Содержание
Глава 1. Введение
Глава 2. Основные постулаты квантовой механики
Глава 3. Одномерное уравнение Шредингера
Глава 4. Элементы теории представлений в квантовой механике
Глава 5. Гармонический осциллятор
Глава 6. Центральное поле
Глава 7. Атом водорода
Глава 8. Квазиклассическое приближение
Глава 9. Стационарная теория возмущений
Глава 10. Функция Грина и ее применения в теории возмущений
Глава 11. Нестационарная теория возмущений
Глава 12. Магнитные взаимодействияв нерелятивистской теории
Глава 13. Сложение моментов
Глава 14. Системы тождественных частиц
Глава 15. Атом гелия
Глава 16. Сложный атом
Глава 17. Взаимодействие атомов с классическим ЭМ полем
Глава 19. Свободное ЭМ поле
Глава 20. Излучение электромагнитного поля
Литература
Text
                    УДК 530.145(075)
ББК 22.314я73
Б43
Рецензенты:
Кафедра теоретической ядерной физики Московского инженерно-физического
института (государственного университета)
Доктор физико-математических наук, профессор А.А! . Попов
Белоусов Ю.М.
Б43 Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория:
Учебное пособие. — М.: 2006. — 408 с.
1$ВЫ 5-7417-0036-5
Пособие написано на основе материала лекций годового курса «Квантовая меха-
ника», прочитанного автором студентам МФТИ. Систематически излагается аппарат
и основные методы квантовой механики. В соответствии с программой курса пред—
ставлены элементы квазирелятивистского приближения и рассмотрено взаимодейст-
вие систем заряженных частиц с квантованным электромагнитным полем.
Для физических и физико-технических факультетов университетов, изучающих
теоретическую физику.
УДК 530.145(075)
ББК 22,314я73
Учебное издание
БЕЛО УСОВ Юрий Михайлович
КУРС КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
1-ісрслятпвпстская теория
Редактор О.П. Котова. Корректор И.А. Волкова.
Подписано в печать 21.07.06. Формат 60 ›‹ 84 1Аб. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 25,5. Уч.- изд. л. 25,0. Тираж 500 экз. Заказ ф-127.
Государственное образовательное учреждение
высшего про‹]›ессиоиального образования
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ»
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
1$ВЫ 5-7417-0036-5 © Белоусов Ю.М., 2006
© Московский ‹]›изико-техничсский институт
(государственный университет), 2006


Оглавление Предисловие ...................... Глава 1. Введение .................. 1.1. Необходимость введения квантового описания ..................... 1.2. Уравнение Шредингера ............. 1.3. Уравнение непрерывности ........... 1.4. Теоремы Эренфеста ............... Глава 2. Основные постулаты квантовой 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 25. 2.6. 2.7. механики .................. Постулаты .................... Волновые функции и операторы ....... Стационарное уравнение Шредингера Оператор эволюции ............... Производная по времени от оператора . . . . Некоторые общие свойства решения уравнения Шредингера ........... . . . Соотношение неопределенностей Глава 3. Одномерное уравненИе ШрединГера 3.1. “Оправдание” одномерной МОдели ....... 3.2. 3.3. 3.4. Общий анализ решений одномерного уравнения Шредингера ............. Связанные состояния .............. Осцилляционная теорема ............ 97 27 28 50 55 59 59 61 63 65
3.5. Непрерывный спектр .............. 68 Глава 4. Элементы теории представлений в квантовой механике .......... 74 4.1. Дираковский формализм ............ 74 4.2. Представления основных операторов ..... 80 4.3. Уравнение Шредингера“ в матричном представлении .................. 91 Глава 5. Гармонический осциллятор ....... 95 5.1. Г амильтониан .................. 95 5.2. Операторы @ и СП” ................ 96 5.3. Спектр и состояния осциллятора. Энергетическое представление ......... 98 5.4. Волновые функции ............... 101 5.5. Когерентные состояния осциллятора ..... 104 Глава 6. Центральное поле ............. 110 6.1. Задача двух тел в квантовой механике . . . . 110 6.2. Центральное поле ................ 112 6.3. Орбитальный момент количества движения ..................... 120 6.4. Момент импульса ................ 124 Глава 7. Атом водорОДа ............... 141 7.1. Радиальное уравнение. Атомные единицы . . 141 7.2. Асимптотика решений радиального уравнения ..................... 143 7.3. Энергетический спектр атома в0дор0да . . . 145 7.4. Полный набор квантовых чисел. Случайное (кулоновское) вырождение . . . . 149 Глава 8. Квазиклассическое приближение . . . 152 8.1. Обоснование квазиклассического приближения ................... 152
8.2. 8.3. 8.4. 8.5. Волновая функция в квазиклассическом при- ближении ..................... 155 Правило квантования Вора—Зоммерфельда . 160 Нормировка волновой функции ........ 167 Проникновение частицы через потенциаль- ный барьер .................... 168 Глава 9. Стационарная теория возмущений . . 173 9.1. 9.2. 9.3. Теория возмущений для невырожденного спектра энергии ................. 173 Теория возмущений для вырожденного спек- тра энергии .................... 180 Теория возмущений для близких уровней энергии ...................... 187 Глава 10. Функция Грина И ее применения 10.1. 10.2. 10.3. в теории возмущений .......... 191 Функция Грина стационарного уравнения Шредингера ................... 191 Функция Грина стационарного уравнения Шредингера в координатном представлении ........ 196 Борновское приближение в теории рассеяния ..................... 200 Глава 11.Нестационарная теория возмущений . 207 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. Представление Гайзенберга .......... 207 Представление взаимодействия . . ` ...... 213 Нестационарная теория возмущений. Вероятность перех0да .............. 215 Критерий применимости ............ 218 Вероятность перехода в непрерывном спектре 222 Квазистационарные состояния ......... 225
11.7. ПереХОДы‚ вызываемые возмущением, дей— ствующим в течение конечного времени ...................... 228 11.8. Эффект Ааронова—Бома, фаза Берри . . . . 233 Глава 12. Магнитные взаимодействия в нерелятивистской теории ....... 241 12.1. Уравнение Клейна—Фока—Гордона ....... 242 12.2. Уравнение Дирака ................ 248 12.3. Двухкомпонентное представление ....... 252 12.4. Плотность заряда и плотность тока дираковской частицы .............. 255 12.5. Уравнение Дирака для заряженной частицы в электромагнитном поле. Уравнение Паули ................ 257 12.6. Спин—орбитальное взаимодействие ...... 261 12.7. Оператор магнитного момента в квантовой механике ............... 265 Глава 13.Сложение моментов ........... 270 13.1. Прямое произведение .............. 270 13.2. Полный момент сво60дной дираковской ча— стицы ....................... 274 13.3. Сложение моментов ............... 282 Глава 14.Системы тождественных частиц . . . 292 14.1. Симметрия относительно перестановок . . . . 292 142. Описание системы тождественных частиц. Одночастичные состояния ...... 295 14.3. Связь М—частичных состояний с полным спи- ном . . ..................... 298 Глава 15.Атом гелия ................. 303 15.1. Гамильтониан .................. 303
|5.2. Правильные функции и поправки первого порядка ...................... 304 15.3. Знак кулоновского обменного интеГрала . . . 307 15.4. Состояния атома гелия ............. 308 1.5.5. Основное состояние атома гелия ....... 312 15.6. Оамосогласованное поле ............ 315 Глава 16.Сложный атом ............... 318 16.1. Гамильтониан сложного атома ......... 318 16.2. Нулевое приближение .............. 322 16.3. Первое приближение .............. 328 16.4. Второе приближение .............. 330 Глава 17 .ВзаИМОДействие атомов с классическим 17.1. 17.2. 17.3. 17.4. 17.5. электромагнитным полем ........ 338 Гамильтониан сложного атома во внешнем постоянном магнитном поле ..... 338 Аномальный Эффект Зеемана ......... 340 Диамагнетизма атомов и парамагнетизм Ван Флека ....................... 343 Эффект Пашена—Бака ............. 345 Атом в переменном поле ............ 346 Глава 18.Фазовая теория рассеяни'я 18.1. 18.2. 18.3. 18.4. 18.5. 18.6. 18.7. (метод парциальных волн) ....... 354 Задача двух тел в теории рассеяния ..... 354 Оптическая теорема ............... 362 Рассеяние медленных частиц ......... 363 Вклад парциальных волн в сечение рассеяния ..................... 367 Особенности рассеяния тождественных частиц368 Элементы теории неупругого рассеяния . . . 372 Обобщение метода парциальных волн на случай неупругого-рассеяния ........ 375
Глава 19. Сво60дное электромагнитное поле . . 37 9 19.1. Гамильтониан электромагнитного поля. . . . 379 19.2. Энергетический спектр и состояния электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . 388 Глава 2О.И3лучение электромагнитного поля . 392 20.1. Гамильтониан системы заряженных частиц, взаимодействующих со СВОБОДНЫМ электромагнитным полем . . . . . 392 20.2. Электрическое дипольное излучение . . . . . 395 20.3. Правила отбора для электрического дипольного переХОДа . . . . . . . . . . . . 400 Литература.......................408
Предисловие Учсбное пособие, предлагаемое читателю, написано по ма- териалам курса лекций по Квантовой механике, читавших- (тя автором в течение многих лет студентам 1П—Г/ курсов МФТИ факультетов ФРТК и ФАКИ. В настоящее время существует немалое число учебных пособий по квантовой механике, среди которых студент может выбрать наиболее подходящее как по стилю изложения, так и по объему ма- териала и его подбору. Безусловно, наиболее полным и по- следовательным представляется третий том десятитомного курса “Теоретической физики” Л.Д. Ландау и Е.М. Лиф— шица [1], который был и остается основным рекомендуе— мым пособием в курсе квантовой механики МФТИ. Сре- ди рекомендуемой учебной литературы, изданной в свое время большими тиражами, следует также отметить двух— томный курс квантовой механики А. Мессиа [2], а также курсы Д.И. Блохинцева [3], А.С. Давыдова [4] и В.В. Ба- лашова и В.К. Долинова [5] Нельзя не упомянуть книгу П.А.М. Дирака [6], которая представляет большой интерес для читателей, знакомых с квантовой механикой, и, к со- жалению, трудно воспринимаема большинством студентов при первом чтении. Каждое учебное пособие имеет свои преимущества и недостатки перед другими и рассчитано на определенную аудиторию. Естественно, перечисленные учебные пособия СОДержат объем материала, существен— но превосх0дящий даже стандартный годовой курс, и про— блема сокращения материала и приведения его в соответ—
ствие г0довому университетскому курсу решалась издани— ем кратких курсов. Возможно, первым наиболее успешным был “Краткий курс теоретической физики” Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [7], издание которого, к сожалению, не было закончено. Следует отметить также учебное пособие П.В. Елютина и В.Д. Кривченкова, написанное на основе курса лекций МГУ [8]. Ведущие лекторы многих университетов также издавали учебные пособия, (например, учебное по- собие Друкарева [9], соответствующее материалу лекций, прочитанных им в ЛГУ). Интенсивный курс теоретической физики МФТИ, есте- ственно, имеет свою специфику, которая заключается, прежде всего, в том, что он читается всем студентам всех факультетов. В связи с большой учебной и инфор— мационной нагрузкой большинству студентов просто не хватает времени даже на внимательное прочтение реко— мендуемых учебных пособий. Конспекты лекций в то же время не могут полностью заменить книгу. Предлагаемое учебное пособие восполняет имеющийся пробел: оно со- держит достаточно полное изложение материала в соот- ветствии с предлагаемыми учебными программами и при этом не перегружено разделами, представляющими инте- рес для студентов, избравших для себя специализацию в области теоретической физики. Подготовке данного учебного пособия предшествовали длительные дискуссии с коллегами кафедры, в результате которых и сформировался представленный ПОДбор матери— ала, за что я им всем очень признателен. Это вовсе не озна— чает, что данный материал Одинаковым образом излагает— ся всеми лекторами кафедры на своих потоках: каждый лектор читает свой оригинальный курс. Просто он соот— ветствует учебным программам курса квантовой механики общего курса теоретической физики, который читается два с половиной года студентам МФТИ. Хотелось бы особенно 10
отметить, что глава, посвященная теории представлений в квантовой механике, а также ее применения в последую- щих главах написаны ПОД впечатлением лекций, прочитан— ных в свое время С.Т. Беляевым, ПОДХОД которого к изло— жению материала по всем курсам теоретической физики отличался оригинальностью и четкостью. Хотелось бы по— благодарить С.П. Аллилуева, А.Л. Барабанова, С.С. Гер— штейна, Г.С. Ирошникова, В.П. Смилгу и А.И. `Тернова, в тесном сотрудничестве с которыми формировался суще— ствующий в настоящее время ГОДОВОЙ курс квантовой ме— ханики МФТИ, а также В.П. Кузнецова и В.В. Киселева, сделавших полезные замечания при подготовке рукописи. 11
Глава 1 Введение 1.1. Необходимость введения квантового описания Принципиальное отличие квантовой механики от привыч- ной нам классической состоит в том, что она изучает и опи- сывает поведение микросистем, которые непосредственно макросистемами (нами) не наблюдаются. Все сведения об этих системах оказываются по сути дела косвенными. К необходимости создания новой механики, новой на- уки, описывающей поведение микроскопических систем, привело развитие в первую очередь экспериментальной физики, позволяющей исследовать все более тонкие эф- фекты и взаим0действия‚ которые, начиная с некоторого этапа, перестали объясняться с позиций развитой класси— ческой механики и электр0динамики. Подробно эти вопро- сы и противоречия обсуждаются и изучаются в курсе об— щей физики. Мы здесь лишь напомним основные вехи фор- мулировки квантовой механики. В настоящее время приме— нение квантовой механики столь широко, что в некоторых приложениях она уже становится инженерной наукой. Во—первых (пожалуй, с этого все и началось), открыли строение атома. Это открытие сразу же вступило в проти— воречие с основами классической электродинамики, с по— зиций которой такие системы не могут быть устойчивы— 1'2
ми. Таким образом, если, с одной стороны, электродина- мика верна, то движение электронов в атоме описывается не ньютоновской механикой. С другой — тогда и излучать такие заряженные системы должны по-другому, если дви- жение частиц ПОДчиняется другим законам. Главный ВЫВОД — энергия системы должна иметь некоторое минимальное значение, что запрещает далее терять системе энергию на излучение электромагнитного поля. Иными словами, есть ограНичения, блаГОДаря которым энергия системы не все— гда может принимать любые значения. Этот вывод пол— ностью согласовывался с явлениями, наблюдаемыми при изучении фотоэффекта. Свет поглощается и испускается атомами с определенной частотой, которая имеет различ- ные значения для различных сред и атомов. К этому вре- мени частота электромагнитного излучения уже была ОД- нозначно связана с энергией: в 1900 году Макс Планк для объяснения спектральных особенностей излучения черного тела предположил, что Е : п…, в т 1, 054 - 10—27 эрг/с И СООТВЕТСТВЭННО ИМПУЛЬС =Ёш—=Ы<. Е с с р : Итак, изучение свойств электромагнитного излучения и его взаим0действия с различными средами привели к перво- му важному ВЫВОДу о квантовании энергии, т.е. к предпо- ложению о существовании систем, в которых энергия мо— жет принимать не любые, а вполне определенные, дискрет- ные значения. Для света это предложение интерпретирует— ся как “двойственная природа”, хотя мы сейчас понимаем, что это понятие весьма пр0дуктивное в начале века сейчас 13
способно несколько запутать современные представления.1 В 1912 г0ду была открыта дифракция электронов на кристаллиЧеской решетке, которая означала, что движение (распространение) электронов не ПОДчиняется обычной ме- ханике Ньютона, поскольку обладает волновыми свойства— ми. Это открытие также интерпретировалось как “двой- ственная прир0да электрона”. Однако мы сейчас понима- ем, что такое двойственное проявление, с Одной стороны, связано с тем, что движение микроскопической частицы подчиняется уравнениям, отличным от уравнений класси- ческой механики, а с другой — связано с квантованием фи- зических величин. Продолжение доказательств квантования (дискретного спектра) физических величин для микросистем дал опыт Франка и Герца в 1913 ГОДУ, который показал, что при столкновениях электронов с атомами их энергия изменя- ется дискретными порциями. Можно сказать, что заклю— чительный аккорд в утверждении о дискретном характере физических величин поставил опыт Штерна и Герлаха в 1921 году, поскольку он доказывал дискретность не толь- ко энергии, но магнитного и соответственно механического момента. Напомним кратко суть этого опыта. Поскольку к тому времени атом уже точно представлялся как поло- жительно заряженное ядро с “вращающимися” вокруг него электронами, он должен был обладать магнитным момен- том, поскольку между механическим орбитальным М и 1Можно примерно то же сказать и о специальной теории отно— сительности, когда для придания соотношению между энергией и скоростью релятивистской частицы привычного ньютоновского ви— да ввели фиктивную зависимость массы частицы от скорости, после чего возникло понятие “массы покоя”. Очевидно, что сохранение тако- го анахронизма в некоторых книгах весьма сомнительно, поскольку часто введит неискушенных читателей в глубокое заблуждение. 14
М&ГНИТНЬ1М и моментами существует ОДНОЗНЕЪЧНЗЯ СВЯЗЬЗ „ : —е——М. (1.1) 2тс Таким образом, атом, обладающий заданным магнитным моментом и помещенный в магнитное поле В, должен при— обретать дополнительную энергию П : —(иВ). Поэто- му в не0днор0дном поле на пучок атомов действует сила Р : (и7)В, отклоняющая его от прямолинейного движе— ния. Если ориентация магнитных моментов атомов в пуч— ке произвольна и равновероятна, пучок после прохожде— ния через не0днор0дное поле должен “размазаться”, имея максимум интенсивности в центре. Далее эксперименталь— ные события развивались по фантастически наилучшему варианту. Эксперимент проводился с парами натрия. Мы знаем сейчас, что атом натрия в основном состоянии об- ладает только спином 1/2, что сильно упрощает наблю— даемую картину. Иными словами, удачный (случайный!) выбор объекта для изучения позволил получить наиболее простую и четкую картину: Одна четкая линия в отсутствйе магнитного поля расщеплялась на две четких линии, что могло означать лишь дискретность значений магнитного момента атома. В чем везение? Стоило авторам выбрать атомы с большим значением момента, картина бы сильно усложнилась и (кто знает?) могло бы оказаться, что тако— го четкого наблюдения нескольких максимумов не наблю— далось бы, а неоднор0дности наблюдаемой картины могли бы быть приписаны чему-то другому. Но дело даже Не в этом: Штерн и Герлах первыми обнаружили наличие чисто квантовой физической величины — спина 1/2 у электрона. Видимо, в этом состоит наибольшее значение описанного эксперимента. Итак, все наши наблюдения микромира приводили к тому, что электромагнитное поле (свет) и микрочастицы 15
(электроны) проявляли себя “двойственным” образом: свет принимал дискретные значения энергии, свойственные ча— стицам, а электроны проявляли при рассеянии свойства;, характерные волновой природе света. Луи де Бройль в 1924 году предположил, что любая частица, обладающая им- пульсом р, описывается некой волной (волной де Бройля), длина которой связана универсальным соотношением Б А : 27г—. 1.2 р ( ) Как известно, электромагнитное поле (в вакууме) подчиня- ется принципу суперпозиции, поэтому любое электромаг- нитное поле может быть представлено в виде суперпози— ции плоских монохроматических волн. Например, вектор- ный потенциал имеет вид Ан, г) : %еАоеЦкг—Ш). (1.3) Здесь ш : Е / 72, р : пк. Тогда волновые проявления части- цы также должны описываться ПОДОбНЫМ образом. Остает— ся только понять, что же такое волна для частицы? Остав— ляя пока этот вопрос без ответа, попробуем формально вве- сти некоторую волну, соответствующую описанию части— цы. Естественно, нужно начинать с самого простого случая — свободной частицы. Поскольку свободная частица харак- теризуется постоянным импульсом, через который ОДНО- значно определяется ее энергия, такая волна вполне адек— ватна плоской монохроматической волне, распространяю— щейся, как известно, в направлении импульса. В отличие от электромагнитного поля, для которого сами определяю— щие его физические величины представлялись волнами, а потому были действительными функциями, в нашем слу— чае нет никаких пока ограничений на функцию, описываю- щую частицу. Поэтому для начала попробуем считать эту 16
волновую функцию скалярной и комлщексной. Тогда м…… хроматическая волна (свободная частица) с учетом ‹:‹›‹›'г ношения де Бройля доЛжна иметь вид Фон:) : Ае%<РГ—Е'*>. (1.4) Для частицы с массой т имеем Е : с/р2 + т202. Мы пока рассмотрели проявление волновых (:пойг'гн свободной частицы Теперь перейдем к другой важной ‚‹ш роне — дискретности физических величин. Из курса этом тр0динамики известно, что с заряженной частицей, обладн ющей орбитальным моментом М, всегда связан магшшшп МОМСНТЗ @ д’ : _М. ( | .И) 2тс Поскольку опыт Штерна—Герлаха показал дискретным-тп. магнитного момента, следовательно, он показал и дискри- ность орбитального момента. До сих пор введена (цін/н. ственнал новая константа: іі, имеющая размерность мо мента количества движения. Иными словами, новая кон станта Гъ есть квант момента количества движения: М .--_ Ы ‚ где 1 — безразмерное число. Из опытов Штерна—Гср.лш.хп следовало ! = 1/2, но мы увидим, что на самом деле д.ц-‚| орбитального момента число 1 может принимать только ци лые значения, а полуцелые числа связаны с более глубоки ми свойствами микрочастиц и не связаны с орбитальным моментом количества движения. Получим теперь характерный масштаб физических …- личин, когда должны проявляться квантовые свойство.. Мы понимаем, что, собственно говоря, именно в атомах движение электронов не описывается классическими уран нениями, поэтому для описания таких систем мы имеем следующие константы, определяющие систему: заряд ‹: и массу электрона т, а также скорость света с и новую “кт… товую” константу іі. Поскольку соотношение 62 /с по своей ‚ 1 - г..; ‚_ ‚ьн а..-п.;… ‚ ..,-.. » 1%…1 на пр.!: .. _...._._…....'‚ .? А`
размерности есть момент количества движения, получаем новую безразмерную универсальную константу 62 1 62 1 $ % &’ соответственно ?; = 110 : Йо — характерная скорость. Видно, что 110 << (3, и движение электронов в атоме, вообще говоря, носит нерелятивист- ский характер. Характерная величина энергии 772,02 _те4 771,64 _ —10 2 М?, ИЛИ Ео— _;{2—то‚510 ЭРГ. Обычно принято измерять энергию в электронвольтах (эВ). Поскольку 1 эВ % 1, 6—10“12 эрг, получаем ЕО % ЗО эВ. Радиус орбиты @@ (характерный размер микросистемы) определяется из соотношения для момента количества дви- жения тоооо : Б, : Е… п2 @@ = —5 % 0,5 - 10—8 см. те Итак, задача квантовой механики — описать системы с ха- рактерными размерами … 1 А и энергиями … 10 — 100 эВ. Как такие системы наблюдать? Из курса оптики известно, что для наблюдения объекта с помощью света необх0димо использовать излучение, длина волны которого А $ оо. Ес— ли использовать излучение с длиной волны А < 10“8 см, мы попадаем в область рентгеновского спектра и имеем частоты ш 2 1018 с_1. В этом случае система (электрон) с характерной энергией … 10 эВ будет взаИМОДействовать с фотоном, имеющим характерную энергию … 103 эВ на два порядка преВОСХОДящей энергию электрона. ОчеВИДно, после такого взаим0действия состояние электрона в атоме будет, вообще говоря, сильно отличаться от первоначаль— ного. Таким образом, повторное измерение физических ве— личин для этого же атома в том же состоянии оказы— вается весьма проблематичным. Следовательно, с позиций 18
макроскопических представлений и классичеркой механи- ки достоверное изучение свойств микросистем оказывается недоступным. Итак, нам следует перейти к описанию физических си- стем, которые, с одной стороны, недоступны непосред— ственному наблюдению (изучению) макроскопическими объектами, а с другой — измерение физических величин (и, следовательно, свойств) приводит к последующему из— менению этих величин и невозможности повторного про— ведения измерения того же состояния системы. Эти два принципиальных момента должны быть заложены в осно- вы квантовой теории, описывающей свойства микросистем. Наконец, рассмотрим еще одну сложность, возникаю- щую при “легкомысленном” описании частицы как волны. Пока мы говорили о сво60дной частице, никаких видимых проблем не возникало. Действительно, неограниченность плоской волны вполне соответствует тому, что свободная частица должна одинаковым образом описываться в лю- бой точке 0днор0дного и изотропного пространства. Слож- ности возникают при рассмотрении локализованных состо- яний, т.е. когда частица нах0дится в ограниченной обла- сти пространства. В этом случае плоская волна не может адекватно описывать частицу. С классической точки зре- ния локализованная ‚частица должна изменять свой им— пульс. Но плоская волна таким свойством не обладает. По- этому мы должны предположитъ, что для волнового опи— сания частицы также справедлив принцип суперпозиции. Для частицы, локализованной в ограниченной области про- странства, мы введем волновую функцию как суперпози- цию волновыа: функций, описывающих сво60дную частицу. Уже этот важнейший шаг выглядит диковато с точки зре— ния классической механики. Итак, суперпозиция есть, ины— 19
ми словами, волновой пакет: Ро+Ар Ф(г‚й)= / с(р)еЁ(рг_ЕЁ)‹ір. (1.6) ро—Ар Для простоты рассмотрим одномерный случай и введем вместо импульса волновой вектор, а вместо энергии — ча- стоту согласно соотношению де Бройля: ісо+АК° 1!($, :) = ] линк“—щин (1.7) део—АА: Здесь пределы интегрирования определяются согласно свойствам интеграла Фурье, а именно: поскольку части— ца характеризуется некоторой скоростью 00, значит в рас- сматриваемой суперпозиции волновой вектор изменяется относительно волнового вектора, соответствующего волне де Бройля, если частица локализована в характерной об- ласти порядка а, то в фурье—образ должны вносить суще- ственный вклад волновые векторы в области АК … 1/а (см. рис. 1.1). Чтобы можно было говорить о длине волны де Брой— ля, амплитуда Фурье должна мало изменяться при изме— нении !с в области интегрирования. В этом случае имеем право разложить все медленно меняющиеся под интегра- лом функции в ряд Тейлора: „(в =ш<іэо> + (%%)Оис — ко) +…щ + (%)0 (к — 190); с(/с) : с(/‹:о) + (%%)0 (д: — 190) + ... % с(Ко). 20
`? ,! 19 ) „ сис) Рис. 1.1. Представление частицы в виде волнового пакета: а — одномерный волновой пакет‚ описывающий частицу, находящу- юся в момент времени 73 в области с характерным размером @; б — распределение Фурье для волнового пакета, представленного на рис. 1.1а Получаем ‚со-РАК ФСБ, 75) % с(/со)еі(’°°$_ш°‘) еі($_(%`°Ё)оЁ)(К`К°)с1К : ‚'со—Аіс АА: :(:„сыеіисош-шоы / экз—(жлоб : _Аіс ° с1ш : 2с(]{:0)81п [($ _ (ЁЁ)О Ё) АК] еі(1<:0:1:—ш0$). “3 _ (3%)075 Окончательно для волновой функции можем записать: . (1 ФСС, г) : с(:1: — игрг)е‘(’°°$_°’°д)‚ где игр : (1—3; — групповая скорость волнового пакета, которая должна совпадать с наблюдаемой скоростью движения частицы. Этот известный из теории колебаний результат для нас имеет важные следствия. Вспомним, что мы будем в основ- 21
ном сейчас изучать нерелятивистские системы, когда Е … тс2 + 15192 Н Е 2т° Легко видеть теперь, что ш: игр : р/т : и : 2ифдз. Таким образом, в волновом пакете, составленном из моно- хроматических плоских волн (состояний свободной части- цы), наблюдается сильная дисперсия, благ0даря которой построенное нами образование не может быть устойчивым. Как говорят: волновой пакет расплывается со временем. Более того, в волновом пакете теперь не определен импульс частицы: как мы отмечали, из свойств интегралов Фурье следует, что для локализованной частицы в области разме— рами Аш : а должны быть представлены волны де Бройля с импульсами, заключенными в основном в интервале Ар таком, что АЁМ1/АСБ или, Ар—Ашшй. (1.8) Итак, к двум важным особенностям описания микро- систем, отмеченными выше, мы должны добавить еще две: принцип суперпозиции и принцип неопределенности. Последний вполне соответствует особенностям изучения свойств микросистем. 1.2. Уравнение Шредингера Постараемся, исходя из сформулированных выше особен— ностей изучения микросистем, определить физический смысл волновой функции. Прежде всего заметим, .что сама волновая функция, будучи комплексной, не может пред— ставлять ни физическую, ни какую-либо другую наблю- даемую величину. Однако по своему смыслу она должна 22
описывать микросистему. Что означает для нае: описать микросистему? Прежде всего —— это определить те физи— ческие величины, которые задают состояние и свойства системы (частицы). Мы видели, что само по себе определе— ние физических величин, характеризующих микросистему, заключает принципиальные ограничения. Это в первую очередь связано с тем фактом, что, вообще говоря, состо- яние системы при проведении измерений (сопровождаю— щихся обязательным взаимодействием) изменяется, что делает невозможным повторное измерение того же само- го состолнил. Иными словами, с измерением физических величин микросистемы, как правило, связана принципи- альная неопределенность. Тем не менее волновая функция должна не только содержать всю необх0димую информа— цию о системе, но и изменяться соответствующим образом при изменении состояния этой системы. Сперва обратимся к наиболее простому состоянию — свободной частице. В этом случае мы постулировали, что волновая функция должна быть плоской волной (1.4). Фи— зические характеристики свободной частицы — энергия и импульс — содержатся в плоской волне в качестве пара- метров. Однако с классической точки зрения частица все— гда нах0дится в определенной точке пространства. Плоская волна не только не дает ничего ПОДобного: она отлична от нуля во всем пространстве. Иными словами, для свобОД— ной частицы волновая функция не может дать ответа на вопрос: где нах0дится частица? Не будем спешить с отве— том в форме “частица наХОДится везде”, как это хотелось бы Сделать, исходя из простой аналогии с плоской электро— магнитной волной. Поступим следующим образом. В одно- рОДНОМ и изотропном пространстве совершенно не суще- ственно, где находится частица. Ясно, что Одинаковые ча— стицы с одинаковыми физическими характеристиками об— ладают совершенно одинаковыми свойствами. В частности, 23
для свободной частицы важно знать энергию и импульс, но не важно где она находится. Именно этот факт и описывает плоская волна. При этом действительная характеристика волновой функции — ее модуль — в данном случае есть сопзі: и не зависит ни от координат, ни от времени. Очевидно, из- меряя физические характеристики частицы, эксперимента— тор должен частицу зафиксировать,“поймать” в некотором объеме АУ. Поскольку свободной частице все равно, где на- х0диться, имеется отличная от нуля вероятность поймать частицу в этом объеме. Эта вероятность пропорциональна . объему. Если частица локализована в какой-то области про— странства, волновая функция должна быть представлена в форме волнового пакета. Тогда вероятность обнаружить частицу будет пропорциональна не только объему, но и связана с волновой функцией. Исходя из смысла введенно— го нами волнового пакета, можно сказать, что эта вероят— ность пропорциональна квадрату модуля волновой функ— ции. Итак, будем считать, что вероятность Аш обнаружить систему (частицу) в данном состоянии (обладающей дан- ными физическими величинами) в окрестности точки [' в объеме АУ в момент времени 15 есть А… : |Ф(г‚г)!2АУ- (1.9) В таком случае ]Аш=/|Ф(г,г)|2А/= 1, №№) = |11(1°,73)|_2 (1.10) СООТВ етственно — функция плотности вероятности. По своему физическо- му смыслу эта функция и, следовательно, сама волновая функция должна быть непрерывно. 24
Осталось теперь ввести основной постулат — уравне- ние, описывающее эволюцию волновой функции. Посколь— ку волновая функция позволяет определить вероятность нахождения системы в данном состоянии в точке г про- странства в момент времени 15, нам нужно уметь предска- зать, какова вероятность обнаружить систему в момент времени # + (175 в точке г + (11°. Этого результата проще всего добиться, исходя из дифференциального уравнения, которому удовлетворяет волновая функция Щг, 75). Для обоснования уравнения будем исх0дить из состо- яния свободной частицы, которое описывается волной де Бройля, а затем результат обобщим на волновой пакет. Прежде всего заметим, что уравнение может СОДержать только константы, но никак не конкретные характеристики какого-либо состояния частицы. Иными словами, коэффи- циенты в уравнении могут зависеть только от перечислен— ных выше констант: 75, е, т, с и т.п. Кроме того, уравнение должно быть линейным, поскольку должно удовлетворять как плоской волне, так и волновому пакету, иными слова- ми, должно быть совместимо с принципом суперпозиции. Последнее утверждение крайне важно, поскольку дифрак— ционные опыты утверждают, что волновая функция Щг, 73) удовлетворяет принципу суперпозиции: без него не наблю- далась бы интерференционная картина. Итак, продифференцируем по времени плоскую волну де Бройля: дФ(г,1‘‚)іЕ дг =——1!(г,1&)———Ё2Е—Ф(г‚ г), (1.11) поскольку для свободной частицы Е : р2/2т. Как видно, изменение во времени определяется энерги— ей — трехмерным скаляром. Изменение в пространстве есть вектор Ф(г,г)=%р11(г,й). 25
С другой стороны, вторая производная может быть ска— лярной — А, причем Аш…) : —%р211(г,й). (1.12) Сравнивая соотношения (1.11) и (1.12), видим, что плоская волна де Бройля удовлетворяет уравнению №№ : —ЁАФ(Г‚Ё). (1.13) дЁ 2т Кроме того, можно заключить согласно соотношениям (1.11) и (1.12), что физическим величинам Е и р соот— ветствуют дифференциальные операторы Під/813 и ЧНП соответственно, которые, действуя на волновую функцию, позволяют извлечь из нее значения энергии и импульса частицы. ` При наличии какого—либо взаИМОДействия к кинетиче- ской энергии частицы добавляется потенциальная Е == р2/2т + У(г), а само состояние частицы будет описывать- ся уже волновым пакетом. СледоваТельно, в правой части уравнения (1.13) следует добавить потенциальную энер— гию. Таким образом, уравнение Шрёдингера должно иметь вид дг Главный вывод уравнения Шредингера (1.14) состоит в том, что эволюция волновой функции во времени опреде- ляется энергией частицы. Выражение в скобках справа может быть интерпрети— ровано как оператор полной енергии, или гамильтониан: №№ : (—%А + У(г)> шт). (1.14) тёщи) : ли…). (1.15) 26
1.3. Уравнение непрерывности Итак, согласно нашим представлениям квадрат м0дуля волновой функции имеет смысл плотности вероятности: /|Ф(г,г)|2 ‹іг : /р(г‚й)‹іг : 1. (1.16) Это условие имеет важное значение, поскольку функция плотности должна удовлетворять уравнению непрерыв— ности. Заметим, правда, что выполнение условия (1.16) педразумевает интегрируемость квадрата МОДуля волно— вой функции. Для этого необх0димо, по крайней мере, 1! —>00 = О. Легко видеть, что волна де Бройля этому условию не удовлетворяет, да и не должна удовлетворять по смыслу, вкладываемому в понятие свободной частицы в квантовой механике. Следовательно, условие (1.16) имеет место только для связанныа: состояний. Продифференци- руем по времени условие (1.16) и воспользуемся тем, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера: а 2 _ *дф дт _ д/шгм с1г—/(11 д, + д]: Ф) (11°— : ] (Ф*(—іпЁФ) + щтйщ) аг : =]Ё (Ф‘АФ—ФАФ’) ‹іг :& ]? (Ф*Ё7Р—Ф7Ф*) сіг : 2т 2т =—/ащ°‹1г=—]Ё„іа5‚ __ т * * _1_ №01; №11 шт:). (1.17) где Таким образом, можно записать уравнение непрерывности, которому обязана удовлетворять волновая функция: @ д], + ам : о, (1.18) 27
где вектор ] определяется из соотношения (1.17) и имеет смысл плотности потока вероятности. Заметим также, что уравнение (1.18) может быть получено, если в условии нор— мировки (1.16) справа стоит любая сопз’с. 1 .4. Теоремы Эренфеста Поскольку средние (наблюдаемые) величины должны под- чиняться привычным “классическим” уравнениям, должны иметь место и уравнения Ньютона для частицы: с1г_р ‹ір_ ——— _Е`=—7Пг. 1.19 ПОСКОЛЬКУ средние значения ЗЕЪВИСЯТ ОТ СОСТОЯНИЯ ЧдСТИ— ЦЬ1, ПРОИЗВОДНЬіе ПО времени ДОЛЖНЫ также СОДержать уравнение ШР8ДИНГ6РЕЪ, определяющее ЭВОЛЮЦИЮ СОСТОЯ- НИЯ ВО времени. ПОЭТОМУ ВЬ1КЛ&ДКИ ЗНЭЛОГИЧНЫ проведен— ным при выводе уравнения непрерывности (1.18). & дР* * дФ _ %(г)—/( дй гФ-Ъ-Ф ГЫ>&Г_ : _ & [(АФ*)ГФ — Ф*г(А1/)] (11°. —2т Проинтегрируем последнее выражение по частям: ](АФ*)1°Ф‹11° : ]! гФ(7Ф*с15) _ ] (7‘1'*Ё7)г11с1г : : —/(ЧФ*)Ф‹11° —/г (идуща— = №№ (15 + +/.Ф*7Ф‹іг — %ГЧ” (УФсіБ) +/11*1°АФ‹іг : =/Ф*7Ф‹іг +/11*1'А11(1г. 28
Здесь мы учли, что интеграл по бесКонечно удаленной гра- нице обращается в нуль. Окончательно получаем (1 1772 1 _ __ __ Ф*7Ф __ _ _ 12 (175 <Г> 2т2/ (11° т (Р> ( 0) Совершенно аналогично получается второе уравнение: (1 (1 21—73<р>— а; : _т/(дф 7Ф+ туд—Фуа: —/Ф*7(ПФ)сіг+ /Ф*(—1№)Фаг : дл 875 +/Ф*П7Фсіг= /Ф*Ф7Пог— (дай!). Здесь мы воспользовались явным видом гамильтониана и несколько раз проинтегрировали выражение по частям. Окончательно (1 —(р) : —($гасП/`). (1.21) (175 Соотношения (1.20) и (1.21) носят название теорем Эрен— феста. Вопросы для самоконтроля 1. Что описывает волна де Бройля? 2. Записать численные значения основных констант: постоянной Планка, массы и заряда электрона, скорости света. 3. Какой вид имеет волновая функция св060дной частицы? 4. Каков характерный порядок следующих величин в атомной физике: энергии, импульса, скорости, линейных размеров? 5. Какова размерность постоянной Планка? 6. Записать выражение для волнового пакета. 7. Чему равны фазовая и групповая скорости частицы: @) в уль- трарелятивистском и Ь) в нерелятивистском случаях? 8. Объяснить физический смысл ›Ф(г, б)‘. 29
10. 11. Как зависит от времени ЛФ(1°‚1Ъ)|2‹1У? Записать уравнение Шредингера. Записать уравнение непрерывности в квантовой механике. Че— му равна плотность потока вероятности? 30
‘ Глава 2 Основные постулаты квантовой механики 2.1. Постулаты сформулируем результаты, полученные в первой главе в виде постулатов, на основе которых будет в дальнейшем строиться теория, и покажем, как они применяются (“ра- бо'тают”) на языке волновых функций. Постулат 1. Микросистема описывается некоторой функцией координат и времени Ф(г, 73) — волновой функци- ей, которая полностью определяет ее состояние. Эта функ- ция имеет физический смысл: Міні) = №0315)? (2—1) — плотность вероятности обнаружить систему в данном со- стоянии в данной точке пространства в момент времени 15. Постулат 2. (Определение оператора или принцип со— ответствия.) Физическим величинам соответствуют линей— ные операторы, которые действуют на волновые функции. Действуя на волновую функцию, оператор, вообще говоря, изменяет ее. Это свойство имеет также глубокий смысл, поскольку математически отражает факт невозможности непосредственного наблюдения микросистемы макроско— пическим прибором: № = Ф. (2.2) 31
Сравнивая значения функции состояния до и после дей- ствия оператора (измерения физической величины в дан— ном состоянии), получаем саму физическую величину. По— скольку физическая величина —— число, из двух функций его можно получить с помощью скалярного произведения. Скалярное произведение и будет тем самым критерием сравнения, содержащим информацию об изменении функ- ции: іг<і> = (Ф‚Ф) : /с1г11*(г, №(г, г) : =/с1г11*(г,75)і11(г,й). (23) Получаемое таким образом число есть наблюдаемое зна- чение физической величины в данном состоянии. Поэтому данный постулат следует рассматривать как определение оператора. Он же — принцип соответствия. Постулат 3. (Принцип суперпозиции). Квантовая сй— стема может наХОДиться в различных состояниях. Пусть Ф1(г‚ 73) и Ф2(г‚ Ъ) — два возможных состояния системы, то- гда с111(г, 15) + с211(г,75) : Щг, 13) (2.4) — тоже возможное состояние системы. Поскольку мы до- говорились описывать состояния функциями, нормирован— ными на 1, “новая” функция также должна быть нормиро- вана, но тогда `1 =/С1Г|‘1’(1`›75)|2 : |С1і2+|02|2+СЁС2 (Ф1‚Ф2)+СЁС1 (‘1’2‚‘1’1)— Что в данном выражении означает число (Ф1,Р2)? Пусть (Ф1,Ф2) : (Ф2,Ф1)* : 0, тогда можно сказать, что рас- сматриваемые два состояния “совсем разные”. Как мы уви- дим далее, это очень важный случай, тогда |с1|2 + |с2|2 : 1 32
— вероятность того, что состояние—суперпозиция действи- тельно существует. Но в таком случае коэффициенты ли- нейной комбинации имеют вполне определенный физиче- ский смысл: |с1|2 — вероятность обнаружить систему в со— стоянии Ф1, а |с2|2 — в состоянии Ф2. И ничего промежу- точного! В этом заключена Одна сторона вероятностного смысла квантовой механики. Постулат 4. Постулат о степени полноты описания квантовой системы: существует максимально возможное число физических величин, которые могут быть Одновре— менно точно измерены для системы. Совокупность этих физических величин называется полным набором. Обыч— но число величин, вх0дящих в полный набор, меньше то- го, который следовал бы из классических соображений. Как правило, поэтому выбор физических величин, вхо— дящих в полный набор, не0днозначен. Тем не менее, за— дав какой-либо полный набор, мы задаем полное (с точки зрения квантовой механики) описание состояния системы. Возможность различных выборов полных наборов имеет глубокий смысл. Действительно, выбирая различные на— боры, мы по-разному (с разных позиций) описываем ОДНО и то же состояние квантовой системы или, иными слова- ми, по-разному представляем состояние системы. С этой пе0днозначностью связано очень большое удобство и пре— имущество квантовой механики: существование различных представлений. Постулат 5. Уравнение, которому ПОДчиняется волно- вая функция. В нерелятивистской квантовой механике это — уравнение Шрёдингера: . д ^ 1Е—Ф(г, 73) _: НФ(г,і). (2.5) дг Здесь Ё — оператор ГамилЬтона (энергии). Суть постула- та заключается в том, что эволюция состояния квантовой 33
системы полностью определяется ее энергией. Таким обра— зом, гамильтониан — “главный” оператор в квантовой ме- ХЗН ИКЭ . 2.2. Волновые функции и операторы ' Перечисленные постулаты не исчерпывают всех постула- тов квантовой механики. Более того, в различных пособиях (или учебниках) система постулатов может быть сформу- лирована в другой последовательности и в большем объе- ме, однако здесь представлены наиболее общие из них. Рас- ширение данной системы связано с развитием уже отдель— ных постулатов. Ниже мы рассмотрим, как эти постулаты “работают” и как они между собой взаимосвязаны. В част— ности, нам необходимо сделать некоторые утверждения ли- бо об операторах, либо о волновых функциях. Мы выберем второй путь и постулируем вид волновой функции свобод— ной частицы. Отчасти потому, что это и был исторически первый постулат волновой механики: состояние сво60дной частицы описывается плоской волной (волной де Бройля), то есть ФР : Аеі’гЧРГ—ЕФ. (2.6) Что такое коэффициент А? Он должен быть определен из условия нормировки волновой функции (постулат 1). Од- нако, рассматривая сво60дную частицу во всем простран- стве, мы видим, что интеграл . раСХОДится (это одна из “трудностей” квантовой механики). В таких случаях всегда следует ИСХОДИТЬ из физического смысла. Поскольку ре- ально частица всегда движется в каком—либо ограниченном (хотя и большом!) пространстве, будем рассматривать ча— стицу в кубическом ящике с размерами стороны Ь, а затем устремим Ь ——› оо. В таком случае А : [ГЗ/2 : 1/х/17 При этом легко видеть, что сама волновая функция (и соот— 34
вотственно плотность вероятности) стремится к нулю, что понятно: вероятность найти частицу в бесконечном про- странстве в данной точке в данный момент времени есте— ‹:твенно равна нулю. Поэтому с описанием свободной ча— ‹:тицы следует поступать более деликатно. Представим бес— конечное пространство, заполненное 0динаковыми кубами. В каждом кубе мы знаем волновую функцию частицы, а затем продолжим эту функцию перИОДически во все сторо— мы в соседние кубы. В таком случае получаем, что частица не может обладать произвольным значением импульса: он принимает дискретные значения: 27г7і Рид,—‚пуд; : —(п$7 ”у, ”2% (27) Ь где пдд, пу, п; — целые числа. Если Ь ——› оо, импульс прини— мает непрерывные значения. Для такого дискретного спек- тра волновые функции, соответствующие различным им— пульсам (состояниям!), ортогональны. Действительно: ] Ф;;‚Фраг : еій_1(Е’_Е)ЁА’Ё‚АР ] еі“_1<Р—Р’>Гаг : Ь/2 ‚ 3 - 1 . ‚ . кий 127г Ь п —п а: … :е Ез— е / ( СВ $) аш : е бПЗ’пііБ бпу‚пэбп2‚п/2. —Ь/2 Поскольку ш : (Е’ — Е) / й : (р’ 2 — р2)/2тй, экспоненци- альный множитель обращается в единицу. Очевидно, условие ортогональности, не зависящее от размеров куба, остается справедливым и при Ь —+ 00. Те— перь можно взять условие ортогональности состояний с различными импульсами в качестве Определения констан- ты А в волне де Бройля для бесконечного объема. При этом нужно учесть, что квадрат модуля волновой функции дол- 35
жен быть интегрируем в классе обобщенных функций: ] ет_1(рр‚)гсіг : (27гй)36(р _ р’). (2.8) Нормированная волновая функция сво60дной частицы принимает вид тр : _і_ет-*‹рг—Ег>. (2.9) (27гй)3 Этот простой пример иллюстрирует, с Одной стороны, сложности, связанные с нормировкой волновой функции непрерывного спектра, с другой — второстепенноеть, в определенном смысле, нормировки, с третьей — ортого- нальность волновых функций состояний, соответствующих различным значениям физических величин (здесь — им— пульса). Система функций (2.9) полна, поэтому любую волно— вую функцию частицы можно разложить в ряд (интеграл) Фурье: 1 . —1 щ…) : __ Харет (РГ—Ер”. (2.10) х/ЬЗ р Здесь 1 ор : Ё ] т(г‚г)е—т‘1рг‹1г (2.11) — коэффициенты Фурье. Поскольку все функции (2.9) ортогональны, имеем /|11(г,75)|2с1г = 2 |С,‚|2 : 1, (2.12) Р и, таким образом, |Ср|2 — вероятности обнаружить в состо- янии Щгф) состояние с определенным импульсом р. По- скольку отличны от нуля в общем случае все коэффициен- ты, для системы в состоянии Щг, #) имеет смысл говорить 36
но об определенном значении импульса, а только лишь о то среднем значении: (Р> : 2 |Ср|2Р- (2—13) Таким образом, согласно принципу суперпозиции мы мо— жом сказать, что в произвольном состоянии система (ча— стица) может не обладать определенным значением им- пульса (в отличие от классической частицы!). При попыт- ко измерить величину импульса мы будем измерять какое— .пибо значение, но при этом не будем получать одни и те же значения. Тем не менее мы не будем получать и какие угодно значения импульса, а лишь только значения, вх0дя- щие в суперпозицию (2.10) с вполне определенными веро- итпостями. Таким образом, мы ВИДИМ, что в данном случае .…‘и определении физических величин квантовая механика носит существенно вероятностный характер, Однако веро— итп-кости и возможные значения, которые будут измерены, имеют точное значение, поэтому квантовая механика имеет одновременно и детерминированный характер. Пусть ]? — оператор какой-либо физической величины, а состояние системы описывается некоторой суперпозицией возможных состояний этой же системы: г) = }; с„ф„(г‚ г). (2.14) Среднее значение физической величины в этом состоянии по определению есть „> =/Ф*(Г‚Ё);Ф(г,й)сіг= _Есэсп/фдо >іф„(г ‚имхо„‚спд, (215) 3.7
Как видно, здесь среднее значение полностью определяется коэффициентами С„ в суперпозиции и набором чисел Ди,… который составляет квадратную матрицу. Если в суперпо- зицию входит № состояний, оператор полностью задает- ся квадратной № >< № матрицей, вид которой, естественно, зависит от функций фп. Соответственно числа {„/‚„ назы- ваются матричными элементами оператора. Зная суперпо— зицию (2.15) и матрицу оператора, мы можем вычислить и необходимое среднее значение. Таким образом, матрица задает некоторое представление оператора. Рассмотрим теперь комплексно-сопряженное среднее значение <і>* =</Ф*(г,г)і1і(г‚г)‹іг>* : * : ЕС;,‚спупдп =20„‚с;; ;;‚д. (2.16) п,п’ п‚п’ В последней сумме поменяем местами индексы суммирова— ния п’ ‹—› п: <і>* : 2 СЁ/Спі;‚п/. (2.17) * п,п’ элементы эрмитовски сопряженной матрицы: ( ГРМ„ : дп,. Определим оператор 13+, среднее значение которого должно быть равно комплексно—сопряженному среднему значению оператора ]“ : Но коэффициенты представляют собой матричные <і+> = ] щ…гщтаг = <і>*— (2.18) Такой оператор называется эрмитовски сопряженным. Физическая величина по определению должна быть действительной, поэтому операторы физических величин 38
_хщонлетворяют соотношению {+ = ] , иными словами это обязательно эрмитовы операторы. )ассмотрим формальную задачу на собственные значе— ПИН: і’фп : ]спфпэ (2.19) где ф„ и [„ соответственно собственные функции и соб— пиши-[ные значения оператора. Пусть ]? — оператор физиче— щшй величины. Поскольку каждый оператор можно пред— ‹”…ВИТЬ в виде матрицы, свойства операторов и квадрат— пых матриц идентичны. В курсе линейной алгебры дока— *шталось, что эрмитовы матрицы имеют действительные собственные значения, а собственные векторы представ—. ‚пилот базис в пространстве соответствующей размерности. ‹ 3.н‹ъдовательно, собственные значения эрмитовых операто— …… действительны, а собственные функции составляют ба— чис. Таким образом, можно волновую функцию, определя— …щую произвольное состояние, разложить в ряд по соб— (гии-{ным функциям какого—либо зрмитова оператора: Щг, г) = 2 …и, (2.20) и, таким образом, представить в виде суперпозиции. По- скольку базисные функции ортогональны, согласно прин— ципу суперпозиции коэффициенты разложения |сп|2 опре— деляют вероятности того, что в данном (произвольном) со— ‹гоннии будет обнаружено состояние, в котором физиче- ищя величина ]” имеет значение ]… В общем случае при различных измерениях мы, вообще говоря, не будем полу— чать одно и то же значение физической величины, Однако будем получать только ее собственные значения (спектр) с ‹ и | ределенными вероятностями: <і> = Ева/сп ] имитацией = 2 №№… (2.21) п’,п 39
Если спектр оператора ;? непрерывен, сумму следует пони— мать как интегральную. Пусть, например, ]; Е @ — опера- тор импульса. Собственные функции оператора импульса — функции с определенным значением импульса — волны де Бройля, поэтому Ф(1`‚Ё) : ЕСРеій—1(рг—Ері) ___ /Среііі'1(рг—Ерй)сір. (222) р Теперь можно наполнить физическим смыслом не толь- ко принцип суперпозиции, но и наши представления об операторах в виде матриц. Итак, пусть задан какой—либо базис. Этот базис можно связать с собственными функ- циями соответствующего оператора физической величи- ны. Тогда разложение функции состояния (волновой функ— ции) системы по данным базисным функциям будет опре- делять состояние в “системе координат”, которая опреде- лена данной физической величиной. Состояние при этом полностью определяется коэффициентами разложения Фу— рье. Соответственно вместо функции состояния достаточно рассмотреть только коэффициенты разложения, которые представляют его в данном базисе. Иными словами, вы- бирая базис, мы выбираем представление, в котором они— сываем любое состояние квантовой системы. Выбор базиса не0днозначен, причем не только с формальной стороны, но и постольку поскольку физических величин много и им соответствуют, вообще говоря, различные базисные функ- ции. В соответствии с этим и выбор представления данного состояния неоднозначен. Перейдем к операторам. Задавая базис представления (состояния), мы полностью определим действие операто- ра на произвольное состояние, если известна матрица опе— ратора в данном базисе или, что то же, в данном пред— ставлении. Действительно, пусть фп — базисные функции 40
^ представления, тогда оператор [ , действуя на них, говоря, изменяет их: ]Б’фп : 90 : Хітп’фтэ где ітп = ] №№!“ = ] ФЪЁфпсіг. П0действуем на произвольное состояние Ф : Хапфп ^ оператором ]“ : ]ЁФ : Ф : Хапіфп : Хітпа'п'фт- п‚т вообще (2.23) (2.24) (2.25) (2-26) Как видно из этого примера, вместо волновой функции Ф достаточно рассмотреть вектор-столбец К “1 612 из ап - … (2.27) Видно, что действие оператора на состояние полностью определяется правилами умножения матрицы оператора на столбец, стоящий справа. Рассмотрим теперь среднее значение оператора в данном состоянии. Прежде всего за- метим, что ки : 2 „м;. 41 (2.28)
Получаем (і) : /Ф*іФСіГ : Хаъап/фдіфпёг : 2 а;“пітпап- „… ”… (2.29) Таким образом, сопряженная волновая функция полно— стью определяется вектором-строкой с элементами а* = (а’і‘щё, ..., а:… . . . ). (2.30) Далее видим, что необходимое число получается опять в соответствии с правилами матричного умножения линей- ной алгебры. 2.3. Стационарное уравнение Шредингера Рассмотрим случай, когда потенциальная энергия П(г) и соответственно гамильтониан системы Ё не зависят от времени, тогда решение уравнения Шредингера допуска- ет разделение временных и пространственных переменных. Попробуем искать волновую функцию в виде произведения Ф(г‚г) : ‹р(г)ф(г). П0дставим это выражение в уравнение Шредингера: ‹19005) ищо—дг— = тайфа). Разделим обе части уравнения на волновую функцию и получим —1—№= 1^ г=сопэ= то он №№“ * Е' Из этой системы уравнений сразу получаем решение для временной части волновой функции: 9003) : Сем—”“, (2.31) 42
а координатная часть удовлетворяет стационарному урав— нению Шредингера: Ще) = Енг). (2.32) Видно, что параметр разделения переменных Е имеет раз— мерность энергии, а поскольку из уравНения (2.32) он — соб- ственное значение гамильтониана, это и есть возможное значение энергии. Для временной части волновой функ— ции имеем: |‹р(й)|2 : |С|2. Всегда можно положить этот коэффициент равным единице: С = 1, так как условие нор- мировки определяется интегрированием по пространствен- ным переменным. Однако нельзя забывать, что решение уравнения Шре- дингера должно удовлетворять начальным условиям (ре— шаем задачу Коши): задано условие в начальный момент времени 75 = 730 : Ф(г,130) : Ф0(г). Легко видеть, что вол- новая функция в виде простого произведения временной и пространственной частей не удовлетворяет произвольному начальному условию, поскольку оно не обязано совпадать ‹: одной из собственных функций гамильтониана. Поэтому нужно вспомнить, что гамильтониан — эрмитов оператор, следовательно, совбкупность всеа: его собственных функ— ций (т.е. решений стационарного уравнения Шредингера) составляет базис. Перепишем уравнение (2.32) в виде НфЕ(Г) : ЕфЕ(Г)7 '!‘ОГДа начальное условие МОЖНО разложить В ряд ПО базис- ным функциям 1,050“) И получить Ф0(г) : ЕЕ аЕфЕ(г), где коэффициенты Фурье аЕ определяются как аЕ : /фЁЕ(г)ФО(г)с1г. 43 ‚
Решение уравнения Шредингера для консервативной си— стемы в общем случае можно записать в виде: Ф(г, 1$) = 2 аЕе`т_1ЕЁфЕ(г). (2.33) Е Как видим, в общем случае волновая функция “сложно” зависит от времени, а система согласно принципу супер- позиции не обладает определенной энергией. Однако легко получить, что среднее значение энергии от времени не за- висит. Действительно, _ Ё = (Ё) = ] Ф*(г, №№, 75)с1г = 2 |аЕ|2Е. Е 2.4. Оператор эволюции Вновь вернемся к уравнению Шредингера с начальными условиями при 150 = 0: д А іНЫЧ/(гді) : НФ(1',Ъ), Ф(г,іо) : Ф0(г). (2.34) Проинтегрируем формально уравнение (2.34) и учтем, что гамильтониан от времени не зависит: і А за щ…) : Ф0(г) _ ЁН ]0 душ…/). (2.35) Получившееся интегральное уравнение будем решать мето- дом итераций. В нулевом приближении волновая функция от времени не зависит и совпадает с начальным условием: ФШ) (13$) : Р0(г). Первое приближение получим, ПОДста- вив в уравнение (2.35) волновую функцию в нулевом при- ближении: хр<1>(г‚г) : крон) _ %нъфощ : (1 _ @) Фон—). 44
Второе приближение получится после подстановки первого приближения в исходное уравнение (2.35): . . 2 (2) = _ і^ __1_ ^? 2 11 (131$) [1 пНЁ—і— ( 2%) Н 15 Продолжая так до оо, получаем ряд Щгф) : { Ё %! <—%НЁ)П} Ф0(г) Е П(Ё‚О)Фо(г). (2.36) п=0 Ф0(1‘) . Оператор П (15, 0) определяет эволюцию волновой функции состояния от заданного начального значения в момент вре- мени г = О до значения в текущий момент времени 75 и называется оператором эволюции. Обычно ряд в формуле (2.36) записывают в виде операторной экспоненты: (№, 0) : ехр (%%) . (2.37) 'Г аким образом, мы ввели новое понятие: функции от опе— ратора. Будем понимать под функцией от оператора ряд Тейлора по степеням оператора, а именно: 71:00 №) = 2 —Р<>(0)і (238) П,! п=0 ПуСть фп — собственная функция оператора ]; с соб- ивенным значением ]… тогда она будет и собственной функцией оператора Ё(1°)Действительно‚ пусть іфп : ]“пфп, тогда и Рф фп _ —]„іф„= ]‘Ёфп. Соответственно ‚ГК—фи — Ліфпи Р<і>фп = Ё —‚Р(>(о №№) = п=0 — ЧЁ —Р(”)(0)і”фп— — тием п=0 45
Теперь легко видеть, что для собственной функции гамиль— тониана выполняется соотношение щи вмиг) = е—т'тыы. Разлагая произвольное начальное состояние в ряд по соб— ственным функциям гамильтониана (т.е. по решениям ста— ционарного уравнения Шредингера), получаем общий вид временной зависимости волновой функции консервативной системы: П(Ё‚О)Фо(г) =е—т'1т2авфвш = Е : 2 аЕе—ід_1Е*фЕ(г). (2.39) Е Легко убедиться, что оператор, обратный к оператору эво- люции, совпадает с эрмитовски сопряженным: , _. _1^ + . _1^+ . _1 ^ Н+(Ё) : (е 15 Н#) ___ ет Н 73 : ет Ні поскольку П +!] = 1. 2.5. Произведная по времени от оператора Пусть есть ]“ — оператор некоторой физической величины1. Тогда по определению среднее значение физической вели- чины (наблюдаемая) равно: (33) :—: 7 = ] Ф*(г,і)]‘°11(г,75)с1г. (2.40) общем случае полученная величина зависит от времени: __ В 7 = ](75). Найдем производную по времени от выражения 1Вообще говоря, может быть взят произвольный оператор, Одна- ко для физической величины дальнейшее изложение будет иметь не столь абстрактный характер. 46
(2.40). Например, если в качестве рассматриваемой физи— ческой величины выбрать координату частицы г‚ тогда (1 %?:Ё ——› &&) =(м). Определим производную по времени от оператора как ^ (1 ^ (1 ^ &]Ё 803114 ($!) — @@” (2-41) Перепишем выражение (2.40), определив временную зави— симость волновой функции через оператор эволюции: <і> : ] Ф*(г‚О)П+(й)іП(75)1/(г‚О)‚‹іг и продифференцируем по времени. Получаем 51129?) : /Ф*(г‚0){(%П+(Ё)) іЩФ—Ъ + [ГЕО/$)]; (%(/ХЦ) +ОП;(Ё) (%;—с) {ЦИ} Ф(г‚0)с1г. (2.42) Получим частную производную по времени от оператора эволюции: —П13 : _в_“і … : ——НП г, дг ( ) дж? п ( ) ИЛИ . д А так]… : ние). (2.43) Уравнение (2.43) имеет вид, аналогичный уравнению Шре— дингера для волновой функции. Для эрмитовски сопря— женного оператора легко записать уравнение, эрмитовски сопряженное полученному: @ Анаит) : (](г) _Щ) 47
Подставим теперь полученное уравнение (2.43) в выраже— ние (2.42) и получим %% = =/Ф*(г,О)П+(7Ё) %(Ні— {Н)+ +%: П(Ё)Ф(г‚0)сіг= =/Р*(г,й) %(Ёі— ЁЁ) + Ё—‘Ё Щг, 75)с1г. Согласно принципу соответствия мы должны отоэ/сдс- ствитъ с производной оператора по времени следующее выражение: ‹1%_д ; __;+д 217: д; д'? Выражение в квадратных скобках называется коммута- тором операторов. Итак, мы встретились с новым важным понятием. Для любых Двух операторов коммутатором на- зывается оператор, который действует на произвольную функцию так же, как действуют два оператора на эту же функцию в разной последовательности: %(Ч ; — ;Н)_—_ %(Н, ;]. (2.44) (Я, в] = 13, причем Ён: : Я (ЁФ) _ Ё (ЯФ) . (2.45) Легко видеть, что в общем случае производная по времени от оператора отлична от нуля, даже если сам оператор явно от времени не зависит. Тогда производная по времени есть просто коммутатор оператора с гамильтонианом: &; і (115 & Произвош—тая по времени равна нулю лишь в том случае, когда оператор коммутирует с гамильтонианом. Это очень [131,18] . (2.46) 48
важный случай, поскольку тогда и среднее значение ве ли- чины (наблюдаемой) не зависит от времени. Величина, со- храняющаяся во времени, называется интегралом Дівиже- ния. Мы знаем, что интегралы движения в классической механике играют важную роль. Не щенее важную (может бЫТЬ даже более важную) роль играют интегралы Движе- ния и в квантовой механике. Пример Рассмотрим в качестве примера 01ператор скорости, ко— торый по определению есть производная по времени от опе_ ратора координаты. Поскольку последний явно от времени не зависит, имеем (1? і ^ і ^ ' ‹; Щ : % [Н,і'] : ,; [тт] + % [ище], где Т — оператор кинетической энергии. Очевидно, второй коммутатор равен нулю, поскольку (оператор координаты коммутирует сам с собой, с _любой степенью и соответ— ственно с произвольной функцией оператора координаты. Осталось вычислить коммутатор с оператором кинетиче— ской энергии: ^ А2 ^ [и] = [*’—‚г] = „,в 2т т Мы здесь воспользовались очень полезной формулой; [335] = [2,5] Ё + А` [Ёб] . (2.47) Окончательно получаем <> || 2 т.
2.6. Некоторые общие свойства решения уравнения Шредингера Докажем теперь два очень важных утверждения, касаю— щихся общих свойств волновых функций. Утверждение 1. Пусть есть два оператора 13 и @, ком- мутирующих друг с другом: [ і , @] = 0, тогда у этих опе- раторов может быть выбрана общая система собственных функций. Пусть ф„ — собственная функция оператора ]? с соб- ственными значениями і”: іфп : ]Спфп- Подействуем оператором @ на функции фп: дфп2‘Рпэ ‚.дфіс2901сопч (‚дпЗ‘Ёфпэ (‚дп7Ё‘Ріс- Очевидно, “неизвестные” функции (рп можно разложить В ряд по функциям ф„ : ЁОп : дфп : Еуітфіс’ А: где 91… — матричные элементы оператора 9. Поскольку [1% 91 = 0, хо = ох, тогда 129% = Т Хуітфіс = 2 укпдфк [С А: И соответственно діфп : діп'фп : Еіпуіспфіс- іс Вычитая последние два равенства одно из другого, полу- чаем 0 = Е(іп—Лс)9кпфк‚ ИЛИ Оси—№№:… = 0 ПРИ ЛЮбОМ ‘” к 50
Таким образом, видим, что матричный элемент 9;… может быть отличен от нуля только при {„ = ]‚с, т.е. 9х… = 971519… что И требовалось доказать. Следствие ]. Интегралы движения могут быть измере— ны одновременно с энергией и для консервативной системы наряду с ней могут быть включены. в описание состояния квантовой системы (в полный набор физических величин). Утверждение 2. Пусть есть два оператора ]? и @, не коммутирующих друг с другом: [ 13 , @] ;& 0, но коммутирую- щих по отдельности с гамильтонианом системы: [Н, ;] = О и [Й,д] : 0, тогда спектр гамильтониана вырожден, т.е. уровням энергии соответствуют, вообще говоря, несколько различных (линейно независимых) функций. Выберем собственные функции гамильтониана (состоя- ния с определенной энергией) так, чтобы они были ОДНО— временно и собственными функциями оператора ];, т.е. ЁФД; = Ёфвдс И іфЕд‘ = ]“Фьхр но дфЕ/Ъі : ‹р 7% 1,03, ]г и соответственно іср ;& [ср. Поскольку [Н,д] : 0, имеем дат,; = 1% = 9%… = Един; = Еее, т.е. для собственного значения Е гамильтониана нарЯДу с состоянием фЕ‚і есть другое линейно независимое состоя- ние ‹,0. Таким образом, спектр гамильтониана вырожден. Следствие 2. Поскольку с таким же успехом мы могли бы выбрать собственные функции ф 13,9, это соответствова- ло бы выбору другого базиса, а значит, и представления со— стояния квантовой системы. Итак, существование интегра— лов движения, операторы которых не коммутируют между 51
собой, означает не0днозначность выбора базиса представ- ления и соответственно свобОДу выбора способа описания состояний системы. Замечание. Как легко видеть, при доказательстве двух предыдущих утверждений нигде не использовалось тре— бование, чтобы рассматриваемые операторы обязательно соответствовали бы физическим величинам. Единственное условие в первом утверждении заключалось в возможно— сти разложить собственные функции одного оператора по собственным функциям другого (естественно предполага- лось, что такая задача изначально имеет решение, что для эрмитовых операторов всегда справедливо). Вместе с тем в квантовой механике большую роль играют свойства и пре— образования симметрии и соответствующие им операторы. Наибольший интерес для нас будут представлять преобра— зования о поворота относительно какой-либо оси, . отражения в плоскости, . инверсии и в трансляции. Примеры Рассмотрим простые примеры. 1. Свободная частица. Гамильтониан сво60дной части— цы есть просто оператор кинетической энергии: ^2 ^ Р Н = —, 2т который инвариантен относительно преобразований инвер- сии, поворотов вокруг произвольной оси и отражений в любой плоскости, а также трансляции на любой вектор. 52
Иными словами, инвариантен относительно всех перечис— ленных выше преобразований симметрии. Вместе с тем мы знаем, что у свободной частицы сохраняется импульс. Лег- ко видеть, что все три проекции оператор импульса ком— мутируют с гамильтонианом [Ё ‚15041 : О, поэтому все они могут быть включены в полный набор физических величин (в описание состояния свободной частицы). Поскольку при заданной величине энергии независимы только две проек- ции, обычно опускают значение энергии, но оставляют три проекции импульса: Щг, Ё)Е‚р Е Щг, Ир. Таким образом, в полный набор физических величин вхо— дит три квантовых числа. Вместе с тем предлагаем убедиться в качестве упраж— нения самостоятельно, что из всех перечисленных преобра— зований симметрии оператор импульса коммутирует толь— ко с оператором трансляции. Более того, операторы раз— личных преобразований симметр'ии также не коммутируют между собой. Отсюда делаем ВЫВОД, что энергетический спектр вырожден. Впрочем, этот тривиальный результат и так очевиден, поскольку величина энергии зависит только от квадрата импульса и не зависит от направления распро- странения частицы. 2. Свободное одномерное движение. В этом случае га- мильтониан определяется только ОДНОЙ проекцией опера— тора момента 15$. Из всех преобразований симметрии в ОД- номерном случае остаются толъко два последних. Посколь— ку оператор инверсии не коммутирует с оператором 1333, а именно, 15$; + ? 15$ : О, энергетический спектр свободной частицы в одномерном случае вырожден2. 2В следующей главе мы видим, что он двукратно вырожден. 53
З. Одномерное движение в симметричном потенци- але (Да:). В этом случае П(—я:) : (Цзе), и оператор ин- версии коммутирует с гамильтонианом [Ё , 1: ] = 0, Одна— ко теперь уже оператор импульса не коммутирует с га— мильтонианом. Других операторов, коммутирующих с га- мильтонианом, нет, поэтому в полный набор величин мы Должны включить собственные значения оператора инвер- сии, а в качестве собственных функций гамильтониана мо- гут быть выбраны собственные функции оператора инвер— сии, т.е. функции, обладающие определенной четностью. Спектр гамильтониана в данном случае невырожден. 4. Движение в периодическом потенциале. Пусть по— тенциальная энергия периодична с перИОДом @, т.е. П(:с+а) : (Да:). В данной задаче с гамильтонианом комму— тирует оператор трансляции на период @: [Ё , Та,] : 0, по- этому в качестве собственных функций должны быть вы— браны собственные функции оператора трансляции. Ины— ми словами: ЁФЕА = ЕФЕ‚‚‚ ТаФЕА = №1113,» В качестве упражнения предлагаем убедиться, что соб- ственное значение неэрмитоеа оператора трансляции есть любое число |А| : 1. Спектр оператора трансляции непре- рывен. Обычно в явном виде ВВОДЯТ формально зависи— мость собственного значения от перИОДа трансляции: } : еііса Собственные функции оператора трансляции всегда можно представить в виде Фит) = е““”‹р($)‚ Где Ит) = №: + 60- Функции такого вида называются функциями Блоха. 54
2.7. Соотношение неопределенностей Постулаты квантовой механики утверждают, что не все физические величины, описывающие систему (с классиче— ской точки зрения), могут быть Одновременно измерены. С ОДНИМ из основных проявлений этого утверждения мы столкнулись еще в первой главе, когда попытались описать локализованное состояние частицы в виде волнового па— кета. Действительно, в волновом пакете — суперпозиции — частица уже не описывается определенным значением им— пульса, но и не имеет определенной координаты, а только лишь “характерную область локализации”. Поскольку вол— новой пакет — это есть не что иное, как интеграл Фурье, можно было бы сразу апеллировать к свойствам преобра— зования Фурье и сказать, что если характерная область, в которой функция координат отлична от нуля, порядка Аа: … а, то фурье—образ ее заметно отличен от нуля в об— ласти АК … 1/а. Иными словами, импульс и координата частицы в волновом пакете (суперпозиции) связаны соот— ношением неопределенностей: Неравенство (2.48) следует понимать в соответствии с по- стулатами квантовой механики следующим образом: если частица заключена (локализована или находится в связан— ном состоянии) в области пространства с характерными ли- нейными размерами @, то она обязательно имеет отличный от нуля импульс, причем при измерениях его будет наблю- даться дисперсия (неопределенносТь) порядка Ар' … Гъ/съ. Соотношением неопределенностей связаны всез физиче— ские величины, которые не могут быть точно измерены од- новременно. Согласно постулатам квантовой механики при измерениях физических величин получается их сшектр. По сути дела, спектральные значения и поддаются точным 55
измерениям. Иными словами, физическая величина имеет точное (определенное) значение только в том случае, если квантовая система нах0дится в собственном состоянии опе- ратора соответствующей физической величины. Для того чтобы две физические величины имели Одновременно точ- ное (определенное) значение, необх0димо, чтобы система наХОДилась в состоянии, которое Одновременно было бы собственным состоянием операторов рассматриваемых ве— личин. Это возможно только в том случае, если два опера- тора коммутируют между собой. Рассмотрим формальную задачу. Пусть физическим ве- личинам Р` и С соответствуют некоммутирующие между собой операторы Ё и @, причем их коммутатор равен [Ёб] : 16. (2.49) Покажем, что эти физические величины связаны между собой соотношением неопределенностей в соответствии со сформулированным выше. Введем оператор Ь: АР + іААд, где они: 0 и АР_ — : Р— (Р), АО: д— (С) соответственно [АР, АС]: 10. Здесь уголковые скобки, как обычно, означают среднее значение физической величины в данном состоянии. Поскольку <Е+Ь> 2 0, имеем ((АЁ _ мы?) (АЁ‘ + ом?» : ((АЁ)2) + А2< № д2>> >+ +і/<[АР^`‚ Ад]) : ((АЁ)2) + А2<(Ас^:)2> — мб) 2 0. Здесь мы предположили, что корреляции между рассмат— риваемыми физическими величинами отсутствуют, поэто- му (АЁАСЁ‘) : Неравенство выполняется, если дискриминант квадрат— ного уравнения относительно А А2((Ад)2) _ Мб) + «№№ : о 56
Н@ОТРИЦдТВЛЭН! ^ <С>2 — 4<(№)2><(Аё)2> $ 0, т.е. А 2 ^ 2 <б>2 «АР) ><(АС) >2 т— Введем обозначения дг= «№№, 60: «№№ <б>=<с> И получим искомое соотношение неопределенностей: С бР'бО’ 2 №521. (2.50) Если мы теперь применим полученные результаты для координаты и импульса, операторы которых удовлетворя— ют коммутационному соотношению [5:3 @] : 171, (2.51) получим соотношение неопределенностей для координаты и импульса: Б бшбрш 2 5 (2.52) Энергия и время в квантовой механике также связаны соотношением неопределенностей, которое будет рассмот- рено в главе 11, Однако его трактовка отличается от изло— женной выше. 57
Вопросы для самоконтроля 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Сформулировать основные постулаты квантовой механики. Как определяется среднее значение (наблюдаемая) физической величины? Как определяется эрмитовски сопряженный оператор? Пусть ]“ — оператор физической величины. Чему равен эрми— товски сопряженный {+? Пусть 1,01 и №2 — два возможных состояния квантовой системы, причем ] ф1*ф2с1У : О. Каков смысл коэффициентов 01 и св в суперпозиции ф : с1'ф1 + с2ф2? Как определяется матричный элемент оператора? Пусть ГГ : ]” — эрмитов оператор. Что можно сказать о его собственных значениях и собственных функциях? Какой вид имеет матрица оператора в собственном базисе (представлет-ши) ? Разделение пространственных и временной переменных для консервативной системы. Записать стационарное уравнение Шредингера. Как определяется функция от оператора? Что такое оператор эволюции и как он определяется? Если (105) — оператор эволюции, чему равен Н+(Ъ)П(і)? Пусть )?фп : ]„фп. Чему равно выражение Р`(})ф„? Записать общее выражение волновой функции консервативной системы. Что такое коммутатор двух операторов? Чему равен коммутатор [да… 55]? Чему равен коммутатор [Ба, Эд]? Как определяется прОИЗВОДная оператора по времени? Как можно преобразовать коммутатор [}/9371]? Пусть [1,5] = 0. Что можно сказать о собственных функциях этих операторов? Пусть [ЁЁ] : О, [$, 71] = 0, но [35,71] 75 0. Что можно сказать о спектре оператора }? Объяснить смысл соотношения неопределенностей для им— пульса и координаты. 58
Глава 3 Одномерное уравнение Шредингера 3.1. “Оправдание” одномерной модели Из курса уравнений математической физики хорошо из— вестно, что в случае, когда оператор Гамильтона не зависит от времени (консервативная система), временные и коорди- натные переменные можно разделить. Итак, пусть постав- .нона формальная математическая задача:. _ дФ(г‚Ё) _ ^ 15—87?— — Н(г)1і(г‚75)‚ (3.1) Ф(Г7 Ё) |$=0 : Ф0(Г) ' |З этом случае решение задачи Коши всегда можно пред- ставить в виде ряда (2.33): Ф(г‚ 73) = 2 аЕе-—%Е*фв(г)‚ (3.2) Е где функции фЕ(г) есть собственные функции стационар- ного уравнения Шрёдингера: это = Ефщг), (3.3) а коэффициенты аЕ — коэффициенты Фурье: @ = ] фыющгшг. 59
Суммирование в формуле (3.2) ПРОВОДИТСЯ по всем реше- ниям (состояниям) стационарного уравнения Шредингера. Ясно, что в общем случае никакого аналитического ре- шения уравнения (3.3) не существует. Поэтому представ- ляет интерес прежде всего рассмотреть простейшие слу- чаи, когда можно сделать относительно общие выводы о свойствах решения стационарного уравнения Шрединге— ра. Данное замечание прежде всего относится к так на- зываемому Одномерному уравнению, к которому мы при- ходим, если, например, оператор потенциальной энергии имеет вид П(г) : П1(а:) + П2(у, 2). Действительно, в этом случае в трехмерном стационарном уравнении (3.3) можно разделить переменные, представив ЩГ) : ф1(:с)ф2(у‚ 3): ($153 + шт)) №) = №№:), 2т 1 ^ ‚, (ип—103 + рі + №, г)) №, г) = Ему, и); (34) Е : Е1 + Е2. Естественно, решение одномерного уравнения Шредингера позволяет делать выводы только о свойствах движения, со— ответствующих данной степени свободы. Безусловно, ана- лиз свойств решения одномерного уравнения Шредингера не может претендовать на обобщение для трехмерного слу- чая, однако он полезен, поскольку, как мы увидим в даль— нейшем, одномерное уравнение получается не только в та- ком тривиальном случае. 60
Щх) Рис. 3.1. Модель потенциальной энергии имеющей разрыв пер— вого р0да в Одномерном случае 3.2. Общий анализ решений Одномерного уравнения Шредингера В одномерном случае уравнение становится обыкновенным дифференциальным уравнением без первой производной. ()бычно принято коэффициент при старшей ПРОИЗВОДНОЙ полагать равным единице: №:) + 1—7? (Б — Щаз» № = 0. (3.5) Свойства решения уравнения (3.5) определяются свойства— ми потенциальной энергии, входящей в уравнение. Реаль— ные физические потенциалы всегда непрерывны, поэтому можно сказать, что волновая функция также должна быть дважды непрерывно дифференцируема. Однако использу— емые модельные потенциалы могут быть разрывны, тогда и свойства волновой функции будут такими, чтобы ее вторая производная имела соответствующий разрыв. Пусть м0дельный потенциал имеет разрыв 1 р0да. Рас— смотрим окрестность разрыва (см. рис. 3.1). Если Е < Но, тогда Мені—?Ещш) = 0, ш<о‚ Ф”(т) — 2%— (По — Е) щаз) = 0, 51: > 0. (3.6) 61
Соответствующие решения есть: 2т 712 Е, Щас) : Секс” + Бе_’“ при 3: > 0, (3.7) ф(:с) : Аеі’ж + Вед,“; при 3: < 0, где 122 = 2 где и2=7ЪТ—2п—(По—Е)=О. В силу непрерывности плотности потока вероятности име— ем . тс . 3 |ш<0 = ;(1Аі2 _ |Ві2) : З |ш>о = 0, получаем |А| : |В|‚ и решение слева от разрыва имеет вид стоячей волны: ф(:с) |$<о : 2|А| соз(іж + 90). Сама же волновая функция должна быть везде гладкой, т.е. ОДИН раз непрерывно дифференцируемой: фН—О) : ф(_0)› ф/Н-О) : ф’(—0) или №0) : фсе) ф’(+0) Ф’(—0)° „ Говорят, что непрерывна логарифмическая прОИЗВОДная. Рассмотрим теперь разрыв П р0да‚ т.е. пусть По ——› 00. В силу конечности волновой функции следует положить С = 0. Тогда из непрерывности логарифмической произ- ВОДНОЙ следует (3.8) Б=—Ё(А—В)=О при ПС)—>00. Соответственно ф(0) : О и фф) („<О : Лзіп Каз. 62
В этом случае требование гладкости заменяется условием Ща?) №20 = 0- Обычно математически задача определена на всей оси: —оо < 3: < 00, поэтому граничные условия определяют зна— чение волновой функции на бесконечности. Есть две прин- ципиальные возможности, которые соответствуют разным физическим постановкам задачи. 1. Условие Щаз) |ш—›оо = О означает равную нулю вероят— ность обнаружить частицу на бесконечности и соот- ветствует финитному движению или связанному со- стоянию. 2. Условие #)(Ш) |ш_›оо : сопзіз означает, что частица мо— жет быть обнаружена с отличной от нуля вероятно- стью во всем пространстве И соответствует инфинит— ному движению. 3.3. Связанные состояния Рассмотрим для простоты анализа задачу о связанных состояниях частицы в потенциальной яме с условиями !!(ш)|ш_›іоо : 0, причем начало координат поместим в точ— ку минимума энергии, т.е. П(О) : …… как показаНо на рис. 3.2 Связанным состояниям отвечают значения энергии Е < 0. Действительно, в уравнении Шредингера имеем 2т 2т Ё (Е _ П) :::—›:Ьоо = _712—|Е|: —и2‚ поэтому “на бесконечности” волновая функция удовлетво— ряет нужным граничным условиям: Ща?) |ш——›і:оо ’ е:]:иа: |.т—›:і:оо _) 0- 63
.: П(х) [>О Щ №_ 0 / ' Е<0 ] х (] тіп Рис. 3.2. Одномерная потенциальная яма, в которой существуют связанные состояния Если же Е > О, на бесконечности получается осциллирую- щее решение, отвечающее инфинитному движению. Получим сейчас ОДНО простое, но очень важное для дальнейшего утверждение. Поскольку одномерное стационарное уравнение Шре— дингера есть обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, оно имеет два линейно неза- висимых решения: ф1(33) и №2013). Иными словами: з’‹ш>+2‚Ё—Ё‘‹Е—щш›>ф1<ш> = 0, ° $‹ш>+%‹Е—и‹ш>>ф2‹ш> = 0. (3.9) Умножим первое уравнение на ф2(:с)‚ а второе — на ф1(:с) и вычтем ОДНО из другого: ’1’(а:)ф2(:с) _ &’ (Ш)Ф1($) = 0- (3-10) Проинтегрируем полученное уравнение и получим И/(сс) : ф’1(ш)ф2(сс) — фё($)ф1($) : сопзй, (3.11) где И/(сс) есть определитель Вронского. 64
Пусть ф1(а:) и ф2(а:) описывают связанные состояния с энергией Е, тогда на 3:00 волновые функции в силу гранич- ных условий обращаются в нуль и И/(яэ) : 0. Из равенства нулю определителя Вронского получаем №№?) = сопз’с №№:), (3.12) т.е. волновые функции линейно зависимы. Это означает, что в одномерном случае энергетический спектр связанных состояний обязательно невырожден. Спектр будет невырожденным и для инфинитного в од— ну сторону движения. В случае инфинитного движения в Обе стороны (при и: —› :|:оо) спектр Двукратно ВЬ1р0ЖДеН._ 3.4. Осцилляционная теорема Пусть точки сс : 3:1, 51:2 есть решения уравнения Е— [](т) : = 0. Эти же точки в таком случае будут точками переги- ба решения уравнения Шредингера (волновой функции). Области 51: < 331 и :1: > 51:2 недоступны для классической ча- стицы (классически недоступные области), поэтому обычт но точки 331,2 называют классическими точками поворота. Заметим, что для потенциальной ямы, изображенной на рисунке, решение должно быть гладким. Из этого следует тривиальное замечание, что обязательно Е 2 Пт…. Рас— смотрим сначала Е : И…… тогда обе точки перегиба сов— падают: 331 = 5132 = О, и волновая функция должна удо- влетворять условиям гладкости, т.е. должны быть выпол— нены Одновременно два условия (3.8). Но в нашем случае получаем либо ф(—О) : ф(+0), но ф’(—О) : —ф’(+0), ли— бо ф’(—О) : ф’(+0), но ф(—О) : —ф(+0). Иными словами, условие (3.8) может быть выполнено только если фф) : 0. Поэтому обязательно Е > П…… и соответственно 331 < 0 и $2 > О. 65
!!(Х) “ “(Х) №ФС) Г 1106) №) %(х) ' 2 ж‚щ -х0 О хо? -)СО 0 хо? Е=Е0 Е<Е0 а) Ь) Рис. 3.3. Волновая функция первого связанного состояния в одномерной потенциальной яме Обозначим 3:0 точку, для которой выполняется условие [](ішо) << |Е |, тогда для всех |а:| > 330 потенциальной энер- гией в уравнении Шредингера можно пренебречь. Получа- ем асимптотическое поведение волновой функции:, ф(:13)|$_,іоо … ед“, (3.13) где и : /2т|Е | / Н. Будем искать решение с минимальной энергией (первое отличное от нуля). В силу непрерывно- сти функции мы должны положить, исх0дя из асимПтоти- ки волновой функции (3.13), одинаковым ее знак как слева, так и справа от нуля. Поскольку теперь Е > П…іп, точки перегиба будут существовать при |Ш1‚2[ < сео, и для выпол- нения условия гладкбсти функции (3.8) мы должны потре- бовать «#(—0) : —ф’ (+0) : 0, что может быть выполнено не при любом, а при каком-то определенном значении пара— метра Е : Е1 (энергии). Это и есть условие существования первого (минимального) уровня энергии связанного состо— яния. В этом случае волновая функция имеет вид, изобра— женный на рис. 3.36, и нигде в классически разрешенной 66
№05) г ПОС) у(х)‘ П(х) , их) …” -х() 0 х0 -х0 хо Е0<Е<Е1 5:15 1 а) Ь) Рис. 3.4. Волновая функция второго связанного состояния в одномерной потенциальной яме области в нуль не обращается. Если после этого увеличивать значение Е, условие глад- кости (З.8) перестанет выполняться, Однако тенденция из— менения волновой функции такова, что теперь для выпол— нения условия гладкости, нужно потребовать ф’(—0) : : ф’(+0) 7$ 0, но при этом обязательно должно быть ’ф(—О) : —ф(—|—0) : 0, что может быть выполнено не при любом, а при определенном значении параметра Е : Е2 > > Е1. Если такое значение параметра существует, значит есть второе связанное состояние со значением энергии Е2, при этом волновая функция имеет вид, показанный на рис. 3.41), и обращается один раз в нуль в классически разрешен— пой области. Такую процедуру можно пр0должить и получить, что если существует значение параметра Е : Е3 > Е2, при котором ф(—О) : ф(+0), но тогда «#(—0) : —ф’(+0) : 0, тогда это будет третье связанное состояние с энергией Ез, волновая функция которого имеет два нуля в классически разрешенной области. 67
П(х) 4 Е>По ПО Е<П0 0 х1 ‚1:2 х; Рис. 3.5. Одномерный потенциальный барьер Все вышесказанное обобщается в так называемую ос- иилляиионную теорему, суть которой состоит в том, что спектр связанных состояний обязательно дискретеи, а вол— новая функция обращается в нуль в классически разрешен— ной области и — 1 раз, где и = 1, 2, З,. . ._ — номер уровня энергии (связанного состояния). ' 3.5. Непрерывный спектр Пусть потенциальная энергия имеет вид, показанный на рис. 3.5. В этом случае частица совершает инфинитное движение. Поскольку для любого значения энергии Е > 0 нет обязательного требования обращения в нуль волновой функции Одновременно на :Ьоо, условие гладкости может быть выполнено для любого значения параметра Е, ча- стица обладает непрерывным спектром энергии. Поэтому и задача ставится не об определении уровней энергии, а о нахождении волновой функции (состояния). Обычно такая задача может рассматриваться как Одномерный аналог за- дачи о рассеянии частицы на каком—либо потенциале. По- этому прежде всего интересуются асимптотическим пове— дением волновой функции. 68
Если энергия частицы Е < Но, то в этом случае при 51: ——› іоо волновая функция может быть записана в ВИДе : АеіМш—і—Ве'і’с”, ф(а:) {БЧ—ОО Маг) : [Зе—‘”, (3.14) а:—›+оо где 131 : х/2тЕ/Гъ2, % : /2т(По — Е)/Н2. Поскольку при 3: > 1131 плотность потока і|$>$1 : 0’ получаем |А| : |В| И ф(:с)|$_,_оо : Асоз(/са: + 90). Иными словами, еСли в начальный момент времени частица дви- галась слева направо, то она отразится от барьера И обра- зуется суперпозиция падающего и отраженного состояний в виде стоячей волны. Если Е > По, асимптотика волновой функции имеет вид і/сш —і/с:в =Ае 1 +Ве 1, 113—›—ОО МЗ:) МЭЗ) :сеі’т + ре-“в—‘Б, (3.15) :с—›+оо где № : /2т(Е — ПО)/№. С такой асимптотикой волновая функция есть решение стационарного уравнения Шредин- гера (стационарная постановка задачи). Обычно же задача ставится не стационарно. А именно: пусть в начальный мо- мент времени частица падала из —оо на потенциальный ба- …‚ср. Определить коэффициент отражения и прохождения частицы через барьер. В таком случае на —оо будет супер- позиция состояний падающей и отраженной частицы, а на | 00 будет только состояние прошедшей частицы. Все это можно записать в виде щас) : еі’чт + вез—“№ 'ф(:1:) : Аеі’т. (3.16) :в—›—оо :в—›+оо 69
Ясно, что волновая функция с такой асимптотикой уже не будет собственной функцией гамильтониана. Просто это — функция для определенным образом заданного начального условия. Для записанной таким образом волновой функции по- лучаем плотности потока в соответствующих состояниях: №1 . МЮИ? Зотр : № : _ = , : _ в 2. 3.17 .?пад … ‚01 .?пр … т| | ( ) Коэффициенты прохождения и отражения соответственно равны 'п 16 'т р = 9 р : Ё|А|2, в : 3,°—р : |В|2. (3.18) 1 ]пад .7пад При этом выполняется очевидное условие В + В = 1. Вновь вернемся к стационарной постановке задачи и за— пишем общий вид асимптотик волновой функции: А1е1к1ш+в1е—ііс1ш‚ (‚С—› —00‚ _ /‹ фев) —{ А2еііс2$+в2е—ііс2$‚ :!:—› +00 '319) Поскольку в формуле (3.19) асимптотики определяют вы- ражение ОДНОЙ и той же функции, но в разных точках, между коэффициентами А1, 31 и А2, В2 должна быть ли- нейная связь, например: А2 : 04.41 + 631, 32 : ’7А1 + 631. (3.20) Соотношение (3.20) можно переписать в векторной форме: А2 __ 04 5 А1 _ ^ А1 (в)—Ь дид—№,)- № Заметим, что коэффициенты А и В можно рассматривать как представление волновой функции, поэтому матрица Т 70
в соотношении (3.21) есть выражение некоторого операто— ра в том же представлении. Поэтому можно записать ИШ) = ТФОП) а:—-›+оо :с—›—оо Оператор Т описывает изменение волновой функции ча- стицы при ее переходе из —00 к +00 и его можно рассматри- вать как оператор переаюда. Матрица в соотношении (3.21) в этом случае будет матрицей перех0да. Мы помним, что непрерывный спектр двукратно вы- рожден, поэтому есть две линейно независимые функции. Очевидно, что комплексно сопряженная к (3.19) будет ли— нейно независимой функцией: АЁеЧ’Ч; + Ві‘еі’п‘”, аз —› —00, ф (33) ={ Азе—ііс2$+взеіісвш‚ $—›+ОО (322) Соответственно должны выполняться соотношения * _ * * * * * _ * * * * 2— А1+БВЬ В2_7А1+бВ1. Сравнивая выражение для функции (3.19) с комплексно сопряженным (3.22), видим что связь (3.20) должна иметь место и для комплексно сопряженных коэффициентов: ВЗ : СКВ); + БА; ——> 32 : а*В1 + ‚8,541. (3.23) Таким образом, матрица Т может быть записана В виде Т = ( до; 5, > ; (іе’сТ : |а|2 —— |‚б|2. (3.24) Поскольку в стационарном случае _7°|ш_›_оо : Лаз—иго… по- .пучаем ‚$1 _ |А2|2 _ |В2|2 _ 2 2 _ ^ ‚9—2 _ |А1|2 _|В1і2 _ Ы _ |5| _ деж. 71
Рассмотрим случай, когда (](а: —› —оо) : [](33 —+ +00) и, соответственно [$2 = #1. В этом случае сіе’ст : 1. Вновь вернемся к нестационарной постановке задачи и положим В2 = О (частица “рассеивается” на потенциальном барье- ре при движении слева направо). Из соотношения (3.23) получаем А1/В1 : —о:*/Б* и коэффициент отражения |В1|2 №2 В_› = : _. 3.25 114112 № ( ) Пусть теперь частица отражается от барьера при дви— жении справа налево, тогда мы должны положить А1 : О. В этом случае получаем А2/В2 : В*/о‹*. Соответственно коэффициент отражения равен : №212 : № : |в2|2 № Е‹_ Е—›. (3.26) Итак, коэффициент отражения частицы определяется не “фронтом” потенциала, а его площадью, которая не зависит от того, в с какой стороны падает на него частица. Вопросы для самоконтроля 1. Записать одномерное стационарное уравнение Шредингера. 2. Какими требованиям должна удовлетворять волновая функ- ция? Какова связь свойств волновой функции со свойствами модельного потенциала? З. Сформулировать постановку задачи для определения связан— ных состояний. 4. Как ставится задача для инфинитного движения? 5. Какой вид имеет асимптотическое поведение волновой функ— ции в классически запрещенной области? 6. Какими свойствами обладает энергетический спектр связан— ных состояний в Одномерном случае? 7. Сформулировать осцилляционную теорему. 72
8. 10. Каковы свойства определителя Вронского для решений ОДНО- мерного уравнения Шредингера? Как определяются коэффициенты прохождения и отражения от потенциального барьера? Как связаны между собой коэффициенты отражения от по- тенциального барьера при падении частицы слева (из ——00) и справа (из +00)? 73
Глава 4 Элементы теории представлений в квантовой механике 4.1. Дираковский формализм В параграфе 2.2 главы 2 мы видели, что описание состо- яния квантовой системы с помощью волновой функции можно заменить вектором, составленным из проекций ис— ходного состояния на базисные состояния. При этом опе— раторы также представляются матрицами. Этот альтерна— тивный ПОДХОД к описанию состояний квантовых систем позволяет сформулировать основные постулаты квантовой механики в более общем виде: в виде дираковской форму— лировки квантовой метоники. 1. Множество всех состояний квантовой системы со- ставляет пространство состояний, элементы этого про- странства — векторы состояний — будем обозначать как по. 2. В силу принципа суперпозиции пространство состо— яний линейно. Т.е. если два состояния |ф1) и №2) — какие- либо два вектора состояний, то линейная комбинация |№) : с1|ф1)+с2|ф2) тоже вектор состояния из этого же простран- ства. Пространство состояний полное. 3. Согласно представлениям о взаимодействии макро— скопической системы с микросистемой измерение какой— либо физической величины связано, вообще говоря, с изме- 74
нением состояния квантовой системы. Иными словами, при извлечении значения физической величины ]” состояние си- стемы в общем случае может измениться: |ф) —+ {‹р)1. Про- цедуре изменения состояния должен соответствовать опе- ратор і , определенный в этом же пространстве состояний. Таким образом, мы должны всем физическим величинам поставить в соответствие операторы, которые вполне опре- деленным образом изменяют состояние: ЛФ) : №}. Есте— ственно, вид этих операторов ни в. коей мере не связан с процедурой измерения, а уж тем более не связан с самим состоянием квантовой системы. 4. Значение какой—либо физической величины может быть получено в результате сравнения состояния систе— мы до и после процесса измерения. В соответствии с этим мы должны потребовать, чтобы сравнение состояний си- стемы |ф> до воздействия оператора физической величины и состояния |№) после его действия давало вполне опреде— ленное число: нужную физическую величину. Существен— ной, отличительной характеристикой вектора представля- ется его направление, поэтому от несущественных характе- ристик следует избавиться. В линейной алгебре для выде- ления существенной характеристики вводится понятие ска— лярного произведения. Мы видели, что при задании состо— яния в виде векторов нам понадобились векторы-столбцы и сопряженные им векторы-строки. Соответственно, наряду с “прямым” пространством состояний, следует определить также и сопряженное пространство состояний, элементы 1Вопросы, связанные с измерениями состояний квантовых систем и взаим0действия их с макроскопическими объектами, весьма слож— ны: их нельзя понимать буквально в примитивном смысле простого изменения состояния квантовой системы. Более того, теория кванто— вых измерений представляет собой, по существу, целый раздел тео— ретической физики, не ограничивающийся только рамками “чистой” квантовой механики. Нам здесь важно поцчеркнуть, что любое изме— рение связано с воздействием на измеряемую систему. 75
которого будем обозначать как («И. Тогда |ф>+ = (1/2!— Вектор №) называют кет-вектором, а сопряженный ему (Щ — бра-вектором в соответствии с двумя “половинками” ан- глийского слова Ьтс/сеЁ. Теперь можно ввести скалярное произведение двух век— торов |ф> и |ср) в комплексном векторном пространстве со— стояний как С = №№; С° = №90)- Соответственно если №> = С1|ф1> + С2|ф2>‚ ТО @! : СЁ<ф1| + СЁ<ф2|- СОГЛШЗНО ОПРСДЭЛЭНИЮ СКЭЛЯРНОГО ПРОИЗВВДЭНИЯ 1- (ФКСИЩ) = С<90|Ф>‚ 2- <Ф|<С1|ф1> + №№” = С1<90№1> + С2<90|Ф2>— Поскольку число (№№) : ||ф||2 конечно, будем пола- гать Все векторы состояний нормированными на единицу: №№ == 1. Вновь вернемся к действию оператора на вектор состо- яния: Лф) : |<,0), очевидно, что, вообще говоря, изменяется как “направление” вектора, так и его норма: ||ср||2 # 1. По- ЭТОМУ’ ЧИСЛО <ф№> = №№» = 1“ (4.1) неПОСреДС'ГвеННО связано с соответствующей физической величиной. Положим, что так получаемое число и есть ис— комая физическая величина, поэтому соотношение (4.1) на— до понимать как определение оператора соответствующей фИЗИЧеской величины. 2 Как рассказывают очевидцы, на семинаре в Институте физиче- СКИХ Проблем во время выступления П.А.М. Дирака сам Л.Д. Ландау переводил тогда новые термины как “ско” и “бка”. 76
Дальнейшие постулаты о полноте описания квантовой системы и об уравнении тёпщ = Ща» (4.2) остаются в том же виде, который был сформулирован для описания квантовой системы на языке волновой функции. Вновь вернемся к определению (4.1). Очевидно, что ]“ = МОИМ) Е ((ЩЙЛФ), (4-3) т.е. оператор может действовать как вправо на вектор кет, так и влево на вектор бра. Очевидно также, что, вообще говоря, (фіі # (90|, однако можно найти соответствующий оператор №№ = «№№ = (<ф|і|ф>>* = <ф|і+|ф>‚ (44) т.е. «№ = <% где 13+ — эрмитовски сопряженный оператор, действующий в сопряженном пространстве так же, как 13 в “прямом”. Поскольку физические величины действительны, соот- ветствующие им операторы эрмитовы. Как и для волновых функций вновь поставим задачу на собственные значения: № = №. (45) Для оператора физической величины собственные векторы составляют базис, а собственные значения действительны. Поскольку состояние (4.5) определяется значением физи— ческой величины 1”, вместо “абстрактной” буквы 1/1 удобно 77
поставить соответствующее значение физической величи— ны, тогда уравнение (4.5) перепишется в виде 1311“) = №”)— (4—560 Например, для оператора энергии следовало бы собствен— ные векторы записать так: Ё|Е> : ЕіЕ). (4.6) Если спектр оператора дискретен, удобно вместо соб- ственного значения записывать его “номер”, т.е. если, на- пример, Е —› Еп, тогда |Е”) Е |и). Соответственно ЁіЕп> —› Ё|п>=в„|п>. (4.7) Любой вектор состояния можно задать в “системе от— счета” (базисе) оператора } : № = Хамм, ИЛИ № = ] анита]: (4.8) ИЛИ № = Халли /а(і)|і`>‹іі— В таком случае говорят, что состояние |№) задано в пред- ставлении ]. Причем ап=(1“п№>› & а(і)=<ііф>- (4-9) Если для дискретного спектра все просто и очевидно, то для непрерывного спектра возникают затруднения, а имен— но. Умножим скалярно вторую строчку выражения (4.8) 78
слева на бра—вектор ( ]” |, чтобы определить соответствую- щий коэффициент Фурье: аог=ишо=/Ьожлгиг. имт Чтобы удовлетворить это равенство, Дираку потребова— лось ввести б—функцию. Таким образом, соотношение орто— гональности для базисных векторов непрерывного спектра должно иметь вид (№“) = 60“ — 1“). (4.11) Напомним некоторые свойства б—функции: ]]“(т)б($ — а)с1:1: : Да); (4.12) /і(ш)д(ж)аш=|—С1д;(0)‚ т.е. б(аш)=йб(ш); (4.13) 1 _/лтщищиж=ддёдлщу <4и> В последнем соотношении произв0дная берется в точке 11:0: (‚0(Шо) : 0. Кроме того, следует обязательно помнить интегральное представление б-функции: +оо / еташ : №№). (4.15) Устроим теперь такую конструкцию: Рф = |Ф><90|- (4.16) Умножение строки на столбец дает число, а умножение ‹голбца на строку — матрицу. Таким образом составлен— ное выражение поэтому представляет оператор. Посмот— рим, как он действует на произвольное состояние: РФ|Х> = (№№!) |х> = №№ (417) 79
где с : (‹р|х). Как видим, оператор (4.16) проектирует про— извоЛьное состояние на состояние |ф) с весом с — это про- екционный оператор. Вернемся теперь к разложению (4.8) и'подставим явный вид коэффициентов Фурье: № =2<іпіф> и» =2 |ф>|іп><м = Х |і„><і„| №. (4.18) п Видно, что выражение в скобках — единичный оператор: 2 |і„><г„| = 1. (4.19) 4.2. Представления основных операторов Рассмотрим теперь некоторые основные физические вели- чины и соответствующие им операторы. Прежде всего за- метим, что состояние частицы (квантовой системы) в точке г по определению задается вектором состояния |г), состоя- ние частицы с импульсом р — вектором |р). Поскольку координата — физическая величина, соглас- но введенным определениям ей соответствует оператор 1“, для которого векторы |г) — собственные векторы с соответ- ствующими собственными значениями: 1^`1Г0> = Г0|Го>- (4—20) Здесь го — собственное значение оператора координаты, и оно соответствует тому, что частица находится в точке с координатами го. Те же самые слова можно произнести и для импульса частицы: 13|ро> = Р0|РО>— (4.21) 80
Здесь ро — собственное значение оператора импульса, и оно соответствует тому, что частица обладает импульсом ро. Упражнения 1. Показать, что матрица оператора координаты в соб— ственном (координатном) представлении имеет вид (г’|1^'|1'”) : г”б(г’ — г”). 2. Показать, что в р—представлении матрица оператора им— пульса имеет вид <Р’|1-°>|Р”> = Р”б(р’ — р”)- Оператор ^ Рг : |г><г| (4.22) проектирует любой вектор на базисный вектор состояния с координатой г: Ёіф> = |г><г|ф> = <г|ф>|г>. (423) Здесь проекция (Мф) показывает, как выглядит состояние №) в точке г. Но это не что иное, как по определению вол- новая функция. Таким образом: ФО“) = <Г|Ф>- (4-24) Соответственно мы рассматриваем состояние в координат— ном представлении. Полное разложение вектора |№) пред- ставляется в виде интеграла № = /<г|ф>|г>аг. (4.25) Пусть теперь [ф) 5 |р), тогда 13г|р> = |Г><Г|р> = <Г|р>|Г>— (4-26) 81
Но волновая функция <г|р) описывает состояние частицы с определенным импульсом, т.е. свободную частицу, а потому это есть не что иное, как волна де Бройля: <г|р> = фре) = Аейг. (4.27) Теперь мы понимаем, что волновая функция непрерывного спектра должна быть нормирована на б-функцию: ]ф;‚‹г>фр‹г>аг = |Аі2/ет_1(р'р’)гсіг : : |А|2 (этт б(р _ р’). (4.28) Таким образом: _ 1 іп'1рг фр(1`) — №6 . (4.29) Действие операторов на собственные векторы представ— ляется тривиальным: получаются собственные значения. Вся проблема состоит в том, чтобы определить, как дей— ствуют операторы на произвольные векторы состояний. Сначала определим, как действие операторов выглядит в собственном базисе (в “собственной системе отсчета”), а за— тем увидим, как они выглядят в “несобственной системе отсчета”. П0действуем на произвольный вектор состояния опера- тором координаты ?: №0) = |% (4.30) где |<,о) — неизвестный пока вектор. В базисе собственных состояний оператора координаты вид “неизвестного” состо- яния получается разложением его по базису состояний |г). Проекции этого разложения По определению дают значения 82
(вид) состояния |<,о) в точке с координатой г, т.е. волновую функцию. Имеем <г4ф>=ф<г> = <г|і|ф>=<г|гіг|ф> = <г|і'/<1г’|г’><г’№> : =/(іг’(г|1^°|г’)(г’|ф) : /(і1°’1°’б(г — г’)ф(г) : Г'ф(1'). (4.31) Итак, действие оператора координаты на произвольное со- стояние в собственном представлении сводится к умноже- пию состояния на значение координаты. Причем мы ви- дим, что при переходе от векторов состояний к волновым функциям интегрирование по всем матричным элементам и проекциям “уходит” и можно говорить о том, что опера— тор координаты есть простая операция умножения на саму координату. Такое свойство связано с локальностью опе- ратора. Тем не менее, строго говоря, мы всегда должны помнить, что оператор в каком-либо представлении есть вполне определенная матрица. Однако, как только что бы- …) показано, для волновых функций этот факт оказыва- ется “спрятанным”. Поэтому общепринято говорить, что действие оператора координаты (а соответственно и любой функции от оператора координаты) на волновую функцию сводится к простому умножению. Упраэюнение Используя свойство функции от оператора Р(]°)ф„ : = №№… если №… = №… показать, что (г|П(1^°)|г’> : П(г)б(г — г’). (4.32) Пример Определим оператор трансляции Ё, на расстояние & его действием на вектора состояний с определенной координа- г‹›й |г) следующим образом: Таш : |г+а). 83
Посмотрим теперь, как действует этот оператор на произ- вольный вектор состояния |ф>. По определению Тали = |ф>. Теперь надо найти связь двух состояний |ф) и |ф) в ко— ординатном представлении, т.е. связь волновых функций. Вновь будем действовать ‚по определению. Спроектируем полученные состояния на состояние |г): ’ <г|Та|ф> = <г|ф> = фе). Выражение слева “расщепим” единичным оператором 1г: (ГП/:аідф) : /ёг’<г|Та|г’)(г’|ф) : /&Г’(г|г’ —|— а)ф(г’) : : ]сіг’б(г —- г’ — а)ф(г’) : ф(г — а). Или окончательно в координатном представлении Тиф“) : ф(1‘ _ а)' Заметим, что полученный результат отличается от “при— вычного”. Все дело в том, что привычное определение опе- ратора трансляции его действием на волновую функцию обратно нашему определению. Как видно, мы здесь опреде- лили оператор трансляции его действием на базисные век- торы, что в линейной алгебре означает преобразование си- стемы координат. Определяя же оператор трансляции его действием на волновую функцию, мы не изменяем базис— ные векторы, но смещаем саму физическую систему, что в линейной алгебре означает преобразование пространства. Как хорошо известно, это обратные друг по отношению к другу преобразования. Такая ситуация часто встречается не только в квантовой механике, но и вообще в физике, по- этому следует быть очень внимательным при выполнении 84
каких-либо преобразований. Ясно, что окончательный (фи— зический) результат не зависит от того, что преобразуется, но ни в коем случае нельзя смешивать различные преоб- разования в одной задаче! Поэтому лучше всего придер- живаться всегда какого-либо ОДНОГО типа преобразований: .пибо преобразовывать базисные векторы (систему коорди- нат, отсчета), либо преобразовывать физическую систему (пространство). Унрао/сненил |. Найти эрмитовски сопряженный оператор трансляции ^+ Та . 2. Найти вектор кет: 3. Найти бра-векторы: ті, и @@; П0действуем теперь оператором импульса на произ— вольный вектор: ©|ф> = |х>- (4-33) |З базисе собственных состояний |р) вид “неизвестного” со— стояния получается разложением его по данному базису. Проекции этого разложения по определению дают значе- ния (вид) состояния |Х) в точке с импульсом р. Имеем что = Хр = (ИЭМ/)) = (рійіріт = (Ріг 2 Ш) <р’|ф> = =2<р|р|р’><р’|ф> = 2 рбрьіфрі = ртр. (4.34) р’ р’ '!‘аким образом, получаем, что, как и для оператора коор— динаты в координатном представлении, дейётвие операто- ра импульса в собственном представлении СВОДИТСЯ к про- ‹ттому умножению функции в импульсном представлении на значение импульса. 85
Посмотрим теперь, какой вид имеет состояние | Х) в ко- ординатном представлении. Для этого спроектируем его на произвольный базисный вектор |г): <г|х> =х<г> = <г|р|ф> = <Г|ріг|ф> = (гііэ ]сіг’іг’><г’|ф> = =/с1г’<г|р|г’)(г’|ф) : ]сіг’<г|р|г’>ф(г). (4.35) Как видим, для дальнейшего продвижения вперед следу- ет понять, что представляет собой матрица оператора им- пульса в координатном представлении (г|р|г’). Для отве- та на этот вопрос нужно воспользоваться уже известными соотношениями, а именно: нам известен вид матрицы опе— ратора импульса в собственном представлении и вид соб— ственных состояний оператора импульса в координатном представлении. Поэтому “расщепим” матричный элемент оператора импульса в координатном представлении двумя единичными операторами: <г|13|Г’> = <Г|ір©ір/|Г’> = (ті ёр|р><р|1^>/<ір’|р’><р’|1*’> = = ]]арар’<г|р><р|р|р’><р’|г’>. (4.36) В последней формуле теперь остались только известные выражения: волновая функция свободной частицы (волна де Бройля) и матрица оператора Импульса в собственном представлении. Поскольку матрица оператора импульса в собственном представлении есть б-функция, один интеграл по р’ сразу “снимается” и получаем: ій_1р(г’—г) : <Г|Р|1`>= (—1—2№)3 З]біррз _- д 1 ій_1р(г’—г) _ - д / _ЩЁЁ ((шт)?) оре _ 1Едг‚б(г — г ). (4.37) 86
”так, матрица оператора импульса в координатном пред— плавлении есть производная от б-функции. Упражнение Показать, что А . д <р|Г|р’> = —1дд—р‚б(р — р’)- (4-38) Теперь можно вернуться к определению вида неизвест— ной функции х(г). Подставляя формулу (4.12) в подынте- гральное выражение (4.17), получаем х(г) =/‹іг’ (ійддрбф' — Н)) ф(г’) : —ііі%ф(г). (4.39) Таким образом, действие оператора импульса на волновую функцию сводится к ее дифференцированию. Упражнение Показать, что 2 А Э <г|р2|г’> = 412 дг’2 б(г — г’). (4.40) Запишем теперь уравнение Шредингера в координат— ном представлении. Для этого спроектируем уравнение (4.2) на произвольный базисный вектор оператора коор— динаты. Получаем . 8 ^ тёещ : (г|Н|Ф>. (4.41) ()ператор, стоящий справа, следует преобразовать по уже шакомой схеме. “Расщепим” его единичным оператором: <г|Ё|Ф> : (г|Ёіг|Ф) =/‹іт’(г|Ё|1'/)(г’|1’) =/‹іг’Н(г‚г’)Ф(г’). 87
Как и следовало ожидать, уравнение формально имеет ин— тегральный вид, однако, подставляя результаты, получен- ные в упражнениях, легко видеть, что уравнение Шредин- гера в координатном представлении имеет “привычный” дифференциальный вид: идёт… : —2Е—тАФ(г, ::) + П(г)1'(г, г). (4.42) Рассмотрим теперь уравнение Шредингера в импульс- ном представлении. Как мы видели только что, необходимо просто получить вид стационарного уравнения Шрединге- ра, поскольку оператор дифференцирования по времени никаких проблем не вызывает. Итак, по известной схеме проводим преобразования: <р|Ё|Ф> = <р|йір|Ф> = [ар’<р|Ё|р’><р’|Ф> = = ]ар' «нар/> + <р|д|р’>) Ф;. С оператором кинетической энергии разобраться так же просто, как и с оператором потенциальной в координатном представлении: ^ р’2 р2 _ ]ар’<р|Т|р’>Ф’р = ]ар’ддщр — р*)Фь = %Фр. (4.43) Немного сложнее обстоит дело с оператором потенциаль- ной энергии, поскольку матричный элемент (р|д`(1^°)|р’) нам пока неизвестен. Вновь поступим в соответствии со знако- мой схемой: “расщепим” его единичными операторами: <р|д‹г>|р’>=<р|і„д‹г>іы|р’> = ] [агащрщ <г|д‹г>|г’><г’|р’>. Вновь появился знакомый матричный элемент оператора потенциальной энергии в координатном представлении и 88
…ответствующие волновые функции. После одного инте— грирования по координате 1 получаем (|›|д(1^‘)|р’) 2/63ГТУЗ е—ій—1(Р—Р/)ГП(Г) : 1 №Пр_р„(444) ”так, матричный элемент оператора потенциальной энер— гии в импульсном представлении есть образ Фурье. Урав- штние Шредингера становится интегральным. Сделаем за- мину переменной: р —— р’ = (1, тогда р’ : р — (1 и сір’ : січ. | | ‹ ›лучаем 2 р січ —Р + _ПФ_ =ЕФ. 4.45 2… р (27ТГЪ)3 Ч р Ч р ( ) КЁЪК ВИДНО ИЗ СТРУКТУРЫ уравнения, В потенциале ЧдСТИ- ЦН. ПОЛУЧЗеТ ИЛИ передает ИМПУЛЬС7 НО Так, ЧТОбЬ1 ПОЛНЫЙ ИМПУЛЬС СОХРЗНИЛСЯ. Пример Найти уровень энергии и волновую функцию связанно— … состояния частицы в поле Одномерной б-ямы: У(СБ) : —-і%%об($). Решим задачу в р-представлении. Для этого прежде всего т.метим, что образ Фурье от потенциала есть просто сопвс: Таким образом, уравнение Шредингера в импульсном представлении принимает простой ВИД: 2 Б +00 10 %о _ 2тфр №771 (19% _Ч _ Еф? —00 89
Обозначим +00 +00 ] да?/›р—Ч = ] @рфр = С- —-00 —00 Поскольку Е < 0, получаем выражение для функции: Й,}{оС фр : 27гт(р2/2т + |Е|)° Согласно определению константы С получаем уравнение, из которого находится уровень энергии: +00 ЁИОС С _ _/ 27тт(р2/2т + |Е|)ёр° ВВОДЯ безразмерную переменную р/ /2т|Е | = 2, получаем +00 . Био ] (12 _1 7ц/2т|Е|_оо 22 +1 . Поскольку интеграл равен 7г, получаем уровень энергии: Е=—№%. 2т Волновая функция равна БИОС 1№=мт+№ну Неизвестная константа С определяется из условий норми— ровки: +Ш п 2+Ю @ _ % 17 [ф 2сір : 1, или |С| 2 : (_) / ___—_ _ _[о 10! л _00 (192 —|— №343? 90
Интеграл легко вычисляется с помощью мет0дов теории функций комплексного переменного: следует взять вычет н полюсе второго порядка, например в верхней полуплос- кости в точке 2 : іГъио, после чего получаем С : х/27гГт0, „ соответственно нормированная волновая 'функция в р- представлении имеет вид ф _ / 2 1 р_ лйио р2/іі2иё—і—1' 4.3. Уравнение Шредингера В матричном представлении Мы получили вид основных операторов в координатном (:::-представлении) и в импульсном (р—представлении). Ис— пользуя стандартную схему, нетрудно получить и другие результаты, позволяющие связать общий подход дираков— ‹ткого формализма с представлениями волновой функции. Изложенное выше можно применить для произволь- пого представления. Пусть есть некоторый базис „п), скажем, набор собственных векторов эрмитова оператора (оператора какой—либо физической величины) ;;“ Лм = мм. (4.46) Пусть нужно решить стационарное уравнение Шредингед ра: Ё|ф> = ЕМ, тогда вектор состояния |№) в представлении собственных гостояний оператора ]” имеет вид ” : Хап|іп>э где ап : (іп|ф> (4-47) '!плишем стационарное уравнение Шредингера в “ і—пред- гтавлении”. Для этого спроектируем его на произвольный 91
вектор базиса | {„} так же, как мы это делали для р— или :::-представлений: питии = Е<№> = апЕ (4.48) В уравнении (4.48) “расщепим” матричный элемент еди- ничным оператором: читат = Быт]… @ |ф>= ХИМ…. п/ П0дставляя результат в уравнение (4.48), получаем ОДНО- р0дную систему алгебраических уравнений относительно “переменных” ап: }: (нп… _ т……) а… = 0, (4.49) „! которое имеет нетривиальное решение, если сіе’с (НМ, — Ш……) : о. (4.50) Уравнение (4.50), как хорошо известно, называется секу- лярным. Собственные значения матрицы Нпп/ определя— ют энергетический спектр, а коэффициенты ап определяют нужные суперпозиции для собственных состояний гамиль— тониана. Эта схема очень полезна для численных расчетов. Рассмотрим теперь, как осуществляется формальный переход от одного представления к другому. Иными сло- вами, если заданы состояние |№) и оператор Ё в представ— лении состояний | {п) (в ]—представлении), какой вид они имеют в представлении состояний | 90) (9-представлении)? Вновь сделаем стандартное преобразование: МЫШЬ/> = Ёп =Ё<іп|9а><9а|5`|9аі><9ыШи)— (4—51) 92
С другой стороны, очевидно, что „тд =Е<9а|іп>|уа> =`Е $ап|9а>7 (452) а где 50… — матрица перехода от одного базиса к другому. Тогда уравнение (4.51) перепишется в виде Ца„ : 2 в;;г5а‚$а‚… (4.53) а,а‚!ріш’ где 13301: = <904|Р|9а’> (4-54) — 9—представление оператора Р` . Иными словами: ?(!) = 5—10 ‹— 9›1?*‹9>$<і ‹— 9>. (4.55) Очевидно, $ — унитарная матрица. Вопросы для самоконтроля Как связаны между собой векторы кет [ф) и бра (Щ? Как определяется скалярное произведение двух векторбв? Поставить соответствие между выражениями №№) и (ф|‹р>. 9959! Как определяется среднее значение оператора в дираковском формализме? Записать уравнение Шредингера в векторной форме. Чему равно (Яф))+? Если ЯФ) = |ф>‚ чему равно (ФН?? Записать разложение произвольного вектора состояния по №7199” &) дискретному и б) непрерывному базисам. Как определяются коэффициенты разложения? 93
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. Написать условие нормировки состояний в дискретном и непрерывном спектре. Перечислить основные свойства б-функции. Чему равен интеграл ] ехріаішісс'? Каков смысл выражения |<р)(ф|? Пусть совокупность векторов | 1%) составляет базис. Чему равен оператор: 2 |іп><іп|17 Пусть | [п) есть собственный вектор оператора ?, чему равно 1“ ШУ? Какой вид имеет оператор координаты в собственном (коорди— натном) представлении? Какой вид имеет оператор импульса в собственном (импульс- ном) представлении? Задано состояние |ф). Как определить волновую функцию? Какое состояние определяет вектор |г)? Какое состояние определяет вектор |р)? Что определяет выражение (г|р)'? Как действует оператор координаты ? на произвольное состо- яние |ф) в координатном представлении? Как действует оператор импульса ? на произвольное состояние |№) в импульсном представлении? Какой вид имеет оператор импульса в координатном представ— лении? Какой вид имеет оператор координаты в импульсном представ— лении? Записать уравнение Шредингера в координатном представле— нии. Записать уравнение Шредингера в импульсном представлении. Как осуществляется переход от одного представления к друго- му? Записать стационарное уравнение Шредингера в матричном представлении. 94
Глава 5 Гармонический осциллятор 5. 1 . Гамильтониан Эта система хорошо всем известна из КЛдССИчеСКОЙ меха- ники: частица движется под действиегМ гармонической СИ— лы Р : —Ьг. Поскольку Р : —7П(г')‚ в этом случае по— тенциальная энергия есть (](1') : 1613/2- ЭТО ИЗОТРОПНЫЙ гармонический осциллятор. Нам нужнЮ определить СПЭКТР и состояния осциллятора, а для этогс> НеОБХОДИМО решить стационарное уравнение Шрёдингера: (% + д(т)) ф(г) : Ёф(1`)— (5'1) Видно, что в данной задаче разделяются переменные, ПО- скольку (Ёф; +153 +153) +%Ы5Б2 + 3,2 + горит) =Еф(г). (5.2) Будем искать решение в виде произведения: ТИГ) : ф1($)ф2(у)фз((2)› тогда задача (5.1) распадается на тр1И совершенно одина— ковых Одномерных задачи: ^2 (;)—7; + %ЁЁБЁ) фа<$а) : Еа'фа(37а)3 Е : ХЕ“ (5'3) 95
Таким образом, задача свелась к решению Одномерного уравнения Шредингера, которое в координатном представ- лении имеет вид 712 (іі—Ща?) 2т (133——2 + —ф($ )= ЕМЛС)- (5-4) Прежде чем приступить к решению уравнения, вспомним основные свойства решения одномерного уравнения Шре- дингера: 1) поскольку П(:с)|$_,оо —› оо, движение финитно (суще— ствуют только связанные состояния); 2) спектр только дискретный и 3) при этом невырожден. 5.2. Операторы @ и а+ Как хорошо известно, классический осциллятор колеблет- ся с частотой ш— — / 1$ / т при этом потенциальная энергия равна П ( )= тш 2$2/2. Уравнение удобно решать, введя безразмерные (‘ ‘осцилляторные”) единицы. Начнем с энер- гии. Поскольку Бы имеет размерность энергии, единица энергии ЕО : Гъш, соответственно В : Еог. (5.5) Далее обезразмерим уравнение (5.4) на единицу энергии: 2 2 (5—— рт + %:В) ф : еф. (5.6) Таким образом, полуЧаем единицы длины и импульса: / Ё ‚—— :Бо == —‚ ро : Быт. (5.7) тш 96
Соответственно 53 : 3306$ 15' = РОР- Гамильтониан о-сциллятора принимает вид А 1 ^ А Н = 5 (192 + ©?) . (5.8) Вычислим коммутатор безразмерных операторов @ и Р: ^ ^ 1 Р, ]=——5;‚^:—і. 5.9 [ @ рощи р] ‹ > Гамильтониан (5.8) есть квадратичная форма, коэторую удобно факторизовать линейным преобразованием/1. Для простых чисел факторизация элементарна, если 1ввести комплексные линейные комбинации, например, 02 —Н— Ь2 : = (@ + іЬ)(а‚ -— іЬ). Для операторов можно пр0делатгь ана— логичное линейное преобразование, но при этом надщо пом— нить, что в отличие от чисел операторы некоммутаптивны. Введем неэрмитовы операторы & %(ён?) и д+э(а)+=/%( Соответственно обратное преобразование есть ^___1_^ …, ^_д^_^+ Ф—лф—і—а ), Р—іх/ЁЮ & ). (5.11) [10дставим это линейное преобразование в квадратгичную форму: (3 — 113) . (5.10) 132 + @? : деп + дт. (5.12) ВЫЧИСЛИМ КОММіутаЦИОННОС соотношение ДЛЯ оператгоров &, А+. И О, . [а‚а+1=ы<@+іг>‚<@—ігл =3<вё1—[@н>— 97
Это важнейшее коммутационное соотношение выделим от- дельной формулой: [д,дч : 1. (5.13) С учетом коммутатора (5.13) гамильтониан (5.8) Принима- ет вид А 1 Н = Вы (апа + 5) . (5.14) 5.3. Спектр и состояния осциллятора. Энергетическое представление Итак, нам нужно решить стационарное уравнение Шредин- гера, т.е. найти спектр и собственные состояния гамиль- тониана (5.14). Решим эту задачу, используя дираковский формализм в энергетическом представлении: Ё|и> : Е,‚|и), (5.15) где Е„ — собственные значения состояний |и). Значение энергии в собственном состоянии есть просто среднее зна— чение гамильтониана (5.14): Е„ : (ит,/> : п… <<;/ити + %) . (5.16) Очевидно, (и|д‚'с^ъ|1/> : ||с^ъ|и>||2 : 1/ 2 0.1 Итак, спектр ос— циллятора имеет вид 1 Е„ : Вы (и + 5) . (5.17) ОСТдЛОСЬ ТОЛЬКО ОПРЗДЭЛИТЬ, какие ЗНЭНЗНИЯ МОЖЭТ ПРИНИ- МЕЪТЬ неотрицателъное ЧИСЛО П. ДЛЯ ЭТОГО ВОСПОЛЬЗУВМСЯ 1Напомним, что (№№ : <ф| 13+. 98
коммутационными соотношениями (5.13), тем самым пока- ‚ком, какую важную роль играют коммутационные соотно- шения для операторов в квантовой механике. Ответим на шшрос: как действуют операторы & и 81+ на собственные со- пг‹›яния гамильтониана? Для этого достаточно вычислить коммутатор: [а, гла] : [д, ада + а+[д‚‚ @] = &. (5.18) ( ?овершенно аналогично получаем [д+‚д+а] : —д+. (5.19) Итак, нам нужно определить вектор Щи) : |ф). Поскольку „›‹:тояния |и) составляют базис, очевидно, можно записать |ф> = Хади/>. (5.20) Подействуем на него оператором 19 : д+с^и д|ф> = тд?/> = (дд—Щ”) = д(1/—1)|1/>=('/—1)д|1/>=(У—1)|ф>‚ |! сумме (5.20) осталось только одно слагаемое: |ф) : а„_1|1/ — 1), или &|1/) : а„_1|1/ — 1). (5.21) '|`гя.ким образом, оператор & уменьшает квантовое число и мн. единицу, это пониэюающий оператор. Совершенно аналогично имеем д+|и) : а…р/ + 1). (5.22) | |‹›действовав п раз оператором & на состояние |и), получим гостояние |и — п). Поскольку спектр гамильтониана (5.14) дискретен и невырожден, а также Е > О, получаем, что 99
должно существовать минималъное число 1/0 2 О, соответ— ствующее минимальному значению энергии ЕО. Поскольку это минимальное число отвечает низшему уровню энергии, должно обязательно выполняться условие (ЦПО) : О И. соответственно <и0|с^ъ+ : 0. (5.23) Тогда получаем <У0|ЁЬ+С^Ь|П0> : 1/0 : 0. (5.24) Согласно соотношениям (5.21) получаем, что квантовые числа и должны быть целыми и неотрицательными: 1/ : п и ^ 1 Н|п> = вап», Еп : п… („ +5) ‚ п = 0, 1, 2, (5.25) Итак, соотношения (5.25) есть решение задачи в энергети— ческом представлении. Найдем теперь коэффициенты в соотношениях (5.21). Имеем: дцп) : а„_1|п — 1) —› |о:„_1|2 : п, и а„_1 : енд/Ё. Выберем фазу 90 = 0, чтобы коэффициенты были действи- тельными, тогда д|п> : /7_^ь|п — 1). (5.26) Коэффициенты бк„ определяются следующим образом: д+с^ъ|п> :: /т—ъс^ъ+|п — 1) : ЛЁёпт) : п|п>, откуда получаем би„ : МЙ, или а+|п> : х/п + На + 1). (5.27) 100
Состояние |и : О) Е |О) для осциллятора основное. Согласно соотношению (5.27) с его помощью можно опре- делить любое возбужденное состояние осциллятора. Дей— ствительно, а+|о>=>1>‚ СЬ+ а+|1>=№> >2>=—}5^+|1>=(}|0> а+|2>=№|з>‚ >з>=—1—гь+|2>= (“ )‚3>0> (5.28) х/Ё /_! Таким образом, получаем простое соотношение: 03+)” >п>= № |О). (5.29) 5.4. Волновые функции Найдем теперь волновые функции состояний осциллятора, т.е. получим решение задачи в координатном представле- нии: фп(:в) : (шт) .. Перейдем к координатному представ— лению в условии дю) : о —› (33|д|0) : о. ,! Для этого воспользуемся стандартной процедурой теории | представлений: <ш>а ]сісс’іаг’Жт’іО) = [иё «земли> +і<$|1д|$‚>)Фо(33’) = 0. Удобнее сначала решить задачу в безразмерных единицах. В главе 4 мы получили, что операторы координаты и им— пульса в координатном представлении локальны, поэтому 101
интегральное уравнение преобразуется к дифференциаль- ному: (0 + і<—і—) №)— —- 0 (5.30) Обыкновенное дифференциальное уравнение первого по— рядка (5.30) легко решается: получаевся гауссова экспонен— та. Нормированная волновая функция равна 1 %(9): 7411 63—592. (5.31) В размерных единицах: 1 2 2 1/4 2 : —ш /2а: __: _тшш /2й №№) ———7т1/4/$_0е 0 (%))е . (5.32) Зная основное состояние, легко построить любое возбуж- денное: (т)“ %(27) = (33 № В безразмерных единицах получаем 1 (1 п _ 2 фп(@)=№( _аб> @ 0/2. (5.33) Соответственно в размерных единицах фи (33) = 1 ты 1/4 тш П/2 Е (1 тш$2 =— (—) (—) гс ————— ехр — . (5.34) Мп! 7'ГЁ 2Н, тш (1513 2Ё Как хорошо известно, в результате выполнения дифферен— цирования появляется предзкспоненциальный многочлен п—й степени — полином Эрмита Нп (62), для которого гаус— сова экспонента ехр(—622 / 2) есть прОИЗВОДящая функция. 102
Совершенно аналогично определяется вид волновой функции осциллятора в импульсном представлении <(р|п) : : ап (р) Определим сначала вид волновой функции основ- ного состояния: <р|о> = <р|гь /<1р’|р’>ао(р’) = 0. (5.35) В р-представлении в безразмерных переменных получается такое же дифференциальное уравнение: _ (1 ‚` 1 _р2/2 (1513 + 1Р> ао(Р) : О, и а0(Р) : йде . (5.36) В размерных единицах легко получаем 1 е—р2/2тііщ “О“?) : № Результат, впрочем, вполне очевиден, если вспомнить, что. образ Фурье от гауссовой экспоненты также есть гауссова экспонента. Посмотрим теперь, как выглядит соотношение неопре- деленностей для координаты и импульса в произвольном состоянии осциллятора. Поскольку (т|с^ь|п) = дд…‚„_1‚ (т|&+|п) : х/п + 1'д…‚…_1‚ (5.37) ЛЕГКО ПОЛУЧИТЬ (т|іс|п) : % (идёт,… + х/п + '1д…‚„+1) (5.38) и аналогичное выражение для оператора импульса. Видим, что <п|а^32к+1|п) : 0, но (п|а^:2’°|п) # О. Иными словами, средние значения координат и импульса в лю- бом состоянии осциллятора равны нулю. Поэтому опреде— ление дисперсии СВОДИТСЯ к вычислению средних значений 103
от квадратов этих операторов: Аяз? : 3:2 и Ар2 : 102. По— лучаем 2 (п|эз2|п> : ЁО<п| ((а+)2 + а+а + аа+ + (12) |и) : 33% (п —|— 5) . Совершенно аналогично имеем А 1 <п|р2|п> = ра @ + ,) . Таким образом, соотношение неопределенностей принима— ет ВИД 1 2 «Аж›2>«Ар>2>э<т2><р2>=п2(п+—,-) . (5.39) Как видно из формулы (5.39), в основном состоянии до— стигается минимум соотношения неопределенностей (2.52). Иными словами, основное состояние осциллятора пред- ставляет собой наиболее классичную систему. 5.5. Когерентные состояния осциллятора Мы видели, что оператор & неэрмитов, однако ничто не мешает нам рассмотреть формально задачу на собственные значения и состояния этого оператора: Ща) : 0404). (5.40) Здесь 04 — любое, в общем случае комплексное, число. Решим сразу эту задачу в координатном представле- нии. Используем для простоты безразмерные переменные <Ф|д|а> = а<9|а>› (5-41) 104
ИЛИ @ (см %) шо)— афаю ) (5.42) Полученное уравнение (5.42) практически ничем не отли- чается от уравнения (5.30), поэтому сразу получаем (нор— мированное) решение: фа(@)= “№ “002 (5.43) которое определено с точностью до произвольной фазы. Как видим, это основное состояние осциллятора‚ у ко— торого “положение равновесия” (среднее значение коорди— паты сс) Сдвинуто на х/Ёа. Поэтому в этом состоянии ми— пимизируется соотношение неопределенностей. Состояние (5.43) называется когерентным. Рассмотрим некоторые его замечательные свойства. Разложим “неизвестное” состояние |о) по известным ба- ЗИСНЫМ СОСТОЯНИЯМ гармонического осциллятора: : 2 сад…). (5.44) '” ПОДействуем на разложение (5.44) оператором &: (ЦС./> : а 2 Са‚п|’П‚>= 2: ОС!, 22 Са ‚пм—|,” _ 1) Откуда получаем рекуррентное соотношение: @ а” Сад—17 ИЛИ Сат : Со… : — —Со‚ . «Я «я ” Таким образом, разложение (5.44) принимает вид ап |а> : С ‚О _— п ' °“ 5; &' > 105
Отнормируем полученное выражение: 271 О! 2 1 = <а|а> = юао? 23 % = |Са‚оі2е'° — п Таким образом, нормированное разложение (5.44) для ко- герентного состояния принимает вид |а> : е—ЁіаР 2 %|„> (5.45) ’П‚ ”' Согласно принципу суперпозиции квадраты модулей ко- эффициентов в разложении (5.45) определяют вероятно— сти обнаружить п-е возбужденное состояние осциллятора с энергией Е : №(п—і— 1 / 2). Видно, что вероятности обна— ружения соответствующего состояния осциллятора опре— деляются распределением Пуассона: 2 '” ш„ : |СО,‚…,‚‚|2 : №е_|а|2. (5.46) Согласно свойствам распределения Пуассона среднее зна- чение возбужденного уровня (или энергии) определяется как и : |а|2. (5.47) Система когерентных состояний |и) неортогональна, но полна. Действительно, «у |а)—е— (1/2>‹|а |2+іа|>2 _(_.‘Ё;п)п<„ |п)= _ —‹1/2›‹|а'|2+|а|2› 00 (Обо/*)” _. —‹1/2›‹|а|2—2а'*а+|а|2> _ е 2 ‘ГЪ! — е ‚ ИЛИ |<а’о‹>| = {№№—°? 106
Проверим теперь свойство полноты системы состояний. Параметр—переменнаж о: : ?Еео: + Юнна принимает все воз- можные значения в комплексной плоскости, поэтому усло- вие полноты выглядит как /—|а>( | : 1. (5.48) Действительно, убедимся, что оператор (5.48) единичный. Пр0делаем стандартные выкладки из теории представле- ний: <т|п> = бп… = <т| ] %щюнт = ] (%*—тюлени» Далее воспользуемся выражением (5.45) и подставим его в ПОДынтегральное выражение: Оіт(01*)п —|а|2 ‹і2а ————е —. «тЫ/п! 7Т Сделаем в комплексной плоскости стандартную замену пе— ременных: (тт) = . 1 а = |аіе‘9; |Ог|2 = у; (1204 = |0г|<1|а|<іяо = ёдусіф- Пр0должая выкладки, получаем 27г 1 00 . __ («+п)/2 —уд / 1(т—п)90(1 : 27п/—т!/ЫО/ @ е у е “ О 00 ——2 ]у”е_ус1у : б…,. Таким образом, показана полнота неортогональной систе- мы когерентных состояний. 107
Когерентные состояния Широко используются для опи— сания сво60дного электромагнитного поля в квантовой ме— ханике. Пример Заряженный гармонический осциллятор нах0дится в основном состоянии в Однор0дном электрическом поле 8 На:, которое внезапно выключается в момент времени 75 = 0. Определить вероятность обнаружить осциллятор на п—м возбужденном уровне энергии при 75 > О. Гамильтониан заряженного осциллятора в однородном электрическом поле (т : 1, 71 = 1) имеет вид -Ш2СВ2 + . — 6833. (5.49) Щ || “'ад-› Волновая функция основного состояния осциллятора с га— мильтонианом (5.49) при 25 < 0 в осцилляторных единицах имеет вид 2 щем) =е—і1Ег_1_е—%(О—ед) _ т‚<0 7г1/4 Сравнивая с когерентным Сеостоянием (5.43), видим что в нашем случае параметр а : её)/Л. Таким образом, веро- ятность обнаружить осциллгятор в момент времени 75 > О на п—м возбужденном уровнге энергии равна (6‘5)2п е— (е8)2_ ШЕ : ' П. 11 Вопросы для самоконтроля 1. Какой вид имеет гамильтониан гармонического осциллятора? 2. Записать стационарное угравнение Шредингера одномерного гармонического осциллятсора в координатном представлении. 108
‚череде 11. [2. 13. 14. Записать стационарное уравнение Шредингера одномерного гармонического осциллятора в дираковском представлении (в векторной форме). Написать выражения осцилляторных единиц энергии, импуль— са и координаты. Записать стационарное уравнение Шредингера Одномерного гармонического осциллятора в безразмерной форме (в осцил- ляторных единицах). Как определяются операторы & и ’а`‚+? Чему равен оператор [а, а+]? Написать выражение для спектра одномерного осциллятора. Как определяются состояния Одномерного осциллятора? Чему равен полный набор физических величин? Как действуют операторы а|п> и а+|п) на собственные состоя- ния осциллятора? Как построить произвольное состояние осциллятора |п), если известно основное |О)? Как определить волновую функцию основного состояния ос- циллятора в координатном представлении? Как определить волновую функцию основного состояния ос— циллятора в импульсном представлении? Записать соотношение неопределенностей для импульса и ко- ординаты в произвольном состоянии осциллятора |и). Как определяется когерентное состояние осциллятора? Пусть дано некоторое когерентное состояние осциллятора |а). Какова вероятность обнаружить осциллятор на п—м возбуж- денном уровне энергии? 109
Глава 6 Центральное поле 6.1. Задача двух тел в квантовой механике Задача двух тел имеет важное значение как в классиче— ской, так и в квантовой механике. Естественно, в квантовой механике задача также СВОДИТСЯ к движению двух незави- симых частиц (п0дсистем): частице с суммарной массой, описывающей движение центра масс (системы как целой), и частице с приведенной массой, описывающей относитель- ное движение. Все сказанное справедливо с ОДНОЙ оговор— кой: взаимодействие между частицами должно быть одно— р0дным, т.е. не должно иметь тензорного характера. Итак, пусть две частицы с массами т1 и т2 взаИМОДей— ствуют по закону П(г1 — г2). В таком случае гамильтониан системы можно записать в _виде ^2 ^2 Ё: 331—- цг—ріцгщг1 _…. (6.1) 2777,1 27712 В координатном представлении гамильтониан имеет вид ^ 52 75,2 Н = ——А — —А — . .2 2т1 1 2т2 2 + П(1'1 Г2) (6 ) Введем новые переменные: т1г1 + т2г2 В : ‚ = _ . 6.3 т1+т2 Г П И ( > 110
’|‘‹›гда соответствующие первые прОИЗВОДные в новых пере- менных равны д 8 т1 д (9 д т2 8 джа : джа т1 + т2 дХа; (!)—1% : даза + 7774 + №2 дХа . '|‘‹еперЬ легко получаем 712 Н2 712 82 №2 82 _ _2М` дх; 2д джа ’ __ __ 2 27711 1 27712 | ‘,) Ю 1 1 1 М : 7711 + №2, — = — + — — приведенная масса. и 7711 тг |“1'Г2ЪК, ГЕЪМИЛЬТОНИЭН системы ДВУХ ЧЕЪСТИЦ принимает ВИД А 2 2 Нэдж 2М БА,. + П(г). (6.4) В новых переменных волновую функцию системы можно представить в виде Щщ, 13,15) : Ф(В„‚ Ё')11(г‚15). Соответственно в стационарном уравнении Шреэдингера Нф(В)ф(г) : Е0ф(В)ф(г) переменные разделяются, и уравнение СВОДИТСЯ к системе двух уравнений1: 112 Р2 —2—ЙАВФ(В) Эт (3% 2 ———2’3дАгф‹г) + щеток) =Еф(г)‚ „(б-5) 1Разделение переменных (6.5) предполагает, что в лабо>раторной системе координат две частицы имеют суммарный импульс: Р : р1 + р2 и соответственно обладают кинетической энергией Р2 / 2М . Энергия взаимодействия отнесена к энергии относительного движения в системе отсчета, связанной с центром масс, чта) справед- .пиво в нерелятивистсКой физике. 111
где ЕО :: Р2/2М + Е. Как ;и следовало ожидать, движение центра масс опи- сываетсяі волной де Бройля частицы с суммарной массой и полным импульсом Р, поэтому волновая функция системы двух частиц всегда может быть представлена в виде кип, 1—2, г) : е—%<Р2*/2М-РВ>Ф(Г‚ г). (6.6) (27гй)3/2 Функция относительного движения Ф(г,73) может быть представлена в виде (2.36). Итак:, как и в классической механике задача двух тел СВОДится к задаче о движении частицы с приведенной мас- сой „ в поле П (г) Поэтому будем в дальнейшем рассмат- ривать движение частицы с массой т. . 6,2. Центральное поле Наиболее распространенное взаИМОДействие в задаче двух тел имеет центральный характер, т.е. (Кг) : П(|г|) : (Дт). Как известно из классической физики, в такой системе со- храняетСЯ момент количества движения и движение про— исх0дит в ОДНОЙ плоскости, а саму задачу удобно рассмат- ривать в сферической системе координат. В этом случае классический гамильтониан можно представить в ВИДе где р,. - радиальный импульс, М — момент импульса, [ — момент инерции, а обобщенные координаты есть т, 0, ср. В квантовой механике радиальному импульсу и мо- менту пмпульса должны соответствовать операторы. Их следует выделить из лапласиана, записанного в сфериче— ских координатах. Напомним его выражение. Как извест— 112
но, сферическая система координат ортогональна, но кри- волинейна. Для записи оператора Лапласа можно восполь- зоваться формулой Ламэ. ОбозНачим, как обычно принято, обобщенные координаты (11, (12, (13 и запишем элемент дли- ны ‹і[ в криволинейных координатах в виде <і12 = ’ЪЁФЁ + #3493 + #35193, (6—7) где Щ, №, Ьз — так называемые коэффициенты Ламэ. Оче— видно, элемент объема в криволинейных координатах ра- вен сП/ : Ь1іъ2іъ3сіс11сіа2с192. Лапласиан выражается через коэффициенты Ламэ следующим образом: 1 д Ь2Ь3 д ) д (‚ИЬЗ д > А: —- _ +—— __ _|_ ‚11,12% {дсп ( 111 ден дЧ2 № 392 3 №3» 68 +дЧз(Ьз дЧз ‚(.) Обобщенные координаты в сферических переменных равны 41:7“, 0$т<оо, Ч2=эа 0Ё6$7Г7 (6'9) (13:90, О$<р<27т. Элемент длины в сферических координатах определяет— “Я фОРМУЛОЙ (“2 = (172 + т°2с10 + 7°2 зіп дсіф, соответственно іц : 1, № : т, 113 : тзіп0.2 Таким образом, лапласиан в сферических координатах имеет вид :?2'ёт дт т2 + 18231 138111951 13 зіпд дд дд зіп2ддф2 } . (6.10) 2 Заметим, что Щ 112 Ьз : т'2 зіп 0 —- якобиан перех0да от декартовых коордшчат к переменным сферической системы. 113
Из формулы (6.10) видно, что квадрат оператора радиаль- ного импульса равен и соответственно сам оператор радиального импульса есть 1 8 д 1 ^ =—іГъ——г=—іі'ъ ——|—— . рт г дт (дт 7“) Поскольку момент инерции есть ] : тт2, оператор квад- рата момента импульса равен А а2 д 1 82 М2 : _Н2{50—2 +СЁЁЭЁ+№№}. (6.11) Вид лапласиана в сферических координатах можно по— лучить, не прибегая к коэффициентам Ламэ, для этого нужно помнить, что в криволинейных координатах при ва- риации переменных варьируются не только переменные, но и направления осей локалъной системы отсчета (локально- го репера) .` Действительно, запишем оператор У в сферической си- стеме координат: Ё7=ет—д—+ед—д— д ———. ‚12 дт тдд + ефтзіп (9890 (6 ) Вариации переменных определяют направления осей ло- кального репера, составленного из трех ортогональных единичных векторов, соответствующих трем переменным: ет, ее и еф (см. рис. 6.1) Поскольку А : сііу @гаё : (7 - 7), видим, что возникают произвщные от единичных векторов дед,/дод (например, дет/дд и т.п.). 114
© ==- г_ _____ _____` ` : ` __ _—” ` ` ` ` ` ` __ _ Х Рис. 6.1. сферическая система, координат . Рассмотрим их все: дет. — О дет _ е дет — $111 де дт _ ’ дд _ ’ (990 ‘Р’ дед 860 дед Ё :: 0, № _ ет, % : (1088890, (6.13) деф де де _ = О, _‘Р : 0, _‘Р : _ _ дд дср ед дт Появляющиеся кинематические эффекты следует учесть при определении вида лапласиана, В сферических коэорди- 115
натах: д 8 д А — (7 “6705; + (У '69)№ + (У ' еф)№ — 82 1дет 1 де,… д =№ + (ед;—д?) @@@) 57+ +в (він, __1_д_ееі) _3_32_ : Т2 802 фтзіпд д‹,0 дд гг? віп2ддср2 82 2 д 1 82 1 82 =— __ _ _ _ ___—_. .14 дт2 + тдт + 7-2 (802 + “двое) + г2зіп26’дф2 (6 ) Итак, видно, что структура лапласиана и гамильтониа- на в целом такова, что радиальные и угловые переменные в решении уравнения Шредингера могут быть разделены, причем угловые переменные описывают состояние систе— мы, связанное с пшіичием орбитального момента импульса. Представим волновую функцию в виде ФО“) = НОМ/(д, 90), (6-15) тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид У(‹9, 90)ЁЁ(’Г)+ 2т 1 А2 277172 Е(Т)М У(д‚ “))—*— +П(7°)Н(Т)У(Э,‹,0) : ВКПМ/(0,90). (6.16) Полученное уравнение распадается на систему двух урав- нений соответственно для радиальной Е(т) и угловой У(6’, 90) частей волновой функции: Й2У(в‚,о) : пит/(во), (6.17) гм,) Е(т) :ввщ. (6.18) ^2 2т Как видим, вся информация о взаИМОДействии и соответ— ственно энергетический спектр заключены в уравнении 116
для радиальной части волновой функции: 1 @ 2ав+ 2… А —— =. .19 рд; („+ —2‹Е— що) на) о ‹6 › Уравнение (6.19) называется радиальными уравнением Шре- дингера. Уравнение (6.17) для угловой части волновой функции вообще не СОДержит взаИМОДействия и поэтому то решение носит универсалъный шарактер. Заметим, что волновая функция должна быть :норми- рована на 1. В нашем случае условие нормировки может быть записано следующим образом: /|Ф(Г)|2‹іг= ///|Е(Т)`|2|У(6’‚‹р)|2г2с1тс19 : :()/Щ |22ат//|У|)2с19=1. Удобно нормировать на единицу независимо радиальную и угловую части волновой функции, т.е. 7|Щт>|2т2ат : 1, ]] |у(д‚ф)|2дп : 1. (620) О .Псгко видеть, что в уравнении для угловой части вошновой функции также могут быть разделены переменные @ и ‹‚0: Ид, 90) = 9(9)Ф(90)- (6-21) После ПОДстановки (6.21) уравнение (6.17) принимает вид _ 2 _}__Ё_. 39$) 9(д)д 2Ф(<Р) Б {(]:>(('0)$‚і116’дд$1…9 дд +зіп2 28 8902 =Н2А9(‹9)Ф (90 ). (6.22) 117
ПОЛУЧенное уравнение вновь распадается на систему ‚ дВУХ неЗавйсимых уравнений: (РФ 1 @ 'пвСЮ 0‘ е — _Ае. ((6—24) зіпдё81 @ _ 811126 _ ФУНКЦИИ @@) и Ф(‹‚0) будем также независимо норт’МИРО- вать на единицу: 27г /|9(0)|2$іп9с10 : 1, /|Ф(90)|2‹1ф : 1. О О уР'дівнение (6.23) для функции Ф тривиально решаебТСЯі Ф =а1еіл‘р + аще—Маф, если а 75 О, Ф =А + В‹‚0‚ если си : 0. (6-25) очевидно, должно выполняться условие однознаЪЧНОСТИ фуЙКЦИИ Ф(90+27т) : Ф(90)‚ откуда следует для 04 = 10 Ф : =14=1//Ё7—г. Если (1 ;& О, получаем Ф(‹р + 2”) = “ 1еіх/5906127ц/3 + а2е—ілфе—12пл_ ПСЪскольку ‹‚0 может принимать любое значение, сразу сле— дУ'ет‚ что еі127ц/б : 1 О! : …, Где т — любое целое число. Таким образом, получаёМ Общее ВЬ‚хражение для функции Ф : Ф…(яо) = _;Ёатф. (6.26) 118
Легко видеть, что функции (6.26) ортогональны, (т.е. 27г ]Фгп/Фтдср : бт’т. О Осталось теперь найти функцию @. Уравнение 06.24) хо- рошо известно из курса уравнений математическсой физи- ки: это уравнение Лежандра. Сделаем замену перэеменной созд : 33, (1:13 : —$іп вав, тогда угловая часть ошератора Лапласа принимает вид 1 а. а а 2 зіпвизшди _ и“ “” )? Для функции @@) Е Р(а:) получается уравнение сі (іР 2 дона—33+ (А——т )Р=о. (6.27) В нашем случае переменная |яз| $ 1, и регулярнюе реше— ние уравнения (6.27) существует для А : [(! —Н— 1), где ! = О, 1, 2, . .. — целое неотрицательное число, П[рИ этом |т| $ ! . При таких значениях параметров решение; уравне- ния (627) есть присоединенные полиномы Лежандра, степе- ни !: вт‹ш>=21і„‹1—аз2)т/2Ё ‹ш2—1>’- (6.28) Соответственно полная угловая часть волновой функцйи имеет вид У(д› 90) ЕУ}…(Й 90) : … (11+т =А(1‚ т) він? 0 №(С082 ‹9 _ ].)!еіт‘Ю, (6.29) 119
где нормировочная константа А(!, т) будет нами определе- на несколько позже, а функции удовлетворяют условиям нормировки: Литке, защ…(э, тою = ма…/…. (6.30) Таким образом, формально решается задача о движении частицы в центральном поле. Определим теперь связь по— лученных значений параметров (квантовых чисел) с теми физическими величинами, о которых говорили в начале па— раграфа, а именно: с моментом количества движения. 6.3. Орбитальный момент количества движения Как известно, в классической механике момент количества движения частицы определяется как векторное произве- дение радиуса—вектора частицы и ее импульса. В кванто- вой механике введем оператор соответствующей физиче- ской величины согласно принципу соответствия: .А М : [г ›‹ 13]. (6.31) Оператор (6.31) определяет величину орбитального момен- та, т.е. М : (ф|М|ф). В координатном представлении опе- ратор момента количества движения имеет вид ^ ^ 8 М : —ій[г >< 7], или М : —іБеад7:Ёдд—Щ—. (6.32) 7 Как видно, величина орбитального момента измеряется в единицах іі, поэтому удобнее ввести безразмерный опера- тор М = НЬ (6.33).
И определять величину момента количества движения в квантовой механике в безразмернызс единицаіс. Легко видеть из определения (6.31), что компоненты оператора момента количества движения определяются че- рез некоммутирующие между собой операторы координа- ты и импульса. Если каждая проекция определена через коммутирующие между собой проекции операторов коор- динаты и импульса, то в различных проекциях обязательно встретятся некоммутирующие операторы. Поэтому необ- х0димо, прежде всего, вычислить коммутаторы операто— ров различных проекций момента импульса. Воспользуем- ся определением операторов проекций момента в тензор- ных обозначениях (6.32) и вычислим коммутатор: [Бои ЕВ] : Н_2еадиеВюА[—Ёири ЁКЁАЪ Далее займемся преобразованием собственно коммутатора произведений проекций операторов координаты и импуль— са: [Ёири СЁКЁЗА] ”::/Ён [151/7 ЁкрА] + [55117 Бэнд/дру : = — іЁбукйЁдрА + іі'ъбщізнри. Замечаем, что возникают свертки типа вадиеВюАбию = вадиеВиА = ваш/@ВАЫ = баВбиА _ баАбиВ' Подставляя полученные свертки в коммутатор, имеем [Е… Т…] : іп—1(—дадв„р„ + %% + бадзёизди — гг,/лба) = : іп—1(5ЁаЁЗВ _ 576150)- Можно заметить, что в этом выражении при о; 75 В возни— кает компонента векторного произведения, т.е. третья про— екция оператора момента: ^ А [в… дд] = вид,/і,. (6.34) 121
Итак, никакие две проекции оператора момента между собой не коммутируют, а это означает, что они не могут быть одновременно измерены и соответственно включены в полный набор величин, определяющих состояние кванто— вой системы. Таким образом, получается значительно бо— лее “скудная” по сравнению с классической систембй ин— формация. Однако ситуация не так “безнадежна”, как это может показаться. Вспоминая, что момент количества дви— жения связан с вращением, а при вращении остаются ин- вариантными все скалярные величины, можно видеть, что операторы скалярных величин должны коммутировать с проекциями оператора момента. С самим оператором мо- мента можно связать единственный скаляр — его квадрат. Убедимся, что оператор квадрата момента коммутирует с любой своей проекцией: [132,130] : [Еды ЕС,] : іеда, (13,35 + Еда,) : 0. Таким образом, Одновременно могут быть измерены квад- рат момента и одна из его проекций. Обычно выбирают в качестве оси, на которую определена проекция момента — оси квантования, — ось 2. Часто вместо операторов проек— ций момента Еду вводят незрмитовы линейные комбина— ции их іі : Ёж & іЁу. Удобство введения этих операторов будет понятно в следующих параграфах, а пока получим коммутационные соотношения введенных нами операторов с операторами ЁЁ, Е; и между собой. [Ё2‚Ёі]=0‚ [Ё2‚Ёі]=:ЫЁь [Ё+‚Ё_]=2Ё2. (6.35) Используя полученные коммутационные соотношения (6.35), запишем полезные выражения для квадрата оператора мо— 122
мента с помощью новых оператороов: ^ ^ ‚… ^ А 1 ^ ^ ^ ^ Ь2 =ЬЁ+ВЁ+ЬЁ =]33+ё |(Ь+Ь_ +Ь_Ь+) : = 33 + 152 + 52+ : 153 & 22 + ЕД)… (6.36) Мы ВИДели‚ что момент количества движения удобнее описывать в сферических координатах, иными словами, выразим операторы [А]; и ЁЁ в переменных т, д, ‹р. Вид опе- ратора/1`2 нам уже известен. Для этого заметим, что в опре- делении (безразмерного) оператора момента следует вы— разить в переменных т‚д‚<р как проекции самого радиус- вектора, так и оператора 7. Вернемся к записи оператора 7 в сферических пере— менных (6.12), из которой легко записать соответствующие проекции оператора 7 в декартовой системе координат че— рез сферические переменные: @ 8 8 д девчата” + (%%)…Твд‘; _ _ д 1 д 1 зіпяо д — зшдсозфдт + ; создсозфдд — ;№$‚ (6.37) а — ' ‹9' Ё+Зсозб? °п Ё+Зсозср д ду _ 81“ в…ддт ? 51 “Ода т віпд дф’ д — = — —— — ' 8—. да созддт г БШ 88 Теперь элементарно находим ^ д Ь„ : —`—. _ 1890 (6 38) Оставшиеся два оператора сначала запишем в декартовых координатах: ^ (9 .д . д Ьі _„:Ь2($:Ь15;)2Р(ссі1у)ё. 123
П0дставляя выражения операторов в сферических коорди- натах, получаем ^ ‘ а б : $190 __ ' __ Ьі е (21:89 + №336? (90) . (6.39) Как видим, часть угловой функции Ф…(ф) есть собствен- ная функция оператора [‚2: афтар) = тФ…«‚о). (6-40) Таким образом, состояние квантовой системы, обладающей определенным моментом импульса, задается собственными функциями операторов квадрата момента и проекции на ось г. Мы видели также, что квадрат оператора момен- та импульса коммутирует с любой проекцией, Однако все проекции между собой не коммутируют, а потому не могут быть Одновременно измерены и соответственно вх0дить в полный набор физических величин, определяющих состоя- ние квантовой системы. Таким образом, состояние с опре- деленным значением квадрата момента импульса вырож- дено по состояниям с различными проекциями на какую- либо ось. Обычно принято выбирать определенную проек— цию на ось 2, задавая таким образом стандартный базис или стандартное представление квантовой системы как решение системы уравнений: Ё2Ит(дэф) : Ь(Ь+1)Уі'т(0›90)7 !ЗгУгтЮмр) = тИт(6’‚90). (6-41) 6.4. Момент импульса Из классической механики известно, что вследствие изо— тропии пространства для замкнутой системы сохраняется величина, называемая моментом имнулъса. Также знаем, 124
Рис. 6.2. Преобразование радиуса-вектора точки при повороте пространства относительно оси ;: на угол ‹,0 что в центральном поле, инвариантном относительно по— воротов на любой угол относительно некоторой оси, сохра- няется момент количества движения. Иными словами, мо- мент импульса — важная физическая характеристика, опи— сывающая свойства системы при поворотах. Поэтому важ— но понимать, как ведет себя квантовая система при пово— ротах. Пусть в пространстве задана декартова система коор— динат (см. рис. 6.2) Рассмотрим некоторую точку, задава- емую радиусом-вектором г. Ее координаты есть (сир/,в). Повернем пространство относительно оси ;: на некоторый угол ‹,0‚ тогда эта же точка будет описываться радиусом— вектором г’ с координатами (эз’ ‚у’г’ ), которые связаны с координатами предыдущего положения точки матрицей поворота, если записать координаты точки в виде вектора- столбца: а: соз ср зіп ‹,о О :в’ у : — зіп ‹р 005 90 0 у’ . (6.42) 2 О О 1 2’ Иными словами, преобразование г ——› г’ может быть описа- 125
но с помощью оператора 16: г : 13г’‚ (6.43) который в декартовой системе координат имеет вид мат- рицы 3 >< 3 в выражении (6.42). Совершенно очевидно, что с таким же успехом можно провести аналогичное преобразование, оставив точку про- странства на месте, но повернув систему координат. В этом случае координаты точки в повернутой системе будут связаны со своими координатами в “старой системе” с по- мощью обратной матрицы и соответственно обратного опе- ратора. Поэтому важно при рассмотрении подобного рода преобразований симметрии не смешивать два обратных по смыслу типа преобразований в одной и той же задаче.3 Мы будем преобразовывать физическое пространство. Пусть состояние квантовой системы описывается вол- новой функцией ф(г), т.е. каждой точке пространство по- ставлено в соответствие некоторое число (ЦФ). Повернем пространство на угол 90 относительно оси 2. В таком слу- чае координаты точек повернутого пространства будут свя- заны с координатами точек до поворота преобразованием (6.42). Однако численные значения (г’ №) должны остаться прежними, т.е. Число{(г’|ф)} = ЧИСЛ0{<Г№>} при условии (6.42). Иными словами: Число{(13г’|ф)} : Число{<г’|ф)}. Но вид функции при этом может измениться, и это изме- нение функционального вида должно быть описано с по- 3Для того чтобы различать два типа преобразований, им дали условное название активного (преобразуется физическое простран- ство) и пассивного (преобразуется система координат). 126
мощью определенного оператора, действующего в функ- циональном пространстве, который надлежащим образом изменяет вид функции при повороте конфигурационного пространства: то = тик—тг» = Ё<Р>ф<г> = №41». (6.44) Смысл обратной связи понятен, поскольку волновая функ- ция — это проекция вектора состояния, а радиус-вектор (кО— ординаты) в данном случае есть базисные векторы. Пре— образование проекций и базисных векторов обратны друг дРУГУ— Итак, чтобы определить изменение волновой функции при повороте физического (конфигурационного) простран- ства, следует провести преобразование системы коорди— нат для аргументов функции. Пр0делаем бесконечно ма— лый поворот (инфинитезимальное преобразование), тогда с точностью до членов, линейных по бесконечно малому углу поворота бср, имеем А 1 —б‹р О Р—1 : 5,0 1 о . (6.45) 0 о 1 Подставляя преобразование (6.45) в соотношение (6.44), по— лучаем ШГ) =ъ№ — дэки/‚у + 5903г, 2) = 8 @ =ф‹ш‚у‚г) + (%(—5%) + {Зиф./в) = (9 д = (1 +1бфі2)ф($‚у72)' 127
Таким образом, можно записать с точностью до членов, линейных по малому углу поворота, выражение для опера— тора ПОВОРОТЕЪ ОТНОСИТОЛЬНО ОСИ 242 Ё2(б‹р) : 1 + ібср [2 % еід‘рі’. (6.46) Оператор поворота на конечный угол 90 получим, применив подряд оператор (6.46) бесконечное число раз, определив 690 : ф/М, где № —› оо: ^ [А № виза) = “ 1іш 1+іб [ №: 1іш 1+1— =еі‘р12. Итак, при повороте пространства на угол ‹р относительно оси 2 соотношение (6.44) может быть записано в ВИДе: №) = вмиг) = №№. (647) Совершенно аналогично можно показать, что при повороте на некоторый угол относительно оси сс оператор поворота определяется проекцией оператора момента [Аш—, а при пово- роте относительно оси у — проекцией оператора момента і,. Следовательно, можно вообще обобщить выражение (6.47) для оператора поворота на конечный угол П относительно произвольной оси Ы: Рамо) : еіЩЫі), где (№) : №1; + Муіу + №21}. (6.48) В определении (6.48) компоненты оператора момента удо— влетворяют известным коммутационным соотношениям: [іш ід] : нам,. (6.49) 4При повороте системы координат оператор поворота был бы опре- делен с противоположным знаком в показателе экспоненты. 128
Пример Найти коммутационные соотношения оператора момента импульса с произвольным векторным оператором А. Коммутациойные соотношения вычислим, исходя из требования преобразования компонент вектора при пово- роте его относительно некоторой оси и на угол @. В ре— зультате поворота состояние системы |ф) изменяется: № = Ёпшлщ, Среднее значение оператора в исх0дном состоянии опреде- ляет вектор А= №№» (6.50) а в преобразованном (повернутом) состоянии соответствен- но повернутый вектор А’ ='<ф’|3|ф’> = (давидёпшлщ. (6.51) Компоненты векторов (6.50) и (6.51) связаны между со- бой матрицей поворота, определенной для преобразования компонентов радиуса—вектора (6.43)5: / А : РП'1(П)А’. (6.52) ‚, .' Согласно принципу соответствия мы должны записать для оператора аналогичное соотношение: И”: Ёдюдёпш) : Шора. (6.53) Пусть для определенности производится поворот отно- сительно оси и на угол ср, тогда соотношение (6.53) для 5Теперь для вектора физической величины роль системы отсчета играет состояние, поэтому преобразование обратно (6.43). 129
трех компонентов вектора А имеет вид: е—1Ф12Аше19012 : ‚4$ сов @ + Ау 5111 (р, е—1Ф12Ауе19012 : _Аш $111 90 _|— _Ау (305 (р, 63—1901; Агент; : Аг- (6.54) Проводя теперь В соотношениях (6.54) инфинитезималь- ные преобразования слева (6.46) и справа (6.45), получаем искомые коммутационные соотношения: №7223] : ідуЗ №3231] : __і/Тш) №722] : Оэ или в общем виде П… &] : іеад,д‚,. (6.55) Строго говоря, именно выражение (6.48) следует при- нять в качестве определения момента импульса квантовой системы. При этом для произвольной системы оператор по- ворота следует записать в виде Ёы‹о)=еі“<№>‚ при нападет… (6.56) где 3 — есть оператор полного момента квантовой системы и соответственно [32,55] : 0. Как и для орбитального момента количества движения, состояния с определенным значением момента в стандарт- ном представлении {?, 52} определяются из системы урав— нений: 32|А‚т> : А|А‚т), 52|А‚т> = т|А‚т). (6.57) Очевидно, квадрат проекции не может превосходить квад- рат всего момента, поэтому оператор 32 можно считать 3 130
“главным” в системе уравнений (6.57), и на возможные значения квантового числа т накладываются ограничения |т|2 _<_ А. Для решения системы (6.57) поступим так же, как при решении задачи для изотропного гармонического осциллятора. Введцем вместо эрмитовых операторов 5$ и }„ неэрмитовы операторы и: = 3$ 3:13… которые, как легкю убедиться, удовлетворяют коммутаци— ОННЫМ СООТНОШЭНШЯМ [5275$] : 71:53:17 [54,54 : 252, [З2›5:|:] : 0 (6—58) Квадрат момента при этом выражается через введенные операторы (6.58) следующим образом: ‘:2 ^.2 1 ^. ^. ^. ^. .] =}; + 5 (3+3— +3—3+) : 233 +32 +5—5+ : 53 _ 32 +5+5—- (6-59) Подействуем оператором 3'+ на произвольное состояние в системе (6.57): 5+|А.‚ т) _ —|Ф= Ха…‚и, т’> (6.60) поскольку оператор 54… коммутирует с оператором 32 и не коммутирует с 52. Подействуем теперь оператором 53 на “неизвестное” состояние |Ф) и воспользуемся коммутацион— ным соотношением: @@ = 325+|^‚ т> = (545; + 5+)|А‚ т) = (т + ШФ)- 'Гаким образом, получили, что неизвестное состояние |Ф) есть собственное состояние оператора 32 с собственным зна- чением (т+1), поэтому в сумме (6.60) остается только одно слагаемое с т’ = т + 1: 5+|А‚т> = ат+1|А‚т+ 1>. (6.61) 131
Следовательно, оператор )+ повышает проекцию момента на ось квантования на единицу — повышающий оператор. Совершенно аналогично получим, что 5—|А‚т> = д…_1|А‚т — 1), (6.62) и 5; — понижающий оператор. Обозначим максимальное значение проекции момента буквой 3' : шах{т} : 3', (6.63) тогда обязательно должны получить лит = 0. (6.64) Поскольку для всех возможных т при заданной ве— личине момента импульса значение А одно и то шее, для т : ] получаем 5211…» = (53 +52 +544) |№ = = (12 + мы) = № + 1)|^‚9°>‚ (6.65) т;е. А = 30 +1) — определяется максимальной проекцией на ось квантования. Исходя из полученного результата, легко видеть, что минимальное значение проекции момента на ось квантования шіп{т} : ——3'. Таким образом, в дира- ковском векторе состояния обычно указывают не квадрат момента, а максимальное значение его проекции: №№) 3 |№ + 1)‚т> Е |3'‚т>- (6-66) Найдем теперь матричные элементы ат. Вспомним, что . _ + . ^. . ^. ^. . (мат)) =<]‚тіз—‚ ТОГДа <3‚т|3—.7+|3‚т>=|ат+1|2. 132
С другой стороны, из соотношения (6.59) имеем 3_5'+|3',т) : (і(і+1)_т(т+1))|3',т>3 Е (1—т)(і+т+1)|3°‚т>‚ СООТВЭТСТВЗННО атм = еіфх/о' — тж; + т + 1). (6.67) Обычно выбирают значение фазы ф : 0. Таким образом, можно записать: 5+|і‚т> = х/(і—т)(3'+т+1)|3'‚т+1>‚ д—ізут) = Лі+т>(і—т+1)|з’‚т—1>- (6.68) Проекция момента может принимать значения —_7' _<_ т $ _7', а поскольку при этом “соседние” значения проекции отли- чаются на единицу, всего при данном значении момента может быть № : 23' различных состояний. Или, иными словами, максимальная проекция равна . № . 1 3 3:5, т.е. ]=0, 2-‚ 1, —2—, 2,… (6.69) Соответственно проекция момента может принимать толь— ко либо целые, либо полуцелые значения. Теперь можно выразить любое состояние | 3', т) через одно состояние с максимальной проекцией | 3', _7'). Действи- тельно, |з°‚з' — 1>=—/12:3:(^'—|333'>)= ,; _ 1 (д'—№) ‚ ім —2> =—(—2]‚і_—№ (34…- _ ц) : ‚, 2 = 23.(2;_1)2!(5_) 13337, 133
. . 1 ^. . . |л3—3) =№(3—|3‚3—2>) = 1 ^. 3 . . : №№ — №1 — 2›3! (]”) “” ' ” Полученные результаты легко обобщить: . (34—7711)! ^. 5—7” . . ь‚т>= (21,0%), (л) 1…» (6.70) Итак, исх0дя только из коммутационных соотношений, по- лучили векторы состояний и значения квантовых чисел, описывающих систему, обладающую определенным момен- том количества движения. Однако согласно результатам, полученным при решении задачи о движении частицы в центральном поле в координатном представлении, проек- ция орбитального момента по своему физическому смыслу может принимать только целые значения. Полученные на— ми полуцелые значения не могут быть связаны с орбиталь- ным моментом, а значит, с вращением квантовой системы (частицы). Вместе с тем мы видим, что при преобразова— нилш поворота имеется две возможности преобразования вектора состояния системы: с помощью как целого, так и полуцелого значения момента. Если преобразование состо— яния системы с помощью целого момента может быть ин— терпретировано как вращение системы, то в другом случае ни о каком вращении речи быть не может, поскольку при повороте на угол 27т система должна была бы вернуться в исх0дное положение, а в нашем случае состояние отли- чается знаком. Таким образом, для полуцелых значений 3' мы обязаны допустить, что система обладает внутренни— ми степенями свободы, которые проявляются при преоб— разовании поворота в состоянии системы и по своим свой- ствам аналогичны моменту количества движения. Такой 134
момент называют собственным моментом или спином си- стемы. Очевидно, что с такой позиции собственный момент может принимать также и целые значения. Иными слова- ми, спин системы может быть как целым, так и полуцелым, но орбитальный момент может быть только целым. Важ— но отметить, что спин описывает внутренние степени сво- боды частицы, позтому Он имеет всегда определенное для данного сорта частиц значение, которое не может изме- няться, поскольку в противном случае его изменение озна— чало бы изменение внутренних степеней свободы, а значит, и самой частицы. Таким образом, спин — чисто квантовая характеристика системы. Заметим, что спиновое состояние не мод/сет бытъ представлено в виде функции координат (волновой функции). Пример Для частицы со спином 1/2 записать матрицы операторов 3$, Зу и 5,3 в представлении (базисе) собственных векто— ров оператора @. Выразить спиновыо состояния частишя в этом же базисе. Обозначим состояния (: проекцией спина тз : :|:1/2 в виде векторов 1 1 |3,т3> _) |_2_‚:|:ё> Е |2Ь> (6.71) и соответственно еда) : ::1/2|і>. Матрица оператора 3}, в собственном представлении диагональна: диагональные элементы равны собственным значениям. Присваивая со— стоянию с положительной проекцией номер “1”, можем за- ПИСЗТЬЗ А 1 1 @ з„_5(0 _1). (6.72) Введем теперь повышающий и понижающий операторы 135
Зі : % $133“ которые действуют на состояния (6.71) сле- дующим образом: 3+|+> = 0, ан = |+>› 2г`—|+> = і—>› З—і—> = 0- (6-73) Матрицы операторов Зі и соответственно 32; и зу имеют з+=(’з`_>+=(8 Ё) ‚ 1 01 ^_1 о —і *”_5<1 0)’ 8у_2<і о)“ (674) Матрицы операторов Э… зу И 82 обычно выражают через матрицы Паули, вводя соответствующие а-операторыб: А 1 5 : “03 (6.75) 2 Матрицы Паули, играющие очень большую роль в физике, запишем В ЯВНОМ виде: 1 О О 1 0 —і 025<о —1>’%:(1 0>’0у:(і @ > (6.76) СобствеННые векторы Матрицы оператора 3; находятся из ураВНВЁИЯ На собственные ЗНЕЪЧВНИЯЕ 32Хі1/2 : :}:1/2Хі1/2- В этом случае они реализуют представление спиновых со— стояний (6.71) в базисе собственных состояний оператора вид 3}: |+> -—> Х+1/2 = ( $ >› И —> х_1/2 = < (1) > . (6.77) 6Ча…ссГО спин определяют В размерном виде, тогда соотношение (6_75) записывают как ^ іі 5=—0'. 2 136
У пражнения 2 2 2 1. Вычислить от, ау и 02. 2. Для матриц Паули получить важное соотношение: борд : дадТ+ тама„ (6.78) ^ где 1 — единичная матрица. Пусть волновые функции частицы фтз — собственные функции оператора ’5}: Эдфтз : тзфтз. Для 5 = 1/2 есть только две собственные функции, отличающиеся проекци- ями спина: ф1ЕФ+1/2‚ И Ф2Еф_1/2‚ из которых можно составить двушкомпонентную функцию Ф = ( Ё; ) . (6.79) Двухкомпонентная функция (6.79) называется спинором (первого ранга)7, и ее можно представить в виде разло- жения по собственным векторам оператора 32 (6.77): Ф = ф1Х+1/2 + Ф2х_1/2- (6-80) В отличие от спина орбитальный момент может прини— мать самые разные значения, а поскольку размерная фи- зическая величина есть М : Ш, в классическом пределе (Е ——› 0) она должна соответствовать “обычному” моменту количества движения, следовательно, значения квантового числа, описывающего орбитальный момент, должны стре- миться к бесконечности ! —› оо так, чтобы величина М оставалась конечной. 7 В нашем дальнейшем изложении мы не будем использовать спи- норное представление, поэтому опустим рассмотрение их свойств. 137
К обсуждению понятия “спин” мы еще вернемся ПОЗ- же, а пока продолжим рассмотрение орбитаЩЬНОГО МОМЭН- та. Заметим только, что состояние системы со ‚СПИНОМ №№)- ізл представить в виде обычной волной фунщии- ИНЫМИ словами, спроектировать на конфигурационніое ПРОСТРЁШ' ство можно только то, что в нем представиіМО— ПОЭТОММ исходя из известных результатов, можно заптИСдТЬі ъ- <0790|17т> : Ит(д›ф) : 91т(д)Фт(ф)-' (681) Получим теперь явный вид сферических фу1НКЦИЙ, ОПИСЫ- вающих состояние системы с моментом импіУЛьса 1- В КО- ординатном представлении соотношение Ё+|171> : 0 имеет ВИД «9, или, :> =_= щие, ‹р) = 0. (6-82) П0дставим выражение оператора [+ в коорддИНдТНОМ пред- ставлении и учтем, что еі[@„(6’). 1 у;!(ээ 90) : № Имеем дифференциальное уравнение для ОПРЗДЭЛЭНИЯ ИС- комой функции (ЗМЗ): ' В (1911 (151п_ (6.83) (Юн _ __ : __ : [ . (16 “13869“ О, @” зіпё Решение уравнения имеет вид: 9„(д) : сопвіз він! @. Нормировочная константа легко находитсЩ И С ТОЧНОСТЬЮ до фазового множителя окончательно мо>кем ЗдПИСдТЬі 21+1! 1 . і ШЭ): Ё—Ъ—ійзшдэеф (6.84) Функции Уд…(д, 90) получаются с помощью формулы (6-70)- 138
ВОПТРОСЬ1 ДЛЯ С&МОКОНТРОЛЯ Какой вид имеет гамильтониан в задаче двух тел? Проделать разделение переменных в задаче двух тел в кванто- вой механике. Какой вид имеет гамильтониан системы двух взаим0действую— щих частиц в переменных системы центра масс и относитель- ного движения? В каком виде может быть представлена волновая функция в задаче двух тел? сферическая система координат и ее переменные. Какой вид имеет оператор Лапласа в сферической системе ко— ординат? Записать угловую и радиальную части лапласиана в сфериче- ской системе координат. Разделение радиальных и угловых переменных в центральном поле. Как можно представить волновую функцию частицы в центральном поле в общем виде? Записать радиальное уравнение Шредингера. Как разделяются переменные в угловой части уравнения Шре- дингера? Какой вид имеет зависимость волновой функции от угловой переменной ср? Уравнение Лежандра и его решения. Записать полный набор физических величин, определяющих состояние частицы в центральном поле. Как определяется оператор момента импульса? Каким коммутационным соотношениям удовлетворяют опера- торы проекций момента импульса? Записать систему уравнений и квантовые числа, определяю- щие состояния частицы с определенным моментом. Какой вид имеет оператор 12 в сферической системе коорди- нат? Какова связь между операторами преобразований координат и волновых функций? Записать оператор поворота системы координат. 139
20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. Дать понятие инфините'зймальных преобразований симмет- рии. Как изменяется волновая функция при инфинитезимальноы преобразовании поворота относительно оси 2? Как определяется оператор поворота в квантовой механике? Как связан оператор поворота с оператором момента импульса системы? Записать систему коммутационных соотношений для операто- ра момента импульса. Как определяются повышающий и понижающий операторы _7°+ и 3°_? Чему равны собственные значения операторов д'; и _і2? Что такое “стандартное представление” в теории углового мо— мента? Какие значение может принимать собственное значение опера- тора проекции момента? Какой смысл имеет квантовое число, определяющее собствен- ное значение оператора квадрата момента? Как построить произвольное состояние системы с моментом 3', если известно состояние с максимальной (минимальной) про- екцией? Как построить состоянйя системы с моментом 3', если известно какое-либо произвольное состояние с проекцией т? 140
Глава 7 Атом ВОДорода 7.1. Радиальное уравнение. Атомные единицы Как отмечалось в параграфе 6.2, энергетический спектр за— дачи о движении частицы в центральном поле определяет— ся из решения радиального уравнения (6.19), СОДержащего в явном виде оператор взаимодействия. Иными словами, все особенности, связанные с конкретным видом взаимо— действия, заключены в радиальной части волновой функ— ции ФЕ‚!,т(Г):ЕЕ,7°1(7°)У1,т(‘9›90)7 (7-1) которая удовлетворяет уравнению 1 (1 243Е‚1_1(1+1) 2т ‚’,—2 (і—ТТ ‹іт НЕ1+Ё2 (Е— „(”Г” ЕЕд— — 0. (7.2) Радиальное уравнение (7.2) св0дится к обычному Одномер- ному уравнению Шредингера подстановкой Е(т) : Х…. (7.3) Действительно, радиальную часть лапласиана в сфериче- ских координатах можно представить в ВИДе _1_д_2_д_ д2 2д_1д2 А? гад—; дт =№+№=$№Т° (“> 141
В этом случае ПОДстановка (7.3) прИВОДит к Одномерному уравнению Шредингера для функции ;((т): 2т Е21(1+1) // + — Е — 17 — —— —— . которая определена, Однако, на полуоси (‚)* $ ? < оо и опи- сывает движение частицы в эффективном поле, СОДержа- щем наряду с взаимодействием дополнительный центро- бежный потенциал: 11210 + 1) 3тт2 ' 170): (!(т) + Сама функция Х(7`) удовлетворяет условию нормировки для Одномерного случая, Однако только на положительной полуоси: /|х(7°)|2с1т : 1. (7.6) 0 Таким образом, при анализе решения радиального уравне- ния мы вправе воспользоваться основными результатами, полученными при изучении свойств решения Одномерного уравнения Шредингера. Прежде чем перейти к решению радиального уравне— ния, сделаем несколько общих замечаний об энергетиче- ском спектре всей задачи о движении частицы в централь- ном поле. Мы имеем интеграл движения — момент количе- ства движения — и соответственно систему коммутацион- ных соотношений: ^ [13,121 : о, [н, Ы : 0, [12,114 : о, и“… [д] : іеадтіт из которой следует, что энергетический спектр в любом центральном поле вырожден, по крайней мере, 2! + 1 раз по проекции момента т. 142
В этой главе будем рассматривать связанные состоя- ния, и, таким образом, ограничимся только дискретным спектром частицы с зарядом е и массой т в кулонов- ском поле (бесконечно) тяжелого заряда Ее. Такая систе- ма представляет собой водородоподобный атом. Радиаль— ное уравнение (7.2) имеет вид 2 1(1+1) 2т ге? т 7“2 712 Е/і+_Е/_ _|__ Т+Е>Е:О_ (7.7) В уравнении (7.7) удобно перейти к безразмерным пере- менным, если ввести атомную систему единиц: оо : ас : е2/іі — единица скорости, ао : Н/тио : ???/777,62 — единица длины, (7.8) ЕО : 712 / то?) : те4 / 112 — единица энергии. Введем обозначения в : Е / ЕО, р : т/ао и получим урав— нение (7.7) в виде 2 ! 1 1 2 + ,в, _ _<__>н „ <…, _. …) в : „. „.… Мы здесь учли, что для связанных состояний энергия от— рицательна. 7.2. Асимптотика решений радиального уравнения При решении уравнений, подобных уравнению (7.9), обыч- но сначала выделяют асимптотику. В нашем случае на кра- ях области определения р —› О и р —+ 00 мы должны нало— жить граничные условия: 1) Е|р_,0 конечна, 2) Ш =>О. р—юо 143
Рассмотрим первый случай. Устремим р —› 0, тогда в урав- нении (7.9) следует оставить только три слагаемых1: 1(1+1) р, в = 0. (7.10) в” + Ёв’ _ р Будем искать решение в виде степенной функции В … рд, тогда для показателя $ получается уравнение з(3+1)—!(!+1)=0, которое имеет два решения 31 = !, 52 = —(1 + 1). Очевидно, второе решение не удовлетворяет поставленному гранич- ному условию, поэтому можно сказать, что В 0 : сопз’срі (В ос р[ ). (7.11) р——› Устремим теперь р ——› 00 и получим уравнение2 В” — 2|е|в : 0, (7.12) из которого следует хорошо известный из анализа одномер— ного уравнения результат: Н' ос е_р№. (7.13) р—›оо Очевидно, в остальной области функция Е(р) должна быть некоторой функцией, которая при р —+ 00 может расти не быстрее ехр(—р/ЁБ ), а при р —› О стремится к сопвъ. Обо- значим № ) = и, тогда радиальную функцию можно за- писать как Е(р) = р’Ш(рЗер“- (7-14) 1Полученный ниже результат справедлив для любого центрально- го поля, которое растет при р —› О медленнее, чем '—2. 2 Полученный результат справедлив для любого связанного состо- яния. 144
Сделаем еще одну замену переменной, смысл которой ста- нет понятен нидке: ир : :с/ 2. В новой переменной радиаль- ная функция есть Е(аз) = т[ш(п)е_`т/2- (715) Здесь ш(:1:) — некоторый многочлен конечной степени. Его нам и предстоит определить. 7.3. Энергетический спектр атома водор0да Запишем радиальное уравнение (7.9) с переменной а:: 2 ‚ 2 !! 1 1 Подставим теперь радиальную функцию (7.15) в уравнение (7.16) и получим уравнение для искомой функции ш(:с) : ‚? спи)” + (2(1 + 1) — а:)ш’ + (% — і — 1) и) = 0. (7.17) Решение уравнения (7.17) есть обобщенный гипергеомет— рический ряд, поэтому запишем искомую функцию как 00 и(сс) : Хайт,“. (7.18) іс=0 После ПОДстановки уравнение (7.17) ПрИНИМЭВТ ВИД ЁЁ {Ок+1[іс(/с + 1) +2(/с + 1)([ + 1)]+ @=о +а‚с(-Ё—к—1—1)}=о‚ (7.19) 145
из которого следует рекуррентное соотношение для коэф— фициентов ряда в __ 2/и—(іс+!+1) ’… ' (К+1)(і—с +21+2> сы,. (7.20) Напомним, что функция …(аг) не должна расти быст— рее ехр(а:/ 2), поэтому следует прежде всего исследовать асимптотическое поведение ряда. Найдем отношение !$ + 1 и іс членов ряда при іс —› оо: а;,„шкн 2/34— (іс+!+ 1) 1 (№331: : _в: (!$ + 1)(К + 21+ 2) ‚е_,оо : Ёж Таким образом, полученный ряд асимптотически ведет се— бя, как … ехр а: и при 3: —-› оо расходится быстрее, чем “поз— волено”. Поэтому суммирование может происходить только в конечным пределах, иными словами, ряд (7.18) должен оборваться и превратиться в некоторый полином степени пт, т.е. все коэффициенты при !$ > пт должны обратиться в нуль. Это накладывает определенные условия на един- 0” ственный “сво60дныи параметр %: 2 — Е п : н,… + ! + 1 — натуральное число. (7.21) % Число пт 2 О определяет степень полинома (7.18) и со— ответственно число его нулей и называется радиальным квантовым числом. ОчеВИДно, при этом получается огра— ничение на возможные значения орбитального момента: 0$!Ёп—Ъ Итак, получили энергетический спектр атома ВОДор0да: 7:2 22 2277164 1 |Е|=—2——->Еп=—ё—п—2—>Еп=———2-Н2—-п—2. (722) Соответственно радиальная функция имеет вид Е…(р) : р1ш„,_(р)е—Р/, п,. : п — 1 — 1. (7.23) 146
Полиномы (7.18) можно записать, используя рекуррентное соотношение (7.20) для коэффициентов и учитывая 2/34 : : п,: п — (19 + !) а,]с : _1 : - - . : _МК + 21 + 1)Щс ([+1—п)([+1—п+1)--—(!+/с—п) А:!(2! +2)(21 +3)…(21 + 1 + 13) 20,0 Тогда получаем и)… (:!:) = (7.24) _ ”’” (!+1—П)(1+1“”+1)`”([+]°_п) 400+; …2‚+2)(21+3)...(2г+НК) $16) Полином (7.24) называется обобщенным полиномом Лагер- ра, который получается из обобщенного гипергеометриче- ского ряда и(а + 1) 5132 О! Ё101,7,Ш)=1+—:с—|— +...: 1( ”у 7<^у+1)1-2 ()Ог+1.(ог+іс) гск“ 21+Ё7И+13п (744$) (%+1)!’ (7.25) который обрывается при целом 04 < 0. В противном случае он расх0дится. В нашем случае а=—п+і+1, 7=2(!+1). Запишем, наконец, радиальную функцию в размерных еди— ницах: ’Г ! В…(т') : ( > шп_д_1(т/2пао)е_Т/2а°. (7.26) Епао Здесь учтено, что а: : 2ир : 2т/2пао. 147
мг . А .` . › № *' % *' О до 2а0 Г О “0 7-00 Г а 6 Рис. 7.1. Радиальные волновые функции первого возбужденного уровня энергии атома в0дорода: а — состояние с моментом ! = О, радиальная функция отлична от нуля при т = 0; б — состояние с моментом ! = 1, радиальная функция линейна при 7“ —+ 0 ОчеВИДно‚ что для основного уровня энергии атома во— дор0да (2 = 1) _ —7‘/ао 3/2 6 “о В… : сопзі: — е_Т/а0 : Соответственно для второго (первого возбужденного) уров- ня энергии есть две различных радиальных функции: 320 : 0011$ (1 — —Т—) е_Т/2“0 : 1 (1 — —Т—> е_Т/Шюэ 200 20,8 20,0 —'Г/2а‚о В 1; т 1 ‘Г 21 = сопз ——е : —е / 3 20,0 60’0 200 Схематическое поведение этих радиальных функций пока- зано на рис. 7.1 . Заметим, что, зная асимптотику и число нулей, можно определить номер уровня энергии. —т/2а‚о 148
7.4. Полный набор квантовых чисел. Случайное (кулоновское) вырождение Итак, состояние атома водорода определяется волновой функцией `Ртт(1°) : Еп!(Т)}/1т(в7 90), (727) где = 1, 2, 3, . .. — главное квантовое число, 1 = О, 1, 2, . . .п — 1 — орбитальный момент, —! $ т $ 1 — проекция момента (магнитное квантовое число). Как видим, полный набор физических величин опреде- ляется тремл квантовыми числами (без учета спинов элек— трона и ядра), т.е. №) 5 |п,!,т>, <г|п,1,т) Е Ф……(г). (7.28) Оказывается, что уровни энергии зависят только от одно- го главного квантового числа, поэтому кроме уже известно— го нам вырождения спектра по проекции момента имеется дополнительное, кулоновское или случайное вырождение. Определим кратность вырождения уровней энергии ВОДО— родоподобного атома: … п— ! п—1 №: 2 (21+1)=п+ 0 != т=—! != п(2п — 2) _ ”2 2 (7.29) © Дополнительное вырождение спектра связано с высокой симметрией кулоновского поля и наличием еще одного (кроме момента количества движения) интеграла движе- ния. Этот интеграл — векторная функция — и называется вектором Руиза—Ланца. В классической механике он имеет вид 2 А: 26 Г——1—[р><М]. Т № 149
В квантовой механике мы должны физической величине сопоставить оператор. Оператор записывается согласно принципу соответствия, Однако нужно помнить, что клас— сическое выражение предварительно симметризуется от— носительно перестановки различных физических величин, поскольку соответствующие им операторы не обязаны ком- мутировать между собой, тогда как в классической физике все величины коммутативны: р >< і] — [і >< р]) . (7.30) Заметим в заключение параграфа, что в произвольном центральном поле кулоновское вырождение отсутствует и уровни энергии зависят как от п, так и от [, т.е. остается, “как и положено”, только (2! + 1)-кратное вырождение по проекции момента. Для обозначения уровней энергии Е… принято следующее обозначение: присваивают квантовым числам ! соответствующие буквенные обозначения !=0,1,2,3, ври!] В таком случае, задавая состояние, часто ограничивают- ся указанием только квантовых чисел, определяющих ра- диальную функцию и, например, вместо |100) записывают |13), вместо |2ОО) записывают |2з), вместо |21т) записы- вают |2р> и т.д., подразумевая обязательное вырождение уровней энергии по проекции момента. (7.31) Вопросы для самоконтроля 1. Записать гамильтониан атома водорода. 2. Как можно свести радиальное уравнение к одномерному? 3. Что такое радиальная функция? 150
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Как определяются атомные единицы энергии, длины, импульса и времени? Записать радиальное уравнение Шредингера в атомных еди- ницах. Какой вид имеет асимптотическое поведение волновой функ- ции связанного состояния при т ——› О? Записать асимптотическое выражение волновой функции СВЯ- занного состояния при т' ——› 00. Какой ВИД имеет радиальная функция произвольного связан- ного состояния? Как определяется радиальное квантовое число и каков его смысл? Записать энергетический спектр атома водорода. Чему равен полный набор квантовых чисел, определяющих со- стояние атома водорода (без учета спинов)? Какие значения могут принимать квантовые числа, определя- ющие состояние атома в0дорода? Чему равна кратность вырождения п-го уровня энергии атома водор0да? Объяснить причину вырождения энергетического спектра ато- ма водорода. Что такое кулоновское (случайное) вырождение? Как можно применить осцилляционную теорему для анализа волновой функции связанного состояния? Показать, что вектор Рунге—Ленца есть интеграл движения. Записать оператор, соответствующий вектору Рунге—Ленца. Как классифицируются уровни энергии атома водор0да? Сколько состояний и какие соответствуют 2р-уровню атома во- дор0да? Что следует понимать под записью для атома в0д0р0да в виде |Зсі)? Имеет ли смысл выражение |2ё)? 151
Глава 8 Квазиклассическое приближение 8.1. Обоснование квазиклассического приближения ЗапиШем вновь формальное решение уравнения Шредин- гера для консервативной системы с помощью оператора эволюции, считая, что в начальный момент времени 15 = О состояние определялось волновой функцией ф(г) : щ…) : енд—@@@). (8.1) ИЗ гамильтоновой механики хорошо известно, что гамиль- тониан определяется как прОИЗВОДная по времени от дей- ствия системы Н : —д$/дг‚ поэтому введем согласно прин— ципу соответствия оператор действия1: @= —/Ёс1ё+і(р‚‹1)‚ (8-2) где р и с] — набор обобщенных импульсов и координат. Можно ожидать, что в классическом пределе волновая функция состояния с определенной энергией будет иметь вид: ФЕ(Г‚Ё) : ф(г)е—ій_1Ей= Ае—іГъ'1ЕЁ+іГъ_1[р‹іг: Авт-13 (83) 1Более точно, из аналитической механики, следует записать 5' = = ] рос; — ] Н (113 = [ рф] — Е(Ъ — Ёо)- Энергия сохраняется, поэтому Е =соп5с. 152
Очевидно, если под 5' понимать классическое действие, то волновая функция, определяемая формулой (8 3), не будет удовлетворять уравнению Шредингера2. С другой сторо- ны, мы рассматриваем состояния с определенной энергией, поэтому попробуем искать волновую функцию в виде Ф(г, 73) : ищет—15“, (8.4) где $с1 — классическое действие, и подставим ее в уравнение Шредингера: 8501 890 і$‚с1_ ( дт “М+йдг)еп _ і 712 і . і = {шведы — №7 (ензсіщ + %907613167‘5“) } = 712 71 іГъ ={Пф_2т _Аф_т 1— (7ф75с1)_ і—фАБЫ + + %1(7$с1)290} $5“— Получается три типа слагаемых, СОДержащих разные сте— пени Гъ, которые мы можем сгруппировать следующим об— разом: 1 856 {%(Згасі5с1)2 + П + д—Ё1}<‚0 = (8-5) . (990 1 1 й2 _ 111 {Б? + Е(вгасіБСщгасіср) + %АБ'спр} +%Аф. 2Такой ПОДХОД К обоснованию квазиклассического приближения, по—видимому, принадлежит В.А. Фоку [10]. Можно видеть, что он был совсем близок к формулировке квантовой механики на языке интеграла по траекториям, сделанной Р. Фейнманом более двадцати лет спустя. 153
Если 5 — классическое действие, слева в уравнении (8.5) стоит уравнение Гамильтона—Якоби: 1 85} “;”-(8Г3д561)2 + О + д; : 0. (8.6) Будем искать неизвестную функцию ср в виде разложения по степеням “малого параметра” Н. В нулевом приближении пренебрежем последним слагаемым в правой части форму- лы (8.5) и получим дфЮ) дг Очевидно, все наши рассуждения останутся справедливы- ми и для комплексно—сопряженной волновой функции Ч”, поэтому уравнение (8.7) справедливо и для 90(О)*. Учтем, что |Чё|2 : |ф|2 — плотность вероятности обнаружить ча- стицу в данном состоянии, поэтому она должна удовлетво- рять уравнению непрерывности. Умножим уравнение (8.7) на ‹,0(0)* и сложим с комплексно-сопряженным: 1 - 1 (згасі5013гасі9о(о)) + %АЬЪЫО) + т = 0. (8.7) два“”!2 д': 0. 1 1 % (вгаё3с1вгаё|90(0)|2> + БАЗСЦФЮ)? + Первые два слагаемых преобразуются в Одно: 1 (О) 2 сііу (№(ОЧ2Ё8ШС1361) + д|ф | = 0. дЁ Вспомним, что (1 /т)$га‹і$с1 : р/т : у — скорость части— цы, а |ср(0)|2у : ру : _і — плотность потока вероятности. Поэтому в нулевом приближении для 9:9(0) получаем урав- нение непрерывности: _ д (0) 2 сіш (|‹р(0)|2У) + —|і0т—| : 0. (8.8) 154
Итак, видим, что волновую функцию частицы в класси- ческом пределе можно искать в виде (8.4), но при этом квантовое действие 501 должно отличаться от классическо- го действия: БС1 : 50, однако его можно представить в виде разложения по степеням квантового параметра малости 71: п п 2 Поскольку мы рассматриваем консервативные системы, интерес для нас будет представлять решение стационар- ного уравнения Шредингера. Поэтому из действия следу- ет вычесть временное слагаемое —ЕЪ, и останется только так называемое укороченное действие: 3 = 5 + Ей, которое будет определять координатную часть волновой функции. Итак, ‚шт) = тое—тт, №) = від—13. (8.10) Для укороченного действия остается справедливым разло- жение (8.9). 8.2. Волновая функция в квазиклассическом приближении Запишем стационарное уравнение Шредингера для функ- ции (8.10): ій 1 __ __Аз + _ 2т 2т Как видим, уравнение (8.11) оказалось нелинейным. Мы будем рассматривать в дальнейшем только одномерные задачи, когда уравнение (8.11) становится обыкновенным дифференциальным: ($75)2 + Щг) — Е = 0. (8.11) 1 12 іЁ :; _ 155
Переменная (] обозначает либо декартову координату ОДНО- мерного движения 33, либо модуль радиуса-вектора ? для радиального уравнения Шредингера, либо другую пере- менную. П0дставим в уравнение (8.12) разложение дей- ствия по степеням Е и приравняем нулю члены одинаковой степени малости. С точностью до членов первого порядка получаем систему двух уравнений: 1 №096? : Е _ (ЛЧ), (8-13) 1 215, 75, Первое уравнение сразу интегрируется: 50 : і ] („№№ — Ща) = & /р(‹1)<і‹1- (8.15) При этом необходимо потребовать, чтобы слагаемое, содер- жащее Б, в уравнении (8.12), было много меньше слагаемых, не СОДержащих “малого параметра”: Гъз’ ’ 1 2т 2т / 2 НЗ” |(5 ) | ‚или —— (502 Последнее неравенство преобразуем и получим критерий применимости квазиклассического приближения: <<1. (1 Н ‹іА __ << 1, или — << 1. 8.16 (19 5’ (19 ( ) Мы здесь учли, что в нулевом приближении 36 : р и Гь/р : А — волна де Бройля. Таким образом, длина вол- ны де Бройля должна мало изменяться на расстояниях порядка ее самой. Условие применимости (8.16) можно записать в другом виде, а именно: БЗ” (8’)2 _,в‹1_р_ @ (…Он) _ № 1026161 193 да 103 ° 156
Здесь учтено, что —Т7П : Р. Таким образом, получаем критерий применимости в виде ЕтР _Т << 1, (8.17) |Р | из которого вытекает требование больших значений им— пульса. Рассмотрим теперь второе уравнение в системе (8.13): 23633 + 58 = 0. (8.18) Из уравнения (8.18) получаем решение, дающее предэкспо- ненциальный множитель: 3/1: —%С%11156—› $1 : —%1пр(с1) + С. (8.19) Все константы интегрирования в решении (8.19) удобно от— нести к нормировочному множителю волновой функции. При получении нулевого (8.15) и первого приближения (8.19) мы молчаливо предполагали значение классического импульса р(с]) действительным, т.е. считали, что Е > (Да), и частица находится в классически доступной (разрешен- ной) области. Итак, с учетом первых двух членов разложения дей— ствия получаем общий вид волновой функции в квазиклас— ‹:ическом приближении в классически разрешенной обла- ‹:ти: ф(‹1)=—/Ё%е%1дчр@>{1 + ()(ЁЗ) } + +%6—ё іаар(а›{1 + (ЖЗ) } (8.20) При описании квантовой частицы нельзя ограничить- ‹:я только классически разрешенной областью: волновая 157
функция отлична от нуля и в классически запрещенной об— ласти. Поэтому нужно уметь записать выражение для вол— новой функции во всех областях пространства. Формально это можно было бы сделать, на первый ВЗГЛЯД, заменой комплексных экспонент В формуле (8.20) действительны— ми. Однако тогда оказались бы учтены слагаемые разные!; порядков величины, что было бы неправомерным превы— шением точностиз. От этого недостатка можно избавиться, оставив либо только растущую экспоненту, либо убываю- щую, если в первом случае не удовлетворяются граничные условия на 00. С другой стороны, нужно не просто запи- сать функцию в классически запрещенной и разрешенной областях, но и уметь их между собой “сшить”. В сшивке выражений в классически разрешенной и запрещенной об— ластях и состоит основная трудность, поскольку в окрест- ности точек поворота (перех0да из классически разрешен- ной в классически запрещенную область) 10010) : О, Е : Шао) (8.21) нарушается критерий применимости квазикласснческого приближения и формулы (8.20) становятся неприменимы— ми. В этом случае приходится рассматривать уравнение Шредингера в окрестности (10 и сшивать решения слева и справа от точки поворота. Обычно в окрестности точки поворота потенциальную энергию можно разложить в рЯД Тейлора и ограничиться только линейными членами раз- ложения. Обозначим точку поворота (10 = @, Е : (Да). Но— скольку —(1П/ (іо : Р — сила, действующая на частицу, мо- жем записать [](Ч) : Е—Р(‹1—о), и уравнение Шредингера 3Ошибка в определении растущей экспоненты О(‹іА/‹1(1) много больше убывающей экспоненты 158
принимает вид 2тР` ф” _|_ В? (@ _ № : о. (8.22) Уравнение (8.22) есть уравнение Эйри, решение которого хорошо изучено и выражается через специальные функции с тем же именем. Остается только убедиться, что получен- ное уравнение остается справедливым в области примени— мости квазиклассического приближения. Иными словами, нужно показать, что существует такое значение перемен— ной а, когда Одновременно справедливо уравнение (8.22) и квазиклассическое приближение. Пусть изменение потенциальной энергии происходит на характерном расстоянии !, тогда величину параметра Р` можно оценить как (Ш и Е Р:—т—т—_ || |да |1| |1| Соответственно критерий применимости (8.17) можно за— писать в виде тпшпз/2 пЛ _ << 1. !(2тіЕНч — а|)3/2 2,/2т|Е||‹1 — а|3/2 Учтем, что Н_1/2т|Е : 190 — характерная величина вол— нового вектора, описывающего движение частицы в клас- сически разрешенной области, тогда условие применимо- сти квазиклассического приближения приводится к виду Л ЁоіЧ _ „|З/2 << 1. Обозначим |с1 — а| : р, тогда условие применимости урав- нения (8.22) есть р < !. Возведя полученное неравенство в 159
степень 2/3, ВИДИМ, что удовлетворяется двойное неравен- ство: ! _— << р < 1 8.23 и, таким образом, условие Одновременной применимости уравнения (8.22) и квазиклассического приближения вы- полняются. Действительно, из условия (8.16) следует, что …— 1 !$! 1 —— . Коі<<’ или о>>‚ и (16002/3 <<! ‘сіА А 1 ! _ … _ (19 1 Итак, сшить решения в классически разрешенной и запрещенной областях можно, рассматривая линеаризо- ванное (относительно переменной) уравнение Шрединге- ра (822). Однако сама процедура сшивки отличается для задач непрерывного и дискретного спектра, поскольку на волновую функцию накладываются различные граничные условия. Поэтому так же, как и при анализе общих свойств решения Одномерного уравнения Шредингера, рассмотрим две различных задачи: 1) о нахождении уровней энергии частицы в потенциаль— ной яме и 2) о нахождении коэффициента проникновения частицы через потенциальный барьер. 8.3. Правило квантования Бора—Зоммерфельда При рассмотрении задачи о нахождении уровней энергии частицы в потенциальной яме накладываются граничные условия равенства нулю волновой функции на :Ьоо. При этом для частицы имеются две точки поворота на левой @ и правой Ь сторонах потенциальной ямы (см. рис. 8.1). Следуя общему виду решения задачи в квазиклассическом 160
Ща) “ Рис. 8.1. Точки поворота для частицы с энергией связанного состояния Е в потенциальной яме приближении, можно записать в классически запрещенных областях выражение для волновой функции: ( а ТЪехр —Ы|р(а)|<і‹1 ‚при —оо < ‹1< @; Ч Ща) = < (8.24) „ Ч С 1 —ехр { |р(‹1)|<1‹1}‚ при?) < ‹1 < 00- `/|Р| “{ В классически разрешенной области волновая функция определяется формулой (8.20). Процедура сшивки решений состоит в нахождении асимптотик решения линеаризованного. уравнения (8.22) слева и справа от точек поворота и в сравнении с выраже— ниями (8.20) и (8.24). Это наиболее строгий и корректный ВЫВОД‚ он основан на испольЗовании асимптотик функций Эйри. Однако можно провесЁги менее строгую процедуру сшивки, используя аналитическое пр0должение имеющих- ся выражений для волновой-ц-і-‚функции на действительной 161
1т2 11112 @ @ Щи, ‚ ; а о „„„„ о не; Кр…, а Ь с Рис. 8.2. Окрестность точки поворота, в которой нарушаются условия применимости квазиклассического приближения: @) на действительной оси ‹] и обход точки поворота в комплексной плоскости 2, Ь) для функции (8.26) и с) для функции с другим знаком в показателе экспоненты оси (8.20) и _(8.24) в комплексную плоскость и обходя точ— ки поворота по контуру, радиус которого удовлетворяет неравенствам (8.23). Воспользуемся вторым способом. При перех0де в комплексную плоскость мы должны за- менить ‹; — Ь —› 2 в окрестности правой точки поворота и ‹; — @ ——› 2 в окрестности левой точки поворота, причем на контуре 2 : реі‘р (рис. 8.2). В выражении для волновой функции на контуре следует воспользоваться, во-первых, линеаризацией потенциальной энергии, а во-вторых, под— ставить комплексную переМенную „г. После чего, исполь- зуя выражение для волновой функции, удовлетворяющее нужным граничным условиям в классически запрещенной области, перевести (аналитически продолжить) в класси- чески разрешенную область. Легко видеть, что обход точки поворота из классически разрешенной в классически недоступную область не приво- дит к выражению, удовлетворяющему нужным граничным условиям. Действительно, запишем для ОДНОЙ из экспонент в формуле (8.20), например, описывающей распростране- ние частицы слева направо (в положительном направлении оси а), показатель экспоненты в комплексной плоскости на 162
контуре: і =і 3/2 іЗяо/г— : п/рёч йт/р @ шир С С 2 3/2 _ З _ 3 =-—_— _ _ _ . |2 зп’ур (1 соз 2<р $111 290) (8 5) Здесь мы ввели обозначение 7 : /2т|15` | и учли, что на контуре Ч : №№, Р : 7х/Беіф/2 И рс1с1 : ’урЗ/2еі390/2ісіср. Подставляя выражение (8.25) в показатель экспоненты волновой функции (8.20), видим, что при значении фазы комплексной переменной (] на контуре ср > 27т/3 экспонен— та начинает расти, и волновая функция не может удовле- творять нужным граничным условиям. Поэтому следует провести аналитическое пр0должение волновой функции с нужной асимптотикой из классически запрещенной в классически доступную область, где существуют только осциллирующие решения. Итак, проследим изменение волновой функции при 06— ХОДе точки поворота по контуру, проходящему в верхней полуплоскости справа налево, как показано на рис. 8.2. При этом фаза комплексной переменной будет изменяться от 0 на действительной оси справа, до 7г на действительной оси слева от точки поворота. Запишем этот переход в виде це- почки соотношений: №) |… = &&&—% Ь] |р(а)|<1‹1} —› Ч С 1 * 1/4 ехр{—Б^7//а—Ь‹іч} = Ь ЛШ — 6) 163
_Се—“Р/4 1 _„.__„„р{ ‚гру/№ „@ >} а 90:0 17 / дено/24 (река) ] = С ‹‚0=тг Се`і/4 Се—іп/4 _ Ь _Л(Ь_Ч)1/4ехр{%’УЧ//Ь_——ЧШ1} = ‘. %?)- ехр{і[% ]ЬМЧЖЩ — … = №) |№ . (826) Из формулы (8.26) следует, что при выбранном обходе точ— ки поворота получается только одна из двух экспонент и соответственно связь между коэффициентами 01 : Се_і”/4. (8.27) Совершенно аналогично может быть получена вторая экс- понента, если выбрать контур в нижней полуплоскости и направление обХОДа по часовой стрелке. При этом фаза комплексной переменной будет изменяться от О до —7т. Со- ответственно получаем связь С2 : Се…/4. (8.28) С учетом полученных соотношений для волновой функции имеем выражение ч: ! %соз (551901 )(іа——)‚ приа<61<Ь; ФШ) =< (8.29) Ч С `ЙЁехр<—‚%ЬЛ10(‹1)|01‹1)‚ при!) < ‹1 < 00- 164
Такую же процедуру “сшивки” решений можно пр()Ве_ сти для левой точки поворота (_; = @. Различие состоит в том, что теперь при обходе точки поворота по контуру в верхней полуплоскости фаза комплексной переменной из— меняется от л до 0, а в нижней полуплоскости — от ——7т- до 0. Таким образом, в классически разрешенной области мы имеем два выражения для волновой функции, полученные в результате аналитического пр0должения из классически недоступных областей слева и справа: … Ч 20 1 ч№>|9>а :ЁСОЗ Ё /р(с1)<1‹1 …; ‚ !) 2С 1 Ф(‹1)|4<ь=@ ,—, /р(61)<іа …} (83… Ч Очевидно, в формулах (8.30) записана одна и та же ф3нк— ция, поэтому она должна принимать ОДНО и то же значение в любой точке @ < (1 < Ь. Сделаем простые преобразовашя для функции, описывающей состояние частицы при Пёре- х0де в классически разрешенную область слева: „ ь ь №№ = 3% (308$ /р(‹1)<1 — % /р(61)<1‹1 — %) = а Ч =%_Ёсоз{%/Ьр(ч)ёч—% — (% ]ьр(а)січ — %>} = 170(“…а), ОТКУДЕЪ ЛЕГКО ПОЛУЧИТЬ УСЛОВИЕ СОВПЭДЭНИЯ ЗНЭНЭНИЯ ДВУХ 165
функций4 : Ь % ]…фаа _ 3;- = т, 6 : (—1)по. (8.31) а Условие (8.31) обычно называют правилом квантования Бора—Зоммерфелъда и записывают в виде Ь /р(с1)‹і‹1 : ліі(п+ %>, или %рйдсіа : 2лй<п+ %>. (8.32) (1 Здесь интеграл 39 понимается в смысле интегрирования по полному “перИОДу” движения частицы в классически разре- шенн‘ой области. Легко видеть, что он представляет собой адиабатический инвариант системы. Следует сделать небольшое замечание по поводу фор- мулы (8.32). Она получена в случае, когда критерий при- менимости квазиклассического приближения выполняется в обеих точках поворота. Однако встречаются случаи, ко- гда критерий применимости не выполняется в одной или в обеих точках поворота. В этом случае следует аккурат- но решать уравнение Шредингера в окрестности точек по- ворота и прОВОДить сшивку решений с обеих сторон. Тем не менее бывают и простые случаи, когда не выполняет— ся критерий применимости, но задача легко решается. В частности, ПОДобная ситуация возможна с модельным по— тенциалом, имеющим с ОДНОЙ стороны бесконечную стенку. В этом случае на границе волновая функция обращается в нуль и соответственно сов должен быть заменен на эіп. Правило квантования Бора—Зоммерфельда в этом случае легко модифицируется. 4Сравни с осцилляционной теоремой, рассмотренной в $34. 166
8.4. Нормировка волновой функции Волновая функция в квазиклассическом приближении так— же должна быть нормирована на 1. Однако следует учесть, что в силу критерия применимости квазиклассического приближения в классически запрещенной области вол- новая функция быстро затухает и вклад в интеграл по классически недоступной области экспоненциально мал по сравнению с вкладом в интеграл классически доступной области. Поэтому можно записать оо Ь Ь соэ2Ф 1 = ] с19|Ф(а)і2 = ] ё4|ф(‹1)|2 = №12 ] Щаа = _ рт) ь 1 2Ф Ь & =2|С|2] “05 (Ч)с1с1ю2|С'|2/—Ч = №1) 1901) Ь Ь _2|С|2/ (19 _2|С|2/‹1_9 _ т сіа/сій _ т т) . Поскольку Ь 1 ‹іа__1 ‹іа_Т 0—5; и 2т ‚ а где Т = 27т/ш — классический период, то можно записать нормированную волновую функцию в виде 2тш 1 Ч л ф(а)= №№ „ ] рила—д . (8.33) @ Определим также плотность энергетического спектра в квазиклассическом приближении. Иными словами, опре— делим число состояний Ап в интервале энергий от Е до 167
Е+АЕ: Ап топ 1 (1 АЕ ”а_Е №ЁЁ%) ‘1—9 _)[д—Ёх/ЪЩЕ— П(с1))‹19_ 1%771 1 (і—Ч_ Т 1 22—7ТЁ р_(—‹1)_Ч=27гіі _2—7тй:$ Итак, видим, что энергетический спектр “квазиэквидистан- тен”. Поскольку спектр в квазиклассическом приближении невырожден, получаем, что на ОДНО квантовое состояние приходится фазовый объем Г : ]{рсіо : 27гіі. (8.34) 8.5. Проникновение частицы через потенци- альный барьер Рассмотрим теперь задачу для непрерывного спектра о проникновении частицы через потенциальный барьер. Пусть барьер имеет вид, изображенный на рис. 8.3, где для простоты мы полагаем [КСПМ—№00 : 0. Асимптотическое поведение волновой функции можно определить формулой 8.35 Ь еХР(і]С(]) при с] —› оо. ( ) [И ) _ {ехрШщ} + оехр(—іісс1) при с] —› —00, Тогда |Ь|2 : В -— есть коэффициент проникновения части— цы через потенциальный барьер, а В = 1 — В : |съ|2 — коэффициент отражения частицы от барьера. Очевидно, в нашем случае в классически недоступ— ной области, при перех0де в нее из классически доступ— ных, должны быть удержаны Одновременно две экспонен— ты: убывающая при перех0де точки поворота слева напра- во и растущая при переходе точки поворота справа налево. 168
1/(61) “ 1 П 111 Рис. 8.3. Потенциальный барьер и точки поворота для частицы с энергией Е > 0. Области 1 И 111 К.Пассически доступны, в, область П недоступна для классической частицы Это Одна и та же функция, однако при переходе слева на- право ИЗ КЛаССИЧЭСКИ ДОСТУПНой в классически недоступ- ную область мы имеем право удерживать только растущую экспоненту, что не удовлетворяет ни физическому смыс- лу, ни граничным' условиям. Поэтому следует пройти путь справа налево из ОДНОЙ классически доступной области в дРУГУЮ- ПРИ ЭТОМ УдерЖИВгъегся правильная по физиче- СКОМУ СМЫСЛУ рдСТУЩая экспонента в классически запре- щенной области. Легко также видеть, что в силу требова- ний применимости квазиклассического приближения энер- гия частицы должна быть достаточно малой по сравнению С М&КСИМУМОМ ПОТЭНЦИЭЛЬНОГО барьера, что в свою очередь ПРИВОДИТ К МЭЛОСТИ коэффициента !) и соответственно ко- эффициента прохождения В. Запишем волновую функцию вблизи правой точки по- 169
ворота: фірми—і—ехр % ] №№ ‚ (8.36) №№) Ь где ро : / 2тЕ — импульс частицы на 00. Далее перех0дим в комплексную плоскость и продол- жаем аналитически волновую функцию на действительной оси справа от точки поворота на действительную ось сле- ва от точки поворота в классически запрещенной области. Учтем, что фаза при этом изменяется от О до —7т : фПЙС] —>/_ еХР %]Р @@ —> Ь _, _д_ і… і : @ №|е ехр % ] винда фиш). В окрестности левой точки поворота в классически недо— ступной области волновая функция имеет вид Ь _ _Ь__еітг/4 ех і фпс) — Ло |№ р(% ] |р(‹1)|‹1‹1)>< ><ехр (——] |р(‹1)|=<19> „%!—>| ехр(—— —] |р(‹1 )ісіа)-( (837) Значение вновь введенного коэффициента В очевидно. Теперь переходим из классически недоступной области справа от точки поворота в классически доступную область слева. Так же, как и в задаче о связанных состояниях, мы 170
получим две экспоненты, обх0дя точку поворота снерху и снизу в комплексной области: @ —|——р ВШ) “акр—( %]!рш)! №1) №6 ’”Ёехр(% /р(а)сіа) В чех _і „ . + №е р( “„/№№) (838) Как видно из формулы (8.38), слагаемое, описывающее распространение частицы слева направо (поток падающих частиц), на —оо должно СОДержать коэффициент, равный 1. Учитывая, что р_оо : ро, получаем Ь = Ь ехр (% /|р(‹1)|‹1‹1) = 1, ‹1—›—оо Ь Ь = ехр (—% /|Р(Ч)|<1‹1>- (8-39) Соответственно коэффициент проникновения частицы че- рез потенциальный барьер равен Ь В % ехр (—ё ] |р(‹1)|с1‹1)- (8-40) Формула (8.40) определяет коэффициент проникновения с точностью до предэкспоненциалъного множителя, поэто- му вместо знака равенства стоит % . Очевидно также, что коэффициент отражения с экспоненциальной точностью равен 1, а коэффициент @ в волновой функции “получает” дополнительную фазу и становится равным —і. + В е—іл/4 №001) ИЛИ 171
Вопросы для самоконтроля 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. В каком виде можно представить волновую функцию квази— классического приближения? Записать уравнение непрерывности и уравнение Гамильтона— Якоби для классического действия. Представить квантовое действие в ВИДе разложения его по сте- пеням Гъ. Какому уравнению подчиняется квантовое действие? Как линеаризуется уравнение для квантового действия? Представить решение уравнения для квантового действия ме— ТОДОМ итераций. Записать критерии применимости квазиклассического прибли- жения. Как определяется квазиклассический импульс? Что такое точки поворота? Записать первый порядок квазиклассического приближения в одномерном случае. Какой вид имеет волновая функция квазиклассического при- ближения в классически разрешенной области? Записать правило квантования Бора—Зоммерфельда для опре- деления уровней энергии связанных состояний. Как выполняется нормировка волновой функции квазикласси- ческого приближения в дискретном спектре? Какой характер имеет энергетический спектр связанных состо- яний? Чему равна плотность энергетического спектра связанных со- стояний квазиклассического приближения? Определить фазовую площадь, прих0дящуюся на одно состоя- ние в квазиклассическом приближении. Чему равна вероятность проникновения частицы через барьер в квазиклассическом приближении? Чему равна вероятность отражения частицы от потенциально- го барьера? 172
Глава 9 Стационарная теория возмущений 9.1. Теория возмущений для невыронщеННОГО спектра энергии Точно решаемых задач в квантоъзой механике очень мало, поэтому очень большую роль играют приближенные мето- ды решения уравнени Шредингера, Важнейшее (а точнее — основное) место среди них занимвет теория возмущений. Суть теории возмущений состоит- в том, что гамильтониан системы представляется в виде Ё: Ёо-і—й, (9.1) где Ёо — часть полного гамильтониана, описывающая за— дачу, решение которой известно иди считается известным. Оставшаяся часть гамильтониана, 17 называется возмуще— нием. В общем случае возмущенно, так же, как и гамиль— тониан, может зависеть либо не зависеть от времени. Для КОНСЭРВаТИВНЫХ И Н@КОНСВрВаТИВных систем решаются за— дачи в различных постановках. В соответствии с этим и применяются различные меТОДы; стационарная и неста- ционарнал теория возмущений. В этой главе рассмотрим МеТОД стационарной теории возмущений, Для консервативных систем задача сводится к реше- нию стационарного уравнения Шредингера, которое для 173
системы с гамильтонианом (9.1) имеет вид (1% + 17)|Ф> = Ем). (9.2) Будем для определенности считать, что уравнение (9.2) имеет дискретный спектр. Пусть известно решение “невоз— мущенного” уравнения Шредингера, которое также долж— но иметь дискретный спектр: Ёоіф$°>> = Е$°>№>>. (9.3) Поскольку система собственных состояний гамильтониа- на Ёо составляет базис, решение “полного” стационарного уравнения (9.2) можно записать “в представлении невозму- щенного гамильтониана”: =2щ№№ но Подставим разложение (9.4) в ИСХОДное уравнение (9.2) и учтем уравнение (9.3): 2С „(Е‚,<,°>+У)| |ф,<,°>> =2Есп|ф(0)). (9.5) п Умножим векторное уравнение (9.5) скалярно на произ- .‚ 0 вольное состояние невозмущеннои системы (7,0;с >| и полу- чим однородную систему алгебраических уравнений: Е(Е;°>д,„+ф +<ф‘°>|У|ф<°>>)с„=Ес‚… (9.6) которую удобно переписать в виде Е(Упк—(Е— Е‘°>)5„‚,)с. :о. (9.7) А: 174
_ч .}8 а 6 Рис. 9.1. Поправки к уровням энергии: а — для невырожденного спектра и б — для вырожденного спектра Как видим, система уравнений (9.7) фактически представ- ляет запись стационарного уравнения Шредингера в “про- извольном” матричном представлении (4.49). Естественно, она не может быть решена точно так же, как и исх0дное уравнение (9.2), но позволяет развивать приближенный ме— тод для случая, когда возмущение 7 “мало“. Рассмотрим случай невырожденного энергетического спектра невозмущенной системы. Легко видеть, что в этом случае невырожденный спектр исх0дной задачи будет от- личаться от спектра невозмущенной задачи поправками (сдвигами) к известным уровням энергии. При этом и со- стояния исх0дной системы будут отличаться на некоторую поправку, причем “нумерация” как уровней энергии, так и состояний сохранится (см. рис. 9.1а): Еп =.Е‚&°> + бв… № = №595 + М>. (9.8) 1Мы здесь поставили кавычки не случайно, поскольку понятие ма- лости возмущения еще следует определить. 175
Квантовая система описывается вектором состояния (волновой функцией), поэтому критерием малости возму- щения должно служить условие малости изменения состо- яния при малом возмущении: ними?—= <дфп|дфп> << 1, или ] |бф„(г)|2с13г << 1. (9.9) Для того чтобы удобнее было проследить за зависимостью искомых поправок от малого возмущения, введем фор- мальный параметр А в исх0дный гамильтониан: Ё : 1% + А?, (9.10) где 0 _<_ А $ 1. Так что при А = О получается невозмущен— ная задача, а при А = 1 — исходная. Поскольку параметр А стоит только перед возмущением, порядок приближения будет определяться порядком параметра А, входящего в ис— комую поправку. Естественно, после выкладок следует по— ложить А = 1. Стандартный подход стационарной теории возмуЩе- ний состоит в разложении поправок в ряд по степеням ма- лого параметра: № = №№ + №53>> + АМЗВ + . . . ‚ (9.11) Е„ : 135,0) + АБ,?) + ЖЕ,?) + . .. (9.12) Поскольку искомое состояние ищется в виде разложения по состояниям невозмущенного уравнения Шредингера (9.4), в рЯД по степеням А должны быть разложены коэффици- енты с;… и состояние (9.11) следует записать как №,) : Е(СЁО) + АС;,“ + №53) + . . . ) №;ЁО)>- (9.13) !: П0дставим теперь разложения (9.12) и (9.13) в стационар- ное уравнение Шредингера в форме (9.7) с гамильтонианом 176
в виде (9.10) и получим Е(М/тк — (13,20) + АБ,?) + ЖЕ,}? + _ . . — ЕЁ…)бтд) ›‹ ‚с >< (с?) + №21) + ЖС?) + . . .) = 0. (9.14) Параметр А может принимать произвольные значения, в уравнении (9.14) следует приравнять нулю все коэффици— енты при Одинаковых степенях параметра. Получается бес- конечная система связанных уравнений. Выпишем только первые три: А0: (Е$°)—Е‚ЁО))б…дсЕсО) =0, (9.15) / : 2[(Ут‚с—Е‚(Ъ1)б…‚с)с$)— — № — Е;°>)д…‚„с;}>] = 0, (9.16) А2 : 2 [У…‚ССБЗ _ ваша…‚ссіш— -— (Ві?) — Её…)дтьсі? — ЕЬЦдтьсБР] = 0. (9.17) Последующие уравнения системы легко выписываются, ис— х0дя из уравнения (9.17). Из (9.15) следует, что при 19 7% п все коэффициенты должны быть равными нулю: с?) = О. Отличен от нуля только Один, причем с?) = 1 согласно нашему начальному представлению (9.8). Положим в уравнении (9.16) т : п, тогда оно прини- мает простой вид: Е(Упіс _ Ет(ъ1)бп1с)с;(90) : 07 19 откуда сразу следует выражение для поправки первого по— рядка. К уровням ЭНергии: Ет(ь1) : Уты (9-18) 177
т.е. поправка первого порядка есть диагональный матрич- ный элемент возмущения. Этот результат легко понять, поскольку среднее значение оператора есть наблюдаемая физическая величина. Положим теперь т ;& п, тогда уравнение (9.16) позво— ляет найти поправки первого порЯДка к невозмущенному состоянию: (1) : _УЩ (9.19) … ВБР) — Её?) С точностью до членов первого порядка малости можем записать: на >=|ф<°>> +25: (”Уты—___Т>№)> (9.20) т;:ЕпЕ откуда получаем выражение критерия применимости для невырожденного спектра: |с$‚1,)| << 1, или |Утп| << ‘ЕЬЩ — ЕЬЭЧ. (9.21) Иными словами, матричный элемент возмущения по моду- лю должен быть много меньше расстояний между соответ— ствующими уровнями энергии невозмущенного гамильто- ниана. Из соотношения (9.19) следует, что коэффициент 053) остается неопределенным. Однако это не имеет принципи- ального значения. Действительно, логично искать поправ- ку, которая была бы ортогональна невозмущенному состо- янию, т.е. наложить условие <бщ|№> = 0. (9.22) Условие (9.22) во всех порядках дает СЯС) : 0. Если же усЛовие ортогональности поправки к невозмущенному со- стоянию (9.22) не накладывается, тогда поправка первого 178
(1) порядка сп должна находиться из условия нормировки. Действительно, записывая условие нормировки состояния с учетом поправок только первого порядка, получаем, что необХОДимо выполнение равенства с;,” = 0. Очень часто поправка первого порядка к уровням энер- гии оказывается равной нулю, поэтому необходимо найти поправку второго порядка. Для ее определения положим в уравнении (9.17) т = п и с учетом выражений для попра- вок первого порядка получаем №!2 ЕТ?) : 2 @. (9.23) тгёп Из формулы (9.23) видно, что поправка второго порядка к основному уровню энергии всегда отрицательно. В заключение этого параграфа отметим, что процеду- ра разложения состояния в рЯД по степеням малого па- раметра в уравнении носит асимптотический характер, и бесконечные ряды (9.11) и (9.12),'вообще говоря, расходят- ся. Поэтому в стандартной формулировке теории возмуще— ний обычно нах0дится первая неисчезающая поправка как к уровням энергии, так и к состояниям. Отметим также, что поправка первого порядка к состоянию и второго по— рядка к уровню энергии будет отлична от нуля, если отлич— ны от нуля недиагональные матричные элементы операто— ра возмущения, для чего необходимо выполнение условия некоммутативности его с невозмущенным гамильтонианом: то, 17] ;& о. П0дчеркнем, что если не накладывать условие (9.22), со— стояние (9.11) оказывается не нормированным на 1. Это следует учитывать при вычислении различных средних значений. 179
Упражнения 1. Убедиться, что из условия нормировки состояния в пер— вом порядке теории возмущений получается с‚(,1) : О. 2. Определить поправку второго порядка к состоянию №9). Для ее нахождения следует положить в уравнении (9.17) т ;& п. 9.2. Теория возмущений для вырожденного спектра энергии В случае, когда уровни энергии невозмущенного гамиль- тониана !% вырождены, формулы, полученные для невы- рОЖДенного спектра (9.18),(9.19) и (9.23), неприменимы, поскольку не выполняется критерий применимости теории возмущений (9.21). Так как энергетический спектр вырож— ден, состояние обязательно будет характеризоваться неко— торым квантовым числом „ (или несколькими квантовыми числами), от которого невозмущенные уровни энергии ЕЁ?) не зависят: ^ О _ 0 0 НО'ф'Еъ,/)1‚>—Ет(ъ)|ф >>. (924) п,;ь ., 0 Выбор состоянии |ф‚(,‚2,‚) (и соответственно базиса) не0дно- значен, поскольку любая линейная комбинация №№ = 2 СЁ|ф$?Ь> (9.25) и тоже удовлетворяет уравнению Шредингера (9.24). В этом состоит основная сложность задачи. Какие же волновые функции следует выбрать? Ответ прост: волновые функ— ции должны удовлетворять основному критерию приме— нимости теории возмущений, т.е. должны мало менять- ся при наложении малого возмущения У. Ясно, что это- му условию удовлетворяет не любая линейная комбинация 180
(9.25). Поэтому при решении задачи надо прежде всего найти именно такие состояния. Эти состояния или соответ- ствующие им волновые функции называются правильными функциями нулевОго приближения. Суть правильных функций состоит в том, чтобы для них была применима теория возмущений для невырожден— ного спектра и, в частности, в первом приближении по- правки к уровням энергии определялись бы диагональны- ми матричными элементами оператора возмущения. Ины- ми словами, для состояний, относящихся к п-му невозму— щенному уровню энергии, полный гамильтониан (9.1) дол— жен быть диагональным: (1% + 17)|Ф„‚а> : Е„‚а|Ф„‚а>. (9.26) Таким образом, уравнение (9.26) позволяет найти не только правильные функции нулевого приближения, но и поправ- ки первого порядка (диагональные матричные элементы оператора возмущения) к невозмущенным уровням энер- гии. При наличии возмущения ? спектр не обязательно станет полностью невырожденным, поэтому число новых уровней энергии Епд может быть не равно кратности вы- рождения уровня ЕЖ) 2. Чтобы не путаться в обилии ин- дексов, опустим индекс п у волновой функции и соответ— ственно у поправок первого порядка, а также оба индекса у уровня энергии: (ЁО + ?)іфсд : Е|Фог>э (927) где |Фа) Е |Фпд) — правильные функции нулевого при- ближения, относящиеся к вырожденному уровню энергии 2Снятие вырождения в первом порядке теории возмущений опре- деляется симметрией -оператора У. 181 °
., 0 ., невозмущеннои задачи Ета ) . Подставляя линеиные комби— нации (9.25), получаем (Ёе + 17) 2 сам“?» =Е 2 0„|ф<°2„> (9.28) и С учетом уравнения (9.24) имеем Еси [№№ — (Е — Е$°>>|ф$°3>] = 0. (9.29) ‚и Обозначим Е— ЕЮ): —поправки к ЕЁ?) (расщепление 0 уровня энергии). Умножим слева на (фп д‚|, тогда 2 ((ф… ф„ „, диод…) _ ед„‚‚„) С„ : о. (9.30) и Система линейных алгебраических уравнений (9.30) имеет нетривиальное решение, если (1613 (Уд/„! — Ебдд!) : 0. (9.31) Это уравнение относительно неизвестной & имеет порядок, равный кратности вырождения уровня энергии, и называ- ется секулярным или характеристическим уравнением. Та- ким образом, собственные значения матрицы — —‹ф…$,°2„ 1У|ф<°„=> ] фі,°2,т‹г›?ф‚<,°2„(г›аг дают поправки первого порядка (расщепление) к вырожден- ным уровням энергии (см. рис. 9.16), а собственные векто— ры дают коэффициенты в разложении (9.25) и определяют правильные функции нулевого приближения. . 182
Пример Определить расщепление первого возбужденного уровня энергии трехмерного изотропного гармонического осцил— лятора и найти правильные состояния нулевого приближе- ния при воздействии на него возмущения вида 17 : (югу. Состояния трехмерного изотропного гармонического осциллятора определяются тремя квантовыми числами, принимающими целые неотрицательные значения |п1, 712, пз). Первый возбужденный уровень энергии трехкратно вы- рожден. Обозначим состояния как |1>=|1‚0‚0>‚ |2>=|0‚1‚0>‚ |3>=|0‚0‚1>. (9.32) Возмущение выразим через повышающие и понижающие операторы, как это делалось в главе 5: А 1 й _ + + _ У — 5О$0(а‚ш + 0$)(0у + аа?/)) Где Шо — ТП,—(до.. (9.33) Здесь шо — частота осциллятора и соответственно 330 — “ос— цилляторная” единица длины. Легко видеть, что все диагональные матричные элемен- ты оператора возмущения равны нулю, а отличны от нуля только два недиагональных: 1 2 711 = 722 = 733 = 713 = 723 = О, 1/12 = 721 = 501580- Таким образом, получаем, что состояние |З) : |О, О, 1) пра- вильное и имеет энергию, совпадающую с энергией пер— вого возбужденного уровня невозмущенного осциллятора. Два других правильных состояния определяются линейны- ми комбинациями |:Ь А> = —1—2 (11,0‚0> &: 10,1‚0>)› 183
и имеют поправки к невозмущенному уровню энергии со- ответственно :ЬА, где А : от?) / 2. ЕСЛИ ВЬ1р0ЖДеНИ8 НС СНЯЛОСЬ ПОЛНОСТЬЮ В ПЕРВОМ ПО- рядке теории возмущений, то при этом виде (симметрии) возмущения 7 полное снятие вырождения, как правило, не возможно ни в каком порядке. Однако можно попробовать учесть и другие уровни энергии во втором порядке, как это делалось дляневырожденного спектра. При этом можно ожидать частичное снятие вырождения. Рассмотрим этот случай ПОДробНО. Поскольку в рассматриваемом случае все матричные элементы оператора возмущения для состояний, относя— щихся к вырожденному уровню энергии В„, равны нулю, справедлива формула (9.20), определяющая вид состояния в первом порядке теории возмущений: (О) (0) ‚<фп’ У|У|фппи> |ф„‚„>= |ф>9>>+ +}: Е(„_ Е…, >ф‚2°?> (9.34) п’,и Составим теперь из состояний (9.34), относящихся к одно- му и тому же уровню энергии, линейные комбинации >Ф„‚а> = 2 стол> (9.35) ‚и и подставим в уравнение Шредингера (9.26). Теперь мы мо— жем получить систему алгебраических уравнений, анало- гичную системе (9.30), из которой определяются поправки, второго порЯДка к уровню энергии и соответственно коэф- фициенты линейных комбинаций (9.35), дающих правиль- ные функции (состояния) первого приближения: ф…) … ‹ ЕЗЗж >ф>°2>> 2 {% ‚кпп/№ ),) ВПШ—Еф) _Ебдд’ Сд=0. ! и 71,11 (9.36) 184
Задача формально сводится к предыдущей, если ввести эф- фективный оператор возмущения: „Хм„ № ><ф;°?„| Е(О) _Е‹о› который справедлив только при действии на состояния, от— ——————У‚ (9.37) 0 носящиеся к уровню энергии Ета ). Упражнение Убедиться, что возмущение вида 17 : Базу; не снимает вырождения первого возбужденного уровня энергии трех— мерного изотропного гармонического осциллятора2. Опре— делить поправку второго порядка (в = —552Н/24т2 011.3) Пример Определить поправки ко второму возбужденному уровню энергии трехмерного изотропного гармонического осцил— лятора и правильные состояния при воздействии на него возмущения вида 17 : Багуа. Второй возбужденный уровень шестикратно вырожден. Обозначим состояния так же, как и в предыдущем при- мере (9.32): 3) : |0,О,2)‚ 1) : |2,0,0>, |З) : |0,2,0), | | |4> : |1›1›О>› Для состояний |4) — |6) отличны от нуля только диагональ- ные матричные элементы эффективного оператора (9.37). Таким образом, получаем трехкратно вырожденный уро— вень, смещенный на величину —А, где 5271. 4т2ш8 ’ 185
которому соответствуют три произвольные линейно неза— висимые комбинации состояний |4) — |6). При действии оператора возмущения состояния |1) — —|З) “смешиваются”, поскольку отличны от нуля как диа— гональные, так и недиагональные матричные элементы: 1 711 =“У22 : 733 : _5А‚ Уш : 723 = 713 = _А. Таким образом, получаем секулярное уравнение третьей степени, корни которого, Однако, легко нах0дятся и равны: 5 61,2 : А, 63 : _ёА. Правильный вектор состояния для поправки 63 равен 1 163> = _ х/Ё Для двукратно вырожденного уровня 81,2 правильными бу— дут линейные комбинации, ортогональные состоянию |83> и имеющие вид |1> =/Ё (%(|2‚0‚0> + |0‚2‚0>) — |0‚0‚2>>‚ |п> 3/2 (%(щцщ + |о‚о‚2>) _ |о‚2‚о>) . Как видим, шестикратно вырожденный уровень энергии расщепился на три: невырожденный, один двукратно и один трехкратно вырожденный уровни энергии. Учет бо— лее высоких порядков теории возмущений уже не сможет качественно изменить картину. (|2,0,0> + |о‚2‚0> + |о‚о‚2>). 186
Е2(0) (0) (0) Е |% > ‘ ‘Р (°) > Е2 |ф2) | 1 (0) Р! ) Е 1 |Ф1> (0) (0) №2 › Е 1 (0) Е: Рис. 9.2. Схема пересекающихся уровней энергии, зависящих от некоторого параметра В 9.3. Теория возмущений для близких уровней энергии Рассмотрим специально такой случай, когда два уровня энергии оказались близки, так что теория возмущений для невырожденного спектра неприменима, однако тем не ме- нее спектр гамильтониана Ёо невырожден: случай двух близких уровней. Такие системы часто называют двух— уровневыми, поскольку при решении задачи в первом при— ближении рассматриваются только эти два близких уров- ня. Этот простой пример имеет большие применения. По- добная задача часто встречается, например, при рассмот- рении атома во внешнем поле. Уровни энергии атома зави- сят от поля, и может оказаться, что при некотором значе- нии внешнего поля какие—либо два уровня энергии близки или даже пересекаются (см. рис. 9.2). Тогда без учета малых взаимодействий ^ 0 О 0 Ном; » = Её % >>, А (9.39) ноіфі°>> = Еі°>|фі°)>- 187
Однако даже очень малые взаИМОДействия могут теперь привести к качественному изменению спектра: они не ма— лы по сравнению с расстоянием между уровнями. В этом случае вновь надо искать решение в виде линейных комби- наций, как для вырожденного спектра: |Ф> = с1|фі°’> + с2|ф$°)> -‹9.4о› И СООТВСТСТВЗННО Ё|Ф> = (Ёе + 17)<с1|фі°>> + смт» = = Е(с1|ф&°>> + №50)». (941) Умножая уравнение (9.41) на <%… и №9], получаем си- стему двух уравнений для нахождения уровней энергии и коэффициентов в линейной комбинации (9.40): 711 + Еіо) -— Е 712 ( 01 = 0. 9.42 Уш У22 + 1350) — Е @ > ( ) Формально задача очень проста, но мы сейчас постараемся на ее примере проиллюстрировать некоторые общие свой— ства двухуровневых квантовых систем. Пусть Уш : |У12|еід‚ тогда матрица Н в системе урав— нений (9.42) диагонализуется с помощью унитарного пре— образования: соз 9 еід/2 зіп 9 еід/2 Т _ 2 2 ( — зіг1%еід/2 соэ % е_ід/2 ’ (943) . 2У 1,3 _ 12 Е ае — _. 8 1122 _ Н11 где Преобразованная гамильтонова матрица Н : Т+Н Т диа— гональна. Диагональные элементы есть искомые уровни 188
энергии: 812 =Е0 :|: АЕ : 1 . : Е(Нп + Н22) :Р ((Нп _ Н22)С°5°‘ +|У12|8Ш0д : 1 : 5{Н11 + Н22 :Р /(Н11 — Н22)2 + 4|У12|2}. (9.44) Соответственно |Ф1> > : Т+ МО)) (|% (№ › _ СОЗ %Ю_іВ/2|ф(0)>— зіп— 2еід/2|ф(0)> _ ( зіп— Ёе—іВ/2|ф(0)> _|_ 005% еіВ/2|ф(0)> (945) Как видно, если Уш # О, уровни энергии нигде не пересека— ются и минимальное расстояние между ними равно 2|У12|. Вдали от точки “пересечения” слева правильные функции совпадают с исх0дными‚ Однако справа функции “меняют— ся” местами. Формально матрица преобразования совпада- ет с матрицей поворота для спиновой функции частицы со спином 1 / 2. Эта аналогия имеет весьма большие приме- нения в спектроскопии и квантовой радиофизике, посколь— ку позволяет вводить понятие эффективного (фиктивного) момента, величина которого определяется числом близких уровней. Действительно, в нашей двухуровневой задаче га— мильтониан можно представить в виде Ё : ЕО + (№0), (9.46) где ЕО : (У… + Уш + Е(О) + Е(О))‚ (9.47) 1 2 1 . №,; : 50/11 _ 722 + ЕЁ” _ ЕЁ”), №5 : —2-|У12|еі1д. (9.48) Здесь М Е — вектор в энергетическом пространстве, а а — матрицы Паули. 189
Вопросы для самоконтроля 10. 11. В каком виде представляется гамильтониан в теории возмуще- °? нии. Какие величины определяются в стационарной теории возму- щений? Каков общий критерий применимости теории возмущений? В каком виде следует искать волновые функции и уровни энер- гии в теории возмущений? Как определяется поправка первого порядка к невырожденно— му уровню энергии? Как определяется поправка первого порядка к состоянию невы- рожденного уровня энергии? Записать выражение критерия применимости теории возмуще— ний для невырожденного спектра энергии. Как определяется поправка второго порядка к невырожденно- му уровню энергии? Что такое правильные функции нулевого приближения? Как ставится задача теории возмущений для вырожденного спектра энергии? Записать секулярное уравнение для нахождения поправок пер— вого порядка к вырожденному уровню энергии. 190
Глава 10 Функция Грина И ее применения в теории возмущений 10.1. Функция Грина стационарного уравне- ния Шредингера Мет0д функции Грина играет важную роль в теоретиче- ской физике и совершенно незаменим в современной тео— рии возмущений, особенно когда рассматриваются систе— мы многих частиц. Поэтому представляется необходимым рассмотреть формулировку теории возмущений на языке функции Грина. Функция Грина стационарного уравнения Шрединге— ра в координатном представлении должна удовлетворять уравнению (Ён—) _ Е)ОЕ(г, г’) : № _ г’). (10.1) Действительно, если бы понадобилось решить не0днород- ное уравнение Шредингера (с источником): (й — вмиг) = №), это можно было бы легко сделать, зная функцию Грина: ф(г)=/}(г’)ОЕ(г,г’)с11°/. (10.2) 191
Естественно, стационарное уравнение Шредингера одно— родно, поэтому может показаться, что задача не имеет от— ношения к квантовой механике. Однако в теории возмуще- ний уравнение Шредингера может быть формально “сдела— но” неоднородным. Действительно, перенося возмущение в правую часть, получаем (Ёе — Ежик) = —т^/‹г)ф‹г›. (10.3) Теперь с помощью функции Грина дифференциальное уравнение Шредингера становится интегральным: ф(г) : _ ] Иг’)ф(г’)с$>(г‚г’)агс (10.4) Здесь @@@, г’) — функция Грина невозмущенного уравне- ния Шредингера. Прежде чем приступить к изучению необходимых для нас свойств СЕ(1', г’), заметим, что (г|г’) : б(г — г’) _=_ <г|і|г’)‚ (10.5) поэтому можно сказать, что в уравнении (10.1) слева стоит ядро единичного оператора 1: №? — Е)двіг’> = до— — г'>‚ И СООТВЕТСТВСННО (Ё — Е)с^:Е : 1. (10.6) Уравнение (10.6) есть обобщение уравнения (10.1), и поэто— му можно понимать функцию Грина как1 дв : (Ё _ Е)—1. (10.7) 1 Оператор 63 с точностью до знака совпадает с резольвентой опе— ^ А —1 ратора Гамильтона С(2) : (2 — Н ) при действительных значениях переменной 2. 192 .
Теперь запишем (определим) вид дв в энергетическом представлении. Поскольку спектр гамильтониана в общем случае может быть любым, будем считать для определен- ности (и простоты), что спектр Ё дискретен: Ё|п) : Е„|п), (10.8) тогда 1 /^ __ 1 ^_ —1 : , _. <п|авіп>—‹п|‹н Е) |п> „‚„ЕГЕ (10.9) Как видим, матрица (п’|дЕ|п) : 0567,1,” имеет полюса при Е : Еп. Таким образом, полюса функции Грина определя— ют спектр гамильтониана. Итак, по определению @ : (Ё — Е)_1; Теперь поставим задачу теории возмущений. Пусть Ё : Ёо+7, и посколь— ку для Ёо все известно, то нам известна и функция Грина невозмущенного уравнения Шредингера: @@) : (Йо —Е)_1. Как найти @? Очень просто, для этого сделаем разложе— ние: (^: : (во — Е + $734 : д<°>(1 — 1767). (10.10) Упражнения 1. Показать, что оператор СЕ может быть представлен в виде ^ _ 2 №№! СЕ _ ‘П, Еп _ Е, где |п) —— состояния из (10.8). 2. Получить разложение оператора Ё: , ^ і+>9 по степеням параметра А. 193
3. Используя результат предыдущего упражнения, полу- чить формулу (10.10). Если уравнение (10.10) записать в энергетическом пред— ставлении, получается интегральное уравнение: <п|д|т>= Е—ЕГ ”О'У'К) 15<Ыд|т>' (10.11) №15“)— Конечно, зто уравнение очень сложное И точно не решает— ся так же, как и уравнение Шредингера, поэтому нахожде— ние спектра остается проблемой. Однако в рамках теории возмущений можно продвинуться вперед. Найдем сначала вектор состояния (волновую функцию). Для этого перепи- шем уравнение Н_Тредингера, перенося возмущение в пра- вую часть: (Ёе -— ЕЛф) = —7|ф>. (10.12) Считая правую часть как неоднородность, получаем № = |ф<°>> — д<°>17|№>> + д<°>т7ё<0>х^и№> _ : = (1 _ до? + оттает? _ ...)„„юц : = №”) — {РФЦА/|Ф)— (10.13) Из уравнения (10.13) легко записать поправку к вектору состояния для невырожденного спектра в любом прибли— жении: №№ =<—1)”ё<°>т^/д<°>т^/. . . д<°>й|ф<°>> = : (_д<°>^/)п №9”). (10.14) Например, получим хорошо знакомую формулу поправ- ки первого порядка к п—му состоянию невырожденного 194
спектра: (ті‘А/іт О _ ЕЁ) — ЕЁ” №№ _ а№>> = — д<°№в№>№2°>> = — 2 т;:ёп ! У _ т (0) _; Ехо) _ Еж) |фт > Аналогичные формулы можно написать И для попра- вок к уровням энергии. Действительно, формулу (10.13) запишем в виде № = |ф<°>> + |№; Е = Е<°> + АЕ, (10.15) тогда уравнение Шредингера принимает вид (130+ ?)‹|ф<°>>+ |бф>>= (Е<°>+АЕ) №» + |№). (10.16) Учитывая, что Ёо|ф(0)) : Е(О)|ф(0)), получаем Ёо|5ф> + 9<|ф<°>> + №) =Е‘°>|бф>+ +АЕ(|ф(0)) + |дф>). (10.17) Воспользуемся тем, что поправка ортогональна невозму— щенному состоянию {ф(0)|бф) : О и умножим уравнение (10.17) слева на (ф(0)|. Получаем <ф<°>п7|ф<°>> + <ф<°>|йбф> = № (10.18) или Е = ЕЮ) + <ф<°>|йф<°>> + <ф<°>|йбф>. (10.19) Считая теперь невозмущенную функцию какой-либо опре— деленной функцией, соответствующей п-му уровню энер- гии №№) : {п}, и подставляя вместо |бф) формулу (10.13), 195
получаем Еп =Е‚,<‚‚°> + и„п + <п|у(— от )Г/|п>+ ний—д (ОЖ/( д<2>)и„>+ (10.20) ДейсТвительНо‚ Е…: —и…‚‚ 1252 = — <ф_‚‹;2>п^/д‹2>т^пф‚я2>> : = — Е<П|Т7|т><т|д(°)|/<><КП7!П> = …% . _ , №№? _ :;У ”тЕ(0)_ тЕ(0)У’“ Х ЕЖ) _ ЕЁ). 1052. ФуНКЦйя ГрИНа стацИонарного уравнении Шредингера В КоорДИН’аТНОМ представлении Вернемся к нахождеНию функции Грина СЕ(1'‚ г’) в коор- дИнаТноМ представлении. ВНОВЬ воспользуемся стаНДарт— ной Процедурой теории Представлений. По определению функцйя ГрИна есть Ядро оператора ЁЁ, т.е. СЕ(г‚г’) .=. (г|дЕ|г’). (10.21) “Расщепим”‚ как МЫ это депапи в главе 4, Матричный элеМеНт двумя едИНИЧН'ЫМИ проекционными операторами, осуществляющими переход к энергетическому представле— нию: <г|двиг'> = <г|іпдвіин> = <г| 2 |п><п|дЕ2 |п’><п’|г’> = _2___ Ш”) ><_”‘Е> ХШ“ (/№”; г) . (10.22) 1.96
Здесь мы воспользовались тем, что матрица оператора дв диагональна в энергетическом представлении. Если гамильтониан содержит как дискретный, так и непрерывный спектр, нужно добавить интеграл СЕ /)=ЕЗЬ___пЕг—_ (г’уфпЕЁ (Г) + (11) № (1023) где ’у —› +0, смысл двух знаков перед 7 будет понятен немного ниже, а и — совокупность параметров, характери— зующих непрерывный спектр. Упражнение Показать, что в случае непрерывного спектра оператор СЕ можно представить в виде ^ _ |”)… ОБТ/Еи—Еііуаи’ Щи) : Е„|и). Функцию Грина можно вычислить точно только в нескольких частных случаях, когда точно решается урав- нение Шредингера. Для нас в дальнейшем наибольший ин- терес будет представлять св060дная частица, тогда и Е р и 1 (27т7`ъ)3/2 е Обычно удобнее работать с волновым вектором р —+ 1‹‚ тогда ій_1рг фр“) : 1 . фк(1')= (2% ———)-——3/2 —————е1}‹г_ Поскольку дискретного спектра нет, формула (10.23) при- 197
нимает вид ак . ‚ 1 ; : 11‹(г—г) : СЕ>0(1`›Г) ](27Т)3е 75,2]ьс2/2т—Еіі7 2т 1 - 1 =_ Идти) ”<В—___. 1 .24 …щз/ @ жег—кат (° ) Здесь %% : 2тЕ/Н2, В : г — г’. Сначала проинтегрируем выражение (10.24) по углам в сферической системе координат. Поскольку зависимости от угла 90 нет, ] (190 = 27г и ТГ . _ . 27т . . даежн : 27Г 8111 дддейсЕсозд : ___ (е1ісН _ е—и'сН) _ 1163 0 Объединяя два интеграла в ОДИН и делая замену во втором интеграле [С —› —іс, получаем 2 1 +00 СН т е1 —'00 Как ВИДНО, подынтегральное выражение имеет ПОЛЮСЬ1 В ТОЧКЕЪХ @ : :!:(ісо ; 1%). (10.26) Выберем нижний знак перед Ру, тогда полюс подынте— грального выражения находится в точках 19 : :!:(ісо +і’7 / 2). Видно, что интеграл легко вычисляется, если свести его к контурному в комплексной плоскости переменной 19. Дей— ствительно, в верхней полуплоскости интеграл по беско— нечно удаленной полуокружности обращается в ноль, по— этому можно замкнуть контур С+ в верхней полуплоскости (см. рис. 10.1а), после чего он равен вычету в единственном 198
@ е_ к 160 ісо ' ' -/‹0 о а !) Рис. 10.1. Контуры интегрирования и полюсы подынтегрального выражения функции Грина в комплексной плоскости /с ПОЛЮСЭ: (+) / 2… 1 - ‚90 ііс В _ _ = . _ . 2 __ о _ СЕ>0<|Г Г ') (27гіі)2 іЕ “№06 т еііг—г’Ь/2тЕ/й2 : 10.27 27тГъ2 |г — г’| ( ) Выберем теперь верхний знак перед су, тогда полюсы будут находиться в точках 1$ : :|:(ісо — і*у / 2). В этом случае контур 0_ следует замкнуть также в верхней полуплос- кости (см. рис. 10.119), и вычет в точке 1$ : —(/со — і7/2) прив0дит к результату … е—і|г—г’|/2тЕ/Б‚2 (Ч _ ОЕ>О<|Г—Г/|) _ 27гі'ъ2 |г—г’| (10.28) Таким образом, в зависимости от знака параметра ”у но- лучаем две разные функции, которые отвечают разным асимптотикам: СН) — расх0дящаяся волна, а (?(—) — схо— дящаяся волна, соответственно (?(—)* = 6“). Можно вообще рассматривать ОЕ как функцию ком- плексного переменного Е, но тогда СЕ не будет Однознач- ной функцией, поскольку в показателе ехр стойт @. Для 199
того чтобы функция стала Однозначной‚ следует в ком— плексной плоскости сделать разрез Е > 0. Тогда на дей- ствительной оси Е < 0 получаем т е—иН О В : ————‚ 10.29 где и : х/2т|Е|/Гъ2. Это так называемый физический лист: на нем при Е < 0 функция убывает. При обХОДе точ— ки ветвления на угол 37г получаем ЖВЕ < 0, но растущую ехр. 10.3. Борновское приближение в теории рассеяния Имея функцию С“), мы теперь можем решить задачу об изменении волновой функции свободной частицы в резуль- тате взаимодействия с неким потенциалом. Запишем ре— шение стационарного уравнения Шредингера в виде инте— грального уравнения: еіЫг— г’| 27гіі2 |г — г’| Щг) : Аеп‘Г — У(г’)11(г’)сіг’. (10.30) Постановка задачи в виде уравнения (10.30) имеет непо— средственный смысл при решении задачи о рассеянии. Рас- смотрим упругое рассеяние частицы на каком-либо задан- ном потенциале. В этом случае Е, а значит, и волновой вектор частицы 1$ не изменяются. Изменяется только на— правление волнового вектора 1С 1‹ °—› 1‹’‚ |1<’| : |К| : Потенциал УЦ) # 0 при т $ @ и равен 0 при 7 ——› оо. Ко- гда изучается рассеяние частиц, их наблюдают далеко от рассеивающего потенциала при 7“ —› 00. Тогда п0д инте— гралом в уравнении (10.30) можно всегда считать 7' >> 7“ . 200
% ‹р , іс , 9 Т г ‹1 у/ , е к [‹ а 6 Рис. 10.2. Схематическое изображение упругого рассеяния ча- стиц: @ — направление волнового вектора рассеянной частицы К’ рассеянной частицы относительно волнового вектора падающих частиц и б — определение переданного импульса Ч- Вспомним разложение в ряд Тейлора функции векторного аргумента: ` №“ — Г’) : ЛГ) _ (Г’ЩЛГ) + — -- И получим |Г—Г‚|%Т—(г/7)Т=Т—Г/пэ 11:37 Т 1 1 , д 1 1 спаяна 1 г’п „__ __=_ __=_ __ 10.31 |г—г’| 7“ %дшат 7“ 7“ 7”+ 7`2 ( ) Тогда бы ) … — —т 3 1 + г]“ ”і’°<'“)У( ’)Ф(г’)‹11°’ _ Г М 27ГЁ2 7“. 7“ е Г _ . еііст =]“(д‚‹›0) ‚Г (10-32) Или, пренебрегая малым слагаемым в скобках п0дынте— грального выражения (10.32), можем записать при 7“ —› оо: е11с'г Щг) % АеіЮ' + №, в) (10.33) 201
УраВнение (10.33) определяет суперпозицию двух состоя- ний ФЮ) + бФ, причем ФШ) — это волна (состояние) в от- сутствие У, т.е. “волна на —оо”‚ а бР — это уже результат взаимодействия частицы с потенциалом У, т.е. “на +00”: она описывает процесс рассеяНия. Рассеяние определяется дифференциальным сечением рассеяния. Вероятность пройти рассеянНой частице в единицу в'ре- мени через площадку (15, ориентированную в соответству— ющий элемент телесного угла (Ю, есть сіш : |бФ|2 т.сіЁ : |бФ|2 —о—Т2СЮ : о|і(0‚‹р)|2с19. (10.34) Число частиц, попавших на едйничную площадь рассеива- ющего ценТра в единицу времени, есть плотность потока 3': ] : —(іГ7‚/2т)(‘11*71' — Ф7Ф*). Если положить А = 1, то 3 = у и в единицу времени попадает одна частица. Тогда (1—ти ] = (10 : |№, зрите. (10.35) Таким образом, функция | ДЭ, ‹,0)| имеет смысл амплитуды рассеяния. Для произвольного потенциала У(г) амплитуда зависит от 6’ И ‹,0, но если УО) — центральное поле, амплитуда от ср не завИсит. Будем считать У малым и воспользуемся теорией воз- мущений. Критерием ее применимости по-прежнему оста- ется условие |бф| << 1. Для получения необходимых нера— венств запишем поправку первоГо порядка: |дф(1)> : _@(0)у|р(0)>7 которая в нашем случае (А = 1) приводит к неравеНству т Заев` _ ‚ № /——У(г’)е11<1` сіг’ << 1. (10.36) В 202
Поскольку потенциал отличен от нуля в области т … @, НеобХОДИМО рассмотреть два предельных случая. 1) Медленные частицы, когда длина волны де Бройля / >> @, т.е. [са, << 1, и экспоненты под интегралом . , . е11‹г _› 1 И ечісН % 1, поскольку в области, где потенциал заметно отличен от ну- ля, В … (1. Таким образом, получаем т 27г7'12 У 1 т ] ;, )аг’і … Ёша? << 1, (10.37) где УО — порядок величины УО“), или УО : шах |У|. Иными СЛОВЕЪМИ! 2 Е УО << ТП,—0,2 (10.373) Это условие обратно условию существования связанного состояния в потенциальной яме: У 2 712/та2. 2) Быстрые частицы, т.е. Ка, >> 1. Тогда стоящая ПОД интегралом экспонента ехр(і1‹г’ ) быстро осциллирует, и при интегрировании следует учитывать только такие т’ , при ко- торых 1‹г’ $ 1. Так как Ка, >> 1, неравенство может выпол- няться для больших углов: Кг’ … Ада сов 19, т.е. соз19 << 1: ] У(7°’)7°’(17°’ ] ад“/(№0519 ] ‹іср' : … і т’ імг’ 2% ]У(7)<еі'С —е’” )(і'г’ … /У(т’) (6 шт“ — 1) от’ ‚%?—12%: Так как іш >> 1, то ] ехр(2і/ст’)с1т’ ——› О и получаем т 27гіі2 т|У0|а тс 5—71—1) 1 —— _ . . 11% << , или |Уо| << т а а (10 38) 203
Это соотношение можно записать в виде п2 %! << _тад/ш. (10.38а) Видно, что поскольку дса >> 1, это условие оказывается бо— лее слабым на величину взаИМОДействия |У0|, чем условие (10.37) для медленных частиц. Рассмотрим теперь рассеяние частицы в центральном поле УО), тогда еііст Ф(г)— — еж + №)е (10.39) Поскольку ф(0)(г) : ехр(і1‹г), в первом порядке теории возмущений имеем № : _2 5—2 т(// Ут)е1<1<г—’°<М>)т.2атсіо (10.40) Обозначим/сн: 1‹’ — импульс рассеянной частицы, тогда 18 — 1‹ : Ч — переданный импульс. Так как дляупругого рассеяния іс’ : 1$, то а = 2/9 зіп(‹9/ 2) и мы получаем т [(В) : —27гіі2 Видно, что [(д) есть фурье-образ У(7°), а зависимость от @ определяется через переданный импульс (109), тогда (10 : (2:2; |щ‹;(в))|2ао‚ (10.42) где (152 : зіп Эддёф. Для центрального поля интеграл можно упростить: У(т)еічгт2с17°с19. (10.41) оо 27г 7г 0/0/0/ У(т)е_іЧ-’°°°5'97°2сітзіп ч9‹119‹і‹р : =47т /() У(т )Зіптта . (10.43) 0 204
()ткуда получаем выражение для амплитуды рассеяния: т зіпа'г @ : —— 0 №17. (10.44) Для того чтобы интеграл сх0дился при 8 = 0, Необходимо, чтобы /'(7°)|,__‚оо убывал быстрее, чем ”‘—3. Из формулы (10.40) видно, что для медленных ча— ‹ттиц (іса << 1) под интегралом ехр(—ічг) % 1 и тогда ]”(9) % сопзіз — изотропное рассеяние. Для быстрых частиц (Ага >> 1), наоборот, нужно учитывать только на $ 1, т.е. ішзіп(‹9/2) $ 1 или зіп(8/2) $ 1/1са << 1. Таким образом, рассеяние резко анизотропно и происх0дит вперед в малом угле @ $ 1/1ш. Вопросы для самоконтроля 1. Как определяется Функция Грина стационарного уравнения Шредингера? 2. Какова связь Функции Грина стационарного уравнения Шре— дингера с резольвентой? ` 3. Какой вид имеет функция Грина в энергетическом представ- лении? 4. Что определяют полюса функции Грина? 5. Записать ряд теории возмущений для вектора состояния с по— мощью функции Грина. 6. Записать поправку первого порядка к волновой функции дис— кретного невырожденного спектра через функцию Грина. 7. Записать ряд теории возмущений для невырожденного уровня с помощью функции Грина. 8. С помощью функции Грина записать поправку второго поряд- ка к невырожденному уровню энергии. 9. Записать определение функции Грина в координатном пред- ставлении с учетом непрерывного спектра. 10. Какой вид имеет функция Грина св060дной частицы? 205
11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. Записать основное интегральное уравнение с помощью функ- ции Грина свободной частицы. Какой вид имеет асимптотическое поведение волновой функ- ции в теории рассеяния? Как определяется амплитуда рассеяния? Выразить дифференциальное сечение рассеяния через ампли- туду. Записать выражение для амплитуды упругого рассеяния в пер- вом борновском приближении. Определить критерии применимости борновского приближе- ния для медленных и быстрых частиц. Записать в борновском приближении амплитуду упругого рас- сеяния в центральном поле. Какой вид имеет угловая зависимость дифференциального се- чения рассеяния медленных частиц? Как зависит от угла дифференциальное сечение рассеяния быстрых частиц? 206
Глава 11 Нестационарная теория возмущений 11.1. Представление Гайзенберга Прежде чем перейти к изложению нестационарной теории возмущений, рассмотрим формальное решение временного уравнения Шредингера: . 8 ^ тан!) _ нш (11.1) с начальным условием |Ф(Ё)>|г=го : №0). Проинтегрируем уравнение (11.1) по времени1: №» = на — % ] тий/>>а! (11.2) и получим формальное решение в ВИДе интегрального уравнения. П0дставим теперь под интеграл выражение (11.2) и получим вновь интегральное уравнение: №» = |Фо> + (—%) ] Ё(Ё,)|Фо>дЁ/+ $0 1Мы здесь изучаем общий случай неконсервативной системы, ко- торый отличается от рассмотренного в параграфе 2.4. 207
+ (—%)2 ЁЁфг’уэьг’],13103”)|11(7:”)>с115”. (11.3) йо Продолжая эту процедуру бесконечно, получим ряд _ г, |Ф(г)> : 1+ <—%) /Ё(2Ё’)с1Ё/+ $0 . 2 $ 1‘,’ +(_%) /Ё(г’)‹іг’/Ё(г”)‹іг”+… |%). (11.4) 120 $0 Обозначим получившийся операторный ряд (105,750), тогда выражение (11.4) можно записать в виде |Ф…) : ЩЁ, 250)|‘1Ё’0> Е ЩЁ‚Ё0)|‘1’(Ё0)>- (11—53 Оператор (105,730) называется оператором эволюции. Он определяет состояние системы в произвольный момент вре- мени 13, если известно состояние системы в начальный мо- мент времени 750. В частности, №05» = [№, —00)|Ч’(—00)>— (116) Если Е(Ё) не зависит от { (т.е. равен НО), ряд (11.4) можно формально свернуть. Действительно, полагая для проСтоты 150 = О, получаем : — — — —— — —— Ё ... : ……) 1 №№ й…) „( ЕН) + =ехр (—%ЁЁ). (11.7) По аналогии с только что полученной формулой принято записывать и общий рЯД в виде экспоненты. Сделаем все 208
_ 7 Рис. 11.1. Схематическое изображение увеличения площади ин— тегрирования при одинаковых верхних пределах: (1 — 250 $ 73’ ’ $ $’$Ёиб—$0$7Ё’ $75, 150$13”$1‘‚ верхние пределы интегрирования в ряде (11.2) одинаковы- ми. Поскольку при этом увеличивается область интегриро— вания (см. рис. 11.1), следует ПОДеЛИТЬ каждое слагаемое на соответствующее число перестановок: & (105,150): 1+ (%)) /Ё(г’)с1г’+ $0 1 _ 2 $ в + 5 <—%) /(175’ [ сіг”Ё(г’)Ё(г”)+ +—(—%>/с175’ ]аг”/с1г”’Н(т/)::”)Щ’”) .. : =Техр ——Ё/Н(гі”)с115 . (11.8) Итак, динамическое поведение квантовой системы опре- деляется оператором эволюции. Легко убедиться, что опе— 2-09
ратор эволюции унитарен. Сначала рассмотрим консерва- тивную систему, когда оператор эволюции имеет простой вид, и найдем эрмитовски сопряженный к нему оператор: . + . П+(Ё‚О) : ехр —іН1Ъ : ехр ЬНЧ : Б Н : ехр (%!/ЁЁ) : Н_1(75‚ 0). Упражнение Показать, что оператор эволюции унитарен и для неконсервативных систем. Как хорошо известно из курса линейной алгебры, уни— тарные операторы определяют некоторые линейные уни- тарные преобразования. В частности, в главе 4 мы виде— ли, что переход от одного представления к другому также осуществляется унитарными преобразованиями. Пусть в каком—либо представлении | ]) произвольное состояние ФЩ имеет вид №» = Хамит. С другой стороны, |Ф(г)> = Билич/<о» =Ёаі(0)П(й‚0)|і> = =2а;(0)|і(г›>- (119) Мы видим, что можно свести действие оператора эволю- ции к воздействию на базисные состояния представления. Но состояния | } (г)) отличаются от состояний | ]“), поэто- му полученное представление отличается от первоначаль- ного. В соответствии с этим различают два представле- ния, описывающие изменение состояния во времени. Пред- ставление Шредингера, когда во времени изменяется со- стояние, но не изменяются базисные векторы: состояние 210
|Ф(7Ъ)) определяется набором а ;(й). И соответственно пред— ставление Гейзенберга, когда изменяются во времени ба— зисные векторы представления, но само состояние оста- ется неизменным: состояние |‘11(Ъ)) определяется набором чисел а ‚:(0), которые от времени не зависят. Как известно из линейной алгебры, преобразование базисных векторов и преобразование вектора (физической системы) взаимно обратны. Поэтому если мы определим представление Шре— дингера как преобразование вектора состояния во времени с помощью оператора эволюции, то вид вектора состояния в представлении Гайзенберга |ФН(Ъ)) получается в резуль- тате обратного преобразования: |‘1’Н($)> = = (”(# 0)|‘1’($)> = (“(# (ШШ, 0)|‘1’(0)> = РИО», (11—10) т.е. действительно, вектор состояния квантовой системы в представлении Гайзенберга не зависит от времени. При переходе от представления Шредингера к пред— ставлению Гайзенберга следует также проделать унитар— ное преобразование для всех операторов. Действительно, поскольку ВИД оператора определяется из условия соответ- ствия его среднего значения физической величине, имеем ^ < > <Ф(г)|Я|Ф(г)> = : (Ф(О)|П+(г‚О)ЁП(і‚О)|1!(0)) : мне)). (11.11) Здесь 21,105) : Н+(й, 0)АП(й, О) — оператор в представлении Гайзенберга. Как видим, в представлении Гайзенберга оператор обя— зательно зависит от времени, даже если в представлении Шредингера он от времени не зависел. Таким образом, по— скольку в представлении Гайзенберга вектор состояния не зависит от времени, вся временная эволюция квантовой си— 211
стемы переносится на операторы. Поэтому следует напи— сать уравнение движения для операторов: %дню = шт) (332) №№ 8 ^ А 8 + (ЫП+(1Ъ‚О)>АП($‚О)+ итд)/4 (диам). (11.12) Легко видеть, что оператор эволюции подчиняется уравне— НИЮ тёща 0) : ЁП(1Ъ‚О). (11.13) Поэтому получаем уравнение Гайзенберга, определяющее изменение операторов во времени и “заменяющее” уравне— ние Шредингера для вектора состояния: (МН… — дАН + 1 [^ ^ ] (11.14) см _ дг ЁН’АН' Пример Найти оператор спина электрона в Однородном магнит- ном поле В в представлении Гайзенберга. Считать, что дру- гих взаимодействий, изменяющих спиновое состояние элек— трона, нет. Направим магнитное поле по оси г:, тогда спиновый га— мильтониан электрона в однородном магнитном поле имеет вид Ё : 2Д3В82. Здесь ‚ив — магнетон Бора. Для решения задачи восполь— зуемся уравнением (11.14). Получаем (132 (1$ : О’_ С18+ 1 — = —2 В . (1$ Гъ ‚ЦБ 3+ 212
Для оператора 3_ решение получается эрмитовским сопря— жением выражения для 3+(Ё). Полученные уравнения легко реШаются: 5205) = 32, 5+(7Ъ) : ешз+‚ где ш : 2двБ/Н. Соответственно $1305) : созшйзш—зіпшізш з„(й) : соз шіву + зіп шйзш. Упражнение Найти в представлении Гейзенберга операторы коорди- наты и импульса свободной частицы. 11.2. Представление взаИМОДействия Представление взаИМОДействия широко используется при решении нестационарных задач теории возмущений, когда гамильтониан системы имеет вид Ё=Ёо+і7(г). (11.15) Очевидно, стационарная задача, когда возмущение от вре- мени не зависит: ?(Ё) : {;(О), представляется частным слу— чаем. Однако надо помнить, что в нестационарном случае рассматриваются совсем другие задачи. В отсутствие зави- сящего от времени оператора 1/(75) уравнение Шредингера сводилось к стационарному, а временная зависимость век- тора состояния определялась с помощью “простого” опера— тора эволюции: (1005) = ехр (_,Ёійог) . (11.16)
В случае, когда гамильтониан зависит от времени, то ряет смысл говорить об уровнях энергии, поскольку энер гия системы В не сохраняется. Поэтому в нестационарном случае и задача формулируется об изменении состоянии. Пусть возмущение мало, тогда видно, что в каждый м‹› мент времени основное поведение системы определяется невозмущенным гамильтонианом Но, а 1/(75) слегка “пол,- правляет” изменение во времени ФШ) (75). Исх0дя из этих со ображений, будем искать точную волновую функцию 1!(/‚) в виде Фи) : Поют/‚(г), (11.17) где Ф1(73) : ФДО), если 1/(16) : 0. Поскольку оператор эволюции подчиняется уравнению тёщи, го) = Ёоиои, го>‚ (11.18) уравнение Шредингера принимает вид Ф 1: ^ іЁЁЧ/ЦЦЧ-ідиод а]; )=Н0П0Ф1(Ё)+ У(Ё)П0Ф1(Ё). (11.19) В силу уравнения (11.18) остается только два слагаемых. Умножим уравнение (11.19) слева на На” и получим тёщи) : идГ/(гшощи) ; щими). (11.20) Это так называемое представление взаимодействия. Как и следовало ожидать, 1! [(г) изменяется только за счет воз» мущения 7105), но на “собственное” изменение оператор:]. %(Ё) “накладывается” эволюция невозмущенной системы: ии) : идти?/(ции) : ет“Ё'ои^/(ъъ)е—і’г11%Ё (11.21) 214
11.3. Нестационарная теория возмущений. Вероятность перехода В нестационарном случае нас интересует прежде всего определение состояния в момент времени 75, если извест- но состояние в начальный момент времени. Иными слова- ми, ставится задача о нахождении вероятности перех0да из начального состояния в конечное. Как мы-видели, в об- щем случае задача, естественно, не имеет явного решения в замкнутой форме. Однако вновь можно построить ре— гулярную процедуру в случае малого возмущения. Итак, необходимо найти эволюцию состояния квантовой системы ‹: гамильтонианом (11.15) предыдущего параграфа. Как мы видели, задача в общем случае сводится к более простой на вид задаче в представлении взаИМОДействия. Уравнение Шредингера в представлении взаИМОДействия вновь будем решать методом итераций: ^ мыза) : Ф1(О)— % ] щечки/№ : (11.22) =Ф1(0) + (—%)]У1(н)кр‚(0)ау+ + („35 [ анг/[<#> ] аъ”1^/1(г”)|хр1(г”) = $0 $0 Ё Ё] : 1—%/Ёс1г’У1(г’) +(— %)2/с1г’ (159105 ’)У1(г”)+… ФАО). йо 30 $0 215
Или г ч:](г) : Техр …% /Й(і’)‹іі’ Ф‚(го). (11.23) #0 Обычно выбирают $0 = 0 или 750 = ——оо. Формула (11.23) есть решение задачи в общем Виде, и:; него можно получить все необх0димые порядки разложе— ния в ряд теории возмущений, а именно: ЗП“ Ё №№) : _ ] 171(г’)‹іг’Ф(0)‚ (11.24) О (2) 1 2 г г’ ^ А Ф, (г) : <_Ё) /‹іі’]ёг”У1(г’)/1($”)Ф(О). (11.25) 0 О ПорЯДок следования операторов в формулах (11.23) и (11.25) существен, поскольку оператор сам с собой в раз— личные моменты времени может не коммутировать. Здесь мы положили У(О) : О и соответственно ФДО) : Ф(О). Точная волновая функция в представлении Шредингера есть то) : №)… + ио(г)кр<1>(г) + шарит) + . . ., (11.26) где №№) : щитке) . Пусть при # = 0 система находилась в п—м стационарном состоянии (возмущение равно нулю!): дома = Елки,), (11.27) тогда |Ф(О)) : |фп). Разложим |Ф1(і)) в ряд по состояниям невозмущенной системы №), тогда №» = (1003) Ханом). (11.28) А: 216
Легко видеть, что |% (73) |2 — вероятность обнаружить систе— му в момент # в состоянии №№) невозмущенного стационар— пого уравнения. Подставляявыражение (11.23) в формулу (11.28), получим №№ = %(Ё) ЕщЁЛфЫ = В: г А і ^ =П0(Ё)Техр ?; ] иса/№ |%). (11.29) #0 Обозначим начальное состояние |фп) : |2'). Вероятность си- стеме в момент 13 оказаться в конечном состоянии (перейти в состояние) | {> : №19) есть И/„с : |а;с(і)|2‚ но по определе— нию аш) =<фк|ш(г)> = Ё =<щ|Техр —%/й‹г’>‹іг’ моет—Ш“. (11.30) #0 Соответственно $ 2 щ}: {ЛТехр %]Щюж и . (11.31) $0 В первом порядке теории возмущений получаем г 2 $ 2 И’м=% … [итачи =;— /<і|й‹г’>іъ°>‹и’ . (11.32) $0 $0 Подставим теперь определение ИО:) и вспомним, что _° —1 П0(Ё)|фп> : е т Епі|фп>_ 217
Получаем окончательно простую формулу: г 2 И/ц(і):_ ]еіш№<і|‘7(і’)|і><іі’ = =_ /еішт’17'„(г’)см’ . (11.33) 11.4. Критерий применимости В нестационарной теории возмущений критерий примени— мости такой же, как и в стационарном случае: поправ— ка к невозмущенному состоянию должна быть малой, т.е. ||б|ф>|| << 1. На языке вероятностей переХОДов критерий будет выглядеть так: И/іі << 1, (11.34) т.е. вероятности переходов должны быть малыми. Прежде чем перейти к выяснению условий примени— мости нестационарной теории возмущений, рассмотрим несколько важных примеров. Пример 1 Определить вероятность перех0да между состояниями при наложении перИОДического возмущения в момент времени : 0: Г/(г) : Ёе—ісиг + 13%”? (11.35) Для амплитуды перехода из состояния |П) в состояние |%) в первом порядке теории возмущений получаем простую формулу: 1 еі(ш‚… —ш)й * еі(ш‚…+ш)#‚ еще) : __ ра…—_— + Р…… 71 ил… — ш № (1136) 218
Видно, что, если и;… : іш, наблюдается резонанс и тео- рия возмущений неприменима. В этом случае необх0димо рассматривать точное решение для состояний, энергии ко- торых нах0дятся в резонансе с возмущением. Пример 2 Получить вероятность перехода для случая постоянного возмущения, действующего в течение конечного времени: Ё пи О<7Ё<Т; (г>={ Р 17 11.37 0 при Ё<О, 75>Т. ( ) Амплитуда перехода между начальным и конечным со- ‹ттояниями в первом порядке теории возмущений вычисля— отся элементарно, и вероятность переХОДа при 0 $ 15 $ Т равна - 2 щ- и) = % |лет-12 № (1138) Для г > Т в формуле (11.38) следует заменить 75 —› Т. При этом получаем, что вероятность перех0да зависит от длительности действия возмущения, но не от текущего мо- мента времени 15. Эти два примера иллюстрируют, что вероятности пере— ходов зависят от времени. Поэтому, наряду с возможными резонансными условиями,_необх0димо учитывать также и промежуток времени, в течение которого рассматривается порех0д между состояниями. Пусть условия резонанса не выполнены, т.е. ши :!:ш 75 0 либо просто частота перех0да конечна шп ;& О. Рассмотрим малый промежуток времени Аг : 15—750 —+ 0, или (Д“АЁ << 1, тогда в формуле (11.33) экспоненту ПОД интегралом можно просто заменить единицей. Получаем , 2 3— еішт’Г/ ‚(году … 3- р/ -|2 (Ш)? 1 11 9 15,2 іі ‘ ‚12 !% << ° ( 3 ) $0 219
Формула (11.39) показывает, что всегда можно найти такой промежуток времени, когда теория возмущений применп ма: АЦУЫ << 5. (11.40) Пусть теперь возмущение изменяется во времени мед- ленно по сравнению с частотой перех0да, т.е. дУ |Е… << |шііуі- На больших временах сид-73 >> 1 медленно меняющийся мат-` ричный элемент возмущения можно вынести ИЗ-ПОД знаки. интеграла, тогда для вероятности перехода получаем оцен- ку: 2 П% 2 2 71 шт << 1, ИЛИ |У]… << Н|шд| : |Е] — ЕЦ. (11.41) В этом случае критерий применимости имеет то же выра— жение, что в стационарной теории возмущений для невы— рожденного спектра. Пусть теперь выполняется условие применимости тео… рии возмущений (11.41). Вернемся к формуле для веро— ятности перехода ПОД воздействием возмущения, действу— ющего в течение конечного промежутка времени (11.38). Как легко видеть, наибольшее значение вероятность перо— х0да имеет в интервале времени сид-Аг … 1. Поскольку на таком интервале времени возмущение удовлетворяет кри— терию применимости, формула (11.38) справедлива, но 1; то же время ВИДИМ, что независимо от вида возмущения можно говорить о том, что наибольшая вероятность обна- ружить систему в состояниях с другой энергией будет в интервале времени, связанном соотношением |Е, _- Е,;|Аг … 11. (11.42) 220
Чим меньше интервал времени выбран, тем для большей разности энергий-переход наиболее вероятен. Сделанный НЫВОД может иметь и совершенно другую интерпретацию. Пусть мы измеряем энергию системы, при этом измере— иии обязательно производится некоторое, пусть даже очень милое взаимодействие. Поэтому, как следует из приведен— иых формул, будет всегда отличной _от нуля вероятность изучаемой системе перейти на другой уровень энергии. Эта иороятность тем больше, чем меньше интервал времени, в течение которого ПРОИЗВОДИТСЯ измерение энергии, причем наибольшая вероятность приходится на интервал времени, гпвершенно не зависящий от вида взаимодействия, но свя— ишный с интервалом измеряемой энергии АЕАЪ … й — ши— риной распределения вероятности. Иными словами, как с измерениями энергии, так и с самой величиной энергии си— ‹гомы, сколь угодно слабо взаимодействующей с другой системой, всегда связана неопределенность энергии самой гистемы. Этот принципиальный факт и составляет суть соотношения неопределенностей для энергии и времени. '—)иергия может иметь определенное значение только для замкнутой и изолированной системы. Но поскольку лю— |'›‹›е измерение связано с тем, что система перестает быть изолированной, мы принципиально не можем точно изме— рить значение энергии системы. Более того, поскольку все реальные системы либо незамкнуты, либо неизолированы, *шергия всегда будет иметь неопределенное значение. Дру- гие дело, что если взаимодействия малы, то и плотность исроятности обнаружить систему вблизи какого-либо опре- деленного значения близка к б—функции. Поэтому во мно- гих задачах понятие дискретных, точных значений энергии оказывается вполне корректным. Упражнения 1. Получить вероятность перехода для возмущения 221
1703), обращающегося в ноль при 73 —› :Ьоо. 2. Написать поправку второго порЯДка теории возмуще- ний к волновой функции. 3. Найти поправки первого и второго порядка теории возмущений к волновой функции в случае возмуще- ния ^ _ УО при Ё>О; У(1&)—{О при Ё<О. 11.5. Вероятность перехода в непрерывном спектре Пусть, по крайней мере, конечное состояние системы | ]) находится в области непрерывного спектра энергий, тогда имеет смыл говорить не о переходе в какое-либо одно состо— яние с энергией Е ,в, а в интервал состояний ‹іщ, имеющих энергии в интервале от Е ,с до Е 1“ + ‹іЕде. Иными словами, общую формулу для вероятности перехода (11.31) следует записать в виде $ 2 (тд,-,с: („Техр —%/?1(Ё’)(ііі |З) (11/1. (11.43) 10 В первом порядке теории возмущений формула (11.43) дает , 2 1 . ‚^ (ПЛ/„г : @ /е1ш„$ {@@@/Мій, (11/10. (11.44) #0 Рассмотрим теперь вероятность перехода под воздей— ствием перИОДического возмущения, Однако будем считать, 222
что 130 —› —оо‚ а для того чтобы в начальный момеНТ вре- мени возмущение было равно нулю, перепишем сператор (11.35) в виде УО?) : НШ (Ре—““$ + Р`+е1щ) ед. (1145) ^у—>+0 В таком представлении возмущение (11.45) равно НУЛЮ В начальный момент времени 750 : —00, и остается кднеЧНЫМ п конечный момент времени 15 при 7 —-› +оо. Будем считать, что Е; > Е„ тогда, оставляя ТОЛЬКО резонансный член в формуле (11.36), получаем $ 2 1 _ , , (№“ :ЁтЁЁЁЪО / Р„еЧшм—шж 9” 0175’ 41/1”: 00 1 2 _ 827$ :_ Р ' 1 - (1 _ (11.46) ‚12| Ы 7355100 (щі_ш)2+72 и! Видно, что вероятность растет с ростом времени И ПРИ !; —+ оо получаем также РУ,-,с ——› 00, что не имеет физиче— ‹:кого смысла. Этот результат просто говорит о тоьіа ЧТО ПО прошествии достаточно большого времени система обяза- тельно перейдет в другое состояние. Поэтому имеё'Г СМЫСЛ рассматривать, как быстро произойдет этот переход т.е. не вероятность вообще, а вероятность перешода в единицу времени: сП/У- 'Гаким образом, получаем (1 . 1 2 27 1 - =—‹1И/,=1 _в ‹1 —(11—48) (“И (1,5 1” ‚7320 Н2| … (СО/і _ и)? +72 ”! Поскольку момент времени 75 конечен, в формулд (1148) можно использовать свойство 1іш уе,” : Пт 7. ’7—++0 *у——>+0 223
Для дальнейшего преобразования выражения (11.48) во‹-‚ пользуемся формулой Сохоцкого: 1 1 1 НШ ——7 : —і`5т 1іш _ — _ = 2 2 *у——›+0 51: + *у 2 7—›+0 св — гу $ + 17 : г‘т ітгб(а:) : 7гб(а:). Таким образом, вероятность перех0да в единицу времени и интервал состояний (11/1 равна 27г от“ : ЁЁ |Р…2 б(ш]с‚- — ш)с11/]с : 27г : _Н- пруд2 (ЖЕ, —- ЕЪ- — ним:/(Ві). (11.49) Интервал состояний выражается через плотность энерге— тического спектра: (іі/(ЕЮ = р(Еі)<іЕі‚ поэтому формулу (11.49) можно записать как 2 ‹іщі : % №…? диз, — Е,- — п…)ршумщ. (11.50) Результат (11.50) легко обобщить и на случай постоянного (ш : О) взаимодействия: 2 № = % |да-Р №; — Емвющ (шва) Вероятность переХОДа в единицу времени легко получается интегрированием формул (11.50) и (11.50а) по энергиям: 27т ши = ? |Ріі|2Р(Еі) (11—51) Е,=Е‚-+пш° Формула (11.51), определяющая вероятность перех0да в единицу времени в состояния непрерывного спектра, на- зывается “золотым правилом” Ферми. 224
|1.6. Квазистационарные состояния Взаимодействие двух квантовых систем, даже сколь угодно малое, приводит к конечному времени жизни квантовой си- стемы, обладающей дискретным энергетическим спектром, н возбужденных состояниях, если другая обладает непре— рывным спектром. В таком случае сложная система, состо- шцая из двух “частей”, имеет непрерывный спектр, и для нее применимы соответствующие формулы предыдущего параграфа. Пусть вероятности переходов в единицу време— пи малы, тогда в нулевом приближении каждая из ПОДСИ— нем будет описываться своей волновой функцией. Нали— чие вероятности перех0да с возбужденного уровня энергии на более низкий для системы с дискретным спектром будет наблюдаться как распад состояния. С классической позиции распад определяется временем жизни 7, которое по смыслу есть величина, обратная веро- ятности перехода в единицу времени, т.е. ”!—1 : …. Рас- пад состояний наблюдается для ансамбля систем, напри— мер, атомов. Пусть рассматривается ансамбль № атомов, пигъХОДящихся в возбужденном состоянии, время жизни ко- торого есть 7. В момент времени 75 число таких атомов рав— по № (15) Число атомов (ПЧ, распавшихся за промежуток времени от 75 до 15+ (175, пропорционально числу атомов, ин— тервалу времени и скорости перехода из данного возбуж— денного состояния: сих/' : —ш№фі —› Мг) : Мое—…, (11.52) где №0 : №(0) — число возбужденных атомов в начальный момент времени. С другой стороны, поскольку атомы в ансамбле в мо— мент времени 75 могут находиться в разных состояниях, можно сказать, что Мг) : МОИ/(75), где И/(Ё) : е_… (11.53) 225
— вероятность обнаружить атом в данном возбужденном состоянии. Вероятность обнаружить квантовую систему и каком-либо состоянии определяется квадратом м0дуля во.” новой функции. Мы считаем, что система (атом) нах0дитш в состоянии с определенной энергией Еп, т.е. в стационар ном состоянии 1,0… В этом случае временная зависимости. волновой функции определяется простым экспоненциалп, ным множителем, поэтому можем записать2: 2/|ф„|2сп/ = 2 $ : е—‘Ш . (11.54) И/(г) : ]щнгау : |е—т-1Епг :| е—ій_1Е„$ ИЗ формулы (11.54) следует, что энергия Еп должна быти. комплексной величиной: Гп Е„ : ЕТЯО) — і—2—, где Г„ : Гиш. (11.55) Итак, появление мнимой добавки к уровню энергии 031… чает, что состояние квазистационарно и, строго говоря, и рассМатриваемой системе нет дискретныш уровней энер гии. Мнимая добавка определяет ширину уровня энергии, т.е. строгое рассмотрение должно основываться на том, что состояния системы распределены в непрерывном спектре, но в узком интервале энергий АЕ … Г : 71/7. Наличие такой мнимой части в уровне энергии позво-— ляет понять смысл введения мнимой добавки в энергетиче- ский знаменатель формул стационарной теории возмуще- ний в непрерывном спектре (10.23). Действительно, пусть поправка первого порядка стационарной теории возмуще- „ Е… _ у _ нии „ _— ,… _ 0, тогда основная поправка к уровню 2Волновая функция стационарного состояния нормирована на еди- ницу. 226
_ Ы' | ’нс. 11.2. Контур интегрирования в комплексной плоскости Е ”!ПРГИИ ОПРВДЭЛЯЭТСЯ ВО ВТОРОМ ПОРЯДКЕ! 2 2 (2) _ ’№|__ № Е„ _ ; 135,0) _ Е,?) + / ЕЁ) _ Еисіи. (11.56) Пт; формулы (11.56) следует, что дискретный спектр в принципе дает только действительную поправку к уровню торгии. Второе слаГаемое формулы (11.56), определяющее нклад в поправку непрерывного спектра, преобразуем к ин- `гограпу не по состояниям, а по энергиям: |и…|2 17…12 (в ] Её“) — види : ] ЕТБ) — Е„ дБ:/(Ши (1157) где (іі/МЕ„ — плотность энергетического спектра. Если М„ # Е‚‚(‚‚О), интеграл действителен и, если отличен от нуля, определяет сдвиг энергии. ' Интеграл (11.57) можно свести к интегралу по замкну- тому контуру в плоскости комплексной переменной Е,… Бу- дем счиТать, что пЛотность энергетического спектра ни- где в комплексной плоскости не имеет особенностей. Тогда нодынтегральное выражение имеет единственную особен- ность на действительной оси. Замкнем контур интегриро- папия в верхней полуплоскости, 06х0дя особенность снизу, 227
как показано на рис.11.2. Интеграл по бесконечно удален- ной полуокружности обращается в ноль, а по полуокруж- „ О ности, 06х0дящеи особенность ЕЁ, ) равен половине вычета: 2 (2) : ‘И/п' &” : Е„ /Е$°) —Е‚‚ (Ш,/(Ш„ (11.58) Уип 2 (11/ , 2 (11/ 29] (|О) ' ‹іЕ дЕ_т‹1Е{|У“”|—_} Е„ —Е‚, и вдв?) Итак, поправка второго порядка к дискретному уровню энергии имеет мнимую добавку: і _ 2_д_“_ _ (0) 2г„_7г{|и‚„| &Еи} … :…П/ (%( („Е ) (11.59) Е„=Е„ Для вероятности перехода в единицу времени получаем знакомую формулу “золотого правила” Ферми: и) = 2—5 {|У„п|2р(Е„)} . (11.60) Е„=Е$„°> Легко видеть, что тот же результат получается введени- ем малой мнимой добавки в энергетический знаменатель п интегрированием по такому же контуру, как И при нахож- дении функции Грина свободной частицы, изображенному на рис. 10.1а. 11.7. Переходы, вызываемые возмущением, действующим в течение конечного времени Рассмотрим случай, когда возмущение, оставаясь все вре- мя малым, изменяется во времени следующим образом: _ 0 при 75——› —00, УН) — { УО при Ё—› 00. (11.61) 228
Пусть система в начальный момент времени 75 —› —оо нахо- дилась в состоянии |і). Амплитуда перех0да в момент вре— мени 1$ в конечное состояние | ]) в первом порядке теории возмущений щ: ; ] ши >| > еітсн (11.62) формально расх0дится при значении верхнего предела ин- тегрирования 75 —› 00, Однако расх0димость носит нефизи- ческий характер и поэтому несущественна. Действительно, нроинтегрируем выражение (11.62) по частям И получим ] ;; №0 | Ё; (11.63) Первое слагаемое в формуле (11.63) на нижнем пределе равно нулю, а на верхнем — формально совпадает с по— правкой первого порядка к полной (“временной”) волно- пой функции в случае стационарной теории возмущений. По своему смыслу это слагаемое означает изменение вида волновой функции исходного состояния ПОД воздействием постоянного возмущения. Следовательно, первое слагаемое не имеет отношения к перех0дам между состояниями, и для НОРОЯТНОСТИ перехода МОЖНО ЗдПИСЕЪТЬ # _<1‘|У(75)|і>е“‘“°‘Ё п…„- 73 2 1 …, . ш‚,=№]е „_ дЁищщдаг . (11.64) “ оо Как видно, вероятность перех0да определяется производ— ной возмущения по времени. Формула (11.64) позволя- ет проанализировать два предельных случая: быстро, или 229
внезапно меняющегося и медленно, или адиабатически мо- няющегося возмущения. Возмущение изменяется быстро, если характерное вре— мя изменения 7 << №1711]. В этом случае можно вынести из-под знака интеграла медленно меняющийся экспонен- циальный множитель и получить выражение для вероят.` ности перехода в ВИДе . 2 …„ : Щ. (11.65) %%)“ Для выв0да формулы (11.65) несущественна малость само-‹ го возмущения. Когда возмущение меняется во времени бесконечно медленно (идеальная адиабатичность), прОИЗВОДная по времени стремится к нулю. Если система в начальный момент времени находилась в состоянии с невырождеп ным уровнем энергии, соответственно вероятность перо— хода (в состояния с другой энергией) также стремится к нулю. Таким образом, в случае адиабатически изменяю щегося возмущения система, находившаяся на невыроо/с— денном уровне энергии, остается в ночалъном состоя— нии. Обычно изменение взаИМОДействия (гамильтониана) со временем обусловлено изменением некоторого парамет— ра. В качестве этого параметра может рассматриваться, на— пример, внешнее магнитное или электрическое поле. Если рассматривается взаимодействие двух ПОДсистем‚ то оно, как правило, зависит от расстояния между ними, которое также может изменяться. Иными словами, изменение га- мильтониана во времени будем связывать с некоторым па- раметром 5,3: Ща). В общем случае параметр может быть многокомпонентным или может быть несколько парамет— ров. Будем сейчас рассматривать зависимость только от одного параметра, адиабатически медленно изменяющего— ся во времени. Пусть гамильтониан Ё (5,3) в каждый момент 230
времени имеет невырожденный дискретный спектр: Шелин» = вконце». (11.66) (Зобственные состояния гамильтониана должны быть орто— пормированными в каждый момент времени: <фп(бй)|фт(ёі)> : бпт- (1167) | |оскольку мы рассматриваем нестационарную задачу, сле— дует решить уравнение Шредингера: тёіщщ» = тыщщ» (11.68) ('. НдЧдЛЬНЬ1М УСЛОВИЗМ: |Ф(Ё›Ей)>й=0 : |ф0({0)>7 (1169) где |ф0({о)) — есть Одно из собственных состояний гамиль- тониана. Будем искать решение уравнения (11.68) в виде шт(і’)с1$’ Ё…г =2а…(г)е 0” |ф…(е>>‚ (11.70) где ш…(ъ) : п‘1Е…(&)‚ а…(О) : д…о. (11.71) Подставим выражение (11.70) в уравнение Шредингера и _умножим скалярно на состояние <фп(@)|. В результате по— лучим систему обыкновенных дифференциальных уравне— ний для неизвестных коэффициентов а„(і): # —і ] ш…„(г’)с1г’ с1а___Е 8 (1—1;— +ЁЁ;‚Ц т(Ё)<фп(СЁ)|'(‚Э—&'|фт(&)>е о : О . (11.72) 231
Знак ’ в сумме указывает, что суммирование осуществят ется по всем т # п. В самом деле, поскольку состоянии невырожденного спектра всегда могут быть выбраны дой ствительными, для диагональных элементов имеем: <ф”“*)'5%'фп(’5”>: , д—‚д— —<ф„‹ь>|ф„‹ь>›= Матричные элементы оператора дифференцированин по параметру Е,; получим из стационарного уравнении Шредингера (11.66), пр0дифференцировав его по парамет ру и взяв соответствующее скалярное произведение: <Фп(бг)|дд &|фт(&)>: ———Е—(фп(&)|%|ф…(а)>. (11.73) Ет— Уравнение (11.72) можно решать меТОДом итераций. В ну левом приближении имеем начальное условие (11.71), по этому в первом приближении можем записать: Т 1 —і ши“/МН а$,13(Т)н/агф(г)е { ° ‚ (11.74) 0 где Ф… _ а<ф„‹е>|З—Ё№о‹е)> Еп (5$) _ ЕО(&) . Второй индекс коэффициента апо указывает начальное со- стояние. По условию задачи спектр гамильтониана Ё(&) невы- рожден, поэтому уровни нигде не пересекаются, и п0дьш- тегральное выражение (11.75) полюсов на действительной оси не имеет. Если есть простой полюс 2 : $0 — іт, то на. больших вреМенах можно считать Т —+ оо, и тогда инто- грал (11.74) определяется вычетом в этом полюсе, а коэф- фициенты пропорциональны экспоненте: (11.75) |0‚„0(Т)|2 … ехр(—ш0п7'). 232
Таким образом, вероятность адиабатического перех0да экс- поненциально мала. 11.8. Эффект Ааронова—Бома, фаза Берри Ё—)волюцию состояния невырожденного спектра ПОД воздей- ствием адиабатически меняющегося возмущения согласно результатам предыдущего параграфа с экспоненциальной точностью можно записать как $ —і ] шо(й’)с1і’ | (75 &» — 0005 )6 ° |Фо<5г)>— (11.76) Поскольку состояние нормировано на единицу, м0дуль за- висящего от времени коэффициента а0(г) должен быть ра- пен единице (с экспоненциальной точностью), поэтому его можно представить в выде аот = ехр(іт(й))‚ (1177) где действительная функция 703) называется фазой Бер- ри, для которой можно получить соотношение, аналогич— ное (11.75). Пр0делаем выкладки п0дробно. Будем считать адиабатически изменяющийся параметр многокомпонентным: Е,. Подставим выражение (11.76) с многокомпонентным параметром |Ф(‹‘‚,$Ё)) в левую часть уравнения Шредингера: тёщщ» = На… + Ео(ёъ)]|‘1’(?5‚ёг)>+ - _і “№№/>61 +жд? (д—Ёа|ф0(ё $)>>е “…в ] $ (1178) ПрОИЗВОДную от начального состояния по параметру $,? в 233
адиабатическом приближении можно представить в виде %(ЁШЁ ага _|ф0( 61» 22 ГФП/( (>… <фп(6і‚') д—Ёа % <%@) фо($г)>|фо(ёг)>- (11—79) д—Ёа Таким образом, с учетом (11.66), уравнение (11.78) прини- мает вид тёщи,» : [мс) + тёмно) („—Ё? №№ + Е0($ъ)] |Ф(Ё‚5г)>- (11-80) Поскольку спектр (или, по крайней мере, уровень энер— гии Е0($,5)) стационарного уравнения Шредингера невы- рожден, состояние |Ф(Ё, {,)} также должно соответствовать этому же уровню энергии, поэтому в правой части урав— нения (11.80) можно заменить значение Е0(Е,) действием гамильтониана [?(Бд). Таким образом, получаем, что в пра— вой части уравнения Шредингера появились дополнитель- ные члены, которые обязаны обратиться в нуль, что воз— можно при выполнении условия №) = @@@) то» (1181) дб“ Легко видеть, что функция №75) действительна. Из уравнения (11.81) следует, что фаза Берри опреде- лена не0днозначно: она зависит от калибровки — выбора начальной фазы состояния. Поскольку начальное состоя- ние есть собственное состояние гамильтониана, зависяще- го от параметров {„ его (начальная) фаза также в общем случае зависит от этих параметров. Таким образом, фа— за Берри калибровочна в параметрическом пространстве. 234
Пусть параметры изменяются пери0дически с периоцом Т, описывая замкнутую траекторию в параметрическом про— странстве, тогда изменение фазы за период можно выра- зить через интеграл по замкнутому контуру Г в простран- стве параметров. При этом фаза будет калибровочно инва— риантна, если & дб? ф0(5г)> : 27т№. (11.82) Наиболее наглядно рассмотренный эффект иллюстри— руется эффектом Ааронова—Бома. Пусть есть бесконечно длинный тонкий соленоид, внутри которого создается од— нородное магнитное поле ’Н, а вне соленоида магнитное по— ле равно нулю. Естественно поэтому, что никакие силы на системы зарядов, находящиеся вне соленоида, со стороны магнитного поля не действуют и, следовательно, физиче- ски не проявляются. Вместе с тем векторный потенциал А(г) отличен от нуля вне соленоида, поскольку он — функ— ция непрерывная. Поэтому гамильтониан системы зарядов, находящихся вне солеНОИДа, должен включать в себя этот векторный потенциал: Т 7 = ,! снт) = і 214 (16? (№0050 Ё : }: ті“ (190, _ %“А(га))2 + и, (11.83) где П — оператор потенциальной энергии системы зарядов. Например, для атома — это энергия взаИМОДействия элек— тронов между собой и с ядром. Пусть теперь система зарЯДов медленно (по сравнению с атомными скоростями) перемещается вокруг соленоида по замкнутому пути Е(Ё), оставаясь вне магнитного по— ля. Медленность означает адиабатичность изменения па— раметров, т.е. система зарядов, находившаяся в основном 235
состоянии, в нем и останется. Однако при этом волновая функция может изменить фазу. Как определить искомую фазу? Так как в магнитном поле волновая функция опреде- лена с точностью до фазы, определяемой калибровочным преобразованием потенциалов поля 90’=90+Зд—і, А’=А—7і‚ (11.84) с дй логично искать фазу, связанную именно с векторным по- тенциалом. Поскольку внешнего электрического поля нет, мы можем просто считать скалярный потенциал равным нулю ‹р = О. В то же время видно, если бы мы захотели обратить векторный потенциал в нуль, можно было бы вы- брать “калибровочную” функцию ! в виде ](г) : /А(г’)с11°’ Е /А‚С(г’)‹і:с;с. (11.85) Если мы теперь будем искать решение задачи в ВИДе іеа ФЁЁЁЕехр 23,73 ] А(г;>‹іг; №, (1186) “ Ща) где фЮ) — волновая функция системы в случае, когда век- торный потенциал равен нулю, то легко убедиться, что она будет удовлетворять уравнению Шредингера с гамильто— нианом (14.23), причем сам векторный потенциал и будет адиабатически медленно изменяющимся параметром. Век— торный потенциал А(г{,) для квантовой системы представ- ляется макроскопическим, и его можно считать одинако— вым для всеа: частиц. Поэтому для нейтральной системы зарядов фазовый множитель отсутствует. Таким образом, 236
эффект может набЛЮДаться только для заряженной систе- мы, в частности, для одной частицы (электрона) или ионаз. Система зарядов нах0дится в области, где магнитное поле равно нулю, т.е. го’оА(г,’с) : О, поэтому величина фа- зы не зависит от выбора пути интегрирования. Если систе- ма зарядов совершает движение по замкнутому пути, не пересекая области с отличным от нуля магнитным полем, при возвращении в исходную точку пространства волно- вая функция должна остаться неизменной, следовательно, фаза должна удовлетворять условию іеа 19 ° Ф — А , , : — ': —— : 5 На?! (га)‹1га Ес /госА(г)‹18 27П/Ф 27гп, “ 3 0 (11.87) где о — суммарный заряд системы, п Фо : % (11.88) 3 Такой же вид волновой функции следует из квазиклассическо- го приближения. Действительно, в квазиклассике волновая функция представляется в виде Ф = ехр (т,—15кв) : ехр (“Ё—15101) ’ф. Классическое действие выражается через интеграл от обобщенного импульса, который связан с кинематическим добавлением векторно- го потенциала. Следовательно, в нерелятивистском случае для кон— сервативной системы можем записать 5'=—ЕЁ+/(р+ЁА)‹іс1=$о+Ё/А‹іч, “где 50 — действие в отсутствие магнитного поля. Таким образом, ви- дим, что при отличном от нуля векторном потенциале волновая функ- ция системы заряженных частиц приобретает дополнительный фазо- вый множитель _ 160, _ А. (1 а. 20: ‚,с ] (Ча) ч 237
(5) ‚ &; „ :м х Рис. 11.3. Среднее значение спина мюона (поляризация) в медленно поворачивающемся магнитном поле Н — квант потока, и = 9/6, где в — элементарный заряд. Вид— но, что поток магнитного поля через любой контур должен быть равен целому числу квантов потока Фо (магнитный поток квантуется). Рассмотрим теперь задачу о “покоящемся” положитель- ном мюоне в Однор0дном магнитном поле ‘Н, составляю- щем с осью 2: угол 9 (см. рис. 11.3). В этом случае состояния с определенной проекцией спина 3 1/2 на направление магнитного поля определяются векторами @ д - |+)н : соз 5|+> + 8111 Бет—), . 9 _і 0 |—>н =—зп1—2—е ‘р|+) +созё|—), (11.89) где векторы |+) и |—) описывают состояния с положитель— ной и отрицательной проекциями спина на ось 2. Два состояния (11.89) имеют соответственно, энергии :]:‚ЦОН / 2. Таким образом, энергетический спектр невырож— ден. Пусть теперь магнитное поле адиабатически медлен— но вращается относительно оси 2 при постоянном угле @. 238
В этом случае применима теория возмущений, адиабати— чески изменяющихся во времени, из которой следует, что частица, находившаяся в основном состоянии, в нем и оста—- нется, а состояние будет отличаться от исходного (11.89) фазовым множителем (11.82). ПерИОДу Т изменения пара— метров соответствует изменение азимутального угла 4,0 от О до 27г, поэтому для фазы Берри имеем 27г д гу=і (1 _. = 11.90 ] Фн<хідфіх>н ( > 0 27г 0 в в :_ __ ° _ —і<‚0 _ ° _. іср— : ]дф (со52(+|+5ш2е ( |) 511129 | > 0 1 27г 27т 1 =—5/с190(1—соз‹9) = —з/с190/<100$д’= —39‚ 0 0 00549 где 9 — телесный угол, под которым из начала координат видна траектория, описываемая средним значением спина. Вопросы для самоконтроля 1. Как определяются представления Шредингера и Гайзенберга? 2. Как зависит от времени вектор состояния (волновая функция) в представлении Гайзенберга? 3. Записать выражение оператора эволюции через операторный ряд. Как определяется Т—ехр? 4. Как определяется зависимость от времени операторов в пред— ставлении Гайзенберга'? 5. Как определяется представление взаИМОДействия'? 6. Как зависит от времени вектор состояния (волновая фун… .г. ‚‹ в представлении взаим0действия? 7. Записать уравнение Шредингера в представлении взаимодей- ствия. 239
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Как ставится задача в нестационарной теории возмущений? Записать разложение в ряд вектора состояния в нестационар- ной теории возмущений. Записать через Т-ехр общее выражение вероятностей перехо- дов. Получить из общей формулы вероятность перехода в первом порядке теории возмущений. Записать критерий применимости нестационарной теории воз- мущений. Записать соотношение неопределенностей для энергии и вре- мени и объяснить его смысл. Чему равна вероятность перехода в единицу времени в непре- рывном спектре? Записать “золотое правило” Ферми. Дать понятие квазистационарного состояния. Какова СВЯЗЬ времени ЖИЗНИ КВЭЗИСТЕЪЦИОНЕЪРНОГО СОСТОЯНИЯ С ВЗРОЯТНОСТЬЮ перехода В единицу времени? Чему равна вероятность перехода при внезапном возмущении? Как изменяется волновая функция невырожденного уровня энергии под воздействием адиабатически медленно изменяю- щегося возмущения? В чем суть эффекта Ааронова—Бома? Чему равен квант магнитного потока? 240
Глава 12 Магнитные взаимодействия в нерелятивистской теории В этой главе рассмотрим, как следует учитывать магнит— ные взаимодействия в рамках нерелятивистской квантовой механики. Действительно, в курсе теории поля было пока- зано, что взаимодействие заряженной частицы с магнит- 'ным полем (других магнитных взаимодействий в классиче- ской электр0динамике нет, поскольку в ней не существует магнитного момента без зарЯДа) в принципе имеет реляти- вистский характер. Поэтому последовательный учет маг— нитных взаим0действий может быть проведен в результате вычисления релятивистских поправок к нерелятивистской теории. Для этого нужно, прежде всего, исх0дить из реля- тивистских представлений: 1) оперировать с 4-мерными понятиями, 2) привести уравнения к 4—мерной ковариантной записи, 3) после чего перейти к пределу и/с << 1. Релятивистская квантовая теория не только очень ин— тересная, но и, пожалуй, самая сложная область квантовой механики. Поэтому строгое изложение ее, к сожалению, далеко вых0дит за рамки нашего курса. Однако основные необходимые нам результаты можно получить, опираясь на 241
известные результаты из курса теории поля, принцип соот— ветствия и уже известные представления нерелятивистской квантовой механики. Вместе с тем далеко не все результа- ты, полученные даже на таком уровне, могут быть убеди— тельно и внятно интерпретированы. Поскольку для наших целей эти сложные места не будут иметь принципиального значения, мы не будем на них подробно останавливаться, ссылаясь на соответствующие учебные пособия. 12.1. Уравнение Клейна—Фока—Гордона Основная задача этой главы — получить операторы, оп: - сывающие взаИМОДействия магнитного момента электро— на с электромагнитным полем. Однако для лучшего ,по— нимания ПОДх0да к конструированию исх0дных уравнений движения (уравнения Дирака) хорошо начать с более про— стого случая, когда состояние частицы описывается только “классическими” физическими величинами. Поэтому обыч- но принято начинать изложение релятивистской квантовой механики с рассмотрения уравнения для бесспиновой ча— стицы. Состояние свободной частицы определяется 4-импульсом рі = (Е/с‚р)‚ поэтому согласно принципу соответствия следует сопоста- вить р’д —› 151“. С пространственными компонентами все по- нятно, а для определения “О”—компоненты будем исх0дить из временного уравнения Шредингера: ііід|Ф)/дг : НПФ). По определению1 Е : (Ф|Ё|Ф) : (Ф'ШЭЁ'Щ 1Этот же результат можно получить из гамильтонова формализма и представления волновой функции частицы как Ф : ехр(і?і_15'), тогда Е : —д$/сдг, р = 75. 242
Согласно принципу соответствия получаем А 8 Е: ^°=°п—. 12.10 ср 1 д, ( ; ИЛИ В КООРДИНдТНОМ ПРЭДСТЭВЛЭНИИ: _ 8 д ^2:71 ‚ . . ^°='л——; ^=—'№. 12.2 р 18:13, тер 10875 р 1 () Уравнение Шредингера — 3—мерное скалярное уравнение, где Ф — скалярная волновая функция (поле). Теперь же нам следует построить 4—мерное скалярное уравнение, но при этом Ф должна быть 4-мерным скаляром. Так же, как и для уравнения Шредингера для искомого уравне- ния мы должны поставить одно из основных требований — минимальный порядок, поскольку “лишний” порядок при- ведет к лишним решениям. При обосновании вида уравне— ния Шредингера обычно обращаются к постулату, опреде— ляющему вид волновой функции. Мы исходим из постула- та, что волновая функция частицы есть волна де Бройля, т.е. состояние частицы определяется энергией и импульсом (4—импульсом). Но в 4-мерном случае простейший скаляр— ный оператор, связывающий эти величины, — рірі : р2, т.е. (Е/ с)2 — р2 : (тс)2. Таким образом, уравнение, удовлетво- ряющее указанным требованиям, нужно записать в виде . д 2 . 2 2 (тс—д;) — (—1Ё7) Р _ (тс) Ф. (12.3) Или № д2Ф 0755? : (БРА _ (тс)2)11. Это — уравнение Клейна—Фока—Гордона (КФГ), которое должно определять движение нейтральной частицы, ли- бо заряженной частицы, описываемой скалярной волновой 243
функцией, в отсутствие внешнего поля. Видим, что напи- санное уравнение имеет второй порядок по времени, поэто— му оно дает Одинаковый результат для эволюции системы в будущее и в прошлое. Естественно, это большой недо- статок, который Однако прИВОДит к важным новым выво— дам при интерпретации получаемых результатов. Мы пока не будем останавливаться на этой первой трудности реля- тивистской квантовой механики, а только убедимся, что в нерелятивистском пределе уравнение КФГ перех0дит в уравнение Шредингера для свободной частицы. Действи- тельно, тогда Е % тс2, но поскольку в стационарном слу— чае ‘11(г,15) : ехр(—ій_1Ей)ф(г,7Ё)‚ мы должны искать вол— новую функцию в виде КПК, 75) : е—і'3—1тс2гщг). (12.4) Причем 1,0(1', 75) … ехр(—іГГ1ЕЁ), где в : Е —тс2. Проделаем небольшие выкладки: а_Ф : _ тС2Ф+ е—ій'1тс2й_д_‚ф_ дж: н дг ’ д2Ф @ д —і _ тс 112—8732 : (—(тС 22) ф_ 21Ё’ГГЬС2Б— + ‚12 292—1525) е Гъ 1 21. Очевидно, Ыдф/дц … |(Е — тс2)ф| << тс2 |ф|, поэтому Едут/8752 пренебрегаем и получаем уравнение Шрединге— ра для свободной частицы: 2 іді _—Ё—Аф. дЁ 2т В нерелятивистском случае мы придали волновой функ- ции смысл плотности вероятности, исходя из которого бы— ло получено уравнение непрерывности. Проделаем теперь с уравнением (12.3) процедуру, аналогичную той, которую 244
мы прОВОДили с уравнением Шредингера при выводе урав— нения непрерывности и выражения для плотности потока вероятности. Записывая уравнение для комплексно сопря- женной функции Ф*, а затем умножая его на функцию Ф и вычитая из уравнения (12.3), умноженного на Ф*, полу— чаем *д__2Ф д2Ф* 2 * * ИЛИ д 1 ЭФ (ЗЧ/* №№ ___Ф (% д )=с11у(1' мкр—Фут). Если теперь ввести по определению ‚О: 111 (Ф”‘д—Ф—ФЭФ); 2тс2 823 813 п 5: — 21—т(11*7к11— тис), (12.5) получим знакомое уравнение непрерывности: р-і— (ііхсі— — 0. (12.6) дб Как видим, в определение плотности вх0дит, наряду с Ф, также дФ/дй, поэтому р не имеет определенного знака. Кроме того, поскольку уравнение (12.3) второго порядка по 15, следует задавать в начальный момент времени как Ф, так и дР/дй. Если же выражения (12.5) умножить на элемен- тарный заряд @, получатся компоненты для 4-плотности тока И и соответствующее уравнение непрерывности для плотности тока. Таким образом, в релятивистском случае мы требуем от волновой функции, чтобы она определяла плотность распределения заряда и плотность тока. Однако бесспиновые частицы могут быть как заряженными, так и 245
нейтральными, поэтому такая простая интерпретация тре— бует дальнейших пояснений. Будем искать решение уравнения (12.3) в виде плоской волны Ф(г‚ $) = АеіО‘Г—ш‘). (12.7) Для частоты (энергии) частицы получаем связь с волно- вым вектором (импульсом): Нш : ісх/р2 + т2с2 : АЕ… (12.8) т.е. есть два решения и новое квантовое число А = :!:1. Поскольку энергия частицы в релятивистской физике не может быть отрицательна, для интерпретации полученно- го результата было введено понятие частиц (А : +1) и античастиц (А = —1). Так как уравнение (12.3) второго порядка, решение его в общем случае есть суперпозиция состояний частицы и античастицы. Как видим, такая ин- терпретация в рамках одночастичной квантовой механики совершенно непонятна. Однако она иллюстрирует факт су- щественно многонастинного …триктери релятивистской квантовой мешаники. Запишем для волновой функции (12.7) плотность рас- пределения зарЯДа: 671 2 ей 2 Видно, что / : +1 описывает частицу с зарядом е, а / = = —1 — с зарядом —е. Уравнение (12.3) можно свести к системе уравнений первого порядка относительно произвщной по времени. Для этого будем искать решение в виде дт Ф : 90 + х; тё- : тс2(‹р — х). (12.10) 246
Тогда уравнение (12.3) принимает вид ‚5,2 1 д 2 2 2 ; (№№ (яд—х)) — п А(‹р+х)—тс (их). (12… Уравнение (12.11) можно представить в виде системы двух связанных уравнений первого порядка относительно про— ИЗВОДНОЙ по времени: ійдср/ді : — (п2/2т) А(‹р + х) + №290, тах/аг : (в?/2771) А(‹р + х) + тс2Х- } (1212) ВВОДЯ вектор ]? = ( 9; ), перепишем систему уравнений (12.12) в векторной форме: . д_‘1’ _ —(й2/2т)А+тс2 —(Гъ2/2т)А 90 _ 171 дЁ _( (712/2т)А (Н2/2т) А—тс2 > ( х) _ (12.13) п? 2 1 о . 712 0 —і Запишем с помощью матриц Паули т _ О 1 _ т _ О —і _ 1 _ 1 0 ’ 2 і 0 ’ _ 1 О _ 1_ 1 О ТЗ ‘ о —1 ’ _ о 1 оператор в фигурных скобках уравнения (12.13): Ё} = (ТЗ + іт2)р2/2т + тС2’Г3. Теперь уравнение (12.13) принимает вид, похожий на урав— нение Шредингера: (нада2 — Щур : 0, (12.14) 247
где оператор Ё]: нужно понимать как гамильтониан реля— тивистской частицы. Как видим, уравнение Клейна—Фока— Гордона удалось свести к уравнению первого порядка по времени ценой допущения многокомпонентности волновой функции и введения дополнительного вектора для постро- ения релятивистского гамильтониана. Компоненты этого вектора — матрицы. Заметим также, что плотность заря- да определяется как р : е(‹,0*‹р — х*х) : 6Ф+73Р, где 11+ : (‹р*,х*). Таким образом, физический смысл двух компонент волновой функции состоит в том, что в общем случае она есть суперпозиция состояний с различными за- рЯДами (частицы и античастицы). Мы здесь не будем записывать уравнение КФГ для за- ряженной частицы в электромагнитном поле, поскольку нас интересует уравнение Дирака для электрона, которое мы запишем сначала без поля, а затем при наличии поля. Уравнение Клейна—Фока—Гордона нам понадобилось для того, чтобы проиллюстрировать основные принципы и рас— суждения, которые остаются общими при построении реля- тивистски ковариантных уравнений2. ` 12.2. Уравнение Дирака Для электрона помимо заряда существует еще Одна сте- пень свободы: собственный момент (спин), поэтому волно- вая функция должна быть обязательно многокомпонент- ной, причем ее ранг должен быть больше, чем для бесспи- новой частицы. Будем исходить из того факта, что, без- условно, должно быть справедливо уравнение второго 110- рядка относительно производной по времени — уравнение КФГ. Поэтому мы будем его использовать в качестве про— 2Более общие принципы рассматриваются в квантовой теории по- ля. 248
верки правильности дальнейших рассуждений. Начнем с обоснования уравнения для сво60дного элек— трона, т.е. в отсутствие электромагнитного поля. Посколь— ку нам нужно построить 4—мерный скалярный оператор, со- держащий только первую производную по времени, наряду с уже имеющимся оператором 4—импульса ;ді следует ввести некоторый вспомогательный 4-вектор *уі, скалярное произ- ведение которого с имеющимся 4—оператором даст необхо- димый 4-іпу. Будем исх0дить из требования: ”уз-р, = тс, тогда имеем - д ’УЪЙ‘Р : 17170673191! — ’УЁФ : тс‘Р. (12.15) Свести уравнение (12.15) к уравнению (КФГ) мешает 70, поэтому умножим все уравнение на обратную матрицу суд—1 и обозначим суд—1 : В, 70— 17 = а, получаем (№5215 — вар —- Втс2) Р : 0. (12.16) П0действуем слева на уравнение (12.16) оператором (ійд/ 815+ +са1^э + Втс2), получаем 2 {—п2%5—с2(ар)(ар) — [Ро/пё)?— —тс2(‚8а + а5)р}‘11 : 0. (12.17) Для того чтобы получилось уравнение (КФГ), необходимо потребовать выполнения определенных условий для ком— понент вектора 04. Для выяснения этих условий перепишем уравнение (12.17) в виде 82 1 - ^ ^ {_п2д—ЁБ _ 5С2(а„о‹„ ' (У!/“ЮИД?” _ ‚82(тс2)2— 249
— тс2(Дос„ + адб)р„}11 : 0. (12.18) Теперь получаем, что компоненты матриц В и а должны удовлетворять условиям 2_ _ В —1, адау+аиад _ Ж…, } (12.19) Вад +адб : О ВИДИМ, что компоненты вектора 773 не просто числа, а опе- раторы. Очевидно, компоненты 4—вектора *уі должны быть матрицами, ранг которых совпадает с рангом волновой функции. Из условий (12.19) видно, что 04,2, : 52 = 1, по— этому 761 = 70 = 6. Так как 52 = 1, то для собственных функций этого оператора Б'ф : Аф имеем собственные зна- чения А = :}:1. Совершенно аналогично для операторов а: огдф : /ф —› А = 11. Однако операторы В и ад между собой не коммутируют, поэтому можно выбрать представ- ление, в котором диагонален только ОДИН из операторов. Выберем представление, в котором матрица В диагональ— на: ( ” 1 О . . . О 1 О В = —1 0 О О —1 т ) Здесь п значений / : +1 и т значений А = —1. Минималь— ный ранг матрицы @ — 2 ›‹ 2, при этом она не может быть единичной, поскольку тогда бы она коммутировала со все- ми матрицами, что противоречит уСловиям. С другой сто— роны, видно, что матрицы В и ад антикоммутируют так же, как матрицы Паули. Итак, рассмотрим 01335 -|— 5043; = О, 250
тогда, т.к. ‚В,-;, : Ад,-д.„ имеем (аш)№_д№ +Вд1-(Оддд)„с : 0, или (а$)ъ'1с(дісв + ди) : 0. .Если ‚6,7; : Вы… то (СИМ: : 0. Если Ві,- # Вы… тогда Б„- :: _ДЗЫС и (она,)“,? не обязательно : О. Ит; этих соотношений следует, что 04 _ О 051 $13 (12 О 7 где 041 — матрица п >< т. Далее, поскольку 043, = 1, име- ем: 041042 : 1 — единичная матрица ранга п, а 042041 : 1 — единичная матрица ранга т. Рассмотрим матрицы минимального ранга. 1)п=т=1,тогдад=ад =((1) _01), 04$: 033, от : ау, но для а; уже нет независимой матрицы. Следовательно, п : т : 1 не годится; ). Соот— ветственх-ю д, ад дд 10 №1: 5 (“”>: „2; ыЗ : 0 1 - Из последнего соотношения следует, что д!) : О, (ЪБ : О и получаем, что матриц, удовлетворяющих данным услови- ям, нет; 3) п = 2, т : 2. Мы знаем, что полный набор матриц 2 >< 2 — это матрицы Паули и единичная матрица. Поскольку среди матриц о… нет единичной, остаются три матрицы ©? 91 2) п = 1, т : 2, тогда щ : (а„Ь), (х2 : ( 0 ад Паули, и получаем от = , т.е. ад 0 251
1000 0001 0100 0010 [3— 00—1 0 ’““Б— 0100 ’(12'20) 000—1 1000 ООО—і 0010 а_0010 а—ООО_1 ?! 0—100’2—1000’ 1000 0—100 ИЛИ 10 00 д=<о—і› “=<а 0) Итак, мы получили, что Р — есть 4—компонентная функция: №1 _ №2 ‘Р_ ФЗ №4 12.3. Двухкомпонентное представление Таким образом, уравнение Дирака для электрона имеет вид д А іГъ—Ф : НВФ, (12.21) а: где ВВВДВН ГаМИЛЬТОНИЕЪН Дирака: Ёд : сар + Бтс2. (12.22) Поскольку состояние свободной частицы определяется волной де Бройля, четырехкомпонентная волновая функ— ция должна иметь вид Ф(г,15) : пет—чрг—ЕЁ) : иеш‘г—ш). (12.23) 252
Тогда ійдФ/дй : ЕФ; рт : рР, и получаем систему алгебраических уравнений: (Е — сар — Вто?) и = 0. (12.24) Запишем для большей наглядности эту систему 4—х урав— нений в явном виде: Е — тс2 0 —ср2 _С(р$_іРу) щ О Е—тс2 —с(ра; + 11731) СР; 11,2 _ О . 2 _ ' —ср2 —с(р$ —1ру) Е+тс 0 из —с(рш+іру) ср; 0 Е +тс2 и4 Легко найти собственные значения матрицы — уровни энер- гии частицы: (Е2 _ 62292 _ (тс2)2)2 : 0 или ЕЁ : :!:Ер : :|:сх/р2 + 771%2 : АЕр. Имеем два двукратно вырожденных уровня энергии. Обос- нование двух знаков энергии и физический смысл получен— ного результата такие же, как и для бесспиновой частицы. Существует два сорта частиц: частицы — с положитель- ной энергией и античастицы — с отрицательной энергией. Общее решение есть суперпозиция состояний, описываю- щих как частицы, так и античастицы. Далее можно найти и собственные векторы щ, однако удобнее перейти от 4— компонентного к 2-компонентному представлению: $0 = ( №1 ) И ›‹ = ( ‚Ё ) ; ‹р = фоеі(к_°’°- (12—25) №2 Тогда уравнение (12.21) принимает вид іГъдф/ді : с(ар)х + тс2ср, . А 2 (12.26) тдх/дй : с(0'р)ср — тс х. 253
Для сво60дной частицы (плоской волны) эта система Имеет вид (Е — тё2)90 + С(0р)х = 0‚ 12.27 { с(ар)‹р — (Е+тс2)х : О. ( ) Из второго уравнения можно выразить Х через ‹р: стр) : —— . 12.28 “1 Если ср : ( и ), то 4—компонентная волновая функция 2 имеет вид _ (РО ПЭ,—1 рг—АЕ 71 ФР’А _ А ( [с(0р)/(тс2 + АЕрЛ 900) 6 ( р )° (12.29) Пусть / : +1 (частица, электрон), тогда Ер % тс2+р2/2т‚ и получаем р |х| т —|‹›0| << |Ф!— тс Поэтому для / : +1 Фри переходит в двухкомпонентную функцию: Ф1г›‚+1 _* фр‚+1 : ( 112 ) він—Чрг—Ерц- (12-30) В таком случае обычно называют ср и Х соответственно большими и малыми компонентами. Если А = —1 (античастица), удобнее выразить ср через : ‹ > с ар : —— _ . 12.31 (Ро,—1 тс2+ЕрХ0’ 1 ( ) Тогда в нерелятивистском случае ‹р0‚_1 << х0‚_1 и соответ- ственно Фр‚_1 —+ ХД.1 : ( 33 )еі“_1<РГ+Ер*>. (12.32) 254
Вернемся к случаю А : +1. Видно, что двухкомпонент— “1 ная функция и выражается через спиновые функции 2 спина 3 = 1/2 в соответствии с формулами (6.79) и (6.80): ( Ё; ) =и1( ё ) +и2< (1) ) =и1|+)+и2|—). (12.33) 12.4. Плотность заряда и плотность тока дираковской частицы Плотность заряда по определению есть р : еФ+Ф : е(‹‚о+‹р + х+х). (12.34) Для плотности заряда должно выполняться уравнение непрерывности, поэтому нам нужно получить из уравне— ния Дирака выражение для плотности тока. Запишем его в виде 8 д тс2 —11 ———11 ' —Ф : 0. 12.35 (915 + со… дазд + 16 Б ( ) Уравнение, эрмитовски сопряженное к (12.35), получаем, + _ + _ + . учитывая, что ад — ад, (адф) _— Ф ад. (9 д тс2 ——Р+ —Р+ —` —Р+ : 0. 12.36 ді + двс„ со… 15 71 ( ) Умножим уравнение (12.35) на 11+ слева, а уравнение (12.36) на 11 справа и сложим их: Ф+ЁЁЪФ + (;&-Фт“) Ф+ а 8 + _ _ + _ +с(Ф ““дш„Ф+(дш„Ф утр) _о‚ 255
ИЛИ д 8 — Ф+Ф _ Ф+ Ф : 0. 12.37 дЁ ( ) + д$„с( ад ) ( ) Таким образом, получаем следующие определения: ‚0 : еФЁ‘Фі : еФ+Ф _і : есФЁаідФК : есФ+аФ ° (1238) Запишем теперь выражение для плотности тока части— цы в нерелятивистском приближении, используя двухком— понентное представление. Имеем @@ : —іпШср. (12—39) Х … 2тс 2тс Учтем хорошо известное соотношение для матриц Паули (6.78): (ПЁ)2 = тетрадь = діыдіідк = 152 и получим окончательно [32 ‚0 : 690+ (1+ №) (‚О. (12.40) Для плотности тока имеем 3 = еС(‹Р+ах + №090) % ' Е Ю (‹р+а(07)‹,0 — (07)‹р+0'‹р) . (12.41) 22 2т Вспоминая, что Срд,/7,1 : дім/71; + іедиАпуО-А : 7” + іед„‚7„0'А‚ получаем __ іей + + 1——%-{(‹р Чэд—(790 )ср)+ +і‹.о+[т7ф›‹о1—[а›‹(ио+›1яо}= __Ё + _ + ЕЁ + — 2т (‹р (790) (№0 )ф)+2тгог(ео ст)— (12—42) 256
Как видно, появляется дополнительный вклад в плотность тока, связанный со спином частицы. Ниже мы покажем. что этот вклад обусловлен собственным магнитным момен— том частицы, обладающей отличным от нуля спином. Маг— нитный момент при этом определяется как Е Е А 1 и : ;ЁЮЬЦЫЬ 090)— — тіпсз’ где 5 : ёсрЙтср. (12.43) 12.5. Уравнение Дирака для заряженной частицы в электромагнитном поле. Уравнение Паули Для заряженной частицы в электромагнитном поле в урав- нении Дирака следует учесть, что обобщенный импульс ча- стицы зависит от 4-потенциапа Аі. Поэтому согласно прин- ципу соответствия следует перейти от классического соот- ношения к операторам: Рё : 1013 + ЁАі —› Г” : 351+ ЁЁ. (12.44) Выразим операторы @“ через обобщенные импульсы и под- ставим их в исходное уравнение: су,; (131 — ЁЁ“) 11 : тс2Ф. (12.45) Далее получаем уравнение Дирака для частицы в электро- магнитном поле: (іН—Ё— — №) _ —са (13 — Здесь Аі : (ф, А). О|СЬ А) Ф + Втс2Ф. (12.46) 257
Это уравнение также удобно записать в двухкомпонент- ном представлении: (вид ›‹ + (еф + тёма, (бг/СЖ 90 + (еф — тс2)х— (12.47) В стационарном случае Ф … ехр(—17Г1ЕЁ), поэтому систе- ма (12.47) переходит в систему уравнений іБдф/дй : са @ _ ійдх/дг 1,5 — СО' (Е — еф — тс2) ‹,0 : са Ё— (е/с)д х, (12.48) (Е—еф+тс2)х : ест (е/с)А ‹р. Для электрона в нерелятивистском случае, когда Е % % тс2 >> р2/2т — еф, имеем (13 ' {> % . (12.49) Х 2тс “9 Обозначим Е —— тс2 : е — энергия частицы без учета энер- гии покоя (“обычная”, классическая энергия нерелятивист- ской частицы), тогда уравнение для большой компоненты ПРИНИМЭВТ ВИД ^ А 2 [О (Р — А)] (6 — еф) ср : ' 2т ср. (12.50) ОКО Далее вспомним хорошо известные соотношения для опе- раторов Паули и преобразуем правую часть уравнения: ада„ (Ё, —’ ЁАд) (Ё, — ЁАи) : С : Р——А) '„ (Р ——А)(Р„——А‚‚)= ( с +1еддад # с д с 258
2 ^ А А) — іёе,„,‚›`()')` (рд/і„ + Адри) : ” /' О) | || А О) | пісьпісьпісо 2 ^ А А) _ і—Ё-едщщ (Р„А„ —А„Р„) : 2 А) — іЁСЁаго’БА. Здесь мы приняли во внимание, что РдАи — А„Рд : = [Р… А„] : —ійдА,‚/д:сд. Учитывая также, что гоЕА : ”Н — магнитное поле, получаем уравнение Паули: 1 ^ е 2 ед еср : {— (Р — —А) + еф — —0’Н} ‹р. (12.51) 2771 с 2тс Таким образом, в нерелятивистском случае в уравнении Шредингера следует писать гамильтониан Паули: А 1 А в 2 ^ НР : — (Р — —А) + еф _ мэн, (12.52) 2т с где ей/2тс : и — магнитный момент частицы. Для элек- трона ц : —д0 — магнетон Бораз. Как видим, гамильтониан Паули (как и гамильтониан Дирака) зависит не только от величины магнитного поля, но и от потенциалов (ф, А). Однако потенциалы определе— ны не0днозначно, поскольку имеющие непосредственный физический смысл поля определяются произв0дными от компонент 4-потенциала и инвариантны относительно ка- либровочного преобразования потенциалов: д)“ Аі = А” . + дзе, (12.53) 3В классической электродинамике е/2тс — гиромагнитное отно— шение нерелятивистской частицы с зарядом 6. Поскольку Гъ — квант момента импульса, получаем, что до — квант магнитного момента. 259
Очевидно, что уравнение Шредингера также должно быть инвариантно относительно такого калибровочного преоб- разования. Однако легко видеть, что формальная заме— на потенциалов в гамильтониане изменяет вид уравнения. Таким образом, Одновременно с преобразованием (12.53) необхщимо преобразовать и волновую функцию. Посколь- ку прямой физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее МОДуля (или другая билинейная комбинация), физические результаты не могут измениться при изменении фазы волновой функции. Таким образом, можно видеть, что, делая замену волновой функции Ф : е—іеі/“СФ’ (12.54) при одновременном преобразовании (12.53), сохраняем вид уравнения Шредингера. Действительно: “1595$: е—іеі/№{Ёдд_{Ф/+ тай/} (13—52- )2Р=(і5—Ё )е—іві/дс ((Ё—ЁА>Ф’—Ё7іф’): : е—іеі/т (13— ЁА — Зи) (13— ЁА — Зи)? : :е—іеі/Нс(^_ ЁА‚)2Р‚. С Подставляя полученные выражения в уравнение Паули, имеем ‚дР’ 1 А в ‚2 ‚ , где д 1 А’=А+7і‚ ф’=ф———і. сд]: Упражнение Показать, что уравнение Дирака инвариантно относи- тельно калибровочного преобразования. 26.0
12.6. Спин—орбитальное взаимодействие Рассмотрим теперь нерелятивистский предел уравнения Дирака в статическом электрическом поле. Заметим, что в нерелятивистском приближении Е — то2 = &: << то2 и волновую функцию частицы можно представить в ВИДе 110375) : е_ітс2Ё/п'ф (г, 13), Ин 7С) : (900310) _ х(г‚ 15) Система уравнений (12.47) для двухкомпонентного при— ближения принимает вид иде/дд с(‹тъ^>)х + 645% (12 55) індхдг : с(01^›)‹р + (еф — 2тс2>х- ` где Обозначим еф : У(г). В первом приближении с учетом членов первого порядка по 0/0 для малой компоненты по— лучаем выражение (12.39). П0дставляя это выражение в производную по времени, получаем выражение для малой компоненты Х с учетом квадратичных по и /с членов: [(ср) + №) —т— д 1 Хо) : _ ^ — ^ — . 12.5 2тс 2тс2(ОР) 2тс2(ОР)дй (Р ( б) П0дставляя теперь выражение (12.56) в первое уравнение системы (12.55) и учитывая, что (с'р)2 : 132, получаем ^2 . р дср _ 171 (1 + 47…32) 875 _ ^2 : (2- + ит) + (4— арщгжат) за (12.57) 2т 2тс)2 ( 261
Заметим, что с точностью до членов второго порядка по о/с произведение ^2 ^2 ^ 2 4 1 _— р 1 + р = 1 — р ж 1 4тс2 4тс2 4тс2 Таким образом, находясь в рамках приближения можно считать, что А 2 А 2 _1 р р 1 — = 1 12. ( 4тс2) ( + 4тс2> ( 58) Согласно формуле (12.58) уравнение (12.57) можно преоб— разовать, удерживая только квадратичные по и/с члены, к виду - 890 _ ^/ тЫ — Н ‹р, (12.59) где ^, 132 152 1 ^ , Уравнение (12.59) похоже на стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (12.60), поэтому возникает соблазн сопоставить оператору, стоящему слева, гамильто- ниан с учетом квадратичных по и /с релятивистских попра- вок. Однако это было бы неверным, поскольку физический смысл волновой функции уравнения Шредингера состоит в том, что квадрат ее модуля есть плотность вероятности обнаружить частицу в данном состоянии. Функция ср та- ким смыслом не обладает, поскольку согласно определению (12.34) плотность вероятности есть |ср|2 + | х|2. Попробуем найти такое преобразование 5, чтобы вы- полнялось условие4: /сіг|д‹р|2 Е /с1г|Ф|2 =/(11°(|90|2+ |х|2). (12.61) 4Здесь следует понимать |<,о|2 : 90+ср. 262
Тогда функция Ф будет обладать требуемым физическим смыслом, а оператор ОН ’ О 1=Н будет иметь смысл га- мильтониана @ точностью до квадратичных по .о/с членов. Поцставим в условие (12.61) выражение для малой ком- поненты (12.39), и с учетом (с'р)2 : 132 получаем 2 152 /‹і1°|Ф| =/&Гф+(1+4т2с2)ф, откуда следует, что искомый оператор (с точностью до (о/с)2) есть А 132 1/2 132 0 = 1 _ % 1 —. 12.62 ( + 4т2с2) + 8т2с2 ( ) Поскольку оператор @ отличен от единицы только во втором порядке по малому параметру, преобразование ‹р ——› Ф не затрагивает уравнения первого приближения, где функция ср с той же точностью нормирована. Осталось определить гамильтониан во втором приближении. Вновь-, сохраняя только квадратичные по о/с слагаемые, получаем ^ 2 ^ 4 ^ Р Р Н = _ _ —3—2 2771 8т с 1 А2 1 , ‚, _ —4т2с2р ит) + ——4т2с2 (ар)У(г)(ар)— + шт) + %% [ную] — Коммутатор легко преобразуется: [13% У(г)] : _пщзт/(г) : —2п2ш/(г) — апт/(гла Соответственно Гэд/(Г) = [ЁЁ шт)] + “10152 Осталось преобразовать последний член: (О'Ё)У(Г) (013) : бибирдури : 13713 + іедиАО'АриУри : : [р, ир + из? + а („№/(г) ›‹ р]) . 263
ОКОНЧЕЪТЭЛЬНО ПОЛУЧЭВМ ИСКОМЬ1Й ГдМИЛЬТОНИЕЪНі ^ 132 н = — У — 2т + (Р) р4 1—12 _ 8771302 + 8т2с2 АУ(1°) + (ОПП/(г) ›‹ р]). (12.63) Гь (2тс)2 Таким образом, гамильтониан стационарного уравне— ния Шредингера можно представить в виде Ё : Йо + №1 + {472 + $473, (12.64) где обозначения очевидны. №1 и №2 не зависят от 0' и для нас не имеют принципиального значения. Остается взаимо- действие И/з. Поскольку ЧУ : —68‚ где 8 — электрическое поле, имеем іі, _— а 8 ›‹ р . 12.65 (2…)2 ‹ [ 1) ‹ > Для выяснения сути этого взаимодействия заменим опера- торы физических величин соответствующими им средними значениями: $473:— <шз> = —(2—‚Ё—д)—2<а>[г ›‹ <р>1. Поскольку (р) : ту и (Н/ 2тс)(а) / 2 = (и), получаем ! № = —<и>[8 ›‹ ;]. Выражение [8 ›‹ у /с] : ’Н — магнитное поле в системе, где частица покоится. (И/з) : —(и)’Н‚ поэтому и оператор И/з можно представить как 1473 : —(д‘Н). (12.66) 264
Пусть У(г) : УО“) — центральное поле, тогда ЧУ : шіУ/сіт, и оператор (12.65) имеет вид л? 147 Й7 : _— ^ —— 12.67 3 (2тс)2 (П[Г Х РЮТ (і’Г › ( ) но ст / 2 : 53; [Г Х {)] : Ы. Окончательно получаем А 712 (П/ ^ А И/ : —— ^1 =А ^1. 12.68 3 Джу, („ (в) <т><з> ‹ > Для кулоновского потенциала У : _Ее2/Т получаем выражение, определяющее характерную величину спин— орбитального взаим0действия: 282Ё2 12.7. Оператор магнитного момента в квантовой Механике Понятие магнитного момента играет важную роль в кван- товой механике. Если в классической физике магнитный момент связан только с орбитальным движением заряжен— ных частиц, то в квантовой механике магнитный момент связан не только с заряженными частицами, но и части- цами, обладающими спином и отличной от нуля массой. Более того, именно непосредственная связь магнитного мо— мента частицы и спина обусловила возможность обнаруже- ния у частиц существенно квантовой физической величи— ны: спинового момента. Из классической электр0динамики хорошо известно, что система заряженных частиц, имеющая орбитальный момент импульса М : Еда >< ра], обладает также и маг— нитным моментом М. Например, для двух нерелятивист- ских частиц с зарядами и массами 61, 62 и 777,1, т2 в системе 265
центра М&СС имеем 1 м_ _ (и + е_г) ШМ, (…… 20 пт т1 + т2 где М — орбитальный момент в системе центра масс. В общем случае выражение для магнитного момента системы заряженных частиц в произвольной системе отсчета имеет вид 1 М : Ёб ;Зай‘а >< ма]. (12.71) Естественно, заряд частицы еа учитывается с соответству— ющим знаком. Если отношение заряда к массе для всех частиц одинаково, то 8 __203610 „= ———М. 12. М 27710 т[г><г] 2тс ( 72) В этом случае для системы зарЯДов можно ввести единое гиромагнитное отношение —— отношение магнитного момен- та к орбитальному, которое равно в (12.73) ’У — % В квантовой механике мы должны физическим величи- нам сопоставить операторы. Поскольку орбитальный мо- мент принято измерять в квантовой механике в единицах іі, оператор магнитного момента Д частицы связан с орби- тальным моментом 1 очевидным соотношением: іеід _ і— ” 2т 613 „01. (12.74) Константа до называется магнетоном частицы и по опреде- лению положителъна. По определению магнитный момент — это максимальная проекция оператора магнитного мо- мента на какую—либо ось. Для орбитального движения он 266
совпадает с магнетоном частицы. Гиромагнитное отноше— ние имеет знак, совпадающий со знаком заряда частицы. Для собственного магнитного момента частицы, свят ванного со спином, такие простые рассуждения провести нельзя, поскольку для него нет классической интерпрета- ции и нет возможности воспользоваться принципом соот- ветствия. Однако в параграфе 12.5 мы видели, что для электрона связь магнитного момента и спина устанавли- ваются аналогичным соотношением. Если принять опреде- ление магнитного момента как значение его максимальной проекции, мы получим, что для спина 5 = 1/2 она в два раза больше, чем следующая из формальной подстановки в определение (12.74) оператора спинового момента. Бо- лее того, соотношение для магнитного момента частицы со спином было получено в нулевом порЯДке по отношению к (и : 11/0. Поэтому полученную связь следует обобщить и записать по определению: . ‚& ‚иё/3. (12.75) В данном определении магнитный момент ‚и — константа, значение которой различно для различных частиц. Как мы видели, для электрона магнитный момент ей ‚и, % —. (12.76) 2тс Вообще, как показывается в квантовой электродинамике, соотношение (12.76) имеет место для всех лептонов (с от- личной от нуля массой), т.е. для электрона, позитрона, мю- онов. Оператор магнитного момента, связанного со спином частицы, можно определить через гиромагнитное отноше— ние так же, как и для орбитального момента: ,и : из. (12.77) 267
Сравнивая два определения, видим, что величина гиромаг— нитного отношения и магнитного момента связаны про- стым соотношением: 7 : д/Бв. (12.78) Для лептонов с точностью до членов порядка а гиромаг— нитное отношение для спинового момента в два раза боль- ше, чем для орбитального момента. Наконец, приведем еще одно определение оператора магнитного момента, выраженное через магнетон частицы: . 1:1, : удоё. (12.79) Здесь константа @ называется 9-фактором частицы. Для электрона ‚ио — магнетон Бора, а 9 % —2. Для лептонов 9 % % 3:2. Для нуклонов соответствующий магнетон вы— ражается через массу протона М„ и называется ядерным магнетоном: _ іеій 2Мрс Соответственно 9-факторы равны для протона ур % +5, 585 и для нейтрона уп % —3, 826. Запишем, как и для гиромагнитного соотношения, связь магнитного момента частицы с ее магнетоном: ‚ЦМ (12.80) ‚и : уров. (12.81) Так, для протона и нейтрона соответственно получаем др % 2, 79дм ‚ип % —1,91,ы№. (12.82) В заключение параграфа еще раз повторим все три определения оператора магнитного момента: ;] : „ё,/3 : Бхуё : удоё. (12.83) 268
Вопросы для самоконтроля 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. Записать оператор 4—импульса. Записать уравнение Клейна—Фока—Гордона (КФГ). Получить уравнение непрерывности и дать определение плот— ности заряда в теории КФГ. Какой смысл имеет двукратное вырождение уровня энергии свободной частицы? Записать уравнение Дирака свободной частицы. Какой вид имеют матрицы Дирака &? Записать уравнение Дирака в двухкомпонентном представле- нии. Проделать в двухкомпонентном представлении переход к реше- нию в нерелятивистском пределе. Что такое большие и малые компоненты? Чему равны плотность заряда и плотность тока дираковской частицы? Получить вектор плотности тока дираковской частицы в нере— лятивистском пределе. Записать уравнение Дирака в электромагнитном поле. Показать, что уравнение Дирака калибровочно инвариантно. Получить нерелятивистский предел уравнения Дирака в элек— тромагнитном поле. Записать гамильтониан Паули. Показать калибровочную инвариантность уравнения Паули. Записать оператор спин-орбитального взаимодействия. Какой вид имеет оператор спин—орбитального взаимодействия в центральном поле? Какой знак имеет константа спин—орбитального взаим0дей- ствия в кулоновском поле? Дать определение оператора магнитного момента орбитально- го движения. Записать определение оператора собственного магнитного мо- мента частицы. записать СВЯЗЬ между М&ГНИТНЬіМ МОМСНТОМ, ГИРОМдГНИТНЬіМ ОТНОШЭНИЗМ И М&ГНЭТОНОМ ЧдСТИЦЬі. 269
Глава 13 Сложение моментов 13.1. Прямое произведение Понятие прямого произведения в квантовой механике ис- пользуется очень часто, хотя и применяется в основном в неявном виде. Прямое произведение возникает всегда при описании сложных систем или в случае, когда использу- ется несколько различных переменных. Чаще всего такая задача возникает при рассмотрении системы, состоящей из нескольких невзаИМОДействующих подсистем (частиц). В частности, она обязательно возникает при рассмотрении задачи о сложении моментов. Поэтому прежде чем перейти к рассмотрению задачи о сложении моментов мы вспомним математическое приложение, поскольку неявное использо- вание понятий при первом знакомстве может прИВОДить к недоразумениям. Рассмотрим две невзаим0действующие ПОДсистемы. Пусть состояния первой подсистемы описываются систе- мой векторов |т1)‚ а второй — |т2). Будем считать, что эти системы векторов составляют базисы. Соответствующее число независимых векторов состояний первой ПОДсисте- мы №1, а второй — №2. Число состояний в совместной си- стеме равно ‚Мг./№2, а каждое состояние определяется парой независимых чисел т1 и т2, которые мы упорядочим: |т1,т2) : |т1)|т2), (13.1) 270
т.е. каждое СОСТОЯНРЮ первой системы |т1> может одновре- менно существовать С любым состоянием второй системы |т2). Векторы В сопряженном пространстве есть: <т1›т2| = <т2|<т1|- Скалярное произведение есть (т’1‚т’2|т1‚т2) : <ті|т1><ті2|т2> : бт’1‚т1бт3_‚т2- (132) На каждую подсистему действуют свои операторы. Любые два оператора, действующие на разные подсистемы, между собой коммутируют. Пусть оператор Ё1 действует только на переменные первой п0дсистемы‚ а Ё2 — на переменные второй педсистемы, т.е. Ё1|тьтг> = (Ё1іт1>)|т2> = =2ь1‚…‚1‚…1|…;>|т2> ; Ема… т’1‚т2>‚ (13.3) т’1 т’1 Ё2|т1‚т2> = |т1>(Ё2|т2>) = = }: Ь2‚т’2‚т2|т1>|т‚2> Е }: Ь2‚т’2‚т2'т17 т/2>- (13-4) / / Формулы (13.3) и (13.4) записаны не совсем корректно: опе— ратор 2:1, действующий только на переменные первой ПОД- системы, определен в пространстве размерности №1. Как он действует в пространстве размерности АДА/2? Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим дру- гой пример: как действует произведение операторов Ё1Ё2 на векторы состояний (13.1)? Произведение операторов из двух разных подпространств 13122 есть оператор в про- 271
странстве размерности АНА/2: Ётігітьтй =(Ё1іт1>)(1^32|т2>) = : 2 Ь1‚т’1‚т1|т/1> 2 Ь2‚тё‚т2 |ті2> : т’1 % = 2 Ь1‚т‚1‚…1Ь2‚…‚2‚…2|т’1‚т’2>. (13.5) тгт’г Запишем матричный элемент оператора Ё1Ё2: <т’1›т’2|Ё1Ё2|т1›т2> = (т’2|(<т’121|т1>)(Ё2|т2>) = = <т’13’1іт1><т/2|(1^32|т2> = Ь1‚т’1‚т1Ь2‚т’2‚т2° (13-63) В этом случае, как видим, матрицы операторов 2:1 и 52 пе— ремножаются согласно определению прямого произведения матриц. Пусть есть две матрицы А и В, например: ^ 0,11 012 ^ 1311 512 А = В = . 13.7 ( 021 6122 ) ’ ( 021 1922 > ( ) ПРЯМЫМ произведением матриц НЭЗЬ1ВЭВТСЯ матрица. №39: @ПЁ (‘ШЁ : 6213 6122]3 011511 6111512 012511 (1121912 _ 6111521 011522 012521 (№522 (13 8) 021511 021512 (122611 6122512 0211921 021522 022521 0221322 Таким образом, произведение матриц операторов Д и Ь2 в формуле (13.6) прОВОДится согласно примеру (13.8). Для прямого произведения имеются важные свойства: 1. зря @ Ё = (зрджзрв). (13.9) 272
2. Если 141,142 И В1, В2 — соответственно квадратные матрицы Одинакового ранга, то обычное произведе— ние матриц (21 @ Ё1>(А`2 @ Ё2) : (2122) @ (1513$). (13.10) Первое свойство очевидно, а второе легко проверяется на примере операторов. Заметим, что произведению операто— ров Ё1 и 2:2, действующих на одну и ту же систему, соот— ветствует обычное произведение матриц. Теперь можно ответить на вопрос, который возник в ре- зультате вывода формул (13.3) и (13.4). Оператор Ё1 нужно умножить на единичный оператор размерности №2 справа, а оператор Ё2 — на 1 слева: &=&-1, 22:1-52. (13.11) Теперь запишем Е1ітът2)=(Ё1іт1>)(і|т2>)= Ь1,т’1‚т1|т‚1>|т2>7 ті (13.12) 22|т1‚т2)= (1|тг))(Ё2|т2> )=2Ь2‚т2,т2|т1>|т2> т2 (13.13) Поскольку “строгая” запись (13.12), (13.13) и “укороченная” (13.3), (13.4) приводят к Одному и тому же результату, всю— ду пользуются “укороченной” записью, подразумевая везде произведение согласно формулам (13 12)и (1.3 13). Видно, что как произведение Ь1Ь2= _ Ь1 ® Ь2— _ ‚6152, так и Ь1 , Ь2 и соответственно сумма двух операторов [4 +132 должны пониматься как [1 + [2— — Ь11 + 1132. В вы- бранных базисах эти операторы записываются в виде мат- `риц АНА/2 >< АДА/2. Оператор Ь1 представляется матрицей №1 Х—‘А/1, а 2:2 — матрицей №2 Х №2. 273
13.2. Полный момент свободной дираковской частицы Вернемся к уравнению Дирака для свобОднОй частицы. Как и в нерелятивистеком случае, когда справедливо урав- нение Шредингера, оператор какой-либо сохраняющейся физической величины должен коммутировать с гамильто— нианом Ёр. Очевидно, для СВОБОДНОЙ нерелятивистской частицы сохраняется момент количества движения. Про— верим, сохраняется ли орбиталшый момент свобОдной ди— раковской частицы, вычислив коммутатор: и;, и… = и;, (:(ар) + [377102] : и“… с(ар)] : (13.14) : С (“а:[ггарт] + О’уПгэру] + а2[[27р2]> : іС (%іду _ ауди) 7$ 0- Таким образом, вопреки ожиданию, орбиталы-1ый момент импульса релятивистской частишя не сохрат—нкнся. Если же вспомнить О ее собственном моменте, то отдельно мо- мент импульса свободной “частицы и не должен сохра— няться, поскольку интегралом движения должен быть пол— ный момент импульса замкнутой системы, т.е. должна со- храняться сумма орбитального и собствеъшого моментов. Прежде уточним, что оператор момента импульса действу- ет'Одинаково на все компоненты многокомпопептной вол- новой функции, т.е. его Обязательно следует понимать как |Н _) р_ (13.15) О С) О ›-'› О О і—'> О С) —› С) О —› С) О О Поскольку этот факт считается очевидным, о нем Обычно не упоминают. Аналогично следует поступить и с операто- ром собственного момента — спином. Обозначим Е спино- 274
вый оператор для четырехкомпонентной волновой функ— ции Ф (32 —› 22): {::(‘Б В). (13.16) Вычислим коммутатор оператора 22 с гамильтонианом Ди— рака: [23,1317] =С[Ёг‚ (ОЧ-)] : Срт [( 02 О ) ’ ( 0 03: >] + 0 02 02 А 02 0 0 ау “Ра/Ко „до ОЛ— Поскольку выполняются соотношения __ О'д 0 О 011 _ 0 Ода“ _ Брали—(О дд)(ди ())—(ада„ О )— 0 1 . О ОА . :б/Ы/( 1 О ) +1едщ ( (ТА О ) : —бш/)‘5 + 18диА01А› получаем выражения для коммутатора: с[22‚ (ар)] : іс (рта?, — 15310433) . (13.17) Сравнивая коммутаторы (13.14) и (13.17), видим, что с га- мильтонианом Дирака коммутирует оператор суммарной проекции: _ [и; + 22,1%] : 0. (13.18) Иными словами, сохраняется сумма і—і— 2 = 3 — полный Момент частицы. Совершенно очевидно, что выполняются коммутацион- ные соотношения для оператора полного момента: [311,311] = [[… [Аи] + [З… Зи] : іедиА([^/ + ЁА) : іедщд'х- (13-19) 275
Квадрат оператора полного момента имеет вид 52 = 12 + $2 + 2(іё). (13.20) Легко показать, что он коммутирует с оператором проек- ЦИИ із: ^ ^ [5232] = 0. (13.21) Действительно, очевидно: [12 + $2, 52] : [12,[2] + [ё2, $2] = 0. Далее, поскольку 2(іё) : 2і^352 + (Дё- + 113+ , получаем ^ А [[и ( )1—[1 [+[5— +“; 1— [3+=[+3`——1—3+3 [з… 2(іё)] : №2341; + вадик: : —і+з_ + 113+. Итак, состояние дираковской частицы определяется опера— торами (собственными значениями и собственными векто- рами операторов) _і2 и 52, т.е 32[_7›ті> : 30 + 1)[.7› ті); 52|.77ті) : т3°[.7.7т.7'>7 (1322) гдеу' : шах{тд-}. Что такое вектор | 3', тд)? Очевидно, это суперпозиция состояний с различными проекциями спина на ось 2 1 |і‚тз°>= 9011‘)>()|+>+902(Г|— =2ф…,‹>г)|тв (13.23) Разложим функции 90…30“) по собственным функциям ор- битального момента 1,01… (г): [33771]? : 2 ат‚тзфіт(г)[тз›' (1324) т,тз 1В дальнейшем мы негласно предполагаем, что орбитальный мо- мент частицы ! ;& О. 276
Но поскольку это собственный вектор оператора ];, полу- чаем 52|і>ті> =“; + ЁгЛіэті) : 2 ат‚тз (т + тз)ф1т(г)|тз> т‚т3 :ті 2 ат‚твф1т(г)'т8>- т,т$ Из этого соотношения немедленно получаем, что т + тд : сопзі', : тд. Согласно определению момента видим, что 5 : Ш&Х{тд'} = шах{т + тз} : =шах{т} + шах{т3} : [+ 1/2_ (1325) С такой суммарной проекцией существует единственное со— стояние, поэтому в данном случае в сумме остается только одно слагаемое, и мы получаем ім = Фи|+> = ін>|+> = Уи ( (1, ) . (13.26) Имея одно состояние, легко получить все остальные, дей— ствуя понижающим оператором: 5_|5‚т‚-> = /(3' +тз')(3' — …, + щиту — 1>. Действительно: 541,97 = ЛЭМ — 1> = і_іг‚1>|+> + пдд—|+) = : х/ёды — 1>|+>+|1,1>|—>. Искомое состояние имеет вид 2! 1 ','—1: —_1,1—1++—_1‚!—. 13.27 |… >/2]| >|> &' >|> ‹ > 277
Как видим, состояние | 3', _7' — 1) — суперпозиция двух состо- яний, суммарная проекция момента которых ( 3' — 1) может быть получена двумя способами: (! — 1) + 5 И 1+ (3 — 1). В соответствии с этим можно построить ортогональное пер- вому линейно независимое состояние с такой же суммарной проекцией: ‚., . 1 ім 1) №7. Поскольку это состояние не есть собственное состояние полного момента ] , оно должно быть состоянием с другим полным моментом 5. Это состояние встретилось впервые, и 3' — 1 : ! — 1 / 2 есть его максимальная проекция, позтому согласно определению 5 = ! — 1 / 2. Итак, мы получили, что полный момент электрона может принимать два различ- ных значения 3' = ! + 1/2 и 3' = 1 —— 1/2. Легко видеть, что действуя понижающим оператором на состояния | 3', 3' — 1) и | 3' — 1, 3' — 1), получим состояния с проекцией на единицу меньше, Однако по-прежнему останется только два линейно независимых вектора. Полное число состояний частицы с моментом ! и спином 5 = 1/2 равно ( 2 ! + 1 )(23+1) : 2(2!+1). Мы же получили, что эти состояния должны быть распределены следующим образом: ]._{1+1/2 —+ 2(1+1/2)+1=2(1+1) состояний, |г‚1—1>|+>— Зин—>. (13.28) 1—1/2 —› 2(1—1/2)+1=2г состояний. (1329) Таким образом, пространство 2(21 + 1) состояний с базис— ными векторами |!,т)|т5) разбилось на два инвариант— ных подпространства 2(! + 1) и 2! независимых состоя— ний с базисными векторами соответственно |! + 1/2, тд) и |! — 1 / 2, т,). Этот результат можно представить в виде тыщ->= 2 Сжщідтнтдг|г‚з‚з°‚т‚->. (13.30) т+т3 :тд- 278
Коэффициенты С;, 22,7715 составляют матрицу, которая осу- ществляет необходимое разбиение пространства. Они на— зываются коэффициентами Клебша—Гордана. Остановим— ся кратко на их свойствах. Согласно общему правилу коэффициенты разложения (13.30) определяются при помощи скалярного произведе- ния на соответствующий сопряженный вектор: зЪтд' !‚т;3‚т3 = (3‚т3|(1‚т||3'‚тд-). (13-31) Обратный перех0д от описания состояний в базисе |!‚ в, 337715) к описанию состояний в базисе |!‚ т)]тз) осуществляется с помощью обратной матрицы: |!‚т)|тз)= 2 (0—1)Ё‚’ЁЁ;‚…“’5’7’т9'>’ (13.32) т-=т+т3; |г—з|$5$н+з| которая также находится по определению _ 3'‚т- _ (С 1)[‚т;73‚т3 <1‚3‚3‚т3'|1‚т>|тз> : * : (<з‚т3|<1‚т|1‚з‚д°‚т‚->) . (13.33) Можно показать, что коэффициенты Клебша—Гордана могут быть выбраны все действительными. Имея обратную матрицу (13.33), сразу получаем соотношения ортогональ— ности: 2 «, 8,3‚т3-|1‚т)|т3)(5‚т3|(!‚т|!‚ 3, ;, т;.) : т‚т3 = лет‚-т;» (13.34) и; наоборот: 2<3‚т3|<1‚т|1‚33,77%)“,3,5‚тд-|!‚т’)|т’5) : іэт]. = бтт’бтзт’з° (13.35) 279
.'і›т_7` Итак, Сдщщтз — уНИМОДулярная матрица ортогонального преобразования базиса. Вспомним теперь оператор спин-орбитального взаимо— действия Йв = А(іё). (13.36) Запишем вх0дящий в это взаим0действие оператор в виде ^^ _ ‘:2 ^2 ^2 . 1$ _ (1/2) (_; —1 — $ ). Состояние |і,з,3,тд-> собственное как для всего гамильтониана Н в, так и для взаИМОДей- ствия Из, которое мы учтем как малое возмущение: 123”, 'Зэіэті) : =;(3'(3'+1) —!(!+1)—3(3+1))|!,5,3°,тд-). (13.37) Несмотря на то, что спектр гамильтониана Ёр вырожден по т и тд 2(2! + 1) раз, векторы состояний |!‚5,3',тд-) — правильные векторы нулевого приближения, поскольку для них матрица оператора Йз диагональна. Таким обра- зом, поправки к невозмущенному уровню энергии будут со- ответствовать определенным значениям полного момента ] : Аву-. Поскольку ] = [:|: 1/2, уровень расщепится на два, расстояние между которыми равно А…ь…„…,_…=;<<„.;.>(„;>_<„Э<‚_;>>: 1 —А(Ё+5> >О. Задача о движении частицы в кулоновском поле точно решается и в релятивистском случае, но для нас важнее уВИДеть, как получается результат по теории возмущений. Важно также увидеть, что нижний уровень энергии имеет полный момент 3' = ! — 5 = ! — 1/2, поскольку константа спин—орбитального взаимодействия А > О. 280
Пример Написать правильные функции возбужденных состояний атома воцорОДа с п = 2. Вектор состояния атома ВОДорОДа в соответствии с квантовыми числами определяется как |п, [, 3 = 1/2, 3'‚ тд). Поскольку всегда 5 = 1/2, мы для простоты опустим это квантовое число. Для п = 2 имеется 8 состояний2‚ из ко- торых в двух состояниях орбитальный момент равен 0. ПОЭТОМУ ЭТИ СОСТОЯНИЯ МОЖНО ЗдПИСдТЬ В виде Или в виде волновой функции: 1 ———В20(Т)|:Ь>. /47г Для состояний с ! = 1 возможны два состояния с полным моментом ] = 1/2 и четыре состояния с 3' = 3/2. Используя общие результаты параграфа, получаем Ф200(Г)|і> : і «5 і «3 Или в виде волновой функции: |2, 1, 1/2‚+1/2> : (|2‚1‚о>|+> — /Ё|2‚1‚+1)|—))‚ |2‚1‚1/2‚—1/2> : (|2‚1‚о>|—> — х/ё|2‚ 1, —1>|+)) . _ __1_ У1‚0(0790) Ф2,1‚1/2‚+1/2(1`)— №321(7`)< @УЬНЮАО) ‚ ‘1’2‚1‚1/2‚—1/2(1`) : $3210“) ( —ЁЁ(БЁёЁ‚ф) ) . 2Считаем спин ядра равНым О. 281
Соответственно для полного момента 3' = 3/2 мы должны записать четыре состояния. Выпишем только два состоя— ния с положительными проекциями. Остальные два легко написать самостоятельно: |2‚1,3/2‚+3/2) : |2‚1‚+1)|+)‚ |2, 1,3/2, +1/2) : (№2, 1‚0>|+> + |2, 1, Н)…) . і @ Или в виде волновой функции: 1 Ф2‚1‚3/2‚+3/2(Г) = 321(Т)У1‚+1(0‚<Р) ( о > ‚ Ф2‚1‚3/2‚1/2(1°): ТЕ21(Т)< 2131223; ) 13.3. Сложение моментов Рассмотрим две невзаИМОДействующие системы (части- цы) с моментами [1 и 12. Тогда состояние нервой системы определяется вектором |п1‚11‚т1>‚ а состояние второй — |№, 12,7712). Здесь 77,1 и 77,2 обозначают остальные квантовые числа из полного набора физических величин. Состояние системы двух невзаИМОДействующих частиц определяется вектором п1‚11‚т1;п2‚12‚т2) = |п1‚!1‚т1)|п2,12‚т2) Е Е|51‚т1>|12‚т2>- (13.38) Очевидно, операторы, действующие на первую систему, не действуют на вторую и наоборот (соответственно они меж— ду собой коммутируют): ]Ё1|П1‚11‚т1> = №1) 3 Е 2 (па,13‚т3|і1|п1‚11‚т1>|п’1‚;‚т'д. (13.39) / ! ! п1‚11‚т1 282
Аналогично и для второй системы і2|П2‚ 52,7712) = №32), (13-40? но 101|П2‚ 52,7712) = |п2‚12‚т2)]1. (13.41) Поэтому имеем _]Ё1|п1‚!1,т1;п2,12,т2) = |Ф1;П2‚12‚т2) Е =|Ф1>|п2‚!2‚т2>‚ (13.42) і2|п1‚11,т1;п2,12‚т2) = |П1‚11‚т1;Ф2) 3— Е|п1,11,т1)|Ф2>_ (13.43) Соответственно если оператор 1312 = {1 182, то согласно фор- муле (13.41) 131132|п1‚11‚т13п2‚12‚т2> :}:1'77’1)[17т1>і2|п27[2?т2> : = |Ф1>|Ф2> э |Ф1;Ф2>. (13.44) Как видим, действие оператора 331132 на вектор состояния |п1,!1,т1;п2,12,т2) = |п1,!1‚т1)|п2,!2,т2) определяется согласно правилу прямого произведения. Действительно, пространство состояний всей системы имеет ранг, равный произведению рангов пространств состояний каждой си- стемы. Количество базисных векторов равно произведению соответствующих чисел для каждой системы. Таким об- разом, вектор состояния всей системы есть прямое произ— ведение векторов состояний каждой подсистемы. Соответ— ственно и произведение операторов отличается от обычно- го (внутреннего) матричного произведения, поскольку это опять прямое произведение операторов. Обычно знак пря- мого произведения (или суммы) не выделяют особо, считая этот факт очевидным, Однако об этом всегда нужно пом— нить. Иными словами, строже было бы записать определе- ние (13.38) так: 283
|п1,11,т1;п2,12,т2> : |п1‚!1,т1>®|п2,12,т2). (13.3861) То же самое уточнение следует сделать и для произве— дения операторов. Итак, будем сейчас рассматривать толь- ко состояния с определенным моментом и для простоты опустим набор остальных квантовых чисел (но они всегда есть!). Для изолированной замкнутой системы, каковой и представляется наша система двух невзаимодействующих частиц, Е, Р, М — интегралы движения. Поэтому в нашем случае должен сохраняться полный (суммарный) момент количества движения: М : м1 + м2; М —› ні; м1,2 —› 151,2. (13.45) Состояния всей системы в случае, когда состояние каждой из систем имеет определенный момент импульса, описыва- ются линейными комбинациями (211 + 1) - (212 + 1) незави- симых векторов |!1, т1>|!2,т2). Это есть размерность про- странства состояний системы двух частиц с моментами 11 и 12. Наша задача состоит в том, чтобы описать состояния всей системы с полным моментом Ь, образованным двумя независимыми моментами 11 и 12, которые в свою очередь сами по себе в ОТДельности сохраняются, поскольку части- цы между собой не взаимодействуют. Иными словами, мы здесь имеем интегралы движения 1%, 1%, 1,2, 1,2, которые и должны быть включены в полный набор физических вели— чин. Или, как принято говорить, задать представление, в котором описывается наша система. Видно, что задача ана- логична рассмотренной в предыдущем параграфе. Имеем |!1‚12‚Ь,М) = 2 СЬ’М |11‚т1)|!2,т2), (13.46) 11‚т1;[2‚т2 т1+т2=М 284
где коэффициенты Клебша—Гордана есть элементы матри— цы перехода СЬ’М : (11‚т1|(!2‚т2|Ь‚М) (13.47) 11 ‚т1;12,т2 и удовлетворяют соотношениям ортогональности, анало— гичным (13.34) и (13.35). Вновь легко показать, что операторы Ё; =і12+1^22; 1:2 =1Ё+1Ё+20112> между собой коммутируют, а остальные компоненты удо— влетворяют известным коммутационным соотношениям для момента: А [1,2, 132] = 0, [Е… %] : тесты. (13.48) Соответственно Ё2|11,12‚Ь‚М> : Е(Ь+1)|11312›Ь7М>7 } ^ 13.49 Ь3|!1‚[2‚Ь‚М> : М|117127Ь7М> ( ) Как и прежде, по определению !) : шах{М} : !1 + 12. Такое состояние одно: |Ь‚Ь> : |11+!2‚Ё1+12> : |Ё1‚11>|12‚12>‚ (13 50) |Ь‚Ь—1) : |г1+12‚11+12—1> ос Ь_|Ь‚Ь) ' ' П0действуем оператором [‚_ на состояние с максимальной проекцией Е_|Ь‚Ь> =/2Ь|Ь‚Ь — 1) = :/2[1|!1‚[1 —1>|12‚12>+/2[2|[1›[1>|[2712 _ 1>' Получаем состояние с проекцией на 1 меньше: |Ь›Ь_ 1:> [112—|[17111>|[2312>+ +`/[11—+—12|11‚11> „2,12 — 1> (13.51) 285
. `-РХ Ш] _ Рис. 13.1. Схема сложения двух моментов [1 = 4 и [2 = 2. Точки обозначают значение суммарной проекции, пунктирные линии соответствуют условию 777,1 + тв : сопзъ. Видно, что при Ь : |!1 — 12| количество точек состояния на линии с постоянной суммарной проекцией не изменяется Легко видеть, что существует вторая линейно независимая (ортогональная первой) нормированная на 1 линейная ком— бинация [2 „ _1 : |Ь711+12 > 11+!2 _|11‚11—1>|12‚12>— [1 +12 _|11‚11>|12‚1 2 _ 1) (13—52) Поскольку это состояние не относится к состоянию с пол- ным моментом Ь : [1 + 12, оно должно соответствовать состоянию с другим полным моментом. Поскольку макси- мальная проекция равна [1 +12 — 1, по определению следует положить Ё : 11+!2—1. Действуя теперь понижающим опе- ратором на состояния |11+12,!1+!2—1)и [11+12—1,!1+12—1), получим два линейно независимых состояния, относящих- ся к соответствующим полным моментам. Однако, если Ь — 1 7$ О, наряду с получающимися векторами можно по— строить третий, ортогональный двум полученным линейно независимый, вектор. Как и прежде, этот вектор должен 286
быть отнесен к состоянию с полным моментом Ь : і1+12—2. Предолжая процедуру, видим, что новые линейно незави- симые векторы могут быть построены до тех пор, пока про- екция не понизится до значения М : | [1 — [2 |, как это проиллюстрировано на рис. 13.1 для сложения моментов 11 = 4 и [2 = 2. Таким образом, получаем, что полный момент системы двух частиц с моментами [1 и 12 может принимать значения ”1 —12іЁ Е $ (11 + 12)- (13—53) Это так называемое неравенство треугольника. Если [2 < < 11, получается всего 212 —|— 1 различных значений, кото— рые может принимать полный момент системы двух ча- стиц. Полное же число состояний всей системы остается неизменным: Ь=11+12 2 (21: + 1) : (211 + …% + 1). (13.54) Ь=|!1—!2| Матрица коэффициентов Клебша—Гордана разбивает полное пространство (211 + 1)(212 + 1) на инвариантные ПОД— пространства меньшего ранга, соответствующие данному значению полного момента. Пример Построить состояния с определенным полным моментом |11,!2,Ь,М> для случая11 : 12 = 1. В данном примере мы должны получить 9 состояний: 5состоянийсЬ=2; З—сЬ=1и1—сЬ=О.Прежде всего следует построить состояния с максимальным зна- чением Ь : 2. Состояния с максимальной и минимальной проекциями мы знаем: |1,1,2,і2) : |1,і1)|1,і1). 287
Далее, согласно изложенной процедуре, получаем состоя— ния с проекциями і1: і @ Вновь действуя понижающим оператором на состояние с М : +1, получим последнее из состояний с В = 2: _Ъ х/б Для построения состояний с моментом Ь : 1 воспользу— емся соотношениями ортогональности для коэффициентов Клебша—Гордана (13.34) и (13.35). Вначале выпишем яв- ный вид уже известных коэффициентов: 1‚1‚2‚ы>= (|1‚о>|1‚ы>+|1‚і1>|1‚о>>. 2,352 _ 2,11 _ 2,11 _ С1,:і:1‚1,:!:1 _ 1› С1,і1‚1,0 _ С1,О‚1,:Ь1 _ 2,0 1 2,0 2 С1,:|:1‚1,:{:1 : %, С1,0,1,0 : /; Теперь запишем соотношение ортогональности для М’ : =М=+1,Ь’=2‚Ь=1: 1 1‚+1 1‚+1 Ё (С1‚+1,1,0 + С1,о‚1‚+1) : 0- ч… [Э Для значений М’ : М : 1 и Ь’ : Ь : 1 соотношение ортогональности есть просто условие нормировки, поэтому 1 . 1,1,1‚+1 =—<1‚о 1,+1 -— 1,+1 1,0). | > № | >| > | >! > Вектор состояния |1,1,1, —1) определяется отсюда триви- ально. Теперь применим понижающий оператор Ь_ к по- лученному состоянию: |1э1э170> : 1>|17+1> —.|1›—1>|1›+1>)' ]. _ 1‚_ 288
Осталось построить последний вектор с Ь : О. Вновь вос- пользуемся соотношениями ортогональности для состоя— ний с М’ : М : О: П = 2› Ь : О {Ё1<С1’0+1’1’_1+С1_1’1’+1)+/_С1О’О’1’0=;О Ь, : 1, Ь : О 71(С1‚0 +1, 1, —1 “61 О,-1‚1‚+1) : О' (1355) Решая систему уравнений (13.55) и используя условия нор— мировки, получаем |1›1›0›0> : 1>|17+1>+|1›—1>|11+1>—'1›О>|170>)' $ (и х/Ё Сложение трех и более моментов осуществляется бо— лее сложно, и процедура сложения не совсем Однознач— на. Однако всегда последовательно ПРОИЗВОДИТСЯ попар- ное сложение моментов. Выбор базиса при этом зависит от последовательпости попарпого сложения моментов. Ес— ли при сложении двух моментов возможные значения Ь невырождены, то теперь они будут вырождены. Кванто- вое состояние с полным моментом Ь будет в данном слу- чае описываться не только Ь, М и перечислением всех 10, но также указанием “промежуточных” значений, полу— чающихся в результате попарного сложения. Например, для трех моментов 11, 12, [3 состояние можно определять тремя способами: |!1,12,13,!12‚Ь,М), |!1,12,13,123,Ь‚М) или |!1,12,!3,113,Ь,М) Все эти векторы состояний равноправ— ны, Однако они выражаются различными линейными ком— бинациями исх0дных базисных векторов „17 т1>|127 т2>|137 т3>' При этом векторы из различных представлений неортого— Нд—ЛЬНЫЕ (11,12,53,112‚Ь’‚М’|11‚12‚13‚12з‚1/‚М> # бЬ‚’ЬбМ’,М› 289
а переХОД от ОДНОГО представления к другому может быть осуществлен с помощью унитарного преобразования. В качестве примера рассмотрим возможные значения полного момента системы трех моментов: 11 = [2 = 1, 13 = 2. Проведем сначала сложение моментов 11 и !2 (представ- ление“ {11,12,[3‚112,Ь,М}), тогда [12 = О, 1, 2. Теперь тре— тий момент нужно сложить со всеми “промежуточными” моментами 112, после чего получим [12:0: Ь : 2; 112 ==].2 ]} == 1,2% 3; [12:2: В : 0,1‚2‚3‚4. Таким образом, состояние с полным моментом Ь : 2 вы- рождено трижды, с В = 1 и 3 — дважды, а с Ь : О и 4 — невырождены. Можно сначала сложить моменты 12 и 13, а затем ре- зультат складывать с !1'. Получатся другие “серии”, но окончательный ВЫВОД будет тот же: [23:1: Ь : 0, 1,2; 123== 2: 1; == 1,5% 3; [23:33 Ъ 2,3‚4. Вопросы для самоконтроля 1. Как определяется прямое произведение векторов и операто- ров? 2. Вычислить коммутатор проекции на ось ;: момента импуль— са дираковской частицы !; и гамильтониана Дирака св060дной частицы. 3. Вычислить коммутатор проекции на ось 2 спина дираковской частицы Е; и гамильтониана Дирака сво60дной частицы. 4. Показать, что с гамильтонианом Дирака сво60дной частицы коммутирует оператор полного момента частицы. 290
10. 11. Какие значения может принимать полный момент частицы со спином в = 1/2? Для частицы, обладающей орбитальным моментом ! и спином 3, записать состояние с определенным полным моментом ] и проекцией тд. Понятие коэффициентов Клебша—Гордана. Какие значения может принимать полный момент Ь системы, состоящей из двух невзаим0действующих п0дсистем‚ обладаю- щих моментами импульса !1 и [2 соответственно? Записать состояние системы с определенным моментом им- пульса |В, М), если она состоит из двух невзаимодействующих подсистем с моментами импульса 11 и [2 соответственно. Какой смысл имеют коэффициенты Клебша—Гордана? Записать соотношение ортогональности для коэффициентов Клебша—Гордана. Как проводится сложение трех и более моментов импульса в квантовой механике? 291
Глава 14 СИСТЭМЬі ТОЖДВСТВЭННЬ1Х ЧЗСТИЦ 14.1. Симметрия относительно перестановок Частицы, которые обладают всеми Одинаковыми физиче- скими характеристиками в квантовой механике неразличи— мы и называются тождественными. Иными словами, тож- дественные частицы невозможно перенумеровать. Это — важное следствие соотношения неопределенностей в кван- товой механике. Рассмотрим две тождественные частицы, состояние ко— торых описывается двушнастинной волновой функцией. Обычно в нерелятивистской физике спин частицы не рас- сматривают, если нет магнитных взаИМОДействий, Однако при рассмотрении многочастичных задач спин начинает играть принципиальную роль. Действительно, полное опи- сание состояния частицы задается не только в конфигу- рационном пространстве, но и состоянием дополнитель— ных, “внутренних степеней свобОДЫ” — проекции спина на ось квантования. Очевидно, частицы, обладающие различ- ными проекциями спина, находятся в различных состоя— ниях. С другой стороны, неразличимость частиц может проявиться только в инвариантности всеа: свойств системы относительно перестановки (перемены) частиц местами, но частица при этом переносится вместе со своими внутренни- ми степенями свободы, т.е. проекцией спина тз. Поэтому, 292
если мы хотим описать положение частицы, следует ха- рактеризовать ее как координатой в конфигурационном пространстве г, так и “координатой” внутренних степеней СВОБОДЫ тз. Иными словами, положение частицы в системе тождественных частиц обязательно должно определяться парой {г,тз} Е 113. (14.1) Соответственно волновая функция системы двух тожде- ственных частиц зависит от пары координат (14.1) и при перестановке частиц местами должна описывать физиче- ски то же самое состояние: РФ(:1:1,:Б2;75) : Ф(:с2,аг1;й), (14.2) где Р — оператор перестановки двух частиц. Запишем формально гамильтониан системы двух нерелятивистских тождественных взаИМОДействующих частиц, нах0дящихся ВО ВНВШНЭМ ПОЛЭ: р1 +_ %+ П(г1)+ П(г2) + У(1°1‚Г2) (14-53) Н(1‚2)— 2… 2… Очевидно, гамильтониан (14.3) симметричен относительно перестановки двух частиц, поэтому коммутатор [Р, Ё(1‚2)] : 0, (14.4) а следовательно, волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера т; Ф(:с1,а:2; ) _- Н(1,2)11(:с1,:с2;75), (14.5) будет также собственной функцией оператора перестанов- ки: ЁФ($1,332;75) : АФ($1,$2;Ё). (14.6) 293
Легко видеть, что собственные значения А : :|:1. Иными словами, волновая функция должна обладать определен- ной четностью относительно перестановки частиц, и это свойство есть интеграл движения. Этот вывод следует из общих свойств уравнения Шре- дингера, точнее, из свойств математического аппарата, и никак не связан со спином частиц. Важно было только его наличие как такового. Однако, на самом деле, свойство симметрии волновой функции относительно перестановки тождественных частиц носит фундаментальный характер и однозначно связано со спином частицы. Это утверждение не следует из каких—либо общих принципов и принимает- ся как постулат. Его можно сформулировать следующим образом. Постулат о тоэюдественныа; частицаш. Тождествен— ные частицы, обладающие полуцелым спином (1 /2, 3/2, 5/2, …), описываются только антисимметричными, а об- ладающие целым спином (О, 1, 2, …) — только симметрич— ными волновыми функциями относительно перестановки любил: двух частиц. Частицы с полуцелым спином называются фермы- частицами и. подчиняются статистике Ферми—Дирака, а частицы с целым спином называются бозе—частицами и подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна. Иными слова— ми: Ф(:с1,:с2;7і) : — Ф(:с2,:п1;й)прив : 1/2, 3/2, ... — ферМИ-частицы; Ф(а:1,:с2;75) : + Ф(332,а:1;75) приз : О, 1, 2, — бозе—частицы. (14.7) Если в системе находится больше двух частиц, форму- лы (14.7) легко обобщаются: Ф(:с1.…:с‚;….аз;с….;ё)=:|:1'(:с1….аз;с._…аз,-.…;1Ъ), (14.8) 294
где верхний знак относится к бозе—, а нижний — к ферми— частицам. 14.2. Описание системы тождественных частиц. Одночастичные состояния Нахождение волновой функции системы, состоящей из бо- лее двух тождественных частиц, в квантовой механике так же невозможно, как и решение многочастичной задачи в классической механике. Однако квантовая механика по своему смыслу наХОДится в более “выгодном” положении. Действительно, даже для Одночастичной задачи было весь— ма проблематичным нахождение волновой функции (опре- деление состояния). Благодаря принципу суперпозиции эту проблему удалось обойти, представив произвольное состо— яние системы в виде суперпозиции возможных состояний, в которых определены соответствующие характеристики (физические величины), которые при этом можно ОДНО— временно измерить. В частности, даже связанное состоя- ние можно было описать в виде суперпозиции состояний с определенным импульсом, хотя частица обладает опреде- ленным импульсом только будучи свободной. В многочастичном случае можно попытаться предста- вить себе такую картину, когда нам удалось—таки найти точное решение уравнения Шредингера в виде функции многих переменных. Возникает вопрос: дает ли знание та— кой функции понятную физическую картину? С формаль— ной стороны мы можем вычислить любую величину, а фак— тически нам нужны величины, которые непосредственно могут быть измерены. Макроскопический наблюдатель в любом случае будет представлять состояние системы мно— гих частиц в виде совокупности состояний каждой части— цы. В данном случае даже не принципиально, что все ча- стицы неразличимы. Важно то, что система многих частиц 295
описывается с- позиций состояний отдельных частиц — од— ночастичных состояний. Строго говоря, одночастичные со- стояния могут быть определены только для невзаим0дей— ствуіощих частиц, т.е. когда переменные, относящиеся к разным частицам, разделяются. В этом случае состояние каждой частицы определяется полным набором величин, который в системе тождественных частиц Одинаков (хотя конкретные значения квантовых чисел — состояния — ко- нечно в общем случае различны). В таком случае Одноча- стичное состояние можно описать с помощью одночастич- ной волновой функции, для которой в нерелятивистском случае спиновые и координатные переменные могут быть разделены: |п,т3) —› ф„(аз) —+ (г|п,тз> : фп(г)|тз). (14.9) Здесь п обозначает полный набор физических величин за исключеНием проекции спина. Как хорошо известно, для системы с разделяющими- ся переменными решение может быть представлено в виде произведения: Ф(:131,:с2 . „3% . . .;15) : ф„,(ш1‚г)ф„,(ш2‚г) - ‹ —ф„‚с(а:‚…г) - —- . Однако записанная в таком виде волновая функция не об— ладает никакой симметрией относительно перестановки ча—` стиц местами, поэтому произведение нужно должным об— разом симметризовать или антисимметризовать. Пусть система состоит из № тождественных частиц, то- гда в силу их неразличимости наблюдать можно только число частиц и те одночастичные состояния, которые при этом могут быть измерены. Сказанное означает, что ча— стица В` точке 33,- Может находиться в любом из № Одно- частичных состояний, произведение которых представляет одно из возможных ‚АГ-частичных состояний. Для примера 296
рассмотрим систему двух тождественных частиц. В этом случае двутчастичная функция, обладающая определен— ной перестановочной симметрией, имеет вид Ф…‚теь и) = %(мхазпщхшя &: имамата). (14.10) Здесь верхний знак относится к бозе-, а нижний к ферми- частицам, для простоты опущена зависимость от време- ни. Одночастичные волновые функции считаются норми- рованными на 1. Чтобы двухчастичная функция также бы- ла нормирована на 1, перед скобками стоит множитель, учитывающий число перестановок. Для ферми—частиц антисимметризованную функцию удобно записать в виде определителя матрицы: __ 7501110171) 107120172) ФЁ1‚„2($1‚332) 1Гс1ес<фщ(ш2) %(…) (14.11) Формулу (14.11) легко обобщить на случай № частиц: Ф;?„Ъ ‚„№(:в1,:с2,.…,:с№) : фт ($1) фт ($1) фтп ($1) : 1 (181: фп1:(332) фп2<332) фпм:($2) . (14.12) ф…(ссм) Фп2($№) №… Волновая функция ферми—частиц в форме (14.12) называ— ется определителем Слеттера. 'Для системы бозе-частиц нужно составить полностью симметризованную по всем перестановкам сумму, которая иногда называется перманентном: + _ _Ф$Ъ11‚)П2‚- -'‚П№(Ш1’Ш27 ' 'Ш№)_ _%2Рфп1('$р1)фп2($р2) °фп№ ($Р„)‚ (14.13) ' №№} 297
где суммирование ведется по всем перестановкам 77. Функции вида (14.12) и (14.13) представляют собой №-частичный базис в одночастичном Представлении. Про— извольное состояние № тождественных (взаИМОДействую- щих) частиц согласно принципу суперпозиции может быть записан в виде: Ф(і)(а:1‚з:2, ..., изм) : (14.14) _ 2: 3: _ 07117712) ...‚ТЬМ Ф$Ъ1ЗП2‚….‚П№ ($17 $27 ' ' '? $№)' {П1‚П2,...,’П‚№} Здесь суммирование ведется по всем возможным наборам одночастичных состояний {п1‚п2‚ ..., пм}. Естественно, обычно сумма (14.14) содержит бесконечное число членов. Легко видеть, что даже в базисных волновых функциях (14.12) и (14.13) спиновые и координатные переменные не разделяются, несмотря на то, что в одночастичных состо- яниях они разделены. 14.3. Связь №-частичных состояний с полным спином Спиновые и координатные переменные в системе невзаимо- действующих тождественных частиц могут быть в некото- ром смысле разделены, однако теперь базисные состояния будут характеризоваться определенным значением полного (суммарного) спина всей системы. Вновь рассмотрим сначала для простоты систему двух тождественных частиц. Одночастичные состояния запи- шем в виде (14.9): Фп1‚2($1‚2) = фп1‚2(1‘1‚2)|т1‚2>- (14-15) Базисные функции двухчастичных состояний запишутся 298
как ФЁЭЩ ($1, $2) =% (ф…<г1>ф„2<г2>|т1>|т2>:ь ы…<г2>ф„2<г1>|…2>|…1>). (14.16) Поскольку в формуле (14.16) в общем случае |т1)|т2) 75 75 |т2)|т1)‚ спиновые и координатные переменные не раз- деляются7 т.е. нельзя записать выражение в виде ОДНОГО произведения Ф(г1‚ г2)т1‚т2). Впрочем, это не очень уди- вительно, поскольку спиновое состояние вида |т1)|т2) не характеризует систему как целую. Чтобы разобраться в этом, рассмотрим частные случаи. Во-первых, для Двух бозе-частиц со спином О никаких проблем не возникает, поскольку нет спиновых степеней свободы. Поэтому рассмотрим случай двух частиц с мини- мальным отличным от нуля спином 1/2, т.е. двух ферми— частиц. Проекции спинов могут принимать два значения и соответственно два Одночастичных спиновых состояния |+) и |_). Всего возможны 4 двухчастичных спиновых со— стояния: |+>|+>‚ |+>|—>‚ |—>|+>‚ |—>|—>- (14-17) Для первого и последнего случаев спиновое состояние мож— но вынести из скобок формулы (14.16): ФН (ш1‚:с2)=Ф(') (г1‚г2)|:|:)|:і:>‚ (14.18) 711,712 п]. ‚'П2 где (1351531201, Г?) : % (фп1(г1)ф„2(г2)—ф… (Г2)фП2(Г1)) ° (1419) При этом спиновые состояния в формуле (14.18) есть соб— ственные состояния суммарного спина 5 = 1 с проекциями :!:1: 15 = 1‚М$ = і1> = №№:) 299
Пусть теперь спиновые состояния различны, тогда имеем %(щмгпфпыгвлняч— т… (Г2)ф„2(г1)|—>|+>)‚ (14.20) где спиновое состояние нельзя вынести за скобки. Заметим, Однако, что как |+)|—>, так и |—)|+) не описывают состо- яния с определенным суммарным спином двух частиц, но описывают состояния с суммарной проекцией спинов, рав- ной О. Состояния со спином $ = 1 и 8 = 0 с проекциями 0 имеют ВИД Ф(—) ($17 3:2) : 711,712 |в = 1‚М5 = ‹» =ё<|+>н + |—>1+>>‚ |в = 0‚М3 = о> =—15‹|+>|—> — |—>|+>>. (14.21) Спиновые состояния в формуле (14.20) следует выразить через состояния с определенным полным спином (14.21): 1 1+>|—> =Е('1’°>+'°’°”’ 1 |=>|+> =Ё'1’0)“ 10,0». (1422) Подставим теперь выражения (14.22) в формулу (14.20) и получим Ф$ЪТ,)П2 ($17 $2) : 1 <—) (+) = 72: [Ф…‚т (г1, г2)|1, 0) + Ф…‚п,(г1‚г2)|0‚0>] ‚ (14-23) где ФН) (Г1‚1‘2) = ”1,712 = % (ф… (шими) + ф… (щитаю) . (14.24) 300
Полученные результаты можно записать в виде единой формулы: @@??п2($1‚$2)= 2 С3‚М3Ф$ъ51?п2(г1эг2)|5эМ$>° (14—25) 5,1И5; Здесь Ф($Зп2 (Г1э Г2) : : і (медики) + (—1)5ф…‹г2)ф„2‹г1)) . (1426) Л Легко получить самостоятельно, что формула (14.25) имеет место и для двух бозе—частиц: Ф$Ёэп2(ш17$2) : 2 С5‚М$Ф$Ъ‘51'Зп2(г17г2)|$›МБ)) (1427) 5,М5 причем координатная двухчастичная функция определена по—прежнему формулой (14.26). Иными словами, формулы (14.25) и (14.27) имеют место соответственно для ферми- и бозе-частиц с любым спином. Результаты, полученные для двух частиц, можно обоб— щить и на случай № тождественных частиц: Ф’Б'ЬТЗП2‚.„‚ТЪ№(Щ1ЭЩ27 ° ° ш”) : : 2 СБ›М$Ф$ЁЗТЪ2,…,ТЬ№ (Г17Г2э ' ° ') [.А/ЛБ, МБ), (14.28) 5‚МБ однако в этом случае координатные и спиновые функции уже не имеют такого простого вида и могут быть получены, исходя из свойств группы перестановок в теории симмет- рии. Заметим только, что для системы ферми-частиц сим- метрии относительно перестановок координатной и спино— вой функций должны быть противоположньцтогда как для бозе—частиц — Одинаковы. 301
Вопросы для самоКонтроля 10. 11. 12. 13. Какие частицы называются тождественными? Записать гамильтониан двух тождественных частиц. показать, что ГдМИЛЬТОНИдН8‚ ТОЖДВСТВЗННЬПС ЧЗСТИЦ ИНВЗРИ- антен ОТНОСИТЗЛЬНО перестановки ЧдСТИЦ. Каким свойством обладают волновые функции относительно перестановки двух тождественных частиц? Что такое ферми— и бозе-частицы? Какой симметрией обладают волновые функций систем тож- дественных ферми- и бозе—частиц относительно перестановки частиц? Как записать состояние системы невзаимодействующих тож- дественных частиц с помощью одночастичных состояний? Какой ВИД имеет волновая функция двух невзаимодействую- щих ферми-частиц? Записать определитель Слеттера № невзаим0действующих ферми—частиц. Какой вид имеет волновая функция системы невзаим0действу- ющих бозе—частиц? Какова связь [!-частичных состояний с полным спином и ка- кова возможность разделения координатных и спиновых пере- менных? Чему равны векторы спиновых состояний двух электронов с определенным полным спином? Какой вид имеет зависимость координатной части системы двух тождественных частиц от величины полного спина? 302
Глава 15 Атом гелия 15. 1 . Гамильтониан Атом гелия — простейшая многочастичная истема, СОДер— жащая тождественные частицы. Кроме тсо — он самый простой из сложных атомов. Эти два аргумнта объясняют то внимание, которое мы уделим решению здачи об атоме гелия. Как обычно, прежде всего запишеь гамильтониан системы, считая ядро бесконечно тяжелым ^ ^2 2 2 2 2 2 ННе— _ р—1 № в _в __е—. (15.1) 2т 2т и т |Г1 “42| Здесь для атома гелия заряд ядра 2 = 2. Необходимо решить стационарное уравение Шредин- гера: ^ ННеФ(Ш1‚$2)= ЕФ<$1‚СБ2)‚ т.е. определить уровни энергии и состояния Как и для атома ВОДор0да‚ задачу удбно решать в атомных единицах в координатном предствлении, когда оператор Гамильтона имеет вид ^ 2 2 1 Н=— %(А1+А2>————+ ———- (152) ‚ 717‘2 |Г1 — 2| Здесь и в дальнейшем для простоты у гамиь'гониана опус— каем индекс. 303
Структура гамильтониана сама сразу предлагает ре- шать задачу по теории возмущений, когда в качестве воз- мущения выбирается взаимодействие электронов между собой. Однако из клаСсической электр0динамики извест- но, что эта энергия имеет значительную величину, сравни- мую по порядку с энергией электронов в поле ядра. Поэто- му решение задачи по теории возмущений приведет либо к плохому приближению, либо потребует вычислять мно- го поправок, что тоже не будет оправдано в силу расхо— димости ряда теории возмущений, поскольку “маленький параметр” в задаче оказывается не очень маленьким. Тем не менее именно решение задачи по теории возмущений и будет проведено, поскольку, во—первых, это позволит нам наиболее просто получить результаты, а во-вторых, именно язык теории возмущений наиболее адекватен для описания состояний сложных атомов. 15.2. Правильные функции и поправки перво- го порядка Итак, невозмущенный гамильтониан есть сумма двух га- мильтонианов ВОДорОДОПОДобного атома: Но : Н1 + Н2‚ где Н1‚2 : ——А1‚2 — _. (15.3) 2 ‘Г1‚2 Для гамильтониана (15.3) хорошо определены одночастич- ные состояния водородоподобного атома, поэтому полный набор физических величин состоит из п=1,2,...,1=0,1,...,п—1,—!$т$!. Энергетический спектр невозмущенной задачи при этом вырожден не только по 1 и т, но и по проекции спина электрона, причем спиновые и координатные переменные 304
разделены. В предыдущей главе мы видели, что любое со— стояние системы двух тождественных частиц может быть представлено в виде суперпозиции функций вида (14.25). Таким образом, для решения задачи можно выбрать любые функции такого сорта, относящиеся к данному невозму— щенному уровню энергии, который теперь зависит от двух квантовых чисел: Е(О) : Е… + ЕМ. (15.4) ”1712 Удобнее всего выбрать состояния с определенным суммар— ным спином: Ф(О)(а:1‚аз2) : Ф($) (г1‚г2)|5'‚М5). (15.5) ”1,11’т1;п2›[2›т2 Здесь в определении координатной части функции Ф<5> нужно понимать . фтд (Г) Е фт‚2‚11,2‚т1‚2 (Г) : ВП1,211‚2(Т)}/11‚2т1‚2(87(Р) Дальнейшее решение задачи по теории возмущений для вырожденного спектра состоит в вычислении матрицы воз- мущения: <Ф<°>|У|Ф<ОУ> : 535,5М3М3<ф<3>|щф<5>>. (15.6) Матрица возмущения оказывается диагональной по полно- му спину и его проекции и ее можно представить в виде <ф<5>|щф<5>> : 1 + (—1)5.]‚ (15.7) 305
где )2 2 ]Т/ №1(Г1 )! №2(1`2)| (11'1611‘2 : |Г1 — Г2| _/ |ф2(1`1 )|2|ф1(г2)|2(11`1(311'2‚ (158) |Г1 _ Г2| ]:] Ф1<Г1 №2 (1‘1)1Р2(1`2)?›д1(1`2)фтп,2 : |Г1 _ гг! _] ф2(1`1)'ф1(1`1)ф1(Г2)ф2(1`2)(1г1(11_2_ (159) |Г1 _ Г2| Здесь для простоты полный набор величин, относящихся к разным электронам, обозначен ОДНОЙ цифрой. Заметим, что, несмотря на независимость возмущения от спинов электронов, поправки к уровням энергии уже зависят от величины полного спина. Физический смысл двух слагаемых понятен. Первое слагаемое — кулоновский интеграл, который просто равен энергии взаимодействия двух систем зарядов с плотностя- ми распределения … 2(г)— — е|ф1 2(г )|2: ]=// Р1( Г1) „__—)2С1Г1Сіг2.р2(г (15.10) |Г1 _ Г2| Второе слагаемое классического аналога не имеет, посколь- ку СОДержит “перекрестные” члены, возникающие из—за симметризации волновой функции относительно переста— новки (обмена) частиц. Это так называемый обменный ин— теграл, который связан с обменным взаимодействием1. Если ввести “обменную” плотность распределения заряда рех(г) : ф1(г)ф;(г), обменный интеграл можно записать в виде `]='/`/‚дсх(1`1)рех(г2)(:11-1с11'2. (15'11) |Г1 — Г2| 1Это взаИМОДействие еще часто называют кулоновским обменным или спин-обменным взаИМОДействием. 306
Видно, что расщепление уровня энергии для состояний ‹ разными значениями суммарного спина 5' равно АЕ = Е3=0 — Е3=1 = 2]. (15.12) Иногда, чтобы подчеркнуть зависимость энергетического спектра атома от обменного взаИМОДействия и соответ- ственно спинов, ВВОДЯТ эффективное спин-обменное взаи— МОДействие в виде оператора, описывающего формальное “взаимодействие” спинов: их = —2]ё›1ё2. (15.13) 077 В этом случае“невозмущенныи уровень энергии равен ЕО : Е… + Еп2 + 1 — ]/2. (15.14) поправки к нему нах0дятся простым вычислением средне— го значения оператора (15.13) по состояниям с разными значениями полного спина. Упражнение Вычислить поправки к уровню энергии (15.14), опреде- ляемые возмущением (15.13), для состояний |5,М5) в си— стеме двух электронов. Осталось ответить на вопрос: состояния с каким пол- ным спином 5 имеют минимальную энергию? Очевидно, ответ зависит от знака обменного интеграла. 15.3. Знак кулоновского обменного интеграла Покажем, что обменный интеграл положителен. Перепи— шем подынтегральное выражение в формуле (15.11): _//Рех(г1)2Рех(Г2)(1Г1С1Г=/ЁХ(Г1)фех(г1)д1—1‚ (1515) |Г1 _ Г2| 307
где _ рех (Г2) фех (Г1) _ |Г1 _ Г2| Обменный потенциал (15.16), очевидно, удовлетворяет уравнению Пуассона с обменной плотностью зарЯДа в пра- вой части: с1г2. (15.16) Афех(г) : —4лрех(г). (15.17) Обменные потенциал и плотность заряда — комплексные функции, поэтому отдельно друг от друга они не имеют та- кого простого физического смысла, Однако с формальной стороны они, естественно, удовлетворяют всем свойствам потенциала, в чем легко убедиться непосредственной ПОД- становкой. Комплексно сопряженные обменные потенциал и плотность заряда также связаны уравнением Пуассона: АфЁх(Г) : _47Трёх(г)° (1518) П0дставляя комплексно—сопряженную плотность из урав— нения (15.18) в подынтегральное выражение (15.15), полу— чаем 1 1 1 = — д/фемгифыоаг = 1—7; ] фехаічагаафгхюг = 1 = — —1 %фех (уфдхаг) + — Л] вгасіфехёгасіфёхаі/ : 47т 4л __1_ 2 _47Т ///|7ф6х| ‹1У>О. Поскольку обменный интеграл положителен, из уравне- ния (15.12) следует, что состояния с максимальным спином (в нашем случае 5 = 1) имеют минимальную энергию. 15.4. Состояния атома гелия Состояния атома гелия будут определяться правильными функциями нулевого приближения. При решении задачи 308
мы получили, что это — прежде всего линейные комби— нации, описывающие состояния с определенным значением полного спина. Таким образом, из одночастичного набора. квантовых чисел мы должны оставить только квантовые числа, описывающие состояние атома в координатном про— странстве. Все спиновые переменные должны описывать состояние с полным спином. Среди Одночастичных кван- товых чисел остаются еще те, от которых не зависит энер— гия атома. Для водородоподобного атома таких чисел два: 1 и т, поэтому в задаче еще остается вырождение уровней энергии, хотя и не такое большое. Поскольку дальнейшее снятие вырождения, с одной стороны, будет связано с уче- том дополнительных, более слабых взаИМОДействий, име- ющих уже релятивистскую природу (как, например, спин- орбитапьное взаимодействие), а с другой — к поправке пер- вого порядка относится и кулоновский интеграл [ (15.8), величина которого зависит как от радиальной, так и От угловой части Одночастичных волновых функций. Поэто- му желательно сразу выделить интегралы движения атома как целого, чтобы квантовые числа, соответствующие им, были включены в полный набор величин, определяющих состояние атома и соответственно линейные комбинации, дающие правильные волновые функции. Легко понять, что для гамильтониана (15.1) интегралом движения будет сум- марный орбитальный момент Ь = 11 + 12 двух электронов. Упражнение Показать, что для электронов в системе с парным вза- имодействием ”1,04, У<1`1 — [@)] 75 О И [25,00 У(Г1 —— 1‘2)] 7$ 0, однако ^ ^ [11,01 + 12,0… У(Г1 _ гг)] = О, 309
а также [Ёд/(П _ т)] = [іЁд/(П _ %>] = 0- Из решения предложенных упражнений следует, что со— стояние атома с учетом только кулоновскиа: взаимодей- ствий определяется набором одночастичных квантовых чисел п, [, суммарным орбитальным моментом В и его про— екцией М и суммарным спином $ и его проекцией МБ. Иными словами, вектор состояния атома гелия можно бы- ло бы записать в виде |фНе> : |п1‚11;п2‚12;Ь‚М;5‚М5>- (15-19) Одночастичные квантовые числа обычно задаются в виде указания главных квантовых чисел и орбитальных моментов в виде букв латинского алфавита, при этом уста— навливается такое же соответствие, как и для атома водо— р0да (7.31). Если при этом оказывается, что на данном одноча- стичном уровне энергии оказывается несколько электро- нов с Одинаковым орбитальным моментом, число электро- нов указывается в виде степени. Такой набор Одночастич- ных квантовых чисел определяет энергию атома в нулевом приближении и называется конфигурацией. Например, для атома гелия уровень с минимальной энергией определяется конфигурацией 182 и имеет энергию в нулевом приближе— нии, равную 2те4 др Другие конфигурации определяют возбужденные уровни энергии. Так, первый возбужденный уровень энергии опре— деляется конфигурацией 1323, второй — 1321), затем 232 и т.д. в?” ; ЕЁ? : 2511, где Е1 : _ 310
Для полной характеристики состояния атома с уче— том только кулоновских взаИМОДействий (в первом порядке теории возмущений!) следует добавить полный орбиталь— ный И спиновый моменты. Поскольку энергия не зависит от проекций М и №15, уровни энергии в первом порядке теории возмущений остаются вырожденными кратно (23 + 1) Ешь + 1). Ь Здесь суммирование ведется по всем возможным значени- ям полного момента В при заданной конфигурации. Пол— ный орбитальный момент Ь так же, как и орбитальные моменты электронов, может принимать целые неотрица— тельные значения, поэтому этим числам также ставятся в соответствие латинские буквы, но заглавные: Ь:- О, 1, 2, 3, 3 Р В Р (15.20) Правильную функцию, описывающую Состояние с задан- ной конфигурацией и определенными значениями полного орбитального и спинового моментов, обозначают дополни— тельным символом (25+1)Ь, причем этот же символ опре- деляет и уровень энергии и называется термом. Такое на— звание пришло из спектроскопии. Например, для конфи— гурации второго возбужденного уровня энергии в нулевом приближении 152р возможны два различных терма 3Р (с полным спином $ = 1) и 1Р (с полным спином $ = О). Учитывая положительное значение обменного интеграла, получаем, что в первом порядке теории возмущений терм 3Р имеет меньшую энергию. Заметим также, что в, первом порядке теории возмуще— ний к значению энергии в нулевом приближении добавля- ется также и кулоновский интеграл (15.8), имеющий общее 311
значение для всеа: состояний данной конфигурации и зави- сящий от орбитальных моментов электронов, но не зависл- щий от значения суммарного орбитального момента Ь. 15.5. Основное состояние атома гелия Основное состояние определяется конфигурацией 152 и со— ответственно полным орбитальным моментом Ь : 0. По- скольку координатные состояния двух электронов одина- ковы, возможно только двухчастичное состояние с симмет- ричной координатной функцией ФН) и антисимметричной спиновой с полным спином $ = 0. Однако для двух оди— наковых состояний симметричная координатная функция, формально получаемая из определения (14.24), оказыва- ется ненормированной на 1, поэтому в подобной ситуации следует записать функцию основного состояний (да и лю- бую другую в случае, когда одночастичные координатные состояния двух электронов совпадают) в виде Ф0(Ш1‚$2) : ф0(1'1)’фо(г2)|0,0>. (15.21) Энергия основного состояния в первом приближении теперь определяется суммой невозмущенных энергий элек— ТРОНОВ В ОСНОВНЫХ СОСТОЯНИЯХ И КУЛОНОВСКОГО ИНТОГРЭЛЭ?! ЕО : 2Е1 + 1. (15.22) Вычислим кулоновский интеграл (15.8) в основном со- стоянии, чтобы убедиться в правомерности применения теории возмущений и увидеть, что выбор невозмущенно- го гамильтониана в виде (15.3) и парного взаимодействия в виде возмущения дает плохое приближение. 2Заметим, что формально для конфигурации основного состояния 1:32 оба интеграла (15.8) и (15.9) равны. 312
П0дставим в формулу (15.8) выражения для волновых функций основного состояния в0дорОДОПОДобного атома (в атомных единицах): з ф100(1`) : / {Те—ЕТ. Кулоновский интеграл равен е—22(7'1+'г2) ]:2—5/6 ___—(1Г1С11‘2 : |Г1 '— Г2| е—(7‘1+__——‘Г‘2)(1 (1 . 1 .2 =2—57Т2 22// |г1—г2| 11 1-2 (5 3) При вычислении интеграла по переменным г2 воспользу— емся свойствами теории потенциала, а именно: е_7`2 /__——(1Г2 : 900.1), |Г1 _ Г2| поэтому Аф(г) : —47тр : —47ге_”. (15.24) Нам нужно найти частное решение не0днор0дного уравне- ния (15.24). Поскольку правая часть его зависит только от модуля радиуса—вектора, сам потенциал также будет зави— сеть только от г, следовательно, необходимо решить только радиальное уравнение: 1<іт2сіср =—4 _Т. .2 Егсітт (17° 7те (15 5) Так же, как` и для радиального, уравнения Шредингера, подстановка Х : пр сводит уравнение (15.25) к уравнению без первой производной: (12 (1—72- (Тф) : —47Г'Ге—Т. (15.26) 313
Решение уравнения (15.26) ищем в виде 1 то : Атеч + В;е_` + С’. (15.27) Подстановка функции (15.27) в уравнение (15.26) позволя- ет определить первые два множителя: А=—47т‚ В=2А=—87г 2 С Константа С может быть вычислена из теоремы Гаусса: /А90‹іг : %(?срёі) : —47гс1. (15.29) Поскольку поверхностный интеграл берется по бесконечно удаленной поверхности, вклад в него даст только послед- ний член в формуле (15.27): 790 —› 79 : ——Сдп‚„. ?“ т Поверхностный интеграл равен _а]! (“;;”) = —С// до : —47гС. Правую часть формулы (15.29) также следует вычислить‚ поскольку в уравнении (15.26) мы взяли ненормированную функцию и записали плотность распределения заряда в ви— де простойъэкспоненты: ‹] : ]]] р(г)с1У : ]]] е_тт2отёП : 87г. Следовательно, оставшийся множитель С : 87г. 314
Осталось вычислить интеграл Т = ] ] ] р(1°1)‹‚0(1*1)с1п = =47г/е—7“ (—47те—‘ (1 + %) + 8%) 7'2с1'г : 2073. (15.30) Подставляя значение интеграла (15.30) в формулу (15.23), получаем 5 5 3271360 ° 2071'2 : ёИЕО : 260, (15.31) где во — атомная единица энергии. Энергия основного состояния (15.22) равна 5 ЕО : —460 + 250 = —2‚ 7550. (15.32) Полученное число (15.32) можно сравнить с эксперимен- тальным значением: ЕЁХР : —2‚ 9050, (15.33) что для точности измерений в атомной физике представля- ется весьма плохим приближением. Это объясняется преж— де всего тем, что выбор как невозмущенного гамильтони- ана, так и возмущения были сделаны “не очень хорошо”. Действительно, каждый электрон движется в поле ядра и другого электрона, что эффективно выражается в виде ча- стичной экранировки заряда Ядра. Учесть эту экранировку можно, введя понятие самосозласованного поля. 15.6. Самосогласованное поле Поскольку приближение невзаимодействующих электро— нов оказывается плохим, добавим к Одночастичному га- мильтониану (15.3) энергию взаИМОДействия электрона с 315
полем, создаваемым другим электроном. Очевидно, такое поле зависит от состояний электронов и называется симо— согласовинным. Самосогласованное поле при этом состоит из двух компонентов: собственно кулоновского, определяе— мого “классическим” потенциалом (г)=/|———ф21°°(’)'2ф (15.34) !!°—1“! и обменного ,д'д><(г)=/Ё——-——10г ф,…д а’г. (15.35) |Г — Р’! Итак, видим, что в определении самосогласованного поля участвуют два состояния (две волновые функции), поэтому вместо двух независимых одночастичных уравнений полу- чаем систему двух связанных уравнений Шредингераз: (_ёА _ % + 901(1`)> ф1(1`)+ ‘Р6Х(Г)ф2(г) : Е1ф1(г)’ (%А — Ё + мы) №) + «лекции) = №20)— (15-36) Соответственно энергия состояния в нулевом приближении по-прежнему определяется формулой (15.7). Уравнения (15.36) для системы двух взаимодействую— щих электронов (атома) называются приближением Харт- ри—Фока. В данном приближении очень важную роль игра- ет обменное взаимодействие, вычислить которое из первых принципов невозможно так же, как и невозможно точно решить исходную задачу о двух взаИМОДействующих элек- тронах во внешнем поле. Поэтому чаще пользуются более 3Эта же система может быть получена, исх0дя из вариационного принципа. 316
простым приближением, в котором из самосогласованно— го поля в нулевом приближении исключается Потенциал обменного взаИМОДействия. В таком случае система урав— нений (15.36) “расцепляется” и мы переходим к приближе- нию Хартри. Обычно при численных расчетах используют именно приближение Хартри, либо МОДелируют обменное взаимодействие некоторой функциональной зависимостью. Для нас в дальнейшем при анализе состояний и энерге— тического спектра сложных атомов важно пойимать, что сведение к Одночастичному приближению (выбор невозму— щенного гамильтониана) будет наиболее успешным, если в него включено взаИМОДействие с самосогласовіанным по- лем. Вопросы для самоконтроля 1. Записать гамильтониан атома гелия без учета релятивистских взаимодействий. 2. Как решается задача об атоме гелия с помощью теории возму- щений? Какой вид имеют правильные волновые функции атома гелия? Чему равны поправки первого порядка к уровням энергии? Что такое кулоновское обменное взаимодействие? 9391993 Как зависят поправки первого порядка к уровням энергии от величины полного спина электронов $? .`] Какой знак имеет кулоновский обменный интеграл? 8. Определить понятие конфигурации атома. 9. Каким набором квантовых чисел определяется произвольное состояние атома гелия? 10. Как определяется самосогласованного поля? 11. Записать систему уравнений Хартри— Фока. ' 317
Глава 16 Сложный атом 16.1, Гамильтониан сложного атома В рамках нерелятивистской теории можно рассмотреть, строго говоря, не все элементы таблицы Менделеева. Дей- ствительно, характерная скорость электронов в поле ядра с зарядом 2 равна идт : 262/7і : а2с и электрон становится релятивистским уже для атомов с номером 2 , расположен- ным в верхней части таблицы. Однако принципиальный подход к описанию и классификации состояний и уровней энергии атома, развитый в рамках нерелятивистской кван— товой механики, остается справедливым для большинства элементов, если только атомы не очень сильно ионизованы. Релятивистские поправки в ВИДе спин-орбитального взаи- модействия учитываются как малые возмущения. Таким образом, решение задачи о сложном атоме начинается с введения гамильтониана, содержащего только кулоновские взаимодействия: № А2 2 2 ^ ра Ее 1 2 в где суммирование проводится для № электронов нейтраль— ного атома, если № : 2 и для иона, если № # 2. Ядро считается бесконечно тяжелым. 318
Задача о сложном атоме может быть решена с помо- щью меТОДов стационарной теории возмущений, однако, как мы видели на примера атома гелия, очень важно удач— но выбрать невозмущенный гамильтониан и соответствен— но получить нулевое приближение. Как и в любой мно— гочастичной задаче, нулевое приближение выбирают так, чтобы задача свелась к определению одиочастичныш со- стояний и соответственно энергетического спектра. Даже на примере атома гелия мы видели, что пренебре'жеНИе взаимодействием между собой электронов дает хотя и по— нятное, но “плохое” нулевое приближение. В сложном ато- ме ситуация только ухудшается: выбрать одновременно и понятную классификацию состояний и получить простой энергетический спектр в нулевом приближении вообще не удается. Приходится чем-то пожертвовать. Обычно жерт— вуют последним и предпочитают оперировать (: понятной классификацией состояний. В главе 14 мы видели, что любое мпогочастичпое со- стояние системы ‹1)срми-частиц можно представить в ви— де суперпозиции а1-1тисимметризованных соответствующим образом одночастичных состояний — слеттеровских детер- минантов: 11(:1:1, .…) : ХСЦФЁЛМСЩ, :…), (16.2) где, как и раньше, “координата” 32,- = (г,-‚тэ содержит пространственные и спиновые переменные, а суммирова— ние ведется по всем возможным слеттеровским детерми— нантам, составленным из состояний выбранного одноча- стичного базиса. В общем случае сумма (16.2) солержит бесконечное число членов. Поскольку мы рассматриваем нерелятивистскую зада- чу и гамилЬтониан (16.1) не содержит взаимодействий, из- меняющих спиновое состояние частиц, следовательно, в 319
одночастичном базисе спиновые и координатные перемен- ные должны разделяться. Для слеттеровского детерминан- та это прИВОДит к суперпозиции состояний с определенным полным спином: ФЕлетфл, ..., изд/)=; СЬЁФ3(Г1, ..., г№)Х5(з1‚ ..., вы), ‚5' (16.3) где ФБ — линейные комбинации, составленные из произ- ведения № одночастичных координатнъш: волновых функ- ций, а ХБ — спиновые функции с определенным значением полного спина $ . Симметрия координатной части волновой функции относительно перестановки координат частиц Ф5(г1, ..., г„ ..., цз, ..., гм): =(—1)5Р5(1‘1, ..., Г]… ..., г„ ..., Гы) (16.4) противоположна симметрии относительно перестановок электронов спиновой части ХБ- Таким образом, коорди- натная часть волновой функции атома фз удовлетворяет нужным перестановочным соотношениям, которые теперь определяются принципом Паули с учетом величины полно— го спина $, образовавшегося в результате сложения неза- висимом: собственных моментов всех электронов. Состояние в нулевом приближении будет понятным, ес- ли суперпозиция (16.2) содержит мало членов или если для одного состояния |Са| я: 1, а для остальных соответствен- но коэффициенты разложения малы. Если выбрать в каче— стве одночастичного базиса состояния в0дородоподобного атома, суперпозиция (16.2) будет СОДержать большое чис— ло членов Са ОДНОГО порядка, поскольку такой базис дает плохое приближение даже для атома гелия. Следователь- но, для выбора одночастичного базиса “невозмущенный” гамильтониан Ёо в виде первой суммы в формуле (16.1) 320
не ГОДИТСЯ. Таким образом, для выбора хорошего Одноча- стичного базиса, когда в нулевом приближении суперпози— ция (16.2) сводится к одному слеттеровскому детерминан— ту, приходится пожертвовать определенностью гамильто- ниана нулевого приближения. На примере атома гелия мы видели, что Одночастичные состояния в принципе могут быть найдены как решение системы уравнений Хартри—Фока, которая СОДержит само— согласованный потенциал, определяющий поле на каждом электроне, создаваемое как ядром, так и всеми осталь— ными электронами. Естественно, самосогласованное поле зависит от Одночастичных состояний электронов, получа- емых в результате решения системы уравнений. Это поле не может быть точно найдено, поскольку не может быть точно решена многочастичная задача. Именно поэтому не представляется возможным написать в явном виде гамиль— тониан нулевого приближения. Однако можно высказать предположение, что если представить самосогласованное поле в виде суммы центрально—симметричного поля и по- ля, не имеющего центральной симметрии, то нецентраль- ная часть может рассматриваться как малое возмущение к центрально-симметричной. Центрально—симметричная часть поля зависит только от МОДуЛЯ радиуса—вектора каж- дого электрона та, поэтому гамильтониан (16.1) можно представить в ВИДе Ё : ЕЕ, + и…, (16.5) где Упс — нецентральная часть самосогласованного поля (для всех электронов), а А 132 _ а содержат ТОЛЬКО ЦЭНТРЕЪЛЬНО-СИММВТРИЧНУЮ ЧЗСТЬ ПОЛЯ. 321
16.2. Нулевое приближение Теперь очевидно, что роль невозмущенного гамильтониана играет сумма одночастичных гамильтонианов с централь— ной частью самосогласованного поля: Ёе : 2$… (16.7) Заметим, что нецентральная часть самосогласованного по— ля в полном гамильтониане (16.5) может быть представле- на в ВИДе :?;— ьеіга — … Ё (252 + ”(”)) а=1 Асимптотика оператора энергии взаимодействия от— дельного электрона в гамильтониане (16.1) на больших и малых расстояниях должна совпадать с асимптотикой взаИМОДействия электрона с самосогласованным полем: —262/‘Га, та —› О, Уфа) : { —(2 — (№ — 1))е2/1°а‚, га —› 00. (168) Поскольку при различных асимптотиках числитель изме— няется, потенциал самосогласованного поля в целом и, в частности, его центрально-симметричной части не имеют кулоновского вида. Таким образом, в качестве одночастич— ного базиса следует выбрать состояния частицы в цен- тральном поле, т.е. фпіт<га) : Еп! (Та)У1т(даэ Эдо,)- (16.9) Функции (16.4), составленные из произведения функ- ций частицы в центральном поле (16.9), будут собствен— ными функциями гамильтониана нулевого приближения 322
(16.7) с собственными значениями энергии Е(О) : ХВ…… (16.1… @ Подчеркнем, что в центральном поле уровни энергии ча— стицы (электрона) вырождены 2(2[ + 1)—кратно только по проекциям орбитального момента и спина. Расстояние между уровнями энергии атома в нулевом приближении определяется величиной, порядка атомной единицы энергии и составляет … 10 е/. Таким образом, в качестве волновой функции (состо— яния) нулевого приближения может быть выбрана ‚то— бсш комбинация одночастичных состояний частицы в цен— тральном поле, для которой детерминант Слеттера от— личен от нуля, иными словами, для всех № электронов должны быть различными полные наборы квантовых чисел |п‚1,т)|т3>. Поскольку энергетический спектр частицы в центральном поле вырожден, вырожден и энергетический спектр всего атома, Однако в общем случае кратность вы— рождения уровней энергии атома не равна произведению кратностей вырождения уровней энергий всех частиц, по— скольку для атома кратность вырождения будет в первую очередь определяться принципом Паули. При определении состояния сложного атома на пер— вый взгляд формально можно было перечислить все одно- частичные наборы, однако это оказывается не только из— лишним, но и не совсем верным. Действительно, мы ви— дим, что в соответствии с сохранением полного спина вол- новая функция системы (16.3) разбивается на линейную комбинацию состояний с определенным полным спином 5', в которых уже проекции спинов для каждого электро— на не определены. Таким образом, проекции спинов элек- тронов должны быть исключены из полноГо набора вели— чин, характеризующих состояние атома как целого. Вместо 323
них состояние определяется полным спином, т.е. имеет вид |З, М 5). При этом волновая функция будет удовлетворять принципу Паули только в том случае, если число электро— нов с Одинаковой энергией не превышает кратность вырож— дения данного одночостинного уровня энергии. Следова- тельно, состояние атома в нулевом приближении №№) бу- дет полностью определено, если указано количество элек- тронов с Одинаковой энергией в сумме (16.10) — конфигура- цил. Поскольку одночастичные уровни энергии определяют- ся двумя квантовыми числами: главным п и орбитальным моментом [, для задания конфигурации используют та- кие же обозначения, как и для классификации состояний атома водорода и гелия, присваивая численным значени- ям момента соответствующие буквы (7.31). Одночастич— ные уровни энергии, характеризующиеся двумя квантовы- ми числами, часто называют электронными оболочками. Конфигурация, определяющая состояние атома, содер- жащего № электронов, может быть записана в виде 1з”12з№2р”333”43р”53с1”6 . . ., (16.11) причем №1 + №2 + №3 + Е 2 №… : №. Принцип Паули не будет нарушаться при условии 0 $ №… 3 2(2! + 1). В частности, в примере (16.11) должно быть 0Ё№1‚№2‚№4Ё2‚0Ё№3‚№5Ё6 ИТ-д- Задание конфигурации однозначно определяет значение энергии в нулевом приближении, и в принципе наряду с за— данием спинового состояния с определенным полным спи— ном |5,М5) достаточно для определения состояния в Ні - левом приближении. №53), однако оно будет мало ПРИГОД- ным для нахождения поправок первого порядка, посколь- ку остается вырОЖДение по проекции орбитального момен— та. Поэтому желательно выбрать такие состояния, которые 324
сразу могли бы рассматриваться как правильные функции нулевого приблиоюения для применения теории возмуще— ний в случае вырожденного спектра. Если бы мы рассматривали систему частиц, не обла- дающих собственным моментом (спином), можно было бы сразу сказать, что в замкнутой и изолированной системе, каковую и представляет собой сво60дный атом, должен со- храняться полный момент импульса. Однако мы видели, что для частиц со спином это утверждение справедливо, строго говоря, только для полного момента. Очевидно, что для гамильтониана, не СОДержащего магнитных вза- имодействий, отдельно сохраняется полный спин системы 8 = 2“ за, поскольку оператор полного спина коммутиру- ет с гамильтонианом (16.1): [3%] = 0, [Й,/32] : 0. (16.12) Утверждения (16.12) очевидны, поскольку гамильтониан (16.1) не содержит спиновых операторов. Остается теперь убедиться в том, что и оператор пол— ного орбитального момента импульса также коммутирует с гамильтонианом и, следовательно, сохраняется суммарный орбитальный момент импульса электронов независимо от полного спина. Заметим прежде всего, что орбитальный момент каждого электрона не коммутирует с исходным га— мильтонианом (16.1), который следует использовать для нахождения поправок первого порядка. Действительно, ор— битальный момент каждого электрона коммутирует с пер—- вым слагаемым в нерелятивистском гамильтониане атома (16.1), однако последний содержит кулоновское парное вза— имодействие электронов между собой У(|га — гь|) : Уфы,), с которым оператор орбитального момента каждого элек— 325
трона не коммутирует: ПЕ…” У(Та‚Ь)] : 60:67 [Ща,драдэ У(ТаЬ)] : (іі/(гад) д’Гаь =е а: ‚Ут =—іГъ——е $ _'= 067 выдрал ( сб)] (17.0!) ад? 0,3 8330,7 (іі/(…) дить) : —-іей—— а: со — а: : іГъ—е а: . Таьётаь 605,87 а‚В( 0'77 [)),-7) 'ГаЬСіТ'аЬ ад,), “›дшьд Совершенно аналогично получаем Г (Т“ =—іН——С1У(Т0’Ь)е а: а: ЬОЦУ ф)] 'ГаЬСі'ГаЬ 0:67 ад Ьдп Таким образом, с оператором парного взаим0действия ком— мутирует сумма операторов момента двух взаимодейству- ющих электронов: Ги… +1}… У('гаь)] : 0. (16.13) Упражнение Показать, что с оператором парного взаИМОДействия ком- мутирует также оператор (1015), т е “Та/{6% У(Тад)] “: 0- (16.14) Согласно полученным результатам (16.13) и (16.14) мо— жем теперь утверждать, что в системе с парным взаимо- действием, описываемой гамильтонианом (16.1), сохраня- ется полный орбиталъный момент импульса: [1130] = 0, [вд?] : 0, (16.15) где Ё : ЕЦТЦ. Итак, правильные состояния нулевого приближения должны определяться конфигурацией, полным спином и полным орбитальным моментом: |Ф(°)) :; 2А5М$.Ьм|конфиг.,1},$)|Ь‚М)|$ МБ) (16.16) $,‚М5ЬМ 326
Очевидно, что при заданной конфигурации возможны со— стояния не только с различными значениями полного спи— на 5 , но и полного орбитального момента Ь. Кратность вы— рождения уровня энергии в нулевом приближении (16.10) равна №0 : 2<2$+ 1)(2Ь+ 1), (16.17) 5,13 где суммирование проводится по всем возможным (разре— шенным принципом Паули) значениям полного спина и ор- битального момента атома. Какие значения полного орбитального момента могут быть разрешены принципом Паули при заданной конфи— гурации? Ответ на этот вопрос можно частично получить, рассмотрев задачу о сложении моментов. В заданной кон- фигурации можно выделить два типа электронных состо- яний: на полностью и частично заполненных электрон- ных оболочках. Согласно принципу Паули для электронов должны быть различны все четыре квантовых числа. Если электронная оболочка заполнена полностью, два из четы- рех квантовых чисел одинаковы, и состояния отличаются только проекциями спинов и орбитального момента. В этом случае легко видеть, что для каждой проекции орбиталь- ного момента будут обязательно два состояния с противо— положными проекциями спинов электронов. Это означает, что при проведении суммирования спинов всех электронов получается только суммарная проекция М5 : 0. Таким об— разом, для полностью заполненной оболочки суммарный спин обязательно равен нулю: 5 = 0. Далее можно сказать то же самое о суммарной проекции орбитального момен— та: в полностью заполненной оболочке каждому значению т # О обязательно будет соответствовать значение проек- ции —т. Таким образом, суммарная проекция будет всегда 327
равна нулю: т=+1 М: ;[т=0. Поскольку суммарная проекция орбитального момента принимает единственное значение, равное нулю, полный орбитальный момент заполненной оболочки В = 0. Таким образом, возможные значения полного спина и орбиталь- ного момента будут определяться только электронами, на— ходящимися на незаполненныт оболочках. Электроны, находящиеся на одной оболочке, называют- ся эквивалентными. 16.3. Первое приближение Поправка первого порядка определяется нецентральной частью самосогласованного поля и обусловлена по—прежнему только кулоновскими взаИМОДействиями. Поскольку пра— вильные функции нулевого приближения нами определе— ны, остается вычислить диагональные матричные элемен— ты оператора возмущения И… в гамильтониане (16.5) по состояниям, входящим в суперпозицию (16.16): ' Е… = гдэ = =(конф.,[/‚Б’КЬ’,М’КБ,МЬ|УПС|Ь,М)|Б,М5)|конф.,12,5) = 265’5'6МЬМ56Ь’Ь6М’М<К0Нфч Ь, $|УПС|КОНф., В, 5). (16.18) Матричный элемент получается диагональным в силу ком- мутационных соотноШений (16.12) и (16.15) и соответству- ющих им интегралов движения. Таким образом, поправки первого порядка к уровням энергии сложного атома зави— сят не только от конфигурации, но и полного спина и орби- тального момента, и вырождение энергетического спектра 328
ПОНИЖЗЭТСЯ ДО ВЭЛИЧИНЫ №1 : (25 + 1)(2Ь + 1). (16.19) Поправки первого порядка к уровням энергии (16.18), имеющие кулоновскую прир0ду, меньше расстояния между уровнями энергии нулевого приближения, и можно ожи— дать, что они имеют характерный порядок … 1 е/. Однако величина такой оценки может сильно отличаться не только для различных атомов, но и для различных конфигураций Одного и того же атома. В первом приближении возникает вопрос, которого в нулевом приближении не было: для каких значений 3 и Ь уровень энергии будет иметь минимальное значение? В общем случае для произвольной конфигурации ответить на этот вопрос, вообще говоря, нельзя. Однако можно вы— сказать некоторые соображения. На примере атома гелия мы видели, что парное взаИМОДействие определяет такой важный вклад в систему, как энергия обменного взаимо— действия. В атоме гелия энергия минимальна при макси- мально возможном полном спине $ = 1. Это связано преж— де всего с тем, что координатная часть волновой функции атома гелия для 5' = 1 антисимметрична, и вклад поло- жительной энергии отталкивания электронов для нее ми- нимален. В главе 14 было показано, что в системе тожде- ственных частиц спиновая часть волновой функции всегда симметрична для максимально возможного значения пол— ного спина, следовательно, для системы электронов коор- динатная часть будет при этом антисимметрична. Таким образом, для максимально возможного значения полного спина следует ожидать наименьшего вклада положитель— ной энергии взаимоцействия электронов между собой. Эти соображения формулируются в виде эмпирического 1—го правила Хунда: 329
энергия атома имеет минимальное значения в состояни- яа: с максимально возможным значением полного спина 3. Если при этом возможны несколько различныа: значе— ний полного орбитального момента, минимальную энер- гию имеют состояния с максимальным значением Ь. Уровни энергии атома принято называть термами и ставить им в соответствие спектроскопические символы. В первом приближении спектроскопический символ выгля- дит так: 25+1 Д где число 23 + 1 называют мультиплетностью. Полному ор- битальному моменту так же, как и орбитальному моменту электрона, ставят в соответствие заглавные латинские бук- вы так же, как мы это делали для атомов водорода и гелия: Ь: @, 1, 2, з,… ' 5, Р, в, г,... Далее буквы следуют в порядке алфавита. 16.4. Второе приближение Во втором приближении следует учесть релятивистские поправки к гамильтониану (16.1), которые СВОДЯТСЯ к спин— орбитальному взаимодействию. Спин—орбитальное взаи— МОДействие для электрона определяется в общем случае формулой (12.62). Однако мы в качестве нулевого прибли- жения выбрали центрально—симметричную часть самосо— гласованного поля, поэтому для нерелятивистсниш элек— тронов мы можем записать спин—орбитальное взаИМОДей- ствие в форме (12.65): 17,3 : 2 Аиде… (16.20) 330
где _ 712 (1% _ 2тс27°а ога. @ . Спин-орбитальное взаИМОДеЙСтвие отлично от нуля только для электронов с отличным от нуля орбитальным момен- том. Задача теперь СВОДИТСЯ к нахождению расщепления вы— рожденного (25 —|— 1)(2Ь + 1)-кратно уровня энергии при наличии малого возмущения (16.20) меТОДами теории воз— мущений для вырожденного спектра. Для этого следует матрицу возмущения записать в базисе исх0дных состоя— ний первого приближения: <Ь‚ М’|<в‚ Макконф, Ь‚5|и3|конф.‚ Ь, вни Миэ, Ма. (16.21) Как видно, вычисление матричного элемента может быть проведено в два этапа (поэтапное усреднение). Вычисле— ние “внутреннего” матричного. элемента по конфигурации не затрагивает спиновые переменные, но вместо простран— ственных координат дает число, которое определяется рас— пределением электронов по различным оболочкам. Мы ви- дели, что в силу принципа Паули коллективное состояние электронов в атоме формируется так, что как суммарный орбитальный, так и суммарный спиновый моменты элек— тронов, образующих заполненные оболочки, равны нулю. Таким образом, в результате первого этапа усреднения дол- жен остаться оператор, который зависит только от полного орбитального Ь и спинового $ моментов электронов, нахо- дящихся на не полностью заполненных оболочках. Далее необходимо найти правильные функции (состоя— ния), для которых матрица оператора спин—орбитального взаИМОДействия будет диагональной, а диагональныеэле— менты будут определять расщепление вырожденного уров- ня энергии. Решить эту задачу, исх0дя из диагонализации 331
матрицы (16.21), в общем случае невозможно, однако мож— но привлечь в помощь интегралы движения, которые до сих пор для нас не играли роли в характеристике состоя- ния. Очевидно, таким интегралом движения должен быть полный момент импульса всего атома 3=Ё+Ё‚ нож) для которого собственные состояния имеют вид в соответ- ствии с правилами сложения моментов: |13‚3‚‹7‚М…1>= 2 Сійівмвідмнемв. (16.23) М+М5=Мд Результат усреднения оператора (16.21) представить в об— щем случае в виде какой-либо функции операторов Ё и Ё невозможно: результат зависит не только от конфигу- рации, но и от величины моментов В и 5 . Можно толь- ко сказать, что оператор должен быть функцией линейно- независимых скапяров, составленных из векторных опера- торов Ё и Ё в исх0дном базисе состояний |}}, М) |З, Мэ). Ча— сто для атомов в верхней части таблицы Менделеева опера— тор спин—орбитального взаИМОДействия после первого эта- па усреднения (по конфигурации) может быть представлен в виде самого “простого” скаляра: Г/ЬБ : АЁЁ. (16.24) Этот случай называется расселъ-саундеровским, и говорят, что для атома справедливо приближение ЬБ-связи. Для атомов тяжелых элементов становится существен- ным релятивистский характер движения электронов, когда спиновые и орбитальные переменные в Одноэлектронном приближении не разделяются, и приближение ЬБ—связи становится неприменимым. 332
Несмотря на то, что оператор взаИМОДействия (16.24) не имеет универсального характера, он весьма полезен для получения общих результатов. Прежде всего заметим, что вектор состояния свободного сложного атома с учетом спин-орбитального взаимодействия можно представить в виде |Ф) : |конфиг.‚ Ь, БМВ, 3, .], Му), (16.25) а уровни энергии зависят от величины полного момента ] и вырождены 2] + 1-кратно только по проекции полного момента М ]. Соответственно (2Ь + 1)(2$ + 1)-кратно вы- рожденный уровень энергии атома с учетом первого при- ближения расщепится на 25 + 1 уровень, если 5 < Ь и на 2Ь + 1 уровень в противном случае, поскольку полный момент может принимать значения |Ь — $ | $ ] $ В + 5. Для оператора (16.24) поправки к уровням энергии можно записать в общем виде так же, как и в одноэлектронный задаче: 1352) : е_] = %(](„7 + 1) — ЦБ + 1) — 5(5 + 1)). (16.26) Видно, что определение уровня с наименьшей энергией при расщеплении уровня, полученного в первом приближе- нии, определяется знаком константы А спин-орбитального взаим0действия. Для одночастичной задачи А > О, и то— гда наименьшую энергию имеют состояния с наименьшим ] = |Ь— ‚5' | Для многоэлектронной задачи такое утвержде- ние остается верным, если электронная оболочка заполне— на меньше, чем на половину. Если электронная оболочка заполнена больше, чем на половину, вместо отрицательно заряженного электрона следует рассматривать вакансии, которые имеют эффективный положительный зарЯД и со- ответственно другой знак константы А. Величина поправ- ки второго приближения квадратична по константе тонкой 333
Е ‘°’ Н°) +15“) ЕЩЕ“) +132) # ‘Г |конфиг.) . ___________________ } 8 / щ } 8 ЕАМШ|юнф.,Ь,$)|Ь‚м)|$‚м5) |юнф_‚1„‚5>|1,‚м)|$‚мз) |конф.,Ь‚5)| [‚‚8, 1, м,) Кратность вырождения Кратность вырождения Кратность вырождения 2(2Ь+1)(?Б+1) (2Ь+ 1)(2$+ 1) 21 + 1 [‚‚8 Рис. 16.1. Иерархия уровней энергии и классификация состоя- ний свободного сложного атома структуре и имеет порядок Е(2) … а2Е(0) … 10—3 е/. Для определения основного терма сво60дного атома с учетом спин-орбитального взаимодействия (во втором порядке теории возмущений) существует второе правило Хунда, которое можно сформулировать так: минималъную энергию имеет терм с ] = |!) — Б |, если электронная оболочка заполнена менъше, чем наполовину, и с ] : Ь + 5 в противном случае. При этом речь идет обычно для конфигурации основно- го состояния, а для возбужденных конфигураций картина может изменяться. Терм сложного атома с учетом спин— орбитального взаимодействия обозначается спектроскопи- 334
ЧБСКИМ СИМВОЛОМ 25+ 1 Д,. Иерархию уровней энергии сложного атома и класси— фикацию состояний в разных порядках теории возмущений можно представить в виде схемы, приведенной на рисунке 16.1. Пример Определим состояния и термы атома углерОДа с основной конфигурацией 1322522192. У атома углер0да С два эквивалентных электрона на незаполненной р—оболочке, поэтому кратность вырождения уровня энергии нулевого приближения можно определить с помощью комбинаторики: , 6! №0 : Сб : № : Теперь необх0димо определить возможные значения пол— ного орбитального момента и спина, не противоречащих принципу Паули. Иными словами, следует определить та- кие пары чисел (ЪБ), чтобы Е(ш: + 1)(2$ + 1) = 15. Ь,.З 15. Согласно первому правилу Хунда основной терм должен иметь максимальный спин $ , который в нашем случае Зтах : 1. Для образования состояния с максимальным спином оба электрона обязательно должны иметь возмож— ность наХОДиться в Одночастичных состояниях с Одинако— вой проекцией спина т13 : 777,25 : +1 /2. Это означает, что проекции орбитального момента обязательно должны быть различными. В таком случае видно, что суммарная проекция орбитального момента не может принимать мак- симального значения М : 2, Однако не запрещены ОДНО- частичные состояния, когда, например, 7711 = 1, т2 : О. 335
Иными словами, для полного спина $ = 1 разрешена максимальная суммарная проекция орбитального момента М : 1. Согласно определению момента это означает, что полный орбитальный момент Ь : 1. Итак, Одну пару чисел (терм) мы определили и получили 9-кратно вырожденный уровень энергии. Максимально возможная суммарная проекция орби— тального момента №№ах : 2, что означает возможность существования полного орбитального момента Ь : 2. В состоянии с В = 2 оба электрона обязательно должны иметь возможность наХОДиться в одночастичных состояни— ях с одинаковой проекцией орбитального момента т1 : : т2 : +1. Это означает, что согласно принципу Паули у таких электронов обязательно должны быть различными проекции спинов, но тогда суммарная проекция спина мо- жет принимать единственное значение М 5 : т13+т23 : О. Следовательно, в состояниях с полным орбитальным мо— ментом Ь : 2 возможно значение полного спина 5 = 0. Этот терм вырожден 5-кратно по проекциям полного ор— битального момента. Осталось всего ОДНО состояние, которому соответствует последний невырожденный терм с 5 = 0 и Ь : 0. Итак, с учетом поправки первого порядка мы получа- ем, что 15-кратно вырожденный уровень энергии нулевого. приближения расщепился на три: 3Р, 11), 15, причем согласно первому правилу Хунда минимальную энергию имеет терм с 5 = 1. С учетом спин-орбитального взаимодействия во втором порядке теории возмущений расщепится только основной терм На три в соответствии с тремя возможными значения— ми полного моменТа ] = О, 1, 2. Согласно второму правилу 336
ХУНДЕЪ МИНИМЭЛЬНУЮ ЭНЕРГИЮ имеет ТВРМ 3130. Вопросы для самоконтроля 10. 11. 12. Записать гамильтониан сложного атома без учета релятивист— ских взаимодействий. Как определяется выбор нулевого приближения для классифи- кации состояний сложного атома? Что понимается псд эквивалентными электронами в сложном атоме? Как определяются правильные функции (состояния) нулевого приближения сложного атома? Чему равна кратность вырождения уровней энергии сложного атома в нулевом приближении? Как определяется кратность вырождения уровней энергии сложного атома с учетом первого приближения теории воз- мущений? Определить понятие терма. Как определяется основной терма в первом порядке теории возмущений с помощью первого пра— вила Хунда? Какое взаим0действие учитывается во втором порядке теории возмущений? Как определяются правильные векторы состояний во вторОм порядке теории возмущений? Как происходит расщепление уровней энергии с учетом спин— орбитального взаимодействия? Чему равна кратность вырождения энергетического спектра атома с учетом спин-орбитального взаимодействия? Сформулировать второе правило Хунда. Как определяется с его помощью основной терм атома? 337
Глава 17 Взаимодействие атомов с' классическим электромагнитным полем 17.1. Гамильтониан сложного атома во внешнем постоянном магнитном поле Для сложного атома во внешнем магнитном поле в нереля- тивистском приближении следует записать гамильтониан Паули: Ё : 2 5% (730 — ЁА(га))2 + ? + 221… (даж), (17.1) где оператор 7 включает все взаимщействия, которые вхо- дят в гамильтониан свободного сложного атома, включая спин—орбитальное. Внешнее магнитное поле не зависит от времени и для микроскопических объектов всегда может считаться ОДНО— р0дным‚ поэтому векторный потенциал равен А(г) : % [’Н >< г] . (17.2) Учтем, что оператор импульса коммутирует с оператором векторного потенциала, и раскроем выражение для кине— тической энергии электронов, тогда гамильтониан (17.1) можно записать в виде Ё=Ш+Ё+%‚ (пы 338
где Но — гамильтониан св060дного атома, % : 'е——|— №2 (7%, А( (га)) +2до (зн) (17.4) 2 _ в 2 2 Ур — 2 с2 % А (г) :8 02 2% Та зіп 20,0. (17.5) Подставим выражение для векторного потенциала (17.2) в скалярное произведение в операторе (17.4) и получим % (730 … >< …) = % (н [… >< 734) = ; (та,) . (17.6) Таким образом, оператор взаИМОДействия (17.4) принимает вид ?2 : „он (Ё + 2’5`) . (17.7) Исходя из выражения (17.7), можно сказать, что дат : _:ЦО (і: + 2/9) — оператор магнитного момента атома. Оценим порядок величины взаим0действий (17.7) и (17.5). Имеем . . е тс Ес те2 в :а-Ёеё?-[тои-‹ЁО’НОЁ7 0 где 80 — атомная единица электрического поля, @@ — атом— ная единица длины. Второе взаИМОДействие соответственно имеет порядок 64 Е2 2 2 2 й2—с2 тей—271%:аНСЬО 62 2 Ур … ——2—Н2а0 : то 339
Таким образом, отношение второго взаимодействия к пер- вому имеет порядок @- … о:Ё << 1. Уи 50 Следовательно, вторым взаИМОДействием всегда можно пренебречь, если первое взаимодействие дает отличный от нуля вклад по теории возмущений. Как видно из оценок, величина взаИМОДействия Уи ста- новится сравнимой с величиной спин—орбитального взаимо- действия, вх0дящего в гамильтониан свободного атома при значении внешнего поля порядка Н … 0180, что на практике соответствует величинам Н … 104 — 105Гс. Таким образом, выделение невозмущенного гамильтониа- на в задаче зависит от соотношения зеемановсной энергии взаимодействия Уи и спин-орбитального взаимодействия в атоме. Поэтому решение задачи по теории возмущений в общем случае возможно только в двух приближениях: 1) слабое внешнее магнитное поле, когда взаимодействие Уи << Уд5 — спин-орбитального взаИМОДействия в свобод- ном атоме (аномалъный эффект Звемана)‚ и 2) сильное магнитное поле, когда имеется противополож- ное неравенство У2 >> УЬЗ (нормальный эффект Зеемана или эффект Пашена—Бака). 17.2. Аномальный эффект Зеемана В слабом магнитном поле невозмущенный гамильтониан совпадает с гамильтонианом свободного атома, поэтому со- стояния в нулевом приближении определяются квантовы- ми числами свободного атома: |Ф<°>> : |конфиг.;Ь‚$)|1},5,],Му) ; |Ь‚$‚]‚Мд)‚ (17.8) 340
а уровни энергии, определяемые термом 2$+1Ь1, вырож— дены (2! + 1)—кратн0. Легко видеть, что оператор возмущения 172 не комму- тирует с квадратом полного момента, но коммутирует с его проекцией на ось ЗН’Н. Поэтому вырождение по проекции полного момента Должно сняться в первом порядке теории возмущений. Перепишем оператор возмущения в виде 172 : „он (12 + 52) а по („12 + 52) . (17.9) Первое слагаемое в операторе (17.9) коммутирует с невоз— мущенным гамильтонианом, поэтому матрица возмущения имеет вид <Ь‚5‚.]‚М{‚|^/2|Ь‚$‚1‚М,> : =до (Мддмд‚„‚, + (13,3, ]‚М_’,|Ё„|Ь‚ 5, ], мд). (17.10) Поскольку [172,52] : 0, имеем <МЭ|Ё : _ ЁгЁ|М1>=(МЭ— М1)<МЭ|32|М1>› откуда следует, что (Ь, $, ], МЫЁДЪ, $, ], М ,) : сопзізбМЭ’М]. (17.11) С другой стороны, имеем также (13,5, ],МЫЁЦ), 5', ], Му) : СОПЗЁ/бмдмр Иными словами, можно записать: (13,5, ], Идём, $, ], М,) =А<Ь, 5, ], М}|@|Ь,Б, ], Мд> : = (13,5, ],М_’‚|)„Ё|Ь,Б, ми,). 341
Заметим теперь, что операторы Ё; И А:]; удовлетворяют одинаковым коммутационным соотношениям с оператора- ми, задающими полный набор физических величин, опре- деляющих состояние сво60дного атома. А именно: [Уш ЁЁ] : іеадтёч И [Уш АТБ] : іеад'уАЁУ' Поэтому для состояний, относящижл к одному и тому же терму, можно считать, что операторы 52 и ]; удовлетво- ряют соотношению “пропорциональности“: ^ @ = А.]. (17.12) Коэффициент пропорциональности определяется в резуль— тате вычисления любого матричного элемента. Рассмотрим скалярное произведение (ЁЁ) : А32 и вычислим его сред- нее в состоянии (17 .8)2: ‚<Ь‚$‚1‚М‚|32|Ь‚5‚1‚М_‚> ; №2) : …] + 1) : ((Ё)) : =<;- (32 _]? +ё2)> =%[_1(1+ 1) —Ь(Ь+ 1) +5($+ …. Теперь легко получаем выражение для искомого коэффи— циента: ](]+1)—Ь(Ь+1)+$(5+1)_ А: 2](…]+1) (17.13) Таким образом, матрица возмущения (17.10) диагональна и ее диагональные элементы определяют поправки первого порядка к уровню энергии (терму): Е(1)Е А5Ь$ЩМд : Ё99Ь31М], (17.14) 1Этот результат строго получается из теоремы Вигнера—Эккарта в теории симметрии. 2Напомним, что в состояниях (17.8) определены 2:2 и 32, поэтому <В?) : ць + 1) и @) : $(5 + 1). 342
где фактор Ланде равен ](]+1)—Ь(Ь+1)+$($+1) 210+ 1) ' 91,5] : 1 + (17.15) Из соотношения (17.14) видно, что в слабом магнитном поле полностью снимается вырождение энергетического спектра свободного атома. Иными словами, уровень рас— щепится на 2.1 —|— 1 невырожденных ПОДуровней. Если мы теперь рассмотрим ансамбль невзаимодейству- ющих Одинаковых атомов с отличным от нуля полным мо- ментом ] в слабом магнитном поле (идеальный больцма— новский газ), окажется, что он будет обладать парамаг— нитными свойствами, т.е. его магнитная восприимчивость будет положительной. Эта задача элементарно решается в курсе статистической физики. 17.3. Диамагнетизма атомов и парамагнетизм Ван Флека Пусть атом находится в основном состоянии с Ь # $ = О. Все атомы инертных газов имеют такое основное состоя— ние. Тогда взаимодействие Уи не дает вклад в поправки к невозмущенному уровню энергии ни в каком порядке тео— рии возмущений. Действительно, все матричные элементы для состояний (17.8) с основным состоянием равны нулю: (13,5, ]‚М_;|Ё2 + 2340, 0, 0,0) = 0. (17.16) В этом случае возникает необх0димость учитывать возму— щение (17.5), которое дает отличную от нуля поправку пер— вого порядка, равную диагональному матричному элемен- ту (среднему значению): &… Е Ае: 2-(212 зіп 20) (17.17) 8тс2н 343
Поскольку $—состояние атома |ОООО) сферически симмет— рично, имеем 2 2 (зіп2 ва) = 5 и Ае : йа,—№2 — {@ > @. Следовательно, магнитная восприимчивость ансамбля ато- мов д2Ае 62 2 Х _ _ дН2 _ _бтс2 ;&“) < & Это означает, что такой газ атомов диамагнитен. Особый случай представляет ситуация, когда Ь : 5 74 О и ] = 0 (например, атомарный углер0д в основном состоя- нии с термом зРо). В этом случае поправка первого порЯД— ка для зеемановского взаИМОДействия (17.4) равна нулю и может показаться, что, как и для инертных газов, следует учитывать в первом порЯДке теории возмущений взаимо- действие (17.5) и газ атомов также будет диамагнитным. Однако все не так просто. Оценим поправку второго порядка для возмущения (17.4) к уровню энергии атома с В = 5 7$ О и ] = О. Заметим, что поправка второго порядка содержит энерге- тический знаменатель, равный разности энергии основного терма И соответствующего возбужденного состояния. При этом среди всех возможных энергетических знаменателей следует учесть только относящиеся к одной конфигурации основного терма, поскольку расстояние между уровнями энергии с ОДНОЙ и той же конфигурацией имеет величину порядка 042130 … А, где А — эффективная величина спин— орбитального взаИМОДействия. Поэтому оценка поправки второго порядка есть АЕ(2) % 2 '<Ь7$7]7М]|У2|Ь‚$‚О’О>|2 М „(237.12 17.18 Еьво _ Едвл А ( ) ],Мд 344
Теперь легко убедиться, что ‚__Азгц |А—е—(Б1)|> поэтому газ таких атомов будет парамагнитным. ЭТОТ Эф- фект называется парамагнетизмом Ван Флека. 17.4. Эффект Пашена—Бака Если энергия взаИМОДействия атома с внешним маг:НИТНЫМ полем больше энергии спин—орбитального взаимоде‘ЙСТВИЯ, имеет место эффект Пашена—Бака или нормальный Эф- фект Зеемана. Мы видели из приведенных выше оценок, что для достижения этого эффекта величина магнитного поля должна, как правило, превышать 105 Гс, что 18 ОбЫЧ- ных условия недостижимо, поскольку только сверхпрово— дящие соленоиды способны приблизиться к этому пределу - Тем не менее существуют и исключения, когда атошЫ обла- дают аномально малой величиной спин—орбитальното вза- им0действия. Для таких исключений возможно наблПіоддТЬ эффект Пашена—Бака. При наложении сильного магнитного поля из не‘ВОЗМу- щенного гамильтониана следует исключить спин—орбіИТдЛЬНОё взаим0действия и отнести его также к возмущеншЮ- ЭТО следует делать всегда, если ЦОН … А. Как правило), В Об- щем случае задача не решается, за исключением соспГОЯНИЙ атомов с полным спином $ = 1/2. Если же 5 > 1/2, ;конеч— ные аналитические выражения можно получить ТОЛЬКО В случае ‚ЦОН >> А, когда спин-орбитальным взаИМОДе1ЙСТВИ- ем в первом порядке теории возмущений вообще МОЖНО пренебречь. Но тогда задача становится очень прсОСТОЙ- Действительно, состояния нулевого приближения опреде— 345
ЛЯЮТСЯ КдК №”): |конфиг.;Ь, 5)|Ь,М)|5‚ М3>Е |Ь,М)|$,М5), (17.19) а уровни энергии вырождены (213 + 1)(25' + 1)-кратно. Как видно, поскольку взаимодействие (17.4) определяется толь- ко проекциями операторов полного орбитального и спино— вого моментов, состояния (17.19) будут для него собствен— ными, поэтому они и останутся правильными состояния- ми нулевого приблио/сенил, а поправками первого по1ЖДка будут соответствующие диагональные по этим состояниям элементы: АЕЁЁМБ = (# М’|<3‚ МЫйЩЁ; + 2$)“; М>|$‚ МБ) : = дМЦМдміддизЁЩМ + 2М5). (17.20) Как и в случае аномального эффекта Зеемана расщепление спектра эквидистантно, однако теперь вырождение снима— ется не полностью. Невырожденными оказываются только “крайние” уровни с поправками :ЬЫЦЬ + 25 ) 17.5. Атом в переменном поле Рассмотрим задачу о возбуждении состояний сложного атома полем классической монохроматической плоской волны с волновым вектором 1‹. Плоская волна поперечна и для нее всегда выполняются условия: 8 _1_ ’Н _|_ 1‹. Для плоской волны удобно выбрать кулоновскую калибровку, тогда ‹,о : О, ‹ііуА : О и соответственно Е ”А. Гамильтони— ан атома в электромагнитном поле можно всегда записать в универсальной форме, как и при рассмотрении эффек- та Зеемана (17.3), с той лишь разницей, что векторный 346
потенциал ЗдВИСИТ не ТОЛЬКО ОТ КООРДИНдТ, НО И времени: 2 + 2…) (видо) + 27202 ХАЖГЦ). (17.21) а В плоской монохроматической волне Н = [и >< 8], и по- скольку 8 : —с_1А‚ для магнитного поля имеем ‘Н = = с1 [А ›‹ п]. ВзаИМОДействие электромагнитного поля с собственными магнитными моментами электронов имеет порядок % „ОН … —1—2-А … —А. с с Таким образом, последними двумя слагаемыми в гамильто— ниане (17.21) можно пренебречь при условии, что остающе— еся взаимодействие дает отличный от нуля вклад в первом порядке теории возмущений. Запишем векторный потенциал плоской линейно поля— ризованной монохроматической волны: А(1—‚75) : жеАоецкг—шг) : А0 со5(1‹г — шг + 01). (17.22) Для области видимой части спектра частота ш … 1015с_1 и соответственно 19 … 10—5см‚ поэтому в области простран— ства с размерами порядка атомных поле электромагнитной волны можно считать Однор0дным3. Итак, пусть в начальный момент времени атом нахо— дился в состоянии іі) = |КОНфиг-‚Ь‚5>|Ь‚$‚ !‚МЛ ЗЭто приближение аналогично тому, которое применяется в клас— сической теории поля при рассмотрении рассеяния монохромати— ческой плоской электромагнитной волны системой нерелятивистски движущихся зарядов. 347
с энергией Ед. Требуется найти вероятность перех0да в мо- мент времени 15 в состояние |}“) = |К0НфИГ’—‚Ь’‚$’>|Ь'‚5’‚ ДМЗ) с энергией Е; ПОД воздействием зависящего от времени воз— мущения 17 = % >: (тама) . (17.23) Вероятность перехода в первом порядке теории возму- щений определяется формулой (11.33): „. 2 1 . ‚^ щ, : ЁЁ ] е]…№ Уіі(г’)‹1г’ , (17.24) 0 которая для возмущения (17.23) принимает вид 2 И/„е : (г;—СУ 2/(<і|7^>а|і)А(г’)) еішт’сіг’ . (17.25) “ 0 Матричный элемент оператора импульса может быть пре- образован, если его выразить через производную по време- ни от оператора: (1 _ іт ’Ра : т—г (115 а Ё [Ёшга]. (17.26) Подставляя коммутатор (17.26) в выражение матричного элемента, получаем тат = 1%… (Йога, — №130)… = іт Г» (Е; — Еъ)(]|га‚|і) : ітшіі(і|га|і). (17.27) 348
Учтем теперь, что 2061}; = (1 — оператор электрическо— го дипольного момента атома, и получим для вероятности перехода простую формулу: ‚ 2 Ё РУ,-‚с: Т_Т—216033201“ (“ім Ще) №“ ’‚(112 . (17.28) 0 Мы пришли к задаче о нахождения вероятности перехо- да под воздействием перИОДического возмущения (11.35). Так же, как и в формуле (11.36) получаем, что при выпол- нении условия резонанса ш],- = :!:ш вероятность перехода квадратично растет со временем: И/„с ос 752. Если Е] > Е„ наблюдается резонансное возбуждение атома, а в против— ном случае — резонансный переход на более низкий уро- вень энергии. При этом в любом случае выполняется за- кон сохранения энергии системы “атом+электромагнитное поле”. ОчеВИДно, в условиях резонанса теряет смысл по— нятие вероятности перехода: система обязательно этот пе— рех0д совершит. Однако в реальных условиях электромаг- нитная волна никогда не бывает полностью монохроматич- на, а имеет некоторое некоторое спектральное распределе— ние. Поэтому задача ставится так же, как и для переходов в непрерывном спектре: требуется определить, как быст— ро перейдет система из начального состояния в какое-либо другое4. Иными словами, определяется вероятность пере- ходов в единицу времени. Для не полностью монохроматичной электромагнитной волны спектральное распределение можно определить как +00 +00 (1 „: /А(1Е)еіщ‹ій‚ и Ае): ] Аше—№231. (17.29) ТГ —00 —00 4В данном случае спектральное распределение выполняет роль плотности энергетического спектра квантовой системы. 349
Амплитуда А0 в формуле (17.22) есть соответствующая фурье-компонента разложения (17.29). Введем единичный вектор поляризации монохроматической волны е, тогда А… : Аше. Оставляя в формуле (17.27) для вероятности перех0да только резонансный член, получаем 2 2 віп2 і(и)]с- :і: ш)75 А…| , 2 2 ’ . . ) | Кале)! (…„- мр (1730) ш “ щ ш : ( ;( ) ‚,С Полная интенсивность электромагнитной волны, т.е. энергия, прошедшая через единичную площадь за все вре- мя, определяется плотностЬю потока энергии и равна и: _ ] етим. (17.31) Ее можно записать через спектральное распределение сле- дующим образом. Выразим ОДИН из сомножителей в квад- рате электрического поля через спектральное разложение, после чего легко проводятся элементарные выкладки: +00 +00 (1 С —іші ш =— … — {:= и 4“ го) ] г е %а —00 —00 +006. +00 +00 (1 _ _в_ _“ _ш : & _ш _47Г 27Гг:… ] еще вы 4“ ] ЕщЕ—“%“ —00 —00 —00 Замечая, что согласно определению (17.29) 8_… = 8…*, по- лучаем +00 2@ +00 (1 С Ш Ш и_ 21? „г…, ”2? _ ]цщё? (17.32) —00 —00 350
где [(ш) — спектральное распределение интенсивности электромагнитной волны. Выразим теперь фурье-компоненты электрического по- ля через фурье-компоненты векторного потенциала: 1 дА` іш 8… = —— — = ——А…. (17.33) с 875 ш с Согласно выражениям (17.32) и (17.33) квадрат модуля фурье—компоненты векторного потенциала выражается че— рез спектральное распределение интенсивности электро— магнитной волны: 2 'А…| : —1(ш). (17.34) Таким образом, вероятность перех0да (17.30) может быть выражена через спектральное распределение интенсивно- сти электромагнитной волны. Полная вероятность опреде- ляется интегралом по всем частотам распределения: +00 47тш2і зіп2 Чо) ‚; і ш)75 И/„(Ы 2/(1ш2Ё2—0521(Ш)|((1Пе)|2 (601710)? (17.35) ОПРЭДВЛИМ ТСПСРЬ ВСРОЯТНОСТЬ перехода В единицу време— ни как И/ 15 и)” : Ё1іш # —›00 (17.36) и воспользуемся ОДНИМ из представлений б-функции: - 2 эш 0475 Пт —-——— : 27тб & . 17.37 1;——›оо (1275 ( ) ( ) Для вероятности перехода в единицу времени интеграл (17.35) с учетом представления (17.37) легко вычисляется, и мы получаем 87г2 ;& _ 2 и)” — 'д—Ъіцішіі) “дле)і ‚ (17-38) 351
Где знак “+” относится к перех0ду с возбуждением на более высокий уровень энергии (поглощение электромагнитного поля), а знак “-” — к перех0ду на более низкий уровень энер— гии (испускание электромагнитного поля). Из определения (17.34) следует, что Ц—ш) : ](ш), поэтому вероятности индуцированного поглощения и испускания классического электромагнитного поля равны …}?” = 10,4%)“. (17.39) Взаимодействие системы зарЯДов с квантованным элек- тромагнитным полем прив0дит к появлению вероятности спонтанного излучения и, таким образом, полная вероят— ность перех0да в единицу времени с излучением поля ока— зывается выше вероятности перех0да с поглощением поля на величину, не зависящую от интенсивности излучения. Вопросы для самоконтроля 1. Записать гамильтониан атома во внешнем электромагнитном поле. 2. Дать оценку порядка величин взаимодействий атома с внеш- ним полем. 3. Какой вид имеет оператор магнитного момента сложного ато- ма? Записать гамильтониан атома в статическом магнитном поле. Когда наблюдается эффект Зеемана? Когда наблюдается эффект Пашена—Бака? 71939”? Как расщепляются уровни энергии атома в слабом магнитном поле? 8. Чему равен фактор Ланде атома с полным моментом ] , орби- тальным Ь спином 5? 9. Когда наблюдается парамагнетизм Ван Флека? 10. Какой знак имеет магнитная восприимчивость атома углерода в основном состоянии? 352
11. 12. 13. 14. 15. Как расщепляются уровни энергии атома в сильном магнитном поле? Какова кратность вырождения уровней энергии в сильном маг—- нитном поле? Оценить порядок взаимодействий сложного атома с классиче— ским переменным электромагнитным полем. Чему равна вероятность перехода в единицу времени между состояниями сложного атома под воздействием классического переменного электромагнитного поля? Как соотносятся между собой вероятности возбуждения атома и излучения им классического электромагнитного поля? 353
Глава 18 Фазовая теория рассеяния (метод парциальных волн) 18.1. Задача двух тел в теории рассеяния Рассмотрим вначале упругое рассеяние двух нетожде- ственных частиц, которые взаим0действуют между собой по закону У(г1 —г2), где щ и г2 соответственно координаты частиц с массами 777,1 и т2 и импульсами р1 и р2. Совершен— но аналогично постановке общей задачи двух тел можно записать: Ф<Г1‚Г2) = %(ЮИР), (181) где т11'1 + т21‘2 В, = ‚ Г : Г1 — Г2. 7711 + т2 Поскольку в задаче о рассеянии нас интересует асимптоти— ческое поведение волновой функции, состояние определя- ется импульсами двух частиц, поэтому его можно охаракте— ризовать также суммарным (полным) импульсом системы Р и импульсом относительного движения двух частиц р: Р =ЁК=Р1+Р2‚ р=Ы<=р1 —р2. (18.2) Волновую функцию (18.1) теперь можно записать как ‘1’1‘1‚1(2(Г1, Г2) : Фк(В‚)'фк(Г), (18.3) 354
где волновая функция, описывающая движение центра масс системы, есть ФК(Н) : —1—еіКВ. (18.4) ©7171)“ 2 Будем в дальнейшем считать, что взаимодействие меж- ду частицами носит центральный характер, поэтому реше- ние задачи сводится к нахождению асимптотического по— ведения решения уравнения Шредингера1: ^2 (,Р—т + шт)) фиг) = Е…г) (18.5) С НУЖНЬ1МИ граНИЧНЬ1МИ УСЛОВИЯМИ. При рассмотрении задачи о рассеянии в борновском приближении мы видели, что асимптотическое поведение волновой функции при ’Г —+ 00 должно быть представлено в виде №№) = 611“ + #528”. (18.6) Тогда функция [(8) имеет смысл амплитуды рассеяния, а дифференциальное сечение упругого рассеяния равно (10 = | лента. (18.7) Поскольку первое слагаемое в функции (18.6) описыва- ет свободные частицы, решение уравнения (18.5) долж- но давать второе слагаемое. Как помним, переменные в центральном поле разделяются, и собственные волновые функции уравнения Шредингера в центральном поле мо— гут быть всегда представлены в виде произведения ради- альной и угловой частей: Фит = Віс1(”`)ит(д‚ 90)— 1Здесь т — приведенная масса двух частиц. 355
Нас, Однако, интересует состояние частицы с определенным значением модуля волнового вектора, что не есть собствен— ное состояние уравнения (18.5)‚ поэтому оно может быть представлено в виде суперпозиции: фит) 5 {&&&/“` : 2 Адды(7°)Рд(соз 0). (18.8) 1:0 В выражении (18.8) учтено, что в центральном поле за— висимость от азимутального угла ср отсутствует, поэтому в суперпозиции следует оставить только состояния с нулевой проекцией момента т = 0, тогда Ую(д‚с‚о) ос Рд(соз 0), где Рд(:с) — полином Лежандра. Радиальные функции суперпозиции (18.8) удовлетворя— ют радиапьному уравнению: 1 & 26^НЫ 2 !(1 + 1) 2… _ Т? № (Т (17… )+ (А; ‚‚.2 № УФ) Е…т) — 0. (18.9) Мы здесь учли, что при ? —+ оо энергия частицы есть Е : : Ё2іс2/2т. При решении радиального уравнения (18.9) удобно сде- лать подстановку: вы(т) = @. (18.10) В этом случае радиальное уравнение становится “Одномер- ным” и имеет простой вид: ! 1+ 1 2т Х’Ёг + (‚С2 _ %) _ ЁУ(Т)) ХМ : 0. (18.11) Поскольку мы интересуемся асимптотическим поведе— нием волновой функции на больших расстояниях: т —› 356
оо, когда У|Т_,оо : О, уравнение для сво60дной части- цы и частицы в поле совпадают. Поэтому полезно най- ти сначала радиальную функцию свободной частицы, а затем получить ее для частицы, рассеянной центрально— симметричным полем. Итак, для свободной частицы ради— альное уравнение имеет ВИД ! 1+ 1 %),/+ +(1с2 — (ті) хЁ— _ 0. (18.12) При ! = О уравнение становится тривиальным, а решение его есть ХЁЗО') : 61 8111 М + с2 сов іст. (18.13) Поскольку при 7 —› О должно выполняться условие ко— нечности волновой функции НЫ'т—Ю : сопзъ, коэффициент с2 : О и соответственно получаем (Г) ХЫ ( )`_ _ С1 зіп [от, или Е(Ё)“, )_ 61 8111 ‚ст. Т (18.14) ИЗ общих свойств движения частицы в центральном поле знаем, что Ны(7“)|т—›о … 7,1, ИЛИ ХЫ(Т)|т—›О … ?“!“— Сделаем ПОДстановку: { зіп іс'г ХХ!“ ): 7°1+1901с1(7“)7 Где №00) = А Т . (18.15) Для новой функции ‹ры получаем уравнение 2 1+1 %( ) + —(7_—)‹‚0$ы(7) + 1390191… : 0. (18.16) Пр0дифференцируем один раз уравнение (18.16): фижоді‘Ё—“фштн (% — №) золе) = 0. (18.17) 357
Если теперь в уравнении (18.17) сделать п0дстановку 90/1210) : Т‘Р/<=,1+1(Т)› получится уравнение (18.16) для функции с моментом [+1 : 2(1Т + 2), 8%,1+1(7 Т‘Р) 9% №10”) +192 % 1+1(7`) — 0 Таким образом, получаем рекуррентное соотношение 1 ‹1 1 а … <Р/с‚г+1 = (_ _)Фы= (_ _) 90190- (18—18) 'гсі'г тсі'г Подставляя в уравнение (18.18) выражение для функции ср,… (18.15), имеем { 1с1 він/ст Ні?(т)=сат ’;( „) ‚ (18.19) ’Г где С; — коэффициенты, зависящие об выбора нормировки. При т —+ 00 следует оставить только член … 1/7“, который имеет вид 1 Вы (т) `—ЮО т аТ181ПКТ _ 'г ( 1) 16 з1п(/‹:7° л1/2). (18.20) Удобно выбраТь нормировочные коэффициенты следую- щим образом: с, = (пмк—!, тогда все радиальные функции определяются одним об— щим, не зависящим от 1 и Кс коэффициентом: КШО/' ) : Азіп(/с'г — 7т1/2). т—юо 7‘ (18.21) Для частицы в поле граничное условие Вы |т_‚0 : сопзі: уже не сводится к требованию обращения в нуль коэффициента 358
при соз как в случае свободной частицы, поэтому асимпто— тическое поведение решения радиального уравнения мож— но представить в виде 8іП(Ё’Г — 7г1/2) соз(іс'г -— 7г1/2) ВЫ(Т)|Т—›оо : В! ’Г ‘ + В! ‚г : =Аів1п(/ст—7т1/2+бд)‚ (18.22) 'Г' где ’Бёбд = [);/В;. Фазы 6; в асимптотическом поведении волновой функции СОДержат всю необх0димую информацию о взаИМОДействии частицы с рассеивающим потенциалом. П0дставляя выра— жение (1822) в разложение (18.8), имеем =2А зіп(іс _:1/2 + бі)Рд(соз 8). (18.23) Аналогичная формула имеет место и для сво60дной части— цы: фиг) :: еікг Е ен“: : 2 одн…“; 7Тг/2)Рд(соз 8). (18.24) ! Для решения задачи осталось найти коэффициенты разло- жения щ и Ад. Найдем коэффициенты в разложении асимптотиче- ского поведения волновой функции свободной частицы (18.24). По определению функция, стоящая в сумМе перед полиномом Лежандра, есть коэффициент Фурье соответ- 359
ствующего разложения, поэтому „. / е‘кгРДсоз @) = 0 +1 він ]ёà — 7г1’ 2 : Хар ( / )/Рр(созд)Р1(созд)‹1соз0= [’ Т _1 2 зіп(іт° — 7г1/2) : а 2! + 1 1 г Мы здесь учли соотношение ортогональности для ненор- мированнысв полиномов Лежандра. С другой стороны, для ' ———› оо при любом конечном значении ! экспонента ехр(і1ст сов 6’) осциллирует быстрее полинома Рд(соз (9), поэтому имеем . (18.25) +1 +1 . ііс'г ]еЪ’ совер, (сов Э)‹і соз @ % РЖСОЗ 9) ?,“… —1 еі’°—(—1)[е—““` _ 2ідзіп(іст—7г1/2) _ 21! °п л! : (18.26) _ і/ст КТ №81 (‚СТ—Ё). Сравнивая формулы (18.25) И (18.26), получаем '! 21 1 („ : 3(_‚с_+__) (18.27) Таким образом, асимптотическое разложение плоской вол- ны по сферическим расх0дящимся волнам имеет ВИД . 1 00 №1 №2 _ -1 — е _- іст [2—0 1 (21+ 1) зщ (Кт — —2 ) Рд(соз 8). (18.28) Найдем теперь коэффициенты разложения (18.23). Оче— ВИДНО,ЧТО Ф;,(г) — еі1<г = ЦГЭеі’”. (18.29) 360
В формуле (18.29) как Ф;… так и плоская волна ехр(і1‹г) СОДержат схоцящиеся сферические волны ехр(—іі‹:'г)‚ по— скольку він (Ат _ ЁЁ + 61): 1 ( і(А:т—7гг/2+ ‹5‚)_ едет—тыща) . 2і Эти члены должны сократиться, что И определяет выра— жение искомых коэффициентов разложения: А, : еіб‘. (18.30) Выражение для асимптотического поведения волновой функции есть 00 ФА…‚(Ц : 2$? (2! + 1) [(—1)[+1е_іт+$де“°т Е(сов 6), 1:0 (18.31) где 51 : ещ. (18.32) Вычитая из формулы (18.31) выражение (18.28), получаем для амплитуды рассеяния 2і1—К2(2[+ 1) ($, — 1)Р‚(сов.0). (18.33) Т(*3ПОРЬ МОЖНО ПОЛУЧИТЬ ВЫРЕЪЖОНИО ДЛЯ ПОЛНОГО СОЧОНИЯ р&ССОЯНИЯЕ +100 7г =2/|(|2ёсоь8—7221+1)=|$д—1|2 —1 =() 00 (2! + 1) віп2 61. (18.34) 1:0 361
Формулу (18.33) можно переписать в виде : %(2! + 1)]1Р;(соз 8), (18.35) где ВВЭДВНЬі ПЦРЦ'ЦО/Ъ‘ЬНЫВ амплитуды: ;1=(21+1)(5‚—1)=Ё(2г+1)1 (еі2б1—1). (18.36) 2ііс 18.2. Оптическая теорема Из формулы (18.36) легко получить 1 |2= !? $112.61 (18.37) ПОЭТОМУ ПОЛНОЕ СЭЧВНИВ р&СССЯНИЯ МОЖНО ЗЕЪПИСЗТЬ В ВИДЕ) 1 - . Л : де““ 511161 и соответственно | ]) а : 47г2(21+1)|}1|2. (18.38) 1:0 Рассмотрим теперь амплитуду рассеяния для значения 8 = О (рассеяние вперед), тогда Н(1) = 1 и №) = 53);- Ёш + 1) (ещё! — 1) ‚ 1:0 откуда получаем 1 °° _ 2 %](О)= 2—1/9Ё:()21+1)(1_0082б[;Ё;(21+1)8Щ бд. (18.39) Сравнивая выражения (18.38) и (18.39), получаем соотно— шение, которое носит название оптическая теорема: 1$ ЗтДО) : до. (18.40)
Вновь вернемся к формуле (18.36) и сделаем небольшое формальное преобразование: 1 зіп бд 1 1 1 = _ _ : —— : _— 18.41 Л 13 е'151 1$ сщбд — і 9; — ііс’ ( ) где функция 9; : ісс’сёбд действительна. Соответственно для сечения рассеяния имеем 4 00 2Н—1 47г о: 7г _, и а =—. 0912+1с2 О 93+1с2 (18.42) Для того чтобы лучше понять значения представления ре— зультатов в форме (18.41) и (18.42), следует выяснить за— висимость фаз от волнового вектора. 18.3. Рассеяние медленных частиц Фазы рассеяния бд, определяющие сечение рассеяния, мож— но рассматривать как СДВИГ фаз асимптотического разло— жения радиальных функций истинного движения части— цы в рассеивающем потенциале по сравнению со СВОбОД- ным движением при 7“ —› 0. Решение такой задачи в общем виде невозможно, Однако в предельном случае рассеяния медленных частиц можно сделать некоторые весьма общие выводы. Пусть о — характерный радиус действия рассеивающего потенциала. Частица может считаться медленной, если ее волна де Бройля А >> @, или Ка << 1. Соответственно при этом и энергия частицы Е << |Щ. Запишем радиальное уравнение Шредингера: [(! + 1) 2 2т 363
в различных областях значений аргумента. 1) т $ (1, тогда 162 << 2т|П(г)|/іі2 и им можно пренебречь: 2 ! [ 1 2 2) @ << 7“ << А, тогда (](т) ——› О и имеем [Ти + 1) 2 331+ ;Нд— вы— _ 0 (18.45) Решение уравнения (18.45) можно сразу записать в виде Вы : 0171 + СЭТ—(На). (18.46) Коэффициенты 01 и 02 определяются из условий сшив— ки в области г … (1 решения уравнения (18.44) и решения (18.46). 3) При ? 2 А можно положить [ЦТ) : 0, тогда уравнение совпадает с уравнением для свободной частицы: 2 1 1 1 821+ $122! + (192— ( + ————)2) НЫ— — 0. (18.47) Решение уравнения (18.47) можно записать в виде ! - ! 1 в…т) : Ат! (33) БШ ” + вт’ (__—С] ) “…”. (18.48) тог ?“ Тот т Для получения искомых соотношений следует сшить решение (18.48) с решением (18.46) в области 197 << 1. При значениях [ст << 1 в формуле (18.48) следует оставить толь— ко основные члены и получить выражение (18.46). Разло— жим зіп и сов в ряд Тейлора: зіп Атт :Ё(_1)піс(2”+1) Т2„_ ,г (211, + ___—1)”. , сов/ст : _ п___ (2п—1) ?” ;( 1) (291)? ' п=0 364
Первый член в формуле (18.48) должен дать сонет„ которая определяется членом разложения в ряд с п = [. Второй член решения (18.48) должен дать зависимость ос Т_(1Н), что получается для члена рЯДа с п = О. Действительно, 3.3 ‘3 _(_1),(21—1)!! `тс17° т _ 7421“) . Таким образом, для КТ << 1 можно записать К(21+1) …:Щ іст<<1$б(2[ + 1). +В(—1)%—;Ш= Вы (що: _ 2) ..... 1+ _ от (18.49) 2 „+1 ' Выражение (18.49) позволяет определить связь между ко— эффициентами соответственно А, В и 01, 02 : (—1)1(21 + 1)!! А = 01 д21+1 _ _(__— 1) , В: (12 2(————2[_1)”. (18.50) Следовательно, при іст 2 1 имеем _ (—1)і(2г+1)п, 101 ‘зіп/ст ВЫ(Т)_С1 162!“ Т тог т + (—1)‘ д 1 & [сов [ст Теперь легко записать асимптотическое поведение ради— альной части волновой функции (18.51) при 'г —+ оо : винными—ляп) к! сов(/ст—7т!/2) _ В“ 61 №… т + 02 (21—1)!! 7 _ =А151п(Ьт—:1/2+61)‚ (18.52) 365
где С2 ‚СШ—Н 61 (21+ 1)!!(21— 1)” Поскольку в нашей задаче волновой вектор А: — малая вели- чина, фаза бд принимает максимальное значение при 1 = 0, т.е. _ 01 _ Естественно, само значение фазы может быть определено только в результате решения уравнения в области г $ @, ОД— нако полученные результаты позволяют сказать, что пар- циальная амплитуда рассеяния 13861 : % бд. (18.53) до (18.54) ]1‘0 : 60 = _ = _О: (18.55) 1 - 1 $0 _ 1) : Ёеюо ЗіП бо % % 01 1 ‹ 2ііс не зависит ОТ ВОЛНОВОГО ВВКТОРЗ. В ЭТОМ случае МОЖНО ввести понятие длины рассеяния ог. Сечение рассеяния при этом оказывается изотропным и равно 0 : 47га2, (18.56) что полностью согласуется с ВЫВОДами, полученными ранее в борновском приближении. Однако в фазовой теории рассеяния “можно получить новые результаты, которые из теории рассеяния в борнов— ском приближении не следуют. В частности, если рассеи— вающий потенциал таков, что фаза до % 7г/ 2, для сечения рассеяния получаем а : станах % % > №12, т.е. существенно превосхоцит классический результат, соот- ветствующий геометрическому сечению рассеяния. В этом случае говорят о резонансном рассеянии. 366
Может оказаться и так, что для некоторого рассеиваю- щего потенциала фаза 50 становится малой или вообще об— ращается в нуль. В этом случае следует учитывать вклад в сечение рассеяния парциальных волн с ! 76 О. Само же сече— ние рассеяния при малых эъіергиях рассеивающихся частиц становится аномально малым (эффект Рамзауэра). 18.4. Вклад парциальных волн В сечение рассеяния Для рассеивающего потенциала конечного радиуса дей— ствия в сечение рассеяния дают вклад не все возможные значения парциальных амплитуд с различными значения— ми момента !, а только удовлетворяющие условию [ $ [так. Действительно, пусть характерный радиус действия рас- сеивающего потенциала равен @, тогда для г … 0, имеем уравнение (18.44), которое переходит в уравнение (18.45), когда выполняется условие !(1 + 1) 2т Наоборот, рассеивающий потенциал дает существенный вклад, если Ш + 1) 2т “2 <Ё|П| или !(1+1)< О (18.58) Здесь введено обозначение ЕО : 712/2та2 — характерная энергия, связанная с локализацией частицы в области с размерами @. С другой стороны, при свободном движении частица обладает только кинетической энергией, в частности, для парциальной волны с моментом ! вся энергия будет центро- бежной для характерного прицельного радиуса то такого, 367
ЧТО а? ш+ 1) _ Е_ 7%? ш+ 1) — ——, или то: ‚{ % ’ГО 2т Следовательно, имеем, что при 7 > то для данного значе- ния орбитального момента ! волновая функция экспонен— циально затухает. Эффективно могут рассеиваться только частицы, для которых то $ @. ОТСЮДа получаем оценку для максимального парциального момента, вносящего вклад в сечение рассеяния: (18.59) /г…ах(г…ах + 1) $ ]…. (18.60) В частности, для медленных частиц [са, << 1, и, следова- тельно, ітдх : 0. 18.5. Особенности рассеяния тождественных частиц Мы видели в главе 14, что волновая функция тождествен- ных частиц должна обязательно удовлетворять опреде— ленным требованиям симметрии относительно перестанов- ки частиц. Поэтому при рассмотрении рассеяния тожде- ственных частиц необХОДимо потребовать, чтобы волно— вая функция обязательно СОДержала спиновые перемен— ные. Как показано в параграфе 14.3, волновая функция двух тождественных частиц всегда может быть записана в виде (14.27) — суперпозиции состояний с определенным полным спином частиц, когда спиновые и координатные переменные разделены. При этом координатная часть име- ет симметрию относительно перестановки координат ча- стиц в зависимости от величины суммарного спина (14.26). Исходная функция в теории рассеяния (18.3) не облада- ет никакой симметрией относительно перестановки коор- динат двух рассеивающихся частиц, однако она записана 368
в представлении, когда разделены переменные в соответ— ствии с задачей двух тел. Как видно из формулы (18.4). волновая функция, описывающая движение центра масс. симметрична относительно перестановки местами коорди- нат двух частиц, поскольку для тождественных частиц В : (г1—і—г2) / 2. Следовательно, необходимая перестановоч— ная симметрия должна быть обеспечена частью волновой функции, описывающей относительное движение. Легко видеть, что перестановка координат частиц экви— валентна изменению знака радиуса-вектора относительно— го движения частицы с приведенной массой т/ 2. Поэтому мы должны потребовать удовлетворения соответствующих требований симметрии волновой функции относительного движения при преобразовании инверсии: ТФЦГ) = ФЦ—Г) = (—1)5Фк(1‘)› (18—61) где 5 — полный спин двух рассеивающихся частиц. Таким образом, необх0димо вместо функции (18.6) за- писать функцию, аналогичную функции (14.26): _1 _Ё В первом слагаемом формулы (18.6) все тривиально, а во втором — следует воспользоваться изменением углов сфери- ческой системы координат при преобразовании инверсии: @ —› 7г — О, ‹,0 ——› 7т + ‹р, поэтому можно записать №№ (фк(1‘)+ ента—г)). (18.62) фі'зчг) =еі1сг + (_1)$е—і1‹г + 1 . +019) + (—1)$](7г _ в));еж”. (18.63) Мы здесь опустили множитель 1//Ё, поскольку в непре— рывном спектре требования к нормировке волновой функ- ции отличаются от задач дискретного спектра. Процесс 369
а Рис. 18.1. Схематическое изображение процесса рассеяния двух тождественных частиц: @ — частицы в результате рассеяния уле- тают ПОД углом В к первоначальному направлению движения и б — частицы отклоняются на угол 7г — д рассеяния тождественных частиц схематически представ- лен на рис. 18.1: рассеяние на угол @ и на угол 7т — 0 для тождественных частиц неразличимы. Функция записанная в виде (18.63) определяет диффе— ренциальное сечение рассеяния двух частиц в состоянии с полным спином 5 : (1609) (39 Полное дифференциальное сечение рассеяния тожде- ственных частиц теперь определяется суммой дифферен- циальных сечений (18.64) с учетом вероятностей рассеяния в состояниях с определенным полным спином: (10 аа<5> (1—9 : 252% (18.65) 2 на) + (—1)5](7г — в) . (18.64) (152. Примеры 1. При рассеянии см:—частиц друг на друге дифференциаль— ное сечение рассеяния определяется только суммой ампли- туд, поскольку а- частицы — бозоны со спином в = О: (іо.(а—а) 2 (Ш №) + № — в) 370
Амплитуда рассеяния ]”(д) вычисляется точно в задаче о рассеянии на кулоновском потенциале (резерфордовское сечение рассеяния). 2. При рассеянии электронов на электронах в общем случае возможны состояния с полным спином 5' = 1 и О. Вероят— ность образования этих состояний зависит от начальных условий. Если в начальном состоянии (до рассеяния) элек- троны не имели определенной проекции спина на какое— либо выделенное направление (были неполяризованы), на- пример, на направление относительного импульса 1‹, то— гда состояния с различными проекциями равновероятны. Всего возможны 4 различных одночастичных состояния: |+)|+>‚ |+>|——), |—)|+)‚ |—)|—). Первое и последнее состоя— ния представляют собой состояния с полным спином $ = 1 и проекциями соответственно 11. Оставшиеся два пред- ставляют собой суперпозиции, в которые с равными веро- ятностями входят состояния состояний с полным спином 5 = 1 и 5 = 0 с проекциями М5 : О. Следовательно, ве— роятность того, что рассеяние произойдет в состояниях с полным спином $ = 1, равна 101 = 3/4, а вероятность рассе- яться в состоянии со спином $ = О равна то = 1/4. Полное дифференциальное сечение рассеяния будет в этом случае равно @ (6—6) 1 2 3 %,— : 3 №) „(„ — в>| + №) — № —в) 2 Упражнение Определить дифференциальное сечение рассеяния поляри— зованных электронов. Рассмотреть случай, когда оба элек— трона имеют 0динаковую проекцию спина (поляризацию) на направление относительного импульса и противополож- ную. 371
18.6. Элементы теории неупругого рассеяния Неупругое рассеяние предполагает, что рассеивающаяся частица может изменить свою энергию. Для этого она должна иметь возможность передать или получить энер- гию от рассеивающей системы. В квантовой механике это должно означать, что рассеивающая система также долж- на описываться соответствующими векторами состояния и иметь определенный энергетический спектр. Следователь— но, мы не можем теперь рассматривать только состояние рассеивающейся частицы, а должны учитывать состояние сложной системы: “частица + рассеивающая система”, ко- торое определяется вектором2 |Ф) = |Ф>|Ф>‚ (18—66) где |№) и |Ф) — соответственно векторы состояния частицы и рассеивающей системы. В теории рассеяния нас интересует только асимптоти- ческое значение вектора состояния рассеивающейся части- цы, которое теперь должно быть представлено в виде су- перпозиции состояния системы до рассеяния и после рас- сеяния. В общем случае его можно представить в виде |Ф> = |1‹>|Фъ-> + ЕАК/;;ык'наь (18.67) К’‚1° где |К) и |1‹’> — векторы состояния рассеивающейся и рас— сеянной частицы, причем в отличие от упругого рассеяния в общем случае іс’ # 1$, |Фі) и |Ф ,с) — векторы состояния рассеивающей системы до и после рассеяния. Гамильтониан задачи также должен быть записан для составной системы: Ё : Ёп + 1% + 17, (18.68) 2Мы здесь предполагаем, что рассеивающая система не ссдержит частиц, тождественных рассеивающейся. 372
где Ё1 : 52/2771 — гамильтониан рассеивающейся частицы, Ё2 — гамильтониан рассеивающей системы, а У — оператор взаимодействия частицы с системой. Будем считать, что рассеивающая система имеет дис- кретный энергетический спектр, тогда в результате неупру- гого рассеяния частица имеет кинетическую энергию от- носительного движения: Б2іс’2 №2 =Е —Е _ 18.69 і+ 2т' ( ) Различные конечные состояния системы называются кана- лами рассеяния. Процесс рассеяния возможен, если правая часть выражения (18.69) неотрицательна. В этом случае говорят, что канал рассеяния открытый, а в противном слу- чае — закрытый. Квадраты м0дулей коэффициентов Аид…- в суперпо- зиции (18.67) определяют вероятности различных каналов рассеяния и, следовательно, соответствующие дифферен- циальные сечения. Иными словами, мы теперь должны определить дифференциальные сечения различных кана— лов рассеяния. Общий анализ неупругого рассеяния пред— ставляет очень сложную задачу и вых0дит далеко за рам- ки нашего курса. Мы здесь ограничимся только случаем, когда второе слагаемое в правой части выражения (18.67) может быть определено мет0дами теории возмущений. Пусть невозмущенный гамильтониан системы равен Йо: Н1 + Н2, а взаимодействие У — возмущение. То— гда, считая второе слагаемое в состоянии (18.67) малой поправкой, можно записать, используя формулу (10.13): 2т № : |1‹)|Ф,-) _— д$>17|т>‚ (18.70) где оператор невозмущенной функции Грина есть ^ 1 (253) = ^ ^ . (18.71) Н1+Н2—Е—і’у 373
Воспользуемся условием полноты системы векторов состо— яний: 2 |К’>|Фі><Фі|<1<’| 3 }: |К’><1<’||Фі><Фі| = 1 (18-72) 1‹’‚1‘ им и перепишем вектор состояния (18.70) в виде <1<’|<Ф;|^У|Ф> ‚ Ф : 1‹ ® —5 1‹ Ф . 18.73 Состояние частицы |фі> после рассеяния в канал, ко- гда рассеивающая система переходит в состояние |Ф ‚с), по определению есть скалярное произведение: № = <Ф;|Ф>‚ (18.74) ПОЭТОМУ МОЖВМ записать 2<1<’ (Ф УЧ! |щ>=|к>д ——2322/‹11г‚<_<' ”А'; |1‹’> (18.75) где Н2Аіі/2т = Е,; — Е}. В координатном представлении уравнение (18.75) есть обобщение интегрального уравнения для упругого рассея- ния (1О.30), асимптотика которого в нашем случае имеет вид ’ф(1‘) = еіКгбі’і + 2 Аид“; &&&/Т, (18.76) 14,1“ где т _- 17. . Анна:—2$}; /(1г1с1г2е № 1Ф!(Г2)У(Г1‚Г2)Ф(Г1‚Г2)— (18.77) Здесь г1 — координаты рассеивающейся частицы, а г2 — со- вокупность координат рассеивающей системы. Матричный 374
элемент (18.77) зависит от угла @ между направлениями импульсов падающей и рассеянной частиц. Обобщая формулы (10.34) и (10.35), можем определить дифференциальное сечение рассеяния частицы в канал, со— ответствующий переходу і =—› ]“ : 2 ‚№№-(э, ‹р)` до. (18.78) @ (103; = % В первом порядке теории возмущений амплитуда перех0да (18.77) определяется интегралом (1) т Ака,-;]“: : _??Ёё (11° е_іЧгУіі (Г), (18.79) где, как и прежде, (1 = 1‹ — К’ — переданный импульс, а цв,;(г) : (ФНЙФі) : /(1г2Ф,с(г2)У(г,г2)Ф,-(г2) — матричный элемент оператора взаимодействия между со- стояниями рассеивающей системы. 18.7. Обобщение мет0да парциальных волн на случай неупругого рассеяния Используя результаты предыдущего параграфа, обобщим метод парциальных волн на случай неупругого рассеяния. Заметим, что при наличии каналов неупругого рассеяния, полное сечение нужно записать в виде суммы упругого и неупругого рассеяния: щ : ае + от, (18.80) где обозначения очевидны. При этом формула (18.7) опре— деляет теперь только сечение рассеяния упругого рассея— ния ае. 375
Из формулы (18.31) видно, что асимптотическое пове- дение волновой функции, описывающей упругое рассеяние, представляется в виде суммы расходящейся и СХОДящей- ся волн. Для упругого рассеяния в силу сохранения числа частиц сх0дящийся и расх0дящийся потоки должны быть равны. Именно отсюда следует, в частности, что модули ко- эффициентов разложения $; в парциальных волнах долж- ны быть равны 1. При наличии каналов неупругого рассея- ния такого требования нет, поскольку наряду с ними есть и другие. Теперь требование равенства потоков должно быть распространено на все открытые каналы. При этом сечение упругого рассеяния будет по-прежнему определяться фор— мулой (18.34), которую запишем в ВИДе 06 = % 2(21+1)|1 — 342, (18.81) ! где теперь |$д| < 1. Сечение рассеяния во все неупругие каналы будет опре— деляться оставшимся потоком, который в каждой парци- альной волне ос 1 — |$1|2. Таким образом, для сечения неупругого рассеяния можем записать а, = % 2<21+ 1) (1 — |5,|2). (18.82) 1 Полное сечение рассеяния при этом равно щ =ае+ат =122(21+1)(|1 —51|2+1—|5‚|2) : 1 [с 27г : Е (21 + 1) (1 — №51). (18.83) 1 Если для данной парциальной волны 5; = 1, рассея- НИЗ С СООТВЗТСТВУЮЩИМ моментом ПОЛНОСТЬЮ ОТСУТСТВУЭТЗ 376
(0$!) = 05!) = О). Случай 5; = О означает отсутствие рас- х0дящейся волны в формуле (18.32) и описывает полное “поглощение” частиц (“абсолютно черная” яма). В этом слу- чае парциальные сечения упругого и неупругого рассеяния равны: - ТГ а;” : 0$!) : Ё©! + 1). (18.84) Отметим также, что при наличии неупругого рассеяния упругое рассеяния всегда отлично от нуля, хотя обратнОе и неверно. ' Обратим теперь внимание, что мнимая часть амплиту— ды упругого рассеяния на нулевой угол равна ЗтЛО) : % Е(ш + 1) (1 _- №51), (18.85) ! поэтому в общем случае также справедливо утверждение оптической теоремы (18.40), но для полного сечения рассе— ЯНИЯ: щ : %%}(0). (18.86) Вопросы для самоконтроля 1. Сформулировать задачу двух тел в теории рассеяния и запи— сать общий вид волновой функции. 2. Какой вид имеет волновая функция относительного движения? 3. Записать разложение волновой функции относительного дви- жения по парциальным волнам. 4. Записать уравнение для радиальной функции в теории рассе— яния. 5. Какой вид имеет решение радиального уравнения для свобОД- ной частицы? 6. Записать выражение асимптотического поведения решения ра— диального уравнения свободной частицы и определить его за- висимость от момента импульса. 377
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Какой вид имеет асимптотическое поведение решения радиаль- ного уравнения частицы, рассеивающейся центральным полем? Записать выражение амплитуды рассеяния через фазы асимп- тотического поведения решения радиального уравнения. Как определяются парциальные амплитуды? Записать связь полного сечения рассеяния с мнимой частью амплитуды рассеяния на нулевой угол.“ Какими особенностями характеризуется рассеяние медленных частиц? Когда можно ввести понятие длины рассеяния? Когда набЛЮДается эффект Рамзауэра? Как ставится задача при изучении неупругого рассеяния? Что такое каналы рассеяния? Как определяются амплитуды перех0дов в борновском прибли- жении? Как определяется сечение неупругого рассеяния? 378
Глава 19 03060дное электромагнитное поле 19.1. Гамильтониан электромагнитного поля Рассмотрим описание электромагнитного поля в нереляти- вистской квантовой механике. Прежде всего напомним, что электромагнитное поле можно разделить как бы на “два ти- па”: электромагнитное поле, создаваемое какими—либо ис- точниками, и сво60дное электромагнитное поле, которое существует “само по себе”. Поле, создаваемое источником, определяется свойствами источника и ему соответствует в квантовой механике оператор, который описывает источ- ник. Например, оператор магнитного поля магнитного мо- мента определяется оператором магнитного момента іі, т.е. все коммутационные соотношения будут следовать именно -из коммутационных соотношений оператора @ с другими операторами. Оператору заряда в нерелятивистской кван— товой механике соответствует простое умножение на соот- ветствующий заряд, поэтому оператор статического элек- трического поля в координатном представлении есть про— сто некоторая функция координат. Совершенно иначе представляется свободное электро— магнитное поле. _Поскольку оно существует независимо от каких—либо других (квантовых) систем и само по себе пред— ставляет квантовую систему, то должно описываться своим гомилътониаиом. Итак, для описания св060дного электро- 379
магнитного поля в нерелятивистской квантовой механике, следует: 1) определить его гамильтониан, для чего 2) необх0димо понять, что же представляют собой обоб- щенный импульс и координата сво60дного электромагнит- ного поля и, наконец, З) понять, что же такое состояние поля, т.е. какой полный набор физических величин следует выбрать для описания поля. Начнем с последнего. Состояние частицы определяет- ся вектором |ф), который в координатном представлении есть волновая функция: (Мф). Свободное электромагнит- ное поле само по себе есть волна и полностью задается векторным потенциалом А(г,73), поэтому возникает иску— шение взять его в качестве волновой функции, тем более что он удовлетворяет волновому уравнению, т.е. уравнению Клейна—Фока—Гордона для частицы с нулевой массой. Од— нако это было бы грубой ошибкой, потому что векторный потенциал есть физическая величина, которой мы долж— ны поставить в соответствие оператор А(г‚і) и получить А(Г7 Ё) : <фполя|А(Г7 Ё)|'фполя>- Заметим, что, написав |фподя), мы предполагаем, что нам известно выражение произвольного состояния поля, но в общем случае мы не могли явно записать произвольное состояние даже для частицы. Продвинуться в этом направ- лении в свое время помог фундаментальный принцип су— перпозиции, благ0даря которому удалось представить про- извольное состояние в виде суперпозиции определенных со- стояний, которые затем были представили как базисные, причем эти базисные векторы могли описывать и состоя- ния сво60дной частицы |р). Например, (Р> : 2 арф)- Р 380
В этом случае среднее значение какой—либо физической ве— личины есть ”) = 2 ]срр’аёар“ р‚р’ Вспомним из курса Теория поля, что векторный по— тенциал произвольного сво60дного электромагнитного по— ля можно разложить по плоским волнам — элементарным решениям волнового уравнения: Ан, г) = ] %ЁТЁАКШеЦКРЩ). (19.1) В таком случае амплитуды Фурье А]… можно рассмат— ривать как значение оператора векторного потенциала в базисе элементарныа: состояний сво60дного электромаг— нитного поля — плоских монохроматических волнах. Плос— кая волна определяется своим 4—волновым вектором, нуле— вая компонента которого равна ш : с|1‹|, и поляризацией.1 Исходя из сказанного, можно для вектора состояния поля всегда записать |фполя> : 2 ак‚а|1<‚04>— (19-2) 1‹ (1 Здесь |1‹‚а) — вектор базисного состояния (плоской моно- хроматической волны), @ обозначает ее поляризацию. В дальнейшем нам будет не очень удобно проводить рассуждения и вычисления для непрерывного спектра эле- ментарных состояний электромагнитного поля, поэтому перейдем, как это обычно делается, к дискретному спек— тру. А именно: будем считать, что поле заключено в ку— бе очень больших, но конечных размеров Ь, а на все про— странство продолжим решение, используя периодические 1Напомним, что плоская монохроматическая волна обязательно поляризована. В произвольном случае поляризация эллиптическая, в частном — циркулярная (левая или правая) либо линейная. 381
условия на границе, что эквивалентно процедуре заполне— ния всеГо пространства одинаковыми кубами. Эта процеду— ра нам необходима для получения конечной плотности со— стояний поля. Действительно, накладывая периодические условия на плоские волны, получаем, что волновой вектор может принимать значения . 27т 1‹ : _]? (паст,/‚пд, где п…пшпг — целые числа. Каждый набор целых чисел пт, пу, пд соответствует своему элементарному состоянию. В случае В ——› оо изменение вол- нового вектора между “соседними” состояниями А/с —› О и спектр становится квазинепрерывным. В этом случае удоб- но говорить о числе состояний в интервале изменения вол- нового вектора АК,- ' АП,»; : & АЁЪ'. 27г Полное число возможных состояний при изменении волно— вого вектора в интервале от 1‹ до 1‹ + АК есть ЬЗ 2У Ап: 2Ап$АпуАп2= 2—(——2 27г)3 АКЦ; Аісу Айя: (27г )3 ————.А1‹ (19.3) Здесь множитель 2 учитывает две различных поляризации. Таким образом, видим, что число состояний пропорци- онально объему куба, и поэтому в бесконечном простран— стве нам пришлось бы столкнуться с неопределенностью раньше времени. Поэтому все вычисления формально про- ВОДЯТСЯ для куба конечных размеров, но в окончательных (физических) результатах мы обязательно должны поло— жить У ——› оо. Перепишем теперь формулу (19.1) разложе- ния векторного потенциала для дискретного спектра плос- ких волн и отнесем явную временную зависимость в фурье- амплитуду: : }: Анод“. (19.4) 1‹ 382
Амплитуды Фурье удовлетворяют условию поперечности поля (ііуА : 0: (КАК) : 0. Кроме того, из волнового уравнения следует также Ак + 818,6… : 0. (19.5) Перейдем к определению гамильтониана. Для этого сначала запишем энергию 'электромагнитного поля: 1 и = — ] (62 + н?) ди (19.6) 87г В нашем представлении поля имеют вид 1 дА 1 - „и. 8 — _ЕЫ — Е ёАке ‚ (19.7) н : гоъА =12п< ›‹ Аден“. (19.8) 1‹ Далее, Например, ДЛЯ квадрата электрического ПОЛЯ имеем 2 1 2 : ' ' і(1‹+1‹’)г 8 : ? АкАк/е , К,1‹’ откуда получаем ] еі(“+“’)гоп/ : Уди—ш = Убк…—іс;„дісу‚—%д’с2›—’°2’ т.е. К’ : —1‹. Поскольку вектор А(г,75) действителен, он должен удовлетворять условию А*(г‚ г) : А(г‚ г) = 2 А;;е—П“ : ЕАЁКеЦ“. к 1‹ Иными словами: А}; : А_1<. (19.9) 383
Соответственно 712 = _ Ёж ›‹ Ак][1‹’ ›‹ АК,]еі(1‘+1‘/)Г К‚1‹’ после интегрирования с учетом условия поперечности плоской волны и соотношения (19.9) приходим к простому выражению: 712 = 2 к2АкАі. 1< Окончательно ДЛЯ ЭНЗРГИИ ЭЛЭКТРОМЭГНИТНОГО ПОЛЯ имеем (1 : і 2 (А…/№ + 1<2с2А1<А*) (19 10) 87гс2 к 1‹ к . ' Таким образом, нам удалось разложить энергию электро— магнитного поля на сумму “парциальных” энергий от каж— дого элементарного колебания (состояния). Однако выражение (19.10) записано через комплекс— ные величины, которые не могут быть непосредственно сопоставлены наблюдаемым физическим величинам. Пе— репишем выражение для векторного потенциала (19.4) в несколько другом виде, подчеркивающем его действитель— ность: Аи, 15) = 2 (идти“ + а;;(ае—і‘“) ‚ 1‹ где _ (№05) ос е_ш’д, щ; : с/с. Тогда АК“) : (“Е(Ё) + (ХЁК(Ё)) ‚ (19.11) и соответственно АКСБ) : —іс/‹: (ада,) — всім…) : —іш;с (сх/К(Ё) — ос*_1‹(й)) . 384
К сожалению, так записанные выражения по—прежнему не могут быть поставлены в соответствие наблюдаемым обоб- щенным координатам, поскольку А; : А4… а должно быть @; : @К. Подставим выражение (19.11) в формулу (19.10) и, учи- тывая, что суммирование ведется по всем состояниям, по— лучаем У 2 * Введем теперь новые действительные величины: (дгк = «%(аццтшю и (19.13) РК = _і…„/%д,<ак…_а;<г>> =С2к- С новыми величинами (19.13) выражение для энергии при— нимает вид знакомой квадратичной формы: (! : БК:-Ё- (Рё + шёоі) : 21; и. (19.14) Видим, что энергия П (19.14) как функция переменных (ЦК и РК удовлетворяет уравнениям Гамильтона: ди . д—Щ—Цісэ дП _ 2 _ . —дС›21< —ШЬЧ1‹— Рк. (19.15) Итак, приходим к выводу, что выражение (19.14) есть клас- сический гамильтониан сво60дного электромагнитного по- ля, а величины ЦК и РК — соответственно обобщенные ко— ординаты и импульс. Причем у поля бесконечное число сте— пеней сво60ды. 385
Поскольку РК : ЦК, для независимых элементарных состояний поля получаем уравнения движения: Фк + шЁЧк : 0. (19.16) Система уравнений (19.16) тождественна уравнению для поля. Таким образом, вместо непрерывной переменной А(г,15) поле описывается дискретными переменными ЧК. Поскольку плоские волны поперечны, для обобщенных ко- ординат получаем аналогичное соотношение: (К,@1‹) : 0, т.е. для каждого элементарного колебания существует две линейно независимых компоненты в плоскости, перпенди- кулярной волновому вектору К: Чи = е1@1‹‚1 + е2©1‹‚2‚ И 91% = 62%… + 6212,2 = 2 сад. (19.17) 0! Здесь индекс @ характеризует две независимых поляриза— ции. В переменных (ЦК и РК энергия поля есть его гамиль- тониан П Е Н, поэтому (13130, + шіоід) . (19.18) [Эіъ—ъ Н : ХНКрн Где НКД : 1<‚а Мы получили, что классический гамильтониан (19.18) ра- вен сумме независимыа: слагаемых, соответствующих энер— гии каждой дискретной переменной. Прежде чем перейти к квантовому гамильтониану, следует определить классиче- ские скобки Пуассона независимых переменных, а затем за- менить классические величины операторами, поставив им в соответствие правильные коммутационные соотношения: _ др}… д@к‚д дд… д@к‚в _ {РК,а’ ОКВ} _ё/ (ЭРК’д’ ЭОКЦа’ дСЗК’д’ дРК’‚а’ _ 604,5- 386
Теперь согласно принципу соответствия можно записать оператор Гамильтона электромагнитного поля: ^ ^ 1 ^ ^ Н = 2 Нил : 2 5 (Рёд + шёоід) ‚ (19.19) 1‹‚а КД ` где операторы обобщенных координат и импульсов удовле- творяют коммутационным соотношениям: [&…дкдд] : —іпдк‚к‚да‚д. (19.20) Далее задача: решается так же, как для Одномерного гармо- нического осциллятора, если положить формально массу т : 1. Введем безразмерные переменные ^ 1 Рид _ @ и соответствуЮщие незрмитовы повышающие и понижаю- щие операторы ^ ^ Ш А Рид, 9190: : %Ока (1921) 1 ^ _ „ 1 ^ … 011904: `/Ё (Чк‚а+ 1Р1‹‚а) › Очі-‚а : Ё (ЧКрс— 1171904) - (19-22) Как следует из формулы (19.20), операторы (19.22) удовле— творяют коммутационным соотношениям: [щ…], Під] = бык/банд. (19.23) Операторы ада и ага связаны с операторами введенных ранее комплексных амплитуд в разложении векторного по— тенциала ОЧЭВИДНЬіМ СООТНОШеНИ6М23 ^ 27гйс2 акр : ад,… (19.24) УШЁ 2Заметим, что временная зависимость операторов анд и а; а такая же, как и для коэффициентов разложения ак и а}; соответственно. 387
Сам же оператор векторного потенциала теперь можно за,- писать в виде ^ 2 Г; 2 — — А(г‚й) : 2 ;и; (а;,аеЁеЧКГ + акдеаешг> . (19.25) Ка Наконец‚ гамильтониан свободного электромагнитного по— ля можно представить в виде А 1 Н = 2 ;и (аЁ’аакд + 5) . (19.26) КД У пражненил 1. Записать оператор электрического поля 8 : а). исходя из определения (19.7) и Ь) исх0дя из определения прОИЗВОДНОЙ оператора по време— ни. 2. Записать оператор магнитного поля ’Н, исх0дя из опре— Деления (19.8). 3. Записать оператор импульса свободного электромагнит- ного поля согласно принципу соответствия из определения импульса классического электромагнитного поля С=4%///[Е><Н]‹1И 19.2. Энергетический спектр и состояния электромагнитного поля Поскольку гамильтониан (19.26) представляет собой сумму гамильтонианов независимых подсистем, вектор состояния 388
поля можно представить в виде3 № : П №0), (19.27) 190 где ‘ + _ ак’аакдткд) — Пк‚а|пк‚а>. (19.28) Здесь пдд : О, 1, 2, . . . — целое неотрицательное число. Соответственно ' 1 Е : 2 Вид„ где ЕКЮ! : БМА; (Пк’а + 5) . (19.29) 1‹,а Видно, что энергия электромагнитного поля в целом может изменяться непрерывно, однако в каждой степени свобОДЫ изменяется на величину, кратную Еще, поскольку энергия элементарных возбуждений квантована. Эти кванты назы— вают фотонами. Возвращаясь к определению энергии поля (19.29), ви— дим, что энергия основного состояния ЕО : Е…іп : Еды/№ : оо. іс,а Таким образом, мы встретйлись с расходимостью, которую необходимо устранить. В данном случае все просто (хо— тя и смешно с точки зрения классической математики): поскольку полученная оо всегда “одна и та же”, изменим (перенормируем) начало отсчета для энергии именно на 3Такая запись состояния, строго говоря, неверна, однако посколь- ку для нас важна только сепарабвлъностъ пространства состояний, а нигде больше в таком виде мы состояние записывать не будем, то данная нестрогость значения не имеет. 389
эту, хотя и бесконечную величину: энергию основного со— стояния поля. В основном состоянии нет ни Одного эле— ментарного возбуждения, и оно называется вакуумом. Те- перь можно окончательно записать гамильтониан свобОД— ного злектромагнитного поля: Ё : 2 Ешкаіаакд. (19.30) К,а Состояния электромагнитного поля определяются числом фотонов с различными волновыми векторами и поляриза- циями: |шполе> : |пк1д1,пк2д_2, …>. (19.31) Соответственно ак.-‚;,щ'ФПОЛе) : а;,‚а,|п1<1‚а1п1<2‚02’ ‚пк„‚щ +1, …) = : /п1<і‚а-ь'+ 1|п1<1д1п1<2д2, . . . 7п1<1‚0гі+1› . . . >, акі‚аі|ФП0Л9> : “Къщткьщпкгдш ' ‚Шимон _ 17 …> : =№|пк1д1пк2д2, ‚Пкіді — 1, „…> (19.32) Произвольное состояние поля можно получить, ПОДейство- вав соответствующим числом раз повышающим операто— ром на основное, вакуумное состояние: + )?)“къ'заъ' |Ф) : П (акіді ' пкі’аі . |о>. (19.33) 13 Операторы @; а и ак, … называют соответственно опера- ‘Ьт ’), ’ торами рождения и. уничтожения фотонов. Вопросы для самоконтроля 1. Какие физические величины определяют состояние сво60дного электромагнит—юго поля? 390
10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. Чему равна плотность состояний свободного электромагнитно— го поля? ЗдПИСдТЬ разложение СВОбОДНОГО ЭЛВКТРОМЗГНИТНОГО ПОЛЯ ПО ПЛОСКИМ ВОЛНЗМ. Чему равна энергия свободного электромагнитного поля? Как определяются обобщенные координаты и импульсы сво— 60дного электромагнитного поля? Записать гамильтониан свободного электромагнитного поля в ВИДе гамильтониана системы невзаимодействующих гармони- ческих осцилляторов. Чему равны скобки Пуассона для обобщенных координат и им- пульсов электромагнитного поля? Как определяются операторы обобщенных координат и им- пульсов электромагнитного поля? Записать коммутационные соотношения для операторов обоб- щенных координат и импульсов электромагнитного поля. Записать оператор Гамильтона св060дного электромагнитного поля. Как определяются повышающие и понижающие операторы для свободного электромагнитного поля? Записать решение задачи о нахождении спектра илсостояний свободного электромагнитного поля с помощью повышающих и понижающих операторов. Определить понятие основного состояния или вакуума свобод- ного электромагнитного поля. Как определяются возбужденные состояния электромагнитно— го поля? Что такое фотон? Как определяются операторы рождения и уничтожения фото— нов? Построить произвольное состояние св060дного электромагнит- ного поля из вакуумного. 391
Глава 20 излучение ЭЛЭКТРОМЗГНИТНОГО ПОЛЯ 20.1. Гамильтониан системы заряженных частиц, взаим0действующих со свободным электромагнитным полем Если в задачах возникает необх0димость учесть взаимодей- ствие системы заряженных частиц с переменным электро— магнитным полем (излучение, поглощение или рассеяние электромагнитных волн), следует учитывать, что рассмат- риваемая система перестает быть замкнутой, поскольку ее состояние нельзя рассматривать независимо от состояния поля. Поэтому гамильтониан всегда представляется в виде Ё: ЁдЁ, +17, (20.1) где Ёе, Ё; соответственно гамильтонианы свободной си— стемы зарядов (например, сложного атома или молеку— лы) и свободного электромагнитного поля, а 17 — опера- тор взаимодействия системы зарядов и поля. Поскольку МЫ раССМаТРИВЕЪеМ нереЛЯТИВИСТСКИЗ СИСТЭМЬ1 зарядов, ВЗЭг имодействие всегда можно рассматривать как малое воз— мущение. В этом случае нулевое приближение (решение невозмущенной задачи) имеет простой ВИД: №№) = |ФЁ°)>|‘1’1>‚ ЕЮ) = Ее + Ел (202) где Е; : ЕЭК/‚иди,… а состояние сво60дного электромаг- нитного поля определяется соответствующим вектором 392
(19.33). Оператор взаИМОДействия с электромагнитным полем имеет “стандартный” вид: ‚ 2 ^ ^ 7 = — 2 6“ Два, + 2 —в°’—2А2 — ХуаЦОЦ’і-(ёа, (20.3) @ тдс @ 2тас @ где, Однако, как векторный потенциал, так и магнитное по- ле зависят от времени. Будем в дальнейшем для опреде— ленности рассматривать взаИМОДействие сложного атома с электромагнитным полем, тогда в операторе (20.3) можно учитывать только взаИМОДействия электронов. Оператор взаИМОДействия принимает более простой вид: ^ @ ^ У=—— Ага…/„ тс}; ( Г)р+ А 2 ^ + „о 2 но:, …за + в С, 2 А2(г, га,). (20.4) 2т Так же, как и в задачах о взаим0действии с внешним (по- стоянным) электромагнитным полем, третьим слагаемым в операторе (20.4) практически всегда можно пренебречь. В статическом магнитном поле (эффект Зеемана) первое и второе слагаемые были Одного порядка. Оценим их в на- шей задаче. Поскольку переменное поле рассматривается в электромагнитной волне, которая определяется волновым вектором 1‹‚ имеем Н … КА. Соответственно для первого взаИМОДействия получаем оценку 2 3 в те в 71 … _рОА‚ ГДе 100 = — И 71 … — тс іі Ьс А : аеА. Для второго слагаемого имеем 2 п п 1/2 … е—н … а—2е/сА … Ашот/1. тс те 393
Таким образом, вторым слагаемым можно пренебречь, ес- ли Као << 1. Это неравенство соответствует криТерию при— менимости нерелятивистского приближения для излучения электромагнитного поля системой зарядов. В нереляти- вистских задачах квантовой механики это выражение так- же должно быть малым параметром. Действительно, ча- стота электромагнитного поля определяется атомной еди- ницей энергии: ш … Ео/Гъ … те4/Н3, поэтому ш те4 712 ЁаОМ—аот—-—=О‹і<<1. с 11% те2 Таким образом, в нерелятивистских задачах второе (маг— нитное) взаИМОДействие в операторе (20.4) следует учиты— вать только в случае, когда вклад первого слагаемого в первом порядке теории возмущений равен нулю. Итак, оставим только первое слагаемое в операторе воз- мущения (20.4) и запишем его для взаИМОДействия со сво- 60дным (квантованным) полем: 7— _в_ 2 2 № (в,; е* е_іКГ—і— ак е вы“) 13 (20 5) _ , а ‚о: а а‚- — тс @ кд Ушк. °“ Первое слагаемое в операторе (20.5) описывает взаимодей— ствие системы зарядов с испусканием (излучением) фотона с определенным волновым вектором и поляризацией, а вто— рое — с поглощением соответствующего фотона. При этом вклад от второго слагаемого отличен от нуля только ес— ли поле наХОДится в возбужденном состоянии, в котором присутствует нужное возбуждение. Первое слагаемое дает отличный от нуля вклад, даже если поле находится в ос— новном состоянии (отсутствует в обычном смысле). В та- ком случае оно описывает спонтанное излучение. ‹ 394
20.2. Электрическое дипольное излучение Будем для определенности рассматривать в качестве систе— мы зарядов сложный атом, тогда состояние №8) Е |ФАТ> и, соответственно, Ё : ЁАТ. Гамильтониан атома в об— щем случае содержит взаимодействия с полями, создавае— мыми внешними источниками, поэтому, естественно, снова не представляется возможным записать общий вид состо— яния. В частности, можно сказать, что состояние атома определяется величиной взаимодействия с внешними по— лями: |ФАТ)={|КОНфИГЬ’$>|Ь’$’]’М‘]>’ слабое поле, ( .6) |конфиг., Ь, $) |В, М) |5', МБ), сильное поле. Взаимодействие со свободным электромагнитным полем (20.5) зависит от времени и поэтому должно прив0дить к переХОДам между состояниями невозмущенной системы. Поскольку невозмущенная системы состоит из двух ПОДСИ- стем, общий энергетический спектр которой (20.2) непре— рывен, можно говорйть только о вероятности переХОДа в единицу времени в интервал конечных состояний с энерги— ей Е ]с: 2 А 2 а… = % <[|У|і)' (ЖЕ,-(О) — ЕЁ…)аид (20.7) где интервал конечных состояний определяется состояни- ями поля (19.2) но без множителя 2, учитывающего две возможные поляризации. Пусть атом находится в отличном от нуля электромаг— нитном поле, тогда возможны два процесса: возбуждение атома с поглощением фотонов и, если атом нах0дился в возбужденном состоянии, перех0д в состояния с меньшей энергией с испусканием фотонов. В первом случае вероят— ность возбуждения в единицу времени определяется вто— рым слагаемым. взаим0действия (20.5) и поэтому пропор— циональна числу фотонов с данным волновым вектором п}. 395
Во втором случае вероятность перехода в единицу време— ни определяется вторым слагаемым взаИМОДействия и про- порционален ну!—1. Таким образом, вероятность перехода с возбужденного уровня энергии атома на уровень с меньшей энергией всегда больше вероятности возбуждения с данно— го уровня На более высокий уровень. Различие не зави- сит от интенсивности электромагнитного поля и составля— ет вероятность спонтанного излученил. Именно спонтан— ное излучение определяет времена жизни возбужденных состояний сво60дных атомов и соответственно естествен— ные ширины линий излучения. Рассмотрим сейчас только спонтанное излучение, поэтому будем считать, что в на— чальном состоянии электромагнитное поле отсутствует, а атом находится в некотором возбужденном состоянии. В конечном состоянии атом обладает меньшей энергией, но при этом возбужденное состояние электромагнитного поля описывается ОДНИМ фотоном с соответствующими волно— вым вектором и поляризацией: іі) = |фі>|0>› |)“) = |фі>|11с‚а>— (20-8) Соответственно Е,…) : Е„ в}… : Е,: + п…„ (20.9) где Е…с — энергия атома в начальном и конечном состояни- ях. Описанный процесс можно схематически представить в виде рис. 20.1 Матричный элемент в формуле (20.7) равен @ 27г7іс2 <і|17|і>= —— тс Уш;с <щ|2рае3е—і.‘<*№>. (20—10) Подставим теперь матричный элемент (20.10) в форму- лу, определяющую вероятность перех0да (20.7), и заметим, 396
ат 8 Ч Е +Ег Е +Ег ЗТ ЗТ Рис. 20.1. Схематическое изображение переходов в системе “атом+поле”, при котором происходит излучение одного фото— на с частотой ш,; = (ЕіАт + Е! Ат) / 71. Показано, что суммарная энергия системы при этом сохраняется что объемы, входящие в определение числа состояний и в квадрат модуля матричного элемента перехода, сокраща- ются. Это означает, что результат не зависит от объема, выбранного для описания состояний квантованного элек— тромагнитного поля: 2 2 дим-‚е— ° (із—У мнезірае—Міщ ›‹ _ 27гсщ.с тс ›‹ дщ- — Е, — тожа/сно. (20.11) В дальнейших преобразованиях учтем малый параметр на- шей задачи Као и “положим е_п‘га % 1. Таким образом, полученный результат будет описывать только электриче— ское дипольное излучение. Матричный элемент оператора импульса находим так же, как это сделали в 5 17.5. Занося заряд электрона под знак суммы и ВВОДЯ оператор диполь— 397
/ ного момента атома 20 его, : (1, имеем 2 ш,]: * ещ, : %;]; 1<Ф;|(еа<1)№>|2 б(Еі—Еі—Нш;с)іс2‹ііс‹19. (20.12) Учтем далее, что 19 : сид/с, а также свойство б-функции б(ош:) : |а|_1б(э:)‚ и перейдем к интегрированию по часто— те: 2 шіі 2 ди)”: 3 “Водице“ б(ш„—шд‚)ш;ссіш;сс19. (20.13) 2пБс Мы здесь обозначили матричный элемент оператора ди— польного момента (11%- : (фі|(1|ф‚д> и учли его эрмитовость: __ * діі — (12. [. Выполняя интегрирование по частоте, получа— ем угловое распределение вероятности излучения фотона в единицу времени в дипольном приближении: Сіті)“ _ ШЗ; _сі—П— _ 27ті'ъс3 Две возможные поляризации фотона еа и волновой вектор 1< составляют ортогональный локальный репер и (еаК) : 0. Поэтому формулу (20.14) можно упростить, про— ведя суммирование по возможным поляризациям: квант-„|? . (20.14) Сіті; _ С?! 2 (Ш _ 2 №163 ке,-аф… . (12.14а) а Дальнейшие. преобразования полезно представить в по— дробном виде. Разложим вектор дипольного момента по ортогональному реперу (рис. 20.2): (1 : е1(е1‹1) + е2(е2с1) + П(П(1)‚ где и = 1‹/ 19, и для его квадрата имеем (12 : (е1‹і)2 + (е26)2 + (ші)2. 398
к А (ап) ‚(бед (691) / ' / % е1 Рис. 20.2. Разложение вектора дипольного момента по локаль— ному реперу Сумма квадратов скалярных произведений дипольного мо- мента с возможными поляризациями равна (е1с1)2 + (е2(1)2 : ‹12 — (псі)2 : [‹1 ›‹ п]2. (20.15) Теперь для углового распределения вероятности излуче— ния имеем формулу, аналогичную полученной в классиче— ской электр0динамике для интенсивности излучения систе- мы зарядов в дипольном приближении: (1111,3; _ ШЭ; (Ю _ 27гГъс3 Полная вероятность излучения В единицу времени легко получается интегрированием по всем углам и определяет время ж'ЦЗН’Ц Т атома В ВОЗбУЖДеННОМ СОСТОЯНИИ: |и ›‹ а„Р. (20.16) 4ш3 1 з] 2 №3 и… = ;. (20.17) Шіі : Легко заметить, что полученный результат в два раза пре— вышает классический. Действительно, для интенсивности излучения можно записать, используя выражение (20.17): 4 „2 399
Оценим время жизни атома в возбужденном состоянии: 11) … … азшАт. 771%12 2 2 езте2 62 3 те4 в? “О”—‚№7: (;?) ? Поскольку шАт … 1015с_1, получаем характерное время жизни атомов в возбужденных состояниях т … 10—9с. По— лученная оценка справедлива только в том случае, если матричный элемент оператора дипольного момента между двумя состояниями отличен от нуля. Естественно, матрич- ный элемент отличен от нуля далеко не для всех состояний, поэтому следует выяснить условия, при каких начальном и конечном состояниях (1,- 1 # О. Иными словами, необходимо определить правила отбора для дипольНого излучения. 20.3. Правила отбора для электрического дипольного переХОДа Правила отбора указывают, как могут измениться кван— товые числа в полном наборе физических величин. Есте— ственно, что поэтому и сами правила отбора зависят от того, какой полный набор выбран для описания состояния системы. Если мы рассматриваем сложный атом, полный набор определяется соотношениями (20.6). Правила отбора для всех квантовых чисел получим, исх0дя из коммутаци— онных соотношений соответствующих операторов с опера— тором дипольного момента. Начнем с определения правил отбора для квантовых чисел, которые присутствуют в полных наборах различных представлений. . Правила отбора по полному спину. Проще всего начать с полного спина атома $. Очевицно, квадрат полного спина коммутирует с любой проекцией оператора электрического 400
ДИПОЛЬНОГО МОМЭНТЭД (92, ага] : 0. (20.18) Возьмем матричный элемент коммутационного соотноше- ния (20.18) между начальным |ъ> и конечным | 1“) состояни- ями системы: <л (ёж—№2) |і> = (виза 1)—52-($ъ-+1)><Лсіа|ъ'> = 0, откуда следует, что матричный элемент оператора элек- трического дипольного момента может быть отличен от нуля (1 ;,- 75 0 только в случае сохранения полного спина: $; : ‚З,-. Иными словами, правило отбора по полному спи— ну есть А5 : 0. (20.19) Правила отбора по конфигурации. Конфигурация опре- деляется произведением 0дночастичных состояний части— цы в центральном поле. Одной из основных характери- стик состояния частицы в центральном поле можно сч