флетт A972/1973) дает
неравенства для функции 2Fr
6.12. Библиография и информация о таблицах
6.12.1. ОСНОВНЫЕ ИСТОЧНИКИ
Многочисленные ссылки даются в п. 5.1, а также на протяжении
всей гл. 5. Функция Лежандра рассматривается в работах Хобсона
A955) и Робена A957,1958, 1959), там же имеются ссылки на работы,
посвященные этой функции0 Мы оставили без внимания вопрос об
эллиптических функциях и интегралах , лишь слегка коснувшись его
при анализе функции Р_}/ A - 2k2) = -|- К (к), когда рассматривался
частный случай функции Рт_,, (*). Информацию об эллиптических
функциях и интегралах можно2найти в журнале Mathematics of Com-

6.12. Библиография и информация о таблицах 297
putation, и в частности в помещенном там обзоре Феттиса и др. См.
также работы Люка A969, 1970 а) и работы, ссылки на которые
даются в п. 8.2.6.
6.12.2. ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
ПирсонA968). ЩстьВ(р, <?) = Г (р + <?)/Г (р) Г (<?),
К <Р, Ч) = В (р, q) ft?-1 A - О* Л. В (р, q), q = 0.5 @.5)
о
11 A) 50, р = ^ @.5) 11A) 50, точность 8S. Вычисляется
функция Ix (p, q) при тех же значениях р и q, что и выше, % = 0. @.01)
до значения х, при котором табличное значение равно 1,
точность 7D. 1Х (р, 0.5), р = 11.5 A) 14.5, ж = 0.27 @.01);точность
7D. 4 (p,q), g = 0.5, p = 0.5 @.5) 11@,5) 16, * = 0.975, 0.98,
0.985, 0.9880 @.0005) 0.9985, 0.9988 @.0001) 0.9999, точность
8D; q= 1@.5) 3, р = 0 @.5) 11A) 16, * = 0.975, 0.98,0.985,
0.988 @.001) 0.999, точность 8D.
Осборн и Мейди A968). Таблицы коэффициентов функций В (р, q),
1Х(Р,Ч) IB (р,д)и/ж(р,д>,р, g = 0.5 @.1) 2, * = 0.1 @.1) 1,
точность 5D.
Амос A963). Таблицы для решения уравнения/^ (р, q) = R, R = 0.001,
0.0025, 2р = 1 A) 30, 40, 60, 120, 2q = 1 A) 10, 12, 15, 20, 24,
30, 40, 60, 120, точность 5S.
Хартер A964). Таблщы для функции, упомянутой в работе Амоса, но
при р = 1 A) 40, q = 1 A) 40, различных й< 0.5, точность 7S;
а также таблицы для R > 0.5.
Макернан A970). Таблщы для функций jr. A/3, 5/6; 4/3; - 1/а2*2)
и 2FX A/2, 1/6; 3/2; - aV), a =?'A/3) /Г A/2) Г E/6),
*= 10a A0P) 10^, a = -3A) 5, j3=a- 1, у= a + 1 точность 9S.
Следует заметить, что формулы преобразования Куммера
показывают, что указанные функции являются по существу
неполными бета-функциями. См. пп. 8.2.3, 6.4 и все указанные
функции.
Смирнов A961). Пусть
А =(^)-,/2ГA/2 + у/2)/Г(г./2), В (О = U + ^Г * ~Уз \
о
Sv(t)= у + AvtB (t) A+ tVu) 2F, A -у, l;-;-t2/^).

298 Гл. 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2F\
Вычисляются функции Sv (t), Av В (г), t = О @.01) 3 @.02)
4.5 @.05) 6.5, v = 1 A) 12 и почти при таком же диапазоне
значений t, когда i/= 13 A) 24, точность 6D; Sv (t), t = 6.5
A)90, v= 1(Г) 10иг=0 @.01) 2.5 @.02) 3.5 @.05) 5,
v= 25A) 35, точность 6D; Su(t),t=Q @.01) 2.5 @.02) 5,
1000/у = 0 B) 30, точность 6D. Представлены также другие
таблицы.
Стейдли A963). Перечень представлений функции 2F2 (а, Ь; с; z) в
замкнутом виде для всех возможных комбинаций a = 0 A/2) 7,
Ь=0 A/2) 7, с = 1/2A/2), 5.
Консул A963). 2FX (а, Ь; с; z), a = 1/2, 3/2, 1 A) 30, b = с - 1, с,
с+ 1, с = 1, 2, 3, г = 0.01 @.01) 0Л @.1) 0,9, 0.95, точность до 7 S.
Карпентер (Й62). Рассмотрим разложение
(l-2acos*+a2)-'=(l-a2)-' *4G** + I ^ °°* Ы>
G(/°= {2Г (* + &)/?! Г (*+ 1)} A-a2)' 2FX (М + *; *+ Ъ о2)-
1о8,п & k = 12 (!) 24> ' = °-5> I-5» точность 8 D.
'ю
Александер и Вок A963). С точностью до некоторого множителя, не
зависимого от х, в отчете приводятся таблицы функции хр ~2х
хA -x)n-P 2FX (л, л; р-1; у*) и ее интеграда по %; р= 2 A) 10,
л = р A) 25, у=0 @.01) 0.69, * = 0 @.01) 1, точность 5 D;
у =0.70 @.01) 1, *=0 @.01) 0.66@.005) 1, точность 5D.
Барк, Журина и Кармазина A962). Работа является переводом целого
ряда работ с французского на русский язык. Воспроизведены
некоторые таблицы оригинальных текстов, остальные таблицы
расчитаны заново. Таблицы функции Р% (cos в) взяты из
"Tables de fonctions de Legendre associees'Paris, 1952. В
работе также указаны ошибки, обнаруженные в таблицах,
первоначально предложенных Прево: "TaUes de fonctions sphe-
riques et de leurs integrates pour calculer les coefficients du
developpement en serie de polynome de Laplace", Gauthier-Villars,
Paris, 1933. В работе помещены результаты перерасчета
ошибочно вычисленных коэффициентов. Даны таблицы для функции
Р™ (х) и ее интеграла, п = 0 A) 8, m = 0 A) n; n = 9, m = 0,1 и
ш = ю, п = 0; х = 0 @.01) 1, точность 5 S либо 6 S.
Национальный центр изучения телесвязи A966). Вычисдаетоя функция
P?(cos в), т = 3A) 5, п =-0.5 @.1) 10, 0=0° A°)
180°,точность 9 S -13 S.

6.12. Библиография и информация о таблицах 299
Фетти и Каслен A970). Р„™и ( s), m = 0 A) 10, п = 0 A) /V, s = 1Л
@.1) 10 и s = ch t9 t = 0 @.1) 3, точность 11 S. Величина N
принимает различные значения; N = 160 при s = L1 и N = 35
при s = 10.
Лоу A966). Дана таблица первых двух нулей функции Р^З/2 ( cos в)
как функции переменной v; m = 2, в = тг/12 Gг/12) п/2,
точность 2 D.
Уотермен A963). Вычисляются v.- и ^--нули функций Р? (cos в) и
<ZPJ ( cos e)/dd, i = 1 A) 30, (9 = 165°, точность 5 D.
Уилкокс A968). Вычисляются те же нули, что и в упомянутой работе
Уотермена, но для i = 1 A) 50, точность 7 S.
Хаякава A962). Даны значения первых десяти нетривиальных нулей
функции PJ (cos в)у в = 7г/6, точность 2 D. Соответствующие
величины для функции Ру( cos 0), в = тт/120, тг/60 (тг/60) тг/6
вычислены с точностью до 6 D. i
Кацура, Иноуэ, Ямасита и Килпатрик A965). Протабулирован fPn г(х)х
-1 *
х Р™2 (*) р™3 (х) dx для всех значений щ от 0 до 8 и всех
допустимых значений mif таких, что т1 + т2 + т3 = 0; точность
11 - 15 D. Также представлены таблицы интегралов от
произведения четырех таких функций для всех значений nt от 0 до
4 и всех допустимых значений т-, таких, что т1 + т2 + т3 +
+ т4 = 0.
Альбасини, Белл и Купер A963). В этой работе вычисляется тот же
интеграл, что и в указанной работе Кацуры и др., но при
значениях п., таких, что п14п2< пъ, пг + п2 + п3- четное число,
| пх -п2 | < п3 4 пг + п2; п19 п2 4 12, п3 < 24 и всех
допустимых значениях mi9 таких, что тг± т2 ±т3 = 0; точность
12 D. 1
Гучик и Людвиг A969). Пусть I = f Ртг (х) Рт*{х) dx. Представле-
на таблица точных значений всех ненулевых интегралов/, mi9
л; = 0 A) 12, i= 1,2.
Журина и Кармазина (I960, 1962). Р_и + ?г (*), г = 0 @.01) 50,
х= - 0.9 @.1) 0.9, точность 7 S; т такое же, что и выше,
х= L1 @.1) 2 @.2) 5 A0) 60, точность 7 D.
Журина и Кармазина A962). Считая в = arccos x, авторы дают
коэффициенты для вычисления функций Р_ ^ + iT (cos 0) и PJi/ + ^-т
(cos в) при * = - 0.99 @.01) 0.99, точность 7 D, когда
известны функции Бесселя / (тв) и 1г (г0). При т/ = arch % даны коэф-

300 Г л, 6. Гипергеометрическая функция Гаусса 2Fi
фициенты для вычисления функций Р_у + -^ (ch 77) кР^_у2 + iT (ch 7/)
для* = 1.01 @-01) 3@.05) 5@.1)*10 A) 60, точность 7 D,
когда известны функции Бесселя /0 (г7?) и Jx (ttj)c
Представлены также не зависящие от функций Бесселя таблицы первых
восьми коэффициентов в разложениях функций Р_^ + i-T (cos в)
иA + 4г2)-1 Р^у2 + l4(cos в) по степеням г2, * = -0.90 @.01)
0.99, точность 7 D, и таблицы первых восьми коэффициентов
в разложениях функций Р_ц + iT (ch т/) и A + 4г2)~г Piy2 + jT(ch 77)
по степеням г2, * = 1.01 @.01) 3 @.05) 5 @.1) 10 A)
60, точность 7 D.
Журина и Кармазина A963). PJ^ + ?т (*), г = 0 @.01) 25, * - - 0.9
@.1) 0.9, 1Л @.1) 2 @.2) 5 @.5) 10 A0) 60, точность 7 S.
МуртиA971). P_i/2 +;т(%), г =0.1@.1) 10 и *= 1@.1) 10, точность
8 S. А также даны нули первых производных и координаты
экстремальных точек для т = 0.9 @.1) 10, точность 8 S.
v v+ 1 1
БенДаниель и Карр A960). ft (х) = 2FX (- у, —-—; —; х2),
f2(x) = x2Fi[--2^> 1 + Т;Т;%2)' "=0 @.0625) 1 @.125)
10 @.25) 36, х = 0 @.01) 0.99, точность 5 S. Даны также нули
функций ft (x) и /2 (х) для установленной выше области
значений х и для у= 0.4375 @.0625) 36, точность 4 S. Следует
заметить, что функции Лежандра Pv (х) и Qv( x) суть линейные
комбинации функций / (х) и /2 (%). Вычислен ряд интегралов
функций /х (х) и /2 (*), но не все результаты верны. См.
журнал Math. Сотр. 16 A962), 117 - 119.
Мурти и Тейлор A969). Pv(x), v = - 0.5 @.02) 0.5, * = - 1@.01I,
точность 7 D: v = -0.5 @.1) 8.5, * = -1 @.02) 1, точность,7 D.
Значения х- и Pv ( xj) такие, что Pv( хЛ =0 , и значения у;- и
Ру(У/) такие, что Pv(yj) =0, ^ = 0.1 @.1) 8.5, точность 7 D.
Ричардо и Муллино A963). Pv ( cos 0), в = 40° A0°) 140°, i/ = 0.1 @.1J,
точность 9 D; 0 = 5° E°) 30°, 140° A0°) 170°, i/= 0.1 @.1J,
точность 6 D. Пусть vT есть г- й положительный нуль
функции Pv ( cos 0). Протабулированы значения vr, г = 1 A) 6,
для различных значений 0, точность в основном 5 D. Напри-

6.12. Библиография и информация о таблицах 301
мер, для г = 1, в = 10° E°) 50° A0°) 160° точность 6 D, а
для г = 6, в = 70° A0°) 140° точность 5 D.
Фетти и Каслен A969а). Часть I. Qm i {s), m = 0 A) 5, n = 0 A) N,
П —
2
s = 1Л @.1) 10, N принимает различные значения от 88 при
s = 1,1 до 29 при s = 10, точность 11 S; m и п такие же, что и
выше, s = c\ir), -q= 0Л @Л) 3, N принимает различные
значения от 400 при 7? = 0Л до 28 при 7?= 3, точность 11 S; m =
= 0A) 10,^=0 или 1, s= 1Л @Л) 10 И5= chr/, 77 = 0Л @Л) 3,
точность 16 S. Часть II: (Р 2 ( s), от = 5 A) 10, и = 0 A) N,
п — —
2
s = 1Л @Л) 10, N принимает различные значения от 160 при
s = 1Л до 35 при s = 10, точность 11 S; m и п такие же, что и
выше, s =сЬт7,77=0о1@Л) 3, /V принимает различные
значения от 450 при г/ = 0о1 до 34 при 7/= 3, точность 11 S.
Фетти A970). Q (s), n = 0 A) 5, s = 1.01, точность 13 S.
п
2

Глава 7 Конфлюентная
гипергеометрическая
функция
7.1. Введение
Как уже было отмечено выше в 5.4F), конфлюентный
гипергеометрический ряд получается из ряда для функции 2F^(a, Ъ; с; z/b) с
помощью принципа конфлюентности, т.е. взятием предела при Ь -» <».
Этот способ хорош при выводе свойств функции jFj из свойств
функции 2F1 особенно в тех случаях, когда результаты для 1F1 нельзя
получить из результатов для функции pF простой подстановкой р = q =
= 1. Таким образом, целый ряд важных результатов для функции tFv
имеющих большое значение в приложениях, следует непосредственно
из результатов, полученных для функции 2F1, и их можно было бы не
упоминать в нашем анализе. Однако функция tFt имеет очень большое
прикладное значение (см. п. 7.10) и поэтому мы даем довольно
подробный ее анализ.
7.2. Интегральные представления
R(c)>R(a)>0. A)
Другое решение конфлюентного гипергеометрического
дифференциального уравнения 7.4A) имеет вид
Ща; с; *) = [Г(а)]~г Г е^На-Ц1 + t)*-*-1 dt, R(a) > О, R(z) > 0. B)
J о
Мы также имеем
/^ -ч , rv+i0° A« + s)r(~s)га -с-s)zs .
U(a; с; ,) = <2«)- /^ ^a)V(a _ с + 1) *'
-Д(я) < у < min@, 1 - R(c)), | arg ar | < Зтг/2. C)
Соотношение C) имеет силу для всех у, пока ни а, ни 1 + а - с не
являются ни отрицательным числом, ни нулем, причем путь интегрирова-

7.3. Элементарные соотношения 303
ния должен отделять полюсы функции Г (a + s) от полюсов функции
Г(-5)ГA -C-S).
В литературе часто для функций ^F Л(а, с; z) и U{a; с; z)
используются обозначения Ф(а; с; z) и ф(а; с; z) соответственно.
7.3. Элементарные соотношения
7.3.1. ПРОИЗВОДНЫЕ
^ Т? ( \ \а)п 77 (а + П\ \
— 1F1(a;c^) = -^-1F1(c + n\Z).
\ [*5 Л(в; с; z)] = (8 - п + 1)я z*~" 2F2 (^ *'| "^ J *). B)
^ [a^-i ^(а; с; *)] = (я)п *"-i ^(в + п; с; я). C)
^ [*•¦"-!*- Л ? + * | *)] = (с)я *-* е- Л(а; с; *). E)
^ [Zc-a+n-l e-z jFj{a. c. z)] = {c_ a)n zc-a-l е-г ^ ^ П | ,). F)
^ [*• *-] = (8 - п + 1)п **- *- Л (s +~n_ n | *). (8)
^U(a; с; z) = (-l)n(a)nU(a + п; с + п; *). (9)
dz'
dz
dz
i
\о-
dz
dz
Л\ [яГ-Ща; с; z)] = (-1)»A + а - с)п zc-»-*U(a; с - п; z). A0)
d\ [л«+»-Ч/(в; с; z)] = (в)яA + в - c)w *-Ща + щ с; я). A1)
An
- [е-Ща; с; *)] = (-1)« *-*[/(«; с + я; г). A2)
_ [^-V-e+n-l^e; С; *)] = (-1)П е-*ЯС-0-Ща _ w; с; д^. A3)
-^ [e-V-tye; с; *)] = (-1 )n e~zzc-n-\l - а)пи(а - п; с - щ яг). A4)

304 Гл. 7. Конфлюентная ги пер геометрическая функция
7о3.2. СМЕЖНЫЕ КОНФЛЮЕНТНЫЕ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ниже символ ^F,(a±) обозначает функцию ^FA(a ± 1; с; z) и т.д.,
см. п. 6.2.2, U(c ± 1) обозначает функцию U(a; с + 1; z) и т.д. Имеют
место соотношения:
(с - а) ^(а-) +Bа-с + z) гЕг - a 1F1(a+
-с(с - 1) ^(с-) + с{с - 1 + *) ^ - (с - я)* №+
с(а + *) ^ - ас 1F1(a+) — (с - a)z ^(f+
с Л - с ^{а-) - z 1F1(c+
^ _ * _ 1) Л + * 1F1(«+) - (г - 1) &(€-
(a-1+z) ^ + (с-а) Л(и-) - (^ - 1) Л(<:-
(<: - л - 1)?/(с-) - (с - 1 + *)# + zU{c+
(а + s)tf + а{с - а - 1) U(a+) - zU(c+
(с - a)U+'U(a-) - zU(c+
U - aU{a+) - U(c
(a — l+z)u- U{a-) +(a-c + l)U(c
U(a-) - (la - с + z)U + a{a - с + l)U(a+
Используя условные обозначения п. 7.5, заметим, что функции
) = 0.
) = 0.
) = 0.
) = 0.
•) = 0.
) = 0.
-) = 0.
-) = 0-
-) = °-
-) = 0.
-) = 0.
-) = о.
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
(9)
(Ю)
(И)
A2)
W,
ГA + а - с)
Г(в)
w
2>
ГA + а - с)
ГA - с)
W
ГA - а)
3'пТ^Г4
A3)
как функции от переменной а удовлетворяют разностному уравнению
A). Все функции в A3), будучи умноженными на Г(а)/ГA + а - с),
удовлетворяют разностному уравнению G). Таким образом, решения
дифференциального уравнения 7.4A) как функции от переменной а
удовлетворяют одному и тому же разностному уравнению. Подобным
образом функции
ГA + а-с)Г(с-1)
ГЦ-с) Г (а)
>
ГA + а - с)
ГA - с)
ГA - а)
W
3' ГA - с) "*
хо. A4)

7.4. Дифференциальные уравнения 305
как функции по переменной с удовлетворяют разностному уравнению
B) и все они, будучи умноженными на ГA - с)/ГA + a - с),
удовлетворяют разностному уравнению (8).
7.3.3. ПРОИЗВЕДЕНИЯ КОНФЛЮЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ
Имеют место следующие соотношения:
a a I a> с - a
,Fi(c\z),F,(c\-z)=2Fj c c j
\c, —, — + —
2 2 2
A)
1 + a-c
iMcl*>,M 2-е l-z> = 2
1 с 1 с
— +a , a +—
2 2 2 2
с 1 3 с
2 +~2 'T ~ ~1
Ba -C)(c-l)z
c(c - 2)
2^3
с с
1 + a , 1 - a + —
2 2
с с 3
— + 1,2 ,—
2 2 2
1М2>I*М2*1-0=е-*,М2>)ЛB?|2>
„ . (о + Ь)/2, (а + Ь + 1)/2
= 2F3| 1 l
+ a, — + Ь, a+b
2 2
Другие соотношения такого рода см. в пп. 8.3 и 8.4.
1
Т I
B)
— • C)
7.4. Дифференциальные уравнения
Линейно-независимые решения уравнения
[zD2 + (с - z)D - a]w(z) = О, D = d/dz
или
[8(8 +с - 1) - zC + a)]w(z) = 0, 8 = zD
пропорциональны
A)
B)
C)

306 Гл. 7. Конфлюентная гипергеометрическая функция
если с не является ни целым числом, ни нулем. Иногда используется
условное обозначение
ф(а; с; z) = ^(а; с; z) D)
Дифференциальному уравнению
-f(-:+/')]-^i^=^
где f = f(z), h = h(z), удовлетворяет функция
y-z-«e-fMAF,(*\h{z)). E)
Если a = -m, m - положительное целое число или нуль, а с -
отрицательное целое число, такое, что m + с < 1, то корректно
определенное решение уравнения A) имеет вид
(* — 1 — т)!*™ _ ,
= (, _ !)/ Л(-«. * -*; -*_1)> F)
с = 1 - s, s - положительное целое число, m < s, и эта функция
линейно не зависит от и>2. Далее, если а и с - положительные целые
числа, a < с, то
*-«/A + а - с; 2 - *; ,) = *- f §—??
a = m, m - положительное целое число,
с = 1 + s, s - положительное целое число или нуль, m < s + 1,
будет корректно определенным решением уравнения A), линейно не
зависящим от w2. Заметим, что F) и G) суть конфлюентные формы
6.3G), (8) соответственно. Полное решение уравнения A)
рассматривается в следующем пункте.

7.5. Полное решение и вронскианы 307
Конфлюентные формы для 6.4A), E) известны также как
соотношения Куммера. Таким образом,
*°i = iFi(*; с'у z) = e\Fi(c - a\ с\ -*), (8)
w2 = z1-* jF^l + a - c\ 2 - c\ z) = z1-** ^A -a; 2-е; -z). (9)
7.5. Полное решение и вронскианы
Если с не есть целое число, тогда wy и w2, согласно формуле
7.4C), будут независимыми решениями уравнения 7.4A). Функция
Щ = U(a; с; z) = z^Ud + a - с; 2 - с; *), A)
где 17-функция определяется формулой 7.2C), также является
решением уравнения 7.4A). Эти решения связаны между собой следующим
образом:
-з = U(a;c; z) = _i_J_ ^ + ^щ^^9
wY = Л (ac | *), w2 = z^lFl (l \a_~C | z\ B)
При e = ± 1 функция
w4 = e»U(c - a; c; zer**«) = д/Zgj wi ~ Дс Z fl{ ^"^ . C)
также является решением уравнения 7.4A). Производя исключение,
получаем
а;, = —— ei€7Tazo -4 — /»t€w(a-c)w, /Д\
1 Г(*-«)' ^3 + Г(я)' ^4' W
Формулы D) и E) часто используются при следующих условиях:
6 = sgn (/(z)) = 1, если I(z) > 0,
б = —1, если l(z) < 0.
Таким образом, любые две из четырех функций w^, w2, w3 и wA
образуют фундаментальную систему, если а, с и с - а не являются
целыми числами. Если а -отрицательное целое число или нуль, то и>3
и ь)Л отличаются друг от друга только на постоянное кратное. То же

308 Гл. 7. Конфлюентная гипергеометрическая функция
самое верно и для пары w3 kw2, когда величина с - а есть
положительное целое число. Больше того, если a — положительное целое
число, wA будет постоянным кратным функции iv2, и аналогичным образом
w4 будет постоянным кратным функции w^, если величина с - а есть
отрицательное целое число или нуль. Если с — целое число или нуль,
то либо будет иметь место равенство юл = w2> либо одна из этих
функций не будет корректно определяться. Если с - отрицательное целое
число или нуль, скажем с = 1 - n, n = 1,2,3,..., то функция
lim J?L = ifk*» lFl(a + n;l+n;z) G)
удовлетворяет уравнению 7.4A), но является кратной функции w2, и,
следовательно, нового решения мы не получаем. При выводе формул
B) предполагалось, что с не есть целое число, но совершенно
очевидно, что это ограничение не существенно, поскольку, согласно
непрерывности, эти формулы имеют место и в том случае, когда с — целое
число. В самом деле, поступая так же, как при анализе функции 2F17
мы можем с помощью B) получить логарифмическое решение
уравнения 7.4A), когда с - целое число. В данном случае можно
использовать разложения для w3 = W(z) [см. 6.6C, 4, 14)], считая при этом все
члены, содержащие а2, пустыми, т.е. если член, содержащий а2,
встречается в виде сомножителя, принимаем его за единицу, если же такой
член встречается в виде слагаемого, принимаем его за нуль. Таким
образом, находим, что
«Ь = Ща; 1 +s;z) = -^ 1^=^Ц - 1 - A)!(-1)V
> (о)
где «s - положительное целое число или нуль. Если а — целое число
или нуль, логарифмическая часть формулы (8) будет отсутствовать.
Если а — положительное целое число или нуль, то w3
пропорционально 7.4G).

7.5. Полное решение и вронскианы 309
Подобным же образом из 6.6A, 2, 8) при w6 = V{z) мы получаем
wA = еЩ1 + s — а; 1 + s; ze~i€7r)
(Л)**-* у (а - s)k(s - 1 - fe)l(-l)*g*
Д1 + * -«) к *«
+ 8\Г(\-а) \[У + ^"^ + W ~ в> ~ Л1 + *И Л (l + J *)
+ ? пA^ jfel Мв + *> " Яв> ~ Я1 + 5 + *> + W + ')
-W+*)+0(l))j, (9)
где а не является ни целым числом, ни нулем, as — положительное
целое число или нуль.
Если а — положительное целое число, то wA будет линейной
комбинацией функций ш1 и го2 при условии, что не выполняется
неравенство а > s; если же это неравенство имеет место, функция w4 будет
кратна wy. Этот факт следует из B) и может быть также получен из
(9). Если а - целое отрицательное число либо нуль, то из (9) либо из
6.6A2) получим
. ч (-l)**-s t,1 (-/я - s)k(s - 1 - A)!(-l)***
+
(-1)
fc=0
s+1
s!m!
j[y + 1п(ге-«") + фA+т)
-*i+0]A(,+»
_ ^A + , + A) + #1 + ,) -#1 + A) + fll))
+(-1)OTM/ d+^' !• A0)
где т и s — положительные целые числа либо нули.
Аналогичные разложения для функций U(a; 1 - s; z) и ezU(m-a;
т; у), т = 1 - s, у = z ехр(-г'б7г), вытекают из формул (8) и (9) - A0)
соответственно с использованием соотношения A)«

310 Гл. 7. Конфлюентная гипергеометрическая функция
Вронскианы
Пусть W(j обозначает определитель Вронского решений Wi и Wj\
тогда
Wif = Щч»и Wj) = ui,(z)w/(z) - wi(z)wf{z). A1)
Пусть также
В = z~cez. A2)
Тогда, если е такое же, как в F), имеем следующие соотношения:
W12 = (l-c)B, W.^-Щв, A3)
w = -^ е™сВ Ж>, = — В, A4)
14 Г{а) ' 23 ГA+а- с) ' V '
Wu = - -.f^ . В, W34 = -Д- №*"с sin ^ - «) + sin тгя], A5)
i ( 1 Я) S1I1 7ГС
7.6. Асимптотические разложения
Имеет место формула
U(a; с; z) ~ z~a 2F0(ay 1 + а - с; - я),
| z ! -* oo, I arg дзг | < Зтг/2 - с, e > 0. A)
Если ftn(z) - погрешность, возникающая при усечении ряда функции
2F0 после взятид п членов, то
I Rn(*)\ < | A +fl~g^g)w | *-«r-«, * = R(z) > 0, в1 = Д(а).
B)
Итак, если а, с к z - действительные числа, погрешность не
превосходит первого отбрасываемого члена и имеет с этим членом
одинаковый знак.
Асимптотические разложения для функции ^F^(a; с; z) следуют
из 7.5D).
Л(в; с; z) ~ T(P~a) (jarVew)e *Fo(*, 1 + а ~ с; " *"')
+ -щ, ezz"-< 2F0(c - а, 1 - в; яг1).
6=1, если /(z) > 0, ? = -1, если /(z) < 0, | ъ\ -» oo, | argz| < тг, C)

7.6. Асимптотические разложения 311
Г(с)
,FAa; с; z) ~ ezza~c, если R(z) -> <ч> , D)
Г(а)
Г(с)
^(а; с; z) ~ (-z)-a, если R(z) -» -~. E)
Г(с-а)
Мы также имеем
^(в; с; *) ~ ^ ^a"c 2F0(c - a, I - а; я)
+ Г(Г-а) 2~^"'5а7Г 2^о(*> 1 + л - с; -*),
| * | _> оо, 3 = ±1, -B + 8) тг/2 < arg яг < B - 8) тг/2. F)
Теперь получим разложение в виде сходящегося ряда по
переменной z для некоторой функции, непосредственно связанной с функцией
1F1, которое при определенных условиях на параметры имеет большое
значение, в предположении, что параметры велики. Положим
ЛРЛ(а; с; z) = ex?(az/c)W(z),
W(Z)= 2 VkZk, \Z\ < oo,
fe = o
где коэффициенты vk определяются соотношениями
a(c - a) a(c - a)(c - 2a)
v0 =1,1/,= 0, v2 = —— , v3 =
G)
2c2(c+l) ЗсЦс + l)(c + 2)
w4 = aC"a [2(c-2aJ + a(c-a)(c + 2)], ...,(8)
8c*(c + l)(c + 2)(c + 3) ' W
c(c - 2a) ftt^ + a(c - a) vk _ ,
V*+1 = —
(k+ l)(k + c)c*
Ниже будем считать z фиксированным. Если обе величины а и с
порядка п, то v2 = 0(n~1), t;3 = 0{п~2) иуй = 0(n2 -*), ft > 4. Если
величины а и с порядка п, но с -а ограничено при росте п, то г;Л = 0(n~k),
ft > 2. Если а и с такие же, как и выше, но с - 2а ограничено при
росте п, тог;2k =0(n~k), ft^l, иг/2и1 = 0(n~*-2), ft>l.
Теперь дадим равномерное асимптотическое представление для
1
функции ,FV когда с велико, а — с - а ограничено. Имеем

372 Гл. 7. Конфлюентная гипергеометрическая функция
егЧ* jF^a; с; *) ~ ? 4,(*)/«", 4>(*) = 1.
п=0
и = 1(с — 1), k = с/2 — я,
4+iW = -i* ОД + i f2 ('/4 - *) 4@ Л. (9)
J 0
*2 *s ., ч z* kz* , s2B/e2-l) , As
^W = 16"T' ^*) = 5П-й- + 16 + T' A
s6 ite5 z\№ - 3) /eD&2 - 13)*3 г2C&2 - 1) ^
^ ~~ 24576 1024 + 512 192 16 8 '
Если ряд в правой части первой формулы (9) усекается после взятия
п членов, то остаток будет 0(u~n) равномерно по z при | R(z) \ < Ь,
если Ъ — фиксированное, но произвольное число.
7.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева
В дополнение к представленному ниже см. 5.10.1A1) и п 5.10.2.
Имеем
Л (* I и) = I Сп{ж)Т*{х)9 О < х < 1,
С»(*} " 2й(фйЛ 1 + п, 1 + 2» И' A)
2С"(*)-(п ¦ ПЦ B« + 3)(п + а + 1) 4(n + c)j
+ -^d) \{П + 3 ~ в)(п + !)-(" + 2 - «X» + *)
2(и+ !)(« +3-е)) (п + 1)(я + 3 - а) ,„.
+ ; 1 Cn+i(z) + (n + 2){n + a) Cn+3(*). B)
I (-l)»Cn(z)=l. C)
П= О
Коэффициенты Cn(z) легко получить по формуле B), примененной в
обратном направлении; см. 12.2C - 7).

7.8. Разложения в ряды по функциям Бесселя 313
7.8. Разложения в ряды по функциям Бесселя
Имеет место соотношение
АС,с. -) = ДА + ,у,- $ ? Щ+Шц» g)
X ,F2
( X + hc И A)
Если функцию 3F 2 в формуле A), вычисленную при &> = 1, обозначить
через Rn(a, с, Л), то
(n + c)(n + 2X)Rn+1(a, с, А) = (с - 2a)Bn + 2X)Rn(a, с, А)
+ п(п - с + 2А)ДЯ_1(«, с, А), B)
Rn(a,c,\) = (-iyRn(c-a,c,\), C)
Rn(a, с, а — i) = -гт , V
i?n(a,c,c-a-i) = (c~,2a)", E)
Л2я+1(й>2Л)А) = 0, i?2n(a,2a,A)=^f+Д~^". F)
G)
M\c-a-%
1F1(a;c;z) = r(c-a + iy/*Q
— <
n\ {c-a- ?)(с)я
" (-1 )"(W + c - g - %)Bc -la- \)n{c - 2a)n m
A n\ (c-a- i)(c)n ln+c~a-i \2Г
(8)
Л11,{,*,_' Ы LA {(l+c)/2L У2п+*(г)
{A + 0/2}»
{B+c)/2}n
/с - 1\ v (-l)"Dn + 3){C-c)/2}n i
l~F~/ A {B+c)/2}n W*)J- (9)

314 Гл. 7. Конфлюентная гипергеометрическая функция
7.9. Неравенства
Имеют место следующие неравенства:
-• + >лС-|-Э<лС|-)<лС-|-«).
-•+М1+д"<лс1-«) m
<-1 _ а(с + О . g(c + О Г. ¦ (Д + ')г Г'
ф+1) + ф+1I + с + 1 J '
z > О, с ^ a > О; B)
1 (с+ 1) Г, , _в?_1_1 ^ с- /д I ,Л
- с + —2— L1 + F+tJ <Mc\-z)
J^g _2g_r (a+Dz-.-'
^1+a^e+lL^ 2c J'
7 > 0, a < 1, c> 0. C)
Последующие неравенства см. в п. 5.13; см. также работу Лорха A967).
7.10. Другие обозначения и функции,
связанные с конфлюентной гипергеометрической
функцией
В литературе для обозначения решений конфлюентного
гипергеометрического дифференциального уравнения используются
обозначения, предложенные Уиттекером. Эти функции называются функциями
Уиттекера. Ниже мы даем ряд формул, которые показывают связь
между функциями Уиттекера и функциями ^, и V.
П-2т) „ м , П2т)
WW) = ЪМ*) = Щ-Г-k) М*-М + Щ + m-k) **-<*>
B)
k = с/2 - а, от = (с - 1)/2. C)
»W*) = e-2/V/2[/(a; с; z). D)
М^»") = ехр[т(от + i)] M_fc>m(«c--/2). E)
WW* ) - sin 2ww [ r(i _ m _ k) ГA + 2m) m-k->n(ze )
+ expMJ - от)] т(«-"/«I. F)
+ Щ + m-k) ГA - 2m) 1У1~к-~т^ >\' v

7.11. Библиография и информация о таблицах 315
M_Km{ze^) = exp[±zV(i + m)] MKm{z). G)
Wh (ze^) = w \ exp[±m(i + m)]
+ ra + m + k) m - 2m) М*--»Щ- W
7.11. Библиография и информация о таблицах
7.11.1. ОСНОВНЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основными источниками информации о конфлюентных
гипергеометрических функциях являются работы Трикоми A952, 1954, 1960),
Букхольца A953), Слейтера A960) и Янковича A961). См. также
работы, ссылки на которые даются в п. 5.1.
Нг и Геллер A970) дают неопределенные интегралы от
конфлюентных гипергеометрических функций. Нули конфлюентных
гипергеометрических функций изучались Дайсоном A960), Ламбе-Гоффаром
A962) и Джонстоном A964).
7.11.2. ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ И ДРУГИХ СПОСОБОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ
С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
11 111
ХитлиA964). e-*.FAa;c;x), а= — ( I, с = , ( K;
4 4 2 2 2
11 11
а =2 — ( K, с- 3; а=1— (— J, с = 2; */*= 0@.2L, 5,
4 4 4 4
1
точность 7S, за исключением случая, когда a = 1, с = ,
2
1 1 х/
— (—K, х/2 =0@.1K.
2 2
_ тп+1 m +1
T(m, п, г) = г*- ™ + 1 е~'2Г( ) F (__; я+ i; r2)/nb
2 2
1 1 1
m = - — , —. * = -2(—J, г = 0@.2L, 5, 6, 10, 25; m = 1,
1
re = -2(—K, г = 0@.1K, точность 9S.
4

316 Гл. 7. Конфпюентная гипергеометрическая функция
Хитли A965). ^"X1F1 {a;c; x), a = 0.25, 0.75, с = 1, 2, 3 и а = 1.25, 2.25,
с = 2, 3, я% = 2@.2L, точность 5D; функция Т(т, п, г) такая
же, как и в предыдущей работе, т = -0.5, 0.5, п = -2AJ, г =
= 2@.2L, точность 5D; т = 2, п = 0, г = 0@.1M, причем
табулируется функция 2г7г*-%ТB, 0, г), точность 7D; т = 3B)9,
w + n = 5.5BI7.5, г = 0@.1M, точность 7D.
Джонстон A964). Вычисляются функция AFy(a; с; х) и ее нули, точность
до 7D. Более подробные сведения о работе см. в журнале Math,
Сотр. 19 A965), 343.
Журина и Осипова A964). Даны результаты вычислений функций
^(а; с; х) и U{a; с; х), a = -0.98@.02I.10, с = 2, х = 0@.01L,
точность 7S.
Коробочкин и Филиппов A965). Даны таблицы решений уравнения 7.4A)
при с = 2.
Киреева и Карпов A959). Вычисляется функция Dy(z) (см. 8.2.7D)),
z = *(l + t),i/ =0@.1J, + х = 0@.01M; i/ = 0@.05J,±*=5@.01I0,
точность в основном до 6 D.
Карпов и Чистова A964). Вычисляется функция ?>v(z) (см. 8.2.7D)),
v = -2@.1H, ± х = 0@.01M; v = -2@.05H, ± х = 5@.01I0,
точность в основном до 6 D.
Карпова и Чистова A968). Как и в двух предыдущих работах,
вычисляется функция Dv(z), O4 z < <*>; exp(-z2/4)Dv(z), -«, < z ^ 0,
exp(-z2/4)Dv(tz), 0 <: z < ©о. Интервал табулирования по z pa-
1
вен 0.01 для | z | < 5 и 0.001 либо 0.0001 по переменной w = —
z
для | z | > 5, г/ = -1@.1I. Если приводимые табличные данные
меньше единицы, их точность равна 7 D, в противном случае
точность равна 8S.
Мужевски и Сова A972). D_n(x), n = 1AJ0, х = 0@.05K, точность 7S.
Лукьянов, Теплов и Акимова A961). Вычисляются функции FL(v, р), GL(v, p)
и Gj>, р) (см. 8.2.7A - 3)), L = 0AI5, р = 1@.2J0, In г? = -«,
-0.8@.1H.8, точность 5S; функция G'L(v, p) дается только для
L=0, 1.
Лутц и Карвелис A963). Вычисляются функции FL(n, p), GL(i?, p) и их
первые производные и фаза функции FLG?, р) + iGL G?, р),
L = 10, г? = 1, 2, 3, р = 1, 3, 10, точность 6S.
Кертис A964). Представлены таблицы, имеющие тесную связь с
функциями FL(v, p). и GL(v, p) и их производными. Более подробное

7.77. Библиография и информация о таблицах 317
описание таблиц, которое заняло бы здесь слишком много
места, можно найти в Math. RevQ 29 A965),1Ф4915 и в Matho Comp
19 A965), 341 - 342.
Стрекок и Грегори A972). Даются наилучшие чебышевские
рациональные приближений к функциям G0(t?, р) и G0(t7, p) для
сегментов в G7, р)-плоскости: р = 2г?, 3.5 < т?< 15, 2 < v 4 3.5,
1 ^ г? <? 2; р = 1, т? > 1; р = 30, 15 ^ п 4 18.5, 18.5 < т? < 22.
А также затабулированы значения коэффициентов
рациональных приближений к функциям InU и In (-?/), U = G0G?, 30),
22 < 77 < 30; точность не менее 13 S.

Глава 8 Идентификация pF
и G -функций
со специальными
функциями
8.1. Введение
В гл. 5 — 7 представлены многочисленные формулы для функции
pFq и ее обобщений и для G-функции. Имеется целый ряд специальных
функций, которые либо являются частными случаями упомянутых
функций, либо тесно связаны с некоторыми из них. Поскольку наш
справочник посвящен специальным функциям, мы идентифицируем наиболее
важные специальные функции с функциями pF и Gj?>?.
Примерами таких специальных функций могут служить
экспоненциальная функция ez, функция Бесселя /v(z) и интегральный синус
Si(z). При идентификации названных функций с функцией pFq
используются обозначения, принятые в п. 8.2, либо даются ссылки на те
разделы настоящей книги, где эти функции рассматриваются. В п. 8.3
перечисленные функции идентифицируются с G-функцией, а в п. 8.4 G-функ-
ция выражается с помощью этих функций.
8.2. Специальные функции,
представленные как функции pFq
8.2.1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Биномиальная функция рассматривалась в гл. 2,
показательная функция, логарифмические, тригонометрические и
гиперболические функции и их обратные - в гл. 3.
8.2.2. НЕПОЛНАЯ ГАММА-ФУНКЦИЯ И ФУНКЦИИ,
СВЯЗАННЫЕ С НЕЙ
См. гл. 6.
8.2.3. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАУССА
См. гл. 6. Кроме того, имеем
аВ(а, Ъ) х-%\ - х)-Чх{а, Ъ) = ^ (^ + * | *) , |*|<1, A)

8.2. Специальные функщи, представленные как функции pFq 319
B(a, b) = Г' t*-\l - t)»-* dt = Да) Г(Ь)Ща + b), B)
J 0
B(ay b) Ix(a, b) = f <-i(l - О6 Л. C)
•'о
Функция lx(a, Ъ) является по существу неполной бета-функцией.
8.2.4. ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА
Имеем для комплексных z вне разреза {z: -1 <: z < III
РД*) = [Д1 - ?)]-*[{* + 1)/(* - 1)Г2
х A(-is v + 1; 1 - м; A - *)/2), a)
х A((f* + v + l)/2, (fx + v + 2)/2; v + |; *). B)
Далее,
Р,Чх) = [ГA - ^)]-НA + *)/A - *)]д/я
xAHv + lil-^fl-^P), -1<*<1. C)
(?Д«) = К'*и[*~',ги/2(?Д* + ?0) + e*™'*Qv»(x - Ю)], -1 < x < 1. D)
Ссылки на работы, посвященные функциям Лежандра, можно найти в
следующих работах: Абрамович и Стиган A964), Эрдейи и др. A953,
т. 1, гл. 3), Хобсон A955), Робен A957) и Сноу A952).
8.2.5. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
См. ГЛ. 11.
8.2.6. ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Согласно определению,
гтт/2
Щк) =Г A - *»«п« 0)'2 dd = frr^, h 1; *«), | *• К 1. A)
•'о
Е(*) = f "* A ~ & sin* в)»я dd = J* «F^-J, i; 1; *2), | *« |< 1. B)

320 Гп. 8. Идентификация pfq и с-фуНкций со специальными функциями
Ссылки на работы, посвященные полным и неполным эллиптическим
интегралам и связанным с ними вопросам, см. в следующих работах:
Абрамович и Стиган A964), Берд и Фридман A971), Кейли A961), Эр-
дейи и др. A953, т. 2), Милн-Томсон A950), Невилль A951), Оберхет-
тингер и Магнус A949) и Трикоми A948). См. также
библиографический указатель в работе Люка, Уимпа и Фэра A972).
8.2,7. КОНФЛЮЕНТНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
ФУНКЦИИ УИТТЕКЕРА И ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
См. гл. 7, 9 и 10.
Так называемые волновые функции Коломба являются
фактически конфлюентными гипергеометрическими функциями. Так
/L + 1 - щ
Ыъ й) = CM p^e-i> ^ (Ь 2+ l+2t7)\ 2iP) ,
__ 24-^ \Г(Ь+\+ щ)\
С^) BL + I)! ' W
С учетом формулы 7.4(8) имеем, что функция FL(v, p) действительна,
если р, 77 и L - действительные числа. В приложениях L -, как
правило, положительное целое число или нуль.
(-1)^Г(Ь + 1 - iri)e^\2p)^e-*»
Fih, й) + iGd-П, Р) = 1 T(L + 1 - й,)|
хЩЬ + l- nj; 2L + 2; 2y). B)
Г/Г _|_ 1 «Л /,7тя/21Х+1
FL(i,, p) + »GLD, p) = |r(L+l-^)| ^'"W2*)- C)
Дополнительные сведения о волновых функциях Коломба можно найти
в работах Абрамович и Стиган A964) и Кертиса A964). Здесь мы
воспользовались обозначениями, предложенными авторами первой работы.
Параболическая цилиндрическая функция определяется формулой
Dv(z) = 2<>-">2е-*г>*ги(A - v)j2; 3/2; г2/2)
= 2(^i/2»/^-i/2^+1/2)/2i_1/4B2/2)
= 2^е-^ Г A1/2) F /-W2 I 2/2\
Z в I ДA - 0/2] ^ I 1/2 Г К)
+
«А-1/2) р /A - v)/2
2!'2r(-v/2) J г V 3/2
л С,Г HI- <4>

8.3. Специальные функции, выраженные с помощью G-функции 321
Дополнительные сведения, касающиеся функции D), можно найти в
работах Эрдейи и др. A953, т. 2, гл. 8), Дж.Ч.П. Миллера A955) и
Абрамовича и Стиган A964).
8.3. Обсуждавшиеся ранее специальные функции,
выраженные с помощью G-функции
Имеют место следующие формулы:
F [** I Л - rfc«) G1-* (-z\ 1~(Х»\
**« \Pq I V - Да,) <*:** [ Z | 0, 1 - pj '
P4Q nmp = q + lvL\z\<l.
Л Ч Г / ~ ГК) G*+*-A r | «J'
?<: <? или? = 4+1h|z|<1.
= *»1ХЫ + 1) Д* + i - m) (%• (ж | Д+f +_* J
_ ^ттеI'2 ГBт + 1) Д& + \ - m)
2k~a
X G™
2^4^2'2^4^2
я + m a + m -\- 1 a — m a — m + 1
(i)
B)
C)
_ г"*ГBот + 1) 1Д / I e + i-* ч
Д* + | + ж) 12 Г U + от, a - ml
(g/2^)^22fc+TBOT + l)
A* + i + я)
X G?S ^_
4 2'2
a + от a + от + 1 a — m a — от + 1
2 + 4~2'2 + 4~2
D)

322 Гл. в. Идентификация pFq и (^функций со специальными функциями
z°e"*Wk,n{z) = za+G/2V{a; с; z)
= [Щ -k + m)m-k- «)]- GfX (. | / + *+_Л _ J
z1'2!"
{2тт)ш Щ-к + m) Щ-k- m)
X GH T-
? + ! + * ? + 3 + *
2^4^2'2^4^2
a + m a + m + 1 a — m a — m -\- \
E)
2 , 2 , 2 '
zae-*<*WktTn(z) = za+c/2e-zU{a; в; z)
= z^G21'°2(z\ a + ?~k )
' \ I a + гп, a — ml
= (zIIttI'* 2a+k
X 2,4 | a
al Л a 3 &
2 + 4~2'2 + 4"~2
a -\- m a -\- m + \ a — m a — m + 1
2 '
, 2 '
^Дж) = 2-С85D|^.«4^).
»« Г /_Ч _ ->2u ^2.0 / «* I М + " M + V + 2 /*-У М-" + 2
* ./Л*; — z "o,4 ^256 —4 '
4 ' 4 ' 4
^-W/,(*) = G\\ B, | ^ +*+Д J .
/LC — Г — 1
. F)
G)
•)• (8)
(9)
z-Yv{z) = (-l)m2uGH
/X + V Ц. — V (Л — V 1
-т ,
2*2* 2
«=0,±1,±2 (Ю)
A1)
A2)

8.3. Специальные функции, выраженные с помощью G-функции 323
<*BzY K?z) = it-1'2 cos vrr Gj-J (lz\ * + ** ) .
(*/2)«4H,(*) = 2-*Д0* + " + D/2] ДО* - " + l)/2]
jU. + CO + 1
(*/2)-1Ц*) = <?й -j-
(*/2)«5д.„(*) =
A3)
a 4)
A5)
r[(l-M + ^)/2]r[(l-M-v)/2]
/i + CO + 1
x .3 i 4
fi+tU + l CO+V CO — V
2 '~2~'~T~
a 6)
W2)mW - ВД] = -^ <?й -i-
v + co + 1
v + co + 1 <o + v со — v
•2*2
A7)
(*/2Ж(*) -ад] = ^ Gf:j
V + CJ + 1
(*/2)<"[/_v(*) - ВД] = тГ1 cos vn G\-\
v -\- a) -\- \ w + v a> — v f "
'' 2 ' 2"
'A8)
У +CO + 1
2
V + CU+1 (X) — V W + V
' 2 ' 2
Ci(z) + tsi(*)
K^-f^lf,!.^^-^!*,!.!)!-
A9)
B0)

324 Гп. 8. Идентификация pFq и G-функций со специальными функциями
с (г) + iS(z)
U\ л. л B^)-1/2в» (/2ч гзд / *2 I 1 \
id +о —2^;— |У сьз (-4-1 f) h i)
+ »°й(т-кмI
B1)
*"Mk,Jiz)Mktm(-iz) = za+c1F1ia; a; lz~)^x[a; а; -га)
_ 2"+У1/2[ГBот + 1)?
~ Щ + к + т)ГЦ-к + т)
X G\i
g+1 , _ a + 1 «,i «+1Г
B2)
^M^*) W_fc,m(*) = «e+V^Ca; e; z)Ua-a; 2-е; z)
_ 2аГBт + 1)
**«Щ + A + m)
x G2:i
|+1-A,|+1+*
fl+1|mai1g+1 g+1 m
03)
z°Wk,m(z) W-*.m{*) = ^+1e-zV{a; e; z)U(.l-a; 2-е; z)
2°
-.4,0
Tl/2 .4 I 4
|+1+*,|+1.-Л
a + 1 , a+1 a a + 1
—2~+ "••—2 "'г*1'-2~~
B4)
»«»Ffc.m(ar) »Ft.m(-w) = за + сУ(а; e; 3eiir/2)?/(a; ej ze~in/2)
2°
^«Д^ - Л + т) Щ - к - m)
xGfcJi 4
|+l+ft, 1+1—Л
a+1, a+1 a a + 1
B5)

8.3. Специальные функции, выраженные с помощью G-функции 325
*"U*) М*)
= ^-1/2^;||гг
со + 1 со
~~2 'Т
<*> + Р + V СО ~ fJL -\- V CO-\-fJ,-V CO-fJL-V
2 ' 2 ' 2 * 2
о> + 1
**/Д*) = *-1/яСЙ я5
со си со
-2+v>T~v'T>
B6)
B7)
*"/-»(*)/Д*)=т_1/,С?Й \*
ш + 1
со со со
у. у + "' у - v
^Л(г)/д2) = 7,1/223ш/2сг:40(
1,0 / ?__
64
со + 2v со — 2v со со + 2
4 ' 4 ' 4 ' 4
со + 1
*-/,(*) Yy(z) = -n~in G™ х
СО СО СО
у, у + у, у - у ,
B8)
).B9)
C0)
z»Iv(z)Ku(z)
= D,r)-i/*G2;42|*2
со со + 1
2 ' 2
CO+fX + V СО —/X + J/ CO+/X-V СО — IX — V
C1)
ш -\- 2v со+2 со со — 2v 1
**М*) *¦„(*) -"¦ 2 О0>4 ^ | ^ , —-— , — , - j .
C2)
z»Ku(z) K„{z)
= 2-hr1'2 g*:2 z*
CO CO + 1
2 ' 2
CO + (I + V CO— /X + V CO+/U. —V W—fl — V
2 ' 2 ' 2 ' 2
C3)

326 Г п. 8. Идентификация pFq и (^функций со специальными функциями
*«•#«>(*) H?\z) = тГ5/22 cos V77 G\* J z
*-[Л(*)Л(*)+ /-*(*)/-Д*)]
= {[2cos(F + vOr/2]/1r1'2}
+ 1
CO CO CO
2.1 I _2
X G22;i z
+ 1 Ш
2 ' 2
Ш + /4 + V W-fl-V W-(l-\-V W-\-/J.-V
2 ' 2 ' 2 * 2
C4)
C5)
= -{[2sin0x + vOT/2]/77l/*}
x g« *
CO CO + 1
2 ' 2
CO + /X + V CO — fl-V CO — fl ~\- V CO -{- fJL — V J
2 ' 2
*-[fli»(*) я,шМ - я«>(*) я«>(*)]
*7TJ
.1/2
G*;4° *2
CO CO + 1
2 ' 2
CO + fX + 1> CO — fX ~\- V CO -{- fJL- V CO — fJL — V
2 ' 2 * 2 ' 2
*-[/в(*)Д*)-/^(*)М*)]
_ sin(/x + v) 7Г
7Г3'2
x G2;2 *2
+ 1
2 ' 2
+ /Lt + V CO — [L — V CO — fJL + V CO+/Z-V
2 ' 2 ' 2 ' 2
(*"/2*)[^(*-")/2#,A)(*) Я«>(«) - etiriv-vWH^z) Я<2>(*)]
_ 7r-5/2^cos ^ _ CQS v?r^
CO CO + 1
4.1 I „2
x gs;J *
2 ' 2
CO + fJL + V CO — /Lt + V CO+/X — V CO — [JL — V
C6)
C7)
C8)
C9)

8.4. Выражение G-функции через специальные функции 327
= 7T~5/2(C0S [Ш + COS VTV)
CO + 1 CO
2 'Т
Gi
2.4
СО + /Lt + V СО ~ fJL + V СО -\- fJL — V СО — fj, — V
2 ' 2 ' 2 ' 2
D0)
8.4. Выражение G-функции через названные выше
специальные функции
Имеют место следующие формулы:
г».* L I М _ v ПГ=1 ЦЬ - Ц* Щ=1 А1 +bh- a,) ^
м \я I V " h Пи г(* + ** - WnjL^i А* - ^)
х
Л-1 (
1 + bh — ap
i+K- ъ*
(-\y-m-nz\,
р < q либо р = q и | z | < 1.
г*.« / I «Л _ v ПГ-d А** ~ *Л* ПГ=1 А*, ~ ^ + 1) ^*-х
м г I v & п?=п+1 д 1 + *, - ад пи Д«> - ад
A + ie — ЙЛ
+ я? — #л
(-1)'
)•
X F ЛW "«
q < р либо g = р и | z | > 1.
ri.» l | м _ гпигд + ^-ад^
*¦' г I *^ П«=2 Д1 + *е - ад П?_„+1 Д«, - ад
р < q либо р = q k\z\ < 1.
*•• v I v п?=2 д i + «3 - ад nu+i гк - ад
+ «„ — <
A)
B)
C)
q < p либо q = p u\z\ > I.
D)

328 Гл. 8. Идентификация pFq и G-функций со специальными функциями
G™\Z\\ + m,\-m)- ГBт + 1) М*-«{х)' E)
G&2 (г | а, Ъ) = **<°+ь>/«-ьB*1/2). F)
G\-\ {z I t. ) = "~ш (cos «*) e*'4a(zl2). G)
GJ:5 @ | a, 6) = 2**<»+«Л:в_»B*1'«). (8)
Gj;2 (^ I ^_) = 1г-»^»«л:,(*д). (9)
/I 1 \ ,,.1/2-2/2
^Иб,и)=^ад2>- <10>
G?:2 (^ I Д) = zbe-zU(a -о; \ + Ъ- о; z). A1)
Gl\ (z | Д) = ЦЬ - a + 1) I\e - a + 1)
хЛ(Ь+1-а;ЬН-г;г). A2)
Gj;2 B | a + 6/2, a, a - 6/2, « + 1/2) = ^-1/2г%(*Ш*),
x = 23/2*1/4. A3)
G0M (* | e + 1/2, a, a + 6/2, a - 6/2) = ir*№**
2 sin 677/2
x = 23/V4. A4)
G?2 (^ I a, a + J, 6, b + \) = «««¦••/«-Л*.1'*). A5)
1/2
G02;J (» I a, -a, 0, 4) = -j=!_ [/„(»<-/«) /„(»-"«)
- /-*(«*"•) J^Axer*"*)],
x = 23/2г1/4. A6)

8.4. Выражение G-функции через специальные функции 329
G20:l(z | О, J, *,-*)= -ji
Tl/2
г sin 2тта
- е-*™]2а{хе^) J.2a{xe-^)l
x = 23/V4. A7)
9^1/2-0-1/2
G™ (z\3a- i, a,-a-\,a-\)= CQS ^ **.(*)[/*(*) + /-*.(*)],
* = 23/V4. A8)
GH (z\0,a-l-a- ?, -?) = 4(W*I/2 K2e(*)
X [cos an- J2a(x) — sin aw F2o(*)],
x=23'2z1'*. A9)
Go3;4° (* I -i a - J, -a - i 0) = -4(^I/2 *2a(*)
X [sin wa J^x) + cos тга YJ^x)],
x = 23/гг1/4. B0)
G3;? (г | a, b + J, J, 26 - a) = B»)»« *»*«_„(*) /«_„(*),
* = 23/V4. B1)
G4;4° (* I a, a + i *, 6 + i) = 4тт**«'+»>Х2(а_ь)D*1'4). B2)
G04;4° (г | a, a + i i, 2a - b) = 8«1«««Л:1(^)(***-«) *2<Ь_,(*<Н*/4),
л; = 23'2*1'4. B3)
G\-X (z* | *0(+4*;?-тЛ) = ^^^fr) W_k,m{b). B4)
G- ("* I \лКш,-ш) = ""^ + » - *)Л* - « - *)
x Wk_nBiz) WKm(-2iz). B5)

330 Гл. 8. Идентификация pFq и ^функций со специальными функциями
Gi.3 (* | о, a,-a) = *Ши*Ш) J-°(*1/2)- <26)
Сй (* | а, of-J = -1/2/«2(^1/2)- B7)
Gj:i И a, J, "а - *) = гBа+2Ь-1,/4На-„-1/2B^«). B8)
^ И а, М - j) = ^<а+Ь,/2П-аB^/2). B 9)
Gil (* I * л) = ^—- L/,«(*lrt) ~ /Д*1/2I- C0)
1,3 \ 1-й, а, 0/ 2sma7r LJ-°V / Jo v /j \ /
С1.'з (* | о, а,-а) = -^J^1") F^1/2)- <31>
G% (z | o, <*f-J = 2/2/*(*1/2) K°(*112)- <32>
1-3 V I a, —a, 0/ sin 2ira L -°v ' a v n
/I /7 4- i \ _~(a+b)/2
G- И a + \X a) = cosib-a), ^^ ~ L-^/2^
С12:з (* | e, « ^ J, 6) = ™<a+6)/U->B*1/2) - La_»B*^)]. C5)
G-Ha+U-^J=27r_1/w^1/2)- C6)
G- (* I a +V--. J ~ ^ tH-^1/2> - ^^l- C?)
G?:J (* I „ h°_h) = 22-2оД1 - a - b) Д1 - о + 6)S2a_1>26B*"*).
I«,e, C8)
G- (* I i, ?-*, J = le^b-a), Я»1/2) Я^1/2)' <39>
Формулы для G-функций при tfz=<? = 3, n = p = l, суть 8.3B0, 21).
G- (* I a + ft, a It, J + c, a - b) = ^"^Л*) /^^ <40>
C3)
C4)

8.4. Выражение G-функции через специальные функции 331
°й (* I Ъ, с, la-Vla -b)= ^^W2a(--) *^">.
GU (z | а> 6Д* _J = (^1/2/4)[ЯП(^1/2) Я^(«1/2)
гзл / I i + *, i - * \ тт1/2Г(т + j-k)
2Л\ I » - i, ?, -i, -m - j/ *»'«Д2ю + 1)
X M_fc,mBs^) ^.mB*^).
Gti (* | ^oti if-D = (W*I/2 Ж"^2г1/2) ^-a.bB^1/2)-
G- И a + b, a + ', +a- c, a - b) = ^~W^U^) К*!*»).
2,4 \ I a, b, —b, —a!
D1)
D2)
D3)
D4)
D5)
^5/2
2,4 \ I я, 6, —?, —a/
4 sin 7гя sin 7г6
Х[*-"*Я^»(*1/«)Я«>(*1Я)
-^>I,!)W2)]-
„5/2
D6)
4 COS 7742 COS 7Г&
+ ^ЯШь(г1/2)Я<^1/2)].
G- (« I *о!"Л*-Л=(W*I/2 щ+6 -a) щ -b
X Wa,bBiz"*) W^i-liz1'*).
D7)
«0
D8)

Глава 9 Функции Бесселя
и их интегралы
9.1. Введение
Для представления функций Бесселя первого рода в
гипергеометрическом виде их можно выразить через функцию 0F Л> либо функцию
1F1. Таким образом, из свойств функции pFq и результатов,
рассмотренных в гл. 7, вытекает целый ряд результатов для функций Бесселя.
Аналитический материал в этой главе сведен до минимума. Здесь мы
рассматриваем главным образом коэффициенты разложений в
бесконечный ряд по многочленам Чебышева первого рода и рациональные
приближения.
9.2. Определения, соотношения связи между функциями
и степенные ряды
л« = t^ti) л(;»+ * -*2w. a)
ш = г!?п °Fi( ;l + v; *2/4) = e-iv7T,2uzein,2)> -* < arg * <^
1(v^l) B)
Ш = т^ТГ) Л(* + v;l+ 2v; ±2iz)- C)
«*) = 7^7+1Т Л» + v;! + 2v; ±2ж) {4)
УД*) = (cosec i*r)[(cos vtt) /„(*) - J-V(z)l E)
Cv{z) = AJX*) + ВВД, G)
где Л и В не зависят от z.

9.2. Определения, соотношения связи между функфями 333
K„{z) = (тг/2)(совес vn)[I_v(z) - /„(*)]
= ^4-%2z)' V{\ + v; 1 + 2v; 2z) = {njlzf^ W0iV{2z). (8)
2ад=<..).[^-^],„. *.« = -m„0 (9)
*№ = /» + >'ВД, я«)(«) = /„(,) - »YD A0)
- C + e) тг/4 < arg z < C - e) w/4, € = ±1. A1)
У„(ге™") = е-гт""УДг) + 2i(sin mv7r)(cot vtt) /Дат), A2)
*,(**»-) = «-"--*,(*) - ;V(sinw"^) /„(*), A3)
Sin V77*
где ш - целое число либо нуль.
Yn(z) = BМ[у + ln(*/2)] Jn{z)
_ (г/2)-" "у1 (n-k- 1)! /_*»\*
_ (f/?): v M Vb [0(fe+l) + ^ + fe+l)-20(l)] /*V ....
7Г ?, ^ J *! (« + *)! ' 4 / • K '
Kn(z) = (-l)"+1[y + In(*/2)]/n(«)
+ (l/2)(,/2)-^g(-1^-^-1)!Df
+ ™1 ,,/2V У № + 1) + Ф(п + к + 1)-2фA)] / ** ч*
+ 2 (*/2) ?, А!(я + А)! \T7- A5)
Функции Кельвина
ber„(«) + i bei„(*) = /„(ге3*"'4) = e^'J^ze-™'*). A6)
кегДг) + i kei^s) = exp(-$wv) КДхе*"'*) = #пН™(з(»**'*). A7)
Функции Эйри
Пусть
2 v
?-_z*. A8)
3

334 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Тогда
Ai(*) = (^/2/3){/-х,з@ -11№(€)} = ^(*/3I/2 К113({). A9)
Bi(«) = (ФУ'ЧипЮ + hM)}- B0)
Ai(-*) = WXJ-Ut) + h,M)}- B1)
Bi(-ar) = (*/3)»«{/_1/з(« - Л/зШ). B2)
Ai'(*) = - (*/3){/_2/3Ш - /,„(?)} = - (*/3"V) *2/3(?). B3)
Bi'(*) = 3-"М'-2/з(?) + /,„(?)}. B4)
Ai'(-*) = - (*/3){/_,л@ - /,«(?)}. B5)
Bi'(-«) = 3-"**{7-Wfl + /,/,(«}• B6)
9.3. Разностно-дифференциапьные уравнения
Пусть Wv(z) обозначает какую-либо функцию Бесселя первого,
второго или третьего рода либо модифицированную функцию Бесселя.
Каждой функции Wv(z) мы ставим в соответствие два параметра а и Ъ,
как показано в следующей таблице:
WM
JM. YM, «?>(*), Я«(*) 1 1
км 1 -1
A)
Тогда
*Wv+1{z) + bW^z) = Bv/*) W,(*). B)
-«w^W + bw^{z) = гад. (З)
zW'v{z) + vW„(*) = farW^*). D)
гВД - i»W,(*) = -azW„+1(z). E)
(г-1<//^)т{2^,(г)} = im«"-m^„_m(«). F)
(x-4ldz)m{sr>W,{z)} = (-a)mz-"-mWl}+m(z). G)
»?«>(*) = 2- X (-1)* (* akbm-kW„_m+2k(z). (8)
k=o x R '

9.4. Произведения бесселевых функций 335
[z*D* + zD + (abz2 - v2)] W„{z) = 0, D = djdz. (9)
Если
y(z) = z-«e-f(*)Wv[h(z)],
то при у = y(z), h = h(z) и f = /(z)
«У + z{2« + z[2f - (h"lh') + (A'/A)]}/ + {[«(a - 1) + 2af'z +f"z*
+ (Я2*2 - (h"lh')(<xz +/V)]
+ (A'/A)(«» + /'*2)
+ (A'J(*2 - к222/А2)} у = 0. A0)
Далее следует обобщение формулы B).
K+ni*) = Tmtt,KXz) + rm-i.„+i(») ^_i(«), (И)
_ { 2(m + l)(w + v) Y
X 4*1 I i , -TTJ. e = 0, 1,
V 2 + € 10/ A2)
Tm+lAZ) = B/»)(" + »*) 'ЛиЛ*) + ^«-l.^»- A3)
Врокскиямм
Положим
W{u(z), »(*)} = u(z) v\z) - u'(z) v(z). A4)
Тогда
wum, /-*(*» = - BM sin w, a 5)
ИЩ»), П(*)} = 2/тгаг, A6)
W{H?\z), Hl2\z)} = -Aijnz, A7)
ЩЦ*), M*)} = - B/w*) sin w, A8)
B^//*), *,(»)} = -!/*. A9)
9.4. Произведения бесселевых функций
Т Ы T(z) - (*/2)"+" F № + v+ П&О* + " + 2)/2 I 2\
A)

336 Гп. 9. Функции Бесселя и их интегралы
/Л*) =
(2}
2^+1
"Л С
+ 3/2
Ду+ОДу + 2I 2\v + 2,2»< + 2
(*/2)"
-*2),
;1F2(v + i;v+ l,2v+ I;-*1).
[Д"+1)]*'
J Л») U») = ^^ iFJii; 1 + v, 1 - v; -*»).
JMUz) =
(*/2)»
/
v+ 1 v + 2
," + !;¦
-**•
[Г(«< + 1)]*° 3 V 2 ' 2 ' ' ' 64
-г4
/_(*Ш*) = -^P- Л (; l + iv, l - ?, b -?-)
2(sin vTr){zj2f
17A - V2)
т)(*/2J F I
3 + v 3-v 3
2 '2 ' 64
B)
C)
D)
E)
F)
9.5. Асимптотические разложения для больших значений
независимой переменной
Hll\z) ~ B/,г*I/2 exp[i(* - Ivn - &)] Л (i + v, ^ - у; -±-) ,
| г | ->-оо, 3 — 77 < arg z < 2т7 - 8, 8 > 0. A)
Я™(*) ~ B/ir«)Irt exp[-t(* - JV77 - J*)] 2F0 (i + v, i - v; - -^U) ,
| г | -»-oo, 8 — 2т7 ^ arg 0 ^ 77 — 8, 8 > 0. B)
Ju(z) = {2l7Tzy2[A(z) cos 0 + B(z) sin 0],
УДг) = BJ7Tzfi\A{z) sin 0 - B{z) cos 0],
0 = z — ?i/
л(*>~«М i l~"pr)'
^г) 1^4M i 1~^Ф
C)
D)
E)
>oo, | arg z | ^ 77 - 8, 8 > 0. F)
1
h{z) ~ B^ 2jF° (* + "•*-": 2?)
exp[-g - e(J + v) in] i 1 _ lv
^ Bw*)»« 2 ° I2 + "' ? ~~ "' ~ 2i/'
G)
l«|-*oo, 8 -B +e) 77 < arg г < B -e) 77-8, 8 > 0, e = ±1.

9.6. Интегралы бесселевых функций 337
| г | ^оо, | arg г | < З77/2 - 3, 8 > 0. (8)
Если v является половиной нечетного целого числа, то выписанные
выше гипергеометрические ряды обрываются, и тогда
асимптотическое разложение можно заменить равенством и опустить при этом
ограничения, наложенные на argz.
Равномерные асимптотические разложения см. в работах Олвера
A954, 1974).
9.6. Интегралы бесселевых функций
HtUt)dt 24fi + v+l)r(v+l)^2l|(M + v + 3),.+ ll 4 )'(i)
R(jt + v) > -1.
/* '"^"W dt = B-М «*«»->. Д|(м -*+!)] rftfc + v + 1)]
+ 0* + " - 1) *H«\z) Su_^(z) - zH"{z) SuJz),
R(p±v)>-1. B)
Функция S^ v(z) представлена в 10.1B).
Г *'Wm A - *"+1(*/2)- F ( * + "^ + " + l I 2iz\
Jo ^° 0* + - + l)T(v + 1) 2M2, + 1, M + v + 2 I 2г*> '
ЯО* + .0>-1. C)
f ^я«»@ а = 1 ^"Д/- + ;+1)Г(м-,+ 1)
Jo ' W "• 2»(f)B
+ «*'»-[0* - к)(м + v + 1)-i H<»(») Яц^.(ягв-И-)
+ гЯ<»х(г) Huv{ze-'^)] + (,* + v + l)"i в"»»«Я«>(яг),
Л(м±0>-1. D)
Функция Нц v(z) представлена в 10.1A1). Если
LM = [A*)] f' (* - <)°-1 /ДО Л, *(«) > О- *(") > -1, <5>
J О
то
2-(»/2)'+" F / (v+ l)/2, (, + 2)/2 I ^
Л'Л ' Г(у + а + 1) 2 3 \v + 1, (v + а + 1)/2, (v + а + 2)/2 I
F)

338 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Когда v — положительное целое число, равное г, тогда ;а r(z) есть
r-й повторный интеграл от /v(z).
В работе Люка A962а) дается дальнейшее развитие приведенных
выше формул, а также целый ряд результатов относительно
интегралов от бесселевых функций, гипергеометрических функций и
излагается ряд смежных вопросов; см. также п. 10.1.
9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева
В этом пункте мы даем аналитические формулы для разложения
бесселевых функций в ряд по многочленам Чебышева первого рода.
Формулы для аналогичных разложений интегралов от бесселевых
функций следуют из разложений, представленных в п. 11.6. Разложения
можно также получить с помощью теорем, приведенных в п. 5.10. За
аналитической частью настоящего пункта следуют обширные таблицы
коэффициентов для целого ряда бесселевых функций и
интегралов,.содержащих эти функции.
Uax) = (axliy ? ВпТ2п(х), -1 < х < 1, A)
71=0
€п(-1)>/4J" / \ + П \_*\
п n\I\n + v+ lI 2ll +2n,v + l +п\ А Г
2Вп г, а2 1 Щп + l)(n + v + 1)
*=. = - f 1 a- 1
I Щп + 2)(и + v + 1)J
Вп
Гг„ , 2 „л а2 ] Щп +1) (и + 1) B)
у{п + 2 _ V) - 16(n + 1)j -г Вп+2 -^-^В^, W
2 ВП = [1>+1)Г1. C)
п = о
/»(«) = I *«Л+п(я/2)Л-п(я/2)Г2п(*), -1 < * < 1. D)
п=0
/»+,(«) = 21 А+п+1(й/2)Л_п(й/2)Г2п+1(х), -1 < х < 1. E)
п=0
В формулах D), E), k - положительное целое число или нуль.
J0(ax) = J en(-l)Vn2(W2)T2nM, -1 < * < 1. F)
71=0

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 339
М*х) = 2 ? (-iTMamjn+imT^x),
-1 <* < 1.
п=0
(?)
/v(a*) = (ax/2)vea* 2 С»Тп*(х), 0< х« 1,
п = о
Cn(a) =
1
en(-l)n22vr(n + i/ + —)(a/2)n
irxr(n + 2i/+l)
-2a
2Cn(a)
(8)
n + 1
[aBn+ 5 - 2i/) + 4(n+2)(n+l + 2v)]Cn+1(a)
a(n + 2)Bn + 1 + 2v)
+ [aBn + 1 + 2^]~1 [aBn + 1 + 2v) - 4(n + l)(n + 2 - 2v)]Cn + 2{a)
{n+l)Bn+5-2v)
+ Cn + 3(a), (9)
(n + 2)Brc+l +2V) +3
2 (-1)"Сп(а) = [Г(„ + 1)Г1. A0)
n= О
Fm(ar) = B/ir)[y + ln(a.v/2)]/„,(a*) + ЛГт_г(а*) - (l/7r)Wm(a*)>
Km(a*) = (-l)'"+1[y + ln(a*/2)]/nl(a*) - (nliyN^iax) + (i2)Wm(iax),
.. . . 1 "^ (m - я - 1I tax\*«-m
tf«-i(«) = - — Zo ~r Ы • m > °.
ty»-l(«*)=0» « = 0, A1)
Wm(ax)= I 4nTn(x), -l«x«l,
Yl- О
ев[(-1Г + (-1)и1 ~ (-l)fe(-m-2fe)w(fefe + w+fefe) a k
n= ,X2»+i fc-o 1 ( 2 } '
[—(ft+m-ra+l)]n + i/2fe!(m + ft)! A2)
где

340 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
k 1
h0 = 0, hk = S — = «/К* + 1) - ^(D-
Г=1 Г
Y0(ax) = B/тг)[у + In %(ax)]J0(ax) + ? ВДя(л:), 0< * < 1,
n=0
B„ = -B/,)?n(-l)«(|)„ ? {M-*a)k
&*!(« + *)!
X {0(« + 1 + k) - 0A) + 0ф - 0(* + h)}h+2n(a),
_ 2€И(|ДJП(-1)Я+1 у A№«)> + M,t n»v
4«0* й, (и + 1М2п+1)^! • *"'
Y,(a*) = BM[y + In K«)]/i(e«) - B/«k) + ? CnT2n+1(*), 0< * < 1,
n=0
2(-i)"+4i«Jn+1 у (-')W(" + IMU.+U ,u,
тт!(п + 1)! t0 (и + 2)fcB« + 2)kk\ ' ^
ЛГ0(йх) = -[y + In КахЩв») + ? BnT2n(x), О < ж < 1,
п=0
Я - , m V (•')ttt)^)t
X {«А(и + 1 + А) - 0A) + 0Ш - 0D + А)}4+2п(й),
€„(?<*)*" » AД)^(И + ЦА+* .
(«О2 Й. (« + 1),Bи + 1)**! • К '
ао
Ki(«0 = Ь + in к«*Ш«*) + (!/«*) + I ВДп+хМ. о < х < 1,
п=0
с __ (^Jn+1 у W> + I)A+m + U A6)
и! (п + 1)! ? (« + 2)fcB« + 2)fc*!
Ниже мы даем разложения в ряд по убывающим степеням
переменной, используя для этого формулы 9.2(8) и 5.10.1A6 - 23). Чтобы
перейти от обозначений, принятых в формулах 5.10.1A6 - 23), к обозна-

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 341
чениям этого пункта, положим
1
a = — +i/, с = 1 + 2v, z = 2Л
2
и со = z/A, где z - теперь новая переменная. Итак,
ЗД = (— ),/2*"z * с„(х)т*(хА),
2z n-o
A/|z|< 1, | arg z | < тт.
Ясно, что
lim Cn(X) = О,
A7)
A8)
A9)
рекуррентная формула для СП(А) получается из 5.10.1A6) и A7), причем
1 (-1)ЯСП(Л) - 1. B0)
71= О
Из A8) и 9.2A1) имеем
Ц}1,(*)-(—)**''в I Я„(А)Тя*(Л/2), Яп(А) = Сп(Л*-"«'/2),
772) П=0 /91 \
1 1 B1)
0=Z 1/77 77, A/|Z|^1, -77 < argZ < 2Т7.
2 4
Разложение для функции Ханкеля H™(z) следует из B1) после
замены i на -i. Итак, на основании 9.2A0) имеем для /v(z) и 7v(z)
разложения в ряд по многочленам Чебышева от z~1.
Теперь рассмотрим разложение такого типа для /v(z), когда z
принимает положительные значения. Из 8.3(9) и 5.10.1E) имеем
'VW = Bt7z)-^*Fv(z), Fv(z) = G]:l 2z
1
1
1
1,B2)
— + v, v
2 2
Fv(z) = 2 Mn(A)T*(A/z), A/z>l, z>0,
n= О
Mn(A) = ^-1/^n(-l)nG
Пг.2. 1
2. 3
2A
1 — n, n + 1
1 1 1
— , +v, —• -v ,
2 2 2
B3)

342 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Функция Мп(Х) удовлетворяет той же рекуррентной формуле, что
и Сп(\) [см. замечание, сопровождающее A9I, если Л заменить на
-Л. С другой стороны, формула разложения B3) сходится для
фиксированных v и А. Поэтому
lim МП(А) = 0. B4)
А также
I (-1)*Л1П(А) = 1. B5)
п — о
На основании анализа, проведенного в п. 5.10.1 [см. формулы
A7 - 18)], можно показать, что значения функции МП(Л) нельзя
получить с помощью обычной рекуррентной процедуры, применяемой в
обратном направлении, если только эта процедура не модифицирована,
как в 12.2A6 - 19). Применение этого метода для получения
коэффициентов МП(А) при различных значениях v см. в работе Люка A971 -
1972, II).
Фактически рекуррентная формула 5.10.1A6) не справедлива,
если либо а, либо Ь есть отрицательное целое число, за исключением
тех случаев, когда п + а > 0 либо п + Ь > 0. Если, например, а = -т,
m - положительное целое число, тогда формула 5.10.1A6) верна
только при п > ттг. Однако, если формулу 5.10.1A6) сначала умножить на
п + а, а затем перейти к пределу при п + а -> 0, можно получить еще
одну рекуррентную формулу. Люк A971 - 1972, II) показывает, как
можно получить разложение для убывающей показательной функции в
ряд по многочленам Чебышева от обратной величины переменной [ см.
формулу 3.2.2.A1)], когда а и с определяются соотношениями A7), а
1
I/ = — (в этом случае Fy2 (z) = 1 - e~2Z).
Анализ таблиц коэффициентов ясно показывает превосходство
разложений по многочленам Чебышева над разложениями в ряд по
степеням переменной. В самом деле, разложение, подобное A8), сходится;
однако с помощью перестановок из него можно получить расходящееся
асимптотическое разложение функции Kv(z). Тем не менее
разложение A8) имеет тот недостаток, что;каждый раз выбирая новые
значения А и I/, мы должны определять новое множество коэффициентов.

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 343
Для того чтобы исправить положение, можно коэффициенты СП(Л) в
свою очередь разложить в ряд по многочленам Чебышева от
параметра 1/. Например, предположим, что Л фиксировано и 0 < v <: 1. Тогда
для указанных значений v можно воспользоваться техникой
рекуррентных формул, применяемых в обратном направлении. Согласно
сказанному, имеем соотношение
СП(Л)= I Lr,n(A)Tr*H, 0<i/<l,t B6)
r=o
и для того, чтобы вычислить приближения к Lr> n(\) с помощью либо
теоремы 1, либо теоремы 3 п. 11.7, последние необходимо слегка
модифицировать. В приложениях удобно вычислять коэффициенты,
используя как теорему 1, так и теорему 3. Сравнение полученных таким
образом коэффициентов позволяет судить о величине погрешности, с
которой мы получаем коэффициенты разложения B6): в силу
комментария к 11.7A1) среднее значение двух коэффициентов, вычисленных
двумя указанными выше способами при каждом г, является более
точным значением, чем каждый из них по отдельности. Простые критерии
для априорного определения числа коэффициентов, необходимого для
получения определенной величины погрешности, могут оказаться
недостаточными и может потребоваться некоторая экспериментальная
проверка.
Люк A971 - 1972) дает построенные на основе высказанных идей
таблицы коэффициентов разложения функций Jv(z), Yv{z), /v(z) и Kv{z)
в ряды по многочленам Чебышева от z и 1/z. Замечательно, что для
вычисления Bz / тгI/2 ez Kv(z) с точностью, примерно равной 20D для
всех z > 5 и всех v, 0 < i/< 1, нужно всего лишь 205 коэффициентов.
Поскольку Kv(z) = K_v(z), то, применяя рекуррентную формулу для
функции Kv(z), которая является устойчивой в прямом направлении,
можно легко вычислить ?v(z) для 2>5и всех v > 0.

Таблица 9,1
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
функций J0(X) и YQ(x)
/о(*)= 2 апТ2п(—)
п- О о
2 х
Го(*)= —(У+ Ь—)/(>(*) +
-8^ х4
+ 2 fcnT2n(-)
п=0 о
0< х4 8
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.15772
-0.00872
0.265 17
-0.37 009
0.15806
-0.03489
0.00481
-0.00046
0.00003
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
TJr\ д. »1
79714
34423
86132
49938
71023
37694
91800
06261
24603
176 19
00760
00026
00000
00000
00000
00000
00000
00000
Г- (х\ -.
74890
52852
03336
72649
32097
11408
69467
66206
28821
46907
81635
79253
78486
01943
00041
00000
00000
00000
2
- (—
11956
22129
80987
77903
26128
88516
60450
27505
00508
76215
92419
53056
96314
83469
25321
75885
01222
00017
-\y*,i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-0.02150
-0.27511
0.19860
0.23425
-0.16563
0.04462
-0.00693
0.00071
-0.00005
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
51114
81330
56347
27461
59В 17
13795
22862
91174
39250
30764
01384
00050
00001
00000
00000
00000
00000
00000
49657
43518
02554
09021
13650
40669
91523
03752
79722
93288
57181
51054
52582
03882
00084
00001
00000
00000
55061
79146
15556
80210
41312
28217
18829
30309
93939
10848
23009
36909
85043
86 74 7
42875
58748
02608
00038
7ТХ
> 2 СпТ*(—), х>5,
п=о х
сп = R(cn) + U(cn)
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0.99898
-0.00133
-0.00031
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
Ж'»)
8 0898
84285
87898
85112
06915
00907
00014
00009
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
1
58965
499 71
78061
32210
42349
70101
54928
26762
39166
03237
02535
00559
00041
00008
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
15390
85578
89289
65665
13894
53734
07929
48672
19797
97518
3 5 729
09032
91896
73316
61861
59438
00964
02436
00789
00125
00002
00008
00003
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
-0.01233
-0.01224
0.00009
0.00001
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
1{сп)
15205
94962
64941
36555
08518
00272
00096
00006
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
78544
81259
84993
70490
06644
44053
46421
83347
60627
21695
02304
00122
00092
00016
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
14382
47486
42287
35682
42635
41355
33771
51799
38000
71634
89890
55390
31372
77838
75375
46244
15906
02500
00015
00135
00044
00007

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 345
Таблица 9.2
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
функций J^x) и Yj(x)
/,(х)= 2 %Т2п + 1(—)
п=0 о
X °° X
/,(*) = — 2 ЬпТ2п(—)
о п=0 о
-8< х4 8
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.05245
0.04809
0.31327
-0.24186
0.07426
-0.01296
0.00148
-0.00012
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
вд
an
81903
64691
50823
74084
67962
76273
99128
22786
75626
03661
00142
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
2
= —
77
34656
58230
61567
47407
16787
11735
96667
85054
30229
30855
77324
58570
12351
00283
00005
00000
00000
00000
48458
37394
18380
48475
03781
17510
63839
32427
6960 5
23363
38731
03076
74811
17735
59509
09629
00146
00002
X
(у + In—)/,(*) -
2
0<
п
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
2
тгх
х4 8
Сп
0.64835
-1.19180
1.28799
-0.66144
0.17770
-0.02917
0.00324
-0.00026
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
оо
- + 2
п = 0
к
87706
11605
40988
39341
91172
55248
02701
04443
58870
07617
00294
00009
00000
00000
00000
00000
00000
00000
05264
41216
57677
34543
39728
06154
82683
89348
19239
58780
9 7070
42421
25281
00577
00011
00000
00000
00000
cnT2n+l(~
92084
87251
62038
25277
28328
20766
85 74 7
58068
93213
54003
07278
29816
23664
74042
38572
19554
00295
00004
X
-)
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-0.04017
-0.44444
-0.02271
0.20664
-0.08667
0.01763
-0.00223
0.00019
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
29465
71476
92444
45410
16970
67030
56192
70623
28858
06528
00264
00008
00000
00000
00000
00000
00000
00000
44414
30558
28417
17490
56948
03163
94485
02701
53299
47952
50737
78030
24343
00572
00011
00000
00000
00000
07579
06261
73587
51976
52366
13441
09524
54078
24086
35852
17479
11712
27870
61216
57794
20347
00314
00004

346 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
П ро должен и е табл. 9.2
/1(x) + tT1(x)= ( ),/2e'(x-TL) 2 dnT*( ), х>5
тгх п = о я
dn = R{dn) + *7(dn)
» R(dn) n /(dn)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1.00170
0.00225
0.00054
-0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
Q.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
22348
55728
32164
11794
09469
OHIO
00012
00011
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
53820
46561
87508
61895
01382
32677
94398
14905
57637
02830
02932
00617
00043
00010
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
99565
179 76
01325
40836
39192
12082
92684
94420
23196
45747
16857
80854
16153
13289
97343
6-3161
00575
02696
00847
00130
00003
00009
00003
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
0.03726
0.03714
-0.00013
-0.00001
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
17150
53224
72632
98512
10700
0038 3
00116
00007
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00537
79807
38201
94687
14057
05261
28 723
59733
75476
24752
02493
00156
00103
00018
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
65365
68994
90679
59687
38568
71449
27663
09244
0 7460
78088
89256
19784
38521
12876
70876
52042
17235
02625
00038
00148
00047
00008
00000
00001

Табпица 9.3
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
X X
интегралов f t"mJQ{t)dt и frmYQ(t)dt, m=.0,1
о п = о о
f Yo@*- —(y+ ь4")//о(«)Л-
О 77 2 О
^ х^
-2 &nT2n + l( — )
п =1 о
0< х< 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1.29671
-0.36520
0.50821
-0.30180
0.08576
-0.01444
0.00162
-0.00013
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
75412
27407
88856
69121
03874
10725
45557
14897
80523
03869
00150
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
10529
41585
60789
16998
41558
38500
64822
32007
00171
53377
02074
79607
12868
00294
00005
00000
00000
00000
84167
37488
27112
30875
28731
54169
73217
2 74 70
47464
61818
18186
04238
92765
08710
79477
09949
00150
00002
0
1
2
3
4
Ь
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1.52325
0.16707
0.19604
-0.27450
0.10180
-0.01978
0.00244
-0.00021
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
89274
19381
60450
26073
66421
67970
75401
24429
37438
06908
00278
00009
00000
00000
00000
00000
00000
00000
53589
81103
17129
93900
62423
11808
49909
21144
21090
3 540 5
19570
18984
25377
00594
000 11
00000
00000
00000
03192
39620
95275
63315
09366
59820
44840
18655
86322
49799
53702
49486
49 742
95975
99595
21031
00324
00004
7t-'J0(t)dt + (y+ln^-) = ft-'[\-J0(t)]dt= I я„Т2п(—), 0<х<
х 2 о п-о о
]t^Y0(t)dt = — (у + In — )ft~i [1 - J0(t)]dt +
х it 2 о
+ _!_ _„-1(у+ь_1J _ J ЬяТ2я (-?-), 0<*«0
6 2 n = о о
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1.35105
0.83791
-0.35047
0.12777
-0.02981
0.00455
-0.00048
0.00003
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
o.ooooc
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
09191
03073
96 397
41586
03569
21984
40862
78020
22588
01066
00040
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
81876
48 68 3
85294
77531
82555
11693
19671
28599
69085
46090
80054
29099
03435
00077
00001
00000
00000
00000
36388
76979
62711
98659
60990
87328
85359
16883
06771
68423
43149
96251
77839
99552
52842
02612
00039
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1.17024
0.70944
-0.28401
0.13265
-0.036 96
0.00636
-0.00073
0.00006
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
76315
45491
50820
78987
71557
04002
70115
14636
38715
01909
00075
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
91773
34294
96576
78083
94706
91027
58540
16385
36647
48867
81934
47764
06783
00157
00003
00000
00000
00000
78917
92278
85981
99830
40644
60459
43150
29090
14065
24907
39230
60612
71842
94562
16655
05525
00085
00001

348 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Продолжение табл. 9.3
00 °° 2 v *'(*+-т-) °° 5
ШОЛ + 'Т^о ('№*=( )Ле 4 2 спт*( —), х>5
X X ТТХ П = О Я
cn = R(cn) + il(cn)
п R{cn) n I(cn)
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
0.98740
-0.01622
-0.00327
0.000 36
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
76158
95522
41117
92769
20837
68286
14Ц4
01069
00268
00128
00027
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
14884
38987
97339
92655
13476
10172
08894
99598
57064
52949
82927
33536
89167
51517
14904
02427
00151
00288
00127
00036
00005
00000
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
26270
83538
24011
13937
09414
02808
67207
18439
68353
03326
64282
92269
79341
91688
80479
97151
48359
66165
37706
07236
70713
80559
07730
51320
16683
03489
00022
00468
00287
00117
00035
00006
00001
00002
00001
оо
fh(t)dt- 1,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
-0.05776
-0.05561
0.00240
0.00019
-0.00005
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
66747
79374
40410
64777
46215
49615
04376
02647
00534
00037
00015
00007
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
40994
24115
70872
76330
76498
33956
23929
66396
45098
89065
36724
57412
86161
21633
04800
03821
01338
00292
00017
00019
00012
00004
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
51444
22950
61157
32259
13484
28297
01943
96766
22653
39485
96861
49246
17165
44301
15078
66065
43845
98739
95082
76575
15265
39396
06272
09161
07387
05463
02336
00713
00131
00015
00028
00016
00006
00002
со
fY0(t)dt = Q

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 349
Продолжение табл. 9.3
00 °* 2 w *'(х + -т-) °° 5
ft-40{t)dt + ift-*Y0(t)dt = ( )/2х-*е 2 спГ*( — ), х>Ь
х х тгх п = о л;
cn = R(cn) + i7(cnJ
п 1{сп)
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
0.95360
-0.05860
-0.01020
0.00196
-0.00009
-0.00003
0.00001
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
15080
83885
28357
01270
57497
57047
16967
16438
00741
01143
00360
00060
00001
00005
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
97385
38723
56598
40436
76977
94770
79604
62464
58457
43875
09032
12573
91246
48920
27404
56714
06075
02520
01912
00740
00189
00020
00011
00008
00003
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
58095
31670
56676
22581
56219
43714
30223
52682
51760
27717
14141
86446
56215
28385
45656
90865
10983
60520
55246
56501
50214
21389
03617
89993
88558
19200
21456
02915
04877
02737
01080
00 308
00042
000 20
00020
00011
00004
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
-0.13917
-0.12902
0.01103
0.00051
-0.00030
0.00004
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
92593
06572
00434
81718
92821
64709
00819
19188
05781
00844
00052
00076
00026
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
02000
61350
81095
08568
01739
84430
88453
83810
36677
89977
56121
32577
86439
42799
17443
39756
20696
06396
01163
00067
00165
00084
00028
00006
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
01236
67062
35741
80364
75681
47525
40928
06925
61104
73317
61520
90924
63177
49860
65343
92920
83990
23674
59235
59603
57337
25597
24474
07698
03171
77237
48022
19502
05671
00862
00269
00309
00167
00066
00019
00003
00001
00001
00001
n R(cn)

Таблица 9.4
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
X U X U
интегралов J""~1j7o(Оdtdu и /и~/'~~1A - JQ(t))dtdu
оо оо
fu-4J0(t)dtdu= I %Т2п+1Ы Iu-ift-4\4(t))dtdu^bnT2n(-)
О О П=0 о О О ° п=0 8
-8 ^ х 4 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3,85110
-0.72972
0.26315
-0.07224
0.01313
-0.00163
0.00014
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
Таблица 9.5
65386
87522
29260
84046
01703
36430
64957
98932
05210
00219
00007
00000
00000
00000
00000
00000
00000
99851
49245
69072
52510
34335
02632
48125
81920
11566
97004
61315
21997
00538
00011
00000
00000
00000
87808
55384
40311
63367
31551
63733
82590
38199
29297
09935
52798
60276
75574
32884
20679
00331
00005
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
lb
16
1.13957
0.93209
-0.16895
0.03292
-0.00499
0.00056
-0.00004
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
65086
57655
03959
46309
54087
00714
70358
30386
01550
00063
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
78636
07534
70272
03043
19772
36392
11046
77449
36662
92857
17264
06187
00149
00003
00000
00000
00000
96373
47899
6402 7
99123
04386
68677
76174
29417
86762
22944
25071
75546
78664
11944
05648
00090
00001
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
функций /0(*) и К0(х)
М*)= 2 апТ2п(— ) К0(х) =
п~0 о
I п=о 8
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
-8< х4 8
127.73343
190.49432
82.48903
22.27481
4.01167
0.50949
0.04771
0.00341
0.00019
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
ап
98121
01727
27440
92424
37601
33654
87487
63317
24693
87383
03260
00101
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
1
81083
42844
24099
62230
79348
39982
98174
66012
59688
15496
91050
69726
68828
06096
00119
00002
00000
00000
00000
56301
19322
61321
87742
53351
87079
13524
34095
11366
62236
57896
72769
12895
89280
89083
06305
03132
00042
00001
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0
240.27705
369.47407
169.97341
49.02046
9.38849
1.25947
0.12377
0.00924
0.00054
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
< Х4
Ьп
96407
39728
16984
37772
73252
97636
69641
43098
06238
53737
09754
00312
00008
00000
00000
00000
00000
00000
00000
8
20389
67282
01148
63439
68442
67703
14924
62866
96492
96028
78302
49571
46434
19628
00393
00006
00000
00000
00000
10102
63764
04378
39371
32756
58618
54118
90621
55807
08704
83898
77932
70610
88451
96098
90835
10673
00146
00002

9.7. Разложения в ря№ по многочленам Чебышева 351
Продолжение табл. 9.5
10(х) = Bпх)-У>е* 1 спТ*(—)
п = 0 X
*>8
п сп
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2Ъ
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
1.00827
0.00844
0.00017
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
92054
51226
27006
72475
05135
00568
00085
00012
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
58 740
24920
30777
91099
87726
16965
13091
38425
29801
78956
33127
04497
01799
00965
00038
00104
00023
00009
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
03188
94320
56653
95896
87802
80812
22285
36400
67230
69832
12763
33864
79030
74832
60424
03934
95045
55447
44315
85864
70878
08676
11194
01211
01813
00249
00299
00062
00049
00016
00007
00004
00001
00001
К0(х) = (^-)У2е-х 2 dnT*(-)
2х п-о х
х ^ 5
n dn
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.98840
-0.01131
0.000 26
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
81742
05046
95326
11066
06325
00450
00037
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
30825
46928
12762
85196
75108
47337
92996
64547
39043
04579
00580
00078
00011
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
80035
28069
72369
66535
50049
64110
45568
17921
75576
93622
81063
83236
36042
72697
27545
04589
00796
00143
00027
00005
00001

352 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.6
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
функций/^х) и к,(х)
М*)= S anT2n+l(-
П=0
'i(*)= 2 ьпт2п{^~)
О гг=0 о
-8 < x <: 8
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
220.60142
125.35426
42.86523
9.45300
1.42965
0.15592
0.01276
0.00081
0.00004
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
a
n
69235
68371
409 31
52294
77090
42954
80490
08879
10104
16880
00575
00016
00000
00000
00000
00000
00000
00000
23778
52356
28256
34910
76213
76256
81733
00690
61938
42203
86950
53453
40484
00854
00015
00000
00000
00000
56112
46451
85130
53517
46814
29116
88545
69214
23750
43687
54206
53976
76606
96289
72 708
25419
00364
00005
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
129.94511
181.31261
69.39591
16.33455
2.57145
0.28785
0.02399
0.00154
0.00007
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
bn
89032
6040 5
76337
05525
99063
55118
30791
30190
87567
32641
01119
00032
00000
00000
00000
00000
00000
00000
38645
70265
34447
22066
47754
04672
47840
15627
85754
38122
46284
27616
79290
01678
00030
00000
00000
00000
86560
39103
53798
16461
90572
03057
55176
21914
16515
30986
56389
52023
55929
97282
95296
50120
00718
ооооч
K,(x) = (y+ln~)I,(x) +x-i- 2 cnT2n+l(—)
? n=0
0 < x4 8
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
418.88944
249.89554
91.18031
21.44499
3.43841
0.39484
0.03382
0.00223
0.00011
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
61663
90428
93387
50539
53928
60929
87455
57203
71310
49754
01746
00051
00001
00000
00000
00000
00000
00000
96890
68080
41787
62240
80464
40938
26884
34170
22460
27122
04931
43294
28903
02780
00052
00000
00000
00000
97522
38961
75763
43921
59793
23432
19281
88760
84561
13645
76984
11806
39664
94119
17097
B5869
01250
00016

9.7. Разложения в ряды по мюгочпенам Чебышева 353
Продолжение табл. 9.6
/,(x) = Birx)'
"V 2 dnT*(-)
п = о х
х>, 8
ТГ .. оо 5
\/2 „-Х
К,(*) = (--)А«-Х2 ввГ*(~)
2# п = 0 X
х >5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
0.97580
-0.02446
-0.00027
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
06023
74429
72053
97321
06297
00659
00096
00014
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
26285
63276
60763
46728
242 38
61142
13872
01140
47563
81530
35408
05102
01804
01023
00052
00107
00026
00009
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
92615
38489
82886
02013
63981
15424
91942
90103
16654
68107
14832
56407
40934
59447
67784
09419
11976
56129
71335
82924
74262
08045
11657
01107
01884
00233
00311
00061
00051
00016
00008
00004
00001
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1.03595
0.03546
-0.00046
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
08587
52912
84750
61850
08451
00571
00046
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
орооо
00000
00000
72358
43331
28166
63810
72048
32218
45554
35417
45757
05288
00662
00089
00012
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
33011
11380
88856
05343
12368
10284
60661
33857
29704
13281
61293
04792
72607
92086
30450
05046
00871
00156
00029
00006
00001

354 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.7
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
интегралов от функций 10(х) и К0(х)
fl0(t)dt= 2 а*Т2я+1( —)
о п=о о
/ K0(t)dt = -(у + In— )fl0(t)dt +
о 2 о
п
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-8
259*89023
144.00704
48.17137
10.43608
1.55652
0.16791
0.01363
0.00085
0.00004
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
^ *<
ап
78064
99049
08012
31327
46198
80424
15129
96966
32308
17709
00601
00017
00000
00000
00000
00000
00000
00000
8
77291
58326
49494
33075
84162
15203
32972
41686
33927
94620
75490
21895
42036
00885
00016
00000
00000
00000
73120
10668
98863
62509
51676
17657
85978
46061
40972
21966
25739
40848
99778
48177
25211
26216
00375
00005
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
+ ЬЪпТ;
п =
0
0 < х4 8
494.46973
287.91209
102.78276
23.73730
3.75137
0.42591
0.03616
0.00237
0.00012
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
к
43920
46138
72089
13023
61611
84155
35210
27602
35768
52235
01825
00053
00001
00000
00000
00000
00000
00000
2n + l(
76091
67131
04561
60633
89713
79600
25074
55936
37415
40841
58521
58787
33900
02881
00053
00000
00000
00000
т>
07855
72634
78295
33053
66941
67827
58274
31706
85715
92078
84278
33400
85232
22921
92916
88585
01287
00017

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 355
Продолжение табл. 9.7
fl0(t)dt=Bnx)-1Aex 2 спТ*(—
О п=0 X
х >,8
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2Ъ
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
1.04790
0.05153
0.00412
0.00055
0.00004
-0.00002
-0.00001
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
61157
72954
80137
55143
73076
09628
12080
08489
11097
02714
01255
00463
00192
00070
00038
00008
00008
00000
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
24010
31712
15044
81221
79123
57759
67263
39008
75766
52545
88772
22049
61390
57828
20465
91488
40548
37019
77371
31033
30584
15045
02560
04289
00820
00750
00481
00001
00124
00052
00010
00019
00006
0000 2
00003
00001
х ьх п=о х
х > 5
n dn
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
2b
26
27
28
29
0.94845
-0.04843
0.00284
-0.00024
0.00002
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
03112
36883
52735
11658
57606
32467
04644
00735
00126
00023
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
70840
20144
36373
65541
49079
76974
74520
32096
56166
37737
58849
94967
20598
04658
01094
00265
00066
00017
00004
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
01200
2683-9
53655
40493
80233
97624
32803
70299
77192
80696
84282
63567
29645
58335
04452
86219
65442
19670
55561
23679
34352
09747
02821
00832
00250
000 76
00024
00007
00002
00001
оо п
SK0(t)dt= —
о 2

356 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.8
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
К сю
интегралов ft"\l0(t) - l]dt и /1~~1 KQ(t)dt
о х
Jr4l0(t)-l]dt= ? anT2n(—), -8«х«8
о п=о 8
ft-4C0(t}dt = {y+]n-)ft-4l0(t)-№ + ?+— 2 ад«Ы
х 2 о Z4 Z п=о о
0< х^ 8
* ьп
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
22.41195
31.48627
11.25818
2.53024
0.38520
0.04205
0.00343
0.00021
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0*00000
92097
97258
19942
75874
74947
20436
78483
77312
09765
04503
00153
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
11540
09661
74855
10407
27554
91893
10239
36377
68565
30397
13864
38364
10702
00225
00004
00000
00000
00000
88911
46640
41180
84810
40692
04074
86068
39044-
04757
26279
76566
93355
91920
42982
13666
06671
00095
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
43.28142
62.20884
23.82776
5.72830
0.925 90
0.10649
0.00911
0.00060
0.00003
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
98168
20010
90009
10540
00275
72792
20168
06120
13670
13280
00464
00013
00000
00000
00000
00000
00000
00000
47953
93457
53506
31355
61214
14668
98979
38440
06001
13478
54582
64208
34092
00733
00013
00000
00000
00000
30024
93811
19306
24026
88322
10418
26527
63728
11057
58260
16292
52879
14393
53295
72714
22542
00327
00004

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 357
Продолжение табл. 9.8
ft~4lo(t) - 1]Л = {2пхГАх-*ех 2 cnT*(—) +In(—), х>
О п= О X X
ft-iK0{t)dt = ( — )*x-*e-*l dnT*{ — ), х>5
х 2х
п = о
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
1.13730
0.15028
0.01257
-0.00173
-0.00186
-0.00058
0.00001
0.00007
0.00001
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
59729
68683
12054
03619
71346
97905
45540
63759
26111
94572
27572
14640
04717
02887
00660
00647
00039
00143
000 21
00027
00011
00003
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
57956
04482
42504
76412
48509
96544
83296
19373
20267
16158
45188
94877
17955
79135
409 21
67951
16081
81343
13812
23932
87240
05554
78160
48200
77950
40800
04548
12601
04067
01659
01874
00410
00335
00284
00047
00059
00046
00007
00010
00008
00002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
0.87823
-0.11074
0.00976
-0.00108
0.00014
-0.00002
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
74557
68238
72723
21377
12539
08930
34136
06052
01149
00231
00049
00010
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
33144
59845
38298
22273
10868
59305
22130
68064
73564
70530
16677
91904
52548
60588
15026
03841
01009
00272
00075
00021
00006
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
87755
47294
76020
23340
05608
37890
56458
17063
34993
87425
78545
21437
52893
90216
38416
29509
69303
30795
21065
23894
12335
80005
53891
16415
05082
01598
00510
00165
00054
00013
00006
00002
00001

358 Гл, 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.9
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
X U X U
функций f u^f I0(t)dtdu и fu~*ft-*[l0{t) - 1] dtdu
0 0 0 0
/и ]l0{t)dtdu =2 %T2n+1(^-) /и/* [Z0(t)-l]*d«=2 b„T2„4)
о о n=o о о о n=o 8
-8 < x < 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
50.14955
21.91121
6.02040
1.09046
0.13847
0.01293
0.00092
0.00005
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
31577
15812
88719
33297
94671
55793
27043
17773
23415
00870
00027
00000
00000
00000
00000
00000
00000
82108
45618
94394
92063
44940
78590
32133
31569
19659
52899
05430
71285
01611
00031
00000
00000
00000
82091
93454
86289
57844
89547
11645
77199
82422
51103
76329
21237
23431
92086
61091
54259
00822
00011
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.21732
6.66881
1.72261
0.30624
0.03844
0.00355
0.00025
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
54461
93468
47594
58948
55904
90727
19556
40463
06316
00233
00007
00000
00000
00000
00000
00000
00000
49819
06710
80346
23843
67473
29586
73815
56291
04983
64357
22904
18972
00427
00008
00000
00000
00000
20862
15591
43570
63682
95253
97459
28618
35972
33167
47100
90096
80968
50839
35723
14304
00216
00003

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 359
Таблица 9.10
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
функций Ьег(х), bei(x), ker(x), kei(x) и ИХ ПРОИЗВОДНЫХ
Ъег(к)= 2 anT2n(*2/64)
п = 0
bei(x) = 2 6„r2n + 1(xV64)
Л= О
Ьвг'(х) = (*/8) 2 cnT2n+1(xV64) bei'(x) = (х/8) 2 <*nT2n(x2/64)
п-О п= О
-8 >< х <? 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.25521
10.84058
8.71271
-0.85344
0.01904
-0.00015
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
154В2
01738
74101
63696
82639
59976
05829
00011
00000
00000
00000
79523
13068
86675
95052
34734
15956
62923
369 30
01270
00000
00000
90138
20665
55916
22986
39291
17446
95910
89629
22191
87119
00039
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-29.34949
-8.98868
3.46690
-0.14735
0.00192
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
10970
87413
09758
80153
21031
04178
00277
00000
00000
00000
00000
21269
38 20 2
41511
21209
54268
99277
43180
40549
00035
00000
00000
22722
57684
39894
28048
04953
03635
21356
17690
22916
01933
00001
0
1
2
3
4
Ь
6
7
8
9
25.78109
14.94051
-2.48492
0.07541
-0.00077
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
24425
22687
25515
65574
64982
34898
00079
00000
00000
00000
89600
76532
96818
88338
50599
29181
48362
10153
00007
00000
75371
54706
57127
11832
45331
41896
33566
93838
83687
00387
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-9.99884
-5.32294
8. 16009
-0.50716
0.00859
-0.00005
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
34643
13802
17317
07078
23457
71184
01800
0000 3
00000
00000
00000
81679
52723
54580
49198
75034
19171
26851
03819
00299
00000
00000
05729
50097
36429
13307
34863
87424
82568
56248
26429
18356
00007
Ьег(х) + ibei(x) = /0(хе3,тг/4)
Ьег'(х) + tbei'(x) = «-**"/*[Бег,(*) + ibei^x)] = е~ы1*]% (хезЫ/А)

Продолжение табл. 9.10
У тг V СС ?.
кег(х) = -(у+Ьл —)ber(x)+—bei(x)-(—L ? епТ2п(— )
2 4 8 п = о 64
kei(x) = -(у+ ln4-)bei(x) —^Ьег(х) + <4"J 2 №„?-)
2 4 8 п = о 64
ker'(x) = -(y+ln^)ber'(x)-x-1ber(x)+4bei'(x)-D-K 2 grtT2n(-^-)
2 4 8 n = o 64
V тт У СО У
kei» = -(у +ln —)bei'(x)-x~1bei(x) Ьег'(ж) + 2 hnT^{ )
2 4 8 п = о 64
0< *<8
ГС
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
п
5.03749
-82.13362
8.61760
-0.20943
0.00183
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
п
13279
54977
65894
20427
72709
72563
00148
00000
00000
00000
00000
&
40243
30465
62441
43605
07812
87142
11082
17194
0001?
00000
00000
п
09626
74995
70191
42250
58606
14307
80775
29932
18762
00557
00000
ГС
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ГС
-34.11314
-33.37426
15.96104
-0.76688
0.01089
-0.00006
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
fn
87924
03178
66759
42692
43699
29825
01765
00002
00000
00000
00000
К
14490
96596
83989
52450
35866
20880
55262
69199
00242
00000
00000
76243
83482
9 39 50
82998
72405
94100
95937
99368
40280
13718
00005
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-30.24095
-65.51939
12.30542
-0.41155
0.00455
-0.00002
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
21143
55565
66464
11950
69840
16804
00517
00000
00000
00000
00000
27190
94624
04620
45437
80054
15192
18527
68679
00054
00000
00000
84320
78265
11634
01403
95188
22712
18270
74648
79415
02784
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-10.38306
4.63400
17.69391
-1.29878
0.02419
-0.00017
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
52726
89303
91618
38466
84772
21444
05719
00010
00000
00000
00000
52518
76357
10812
03610
00411
83306
22142
07561
01028
00000
00000
42353
74285
91434
97255
21282
79904
65045
98801
97780
65109
00027
кег(х) - ikei(x) = К0(хе~ы/*)
кег'(х) - tkei'(x) = в<1ГА[квг1(х) - ikei^x)] = езЫ/АК^хе-1^А)
Ьег(х) - tbei(x) = — [К0{хе~зЫ/А) - K0(x<?-«V4)]
,'V*
ber» - ibei'(x)= [К,{хе-зЫ/А) + К,(хе^/4)]

Продолжение табл. 9.10
К0(хе~^/*) = ( — )l/2^/8+")rtt I РпП(-)
2х п = о х
K1(x*-,V4) = ( — )%eH*/* + u)e-u J qnT%( —)
2x n = o л;
u = 2"~1/2x, x>5
n R(pn) n /(pn)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.99125
-0.00870
0.00004
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
27590
45775
88558
54968
06378
00537
00038
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
13757
92248
00279
42797
02857
88925
03665
80405
07409
04004
00807
00126
00016
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
71500
60627
13133
59179
72398
26933
36911
87493
37643
46940
04345
91627
78693
74350
07994
02512
01072
00280
00060
00011
00002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
-0.00790
-0.00761
0.00028
-0.00001
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
65568
52111
01428
08679
03430
00047
00028
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
61206
06332
53466
91455
71791
78727
77466
46278
53663
05345
00376
00005
00009
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00284
59121
02342
73912
35686
85761
56739
05555
29543
74325
17314
44569
39965
53051
50860
08650
01240
00130
00001
00005
00002
n
«(<?„)
qn = R(qn) + il{qn)
n
'<«»)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1.02638
0.02632
-0.00007
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0*00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
45771
27379
11145
83456
08572
00676
00045
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
27877
40162
12850
68118
29001
79783
60014
03852
09832
04715
00924
00142
00018
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
23444
54838
82471
73449
62198
56927
86316
67136
00251
61149
49058
72392
56911
88902
07963
02892
01189
00307
00065
00012
00002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0.02493
0.02443
-0.00048
0.00001
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
11563
02125
50015
55186
04354
00075
000 36
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
84580
32635
54807
22052
08068
27108
02315
34668
62439
06062
00411
00008
00010
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
59657
26335
11200
84493
17209
70232
70219
13801
08190
51798
47493
52051
79488
83532
56177
09441
01336
00138
00000
00005
оооог
00001

362 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Продолжение табл. 9.10
К0(хе~зЫ/*) = ( )Хв!-(зтг/8 + «)в« 2 гпТ*(—)
2х
п = 0
u = 2"~^я, х^Ъ
Ж'п)
I(rn)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1.00865
0.00855
-0.00012
-0.00002
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
о.оюооо
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
35386
53633
20782
52264
11699
01850
00294
000 31
00008
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
89731
96689
59092
01820
68331
46432
31144
11401
81098
19962
31414
07594
00981
00 548
00011
00035
00007
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
55708
45433
27154
40156
07769
39172
49948
06759
29884
57531
27816
76163
30065
50142
22097
71498
09864
39 760
88635
08455
05989
02407
00084
00225
00079
00001
00009
00003
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
-0.01000
-0.01040
-0.00040
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
16524
34198
81988
46809
19525
01858
00215
00049
0000 5
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
38338
75862
35331
27085
36816
59426
16287
37472
58401
64741
29146
05854
02039
00112
00143
00014
00007
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
83257
28268
06358
12980
30629
18316
69336-
78376
43948
32092
34909
28040
93683
49107
88766
63097
96481
69-885
07907
25347
05618
00925
00822
00149
00042
00030
00006
00002
00001

9.7^ Разложения в ряды по многочленам Чебышева 363
Продолжение табл. 9.10
K1(xe-3'V4) = (^-)l/v'CV8+u)e« J snT*{-)
2х п=о х
и = 2~Угх, х >5
Ж*я)
'(*»)
о-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2Ъ
24
25
26
27
0.97373
-0.0 26Г2
0.00016
0.00003
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
65178
98016
59892
40793
15975
02107
00355
000 32
00010
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
99961
58743
49190
65284
29404
64430
67189
72161
20552
24683
36026
08012
01159
00587
00005
00038
00007
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
22053
37580
36549
60986
14505
98560
76407
51934
39677
086^92
08278
42285
54210
01806
82342
83581
24642
59248
93671
07995
06525
02502
00060
00241
00082
00000
00009
0000 3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
0.02842
0.02908
0.00066
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
97638
87508
92210
81050
23807
02345
00233
00058
00005
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
80044
37542
59207
90636
46811
76227
39348
11070
79873
89227
30 50 3
06758
02168
00145
00155
00014
00008
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
02130
66347
47506
93453
43423
48777
00016
54672
34960
72015
17990
81745
21058
99461
08873
15973
78294
81413
11786
27123
05711
01059
00867
00149
00046
00032
00006
00002
00001

Таблица 9.11
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
1
функций х~\(х), jv(x) и Yv(x), v = ± —
^v/vW= 2 4»T2nG), -8<к^8
n— О
8
\VtJ(x - :
/x(*) + iYx(*) = ( — )V<*-3'/e) 2 ЬЯТ*(-Ь х>5
77# П=0 *
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
n
An(
0.16292
0.10511
0.13242
-0.47013
0.24169
-0.05877
0.00866
-0.00087
0.00006
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
v), v
58079
50518
24755
66584
85159
81532
64845
05421
38666
35864
01594
00057
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
1
4
76064
33156
27353
22099
18686
27298
97492
69721
80734
44044
93491
64899
72875
04373
00094
00001
00000
00000
00000
«*n)
15480
12343
25249
94613
62294
74785
60851
19155
66882
78645
95509
44734
43422
41020
63995
77249
02902
00042
00001
К = R(bn) +
n
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
AnM> v
0.14095
-0.09889
0.29237
-0.27196
0.10031
-0.02032
0.00264
-0.00024
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
H(bn)
04424
25831
16573
83738
55706
93309
33080
10962
63496
08589
00360
00012
00000
00000
00000
00000
00000
00000
Wn)
1
4
34505
80256
91930
64697
12324
73457
03301
16786
60758
20905
46120
37640
35438
00859
00017
00000
00000
00000
80450
71358
84943
27999
83139
26178
67923
09119
29721
24090
29190
33287
30324
63902
89909
32349
00512
00007
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
0.99926
-0.00097
-0.00023
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
16997
66473
27900
61210
04986
00649
00010
00006
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
83419
08281
19041
11436
81089
96102
23765
62955
99177
02274
01809
00397
00029
00006
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
16006
74196
64303
83637
81470
30523
43683
27042
51648
72135
21934
82148
70029
23361
573 80
42190
00666
01733
00560
00089
00001
00006
00002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
-0.00925
-0.00919
0.00006
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
32994
40369
97280
98816
06109
00196
00069
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
85605
61713
65099
25563
30822
87937
01194
86456
43469
15468
01637
00088
00065
00011
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
33084
80152
73685
33149
84656
84503
27121
16615
67802
44093
96188
03327
74118
92199
53128
32944
11304
01773
00012
00096
00031
00005
Y%(x) = J%(x) - 2%J_%(x), Y_Vi{x) = 2-ЧГ%(х) + J1/t(x)]

Таблица 9.12
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
функций x-v/v(x), Jv(x) и yv(x)f v = ±-|-
*-%(*) = 2 Л»Т2п(—), -8<к<8
п=0 о
n = 0
я
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Aniy)> v
0.15921
0.13935
0.05406
-0.49889
0.27634
-0.06962
0.01050
-0.00107
0.00007
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.99946"
-0.00070
-0.00016
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
18677
64007
07319
25940
28099
17491
51479
36049
98632
45371
02038
00074
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
83189
14896
77580
08176
41437
14124
21580
94092
63462
68415
09350
32215
24648
05724
00124
00002
00000
00000
00000
Wn)
0123
77638
87952
43855
03580
00464
00007
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
35293
36250
26919
75455
42553
10843
21026
73021
70556
01600
01288
00282
00021
00004
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
1
3
60054
26069
98869
73779
09958
72070
21916
01433
05385
38583
93453
74519
92145
18891
68853
34948
03868
00056
00001
bn = R(bn)
52860
14260
56340
07034
40564
62258
33596
33710
54580
09976
42696
67591
03354
44013
82827
29922
00462
01232
00398
00063
00001
00004
00001
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
An(v)> v
0.13437
-0.11984
0.28710
-0.24251
0.08569
-0.01691
0.00215
-0.00019
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
+ il(bn)
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
-0.00685
-0.00681
0.00005
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
97942
86974
68687
07291
82591
33949
74934
38490
29832
06748
00280
00009
00000
00000
00000
00000
00000
00000
1
27756
10732
28687
97801
68484
03176
76006
54788
45927
56479
59239
55461
27154
00654
00013
00000
00000
00000
IKK)
69474
43334
01456
71142
04367
00141
00049
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
27212
21755
42019
29548
92366
58283
24417
45775
31070
11008
01162
00063
00046
00008
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
44764
73261
47721
31136
14668
58537
00765
73423
14860
41628
71246
01654
60828
22144
53678
24324
00383
00005
69534
53208
67809
86394
55846
43520
94772
27763
98997
31850
71069
01191
74357
46207
37472
23430
08025
01257
00009
00068
00022
00004
Yv (*) = 3-K[/!,(*) - 2/_v (x)],
r_y3(*) = y[Fy3(*) + 3^/3(*)]

366 Гп. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.13
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
1
функций x~v/v(x) и Уу(х), i/= ±—
*-v/v(*)= 2 An(u)T2n{—)9 -8<к<:8
72= О О
* 2
x1/2J-yM) = ( I/2cosk, %-1/2Л/2(х) = (— I/2*~1sinx
7Г
4n(„), „ = -
1
n A-n(v), v = —
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0.13695
0.18030
-0.16812
-0.53869
0.35658
-0.09697
0.01535
-0.00162
0.00012
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
75288
86984
61413
31975
25672
01449
73976
64975
44801
72417
03320
00123
0000 3
00000
00000
00000
00000
00000
00000
64404
49846
05732
99532
87920
38138
79715
12771
97174
50186
13004
26950
78635
09789
00216
00004
00000
00000
00000
54420
86416
38261
31563
10667
68753
15188
22330
49578
78414
88450
96296
88392
27737
09309
12203
06865
00101
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.12075
-0.14790
0.26404
-0.18993
0.06 203
-9.01164
0.00143
-0.00012
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
45258
26923
76389
42276
76898
29440
13492
48957
816 39
04155
00169
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
19019
59076
44269
8 5509
44444
41549
58107
81762
34433
84588
65472
68332
15915
00378
00007
00000
00000
00000
13667
04910
13135
14475
51299
09142
83329
72750
01290
23173
88075
12611
30668
30022
73095
13732
00214
00003
ВД = -/_«(*)' y-y2(x) = Л*<*>
Последующие коэффициенты для функций cos х и х 1 sin х см. в табл. 3.6.

Таблица 9.14
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
2
функций *-%(х), Jv(x) и Yv(x), i/ = ± —
3
п = 0 о
9 ^
77Х
п = О
n An(v), i/ = - —
^И- ""+~jf
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
0.08307
0.14677
-0.49064
-0.53708
0.45119
-0.13366
0.02229
-0.00245
0.00019
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
65189
82421
81271
96254
46685
52251
27277
08688
31741
15157
05391
00203
00006
00000
00000
00000
00000
00000
00000
70714
85396
48274
93875
89249
07965
97850
34375
98309
21499
20814
86970
36537
16702
00373
00007
00000
00000
00000
13774
65543
31500
54809
45197
02245
46819
83891
31795
94324
71979
98485
86340
19785
70183
21757
12159
00180
00002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.10706
-0.15964
0.23154
-0.14613
0.04445
-0.00795
0.00094
-0.00008
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
16423
55672
28348
03842
81121
89793
45189
01183
51145
02550
00102
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
86466
68641
62294
74246
09228
03527
12900
62342
43070
98880
28602
37191
09306
00218
00004
00000
00000
00000
43961
34784
91180
10067
63513
55087
68469
38651
17215
33266
86309
66450
21345
28231
40647
07739
00119
00002
bn = R(bn) + il(bn)
ЖЬ»)
'№„)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1.00063
0.00083
0.00020
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
42623
96170
10007
48012
03975
00496
00006
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
22219
22157
10698
97392
54267
32219
98219
03120
73554
01538
01352
00292
00021
00004
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
31510
46942
37296
84074
85494
05089
51174
14746
41231
03494
57091
26229
24855
66698
88628
30537
00400
01274
00407
00064
00001
00004
00001
YtAx) = -Z-HYiAx) + 2/_ */(*)],
0
1
г
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0.00962
0.00957
-0.00005
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
40948
62502
63476
80532
04712
00158
00052
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
68137
42 782
40295
21333
25026
78185
409 52
58294
33441
11503
01193
00068
00048
00008
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
48329
57395
43109
51369
88650
97396
29525
24769
00636
44855
85552
41269
54549
68390
36775
24374
08242
01278
00013
000 70
00023
00004
1
У_г,(х) = — [-К7(х) + ЪА]*Лх)\
/з о 3 3

Таблица 9.15
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
3
функций х v/ (х), J (х) и у (х), i/= ±—
4
*-v/v(*)= 2 Лп(и)Т2п(^)9 -84X4 8
п-0 о
/.,(*) + »У»/4(х) = (—) V<* " 5lT/8) 2 Ь„Т* (—), х > 5
77Х П = 0 #
4n(i/), i/ = -
п An{v), v=—
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
п
0.03818
0.08376
-0.69230
-0.51214
0.50327
-0.15627
0.02678
-0.00300
0.00024
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
88739
61801
31627
95647
80857
56201
43130
22381
02372
45009
06861
00261
00008
00000
00000
00000
00000
00000
00000
23737
83353
37762
45616
82480
74437
08894
05763
95880
90789
46611
89586
24520
21797
00491
00009
00000
00000
00000
ЖЬ„)
32877
92342
26562
04811
03641
04345
89412
86516
85029
33805
92642
90084
46257
17179
03745
54345
16171
00241
00003
*„-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
R(bn) + il(bn)
п
0.10033
-0.16051
0.21380
-0.12741
0.03750
-0.00656
0.00076
-0.00006
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
1
19891
88065
33597
31877
21128
39297
57670
40663
40426
01996
00079
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
39053
96379
57252
14541
48965
55197
81903
07078
83397
26343
33846
59478
07110
00165
00003
00000
00000
00000
пь„)
98255
52297
48053
20984
00073
89837
28333
44199
24072
77317
85596
82930
11587
67797
32430
05805
00089
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1.00095
0.00126
0.000 30
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
37439
28060
27053
70122
05834
007 18
00009
00007
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
52710
52685
90738
06892
7 5-836
80236
74117
27214
05563
02141
01945
00418
00030
00006
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
45606
56358
16892
12271
04373
07645
68360
53447
41210
16158
94119
22305
15384
71694
69722
43496
00533
01824
00581
000 90
00002
00006
00002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0.01548
0.01540
-0.00008
-0.00001
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
04303
99141
30726
19032
06845
00233
00075
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
74290
20986
67787
14813
99586
76238
77172
1308 3
48531
16523
01704
00099
00069
00012
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
44633
59178
65841
89763
60370
49484
19576
45546
37999
48209
14810
55759
57786
39364
51632
34954
11768
01817
00020
00100
00032
00005
Уз/4(х) = -/з/4(х) - 2%J_*/4(x), У_з/4(х) = 1-% [ -Уэ/4(х) + / »/4(*)]

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 369
Таблица 9.16
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
1
интегралов функций/v(x) и Yv(x), i/= ± —
*-у~77„(*)Л= 2 An(v)T2n(~), -8<*<
о п — О о
1
An{v), *=- —
О
0
1
2
3
А
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1*
15
16
17
0.49379
-0.35949
0.31318
-0.17035
0.04915
-0.00857
0.00100
-0.00008
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-.0.00000
43365
38354
37689
70492
61260
73428
27729
42278
53395
0 2649
00105
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
93762
55150
85315
39821
43071
55470
49057
32929
62526
39051
80234
47653
09569
00223
00004
00000
00000
00000
93657
73127
16662
19708
92861
88154
45264
16249
54229
82298
53666
76927
46158
95824
51252
07912
00122
00002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.205 96
-0.24095
0.14858
-0.05632
0.01272
-0.00186
0.00018
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
67464
45570
48589
17821
26120
14682
99142
42774
08242
00377
00014
00000
00000
00000
00000
00000
00000
51231
05558
54665
06799
62536
89847
72414
55373
28296
11283
01916
43202
01121
00024
00000
00000
00000
80193
76587
87865
12091
21429
37708
47005
54148
25590
71224
03435
00019
95792
89612
47759
00800
00012
fYi,(t)dt = 3_1/*[/ h/(t)dt - 2f/_v(t)dt]
о 3 о 3 о 3
{Y_i/3(t)dt = — [fY%(t)dt + &Ui,(t)dt]
о 2 о о

370 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Продолжение табл. 9.16
~J%(t)dt + i°fYV(t)dt=(— )V<* + w/'« I ЪпТ*{-)
x x 1TX п=0 X
х > 5
bn-R(bn) + il(bn)
п R(bn) n I(bn)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2Э
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
0.98882
-0.01440
-0.00291
0.000 32
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
97080
53104
83264
23047
16071
59416
12228
00923
00233
00111
00024
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
37670
12239
76044
73967
41227
22057
53452
77123
04071
32223
09277
02063
77236
44613
12906
02102
00131
00249
00110
00031
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
12116
58488
29914
46914
96707
21583
96953
07165
46982
66035
54885
67281
27307
05827
73409
48123
19321
98027
30909
23915
94252
69763
93296
44444
14448
03022
00019
00405
00249
00101
000 30
00005
00001
00001
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
-0.05279
-0.05091
0.00210
0.00017
-0.00004
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
76450
36487
91347
39472
75608
42892
03819
02295
00462
00032
00013
00006
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
18858
30090
29260
10378
24576
90391
83428
18964
66615
74424
31618
55903
61190
18729
04157
03309
01159
00253
00015
00017
00010
00003
оооео
00000
ООООО
00000
00000
00000
00000
ООООО
00000
00000
00000
00000
06940
05506
48518
58509
78148
25461
35272
55980
71955
16012
98732
01345
06899
44392
33564
50464
06808
72586
54586
11719
52435
80525
92034
07934
06398
04731
02023
00618
00113
00013
00024
00014
00006
00002
r/y(t) А = 1» fY%(t)dt = -3-,/*
о 3 о

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 371
Таблица 9.17
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
1
функций x~~v/v(x) и Kv(x), v= ± —
х~\(х)= 2 An(v)T2n( — )> -Ъ4*4
п = о
AnhA> v = - ¦
n Aniy), v = —
4
0
1
2
3
4
5
6
7
6
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
209.59062
317.00792
141.45293
39.56383
7.38064
0.96908
0.09360
0.00689
0.00039
0.00001
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
о.ооооо
0.00000
0.00000
15375
25021
77868
78741
65080
46487
34898
38664
86253
85368
07072
00225
00006
00000
00000
00000
00000
00000
00000
52424
81224
21139
05546
42638
05676
73674
96563
25375
70819
31576
13813
06620
14005
00280
00004
G0000
00000
00000
77370
06653
93217
28468
48929
88986
25397
77869
74699
17986
84242
21016
55308
88481
06939
89596
07544
00103
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
77.21811
113.42825
47.64374
12.42423
2.16151
0.26571
0.02414
0.00168
0.00009
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
30087
38420
69803
30269
94052
80340
83312
16199
23567
40958
01495
00045
00001
00000
00000
00000
00000
00000
15195
28391
57541
63289
25023
11124
33806
50850
62672
08 321
62011
71268
18588
02642
00051
00000
00000
00000
08688
70394
86212
02498
35004
56938
45829
98591
68623
17864
59572
75757
43261
67000
11578
86603
01296
00017
К»/4(х) = 2-г4»г[/_1/4(х) - /у4(х)]
К_%{х) = Ку(х)

372 Гл. 9. Функции Бессет и их интегралы
Продолжение табл. 9.17
г, 8
11Лх)-{2пх)-Ьех 2 ЬПТ*( —), х>Л
п = о х
К%{х) = {^-)%е~х S спТ*(—), х >5
2х п = о х
п сп
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
1.00619
0.00631
0.00012
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
92270
99620
56131
52052
03591
00355
00036
00001
00002
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
14122
31140
27965
40761
84411
85362
05011
26294
96595
18337
21655
03032
03041
00530
00204
00105
00005
00014
00001
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
57068
71764
63848
57340
38806
88796
66436
10401
12439
70164
68249
03737
10001
77173
52639
49334
50090
35975
13866
87253
31536
26035
05770
04034
00914
00697
00125
00130
00012
00025
00001
00005
00001
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.99128
-0.00850
0о00019
-0,00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
81656
62567
70491
80377
04554
00323
00027
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
75147
20022
57408
10166
01498
27352
16130
60644
27882
03267
00414
00056
00008
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
07489
24415
35126
53940
42688
81652
28432
07112
69016
69068
08700
16859
09018
22930
19600
03264
00566
00102
00019
00004
00001

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 373
Таблица 9.18
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
1
функций х vly(x) и Kv(x), u= ±—
п = о 8
1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
246.76446
374.90419
168.94690
47.81292
9.02594
1.19852
0.11697
0.00869
0.00050
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
77610
63977
54665
47970
18911
10167
76116
83095
74091
37873
09143
00293
00007
00000
00000
00000
00000
00000
00000
21950
61772
51934
09021
35278
30412
93126
97421
61720
65337
62383
09947
94846
18462
00371
00006
00000
00000
00000
14476
38356
32342
28986
81180
23176
92166
34176
07577
43276
07318
86363
32582
55797
27729
52493
10105
00139
00002
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
65.17366
95.23190
39.59331
10.20622
1.75552
0.21351
0.01921
0.00132
0.00007
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
54884
27040
03435
18597
58978
04236
26868
57975
22075
31776
01152
00034
00000
00000
00000
00000
00000
00000
16526
92163
21063
97178
34803
00373
62831
71063
54088
13642
07184
97935
90183
01998
00038
00000
00000
00000
95482
97860
45067
58861
58155
85749
23642
41284
40446
90919
65074
67902
77386
07607
43793
64790
00965
00013
Куз(х) = 3-14ir[7_^(*) - /уз(х)]
K_i/(x) = Ki/(x)
/3 /3

374 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Продолжение табл. 9.18
ЬЛх) = Bпх)~%е* 2 ЬпТ*(—), х > 8
п- О
77 л.-« ~
Ку(х) = (—Г2*"* 2 с„Т*( — ), х > 5
2х
гг = О
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
1.00458
0.00467
0.00009
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
61710
34791
08034
37262
02520
00227
00012
00006
00003
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
93207
99873
04815
16110
73237
82110
91332
11915
75616
16415
14443
05373
03074
00297
00265
00091
00015
00014
00000
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
34833
59910
03519
59392
89921
77259
27669
15648
85308
45893
25071
68740
27194
65 801
19963
36476
52212
12177
22965
98300
12744
28761
02981
04505
00457
00764
00044
00137
00003
00025
00003
00004
00001
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.99353
-0.00631
0.00014
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
64122
44392
30095
57870
03265
00231
00019
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
76093
60798
80961
60592
50333
23231
39555
85897
19868
02326
00294
00039
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
38920
63137
13131
02472
19976
95077
14434
88507
42439
78966
68313
95293
75225
87375
13927
02319
00402
00072
00013
00003
00001

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 375
Таблица 9,19
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
1
функций x""v/v(x) и Kv(x), v= ± —
п = о о
2 i,
х/2/_у>) = (—Lchx, x-/2iy2(x) = ( — )/^-1 shx
An(v), v- —
1
4n(i/), v =
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
341.14680
522*76731
240.22615
69.60690
13.45808
1.82814
0.18223
0.01381
0.00082
0.00003
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
66877
23162
12568
52290
70162
08870
08830
56240
0 390 3
90944
15256
00495
00013
00000
00000
00000
00000
00000
00000
57709
06884
58864
19078
18460
29306
13487
12655
31650
64565
16735
92652
62496
32034
00651
00011
00000
00000
00000
35762
75983
67852
72448
04060
20115
19697
81706
28533
53339
55748
91520
55968
55257
57899
57419
18106
00251
00003
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
46.30161
66.92307
27.25731
6.86653
1.15472
0.13749
0.01213
0*00082
0.00004
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
21376
67839
02358
89697
07749
54616
27205
22993
40495
19090
00682
00020
00000
00000
00000
00000
00000
00000
63508
81516
01156
66800
19002
57570
25685
97455
14611
65804
41975
44885
52077
01140
00021
00000
00000
00000
58533
78476
57567
61513
05399
59483
67827
19710
83834
91177
61328
46493
85488
62540
70695
36218
00534
00007
&%(*) = (~)iU/2(x) - h/2(x)l = (~ )V*e-*
ZO/2(*) = Щх)
Последующие чебышевские коэффициенты для функций ех и е~х см.
в табл. 3.3.

376 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.20
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
2
функций x~~vZv(*) и Kv(x), v=±
п = 0 о
2 2
п ЛяA/), 1/=-— n 4n(i/), 1/= —
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
469.95312
726.03216
340.10272
100.90075
19.98542
2.77810
0.28291
0.02187
0.00132
0.00006
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
79949
50664
33771
85218
28723
11375
28347
48334
26199
40820
25392
00837
00023
00000
00000
00000
00000
00000
00000
20422
95923
79941
30026
93609
55155
05747
95706
57420
86136
92565
21455
30625
55474
01141
00020
00000
00000
00000
45819
67181
55999
31764
46223
75221
25953
09367
50365
66998
78414
18318
06863
05288
38753
49509
32389
00454
00006
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
32.77479
46.83793
18.68656
4.60121
0.75671
0.08824
0.00763
0.00050
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
24030
90742
02563
27076
34574
176 20
78220
85533
68011
11441
00403
00011
00000
00000
00000
00000
00000
00000
35026
83086
49831
45102
71448
77463
14940
07618
17196
45898
31192
92919
30013
00649
00012
00000
00000
00000
33440
52136
12085
940 50
13715
53461
49230
34336
81826
26759
20640
42611
89391
93739
23720
20213
00295
00004
КгЛх) = 3_1/2тг[/_2/з(х) - И/з(х)]
К_2/(х) = К*/з(х)

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 377
Продолжение табл. 9.20
h,(х) = BпхГ%е* 2 ЬПТ*( —), х>Ъ
П= О
77 V
&,(*)-(—)**-* 2 *ЯТ*( —), *>5
2л;
г? = 0
тг
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
0.99363
-0.00646
-0.00010
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
Ъп
49867
71526
60188
41406
02916
00365
00075
00019
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
16925
00616
22351
57716
95418
71574
81590
23008
20438
39372
19007
10137
01331
00676
00311
00011
00040
00004
00004
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
14075
03301
54487
23469
20778
33200
37399
52343
79538
03510
44203
63568
29494
92205
72156
86909
21108
78382
73482
15940
58663
20610
08266
03374
01364
00527
00257
00076
00052
00009
00011
00000
00002
П
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1.00914
0.00897
-0.00017
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
сп
95380
12068
13895
65547
03595
00250
00020
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
72789
42483
98261
92549
19190
24412
74924
97223
20946
02440
00307
00041
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
40218
59755
53943
82352
48499
18493
13355
66561
47303
93253
90652
60827
97399
90528
14400
02393
00414
00074
00014
00003
00001

378 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.21
Коэффициенты разложения в ряд .по многочленам Чебышева
3
функций х v/v(x) и Kv(x), i/ = ±—
*-%(*)= 2 Л»Г2п( —), -8« *< 8
п = 0 о
А„Н, у = -
п А (у), v = —
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
550.85016
654.33983
404.01608
121.28594
24.31702
3.41979
0.35204
0.02749
0.00167
0.00006
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
30341
22965
32602
02003
998 59
37183
85520
25423
75241
19619
32729
01086
00030
00000
00000
00000
00000
00000
00000
70284
82786
60410
53382
04328
85947
80364
21295
42529
02809
89641
86125
45750
72946
01509
00027
00000
00000
00000
56795
493Ц
71583
69889
91121
02679
77796
73950
80727
85823
93685
93681
72505
04113
60227
25484
43293
00610
00008
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
27.53708
39.12415
15.44817
3.76092
0.61173
0.07060
0.00605
0.00039
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
02195
98284
01263
53817
09235
21276
30181
95102
08849
08849
00309
00009
00000
00000
00000
00000
00000
00000
73353
07127
74054
01842
84474
80523
43426
75267
58933
49892
79261
10421
22768
00490
00009
00000
00000
00000
85694
82013
70556
В3709
84880
59245
79264
90197
48629
15498
90894
10195
74494
27234
18212
15091
00219
00003
&4(ж) = 2-^п[1_уА{х) -Ь/4(х)]
К_;(х) = К%(х)

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 379
Продолжение табл. 9.21
ЬЛх) ш Bтг*ГV I ЬПТ* ( — ), х > 8
4 п = о л;
4 2х п = о л;
n fen n сп
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
0.98980
-0.01035
-0.00015
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
19115
09365
85263
60527
04158
00487
00089
00019
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
24008
14827
84973
21962
38597
99346
86835
83283
58969
08766
25819
09780
00565
00851
00270
00040
00040
00001
00005
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
91053
02366
08076
69398
31055
56591
43794
58282
60092
61846
44847
23878
05071
65936
24995
96038
49626
11252
24821
70416
69690
14472
10173
02430
01667
00362
00 301
00044
00058
00002
00011
00001
00002
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1.01476
0.01449
-0.00025
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
24350
34617
87162
96912
05261
00363
00030
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
64637
87809
07241
18911
29313
96854
05472
84827
30182
03511
00442
00059
00008
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
87104
66495
80365
49213
98850
28973
75589
79992
90699
09500
27227
69557
56248
29645
20607
03423
00592
00106
00020
00004
00001

380 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.22
Коэффициенты разложения в ряд по многочленам Чебышева
интегралов функций /у(х) и Ку(х), v= ±-
1
t-"-4iv{t)dt= S An{v)T2n{^-), -8<*<j8
О гс=0 о
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Ап<у)> v =
37.13171
51.83684
20.31771
4.93462
0.80311
0.09290
0.00799
0.00052
0.00002
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
10624
32807
26547
28026
33029
41695
10820
94196
77877
11822
00415
00012
00000
00000
00000
00000
00000
00000
1
3
42210
69385
47443
35283
50707
17721
74845
86074
19996
95948
59236
26322
30791
00665
00012
00000
00000
00000
88716
04232
38419
23263
39916
69149
93537
27989
42354
59139
93036
12416
43101
59749
51272
20640
00 301
00004
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
К
9.91967
12.99446
4.62139
1.01563
0.15040
0.01595
0.00126
0.00007
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
(У), v
05951
00285
70994
6 5613
41767
11335
73333
80876
38349
01534
00050
00001
00000
00000
00000
00000
00000
1
'" ~3
33311
78086
91553
79056
77394
74471
96268
84856
21534
78030
98099
42731
03412
000 70
00001
00000
00000
97436
99911
94909
52862
06957
35477
80628
61104
56630
78076
81234
59557
41214
45636
26866
02009
00028
*-%
fKi,(t)dt = 3~ *1г[ fl_^(t)dt - fh/3(t)dt]
fK_i/{t)dt = fKi/(t)dt

9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 381
Продолжение табл. 9.22
fh,(t)dt = Bir*r V 2 bnT*( - ), х > 8
tt= О
я i/ °° 5
№(OA = (-)VxScnT*(H *>5
2x
n= О
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11,
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
1.04314
0.04614
0.00332
0.00031
-0.00002
-0.00003
-0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
-0.00000
0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
26375
81441
37687
70067
61018
38911
90742
10372
12507
00544
01660
00164
00258
00019
00046
00001
00008
00001
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
97623
17153
31804
42678
94776
70760
58771
78957
86213
75035
20071
80732
34647
21568
13844
21014
54979
63658
41781
65190
14602
18313
02011
03621
01682
00284
00521
00131
00080
00068
00009
00014
00009
00000
00002
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0.95277
-0.04445
0.00253
-0.00021
0.00002
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
51681
34999
35888
19435
24934
28253
04034
00637
00109
00020
00003
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
62171
08360
40117
87680
77764
15829
11595
94575
72930
26007
97563
82270
17842
04035
00947
00230
00057
00014
00003
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
87270
31283
18913
21300
46526
60541
60099
69250
75016
52732
42317
07660
37550
02151
56173
25871
72709
89326
94536
07110
29750
08441
02443
00721
00216
00066
00020
00006
00002
00001
V
fKi,(t)dt = 3Tbir
о /з

382 Гп. 9. Функции Бвссвпп и их интегралы
9.8. Разложения в ряды по функциям Бесселя
Имеем (см. также формулы 9.7D - 7))
Л(А*) = А' ? A~ЛТ(*/2)" /,+«(*)• A)
»!
YJXz) = А- ? A AJ(*/2)" Yv+n(z), | 1 - А» | < 1. B)
«=о "•
JAz> - цу +1) Ы „ti ni (v +1)„ Ы •/«+«-**'•
а - 1 не есть отрицательное целое число. C)
Т М - Г(й) РГ" V (^)иBи + а)(д-у)п(д)п г , ч ш
UZ) ~ I\v + 1) 12/ ? «I (v + l)n hn+a(Z)' W
a не есть отрицательное целое число.
Если a = 0, формула D) принимает следующий вид:
Т(Я\ - (*/2)" V (-1)Х(-")п г , , «Ч
ЛИ ~ А" + 1) „?, (^ + i)n hn{z)- E)
-^- - [In ,/2 - ф{у + 1)Щж) + r{v+l) ± я1 (, + 1)п
X {ф(у + I + п - а) -ф(* + I - а) -ф(п + v + I)
+ 0(v + l)K*/2)"/»+e-i(*), F)
а — 1 не есть отрицательное целое число.
-^- = [In »/2 - 0(v + 1)Ш*) + 7>+1) 1оЯ!(„ + я + 1J • W
i F.(«) = [In ./2 - «. + 1IU«) - ^- (./2)-? (|g^|

9.9. Рациональные приближения 383
*ы(*) = (-l)m+1 [In */2 - ф(т+1)]1т(*) + (т\/2)(*12)-т
h «!(«-») +( ' к (п+т)\п ¦
Еще одно разложение третьего выражения в правой части (8) и (9)
можно получить из соотношения
_, у (*m„Uz) _ S (-l)"Bn + m)
А (» + «)!» ~ ? я(я + «) y2n+mW
Другие разложения см. в работе Люка A969). Там же даны разложения
некоторых интегралов, содержащих бесселевы функции, в ряды по
функциям Бесселя.
9.9. Рациональные приближения
9.9.1. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим рациональные приближения для бесселевых функций
как для малых, так и для больших значений z. Под малыми
значениями z будем подразумевать такие z, что | г \ < г, г - фиксированная
и конечная величина. Под большими, значениями z - такие z, что R <
< \ z | < ©о, R фиксировано и конечно, и z принадлежит некоторому
сектору комплексной плоскости. Такие приближения являются либо
частными случаями, либо распространениями результатов, полученных в
п. 5.12, и применяются к составляющим, на которые распадаются
соответствующие функции. Некоторые рациональные приближения
функций /v(z) и /v+i(z)//v(z) рассматриваются в п. 9.9.2. Эти приближения
тесно связаны с определенными приемами, используемыми для
вычисления бесселевых функций с помощью рекуррентной формулы,
применяемой в обратном направлении. Техника такого вычисления описана
в п. 9.10. В последней работе Люка A973) описана процедура
рациональных приближений для функций Km(z) и Ym(z) для малых z и целых
т, а также даются коэффициенты рациональных функций при т = 0, 1.
Здесь мы на этом вопросе останавливаться не будем.
9.9.2. ФУНКЦИЯ /y(z) ДЛЯ МАЛЫХ ЗНАЧЕНИЙ г
Функции Бесселя можно представить в виде гипергеометрических
функций и сделать это можно двумя способами. Так, мы имеем формулы
z2
'v(z>etWoM*+i; -т-Ь A)
4

384 Гл. 9. Функфи Бесселя и их интегралы
1
lv(*)-Uv(z)e\F^v+—; 2^ + 1; -2z), B)
Li
Uv(z) = (^-)Vr(v+l),
it
на которые в дальнейшем будем ссылаться как на случай I и случай II
соответственно. Поскольку имеет место соотношение
/V(Z) = * W2jv(«-*ir/2b C)
мы можем легко получить рациональные приближения для функции /v(z).
Таким образом, для того чтобы вывести соответствующие формулы
приближения для функции /v(z), необходимо в определенных ниже
приближениях для функции 0F1 заменить z2 на -z2; в приближениях же,
полученных для функции ^, нужно z заменить на -iz. При
действительных значениях z и v функция Jv(z) принимает также
действительные значения. В этом случае представление функции /v(z) через
функцию 1F1 невыгодно, поскольку придется иметь дело с комплексной
арифметикой.
Случай I. Пусть в формулах 5.12A - 11)
? = 0, <?=1, p1==i/+l, / = g=Q, a = 0,
а = 1 - S, /3 = v, Л = i/ + 2 - S, 5=0 либо 8 = 1,
у = z и z заменим на z2/4. D)
Тогда
z2
0^A/+ 1; — ) = Un(z)/sn (z)} + Rn(z), E)
z2
Bn(z) = 0F?(-2n + l-A; — Ь F)
4
1
—tti, — — m
2
ЛпB) - 2F3 \_2n _ Л + 1( v + lf _2m
1 8
r -[m], m = n + ,
2 2
G)

9.9. Рацион альны е приближения 385
B0(z) = l, B1(z)=l-
4(А+1)
BJz) = 1 + , (8)
4(Л + 3) 32(А+2)(А+3)
ВМ) = 1 -
z2 z4 z6
4(Л + 5) 32(А + 4)(Л + 5) 384(А+ 3)(Л+ 4)(А+ 5) '
B-S)z2
40(z) = l, АМ) = 1 + --—- -,
4(А +l)(v+ 1)
D-S)z2 B-S)C-5)z4
A2(z) = 1 + + , (9)
4(Л + Щи + 1) 32(А + 2)(А + 3)(i/ + 1)(„ + 2)
F-S)z2 D-S)E-8)z4
AM) = 1 +
4(Л + 5)(t/ + 1) 32(A + 4)(А + 5)(i/ + l)(i/ + 2)
B-S)C-S)D-S)z6
384(A + 3)(A + 4)(A + 5)(u + l)(v + 2){v + 3)
Как An{z), так и Bn(z) удовлетворяют рекуррентной формуле
В„{г) = A + F1 y)Bn _,(z) + (? + F2y)yBn _2(z) + F3y3B„ _3(z),
z2
n > 3, у = ,
4
(n-A+1) (n+A-3)
F,= , ?= , A0)
n{2n + A - l)Bn + A - 4) nBn + A-4)Bn + A-3)
^2 =
^3 =
E(n + 2A - 4)
(n + A - 3)Bn + A - 5)Bn + A - 2)
-?
Bn + A - 6)Bn + A - 5JBn + A - 4)
Эта формула устойчива, если ее применять, в прямом направлении.

386 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Для определения погрешности имеем следующее соотношение:
(z/2)vRn(z) (-lHz/2J" + vO(n^)
ГA/+ 1) ГA/+1)п!(п + Л)я
pi = 1 - S - R(i/), если -1 < R(u) 4 1 - S ,
/х = 0, если R(i/) ^ 1 - S,
и, следовательно, при фиксированных z и i/, /?(i/) > —1, этот процесс
аппроксимации сходится. Другая формула для определения
погрешности дается в 9.10.3A0 - 13) при m = 0; в этих формулах ограничения
для v ослаблены до - п < arg v 4, тт} v не есть отрицательное целое число.
Случай II. Пусть в формулах 5.12A - 11)
1
р = <?=1, a.=v + , р. = 2и + 1, / = g = 0,
2
A2)
а = 0, а=1, ? = 2i/, A=2i/ + 2, y=z
и заменим z на 2z. Тогда
1
1F1(V+ —; 2i/+ 1; -2z) = }G„(z)/tfn(z) \ + Sn(z), A3)
z
i
Hn<z) = iF?(-« - v - -Г J -2n - 2v - 1; 2z), A4)
n 1 n n
Gn{z) = 2F3^~ir > ~ Г' ~n - v> u+l> ~n°> z2)' r =t~T^
z z z z
B^ + 3)z2
H0(z)=l, H1(z) = l + z, H2(z) = l+z +
2B^ + 4)
Bv + 5)z2 Bv + 3)z3
НзB) = 1 + z + — +
A5)
A6)
2Bi/ + 6) 6B^+6)
G0(z) = G,(z) = l, G2(z) = l +
z2
Чу + \){y + 2)
z2
G3(z) = l+ .
3 2{v + l)(v + 3)
A7)

9.9. Рациональные приближения 387
Если в формуле G) вместо An(z) возьмем An(z, S), то получим G2n(z) =
= An(z, 1). Как Gn(z), так и Hn{z) удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле
Hn(z) = A + Q1 z)tf„ _, (z) + (Р + Q2z)zHn _2(z) + Q3z3ffn _3(z), n>3,
n + 2i/- 1
Qi=7^ 7Г' p"~Ql' {18)
^ra(n + v — 1)
1 P
 4(n + i/)(n + i/-l) ' 3 i(n + u-l){n + u-2)
Эта формула устойчива, если ее применять в прямом направлении.
Для определения погрешности имеем соотношение
(z/2)vezS„(z) [z/2)vBi)n{v + 3/2)n 0(n°>)
= , R{v) > -1,
Г>+1) I>+l)(n+2i/ + 2)nn!
- U")
со = 1 - 2ЯA/), если -1 < R(v) 4 — ,
2
1
со = 0, если R(v) > — .
2
Иная формула для погрешности выводится при помощи функции Fm v (z)
в 9.10.3A8 - 21) для т = 0, если взять § = 1 и заменить п на п/2; в
этих формулах ограничения на v ослаблены до условий -/г < argi/< я-,
г/ не есть отрицательное целое число.
Теперь вернемся к рациональным приближениям для
SvW = 2(i/+lOv + 1(z)/z/v(z). B0)
Имеем
Sv(z) = {2(i/+ l)/z}[Cn(z, a)/Dn(z, a)]+Rn(z), B1)
1
cn(z> а)= 2F3~a(a ~ n' — ~n> a~2n-v-l, v+2, а~2тг; z2),
2 B2)
1
Dn(z> a) = г^з^' а "~n ; а~2п - i/ - 1, z/4-2, a -2n-l; z2),
2 B3)
где a = 0 либо а = 1. Это приближение дается произведением 2(v + l)/z

388 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
на ^1#V/W0 v(z), где функция Wm> v(z) находится посредством
описанной в 9.10.i и детально изложенной в 9.10.3A - 5) рекуррентной
процедуры, примененной в обратном направлении. В самом деле, пусть в G)
An(z) = An(z, 3, „), B4)
Тогда
Cn(z, a) = An_a{z, 1-a, i/+l), Dn{z, a) = An{z, a, v). B5)
Функции Cn(z, a) и Dn(z, a) удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле
z2 z4
D„ + 1(z, a) = A + — )Dn(z, a) - — D„ _,(*, a),
E F
E = 2Bn + i/ + 1 - a) Bn + v + 3 - a), B6)
F = 16Bn + v - a)Bn + i/ + 1 - aJ Bn + i/ + 2 - a).
Эта формула устойчива, если ее применять в прямом направлении.
Для определения погрешности имеем
w.m'-fr-""/"•-'»*».-. о, B7)
(t/+lJn+1-aDn(z' e)'w(z)
следовательно, для фиксированных гит/
lira Rn(z) = 0, B8)
если z не есть нуль функции /v(z); в этом случае мы знаем, что z -
чисто мнимое число, если v - действительное число. Кроме того, для
фиксированных z и v
lim Dn(z, a) = (-1 )-*Г> + l)/v(z), B9)
n-> oo 2
и, следовательно, для получения приближений нулей функции /v(z)
нужно найти нули функции Dn(z, a).
Приближения к функции Sv(z) занимают позиции (п - а, п) в
таблице матрицы Паде. Согласно формуле B7), имеем неравенство
Cn{z, I) Cn(z, 0)
Dh(z> 1) Dn(z> °)
которое обращается в равенство, если z = 0 при условии, что п > 0.

9.9. Рациональные приближения 389
9.9.3. ФУНКЦИЯ Kv(z) ДЛЯ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЙ z
Используем формулу 8.3A3) при /х = 1/2 и теорему 6 п. 5.12, где
1 1
р = 2, q = 0, а1 = — + v, а2 = — - v, а = О,
а = /8 = О, Л = 1 и z заменено на 2z. A)
Тогда
КАя) = W2zyi* e-*{En(z) + Rn(z)},
?.(*)=*«(*)/.(*). B)
/ -я + A, n + 1 + k, 1 I j,
X 3'3 ll + k, | - v + k, i + i, + A I ZV'
m = 2F2(l^^v\-2z),
C)
где ftn(z) - остаточный член, и
lim Rn(z) = 0, z фиксировано, | argz | ^ n. D)
П -»oo
Имеем, в частности,
/o(*) = 1. Л(*) = *ГЧ16* + *i),
Л(*) = (ал) G68*2 + 4&Е8ЯГ + вЛ),
/з(*) = К^з)-1 F1440*3 + 3840я3*2 + 96д2я3* + л^^з),
фо(*) = 1. ?i(*) ^ ЛГН16* + D^2 + 7)],
ФМ = (лл)-1 [768*2 + 48Dv2 + 23)« + A6И + 248v2 + 129)],
0з(*) = Мл)" [61440*3 + 3840*2D*2 + 47) + 96*A6И + 504v2 + 1025)
+ F4*6 + 4048И + 15628v2 + 5055)],
an = {In Л- 1)8-4Л E)
Из п. 5.13.3 следует, что фп(?) и fn(z) удовлетворяют одной и той же

390 Гп. 9. Функции Бесселя и их интегралы
рекуррентной формуле
/«(*) + (Л - ?i*)/n-i(*) + (Л - 02*)/п_2(*) + -Рз/п-з(*) = 0, я > 2,
16Bя - 1)
0i = 0
2
ап
р = Bи-1)A2и2-2(к-а0) p = A2п2-28и + 8-<) F)
1 Bя - 3) ап ' 2 ля
_ Bи — 1) дп_3 р р р ,1_0
^з- Bп-3)ап ' ^1 + ^2 + П + 1-«.
где ап определяется в E).
Приближения для функций Jv(z) и Fv(z) следуют из определяющих
соотношений 9.2A0, 11), и каждое из этих приближений справедливо
п
для | arg z | < — .
Ниже в таблицах представлены коэффициенты для многочленов
<f>n(z) и fn(z), вычисленные при п = 0AN для каждого значения v - О,
1/4, 1/3, 2/3, 3/4, 1. Последующие многочлены можно получить по
формуле F). Вслед за коэффициентами многочленов, вычисленных для
v = 0, 1/3, 2/3, 1, даны значения |Яя(г) | при z = reie, r = 1, 2BI0,
в = 0Gг/4K7г/4 и п = 2, 4, 6, 10, 15, 20. При v = 0, 1 также даны
значения | Rn(z) | для г = 12, 16, 20, причем 0 и п такие же, что и выше.
Пропущенное значение означает, что |ftn(z)| < 0.5u>, w = 10"0.
Приближенные коэффициенты погрешности для v = 1/4 и i/ = 3/4 можно
получить из соответствующих коэффициентов, полученных для v = 0, 1/3
1
и v = 2/3, 1 соответственно. Заметим, что если v = N + — , N - по-
2
ложительное целое число или нуль кп> N, функция Rn{z) = 0.
При фиксированных п и z по мере возрастания i/ точность
рациональных приближений ухудшается. При 0 < р< 1 рациональные
приближения для функции Kv + m(z), m - положительное целое число, можно
получить по формулам 9.3A1 - 13). Заметим, что ?_v(z) = Kv(z).

9.9. Рациональные приближения 391
Таблица 9.23
Коэффициенты функции KQ(z)
2z
/n(z) = V1 S feftz*
fe = o
*V fe1> -> bn
0 1
1 9, 16
2 75, 400, 256
3 735, 7840, 12544, 4096
4 8505, 1 51200, 4 35456, 3 31776, 65536
5 1 14345, 30 49200, 136 60416, 178 42176, 79 29856, 10 48576
6 17 56755, 655 85520, 4197 47328, 8223 62112, 6091 57120,
1772 09344, 167 77216
<?„(*) = fc-1 I ckzk
k = 0
c0> c\> ••• > cn
0 1
1 7, 16
2 43, 368, 256
3 337, 6560, 12032, 4096
4 3273, 1 15296, 3 9859^2, 3 23584, 65536
5 38103, 21 32976, 119 10912, 169 24672, 77 98784, 10 48576
6 5 18019, 423 87600, 3486 85824, 7574 48704, 5881 85600,
1751 12192, 167 77216

392 Гп. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Продолжение табл. 9.23
\Rn(z)\, г = ге>
iQ
n/в о тт/4 тт/2 Зтт/4
2
4
6
10
15
20
0.70П-3)
0.489С-5)
0.513t-7)
0.396<-10)
0.619<-14)
0.109<-16)
0.105(-2)
0.190(-4)
0.612(-6)
0.154(-8)
0.2251-11)
0.6381-14)
0.3071-2)
0.1971-3)
0.1761-4>
0.255(-6)
0.252(-8)
0.3971-10)
0.1721-1)
0.4091-2)
0.1171-2)
0.1291-3)
0.1171-4)
0.1471-5)
2
4
6
10
15
20
0.1611-3)
0.7441-7)
0.668(-9)
0.8871-13)
0.6221-17)
0.907(-21)
0.215(-3)
0.1881-5)
0.273(-7)
0.155(-10)
0.4341-14)
0.2741-17)
0.5101-3)
0.1751-4)
0.858(-6)
0.4211-8)
0.126<-10)
0.6801-13)
0.23К-2)
О.ЗбО(-З)
0.7161-4)
0.4311-5)
0.206(-6)
0.1341-7)
2
4
6
10
15
20
0.2321-4)
0.7291-7)
0.2271-10)
0.85К-15)
0.206(-20)
0.286(-4)
0.1581-6)
0.980(-9)
0.986(-13)
0.370(-17)
0.386<-21)
0.530(-4)
0.846(-6)
0.198(-7)
0.250(-10)
0.1661-13)
0.229(-16)
0.144(-3)
0.100(-4)
0.1121-5)
0.2791-7)
0.547(-9)
0.1661-10)
2
4
6
10
15
20
0.638 (-5)
0.176(-7)
0.3161-10)
0.4781-16)
0.753(-5)
0.2951-7)
0.128(-9)
0.46К-14)
0.466(-19)
0.12К-4)
0.109(-6)
0.1521-8)
0.7401-12)
0.170(-15)
0.896(-19)
0.248(-4)
0.7411-6)
0.466(-7)
0.5221-9)
0.496<-lt)
0.846(-13)
2
4
6
10
15
20
0.24К-5)
0.529(-8)
0.104(-10)
0.50К-18)
0.277(-5)
0.794(-8)
0.268(-10)
0.510(-15)
0.1991-20)
0.4081-5)
0.232(-7)
0.2121-9)
0.483(-13)
0.474(-17)
0.113(-20)
0.704(-5)
0.1051-6)
0.368(-8)
0.185С-10)
0.888(-13)
0.8801-15)

9.9. Рациональные приближения 393
Продолжение табл. 9.23
|«„(z)|, гшге"
п/е 0 тт/4 тт/2 Зп/4
2
4
6
10
15
20
0.11К-5)
0.192(-8)
0.348<-11)
0.509(-17)
0.124(-5)
0.270(-8)
0.733(-11)
0.89К-16)
0. 183(-21 )
0.172С-5)
0.667(-8)
0.428(-Ю)
0.5131-14)
0.245(-18)
0.266(-5)
0.229(-7)
0.470(-9)
0.105(-11)
0.257(-14)
0.153(-16)
г = 12
2
4
6
10
15
20
0.577(-6)
0.803(-9)
0.129(-11)
0.26К-17)
0.639(-6)
0.108(-8)
0.2401-11)
0.204(-16)
0.243(-22)
0.846<-6)
0.236(-8)
0.112(-10)
0.764(-15)
0.195(-19)
0.121(-5)
0.6бЗ<-8)
0.859(-10)
0.875(-13)
0.108(-15)
0.395(-18)
16
2
4
6
10
15
20
0.202(-6)
0.190(-9)
0.23И-12)
0.44И-18)
0.219(-6)
0.240(-9)
0.373<-12)
0. 17б(-17)
0.273(-6)
0.445(-9)
0. 127(-11)
0.337(-16)
0.324<-21)
0.356(-6)
0.963(-9)
0.597(-11)
0.150(-14)
0.474(-18)
0.793(-21)
2
4
6
10
15
0.879<-7)
0.595(-10)
0.5561-13)
0.792(-19)
0.94П-7)
0.722(-10)
0.823C-13J
0.232(-18)
0.1131-6)
0.120(-9)
0.226(-12)
0.276(-17)
0.139(-6)
0.221(-9)
0.780(-12)
0.617(-16)
0.537(-20)

394 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.24
Коэффициенты функции Ki/(z)
K%{z) - (T"I/2e~z^n(z)/Mz)+адз
fn(z) = b^ ? bkz*
k=0
bQ, bv ..., bn
0 l
1 35, 64
2 1155, 6336, 4096
3 45045, 4 94208, 7 98720, 2 62144
4 145 49535, 2660 48640, 7739 59680, 5927 07584, 1174 40512
5 3346 39305, 91786 78080, 4 15358 36160, 5 45290 97728,
2 43101 85984, 32212 25472
6 7 52938 43625, 289 12835 95200, 1869 11262 72000, 3680 71409 66400,
2734 89592 32000, 797 25330 43200, 75 59142 44096
fe = o
c0* ^V •" > ^n
0 1
1 29, 64
2 771, 595 2, 4096
3 25803, 4 32768, 7 74144, 2 62144
4 74 10015, 2176 68480, 7244 14464, 5816 97536, 1174 40512
5 1549 37655, 70545 12960, 3 74997 93408, 5 24151 68512,
2 40081 96096, 32212 25472
6 3 21775 91145, 209 93363 39520, 1628 19901 44000, 3461 19575 96160
2664 02896 28160, 790 16660 82816, 75 59142 44096

9.9. Рациональные приближения 395
Таблица 9.25
Коэфо>ициенты функции Ky(z)
KiAz) = (fI/jrH^B)//ft(z) + R^z)]
/3 2z
fe = o
bo> bv •••> bn
0 1
1 77, 144
2 17017, 95472, 62208
3 74 36429, 834 42528, 1359 24480, 447 89760
4 10782 82205, 2 01652 77600, 5 91271 48800, 4 54616 06400,
90296 15616
5 16 71337 41775, 468 84270 42000, 2138 43188 16000,
2818 61959 68000, 1259 63137 84320, 167 17688 34048
6 25354 18862 72675, 9 95728 13517 99600, 64 88002 32877 44000,
128 27537 78503 68000, 95 54304 00540 67200, 27 89680 65337 58976,
2 64808 18331 32032
0n(z) = b-1 l ckz*
k = 0
Q> С <| 9 • • • У Cft
0 1
i 67, 144
2 12697, 91152, 62208
3 49 87459, 756 66528, 1328 14080, 447 89760
4 6668 37485, 1 74043 10880, 5 63053 93920, 4 48345 49760,
90296 15616
9 68195 54225, 386 78602 87440, 1983 11735 46240, 2737 35305 62560,
1248 02187 26400, 167 17688 34048
13905 52108 89875, 7 88585 24582 56080, 58 61263 19890 40640,
122 57574 15046 34880, 93 70409 43366 14400, 27 71291 19620 13696,
2 64808 18331 32032

396 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Продолжение табл. 9.25
\Rn(z)\, z = re
ie
n/e 0 тт/4 тт/2 Зтт/4
2
4
6
10
15
0.358(-3)
0.24И-5)
0.243<-7)
0.194(-10>
0.2731-14)
0.55П-3)
0.979(-5)
0.31К-6)
0.775С-9)
0.1131-11)
0.164(-2)
0.1031-3)
0.918(-5)
0.132(-6)
0.130(-8)
0.92И-2)
0.216(-2)
0.61К-3)
0.672(-4)
0.612<-5)
20 0.514(-17) О.3181-14) 0.204<-10) 0.762(-6)
2
4
6
10
15
20
0,836(-4)
0.393<-7)
0.339(-9)
0.435(-13)
0.305(-17)
0.443(-21)
0.1131-3)
0.963(-6)
0.139(-7)
0.780(-11)
0.217(-14)
0.137(-17)
0.268(-3)
0.905<-5)
0.44К-6)
0.215<-8)
0.64К-11)
0.345(-13)
0.120(-2)
0.186<-3)
0.369(-4)
0.22К-5)
0.105<-6)
0.685(-8)
?
4
6
10
15
20
0.12П-4)
0.374(-7)
0.120С-10)
0.429(-15)
0.102(-20)
0.149(-4)
0.81К-7)
0.498(-9)
0.497(-13)
0.186(-17)
0.193(-21)
0.276<-4)
0.434(-6)
0.10К-7)
0.127(-10)
0.838(-14)
0.115(-16)
0.744(-4)
0.514(-5)
0.573(-6)
0.142(-7>
0.277<-9)
0.844<-11)
?
4
6
10
15
20
0.332(-5)
0.90К-8)
0.16К-10)
0.242(-16)
0.392(-5)
0.15К-7)
0.649(-10)
0.233<-14)
0.234(-19)
0.630(-5)
0.560С-7)
0.772<-9)
0.374(-12)
0.857(-16)
0.453<-19)
0.128(-4)
0.379(-6)
0.237(-7)
0.264(-9)
0.25К-11)
0.428(-13)
2
4
6
10
15
20
0.126(-5)
0.2711-8)
0.529(-11)
0.230(-18)
0.144<-5)
0.407(-8)
0.137<-10)
0.258(-15)
0.100(-20)
0.212(-5)
0.119<-7)
0.108<-9)
0.244(-13)
0.239(-17)
0.694(-21)
0.364(-5)
0.538(-7)
0.187(-8)
0.934(-Ц )
0.448(-13)
0.444(-15)
г - 10
2
4
6
10
15
20
0.576(-6)
0.982(-9)
0.1771-11)
0.258(-17)
0.647(-6)
0.138(-8)
0.373(-11)
0.45К-16)
0.923<-22)
0.894С-6)
0.34К-8)
0.218<-10)
0.260(-14)
0.124(-18)
0.138(-5)
0.117С-7)
0.239(-9)
0.5301-12)
0.129(-14)
0.773<-17)

9.9. Рациональные приближения 397
Таблица 9.26
Коэффициенты функции K2/(z)
3 2z
/n(z) = b 2 V"
n b0, ЪЛ, ..., bn
0 1
1 65, 144
2 13585, 90288, 62208
3 11 54725, 153 48960, 264 38400, 89 57952
4 8233 18925, 1 82396 80800, 5 65517 37600, 4 47091 38432,
90296 15616
5 88 34212 06525, 2935 67662 47600, 14158 67003 71200,
19189 16221 50144, 8719 89980 03712, 1170 23818 38336
6 18993 55594 02875, 8 83638 66405 27600, 60 88228 11596 16000,
123 77009 62868 42880, 93 73892 28539 90400, 27 67613 30476 64640,
2 64808 18331 32032
0n(z) = b ? ckzk
fe = 0
c0, с у ..., cn
0 1
1 79, 144
2 19633, 96336, 62208
3 18 67115, 175 26240, 273 09312, 89 57952
4 14475 07805, 2 21591 27520, 6 05021 94432, 4 55870 17728,
90296 15616
5 166 05327 38435, 3767 03898 67440, 15691 30158 43584,
19985 57431 23456, 8833 67295 71328, 1170 23818 38336
6 37744 29588 92075, 11 89865 90275 81200, 69 81102 18604 10880,
131 78147 97732 24960, 96 31344 68584 24320, 27 93358 54481 08032,
2 64808 18331 32032

398 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Продолжение табл. 9.26
\Rn(z)\, z = re«e
Г = 1
n/е О тт/4 тт/2 Зтт/4
2
4
6
10
15
20
0.3771-3)
0.224(-5)
0.2011-7)
0.1761-10)
0.1731-14)
0.4251-17)
0.6401-3)
0.1071-4)
0.3291-6)
0.7931-9)
0.1131-11)
0.3161-14)
0.203(-2)
0.120(-3)
0.1041-4)
0.1461-6)
0.1421-8)
0.22К-10)
0.112(-1)
0.2521-2)
0.7041-3)
0.7661-4)
0.6931-5)
0.859(-6)
2
4
6
10
15
0.9361-4)
0.466(-7)
0.3581-9)
0.4051-13)
0.2841-17)
0.1291-3)
0.104(-5>
0.1451-7)
0.7921-11)
0.2171-14)
0.3111-3)
0.1001-4)
0.478(-6)
0.2281-8)
0.6741-11)
0.137(-2)
0.2061-3)
0.403(-4)
0.2391-5)
0.1131-6)
0.412(-21) 0.1361-17) О.3601-13) 0.7341-8)
г = 4
2
4
6
10
15
20
0.136(-4)
0.4031-7)
0.138(-10)
0*4411-15)
0.100(-20)
0.169(-4)
0.876(-7)
0.5241-9)
0.510(-13)
0.1881-17)
0.1941-21)
0.3131-4)
0.4711-6)
0.1071-7)
0.1321-Ю)
0.8661-14)
0.1191-16)
0.8281-4)
0.5521-5)
0.6081-6)
0.1491-7)
0.2901-9)
0.8791-11)
г = 6
7
4
6
10
15
20
0.3741-5)
0.9711-8)
0.1711-10)
0.2531-16)
0.4421-5)
0.1631-7)
0.6851-10)
0.2401-14)
0.2381-19)
0.7091-5)
0.6031-7)
0.8161-9)
0.3891-12)
0.8811-16)
0.4641-19)
0.1421-4)
0.4041-6)
0.2491-7)
0.2751-9)
0.2591-11)
0.4411-13)
г = 8
2
4
6
10
15
20
0.1411-5)
0.2911-8)
0.5581-11)
0.1661-18)
0.1621-5)
0.4381-8)
0.1441-10)
0.2661-15)
0.1021-20)
0.2381-5)
0.1271-7)
0.1141-9)
0.2531-13)
0.2451-17)
0.7091-21)
0.4051-5)
0.5731-7)
0.1951-8)
0.9661-11)
0.461(-13)
0.4551-15)
г = 1С
2
4
6
10
15
20
0.6471-6)
0.106 1-8)
0.1871-11)
0.2691-17)
0.7271-6)
0.1481-8)
0.3931-11)
0.4661-16)
0.9441-22)
0.1001-5)
0.3661-8)
0.2291-10)
0.2681-14)
0.1271-18)
0.1531-5)
0.1251-7)
0.2491-9)
0.5471-12)
0.1331-14)
0.7901-17)

9.9. Рациональные приближения 399
Таблица 9.27
Коэффициенты функции Къ,(г)
&=o
n fe0, br ..., fen
0 1
1 27, 64
2 819, 5824, 4096
3 1 53153, 21 78176, 38 29760, 13 10720
4 13 78377, 326 72640, 1034 03520, 825 75360, 167 77216
5 727 47675, 25865 84000, 1 27339 52060, 1 74325 76000, 79691 77600,
10737 41824
6 4 85226 99225, 241 53521 39200, 1698 70919 68000, 3488 25845 76000,
2657 72072 96000, 787 80437 62688, 75 59142 44096
фп(г) = fc~1 I ckz*
k = o
0 1
1 37, 64
2 1459, 6464, 4096
3 3 22943, 26 90176, 40 34560, 13 10720
4 32 95497, 444 34560, 1152 00000, 851 96800, 167 77216
5 1922 71205, 38270 78080, 1 49995 72480, 1 86069 81120, 81369 49760,
10737 41824
6 13 94082 10585, 384 75614 17280, 2110 88331 98080,
3856 32016 79360,2775 83233 02400, 799 61553 63328, 75 59142 44096

400 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица 9.28
Коэффициенты функции К (z)
7Т 1/
2z
k = 0
bQ, by ..., bn
0 l
1 5, 16
2 35, 336, 256
3 315, 6048, 11520, 4096
4 3465, 1 10880, 3 80160, 3 15392, 65536
5 45045, 21 62160, 115 31520, 164 00384, 76 67712, 10 48576
6 6 75675, 454 05360, 3459 45600, 7380 17280, 5750 78400, 1730 15040,
167 77216
k = o
c0> c-\> ••• > cn
0 1
1 11, 16
2 131, 432, 256
3 1653, 9888, 13056, 4096
4 23385, 2 23200, 4 90752, 3 39968, 65536
5 3 71595, 51 99600, 168 90624, 191 52896, 80 60928, 10 48576
6 65 87595, 1273 25520, 5706 31680, 9351 16800, 6379 92960,
1793 06496, 167 77216

9.9. Рациональные приближения 401
Продолжение табл. 9.28
\Rn(z)\, z = re
iQ
n/e 0 п/4 тт/2 Зп/4
2 0.758<-3) 0.170(-2) 0.584<-2) 0.312<-1)
4 0.362С-5) 0.249(-4) О.ЗЮ(-З) 0.653(-2)
6 0.255(-7) 0.725(-6) 0.258<-4) 0.178<-2)
10 0.270(-10) 0.165<-8) 0.348(-6) 0.190<-3)
15 0.908<-15) 0.228<-11) 0.330<-8) 0.170(-4)
20 0.550(-17) 0.627<-14) 0.510С-10) 0.210(-5)
г = 2
2
4
6
0
0.224(-3)
0.127(-6)
0.806(-9)
0.695(-13)
0.323<-3)
0.235<-5)
0.31К-7)
0.162<-10)
0.807<-3)
0.239С-4)
0.110<-5)
0.507(-8)
0.339<-2)
0.488(-3)
0.936<-4)
0.546(-5)
15 0.499(-17) 0.433(-14) 0.147(-10) 0.256(-6)
20 0.734(-21) 0.266(-17) 0.776(-13) 0.165(-7)
2
4
6
10
15
20
0.334(-4)
0.9 14(-7)
0.347(-10)
0.923(-15)
0.193(-20)
0.417(-4)
0.199<-6)
0.114(-8)
0.107(-12)
0.383(-17)
0.39К-21)
0.774(-4)
О.Ю8(-5)
0.237(-7)
0.284<-10)
0.183(-13)
0.248(-16)
0.198(-3)
0.124<-4)
0.134<-5)
0.323J-7)
0.623(-9)
0.188(-10)
2
4
6
10
15
20
0.916(-5)
0.220(-7)
0.377(-10)
0.54К-16)
0.108(-4)
0.370(-7)
0.150(-9)
0.505(-14)
0.49К-19)
0.173<-4)
0.137(-6)
0.1791-8)
0.829(-12)
0.185(-15)
0.960(-19)
0.340<-4)
0.899(-6)
0.54К-7)
0.586(-9)
0.548(-11)
0.927(-13)
?
4
6
10
15
20
0.345(-5)
0.658(-8)
0.122(-10)
0.975(-19)
0.396<-5)
0.989(-8)
0.3151-10)
0.562(-15)
0.212(-20)
0.578(-5)
0.287(-7)
0.248<-9)
0.537<-13)
0.512(-17)
0.120(-20)
0.967(-5)
0.127(-6)
0.422(-8)
0.204<-10)
0.965(-13)
0.949(-15)

402 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Продолжение табл. 9.28
\Rn(z)\, z=reie
г = 10
Vе 0 тт/4 тт/2 Зтт/4
2 0.158(-5) 0.177<-5) 0.243(-5) 0.367(-5)
А 0.238(-8) 0.335(-8) 0.823(-8) 0.277(-7)
6 0.409(-11) 0.858(-11) 0.499(-10) б.538(-9)
10 0.576(-17) 0.98М-16) 0.568(-1А) 0.115(-11)
15 0.195(-21) 0.26М-18) 0.276<-14)
20 0.16М-16)
2
4
6
10
15
20
0.82К-6)
0.996(-9)
0.15К-11)
0.292<-17)
0.908(-6)
0.133(-8)
0.280(-11)
0.2261-16)
0.259(-22)
0.119(-5)
0.290(-8)
0.130(-10)
0.84М-15)
0.209(-19)
0.167(-5)
0.80И-8)
0.982(-10)
0.957(-13)
0.U61-15)
0.419<-18)
г = 16
2
4
6
10
15
20
0.286(-6)
0.235(-9)
0.270(-12)
0.489(-18)
0.3101-6)
0.297(-9)
0.4351-12)
0.19М-17)
0.383(-6)
0.546(-9)
0.147(-11)
0.37К-16)
0.347(-21)
0.493(-6)
0.117(-8)
0.682(-11)
0.163<-14)
0.50М-18)
0.835(-21)
г = 20
2
4
6
10
15
0 . 124 ( -6 )
0.735(-10)
0.647(-13)
0.877(-19)
0.133(-6)
0.890(-10)
0.958(-13)
0.256(-18)
0.158(-6)
0.147<-9)
0.262<-12)
0.304<-17)
0.193(-6)
0.268(-9)
0.893(-12)
0.672(-16)
0.570(-20)

9.10, Вычисление бесселевых функций по рекуррентным формулам 403
9.10. Вычисление бесселевых функций
по рекуррентным формулам
9.10.1. ВВЕДЕНИЕ
Некоторые общие результаты, связанные с приложениями
рекуррентных формул для вычисления функций, подробно рассматриваются
в гл. 12. Что касается бесселевых функций, то значительная часть
полученных для них результатов, связанных с применением
рекуррентных формул, известна в настоящее время в аналитическом виде. Ниже
приводятся такие результаты, полученные Люком A972в). Как уже
отмечалось ранее в п. 9.9.1, существует тесная связь между
некоторыми рациональными приближениями для функции /y(z), см. п. 9.9.2, и
некоторой процедурой вычисления функции /y(z) по рекуррентной
формуле, применяемой в обратном направлении. В настоящем пункте
дается анализ этой взаимосвязи. Промежуточным результатом
упомянутой процедуры вычисления функции /y(z) являются рациональные
приближения для /v+1(z)//v(z), и эти рациональные приближения
являются приближениями, определяемыми формулой 9.9.2B1).
Для удобства в этом пункте мы будем иметь дело главным
образом с функцией /v(z), предполагая, что -n < argz < п и -n < arg v < n,
v не есть отрицательное целое число. Это не слишком строгие условия,
поскольку если v = я, п - целое число, то /_n(z) = /n(z). В самом деле,
согласно известным формулам для аналитического продолжения
функции /y(z), достаточно иметь 0<: argz^: я/2 и 0<: argi/<; n, v ф -п.
Для удобства некоторые уже известные нам результаты для
бесселевой функции /v(z) мы представим здесь в ином виде.
9о10о2о ПРИМЕНЕНИЕ РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ
В ОБРАТНОМ НАПРАВЛЕНИИ
ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ /v(z)
Предложенная Дж.И.П. Миллером A952) техника вычисления
функции /v(z) по рекуррентной формуле, применяемой в обратном
направлении, состоит в следующем. Разностному уравнению
QIB,v(*) = l2(m + ^+l)/zjQm+lfV(z) + Qm+2fV(z) A)
удовлетворяют функции
'm+v<*> и *''(m+V)UKm+v(*). B)
Здесь и далее m — положительное целое число или нуль.

404 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Пусть N - большое положительное целое число, m ^ N + 2. Положим
и, пользуясь формулой A), где Qm v(z) заменим на Wm v(z), вычислим
Wm, \>(z) ПРИ m = N, N - 1, ..., 1, 0. Ясно, что Wm> v(z) есть комбинация
решений B), отвечающих условиям C), и легко находим, что
Wm,V(z) = z*'m + v(z)K]V+2 + v(Z) +
+ e-MN+i-«)Km+v(z)/w+2 + v(z)l;D)
при этом мы воспользовались известным соотношением
1
/v(*)Kv + 1(z) + /v + 1(z)Kv(z) = —. E)
Z
Предположим, что формула нормировки имеет вид
P(z)= ? *klk + v(z). F)
fe = o
Пусть
PN(z)= 2 ^M(z); G)
fc = o
рассмотрим
^ + v(z) = P(z)^m,v(Z)/Piv(z)> ^«iV+l. (8)
Заметим, что как Wm^ v(z), так и tm+v(z) зависят от N. Для простоты
мы опускаем N в обозначениях этих функций. Согласно D) и G),
формулу (8) можно представить в виде
ЛМ-1
fe = o
(9)
Из формулы (9) и известного поведения бесселевых функций большого
порядка, вытекающего из 9.2B, 8, 15), находим, что
lim Wv(z) = /m+v(z)> ™=0, 1, ..., A0)
N-»oo
при условии, что
lim Hn+2+v(Z)/KN+2+vW 2 (-1)*вЛ + уХ-Г')вв- »«
N-*oo & = 0

9.70. Вычисление бесселевых функций по рекуррентным формулам 405
Из проведенного анализа видно, почему этот процесс сходится, а
также почему он сходится к функции /w + v(z), а не к функции
et^m^v^irKm + yf{z). дело в том> qT0 ПрИ | m + у | _^ ж и фиксированных
z и I/ значения функции /w+ v(z) очень малы по сравнению со
значениями функции Km + V(z). Эта особенность алгоритма, заключающаяся в
том, что решение разностного уравнения, к которому сходится данная
процедура, если она сходится, должна в некотором смысле сходиться
к наименьшему решению, остается в силе, когда данная процедура
применяется к однородному разностному уравнению произвольного
порядка (см. гл. 12).
Рассматриваемый нами алгоритм обладает замечательной
особенностью, которая состоит в том, что если имеет место нетривиальное
соотношение нормировки, подобное F), отпадает всякая необходимость
в табличных значениях функции /m+v(z). Конечно, в случае
тривиального соотношения, когда ak = 0 при k > 0 и P(z) = /v(z), значения
функции /v(z) должны быть известны. Представления для функции tw + v(z)
в замкнутом виде (см. (8)) для двух нетривиальных соотношений
нормировки, называемые случаями I и II, будут рассмотрены нами в
п. 9.10.3. Там же рассматривается случай P(z) = /v(z).
Если разностное уравнение A) применяется в прямом
направлении, должны быть известны значения функций /v(z) и /v + 1 (z). Далее,
мелкие случайные погрешности, неизбежно возникающие в процессе
вычисления в прямом направлении, стремительно возрастают с
увеличением т. Это явление называется неустойчивостью. С другой
стороны, вычисление функции ^^m+v^TrKm + v(z) с помощью уравнения A),
используемого в прямом направлении, когда известны значения К (z)
и ?v +1 (z), есть процесс устойчивый в том смысле, что даже если
ошибки округления, получаемые при вычислении, возрастают с
ростом т, относительные ошибки с ростом т не растут. Вообще любое
разностное уравнение, примененное в прямом направлении,
эффективно только при вычислении "наибольшего" решения этого уравнения.
Более подробно о вычислении с помощью разностных уравнений
второго порядка в прямом направлении см. в работах Уимпа A972) и Гау-
чи A972).
9.10.3. ВЫРАЖЕНИЯ В ЗАМКНУТОМ ВИДЕ
Как уже было замечено, в зависимости от вида соотношения
нормировки существуют три способа вычислений. При рассмотрении
каждого из них дается вывод формулы для погрешности в замкнутом ви-

406 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
де. Первые два способа эквивалентны рассмотренным в п. 9.9.2
рациональным приближениям. Для установления тождества между этими
результатами найдем прежде всего в замкнутом виде функцию Wm y(z),
а затем уже рассмотрим эти три способа. Имеем
WN_1)V(z) = 1 + (N + uJy2, WN_2tV(z) = 2(N + v)y + {N+v-\Ky\
A)
WN-3, v(z) = 1 + 3(Л? + v - lJy2 + (N + v - 2Ly\
WN_4, vB) = 3(W+l.-l)y + 4(W + v-2Ky3 + (W+i/-3My5, у = 2/z,
Wm v(z) = [( — J*TBn + 2 - 8 + 1/)/Г(« + i/ + 1)]
' z
1
x2Fg(-p, —-p; -2n-\ + S-v, m + v+1, -2p; z2), B)
1
p = n +—A — от — S), N = 2n-S,
Ъ =0 либо S = 1 и г = [р], C)
[p ] - наибольшее целое число < p. Ясно, что
*W*) = (—)"+V+i)N+A(*b D)
1 z
*<>,«(*) = ( — )"+,("+%+1^+1BЬ E)
' z
где 4n(z) и Gn(z) даются формулами 9.9.2G) и 9.9.2A5) соответственно.
Способ I. Рассмотрим следующее соотношение нормировки:
(z/2)v о. (-l)k{2k+v)F(k + v)
p(z) = Г" S '2*+v(z)- F)
Г>+1) fe = o r(i/+l)ft! 2ft+v
Тогда
PNB) = B/z)w+1(^+l)w+1Bn(z)) G)
где B„(z) определяется формулой 9.9.2F). Следовательно,
iv(z) = P(z)An(z)/Bn(z), (8)

9.10. Вычисление бесселевых функций по рекуррентным формулам 407
tm+vB) = (^/2)v^mjV(z)/r(z,-fl)PN(z). K9)
То есть результат, полученный по рекуррентной формуле для / (z),
примененной в обратном направлении, когда имеет место
соотношение нормировки F), и рациональные приближения 9.9.2E) идентичны.
Теперь выведем формулу для определения погрешности. Пусть
Em.v^WvW-WvW- A°)
Если v не есть положительное целое число или нуль, то
oF»(_2n - 1 + 8 - v; z2/4)Em$v(z)
-Zn(z)iF2Q'> n+2> -n + B-v, z2/4)
SWLTTV
= 2(-\rVn(z)Km+v(z) + -^— Vn{z)Im+v(z),
sm7ri/
(-l)n(—Jп + 2Г(п + 1 - 8 + v)
(n + 1)! Г Bn -b2-S + i/)
^(^ = (-1)б(уJп+2-5+У/2п+2_5 + ,B)/ГBп + 2-5 + ^
Можно преобразовать уравнение A1), применив теорему Лопиталя, с
тем чтобы получить формулу для определения погрешности, когда v
становится положительным целым числом либо нулем. Здесь эта
формула не приводится. Однако при произвольном i/мы всегда имеем
z2
0F?(-2n-l + S -„; — )?m>v(z)
- Zn(z) ,^1A; n + 2, -n + S - v, z2/4)
0((z/2Jn)
+ 2(-ir^n(z)K (z)+ - ,A2)
" m+v ГBп+2-§ + 1/)ГBп + 3-8 +u)
где s = ra-S + i'(s = oo), если v есть (не есть) положительное целое
число или нуль. Ясно, что вычисление по рекуррентной формуле, при-

408 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
меняемой в обратном направлении, - процесс сходящийся. Более того,
если п достаточно большое, п» тп, величина относительной
погрешности по существу не зависит от тп. Для удобства в приложениях
запишем формулу определения погрешности в виде
Emt vW - ЭДН + O(n-i)] + 2(-l)mFn(z)Km + v(z). A3)
Если I/, n и z фиксированы таким образом, что функция Em (z)
является функцией только от т, то она удовлетворяет рекуррентной
формуле для функции Wm v(z).
Способ П. Пусть мы имеем следующее соотношение нормировки:
(—)ve>
2 ~ {2k + 2v)r{k + 2v)
M(z)= = ? /*+«(*)• A4)
Г>+1) fc = o rBi/ + l)ft! +
Тогда
2 „
MN(z) = (— L{V+\)qHq{z), q = N+l, A5)
где Hn(z) определяется формулой 9.9.2A4), a N определено в C).
Следовательно,
iv(z) = M(z)Gq(z)/Hq(z), A6)
To есть результат, полученный для функции /v(z), по рекуррентной
формуле, примененной в обратном направлении, когда имеет место
соотношение нормировки A4), и рациональное приближение 9.9.2A3)
идентичны.
Теперь получим формулу для определения погрешности.
Пусть
Fm,v(z)-'m + v<*>-«'m + v(*b d»)
где *'m+v(*) задается формулой A7). Если ни v, ни v + 1/2 не являют-

9.70. Вычисление бессепевых функций по рекуррентным формулам 409
ся положительным целым числом либо нулем, то
1
'-V?H?-— -v, -2q-\-2v, 2z)Fm>v(z)
it
1
+ Ln(z) 2F2 ( v, 1; q + 2, -q - 2v, 2z)
= (ir/sin7Tv)Vn(z)l_m _ v(z),
1 A9)
LnW=- — Г-Т- e~Zlm + ^)>
(« + 1I(9 + l + 2v)? + 1
q то же, что и в A5). Заметим, что правые части A9) и A1) совпадают.
1
Если v = г + — , г = —1 либо г - положительное целое число или
2
нуль, то
e-\F\(-q- — -v; -2q-\-2v, 2z)Fm>v(z)
Ли
= -Ln(zJF^(-r, 1; q+2, -q - 2r - 1; 2z)
+т(_1)f+1/Vn(z) tMr /m+r+y*(z)" z-m -r -%KZ)l B0)
2(-l)S(— )9 + 1 + v
1
i' = r + , ftr = 1, если r = -1, ftr = 2, если г ^.0.
it
В частности,
F0> _y2(Z) = (-DS(n/2z)%e-4q + %(z)/Kq + %(z)
(-l)sBffz)^e-z(z/2J« + 1
= : [1 + 0(п~1K, B1)
(9!J

410 Гл. 9. Функции Бессепя и их интегралы
и поэтому B77z) /2e *_y(z) есть главное диагональное приближение
Паде к 1 + е~ 2% Формулу A9) можно также преобразовать, с тем
чтобы получить приближение для погрешности, когда v - положительное
целое число или нуль. Однако для произвольных значений v, v ф -%,
всегда имеем
e-\F<(-q-—-v; -2q-\-2v\ 2z)Fm>v(z)
t 1
= -L„(zJF24 v, 1; 9+2, -q-2v, 2z)
0[(z/2Jn]
+ (-DmNn(z)Km , (г) + , B2)
1
где t = v {t = 2n + 1 - 8 + 2v) если v - половина положительно-
го числа (положительное целое число или нуль) и t = оо для всех
остальных v. В данном случае вычисление с помощью рекуррентной
формулы, примененной в обратном направлении, есть процесс
сходящийся. Далее, если п достаточно велико, n » m, относительная
погрешность не зависит от т. Для удобства в приложениях запишем формулу
для погрешности в виде
Fm, v(*) « ~Ln (*) [ 1 + О (n~1)] + (-l)mNn (z)Km+v(z), v*-—. B3)
При фиксированных n, v и z и переменном m функции Fm v(z) и W v(z)
удовлетворяют одной и той же рекуррентной формуле.
Теперь сравним по существу процедуры, рассмотренные в
случаях I и П. В формулах A3) и B3), когда z, m и v фиксированы, а п
достаточно большое, порядок члена, содержащего функцию Кт+ v(z),
ниже порядка члена, содержащего функцию Im (z). Пренебрегая
первым из указанных членов в каждом уравнении, имеем
,-„~чтит>У
^Г ^ [i+o«.-.,i.v,-T.M
Это говорит о том, что рассматриваемые нами два способа дают не-

9.10. Вычиспение бесселевых функций по рекуррентным формулам 411
сколько различную точность вычисления. Что касается времени
вычисления, то, если рекуррентная формула применяется в обратном
направлении, при вычислении первым способом выполняется меньше
операций, поскольку для соответствующего соотношения нормировки
требуется последовательность \Wk v(z)}, k = 0, 2, 4, ..., в то время
как при вычислении соотношения нормировки, соответствующего
второму способу, требуется та же последовательность, но при k = 0, 1,
2, — Кроме того, чтобы найти 7y(z) вторым способом, необходимо
вычислить ez. С другой стороны, если | z \ велико, R(z) > О, часто
бывает нужно вычислить функцию e~zlv(z), что достигается вторым
способом. Ввиду присутствия ez в числителе соотношения B4) способ II
дает, возможно, большую точность даже для средних значений | z \,
R{z) > 0, чем способ I при тех же значениях п. Кроме того, способ II
предпочтительнее, когда R(v + S) < 0. Больше информации из
соотношения B4) мы получить не можем, поскольку его оценка происходит
при фиксированных z, m и г/. Для оценки погрешности нужно
пользоваться соответственно либо формулой A3), либо формулой B3).
Начатый нами анализ мы продолжим позднее при рассмотрении численных
примеров.
Если z - чисто мнимое число, a v - действительное, то функция
z~"v/y(z) принимает действительные значения, и способ I определенно
лучше, чем способ II, поскольку для вычисления первым способом
достаточно действительной арифметики, тогда как для вычисления
вторым способом требуется комплексная арифметика.
Если нужно найти только функцию / (z) либо только функцию
e~zIv(z)> то для вычисления с помощью рациональных приближений
либо для эквивалентного способа вычисления по рекуррентной
формуле, примененной в обратном направлении, нужно выполнить примерно
одно и то же число операций. Если нет априорных оценок
погрешности, то предпочтительнее для вычисления пользоваться методом
рациональных приближений, применяя его следующим образом. Достаточно
рассмотреть условия способа I. Многочлены An(z) и Bn{z) находим из
формул 9.9.2(8) и 9.9.2(9) соответственно для п = 0, 1, 2 и с помощью
формулы 9.9.2A0) находим последующие значения этих многочленов.
Сравнение отношения An(z)/Bn{z) с отношением Лп + 1 {z)/Bn + , (z)
дает возможность оценить погрешность. Если нужно вычислить функцию
/fc + v(z) либо функцию e~zlk + v(z) для заданного v и к = 0, 1, ..., г, то
очевидно, что в этом случае предпочтение должно быть отдано методу

412 Гп. 9. Функции Бессет и их интегралы
вычисления по рекуррентной формуле, примененной в обратном
направлении.
Способ III.
Предположим, что /v(z) известна, тогда в формуле 9.10.2F) име-
ем aQ = 1 и ak = 0 для k > 0. Положим
^m + v(z)=/v(z)^m,v(z)/^0,v(zb B5)
и пусть формула для определения погрешности имеет следующий вид:
<Х »<*>-'» + »<*>-»'» + wW- <26>
Тогда
1 — m m
nm(z) = 2F3^~T—' 1~~^"' l-v-m, v+\, 1-m; z2),
m — 1
s = [ ], 0<m</V + 2, B7)
2
где функция Vn(z) определяется формулой A1), a An(z) -
гипергеометрический многочлен, определяемый формулой 9.10.3B) при m = 0. Мы
также имеем
(-ir+sr(m + v)(^-J9 + 2+2v-mam(z)
Gm.v(Z) =
Г(з+ 1 + 1/)Г(« + 2 + 1/)ГA/ + l)Jv(z)
,4
x[l + z2/2(g + l + i/) + 0( )], m>0, B8)
n2
где <? такое же, как в формуле A5). Ясно, что вычисление по
рекуррентной формуле, применяемой в обратном направлении, - процесс
сходящийся. Заметим, что при фиксированных n, v и z функция
(-l)mGm v(z) удовлетворяет той же рекуррентной формуле, которой
удовлетворяет функция Wm y(z). Кроме того, Gm v(z) равна нулю,
если m = 0.
Теперь интересно провести сравнение способов I и II со способом
Ш, когда z, m и v фиксированы, а п достаточно велико. В этом

9.10. Вычисление бесселевых функций по рекуррентным формулам 413
случае
z Л
(—Jп
Gw'v(z) = ? 0(ns+1"v), B9)
Em,v(z) ГBя + 3-в + 1.)
и, следовательно, способ III лучше способа I. Точно так же способ III
лучше способа II. Теперь предположим, что m достаточно велико, и,
следовательно, в формуле A3) член, содержащий функцию Km (z),
доминирует над членом, содержащим функцию Im + V(z), что имеет
место, если т = 2п + 1 — д — d, d « п. Тогда
Gm,*(z) ,(—)»[!+ 0(n-i)][i + 0(т-'I C0)
?m,v(z)
и в данной ситуации способы I и III равноценны. В конечном итоге
оказывается, что способ Ш дает большую точность, чем способ I, но при
вычислении способом III нужно знать значения функции /y(z), в то
время как при вычислении способом I в этом нет никакой необходимости.
Люк A971 - 1972) дает коэффициенты для функций /y(z) и /v(z),
которые позволяют значительно упростить их вычисления при всех
положительных значениях z и всех,^, 0 < г/< 1. На основании всего
сказанного можно сделать вывод, что способ III заслуживает предпочтения; см.
численные примеры.
Аналитическое выражение ошибки округления было дано Люком
A972в), показавшим, что если со - погрешность округления в частном
значении функции Wm y(z) при фиксированном г, тогда влияние со на
вычисление функции Wm y(z), т>г, стремится к нулю при N -»ее. К
сожалению, из аналитических выражений для погрешности получить
прагматическую оценку погрешности округления оказывается совсем
не просто. Имеется немало эвристических фактов, указывающих на
то, что если при вычислении имеются 2 или 3 дополнительных
десятичных знака, то ошибка округления незначительна. Эти утверждения
справедливы для всех трех способов.
9.10.4. ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ /y(z)
Как уже отмечалось выше, проведенный нами анализ функции Iv(z)
имеет силу всюду в разрезанной комплексной z-плоскости, — п < argz<;
^ 7г, и всюду в разрезанной 1/-плоскости, -я- < argv < n, v не есть от-

414 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
рицательное целое число, хотя и достаточно ограничиться условиями
О ^ arg z ^ 7г/2 и 0 < arg v <: п, v не есть отрицательное целое число.
И все же для удобства в приложениях необходимо дать основные
результаты для функции /v(z). Такие формулы легко вытекают из
формул, которые мы имеем для функции /v(z), с помощью
соответствующих соотношений 9.2B, 5, 10, 11). Тогда результаты, получаемые для
7Г 37Г
функции /v(z), справедливы при ограничении < argz < .
Мы не будем рассматривать здесь способ П, поскольку при
вычислении этим способом функции /v(z), принимающей при действительных
z и v действительные значения, нужна комплексная арифметика.
Для удобства введем следующие обозначения. Вплоть до иных
указаний, будем считать, что, если Q обозначает некоторую функцию в
формулах для функщи /v(z), то Q* обозначает соответствующую функцию
в формулах для функции /v(z). Например, разностному уравнению
2(m + v + 1)
<U,WW- Q*m+l,v(z>-Q*m+2,v(*) (l)
удовлетворяют функции
Jm + v(z)*Ym + v(z)- B)
Если
^+2>> = °> *»+1.»<*>-1. C)
то для вычисления функции W^ v(z) при m = N, iV-l,...,l,0,
используем формулу A), где Q^ v(z) заменяем на W^ v(z). Тогда
2
wm vB) = (—Jр[ГBп + 2 - S + и)/Г(т + i/ + 1)]
* z
1
х2Рз(~Р,—-р; -2п - 1 + 8 -i/, w+i/4- 1, -2р; -z2), D)
где гкр даны в 9.10.3C). Ясно, что
где Л* (z) - гипергеометрический многочлен, определяемый форму-

9.7 0. Вычисление бесселевых функций по рекуррентным формулам 415
лой D) при m = 0. Рассмотрим соотношение нормировки
z
2 «» Bk + u)F(k + v)
r(v + 1) * = о r(i/+ 1)к!
Тогда
P^)=(-)W+1(^ + DiV + 1B*(Z))
z2
G)
B*(z)-0F?(-2n-l + e-i/; -—).
Приближения к функциям /v(z) и 7m+v(z) задаются формулами
Jv(z) = P*(z)A*(z)/B*(z), (8)
и
im+^) = (Yfwkv{z)/r(v+Vp*N(z) (9>
соответственно. Погрешность определяется соотношением
Тогда, если v не есть положительное целое число либо нуль, имеем
0F"(-2n-l + 8-v, -%Щ)Е*ЩУ1(г)
+ Z*(z),F2(l; п+2, -п + 8 -v, -z2/4)
= (-1Г-^—F*(z)/_m_v(z)
8Ш7Г1/
= ~^n*(z)ym + v(z)+ T7^— ^Шт + у(*Ь (П)
Ztg7TV
Z«<Z> - ,_.,„™..., ...л '• + »<*>'
(z/2Jn+2r(n + l-S + v)
(ra+l)!rBn+2-S + v)
V*(z) = (z/2Jn+2~5^J2n + 2_5 + v(z)/rBn + 2-8 + v).
Уравнение A1) можно преобразовать таким образом, чтобы с помощью

416 Гп. 9. Функции Бессет и их интегралы
теоремы Лопиталя можно было получить представление погрешности,
когда v становится положительным целым числом либо нулем. Здесь
это преобразование не приводится. Однако для произвольного v
всегда имеет место соотношение
z2
0^(-2п-l + 8-i/; - —)E*fV(z)
z2
= -Zn(z)AF\(\\ n + 2, -n + 8 - v\ - )
0((^Jп)
-*F*(z)Ym . „(z) + , A2)
»v / m + vw rBn+2-S + v)rBn+3-8 + z,)
где s=n-8+i/ E = 00), если i/ есть (не есть) положительное целое
число либо нуль. Ясно, что вычисление по рекуррентной формуле,
примененной в обратном направлении, есть процесс сходящийся. Кроме
того, для достаточно большого п, п » тп, величина относительной
погрешности по существу не зависит от т. Для удобства в приложениях
запишем формулу для определения погрешности в виде
?m,v(z) = -ZnB)[l + 0(rz-1)]-;rF*(z)ym + v(z). A3)
Пусть г/, п и z фиксированы, так что функция Е? (z) есть функция
только от тп. Тогда Е^ v(z) удовлетворяет рекуррентной формуле для
функции H?|V(z).
Теперь рассмотрим способ III. Имеем
<%,*<*>-/» + »<«>-'» + »<*>. <14>
^ + v(z) = /v(z)^,v(z)/4v(z)' <15>
где W^ v(z) определена формулой D). Кроме того,
G*iV(z) = (- )m + vr(m + v)F*(z)n*(z)A4*(z),
1—m m _
Q*(z)=,F*( , 1 ; l-iz-m, v+1, 1-m; -z2), A6)
m 2 3 2 2
m — 1
s = [ ], 0< m < A/+ 2,

9.7 0. Вычисление бесселевых функций по рекуррентным формулам 417
где полином A*(z) уже встречался нам в формуле E), и
Gm>) =
r(m + v)(— Jg+2+2v"mQ*m(Z)
id
r(g + l + i/)r(« + 2 + i/)r(i/+l)/v(z)
x(l-
+ 0( —)), m>0. A7)
2(^ + 1 + i/)
Здесь величина q такая же, как и в 9.10.3A5). Ясно, что вычисление
по рекуррентной формуле, примененной в обратном направлении, -
процесс сходящийся. Заметим, что при фиксированных n, v и z
функция G^ v(z) удовлетворяет той же рекуррентной формуле, что и функ-
ция ^m| v(z)- Кроме того, если m = 0, функция G*> v(z) равна нулю.
9.10.5. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ
Пусть
W=5, n=3, 8=1, 2 = 2/3, v = У3.
Значения функций Wm^ v(z), PN(z) и MN(z) даются в приводимой ниже
таблице.
Таблица А
m
6
5
4
3
2
1
0
4vW
1
19
305
3984
40145
2 84999
11 80141
Р (з) = 880 75120/81
М^О) = 1 38952 97360/6561
Поскольку (z/2)VVrD/3)= 0.77645 82114, е~2/* = 0.51341 71190,
приближения, полученные I и II способами, суть 0.84272 08930 и
0.84272 10326 соответственно. С точностью до 10 D функция /у B/3)
равна 0.84272 08819. Таким образом, погрешности вычислениями I
и П способах суть соответственно -0.111 . 10~7 и —0.151 • 10"~6.
Погрешности при I и II способах, получаемые с помощью формул 9.10.3A3),

418 Гл. 9. Функции Бессепя и их интегралы
B3), в которых мы пренебрегаем 0(n 1) и членом, содержащим
функцию ?w + v(z), соответственно равны -0.110 . 10 и -0.149* 10~.
Рассмотрим еще один пример. Пусть
/V=5, n=3, 8 = 1, z = 2, i/ = 0.
Снова проведем сравнение I и II способов вычисления. Имеем следукщее:
Таблица В
m
6
5
4
3
2
1
0
m
0
1
2
3
4
5
6
2,
1.
0.
0.
0.
0.
0.
w>
1
6
31
130
421
972
1393
i
Способ I
,27986
,59083
,68903
,21276
,50736
,98199
,16366
9067
4697
4370
5957
4975-10"
6727-10"
6121-10"
J
1
2
2
»
2,
1
0.
0.
0,
0,
0.
PNW =
MN(z) =
e2 =
Способ II
.27972
.59073
.68899
.21275
.50733
.98193
.16365
4285
3672
0613
2446
2755-10'
4365-10"
5728-10'
611
4515
7.38905 6099
~ W
2.27958 5302
1.59063 6855
0.68894 8448
0.21273 9959
 0.50728 5700-
0.98256 7932-
'l 0.16001 7336-
1
10"?
10" i
10""
Погрешность
Относительная погрешность
m Способ I
Способ II
Способ I
Способ II
0
1
2
3
4
5
6
-0.284-10
-0.198-10
-0.859-10
-0.260-10"
-0.793-10"
0.571-10"
-0.365-10"
-3
-4
-0.139-10"
-0.968-10
-0.422-10
-4
-0.125-
-0.471«
0.634'
-0.364-10
10
10
10
-5
-5
-4
-0.124-10
-0.124-10
-0.125-10
-0.122-10
-0.156-10
0.581-10
-0.228-10
-3
-3
-3
-1
-0.610-10"
-0.609-10^
-0.612-
-0.587-
.929'
.645-
-0.
0.
-0.228
-Ф
-4
4
4
1

9.10. Вычисление бесселевых функций по рекуррентным формулам 419
Воспользуемся формулами 9.10.3A3, 23), в которых мы
пренебрегаем членом 0{п~'{) и членом, содержащим функцию Km + v (z). Тогда
приближенные относительные погрешности вычисления I и II
способами равны соответственно -0.116 • 10~~3 и -0.537 • 10~4.
Ниже в таблице С представлены значения погрешностей,
найденные по формуле 9.10.3C), в которой опущен член 0(п~у), для т = 6,5,
и по рекуррентной формуле для меньших значений т. В связи с этим
см. замечение к формуле 9.10.3B3). Назовем такой способ
вычисления способом I-A. В этой таблице представлены также аналогичные
данные, полученные способом П-А, в основу которого положены
формулы 9.10.3B3) и замечения к ней. Каждая процедура использует
известные табличные значения для функций КтB) и /7B). На практике
мы советуем пользоваться соотношениями
'm + v(z> = tD-)m + V/r(m + V + 1)][1 + °(™~1I> W
Lt
r{m + v)
*m+v(z) = [l + 0(m-1)L B)
z
2(_-)m + v
в которых опущен член 0{т~Л). Соответствующая формула для
функции /m + v(z) совпадает с правой частью формулы A), а
соответствующая формула для функции Ут +v(z) равна правой части формулы B),
умноженной на -2/п. Формулы A) и B) имеют силу при фиксированном
z и больших значениях т и, следовательно, неравномерны по z. В
некоторых приложениях, возможно, следует пользоваться первым членом
равномерного асимптотического разложения этих функций; см. Ол-
вер A954, 1974). Вычисление гамма-функций можно упростить
следующим образом. Если | R (а) \ < 1 и г — положительное целое число, имеем
Г(г + я+ 1) = г!Г(г + а + 1)/Г(г + 1) = г!га[1 + 0(г-1)],
и при достаточно большом г мы пренебрегаем остаточным членом. Ес-
1
ли а = 0, указанное приближение, безусловно, излишне. Если а = ±—,
2
можно применить эту приближенную формулу, хотя, может быть,
следует отдать предпочтение известным таблицам гамма-функции от
половины нечетного числа; см. также гл. 1.

420 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Таблица С
Приближенная погрешность
771 Способ I-А Способ II - А
0 -0.264-10";* -0.114-10"^
1 -0.184-10"^ -0.765-Ю
2 -0.797-10"; -0.373-Ю
3 -0.242-Ю -0.110-Ю
4 -0.723-10"^ -0.410-10"*
5 -0.475-10"* -0.536-10"*
6 -0.310-Ю -0.309-Ю
И наконец, в качестве последнего примера проанализируем
результаты вычисления, полученные с помощью способа III, для чего
воспользуемся данными второго примера. Мы получаем следующие результаты:
Таблица D
m
i m(z) Gm(z) Приближенная погрешность
0
1
2
3
4
5
6
2.27958 5302
1.59063 6693
0.68894 8609
0.21273 9475
0.50730 1826-10"*
0.98187 4502-10"::
0.16364 5750-Ю
0 .
0.162-10"°
-0.162-10";?
0.484-10"°
-0.161-ю";?
0.693-10"*
-0.363-Ю
о
0.155-10"°
-0.155-10"°
0.467-10";!
-0.155-10";?
0.669-10"*
-0.350-Ю
Здесь Gm(z) обозначает истинное значение погрешности, а
приближенное значение погрешности означает, что Gm(z) вычисляется для т=1
по формуле 9.10.3B8), в которой пренебрегается член с символом О,
а последующие значения находятся по рекуррентной формуле, как это
объясняется в замечании к 9.10.3B8). Применение рекуррентной
формулы таким способом устойчиво, поскольку погрешность является
возрастающей функцией от т.
Чтобы определить точность, получаемую при всех трех способах
вычисления, нужно применить соотношения нормировки. Так, если
вычисление ведется способом Ш, то для проверки точности имеем
формулы 9.10.3F, 14), где Ik + V{z) заменяется на i & + v(z). Подобным
же образом, для проверки точности вычисления, проводимого спосо-

9.77. Вычисление бесселевых функций по квадратурным формулам 421
бами П и I, имеем формулы 9.10.3F, 14) соответственно. Другие
соотношения нормировки, которые могут оказаться полезными, вытекают
из п. 5.11; более подробно об этом см. в работе Люка A969).
Анализ погрешности при решении линейного разностного
уравнения общего вида второго и высшего порядков с помощью рекуррентной
формулы, примененной в обратном направлении, дается целым рядом
авторов. Некоторые авторы анализируют непосредственно случай
бесселевых функций. Мы не собираемся приводить здесь обзор работ,
посвященных данному вопросу; ссылки на отдельные работы даны в гл. 12.
Достаточно сказать, что ни один из предлагаемых в этих работах
анализов не обладает той простотой и точностью, которые присущи
анализу, предлагаемому здесь. Чтобы подвергнуть строгой проверке
полученные нами асимптотические оценки, мы умышленно придаем N, а
следовательно, и п малые значения: /V = 5, п = 3. Эффективность и
практическая ценность предлагаемых формул погрешности очевидна.
9.11. Вычисление бесселевых функций
с помощью квадратурных формул типа формул трапеции
Приводимые ниже результаты являются следствием применения
квадратичных формул трапеции двух типов к интегральным
преобразованиям, определяющим некоторые функции Бесселя. Подробнее об
этом вопросе см. в работе Люка A969), а также в работах, ссылки
на которые предлагает автор. Для преобразований общего вида
указанные формулы трапеции дают
I=hTm+G, A)
ami
I = ff(t)dt, Г = 2 f(kh) —H/(°) + f{o)}, a = mh, B)
О k = О 1
G= -2 2 Gr, G = ?f(t)cos B7rrt/h)dt C)
г =i о
и
/=ALm+ff, Lm = y'f(kh+h,a = mh, D)
k=0 I
ff = -2 S (~l)rGr. E)
г = 1
Предположим, что все интегралы определены и что бесконечные ря-

422 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
ды сходятся. Будем также считать, что полученные выражения
имеют предел, если a -» во, а следовательно, и ш->оо, Ясно, что f(<x>) =0.
Пример I. Бесселевы функции первого рода л-го порядка. Если
п — положительное целое число либо нуль, то
п 2 i
In(z) = (—1J"— г cos (z cos 0 cos ntdt, n четно F)
77 I
•л О
2 2
•^^(z) = —/ sin (г sin t)sin nt dt, n нечетно. G)
7Г О
При любых значениях п
Gr = Ш'1)П Jlmr-n{z) + /4«r+»W], nth = тг,2. (8)
При фиксрфованном z по мере возрастания п происходит быстрое
убывание функции Jn(z)% и ряды G и Н быстро сходятся. Для
оценки точности вычисления с помощью формулы трапеций обычно
достаточно определить первый член этих рядов. Оценку погрешности
можно выполнить с помощью хорошо известных таблиц либо с помощью
неравенства
I Ш\ < 1(*/2)' ' ^ . * = х + гу, у > 0, (9)
Заметим, что при больших значениях | z\ обычно приходится вычислять
функцию e~yj (z)9 и довольно эффективную приближенную границу
погрешности дает неравенство (9). Например, предположим, что п = 0
и | z\ = 2. Пусть т= 3. Тогда /12B) = 0.193 • 10-е и /12 B) = 0.225*
хЮ~8. Таким образом, как | G |, так и | Н | не превосходят 0.45х
хЮ~8. Кроме того, 2/A2)! = 0.418 • Ю-"8. Следовательно, в силу (9),
если | z | < 2, то 3 члена каждой из формул обеспечивают при
вычислении функции е~Э70Bг) точность, равную по меньшей мере 8D.
Далее предположим, что л = 0 и \z\ =10. Пусть т= 7. Из (9)
получаем, что e"%a\J7B(z) | < 0.119 • 10~9 для всех | г | ^ 10.
Следовательно, 7 членов каждого из выражений обеспечивают при вычислении
функции e~yjQ(z) при всех |z| < 10 точность, равную по меньшей
мере 9D.
Теперь рассмотрим представление
¦/»(*) = ^ттйг Г cos(* cos в)sin2n в de-
A0)

9.11. Вычисление бесселевых функций по квадратурным формулам 423
где п — положительное целое число либо нуль. В этом случае
/z\n Г w (-l)s 1
Gr = B) П1 hmr(Z) + Z ln _ Л] ln . s)\ Umr+2A*) + Lmr-2s(z)} ,
mh = тг/2, (П)
а границу для остаточного члена можно получить из неравенства (9).
Еще одно представление, пригодное для вычисления бесселевой
функции первого рода, имеет вид
Jn{w) = — (* ) J e»cose cos(jc sin 0 - n0) </0,
го = (.v2 - у2I'*, R(x + у) > О, го = w + w, » > 0. A2)
где w — положительное целое число либо нуль. В этом случае
G< = \ [()п ЙтуГ^--(ю) + (тгу)"^-»]' И/А = ff-A3)
Пример II. Модифицированная бесселева функция второго рода.
Рассмотрим
Kv(z) = ?e~z ch' chi/« Л, R(z) > 0. A4)
о
В общем виде пусть
К (*) = fe~* ch* (sh tf ch i/t it,
0 A5)
K(z) > 0 либо R(z) = 0 и K(a) > | R(v) I.
Заметим, что если a — положительное целое число г либо нуль, то
jr0.Az) = Kv(z), jrxj(z) = Г KJt) Л,..., jT„» = Г ^_,.„@ <//.
J z J z
A6)
Кроме того,

424 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Имеем представление
J z
R(z) > 0, R{a) > О либо z = 0 и R(a) > | R{v) | . A8)
Если какое-либо из соотношений A) - C) или D), E) применить к
A4) и обозначить Gr через Gr{z; a, v), то
Gr(z; a, v) = i[jra.iQl(z) + Jra.l9l(z)),
4\ = P +iv, ft = P - iv, P = 2ттг/И, A9)
ЖаЛг) = ^IqY^zjqY е- Js.n в + 2* cos g + _**_ {gBa + j} _ ^2} sin 0J
+ M' + 2{9* + (« - 2J} J эт«-х Г + 6{92 + (a - 3J} Ji
X [1 + 0(r»)],
a и z фиксированы, | g| -» <», | arg (a + iq) \ < n, B0)
gTr «(« + 1)B« + 1) *?>-' ri,n ) g* , 4<* ~ 1)(* - 2I.
" ~ 2 1292 ' V° ~ Г(ос) eXp | 2 + 6<?2 1'
.-ti. A) _»o. _,)_("+ «• + ¦), 0i,
На практике возникает также погрешность в результате
отбрасывания Гм и 1^, Оценивается такого рода погрешность легко, и мы
будем полагать, что она не превосходит по величине G или Н
соответственно.
Представление A5) предпочтительнее для вычисления К (z) с
помощью формул трапеции, поскольку на v не нужно накладывать
какие-либо ограничения. Однако нельзя восстановить значения функций
/v(%) и Yv{x), х > 0, с помощью формулы 9.2A1), поскольку z
должно находиться в правой полуплоскости. Кроме того, анализ
погрешности имеет смысл только в случае, когда \z\ lh мало. В самом
деле, можно показать, что для заданного h с ростом | z \ погрешность
возрастает. Теперь рассмотрим представление, подходящее для
вычисления функции Kn(z), справедливое при | arg z\ < тг, для которого по-

9.12. Неравенства 42 5
грешность с ростом | z\ убывает. Имеем
п — положительное целое число либо нуль, | arg z\ < п. B2)
Пусть через En(z9 h) и Fn(z, h) обозначены соответственно G из
формулы A) и Я из формулы C), когда эти формулы применяются
для аппроксимации интеграла B2). Тогда для R(z) > n2/2h2
л
_ 2(-lj» *' W>g/*V/2/i^)» Bдг - ^)-* B3)
F (c k) - 2(-1)"тг'У^/»У/2й*г)" Bг—тг»/**)-* ^4)
ШЛИ-*-8*1'*2)
Эти оценки для остаточного члена вполне реалистичны. Например, для
г = 8, А = 2 и гс = 0 правая часть соотношения B4) дает 0.272 • 10~4,
тогда как истинная погрешность равна 0.267 • 10". Если мы возьмем
z = 8, А = 2 и /1=1, то правая часть формулы B4) дает - 0.112 • 10~3,
тогда как истинная погрешность равна - 0.100 • 10" 3.
Ссылки на работы, посвященные вышерассмотренным вопросам*
можно найти в работах Хантера A964, 1968), Крумхара A965) и Люка
A969).
Для того чтобы можно было воспользоваться формулой B2),
необходимо, чтобы п было положительным целым числом либо нулем и
R(z) > 7r2/2h2. Чтобы устранить эти ограничения, Мечел A966)
рассматривал представление с помощью интеграла Меллина - Барнса для
функции Kv(z), вытекающее из 8.3A3) и 5.3.1A, 2), и изучал
аппроксимацию интеграла с помощью формулы трапеций; подробнее об этом см.
в указанной работе.
9.12. Неравенства
Поскольку бесселевы функции являются частным случаем конфлюент-
ных гипергеометрических функций, то неравенства для них, в силу
соотношений 9.2D) и 8.3A3), вытекают из соотношений 5.14A3 - 16),

426 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
7.9A - 3) и 5.14A7, 19 - 21). В частности, имеем
1-2»/ . 2Bи-1) Г1 Bv+3)* .._, _ 1 1 m
<1^П-+^Гз-[1+2B7Т1Г] '>*>(>>-T4v4li' A)
2-
«W =
X
— < e"
X
-.(±yr(v+i),
X
-ХК(х)ф)<-
1
!i/+3
*>0, ./>-!-, B)
e-*<e-*tfv(*)/v(«)<^-(l + e-^),*> 0,„> -I.
C)
Если x принимает значения, близкие к нулю, левые части этих
неравенств достаточно точны, в противном случае они не очень точны. При
i/= 0 неравенства A) и B) совпадают. При i/= -1 неравенство C) пре-
вращается в равенство. Если х = 0, указанные неравенства
превращаются в равенства. Для функции Kv(x) имеем следующие неравенства:
1 " ^—- < Bх/„)У> exKv(x) < 1 - ? , х > 0, Q4 v< L, D)
2Х + * 2*+l+Iu 2
1- —*—г- < B*Л)^%(*)< 1 -/gyV?
2х + 1 + 1и 4хE-2„)
2F
3«C — 2v) 1 2 ^ П 1 ^ /с\
" 4E-2,)U + B,+ l)E-2,/241>^ 4"">3;>0>Г<1/<УE)
Неравенства D) и E) при * -> <х> становятся точными. Они также
превращаются в равенства, если i/= _, а неравенство E) превращается
з
в равенство, если v= — Люк A972а) дает улучшенные варианты этих
неравенств и их обобщения на другие значения i/. Эти неравенства очень
точны. Например, положив в D) i/= 0, получаем следующие неравенства

9.12. Неравенства 427
и таблицу:
8*
2х
X
0.01
0.10
0.50
1.0
2.0
4.0
10.0
8* + 1
^ * w - v
Их)
0.07407
0.44444
0.80000
0.88889
0.94118
0.96970
0.98765
< F(*) = ( ^L)^exKIX)<R(x) =
16* + 7
^/""w
FW
0.38049
0.67679
0.85989
0.91315
0.94961
0.97230
0.98814
16*
+ 9 " '
ДСдО
0.78166
0.81132
0.88235
0.92000
0.95122
0.97260
0.98817
, x > 0. F)
G)
Заметим, что при % > _ среднее арифметическое функций L(*)
z
и К(ж) аппроксимирует функцию F(x) с точностью, равной почти 2,2%.
Это совершенно замечательный факт, поскольку функция К (х) имеет
логарифмическую особую точку при х - 0.
Неравенства
I Mv(z)Jv(z) U еУ> г - * + *'У, У > 0, !/> - К, (8)
,2 1
О)
Щ.ЖСI<^1%+1)
:и>-т.
где функция Жу(г) такая же, как в A), были предложены Ватсоном A949).
Неравенства
dlv(x)
<Q>X>0,u>Q;-K"{x)
> 0, х> 0, v> 0
A0)
ди ди
были предложены Кокрэном A967) и Рединком A968). ЛорхA967)
доказал, что
°< 1V + U{*)/IV(*)< 1>x> Q>€> °>и> -4";sin^>0,1/e"v
(И)
0< K»/Kv + 6(*)< 1,*> 0,е> 0,^ 0,
где учтены результаты, полученные Сони A965), Гуптой A966) и
Джоунсом A968). Для е = 1 Нейзелл предложил улучшенное неравенство
1 + (*,+ 3>/2* _ < W*) < A + Wx)_i>x> Q>v>_h A2)
1 + 2^iiL+ (^+DB^+3) ,

428 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
которое асимптотически точно для фиксированного v и *-*<».
Двусторонние неравенства для функции /v + A(x)Jlv(x) уже были даны в
9.9.2C0). Эти неравенства очень точны и асимптотически переходят
в равенство, когда х -> 0, v -»*>.
Пусть
k (-l)/ + 1*!Bi/+ Г). >+/)
с-*(*>=2д (UkU+ч ^«• Aз>
^,ft(*)-CVf4(*)+e-V«v(«)f A4)
функция Mv(x) такая же, как и в формуле A). Нейзелл A974)
доказал, что
0 < Яу> *(*) <ffv,A+,(*)</,,(*), А >0,
ffv, ft(*)~M*)» * - °» * » 0, A5)
lim Я t(«)-/„(*).
ft -» oo *
Доказательство этих неравенств основано на применении формулы
разложения 7.8G) при a = v + —, с = 2a + А; и z = 2я. Сравним не-
равенство #v л(*) < /v(*) (случай I) с правым неравенством A1),
когда б=1 (случай II) и когда е > 0 (случай Ш), а также с правым
неравенством A2) (случай IV). Заметим, что Gy ,(х) = /v+ ,(*)• Итак,
для всех к > 1 неравенство, которое мы имеем в случае I, более
точное, чем неравенство в случае II. Если х достаточно мало, в
случае I мы имеем более точное неравенство, чем в случае Ш. Для
всех t>2 и достаточно больших х неравенство случая I опять более
точное, чем неравенство случая Ш. И наконец, если & > 2 и i/>---,
в случае I имеем более точное неравенство, чем в случае IV. Можно
показать, что
1
I/+ —
'vW-cWf2W--^^-t/wW-d+ -^-)/v + ,(*». A6)

9.72. Неравенства 429
Если мы заменим v на v + 1 и с помощью рекуррентной формулы
для функции /у(я) исключим /v + 2(х), тогда мы получим левую часть
неравенства A2). Применяя неравенство Яу к(х) < Iv(x) для к > 2
либо неравенство Gv д.(я) < /v(*) для fe> 3, получаем более сильные
варианты неравенства A6).
Для удобства положим
и с помощью следующей таблицы определим значения параметров.
п К ?п <
1 1/+ 1 1/+ 1 v v+ 2
2 v+ X v+ V2 v+ X i/ +1/2 A8)
Амос A974) доказал, что
*> 0,i/> 0. A9)
Заметим, что Lt(*, i/)^: L2(x, v), если *> 0, и Я2(*, *)< tft(*, *),
если 4Bi/+ 3)(i/+ 1) < л;2. Амос также показал, что с помощью
итерационного метода можно найти еще более близкие границы.
Неравенства A9) очень точны и асимптотически превращаются в
равенства, если х -» 0, х -> оо либо i/-> ©о. Далее , имеем
7VM = (*/*)%(*)ep[ /rv@* ]• B0)
л;
/
г
Комбинируя выражения A9) и B0), Амос получил неравенства
L(x, г, иL ЦхL Я(*р г» v), B1)
L(*, г, и) = {x/z)vIv(z)[zL2{x,v)/xL2(z, v)lpexp [(*2 -г2)//],
Я(ж, z, „) = (*/z)v/vB)[zK2(%, v)/xR2(zt u)]p exp [(*2 -z2)/g], B2)
р = „+2-,9 = Р+1,/ = (*2 + ?2)^+B2 + д2)^
при условии, что г < ж, и где знаки неравенства меняются на
обратные, если х < z. Наиболее интересными являются случаи, когда

430 Гл. 9. Функции Бесселп и их интегралы
z -» 0 и z -> во. Тогда имеем
L(x9 0, „) = Nv(x)[sL2(x9 u)]pex? [xR2(x, v+ 1I,
R(x, 0, ^ = /VvW[pR2fc i,)Fexp [xR2(x, v)\ B3)
в^+имвA)^/гИ1),
л;
L(x, oo,„) = B^)-1/2 [RJx, v)]P exp [(*2 + p2)H
B4)
tf(*, oo, ^ = Bm)-Y*[L2(x, v)]P exp [(*2 + (p + lJ)*],
где функции L2(%, j,) и #2(я, v) определены формулами A8) и A9). Нераг
венства B1) - B4) очень точны. Они также асимптотически
обращаются в равенства при х -» 0, х -> оо либо i/-> oo.
Другие неравенства для функции гу(%) следуют из B0), когда
z = 0, и неравенств 9.9.2C0). Полученные таким образом неравенства
также очень точны, за исключением тех случаев, когда х
принимает умеренно большие, но тем не менее ограниченные значения и
когда v> — 1. При х -> 0, i/-> оо эти неравенства асимптотически
точны. Кроме того, они уточняются, в силу 9.9.2B7), при п -> оо. При
п = 0 и л = 1 соответственно имеем
0 < Mv(x)Ux) < exp [*2/4fr,+ 1)], B5)
A + x2/a2f < Mv{x)lv{x) < A + *7yN exp [8x2/y],
a = v+ 2,/3 = (i/+ 2J/4(t/+ 1), y= 2(i/+ 2)(i/+ 3), 8 =y/8(i/+ 1). B6)
Приведенные результаты не являются полными. Дальнейшие детали
можно найти в цитируемых ниже работах. Дополнительные сведения
о неравенствах, связанных с функциями Бесселя, см. в работах Мора-
на A957), Лорха и Сегё A966), Прохорова A968), Петровской A970),
Б.С.ЛииШахаA970), Элберта A971), Стейнига A971), Грюнбаума
A973) и Аски A973).
9.13. Библиография и информация о таблицах
9.13.1. ОСНОВНЫЕ ИСТОЧНИКИ
Ссылки на основные работы, посвященные решению целого
комплекса вопросов, связанных с бесселевыми функциями, см. в
следующих работах: Уиттекер и Ватсон A934), Ватсон A949), Эрдейи и др.

9.13. Библиография и информация о таблицах 431
A953, 1954), Петьо A955), Люк A962, 1969), Абрамович и Стиган
A964) и Трэнтер A969). Поскольку бесселевы функции являются
частным случаем конфлюентных гипергеометрических функций, полезную
информацию можно найти в работах, ссылки на которые даны в пп. 5.1
и 7.11.1.
Имеется целый ряд хорошо известных работ, посвященных
исследованию нулей бесселевых функций. Дёринг A967) проводит анализ
этого вопроса и дает разработку универсального алгоритма для
последовательного вычисления коэффициентов в разложениях Мак-Магона
для действительных и комплексных нулей цилиндрических функций и
их производных. Хеткоут A970а) предлагает процедуру получения
неравенств для нулей решений диференциальных уравнений второго
порядка. Он дает неравенства для п-го отрицательного нуля функции
Ai(z) и п-го положительного нуля функции /v(*), i/> 0. За последние
годы появился целый ряд работ, посвященных исследованию нулей
бесселевых функций как функции ее порядка. См. Магнус и Котен {4960),
Франц A960), Д.С. Коэн A964), Стрейфер A965), Кокрэн A964, 1965,
1966а, 19666), Мартинек, Тилман и Хюбшман A966), Холл A967), Map.
тинекA968), Хеткоут A9706), Феррейра и Сеема A970) и Кокрэн и
Хоффшпигель A970).
Вычисление интегралов произведений трех бесселевых функций
см. в работах П.Дж. Робертса A970) и Джексона и Максим она A972).
Окуй A974) дает таблицу интегралов бесселевых функций, которые
можно представить через полные эллиптические интегралы.
Нечисленные таблицы суммируемых рядов и интегралов, содержащих
бесселевы функции, см. в работе Уилона A968) и в работах, ссылки на
которые даны в п. 5.1.
9.13.2. ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
Бесселевы функции целого и общего порядков
Фетти и КасленA967). 1п(х), е~х1п{х)> п = 0,1, х = 0 @.001I0,
точность 15S.
Фетти и Каслен A9696). Вычисляются те же функции, что и в
предыдущей работе, х = 1AI0, п = х{1)х + 2.5, точность 16S.
Бергер и Мак-Аллистер A970): 1п{х), Кп{х), п = 0,1, х = 1AL0,
точность от 61S до 98S.
Барк, Большев, Кузнецов и Черенков A964). e~xIQ(x), x = 0@.001K
@.01I5@.1J4.9, точность 7D; ехр (-*2O0(*2), ж"- 0.@.001)
0.2, точность 7D.

432 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
Мак-Лейн, Шёниг и Палладино A962). Jn(x), Yn(x), In{x), Kn(x), n = 0,1,
х = 0@.1)85, точность 4S.
Демпси и Бенсон A960). KJnaq^), п = 0AI0, q = 1AJ50, если а^= X,
q = 1AK00, если a = % точность 10D.
Олвер A962). В этом томе даны таблицы для вычисления функций
Jv(vx), Yv{vx), Iv(ux) и Kv(vx) и их первых призводных,
точность до 10S (исключая окрестности нулей), v> 10.
Ренч(ШО). Множители сходимости Сп(п) и их приведенные
производные для вычисления функции Ху(я), п = 10AL0, точность
30D. Аналогичные таблицы, но для функции 1^(х) см. в
работе Ренча A971).
Янг и Кирк A964). Пусть рп= Ьег* {х) + bei* (я), $п = arc tg [bdjx)/Ьетп(х\
°п = ker*M + bi*(*), <?„ = arc tg [kei^/ker^*)].
Таблица 1. berj*), beij*), кетп(х), kein(x), n = 0,1, x = 0@.1I0,
точность 15 D.
Таблица 2. Те же функции, что и в таблице 1, и, кроме того,
Рп, вп, ап, фп, n = Q,l,2,x = 0@.01J.5, точность 7S либо 8S.
Таблица 3. Те же функции, что и в таблице 2, п = 0AI0, х =
= 0@.1I0, точность 6S либо 7 S.
Аггарвол и Сагерян A969). Пусть hn{z) = zH^l^z)/H™{z), R{hn{z))>
l(hn{z))> n = 0AI0, z = 0@.2I5, точность 5D.
Бесселевы функции дробного порядка
Сингх, Ламли и Бетчов A963). hn(z) = t/4ff? (v), л = 1,2, v =—z\ h{z),
о
3 s t
fh{iu)du9 ffh{iu)dudt, z = is, s = -10@.1I0, где h означает
о oo
hn, точность от 4S до 8S .
Даферти и Джонсон A964). n^Ai{t)9 п^ Bi(*), их производные и
связанные с ними величины, t = —6@.1N, точность главным
образом 8S.
Носова и Тумаркин A961). Вычисляются функции Эйри и их
производные для чисто мнимого аргумента is, s = 0@.1N, точность
6 D, а также даны некоторые таблицы для вычисления \\&(--x)dx
и /Ai {—x)dx, где t - чисто мнимая величина См. также Осипова
о
и Тумаркин A963).
Яковлева A969). Функции Эйри и их производные, t = -9@.001)9,
точность 7 D.

9.73. Библиография и информация о таблицах 433
Бесселевы функции чисто мнимого порлдка
Люк С. и Вейссман A964). К. (v), v = е~х, переменные х и д.Табли-
цы охватывают данные, полученные для q = 0.2@.2M0,
после чего таблицы усекаются по переменной х на каждом
множестве значений q, на котором амплитуда колебаний
оказывается постоянной. Точность для q < 40 не менее 5 S и
выше 4 S для всех больших по величине q.
Журина и Кармазина A967). К. {х), q ~ 0.01@.01I0, % = 0.1@.1I0.2,
точность 7 S.
Киёно и Мурасима A973). К. (х), q - 0.01@.01H.0.5, 0.1@.1J@.5N,
х = 0.0.1@.01H.1@.1I@.5M, точность 8 S.
Производные функций Бесселя относительно порядка
Ли К. и Радозевич A960). ^fL, „= аAL + а,а= 1/4, х/з, 2/з, 3A,z =
= 1@.5), точность 4 Dt
Эрбер и Гордон A963). v^; , „ = +l/3,z = 0.01@.01) 1@.05M, точность
dv
4D.
Бесконечные ряды, содержащие функции Бесселя
Барк и Кузнецов A962). f (y/x)n + 2т1. ,(х) = хA)п //„_, (*«)
т= о л; о
x[chZ.(l-t2)]t"^, ге=1,2,у=0.@.01) 1@.1J0,% = 0@.01)
1 @.1) у, точность 7 S.
Хебермел, Минквиц и Шульц A965). 1 (-1) m{w/z)n + 2я7 + (z)
т- О
^(it;/*)» J/ ЛгО^-П - *2)]*ЯЛ. и> = 0@.2, ттK9.8, z = 0@.2L;
о п 2
м;= 0@.2, тгI9.8, г = 4.2@.2I2, точность 7 D.
Нг A966). Пусть Уп{щ z) — функция, рассмотренная Барком и
Кузнецовым в цитированной выше работе, при х = z, у = г^ и
пусть Z^(m^ г) = Yn(z, u;). Приводятся значения Yv Y2, ZQ9 Z^,w =
= 0.1@.1I, z = 0.1@.1I; Yv Y2, w= l(l)z, z = 2AJ0; Z0, Zr u/-
= 2AJ0, z = l(l)u;, точность 6 S.
Тайбери и Ренч A964). Пусть 7\ v= St v(fc) - i*fTTV/2Kv(*),

434 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
R, ^L I SvW ,ГДе „p(„t }»,.ЩА.
= 0.2@.1H.8@.05H.95, /*0 =0.25@.25NAI2, точность 5 S.
Нули и экстремумы бесселевых функций
Гербер A964). Первые сто нулей функции JQ(x), точность 19 S.
Моргенталер и Рейсманн A963). Нули функции /'(%), 214 п 4 51,
0< х < 100, точность в основном 8 D.
Роман A969). Критические точки, меньшие чем 100, и
соответствующие экстремумы первых четырех производных функции JQ(x),
точность 10 S.
Суитцер A965). Первые восемь нулей следующих функций: (a) tg S =
С,С = 0,001@,001H.1@.01I@.1I0AI00A0L00, точность 5D;
(б) 5 ctgS = С, С = -0.999@.001)-0.1@.01I@.1I0AI00A0)
400, точность 5 D; (в) CJQ{S) = SJ^(S), С такое же, как в (а),
точность 5 D.
Парн A972). Комплексные нули zr функции Kn(z), п = 2BI0, р =
Ц1)п; п = 3B)9, р = 1A)тг - 1, точность 9 D.
Дёринг A9666). Все комплексные нули функций Y {z) и #1BЬ n =0,1,
| z | < 158, | arg z\ 4 7т, и некоторые комплексные нули этих
функций для п = 2AM,15 и | arg z | < тг, точность до 10 D.
Миллер Дж.Ф. и Хейнес A959). а$ и Ai'(-as ) такие, что Ai(-as) =
= 0, (Ь& и Ai(-/3S) такие, что Ai'(-j8s) = 0, s= 1AM6, точность
15 D.
Шерри A959). Вычисляются те же функции, что и в предыдущей работе,
s = 1AM0, точность 25 S, а также первые восемь
коэффициентов разложения в асимптотический ряд функций arc tg [Ai(x)/Bi(*)J
и arc tg[Ai'(*)/K'(*)], точность 25 S.
Кокрэн и Хоффшпигель A970). Даны таблицы для вычисления 1/-нулей
функции H*(z) и ее производной с помощью равномерных
асимптотических разложений.
Нули функций, содержащих произведения бесселевых функций
Чтобы упростить нашу работу, введем следующие обозначения:
An(x) = Jn(x)Yn(kx)-Jn(kx)Yn(X),
Вп(х) = /n'(*)Yn'(M - /П'(Ь)Г(*).
Бридж и Энгрист A962). Первые одиннадцать нулей функции Вп(х),
п~ 1AI2, к = 1.1,1.2,1.5@.5M, точность 5 D.

9.13. Библиография и информация о таблицах 435
Лэслетт и Льюиш A962). В работе исследуются нули функций Ап(х)
и Вп(х); результаты, полученные, когда п велико, а
{k - \)/{k + 1) мало, сведены в таблицы.
Бауэр A964). Первые десять нулей функции В (х), п = 0AJ5, к =
= 0@.1H.9, точность 5D.
Вейль, Мурти и Рао A967). Первые десять положительных нулей
функции Ап(х), п = 0AI0, к = 0@.05H.95, точность 7S .
Вейль, Мурти и Рао A968). Первые десять положительных нулей
функции Вп(х), п = 0AI0, к * 0@.05H.95, точность 5D.
Фетти и Каслен A966). Пусть С{х) = J0(x)Yl{kx) - Y^hikx).
Вычислены первые пять нулей функции Ап(х), xm, m = 0AL и
нормированные нули ут = A - к)хт/тгт, п = 0,1; к = 0.01@.01H.99,
точность 10D. Первые пять нулей хт и нормированные
нули ут = |1 - к\ /т г тг> г = [т - - ], функции С(х), к =
= 0.01@.01H.99, 1.01@.01J0, точность 10D. А также первые
пять нулей и нормированные нули функции С(х), кг1 =
= 0.001@.001H.05, точность 10D.
Фетти и Каслен A968). Рассматриваются те же функции, что и в
предыдущей работе. При т = 5AI0 вычисляются нули и
нормированные нули функции Ап(х), п = 0, 1, и функции С(х) при к =
= 0.001@.001H.3, точность 10D, а также вычисляются нули
функции С(х) при k~l = 0.001@.001H.3, точность 10D.
Интегралы, содержащие одиночную бесселеву функцию
Кроме цитируемых здесь работ см. также Сингх и др. A963,
стр. 404), Носова и Тумаркин A961), Осипова и Тумаркин A963),
Барк и Кузнецов A962, стр. 405), Хебермел и др. A965, стр.405),
Нг A966, стр. 406).
Дрейн и Мак-Илвена A963). JjQ(t)dt,y = 0.04@.04M, точность 6D;
о
fl0(t)dt,y = 0.04@.04I0, точность 6D; fIQ(yw)dt /}l0(yt)dt,
ш= (f2 _ х2)У2г у = 0.04@.04I0, х = 0@.01H.99, точность 6D;
} 1
JJo(yw)dt/fj0(yt)dt, у = 0.04@.04M, х = 0@.01H.99, точ-
х О
ность 6D.
Фриш-Фей A965). fjv(t)dt, z/=±l/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 5/6,

4Э6 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
z = 0@.1N.3, точность 7D, и z = 6.3@.1I0, точность 5D.
Харви A965). Je~btI0{t)dtf Ъ = 0@.1I, х = 0@.1I0, точность 6S.
о
Шателе, Лансро и Мийон A959). Пусть 1Я (х) - фундаментальный
многочлен лагранжевой интерполяции по узлам хх,..., хп. Тогда
п п
L7}(х) = П (х -х,)/П (х: -xj). Рассматривается
fL?(x)J0(xy)d(x2), n = 11, i = 1AI1, у = 0AI2, точность 10D.
0 R
Дидонато и Ярнаген A962). Пусть P{R, D) = exp (-D2/2) /exp(_r2/2)x
о
х IQ(rD)rdr. В работе представлена таблица значений Я для
Р= 0.01, 0.05@.05H.95, 0.97, 0.995 и 1 - 10"m, m = 3AN,
D = 0.1,0.5@.05JANBI0A0K0, 50, 80, 120, точность 7S.
Е
Вайнгартен и Дидонато A961). Пусть Р(К, с) * c~lfF(u)du, F(u) =
о
= e~Buio(Au), E = I К2, А = A - с 2)/2с2, Б = А + 1. Дается
таблица значений ? для Р= 0.05@.05H.95@.01H.99, с =
= 0.05@.05I, точность 5D,
ос
Барк, Большев, Кузнецов и Черенков A964). fF(t)dt, F(t) =
u
= texp[--_(t;2 + t2)]IQ(vt), u = 0@.02)^, значения для у раз-
личны, но max? = 7.84, v = 0@.02K, точность 6D.
Дишон и Вейсс A966). Протабулированы значения функции А{у, w) =
/0 v-i ? -/ж / /о \j 54(y, w)
= (zw) х|ue ' L(uy/2zv)du, —-^ для различных значении
2 ду
2 2
уик;, точность 5D. Здесь / = u +y #
4ш
Джордж A962). fe-zu^sinuyv(wr)dw, Je~zuun^(\ - cos u)Jv(ur)du,
о о
т/= 0, п = 0, 1 либо i/sl,n = -1, 0, 1, г, z = 0@.1JAI0,
точность 5D.
оо
Дейч A962). Явное вычисление интеграла fe~zttm~2{smat -at cos at) x
о

9.73. Библиография и информация о таблицах 437
xjn(rt)dt для большей части значений тип из множества
т = -2AJ, п = 0AK.
Интегралы, содержащие произведения двух или более бесселевых
функций
Кумар М. и Дхаван A970). Дана таблица значений fe~pt*J(at) x
о
х Jv{bt)dt для р = 2 и целого ряда значений ^, v, а и Ь,
точность до 6D.
Пиви A967). Представлены точные значения коэффициентов для вы-
ъ
числения ftf{t)CQ(at)D0(bt)dt, где C0{at) mD0(bt) суть
цилиндрические функции, а / (t) — многочлен.
Ньюмэн и Франк A963). z^m^/2(zBinOsm1-2m* d* =
о
г2п-2тГф Г(п + ^ - т) ,п + \,п+Х--т
2F3
22n+i(n!J {п-т)\ \2п + 1, п + 1, п + т + 1
-z2;
все пары (т,п) таковы, что т, п = 0AK и т, п = —AK-- при
m< n, z = 0@.2I0, точность 5S.
Фетти A963)./*/n(x*)[/0(?)]5d?, я = 0,1, х = 0@.1I, точность 6D.
о
Бишоп A970). T[x[XKv(x)]Axndx, п = 0AL, v= 0.1@.115, точность 8S.
о
1
Кёльбит A965). fJl(jnmt)J0{xt)dt, jnm -т-к положительный нуль
функции Jn{x), п = 0, 1, 2, т = 1AM, х = 0@.1J0, точность 6D.
Таггарт и Шотт A970). Представлены классифицированные таблицы
значений JV 3t{ar)jn(br)dr и интегралов, содержащих произ-
о
водные сферических бесселевых функций j (z), причем as = у ь\
Уп -И* нуль функции jn{a r); k = 0, 1, 2, 5 = 1, п и t -целые
числа< 5, р = 1, 2, 3, точность 5S.
Мак-Квери и Мэк A967). Пусть J0(Kn) = 0, Jmn = Jm(Knr), m = 0, 1, /(F) =
i
= frF(r)dr, где F(r) есть произведение четырех бесселевых

438 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
функций типа Jmn, для различных значений п = 1, 2,..., 10.
Даны таблицы значений /(F), точность 5D. Представлены
также таблицы, когда Д {Kn) = 0.
Килпатрик, Кацура и Иноуе A966). Дан набор таблиц для / *°7 (a t) x
о
х Jv(bt)L(ct)f (t)dt, где f{t)- либо величина постоянная,
либо пропорциональная /g@- Точность варьирует от 6S до 14S.
Кацура и Нисихара A969). Протабулированы значения коэффициенте©
при ри в разложении интеграла fjy2 (pt)/3/ (bt)J3/ (ct)t dt,
1 7
w = -- (l)m +n + — , m, n = 0AN, m + n четно, b, с = 1 и 2,
точность 16S.
Другие интегралы, содержащие бесселевы функции
оо tnK (t) L °° tn
Кук и Трентер A959). Пусть G(n, i/) = L Г ^-'Л = —Ц- Г — Л.
о /v@ n + lo/2(f)
Положим /п = 1. Дается таблица значений G(n, v)f i/=±_ f
n = 1B)9, точность 5S; v = 0, n = 0BI0, точность 5S; i/ = 1,
ra = 2B)8, точность 5S.
Роберте Дж.А. A965). Функция G(n, v) такая же, как и выше, / = 1,
v = 1, п = 1AI00, точность 7S. Вычисляются коэффициенты в
асимптотическом разложении *^(*)/'i@ Д^ больших г, а
также даны значения коэффициентов в асимптотическом
разложении для G(n, 1) при больших значениях п. В этой же работе
см. комментарий относительно точности данных,
представленных в работах Смита и Бреннера и Соншайна (см. ниже).
Смит У.Р. A960 - 1964). Функция GBrc, v) такая же, как и выше,
f2n = Bn + 1)/(гс!J, 1/= 0, 1, п = 0A)84, точность 6 - 7D либо 8S.
Бреннер и Соншайн A964). Функция GBn, i/) такая же, как и выше,
/2n = 2(-l)nM2rc)!, ,/ = l,n = 2BJ4, точность 8S.
Лин и Линь A972). Функция G(n, v) такая же, как и выше, / = 2n+1/Vn!,
п > 2 v, v = 0, 1^ 2, п = 0AM0, точность 12D. А также дается
таблица коэффициентов в асимптотическом разложении для
G(n, 1/) при больших значениях п.
Кёльбиг A964). Пусть А{х, t) = t-ie~**/[K*(t) + n2l*{t)\ B(t) =
= a + bl0(t), где a =0 иЬ =1 либо a = 1 иЬ =0; C{t) =

9.73. Библиография и информация о таблицах 439
= Z0(a t)K0(t)-I0(t)K0(at). Вычисляются ГА(х, t)B{t)dt,
оо
/Л(х, t)C(t)dt при различных значениях хиа, точность 4D.
о
Миллер Дж.Ф. A966б)._ Лм2[Л2(и)+д2 , (и)]Г1 A*(u)du, Ля(и) -
= /п+1/2 (u), n = 1AI0EL0, точность 5D.
9.13.3. ОПИСАНИЕ ДРУГИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ И РАЗЛОЖЕНИЙ
С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
Кленшо A962). /n(x), Yn(x), /я(х), Кп(х), СТ{х), п = 0, 1, а = 8,
точность 20D. Для тех же функций, СТ(у), a « 8, точность 20D,
для функций 1п{х)> Кп(х) точность 14D.
Кленшо и Пикен A966). Для функций /v(x), 7v(x), /v(x), Kv(x)
вычисляются CT(x), СТ(у), v = 0, 1/4, Х/3, V&, 2/з, 3/4, 1, а = 8,
точность в основном 20D. Авторы также дают коэффициенты для
*-4e/v(*) + (l-,)/v(*)]= larsTs(-v)[*Tr(-t) + (l-e)Tr(t)],
е = 0, 1, -1 < v< 1, * = х2/64,х< 8, точность 6D.
Люк A971 - 1972). См. стр. 342, 343.
Артуре и Мак-Кэрролл A961). Fr{x) - (JL )^(^/2)~r/r+y2(x), вычис-
Z X
ляются СТ(х), г = 0AI5, a « 10, точность 12D.
Бергойн A962). /Q(x), х/^), г СР(х), а = 4, точность 9D. 1п(х) =
= Bttx)-1/^xF(x), Fn(x), n = 0, 1, гСР(у), а = 4, точность 9D.
Уимп A962). *-%(х), x~v/v(x), CT(x), i/- 0,±I,±|, 1, а - 5,
точность 15D. Уп(х), Кп(*)> СГ(х), гг = 0, 1, а = 5, точность 15D.
Показатель для В~% должен быть (+01), а не (+00).
Люк и Уимп A963). К0{х), Кх (х), СТ*{у), a = 2, точность 20D.
Багванден A962). x~v/v(x), x"v/v(x), v = ±1, ±-|, ВСР(х), а = 4, точ-
1 2
HocTbl0D.?v(x), i/ = -,-, БСР(у),а=4, точность 10D. А
также наилучшие чебышевские рациональные приближения для
Н*(х), где v ш х/з, Уъ, справедливые для х > 4. Точность
примерно 10D.
Глоден A964). /0(*), х/ (*), у (*), п = 0, 1, ВСР(х), a = 8, точность

440 Гл. 9. Функции Бесселя и их интегралы
12D. /0(х), х1г(х)9 кп(*Ь w« ОД, ВСР(х),а = 8, точность 12D.
/п(х), <Г*/Я(х), №> Кп(*Ь л = 0, 1, ВСР(х), 8 < х < 13, точность 12D.
Последующие коэффициенты подобного рода даются для замкнутого
интервала 0< х< «».
Бергойн A963). Ьег, bei, ker, kei и их производные. тСР{х), а = 10,
точность 9D, гСР{у), а = 10, точность 9D.
Гаргантини и Поментале A964).Рациональные чебышевские
приближения для Ка v(z) (см. 9.11A6)) над несколькими сегментами,
чтобы покрыть полностью положительную действительную ось;
t/ = 0, а = 1,2,3, точность меняется примерно от 3D до по
крайней мере 5 D.
Харт и др. A969). Jn(x), Yn(x), n = 0, 1, ВСР(х), различные
приближения, чтобы покрыть интервал 0 < х < °*, точность около 25D.
Рассон и Блэр A969). Наилучшие рациональные чебышевские
приближения к 1п(х) и Кп(х), п = 0,1) для 0< я < 1 и х > 1.
Представлены многочисленные приближения, точность меняется от 10~3
до 10-23.
Блэр A974) и Блэр и Эдварде A974). Наилучшие рациональные
чебышевские приближения для функций 10(х) и 1г(х). Погрешность
снижена почти до 10 -*23.
Немет A971). Чебышевские разложения для функций Эйри, их нулей,
производных, первого и второго интегралов. Коэффициенты
от 14-го до 39-го даны с точностью до 15D.
Люк A973). См. п. 9.9.1, стр. 383.
Уимп и Люк A969). е-*1п(х), СТ*(х), п = 0, 1, а = 8, точность 16D;
x-ielb-l)*fe-btIQ(t)dt,CT*{x), Ъ = 0@.1I, а = 8, точность
о
16D.
Немет A972). Пусть ; п — n-й положительный нуль функции Jv(x).
В работе даны коэффициенты с^п в формулах
оо сю
iv,n = .2 ck,n Тп (u)> /v,n - v? ndk,n Tn M,
u = v/2< 1, w = B/vf/2, i/> 2,
n = 0, 1, точность 15D. Подобные коэффициенты даны также
для нулей функций /у'(х), — [х~У2ЦхI — [*x/v(x)].
Вернер A958). Различные наилучшие чебышевские полиномиальные
и рациональные приближения для функций / (х), Yn{x), In(x),
кп{х)> п ш 0, 1, и интегралов функций 10(х) и ?0(х), точность

9.73. Библиография и информация о таблицах 441
приблизительно до 8D. В основном приближения даны таким
образом, что покрывается вся положительная действительная
ось.
Гаргантини A966). Наилучшие чебышевские рациональные приближения
X со
функций 1п(*)> Кп{х), п = 0, 1, fl0(t)dt и fK0(t)dt для
замкнутых интервалов [0, 70], [0, 8] [0, 30] и [0, 70] для первой,
второй, третьей и четвертой функций соответственно. Точность
около 8S.
Голден, Мак-Гуайр и Наттел A973). Анализ численных результатов
вычисления бесселевых функций с помощью приближений Паде.
В работе совсем нет таблиц коэффициентов.
Гаргантини и Хенричи A967). Представление функции KJz) с помощью
непрерывных дробей.

Глава 10 Функции Ломмеля,
функции Струве
и функции Бесселя,
связанные с ними
10.1. Определения, соотношения связи и степенные ряды
zu+1
**Л*) =,
(/*-" + 1H* +" + 1)
1
Ч(и -" + 3), io* + v + 3) I 4
s„.>(») = 'М + {г^ЩО* - v + 1)] дк»* + " + !)]}
X {sin[G* - v) ф] /,(*) - cos[(M - у) w/2] ВД} B)
X F ( l \^-\ О)
им- (*/2)"+1 =• / 1
д ; ДЗ/2) ДЗ/2 + И x 2 \3/2. 3/2
ГC/2) ДЗ/2 + v) x 2 V3/2, 3/2 + »I 4 !
= W-KhX]-1 *,..(*)• C)
Щ*) - К/*) ¦= [^(Ш 5,». D)
л ; ГC/2) ДЗ/2 + у) x 2 \3/2, 3/2 + v I 4 /
= exp[-i(" + 1) w] ИД»*"*). E)
Соотношениями A) и B) представлены функции Ломмеля, Н (г) —
функция Струве, а ЦДг) — модифицированная функция Струве.
т SU1 К7Г V Sin 1>7Г
М*) = "Г— soAz) — s-i.v(*)- F)
7Г 7Г
вд = _ A+соаН ^ _ Kl-cosv.) ^^ G)
<*п ГУ? _L_ lVl~\n-2fc-l
(8)
•U" r(n-k-ш*)-"-*-2*-1-'
Й Д* +1)
Здесь J^z) и Eu(z) — известные функции Энгера — Вебера.
4E_n(*) + н_(*)] = (-)•« Z м тТУ • (9)

10.1. Определения, соотношения связи и степенные ряды 443
Функции вида S (z) и функции, связанные с ними, часто
называют ассоциированными бесселевыми функциями, поскольку любая
линейная комбинация из функций S„J^z), Jv(z) и Yv(z) удовлетворяет
дифференциальному уравнению
Lw{z) = f(z), Л = ^D2 + zD + (z2 -J), D = , A0)
dz
где f(z) = z^ + К Вообще говоря, частное решение уравнения A0) при
произвольной функции f{z) называется ассоциированной бесселевой
функцией. Рассмотрим еще две ассоциированные бесселевы функции
(м — v -f 1 )(м + v + 1) \м — v -\-2, м + ^ + 21 /
н*Л*) = КМ
(r-v+ 1)(m + v+ lJ 2V-v + 2fH. + v + 2
Г(ц-*+ 1)Г(м + ^ + 1)
[aw
2"(l)u
+ ^(*) sin(^ - и) * 1 A2)
7г cos м77" -I'
которые удовлетворяют дифференциальному уравнению
[zW* + zD- (z* + v2)] HUtV(z) = e-V+1. A3)
Большое значение ассоциированных бесселевых функций частично
обусловлено тем фактом, что с их помощью можно представлять
интегралы от бесселевых функций. Так,
]t-lf(t)Cv{t) it = zCJiz) w'(z) - zw(z)C^(z) A4)
Cv{z) = AJv{z) + BY„{z), A5)
где А и В не зависят от z. Функция Cv(z) называется
цилиндрической функцией. К этому вопросу можно подойти и с иной стороны.
Имеются многочисленные интегральные представления для бесселевых
функций вида
I(z, a, b) = SK(zft)g(t)dt, A6)
а
где о и 6 фиксированы и не зависят от z. Обычно (а, Ь) = @,1),
@, оо) либо A, ©о). Интегралы такого вида называются полными
интегралами. Часто в приложениях приходится иметь дело с
интервалами вида I(z, a9 у). Такие интегралы известны как неполные
интегралы или неполные цилиндрические функции. Они удовлетворяют
дифференциальному уравнению, подобному A0), и, следовательно,

444 Г п. 10. Функции Ломмет, функции Струве и функции Бесселя
могут быть тоже названы ассоциированными бесселевыми
функциями. Ссылки на работы, связанные с этим и смежными с ним
вопросами, см. в п. 10.4.1.
10.2. Асимптотические разложения
SU.M ~ z»-l3F0(l, A - ^ + 0/2, A - м - «0/2; -4/*«),
| z | -*-оо, | arg z | < 7г - S, 8 > 0. A)
B/2)-1
Щ*) - F„(*)
'0/2),
3^A,1/2,1/2-^-4/^),
/_„(*) - м*)
| —>-оо, | arg я | ^ 7г — S, 8 > 0.
(ФУ-1
-A/2),
3^A,1/2, 1/2-,;4/*2),
>00,
arg г | < тг/2 - 3, 3 > 0.
B)
C)
Я«»
'.(
1 , —/^ + V, /Lt — V
2М + 1 3 - \ 4-М
4)
| яг | -*оо, | arg ^ | < Зтг/2 - 3, 8 > 0.
D)
10.3. Разложения в ряды по многочленам Чебышева
и функциям Бесселя
s^M-21 -6M^+1-?ae2 4„ Г271+ 6 (*),*= 0,1,0<*<1, A)
^ 71= О
(-1П-)
4
2п
4 =
п
а —1/+3 Д + 1/ + 3
(д - v + 1)(д + *+1)[Г_ ]„[-?-- ],
Х2^3
+ € + 71, 1 + П
Д—1/+ 3 Д + 1/+ 3
Л + € + 2п9 + п, + П
а

B)
Рекуррентная формула для А следует из 5.13.4A9 - 21), если
заметить, что с помощью принципа конфлюентности можно перейти от
функции afs к функции 2F3. Если ^ = -1 либо д= 0, то, в силу
9.4A), Ап можно представить в виде произведения бесселевых функ-

10.3. Разложения в ряды по многочленам Чебышева и функциям Бесселя 445
ций. Разложения функций Ломмеля вида (ал;I "^S (ax) в ряды по
многочленам Чебышева 7^ A/х), см. в 5Л0.Щ9).
Разложения функций вида 5 (z) в ряды по бесселевым
функциям можно получить из п. 5Л1.
Таблица ю.1
Чебышевские коэффициенты функций Ну (х) и Hv (х) - Уу {х), v = 0,1
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
н0(*) = :
п
0.18231
-0.06866
0.38875
-0.26764
0.07944
-0.01364
0.00155
-0.00012
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
оо
!„"»
19926
17653
91215
89396
13767
74528
29821
66377
77960
03761
00146
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
Т2п + 1
a
п
92574
15081
80854
55143
40525
78064
65312
63099
86420
14076
26332
68736
12602
00288
00005
00000
00000
00000
X
<т>
_ -8^; %< ft
06885
64320
73371
68269
67667
02930
96133
94869
52048
60050
71602
53930
41570
47808
69231
09785
00148
00002
П
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
X оо
H0(*>=-j
1.00215
-1.63969
1.50236
-0.72485
0.18955
-0.03067
0.00337
-0.00026
0.00001
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
г „V»7'»"
84560
29268
93961
11530
32737
05202
56144
96 501
63746
07824
00302
00009
00000
00000
00000
00000
00000
00000
к
99119
13091
82928
21218
10931
29880
73751
43126
16926
44085
15931
63266
25793
00588
00011
00000
00000
00000
X
Ico
80619
47468
18828
72087
35549
00215
94355
02089
12350
08254
88153
44950
37089
53949
58332
19870
00300
00004
н,М- s свгл(-)
п = о о
-8<%< 8
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.55788
•0.11188
•0.16337
0.32256
¦0.14581
0.03292
-0.00460
0.000 44
•0.00003
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
91446
32572
95812
93207
63236
67739
37214
34706
14209
17123
00741
00026
00000
00000
00000
00000
00000
00000
48160
65698
52009
24059
72442
93740
20935
16331
95293
71993
69870
18376
76858
01906
00040
00000
00000
00000
50428
16037
39277
02436
42034
35217
72841
39592
41169
80035
05204
70705
39395
70416
52291
74633
01203
00017

446 Гл. 10. Функции Ломмеля, функции Струве и функции Бесселя
Продолжение табл. 10.1
2 оо О 2 оо 8
H0(x)-YQ(x)=—l dj^-) H1W-yiW=_2 ej^(-)
nxn=o x n n=o %
*»8
n en
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
0.99283
-0.00696
0.00018
-0.00001
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
72757
89128
20510
06325
09819
01225
00189
00034
00007
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
64239
11386
3 78 70
82528
82942
06454
40833
43582
11191
62887
40656
10915
03120
00942
00298
00098
00033
00012
00004
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
43189
24757
37123
44161
86525
449 77
11800
25604
01711
44137
80728
04796
05243
02070
47947
72416
93712
07980
43821
67859
65200
25956
10571
04397
01866
00806
00355
00159
00072
00033
00015
00007
00004
00002
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1.00757
0.00750
-0.00007
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
64729
31605
04393
26620
01884
00194
00026
00004
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
38656
12482
32645
53933
11577
90149
12619
23626
79551
16799
03907
00985
00266
00076
00023
00007
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
Чебышевские коэффициенты функций YQ(x) и Yt(x) даны в табл. 9.1
и 9.2 соответственно.
41255
57125
19049
82266
53405
58394
89905
90104
55531
73006
19821
43090
35794
45035
12961
33212
42334
83162
29528
10816
04076
01577
00625
00253
00105
00044
00019
00008
00004
00002
00001

7 0.3. Разложения в ряды по многочленам Чебышева и функциям Бесселя 447
Таблица 10.2
Чебышевские коэффициенты функций ft" W0{t)dt
о
и /rm[^)-y0@]^^=o,i
о
* °° X х . оо X
№\л = 2 aj^iT) /гН((№=1^Л+1(-)
О п=О О 0 п-0 О
-8<*<8
nan Ь„
n n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
lb
16
1/
1.61333
0.50194
-0.45742
0.43760
-0.17354
0.03723
-0.00506
0.00047
-0.00003
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
66756
75160
08868
53741
51581
55318
68116
98914
36084
18160
00781
00027
00000
00000
00000
00000
00000
00000
84918
15311
95936
57332
97834
47435
81125
08117
62380
44 554
48081
44558
80223
01983
00042
00000
00000
00000
40385
42410
37691
27760
67968
88239
66354
97429
11729
91577
86330
04642
15917
21443
02434
77202
01242
00018
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1.82200
-0.52367
0.22272
-0.06531
0.01223
-0.00154
0.00014
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
49195
70538
20549
46019
46552
75515
02024
95341
05046
00213
00007
00000
00000
00000
00000
00000
00000
05665
32669
20414
09439
18933
77437
85264
58668
19441
85789
42361
21501
00527
00011
00000
00000
00000
54353
94383
69091
29117
96431
81571
53709
40481
50606
92011
86502
30044
63821
11339
20314
00325
00005

448 Гл. 10. Функции Ломмеля, функции Струве и функции Бесселп
Продолжение табл. 10.2
9 9 Я
J[H0(t)-Y0(t)]dt = [у+Ь2*]+ ? <Л(-)
О 7Г 7Г Л=0 %
/*-1[Ц)@-У0(«)]Л=—2 <*1Лв+1(—)
СП n dn
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0.00373
0.00367
-0.00005
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0-00000
0.00000
-0.00000
19877
82678
13929
21480
01592
00169
00023
0000 3
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
09364
30067
52719
31746
03126
13561
07360
78850
71820
15280
03575
00906
00246
00070
00021
00006
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
06118
44432
56746
57617
01877
08351
27228
56381
91376
89787
59565
36626
03989
88016
51372
83935
26622
77948
27734
10178
03842
01489
00591
00240
00099
00042
00018
00008
00004
00002
00001
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
0.12454
-0.00014
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
-0.00000
0.00000
0Z165
89784
24085
01037
00076
00008
00001
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
21241
13526
45254
01477
70065
03677
07617
17311
03213
00669
00153
00038
00010
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
00000
56946
17956
98516
42238
25913
77027
38161
55530
52374
55345
48766
13886
15518
87153
85604
26746
08715
02950
01033
00373
00139
ОООЬЗ
00021
00008
00003
00001
00001
Чебышевские коэффициенты интегралов функций YQ(x) к x~1Yl(x) даны в
табл. 9.3.

70.3. Разложения в ряды по многочленам Чебышева и функциям Бесселя 449
Таблица 10.3
х
Чебышевские коэффициенты функций LQ(x), Ц(*) и ft LJt)dt, m= 0,1
о
LoW-2oSft.+ 1(*) Loix)^lobnT2n{l)
-8< %< 8
ГС
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
237.05797
133.58386
45.27002
9.90658
1.48894
0.16158
0.01317
0.00083
0.00004
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
11456
78793
69600
74987
26172
21914
83421
42134
20764
17280
00588
00016
00000
00000
00000
00000
00000
00000
a
п
54399
36169
85132
31401
89602
20658
19061
01106
71776
19116
38384
86630
41238
00869
00015
00000
00000
00000
VN54
96542
62517
33772
88030
74209
32857
75538
21985
83639
13112
62453
52513
93168
82019
98312
25808
00369
00005
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
140.17728
193.76136
73.40636
17.13368
2.67948
0.29839
0.02476
0.00158
0.00008
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
76879
69155
88431
50769
99204
53141
90687
76155
08112
33416
01143
000 32
00000
00000
00000
00000
00000
00000
к
03660
01479
70&60
99404
63399
15806
25510
12613
89599
53954
84277
92491
80769
01708
00031
00000
00000
00000
39157
14769
10264
57281
18779
29639
36075
15002
28967
38311
87914
36992
68034
18303
45736
50888
00729
00009
L'w-.s..'-r*<T»
-8< х4 8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
117.97191
177.95257
77.76467
21.17714
3.84061
0.49049
0.04614
0.00331
0.00018
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
65767
99117
90022
53021
71794
62905
52641
56522
73519
85269
03188
00099
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
37839
97242
95114
88699
08746
07139
00329
13378
59230
54178
63377
61858
63732
05989
00117
00002
00000
00000
00000
66655
02790
80902
38687
09635
92664
52307
81808
49366
93899
31614
03738
51790
19489
90860
03100
03086
00042
00001

450 Гл. 10. Функции Ломмеля, функции Струве и функции Бесселя
Продолжение табл. 10.3
/L0(^=jkr2n(
п
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
138.48598
206.94820
88.31384
23.57562
4.20882
0.53094
0.04946
0.00352
0.00019
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
32031
65326
09192
63075
24407
41703
79497
68939
80342
89663
03338
00103
00002
00000
00000
00000
00000
00000
00000
i\
п
10893
36460
51037
69153
20899
47577
67198
19415
32332
22813
36146
91228
74231
06210
00121
00002
00000
00000
00000
-8<*<
88703
68050
28744
63828
56910
76541
85773
86730
34586
49006
30132
01807
93224
63254
97672
09667
03180
00043
00001
X
St
0
8
л
0
1
2
3
4
5
6*
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
"\Ш1
43.29660
20.05916
5.62726
1.03244
0.13228
0.01243
0.00089
0.00005
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
'L^+^T*
42301
63453
83766
25111
30336
75566
15943
02268
22785
00849
00026
00000
00000
00000
00000
00000
00000
еп
52920
88436
17145
81143
85977
08649
54342
07433
18695
28149
45042
69820
01581
00031
00000
00000
00000
81773
50751
55298
24179
38286
81526
20041
79534
43843
38168
53593
03673
22995
05048
53359
00809
00011

10.4. Рациональные приближения функции Hv(z) — Yv(^) 451
10.4. Рациональные приближения функции ЦД?) - Yv(z)
и погрешность в этих приближениях
Если в 8.3A7) положить со = 1 — v ив теореме 6, п.5.12,
положить
1 1
р= 3, 9= 0>ах =«2 = —, а3 = -I/, а = 0, а = 0= О,
так что \ = 1, a z заменить на z2/4,
а)
то
*U-v/ !
ИуI"^—)v[HvB)-yv(z)] = 0nB)//-n(z) + ^B), B)
<*„(*) = %
n (-n)k(n+l)k(-)k{--Vh
k=o з 3
/ -в + 4п + Н1, 1
x sF< (a• + l, & + i, & + JL, а_и-1
4 2 2
-thm
где /лB) есть функция 3F4 в формуле C), когда к- 0, и поэтому
gF4 превращается в функцию 2F3.
На основании анализа, проведенного в пп. 5.13.2 и 5.13.3, имеем,
что функции Фп(г) и fn(z) удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле. В частности, рекуррентную формулу для функции f (z)
можно получить из 5.13.2A1 - 15) либо из 5.13.3A - 4). С помощью
принципа конфлюентности ее можно также получить из 5.13.2B9 - 31),
для чего в последних формулах нужно положить Л = 1, Ь1= 1, Ь0 = -,
3 2
&з =— — v, заменить z на z2/4ata2 и устремить ах и а2 к бес-
конечности. Вывод формулы довольно прост, поэтому мы не
приводим здесь окончательный результат. Подробное изложение этого
вопроса см. в работе Люка A969).
Коэффициенты многочленов фп(г) и fn(z) при п = 0AN, i/= 0
и i/= ±1 представлены в табл. 10.4 и 10.5 соответственно. С помощью
упомянутой рекуррентной формулы можно вычислить последующие
многочлены. В табл. 10.6 даны значения погрешности | R (z)\ для
i/= 0, i/= ±1.

452 Гл. 10. Функции Ломмеля, функции Струве и функции Бесселя
Таблица 10.4
Коэффициенты функции H0(z) — YQ{z)
ноB>-W = — Un{*)/fa(') + КШ
7TZ
п aQ,av..., an
0 l
1 9, 2
2 75, 50, 2
3 2205, 2940, 294, 4
4 25515, 56700, 10206, 324, 2
5 17 15175, 57 17250, 16 00830, 87120, 1210, 4
6 790 5Э975, 3689 18550, 1475 67420, 120 46320, 2 78850, 2028, A
0 i
1 7, 2
2 43, 48, 2
3 1011, 2682, 290, 4
4 9819, 48960, 9900, 322, 2
5 5 71545, 46 72350, 15 23700t 85946, 1206, 4
6 233 10855, 2858 13360, 1376 18550, 117 84822, 2 76858, 2024, 4

10.4. Рациональные приближения функции Hv(z) -- Yv(z) 453
Таблица 10.5
Коэффициенты функции Н (z) — Y^z)
H_1(Z)-y_,(Z)= - 1[фп(г) / fn{z) + Rn(z)]
TTZ*
H^-Y^z)*-*- + J- [фпB) / fn(z) + Rn(z)]
7T 77 Z
fn(z) = a-\2 akz2k
k- 0
aQ, alf..., a„
0 l
1 15, 2
2 175, 70, 2
3 6615, 5292, 378, 4
4 93555, 1 24740, 16038, 396, 2
5 74 32425, 148 64850, 29 72970, 1 25840, 1430, 4
6 3952 69875, 11067 55650, 3162 15900, 200 77200, 3 80250, 2340.
^(Z) = "o'Jo***'
b0, bj,..., fc„
0 l
1 9, 2
2 55, 64, 2
3 1449, 4338, 366, 4
4 15795, 91296, 14940, 390, 2
5 10 22175, 97 53390, 26 53500, 1 21730, 1418, 4
6 458 84475, 6555 81600, 2698 06950, 190 35450, 3 73410, 2328, 4

454 Гл. 10. Функции Ломмеля, функции Струве и функции Бесселя
Таблица 10.6
Коэффициенты погрешностей
K(z)\, ^=о
n/z 1 2 4 6 8
2
4
6
10
15
20
0.223(-1)
0.106<-1)
0.169(-3)
0.4531-3)
0.5381-4)
0.1001-4)
0.1151-1)
0.537(-3)
0.2301-3)
0.1681-4)
0.1011-5)
0.4821-7)
0.9061-3)
0.5661-4)
0.6121-5)
0.1101-6)
0.759(-9)
0.120(-10)
0.5971-4)
0.6781-6)
0.7441-7)
0.2861-8)
0.595(-11)
0.2321-12 )
0.6261-5)
0.763(-6 )
0.267(-7)
0.108(-10)
0.3851-12)
0.2151-14)
n/z 10 12 16 20
2
4
6
10
15
20
0.699(-5)
0.20К-6)
0.440(-8)
0.8451-11)
0.1391-13)
0.5631-17)
0.4001-5)
0.4891-7)
0.4951-9)
0.4951-12)
0.3151-15)
0.1921-17)
0.117(-5)
0.323(-8)
0.9341-11)
0.109(-13)
0.3041-17)
0.2951-20)
0.3841-6)
0.239(-9)
0.228(-11)
0.2351-15)
0.3821-19)
0.179(-22)
\Rn(z)\, v= 1
n/z
2
4
6
10
15
20
1
0.4901-1)
0.1731-1)
0.690(-4)
0.7051-3)
0.629(-4)
0.1621-4)
2
0.319(-1)
0.148(-2)
0.583(-3)
0.41К-4)
0.236(-5)
0.9181-7)
4
0.373(-2)
0.2361-3)
0.2621-4)
0.475(-6)
0.345(-8)
О.бЗО(-Ю)
6
0.3271-3)
0.419(-5)
0.402(-6)
0.17К-7)
О.Збб(-Ю)
0.140<-11)
8
0.212(-4)
0.502(-5)
0.1891-6)
0.728(-10)
0.2981-11)
0.1691-13)
n/z 10 12 16 20
2
4
6
10
15
20
0.3621-
0.1481
0.3571-
0.7521
0.1291
0.5291
-4)
-5)
-7)
-10)
-12)
-16)
0.2271-4)
0.3931-6)
0.4481-8)
0.4971-11)
0.3361-14)
0.2141-16)
0.7191-5)
0.2931-7)
0.9491-10)
0.1341-12)
0.4051-16)
0.4131-19)
0.2471-5)
0.2391-8)
0.2601-10)
0.3291-14)
0.601(-18)
0.3011-21)

70.5. Библиография и информация о таблицах 455
10.5. Библиография и информация о таблицах
10.5.1. ОСНОВНЫЕ ИСТОЧНИКИ
Информацию об ассоциированных бесселевых функциях можно
найти в следующих работах: Ватсон A949), Эрдейи и др. A953), Люк
A962, 1969), Абрамович и Стиган A964), Бэбистер A967) и Агрест
и Максимов A965). В работе Бэбистера дается также анализ функций,
удовлетворяющих уравнению Aw(z) *= f(z), где Д —
дифференциальный оператор, отвечающий другим членам гипергеометрического
семейства. В работе Агреста и Максимова рассматриваются
многочисленные приложения данного вопроса к физическим задачам. В
качестве дополнительной литературы см. Водичка A959), Берлянд,
Кириченко и Коган A965), Диткин A966), Агрест и Рикенглаз A967), Еру-
химович и Пименов A969), Сикорский A970), Агрест A970, 1971).
Информацию по затронутому в п. 10.1 вопросу относительно интегралов
бесселевых функций можно получить также в работах, ссылки на
которые даются в п. 9.13.2.
Стейниг A970, 1972) предлагает некоторые результаты,
связанные со знаком функций Ломмеля и функций Струве.
10.5.2. ОПИСАНИЕ ТАБЛИЦ С УКАЗАНИЕМ ИСТОЧНИКОВ
А ы8
Бирлейн A962). Пусть М(А, х) = я--*J cos {их + —) du. Для каждого
о 3
А, ±А = 0@.25M@.5N, ©о, протабулированы значения от 28 до
33 чередующихся нулей и точек поворота; точность 4D. Дана
таблица соответствующих результатов для lim Ai(/4,#)//4. В
А ->о
шапке таблицы в самой работе стоит Ai/я, что неверно.
Экстремальные значения этих интегралов даны с точностью 5D
либо 6D.
Бернард и Исимару A962). Jv(*), ^(*), i/ = -10@.1I0, х = 0@.1I0,
точность 5D.
Барретт A964). LQ(%), L ,(*), * = 0.02@.005L@.05I0@.1I9.2, точность
5S и 6S; х = 6@.25M9.5@.5I00, точность 2S.
Агрест и Максимов A965). Пусть
1 а 1
у/л(а>р)= fcn(e> p)cos<?d<9,—Нп(со,р) =
1сп(в, p)simt>de, F%, р) = JQCn @, р)е±ф^, сп{в, р) =

456 Гл. 10. Функции Ломмеля, функции Струве и функции Вессепя
= (JL sin20)Vr (—)Г (п + —), ф = p cos в. Даны таблицы этих
Z Z Z
интегралов для л = 0, 1, а = 0,2@.2I.4, —, р = 0.2@.2I0, точ-
z
ность 5D; значения F*(a9 р) даны с точностью до 6S .
Диткин A966). Даны таблицы значений тех же функций, что и в
предыдущей работе, но для п = 0,1, р = 0.1@.1M.0, а= 0.01@.01I.57,
77 +
-, точность 6D; значения функции F~(a, p) даны с точностью
до 6S.
Агрест, Бекаури, Орлов, Рикенглаз, Хайан и Качибая A966).
Вычисляются те же функции, что и в предыдущей работе Диткина, при
тех же условиях, кроме одного: р = 0.1@.1I0.
Носова и Тумаркин A961), Осипова и Тумаркин A963). Авторы дают
таблицы, связанные с решением уравнения у" + ty = 1. См.
ссылку на тех же авторов в п. 9.13.2.

Глава 11 Ортогональные
многочлены
11.1. Введение
Основное внимание в этой главе уделяется разложению функций
в ряды по классическим ортогональным многочленам, известным как
многочлены Якоби, и в частности в ряды по многочленам Чебышева
первого рода. В настоящей работе, говоря о разложениях по
многочленам Чебышева первого рода, мы называем их просто
разложениями по многочленам Чебышева, что не должно приводить к
недоразумениям. В книге представлены многочисленные таблицы
коэффициентов чебышевских разложений для целого ряда общеизвестных
трансцендентных функций. В данной главе мы даем формулы, позволяющие
упростить применение и вычисление таких разложений и построить из
основных разложений другие, подобные вышеуказанному типу, для
близких функций. Существенным моментом является то, что
вычислять эти разложения и оперировать с ними можно так же просто, как
и с разложениями по степеням х, без предварительного
представления чебышевского разложения в виде обычного многочлена.
Классическим трудом по исследованию ортогональных
многочленов можно считать книгу Сегё A967). Исследованию этого вопроса
посвящены также работы Качмажа и Штейнгауза A958), Эрдейи и др.
A953, т.2, гл.10), Трикоми A955), Сансоне A959), Геронимуса A958),
Абрамовича и Стиган A964) и Фрейда A969).
В отличие от других глав этой книги мы не даем здесь ссылок
на появившиеся в последнее время работы, содержащие таблицы для
расчета нулей и некоторых близких параметров ортогональных
многочленов, поскольку подобного рода информация тесно связана с
вопросами численного интегрирования. Библиографический указатель,
предлагаемый Люком, Уимпом и Фэром A972), дает возможность
быстро составить значительный список литературы по данному
вопросу. См. также работу Дэвиса и Рабиновича A974).

458 Гл. 11. Ортогональные многочлены
11.2. Свойства ортогональности
По существу нам всегда приходится иметь дело с классическими
ортогональными многочленами. Однако, чтобы ввести концепцию
ортогональности и дать ее приложения, следует рассмотреть
действительные функции, определенные на действительных интервалах, хотя
эти понятия легко распространить и на комплексные функции,
определенные над множествами в комплексной плоскости.
Рассмотрим интервал (о, Ь) и неотрицательную весовую функцию
w{x), определенную на нем. Пусть { вп {х) \ - последовательность
функций, таких, что w62n интегрируема в интервале (а, Ь). Введем
скалярное произведение
@п , 0«) = С «<*) *«(*) BJx) dx. A)
J a
Если о (х) - неубывающая функция, то с помощью интеграла Стиль-
тьеса эту формулу можно обобщить:
(*»,**)= \Ь Ux)BJx)da{x). B)
Следовательно, если функция a (x) абсолютно непрерывна, формула
B) принимает вид A), где w(x) = a'{x). Если a(x) - чистая функция
скачков, постоянная, за исключением скачков w. в точках х • , то
формула B) приводится к виду
@п ,*«)=? M«W еп(хд. C)
г=0
Итак, мы имеем удачное определение для скалярного произведения
функций от дискретной переменной.
Говорят, что последовательность функций \вп(х)} является
ортогональной [относительно весовой функции w(x)) на интервале (а, Ь),
если
@п , 0m) = hn8mn , D)
где
К = @п , 0п) = С w(x)[6n(x)]* dx, E)
J п.
a 8mn — дельта-функция Кронекера, т.е.

11.2. Свойства ортогональности 459
8mn = °> еСЛИ т?п,
8тп= 1, если т=п. F)
Если hn = 1 для всех л, то говорят, что система ортонормирована.
Ясно, что всякую ортогональную систему можно сделать ортонорми-
рованной, если заменить в (х) на в (x)h~V2.
Естественно возникает вопрос о возможности представления
произвольной функции / = f{x) в виде суммы ортогональных функций,
т.е. в виде
/=Х>А- G)
к=0
Допуская такую возможность, формально мы имеем
(/> ^-) = I <е* , 0п) = akhk , ak = K\fy вк). (8)
n=0
Величины о ^ часто называются коэффициентами Фурье функции /,
а ряд в правой части G) называется обобщенным рядом Фурье. Тот
факт, что мы можем вычислить a ,, совсем не дает гарантию того,
что ряд в правой части G) сходится либо, если этот ряд сходится,
что его сумма есть функция f{x). В нашем анализе мы
предполагаем, что функция f2 (x) суммируем по Лебегу, т.е. что интеграл
f f2(x)w(x)dx существует. Класс функций, удовлетворяющих этому
a
условию, обозначим через L2. Далее предположим, что
последовательность {в (х) \ принадлежит этому классу. Пусть
/п=1М*. (9)
к=0
Назовем / приближением порядка п к функции /. Точность этого
приближения можно оценить интегралом
In(bh) ее /ПF0,..., К) = f [/(*) - t ЬМхЦЧх)dx-
A0)
Оптимальным выбором величин bh считается такой, при котором
интеграл In(bh) имеет минимальное значение, если, конечно, такой
выбор существует, и тогда мы говорим, что имеем наилучшее
квадратичное приближение к функции f(x). Имеет место

460 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Теорема 1. Из всех приближений п-го порядка к функции f{x)
наилучшим в смысле среднего квадратичного является то, при
котором bk = ak.
Оценка точности такого приближения осуществляется с помощью
выражения
4Ы = Г/8(*) «<*) dx - t ak*hk
*> п. ъ-^п
(И)
о
Поскольку In(ah) > 0, ряд 2 а| hk сходится, и при п -> <*> мы
получаем неравенство Бесселя^= °
А:=0 ^ а
Если имеет место равенство (известное как формула Парсеваля) для
каждой функции в классе L^, то говорят, что множество функций
{вп(х)} замкнуто в Lfv. В этом случае
Km f [/(*) - ? *А(*I8«>(*) Л = 0, A3)
и говорят, что частичные суммы обобщенного ряда Фурье сходятся в
среднем к функции /*(#).
Для функции от дискретной переменной [ см. комментарий к C) ]
предположим, что
14)
Ш = I сМ*)>
fc=0
? **(*«) м*<) w< = «»**». A5)
г=0
где функция Wt- = 1Г(л.) положительна, а 8кт — дельта-функция
Кронекера. Теперь умножим обе части формулы A4) на dm(xi)Wi и
просуммируем по i от 0 до л. Применив формулу A5), получим
ck = H?t<U*i)M*i)Wi- A6)
г=0

11.2. Свойства ортогональности 461
Таким образом, если известны значения функции f(x) в п + 1
различных точках х0 i = 0, 1,..., п, f(x{) =fn{x{), то/я(х) в A4) есть
кривая, совпадающая с f(x) в точках Xj.
Предположим, мы имеем еще одну кривую, совпадающую с f(x)
в точках xi , а именно:
Тогда оценка точности такого процесса интерполирования
дается следующим выражением:
I{dk) = ? 1/я(*<) - I 4^г)Г Щ. A8)
г=0 I fc=0
Имеем следующую теорему, аналогичную теореме 1.
Теорема 2. Наилучшее приближение при f (х), в котором
значение In(dk) минимально, имеет место при ck = dk, и в этом случае
in(ck) = i wjn\Xi) - ? hkCk\ as)
fc=0
Говорят, что такое приближение является наилучшим в смысле
метода наименьших квадратов.
Теперь рассмотрим ортогональные многочлены, которые мы
обозначим через q (х). Они обладают некоторыми важными свойствами
(рассматриваемыми в теоремах 3-5), благодаря которым их удобно
использовать в теории приближений.
Теорема З.Нули ортогональных многочленов qn{x) просты и
лежат в интервале [а, Ъ].
Теорема 4. Пусть
fc=0 Л=0
Тогда f(x) — fn(x) обращается в нуль на [а, Ь] по меньшей мере
п + 1 раз.

462 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Теорема 5. Всякие три последовательных ортогональных
многочлена удовлетворяют рекуррентной формуле
*n+i(*) = (Апх + Вп) *«(*) ~ Cnq^ix), л = 1, 2,... . B1)
Кроме того, если
п
Qui*) = Z ak.nX\
то
а71+1.П+1 гл Л / „ \ „ йП
Ап = ——¦— , Вп — Ап(гп+1 гп)> гп —
S» Ап""п _ ап+1, п+1ап-1,п-Фп г. / \
Сп = ~А h _ Та Wh ' п ~ КЧп ' Чп)'
^п-\пп-\ \ап,п) пп-1
B2)
Теорема 6. Если некоторая последовательность многочленов
ортогональна в отношении интегрирования, то она также ортогональна
по отношению к суммированию, т.е. если
ъ
Jw{x)q}.{x)qk(x)dx = hk8jk,
то
А I ъЮиЮ
/< п, k4 n, qn+1{xa)=; 0. B3)
Более подробное изложение теоремы 6 см. в работе Люка A975).
Формулы Кристоффеля - Дарбу имеют вид
L Aft**) fcGO = (ААГ1 *»'(«> fc(y)-fr(«)fo«(y),
П
Как уже было замечено выше, нас в первую очередь интересуют
классические ортогональные многочлены. Эти многочлены являются

Таблица А
Многочлены
a b w(x)
формулы
Якоби:
(« + 1)я
W,7i + a + j3+l
5. /-Л,я + а-
1\ а+1
1-У
Якоби (сдвинутые):
r{:-%) = р(:Л2х -1)
Гегенбауэра или ультрасферические;
) -1 1 A -*)«(! + *)* B5)
0 1 A - *)а/ B6)
(а+1/2) B«+1)п (а.а)
СП (> <«+«." ()
Лежандра:
РЛх) = Р„0>0)(*)
Чебышева (первого рода):
™ = ж':-"*"""<">
Чебышева (первого рода, сдвинутые):
Г.*(дс) = ТпB* - 1)
Чебышевого (второго рода):
(я + 1)! „а/гл/г),
tf»(*) =
C/2)я
(ж)
Чебышева (второго рода, сдвинутые):
UnM = ипBх - 1)
Лягерра:
Ln(*) = hmPn A-y)
= lim^>A_f)
= (.l)n HmKfa)(*/j3),
0-»оо
-11 A -х2)« B7)
-1 1
1 B8)
-1 1 A -*2)-1/2 B9)
о 1 [*а - *)Г1/2 C0)
-1 1 A -*2I/2 C1)
о 1 [х(\ - *)J1/2 C2)
О оо
C3)

464 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Продолжение табл. А
Многочлены а Ь w(x) №

формулы
(Многочлены, введенные Лягерром, отвечают случаю a = 0.)
Эрмита
тт / \ / 1 чЯ*л2т+€ , €-.(€—1/2)/ 2Ч »
Н2т+е(х) = (-1) 2 m!»Lm (x), -оо оо е"*8 C4)
€ = О ОГ € = 1
частными случаями либо функций Гаусса, либо конфлюентных
гипергеометрических функций, и по существу все результаты,
рассматриваемые в последующих разделах настоящей книги, являются
частными случаями формул, представленных в гл. 6 и 7. Из представленных
выше формул B5 - 34) видно, что все классические многочлены суть
частные случаи многочленов Якоби Р^»^(ж). Если в
гипергеометрическом представлении этого многочлена допустить, чтобы
параметр п был произвольным комплексным числом, то такая
гипергеометрическая функция называется функцией Якоби первого рода.
Функция Якоби второго рода является по существу вторым
решением дифференциального уравнения, которому удовлетворяет функция
первого рода. То же самое можно сказать и о функциях Лежандра,
В табл. А и В мы перечисляем классические ортогональные
многочлены [ формулы B5 - 34)] и приводим основные константы
[формулы C5-44)], входящие в соотношения B1, 22).
Класс бесселевых многочленов
Ртг(^г) = 2/го(-^ n + v; z) D5)
служит примером многочленов, ортогональных над кривой в
комплексной плоскости. Заметим, что Pn(u, z) - конфлюентная форма функции
2FX , которая входит в определение многочленов Якоби RQ* 9 ^^(х)
[см. 11.2B5, 26)]. Соотношение ортогональности имеет следующий
вид:
J_ J в'Ря{„г±-)Ря(у,*-) -4l--H) П'ЬтП — D6)
где С — путь из с — ? оо в с + г оо, с > 0. Имеем также
. Bв+йB» + ^+1) _ {и- 1) Bn + i/)
А =- . , в =
п + v (п + v) Bга + v — i)
_ n{2n+v+l)
п= (n + v)Bn+v-l)' D7)

Таблица В
%(*) К К с_п К ,
^а, р>, . Bв + А)Bи + Л+1) (а2-0>)Bп + к) 2(п+а)(п + в)Ап 2ЛГ> + а + 1)Г> + /3+1)
n X 2(п+1)(» + \) 2(п+\)(п+\)Bп+\-1){2п+\-\)Bп+\) B»+А)п!Г(» + Л)
R«,%) B, + А)B, + А+1) в f(a,P) (п+а)(п^Ап ГО.+«+1)Г(» + 0+1)
/« + 1W- + W в в" в (х) /%, + ), _lW%, + AW>,, + XU!W„ + \\ v '
(»+1)(в+А) п п п W Bге + А-1)Bл+А) Bи+А)га!Г(и + А)
/Г/А
2лГ(п + А) /М2
Bп + А)п! \Т(аТ
v2
С(а+И)( 2„+2«+1 ,Н-2«_ 2АГ(п + Л)(П2 +У^
В формулах C5) и C6) Л = а + 0+ 1.
В формуле C7) А = 2а + 1, а * -_ .
2
*» ——г- О —П- •«-—г- 38)
п + 1 л + 1 2я+ 1
ВД 2 0 1 „Дя C9)
7» 4 -2 1 „/«„ D0)
В формулах C9) и D0) <?0 = 1, еп = 2, если п > 0.
Un(x) 2 0 1 д/2 D1)
U*n(x) 4 -2 1 „/8 D2)
L«M - * 2в+а + 1 п + а Г(п + а+1) '
я + 1
-2
2д+а+1
л + 1
0
1
п + а
п +1
2д
Я!
Нп(х) 2 0 2в 1гИ2ип! D4)

466 Гл. 11. Ортогональные многочлены
11.3. Многочлены Якоби
11.3.1. ФОРМУЛЫ РАЗЛОЖЕНИЯ
Многочлены Якоби определяются формулой 11.2B5). Мы
предполагаем, что а > —1, ?> —1 и, следовательно, w(x) —
неотрицательная функция, интегрируемая на [-1, 1]. Однако многие формальные
результаты остаются в силе и без этого условия. Поскольку
выражение a + jS+ 1 встречается довольно часто, для упрощения положим
\ = a + j8+l. A)
В гипергеометрическом виде имеем
Р(а,0), ч (<* + 1)п т? /-п,п + \\ 1 -х\ B)
Рп (*) = п{ Л { а+1 |-у-) B)
(-l)nQ3+l)n „ /-», п + Л I 1+х\ C)
pk'g)(l) _ О* + On p(a.3)/_jN (li)M^_±i)ne D)
А также
Fn {2x - 1) _ w! (a + 1)ая ^n W,
р^Л/2^2 _ j) = Bn+l)l(«+l)n rlpWW< F)
w! (a + lJn+i
Таким образом, если число п — четное (нечетное), то
многочлен Р? ¦ a > (л) - четный (нечетный).
Формула Родригеса имеет вид
2пя! Р^>(*) = (-i)w(i - *)"аA + х)-* (dn/dxn){(l - x)°+n(l + xf+n}y G)
откуда получаем
Р^(*) = 2- | (й + *)(* + J) (* - 1Г* (* + 1)». (8)

11.3. Многочлены Якоби 467
Кроме того,
r=0
*<«.*> == (-1)г(а+ 1)п(-я)г(я + А)г /г - я, п + Л + г I 1\
г\{ос+\)тТп\ **Л cc+1+r \2)
= (-l)n(P+l)n(-n)r(n+\)r ir - я, п + А + г | h
r!(j8+l)r2'«! 2 Ч 0 + 1 +r |2/'
И, в частности,
k(a.$) = (* + А)п (а.0) _ (а - /3) ГBп + А - 1) (Ш
2пп\ > **-i.» - 2п(и - 1)! Дп + А) * v ;
Вообще говоря, более простое выражение для (9) известно только при
а= /3 либо а = в± 1. В первом случае имеем
,<«.«) = ИГ (<* + 1)п (-п)г (я + 2а + 1)г Д« + 1 + г) ГЦ) п
2'г! (« + 1)г Г[(г - п + 1)/2] Г[(г + п)/2 + « + 1] п\ ^Ч
и правая часть обращается в нуль всякий раз, когда п - г - нечетное
положительное число. Кроме того,
х[(Г(.)Г(« +1_))-1-с(Г(в + 1-)г@)-1],
a =L-(r+n + 2p+e+ 1), t = Г ~П ,е=±1. A2)
Из соображений удобства представления выпишем некоторые
результаты для сдвинутых многочленов Якоби.
в?-в\х) = р{:-в\ъс -1), р{:-е\Х) = 7#-e)[(i + *)/2], а з>
#Л*) = к- + iy»n л ("J" |Л11 - *)
= (-ir да + 1)„/«п л ("J+tл 14 а 4)

468 Гл. 11. Ортогональные многочлены
R(:-e\l - х) = (-1 )nlg"*(x). A5)
*l",s)(i) = (« + 1 )>!. Ue,fl)@) = (-if О + l W«i- <16>
и! в?-*\х) = (-1)"A - *)_а*_е №*"){( I - «rV4*}. A7)
Теперь рассмотрим асимптотическую формулу для многочлена
Якоби большого порядка.
4 + 1
„F, (-в,» +А; р; *)=.ИФ- (/Vsin —) 2 (cos *) 2
r<i_, 2
1 й О
х ехр { [ (г/2 — 1) sec 2— + о> (со — 2) cosec2 — ]
+ 17ГГГо К -!)(*> -ЗЛ)-ЗЛ2]+ 0(/V)}
48 W2
х cos |ЛЮ- ™ + l-[G?2-l)ctg6 + 2(A-l)(a3^A)ctgJ+A20]
4 oiv 2
+ -L-[actg3i-+6ctg^-+cctg2e + rfctg0 -Л_* ] +0(/V-5)l,
N3 2 2 128
A8)
u> = 2p - 1, г) = 2A - 2p, /V2 = »(n + A),
cos в = 1 — 2z или z = sin2 - ,
2
| argz | < 77 - e, | arg A - z) | < n - e, e > 0,
где
a = Л-1 [16p3 - 24o2(^ +1) + 4pDA2 + 4A - 9) - 2(A + 1)BA? -11)],
768 p
6 =^JlI[8ps-12p2(A + l) + 2pDA- 1)+(A+ 1)BA2 + 3)],
128
с = (г,2-1)(„2-25)/384, A9)
rf = — + — [ Up* - 64p8 - 8p2 A2\2 - 16A - 23)
4 512
+ 16p(8A8 - 4A2 - 24A + 1) - A2\2 - 47)DA2 - 1)].

77.3. Многочлены Якоби 469
При р = 1/2 и \ = О формула A8) точна без учета остаточных членов.
В A8) число л может и не быть целым. Соответствующий
результат для обобщенной функции Якоби p+2Fq+ г (-л, п + \,ар; р?+ %; z),
включая случай z = 1 при р = д, см. в работе Люка A969), где п
принимает произвольные значения, если р< q, и является
положительным целым числом в противном случае; см. также 5.12A0 — 14,
20, 21) и работы Филдса A9726, 1973). Люк также предлагает
асимптотические формулы для обобщенной функции Лягерра,
представляющей собой функции Йкоби, из которой изъят параметр числителя п + \.
Равномерное асимпотическое разложение обобщенной функции Якоби
при 0< 2< 1 см. в работе Филдса A968). Равномерные
асимптотические разложения многочлена Якоби и функций Якоби второго рода
<?(°' ^}(г) были даны Эллиоттом A971). Асимптотическая формула
для (^'^(z) при больших п приводится в 11.3.6.3F).
11.3.2. РАЗНОСТНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
A -*2) ndJ' + D3 - « -(А + В*] d\(Х)+п(п+\)Р<:•«>(*) = 0.
A)
Bя + А - 1X1 - *2) dP"f}X) = «[(« - /3) - Bя + А - 1) *] Pt'e\x)
+ 2(п + ос)(п+р)Р%:?(х). B)
2(я + 1)(п + А)Bя + А - 1) Р(??(х)
= Bя + А)[Bя + А - 1)Bя + А + 1) х + в8 - /З2] р?*'в)(*)
- 2(п + <*)(« + /3)Bя + А + 1) Pt?(*)- C)
2m ^^!W = (И + A)m Pl!T•e+mV). « = 1. 2,-.. «• D)
dxm
11.3.3. ИНТЕГРАЛЫ
Кроме следующих соотношений см. также 11.2C5 — 46).
j -1
- 2 < (" + А) г**-Я(-\ + (а-^) Р(*-в)(х1
~ /Bя + А + 1)B« + А) ^n+1 w + Bя + А + 1)Bя + А - 1Г " К)
(п+)8)(я + а) (,,е) > , 2(-)"Г(я+?+П
Bя + А)Bя + А- 1)(я + А- 1/"-1 {Х)\ т (я + А- 1)(я + 1)! ГЩ '
A)

470 Гл. 11. Ортогональные /многочлены
2nf(l-tr(l+tfPte\t)dt
= Pt?lB+1\0) - A - *Г+1 A + *)e+1 ^-+i1,ft+1>M- B)
2« f A - t2)" P!?-°\t) dt
°_ (¦1)-1(» + 2)^1Д« + 2)Д4) _ ,. pfa+i.^D.4
~ (я - 1)! Г[B - я)/2] Г[(я + 3 + 2a)/2] (l } п~г К ^
f1 A -x)'(l +xyPtB\x)dx
J -1
= (-l г Г о - *r a + *r ^-0)(*) &
(-1 у Q8 + 1)„ 2°+°^Г(р + 1) Да + 1) /_я,я+А,а + 1|п
я! Г(Р + а + 2) 3 2 \;8 + 1, я + а + 2 I V'
Д(р) > -1, Да) > -1. D)
f A -x)"(l +x)°PteXx)dx
^ (_!)« 2а+ст+1Г(а + 1) Г(я + * + 1)()8 - а)п
я! Г(а + а + я + 2)
Д(а) > -1, Д(а) > -1. E)
11.3.4. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ *Р В РЯД ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ
Если m — положительное целое число, то
пъ
п=0
2"иг! Дя + A) F (п - от, а + я + 1 | -Л m
я_ (от-я)!Д2я+АJ^Ч 2я+А + 1 Г/' ^
m
x2m+e = I Vfcft*), « = 0 или « = 1,
n=0
ft= Bт+6)!Bя + а + Л-«)Д2я + 2«+1+е)ГD) ...
" 2*»+*-Ч»|-я)! Д2я + « + <= + 1) Дот + я + а + | + 6) • ^'

11.3. Многочлены Якоби 4F1
А также
т
(!-*)"* = I f»P*-rt(*).
п=0
_ (-1)»2»м1 Да + m + 1)Bя + Л) Дя + Л)
(ж - я)! Да + п + 1) 7> + я + Л + 1) " W
Для произвольной степени имеем
*° = t ъ.АЛ*).
к-0
а > -1, jS > -1, R(p)>0, 0<х<1,
где
_ (-l)\-p)k2°{2k + Л) Щ + р + 1) ДА + Л) /А - р, -А - р - А I h
с*->- Г(* + в+])Г(А+р+А + 1) «М -р-Р 12/
(-1 )*+1тгBА + Л) ДА + А) ег"(о+а)
+ 2*+*ДА + а + 1) Др + 0 + 2) Д-р) cos тт(р + ]8)
/-A-a,A+/?+l|h D)
ХЛ1 p+jS + 2 12/* W
Если а = Д то соотношения
_ (-р)»B* + 2а + 1) ДА + 2с + 1) Г[A + р - А)/2]
с*.0 2*+2<"+2ДА + « + 1) Г[(А + 2а + р + 3)/2]
х [(•!)* + «*"]. E)
xU _ rtl . й , п у (-1)"B«+А)Дп+А)(-м)я (а,е)
справедливы, если выполняются условия G), (8) или (9).
а > -1, /3 > -1, -ДО») < min(|8 + I, /5/2 + 3/4), G)
е <* < 1 — е, 0 < е < 1.
а>_1, 0>-1, Л(рО>°> 0<*<1-е,0<е<1. (8)

472 Г п. 11. Ортогональные многочлены
ос > -1, р > -1, —/г(/х) < min@, |(? - а)), 0 < х < 1. (9)
Разложения в ряд по многочленам Якоби для различных
специальных функций см, в п. 5,10.
11.3.5. ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ ДЛЯ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Предположим, что
/(*) = 1 СпР?-В\х). A)
сп = (кг1 ? /wo - x)*(i + xfp{:-»\X) dx. B)
Величины сп часто называют коэффициентами Фурье функции /(*).
В п. 11.3,6.1 приведены другие интегральные представления.
В следующих теоремах формулируются условия сходимости ряда
A) и устанавливается, что суммой этого ряда является функция f(x).
Теорема 1. Пусть функция f(x) измерима по Лебегу в интереса
ле — 1 < х ^ 1 и существуют интегралы
С A - ХГ(\ + Xf \f(X)\ dx, Г1 A - *)*/2-1/4A + я)""" |/(*)| dx .
Пусть sn(x) обозначает п-ю частичную сумму разложения в ряд по
многочленам Якоби функции f(x), a s* (в) - п-ю частичную сумму
разложения в ряд Фурье по косинусам функции
Цв) = A - cos вJ 4 A + cos вJ 4 / (cos в).
Тогда для - 1 < х < 1 имеем
_a__J_ _J3 i_
lim Un (x) - A - x) 2 4U+*) 2 4**(arccos*H=0
равномерно на любом промежутке -1 + е< я< 1 — б, 0 < б < 1.
Эта теорема называется теоремой о равносходимости. Ясно,
что для приложения теоремы необходимо знать, сходится ли ряд Фурье
функции f(x). Достаточно привести следующий результат.
Теорема 2. Пусть f(x) - периодическая функция, период кото-

11.3. Многочлены Якоби 473
рой равен 2тт. Если f'{x) непрерывна в промежутке —7г< %< п, за
исключением конечного числа точек разрыва первого рода функции
f{x), то ряд Фурье функции f(x) поточечно сходится к —[fix — 0) +
2
+ f(x + 0)]. Более того, сходимость равномерна на любом замкнутом
интервале, не содержащем точку разрыва функции f{x).
Pay A950) доказал следующую теорему.
Теорема 3. Если функция f{x) непрерывна на замкнутом
интервале [ — 1, 1] и имеет на нем кусочно-непрерывную производную, то
при а> — 1, /S> — 1 ряд Якоби A) функции f{x) равномерно к ней
сходится в любом интервале — 1 4- 6 < я < 1 — е, 0 < е < 1.
В случае аналитических функций [Сегё A967)] справедлива
Теорема 4. Если f{x) - аналитическая функция в замкнутом
интервале - 1< х4 I, то ряд Якоби A) функции f{x) сходится внутри
максимального эллипса с фокусами в точках ±1, в котором функция
f(x) аналитична.
11.3-6. ВЫЧИСЛЕНИЕ И ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ
В РЯДЫ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЯКОБИ НЕКОТОРОЙ ЗАДАННОЙ
ФУНКЦИИ F(x)
11.3.6.1. Коэффициенты ряда Якоби
как интегральные преобразования
По крайней мере формально мы имеем
/м = I спр{:-&Хх% A)
п=0
Си = (кг1 С /на - *гA + *№•*(*)dx- B)
J -1
Приближения для сп при а = j8, а= --, получаемые в
результате интегрирования B) с помощью квадратурной формулы трапеций,
представлены формулами 11.7C, 9). Мы также имеем
'п = (^У f/w ? (а - *r-u + *)fl+n> dx> (?)

474 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Последнее выражение называется бета-преобразованием Эйлера. Итак,
если функция f(x) принадлежит гипергеометрическому семейству, то
и сп тоже принадлежит ему, что легко следует из 5.2.2 A), 5.2.3B)
и 5.3.2A7), 5.6B2). Для идентификации сп полезно иметь
преобразования и других видов.
Например, предположим, что
/(*) = \\x,t)g(t)dt9 E)
J с
h(x,t)=Ybn(t)Pt%). F)
n=0
Комбинируя E) и F), меняя порядок интегрирования и суммирования
(что, как мы полагаем, имеет силу) и сравнивая результат с A),
получаем
сп= \dbn{t)g(t)dt. G)
Заметим, что f{x) и сп принадлежат одному и тому же семейству
преобразований. Таким образом, если функция f(x) определяется
формулой E) и ядро этого преобразования имеет известное разложение в
ряд по многочленам Якоби, то сп определяется подобным
преобразованием с ядром bn(t).
Рассмотрим более конкретный, но довольно общий пример.
Предположим, что функция f(x) является преобразованием Лапласа
некоторой функции g(t). Итак,
f(x) = 7e~xtg(t)dt. (8)
о
Поскольку
-xt V V 1/ ^n*n+a+l/2\*) p(a.a)/v.\ 1 <Г v <Г 1
О B^2(п+ <* + !) А« + 2«+0 , ,„v
"» = 2°Г(п + а + 1) ' " Ф ~ *' W
Пд = n]eJ(\-)n> ео = *> е» - 2' если га > ° ПРИ а= -V2,

11.3. Многочлены Якоби 475
имеем
сп = (-1 )»Qn Г t-«-v4v+u+1/2(t)g(t) dt, (l 0)
J о
которое называется преобразшанием Ганкеля [см. 5.6.(8)]. Пусть
*{F(t)>y> "} = Г^@ Ш)(У*I/2 dt. A1)
J о
Тогда
cn = #n exp[zVr(W - * - 1)/2] J^{g{t)lt^\ **"/*, п + ос + J}. A2)
В приложениях большое значение имеет случай, когда а = -
Так, если 2
00
/(*) = I «»ЗД, A3)
п=0
и функция /(ж) также дана формулой (8), мы имеем
ап = еп ехр[№(|| - *)/2] ^fe@A1/?, *"/*, я}. A4)
Рассмотрим разложения в ряд по "сдвинутым" многочленам. Для
этого предположим, что
/(*) = J aXe'e)(*). A5)
тг=0
/(*) = Гг-ИОЛ- A6)
J О
Поскольку
мы имеем
an = Xin ехр[«г(и - а - 1)/2] Je{[e-*gBt)]lt°+\ «*»/», я + « + J}.
A8)

476 Гл. 11, Ортогональные многочлены
Так, в частности, из формулы A6) и соотношения
л*> = ? *«*». as)
п=0
мы получаем
сп = 2еп ехр[*тг(я - J)/2] ^{[^^B0]/^1/2, <^/2, *}. B0)
Теперь предположим, что f(x) определяется преобразованием
Фурье. Пусть
/(*) = Г e^g(t) dt = Mx) + iffr), B1)
•"о
л(«) = Г (cos **)*(') *» /л*) = Г (sin **)*w Л» <22>
J о J о
Л(*) = I CnPt*\x), f2(x) = ? Sjt^x). B3)
n=0 n=0
Тогда
С2я+х = 0, C2n = (-\YQ2n3r{g№+\ l,2n + a + l}, B4)
S2„ = 0, S2n+1 = (-1 YQ2n^{g{t)jt^\ 1, 2n + « + §}• B5)
В частности, из B1) и B2) при a = - — и соотношений
2
Л(«) = I ^»ВД. М*) = I *Л+1(*), B6)
71=0 71=0
имеем
* = (-1)%Л@/'1/2> h 2n}, sn = 2{^Y^{g{t)lt^\ 1, In -f 1}. B7)
Подобные результаты можно получить для обратных
преобразований Лапласа, а также для других преобразований. См. Эллиотт и Се-
кереш A965), Люк A969) и Туан и Эллиотт A972).

11.3. Многочлены Якоби 477
11.3.6,2. Вычисление коэффициентов ряда Якоби,
когда функция представлена рядом Тейлора
Предположим, что функция f(x) аналитична при х = 0 и
/М = I &*>***, ?к = f(k)@)/k\. A)
fc=0
Пусть gn(x) - многочлен от х степени п. Тогда существуют такие
константы ст, п> что
к
Хк = Z Gk.ngn{x)- B)
Объединяя соотношения A) и B), получаем
/(оис) = J С^п(*), C)
n=0
С„ = f afc.,f«cu». D)
fe=n
Заметим, что если а, л =0A) равномерно по п при к -> <*>, то ряд
D) наверняка сходится, когда \со | меньше радиуса сходимости
степенного ряда функции f{x). Ряд в C) называется базисным рядом
функции f(cox), который соответствует множеству функций \gn{x)}.
Довольно общий анализ базисных рядов см. в работе Боаса и Бука
A958). Здесь же мы рассмотрим такой базисный ряд, когда gn(x)
является либо обобщенным многочленом Якоби
Gn(X,X) = MFarn'n + X'°i»\X), E)
^ Pq I '
либо его конфлюентной формой — обобщенным многочленом Лягерра.
Gn(x) = lim Gn(*/A, A) = p+1Fq (~* "• | х). F)
В дальнейшем используются обозначения
*к= !>*.»(*) Оя(*, А),
п=0
/(«*) = ?C>,A)G»(*,A),
п=0

478 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Сп(ш, Л) = ? ай.я(Л) &<Л & = /Ш@)/А!, G)
к=п
и, если вместо С^я, Л) фигурирует Gn(x), мы просто заменяем
ak, iiW и Ся(йь А) на 0к п и Сп(со) соответственно.
Пусть ни одна из величин Л + 1, a. и р. не будет ни
отрицательным целым числом, ни нулем. Тогда, как доказали Филдс и
Уимп A963), имеем
гг (\\ - (~к)пBп + Х)(рд)к ,п,
°к^А) ~ п\(п+ Х)(п + Л + l)fc(a,)fc ' W
Г , ул_ (-l)W<oW(Pg)tt f (П + l)fc(tt + pq)fc?fc-fn"fc /qx
^ ' j (я + A)n(ap)n ? B* + A + Щя + ocv)kk\ ' w
и для конфлюентного случая
„ _ (—k)n(p<l)k
ак,п *,! /«, \ »
A0)
п( v ('DW^n(Pg)n ? (" + 1М« + />q)fcW*fc nlv
Заметим, что, в силу (8),
Wfc v (-*)nBft+A) /-я, я + A, ap I \ п 9,
(^Л (« + А + Ып + А) и! »+2*« [ Pq \ ХУ {1'}
Для разложения функции f(x) в ряд по сдвинутым многочленам
Якоби имеем
/(ш*)= I^H^0)W, A3)
п=0
ЭД - (T+Aj; & Bn+A + l)fc*! ' (Н)
1
Когда a = /3= — ^i т.е. Л = 0, мы получаем важное разложение в ряд

11.3. Многочпены Яиоби 479
по сдвинутым многочленам Чебышева первого рода. Итак,
/(ш*) = ? АН т;(х)9 АН = I [(«*&"*]/*!.
АН - 2 (^-j |, Bи + 1)**! ' П > L A5)
Подобным же образом
*У(«>*2) = I Д.Н *&&*), - = 0, с = 1,
п=0
? Л.Л = УB» + «IDа,)« Д (я + ?+*М* + 1)^+„«>*
•v ' Bя + 2* + I + еJп+6 ? B« + а + f + <)ЛА! ^ 6
где ?к — такая же величина, что и в A). Если а = -1/2, имеем
*У("*2) = ? ^„Н Т2п+С{х), е = 0, « = 1,
п=0
Fn(«) = 2 (-^-j I Bii + 1+c)jh ' A7>
fc=0
11о306э30 Асимптотические оценки коэффициентов
Рассмотрим представление 11.3.6.1A, 2). Пусть С - замкнутый
контур, такой, что f(x) аналитична на и внутри С, и прямолинейный
отрезок —1< *< 1 лежит внутри С. Предположим, что а > — 1, /3>
> -1. Воспользуемся формулой Коши
f(x)=Bm)~lff{z)dz , A)
С Z -X
подставим в 11.3.6.1B) вместо f(x) правую часть формулы A) и,
меняя порядок интегрирования, получим
с п = Bnihn)~l / (* " Da (* + DP А*)С(»' Э} (*)&• B)

480 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Здесь
2 -1 Z -X
««•"••о-и-к-счгэ f c-»ra^'^-^v«
C)
есть функция Якоби второго рода. В гипергеометрическом виде имеем
C1(g-P)L-)-2"+A~lr(" + g4)r(" + i8bl) F fB+1'B+0+1| 2 \
71 (г-1)аB + 1)«+Э + 1ГBга+Л+1J ' V 2п+А+1 11+17'
D)
Формулы C) и D) имеют место в комплексной z-шюскости, разрезанной
вдоль отрезка [-1, 1]. Пусть
е~Ф = г +(*а-1)Х, E)
где знак выбирается таким образом, чтобы имело место
неравенство | е-(Р] < 1. Это возможно для всех z, не лежащих на отрезке -1<
< г< 1. Можно показать (см. работу Люка A969, т. 1, стр. 237)], что
(?^Р)B)=(^1/2B-.1)-ос(г + 1)-Ре- (п+1)Ф
п
х A _ в-»)« -И A + в-Ф)Р-ИA +0(ге-1))> F)
откуда
Сд=1^/Д2)A-е-Т + 1/М1+е-Ф)Р^/2[1+0(^1)] * G)
Заметим, что поведение с п при больших значениях п по существу
не зависит от а и Д Если
г = и + iv = ch 0, <? = у + ?§, (8)
то
(u/chaJ + (v/ch /ЗJ = 1, |еФ | = еУ = р. (9)
Последнее уравнение - уравнение эллипса, который мы обозначим
через Е с фокусами в точках z = +1 и полуосями ch у и sh у
соответственно. Заметим, что если z = х, — 1 < *< 1, то р = 1 и
у= 0. Рассмотрим преобразование
е* = а. A0)
Функция A0) отображает внешность эллипса Е на внешность
круга Ср радиуса р с центром в начале координат, лежащего в о-плоо

11.3. Многочлены Якоби 481
кости. Пусть в G) С будет таким кругом. Тогда
с =
п г— |/[1(а+а1]A-а-Т + ^
п 24 6 2
Р
откуда
xd + H^^uoH]-^, (П)
К1< (т)*МЬ){1 + Ь)/2х-1рЛ, A2)
где
И(р)= max (/•(z)(l-e-^)a + l/2(l + e-(P)P + 1/2|.
z eC
Здесь д зависит от а, /3 и р, но не зависит от д. Оценка A2) имеет
малое практическое значение. Если р > 1, а п возрастает, то при фик*
сированном р правая часть A2) убывает благодаря наличию р71. С
другой стороны, если р возрастает, то при фиксированном п правая
часть возрастает за счет Л/(р). При заданном п найдется такое р,
для которого эта величина имеет минимальное значение. Ясно, что
практическая реализация этой оценки осуществляется нелегко. Для
практических целей следует пользоваться асимпотической оценкой
величины с , которая несет гораздо больше информации. Чтобы
получить асимпотическую оценку сд, изменим путь интегрирования в G),
с тем чтобы он совсем не проходил через точки z = ±1, а затем
применим метод перевала. Пусть
с — —
так что
V'(Z):
СО '\Z) :
ещ
..if'Ъ))
f{z)
_^т
'sh0
г + cth ф
sh<?
(П*)J
(f(z)J
sh0 + ch
j
2sh2<? '
— аЪ2ф + сЬ2ф
+ ?
sh40
ф) + (a - 0) ch ф
+ 1
A4)
sh4^

482 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Пусть ? = ch в таково, что со '(?) = 0. Применив метод перевала,
имеем для достаточно большого п
_ _ i Bnf2 yf (&е-«* A - ве Г + * A + ie) P 4- И
С"~ 2*sh0|a/'(?)|/2 '
*» « A5)
Г7 = ехр [—--argu/'(<f)]
Z Z
либо сумму таких членов для каждой точки ?, лежащей на
деформированном контуре. Заметим, что если с обозначить через с (ос • ^(Р), а
через ci(Xf^(S) обозначить аналогичный коэффициент, где Р
заменено на S nS(a'P)W = (/c(a'P) (%), то
c^,P)(p)=i/^(oc,P>(S). A6)
Например, предположим /(*) = eQX и a = /3= 0. Тогда из 5.10.2(8)
(см. также 11.3.6.1(9)) имеем
с.-<-f-)*<*.+ 1)/ж+и(а), A7)
а из 9.2B) и 1.3A3)-
c~MM(f)B/»l. A8)
п 2
Из A4), если G)'(g) = 0, для достаточно большого п имеем
sh в е»ср [ach в -U + —H]
Z
С /V Г7 •
( Ch в) Л
В частности, предположим, что a = 2 и л = 4. Тогда точное
значение по формуле A7), полученное с помощью стандартных таблиц,
составит 0.1823. Приближенные значения, представленные
соотношениями A8) и A9), равны 0.1477 и 0.1768 соответственно. Если
п = 8, точное значение сп равно 0.1402 • Ю"8, в то время как
значения, получаемые с помощью формул A8) и A9), равны 0.1243-10"
и 0.1390* 10~3 соответственно.
Эллиотт и Секереш A965) предлагают некоторые приложения

77.3. Многочлены Якоби 483
соотношения A5), когда f(x) разлагается в ряд по Тп(х). Эллиотт
A964, 1965) дает оценки коэффициентов в разложении по
многочленам Чебышева для случая, когда функция f{x) имеет точки
ветвления либо полюсы, Чоула A967) дает оценки этих же коэффициентов,
но для случая, когда функция f(x) имеет логарифмическую особую
точку. Образцом блестящего анализа оценок полных криволинейных
интегралов, подобных B), можно считать работу Дональдсона и
Эллиотта A972). Эллиотт и Туан A974) дают асимптотические оценки
величин сп для случая многочленов Якоби, Лягерра и Эрмита.
В случае гипергеометрических функций отличные оценки
коэффициентов сп получены Люком A969). Из 5.10.2E) ясно, что
достаточно исследовать поведение
W=P+iVi(j8+1 + fi; аР + »;*+1 + 2п, bq+n; z),
Р<4, \z | < oo; p = g+ 1, z ? 1, | arg A - z) \ <тт. B0)
Имеем следующее результаты:
B1)
Fn(z)=l+ [b1 1к + 0(п<р~<1)г),р4 д-1,
к = о
8<А+« ,22)
p = q, <9= 2 (о _Ь ).
/ = l ' I
г, х ^A)yTB« + X+l)e-(n + l5 + 1)v(l + e-v)e-P-4l + 0(n-1)]
FJZ) =
Г(п+ Х+ 1-0)Г(п + 0Jп+Р+1A-е-у)в + р-Л + 1/г
z ? 0, z t 1> |arg(l -z)| < 7Г, p = ^+l,
>-* = [2 - z +2A - *I/z] Л, 0 = *?* a. - f Ь. , B3)
7=1 / 7=1'
где в выражении для e~v знак выбирается таким образом, чтобы
выполнялось неравенство |e~"v| < 1, что возможно для всех z в
разрезанной комплексной плоскости.

484 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Если в E) заменить z на 2z + 1, мы получим функцию e~w>
рассмотренную нами в п. 2.4.4. Подобным же образом, если в B3) в
выражении для e~"v заменить z на —1/z, мы получаем ту же
функцию e~w (см. п. 2.4.4).
Асимптотические выражения для коэффициентов разложения в
ряд по многочленам Якоби некоторых G-функций были даны в 5.10.1(9).
11.4. Многочлены Чебышева Т(х) и U (х)
В этом пункте мы предлагаем целый набор формул для
многочленов Чебышева первого рода, а также несколько формул для
многочленов второго рода. В п. 11.5 дается ряд соответствующих формул для
сдвинутых многочленов Чебышева.
ВД = Ж **ЯЛ>М' ВД = -^щр- *?ЛлЯ,М. И)
Тп(х) = cos пв, Un(x) =cosec dsm(n + 1) в, х = cos в. B)
T2n(sin в) = (-1)" cos 2пв, r2n+1(sin в) = (-1)» sinB« + 1) в, C)
UU*li-Wa?l+l)9. U^q-W^ + W. D)
ад - л (-Jи | -Ц^) = и)«л Г Jn | -^)- E)
^MW-*-!)!^, w=1J>.... F)
г-(*) = (-1)"Л (~~J я | *2) = Л ("J п 11 - *2)
G)
Г*.(*) = ГпB*2 - 1). (8)
Т*»М = (-1)яB« + 1)*Л Р " + ! | *2) = *Л Р* * + * | 1 -*2). (9)
Г„A)=1, Г„(-1) = (-1)", Г„@) = (-!)", Г2п+1@) = 0. A0)
2-ф.ВД = (-i)n(i - *2I/2 ^ A - *2)"-1/2. (П)
A_л2)^^_^м+и2ВД = 0 A2)

11.4. Многочлены Чебышева Тп(х) и Un(x) 485
{l_x2) dT^_ = n[Tni(x) __ хТп{хI A3)
Если
уп{х) = АТп(х) + BUn(x\
где А и В - константы, не зависящие от п и х, то
yn+i(x) = 2хуп(х) -Уп.^х), п > О, A4)
Тх{х) = хТ0(х) = х, Ui(x) = 2xU0(x) = 2х,
Угп+г(х) = 2Bх2 - 1)У2п(х) -У2п-2(х)> я > О,
Т2(х) = B*2 - 1) Т0(х) = 2х* - 1, A5)
U2(x) = D*2 - 1) U0(x) = 4л:2 - 1.
У*п**(х) = 2B*2 - l)y*n+i(x) -У2п-1(х), п > О,
Г3(*) = 2B*2 - 1) Т^я) - Тг(х) = (Ах2 - 3) Щх) = 4*3 - 3*, A6)
*/3(*) = 2B*2 - 1) Щх) = 8*3 - Ах.
2Тт(х) Тп(х) = Тт+п(х) + Т1т_п1(х).
2(х2 - 1) U^x) ип_х{х) = Тт+п(х) - Т{т_п1(х).
2Тт(х) Un_x{x) = ип+т^(х) + ?/n-m-i(*)>
2Fn(*) ?/„_!(«) = Un+m^(x) - U^^x),
Tm(x) Un{x) - Um(x) Tn(x) = 7\(*) U^^x),
xm = 2i-m ? ak( ) Tm.2k(x\ m>0.
k=o x R '
ak = —, если & = —щ ak « 1 в противном случае. B2)
z z
*-Г„(*) = 2- ? (? ) r|n+m_2ftl(*). B3)
*1^*± = 4пП? T2k+1(x). B4)
n > m.
n > m.
n > m.
A7)
A8)
A9)
B0)
B1)

486 Гл. 11. Ортогональные многочлены
dT (х) п
X ' = B« + 1) + 2Bп + 1) X Т2к(х). B5)
А:=1
п-1
dT (х)
х ~л = 2<T«W + Г2п(^)) + 4* X Ы*)- B6)
/fT (лЛ n_1
х 'Г = 2Bп + J) E rtt+i(*) + Bи + О r*.+i(*)- B7)
л2 _rf7^ = 4и Ц? Гв+1(я) + *т2п1{х) + ir2n+1(x)] . B8)
о "-\2n+lV
<йс
^ = 2Bя + 1) Ut0(x) + "f Т2к(х) + f Г2п(*) + ?Г2п+2(*)] ,
* > 1; *2 -^Р = над + вд]. B9)
<&
^5# = 4изад + 8я *f (*2 - *2) *»(*). C0)
dx*
к=1
fl^M = 4Bй + 1) "? (я - АХ» + 1 + *) Ти+1(х),
ax fc=o
х d2T2n(x)
п > 1, ^Р- = 0. C1)
= An nf {2n2 - k* - (k + If} Т2к+1(х). C2)
dx2
x *T*g{x) = 2Bn + 1) Гя(я + 1) ЭД + 2 ? (я» + я - A2) T2fc(*)] . C3)
^ = 2я ГBя« - 1)ВД + 2nf Bя2 - 2A2 - 1)Т2к(х) + Bя - 1)Г2п(*)|
х^Т2п{.
dx2
C4)
ж2 ^2?2n+l('
dxi & = 2Bя + 1) |Y Bя2 + 2я - 2А2 - 2k - 1) T2ft+1(*) + яГ2я+1(*)],
C5)
я > 1.

11.4. Многочлены Чебышева Тп(х) и Un{x) 487
J^l-*2)-* 7» ?»<** =
f 0, если mf п,
—, если тп- п Ф и,
2
L тту если m- n - О.
C6)
J A - я2I/^*) VJx) dx = W2)Smn .
f1 (ж _j,)-lA _ д»)-!^^*) - Тп(У)] dX = ItU^iy).
J -1
V.P. f1 (x -y)-\\ - x*)-4*Tn(x) dx = nU^y),
J -1
V.P. f1 (* -y)-\\ - x^U^^dx = -7ГГ.СУ),
J -1
J (* -*) A -x9)-KT(*)«fe шЛ1
-i n sh ф
C7)
C8)
-Ky < 1. C9)
-Ky<l. D0)
,2\И
J (* -ХГЧ1 -x2)/*Un_1{x)dx= ne-**, n > 0,
-l
z = ch ф, z такое же, как в 11.6.3E);
J 0 l2n(t) dt~2 Пп~+Т - In - 1 J'
Гт (t)dt-l\T^{x) T^x)] i ^V i 1 )
}/2n+l(t)at~2[2n + 2 2n J+ 4 ln+« + i;
Г Г^Л^ВД + ЭД].
J О
(и + 1) f UJt) dt = Tn+1(x) - Гп+1@).
J О
J f н(«)ЛА = ^
^гл+гМ
Г2и(ж)
+
D1)
D2)
D3)
я >0,
D4)
D5)
^2n-2W
4Bя + 1)Bя + 2) 2Dя* - 1) ' 4Bя - 1)Bя - 2)
(-1)"
+
4(я2 - 1) '
f f T0(u) du dt = ±[T0(x) + T2(x)],
J о J о
я > 1,

488 Гл. 11. Ортогональные многочлены
ГС ад**= _2Ш_Ш + 1М. D6)
J о ^ о 16 6 48
Г Г Тп (и\ du dt = Т2п+*(х) Т2п+1(х) T2n-i(x)
J о J о 2n+lK } 4Bп + 2)Bя + 3) 2Bп + 2)Bп) + 4Bп)Bп - 1)
, (-1)»Bя+ !)„,, ч
4я(я + 1) 1Ч ' '
•С l[ Tl(u) du dt = А[ЗВД + ВД]- D7)
Ниже даны таблицы коэффициентов разложения целых степеней
переменной х по многочленам Чебышева первого рода и обратная
таблица. Соответствующие таблицы для сдвинутых многочленов
приведены в п. 11.5.
Таблица 11.1
Коэффициенты разложения функции хп в ряд по
многочленам Чебышева Tk(x)
1 Vk/z-e)
е = О либо 1 в зависимости от того, является ли п четным или
нечетным числом соответственно; например:
** = b-W0M + ATab)+T4{x)},
x5=16-1[107,1W + 57'3(*)+r5(*)]
п
О
1
2
3
4
5
6
7
8
^ °0> *!»•••• а1/2(Л-6)
1, 1
It 1
2, 1, 1
А, 3, 1
8, 3, А, 1
16, 10, 5, 1
32, 10, 15, 6, 1
64, 35, 21, 7, 1
128, 35, 56, 28, 8, 1

11.4. Многочлены Чебышева Тп(х) и ип(х) 489
Продолжение табл. 11.1
п dn, а0,..., fl^(n-g)
9 256, 126, 84, 36, 9, I
10 512, 126, 210, 120, 45, 10, 1
11 1024, 462, 330, 165, 55, 11, 1
12 2048, 462, 792, 495, 220, 66, 12, 1
Таблица 11.2
Коэффициенты разложения чебышевских многочленов Тп(х) по степеням от х
7тг= п/ 2, если п — четное число,
77i= {п - 1)/2, если п - нечетное число; например:
Г4(*) = 8%4 - 8*2 + 1, Т5{х) = 16%5 - 20%8 + 5*
о 1
L 1
2 2, -1
3 4,-3
4 8, -8, 1
5 16, -20, 5
6 32, -48, 18, -1
7 64, -112, 56, -7
8 128, -256, 160, -32, 1
9 256, -576, 432, -120, 9
10 512, -1280, 1120, -400, 50, -1
11 1024, -2816, 2816, -1232, 220, -11
12 2048, -6144, 6912, -3584, 840, -72, 1
13 4096, -13312, 16640, -9984, 2912, -364, 13
14 8192, -28672, 39424, -26880, 9408, -1568,-98, -1

490 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Продол»
п
<ение табл. 11.2
aQf alf . о . , am
15 16384, -61440, 92160, -70400, 28800, -6048. 560, -15
16 32768, -1 31072, 2 12992, -1 80224, 84480, -21504, 2688, -128, 1
17 65536, -2 78528, 4 87424, -4 52608, 2 39360, -71808, 11424, -816,
17
18 1 31072, -5 89824, И 05920, -11 18208, 6 58944, -2 28096, 44352,
-4320, 162, -1
19 2 62144, -12 45184, 24 90368, -27 23840, 17 70496, -6 95552,
1 60512, -20064, 1140, -19
20 5 242S8, -26 21440, 55 70560, -65 53600, 46 59200, -20 50048,
5 49120, -84480, 6600, -200, 1
11.5. Многочлены Чебышева Т*(х) и ?/*(*)
т;(х) = тпBх - 1), ад = гдо + *)Д], A)
т2п(*) = т:{х% B)
U*{x) = UnBx - 1), Un(x) = 1/*ц1 + *)/2],
Г*A-*) = (-1)ЯГ*(*).
r*(i) = 1, г*@) = U)"
Гп*+1(*) = 2B* - 1) Т*{х) - Tt^ix). (8)
О, если т? п,
\ WW
о &(!-*)] *
2
\^7г, если т= га = 0.
л:™ = 2-2
C)
D)
E)
F)
G)
f > : dx-?, если то=п^0, (9)
[Й^^ЛЧ- A0)

11.5. Многочлены Чебышева 1?(х) и Щ(х) 491
2т
х^Т^х) = 2-2те ~? BЛ 7fn+m_fc|(*). A1)
*1Ш = ЫП? Т?к+1(х). A2)
ах к=о
dT*n,+l{X) = 2B« + 1) 7*(*) + 4Bя + 1) ? T*fc(*). A3)
ах к=1
х щ& = 2п ^{т>) + т:(х)} +1? г; (я)| A4)
*2 ^?^=2n [*г*<ж)+% П{х)+itUx)+ьт:(х)
+ ir*+i(*)]. »> 2;
*2 ^=fr°*w+r*w+ir*w- *2 Щ!г=°- A5)
Щф- = 16я3Г*(*) + 32« "f (и2 - Л2) Т&х). О 6)
Щ^- = 16B» + 1) "? (я - *)(» + 1 + *) Г**+1(*). A7)
^2Г*(.
^ = 8я [я2Г*(*) + 2 "? (я2 - А2) Г* (*)
+ "? {2я2 - Л2 - (А + IJ} Г2*+1(*I .
А:=0 J
А:=0
^2
A8)
х d2Tf/X) = 8Bя + 1) [ П{П + 1} Г*(*) + ? (я2 + п - А«) Г*(х)
+ "? (« - *Х« + 1 + *) Г*м(*I • A9>
= 2я [Dя2 - 1) Т*(х) + 2 "f {4(я2 - Л2) - 1} Т*к(х)
+ Bя - 1) Г*(*) + 4 "? {2«2 - Л2 - (Л + IJ} Т*к+1(х)
B0)

492 Гл. 11. Ортогональные многочлены
2 " Т2п+1(Х)
dx*
= Bя + 1) \4п(п + 1) Г*(*) + 8 ? (я2 + я - к2) Т&х)
L А-=1
+ 2 X Dя2 + 4» - 4А2 - 4* - 1) r**+iW + 2иГ*п+1(^)
Аг=0
B1)
Jer-@*-4L"»in ^=T~J~ 2(я*-1)' * = °-2'3-->
Г г*(о л = ъ[т*(х) - г*(*)]. Г Уо*@ * = *№) + г0*(*)].
J о J о
B2)
Г Г Г*Ы <& Л = Г*+г(*) т*{х) . Т*_2{х)
J0 Jo " 16(я+2)(п + 1) 8(я* - 1) ^ 16(я - 1)(я - 2)
(-1 )"??(*) (-1)?(*)
4(я2 - 1) 4(я2 - 4) ' '
Г* Г* 7» </« dt = i*2 = А[32-0*(х) + 4Т*(х) + Г*(лг)], B3)
J о J о
f f' 7» <йг dt = А[-87» - 97\*(дг) + 7»].
J о J о
Г' Г* 7» du dt = Tb[-9r*(*) - 1бГ*(х) - 8Г*(дг) + 7?(*)].
J n J n
Таблица 11.3
Коэффициенты разложения функции хп в ряд по многочленам Чебышева ТЩх)
например:
*4 = 128-4 35 7*(*) + 56Т*(х) + 2ЪТ*(х) + 8 Г*(*) + Г*(*)]
71
С а0' gl> * " » ап
0 1, 1
1 2, I, 1
2 8, 3, 4, 1
3 32, 10, 15, 6, 1
4 128, 35, 56, 28, 8, 1

11.6, Коэффициенты разложения интегралов функций 493
П ро должен и е табл. 11.3
п dn> а(У fli'« * •> an
Ъ 512, 126, 210, 120, 45, 10, 1
6 2048, 462, 792, 495, 220, 66, 12, 1
7 8192, 1716, 3003, 2002, 1001, 364, 91, 14, 1
Й 32768, 6435, 11440, 8008, 4368, 1820, 560, 120, 16, 1
9 1 31072, 24310, 43758, 31824, 18564, 8568, 3060, 816, 153, 18, 1
10 5 24288, 92378. 1 67960, 1 25970, 77520, 38760, 15504, 4845, 1140,
190, 20, 1
11 20 97152, 3 52716, 6 46646, 4 97420, 3 19770, 1 70544, 74613, 26334,
7315, 1540, 231, 22, 1
12 83 88608, 13 52078, 24 96144, 19 61256, 13 07504, 7 35471, 3 46104,
1 34596, 42504, 10626, 2024, 276, 24, 1
11.6. Коэффициенты разложения интегралов функций
в ряды по многочленам Чебышева первого рода
11.6.1, ВВЕДЕНИЕ
Предположим, нам известны коэффициенты Ь в представлении
/М« § ь„г*(*Л). A)
л = О
Здесь Л - произвольное, но фиксированное число, а х - такое, что
0<: #/Л< 1. Тогда интегралы
buW)-f(*)Ut,*rtuf(t)dt, Xftuf(t)]ntdt B)
о оо
имеют представления, подобные A). В п 11.6.2 даются алгоритмы для
вычисления коэффициентов этих разложений через коэффициенты Ь .
Подобные формулы для разложений в ряды четных и нечетных чебы-
шевских многочленов Т2п(х) и Т2п+1(х) соответственно
представлены в п.п. 11.6.3 и 11.6.4.
В большинстве приложений функция / (х) аналитична в окрестности
начала координат, поэтому с целью контроля допустим, что
/(*)« ? anxn. C)
п= О

Таблица 11,4
Коэффициенты разложения чебышевских многочленов Т*(х) по степеням от*
например:
7J(*) = 128л;4 - 256*8 + 160л;2 - 32% + 1
1 2, -1
2 8, -8, 1
3 32, -48, 18, -1
4 128, -256, 160, -32, 1
5 512, -1280, 1120, -400, 50, -1
6 2048, -6144, 6912, -3584, 840, -72, 1
7 8192, -28672, 39424, -26880, 9408, -1568, 98, -1
8 32768, -1 31072, 2 12992, -1 80224, 84480, -21504, 2688, -128» 1
9 1 31072, -5 89824, 11 05920, -11 18208, 6 58944, -2 28096, 44352, -4320,
162, -1
10 5 24288, -26 21440, 55 70560, -65 53600, 46 59200, -20 50048, 5 49120,
-84480, 6600, -200» 1
11 20 97152, -115 34336, 273 94048, -367 65696, 306 38080, -164 00384,
56 37632, -12 08064, 1 51008, -9680, 242, -1
12 83 88608, -503 31648, 1321 20576, -1992 29440, 1905 13152, -1203 24096,
506 92096, -140 57472, 24 71040, -2 56256, 13728, -288, 1

13 335 54432, -2181 03806, 62 70 48448, -10496 24576, 11331 17440, -8255 56992,
4127 78496, -1412 13696, 323 61472, -47 59040, 4 16416, -18928, 338, -1
14 1342 17728, -9395 24096, 29360 12800, -54022 63552, 64995 98336,
-53692 33408, 31117 14816, -12700 87680, 3611 81184, -697 01632, 87 127Q4,
-6 52288, 25480, -392, I
15 5368 70912, -40265 31840, 1 35895 44960, -2 72629 76000, 3 61758 72000,
-3 34265 05728, 2 20522 08640, -1 04782 23360, 35721 21600, -8599 55200,
1416 92608, -152 75520, 9 90080, -33600, 450, -1
16 21474 83648, -1 71798 69184, 6 22770 25792, -13 52914 69824,
19 62934 27200, -20 06555 03360, 14 85622 47680, -8 06480 77312,
3 21332 18304, -93139 76320, 19262 99648, -2751 85664, 257 98656,
-14 62272, 43520, -512, 1
17 85899 34592, -7 30144 44032, 28 29309 70624, -66 16933 99040,
104 21671 03488, -116 79458 91840, 95 93841 25440, -58 62902 98880,
26 77768 19200, -9 10441 18528, 2 27610 29632, -40933 86752, 5116 73344,
-421 70880, 21 08544, -55488, 578, -1
18 3 43597 38368, -30 92376 45312, 127 56052 86912, -319 54556 68224,
542 97781 86240, -662 08263 04512, 597 71348 58240, -406 32739 43040,
209 51256 26880, -81 .90820 35200, 24 09991 37280, -5 25"816 29952,
83071 67232, -9168 44544, 669 77280, -29 76768t 69768t -648, 1
19 13 74389 53472, -130 56700 57984, 571 23065 03680, -1526 00188 02688,
2782 70931 10784, -3668 11681 91488, 3610 80249 38496, -2703 94195 96800,
1554 76662 68160, -688 02890 95680, 233 43838 00320, -60 12806 75840,
11 56308 99200, -1 61883 25888, 15899 24864, -1036 90752, 41 24064, -86640,
722, -1
20 54 97558 13888, -549 75581 38880, 2542 62063 92320, -7215 54505 72800,
14055 28Q47 61600t -19918 34033 19296, 21236 4tf579 50720,
-17375 29019 59680, 11029 23694 08000, -5455 32149 76000, 2100 29877 65760,
-625 48082 68800, 142 40858 11200, -24 34334 72000, 3 04291 84000,
-26777 68192, 1569 00480, -56 17920, 1 06400, -800, 1

496 Г п. 11. Ортогональные многочлены
11.6.2. РЯДЫ ПО СДВИНУТЫМ МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА
Случай I. Пусть
fW('V*=*u+1 S en(u)T*{x/X). A)
Тогда
2eJ*n = U* -»К + 1 + 2iA ~b* + 1 V(n + и + 1), * > 0, B)
где
?0 = 1, ^ = 2 для я > 0. C)
В соотношении B) и всюду, где это не приводит к недоразумениям, мы
вместо еп(и) пишем просто еп. Эти коэффициенты наиболее просто
получаются по рекуррентной формуле B), примененной в обратном
направлении. Пусть /V — большое положительное число. Положим eN+ N=
= 0 и из B), где еп заменяем на eR ^, вычислим еп ^для n = N,
N - 1,..., 1, 0. Тогда
}m en,N = en> » =0,1.... D)
Имеем следующие контрольные формулы:
2 (-1)Ч = /@)/(и+1) E)
В = 0
f (-DVe^-e^i^), F)
тг= 1
? (-l)V(n2-l)en=2o2A2/3(u+3), G)
(и + 1)е0 _ Ь0 + L[bl -(и - 2Ц ] + ? (-1)П(ЬП -иеп)/(п2 -1) = 0.
4 л = 2
(8)
Случай II. Пусть /"@) f 0; положим
f>[/@-/№=*"+1 S gn(u)TZ{x/\)>R{u)>-l. 0)
о n=o n я
Тогда
где е^(и) - тот же коэффициент, что и в A). Если и = — 1, то
определение коэффициентов ^(—1) при л > 0 можно выполнить только

11.в. Коэффициенты разложения интегралов функций 497
с помощью рекуррентной формулы, примененной в обратном
направлении, как это было описано выше. В этом одучае g0(-l) можно
найти с помощью любой из следующих формул:
g0(-i) = _i1+ ? (-i)n[2"? *-»+»-»]*„, (id
п = 2 к = 1
I Н)Ч(-1) = 0. A2)
71 = О
Формула, которая не используется для вычисления g0(-l), может быть
использована как контрольная.
Случай Ш. Рассмотрим разложения в ряд по многочленам Чебы-
шева интеграла
X{tu{\nt)f{t)dt = ln% ftuf{t)dt - ft'lfvuf{v)dvdt. A3)
ft "(In«)/(«)* = xu+ l I с»7>) + *u+ * In* 2 e>O>), A4)
ftuOnt)f(t)dt =]nxftuf(t)dt - ft-lfx
0 0 0 0
Предположим, что R(u) > —1. Пусть
71 = 0 " 71=0
где коэффициенты е^уже встречались в формуле A); тогда
c„w-i3?L (,в,
OU
Дифференцируя B), получаем
Коэффициенты сп = сп{и) легко находятся с помощью последней
формулы, примененной в обратном направлении. Итак, пусть N -
большое положительное число. Положим с N+ t N= 0 и по формуле A6),
где сп заменим на сп N, вычислим сп N для п = /V, N - 1,..., 1.
Ясно, что
lim с N=cn, п=0, 1,.... A7)
/V -» оо
Для контроля следует воспользоваться формулами
п- О
2 (-l)"cn = -a0/<u+1J' A8)
;=0 °
2 (-1)пп2сп = аЛ/2(и+2J, A9)
71= 1

498 Г п. 11. Ортогональные многочлены
2 (-l)nn2(n2 - 1 )с = -ЗаЛ2/2{и + ЗJ.
ГС = 2
B0)
Теперь продемонстрируем применение формул, полученных в случае
I. Предположим, нам известны коэффициенты Ь в выражении
е*= * А7»
гс= О
и нужно найти коэффициенты е в формуле
]гУ2еЧ1 =х1/2 2 е„7;*(%).
Л /1=0
B1)
B2)
Отсюда Л = 1, и = -% и
Ч/«» = -e,+ i + 2Bi>» -*я+,)/Bп+ D- B3)
Коэффициенты Ьп равны значениям коэффициентов сл(о) при
a = 1, полученным в табл. 3.3 с точностью до 10 D. Положим N = 8,
eg g = 0 и вычислим коэффициенты еп 8 для гс = 8,7,..., 0, для
чего применим в обратном направлении рекуррентную формулу, где е
заменим на en 8. Получим следующую таблицу:
-п,8
'п,8
0
1
2
3
4
2.42617 33593
0.46042 05914
0.03636 80487
0.00222 65869
0.00011 01754
5
6
7
8
0.00000 45627
0.00000 01623
0.00000 00051
0.00000 00001
Вообще говоря, можно показать, что
2ek,N/<k -rlo(-lV(!c-u)rBk+r/(k + u+l)r+1,
2
вк= bk~bk+i> * = 0, 1, —»/V,
ек
и для и = — 1А
B4)
2ек, /v/^ = rJ0 (-DrSfc+r/(fe + г + К). B5)
Отсюда погрешность в ек N (обозначим ее через Ле^ N) определи-

7 7.6. Коэффициенты разложения интегралов функций 499
ется соотношением
2Д% ffA* %}N+1J-VrBk+r/V+r + y>)- B6)
Таким образом, в приведенном примере, без учета погрешности
округления , результаты получаются с точностью до 10 D. Принимая во
внимание погрешность округления, мы приходим к заключению, что
точность полученных результатов составляет не менее 9 D. На
основании контрольных вычислений, проведенных по формулам E) и F),
получаем 1.99999 99999 и 0.33333 33405, в то время как истинные
значения равны 2.0 и 1/3 соответственно. Применив формулу (8),
получим в результате 0 с точностью до 10 D.
Используем этот пример для того, чтобы проиллюстрировать
соображения, высказанные в п. 11.3.6.3 при обсуждения формул B0) -
B3). В 5.10.2A0)положим р = q = 1, аг = У2, Ьг = % Тогда
е =
" 2*4%) п\* 2\2п+1,п+'/2
'п
I п + 1Л, п + Уг I \
\2п+ 1, п +% J /'
B7)
а из 11.3.6.3B2) имеем
еп = [еУг/22п-2п\(Ъ1 + 1)][1 - J- +0(п-2Я B8)
16 п
Для п = 4, 6 и 7, если пренебречь остаточным членом, получаем
отличные оценки: 0.106 • 10", 0.159 • 10~6 и 0.499 • 10~8 соответ*
ственно.
11.6.3. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА ЧЕТНОГО ПОРЯДКА
Поскольку Т*(х2) = Т2т№}> 3Десь используются все результаты,
полученные в п. 11.6.2. Итак, в формулах 11.6.2A - 4) заменим х на
х2, \ на А.2 и t на t2. Следовательно, если
f(x2) = f ЪпТш{х/\), A)
п — о
то
ft^l{(t2)dt =_L2*+2S е»Г2л(л;/Л),Л(а)> -1. B)
О I л = О
Далее, руководствуясь предписаниями к 11.6.2D), из 11.6.2B)
находим коэффициенты еп(и). Подобным же образом, сохраняя условия,

500 Гл. 77. Ортогональные многочлены
принятые в B), получаем
[t2»+1\f(t2)-f№dr=l-x*»+2 I gn(a)T^(x/\), C)
О Z л = О
ft*+1]ntf(t*)dt=hc* + * 1 ся(и)ТапШ + ±-*аи + *A1пх)
О 4 Л = О 2
* § ъМ^Л). D)
71= О
11.6.4. РАЗЛОЖЕНИЯ ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА
НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА
Предположим, что
А(*) «*/(*'), *(*)« § «„ЗГяя+^^А), A)
л = о
где f(x2) задается формулой 11.6.3A). Тогда
* -±.[ik_+b+1] B)
и
ч/'»-4?0(-«Ч+*. C)
где еп определено формулой 11.6.2C). Итак, все ранее полученные
результаты применимы. Имеем
ft2uh(t)dt =4-^ + 2 ^ en(u)T^{x/\)9 R(u)> -Уг D)
о 2 тг= о
либо при том же условии на и
Д*А(,>Л-*_,»+» I [1е» + ел+1(И)]Гй+1(,А),E)
О * л = О €
П
Д*А(«)Л = А-[2е» + в1(а)]Г0(*/А)
+«»+»] W*A>. F)

11.7. Свойства ортогональности многочленов Чебышева 501
11.7. Свойства ортогональности многочленов Чебышева
и их связь с вопросами суммируемости разложений
по этим многочленам
Здесь мы приводим результаты, связанные с указанными в
названии этого пункта свойствами многочленов Чебышева, и вытекающие из
них формулы для приближения функции с помощью этих многочленов.
Обобщение этих результатов дается в теореме 6, стр. 432, работы
Люка A975) и в работе Люка, Тина и Кемпа A975).
Лемма 1. Пусть
Тп(х*) = cos пва = О,
ха = cos да , 6а = (тг/2я)Bа +1), а = 0, 1,..., п - 1,
п-\ п—1
U3.k = Е Т*(Х«) Тк{Х«) = Z COS jda COS k$a,
a=0 a=0
Тогда
О, если j, к < п, j f к,
„ I
/, к
Uj\ k= (-J-> еСШ J «*» 0< / < л, A)
I n, если j = к = 0.
Приведем дальнейшие свойства U. к. Для удобства положим т= j + к,
р = | j _4| 9 и пусть s ut будут положительными целыми числами. Тогда
f(-l)src, если / = 2sn,
0, если / ф 2sn,
U. .=
f п, если j = 2sn,
п
>'/ ~~\ 2
-, если j ± s л,
0, если / = Bs + 1)п,
о B)
0, если j ф к, т^ 2sn, р ^ 2to,
л, если / ф к, /п= 2sr^ p = 2щ a s и t четные,
tj I-п, если j + к, т- 2sn9p = 2tn> as и t нечетные,
~* 0, если j ? к, т= 2sn, p = 2щ a s и t имеют разную четность,
(—^f -т, если j ? к, m=2sn, p f 2tn>
[ {—Vf—, если j -ф к, тф 2т, р = 2tn.

502 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Теорема 1. Если fn(x) - приближение к функции f(x),
/„(cos в) = -rf0 + V^cos кв либо fn(x) = 2do\z[bW'
mo коэффициенты dk можно взять в виде
4 = B/и) zV(cos ва) cos kda = B/я) Wf /(*.) ПК). C)
а=0 а=0
Предположим, что функция f '(x) непрерывна в замкнутом
интервале [—1, 1], за исключением конечного числа точек разрыва
1-го рода. Тогда функцию f(x) можно разложить в сходящийся ряд
оо
D)
ск = BМ J^ ffl^ffi, dx = BМ J*/(cos 0) cos кв dd.
Лемма 2.
4> = «ь + 2?(-1)ъ
^2rn
r=l
E)
4 = Ск + Z ("I )ГС2гп-к + Z ("I )^2rn+fc , * = 1, 2,.-, Я - 1-
r=l r=l
Теорема 2. Ёели
где f(x) и f (x) определяются в C) и D) соответственно, то
, 2П-1 ч
€n(COS в) = cos пв \сп -j- 2 Z ^л+r cos ^ ~Ь ^зп cos 2я$[
' r=l '
, 2n-l j
— sin 2nd \cZn sin пв + 2 Y, сгп+г sin(w + r)# + c5n sin 3я0 F)
' r=l '
( 2n-l ч
+ cos Зпв \c5n cos 2я0 + 2 Z csn+r cosBw + rH+ cln cos 4я0 ,
' r=l '

11.7. Свойства ортогональности многочленов Чебышева 503
en(cos 6a) = О,
en(cos в) ~ cncos пв[\ + Bcn+1/cn) cos в].
Ясно, что в C) на х накладывается ограничение |*| < 1.
Заметим, что все %а находятся внутри этого интервала. В многочисленных
приложениях бывает полезно иметь кривую, построенную таким
образом, чтобы она проходила через точку х = ± 1 и через точки, отвечаю-
й + й
щие углам _^— g* *. Многочлены Чебышева имеют еще одно свойство
ортогональности, которое дает возможность получить формулу
интерполяции, основанную на указанных абсциссах. Ниже мы даем леммы и
теоремы, аналогичные приведенным выше.
Лемма 3. Пусть
Xa = COS сра , фа = астг/я, а = О, 1,..., Я,
Vjtk = *{Г,(*ь) Тк(х0) + Г,(*я) Тк(хп)} + ?Ч(<) Tfc(*e)
n-l
= ?{cosjcp0 cos &<p0 + cos j(pn cos &<рэт} + ? cos/<pa cos k<pa.
Тогда
( 0, вела /, к < n, j 4 к,
vjtk = < ^ *>•** / = k 0 < / < n, G)
[ л, если j •= fe'= 0, либо j = к = n.
Ниже приведены дальнейшие формулы для V. к. Для удобства положим
тгс= / + к, р в | / -ft |; и пусть s и i будут положительными целыми
числами. Тогда
Г л? если j = 2s^
/»°~ с 0, в^ж / 4 2src,
frc, если / ^ 0, / ^ л, / = «я,
п
п-, если j 4 0,/ * п, j J sn, (8)

504 Гл. 11. Ортогональные многочлены
va - *
{
О, если j f к, m^ 2sn, р ^ 2tn,
тц если j f к, тптф 2sn> p = 2tn,
—, если j ?k, m= 2sn, p Ф 2tn,
п
-г, если j ф к, тф 2sn, p = 2tn9
Теорема 3. Если fn{%) - приближение к функции f(x),
77-1
/„(cos xp) = \eQ + ? ek cos k<p + \en cos ntp
k=l
либо
A=l
тогда коэффициенты ek можно вычислить по формулам
gfc = g [/(D + (-i m-i) + g/(cosytt)cos^],
a=l
либо
_ 2 Г/A) + (-1 )*/(-!)
['
+ "f/(х„) 7^I.
a=l
(8)
(9)
Лемма 4.
<° со
«о = «b + 2 X '2г* , е„ = 2сп + 2 X *(„+!)„ , A0)
** = Ск + ?С2гп-к + ?
к = 1,2 я- 1.
Теорема 4. Если
«»(*) = /(*) -/„(*),

11.7. Свойства ортогональности многочленов Чебышева 505
где f(x) u fn(x) определены в D) и (9) соответственно, то
00
Sn(cos <р) = —2 sin tup ? cn+T sin r<p,
A1)
Sn(cos <ра) = О,
Sn(cos ср) ~ —2sin n<p sin 9? сп+1 [ 1 Н ^±2- cos <р\.
Если ск в D) вычисляется приближенно с помощью правила трапеций,
то ек есть приближение к с^а соотношения A0) дают оценку
погрешности в этом процессе. Подобным же образом, если ск вычисляется
с помощью так называемого модифицированного правила трапеций,
т.е. ск [см. C)] является приближенным значением dk, то оценку
погрешности в этом процессе численного интегрирования дают
соотношения E). Заметим, что -_Ц. + ек) является более точным приближе-
z
нием к ск, к = О, 1,..., п.
Выше мы рассматривали разложения в ряд по многочленам Т (*).
Теперь же мы дадим без доказательства аналогичные утверждения
для разложений в ряд по многочленам Чебышева второго рода U (х).
Лемма 5. Пусть
sin(W + l)fla
Un(X«> - iin^ '
xa = cos 0a , 0a = J Ba +1), a = 0, 1,..., n - 1,
W.k = Z (i - *a2) J7M(xe) c/^ta,) = nfsinAsin ««•
a=0 a=0
Тогда
О, если j, к < n, j ^ к,
W. k = —, гели 7 = ^ 0 < / < n,
О, если / = 0 идя ec#r к либо,
если к = 0, Ам ясея /. A2)
Теорема 5. Если fn(x) - приближение % функции f(x),
fn(cose)^ni1qksinke либо fnW-il-x^l^q^^ix),
К = 1 К — 1

506 Гл. 11. Ортогональные многочлены
то коэффициенты qk можно вычислять по формулам
Ь=\ lV(cos ва) sin kda = \ Uf A - *в*I/8/(*«) ик_г(ха). A3)
71 а=0 п а=0
Предположим, что f'{x) удовлетворяет свойствам, указанным в
комментарии, предшествующем D), тогда
/(*) = A - х*у<* ? ркик_г{х) = ?рк sin *fl,
fc=l fc=l
pfc = ? Г1 /(Ж) Uk^(x) dx = - Г/(cos в) sin кв dO. A4)
Лемма 6.
CO CO
ft =A- Z HOW-* + Z (-lOWu> > = 1,2,...,/*- 1. A5)
r=l r=l
Теорема 6. Ясли
«»(*) = /(*) ~fn(x),
где f{x)uf (x) определены в A4) и A3) соответственно, тогда
СО
en(cos 0) = />n sin пв + 2 cos я0 ? /Wr sin г^>
«.(COS0.) =(-!)-/>,., A6)
<=„(cos в) ~ />n sin я0 (l + -^-^ cot П0 sin 6»).
\ Рп
Лемма 7. Пусть
ха = cos сра , 9« = а777и > а = 0, 1,..., я,
**.* = ?с1 -х«)us-ii**)u*-i(*«)= Zsin^sin*?«• A?)

11.7. Свойства ортогональности многочленов Чебышева 507
Тогда
( О, если j, k < n, j 4 k,
Х;Д =
-г-, если 1 = к, 0 < ; < п,
О, если ; = О для всех k либо, если k = О,
Теорема 7. Деля /п(х) - приближение к функции /(я),
п-1
/n(cos <р) = ? rfc sin fy> либо /„(*) = A - х2I'* ? г^.^*),
wo коэффициенты rfe можно определить по формулам
'k^lt /(COS 9a) Sin А?. = j; ? A - **2I/2/(*a) ^-l(**)' A9)
ос=1 а=1
Лемма 8.
'i = Л ~ Z /W-* + I ft«H4 • B0)
s=l s=l
Теорема 8. йсл
««(*)=/(*>-/«(*),
где /(х) и /п(х) определены в A4) w A9) соответственно, то
оо
8n(cos 9) = />n sin я<р + 2 sin ncp ? />n+r cos r<p
r=l
Sn(cos <pa) = 0,
Sn(cos <p) ~ pn sin ?i(p (l + -^^ cos <p)9 B1)
Заметим, что, если приближенные значения для pk в A4) находятся
с помощью модифицированного либо обычного правила трапеций, для
оценки погрешности можно использовать соотношения A5) либо B0)
соответственно (см. комментарий к A1)). Следует также заметить, что

508 Гл. 11. Ортогональные многочлены
о (Qk + rk) "~ улучшенное приближение для pk, к = 0, 1,..., п. Оценки по-
z
грешности в этих приближениях следуют из анализа, проведенного в
п. 11.3.6.3. Более подробный комментарий см. в работе Эллиотта A965).
11.8. Применение схемы Горнера
для вычисления разложений в ряды функций,
удовлетворяющих линейным разностным уравнениям
конечного порядка
Предположим, нам нужно найти приближение
/»(*) = I V, A)
п=0
к функции
/(*) = ? апх\ B)
п=0
Здесь наши функции являются мономами хп- Определим рекуррентное
соотношение
Вп=ап + хВп+1, n=N9N- 1,..., 1,0, BN+1 = 0, C)
и используем его в обратном направлении. Тогда мы получим хорошо
известное соотношение
fN(*)=B0, D)
Небезынтересно исследовать эффект погрешности округления в а
при таком выполнении вычисления fN(x). Заметим, что общее решение для
"« = ап + xun+i E)
имеет вид
п-1
ип =ах~п— х~п ? акхк, F)
fc=0
где а — постоянная величина. Таким образом, погрешность округления
в ап либо Вп приводит к погрешности es(n) в Bs для s < п, определяв-

77.8. Применение схемы Горнера 509
мой соотношением
S-1
€s(n) = ax-8 - х-8 ? 8***. G)
fc=0
Поскольку
п-1
О = ж-»-1 - лг*-1 ? S^K (8)
Л:=0
то, исключая из последних двух соотношений а, получаем
*.(*) = *-s Z 8***- (9)
fc=s
Погрешность вычисления функции/(я) определяется соотношением (9),
где 5 = 0 и возникает как результат погрешностей 5^ в величинах ak.
Эта погрешность оказывается точно такой, как при суммировании ряда
обычным способом. Таким образом, если значения Вп округляются до
того же десятичного знака, что и a t то максимальная погрешность
округления для функции fN(x) всего лишь удваивается. Если в ап либо
Вп сохраняются один или два запасных десятичных знака, то
получаемая в результате погрешность ничтожна по сравнению с погрешностью
усечения, возникающей в результате приближения функции / (х) с
помощью fN(x). Из проведенного выше анализа видно, что, несмотря на
то, что погрешность в Вп может быть довольно большой, когда N
большое, погрешность в j^ (x) будет равна погрешности, получаемой, когда
мы образуем требуемые степени х и суммируем согласно соотношению
A). Для вычисления fN(x) по рекуррентной формуле, примененной в
обратном направлении, необходимо выполнить всего лишь N сложений и
N умножений. Другой способ вычисления fN(x) состоит в использовании
соотношения A), где нужные степени х получаются из соотношения яп =
= х*хп~1. Этот способ требует выполнения 2N - 1 операций умножения
и N операций сложения, и поэтому он менее экономичен, чем способ
вычисления по схеме Горнера.
Чтобы обобщить полученные выше результаты, положим
N
М*) = Е акрк(х\
fc=0
/WlM + <*пРп(х) + Arfb-l(*) =0, Я > 1, (Ю)

570 Гл. 11. Ортогональные многочлены
где ап и )8П могут зависеть как от п, так и от х. Здесь pk(x) не
обязательно должен быть многочленом. Определим рекуррентное
соотношение, которое мы используем в обратном направлении:
Вп = -«тА-М - &И-1#п+2 + ап , П = N, N - 1,..., 1, О,
#»+1 = **+2 = 0. (И)
Тогда
fN(x) = Б0/>0(*) + В^*) + «оро(*)}. A2)
Чтобы получить последнее соотношение, нужно исключить ап из
A1), подставить их в fN(x) и применить рекуррентную формулу в A0).
Этот принцип непосредственно распространяется на случай, когда
последовательность \Pk(x)} удовлетворяет разностному уравнению более
высокого порядка. Предположим,
Pn+i(x) + <*п,оРп(х) + <*n.i/>n-i(*) H Ь осп%грп_г{х) = 0, г <N. A3)
Рассмотрим рекуррентные соотношения
Вп = —осПг0Вп+1 — otn+i.A+2 — ап+2.2#п+з — ••• — an+r,rBn+r+1 + ап ,
Bw+i=BM+f = -=0. A4)
Тогда
/*(*) = I B«{P« + «-loP^-i + •" + e»-i.»-iA>}- A5)
Теперь покажем, что для вычисления f^(x) имеется процедура,
аналогичная схеме Горнера. Достаточно рассмотреть систему соотношений
A0), A1). Мы имеем
f'N(x) = (Д0 + Bi«o)Po(x) + BiPi(*) + ВМХ) -?»(*),
gN(x) = "f ЬкРк(х), Ьк = Вм*к + Вк+&+1 , A6)
fc=0
где функция g (х) легко вычисляется с помощью соотношений A0) - A2).
Итак, пусть
С» = —оспСп+1 — рп+1Сп+2 + Ьп, п = N —l,N — 2,..., 1, О,
CN = CN+1 = 0. A7)

11.8. Применение схемы Горнера 511
Тогда
/*(*) = (Я0 + *ЛШ*) + BiPi(x) + Bi%Po(x)
- С0р0(х) - С^р^х) + atf>0(*)}. A8)
Алгоритм A0) - A2) для вычисления fN(x), когда рп(х) есть
многочлены Чебышева Тп(х), был предложен Кленшо A955). Ценность этого
алгоритма заключается в том, что ряды по многочленам Чебышева
вычисляются почти так же, как и многочлены. Следовательно, для
вычисления отрезка ряда по многочленам Чебышева преобразовывать этот
отрезок ряда в обычный многочлен излишне. Смит A965) предложил
использовать процедуру Кленшо для вычисления /# (и), когда рп(х) —
многочлены, удовлетворяющие рекуррентной формуле A0). Следует
обратить внимание читателя на тот факт, что процедура, рассмотренная
здесь, носит довольно общий характер, поскольку рп(х) не обязательно
должен быть многочленом. Применимость этого алгоритма с точки
зрения устойчивости в сохранении значащих цифр и роста погрешности
округления будет обсуждаться позже.
В случае разложений в ряды по многочленам Чебышева первого
рода алгоритмы A0) - A2) и A6) - A8) можно представить следующим
образом:
Ш = I «А(х)> /*(*) = ? «!Л(*).
Рм(х) + «пРпМ + Pn-l(x) = 0. A9)
вп = -&пВп+1 — #п+2 + «» . n=NtN — 1,..., О,
&N+1 — &N+2 — О»
Сп = -<*пСп+1-Сп+2 + ЬПУ w = iV-l,iV-2,...,0,
CN = CN+1=0. B0)
Prix) a„ bn fN(x) f'N(x)
Tn{x) -2x -2Bn+1 B0 - xBx -Bx - C0 + xCx
T2n(x) -2B*2 - 1) -SxBn+1 В0 - B*2 - l)Bx -AxBx - C0 + B*2 - l)d
T2n+1(x) -2B*2 - 1) -SxBn+1 x(B0 - BJ B0 - Bx - х{С0 - Сг)
124*) -2B* - 1) -4Вп+1 В0-Bх- 1)В, -2ВХ - С0 + B* - l)d
B1)

512 Гл. 11. Ортогональные многочлены
Продемонстрируем работу этого алгоритма. Пусть qn — второе
решение уравнения A0), линейно независимое от рп. Тогда вронскиан
Wn = Pn-i<*n-Pn<ln-i B2)
не обращается в нуль, и величины В можно представить в виде
Вп^йХ^Рп-х<1к-Н-х<1п)Ч> п = Щ)М. B3)
Пусть
QN=kl0ak4k- B4)
Тогда
Qw = 9oBo + («i +"o«o)Bi- B5)
Следовательно, если fN = fN(x), то
Во = И^Кв! + «o«o)fo " (Pi+«o^o)Qn]' B6)
Bi = -WT1[3o/n-PoQn]-
Этот результат довольно показателен, поскольку помогает понять,
когда не следует применять данный алгоритм, например когда | q | »
» \Рп\ для большинства значений п = 0A)iV и вообще когда | QN\ »
>> \fN |. Сумма /N в таком случае находится как разность двух
больших величин, и поэтому происходит большая потеря значащих цифр.
Например, этот алгоритм нельзя применять для вычисления суммы
бессолевых функций
б
^12 =/()(*) +2 2 J2n(x), x=l,
значение которой равно 1 с точностью до 10D. Предположим, что Вп
вычисляются с точностью до 10S, для чего используются операции
однократной точности. В этом случае для Bnt n = 4AI2, можно получить
точные значения, поскольку при таких п число Вп - целое, имеющее
не более 10 цифр. Остальные Вп имеют округленные значения.
Например, мы нашли, что В0 = -0.7377245906- 10й и Б1== 0.1282818767-1012
Теперь применим A2), где значения /0A) и /хA) взяты с точностью до
10D, и получим /12 = -30 вместо 1. В этом примере вторым решением

77-8. Применение схемы Горн ера 513
х
( )п
будет Y (х). Поскольку /„(*)*, А и уп(х)~-(—)п (п~1)! , причина
указанного выше несоответствия очевидна.
Когда Рп{х) удовлетворяет разностному уравнению 2-го порядка,
аналогичному A0), анализ погрешности округления при вычислении fN
по формуле A2) мы выполняем способом, предложенным Эллиоттом
A968). Возможными причинами погрешности в fN могут быть
A) погрешность округления в ап,
B) погрешности, возникшие при вычислении ап и j8n,
C) погрешности, возникшие при вычислении Вп по формуле A1),
D) погрешность, возникшая при вычислении fN по формуле A2).
Пусть f* - вычисленное значение fN, Аналогично пусть а% -
вычисленное значение ап и т.д. Из A1) мы имеем
В* = [а* - <В*+1 - Д*+1Д*+2) + гп, B7)
где гп "" погрешность округления, возникшая в процессе вычисления
той части соотношения B7), которая заключена в скобки. Перепишем
соотношение B7) в виде
В* = а* - о„ В*+1 - 0п+1В*+2 + еп + г„, B8)
гДв 6П, пренебрегая членами второго порядка, можно записать в виде
еп = (ап - а*)Вп+1 + @п+1 - ^*+1)Бп+2 . B9)
Пусть ф и ^п обозначают погрешности в ап и Вп соответственно. Тогда
an = an + <?n> В*=Вп + фп, n = 0(l)iV,
Фп = Фп = ® для n = W + l,iV + 2.
Далее, из A1) и B8) мы находим, что
^п + St^n+l + Ai+i^n+2 = <?п + fn + V C1)
Следовательно, ^rn и Вп удовлетворяют разностным уравнениям,
отличающимся друг от друга своими правыми частями. Итак, сравнивая C1)
и A1), имеем
N
РоФо + (?i + «o^o)^i =2 (<f>k + *k + rk)Pk- C2)
Из A2) выводим, что
fN = t^JBff + (*? + a faff) В? * + * C3)

514 Гл. 11. Ортогональные многочлены
где s — погрешность округления, возникающая в процессе вычисления
заключенной в фигурные скобки части соотношения C3). Перепишем
последнюю формулу следующим образом:
^=^o^o + (Pi + «oPo)Bi* + ^ + 5' <34)
?= <Р?-Р0)В* + (Р?-Рг)В* + la$<p*-p0) + (а* - а0)р0Щ. C5)
Теперь вычтем A2) из C4) и, применив соотношение C2), получим
требуемый результат:
* N
fN ~ /n =?0(Фк + *Л + rfe)?fe + ? + 5 • C6)
Применим теперь этот анализ к случаю суммирования ряда по
многочленам Чебышева первого рода. Итак, pk(x) = Tk(x), qk{x) = Uk(x).
Легко показать, что
<*п-А ~ Pk-i 4n-iV\ = Vn_k(x), k>n, C7)
на основании чего из B3) мы получаем
*»-?«**>*-»<*)• C8)
Предположим, что вычисления производятся в арифметике с
фиксированной точкой и после нее удерживается t десятичных знаков. Далее
предположим,что \гп\, \s\4- Ю~'° Пусть х* будет приближенным
значением х, используемым в вычислениях. Положим и* - х = у,
«п - а* = 2 у для всех п. Пусть /Зп = 1 и, следовательно, j8n = /S* для
всех г*. Тогда из B9) получаем приближенно ^ = 2уБп+1. Поскольку
Р0 = 1 и рх = х, то р? = р0 и^-^ = у. Тогда из C5) получаем
? « -уВх, так как мы пренебрегли членами второго порядка. Таким
образом, C6) принимает вид
* N N
^ ~fo =fe?o@fe + rfe)TfeW + 2yfe?0Bfe+iT*(*) + y*i + *• C9>
Последнее соотношение можно упростить, поскольку, в силу C8),
J0%n W = yj^* + lK4k-i(*>- D0)
Заметим, что | Tk(x)\ < 1 и | t/ft(x) | <: к при | х | < 1. Предположим

11.8, Применение схемы Горнера 515
далее, что | фк | и \у\ меньше, чем — .10""* • Тогда
Это соотношение обобщает результат, предложенный Кленшо A955),
который упростил анализ погрешности и опустил член с суммой в
неравенстве D1). Такой способ, безусловно, приемлем для всех
представленных в этой книге разложений по многочленам Чебышева для N
достаточно больших, поскольку в нашем случае а, экспоненциально
убывают. Ряд, где ak = 0(k~2), сходится медленно. Предположим,
имеется константа А, такая, что | ak | ^ А/к2 для всех k > 1. Тогда
соотношение D1) принимает вид
\{*-1„\<±10-'[(А + 2)М + 31 D2)
Дополнительную информацию о вычислении сумм, подобных A0),
можно получить в работах Купера A967), Хантера A970) и Ньюберри
A973).

Глава 12 Вычисления с помощью
рекуррентных формул
12.1. Введение
В этой главе мы даем довольно сжатый, но тем не менее общий
анализ вычислений с помощью рекуррентных формул, ориентированный
на практическое применение. Главное внимание здесь уделено технике
вычисления, приводимые же данные дают возможность воспроизвести
коэффициенты в разложениях по многочленам Чебышева, которые
рассматривались в нашей книге, а также получить другие подобные
разложения. Этот вопрос изучен для частных случаев в пп. 4.5, 9.10, 11.6 и
13.6, так что изложенный в этих пунктах материал можно считать
прекрасным введением в анализ, представленный в настоящей главе.
Дополнительный материал по данному вопросу можно найти в работах
Люка A969), Уимпа A969, 1970, 1972) и Гаучи A972), а также в
цитируемых там работах.
12.2. Однородные разностные уравнения
Рассмотрим однородное разностное уравнение порядка s > 2
I Cv(n)y(n + v) = 0, С0(п) = 1, Cs(n) Ф 0, A)
1>=0
где п - положительное целое число либо нуль. Пусть {yf (n)}, L$ r< s,-
фундаментальная система решений уравнения A), и предположим, что
Уг{п) - требуемое решение. Если
lim у^/у, (п) = 0, г = 2, 3,..., s, B)
то Ух{п) называется минимальным или антидоминантным решением
уравнения A).
Это минимальное решение можно получить по первому из
рассматриваемых здесь алгоритмов следующим образом. Пусть т -
положительное целое число или нуль. Положим
77ь-г1*""

12.2. Однородные разностные уравнения 517
и из соотношения
I Cv(n)An+v(m) = <l D)
найдем Аг(пг) для г = тп - 1(-1H. Предположим, мы имеем сходящееся
соотношение нормировки
? ЬкУ1{к)-1. E)
k=o
Пусть
m
B(m)= 2 LkAk(m), F)
fe=o
?пМ=Лп(т)/В(т). G)
Если
lim?n(m) =Ух(п), (8)
m-»oo
то вычисление yY(n) по рекуррентной формуле, примененной в
обратном направлении, основанное на соотношениях A) и E), есть процесс
сходящийся.
А теперь установим соотношение, обеспечивающее условия
сходимости рассматриваемого нами алгоритма к требуемому
минимальному решению. Пусть (-1)г~1 Г (п) - минор (s - 1)-го порядка
матрицы (а..), ац = y>j (n + i), размера (s-l)xs, получающийся при
удалении столбца с номером ; = г. Пусть Тх (гп) Ф О, когда m —
достаточно большая величина,
m
ST eSf(m)= 2 Lkyk{k), l<r<s,
lim Rr = lim RrSr = 0, 2< r < s . (9)
m-»oo m->oo
Тогда вычисление ^(n) по рекуррентной формуле, примененной в
обратном направлении, основанное на соотношениях A) и E) — процесс
сходящийся.
Если ^@) известно, тогда в E) имеем Lk = 0, к > 0, и Loy1@)=l.
В этом случае если lim Rr = 0, 2 <: г 4 s> то
AJtn) Ъ(п)
Пт^—^Т^Г' ">0- A0)
m-»oo Л (m) ^@)

518 Гл. 12. Вычисления с помощью рекуррентных формул
Предположения, сделанные в (9) и A0), гарантируют сходимость
процесса вычисления по рекуррентной формуле, примененной в
обратном направлении. Тем не менее скорость сходимости — понятие трудно
определяемое. Однако она тесным образом связана с той скоростью,
yr(m)
с которой коэффициент w (m) = стремится к нулю при т-> ©о,
г = 2, 3,..., 5. Скорость сходимости возрастает по мере увеличения
скорости убывания wr (m) к нулю при m -> о*. Может случиться, что
ivr (тп) при г = 2, 3,..., и убывает к нулю очень медленно, в то время
как то же самое отношение при г =w + l,w + 2,..., s убывает к нулю
быстро при m -> оо. Другая возможность состоит в том, что не выполняются
предположения (9) для и величин Rf. Для вычисления у^п) при
ослабленных условиях на Rf, если известно и - 1 дополнительных
соотношений нормировки аналогичных соотношению E), можно предложить иной
алгоритм. Более того, этот же алгоритм применим и в том случае,
когда и величин wr медленно убывают, как это было указано выше.
Пусть тп., у = 1, 2,..., и, — положительные целые числа, такие, что
m -m1< m2 ...< mu. Для каждого my вычислим А^ (nt:), следуя
способу вычисления Af (m) в формулах C) - D), где m заменено на vrtz.
Пусть константы L. ., 0 < k < ©о, 1 < у <: и таковы, что
2 Lkfjyi(k)=lt У = 1,2,...,гг, A1)
где Lk г = Lk для всех k > 0. Для каждого rrtj вычислим В(т;) и
Еп(ттгу) с помощью соотношений F) и G), в которых m заменяется на
m.. Положим
m
Sr.i-5r./H-SLMyr(ft),
A2)
2<r<s, 1<У<гг, 2<w<5. v/
Пусть R ограничено и отграничено от нуля, когда m -> оо для 2< г< м,
в то время как Rf -» 0 при m-*oo, и + 1 <$: г <? s. Пусть детерминант
I Дг (ту )|, г, У = 1, 2,..., и, отграничен от нуля, если ml -» во. А также
пусть
lim 5Г у Яг = 0, w + 14 г 4 s7 1 4 J 4 и,
m->oo ' A3)
lim Sr х = Br ,• < оо, 2 < г < w.
Пусть, кроме того, если ВЛ . = 1, 1 < У < и, детерминанты |ВГ ,-|гГ,У*

12.2. Однородные разностные уравнения 519
= 1, 2,..., и, отличны от нуля. Тогда для достаточно большого m = ml
можно определить rnf при 2 < г < гг, которые удовлетворяют указанным
неравенствам для mf, с тем чтобы система уравнений
u mv
S Sv? Lk,iEk(mj) = !» / = 2> 3>---' u>
»-i fe=o A4)
u
2 ? = 1
имела единственное решение {g.}, зависящее, несомненно, от { ттгу } .
Тогда
lim I gvEn(mv)=yi(n), n > 0. A5)
Для выполнения последнего необходимо иметь и соотношений
нормировки. Если же вместо этого известны и значений ух(п), легко
разработать иную процедуру вычисления, которую мы здесь не приводим.
Тем не менее см. абзац, следующий за соотношением A8). Аналог
утверждений A1) - A5), когда 5=2, состоит в следующем.
Пусть соотношение A4) справедливо для и = 2, Sf .
удовлетворяет соотношениям A3), где г = 2 и j = 1, 2, и
lim S2 • = Я-, у = 1, 2, Вг ф В*. A6)
Далее, пусть величины q(n) = >,1(n),/y2(n) и qim^ - q{m2) будут
ограничены и отграничены от нуля, когда п -» «> и m -* <»
соответственно, где тп1 и т2 определяются ниже, а В(т) отлично от нуля при
достаточно большом т. Для достаточно большого m = ml можно
определить такое пг2 > тг, что уравнение
ту
^ + A -ц)М2 = 1, М, -^L^jE^), У- 1, 2, A7)
будет иметь единственное решение р, несомненно, зависящее от т1
и т2. Тогда для п> 0
lim En^yl(n)9 En = 11Еп(тг) + A - fi) En{m2). A8)
m-»oo
В многочисленных практических приложениях ух@) известно
априори, и тогда Lk2 = 0 для й > 0, в то время как L0 2 = 1/у1@).
Именно на основе этих фактов, если они имели место, получено много
таблиц, представленных в настоящей книге. В связи с этим см. анализ,
сопровождающий соотношение 9.7B4), а также см. п. 14.4.

520 Гл. 12. Вычисления с помощью рекуррентных формул
Вернемся к соотношениям A7), A8) и покажем, как в
действительности можно избежать вычисления /*. В этом есть определенный смысл,
поскольку, когда Мх близко к М2, бывает большая потеря значащих
цифр. Заметим, что, если Мг = М2, любое значение /х удовлетворяет
соотношению A7). Иное и более предпочтительное выражение для Е -
Еп - En W + A - M2HMl - М2ГЧ?пК) - Еп(щ)]9 A9)
либо это же самое выражение, в котором произведена взаимная
замена нижних индексов 1 и 2.
12.3. Неоднородные разностные уравнения
Рассмотрим при s > 1 уравнение
S
2 Cv{n)g(n + v) = /(тг),
и-о A)
C0(n)-1, Cs(n)^0, /(n)^0, п> 0.
Предположим, что g(n) — требуемое частное решение уравнения A).
Алгоритм для вычисления этого решения работает следующим образом.
Пусть m — положительное целое число или нуль и Af(m) определяется
соотношениями 12.2C, 4). Положим
Вт+г_х(т) = 0, г = 1AM, B)
и вычислим Bn(m) рекуррентно из соотношения
I CvBn + v(m)=f(n) C)
г>=0
при 0 < n < m - 1. Предположим, что имеется сходящееся соотношение
нормировки
S Р**(А)-1. D)
Имеем также
U(m)An(m)
Wn(m)=—_ + Bn(m), n-0(l)m, E)
m-l я*
[/(m) = l-S PkBk(m), V{m)-2, PkAk(m).
Если
lim Wn{m)~g{n), F)
m->oo

12.3. Неоднородные разностные уравнения 521
то говорят, что вычисление g (n) из соотношений A) и D) по
рекуррентной формуле, примененной в обратном направлении, — процесс
сходящийся.
Следующие ниже утверждения относятся к сходимости процедуры,
основанной на A) - E). Пусть \yf {п)} - фундаментальная система
решений уравнения 12.2A) с теми же свойствами, что и выше; пусть
при т, достаточно большом,
т
2 PkAk(mLQ. (!)
fe=o
Положим
т
Ur(m)=l Pkyr(k), 1<г<5,
<8>
f/ (m)= S Pkg(k).
Рассмотрим матрицу F..) размера (s - 1) х E + 1), где Ъц =
яУ/(го + 1), г = 1, 2,..., 5-1, У - 1, 2,..., 5, и у3+г(т + i) =g(m + i).
Пусть Л (т), г Ф 5, — минор этой матрицы, получаемый после того,
как из нее Выбрасываются r-й и s-vl столбцы. Далее, пусть
Ut{m)kr Am)
Km '- = 0, 1 < t < s + 1, 1 < г < s, г 4 t,
m->oo f/1(w)As+1#1(m)
^(m)As+lfl(m) (9)
lim — ^^ =0, 2KtKs.
m^oc C/1(m)As+1>1(m)
Тогда процедура вычисления g(n) по рекуррентной формуле,
примененной в обратном направлении, описанная в A) - E), сходится.
Если вместо соотношения нормировки типа D) известно значение
g @), то вышеуказанное построение можно упростить, поскольку в
этом случае можно положить Pk = 0 для k > 0 и P0g @) = 1. Итак,
в (9) мы имеем Ur{m) = yr@)/g@) для 1 <: г <? s и C/s+1(m) = 0.
Всякое неоднородное разностное уравнение данного порядка
можно обратить в однородное уравнение, порядок которого будет на
единицу выше исходного. Рассмотрим, например, уравнение A) и это же
уравнение, где п заменено на п + 1. Умножим первое уравнение на
/ (п + 1), а второе на / (п) и вычтем. Тогда
Ч1 Dv(n)g(n + v) = 0,
v=0 A0)
Dv(n) = Cv(n) - /(П> C^x(n + 1), 0< v< 5 + 1,
f(n + 1)

522 Гл. 12. Вычисления с помощью рекуррентных формул
где С (п) = 0, если v < О либо v > s. Пусть {Yr (n)}, 1 < г 4 s + 1>-
базис решений уравнения A0). Тогда можно положить
*i(и) = *(*)> Гг+1(п)=уг(гс), 1<^<^, A1)
где iyf (n) } - базис решений уравнения 12.2A). Следовательно, все
результаты, полученные для однородных разностных уравнений,
применимы для g(n) - решения уравнения A0). Эту процедуру часто
упрощают следующим образом. Положим
Gw+r_1M = 0, r = 1AM, Gm_1(m)=/(m-l) A2)
и вычислим G im) Для 0 < п < яг - 2 с помощью формулы A0), в
которой g(n + v) заменено на Gn + V{m). Ясно, что Gn(m) = Bn{m), где
Bn(m) вычисляется с помощью соотношений B), C). В результате мы
получим подобные (9) утверждения; детально этот процесс здесь не
р ассматривается.
Необходимо заметить, что, используя при вычислениях
неоднородное уравнение A), мы имеем большую маневренность, чем используя
эквивалентное однородное уравнение A0), поскольку получаемое при
этом решение не обязательно должно быть минимальным решением
уравнения A0). Подобный анализ некоторого неоднородного
разностного уравнения третьего порядка, четко показывающего такое
поведение, см. в работе Уимпа и Люка A969).

Глава 13 Некоторые аспекты
рациональных
и полиномиальных
приближений
13.1. Введение
Как уже отмечалось в предисловии к настоящей книге, имеется
целый ряд вопросов, которые требуют глубокого исследования и
которым следовало бы отвести должное место в справочных руководствах
по специальным функциям и их приближениям. Однако из-за
недостатка места мы вынуждены были лишь кратко рассмотреть такие вопросы,
как вычисление с помощью рекуррентных соотношений (см. гл. 12),
рациональные приближения и приближения Паде и некоторые другие.
Рассматривая эти вопросы, мы стремились лишь к тому, чтобы
читатель правильно осмыслил те концепции и методы, которые здесь были
использованы. В п. 13.2 обсуждаются различные типы чебышевских
приближений и различные значения слова "наилучший". В п. 13.3
приводится таблща Паде. В пп. 13.4 и 13.5 рассматриваются приближения
функций с помощью дифференциальных уравнений и рядов
соответственно. В п. 13.6 исследуются решения дифференциальных уравнений и
других функциональных уравнений в разложениях по многочленам Че-
бышева первого рода.
13.2. Приближения с помощью разложения в ряды
по многочленам Чебышева первого рода
В настоящей книге много внимания было уделено проблеме
вычисления коэффициентов в разложении заданных функций в бесконечные
ряды по многочленам Якоби, и в частности в разложении в
бесконечные ряды по многочленам Чебышева первого рода. Для удобства мы
говорим о таких разложениях как о чебышевских разложениях и о
соответствующих коэффициентах как о чебышевских коэффициентах (см.
п. 5.10 и представленные в настоящей книге таблицы чебышевских
коэффициентов для целого ряда специальных функций). Поскольку нас
прежде всего интересуют аналитические формулы, мы опускаем
исследование аппроксимаций, таких, как "наилучшие" чебышевские
приближения различных видов. Однако читателю следует помнить, что в
работах, посвященных изучению некоторых специальных функций, такие
приближения рассматриваются. В связи с этим здесь следует дать

524 Г п. 13. Рациональные и полиномиальные приближения
краткое объяснение концепции наилучшего чебышевского приближения.
Пусть f (x) m s (х) — действительные функции, непрерывные в
замкнутом интервале [а, 6]. Рассмотрим дробь Qmn(*) = s(x)qn{x)/pm(x), где
qn{x) и рт(х) — многочлены от х степени пкт соответственно. Для
заданных / (х), s (х), т, п, а и Ь задача, предложенная Чебышевым,
состоит в том, чтобы найти коэффициенты многочленов так, чтобы
максимальное отклонение Qmn(x) от функции f(x) в замкнутом интервале
[а, Ь] было бы минимальным. Такое приближение считается наилучшим
Если т = 0 (т ? 0), мы говорим о наилучшем полиномиальном
(рациональном) приближении в смысле Чебышева. Часто мы просто говорим
"наилучшее чебышевское полиномиальное приближение" и т.д. Если в
предложенной Чебышевым задаче s (х) = 1, то минимизируется
погрешность. Желательно, чтобы минимизировалась и относительная
погрешность, поэтому предложенную Чебышевым задачу можно
сформулировать следующим образом: найти такие коэффициенты многочлена, при
которых максимальное отклонение отношения [/ (х) - Qnm{x)]/f(x) от
нуля будет минимальным в замкнутом интервале [а, Ь]. И здесь, как
правило, s (х) = 1.
Наилучшие чебышевские приближения, несмотря на слово
"наилучшие", не отличаются большой гибкостью. В замкнутом виде они
представляются лишь в немногих случаях. Чаще всего они получаются в
результате итерационного процесса. Кроме того, в наличии должна
быть обширная таблица значений аппроксимируемой функции. Если
дано наилучшее чебышевское полиномиальное приближение n-го порядка,
то совершенно неизвестно, каким образом это приближение связано с
приближениями порядков, близких к п. Таким образом, для каждых
новых значений п, а и Ъ процесс приближения выполняется заново.
Для многих специальных функций коэффициенты в представлении
их в виде бесконечных рядов по многочленам Чебышева без труда
выражаются в замкнутом виде и легко определяются посредством
рекуррентных формул (см. гл. 12). Даже если эти коэффициенты
неизвестны в замкнутом виде, но аппроксимируемая функция удовлетворяет
некоторому дифференциальному уравнению, то коэффициенты легко
определяются по рекуррентной формуле, примененной в обратном
направлении (см. п. 13.6). Такие бесконечные разложения дают после
усечения наилучшие среднеквадратичные приближения. В случаях
когда имеются табличные значения, приближения в виде конечных рядов
по многочленам Чебышева легко получаются с помощью формул
интерполирования, применение которых основано на ортогональных
свойствах многочленов Чебышева относительно суммирования (см. п. 11.7).
Такие приближения являются наилучшими в смысле наименьших квад-

13.2. Приближения с помощью разложения в ряд 525
ратов. В п. 13.4 мы рассматриваем приближения с помощью г-метода,
являющимся наилучшим в совсем ином смысле. Итак, употребление
слова "наилучший" должно всегда оговариваться. Для аналитических
функций, с которыми чаще всего приходится иметь дело, точность
наилучшего чебышевского полиномиального приближения не намного
превосходит точность других упомянутых выше приближений, поэтому
дополнительная работа, необходимая для получения наилучшего
приближения в том смысле, который вкладывал в это понятие Чебышев, не
оправдывает себя. Ниже мы приводим некоторые неравенства,
подтверждающие это.
Положим
/(*)=! anTn(x). A)
п=0
Пусть Sn обозначает величину максимальной погрешности, когда
функция / (х) приближается первыми п + 1 членами правой части
соотношения A), и пусть Еп обозначает величину соответствующей погрешности
для наилучшего чебышевского полиномиального приближения степени п
Тогда известно, что
An<En<Sn4kg+i\ak\, B)
где А - любая из величин
п
4.= Тш A afa/2 A -2~V2\a ^\
* k=n+l k я,2 * ' n+ll'
Л«зЧ?Л1. '-B*-1)(п + 1).
Если погрешность в приближении / (х), когда ряд A) усекается после
(п + 1)-го члена, мажорируется слагаемым %+lTn+l(x)9 что, как
правило, и бывает *>, разность между Еп и Sn не может быть очень
большой. Подобное положение имеет место, когда мы рассматриваем
наилучшие среднеквадратичные приближения функции f(x), о которых
говорилось выше.
Пауэлл A967) показал, что, если / (х) непрерывна в замкнутом
интервале [-1, 1], то
Sn/En < u (n), u (n) -v 1 + inn> D)
772
V Это утверждение автора неверно. - Прим. ред.

526 Гл. 13. Рациональные и полиномиальные приближения
когда п достаточно большое1)- Для п = 10, 100 и 1000 имеем u(n) = 3.22,
4.14, 5.07 соответственно.
Предположим, что некоторый многочлен g{x) степени п + г + 1
приближается разложением в ряд по многочленам Чебышева, усеченным
после (п + 1)-го члена, т.е. полученное приближение является
многочленом степени п. Пусть tn будет погрешностью, asn- максимальной
погрешностью этого приближения. Далее, пусть еп будет максимальной
погрешностью в наилучшем чебышевском полиномиальном приближении
g(x) степени п. Предположим, что п велико и что все коэффициенты tn
имеют либо одинаковые, либо строго чередующиеся знаки. В
справедливости последних предположений можно убедиться эвристическим
путем. Кленшо A964), Лэм и Эллиотт A972) и Эллиотт и Лэм A973)
провели исследование отношения sjen при указанных условиях. Было
показано, что
V«.< .-и-»* JL-J!;-.!. E)
Ь =.у+41п2= 3.34980.
Например, для г = 10, 100 и 1000 отношение s /еп4- 1-82, 2.56 и 3.29
соответственно. Сравнив соотношения D) (см. в работе Пауэлла
последующие значения и(п)) и E), можно видеть, что первое
соотношение дает лучшую верхнюю границу для г > п. Если же 1 <: г < п,
лучший результат дает соотношение E).
Теперь предположим, что Vn - погрешность приближения функции
/ (х) посредством интерполяционной формулы Лагранжа степени п с
абсциссами, расположенными в нулях чебышевского многочлена Т (х)
(см. 11.7C)), где п заменяется на п + 1. Тогда, как показал Пауэлл
A967),
Vn/En4 v{n), v(n) -1 +-hm2\ F)
77"
если п достаточно велико. Если п = 10, 100 и 1000, то v(n) = 3.49, 4.90
и 6.36 соответственно.
Как уже отмечалось, нас прежде всего интересуют аналитические
формулы (в отличие от поточечного вычерчивания кривых), применяе-
х) Это простое следствие известного неравенства Лебега. - Прим,
ред.
2)
Это следствие неравенства Лебега и известной оценки константы
Лебега интерполяции. — Прим. ред.

73.3. Таблица Паде 527
мыедля приближения функций. Коуди A970) дает анализ приближений
функций и главным образом приближений с помощью наилучших чебы-
шевских многочленов. Гаучи A975) рассматривает методы вычислений
для специальных функций.
13.3. Таблица Паде
Рассмотрим формальный степенной ряд
F(z) =Lr zr, cQ 4 0, A)
и бесконечный массив рациональных функций, зависящих от двух
индексов:
FmnW-AmnW/BmnW' B)
Amn(z)=rloarn*r> Btim(*>-JQ *,»*'' <3>
такой, что представление в виде степенного ряда для функции Fmn(z)
совпадает с представлением в виде степенного ряда для функции F{z),
возможно, более высокой степени z. Эта однозначно определенная
рациональная функция называется приближением Паде функции F(z), и
говорят, что она занимает позиции (т, п) в таблице Паде. Таблица
Паде представляет собой бесконечную по строкам и столбцам матрицу
(Fmn)> m, n = 0, 1....Здесь тип обозначают номера столбцов и строк
соответственно. Очевидно, что элементы в первой строке (п = 0)
являются частичными суммами ряда функции F(z), в то время как
элементы в первом столбце (т = 0) суть частичные суммы ряда функции
l/F(z). Позиции (п, п) заполняют главную диагональ, в то время как
позиции (п - г, п) и (п + г, п) заполняют г-ю поддиагональ и г-ю наддиа-
гональ соответственно.
Пусть
Втп& F& ~ Amn(*) = ^+w+1G(z), G@) * 0. D)
Имеем систему линейных уравнений
k
2 bmck_r = akm, k = 0A) m, E)
r=o
n
^ bmck-r e °> k = n + 1A)^ F)
r=0
где cf = 0, если г < 0. Многочлены ^„(z) и Bmn(z) можно
рассматривать как взаимно простые. Кроме того, без потери общности, можно

528 Гл. 13. Рациональные и полиномиальные приближения
взять bQn ±s 1, откуда а0т « с0. В этом случае говорят, что
приближение Fmn приведено. Пусть
cmn = I cm+i -j I V*)
есть детерминант порядка п, элемент которого с номером (i, j) равен
cm+l-_y. Удобно расширить это определение стп, с тем чтобы т либо п,
либо и т, и п могли быть равны нулю. Таким образом, положим
ст0 = 1> cml = cm> c0n = c0' $)
При определенных условиях может случиться, что в результате
обращения в нуль некоторых коэффициентов в многочленах будут иметь
место соотношения FQl = F^^ Fn = F22. Приближение Паде называется
нормальным, если оно только один раз встречается в матрице Паде.
Степенной ряд F(z) называется нормальным, если все приближения
Паде этого ряда нормальны.
Имеют место следующие равносильные утверждения:
A) Приближение Паде Fmn нормально.
B) Порядки многочленов Amn(z) и Bmn(z) суть тип
соответственно, и соотношение D) верно.
C) Детерминанты стп, ст$п+19 ст^п и cm+1,n+1 не равны нулю.
Степенной ряд нормален тогда и только тогда, когда с ^ О
для всех т, п > 0. В частности, ст ± 0 для всех гп.
Следовательно, чтобы найти приближения Паде для нормального
степенного ряда F(z), нужно решить систему уравнений E), F);
приближения Паде можно представить в виде отношения детерминантов.
Многочлены числителей и знаменателей нормальных приближений Паде
удовлетворяют одним и тем же трехчленным рекуррентным формулам.
В самом деле, существуют такие константы ат и /Sm, для которых
т,п+г = Р2п^т-1,п+г+а2пЛг-1,т-1+г' т ^ *> w)
m,n+r+i = ^2n+l^m,n+r + а2п+1 An-l,n+r > т > 1> (Щ
и эти соотношения выполняются, если Атп заменить на Втп. В
частности, элементы главной диагонали нормальной таблицы Паде
удовлетворяют трехчленному рекуррентному соотношению. То же самое
верно и для элементов первой поддиагонали. Например, см. пп. 4.3 и 6.10
и их частные случаи, рассматриваемые в настоящей книге. В этих
примерах коэффициенты рекуррентных формул точно известны и имеют
простой вид. К сожалению, такое положение не типично. Элементы

13.4. Приближение функций, определяемых дифференциальным уравнением 529
нормальной таблицы Паде удовлетворяют также некоторым нелинейным
рекуррентным соотношениям. Если нужно получить числовое значение
многочлена, такие нелинейные рекуррентные соотношения довольно
удобны; если же необходимо получить аналитическое выражение для
многочлена или выражение в замкнутом виде, такие соотношения не
удобны и сложны в применении. Многочлены же в рациональных
приближениях функции Fq, рассмотренные нами в п. 5.12, отвечают простым
рекуррентным соотношениям, и этот факт совместно с известными
свойствами сходимости рациональных приближений делает последние
идеальным средством для вычисления функции /г (см. замечания к
теореме 2 п. 5.12).
В июне 1972 г. в университете штата Колорадо, Боулдер,
Колорадо, проходила международная конференция, посвященная непрерывным
дробям, приближениям Паде и близким вопросам. Труды конференции
быж опубликованы В Rocky Mountain Journal of Mathematics, 4, 2, Spring
1974. Там собран большой материал по указанным вопросам, а также
даны ссылки на работы в этих областях. См. также Бейкер A975),Бей-
кер и Гэммел A970), Файк A968), Грейвс-Моррис A973), Ханскомб
A966), Хованский A953), Люк A969), Перрон A950, 1954, 1957) и Уолл
A948).
Распространение скалярных результатов, полученных для
приближений Паде и непрерывных дробей, на операторы см. в следующих
работах: Фэр A971, 1972а, 19726), Фэр и Люк A970) и Рэгг и Дэвайс
A973).
13.4. Приближение функций,
определяемых дифференциальным уравнением
{т -метод)
Введенный Ланцошем A938, 1952, 1961) и использованный Люком
A969) в основном для получения рациональных и полиномиальных
приближений гипергеометрических функций, г-метод является прекрасным
примером способа получения таких приближений для функций,
определяемых дифференциальным уравнением. Мы также рассмотрим два
варианта указанного г-метода. Приближения, полученные с помощью г-
метода, часто называются "экономизированными приближениями", а
процедура их получения — "процессом экономизации". В основном нас
интересует дифференциальное уравнение, а не система уравнений.
Однако, основная идея применима к системам дифференциальных
уравнений, к уравнениям в частных производных, интегральным
уравнениям и т.д. Этим и другим связанным с ними темам посвящены
следующие работы: Бьёрк A961), Берсма A960), Боггс и Смит A971), Бергойн

530 Гл. 13, Рациональные и полиномиальные приближения
A962 , 1963), Кленшо A957, I960, 1962), Кленшо и Нортон A963), Клен-
шо и Пикен A966), Эль-генди A969), Эллиотт A959/1960а, 1963), Файк
A968), Фокс и Паркер A968), Кизнер A966), Мейсон A967), Нортон A964),
Оливер A969), Сэг A970), Скрейтон A972), Симасаки и Киёно Q973),
Снайдер A966), Вербек A970), Рэгг A966) и Райт A964).
Пусть J5?(D, у, z), D = d/dz, - многочлен от у и его производных
по переменной z, коэффициенты которого являются многочленами от
z. Обозначим через г порядок многочлена i?(D, у, z) и рассмотрим
решение уравнения
<?(D,y,z)=g(z)i A)
где g (z) — многочлен от z, удовлетворяющее начальным условиям
z = z0y Dky = cki * = 0, 1 г — 1. B)
Без потери общности, можно считать zQ = 0. Заметим, что уравнение
A) может быть как линейным, так и нелинейным. Предположим, что
однозначное решение задачи A), B) имеет вид
М*) = I ****. I * К с> C)
fc=0
где, в силу B), ak = ck/k\, k = 0, 1,..., г - 1. Для нахождения величин
ak при к > г нужно C) подставить в A) и приравнять коэффициенты
при одинаковых степенях z. В результате получим систему
рекуррентных соотношений для ak, решение которой даст искомые коэффициенты.
Если C) усекается после взятия п членов, то
я
Уп(я) = Z аь*к D)
есть полиномиальное приближение решения уравнения A). Здесь и
далее предполагается, что п > г. Положим
п
yn(z) = 2 bk z > bk = a^ при ft = 0, 1,..., s - 1, s 4 r . E)
ft=o
Ясно, что E) не удовлетворяет уравнению A), если только решение
не является многочленом, а в этом случае задача тривиальна.
Поскольку E) не может удовлетворить уравнению A), попытаемся
построить близкое к A) уравнение, которой удовлетворяла бы функция

13.4. Приближение функций, определяемых дифференциальным уравнением 531
E), надеясь, что E) — хорошее или даже в некотором смысле лучшее,
чем у*(х), приближение к A). Наша идея заключается в том, чтобы
добавить слагаемые к правой части A), с тем чтобы вновь полученному
модифицированному уравнению удовлетворяла бы функция E).
Предположим, что общий множитель коэффициентов в уравнении A) исключен;
тогда имеем
S?(Dtyn , z) = g(z) + ? rm_Jim_u{zjyO F)
где т. суть константы и заранее условлено, что функции h^(z)
являются многочленами от z степени /х. Кроме того, у — некий параметр,
роль которого в нашем анализе определится позже. Величины ri входят
в рекуррентное соотношение, содержащее величины Ъ. 9 и как ri, так и
Ъ. находятся как решения этой рекуррентной системы. Значения тир
зависят от природы J?{D, у, z), r и s, и опасно пытаться делать общие
утверждения в этом отношении. Дело в том, что р и т выбираются таким
образом, что рассматриваемая рекуррентная система имеет вполне
определенное множество решений Ь. и т{. Например, если ^f(D, у, z) =
= if(D)y — линейный оператор, bQ = aQ, а рекуррентное соотношение,
определяющее параметры а., состоит из s + 2 членов, то р = s.
Для большей ясности предположим, 4toj§?(D) - линейный оператор,
как указано выше. Пусть en{z) — погрешность, имеющая место, когда
y(z) приближается с помощью yn{z). Тогда из A) и F) имеем
X(D) en(z) = H(z). H(z) = - ? Tm_Jim_u{z\y\ G)
Ф) = y(z) ~ Уп{г)' (8)
Теперь вернемся к вопросу выбора многочленов h (z). В G) H(z) можно
интерпретировать как величину, получающуюся в результате
воздействия оператора j??(D) на погрешность. Это значит, что многочлены h (z)
выбираются таким образом, чтобы величина H(z) принимала возможно
меньшее значение в некотором интервале, скажем 0< z/y4 1. Далее,
из всех многочленов степени га, рассматриваемых в промежутке
О < z< 1 с главным коэффициентом 22п_1,чебышевский многочлен
первого рода T*(z) является наилучшим в том смысле, что его
максимальные отклонения от нуля наименьшие. Таким образом, если

532 Гл. 13. Рациональные и полиномиальные приближения
hn(z)» T*(z), значение величины^(D)en{z) наилучшее в указанном выше
смысле.
Если вместо многочленов Чебышева использовать многочлены
Якоби, это даст возможность получить больше информации, поскольку
многочлены Чебышева, а также многочлены Лежандра суть частные
случаи последних.
Наличие области изменения параметра у придает дополнительную
гибкость рассматриваемому нами методу. Если известны значения
yn(z), то у можно брать равным z, и тогда легко получить
рациональные приближения к y(z).
Представление G) имеет то преимущество, что если известен
базис решений однородного уравнения &{D)y(z) = Of то, применяя метод
вариации произвольных постоянных, можно построить решение en{z)
и таким образом исследовать погрешность. Некоторые приложения
такого подхода см. в работе Люка A969); см. также п. 5.12.
Имеются два варианта г-метода. Для удобства предположим, это
уравнение F) линейно и h (z) « T*{z). Рассмотрим первый вариант.
Пусть
Уп(г)ш% ckTi(z/y). (9)
fe=o
Предполагая, что коэффициенты при yn(z) и их производных, входящих
в уравнение F), — рациональные функции, мы, подставляя (9) в F), а
затем используя соответствующие данные из п. 11.5 и приравнивая
коэффициенты при T?(z/y), получаем систему уравнений для определения
параметров ck и ти. Эта процедура очень похожа на описанный выше
способ. Если в F) не добавляются члены c ти и если предположить, что
y(z) представляется в виде (9) с п = «>, то сразу получается решение
Дифференциального уравнения в виде разложения в ряд по многочленам
Чебышева; подробнее об этом см. в п. 13.6.
Второй вариант заключается в обобщении г-метода и называется,
согласно работе Ланцоша A961), "методом выбранных точек". Здесь не
нужно предполагать, что g(z) и коэффициенты оператора S?-
рациональные функции. На мысль о данной процедуре наводит метод коллокащи,
применяемый для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Итак, предположим, что
У(*)-УЯ(*) + ?Я(*). (Ю)
где yn(z) определяется соотношением (9). Подставим A0) в A).
Предположим, что мы требуем выполнения соотношений ?>kyn(z) = Dky{z) при

13.5. Приближение функций, определяемых степенными рядами 533
z = 0, k = О, 1,..., 5 - 1, 5 < г. В результате, чтобы получить систему
уравнений для определения коэффициентов cfe, нужно удовлетворить
п + 1 - 5 условиям. Для этого достаточно, чтобы уравнение A)
удовлетворялось в нулях многочлена T*+l_s (z/y). Оба варианта г-метода
дают идентичные результаты, но второй вариант более универсален,
поскольку ни коэффициенты оператора if, ни g(z) не должны быть
рациональными функциями.
Анализируя г-метод и его варианты, мы предполагали, что
граничные условия накладываются в одной точке. Перенос этих идей на
случай многоточечных граничных условий, содержащих y(z) и ее
производные, осуществляется просто, поэтому мы обойдемся без дальнейших
подробностей.
13.5. Приближение функций,
определяемых степенными рядами
Предположим, что
F(z)^\rz^Rn(z)f A)
где br не зависит от п и z, a /^(z) — погрешность в указанном
полиномиальном приближении к F(z). Выражения вида A) получаются
различными способами, а именно как решения дифференциальных уравнений
и из интегральных преобразований, таких, как интегралы Лапласа и
интегралы Меллина — Барнса. Заменим в A) п на ft + 1 - а, а = G либо
а = 1, умножим обе части на An k y~k и просуммируем от k =0 до k = п.
Здесь у - свободный параметр, величины Ап k не зависят от z и у и
^- ь = 0> если k > п. Тогда
F(z)Dn(y) = Cn(z,y)+Sn(z,y), B)
Dn(y)=S Antky~k, C)
Cn{z, у) Л у-кП\А kbr8*, 5= z/y, D)
S„(z.y>=J/n,fty~feRft+i-a(z)- E)
Итак, Cn(z, y)/Dn(y) - приближение к F(z) с остаточным членом
Sn(z, y)/Dn(y). Пока z ^ у, это приближение является полиномиальным

534 Гл. 13. Рациональные и полиномиальные приближения
от г степени п. Но, поскольку у - свободный параметр, можно положить
у = z и получить приближение в виде отношения двух многочленов от z,
где числитель и знаменатель суть многочлены степени п - а и п
соответственно. Таким образом, рассмотренный процесс приближения
обладает большой гибкостью. В самом деле, важным моментом указанного
процесса суммирования является то, что существует большой класс
функций, для которых этот процесс сходится не только в случае, когда
ряд в A) при п = оо сходится, но также и в случаях, когда этот ряд
является расходящимся, но асимптотическим для F(z) в некотором
секторе комплексной z-плоскости.
Важным аспектом указанных разложений является возможность
построения рекуррентных соотношений для многочленов, входящих в
это приближение. Предположим, что существуют такие константы К ,
Lm и Мп, что
2 (Km + Lm/y)D
т=0 F)
K0 = l, Lo=0, ra> t.
Тогда
t
S (Кт + Lmh) C„_m(z, у) = Q„{z, у),
т=0 ^ ^ (?)
Qn(z, y}=y-an^aobr8ri=oKmA^m> r+a.
Следовательно,
2 (Km + Lm/y) y) = F(z)Mn-Qn(z, у). (8)
171=0
Таким образом, если найден базис решений однородного разностного
уравнения F), можно описать и исследовать Sn{z, у). Приложение этого
метода к функции pFq(z) и частному классу G-функций см. в первом
замечании к 5.12A5) и теореме 6 п. 5.12; см. также п. 5.13.3
В случае функции pFq рассмотренный в п. 13.4 г-метод и указанная
выше процедура дают идентичные результаты.
13.6. Решение дифференциальных уравнений
с помощью разложения в ряд
по многочленам Чебышева первого рода
Чтобы составить себе ясное представление об указанном способе
решения, рассмотрим конкретный пример и проанализируем его с трех

13.6. Решение уравнений с помощью разложения в ряд 535
различных точек зрения. Рассмотрим дифференциальное уравнение
[xD2 + Bv+l)D + ax2]y{x) = $, # = —,
dx A)
ysy(x)-r(i/+l)(^L)-v/v(ax),
где / (ax) - бесселева функция первого рода. Поскольку у — четная
функция хиу@)=1, имеем
y(x)=*0bkT2k(*), J0(-1>4«1- B)
Метод I
Мы фактически слешем процедуре, введенной Кленшо A957). Пусть
-& =ktobk T2*+iW* ^ =?0bk'T2k(x). C)
Из соотношений 11.4D3, 44) имеем
**- 2B*+1) • D)
здесь и далее полагаем
^ = 1, если ft = 0; ek = 2, если ft > 0. F)
Подставим формулы B), C) в A), применим соотношения 11.4B3, 32)
и приравняем коэффициенты при Т2Ш(х) к нулю. Мы получим в
результате
(~ + Ь'Ц + 2B, + 1) Ъ'к + а* (*Ь- + 6 \ = о. G)
Заменим в G) ft на ft + 1, вычтем и применим формулу D). Тогда
получим
2bk L 4 4
~ = b^2-^(k + \ -*)*;+i-^(*+l +vN;. (8)

536 Гл. 13. Рациональные и полиномиальные приближена
Исключим с помощью E) простые компоненты из (8) и получим
следующее четырехчленное рекуррентное соотношение:
2^ _ _ г!6(*+ \){k + v+ 1) (k + 1) 1
€* ~ L л2 * + 2 J *+1
г 16(* + 1)(Л + 2 - У) | (* + 1) ,
L ^ х J **+* - тт2" **+з • (9)
- результат, ранее представленный соотношениями 9.7A, 2). Все
решения дифференциального уравнения (9) известны, и можно псказать, что
при R{v) > -1 величины bk вычисляются по рекуррентной формуле,
примененной в обратном направлении. Пусть an n = 1 и ak+ln = 0, если
к > п. Используя соотношение (9), где bk заменено на ak' , k = n-l,
n - 2,..., О, вычисляем ak Пусть
п
Kn = <2k.n\Un , »n = Z (_1 )* **," ' A°)
/r=0
Тогда
6,= lim ^.n, R(v)> -1. (И)
и—«-оэ x
Возьмем, например, v = 0, а = 4ип=5, Получим таблицу
k Я*.5 &*.5
0 - 525.25 0.05013
1 6970.0 - 0.66524
2 - 2608.667 0.24898
к ац.ь Ьк>ъ
3 348.333 - 0.03325
4 -24.167 0.00231
5 1.0 -0.00010
и5== ~ 10477.417 A2)
В частности, для х = 4 получим приближение /0D) = -0.39717, откуда
истинная погрешность равна -0.39715.
Кленшо A957) не получает чистых рекуррентных соотношений,
таких, как (9), а вместо этого предлагает с помощью соотношений E) и
(8), примененных в обратном направлении, находить одновременно bk
и Ь?, в связи с этим пусть &k nm ak n удовлетворяют последним
соотношениям, причем ап п = 1 и afe+1 п = а? п = 0, если & ^ п. По рекур-

13.6. Решение уравнений с помощью разложения в ряд 537
рентным формулам вычисляем ak и а?п при к = п - 1, п - 2,..., 0.
Пусть
п
bk,n = ak,Jun> 4,n = ak,nun> un=?{-\)ka
Тогда
A3)
A4)
Например, предположим, что u = 0 и a = 4. Пусть п = 5. Тогда
аъъ = 1 и дЛ+1#5 = д^5 = 0, если k > 5. Из E) имеем а4'5 = 20, а из
(8) ~ а4,5 = ~^5« Продолжая вычисления подобным образом, мы
получаем таблицу
k
0
1
2
3
4
5
Я*,5
- 1089/2
7225
- 2704
361
- 25
1
а'к,ъ
11220
- 17680
3952
- 380
20
0
Ьк,Ь
0.05014
- 0.66525
0.24898
- 0.03324
0.00230
- 0.00009
ь*.*
- 1.03310
1.62792
- 0.36389
0.03499
- 0.00184
0
иъ = - 21721/2. A5)
Итак, имеем приближенные значения
/0Djc) = 0.05014Т0(х) - 0.66525Г2(х) + 0.24898 !Г4(эс) - 0.03324 Г6(х)
+ 0.00230Г8(х) - 0.00009 7,10(х), -1 < х < 1, A6)
JxDx) = 0.25828 Г^л) - 0.40698Т3(х) + 0.09097 7'5(jc) - 0.00875Т7(х)
+ 0.00046Г9(*), -1 ^ х ^ 1. A7)
В частности, получаем приближенные значения /0D) = -0.39716 и
/хD) = -0.06602, в то время как истинные значения с точностью 5D суть
-0.39715 и -0.06604 соответственно.
Метод II
Подставим B) в A) и применим соотношения 11.4B3, 24, 32).
Тогда, произведя очевидную замену обозначений, получим
8 I nbn ff [2я2 _ ** - (Л + 1J] 7W*)I

538 Гл. 13. Рациональные и полиномиальные приближения
+ 8B, + 1) f пЬп X rtt+1(jr) + аЧоТ^х)
м = 1 к^О
+ *2Х *,{r8,.,w + ггп+1(*)} = о.
Приравнивая нулю коэффициенты при Г _x(x), получаем
8 X nbn[2n* - ж2 - (/и + IJ] - 8Bi/ + 1) X "/;
A8)
л=т+1
n = m+l
+ a\{2bmj,m) + AM+I] = 0.
A9)
Обозначим левую часть соотношения A9) через и Вычислив Д2«т =
= um+i - 2um+ um_1 и приравняв эту величину нулю, получим
рекуррентную формулу для bk. Имеем следующее пятичленное рекуррентное
соотношение:
2bm _ Г 16(м + \)(n, + v+ 1) 1 32(и +2)(v -f 1) .
—m [— ^ - - ^| 6m+i + -2 bm+2
+ ['^ + 3K» + 3-v) _2]^ + ^ B0)
Заменим в (9) & на k + 1, умножим полученное на -(k + 3){k + 2) и
прибавим его к (9). В результате получим соотношение B0). Применяя
—ю, положенную в основу A0), к соотношению B0), находим, что
ет место соотношение A1). Возьмем, например, те же параметры,
и в таблице A2), и получим тогда следующую таблицу:
идею
имеет место
что
k
0
1
2
«*.5
-499
6641
- 2485
ькЛ
0.04999
- 0.66537
0.24897
k
3
4
5
<*к.ь
332
- 23
1
Ьк.ъ
- 0.03326
0.00230
- 0.00010
= - 9981
B1)
Значения &fe 5 в A2) и B1) очень близки по величине. Пользуясь
таблицей B1), получаем /0D) = -0.39747, в котором верны три знака.

13.6. Решение уравнений с помощью разложения в ряд 539
Метод III
Прежде всего дважды проинтегрируем соотношение A), с тем
чтобы получить интегральное уравнение
ху(х) + Bi/ - 1) Гy(t) dt + a2 f f uy(u) du dt = 2vx. B2)
Далее подставим B) в B2) и применим соотношения 11.6.2C, 6, 13).
Приравнивая нулю коэффициенты при Т^х), Г3(я) и Т2к+г(х), получим
уравнения
iBb0 + Ьг) + JB, - 1)B60 - Ьг) + J [4f- - ? - ^ + ? ^?] = 2,,
4 L z 4 ' *=3 B3)
i(*i + *2) + K2v - l)(*i - Ь2) + g D60 - 6Х - 262 + 68) = 0, B4)
и (9) соответственно. Отсюда рассмотренные нами первый и третий
способы вычисления дают рекуррентное соотношение наименьшего
порядка. Из трех описанных выше процедур та, в основе которой лежит
использование интегрального уравнения B2), представляется наиболее
простой в обращении. Эта процедура имеет то преимущество, что она
приводит к таким соотношениям, как B3) и B4), которые полезны для
контроля.
Идеи, на которых основаны рассмотренные здесь процедуры,
тесно связаны с идеями, положенными в основу г-метода, рассмотренного
в п. 13.4. Эти идеи применимы также к решению интегральных
уравнений, интегро-дифференциальных уравнений и некоторых дифференциала
ных уравнений в частных производных. В дополнение к работам,
указанным во введении к п. 13.4, читателю следует познакомиться с
работами Басу A972), Кленшо A957, 1966), Кленшо и Эллиотта A960),
Э.А. Коэна A971), Дастидара и Маюмдара A973), Дыо и Скрейтона A972,
1973), Эллиотта A959/19606, 1961, 1965), Нибба и Скрейтона A971),
Сакаи и Исикавы A971) и Скрейтона A965, 1969).

Глава 14. Разное
14.1. Введение
В этой главе рассмотрим ряд вопросов, часто возникающих в
связи со специальными функциями, но которые довольно далеки от
изложенного в предшествующих главах материала. В п. 14.2
представлены некоторые основные свойства многочленов и чисел Бернулли.
В п. 14.3 рассматриваются часто используемые в дифференциальных
уравнениях операторы D и S. В п. 14.4 рассматриваются способы
вычисления и проверки представленных в этой книге таблиц чебышевских
коэффициентов и коэффициентов Паде. В п. 14.5 приводятся некоторые
часто встречающиеся в вычислениях математические константы,
такие, как 77, е, у и т.д. И наконец, в п. 14.6 указаны некоторые
появившиеся за последнее время работы в области специальных функций и
дается краткий комментарий к ним.
14.2. Многочлены и числа Бернулли
Обобщенные многочлены Бернулли В^\х) определяются
производящей функцией
Если а = 1, мы имеем многочлены Бернулли В^-\х) = Bk(x), если
же, кроме того, х = 0, имеем числа Бернулли Bfe@) = Bk. Ясно, что
В%> (*) = ** и В<*>(*)«1. B)
Первые шесть обобщенных многочленов Бернулли имеют
следующий вид:
В?(х) = 1, В[«\х) = х-\, В?(х) = х*-ах + а{Ъа~ 1] ,
В™(х) = х3 - -=¦ хг +
За Л фа- 1) а\а - 1)
х
8
,W,„4 _ „4 о„„з , "C« ~ О „2 _ Л* ~ 1)
В?\х) = х* - 2ах3 +

14.2. Многочлены и числа Бернулли 541
+ ЙоA5*3-3(к2 + 5а + 2)'
C)
ВЬ>{Х) = Х*-^Х* + 5<Ъа~ V ^3 _5^4~1)JC2
аA5а3 - 30а2 + 5а + 2) а\а - 1)Cд2 - 1а - 2)
+ 48 * 96
B6%) = ^-3o^ + SgCfl4)^
5*2(*-1) аA5аЗ_30^ + 5а + 2)
2 * + 16
а2(а - 1)Cа2 - 7д - 2) .
16 Х
а{6Ъаь - 315а4 + 315а3 + 91а2 - 42а - 16)
4032
+
Напомним, что многочлены Бернулли суть Bj^(x) = Bk{x).
Следовательно,
В0(х) = 1, Вг(х) = * - J, В2(х) = *»_* + J,
В3(х) = *3 - 3*2/2 + */2, ВА{х) = х* - 2*3 + х* - 1/30,
Въ(х) = хъ - 5х*/2 + 5*3/3 - */6,
В6(х) = *6 - З*5 + 5**/2 - *2/2 + 1/42. D)
Числа Бернулли по определению суть Bk = Bk{0). Заметим, что
Bk = 0, если к — нечетное число, к > 1. Ниже мы даем некоторые
последующие значения чисел Бернулли:
Я8 = -1/30, В10 = 5/66, Б12 = -691/2730,
Вы = 7/6, Я16 = -3617/510. E)
Таблицу последующих значений многочленов и чисел Бернулли см. в
работе Флетчера и др. A962, стр. 65 - 117). Подробное исследование
многочленов и чисел Бернулли дано в работах Нёрлюнда A954, 1961).
См. также работу Гулда A972).
Ниже приводится краткий список величин В^РЦр), которые
являются многочленами от р степени к\
вЧ°\Р) = 1, вР(р) = - ?, в?°Хр) = ^Р.

542 Гл. 14. Разное
В^(Р)= -5g5C5p«+21p+4),
В(?\р) = ^Q A75/ + 210/ + Ю1р + 18),
В%\р) = - зЩ IW + ШР3 + 671Р2 + 286Р + 48]-
ВЙв)(р) = ? 8^24Q [1 75175/ + 5 25525/ + 7 15715/ + 5 31531/
+ 2 07974/) +33168]. F)
Для получения последующих многочленов используем соотношения
[0fc-l)/2] U„ I l) Air+2
/2А - h
Г ~ Ч
\2г + 1)
*-1 Ь, X 1 П2г+2
в0
В%\Р) = -2Р ? V2r + ^2 Б^2Г_2(Р). (8)
14.3. Операторы D и 8
Эти символы определяются следующим образом:
8=zD, D = __i„ (l)
dz
Легко доказать следующие элементарные свойства:
8Z = v-18ХУ 8z = z djdzy z = ax\ B)
(S + a)zv = z\v + a), П (S + *,)** = *" П (" + «*). C)
г=1 г=1
fl (8 + „ + h - l)/(*) = ^Д»{**«-у(*)}. D)
Таким образом, из C) имеем
8(8 - 1) — (8 - п + \)zv = zvv(v - 1) ••• („ - п + 1) = znDnz%
откуда заключаем, что
**/> = 8(8 - 1) - (8 - п + 1). E)

14.3. Операторы D и 8 543
Имеем представления
znDn = t (; - J) и*- * = i f -l) м-» s- F)
S" = I (I) Bl--$zkDk = ? (?) B?-V-*fl-
G)
Следовательно,
8 = zD, S2 = s2ZJ + zD, S3 = *3Z>3 + 3z2D2 + *D,
S4 = z*D* + 6*3ZK + 7*2D2 + *Z),
85 = zbDb + 10*4/L + 25*3D3 + \5z2D2 + zD, (8)
86 = Я6?N + 15^52M _|_ 65^D4 + 90s3D3 + 3 b2/J + sZ).
Более высокие степени оператора 5 можно вычислить рекуррентным
образом, так как
S* = ? bin)zn-kDn~\ b™ = (ПЛ В[к-П) , (9)
b[n+l) = Ь™ + (я + 1 - *NЙ , 6^ = ^Л = 1, Ь™ = О , А >„.
(Ю)
По индукции легко показать, что
V V V-rn . .
П (8 + «,) = ? *,.„*"D», сРшП = I ( * _ J Я'-Т^Ю,
4=1 WI=0 <=0 " ? W/
j,(j»-l)(j>-2)Cj,-5) (j>-lXj>-2)
cp.p-2 — 24 ' 2 ^iv^W "i ^2\avh
_ Hp-iKp-2ftp-Sr ,m
ср.р-з — 4g A1)
(/. - \){p - 2)(p - 3)Cj> - 8)
"I 24 "^iW
(/. - 2)(/> - 3)
-I 2 •Мя») + -ЬзЮ.

544 Гл. 14. Разное
ср.о — bv\ap)i
где SQ(ap) = 1, a Sm(ap), если т > О, суть симметричные многочлены
Sm{av) = X atnatm^ '"at^ *т> tm_x > ••• > tx,
*,е{1,2,...,/>}, y= l,2,...,m. <12)
Эти многочлены определяются также соотношением
П (* + *г) = I ^Ю *"-. A3)
г'=1 тп=0
Мы, кроме того, имеем
С помощью (8) — A4) соотношение 5.7.1A) можно представить
в виде
i umzmD™U(z)=Q, s=max(p,q+l), A5)
m=o
где величины ит получаются довольно просто. Явное выражение ит
для более общей функции
*"(* + ^ pFq^(ap; 1 4- bq_i; X(z + 1/)Г) A6)
было предложено Лавуа и Монжо A968).
14.4. Вычисление и проверка таблиц
Большинство таблиц коэффициентов, представленных в настоящей
книге, взято из моей предыдущей работы, см. Люк A969). Там же
обсуждается способ вычисления и проверки этих таблиц. И тем не менее
было бы полезно рассмотреть этот вопрос с точки зрения материала,
представленного в данной книге. Прежде всего опишем процедуры
вычисления и проверки таблиц чебышевских коэффициентов для такого
класса гипергеометрических функций, для которых коэффициенты
являются коэффициентами также гипергеометрического типа. В этих
случаях коэффициенты почти всегда получались с помощью известных

14.4. Вычисление и проверка таблиц 545
замкнутых рекуррентных соотношений, примененных в обратном
направлении (см. пп. 5.10.1, 5.10.2, 5.13.4 и гл. 12). В частных случаях
коэффициенты по возможности проверялись с помощью их
представлений в гипергеометрический ряд. Для многих функций коэффициенты
были получены по формулам, представленным в п. 11.6. Например,
зная коэффициенты функции ех при 0 <: х < a, мы, применяя формулы,
представленные в п. 11.6.2, получаем коэффициенты функций
frHl-^^dt, ft-X^'dt. A)
о о
В связи с этим см. численный пример 11.6.2B1 - 28) и табл. 4.1 и 4.5.
В ряде случаев, чтобы обеспечить сходимость, нам приходилось
модифицировать рекуррентную процедуру, применяемую в обратном
направлении, так, как это было показано при анализе 12.2A6 — 19).
Таким способом были получены коэффициенты для функции BnxI//2 x
х e~xIv(x) (см. табл. 9.5, 9.6, 9.17, 9.18, 9.20, 9.21).
оо
Вычисление чебышевских коэффициентов для ft*xKv(t)dt, z = я
TTt Z
и z = хе 2 , х> 0 (см. табл. 9.3, 9.7, 9.8, 9.16, 9.22), выполнялось
следующим образом. Имеем
?(z) = (lI/^zz1/2-^/ t»K(t)dt; z^O,
z
77
либо B)
|argz| < 77, |argS| < -
1«в«1«у и ЯЫ<у;
1_ _
^L[l+i^]?W..(»i,»^(x). C)
dz Z 77
Далее, имеем разложение в ряд по многочленам Чебышева для правой
части соотношения C). Допустим, что мы имеем подобный ряд для
?(z). Подставляя его в C), применяя соответствующие уравнзния п. 11.5
и приравнивая коэффициенты при чебышевских многочленах того же
порядка, получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов в
разложении в ряд по многочленам Чебышева для функции E{z). Далее
эти коэффициенты вычисляются по рекуррентной формуле, применен-

546 Гл. 14. Разное
ной в обратном направлении. Эта процедура имеет много общего с
процедурами, описанными формулами 11.6.2B1 - 28) и в п. 13.6.
Более подробно об этом см. в работе Люка A969). В основном тот же
самый метод использовался для получения коэффициентов в разложениях
интегралов, содержащих IQ(t) (см. табл. 9.7, 9.8), в ряды по многочленам
Чебышева от обратной величины переменной. В последних двух случаях
процедура получения коэффициентов по рекуррентной формуле,
примененной в обратном направлении, была модифицирована в соответствии
с процедурой 12.2A6 - 19). Подобным же образом были найдены коэф-
х х 2
фициенты в разложениях сходного типа для V.P. / t~letdt и /е% dt
— оо О
(см. табл. 4.1 и 4.5 соответственно).
Для функций жтииергеометрического вида вычисление чебышев-
ских коэффициентов часто выполнялось на основании известных
разложений этих функций в ряды Тейлора с помощью метода основных
рядов либо процедуры перегруппировок, рассмотренной в п. 11.3.6.2.
В частности, коэффициенты функции [Г(х+1)]_1 в табл. 1.1 были
получены именно таким способом. Коэффициенты функции Г(х + 1) в
табл. 1.1 этим способом получены не были из-за малости радиуса
сходимости ее ряда Тейлора.
В работе Люка A969) применен метод основного рада для
получения чебышевских коэффициентов функции х ?A + х), -\п?(х) и некоей
третьей функции, связанной с ?(я). Необходимые коэффициенты ряда
Тейлора были получены. Грэмом A895, 1903). Им же A903) были
найдены коэффициенты ряда Тейлора функции х ?A + х) с точностью 16D.
В выполненных мной вычислениях достигнута точность 20 D, но, к
сожалению, результаты, представленные в окончательной таблице, не
были округлены до 16D. Способ исправления этой таблицы изложен на
стр. 32.
Метод основного ряда использовался также для нахождения
чебышевских коэффициентов тех частей разложений в ряды по
возрастающим степеням переменной для функций Yn(x) и Кп(х), которые не
связаны с функциями Jn(x) и 1п(х) соответственно, п = 0, 1. Для п = 0
эти коэффициенты вычислялись также по рекуррентной формуле,
примененной в обратном направлении. Вывод этой формулы можно кратко
представить следующим образом. Пусть мы имеем соотношение
/v(x) = xv2 Bn{u)T2n(x/a). D)
Продифференцируем D) по v и затем положим v = 0. Таким образом,

74.4. Вычисление и проверка таблиц 547
получим
оо
TY0(x) = lnxj0(x) + 2 AnT2n(x/a),
2 n=0 E)
дВпЫ
Продифференцируем известное рекуррентное соотношение для В (ь>)
[см. 9.7A)] по v и затем положим v = 0. В результате получим
неоднородное рекуррентное соотношение для Ап, зависящее от
коэффициентов ?п@). Процедура применения рекуррентного соотношения в
обратном направлении описана в п. 12.3.
Для некоторых функций применялись специальные методы
вычисления. Такой прецедент имел место при вычислении функции 1пГ(х+3)
и ее производных (см. табл. 1.3, 1.4). Подробное описание способа
вычисления указанной функции и ее производных, а также вычисление
коэффициентов функций Г(х + 1) (табл. 1.2), tg ^ и ctg— (табл. 3.7)
см. в работе Люка A969).
Каждое множество коэффициентов подвергалось многочисленным
проверкам посредством вычисления рядов по многочленам Чебышева
для частных значений аргументов и сравнения полученных значений
с известными табличными данными либо определения их заново из
степенных и асимптотических рядов. Часто коэффициенты или суммы
коэффициентов бывают связаны с трансцендентными величинами,
известными с точностью до многих десятичных знаков. Этот факт дает
возможность провести отличную проверку, поскольку результаты
наших основных вычислений значительно точнее, чем те, которые мы
здесь приводим. Например, cos-j = sin— = 2~^« Далее, поскольку
для дилогарифмической функции L(x) (см. табл. 3.12) имеем L(l) =
= 772/12, следовательно, и сумма коэффициентов в этой таблице
равна этому числу (с учетом возможной погрешности округления). В
табл. 3.12 значение ТA) известно как константа Каталана (см. табл.
14.1). Во многих случаях для проверки можно было использовать сами
таблицы. Например, легко показать, что коэффициент fQ в табл. 4.4
есть 4яг[Н0(8) — У0(8)]. Таким образом, мы сразу можем проверить
соответствующие коэффициенты в табл. 4.4, 9.1, 10.1, 10.4. Еще один
пример. В табл. 3.10 aQ = 2К/К(А), k2 = 1/2 и a± = ag - 16/9тта0.
Кроме того, если k2 = 1/2, то K(fc) = (тг3^/2) ГC/4J. Итак, мы сразу
получаем возможность одновременно контролировать табл. ЗЛО,
различные таблицы для гамма-функции и таблицу коэффициентов функции

548 Гл. 14. Разное
К (ft). Последняя таблица представлена в работе Люка A969). Далее,
в табл. 9.5 содержатся данные вычисления функции KQ(x) при 0 < х< 8
их>5. Следовательно, результаты вычисления в области, общей для
обоих интервалов, дают возможность проверить не только оба
множества коэффициентов, но и соответствующие данные в табл. 9.23.
Подобным же образом можно использовать для проверки и другие таблицы.
В тех случаях, когда таблицы одних и тех же коэффициентов даются
разными авторами, с целью проверки проводилось сравнение
полученных данных. Такое сравнение было интересно еще и потому, что почти
в каждом случае наши методы вычисления отличались от методов,
используемых другими авторами.
Вычисления в основном выполнялись с точностью до 25 D.
Представленные в книге коэффициенты были затем округлены до 20 D (в
некоторых случаях до 15 D). Погрешность в каждом коэффициенте не
Должна превышать половины последнего десятичного знака.
Исключение составляют коэффициенты для ф^(х + 3) в табл. 1.5. Подробное
объяснение см. в работе Люка A969).
Теперь обратимся к рациональным приближениям. В тех случаях,
когда известны многочлены в замкнутом виде, известны также и
рекуррентные соотношения. Таким образом, в каждом случае,
устанавливая представление, мы получали коэффициенты многочленов,
которые затем проверяли по рекуррентной формуле. Коэффициенты в
приближениях Паде (см. табл. 4.2) определялись в результате решения
систем линейных уравнений, как это описано в п. 13.3. Точность этих
вычислений достигала 25 D, результаты затем были округлены до 20 D.
Для каждого рационального приближения были проведены
многочисленные числовые проверки, включая сравнения с табличными данными,
полученными из соответствующих разложений в ряды по многочленам
Чебышева.
Таблицы, представленные в работе Люка A969), как полагает
автор, свободны от ошибок; исключение составляют упомянутые выше
коэффициенты для ?A + х).
Таблицы коэффициентов, представленные в настоящей книге, и
таблицы коэффициентов, представленные в работе Люка A969),
являются наиболее полным известным мне собранием таблиц
коэффициентов. Описание аналогичных таблиц и ссылки на источники можно найти
в пп. 1.6.3, 3.5.2, 4.10.3 и 9.13.3.
14.5. Математические константы
В этом пункте прежде всего укажем ряд появившихся в последнее
время работ, в которых вычислены математические константы. Далее

74.6. Список работ, появившихся за последнее время 549
приведем таблицу ряда математических констант с точностью до 20 D,
с которыми часто приходится иметь дело при вычислении специадьных
функций.
Шенкс и Ренч A962). яг, точность 100000D- См. также Ренч A960).
Шенкс и Ренч A969). е, точность 100 000D.
Суини A963). у, точность 3566D; In 2, точность 3683D.
Робинсон и Поттер A971). Таблицы I и II содержат математические
константы, вычисленные с точностью до 20D и расположенные
согласно количеству десятичных знаков. С помощью этих
таблиц можно, например, исправить точность какой-либо
константы; кроме того, они дают возможность идентифицировать
число, полученное эмпирическим или каким-либо другим способом.
В табл. III представлены некоторые свойства целых чисел от
1 до 1000, включая бинарные и тернарные формулы и
представления этих чисел в виде сумм двух и трех квадратов, двух и
трех кубов и в виде разности квадратов и кубов. Таблица IV
содержит 260 совокупностей коэффициентов первых 10 членов
ряда Маклорена некоторых алгебраических и трансцендентных
функций и различных комбинаций из них.
14.6. Список работ, появившихся за последнее время
Основные библиографические сведения представлены в списке
литературы ниже. Здесь же приводится дополнительный список работ,
которые появились совсем недавно и по этой причине не были
включены в общий список настоящей книги.
Арсенин В.Я.
A974) Методы математической физики и специальные функции.—
М.: Наука.
ДэваЙС (Davies В.)
A973) "Complex zeros of linear combinations of spherical Bessel
functions and their derivatives. "SIAM J. Math. Anal. 4, 128-133.
Немет (Nemeth G.)
A974) Expansion of generalized hypergeometric functions in Che-
byshev polynomials. Rept. Central Inst, for Physics, Budapest.
Риекстиньс Е.Я.
A974) Асимптотическое разложение интегралов. Т. L — Рига:
Зинатне.
Уимп (Wimp J.)
A974) "On the computation of Tricomi's ф function". Computing
(Arch. Elektron. Rechnen) 13, 195 - 203.
В основном названия этих работ отражают их содержание. Мы счи-

Таблица 14.1
Математические константы
7Т 3.14159 26535 89793 23846
7Т/2 1.57079 63267 94В96 61923
ТГ/^ 0.78539 81633 97443 30962
IT2 1.77245 38509 05516 02730
(ТТ/2) 2 1.25331 41373 15500 25121
B7Т)^ 2.50662 82746 31000 50242
Ь
2^ 1.41421 35623 73095 04880
З2 1.73205 08075 68877 29353
в 2.71828 18284 59045 23536
1П 2 0.69314 71805 59945 30942
1П 10 2.30258 50929 94045 68402
10g« e 1.4*269 50408 88963 40736
1 /ТГ 0.31830
2/тг 0.63661
tf/тг 1.27323
GТ) 2 0.56418
(ТТ/2)" 2 0.79788
BТТ)"~ 2 0.39894
2"^ 0.70710
3 2 0.57735
б" 0.36787
1П 3 1.09861
lOg в 0.43429
1пA + 22) 0.88137
98861 83790 67154
97723 67581 34308
95447 35162 68615
95835 47756 28695
^5608 02865 35588
22804 01432 67794
67811 86547 52440
02691 89625 76451
94411 71442 32160
22886 68109 69140
44819 03251 82765
35670 19543 02523

у 0.57721 56649 01532 86061 Ln у -0.54953 93129 81644 82234
ГA/4) 3.62560 99082 21908 31193 (tA/4))"L 0.27581 56628 30209 31436
ГC/4) 1.22541 67024 65177 64513 (гC/4))~ 0.81604 89390 98262 98108
ГA/3) 2.67893 85347 07747 63366 (гЦ/З)) 0.37328 21739 07395 22833
ГB/3) 1.35411 79394 26400 41695 (гB/3)) 0.73848 81116 21648 31294
оо оо
Пусть S, = 2 г > С = константа Каталана = 2 (-1)*Bk + 1)~2
S2 = п2/б 1.64493 40668 48226 43647
S4 = п4/90 1.08232 32337 11138 19152
S6 = п6/945 1.01734 30619 84449 13971
О = 0.91596 55941 77219 01505
S3
S5
S7
k=0
1.20205
1.03692
1.00834
69031
77551
92773
59594
43369
81922
28540
92633
82684

552 Гл. 14. Разное
таем целесообразным дать некоторый комментарий относительно
работ Немета и Уимпа. Немет рассматривает функцию f(z), функцию,
подобную pFq(z), где к в (a{)k и (р()к заменены на fyk и y(k соот-
& q
ветственно. Пусть /х = 2 fy - 1 - 2 у{ < 0. Тогда этот ряд сходится.
Если (I > 0, ряд расходится, и в этом случае мы имеем
асимптотическое разложение функции, скажем F(z), в соответствующем секторе
комплексной плоскости. Получены асимптотические оценки для
коэффициентов с большими индексами в разложении функций / (z) и F{z)
в ряды по многочленам Чебышева первого рода. Дается несколько
примеров с численными значениями коэффициентов.
Уимп рассматривает функцию U(a;c; z) (см. п. 7.2). Функция
""гйТй 2'з( ' и,.,.ь
которая является частным случаем G-функции 5.10.1E), удовлетворяет
четырехчленному рекуррентному соотношению по п (см. 5.13.4A). U -
минимальное решение и, следовательно, может быть получено по
рекуррентной формуле, примененной в обратном направлении (см. п. 12.2).
Таким образом, можно получить U0 = \vU(v; с; Л), с = v + 1 - w;
выше и было произвольной величиной. В выражении unUn/n ! устремим
и -» оо.
Предельная функция удовлетворяет трехчленному рекуррентному
соотношению, и применение рекуррентного процесса в обратном
направлении приводит к получению {^v{v)n(w)n/n \)U(n + v; с; А). Снова
можно получить UQ. Если значение и произвольно, его обычно полагают
равным 1. Скорость сходимости рекуррентного процесса, примененного
в обратном направлении, значительно выше, чем при и -> «>. Для
отдельных значений параметров можно получить значения величины Kv(z).
Это весьма примечательно, поскольку обычно вычисление этой функции
по рекуррентной формуле, примененной в обратном направлении, не
дает устойчивого алгоритма.

Список литературы
Абрамович и Стиган (ред.) (Abramowitz М., Stegun I.)
A964) "Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs
and Mathematical Tables", Appl. Math. Ser. 55, U.S. Govt.
Printing Office, Washington, D.C. [Имеется перевод:
Абрамович M., Стиган И. Справочник по специальным функциям.
-М.: Наука, 1979.]
Аггарвол И Сагерян (Aggarwal H.R., Sagherian V.)
A969) Math. Сотр. 23, 456 - 457.
Агрест М.М.
A970) Выч. матем. и матем. физика 10, 313 - 325.
A971) Выч. матем. и матем. физика 11, 1127 - 1138.
Агрест М.М., Бекаури И.Н., Орлов Л.А., Рикенглаз М.М., Хайан Н.В.
и Качибая Ц.С.
A966) Таблицы неполных цилиндрических функций.- М.: ВЦ АН СССР.
Агрест М.М. и Максимов М.З.
A965) Теория неполных цилиндрических функций и их приложения.-
М.: Атомиздат.
Агрест М.М. и Рикенглаз М.М.
A967) Выч. матем. и матем, физика 7, 1370 - 1374.
Александер И Вок (Alexander M.J., Vok C.A.)
A963) Tables of the cumulative distribution of sample multiple
coherence. Res. Rept. RR63-37. Rocketdyne Division of North
American Aviation, Canoga Park, California. См. Math. Сотр.
21A967), 503.
Альбасини, Белл и Купер (Albasiny E.L., Bell R.J., Cooper J.R.A.)
A963) A table for the evaluation of Slater coefficients and integrals
of triple products of spherical harmonics. Rept. 49. National
Physical Laboratory Mathematics Division, Teddington,
Middlesex. См. Math. Сотр. 19A965), 157 - 158.
Амос (Amos D.E.)
A963) Biometrika 50, 449 - 457.
A973) Math. Сотр. 27, 413 - 427.
A974) Math. Сотр. 28, 239 - 252.
Анолик М.В. и Мильнер С.Н.
A970) Методы вычисл. 6, 137 - 140, 141 - 145.

554 Список литературы
Арсенин В.Я.
A974) Методы математической физики и специальные функции
математической физики.— М.: Наука.
Артин (Artin Eo)
A964) "The Gamma Function", Holt, Rinehart and Winston, New York,
Артуре И Мак-Кэрролл (Arthurs A.M., McCarroll R.)
A961) Math. Сотр. 15, 159 - 162.
Аскари (Ascari A»)
A968) A table of the repeated integrals of the error function. Rept.
S/6339. Societa Richerche Impianti Nucleari (SORIN), Nuclear
Research Center, Saluggia, Vercelli, Italy. См. Math. Сотр.
22 A968), 898 - 899.
Аски (Askey R.)
A973) J. Math. Anal. Appl. 41, 122 - 124.
Багванден (Bhagwandin K.)
A962) L'approximation uniforme des fonctions d'Airy-Stokes et
fonctions de Bessel d'indices fractionnaires. 2nd Congr. Assoc.
Franc. Calcul et Traitement Information, Paris, 1961, pp. 137 —
145. Gauthier-Villars, Paris.
Барака (Barakat R.)
A961) Math. Сотр. 15, 7-11.
Барк Л.С., Болыиев Л.Н., Кузнецов П.И» и Черенков АЛ.
A964) Таблицы распределения Релея - Риса.- М.: ВЦ АН СССР.
Барк Л .С, Журина М.И. и Кармазина Л.Н.
A962) Таблицы присоединенных функций Лежандра.— М.: ВЦ
АН СССР.
Барк Л.С. и Кузнецов П.И.
A962) Таблицы цилиндрических функций двух мнимых переменных.-
М.:ВЦАН СССР.
Барретт (Barrett R.F.)
A964) Math. Сотр. 18, 332.
Басу (Basu NJK.)
A972) Yokohama Math. J. 20, 57 - 68.
Бауэр (Bauer H.F.)
A964) Math. Сотр. 18, 128 - 135.
Бейкер (Baker G.A., Jr.)
A975) "Essentials of Pade Approximations". Academic Press,
New York.
Бейкер и Гэммел (редакторы) (Baker G.A., Jr., Gammel J.L.)
A970) "The Pade Approximant in Theoretical Physics". Academic
Press, New York.
Бейли (Bailey W.N.)
A935) "Generalized Ну per geometric Series". Cambridge Univ. Press,
London and New York.

Список литературы 555
Беллман, Кашеф и Васудеван (Bellman R„, Kashef B.Go, Vasudevan R.)
A972) Math. Сотр. 26, 233 - 236.
Бен Даниель и Карр (Ben Daniel D.J., Сагг W.E.)
A960) Tables of solutions of Legendre's equation for indices of
nonintegral order» Repto UCRL-5859, Univ. of California
Lawrence Radiation Laboratory, Livermore. См. Math» Сотр.
16A962), 117 -119.
Берг (Berg L.)
A968) " Asymptotische Darstellungen und Entwicklungen." Deutscher
Verlag der Wissenschaften, Berlin.
Бергер и Мак-Оллистер (Berger B.S., McAllister H.)
A970) Math. Сотр. 24, 488.
Бергойн (Burgoyne F.D.)
A962) Math. Сотр. 16, 497-498.
A963) Math. Сотр. 17, 295 - 298.
Берд и Фридман (Byrd P.F., Friedman MoD.)
A971) "Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and PhysicistsV
Springer, Berlin. Исправление ошибок дается в работе Люка,
Уимпа и Фэра A972) и в журнале Mathematics of Computation.
Берлянд О.С, Гаврилова Р.И. и Прудников АЛ.
A961) Таблицы интегральных функций ошибок и полиномов Эрмита.-
Минск: Изд-во АН БССР.
Берлянд О.С., Кириченко Л.К. и Коган P.M.
A965) ДАН СССР 160, 306 - 307.
Бернард И Исимару (Bernard G.D., Ishimaru A.)
A962) Tables of me Anger and Lommel — Weber functions. Tech.
Rept. 53, AFCRL 796, Univ. Washington Press, Seattle. Cm.
также Math. Сотр. 17 A963), 315 - 317.
BepcMa(Boersma J.)
A960) Math. Сотр. 14, 380.
Биденхарн и ван Дам (Biedenharn L.C., van Dam H.)
A965) "Quantum Theory of Angular Momentum" Academic Press,
New York.
Биркгоф И ТриЦИНСКИЙ (Birkhoff G.D., Trjitzinsky W.J.)
A932) Acta Math. 60, 1 - 89.
Бирлейн (Bierlein J.A.)
A962) J. Chem. Phys. 36, 2793 - 2802.
Бишоп (Bishop D.M.)
A970) Math. Сотр. 24, 479.
Блэр (Blair J.M.)
A974) Math. Сотр. 28, 581 - 583.
Блэр И Эдварде (Blair J.M., Edwards C.A.)
A974) Stable rational minimax approximations to the modified Bessel

556 Список литературы
functions I0(x) and 1г{х). Rept. AECL-4928, Atomic Energy of
Canada, Chalk River, Ontario»
Боас и Бук (Boas R.P., Jr., Buck R.C.)
A958) "Polynomial Expansion of Analytic Functions" Springer, Berlin.
Боас И Ренч (Boas R.P., Jr., Wrench JvW., Jr.)
A971) American Math. Monthly 78, 864 - 870.
Боггс и Смит Ф.Дж. (Boggs R.A.C., Smith F.J.)
A971)Comput. J. 14, 270 - 271.
Бойд (Boyd A.V.)
A959) Rep. Statist. Appl. Res. Un. Japan Sci. Engrs. 6, 44 — 46.
Браксма (Braaksma B.L.J.)
A963) Compositio Math. 15, 239 - 341.
Брейг и Кросби (Breig W.F., Crosbie A.L.)
A974) Math. Сотр. 28, 575 - 579.
Бреннер И Соншайн (Brenner H., Sonshine R.M.)
A964) Quart. J. Mech. Appl. Math. 17, 55 -63.
Бридж и Энгрист (Bridge J.F., Angrist S.W.)
A962) Math. Сотр. 16, 198 - 204; 18 A964), 348.
Брион (Briones F.)
A964) Chiffres 7, 177 - 184.
Бритни и Уинклер (Britney R.R., Winkler R.L.)
A970) Math. Сотр. 24, 995.
Е?рёйн, де (Bruijn, de, N.G.)
A961) Асимптотические методы в анализе.— М.: ИЛ.
Булирш (Bulirsch R.)
A967) Numer. Math. 9, 380 - 385.
A969) Numer. Math. 13, 305 - 315.
Бурунова Н.М.
A959) Справочник по математическим таблицам, Дополнение №1.-
М.:Изд-во АН СССР.
Бут (Booth A.D.)
A955)МТАС 9,21-23.
Буххольц (Buchholz Н.)
A953) "Die konfluente hypergeometrische Funktion'.' Springer, Berlin.
А также на английском: "The Confluent Hypergeometric
Function with Special Emphasis on its ApplicationsV Springer,
New York A969).
Бьёрк (Bjorck A.)
A961) Nordisk Mat. Tidskr. 9, 65-70.
Бэбистер (Babister A.W.)
A967) "Transcendental Functions Satisfying Nonhomo gen eous Linear
Differential Equations1.1 Macmillan, New York.
Вазов (Wasow W.R.)
A965) "Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations'.'
John Wiley, New York.

Список литературы 557
Вайнгартен и Дидонато (Weingarten H., DiDonato A.R.)
A961) Math. Сотр. 15, 169 - 173, 436.
Ван и Го (Wang С, Кио Т.)
A965) "General Treatise on Special Functions" (на КИТ.), Science
Press, Peking.
Ватсон (Watson G.N.)
A949) Теория бесселевых функций.— М.: ИЛ. Исправление ошибок
и опечаток см. в работе Люка, Уимпа и Фэра A972).
Вейль, Мурти и Pao (Weil J., Murty T.S., Rao D.B.)
A967) Math. Сотр. 21, 722 - 727.
A968) Math. Сотр. 22, 230.
Вербек (Verbeeck P.)
A970) Acad. Roy. Belg. Bull. CI. Sci. E) 56, 1064 - 1072.
Верма (Venn a A.)
A967) Math. Сотр. 21, 232 - 236.
Вернер (Werner H.)
A958) Nucleonik 1, 60 - 63.
Вернер и Коллинж (Werner H., Collinge R.)
A961) Math. Сотр. 15, 195.
Вионне (Vionnet M.)
A959) Chiffres 2, 77 - 96.
A960) Chiffres 3, 65 - 78.
Водичка (Vodicka V.)
A959) Z. Angew. Math. Phys. 10, 603-608.
Вуд (Wood V.E.)
A967) Math. Сотр. 21, 494 - 496.
Вуд, Кенан и Глессер (Wood V.E., Kenan R.P., Glasser M.L.)
A966) Math. Сотр. 20, 610 - 611.
Талант и Берд (Galant D.C., Byrd P.F.)
A968) Math.Comp. 22, 885 - 886.
Гаргантини (Gargantini I.)
A966) Comm. ACM. 9, 859 - 863.
Гаргантини И Хенричи (Gargantini I., Henrici P.)
A967) Math. Сотр. 21, 18 - 29.
Гаргантини и Поментале (Gargantini I., Pomentale Т.)
A964) Comm. ACM 7, 727 - 730.
Гаучи (Gautschi W.)
A959a) J. Math, and Phys. 38, 77 -81.
A9596) J. Res. Nat. Bur. Standards 62, 123 - 125.
A967) SIAM Rev. 9, 24-82.
A970) SIAM J. Numer. Anal. 7, 187 - 198.
A972) Computing (Arch. Elektron. Rechnen) 9, 107 - 126 (нем.),
а также на английском языке: Rept. ARL73-0005, Aerospace
Research Labs., Wright —Patterson Air Force Base, Ohio A973).

558 Список литературы
A975) Computational methods in special functions-A survey. Advanced
Seminar on Special Functions, Math, Research Center, Univ.
of Wisconsin, Madison, March 31 — April 2, 1975.
Геллер и Нг (Geller M«, Ng E.W.)
A969) J. Res. Nat, Bur, Standards Section. В 73, 191 - 200.
A971) J, Res. Nat. Bur. Standards Section. В 75, 149 - 164.
Гербер (Gerber H.)
A964) Math. Сотр. 18, 319 - 322.
Геронимус Я.Л.
A958) Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке.-
М,: Физматгиз.
Глоден (Gloden RoF.)
A96^ Approximation des fonctions de BesseL Optimisation des
programmes correspondants, Communaute Europeene de TEnergie
Atomique — EURATOM, Centre Commun de Recherche Nucleaire,
Etablissement d'Ispra — Italic Centre de Traitement de l'lnfor-
mation — CETIS, Brussels.
Голден, Мак-Гуайр и Наттел (Golden JeE., McGuire J.H., Nuttal J.)
A973) J. Math. Anal. Appl. 43, 754 - 767.
Градштейн И.С- и Рыжик И.М.
A965) Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений..— М.:
Физматгиз.
Грёбнер и Хофрейтер(СгоЬпег W., Hofreiter Ю
A961) " Integraltafel, Teil I: Unbestimmte Integrale* Teil II: Bestimmte
Integrale V Springer, Berlin*
Грей, Томпсон и Мак-Уильяме (Gray ELL., Thompson R.W., McWilliams G.V.)
A969) Math. Сотр. 23, 85 - 89.
Грейвс-Моррис (ред.) (Graves-Moiris P.R., ed.)
A973) "Pade Appro ximants and Their Applications'.1 Academic Press,
New York.
Гринвуд и Хартли (Greenwood J.A., Hartley И.О.)
A962) "Guide to Tables in Mathematical Statistics'.1 Princeton Univ.
Press, Princeton, New Jersey.
Грэм (Gram J.P.)
A895) Kongl. Danske Videnskab Selskabs Farhandl., Oversigt,
pp. 303 - 308.
A903) Acta Math. 27, 289 - 304.
Грюнбаум (Grunbaum F.A.)
A973) J» Math. Anal. Appl. 41, 115 - 122.
Гулд (Gould HLW.)
A972) Amer. Math. Monthly 79, 44 - 50.
ГуптаБ.К. (Gupta B.Ko)
A963) Ann. Soc. Sci. Braxelles Ser. 1, 77, 30-59.

Список литературы 559
ГуптаСЛ. (Gupta SoLo)
A966) Univ, Roorkee Rese Jo 9, 17 - 19.
Гучик и Людвиг (Gutschick VoPo, Ludwig OoGo)
A969) Matho Сотр. 23, 210, 893.
Дайсон (Dyson Fojo)
A960) Physo Fluids 3, 155 - 157.
Дастидар и Маюмдар (Dastidar D»Go, Majumdar SoKo)
A973) Indian Jo Pure AppL Matho 4, 155 - 160.
Даферти и Джонсон (Dougherty KLFo, Johnson lVLEo)
A964) A tabulation of Airy functionso National Bureau of Standards
techo Note 228» UoS. Govt, Printing Office, Washington, DoC
Cm. Math» Compo 19 A965), 691 - 692.
Дейч (Deutsch E.)
A962) Proco Edinburgh Matho Soc» Ser„ 2, 13, 285 - 290.
Демпсй И Бенсон (Dempsey E», Benson GoCo)
A960) Canadian Jo Phys» 38, 399 - 424.
Дёринг (Doring Bo)
A966a) Numero Math, 8, 123 - 136.
A966® Math» Compo 20, 215 - 222.
A967) Z0 Angewo Madu Phys» 18, 461 - 473.
Джексон и Максимой (Jackson AeDe, Maximon LoCo)
A972) SIAM J0 Math» AnaL 3, 446 - 460.
Джеффрис (Jeffreys Ho)
A962) "Asymptotic Approximations V Oxford Univ» Press, London and
New York»
Джонстон (Johnston JoRo)
A964) Tables of values and zeros of the confluent hypergeometric
function, Rept 31901, Aircraft Division, Douglas Aircraft Co»,
Long Beach, California, См. Math. Сотр. 19 A965), 343.
Джордж (George DoLo)
A962) Proco Edinburgh Math. Soce B), 13, 87 - 113.
Джоунс (Jones AoLo)
A968) Jo Math» and Phys. 47, 220 - 221.
Джоуши И Мак-Дональд (Joshi С.Мо, McDonald J.B«)
A972) J. Math» AnaL AppL 40, 278 - 285.
Диаз и Ослер (Diaz Jo, Osier To)
A974) Math» Compo 27, 185 - 202.
Дидонато и Ярнаген (DiDonato AeRo, Jarnagin M.P.)
A962) Math. Compo 16, 347 - 355.
Дидри и Ги UDidry J.R., Guy J.)
A962) Chiffres 5,1-3.
Димсдейл И Инсельберг (Dimsdale В., Inselberg A.)
A972) J. Math» AnaL AppL 37, 640 - 649.

560 Список литературы
Дингль (Dingle RoBo)
A973) "Asymptotic Expansions: Their Derivation and InterpretationV
Academic Press, New York.
ДиткинВ.А. (ред.)
A965) Таблицы логарифмической производной гамма-функции и ее
производных в комплексной области,,- М.: ВЦ АН СССР.
A966) Таблицы неполных цилиндрических функций.- М.: ВЦ АН
СССР.
Дишон и Вейсс (Dishon M., Weiss G.H.)
A966) J. Res, Nat. Bur» Standards, Math, and Math. Phys. 70В,
95-118.
Дональдсон и Эллиотт (Donaldson J.D., Elliott D.)
A972) SIAM J. Numer. Anal. 9, 573 - 602.
Дрейн И Мак-Илвена (Drane C.J., Jr., Mcllvena J.F., Jr.)
A963) Response function for Taylor antenna distributions. Rept.
AFCRL-63-368, Air Force Cambridge Research Laboratories, Cambridge, Mass,
Дью и Скрейтон (Dew P.M., Scraton R.E.)
A972) J. Inst. Math. Appl. 9, 299-309.
A973) J. Inst. Math. Appl. 11, 231 - 240.
Дэвис (Davis P.J.)
A959) Amer. Math. Monthly 66, 844 - 869.
Дэвис И Рабинович (Davis P.J., Rabinowitz P.)
A974) "Methods of Numerical Integration" Academic Press, New York.
Евграфов MA.
A962) Асимптотические оценки и целые функции.- М.: Физматгиз.
Ерухимович Ю.А. и Пименов Ю.В. .
A969) Вычисл. матем. и матем. физика 9, 691 — 697.
Журина М.И. и Кармазина Л.Н.
A960, 1962) Таблицы функций Лежандра P_v,iT{x). Т. I, II. -
М.: Изд-во АН СССР.
A962) Таблицы и формулы для сферических функций P^L + i- (х).-
М.: Изд-во АН СССР.
A963) Таблицы функций Лежандра Р_^ + -т (х).- М.: ВЦ АН СССР.
A967) Таблицы модифицированной бесселевой функции от мнимого
аргумента.- М.: ВЦ АН СССР.
Журина М И. и Осипова Л.Н.
A964) Таблицы конфлюентной гипергеометрической функции. -
М.: ВЦ АН СССР.
Зальцер (Salzer H.E.)
A961) J. Math, and Phys. 40, 72 - 86.
Инуи (Inui Т.)
A967) "Special Functions". 2nd ed. Iwanami Collection No. 252,
Iwanami Shoten, Tokyo.

Список литературы 561
Исидзу (Ishidzu T«)
A960) "Tables of the Racah Coefficients" Pan-Pacific Press, Tokyo.
Ихм (Пип Р.)
A961) Sankhya Ser. A 23, 197 - 204-
Карлиц (Carlitz Lo)
A963) BolL Un. Mau ItaL CI8, 90 -93.
A965) BolL Une Mat, Ital. C) 19, 436 - 440.
Карлсон (Carlson BoCо)
A965) Proc. Amero Math» Soc. 16, 759 - 766.
A966) Proco Amero Math. Soc. 17, 32 - 39.
A970a) SIAM J. Math. Anal» 1, 232 - 242.
A9706) Proc. Amer. Math. Soc. 25, 698 - 703.
A972) Math. Сотр. 26, 543 - 550.
Карлсон И Тоуби (Carlson B.C., Tobey M.D.)
A968) Proc. Amer. Math. Soc. 19, 255 - 262.
Карпентер (Carpenter L.)
A962) An addition to the Yale tables for the development of the
disturbing function. National Aeronautics and Space Administration,
TN D-1290, Washington, D.C.
Карпов К.A. z
A954) Таблицы функции co(z) = exp(-z2) / exp (x2)dx в комплекс-
o
ной области.- М.: Изд-во АН СССР.
A958) Таблицы функции F(z) = fex2dx.- M*: Изд-во АН СССР.
о
Карпов К.А. и Чистова И.А.
A964) Таблицы функций Вебера. Т. IL - М.: ВЦ АН СССР.
A968) Таблицы функций Вебера. Т. III.- М:: ВЦ АН СССР.
Кацура, Иноуе, Ямасита и Килпатрик (Katsura So, Inoue Y., Yamashita So,
Kilpatrick J0E0)
A965) Tech. Rep0 Tohoku Univ. 30, No. 2, 93 - 163, 625 - 626.
Кацура И Нисихара (Katsura S., Nishihara K.)
A969) Tables of integral products of Bessel functions, II. Department
of Applied Physics, Tohoku Univ., Sendai, Japan. См, также
Math. Сотр. 23A969), 457.
Качмаж И Штейнгауз (Kacmarz S., Steinhaus H.)
A958) Теория ортогональных рядов.— М.-: Физматгиз.
Кейли (Cayley A.)
A961) "An Elementary Treatise on Elliptic Functions" Dover, New York.
Келиски и Ривлин (Kelisky R.P., Rivlin T.J.)
A968) Math. Сотр. 22, 128 - 136.
Кемпбелл (Campbell R.)
A966) "Les Integrales Euleriennes etLeurs Applications" Dunod,
Paris.

562 Список литературы
Кертис (Curtis A.R.)
A964) "Coulomb Wave Functions" Royal Society Mathematical Tables,
vol. 11, Cambridge Univ» Press, London and New Yorko
Кецкич и Васич (Keckic J.D., Vasic P.IVL)
A971) PubL Insto Math» (Beograd) N.S. 11 B5), 107 - 114.
Кецкич и Станкович (Keckic J0De, Stankovic MeSo)
A972) PubL Inst, Math. (Beograd) N.S. 13 B7), 51 - 54.
Кёльбиг (KSlbig K.S.)
A964) A definite integral with modified Bessel functions. CERN,
European Organization for Nuclear Research, Geneva.
A965) A short table of a definite integral involving a product of
Bessel functions. CERN, European Organization for Nuclear
Research, Geneva.
A970) Math. Сотр. 24, 679 - 696.
A971) Nordisk Tidskr. Informations-Behandling (BIT) 11, 21 - 28.
A972) Math. Сотр. 26, 751 - 756.
Кёльбиг, Миньяко и Ремидди (Kolbig K.S., Mignaco J.A., Remiddi E.)
A970) Nordisk Tidskr. Informations-Behandling (BIT) 10, 38 - 73.
Киёно И Мурасима (Kiyono Т., Murashima S.)
A973) Mem. Fac. Engr. Kyoto Vniv. 35, 102 - 107.
Кизнер (Kizner W.)
A966) Сотри t, J. 8, 372 - 382.
Килпатрик, Кацура И Иноуе (Kilpatrick J.E., Katsura S., Inoue Y.)
A966) Tables of integrals of products of Bessel functions. Rice Univ.,
Houston, Texas and Tohoku Univ., Sendai, Japan. См. также
Math. Сотр. 21 A967), 267, 407 - 412.
Ким (Kim S.K.)
A972) Math. Сотр. .26, 963.
Киреева И.Е. и Карпов К.А.
A959) Таблицы функций Вебера, Т. I.- M.: ВЦ АН СССР.
Кленшо (Clenshaw C.W.)
A955) МТАС 9, 118-120.
A957) Proc. Cambridge Philos. Soc. 53, 134 - 149.
A960) The numerical solution of ordinary differential equations in
Chebyshev series. Symposium on the Numerical Treatment of
Ordinary Differential Equations, Integral and Integro-Differen-
tial Equations, Rome, 1960, pp. 222 — 227, Birkhauser, Basel.
A962) Chebyshev series for mathematical functions. Nat. Phys. Lab.
Math. Tables, vol. V. H.M. Stationery Office, London.
A964) SI AM J. Numer. Anal. 1, 26 - 37.
A966) The solution of van der Pol's equation in Chebyshev series.
Numerical Solutions of Nonlinear Differential Equations (Proc.
Adv. Sympos.) Madison, Wisconsin, 1966, pp. 55 — 63, John
Wiley, New York.

Список литературы 563
Кленшо И Эллиотт (Clenshaw C.Wo, Elliott D.)
A960) Quart. J. Medio AppL Math. 13, 300 - 313.
Кленшо, Миллер и Вуджер (Clenshaw C.W., Miller G.F., Woodger M.)
A963) Numer. Mathc 4, 403 - 419.
Кленшо И Нортон (Clenshaw C.W., Norton H.J.)
A963) Comput, J. 6, 88 - 92.
Кленшо и Пикен (Clenshaw C.W., Picken SoMo)
A966) Chebyshev series for Bessel functions of fractional order. Nat»
Phys. Lab. Math. Tables, vol. VIII. H.M. Stationery Office,
London.
Кнут и Букхольц (Knuth D.E., Buckholtz F.J.)
A967) Math. Сотр. 21, 663-668.
Кокрэн (Cochran J.A.)
A964) J. So с Indust. Appl. Math. 12, 580-587.
A965) Numer. Math. 7, 238 - 250.
A966a) Proc. Cambridge Philos. Soc. 62, 215 - 226.
A9660 Quart. J. Mech. Appl. Math. 19, 511 - 522.
A967) J. Matho and Phys» 46, 220 - 222.
Кокрэн И Хоффшпигель (Cochran J0A„, Hoffspiegel JoN.)
A970) Math. Сотр. 24, 413 - 422.
Коломбо и Лавуэн (Colombo S„, Lavoine Jo)
A972) "Transformations de.Laplace et de Mellin" Gauthier-Villars,
Paris»
Консул (Consul PoCо)
A963) Sankhya В 25, 197 - 214.
Копсон (Copson EoTo)
A965) "Asymptotic Expansions'.1 Cambridge Univ. Press, London and
New York.
Коробочкин Б.И„ и Филиппов Я.А.
A965) Таблицы модифицированных функций Уиттекера.- М.: ВЦ
АН СССР.
Корпут ван дер (Corput, van der, J.G.)
A955) Nederl. Akad Wetensch. Proc. Ser. A 58, 139 - 150.
Коррингтон (Corrington M.S.)
A961) Math. Сотр. 15, 1-6, 225.
Koyfln(Cody W.J.)
A968) Math. Сотр. 22, 450 - 453.
A969) Math. Сотр. 23, 631-637.
A970) SIAM Rev, 12, 400 - 423.
Коуди и Гилстром (Cody W.J., Hillstrom K.E.)
A967) Math. Сотр. 21, 198 - 203.
A970) Math. Сотр. 24, 671 -677.

564 Список литературы
Коуди, Гилстром и Тэчер (Cody W.J., Hillstrom K.E., Thacher Н.С, Jr.)
A971) Math. Сотр. 25, 537 - 547.
КоуДИ, Мейнардус И Варга (Cody W.J., Meinardus G., Varga R.S.;
A969) J. Approxo Theory 2, 50 - 65.
Коуди, Пацёрек и Тэчер (Cody W.J., Paciorek K.A., Thacher Н.С, Jr.)
A970) Math. Сотр. 24, 171 - 178.
Коуди, Стрекок и Тэчер (Cody W.J., Strecok A.J., Thacher Н.С, Jr.)
A973) Math. Сотр. 27, 123 - 127.
Коуди и Тэчер (Cody W.J., Thacher Н.С, Jr.)
A968) Math. Сотр. 22, 641 - 649.
A969) Math. Сотр. 23, 289 - 303.
КоэнД.С. (Cohen D.S.)
A964) J. Math, and Phys. 43, 133 - 139. Исправление ошибок см.
в журнале того же названия, 44 A965), 410.
Коэн Э.А. (Cohen E.A., Jr.)
A971) SIAM J. Numer. Anal. 8, 754 - 756.
Кратцер и Франц (Kratzer A., Franz W.)
A960) T! Tranzendente Funktionen.nAkad. Verlagsges, Leipzig.
Крейсциг (Kreyszig E.)
A957a) Canad. J. Math. 9, 118 - 131.
A9576) Canad. J. Math. 9, 500 - 510.
Кришнан (Krishnan T.)
A965) Ann. Inst. Statist. Math. 17, 211 - 223.
A966) Math. Сотр. 20, 337 - 338.
Кругляк ЯЛ. и Витман Д-Р.
A965) Таблицы интегралов квантовой химии. Т. L— М.: ВЦ АН
СССР.
Крумхар (Krumhaar H.)
A965) Z. Angew. Math. Mech. 45, 245 - 255.
Крылов В.И. и Скобля Н.С.
A968) Справочник по численному обращению преобразования
Лапласа.— Минск: Наука и техника.
Кублановская Б.Н. и Смирнова Т.Н.
A959) Тр. Матем. ин-та АН СССР 53, 186-192.
Кузнецов Д.С.
A965) Особые функщш.— М.: Высшая школа.
Кук И Трентер (Cooke J.С, Tranter C.J.)
A959) Quart. J. Mech. Appl. Math. 12, 379 - 386.
Кук и Эллиотт (Cook J.L., Elliott D.)
A960) Australian J. Appl. Sci. 11, 16 - 32.
Кумар M. и Дхаван (Kumar M., Dhawan G.K.)
A970) Numerical values of certain integrals involving a product of
two Bessel functions. Maulana Azad College of Technology,
Bhopal, India. См. также Math. Сотр. 24A970), 490.

Список литературы 565
Кумар С.С. (Kumar SoS.)
A962) Smithsonian Contributions to Astrophysics 5, 151 — 185.
Купер (Cooper Gojo)
A967) Comput. J. 10, 94 - 100.
Лавуа и Монжо (Lavoie J.L., Mongeau G.)
A968) Duke Math» J, 35, 747 - 752.
Ланцош (Lanczos C)
A938) J. Math, and Phys. 17, 123 - 199.
A952) "Tables of Chebyshev Polynomials Sn(x) and Cn(x),
Introduction V Applied Math. Series 9, U.S. Govt, Printing Office,
Washington, D.C.
A961) Практические методы прикладного анализа. Справочное
руководство.- М.-: Физматгиз.
A964) J. Soco Indust. Appl. Math. Ser. В Numer. Anal. 1, 86 -96.
Лебедев А.В. и Федорова P.M.
A956) Справочник по математическим таблицам.- М.-: Изд-во
АН СССР.
Лебедев Н.Н.
A963) Специальные функции и их приложения.- М.: Физматгиз.
Ли B.C. и Шах (Lee B.S., Shah S.M.)
A970) J. Math. Anal. Appl. 30, 144 - 156.
Ли К. и Радозевич (Lee К., Radosevich L.Go)
A960) J. Math, and Phys. 39, 293 - 299.
Лин и Линь (Ling СВ., Lin J.)
A971) Math. Сотр. 25, 402.
A972) Math. Сотр. 2Б, 529 - 538.
Ловерье (Lauwerier H.A.)
A966) "Asymptotic Expansions*.1 Mathematisch Centrum, Amsterdam.
Ломбе-Гофар (Lombet-Goffart J.)
A962) Acad. Roy. Belg. Bull. CI. Sci. E) 48, 1062 - 1080, 1261 -
1280.
Лорх (Lorch Lo)
A967) Arch. Math. (Bmo) 3, 1 - 9.
Лорх и Сегё П. (Lorch L., Szego P.)
A966) Proc. Amer. Math. Soc. 17, 330 - 332.
Лоу (Low R.D.)
A966) Math. Сотр. 20, 421 - 424.
Лукьянов А.В., Теплов И.Б. и Акимова М.К.
A961) Таблицы волновых кулоновских функций/функций Уиттекера,-
М.: ВЦ АН СССР.
Лутц и Карвелис (Lutz H.F., Karvelis M.D.)
A963) Nuclear Phys. 43, 31 - 44.
Льюин (Lewin L.)
A958) "Dilogarithms and Associated Functions" Macdonald, London.

566 Список литературы
Лэм И Эллиотт (Lam Во, Elliott Do)
A972) SIAM J. Numer. Anah 9, 44 - 52.
Лэслетт и Льюиш (Laslett L.J., Lewish W.)
A962) Math» Сотр. 16, 226 - 232.
Люк С К. и Вейссман (Luke S.Ko, Weissman So)
A964) Bessel functions of imaginary order and imaginary argumento
Rept. DA-ARO(D)-31-124-G466 No 1, Univ. of Maryland
Institute for Molecular physics, College Park. См. также Math,
Сотр. 19 A965), 343 - 344.
Люк Ю.Л. (Luke Y.L.)
A962) "Integrals of Bessel Functions',' McGraw-Hill, New York.
Исправление ошибок см. в Math. Сотр. 22 A968), 907 - 908.
A969) "The Special Functions and Their Approximations!,T Vols. I,
II, Academic Press, New York.
A970a) Math. Cornp, 24, 191 - 198.
A9706) SIAM J. Math. Anal. 1, 266 - 281.
A971) Applicable Anal. 1, 65 - 73.
A971 - 1972) Math. Comp0 25, 323 - 330, 789 - 795; Math» Cornp»
26, 237 - 240.
A972a) J. Approxo Theory 5, 41 - 65.
A9726) Math. Balkanica 2, 117 - 123o
A972b) On generating Bessel functions by use of the backward
recurrence formula. Rept. ARL 72-0030, Aerospace Research Labs.,
Wright-Patterson Air Force Base, Ohio»
A975) J. Australian Math. Soc. 19, 196 - 210.
Люк ЮЛ., Фэр, Кумбс и Моран (Luke YoL., Fair We, Coombs Go, Moran R.)
A965) Math. Compo 19, 501 - 502.
Люк Ю.Л., Тин и Кемп (Luke Y„Le, Ting BoYo, Kemp M.J.)
A975) Math. Comp0 29, в печати.
Люк Ю.Л. и Уимп (Luke YoL., Wimp J.)
A963) Math» Сотр. 17, 395 - 404.
Люк Ю.Л., Уимп И Фэр (Luke Y.Lo, Wimp J., Fair W.)
A972) "Cumulative Index to Mathematics of Computation.— Vols. 1 —
23, 1943 - 1969 V Amer. Math» Soc. Providence, Rhode Island.
Люстерник Л .А., Червоненкис О.А. и Янпольский А.Р.
A963) Справочное руководство для вычисления элементарных
функций.— М.: Физматгиз.
Магнус и Котен (Magnus W0, Kotin L.)
A960) Numer» Math. 2, 228 - 244.
Магнус и Оберхеттингер (Magnus W., Oberhettinger Fo)
A948) ,TFormeln und Satze fur die speziellen Funktionen der mathe-
matischen Physik" Springer, Berlin. Имеется также
английский перевод ЭТОЙ работы: "Formulas and Theorems for the

Список литературы 957
Special Functions of Mathematical Physics*.' Chelsea, New Yoik
A949)o Анализ этой работы и исправление ошибок даются в
следующих журналах: МТАС 3A948), 103 - 105; 3A949), 368 -
369, 522 - 523; Math. Сотр., 21A967), 523 - 524.
Магнус, Оберхеттингер и Сони (Magnus W., Oberhettinger F., Soni P.R.)
A966) "Formulas and Theorems for the Special Functions of
Mathematical Physics V Springer, New York.
Макернан (Mackiernan D.D.)
A970) Table of values of integrals for the longitudinal and lateral von
Karman turbulence spectra. NASA TMX-64529, G.C. Marshall
Space Flight Center, Huntsville, Alabama.
Мак-Квери и Мэк (McQueary СЕ., Mack L.R.)
A967) Math. Сотр. 21, 413 - 417.
Мак-Лейн, Шёниг и Палладино (McLain J.W., Schoenig F.C., Palladino N.J.)
A962) Table of Bessel functions to argument 85. Engr. Res. Bull.
B-85, Pennsylvania State Univ., University Park. См. также
Math. Сотр. 18A964), 161 - 162, 175 - 176.
Мак-Роберт (MacRobert T.M.)
A938) Proc. Roy. Soc. Edinbur^i 58, 1 - 13.
A961) Proc. Glasgow Math. Assoc. 5, 30 - 34.
A962) Pacific J. Math. 12, 999 - 1002.
Мангулис (Mangulis V.)
A965) "Handbook of Series for Scientists and Engineers" Academic
Press, New York. Исправление ошибок дается в журнале
Math. Сотр. 21A967), 118-119,750 -751.
Мартинек (Martinek J.)
A968) Acta. Mech. 6, 203 - 207.
Мартинек, Тилман и Хюбшман (Martinek J., Thielman H.P., Huebsch-
man E.C.)
A966) J. Math. Mech. 16, 447 - 452.
Матта и Рейчел (Matta F., Reichel A.)
A971) Math. Сотр. 25, 339 - 344.
Марц (Martz C.W.)
A964) Tables of the complex Fresnel integral. Rept. NASA Sp-3010,
Scientific and Technical Information Division, National
Aeronautics and Space Administration, Washington, D.C. Рецензию
на эту работу см. в Math. Сотр. 27A973), 214, 215.
Мейер (Meijer C.S.)
A936) Nieuw. Arch. Wisk. 18, 10 - 39.
A941a) Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 44, 81 - 92, 186 - 194,
298 - 307, 442 - 451, 590 - 598.
A9416) Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 44, 1062- 1070.
A946) Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 49, 227 - 237, 344 -

568 Список литературы
356, 457 - 469, 632 - 641, 765 - 772, 936 - 943, 1063 - 1072,
1165 - 1175.
A952 - 1956) Nederl, Akad. Wetensch. Proc. Ser A 55, 369 - 379,
483 - 487; 56, 43 - 49, 187 - 193, 349 - 357; 57, 77 - 82,
83 - 91, 273 - 279; 58, 243 - 251, 309 - 314; 59, 70 - 82.
Мейсон (Mason JoC.)
A967) SI AM Jo Appl. Math. 15, 172 - 181.
Мечел (Mechel F.)
A966) Math. Сотр. 20, 407 - 412.
Миллер Дж.Ф. (Miller GoF.)
A966a) StAM J. Numer. Anal. 3, 390 - 409.
A9666) Pro с Cambridge Philos. Soce 62, 453 - 457.
Миллер Дж.Ф. и Хейнес (Miller G.F., Haines РоН.)
A959) Roots and turning values of Ai{-a) and Ai '(-/3), in Logan,N.A.,
General research in diffraction theory, Vol. I. Rept. 288087,
Lockheed Missiles and Space Division, Sunnyvale, California.
См. также Math. Сотр. 15A961), 200.
Миллер Дж., Герхаузер и Матсен (Miller J., Gerfiouser J.M., Matsen F.A.)
A959) "Quantum Chemistry Integrals and Tables1.' Univ. of Texas
Press, Austin.
Миллер Дж.Ч.П. (Miller J.C.Po)
A952) " Bessel Functions, Part II, Functions of Positive Integer
Order, Mathematical Tables" Vol. 10. Cambridge Univ. Press,
Cambridge.
A955) "Tables of Weber Parabolic Cylinder Functions1.1 H.M.
Stationery Office, London.
Миллер Дж.Ч.П., Флетчер, Розенхед и Комри (Miller J.C.Po, Fletcher A.,
Rosenhead L., Comrie L.J.)
A962) "An Index of Mathematical Tables" Vols. I and II. Addison-
Wesley, Reading, Massachusetts.
Миллер К.Л., МолмуД И Мичем (Miller K.L., Molmud P., Meecham W.C.)
A963) Tables of the functions G(x + iy) = J{t - (x + iy)\~l e~l dt and
о
F(x + iy) = Jt* {*-(* + iy)\~l e~t2dt, Rept. 6121-6249-RU-000,
о
Space Technology Laboratories, Redondo Beach, California.
См. также Math. Сотр. 26A972), 299.
Миллер У. мл. (Miller W., Jr.)
A972) J. Mathematical Phys. 13, 648 - 654.
Милн-Томсон (Milne-Thomson L.M.)
A950) " Jacobian Elliptic Function Tables" Dover, New York.
Минтон (M in ton B.M.)
A970) J. Mathematical Phys. 11, 3061 - 3062.

Список литературы 569
Митра (Mitra S.C.)
A943) Jo Indian Math. Soc. N.S. 7, 102 - 109.
Митринович (Mitrinovic D.S.)
A970) "Analytic Inequalities" (in cooperation with Vasic P.M.).
Springer, New York.
A972) "Uvodu Specijalne Funkcije" Izdavacko Preduzece Gradevin-
ska Knjiga, Beograd.
Митринович, Дьёкович и Драгомир (Mitrinovic D.S., Djokovic S., Drago-
mir Z.)
A964) "Specijalne Funkcije" Izdavacko Preduzece Gradevinska
Knjiga, Beograd.
Митринович, Тосич и Янич (Mitrinovic D.S., Tosic D.D., Janic R.R.)
A972) " Specijalne Funkcije — Zbomik Zadataka i Problema" Naucna
Knjiga, Вeograde
Мозьер и Шиллади (Mosier С, Shillady D.D.)
A972) A fast accurate approximation for FQ{z) occuring in Gaussian
lobe basis, electronic calculations. Chemistry Dept., Virginia
Commonwealth Univ., Richmond. См. также Math. Сотр. 26
A972), 1022.
Моран (Moran P.A.P.)
A957) Quart. J. Math. Oxford B) 8, 287 - 290.
Моргенталер и Рейсманн (Morgenthaler G.W., Reismann H.)
A963) J. Res Nat. Bur. Standards 67 В, 181 - 183.
Моррис (Morris A.H., Jr.)
A973) Tables of coefficients of the Maclaurin expansions of
1/T(z + 1) and 1/T(z + 2). Naval Weapons Lab., Dahlgren,
Virginia. См. Math. Сотр. 27A973), 674.
Муди (Moody W.T.)
A967) Math. Сотр. 21, 112.
Мужевски и Сова (Murzewski J., Sowa A.)
A972) Zastos. Mat. 13, 261-273.
Мурнаган (Murnaghan F.D.)
A965) Evaluation of the probability integral to high precision.
DTMB Rept. 1861, David Taylor Model Basin, Washington. D.C.
Мурнаган и Ренч (Murnaghan F.D., Wrench J.W., Jr.)
A963) The converging factor for the exponential integral. DTMB Rept.
1535, David Taylor Model Basin, Washington, D.C.
Мурти (Murty T.S.)
A971) Tables of the conical functions Kp(xH Marine Sciences Branch,
Dept. of Energy, Mines and Resources, Ottawa, Ontario,
Canada. См. также Math. Сотр. 25A971), 402.
Мурти и Тейлор (Murty T.S., Taylor J.D.)
A969) Zeros and bend points of the Legendre functions of the first

570 Список литературы
kind for fractional orders. Oceanographic Research, Marine
Sciences Branch, Dept. of Energy, Mines and Resources,
Ottawa, Ontario, Canada. См0 также Math. Сотр. 23 A969),
887 - 888.
Мюррей (Murray JoDo)
A974) "Asymptotic Analysis',,'Oxford Univ. Press, London and
New York.
Найфэ (Nayfeh A.H.)
A976) Методы возмущений.- М.: Мир.
Нарасимхан (Narasimhan R.)
A966) On the incomplete gamma function with one negative argument.
Rept. AE 123 A, Dept. of Aeronautical Engr., Indian Inst, of
Sci., Bangalore. См. также Math. Сотр. 22A966), 624.
Национальный центр изучения телесвязи (Centre National
d'Etudes des Telecommunications.)
A966) Tables numeriques des fonctions associees de Legendre. Fonc-
tion associee de premiere espece Pm(cos0). Deuxieme
Fascicule, Troisieme Fascicule, Editions de la Revue d'Optique,
Paris.
Hr(NgE.W.)
A966) Math. Сотр. 20, 624 - 625.
Нг и Геллер (Ng E.W., Geller M.)
A969) J. Res. Nat Bur. Standards - B. Math. Sci. 73B, 1 - 20.
Дополнения и исправление ошибок и опечаток даются в
журнале того же названия, 75 В A971), 149 - 164.
A970) J. Res. Nat. Bur. Standards - В. Math. Sci 74В, 85 - 98.
Невилль (Neville E.H.)
A951) "Jacobian Elliptic Functions 7 Oxford Univ. Press, London and
New York.
Нейзелл (Nasell I.)
A974) Math. Сотр. 28, 253 - 256.
Нёмет (Nemeth G.)
A963) Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 8, 641 - 643.
oo
A964a) Polynomial approximations for the evaluation of fu~ e~udu.
x
Rept. Central Inst, for Physics, Budapest.
x 2 ,
A9646) Polynomial approximations for the evaluation of fe du.
0
Rept. Central Inst, for Physics» Budapest.
A965a) Numer. Math. 7, 310 - 312.
A9656) Polynomial approximations to the function ф,( a, c; x), Che-
byshev expansions of integral sine and cosine functions.
Rept. Central Inst, for Physics, Budapest.

Список литературы 571
A965в) Chebyshev expansions of Gauss' hypergeometric function,
Rept, Central Inst, for Physics, Budapest.
A966) Chebyshev expansion of the function e~x ^ f eu '2du. Rept.
0
Central Inst, for Physics, Budapest.
A967) Matem. Lapok 18, 329 - 333.
A971) Magyar Tud. Akad. Mat. Fiz. Oszto KozL 20, 13 - 33.
A972) Tables of the expansions of the first ten zeros of BessePs
functionso Communication of the Unified Institute for Nuclear
Studies, Rept. 5-6336. Дубна, СССР.
Нёрлюнд (Norlund N.E.)
A954) "Vorlesungen liber Differenzenrechnung" Chelsea, New York.
A955) Acta Math. 94, 289 - 349.
A961) Rend. Circ. Mat. Palermo 10B), 27 - 44.
A963) Mat.-Fys. Skr. Danske Vid. Selsk. 2, No. 5.
Нибб и Скрейтон (Knibb D., Scraton R.E.)
A971) Computo J. 14, 428 - 432.
Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. и Левитан ЮЛ.
A965) Таблицы коэффициентов Рака.- М.: ВЦ АН СССР.
Нильсен (Nielsen N.)
A965) "Handbuch der Theorie der Gammafunktion" Band I; "Theorie
des Integrallogarithmus und Verwandter TranzendentenVBandll.
Chelsea, New York.
Нортон (Norton H.J.)
A964) Comput. J. 7, 76 - 85.
Носова Л .Н. и Тумаркин С»А:
A961) Таблицы обобщенных функций Эри для асимптотического
решения дифференциального уравнения е (р у')'+ {q + er) у »
= /. -М.: ВЦ АН СССР.
Ноттнерус (Rnottnerus U.J.)
A960) " Approximation Formulae for Generalized Hypergeometric
Functions for Large Values of the Parameters with Applications
to Expansion Theorems for the Function G^'"(z) ".J.B. Wol-
ters, Groningen.
Ньюберри (Newberry A.C.R.)
A973) Math. Сотр. 27, 639 - 644.
Ньюмэн И Франк (Newman J.N., Frank W.)
A963) Math. Сотр. 17, 64 - 70.
Оберхеттингер (Oberhettinger F.)
A957) "Tabellen zur Fourier Transformation" Springer Berlin.
A972) "Tables of Bessel Transforms" Springer, New York.
A973a) "Fourier Expansions'.1 Academic Press, New York.

572 Список литературы
A9736) "Fourier Transforms of Distributions and Their Inverses".
Academic Press, New York.
A975) " Tables of Mellin Transforms? Springer, New York.
Оберхеттингер И БаДИЙ (Oberhettinger F., Badii L.)
A973) "Tables of Laplace Transforms" Springer, New York,
Оберхеттингер и Хиггинс (Oberhettinger F., Higgins T.P.)
A961) Tables of Lebedev, Mehler and generalized Mehler transforms.
Math. Note No. 246, Boeing Scientific Research Laboratories,
Seattle, Washington. См. также Math. Сотр. 17A963), 95.
Оберхеттингер и Магнус (Oberhettinger F., Magnus W.)
A949) " Anwendung der Elliptischen Funktionen in Physik und Tech-
nik" Springer, Berlin.
Окуй (Okui S.)
A974) J. Res. Nat. Bur. Standards-B. Math. Sci. 78 B, 113 - 135.
Олвер (Olver F.WJ.)
A954) Philos. Trans. Roy. Soc. London Z47, 328-368.
Олвер (ред.) (Olver F.W.J., ed.)
A960) "Royal Society Mathematical Tables'; Vol. VII, Bessel
Functions, Pt. 3, Zeros and Associated Values. Cambridge Univ.
Press, London and New York.
A962) "Tables for Bessel Functions of Moderate or Large Orders"
National Physical Laboratory, Mathematical Tables, Vol. VI.
H.Mo Stationery Office, London.
A978) Введение в асимптотические методы и специальные функции.-
М«: Наука.
Оливер (Oliver J.)
A969) Comput. J. 12, 57 - 62.
Осборн и МейДИ (Osborn D., Madey R.)
A968) Math. Сотр. 22, 159 - 162.
Осипова Л Л. и Тумаркин С А.
A963) Таблицы для расчета торообразных оболочек.- М.: ВЦ
АН СССР.
0слер@з1егТЛ.)
A975) Math. Сотр. 2Э, July.
Оулдхем (Oldham K.B.)
A968) Math. Сотр. .22, 454.
ПагуроваВ.И.
оо
A959) Таблицы интегро-экспоненциальной функции Ev(x) = fe~xu x
х u~vdu. - М.: ВЦ АН СССР.
A963) Таблицы неполной гамма-функции / (х, т) = \Г{т) !-1 /e-f х
х t™-idt. - М.: ВЦ АН СССР.

Список литературы 573
Парн (Pames R.)
A972) Math. Сотр. 26, 949 - 953.
Пауэлл (Powell M.J.D.)
A967) Comput. J. 9, 404 - 407.
Перлен и Гарре (Perlin I.E., Garret J.R.)
A960) Math. Сотр. 14, 270 - 274.
Перрон (Perron О.)
A950) "Die Lehre von den KettenbrachenV Chelsea, New York.
A954, 1957) "Die Lehre von den Kettenbrachen'; Vol. I A954), Vol.II
A957). Teubner, Leipzig.
Петровская М.С.
A970) Бюл. инст. теорет. астроном. 12, №5 A38), 401 - 421.
Петьо(Реиаи G.)
A955) "La Theorie des Fonctions de BesselV Centre National de la
Recherche Scientifique, Paris.
Пиви(Реа\гу В.А»)
A967) J. Res. Nat. Bur. Standards-B. Math, and Math. Phys. 71 B,
131- 141.
Пимбли и Нельсон (Pimbley W.T., Nelson C.W.)
A964) Table of values of 2y/xF{\/x)o IBM Engineering Publications
Dept, No PTP773, Endicott, New York. См. также Math. Сотр.
18A964), 678.
Пиессен (Piessens R.)
A971) J. Engr. Math. 5, 1 - 9.
Пиессен И Брандер (Piessens R., Branders M.)
A972) Math. Сотр. 26, 1022.
Пирсон (Pearson К.)
A968) "Tables of the Incomplete В eta-Function" 2nd edition (with
a new introduction by E.S. Pearson and N.L. Johnson).
Cambridge Univ. Press, London and New York.
Прохоров А.В.
A968) Теор. вероятност. и ее применен. 13, 525 - 531.
Пьерр (Pierre D.A.)
A964) J. Soc. Indust. Appl. Math. 12, 93 - 104.
Райе (Rice SoOc)
A944) Philos. Mag. G) 35, 686 - 693.
Райт (Wright K.)
A964) Comput. J. 6, 358 - 365.
Ранкел (Runckel H.J.)
A971) Math. Ann. 191, 53 - 58.
Рассел и Лэл (Russel W., Lai M.)
A969) Math. Сотр. 23, 211- 212.
Рассон и Блэр (Russon A.E., Blair J.M.)
A969) Rational function minimax approximation for the Bessel func-

574 Список литературы
tions K0{x) апАКг{х)о Rept, AECL-3461, Atomic Energy of
Canada, Chalk River, Ontario. См. также Math. Сотр. 24
A970), 992.
Pay (Ran H.)
A950) Arch. Math. 2, 251 - 257.
РеДИНК (Reudink D.O.)
A968) J. Res. Nat. Bur. Standards-B. Math. Sci. 72 В, 279 - 280.
Рей и Питмен (Ray W.D., Pitman A.E.N.T.)
A963) Ann. Math. Statist. 34, 892 - 902.
Рейчел (Reichel A.)
A967) Math. Сотр. 21, 647 - 651.
A969) Math. Сотр. .23, 645 - 649.
Ренвиль (Rainville E.D.)
A960) "Special Functions" Macmillan, New York.
Ренч (Wrench J.W., Jr.)
A960) Math. Teacher 53, 644 -650.
A968) Math. Сотр. 22, 617 - 626; 27A973), 681 - 682.
A970) The converging factor for the modified Bessel function of
the second kind. Rept. 3268, Naval Ship Res. and Development
Center, Washington, D.C.
A971) Converging factors for Dawson's integral and the modified
Bessel function of the first kind. Rept. 3517, Naval Ship Res.
and Development Center, Washington, D.C.
Ренч И Олли (Wrench J.W., Jr., Alley V.)
A97 2) The converging factors for the sine and cosine integrals. Rept.
3980, Naval Ship Res. and Development Center, Bethesda,
Maryland.
A973) The converging factors for the Fresnel integrals. Rept. 4102,
Naval Ship. Res. and Development Center, Bethesda, Maryland.
Ричарде И МуЛЛИНО (Richards J.M., Mullineux N.)
U963) ICC Bull. 2, 143 - 157.
Робен (Robin Lo)
A957, 1958, 1959) "Fonctions Spheriques de Legendre et Fonctions
SpheYoidales1; Vols. I A957), 11A958), 111A959). Gauthier-
Villars, Paris.
Роберте Дж.Э. и Кауфман (Roberts G.E., Kaufman НО
A966) "Table of Laplace TransformsV Saunders, Philadelphia.
Роберте Дж.А. (Roberts J.A.)
A965) Math. Сотр. 19, 651 - 654.
Роберте П.Дж. (Roberts P.J.)
A970) J. London Math. Soc. BJ, 736-740.
Робинсон (Robinson H.P.)
A973) Tables of the derivative of the Psi function to 58 decimals.

Список литературы 575
Univo of California, Lawrence Berkeley Labo, Berkeley., См.
также Math. Сотр. 28A974), 872.
Робинсон и Поттер (Robinson H.P., Potter E.)
A971) Mathematical constants. Repto UCRL-20418, Lawrence
Radiation Lab., Univ. of California, Berkeley. Смв также Math.
Сотр. 26A972), 300 - 301 and 305 - 307o
Роман (Roman I.)
A969) Math. Сотр.- 23, 887.
Ротенберг, Бивинс, Метрополис и Вутен (Rotenberg M., Bivins R.,
Metropolis N„ Wooten J.K., Jr.)
A960) "The 3 - j and 6 - / SymbolsV Technology Press, Cambridge,
Massachusetts.
Рэгг (Wragg A.)
A966) Comput. J. 9, 106 - 109.
Рэгг И Дэвайс (Wragg A., Davies C.)
A973) J» Inst. Math. AppL 11, 369 - 3750
Сакаи и Исикава (Sakai M., Ishikawa S.)
A971) Mem. Fac. Sci. Kyushu Univ. Ser. A 25, 244 - 252.
Сайретт и Уилсон (Syrett H.E., Wilson M.W.)
A966) Computation of Fresnel integrals to 28 figures: approximations
to 8 and 20 figures. Computer Sci. Dept., Univ. of Western
Ontario, London, Ontario, Canada. Смв также Math. Сотр.
20A966), 181.
Сансоне (Sansone G.)
A959) "Orthogonal Functions" John Wiley, New York.
Cere (Szego G.)
A962) Ортогональные многочлены,— М.: Физматгиз.
Сикорский Ю.И.
A970) Вестник Киевск. ун-та, Сер. мех. и мат. 12, 121 — 124.
Симасаки и Киёно (Shimasaki M., Kiyono Т.)
A973) Numer. Math. 21, 373 - 380.
СиМОТИ (Simauti T.)
A964) Comment. Math. Univ. St. Paul 12, 23 - 25; 18A970), 153.
Симпуку (Shimpuku T.)
A960) Progr. Theoret. Phys., Kyoto, Japan, Supplement No. 13,
pp. 1 - 135.
Сингх, Лам ли и Бетчов (Singh К., Lumley J.F., Betchov R.)
A963) Modified Hankel functions and their integrals to argument 10.
Engr. Res. Bull. B-87, Pennsylvania State Univ., University
Park. См. также Math. Сотр. 18A964), 522.
Сирович (Sirovich L.)
A971) "Techniques of Asymptotic Analysis" Springer, New York.

576 Список литературы
Скобля Н.С.
A964) Таблицы для численного обращения преобразования Лапласа.—
Минск: Наука и техника.
A965) ДАН БССР 9, 288 - 291.
Скрейтон (Scraton R.E.)
A965) Comput. J. 8, 57-61.
A969)Math. Сотр. 23, 837 - 844.
A972) Proc. Cambridge Philos. Soc. 73, 157 - 166.
Славич (Slavic D.V.)
A971) Publ. Elektro. Fak. Ser. Mat. Fiz. Univ. of Beograd No. 357 -
380, 69 - 74.
Слейтер (Slater L.J.J
A960) "Confluent Hypergeometric Functions" Cambridge Univ.Press,
London and New York. Исправление ошибок см. в Math. Сотр.
17A963), 486-487.
A966) "Generalized Hypergeometric Functions" Cambridge Univ.
Press, London and New York.
Смирнов Н.В. (ред.)
A960) Таблицы нормального интеграла вероятностей,
интегральной плотности и ее нормированных производных.— М.: Изд-во
АН СССР.
A961) Таблицы функций распределения и плотностей распределения
Стьюдента.- М.: Изд-во АН СССР.
Смирнов Н.В. и Большее Л.Н.
A962) Таблицы для вычисления функции двумерного нормального
распределения.- М.: Изд-во АН СССР.
СмитФ.Дж. (Smith F.J.)
A965) Math. Сотр. 19, 33-36.
СмитУ.Р.ЙтуЛе W.R.)
A960) J. Appl. Phys. 31, 553 - 556.
A961) Phys. Fluids 4, 756.
A963) J, Mathematical Phys. 4, 833 - 837.
A964) Phys- Fluids 7, 633 - 638.
Снайдер (Snyder M.A.)
A966) "Chebyshev Methods in Numerical Approximation" Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Снеддон (Sneddon I.N.)
A961) "Special Functions of Methematical Physics and Chemistry".
Oliver and Boyd, London. А также на немецком языке:
"Spezielle Funktionen der mathematischen Physik und Chemie"
Bibliographisches Institut, Mannheim A963).
A972) "The Use of Integral Transforms" McGraw-Hill, New York.

Список литературы 577
Сноу (Snow Co)
A952) "Hypergeometric and Legendre Functions with Applications
to Integral Equations of Potential Theory" Appl. Matho Ser. 19,
U.S. Govt. Printing Office, Washington, D.C.
Сони (Soni R.P.)
A965) J. Math, and Phys. 44, 406 - 407.
Спайсер (Spicer ELC.)
A963) "Tables of the Inverse Probability Integral P = B/wK) x
P о
x fe~^du" Geological Survey, Washington, D.C. См. также
0
Math. Сотр. 17A963), 320 - 321.
Спейн и Смит М.Г. Spain В., Smith M.G.)
A970) "Functions of Mathematical Physics" Van Nostrand —Rein-
hold, New York.
Спеллуччи (Spellucci P.)
A971) Numer. Math. 18, 127 - 143.
С пира (Spira R.)
A971) Math. Сотр. 25, 317 - 322.
Стейдли (Steidley K.D.)
A963) " Table of 2FY{af b; c; z) for a = 0 A/2) 7,5 = 0A/2O and
с = 1/2 A/2) 2% with comments on closed forms of 2Fi(a9 b;
c; z)" National Aeronautics and Space Administration TN
D-1735, Washington, D.C.
СтеЙНИГ (Steinig J.)
A970) SIAM J. Math. Anal. 1, 365 - 375.
A971) Math. Zeit 122, 363 - 365.
A972) Trans. Amer. Math. Soc. 163, 123 - 129.
Стиган и Нукер (Stegun I., Zucker R.)
A970) J. Res. Nat. Bur. Standards-B Math. Sci. 74B, 211 - 224.
Стрейфер (Streifer W.)
A965) J. Math, and Phys. 44, 403 - 405.
Стрекок (Strecok A.J.)
A968) Math. Сотр. 22, 144 - 158.
Стрекок и Грегори (Strecok A.J., Gregory J.A.)
A972) Math. Сотр. 26, 955 - 961.
Стрёмгрен (Stromgren L.)
A962) Kungl. Tekn. Hogsk. Handl. Stockholm No 193.
Стрэнд (Strand O.N.)
A965) Math. Сотр. 19, 127 - 129.
Суши (Sweeney D.W.)
A963) Math. Сотр. 17, 170 - 178.
Суитцер (Switzer К.А.)
A965) "Table of roots of certain transcendental equations arising

578 Список литературы
in eigenfunction expansions" Circular 23, College of Engr.,
Washington State Univ. Pullman. См. также Math. Сотр.
20A966), 335-336.
Сэг (Sag ToW.)
A970) Math. Сотр. 24, 341 - 356.
Таггарт и Шотт (Taggart D.A., Schott F.W.)
A970) "Mathematical tables of integrals involving spherical Bessel
functions". Elect. Sci. and Engr. Dept., School of Engr. and
Appl. Sci, Univ. of California, Los Angeles. См. также Math.
Сотр. 24A970), 993.
Тайбери и Ренч (Tibery C.L., Wrench J.W., Jr.)
A964) "Tables of the Goldstein factor". Rept. 1534, Appl. Math. Lab.,
David Taylor Model Basin, Washington, D.C.
Томпсон (Thompson G.T.)
A965) Math. Сотр. 19, 661 -663.
Трикоми (Tricomi F.G.)
A948) "Elliptische Funktionen". Akad. Verlagsges., Leipzig.
A952) "Lezioni sulle Funzioni Ipergeometriche Confluenti" Gheroni,
Torino.
A954) "Funzioni Ipergeometriche Confluenti" Ed. Cremonese, Rome.
A955) " Vorlesungen uber Orthogonalreihen". Springer, Berlin.
A960) " Fonctions Hypergeometriques Confiuentes" Memorial des
Sciences Mathematiques, Fasc. CXL. Gauthier-Villars, Paris.
Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР
A960) Таблицы нормального интеграла вероятности,
нормализованной плотности и их производных.— М
Трэнтер (Tranter C.J.)
A969) "Bessel Functions with Some Physical Applications". Hart
Publishing Co., New York.
Туан и Эллиотт (Tuan P.D., Elliott D.)
A972) Math. Сотр. 26, 213 - 232.
Тупер и Марк (Тоорег R.F., Mark J.)
A968) Math. Сотр. 22, 448-449.
Уилкокс (Wilcox Р.Н.)
A968) Math. Сотр. 22, 205 - 208.
Уилон (Wheelon АсЦ)
A968) "Tables of Summable Series and Integrals Involving Bessel
Functions" Holden Day, San Francisco.
Уимп (Wimp J.)
A961) Math. Сотр. 15, 174 - 178.
A962) Math. Сотр. 16, 446 - 448; 19A965), 175.
A967) Math. Сотр. 21, 639 - 646.
CL968) Math. Сотр. 22. 363 - 373.

Список литературы 579
A969) On recursive computation Rept. ARL 69-0186, Aerospace
Research Labs., Wright-Patterson Air Force Base, Ohio»
A970) Recent developments in recursive computation» "SIAM Studies
in Applied Mathematics" VoL VI, ppe 110 - 123, Philadelphia.
А также см. под тем же названием: Rept. ARL69-0104,
Aerospace Research Labs., Wright-Patterson Air Force Base,
Ohio A969).
A972) Applicable Anal. 1, 325 - 329.
A975) Math. Сотр. 29, в печати,
Уимп и Люк (Wimp J., Luke Y.L.)
A969) Rend. Circ. Mat. Palermo 18, 251 - 275.
Уиттекер и Ватсон (Whittaker E.T., Watson G.N.)
A934) Курс современного анализа.- Л.: ГТТИ.
Уолл (Wall H.S.)
A948) "The Analytic Theory of Continued Fractions1! Van Nostrand,
New York.
Уолтере и Уэйт (Walters L.C., Wait J.R.)
A964) Computation of a modified Fresnel integral arising in che
theory of diffraction by a variable screen. Nat. Bur. Standards Tech
Rept. Note 224, U.S. Govt. Printing Office, Washington, D.C.
Уотермен (Waterman P.C.)
A963) J. Math, and Phys. 42, 323 - 328o
Фаддеева B.H. и Терентьев H.M.
A954) Таблицы функции w(z) = e~z2(l + 2iir~K jet2dt) для ком-
o
плексного аргумента.— М.: ГТТИ.
Файк (Fike C.T.)
A968) " Computer Evaluation of Mathematical Functions". Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Феррейра и Сеема (Ferreira E.M., Sesma J.)
A970) Numer. Math. 16, 278 - 284.
Фетти (Fettis H.E.)
A963) On a conjecture of Karl Pearson, Dr. Paul R. Rider
Anniversary Volume, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio.
A970) Math. Сотр. 24, 667 - 670.
Фетти и Кае лен (Fettis Н.Е., Caslin J.C.)
A966) An extended table of zeros of cross products of Bessel
functions. Rept. ARL66-0023, Aerospace Research Labs., Wright-
Patterson Air Force Base, Ohio.
A967) Tables of the modified Bessel functions IQ{x), ^(я), e~x IQ(x)
and e~xll(x). Aerospace Research Labs., Wright-Patterson
Air Force Base, Ohio. См. также Math. Сотр. 21A967),
736 - 737.

580 Список литературы
A968) More zeros of Bessel function cross products. Rept. ARL68-0M9,
Aerospace Research Labs., Wright-Patterson Air Force Base,
Ohioo
A969a) Tables of toroidal harmonics, Part I (Orders 0 - 5), Part II
(Orders 5-Ю). Reptse ARL69-0025, 69-0209, Aerospace
Research Labse, Wright-Patterson Air Force Base, Ohio.
A9696) Table of modified Bessel functions. Rept. ARL69-0032,
Aerospace Research Labs., Wright-Patterson Air Force Base.Ohio.
A970) Tables of toroidal harmonics, Part III — functions of the first
kind (Orders 0 - 10). Rept. ARL70-0127, Aerospace Research
Labs., Wright-Patterson Air Force Base, Ohio.
Фетти, Каслен и Крамер (Fettis H.E., Caslin J.C., Cramer K.R.)
A972) An improved tabulation of the plasma dispersion function and
its first derivative, Part I — argument with positive imaginary
part, Part II — argument with negative imaginary part (Rept.
ARL. 72-0056); zeros and saddle points (Rept. ARL. 72-0057).
Aerospace Research Labs., Wright-Patterson Air Force Base,
Ohio.
A973a) Math. Сотр. 27, 401 - 408.
A9736) Math. Сотр. 27, 409 - 412.
Филдс (Fields JoL.)
A966) Proc. Edinburgh Math. Soc. BI5, 43 - 45.
A967) Math. Сотр. 21, 189 -197.
A968) Uniform expansions for generalized Jacobi functions, in Haimo,
D.T. (ed), "Orthogonal Exp ansions and Their Continuous
Analogs? Southern Illinois Univ. Press, Carbondaie, pp. 37 — 42.
A972a) Math. Сотр. 26, 757 - 766.
A9726) J. Approx. Theory 6, 161 - 175.
A973) SIAM J. Math. Anal. 4, 482 - 507.
Филдс, Люк И Уимп (Fields J.L.5 Luke Y.L., Wimp J.)
A968) J. Approx. Theory 1, 137 - 166.
Филдс и Уимп (Fields J.L., Wimp J.)
A963) Proc. Cambridge Philos. Soc. 59, 599 - 605.
A970) Rational approximations to Tricomi's ^r-function, in Gilbert R.P.
and Newton R.G. (eds.), "Analytic Methods in Mathematical
Physics". Gordon and Breach, New York, pp. 427 — 434.
Финн и Магглстоун (Finn G.Do, Mugglestone D.)
A965) Monthly Not. Roy. Astr. Soc. 129, 221 - 235.
Флекнер (Fleckner O.L.)
A968) Math. Сотр. 22, 635 - 640.
Флетт (Flett Т.)
A972 - 1973) Proc. Edinburgh Math. Soc. BI8, 31 - 34.
Флетчер, Миллер Дж<,Ч0П., Розенхед и Комри (Fletcher A., Miller J.C.P.,

Список литературы 581
Rosenhead L0, Comrie L.J.)
A962) "An Index of Mathematical Tables" Bnd. ed.). Addis on-Wesley,
Reading, Massachusetts,
фокс и Паркер (Fox L., Parker LB.)
A968) " Chebyshev Polynomials in Numerical Analyses" Oxford Univ.
Press, London.
«JopfltFord^WoB.)
A960) "Studies on Divergent Series and Summability and Asymptotic
Developments of Functions Defined by Maclaurin Series"
Chelsea, New York.
Фрайд и Конте (Fried B.D., Conte S.D.)
A961) "The Plasma Dispersion Function. The Hilbert Transform of
the Gaussian". Academic Press, New York.
Франц (Franz W.)
A960) Ze Angew. Math. Mech. 40, 385 - 396.
Фрейд (Freud G.)
A969) "Orthogonale Polynome" Birkhauser, Basel. А также на
английском языке: "Orthogonal Polynomials" Pergamon Press,
New York.
Фрёман Н. и Фрёман П.О. (Froman N., Froman P.O.)
A965) "JWKB Approximation" North-Holland Publishing Co., Amsterdam.
Фривел (Frevel L.K.)
0.973) Evaluation of the generalized error function. Chemistry Dept.,
The Johns Hopkins Univ., Baltimore, Maryland. См. также
Math. Сотр. 27A973),440 - 441.
Фриш-Фэй (Frisch-Fay R.)
A965) Tables of integrals of fractional order Bessel functions. UNICIV
Rept, R-9, Univ. of New South Wales, Kensington, N.S.W.,
Australia. См. также Math. Сотр. 20A966), 33ft.
Фэр^аи-ЙГ.)
A971) SIAM J. Math. Anal. 2, 226 - 232.
A972a) J. Math. Anal. Appl. 39, 318 - 323.
A9726) J. Approx. Theory 5, 74 - 76.
Фэр И Люк (Fair W., Luke YJL.)
A970) Numer. Math. 14, 379 - 382.
Хальбгевахс и Шах (Halbgewachs R.D., Shah S.M.)
A967) Proc. Indian Acad. Sci. Sect. A 65, 227 - 232.
Хамис (Khamis S.H.)
A965) "Tables of the Incomplete Gamma Function Ratio" Justus von
Lie big Verlag, Darmstadt, Germany.
Хаммер (Hammer D.G.)
A964) Math. Сотр. 18, 317 - 319.
A965) Mem. Roy. Astr. Soc. 70, 1 - 32.

582 Список литературы
Хангельброк (Hangelbroek R.J.)
A967) J. Engro Math. 1, 37 - 50.
Хансен (Hansen Eo)
A975) "A Table of Series and Products". Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey,,
Ханскомб (ред.) (Hanscomb D.C.)
A966) "Methods of Numerical Approximation" Pergamon Press, New
York,
Хантер (Hunter DeB.)
A964) Math. Сотр. 18, 123 - 128.
A968) Math. Сотр. 22, 440 - 444.
A970) Сотри to J. 13, 378 - 381.
Хантер И Риган (Hunter D.B., Regan Т.)
A972) Math. Сотр. 26, 539 - 541.
Харви (Harvey A.)
A965) Math. Сотр. 19, 155 - 156.
Харт P.P. (Hart R.G.)
A966) Math. Сотр. 20, 600 - 602.
Харт Дж.Ф., Чини, Лоусон, Мели, Мештени, Райе, Тэчер и Уитцголл
(Hart JoF., Cheney E.W., Lawson C.L., Maehly H.JC, Mesztenyi C.K.,
Rice J.R., Thacher HoC, Jr., Witzgall C.)
A969) "Computer Approximations" John Wiley, New York»
Исправление ошибок см. в Math. Compo 23A969), 470 - 471; 28A974),
885.
Хартер (Harter H.L„)
A964) "New Tables of the Incomplete Gamma-Function, Ratio and
of Percentage Points of the Chi-Square and Beta Distributions".
UoS. Govt. Printing Office, Washington, D.C.
Хаякава (Hayakawa M.)
A962) Math. Japan 7, 137 -139.
Хебермел, Минквиц и Щульц (Hebermehl Go, Minkwitz G., Schulz Go)
A965) "Tabellen der Lommelschen sowie abgeleiteter Funktionen"
Akademie-Verlag, Berlin.
ХеДИНГ (Heading J.)
A962) "An Introduction to Phase-Integral Methods". John Wiley,
New York.
Хеткоут (Hethcote H.W.)
A970a) Proc. Amero Math. Soc. 25, 72 - 74.
A9706) J. Mathematical Phys. 11, 2501 - 2504.
Хетнарски (Hetnarski R.B.)
A964) Zastos. Mat. 7, 399 - 405.
Хитли (Heatley A.H.)
A964) Tables of the confluent hyper geometric function and the
Toronto function. Univ. of Waterloo, Ontario. См. также Math.

Список литературы 583
Сотр. 18A964), 687 - 688 and 19A965), 343.
A965) Math. Сотр. 19A965), 118 - 123.
Хобсон (Hobson E.W.)
A955) M The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics". Chelsea,
New Yorko
Хованский А.Н.
A956) Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам
приближенного анализа,— М.: Гостехиздат.
Холл (Hall US.)
A967) Proc. Cambridge Philoso Soc. 63, 141 - 146.
Хорнекер (Hornecker G„)
A958) Chiffres 1,157 -169.
Хохштадт (Hochstadt H.)
A961) "Special Functions of Mathematical Physics". Holt, Rinehart
and Winston, New York,
A971) "The Functions of Mathematical Physics" John Wiley, New
York»
Цай (Tsai L.)
A970) Tamkang J. Math» 1, 29 - 40.
Чемпион, Дэниельсон и Микселл (Champion Р.Мо, Danielson L.R., Mik-
sell SoG.)
A969)Ganita 20, 47-48.
Чжи (Chi BoE.)
A962) "Numerical Table of Clebsch-Gordan Coefficients" Rensselaer
Polytechnic Institute, New York*
Чиарелла и Рейчел (Chiarella Co, Reichel A.)
A968) Math. Сотр. 22, 137 - 143.
Чипмен (Chipman D.Mo)
A972) Math. Сотр. 26, 241 -250.
Чоула (Chawla M.M.)
A967) Comput. J. 9, 413.
Шателе, Лансро И МиЙОН (Chatelet F., Lansraux Go, Million B.)
A959) Chiffres 2, 233 - 237.
Шафер (Shafer R.E.)
A973) Publ. Elektro. Fak. Univ0 of Beograd No. 437, 125 - 126.
UleHKC И Ренч (Shanks Do, Wrench J.W,, Jr.)
A962) Math. Сотр. 16, 76 - 99.
A969) Math. Compo 23, 679 - 680.
Шентон и Бауман (Shenton L.R., Bowman KoO.)
A971) SIAM J» AppL Math. 20, 547 - 554.
Шерри (Sherry MoE.)
A959) The zeros and maxima of the Airy function and its first
derivative to 25 significant figures. Electronics Research Directorate,
Air Force Cambridge Research Center, Bedford, Massachusetts.

584 Список литературы
См. также Math. Сотр. 16A962), 389.
Шефке (SchSfke F.W.)
A963) " Einfuhrang in die Theorie der speziellen Funktionen der
mathematischen Physik" Springer, Berlin.
Шпигель (Spiegel M.R.)
A962) Amer. Math. Monthly 69, 894 - 896.
Шпильберг (Spielberg K.)
A961) Math. Сотр. 15, 409 - 417.
A962) Math. Сотр. 16, 205 - 217.
Шуканы и Грей (Schucany W.R., Gray H.L.)
A968) Math. Сотр. 22, 201 - 202.
Шютт (Schutte К.)
A966) "Index of Mathematical Tables from All Branches of
Sciences Andex mathematischer Tafelwerke und Tabellen aus alien
Gebieten der Naturwissen-schaften" 2nd ed. R. Oldenbourg,
Munich and Vienna.
Эйан и Борг (Ayant Y., Borg M.)
A971) "Fonctions Speciales" Dunod, Paris.
Элберт (Elbert A.)
A971) Studia Sci. Math. Hungar. 6, 277 - 285.
Эллиотт (Elliott D.)
A959 - 1960a) J. Australian Math. Soc. 1, 344 - 356.
A959 -19606) J. Australian Math. Soc. 1, 428 - 438.
A961) Proc. Cambridge Philos. Soc. 57, 823 - 832.
A963) Comput. J. 6, 102 - 111.
A964) Math. Сотр. 18, 274 - 284.
A965) Math. Сотр. 19, 234 - 248.
A968) J. Australian Math. Soc. 8, 213 - 221.
A971) Math. Сотр. 25, 309 - 316.
Эллиотт и Лэм (Elliott D., Lam В.)
A973) SIAM J. NumeF. Anal. 10,1091 - 1102.
Эллиотт и Секереш (Elliott D., Szekeres G.)
A965) Math. Сотр. 19, 25 - 32.
Эллиотт и Туан (Elliott D., Tuan P.D.)
A974) SIAM J. Math. Anal. 5,1 - 10.
Эль-генди (El-gendi S.E.)
A969) Comput. J. 12, 282 - 287.
Энкер и Гафарян (Ancker С.J., Gafarian A.V.)
x
A962) The function / (x, y) = ft g(y, t)di —some properties and
0
a table. System Development Corp., Santa Monica, California.
См. также Math. Сотр. 17A963), 206.

Список литературы 585
Эрбер (ЕгЬег Т.)
A960) Arch. Rational Mech. Anal. 4, 341 - 351.
Эрбер и Гордон (ЕгЬег Т., Gordon A.)
A963) Math, Сотр. 17, 162 - 169.
Эрдейи (Erdelyi А.)
A962) Асимптотические разложения.— М.: Физматгиз.
Эрдейи, Магнус, Оберхеттингер и Трикомй (Erdelyi A., Magnus W.,
Oberhettinger F., Tricomi F.G.)
A953) "Higher Transcendental Functions" Vols. I, II, III; Mc-Graw-
Hill, New York. Исправление ошибок и опечаток см. в
работе Люка, Уимпа и Фэра A972).
Эрдейи, Магнус, Оберхеттингер и Трикомй (Erdelyi A., Magnus W.,
Oberhettinger F., Tricomi F.G.)
A954) "Tables of Integral Transforms" Vols. I, II, McGraw-Hill, New
York. Исправление ошибок и опечаток см. в работе Люка,
Уимпа и Фэра A972).
Яковлева Г.Д.
A969) Таблицы функций Эйри и их производных. - М.: Наука.
Янг и Кирк (Young A., Kirk A.)
A964) "Bessel Functions, Part IV, Kelvin Functions" Royal Society
Mathematical Tables, Vol. 10, Cambridge Univ. Press, London
and New York.
Янкович (Jankovic Z.)
A961) Rad. Jugoslav Akad. Znan. Umjet. Odjel Mat. Fiz. Tehn. Nauke
319,59- 119.

Указатель обозначений
Л = ЛШ>", А=Ат>% 205
Ai(z) - функция Эйри 334
(а)к = Г{а + к)/Г(а) 164
В
в = вт,п Ё=В™>п 206
Р Р
В, = Bk(Q) - числа Бернулли 541
#^ (х) - обобщенный многочлен
Бернулли 540
Bfe(x) = В^(х) - многочлен Бернулли 541
Bi(z) - функция Эйри 334
В(а, Ъ) - бета-функция 318 - 319
bery(z), beiv(z) 334
ВСР(х) - наилучшее полиномиальное
приближение в смысле Че-
бышева функции, имеющее
п
вид 2 атхт> 0< х< а,
т — О
си. пп. 1.6.3, 3.5.2, 9.13.3
ВСР{у) — аналогично ВСР(х) с той
разницей, что х= \Jy и у^а
Сп" + (х) - многочлен Гегенбауэра или
ультрасферический 463
Су( z) - цилиндрическая функция 332
C(z) - интеграл Френеля 145 - 146

Указатель обозначений 587
Ci(z) - интегральный косинус 123
Ci(a, z) 122
СТ(х) - приближение функции, имею-
оэ
щее вид 2 akTk(x/a),
k = o
—a < х< а, см. пп. 1.6.3,
3.5.2, 4.10.3 и 9.13.3
СТ*(х) - аналогично СТ(х) с той
разницей, что вместо Tk(x/a)
используется Т*(я/а)и0< х<а
СТ(у) - аналогично СТ(х) с той
разницей, что вместо Tk(x/а)
используется Т|(а/у) и у >а
D = d/dz - оператор взятия производной
542
D(A)«D?'gn(A) 207
D (z) — параболическая цилиндричес-
V
кая функция 320
Е1 (z) = -Е i(-z) - интегральная показательная
функция ПО
*W*il«t> 211
Ev(z) - функция Вебера 442
Ei(x) - интегральная показательная
функция 111
Erf(z) - функция ошибок 127
Erfc(z) - дополнительная функция
ошибок 127
Erf i(z) - модифицированная функция
ошибок 127

588 Указатель обозначений
E(av a2,..., %; ьу b2,...,b; z)
E(k)
= E(ap; bq; z)
E(X) = E™>n(\\ E(\) = E™>n(\)
erf(z)
erfc(z)
exp(z)= e2
Е-функция Мак-Роберта, 186
полный эллиптический
интеграл второго рода 319
207
функция ошибок 127
дополнительная функция
ошибок 129
экспонента 51
pFq(a\>a2> ••¦ >ар>Р\> Р2>°
= F ?аЛ, а2% ..., ар
Р q W ?2> •••' Pq
^Wp^-^C'I*)
FL{*>p)
f{a, b\ с; z)
f{a;c; z)
обобщенная
гипергеометрическая функция 164
обобщенная
гипергеометрическая функция 165
вместо pF ; усеченный
обобщенный
гипергеометрический ряд 166
184
волновая функция Коломба 320
276
306
GLG7, р)
°г;(«1Г;)
p,q \ II t'
волновая функция Коломба 320
G-функция Мейера 184
211

Указатель обозначений
н
Нп(х) — многочлен Эрмиша 464
*p,qw 212
Н (z) - ассоциированные функции
Г<1>/*\ цB)/
Бесселя 443
Я '(z), Я^ (z) - функции Ганкеля
соответственно первого и второго
рода 333
Н (z) - функция Струве 442
K{F{t), у, г/} - преобразование Ганкеля 475
/г (z) - ассоциированная функция
Бесселя 443
f (z) - мнимая часть числа z
lx(a, Ь) — неполная бета-функция 318
/ (z) — модифицированная функция
Бесселя первого рода 333
in erfc(z) - повторный интеграл от
дополнительной функции ошибок
129
Jv (z) — функция Бесселя первого
рода 333
J v (z) - функция Энгера 442
У (z) - частичный или повторный ин-
теграл от /v(z) 337
К
Kp>g(z) 219
Ка v(z) - частичный или повторный
интеграл от Kv(z) 423

590 Указатель обозначений
К (z) - модифицированная функция
Бесселя второго рода 333
К (k) - полный эллиптический
интеграл первого рода 319
kerv(Z),keiv(Z) 333
LP,^> 4>> 218
L^a>(x) - многочлен Лягерра 463
L (z) - модифицированная функция
Струве 442
М
Mk m(z) - конфлюентная
гипергеометрическая функция Уитекера
314
Рп{х) - многочлен Лежандра 463
р&, р> ^ _ многочлен ятби 463
Рц(г) - ассоциированная функция
Лежандра первого рода 319
Р (г/, г) — многочлен Бесселя 464
Qy{z) - ассоциированная функция
Лежандра второго рода 319
Q-l? (z) — ассоциированная функция
Якоби 480
R(z) - действительная часть числа
#п( а' Р* - сдвинутый многочлен Ятсоб^ 463
R(ft,A) =R?'n{h, A) 207

Указатель обозначений 597
S (z) - функция Ломмелл 442.
Si(z) - интегральный синус 123
Si(of z) 123
S{z) - интеграл Френеля 145 - 146
s v(z) - функция Ломмеля 442
si (z) - интегральный синус 123
Sr(Ap) m
Тп(х) - многочлен Чебыше в а первого
рода 463
Т*(х) - сдвинутый многочлен Чебыше-
ва первого рода 463
Г(*, A) = Tm>n(/, Л) 207
V у Ч
U
U(a\ с, z) - конфлюентная
гипергеометрическая функция 302
Vn(x) - многочлен Чебышева второго
рода 463
U* (х) - сдвинутый многочлен
Чебышева второго рода 463
U(p,t) - функция Войта 128
Wk m(z) - конфлюентная
гипергеометрическая функция Уиттекера
314
Wv(z) - обозначает произвольную бес-
селеву функцию трех первых
родов или модифицированную
бесселеву функцию первого
или второго рода 334

592 Указатель обозначений
V{p, t)
- функция Bouma 128
Yv(z)
P P
ap= П aj}(ap)k= П (ау)л
; = i
; = 1
3
r,Vi<*>
T(a,z)
r(z)
У
A%n@, A@
S = zD = zd/dz
функция Бесселя второго
рода 332
используют в связи с
обобщенными
гипергеометрическими G-функциями 165
параметр, используемый в
связи с F для обозначения
q + 1 - р 219
220
дополнительная неполная
гамма-функция 84
гамма-функция 11
постоянная Эйлера - Маскеро-
ни 11 В литературе ее
часто называют постоянной
Эйлера
• неполная гамма-функция 84
205
- оператор взятия производной
542, а также параметр,
используемый в связи с
G-функциями 196
- дельта-функция Кронекера
458 - 459
- параметр, исаользуемый в
связи с G-функциями 210
- параметр, такой, что еп = 1}
если п = 0, и еп = 2, если
п >0 34

Указатель обозначений
593
17
e{i,r_) = e™'n{i,r), e(i,r) =
= вр'ПA,г)
V
р
a
т
тСР(х)
тСР(у)
ф(а;с; z)
Ф(й1Л) = Ф^п(/г,Л),Ф(ЙД) =
= *?'qn{h,\)
ф(а;с;г)
t(h,\)=tp>?(h,k), ф(к,\) =
- параметр, используемый в
связи с G-функциями 210
- параметр, используемый в
связи с многочленами Япо-
бп для обозначения а + j3 +1
466
- параметр, используемый в
связи с G-функциями 210
- параметр, используемый в
связи с G-функциями 210
- параметр, используемый в
связи с G-функциями 210
- параметр, используемый в
связи с G-функциями 210
- полиномиальное приближение
степени п для функции,
получаемое г-методом или
одним из его
разновидностей с использованием
многочленов Чебышева; 0<х<а
162
- аналогично тСР{х) с той
разницей, что х заменяем на
У У, где у >а
- конфлюентная
гипергеометрическая функция 303
207
- конфлюентная
гипергеометрическая функция 303
207

594 Указатель обозначений
ф(г)
0(A) =am>?(*),Q(fc) = Qm'2(*)
lnz
za _ ^alnz
f") =i»!/U!(m- n)!l
4(m)(z)
[*]
V.P. /
- логарифмическая производная
от гамма-функции 11
206
- главное значение
натурального логарифма от z
-(In z определен выше)
- биномиальный коэффициент.
Используется и в
обобщенном смысле, например
когда п\ заменено на Г (п + 1)
21-22
- обычно означает dmA(z)/dzm
- наибольшее целое, меньшее
х, х > О
- главное значение интеграла
Коши
- асимптотическое равенство
- опущение параметра.
Например, в F„ Л aP I z ]
опущен параметр 1 + р. - р.,
У = /г. Аналогично (а Л - а г,)*
означает П (а: - а Л) и т.п.
;=1
182

Предметный указатель
Алгоритм Кленшо 511 — 515
Бета-преобразования для JFq
170-171
-Эйлера 414
Биномиальный коэффициент
21 -22
Вронскианы 286-287, 310, 335
Гамма-функции 11
- логарифмическая производная
см. Пси-функция
- неполные 84 - 162, 127, 318
вычисление 105 - 110
Дельта-функция Кроиекера 458
Дилогарифм 74
Доминанта 212
Интеграл Меллина - Барнса 180
- неопределенный для pFq 172
- от произведения двух G-функ-
ций 197-198
Интегральные представления
для lFl 302 -303
2*1 275
Интегральный косинус 122 - 126
- синус 122 - 127
Интегралы неполные 443
- от бесселевых функций 337 -
338
многочленов Якоби 469
Интегралы полные 44
эллиптические 319 — 320
- содержащие G-функции 196 -
200
- - pFq 170 - 173
- Френеля 145 - 149
Квадратный корень 36-38
Конфлюенция относительно а
191
Коэффициенты ряда Япоби для
функции, представленной
рядом Тейлора 477 - 479
как интегральные
преобразования 473 - 477
- Фурье 472
Математические константы 548 -
551
Метод выбранных точек 532 -
533
- основного ряда 546
- перевала 481, 482
- суммирования регулярный 243
Многочлены Бернулли 242
- Бесселя 540 - 542
- Гегенбауэра 463
- Лежандра 463
- Лягерра 463
обобщенные 246
- ортогональные 319, 457-515
- ультрасферические см.
Многочлены Гегенбауэра

596 Предметный указатель
- Чебышева второго рода 463,
489 - 490
сдвинутые 463,490 -
493
ортогональность,
суммируемость разложений 501 — 508
первого рода 457, 463, 484-490
сдвинутые 463, 490 -
493
Многочлены Эрмита 464
- Якоби 463, 466 - 484
- - сдвинутые 463, 467 - 468
Неравенства для бесселевых
функций 425-430
биномиальной функции 43 -
44
гамма-функций 26 - 29
гиперболических функций 68
логарифмических функций 50
обратных
тригонометрических и гиперболических
функций 79 - 80
функции ошибок 144 - 145
показательной функции 59—
60
--iFi 314
--2*1 296
- - pFq 268 - 272
G-функции 268 - 272
- -tf(z/, zI03 -104
--Г>, zI04
Оператор D 542 - 544
- 8 542 - 544
Ортогональности соотношение
464
П овторные интегралы и
производные от функции ошибок
129 - 130
Погрешность приближения к
G-функции 245 - 247
Последовательность функций
ортогональная 458
ортонормированная 459
Правило трапеций 507
Предел конфлюентный 191
Преобразования Ганкеля 475
для G-функции 198
- квадратичные для 2FX 281
- Лапласа для G-функции 198-
199
р^171
- Меллииа для G-функции 196
PFqm
- Фурье для G-функции 199-200
- Эйлера для G-функции 200
- Н для G-функции 198
- К для G-функции 198
- Y для G-функции 198
Приближение, наилучшее в
смысле наименьших квадратов 459,
524
чебышевское 524
- Паде для биномиальной
функции 34 - 42
гиперболических функций
67- 68
интегральной
показательной функции 118 - 122
интегралов Френеля 146
квадратного и
кубического корней 38-40
логарифмических
функций 48-50
неполной гамма-функции
86 - 102
обратных
гиперболических функций 77 — 78
тригонометрических
функций 75 - 76

Предметный указатель 597
показательной функции
55-59
функции ошибок 132 -141
i*iA; v+ !,-«) 86- 89
2Fi 291 -295
zi-ve*F(i/, z) 89- 91
Приближения Паде нормальные
528
оценка погрешности 40-42
- полиномиальные 523 - 539
и рациональные для G-функ-
ций243-247
pFq 238-243
- рациональные 523 — 539
для интегральной
показательной функции 113 - 117
пси-функции 23—26
тригонометрических
функций 65 - 68
Hv(z)-Yv(z) 451 -454
- с помощью правила трапеций
для функции ошибок 141 — 144
разложения Чебышева по
многочленам первого рода
523 -527
- функций, определяемых
дифференциальным уравнением,
см. т -метод
степенными рядами 533 —
534
- экономизированные 529
Принцип конфлюентности 190 —
194
Произведения функций Бесселя
335-336
--lFx 305
Производные от lFl 303
- - 2FX 272 - 273
Пси-функция 11
Разложения асимптотические
для функций Бесселя
Доммем 444
Струве 444
i*i 310-312
pFq 218-225
G-функций 210 —
336-
218
-337
Разложения бесселевых функций
по многочленам Чебышева
338 - 346, 352 - 353, 364 -
379
функциям Бесселя 382 —
383
- биномиальной функции по
многочленам Чебышева 33 - 34
Якобы 33 - 34
функциям Бессем 34
- гамма-функций и функций, с
ней связанных 17
асимптотические
17-22
- гиперболических функций по
многочленам Чебышева 61
- дилогарифма по многочленам
Чебышева 74
- интегралов бесселевых
функций по многочленам
Чебышева W, 354-358, 380-381
Френеля по многочленам
Чебышева 146 - 149
функций по многочленам
Чебышева первого рода 493 -
500
сдвинутым
496 - 499
нечетного порядка
500
четного порядка
499 - 500

598 Предметный указатель
- интегральных показательных
функций по многочленам
Чебышева 111 - 113
синуса и косинуса по
многочленам Чебышева 123-126
- конфлюентных
гипергеометрических функций по
многочленам Япобп 230
- логарифмических функций по
многочленам Чебышева 46 -
47
- многочленов Чебышева по
функциям хп 489 - 490, 494 -
495
- неполной гамма-функции 84 —
85
- обратных гиперболических
функций по многочленам
Чебышева 70 - 75
тригонометрических
функций по многочленам
Чебышева 70 - 75
- показательной функции по
бесселевым функциям 52-55
по многочленам Чебышева
и Япобп 52 - 55
- рациона,льные для функций
Бесселя 383-402
большие значения
389 - 402
малые значения 383 —
388
Разложения тригонометрических
функций по многочленам
Чебышева, Япобп и бесселевым
функциям 60 - 65
- функций Ломмеля по
многочленам Чебышева и функциям
Бесселя 444 - 450
Япобп 230
Кельвпна по многочленам
Чебышева Ш -363
ошибок по многочленам
Чебышева и функциям Бесселя
130-132
Струве по многочленам
Чебышева и функциям Бесселя
444 - 450
- iFj по многочленам Чебышева
312
функциям Бесселя 313
- 2^i по многочленам Чебышева
291
- pFq по многочленам Чебышева
и обобщенным многочленам
Япобп и Лягерра 233 - 237
- F(x) по многочленам Япобп
473 - 484
асимптотические
оценки 479 - 484
сдвинутым 475
- G-функций по многочленам
Чебышева и обобщенным
многочленам Япобп и Лягерра
225 - 233
G-функциям 204 - 210
- хп по многочленам Чебышева
488 - 489, 492 - 493
- хР по многочленам Япобп
470 - 472
Решение дифференциальных
уравнений разложением в ряд
по многочленам Чебышева
534 - 539
- минимальное
(антидоминантное) 516
- полное 307 - 308
Решения Куммера 278-279
Ряд базисный 477
- гипергеометрический
обобщенный 164
усеченный 166
- Фурье обобщенный 459

Предметный указатель 599
Ряды степенные для
биномиальной функции 33
логарифмических функций
45 -46
обратных гиперболических
и тригонометрических функций
69-70
показательной функции 51
тригонометрических и
гиперболических функций 60
функций Бесселя 332 -333
Ломмеля 442 - 444
Струве 442 - 444
pFq 164-169
Свойства ортогональности 458 -
465
Связь между функциями xFb U
и Уитекера 314 - 315
Скалярное произведение
функций 458
Субдоминанта 212 - 213
Схема Горнера 508 - 515
Таблица Паде 527-529
Таблицы, вычисление и проверка
544 - 548
Теорема Вандермонда 288
- о равносходимости 472
- Спира 19
- сходимости для приближений
к pFq 240
- Уимпа 257
- Доя 258
Теоремы асимптотических
разложений для G-функций 211 -
212,214-218
- Корпута 18
- разложения для G-функций
208-210,225-230
Теоремы сходимости для
приближений к G-функциям 244 -245
разложений по многочленам
Якоби 472 - 473
- умножения для G-функций 194 —
196
-ФилдсаШ - 194
Уравнения гипергеометрические,
полное решение 280-286
- дифференциальные для G-функ-
ций 202 - 204
функций xfx 305 - 307
2*1 275-277
pFq 200 - 202
- разностно-дифференциальные
для многочленов Якоби 469
функции Бесселя 334 - 335
- разностные однородные 516 —
520
- неоднородные 520 - 522
- Шпигеля 290
Формула Ватсона 173
- Диксона 173
- дополнения для гамма-функций
21
- Зальшютца 173
- Парсеваля 460
- Родригеса 466
- трапеций 421, 473
- Уиппла 173
Формулы дифференцирования
гипергеометрических
функций 169-170
- для pFq при частных значениях
параметров и переменной 173 -
180
- квадратурные для вычисления
бесселевых функций 421 -425
- Кристоффеля - Дарбу 462
- Куммера 307
- рекуррентные, вычисление
по 516 -522

600 Предметный указатель
Формулы рекуррентные для
бесселевых функций 403 - 421
погрешность 405 -
413
биномиальной функции 36
интегральной
показательной функции 114
обобщенных многочленов
Якоби и Ллгерра 249 - 258
ортогональных
многочленов 462
пси-функции 23
разложения G-функции
по обобщенным многочленам
Якоби 261 -268
рациональных
приближений pFq 258 - 261
1^A; 1/+1; -z)87
2Fl 293, 294
PFq 222 - 225> 233 - 235
G-функций 206, 207, 212,
231 -232
/v(zL03-405
zi-ve*F(v; z) 90
I anxn 508 - 511
n=o
Функции Бесселя 320, 332 -456
ассоциированные 443
представление через
гипергеометрические функции 383 -
388
- Всйгша129
- гиперболические 60 - 68
обратные 69 - 80
- гиперболического типа 113
- интегральные показательные
110-123
- конфлюентные
гипергеометрические смежные 304 - 305
- Кельвина 333
- Коломбо, волновые 320
- Лежандра 319
- логарифмические 45 - 51
Функции Ломмеля 442 - 456
- смежные относительно
2Fi(a;6;c;zJ73-274
- специальные 312 - 331
представленные через pFq
318-321
G-функции 321 - 327
- Струве 442 - 456
- тригонометрические 60 — 68
обратные 69 - 80
- Уиттекера 314, 320
- цилиндрические 443
- неполные 443
- Эйри 333 - 334
- элементарные 318
- Энгера - Вебера 442
- pFq 312 - 331
Функция Бесселя второго рода
модифицированная 423-425
модифицированная 242
первого рода гс-го порядка
422 - 423
- биномиальная 33 - 44
- гипергеометрическая Гаусса
272 -301,318-319
конфлюентная 191, 302 -317,
320
обобщенная ppq 163-271.
См. также Ряд
гипергеометрический обобщенный
- доминирующая 212 - 213
- ошибок 127 - 145
- параболическая цилиндрическая
320-321
- погрешности Tn{v, z) 90 - 102
- показательная 51 - 60
- производящая 540
Функция Струве
модифицированная 442

Предметный указатель 601
- Якоби второго рода 464
обобщенная 249
первого рода 464
_ e-w 40 - 42
- 2 Fx, аналитическое
продолжение 279-280
частные случаи 287 - 290
- G™>n (z) 180. См. также
G-функция
-A+1)-с 34-36
Числа Бернулли 540 - 542
?-функция Мак-Роберта 186
G-функция 163 - 271, 312 - 333
— аналитическое продолжение
189-190
— представленная через
специальные функции 327 - 331
-связь с ^ 180 -186
— элементарные свойства 186 -
189
г-метод 529 - 533

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава 1 Гамма-функция и функции,
с ней связанные 11
1.1. Определения и элементарные свойства 11
1.2. Степенные ряды и другие разложения в ряды 11
1.3. Асимптотические разложения 17
1.4. Ра^ональные приближения для Ч? (z) 23
1.5. Неравенства 26
1.6- Библиография и информация о таблицах 30
1.6.1. Основные источники 30
1.6.2. Описание таблиц с указанием источников 30
1.6.3. Описание других приближений и разложений с указанием
источников 31
Глава 2 Биномиальная функция зз
2.1. Степенные ряды 33
2.2. Разложения в ряды по полиномам Якоби и Чебышева 33
2.3. Разложения в ряды по функциям Бесселя 34
2.4. Приближения Паде 34
2.4.1.A +1)~с 34
z
2.4.2. Квадратный корень 36
2.4.3. Коэффициенты Паде 38
2.4.4. Функция e~w 40
2.5. Неравенства 43
Глава 3 Элементарные функции 45
3.1. Логарифмические функции 45
3.1.1. Степенные ряды 45
3.1.2. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 46
3.1.3. Приближения Паде 48
3.1.4. Неравенства 50

Оглавление 603
3.2. Показательная функция 51
3.2.1. Разложения в ряды 51
3.2 2. Разложения в ряды по многочленам Якоби и Чебышева и
бесселевым функциям 52
3.2.3. Приближения Паде 55
3.2.4. Неравенства 59
3.3. Тригонометрические и гиперболические функции 60
3.3.1. Степенные ряды 60
3.3.2. Разложения в ряды по многочленам Якоби и Чебышева и
бесселевым функциям 60
3.3.3. Рациональные приближения и приближения Паде 65
3.3.4. Неравенства 68
3.4. Обратные тригонометрические и гиперболические функции 69
3-4.1. Степенные ряды 69
3.4.2. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 70
3.4.3. Приближения Паде 75
3.4.4. Неравенства 79
3.5. Библиография и информация о таблицах 80
3.5.1. Описание таблиц с указанием источников 80
3.5.2. Описание других приближений и разложений с указанием
источников 81
Глава 4 Неполные гамма-функции 84
4.1. Определения и разложения в ряды 84
42. Дифференциальные уравнения и уравнения в конечных разностях 85
4.3. Приближения Паде 86
4.3.1. Функция jFxfl; v +1; -я) 86
4.3.2.Функция z1_vezr(v, z) 89
4.3.3. Погрешность Tn(v, z) при |argz/fe | < тг 91
4.3.4. Отрицательная часть действительной оси и нули
функции Fn(v, z) + 96
4.3.5. Оценка погрешности T^(v, ze~llT) в области
перехода и в области |z/4fe| > 1 99
4.4. Неравенства 103
4.4.1. Функция H(v, z) 103
4.4.2. Функция Г (v, z) 104
4.5. Несколько замечаний о вычислении неполной гамма-функции 105
4.6. Интегральные показательные функции 110
4.6.1. Связь с неполной гамма-функцией и другие свойства 110
4.6.2. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 111
4.6.3. Рациональные приближения и приближения Паде 113
4.7. Интегральный косинус и интегральный синус 122
4.7.1. Связь с интегральной показательной функцией и другие
свойства 122
4.7.2. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 123
4.8. Функция ошибок 127
4.8.1. Связь с неполной гамма-функцией и другие свойства 127
4.8.2. Разложения в ряды по многочленам Чебышева и
функциям Бесселя 130

604 Оглавление
4.8.3. Приближения Паде 132
4.8.4. Приближения с помощью правила трапеций 141
4.8.5. Неравенства 144
4.9. Интегралы Френеля 145
4.9.1. Связь с функциями ошибок и другие свойства 145
4.9.2. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 146
4.10. Библиография и информация о таблицах 149
4.1 0.1. Библиография 149
4.10.2. Описание таблиц с указанием источников 150
4.10.3. Описание других приближений и разложений с указанием
источников 157
Глава 5 Обобщенная гипергеометрическая
функция pFq и G-функция t63
5.1. Введение 163
5.2. Функция pFq 164
5.2.1. Степенной ряд 164
5.2.2. Формулы дифференцирования и родственные соотношения 169
5.2.3. Интегральные представления и интегралы, содержащие
функции pFq 170
5.2.4. Формулы для частных значений переменной и параметров 173
5.3. G-функция 180
5.3.1. Определение и связь с функцией pFq 180
5.3.2. Элементарные свойства 186
5.3.3. Аналитическое продолжение функции GjP^(z) 189
5.4. Принцип конфлюентности 190
5.5. Теоремы умножения 194
5.6. Интегралы, содержащие Офункции 196
5.7. Дифференциальные уравнения 200
5.7.1. Функция pFq 200
5.7.2. G-функция 2°2
5.8. Ряды G-функций 204
5.8.1. Введение 204
5.8.2. Условные обозначения 205
5.83. Теоремы разложения 208
5.9. Асимптотические разложения 210
5.9.1. Функция G^(z),n = 0,1 210
5.9.2. Функции G^'n(z) 212
5.9.3. Функция р (Z) 218
5.10. Разложения в ряды по обобщенным многочленам Якоби,
обобщенным многочленам Лягерра и многочленам Чебышева 225
5.10.1. Разложения G-функций 225
5.1 0.2. Разложения для функции pFq 233
5.11. Разложения в ряды по функциям Бесселя 237
5.12. Полиномиальные и рациональные приближения 238
5.13. Рекуррентные формулы для многочленов и функций,
встречающихся в приближениях к обобщенным гипергеометрическим
функциям 247

Оглавление 605
5.13.1. Введение 247
5.13.2. Рекуррентные формулы для обобщенных функций Якоби
и Лягерра 249
5.13.3. Рекуррентные формулы для многочленов числителя и
знаменателя в рациональных приближениях обобщенной
гипергеометрической функции 258
5.13.4. Рекуррентная формула для коэффициентов в разложении
G-функции в ряд по обобщенным многочленам Якоби 261
5.1 4. Неравенства 268
Глава 6 Гипергеометрическая
функция Гаусса 2FX 272
6.1. Введение 272
6.2. Элементарные свойства 272
6.2.1. Производные 272
6.2.2. Соотношения для смежных функций 273
6.2.3. Интегральные представления 275
6.3. Дифференциальные уравнения 275
6.4. Решения Куммера и формулы преобразования 278
6.5. Аналитическое продолжение 279
6.6. Полное решение и вронскианы 280
6.7. Квадратичные преобразования 287
6.8. Функция 2Fi при частных значениях аргумента 287
6.9. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 291
6.10. Приближения Паде для функции 2FX A, а; р + 1; -Л/%) 291
6.11. Неравенства 296
6.12. Библиография и информация о таблицах 296
6.12.1. Основные источники 296
6.12.2. Описание таблиц с указанием источников 297
Глава 7 Конфлюентная гипергеометрическая
функция 302
7.1. Введение 302
7.2. Интегральные представления 303
7.3. Элементарные соотношения 303
7.3.1. Производные 303
7.3.2. Смежные конфлюентные гипергеометрические функции 304
7.3.3. Произведения конфлюентных функций 305
7.4. Дифференциальные уравнения 305
7.5. Полное решение и вронскианы 307
7.6. Асимптотические разложения 310
7.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 312
7.8. Разложения в ряды по функциям Бесселя 313
7.9. Неравенства 314
7.10. Другие обозначения и функции, связанные с конфлюентной
гипергеометрической функцией 314
7.11. Библиография и информация о таблицах 315

606 Оглавление
7.11.1. Основные источники 315
7.11.2. Описание таблиц и других способов приближения
с указанием источников 315
Глава 8 Идентификация pFq и G-функций
со специальными функциями 318
8.1. Введение 318
8.2. Специальные функции, представленные как функции pFq 318
8.2.1. Элементарные функции 318
8.2.2. Неполная гамма-функция и функции, связанные с ней 318
8.2.3. Гипергеометрическая функция Гаусса 318
8.2.4. Функции Лежандра 319
8.2.5. Ортогональные многочлены 319
8.2.6. Полные эллиптические интегралы 319
82.7. Конфлюентные гипергеометрические функции,
функции Уиттекера и функции Бесселя 320
8.3. Обсуждавшиеся ранее специальные функции, выраженные
с помощью G-функции 321
8.4. Выражение G-функции через названные выше специальные
функции 327
Глава 9 Функции Бесселя и их интегралы 332
9.1. Введение 332
9.2. Определения, соотношения связи между функциями и
степенные ряды 332
9.3. Разностно-дифферен циальные уравнения 334
9.4. Произведения бесселевых функций 335
9.5. Асимптотические разложения для больших значений
независимой переменной 336
9.6. Интегралы бесселевых функций 337
9.7. Разложения в ряды по многочленам Чебышева 338
9.8. Разложения в ряды по функциям Бесселя 382
9.9. Рациональные приближения 382
9.9.1. Введение 383
9.9.2. Функция /v (z) для малых значений z 383
9.9.3. Функция Kv(z) для больших значений z 389
9.10. Вычисление бесселевых функций по рекуррентным формулам 403
9.10.1. Введение 403
9.10.2. Применение рекуррентной формулы в обратном
направлении для вычисления функции /v(z) 403
9.10.3. Выражения в замкнутом виде 405
9.1 0.4. Выражения для функции /v(z) 413
9.1 0.5. Численные примеры 417
9.11. Вычисление бесселевых функций с помощью квадратурных
формул типа формул трапеции 421
9.12. Неравенства 425
9.13. Библиография и информация о таблицах 430

Оглавление 607
9.13.1. Основные источники 430
9.13.2. Описание таблице указанием источника 431
9.13.3. Описание других приближений и разложений с указанием
источников 439
Глава 10 Функции Ломмеля, функции Струве
и функции Бесселя, связанные с ними 442
1 0.1. Определения, соотношения связи и степенные ряды 442
1 0.2. Асимптотические разложения 444
1 0.3. Разложения в ряды по многочленам Чебышева и функциям
Бесселя 444
1 0.4. Рациональные приближения функции Hv(z) - Yv(z) и
погрешность в этих приближениях 451
1 0.5. Библиография и информация о таблицах 455
10.5.1. Основные источники 455
1 0.5.2. Описание таблиц с указанием источников 455
Глава 11 Ортогональные многочлены 457
11.1. Введение 457
11.2. Свойства ортогональности 458
11.3. Многочлены Я к оби 466
11.3.1. Формулы разложения 466
11.3.2. Разностно-дифференциальные формулы 469
11.3.3. Интегралы 469
11.3-4. Разложение функции хР в ряд по многочленам Якоби 470
11.3.5. Теоремы сходимости для разложения в ряды по
многочленам Якоби произвольных функций 472
11.3.6. Вычисление и оценка коэффициентов разложения
в ряды по многочленам Якоби некоторой заданной
функции F(x) 473
11.4.Многочлены Чебышева Тп(х) и Ur(x) 484
11.5. Многочлены Чебышева Тп*(х)и(/*(х) 49°
11.6. Коэффициенты разложения интегралов функций в ряды
по многочленам Чебышева первого рода ^
11.6.1. Введение 493
11.6.2. Ряды по сдвинутым многочленам Чебышева 496
11.6.3. Разложения по многочленам Чебышева четного порядка 499
11.6.4. Разложения по многочленам Чебышева нечетного
порядка 500
11.7. Свойства ортогональности многочленов Чебышева и их связь
с вопросами суммируемости разложений по этим многочленам 501
11.8. Применение схемы Горнера для вычисления разложений
в ряды функций, удовлетворяющих линейным разностным
уравнениям конечного порядка 508

608 Оглавление
Глава 12 Вычисления с помощью
рекуррентных формул 516
12.1. Введение 516
12.2. Однородные разностные уравнения 516
12.3. Неоднородные разностные уравнения 520
Глава 13 Некоторые аспекты рациональных
и полиномиальных приближений 523
13.1. Введение 523
13 2. Приближения с помощью разложения в ряды по многочленам
Чебышева первого рода 523
1 3.3. Таблица Паде 527
13.4. Приближение функций, определяемых дифференциальным
уравнением (т-метод) 529
13.5. Приближение функций, определяемых степенными рядами 533
13.6. Решение дифференциальных уравнений с помощью разложения
в ряд по многочленам Чебышева первого рода 534
Глава 14 Разное 540
14.1. Введение 540
14.2. Многочлены и числа Бернулли 540
14.3. Операторы D и 8 542
14.4. Вычисление и проверка таблиц 544
14.5. Математические константы 548
14.6. Список работ, появившихся за последнее время 549
Список литературы 553
Указатель обозначений 586
Предметный указатель
595