Author: Макаров И.М.   Менский Б.М.  

Tags: регулирование и управление машинами, процессами   автоматизация   теория автоматического управления   линейные системы   автоматические системы  

Year: 1977

Similar

Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал)

Линейные автоматические системы (элементы теории, методы расчета и справочный материал)

Метод корневого годографа в теории автоматического управления

Нелинейные методы исследования автоматических систем

Text 
                    И. М. МАКАРОВ, Б. М . МЕНСКИЙ
ЛИНЕЙНЫЕ
АВТОМАТИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
(:::>ЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ, МЕТОДЫ РАСЧЕТ А
И СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ)
Допущено Министерстволt высш его
и среднего специального образования СССР
в качестве уц,ебного поссбия , для студентов
высших технических учебных заведений
Моск в а .«.МАШkЩ QСТfОЕНl1_~-. 19 77
j~""~Шl\1 6ot•--~ ~t .J'
··••t. ,-.-"
,
,
•
ax,., .1t. - ioe-( •1,!i- ~.;:ю:11 i
.
\
-~ ... ..._.,,,__...,_,


6Ф6.5
М15
УДК 62-50
Редактор Э. Л. Наппельбаум
Рецензент чл. кор . АН СССР В. В. Петров
Макаров И. М. и Менский Б. М.
N\.15 Линейные автоматические системы (элементы . тео-
рии, методы расчета и справочный материа,ТI).
Учебное пособие для вузов. 1v\.., «Машиностроение»,
1977.
•
464с.сил.
Книга содержит краткие сведения из теории стационарных ли­
нейных систем автоматического регулирования и справочный мате ­
риал для их анализа и синтеза при непрерывных детерминирован­
ных внешних воздействиях . Содержится значительное число при ­
меров расчета.
](ниrа может быть использована инженерами и научными работ•
инками различных специальностей, встречающимися с проектиро­
ванием и выполнением линейных автоматичес1<их систем.
30501-053
М 038(01)-77
53-77
6Ф6.5
© Издательство «Маши ностроение», 1977 г.


ПРЕДИСЛОВИЕ
XXV съезд К:ПСС определил, что успешное решение многообраз •
ных социальных · и экономических задач, стоящих перед нашей
страной, и главной из них - подъема материального и культур •
ного уровня жизни народа, может быть обеспечено только за счет
быстрого роста производительности труда, повышения эффектив •
ности общественного производства, ускорения научно-техниче •
ского прогресса, улучшения качества работы во всех звеньях
народного хозяйства .
•
При интенсификации промышленности возникают проблемы
резкого сокращения доли ручного труда, комплексной механиза •
ции и автоматизации производства. Вследствие этого широкие
круги инженеров и научных работников самых различных спе•
циальностей будут все чаще сталкиваться с необходимостью исполь •
зовать в своей научной и практической деятельности теорию и
методы проектирования, создания и эксплуатации систем автома •
тического регулирования и управления .
Современные учебные программы вузов учитывают эту необ•
ходимость. Вопросы автоматического регулирования и управле­
ния рассматриваются как отдельными дисциплинами, так и при
изучении соответствующих отраслей техники .
Быстрые темпы роста производства, использование более совер •
шенной техники и технологии, автомати з ация научного экспери •
мента требуют от многих специалистов приобретения и расширения
знаний в области автоматики . Прежде всего это необходимо инже •
нерам, ко'торые не имеют базового образования в области автома•
тики, и специалистам, которые в силу сложившихся обстоя •
тельств ранее не соприкасались с автоматическими приборами,
аппаратурой, системами управления и методами их расчета .
Имеющаяся литература по автоматическому регулированию и
управлению не всегда в полной мере удовлетворяет запросы ука­
занной категории специалистов, которые в своей практической
работе часто используют лишь конечные рез ультаты излагаемых
проблем и закономерностей .
1*
3


В книге изложены основные сведения о линейных непрерывных
системах автоматического регулирования, т . е . охвачен первый
раздел теории автоматического регулирования и управления,
который имеет весьма большое значение и широко применяется
как студентами при курсовом и дипломном проектировании, так и
в инженерной практике . При этом сделана попытка изложить
материал в наиболее удобной форме.
Общие концепции теории приводятся без их доказательства .
Используемый математический аппарат дан' в соответ<;твующих
разделах основного текста и в приложениях.
Основным содержанием являются различные методы расчета и
достаточно обширный справочный материаJI. Для решения одной
и той же задачи указаны, как правило, несколько применяемых
на практике методов, что позволяет в зависимости от конкретных
условий использовать наиболее удобный из них. Кроме того,
владение различными методами позволяет быстро проверить
п9лученные результаты и убедиться в правильности расчета.
В пособии приведено незначительное число примеров расчета.
Они носят достаточно общий характер и помогут читателю при ана­
лизе и синтезе систем автоматического регулирования, применяемых
в , разлцчных отраслях современной техники. Расчеты в I<Ниге
проводятся на базе гипотетических систем регулирования вместо
упрощенного анализа и синтеза конкретных систем, так как
~юследне~, по мнению авторов, может создать у читателя неполное
предсrавление об инженерных расчетах. Для их пров(;дения, кроме
материала, из_ложенного в данной книге, необходимы еще знания
соответствующей отрасли техники .
- Все
методы расчета, приведенные в книге, позволяют рещать
~адачи с использованием средств электронной вычислительной
техники .
-
При написании ПОСОQИЯ был использован многолепщй _ опы~
р0абqты авторов оо студентами дипломниками, .а _также студен­
тами _на факультете усовершенствования дипломированных ин­
женеро_в _ Всесшозного • заочного энергетического института_ и
.на
факультете повышения квалификации Московского института
рад_иотехники, электроники и автоматики.
Есе замечания и пожелания по содержанию книги и изложению
материала просим направлять в адрес издательства.


Глава 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Технические устройства, '{резвычайно широко исполь-зуемые
в современном обществе, имеют различную физическую основу,
предназначены для решения вс_евозможных задач и разными мета_•
дами. Но можно заметить, _что при конструировании каждого
устройства обесцечивалаСсь возможно<;ть воздействия на него для
изменения режима работы. Воздействия необходимы, в частности;
для тqго, чтобы целr;, достигалась при 1\'1инимальных затратах
времени, материацов, эIIергии и т. д.
.
_
-
_
Токарщ,rй станок, например, ПО$ВОляет обрабатывать__ детали.
Однако для тоrо, 1:побы_ rю,Jiучался нужный эффект, _ неqбхо.q,имо
предусмотреть возможность изменения подачи резца и скорости
перемещения детали. Автомобиль дает возможность п~2едвиже}!ИЯ
по земной поверхности, но автомобилист должен _ иметь _во_змож~
ность изменять по своему _ус3⁄4отрению скорость _ и направл-ение
движения .
Все операции, -позволяющие -нужнь;м образом модифицЙровать
поведение технических устройств, называются опер ~щиями упра ­
вления. Они необходимы прежде всего · потому , -'-iто •на каждое
техническое устройство влияют внешние факторы . _ В приведенных
ранее примерах такими факторами являются _со()тветст_венно
качество обрабатываемого м~талла и рельеф •пути_ следов_<!ния
автомобиля.
Кроме того, обычно _ каждое _ техническое устройство ,со~даетс_~
не для Р,ешения одной строго определенной задачи ,_ а рас_счит_?-но
на ряд иногда знач,ительно различающихся меж,IJ,у собо~й__за4аq.
Так, токарный станок позволяет выполнять многие операци,и
и автомобиль может двигаться по самым разнообразным марrfiру:-
там и с различными скоростями.
_
_
_
__
.
_
__:
• Поэтому , если мы хотим при любом вероятном coчeтaI:J~Ij
внешних условий получить любой из возможных _ результа!О!J
работы технического устройства, то в его поведении r-~у~шо ч~О-_!О
изменять или в некоторые моменты времени или даже :1-rепреррr_в_~9 1
т. е. осуществлять управление.
__
__
_
__
,. ~у,:,
,5


В настоящее время еще во многих технических устройствах
функции управления остаются за человеком. Именно человек
решает, как и когда менять поведение устройства, чтобы получить
желаемый результат. Однако увеличение мощности и быстродей­
ствия машин и механизмов, повышение требований к точности
различных процессов и появление новых, более сложных процес­
сов приводят к тому, что человек становится не в состоянии упра­
влять ими с необходимой быстротой и точностт,ю. Таким образом,
в ходе технического прогресса возникла необходимость в и,сключе­
нии человека из операций управления для более совершенного их
выполнения .
Устройство, выполняющее операции управления без непосред­
ственного и непрерывного участия человека, называется автомати­
ческим управляющим устройством. Замена труда человека в про­
цессе управления действием автомати•1еских управляющих уст­
ройств называется автоматизацией.
Автоматизация ведет к значительному повышению производи­
тельности машин и механизмов, улучшает качество выпускаемой
продукции, расширяет возможности воздействия человека на
природу и облегчает труд человека (и не только физический, но
и умственный) .
•
В Программе КПСС сказано, что автоматизация и комплексная
механизация служат материальной основой для постепенного пере­
растания социалистического труда в труд коммунистический.
Эта задача тем более важна, что рост масштабов и темпов
производства, резкое усложнение технических устройств и техно ­
логических процессов приводят к принципиальной невозможности
их реализации без автоматического управления . Для каждого
очевидно, что полеты космических кораблей и действие атомных
электростанций совершенно невозможны при ручном управлении .
1.1 . ПРИНЦИПЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Постараемся теперь уточнить, в чем же заключается зад,ача
·автоматического управления .
При решении задачи управления обязательно есть объект
управления (управляемый объект), т . е . некий механизм, агрегат
или устройство, некоторый технологический, энергетический или
транспортный процесс, желаемое поведение или протекание
которого должно быть обеспечено. Поведение объекта управления,
результат его деятельности определяются некоторыми показа­
телями. Чаще всего ими являются значения каких-то физических
величин, которые принято называть выходными величинами объ­
екта управления. Чем сложнее объект, тем большее число показа­
телей характеризует его деятельность и тем труднее следить за
всей их совокупностью . Поэтому к выходным величинам относят
лишь наиболее важные для оценки поведения объеrпа и его практи ­
ческого использования .
G


Рис. 1.1. Схематическое изображение
объекта управления
На каждое техническое ус­
тройство и на каждый процесс
в реальных условиях много- .
Bxoattыe rf,
Выхоаные
:
О ьект
:
.
уп~~~ле-
8озilейст8uя1 19еличины
численные воздействия оказывает внешняя среда . Все эти воздей­
ствия также практически невозможно учесть. Поэтому в поле
зрения оставляют лишь те, которые оказывают наибольшее влия­
ние на выходные величины, и называют их входными воздей­
ствиями .
Изменения во времени вхо·дных воздействий и выходных вели­
чин некоторого объекта управления характеризуют его поведение.
Поэтому условно объект управления изображают так, как пока- .
занр на рис . 1.1.
Входные воздействия, с точки зрения влияния на выходные
величины объекта, разделяют на две принципиально отличные
группы. Некоторые из входных воздействий обеспечивают, как
уже отмечалось, желаемое изменение поведения объекта, достиже­
ние поставленных целей. Такие входные воздействия принято
называть управляющими и при их отсутствии задача управления
вообще не имеет решения. При ручном управлении оператор дол­
жен иметь возможность изменять управляющие воздействия на
объект. При автоматическом управлении изменения этих воздей­
ствий создаются управляющим устройством.
Другие входные воздействия, напротив, мешают достижению
поставленной цели, искажают влияние управляющих воздействий
и изменять их, как правило, невозможно. Такие воздействия
принято называть возмущающими (короче, возмущениями) или
помехами.
Задача управления, по сути дела, заключается в формировании
такого закона изменения управляющих входных воздействий, при
котором желаемое поведение объекта достигается независимо от
изменения поступающих на него возмущений. Такая постановка
задачи управления является весьма общей и поэтому будем рас­
сматривать лишь более конкретную и более узкую задачу регули­
роваюi:я, которая в настоящее время имеет наибольшее практи­
ческое значение .
Задача регулирования заключается в том, чтобы одну или не­
сколько выходных величин объекта регулирования сделать рав­
ными некоторым эта.1\онным функциям времени (задающим воздей­
ствиям), которые могут быть постоянными (задача стабилизации),
меняться во времени по заранее известному закону (задача про­
граммного регулирования) или же изменяться по закону, который
задается каким-то внешним независимым процессом (задача слеже­
ния) . В простейшем случае у объекта регулирования одна выход ­
ная величина.
В зависимости от ситуации используют различные методы реше ­
ния задачи регулирования . Самый простой метод, рассчитанный
7


г---------,
g1
1z
1
1
L _ _______ J
Рис. 1.2 . Функциональная схема разомкну­
той системы регулирования
,~....
-
·
.
~ ...
1
1
L ________ .J
Рис . 1. 3 . Функциональная схема разомкну­
той системы регулирования с измерение!'d
основ н ого возмущения
на несложную ситуацию, неявно основывается на предположении,
· что влиянием всех возмущений можно пренебречь и регулирую щее
воздействие на объект необходимо лишь тогда, когда должен
измениться результат деятельности объекта, т. е . должна изме­
ниться регулируемая величина . В этом случае необходимы пре­
образовательный элемент и исполнительный механи зм . Преобра-
•зовательный элемент 3 (рис . 1.2) в соответствии с задающим воз­
действием g = g (t) вырабатывает н еобходимое «указание» испол­
· нительному меха низму 2. Последний создает регулирующее воз­
действие z = z (t) на объект регулирования 1. В результате регу ­
лируемая величина у = у (t) приближается с той или иной точ ­
ностью к требуемому значению.
Преобразовательный элемент и ис п олнительный механизм
· составляют регулятор. Регулятор и объект в совокупности обра­
зуют систему регулирования.
Заметим, что при конструировании ре гулятора рассмотренной
системьi необходимо знать все свойства объекта регулирования.
Только при выполнении этого условия (и отсутствии возмущений)
можно правильно предвидеть влияние задающего воздействия на
регулируемую величину.
Область применения описанной простейшей системы регулиро ­
вания ограниче на прежде всего из - за того, что нельзя пренебречь
влиянием возмущений. При определенном задающем воздействии
-и
различных возмущениях выходная величина будет иметь разные
· зна чения и, следовательно, задача р егул и рования не будет решена.
--В
св я зи с этим возникает необходимость контроля возмущений или
-хотя
бы основного из них f = f (t) . Нужно измерять это возмуще-
ние и учитывать его з начение при действии регулятора . В регуля-
- торе
оказывается необходимым (рис. 1.3) еще измерительный эле­
· мент 4 в цепи возмущения, который влияет на преобра зователь ный
- элемент, вырабатывающий «указание» исполнительному механизму.
Рассмотренн ые системы регулирования одинаковы, так как обе
- являются
разомкнутыми. Это означает, что характер регулирую­
. щих
воздействий за висит от свойств объекта лишь в той степени,
-в · какой
это было учтено при конструировании регулятор а. Дей-
•·ствительное значение регулируемой величины, даже если оно
значительно отличается от желаемого, совершенно не влияет на
: работу системы. Чтобы подчеркнуть это свойство разомкнутой
. сист емы
регулирования, иногда говорят, что она устроена по бал-
8


Рис. 1.4. Функциональная схема
замкнутой системы автоматического
регулирования
листическому принципу.
Действительно, регулятор
при создании регулирую­
щего воздействия напоми­
г- - -- - --------l
19
1z
нает стрелка, который теряет всякую возможность влиять на ре­
зультат выстрела после наведения оружия и спуска курка. Раз­
ница между двумя системами, изображенными на рис. 1.2 и 1.3,
лишь в том, что в последней системе учитывается влияние воз­
мущения подобно тому, как стрелок делает поправку на ветер.
В подавляющем случае отсутствует исчерпывающая и досто­
верная информация о свойствах объекта регулирования и о харак- ·
тере возмущений и разомкнутые системы регулирования оказы­
ваются неэффективными. Поэтому прибегают к создани19 конструк­
тивно более сложных, но и значительно более совершенных ЗiJ.MK~
нутых систем автоматического регулирования.
В замкнутой системе использован принцип обратной связи,
возможно самый мощный принцип автоматического регулирования
и управления. Такая система в простейшем случае (рис. 1.4)
состоит из объекта регулирования 1 и регулятора, который, кроме
исполнительного элемента 2 и усилительно-преобразовательного
элемента 3, имеет еще измерительный элемент 4 (иногда регулято­
ром называют усилительно - преобразовательный элемент 3).
Измерительный элемент осуществляет обратную связь в системе:
подает на ее вход сигнал у0 , пропорциональный регулируемой
величине у. В результате этого на вход преобразовательного эле­
мента поступает сигнал рассогласования (сигнал ошибки) х =
= g-Ya·
Таким образом, в замкнутой системе воздействие на объект
формируется не только в зависимости от задающего воздействия,
но и от состояния объекта. Точнее, регулирующее воздействие
определяется отклонением регулируемой величины от заданного
значения. Поэтому принцип обратной связи позволяет успешно
решать задачу регулирования, несмотря на некоторую неопреде­
ленность (количественную, но, вообще говоря, не любую и тем
более не качественную) или неточность в известных конструктору
характеристиках объекта регулирования и исполнительного меха­
низма, а • также сведениях о возмущениях.
Итак, в замкнутой системе нет необходимости получать инфор­
мацию непосредственно о задающем воздействии (оно используется
лишь для сравнения с сигналом обратной связи) и о возмущениях.
Однако это допустимо не всегда. В некоторых случаях качество
такого регулирования оказывается неприемлемо низким . Тогда
используют комбинированное регулирование, т. е. сочетание прин­
ципов замкнутой и разомкнутой систем. При этом разомкнутая
част1;, системы обеспечивает решение задачи регулирования «в основ-
9


нам», а замкнутая часть корректирует это «грубое» регулирование,
компенсируя ошибки первого приближения, в частности ошибки
измерения возмущений .
В общем случае информация об изменениях задающего воздей­
ствия и возмущений поступает в регулятор лишь по мере того, как
эти изменения происходят, причем изменения возмущений воспри­
нимаются сначала объектом регулирования. Очевидно, если пред­
видеть изменения внешних воздействий, то система сможет «под ­
готовляться к ним заранее и регулирование будет осуществляться
более успешно. Такая ситуация оказывается в какой-тd степени
достижимой, если регулятор получает некоторую информацию
о будущих изменениях задающего воздействия или возмущений.
В простейшем, но и широко распространенном случае такой
информацией является значение первой производной от соответ­
ствующего воздействия по времени. Более высокие результаты
могут быть получены при использовании первой и второй производ­
ных.
1.2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОFАНИЯ
До сих пор речь шла об основных принципиальных схемах
систем автоматического регулирования, отобранных в результате
многолетней практики . Однако для решения задач автоматического
регулирования одного знания этих схем недостаточно. Необходимо
еще в каждом случае правильно выбрать элементы регулятора .
Совокупность методов, позволяющих исследовать, анализировать
свойства отдельных элементов и выполненных систем автоматиче­
ского регулирования, а также рассчитывать и конструировать
новые системы по заданным требованиям к качеству регулирования,
составляет предмет теории автоматического регулирования.
Каждая теория технических наук формирует математический
аппарат, специально приспособленный к ее задачам . В классиче­
ской теории автоматического регулирования используются диффе­
ренциальные уравнения. Дело в том, что подавляющее большин­
· ство объектов регулирования, исполнительных механизмов и
других элементов регуляторов имеет инерционность. Изменение
их входных воздействий отражается на выходных величинах
не сразу, а постепенно, и характер реакции зависит, вообще говоря,
от предыстории поведения системы. Минимальная информация
о предыстории, которой необходимо располагать для того, чтобы
иметь возможность по будущим значениям входных воздействий
однозначно определять будущие значения выходных величин,
называется информацией о состоянии системы. И для большинства
случаев, имеющих практический интерес, информация о состоянии
системы содержится в значениях выходных величин и некоторого
числа их производных по времени . Потому и описание поведения
системы (изменения ее состояния) должно включать в себя выход-
10


ные величины и их производные, т . е. представлять собой диффе­
ренциальное уравнение.
Несмотря на то, что дифференциальные уравнения являются
математическим аппаратом, принципиально вполне достаточным
для классич ес кой теории автоматического регулирования, его
практич еское исполь з ование сопряж е но со з начите льными труд­
ностями и аналитические решения дифференциальных уравнений
многих типов просто неизвестны.
Однако в практике автоматического регулирования наибольшее
распространение получили линейные системы, т . е. системы,
поведение которых описывается линейными дифференциальными
уравнениями, имеющими аналитические решения . Для таких
систем достаточно определять реакции на некоторые эталонные
воздействия и затем делать выводы относительно влияния воздей ~
ствий прои звольно го вида . На этом основании частотный метод
и метод передаточных функций широко используют при инженер­
ных расчетах линейных систем автоматическоFо регулирования.
Одна из теорем линейной теории систем утверждает, что если
система в целом линейна, то должны быть линейными все ее дина­
мические подсистемы. Это означает, то для линейности рассматри­
ваемой системы автоматического регулирования должен быть
линейным ее объект (обеспечить линейность характеристики регу­
лятора можно при его конструировании). Конечно, такое требование
сужает . область применения методов, излагаемых в данной книге,
но не исключает их. Дело в том, что в большинстве случаев при
проектировании объекта обеспечивается «приблизительное» реше­
ние задачи регулирования . Тогда регулятору остается лишь
задача «тонкой доводки» и при действии объекта все его переменные
незначительно отличаются от некоторых базисных значений.
Поэтому в таких случаях исходные нелинейные уравнения объекта
можно заменить приближенными линейными уравнениями для
приращений переменных, т. е. линеаризовать уравнения. В этом
случае становятся при мен имыми все методы линейной теории
автоматического регулирования.
Выше было сказано, что большим преимуществом замкнутых
систе м является их способность обеспечивать решение задачи
регулирования даже в том случае, когда информация об объекте
регулирования не вполне точная. Это свойство имеют не всякие
замкнутые системы, а лишь те их них, которые являются устой­
чивыми. f.Iоэтому свойство устойчив ости имеет важнейшее значение
для работоспособност'и системы и анализ устойчивости - это одна
и з важнейших задач анализа систем автоматического регулирова­
ния . Собственно решение проблемы устойчивости и послужило
началом теории автоматического регулирования.
Первые автоматические регуляторы, имевшие промышленн ое з начени е,
появились в VIII в . (1765 г. - поплавковый регулятор у ровня воды в паровом
котле И . И. Ползунова; 1784 г. - центробежный регулятор скорости вращения
паровой машин Джемса Уатта). Дальнейшее развитие регуляторов паровых
11


!<отлов, машин и турбин выявило противоречие: 110nы·rки nовысить точность
регуляторов приводили к неустойчивости. В 1876 г. профессор Петербургского
технологического института И. А. Вышнеградский в своей работе «О регуля­
торах прямого действия» впервые заметил, что объект регулирования и регуля­
тор составляют единую динамическую систему, которую и нужно нсследовать
для решения вопроса об устойчивости. Он нашел критерий устойчивости линей­
ной системы третьего порядка, не потерявший своего значения и до настоящего
времени.
За два века развития автоматического регулирования и глав­
ным образом за последние два-три десятилетия созданы весьма
разнообразные системы автоматического регулировани·я. Они
различаются: · по назначению (классификация систем по этому
признаку чрезвычайно обширна, а возможно просто неосуще :
ствима), по физической природе сигналов в регуляторе (системы
с электрическим, пневматическим, электропневматическим и элек­
трогидравлическим регуляторами), по конструкции регуляторов и
по их общеинженерным свойствам. Однако все эти весьма суще­
ственные различия совершенно не имеют значения при исследова­
нии динамических свойств систем методами теории автоматиче­
ского регулирования.
С этой точки зрения решающее значение имеет разделение
систем по принципу действия на разомкнутые, замкнутые и ком­
бинированные и по цели регулирования на системы стабилизации,
системы программного регулирования и следящие.
Большое значение имеет классификация систем автоматиче­
ского регулирования еще по нескольким следующим признакам.
По характеру сигналов в регуляторе системы разделяют на
непрерывные, релейные и дискретные (импульсные и цифровые).
У непрерывной системы в каждом элементе непрерывному измене­
нию во времени входного воздействия соответствует непрерывное
изменение выходной величины.
По классу дифференциальных уравнений, описывающих дина­
мические процессы, системы разделяют на линейщ,1е и нелинейные.
У линейной системы динамика всех элементов описывается линей­
ными дифференциальными и алгебраическими уравнениями. Если
это обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с по­
стоянными коэффициентами, то систему называют стационарной
(или обыкновенной) линейной системой. Систему, все элементы
которой описываются алгебраическими уравнениями, называют
статической. Если среди уравнений имеются дифференциальные,
то система динамическая.
Выделяют также особые линейные системы: нестационарные,
когда в уравнении какого-либо элемента имеется хотя бы один
коэффициент, изменяющийся во времени; с распределенными
параметрами, когда динамика какого - либо из элементов описы­
вается линейным дифференциальным уравнением с частными
производными; с запаздыванием, когда динамика хотя бы одного
из элементов описывается линейным уравнением с запаздывающим
аргументом (элемент имеет временное запаздывание); импульсные,
12


korдa динамика t<akoro-Jrибo элеменtс1 описьrвается линейr:1ым
разнQстным уравнением (элемент дискретного действия).
По источнику энергии, поступающей в регулятор, системы
автоматического регулирования разделяют на системы прямого
действия, получающие энергию от регулируемого объекта, и
системы непрямого действия, получающие энергию от посторон­
него источника энергии.
Системы разделяют еще на одномерные с одной регулируемой
величиной и многомерные (многосвязные) с несколькими регули­
руемыми величинами. Имеет место также классификация систем
по статическим свойствам (статические и астатические системы)
и по закону регулирования, т. е. по характеру преобразования
сигнала рассогласования в регуляторе. Закон регулирования
может быть пропорциональным : сигнал рассогласования только
усиливается в регуляторе; интегральным: сигнал рассогласования
иtпегрируется; пропорционально-интегральным : на выходе пре­
образовательного · элемента регулятора две составляющих, из
которых одна пропорциональна рассогласованию и другая есть
интеграл от рассогласования; пропорционально -дифференциаль­
ным: кроме составляющей, пропорциональной рассогласованию, на
выходе преобразовательного элемента есть еще составляющая,
пропорциональная производной от рассогласования; пропор ­
ционально-интегрально-дифференциальным: на выходе преобразо­
вательного элемента три соответствующих составляющих .
• Значительное число систем, существенно различающихся с точки
зрения теории автоматического регулирования, привело к созда­
нию многих методов их анализа и синтеза. Ниже рассмотрим
методы, используемые для анализа и синтеза обыкновенных линей­
ных одномерных замкнутых систем. Однако и для этого класса
систем используют ряд методов, так как в инженерной практике
возникает необходимость в решении различных задач и при раз­
личном подходе.
Не будем перечислять изложенные ниже методы и задачи:, для
решения которых они могут быть использованы , уточним только,
что задачи анализа - это исследование процессов, происходящих
в заданной системе (в системе с известной структурой и параме­
трами) при различных внешних воздействиях, и задачи синтеза -
это рациональное построение системы (выбор ее структуры и
параметров), отвечающей заданным требованиям .
Следует еще остан,овиться на вопросе о литературе по автома 0
тическому регулированию и управлению , которая достаточно
обширна. Для предварительного ознакомления с предметом целе ~
сообразно воспользоваться источником (91]. Основные сведения об
автоматическом регулировании популярно изложены также
в книге (28].
•
Достаточно полное изложение основ теории автоматического
регулирования и управления на высоком научном уровне содер­
жится в работе (57], а также в (18], (24-26].
13


Наиболее полно современная теория автоматического регули­
рования представлена в первых трех книгах серии инженерных
монографий «Техническая кибернетика» [113-115].
1.3 . УНИФИЦИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ
Один из первых регуляторов - регулятор паровой машины
Уатта - являлся единым устройством. И в течение достаточно
длительного периода развития автоматизации, для каждого нового
объекта регулирования изобретали новый регулятор. В настоящее
время подобный неэкономичный подход ограниче н но ис пользуют
в инженерной практике. Он вытеснен более прогрессивным и
экономичным агрегатно-модульным подходом, который опирается
на важную идею кибернетики. Эта идея заключается в том, что
воздействия на входе регулятора и между его элементами по с в оей
физической природе могут отличаться от воздействия, которое
должно быть приложено к объекту регулирования. Важна не
физическая природа воздействий на входе регулятора и внутри
его, а передаваемая ими информация. В результате этого оказалось
возможным разделять регуляторы на отдельные функциональные
элементы и в регуляторах разных систем автоматического регули­
рования (САР) использовать одинаковые устройства, собирать
регуляторы различных САР из стандартных специализированных
блоков.
В связи с этим возникла и стала весьма актуальной задача
рационального расчленения общей функции регулятора на более
мелкие функции и создания унифицированной системы элементов,
выполняющих эти функции. Унифицированные элементы должны
легко сочленяться между собой и обеспечивать оперативное и
экономичное создание регуляторов для большого числа объектов.
Такую задачу последовательно и плодотворно решают при авто­
матизации народ1-юго хозяйства нашей страны .
Начиная с 1951 г. получила практическое 11рименение Агре­
гатная унифицированная система (АУС) пневматических блоков
и приборов для построения систем автоматики. Затем была создана
• Электрическая агрегатная унифицированная система приборов
(ЭАУС), представляющая собой более широкий комплекс функци­
ональных элементов . Позднее было начато производство и ис поль­
зование Универсальной системы элементов промышленной пнев­
моавтоматики (УСЭППА) [49] и Унифицированной системы пнев­
матических и электрических датчиков теплоэнергетических пара­
метров [50 ].
В дальнейшем унификацию существующих и разработку новых
элементов автоматики начали проводить и проводят в настоящее
время в рамках Государственной системы промышленных приборов
и средств автоматизации (ГСП) [ 109].
Приборы ГСП находят применение, конечно, не только в про­
мышленности, но и при автоматизации иных технических процес-
14


сов (на транспорте, в связи и т. д.). Кроме приборов ГСП в САР
используют также приборы, аппараты , механи з мы, машины и
другие устройства универсального назначения.
Задачей ГСП [47] является обеспечение тех ническими сред­
ствами разнообразны х систем контроля, регу лирования и управле­
ния технологическими процессами при ограниченной номенклатуре
унифицированных устройств (приборов). Основой построения ГСП
служат определенные системоте х нические принципы, позволяющие
наиболее рационально (с экономической и технической точек
зрения) решить указанную з адачу. Одним из этих принципов
является совместимость отдельных приборов ГСП одного с другим.
Должна обеспечиваться совместимость информационная (по физи­
ческой природе и допустимым пределам и з менения сигналов, -
т. е : воздействий приборов одного на другой) , энергетическая
(по виду энергии для питания приборов), конструктивная (по
присоЕ'динительн~rм и габаритным раз мерам , и используемым
элементам), метрологическая (по допустимой погрешности, т. е. по
r<лассу точности) и эксплуатационная (по з ащищенности от окру­
жающей среды) .
В результате развития ГСП будет полностью исключена неце­
лесообразная индивидуальная раз работка технических средств
для автоматизации. Это обеспечивается как номенклатурой ГСП,
так и тем, что отдел ьные ее устройства легко могут быть дополнены
элементами для использования в непредвиденных условиях.
По роду энергии, поступающей от внешнего источника и исполь­
зуемой для передачи сигналов, устройства ГСП (а также и функ­
циональные элементы, не входящие в _ эту систему) разделяют на
электрические, пневматические и гидравлические . Кроме того,
существует еще четвертая группа устройств ГСП, не требующих
внешнего источника энергии (регуляторы прямого действия и
измерительные приборы).
Системы, комплектуемые из приборов электрической группы,
т. е . в значительной части из электронных приборов, имеют пре­
имущества по сравнению с другими видами устройств. К преиму­
ществам относятся прежде всего высокая чувствительность, точ­
ность и быстродействие, возможность передачи сигналов на боль­
шие расстояния.
Пневматические приборы безопасны для применения в легко­
воспламе1;1яемой или взрывоопасной среде, надежны в тяжелых
условиях работы, например в агрессивной среде. По быстродей­
ствию и дальности передачи сигналов они значительно уступают
электронным приборам .
Преимущества гидравлически х исполнительных устройств
в том, что они обеспечивают точные перемещения регулирующих
органов при больших усилиях .
В одной системе можно применять устройства из различных
групп в том или ином рациональном и х сочетании . Например, часто
щnользуют вместе электрические и гидравлические устройства.
1-5


Основной является классификация средств ГСП по функ­
циональном у признаку . При этом выделяются следующие
группы :
1. Устройства получения информации о состоянии процесса,
которые выдают унифицированный сигнал, соответствующий зна­
чению ко нтрол и руемой физической величины. Эта группа вклю­
чает первичные измерительные преобразователи, нормирующие
11реобразователи и собственно датчики.
.
Цель первичного и змерительного преобраз'ователя зак~ ючается
в том, чтобы изменения контролируемой (наблюдаемой) величины
перевести в изменения величины, удобной для дальнейшего пре­
образования регулятором - в изменения перемещения, усилия,
сопротивлени я, напряжения, тока, частоты. Другими словами,
сигнал на выходе первичного измерительного преобразователя,
называемый естественным сигналом, по своей физической природе
отличается от наблюдаемого сигнала .
Нормирующий преобразователь заканчивает начатое преобра­
зование и унифицирует пределы изменения сигнала.
Если естественный выходной сигнал является электрическим
или пневматическим, то нормирующий преобразователь обычно
выполняют отдельно. Датчик в этом случае состоит из двух при­
боро,в . При другой физической природе естественного выходного
сигнала оба преобразователя конструктивно объединяют в один
прибор ~ датчик.
2. Устройства преобразо вания, обработки, хранения инфор ­
м_ации и выработки команд управления. Эта центральная группа
ГСП включа ет анализаторы сигналов, функциональные и опера­
ционные преобразователи , логические устройства, устройства
памяти, задатчин:и, программные задатчики, регуляторы, а также
управляющие вычислительные устройства и комплексы. Следова­
тельно , эта группа содержит как собственно регуляторы, так и
функциональные · элементы, и з которых их собирают .
3. Устройства использования командной информации для
воздействия на процесс - исполнительные устройства. К их
-
числу принадлежат усилители мощности командного сигнала,
.поступающего от регулятора или иного управляющего комплекса,
и исполнительные механизмы, воздействующие на регулирующий
.орган объекта.
4. Устройства для приема, преобразования и передачи инфор­
мации по каналам связи - телеустройства, шифраторы, дешифра­
торы и т . д. Данная группа содержит приборы и устройства,
обеспечивающие соединение различных функциональных блоков
первых трех групп между собой. Во многих САР роль таких
устройств выполняют обычные провода (в электрических САР)
или трубы (в пневматических и гидравлических САР), а перечи­
сленные выше устройства используют лишь при необходимости
передавать информацию на большие расстояния (телеуправление)
или в условиях сильных поме х,
!(;i


Сопряжение отдельных приборов и устройств ГСП в системе
обеспечивается прежде всего тем, что информация между ними
передается унифицированными сигналами, которые разделяют на
следующие группы: 1) электрические непрерывные сигналы тока
и напряжения; 2) электрические непрерывные частотные сигналы;
3) · электрические кодированные сигналы; 4) пневматические
сигналы.
Пределы изменения сигнала каждой группы выбирают только
из установленной ГОСТом шкалы.
Пределы изменения токовых сигналов постоянного тока могут
быть следующими (см. ГОСТ 9895-69) : 0-5 мА; минус 5-0
-
плюс5мА;О- 20мА;минус20- О
-
плюс 20 мА. В особых
случаях допускают еще пределы О - 100 мА и минус 10 - О
-
плюс 100 мА.
•Для
сигналов напряжения постоянного тоЕа установлены
следующие пределы изменения : О - 10 мВ; минус 10 - О
-
плюс10мВ;О- 100мВ;минус100- О
-
плl(;JС100мВ;О- 1В;
минус1- О
-
плюс 1В; О- 10В; минус 10-0-плюс 10В.
Рабочий диапазон изменения пневматических сигналов нахо­
дится в пределах 0,02-0,1 МПа (0,2-1,0 кГ/см 2) (см. ГОСТ
9468-75) .
Центральный научно-исследовательский институт информации
и технико-экономических исследований приборостроения , средств
автоматизации и систем управления (ЦНИИТЭИ приборостроения)
в 1974 г. издал Генеральный каталог по Государственной системе
промышленных приборов и средств автоматизации (рис. 1.5).
В него включены подробные сведения о приборах и устройствах
ГСП, вплоть до описания типовых к9нструкций, а также примеры
применения средств ГСП в автоматизированных системах управле­
ния.
ЦНИИТЭИ приборостроения издает также отраслевой каталог
«Приборы, средства автоматизации и системы управления», вклю­
чающий сведения об указанной продукции , выпускаемой пред­
приятиями Министерства приборостроения, средств автоматиза­
ции и систем управления . Каталог содержит отдельные выпуски
(каталожные описания).
В Еаждое из них входят сведения о назначении и принципе
действия прибора (изделия), его конструкции, надежности, ком­
плектности и сведения о поставщике; приведены также техниче ­
ские данные и рекомендации по монтажу и эксплуатации.
Каталожные описания комплектуются в 22 томах.
1.4 . КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ЭЛЕМЕНТАХ САР
В САР используется весьма большое число элементов, разли­
чающихся своей физической природой, принципом действия,
конструкцией и т . д. Они входят в перечисленные унифицирован­
ные системы, в ГСП или имеют универсальное назначение. Рас­
смотрим наиболее широко использу~мые э_щ:~менты.
~...
....,_ ____._..---.,._ ....:......_i
2 И- М, Макаро!J
ф 6. 'j • ' '·"•.,.,~•,,,,::ц~;н ""11 " ~ "i ":"1!J:
.
() l'
.......с...;
1
t
V,
.
.
~ 1:~'\ r,~:·•! 1No.-·~ ;~:; : ~r\ri f
~
17


1 П риборы для измерения т~мпера т ур:,1-I Выпуск 2. 1 \-
1 Приборы для измерения давления 1- 1 Выпуск 2.2 1-
1 П р иборы для измерения расхода
1-1 Выпуск 2.3 1
-
1 Пр и боры для измерения уровня
1- 1 Выпуск 2.4 1-
1
П риборы для определения состава 1 1
1
и свойств ве ществ
-
Выпус1< 2.5
-
1
Унифицированнап система пневмати - I 1
1
ческих ~ электричесI~их датчиков -
Выпус 1< 2.6
-
с силовои компенсациеи
1 Да т чики с релейным выходом
1- 1Выпуск 2.7 l-
• 1 Н ормирующие пре~бразователи
1-1 Выпуск 2.8 1-
1
Регулирующие, функциональные и 1 1
1
к;::вляющ~е пневматические ycт poi'i- - Выпуск 3. 1
-
---
1
Агрегатная пневматическан система 1 1
1
автоматического управления «Цен т р» - Выпуск 3. 2
_
1 Приборы контроля пневматические 1- 1 Выпуск 3.3 [_ , _
1
Регул и рующие и функциональные 1 1
1
электрические устройства
-
Выпуск 3.4
_
\ Вторичные приборы электрнчесю, е 1-1 Выпуск 3. 5 1
-
1
Электроизмерительные приборы щи-1 1
361
товые
-
Выпуск .
_
1
К:омплекс электроизмерительных при - I 1
1
боров (АСК)
-
Выпуск 3. 7
_
ло1<альных информационно - управляю- - Выпуск 3. 8
_
=
.§ .'<
.i= о(')
(D 'О ..,
,., ;: 'О
;;::: ~ о
~~ ~:
::1::,:: tri "'"i
"
"о
'Оо ;:
;~~~
"'х"
-ci :;:~
"о"'
х~:;:
о=
i ::с
'<
оп
х 0\-6
-o"g о
~ О\ :;:с
:;: о(')
"'.., ..,
~~g;,_,
::с~ :J о
о-о;:
;;d8-
,&0\0\-
0'0-о -
'О""
s:~w
о,nО
1= ~ t;:)
::,:: ; :;
::,:: ::с:;:
.
;;;
1
Комплекс техничес ~<их средств для 1 1
1
щих систем (!\ТС ЛИУС)
.
~§wс<
:;:c-&g ~
Выпуск 3.9
1
~j ~i~
Агрегатированныj:'1 комплекс средств
в ы числительной т ехники (АСВ Т )
1-1
-
;~sg;~
:Комплекс элементоJЗ для систем теле-I 1
механики и устройств промышленной -
автомати'l<и «Спе1<тр»
Исполнительные r,,-1еханизмы и устро{1· 1-1
ства
1
,at~;;<
Выпуск 3.10 -
_g ");§
-
~ 8g_~
Выпуск4.1 \- 1
__
•_ __
:s: о
u, :t ,_,
Универсальная система пневмоавто• 1 1
ма т ики (УСЭППА)
-
Выпуск 5.1
1-
~~:s:,_,
(t) "О :::1 о
s:'<оs:
~Q~<
.., ="'
о:"'о:
Унифицированные типовые 1,онструк-1- 1 Выпуск 5.2 1
--
ции
_
-------
1-----
~t
::: ::j '-1
'Оо
"оп
'О;:'<
~~t
"Е-о
..,",.,
tri (t) j --J
~~~~
d~~-
;:
":, "
"'-о,.,
~: :,::::,::
~~~
~]~
,., :,: .,,
:: ::
~'< !'1
"',., -
==-ci '11
'<о.
"'''"'
::, ,., х
'О .., "'
~~= ~
о::=~
.,ех=
=~о ~
--! ~)::1 -о
о:сХ1~
:: :t .Е: ::i
~ 11':: tr
~><х~
"'
.,
~ ::i 1:1::1 о
.с:'О ~
:::: .,
:s:: O)'j--!
00~
,:J ,., :.,
~~~
::~ ~
..,, :J
,., "':,:
,:J"°'
~:;: .g
3~~


Чувствительные (измерительные) элементы
и датчики (2, 10, 41, 55, 108]
Чувствительный (воспринимающий или измерительный) эле­
мент создает физическую величину, пропорциональную контроли­
руемому параметру какого-либо процесса и удобную для последую­
щего преобразования в электрический или пневматический сигнал.
Если чувствительный элемент создает электрический или пнев­
матический сигнал, то его принято называть датчиком. По терми­
нологии ГСП датчиком называют лишь элемент, выдающий унифи­
цированный сигнал.
Датчики служат для введения в регулятор информации о регу­
лируемой величине и внешних воздействиях, которая необходима
для процесса регулирования.
· наиболее распространены чувствительные элементы и датчики ;
выполняющие следующие измерения .
Измерение перемещения и угла поворота часто осуществляют
с помощью простейших потенциометрических (реостатных) датчи ­
ков [55, 88 ], которые преобразуют линейное или угловое переме­
щение в напряжение постоянного тока . Более надежны бесконтакт­
ные индуктивные датчики, которые преобразуют перемещение
в сигнал переменного тока.
В качестве датчиков угловых перемещений широко исполь­
зуют также специальные электрические машины переменного
тока - сельсины [88 ].
Из.мерение угловых координат, которые являются регулируе­
мыми величинами объектов, движущихся в пространстве, осуще­
ствляется гироскопическими устройствами.
Измерение угловой скорости и ус·корения объектов регулирова­
ния следящих систем выполняют тахометрами и тахогенераторами.
Для измерения угловой скорости объектов, движущихся в прост­
ранстве, применяют в основном гироскопические устройства. Уско­
рения измеряют механическими устройствами-акселерометрами .
Измерение усилий часто выполняют электрическим и пневмати­
ческим рычажными датчиками, которые входят в ГСП. Широко
используют также тензометрический чувствительный элемент,
который позволяет измерять и вращающие моменты. ГСП содержит
силоизмерительные тензорезисторные датчики.
Измерение температуры осуществляют датчиками [92 ], в ос­
нову которых положено появление контактной терма-ЭДС, изме­
нение электрического сопротивления, тепловое расширение, изме­
нение интенсивности излучения и др. Экспериментальные данные
о динамических свойствах некоторых датчиков температуры
приведены в [129].
Измерение теплоэнергетических параметров (давления, пере­
пада давления, расхода, уровня, плотности, температуры и силы)
осуществляют пневматическими и электрическими датчиками
унифицированной системы [29 ].
2*
19


Элементь1 сравненйst, суммирован1н1
и разветв ления сигналов
Сравнение двух линейных или угловых перемещений с преоб­
разованием результата в напряжение постоянного или перемен­
ного тока можно выполнять потенциометрами . Угловые перемеще­
ния можно сравнивать также механическим дифференциалом и
сельсинной парой, работающей в трансформаторном режиме .
Наиболее часто встречаются сравнение и суммирование элек­
трических напряжений и токов на резисторах, в магнитных и
электромашинных усилителях с несколькими управляющими
обмотками и в магнитоэлектрических элементах с несколькими
рамками.
Суммирование электрических или пневматических сигналов
осуществляют измерительными блоками или непосредственно
регуляторами всех систем промышленной автоматики (блок сум­
мирования и соотношения БССl-01 системы УСАКР, блок сумми­
рования А -04 системы «Каскад», суммирующий блок БС - 34А
системы АУС) .
Сигналы, являющиеся линейными или угловыми перемеще­
ниями, разветвляются с помощью механических устройств. Элек­
трические сигналы разветвляются соответствующим включением
обмоток электрических элеме нтов или резисторов . Разветвление
(размножение) сигналов предусмотрено и в системах промышленной
регулирующей аппаратуры .
Усилители
В подавляющем большинстве САР мощность сигнала рассогла ­
сования незначительна (иногда 10- 4
- 10-5 Вт) и совершенно
недостаточна для приведения в действие исполнительного эле­
мента . Поэтому возникает необходимость в усилителе, т. е. в устрой­
стве, увеличивающем мощность сигнала за счет получения энергии
извне.
•
•
К усилителям относят также устройства, которые одновременно •
с увеличением мощности преобразуют физическую природу сиг­
нала .
Наибольшее распространение получили электрические усили­
тели. К ним относятся электрома шинны е (88, 94, 123, 130 ],
магнитные [5, 79, 86, 88, 96 ], релейные, электронные [ 10, 43, 55,
104, 111 ], выполненные как на электронных лампах, так и на
транзисторах, ионные (тиратронные) и диэлектрические. Электри­
ческие усилители характеризуются широким диапазоном коэффи­
циентов усиления (по мощности и по напряжению) , высокой
чувствительностью (прежде всего электронные), отсутствием под­
вижных частей (кроме электромашинных и с электромагнитным
реле) .
-•
Достаточно широко применяют гидравлические и пневмати­
ческие усилители, которые имеют высокие коэффициенты усиления
20


по мощности при большой выходной мощности. Обычно tatшe
усилители одновременно выполняют роль исполнительных эле­
ментов, их называют серводвигателями или сервомеханизмами.
Исполнительные элементы
Исполнительный элемент САР воздействует на регулирующий
орган объекта (чаще всего механически перемещает его) в соответ­
ствии с сигналом управления. По виду используемой энергии
исполнительные элементы разделяют на электрические, гидравли­
ческие и пневматические .
Гидравлические [55, 121, 58] и пневматические [ 13, 33, 40,
55, 69, 99, 105] серводвигатели характеризуются большими уси­
лиями или вращающими моментами при малых (сравнительно) .
габаритных размерах и высоком .КПД . .Кроме того, они являются
быстродействующими и точными устройствами.
Электрические исполнительные элементы - электродвигатели
постоянного и переменного тока [6, 56, 88, 94] • и однооборотные
электрические исполнительные механизмы [95, 127] нашли более
широкое применение. Это объясняется универсальностью их
применения, широким диапазоном входных и выходных величин,
возможностью использования серийных машин и легкостью полу­
чения электрической энергии в различных условиях работы САР.
Объекты регулирования
Объектами регулирования могут быть самые разнообразные
устройства, используемые в производственных процессах, энерге­
тические и силовые установки, летательные аппараты, транспорт­
ные и другие средства, а также отдельные составные части пере­
численных устройств. Научно-технический прогресс постоянно
расширяет круг объектов регулирования, среди которых оказы­
ваются весьма специфичные. Например , искусственное сердце,
искусственная почка и т. п. Решение задачи управления объектом
(регулирования процесса в нем) начинается с его математического
описания. При этом возможны два различных подхода. Один из
них заключается в том , чтобы разделить рассматриваемый объект
на элементы, которые описываются известными закономерностями.
Тогда совокупность уравнений, описывающих эти элементы и связи
между элементами, составит математическое описание объекта
в целом.
'
Если подобный теоретический анализ объекта невозможен или
дает лишь весьма приближенные результаты, используют экспери­
ментальный подход, и необходимые характеристики объекта опре­
деляют непосредственно, наблюдая за его поведением в изменяю­
щихся условиях . Методы экспериментального исследования объек ­
тов и обработки полученных результатов изложены в работах
[1, 8, 9, 36, 45, 103] (см. п. 2.8 и 5.7).
21


На практике используют комбинированный подход и часть
математического описания определяют теоретически, а часть экспе­
риментально. Например, часто теоретически определяют вид
дифференциальных уравнений, а экспериментально з начения его
параметров.
В литературе по автоматическому регулированию кратко рас­
см отрен ряд типовых объектов: гидротурбина [42, 114 ], паровая
турбина [24 ], газотурбинный двигатель [99 ], дизель [42 ], ядер­
ный энергетический реактор [42, 99, 11 4 ], ресивер [42 ], газо­
провод [83], летательный аппарат [42, 54, 99 J; авиационные источ ­
ники электрической энергии [80 ] и другие и приводятся их уравне­
ния.
Более детальное описание различн ых объектов имеется в лите­
ратуре по автоматизации отдельных отраслей промышленности
и видов техники, например в [20, 60, 68, 125 ].


Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ
Во введении уже указ ывали на то, что изменение состояния
элементов и систем автоматического регулирования с течением
времени (их динамика) описывается дифференциальными уравне­
ниями. Ниже будут рассмотрены лишь стационарные элементы и
системы. Уравнение такого элемента или такой системы не изме­
няется с течением времени и каждый динамический процесс зави­
сит лишь от начальных условий и входных величин, но не зависит
от момента времени, в который он начался. Предположение о ста­
ционарности есть идеализация, ибо не учитывается прежде всего
старение элементов при эксплуатации.
Многие элементы САР описываются нелинейными дифферен­
циальными уравнениями. Чем сложнее явления, происходящие
в элементе, тем больше, вообще говоря, вероятность того, что его
уравнение окажется нелинейным. Далеко не всякое нелинейное
дифференциальное уравнение может быть проинтегрировано и
даже отыскание приближенного числового решения требует трудо­
емких расчетов. Поэтому при инженерных расчетах широко при­
меняют линеаризацию, т. е. заме ну нелинейных дифференциаль ­
ных уравнений приближенными линейными, для которых суще ­
ствует общий метод интегрирования (см., в частности, [74 ]).
В практике широко используют представлени е элементов их
передаточными функциями, которые являются специфической
за пи сью линейных дифференциальных уравнений и позволяют
давать математи ческое описание систем в виде наглядных струк­
турных схем. Понятие о передаточных функциях и их определение
основывается на щ1еобразовании· Лапласа.
Временные и частотные характеристики, которые описывают
поведение элементов и систем в переходны х и установившихся
режимах и используются как при анализе, так и при синтезе САР,
не учитывают их физической природы . Они обращают внимание
только на динамические свойства, т. е. рассматривают не реальные
весьма многообразные элеме нты, но их математические модели -
динамические звенья. Передаточные функции элементов можно
определять и по экспериментальным характеристикам.
23


Передаточные функции, структурные схемы, временные и
частотные характеристики и типовые динамические звенья соста­
вляют тот специфический математический аппарат, который ис­
пользуется линейной теорией автоматического регулирования и
управления. В основе всех этих понятий лежит описание динами­
ческих свойств элементов и систем дифференциальными уравне­
ниями. Однако эти понятия, этот математический аппарат поз­
воляют проводить анализ и синтез САР многими методами без
интегрирования дифференциальных уравнещ1й и непосредствен­
ного исследования их решений.
Достаточно гибкий и простой математический аппарат линей­
ной теории автоматического регулирования находит применение
и в других технических дисциплинах.
2.1 . ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Часто встречаются элементы, у которых нелинейна лишь стати­
ческая характеристика, т. е. зависимость выходной величины у
от входной величины и в установившемся режиме. Предположим,
что на некотором участке -им < и < им нелинейная характери­
стика может быть аппроксимирована прямой линией (рис. 2.1)
и при действии элемента его входная величина и изменяется
в указанных пределах . Тогда эта прямая и может быть принята за
статическую характеристику. Следовательно, приближенно
y=ku,
(2.1)
гдеk= tgr:x.
Такую простую линеаризацию - метод осреднения
-
исполь­
зуют в инженерной практике, когда достаточно гладкая харак­
теристика не может быть аппроксимирована аналитической функ­
цией.
Более широко· используют метод малых от-клонений, кото­
рый позволяет линеаризовать как нелинейные статические харак 0
теристики, так и нелинейные дифференциальные уравнения.
24
Выясним суть этого метода, для этого линеаризуем уравнение
ер(у,у,у,и,и,v)=О, (2.2)
гдеи=и(t)иv= v(t)- вход­
ные величины элемента (задан­
ные функции времени); у =
= у (t) - его выходная вели­
чина (исr:'Jмая функция вре­
мени).
Рис. 2. 1 . Лииеаризация статической харак­
теристики методом осреднени11


Для наглядносti1 линеаризуем урав1-iеi-1ие второго порядка,
и число аргументов функции <р принимаем небольшим. Вообще,
этот метод применим к уравнениям произвольного порядка с про­
извольным числом аргументов функции <р.
Если функция <р дифференцируема по всем своим аргументам,
то она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произ­
вольно выбранной точки. При линеаризации уравнений элементов,
входящих в САР, эта точка должна соответствовать установивше­
муся режиму. Предположим, что в этом режиме и = u0 , v = v0
иу=у0естьпостоянныевеличины,аи=у =у =О.Тогда,
после разложения функции <р в ряд, получим
(дер)О .. (дер)О
•
(дер)О •
ер(О,О,у0,О, u0, v0)+ -..
Лу+ -.
Лу + 8 Лу--t-
ду
ду
'
у
(дер)о • --L ( дер)о
(дер)о --L
_
+дit·Ли17fuЛи+_дvЛv~Ф
_
О, (2.3)
гдеЛи___:и- u
0
;
Ли=и,лV =
V
-
v0
,
Лу=у-у°,Лу =у
и Лу = i/- отклонения переменных от установившихся значений;
(~~)0, (~~)0, ••• -
частные производные от функции (jJ при
у
у
.
.
..
и=u0, v=v0, у=у0иа=у=у=О;Ф-суммачленов,
которые содержат произведения отклонений и отклонения второй
и более высоких степеней с коэффициентами в виде смешанных
частных производных и частных производных второго и высших
порядков от функции <р по соответствующим аргументам .
В устойчивых системах автоматического регулирования прин-
ципиально отклонения Ли, Ли, Лv, Лу, Лу, Лу достаточно малы.
Поэтому сумма Ф в уравнении (2.3) содержит лишь члены высшего
порядка малости и ею можно пренебречь. Кроме того, следует
принять во внимание уравнение установившегося режима
ер(О,О,у0,О,и0,v0)=О.
В результате получим искомое линеаризованное уравнение
(дер)о •• (дер)о . (дер\о
(дер)о .
ду Лу+ ду Лу+ ду)Лу+ дii Ли+
'
(д·о
(до
+ диер)Ли+ д;) Лv=О.
(2.4)
Уравнение (2.4) - линейное уравнение с постоянными коэффи ­
циентами, но оно приближенное по сравнению с уравнением (2.2),
так как отброшена сумма Ф, и уравнение (2.4) содержит не пере­
менные и, v и у, а их отклонения от установившегося режима .
Новрядеслучаевu0= v0=у0=О,поэтомуЛи =и,Лv= v,
25


Лу = у и линеаризованное уравнение оказывается уравнением
для переменных и, v и у:
(д(j))о•• (д<р)о. : (д(j))о (д<р)u · 1
-.
-.
и+-.У,ти+~и,
~
\~
у
~
( д(JJ)о (д<р )о
+дии+дvv=O.
(2.5)
Однако возможны случаи, когда установившиеся значения
переменных являются функциями времени. Тогда и коэффициенты
уравнения (2.4) есть функции времени, т. е . линеаризованное
уравнение оказывается нестационарным.
Необходимо также иметь в виду следующее . Отклонения Ли,
Ли и Л v действительно малы тогда, когда переменные и и v есть
выходные величины других элементов замкнутой системы автомати­
ческого регулирования. Если какая-то из входных величин рас­
сматриваемого элемента представляет собой внешнее воздействие
на систему, то должна быть выяснена возможность предположения
о малости отклонений этой переменной и ее производных.
Очевидно, что метод малых отклонений неприменим для линеа­
ризации уравнения (2.2), если функция ер имеет разрывы непрерыв­
ности или неоднозначность по какой-либо из переменных.
2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
В линейном дифференциальном уравнении выходную величину
(искомую функцию времени) и ее производные принят.о записы­
вать в левой части, а входные величины (заданные функции вре­
мени) в правой части. Принято также, что коэффициент при выход­
ной величине элемента должен быть равен единице. Если уравне­
ние не содержит выходной величины, то коэффициент при ее
младшей производной должен быть равен единице.
При записи уравнений обычно используют оператор дифферен -
цирования р = ~ , который условно считают алгебраической
d2
dз
dп
величиной. Приэтом dt2 = р2, dtз = р3, •• . ,
-
=р11ивоз-
dt 11
мож.ны .несколько отличные одна от другой формы записи диф­
ференциальных уравнений. Например, варианты записи линеари­
зованного уравнения (2 .5) таковы:
1) а0р2у+G1PY+у=k1(Ьри+и)+k2v, )
2) (а0р2+а1р+1)у=k1(Ьр+1)и+k2v;
3) Qy=k1R1u+k2v,
(2.6)
26


где
Q=Q(р)=а0р2+а1р+1иR1=R1(р) =Ьр+1
-
линейные дифференциальные операторы.
При инженерных расчетах обычно не возникает необходимости
в •интегрировании дифференциальных уравнений отдельных эле­
ментов, а рассматривают совместно уравнения всех элементов САР,
т. е. систему уравнений.
'
Если к САР приложено задающее воздействие g = g (t) и
возмущение f = f (t), то ее система уравнений в общем случае
будет следующей:
Q11Y1+ Q12Y2 + ···+Q11,Y1< = R11g+R12f; 1
Q21Y1+Q22Y2 + ···+Q21,Y1, = R21g+R22f; 1
:::::::::::::::::: (
(2.7)
Q1,1Y1+Q1,2Y2 + ···+QkkYk = Rнg -f- R1,2f, J
гдеQ;i=Q;i(р);R;1=R;1(р)иR;2=R;2(р)- линейныедиф­
ференциальные операторы с постоянными коэффициентами (неко­
торые из этих операторов могут быть тождественно равными нулю);
У; = У; (t) - выходные величины элементов САР (ее обобщенные
координаты) .
Система уравнений (2. 7) реальной САР не особенная и может
быть приведена [74] к одному уравнению относительно одной из
обобщенных координат. Чаще всего рассматривают уравнение САР
для регулируемой координаты :
!!!)у= Rgg + Rrf,
(2.8)
гдеq)=·а0р12+а1р:•-1+...+а,,, Rg=Ь0рт+b1pm-I+···
+...+ЬтиRr = СоР1+С1р1-1+...+с1- линейныедиф­
ференциальные операторы с постоянными коэффициентами, причем
т<пиl<п.
Для линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами выполняется чрезвычайно важный принцип супер­
позиции . Он заключается в том, что каждая входная величина
(заданная функция времени) создает составляющую выходной
величины (искомой функции времени) независимо как от наличия
'27


и характера изменения других входных величин, так и от началь­
ных условий . Вместе с тем начальные условия вызывают переход­
ный процесс, который не зависит от входных величин. Начальными
условиями уравнения п-го порядка называются значения выходной
величины (искомой функции времени) и ее производных до (п -
-
1)-й включительно в начальный момент времени .
Принцип суперпозиции, следовательно, означает, что решение
у = у (t) уравнения (2.8) при начальных условиях у (О) = у0 ,
у (О) = !!° , . .. , yn-I (О) = in- IJ• равно сумме трех с.оставляю­
щих:
У=Yg+Yt+Уев,
(2.9)
здесь Yg = Yg (t) и Yt = Yt (t) - решения соответственно неодно­
родных уравнений :
!!!)у = g
!!!)у = 1
(g=Rgg); }
0 = Rrf.)
(2.1 О)
при нулевых начальных условиях у (О) = у (О) -
= yn-I (О)=
= О, а Уев = Уев (t) - решение однородного уравнения
!!!)у = О
(2. 11)
при заданных начальных условиях у (О) = у0; у (О) = у0 , . . .,
Yn-I (О) = y<n-I)•.
Последняя составляющая Уев называется свободной соста­
вляющей и определяется значениями корней характеристического
уравнения
(2 .12)
где s - комплексная величина.
Общее . решение однородного уравнения (2.11) представляет
собой сумму частных решений, которые зависят . от корней харак­
теристического уравнения . (2.12):
- каждому
вещественному корню (J.,i соответствует частное реше­
. ние
вида
(2 .13)
(в частном случае (J.,; может быть равно нулю);
каждому вещественному корню (J.,i кратности v соответствует v
частных решений
ea/(Ai + Aj+1t + · ·; + Ai+v-itv- I);
(2.14)
,
каждой паре сопряженных комплексных корней (1.,1 + j~ 1 и
ч,i _:_ j~ 1 соответству'ют два частных решения
ea zt
(А1sin~J+В1cos~1t) = С1еа11sin(~
1
t + ф1) (2.15)
(в частном случае (J.,z мож_ет быть равно нулю);
2.8


каждой паре сопряженных 1<0мплексных корней ат + jBm и
а111 - jB 111 кратности μ соответствует 2μ частных решений
eamt (А1sinB111t+A2tsin Bmt + ···+Aμtμ-I sin Bmt +
+В1COSB111t+B2tCOSB111t+ ··· -/-Bμfft- ICOSB11,t) =
= eani [С1sin(B111t+ф1)+C2tsin(Втt+ф2)+
+ ••• -/-Cμtμ-ISiПфmt -/- фμ)] .
(2.16)
Постоянные интегрирования, которые входят в частные реше ­
ния и обозначены буквами А, В, С и 'Ф опр.еделяются из системы
алгебраических уравнений, составленных на основании начальных
условий.
Пусть, например, корни характе ри стического уравнения есть а 1 , а 2 , а3
кратности 2, а4+ iB4, а4 - iB4, а5+ iB5 кратности 2 и а5 - iB5 кратности 2.
Тогда
•
Уев= A1ea1 t +A2ea,t + ea,t (А3 + Ai) + C4ea,t siп (~i + 'Ф4) +
+ ea,t [С5siп(~5t+1р5)+C6t sin (~5t +'Фв)J.
При инженерных расчетах удобнее всего -линейные дифферен­
циальные уравнения решать операционным . методом, который
будет рассмотрен в гл . 4.
2.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
.
Передаточной функцией элемента называется отношение изо­
бражений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых
начальных условиях. Поэтому для · определения передаточных
функций элемента нужно сначала преобразовать · по Лапласу при
нулевых начальнь,х условиях дифференциальное уравнение этого
элемента (имеется в виду линейное или · линеаризованное уравне-
ние).
.
.
.
Краткие сведения о преобразовании Лапласа даны в прило­
жении 1. Подвергнем т_акому преобразованию при нулевых началь­
ных условиях левую и правую части уравнения (2.6). Выполним
tтрео.бразование последовательно , используя пп . 1 и 2 табл . П-1.1:
fl' {aoi,i+ G1Y +у')= fl' {k1 (Ьи· + и)+ k2v);
Р {~оУ)-+ Р {а1у)-+ Р.{у) = Р Гk1Ьи) + Р {k1u) +
' .+Р{k2~\;
(2.17)
а0Р- {у) + а1Р {у)+ .Р \у) =k1b \Ри) + k1P \и)+ k2P {v);
a0s2Y-+ a1sY +У = kbsU + k1U + k2V;
(a0s2·+-a1s-+ 1)У=k1(bs+1)И+k2V,
гдеУ=У(s),И =И(s)иV=V(s) - изображенияпоЛапласу
функций времени у (t), и (t) и v (t); s - комплексная величина.
29


Полученное уравнение является алгебраическим. В операцион­
ном исчислении его обычно называют операторным.
Сопоставляя уравнение (2.17) с дифференциальным урав нением
(2.6), легко сделать следующий вывод: формально преобразование
по Лапласу при нулевых начальных условиях линейного дифферен­
циального уравнения с постоянными коэффициентами заключается
в замене оператора дифференцирования р комплексной величиной
s и функций времени их изображениями . Этот вывод имеет большое
практическое значение для расчетов .
'
.
Из уравнения (2.17), положив V = О, определяем передаточную
функцию рассматриваемого элемента относительно входного воз~
действия и:
(2.18)
Предположив, что И = О, из уравнения (2.17) определим пере­
даточную функцию элемента относительно входного воздействия v:
W --J::._ -
k2
(2 19)
v-
V-
a0s2+ a1s+1
•
Аналогичным образом определяют передаточные функции
относительно каждого входного воздействия, если у элемента их
несколько.
Из выражений (2.18) и (2.19) очевидна независимость передаточ­
ных функций элемента от того, какими функциями времени явля­
ются его входные воздействия. Передаточные функции зависят
лишь от вида дифференциального уравнения и от значения пара­
метров элемента (коэффициентов дифференциального уравнения).
Однако они полностью характеризуют преобразование входных
воздействий в вынужденное движение элемента.
.
На основании выражений (2.18) и (2.19) можно составить сле­
дующие равенства:
У=WuUприV=О}
иу=wv1,,r при и =о.
(2.20)
И окончательно на основании принципа суперпозиции получим
У=Wp+WvV.
(2.21)
Передаточные функции - это дробно-рациональные функции
комплексной величины s. Они позволяют определить временные (см.
п. 2.4 и гл. 4) и частотные (см. п. 2.5 и гл. 5) характеристики . Кроме
того, передаточные функции используют при составлении струк­
турных схем элементов и систем.
Структурная схема есть условное графическое изображение
элемента или системы, которое дает наглядное представление об их
строении и позволяет составить математическое описание -
совокупность алгебраических уравнений, связывающих изобра­
жения всех переменных.
30


Входная или Выход­
ная Величина ( Воз­
ilейст8ие, си~нал)
С.уммироВание
сигналов
Дuнамичес!(ое
JJCHO
~--r- ~ &
Раз8ет8ление
сигнала .
-г
Изменение
зна1щ сиzнала
~
- 49---
~
Рис. 2.2 . Условные знаки
структурных схем
Рис. 2.3 . Структурная схема
элемента,
описываемого
уравнением (2.21)
На схему наносят динамические звенья, составляющие элемент
или систему. Динамическое звено (элемент или часть его) имеет
лишь одну входную и одну выходную величину и описывается
одной передаточной функцией. Термин «динамическое звено»
принят вследствие того, что передаточная функция отображает
лишь динамические свойства, а не физическую природу какого -то
устройства. Динамическое звено изображают прямоугольником,
в который вписывают передаточную функцию или только ее символ
(обозначение). В последнем случае вид передаточных функций
должен быть дан в пояснениях к схеме.
На схему в виде стрелок наносят также все внешние воздей­
ствия и воздействия динамических звеньев одного на другое.
Около каждой стрелки указывают, какую физическую величину
или обобщенную координату она изображает. Изменения этой
величины и являются сигналом, передаваемой информацией.
Иногда выходная величина динамического звена воздействует
на несколько звеньев, т . е. сигнал разветвляется. Это обозначают
точкой, от которой отходит соответствующее число стрелок.
Суммирование сигналов (суммируются, конечно, только одина­
ковые по своей природе физические величины) обозначают кружком
с крестом. Если один из сигналов вычитается, то у стрелки, изо­
бражающей этот сигнал, ставят знак «-» или зачерняют сектор
кружка, к которому эта стрелка направлена. ! Некоторые принятые
символы суммирования и изменения знака] сигнала, а также все
перечисленные условные знаки приведены на рис. 2 .2.
На рис . 2.3 изображена структурная схема... ранее рассмотрен­
ного элемента, составленная по равенству (2.21) . Очевидно, что,
имея эту схему, легко выполнить обратное - составить равенство
(2.21), определяющее изображение У выходной величины элемента.
По У = Y(s), пользуясь обратным преобразованием Лапласа
(см. приложение 1), можно определить функцию времени у (t).
Если передаточные функции W" и Wv элемента, определяемые
выражениями (2.18) и (2.19), получены экспериментально (см.
п. 2 .8), то равенство (2.21) позволяет составить дифференциальное
уравнение этого элемента. Нужно подставить в равенство значения
W" и Wv, привести его к общему знаменателю и отбросить знаме­
натель, а затем заменить комплексную величину s оператором
31
....


диффер енцировання р и изображения переменных функциями
времени . Выполним эти операции последовательно:
У= W,P +WvV;
У= k1(bs+I) И+
k2
V;
a0s2+ a1s+1
a0s2+ a1s+1
(a0s2+a1s+1)У=k1(bs+1)И+k2V;
(а0р2+а1р+1)у=k1(Ьр+1),и+k2v.
Полученно е дифференци а льное уравнение соответств у ет урав ­
нению (2 .6) элемента .
Структурн ую сх ем у САР составляют на основании ее функ­
циональной с хе мы и дифференциальных уравнений элементов.
Функциональная с хема содержит сведения о назначении элементов
и о то м, какая фи з ическая величина является регулируемой,
какое и з внешних воздействий задающее и какие из них возмуще­
ния . По функциональной схеме также видно взаимодействие эле­
ментов (его можно определить и по уравнениям элементов) .
Дифференциальные уравнения элементов преобразуются в опе­
раторные . После этого можно разделить элементы на динамические
звенья и определить передаточные функции последних .
При составлении стр у ктурной схемы удобно начинать с задаю­
щего воздействия и располагать динамические звенья , составляю­
щие прямую цепь системы, слева направо до регулируемой вели­
чины . Тогда основн а я обратная связь системы и местные обратные
связи б удут направлены справа налево .
Пуст ь САР описы в а ется у равнениями:
Q1Y= R1z- R1tf;Q2z= R2(х- zo);
Q02Zo= Ro2z;х=g -уо;Qoyo= Roy,
где у, g, f и х - рег улиру емая величина, задающее воздействие, возмущение
и рассогласование ; Qi = Qi (р) и Ri = Ri (р) - линейные дифференциальные
операторы .
•
Преобразовав дифференциальны е уравнения по Лапласу при нулевых на­
чальных условия х , пол у чим операторные уравнения :
Q1Y=R1Z-R1fF;Q2Z=R2(Х-Zo);
Qo2Zo= Ro2Z;Х=G-Уо;QoYo= RoY,
гдеQiиRi- полиномыотs.
После определения п е редат очных функций динамиче с ких звеньев уравне­
ния принимают следу ющий вид:
где
32
У=W1Z- \\;\fF;Z=W2(Х-Z0);
20= W02Z;Х=G-У0;У0=lY'oY,
W R1. \VI
R1t.
]=Qi,
VJf=Qi,


Рис. 2. 4. Структурная схема САР
По полученным равенствам строим
структурную схему, которая изобра­
.жена на рис. 2.4 .
Следует заметить, что струк­
турную схему САР можно рас ­
g
-
у
сматривать как один из видов направленного графа .~ Направлен­
ный граф (граф сигнала, диаграмма прохождения_сигнала) .предста­
вляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их
ветвей (дуг) с обозначением направления передачи сигналов и их
пропускной способности. Рассматривая структурную схему как
граф, узлами (вершинами) считают все воздействия - внешние!
внутренние и выходное, т. е. регулируемую величину, ветвями
(дугами) - динамические звенья, а передаточными функциями
определяют их пропускную способность.
Структурная· схема САР позволяет составить ее передаточные
функции, которые характеризуют свойства системы в целом. Этот
вопрос будет рассмотрен в гл. 3.
2.4. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Система дифференциальных уравнений (2. 7), которая может
быть приведена к уравнению (2.8) для регулируемой величины или
к уравнению для рассогласования, является исчерпывающим
математическим описанием стационарной линейной САР . Необхо­
димо только иметь в виду некоторую llеизбежную приближенность
этого описания, которая возникает из-за идеализации процессов
в элементах при составлении их уравнений, а также из-за линеари­
зации уравнений.
Наглядное представление о динамических свойствах САР даст
решение у (t) уравнения (2.8) или решение х (t) уравнения для
рассогласования, так как они покажут изменение этих величин во
времени. Однако получить это решение практически не удается,
ибо функция g (t) известна лишь в системах стабилизации и систе­
мах программного регулирования, а функция f (t) за очень редкими
исключениями неизвестна .
Н~смотря щ1 это, решения дифференциальных уравнений САР
{и отдельных элементов) широко используют как при анализе
свойств систем, так ' и для целей синтеза - выбора структуры и
параметров систем. Речь идет о решениях дифференциальных
уравнений при некоторых стандартных типовых воздействиях .
Такие решения и их графики называют временными характеристи­
ками соответственно элементов и систем. Рассмотрим основные,
наиболее употребительные временные характеристики.
Весьма часто имеет место резкое изменение внешнего воздей­
ствия на САР, например включение или выключение потребителей
3 И. М. Макаров
33


о
t
l>ис. 2.5 . fрафик ~дини"ноl\ ступеJJчатоi\ фуиiщи11
электрической энергии, увеличение или
уменьшение момента сопротивления на
валу регулируемого двигателя и т. п.
Всегда важно оценить поведение САР в та-
ких критических ситуациях, т . е. прежде всего выяснить, на ­
сколько значительным будет отклонение от нормального режима
и насколько быстро и точно оно будет устранено регулятором .
Быстрое изменение воздействия в пределе 'можно считать мгно­
венным . А для того чтобы сравнивать поведение при этом различ­
ных систем и элементов, следует рассматривать строго определен­
ные, нормированные изменения воздействий . Таким типовым
изменением воздействия считают мгновенное его изменение от
нуля до значения, равного единице . Для математической записи
используют единичную ступенчатую функцию времени 1 (t) (кото­
рую относят к классу обобщенных функций):
{Оприt<О;
1(t)= l'при t-;?0.
График функции 1 (t) показан на рис. 2.5 .
(2 .22)
Реакцию элемента или системы на входную величину, являю ­
щуюся единичной ступенчатой функцией времени 1 (t), называют
переходной характеристикой (переходной функцией) h (t) элемента
или системы.
На основании равенств (2.20) изображение по Лапласу- Н =
= Н (s) переходной характеристики h (t) определяется выраже­
нием
(2.23)
где W = W (s) - передаточная функция элемента или системы;
-
1- - изображение по Лапласу единичной ступенчатой функ­
s
ции, (см. п. 1 табл. Пl.2).
Если на элемент или систему действует несколько входных
величин (имеется несколько входов), то определяется переходная
характеристика для каждой из входных величин .
Переходные характеристики бывают неограниченно нарастаю ­
щими, колеблющимися с постоянной амплитудой около нуля или
около какой-нибудь другой постоянной величины, стремящимися
различным образом к некоторому пределу (в частности, к нулю)
и т . д. Переходные характеристики простейших (типовых) динами­
ческих звеньев будут рассмотрены в п . 2.6 . Переходные характе~
ристики систем определяют на основании равенства (2 .23) опера ~
ционным методом и графоаналитически (см . гл . 4), а также экспе­
риментально .
34


g
g
go
gt2
tl
92
gJ
t
а)
о)
Рис . 2. 6. Аnnроксимация кривой g (t) суммой стуr~ен•~атых во3де1iствиli
Если известна переходная характеристика h, а входное воздей ­
ствие ступенчатое и равно al(t), где а = coпst, то выходная
величина равна ah .
•
Используя переходную характеристику, можно приближенно
определить реакцию на входное воздействие, заданное произволь­
ной кривой. Достаточно аппроксимировать площадь, ограниченную
кривой, суммой сдвинутых во времени ступенчатых воздействий и
просуммировать реакции на эти воздействия.
Пусть входное воздействие g определяется кривой (рис . 2.6, а) , площадь
которой аппроксимируется пятью ступенчатыми воздействиями (рис. 2.6, 6).
Тогда выходная величина
У(t)=goh(t)+g1h(t- t1)- g2h(t- t2)- g3h(t- tз)
-
-
g4h (t - t4),
Другими часто встречающимися изменениями внешних воздей­
ствий являются их кратковременные, но существенные по величине
всплески, импульсы . Например, порывы ветра, действующие на
летательный аппарат, уда рная нагрузка на двигатель и т. п.
Импульсное воздействие для нормирования следует считать
единичным импульсом, т. е. импульсом, у которого произведение
длительности на величину равно единице . На рис. 2.7 изображены
графики единичных импульсов
g1t111 = g2t"2 = gзtиз = 1,
где tнi - достаточно мало .
Пределом, к которому стремится единичный импульс, когда его
продолжительность стремится к нулю, есть единичная импульсная
функци~
' \ О при -t_J._O
ro
J
о(t)=1
t-,О'и
о(t)dt=l.
lN при •=
-ro
(2.24)
Единичная импульсная функция относится к классу обобщен­
ных функций и представляет собой производную от единичной
ступенчатой функции
б(t) = dldy) .
(2.25)
зs


Рис. 2.7 . Графики единичных импульсов
Реакцию элемента или системы на еди­
ничную импульсную функцию называют им­
пульсной характеристикой (функцией веса)
w = w (t) . На основании равенств (2.23) и
(2.25) легко заключить, что изображение им­
пульсной характеристики элемента или си­
стемы равно передаточной функции элемен­
та или системы, а импульсная характери­
стика (функция веса) равна производной от
переходной характеристики :
dh
W= dt"
(2.26)
Импульсные характеристики типовых динамически х звеньев
представлены в табл. 2.2.
При оценке динамических свойств элементов и систем, а также
при синтезе систем наиболее широко используют переходную и
импульсную характеристики. В настоящей книге предпочтение
будет отдано переходной характеристике . Иногда оказываются
необходимыми не только переходная и импульсная, но и времен­
ные характеристики, показывающие реакцию элементов и систем
на некоторые другие воздействия (функции времени), например на
воздействия , изменяющиеся с постоянной скоростью или ускоре­
нием .
2.5 . ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Переходные характеристики дают исчерпывающее представле­
ния прежде всего о поведении элементов и систем в переходных
режимах . Информация об установившихся режимах достаточно
наглядна в тех случаях, когда переходная характеристика асимп 0
тотически приближается к некоторому пределу . Если переходная
характеристика представляет собой неограниченно нарастающую
функцию времени, то из этого следует лишь, что процесс выходит
из зоны линейности .
Для оценки установившихся режимов оказалось более удобным
рассматривать поведение элементов и систем при воздействиях,
являющихся периодическими функциями времени. В качестве
таких воздействий были выбраны гармонические воздействия, что
обусловлено несколькими обстоятельствами . Во-первых, боль ­
шинство реально встречающихся воздействий может быть пред­
ставлено в виде суммы гармоник различных частот (разложение
Фурье) . Во - вторых, в установившихся режимах гармонические
сигналы передаются линейными элементами и системами без иска ­
жений. И в-третьих, обычно не возникает затруднений в экспе-
ЗG


риментальном исследовании поведения линейных элементов и
систем при гармонических воздействиях.
Пусть на вход стационарного линейного элемента или системы
воздействует гармонический сигнал
А1sin (wt + Ф1),
2л
где А1, ф1, w = т и Т - его амплитуда, фаза, угловая
частота и период .
Тогда на выходе с течением времени устанавливается гармони ­
ческий сигнал
той же угловой частоты, но с измененной амплитудой и фазой . а
Изменение амплитуды и фазы зависят как от свойств рассматри­
ваемого объекта (от вида его дифференциального уравнения и
значения параметров), так и от угловой частоты w гармонического
сигнала (см . пример в начале гл. 4) .
Отношение
(2 .27)
и разность
ЧJ='Р2 - ЧJ1 = ЧJ((f))
(2.28)
называют соответственно амплитудно-частотной и фазочастотной
характеристиками рассматриваемого элемента или системы .
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики пока ­
зывают, что линейный элемент или система изменяют амплитуду
и фазу гармонического сигнала: амплитуда уменьшается или у вели ­
чивается в А раз и сдвиг по фазе увеличивается или уменьшается
на "ф градусов (или радиан).
Частотные характеристики каждого элемента и каждой системьi
зависят только от свойств этого элемента или этой системы, но не
зависят от амплитуды и фазы входных гармонических сигналов
(предполагается, что процесс не выходит из зоны линейности) . .
Исключив из уравнений (2 .27) и (2 .28) частоту w, получим
зависимость
А=ер(ф),
(2.29)
которую называют амплитудно - фазовой хараюеристикой .
Частотные характеристики всякого элемента или системы свя ­
заны с их передаточными функциями . Подставив в передаточную
функцию W (s) вместо s мнимую величин у jw, получим комплекс­
ную функцию частоты w
W=W(jw),
котор у ю называют частотной передаточной функцией .
37


-j
где
и
Рис. 2. 8 . Амплитудно-фазовая част отная характе ­
ристика
Функция W (jw) при каждом зна ­
чении частоты w является комплек ­
сной величиной , и поэто м у может
быть •представлена в пока з ательном
виде
А(w)= JW(iw)J
. ер (w) = arg W(jw),
(2.30)
(2.31)
(2.32)
т. е . модуль и аргумент частотной передаточной функции опреде ­
ляют соответственно амплитудно-частотную и фазочастотную
характеристики .
Функция W (iw) может быть представлена и в алгебраическом
виде
где
и
W(jw) = И(w)+jV(w),
И (w) = Relv (jw)
V(w)=JmW(jw)
(2.33)
(2.34)
(2.35)
называют соответственно вещественной (действительной) и мнимой
частотными характеристиками . Они не имеют конкретного физи­
ческого смысла, но их используют при расчетах .
Годограф функции W (jw), т. е . геометрическое место концов
векторов W (jw) , при изменении частоты w от нуля до бесконеч­
ности, представляет собой амплитудно-фазовую частотн ую харак­
теристику (АФЧХ) (рис . 2 .8). Эту характеристику строят на ком-
.
плексной плоскости. По оси абсцисс отк л адывают вещественную
часть И (w) и по оси ординат - мнимую часть V (w). Ее можно
строить и в полярных координатах, откладывая векторы длиной
А (w) под у глом \jJ (w) . Углы отсчитывают от положительной полу ­
оси абсцисс против часовой стрелки .
На основании равенств (2.30) и (2 . 33) легко составить соотно ­
шения , свя з ывающие частотные характеристики одн у с дру·гой :
А(w) = УИ2(w)+V2(w);\
V ({J)) .
1μ(w) = arctg и({J)) , ~
(2.36)
И(w) =А(w) cosф(w); j
V(w) = А(w)sinф(w).
38


Полезно заметить, что вещественная частотная характеристика
есть четная функция частоты ffi, мнимая частотная характеристика
-
нечетная функция :
И (-ffi) = И (ffi), V (-ffi) = -V (ffi).
(2.37)
Широко используют логарифмические частотные характери ­
стики: амплитудно-частотную (ЛА ЧХ) и фазочастотную (ЛФЧХ) .
При построении ЛА ЧХ по оси абсцисс откладывают частоту
в логарифмическом масштабе. Это означает, что наносят отметки,
соответствующие lg ffi, но около отметок указывают значения
частоты ffi.
Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты
в 10 раз, называется декадой, а отрезок, соответствующий изме­
нению частоты в 2 раза, -, - - октавой .
.По
оси ординат ЛАЧХ откладывают при равномерном мас­
штабе логарифмич~скую амплитуду
L=20lgАдБ.
Нуль логарифмической амплитуды соответству·ет А = 1.
Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, так как
lg О = -оо, поэтому ось ординат может пересекать ось абсцисс
в любой точке . Эту точку выбирают так, чтобы график охватывал
нужный диапазон частот.
У ЛФЧХ такая же ось абсцисс, а по оси ординат в равномер­
ном масштабе откладывают фазу 'Ф в градусах (или радианах).
ЛФЧХ строят обычно под ЛАЧХ с тем, чтобы изменение фазы
можно было сопоставить с изменением амплитуды. Оси абсцисс
ЛА ЧХ и ЛФЧХ можно совмещать .
Логарифмические частотные характеристики удобны тем , что
небольшим графиком может быть охвачен широкий диапазон ча­
стот. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств
как на малых, так на средних и высоких частотах . Небольшим
графиком охватывается и широкий диапазон изменения ампли­
туды с одинаковой наглядностью изменения больших и малых
амплитуд.
Кроме того, оказывается, что значительные участки ЛА ЧХ
с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями _-,.­
асимптотами. Они имеют отрицательный и положительный на ­
клон, кратный 20 дБ/дек, т . е. О дБ/дек , - 20 дБ /дек, -40 дБ/дек ,
.: ., а также +20 дБ/дек, +40 дБ/дек, ... ,
В ряде случаев оказывается возможным пренебречь кривизной
ЛА ЧХ на отдельных небольших участках частот . Тогда ЛА ЧХ
изображается отрезками прямых (асимптотами) . и называется
асимптотической ЛАЧХ. Для ее построения нужны лишь весьма
простые вычисления .
Наиболее характерный вид имеют ЛА ЧХ при следующих
значениях модуля А частотной передаточной функции :
39


L
L
8)
uJc
г)
.L + 20дБ/дек
L
L
+40i!Б/dек ,
иJс иJ
ж)
Рис. 2.9 . Типовые асимптотические ЛАЧХ
а) А = k. В этом случае L = 20 lg k есть постоянная вели­
чина и ЛА ЧХ представляет собой прямую, параллельную оси
абсцисс (рис. 2.9, а);
k
б)А=00
.
ВэтомслучаеL=20lgk- 20lgw.Приw= 1
имеем L = 20 lg k и на протяжении одной декады (с увеличе­
нием w в 10 раз) L уменьшается на 20 дБ. ЛАЧХ представляет
собой прямую с наклоном -20 дБ/дек, проходящую через точку В
с координатами [1; 20 Ig k] (рис. 2.9, 6);
в)А=kw. В этом случаеL=20Igk+20lgw. Так же
как и в предыдущем случае, при w = 1 имеем L = 20 lg k. Затем,
с увеличением w, увеличивается и L на 20 дБ/дек . ЛА ЧХ есть
прямая с наклоном +20 дБ/дек, проходящая через точку В с ко­
ординатами [!; 20 lg k] (рис. 2.9 в);
г)А=V k
.
ВэтомслучаеL=20Igk- 10lg(1+
1+ы2Т2
+w2T2). При малых частотах w2Т2« 1 имеем L =20lgk.
Это низкочастотная асимптота, параллельная · оси абсцисс . При
большихчастотахw2Т2«1имеемL=20lgk- 20IgwT.Это
высокочастотная асимптота, которая уменьшается на 20 дБ/дек.
Следовательно, асимптотическая ЛА ЧХ образуется двумя асимп-
1
татами, которые сопрягаются при частоте wc = у (рис. 2.9, г),
так как при этой частоте удовлетворяются уравнения обеих
асимптот;
д)А=kV1+ w2-r2.ВэтомслучаеL=20Igk+10lg(1+
+ w2-r 2) . Как и в предыдущем случае, асимптотическая ЛАЧХ
составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при
1
частоте Фе = 17 , но высокочастотная асимптота имеет положи-
тельный наклон (рис . 2 .9, д);
k
.
k
е) А = -::-7"=====~=- =
-========,
V(1 --ы2Т2)2+(2ыsТ)2 V1+w22т2 (252 - 1) +ы4Т4


гдеs<1.ВданномслучаеL= 20lgk- 10lg [1+rо22Т2(2s2-
-
1)+ro4T4]. На малых частотах L=20lgk и на высоких
частотах L = 20 lg k - 40 lg roT . Асимптотическая ЛАЧХ, как
и в двух предыдущих случаях, составляется двумя асимптотами,
1
которые сопрягаются при частоте ro c = т . Низкочастотная
асимптота параллельна оси абсцисс, а высокочастотная имеет
отрицательный наклон и уменьшается на 40 дБ/дек (рис. 2.9, е);
ж) А= k V(1- ш2т2)+(2rо~т)2 = k V1+rо22т2(2~
2
-
1) + rо4т4,
где
~<1. ВэтомслучаеL=20lgk+1Оlg[1+
+ rо22т2 (2~2
-
1) + rо4т4 ].
Асимптотическая ЛА ЧХ опять составляется двумя асимпто-
1
тами, которые сопрягаются при частоте шс = 17 . Низкочастот -
ная асимптота L ~ 20 lg k параллельна оси абсцисс, а высоко ­
частотная L = 20 lg k + 40 lg rот имеет положительный наклон -
увеличивается на 40 дБ /дек (рис . 2.9, ж) .
2.6 . ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Элементы, различные по физической природе, конструкции,
мощности и другим характеристикам, но описываемые линейными
дифференциальными уравнениями одного и того же вида (имеющие
одинаковые передаточные функции), являются одинаковыми дина­
мическими звеньями. У каждого динамического з вена может быть
лишь одна входная и одна выходная величина, поэтому элементы
с несколькими входными или выходными величинами разделяют
на соответствующее число динамических звеньев . Выходная
величина всякого динамического звена не оказывает на него
какого - либо влияния, т . е. динамические звенья имеют свойство
однонаправленности .
Часто удобно разделять динамические звенья на простейшие
составные части, на типовые динамические звенья, передаточные .
функции которых имеют в числителе и знаменателе полиномы
от s не выше второго порядка.
Передаточную функцию динамического звена в общем случае
можно представить как произведение сомножителей следующего
вида:
'
1
1
]
k; sv; Ts+1; Т2s2+21;,Ts+1;
тs+1и т2s2+2~тs+1,
(2 .38)
где k, v, Т, s, т, ~ - постоянные, причем k > О, v может быть
положительным и отрицательны м целым чи­
слом,Т>о,О..;;:s<1,т>о,О ..;;:~<1.
41


Таблица 2.1
Типовые динамические звенья
(k - передаточный ко<>ффициент; Т, ,; - постоя н ные времени;
d
s- коэффициент демпфирования: р = dt - оператор д ифференцирования;
s - комплексная величина преобразо в ания Лапласа)
Тип звена
1
Дифферен ц иальное
Передаточная ф ункция
уравнение
1\7= 1\7 (s)
Идеальное усилитель-
ное
(безынерцион-
у= ku
1\7=k
ное)
Апериодическое (инер-
k
ционное)
(Тр+ !) у= ku
W=Ts+1
t>:
1\7 =
k
.д
T~s2+ T1s+ 1
-
:r:
<l)
~
k
"'
('22
)
<l)
Апериодическое (инер• Т2,и + Т1р+ 1 у= = (T3s+ 1) (T4s --j- 1)'
:,;
:r:
ционное) второго по-
= kи, где
:r:
где
о
рядка
Т1 ;;::: 2Т2
•
1(
:s:
:а'
Тз,4=2 Т1±
:s:
"'
о
+ ут2- 4т2)
r:::
-
1
2
(Т2р2+2sТ,и+ 1) у= 1
k
Колебательное
= kи, где О<s<1 W=Т2s2+25Ts+1
1
W=
k
Консервативное
(Т2р2+ 1)у=/щ
Т2s2+1
Интегрирующее идеаль-
1
ру=ku
1
k
1\7=-
ное
s
Интегрирующее инер-
1
р(Тр+ 1)у=kи
1
W=
k
ционное
s (Ts+ !)
<l)
:s:
k (,s+ 1)
а'
W=
=k1+
52>,
Изодромное
ру=k(,р+ 1)и
s
о..
+_!:_
:s:
гдеk1=!а
о..
t...
s'
<l)
Е-<
:r:
::s::
1\7 =
р2у=k(,;2р2+
=
k (,2s2+ 2,,;s + 1)
=
Изодромное
52
второго
+2,,;р+1)и,
порядка
где О<,< 1
=k+!!:1_+
_ !:_ где
2s
s2,
k2= k,;2; k1= k2,,
42


Продолжение mабл. 2.1
Тип звена
1
Дифференциальное
1
Передаточная функция
уравнение
\\7 = \\7 (s)
Дифференцирующее
1
идеальное
у= kpu
1
W=ks
а.,
ks
= Диффере нцирующ ее
(Tp+l)y = kpu
W=
g
тs+1
!2
инерционное
>,
Форсирующее и деаль -
у=k(тр+ 1)и
l17=k(тs+1)
о.. ·
=
ное
~
;,::
а.,
о..
а.,
,&
у=k(т2р2+ 2~тр+
,&
W=k(т2s2+ 2~тs+1)
=
+ 1)и,где~<1
~ • Форсирующее идеаль-
ное второго порядка
1
у=kp(тр+1)и
W=ks(тs+!)
В соответствии с видом сомножителей (2.38) в табл . 2 . 1 при­
ведены типовые динамические звенья. В ней даны дифференци­
альные уравнения и передаточные функции всех этих звеньев
и показано их деление по основным свойствам на три группы:
позиционные, интегрирующие и дифференцирующие. В табл. 2.2
приведены временные и в табл. 2.3 частотные характеристики
типовых динамических звеньев. Построение логарифмических
частотных характеристик будет рассмотрено в п . 5 .3 .
Позиционные звенья, кроме консервативного, характеризуются
тем, что в каждом из них при подаче на вход постоянной величины
с течением времени устанавливается постоянное значение выход ­
ной величины. Отношение установившихся значений выходной
и входной величин называют передаточным коэффициентом k
звена .
В безынерционном (идеальном) звене при скачкообразном
изменении входной величины мгновенно без какого-либо за пазды­
вания изменяется и выходная величина - переходного про­
цесса нет. В апериодическом звене выходная величина нарастает
монотонно. Продолжительность переходного процесса зависит
от второго параметра звена, называемого постоянной времени Т .
Чем больше постоянная времени, тем медленнее протекает пере­
ходный процесс.
В апериодическом звене второго порядка перех одный процесс
также монотонный, но его продолжительность зависит от двух
постоянных времени Т 1 и Т 2 .
Выходная величина колебательного звена в переходном про с
цессе совершает колебания около того значения, которое должно
установиться. Затухание колебаний зависит от значения третьего
параметра звена, называемого коэффициентом демпфирования s,
43


Временные характеристики типовых динамических звеньев
Таблица 2.2
Тип звена и его пере~
даточнан фун 1<цин
\\1/ = \\1/ (s)
Идеальное усилитель-
ное (безы н ерционное)
w= ll
А п ериодическое (инер-
ционное)
k
\\7= Т5+l
А п е ри одическое (инер-
ционное) второго по­
рядка
k
lV=
-2~'l_____ =
T2s +Т15+1
!г
= -----ссс--~-
(Т35+1)(Т45+1)'
где Т1~ 2Т2;
1
Т3,4=у(Т1 ±
± 11тр-4т~);
Колебательное
W=
k
Т252+21;Т5+1'
гдеО<s< 1
44
Переходн ая
хара 1 <тер и стика
h=h(t)
li=k[l-ТIТХ
3-4
~ (т3е--h- -
-Т;е-*)]
''CZI
о
t
~t
[
1--
/1=k1-лТет><
хsin(лt+0)],
где '
v~2 .
л=Т'
лТ
0= arctg-s- ;
~л
(J
ke- Тг.
1=
.
'
lп~=~
(J2
лТ
h
~
'
б,-
17[
1х
k
/
1
о
t
1
Импульсная хара1<Тер11·
ст и1< а (фун1<ция в еса )
w=w(t)
w= kб(t)
~L-t
w~
о
t
~/
W= л~2 е-Тsin"лt


Тип звена и его пере­
даточная функция
\\1/ = \.\1/ (s)
Консервативное
k
W= Т2s2+1
Интегрирующее идеаль­
ное
Интегрирующее
ционное
инер-
kl
W =-----
s(Ts+l)
Изодроr,rное
W=k(ts+1)='
s
k
=k1+-,
s
гдеk1=!п
Переходн ая
хара1<теристика
li=h(t)
li=k(1- cos+)
'/\~
ОJCT ЛТIJCT't
h =kt
:LL,
a=arctgk
li=k[t-т(1~e-f)]
h! 1/~
о~
а= arctg k
·~
о
t
а= arctg k
Продолжение табл. 2 .2
1
Импульсная характер и­
стика (функция вес·а)
w=w(1)
k.t
W=TSIПТ
w~I<.
;--т
-
о
t
JI.T nT nT
WЬ=
о
t
wkV_Ik
--
0
t
·tr
о
.
t
45


Тип звена и его пере- 1
даточная функция
\\1/ = \\1/ (s)
Изодромное второго по­
ря дка
k(,2s2+2,,s+ 1)
W=
=
52
k1
k
=l1,+-+-0
,
"
S
S"
гдеlгi=ln2; /11= /12,,
Дифференцирующее иде­
альное
\V=!гs
Дифференцирующее
инерционное
46
U'I = ____!!!_
Ts---j- 1
П ереходная
ха ракт е ристик а
li=h(1)
li=/18(t)
hы_
о
t
Продолжение табл. 2.2
1
Импульсная хара~;тер и­
ст и ка (функция веса)
.- ,.
w=w(1)
'W = l1zt, (t)---j- :11 + 2/it
hб.~-
0
t
а = aгctg 2/1
w=kp8(t)
WL_
о
t


.i:,.
... _,
Тип звена и его частотная
передаточная фун iщня
w= w(j(J))
-
Идеальное усилительное
W=k
Апериодическое (инерцион-
ное)
W=
k
1+ jwT
Частотные характеристики типовых динамических звеньев
Амплитудная А = А ((J)), фазовая
Амплитудно-фазовая
'Ф = 'Ф ((J)) , вещественная И = И ((J))
н мнимая V = V ((J)) частотные
частотнан характери-
характеристи,,и
стика
+-
j
+
А=!1; 'ljJ=00; И=k; V=0
Оо
1
И(О)=И(оо) =k
+j
-
W=oo W=O+
~
А=
k
1
'ljJ = - ai-ctgwT;
-)
V1 + w2r2'
U(0) = k;
U=
k _V=
- kwT
k
И (w1) =т;
1+ сu2Т2'
1+ w2Т2
k
V(w1) = -
2;
1
W1=--y
Таблица 2.3
Логарифмические характерн-
стики; асимптотическая
ампл итудно-ч астотн ая
L = L ((J)) и фазочастотная
'Ф - 'Ф ((J))
:1 IL(O) ;
w
:1
w
L(О)=L(оо)=20lgk
Lj
1 20iJБ/iJe"
i
L(O)~
оо
w,
w
1;5~w
90~
'
-~/J.гпад
L(О)=20lgk
1


,,,_
а:,
Тип звена и е го частотная
передаточная функция
iv = w<iuJJ
Апериодическое второго по­
рядка
-
k
W= (1 °Т0)+·Т
-
-
(J)" З
J(J) 1
k
-
(1-w2ТзТ4) + jw (Тз+ Т4)'
где Тз, 4 = +(Т1 ::±::
±Vтr-4т~); т1 ~2 т 2;
Тз ~Т4
Колебательное
W=----k
(1- w2Т2)+ jw2;T '
где О<;< 1
Амплитудная А = А (uJ), фазовая
'Ф = 'Ф (uJ), вещественная И = И (uJ)
и мнимая V = V (uJ) частотные
характеристики
k
А=V
'
1-\-w2 (Тr - 2n)+w"n
wT1
'Ф= -
arctg -1 --2т 2 '
-
(r) ~
k(1- w2T~)
.
И=--- -
--
1+w2 (n- 2тю+uп;'
И____ -kwT1_ _
_
-
1+w2 (Тr - 2Т§)+w4T~
А=
k
V1+w22т 2 (2;2- l )+w4T4 ,
w2;T
:ф= - aгctg l -w2т2'
И=
k (1-w2Т2)
1+ w22T2(2;2- !)+ w4T4 '
V=
-kw2;T
1+ w22T2(2;2- !)+ w4Т4
Амп лит уд ио-фа зов ая
частотная характери­
стика
+j
~
+
<Х
ц)
2
-j
И (О)= k;
V)_/iT2.
(w2 - т;-,
1
OJ2 =
-
T2
Vj
-
+
1
-j
_1. И (О)= k;
W1=Т,
k
V(w1)=~
т
Продолжение табл . 2.3
Лоrарифмичест<ие характери­
стики: асимптотическая
ампл нту дн о-частотная
L = L (uJ) и фазочастотная
'Ф='Ф(uJ)
L
~·
о ....,
1
Ц)Jш,w
0~~1
~2: (;
90 ----
1
780 -------сх. -
-rp, гpail
L(0)=20lgk
'---
-
, ё:;
1 -40 дб/iJек
~
1
о ....,
1
(и
'w
·к·
90 ---
780 ~
· -(JJ, град
L(О)=20lgk


.,.
:s:
3:
3:о,
"
.,
"О
о
"'
.,.
<D
Тип звена и его частотная
передаточная функция
W=w(jro).
Консервативное
-
k
W=
-
l -w2т2
Интегрирующее идеальное
-
k
W=-.-
J(f)
Интегрирующее инерционное
k
W=
-w2T + jw
Амплитудная А = А (ro) , фа зовая
\jJ = \jJ (ro), вещественная И = И (ro)
и мюtм.ая. V = V (ro) частотные
характеристики
k
А =И= l-w2Т2; ЧJ=Оа; V=0
k
V= -~-
А=-· И =0;
(j) ,
(J) '
'Ф =.:..... . 90°
k
А=
(J) V1 +(J)2r2 '
'Ф= -
90° -
arctg(J)T;
-kT
-k
И= 1+ w2т2; V=
w (1 + (!)2т2)
Продолжение табл. 2.3
Логарифмические характери-
Амплитудно-фазов ая
стики; асимптотическая
частотная харак т ери -
амплитудно-частотная
стика
L = L (ro) и фазочастотная
\jJ - \jJ (ro)
~
+j
L+
ol ~! :~О,дб/оек
(,J
J
оь=с(и,,(,J
J
1
780 ---
И(О)=k; W1=y
-ЧJ..оад
L(О)- 20lgk
TJ--
+
L ~20ilб/aelf
о
(.,)
1
(,J;- -- .. . (,J
901
~
<::,
J
-rp, град
Wc -k
L~20iJб/дe~
1t+j
-1/0iJб/aelf
+
о 1',, (.,J
00
1
w, '-wc
1
o~w
:з
90 --1
1
735 --
-J
180-----
-ф,zрад
И (О) =-kT
1
(J)l= Т; Wc=k


CJl
о
Тип звена и его частотная
передаточная функция
W= W(jW)
Изодромное
W= k(1+jwт)
jw
Изодромное второго порядка
W= k[(! - w2-r2) + jw2~-r]
- (1)2
Амплитудная А = А (ro), фазовая
'Ф = 'Ф · (rо), вещественная И= И (ro)
и мнимая V = V (ro) частотные
характеристики
А=}!__V1+ w2,2;
(j)
'Фс=- 90°+arctgшт;
k
И=k1,гдеk1=k,;V= -
-
(j)
k
А= w2 V 1 + w22-r2 (2~2 -J) +w4,;4;
w2~-r
'Ф= arctg 1 _ w2,2 180°;
И=- ilw2 (1 - w2,2);
V=-
k2~- r
(j)
Амплитудно-фазовая
частотная характери­
стика
tr
=+
3
j<::,
Продолжение табл. 2.3
Логарифмические характери­
сти~<и; асимптотичес1<ая
амплитудно~частотн ая
L = L (ro) и фазочастотная
'Ф='Ф(ro)
L -2ОдБ/д/?1(
L(=I
о
w,
w
п~и
45---
_ ___
'
90
-
-
-
-ы. zрпд
И(О)=И(оо)= k1
Wi= _1_L(cv)=20lgk1
-т;
+j
:J?'
-jl
1
W1=
-
И(0)= fг,2
'С
_
L ~40д5/ilек
L(=!
о
...
ц)
o~w
::а~~ -----
• -w, град
L(оо)= 20lgk-r2


,i,.
*
ел
Тип звена и его частотная
передаточная фун1\ция
W=W(iW) .
' Дифференцирующее
ное
W = ·jkw--
идеаль-
Дифференцирующее
инер-
ционное
-
jkw
W= ----
1+jwT
Форсирующее идеальное
W=k(1+jw,)
Ам плитудная А= А ( w), фазовая
1~ = ~ (W), вещественная И= И (w)
и мнимая V = V (w) частотные
характеристики
А=!@; 'Ф=+90°; И=О;
V=kw
А-~
-
V1+w2т2 '
'Ф = 90° --_. arctg wT;
И= kTw2
1 + w2т2'
V=
kw
1 +w2Т2
А=kV1+w2,2;
'Ф= arctgw,; И=k; V=kwт
Амплитудно-фаза в а я
частотная характе­
ристика
+jТ8
t
3
+
·-
w=O
J
~
.
/
+
и)
-J
)т./
Продолжение табл. 2.3
Логарифмические характери­
с тики: асимптотическая
ам плитудно-частотная
L = L (w) и фазочастотная \:
~=~ (W)
о
и)
ер, /Раа
90
OL------
uJ,
1/), граа
l
Wc= k
90~
45 :____
--
_
w1 =_I_
i
-и"
1,
т
-
~w
-
1
,И(w1)=V(w1)= _!!_ Wc= -k
-
L(N) =20!<>-~--J_;
2Т
"' Тf·
3⁄4
-· ·в
+
о
j
И(О)=И(оо) =k
1
D
cp,iaa uJ,
uJ
90~------
45 --zr=
D
uJ,
uJ
1
w1= -
L(О)=20lgk
т


01
1-v
Тип звена и его частотная
переда~о ч н~ функция
111/ = 111/ (jш)
"'
~
tc(
W=k[(l-w2,2)+
<>:
о.
+ jы2,,]
о
i:::
о
r...
о
о.
о
f-
~
(1)
:о;r:
"'
",
"'
(1)
~;,:
(1)
;,:
::1"
Q;,-,
о.
;,:
W=k(-w2,+jw)
u
о.
о
,е
Ам п литудная А= А (W), фазоная
,р = ,р (w) , вещественная И= И (w}
и мнимая V = V (W) частотные
характеристики
А = kV1+ (!)22,:2 (2~2-1) + (1)4,4;
w2~,
.
'Ф= arctg 1_ w2,:2 ,
И=k(1- w2,2);
V = kw2~,
А=kw]/1+ w2, 2;
'Ф=90°+ агctgw,;
И= -w2k,; V =Wk
Продолжение табл. 2 .3
Ам п литудно-фазовая
Логарифмические характери -
стики: асимптотическая
частотная хара1<те•
амплитудно-частотная
ристика
L = L (ш) и фазочастотная
,Р=,Р (ш)
~!
L
+40об/8ек
~LIOJ'
о
uJ=O
::.г-~"- _
_ :,_
90=:Х
1
И(О)=k; Ы1=Т;
о
uJ,
t,J
wk2~
L (О)=20lgk
V (w1) =--
'
'
+j
~ - L +20д~О~/ос~
"
w=O+
DVы,ы
-j
'f l,EepaiJ
1
78_0
-----
.
IJS --
.
Ы1=Т;
90
-
-:- -
-
k
-
о
w
ц)
И(w1)=-т;
,..
V(w1) = k,


который лежит в пределах О < ~ < 1. Чем больше ~ .
тем меньше
отклонения О'1, О'2,
...
и тем быстрее заканчивается переходный
процесс.
Амплитудно-частотная характеристика колебательного звена
имеет пик
А=
k
м 2sv1- s2
(2.39)
при частоте
(2.40)
которую называют резонансной.
Консервативное звено есть вырожденный случай колебатель ­
ного звена (~ = О). Возникшие в нем колебания никогда не зату­
хают. Передаточный коэффициент k указывает отношение ампли­
туды гармонических колебаний выходной величины к постоянной
входной велич~не.
Представление реального элемента в виде консервативного
динамического звена есть, вообще говоря, идеализация, к кото­
рой прибегают при очень малых значениях коэффициента демпфи­
рования. Поэтому консервативное звено условно относят к пози­
ционным.
Интегрирующие звенья характеризуются тем, что при постоян­
ном входном воздействии выходная величина неограниченно
растет . У идеального интегрирующего звена передаточный коэф­
фициент k определяет скорость этого роста. У интегрирующего
инерционного (реального интегрирующего) звена такой режим
пропорционального роста выходной величины устанавливается
не сразу, а тем позднее, чем больше постоянная времени Т.
В изодромных звеньях имеет место некоторый начальный
скачок выходной величины и затем ее неограниченное нарастание .
Передаточный коэффициент k изодромного звена первого порядка
определяет скорость последующего нарастания выходной вели­
чины, а изодромного звена второго порядка - постоянное уско ­
рение, с которым нарастает выходная величина .
Дифференцирующие звенья реагируют лишь на изменения
входной величины. Например, если входная величина идеального
дифференцирующего звена нарастает с постоянной скоростью,
то выходная величина удерживается на постоянном уровне,
пропорциональном этой скорости.
В природе идеальных дифференцирующих звеньев нет - они
всегда имеют некоторую (хотя бы и очень малую) инерционность.
При линейном нарастании входной величины реального диффе­
ренцирующего звена постоянное значение его выходной величины
устанавливается не сразу, а тем позже, чем больше постоянная
времени Т .
Форсирующие звенья сочетают в себе свойства позиционного
и дифференцирующего звеньев.
53


• Н нтегродиффереiщuрующuе звенья иногда относят к типовым·
динамическим звеньям, хотя они могут быть разделены на звенья,
относящиеся к первым трем группам .
Эти звенья в одних диапазонах частот проявляют интегри­
рующие свойства, а в других диапазонах дифференцирующие
свойства, что определяется как видом передаточной функции,
так и соотношением постоянных времени Т и т . Интегродифферен­
цирующими з веньями являются корректирующие устройства
(см. гл. 8), нашедшие весьма широкое применение в системах
автоматического регулирования.
Существуют еще так называемые неминималы-tо-фазовые звенья,
к которым относят прежде всего неустойчивые звенья, у которых
полином знаменателя передаточной функции имеет хотя бы один
корень с положительной вещественной частью.
К неминимально-фазовым относят также звенья, у которых
полином числителя передаточной функции имеет хотя бы один
корень с положительной вещественной частью.
Наименование неминимально-фазовых звеньев объясняется
особенностью их частотных свойств: они создают больший (отри­
цательный или положительный) сдвиг по фазе, чем звенья с та­
rшми же амплитудно-частотными характеристиками .
•
.
k
Например, у апериодического звена передаточная функция W = Ts + 1 ,
k
частотные характеристики А = V
и 1/J = -arctg соТ. У неминимально-
1+ со2Т2
ф
;ф:"W
ll
азового звена с передаточнои ункциеи
= Ts- 1 частотные характери-
k
wT
стикиА=V
и1/J= -arctg- 1 = -180°+ arctg wT. Таким об-
! +w2Т2
-
разом, у рассматриваемых звеньев одна и та же амплитудно-частотная характе­
ристика, но значения фазочастотной характеристики неминимально-фазового
звена больше по абсолютной величине.
У форсирующего звена передаточная функция W = k (,s + !), частотные
характеристики А = kV 1 + w2т2 и 1jJ = arctg wт. Неминима:Льно-фазовое звено
спередаточнойфункцией W=k(тs- 1)имеетА=kV1+w2т2и1/J=•
=_aгctg w~= 180°-
arctg wт. Опять амплитудно-частотные характеристики
этих звеньев одинаковые, а значения фазочастотной Характеристики немини­
мально-фазового звена больше по абсолютной величине.
2.7 . ТИПОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Сложные элементы и САР состоят из некоторого числа соеди­
ненных между собой динамических звеньев. Наиболее простыми
и часто встречающимися (типовыми) соединениями звеньев яв­
ляются (рис. 2.10) последовательное, параллельное и встречно­
параллельное (охват звена обратной связью).
При последовательном соединении выходная величина каждого
из звеньев, кроме последнего, служит входной величиной после­
дующего звена . Эквивалентную передаточную функцию W э по-
54


lj
а)
Рис. 2.1 О. Типовые соединения динамических звеньев:
а - последовательное, б - параллельное и в - встречно-параллельное
следовательного соединения можно определить, используя равен­
ство (2.20). Для соединения, показанного на рис. 2.10, а, имеем
W_~
_
W3Y2 _ W3W2Y1 _ WзW2W1U
_
WWW
э-и
-
и.--
и
-
и
-
321,
· где
У, У 2 , У 1 и И - изображения по -Лапласу переменных у,
У2,У1Ии.
Следовательно, передаточная функция последовательного со­
единения l звеньев равна произведению передаточных функций
этих звеньев:
(2.41)
При параллельном соединении все звенья имеют одну и ту же
входную величину, а их выходные величины суммируются. Ис­
пользуя равенство (2.20), определяем передаточную функцию
параллельного соединения, показанного на рис. 2 . 10, б:
W=~ = ~1+У2+У3=W1И+W2И+WзИ=W+W+W
э
U
U
U
1
2
з,
т. е. передаточная функция параллельного соединения l звеньев
равна сумме передаточных функций этих звеньев:
Wпar=W'i+W2+···+W1•
(2.42)
Третье типовое соединение (рис. 2.10, в), называемое встречно ­
параллельным, приводит к образованию замкнутой системы и
состоит из двух звеньев. Звено с передаточной функцией Wп
является прямой цепью передачи сигналов, а звено с передаточ­
ной функцией W0 осуществляет обратную связь. Обратная связь
это воздействие выходной величины какого-то звена на его вход .
Если это воздействие совпадает по знаку с входной величиной,
то обратная связь положительная. В противном случае обратная
связь отрицательная.
Для соединения, изображенного на рис. 2.10, в, можно соста­
вить следующие равенства (по определению передаточных функ­
ций):
55


ел
с,,
Таблица 2.4
Эквивалентные передаточные функции типовых динамических звеньев с обратными связями
Типовое динами~
ческое звено
Безынерционное
W=k
Апериодическое
k
W=Ts+1
жесткая отрицательная
\\7о = ko
\\7э=kз.гдеkэ =
k
-
1+ kk0
kэ
Wэ= Тэs+1'
k
гдеkэ= 1+kko;
т
Тз= 1+ kko
ПриТ1<
<2Т2V1+ kk0
Обратная связь
жесткая положительная
\\7о = kп
Wз=kз,где
k
kэ= 1-kkп;
допустимо kkп < 1
kз где
Wэ= Тэs+1'
k
kэ= 1-kkп'
т
Тз= 1-kkп '
допустимо kkп < I
ПриТ1<
< 2Т2 V1 -kkп
гибкая отрицательная
1170 = kгs
k
Wз= Тэs+ 1,
гдеТ3=kkг
k
Wэ=Тзs+ 1'
гдеТэ=Т+kkг
1
изодромная отрицательная
kи ('tиs + 1)
\17о= ----s
k3s
Wз= Tэs+I'
1
где kэ =li;:•
1
Тз =Ти+ kkн
k3s
117э= a0s2+ a1s+ 1 '
1•а=
где kэ =~,
0
т
=kkи'
1 +kkи-rи
а1= kkн


с.,,
---1
Апериодическое втб-
1 рого порядка
/
k
✓ ,w =-~----
т~s2+T1s+1'
где Т1 ~2Т2
Wэ=
kэ
T2s2 + 2sэТэs + 1
э
k
гдеkэ= 1+kk0'
Т2.
Тэ = VI +kko'
Т1
6э=2Т2V1+kko '
'
Wэ=
kэ
т;s2+253Т3s+1
k
гдеkэ=1- kkn'
Т2.
Та= Vl -kkn'
Т1
Sэ= 2Т2Vl-kkn
'
при Т1~2Т2VI+kk0 1 при Т1~2Т2VI-kkn
Wэ=
kэ
Т~эs2+Т1эs+1
Т1
где Т1э= J+ kk0
Т2
Т2э= Vl+kko
'
Wэ=
kэ
Т~эs2+Тlэs+ 1 '
Т1
где Т1э= 1-kkг
Т2э
Т2.
VI -kkn'
допустимо kkп < 1
Wэ=
k
29
'
Т2s-+ Т13s+1
где Т13= Т1+kkг


CJ1
C1J
Типовое динами­
ческое звено
Колебательное
W=
k.
-
Т2s2+21;Т+1'
гдеО<1;<1
жесткая отрицательная
Wo=ko
Wэ=
kэ
,
=
T2s2 + 21;зТэs + 1
э
k
.
гдеkэ= 1+kko '
т
Тз= V1 +kko'
1;
Sэ= Vl+kko
Обратная связь
1
жесткая по~жительная 1
Wo- kп
При V1-kkп<s
\\7э =
kэ
-
т;s2+21;ЭТЭs+1 '
k
гдеkэ= 1- kkп
'
т
тэ= ----,,---== '
V1 -kkп
1;
sэ=Т~=-~,
приVl-kkп~1;
Wэ=
kэ
=-2-2- -
'
T29s +T13s+1
21;Т
гдеТ1э= 1_ kkп'
гибкая отрицательная
WO=kгs
Приkkг<2Т(1-1;)
Wэ=
k
-
Т2s2+21;3Ts+1 '
kl,г
rде sэ = 1;+~;
при kkг~ 2Т (1 -1;)
k
Wэ=22
'
T23s +T13s+1
где Т13 = 21;Т + kkг;
Т2э=Т-
Продолжение табл. 2.4
-
kн ('tиs + 1)
1
~изодромная отрицательная
117 о= ___s
___


01
'<D
[1;
:1
:,
т
Т2э =----=
V1 -kkп,
'1
допустимо kkп < 1
1
:1
jl
;
1
1
,
Приkkг<2Т
!
Консервативное
W=
k
Т2s2+1
~~·,; <
:-;)11~~~; t) ,
'
·'.-.:~,; ·.'~~.
ii.11-!!
..,
·,
kэ
Wэ = T2s2+ 1'
э
k
где k.;, = ~kko
т
тэ = V[+kk;;
,,
,
1
W
kэ
э= т;s2+1'
,
k
гдеkэ=l_kkп.
,
т
тэ == -"'"" -= -- -=- --= ---=- --
--
,
Vl-kkп.
допустимо kkп. < 1
Wз=
k
il = Т2s2+2s3Ts+1
kk,
где Ь = ----;;j- ;
при kkг~ 2Т
Wз=
k
T~3s2+T13s+1
гдеТ1э=kkг; Т2э=Т


о,
о
Типовое динами­
ческое звено
Интегрирующее
идеальное
W=~
s
Интегрирующее
инерционное
W=
k
s (Ts+ 1)
жесткая отрицательная
Wo=ko
kэ
Wэ=Тэs+1'
1
гдеkэ=ko'
1
Тэ= kk0
При2Vkk0T> I
Wз=
kэ
-
т;s2+2s3T9s+1'
1
где kэ =7г,;;.
Тэ= -v k:o;
1
Sэ=2 Vkk0T ;
при2Vkk0T~I
Обратная связь
✓кесткая по~жительная 1
Wo- kп
Эквивалентное звено
неустойчивое
То же
гибкая отрицательная
tVO = kгs
Wэ=~s '
k
гдеkэ= 1+kkг
kэ
Wэ= s(Т9s+1)'
k.
гдеkэ= I+kkг'
т
Тэ= I+kkг
Продолжение табл . 2.4
1
изодромная отрицательная
W = k,. (i:,.s+1)
о
s
kэ
Wэ= Тэs+1'
1
где kэ =fi;-,
1 + kkи'tи
Тэ= kkи


ф
....
-
Изодромное
W=
k (-тs+ 1)
s
Изодромное второго
порядка
W=
= k(,2s2+2~тs+1)
s2
'
где О<~< 1
Wэ=
kэ
=
Т5эs2+ Т1эs + 1
1
гдеТ1э= kko ;
Т2э=Vk:o
Wэ=
kэ (,s+ 1)
Тэs+1 '
1
где kэ =-т;;
1
Тз=•+ kk0
Wз=
kэ (,2s2+ 2~,s + 1)
=
a0s2+ a1s+ 1
1
где kэ =-т;;
2+1•
ао =,:
kko '
а1=2~т
'
k3s (,:s+ 1)
Wэ=
kэ(-тs+ !)
Wэ= a0s2+ a1s+ 1 '
s(Т3s+1)'
1
k
где kэ =kи;
То же
гдеkэ= 1+kkг;
1
kk г•
ao='t't и+ kk.,;
Тэ=
1+ kkг
а1= 't'+•и
'
Эквивалентное звено
неустойчивое или ин-
-
-
версное


iф
ю
1
1
;
1
ти·п овое динамi,-
ческое звено
:
'
Диффiр~нцирующее
идеальное
W=kS
'i
1
1
:
Дифференцирующее :
"инерщюнное
ks
W=тs+1
!
'
Форсирующее
идеальное
'
W=k(т:s+1)
жесткая отрицат.ельная
Wo=ko
ks.
Wэ= T3s+ 1'
где ··тэ = kk0
ks
.Wэ= T3s+ l'
'
гдеТэ= Т+kk0
kэ(т:s+ 1)
Wэ=
Тэs+1 '
k
гдеkэ= 1+ kko;
kk 0т:
Тэ=
1+ kk0
1
J
Продолжение табл. 2.4
1
Обр атн hя связь
;
11
il
·1 изодромная отрицательная
ж есткая полож ит ельн ая
гибкая отрицательная
kи (-.:иs + 1)
'
.Wo=kп
W0=kгs
w=
о
s
'
''
1
kэs
1
\V'э= TэS+l'
Wэ=
ks
:
' Эквивалентное
з вено
т;s2+ 1 '
k
неустойчивое
гдеkэ= 1+kk;
где Т3 = J/kkг
и
i
Тэ = kkиТ:и
;
i
1+ kkи
:
1
1
1
:
:
Wэ=
k3s
!
ks
Tэs+l'
Wэ= Tэs+l'
ks
Wэ=
:
k
a0s2+ a1s+ 1 '
где Т3 = T-kkп;
гдеkэ= 1..Lkk ;
где а0 =:= kkг; а1 =Т
(~н
допустимо kkп < Т 1
Тэ== Т+kkити
''
1+ kkи
!
-
!
1
i
k3s (т:s+ 1)
Wэ=
aos2+ a1s+ 1 '
1
k (-rs+ 1)
1
Эквивалентное звено : Wэ=
неус1ойчивое или ин- ,
a0s2+a1s+1'•
rдеk3= -k
-;
и
версное
1
гдеа0=kkгт:;а1=kkг
а0 = тти;
-
1
+
1
ао- ТтТ:и kkи


Разрешив эти уравнений относительно ~ = Wв. п• получим
выражение для передаточной функции встречно-параллельного
соединений:
-
Wв.п=1iW,
±по
(2.43)
где знак «+» в знаменателе соответствует отрицательной обратной
связи и знак «-»
-
положительной.
На практике наиболее употребительны жесткая отрицатель­
ная W0 = k 0 и положительная W O = kп обратная связь, гиб­
кая (дифференциальная) отрицательная, при которой W0 .
= krs, и изодромная отрицательная с передаточной функцией ·
W0•= kи (тоs + l ) , где kи и тн - положительные постоянные.
'
s
..
.
Нередко с щ>мощью обратных связей изменяют в нужном
направлении свойства типовых динамических звеньев . Эквива~
лентные передаточные функции типовых динамических звеньев
с употребительными обратными связями приведены в табл . 2.4 .
Рассмотрим наиболее интересные случаи.
При достаточно малых значениях передаточного коэффици­
ента kп положительной жесткой обратной связи, охватывающей
безынерционное звено, передаточный коэффициент соединения
оказывается больше исходного. Однако разность 1 - kkп не мо­
жет быть слишком малой .
Для практических целей безынерционное звено охватывают
гибкой или изодромной отрицательной обратной связью. Полу­
чается апериодическое звено или дифференцирующее звено с ма­
лой инерционностью.
Отрицательная жесткая обратная связь уменьшает постоян­
ную времени и передаточный коэффициент апериодического з вена.
При kk0 )'> 1 соединение по своим свойствам приближается к иде­
альному безынерционному звену, но с малым передаточным
коэффициентом.
При изодромной обратной свя з и образуется интегродиффе ­
ренцирующее звено .
..
Жес:.:гкая отряцателI?н.ая обратная связь умfJiьшает постоян ­
ные времени апериодического з вена второго порядка . Однако ,
если k0 достаточно велико и 2Т2Vkk0 + I » Т1, то эквивалент­
ное звено становится колебательным.
Жесткая польжителыiая обратная связь при V I - kkп ::;;. s,
где kkп < I, а также отрицательная гибкая обратная связь при
kkг :;;,.. 2Т (1 - Ю преобразуют колебательное звено в апериоди -
ческое второго порядка.
•
Отрицательная гибкая обратная связь превращает консерва­
тивное звено в колебательное или апериодическое второго порядка
в зависимости от соотношения параметров. звена и обратной связи .
63


Таблица 2.5
Эквивалентные передаточные функции параллельного соединения
типовых динамических звеньев
Передаточные функции параллельно
Эквивалентная передаточная
соединяемых звеньев
ФУl!КЦИЯ соединения
1
Wэ=
flэ ('t'э,S + J)
Ts+1 '
k
где kэ=k+k0 ;
koT .
W=Ts+1
't'э= k+k0'
при k0 =-k
k3s
Wэ=-тs+l' где kэ = kT
W _kэ(b 0s+. ь1s+l) k -k+k.
э- 22
, где
э-
о,
T2s +r1s+ 1
ko
2
k
Ьо=k+koТ2;Ь1=k+\Т1;
.
о
k
W=
T~s2+ T1s+ 1
приk0= -k
kэ ('t'эs+ 1) s
Wз=-
T~s2+ T1s+ 1'
т2
где kэ = kT1;
2
't'э=--
Т1
W0=,k0
Wэ = kэ (bos2+b1s+ 1)
T2s2+ 2sTs+ 1 '
гдеkэ=k+k0;
Ь- ko т2,
ko6
k
о-k+ko
'
Ь1=k+ko2Т;
w =т2s2+2sтs+ 1
рриk~ =
-k
W__ kэ('t'эs+1)s
э- Т2s2+ 2sTs+ 1'
где k3 = 2sTk;
т
't'э=~
w = __!:__
Wэ = k ('t'эs+ 1)
ko
'
где i-3 =--
s
s
s
Wз=
k (b0s2 + b1s+ 1)
s (7\s+l) '
W=
k
s(Ts+ 1)
ko
Ь_ko
гдеЬ0= -k-Т; 1-т
64


П ередаточны е фу1н<ции параллельно
соед ин яемых звеньев
П7= k(т.s+!)
s
W=
k (т.2s2+ 2~т.s + 1)
s2
w =kS
W=k(т.s+ 1)
iv = _!!_
s
\V=k(т.s+ I)
s
iv=
!гs
[s+ 1
k
W=---
Ts+ 1
5 И. М. Макаров
Wa =ko
Продолжение табл. 2 .5
Эl{внвалентнан передаточная
фун:1{ ц ия соед и1-1ен ня
\f/э= !г(т.эs+1)
/г0
s
, где Т.э =т.+-k-
k
Wэ=k0 (т.3s+!), гдеТ.э =ko
Wlэ=!г(т.эs+!) гдет. -Т I ko
s(Т0S+1)'
э-
0--Т
k
гдеЬ0=Т0-1
-;
lэ
65


Передаточны е фу нкции параллельно
соединяемых зве нь ев
W=
k
s (Ts ---j- 1)
Wo=
-
ko ('toS + !)
s
Продолжение табл. 2.5
Э 1<вивалентная передаточная
функция соединения
П.7 _ kэ('tэS+1)
э- s(Ts---j- 1)'
k0T
'tэ = li ---j- k0
W _ k0(Ьпs2+b1s+1)
э-
s(Ts---j- 1)
'
k
гдеЬ0= -k-f;Ь1=Т
о
W _ k0 (bos2---j-b1s---j- 1)
э-
s (Ts ---j- 1)
'
k
гдеЬ0= -i:0T+7i;;: Ь1= 't0+Т
Отрицательная гибкая обратная связь уменьшает передаточ­
ный коэффициент, т . е. увеличивает постоянную времени инте­
грирования интегрирующего идеального звена и уменьшает
постоянную времени (инерционность) интегрирующего инерци­
онного звена.
Жесткая положительная обратная связь при kkп < Т и отри­
.цательная изодромная уменьшают постоянную времени (инерци­
онность) дифференцирующего инерционного звена .
В ряде случаев (см. табл. 2.4) эквивалентные звенья оказы­
ваются интегродифференцирующими . Обратные связи более слож­
ные, чем рассмотренные, позволяют еще радикальнее изменять
свойства типовых динамических звеньев . Однако такие связи
принято рассматривать как параллельные корректирующие уст­
ройства (см. п . 8 .3) и их выбирают исходя из требований к САР
в целом (см. гл. 9).
Для получения новых свойств пользуются и попарным парал­
лельным соединением типовых звеньев. Эквивалентные передаточ­
ные функции некоторых из таких соединений приведены
в табл. 2.5 .
66


Для практики наибольший интерес представляет то, что при
параллельном соединении безынерционного звена с позицион­
ными и интегрирующими появляются дифференцирующие свой­
ства. Такой же эффект наблюдается при параллельном соедине­
нии апериодического звена с интегрирующим и даже с апериоди­
ческим, имеющим другую постоянную времени . То же самое
получается при соединении интегрирующего идеального звена
с интегрирующим инерционным и при соединении двух интегри­
рующих инерционных звеньев с различными постоянными вре ­
мени.
2.8 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ЭЛЕМЕНТОВ
ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Известно, что математическое описание (составление уравне­
ний движения) объектов регулирования (прежде всего технологи-
•ческих), исполнительных элементов и усилителей иногда пред­
ставляет собой -сложную задачу или возможно лишь с существен­
ными допущениями, т. е. весьма приближенно. В этих случаях
оказывается целесообразным получать математическое описание
элемента в виде его передаточной функции на основании экспери­
ментальных данных. Чаще всего экспериментально определяют
переходную характеристику элемента (иногда ее называют кри­
вой разгона) и по ней составляют передаточную функцию. Есте­
ственно, что неизбежны погрешности как при снятии эксперимен­
тальной характеристики, так и при ее аппроксимации переда­
точной функцией. Однако обычно погрешности оказываются
допустимыми для инженерных расчетов.
Процесс экспериментального исследования промышленного
объекта состоит из трех этапов: планирования и подготовки экс­
перимента, проведения эксперимента [ 1, 9] и обработки резуль­
татов эксперимента, которая заключается в сглаживании полу­
ченной переходной характеристики и аппроксимации ее переда­
точной функцией.
Сглаживание экспериментально полученной характеристики
оказывается необходимым для устранения разброса результатов
отдельных измерений, т . е. приближения их к истинным значе­
ниям. Этот разброс создается различными причинами и прежде
всего помехами, действующими на процесс.
,
Для сглаживания используют ряд методов (1, 9 ]. Простей­
шими и наиболее , широко применяемыми являются следующие.
Метод скользящего среднего. Принцип метода заключается
в выравнивании экспериментальных данных путем вычисления
средних арифметических значений по небольшому числу l изме­
рений.
Число l удобно выбирать четным . При общем числе измерений
п ~ (20---;-30) первоначально следует выбрать l = 2 . Если же
сглаживание оказывается недостаточным, то значение l нужно
5*
67


постепенно увеличивать. При п ~ (100+ 150) можно выбрать пер­
п
воначалыrо l = -(0- и з атем при необходимости постепенно его
увеличивать .
После выбора значения l находят среднее от первых (l + 1)
:шачений h (i):
(2 .44)
соответствующее измерению
2.
Затем определяют среднее
(l
)
1 1~1
!11 2 +1 =т:+Тv~/(v),
(2.45)
1
соответствующее измерению = 2 + 1 и т. д.
Общий вид формулы для усреднения следующий:
f(11.)·
-
1 \J;i!(·)
[1,2ТJ-т+ТV~j1V.
(2.46)
Основное внимание при использовании данного метода должно
быть обращено на выбор числа l. При слишком малых значениях l
выравнивание экспериментальных данных может оказаться недо­
статочным. Однако завышение значения l может привест и к иска­
жению характеристики. Следует также иметь в виду, что при сгла­
живании теряются точки с номерами
i = 0, 1, 2, .. .,f-1, п-++1, п-++2, ... , п.
Однако этот последний недостаток можно устранить, если
сделать несколько • замеров до начала переходного процесса
(i=-т,-т+1, ...,
-1) и после его окончания.
Метод четвертых разностей. Сущность метода в том, что по
каждым пяти соседним экспериментальным значениям h (i) строят
параболу. Значения ее точек находят методом наименьших ква­
дратов. Затем делают такую поправку к экспериментальной
кривой, чтобы средняя из пяти рассматриваемых точек совпадала
с параболой.
Первые две точки сглаженной характеристики определяют
по формулам
~
1
1
/1(!)= /1(1)-5 В(2/3)+12А(3);
h(2) = h(2)+f В(2/3)-+ А (3).
(2.4 7)
68


Последующие точки до (п - 2)-й включительно опредеюнот
по общей формуле
7i(i)=li(i)- /2А(i),i 0= 3,4,..., п-2
(2.48)
и две последни е точю1 по формулам
~
2
1
/i(n- 1)=li(n- 1)-5 В(п-2)/(п-1)--гА(п-2);
~
1
1
h(п)=h(п)+5 В(п- 2)/(п
__:_ 1)+12А(п- 2). (2.49)
В этих формулах
А(i)= /i(i-2)-4h(i-1)+61i(i)-4h(i+1)-f--/i(i+2)=
= [/i(i-2) + бh(i) + /i(i + 2)]-4 [h(i-1) -f - h(i + 1)];
Bi/(i -f-- 1) = /i(i-l)- 3h(i)-f--3h(i--/- l)- h(i+2) = [h (i-1) +
•-f
-
3h(i -f
-
l)]-[3h(i)-f - -h(i--/- ,2)] .
(2.50)
Возможно двукратное применение метода. Метод дает особенно
хорошие результаты, если сглаживаемая переходная характери ­
стю<'а соответствует решению дифференциального уравнения по­
рядка выше первого .
Аппроксимация переходной характеристики, соответствующей
некоторой передаточной функции, является, вообще говоря,
задачей, которая может иметь ряд решений. Кроме того, различ­
ными могут быть и требования к точности аппроксимации . Все
это обусловило существование большого числа методов определе ­
ния передаточной функции W (s) по экспериментально получен­
ной (и сглаженной) переходной характеристике h (t) . Существует
около 50 методов [8 ], которые различаются по структуре аппро­
ксимирующей передаточной функции и по используемому мате­
матическому аппарату .
Для оценки аппроксимации можно использовать величину
~-
lh(t;)-ha(t;)l1000 ·- 1
2
l
u- max
h (оо)
1/о,i-
,
,...,
,
(2 .51)
где h (t;) и ha (t;) - значения переходной характеристики соот ­
ветственно экспериментальной и вычисленной по аппроксими­
рующей передаточной функции; f; - моменты времени .
Дос·таточно выбрать l-,;:;: (3+6) . Если б < (3+5) %, то точ­
ность аппроксимации считают удовлетворяющей требованиям
инженерных расчетов .
При использовании ЭЦВМ наивысшую точность обеспечивает
метод площадей [ 102]. Ряд других методов описан в работах
[1, 9].
При ручном счете чаще всего предполагают , что передаточная
функция имеет в знаменателе ТТОЛИЕОМ первой или второй степени,
69


а в числителе полином нулевой или первой сте пени . Ниже изла ­
гаются два метода расчета.
В обоих методах прежде всего по экспериментальной переход­
ной характеристике необходимо определить передаточный коэф­
фициент исследуемого устойчивого элемента
k= У(оо) ,
(2.52)
х
где х = const - входная величина; у (оо)
-
установившееся зна-
чение выходной величины.
'
Затем по виду характеристики следует выяснить, имеется ли
в исследуемом элементе чистое (транспортное) за паздывание
и определить время 6 запаздывания.
Некоторые методы, кроме того, требуют нормирования экс­
периментальной переходной характеристики . Для этого значе ния
всех ее ординат нужно разделить на установившееся значение
выходной величины .
Метод площадей. При аппроксимации нормированной пере­
ходной характери стики передаточной функцией
(2.53)
расчет после определения k и 6 заклю чается в следующем.
1. По начальному участку характеристики определяют, чему
равна ее производная при t = О . Если производн ая равна нулю,
то в передаточной функции (2.53) Ь = О.
2. Ось времени характеристики делят на п равных малых
промежутков времени Лt, в пределах каждого из которых харак­
теристику h (t) можно считать прямой .
3. Определяют и заносят в таблицу начальное значение h (О)
характеристики, ее значения h (i) в конце каждого i-го проме­
жутка времени Лt и разности 1 - h (i) .
4 . Вычисляют вспомогательную величину
5. Подсчитывают и з аносят в таблицу значения
л(i) = i~tl ; 1-- Чi) и [l -h(i)][l-л(i) J .
6. Вычисляют вспомогательную величину
(2.54)
F2= Fr Лt(t0[1-/i(i)J [1- л(i)]
-
0,5 [[1 - /i (О)]}. (2.55)
7. Если Ь = О, то определяют коэффициенты передаточной
функции
70


h{t)
1,0
0,8
0,6
0,4
то
15
20
25
зо
5
10
75
20
25
зо
Рис. 2.11 . Переходные характеристики:
З5 t,c
35 t,c
1 - экспериме н тальная; 2, 3 - вычислен ны е по аппроксимнрую м
щим формулам
8. Если Ь =f= О, то подсчитывают и заносят в таблицу значения
1- 2л(i)+л2/) и [1- h(i)J [1- 2л(i)+л2ii) ]. (2.56)
При этом могут быть использованы данные табл. 2.6 .
9. Вычисляют вспомогательную величину
(п
-
1
Fз = nлt{~[l-h(i)J[1-2л(i) + л2ii) ]-0,5[1-h(O)] >.
~ i=O
•
J
(2.57)
10 . Определяют коэффициенты передаточной функции и з си­
стемы уравнений
ь-Fэ•а -F IЬ·а F_j_bF
-
р2,
1-
1т,о=
21
1•
(2.58)
11 . По аппроксимирующей передаточной функции определяют
переходную характеристику ha (t) и на основании формулы (2.51)
оценивают точность аппроксимации. В случае недостаточной
точностУ,I расчет повторяют при меньших значениях Лt.
Пример. Сглаже нна 1я и нормированная переходная характеристика, п ол у ­
ченная при исследовании промышленного объекта , изображ е на на рис . 2. 11 .
Требуется аппроксимировать эту характеристику передаточной функцией вида
(2.53), если х = SA иу(оо)= 120°С.
По формуле (2.52) о пр еделяем передаточный коэффициент
120
0
k=5
= 24 С/А.
Из характер и стикн следует, 11то объект нмеет чн стое зап аздыванн е и врем п
запаздывания 0 = 1 с.
71


Табл~ща 2.6
Значения подынтегральных функций
л,
,.,,
л,
• ,.,,
л,
,.,,
,.,,
1-2 л +-2-
1 -2л +-2
1-2л +-2- л,
1-2л+ 2
0,02
0,960 0,68
-
0,129 1,34
-
0,7~2 2,00
-
1,000
0,04
0,921
0,70
-
0,155 1,36
-
0,795 2,02 ·-
1,000
0,06
0,882 0,72
-
0,1 81 1,38
-
0,808 2,04
-
0,999
0,08
0,843 0 ,74
-
0,206 1,40
-
0,820 2,0 6
-
0, 998
о, 10
0,805 0,76
- 0,231
1,42
-
0,832 2,08
-
0,997
0,12
0,767 0,78
-
0,256 1,44
-0,843 2,10
-
0,995
0, 14
0,730
0,80
-
0 ,280 1,46
-
0,854 2,12
-
0,993
0, 16
0,693
0,82
-
0,304 1,48
-
0,865 2,14
-
0,990
0,18
0,656 0,84
-
0,327 1,50 - 0,875 2, 16
-
0,987
0,20
0,620
0,86
-
0 ,350 1,52
- 0,885 2,18
- 0,984
0,22
0,584
0,88
- 0,373 1,54
- 0,894 2,20
-
0,980
0,24
0,549 0,90
- 0,395 1,56 - 0,903 2,22
-
0,976
0,26
0,514
0,92
-
0,417 1,58 - 0,912 2,24
-
0,971
0,28
0,479
0,94
-0,438 1,60
-0,920 2,26
-
0,966
0,30
0,445 0,96
-
0,459 1,62
-
0,928 2,28
-
0,961
0,32
0,411
0,98
-0,480 1,64
- 0,935 2,30
-
0,955
0,34
0,378
1,00
-0,500 1,66
-
0 ,942 2,32
-
0,949
0,36
0,345
1,02
-
0,520 1,68
-
0,949 2,34
- 0,942
0,38
0,312
1,04
- 0,539 1,70
-
0,955 2,36
-
0,935
0 ,40
0,280
1,06
-0,558 1,72
-0,961 2 ,38
-
0,928
0,42
0,248
1·,08
-0,577 1,74
- 0,966
· 2,40
~ 0,920
0,44
0,217
1, 10
-0,595 1,76
-0,971 2,42
-
0,912
0,46
0,186
1,12
-0,6 13 1,78
- 0,976 2,44
- 0,903
0,48
0,152
1, 14
-
0,630 1,80
- 0,980 2,46
-
0,894
0,50
0,125
1,16
-0,647 1,82
-
0,984 2,48
_:: 0,885
0,52
0,095
1, 18
-
0,664 1,84
-
0,987 2,50 --0,875
0,54
0,066
1,20
-
0,680 1,86
-
0,990 2,52
-
0,865
0,56
0,037
1,22
-0,696 1,88
-
0,993 2,54
-
0,854
0,58
0,008
1,24
-
0,711
1,90
-
0,995 2,56 - 0,843
0,60
- 0,020
1,26
- 0,726 1,92
-
0,997 2,58 - 0,832
0,62
-
0,048
1,28
-
0,741
1,94
-
0,998 2,60
-
0,820
0,64
-
0,075
1,30
-0,755 1,96
-
0,999
0,66
- 0,102
1,32
- 0,769 1,98
- 1,000
72


Таблица 2.7
Аппроксимация переходной характеристики методом площадей
7
1
,, (i)
1
л (i)
1
[1-
,, UJ J[1-л(iJJ 1[1--1,(i)J[1-2лUJ+"\(iJ]
о
о
о
1,000
1,000
2
0,030
0,131
0,843
0,690
4
0,080
0,263
0,678
0,489
6
0,145
0,394
0,518
0,239
8
0,215
0,526
0,372
0,040
10
0,300
0,657
0,240
- 0,062
12
0,385
0,788
U,130
- 0,172
14
0,480
0,920
0,042
- 0,205
16
0,565
1,051
- 0,022
- 0,239
18
0, 640 • 1,183
-
0,066
-
0,245
20
O?lO
1,314 .
-
0,09.l .
- 0,219
22
0,780
1,445
- 0,098
- 0,187
24
0,840
1,577
-
0,092
- 0,147
26
0,880
1,708
'
- 0,085
- 0,115
28
0,920
1,840
,--- 0,067
- 0,079
30
0,955
1,971
-
0,044
-0,045
32
0,980
2,102
-
0,022
- 0,020
34
0,990
2,234
-0,0 12
- 0,010
36
1,000
2,365
о
о
Начинаем отсчет- времени t от момента t = I с и ведем расчет по ранее из­
ложенной методике. Выберем Л t = 2 с и определим /1 (i) и 1 - /1 (i). Результаты
занесем в табл. 2.7 .
По формуле (2.54) вспомогательная величина
F1= 2(8,105 - 0,5) = 15,21.
Теперь можно подсчитать значения л (i), 1 - л (i) и [1 - /1 (i)] [1 - л (i) ].
Результаты заносим .в табл. 2.7 .
По формуле- .(2.55) •
• F2 = 15 ,212-2 (3,224 - 0,5) = 82,55.
Если принять, ч'го nри 7= О производная . пер еходной характеристик11 равна
нулю, то Ь = О и по формулам (2.58)
а1=15,21иао=82,55.
Следовательно, значащая часть нормированной характеристики аппрокси­
мируется передаточной функцией
\\1/ = 82,55s2 + \5,21s + 1
где Т= .9,08 и 6= 0,838.
Ts2+26Ts+1'
73


t,с
о
5
10
15
20
25
30
35
Таблица 2.8
Оценка точности аппроксимации переходной характеристики
ПриЬ=О
ПриЬо/=О
,, (1)
''а (1)
1 /1 (1)-lia (/)
''а (1)
1
~
~
h (i)-/1a (1)
о
0,012
-
0,002
-
0,115
0,098
0,0 17
' 0,085
0,030
0,300
0,312
-
0,324
-
0,520
0,526
-
0,006
0,560
- 0,040
0,7 10
0,702
-
0,008
0,740
- 0,030
0,860
0,828
0 ,032
0,859
0,001
0,955
0,9 11
0,044
0 ,933
0,022
0,998
0,960
0,03 8
0,973
0,025
Пользуясь формулами No 54 табл. 4.1, составляем аналитическое выраже­
ние переходной характеристики
ha (t) = 1 - 1,90е_-0•0921 siп (0,0581 + 0,.562).
Значения ha (1), вычисленные по этому выражению, занесены в табл. 2.8,
а характер и стика ha (t) изображена на рис. 2. 11 (кривая 2). Точность аппрок ­
симации о = 4,4%.
Предположим, что производная переходной характеристики п ри 1 = О
не равна нулю, и продолжим расчет, занося его результаты в табл . 2. 7 . Затем,
пользуясь формулами (2.57) и (2.58), определим
Г3= 15,213 -2 (0,713-0,5) = 98,18; iJ = ~~~5~8 =
-
1, 19;
а1 = 15,21 - i ,19= 14,02; а0= 82,55 - 1,19-15,21 = 64,45.
hzo
"-
'
O,JS 0,90
~
' 1"-
,,
...
/
0,89
о,зо
'
_..,. ,...-
1-·ис. 2.12 . Номограмма и11 -
1 е рполяционного метода аn­
nроl{симации переходных ха-
рактеристик
74
0,88
0,25
0,87
.-
0,20 0,86 /
/
/
0,15 0,8S О
"-....!}20
...,.. V
1//
1'/ ~
hв/'
....
/
/1" -
O,S25
,,
,
...
1/ l"h
1'-
~/
4
...
/"
'
~
0,S00
'
0,47S
0,2
0,4
0,б
0,8
z2


Значащая часть нормированной переходной характеристики, следовательно,
аппроксимируется неминимально-фазовой передаточной функцией
- 1,19s+ 1
-rs+ 1
W=64,45s2+ 14,0-2s+ 1=Ts2+ 2sTs+ 1'
где't= -1,19с;Т=8,03сиs=0,873.
Следовательно,
!1а (1) = 1 - 2,31е-0• 1091 sin (0,0бlt + 0,447) .
Значения ha (t), вычисленные по этому выражению, занесены в табл. 2.8,
а характеристика ha (1) изображена на рис. 2.11 (кривая 3). Точность аппрок­
симации 15""" 4,0%.
Следует выбрать вторую аппроксимирующую передаточную функцию, так
как она дает несколько большую точность и меньшие погрешности на конечном
участке характеристики.
Метод площадей позволяет аппроксимировать и переходную
характеристику нейтрального элемента. Порядок расчета для
этого случая изложен в работе [1].
Интерполяционный метод [8]. Метод позволяет опр еделять
по нормированной переходной характеристике устойчивого эле­
мента постоянные времени Т 1 и Т 2 передаточной функции
k-0s
W-
е
(2.59)
-
(T1s+ 1)(T2s+ 1)'
Сначала по рассматриваемой характеристике находят время,
при котором ордината h (t7 ) = О, 7. Затем вычисляют время
t4 = 1 / 3 t7 , находят значение переходной характеристики h (t4 )
= h4 и по номограмме (рис. 2.12) определяют величины z2 , h8
и h 20 , соответствующие найденному значению h4 .
Теперь можно определить искомые постоянные времени по
формулам
(2.60)
Величины h8 и h 20 используют для проверки точности аппро­
ксимации путем их сравнения с ординатами переходной характе­
ристики соответственно при t8 = 2t4 и t 20 = 5t4 . Допустимая
погрешность не должна превышать 3-6 %.
Может оказаться, что h4 меньше того минимального значения,
которое имеется на номограмме рис. 2.12 . Это означает, что
рассматриваемая переходная характеристика не может быть
аппроксимирована ' передаточной функцией (2.59). Тогда следует
обратиться, например, к методу площадей.
7)


Глава 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ СИСТЕМ
Системы автоматического регулирования обычно описывают
передаточными функциями и последние чаще всего составляют по
структурным схемам, основные сведения о которых были изло -­
жены в п . 2.2. Структурные схемы позволяют, кроме того, полу­
чать наглядное представление о системах. Таким образом, струк­
турные схемы оказываются весьма полезными при исследовании
свойств САР и их проектировании .
В настоящей главе прежде всего показано, какими передаточ­
ными функциями характеризуется каждая САР и как их исполь­
зуют при расчетах . Основное внимание обращено на методы
определения передаточных функций систем.
По несложной структурной схеме обычно удается составить
операторное уравнение САР и затем определить передаточные
функции . Такой простейший метод наиболее эффективен.
Общим методом является преобразование структурной схемы
в эквивалентную одноконтурную, составление передаточных функ­
ций которой не вь1зывает затруднений. Необходимые для этого
правила детализированы и сведены в таблицу . Недостаток метода .
структурных преобразований заключается в необходимости вычер­
чивать схему почти после каждого этапа ее упрощения. Это делает
данный метод громоздким, особенно при сложных структурных
схемах .
Поэтому наиболее сложные структурные схемы целесообразно
рассматривать как своеобразные графы и определять передаточ­
ные функции с помощью формулы Мезона . Применение фор­
мулы Мезона для указанной цели также рассмотрено в данной
главе .
3. 1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ САР
Для инженерных расчетов обычно необходимы передаточная
функция разомкнутой САР, а также передаточные функции зам­
кнутой САР относительно задающего воздействия, относительно
76


Рис. 3 . 1 . Структурнаs~ схема од1-1око н турной
САР
возму щения и для ошибки сле­
жения. Рассмотрим сущность
этих передаточных функций
9
у
--
и о п ределим их значения для одноконтурной САР, структурная
схема которой изображена на рис. 3.1. Элементы этой схемы
имеют следующие передаточные функции:
\У11= W1(s) = 11;-1:1 , W2 = \\72(s) = 11Q~2
и
гдеk1,k2иka.
-
передаточные I<оэффициенты;
R1= R1(s);Q1=Q1(s);R2= R2(s);Q2=Q2(s);
Ra = Ra (s) и Qa = Qa (s) - полиномы от s с коэффициентом
при младшем члене (некоторые из этих полиномов могут быть
равными единице).
Передаточная функция разомкнутой САР
W=W(s)=:а(~~)
есть отношение изображения Уа ·(s) сигнала обратной связн
Уа (t) к изображению G (s) задающего воздействия g (t). При
этом контур регулирования предполагают разомкнутым около
элемента сравнения, J<ак поI<азано на рис. 3. 1 волнистыми ли­
ниями.
Для рассматриваемой САР
!1R
W=W0W1W2 = Q'
(3.1)
где ll = llall 1k 2 - передаточный коэффициент разомкнутой САР;
R=R(s) = RaR1R2 и Q=Q(s) =QaQ1Q2- полиномы от s.
Пер·едаточ н ая функция W характеризует собственные динами­
ческие свойства системы и позволяет выяснять вопрос об устой­
чивости замкнутой системы (см. гл. 6), а также выбирать кор­
ректирующее устройство (см. гл . 8 и 9). Для определения устой­
чивости используют и характеристический полином D = D (s) ,
Он равен сумме числителя и знаменателя передаточной функ­
ции W, поделенной на сумму их свободных членов . У рассматри­
ваемой системы
q)_ Q+l,R
-
1-\ - -k'
(3.2)
77


если полино м Q и меет свободный член, и
q)= Q+/R=~+R'
(3.3)
если в полиноме Q нет свободного члена.
Передаточная функция САР относительно задающего воз­
действия
W
Y(s)
g=Wg(s)= G(s)'
есть отношение изображения У (s) регулируемой величины у (t)
к изображению задающего воздействия . При этом предполагают,
что других внешних воздействий нет .
Для рассматриваемой САР
(3.4)
k
k1k2
"
где g = 1 + k - передаточныи коэффициент системы относи-
тельно задающего воздействия; Rg = Rg (s) = R 1R 2 Q0 -
поли ­
ном от s.
Передаточная функция Wg характеризует передачу системой
задающего воздействия, т. е . его воспроизведение регулируемой
величиной . Воспроизведение тем лучше, чем ближе значение Wg
1
к идеальному : Wg = 7i;;.
Передаточная функция САР для ошибки слежения
Х (s)
Wx = Wх(s) = G(s)
есть отношение из ображения Х (s) рассогласования (ошибки)
х (t) = g (t) - у0 (t) к изображению задающего воздействия при .
отсутствии других внешни х воздействий.
У рассматриваемой системы
W,=_1
_
=
1
= il xRx,
(3.5)
•
1+\\7 1-\- W0W1W2
@
где kx = 1 ~ k - передаточный коэффициент системы для
ошибки слежения; Rx = Rx (s) = Q0Q1Q2 - полином от s.
Передаточная функция Wx так же, как и Wg, характеризует
воспроизведение регулируемой величиной задающего воздей­
ствия . Воспроизведение тем лучше, чем ближе значение Wx
к идеальному: W x = О.
Передаточная функция САР относительно возмущения
у (s)
Wr=Wr(s)=F(s)
78


есть отношение изображения регулируемой величины к изобра­
жению F (s) возмущения f (t) . При этом предполагают, что дру­
гих внешних воздействий нет .
• Для рассматриваемой системы
W__
_!.!_
_
W1
f--1+W- 1+W0W1W2
krRr
q;
(3 .6)
k
''1
•
u
фф
где f = 1 + k - передаточныи коэ ициент системы относи-
тельно возмущения; Rr = Rr (s) = R 1Q0 Q2 - полином от s.
_
Передаточная функция Wr показывает влияние возмущения f
на регулируемую величину у. Возмущение отклоняет регулируе ­
мую величину от требуемого значения и понижает точность вос­
произведения з адающего воздействия. Таким образом, возму :
щение оказывает вредное влияние на САР. Оно тем меньше, чем
ближе значение Wr к идеальному: Wr = О .
Если на систему воздействует нескольк9 возмущений f 1 ,
f2,
... ,
то имеет смысл определять передаточные функции Wr 1 ,
Wr2,
.
..
относительно каждого и з возмущений.
Следует заметить, что з наменателем всех передаточных функ­
ций замкнутой системы является х арактеристический поли­
ном т.
Передаточные функции Wg и Wr поз~оляют определить соста­
вляющие изображения У регулируемои величины, создаваемые
соответственно задающим воздействием и во з мущением. В линей­
ных системах справедлив принцип суперпо з иции, т. е . влияние
каждого из внешних во здействий не зависит от остальных и влия­
ния всех воздействий суммируются._ Поэтому и з ображение регу­
лируемой величины равно сумме его составляющих:
(3.7)
При этом чаще всего второе слагаемое ока з ывается отрица ­
тельным .
После подстановки з начений Wg и Wr уравнение (3 .7) при­
нимает следующий вид:
(3 .8)
Заменив комплексную величину s в полиномах т, R g и Rt
d
уравнения (3.8) оп1ератором дифференцирования р = dt и и з о-
бражения У, G и F на функции времени, получим дифференци­
альное уравнение для регулируемой величины
q)(р)у(t) = kgRg(р)g(t)+krRt(р)f(t).
(3.9)
Аналогично по передаточным функциям Wx и Wr могут быть
составлены уравнения для изображения рассогласования
Х= W_Д+W0W1F
(3.10)
79


и дифференциальное уравнение для рассогласования
!?l)(р)Х(f) = kxRx (р) g(f) +k0krRf (р) ~о(~)f(t). (3.11)
Передаточные функции САР позволяют получить статистиче­
ские, временные и частотные характеристики. Их вычисление,
исследование и применение будет рассмотрено в последующих
главах.
Иногда необходимы передаточные функции,, выражающие зави­
симость изображения какой-либо промежуточной (нерегулиру­
емой) величины САР от изображения внешнего воздействия или
другой промежуточной величины. Например, передаточная
функция
Z (s)
W,x = Х(s)'
где Z (s) - изображение по Лапласу регулирующего воздей­
ствия z = z (t), определяет закон регулирования .
В САР со структурной схемой, показанной на рис. 3.1,
Wzx = W2,
Во многих случаях основная часть структурной схемы пред­
ставляет собой последовательное соединение динамических звеньев,
а один ее участок имеет сложное строение. Таким участком обычно
является регулируемый объект или объект и исполнительный
элемент. В табл. 3.1 изображены некоторые из возможных струк­
турных схем сложных объектов (с одной регулируемой вели­
чиной) и даны значения передаточных функций W 1 и W 1r экви­
валентной схемы, которая показана перед таблицей.
Используя данные табл. 3.1, передаточные функции W, Wg
и Wx системы можно определить по формулам (3.1), (3.4) и (3.5),
а передаточную функцию системы относительно возмущения
по формуле
W_
l\1/1f
f- l+W0W1W2
Может оказаться, что схема, интересующая читателя, отли­
чается от одной из помещенных в таблице лишь знаком выходной
величины звена W;. Тогда в передаточных функциях W 1 и Wlf
эквивалентных схем нужно изменить знаки у всех тех членов,
-1<оторые имеют 1f'; своим сомножителем. Может также оказаться,
что схема отличается отсутствием звена с передаточной функ­
цией Wi. Если вместо этого звена разрыв, то все члены, име­
ющие Wi сомножителем, нужно принять равными нулю. Если
вместо звена Wi соответствующие точки схемы соединены непо­
средственно, то wj = 1.
В большинстве случаев структурные схемы САР содержат
местные обратные связи внутри регулятора или от регулируемого
объекта к регулятору. Встречаются при этом и параллельные
80


Таблица 3.1
Структ урные схемы и передаточные функции регулируемых объектов
~
Эквивалентная структурная схема
Структурная схема
регул и руемого объекта
6 И. М. Ма1<аров
Переда т очные функцни
эквивалентноi_i, ст р укт урно й схемы
W1=Wa(l+Wг);
W1f=Wв+iVбWa(\+Wr)
W1 = WбWв+Wa (\ --1-: Wг);
Wц=Wв
W1 = Wa -i- W6Wв (1 -i- W,.);
Wц=W~(l -t-- Wг)
W1 = Wa (l+WвWг)-t-Wб;
W1f=Wr
W1= Wa(\+WвWr)
.
l - WaWбlV'81i7r
W1
=== w;. (l + IV'31V'б)
f 1- W31\761\78Wr
81


82
Структурная схема
регулируемого объекта
f~
Wo
W1у
Z
Wa
r·-~..,w
z---Wa
:~
r
Wa_
f~
z~-
f-11------i
Продолжение табл. 3.1
Передаточные функци и
эквивалентной структурной схемы
W1= Wa(1+\fг);
W1f=Wв+Wб(1+Wr)
W1=Wa+ Wг(Wб+Wв);
W1t=Wб+Wв
W1=Wa+Wб(1+Wr);
W1t=Wв(l+Wr)
W1 =Wa+ Wб;
W1f=Wв+ Wr(Wа+Wб)
W1=Wa;
IY'it+ Wв(1+Wr+ WaWб)
W1=Wa;
Wlf=Wa(Wr+ WбWв)+Wв
W 1 =Wa(l+Wr);
Wlf=Wв[1+ WaWб(1+ W,)]


Продолжение табл. 3.1
Структурная схема
Передаточные функции
регулируемого объекта
эквивалентной структурной схемы
f~
W1=Wa+ (1+WaWб)WвWг;
W1
Wб
у
Wlf=Wв(1+ WaWб)
Z
Wд
f
W1 =Wa(1 + Wг+W5Wв);
Wit=Wв
f~
s
!J
W1=Wв(Wг+WaWб)+Wa;
w,
w
Wit=Wв
z
Wa
f'
W1=Wa[!+(1+Wг)W5Wв];
Wit = Wв(1+Wг)
z
f~в!J
W1=Wa(1+ W5Wв);
Wl
W
Wlf=Wв+ (1+ WвWб)WaWг
z
Wa
,.~
6•
w,
!J
W1=(Wa+ Wв)W5+WвWг;
z
Wa
W
W1f = Wв(Wг+W5)
F~в
W,
!J
W1=Wa(Wб+Wг);
z
Wa
W0
W1f=(Wa+Wв)Wг+WaWб
f~i
w,
у
W1=WaWб+Wг(l+W5);
z
-
\'v'a
W5
W1f=WвWг(1+ \V5)
f
W1= Wa(Wб+WвWг)+ Wг;
z
Wlf =WвWг
f
W1=
Wa (Wб+ WвWг).
1-WвWг '
l
Wlf=
WвWг (l + W5)
1- WвWг
W-
WaWб .
1 -1-WaWбWв'
W5
W1r= -
-
-
-
-
-
1- WaWбWв
6*
83


Рис . 3 . 2 . Структур ная схема многоконтурноii САР
соединения в регуляторе. Все такие схемы являются, следова­
тельно, многоконтурными.
Некоторые многоконтурные структурные схемы и передаточ ­
ные функции этих САР приведены в табл. 3.2 . Если рассматри­
ваемая читателем структурная схема отличается от одной из
имеющихся в табл. 3.2 знаком выходной величины звена .Wi или
отсутствием звена Wi, то нужно поступать так же, как было
сказано ранее в отношении табл. 3.1 .
Табл . 3.1 и 3.2 далеко не исчерпывают всего многообразия
структур регулируемых объектов и многоконтурных САР . В этих
случаях задача определения · передаточной функции системы может
быть решена одним из следующих методов.
При небольшой сложности структурной схемы передаточные
функции удобно определить по схеме, начиная последовательный
осмотр с регулируемой величины и далее против направления
передачи сигналов. Каждый сумматор создает необходимость
двигаться в нескольких направлениях. По каждому из них нужно
двигаться до какого-либо из внешних воздействий или до регули­
руемой величины.
Во время осмотра схемы изображение выходной величины
звена выражают через его передаточную функцию и изображение
входной величиньi, а изображение суммы нескольких слагаемых
выражают через их изображения .
.
Из этой записи постепенно исключают изображения проме­
жуточных величин. В результате будет получено равенство,
которое содержит только изображения регулируемой величины
и внешних воздействий. Оно позволит определить передаточные
функции системы.
•
Например, для структурной схемы, показанной на рис.3.2, получим следую ­
щую цепочку равенств:
У=W1Y1=W1{-F1+Y2u}=1\71{-F1+W2Y2}=
= \\71 (-F1+ W12[У30+У40]} = W1 {-F1 +W2[W3Y3+ lf\Xj]=
= W1(-F1-f-W2[W3(Х -t-У01]+1\74Х]}=
= 1\71 (-f1+W2[(Wз+1\74)(G- Уо)+\\73W01Y2вJ} =
= 1\71{-F1
-1- 1\72 [ (\\7з+ \\74) (С - IVoY) -f- \\'1'3l\'1'01 (F+ ;J]}.
84


Таблица 3.2
Передато,,ные функции САР с местными обратными связями
(Wi= W;(s), W0 = W0(s)иWai= W0; (s)- передаточныефункции
соответственно участка цепи, основной обратной связи
и местной обратной связи; s - комплексная величина
преобразовании Лапласа)
Структур1-1 аи схем а системы
где
где
где
Передаточные функции системы:
\\1/ = \\1/ (s) - разомкнутой;
\\1/g = \\1/g (s) - относительно
задающего воздейстnия g = g ( t);
\\1/fi = \\1/fi (s) - относительно
во з муще1111я fi = f; (!)
117 = W0W11\72W3 •
.
1+ 117011f/2 '
111/g = W1W21\1/з • 1\7 - -~ .
117~
•f1- 117~'
11' 1
-
1171117 2
V [2 - 1\7,::
'
\\1/L ·-се 1 + 11701W2 + 1\70W1W 21f/3
ll7 ~ 1\1/01171W 2 W3 •
1 + 11701111/ 2 '
1у; = WiW2117 3
g
WL
1,17 _ _ W1 (1 + 1.\1/011172)
[L-
117L
iv 1117 2
1vf2 = -,i"L '
где 117L = 1 + 1V'ot1172 + W011711.\1/21f/ 3
85


Структурная схема системы
g
g
gх
g
86
Продолжение табл. 3. 2
Передаточные функцнн системы:
\\7 = \\7 (s) - разомкнутой;
\\7 g = \\7 g (s) - относительно
задающего воздействия g = g ( 1);
\\1/fi = \\1/fi (s) - относительно
возмущения fi = fi (1)
W= WaW1W2
Wg = W1W2.
1+w01w2 '
•
wz'
Wf = W1(1 + W,нW2)
W1;
где Wi; = 1+ W01W2+W0W1W2
W=
W0W1W2W3
,
1 + \V01 W02 W1W2
Wg = W1W2Wз W _ ±Wa1W1W2
W1;
r-
W~
где W1; = 1 + W01W02W1W2 +
+ WaW1W2W1з
W = WaW1W2 (W3/ W4);
1 + W01W1W2W3
Wg __ W1W2(W3+W4) ·,
WW1
W1;
f=Wz'
rд·~ W1: = 1 + W01W1\V2W3 +
+ W0W1W'2 (W3 + \V4)
W_
W0W1W' 2W3
.
-
1 + W01 W1 + \V02W1W2'
W1W2W3 ••
\V_W1.
Wg=
W2:
f1- \V1:,
W1W'2
W12= ~,
гдеWz = 1+Wa1W1+Wa2W1W2+
+W0 W1W2Wз


Стру1<турн ая схема системы
где
Продолжение табл . 3 .2
Передаточные функции системы;
\f/ = \V (s) - разомкнутой;
\V g = \Vg (s) - относительно
задающего воздействия g = g ( t) ;
\Vfi = Wfi (s) - относительно
в озмущения fi = fi (t)
W=
WOW1W2W3
1 + W0 1W1W2 + Wo2W2'
Wg= WiW2Wз. Wf
-
Wi.
W1;
1- W:E'
W1W2
Wf2=~ ,
Wz= 1+W01W1W2+Wo2W2+
+ wOW1W2W3
W=
W0W1W2W1
;
1+ W01W1W2 + Wo2W2
W1W2Wз
Wg=
Wi
W
W1(1 + W02W2)
f1=
Wz
Wf2= W1W2 ,
W:E
гдеWi=1+W01W1W2+Wo2W2+
+ WOW1W2W 3


Структур11аи схема с11стсмы
g
g
g
g
88
Продолжение табл. 3.2
Передаточ11ыс фу1-1кцни с и стемы;
\\1/ = 1\1/ (s) - разомкнутой;
\\1/ g = \\1/ g (s) - относительно
задающего воздействия g = g ( 1);
\Ylfi = \\1/f; (s) - относительно
возмущения f; = f; (1)
\\7 _ \\71W2
f2-w~,
где1Jlz= 1+Wo1\\72+Wo2W3+
+ W" 0W11\72W 3
\\7 =
\\70W1W2\\7з
1+ (W01+\\702) \Jlз
W1W2Wз .
\\7g =
\\71:
\\7 _ W1 [1+ (Wo1 +IY102) 111/,.]
f1-
Wz
W _ \\71W2 (1 + l\1/02Wз)
f2-
\\1/z
'
где \,\"lz = 1+ (Wo1+Wo2) W3·+
+ \\70W1 1\1/2 \\7з
\\7 =
+ \JloзW2 + Wo21\701W1W2 '
w - 1\1/1w2w3•
w•- ±w~2w1w2.
g-
Wzi
.
f-
\\71:
,
где Wz = 1 + J\1/оз\!1\ +
+ \Jlo2W 01\\71W2 + W 0111/1 111/ 2W з
\\7 =
WoW1W2 (W 3 + W4)
1 + W101W1 + \\702W2Wз '
W = W11\1/2 (\\1/з + 1\74). 117 = \\71 ,
g
1Jlz
'
fWz
где l\7z = 1 + \Yl o1\\7~ + l\702W21\73+
+ Wo\\711\72 (1\7 3 + 1\74)


----------·-------
Структурная схема системы
g
g_
g
Продолжение nшбл . 3.2
Передаточные функции системы ;
W = W (s) - разомкнутоii;
\Vg = \Vg (s) - отиосительн,о
задающего воздействия g = g ( 1);
1Vfi = Wfi (s) - относительно
возмущения fi = fi (1)
\Va\\1'iW2 (Wз + \V4)
\V = ---,----=с,---'-с~---::-с-::--ссссс-~-
+ \V01W2 + \V 02\\'!21f1~ '
\V ,=
1V1llr2 (1Vз +11'14)
g
\V~ ,
W . \V1 (1 + \V02W2W3)
f=
W1;
'
W= WaW1W2(\V3 +W4)
1+ \V'01W2+ W02IV3 '
W _ W1\V2(Wз+W4)
g-
w};
\\'!
_
W1 (! + IV01W 2 + Wo21Vя)
•f-
W1;
,
гдеW1;= 1+\V01W2+ Wo21V3+
+ \V0W11V2(lf/3+ W4)
W=
Wo\V1W2 (W 3 -1- W4)
1 + Wo11V2 + IV'o2 (1\rз + W4)'
WJ\172 (W3 + W4) •
\V'g =
Wz
W W1[1+ W'01W2+ \V02(\V3+W4]
t=
Wz
'
где W};=l +W01W2 +Wa2(Wз+
+ \174) + \V0W1W2(1V3+ W,1)
где W}; = 1 + Wо1W1 + W02W1\V'2 +
+ WaзW1W2Wз + WoW1W21V 3\V 4
89


Структурная схема системы
90
Продолжение табл. 3.2
Передаточные функции системы ;
W = W (s) - разомкнутой;
Wg = Wg (s) - относительно
задающего воздействия g = g (t) ;
W fi = W fi (s) - относительно
возмущения fi = fi (t)


где
В результат е вычислений получим
[! - Wo1W2Wз + WoW1W2 (lVз + W4)] У =
=W1W2(W3+W4)О- W1(1- Wa1W2W8)F.
Для определения передаточной функции W разомкнутой
системы осмотр нужно начинать с выходной величины У0 основ - ·
ной · обратной связи при размыкании этой связи около элемента
сравнения и при f = О. Чтобы определить передаточную функ­
цию Wx, схему J:Iужно осматривать, начиная с, рассогласования
Хприf=О.
Изложенный прием определения передаточных функций САР
равносилен исключению промежуточных величин и з системы
операторных уравнений ее элементов .
Более универсальным способом является преобразование слож­
ной структурной схемы в эквивалентную одноконтурную и опре­
деление передаточных функций по формулам (3.1) и (3 .4)-(3.6).
Кроме того, большие возможности дает применение теории гра­
фов. Эти вопросы рассмотрены ниже .
3.2 . СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Структурную схему любой сложности путем последовате л ь­
ных преобразований можно привести к эквивалентной однокон­
турной. Одноконтурная схема эквивалентна исходной , если она
определяет такую же зависимость указанны х на ней величин
(У, Х, У0 и др.) от внешних во здействий .
Преобра з ование структурной схемы до л жно осуществляться
на основании правил, приведенных в табл . 3.3 .
Прежде всего каждое имеющееся в схеме типовое соединение
звеньев (последовательное, параллельное и встречно-параллел ь ­
ное) следует заменить эквивалентным з веном (пп. 1, 2 и 3 табл. 3.3) .
Затем целесообразно выполнить перенос точек раз ветвления
и сумматоров (пп . 4-11 табл . 3. 3), чтобы в преобразованной
таким образом схеме образовались новые типовые соединения
звеньев. Эти соединения опять должны быть з аменены эквива ­
лентными звеньями, з атем вновь может потребоваться перенос
точек разветвления и сумматоров и т. д. Для преду преждения
ошибок следует вычерчивать структурную с х ему после каждого
этапа преобраз ований и указывать на ней значения или символы
вводимых эквивалентны х звеньев .
91


ф
tv
N(J
1
по пор.
1.
2
3
4
Таблица 3.3
Правила структурных преобразований (\\7 i Wi (s) - передаточнаs1 функция)
Преобразование
1
Исходная структурная схема
1
Эквивалентная стру~<турная схема
Свертывание последовательного со-
~
--~
~
!J
-
единения звеньев
W,-Wт Wz---Wп
1
w,
Свертывание параллельного соедине -
и
w,
!J
u~,
ния звеньев
'·
--
-
WJ
Wэ=W1 +W2+ . .. +Wn
'
Wп
Свертывание встречно-параллельно-
~
!}
~
!J
w
'
W,=--1 _
го соединения звеньев
1+W0 W1
о
-
а) по _направ-
~
!J
~
у
1
лению передачи
1
w,=w
/
сигналов
х
Перенос точки
разветвления
через звено
б) против на-
~
и~
-
w,
правления пере -
~ w,.,.~11.11
дачи сигналов


'<D
(;J
No1
по пор..
Преобразован и е
1
а) по направ-
ле нию пер еда чи
5
Пе р енос сумма -
сигналов
тор а через зве-
но
б) против на -
-
правления пе~:е•
да чи сигнал ов
6
Пер естановка точек р азветв лен и я
7
Перестановка суммато ро в
а) по направ-
лению переда ч и
си гналов
8
Перенос точки
разветвления
через сумматор
'
б) против на -
правления пере -
·-·" -·-
~·-
дачи сигналов
Продолжение табл. 3 .3
Исход ная структурная схема
1
Эю3ивалентная ст рукту_рная cxel\·[ a
~у
и
у
'
~ Wк=W1
2
к
~
.
у
у
~ч
l
1
w, =w
2
У1
к
1
w,
!t,
·е·у·
и
w, У2
и
w
У,
Wз
Уз
W
YJ
J_
u,n--
u
U2
U3
~
и,
и
ЦJ'2
.и,
и
х
а
и
~2
1
#.
и,
u
и,
и
1[Г
1


<О
,!>-
Продолжен.ие табл. 3 ..3
по ~ор. 1
Преобразование
I Исходная структурная . схема
Эквивалентная структурная схема
9
Перенос звена через звено
~
~
i
а) по направ­
лению передачи
1
!
~
W,.=J:!::\'{Z
и
1---00 - --= -
w,
!J
"сишлоs
~
~;
10
Перенос прямои
х
,
связи
через
точку развет-
вления
~
!J
1.с>О-'<.--►
!
1
б) против на-
правления пере-
дачи сигналов
~~


ф
ел
No1
по пор.
11
Преобразовани е
Перенос прямой
связи
через
сумматор
а) по направ­
лению передачи
сигналов
б) против на­
правления пере­
дачи сигналов
Исходная структурная схема
,, ~+
и
~
У,
.~+ .Ч
~
-,~+и
~
У,
~+
и
Поодолжение табл. 3.3
Эквивалентная структурная схема
,,~+"
~
У,
~w
иw,
w,
Wк = w,±w2
~-
У,
w
u,l
,..,,,
-
г.71 - ,l,.;I
~у
U2, Wк
Wк=1± W2
w,


<D
О)
No
по пор.
1
12
1
1
i1
i
1
i
1
Перенос
связи
звено
Преобразованне
1
а) ПО направ-
лению переда чи
сигналов
i
прямой 1
через
..
1
б) против на-
,правления пере-
дачи сигналов
Продолжение табл. 3.3
Исходная структурная схема
1~
Эквивалентн а я струк турная схема
~~
'
,;=W2 W3
у
.
!J
1
:
~~
w,.~
.w,
и
-
.
'
~Wз
~
w,
!J
у
'
1
~к~w,wJ
~у
у
2
2


---J
1 по~ор. 1
:s:
;;::
;;::
";;
'О
о
"'
13
%
Преобразование
Перенос обрат­
ной ;,связи че­
рез точку раз­
ветвления
а) по направ­
лению передачи
сигналов
1~•
,._:l
,··\
·')
б) против на­
правления пере­
дачи сигналов
,'11.J ..
Пр-одолжение табл. 3.3
1
Исходная структурная схема 1• Эквивалентная структурная схема
~
~
~у
.
о
и
~У __
~
-
~
~
~
~!у
и ll__ ,,,.~~, - 1
-
-
::
Wcl+WoW,
Wo
~у
~
~
~
.-
-
~ Wк=1+W0 W,


<О
00
No
по пор.
14
Продолжение табл. 3. 3
Преобразов а ние
Исходная структурная схема
Эквивалентн ая структурная схема
Перенос обрат­
ной связи че ­
рез сумматор
а) по направ­
л е нию передачи
сигн а лов
б) против на­
~
E@J -
~
и
у
и
.
о
~+
':J
о
и,
W11 =1+ W0 W,
!:I
~
+
,
о
1
+ W=l+W,w,
у
правления пере - 1---- -------------- '- - - -- - - - - - - --
-----
-
--
дачи сигналов
~
и,+
!!
и-
+w,
w•.
~
~J


--i
*
<D
<D
No
1
по пор.
15
16
Преобразование
1
а) по направ-
-
лению передачи
сигналов
Перенос обрат-
ной связи че-
рез звено
-
_..:j
-
•-~
·-
-
б) против на-
правления пере -
[ дачи сигналов
Вынос звена из параллельного со -
единения
Продолжение табл. 3 .3
Исходная стр у кту рная схема
1
Эквивалентная структурн а я схем а
~у
~у
•
2
Wo
•
к=-
Wz
~
11
~у
2
+
о
w
~
-
у
~у
2
о
2
~~у
2
.
Ww.
2
о
11=-
w,
~
W _ W1±W2
к-
+
~
W, -1
-
у


о
о
No
1
поп?.
17
18
Преобразование
Вынос из встреч­
но-параллель­
ного соедине­
ния
Перенос прямой
связи на со­
седнее звено
а) прямой це­
пи
б) обратной
связи
а) по направ­
лению передачи
сигналов
б) против на -
правления · пере­
дачи сигналов
Исходн_ ая структурная схема
~
~
-
..
у
~
t=-ш5-J .
~у
-·
~
-
-
Продолжение табл. 3.3
Эквивалентная структурная схема
~
Wк=W, ~
у
~
uW,2 W,
К/
±
.
1..
W,11=w., • Wкz =W,
~
=w,wJ
W1
у
~
W1 W3
+
у


Продолжение табл. 3.3
;No
1
Преобразование
1
Исходная структурная схема
1
Эквивалентная структурная схема
по пор.
;
а) по направ-
~у
~у
2
лению передачи
2
сигналов
о
w
-
/\
W2
19
Перенос обрат-
ной связи на
соседнее звено
б) против на-
~у
и
'j
правления пере-
2
'+-·
.w,
W2
lё
Wк= Wo W2
дачи сигналов
о
"'-
Wк
w.
20
Перестановка звеньев
~у
~у
во встречно-
1
параллельно м соединении
о
-
1
21
Включение звена в параллельное
~
~
w,+1
w
соединение
1
у
-
о


о
l'v
No
1
по пор.
22
23
24
Преобразование
1
а.) в прямую
цепь
Включение звена
во встречно-па-
раллельное со-
единение
б) в обратную
связь
1
Включение звена с единичной пере- i
даточной функцией
'
Замена звена встречно-параллель-
ным соединением
Продол:лсение табл. 3.3
Исходная структурная схема
1
Эквивалентная ст р укту рная схема
~у
~
ц
у
'
w
"W1
1
~у
~
и
У
.
7
'
Wк1=W0; Wк2=w,
и
·-·-
~
--
,,
-
~·-У
1
~
о
w_..!_ _}_
•-w w,


о
с,,
No1
по пор.
25
26
27
Преобразование
То же, но при единичной обратной
связи
Замена последо­
вательного со­
единения
Замена парал-
лельного соеди­
нения
а) параллель­
ным
б) встречно-па­
раллельным
а) последова­
тельным
б) встречно-па­
раллельным
Исходная структурная схема
и
~
~
~~-
и
~
~у
1
гОО-1+ ..
~
Продолжение табл. 3 .3
Эквивалентная структурная схема
у
~~
t_- = . _Jw,=1-w
~
11 =W/W2 -1)
у
1
у
и~, /-Wz
w--~
-
,- W7Wz
Wo
и
~
Wк=1 ± Wz
w,
~
!I
-W2
,=W1 (W7 +W2 )


о
....
No
по пор.
28
29
Преобр~зование
Замена встречно-параллельного со­
единения последовательным
Разделение двух
сцепленных
контуров
а) с прямыми
связями
б) с обратны­
ми связями
в) с прямой и
обратной связя­
ми -.......,i_ ~
.
Исходная структурная схема
~
L§J--1
Продолжение табл. 3.3
Эквивалентная структурная схема
у_
~ __1
Wк =1+Wo w,
~1~
2
w/1' Wк=~2
!Jц
+
+у
w,
w
~
~
~у
Woz
W----
к-l+W0, w,


о
r.л
No
по пор.
30
Преобразование
Свертывание це -
пи из двух
сцепленных
контуров
~ с прямыми
связями
б) с обратны ­
ми связями
б) с прямой и
обратной связя­
ми
Исходная структурная схема
~!/
ц
~
!/
J
2
Продолжение табл. 3 .3
Эквивалентная структурная схема
~
~-
WJ = W1 W2 W3 +W1W5+W3 W4
~
-- i.:::Ll- - -
Wt'!! _J_ ~
Wэ- 1+Wo1W,W1+W02W1W3
~
(W, W2+W4)Wз
Wэ
W
/+W, W2 3


g
Рис. 3.3 . Приведение многоконтурной структурной схемы к одноконтурной
Пример 3. 1 . Требуется определить передаточные функции САР, структур­
ная схема которой по1<азана на рис. 3.3, а.
Для решения задачи преобразуем схему в эквивалентную одноконтурную .
Прежде всего последовате .1ы-10е соединение звеньев с передаточными функциями
\17 1 и W 2 замен и м эквивалентным звеном (см. п . 1 табл. 3.3) с передаточной функ­
цией
\177 = W1W2
и встречно-параллельное соединение з вень е в с п е ред аточ ны ми функциями •W ~
и W02 замен и м эквивалентным звеном (см. п. 3 табл . 3.3) с передаточной ф у нкцией
Кроме того, переносим сумматор через звен о с передаточной функц и е й \174 •
При этом последовательно с звеном, имеющим передаточную функцию W 5 , а такж е
последовательно с звеном, имеющим передаточную функцию \1701 , нужно вклю­
чить (см . п. 5 табл. 3.3) звено с передаточно й функцией W 4 . Эти два последова­
тельные соединен ия двух звеньев заменим эквивале нтными звеньям и с переда­
точнымн фуНКЦИЯМИ
В результате сделанных преобразований структурная схема упростилась
(рис. 3.3, 6).
106


Теперь участок цепи, параллельно которому включено звено с передаточной
функцией W9 , заменяем эквивалентным звеном (см. п. 23 и 2 табл . 3.3) с пере·
даточной функцией
Еще переносим сумматор через звено с передаточной функцией W8 против
направления передачи сигналов. Согласно п. 5 та;3л. 3.3 в цепь воздействия
возмущения f нужно включить звено с передаточной функцией
W12 =
_!_ = 1+Wo2Wз.
Wв
Wз
Структурная схема после этих преобразований имеет вид, показанный ю.
рис. 3.3, в.
В схеме имеются последовательные соединения звеньев с передаточными
функциями W6 и W 11 и с передаточными функциями W7 и W8 . Указанные по­
следовательные соединения заменяем (см . п. 1 табл. 3.3) звеньями с передато~­
ными функциями соответственно:
W13 = W6W11= (1+W4W5) W"
и
W WW W1W2W3
14=
7 8= 1+w02w3•
Полученная струытурная схема показана на рис. 3.3, г .
В заключение заменим эквивалентными звеньями встречно - параллельное
соединение звеньев с передаточными функциями W 14 и W 1 о и параллельное соеди­
нение звеньев с передаточными функциями W4 и W 1 ~.
На основании п. 3 и 2
табл. 3 . 3 передаточные функции эквивалентных звеньев соответственно равны
W_
W14
_
W1W2Wз
15-
! - W10\\714 - ! + W02\\73 - W01Wl W2W3W4
и
Структурная схема становится uдноконтурной (рис. 3.3, д). Сопоставляя
ее со схемой, приведенной на рис.3 . 1, и пользуясь формулами (3.1), (3.5) и (3 .6),
определим передаточные функции:
где
\\70W1W2W3 (W4 + W4W5W6 + W6)
w = \\7 оw15w]6 = -....,...~...,,,,-=-~-=__,~~~-'-=с~~
1+ W02W3 - \\'!01\\71W2W3W4
1
---
1+W
W1W2W3 (W4 + W'4W5W6 +W6)
w};
W1W2 (1 + W02\\'1 3 ).
\\7 ~
'
w}; = 1+ 117021r1з- 11701w1w2wзw4 + wow1w2117з (W4 +
+ l\1/ 4W5 \l'/o + Wв)-
В примере были сделаны простейшие структурные преобразо -
вания. Обычно с их помощью и удается многокоr-rтурную струк-
l ()7


турную схему привести к одноконтурной . Более сложные струк­
турные преобразования (п. 9-30 табл. 3 .3) используют в тех
случаях , когда исследуемую структурную схему нужно привести
к известной, ранее исследованной.
3.3 . ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Передаточные функции сложной многоконтурной системы
автоматического регулирования можно опре,μ.елить по структур­
ной схеме и без приведения ее к одноконтурной, если использо ­
вать метод теории графов .
Структурную схему САР можно рассматривать как один из
видов графа, и для определения передаточных функций исполь­
зовать формулу Мезона. Для принятых здесь обозначений она
принимает следующий вид:
•
r
~ H;F;
W
i=I
,v = --F--
(3 .12)
где Wzv = Wzv (s) - отношение изображения по Лапласу Z (s)
переменной z = z (t) к изображению V (s) переменной v = v (t);
Г1
Г2
Г3
F=1- ~H1i+~H2i- ~Нзi+···;
i=l
i=I
i=l
Н 1 ; = Н l i (s) - передаточная функция разомкнутой цепи i-го
замкнутого контура структурной схемы;
r 1 - число замкнутых контуров в схеме;
Н 2 i = Н 2 i (s) - произведение передаточных функций разом­
кнутых цепей i-й пары несоприкасающихся замкнутых контуров;
r 2 - число пар несоприкасающихся контуров;
Н зi = Н зi (s) - произведение передаточных функций разом­
кнутых цепей i-й тройки несоприкасающихся к01-пуров;
r 3 - число троек несоприкасающихся контуров;
Hi = Hi (s) - передаточная функция i-й прямой цепи от
переменной v к переменной z;
•
r- числопрямыхцепейотvкz;
Fi - функция F для той части структурной схемы, которая
не соприкасается с i-й прямой цепью от v к z.
Формула (3.12) позволяет без преобразования сложной струк­
турной схемы САР определить любую ее передаточную функцию,
т . е . отношение изображения одной из координат к изображению
внешнего воздействия или другой координаты .
Используя формулу (3.12), нужно иметь в виду следующее.
Прямые цепи от v к z могут частично совпадать одна с другой.
При определении передаточной функции разомкнутой цепи каж­
дого из контуров нужно учитывать знак обратной связи, образу­
ющей этот контур . Контуры не соприкасаются один с другим,
108


5
Рис. 3.4 . Структурная схема многоконт)'рной САР с дополнительной связью
по задающему воздействию
когда у них нет ни общей координаты (стрелки), ни общего звена
(прямоугольника) . Если в структурной схеме есть более трех не­
соприкасающихся контуров, то при вычислении функции F
нужно добавить соответствующие суммы. Каждая из функций F;
вычисляется так же, как и функция F, но рассматривается лишь
та · часть структурной схемы, · которая не соприкасается с i-й
прямой цепью от v к z. Если с i-й прямой цепью соприкасаются
все замкнутые контуры, то Fi = 1.
Пример 3.2 . По структурной схеме САР (рис. 3.4) нужно определить е е
передаточную функцию относительно задающего воздействия g. Воспользуемся
формулой (3.12) и начнем с вы ч исления функции F. В рассматриваемой схеме
пять замкнутых конту р ов.. Передаточные функции их ра з омкнутых цепей W 1 ;
W2; -W
3
;
-1\1/4; -W
1
\\1/2W
3
W4
.
Следовательно,
5
LJН;1= W1 +\\1/2
~ ,W3
-
l\1/4 - 1\1/il\1/2l\1/3W1.
i=I
По схеме выясняем, что имеются пары н з !-гон 2-го, !-го и 3- г о, l-ro и 4 - го,
2-го и 4-го несопрнкасающихсп контуров. Поэтому
4
Ь Н2; = W11!72- W11\1/з
-
W11\'1,1 - 11721\'1 1 •
i=I
Имее,гся только одна тройка из несопрн касающихся ко11туров , 11 011а состоит
из 1 -го, 2-ro н 4-го контуров, т. е .
Нн = ----: 1v' 1 1!7 21\1/4 .
Четырех 11есоприкасающи хся контуров в схеме 11ет, и можн о определить
функцию
5
4
F= 1- ~H1i+LiH2;-f-I,н=
i=l
i=l
= (l - W1) [(! - \1'12) (1 -1- 1\1/,J) + W3] -1- \\'!1\\1/21\1/31\1/4
От задающего воздейст­
вия g к регулируемой коор­
динате у идут две прямые це­
пи передачи сигнала. Их
передаточные функц и и
нl = 1\1/,1\\1/3w2W 1
и Н2 = 1!75W2W1.
Рис. 3.5 . Структурная схема диф ­
фере1-1 ц , 1 рующеrо гироскопа
f3
О(,
109


С первой прямой цепью Н 1 соприкасаются все замкнутые контуры. Со вто­
рой прямой цепью Н 2 не соприкасается только 4-й контур. Следовательно,
F1=1иF2=1+W4•
2
Li HiFi = W1W2[W3W4+(1+W4)W5].
i=l
Теперь можно определить искомую передаточную функцию
Wg=
W1W2 [WзW4 + (! + W4} W5]
(l -W1) [(! -W2) (1 + \\74) + W3] +W1W2W3W4
Легко убедиться, что преобразование рассмотренной структурной схемы
в эквивалентную одноконтурную сложнее проделанного расчета. Использова­
ние формулы (3.12) обычно уменьшает трудоемкость определения передаточных
функций САР со сложной многоконтурной структурной схемой.
Пример 3.3. Составить передаточную функцию Wа/3 дифференцирующего
гироскопа, структурная схема которого изображена на рис. 3.5 .
Начнем с вычисления функции F. В схеме три замкнутых контура (r1 = 3)
и все они соприкасаются, так как имеют общее звено \17 1 . Следовательно, r 2 =
= r 3 = ... = О. Передаточные функции разомкнутых цепей контуров
Н11=W1(-W5)= -W1W5;
Н12=W1
(-W
6
)
(-W
2
)
= W1W
2
W6;
Н1 з = W1Wз (-W2) = -W1W 2Wз.
Определим функцию
F=1- (Н11+Н12+Н1з)=
1+ \j1/\W5 -W1W 2W6 + W1W2W3.
В схеме две прямых цепи от входной величины ~ к выходной ех,. Их передаточ­
ные функции:
Н1= W3(-W2) W1= -W1W2W3; Н2= \\74W1.
Обе прямые цепи содержат звено W 1 , которое входит и во все замкнутые
контуры системы, т. е. нет замкнутых контуров, не соприкасающихся с прямыми
цепями. Поэтому F1 = F2 = !.
Теперь по формуле (3.12) определим искомую передаточную функцию
\l7 _ H1F1 + H2F2
- W1W2W3 + W4W1 •
а/3- F
! + W1W5 - W1W2W6 + W1W2\V'з
W1 (W4 - W2W3)


Глава 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
При анализе и синтезе САР обычно возникает необходимость
в вычислении и· построении той или иной временной характери­
стики. Наиболее часто оказываются необходимыми переходные
характеристики системы относительно задающего воздействия
и относительно возмущения.
Основные сведения о временных характеристиках были изло­
жены в п. 2.4 . Временные характеристики типовых динамических
звеньев приведены в табл. 2.2. Данная глава содержит наиболее
употребительные методы отыскания временных характеристик
сложных элементов и систем и справочный материал, необходи­
мый для их применения.
Числовое решение дифференциального уравнения можно полу­
чить на ЭЦВМ, при этом получают точность высокой степени.
Всякая временная характеристика может быть вычислена по
дифференциальному уравнению операционным методом. Если же
имеется вещественная частотная характеристика системы, то ее
приближенную переходную характеристику часто определяют
графоаналитическим методом. Его широко используют при инже­
нерных расчетах, так как он позволяет быстро получать резуль­
таты для предварительной оценки качества регулирования.
Применение его особенно удобно, когда какой-либо элемент си­
стемы задается I-:ie дифференциальным уравнением или пере­
даточной функцией, а экспериментально снятыми частотными
характеристиками.
Два последних , метода и будут рассмотрены ниже. Следует
заметить, что с появлением микроЭВМ существенно повысилась
продуктивность ручного счета и его применение в инженерной
практике вновь становится целесообразным .
Следует также иметь в виду, что график временной характе­
ристики можно получить на электронной модели этой системы.
Большое преимущество моделирования заключается в возмож­
ности сопряжения электронной моде.!Iи с реальным эле­
ментом .
111


4.1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Операционное исчисление дает экономный метод решения
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф­
фициентами , который нашел •широкое применение в расчетах, ·
связанных с анализом и синтезом САР.
Сущность операционного исчисления заключается в следу ­
ющем. Пусть требуется отыскать решение неоднородного линей­
ного уравнения при заданных функциях време'ни его правой части
и заданных начальных условиях. Прежде всего уравнение пре­
образуют почленно по Лапласу с учетом начальных условий.
Из полученного алгебраического уравнения определяют изобра­
жение по Лапласу искомой функции времени . Затем это изобра­
жение подвергают обратному преобразованию Лапласа и таким
образом находят оригинал, т . е . искомую функцию времени.
Если задана система линейных уравнений, то преобразуют по
Лапласу к аждое из уравнений. Затем из полученной системы
алгебр ;:fи ческих уравнений определяют изображение по Лапласу
искомой функции времени и по изображению находят · оригинал.
Общую формулу (Пl .4) обратного преобразования Лапласа
при инженерных расчетах ' не используют, так как имеются таб­
лицы орйгиналов · и · изображений, например в [31] и в данной
книге (табл. 4 : 1) .
Если изображение есть дробно-рациональная функцйя s, для
отыскания оригинал-а могут быть использованы формулы (Пl .6)
или (Пl .8) разложения Хевисайда.
••
•
Формула, определяющая решение дифференциального - уравне­
ния САР, т. - е . регулируемую , величину · у = у (t), составл~на·
следующим образом [ 114 ].
••
•
•
Предположим, что изображение . по Лапласу V = V (s) внеш­
него" воздействия· V = V :U) есть
.•
v;
·V=v,
.
.
2
где V 1 и V 2 ~ полиномы от s степени соответственно μ и 1'j,, • и.
передаточная функция Wv ~ W; (s) САР относительно это.го
воздействия
Wv= ~'
rде Rv . и q) -: . полиномы от •.s ~тепени . соответственно т и п
(т~п).
Тогда изображение _У , _. У- .(s) регулируемой ~еличины есть
(4.1)
где м,:, '~ - полином о; \,. ~одержащ~й -1~ачальнь1е _знач~ния регу­
лируемой величины и ее производных до (п - 1)-й включительно.
112
:s


Если имеем л 1 , л 2 , ... , л" - полюсы передаточной функции Wv
(корни полинома ED); у1, у2, ... ,
Ут - нули передаточной функ-
ции Wv (корни полинома Rv); р1, р2, ... ,
Pri - полюсы изобра-
жения V (корни полинома V2); а1, а2, ..., а,, - нули изображе-
ния V (корни полинома V 1), то
У = b0 (s-y1)(s-y2)· ·• (s - y ,, ,) f0 (s-G1)(s -G2)···(S - Gμ) +
ао (s- Л1) (s-л2) • • · (S-lsn) • (s-p1) (s- Р2) · • •(s- Pri)
(4.2)
где а0, ЬO и fO - постоянные.
Из равенства (4 .2) следует , _ что изображение У и , следова­
тельно, регулируемая величина у во время динамического про­
цеtса, вызванного внешним воздействием v, зависят от значения
нулей и полюсов как передаточной функции Wv, так и и з ображе­
ния V внешнего воздействия. •Кроме того, процесс завщит от
начальных условий. Зi-iачение регулируемой величиньi
У=Ув+Ус+Уев>
где Ув = Ув (t) - вынужденная составляющая ;
Ус = Ус (t) - сопровождающая составляющая;
Уев = Уев (t) - свободная составляющая .
(4.3)
Две последние составляющие образуют собственную соста­
вляющую .
Если все полюсы передаточной функции Wv и изображе­
ния V простые, т. е . отличаются от нуля и один от другого, то
где
Rv (pk) V1 (pk)
@ (Pk) ~'2 Pt,
Rv (л;) V1 (л;)
@' (л;) V2 (л;)
'!,, ./
е',
v;(Р1<),= 1d:
2
1s=p" ; EV' (Л;) = 1dis ls='л.;.
(4.4)
Если изображение V имеет нулевой полюс и V 2 (s) = sV 21 (s),
то У в имеет постоянную составляющую:
Rv(О)V1(О)+
Ув= @ (О)V21(О)
8 И. М. Ма1<аров
Rv (р,,) V1 (Pk)
Pk @ (Р1е) v;l (Pk)
(4 .5)
113


Переходная характеристика h = h (t) есть реакция САР
на единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных
l
условиях. В этом случае v = 1(t), V =
-
и Мн = О. Следова­
s
тельно, изображение Н = Н (s) переходной характеристики САР
относительно внешнего воздействия v определяется равенством
H-W
_1
_
b0 (S-'\'1)(S-'\'2)· · ·(S-'\'m)
(4.б)
-
v s - а0(s- л1)(s- л2)•••(s- лп)s
и при простых полюсах передаточной функции
(4 .7)
т. е. переходная характеристика САР относительно внешнего
:s
воздействия v зависит только от значения нулей и полюсов пере­
даточной функции относительно этого воздействия.
Найдем решение уравнения
(Тр+1)у=k(т:р+1)v,
где v = sin (i)f при начальном условии у (О) = у0.
Преобразовав уравнение почJiенно по Лапласу, получим
(Ts+1)У- Ту0=k(тs+1)V,
таккакv(О)=О,
или
где
Wv=k (тs+ !); V= 2 (i) 2 (по табл. Пl.2);
Ts+1
s +ro
Мн=Ту0и!?lJ=Ts+l.
Получено алгебраическое уравнение, которое имеет тот же вид, что и урав-.
нение (4 . 1). Определим полюсы передаточной функции Wv и изображения V
внешнего воздействия:
а также производные полиномов !?lJ и V 2 по s:
!?lf' = Т; V2= 2s.
Теперь, пользуясь формулами (4.4), находим составляющие решения:
вынужденную
_!:_(jтш+I)ro j(J)t+ k(-jтro+l)ro
-j (J)f_A .
_
)
Ув-(jТш+1)2jroе
(-jTro + 1) 2(-j(j)) е - sш ((j)f j- 'Ф'
где
114


сопровождающую
Ус=
и свободную
k(--y+1)w
Т(;2+w2)
t
t
то --
-
-
Уев=_Ует =yDe т
т
Согласно формуле (4.3), общ(е решение
t
у=А sin (wt +'Ф)--1- [ /;~f:;;т1+у0] е-т
где второе слагаемое есть собственная составляющая.
· для отыскания оригиналов по рациональным изображениям
может быть использована табл. 4.1 . Знаменатели изображений
предварительно -должны быть разложены на элементарные мно­
жители (см . приложение 2).
Может оказаться , что рассматривается изображение, знамена­
тель которого совпадает с имеющимся в табл. 4.1, а полином
числителя имеет более высокую степень . Тогда следует выяснить,
нельзя ли воспользоваться таблицей, если представить это изо­
бражение в виде суммы двух или трех слагаемых.
Изображение, у которого степень знаменателя выше, чем у изо­
бражений в табл. 4.1, можно разложить на сумму простейших
дробей . Оригинал, соответствующий каждой из этих дробей,
находят по табл. 4. 1 .
На простейшие дроби можно разложить всякое отношение ~ ,
где R и Q - полиномы степени соответственно т и п (п > т),
не имеющие общих множителей .
Предположим, что полином Q представлен в виде произведе-
ния элементарных множителей s\ (Tis + 1)'11 и (т;s2 + 2sTis + 1)μ .
Множителю sq соответствуют дроби
А1+~+
2
•••
s
s
+Aq
q'
s
множителю (Tis + 1)'11 дроби
В1
В2+,В'11
Tis-1,1+(Tis+1)2
•••
1 (Tis + J)'ll
(Т2
)
и множителю Tis + 2'sTis + 1 μ дроби
C1s + !211
C2s + !212
т;s2+2sT/+ 1 + (т7s2+ 2sTjs + 1)2+
Cμs + !21μ
+ •••+(т7s2+2sT/+1)μ•
в•
11s


No
по
пор .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
116
Табл~ща 4. J
Обратные преобразования Лапласа дробно-рациональных функций
-
(Т, --r, s- положительные постоянные)
··-
·-
·--
-·· -
1
-
1
Изображение
Ориг и нал
1
1
ae- at,
1
Ts+ 1
гдеа=Т
'
1
1 -e- at,
1
s(Ts+1)
где(J.,=т
1
1-+-се-а/ гдеа= -
•
-rs+1
.
'
т,
s(Ts+ 1)
-r-T
С=--
т
1
Т(e-at- 1)+t,
1
s2(Ts+1)
гдеа=Т
С(1-е-а1)+t,
1
'tS-j-- 1
гдеа=-Т,
s2(Ts+1)
C=-r-T
С1+ C2e-al+t,
-r1s2 + 't1s+ 1
1
C1=-r1-T;
где а=--у;
s2(Ts -1- - 1)
С2= -r~ ---r1T-1--Т2
т
l
аче-а 1 ,
1
(Ts + 1)2
где (J., =-т
1
+at) e- at,
1
s(Ts+1)2
1-- (1
гдеа=Т
1
2Т(e-at- 1)+t(l+-e-aL),
s2(Ts -\- 1)"
1
гдеа=Т
1
зт2 (1- гаt)
-
тt(2+е-а1)+
s3 (Ts -/- 1)"
t"
1
+-2,гдеа=-Т-


.е
тал .
Продолженu б 4 1
No
1
1
-
~--
-
по
Изображение
пор.
Оригинал
-
·
---
-
11
s
1
(Ts + 1)2
а2 (1 -at) e-at, где а= Т
(С1+С/)e- at,
12
-rs+1
'[
Т-,
гдеС1=т2;С2=
(Ts + 1)2
тз'
1
а=-
т
13
-rs+1
1- (1 + Ct)e-at,
s(Ts+1)2
где С=
T--r
1
Т2'
а= -----
т
1+ (С1 - C2t)e-at,
14
'r~S2+ i;1s+ 1
гдеС1=
-r~-
т2
s(Ts+1)2
т2
'
С2= -r~ --r1T + Т2
1
тз
'
а=---
т
15
1
а,3/2 - at
1
(Ts+ l)з
-2-е ,гдеа=Т
16
1
(
a2t2)
1- 1+at+-2-- e-at.
s(Ts+ l)з
1
гдеа=Т
17
1
-с+t+ (с+2t-\- at2)e-at
.
2
'
s2 (Ts+ 1)3
1
гдеа=т; С=ЗТ
'
18
s
a3t(1-
~t)e- at,
1
(Ts+ l) з
где а=-
т
19
s2
а,3(1- 2at+а,~2)e- at'
(Ts+ l)з
1
гдеа=Т
--
117


No1
по
пор.
Иэобрю1..::енне
20
21
s
22
тs+1
23
24
тs+ 1
25
118
Продолжение табл 4 1
Оригинал
С (e-aif - e -a,t),
1
1
гдеCG1=Т;а2= ~
,
1
Т2
С=1
Т1-Т2
1 + C1e -a,t + С2е-и.,1,
1
1
гдеа1=--; а2=--·
Т1
Т2'
С1= ...~ - Т1Т1+Тr.
Т1(Т2-Т1) '
С,= т~-т1Т2+ Т~
-
Т2(Т1-Т2)


No1
по
пор.
Изображение
26
27
28
'tS+1
29
30
Продолжение табл. 4.1
Оригинал
С+ C1e-a,t + C2e-a,t + t,
1.
1
где а1 =-т; .а2 =--;
1
Т2
С=-(Т1+Т 2);
Tf
TI
С1=-=-~- С---­
Т1-Т2 ' 2 - Т2-Т1
C1e-a,t + (С2 + Сзf) e-a,t,
1
1
гдеа1=--у;; а2=т-;;
С1= Ti,
Сr:
(Т1-Т2)2 , 2=-"1;
1
Сз= -----
(Т2-Т1) Т2
C1e-a,t + (С2 + Сзt) e-a,t,
1
1
гдеа1=т-;; а2=-у;;
Т1 -'t
С1 = (Т1-Т2)2' С2=-С1;
't- Т2
Сз=(Т Т)2
1-
2Т2
1 + С1е--а,1 +(С?+ Сзt) e-a,t'
1
1
где а1=-Т; а2= --;;:--;
1
12
С_
-
'tl+ ('t1- Тl) Т1
i-
(Т1-Т2)2
'
С _,~ -'t1T,+(2T1 -T2 )T2 .
2-
(Т1-Т2)2
,
С-
•§ + (Т2-•1) Т2
з- (Т1 -Т2)Т~
1 - C1e-a,t + (С2 -1- Сзl) e- a,t,
1
1
гдеа1=Т1; а2=То;
7'r
2Т1 -Т2)Т2
С1 = СГ1 -Т2)2' С2= (Т1-Т2)2;
1
Сз=---
т1--Т2
119


Продолжение табл. 4 .1
No
1
1
по
Изображ е н ие
Оригинал
пор.
C1e- a,t + (С2+C3t) e-a,I,
1
1
гдеа1= -
7.; СХ2=-т;;
s
'
1
31
1
(T1s+ !) (T2s-+ 1)2
С1= -
(Т1 -Т2)2; С2 = - С1;
1
Сз=(Т1-Т2)Т~
C1e- a1I -\ - (С2-\- Сзf) е-0:21,
1
1
где а 1 =----у;; СХ2 = -т;;
52
С1=
1
32
(Т1-Т2) 2 Т1 '
(T1s+!)(T2s+1)2
Т1- 2Т2
.
С2 = (Т1 - Т2)2n,
1
Сз=(Т2- Т1)Т~
C1e-a,t + (С2 + C3t+ C4f2) e-o:,t,
1
1
где а1 = Т~; СХ2 =--у;;
1
С1=
п
С2 = -С1;
33
(Т1 - Т2).3 '
(T1s+1)(T2s+1)3
-Т1 .
Сз = (Т1 -Т2)2 Т2,
С4=
-1
2(Т 1 -Т 2)Т~
C1e-o:,t + (С2 + C3 t + C4t2) e-o:,t,
1
1
где а 1 = --;у;; СХ2=-т;;
34
't"S+J
С-(Т1
-
't) Т1. С2 = -С1;
(T1s+1)(T2s+J)З
i- (Тi- Т2)з'
't-T1
.
Сз = (Т1 - Т2)2Т2'
С4=
"t- Т2
2(Т1- Т2)Т~
120


Продолжение табл. 4.1
No
1
1
по
Изображение
. _Qр1_нинал
пор.
'
1+ C1e-a,t+ (С2+ C3t + С4'2)e-a.t,
1
1
где а 1 =---;у;; tX2=-y-;;
1
тз
С1=-
]
35
(Т1-Т2)3'
s(T1s-\- 1) (T2s+ 1) 3
С2=
Тr-(Т1-Т2) 3 .
.
-
(Т1- Т2)3 ' '
Сз=
2Т1 -Т2
1
(Т1-Т2)2' С4= 2(Т •'Г)Т
1-
'22
.. •-
C1e-a,t + (С2 + C3t + C4t2) e-a.t,
"
-
·
·1
1'
где а1=ri; tX2 = -т;·;
'
s
С1=- Т1
С2 =-С1;
36
;
(Т1 - Т2)з,
(T1s+ 1) (T2s+ 1)3
1
·'
Сз=(Т1-Т2)2Т2;
С4=
1
2 (Т1- Т2)Т~
С1е-а11+(С2 + C3t+ C4t2) е--:-а21 ,
1
1
·-
;
где tX1 = Т~; tX2 = -т;';
s2
С1=
1
С2 =- С1;
37
(Т1 -Т2)3'
(T1s-\- 1) (T2s+ l)з
Т1 -2Т2 .
Сз = (Т1 - T2)2n,
'
С4=-
l
2(7'1- Т2)Tt
1+ (С1+C3t) e-a,t+(С2+C4t)e- a2t,
1
1
гдеа1=-Т;
'
1.
tX2=-т;;
'
(3Т2- Т1) Тi
С1= (Т1-Т2)З '
38
1
s (T1s+ 1)2(T2s+ 1)2
С2=
(Т2-3Т 1 ) Т~
(Т1 - Т2)з
,
.-
·-·
Сз=- Т1
--
--
-
...
(Т1- Т2)2'
'
С4=- Т2
;
.,,
-~-·-~·
.;
-~.
.,
~
А• -~
·-·
--···- (Т1-Т2) 2
121


Продолжение табл. 4.1
No 1по
пор .
Изображение
Оригинал
,
1
39
С1=(Тi - Т2)(Тi - Тз) ,
Т2
.
С2=(Т2- Т1)(Т2- Тз) '
Тз
Cie-a ,t + C2e-a ,t + Сзе-а•t,
1
1.
гдеа:1=Т~; а:2 =т:;,
40
,;s+ 1
CG3 =----;у;;
Т1-•
.
С1=(Тi- Т2)(Т1- Тз) '
Т2-т
.
С2 = (Т2-Т1) (Т2-Тз)'
Тз-,;
-аt С -a,t _J_Сe-aat
С1е'+2е,з
,
J
1.
гдеа:1=-Т; CG2=т'
1
2
1
CG3 = Тз;
41
,;i-,;1T1-Тi .
С1=(Тi - Т2)(Тi - Тз)Тi'
,;~-т1Т2-n .
С2= (Т2-Т1)(Т2- 7'з)Т2'
,;~-,;1Тз-Т~
122


,
f
Продолжение табл 4.1
No1
по
пор.
Изображение
Оригинал
42
С1=(Т2- Тi)(Тi- Тз) ,
т~
.
43
-rs+ 1
C1e-a,t + C2e-a2t + Сзе-а•t,
1
1
1.
где а1=т;-; а2=Т2; аз= Тз ,
44
s'
1
.
Ci = (Т2 -Т1) (Т1 -Тз)'
1
.
С2=(Т1-
Т2) (Т2 -
Тз) '
1
Сз= (Т1- Тз)(Тз-Т2)
123


No1
по
пор .
Изображ е ние
45
52
46
1:s+ 1
47
1'24
Продолжение табл . 4.1
Оригинал
C1e-a,t + C2e-a,t + Сзе-а,1.
1
1
гдеа1=Т1; а2=т;;
'
1
аз=т;;
1
С1= --~----;
..
(Т1 - Т2) (Т1
-
Т3)Т1
1
С2=
;
(Т2 -Т1) (Т2 -Т3) Т2
1
Сз=
)
(Т8-Т1)(Т8- Т2 Тз
. ...
C1e-a1t + C2ec-a,t + (Сз + C4t) e-a,t'
1
1
где а1 = ----;у; ; а2 =у-;;
1
аз=-;
Тз
С1=
TI
,.
(Т1- Т2)(Т1- Т3)2 '
2·
..
С_
Т2-
2 -- (Т1 - Т2)(Т2-Тз) :2 '
С _ Т3 (2Т1Т2 - Т1Т3 - Т2Тз).
з - (Т1-Т3)2 (Т2-Тз)2 '
1
С4=-----­
(Т1 -- ·Тз) (Т2-Тз)
C1e - a,t + C2e-a,t + (Сз + C4t) e~a,t,
1
1
где а1=-т; а2=-
т;
1
2'
1
аз= Тз;
Т1(Т1 - 1:)
Ci = (Т1- Т2)(Т1- Т8)2 '
Т2('t - Т2)
С2= -------~
(Т1-Т2)(Т2-Т 3) 2 '
,: [Т§- Т1Т2) +
Са=+Тз[2Т1Т2- (Т1+Т2)Тз];
(Т1 -Тз) 2 (Т2-Тз) 2
Тз -1:
С1=---~---
Тз(Т1- Т3)(Т2- Тз)


Продолжение табл. 4. 1
·-
1
No
1
по
Изображение
Оригинал
пор .
1+ С1е-а,1 + С2е-а,1 + .
+ (С3 + C4t) е-<Хзl,
1
1
где ct1 =ri; ct2 = ~;
1
Gt3 = т;;
.48
1
С1=-
п
s (T1s-\- - 1) (T2s+ 1) (Т3Н-- 1)2
(Т1 - Т2) (7\- Т3)2
'
С2=
'Т~
(Т1-Т2) (Т2-Тз) 2 ,
Тg (-ЗТ1Т2 --\- 2Т1 Т3 --\-
Сз=
--!-2Т2Тз-Т~)
(Т1 -Тз) 2 (Т 2 -Тз)2
,
-r:-Тз
.
С4=
,
(Т1 - Тз) (Т2-Тз)
.
1
'
С1е-а,1 + С2е-а,1 +
+ (Сз + C4t) e-a,t,
1
1
где а1 =-т; ; а2=т;
l.
21,
1
'
Gt3=-;
!
Тз
49
s
-
IT1 .
(T1s--\ -1) (T2s--j- 1) (T3s --j - 1)2
С1=- (Т1-Т2)(Т1- ТзJ2
,
:
С2=
Т2
'
!
(Т1- Т2) (Т2- Тз)2 ,
!
- T1T2+n
:
Сз = (Т1-Т3)2 (Т2 -Тз)2 '
1
С4=-Тз(Т1- Т3) (Т2 - Т3)
125


Продолжение табл. 4. 1
No
1
1
по
Изображение
Оригинал
пор.
1 + С1е-а,1 + C2e-a2t +
+ Сзе-а,1 + С4е-а•1,
]
где ех, 1 =-у;;
тз
с-
1
•
1- - (Т1-Т2) (Т1--Тз) (Т1 -Т4) '
1
СХ.2= - ;
1
Т2
50
s(T1s+ 1) (T2s+ 1) Х
тз
С2= -
2
•
Х(Т3S+ 1)(Т4s+ 1)
(Т2-Т1) (Т2 - Тз) (Т2 - Т4)'
1
СХ.з=т;;
тз
Сз= -
~
•
(Тз - Т1) (Тз-Т2) (Т3 -Т4)'
1
СХ.4=-;
Т4
тз
С4 =-
4
(Т4-Т1) (Т4-Т2) (Т4-Тз)
1 + С1е-а,1 + C2e-a2I +
+ Сзе-а,t + C4e-a•t'
1
где ех,1 =- ·
Т1,
с1=
Тr(1:- Т1)
.
(7'1 - Т2)(Т1- Т3)(Т1- Т4)' •
1
СХ.2=-;
'tS+1
Т2
51
s (T1s+ !) (7'2s+ !) Х
С2=
Т~(1: - Т2)
.
Х(ТзS+ 1)(Т4s+ 1)
(Т2- Т1) (Т2- Т8)(Т2- Т4) '
1
СХ.з=rз;
с-
т~(,: - тз)
.
3- (Т3-Т1)(Т3-Т2)(Т8-Т4)'
]
СХ.4=-;
Т4
С_
n (-i:-T1)
4- (Т4- Т1)(Т4- Т2)(Т4- Тз)
126


Продолжение табл. 4.1
No
1
1
по
Изображение
Оригинал
пор.
се-- yt sin "лt,
1
s
v1-s2 .
52
T2s2+ 2sTs+ !'
где 'V =т; "л=
т
,
гдеО<s<l
1
С= "лТ2
се-У1 sin ("лt + 0), !
гдеу=;; "л=v1-s2.
,:s+ 1
т
'
53
Т2s2+ 2sTs+ 1'
V(1 - 2у1:)т2+ 1:2.
где'о<s<1
С= • "лтз
,
,:"л
0 =a rctg--
1-yr
1+ се-лt sin ("лt + 0),
[
гдеу=;;
vг=- s2 .
54
s(T2s2+ 2sTs + 1)'
"л= т
,
гдеО<s<1
1
"л
С=- "лТ ;0 = arctgy
1+ се-У1 sin ("лt - 0).
где'V = i;"л=v1-s2•
т
,
,:s+1
55
s(Т2s2 + 25Ts+ 1) '
V,:2+ <i - 2-y1:Jт2.
гдеО<5!<1
С=
"лТ2
,
0 = arctg
"лТ2
,: --уТ2
С+ С1е-У1 sin СМ+ 0) + t,
1
v1-s2•
s. "л=
1
где i' =т,
т
,
56
52(Т2s2 + 2sTs -i=--n '
1
гдеО<s<1
С=-2уТ2; С1=Т;
2у"л
0= arctgyz_ "л2
127


Продолжение табл. 4.1
1No
1
1
по
Изображен11с
Ориги1-1аJ1
пор.
-
ce-yt sin (М - 8),
s
6 л= V1-62.
T2s2+ 26Ts + 1'
где у =-у;
т
'
57
гдеО<6<1
1
л
с=-
') ,,7'3 ; 8 = arctg-
у
1
1+ се-У1 sin (лt - 8),
6 л=Vl-6?.
где у =у;
т'
i:2s2 + 1
58
s (T2s2+ 26-Ts + 1)'
Vу2 (i:2 + Т2)2 + '),,2 (~:2-Т2)2 • •
гдеО<6<1
С=-
'),,f2
'
л (i:2 -Т2)
8 = arctg у(i:2+ Т2)
С1е-У1 sin (лt + 8) + С2е-а1,
гдеу=;1 ; л= V1-62.
Ti'
1
1
а=-т;>
59
(Tis2 +26T1s+I)(T2s - \
-
l)'
1
!
гдеО<6< 1
с1= лт1vn(1 -2rт2) +т{;
Т2
.
С2=т2(! 2Т)-1т2'
l
-"у2 -2
,
8 = -arctg
'лТ2
l-yT2
С1е-У 1 sin (лt -\- 8) + C2e-al,
6
л=V1-62.
гдеу=Ti;
Т1'
1
i:s+ 1
а= Т2;
(7'rs 2 +26T1s-j - 1) Х '
60
1 vi:2 + п (l -2yi:).
Х (T2s+ 1)
с1 = лп n(l-2yт2J -f:n '
где
0< 6<1
Т2 -i:
.
С2=n(1- 2уТ2) +Т~'
лТ2
л~:
е=-
arctg
+arctgТ-yi:
!-уТ2
-
128


Продолже1-1и е табл . 4.1
Ор игинал
пор .
~~ 1 Изображение
1
~- ~---
61
62
63
s(ns2+21;T1s+!)Х'
. Х(T2s+!)
гдеО<1;<!
i-s+1
s (ns2 + 21;T1s-+- !) х '
Х(T2s+1)
гдеО<6< 1
s
·
(ns 2 +21;т1s+ \) Х'
Х(T2s+1)
гдеО<1;< 1
9 И. м_ Макаров
1 + C1e-'V
1sin(лt+0)+С2е-а1,
где у = -1;_. "-= V~.
Т1'
Т1'
!
а=-т;>
!
С1= -
----= --- -----
Л V'Z'i (I -2ут;) ·+- т~ '
с-
т~
2 - -Тf(l-2yT2) +n'
лТ
л
0=
-
arctg 1
2
+ arctg -
'-УТ2
У
1+ C1e- 'V1 sin (лt + 0) + С2е-а1,
где У= _1;_ .
Л= vт=-r2•
Т1'
Т1'
1
а= Т2;
C1e-'V1 sin (лt + 0) + C2e-al,
гдеу= -
6-; л=Vl---=-12 •
Т1
Т1'
1
_ а=-у;;
1
С1 = - ;;-;;:::~~=,=;===:ё=:::====с.
лпVn(\ - 2уТ2) ---j- т~'
С2=-
I
•
п(1- 2уТ2)+n'
0
лТ2
л
= - arctg1
-
arctg -
-уТ2
у
!?9


No1
по
пор .
64
65
66
130
Изображение
s2
(ns2+ 2sT1s+ 1)Х'
Х(T2s+1)
гдеО<~<1
(Тrs2+2sT1s+ 1)Х '
Х(T2s+ 1)2
гдеО<s< 1
s(Тrs2+2sT1s-\-1) Х'
Х(T2s+1)2
гдеO<s<1
Продолжение табл . 4.1
Оригинал
С1е-У1 sin (лt + 0) + С2е-а1,
s.
V1-s2•
гдеу= -
-
,
л= ---=--,
Т1
Т1
'
1
а=-т;>
с-
1
•
1 - лn Vn (1 -2уТ2)-\- т(
1
1
С2 = T2[Тr(l-2yT2)+T~]'
0= - аrctg лТ2
-
2 а rctg ..!:._
1
l-yT2
'\'
1
а--·
-
Т2'
1
С1=лR;0=2arctg 1-уТ2'
С2 = ~2 [2ТrТ 2 (l -yT2)];
1+C1C'V1sin(лt- 8)+
+ (С2 + Сзt) e-at,
V1-s2.
л=---,
Т1


Продолженuе табл. 4.1
No
1
1
Оригинал
по
Изображ ение
пор.
С1е-У1 sin ('лt - 0) + (С2 + С31) e-at,
s
"л=Vl-;2.
где'\' = -;
Т1'
Т1
1
а--·
s
-
Т2'
(Jrs2+ 2sT1s+ 1)Х '
п-п
1
С2=
67
Х(T2s+ 1)2
Ci= -
"лТ1R ;
R2'
гдеО<s<1
1
Сз= - T2R;
R = Тj (1-2уТ2) + Т~;
"лТ
"л,
0=2arctg
2
+ arctg-
1 -уТ2
'У
C1e-yt sin (лt - 0) + (С2 + C3t) e-at,
s.
"л=V1-s2.
где у= т;,
Т1'
1
52
а= Т2;
(ns2 +2sT1s+ 1) х '
2 (уТf -Т2).
68
1
С2=
х(T2s+ 1)2
с1= лnR ;
R2
'
гдеО<s< 1
1
Сз= T~R ;
R= Тj(1-2уТ2)+ Т~;
"л,Т
"л,
0=2arctg
2 + 2arctg-
l-yT2
'\'
С1е-У1sin('лt+0)+С2еa,t+
+ Сзе-азt,
s.
V1-s2 .
где'\'= Т~,"л,=
1\
,
1
1
1.
1
а2 = Т2; аз=-у;; Ci = -"лVR2Rз'
(Тjs2+ 2sT1s+ 1)Х '
т~
т~.
69
Х(Т2s+ 1)(Т3s+ 1)
С2=(Т2-Тз)R2; Сз=(Тз-Т2)Rз'
гдеО<s<1
R2= Тj(1-2уТ2)+Т~;
R3 = Тf(1-2уТ3)+n;
"л, (Ту - Т2Гз)
+
0= аrctg(Т2+ Тз) - у(Тj + Т2Тз)
'А
+ arctg-
'У
29*
131


No1
по
пор.
70
71
132
Изображени е
тs+1
(ns2+2;Т1s+1) Х '
Х(T2s+1)(T3s+1)
гдеО<6<1
s(Тrs2+26T1s+1)Х'
Х (Т2s--\- 1)(7'3S + 1)
гдеО<s<1
Продолжение табл . 4 . 1
Оригинал
C1e- vt sin(лt+0)+C2e- rx,t+
+C3e- rx,1 ,
s.
V~.
гдеV=Т'1'л=Т1
'
1
1
а2= Т2 ;аз=Тз;
1 v't2- 2утТr+п.
с- --
'
1-- лТ1
R2Rз
Т2(Т2-т).
С2=(Т2- Тз)R2'
1+c1e-vt sin(лt+0)+
+ C2e - r:x ,t + Сзе-а,t,
гдеV= i1 ;
1
V~.
Л=Т1'
... -
... -1 ---- -
-
-
-
СХ3 = т--;;
т~.
С2 =(Т3 -T2)R2'


No'i
по
пор.
72
73
Изобр_а:;кение
s
(ns2+26T1s+1)Х'
х(T2s+1)(T3s+ 1)
гдеО<6<1
52
(7'rs2 + 26T1s+ 1) Х'
х(7'2s+ 1)(T3s+ l)
гдеО<6<1
Продолжение табл . 4.1
с1е-У1 sin (лt+ 8)+ C2e- a.,t +
+ Сзе-а,t,
гдеу-
_6
_
.
л= v~;
-
Т1'
Т1
1
1
а2=Т2-;аз =Тз;
1
С1= V
'
'лТ1 R2Rз
Т2
.
С2 = Cf3 -T2) R2'
Тз
.
Сз=(Т2 -Гз) Rз'
R2=Ту(l- 2уТ2)+Т~;
Rз=n(l-2yT 3)+n;
л(Тr-Т2Тз)
C1e--c -Yf sin ("М + 8) +
+ С2е-а,1 + Сзе-а,t,
6.
,
V~.
где- у= -т-;, /\, =
7'i
>
1
l.
а2= •т-;;аз=тз ,
1 ... ·····
Ci=- лnVR2Rз,
1
•
С2 =(Т2 -Тз)R2;
1
Сз=(Т3 - Т2) Rз;
'R2=tП1 -2уТ2)+Т~;
Rз == fi (1 -2"уТ3) +Т~;
.
л(Тr-Т2Тз)
8= arctg(Т2+Т:;)-у(Тr+Т2Т3)
л
-
aгctg -
у
1.33


Продолжение табл . 4.1
N•
1
1
Оригинал
по
Изображение
пор,
С1е-"1'1 sin ('At + 0) +
+ C2e-a,t + Сзе-а•t,
6.л=
V1-s2•
где у = 'f'--;',
Т1'
1
1
IX2= -
; аз=у;
Т2
3
1
53
С1=
--
'
лn VR2Rз
74
(Тrs2+ 2sT1s+ 1)Х'
1
Х (T2s+ 1) (T3s+ 1)
С2=
;
Т2(Тз- Т2)R2
гдеО<s<1
1
Сз=
;
T3 (T2 -T3)R3
R2= Тf (1-2уТ2)+ Т~;
Rз = n (1-2уТ3) + та;
л(Тr-Т2Тз)
8 = arctg (Т2 +Тз)-"/ (Тr + Т2Тз)
-
Л,
-2 arctg-
'У
се-"1'1 (sin лt - м cos лt),
1
где'У__!_.
V1-s2.
75
(T2s2+ 2sTs + 1)2'
-
т' А=
т'
гдеО<:s< 1
1
С= 2лзТ4
e-VI[Сsinлt+C1tcos(лt- 81)],
где'У=_l; Л,= V1 -s2 .
т
т
'
"tS+ J
1+-v-т.
76
(T2s2 + 26Ts + 1)2'
с= -,дзт4'
гдеО<s< 1
V-т2+2-v-тт2+Г2.
С1=
2}.,2р
'
.
л-т
01= aгctg '\'"t + 1
134


Продолжение табл. 4.1
No
1
1
по
1
Изображ ен ие
Оригинал
1
пор .
e-vt [С sin лt + C1t cos ("At + 01)],
s.
л= V1- s2.
где у =у,
т
,
't~S2 -\ - 't1S-\- 1
С=
't~ -
72 ('\''t1 - 1)
2л3Т6
,
77
(7'2s2+ 2sTs:._i::-1)2'
Vл2 ('t~-т2)2+[,1 -у (,~+т2)J2.
гдеО<s<1
С1=
2л2то
,
'А(,~ -Т2)
01= arctg,1
,_
'\' (,~ +72)-
'А
-arctg-
'\'
1+ се-'11 ['АТ cos ('М + 20) -
1
-
sin('At+0)+лtcos('At+0)],
78
s (7'2s2+ 2sTs + 1)2 '
гдеу=_J_ •
Vi-s2•
.
т, л=
т
,
гдеО<s<1
1
'А
с= 2').,,3Т3; 0 = arctg-
'\'
1+ e-yl{Сcos(лt+ 0)+
+ С1[sin(лt- 01)- лtcos(лt- 01))},
гдеу=;; л=
v1-s2.
т
,
'ts+ 1
1
79
s (7'2s2+ 2sTs+ 1)2 '
с= 2').,,27'2 ;
гдеО<s< 1
_
V't2- 2у'tТ2+Р.
С1 - --2лз т4 --,
'А
0=2arctg- ;
'\'
0 1 =arctg
').,,7'2
't-ут2
1::15


No1
по
пор.
80
81
82
83
136.
Изображени е
s(T2s2+2(;Ts+1)2 '
гдеО<(;<1
s
---
(Т2s2 + 2(;Ts:+ 1j2'
гдеО<1;<1
52
Т2s2 + 2(;Ts·+ 1)2 '
гдеО<(;<1
53
(Т2s2 + 21;Ts + 1)2 '
.
где О<(;< 1
П роiJолжени е табл. 4. 1
Орнrинал
1+e--vt[cos('М+8)+
+С1sin (М-81)+C2tcos(M- 82)],
где у=;' ; А= Vl~;
1
8
'А
С = 2'f:if2; = 2 aгctg y;
--
Vл2Т4+[,1-у(,~+ т2Jр .
С1-
2'АзТ4
'
Со = Vл2 (,~-Т2)Ч- [у (t~+'Г2)-,! j2.
"
2'}.,2J4
'
'АР
81= агctg
(0 L Т");
'1-у '2Т "
8-
t ),(,~ -
т2)
2- агсgу(,~ +тz)_ ,
1
гдеу=_J__ ;
т
1
с= 2лзrо;
"л
8=aгctg -
у
ce- "V1[sin М - itcos('At - 28)],
где" = _J__ ,·
vг=1"2 .
'
Т'А=Т'
/1,
8= arctg-
'\'
ce--v1['АТcos(М- 28)+
+siп(М- 8)- 'Atcos(М- 30)],
где"=l
·
л= V~·
'
т'
т'
1
/1,
с=- 2л3Т7; 8= arctgу


No 1попор.
84
85
Изобра;,кение
(Туs2-1- 2s1T1s+1)Х'
Х (T~s2 +2;2T2s+!)
гдеО<s1< !;
о<s2<1
TS+1
(ns2 +2s1T1s+1) Х'
Х (ns2 +252T2s +1)
гдеО<51< \;
о<52<1
Продолж ение табл. 4.1
Орипiнал
C1e- y,t sin (л1t +01) +
+C2e- v,t sin (л2t +02),
где "
-
__i!_ •
л-Vг=-п.
rl-Т1,1-
Т1
,
-
__k_ .
л-V~ .
'\'2 -
т'
2-
т'
2
2
1
1
С1=---. - • C2 = ----
л1 V.R'
1,2VR'
R=(n- Т~)2+4('\'1 -
'\'2) Х
Х ('\'1тi....:...У2ТЮ nт ~;
л (Т2 тz)
01= агctg
•
21 1-
z
+
2у2т2-'\'1 (n + n)
02 = arctg
л
+ aгctg-1 •
'\'1 '
л2(n-Тr)
?
+
2y1Ti -
'\'2 (Ту+ Т~)
+ aгctg ~
'\'2
137


No1
гто
пор .
86
87
138
Изображение
s (Тis2+261T1s+ 1) Х'
Х (T~s2 +262Т2s -\- 1)
гдеО<s1<1;
о<62<1
'tS -j- 1
s (Jrs2 -J-26 1T 1s+ 1) Х'
Х (ns2 -\- 262T2s-\- 1)
гдеО<6l<1;
о<62<1
Продолжение табл. 4.1
Оригинал
1+c1гv,t sin (л1t -1- 81) +
+ С2е-'У21 siп (л2t -\- 82).
61.
_
v~.
гдеУ1=Т~,А1= ТI
,
'
6?.
v~.
'\'2= Т" ,
''2=
Т,
-
2
Т1.
Т~
С,=--- С,=-~-,
-
1,,VR'
•
l,zVR
R=(n- П)~
-1-4(У1-
'\'2) х
Х ('\'1Тr-Y2n) т1n;
1, 1 (1i -T~)
-l-
81 = aгctg ~У2Т~ -
'\'1 (Тi -1 - Т~)
л,
+2 arctg у~ ;
л2(Т~- Ту)
f-
02 = arctg 2'\'1Тi _ '\'z (1'j_
-1-Т~)
-
л2
-1 - 2 arctg-
y2


No1
по
пор.
88
89
--- ----- --
-
И зображение
(Туs2 +2617\s+ 1) Х'
Х (T~s 2 +262T2s+l)
гдеО<6i< 1;
о<62<1
52
(Tys2 + 261T1s+ 1) Х'
Х (T~s2+262Т2s+ 1)
гдеО<51< 1;
о<62<1
Продолже1-1ие табл. 4. 1
Орнrннал
C1e-V ,I sin (л1t + 81) +
+ C2e- v,t sin (л2t + 02),
61.л
vт-==-п .
где '\'1 = Т~,
1=
т1
,
62.
_v~
'\'2 = -7·'
л2- Т
'
2
2
1
1
.
с1= Л1т1VR'с2= Л2т2VR'
R=(n,- n)2+4('\'1 -
'\'2) Х
Х ('\'1Тr-'\'2 ТЮ nт~;
л1(Ту- ТЮ
81 = ar ~tg 2'\'in-'\'1 (Тr + n) '
л2 (Т~ -Тr)
С1 = - л1ТrVR'
1
с2= -
л2т~VR ;
R=(Тr- ТЮ2+4('\'1 -
'\'2) х
х ('\'1Тr - '\'2т~J nn;
"'1 (Тr-Т;)
_
81=arctg 2 тz_" (Т2+т2)
'\'2 2
11
1
2
л1.
-arctg-,
'\'1
л2(n-то
82 = arctg ~2-'\'~1т=1-"--'------"'\'·'-2(=т'°r-"-;+---,т;;;с~;,;---) -
139


Продолжение табл . 4 . 1
No
1
1
по
Нзобра>1-:е1111е
Ор11r нн ал
пор.
1
1.
1
90
Т2s2+1
ТS111af,гдеа=Т
Сsih(at+0),
тs+ 1
1
С=
V,2 + тz.
91
,,
гдеа=Т;
т2
,
Т2s2+1
т
0 = arctgy
1
1
1-- cos at,
1
92
s(Т2s2+ 1)
гдеа=Т
1+ Сcos(at+0),
тs+1
1
С=- V,2+тz.
93
где а= Т;
т
'
s (Т2s2+!)
т
0= arctgТ
1+ccos(at+8),
1
т~s2+ ,1s+ 1
где а= т;
94
С-
__
!_V,2т2+(Т2_
, 2)2•
s(Т2s2+1)
-
т2
1
2,
0 = arctg
,1Т
т2-,~
-
1
1
95
s2 (Т2s2 + !)
-
Тsinat-+1, гдеа=т
s
1
1
1
96
Т2s2+1
'Г2cosat, где а=Т
С1 sin (а,11 - 01) + С2е-а21,
1
1
где а,1 = Т1-
,
о:2 = -т-;;
1
97
1
0 -arctg ~
·
(Туs2+1)(T2s+ 1)
С1=
vn+n'
-
Т1,
С2= Т2
п+т~


No11
по
пор.
Изображение
98
'tS+J
99
100
'tS+1
101
Продолжение табл. 4 1
Оригинал
1+С1cos(a1t - 0) +с2е-а21,
1
1
гдеа.1=Т;а2= -
;
1
Т2
С1= -
Т1
Vn+т~ '
8= arctg То
Т1
141


продолже1-1ие табл. 4.1
No1
по
пор.
Изображен не
Ор11rннал
102
s
103
s2
104
105
'tS+1
142


-----· ---
--
Продолжен ие табл . 4.1
No
1
1
по
И зображе н не
Оригинал
.
пор.
1
1+ С1cos(a1t- 8)+
+ (С2+ C3t)e- a,I,
1
1
гдеа1= - - ;а2=-у-;
Т1
2
106
1
Тr
8 = 2 arctg~;
s(Тrs2+1)(T2s+ 1)2
С1=-Ti+Т~'
Т1
С2 =-
n (Т~ +ЗТr)
(Тr + Т~)2
,
Сз=- Т2
п. +п
С1cos(a1t - 8)+ (С2+ C3t)e- a,t,
1
1
гдеа1=Т~; а2=т;;
s
С1=
1
п-п.
107
п+п
,
С2=(Ту+Ti)2,
(Туs2 + 1) (T2s + 1)2
1
Сз=-Т(Т2
_,i.. Т2);
2112
82
т.,
=
arctg т:
С1sin(a1t - 8)+ (С2+ C3t)e-a,t,
1
1
гдеа1=т;; а2=т;:;
-1
52
Ci = Т1 (Ту+ Т~);
108
(Туs2 + 1),(T2s + 1)2
С2 =-
2Т2
(Тr + Т~)2
,
1
Сз = n(Тт.+n);
8
Т2
=2 arctg-
Т1
143


No1
по
пор.
109
110
144
Изображ.ен 11 е
(Т{s2+ 1)(T2s+ 1)Х
Х(T3s+1)
s
(Туs2+ 1)(Т2s+ 1)Х
Х(T3s+1)
продолжение табл . 4•1
Оригинал
С1sin(a1t- 8)+
+ C2e-a,t + Сзе--а,1,
'
1
1.
гдеа1=-Т;а2=т'
1
2
с1 = V(Ту+Т~)(Т(+Т§) '
т~
.
С:. = (Т2-_Т3) (Tr + n)'
Т§
.
Сз=(Тз - Т2)(Ту+Т§)'
Т1(Т2+ Тз)
8 = arctg Ту-т2т3
С1cos(a1t - 8)+C2e-a,t+
+ Сзе-а,t,
1
1.
гдеа1=-----т;; а2 = т2'
С1=V(Тr +тю(Ту+Т§) '
Т2
.
С2 = -(Т~з-=Т----с2) (ТJ+Т~)'
Тз
.
Сз = -(Т-2-----:Т;;-з--,-)(Тr + n) '
Т1(Т2+ Тз)
8 = arctg n-Т2Тз


11 родолж сниr табл. 4. 1
No
1
1
по
И:зобра :жение
Ор1-1 rн1-1ал
пор .
С1sin(a1t- 0)+C2e-a,t+
+ Сзе-а,1 ,
1
1
гдеа1=Т~; а2= -----т:;;
1
52
СУ.3 = у;
3
111
(Тts2+1)(T2s+ 1)Х
С1= --
1
Х (Т3S -j- 1)
Т1 V(Тt + тю (Тr +У'#),
1
Cz = (Т2 -Т3)(Тt+Т~);
i1
Сз=(Т3-Т2)(Тt+Т~);
0= aгctgТ1 (Т2+Тз)
Тt- ТzТ з
1.
t
112
1
2ТSlnat- 2Т2cosat,
(Т2s2 + 1)2
1
гдеа=-Т
С1siпat+C2tcos(at+0),
TS+1
1
1
113
гдеа=т; С1=2Т;
(Т2s2 + 1)2
V,2+тz.
С2=-
0 = aгctg~
2Т3
,
т
1
1- cosat -
_t_sinat гдеа=_I_
114
s(Т2s2 + 1 )2
2Т
'
,
Т
1 +c1 cos(at+ 01 )+
'
+C2tsin(at+02),
1
С1=-V--c2 +4r2.
115
тs+ 1
гдеа=т;
2Т'
s (Т2s2 + 1)2
V--c2+тz .
С2=- 2Т2 '
т
01=aгctg2Т;
't
02= arctgТ
10 И М. Ма1<Зf)ОВ
145


Продолжение табл . 4.1
No
1
1
110
Изображение
Оригинал
пор .
l+ С1cos(at+ 81)+
+C2tsin(at- 82),
1
С1= -
V--c r +4P.
гдеа=у;•
2Т
'
116
--c;s2+ 1:1S+ 1
с_ 1 v2т2+(2 т2)2
s (Т2s2 + 1)2
2-
2тз 't1
't2-
•
't1 .
81= arctg 2Т ,
--с1Т
82= агctg - 2
Т''
't2- -
117
s
t
.
t
1
(Т2s2 + 1)2
2Т3 SШа.гдеа=т
1.
t
52
2Т3 sш at + 2Т4 cosat,
118
(Т2s2+ 1) 2
1
гдеа=т
С1siпa1t+С2sina2t.
l
l
119
l
гдеа1=Т~; а2=--;
(ns2 + l)(T~s2
-t !)
Т2
Т1
Т2
С1=
п-п.' С2 = Т~-Тr
С1sin(a1t+81)+С2 sin(a2t+82),
l
l
гдеа1=--т;;а2=----т;;
С1=
V1:2+Тr.
Т'f-Т~ '
--cs+l
120
(Туs2 + l) (n_s2 + 1)
V--c 2 +n.
С2=
п.-п '
't
81 = arctg т";;
't
82 = arctg-т;
146
-


No1
по
п ор.
И зобра;+:.енне
121
1
s(Туs2+l)(T~s2+l)
122
TS+l
s (Туs2+l)(ns2+!)
123
s
(Тr_s2 + 1) (ns2 + l)
124
52
(Туs2+l)(ns2+l)
10*
Продолже1-ше табл . 4. 1
Оригинал
1+С1c@s(a1t+01) +
+С2cos(a2t+02),
\.
Т1V,2 +п.
гдеIX1= -
т,С1= т2_т2
'
1
2
l
1
т2v ,2+п.
а2= Т
,
С2= т2 т2
,
2
l-
2
т
т
01 = aгctg Т~; 02 = arctg т-;
С1sina1t+С2sina2t,
1
1
гдеIX1= Т~; С1 =Т1(n_ Тr);
1
С2 = Т2 (Ту-ТЮ
147


No 1no
1юр.
И з ображен,,е
125 (Тrs2+1)(ns2 +21;T2s+ 1)'
126
148
гдеО<1;<1
1
--s-(:;;;т;;-;;r--,s2·+,-----,1')7х~- ,
Х (T~s2 +21;T2s + 1)
гдеО<1;<1
Продол жение табл. 4.1
Оригинал
С1sin(at- 81)+
+ с2~-;1 sin (лt + 82),
"
1.
1;·
.
где а= -т---;, У=~,
,_V~.
,. ._
Т2
,
Т1
1.
С1=VR;С2=лVR,
R = (Ту-- TI02 + 4у2ТуТt;
2ут1n
81=aгctgт2-т2
,
1
2
1v(Ту-ТЮ
02 = arctg у(Ту+ТЮ +
л
+ aгctg-y
' !+С1cos(at-0.1) +
+c2cv1 sin (лt +82),
1
1;.
гдеа=-Т-; У=---у-,
1,
2
-- --
Т2
.
С2= -
лV(Ту - тю2 + 4у2nт;,
2ут1n
81=аrctg Ту--т; ,
л (Тr-ТЮ
02=arctgу(Ту+ТЮ+
л
+2arctg-
y


No1
по
пор.
127
128
Изображе1 Iне
s
---,-=-;с;--;;----с----;-;--:-;--- '
(Тrs2+ l)Х
Х(nsz+21;T2s+l)
гдеО<1;<l
52
--=,;-~----;с);--:-:--'
(ns2+l Х
x(ns2+21;T2s + 1)
гдеО<1;<l
Продолжение табл. 4 . 1
Ор11гннал
С1cos(at- 01) +
+C2e-V1siп ('"лt+02),
l
1;.
гдеа,=Т~; 'У=Т2,
С2=
-
'АТ2 V (Тr - Т~)2 + 4у2ТfТ1;
2уТ1Т~
01= aгctg Тr-n ,
'А(Ту-ТЮ
02= агctg - (TZl TZ)
'У112
С1siп(at- 01)+
+ C2e- V1 siп ("Ai + 02),
1
1;.
гдеа=-Т-;
"?=Т,
1
2
cl=
-
Т1 V(Тr-n)~+ 4Y2rrтi '
1
С2=
4'
лт~ V(Тr-nJ2 + 4у 2пт2
2уТ1Т~
01 = aгctg Т"
т2,
i-2
л (T'f-TIO
02 = ;JГctg 'У(Tr+Т~) -
'А
-
arctg --
'Y
149


т. е . отношение ~ разлагается на q + "1'} + μ простейших дробей.
После этого обе части равенства нужно умножить на Q и сделать
сокращения , а з атем, приравнивая 1<0эффициенты при одинаковых
степенях s, составить систему уравнений, из которой и опреде­
лятся коэффициенты А;, В ; , С; и f!l);.
Подобная процедура может оказаться громоздкой. Однако
табл . 4. 1 позволяет отыскивать оригиналы, соответствующие изо­
бражениям со знаменателем до пятой степени включительно.
Поэтому при п > 5 изображение можно разлагать не на · простей­
шие дроби, а на дроби со знаменателями не выше пятой степени.
4.2 . МЕТОД ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Основой метода является зависимость, существующая между
переходной характеристикой устойчивой САР и ее вещественной
характеристикой Р = Р ((J)) относительно одного из внешних
воздействий :
"'
h= ~J_P
_s~
_
n _w _t d(J).
(4.8)
о
Суть метода в следующем. Интеграл (4.8) вычислен при раз­
личных значениях параметров вещественной частотной характе­
ристики простейшей формы (трапеция или треугольник) и резуль­
таты сведены в таблицу. Реальную характеристику Р разбивают
на несколько простейших Р;:
(4.9)
Для каждой простейшей характеристики Р; с помощью таб­
лицы определяют соответствующую ей h; . Тогда переходная
характеристика h, соответствующая Р, определяется суммирова­
нием составляющих h; :.
(4.1 О)
В качестве типовой В . В. Солодовниковым [ 113] была выбрана
единичная трапецеидальная вещественная частотная характе­
ристика (рис . 4.1) . Ее высота равна единице, а основание равно
(J)п = 1 с- 1 . Изменяющимся параметром является отношение
меньшей параллельной стороны к большей (к основанию):
которое называют коэффициентом наклона .
150
(4.11)


Рис. 4.1 . Еди нична я трапецеидальная вещественная
частотная характеристика
По равенству (4.8) вычислены зна­
чения h-функции, т. е . значения функ­
ции времени т = twn, условно соответ­
ствующие единичной трапеции с коэф­
фициентом наклона Х, лежащим в пре­
делах О < х < 1. Значения h-функции
приведены в табл . 4.2.
Построение переходной характери­
стики h по вещественной частотной ха­
р
1 ~---
uJ, с-т
о
рактеристике Р методом трапеций состоит из следующих этапов :
(- ( · Вещественную частотную характеристику разбивают на
, трапеции.
Для этого кривую Р (w) заменяют приближенно прямолиней­
ными отрезками и концы каждого отрезка соединяют с осью орди­
нат прямыми, параллельными оси абсцисс (рис. 4.2). Первый
отрезок должен начинаться из точки Р (О), так как эта точка опре­
деляет конечное значение переходной характеристики h (N) =
= Р (О). Более тщательно необходимо аппроксимировать началь­
ную часть вещественной характеристики. Ее «хвост», т. е. конеч­
ную часть с ординатами, меньшими по абсолютной величине,
чем О, IP (О), можно не принимать во внимание.
На рис. 4.2 кривая Р (w) аппроксимирована шестью трапе -
циями:а,6,в - трапеция1;в,г,д,е- трапеция2;е,д,ж,з-
трапеция 3; з, ж, и, й - трапеция 4, й, к, л, ;1.1
-
трапеция 5;
м,л,н,о- трапеция6.
2. Определяют параметры трапеций .
Для каждой (i-й) трапеции по графику определяют частоты
wai и wni и высоту Р;. Частоты отсчитывают от начала осей коор­
динат. По значениям wai и wni . вычисляют коэффициент наклона
(i).
х = ~ и его значение округляют до 0,05.
Wш
Величине Pi приписывают положительный знак, если мень­
шая параллельная сторона трапеции расположена выше большей,
отрицательный - в противоположном случае . Сумма высот всех
трапеций равна Р (О).
Параметры трапеций, аппроксимирующих характеристику
Р (w) на рис. 4.2, занесены в расчетную табл. 4 .3 .
3. Определяют составляющие переходной характеристики .
В таблице h-функций для каждой i-й трапеции отыскивают
столбец, соответствующий значению Х· Затем для каждой точки
по условному времени т определяют действительное время
t = _-._,
Wni
(4.12)
и по значению h (т) определяют ординату hi (t) = Pih (т) соста­
вляющей переходной характеристики, которая соответствует дан­
ной трапеции .
151


Таблица
1
0,00
1
о,05 1 0,10 1 0,151 0,20 1 0,251 0,30 1 0,35"1 0,40 1 0,45 1
0,()
0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,5
0,138
0,165 о, 176 0,184 0,192 0,199 0,207 0,2151 0,223 0,231
1,0
0,310
0,326 0,340 0,356 0,371 0,386 0,401 0,417 0,432 0,447
1,5
0,449
0,469 0,494 0,516 0,538 0,560 0,594 0,603 0,617 0,646
2,0
0,572
0,597 0,628 0,655 0,683 0,709 , 0,732 0,761 0,786 0,810
2,5 0,674
0,707 0,739 0,771 0,802 0,833 0,862 0,891 0,917 0,943
3,0
0,755
0,790 0,828 О,8 Е3 0,896 0,928 0,958 0,987 1,013 1,038
3,5 0,815
0,853 0,892 0,928 0,963 0,994 1,024 1,050 1,074 1,095
4,0
0,857
0,896 0,938 0,974 1,00 8 1,039 1,060 1,090 •1,110 1,127
4,5
0,883
0,923 0,96 0 0,997 1,029 1,057 1,084 1,104 1,120 1,129
5,0
0,895
0,939 0,977 1,012 1,042 1,067 1,087 l ,102 1,112 1,117
5,5 0 ,900
0,940 0,986 1,0 15 1,042 1,063 1,079 1,088 1,092 1,096
6,0
0,903
0,942 0,982 1,013 1,037 1,054 1,065 1,070 1,068 1,062
6,5
0,904
0,943 0,980 1,009 1,030 1,043 1,050 1,049 1,043 1,033
7,0
0,904
0,944 0,979 1,006 1,024 1,035 1,037 1,033 1,023 1,009
7,5
0,907
0,945 0,980 1,006 1,019 1,027 1,025 1,020 1,005 0 ,989
8,0
0,910
0,951 0,985 1,008 1,020 1,024 1,021 1,012 0,998 0,981
8,5
0,918
0,956 0,989 1,010 1,021 1,022 1,018 1,007 0,992 0,977
9,0
0,924
0,965 0,997 1,016 1,025 1,025 1,018 1,006 0,992 0,978
9,5
0,932
0,972 1,004 1,022 1,029 1,027 1,019 1,006 0,993 0,982
10,0
0,939
0,978 1,009 . 1,025 1,031 1,027 1,019 1,006 0,993 0,987
10,5
0,946
0,985 1,013 1,028 1,033 1,028 1,017 1,005 0,993 0,989
11,0
0,947
0,988 1,015 1,029 1,031 1,025 1,014 1,002 0,993 0,991
11,5
0,949
0,988 1,016 1,027 1,02 8 1,021 1,010 0,999 0,991 0,989
12,0
0,950
0,990 . 1,015 1,025 1,024 1,015 1,004 0,994 0,988 0,990
12,5
0,950
0,989 1,013 1,022 1,019 1,010 0,999 0,990 0,986 0,989
13,О 0,950
0,989 1,012 1,019 1,015 1,005 0,994 0,986 0,985 0,989
13,5
0,950
0,990 1,011 1,017 1,011 1,000 0,990 0,983 0,984 0,989 .
14,О
0,952
0,989 1,011 1,016 1,009 0,997 0,988 0,983 0,985 0,991
14,5
0,954
0,990 1,012 1,015 1,008 0,996 0,987 0,985 0,988 0,996
15,0
0,956
0,993 1,012 1,014 1,007 0,995 0,988 0,987 0,991 1,000
15 ,5
0,959
0,995 1,014 1,014 1,006 0,995 0,989 0,988 0,996 1,004
16,О
0,961
0,997 1,015 1,014 1,006 0,995 0,99] 0,992 0,998 1,007
16,5
0,964
0,999 1,016 1,014 1,005 0,995 O,Q93 0,995 1,002 1,009
17,0
0,965
1,001 1,016 1,013 1,005 0,995 0,994 0,997 1,005 1,010
17,5
0,966
1,002 1,015 1,012 1,003 0,995 0,994 0,998 1,006 1,010
18,0
0,996
1,002 1,015 1,0]] 1,002 0,995 0,995 1,001 1,008 1,010
18,5
0,966
1,001 1,015 1,009 1,001 0 ,994 0,995 1,001 1,007 1,009
19,0
0,967
1,000 1,015 1,00 8 0,998 0,992 0,995 1,001 1,006 1,006
19,5
0,967
1,000 1,014 1,006 0,996 0,991 0,995 1,001 1,005 1,004
20,0
0,967
1,000 1,013 1,005 0,995 0,991 0,995 1,001 1,005 1,002
20,5
0,968
1,002 1,012 1,004 0,994 0,991 0,996 1,002 1,004 1,001
21,0
0,968
1,002 1,011 1,003 0,994 0,992 0,997 1,003 1,004 1,001
21,5
0,969
1,002 1,011 1,003 0,995 0,992 0,999 1,004 1,004 1,000
22,0
0,971
1,002 1,011 1,002 0,995 0,993 1,000 1,005 1,004 0,999
22,5
0,973
1,002 1,011 1,002 0,996 0,995 1,002 1,006 1,004 0,999
23,0
0,974
1,010 1,001 1,002 0,996 0,996 1,004 1,007 1,003 0,998
23,5
0,975
1,005 1,010 1,002 0,996 0,998 1,004 1,008 1,003 0,998
24,О
0,975
1,005 1,010 1,001 0,996 0,999 1,005 1,007 1,005 0,997
24,5
0,975
1,005 1,009 1,000 0,996 0,999 1,005 1,006 1,001 0,997
25,0
0,975
1,005 1,008 1,000 0,995 0,999 1,005 1,004 1,005 0,996
25,5
0,975
1,005 1,008 0,999 0,995 0,999 1,004 1,003 0,998 0,996
26,0
0,975
1,005 1,007 0,999 0,995 0,999 1,004 1,002 0,997 0,996
152


h-функц ий
Т айл~ща 4.2
1 0,50
1 0,55 10,60 10,65 10,7010,7510,8010,8510,901 0,95
1
1,00
0,000 0,000 0 ,000 0 ,000 0,000 0 ,000 0,000 0 ,000 0 ,000 0,000
0,000
0,240 0,248 0,255 0,259 0,267 0,275 0,282 0,290 0,297 0,304
0,314
0,461 0,476 0,490 0,505 0,519 0,534 0,547 0,562 0,575 0,593
0 ,603
0,665 0,685 0,706 0,722 0,740 0,758 0,776 0,794 0 ,8 13 0,832
0,844
0, 833 0,856 0,878 0,899 0,919 0,938 0,956 0,974 0, 986 1,003
1,020
0,967 0,985 1,010 1,030 1,050 1,067 1,084 1,090 1, 105 1,120
1,1 33
1,061 1,082 1,100 1, 11 7 1,130 1, 142 1,154 1,1 64 1, 172 1,176
1,178
1,11 5 1,132 1,145 1, 15 8 1,161 1,166 1,171 1 ,174 1 ,175 1,175
1, 175
1, 142 1,1 52 1,158 1,159 1,160 1, 161 1,156 1,149 1, 141 1 ,13[
1,118
1,134 1,13 8 1, 138 1,134 1,132 1, 127 1, 111 1 ,099 1,085 1,07 1
1,053
1, 11 8 1,115 1,107 1,098 1,084 1,069 1,053 1,037 1,019 1,001
0,986
1,092 1,083 1,070 1,050 1,032 1,016 0,994 0, 979 0,962 0,95 1
0,932
1,0 51 1,037 1,021 1,003 0 ,984 0,956 0,949 0, 934 0,922 0,920
0,906
1,0 18 1, 00 1 0,982 Q,946 0,948 0,936 0 ,92 0 0 ,9 10 0,903 0,903
0,905
0,993 0,975 0,957 0,94 1 0,927 0,917 0,911 0, 908 0 ,909 0,915
0,925
0,974 0,958 0,944 0,926 0,922 0 ,9 11 0,920 0,927 0, 934 0,946
0,958
0,966 0,951 0,941 0,935 0 ,932 0 ,9 36 0,944 0,955 0,970 0,986
1,004
0,966 0 ,949 0,944 0,948 0 ,95 1 0,958 0, 974 0,990 1,006 1,023
1,04 1
0,970 0,960 0,961 0,966 0 ,976 0,990 1,006 1,023 1,039 1,053
1,061
0 ,975 0, 972 0,980 0,987 1,000 1,015 1,033 1,048 1,059 1,066
1,066
0,982 0,985 0,993 1,006 1,020 1,036 1,049 1,059 1,063 1,062
1,056
0,987 0,996 1,007 1,017 1,033 1,046 1,054 1,058 1,055 1,048
1,033
0, 993 1,002 1,014 1,027 1,039 1,047 1,048 1,044 1,034 1,021
1,005
0,997 1,006 1,017 1,02 9 1,037 1,043 1,034 1,024 1,010 0,994
0,977
0,997 1, 00 6 1,019 1,02 6 1,027 1,025 1,015 1,000 0,984 0,969
0,958
0,99 7 1, 006 1,018 1,019 1,017 1,010 0,995 0,979 0,965 0,954
0,949
0,997 1,006 1,014 1, 012 1,005 0,993 0 ,980 0,964 0,955 0 ,950
0,955
0,998 1,006 1,010 1, 005 0 ,995 0 ,982 0,968 0 ,958 0,954 0,958
0,970
1,ООО 1,006 1,008 0,999 0,987 0,974 0,965 0,961 0,965 0,976
0,990
1,002 1,00 6 1,005 0 ,994 0,983 0,970 0,969 0 ,971 0,981 0,997
1,0 10
1,00 5 1,007 1,002 0,993 0,983 0 ,976 0,978 0,987 1,001 1,017
1,030
1,008 1,007 1,001 0,993 0 ,985 0,984 0,991 1,003 1,019 1,032
1,040
1,011 1,0 08 1,000 0,994 0,990 0 ,993 1,003 1,018 1,031 1,039
1,039
1,0 11 1,008 1,00 1 0,996 0 ,995 1,001 1,014 1,027 1,036 1,038
1,028
1,012 1,007 0,999 0 ,997 0,999 1,008 1,020 1,030 1:оз2 1,027
1,012
1,009 1,005 0,997 0,998 1,002 1,012 1,023 1,027 1,023 1,013
0,988
1,008 1,002 0,997 0,998 1,004 1,014 1,020 1,018 1,008 0,993
0,979
1,00 6 0,999 0 ,995 0 ,998 1,003 1,012 1,014 1,007 0,933 0 ,978
0,969
1,001 0,995 0 ,993 0 ,997 1,004 1,009 1,006 1,007 0,981 0,969
0,956
0,998 0 ,992 0,992 0,996 1,003 1,005 0,998 0 ,9 85 0,973 0,967
0,973
0,996 0,991 0,992 0,995 1,003 1,001 0,991 0,979 0,972 0,974
0,985
0,995 0,991 0,994 0,996 1,001 0,996 0,986 0 ,976 0,974 0,990
1,001
0,995 0,998 0,997 0,99 6 0,999 0,993 0 ,983 0 ,975 0,981 1,002
1,016
0,996 0 ,995 1,ООО 0,995 0 ,998 0 ,992 0,986 0,988 0 ,9 97 1,013
1,024
0,996 0,996 1,000 0 ,997 0 ,997 0,991 0,991 0,997 1,012 1,024
1,029
0,997 1,000 1,004 1,000 0 ,996 0 ,992 0,998 1,008 1,022 1,028
1,026
0,998 1,001 1,006 1,001 0,997 0 ,994 1,002 1,015 1,025 1,027
1,016
0 ,999 1,002 1,007 1,002 0, 998 0 ,997 1,007 1,017 1,023 1,023
1,002
1,000 1,002 1,008 1,003 0 ,9 99 1,000 1,008 1,01 7 1,015 1,012
0,988
1,000 1,002 1,006 1,003 1,000 1,002 1,00 8 1,014 1,005 0 ,995
0,979
1,000 1,002 1,004 1,003 1,001 1,003 1,005 1,008 0 ,991 0,985
0,975
1,000 1,002 1,002 1,002 1,002 1,004 1,004 1,001 0,986 0 ,978
0,977
1,000 1,002 1,000 1,001 1,002 1,004 1,002 0,987 0,984 0,977
0,983
-
.
153


Табл~ща 4.3
Постро~ние переходной характеристи ки методом трапеций
Тр апеция l
Трапеция 2
(i)al = О
(t)a2 = 6
(i)nl = 4
(i)п2 = 8
х,=о
х,= О,75
Р,=
- 0,04
Р, = 0,39
t1
,,, (t)
с 11,,и)\
О, 125 - 0,006 0,06 0,11
0,250 - 0,012 0,13 0,21
0,375 - 0,018 0,19 0,30
0,500 - 0,023 0,25 0,3 7
0,625 - 0,027 0,31 0,42
0,750 -0,030 0 ,38 0,45
0,875 - 0,031 0,44 0,45
1,000
-
0,034 0,50 0,45
l,125 - 0,035 0,63 0,42
0,75 0,38
0,88 0 ,36
0,94 0,36
1,00 0 ,37
1,13 0,39
ро
1,0 а
0,8
е
0,6
0.4
'-
0.2
оо
5
15
0,2 м
J
0,4
li
154
Трапецня 3 Трапеция 4 Трапецня 5 Трапеция 6
(i)аз = В
(i)a4 = 10,6 (i)a5 = 14
(i)аб = 22
(i)пз = 10,6 (i)n4 = 13 (i)n5 = 22
(i)п6 = 45
Хз= 0,75 х.= 0,80 х,= 0,65
Хо = 0,50
Рз= 0,90 Р4= 0,20 Р,=
-0,25 Р,=
- 0,2
1 1,,,(1) 1 \h4(1) 1 1h,(1)
1 1h,(1)
0,05 0,25 0 ,08 0,11 0,05 - 0,13 0,04 - 0,17
0,09 0,48 0,15 0,19 0,09
-
0,22 0,09
-
0,23
О, 14 0, 68 0,23 0,23 0,14
-
0,28 О, 13 -0,21
0,19 0,84 0,31 0,23 0,18 - 0,29 0,18 - 0,19
0,24 0,96 0,39 0,21 0,23 - 0 ,27 0,22
- 0,20
0,2 8 l,02 0,46 0,19 0,27
-
0,25 0,27
-
0,20
0,33 1,05 0,54 0 , 18 0,32 -0,24 0,31 - 0,20
0,38 1,04 0, 62 0,19 0,3 6
-
0,23 0,36
-
0,20
0,47 0,96 0, 69 0,20 0,41
-
0 ,24
0,57 0,86 0,77 0,21 0,45 - 0,25
0,66 0,83 0,85 0,21 0,50 - 0,26
0,7 6 0, 84 0,92 0,20 0,55
-
0,2 6
0,85 0,89 1,00 0,20 0,59 - 0,25
0,94 0,93 1,08 О,19 0,64 - 0,25
1,04 0,94
1, 13 0,92
Рис. 4. 2 . Аппроксимация вещественной ча­
стотной характеристики траnеЦиями
20


Рис. 4.3. График составляющих hi (1) переходной характери­
стики
Полученные значения r и h; (t) целесообразно заносить в таб­
лицу расчета. Иногда можно брать лишь часть точек h-функции.
Чем больше значение ffiп;, тем меньше точек h-функции нужно
брать . При этом следует выбирать точки, равномерно отстоящие
одна от другой и определяющие максимумы и минимумы
h-функции.
В табл. 4.3 определены составляющие переходной характери ­
стики, соответствующие трапециям рис . 4.2.
4. Строят график составляющих переходной характеристики.
Все составляющие строят на одном графике. Знак каждой из
них определяется знаком высоты Pi соответствующей трапеции.
Обычно оказывается, что некоторые составляющие определены
на меньших отрезках времени, чем другие. Это означает, что
указанные составляющие раньше других достигли установивше­
гося значения и в дальнейшем остаются неизменными.
Составляющие, определенные в табл. 4.3, построены на рис. 4.3.
5. Строят график переходной характеристики .
Ординаты переходной характеристики определяют суммиро­
ванием ординат всех составляющих в выбранные моменты вре­
мени. Целесообразно сначала определить ординаты через равные
промежутки времени. Затем определить дополнительные точки
там, где · вероятны максимумы или минимумы характеристики
и.... имеются максимумы или минимумы составляющих .
\ После построения достаточного числа точек характеристики
их соединяют плавной кривой (рис. 4.4). Штриховой линией
показано точное значение переходной характеристики этой си ­
стемы.
Следует заметить, что погрешности переходной х арактеристики
тем больше, чем сложнее форма кривой вещественной частотной
характеристики. Значительное увеличение числа аппроксими-
155


hlt)
1,2
1,0
0,8
0,б
0,4
0,2
о
0,2
о,4
О,б
0,8
1,0 t,c
Рис. 4.4 . Перех одная характеристика
рующих ее прямолинейных отрезков (и трапеций) может не умень­
шить погрешностей. Ведь для каждой трапеции округляется
значение Х,, возникают погрешности при построении и сумми­
ровании составляющих.
А. А. Вороновым в качестве типовой вещественной частотной
характеристики выбрана треугольная [24] . При этом возможно
избежать графического суммирования составляющих переходной
характеристики .
•
Другой метод определения переходной характеристики по
вещественной частотной характеристике системы [89] заклю­
чается в следующем.
Вещественную частотную характеристику -аппроксимируют
отрезками прямых . Аппроксимацию начинают из начальной точки
характеристики (ш O = О; Р O = Р (О)). Конец каждого i-го отрезка
(i = 1, 2 ...) характеризуется ординатой Р; и абсциссой ш;.
Затем для каждого прямолинейного участка характеристики
вычисляют значения производной
(4.13)
и вспомогательной величины
bi= (Р:+1- Р;)Шi.
(4.14)
Переходную характеристику определяют по формуле
п
h(t)= ~Ь;В(т;),
(4.15)
i=l
156


Таблица 4.4
Значения функции В (т)
't
1
в(,;)
11
't
1
в(,;)
11
't
1
в(,;)
11
't
1
в ('t)
11
't
1
в ('t)
0,05 0,0159 1,40 0,4223 2,75 0,7168 4,2 0 ,868 1 10,5 0,9437
О, 10 0,0318 1,45 0,4357 2,80 0,7248 4,3 0,8732 '11,0 0,9472
0,15 0,0477 1,50 0,4489 2,85 0,7325 4,4 0,8777 11,5 0,9491
0,20 0,0636 1,55 0,4620 2,90 0,7401 4,5 0,8818 12,0 0,9498
0,25 0,0794 1,60 0,4749 2,95 0,7475 4,6 0,8853 13,0 0,9500
•• 0~30 0,0953 1,65 0,4876 3,00 0,7546 4,7 0,8885 14,0 0,9515
0,35 о, 11 10 1,70 0,500.1 3,05 0,7615 4,8 0,8912 15,0 . 0,9555
0,40 0,1268 1,75 0,5125 3,19 0,7-683 4,9 0,8935 16,0 0,9606
0,45 0,1424 1,80 0,5246 3, 15 0,7748 5,0 0,8955 17,0 0,9646
0,50 0,1581 1,85 0 ,5366 3,20 О , 7811 5,1 0,8972 18,0 0,9662
0,55 0,1736 1,90 0,5483 3,25 0,7872 5,2 0,8986 19,0 0,9664
0,60 О, 1891 1,95 0,5599 3,30 0,7931 ~ . 3
0,8997 20,0 0,9668
0;65 0,2045
• 2,00 0,57 13 3,35 0,7988 5,4 0,9006 21
0,9684
0,70 0,2 198 2,05 0,5824 3,40 0,8043 5,5 0,9013 22
0,9710
0,75 -0,2350 2, 1{) 0,5934 3,45 0,8097 • 5,{;i_ 0,9018 23
0,9733
0,80 0,2502 2, 15 • 0,6012 3,50 0,8148 . 5,7 0,9022 24
0,9745
0,85 0,2652 2,20 0,6147 3,55 0,8197 . 5,8 0,9025 25
0,9748
0,90 0,2801 2,25 0,6251 3,60 0,8245 5,9 0,9027 30
0,9795
0,95 0,2950 2,30 0,6352 3,65 0,8290 6,0 0,9028 35
0,9820
. J,_
Q_Q
__0,~996 ~.35
0,6451 3,70 0,8334 6,5 0,9029 40
0,9838
1,05 0,3242 2,40 0,6548 3,75 0,8376 7,0 0,9036 45
0,9856
1,10 0,3387 2,45 0,6643 3,80 0,8417 7,5 0,9063 50
0,9873
-
· --·-····
1, 15 0,3530 2,50 0,6736 3,85 0,8455 8,0 0,9110 60
0,9894
1,2.0 0,3671 2,55 0,6827 3,90 0,8492 8,5 0,9175 70
0,9908
1,25 0,38 12 2,60 0,69 15 3,95 0,8528 9,0 0,9248 80
0,9921
1,30 0,3950 2,65 0,7001 4,00 0,8561 9,5 0,9322 90
0,9929
1,35 0,4087 2,70 0,7086 4, 1 0,8624 10,0 0,9387 100
0,9937
тдел~ .число
пр 'ямолинейных отрезков, аппроксимирующих
яещес;гвенную частотную характеристику ;
't'; = tw;.
. - • Значения функции В(,:) приведены в табл. 4.4.
На рис . 4.5 аппроксимирована отрезками прямых ранее рас­
сматривавшаяся вещественная частотная характеристика (см.
рис. 4.2). Знач_~J:IИЯ ко~рдинат W; и Р;, определяющих положение
157


·р
1,0
0,8
0,5
0,4
0,2
о
0,2
0,4
w, Wz
Рис. 4.5 . Аппроксимация вещественной ча­
стотt-1 ой характеристики отрезками прямых
1., )7
JO
4
50 w,
прямолинейных отрезков, и результаты вычисления величин Р;
и bi сведены в табл. 4.5 .
По формуле (4.15) составляем выражение для определения
переходной характеристики
i
о
1
2
3
4
5
6
7
8
158
h (t) = -0 , 425В (5t) - 1,575В (7t) + 0,850В (10t) +
+ 2,460В (12t) + 0,588В (14t) - 0,420В (21 t) -
-
0,209В (ЗОt) - 0,269В (54t).
Таблица 4.5
Данные для определения переходной характеристики
1
(J)i
1
pi
1
pi
1
bi
о
1,00
-
-
5
1,05
0,010
-0,425
7
0,90
-0,075
-1,575
10
о
-0,300
0,850
12
-0,43
-0,215
2,460
14
-0,45
-0,010
0,588
21
-
0,23
0,032
-0,420
30
-0,12
0,0 12
-0,209
54
о
0,005
-0,269
8
Li Ь; = 1,000
i=l


ел
<.D
1
t,с
-0,425В (Ы)
-1,575В (7t)
0,850В (l0t)
2,460В (12t)
0,588В (14t)
-0,420В (2lt)
-0,209В (30t)
-0,269В (54t)
h (t)
1
о, 10
1
-0,07
-
-0,35
0,26
0,90
0,25
-0,25
-0,16
- 0,24
0,35
Определение переходной характеристики
0,20
1
0,30
1
0 ,35
1
0,40
1
0 ,50
- 0,13
-
0, 19 -0,22
- 0,24
-
0,29
- 0,67 -0,94 - 1,05
-1, 14
- 1,28
0,49
0,64
0,69
0,73
0,76
1,61
2,03
2,14
2,19
2,22
0,43
0,51
0,53
0,53
0,53
- 0,37 -0,38
- 0,38
- 0,40
-
0,40
- 0,19 -0,19 -0,20
- 0,20
- 0,20
-
0,26
-0,26
- 0,26
- 0,26
- 0,26
0,92
1,22
1,25
1,22
1,09
Таблица 4.6
1
0,60
1
о, 70
1
0,90
1
1, 10
- 0,32
-0,35
- 0,38
-
0,38
-
1,37 -1,41
-
1,42
-
1,43
1
1
0,77
0,77
0,79
0 ,81
2,23
2,25
2,33
2,34
0,54
0,55
0,56
0,56
- 0,40
-0,40
-0,41
-0,41
-
0,20
-
0,20
- 0,20
-
0, 21
-
0, 26
- 0,26
- 0,27 -0,27
0,98
0,95
1,00
1,02
1
1
1


Расчеты по определению переходной характеристики сведены
в табл . 4.6, а ее график изображен на рис. 4.4 кривой 1. Кри­
вая 2 на рис. 4.4 есть действительная переходная характеристика
рассматриваемой системы .
Переходную характеристику замкнутой системы по ее веще­
ственной или мнимой частотной характеристике можно построить
также методом спектральных преобразований 1 . Метод не требует
какой-либо аппроксимации вещественной или мнимой частотной
характеристики и специальных таблиц. При , расчете может быть
использовано планиметрирование.
1 Саперштейн Н - Д., Сапожников Р. А., Файншмидт В. Л . , Родин Б. П.
Процессы автоматического управления и обобщенное дифференцирование. М.,
«Высшая школа», 1973. 240 с.


Глава 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Частотные характеристики - это чрезвычайно популярное
средство описания динамических свойств технических систем
и в том числе систем автоматического регулирования. Это объяс­
няется, во-первых, тем, что входное воздействие произвольного
характера может быть представлено в виде эквивалентной ему
суммы гармоник различной частоты; во-вторых, гармонический
сигнал передается линейными элементами и системами в устано­
вившемся режиме без искажения.
В п. 2.5 даны определения частотных характеристик и пока­
зана взаимосвязь между ними. В табл. 2.3 приведены некоторые
частотные характеристики типовых звеньев. Содержанием на­
стоящей главы являются различные методы определения и по­
строения частотных характеристик сложных динамических
звеньев, их соединений и систем, которые необходимы для инже­
нерных расчетов.
Потребность в частотных характеристиках возникает как при
проектировании, так и при исследовании свойств спроектиро­
ванных и выполненных систем. Например, амплитудно-частотные
характеристики САР позволяют оценивать воспроизведение гар­
монического задающего воздействия и гашение гармонического
возмущения при различных частотах. Логарифмические ампли­
тудно-частотная и фазочастотная характеристики разомкнутой
системы часто используют для проверки устойчивости (см. гл. 6)
и для выбора элементов, обеспечивающих желаемые динамиче­
ские св0йства системы (см . гл. 9). Вещественная частотная ха­
рактеристика. позволяет построить переходную характеристику
(см. гл. 4). Эти примеры далеко не исчерпывают всего много­
образия применения частотных характеристик в инженерных
расчетах.
Частотные характеристики в общем случае рассматривают при
изменении угловой частоты ffi от О до оо. Однако всякий реальный
элемент может пропускать гармонические сигналы лишь некото­
рого конечного диапазона частот. Поэтому в каждом конкретном
11 И. М. Макаров
161


случае целесообразно выяснить, в каком диапазоне частот сле­
дует рассматривать частотные характеристики.
Напри ме р, дл я эле ктродвигател я предельное фи з ич есю1 допустимое значе­
ние угловой ча стот ы входного сигнала [ 130]
(5.1)
где Мн - номи н альный момент двигателя; сх 11 - коэффицн е нт допустнмой пере­
грузки дв и гателя; i - передаточ ное число редуктора; J
-
момент ннерцни вра-
щающи хс я масс; Л - зазо р механичес1<ой пер едачи.
•
При расчетах систем с электродвигателем ч аст от ные характернстики реко­
мендуется [ 130] рассматривать лишь при w < О , 5wм,
Для уменьшения затрат труда на вычисления_ и построения
частотных характеристик используют зависимости между отдель­
ными характеристиками, графоаналитические методы, номограммы
и таблицы .
5. 1. ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТОЙ САР
Для построения амплиrудно-фазовой частотной характери­
стики должна быть известна передаточная функция разомкнутой
системы или экспериментально полученная АФЧХ объекта регу­
лирования и передаточная функция регулятора .
В первом случае по передаточной функции W нужно опреде-
лить частотную передаточную функцию W и з атем представить ее
в алгебраическом или пока з ательном виде .
Пусть
W- kR
-
Q'
где k - передаточный коэффициент; R и Q - по-линомы от s . сте­
пени соответственно т и п (т-,;;;.п), у которых коэффициент млад­
шего члена равен единице .
После подстановки s = j ffi, получим
W-
~ 1f iv1)
-
!12+iv2 '
(5.2)
где И1, V1, И2 И V2 - полиномы от (J).
Чтобы представить W в алгебраическом виде, нужно . числи­
тель и знаменатель умножить на комплексное чис.z:ю, сопряженное
со знаменателем, и затем отделить действительную част1;, от мни-
мой . В результате W примет следующий вид:
(5. 3)
162


где
и
/г (u1U2 + V1V2)
и~+ v~
(5.4)
(5.5)
После этого иногда начинают определять значения И и V
,при различных произвольно выбранных значениях ffi от О до оо,
наносят точки на комплексную плоскость И; jU и соединяют их
плавной кривой. Однако при таком подходе, несмотря на трудо­
емкость подсчетов, наиболее важная часть характеристики может
оказаться неточной . , .
Значительно целесообразнее сначала определить характерные
точки АФЧХ: ее точки при предельных значениях ffi (ffi = О
и ffi = ev) и точки пересечения характеристию;:>й осей координат.
Частоты, при которых характеристика пересекает ось орди­
нат или ось абсцисс, определяют соответственно из уравнений
И=О,т.е.и1и2+v1v2=О,
V=О,т.е.v1u2- v2u1=О.
(5.6)
(5. 7)
Искомыми частотами являются действительные положитель-
ные корни этих уравнений.
.
Найденные значения частот позволяют определить по рqвен­
ствам (5.5) и (5.4) соответственно значения ординат и абсdисс,
при которых АФЧХ пересекает эти оси.
После нанесения характерных точек на комплексную пло­
скость И; jV вырисовывается расположение АФЧХ. Иногда это
оказывается достаточным для достижения цели, с которой строится
характеристика. Если необходимо иметь точное ее расположение,
то можно установить, при каких значениях частоты ffi нужно
вычислять значения И и V . Таким образом, предварительное
определение характерных точек · АФЧХ существенно упрощает
расчет (что особенно важно при ручном счете).
Пример 5.1 . Построить АФЧХ разомкнутой САР по ее передаточной фушщии
W-
k(тs+1)
-
a0s4 +а1s·з+a2s2+a3s+1'
гдеk= 25;т= 0,15с;,а0= 0,0002 с4;а1= 0,006 с3;а2= 0,08с2;а3= 0,5с.
Определим частотную передаточную функцию
-
k(1+jтw)
iv=
4
•
(1-a2w
2
+a0w)+jw(аз- a1w
2
)
Выделим ее действительную и мнимую части:
-W=
k(1+ji-,w)[(1- a2w
2
+a0w4)- jw(аз- a1w
2
)]
•·
.
[(1- a2w2+а0ш4)+jw(аз- a1w2)][(1- a2w2+а0ш4)-
-
jw (а8 - a1w2)]
11*
163


где
И=kB1иV=kB2•
В
В'
В1= 1+('са3-а2)w2 +(a0
-- ra1
)
w4=
=
1-5 -I0-3w2 - 7 -10-4w4;
В2= w[(т-а3)-+(а1-та2)w2 +та0w4] =
=
-
w(0,35+6•lo-3 w2 -
3.1o-5 w4 );
В= 1+(а§- 2а2) w2+(а~+2ао- 21а1а3)w4+
+(ат- 2аоа2) W6 +a5w8 = 1+0,09w2+8,1o-4w4 +
+ 4-10-6w6 + 4, 10-8w8.
Определим значения И и V при предельных значениях w:
И(О)= kB1 (О) - i
-
15· V(О)- kB2(О)-О·
В(О)-г
-
'
-
В(О) -
'
и() = kB1 (N) =О· V( )=kB2(N) О
N
B(N)
'
N
B(N) =.
Составим усJювие пересечения АФЧХ оси ординат:
В1 =0, т. е. 1-5 -l0-3w2 -7-l0-4w4 =0.
Полученное биквадратное уравнение имеет один положительный действи­
тел_ьный корень w1 = 5,86. Следовательно, АФЧХ пересекает ось ординат при
kB2 (w1)
w= w1 иV(w1)= В(wi) = -8,65.
Сост авим условие пересечения АФЧХ оси абсцисс :
В2= О, т. е. w(0,35+6-J0-3w2 -
3-JQ-5w4) = О.
Биквадратное уравнение
0,35 + 6-10-3w2 -3 -10-5w4 = О
имеет один положительный действительный корень w2 = 15,7. Следовательно,
АФЧХ пересекает ось абсцисс при w = w2 и
и()= kB1(w2) =
_
229
Wz
В (w2)
,
•
Полученные данные и выражения для И и V позволяют сделать_ следующее
закл ючение о расположении АФЧХ:
w=О:И=15иV=О;
О<w< 5,86:И>ОиV<О;
w= 5,86:И=ОиV= -8,65;
5,86< w< 15,7:и<оиv<О;
w= 15,7:И=-2,29иV=О;
15,7< w< (\):и<оиv>О;
w=С\):И=V=О.
На основании этих данных построена ориентировочная АФЧХ (рис . 5.1).
По ней уже можно, например, решить вопрос об устойчивости системы (см. гл. 6) .
Для уточ нения АФЧХ следует вычи слить значения И и V пр и w = 2; 4; 10;
13;25и50с-1.
164


--- --- ---- --- --
Рис. 5.1 . Ориентирово•п1ая ЛФ Ч Х к примеру 5 .1
SjV
Частотную передаточную функ- -' - --11=1--: --- -0-- --- --::-;;-- --, :;-;-;_
цию, определяемую выражением 5
(5.2), можно представить в показа­
тельном виде
где
W -•A· i'-1'
-_
е'
(5.8)
иr+v1 .
и~+v~ '
ч, - arctg·...:2.
___: _ arctg ..:2 = arctg v1u2 - v2и1 •
-
U1
U2
U1U2 + V1V2
(5.9)
(5.1 О)
По формулам (5.9) и (5.10) можно вычислить длины и фазовые
углы векторов W при различных значениях w от О до оо и построить
затем АФЧХ. Предварительно целесообразно определить ее ха ­
рактерные точки: при w = О, w = оо и точки -пересечения осей
координат ._ Условиями пересечения оси ординат и оси · абсцисс
явлjйотся соответстljеiшо равенства :
--
••
.,
tgЧ,=оо,Т.е.И1И2+V1V2=0,
• (5.11)
tgЧ,=0,Т.е.v1u2- V2U1=0.
(5.12)
Пример 5.2 . Построить АФЧХ разомкнутой САР с передаточной функцией
W_
k(,s+ 1)
-
a0s3+a1s2+a2s+1 '
гдеk=2;, =
0,25с;ао= 0,002с3;а1= 0,075с2иа2= 0,2с.
Определим частотную передаточную функцию
W=
k(1+j,ш)
.
(!- а1ш2)+joo(а2- а0ш2)
Составим выражения для вычисления длин и фазовых углов векторов:
Az=k v·т+vf ·
иi+v~ '
-
V2
,Р=arctgv1- arctg-· -
,
.
U2
rде
v1= ,ш =0,25ш;
U2= 1- а1ш2·= 1- О,075ш2;
v2= ш(а2- аош2)= ш(0,2 - О,002ш2).
Вычислим значения А и ,р при предельных значениях ш :
А(О)=k =2;,р(О)=О;А(оо) =О.
Выпишем условие (5.11) пересечения оси ординат:
·(! -- 0,075w2) + О,25ш2 (0,2 ,-
0;002ш2) = 1 - О,025ш2 ~ 0,0005(1)4 = О.
165


·v
1J
4U
Рис. 5.2 . АФЧХ к примеру 5 .2
Положительный действитель­
ный корень полученного уравнения
w= 5,12
Составим условие (5.12) пере ­
сечения оси абсцисс :
0,25w (1 - 0,075w2) - w (0,2 -
-0,002w2 ) cs= w (0,05-0,01675w2 ) =
=о.
•
Полученное уравнение имеет
положительный действительный ко ­
рень w= 1,74.
Итак, АФЧХ начинается на
4
оси абсцисс и А (О) = 2, затем при
w = 1,74 эта ось пересекается и
при w = 5, 12 пересекается ось ординат. Заканчивается АФЧХ в начале
осе й координат. На основании этих сведений об АФЧХ намечаем частоты
для вычисления значений А и 'Ф и проводим эти вычисления, сводя их
в табл. 5.1. По результатам расчета строим АФЧХ (рис. 5.2) . Для ка­
ждой частоты wi проводится радиус-вектор под углом 'Pi (угол отсчитываем от
положительной действительной полуоси против часовой стрелки) и на него наносят
точку на расстоянии Ai от начала ос1:й координат. Плавная кривая, соединяющая
эти точки, является искомой АФЧХ.
Иногда возникает . задача построения АФЧХ разомкнутой
САР по известным частотным характеристикам двух ее последо­
вательно соединенных з веньев: объекта регулирования и регуля­
тора . По формуле (2.41) передаточная функция двух последова­
тельно соединенных звеньев равна произведению передаточных
функций этих звеньев. Очевидно, что формула (2.41) справедлива
и для частотных передаточных функций . Тогда легко получить
следующие соотношения:
А= А1А2,
)
,Р='Р1+,Р2= arctg ~: +arctg ~: , •
(5. 13) .
где А = А (ffi) и ,р = ,р (ffi) - амплитудная и фазовая частотные
характеристики разомкнутой сщ:темы; Ak = Ak (ffi), ,P k = 'Pk (ffi),
Uk = Uk (ffi) И Vk = Vk (ffi) - аМПЛИТУДНаЯ, фаЗОВаЯ, Веществен­
ная и мнимая частотные характеристики соединенных звеньев
(объекта регулирования при k = I и регулятора при k = 2).
Соотношения (5.13) позволяют вычислить значения амплитуд­
ной и фазовой частотных характер истик разомкнутой системы
при каждом значении частоты.
Если амплитудная А1 = А1(ffi) и фазовая ,Р1 = ,Р1 (ffi) ча­
стотные характеристики объекта регулирования получены экспе­
римента л ьно и известна частотная передаточная функция W 2 =
=
W 2 (jffi) регулятора, то для частот ffii, при которых проводился
166


Таблица 5.1
Результаты расчета к примеру 5.2
(j)
1
(j)2
1
v1
1
v2
1
1
1+Vi
1
u2
1
2
u2
1
V•
2
1
1
0,25
0,063
1,063
0,925
0,856
0, 198
1,74
3, 02 0,435 0,189
1, 189
0,773
0,598
0,337
3
9
0,75
0,563
1,563
0,325
о,106
0,546
4
16
1,00
1,00
2,00
- 0,20
0,040
0,672
5,12
26,2
1,28
1,64
2,64
-
0,968
0,937
0,756
7
49
1,75
3,06
4,06
- 2,68
7, 16
0,7 14
10
100
2,5
6,25
7,25
- 6,50
42,3
о
20
400
5,0
25,0
26,0
- 29,0
841
-
12,0
30
900
7,5
56,3
57,3
-66,5 4422
- 48,0
40
1600
10,0
100
101
- 119
14 160
-
120
2
о
2
1+Vi
arctgv1 ,
v,
arctg ~,
v2
"2+v2
и~+ v~
А
град
и,
ч,, гр ад
и,
гр ад
0,039
0,895 1,19
2, 18 14,0
0,214
12 ,0
2,0
о,114
0,7 12 1,67
2,58 23,5
0,436
23,5 .
о
0,298
0,404 3,87
3,93 36,9
1,68
59,2
- 22,3
0,452
0,492 4,07
4,03 45,О
- 3,36
10 6,6
-61,6
0,571
1,508 1,75
2,64 52,0
-0,781 142,0
-90,0
0,510
7,670 0,53
1,46 60,3
-
0,267 165, 1
- 104,8
1
о
42,3
0,172 0,83 68,2
о
180,0
-lll,8
144
985
0,026 0,33 78,7
0,414 202,5
- 123,8
2 304
6 926
0,0083 0,18 82,4
0,722 2 15 ,8
- 133,4
14 400
28 560
0,0035 0,04 84,3
1,00
225,0 .
-140,7
167


ш,град А
80 0,8
70 0,7
,600,б
50 0.5
40 0.4
зо о.з
20 0,2
10 0,1
-
\
_j
/
Рис. 5.4 . АФЧХ к примеру = 5.3
~1--
-
{, .,,/
/к
/
"
' ........._ ,_ _
-
-
ОО 1020JO405060708090с,;,с-1
2
+j
эксперимент определяют значения А Ii и 'Фii по характеристикам
А 1 и -ф 1 и вычисляют значения А zi и 'Фzi по частотной переда­
точной функции W 2 . Остается для каждой такой частоты о п реде­
лить значения Ai и 'Фi • по формулам (5.13), нанести полученные
точки на комплексную плоскость и соединить их плавной кривой.
Пример 5.3. Построить АФЧХ разомкнутой цепи САР, состоящей из объекта
регулирования, частотные характеристики которого представлены на рис . 5.3,
и регулятора с передаточной функцией
W-
k2
•
2 -s(T2 s+I)'
где
fl2·= -100; Т2·=-О-,02 с. -
Частотными характеристиками объекта охватывается диапазон частот от 10
до 100 с- 1 . Следовательно, и АФЧХ может быть построена только д.~я этого
диапазона частот. Значения А и 'Ф будем определять пр,J частотах 10; 15; 20;
30; 40; 60; 80 н 100 с-1.
По частотным характеристикам объекта для· каждой из выбранных частот
определим значения А 1 _и 11,1 и занесем их в табл. 5.2.
Определим частотную передаточную функцию регулятора
-
k2
-
k2
W2=
jw(l+jT2w) - (-T2w+j)w •
З;пем составим аналитические выражения дл я частотных характер и стик
регуля тора:
100
= w V1 + (0,02wJ2'
1μ2= -90°-
arctgТ2w= -90°-
arctg 0,02w
.
,
ц определ им значения А 2 и 11,2 при выбранных частотах . Результаты расчета
занесены в табл:. 5.2.
,
,,
В закл ючение при каждой из выбранных частот определим по формулам (5. 13)
длину и фазовый угол результирующего вектора, нанесем полученные точки
АФ-ЧХ -·на комплексную- плоскость --- и • соеди-~-шм их плавной кривой (рис. - 5 .4).
168


Таблица 5.2
э
10
15
20
30
40
60
80
- 100
Данные расчета к примеру 5.3
э
""
о
ос{
о
ос{
"'
"
о.
э
+
о.
L..
э
""
L..
""
о
о
-;
"
.,;
о
s
"
$-
"<;
0,89
-26 0,2
0,04
1,02 9,80
-101 8,7
0,80
-37 0,3
0,09
1,04 6,40 -107 5, 1
0,71 -45 0,4
0,16
1,08 4,64 -1 12 3,3
0,56
-56
0,6
0,36
1, 17
2,84 -121 1,6
0,45 -63 0,8
0,64
1,28
1,91 - 129 0,86
0,32 -72 1,2
1,44
1,56
1,07 - 140 0,34
0,24
-76 1,6
2,56
1,89
0,66
-148 0,16 •
0,20 -79 2;0 ' 4,00
2,24
0,45 -153 0,09
5.2 . СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
ЗАМКНУТОЙ И РАЗОМКНУТОЙ САР
ос{
""о.
J-.
.,;.
-127
-14 4
-156
-
177
-
192
-
212
-22 4
- 232
В системе с единичной обратной связью частотная передаточ­
ная функция Ф = Ф (jш) относительно задающего воздействия
w
Ф=---
1+W.
(5.14)
где W = W (jш) - частотная передаточная функция разомкну­
той системы .
Равенство (5.14) определяет связь между частотными характе­
ристиками замкнутой и разомкнутой систем.
Подставив в равенство (5.14)
Ф=Р+jNиW=И+jV,
где
Р=Р(ш);N.:__N(ш);И=И(ш)-иV=V(ш),
и раздел.ив его действительную и мнимую части, получим
,
р= И(1+И)+v2
(1+U)2+ v2
V
N= ------
(1+ U)2+ v2
(5.15)
(5.16)
Равенства (5.15) и (5.16) определяют зависимость соответ­
ственно вещественной и мнимой частотных характеристик зам­
кнутой системы от таких же характеристик разомкнутой системы.
16,9


Подставив в равенство (5 . 14)
Ф=Mei8иW=И+jV,
где
М=М(ffi)и8=8(ffi),
и разделив его модуль и аргумент, получим :
Vu2+v2
.
М=+
(1+U)2+у2 ,,
V
8= arctgи(1+И)+v2•
(5.17)
(5.18)
Равенства (5.17) и (5.18) определяют зависимость соответ­
ственно амплитудной и фазовой частотных характеристик зам­
кнутой системы от вещественной и мнимой частотных характе­
ристик разомкнутой системы .
Легко составить и равенства, определяющие обратную зави­
симость частотных характеристик разомкнутой системы от веще­
ственной и мнимой частотных характеристик замкнутой системы :
И = P(I-P)-No .
. (1-Р)2+N2 '
N
V= (1-Р)2+N2'
1/ р2+N2
А =+ JI (l-P)2 -\ -N2
N
'Ф= arctgР(I-P)-No
(5.19)
Для определения частотных характеристик Р, N, М и 8 зам­
кнутой системы по частотным характеристикам И и V ее разом­
кнутой цепи вместо формул (5.15)-(5.18) можно использовать
графический метод круговых диаграмм. Точность расчетов при
этом ниже, но она все же достаточна для практических цел.ей.
Суть метода круговых диаграмм [32, 106] заключается в сле­
дующем. Формулы (5 . 15)-(5.18) можно рассматривать как урав­
нения кривых в системе координат И; V, каждая из которых
определяет некоторое постоянное значение соответственно Р,
N, М или 8. Уравнения всех этих четырех кривых есть уравне­
ния окружностей, причем положение центра и значение радиуса
каждой з ависит соответственно от Р, N, М или 8.
Поэтому, задавшись различными значениями, предположим
Р , можно построить семейство окружностей в системе коорди­
нат И ; V - это будет вещественная круговая диаграмма. Если
затем в этой же системе координат построить АФЧХ разомкнутой
цепи интересующей нас системы, то по точкам ее пересечения
с семейством окружностей можно определить вещественную
170


GJV
10
8
6
8
10 lJ
Б
Рис . 5 . 5. Вещественная круговая диаграмма
частотную характеристику Р (w) этой системы в замкнутом со­
стоянии . Точка АФЧХ, соответствующая некоторой частоте ffi;
и совпадающая с окружностью Р = Ра , определяет значение Р
при частоте ffi; : Р (w;) = Ра.
Точно так же строят и использу ют мнимую, амплитудную
и фазовую круговые диаграммы.
Вещественная круговая диаграмма (рис. 5 .5) состоит из семей ­
ства окружностей радиуса
J
Г; = ----
21J-PI
(5.20)
Центр каждой из- них расположен на действительной оси от
начала осей координат на расстоянии
J-2P
d = -2(1-P)"
(5 .21)
Все окружности пересекают ось абсцисс в критической точке
(-1; jO) . При Р = 1 окружность вырождается в прямую , которая
проходит через эту точку параллельно оси ординат и делит всю
плоскость на две области. Левая область соответствует значе­
ниям Р > 1, правая - значениям Р < 1. Область, соответству­
ющая отрицательнь'1м з начениям Р, ограничивается окружностью ,
проходящей через начало осей координат и критическую точку.
Часть вещественной круговой диаграммы, прилегающая к кри­
тической точке, показана на рис. 5.6.
Мнимая круговая диаграмма (рис. 5. 7) состоит из окружно ­
стей радиуса
J
r; = 2ТN1·
(5.22)
171


jV
[J'
2
Рис . 5.6. Вещественная круговая диаграмма вблизи 1<ритической точки
(- l;j О)
Их центры расположены на прямой , . проходящей через кри­
тическую точку (-1; jO) параллельно оси ординат, и находятся
6
N=-0, 1
172
JV
от действительной оси на
--- -'-'10
. расстоянии
в
6
6
8
70
1
d= 2N.
(5.23)
При N = О окружность
вырождается в пряму19, сов­
падающую с осью абсцисс.
Она делит плоскость на две
области. Верхняя область со­
ответствует положительным
значениям N, нижняя - от­
рицательным.
Амплитуд"ная круговая
диаграмма (рис. 5.8 и 5.9)
4 lf состоит из окружностей ра­
диуса
Г·=
'
м
11-м2I
•
(5.24)
Их центры расположены
на оси абсцисс от начала осей
координат на расстоянии
м2
d=
-
мz _ 1 (5.25)
Рис . 5. 7 Мнимая 1<руговая диаграмма


6jV
10
в
Б
ви
M=l,7
Б
Рис. 5.8. Амплитудная круговая диаграмма
При М = I окружность вырождается в прямую, которая
параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке (-0,5;
jO).
Область слева от этой прямой соответствует значениям М > 1,
область справа - значениям М < I.
~ Фазовая круговая диаграмма (рис. 5 . 10) состоит из окружно­
стей, которые проходят через начало осей координат и крити ­
ческую точку (-1; jO). Центры окружностей располагаютс я н а
·v
J 051
lJ
2
1
\
/М=О,5
М=2
М=1
1
Рис. 5. 9. Амплитудная круговая диаграмма вблизи крити•1ескоi"1 точки ( - 1 ; jO)
173


jV
10
8
В=-5°
8
10
12
Рис . 5.1 О. Фазовая круговая диаграмма
прямой, которая параллельна
оси ординат и имеет абсцис­
су -0,5 . Расстояние центров
окружностей от оси абсцисс
1
d=,г--tе·
-
g
(5.26)
Радиусы этих оf<ружно­
стей
Г;= 2sin0
(5.27)
Круговые
диаграммы
удобно вычерчивать на про­
!/ зрачной бумаге и затем на­
кладывать на чертеж с АФЧХ
разомкнутой системы. Мас­
штабы чертежей должны быть
одинаковыми и достаточно
крупными. Это позволит изо­
бразить на круговой диаграм ­
ме значительное число ок­
ружностей и определить ча-
стотные характеристики зам­
кнутой системы с большой
точностью. Участок АФЧХ
около начала осей координат
и соответствующую область
круговой диаграммы обычно
вычерчивают в более круп­
ном масштабе.
Основное затруднение при использовании круговых диаграмм ·
и причина погрешностей, возникающих при этом, заключаются
в- определении частот, соответствующих точкам пересечения
АФЧХ с окружностями .
5.3. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗОМКНУТОЙ
ОДНОКОНТУРНОЙ САР
Передаточная функция одноконтурной разомкнутой САР пред­
ставляет собой произведение передаточных функций типовых
динамических звеньев:
l
W= ПW;,
i=l
или может быть приведена к такому виду.
174
(5.28)


Рис. 5. I 1. Шаблон для построе н ия
ЛА ЧХ звеньев первого поряд1<а
L,дБ
о 1--~ = ' -"-' -~ d,:--------'--- --- ,j"
Ее логарифмические ам­
плитудно- и фазочастотные
характеристики определяют­
ся соответственно равен­
ствами
10
20
JO
l
L=20lgIW1= ~20lgIWiJ;
i=l
l
1J1= arg\W\= ~ arg\Wi\,
i=l
гдеL=L(w),'Ф ='Ф(w),W =W(jw)иWi Wi(jw).
(5.29)
(5.30)
Таким образом, ЛА ЧХ разомкнутой одноконтурной системы
равна сумме ЛА ЧХ, составляющих ее звеньев, и ЛФЧХ равна
сумме ЛФЧХ этих звеньев. Следовательно, для построения
ЛАЧХ и ЛФЧХ системы достаточно построить и просуммировать
ЛА ЧХ всех звеньев, а затем построить и просуммировать ЛФЧХ
всех звеньев .
Асимптотические ЛА ЧХ типовых динамических звеньев при ­
ведены в табл. 2.3, поэтому построение асимптотической ЛА ЧХ
системы не может вызвать затруднений.
У звеньев первого порядка (их передаточные функции содер­
жат полином Ts + 1 или тs + 1) максимальное отклонение асимп­
тотической ЛА ЧХ от действительной составляет только 3 Дб .
Однако у звеньев второго порядка (их передаточные функции
содержат полином T2s2 + 2~Ts + 1, где О < ~ < 1, или поли­
ном т2s2 + 2,1:s + 1, где О < , < 1) асимптотическая ЛАЧХ
лишь при 0,4 -< s
-<
О,7и0,4 -<~
-<
О, 7 отклоняется от действи-
тельной не более чем на 3 дБ, а при малых s и , различие между
действительной и асимптотической ЛА ЧХ существенное и стре­
мится к бесконечности при s-~-, О и , -, О. Поэтому во многих
случаях необходима действительная ЛА ЧХ разомкнутой системы,
которую можно получить, суммируя действительные ЛА ЧХ
отдельных звеньев .
Действительну10 ЛА Ч Х звена первого порядка можно по ­
строить с помощью шаблона, который изготовляют из твердого
и прозрачного материала. Шаблон (рис . 5.11) прикладывают
к чертежу так, чтобы его асимптоты совпадали с асимптотической
ЛА ЧХ и относительная частота μ = ~ = 1 совпадала с сопря-
со0
гающей частотой w 0 . Затем проводят кривую действительной
ЛАЧХ .
175


Таблица 5.3
Поправки б к асимптотическим ЛА ЧХ с наклоном ::!::20 дБ/дек
{ μ = ~ ; со0 - сопрягающая частота)
\
Wo
o,i7
1
~ ojl
0,1
7
70 J1
--у-Г о<О ~
O~iJбjoer.
1
-20ifб/fJer.
1 О fJБ/ifeк
+20~-б/дек
а)
б)
~
~
1
1
1
о,1
1
10 J1
0,1
1
JOJJ
~ rf>O
~
OiJБ/iJeк В) +20iJБ/ifeк
-20if5/ifeк OiJб/fJeк
2)
μ
1О,!10,210,310,410,510,61О,710,810,9
jбj,дБ
10,04310,17010,37410,6451 О,969I1,335I1,732I2, 1 48I2,577
μ
11,011,111,211,311,411,511,611,8 12,0
iб[, дБ 13,01012,6 1612,290 l 2,0 19 [ 1,790 j 1,597 , l,432, 1,168I о,969
μ
12,5 J3,о15,оj10,0
1б1,дБ
1 0,6451 0,4581 О, 170 1 0,043
Действительную ЛА ЧХ типового звена как первого, так и вто­
рого порядка удобно получить, суммируя ординаты асимптоти­
ческой ЛА ЧХ с поправками б. Значения модуля поправки б
в зависимости от относительной частоты μ приведены в табл. 5 .3
и 5.4 . Рисунки, помещенные в этих таблицах, показывают, с ка­
ким знаком должны быть взяты поправки при этой или иной форме
асимптотической ЛА ЧХ.
Данные для построения ЛФЧХ типовых звеньев приведены
(табл. 5.5. Она содержит значения модуля фазы ,Р в зависимости
.от
относительной частоты μ при различных значениях 1; или ~-
Рисунки, имеющиеся в таблице, указывают знак и расположе­
ние Л Ф ЧХ при различной форме асимптотической ЛА Ч,Х.
176


о
ЛФЧХ звеньев перво­
го порядка можно строить
с помощью шаблона (рис.
5.12). Располагать шаблон 45
нужно в соответствии с
табл. 2.3 .
Несомненное преиму­
щество рассмотренного ме­
тода построения в том, что он позволяет легко выяснить влияние
каждого из звеньев на форму логарифмических частотных харак­
теристик системы. Однако проще поступать несколько иначе: сна­
чала построить асимптотическую ЛА ЧХ всей системы и затем
сделать поправки, если это необходимо, и строить ЛФЧХ. -
Для этого передаточную функцию нужно привести к виду
г
kПR;
W= ~1-
·=
_
I_
l
(5.31)
SVпQi
где k - передаточный коэффициент; v - порядок астатизма; R; -
полиномы вида 1:;S + 1 и 1:7s2 + 2~;1:;S + 1 (~; < 1); Q; - поли­
номывидаT;s+1иТzs2+21;;Ts+I(s;<1).
Прежде всего нужно определить сопрягающие частоты W; =
1
1
•
= Т и w; = ~ и отметить их на графике (для каждой частоты
провести штриховую линию). После этого можно построить низко­
частотную асимптоту ЛАЧХ. Ее наклон составляет -20v дБ/дек.
Ордината низкочастотной ЛА ЧХ или ее продолжения при w = 1
будет 20 Jg k дБ . Для быстрого перевода натуральных чисел в де­
цибелы служат номограммы (рис. 5.13). Каждая из них имеет пять
шкал натуральных . чисел А и пять шкал соответствующих им зна­
чений L в дБ . Со шкалы А нужно переходить на соединенную с ней
шкалу L. Например, натуральному числу А = 12,5 соответствует
(рис. 5.13, а) L = 21,9 дБ; натуральному числу А = 0,725 соот ­
ветствует (рис. 5.13, 6) L = -2,8 дБ.
Низкочастотную асимптоту ЛА ЧХ проводят до первой (наи­
меньшей) сопрягающей частоты . На всех сопрягающих частотах
наклон ЛА ЧХ изменяется . . На сопрягающих частотах, созданных
полиномами числителя передаточной функции W, изменение на­
клона положительное (табл. 5.6). Наоборот, на сопрягающих
частотах, созданных полиномами знаменателя W, изменение
наклона отрицательное.
Высокочастотную (после наибольшей сопрягающей частоты)
асимптоту проводят на требуемом диапазоне частоты .
12 И. М. Макаров
177


!;
или~
1
1
о,1
0,2
0,025
0,09 0,35
0,050
0,09 0 ,35
0,075
0,09 0,35
о, 100
0,09 0,35
о, 125
0,08
0,34
о, 150
0,08 0,3 4
о, 175
0,08 0,33
0,200
0,08 0,32
0,225
0,08
0,32
0,250
0,08 0,31
0,275
0,07 0,30
0,300
0,07 0,29
0,325
0,07 0 ,28
0,350 0,07 0,26
0,375 0,06 0,25
0,400
0,06
0,24
0,425 0,06 0 ,22
0,450
0,05
0,20
0,475
0,05
о, 19
0,500
0,04
о, 17
0,525
0,04
о, 15
0,550
0,03 о, 13
0,575
0,03 о, 11
0,600
0,02
0,09
0,625
0,02
0,07
0,650
0,0 1 0,05
0,675
0,01
0,02
0,700
0,00 0,00
0,725
0,00
-0 ,02
о, 750 -0,01
-0 ,05
0,775 -0 ,02
-0,08
0,800
-0 ,02
-0,10
0,825 -0 ,03
-0,13
0,850 -0,04
-
0,16
0,875 -0 ,05 -0, 19
0,900 -0 ,05 -0 ,22
0,925 -0 ,06
-0 ,25
0,950 -0 ,07
-0 ,28
0,975 -0,08
-0,31
1,000
-0 ,09 -0 ,34
178
0,1 1,0 10 J1
OiJб/iJeк ~
~чl)iJб/de!(
0,1
Поправки б к асимптотическим
i
(μ= ~;w0- сопря
Wo
1/) )1
fJiJб/iJex
+40 iJб/ iJex
З11аченuя r/' цз таблицы ,
б)
а)
Значения б при
0,3
1
0,4
1
0,5
1
0,6
1
о,7
1
0,8
1
0,9
1
1,0
1
1,1
0,82
1,5 1 2,49 3,87 5,83
8,82 14, 19 26,02 14, 92
0,82
1,51
2,48 3 ,84
5, 77
8,67 13,55 20,00 14, 16
0,81
1,49 2,46
3,79
5,67
8,42 12,65 16,48 13 , 12
0,80 1,48 2,42
3,73 5,53
8,09 11,64 13, 98 11,99
о, 79
1,4 5 2,38 3,64
5,37
7 ,71 10 ,62 12,04 10,87
о, 78
1,43 2,33 3,55 5 , 17
7,28
9,63 10,46 9,8 1
о, 76
1,40 2,27 3 ,43 4,95 6,82
8,69
9, 12
8,82
о, 74
1,36
2,20
3,31
4,70
6 ,35
7,81
7, 96
7,90
о, 72
1,32 2, 12
3, 17
4,45
5,86
6,99 6,94
7,04
о, 70
1,27 2,04
3,0 1 4,17
5,38 6 ,22
6,02 6,26
0,68
1,23
1,95 2,85 3,89
4,91 5,51
5, 19
5,53
0,65
1, 17
1,85 2,68 3 ,60
4,44
4,85 4,44 4,85
0,62
1, 12
1, 75
2,51
3,31
3,98 4 ,22
3, 74
4 ,21
0,59
1,06
1,64 2,32 3,01
3,53
3,64
3,10 3,61
0,56 0,99
1,53 2, 13 2,71
3, 10
3,08 2 ,50
3,05
о, 53
0,93
1,4 1 1,94 2,41
2,68
2,56
1, 94
2,53
0,49
0,86
1,29
1, 74
2, 12
2,28
2,07
1,4 1 2,03
0,45 о, 78
1, 16
1,54
1,82
1,88
1,60
0,92
1,55
0,41
0,71
1,03
1,34
1, 53
1,50
1, 15 0,45
1, 10
0,37
0,63 0,90 1,14
1,25
1, 14
о, 73
0,00 0 ,67
0 ,33
0,55
о, 77
0,93 0,97
о, 78
0,32
-0 ,42
0,26
, О,28
0,46 0,63 о, 73
0,69
0,4.4
-0 ,07
-0 ,83
-0, 13
0,24
0,38 0,49 0,53 0,42
о, 11 -0,44
-
1,21
-0 ,50
о, 19 0,29 0,35 0,32
о,15 - 0,22
-0 ,80
-
1,58 -0;86
о,14
0,20 0,21
о,12 -0,11
-0,53 -1, 15 - 1, 94 .-1,21
0,09
о, 11
0,07
-0 ,08
-0 ,37
-0 ,83
-
1,48
-2 ,28
-
1,54
0,03
0,01
-0 ,08
-0,28
-0,62
-1 ,13
-1 ,80
-
2,61
-1 ,86
-0 ,02
-0 ,08
-0,22
-0,47
-0 ,87
-1,41
-2, 11
-2,92 -2, 17
-0 ,07
-0 ,18
-0 ,37
-0 ,67
-
1,11
-1 ,69 -2 ,40
-3 ,23
-2,47
-0,13
-0,28
-0,51 -0 ,86
-
1,34
-1,96 -2,69 -3,52 -2,76
-0, 19 -0,37
-0 ,66
-1,05 -1,58 -2,22
-2 ,97 -3,81
-3,04
-0,25 - 0,47
-0 ,80
-
1, 24
-
1, 80
-2 ,47
-3 ,24
-4 ,08
-3 ,32
-0,31
-0,57 -0,94 -1,43
-2 ,03
-2 ,72
-3,51 -4,35 -3,58
- 0,37
-
0,67
-1 ,09 -1,61
-2 ,24
-2 ,96 -3 ,76
-4,61
-3 ,84
-0 ,43
-0 ,78
-1 ,23
- 1,80 -2,4б -3,20
-4, 01
-4 ,86
-4 ,08
-0 ,49 -0 ,88
-1 ,38
-1,98 -2 ,67
-3 ,43
-4,25 -5, 11
-4 ,33
-0,55
-0,98 - 1,52 -2, 15 -2,87
-3 ,65 -4 ,48
-5,34
-4 ,56
-0 ,62
-1 ,08
-1 ,66
-
2,33
-3 ,07
-3 ,87
-4 ,71
-5 ,58 -4 ,79
-0,68
-1 ,19 -1 ,80
-2 ,50 -3 ,27
-4,09 -4,94 -5,80
-5,0 1
-0,75 -1 ,29 -1 ,94 -2,67
- 3,46
-4 ,30
-5 ,15 -6 ,02
-5 ,23
1


1
ЛА ЧХ с наклоном ±40 дБ/дек
rающая частота)
+40iJбб1/iJtl(
0 дб/i}еl(
0,1
1
10 J1
~/(
Одб/ае/(
'
1
OJ 1 10J1
Зt1ачеt1ия rl' из таблицы с ооратным Jtfal(OM
8)
г)
различных μ
1,2
1
1,3
1
1,4
1
1,5
1
1,6
1
1,8
1
2,0
1
2,5
1
3,0
10,22
7, 74
6, 18
5,09 4,29
3,20
2,49
1,51
1,02
9,99 7,63 6, 11
~ .04
4,26
3, 18
2,48
1,51
1,02
9,63 7,45 6,00
4,97 4,20
3, 14
2,46
1,49
1,01
9, 17 7,20 5,85
4,86 4, 12
3, 1О
2,42
1,48
1,00
8,64 6,9 1 5,66
4,73 4,03
3,03
2,38
1,45
0,99
8,07 6,58 5,44 4 ,58
3,91
2,96
2,33
1,43
0,97
7,49 6,21 5,19
4,40
3,78 2 ,88
2,27
1,40
0,95
6,89 5,83 4,93 4,21
3,63
2, 78
2,20
1,36
0,93
6,31
5,43 4,64
3,99
3,46
2,67
2, 12
1,32
о, 90
5, 73
5,02 4,35
3, 77
3,29
2,56
2,04
1,27
0,87
5,18 4,61 4,04
3,54
3, 10
2,43
1,95
1,23
0,84
4,64 4 ,21
3,73
3,29 2,9.1 2,30
1,85
1, 17
0,81
4, 13 3,80 3,42
3,04
2,71
2, 16
1,75
1, 12
0,77
3,63 3,40 3, 10
2,79 2,50
2,01
1,64
1,06
о, 73
3,15 3,01 2,78
2,53 2,28
1,86
1,53
0,99
0,69
2,69 2,63 2,47 2 ,27 2,07
1,70
1,41 ,
0,93
0,65
2,25 2,26 2, 16
2,01
1,85
1,54
1,29
0,86
0,60
1,83
1,90
1,85
1, 75
1,63
1,38
1, 16
0,78
0,55
1,43
1,54
1,55
1,49
1,40
1,21
1,03
о, 71
0,50
1,04
1,20
1,25
1,23
1, 18
1,04
0,90
0,63
0,45
0,66 0 ,87
0,96
0,98
0,96
0,87
0,77
0,55
0,40
0,30 0 ,54
0,67
о, 72
0,74
0.70
0,63
0,46
0,34
-0 ,05 0,23 0,39
0,47
0,52
0,52
0,49
0,38
0,28
- 0,39 -0,08
о, 11
0,23
0,30
0,35
0,35
0,29
0,22
-0,71
- 0,38
-
0,16
- 0,01 0,08
о, 18
0,2 1
0,20
о, 16
-
1,03
-0 ,67
-0 ,42
- 0,25 -0,13
0,00
0,07
о, 11
о, 1О
-
1,33
- 0,95
-0 ,68
- 0,49 -0,35 -0,17
- 0,08
0,01
0,03
-
1,63
- 1,23
-0 ,93 -0 .72
-0 ,56 -0,35 -0 ,22
- 0,08
- 0,03
-1,91 -1,49 - 1,18
- 0,95
-0 ,77
- 0,52 -0,37
- 0,18
- 0,10
- 2,19 - 1,76
-1 ,42
-
1,17
-0 ,97 -0 ,69 -0 ,51 -0,28
- 0,17
- 2,46
- 2,01 " -1,66
-
1,39 -1, 17
- 0,86
- 0,66
- 0,37
- 0,24
-2 ,72
- 2,26
-1,89 - 1,60 1- 1,37
-
1,03
-0 ,80
- 0,47
-0,31
- 2,98 -2,50 -2,12
-
1,81
- 1,57 - 1,20
-0 ,95
- 0,57 -0,38
-3 ,22
- 2,73
-2 ,34
-2 ,02
-1 ,76
- 1,37
-1 ,09 -0 ,67
- 0,46
- 3,46
- 2,96 -2,56 -2,23
- 1,95
- 1,53 -1,24
- 0,78
- 0,53
- 3,70
- 3, 19 -2,77
- 2,43
-2,14
-
1,70
- 1,38
- 0,88
-0,61
- 3,93 -3,4 1
- 2,98 -2,62
- 2,33
- 1,86
-1 ,52 -0,98 -0 ,68
- 4,15 -3,62
- 3,18
-2 ,82
-2,51 -2 ,02
-1 ,66
- 1,08
- 0,76
- 4,37
- 3,83
- 3,38
- 3,01
- 2,69 -2, 18
-1 ,80
- 1 ,19 -0,84
- 4,58 -4,04
- 3,58 -3,19 -2,86
- 2,34
- 1,94 -1,29 -0,92
12*
Таблица 5.4
1
5,0
1
10,0
0,35
0,09
0,35
0,09
0,35
0,09
0,35
0,09
0,34
0,08
0,34
0,08
0,33
0,08
0,32
0,08
0,32
0,08
0,31
0,08
0,30
0,07
0,29
0,07
0,28
0,07
0,26
0,07
0,25
0,06
0,24
0,06
0,22
0,06
0,20
0,05
о, 19
0,05
о, 17
0,04
о, 15
0,04
о, 13
0,03
о, 11
0,03
0,09
0,02
0,07
0,02
0,05
0,01
0,02
0,01
0,00
0,00
-0 ,02
0,00
- 0,05 -0,01
- 0,08
-0 ,02
-0,10
- 0,02
-0 ,13
- 0,03
-0, 16
- 0,04
- 0, 19 -0,05
-0 ,22
- 0,05
- 0,25 -0,06
- 0,28
- 0,07
-0,31
- 0,08
- 0,3·!
- 0,09
179


11Р1, 1
град
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
О, l75
0,200
0,225
0,250
180
Логарифмические фазоча
( W = W(jw) - частотная передаточная функция;
-
k
W=--
1+)μ
G.,I
( \оJ1
Oilб/iJtl'. _2
~
0.1
1
10 )1
~
а)
- go"
W=kU+Jμ ) р
Dilб/ileк +20~
О,110,210,310,410,510,61о,710,810,911,0j,,11
5,7 \11,3116,7121,s 126,6I31,0j
-
11
w= U--.J.12)+j 2'(μ
О,1
1
10 J1
DiJБ/дек ~.
- 4{)дб/де!'.
L
ат
1
10
~о
а;
35,0 1 38, 7 1 42,0 145,0 147,71
0,7
1
10μ
е)
Значения /,j, / при
0.110.21о.з10,4l0.51о.610,71o.sIо.91,.о11;11
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
1,7
2,0
2,3
2,6
2,9
0,6
1,2
1,8
2,4
3,0
3,6
4,2
4,8
5,4
6,0
0,9
1,9
2,8
3,8
4,7
5,7
6,6
7,5
8,4
9,4
1,4
2,7
4,1
5,4
6,8
8,1
9,5
10,8
12, 1
13,4
1,9
3,8
5,7
7,6
9,5
11,3
13, l
14,9
16,7
18,4
2,7
5,4
8,0
10,6
13,2
15,7
18,2
20,6
22,9
25,1
3,9 6,3 13,3
7,8 12,5 25 ,4
ll,6 18,4 35,4
15 ,4 24,0 43,5
18,9 29, l 49,8
22,4 33, 7 54,9
25,7 37,9 58,9
28,8 41,6 62,2
31,7 45,0 64,9
34,5 48,0 67, 1
90,0 165,3
90,0 152,4
90,0 141 ,8
90,0 133,7
90,0 127,4
90,0 122,5
90,0 118,6
90,0 115,5
90,0 113,0
90,0 110,9


1
сtотные характерис т ики
μ = ~; ы0 - сопрягающая час~~-;а ')
Ыо
W= k (1 +))1)1:
l
)}1
- -. : :.!!!!!дек О дБ/Век
0,1
1
10 )1
0.1
/
то jJ
~
- 90°+i}
-90°
В)
1
1, ,2
1
1,3
1
1,4
1' 1,5 1с1,6
1
1,8
1
50,2
1
52,4
1
54,5
1 ;6,3158,0 1 60,9
W k [(7-1! 2)+j 2(J1Jt 2
-
2
L
μ
~/iJeк
ОдБ/i!ек
--
)1
0.1
1
то }1
~ж)
ра зл ичных ~~. г рад
1,2
1
1,3
1
1,4
1
1,5
1
1,6
1
1,8
172,2 174 ,6 175 ,8 176,6 177,1 177,7
164,7 169,3 171 ,7 173 ,2 174 , 1 175,4
157, 8 164,2 167,7 169,8 171,3 173,1
151,4 159,4" 163 ,7 166,5 , 168,4 170,9
145,7 154,8 160,0 163,3 165,6 168,6
140,7 150,5 15 6,4 160,2 162,9 166,5
136,3 146, 6 153 ,0 157 , 2 160,3 164,3
132,5 143,0 149,7 154,4 157,7 162,2
129,2 139,7 146 ,7 151,6 155,2 160,1
126,3 136,7 143,9 149,0 152,9 158, 1
Таблица 5 .5
\
-
JkJl
W= (1 +jμ)T
41
1 ~оJ1
L~
ОдБ/дек
~к
+~о·
ср =90-[р
0,1
1
10 )1
е)
1
2,0
1
2,5
1
3,0
1
5,0
1
10,0
1
63,4
1
68,2
1
71,5
1
78,7
1
84,3
W=
-kJ12
[(7-:,и') +)Ц)l] тг
ат
1
10 )1
~А OiJЬ!iJeк
L
/ifeк
18~
0
rp=180-cp "------
0,1
1
10 J1
З}
1
2,0
1
2,5
1
3,0
1
5,0
1
10,0
178,1 178,6 178,9 179,4 179,7
176,2 177,3 177,9 178,8 179,4
174,3 175,9 176,8 178,2 179,1
172,4 174,6 175,7 177 ,6 178,8
170,5 173,2 174, 6 177,0 178,6
168,7 171,9 173,6 176,4 178,3
166,9 170,5 172,5 175,8 178,0
165,1 169,2
.171,5 175,2 177,7
163,3 167,9 170,4 174,6 177,4
161,6 166,6 169,4 174,1 177 ,1
181


Значения 1;j;' 1 при
s.~
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
l
о,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
о,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1
0,275 3,2 6,5 10,3 14,7 20,1 27,3 37,1 50,7 69,О 90,0 109,1
0,300 3,5 7,1 11 ,2 16,0 21 ,8 29,4 39,5 53,1 70,6 90,0 107,7
0,325 3,8 7,7 12,1 17,2 23,4 31,4 41,7 55,3 72,0
.
90,0 106 ,4
0,350 4,0 8,3 13,0 18,4 25,0 33,3 43,9 57,3 73,2 90,0 105,3
0,375 4,3 8,9 13,9 19,7 26,6 35,1 45,8 59,0 74,3 90,0 104,3
0,400 4,6 9,5 14, 8 20,9 28, 1 36,9 47 ,7 60,6 75,2 90,0 103,4
0,425 4,9 10,0 15,7 22,0 29,5 38,6 49,4 62, 1 76, 1 90,0 102,7
0,450 5,2 10,6 16,5 23,2 31 ,0 40,2 51,0 63,4 76,8 90,0 102,0
0,475 5,5 11,2 17,4 24,3 32,4 41,7 52,5 64,7 77 ,5 90 ,0 101 ,4
0,500 5,8 11 ,8 18,3 25,5 33 ,7 43 ,2 53,9 65,8 78,1 90,0 100,8
0,525 6,1 12,3 19, 1 26,6 35,0 44,6 55,2 66,8 78,6 90,0 100,3
0,550 6,3 13,0 19,9 27,7 36,3 45,9 56,5 67,8 79,1 90,0 99,9
0,575 6,6 13,5 20,8 28,7 37,5 47,2 57,6 68,6 79 ,6 90,0 99 ,4
0,600 6,9 14,0 21,6 29,7 38,7 48,4 58,7 69,4 80,0 90,0 99 ,0
0,625 7,2 14 ,6 22 ,4 30,8 39,8 49,5 59,8 70 ,2 80,4 90,0 98,7
0,650 7,5 15,2 23,2 31 ,8 40,9 50,6 60 ,7 70,9 80,8 90,0 98,4
0,675 7,8 15,7 24,0 32,7 42,0 51,7 61,7 71,6 81,1 90,0 98,1
0,700 8,1 16,3 24,8 33,7 43,0 52,7 62,5 72,2 81,4 90,0 97,8
0,725 8,3 16,8 25,6 34,6 44,0 53,7 63,3 72,8 81,7 90,0 97,5
О,75Р 8,6 17,4 26,3 35 ,5 45,0 54,6 64,1 73,3 82,0 90,0 97,3
0,775 8,9 17,9 27,1 36,4 45 ,9 55,5 64 ,8 73,8 82,2 90 ,0
.
97,0
0,800 9,2 18,4 27, 8 37,3 46,9 56,3 65 ,5 74,3 82,5 90,0 96,8
0,825 9,5 19,0 28,5 38,2 47,7 57,1 66,2 74,7 82,7 90,0 96,6
0,850 9,7 19,5 29,3 39 ,0 48,6 57,9 66,8 75,2 82,9 90,0 96,4
0,875 10 ,0 20,0 30,0 39 ,8 49,4 58 ,6 67,4 75,6 83,1 90 ,0 96,2
0,900 10,3 20,6 30,7 40,6 50 ,2 59,4 68,0 76,0 83 ,3 90,0 96,1
0,925 10,6 21,1 31,4 41 ,4 51,о 60,0 68,5 76,3 83,5 90,0 95,9
0,950 10,9 21,6 32, 1 42,1 51,7 60,7 69 ,0 76 ,7 83,7 90 ,0 95,7
0,975 11,1 22 ,1 32,7 42,9 52,4 61,3 69,5 77,0 83,8 90,0 95 ,6
1,000 11,4 22 ,6 33,4 43,6 53 ,1 61,9 70,0 77,3 84,0 90,0 95,5
182
--
2.Ш'


Продолже1т е табл. 5.5
р азличных μ, град
1
1,2
1
1,3
1
1,4
1
1,5
1
1,6
1
1,8
1
2,0
1
2,5
1
3,0
1
5,0
1
10,0
123,7 134,0 141,3 146 ,6 150,6 156 ,2 159,9 165,3 168,4 173 ,5 176,8
121,4 131 ,5 138,8 144,3 148,4 154,3 158,2 164,1 167, 3 172,9 176,5
119,4 129,2 136,5 142, 1 146,3 152 ,4 156,6 162,8 166,3 172,3 176,2
117,7 127,2 134 ,4 140 ,0 144,3 150 ,6 155 ,0 161,6 165,3 171,7 176,0
116,1 125,3 132,4 138,0 142,4 148,9 153,4 160,4 164,3 171, 1 175,7
114,6 123,6 130,6 136-,2
140,6 147,3 151,9 159,2 163,3 170 ,5 175,4
113,3 122,0 128,9 134 ,4 138,9 145,7 150,5 158,0 162, 3 170 ,0 175,1
112,2 120,5 127,3 132,8 137 ,3 144,1 149,0 156,8 161 ,4 169,4 174,8
111,1 119,2 125 ,8 131,3 135,7 142 ,6 147 ,7 155,7 160 ,4 168,8 174,5
ll0,l 118,0 124,4 129,8 134 ,3 141,2 146,3 154,5 159 ,4 16 8,2 174,2
109,3 116,8 123,2 128,4 132 ,9 139,8 145,0 153,4 158 ,5 167,7 174,0
108,4 115,8 121,9 127,2 131,6 138,5 143,8 152,4 157,6 16 7,1 173,7
107 ,7 114,8 120,8 125,9 130 ,3 137,3 142,5 151 ,3 156,7 166,5 173,4
107,0 113,9 119 ,7 124,8 129 , 1 136,0 141,3 150,3 155 ,8 166,0 173,1
106 ,4 113,0 118,8 123,7 128 ,0 134 ,9 140 ,2 149,2 154 ,9 165,4 172,8
105,8 112 ,2 117,8 122,7 12 6,9 133 ,8 139, 1 148,2 154 ,0 164,9 172 ,5
105,2 111,5 116,9 121 , 7 125,8 132,7 138 ,0 147,3 153,2 164 ,3 172,2
104,7 110,8 116 , 1 120,8 124 ,9 131,6 137 ,0 146,3 152, 3 163,7 172,0
104,2 110,1 115,3 119,9 123,9 130,6 136 ,0 145,4 151,5 163,2 171 ,7
103,7 109,5 114 ,6 119,1 123, 0 129,7 135 ,0 144,5 150,6 162,7 171 ,4
103,3 108,9 113,9 118,3 122,2 128,8 134 , 1 143,6 149,8 162,1 171 ,1
102 ,9 108,4 113 ,2 117,5 121,4 127,9 133,2 142,7 149,0 161, 6 170,8
102,5 107,8 112,6 116,8 120 ,6 127,0 132 ,3 141 ,8 148.3 161,0 170,5
102,2 107,3 112,0 116,1 119 ,8 126 ,2 131 ,4 141,0 147,5 160,5 170 ,3
101,8 106 ,9 111,4 115 ,q 119,1 125,4 130,6 140,2 146,7 160,0 170,0
101,5 106,4 110,9 114,8 118,4 124,7 129 ,8 139,4 146,0 159,4 169,7
101,2 106,0 110,3 114 ,3 117 ,8 123 ,9 129,0 138, 6 145,3 158,9 169,4
100 ,9 105 ,6 109, 8 113 ,7 117 ,2 123 ,2 128,3 137,9 144,5 158,4 169,1
100,7 105,2 109,4 113,1 116,6 122 ,6 127,6 137,1 143,8 157,9 168,9
100,4 104 ,9 108,9 112 ,6 116,0 121 ,9 126 ,9 136,4 14 3,1 157,4 168,6
183


,-
{0,010
•
А
L дБ 0,70
~
4828в
0,015
0,020
0,025
0,20
0,25
-72 -32
4626б
-14
-J4
44244
-76 -Jб
42222
-78
-38
4020о1
10
700
1,5
75
750
а)
-20
-40
2,0
2,5) ~
20
25А
200.
250
•{ O,0J
Lд/ 0,J
0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 • 0,10
0,4
0,5
0,6 О,7 0,8
'
J
бО4020
'
l,/"
t
V
58 ,..39 18
L
}4-►--
--- -
0,9
1,0
О -20
2 -22
5
553676
/
/
,,,,
54J474
1/
523212
/
оJ010 1/
4 -24
-б -26
-8
-28
.
70 -J0
Lf8 28 8/
72 -J2
J
4
5
б
7
8
9
l0Lд5
'--:з=-'="---4~-,s~о-~- ~БО~-7~0-___J~'------9~0--1Jоо-1 л'
JO0 400 500 600 700 800 900 7000
о)
Ри с . 5.13 . Номограммы для перевода натуральных чисел в децибелы
184


Если необходима действитель­
ная ЛА ЧХ, то около каждой из со­
прягающих частот нужно строить
кривую поправок. Значения по­
правок 8 следует брать из табл. 5 .3,
если сопрягающая частота изме­
няет наклон на -+-20 дБ/дек, и из
табл. 5.4 при изменении наклона
на ='=40 дБ/дек. В последнем слу­
чае значения поправок зависят от
коэффициентов демпфирования ~
и~-
Таблицы дают значения попра­
вок 8 в функщш относительной
(I)
частоты μ = --,
где ffiO- со-
Шо
Таблица 5.6
Изменение наклона
асимптотическои ЛА ЧХ
Изме-
Полином, определяющий
нение
сопрягающую частоту
наклона
ЛАЧХ ,
дБ/дек
(тs+1)
}
+20
числи-
(т2s2 +
теля
-f-40
+2,тs+1)
(Ts-1-1) }
-20
знамена-
-40
(T2s2+
теля
+2~Ts+1)
прягающая ча-стота. При нанесении значений поправок на гра­
фик удобно пользоваться подвижной шкалой относительной ча­
стотьr μ. На рис . 5.14 подв.ижная шкала приложена к сопрягаю­
щей частоте, равной 4 с- 1 .
После построения кривых всех поправок их суммируют с асим­
птотической ЛАЧХ и получают действительную ЛАЧХ.
Для построения ЛФЧХ сна'чала наносят на график все ее со­
ставляющие. Первой из них является составляющая от интегри­
рующих звеньев - прямая, параллельная оси абсцисс с ординатой
- v-90°. Затем строят составляющие АФЧХ соответственно ка­
ждой из сопрягающих частот. Значения этих составляющих елее
дует брать из табл. 5.5 . При этом если наклон ЛА ЧХ на рассмат ~
риваемой сопрягающей частоте изменяется на -+-20 дБ/дек, то
нужно следовать указаниям рис. а, 6, в или г таблицы. Если изме­
нение наклона составляет -+-40 дБ/дек, то нужно следовать ука­
заниям рис . д, с, жили зтаблицы. В заключение все составляющие
суммируют и получают ЛФЧХ.
Если имеются интегрирующие звенья, то составляющие ЛФЧХ,
соответствующие сопрягающим частотам, можно откладывать
не от оси абсцисс, а от прямой с ординатой -v -90°. Тогда для по :.
лучения ЛФЧХ суммируют относительно этой прямой все осталь :.
ные составляющие, т. е. при каждой частоте расстояние ЛФЧХ от
прямой равно сумме расстояний от этом прямой всех остальных
составляющих.
Пример 5.4. Передаточная функция разомк н утой САР
W_ k(тs+1)
-
s(Ts+ 1) '
где .k=25; т=О,1 с; Т = О,0125 с.
Рис. 5. 14. Приыенение подвижной
шкалы μ
185


L}fj
JO
20
10
0 ~L--j --
-~=:~;__-=::r:::?:=.....::~
10
70
"!,
1
1
1
lfJ, zpaiJ
Ot------:;-------+ --;;; --- --=:::;== ~ -: --:-
45
90 г--===---~====--____I_jt____
135
780
Рис . 5.15 . JIЧX к •примеру 5.4
Построить ее логарифми­
ческие частотные характери­
стики.
Определим сопрягающие
частоты
и отметим их на графике
(рис. 5. 15) .
Определим
ЛАЧХприw=
грамме (см. рис.
ординату
J ПО НОМО·
5.13, а):
L(1)=20lgk=20Jg25"""'28.дБ
и нанесем точку . В на график .
Строим асимптотическую ЛА ЧХ. Через точку В проводим низкочастотную
асимптоту с наклоном -20 дБ /дек до сопрягающей частоты w 1. Следующую асим­
птоту проводим с наклоном О дБ/дек . до частоты w2 . Высокочастотную асиптоту
строим с наклоном -20 дБ /дек.
Кривые поправок строим , пользуясь табл. 5.3: около сопрягающей частоты w 1
в соответствии с рис. г и около частоты w2 по рис. а этой таблицы.
Суммируя две кривые поправок (6 1 и 6 2 ) с асимптотической ЛАЧХ, полу-
чим действительную ЛАЧХ L = L (w).
.
Далее строим ЛФЧХ . Составляющая 'Фо, создаваемая интегрирующим зве­
.ном, есть прямая с ординатой -90°. Составляющую "ф 1 , соответствующую сопря­
гающей частоте w 1, строим по данным табл. 5. 5 согласно рис. 6. Составляющую '\jJ 2
около частоты w2 строим по той же таблице согласно рис . а. Обе составляющие
откладываем от прямой с ординатой - 90 °, затем суммируем их относительно
этой прямой .. В результате получаем ЛФЧХ '\jJ = 'Ф (w).
5.4 . СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ
ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СИСТЕМЫ
МИНИМАЛЬНО- ФАЗОВОГО ТИПА
Передаточную функцию, у которой полиномы числителя и зна­
менателя не имеют корней с положительной вещественной частью,
называют функцией минимальной фазы, а систему с такой переда­
точной функцией - системой минимально-фазового типа. У такой
системы между амплитудной и фазовой, а также между вещест­
венной и мнимой частотными характеристиками существует одн10 -
значная связь .
Это свойство используют для определения значений фазы при
некоторых частотах или всей фазочастотной характеристики по
логарифмической амплитудно - частотной характеристике. Взаимо ­
связь определяется формулой
186
1
'\j)(w) =
-
л:
00
J*ln ctgh lтJ du,
(5.32)


Ln ct h\f\
6
5
4
J
2
Рис. 5.16. Графикфункцииl п сtgh\ ~ \
Рис. 5.17. Аппроксимация ЛАЧХ по­
лубесконечными ЛА ЧХ с постоянным
наклон .ом
где
и= lnμ;
(i)
μ=(О;
о
w O - сопрягающая частота.
Следовательно, значение фазы при любой частоте w пропор ­
ционально средневзвешенному значению производной от логариф­
мической амплитудно-частотной характеристики . Функция ln Х
Х ctghl Т /, график которой представлен на рис. 5 . 16 , выполняет
•
:тt 2
роль функции веса. Площадь графика равна 2 . Вид этой функ-
ции указывает, что наиболее существенное влияние · на з начение
фазы при данной частоте w имеет наклон ЛА ЧХ вбли з и этой ча­
стоты .
С помощью графика функции ln ctghl Т I по асимптотической
ЛА ЧХ можно определить приближенное з начение фаз ы при вы­
бранных частотах (62].
Формула (5 .32) позволяет определить ЛФЧХ для различных
типовых ЛАЧХ, в частности для полубесконечной ЛАЧХ с по­
стоянным наклоном. Значения 'ljJ = 'Ф (w) , соответствующие такой
ЛАЧХ с · единичным наклоном (+20 дБ /дек), приведены в (107].
При наклоне v дБ/дек значения 'Физ приложения III [ 107] нужно
умножать на 0,05 v . Таким обра з ом, по ЛАЧХ можно построить
соответствующую ей ЛФЧХ. Заданная ЛАЧХ дол ж на быть ап­
проксимирована отрезками прямых (рис . 5 . 17, а) . В рез ультате
ее з аменяет ряд полубесконечных составляющи х с постоянным
наклоном (рис . 5.17, 6) . Теперь можно определить по таблице зна ­
чения соответствующи х им составляющи х ЛФЧ Х при выбранны х
частота х и результаты просуммировать .
187


1111 lllЩ/
UmS='l,25
'l,O~
1,В
'
'
1,6
\.
1,4
\
1,2
'
7,0
.
..
0,8
..
..
\
1
0,5
О,'1
0,2
1
0,01
0,1
J
'1
J
/
J
f
\
\f
,/
s~l/1111
~......~ 2,0 Цт ,5,;,2,25
/
7В
J
'
1,6
7, 4-
1,2
1,0
0,8
0,5
...
0,4
о,2
10
.д
100
Рис . 5. 18 . Номограмма для определе ния фазы по асимптоти,,еской ЛА ЧХ
На основании формулы . (5.32)
позволяющая по асимптотической
составлена номограмма [77],
ЛА ЧХ определить фазу при
выбранной частоте.
.
•
Номограмма (рис. 5. 18) представляет собой график
тещ,ной величины
•
вспомога-
μ
S= ~Jlnctgh/f Idu.
о
Числовые значения S приведены в табл. 5. 7 .
_
Для определения фазы при выбранной частоте ro; необходимо
приложить номограмму к асимптотической ЛА ЧХ так, чтобы
оси абсцисс были параллельны и стрелка номограммы совпа­
дала с частотой ro;. Значение фазы в градусах определяют по фор­
муле
п
,р(ro;) = ~ v1ЛS1,
•
j=l
(5 . 3.З)
где v 1 - наклон j-й ас11мптоты в дБ/дек (с учетом знака); ЛS
-
изменение абсолютного значения S на участке частот, охватывае­
мом j-й асимптотой; п-число асимптот на участке частот, охва­
тываемом номограммой.
Если выбранная частота ro; делит какую-либо асимптоту на
две части, то каждую из них следует считать отдельной асимпто­
. [fQЙ.
.
П~речисленные методы удобны для определения фазы при ка­
. КQЙ 7@ибо одной частоте или при нескольких частотах из диапазона,
охватываемого ЛАЧХ . Их применение целесообразно также для
-188


Таблица 5 .7
Зн ачения S номограммы
ДJIЯ определения фазы по асимптотической ЛА ЧХ
it
1
s
1
•it
1
s
1
μ
1
s
1
>L
1
-s
1,00
0,000
3,5
1,724
1,00
0,000
0,30
1,69 7
1,05 0,210
4,0
1,791
0,96
0, 182
0 ,25
1,79 1
1,10
0,351
5,0
1,884
0,92
0,3 18
0,20
1,884
1, 15 0,467
6,0
1,945
0,88
0,437
0,17
1,939
1,29
0,565
7,0
1,989
0,84
0,547
0,14
1,994
.
.
1,30
0,726
8,0
2,022
0,80
0,650
0,12
2,030
1,40
0,855
10,0
2,068
0,70
0,877
9,10
2,068
1,60
1,052 ·. 20,0
2,154
0,64
1,020
0,05
2,154
1,80
1,197
30 ,0
2,i88
0,56
1,188 •
..
0,03
2,195
2,00
1,310
50,0
2,214
0,50
1,310
0,0_2
2,214
2,50
1,507
80,0
2,227
0,40
1,507
0,015 2,223
3,00
1,634
100,0
2 ,232
0,35
1,6 03
0,010 - 2,232
определения ЛФЧХ по ЛА ЧХ, построенной п_о эксперименталь­
ным данным .
Результаты вычислений тем точнее, чем меньше асимптотиче ­
ская ЛА ЧХ отличается от действительной .
Пример 5.5. Логарифмическая амплитудно-частотная х арактерист ика ра­
зомкнутой САР (см. прим ер 5.4) изображена на рис. 5.19. Определить з начение
фазы при частоте среза Wс-
Задачу будем решать с помощью номограммы (рис . 5.18).
Криволинейный отрезок ЛА Ч Х хорошо аппроксимируется тремя асимпто­
тами (рис. 5.19) с наклоном соответственно -14; -6 и -14 дБ /дек. Н ом ограмму
располагаем так, чтобы ее стрелка находилась на частоте Wc- Затем составим
по номограмме равенство (5.33) и подсчитаем сумм у
По рис.
точно.
L,дб
40
JO
20
70
о
70
\jJ(wc) == -20(2,25 - 2,20) - 14 (2,20 - 2,14) -
-
6(2,14 - 1,46)- 14(1,46+0,80)- 20(2,25- 0,80)=
=-1,0-0,8-4,1-31,6-29,0=-66,5°.
5. 15 легко установить, что значение 1р (wc) определено достаточно
70
1
Рис. 5.1 ~.
ллчх_:-к пр и меру 5 .5
189


5.5 . СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ
ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЗАМКНУТОЙ
И РАЗОМКНУТОЙ САР
На основании формулы (5.14) можно получить следующие соот­
ношения:
L=201sin('р-е)Б·
gS1110Д'
(5.34)
L= 201g( cos 1J, ± V;~:~tл-2____J 1)дБ.
(5 .35)
Здесь L = L (ш) и 1jJ = 1jJ (ш) - логарифмические амплитуд­
ная и фазовая частотные характеркстики разомкнутой системы;
190
fРаза ер, град
-76 0
-72 0
-80
-20 0
-21/0
-2 80
-40
- 320
о
-J БО
L,дб
L,iJб
u.,__.J__
__,,,,~,.___1--___j_---l---~~_j____
__ _j
24Н---=r""',~----'~::::::::::===t==::::t::------т:___~-==:::..,--------j24
о
-760
-120
-
-80
-200
-240
-280
Фаза i/J, zрад
Рис , 5. 20 . Номограмма замыкания
-1/О
-320
-72
-16
о
-JБО


Фаза ф, град
-780
-778
-776
- f7!!. - 772
- 770 -!б8 -166
-180 ,-782
- 78'1 -186
- 188
- 190 -192 -794
-754
-752
- 160
- 196 -798 -200
L,ilБ R=IF=iF/'Ж~~,
L,iJБ
J r--t--;;-н-,.,,--,-71,'Т,,---.,:;:Г7,
о
-800
i==ll==!r-H~~--v~~'-"тnL1"Т1Гl':Jl-2
-78
-J
-
-
-
-
-
-
- 780
-782
-784
-1 86
- /88 -190 -192 -194 - 796 -198 -200
Фаза (/J, ipail
Рис, 5.21 . Часть номограммы замыкания в укрупненном масштабе
А = А (со) и 0 = 0 ~со) - логарифмические амплитудная и фазо ­
вая частотные характеристики замкнутой системы с единичной
обратной связью .
Формулы (5.34) и (5.35) позволяют построить в плоскости
['lj); L 1 линии равных значений 0 и линии равных значений А -
получается номограмма замыкания (номограмма пересчета)
(рис. 5.20) . На рис. 5.21 изображена центральная часть номограммы
в .укрупненном масштабе.
191


.,
Ось абсцисс номограммы (см. рис. 5.20) является осью фазы 1/J
разомкнутой системы. Ось ординат есть ось логарифмической
амплитуды L разомкнутой системы.
Номограмма охватывает значения L от О до +28 дБ и от О
до-26дБ,таккакприL»1Ф=1,т.е.Л=Ои0=О;при
L«1Ф=W,т.е.Л=Lи0='\\).
Итак, для больших по абсолютной величине значений L на­
добность в номограмме отпадает. Нужно принимать:
Л=Ои0=О,еслиL>281дБ;
Л=Lи0=
'\\), если L < -26 дБ.
(5.36)
На номограмме нанесены два семейства линий. Линии равных
значений фазы 0 замкнутой системы в нижней части номограммы
проходят почти вертикально. На части этих линий указаны значе­
ния 0 (град).
Линии равных значений логарифмической амплитуды Л зам­
кнутой системы в левой части номограммы расположены почти
горизонтально. На каждой из этих линий указано значение Л (дБ).
Номограмма дает возможность по известным значениям 'Ф
и L разомкнутой системы определить значения 0 и Л замкнутой
системы (с единичной обратной связью). Для этого по значениям
'Ф и L с помощью координатной сетки отыскивают на номограмме
соответствующую им точку . Затем по криволинейной системе ко­
ординат определяются соответствующие этой точке значения 0 и Л .
Если точка оказывается между линиями криволинейной системы
координат, то значения 0 и Л опред'еляют интерполяцией.
Каждая линия равных значений 0 имеет две отметки, сумма
которых равна -360°. Поэтому нужно иметь в виду, что если
О>'Ф>-180°, то и О>0>-180°;если-180°>'Ф>-360°,
то и -180° > е :::;, -360°.
•
Пусть для некоторой частоты ,~ =
-32° и L= -4дБ. Отыскав на номо­
грамме соответствующую точку, определим, что при за_мыкании . системы (еди­
ничной обратной связью) для этой частоты 0 = -20° и Л = -S- дБ. Если 1\J =
= -328° и L = -4 дБ, то на номограмме им соответствует та же точка, что
и в предыдущем случае. Однако теперь 0 = -340° = 20° и по-прежнему Л =
=-8дБ.
Предположим, что номограмму используют для определения
логарифмических частотных характеристик замкнутой системы.
Тогда удобнее на прозрачной бумаге вычертить такую же коорди­
натную сетку 'Ф, L, на какой построена номограмма. По заданным
частотным характеристикам разомкнутой системы построить на
этой сетке кривую L ('Ф) и указать частоты, соответствующие от­
дельным точкам. Затем наложить чертеж на номограмму и опре­
делить значения 0 и Л для всех вьiбранных частот.
• Номограмму замыкания используют не только в рассмотрен­
ных, но и в более общем случае - для определения логарифми-
192


ческих частотных характеристик 8 0 = 8 0 ((!)) и Л 0 = Л 0 ((!)) си­
стемы с передаточной функцией
(5.37)
гдеWп=Wп(s);W=W(s);Ф0=Ф0(s).
Равенство (5.37) можно привести к такому виду:
1
w
Фо=Wп
I
1+ --w
(5 .38)
Следовательно, для отыскания логарифмической амплитуды Л0
(или фазы 8 0) замкнутой системы с передаточной функцией Ф 0 ,
определяемой равенством (5.37), при ка_кой-то частоте (!) ; необхо- ·
димо:
1) определить значение Lп (или 'Фп) по частотной передаточной
функции wп (j(t));
'
2) пользуясь номограммой замыкания (см. рис. 5.20 и 5.21),
-
-
определить значение Л (или 8), соответствующее значениям -L
и -8;
-
-
3) сложить значения Lп и Л (или 'Фп и 8) .
Этим путем можно определять логарифмические частотные
характеристики замкнутой системы относительно возмущения,
для ошибки слежения, а также относительно задающего воздей­
ствия при неединичной обратной связи .
Действительно, в общем случае САР имеет структурную схему,
представленную на рис. 3.1, и ее передаточные функции относи­
тельно задающего воздействия
1
Wg = l~\-W; = W1W2 __W
_
I_,
1+ --w
гдеW= W0W1W2;
относительно возмущения
1
w
w
Wr=
i
= W1---1 -
1-\- W
и для ошибки слежения
приводятся к виду (5 .38) .
13 И. М. Ма1<аров
1+ --w
1
w
--1 -
1+--w
(5 .39)
(5.40)
(5.41)
193


Номограмма замыкания может быть использована еще для
определения логарифмических частотных характеристик неко­
торых соединений динамических з веньев [11 О]. Структурные
схемы этих соединений и их передаточные функции приведены
в табл. 5.8 . Кроме того, в таблице указано, при каких значениях
координат 'Ф и L нужно пользоваться номограммой замыкания
в каждом случае и как на основании полученных по номограмме
значений 8 и Л определить эквивалентные фазу 1jJ3 и логарифми­
ческую амплитуду L3 соединения.
1
Пример 5 . 5 . Два апернодиче с ю1х з вена с передаточ1 1 ыми коэфф111,и е 11та м 11
k = 0,5и постоянными времени Т1 = 0,02си Т2 = 0,2ссоединены параллельно.
Определить фазу 'Фэ и логарифмическую амплитуду L3 при частоте w = 10 с 1 .
Определим фазы и логарифмические амплитуды звеньев при заданной частоте:
1j11 = -aгctg 0,02 -10 = - 11,3°;
L1=20IgV о,5
=- 6,2дБ;
1 + (0,02-10)2
'Ф 2 = -arctg 0,2-10 = -63,4°;
L=201
О,5
13О Б
2
gVl+(0,2-10) 2 = -
,
д.
Для определения 'Фэ и L3 можно воспользоваться п. 3 табл. 5.8 . В соот ­
ветствии с указанием таблицы подсчитаем значения координат:
1J1 = 1р1 -'Ф2 = -11,3-( -63,4) = 52,1 ° = -307,9°;
L=L1- L2= -6,2 - (-13,0)=6,8дБ.
По номограмме замыкания (см. рис. 5.20) определим, что этим значен ия м 1j1
и L соответствуют 0 =
-344° и А= -2,4 дБ.
В соответствии с п. 3 табл. 5.8 подсчитаем фазу и логарифмическую ампли­
туду соединения:
1/Jэ = 1р1 ~ 0= -11,3 - (-344,О) = 332,7° = -:-27,3°;
L3=L1- А=
-6,2 - (-2,4)= -3,8 дБ.
п 563
"
ф
"
W
1,25
ример . . вено с пеrедаточнои ункциеи
1 = 0,2s + 1 включено
по схеме, показанной в п. 6 табл. 5.8. Определить фазу 1/Jэ и логарифмичес1,ую
амплитуду L3 соединения при частоте w = 1,1 с- 1 .
Определим фазу 'tjJ 1 и логарифмическую амплитуду L 1 звена при w = 1, 1 С 1 :
194 ,
1р 1 = -arctg0,2 , 1,l = -12,4°;
L1=20JgV 1•25
= 1,73дБ.
1 + (0,2-1,1)2
В соответствии с п . 6 табл . 5.8 подсчитаем значения 1,оординат:
1J1 = 180° -1р1 = 180 - (-12,4) = 192,4° = - 167,6°,
L= - L1= - 1,73дБ.


Определение 1!Jэ и Lэ
Таблица 5.8
некоторых соединений динамических звеньев
по номограмме замыкания ,
Переда-
На номограмме
Фаза и Jiоrарифмич е-
с 1{ая амплитуда
TOtJll3Я
отлож:нть
соедннення
Стру1,турная
фу111щ1н1
с. :--.: с ма соединения
соед и-
1
1
не 1-111n
,,,
L
•l>э
Lэ
\\7 э
~W1
ЧJ1
L1
0
л
1 +W1
-~
W1
180° + 'Ф1
L1
0+ 180°
л
1-W1
~ W1+W2 'Ф1 - 'Ф2
L1-L2
'Ф1 -0
L1 -Л
~ \~'i+ 1
- ·Ф1
-L1
-
0
-Л
-®-
W1-W2 'Ф1 - 11'2 + L1-L2
·Ф1-0
L1 -Л
+ 180°
~ 1-W1 180°-'Ф~
-L1
-0
-Л
~1
-'Ф1
-L1
0
л
---
1 +w1
'Ф1
L1
0-'Фi A-L1
1
.
...
.
_ ___ _____J
~W1
'Ф1+'Р2 L1+L2
0-'Ф2 Л-L 2
1+ W1W2 -(1Р1 + 1r2) -(L1-+
0 +'Ф1 Л+L2
+L2)
~
-
'Ф1+'Ф2+ L1+ l,2 0-'Ф2+ Л-L2
l\1/1
+ 180°
+ 180°
l-W1\\1/2 180°-
-(L1+ 0 + 'Ф1
A+L1
-('Ф1 + 'Ф2) +L2)
13*
195


При этих значениях , 1,оординат можно пользоваться частью номограммы
замыкания, выполненной в укруп н е нном масштабе (рис. 5.21), тогда
0=
-
125°и Л=9,8дБ.
Следовательно, в соответствии с табл. 5.8
~Jэ =
-0= 125° =
-
235°;
Lэ=-Л=- 9,8дБ.
5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТОЙ САР
Характеристика Р = Р (ш) позволяет построить приближен ­
ную переходную характеристику (см. п. 4.2), и поэтому ее часто
используют при инженерных расчетах. Характеристику , опреде­
ляют не только аналитически, по частотной передаточной функции
замкнутой САР, но также и графоаналитически, по одной из ча­
стотных характеристик разомкнутой системы. При этом используют
характеристику, построенную ранее для других целей, и, таким
образом, уменьшаются общие затраты времени на расчет.
Аналитическое определение Р. Все передаточные функции
замкнутой САР могут быть представлены в виде
ф Wп /J0s": +Ь1sm-I+ ···+Ьт-1s+Ьт
0= 1+l\1/= a0sn+a1sn-I+•··+a,,_1s+а,1
и, следовательно,
гдет~п;
И1= Ь,п-Ьт_2Ш2+Ь,п_4ш4- •• ·;
V1= (() (Ьт-1 -Ь,п_3Ш2 + Ьт_5Ш4 -
•••);
и. = а,, - ап-2(()2 + ап-4(()4 -
••• ;
.
V2 = ш(ап-1 - ап_зш2+ап_5ш4-
••·).
В этом случае
(5.42)
(5.43)
И1 +~
р_И1И2+V1V2_ V2
И2
(5.44)
-
ИН-V~ - ~+~
V2 И2
При определении характеристики расчет следует выполнить
для ряда частот, равномерно отстоящих одна от другой, например,
для ш = О; 10; 20; .... Затем выбрать дополнительные частоты на
участках, где могут быть экстремумы или имеет место быстрое из­
менение Р . Весь расчет целесообразно заносить в таблицу. При
ручном счете и наличии математических таблиц с обратными
з начениями чисел [101] удобно вычислять Р по правой части вы­
ражения (5.44) ..
196


Рис. 5.22. Определение характ е ­
ристики Р (W) замкнутой САР с еди-
1-1ичной обратной связью по АФЧХ
разомкнутой цепи
В частном с J1уча е , при
единичной обратной связи,
частотная
передаточная
функция Ф замкнутой си­
стемы определяется равен­
ством (5.14). Значения Р
следует вычислить по фор­
муле
(5.45)
2
где вид полиномов В 1 и В 2 зависит от того, в каком виде состав­
лена частотная передаточная функция W разомкнутой системы .
При
При
При
W= k(и1+jv1)i
U2+jV2
2
2
В1= k(и1и2-f-v1v2)+и2+v2;
В2= ll (и1и2+v1v2) +k2 (Ui +v~).
W=И+IV
1-f-U;В2= UВl-f-V2•
W=AeN
вl = 1+Аcos'ljJ;в2=А (А+cos'Ф),
(5.46)
(5.47)
(5.48)
Определение Р по АФЧХ разомкнутой САР. Значение Р может
быть найдено с помощью вещественной круговой диаграммы
(см. рис. 5.5 и 5 .6). Кроме того, используют графоаналитический
метод, который дает более точные рез ультаты, так как значения Р
определяют по точкам АФЧХ, точно соответствующим выбранным
частотам.
Пусть обратная свя з ь единичная и частотная передаточная
функция определяется равенством (5. 14). Тогда на комплексной
плоскости [И; jV] нужно провести окружность через начало
осей координат и точку А с координатами [-1; jO] . Затем провести
прямые чере з точку А и каждую и з выбранных точе к АФЧХ
(рис . 5.22) так, чтобы эти прямые пересекали окр у жност ь. Значе-
197


и
2
Рис. 5.23 . Определение основ­
ных параметров характеристик
Р ((()) замкнуто~\ САР с единич­
"ой обратной связью по АФЧХ
разом1<нутой цепи
ние I Р 1, соответствующее выбранной i-й точке АФЧХ, равно
отношению двух отрезков:
1Р;1=~~:,
(5.49)
где АВ; - отрезок прямой между точкой А и выбранной точкой В;
АФЧХ; В;С; - отрезок прямой между точкой В; и точкой С;
пересечения этой прямой с окружностью.
Возможны три случая, показанные на рис . 5 .22. При частоте
w 1 точка В 1 АФЧХ находится вне окружности и справа от пря­
мой, проведенной через точку А параллельно оси ординат. Этой
частоте соответствует положительное значение Р < 1:
р() В1С1 1,28 Обl
Wi=АВ1=2,10='•
При частоте w 2 точка В 2 АФЧХ находится вне окружности,
но слева от прямой, параллельной оси ординат. Этой частоте соот ­
ветствует положительное значение Р ;
р()=В2С2=~=2
Wz
АВ2 0,58
•
При частоте ш 3 точка В 3 АФЧХ находится внутри окружности .
Значение Р отрицательное:
Р(w3) =
-
8Ji:= -
~•,:~
=
- 0,92.
На рис. 5.23 показано, как определить основные параметры ха­
рактеристики [ 19] . О1<ружность с центром , расположенным на
оси абсцисс, проходит чере з точку А и 1,асается АФЧХ в точке,
которой соответствует экстремальное значение. Р . Экстремум Р
положит~льный, если центр 0 1 окружности расположен левее
точки А. Он имеет место при частоте W31 и определяется длиной _
радиуса rз 1 этой о к ружности:
р • 1+-1-.
щах =
2Гз1 ·
(5.50)
198


Экстремум Р отрицательный, если центр 0 2 окружности распо­
ложен правее точки А, и его величина
На основании рис . 5.23
1
Р111ах = 1+ 2,О,Вб = 1,58
1
ИР,лiг= 1- 2 -0,22 =
-
1,27.
(5.51)
Частоте ffiп, при которой АФЧХ пересекает окружность, про­
ходящую через начало осей координат и точку А, соответствует
р=о.
Характеристику Р замкнутой системы, соответствующую пере,
даточной функции видц. (5.43), также можно определить графа­
аналитически (81 ]. Дляэтого нужно иметь две АФЧХ, построен-
ные по частотным передаточным функциям W и Wп . Характери­
стика Р может быть пост1tоена и по обратной АФЧХ (24 ] .
Определение Р по логарифмическим частотным характеристи­
кам разомкнутой САР. Значение Р находят с помощью номограммы
(рис . 5.24) . Эта номограмма построена по соотношению (5.45) по­
сле замены А на L в равенствах (5.48):
р = Lcos'Ф+ L2
1+2Lcos'ljJ+L2
(5.52)
Следовательно, она позволяет определять значения Р замкну­
той системы с единичной обратной связью.
Номограмма представляет собой семейство линий равных зна­
чений Р, построенное в плоскости фазы 'Ф - логарифмическая
амплитуда L. Ось абсцисс охватывает значения 'Ф от О до
- 360°.
Ось ординат охватывает значения L от -28 до +28 дБ. При L >
>28дБР=1иприL<-28дБР=О.
Номограммой пользуются так: на ней отыскивают точку, соот­
ветствующую значениям 'Ф и L при выбранной частоте ffii. Поло(
жение этой точки относительно семейства кривых определяет зна­
чение Р (ffi;) ,
Если определяют всю характеристику Р, то удобно построить
на прозрачной бумаге в координатах ['tj); L] (при том же масштабе,
что и на номограмме) кривую L (w). Затем этот график наклады­
вают на· номограмму и определяют значения Р при ряде частот.
Определение Р по Д-разбиению [81]. При исследовании влия­
ния параметров системы на ее устойчивость строят кривые Д-раз­
биения (см. п. 6 . 10), которые могут быть использованы для опре­
деления характеристики Р замкнутой системы.
Наиболее просто определить значения Р по кривой Д-разбие ­
ния по передаточному коэффициенту k ра з омкнутой системы . Если
в системе единичная обратная связь, то для определения значе­
ния Р при выбранной частоте wi нужно и з начала осей координат
199


72
72,
в
в
4
4
о
о
-4
4
-в
-в
-76
-28 0,D2
-320
-JOO
-280
- 26 0 -2'10 -220
- 200
-780 -160
-140
-
120 - 100
-
80
Рис. 5 . 24. Номо г рамма для определения характеристики Р ((i)) замкнутой САР с еди­
ничной обратной связью по логарифмическим частотным характеристикам Р ((i)) и L((i))
разомкнутой цепи
опустить ·перпендикуляр на прямую, соединяющую точки А и В;
(рис. 5.25). Точка А находится на оси абсцисс и соответствует зна­
чению k, а точ ~ Е; находится на кривой Д-разбиения и соответ­
ствует выбранной частоте . Значение вещественной частотной ха ~
рактеристики
(5.53)
Возможны два случая, которые и показаны на рис. 5 .25. Точка
В 1 , соответствующая частоте ui 1 , расположена левее прямой, па­
раллельной оси ординат и проходящей через точку А. В этом слу­
чае
Р= ~~1 = 1~'~
=
0,48 .
1
,
Точка В 2 , соответствующая частоте w 2 , расположена правее
указанной прямой АА 1 . При этом
р__АС2__ 7,8 --О69
АВ2
11,3
'
•
200


Рис. 5.25. Определение характеристики Р (w) замкну той САР
с единичной обратной связью по кривой Д -разби е 1-1ия по k
Точка кривой Д-разбиения, лежащая на прямой АА 1 , соответ­
ствует частоте wп, при которой Р = О. Одна ветвь Д-разбиения
позволяет построить всю характеристику Р.
Если, кроме кривой Д-разбиения, построить дополнительную
кривую, то можно графоаналитически определить характеристику
Р, соответствующую частотной передаточной функции (5.42)
[81]. Характеристику Р замкнутой системы с единичной обратной
связью можно определить и по кривой Д-разбиения по любому
параметру, линейно входящему в характеристическое уравнение
(24, 81 ].
5. 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДНО -Ф АЗОВОЙ
ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ
ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ
Экспериментальное исследование динамических свойств слож­
ных объектов регулирования выполняют чаще всего путем снятия
переходной характеристики (кривой разгона). Эксперименталь­
ная характеристика, вообще говоря, может быть аппроксимиро­
вана некоторым аналитическим выражением, которое позволит
определить передаточную функцию и вычислить частотные харак­
теристики. При аппроксимации неизбежны погрешности, поэтому
используют также методы непосредственного определения А Ф Ч Х
по экспериментальыой переходной характеристике.
Простейший и проверенный практикой метод [ 119] заключается
в том, что экспериментальную переходную характеристику h (t)
аппроксимируют отрезками прямых (рис. 5.26). Затем определяют
коэффициенты С;, характеризующие углы наклона прямолиней­
ных отрезков:
(5.54)
201


1
1
т--,--1---
1
1
1
I
1
1
:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
•!
1
1
1
1
1
1
t4tst6t7
tв
t
Рис . 5.26. Апн рок симация э 1<сnерименталы-1 о й переходной характе•
ристики ..._ трсзками
прямых для определения АФЧХ
Значения вещественной И и мнимой V частей частотной пере­
даточной функции W при каждой частоте ш подсчитывают по фор­
мулам
п
И= ~ ·~С; sinШ't1; cosШ't2;;
i=l
п
V= ~ ~ с; sin ш~:1;sinш~:2;,
i=l
где п - число аппроксимирующих отрезков;
(5.55)
Существуют таблицы [89 ], с помощью которых облегчается
расчет по формулам (5.55).
В основе другого метода аппроксимации (97] лежит предпо­
ложение, что переходная характеристика представляет собой кри­
вую полупериода колебаний, которые устанавливаются на выходе
системы при подаче на ее вход периодических колебаний прямо­
угольной формы.
Определение амплитуды и фазы частотной передаточной функ-
б
"
2n
ции при вы раннои частоте Ш; = Т:- заключается в следующем:
1) выбирают участок переходной характеристики от О до та­
кого значения tp, при котором переходный процесс практически
уже заканчивается; при этом должно выполняться равенство
где п - целое число;
202
t
пТ0
JJ = -2-,
(5.56)


Рис. 5 . 27 . Разложение на составляю-
,;
щие переходной характеристики
объекта без самовыравнивания
2) выбранный участок
•переходной ; характеристи -
• ки разделяют (в простей ­
шем случае) на интервалы O-=
-
-
-
-
- ----- -
-
Лt=:0
(5.57)
и записывают значения h в эти моменты веремени (всего записы­
ваютr = Зп+1значенийh0, h1,
... ,
h,);
3) вычисляют ординаты кривой предполагаемых периодических
колебаний:
Z0 = 2((i~-h3+h6-l1.a + ···+ /1.,_ 6 -h,_3) +/1,.; )
21 = 2(/11- h4+!11- !1.10+ ···+!1,_5
-
h,_ 2) + h,.;
1l
Z2= 2(/12- h5+h,-
hн+···+11,_4
-
!i,. _ 1) --[-- !1.,;
4) определяют коэффициенты:
2
2~
.
2:rt k
а=з.LJZkSШЗ ;
k=O
2
2"
•2л
Ь==3 ~Z1ecos3 k;
11=0
5) подсчитывают амплитуду
и фазу
ь
1/J (w;) = arctg -
.
а
(5.58)
(5 .59)
(5.60)
(5. 61)
частотной передато'чной функции для выбранной частоты W;.
После определения амплитуды и фазы для ряда частот можно
построить АФЧХ, соответствующую рассматриваемой переходной
характеристике. Значение п при каждой частоте W; нужно выби­
рать так, чтобы значения tr при всех частотах были возможно
ближе одно к другому.
Изложенным методом могут быть определены частотные харак­
теристики объекта без самовыравнивания, переходная х аракте-
203


ристика которого с ростом времен-и уходит в бесконечность
(рис . 5.27) . В этом сл учае переходная характеристика должна
быть представлена как сумма дв у х характеристик :
h=k,J+ha,
(5.62)
где kиt - переходная характеристика интегрирующего звена .
Значение k 11 определяют по углу наклона асимптоты, к кото­
рой стремится h при t - , cv. Частотную передаточную функцию Wa
определяют из ложенным выше способом . Тогда частотна.я переда­
точная функция рассматриваемой с истемы
:rt
W--kи
-
j2·+w-
-
е
а•
(5.63)


Глава 6
ПРОВЕРКА УСТОЙЧИВОСТИ
•При оценке свойств спроектированной системы автоматичес­
кого регулирования обычно прежде всего выясняют ее устойчи­
вость . Это можнр установить, исследуя свобод1-1ое движение систе­
мы, т. е. ее поведение под влиянием начальных условий (см. п. 2.2).
Предположим, что на систему в течение некоторого промежутка
времени, кроме задающего воздействия, влияет возмущение и в ре­
зультате состояние системы в момент t = t 0 характеризуется зна­
чениями у\ у\ ... , y(n - I) 0 регулируемой величины и ее прои зв од­
ных. Предположим далее, что в момент времени t 0 влияние возму­
щения прекращается. Следовательно, дальнейшее поведени е си­
стемы определяется зада ющим во здейств ием и начальными усло-
виями у\ у', ... , у( 11 - 1 ) 0 , причем на основании принципа супер­
позиции (см. п. 2.2) эти два влияния в линейной системе незав и­
симы одно от другого .
В наиболее бл3гоприятном случае свободная составляющая
регулируемой величины,которая создается начальными условиями,
с течением времени стремится к нулю. Такую систему на з ывают
устойчивой (асимптотически устойчивой).
Возможно также, что свободная составляющая стремится к не­
которому конечному значению или совершает гармоничес кие коле­
бания, амплитуда которых стремится к некоторому конечному
значению. Такие системы называют нейтральными (нейтрально
устойчивыми) .
Возможно, наконец, что свободная составляющая регулируе­
мой величины неограниченно возрастает или совершает гармони­
ческие колебания с неограниченно во з растающей амплитудой.
Такие системы назьшают неустойчивыми .
Итак, система является устойчивой, если после прекращения
внешнего воздействия она по истечении некоторого времени воз­
вращается к тому состоянию равновесия или вынужденного дви­
жения, в котором находилась до начала во здейств ия.
Оценка устойчивости системы есть оценка ее принципиальной
способности осуществлять регулирование, поэтому с оценки устой­
чивости начинают исследование всякой системы.
205


В данной главе будет рассмотрено условие устойчивости и раз ­
личные инженерные методы проверки устойчивости, а также ряд
смежных вопросов .
6.1 . УСЛОВИЕ И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТ И
Дифференциальное уравнение линейной или линеари з ованной
системы имеет следующий вид (см. пп. 2 .2 и 3 .2):
(aopn +aJp11- · 1 + ···+ап-1Р+ап) У = (Ьорт -'t b1pm-I +:··+
+ ьт-1Р + Ьт) р; +(СоР1 +С1р1-1 + ... +С1-1Р +с,) f, (6.1)
гдеу= у(t), g = g(t) иf=f(t)- соответственно регулируе­
мая величина, задающее воздействие и возмущение или отклоне­
ния этих величин от их базисных значений; а0, а1, ... , а"'
Ь0,
Ь1, ... ,
Ьт, с0, с1, ... ,
с1 - постоянные коэффициенты; т < п
d
и l < п; р = dt - оператор дифференцирования.
Для оценки устойчивости системы должна быть исследована
свободная составляющая решения уравнения (6.1), т. е. решение
однородного уравнения
(а0рп+а1р11-1+ ··· -+- а11_1р+ап)у = О
(6.2)
при начальных условиях общего вида
у(О)=уО; у(О)= (J°,
... '
у"-1 (О) = y(t!-1) о,
(6 .3)
где У:, j.J°, ... , у( 11- 1 ) 0 - постоянные, ограниченные по абсолютной
величине .
Общее решение однородного уравнения (6.2) есть сумма сла­
гаемых, вид которых определяется значениями корней характе­
ристического уравнения
q)= aosn +a1s11- 1+ ···+a11_1s+а11= О.
(6.4)
Следует заметить, что коэффициенты уравнения (6.4) и, сле­
довательно, значения его корней зависят только от параметров
системы - от свойств и параметров ее элементов, способа · их
соединен и я.
Отдельные слагаемые в решении уравнения (6.2) могут иметь
вид (2.13)-(2.16). Если характер истическое уравнение САР не
имеет кратных корней (что на и более вероятно, когда корни вычи­
сляют приближенно), то решение уравнения (6.2) будет иметь сла ­
гаемые вида
(6 .5)
и
(6.6)
Слагаемое вида (6 .5) соответствует вещественному корню и ,
и слагаемое вида (6.6) соответствует паре сопряженных комплекс-
206


ных корнейа1 _, _ jp1, где а;, а1, р, - постоянные, а А;, С1 и 'Ф, -
постоянные интегрирования, которые зависят от начальных усло­
вий и всегда ограничены по абсолютной величине.
При исследовании решения уравнения (6.2), если какое-ни­
будь его слагаемое неограниченно возрастает по абсолютной ве­
личине, то обязательно неограниченно возрастает по абсолютной
величине и вся сумма в целом (независимо от наличия членов с раз-
1-1ыми знаками).
Очевидно, что присутствие одного положительного веществен­
ного корня а ; > О достаточно для того, чтобы соответствующее
ему слагаемое в решении уравнения (6.2) неограничено возрастало
по абсолютной величине. При наличии одной пары сопряженных
I{омплексных корней с положительной вещественной частью а 1 >
> Q в решении уравнения (6.2) оказывается гармоническое сла­
гаемое с неограниченно возрастающей амплитудой. В обоих слу­
чаях система оказывается неустойчивой.
Таким образом, для устойчивости (асимпто:гической устойчи­
вости) линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни
ее характеристического уравнения имели отрицательную вещест­
венную часть . При наличии хотя бы одного корня с положительной
вещественной частью система неустойчива.
Среди корней характеристического уравнения может быть ко­
рень, равный нулю а; = О или пара чисто мнимых корней :±: jp,.
Если при этом вещественные части всех остальных корней отрица­
тельные, то решение уравнения (6.2) будет иметь соответственно
постоянное слагаемое А; или гармоническое слагаемое с постоян­
ной амплитудой С 1 siп (P 1t + 'Ф,). В этих случаях система ней­
тральная.
Сформулированное выше условие устойчивости справедливо
как для линейных, так и для линеаризованных систе,м_(_т_е_о_р.ем.1эr~
Ляпунова L IJо к~рням характеристического уравнения системы,
элементы которои описываются линеаризованными уравнениями
(см. п. 2.1), действительно можно судить о ее устойчивости. Однако
в случае нулевых или чисто мнимых корней характеристического
уравнения линеаризованной системы вопрос об устойчивости
может быть решен только на основании исследования ее нелиней­
ных уравнений.
Корни алгебраического уравнения, как и всякие комплексные
числа, удобно представлять в виде точек на комплексной плос­
кости. Для устойчивости линейной системы необходимо и доста­
точно, чтобы все ко'рни характеристического уравнения лежали
слева от мнимой оси комплексной плоскости (рис. 6.1, а), или все
корни были «левыми».
Если хотя бы один вещественный корень или одна пара сопря­
женных комплексных корней находится справа от мнимой оси,
то система неустойчива (рис. 6.1, 6).
Мнимая ось является, следовательно, границей устойчивости.
Говорят, что система находится на границе устойчивости, если
207


•
+j
•
+j
+)
+j
•
•
•
•
•
+
+
+
•
•
•
•
•
•
-J
•-J
-J
-J
а)
5)
В)
'
z)
Рнс . 6.1 . PacПO JIOЖeHliC кор1-1ей хара ктер1•1 сти ч е ско1 · 0 уравt-1е1-1ия системы пятого
порядка:
а - ycтoЛtJИBOii; 6 - неустоiiч11воii; в н е - 11а х одяще iiся на гра1-11-1це усто 1'iчн-
в ости
имеется нулевой корень (рис. 6.1, в) или пара чисто мнимых кор­
ней (рис. 6.1, г), а остальные корни «левые». В первом случае,
который имеет место при ап = О, уравнения (6.1) и (6.2) опреде­
ляют только скорость ру изменения искомой переменной у, а сама
эта переменная у будет зависеть еще и от своего начального зна­
чения. Во втором случае в системе незатухающие гармонические
колебания с постоянной амплитудой.
На практике для упрощения вычислений устойчивость систем
определяют с помощью некоторых критериев без вычисления кор­
ней характеристического уравнения. Критерий устойчивости -
это математическая формулировка условий, которым удовлетво­
ряют коэффициенты характеристического уравнения устойчивой
системы. Критерии устойчивости экивалентны по содержанию
сформулированному выше условию устойчивости.
Системы первого и второго порядка устойчивы, если все коэф­
фициенты характеристического уравнения больше нуля. Для
систем более высокого порядка положительность коэффициентов
характеристического уравнения является необходимым, но недо­
статочным условием устойчивости. Если все коэффициенты урав­
нения положительные, то все его вещественные корни отрицатель ·­
ные, но среди комплексных корней могут быть и корни с положи­
тельной вещественной частью. Если хотя бы один из коэффициен­
тов отрицателен, то система заведомо неустойчива. При равенстве
нулю коэффициента а" система находится на границе устойчи­
вости . При равенстве нулю какого-либо другого коэффи циен та
система либо на границе устойчивости, либо неустойчивая.
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и ча­
стотные. К алгебраическим относят критерий Гурвица и критерий
Рауса, к частотным - критерий Михайлова и критерий Най­
квиста.
Критерий Гурвица удобен для исследования устойчивости си­
стем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры
системы. Кроме того, он позволяет получить аналитическое выра­
жение (выражения) для границ области возможных значений I<a-
208


--------·----·-
--
кого-либо параметра (параметров) системы, при которых сохра­
няется устойчивость.
Критерий Рауса широко используют при определении устойчи­
вости систем высоr{ого порядка, если известны числовые значе­
ния коэффициентов его характеристического уравнения. Этот кри­
терий удобен при использовании ЭЦВМ. При этом возникает
возможность выяснить влияние коэффициентов уравнения или
параметров системы на ее устойчивость.
При использовании критерий Михайлова, кроме определения
устойчивости, легко установить, в каких пределах можно изме­
нять тот или иной параметр системы.
По критериям Гурвица, Рауса и Михайлова можно судить об
устойчивости системы как в замкнутом, так и в разомкнутом
состоянии.
Критерий Найквиста наиболее широко используют по следую­
• щим причинам:
1. Устойчивость замкнутой системы исследуют по частотной
передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция чаще
всего состоит из простых сомножителей. Коэффициентами являются
реальные параметры системы, что по зволяет выбирать их из усло­
вия устойчивости.
2. Для исследования устойчивости можно использовать экспе­
риментальные частотные характеристики наиболее сложных эле­
ментов системы (объект регулирования, исполнительный элемент),
что повышает точность полученных результатов .
3. Исследовать устойчивость можно по логарифмическим ча­
стотным характеристикам, построение которых не требует трудоем­
ких расчетов.
4. Удобно определять запас устойч ивости .
При использовании критериев Гурвица, Рауса и Михайлова
для исследования устойчивости системы рассматривают ее харак­
теристическое уравнение. В ряде случаев трудоемкость расчетов
можно уменьшить за счет изменения масштаба коэффициентов
этого уравнения [ 122].
После деления на а" и замены переменной путем подстановки
s = ел, где постоянная с > О, характеристическое уравнение
(6.4) принимает следующий вид:
л,n-1 -1-
...
+а,нсл,+1= О.
а"
(6.7)
Постоянную с ' следует выбирать так, чтобы коэффициент
ас"
-
0-
= 1 или был близок к единице . Иногда удобнее это требо-
а"
ап1с В
вание предъявлять к коэффициенту - --
.
ряде случаев целе-
а"
сообразно принимать с = 10.
В результате характеристическое уравнение принимает более
простой вид, а его корни лишь уменьшаются в с раз.
14 И . М. Ма1,арор
209


Пример 6.1 . Имеется характеристическое уравнен11е
0,25s3 + 8,75s2 + 87,5s + 250 = О.
Его корни: -5; - 10; - 20.
Разделим уравне11и е на а3 ~ 250:
0,00is:J+ 0,035s2+0,35s+ 1= О.
Сделаем подстановку s = !О л :
л,3+З,5л2+З,5л+1= О.
Уравнение приняло более простой вид . Его корни : ~ 0,5; -1; -2.,
6.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА
При использовании критерия из коэффициентов характери­
стического уравнения (6.4) системы составляют таблицу
а1•аз •а5•
ОО
Go а2:а,1
оо
ь--:;, . ..
оо
""
а1 Gз
оо
(6.8)
ооо
ап-1 о
.. .. ...... .... . ...
ооо
an-2 an
По диагонали таблицы от левого верхнего угла выписывают по
порядку все коэффициенты, начиная с а 1 и заканчивая ап. Затем
каждый столбец таблицы дополняют так, чтобы вверх от диаго­
нали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - умень­
шались. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффи­
циента и вместо коэффициентов с индексом меньше О и больше п
пишут нуль.
Критерий можно сформулировать так: система устойчива,
ес_ли при а 0 > О положительны и п определителей Гурвица, полу­
чаемых из (6.8), т. е.
а0>О;
Лп= апЛ11_1>О.
аоа2а4
О ,~1 1аз
>0, •••.
(6.9)
Это необходимое и достаточное условие устойчивости.
Предпоследнее неравенство в (6.9) есть Л 11 _1 > О, поэтому по ­
следнее неравенство сводится к а11 > О.
Система находится на границе устойчивости, если Л" = О
и все предыдущие определители Гурвица положительны. Условие
210


Лп = О распадается на два: Пп = О (апериодическая граница
устойчивости, нейтральная устойчивость) или Лn-l = О (колеба­
тельная граница устойчивости).
По критерию Гурвица для устойчивости должны удовлетво­
ряться следующие неравенства:
система третьего порядка
п0>О; а1>О; а2>О; а3>О; п1а2>а0а3; (6.1О)
система четвертого порядка
По>О; а1>О; п2>О; а3>О; а4>О;
>.2'?
п1а2пз аоаз + aia4;
система пятого порядка
а0>О; а1>О; а2>О; п3>О; а4>О; а5>О;
а1п2 > п0а3;
(а1а2 - а0а3) (а3а4 - а2а5) > (а1а4 --'. а0а5)2.
(6.11)
(6.12)
Пример 6 . 2 . Составить условие устойчивости одно1<01пурной системы, со­
стоящей из трех апериоди,1еских звеньев.
Передаточная функция разомкнутой системы
il
W = (T1s+ 1) (7\s+ 1) (T3s+ 1)'
где k - передаточный коэффициент разомкнутой системы; Т 1 , Т 2 и Т3 - по­
стоянные времени апериодических звеньев.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
(T1s+1)(T2s+1)(T3s+1)-Н=О
илиaos3+a1s2+ a.2s+а.,1=О,
гдеао= Т1Т2Т3;а1= Т1Т2+ Т2Т3+ Т3Т1;а.2= Т1+Т2+Т3;а3= ·1+ k.
Характеристическое уравнение треп,ей степени и все его коэффициенты
п оложительные. Для устойчивост11 еще должно удовлетворятьсп последнее нз
неравенств (6. 10). В данном случае оно может быть привед ено к следующему
виду:
fl<(T1+T2 +Tз)()1 +)2 +)3 )-1.
Обозначим Т2 = с2Т1 и Т3 = с3Т1. Тогда условие устойчивости
1г<(1+с2+с3)(1-\-
-
1- +-1
-)-1.
Cz
С3
Устойчивость сис;гемы зависит не от абсолютных значений постоянных
времени, а лишь от соотношения между ними .
6.3 . КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА
Применение критерия требует составления таблицы Рауса
(табл. 6.1). Элементами ее первой строки являются четные коэф­
фициенты характеристического уравнения (6.4), начиная с а 0 .
Элементы второй строки - нечетные коэффициенты, начиная с а 1 .
14*
211


tv
'"'
Вспомогатель1-1 ы е
1<о эф фициенты
-
-
С11
Г3=--
Cz1
с,1
Г; =-
--
С31
r-- Ci-2,l
,-
Ci-1 ,1
r
_
Сп-1,1
п+1 - с;;-
1
ст~0о- /
101
1
1
1
1
21
1
3
1
1
4
1:
:1
i
1:
:1
п+I
Таблица 6.1
Таблица Рауса
No столбца
1
1
2
1
3
1
С11=ао
1
С12=а2
1
С13=а4
1
С21=а1
1
С22=аз
1
С23= а5
1
С31 = С12 - f3C22
С32 = С13 - Г3С23
С33 = С14 - f3C24
С41 = С22 - f4C32
С42 = С23 - f4C33
С43 = С2.1 - f4C34
1
1
1
-
Ci1 = Ci-2,2 - rici-1,2
С[2 = Сf-2,З -- f[Ci-1, 3
С;з = Ci-2,J - r;ci-1,4
1
1
1
Сп+1,1 = Сп-1,2 - r n+1Cn2
-
-
-


""
w
1
Вспоl\-1 0гатель н ые
1{оэффнци е нты
1,13.10-6
-
rз= 5,14-10-5 =0,022
5,14-10 -5
/'4 = 7,47. 10 -4 = 0,0688
7,47.10 -4
rs = 3,99-10-з = 0,187
3,99- 10 -з
= 0,257
rв=
0,0155
0,0155
r7 = О,085 = О,182
0,085
r8= 0361=0,235
J~O
стро-
ки
--
-
1
2
3
4
1
5
1
6
7
8
Пример определения устойчивости по критерию Рауса
Таблица 6.2
No столбца
1
2
3
4
с,.= 1,1 3· 10-•
С12 = 9 ,22· 10-4
C1s = 6,36· 10-2
с 14 =0,75
С21 = 5,14·10-5
с,, = 7,95· 10-,
С2з = 0,275
С24= l
С31 = 9,22 •l0-4
-
С32= 6,36-10 -2
-
С33 = 0,75-
-
0,022-7,95- lО- з =
-
0,022-0,275 =
о
= 7,47 ·10-4
= 5,76-10 -2
-
0,22- 1 = 0,73
с41 = 7,95- 10-З
-
С42 = 0,275 -
С43=1-
-
0,0688 · 0,0576 =
о
= 3,99- 10 -з
-
0,0688- О, 73 = 0,225
-
0,0688 -0 = 1
С51 = 5,76-10 - 2
-
С52= 0,73 - 0,187-1=
о
о
-
0, 187-0,225 = 0,0 155
= 0,541
с61 = 0,225 -
CG2=1-0,257-0=1
-
0,257-0,541 = 0,085
о
-
1
С71 = 0,541 -0, 182-1 =
о
о
= 0,361
-
с,п=1-0,235-0=1
о
-
-


Элементы последующих строк вычисляют по приведенным
в табл. 6.1 формулам, причем перед вычислением элементов ка ­
кой-либо i-й строки необходимо предварительно вычислить коэф­
фициент ri. Всего в таблице заполняют (п + 1) строк .
Критерий формулируют следующим образом: система устой­
чива, если все элементы первого столбца таблицы Рауса имеют
одинаковый знак. Обычно характеристическое уравнение при­
водят к такому виду, когда а 0 > О, тогда для устойчивости си­
стемы все остальные элементы первого столбца ,должны быть поло­
жительными:ci1>О,i=2,3, ..., п+1.
При наличии отрицательных элементов в первом столбце та ­
блицы Рауса система неустойчива. Число таких элементов равно
числу корней характеристического уравнения с положительной
вещественной частью.
Если один из элементов первого столбца равен нулю, а осталь­
ные элементы положительные, система на границе устойчивости -
характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней.
При равенстве нулю последнего (п + 1)-го элемента или v
последних элементов первого столбца система также на границе
устойчивости - характеристическое уравнение имеет соответ­
ственно один или v нулевых корней.
Составляя таблицу Рауса; расчет можно закончить сразу же
после появления нулевого или отрицательного элемента в первом
столбце . В этом случае уже можно сделать вывод, что система на
границе устойчивости или неустойчивая. Все элементы каждой из
строк таблицы Рауса, начиная с третьей, можно умножить или
разделить на одно и то же положительное число, если это целе­
сообразно для расчета.
Пример 6.3 . Проверить устойчивость САР, характеристическое уравнение
которой
1,J3,JQ-G5? +5,14-JQ-5s6
-j-9,22 ,JQ-4s5
-j - 7,95, JQ- 3s4
-j-
-j- 6,36- J0-2s3 +0,275s2 +0,75s +1= О.·
Расчет за несен в табл. 6.2 . Все (п + 1) элеме нтов перпого стол6 1\а положи-·
тель11ые, и, следоnательно, система устой 1rи ва.
6.4 . КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
Частотный критерий устойчивости Михайлова позволяет су­
дить об устойчивости замкнутой или разомкнутой системы по годо­
графу· характеристического вектора (по годографу Михайлова).
Характеристический вектор !!l) (jw) получается из характери­
стического полинома
q)(s) = a0s,, + a1s11- 1 + ·••+ a,,_1s +а"
путем подстановки s = jw:
!!l) (j(I)) = а0 (j(I))" + а1 (jw),, - 1 + •••+ а11_1 (jш) + а,, = Х + jY, (6.13)
214


Рнс 6 . 2 . Годографы Михайлова устойчивых
систем
где
Х ~= Х (со) = an-Cu2Gn_2 +
+ w4an-4- ••• ;
У=У(w) = W(an_1-
•
'
4
)
-
W"Gn-3 +-(J) Gn-5
-
••• ·
Годограф Михайлова есть кри­
вая, которую описывает конец
вектора q) (jw) на комплексной
плоскости при изменении w от О
у
до · cv. Годограф начинается при w = О на вещественной оси
в точк е a n и при w = cv уходит в бесконечность в соответствующем
квадран те . Угол поворота ·ф характеристического вектора опре­
деляется следующим выражением:
, 1, =n2-fn
't'
2
'
(6 .14)
где п - степень характеристического полинома (порядок ха­
рактеристического уравнения); l - число корней характеристи­
ческого полинома с положительной вещественной частью.
Следовательно, для устойчивости замкнутой системы п-го
порядка необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты
от О до cv годограф Михайлова начинался на положительной ве­
щественной полуоси и обошел в положительном направлении
(против часовой стрелки) последовательно п квадрантов, нигде
не обращаясь в нуль.
На рис. 6.2 показаны годографы Михайлова устойчивых си­
стем первого-пятого порядков с равным значением коэффи­
циента ап· При четном п годограф уходит в бесконечность вдоль
оси Х и при нечетном п - вдоль оси У.
Если система находится на границе устойчивости, то годо­
граф Михайлова проходит через начало координат так, что после
небольшой его деформации около начала координат критерий
удовлетворяется.
Годографы Михайлова системы четвертого порядка, находя­
щейся на границе устойчивости, показаны на рис. 6.3, а и 6.
В первом случае характеристический полином имеет пару чисто
мнимых корней (колебательная граница устойчивости) и во вто­
ром - нулевой r<орень (апериодическая граница устойчивости).
У неустойчивых систем годографы Михайлова имеют раз­
нообразную форму. На рис. 6.4 по казаны годографы неустойчи­
вых систем четвертого порядка . Их характеристический полином
имеет положительный вещественный корень (кривая /), два поло­
жительных вещественных корня (кривая 2), два комплексных со-
215


Рис . 6.3 . Годогрнфы Михайлова систем •1етвертого поряд1<а,
находящихся на границе устойчивости:
а - апериодическоi"i и 6 - кoJieбaтeJiьнoii
пряженных корня с положительной вещественной частью (кри­
вая 3), два чисто мнимых корня и положительный вещественный
корень (кривая 4). В последнем случае годограф проходит через
начало осей координат, но небольшая деформация его не приведет
к удовлетворению критерия.
Имея годограф неустойчивой системы, пользуясь равенством
(6.14), можно определить число корней характеристического поли­
нома с положительной вещественной частью. Например, годо­
графу 2 на рис. 6.4 соответствует поворот характеристического
вектора на угол 1р = О. Следовательно, равенство (6.14) принимает
такой вид:
Отсюда l = 2.
Характеристический полином q) (s) можно представить в виде
где
[i)(s) = (s2+ w7)(c0sn- 2+c1sn- 3+ ···+Сп_зs+сп-2)+
2.
со=ао;с1=а1;с2= а2-w;co,
2
2
Сз = a3-W;C1; ... Сп-1 = ап-1 -W;Сп-з;
2
Сп=а,,- W;Cn-2·
(6 .15)
После подстановки в характеристический полином (6.15)
s = jw получается следующее выражение для характеристичес­
кого вектора:
(6.16)
Таким образом, можно определять координаты годографа Ми­
хайлова, не вычисляя степеней w; выше второй. Расчет при ка­
ждом значении частоты удобно вести по схеме, приведенной
в табл. 6.3 . Коэффициенты ci получаются алгебраическим сложе-
фф
..
2
нием коэ ициентов ai и w;ci-2·
216


Рис. 6.4. Годографы Михайлова неус.
тойчивых систем четвертого порядка
Иногда удобнее пользо­
ваться другой формулиров­
кой критерия Михайлова:
для устойчивости замкнутой
системы необходимо и доста­
точно, чтобы корни мнимой
(полином У) и вещественной
-т-----___
у
2
х
3
(полином Х) частей ее характеристического вектора были положи­
тельными вещественными и чередовались, т. е . удовлетворялись
неравенства
(6.17а)
rде юу1 , юу2 - корни полинома У; юх1 , юх2 - корни полинома Х.
Удобнее вычислять квадраты корней полиномов Х и У и опре­
делять устойчивость по выполнению неравенств
ао
1
Шi
1
(J)2
1
'
Со
а1
1
1
С1
1
IO~J = 0<IO~r <Ю~2<Ю~2<....
(6.176)
Таблица 6.3
Вычисление координат годографа Михайлова
а2
аз
1
1
ап.2
1
а,,_1
а"
2
-Ш~Сl
1
1 -ш;с,,_4 1 _(J)2C 3
-Ш2с 9
-Ш;СО
,п-
i n-~
1
1
1
C,i.1Шi =
1 с,, = Х(ш;)
С2
С3
Cn-2
=У(ш;)
6. 5. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
Частотный критерий Найквиста дает возможность определить
устойчивость замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной
характеристике W (jю) ее разомкнутой цепи, если удовлетво ­
ряется условие lim I W (jю) 1 = С (в частности, С = О). Для удо-
влетворения этого условия степень т числителя передаточной
функции W разомкнутой системы не должна быть выше етепени п
ее знаменателя, чтd выполняется для любых реальных систем .
Предварительно должна быть определена устойчивость иссле­
дуемой системы в разомкнутом состоянии . Для неустойчивой
разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней ее
характеристического полинома имеет положительные веществен­
ные части.
В одноконтурной системе, составленной из последовательно
соединенных звеньев, корни х арактеристических полиномов
217


Рис . 6.5. Амплитудно-фазовые частотные
характеристики устойчивых разомкнутых
систем
Q; . Q; (s) этих звеньев 'я вля-
+
ются одновременно корнями ха­
рактеристического полинома ра­
зомкнутой системы. Определе­
ние l в этом случае не вызывает
затруднений'. Если ка~ое-либо
звено одноконтурной системы
охвачено обратной связью, то
нужно определить 1юрни харак-
теристического полинома этого замкнутого контура. Они войдут
в число корней характеристического полинома разомкнутой си­
стемы.
При наличии перекрестных обратных связей передаточную
функцию разомкнутой системы можно определить по табл. 3 .2
или методами, изложенными в гл. 3. Характеристический полином
разомкнутой системы в этом случае не будет произведением харак­
теристичесrшх полиномов отдельных звеньев. Для исследования ее
устойчивости удобно воспользоваться критериями Рауса или Ми­
хайлова . Они позволяют определить число _корней с положитель­
ными вещественными частями, если разомкнутая система окажется
неустойчивой.
Различают три случая применения критерия Найквиста.
1. Разомкнутая система устойчивая. В этом случае для устой­
чивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ампли­
тудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при
изменении w от О до оо не охватывала точку с координатами
l-:=- 1
_
, _LQL _.
-_-
-
--
------ - -
•
На рис . 6.5 изображены возможные ситуации. При АФЧХ,
показанной кривоц 1, замкнутая система абсол19тно устойчива,
т. е. она остается устойчива и при уменьшении передаточного
коэффициента разомкнутой цепи. Если АФЧХ является кривая 2,
то замкнутая система условно устойчива . Она остается устойчи­
вой только при значении k, лежащем в некоторых пределах. Кри­
вая 3 проходит через критическую точку с координатами [-1,
jO). Это означает, что замкнутая система находится на колебатель­
ной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает критическую
точку, поэтому замкнутая система неустойчивая .
· Пример 6.4 . Исследовать на устойчивость одноконтурную систему с единич­
ной обратной связью. Результаты экспериментального определения частотных
характеристик регулируемого объекта приведены в табл. 6.4 . П е редато чная
функция прямой цепи регулятора
\rp =
kp(тs+I) ,
(T1s+1)(Г2s+1)
где'1р=5;т= 0,08с;Т1= 0,1с;Т2= 0,05с.
218


Таблица 6.4
Частотные характеристики регулируемого объекта
(i)
1
о
1
2
1
4
1
6
1
8
1
10
1
15
1
20
Ао
1
2,0
1
0,96
1
0,49
1
0,31
1
0,21
1
0,15
1
0,076
1
0,048
w0 , град 1 о 1 -73,31-98,81-113,61-124 , О 1-132,31-144,71-153,4
Составим формулы для определения амплитуды и фазы прямой цепи регу­
лятора :
ВычисJ1им зна,1ения Ар и ,1Jp при частотах, для 1,оторых и з вестны зна•1ения
амплитуды А 0 и фазы 'I J0 регулируемого объекта. Результаты расчета занесены
в табл. 6.5 .
Затем вычислим значения А и 'I J разомкнутой си стемы:
А=А0Ари,р='Ро+rop,
Для построения АФЧХ целесообразно вь1числить значения ее вещественной
и м нимой частей :
И=Аcos'РиV=Аsin'Р,
Результаты расчета занесены в табл. 6.5 . Участок АФЧХ разомкнутой
системы около критической точки изобра)!,ен на рис. 6.6.
Таблица 6.5
Результаты расчета к примеру 6 . 4
(i)
1
о
1
2
1
4
1
6
1
8
1
10
1
15
1
20
А
5,0 4,94 , 4,78
4,56
4,30
4,05
3,47
2,99
'Рр, град о -8,2
-15,2
-2 2,0
-27,6
-32,9
-
42,7
-
50,5
А
10 4,74
2,34
1,41
0,90
0,61
0,26
0, 14
'Р, град о -81 ,5
-114,0
-135, 6
-151,7
-165,2
-187,4
-203,9
и
10
0,70 -0,95 -1,01 -0,79 -0,59 - 0,26 -0,13
V
о -4,69
-2,14
-0,99
-0,43 -0,16 0,03
0,06


1,0
0,5
0,5
+
0,5
7,0
2
Рис. 6.G . Иссл едова н ие устойч и вости системы , rшссмат­
риваемой в примере 6,6
Частотные х арактеристики объекта сняты э1,­
спер11ментально, и, следовательно, он устойчив.
Ко рни х арактеристического полинома прямой цепи
р ег улятора отрицательны е :
1
1
S1= -
--
=-
10; s2= -
-
-
=-
20.
Т1
Т2
Р аз омкнутая систе м а устойчива и ее АФЧХ не
о х ватывает точки с координат ами [-1, j0], по­
этому в замкнутом со стоянии рассматриваемая си ­
стема устойчива .
_j
2 . Разомкнутая систе.ма на границе
устойчивости. Хара ктеристический поли ­
ном такой разомкнутой системы имеет нулевые или чисто мнимые
корни , а у остальны х корней отрицательные вещественные части .
Если нулевы х корней v, то АФЧХ при w = О дугой беско­
нечно большого радиуса перемещается от положительной вещест-
"
1soo
"
Т АФЧХ
веннои полуоси на угол -v - 2
-
по часовои стрелке. акие
показаны на рис. 6.7 .
'
Если есть пара чисто мнимых корней (в з наменателе частотной
передаточной функции имеется множитель 1 - w 2 П), то АФЧХ
при частоте W; = }; дугой бесконечно большого радиуса пере ­
мещается на угол -180° (по часовой стрелке) . Такая АФЧХ пока­
зана на рис. 6.8 .
В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необ­
х одимо и достаточно, чтобы амплитудно - фазовая частотная харак­
теристика раз омкнутой системы при изменении w от О до оо,
дополненная на уч'астке разрыва дугой бесконечи:о большого ра­
диуса , не ох в атывала точку с координатами [-1, jO ] .
220
+J
/
-) а)
/
I
/
+}
-
/
/
/
/
Рис . 6.7 . Амплитудно-фазовы е частотны е харак т еристики ра­
з омкнутой цепи с истем, находящихся на границ е устойчивости:
а - v = 1, замкнутая система устойчивая; 6-v = 2, зам1,11у-
.. т.~я
. G ~_c:Ie_м ~ __1-щ гр~циц 1; у _с то iiчц вост 1-~


Р 11с. 6.8 . АмпJ1итуд1·10-фазовая частотная хара1перисп-11<а
разомкнутой цепи сист е мы, находящ е йся 1-1а колсбатель •
ной 1· ра1-1ице устойчивости
АФЧХ раз омкнутой системы, х арак­
теристический полином которой имеет ча­
сто мнимые корни, показана на рис. 6.8 .
При замыкании эта система будет неустой­
чивой.
Пример 6.5 Исследовать на устойчивость сн­
стему, разомкнутую цепь которой описывают пере­
даточной функцией
k(тs+1)
W= (Тfs2+!)(T2s+ 1) '
гдеk=20;т=0,02с;Т1=0,05с;Т2=0,01с.
/
1
/
/
+
-J
Прежде всего можно заключить, что характеристический полином имеет
.
1.
чисто мнимые корни ± -ус;· / .
Затем определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы
.
20 (1 + j(J)0,02)
l\1/ (J(J)) = (1 - -(J)20,0025) (1 + jw0,01) = И+ jV,
где
20 (1+ 0,0002(J)2)
•
И= -и~-0~0025(J)2Г(l+О ,00O1ш2Г'
Вычислим значения И и V (табл. 6.6) и построим АФЧХ разомкнутой си-
1
стемы (рис. 6.9). При ш = Т~ = 20 с- 1 АФЧХ имеет разрыв. Если эту кривую
дополнить дугой бесконечно большого радиуса, то точка с координатами [-1, jO]
будет находиться вне получившегося контура. Следовательно, з амкнутая си­
стема будет устойчивой .
3. Разомкнутая система неустойчивая. Характеристический
полином такой системы имеет l корней с положительной вещест-
венной частью.
Таблица 6.6
Результаты расчета к примеру 6.5
(j) 1
о
1
5
10
12
15
1
25
1
27
1
30
1
35
1
40
и
120 1
21,4 26 ,9 31,7 46,8 1 -37,6 1 -26,0 1-17,3 1 -10,8 1 -7,9
V
1
о
1
1,06 2,64 3,70 6,71 1-8,361 -6, 12 j - 4,40 1-3,02 l - 2,38
221


701 +j
W=DO
+
30
10
зо
1
.v
=27
10-
/
I
\
/
\
20
I
'\
/
'
/
'
/
'
зо
/
'
,,,,,,,.
-
--
-J
Рис . 6. 9 . Исследование устойчивости системы, рассматри­
ваемой в примере 6 .5
В этом, наиболее общем, случае критерий Найквиста форму­
лируют так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и
достаточно, чтобы при изменении w от О до оо вектор, начало ко­
торого находится в точке с координатами [-1, jO], а конец на
амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой си­
стемы, повернулся в положительном направлении (против часо­
вой стрелки) на угол [. 180°.
Характеристический полином разомкнутой системы, кроме
корней с вещественой частью (положительной или отрицательной),
может иметь нулевые и чисто мнимые корни. Тогда на участках
разрыва АФЧХ должна быть дополнена дугой бесконечно боль­
шого· радиуса.
Пример 6.6 . Выяснить устойчивость системы, если передаточная функ ц ия
ее разомкнутого контура
k (ts+ 1)
W. = (T1s- 1)(T2s+1)(T3s-f--1) ' •
гдеk=50;t= 0,05с;Т1=0,1;Т2=0,02;Т3=0,25с.
По передато,rной функции \\1/ определим, что характеристический пою,ном
разомкнутой системы имеет один положитеJ1ьный корень
1
S1=ri=10.
Для исследования устойчивости составим частотную передаточную функцию
разомкнутой системы
.
_
k (1+jtш)
_
..L.
W(Jш)- (-1+ ju:!Т1)(1+ jwT2) (l+ j(iJT3) - И'JV,
где
И=_
50 (1 + О,0305ш 2 + О,000025ш4 )
l + 0,0729(jJ2 + 0,000654(jJ4 + 0,00000025(jJ';
50ш (О, 12 - 0,0006(jJ2)
V= 1 + О,0729ш2 + О,000654ш4 + О,00000025шu
222


+7 -7
+J
+
-J
Рис. 6.1 О. Исследование устойчивости
системы, рассматриваемой в примере 6.6
Рис. G.11 . Обозначение зна,ш 11е­
рехода АФЧХ через отрезок в е ще­
ственной оси от -1 до - оо
По выражениям, определяющим И и V, заключаем:
а)приw=ОИ=-50иV=О;
б)приО:е,;w<cv И<О;
в)приw=cvИ=V=О;
•r)приw1= Jf0~0
~~
6=V200; V=О;И==-9,25;
д)приО<w<w1V>Оиприw1< w< cvV<(О.
Полученные да н ные подсказывают форму (рис. 6.10) АФЧХ разомк н утой
системы. Вектор, помещенный 13 точку с координатами [-1 , j0] и перемещаю'
щийся своим концом по построенной кривой, поворачивается против часовой
стрелки на угол, раIЗный :rt. СледоIЗательно, замкнутая система устойчива.
При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее при­
менять другую формулировку критерия Найквиста, которая ис­
пользует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении ffi
через отрезок вещественной оси от -1 до N сверху вниз считают
положительным и снизу вверх отрицательным (рис. 6.11). АФЧХ
может начинаться на указанном отрезке при ffi = О или заканчи­
ваться при ffi = N. Тогда считается; что она совершает полпере­
хода.
Критерий фор м улируют так: замкнутая система устойчива,
если разность между числом положительных и отрицательных
переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разом­
кнутой системы через отрезок вещественной оси от -1 до -N
равен {-- .
Здесь l - число корней характеристического полинома
разомкнутой системы с положительной частью.
При наличии у этого полинома нулевых и чисто мнимых кор ­
ней АФЧХ на участках разрыва должна быть дополнена дугой
бесконечно большого радиуса.
Для nрименения критерия Найквиста исследуемая система мо­
жет быть разомкнутiа в любой точке, т. е. может быть разомкнута
не главная обратная связь, а одна из местных обратных
связей.
В передаточной ф у нкции разомкнутой системы можно также
[ 18] перенести члены знаменателя, кроме старшего, в числитель
или члены числителя, кроме младшего, в знаменатель.
Указанные приемы могут быть использованы для упрощения
расчетов.
223


6.6 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость зам­
кнутой системы не только по АФЧХ, но также и по логарифми­
ческим частотным характеристикам ра з омкнутой системы. Эту
возможность используют весьма широко вследствие простоты по­
строения таких характеристик и определения по ним запаса устой­
чивости.
При этом критерий формулируют так : для устойчивости зам­
ю-rутой системы необходимо и достаточно, чтобы при положитель­
ных значениях логарифмической [ амплитудно - частотной характе­
ристики разность между числом положительных и отрицатель­
ных переходов фазочастотной характеристики через линии -180°,
-3 •180°, . .. равнялись { . Здесь l - число корней с положитель­
ной вещественной частью характеристического полинома разом­
кнутой системы, пересечение фазочастотной характеристикой
линий -180°, -3 - 180°, ... снизу вверх считается положительным
переходом, а сверху вниз - отрицательным.
Пусть разомкнутая система устойчива или ее характеристи­
ческий полином имеет один 1:1улевой корень (начальное значение
фазочастотной характеристики 'ljJ (О) = -90°) . Тогда для устой­
чивости замкнутой системы общее число переходов фазочастотной
характеристики через линию -180° при положительных значе­
ниях амплитудно-частотной характеристики должно быть четным
(в частности, равным нулю). На рис. 6 . 12 показаны наиболее
характерные ЛФЧХ .
'
Пример 6.7 . Выяснить устойч иво сть системы, у которой разомкнутая цепь
описывается передаточной функцией
/г
W= (T1s+1)(T2s+l)(T3s+1)(T,1s+1) '
гдеk= 20; Т1= 1,25;Т2= 0,6; Т3= 0,02;Т4= 0,01 с. •
По характеристич ес кому полиному разомкнутой системы заклю чаем, что
все его корни действительные отрицательные .
Затем строим логарифмические частотные характеристики (см. п. 5.3) . по
1
следую щим данным: 20 lg k = 26 дБ; сопрягающие частоты w 1 = т; = 0,8;
1
1
W2= -
Т = 1,67;
W3=T = 50;
2
3
стики показаны на рис . 6.13 .
1
w4=
--
=
100 с-1 . Характери­
Т4
На участке частот (до частоты среза Wc), при которых ас имптотнческая
ам плитудно - частотная характеристика положительная, фазочастотная харак­
теристика 11) (w) > 180 ° (не п ересекает линии - 180 °) . Поэтому делаем вывод,
что замкнутая система устойчивая.
Вывод сделан по асимптотической ЛФЧХ , так как частота среза Wc нахо ­
дится н а достаточном удален ии от ближайших к ней сопрягающих частот w 2
и w3 . Поправки ЛА Ч Х повлияют на значение w~ незначительно.
Для суждения об устойчивости обычно строят асимптотическую
ЛАЧХ. К ней нужно сделать поправки (см . п. 5 .3) около тех ча-
22.4


Рис. 6.12. Лоrарифми,,еские частотные харак-
L
теристики разомкнутой системы:
/ - замкнутая система абсолютно устойчи­
вая; 2 - условно устойчивая; 3
-
на границе
устойчивости; 4 - неустойчивая
стот, которые ограничивают поло­
жительные участки и расположе­
ны достаточно близко от сопря­
гающих частот (особенно от сопря­
гающих частот, соответствующих
колебательным звеньям).
Если характеристический по­
лином разомкнутой системы имеет
О 1----------, -c" "k- --w
1
1
v нулевых корней, то начальное значение ее фазочастотной харак­
теристики 'Ф (О) = -v90°. Для устойчивости замкнутой системы
(возможна лишь условная устойчивость) фазочастотная характе­
ристика должна иметь форму, показанную на рис . 6.14.
Пример 6.8 . Выяснить устойчивость системы с передаточной функцией
разомкнутой цепи
W_k(1:1s+1)(Ц+!)
-
s2(Ts- !)
'
'
гдеk=300;Т=0,25с;1:1=0,2и1:2=0,1с.
Характеристический полином разомкнутой системы имеет два нулевых
корня (v = 2) и один действительный положительный корень +- = 4 .
Данные для построения логарифмических частотных характеристик: 20 lg k=
1
1
=
49,5 дБ; сопрягающие частоты w= у·=4с·1; w2 = т;- = 5с-1; w3 =
L,об
20
70
l.uJ l.u4
о
w, 1 l.иz
700 си
70
1
20
1
1
1
1
30
1
1
40
1
1
1
1
(/!, грао .
1
1
(,)_</!
!.и
о
1io
1
100
1
1
1
1
780
Рис. 6 . 13 . Jfогарифмические частотные характери­
стики к примеру 6, 7
15 И. М. Ма1<аров
1
rp, 2pail
1
о>-------~:__w _
1
/80~
Рис. 6.14 . Логарифмические
t(асто т ные
характеристики
разомкнутой системы при
нулевых корнях ее характе-
рис:ического уравнения
225


LдБ
50
40
30 -'<
20 ~<:::,
10 ""
о
uJ
10
rp, гяод
о
70
90
1801-------
1
270 I
1
uJ
Рис , · 6.15 . .Логарифыи<r~1'КJ!.С ч астотны е
·
· характер1-п:т~лJ1•· к лр 11 :м е р у 6 ..8 .
Рис . 6. 16. Ло 1' арифмич е сн.ие частотные
характеристики неустойчивой (1 = 2) ра­
з омкнутой сист е мы
с
о
1
uJ, град
1
1
(и
о
780
wT•
=
10с-1;~J(w)=
-
180° + arctg w,1 + a rctg шr2 - aгctg
_
1. Х арактери-
стики показаны на рис . 6.15 . Вследствие положитель н ого корня начальный
(п ри w = О) скачок фазочастот н ой характер и стики на -v90° нужно отсчиты ­
вать не от О, а от - 18 0 ° С. Это показано штриховой ·линией со стрелками.
На участке частот, при которых ЛАЧХ положительна; ЛФЧХ делает пол­
перехода через л и нию- 1 80 ° сверху вщ1з и один переход снизу вверх. Следова­
тельно, разность между числом полож и тельных и отрицательных переходов
1
1
l
r
••
·
1-2
=
2 составляет 2 = 2 · и можем сделать вывод об устойчиво сти
системы в замкнутом состоянии .
Поправки к асимптотической ЛАЧХ незначительно и зменят з начение u>c
и не повлияют на сделанный вывод.
На рис. 6.16 по.казан один из возможных случаев определ~ния
устойчивости, когда характеристический полином разомкнутой
системы имеет два корня с положительной вещественной частью
(l = 2) . На участке, когда L (ш) > О, фазочастотная характери-
стика делает два положительных перехода через линию -.:..1во 0
j
и один отрицательный . Их разность равна f, и следовате~.~но,
1.
замкнутая система будет устойчивой .
Знаменатель передаточной функции разомкнутой цепи · ·много­
контурной системы п-го порядка представляет собой [ЮЛИНОМ ,. n-й
степени . Для построения лсi'гарифмических частотньr х характе­
ристик необходимо определить его корни и з атем разложить на
элементарные множители. Затраты времени на .эти вычис ле ни я
можно существенно уменьшить, если - восполь з оваться - тем , что
критерий Найквиста позволяет переноси ть часть членов з на ме на ­
теля, кроме старшего, в числитель и_ часть . членов числителя ,
кроме младшего, в знаменатель.
~,
226


Рис. 6.17 . Логарифмичес кие
. ч.~стотные
ха• . L,дБ
рактеристики к примеру 6.9
Как известно (см. п. 3.1), ха­
р.актеристиче_ский полино~ q) за- .
мкнутоf'r 1:ИСТеМЫ представляет COs _
бой сумму числителя kR и знаме­
нателя Q переда1:очной функции
разомкнутой системы:
q)=kR+Q= a0s"+a1s11- 1+
+ •••+a,,_1s+а,,.
40
20
20
. • ·_ -но старшие члеf[ы этого . поли-
·о ~ ----.- --------1,J -
нома можно считать знаменателем
1
Q*, а младщие члены числителем
90 __ ---1--------
R* передаточной функции W* не-
1
которой условной разомкнутой си- 780 ___ ;....,- - _:::::±- ~- - - - -
стемы, замыкание которой дает
_/ 1-
·,
.•
•
тот.же полином f!l). Таким обра-, 210 ·.~----,-
~·~--..;:=--
зом, разлагать на множители
н-у-жrrо иолиi-юм- Q* знач:И-тельно· меньше.й степени, чем по,11ином Q.
·пример - в . 9. - Исследовать
устоi-iчивость системы ; если передаточная функ -
ция . разомкнутой-- цепи-
',
···'
гдеk~80;i=0;2с;ао=0,0002с5;а1.=0,008с4;а2=0,075с3;аз=0,3с2;
d4 =0,8c: ~
•
••
Составим ·характеристический полином замкнутой системы:
-
-
-
_,: @ ~ а0sЬ +a154+ ·aiis~+a352+ (а4 + /п;) 5 + (1 + k) =
= 0,00025 5 + 0,00854 +o,075s3 + 0,3s2 + 16,8s + 81.
i •__,,
--
>~·
Составим условную передаточную фуr1кцию разомкнутой системы и разло­
жим ее полиномы на элементарные множители :
W"
0,3s2 + 16,8s + 81
❖ = 0,0002s5 +o,008s4 + 0,075s3
_
1080 (0,0037s 2 + 0,205s + 1) _ 1080 (О, 1~5s + 1) (0,025 + 1)
-: 53 (0,00267s2 + О,107s+ 1) -
•53 (0,06685 + 1) (0,045 + 1)
1
Строим логарифмические частотные характеристики условной разомкнутой
си стемы по следующим данным: 20 lg k = 60,6 дБ ; сопрягающие частоты w 1 =
1
1
1
1
= о185=5•3; (t)2= о0668=15; (t)3= о04=25;
(t)4= о02=
= 50 с-1.
'
'
'
По характеристикам (рис. 6.17) заключаем, что при замыкании исследуемая
система становится неустойчиiюй.
•
Условная ра з_омкнутая система имеет три нулевых корня и ее логарифми­
чес!{ая фазочастотна·я характеристика при частоте среза ffic должна быть больше
-180°; на рис. 6,-17 это показано штри х пунктирной лини е й .
15*
227


6.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
В не1юторых с истема х автоматического регулирования реак­
ция на внешнее во здейстnие возникает только через определенный
промежуток времени 0 после начала этого воздействия. Та1<0е
свойств о на з ывают чистым (транспортным) запаздыванием.
В простейшем случае передаточная функция разомкнутой си­
стемы с за па здыванием
(6. 18)
где k - передаточный коэффициент; R и Q - полиномы от s сте­
пени, соответственно т и п, у которых коэффициент младшего
члена равен единице (т -< п); 0 - время чистого (транспортного)
запаздывания ; W O - передаточная функция линейной части ра-
зомкн утой системы.
•
Характеристическое уравнение замкнутой системы
Q+kRe-0s = О.
(6.19)
Это трансцендентное уравнение, и оно имеет бесконечно боль­
шое число корней . Поэтому для устойчивости систем первого и
второго порядка недостаточно только положительности коэффи­
циентов, а для систем более высокого порядка неприменимы кри­
терии устойчивости Гурвица и Рауса.
Наиболее удобен критерий Найквиста и для его применения
передаточную функцию разомкнутой системы следует иметь в виде
(6 . 18) . С этой целью соответственно выбирают точку размыкания
исследуемой системы .
В одноконтурной системе можно размыкать основную обрат ­
ную связь (рис. 6.18, а). В этом случае
228
(6.20)
Рис. 6.18. Выбор точ,
• кн размыкания систе ...
мы с запаздыванием


·
Если звено с запаздыванием находится в цепи м естной обрат­
ной: связи, то систему следует размыкать на выходе этой связи
(рис. 6 . 18, 6). Тогда
(6 .21)
Звено с запаздыванием может быть в пара J1лельной: ветви пря­
мой цепи системы. На входе этой ветви и нужно размыкать систему
(рис. 6.18, в). При этом
W= \\'l'iW2W,t e- 0s
(6.22)
l + lt:\\\73 1\7 4
Передаточные функции W, определяемые равенствами (6 .20)-
(6.22), после подстановки значения передаточных функций от:
дель н ых участков системы принимают вид (6.18).
Формулировка критерия Найквиста для систем с запаздыва­
н и ем не меняетс5.1. Однако построение АФЧХ такой системы имеет
некоторую особенность.
'
• Подставив в выражение (6.18) s = jffi, получим частотную пере­
даточную функцию
W (jffi) = W0 (jffi) e - iuJ0 = А (ffi) ei'i>(ш),
(6 .23)
где
(6 .24)
т. е. звено чистого запаздывания не изменяет амплитудно-частот­
ную характеристику, но создает дополнительный отрицательный:
сдвиг по фазе, пропорциональный: частоте.
Следовательно, можно построить амплитудно-фазовую час­
стотную характеристику W O (jffi) линейной части и для каждой
частоты ffi; повернуть векторы W O (jш;) на угол -ffi;0, Полу­
чается ам п литудно-фазовая частотная характеристика W (jffi)
р·азомкнутой: системы с запаздыванием.
Дополнительный фазовый сдвиг -ffi0 «закручивает» годограф
W 0 (jffi) по часовой стрелке и тем сильнее, чем больше частота ffi .
В следствие этого условия устойчивости ухудшаются . Однако в не­
которых случаях, при сложной форме характеристики W O (jffi),
запаздывание улучшает условие устойчивости.
Для оценки влияния чистого запаздывания на устойчивость,
введено . понятие критического значения времени запаздывания
екр· Его определение показано на рис . 6: 19. На амплитудно-фазо­
вой частотной характеристике W O (jffi) линейной части системы
отыскивают точку, для которой модуль равен единице. Пусть этой
точке соответствуют частота ffi 1 и избыток фазы у 1 . Тогда крити­
ческое значение времени запаздывания
(6.25_)
где у1 в рад.
229


+j
+
-)
Р11с. 6.19. Определение критического значения вре­
мени запаздывания
Исследование устойчивости системы
с запаздыванием удобно проводить
по логарифмическим частотным харак­
теристикам ее разомкнутой цепи. Сна­
чала строят логарифмические частотные
характеристики линейной части разом­
кнутой системы. Затем к фазочастотной
характеристике добавляют фазовый
сдвиг -0ffi, создаваемый звеном чистого запаздывания.
Критическое значение 0"Р времени запаздывания определяют
по избытку фазы у 1 при частоте среза.
•
6.8 . ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ
Для нормального функционирования всякая система автомати­
ческого регулирования должна быть достаточно удалена от гра­
ницы устойчивости, должна иметь достаточный запас устойчи­
вости.
Необходимость этого обусловлена несколькими причинами:
а) уравнения элементов системы, как правило, идеализиро­
ваны, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;
(5) при линеаризации уравнения погрешности приближеJiия
дщюлнительно увеличиваются;
в) параметры элементов определяют с некоторой погрешностью; )
г) параметры однотипных элементов имеют техно_логический
р·азброс; "
•
_,
д) при эксплуатации параметры элементов изменяются вслед:
ст·вие старения, •
Следовательно, устойчивая по расчету системq в действител_ь-
ности. мр;жет оказаться неустойчивой.
_
..
~f!пас устойчивости необходим еще и для хорошего качеств::~
реrулироващцr (см. гл . 7).
.
.
_
_
• . О запасе _ устойчивости можно судить прежде всего по распо-_
ложению корней . характеристического уравн~ния системы:
_
Ч!ЭМ.
д<\Jд,щ~ отстоя:г они от мнимой оси (в левой полуплоскосп1), _тем
бол_ьще_ Зi'}IIac устойчивости.
-
-
-
--
Пр!:! с_иfiтезе системI?r выбирают такой запас устойчивости~ пр _и
котором система функционирует устойчиво и с желаем1;>rм качест­
вом переходных процессов.
Количественное определение запаса уtтой~ивости зависит_. от
того, какой критерий устойчивости используют. Одна_ко в прак ~
тике инженерных расчетов наиболее широко применяют опреде­
ление запаса устойчивости на основании критерия Найквиста,
по удалению амплитудно-фазовой частотной характеристики разом­
кнутой систеr,н,r QT тQчки с ордиl:!атщvщ [-1 i jO]. Этот факт ~щени ;.
230


+
о
-)
l1
11•l
-78D+r
--
-т
-
-1во-r
1
-
Рис. 6.20. Зоны, определяющие тр е бования 1< запасу устойчивости
вают двумя показателями: запасом устойчивости по фазе '\' · и за­
· пасом устойчиво.сти по модулю (амплитуде) h . .
•
Для того чтобы система имела загiасы устойчивости '\' и .. h,
АФЧХ ее разомкнутого контура при удовлетворении критерия
•устойчивости не должна заходить в часть кольца, заштрихованного
' на рис. 6.20, а. Эта запретная зона, включающая .. в себя · точку
с координатами (-1, j0], ограничена лучами, проведенными из
начала осей координат под углами -180° + '\' и -180° ._ _ : __ '\', и
дугамисрадиусами1+ Ни1- Н,гдеН
-
определяется соот-
•h
.ношением Ig Н = 20 .
Если устойчивость определена по логарифмическим . частотным
характеристикам, то для обеспечения запасов устойчивости '\'
и h необходимо, чтобы:
•
а) при h::;,,. L (w) ::;,,.
- h фазочастотная характеристика удо­
влетворяла неравенству -180° + '\' .,;;:: 'ljJ (w) .,;;:: -180° -
у,
т . е. не заходила в заштрююванную область 1 на рис. 6.20, 6;
б) при -180° + '\' :;,,. 'ljJ (w) :;,,.
-180° -
'\' амплитудно-частотная
характеристика удовлетворяла неравенству h .,;;: L (w) .,;;: -h,
т. е. не заходила в заштрихованные области 2 на рис. 6.20, 6.
Для абсолютно устойчивой системы запасы устойчивости '\' и h
· опред еляют
так, как показано на
рис . 6.21 . Запас по фазе
L,rJБA
'\' = 180° + 'Ф (wc), (6.26)
где wc - частот,а среза, при ко­
торой L (wc) = О; запас по модулю ·
h=
-L (ww),
(6.27)
где w'P - частота,
w (w,p) = -180°.
при
которой
- Ри. с : 6.21. Определение зап1са устойчивоети по ла­
гарифм-ическиМ ,1астот1iым характеристикам ра­
зом кнутой системы
. 231


Необходимые з начения з апасов устойчивости зависят от класса
САР и требований к качеству регулирования . Ориентировочно
у=30+60°иh=6+20дБ.
По логарифмически м ч а стот н ым х аракт е ристикам (см . рис . 6.13), построен ­
ным в примере 6. 7 , опред ел им за пас устойчивости исследованной системы: у =
=20°иh=7дБ.
6. 9. ВЛИЯНИЕ МАЛЫ Х ПА Р АМЕТРОВ НА , УСТОЙЧИВОСТЬ
При составлении дифференциальных уравнений элементов
системы обычно пренебрегают влиянием второстепенных факторов
на процесс . Иногда это влияние на устойчивость системы условно
можно учесть с помощью некоторого малого параметра.
Иногда один или несколько параметров системы могут оказаться
.малыми по сравнению с другими . Во з никает желание пренебречь
этими малыми параметрами и понизить порядок уравнения . для
упрощения расчетов . Если это не влияет на устойчивость, то си­
· стема является грубой в смысле А . А. Андронова. Однако может
оказаться, что малые параметры влияют на устойчивость системы
и расчет по упрощенному уравнению приведет к неверным выво ­
дам . Такая система является негрубой .
Таким образом, в каждом таком случае необходимо выяснить,
следует ли учитывать малые параметры или ими можно пренеб­
речь (75 , 24].
Пусть х арактеристическое у равнение системы может быть при ­
ведено к виду
(6.28)
где μ - малый параметр;
!!lJ0 = a0sn + a1sn-1 + ···+ an_1s -1-а11;
(6.29)
'
.
q)l = CoSN +C1sN-I + •••+CN_1S +CN.
Малый параметр μ не влияет на устойчивость системы и· ее
можно исследовать по вырожденному характеристическому урав­
нению
(6. 30)
а
если1)N-п=Iи-0 >О;
Со
2)N- n=2и~-_!-!_>О.
Со
ао
Если N - п > 2, то отбрасывать малый параметр μ нельзя
д устойчивость системы необходимо исследовать по характеристи­
ческому уравнению (6.28) .
232


Пример 6.10 . Выяснить воз можность пр е н ебрежения малым параметром μ
при исследовании на устойчивость сист ем ы, характеристическое уравнение
которой
(J'rs2 +2sT1s+1)(T2s-\- 1)(/J,5-\-1)-\-k =О,
гдеТ1=0,9с;s=0,8;Т2=0,09с;k=15;w=0,001с.
Приведем характеристическое уравнение к виду (6.28)
μ[ТrТ254-\-Т1ЩТ2-\-Т1)53-\-ЩГ1-\-Т2)52-\-5] ·+
-\-[ТуТ253-\-Т1ЩТ2-\-Т1)52-j-ЩТ1-\-Т2)5-\-(1 -\-k)]=О.
В данном случае
N-п=4-3=1и-5L-ТуТ2- 1
с0-Т~Т2-
•
Следовательно, параметром ~t можно пренебречь и исследовать устойчивость
системы по вырожденному характеристическому уравнению
'i'fT253
-\- 7 1 (2sT2-\-Т1)52-\-(2sT1
-\-
Т2)5-\- (1-\- k) = О;
0,072953 + 0,94052 + 1,53s + 16 = О.
По критерию Гурвица система устойчива, так как
0,94 - 1,53 = 1,44 >О,0729-16 = 1,17.
С целью контроля проверим устойчивость по характеристическому урав­
нению, включающему малый параметр μ:
7,29-10-554 + 7,38 -10-2s3 + 0,941s2 + 1,53s + 16 = О.
• На основании критерия Гурвица сист ема устойчива, так 1,ак
7,38 ,10-2
-0,941•1,53= О,106 > 7,29.10 -5 •1,532 -
-
(7,38-10- 2 )216 = 0,087 .
Предположим, что характеристич еское уравнение
содержит т малых параметров μ 1, μ 2, .. . , μ ,т каждый из
повышает порядок уравнения на единицу . Выразим
один малый параметр μ:
μ1 = YJ1μ, μ2 = YJ2μ,
· · ., μ111=Чтμ,
системы
которых
их через
(6 .31)
где YJ 1, ri 2, . .. , YJm - величины, сопоставимые по своей величине
с другими параметрами системы .
Тогда характеристическое уравнение приводится к виду
111( N-j
N-I -\- )
-\- т-1( N--1
-\-
N-2-\- )
-\- •
μ CooS
-
Со15
•••
~t
С105
СнS
•••
+···+(a0sn +a15n-I+•··+ап)=О.
(6.32)
Чтобрr при малом μ система была устойчива, необходимо и до ­
статочно, чтобы «вырожденное» характеристическое уравнение
a0s"+a1sn- l+ ···+an_1S+ап=О
(6 .33)
и вспомогательное уравнени е
(6 .34)
каждое порознь, удовлетворяли у словиям устойчивости [24 ].
Вместо одного полного уравнения исследуют два более простых.
233


Пусть малыми параметрами являются пос:тоянные времени
нескольких апериодических и колебательных зве ньев, а переда­
точная функция разомкнутой системы имеет такой вид:
\V = _______ kR______ _
т
т"
гi(fiiS+i) 11(~t7s2+21:,iμ/+1)Q
i=I
j=l
(6.35)
где R и Q - полиномы от s степени соответственно т и п, которые
не содержат малых параметров и п > т. ,
Тогда об устойчивости замкнутой системы можно судить по
вырожденному уравнению
Q+kR=О.
(6.36)
Удобно определять устойчивость по логарифмическим частот­
ным характеристикам вырожденной передаточной функции разом­
кнутой системы
1\7* = l~R
.
(6.37)
•При этом можно оценить, как малые параметры влияют на
запас устойчивости по фазе.
Параметры μi и μ i достаточно малы и сопрягающие частоты
l
1
wi=-
иw1-· = -
-
значительно больше частоты среза wc ча-
μi
μi
статной передаточной функции W* (jw). Поэтому малые параметры
при частоте среза создают мал ые дополнительные сдвиги по фазе.
Их сумма (в рад.)
(G..'i8)
Всл едстви е влияния мал ых парам етров запас по фазе умень­
шается:
(6.39)
1·де у 0 - з апас по фазе (в град) частотной передаточной функции
W* (jw) .
Пример 6. 11 . Выяснить устойчивость системы, у которой передаточная
функция разомкнутой цепи
Н1/ =
k(тs+l)
.
s(T1s+ !)(72s+ !)(T3s+ 1)(Т,rs2+21;T4s+ !) '
гдеk=100;т=0,125с;Т1=0,5с;Т2=0,0022с;Т3=0,002с;Т4=0,001с
иs=0,8. .
-
234


Рис. 6.22. Логарифмические частотные ха­
рактеристики к примеру 6.11
Постоянные времени Тз и Т4 при­
мем за малые параметры и определим
устойчивость по вырожденной переда­
точной функции
Данные для построения логари­
фмических частотных характеристик:
20 lg k = 40 дБ; сопрягающие ч астоты
1
1
(i)l= Т1 =2с-1;(i)2=~=8 cl
1
и_(i)з=~ =50с-1.
•2
L,ilБ
40
1
1
1
и)
1/!, гpail
1
;J;_____J::
.
По характеристикам (рис. 6.22) заключаем: вырожденная система устой-
чива и запас по фазе у0= 50°.
Оценим влияние малых параметров на запас устойчивости. По формуле (6.38)
определим сдвиг по фазе при частоте среза (i)c, вызываемый малыми параметрами:
'Рμ = -(i)c [Тз+ 2~Т4 ] = -0,0904.
Действительный запас устойчивости по формуле (6.39)
у=50°-
57,3° ,0,0904 = 44,7 °.
В данном случае параметры, принятые за малые, существенно влияют на
запас устой чивости по фазе. Это объясняется тем, что параметры (постоянные
времени Тз и Т4) лишь на один-два порядка отличаются от основных (от постоян­
ных времени Т1 и Т2).
6.10. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТfЙ УСТОЙЧИВОСТИ
При инженерных расчетах весьма часто необходимо исследо­
вать влияние на устойчивость САР тех или иных ее параметров,
легко поддающихся изменению (передаточные коэффициенты и
постоянные времени усилительно-преобразовательных элементов).
Допустимые пределы изменения одного или двух параметров опре­
деляют при неизменных значениях остальных. В последнем слу­
чае на плоскости двух параметров выделяют (строят) область
устойчивости, т. е. такую область изменения этих параметров, при
которых система остается устойчивой.
Иногда на плоскости двух параметров строят семейство облас­
тей устойчивости при раз личных зна чениях третьего параметра.
Тогда вьrясняют влияние на устойчивость всех трех параметров
сразу.
Построение таких областей возможно с помощью любого из
критериев устойчивости. Однако при инженерных расчетах такой
путь применяют лишь для определения граничного значения пере­
даточного коэффициента разомкнутой системы, а для выделения
областей устойчивости используют более общий метод Д-разбие­
ния. Принципиально это метод разделения п-мерного простран-
235


ства параметров на области, каждой из которых соответствует
одно и то же число правых корней характеристического уравнения.
Область, которой соответствует нуль правых корней, есть область
устойчивости. Практически с помощью Д-разбиения выделяют
области устойчивости в плоскости одного и двух параметров.
О. К. Соболевым предложен также метод построения областей
устойчивости в плоскости обобщенных параметров («Техническая
кибернетика», 1970, No 5).
Определение граничного значения передаточного коэффици­
ента. Наиболее часто выясняют влияние на ' устойчивость пере­
даточного коэффициента k разомкнутой системы. Определяют его
граничное значение kгр, т . е . то значение, при котором система
оказывается на границе устойчивости. Такая необходимость воз­
никает потому, что с увеличением k повышается статическая точ­
ность системы (см. гл . 7) и нужно з нать, не нарушится ли при этом
устойчивость.
В системах до четвертого порядка включительно kгр наиболее
просто определить по критерию устойчивости Гурвица. Нера­
венства, составляющие условие устойчивости (см. п. 6.2), записы ­
вают как равенства, и те из них, которые содержат k, рассмат­
ривают как уравнения относительно k . Наименьшее из значений k,
являющихся решениями этих уравнений, есть граничное kгр·
В примере 6.2 для определения kгр достаточно превратить
в равенство последнее неравенство.
Из примера 6.2 следует, что в наиболее неблагоприятном
случае, при Т 1 = Т 2 = Т3 , kгр = 8. Чем больше последовательно
соединенных апериодических звеньев, тем меньше kгр: при четы­
рех звеньях kгр = 4, при пяти kгр = 2,9, . при
шести kгр = 2,4.
Для одноконтурной системы, состоящей из трех апериодичес­
ких звеньев, kгр тем больше, чем больше разница между наиболь­
шей Т 1 и наименьшей Т 2 постоянными времени. -Третье з_вено
в этом случае должно иметь постоянную времени
T_T1
-I-T2
3-
2
,
а постоянные времени остальных звеньев должны быть близкими.
•
Пусть постоянные времени звеньев рассматриваемой цепи
образуют геометрическую прогрессию
Т1
Т2
Т3
72--Т~
-
T.i
-
=q.
(6.40)
Тогда граничное значение передаточного коэффициента [24]
зависит от q и числа звеньев п. следующим образом: если q = 5,
то kгр равно соответственно 37; 30; 29 и 28 при п. = 3; 4; 5 и 6;
еслиq=10,тоkгр =122прип.=3иkгр=110прип.=4;5и6.
Передаточный коэффициент k всегда положительная величина.
Поэтому если условия устойчивости удовлетворяются при k <
< О, то они удовлетворяются и при всех возможных значениях k.
23G


В подобных случаях принимают (условно), что kгр = ev. Если k
не входит в условия устойчивости, то и в этом случае принимают
kгр = ev. Возможность создания систем с весьма большим зна­
чением kгр будет рассмотрена в п. 8.1 .
Пример 6.12 . Определить граничное значение kгр передаточного коэффи­
циента разомкнутой системы с передаточной функцией
W_ k(тs+1)
-
s2(Ts+I)•
Составим характеристическое уравнение з амкнутой системы
Ts~+ s2+,ks+k=О
и ус .п овие ее устойчивости
тk>Т!г илит>Т.
Коэффициент k не входит в условие устойчивости. Зам1шутая система устой­
чива при всех возможных з начениях k и kгр = c-v .
Встречаются еще и условно устойчивые системы, у которых
не одно, а два граничных значения kгр 1 и kгр 2 передаточного коэф­
фициента разомкнутой цепи. Ими являются наибольшее и наи­
меньшее значения k, при которых система оказывается на границе
устойчивости.
Пример 6.13 . Выяснить, при каких значениях k будет устойчива система,
если передаточная функция ее разомкнутой цепи
117 =
k(~+ 1) ~
-
-.,
(T1s+1)(T2s-t-1)(T3s- 1)
гдеТ1=0,2;Т2=с;.0,25;Т3=0,5с;'t= 0,1с.
Составим хар-аkтеристическое уравнение замкнутой системы:
T1T2T3s3+ (Т1Т3+ Т2Т3- Т1Т2) ~2 + (Т3- Т1-Т2+ kт) s+
+(k- 1)=О;
0,025s3 + 0,175s2 + (0,1/г + 0,05) s + (/, -- 1) = О.
Условия устойчивости системы:
k> 1; 0,175(0,1/г+ 0,05)>0,025(k - 1).
Из этих двух неравенств определим требования к значению k: !г > 1; k <
< 4,5.
Заключаем, что замкнутая система устойчива, если значения передаточного
коэффициента разомкнутой· цепи лежат в пределах от 1 до 4,5, т . е . iггр 1 = 1,
kгр2= 4,5.
Граничное значение передаточного коэффициента удобно опре­
делять · по логари~мическим частотным характеристикам разом­
кнутой системы. Если k = kгр, то запас устойчивости по модулю
равен нулю (h = О) и частота среза шс совпадает с частотой ш,р,
при которой ордината фазочастотной характеристики равна
-, .180°. Поэтому для определения kгр нужно построить логарифми­
ческие частотные характеристики при заданном или произвольно
выбранном значении k (например, при k = 1). Затем по ЛАЧХ
определить ординату L (1) низкочастотной асимптоты (или ее про-
237


должения) при частоте w = 1 и ординату L (wi\,) при частоте w =
= w'I>. Ордината L (w'1i) может быть как положительной, так и
отрицательной. Равенство_
(6.41)
позволяет вычислить kгр·
Впримере6.7(см.рис.6.13)L(1)=26дБиL(w'I>)=fi =7дБ.Следо­
вательно, 20 lgkгр=26+7=33 дБ и krp=44,7.
Д-разбиение плоскости одного параметра. Пусть требуется
выяснить, в каких пределах можно изменять' параметр μ, н е на­
рушая при этом устойчивости. Предполо,жим, что μ входит в ха­
рактеристическое уравнение замкнутой системы линейно и это
уравнение может быть приведено к виду
μN1+N2= О,\:
(6.42)
гдеN1=N1(s)иN2=N2(s).
Разрешим уравнение (6.42) относительно μ:
J-,L=-
N2•
, - (6.43)
N1
Это уравнение определяет зависимость параметра μ , от фикс1:1-
рованного значения корня х.ара:юеристиче<;:н:ого, уравне~~~:я. Пре­
жде всего интересно выяснить, при каких значениях μ система на­
ходится на границе устойчивости, т. е. какие значения μ соответ­
ствуют чисто мнимому корню. Сделаем . подстановку s = jw и
построим на комплексной плоскости график функции
μ(jw) = ~ - i:ij:;=Х(w)+jY-{w)'
(6.44)
при изменении w от -N до +N .
Функция Х (w) есть четная функция w, а У · (w) - нечетная.
Поэтому искомая кривая симметрична относительно веществен­
ной оси и достато,чно построить одну · ветвь КРI-!ВОЙ, изменяя w
от О до N, а затем построить ее зеркальное отображение относи­
тельно вещественной оси.
• Полученную таким образом кривую называют кривой Д~р ,аз­
биения, она представляет собой отображение мнимой оси плоско­
сти корней характеристического уравнения на плоскость пара­
метраμ. Если, двигаясь по кривой от со =
-Nк w= +N,нано­
сить штриховку слева, то эта штриховка будет направлена в ту
часть плоскости параметра μ, которая соответствует левой полу -
плоскости корней.
-~
Кривая Д-разбиения разделяет плоскость параметра - μ • на
несколько областей. Та из них, внутрь которой направлена штри­
ховка кривой, может бьrть областью устойчивости. Теперь нужно
взять какую-либо точку μ; на оси абсцисс из этой области· и, поль­
зуясь любым критерием - Устойчивости, . прове·рить • устойчивость
системы при μ = μi. Если критерий удовлетворяется, то рассмат-
238


P,,t: 6. ·2 3. ·. д-ра збие 1111 е плос1<осп1 параметра т (пример , 6.14)
риваемая область есть область - устойчиво­
сти . .Следоват~щ,но, система _ остает~я - устой­
чивой лишь при значениях параметра μ,
определя .ем ых- отрезком положительной по­
л~оси а бс цисс, лежащ1:1м внутри . области
устойчивости.
ь
•
Пример 6, 14. Цередато чная функцf!Я ра з омк_ну~:ой
си стемы . ,_
где k~.50; Т1=0;4 с; Т27'0,1 с.
_
.
В ыяснить влияние п остоя нной времени т д и ффе­
ренцирующего зве на на устойчивость замкнутой ·_си-
стемы.
'-~
,-,
Составим ха ракт е ристическое уравнение- з амкну­
т.ой системы:
T1T2s3+ (Т1+Т2)s2+ (l+/п)s:+ ll= О;
o,o4s,3+q,s5.2 + (1+ 5От)_s+:5о=о.
Разрешаем это уравнение от н осительно т:
.
1
.
.i; се;·-'-- 505 [0;04s·1 + 0,5s2 + s + 50].
Выполним подстановi,у s == jш :
1
.
т(jw) =
-
-;---
50 [- j0,04w3 - 0,5w2+jw+50]= Х+jY,
1 (1)
,·
,
,
где, Х= 0,02 (-1 + 0,04(1)2); У= -3⁄4- (1:---' 0,0lw2)..
+
Для п острое ни я . кривой Ц-разбщ~ния ; определим значения Х и У при зна-
чениях(1)=Оиffi= ev:
•
-•
•
·..
--
•
w=О;Х=
-
0;02;У~-·+ev,ffi= +ev,Х=
-- 1-ev, У= -ev .
• Оп·ределим, при как ом з н а чении (1) · и У кривая пересекает ось ординат:
V~I 5
..
ffi1 =
О,О4= ; Ус=0,lv.
Найдем зна чения w и Х при пересечении кривой оси абсцисс :
-v '1
ffi2 =
о,оГ= 10; Х= 0,06.
·,· Полученные дiн~rы/характеризуют кривуюД-разбиения на участке от ffi = О
до ю · ;са= cv • (рис , , 6 .23 ). , Зеркальное . о.:гображе ние э_того участка кривой относи­
ч~ды1 9 _ оси абсцисс дает ее второй уч,а~ток (от w =
-ev до (1) = О). Двигаясь
по . кривой от w = _::_c\:J к (1) = --1-ev,. штрихуем ее _слева. Заметим, что конкрет­
н'rJ1'й вид 1<рив6'й не имеет з н ачения, · нужно знать лишь точки пересечения .
•.
Плоскость разделена на три области, ИЗ которых на устойчивость претен­
дует облает~; 3 i Проверим · у<,;tойчивость · системы· при т = 0,1, так как данная
точка .леж и т в облас1;и 3 . Ха рактеj)истичес кое уравнение при этом значении т
'"
>',
_Q,04.s~ .+ . 0,5$2.+ 6s·+-Бо.~ о~
239


К:ритерий устойчивости Гурвица удовлетворяется, так как все коэффициенты
уравнения положительные и
0,5,6 = З> 0,04,50 = 2.
Следовательно, область 3 есть область устойчивости. Рассматриваемая
система в замкнутом состоянии устойчива при , > 0,6.
Иногда параметр μ, влияние / которого на устойчивость си­
стемы исследуют, входит в характеристическое уравнение как
в первой, так и во второй степени. Тогда можно обозначить μ 2 = ri
и делать Д-разбиение плоскости параметров μ , и ri.
Д-разбиение плоскости двух параметров. Предположим, что
необходимо выяснить влияние на устойчивость системы парамет­
ров μ и 'YJ, которые входят в ее характеристическое уравнение
линейно . Тогда это уравнение может быть приведено к виду
μN+'Y]S+F=О,
(6.45)
гдеN=N(s),S =S(s)иF=F(s).
После подстановки s = jw полиномы N, S и F разделяют на
действительную и мнимую части:
N=N1+jN2,S=S1+jS2иF=F1+jF2,
где
N1= N1(w),N2= N2(w),S1= S1(w),S2= S2(w),
F1= F1(w),F2= F2(w),
и уравнение (5.45) распадается на два:
μN1+'Y]S1+F1= О;
μN2+riS2+F2 = 0.
Решим уравнения (6.46) относительно μ и 'У]:
I
-F1, S11
1 N1-F1 1
,
-
F2, S2
.
N2-F2
μ=
л
,'У]=
л
'
где Л - определитель системы;
1
N1S1 \
Л= N2S2 •
(6.46)
(6.4 7)
Уравнения (6 .47) определяют μ и 11 как функции w . Следова­
тельно, при каждом значении w = wi можно вычислить значе­
ния μi и 'YJi и нанести соответствующую точку на плоскости пара­
метров μ, 'YJ. Геометрическое место этих точек при изменении w
от -w до +w является кривой Д-разбиения плоскости μ, '1').
В рассматриваемых формулах предполагается, что параметр μ
откладывают по оси абсцисс, а параметр '1') по оси ординат.
Уравнения (6.46) совместны и равенства (6.47) определяют
точки кривой Д-разбиения только при тех значениях w, при кото-
240


Рис. 6.24. Правила штриховки особых прямых
рых определитель системы Л не равен нулю. При движении по
кривой Д- разбиения в сторону возрастания ro штриховку наносят
слева, если определитель системы Л положителен, и справа,
если Л отрицателен.
Точка по крJ:IВОЙ Д-разбиения пробегает дважды: первый раз
при изменении ro от -cv до О и второй раз при изменении ro от О
до cv. Однако при ro = О меняется знак определителя системы Л,
и поэтому кривую оба раза штрихуют с одной и той же стороны.
При некотором значении ro определитель Л может обратиться
в нуль . Если при этом определители в числителях равенств (6.47)
не равны одновременно нулю, то уравнения (6.46) несовместны,
точка (μ, 'l'J) уходит в бесконечность.
При некотором значении ro в нуль могут обратиться кроме
определителя системы Л и определители в числителях равенств
(6.47). Тогда уравнения (6.46) оказываются линейно зависимыми
и отличаются одно от другого на постоянный множитель т:
N2=mN1;S2=mS1иF2=mF1.
Получается уравнение прямой линии
μN1+'YJS1+F1= О,
(6.48)
которую принято называть особой прямой. Всем ее точкам соот­
ветствует одно и то же значение ro. Появление особых прямых
отличает метод Д- разбиений плоскости двух параметров от Д­
разбиения плоскости одного (комплексного) параметра.
Особые прямые получаются также из уравнения а11 = О при
ro = О и из уравнения а0 = Опри ro = cv, если в эти коэффициенты
линейно входит хотя бы один из параметров μ и 'l'J·
Правила штриховки особых прямых следующие:
а) если особая прямая и кривая Д-разбиения сближаются асим­
птотически - штриховка особой прямой однократная, направ­
лена к заштрихованной стороне кривой Д-разбиения (рис. 6.24, а);
б) если особая прямая имеет общую точку с кривой Д-разбие­
ния, но не пересекает ее - штриховка особой прямой однократ­
ная и около общей точки направлена к -заштрихованной стороне
кривой Д-разбиения; в точках пересечения с кривой Д-разбиения
16 11. М. Макаров
?
241


штриховку особой прямой не изменяют, так как знак определи­
теля системы в этих точках не меняется (рис . 6.24, 6);
в) если особая прямая пересекает кривую Д-разбиения в двух
точках - штриховка особой прямой двойная и направлена к за­
штрихованной стороне кривой Д-разбиения около той точки пере­
сечения (точка А на рис . 6.24, в), в которой определитель Л меняет
знак; во второй точке пересечения (точка В на рис . 6.24, в) опре­
делитель Л не меняет знака и штриховку особой прямой не изме­
няют .
г) если особая прямая пересекает кр•ивую Д-разбиения
(рис. 6.24, г), но знак определителя Л в точке пересечени·я не ме­
няется - особую прямую не штрих уют.
После того, как кривая Д-разбиения и особые прямые постро­
ены и на них нанесена штриховка, отыскивают область, внутрь
которой направлена штриховка ее границ, Это область потенцй­
альной устойчивости. После подстановки в характеристическое
уравнение значений μ и 11, соответствующих какой-либо точке
этой области, используют один и з критериев устойчивости. Если
он удовлетворяется, то рассматриваемая область есть область
устойчивости, т . е . при всех сочетаниях параметров, соответсiвую­
щих точкам этой области, исследуемая система устойчива.
Возможны случаи, когда область устойчивости отсутствует.
Пример 6. 15. Выяснить зависимость устойчивости системы от · постоянных
времени Т2 и , . Передаточная функция разомкн утой системы
где k:= 50; Т1= 0,4.
где
242
Составим харакrеристическое уравнение замкнутой системы:
T1T2s3+(Т1+Т2)s2+ (1+k,)s+k=О;
0,4T2s3+ (0,4 + T2)_s2+ (1 + 50,) s+ 50 = О.
Приведем характер'истическое уравнение к виду (6.45): •
Т2(0,4s3+ s2)+ ,50s+ (0,4s2+ s+ 50)=О.
Выполним подстановку л = jw и разделим уравнение на два:
[T2N1 -1- ,S1 -1- F1 = О;
Т2N2-1- ,S2-1-F2=О,
N1= , w2;N2=
-0,4w3; S1 = О; S2 = 50w;
F1 = 50-0,4w2; F2 = w.
Вычислим значение определителя Л системы


Таблиt{а 6.7
Результаты рас,1ета к примеру 6. 15
tu
о
5
G7
8
9
10 Vl9V/ 50
15
::':::оо
0,16
0,4
Т2 1 00 11,60 1 0,991 0,621 0,3810,221 о,1 1 0,02
1
о 1-0, 181-0,4
i: 1o,38 J о,зо J 0,27 10,22 1о,181о,12 10,06 J о
1
-0,02 1-0,341-=
Составим выражения для определения Т 2 и 't по формулам (6.47):
l
-
(50-f--0,4002)0 1
Т=-оо
5000 = -(50-0,4002) 5000 = ~ _ 0 4
.
2
-
5000 3
-
50003
002
'
'
1
-
ш2 - (50 _:_ О,4ш2) 1
-
О,4ш 2
-
оо
't=
-50003
=
003
-
0,4003 (50 - 0,4002 )
-50003
= 0,02 (19--О,16002 ).
По результатам вычи сления значений Т 2 и 't (табл. 6. 7) строим кривую Д-раз­
биения (рис. 6.25).
При движении по кривой от оо = О до оо = -f --N штриховку наносим справа,
таккакприоо>ОЛ<О.
Определитель системы Л = -50003 ни при каких значениях ш не обра щ ается
в нуль, кроме оо = О. Коэффициент а.7 = 50 характеристического уравнения
не зависит от параметров Т 2 и 't. Но коэффициента 0 = О,4Т 2 зависит от пара­
метра Т 2 • Приравнивая этот коэффициент нулю, получим уравнение единствен­
ной - особой прямой Т 2 = О, т. е. особой прямой является ось ординат. Она асим­
птотически приближается к кривой Д-разбиения при оо = N, ее штрихуют
в соответствии с правилом а (см. рис. 6.24, а).
Итак, плоскость параметров Т 2 , 't делится на четыре области. Штриховка
кривой Д-разбиения направлена внутрь области 1, которая и является, следо­
вателыю, областью потенциальной устойчивости. Проверим ее устойчивость
по точке М. Подставим Т 2 = 't = 0,2 в характеристическое уравнение:
0,08s3+0,6s2+11s+50=О.
Проверим устойчивость по крите рию Гурвица:
0,6,ll = 6,6> 0,08,50= 4.
Следовательно, област ь 1 являет с п областью устойчивости.
Параметры Т 2 и 't - это положительные величины, поэтому действитель­
ной областью устойчив 9сти является только часть области 1, лежащая в первом
I< вадранте .
Методом Д-разбиения плоскости двух параметров иногда
можно выяснить влияние на устойчивость одного параметра, ко~;-о­
рый входит в характеристическое уравнение нелинейным образом.
Это во з можно, если характеристический полином удается пред-
.ставить
в виде μN+'1]S +F, где μ и 'У) - некоторые функции
интересующего нас параметра v, например μ = v 2 и 'У) = v .
16*
243


2
0,б 0,8 1,0 ~,
Рис. 6.25. Д-разбиение плоскости параме-
тров Т2 и -i;
(пример 6.15)
В ряде случаев (наиболее
интересных случаев) уравнения
относительно параметров μ и '1')
оказываются нелинейными и
имеют следующий вид:
ер1 (со, μ, 'l'J) = О;
ср 2 (сЬ, ~L, 'У)) = Q. (6.49)
Тогда кривую Д-разбиения строят в результате решения этих
уравнений (например, методом подстановки). Штриховка кривой
определяется знаком якобиана, который составляют из частных
производных от функции ер 1 и ер 2 по переменным μ и '1'):
дсрl дсрl
дμ~
д<r2 дсr2
л
(6 .50)
~~
При движении по кривой в сторону увеличения со ее штри­
хуютслеваприЛ>ОисправаприЛ<О.
Иногда в характеристиче·ское уравнение линейно входят две
нелинейные функции тех параметров, влияние которых на устой ­
чивость нужно выяснить.
Тогда Д- разбиение относительно этих двух нелинейных функ­
ций является линейной задачей.
Пример 6 . 16. Выяснить влияние на устойчивость системы передаточного
коэффициента k ее ра зом кнутой цепи и постоянной времени т форсирующего
звена. Передаточная функция разомкнутой системы
k(-rs
-j- l)
iv ~ = -~~~~~~~ ,
s(T1s+1)(T2s+1)
гдеТ1=0,4иТ2=О,1с.
Составим характеристическое уравнен не замкнутой _:системы:
(J)
о
μ
1
о
1
-;l-1l
244
T1T2s3+ (Т1+Т2)s2+(1+/гт)s+!г=О.
0,04s3+0,5s2+(1+/п)s+k=О.
Результаты расчета к примеру 6.16
v· О,~4
6
7
8
9
10
ll
12
12,5
1
18
1
24,5
1
32
1
40,5
1
50
1
60,5
1
72
о 10,410,96
1
l,6
1
2,24 j з,о 1 3,84
1
4,76
1
1
Таблица 6 .8
14 ±оо
98
1
+оо
6,84
1
+оо


Рис . .6.2 .6 .. Д - разбиен"е nлосI<ости двух параме­
тров к примеру 6.16.
71
4
Обозначимk= μиk:r, = 11],таккак 2
k и kт: входят в характеристическое урав- 3
нение линейно .
После подстановки s = jw определим
N1= !;N2=О;S1=О;S2= со;
F1 = -0,5w2; F2= w (!-0,04w2);
2
л=lol:1~ w;
1
0,5w 2
.О1
~• ==
-
cu (! - 0,04w2) со = 0,Sco2;
(J)
1
1 0,5w2
1
~1 = О -w(!-О,04со2) = -
1 + 0,04w2.
.
.
(J)
.
2
Результаты вычисления значений ~• и 11] сведены ;з табл. 6.8, а кривая Д-раз­
биения построена на рис. 6.26 .
П араметр μ = k является свободным членом характеристического урав­
нения, поэтому уравнение особой прямой при со= О имеет вид μ = О, т. е. осо­
бой прямой является ось ординат, Она имеет общую точку с кривой Д- разбие­
ния, ее штрихуют по правилу б (см . рис. 6.24; б).
Плоскость параметров ~•, 11] разделена на три области . На устойчивость
претендует область 1 и устойчивость мы проверим по точке ~• - Подставляя в ха­
рактери стическое уравнение ~• = k = 20 и 11 = kт: = 2, получим
0,04s3+0,5s2+3s+20= О.
Условие устойчивости по критерию Гурвица
0,5-3 = 1,5 > 0,04-20 = 0,8
удовлетворяется ,
Следовательно, область 1 есть область устойчивости. Параметр "l = kт:
не может быть отрицательным и действительной областью устойчивости является
та часть области 1, которая лежит в первом квандранте .
6.11. СТРУКТУРНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Систему называют структурно неустойчивой, если ее нельзя
сделать устойчивой только изменением величины (но не знака) ее
параметров. Устойчивость может быть достигнута лишь измене­
нием структуры, т. е. введением в систему новых звеньев и связей
или же изменением типа имеющихся звеньев и связей.
Условия структурной неустойчивости одноконтурной системы
известны [3]. Предположим, что числитель R (s) передаточной
функции разомкнутой цепи состоит из множителей вида k, тs + 1
и тfs 2 + Щ;т;s + 1, а знаменатель Q (s) из множителей вида
s, Ts='=1,Тzs2+1иТуs2+2~iTis+1. Здесь k,т,т;, ~;, Т,
Ti, Ti и Si есть независимые одна от другой положительные вели­
чины (параметры системы).
245


Таблица 6.9
Неравенства для проверки структурной устойчивости
1
1
1
f
т=о
1
т>Очетно
т нечетно
четно
п+т>4r
п+т>4r- 1 п+т>4г- 2
нечетно
п+т>4r
п+т>4г
п+т>4r+1
Система структурно неустойчива, если нарушается нер·авенство
т:;;,. v+l- 1
(6.51)
и неравенство из табл. 6.9, соответствующее данным конкретным
значениям т и f.
В этих- неравенствах т и п - степени соответственно полино­
мов R (s) и Q (s); v - число нулевых корней полинома Q (s);
l - число положительных вещественных корней полинома Q (s);
f - число комплексных корней с положительной вещественной
частью полинома Q (s); r - целая часть дроби f.
Рассмотрим частные случаи :
.
1. Если числитель передаточной функции разомкнутой си­
стем;ы R = k, то система структурно наустойчива при нарушении
одного из неравенств:
•
v+l..,;.1илип>4r.
(6.52)
2. Если R = k (тs + 1), то система структурно неустойчива
в случае нарушения одного из следующих неравенств:
иv+l..,;. 2 или п> 4r-3 при четном f1·
(6.53)
v+l..,;.2илип>4rпринечетномf.
'
.
3. Если R = k (Ь0 s2 + b1s + 1), то система структурно не-.
устойчива, когда нарушается одно из следующих неравенств:
v + l.,;;:Зилип>4г-2причетномf]
и
(6.54)
v+ l..,;.3илип>4r-1при нечетномf.


Глава 7
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Всякая реальная системсl автоматического регулирования
действует в разнообразных режимах, которые , отличаются значе­
ниями задающего воздействия и возмущений или характером их
изменения. Чем меньшие значения имеет при этом рассогласова­
ние, тем выше качество регул·ирования. Однако создать единую
объективную числовую оценку качества регулирования оказалось
невозможным, поэтому существуют лишь частичные оценки от­
дельных наиболее характерных режимов.
В практике инженерных расчетов используют оценки точности
в установившихся режимах и оценки качества .переходных про­
цессов. Последние оценки разделяют на прямые и косвенные .
Так, ранее рассмотренные показатели запаса устойчивости по
фазе и по модулю (см. п. 6.8) лишь кQсв_енно характеризуют харак­
тер переходных процессов и являются, таким образом, косвен­
ными оценками качества.
Ниже рассмотрены основные из многих предложенных оценок .
Следует иметь в виду, что оценки качества используются как
при анализе спроектированных САР, так и при их синтезе. В пер­
вом случае можно воспользоваться несколькими оценками с тем ,
чтобы полнее выяснить свойства системы. Во втором же случае
решение задачи возможно лишь при использовании ограниченного
числа оценок. Иногда рассматривают лишь одну оценку .
Применение тех или иных оценок при анализе и с_интезе опре­
деляется не только объективными факторами (прежде всего назна­
чением · САР), но также и личным опытом проектировщика .
7.1 . СТАТИЧЕСКАЯ ТОЧНОСТЬ
Один из основных режимов САР (прежде всего систем стаби ­
лизации) - это установившийся реж им при постоянных значе­
ниях задающего воздействия и возмущения: g = g O ~ f = f 0 ,
где gO и fO - постоянные.
247


В этом режиме установившееся з на'чение ху ошибки (рассогла­
сования) имеет две составляющие :
(7.1)
Здесь ху 1 - ошибка воспроизведения з адающего воздействия,
а Ху 2 - ошибка , создаваемая возмущением . При этом не прини­
мают в расчет ошибки, обусловленные нечувствительностью регу­
лятора (прежде всего зоной нечувствительности датчика и эле ­
мента сравнения) и другие ошибки, связанные с неидеальной
линейностью системы. Устранение этой дополнительной погреш­
ности свя з ано с повышением класса точности элементов регуля­
тора, что ведет к повышению его стоимости и ограничено техни­
ческими возможностями .
При нескольких возмущениях составляющая Ху 2 имеет не­
сколько слагаемых .
В системе, структурная схема которой показана на рис . 3.1,
передаточные функции для ошибки слежени_я и для ошибки от
возмущения соответственно равны
1
W1W0
wx=1+Wиwxf=1+\\1,
(7.2)
где W_= W0W1W2.
Возможны следующие характерные случаи :
1. Передаточные функции участков системы
(7 .3)
где' k6, k1, /~2 , k3 - передаточные коэффициенты; R1, R2, Q1,
Q2 - полиномы от s со свободным членом, равным единице. •
Тогда на основании теоремы о конечном значении (см. табл .
П.1.2) :
(7.4)
где k = k 0 k 1 k 2 - передаточный коэффициент разомкнутой с-и -
-
1
стемы; S = 1 + k - коэффициент статизма.
У такой системы всегда есть установившиеся ошибки от задаю­
щего воздействия и возмущения, и ее на з ывают статической.
Чем больше передаточный коэффициент k разомкнутой системы,
тем меньше коэффициент статизма и установившаяся ошибка .
2. Н (участке 1 (см . рис. 3. 1.) есть интегрирующее звено, т . е.
W_k1R1
1-
sQ1 '
а W 2 и W0 определяются формулами (7.3). По той же теореме
ху 1 = О И' система является астатической относителыю з адающего
воздействия .
248


3. Интегрирующее звено на участке с передаточной функцией
'1
w- fl2R2·,
2-
sQ2 '
а W 1 и W 0 определяются формулами (7.3 .)
Тогда ху 1 = ху 2 = О и система является астатической как
относительно задающего воздействия, так и относительно возму­
щения.
Таким образом, астатизм может быть достигнут соответствую­
щим включением интегрирующего звена в прямую цепь системы
регулирования по отклонению. При включении двух интегрирую­
щих звеньев достигается астатизм второго порядка и устраняется
установившаяся ошибка от внешнего воздействия, изменяющегося
с _ постоянной скоростью . Астатизм достигается также включе­
нием изодромных звеньев.
7.2 . КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК
Установившееся значение ошибки ху1 воспроизведения задаю­
щего воздейст~:щя g = g (t), являющегося произвольной, но доста­
точно плавной функцией времени, можно определить с помощью
коэффициентов ошибок С0, С1 , С2,
.
.
по формуле
dg
С2 d2g
С3 d3g
Xy1=Cog+C1dt+2!d/2 1-З!dtз +
(7.5)
Коэффициенты ошибок можно вычислить по передаточной
функции Wx = Wx (s) для ошибки слежения и ее производным
поsприs=О:
Со=[Wx]s=O; С1= [ d:x1=0;
В статич еской системе
в астатической .
1
Со=1-j-!г;
(7.6)
и перед..аточный коэффициент k разомкнутой системы называют
добротностью по скорости . Постоянное воздействие g в этом слу;­
чае не создает установившейся · ошибки.
При двух интегрирующих звенья х в прямой цепи системы
Эта система является астатической второго порядка , коэффи­
циент k называют добротностью по ускорению . В· такой системе
постоянное воздействие, а также воздейст~ие, пропорциональное
249


Формулы для опредеJ1ения коэффициентов ошибки слеже
ci.
Коэфф 11 ц1 1 с11
о
с:
Передаточная · фунrщия
~·о~
разомкнутой ..системы
с.·1
1
С:'
.~
-
с,.
'
1
W= k(Р053 + Р152+ Р25 + 1)
1 Ь2- (Ь2~kP2)С0
--
Ь053+Ь152+Ь25+1
1+k
t+k
2
W= k(Р053+Р152+Р25+1)
·О
1'
-
5 (Ь052+Ь15+1)
k
3
W= k(Р053+Р152+Р25+1)
о
о
52(Ь05+1)
-
4
W= k(Ро54+Р15з+Р252+Рз5+1)
1
Ь3- (Ьз+kРз)Со
Ь054+Ь153+b2s2+b3s+ l
t+k
I+k
W= k(B0s4+В153+В252+Взs+1) о
1
5
5(Ь053+Ь152+Ь25+1)
-
k
6
ir1= k(Bos4+В1sз+Р252+Взs+1)
s2(b0s2 +b1s+l)
о
о
7
iv =~ k(Во511+P15n-i+...+Рп-15+1)
1 Ь11-1 - (Ь11-1 + kB11-1) С0
b0s11 +h15"-1+···+b11_1s+ 1 1-1-k
1+/1
··-
8 •U'I = k (Bos'' -1- P1s"-1
-1- •·,· -1-Вп~1s
-1-1) о
1
-
.
5 (/;0s'1- 1
-1- b1s"-2+ ···+b11_2s+1)
k
•
-~
k(B0s" -1- P1s1H + ···+Рп-1S -1- 1) о
о
W=
.
.
-
52(b0sn· 2 -1-Ь15n-з-1- .. , +Ь11_35-1- 1)
..
'•'
250


__,__ ___________
_
Таблица 7.1
ния по передаточной функции разомкнутой системы
ты ошибо!{
с,
с,
Ь1- (Ь1+k~1)С0- (Ь2+lф2)С1
b0 -(b0 +k~0 )Co-(b1 +k~1)C1-
l+k
-
(Ь2 + k~2) С2
l+k
Ь1- (1+ k~2)С1
Ь0- (Ь1+kP1)С1-(1+kP2)С2
k
!t
1
Ь0 - kP2C2
т
k
Ь2- (Ь2+ kP2)С0- (Ь3+ kp3)С1
Ь1- (Ь1+ kP1)С0- (Ь2+ kP2)С1-
l+k
-
(Ь3+ k~3) С2
I+k
Ь2 - (l+kPз) С1
Ь1- (Ь2+kP2)С1- (1+k~3)С2
k
k
1
'
Ь1- k~3C2
--
т
k.
.
.
-
bn-2
-
(Ьп-2 + kРп-2) Со -
Ьn-з - (Ьn-з + k~п-з) Со - (bn-2 +
-
(Ьп-1 + kРп-1) С1
+ kРп-2) С1 - (Ьп-1 + kРп-1) С2
1+k
1+k ,
bn-2
-
(1 + kРп-1) С1
Ь,~-з-(Ьп-2 + kРп-2) C1-(l+kPп-1) С2
k
k
...
..
'
1
..
Ьп-з - kP11-1C2
т
k
•.
.
'.
25\_


времени, не создают установившейся ошибки. Вообще говоря,
могут быть системы с астатизмом третьего и более высокого по­
рядков.
Формулы для вычисления первы х четыре х коэффициентов
ошибки воспроизведения задающего воздействия, т. е. коэффи­
циентов ошибки слежения, приведены в табл. 7.1 . Формулы со ­
держат коэффициенты передаточной функции W раз омкнутой
системы и , следовательно, отпадает необходимость в составлений
передаточной функции W x.
Пример 7.1. Вычислить коэффициенты ошибок С 0 , С 1 , С 2 и С3 слежения,
если передаточная функция ра з омкнутой системы
W=
20(0,05s+ !)
s (0,00001 s4 + 0,001s3 + 0,01s2 + 0,5s + !)
Система пятого порядка астатическая и для вычисления • коэффициентов
ошибок можно воспользоваться формулами No 8 табл . 7.1 . В данном случае
Ь0=0,00001;Ь1=0,001;Ь2=0,01;Ь3=0,5;k=20;Во=В1=В2=Вз=О;
в4 = 0,05.
Подставляя значения коэффициентов в формулы, получим:
1
1
С0=О; С1=--г =2О =0,05;
с _b3- (1+ 0kB 4)C1 _ 0 , 5:___( 1 + 20-0,05)0,05
.
2-
ll
-
20
= о,02;
Сз= Ь2 - (Ьз+llBз)С1- (1+/1В4)С2 =
k
= 0,01 - (0,5 + 20-0) 0,05 - (1 + 20 -0,05) 0,02 = _ 0,00275.
20
С помощью коэффициентов ошибки можно определить и уста­
новившееся значение ху 2 ошибки, создаваемой возмущением
f = f (t), если оно является достаточно плавной функцией вре­
мени:
(7 .7)
~
~
~
Коэффициенты ошибки С0, С1, С2,
.
.
.
вычисляют по пере-
даточной функции Wxf для ошибки от возмущения и ее производ­
нымприs=О:
~•
[dWxf] .
С1---
•
·-
ds s=O'
~
[d2 Wxf]
С2= -d2
; ....
S
s=O
' (7.8)
В табл . 7.2 приведены формулы, которые позволяют вычислять
коэффициенты ошибки по коэффициентам передаточной функции
замкнутой системы для ошибки. Эти формулы позволяют_ вы~и -
слять как коэффициенты ошибки С0, С1, С2, •••, так и Со, С1,
С2,
252


Пример 7.2 . В системе со структурной схемой, изображенной на рис. 3.1,
передаточные функции ее у,1астков имеют следующие значения:
?
1171= s(0,25s+1);
W_ 500(О,15s+1).
2-
0,1s+1
'
Вычислить установившееся з начени е ош ибки, есJ 1 н зада ющее воздействие
g= g0t и возмущение f = fOsiп 0,628t.
По формуJ1 е (7 .5) установившееся значение ошибки слежения
Ху1 = Cogot + C1go.
Составим передаточную функцию разомкнутой системы :
,
50 (0,15s + 1)
\\7 = \\!'oWi\172 = s (0,025s2 + 0,35s + !) •
·По
формулам No 2 табл. 7.1 определим :
1
1
со=о; с1= т =50=о'02.
Следовательно, ху 1 = 0,02g0 .
Установившееся значение ошибки от возмущения определяем по формуле (7 . 7):
Ху2= C0fO sin 0,628t + C1f00,628 cos 0,628t +
+ ~2 { 0 (- 0,394 sin О,6?.81) + ~3 fo (- 0,247 cos 0,6281) =
= fo [(С0 - О, 197С2) siп 0,628/ + (О,628С\ - О,041С3) cos 0,628t].
Составим передаточную функцию для ошибки от возмущения (учитывая
энаки воздействия возмущения и обратной связи):
- W'i
WoW1
Wxf= - 117оWf=- Wо1+117= 1+W=с
2
О,О5 s (0,25s + !)
1+
50 (0,15s + 1)
s (0,25s-j-l) (0,ls + 1)
0,1 (0,1s + 1)
s(0,25s+1)(0,1s+1)+50(0,15s+1)
0,002 (0,1s + 1)
(0,0005s3 + 0,007s 2 + О, 17s + 1)
~
~
~
Для вычисления коэффициентов ошибки С 0 , С 1 , С 2 и С3 можно восполь-'
зоваться формулами No 1 табл. 7. 2. В данном случае :
kx= 0,0Q2; Ь0= Ь1= О;Ь2= О,1;а0= 0,0005;
а1= 0,007иа2= 0,17.
Подставляя эти значения в формулы, получим
с0 = 0,002; c:i = 0,002 со,1 - о,17) =
-
0,00014;
С2 = 0,002 [О - О, 1-0,17 - (0,007 - О,172)] = 0,0000098;
С3=0,002l0- 0,0,17 -0,1 (0,007 - О,172) -
-
(0,0005 - 2 ,0,007 -0,17 +о,173)] = -
0,00000169 .
253


о.
о
t::
о
t::
2
3
4
5
6
7
8
9
254
Формулы для опреде.~ения коэффициентов ошибок ло пе
Передаточн ая фун1щия
замкнутоii системы для ошибки
W _ kx(b0s3+b1s2+b2s+l)
х- а0sз+а1s2+a2s+l
Wx = kx(b0s4+b1s3+b2s2+b3s+l)
a0s4 + a1s3+ a2s2 ---t·-
a3s+ 1
W_ kxs(~0s3+b1s2+b2s+l)
х- a0s4+а1sз+a2s2-+a3s+1
\\7 = kxs(b0s11- 1 +b1s11- 2 + ··· +ь11_2s+ l)
х
a0s11 +a1s11-1+·•·+a11_1s+l
W _ kxs2 (b0s11- 2+Ь1s11-з+•••+b11: 3s+l)
х-
a0s11 + a1s11-1 + •••+ a11_1s + 1
о
о
о
о
о
о
Коэффи
с,1
k'х
о
kx
о
о


------
-
--
---
Таблица 7.2
редаточной функции зам,шутой системы для ошибки
ци е нты ошибоt<
1
с,
1
с,
·-
' kx[Ь1-Ь2а2-(а1
-
~)]
kx [Ь0 -Ь1а2 - Ь2 (а1 -а~)-
-
(а0 -2а1а2 + а~)]
..
.-
kx(Ь1-а2)
kх[Ь0- Ь1а2- (а1- а~)]
kx
kx(Ь0- а2)
kx [Ь2- Ьзаз
-
(~- ат
kx [Ь1- Ь2а3- Ь3(а2- а~)-
-
(а1- 2а2а3+ а~)]
kx(Ь2-аз)
kx[Ь1- Ь2а3- (az - а~)]
flx
kх(Ь1-аз)
k[Ь-Ьа
__:
х п-2
n-I n--1
,
k[Ь-Ьа-Ь(а-а2)-
хn-3
n-2 11 -1
n-l 11 -2
п-I
-
(а11_2 --а;,_1)]
-
( а11-З - 2a,,_ 2a11-I + а~-1)]
'
_ !гх (Ьп-2-ап-1)
lг [Ь 3-Ь 2а i-(a 9-а2 1)1
х
n-
п- п-
п-..,
n--
kх
kx (Ьп-з - Gп-1)
255


Теперь можем определить з начение
ху 2 = f O [(0,002 - 0 , 197 ,0,0000098) siп 0,628t +
+ (-0,628-0,00014 + О,041 , 0,00000169) cos 0,628t] =
= f O (0,002 sin 0,628t - 0,0000878 cos 0,628t).
Суммарное установившееся значение ошибки
ху = ху1+ху2 = 0,02 [g0 +О,lf0 (sin 0,628t - 0,,0439 cos 0,628t)].
Передаточная функция для ошибки есть дробно-рациональная
функция от s, поэтому значения коэффициентов ошибок можно
вычислить делением ее числителя (начиная с младшего члена)
на знаменатель. Такой прием следует использовать, когда необ­
ходимо вычислить более четырех коэффициентов ошибок. При
этом удобно пользоваться техникой подвижной полосы [67 ].
Перед расчетом передаточную функцию для ошибки (слежения
или от возмущения) приводят к виду
Затем на полосу бумаги (на неподвижную полосу) выписы­
вают столбиком - а0,-а1, . . . ,
-ап_1, 1 и на листе бумаги
(на неподвижную полосу) выписывают столбиком Ьп, Ьп_ 1 , Ьп_ 2 , • . .
. . . Ь 0 , О, О . ... В астатической системе несколько старших коэф­
фициентов bi будут равны нулю.
Подвижную полосу кладут слева от неподвижной так, чтобы
осталось место для записи результатов. Сначала нижняя цифра
подвижной полосы должна находиться в одной строке с верхней
цифрой неподвижной полосы . Затем подвижную полосу посте­
пенно перемещают вниз.
В каждом положении подвижной полосы ее · нижнюю цифру
умножают на цифру неподвижной полосы в той же строке. Каж­
дую из остальных цифр подвижной полосы умножают на находя­
щуюся рядом цифру из столбца «результаты» . Сумму всех произве­
дений записывают в столбец «результаты» , рядом с нижней цифрой
подвижной полосы.
Цифры из столбца «результаты», начиная с верхней, после
умножения на k'; являются коэффициентами ошибок С 0 , С1 ,
С2, . . .. Поэтому
при расчете в столбце «результаты» нужно
записать столько цифр, сколько коэффициентов ошибок требуется
вычислить .
Пример 7.3. Вычислить коэффициенты ошибок слежения С 0 , С 1 , С 2 , С3 и С4
для системы, у которой передаточная функция
256
W _ 0,l (0,1s 3 +o,5s2 +s)
х- o,1sз + o,2s2 +s+1


1
1
t
1
No
1
Подвижная
подсчета
полоса
-0,1
-
0,2
IY
-
1,0
1,0
i
-0,1
-0,2
2
-1,0
1,0
-0,1
-0,2
3
-
1,0
1,0
-0,1
-0,2
4
-1,0
1,0
'
-
0,1
-
0,2
5
-1,0
1,0
17 И . М. Маr,аров
Таблица - 7.3
Расчет к примеру 7.3
Результаты
Неподвиж-
н ая полоса
Гоl
о
1,0
0,5
О,1
-.
о
о
.
•1-1,0
1
1,0
0,5
0,1
s:: ~ro ·1
о
,,. t1,О
1,0
1
-
0,5
1
0,5
0,1
о
о
1,0
1,0
-
0,5
0,5
1
0,4
1
0,1
1,0
1,0
-
0,5
0,5
0,4
О,l
1
-
0,4
1
:
о
257


Расположение полос при расчете показано в табл. 7.3 . В результате рас-
чета имеем:
No подсчета
Рез ул ьтат
1
1-0=О;
2
1-1 -1
-0= 1;
3
1-05 -02 -0 -1
-1= -05·
4
1.0:1-0:1.0-0,2.1 + 1.о,5 = 0,4 ;
5
1.0-0,1. 1 + 0,2.0,5- 1.0,4 = -О, 4.
Следовательно, коэффициенты ошибок имеют следующи е з н а чения:
С0=О;С1=1-0,1=0,1;С2= - 0,5-0,1 = - 0,05;
С3 = 0,4-0,1 = 0,04; С4 = -0,4-0,1 = -0,04.
Табл . 7.3 и запись подсчетов сделаны только для иллюстрации метода. При
реальном расчете метод подвижной полосы значительно быстрее приводит к ре­
зультатам.
7.3. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
Среди возможных режимов САР важное значение имеет пере­
ходный процесс, возникающий при быстром (в пределе мгновен­
ном) изменении задающего воздействия или возмущения от одного
значения до другого. Чем с большей скоростью и плавностью
протекает такой процесс, тем меньше продолжительность и вели­
чина рассогласования.
Поэтому одной из оценок качества регулирования (прямой
оценкой) служит оценка качества переходной характеристики
САР относительно задающего воздействия. При этом имеется
в виду, что чем лучше переходная характеристика, тем лучше
система будет отрабатывать произвольное задающее воздействие .
Переходные характеристики (рис . 7. 1) бывают колебатель­
ными (кривая 1) , и монотонными (кривая 2). .
Особенность колебательной переходной характеристики в на­
личии переходов через установившееся з начение (перерегулиро-
ваний) . Если только одно перерегулирование, то характеристика
j
малоколебательная.
•
У монотонной характеристики не изменяется знак скорости:
d!i
dt ::;;,,. О. Иногда к монотонным относят х арактеристики без пере-
~
регулирования (кривая 3 на рис . 7.1) .
К основным показателям качества переходной характеристики
относят перерегулирование а и время регулирования tP.
Перерегулированием оценивают разность между максималь­
ным з начением hшах переходной характеристики и ее установив­
шимся з начением hy . Перерегулирование выражают в %:
h-h
а= та~ У100.
у
(7.9)
258
ZЕЕЕШ :-в;
·==
1
1
f
!
j
1


h
о l""'-- ---' ' ---~ --
--~
-
---:.----
~t-
1•
.t,
Р~с . 7 .1 . Основные типы переходных характеристик
h
гл
ь
---
-----
- t::
o--'--t.,..------1------t
· Рис: 7.2. Область допустимых от­
клонений переходной характеристим
ки САР
В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование
не превышало 10-30% . Иногда требуется, чтобы перерегулиро­
вание отсутствовало и процесс был монотонным. В некоторых САР
допускают перерегулирование до 50% и более ..
Временем регулирования оценивают длительность переход­
ного процесса. Однако в идеальной линейной системе переходный
nроцесс бесконечен, поэтому_ временем регулирования tP считают
тот _ проме)_Куток времени, uo истечении которого отклщrения пере 0
ходной характеристики h · от установившегося значения hy не
лрещ,,шюот _ допустимого значения _Л:
(7.1О)
На рис. 7.1 время регулирования указано для каждой из трех
характеристик.;
.
_
.
.
Значение Л выбирают обычно равным 5 %-. Ино гда
устанавли­
вают Л = 2% и даже Л = 1%, но такой выбор следует оговари­
вать :
При заданных з начениях а и tP переходная характеристика
не должна выходить из определенной области (рис . - 7.2), назы­
ваемой областью допустимых отклонений .
. .Существеfiным
:поkазаrе:лем: качества •служит также число
колебаний, т. - е. - число максимумов характеристики за время регу-­
лирования. Обычно бывает одно- два колебания. Допускается до
трех-четырех - колебании.
- Всякая
САР имеет своей целью кроме воспрои з ведения задаю­
щего · воздействи~ подавление (уменьшение влияния) возмущений.
Поэтому качество регулирования оценивают также по переходной
х арактеристике hf = hf (t) системы по возмущению. Основная
9собенность этой характеристики (рис . 7.3) в том, что ее -уста.но ~
вившееся значение должно бьпь •весьма маль •в сtа:тическьй ей~
~т€ме (кривая 1) и равно нулю в астатической системе' (крив:ые 2
k 3) . • Характеристику,
пересекающую ось абсцисс, называют
коJ;ебатель:но_й {кри1;:ще 1 д 2) и, . не имещщую этого пересечения,
на,зывают ,,моноtч>н1щй . (крн.вая _ '8) .,
251


t2
Рис . 7.3. Основные типы переходных характеристик по возму-
•
щеш-110
Для определения времени регулирования характеристики h1
служит то же значение Л, что и при определении времени регули­
р.ования характеристики h (в астатической системе значение Л
откладывают от оси абсцисс).
Понятие перерегулирования для характеристик h1~ не имеет
смысла, и их оценивают непосредственно максимальным значением
hf max•
.
На рис . 7.3 указаны значения времени регулирования tP и
максимальные значения h1 max· для
всех трех характеристик.
Качество регулирования САР оценивают и по переходным
характеристикам hx для ошибки слежения. Они отличаются от
h1 тем, что их начальное значение не равно нулю, а уста ­
новившееся мало или равно нулю.
7.4 . ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПО ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ
-
.
-
,.
• Приближенно
качество переходной характеристики можно
оценить по вещественной '{астотной характ~ристике, это обуслов­
лено тем, что . между этими хардктеристиками есть взаимосвязь
[см. (4.8) ].
Наиболее употребительны те оценки, которые могут быть даны.
без . дополнительных расgетов. Основными из них являются с_ле-
дующие.
.
_
..
_
..
.
.
1. Установившееся значение hy = h (N) переходной характе­
риспщи определяют по начальному значению вещественной частот­
ной характеристики:
_hy=Р(О).
(7 .11)
2. Начальное значение h 0 _: h (О) переходной характеристики
определяют по конечному значению вещественной частотной ха­
рактер ИСТЙКИ:
(7 .12)
3. Есщ-r . две вещественные частотные характеристики сходны
по форме, но отличаются масштабом по оси . абсцисс, то . им соот-
260


--------
---- -
-
ветствуют пере_ходные характеристики, также сходные по форме
и отличающиеся масштабом по оси абсцисс. При этом веществен­
ной частотной характеристике Р (nw) соответствует переходная
характерйстик~ /i ( +) .
4·. Разрыв непрерывности вещественной частотной х. аракте­
ристики свидетельствует о том , что система находится на границе
устойчивости. Разрыву при w = О соответствует апериодическая
граница устойчивости и разрыву при w > О - колебательная
граница устойчивости.
5.- йстрый
пик вещественной частотной х арактеристики при
угловой частоте w; с- 1 свидетельству ет о медленно затухающих
колебания:1( переходной характеристики с частотой, близкой к ча ~
.
U).
стоте -2
' Тц.
.
;n;
6 . Если вещественная частотная характеристика непрерывная
"
"
dP
О
положительная и имеет вид вогнутои кривои, т . е . dw <
и
монотонно уменьшается по абсолютной величине, то переходная
характеристика монотонная.
7. Если при какой-либо частоте ордината вещественной частот­
ной характеристики больше начальной, т . е . Р (w) > Р (О), то
переходная - характеристика не монотонная. (Это один из призна 0
rюв немонотонности) .
. 8 . При ·положительной невозрастающей вещественной частот­
ной характеристике перерегулирование переходной характе­
ристики не может превышать 18 %.
9. При наличии у положительной вещественной частотной
х~рактеристики максимума Рma x
перерегулирование переход­
ной характеристики составляет в %
<Pmax-P (О) 18
а
р (О)
•
10. Если вещественная частотная характеристика положи­
тел,ьна при частотах w < wп, то время регулирования переход:ной
характеристики
' (7.14)
11. Если вещественная частотная характеристика п·рибли 0
жается по форме к трапецеидальной, то переходная характери­
стика приближенно . может быть оценена по табл . 4.2 h-функций,
WпВ
гдех=-
.
этом случае время регулирования на х одится
.
Wo
в пределах
261


1
1><
1 t:,
1t
1"-
1
1
(<)
о (;)а
(;)ь
uJd (;)п
Рис. 7 . 4 . Вещественная частотная
характеристиI<а, аппроксимируемая
двумя трапециями
(х= .!'!_cl_ =
o,s; л=·~=
(,)JI
(t)!I
(,)
'
=О5·х =___.Е._=о4)
••
а
Wb
,
<5,%
бО
1/
tp,C
--
---
-
---
7-----'Ш
50
t:f1
/
L/0
.,,/
JO 1-,,, -.::
V~- ~-
-
l,L
~V
.--
20
.
>-- -,--
-
~-
10
0 1,0 1,1 1,2
,,1-
1
:
1~/
:j_ -
1
1
н--
'
'1
--
---
1<z,.. /
_),..,
->--~-
-
-
иJс
2П
иJс
1!..
Uic
1,3 1,ц Ртах
12 . Вещественную частот-
Рис, 7,5 , График зависимости времени
ную характеристику, кота-
регулирования tp и перерегулирования
б
а от максимального значения Ртах ве-
рая может ыть аппроксими-
щественной частотной характеристики
рована ДВУМЯ трапеЦИЯМИ
приХ=О,8;л=О,5иХа=О,4
(рис. 7.4), определяют тремя
ш
параметрами: основным коэффициентом: наклона х = w~ ,
ко-
эффициентом формы
Wa
том наклона Ха =
-
.
wь
л=О,5иХа=О,4.
л = ~ и дополнительным коэффициен­
wп
Характеристика (рис. 7.4) имеет х = 0,8;
При указанном значении параметров график зависимости пере­
регулирования а и времени регулирования tP от максимального
значения Ртах характеристики [114] показаны на рис. 7.5.
Здесь шс - частота среза ЛА Ч Х, Графики зависимости перере­
гу лирования а и времени регулирования tP от максимального
значения Ртах при ;х = 0,8; О, 1 .,;;: л .,;;: 0,5 и Ха= 0,4 представлены
на рис. 7.6 .
.
Эти зависимости используют не только для оценки показателей
качества переходной характеристики при указанной форме 'ве­
щественной частотной характеристики, но и для синтеза коррек­
тирующих устройств (см. гл. 9).
Некоторые из перечисленных оценок удобно применять, пре­
небрегая высокочастотной частью вещественной частотной харак­
теристики или внося небольшие коррективы в ее среднечастот­
ную часть.
Пусть отбро ш е нная часть Рот ( ш) вещественной частотной
характеристики у:1,овлетворяет следующим условиям:
Р0т(ш)= О при О .,;;:ш .,;;ш1;
. (7.16)
причем функция Р uт ( ш) имеет N экстремумов в интервале w1 . , ; ;:
.,;;: ш .,;; ш 11 и не возрастает по абсолютному зна чению при ш > шk.
262


G,%
70
>--
60
-
-
50
'10
30 --
-
20
-
.10
-
-
-
-
-
tp
>
t--
-
-v
-
~- ~-
/
t
./
1(3
.,_
L.,,,,,. ~
-
'-
-
1с':. t ---
'!
--
1~- -
'1
-
/-
/
-
-
--·
.,,,,,. ......
-
-
-
-
LIJТ
Wc
3JТ
Wc
2JТ
Wc
Jf_
&Jc
с<.
-
--
3
.,,,,,.,-
_ __.
2/
(
/
о
2.'Л' 41r 6JТ ВJТ IOrr 1211 11/JТ ry
Рис. 7.7 График зависимости а от '11
Рис. 7.6. График зависимости времени регулиро­
вания tp и ттеререгулирования а от максимального
1,Ч . 1,5 Ртах
з н ачения Р max вещественной частотной характе ­
ристикиприХ=О,8; О,1~'л,~О,5иХа=О,4
Тогда верхний предел погрешности Лh, который вносится
в переходную характеристику при t = t;, определяют [ 114] по
фо р муле
(7 .17)
График функции а ('1')) изображен на рис. 7. 7 и ее значения
приведенывтабл.7.4;'1')L= ffi1t;и'1')2 = (с+N)п,гдес- на­
именьшее из целых чисел, удовлетворяющих неравенству с~
wtl;
>-- .
:rt
Из формулы (7. 17) следует: а) верхний предел погрешности Лh
уменьшается с увеличением t; б) наибольшее з начение Лh тем
меньше, чем больше ffi 1 и чем меньше μ .
:rt
По оценке (7.14) время регулирования больше ы;;-, поэтому
поправки Лh целесообразно вычислять только при t > ~ .
Wп
Таблица 7.4
Значения функции а
'11
•
1
а
11•
'r]
1
а
11
'r]
1
а
11
11
1
а
о
о
4:rt
2,724
8:rt
3,165
12:rt
3,421
:rt
1,852
5:rt
2,866
9:rt
3,240
13:rt
3,471
2:rt
2,282
6:rt
2,982
10:rt
3,306
14:rt
3,517
3:rt
2,54 1
?л
3,080
11:rt
3,366
15:rt
3,560
263


р
Рис. 7. 8. Вещественная •1астотная ха •
рактеристика к примеру 7.4 .
7,0
0..8
fJ,6
о,ч
· а,2
10
70
о
W7
I
0,2
Пример .7 .4 Выяснить ·возможность оценки качества _ переходной харак­
теристики, соответствующей вещественной частотной характеристике, изобра­
женной на рис. 7.8, по одной трапеции.
Параметры трапеции: Wп = 32 - с- 1 ; w 0 = 19 с- 1 ; коэффициент наклона
Х = -0,6. По значению х . из табл. 4 . 2 h- функций определим показатели качества
переходной характеристики, соответствующей этой трапеции: а = 16% ; tp =
= ~: =0,27с.
_
Теперь определим верхний пре,!\М Лh поправки. Отброшенная часть Рот (w)
вещественной частотной характеристики, состоящ·ая из участка 1 (рис. 7.8) и
ее высокочастотной части 11, удовлетворяет условиям (7.16) при w1 = 8 с- 1 ,
μ=0,2иN=2.
Вычислим поправку при tp = 0,27 с:
••
·
wd
wt=8,О27=216·_Р =О69·с=1•с_LN=3·,
,lр
.
,
,
,
n
.'
,
,
г
а (О,6_9л) = 1,5; по табл., 7.4 а (3л) = 2,54; Лh (0,27) =
~ 0,13.
по графику рис. 7. 7
2-0 2
-
--
'-
(2,54 - 1;5) =
л·
Значение Лh слишком велико . В рассмотренном случае оценивать качество
переходной хар·актеристики по одной трапеции нельзя. Вещественную частот­
ну10 характеристику следует аппроксимировать, по меньшей мере, тремя тра­
пеци _ями и построить переходную характеристику, как изложено в п. 4.2 .
7.5 . ПОКАЗАТЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ
Показатель колебательности М есть отношение максимальной
ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой си­
стемы _ к начальной:
М_Ашах
-
А(О).
(7.18)
Р_ассматривают обычно характеристику А'Ф (w) относительно
задающего воздействия. В астатических системах с единичной
264


jV
3
М=1,15
и
7
б
Рис . 7 . 9 . Определение показателя КОJ1ебательности М по АФЧХ разомкнутой си::.
стемы
обратной связью А (О) = 1, в статических системах при k » l
имеем А (О) = 1, поэтому можно принимать М = Amax ·
Физический смысл этой оценки заключается в том, что она
показывает максимально возможное отношение амплитуды регу­
лируемой величины к амплитуде гармонического задающего
воздействия. Косвенным показателем колебательности является
также запас устойчивости, при уменьшении которого колебатель ­
ность системы увеличивается.
Считается, что система имеет допустимый запас устойчивости
при 1,~ < М < 1, 7; хороший запас устойчивости при 1, 1 ·< М <
.· ~ 1,3 . Системы используют как при М = 1, так и при М :;;,, 2.
•Обоснованные рекомендации устанавливают для каждого класса
систем на основании опыта их эксплуатации.
Значение М может быть определено непосредственно по ЛФЧХ
W (j w) разомкнутой системы с единичной обратной связью. На
комплексную плоскость наносят семейство окружностей (рис . 7.9)
рад!fУСОМ
(7 .19)
265


L
с,-
Рис. '1 .1 О. Ограничение показателя колебательности
расположением ЛФЧХ
и с центром, смещенным влево от
начала координат на
~
0--"-+----+----------
~1
i
1
(7.20)
с,. ----г------
~
1
°"
1
где значение амплитуды А = А1Р из-
'f,град
I
меняется от I до w.
.
1
о ~---+------,--
Около каждой окружности ука ­
w
-
1(
зывают соответствующее значение
А = М. При А = 1 окружность вырож­
дается в прямую линию, параллель­
ную оси ординат и сдвинутую от нее
влево на 0,5. При А = N ОJ{ружность вырождается в точку с ко­
ординатами (- 1; j О 1. Значения С и R для некоторых значений А
приведены ниже .
А
1, 10
С...5,76
R ... 5,24
1, 15 1,20 1,25 1,30
4,10 3,27 2,78 2,45
3, 57 2,73 2,22 1,88
1,40
2,04
1,46
1,50
1,80
1,20
1,60
1,64
1,03
1,70
1,53
0,90
1, 80 2,00
1,45 1,33
0,80 0,67
Затем на этой комплексной плоскости строится АФЧХ W (jffi) .
Наименьшая окружность, которой коснется АФЧХ, определяет
значение М рассматриваемой системы. На рис . 7.9 определено,
чтоМ=1,7.
Пусть в требованиях к системе предусмотрено, что показатель
колебательности не превышает некоторого з начения М. Тогда
строят окружность, соответствующую А = М, и АФЧХ разом ­
кнутой системы не должна пересекать этой окружности - за­
претной зоны, но может касаться ее.
Запретная зона может быть построена и для логарифмической
фазочастотной характеристики разомкнутой сист.емы (рис. 7. 10).
Показатель колебательности не превысит заданного значения М,
если избыток фазы не менее
А2+с
μ = arccos2AC
в том интервале частот, в котором
м
м
20lgМ+1~L(w)~20lgМ_1
,
(7. 21)
(7. 22)
т. е. в указанном диапазоне частот ЛФЧХ не должна заходить
в з,ону, ограниченную прямой - 180° и кривой - 180 ° + μ.
В табл . 7.5 приведены данные для построения з ависимостей
~LотL.
В п. 9.6. будет рассмотрена методика построения ЛА ЧХ по
заданному значению М [ 17].
266


Значения избытка фазы μ, град
Таблица 7.5
Значения μ п рн разлнчны х М
L,дБ
1,051 1,1оj1,15 11.20 J 1.2s l1,зoJ 1.40 l1,50 l1,Go [ 1,70 [ 1.so [2.оо
-5
23,5 20,1 16,6 12,6 8,0
-
4
35, 0 32, 1 29 ,8 27,5 25,2 22,9 18,9 14,3 10,3 2,9
-3
42,4 40,1 37,8 35 ,5 33,8 31,5 28,6 25,2 22,9 20,1 17,8 13,8
-2
48, 1 45,8 43,5 41,3 39,5 37 ,8 34,4 31,5 29,2 27,5 25,2 21 ,8
-
1 52,7 50,4 48, 1 45,8 43,5 41,8 39,0 35, 1 33,8 31,5 29,8 26,4
·о
56,7 53,9 51, 13 49,3 47,0 45,3 4 1,8 39 ,0 36 ,7 34,4 32,1 29,2
1 60,2 57,3 54,4 52,1 49,8 47,6 44,1 40,7 37,8 35,5 33,8 29,8
2 63,0 59,6 56,7 53,9 51,6 49,3 45,3 41,8 З8,4 36,1 33,8 29,2
3
65,3 61,3 58,4 55,0 52,7 49,8 45,8 41,8 38,4 35,5 32,7 28, 1
4
67, 0 63,0 59,6 56, 1 53,3 50,4 45,3 40,7 37,2 33,2 30,4 24,6
5
68,8 64,2 60,2 56,7 53,3 49,8 44,1 39,0 34,4 30,4 26,4 18,3
6
69,9 64,7 60,2 56,1 52,7 48,7 42,4 36,7 30,'; 25,2 20,1 2,9
7
71,0 65,3 60,2 55,6 51,0 47,0 39 ,5 32,1 23,2 17.2 4 ,0
8
71,6 65,3 59 ,6 54,4 49,3 44,7 35, 5 26,4 15,5
9
72,2 65,3 58 ,4 52,7 47,0 4 1,3 29,8 IG,O
10
72,2 64,2 57,3 49,8 43,5 36 ,7 21,2
11
72,2 63,6 55 ,0 47,0 39,0 30,4
12
71,6 61,9 52, 1 43,0 32,7 20, 1
13
71,6 60 ,2 48,7 37,2 23 ,5
14
70 ,5 57,9 44 ,7 29,8
15
69 ,3 55 ,0 39,0 18,3
16
68,2 51,0 32,1
17
66,5 47,0 21,2
18 '64,2 41,3
19
61,9 33,8
20 5~.о 23,5
21
55,6
-
22 51,3
-
267


7.6 . ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Интегральные оценки есть оценки качества переходной харак­
теристики - быстроты затухания ее колебаний и величины откло­
нения х (t) = hy - h (t) от установившегося значения. Они удоб­
ны для сравнения близких по структуре систем (лучшая из них
имеет меньшую интегральную оценку) и для вы9ора параметров
системы. Обычно используются интегральные оценки системы
относительно задающего воздействия. Иногда рассматриваются
такие оценки относительно возмущения. Наиболее употребитель­
ны следующие оценки.
Линейная интегральная оценка равна площади, . ограниченной
кривой х (t) (рис. 7.11), и выражается чере з изображение · рассо­
гласования:
10 == J x(t)dt = IimX(s).
U
s➔O
(7.23)
Линейную интегральную оценку можно применять только
для монотонной пере ходной характеристики (рис. 7 .11, а). При
колебательной переходной характеристике (рис. 7 .11, б) суммар­
ная площадь, ограниченная кривой х (t), совершенно не характе ­
ризует процесс.
Используются, кроме того, линейные интегральные оцен1ш
более общего вида:
J = j:°x(t)tmdt = (- - 1) "'- lim dmX(s)
от
s➔O dsm
•
(7.24)
о
Они связаны с коэффициентами ошибки (п. 7.2):
Ст= (- l)mJon\,
(7.25)
и позволяют определять приближенное решение линейного диф­
ференциального -уравнения с постоянными коэффициентами
[84, 113) .
Квадратичная цнтегральная оценка
J = Jx2 (t)dt = J[/iy--li(t)J2 clt
(7.26)
о
u
может применяться как для монотонных, так и для колебательных
переходных процессов. Она зав исит только от величины, но не
от знаков отклонений.
Пусть изображение по Лапласу переходной характеристики
h (t) (относительно задающего воздействия или возмущения)
t, s11- 1+Ьs11- 2+·--+1!11 1S +Ьп
н()-- ✓1
2
-
5-(
"+n-11
,
)'
a0s
a1s
,- --•
--1- an_1s+а11 s
(7 ..27)
где у полинома a0s" + a1s11- 1 + ...+ a11_1s+ а11 все корни
имеют отрицательные вещественные части; коэффициенты стар­
ших членов числителя, вплоть до Ь11 _ 1 , могут быть нулями_
268


Рис. 7.11. Определение линейной
h,x
11нтегральной оценки переходной
характеристи кн:
а - монотон~~~~ной б - н:олеба ~ ny
Тогда квадратичная
интегральная
оценка
определяется [113] вы­
ражением
h,X
1
J=
9
(Во Ло +В1 Л1 + ···+ В11_1 Л11_1-- 2Ь;1Ь11_, Л). (7.28)
2а;, Л
в этом равенстве
а,, -an -t
ап -1 -an-G
о
о
а,,_1 -an-3
Qll-5
о
л
о --а,,
ап-2 - ап-4
о
(7.29)
оо-ап-1
ап-3
о
оо
о
о
.
а1
Л; (i = О, 1, 2, ... , п - 1) - определитель, получающийся из
Л заменой i + 1-ro столбца столбцом а11 _ 1 , а,,, О, О, ... ; в опре­
делителях Л и Л; элементы с индексами меньше О и больше п
равны нулю;
Во=Ь~;
В; = Ь~-1 - 2Ьп-2Ьп;
(7.30)
Вп-1 = Ьi,
где в коэффициентах В i элементы с индексами меньше 1 и больше п
равны нулю .
Изображение переходной характеристики может иметь сле-
дующий вид:
-
hy(/Jisn- 1+b2sn-2+ ... +/J,1-1s+1) .
H(s) ..J .
•
(7.31)
-
(a0s"+a1s11- 1+•••+a11_1s+1)s '
где hy = h (N), а полиномы числителя и зн аменателя (7.31)
и (7.27) имеют одинакощ,,е свойства.
В этом случае
(7.32)
269


Здесь
ап-1 ' -ап-3
ап-5 -an-7
о
-1
an-2 --ап--4
an-6
о
л
о -an-I
ап-з -an-5 ·
о
(7.33)
о
-
an-2
an-4
о
о
о
о
о
G1
определитель Л 0 получается из Л з аменой 1-й строки на строку
ап-2, -an-4• an- 6,
••.;
определитель Лi, i = 1, 2, ... , п - 1 получается из Л з аме­
ной i-го столбца столбцом 1, О, О, .. .; в Л, Л 0 и Лi элемента,,=
= !, а элементы с индексом меньше О и больше п равны нулю;
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
В1 = Ь;,_1 - 2Ьп_2;
2
В2 = Ьп-2 - 2Ьп-зЬп-I + 2Ьп-4;
(7 .34)
В11-1 = Ьi,
где элемент Ьп = 1, а элементы с индексами меньше 1 и больше п
равны нулю.
Значения J при п = 2; 3; 4; 5 и 6, вычисленные по формуле
(7.32) , даны в табл. 7.6.
Квадратичную интегральную оценку используют для выбора
параметров системы. Чем меньше зна чение . J, тем ближе началь­
ная часть переходной характеристики приближается к ступенча­
той. Однако при этом не принимают в расчет возможное увеличе-
ние колебательности характеристики .
.
Улучшенная квадратичная интегральная оценка
Jт се--= J[х2 (t) + Т2х2(t)] dt,
(7 .35)
о
где Т - некоторая постоянная . Чем меньше значение J т, тем
меньше отклонение х (t) переходной характеристики от экспонен­
ты у (t) с постоянной времени Т, называемой экстремалью,
у=Уу(1- е-~)•
(7 .35а)
Для вычисления оценки J т ее разделяют на два слагаемых:
Jт=Jх2(t)dt+Т2Jх2(t)dt= J+Т2J' .
(7 .36)
о
о
270


t-. :,
-J
ci.
о
"
о
"
~
l
2
3
4
Vl
-
Таблица 7.6
Квадратичные интегральные оценки
-·
--
Квадратичная интегральная оценка
Изображение по Лапласу Н (s)
переходной характеристики /1 (t),
со
ro
где 1,у = 1, (ro)
! =\ x'(t)dl.= \ [ /1 - h(t)]'dt
'
.
у
о
о
-
hy(b1s+!)
h~[а0+а1(а1-2Ь1)+ьi]
(a0s2+ a1s+ 1)s
2а1
-
-
-
hy (b1s2 +ь2s + !)
h2ra1(a1+ b~- 2b1)+ bi а2 -Ь -,
(aos3+G1S2+a2s+ ])S
У_
2(а1а2-а0) + 2
2J
r
.L
ry
•
hy(b1s3+b2s2+IJ3s+ l)
h2 (В1+а2)Л1 , (В2-а0)а1+а}1 ~-
j
У_
2 (аэЛ! - ai)
+2Ьз'
(a0s4+ a1s3+ a2s2+a3s+ l)s
где Л1=и1а2- а0а3; В1=Ь~-2Ь2; В2=Ь} - 2Ь1Ь3
/i2 r (В1+а3)Л1 + (В2 -а1)Л2+В3Л3+Ь~Л4 +2_Ьj-
hy(b1s4+ b2s3+b3s2+ b4s+ l)
У_
2 (а4Л1- а2Л2+ а0Л3)
2
4'
(aos5+a1s4+a2s3+ G3S2+ G4S+ ])S
гдеЛ1=а3Л2- а1Л3; Л2=а1а2- а0а3;
Л3=а1а4- а0; Л4=а3а4- а2;
В1=Ь~-2Ь3; В2=Ь1-2Ь,,.Ь4+2Ь1;
·)
В3=Ь2- 2Ь1Ь3


""
- -'1
""
ci.
о
t::
о
t::
~
5
6
7
8
Изображение по Лапласу Н (s)
переходной характер и ст и кн h ( t),
гдеliy=h(оо)
.
hy(b1s5+b2s4+b3s3+b4s2+b5s+1)
(aos6-+ a1s5+a2s4+03S3+G4S2+G5S+1)S
hy(b1s +1)
a0s2 +a1s+ 1
hy(b1s2+b2s+1)
o0s3+a1s2+a2s+1
hy(b1s3+b2s2+b3s+1)
GoS4 + G1S3-+ G2 S2-+ йз.S+ J
-
Продолжение табл. 7 .6
Квадрат ичн ая интеграль ная оценка
со
со
!=
_\х'(1)dl=
_
\ [hy- h(1)]2dl
о
о
h2 r(B1+а4)Л1+(В2- а2)Л2+(В3+а0)Л3+В4Л4+biЛs а5-ЬJ-
У
2 (а5Л1 - а3Л2 +а1Л3)
+2••5
'
где Л1= а_1Л2- а2Л3+а0Л4;
Л2 = а3 (а1а2 - а0а3) - а1 (а1а4 -а0а5);
Лз= as (а1а2-
. аоаз)
-
а1;
Л4= as (ala4- aoas) - а1аз; Л5=а5(а3а4- а2а5)- (а~- аIа5);
ВI = Ь~-2Ь4; В2 = ь~ - 2ЬiБ +2ь2;
В3= Ь~ - 2Ь2Ь4+2Ь1Ь5; В4= Ь~ - 2Ь1Ь3
h~ (а0+bi)
2а0а1
-
2[
·2
)
2
1
hy а0а1+а0(Ь2- 2Ь1 +а2Ь1]
1
2а0 (а1а2 -- а0)
h2 (а2+Ь~- 2Ь2)а0а1- (а0- Ь~+2Ь1Ь3)а0а3+bi(о2а3- а1)
у
2а0[а1(а2а3- а1) - а0а~]
,
J


оа
:s:
3::
3::
"'
;;;
о,
"'о
"'
~с,.,
Р.о
"о
"
:а;
9
10
Изображещ,е no Лапласу Н (s)
переходной хара,перис ти кн h (t),
гдеhy= h(ro)
1
-
hy(b1s4+ b2s3+ b3s2+ b4s+ 1)
a0s5+ a1s!+ a2s3+ a3s2+ a4s+ 1
1
hy(b1s5+ b2s!+b3s3+ b4s2+ b5s+ 1)
a0s6+ a1s5+ a2s!+ a3s3+ a4s2+ a5s+ 1
у,
Продолжение табл. 7.6
К.вадратичная интегральная оценка
С/)
ro
I=
_\ х2(t)dt=
_\ [hy- li(t)]'dt
о
о
(В2+аз)А52 + (Вз - а1)А53 + В4А54 + biAss
/12у
2а0 (а1А55 - а3А54 + А53)
'
где А52 = а0 (а1а2 -а0а3); А53 = а0 (а1а4 - а0);
А54= ао(а3а4-а2); А55= а4(а2а3- а1а4)- (а~- а0а4);
в2= ь~-2Ь3; В3= Ь~ - 2Ь2Ь4+ 2Ь1; В4= Ь~ - Ь1Ьз
(В2+ а4)Ав2+(Вз- а2)Авз + (В4 + ао)А64 + В5А55 +ЬiАвв
·h2
у
2ao(asA64 - азА6s +а1А66)
'
где А62 = а0 [а1 (а0а5 - а1а4) - а3 (а0а3 - а1а2)];
Авз = ао [а5 (а1а2 - аоаз)
-
~ i];
А6! = а0 [а5 (а1а4 - а0а5) - а1а3];
А55=ао[а5(а3а4- а2а5) + а1а5 - аБ];
А66= а5[а'5(а0а4- а~)
-
а4(аIа4- а2а3)] - аз (~аз - а1а4) +
+ а1 (а2а5 - а1);
В2=Ь5-2Ь4; Вз=Ь~ -2ЬЛ+2Ь2; В4=Ь~ - 2Ь2Ь4+2Ь1Ь5;
В5=Ь~ - 2Ь1Ьз


По определению х (t) = hy - h (t) и, следовательно, х (t) =
=
- l i (t), так как JiY = О . Если изображение Н (s) переходной
характеристики определяется равенством (7.27), то преобразова-
ние Лапласа функции h (t)
Й(s)= sH(s)- h(О)= sH(s)=
IJ1s" -
1+b2s"-
2+··•+b"_1s+IJ"
a0s"+a1s11- 1+ ·••+a,,_1s+а11
Тогда согласно [113]
J'=
В1А111 + В2А112 -\- • •• + В11А11"
2а0 Л
где
а" -an-2
ап-4 -an- U
о
all-1 -а п- з
а,, _5
л
о -а,,
а,,_2 - ап-4
-
о
о -ап-1
а,,_3
о
о
о
о
о
о
о
о
(7 .37)
(7.38)
(7 .39)
А,,;(i= 1, 2,
... , п) - алгебраические дополнения элементов
п-й строки определителя Л; в Л элементы с индексами меньше О
и больше п равны нулю;
В1 = Ь;,;
В2 = ь;_J - 2bп-2bll;
]
.
.
.
.
.
.
~
(7.40)
1
J
элементы Ь; с индексами меньше О и больше п равны нулю.
ЗначенияJ'прип=2;3;4;5и6данывтабл.7.7(см.
No 6, 7, 8, 9 и 10). Эти же формулы определяют значения J,
если Н (s) равно правой части равенства (7.37).
При инженерных расчетах применяют и еще более сложные
интегральные оценки [ 113]. Например, оценка
Jтт= j[i(t)+Tix2(t)+т;х2(t)] dt
о
274


1
показывает приближение переходной характеристики к экстре­
мали, определяемой уравнением
..
.
СХ2У+СХ1У+У=Уу,
гдеа2=Т~иа1 =1/Ti- 2Т~
.
Исполь з ование интегральных оценок для синтеза САР будет
рассмотрено в п. 9.2 .
7. 7 . ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
Переходная характеристика зависит от распределения нулей
и полюсов передаточной функции САР (см. п. 4.1). Известен ряд •
методов, исполь зующих эту зависимость для оценки качества
переходной характеристики. Качество регулирования зависит
также от взаимного расположения нулей и полюсов изображения
внешнего воздействия.
Ниже излагаются основные сведения о некоторых из этих
методов, наиболее эффективен метод корневых годографов (см.
п.7.8) .
Оценки распределе ния полюсов передаточной функции
и их связь с показат елями качества
В простейшем случае п ередаточн ая функция САР относительно
внешнего воздействия g (t) не имеет нулей:
.
1•
Wg(S) -=-~
.@"(s )"
(7.41)
Тогда переходная харак теристика и ее показатели качества
полностью определяются распределением полюсов Wg (s), т. е.
корнями характеристического уравнения
q)(s) = a0s11+a1s11- 1+···+a,,_1s-+-а,, =О.
(7.42)
Будем рассматривать устойчивую систему: все коэффициенты
уравнения (7.42) положительные и его корни s 1 , s 2 ,
... ,
sn
располагаются слева от мнимой оси комплексной плоскости.
Некоторой обобщенной оценкой числового значения коэффи­
циентов 'уравнения 47.42) и его корней может служить параметр
Q0= 1//S1S2· • ·S11 / = ·v::,
(7.43)
называемый среднегеометрическим корнем.
Параметр Q служит мерой быстроты протекания переходных
процессов. Увеличение Q в С раз ведет к тому, что форма переход­
ной характеристики не изменяется, а время регулирования умень-
18*
275


+}
а)
-)
о)
-)
Рис. 7.12. Определение области расположения ' корнеi'~ пара­
метрами '1], ~ и
~L = 1g,j,:
а - ближнiiшне корн и 1<омплексные сопр яже нные н 6 - блн­
жайш11i'( ко рень вещественныН
шается в С раз. Для увеличения Q следует увеличивать передаточ­
ный коэффициент k разомкнутой САР.
Предварительные (и весьма приближенные) сведения о распо­
ложении корней можно получить [66] на основании следующих
соотношений между коэффициентами уравнения (7.42):
1) при
модули всех корней меньше единицы;
2) при
модули всех корней больше единицы;
(7.44)
(7 .45)
3) если все отношения последующего коэффициента к преды­
дущему заключены между положительными числами т и М, т. е .
(7.46)
то модули всех корней заключены между теми же. числами т и М:
т<1si1<М.
(7.47)
Точнее область расположения корней характеристического
уравнения принято определять параметрами 11, ~ и μ = tg 'Ф
(рис. 7.12).
Параметр Ч, на зываемый степенью устойчивости 1, есть расстоя­
ние от мнимой оси до ближайшего корня, т. е. величина его ве­
щественной части.
Параметр ~ есть расстояние от мнимой оси до наиболее уда­
ленного корня, т. е. величина его вещественной части.
1 Не следует смешивать парам е тры «степень устойчивости» и «запас устой­
чивости», гак как это соверше,-1 11 0 различные не связанные один с другим пара­
м~тры. Степень устойчивости 01.(енивает быстродействие системы.
276


:- Параметрμ, называемый колебательностью, есть отношение мни­
мой части р ближайшего комплексного корня к вещественной а:
μ= _1__ = tg1)1.
' (7.48)
а,
Для вычисления 1'J в ряде работ рекомендуют следующий метод .
В •характеристическое уравнение (7.42) подставляют s = z -11
и получают смещенное уравнение
а0(z-11)"+а1(z-11)"~1+ ···+а,,_1(z-11)+а11=
(7.49)
где коэффициенты А i есть функции а ; и 11.
Уравнение (7.49) получено в результате смещения мнимой оси
плоскости корней уравнения (7.42) влево на величину 1'J . При
этом пара комплексных сопряженных корней (рис . 7.12, а) илй
вещественный корень (рис . 7. 12, б) уравнения (7.49) по опреде­
лению ч попадают на мнимую ось . Поэтому смещенное уравне­
ние (7.49) соответствует границе устойчивости и для вычисления r1
к этому уравнению следует применить любой критерий устой­
чивости.
Так, по критерию Гурвица апериодической границе устой­
чивости (вещественный корень обратился в нуль) соответствует
уравнение
(7 .50)
..
Колебательной границе устойчивости (пара комплексных сопря­
женных •корней обратилась в пар у чисто мнимых) соответствует.
равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица урав­
нения (7.49) :
о
о
() ()
All-1
(7. 51)
Из уравнения (7 .50) или (7.51) можно определить степень ус­
тойчивости Ч ·
Однако при исполь з овании критерия Гурвица этот метод не
дает каких-либо преим уществ, так как степень уравнения (7 .50)
равна п, а степень уравнения (7.51) больше п . Поэтому если необ­
ходимо определить параметры 'У/, s и μ, целесообра з но вычи­
слить r«орни характеристического уравнения (7.42) , польз уясь
методами, изложенными в приложении 2.
Параметры Ч, s и μ предпочтительнее использовать не для
оценки качества регулирования, а для синте з а САР по заданным
з начениям этих параметров .
Приближенная свя з ь между параметра м и Ч, s и μ и показ ате­
лями качества переходной характеристики з аключается в сле­
дующем .
277


Корни характеристического уравнения, расположенные ближе
к мнимой оси, т . е. имеющие наименьшую по абсолютной величине
вещественную часть, дают составляющие переходной характери­
стики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому по степени
устойчивости можно приближенно определить время регулирова­
ния, т. е. время, по истечении которого h (t) отклоняется от h y
не более чем на 5%:
3
fp=r],
если ближайший к мнимой оси корень вещес'твенный, и .
3
tp<11'
(7.52)
(7.53)
если ближайшей к мнимой оси является пара комплексных сопря ­
женных корней.
По значению 11 можно также построить мажоранты и мина­
ранты [84, гл . XIX ], т. е. кривые, определяющие область, в ко­
торой располагается переходная характеристика при типовом
расположении корней и типовых начальных условиях .
Значение колебательности μ позволяет определить прибли ­
женное значение перерегулирования переходной характе ристики
в%:
л
а<е μ100,
(7.54)
если ближе к мнимой оси расположена пара комплексных сопря­
женных корней.
Колебательность μ связана с еще одним показателем качества
переходной характеристики - с затуханием
~-
Затухание за период в %
(7.55)
гдеС1иС2-
первая и вторая амплитуды синусоидальной со­
ставляющей Ce-at (sin ~t + 'Фо) пере ходной характеристики, ·
т. е. составляющей, соответствующей комплексным сопряжен­
ным корням.
Взаимозависимость μ и ~ определяется следующими фор ­
мулами:
и
2л
~=1-е μ
2:rt
~L = ---1
--
Jnl-=I
(7 .56)
(7 .57)
В САР обычно допускают ~ >- (90 ---i- - 98) %. При ~ = 98 % допу­
стимая колебательность μ = 1,57, а при ~ = 90% μ = 2,72.
278


1
----------
Диаграмма Вышнеrрадскоrо
Если в характеристическом уравнении третьего порядка
а0sз+a1s2+a2s+аз=О
все члены разделить на аз и выполнить подстановку s = gQ0
уа
=g
__ ;i__ ,
то получим нормированное уравнение
ао
qз+Aq2+Bq+1=О,
где А и В- парам етры Вишнеградского:
(7.58)
(7.59)
На плоскости пара метров А и В граница устойчивости (коле­
бательной) определяется уравнением АВ = 1 при А > О и В > О.
Это равнобокая гипербола, для которой оси координат служат
асимптотами (рис. 7. 13). Область устойчивости лежит выше этой
кривой, ее разделяют на три области в соответствии с расположе­
нием корней уравнения (7.58) на комплексной плоскости.
Уравнение
А2В2- 4(А3+вз)+18АВ=27
(7.60)
кривыми СЕ и CF выделяет область 111, соответствующую трем
вещественным кор ням уравнения (7.58).
Кроме того, уравнение
2Аз-9АВ+27=ОприА>3
(7 .61)
дает кривую CD. В результате этого выделяются области 1 и 11.
Им соответствует один вещественный и пара комплексных сопря­
женных корней уравнения (7.58), на рис. 7.13 указано располо­
жение этих корней.
Полученный график называют диаграммой Вышнеградского.
Область 1 есть область колебательных процессов , область 11 -
монотонных процессов и область 111 - апериодических процес­
сов с экспоненциальной переходной характеристикой . Вычислив
значения параметров Вышнеградского, по диаграмме легко опре­
делить ·как устойчивость системы третьего порядка с передаточ­
ной функцией (7.41), так и характер переходной характеристики.
По уравнениям
для области 1 и
279


в
7
6
5
lf
3
2
о
D
\
\
\
\
Е
f
/
1
~;ш
1
"
у..-F
/ ,,,
п Р,"
l"---t -"' с
~
1
[
1
~
:1<
't-[Еаница устайчибосгiiй
1
1
234567А
Рис. 7 .13 . Диаграмма Вышнеградского
.
для областей 11 и 111 на диаграмму
Вышнеградского можно нанести до­
полнительные линии равной степени
устойчивости 11 0 . Здесь 11 0 - норми­
рованная степень устойчивости:
(7 .62)
Дополнительные линии, соответствующие равным значе­
ниям so, наносят на диаграмму по уравнениям
1
2
В=Yo-so+ Aso
для областей 1 и 111 и
1
В=А-2~о+2so(А-2so)
для области 1/ . Здесь
Su= } =,3/.аоSИS= ,3/азSo,
(7 .63)
,,
0
Vа3
Vа0
s- расстояние от мнимой оси до наиболее удаленного корня .
Дополнительные линии равной колебательности наносят на
диаграмму по уравнению
4х,2(А3+В3) - х3А2В2+ (2х,3- 4х,2- 16х,) АВ
-
х,3-/-
+12х,2- 48х,+64~О,
гдех=1+μ2•
,
Эти же линии соответствуют равным значениям затухания ~'
так как μ и ~ связаны формулами (7.56) и (7.57).
Диаграммы с дополнительными линиями равных значений ri 0
·и μ позволяют по значениям параметров Вышнеградского А и В
определить значения 11 0 и μ. Затем по формуле (7.62) можно опре­
делить значение 11· Формулы (7 .52)-(7.54) по значениям 11 и μ
позволяют определить приближенные значения показателей ка­
чества tP и а переходной характеристики системы третьего по­
рядка с передаточной функцией (7.41).
В ряде случаев диаграмму Вышнеградского удается использо­
вать для приближенной оценки качества системы более высокого
порядка и с передаточной функцией, имеющей нули. Это имеет
место в следующих случаях:
_
1) три полюса передаточной функции (7.41) являются домини-
рующими, а остальные удалены от мнимой оси влево значительно
,
дальше и ими можно пренебречь;
J,
280
J


1
2) передаточная функция имеет нули, которые компенсируют
некоторые из ее полюсов и остаются лишь три доминирующих
полюса . Можно с'!_итать, что нуль 'Yi компенсирует полюс л; , если
!'A; -Yi i -<0,1 J л; J~ o,11vi l•
(7.64)
В обоих случаях действительную передаточную функцию
Wg (s) заменяют приближенной передаточной функцией w; (s)
третьего порядка, не имеющей нулей .
Влияние расположения нулей и полюсов
передаточной функции на переходную характеристику
В устойчивой з а мкнутой системе имеет место следующее :
1. Близко расположенные полюс и нуль взаимно компенси-
руются. Их расположение считается близI<им, если удовлетво- .
ряется неравенство (7 .64) .
2. Уменьшение амплитуды колебательной . составляющей, со­
здаваемой комплексными полюсами, и приближение к асимптоте
экспоненциальной составляющей, создаваемой' действительным
полюсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль полюса.
В этом можно убедиться по переходным характеристикам I<олеба­
тельного и апериодического звеньев.
3. Время регулирования tP переходной характеристики зави­
сит в основном от абсолютного значения вещественной части доми­
нирующи х полюсов или полюса. Доминируют ближайшие к мни­
мой оси комплеI<сные I<орни или ближайший действительный ко­
рень. Приближенное значение tP определяют соответственно по
формуле (7.53) или (7.52) .
4. Перерегулирование а переходной характеристиI<и зависит
от деI<ремента затухания (отношения действительной части к мни ­
мой) доминирующих комплексных полюсов . Приближенное зна­
чение определяют по формуле (7 .54) .
5. Близкие к началу координат нули , если они не компенси ­
руют полюса, и удаленные от него, но не доминирующие, лолюса
увеличивают время регулирования и перерегулирование .
Пример 7.5 . Полюсы пер едаточной функции за м кнутой с ист е мы
л1,2 =-8,74±j18 и л3 =-20.
•• Определить пока з атели . каче ства tp и cr переходной характеристики и выяс­
нить, как они изменятся, если передаточная функция имеет еще а) нуль у = - 5
иб)л4= -40.
Для р ,;1. ссматриваемых случ а ев перед аточн а я функция с истемы нмеет
соответственно следующие з начения:
1
iflgi co.~
l,25-l0 -4s3 -j - 4,69-I0- 3s2
-f-9,38-10-2s-f-l;
0,2s+ 1
Wgz=--~~ ~
-
~-~- -
-
-
---
-
1,25,10-4s3 +4,69-J0-3s2 +9,38,10-2s + 1 '
1
wg3 ~ -~~ ~~~ ~~- ~--- ---- ----
3,13- 10 -6s4
-1-2,42-10 -4s3 + 7,03 -10 -3s2 -1-О,119s -1- 1
281


Рис. 7 .14 . Переходные характери·~тики к примеру 7 . 5
Переходные характеристики, соответствующие этим передаточным функциям,
изображены на рис . 7.14 кривыми 1, 2 и 3; перерегулирование а= 11;
130; 10%.
О взаимном . расположении нулей и полюсов
передаточrюй функции и изображения
внешнего воздействия
Целью САР является воспроизведение с минимальными по­
грешностями задающего воздействия и максимально возможное
подавление возмущений.
Достижению этой цели способствует выполнение следующих
рекомендаций, сформулированных на основании анализа состав­
ляющих переходного процесса [112]:
1. Полюсы передаточной функции следует удалять от области
расположения полюсов изображения внешнего ·воздействия и во
всяком случае не допускать их совпадения, что приводит к резо­
нансу.
2. Нули передаточной функции относительно возмущения
W 1 (s) следует располагать возможно ближе к полюсам изобра ­
жения возмущения. При этом уменьшается вынужденная состав ­
ляющая регулируемой координаты, создаваемая возмущением._
3. Нули и полюсы передаточной функции относительно задаю ­
щего воздействия Wg (s) следует располагать так, чтобы при всех
полюсах р 1 , р 2 , ... изображения задающего воздействия g (t)
она имела приблизительно одно и то же значение: Wg (р 1) =
= Wg (р 2) = : .. = const . При этом ошибка воспроизведения
g (t) минимальная.
4 . Нули передаточной функции следует располагать около ее
полюсов, наиболее близких к мнимой оси . Это уменьшает соб­
ственную сопровождающую составляющую.
282
/


5 . Полюсы передаточной функции следует по во з можности
удалять от мнимой оси . Чем дальше полюсы от м нимой оси , тем
быстрее затухает свободная составляющая .
7.8. МЕТОД КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ [ 12]
Корневым годографом называют совокупность траекторий ,
которые описывают корни характеристического уравнения з амк­
нутой САР на комплексной плоскости корней при изменении од­
ного из параметров от О до N. Метод корневы х годографов исполь­
з уют при исследовании устойчивости, оцен и е качества регулиро ­
вания и синтезе САР. 9тот метод графоаналитический, отличаю­
щийся большой наглядностью.
• Изменяемым (свободным) параметром может быть любой и з
параметров, линейно входящих в характеристическое уравнение
замкнутой системы . В одноконтурной системе к ним относятся
передаточные коэффициенты звеньев и ра з омкнутой цепи, постоян­
ные времени апериодических и форсирующи х з веньев, а также
коэффициенты демпфирования колебательных и форсирующих
звеньев второrо порядка.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой САР
(7 .65)
где А - изменяемый параметр, А > О;
Вп(s)= aos" + a1s11- 1
,+ ·••+ an-1S+-ап;
В111(s) = b0sm+b1s111- 1 + ···+b111_ 1s -+Ьт, т-< п;
полиномы В 11 (s) и В111 (s) не имеют кратных корней .
Тогда корневой годограф имеет следующие свойства , которые
определяют его построение :
1. Начальными точками ветвей годографа (траекторий), т . е .
корнями уравнения (7.65) при А ~ О , являются корни л 1 , л 2 , ...
. . ., л11 полинома В 11 (s).
На комплексной плоскости эти корни будем обо з начать точ­
ками с крестиком (рис . 7. 15).
2. С увеличением свободного параметра А корни у равнения
(7.65) плавно из м еняются, образу я на плоскости корней п непре ­
рывны х линий - ветвей годографа .
3. Предельны м и точками ветвей годографа, т . е. корня м и урав­
нения (7.65) при А = N, являются корни у1, у2, ... ,
Ут поли­
нома В111•
На ко м пле ксной плоскости эти корни буде м обо з начать к р уж­
I<ами с точкой (рис. 7.15).
4. В предельных точках заканчиваются только т ветвей годо­
графа . Остальные п - т ветвей уходят в бесконечность, асимпто­
тически приближаясь к прямым, пересекающимся в точке 0 3 .
283


+jш
+jw
J
-с -?., ;
Оа01 .:Ai.
с
-с ?.3
•01Оа
~
•
1
-jw
а)
о)
. Рис. 7 .1 5. Корневые ,· одографы
.
Точка 0 0 рацюложена на вещественной оси и ее абсцисса
а1 Ь1
а;-ь;
Са=-
n-m
Угол наклона асимптот
лN
~
)
=
п-т, N=
±
1;± 3;....
(7 .66)
(7 .67)
Углы 'Ф отсчитывают от п9ложительной действительной полу:
оси против направления часовой стрелки .
Асимптотнческие свойства ветвей годографа, уходящих в бес­
конечность, проявляются лишь вдали от области расположения
предельных точек. Вблизи этой области могут быть пересечения
асимптот.
5. Ветви годографа от д·ейстВI1"tельных начальных точек л;
располагаются на .действите-льной оси до встречи одна с другой,
с предельной точкой Yi или уходят в бесконечность.
•
Ветвями годографа заняты отрезки действительной оси, для
которых выполняется условие
а-Ь
=
N,N = ±1;±3;...,
(7. 68)
где а и Ь - число соответственно начальшдх и предельных точек;
расположенных справа от рассматриваемого отрезка .. •
В каждой точке О; встречи действительных ветвей годографа
возникает пара комплексно-сопряженных ветвей, выходящих на
комплексную плоскость перпендикулярно к действительной оси .
· Абсциссами с 1 точек О; являются действительные корни
уравнения
(7 .69)
где
284


+j(JJ
+jw
ос-с
ос
' 1122
'f12
-jw 02
- juJ
6) i\2
Рис. 7.16. Определ е ние угла :
а - выхода тр ае1<тории из начально1':'1 точ к и; 6
-
входа траектории
n предельную точ1< у
Например, у корневого годографа, изображенного на рис. 7. 15, а, справа
от участка действительной оси, ограниченного начальной т'очкой л 1 и предель­
нойточкойу1,а=1иЬ=О.Следовательно,а - Ь = 1инаэтомуч·асткеоси
располагается действительная ветвь годографа от л 1 к у 1 . Для участка действи­
тельной оси от начальной точки л4 до -ev а= 4 и Ь = 1. Следовательно, а - Ь =
= 3 и на этом участке также располагается действительная ветвь годографа :
корень л4 уходит в бесконечность. У годографа, изображенного на рис. 7. 15, 6 ;
для участка действительной оси между начальными точками л 1 и л 2 параметрь1
а = 1, Ь = О и а - Ь = 1. На этом участке распо.цагаются действительные
ветви годографа, идущие от л 1 и л 2 . Они встречаются в точке 0 1 и из нее выходит
пара комплексно-сопряженных ветвей. Справа от участка · действительной оси
между предельной точкой у 1 и начальной точкой · л3 параметры а= 2, Ь = · 1
и а - Ь = 1. На этом участке оси располага ется де йствительная ветвь годографа
отл3ку1.
6. Из каждой пары комплексных · сопряженных начальных
точек "А;, А;+] выходит пара комплексно-сопряженных ветвей
годографа.
Все комплексно-сопряженные ветви расположены симметрично
относительно действительной оси . Они оканчиваются в комплекс•
ных сопряженных предельных точках Yi, Yi+i или уходят в бес­
конечность.
Угол выхода комплексной ветви из начальной точки и входа
в предельную точку определяется равенством
{7 .70)
где ~ЧJ - сумма фазовых углов векторов, проведенных в рассма­
триваемую · точку из вс;ех остальных основных (начальных и прJ~"
дельных) точек . Фазовым называют угол между положителыюй
действительной полуосью и вектором .
Определение угла выхода траектории из начальной точки л1 показано на
рис. 7.16, а. В данном случае
1Рв='Р12+'Р1з+'Р21+~'22 - 180 =90+70+7+53- 180 =40°.
На рис. 7.16, 6 показано определение угла входа траектории в предельную
точку У1
1i'в='Р11+'Р12+~'1з+1J,22 - 180 = 187+127+140+90- 180 =364°.
285


7. Корневому годографу принадлежат те, и только те точки
комплексной плоскости, для которых удовлетворяется равенство
(уравнение фаз)
/1,
т
~1р1;-~1Pzi=Nл,N=='= 1;='= 3;...,
i=I
j=l
(7 .71)
где 1μ 1 ; и 1μ 2 i - фазовые углы векторов, проведенны х в рас­
сматриваемую точку соответственно из начальных и предельных
точек.
8. Значение свободного параметра А, соответствующее какой­
либо точке корневого годографа, определяется формулой пара­
метра
А _ a0l11l12 ..• lи
-
boi21122 . .. l2m '
(7.72)
где l1 ; и l2i - модули векторов, проведенных в рассматриваемую
точку соответственно из начальны х и предельных точек.
Изложенные свойства корневого годографа позволяют по~
строить его геометрическим методом . Вследствие симметрии годо­
графа относительно действительной оси, его ветви , расположен­
ные в нижней полуплоскости, иногда не строят.
Возможно и аналитическое построение годографа . Если корень
характеристического уравнения (7 .65) s = с + j ш, то основное
аналитическое уравнение траектории корней
[
w2 ,,
][,
w2 ,,,
]
В11(с)- 21В11(с)+···_ Вт (с) - 31Bm(с)+ ···
-
[,
w2
"'
][
w2
,,
]
-
Вп(с)- 31 В,, (с) + ··· В,,,(с)- 21 Вт(с) + •· ·
= 0,(7.73)
где
В~(с)=ГdB11(s) ] ;
Lds
s=c
в;,,(с)=rdBm(s)] ;...
,_
ds
s=c
Уравнение (7 .73) позволяет при выбранном значении с найти
ординаты ш, при которых прямая с абсциссой с пересекает траек­
тории корней характеристического уравнения (7 .65). Такой смысл
имеют, конечно, лишь действительные значения ш (положитель­
ные и отрицательные при построении всего годографа и только
положительные, если годограф строится лишь в верхней полу­
плоскости) .
Значение свободного параметра А при комплексных сопряжен­
ных корнях определяют по формуле
,
w2
"'
_
А=В11(с)- 31В,,(с)+ •••
'
ш2 111
Вт(с)- 31Вт(с)+.•.
(7 .74)
286


и при действительном корне по формуле
-А - В,,(с)
-
Вт(с) •
(7.75)
Чаще всего метод корневого годографа используют для иссле­
дования влияния на свойства САР передаточного коэффициента
разомкнутой цепи, передаточная функция которой
где
R(s) = b0s"'+b1sm-I+··· -+bm_1s+1;
Q(s) = a0s11 + a1sn-i+ ···+ ans + 1;
k=k~-
ao'
У; и \ - корни полиномов соответственно R (s) и Q (s).
Характеристическое уравнение замкнутой САР
(7. 76)
(s- л1)(s- л2)...(s- л,,)
-
k(s- у1)(s- у2)...(s- Ym)=О.
(7.77)
Сопоставляя равенства (7.65) и (7.76), легко заключить, что
если в качестве свободного параметра рассматривать k, то началь ­
ными точками будут полюсы и предельными точками нули пере­
даточной функции разомкнутой САР. В одноконтурной системе
и даже в системе с местными обратными связями их значения
легко определить по передаточным функциям звеньев .
При построении годографа целесообразно комбинировать гео­
метрический и аналитический методы. Построение следует вы­
полнять в следующем порядке:
1) на комплексную плоскость s = с+ jw нанести начальные
л; и предельные 'Vi точки ;
2) нанести центр асимптот 0 0 ,
пользуясь формулой (7 .66),
и провести п - т асимптот , углы наклона которых определяют по
формуле (7.67);
3) пользуясь условием (7. 68), выделить отрезки действитель­
ной оси, на которых располагаются траектории корней;
4) нанести точки О; отрыва траекторий от действительной оси
и их направления, определив абсциссы этих точек по уравне­
нию (7.69);
5) по уравнению (7. 70) определить направления выхода траек­
tорий из комплексных начальных точек и входа их в предельные
точки, нанести эти направления на чертеж;
287


6) пользуясь уравнением фаз (7 .71) или основным аналити­
ческим уравнением (7.73), нанести несколько точе!( для уточнения
положения комплексных траекторий;
7) определить значение свободного параметра в нужных точ­
ках, пользуясь уравнениями (7. 72) или (7. 74) и (7. 75).
-
Корневой годограф позволяет исследовать влияние свободного
параметра на динамические свойства замкнутой системы: на ус­
тойчивость и качество регулирования.
Система устойчива при тех значениях свободного параметра,
rюторым соответствует расположение корневого годографа 13 левой
полуплоскости. Переход хотя бы одной ветви годографа в правую
полуплоскость свидетельствует о неустойчивости. Границу устой­
чивости определяют из условия попадания действительного корня
в начало осей координат (апериодическая граница устойчивости)
или пары комплексных сопряженных корней на мнимую ось
(колебательная граница устойчивости).
Основное аналитическое уравнение траектории корней (7. 73)
при с = О превращается в уравнение критических частот rок.
Его действительные корни - это значения ординат, при которых
комплею;:но-сопряженные траектории пересекают мнимую ось.
Уравнение (7. 74) при с = О и ro = ro,< определяет значение сво­
бодного параметра, соответствующего границе устойчивости.
Корневой годограф позволяет точно определить показатели
качества переходной характеристики для каждого значения сво­
бодного параметра.
Если передаточная функция разомкнутой системы
W_kR(s)
-
Q(s) '
то изображение переходной характеристики
Н(s) = l1R(s) _1
fл(s) s '
где
q)(s) =Q(s)+kR(s).
По формуле (П.1.8) разложения Хевисайда
(7. 78)
где si - корни характеристического уравнения, которые при вы­
бранном значении свободного параметра определяют непосрЕ:д­
ственно по корневому годографу.
Сумму в равенстве (7. 78) удобнее вычислять, пользуясь зна­
чениями длин и углов векторов, взятыми из чертежа корневого
годографа.
288
t


Если свободным параметром является k - 1
'
60
-
а;;-,
циент i-го члена суммы выражения (7 .78)
то коэффи-
k(s; + 1'1) (s; +У2) .. . (s; + '\'т)
(7. 79)
Следовательно,
A;=
-,-,--- ,--- l~21 ~l=22 ~· -·_ ·_ l~2 ~m __ __
L;lнl12 ... 11, i-1, 11, i -2
...
l11i
(7 ,80)
и
(7.81)
~
~
Здесь l; и ЧJ; - длина и фазовый угол вектора, проведенного
из начала осей координат к корню S;; l1v и 'Фiv - длина и фазовый
угол вектора, проведенного из корня sv к корню s;; l 2i и 1j) 2 i -
длина и фазовый угол вектора, проведенного из предельной точки
уi к корню S;.
• Кроме того, корневой годограф, что очень важно, наглядно
показывает, как изменяется взаимное расположение нулей и полю­
сов передаточной функции замкнутой системьi при изменении
свободного параметра. Следовательно, на этом основании, исполь­
зуя материал п. 7. 7, можно заключить о влиянии свободного пара­
метра на показатели качества переходной характеристики.
Пример 7. 6. Передаточная функция разомкнутой САР
W=• k(тs-j-1)
s(T1s+ l )(T 2s+l)'
где_k= 100с-1;Т1= 0,1;Т2= 0,02с.
.
Выяснить влияние постоянной времени т форсирующего звена на динами­
ческие свойства системы.
Для решения этой задачи ппстроим корнево,й годограф, считая свободным
параметром постоянную времени т.
Составим характеристическое уравнение замкнутой САР и приведем его
к виду (7.65):
s(T1 s+ l)(T 2s+l)+k(тs+ 1)=0;
[T1T2s3 +(Т1-\-Т2)s2-\-s-\-k]+тks=О.
После подс'rановки числовых значений известных параметров и деления
на k получим
811 (s)+тВт(s) = О,
где В,, (s) =0,00002s3 -\ - 0,0012s2 -\ - 0 ,01s-\ - 1; Bm(s) =S.
Начальными точками траекторий являются корни полинома 8 11 (s), которые
определим одним из методов, изложенны х в приложении 2:
ли = 2,5 ='= j29,9 ; л;3 = -64,3.
Предельная точка, корень полинома Вт (s), есть у 1 == О. •
19 И. М . Манаров
289


-с
- tjw
Рис. 7.17 . Корневой годограф к примеру 7.6
Оа
!1 -t-C
Нанеся основные точки на чертеж (рис. 7.17),
делаем вывод, что при , = О САР неустойчива,
так как в этом случае пара комплексных сопря­
женных корней характеристического уравнения
расположена в правой полуплоскости.
По формуле (7 . 66) определим абсциссу
центра а симптот
0,0012
О
0,00002 -- -1-
Са=
-
---
--
--=
...:.__
30
3-1
и по формуле (7 .67) их направления
,1, -
180(±1) - 900
'Уа -
3-1
-
±
'
т. е. асимптотами являются прямые, выходящие
из точки Оа и параллельные мнимой оси.
Для участка действительной оси от предель­
ной точки у 1 до начальной точки л3 выполняется
условие (7.68): 2 - 1 = 1, т. е. с увеличением
:jш , !Раектория .из начальной точки л3 пойдет по
деиствительнои оси в предельную точку у 1 .
Комплексные сопряженные тР,аектории из начальных точек л 1 и л2 по мере
увеличения , будут приближаться к асимптотам. Чтобы выяснить расположение
этих траекторий, можно воспользоваться формулой (7 .73). Предварительно
следует вычислить производные полиномов Вт (s) и Вп (s) по s:
в;11(s)=1;в;,,(s)=О;
В~ (s) = 0,00006s2 + 0,0024s + 0,01;
в;; (s) = 0,00012s + 0,0024;
в;," (s) = 0,00012;
в;,"'(s) =0.
По формуле (7 . 73) при с= О определим критическую. частоту w":
[вп(О)- ~~в;(О)]в;,,(О) =[1- ~~ 0,0024]1= О;
2_
1
(J)I{ -
0,0012
Итак, комплексные сопряженные траектории пересекают мнимую ось при
ординатах ::!:::28,9 . Значение 't, соответствующее этим точкам, определим по фор ­
муле(7.74)прис=Оиw= 28,9:
О01- 28
•
92 О 00012
'
6'
-'t'=---------·=-0,0067.
Следовательно, рассматриваемая система устойчива при , > 0,0067.
Чтобы определить расположение комплексных сопряженных траекторий,
вычислим по формуле (7. 73) ординаты нескольких точек, задаваясь значениями
их абсцисс.
290


При с= -10
{0,00002 (- 10)3 + 0,0012 (- 10)2 + 0,01 (- 10) -\- 1 --
~
2
[ 0,00012 (- 10) +
+ 0,0024]}1- [О,0000~(-10)2+0,0024 (-10) +0,01 -
w2
]
-
2-3 0,00012 (- 10) = о.
Из этого равенства получим 0,0008w 2 := 0,92; w = ::!::33,9.
Аналогично вычислим, что
при с= -15 w = :±:38,0;
при с= -20 w = ::!::45,8;
при с= -24 w = ::!::84.
Полученные точки достаточно хорошо определяют расположение комплекс­
ных сопряженных траекторий.
• Вычислим по формуле (7 .74) значения 't для двух точек комплексных сопря­
женных траекторий.
Прис=-10иw= 33,9
0,00006 (- 10)2+0,0024 (- 10) + 0,01 - 3;·.~
2
• 0,00012
-
, = ---------~------ ---- =
-
0,031;
при с= -20 и w = 45,8 имеем -'t = -0,056.
По формуле (7. 75) вычислим значения 't для двух точек траектории, распо­
ложенной на действительной оси.
При с= -10
0,00002 (- 10)3 + 0,0012 (- 10)2 + 0,01 (- 10) + 1
- 't=
-10
-- - =-0,1;
при с= -20 имеем -'t = -0,056.
Таким образом, для устойчивости системы постоянная времени , должна
быть больше 0,0067 . При
't < 0,056 домин·ирующими являются комплексные
сопряженные корни характеристического уравнения и колебательность μ не
339
слишком велика. Так, при , = 0,031 μ = ---тt- = 3,39 и перерегулирование
-л
л
cr= е3•39100=39,5%;при't=0,056μ= 4
~
08=2,29иcr= е- 2•29.100=
= 25,4%. Дальнейшее увели чени е , ведет к резкому увеличению колебатель­
ности μ,
19*


Глава 8
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА СТАБИЛИЗАЦИИ
И ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Проблема создания линейных непрерывных САР с хоро'шими
или хотя бы с приемлемыми динамическими свойствами 5Iвляется
многосторощ1·ей . и весьма сложной. В нeii прежде всего можно
выделитl! следующие частные задачи: обеспечение устойчивости
(стабилизация); повышение запаса устойчивости (демпфиро­
вание); повышение точности .в установившихся режимах (умень­
·шение или -- устранение ст::iтической ошибки воспроизведения
задающего воздействия и ошибки от возмущения); улучшение
переходных процессов (увеличение быстродействия, максимальное
уменьшение · динамических _ ошибок воспроизведения задающего
воздействия и ошибки от возмущения).
Каждую из этих задач решают р,1зличными способами. Иногда
две или несколько частных задач могут быть решены совместно,
в других ·-случаях они оказываются противоречивыми. -В зависи­
мости от назначения системы одни задачи становятся основными,
другие второетепенными.
Простой и вместе с тем действенный способ обеспечения устой­
чщщсти и высокогq качества регулирования - это соответствую­
щий выбор основных элементов системы или изменение в нужном
направлении их динамических свойств местными обратными свя­
зями. Выбор типа и конструкции исполнительного элемента и уси­
лителя может привести к тому, что их динамические свойства
(прежде всего инерционность) не будут отрицательно влиять на
свойства системы в целом .
Местные обратные связи весьма существенно изменяют свой­
ства тех элементов, которые они охватывают (см. табл . 2.4): может
быть обеспечена устойчивость неустойчивого или нейтрального
элемента, уменьшена инерционность, обеспечены интегрирующие
или дифференцирующие свойства . Причем местные обратные связи
могут быть созданы не только в исполнительном элементе и усили­
теле, но и в регулируемом объекте .
Другой путь - создание дополнительных воздействий на регу­
лятор или объект регулирования . Если это воздействие осуще -
292


r
у
а)
6)
Рис , 8 .. 1 , , Структурные схемы каскадных систем регулиров_ання
ствляется извне, то получается комбинированная система. Такие
системы имеют весьма ценные свойства [78].
Дополнительные воздействия могут быть созданы и внутри
замкнуто.го контура регулирования. Это имеет место в каскадных
с11с_т_емах Р~?у_лирования . [97] ,. структурные · сх~мьr которых iюка­
заны на рис. 8.1 . Дополнительное возgействие создается коорди­
Нll'!'ОЙ у 1 ()бъект~ р_егулирОвания, которая реагирует на ·во?му ~
щение [_ б~,1стрее, чем регулируемая координата у. Регулятор ·w1i 2
(рис. 8.1, а) под воздействием - координаты у 1 устраняет в · оснод­
нрм влияние f на у. 3.адающее ·воздействие для регу.irят.ор·а Wp 2
создается регуляторqм WP 1 под влиянием рассогласования ~ =
_
= g :--: - у. Во втором варианте каскадной системы регулирования
~рис: 8.1, 6) дифференциатор . Wn под воздействием _ координаты у 1
соэдает сигнал_ тол_ько при изменении возмущения f. Этот сигнал
поступает на вход регулятора WP вмест_е с рассогласованием . х
и форсирует переходные процессы в системе. Использование · кас ­
кадных систем регулирования _ наиболее эффективно при слож­
.ных .объектах . с большой инерционностью.
.
-
•
В некоторых об_ъектах можно и целесоо'бразно .создавать допол.­
нительное регулирующее воздействие [83]. Это возде.йствие i'i
прикладывается ближе к регулируемой величине у (рис. 8.2)
и форсирует переходные процессьi.
••
дл·я обеспечения высокой точности используют нониусные
следящие системы [110]. Двухступенчатая ноюiусная <:::АР
(рис. 8 ;3) состоит из двух систем. Первая система W 1 создfiет
основную составляющую . у 1 регулируемой веш1чин~r, приб~изi{-
-
-
-----l
.
.
1
•
1
Уг
у
Рис . 8.3. Структурная схема
Рнс. 8.2 . Структурная схема САР с вспомога:теJ1ьн1,1м ре - двухступенчатой нониусной
гулирующим воздействием
САР
•
293


g
у
а)
Plfc, 8.4 . Структурные схемы САР с обратной компенсlfрующей связью nplf косвенном
измерении:
а - возмущения; б
-
за даю щего возде йс твия и возмущения
тельно соответствующую з адающему воздействию g. Вторая си ­
стема W 2 уточняет з начение у - создает составляющую у 2 , соот ­
ветствующую рассогласованию g - у .
Для уменьшения влияния возмущений находят применение
компаундирующие свя з и [64 ]. В системах регулирования по от­
клонению могут быть созданы дополнительные связи [78] для
косвенного измерения и компенсации возмущений (рис. 8.4, а)
и для компенсации ошибки, если осуществляется косвенное изме ­
рение задающего воздействия и возмущения (рис. 8.4, 6) . Мест­
ные обратные свя з и используют также для обеспечения устойчи­
вости при весьма большом значении передаточного коэффициента
разомкнутой САР [75 ].
С помощью фильтра и местной обратной связи может быть обе­
спечена раз личная реакция системы на задающее воздействие
и возмущение [57] для того, чтобы подавлять как высокочастот­
ные помехи, поступающие с задающим воздействием, так и возму­
щение, приложенное к объекту . Эту задачу можно решить и в том
случае, когда задающее воздействие недоступ-но для измере­
ния. Подобные рез ультаты дает схема с условной обратной
связью [57] .
Дополнительные связи по з воляют [57] выделять истинное
значение задающего во здействия при наличии двух источников
информации, а также компенсировать инерционность сравниваю­
щего элемента.
Весьма широко используют такие методы повышения стати­
ческой точности регулирования, как увеличение передаточного
коэффициента разомкнутой САР и обеспечение астатизма. Желае­
мое качество переходных процессов достигается чаще всего с по­
мощью корректирующих устройств.
В данной главе рассмотрены основные и з перечисленных мето­
дов, а также наиболее распространенные технические средства
для создания корректирующих устройств и дополнительных свя -
зей :
•
294


8.1 . ПОВЫШЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ
Ошибка в установившихся режимах САР слагается из ошибки,
создаваемой несовершенством (прежде всего нечувствительностью)
отдельных элементов регулятора, ошибки воспроизведения зада­
ющего воздействия и ошибки, создаваемой возмущениями. Умень­
шение первой составляющей достигается использованием более
совершенных элементов и сопровождается, как правило, увеличе­
нием сложности и стоимости регулятора . Для уменьшения осталь ­
ных двух составляющих используют следующие основные пути .
Увеличение передаточного коэффициента k ра:юмкнутой САР
является универсальным и эффективным способом уменьшения
ошибки во всех установившихся режимах. Причем уменьшается
как ошибка слежения, так и ошибка от возмущения.
Увеличения k достигают чаще всего введением усилителей.
Иногда оказывается достаточным увеличения передаточных коэф­
фициентов отдельных элементов, например испQлнительного эле­
мента или элемента сравнения.
В большинстве случаев увеличение k ведет к уменьшению
запаса устойчивости и, для того чтобы система не потеряла устой­
чивости, значение k не должно превосходить некоторого крити­
ческого значения kгр (см. п. 6.10). Однако приближение k к этому
граничному значению обычно невозможно из-за резкого ухудше ­
ния показателей качества переходной характеристики. В этом
проявляется противоречие между требованием к точности и требо­
ванием к устойчивости системы регулирования по отклонению .
Это противоречие может быть устранено, если одновременно с уве ­
личением k до значения, обеспечивающего необходимую точность,
какими-то другими средствами обеспечить необходимый запас
устойчивости. Такими средствами могут быть корректирующие
устройства, рассматриваемые в п . 8 .3 .
К:ак уже отмечали в п. 7.1, у САР со структурной схемой, пока ­
занной на рис. 3.1, и передаточными функциями ее участков
(8.1)
где k1, k2 - передаточные коэффициенты; R1, Q1, R2, Q2 -
полиномы от s со свободным членом, равным единице, установив ­
шееся значение ошиб1ш при постоянном задающем g O и возмущаю­
щем f O 'воздействия,х:
Ху= 1~kgo+1~kfо=Sgo+k1Sfо,
(8 .2)
где k = k 1 k 2 - передаточный коэффициент разомкнутой системы;
1
S = 1 + k - коэффициент статизма .
Следовательно, в рассматриваемой САР постоянные задающее
воздействие и возмущение создают статическую ошибку , а систему
295


называют статической. Понятно, что чем больше k, тем меньше
коэффициент статизма S и тем меньше установившаяся ошибка.
Выше было сказано, что с увеличением k ухудшаются динами­
ческие свойства системы и неограниченное ,увеличение k невоз­
можно. Поэтому представляют интерес такие структуры САР,
при которых значение k можно повышать до весьма больших зна­
чений. Отли:чительной особенностью таких структур [75] является
наличие в прямой цепи местной гибкой обратной связи (рис. 8.5):
Пусть передаточные функции элементов этой системы имеют
следующий . вид :
W
ki.
k
sR
8
1=Qi,W2= QzиWr=Т,
( .3)
где k 1 и . k 2 ~ передаточные коэффициенты; Q1 , Q2, Qr и Rг __:
полиномы от s, у которых коэффициент младшего члена равен
единице .
Передаточный коэффициент . k 2 участка прямой цепи [75 ],
охваченного гибкой обратной связью, может иметь весьма большие ­
значения, если:
а) вырожденное характеристическое уравнение .
sRrQi+kiQг=Aas"+A1s"~1+ •·•+Av • О
(8.4)
удовлетворяет условиям устойчивости;
•
б) разность между степенью . ·п полинома
Q1Q2Qг = Bosn + B1sn-:-I + ···+ Вп
(8.5)
и степенью v вырожденного характеристического уравнения (8.4)
не 96льше двух: -
••
п -v. .;;: 2;
(8.6)
в) при п - v = 1 удовлетворяется неравенство
~>о
Во.
'
(8.7-)
а ПРI:! л __: v = 2 неравенство
~- -6 _>0
Во.. Ао
•
Очевидно, при весьма большом передаточном коэффициенте k 2
становится весьма бщ1ьшим и п~редаточщ,1й коэффици~нт k р_а_­
·зомkнуtой систеМ-ьi .
:--
·'
По выражениям (8.4) и (8.5) легко заключиrь., что для удовле:.
творения : неравенства (?- .
6) •не следует иметь_ полином Qr более
высо.J{о_й; степени, ~ч~м_ 11о_~ином_ sRг· Однако. п_ер~.п,аточная фу:нкци,я
296


Wг может быть физически реализована только при степени Qг
не ниже степени sRг - Поэтому целесообразно иметь равные сте~
пени полиномов sRг и Qr. Тогда полином Q2 может быть только
первой или второй степени, т . е . в рассматриваемой системе гиб ­
кой обратной связью может быть охвачено безынерционное, апе­
риодическое или колебательное звено . Коэффициент усиления
может быть очень большим и в системах, где два апериодических
или интегрирующих звена или апериодическое и интегрирующее
звенья охвачены гибкой обратной •связью.
•
Передаточная функция W 1 в структурной cxe1v,1e, приведенной
на рис. 8.5, представляет собой произведение передаточных функ~
ций всех участков разомкнутой цепи системы, не охваченных гиб­
кой обратной связью Wr . В функцию W 1 входит и передаточная
фун_кция W0 главной обратной связи (если это не единичная обрат- ·
ная связь) . Участок системы, не охваченный гибкой обратной
связью, может иметь и звенья чистого запаздывания .
Существуют также варианты структур с несколькими гибкими
обратными связями [75].
Следует заметить, что рассмотр~нная возможность увеличения
k не находит широкого применения, . так как неучтенные малые
параметры могут заметно изменить свойства системы, ·· вп:лоть
до ее неустойчивости . Кроме того, · при большом значении k 2
ухудшаются показатели качества переходной ·характеристики [39].
Пример 8. 1 . В САР со структурной схемой, показанной на рис. 8.5,
W_
k1
W
k W=_т_s_
1
-
a0s2+ a1s+ 1
2
=2;
гтs+1'
гдеk1=2;а0=0,015с2иа1=.0,1с.
Выбрать значение т, при котором передаточный коэффициент k 2 может
·быть весьма большим.
В •рассматриваемой САР · Q2 = 1 и, следовательно, п ~ v = О . Поэтому
достаточно рассматривать вырожденное характеристическо е уравнение (8.4} :
-rs (a0 s
2
+ a1s+ 1)+k1(-rs+ !)=О;
a0-rs3 +a11:s2+ -r (1+ k1) s+kr= О.
Условие устойчивости этого характер~стического_ уравнения по . критерию
_Гурвица:
.
a1-r-r (1 + k1)> a9-rk1;
цt(1+ k1)>a~k1.
Из . полученного неравенства определим необх6дuмое значение
't>;a0k1•
ОО15•2
•
·
a1(l+k1)
0,1.(1+2) = O,l .
Итак, при -r > 0,1 с в рассматриваемой САР передаточный коэффициент k 2
может быть весьма большим.
•
Пример 8.2 . В САР со структурной с х емой, представленной на рис . 8.5,
w_
k1
w_
fl2
w
't"S
1-
. a0s2+ a1s+1
.
2-
c0s2+ c1s+ 1
г=Ts+1'
гдеk1=4;а0=0,02с2;а1=0,5с;с0=0,005с2;с,1=0,02с.


Выбрать значения параметров ,; и Т гибкой обратной связи, при которых
передаточный коэффициент k 2 может быть весьма большим.
Составим вырожденное характеристическое уравнение (8.4):
,:s(a0s2+a1s+1)+k1(Ts+1)=О;
a0,:s3+ a11:s2 + (,: + k1T) s+ k1 = О.
Условие устойчивости этого уравнения по критерию Гурвица:
а11: (,: + k1T) > a01:k1;
а1 (,: + k1T) > a0k1.
Из полученного неравенства определим, что параметры ,: и Т до;Iжны удов­
летворять условию
1:+ 4Т> 0,16.
Составим полином (8.5):
(a0s2+a1s+1)(c0s2+c1s+1)(Ts+1)=
= 0,0001 Ts 5 + (О,0029Т + 0,0001) s4 + (О,035Т + 0,0029) s3 +
+(О,52Т+0,035)s2+(Т+0,52)s+1.
В рассматриваемом случае п - v = 5 - 3 = 2. Следовательно, САР будет
иметь требуемое свойство при удовлетворении еще и условия (8.8). Выполним
это неравенство
О,0029Т + 0,0001
0,5,:
О·
0,0001 Т
-
0,02,: > '
29ТТ~1 -25>О;
29Т+ 1- 25Т> О;
4Т+ 1> О.
Полученное неравенство удовлетворяется при всех положительных значе­
ниях Т . Поэтому достаточно выбрать ,: и Т так, чтобы удовлетворялось ранее
полученное неравенство
1:+ 4Т> 0,16.
Обеспечение астатизма есть весьма широко используемый
метод улучшения статических свойств системы (см. пп. 7.1 и
7.2). Чаще всего астатизм достигается включением интегрирую-
•щих звеньев в прямую цепь системы. К: сожалению, это неблаго­
приятно может сказаться на ее устойчивости. При двух интегри­
рующих звеньях система уже может оказаться структурно неус­
тойчивой (см. п.6.11). Поэтому одновременно с обеспечением аста­
тизма могут оказаться необходимыми мероприятия для обеспече­
ния достаточного запаса устойчивости (см. п.8.2).
Пример 8.3. Выяснить, как повлияет на устойчивость введение интегрирую­
щего звена, если передаточная функция разомкнутой системы
W-
k
-
(T1s+ 1) (T2s+ 1) (T3s+ !) '
гдеk=20иа)Т1=0,5,Т2=0,02,Т3=0,01;6)Т1=0,05,Т2=0,002,Т3=
= 0,001 С,
298
•


L,85
30
~...,.,.-+о:::------,...__
20
10
о1
'11, граа
о
1000 щё'
1000 и),С- 1
Рис. 8.6 . ·логарифмические частотные характеристики к при­
меру8.3:Т1=0,5; Т,=0,02иТ3=0,01с
На рис. 8.6 построены логарифмические частотные характеристики L 1 (со)
и 1jJ 1 (со) для случая а для схемы без интегрирующего звена и L 2 (со) и 1р2 (со) для
схемы с интегрирующим звеном. При введении интегрирующего звена запас
устойчивости по фазе уменьшается с у 1 = 33 ° до 112 = 12°; уменьшается и запас
устойчивости по модулю.
~
~
Логарифмические частотные характеристики L 1 (со) и 1jJ 1 (со) построены
для случая б для схемы без интегрирующего звена и l 2 (со) и 1J)2 (со) для схемы
с интегрирующим звеном. Интегрирующее звено увеличивает запас устойчивости
по фазе от у1 = 30° до у2""'43°. Увеличивается и запас устойчивости по модулю.
Простейший и широко используемый интегрирующий эле­
мент - это электродвигатель постоянного тока с независимым
возбуждением, поворачивающий движок потенциометра. Напря­
жение u 2 , снимаемое с потенциометра, пропорционально интегралу
по времени от напряжения и 1 , приложенного к обмотке якоря
электродвигателя. Используют также механические, гидравли­
ческие, пневматические, химические и иные интегрирующие эле­
менты.
Другой путь достижения астатизма - это включение в пря­
мую цепь САР изодромного устройства с передаточной функцией
Wи = kи ('tиs + !) . При соответствующем выборе постоянной вре­
s
мени ти · включение , изодромного устройства не оказывает или
почти не оказывает влияния на запас устойчивости системы.
Например, L 1 (со) и 1р 1 (со) (рис. 8.7) есть логарифмические частотные харак­
теристики разомкнутой САР с передаточной функцией
20
iv= (0,125s+!)(0,05s+1)(0,008s+!) '
а L 2 (со) и 1jJ 2 (со) - характеристики той же системы при включении в ее прямую
"
"ф
"W
0,8s+1 И
цепь изодромного устроиства с передаточнои ункциеи
и=
5
.
зод-
299


L,дб
30
20
10
о
1 W,,;
10
'l! град
о
90
180
L1(w)
L2(W)
ш, 10
10
иic,I 1 100 щс-1
11
11
1
Рис. 8. 7. Измеиеиие логарифмических
частотных характеристик при вклю[1е­
нии изодромного устройства
рамное устройство обеспечило аст­
атизм и заметно повлияло лишь на
низкочастотную часть харакери­
стик. Запас устойчивости при этом
практически не изменился .
С помощью изодромных
устройств, включая их после­
довательно, можно обеспечи­
вать астатизм второго и тре­
тьего порядков. Выбор по­
стоянных времени изодромов
должен осуществляться так, чтобы одновременно с астатизмом
обеспечивались и необходимые динамические свойства системы.
; Изодромные устройства используют различной физической
rjриродьr. Такое устройство можно получить параллельным вклю­
чением интегрирующего элемента и усилителя.
В некоторых случаях необходимо, чтобы установившаяся
ошибка не зависела от одной из производных внешнего воздей­
ствия. Это достигается [ 18] регулированием по производной, т. е._
включением в пря~1ую цепь САР форсирующего звена с переда-
1очной функцией
(8.9)
Пусть передаточнан функция · разом1шутой САР
W=
k
•
s(T1s+1)(T2s+1)
и в прямую цепь включен· форсирующий элемент с п ередаточной функцией WФ = •
= Тфs + 1. Тогда первые три коэффицнента ошибки имеют следующие значения: -
!
(Т1+т2- Тф)k- 1
Со=О;С1 =k;С2 =
k2
1
При Тф = Т 1 + Т 2 - Т С\=0 установившаяся ошибка становится не
зависящей от постоянного ускорения задающег·о воздействия·. · Требование к зна­
чению Тф не противоречит условию устойч иво сти, выражаемому неравенством
> Т1Т2
1
т,1, Т1 + Т2 -:k.
•
Последовательным включением двух форсирующих элементов
можно обратить в нул ·ь два коэффициента ошибки, т. е. при регу­
лировании по _ первой и J;зторой производным может быть дости­
гнута неза висимость установившейся ошибки от двух производ­
ных внешнего во здействия.
3:0


~~Wкп
а)
6)
~
:
w
g-
-
.
у
Wм
8)
Рис . 8.8. Структурпые схемы САР с коррекцией-задающего
воздействия
-
Коррекция задающего воздействия [57] позволяет придать
системе астатические свойства или повысить порядок астатизма
относительно этого воздействия. Коррекцию осуществляют по
схеме, приведенной на рис . 8.8., а, т. е. на вход .системы включают
преобразовательный элемент с передаточной фу:нкцией Wп·
Изображение Х ошибки (рассогласования) х = g - у имеет
в данном случае следующее значение:
и
Х=G-У=G-_.!._ WG= 1+w(1-wп)G (8. _
1О)
.
1+w 11
1+w
•
Следовательно, передаточная функция для ошибки · слежения ·
W_ l+W(I--Wп)
(8.11)
х-
1+w
•
Предположим, что з амкнутый контур статический:
W = -----,- -
k----
~
со5''+C1s11- 1 + ...+Cn-1S+1
(8.12)
(8. 13)
Тогда
(11-l·+
11-? +
+
)
w=
CoS
C1S ,
-
•••
Cn-1 s
(814)
х Cos"+C1s11- 1+...+Cn-1S+(1+k) '
•
т. е. соGтветствующим выбором безынерционного преобразова­
тельного элемента достигают астатизм системы при статическом
замкнутом контуре . Такой прием на ходит широкое применение .
Однако если передаточный коэффициент из-за ошибки при расче-те
или из-за неточности выполнения усилителя отклоняется от -рас­
четного значения k на Лk, то появляется установившаяся ошиб-
ка [18]
•
(8.15)
301


Пусть замкнутый контур астатический :
и
i-s+ 1
Wn=Ts+\'
где т > Т, и удовлетворяется равенство
k(т-Т)=1.
Тогда
W= (cosn-2+С1sп-З+ ...+ Сп-2)s2
Х CoSn+C1Sn- I+ ·••+c,,_2s2+S+k
(8 .16)
(8.17)
(8.18)
(8. 19)
Значит, при использовании в качестве преобразовательного
элемента реального форсирующего звена первого порядка аста­
тизм увеличивается на один порядок. Форсирующее звено второго
порядка увеличит астатизм на два порядка и т. д. [57).
Изложенный метод достижения астатизма или повышения его
порядка имеет несомненные преимущества вследствие своей про­
стоты и отсутствия в замкнутом контуре интегрирующих звеньев, .
которые затрудняют обеспечение устойчивости. Однако приме­
нение метода ограничивается теми случаями, когда задающее
воздействие g = g (t) имеет малый уровень помех. Кроме того,
отклонение параметров от расчетных значений приводит к появле­
нию статических ошибок .
Существуют САР, в которых задающее воздействие отсутствует,
а имеется лишь ошибка х. В этом случае преобразовательный
элемент Wп может быть включен в цепь сигнала ошибки
(рис. 8.8, б) . Для того чтобы схема была эквивалентна ранее
рассмотренной (рис ., 8.8, а), включают компенсирующую отри­
цательную обратную связь с передаточной функцией
/ (8.20)
Компенсирующая обратная связь может быть включена и по
схеме, изображенной на рис. 8,8, в [110]. Тогда ее передаточная
функция
(8.21)
Неедuнuчная обратная связь (рис . 8.9, а) также позволяет
обеспечить астатизм САР относительно задающего воздействия
[18].
Этой схеме эквивалентна схема . (рис. 8.9, б) с единичной об­
ратной связью и прямой цепью
Wэ = 1 -(l~ilo) Wi.
(8 .22)
302


Рис. 8. 9 . Структурная схема САР:
а - с неединичной обратной связью ;
б - эквивалентна я
Пусть
и
Тогда
а)
Wi = k1 (b0sm + b1sm- l + •••-1--Ь,п_1s+1)
Cosn +C1Sn-l + ...+Cn-1S+ 1
W=
k1(b0sm +b1sm- I + •··+Ь11нs+1)
3
....--
со5''+ •·· +(сп_2- Ь111_2)s2+(сп-1- Ьт-1) s
(8.23)
Следовательн·о, в системе без интегрирующих звеньев соот­
ветствующим выбором коэффициента основной обратной связи
может быть обеспечен астатизм относительно задающего воздей­
ствия .
Неединичная обратная связь позволяет также повышать поря ­
док астатизма [ 18] . Нестабильность передаточного коэффи­
циента k 1 так же, как и в ранее рассмотренном случае, послужит
причиной появления статической ошибки слежения.
Общие условия неискаженного воспроизведения детерминиро­
ванного задающего воздействия в установившемся режиме САР со
структурной схемой, изображенной на рис. 3.1, заключается
в том (64 ], что среди полюсов передаточной функции W = W 1 W 2
разомкнутой системы должны быть все полюсы изображе­
ния L {g (t)f задающего воздействия .
Например, если g= at-1-- Ь, то
а
Ь
а-1--bs
L{at+Ь)= s2-1--5 =
52
и для отсутствия установившейся ошибки передаточная функция W должна
иметь нулевой полюс второй кратности, т. е . система должна быть аст атической
второго порядка.
-Еслиg=аsinw0t, то
L{аsinw0t)= "а~о 2•
s·
w0
Для отсутствия установившейся ошибки передаточная функция W должн.:1
содержать в качестве множителя передаточную функцию консервативного звена .
•
т1
с постояннои времени =
-
Wo
Аналогично условие отсутствия установившейся ошибки от
возмущения f (см . рис. 3.1) заключается в том, что среди полюсов
передаточной функции W2 должны быть все полюсы изображе­
ния L \f (t) \ возмущения .
303


8.2. ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
И УВЕЛИЧЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
Способы обеспечения устойчивости замкнутых САР и прида­
ния им необходимого запаса устойчивости (способы стабилизации
и демпфирования) разнообразны . Уже отмечали возможность
решения задачи выбором 6сi-ювных элементов регулятора и изме­
нением их динамических свойств местными обратными связями .
При этом можно руководствоваться следующими рекоменда­
циями (86]. Если сопрягающая частота апериодического или
колебательного звена расположена левее частоты среза ЛА Ч Х
разомкнутой системы, а сопрягающая частота форсирующего
звена расположена правее частоты среза, то увеличение постоян­
ной времени каждого из этих звеньев ведет к увеличению запаса
устойчивости. Указанная зависимость справедлива лишь при
условии, что сопрягающая частота расположена на некотором
удале}!ии (около декады) от частоты среза. Однако встречаются
структуры, для которых эти рекомендации не выполняются.
•Другой и более распространенный путь стабилизации и демп­
'фирования - введение в систему дополнительных звеньев. Их
включают последовательно в прямую цепь системы, параллельно
отде.,;IЬI-!ЫМ участкам или охватывают участки обратной связью.
·в качестве дополнительных используют интегрирующее, аперио ­
дическое, дифференцирующее, форсирующее и чаще всего более
сложные интегродифференцирующие звенья.
Эти способы улучшения динамических свойств отличаются
один от другого влиянием на частотные характеристики разомкну­
той системы (на амплитудно-фазовую или на , амплитудную и фа­
зовую). Основными являются следующие три способа.
1. Демпфирование с подавлением высоких частот (демпфиро­
вание с внесением отрицательных фазовых сдвигов). Устойчи­
вость замкнутой САР и достаточный запас устойчивости обеспе­
чивают посредством придания разомкнутой системе способности
подав~ять гармонические колебания, частота которых превышает
некоторое значение ffi 3 •
•
Если разомкнутая САР состоит из безынерцион~rх, апериоди­
ческих, колебательных и форсирующих звеньев, то для подавле­
ния высоких частот достаточно включить . апериодическое звено
с достаточно большой постоянной времени Т 0 . Значение Т O должно
быть выбрано так, чтобы частота среза wc измененной ЛА ЧХ
находилась в диапазоне частот, при которых ординаты исход­
ной ЛА ЧХ еще весьма мало отличаются от 20 lg k и ординаты
исходной ЛФЧХ от нуля. В этом случае остальными постоянными
времени можно пренебречь, и можно приближенно считать, что
передаточная функция разомкнутой системы
(8.24)
304


~-- ·•·
30
г
1
1
1
101
о1
0,1 ш0
r,град
Ot,t,- -- -: -== ,-- -- ::'- .s-r- -- -- -- -,~ ,-- -- L.,..,,.= !--
1000
17000и,ё'
1
,
1
,.
1
90
1
1
780
1
Рис. 8.1 О. Логарифмические частотные характеристиии к приме ­
ру 8.4
Следовательно, замкнутая система устойчива и имеет вполне
достаточный запас устойчивости.
Запас устойчивости не изменится и при увеличении k, . если
одновременно увеличивать Т O так, чтобы оставалось неизменным
отношение
k
• (8:25)
у=Шс.
о
.
Пример 8 . 4 . Передаточная фующия разомкнутой САР
W=
.
k
(T1s+1)(T2s+ )(T3s+1) '
гдеk=100,Т1=0,05,Т2=0,01иТ3=0,001с:
.
_
Выясни т ь, как повлияет на свойства системы включение в ее пря м ую цепь
апериодического звена с постоянной времени Т O = 8 с .
.
По логарифмическим частотным характеристикам L 1 {w) и 'ljJ 1 (w) ' разомкну­
той САР (рис . 8.10) заключаем, что при замыкании она будет неустойчива. Ха­
рактеристики L 2 (w) и 1р 2 (w) разомкнутой САР с дополнительным апериод11:­
ческим звеном свидетельствуют об устойчивости ее в замкнутом состоянии . Запас
устойчивости по фазе у 2 = 51 °. Постоянная времени Т O дополнительного звена
имеет меньшее значение, чем следует по ранее сделанным рекомендациям, так
как значение 'ljJ 1 (w) при Ыс2• не близко к нулю. Однако получены вполне прием­
лемые результаты (достаточное значение у 2 ), поскольку ближайшая сопрягаю­
щая частота w1 создается апериодическим звеном . Рекомендации же предпо ­
лагают наихудший случай, когда эта сопрягающая частота создается колеба ­
тельны11 звеном .
Демпфирование статических систем можно
только апериодическим, но и более сложным
ренцирующим звеном с передаточной функцией
при Т0> -i:0.
осуществить не
интегро-диффе-
(8.26)
В этом случае постоянная времени Т O может иметь меньшее
значение, чем было рекомендовано для апериодического звена.
20 И.М. М а11 аров
305


Интегродифференцирующее звено с передаточной функ­
цией (8.26) обеспечивает подавление высоких частот и достаточный
запас устойчивости в астатических системах первого порядка.
При достаточно больших Т O и т 0 передаточная функция разом­
кнутой системы
(8.27)
В системах с астатизмом второго поряд!(а демпфирование
с подавлением высоких частот дает нужные результаты ,только
в некоторых случаях .
Преимущество рассмотренного способа в том, что дополни­
тельное звено с большой постоянной времени Т O представляет
собой фильтр низких частот и подавляет высокочастотные помехи .
Недостаток - значительное уменьшение быстродействия системы.
Этот недостаток сильно ограничивает применение данного способа .
2. Демпфирование с поднятием высоких частот (демпфирова­
ние с внесением положительных фазовых сдвигов). Устойчивость
и нужный запас устойчивости обеспечивают посредством увели­
чения способности разомкнутой системы пропускать гармониче­
ские колебания, частота которых выше некоторого значения ffia·
Этого достигают включением в прямую цепь САР форсирую­
щего звена с передаточной функцией W Ф = тs + 1. Оно создает
положительный фазовый сдвиг 'ФФ = arctg ffi't , который в области
высоких частот приближается к 90 ° и увеличивает амплитуду
в АФ = V 1 + ffi2т2 раз, т. е. тем сильнее, чем выше частота.
Если влияние одного форсирующего звена оказывается недо­
статочным, то включают последовательно два таких звена с по­
стоянными времени т 1 и т 2 . Тогда положительный фазовый
сдвиг имеет две составляющих: 'ФФ = arctg ffi't' 1 + arctg ffi't ' 2 .
Более значительно и увеличение амплитуды:
в
А =V1+ffi2T2V1-!- ffi2T2 раз
ф
1
•
2
•
.
При использовании реального форсирующего звена с переда­
точной функцией
\
(8.28)
где kФ < 1 и тФ )) ТФ • необходимо дополнительное увеличение
передаточного коэффициента остальной части разомкнутой цепи
1
в kф раз.
Постоянная времени ТФ ограничивает диапазон высоких
частот, на котором вносится положительный фазовый сдвиг.
Однако чем больше тФ по сравнению с ТФ• тем меньше влияние
постоянной тф·
306


Вместо последовательных дифференцирующих звеньев могут
быть использованы эквивалентные по влиянию местные обратные
связи .
Демпфирование с поднятием высоких частот является теоре­
тически универсальным способом и дает желаемый результат
практически при любой передаточной функции исходной системы,
в том числе и при наличии неминимально-фазовых звеньев.
Преимущество этого способа также в том, что увеличивается
быстродействие системы. Однако способ имеет и весьма существен­
ный недостаток : при дифференцировании сигнала повышается
уровень высокочастотных помех.
Указанный недостаток сильно ограничивает практическое при­
менение данного способа.
Пример 8.5. Выяснить, как повлияет на свойства САР, рассмотренной в при­
_ мере 8,4, включение форсирующего звена с передаточной функцией WФ =
= 0,01s+ !.
На рис . 8.11 показаны логарифмические частотные характеристики L 1 ((J))
и ~, 1 ((J)) разомкнутой цепи исходной системы и харакtеристики L 2 ((J)) и ,Р 2 ((J))
системы с форсирующим звеном. Поднятие высоких частот обеспечивает устой­
чивость замкнутой системы и запас устойчивости по фазе у 2 = 42°.
3. Демпфирование с подавлением средних частот также обес­
печивает устойчивость и достаточный запас устойчивости . Дости­
гается это включением в прямую цепь САР интегродифференци­
рующего звена второго порядка с передаточной функцией
w _ ('t1S+!)('t2S+!)
"д- (T1s+1)(T2s+1)•
(8.29)
Вместо последовательного звена можно создать эквивалентную
по влиянию местную обратную связь.
При подавлении средних частот быстродействие системы
уменьшается, но не существенно. Данный вид демпфирования наи­
более распространенный .
Пример 8.6. Выяснить, как повлияет на свойства САР, рассмотренной в при ­
мере 8.4, включение интегродифференцирующего звена с передаточной функцией
(0,01s + 1) 2
\V"д= (О,1s+1)(0,001s+1)
На рис. 8 . 12 представлены логарифмические частотные характеристики
L 1 ((J)) и ·,1, 1 ((J)) разомк~утой исходной системы и характеристики L 2 ((J)) и ,Р 2 ((J))
системы с интегродифференцирующим звеном. Подавление средних частот обес•
печило устойчивость замкнутой системы и запас устойчивости по фазе у 2 = 49 °.
Во многих случаях рассмотренные способы комбинируют
в зависимости от свойств частотных характеристик САР, устой­
чивость которой необходимо обеспечить. Может оказаться необ­
ходимым подавление средних частот с одновременным поднятием
высоких частот, усиление части высоких частот и подавление дру­
гойихчастиит.д.
20*
207


L, дБ
Ц(Jt------+~
.30
20
10
0t-----~ - -=- - - - - -:,~,--,,
10 Ш1
'10
'/',град
Otc=-------c,,------cc10c:co---+- - - -- - -::c~~
10001
1
90
180
L,Ilб
'10
30
20
10
а
r,Jpaд
(,,.),ё-1
100
700D
91
'fг(Ш)
180 - -- ---- -----
Рис. 8.11 . Логарифмические частотные ха­
рактерис1ики к примеру 8.5
Рис. 8.12. Логарифмические час1отные ха­
рактеристики к примеру 8.6
• При: ,наличии в системе консервативного или колебательного
з·вена с малым затуханием хорошие результаты дает демпфиро­
вание с введением отрицательных фазовых сдвигов [ 18]. Такое
демпфирование заключается в том, что в прямую цепь САР вклю­
чают неминимально - фазовое ·звено, например, с передаточной
функцией
1-Ts
Wд= Ts-1-1 •
(8.,30)
Звено не изменяет амплитудно-частотной характеристики
1,:ак как
А=V1+ш2r2=1
д V1 +w2Т2
'
(8 ..З 1)
но создает отрицателы1ые фазовые сдвиги
'Фд = arctg (-шТ) - arctg шТ = -2 arctg шТ. (8.32)
В результате обеспечивается устойчивость и не у зменяется
быстродействие системы.
Пример 8.7. Передаточнап фушщип разомкнутой САР
W=
k
•
s (Тfs2 -1- 2sT1s -l- 1)'
гдеk='5,Т1=0,05сиs=0,01.
Выпснить, как повлияет на- свойства САР включение в ее прямую цепь не-
1\!Инимально-фазового звена с передаточной функцией
где Т= 0,1 с.
308
1-Ts
lY,д= Ts+1 '


где
Частотная передаточная фу_нкция разомкнутой : 1:епи исходной САР
k
W (jw) са=- jwJ(l - ы2Ту) + jw21',Т iJ = И+ jV,
2sT1k
·[)=-
1- 2Ту(!'-2's2)w2+ Ttw1 """
0,005
=---~------~
l.-
0,005w2 +6,25- lo- "w4
_V=_
k(1- w2Ту)
со[l- 2TI(1 ___, 2~2)оо2+T1w4] ~
По значени·ям: И и V определим ..основны~ сведения ·_ об АФЧХ разомкнутой
САР:
п_ри
w=О
И= -,-0,005;. V =
-: -cv;
О<w<20 И<О;V<0; •
w= 20
20< w
w=. N
И= -12,5; V= О;
И<О; У>О;
И=О;V=О.
Полученные данные опреде':ляют вид А Ф Ч Х (кривая 1 на рис. 8. 13) и позво- •
ляют заклю чить , пользуясь критерием Найквиста, что исходная система при .
замыкании становится неустойчивой.
Частотная передаточная функция разомкнутой цепи САР с дополнительным
зв~ном
•
·,
•
где .
-
.
·
k (1- jwT)
.
.
\V(1w) = [(l 2т2) 1 • ?sT] (1--j
•Т)=И+1V,
]Ш.
-
ШJ--JW-
J
-
JW. .
И=_!,[2(Т+s1\)- 2ТТ1(Т1+'sТ)w2]=
.-.
·-
.
.
.
в
.
5 (0,2 - 0,00051w2) •
=-
в
'
, - V = '--• k[l-(J.'r + 4sTT1 +Т.~)w2+т2ryw4] =
wB
5(1 - 0,0127w2 +2,5-J0 -5wJ)
шв
~
В =. I + [Т2-2n(l -;-:-2s2)] w2 +[Tf-2T2Tr(l -2s2)] w4 +
+T2Тfw6= 1+0,005w2 -
4,37. i'o-5w4 + 6,25~ I0-:8w6 .
309


Jv
2
и
\>нс. 8.13. Амплитудно-фазовые частотные харак •
теристики к примеру 8. 7
По значениям И и V - определим основ­
ные данные об АФЧХ разомкнутой САР
с дополнительным звеном:
при ы=О
И=-1,0; V=-cv;
О<ы<9,87 И<О;V<О;
ы = 9,87;
И~- 0,67; Vт=О;
9,87<ы<19,85 И<О; V> 0;
ы= 19,85 И=О; V= 10,2;
19,85< ы< 20,26 И>О; V > 0;
ы=20,26 И=7,24; V=О;
20,26< ы И>О; V<О;
(i)=CV
и=О; V=о.
Полученные данные определяют вид АФЧХ (кривая 2 на рис. 8. 13) и позво­
ляют сделать вывод на основании критерия Найквиста, что замкнутая система
с дополнительным звеном устойчива .
Неминимально-фазовое звено создает дополнительные фазовые сдвиги и
АФЧХ как бы «закручивается» вокруг начала осей координат по часовой стрелке.
В результате САР становится устойчивой.
8.3 . КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Наиболее действенным способом обеспечения необходимых
динамических свойств САР является введение в нее дополнитель­
ного элемента, который исправляет (корректирует) свойства
исходной системы. Элемент называют корректирующим элемен­
том или корректирующим устройством .
Итак , корректирующее устройство - это функциональный
элемеRт системы автоматического регулирования по отклонению,
обеспечивающий необх,одимые динамические свойств 9 этой системы,
устойчивое и качественное ее действие. Иногда корректирую­
щее устройство изменяет нужным образом и статические свой­
ства САР .
• Ранее уже рассматривали такие устройства . Ниже будут рас­
смотрены некоторые их общие свойства, что помоR1ет решать
задачи их выбора.
Корректирующее устройство можно включать в прямую цепь
системы последовательно (рис. 8.14, а). Такое последовательное
корректирующее устройство W,й включают непосредственно
после элемента сравнения или после предварительного уси ­
лителя.
Широко используют также включение корректирующего
устройства W" 2 в виде обратной связи, чаще всего отрицательной
(рис. 8.14, 6) . Такое корректирующее устройство называют парал ­
лельным. Оно охватывает обратной связью исполнительный
элемент или оконечный каскад усилителя .
310


Рис. 8.14 . Структурная схема САР с корректирующим устройством :
а - по следовательным ; 6 - параллельным; в
-
п р ямым паралл е льным
Передаточную функцию участка цеш _ ..:, параллельным коррек ­
тирующим /устройством (рис . 8 . 14 , 6) вычисляют по формуле
(8.33)
Обычно в достаточно широком и наиболее существенном для
качества системы диапазоне частот требуют , чтобы
(8 .34)
и тогда в этом диапазоне частот
-
.
1
wэ (J(!)) ~ -
.
'
W2к (Jro)
(8 .35)
т . е . при удовлетворении неравенства (8 .34) свойства цепи
с параллельным корректирующим устройством определяются
только лишь свойствами самого корректирующего устройства .
Указанное обстоятельство является большим преимуществом
параллельного корректирующего устройства, так как свойства
участка цепи W 2 и изменение его параметров не влияют на свой­
ства системы . Другое преимущество такого включения в том ,
что на корректирующее устройство поступает сигнал с выхода
мощного элемента, и после преобразования сигнала его усиления
не потребуется.
Параллельное корректирующее устройство можно включить
также и в цепь основной обратной связи САР [62] .
Применяют и третий вариант включения корректирующего
устройства Wкз - параллельно одному из участков ее прямой
цепи (рис. 8.14, в). В этом случае корректирующее устройство
называют прямым параллельным .
Прямое параллельное корректирующее у стройство имеет,
вообще говоря, меньшие возможности , чем два други х . Однако
иногда такое устройство при меньшей сложности обеспечивает
необходимое преобразование сигнала .
Пусть , например,
W,
W
kкз
з=''зи I<З = -
Ts+1
311


Тогда передаточная функция участка цеriи с этим прямым параллельным
кар ректи рующим устройством
где
fгэ (-i:3s + 1)
Wэ .== W3 + \17кз =-----
Ts+ 1
Следовательно, при малой разности /г3 _: _ kкз получают реальное форсирую •
щее звено с большой постоянной времени дифференцирования. ·· •
.
_
При выборе прямого параллельного корректирующего .устрой­
ства могут быть полезными данные табл. 2.5 .
в· ряде случаев возникает" задача выбора вида корректирую­
щего-, устройства . Приводимые ниже формулы позволяют по пере­
даточной функции, которую должно иметь корректирующее
устройство, определить передаточную функцию эквивалентного
ему корректирующего устройства другого вида . Корректирующие
устройства различного вида эквивалентны, ·если они .•создают
один и тот же эффект, одно и то же преобразование сигнала на
участке цепи с корректирующим устройством.
Формулы эквивалентности корректирующих усrроrств .таковы:
l-· W 1~1
W2Wк1 ,.
W--
.
Wкз•..
к2-
W2 _(Wз .-+. Wкз)' .
Wкз = • Wз (Wкi-1);
-W ~ _ W~W~Wк2
•
кЗ-
1+ W2Wк2 •
(8.36)
(8.37)
..
(8.38)
-
(8:39)
(8.40)
(8.41)
Если значение · перед-а.точной . функции W" 2 р трицател~ное,
то это означает, что параллельное корректирующее устроиство
представляет собой положительную -:обраrную связь.
Во многих случаях необходима сл.ожн·ая коррекция дина!\!!иче­
ских свойств САР. Тогда вместо одного корректирую·щего устрой­
ства удобно использовать_ два · более пр~стых.
•
. Последовательному
корре'ктирующему устройству (рис. 8.14, а)
эквивалентно , сочетание параллельного и прямого параллель­
ного, если их передаточные функции удовлетворяют равенству
1·+ Wкз
I + w;;"2 = w1<1·
(8.42)
312


Параллельному - корректирующему устройству (рис . 8 . 14, 6)
эквивалентно сочетание последовательного и прямого параллель­
ного корректирующих устройств, передаточные функции которых
удовлетворяют равенству
(8.43)
Прямому параллельному корректирующему устройству
(рис. 8 . 14, в) эквивалентны последовательное и параллельное кор­
ректирующие устройства с передаточными функциями, удовлетво­
ряющими равенству
'/
(8.44)
Весьма эффективны нелинейные корректирующие устройства .
Однако их расс.мотрение выходит за рамки данной книги.
'•,
'1.
•
8.4 . КОМПАУНДИРУЮЩИЕ СВЯЗИ
В некоторых объектах регулирования можно обнаружить две
физические величины, которые зависят от одних и тех же внешних
воздействий и взаимосвязюJ:ы .
Если одна из этих величин - у является регулируемой, то
другая - у 1 может быть использована для создания дополнитель­
ного воздействия на регулятор . Такая дополнительная связь
внутри замкнутого контура регулирования по отклонению назы­
вается компаундирующей. Существуют два основньiх вида компа-
ундирующей связи.
_
Ко.мпа!)ндuр[jющая связь Wкс• образующая второй канал воз­
действия возмущения, может быть создана когда в объекте регули­
рования возмущение Г воздействует на регулируемую величину у
через какую-то промежуточную величину у 1 (рис . 8.15, а) . В этом
случае регулирующая величина z влияет на Yi только через у ;
Компаундирующая -' связь · в. общем -случае состоит из датчика
и компенсирующего элемента . Если у 1 есть электрическая вели~
чина, то надобность в датчике ·отпадает . Компенсирующий элемент
преобразует сигнал так , чтобы компенсировать влияние возму­
щения f на регулируемую величину у .
-
Система с компаундирующей связью описывается передаточ -
IIыми фуНКЦИЯМ:И: '
-
разомкнуто~ цепи
W=
Wo .W11W2W3
-·
(8 45).
1 + W1 2W1 3- W1-;W2WкcW13 '
-••
ёirноtйтел_ьно задающего : воздействия
-
Wg= t+ww·
iv-ww11;2wwз +w w w w -,
.-,
.(81.46)
12 13-
._
1i,2к~13 •_о,:11:2_3
... ,,, ,,
_,_,_
,., ...
313


у
о)
Рис. 8.15 . Структурная схема САР с компаундирующей
связью:
а - образующей второй накал воздействия возмущения;
б - не образующей такого канала
относительно возмущения
-
W14 (W12 - W11W2Wкc)
Wr = 1 + W 12W 13 -W11W2WкcW18 +W0W11W2Wэ ' (8.47)
где W 11 , W 12 , W 13 , W 14 - передаточные функции элементов
объекта регулирования; W 2 , W 3, W0 - передаточные функции
элементов регулятора.
При выполнении компаундир х_ющей связи с передаточной ·
функцией
(8.48)
передаточная функция Wr относительно возмущения обращается
в нуль. В этом случае возмущение f не оказывает никакого влия­
ния на регулируемую величину у, т. е. достигается полная инва­
риантность (независимость) у от f . Равенство (8.48) есть условие
полной инвариантности и оно, вообще говоря, может быть реали­
зовано, ибо существуют два канала, по которым возмущение f
воздействует на регулируемую величину у. Один канал (естествен­
ный) состоит из элементов с передаточными функциями W 14
и W12. Другой образован компаундирующей связью и состоит
из элементов с W14, Wкс• W2 и W11·
314


Вероятнее всего, что из-за инерционности элемента с W 2
условие инвариантности не может быть реализовано полностью -
не может быть физически осуществлена компаундирующая связь
с передаточной функцией, определяемой равенством (8.48). Тогда
компаундирующую связь выполняют лишь приближаясь к этому
равенству и достигают частичной инвариантности или инвариант ­
ности с точностью до малой величины е. Однако и в такой ситуации
влияние f на у уменьшается весьма существенно.
Возможность достижения того или иного вида инвариантности
регулируемой величины от основного возмущения является
большим преимуществом рассматриваемой структуры.
Однако компаундирующая связь оказывает отрицательное
влияние на устойчивость системы, так как она и элемент с W 13
являются положительной обратнрй связью, охватывающей эле ­
менты W 11 и W 2 прямой цепи. Это влияние может быть компен -
. сировано
соответствующим выбором корректирующего устрой ­
ства в прямой . цепи системы.
Генератор постоянного тока с независимым возбуждением может служить
примером объекта, который позволяет осуществить компаундирующую связь,
образующую второй канал воздействия возмущения . В этом rлучае регулируемой
величиной является напряжение иг; возмущением - напряжение у потреби­
теля ин, изменяющееся при изменении мощности на грузки; величиной, харак­
теризующей действие объекта, является ток iг; регулирующим воздействием
ток возбуждения i8 •
При обычных допущениях (скорость вращения генератора неизменна и
его магнитная система не насыщена) указанные величины связаны следующими
уравнениями:
Uг=kгiв - (LaP+Ra)iг;
(LлР + Rл)iг = 1/-г - Uн,
где kг - передаточный коэффициент генератора; La, Ra, Lл, Rл - индуктив­
ности и сопротивления соответственно обмотки якоря генератора и линии , соеди­
няющей генератор с потребителем.
После преобразования этих уравнений по Лапласу при нулевых начальных
условиях можно определить передаточные функции элементов объекта:
где
1
W 11 =kг; W12 =Ra(Tas-t -1); W1з=W14= Rл(Тлs-!-1);
La
Та=--;
Ra
Очевидно, что стрУ,ктурная схема генератора постоянного тока такая же,
как у объекта , изображенного на рис. 8. 15, а . Следовательно, в системе авто­
матического регулирования напряжения генератора можно создать компаунди­
рующую связь для компенсации влияния возмущения. Такую возможность
широко используют .
Компаундирующая связь, не образующая второго канала воз­
действия возмущения, получается в том случае, когда возмуще ­
ние f влияет на промежуточную величину у 1 через регулируе­
мую величину у (рис . 8.15, 6). При этом регулирующая величина z
315


рбычно влияет на . регулируемую величину у через промежуточ­
ную переменную У1•
Система описывается .передаточными функциями: разомкну ~
той цепи
W=
WoW11\V1;W2Wз
1 + W1}1\!'13 - W·121V2IV1;c
, - (8,49)
относительно задающего воздействия
W=
_
_
__
W11W12W21V 3
_
'_
-
_
g • 1+ W11W13- W12lV2lVкc + W01\!'11\V12W2W3
(8.50)
относительно · возмущения
W--
_:__ _Wи(I-W12W2W,~c)
•
f ===- ·.
1.: + o/11W1 3 -:- W12W~W ~\C + W0W11W_12W·~:W~
·,
- (8 ,51)
~;
rдe·Wi1,- W12, W1~.
• W14 ~ передато,чнъrе . фу"н~ции э~~~ёйт6~
объекта регулирован~:rя; W 2 W 3 W0 ~-пер·едаточнъrе функции _ эл·е-:.
ментов р~гулятора. -• _
-
.
-
,
,;.,.
.:..
-·-.
•_
-, •·-
':
, __;
,,
•-
,Передаiочная функция ~, :обраЩаетс1 в нул~ tIPJ-! вь1полщ/н:J!~
- КQМПаунди'рующей СВЯЗИ .С дередаточs:ой : функщ1ей
-
-
__
:· , ]акй~ об'рhзом,. это :р_авеш::iвь _ я~ляется условцем нез;шисf!мо ~
сти (инвариантности) регулируемои координаты у or ВQJму щ~_­
ния f. Однако , как пр~вило ,.;компенсliрующая цепь не может быть
выполнена с передаточной функцией .Wк с • удовлетворяющей
равенству (8.52). Удается лишь урав·нять свободные члены и коэф ­
фи_ци~I:Iтыпри ~JJ_адщи,х цепенях sледой и. правой частей,равенс.тва,
-коюрое получается .из : ра-венства - (8.52) после · подс:r'ановки в него
_;знач;ени~ . передатОЧf:\ЫХ функций wr< c• -w 1 'И w ~.: При этом ДОСТИ '­
тают .не · полн.ой : а ·.J:цшiь частичной и:нва:риаатночri' у о;т f. Все же
влияниеf на :.1/ значительi-rо' уменьшаетсяL. >
,,
.· ·•
•
•
•
•
К:омпаундирующ?_Я св.язь, весьма заметriо вцияет на устойчи­
вость системьi и:качество воспро ~ ведёния задающего воздействия ,
поэтому оказывается необходимым корректирующее устройство
в прямой цепи системы.
Примером объекта, КОТО{ЩЙ позволяет" создать компаундирующую связь
рассмотренного типа, может служить электродвигатель постоянного тока с неза­
,Ji!иси.м:ь1м I вqзбуждением. В. этом случае регулцруемая ~,еличина ---, -- - с 1щрость
-11раще_ния . якоря, w; ~,озмущение----,-- момент сопроти~,ленця т; i,i;opaя ~еличина.,
.характерцзу;ющая_ дейст~,ие двигатеJJя ; ~ ток якоря. i_; регуJJирующая ~,е,11ичина--,­
,напря.Jющ_ие_ и_, приложенное к обмотке_ якоря. _
Ура~,нения "электрод~,игателя
(LaP+Ra)i=и- Cew;
,(!р:fС)0~ = Cml - т-,
·г-де ·La;,. R a ---,- индуктивност. ь и -соп-ротивление обмотки -якоря ; : 1 - -момент , ин е р­
JJ.ИИ "'йкор·я. .и связанj-~ь,~ х: .с:.ниilf : вр11щащщи х~я ,масс; Се·,, G, ~C,ii .:. .. постояннr;iе..


После преобразования уравнений по Лапласу при нулевых начальных
условиях определяют передаточные функции элементов электродвигателя:
Q
k11
Q
k12
w11=-!
-
= тмs+1, w12=м=тмs+!,
где Q, !, М, И - соответственно изображения, переменных w, i, т, и;
·k
_
Ст. k
I.k
Се.
,.
1
Т
I.Т
La.
11-
С'
12 =С'
13=Ra' ~?н=Ra; М=Т;..·а==.Ra:
\
Структурная схема электродвигателя т·акая же, как и у объекта · регулир.о~
вания на рис. 8. 15, 6. Следовательно, в системе автоматического регулирования
скорости вращения электродвигателя можно создать компаундирующую · свЯ:;!Ь
(обратную связь по току), .которая однако не · образует второго " канала . воздёй,
ствия возмущения на регулируемую величину. Такую возможность широко
· используют в . автоматизированных электроприводах .
8.5 . КОМПЕНСАЦИЯ . ВЛИЯНИЯ
ЧИСТОГО ЗАПАЗДЫВАflИЯ ОБЪЕКТА
Многие промышленные объекты регулирования имеют чистое
(транспортное) запаздывание, которое значительно ухудшает
переходные процессы, уменьшает запас устойчивости и может
быть причиной неустойчивости САР (см. п. 6.7).
Для компенсации такого нежелательного $.ция~и.я;:/ЧJJ:ttого
-з.апаздывания объекта можно использовать : допрлни1~щ,нi~ -: ~,·
ратную связь, содержащую устройство . предв11р~f!ИЯ~ ,И;JJИ: JIIOJe.й::
ный упредитель (34]. Структурная схема . такой САР . Jю1щзана
на рис. 8.16.
,
••
•
Если передаточная функция упредителя .W У : . :W 1 (1 .- :2- е~89;
то передаточная функция САР относительно. задающеrо .. воздей,
ствия
-
'
где wle-0 s и w2 - передаточнь,е · · фуf!К!J)ГИ _~oбъ_e~ic1- ·~ ~q6r~~{
ственно относительно регулирующего : ffоз:п:ейtтвюr· и ·: -во:зиуnt(\~
.
....
.
'\..:: .~-:
::: ~2~~ш:Iя~~геfь:~~~:~
.
- ...
.
.
'......-
-'12-- -- - -
Этой
передаточной •
функции соответствует
структурная схема, изоб-
Рис. 8. 16 . Структурная схема СА Р
с компенсацией влияния . чистого
запаздывания.
g
!}
\.>
311.


9
Рис. 8.17 . Эквивалентная структурная схема
САР с компенсацией влияния чистого запаз w
дывания
раженная на рис. 8.17, т . е . САР с дополнительной обратной
связью Wy можно рассматривать состоящей из з амкнутого кон ­
тура с элементами W 1 и W 2 и звена чистого запаздывания. Пере ­
даточную функцию WP регулятора следует выбирать так, чтобы
этот замкнутый контур был устойчив и обеспечивал необходимое
качество регулирования, а переходная характеристика относи ­
тельно g действительной САР лишь отставала во времени на 0
от переходной характеристики замкнутого контура эквивалентной
схемы.
Передаточные функции рассматриваемой САР (см. рис . 8 . 16)
относительно возмущений f 1 и f 2 соответственно :
(8.54)
(8.55)
Передаточной функции Wt, соответствует переходная харак ­
теристика hf (рис. 8.18), которая представляет собой импульс про­
должительностью около 28. Фронт и срез импульса определяются
видом передаточных функций соответственно W 1 и 1 ;~~V'i w1••
Переходная характеристика, соответствующая передаточной функ­
ции Wt, , также представляет собой импульс продолжительностью
около 20, но начинается импульс при t = О . Его фронт и срез
определяются соответственно передаточными функциями W 2
WpW1 W
и 1 +WpW1
2•
Упредитель с передаточной функцией W = W 1 (1 - e -0s)
можно выполнить [34] по структурной схеме~ приведенной на
рис . 8.19. Звено с передаточной функцией W 1 представляет собой
тrассивный четырехполюсник постоянного тока и УЗ есть блок
запаздывания, имеющий время запаздывания 0.
8
318
Рис . 8.18. Переходная ' характе­
ристика по возмущению fi
Рис. 8. 19. Структурная схема
упредителя


8. 6. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Во всех рассмотренных методах стабилизации и обеспечения
высокого качества регулирования цель достигается соответствую­
щим формированием сигнала , поступающего на исполнительный
элемент регулятора. Для этого регулятор дополняют специальным
элементом, задачей которого является необходимое преобразова­
ние сигнала.
В САР , используют преобразовательные (корректирующие)
элементы с весьма различными свойствами и различной физиче­
ской природы. Наиболее широко применяют электрические преоб­
разовательные элементы постоянного тока . Ниже рассмотрены
основные из них .
Пассивные четырехполюсники постоянного · тока - это элек ­
трические цепи из резисторов , конденсаторов и индуктивностей .
· Основные
типовые схемы таких четырехполюсников и формулы
для определения их передаточных функций Wн при нагрузке и W
при Rн = оо приведены в табл. 8.1 . При последовательном соеди ­
нении резистора с сопротивлением R;, конденсатора с емкостью Ci
и индуктивности L; полное сопротивление отдельных участков ,
записанное в операторной форме:
Z- = R-+L-s+_1
_
= C;L;s2+R;C;s+1
'
'
'
Cis
Сis
'
при параллельном соединении рез истора с сопротивлением Ri
и конденсатора с емкостью С;
1
Zi=_1
_
_
_
Ri +C;s
Пассивные четырехполюсники собирают из дешевых стандарт ­
ных деталей, если не используют индуктивности . Они надежны
в эксплуатации, так как не имеют подвижных изнашивающихся
.частей . Разнообразие во з можных схем весьма велико и в каждой
из них в широких пределах можно изменять ее параметры . Следо­
вательно, четырехполюсники могут осуществлять весьма разно­
образное преобразование сигнала (напряжения постоянного тока) .
Их сочетание с другими электрическими элементами обычно
не вызывает затруднений . Благодаря перечисленным положи ­
тельным свойствам пассивные четырехполюсники постоянного тока
широк о применяют в САР самы х ра зличных классов .
Недостаток пассивных четырехполюсников в том , что они
ослабляют сигнал вследствие потерь энергии в резисторах .
Поэтому при и х исполь з овании необходим дополнительный уси ­
литель , либо нужно увеличивать передаточный коэффициент
имеющего у силителя.
Электрические сх емы четырех полюсников , используемых на
практике , и основные сведения о них приведены в табл . 8 .2 . Пере ­
даточные фу нкции определены в предположении , что нагрузка
319


ci.
о
"'
о
"'
:~
1
2
3
4
;.
5
6
7
...
8
' 320
Табл ица 8.1
Типовые схемы пассивных четырехполюсников постоянного тока
Элен.трнчес 1'\ая схема
Передаточные функции, \\7 при
четыр е хnолю с ника
Zн = ro: \\7н при нагрузке
z,
~о,.\V=_z
_
2_.
\V,, =
Z2Zн
21 -J- Z2'
21Z2+(z1+22)211
.J
'
~
l
W=c
Z223
и
91.
21(22+23) +Z223 '
\!lн =
22Z32н
-
Z122Z3 + [z1 (22 + Zз) + Z223] 2н
:!tl
(z1+22)23
'.
~f:
W=
'
-~
(21+22)Z3+21Z2 '
.
-~-.
-
l .,д
U'I =
(21 + 22) 232н
.
-
,-:
.Н. ·z1Z223+(2122+(21+22)23]Zн
z;
W=
Z3 Z4
l'
(z1+23)(z2+24)+2123 '
±Q:9z•
Z3Z4Zн
\V,.. =
Z4[(z1+22)23+Z1Z2]+
+((z1+Z3)(z2+Z4)+21Z3]2н
z_, _
U'I = (z1+22+Z3)Z4+22Z3
-
1
]_
(Z1+23)(Z2+Z4)+2224 '
-
z,,Q ZJ
l
[(z1+Z2+Z3)Z4+2223]Zн
и, z,
и7 Qz,,
\\1/,, =
[z2(23+24)+z3z4]Z1+
0---
-
~
+[(z1+-23)(z2+24)+Z224]Zн
W=
[(z1+22-f--Z3)24+22Z3]25
z,_
[22(Z3+-Z4+-25)-f--2324]Z1+-
'
1
+[(21+Z2-f--23)Z4+Z2Z3]Z5
-
z,Q
-
,
z,
и1Qz"
[(z1+Z2+Z3)Z4+Z2Z3]Z5Zн
и,.
z,
_
z,
-Wн =
-
[z2 (zз + Z4) + Z3Z4] Z1Zь + [(Z1Z3 -f --Z3Z5 +-
-
J
+-Z5Z1)(z2+Z4)+ (z1+Z5)Z2Z4]Zн
,.
•z4Z5Z6
...
\V=
(Z3+Zв)[(z1 + Z4) (22+.zБ) + Z124] + '
. ._f;_
1
z_,
'
;;
+25((z1 -J-Z2) Z4+Z1Z2]
-
z,9 z;9
и,
z,
u,Qz;. 11'1н =
Z 4 Z5ZвZн
,;
;;
[(z1+ Z4) (Z2Z3+ z3Z5+Z5Z2) +
+ z1z4 (z3 +z5)]z6+ {(z1 +z4) [(z2+z5) (z3 +
,.
+z0)+z2z5]+z1 z 4 (z3 +z5 +z6)} Zн
_tpJ,
W-
_
z_2 _
_
_
2_4_ .
•·и, z,
zJ иг. Qz.
-
z1+22
z3+z4'
(Z2Z3 - Z1Z4) Zн
\Vн =
(Z1+ Z2)Z3Z4+Z1Z2(Z3+ Z4)+
z,
z,
-
.
+ (z1+z2)(z3+ z4)Zн


отсутствует: Rн = оо . Цифрами +20; +40; -20 и -40 указаны
наклоны асимптот ЛАЧХ в дБ/дек. Ординаты L 0 и L "" могут быть
определены следующим образом :
Lo= 20lgАоиLoo= 20lgАоо.
Если знаменатель передаточной функции четырехполюсника
представляет собой двучлен a 0 s2 + a 1s + 1, то постоянные вре ­
мени Та и Т,, определяют по формулам:
при
при
ai<4аоТа=Ть =у~.
Постоянные 'ta и --rь определяют подобным образом по дву ­
члену b 0 s2 + b 1·s + 1 числителя передаточной функции .
По характеру преобразования сигнала четырехполюсники раз­
деляют на следующие группы:
1) дифференцирующие четырехполюсники (No 1-26 в табл. 8.2)
в определенном диапазоне частот осуществляют дифференциро­
вание сигнала, создают положительный сдвиг по фазе;
2) интегрирующие четырехполюсники (No 27-43 в табл. 8.2)
в определенном диапазоне частот осуществляют интегрирование
сигнала, создают отрицательный сдвиг по фазе;
3) интегродифференцирующие четырехполюсники (No 44-62
в табл. 8.2 .) в одних диапазонах частот проявляют дифференци­
рующие свойства, в других - интегрирующие;
4) неминимально-фазовые или фазосдвигающие четырехполюс­
ники (No 63-66 в табл. 8 .2) создают значительный отрицательный
сдвиг по фазе. При этом четырехполюсники No 65 и 66 не изменяют
амплитуду сигнала, являются динамическими звеньями с беско­
нечной полосой пропускания;
5) антивибратор (четырехполюсник No 67 в табл. 8 .2) при
1
частоте ffi = ~ не пропускает сигнала.
В ряде случаев возникает необходимость иметь корректирую ­
щее устройство с передаточной функцией, равной произведению
передаточных функций. двух (или более) четырехполюсников .
Последовательное соединение этих четырехполюсников может
не дать желаемых 'результатов, так как последующий четырех­
полюсник нагружает предыдущий; передаточная функция нагру­
женного четырехполюсника иная, чем указано для f!его в табл. 8.2.
При последовательном соединении двух пассивных четырех­
полюсников между ними необходимо включить разделительный
(буферный) усилитель . Сопротивление его входной цепи должно
быть весьма большим . Иногда допускают непосредственное соеди­
нение двух четырехполюсников , если все импеданщ,r последующего
21 И. М. Ма"аров
321


с,.,
-~
Табл~ща 8.2
Пассивные <:етырехполюсники постоянного тока
No
Передаточная фунн:ц ия, значения ее парам етров и значени я амплитуд
Асимптотическ ая
Электричес]{ая
логарифмическая
по
схема
А0=А(О)иА00= А(оо)
а мплитудно-ч а стоти ая
пор.
характеристш< а
~
L
l
ks
т
и)
1
\V=
k=Т=RC; АО=0; А00=1
о
Ts+1'
Аоб/аек
z
1
..
W=
ks
k=R2C;.Т =(R1+R2)С;
~~
Ts-+1'
2
:R,
~'
АО =0;
R2
А00= R1 +R2
W=
ks
k=RC1; Т=R:(C1+С2);
~
1
R~С~~
Ts-F-1 '
Li
!__
·з
и,
0i
т;w
С1
АО=0; А =
-
i<1
ka fL-
о:,
С1 +с2
•
об/дек
i
W
ks
.
k_ R2R3C .
(
R1R2 )
,~
=rs+T'
-
R1+R2'
Т= R3+ --yг-.J__R_ С;
•R Qc··,Q
.
112
4
и,,R, Rз
и,
-
А0=О; А =
R2Rз
00
R1R2 + R1Rз + R2Rз


~
-
*
(,-,
""
~
5
6
7
~
~
111-----;,, ~
с,R
U1
Uz
с
-
11'
2:r 11'
flS----;,CJ';:-~
R, С1R
и,
с1 U2
11'
2т
r;1
Qj~
9
R,С
~
'
_
k(1:s+1). k=
R2 ; ,:=R1C;
W- -Ts+1 '
R1+R2
R1R2C
Т=k,: = R1+R2'
W=~(--иs+1).
тs+Т'
Т=k,: = C1C2R
С1+С2 ,
W=~(1:s+I).
Ts+1 '
R2
Ао= R1+R2' Aro = 1
k=
С1
С1+С2; 't =RC2;
Ао=~С1
С14--С2; Aro = 1
С1
k= с1+С2' ,. = R2C2;
Т= (R1+R2)С1С2.
С1+с2 '
С1
Ао= С1+с2 '
R2
Aro= Ri+R2
/
w= ~('tS+1).
Ts+l'
Т= (R1+ Rз)R2C
R1+R2+Rз '
k(1:s+ 1).
W= -i5+Т•
k_
Rз.
-
R1+R2+Rз'
А
Rз
о= R1+R2+Rз'
,: = R2C;
Rз
Aro= R1+Rз
Rз•
k= R1+Rз' 1:=(R1+R2)C;
(
R1Rз_) С;
т= R2+ R1+Rз
Rз
Ао=R1+Rз '
А = (R-1+ R2)Rз
ro
R1R2 + R2Rз + RзR1
1
[
т
{,)
о
L
oh--+ ---~ -


~
No
по
пор.
10
11 11
11
~
,1 1\__/
13
Электрическая
схема
Re~
-~
R,
2R
~R9
и,
4
U2
~
~
ф--6-,-,~ ~
и,
:~~ Ul
"'
"'
~/
1 --..- 1
11 с2
"'
с, ··
u2
Rz
R,
U2
1
Передаточная функция, значения ее параметров и значения амплитуд
А0=А(О)иАсо=А(со)
k('ts+1).
R4
•
.
W=-тs+1' k=R1+R2+R4' 't=(R2+Rз)C,
[
(R1+R4)R2]с А
R4
.
Т~ Rз+R1+R2+R4 ;
0 = R1 +R2+R4'
А=
R4(R2 +Rз)
со (R1+R2+R4)Rз+ (R1+R4)R2
k('ts+ 1).
W=
Ts+1'
Т=
L1.
•
R1+R2'
W= ~('ts+1)
Ts+1 ;
R·
k.
2
•
=
R1+R2'
А
R2.
о=R1+R2 '
k=~
R1+R2 '
L
't= _1.
R2'
А=1
со
L2
't=74:·
L1 +L2
Т= Ri+R2'
R2
АО=R1+R2 ,
L2
Асо= L1+L2
W=
k('ts+1)s
k= R2RзC2 ; 't = R1C1;
a0s2+ a1s+ 1
Ri+ R2
а0 =k't;
• R1R2
(1R1R2)
а1= R1+R2 С1+ Rзт R1+R2 С2 ;
Продолжение табл. 8 .2
Асимптотическая
логарифмическая
амплитудно-частотная
характеристика
См. эскиз п. 7-9
L
tw
о h--+ ------:;;, '---
~
L'frw
о'
L,,
L0o
~
1
1
L
'fТьw
о
+20дБ/де.х
+20дБ/дех т
,1
Ао=О;А1=1
1,
1


(,>
t-:>
ел
!14
!
15
16
17
!
ц,
-,1
~'r
l
и,
L,
.и2
Ic2
<11
rzl
~с,
и, R,
Ul
R1 С,•С1
:~r:,
k (-i:1s + 1) (-i:2s + 1).
W=
a0s2+ a1s+ 1
,
k
R2.
=
Ri+R2'
't1 = R1C;
L1.
R1CL1 .
R1R2C +L1
а1=
't2= R2 ' ао = R1+R--;'
R1+R2
,
А'_R2.
0-R1+R2'
А00=1
W=
k(b0s2+ b1s+ 1) .
С1 . b0 =L1C2;
a0s2+ a1s+ 1
k= С1+с2 '
L1C1C2 .
(R1 + R2) С1С2
Ь1 = R2C2;
а1=
ао= -с;:-+С2 '
С1+с2 '
А= С1
о С1+С2 А00=1
ks2
k ~ R1R2C1C2 ;
W=
a0s2 +a1s + 1
,
а0= R1R2C1C2; а1= R1C1+ (R1+ R2)С2;
А0=О; А00=1
W=
ks2
k = R2R 3C1C2;
a0s2 +a1s + 1
а0= (R1R2+ R2Rз+RзR1)С1С2; а1=(R1+ R2)С1+ (R2+Rз)С2;
АО=О; А =
R2Rз
00
R1R2 + R2Rз + RзR1
!
J_
Th
w
!L
1
Тьw
о
:1
1
L
Ть t,J
q
1.
Та Ть
w
1


<,.:,
tv
О)
No
по
пор .
18
19
20
21
и,
Эле1<тр ическая
схема
с
.
:',~ ~
L,
~·
~~
~
~с1 1' 111
и,
С1R
'
и1
Передаточная фун1<ция, значения ее параметров и значения амплитуд
lA0=А(О)иА00=А(оо)
W= k(i:s+ 1)s
i1o52+а1s+ J
k==а1=RC;
L1.
1:=т,
ао=CLI; Ао=О; Аоо=1
W=
ks2
.
aos2+a1s+1' k=ао=CL1;
а1=RC; Ао=О; •А1=1
W=
k(i:s+ 1)s .
k=RС·
a0s2 +a1s+1 '
2'
а0=(L1+ L2)С; а1=(R1+R2)С;
L2
А00 = L1 +Т;-
L2.
1:=7[;•
Ао= О;
W= k(i:s+ 1)s
a0s2+ a1s+ 1
k=R2(С1+С2);
i: _ R1C1C2 .
-с-;-+с;-• ао = R1R2C1C2; а1 = (R1 +R2) С1 +R2C 2 ;
АО=0; Аа:,= 1
Продолжение табл. 8.2
Асимптотичес 1<ая
лога рифмическая
амплитудно-частотная
харак_тер истика
1/.1
L
'fTaTьuJ
о
l
L
lj,
w
о г--..--7'"---
L
t
О11
L_
:
+20дб/iJе~
+чОдб/оек
+20 дБ/дек
1
1
'f
Ть ц)


(;j
't- .:)
-.:i
22
23
24
25
и,
и1
--i:rcr.c
1U,
:,
R1•и,
L,
и,
и,
Uz
k(i:1s+ l )(i:2s-fl).
_
.
_
.
\17 =
2+
+1 , i:1-R1C1, i:2-R2C2,
a0s
a1s
k_
RзR4
.
-
R1(R2+Rз+R4)+Rз(R2+R4)'
=R1Rз(R2+R4 )C1+R2 ! R1(Rз+R4)+RзR4]C2. а =ki:i:.
ai
R1(R2+Rз+-R4)+Rз(R2+R4)
'
0
12'
А0=k;
А00=1
\17 =
k(i:s+ \)s2
k = R1R2C1C2;
.
L1.
a0s3+a1s2+a2s+ 1
't=Ri,
а 0 = R2L1C1C2; а1 = L1 (С1 + С2) + R1R2C1C2;
а2=R1C1+ (R1+ R2)С2; АО=0; А00= 1
k(i:1s+l)(i:2s+l)s •
k=R2 (C1+C2);
W= аоsз+a1s2+a2s+1,
L1•
i:1= R2 •
R1C1C2 .
't2 = с1 +-с;- , ао = R1L1C1C2; а1 = L1 (С1 + С2) + R1R2C1C2;
а2=R1C1+R2(С1+С2); А0=О; А00= 1
W- k .(bos2+b1s+1) ; k=__!iз_; Ьо =R1R2C1C2;
-
a0s2+a1s+1
R1+Rз
\R1R2R3C1C2
(С+С)+ R1RзC2 .
Ь1=R2(С1+С2); ао= R ..LR ; а1=R2 i
z
R1+Rз,
113
А-~
0- R1+Rз А00=1
L1
'
f,
Тьw
о /тс'--+"--t-=--7"'--
L
1
li
о
т,: Ц)
'
'
+20 дб/де,
о
+20дб/дек
+40дб/дек
J
11111
т;т,;rь~т;ш
•
• iU5oa6/iJe11;1
1 /+20дб/iJe!J
f
1/+lf0iJ5/8CII
-+2Одб/iJек
/
711
LI~~r,;Тьи)
1~
117
--


с,:,
ts:,
00
No
по
пор.
26
27
28
29
30
Электрическая
схема
r:jf·+ -i'
R, R,Г1RJои
и,
R,Y Rs
z
:-тr.
g)I
cJ U2
gJ
~~
и, c;r: 2
91
2
91
~
:_х
:::R2
~
cf~
Перед аточная функция , значения ее параметров и значения амплитуд
А0=А(О)иА00=А(оо)
\\7= k('t1S+ 1)(-i:2s+ 1).
a0s2 +а1s+1) '
't1=R2C1; 't2=RзС2; k=R4R5
~в-;
ао= [R1 (R4+ _Rs) +8R4RsJR2RзC1C2; а1=iг{[Ri(Rз + R4+ R5) +
+ R4(Rз+ Rs)JR2C1+ [(R1+R2)(R4+Rs)+R4RsJRзС2);
В=(R1+R2)(Rз+R4+Rs)+R4(Rз+Rs); Ао=k;
А=
R4Rs
00
R1 (R4 +Rs) +R4Rs
1
W=
Ts+ 1
T=RC; АО= 1; А =0
00
\\7 =
k
С1.Т=RC1C2
Ts+1'k=С1+с2 '
С1 +С2
АО=k; А00= О
k
W= Ts+1
R2
k=Ri+R2'
Т=
L1
R1+R2; АО=k; А =0
00
k
\\7= Ts+1
R2
k=R1+R2'
т= R1R2C .
R1 +R----;'
А0=k; А00=О
Продолжение табл. -В.2
1
1-
Асимптотическая
логарифмическая
амплитудно-частотная
характеристика
L
,
о r-г--r----t~t--"---i,--
L_
L
7
ти)
о
-20дб/ifes
1
L LI.. -!
u!
о г-tz:---
-20дб/дек


31
§
33
----
/
34
/
\__
-
-
35
36
с,,
~
~~
:
c2r C3I :2
~
U
u2
с
111
I 111
и,
R,]
Rz
RJ u1
с::
'
"R- ~
-
\и,R,RUz
)'
'
R,
С
:
~
и, crи,
111
111
~
:•г,CzJи;
1
k
С1 . Т= R(С1С2+С2С3+С3С1)•
W'=
Ts+ 1
k= С1+С3'
с1 +сз
'
АО= k; А00 =0
,/
W=
'tS+J
т= R2C; Т=(R1+R2)С;
Ts+1'
Lj
11
о
тти)
А
R2
· 1 -ZOilб~
АО=1;
00= R1+R2
-
W=
k(тs+1). k
Rз.т=R2C;
Ts+1'
= R1+Rз'
Т= R1R2+R2Rз+RзR1С·
R1+Rз
'
АО=k; А =
R2Rз
00
R1R2 + R2Rз + RзR1
L
11
оIттw
W_1!_(-r:s+1). k
_
(R2 +Rз) R4
"
_
R2R3C ,
~
-
Ts+1'
-
R'L(R2+Rз+R4)+R4(R2+Rз)' -r:
-
R2+Rз•
-20ilб/ile"'
т= [R1(R2+ R4)+ R2R4]R3C .
R1(R2+Rз+R4)+R4(R2+Rз)' Ао = k;
А=
R2R4
00
R1(R2+R4)+R2R4 -
W=
1
ао=L1C; а1=RC;
a0s2+ a1s+ 1
АО=1: А00=О
L
11
r;, 7ь и)
о
-20ilб/oe~~
1\7=
1
ао = R1R2C1C2;
-t;OiJб/iJe"
a 0s2 +a1s+1'
al=, R1C1+(R1+R2)С2; А0=1; А00=0 ,


с,:,
w·
о
No
no
nop.
37
38
39
40
41
Электрическая
схема
~и
и,
C2I Z
~
~
Передаточная функция, значения ее параметров и значения амnлнтуд
А0=А(О)иА00=А(оо)
1
W-
k
С1.
C1C2L1 .
RC1C2 .
,t,, =
С1+С2'ао=
'
а1се=-С1+С2 '
-
a0s2+ a1s+ 1
С1 +с2
A0=k; А00 =0
R2L1C .
Продол жение табл. 8.2
Асимптоти ч еская
логарифмическая
амплитудно-ч эстетная
харак~е рист~к а
L
W=
k
•
и,1
aos2+a1s+ 1'
k
R2.
= R1+R2' ао = R1+R2'
_ R1R2C+L1. /
а1- R1+R2 '
о
иR,
'
R2
с,
~R
исс'
..
'I
'I~
A0 =k; А00 =0
W_
k
.
k_
R4
.
_:_ R1R2(Rз+ R4) Сс.
--
aos2 +a1s+1'
-
R1 +R2+Rз+R4' ао - R1 +R2+Rз+R4 1 2 '
= R1(R2+Rз+R4)С1+(R1+R2)(Rз+R4)С2. А=k· А
=о
а1
R1+R2+Rз+R4 -
'
0
'
00
W=
k('ts+1) •k=
Rз
't ~ R2C·
aos2+a1s+ I '
R1+R2+Rз
'
а = R2L1C
.
=(R1+Rз)R2C+L1. А=k· А =О
0
R1+R2+Rз'а1 R1+Rз+Rз '
0
'
00
_
-
('t1S + 1) ('t2S + 1)
.
W-- а2+
+l ; ,1~=RзС1; 't2=R4C2, ao=[R1(R2+Rз+R4)+
os
a1s
J_ J_
+Rз(R2 + tR4)JC1C2; а1 = (R1 +Rз)С1 + (R1 +R2+R4) С2;
А0=1; А =
RзR4
00
R1(R2+Rз+R4)+Rз(R2+R4)
..
~
-
~-


с,:,
с,:,
42
43
44
45
46
R,
и,
Rs
и;
~
~,
с,т-, с~3± ~
"
~
и, к,R2Q и1
r;J.
С2~
~
~
и, JC2 !11
rzl
и,
"
1
р
-
_,..v
_k(т1s+ I)(т2s+I) _ _
R5
.
_
.
_
.
111/ -
2+
+1,k-R
,R+R,
•1 - RзС1,
.
т2 - R4C2,
aos
a1s
1т2
s
_
(R1+Rз)[R4(R2+Rs)+R2RsJ+R1Rз(R4+Rs) с с.
ао-
R1+R2+Rs
12'
ai = [(R1 +Rз)(R2+ Rs) + R1Rз]C1 + [(R1 +R2) (R4 +Rs) + R4Rs]C2.
Ri +R2+ Rs
Ao=k; А.= .
RзR4Rs .
•
"'.
(R1 +Rз)[R4(R2+RsH-R2RsJ+R1Rз(R4+Rs)
W=
тs+I
_
.
a0s2+a1s+ 1
'-
RзС2, ао= Ri (R2 + R3) С1С2;
а1=R1C1+(R1+R2+R3)С2; .А0= 1; А00=О
W=('t1S+!)(T2S+!). 'С =RС.
aos2+a1s+1 '
1
11'
•2 = R2C2;
ао=R1R2C1C2; al=R1C1+(R1+R2)С2; А=А =1
/о
со
b0s2+b1s+1 .
1
W=
2+ +1, Ьо=а0=R1R2C1C2;
aos .щs
-
bl=(R1+Rz)Cl; al=(R1+Rz)cl+R1C2; АО=А"'=1
(-c1s+l)(-c2s+l).
W=
2+
+1 , '1=(R1+R2)С1; •2=R3C2;
a0s
a1s
ао=(R1R2+R2Rз+RзR1)С1С2; а1=(R1+ R2)С1+(R2+ Rз)С2;
Аc=I· А=
(Rt + R2)Rз
о'
00
R1R2 + R2Rз + RзR1
L
1. 1.
1:,
~z w.
L
1
: fL-
1
,:
(и
о , --. ... .:' -- --+=-- +-~
1
~4J
L
01"",·1.
,·,
-


с,.,
с,.,
""
No
по
пор .
47
48
49
50
Элек т рич ес 1<ая
с хема
e,-i .
=
R, 'с, я,О
и,
с3 Uz
'I _ra
"
~R
2
c,I
"
"
"
/R,
"CL1
=
-
R, QRз
и,
R,
и,
ClJ
"
0
с,
~
R, R,]
и,
RзО, Ul
с,
-
Продолжение табл . в:z
Асимптотичес1<ая
!
Передаточная функция. значения ее параметров и значения амплитуд
логарифмическая
А0=А(0)иА00= А(оо)
ам пл и тудно-ч ас т отная
характеристика
i
1
('t1S + J) ('t2S+ J) .
!
W=
,
•1 = R2C1; 't2= RзС2; ао = (R1 + Rз) R2C1C2;
i
a0s2+ a1s+ 1
'
А
Rз
'
al=R2C1+(R1+R2+Rз)С2; А0=1;
00= Ri+Rз
:
Lf1117
'
r;, f;; 1⁄2 Ть1 l,J
\\7 = (1:1S+ i)('t2S + i).
01 ~L-
i
a0s2+ a1s+ 1 '
• 1=(R1+R2)С1; 't2=RзС2;
-20дб/ifех O +20 iJбfqex
ао=(R1R2+ R2Rз+RзR1)С1С2; а1=(R1+ R2)С1+(R2+ R3)С2;
'
'
АО=01;А=
(R1+R2)Rз
00
R1R2 + R2Rз + RзR1
W=
b0s2+b1s+ 1.
Ьо=[(R1+ R2+ Rз)R4+ R2Rз]С1С2;
i
a0s2+a1s+1'
L 1- L.lL
Ь1=(R1+R2+Rз)C1+ R4C2; ао=[(R1+R2+Rз)R4+(R1+Rз) R2]С1С2;
о/~~"'
а1=(R1+R2+Rз)С1+(R2+ R4)С2; Ао= 1;
~20иб/дсх о +2Оеб~';;.
А=
(R1+ R2+ Rз)R4+R2Rз
-
1
00
(R1+ R2+Rз)R4+(R1+R'з)R2
l\1/ = k('t1S+ 1~('t2S+ !}. k =
R2+Rэ
a0s2+ a1s+1 '
R1+R2+Rз
,
't1 = R1C1;
R2 RзC2 .
R1R2RзC1C2
't2= R2+Rз'
ао=
R1+R2+Rз;
L1111
1
ОIТа-r;, -r;,
Тьш
"
.-
R1(R2+Rз)С1+Rз(R1+ R2)С2.
A0=k;А =1
~дб/ifех
~
-
,
R1+R2+Rз
00
-2Одб/дех


-------------------.~
.•
,-
51 ~~
'2 ~,Q ~2
и, Сзт о,;
"'
C]}~~)Iи, и,
R;□i С2
w
w
w
53
и,
и,
l\1/=~('t1s+l)(,2s+I). k= С1+С~
.
,
1= R1C1C2.
a0s2+a1s+1 '
С1+С2+С3'
С1+С2 '
_
RС.
_
R1R2C1C2Cз .
_
R1C1(С2+С3)+ R2C3(С1+С2).
't2- 2 з, ао - С1+С2+Сз' а1 -
С1 + С2+Сз
'
А0=k; А00=1
W = k(,1s+ l )(.-2s-t-I). 1' =
Rз-t-R4 .
=(R -t-R)C·
aos2+a1s+1 '
l
R2+R3+R4. '
'
1
1
21'
_
__
R3R4C2 .
== R1R2-t-(R1+R2)RзRСс.
'
2
-
Rз+R4 ' ао
'R.2
+Rз+R4
4
1
2
'
[R1R2-t-(R1+ R2)(Rз+R4)] С1+ (R2-t-Rз) R4C2.
а1=
• R2+Rз+R4
'
A0=k; А = (R1-t-R2)Rз
00
R1R2-t-(R1+ R2)Rз
w·_
k(b0s2 -t-Ь1s
-t-1) . k
_
R4-t-Rs
-
a0s2+a1s+1 '
-
R2+R4+Rs
Ь __(R1-t-R2+Rз)R4+R2Rз RC- C
·
о-
R4+Rs
s12,
ь _[(R1-t-R2-t-Rз)(R4-t-Rs) -t-R2Rз]С1
-t - R4RsC2.
1-
R4 +Rs
'
_
(R1 -t-Rз)J..~2±_~4) +R2R4 R с с.
ао-
R2+R4+Rs
512'
[(R1+Rз)(R2+R4+ Rs)+ R2(R4+ Rs)JС1+(R2+ R4)R5C2.
а1=
R2+R4+R5
'
А==k· А
= (R1+R2+Rз)R4+32Вз_
0'
00
(R1+R3)(R2+R4)+ R2R4
L
-
·t
-
Olf
'1
1
L_
j_
.!.
r
\...._


w
w
....
No
по
пор.
54
55
и,
Электрическая
схема
R,
и, R2
и,
и;
Передаточная фун1щия, значения _ ее па_раметров и значения амплитуд
А0=А(О)иА00=А(оо)
\\1/= k(b0s2 +ь1s+ 1)
a0s2+a1s+ 1
k=
(R4+R.)R6
.
(R2+ Rз+R6) (R4 +R5) + R2 (Rз+R 6 )'
- ь _ (R1+R2+Rз)R4+R2Rз RCC·
о-
. R4+R5
5iz,
ь_[(R1+R2+Rз)(R4+R5)+R2RзlС1+R4R5C2.
1-
R4 +R5
'
[(R1Rз+RзRв+ R6R1) (R2 + R4) +R2R4(R1 + Rв)JR5C1C2.
00=
(R2+R3+ R6)(R4+R5)+R2(Rз+R6)
'
[(R1Rз+ RзRв+RвR1) (R2 +R4 +R5) + R2 (R1 +R6) (R4 +R5)]C1 +
+ [(R2+R4)(Rз+R6)+R2R4]С2
~=
.
(R2+Rз+Rв)(R4+R5)+R2(Rз+R6)
A0=k; А =
[(R1+R2+Rз)R4+ R2RзlR6
""
(R1Rз+ RзRв+ RвR1)(R2+ R4) + R2R4(R1+ Rв)
1\1/ =
ks
aos2+a1s+1'
k -= R2RзC1 .
~+~·
R1R2RзC1C2 .
00=
R1+R2 '
(
R1R2 )
а1=Rз+ Ri+R2 С1+R3C2; А0=А00=О
Продолжение та бл. 8 . 2
А симптотич ес1'>ая
логарифмич еская
а м плитудно-ч ас тотн ая
характери стик а
1111
~\:'f:aТаТь"iьw
+ 20об/дв1r. - 70об/дек


с,:,
с,:,
ел
56
!21----СJ--1п
R,С
R, L,
57"1и, R3 R и1
•
58
59
R,
и,
Rи,
J
W___ks
k_
R3R4C
-
a0s2+ a1s + 1
-
R2+R3+R4
(R1 + Rз) CL1
[(R1+ Rз)(R2+ R4)+R1RзlС+L1
ао=
.
а1 = ~--~=----,-----cc-'--;----:=-~--
R2+Rз+ R4
R2+Rз+ R4
Go=
АО=А""=о
W= -~ ~s+l)s
a0s2+a1s+1
(R1 + R3) CL1
R2+Rз+R4
а1=
А0 =0;
ks
k=
RзR4C
't=с_ь_.
R2 +Rз+ R4
R4'
[(R1+Rз)(R2+R4)+R1RзlС+L1
R2+Rз+R4
А
Rз
""-
R1+Rз
U'I =
aos2+a1s+1
k=R2C; ао=CL1;
АО=А""=о
а1=(R1+Rz)С;
U?_
ks
-
a0s2+a1s+1
k = R2RзC1
R1+ R2
R1R2RзC1C2 .
ао= R1+R2 '
ао=
[R1(R2+Rз)+R2Rз]С1+(R1+R2)RзС2.
R1 +R2
АО= А""= о
J_1
L
и1 ,.
1"11


с,.,
с,.,
а,
Продолжение табл. 8.2
Асимптотическая
No
Электрическая
Передаточная функция, значения ее параметров и значения амплитуд
логарифмическая
по
схема
А=А(О)иА00= А(оо)
амплитудно-частотная
пор.
О
характеристи1<а
W=
__k_(тs+_!_)__; k=
R4;,=
RiCi; ао = R1R2R 3R 4C1C2C 3 ;
a0 s3 +a1s2 +a2s+1
R1+R4
R1+R4
L
1111
r--1..t- R1 R,
_
R1R2R4C1C2+R1(R2+Rз)R4(C1+C2)C3+R2R3R4C2C3 _
о'f"ГаТьТсw
60
R
"
ai-
R1+R4
'
~''
и, 'R,) с;+ с;+ и,
R1R4.(C1+C2+Cз)+(R1+R4)R2(C2+Cз)+(R1+R4)RзCз.
к
"
а2=
Ri+R4
,
40 Jac
А0=k; А00=О
W=
3+
2+
l,т=R1C1,Ьо=L1C2,Ь1-R2C2,
11.1.1.
.1.. !.
a0s
a1s
a2s +
LIт -i Т.ь -.
-.
т. ,..
Оаа
1,с
с ....,,
~
R
(,s+ !) (b0s2 +b1s+ !)
.
.
_
.
61
и
2
а0= R1C1C2L1; а1= (R1R2C1 + L1)С2; а2= (R1 + R2)С2+ R1C1;
,.-2~
0-2о'' •20,51•
дБ/ ек дБ/деа
v ve~
CI
А=А=1
f1J
2
'/1
0
00
R2
_
(т1s+l)(т2s+l)
_
.
-
R.
_
L·
1.1_1. 11
~W--
з·+· 2+ +1,
•1 - R2C1, Т2 -- 3С2, ао- R2C1C2 1,
L т.-т;-т;-т.-1
.
a0s
а1s
a2s
.
а,,ьсw
62
1
а1=[(R1+R3)R2C1+L1]С2; а2= R2C1+(R1+R2+Rз)С2;
О ilfa~f9eк~
CzJ
А=1· А
=0
дбf',,
~
ф
о
'
со
Lt
1
7
,
,
r
rw
1R~
1- TS
•
-
•
•
01
~'f-L
__
R
R,с u1
W= Ts+1, т=(R2- R1)С, Т-(R2- R1)С,
-2ОаБjоек.........Ь
63 и,~'
R2-R1
~~zрадw
R
R
Rz>R1; АО=1; Аоо=R+R
1С
2
2
1
.
f1J
1
1 -180 -------


~
~
:,;:
э::
~
"'
"'
"'
"'о
"'
с,.:,
w
---.J
64 1и,
1~
651~'
66 и,
67
~
. ___
c_.:r_"'
"'•
k (l -1:s).
W= Ts+1,
k=R1-R2
R1 +R2
Т= R1R2
R1+R2С; R1>R2;
,:
A0 =k;
R1R2 С;
R1-R2
А=1
00
jl-1:s
W= 1+тs
't=Т=RC; А0=А00=1
,:252 _ 2~,:s + 1
\\7 = т252+26тs+ 1 '
R v--y-.
~=s=т т;,
't=Т=VL1C;
А0=А00=1
W=
,:2s2+ 1
т2s2 +2sтs+1 . 't=T =VL1C;
R -v-
s=-
_s __.
2
L1' АО=Аоо=J
L
о
т
+20дб/t!е,
ц)
J~s::
~!tц)
•ь~
-
90---
-,~с=
/
~t~ц)
(IJ, ipatl
ц1
::::rs:
L~I
о
"'&
ц)
ф,~т·
orc
- 180
1·
-JбО ---- ~


четырехполюсника не менее чем в 10-100 раз превышают наиболь­
ший импеданц предыдущего четырехполюсника.
Встречаются САР с дифференциальной (балансной) цепью
передачи сигнала, т. е. с передачей сигнала в виде разности и =
= Иа - иь двух напряжений постоянного тока . Таким путем
обычно поступает сигнал на встречно включенные обмотки управ­
ления электромашинного и магнитного усилителей . Для преобра­
зования сигнала в соответствии с передаточной функцией Wп
в дифференциальную цепь необходимо включить два пассивных
четырехполюсника (рис . 8 .20, а) с передаточными функциями Wп·
Вместо двух интегрирующих четырехполюсников можно вклю­
чить двухполюсник (рис. 8.20, 6) параллельно взаимно связанным
обмоткам на выходе цепи. Такое включение обеспечивает преоб­
разование сигнала по передаточной функции
W-ь_
-
Zд
(8 56)
э - / 1 - Zд-2[(L0 -M0)s+Ro]'
•
где/1 = /1(s)и/2 = /2(s) - соответственноизображенияi1 =
= ia1- iь1иia2=i2- iь2;R0, L0и МO- сопротивление,
индуктивность и взаимоиндуктивность каждой из обмоток; zд =
= zд (s) - импеданц двухпоцюсника в операторной форме.
Например, при Zд = Rд
k
\Vэ=Ts+1'
где
что эквивалентно включению четырехполюсника No 28 табл. 8.2 .
При
где
1
Zд=--
wСд
1
Wэ=-----­
aos2+a1s+1
и это эквивалентно включению четырехполюсника No 35 или 36 (табл . 8.2).
Активные четырехполюсники постоян1юго тока - это сочета­
ния электронных усилителей и цепей из резисторов, конденсаторов
и индуктивностей.
Схема такого четырехполюсника показана на рис. 8.21 . В общем
случае он содержит входную цепь с импеданцем Zп и цепь с импе­
данцем z-0 , которая охватывает усилитель отрицательной обратной
связью . Обычно используют операционный усилитель с весьма
большим передаточным коэффициентом. Тогда передаточная функ-
338
w


а)
ia, R
L
L
iь, R
о!
Рис. 8.20. IЗ1{лючение пассивных элементов
в д1-1ффсрснциальную цепь:
а - чст1-.1ре:,аюлюсн111<011; б
-
дnухпоJ11ос1-,и](а
Рис. ·в. 21. Схема активного
четырехполюсни1ш постпнн-
1-:о г о тока
ция четырехполюсника с большой точностью определяется равен­
ством
(8.57)
где Zп = Zп(s) и Z0 = Z0 (s) - импеданцы прямой цепи и обрат­
ной связи в операторной форме.
Активные четырехполюсники могут быть выполнены так,
что их свойства будут близки к идеальным дифференцирующим,
форсирующим или интегрирующим звеньям. В этом основное
преимущество таких элементов.
1
Например,приZn= CsиZ0=Ro
Wa = -RCs
и активный четырехполюсник практически идеально дифференцирует сигнал .
R
.
При Zп = RCs + 1 (параллельное соединение резистора сопротивлением R
и конденсатора емкостью С) и Z0 = R 0
и четырехполюсник приближается к идеальному форсирующему звену .
На входе активного четырехполюсника легко осуществлять
суммирование сигналов. Одновременно с преобразованием сигнала
может быть получено значительное усиление.
Таким образом, активные четырехполюсники имеют значи­
тельно qолее совершенные динамические свойства, чем пассивные.
Однако если усилитель выполнен на лампах, то активные четырех­
полюсники значительно сложнее пассивных и соответственно
стоимость первых много выше.
Проще и дешевле активные четырехполюсники с полупровод­
никовым усилителем. Дифференцирующий элемент может быть
выполнен по одной из схем, показанных на рис. 8.22 . Передаточ­
ная функция схемы с общей базой (рис. 8.22, а)
W=ks,
(8.58)
22*
339


aJ
б)
8)
г)
Рис. 8.22 . Схема полупроводникового дифференцирующего
элемента:
а- собщей базой; 6
-
с общим эмиттером; в - двух­
!{аскадного; г - с балансной нагрузкоj:'t
где k = aR 3 C; а - коэффиц~ент усиления триода по току;
R
RRн
э ·2(R+Rн)•
Для схемы с общим эмиттером (рис. 8.22, 6) коэффициент пере ­
даточной функции (8 .58) k = 1 ~ а R3 C. При двухкаскадной схеме
(рис. 8.22, в) k = (1~:)2 •
В схеме с балансной нагрузкой
(рис. 8 .22, г) k = аС, если выходной величиной считать разность .
токов i = ia - iь двух обмоток . Индуктивность обмоток практи­
чески не влияет на динамические свойства схемы.
Выражение (8 .58) справедливо для достаточно широкого диа­
пазона частот: практически до w = 200+300 с-1 .
Дифференцирующий трансформатор - это • трансформатор
весьма малой мощности, используемый для дифференцирования
сигнала постоянного тока (рис . 8 .23, а). Если пренебречь расс~я­
нием, то при Rн = оо его передаточная функция [55]
(8.59)
где
kтр- коэффициент трансформации: k1P= ~ ; R1 и L1 -
W1
сопротивление и индуктивность первичной обмотки; w 1 и w 2 -
число витков первичной и вторичной обмоток; R0 - входное
сопротивление.
340


где
о)
Рис . 8 . 23. Дифференцирующий трансформатор:
а - простеiiшая схема; б-схема сло:ження сигнала него
производной
При конечном значении сопротивления R11 нагрузки
(8.60)
R 2 и L 2 - сопротивление и индуктивность вторичной обмотки
трансформатора.
Дифференцирующий трансформатор часто используют в каче­
стве параллельного корректирующего устройства. Он позволяет
избежать гальванической связи между цепями входного и выход­
ного сигналов, что в ряде случаев н_еобходимо и не может быть
достигнуто при использовании четырехполюсников постоянного
тока. Если гальваническая связь допустима, то включение транс­
форматора по схеме, показанной на рис. 8.23, 6, позволяет полу­
чить выходной сигнал в виде суммы двух составляющих. Одна
из них пропорциональна входному сигналу, другая - производ­
ной от него. Передаточная функция этой схемы (при Rн ~ оо)
Wт = kт)~s:/) ,
(8.61)
где
В первичную или во вторичную цепь дифференцирующего
трансформатора можно включить пассивный четырехполюсник,
тогда можно получить элементы с различными более сложными
передаточными функциями .
Тахогенератор постоянного тока представляет собой генератор
весьма малой мощности с независимым возбуждением или с воз­
буждением от постоянных магнитов. Его напряжение при холо­
стом ходе можно считать пропорциональным скорости вращения
341


а)
6)
(})
Рис. 8. 24. Тахометри 11еский мост 1
а - простеiiшая схема; б
-
схема с фильтром; в - снятие напрпженнл, "пропор1.l11О •
нального скорости вращения n схеме Г д
якоря или производной от угла поворота а . При этом передаточ­
ная функция
W-гг = kтrs,
(8,62)
где kтг - передаточный коэффициент.
Передаточные функции тахогенератора при конечном значе­
нии сопротивления R11 нагрузки, а также при соединении тахоге­
нератора с простейшими пассивными четырехполюсниками приве­
дены в табл. 8.3 .
Серьезным недостатком коллекторных тахогенераторов постоян­
ного тока является наличие пульсаций выходного напряжения.
От этого недостатка свободны бесконтактные тахогенераторы
постоянного тока, состоящие из синхронного генератора и полу­
проводникового блока управления. Бесконтактные тахогенера­
торы получают возбуждение от постоянных магнитов, располо­
женных на роторе. Срок службы их в 8-10 раз больше, чем кол­
лекторных тахогенераторов.
Тахометрические мосты позволяют получать сигналы, пропор­
циональные производным от угла поворота а электродвигателя
без помощи тахогенератора . Простейшая схема тахометрического
моста с электродвигателем постоянного тока приведена на
рис. 8.24, а . Его передаточная функция в пе.рвом приближе­
нии [110]
(8.63)
где
Wн
сСе
м=9
,
81 - постоянные двигателя;
(J)н - соответственно номинальные значения напряжения, тока
и угловой скорости вращения двигателя (паспортные данные);
Rя - сопротивление обмотки якоря.
Если мост уравновешен:
R1R,, = R2Rз,
(8.64)
342


Таблица 8.3
Корректирующие устройства с тахоrенератором постоянного тока
(kг, Rгi Lг - передаточный коэффициент, сопротивление
и индуктивность тахоrенератора)
Электрическая схема
Передаточная функция,
значения ее параметров
и значения амплитуды
Асимптотнчес,,:ал ЛАЧХ
А0=А(О)иА00=А(оо)
ks
\V= ---
-
Ts+1'
т-- Lг
·,
АО
+
о=;
RгR
Аса =
ks2
W=- ~~------ ,-----
a0s2+a1s+1 '
k=kгRC; ао=CL6
а1(Rг+R)С; Ао=О;
kгR
А"'= z;;-
k=k6 ао=СLг;
а1=(Rг+R)С;
А0=Аса=О
kгZ2s
\\7 = Zг -1=- Z~ -1=-z;- '
Zг=Rг+Lгs
L l_ +20iJб/°!!:J_
О Та~ rL.,,
i/
7! и.J
V+40iJБ/ile1( fu
L
l7
ТаТвw
о .l_l
42oiJб/ileл -20 tJБ/ile,~
343


то
(8 .65)
Равенство (8.64) проверяют при заторможенном якоре двига­
теля; в этих условиях u 2 должно быть равно нулю.
Для сглаживания пульсаций, вызываемых наличием коллек­
тора, в тахометрический мост включают конденсатор СФ
(рис. 8 .24, 6). Тогда передаточная функция уравновешенного
моста (94]
W
lгмs
м- Тмs+1'
(8.66)
где
тс(RзRя.1
R1R2 )
м=ФRз+RятR1+R2 •
В электроприводе, выполненном по схеме генератор-двига­
тель с электромашинным усилителем, создавать тахометрический
мост не нужно . Напряжение и 2 , пропорциональное производной
от угла поворота якоря двигателя, снимается как показано на
рис. 8.24, Ь.
Если
то передаточная функция
(8.67)
Здесь Rко - сопротивление компенсационной обмотки ЭМУ;
Rк - сопротивление, шунтирующее компенсационную обмотку;
R 1 - часть сопротивления Rк от продольной щетки ЭМУ до
точки а.
•
Более точные передаточные функции тахометрических мостов
даны в работе (130]. Там же показано, как изменять некоторые
_ постоянные этих передаточных функций.
Недостатком тахометрического моста является малый переда­
точный коэффициент kм. Кроме того, при неточном удовлетворе­
нии равенства (8.64) напряжение u 2 на выходе моста будет иметь
составляющую, пропорциональную напряжению ид. Тогда вклю­
чение моста в цепь местной обратной связи вызовет создание
непредусмотренной обратной связи (положительной или отрица­
тельной) по напряжению ид двигателя.


Глава 9
МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПО ОТКЛОНЕНИЮ
Синтез САР имеет своей целью выбор ее структуры и пара­
метров так, чтобы удовлетворялись определенные (заданные)
требования к качеству регулирования. При этом известен объект
регулирования, т. е. имеются его характеристики (математическое
описание), а иногда уже выбраны основные функциональные эле­
мент:Ь1 регулятора .
Синтез САР есть лишь один из этапов ее проектирования.
Синтезу предшествует, по крайней мере, следующее:
1. Исследование объекта регулирования для определения его
динамических свойств и условий, в которых его используют.
Динамические свойства определяют либо теоретически, либо
экспериментально и фиксируют в виде дифференциального урав­
нения (системы уравнений) или передаточной функции, или
частотных характеристик . При анализе условий использования
объекта выявляют действующие на него возмущения и стабиль­
ность его параметров или возможную их зависимость от каких-то
факторов.
2 . Составление требований к качеству регулирования . Требо ­
вания определяются назначением объекта, а также опытом проекти­
рования и эксплуатации САР такого же класса. Верхний предел,
оптимальные показатели качества (которые далеко не всегда дости ­
жимы) определяются теорией . При составлении требований необ­
ходимо учитывать ограничения , налагаемые на динамические
характеристики системы допустимыми нагрузками элементов,
подводимой мощностью и т. д.
3 . Выбор основ~ых элем_ентов регулятора (датчика регули­
руемой величины, элемента сравнения , усилителя и исполнитель­
ного элемента) и определение их динамических свойств .
После синтеза, т . е. отыскания структуры и параметров регу ­
лятора, выполняют последующие этапы проектирования : выбор
технических средств для реализации найденной структуры и пара ­
метров; энергетический расчет [76] и согласование характеристик
элементов; изготовление макета регулятора; определение динами -
345


ческих характеристик системы (с макетом регулятора); уточнение
параметров регулятора. При этом из возможных решений должно
быть выбрано оптимальное в отношении массы, габаритных раз­
меров, стоимости и других требований, определяемых конкрет­
~ыми условиями эксплуатации .
В теории автоматического регулирования есть ряд методов
синтеза. Это объясняется разнообразием исходных данных и тре­
бований.
При синтезе системы непрерывного регущ,рования по откJю­
нению основа ее структуры уже задана . В этом случае характерны
два варианта постановки задачи. Первый из них допускает лишь
выбор некоторых параметров (вероятнее всего, передаточного
коэффициента разомкнутой системы и постоянных времени кор­
ректирующих устройств). Второй разрешает уточнение структуры:
выбор местных обратных связей, а также элементов, обеспечиваю­
щих астатизм, и корректирующих устройств, и выбор части
параметров.
Требования к качеству регулирования в общем случае опреде­
ляют как статические, так и динамические свойства системы.
При этом возможны различные формулировки требований в зави­
симости от назначения системы, используемого метода синтеза
ит.д.
По проблемам синтеза обыкновенных линейных САР имеется
обширная литература: монографии [ 11, 17, 22, 93, 116] и книги
о синтезе систем определенного назначения [7, 16, 30, 35, 44, 46,
52, 68, 70, 90, 126].
Дальнейшее совершенствование методов проектирования САР
в значительной степени связано с применением современной вычи­
слительной техники (ЦВМ). При синтезе САР с использова­
нием ' ЦВМ можно рассматривать объект без излишнего упрощения
уравнений, описывающих его свойства, исследовать влияние всех
корней характерист1;1ческого уравнения любого порядка, оцени­
вать достаточно большое число вариантов решения и выбирать
оптимальный . Наиболее систематизированный материал о синтезе ­
с помощью ЦВМ имеется в работе [ 11 ], где приведены, в частности,
машинные алгоритмы вычисления нулей и полюсов передаточной
функции и ее разложения на компоненты.
, -\j
Ниже изложен порядок синтеза линейных систем непрерывного
регулирования по отклонению при наиболее характерных вариан­
тах требований и наиболее широко применяемыми методами . .
9. 1. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ПО ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ
Простейшая задача синтеза САР, встречающаяся при инженер­
ных расчетах, это выбор ее параметров при известной структуре
по заданной точности (допустимой ошибке) в установившемся
режиме. Иногда выбору подлежит лишь один параметр ~ пере­
даточный коэффициент разомкнутой системы.
346


Эта задача и11,rеет несколько основных вариантов.
1. В статической системе стабилизации установившаяся
ошибка х0 , от постоянного возмущения f O не должна превышать а:
от установившегося значения у 0 регулируемой величины; выби­
рают значение k передаточного коэффициента разомкнутой си­
стемы, гарантирующее выполнение этого требования.
В установившемся режиме (при единичной обратной связи) в %
CG= Xuf 100= Wf(0)fo100-= ktfo100
(9.1)
Уо
111/ g (О) go
kgo
'
где w, и Wg - передаточные функции замкнутой системы отно­
сительно возмущения и задающего воздействия; kr - передаточ ­
ный коэффициент цепи от возмущения до регулируемой величины;
g 0 -:- -- задающее воздействие.
Следовательно, необходимо иметь
kf•
k:;,,. _.!_о_ 100 .
(9.2)
rxgo
Если в системе предусмотрено изменение регулируемой вели­
чины в некоторых пределах, то относительная ошибка не должна
превышать а: при минимальном значении регулируемой величины,
т . е. в формулу (9 .2) нужно подставлять минимальное значе­
ние g0 min задающего воздействия .
2. В системе стабилизации коэффициент статизма должен
быть равен S 0 ; выбирают значение передаточного коэффициента k
разомкнутой системы, при котором это условие будет выполнено .
По определению коэффициент статизма
1.
S=1+k•
(9 .3)
Следовательно, коэффициент статизма будет иметь заданное
значение S 0 , если
1_1-S0
l-
S.
о
(9.4)
3. В астатической следящей системе, задающее воздействие
которой g (t) ---,- g 0 + g 1 t, установившаяся ошибка слежения не
должна превышать р; выбирают передаточный коэффициент k
разомкнутой системы.
На основании формулы (7.5)
1
1
так как в астатической системе СO = О, С1 = Т .
Следовательно,
(9.5)
347


L
l.,
L
-2.Оtlб/аек
-20tJБ/аек
о
.....-4ОдБ/iJе1<
-6Одб/i!ек
---
1 ---
1
1 -6Ода/tJек .......... .,, _
1 1 -lfOODfoeк, .....
11
-
20дб/дек-- - .. .. .. ..
Ot----' ---
1_,_1___.__...;::,,.-.,.20;::--fJ_:;_б/'---tJ-..._e1_('_-......;,,,____
W1 иJг 1,uJ
(;.}о w
w
(})
Рис. 9, 1, Основные варианты низкочастотной части ЛА ЧХ разомкнутой астати•1е­
ской системы
4. В астатической следящей системе необходимо иметь задан­
ные значения С 1 и С 2 коэффициентов ошибки от задающего воз­
действия; отыскивают ограничение на логарифмическую ампли­
тудно-частотную характеристику разомкнутой системы, обеспе­
чивающее это условие.
Предположим, что среднечастотная асимптота ЛА ЧХ разом­
кнутой системы (рис. 9.1, а) достаточно велика. Тогда передаточ­
ная функция разомкнутой системы
W= k(i: 2s+l)
s(T1s+1)'
где
По формулам No 2 табл . 7.1 в данном случае при ~о= ~1 = О;
~
2 = 1:2; Ь0 = О и Ь1 = Т1 коэффициенты ошибки слежения
имеют следующие значения:
с_1 С_b1-(l+k~2)C1_
T1--r2
1
1-kи2-
k
-
k
-
Ji:i·
При достаточно большом k вторым членом в выражении для С 2
можно пренебречь. Тогда из составленных равенств следует, что
низкочастотная часть ЛА ЧХ должна удовлетворять таким тре­
бованиям:
(9.6)
348


Если низкочастотная часть ЛА ЧХ имеет форму, показанную
на рис. 9.1, б, в и г, то при аналогичных допущениях требования
к ней выражаются соответственно следующими неравенствами:
1.1
1
С2•
Wo:;;.. -С,
---
:;;.. 2С,
(9.7)
1
uJ1
uJ2
1
1
1
1
2
С2
(9 .8)
Шо:;;,,. Ci; -+- --:;;..-;
uJ1
W2
W3
С1
1
2
С2
(9.9)
Wo:;;,,.
С1;
------
:;;..Ci.
uJ1
uJ2
W3
5. В статической следящей системе установившееся значение
ошибки не должно превышать ~ при постоянном задающем воз­
действии g 0 и постоянном возмущении f 0 ; отыскивают значение
передаточного коэффициента k разомкнутой системы.
В установившемся режиме (при единичной обратной связи)
go + ktfо
Хо= 1+k
1 +k'
где kf - передаточный коэффициент цепи от возмущения до
регулируемой величины.
Следовательно, необходимо иметь
go+ktfo -l
k:;;..
~
.
(9. 1О)
6. В следящей системе с гармоническим задающим воздей­
ствием
g = gmax sin ffigf
установившаяся ошибка не должна превышать ~; отыскивают
ограничение на логарифмическую амплитудно-частотную харак­
теристику разомкнутой системы.
Амплитуда ошибки
Xmax = JWx (jwg) Jgmax = / 1 +g;a(jwg) 1 = /Wg(j::) 1
гдеWиWx-
передаточные функции разомкнутой системы
и замкнутой системы для ошибки слежения;
1W(jшg)1»1.
Следовательно, '
JW (jшg) J :;;.. gniax
(9.11)
и ЛА ЧХ разомкнутой системы должна проходить не ниже кон­
трольной точки В (рис . 9.2, а) с координатами
W1<= w~; Lк=20lgg]ax •
(9.12)
3.49


L
L
8
1
il
1
1
1
~1
~1
о
Wf(
о
(д)
о.)
о)
Рис. 9. 2 . Построение для низкочастотной части ЛА ЧХ разомк11у .
той следящей сисТ.емы:
а - контрольной точки; 6 - запретной зоны
Пример 9. l . Задающее воздействие следящей системы g = gmax sin wgt,
гдеgmax= 20°иWg=6,28с-1.
Определить минимальное значение k, при котором установившаяся ошибка ~
не превысит 0,025°. Передаточная функция разомкнутой системы
W_
k(,s+ 1)
-s(T1 s+1)(T2 s+ 1) '
гдет=0,008с;Т1=0,01 иТ2=0,005с.
Пользуясь формулой (9.12), определим координаты контрольной точки В:
(i)K = (J)g = 6,28 C-l;
2
gmax
20
5
Lк=Оlg-~- =20lgО,025=8дБ.
Наносим на график контрольную точку В (рис. 9.3). Затем строим ЛА ЧХ
разомкнутой системы так, чтобы ее низкочастотная асимптота проходила через
контрольную точку В.
По . характеристике . L (w) определим, что L (1) = 71 дБ. Следовательно,
lg k = "3,7 и искомое знqчение передаточного коэффициента разомкнутой системы
k= 5012.
Для проверки устойчивости системы при этом значении k строим ЛФЧХ
'Ф (w). Пользуясь критерием Найквиста, заключаем, что_~_замкнутая систем·а
устойчива.
7~ _В
след~f%еЙ системе, задаю~ее воздействие которой изме­
няется с максимальной скоростью gmax и максимальным ускоре­
нием iiшax, установившаяся ошибка не должна превышать ~;
отыскивают ограничение на ЛАЧХ разомкнутой системы .
В данном случае удобно рассматривать э1шивалентное гармо ­
ническое задающее воздействие
gэ=gmaxэSiПWgэf
с -заданными значениями максимальной скорости · и ускорения:
gэ = gmax эffigэ = gmax;
••
2
••
gэ = gmax эffigэ = gmax •
350·


Рис . 9.3 . Логарифмические ,,астот•
ные характеристи к и к примеру 9.1
Эти равенства удовлет­
воряются при
..
(j) = gmax
gэ
•
gтах
и
g~1ax
gПlilX э = -..
-- • (9.13)
gтах
L,,дб
80
1/0
20
о1
ш/( 10
r,град
01--'- -- -c'c-----
-.....,,.---
...,..L.-
1
10
100
1000 w,ё
На основании формул
(9.12) и (9.13) заключаем,
что ЛА ЧХ разомкнутой 90~ ---- ----
системы должна проходить
не ниже контрольной точ -
ки В (рис. 9.2, б) с коор- тво
динатами
(1) = g·max
!{
•
gтах
•2
ИLк= 20lg ..gmax
gтах~
(9.14)
Пусть скорость изменения задающего воздействия остается
максимальной, а ускорение уменьшается: g < limax·
По фор­
мулам (9.14) видно, что при этом контрольная точка В (см.
рис . 9.2, б) будет перемещаться влево по прямой с наклоном -
20 дБ/дек .
. Если
скорость изменения задающего воздействия уменьшается
(g < imax), а ускорение остается максимальным, то контрольная
точка В на рис . 9.2, б будет перемещаться вправо по прямой
с наклоном -40 дБ/дек .
Построенные прямые ограничивают сверху область, в которую
не должна заходить ЛА ЧХ разомкнутой системы.
В частности, передаточный коэффициент k астатической системы
(добротность по скорости) должен удовлетворять неравенству
(9.15)
а коэффициент k системы с астатизмом второго порядr<а (доброт-
1-юсть по. ускорению) неравенству
(9.16)
Если сопрягающая частота одного из апериодических звеньев
системы равна ffi"' то рекомендуется поднять ограничивающие
прямые (см. рис. 9.2, б) на 3 дБ. Тогда они будут очерчивать
область, в которую не должна заходить асимптотическая ЛА ЧХ
разомкнутой системы.
351


L,дб
1/0
20
20
'f,град
Ot-----~------~------~'----'1~1
10
100 w,ё
90
180
Рис. 9. 4 . Логарифмические частотные характеристики
к примеру 9. 2
Пример 9.2 . Скорость и ускорение задающего воздействия следящей системы
могут иметь максимальные значения соответственно imax = 25 град/с и g~ax =
= 40 град/с 2 • Определить минимальное значение k, при котором установившаяся
ошибка не превысит ~ = 0,05 град, если передаточная функция разомкнутой
системы
,W=
k(i-s+l)
s(T1s+l)(T2s+l)'
где't=0,1с;Т1=0,5иТ2=0,25с.
По формулам (9.14) определим координаты контрольной точки В:
Ык=~•шах =:~ = 1,6cl;
gmax
•2
g max
252
Lк=20lg-.-.-- =20lg 40_005=49,9дБ.
gmax~
'
Наносим контрольную точку В (р и с. 9.4) с координатами [Ык, Lк] и про­
водим от нее прямую с наклоном -20 дБ/дек в сторону высоких частот . Область,
в которую направлена штриховка этих прямых, является запретной для ЛА ЧХ
разомкнутой системы.
352
Пользуясь формулой (9. 15), определим минимально допустимое зна чение
k-imax-~
-
500 с-1.
-
~ --0,05-


Теперь построим асимптотическую ЛА ЧХ разомкнутой системы по ее пере­
даточной функции
\1/ __5 _0_0 ~(0_, l_s
__
+_l)__
i =s(0,5s+l)(0,25s+l)
Низкочастотная асимптота этой ЛА ЧХ частично совпадает с граничной пря­
мой, а остальная часть ЛАЧХ изображена штриховой линией (кривая 2) .
По графику заключаем, что ЛАЧХ заходит в запретную область. ЛАЧХ
разомкнутой системы для удовлетворения требования к точности должна за ни­
мать положение, показанное на рис. 9.4 сплошной линией (кривая 1).
Ордината этой ЛАЧХ L (l) = 60,5 дБ, т. е. нужно иметь k = 1060.
Для проверки устойчивости построим ЛФЧХ ра з омкнутой системы при
k = 1060. Эта характеристика 'Ф (w) построена на рис. 9.4.
На основании критерия Найквиста заключаем, что при /1 = ·1060 замкнутая
система неустойчива. Следовательно, необходимо увеличить допустимое значе­
ние ошибки ~ или ввести в систему корректирующее устройс тво для обеспечени~
уст_ойчивости.
Запретная область для ЛА ЧХ разомкнутой системы может
быть построена. [ 17] при неединичной обратной связи, для ста­
тической следящей системы и с учетом влияния возмущения .
9.2. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ
ПО МИНИМУМУ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ
Выбор параметров САР при заданной структуре довольно .
часто выполняют с помощью квадратичных интегральных оценок.
Постановка задачи в этом случае сводится к следующему.
Структура системы и, следовательно, ее передаточные функции
известны . Некоторые параметры системы (передаточные коэффи­
циенты и постоянные времени, а иногда и коэффициенты демпфиро­
вания) можно изменять; остальные параметры заданы постоян­
ными. Необходимо отыскать такие значения изменяемых пара­
метров, при которых квадратичная интегральная оценка стано­
вится минимальной. Рассмотрим интегральную оценку переход­
ного процесса, создаваемого ступенчатым задающим воздействием
в следящих системах и возмущением в системах стабилизации.
Предположим сначала, что может изменяться только один
параметр а. Тогда расчет будет состоять из таких этапов:
1. Выбирают вид квадратичной интегральной оценки.
Минимизация квадратичной интегральной оценки J прибли­
жает переходную характеристику к ступенчатой, но возможно
значительное перерегулирование. Однако если отличны от нуля
коэффициенты Ь 1 , Ь 2 , ... в числителе изображения Н (s) пере­
ходной характеристики, то существенное перерегулирование мало
вероятно. Поэтому оценку J широко используют .
При минимизации улучшенной квадратичной интегральной
оценки J т переходная характеристика приближается к экспо­
ненте (7.35а), и чем больше Т, тем меньше возможное перерегули­
рование. Вычисление J т сложнее, чем J, особенно для системы
высокого порядка .
23 И . М. Макаров
353


Улучшенные квадратичные оценки J тт и оценки еще более
сложного вида [ 113] используют в тех случаях, когда требования
к форме переходной характеристики должны быть выдержаны
особенно точно .
2 . Составляют выражение для выбранной квадратичной инте­
гральной оценки .
В зависимости от вида изображения Н (s) переходной харак­
теристики используют формулу (7 .28) или (7.32) . Для вычисления
улучшенной квадратичной оценки нужно использовать еще фор­
мулы (7.36) и (7.38). Табл. 7.6 дает значения кв'адратичной оценки
систем от второго до шестого порядков.
3. В выражение для квадратичной оценки подставляют число ­
вые значения известных параметров .
После этого квадратичная оценка становится функцией лишь
одного искомого параметра а: J = J (а).
4. Определяют значение а, при котором квадратичная оценка
имеет минимум.
Искомое значение а определяют из уравнения
dJ(а)=О
da
•
(9.17)
Затем необходимо проверить, что равенство (9.17) есть дей­
ствительно условие минимума функции J (а). Это имеет место,
если при найденном значении а:
d2J(а)>О
da2
•
(9.18)
Иногда для указанной проверки удобнее вычислить J при
найденном значении а, а также при двух соседних - большем
и меньшем. Последние два значения J должны быть больше
первого.
Может оказаться ,' что функция J (а) не имеет .минимума по а
вообще или внутри области допустимых значений а. Тогда нужно
определить J при граничных значениях а (максимальном и мини- ·
мальном) и выбрать то из них, которое соответствует меньшему
значению J .
5. Проверяют устойчивость системы и определяют показатели
качества переходной характеристики системы при выбранном
значении а.
Переходная характеристика может быть построена точным
или приближенным методом (см. гл. 4). Ориентировочные значе­
ния показателей качества могут быть определены, как рекомендо­
вано в п. 7.4.
При неудовлетворительных показателях качества переходной
характеристики нужно искать новое значение параметра а . Вместо
квадратичной интегральной оценки J следует использовать улуч­
шенную оценку J т• Если уже применяли оценку J т, то нужно
354


изменить значение Т. Вероятнее всего, его следует увеличить для
уменьшения перерегулирования и уменьшить для уменьшения
времени регулирования. К цели также приведет более сложная
улучшенная квадратичная оценка .
При выборе нескольких параметров а 1 , а 2 , .. . по минимуму
квадратичной интегральной оценки порядок расчета остается
тем же , что и при выборе одного параметра а .
После определения интегральной оценки как функции искомых
параметров J = J (а1, а 2, .. . ), вычисляют и приравнивают нулю
ее частные производные по каждому и з этих параметров :
(9.19)
Полученная система алгебраических уравнений (обычно нели ­
' нейных)
позволяет вычислить искомые значения параметров.
Необходимо, ко_нечно, проверить, действительно ли равенства (9.19)
соответствуют минимуму функции J (а1, а2, ...) по а1, а2, ...
Аналитическое решение задачи выбора САР по минимуму
интегральной оценки целесообразно только для системы невысо­
кого порядка . Если порядок системы выше четвертого, то исполь­
зуют аналоговые вычислительные машины [113, гл . XIX].
Выбор параметров по минимуму интегральной оценки (или
оценок) наиболее удобен, когда синтезируется система, сходная
с существующей. В этом случае метод обычно дает хорошие ре­
зультаты.
9.3 . МЕТОД СТАНДАРТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
(СТАНДАРТНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК)
Метод стандартных коэффициентов [57] предполагает такой
выбор параметров элементов САР с заданной структурой , при
котором коэффициенты ее передаточной функции принимают
заранее на з наченные (стандартные) значения. При этом и переход­
ная характеристика системы будет иметь желаемую (стандартную)
форму .
Существует несколько принципов определения стандартных
коэффициентов. Порядок расчета статических и астатических
систем различный .
•
Статическая система. Пусть передаточная фу нкция разомкну-
"
,
u
тои цепи статическои системы
(9.20)
Корни характеристического уравнения з амкнутой системы
будут кратными вещественными отрицательными (равными -л),
если коэффициенты с0, с1, ... ,
Cn-I передаточной функции W
23*
355


С;:)
ел
а,
J'J'o 1
.: по
пор.
1
2
п
2
3
4
5
6
7
2
3
Табл ица 9.1
Коэффициенты стандартной передаточной фушщии разомкнутой статической САР
1lpQ1
1
1
1
1
1
1
1
Со
с,
с,
Сз
с,
с,
с,
с,
1
4,8 1+k 2(!+ч
-
-
-
-
-
~
Q
-
6,0 1+k 3(1+k)_ 3(\+k)
-
-
-
-
Q3
Q2
Q
-
7,7
l+k 4(!+k) 6(1+k) 1 4(!+k)
1
1
1
~
QЗ
Q2
--
Q-,
-
-
-
-
-
1
1+k 15(1+k) 110(1+k) 1 10(\+k) 1 5(1:k)
1
1
9,0 ~
Q4
QЗ i --Q2-
-
-
-
1
1+k 6(1+k) 115(1+k)
20(1+k)
15(1+k) 6(\; k) 1
10,4 ~
Q5
Q4
QЗ
Q2
-
-
-
35(~tk) 121(~;k)
1
1+k 7(!+k) 21(1.+k)1 35(1+k)
7(1+k)
11,6 ~
Q6
Q5
Q4
Q
-
1
1
1
1+k 1,5(1+k)
1
1-
1
3,0 ~
Q
-
-
-
-
-
-
1
1
1+k 12,5(1+k) 2,5(~+k)1
1
1
4,5 Q31
Q2
-
-
-
-
-
1


2
3
415,1
1+k
---w-
3(1+ k) 14,25(1+ k)
QЗ
Q2
_Ш--t_ __!:)- 1
Q
5
6
1
1+k
6,0 ~
4(1+ k) 17,25(1+ k)
Q4
QЗ
7,25(1+ k)
Q2
4(1+k)
Q
1+ k ,4,5(1+ k)'19,25(1+ k)112,375(1+ k),9,25(1+ k)
6,61QG
Q5
Q4
Q~
Q:!
1
ш11,38(1+k) I
1
_
1
2
2,9
Q2
Q
1
3
1
1+ k 2,05(1+ k)12,39(1+ k)
4,4 ~
Q2
Q
-
-
1
1
~12,6(1+k) 3,8(1+k)1 _2,8(1+k) 1
4
4,6
Q4
QЗ
Q:! -
1
Q
-
4,5(~+k)I
1
-
1
5 1571Ш12,5(!+k)15,3(1+k)\5,46(1+k~--
13,64(!+ k)1
'
Q5
Q4
QЗ
Q2
Q
6 1631Ш13,73(!+ k)18(1+k) 110,3(1+ k) 18,56(!+ k)14,18(1+ k)1
'
QG
Q5
Q4
QЗ
Q2
Q
7 1711ш12,76(1+ k)l8,12(1+ k)\ 11,74(1+ k)114,35(1+ k)l11,5(!+ k),4,86(1+k)I
'
-
Q7
Q6
.
Q5
Q4
QЗ
Q2
Q
8 1 771Ш,4,65(1+ k),9,42(1+ k)122,7(1+ k) 128,4(!+ k)124:3(!+ k)115(1+ k)15,45(1+ k)
~1•
1
'
_
Q8
Q7
Q6
Q5
Q4
QЗ.
_
.
Q:!
Q


выбирать в з ависимости от з начени я п (см . No 1 тае,л . 9.1). Средне ­
гео м етрически й корень
(9 .21)
<
гдел1,л2,...,
лп - моду ли корней х арактеристического урав ­
нения.Вданномслучаел1=л2=•••=л,, =лиQ=л.
Переходные х арактеристи к и таки х систем апериодические .
В табл . 9 . 1 приведены з начения произведений ,tpQ, где tP - время
регулирования , т . е. время, по истечении которого отклонение
пере х одной х арактеристики от установившегося значения не
превышает 5 %.
Время регулирования имеет меньшее з начение , если характе­
ристичес к ий полином з амкнутой системы представляет собой
произведение тре х членов вида (Т2s 2 + 2sTs + 1) и двучлена вида
(Ts + 1) при нечетном п, где коэффициент демпфирования s =
= 0,75. Для этого коэффициенты с0, с1, . . . ,
сп_ 1 передаточной
функции W ра з омкнутой системы должны иметь значения, при­
веденные в No 2 табл . 9.1.
Переходные характеристики в этом случае имеют перерегули ­
рование менее 5 %, з начения tPQ указаны в таблице.
Время регулирования (см : No 3 табл . 9 . 1) будет минимальным,
если все комплексные корни (и один вещественный корень при п
нечетном) имеют вещественные части, равные -ri, а мнимые части
образуют арифметическую прогрессию с раз ностью у . При этом
отношение у /'У) должно быть равно 1; 1,45 ; О, 79; 1,5; 0,64; 1,5
и 0,7 соответственно при п = 2; 3; 4; 5; 6; 7 и 8 . Необходимые
для этого значения коэффициентов с 0 , с 1 , .. . передаточной функ­
ции W указаны в No 3 табл. 9.1 . Переходные характеристики
имеют перерегулирование до 5 %.
Порядок расчета статической системы методом стандартных
коэффициентов мож~т быть следующим :
1. Выбирают структуру системы и составляют передаточ-
ную функцию W ее разомкнутой цепи . Коэффициенты знамена­
теля W являются некоторыми функциями параметров элементов
системы.
2. Определяют з начение передаточного коэффициента k, необ­
ходимое для обеспечения заданной статической точности.
3 . Вычисляют значение среднегеометрического корня по отно­
шению
Q= tpQ'
fp
(9.22)
где tPQ - значение, вз ятое и з табл. 9.1 в соответствии со з наче ­
нием п и типом динамически х з веньев системы ; tP - допустимое
время регулирования .
4. Вычисляют необходимые значения коэффициентов с 0 , с 1 , ...
.
.
. , Сп-~ по соответствующим формулам табл . 9. 1 и составляют
358


передаточную функцию W разомкнутой системы, удовлетворяю­
щую требованиям, предъявляемым к системе .
5. Определяют необходимые значения параметров элемен­
тов САР путем решения системы алгебраических уравнений.
Последние получают путем приравнивания коэффициентов при
равных степенях s з наменателей передаточны х функций W и W.
Знаменатель заданной передаточной функции W может быть
произведением элементарных множителей. Тогда полином
cos'1+ C1s11- 1+ •.• + Cn-1S+ 1
удобнее разложить на элементарные множители (см. приложе­
ние 2).
6. Выясняют возможность физической реализации необходи- ­
мых значений параметров. Если их реализуют приближенно, то
необходимо построить переходную характеристику синтезирован­
ной системы и проверить удовлетворение исходных требований.
Пример 9.3 . Передаточная функция разомкнутой САР
~
k
W=(T2s2+2;Ts+ !)(T1s+lj.
Определить значения параме ·1 ров системы, при которы х кqэффициент ста­
тизма S = 0,02, время регулирования ip ,s=; 0,2 и перерегулирование а ,s=; 10% .
Пользуясь формулой (9.4), определим н еобход имое значение п е ред аточ ного
коэффициента разомкнутой системы:
k=1-S=1-0,02 =49
S
0,02
•
Коэффициенты передаточной функции будем определять так, чтобы обеспе­
чить минимальное время регулирования , т. е. по No 3 табл. 9.1. Перерегулиро­
вание в этом случае не превыси т 5%.
При п = 3 /pQ = 4,4. Следовательно, среднегеометрический корень должен
и меть следующее зн~чение:
Теп е рь определим необ х одимые значения коэффициентов передаточной
функции разомкнутой системы:
1+k
1 +49
Со=~ = ~= 0,0047;
2,05(1 + /г) _ 2,05(~+ 49) = 0212
,
С1=
Q2
-
222
'
'
2,39 (1+ k) 2,39 (1+ 49)
С2=
Q
22
= 5,43.
Следовательно,
49
\.YI = -:--=--=--с-сс--=---=-=-с-=--=--с,-------сс--,---ссс---с-- •
0,0047s3 + 0,212s2 + 5,436 + l
359


Разложим знаменатель W на элементарные множители, пользуясь методом
Лина (см. приложение 2) , тогда он примет следующий вид:
(0,02952 s2 + 2 -0,664 -0,0295s + 1) (5,39s + 1).
Следовательно, для удовлетворения требований параметры передаточной
функции W должны быть следующими: k = 49; Т = 0,0295 с;~= 0,664 и Т 1 =
= 5,39 с.
Астатическая система. Передаточная функция разомкнутой
цепи системы с астатизмом первого порядка
'
W=
k
s (CoSn- l -+C1Sn- 2
-+ ... -+ Cn-2S -+ 1)
(9 .23)
Стандартные значения коэффициентов k, с 0 , с 1 , . .. приведены
в табл . 9.2. В табл. 9 .2 No 1, 2 и 3 соответствуют по распределению
корней характеристического уравнения замкнутой системы соот­
ветствующим номерам табл . 9 . 1.
Передаточная функция разомкнутой цепи системы с астатиз­
мом второго порядка
W_
k(bs+1)
-
2( n-2+ 11-З-+
+
+1)•
S CoS
C1S
-
•••
Cn-3S
(9.24)
Коэффици,енты k , Ь, с 0 , с 1 , ... рекомендуется [57] выбирать
по табл. 9.3 . При этом перерегулирование переходных характери­
стик составляет 8-12 %. Существуют и несколько иные рекомен­
дации для выбора коэффициентов передаточных функций астати­
ческих систем [ 18] .
Передаточная функция разомкнутой цепи системы с астатизмом
третьего порядка
W-
.
k(b0 s2 +b1 s+ 1)
-
s3 (c0s11- 3
-+ c1s11- 4
-+ ··· -+Cn_4s+1)•
(9 .25)
Коэффициенты k, Ь0, Ь1, с0, с1, ... рекомендуется [57] выби-
рать по табл. 9.4 .
•
Передаточный коэффициент разомкнутой астатической системы
(добротность) зависит от значения среднегеометрического корня Q
(см . табл. 9.2, 9.3 и 9.4). Поэтому при расчете можно удовлетво­
рить или требование к статической точности, т . е. выбрать значе­
ние k, которое определяет значение Q, или тр_ебование к быстро­
действию, т. е . определить Q по допустимому значению tP. В осталь­
ном порядок расчета астатической системы не отличается от рас­
чета статической системы .
Пример 9А. Передаточная функция разомкнутой САР
k(·i:s+1)
i\1/= s2(Ts+1) •
Выбрать передаточный коэффициент k и постоянные времени 't и Т коррек­
тирующего устройства так, чтобы время регулирования tp ,:;; 0,5 с и перерегу­
лирование а,:;; 15% .
360


------·-------·--
Таблица 9.2
Коэффициенты передаточной функции разомкнутой а.статической САР
No
по пор.
1
11
1
lpQ
1
"
1
Со
1
с,
1
с,
1'
с,
1
с'
1
с,1 Са
2
4,8
Q
1
-
-
2Q
-
-
-
-
-
-
2
---
--- -
3
6,0
Q
1
1
-
3Q2
-
-
-
-
-
-
3
Q
-- --
--
-
4
7,7
Q
1
1
3
-
-
4Q3 Q2-
-
-
-
-
-
4
2Q
1
-
------
------
5
9·,о Q
1
1
2
2
-
5Q4
-
-
Q--
-
5
QЗ
Q2
-----
6 10,4
Q
1
1
5
10
5
-
6Q5
-
-
--
-
-
-
6
Q4 2Q3 3Q2 2Q
7
11 ,6
Q
1
1
3
5
5
3
-
7Q6
-
Q4w
-
-
-
7
Q5
Q2
Q
Q
1
1
2
3,0
-
l,5Q -
-
-
-
-
-
1,5
Q
2,~Q2 I
1
1
1
3
4,5
-
Q
-
-
-
-
-
2,5
1
Q
13~з1 1 1162
1
2
4
5,1
-
~22
-
-
-
-
3
1
1
Q
1
1 1,81 1,81
1
5
6,0
-
--
wQ2--п- -
-
-
4
4Q4
;;
1
1,
Q
4,~Q5 I
1
1
2,056 2,75
2,~56 1
1
6
6,6
-
-Q4
Q2
-
-
4,5
QЗ
Q11
1
1
2
2,9 Т,ЗВ l,38Q -
-
-
-
-
-
3
3
1
4,4
1
Q 1 1 10,8581
1
1
1
2,39 2,39Q 2 ~-
-
-
-
-
-
361


No
1
по пор.
3
ll
2
3
4
1
5
6
362
Продолжение табл. 9.2
п
1
lpQ
1
"1
Со:
1
с,
1
с,
1
Сз
1
с,
1
с,
1
с,
4
4,6
Q
1 0 ,929 1,357
-
2,8Q3 ~ ~
-
-
-
-
2,8
1
5
5,7
Q
1 0,687 1,456 1,5
3,64 3,64Q4 Q3 Q2 Q
-
-
-
--·
6
6,3
Q
1 1 0,892 1,9 14 2,464 2,048
4,18418Q5~Q3 Q2 ~
-
-
'
1
7
7,1
Q
1 0,568 1,671 2,416 2,953 2,366
4,86 4,86Q6 Q5 ~ Q3 -w- ~
-
8
7,7
Q
1 0,853 1,728 4,165 5,211 4 ,459 2,752
--
5,45Q7 Q6 Q5 -- Q3 --
~
5,45
Q4
Q2
Таблица 9 .. '1
Коэффициенты передато•шой функции разомкнутой САР
с астатизмом второго порядка
Значения н:оэффнциентоп
lpQ
1
1
1
1
1
"
ь
Со
с,
Ci
С3
3,8
1
Q2
2,5
1
1
Q
-
-
-
-
1
Q2
1
6,35
1
1
1
1
6,8
5,1
Q
5,!Q
-
-
-
1
Q2
11,83
1
1
0,443
1
13,2
16,3
-
Q-
16,3Q2 - Q
-
-
-
1
Q2
1
18
1
1
0,237
1
0,763
17
38
~-----Q-
-
38Q3
Q2
1
Q2
1
27,7
1
0,134
1
0,557
1,122
19
--
~ 82,3Q4 ~
--
-Q-
82,3
Q2


п
1
3
4
·5
Таблица 9.4
Коэффициенты передаточной функции разомкнутой САР
с астатизмом третьего порядка
lpQ
1
и,%
1
"
1
ь.
1
ь,
1
Со
1
с,
1
1
1
1,8
10
QЗ
6,7
6,7
1
-
Q
-
-
Q2
1
QЗ
1
15
7,9
1
1
1
5,3
16
?;9
-
Q
7,9Q
-
Q2
1
QЗ
1
69
18
1
1
18
11 ,6
20
69
Q2
Q
69Q 2
69Q
Система третьего порядка с астатизмом второго порядка, поэтому по табл. 9.3
определим tpQ = 6,8.
Следовательно,
Q-tpQ=~-136·
-
tp
0,5 --
''
Q2
13 62
k= 51= -----tг = 36,3 с-2;
'
'
,=Ь=
~{ = 0,467 с;
1
Т=с0=~=5
,l .13,6
=
О,0144с .
Очевидно, что синтез САР методом стандартных коэффициен­
тов весьма прост. Лишь один этап может вызвать затруднения при
ручном счете - разложение полинома на множители или решение
системы нелинейных алгебраических уравнений при синтезе САР
четвертого и более высокого порядка.
Однако применение данного метода ограничено . Его недоста­
ток в том, что одновременно выбирают все коэффициенты передаточ­
ной функции и необходимо иметь по крайней мере п варьируемых
параметров. Необходимые значения параметров не всегда могут
быть физически реализованы, прежде всего из-за малого перере­
гу лиров_ания стандартных переходны х' характеристик.
9.4 . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ
Корневой годограф (см. п. 7.8) позволяет выяснить влияние
одного из параметров системы на расположение полюсов и нулей
передаточной функции и, следовательно, на ее динамические
свойства (см . п. 7.7). Поэтому корневой годограф может быть
использован 1<ак для выбора значения какого - либо из параметров
системы, так и для синтеза корректирующего устройства.
363


Пусть требуется выбрать значение параметра а (передаточ­
ного коэффициента разомкнутой цепи, постоянной времени или
коэффициента демпфирования элементов). Тогда при постоянных
зна чениях всех остальных параметров нужно задавать различные
значения а 1 , а 2 , ... внутри возможных пределов изменения этого
параметра и построить траектории корней. Затем можно выбрать
такое значение а, при котором имеет место наиболее благоприят­
ное расположение нулей и полюсов.
Корни следует вычислять наиболее прость!м числовым . методом,
так как большой точности не требуется вследствие приближенности
корневой оценки качества .
Показатели качества приближенно легко определить по преоб­
ладающей паре полюсов.
Предположим, что передаточная функция з амкнутой системы
<1
l
)=Т2s2+21;,Ts+l'
(9.26)
т. е. в характеристическом уравнении этой системы преобладающей
является пара комплексно-сопряженных корней s 1 и s 2 :
(9.27)
где
Тогда переходную характеристику определяют по формуле
l -б,t
li(t)= 1- -те
sin(ш1t+0),
(9 .28)
W1
где
0= arctg~~.
Основные показатели качества могут быть вычислены по сле­
дующим формулам: перерегулирование (в относительных едини­
цах)
время регулирования
-б,n
-
1;,n
а=еCiJ,
= eV1-1;, ';
3
зт
tр=т= -t-;
1
<,,
показатель колебательности
М=l
2B1w1T2
(9.29)
(9. 30)
(9. 31)
Графики зависимостей а, t/T и М от 1;, вычисленных по этим
формулам, пока зан на рис. 9.5.
364


G.,% !:.р
м
т
700
10
во 11{)
8
60 30
Б
1/0
4-
20 10
2
о
Рис. 9.5 . Зависимость перерегулироnания о·/ относительного
времени регулирования tp/T
и показателя колебательности М от коэффициента демпфи­
рования ~ преобладающей 1<омплексно-сопряженной пары по•
люсов
•'
Продолжительность переходного процесса приближается к ми­
нимальной при s = 0,7. В этом случае О'= 0,05 и М = 1 . Поэтому
значение коэффициента демпфирования s = О, 7 является в опре­
деленном смысле оптимальным и целесообразно приближать s
к этому значению.
Уточненные формулы для определения О' и tP приведены
в источнике [117]. Однако они не всегда дают хорошее приближе­
ние. Если известны полюсы и нули передаточной функции замкну­
той системы, то не составляет труда определить точное аналитиче­
ское выражение переходной характеристиrш, пользуясь табл. 4.1,
и построить эту характеристику.
При использовании корневых годографов для синтеза коррек­
тирующих устройств исходят из различных предположений.
Иногда полагают зависимость переходной характеристики ли шь
от ближайшего к мнимой оси вещественного полюса . Вместе с тем
пользуются и предположением, что наил уч шие динамические
свойства система имеет, когда ближайшей к мнимой оси будет
пара комплексных сопряженных полюсов. Исходят также и из
более сложной си~;уации: ближайший к мнимой оси полюс веще­
ственный и за ним следует пара комплексных сопряженных полю­
сов . К:аждое из этих предположений может быть основой расчета
лишь при условии, что все остальные полю сы скомпенсированы
(хотя бы приблизительно) нулями или достаточно удалены от
рассматриваемых полюсов.
Необходимо также учитывать влияние нулей передаточной
функции. Поэтому для определения качества переходного про­
цесса и для синтеза корректирующего устройства наиболе е пра-
365


щ1льно рассматривать три ближайших полюса и один нуль пере­
даточной функции замкнутой системы .
Однако зависимости показателей качества от расположения
трех полюсов и нуля передаточной функции не установлены .
Поэтому при синтез е корректирующего устройства с использо­
ванием корневого годографа принимают, что переходный процесс
определяется парой комплексно-сопряженны х корней характери­
стического уравнения замкнутой системы. Их расположение выби­
рают по з аданным по к а з ателям качества , а корректирующее
устройство выбирают так, чтобы эти корни были действ ите л ьно
определяющими.
Пусть з адано значение передаточного коэффициента ра з омкну ­
той системы и допустимые значения перерегулирования cr и вре­
мени регулирования tP. Тогда синтез корректирующего устрой­
ства может слагаться из следующих этапов .
1. По з аданным значениям а и tP с помощью номограммы
(рис . 9.5) определяют значения коэффициента демпфирования s
и постоянной времени Т желаемой передаточной функции (9 .26)
замкнутой системы .
2. Вычисляют по формуле (9.27) значения определяющей
пары корней и последние щшосят на комплексную плоскость
(достаточно нанести только один корень s 1) .
3. На график наносят все полюсы 'А; и нули Yi передаточной
функции неизменяемой части системы, т. е . начальные и предель ­
ные точки ветвей корневого годографа .
4 . Вводят дополнительные нули для компенсации полюсов
(кроме нулевого), расположенных справа от s 1 и близко от s 1 ,
слева. Этим обеспечивается определяющая роль корней s 1 и s 2 •
5 . Вводят дополнительный полюс (или полюсы) так, чтобы
для точки s 1 удовлетворялось уравнение фа з (7 .71) :
11,
tfl
~1/)1;- ~1/J2i=Nn,N=±1,±3,
.•
..
,
i=l
j=I
где 'lj)1; -
угол вектора от i-го полюса к точке s 1 ; 'lj) 2 i - угол век­
тора от j-ro нуля к точке s1.
При удовлетворении этого равенства через точку s 1 будет
проходить одна из ветвей корневого годографа.
6. По формуле (7. 72) вычисляют значение передаточного
коэффициента k разомкнутой системы, соответствующее точке s1
корневого годографа:
k _ 111112 • • • 1111 "?1_"? 2_•_·._ у ,,, ,_
-
121122...l2mA1A2...Ап'
где l1; -
длина вектора от i-го полюса к точке s 1 ; l2 i - длина
вектора от j-ro нуля к точке s 1 ; 'А ;, Yi - значения полюсов и нулей
(отличные от нуля) .
~66


7. Если значение k отличается от требуемого kт, то вводят
полюс 'А и нуль у, значения которых определяют из соотношения
(9.32)
Полюс 'А и нуль у располагают так, чтобы они представляли
собой диполь, т. е. чтобы векторы от них к точке s 1 были прибли­
зительно равной длины и равного наклона . Тогда они не нару­
шат равенства (7. 71), но изменят нужным образом правую часть
формулы (7.72) .
8. По введенным при синтезе полюсам л1, л11, ... и нулям у1,
у11 ,
...
составляют передаточную функцию последовательного
корректирующего устройства
(J_s+ l)(-1 s+1)-••
W1= Yr
,
Yrr
(9 .ЗЗ)
"
(-1
s+ 1)(-1
s+ 1),•••
\лl
лll
9. Для проверки удовлетворения требований строят переход­
ную характеристику скорректированной системы.
Синтез корректирующего устройства по преобладающей паре
полюсов можно осуществить без графических построений. По за­
данным значениям k, а и tp, пользуясь номограммой на рис . 9.5,
следует составить желаемую передаточную функцию замкнутой
системы . Затем определить желаемую передаточную функцию
разомкнутой системы и разделить ее на передаточную функцию
неизменяемой части системы. В результате определяется переда­
точная функция необходимого последовательного корректирую­
щего устройства.
9. 5 . МЕТОД ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Свойства САР полностью определяются частотными характери­
стиками ее разомкнутой цепи. Если все элементы системы мини­
мально - фазовые, то достаточно рассматривать только амплитудно­
частотную характеристику. Для построения логарифмической
асимптотической амплитудно - частотной характеристики почти не
требуется расчетов. Поэтому метод синтеза, основанный на исполь­
зовани!'! ЛА ЧХ, широко применяют в инженерной практике.
Сущность этого метода заключается в следующем. Сначала
строят асимптотическую ЛАЧХ Lн (w) неизменяемой (основной)
части системы. Затем строят желаемую ЛА Ч Х L"' (w) разомкну­
той системы. Разность
(9.34)
есть ЛА ЧХ дополнительного элемента, который нужно ввести
в систему для того, чтобы она имела необходимые свойства, т. е .
это есть ЛА ЧХ последовательного корректирующего устройства.
367


Неизменяемая часть системы регулирования по отклонению
включает в себя объект регулирования и исполнительный элемент,
а также эл емент основной обратной связи и элемент сравнения.
К неизменяемой части относят обычно также элементы, которые
обеспечивают необходимые статические свойства системы: усили­
тель и в астатической системе интегрирующий или изодромный
элемент (элементы). Асимптотическую ЛАЧХ L 11 (w) строят по
передаточной функции неизменяемой части системы обычным
методом (см . п . 5.3).
Желаемую ЛА ЧХ условно разделяют на три части: · низко­
частотную, среднечастотную и высокочастотную . Низкочастотная
часть определяет статические свойства системы, ее точность
в установившихся режимах.
Среднечастотная часть является наиболее важной. Она опре­
деляет устойчивость, запас устойчивости и, следовательно, каче­
ство переходных процессов, оцениваемое обычно показателями
качества переходной характеристики. Основные параметры сред­
нечастотной асимптоты это ее наклон и частота среза wc, т. е.
частота , при которой желаемая ЛА ЧХ пересекает ось абсци се.
Чем больше наклон среднечастотной асимптоты, тем труднее
обеспечить хорошие динамические свойства системы . Поэтому на­
иболее целесообразен наклон :_20 дБ/дек и крайне редко он пре­
вышает -40 дБ/дек . Частота среза wc определяет быстродействие
системы. Чем больше wc, тем выше быстродействие, тем меньше
время регулирования tP переходной характеристики .
Высокочастотная часть желаемой ЛА Ч Х незначительно влияет
на динамические свойства системы. Вообще говоря, лучше иметь
возможно больший наклон ее асимптот, что уменьшает требуемую
мощность исполнительного органа и влияние высокочастотных
помех. В ряде случаев при расчете высокочастотную часть ЛА ЧХ
не принимают во внимание.
Желаемую ЛА ЧХ строят на основании требований, предъяв­
ляемых к ее свойствам. Требования к статическим свойствам
задают в виде порядка астатизма v и передаточного коэффициента •
(добротности) /, разомкнутой системы. Иногда для системы с аста­
тизмом ·первого порядка задают коэффициенты ошибки С 1 и С 2 .
Ранее было показано, как по этим требованиям построить низко­
частотную асимптоту ЛАЧХ.
При синтезе САР рассматриваемым методом требования к дина­
мическим свойствам задаются максимально допустимыми значе­
r-шями перерегулирования а и временем регулирования tP переход­
ного процесса, создаваемого ступенчатым задающим воздействием.
Может быть задано ограничение в виде максимально допустимого
ускорения Wma x регулируемой величины при начальном рассогла­
совании х 0 .
Е сли не изменяемая часть системы включает в себя элементы,
обеспечивающи е необходимые статические свойства, то низкоча­
стотная часть характеристики L11 (w) является вместе с тем и
368
''
>.


L
низкочастотной частью характеристики L"' (ш). В этом случае
ЛА ЧХ L,й (w), определяемая равенством (9.34), является харак ­
теристикой последовательного корректирующего устройства. По
параметрам этой ЛА ЧХ составляют передаточную функцию Wк1
последовательного корректирующего устройства. Формулы (8.38)
и (8.40) позволяют отыскать . значения передаточных функций W" 2
параллельного и W" 3 прямого параллельно 'го корректирующих
устройств, имеющих те же свойства.
Для построения желаемой ЛА ЧХ используют различные пра­
вила. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
Построение желаемой ЛАЧХ по В. В. Солодовникову [84, 114].
Предположим, что ее низкочастотная асимптота, совпадающая
с ЛАЧХ L,, (w), имеет наклон -20 дБ/дек и ордината этой асимп­
тоты (или ее продолжения) при w = 1 с-1 равна 20 lg k (рис. 9.6).
Порядок построения желаемой ЛА ЧХ будет следующий.
1. Выбирают частоту среза юс так, чтобы удовлетворялось
неравенство
(9 .35)
Здесь юс 1 - минимальное значение частоты среза, при кото­
ром время регулирования не превысит заданного значения tP.
Значение юс1 определяют по номограмме, изображенной на рис. 7.5.
По заданному значению а с помощью кривой а (Ршах) номо­
граммы определяют соответствующее значение Р шах· Затем по
значению Р шах с помощью кривой tP (Р шах) определяют значе­
сл
ние --.
Эту величину приравнивают заданному значению tr
CJJc
и из полученного равенства
(9.36)
Правая часть неравенства (9.35) есть максимальное значение
частоты среза, допустимое при заданных значениях максимального
ускорения w,лах регулируемой координаты и начального рассогла­
сования х 0 :
i/ Wшах -1
fficо=
--
С.
"
Хо
24 И. М. Макаров
(9.37)
369


L, дб r,град
70
30
50
20
30
10
10
1,0 1,1 1,2 1,3
1, Ч 1,5 Ртах
Рис. 9. 7 . Номограмма для определения ординат ±L'\' кон­
трольных точек и необходимого избытка фазы '\\пin
Если оказывается, что ffic 1 > wc 2 , то нужно выбирать ffic ~ ffiс2 -
Иногда значения Wша х и х 0 не задаются, тогда ffi c :;,, .
ffici·
Выбранное з начение wc наносят на график (рис . 9.6) .
2. Строя т среднечастотную асимптоту. Ее проводят через
точку wc на оси абсцисс с наклоном -20 дБ/дек. Меньший наклон
трудно осуществить, а при большем наклоне трудно обеспечить
необходимый запас устойчивости.
3. Среднечастотную асимптоту сопрягают с низкочастотной
так, чтобы в том интервале частот, в котором
(9 .38)
избыток фазы
(9.39)
Сопряжение осуществляется асимптотой с наклоном -40 дБ/дек
или -60 дБ/дек при v = 1, и асимптотой с наклоном -60 дБ/дек
приv=2.
•
Значения L,, и Уш;п определяют с помощью номограммы
(рис. 9.7) по ранее найденному значению Ршах· Удовлетворение
неравенств (9 .38) и (9.39) означает, что желаемой ЛА ЧХ соот­
ветствует типовая вещественная частотная характеристика, у ко­
торой I Рш~п 1 = Ршах - 1 и для которой составлены ранее
использованные зависимости а (Ршах) и tP (Рша х ) (см. рис. 7.5).
Избыток фазы у = :п; + 1jJ (w), где 1/J(w) < О, проверяют лишь
при той частоте ffi 3 (см. рис. 9.6), при которой Lж (w) = Lv.
Этой частоте может соответствовать точка сопряжения асимптот
или точка на одной из этих асимптот.
Избыток фазы при частоте wa можно определить по прибли­
женной формуле
(9 .40)
370
_
__J


где
roi - сопрягающие частоты, меньшие roa;
т и l - число сопрягающих частот, на которых наклон же­
лаемой ЛА Ч Х соответственно изменяется на -20
или на + 20 дБ/дек.
Для вычисления у можно также использовать другие методы
определения фазы по ЛАЧХ (см . п. 5.4) .
Если при выбранном сопряжении асимптот избыток фаз ы Уа
в контрольной точке оказ ывается меньше Ymin• то сопрягающую
асимптоту нужно сместить влево или уменьшить ее наклон. Если
же Уа > YmirP то необ х одимо смещени е сопрягающей асимптоты
вправо или увеличение ее наклона .
Таким образом, нужное положение сопрягающей асимптоты
отыскивается методом проб. При этом разность У а - Ymin не дол­
жн.а превышать нескольких градусов .
При сопряжении нужно стремиться к тому, чтобы желаемая
ЛАЧХ возможно меньше отличалась от ЛАЧХ неизменяемой
части системы. ·
4 . Среднечастотная асимптота сопрягается с высокочастот ­
ной частью ЛА Ч Х Lн (ro) неизменяемой части системы так, чтобы
в том интервале частот, в котором
0::;;,,,Lж(ш)::;;,,,-Lv,
(9.41)
избыток фазы у был не меньше у min.
Избыток фазы достаточно проверить лишь при той частоте ro 6
(см. рис. 9.6), при которой Lж (ro) = -Lv. Можно пользоваться
приближенной формулой
г
:n:
.
~Шб
Уб = :n:-4 qcp- LJ W;'
(9 .42)
i=l
где q cp - относительный наклон среднечастотной асимптоты;
r - число сопрягающих частот , которые больше частоты
среза.
Если при выбранном сопряжении асимптот избыток фазы у6
в контрольной точке оказывается меньше y ,11 ,n, то сопрягающую
асимптоту нужно сместить вправо или уменьшить ее наклон.
Если у 6 > у 111 ; 11 , то необходимо смещение сопрягающей асимптоты
влево или увеличение ее наклона. Таким образом, нужное положе­
ние сопрягающей асимптоты также находят с помощью проб.
Разность у 6 - у 111, 11 не должна быть больше нескольких градусов .
При сопряжени'и опять следует стремиться к тому , чтобы
Lж (w) возможно меньше отличалась от Lн (ro). Чем меньше
различие между формой этих ЛА ЧХ, тем проще необходимое кор­
ректирующее устройство .
Номограммы для синтеза кор р екти рующих устройств. Желае­
мая ЛА ЧХ астатической системы очень часто состоит из четырех
асимптот (рис . 9.8) : низкочастотной с наклоном -20 дБ/дек,
сопрягающей с наклоном -40 или -60 дБ /дек, среднечастотной
24*
371


L,
-4Ооб/iJек
Рис . 9.8. Типовая ЛАЧХ
с наклоном -20 дБ/дек и
высокочастотной с накло­
ном -40 или -60 дБ/дек .
Изменение
наклона
высокочастотной
части
ЛАЧХ при ординатах,
меньцшх -26 дБ, можно
не принимать во В'нимание.
Такие сопрягающие частоты создаются постоянными времени,
· которые
относятся к малым параметрам и весьма слабо влияют
на динамические свойства системы.
Таким образом, имеется четыре типа ЛА ЧХ разомкнутой
астатической системы (табл. 9.5) .
Каждая типовая ЛА ЧХ полностью определяется четырьмя
параметрами: передаточным коэффициентом k разомкнутой цепи
(добротностью по скорости) и сопрягающими частотами:
х
:т
.,:
r=:
"
"
f-,
I
--
II
1
1
1
Ш1=-
Т; Ш2=
-
ИШ3= -Т.
1
'2
3
Таблица 9.5
Типовые логарифмические аг,1плитудно-ча стотные характеристики
Нан:лон асимптот, дБ/дек
~'6
,::s::
0'
'
'
П ередаточ на r1 фуi-11\ЦНЯ
'<!)
"' ...
~ь
~~ "':f
:,: о
§'Q
~t;,::s::
8 t;,::::
'"о
" ...
о"'
с.~· о
J:iсоо
:r: и
и'-
u :r ;:с:
ro ::;< ::r:
\\1/ с=
/,(,2S+1)
-20-40-20-40
s (T1s -\- 1) (T3s-\ - 1)
,
Т1>,2>Т~
1
\f/ =
k(,2S+ 1)2
-20 -60
-20 -40
s(T1s+ 1)2(T3s+ 1)'
Т1>-~:2 > Тз
---
-
\\1/ =с
k(,2s+I)
111 -20 -40 -20-60
s(Т1s-\- 1)(Т3s-\- 1)2
,
Т1>'2>Тз
---
-·
\\1/=
f1(,2S -\-1)2
IV -20-60
- 20 -•60
s(T1s-1-1)2(T3s+1)2'
Т1><2>Тз
372
1
1
1
·----·--_J


hmax
Рис. 9.9. Графи1< зависимости h,п
и ''\ tp от OJ 1 /0Jc для системы
с ЛАЧХ типа 1
::~11tNo--.-ггт,-т--lz-т---т--т-.т-т-Шlттт---т--,6Ы
1,О 80 дБ бОдб 1/Одб JОдб 20iJб
Однако более удоб­
но пользоваться сово­
купностыо следующих
четырех параметров: ор­
динаты L1 ЛАЧХ при
сопрягающей частоте
w1, частоты среза wcи
относительных з наче­
ний сопрягающих ча-
Шс tp
10
ВО дБ
60dб '10д5 ЗОдБ 20ВБ
/
/
/
8
"
н
/
"
\
,,..
1
б
I
r-..
1
'\.
"
.. ..
4
~
,,
'
/
ш~
(J)
п
стат -
и-3
.
ри
Шс
Шс
1\.
./
1
2о,оо1
0,01
этом сопрягающая частота w 2 определяется соотношением
W2
L1
W1
(a-l)lg-
·
=-+aig-,
Wc
20
Шс
(9 .43)
гдеа=2дляЛАЧХтипаIиIIIиа=3дляЛАЧХтипаIIиIV.
Для типовых ЛА ЧХ составлены номограммы [ 122 ], которые
по параметрам L 1 , w и ~ и -°2_ по з воляют определить основные
Wc
Шс
характеристики замкнутой системы: время регулирования tp,
максимальное значение hшах переходной характеристики , время
достижения этого максимума, частоту колебаний переходной
характеристики, максимальное значение амплитудно-частотной
характеристики и частоту, при которой достигается этот макси-
мум. Номограммы дают зависимость этих характеристик от wi
Шс
при L 1 = 20; 30; 40; 60 и 80 дБ и нескольких значениях -Wз
Wc
(1,2,4,8иоодляЛАЧХтипаIиII;1,2,4и8дляЛАЧХтипаIII
и 2, 4, 8 для ЛА ЧХ типа IV). Эти номограммы приведены в рабо­
тах [82, 86].
На рис. 9.9-9 .12 показаны взятые из этих номограмм графики
зависимостейw0tPи hшах от ::при :: = 4иL1= 20;30;40;
60 и 80 дБ для каждого типа ЛАЧХ .
Номограммы, приведенные [84, 113 ], позволяют по параметрам
L1,w0,~и
-°2_ типовых ЛА ЧХ определять следующие характе-
Wс
Wc
-
ристики замкнутой системы: перерегулирование и время регули­
рования переходной характеристики; запас устойчивости по
фазе у и коэффициенты ошибок С 1 и С 2 . Номограммы дают з ави-
симость этих характеристик от ~ при L 1 = 20; 30; 40; 50 ;
Шс
60;70И80дБИWa = 1•2·4И8.
Шс
'
'
373


1,8
1,6
1,'f
1,2
1,0
ш,.tр
12
10
8
б
4
2
0, 001
'·
1/
1/
1/
,
1,
/
1/
/
/
/
11/
Г71/Г7
/
1., 1
/
/
17/
1/ ./
~
BOiJБ БОдБ 40iJ5 JОдб 20д5
80дб бОдб L/ OiJБ JОдб 20 ilб
I
/
I
!\
'\.
о,о 1
11,
,,
I11
\J
V
IJ
,,
hтах
1,8
116
0,1
\1
''\ \
\
1
1
"'1 /
А-
r
/
,
--
11
1,
\,J
/
1
/
И'
\
1,'f
1,2
1,0
80iJ5
бОдб
Рис. 9. 11 . График зав исимо-
"-lc. tp
сти hm и roc tР от ro1/roc
12
для системы с ЛА ЧХ типа 111
374
8
6
4
2
О 0,001
80 дб
1-
'
'\
0,01
Рис. 9. 1О. График зависи­
мостиthm и roctР от ro,/roc
для системы с ЛА ЧХ типа 11
'
/
/
/
1
/
,
V
/
~
.,,
\
V "-.
L/Одб JОоБ
ОдБ
60 ilб '10 дБ JOiJБ 20iJБ
\
\1
1
J11
/
'
1/
'
/r-
1
0,1


Р ис . 9. 12 . График завис.имо-
hmax
2,2
2,0
1,8
1,6
1,'+
1,2
1,0
с1и hm и (()с IP от ffi1/ffic для
системы с Лд ЧХ типа JV wc,tp
IZ
10
8
б
f/.
/
11
J
J
/
/
/
/
/
/
/1//
J
1/
V
I
/
/
/
.,,
А
/
/
/IJ
,А
1./'
80дб бОдб 'IOilб JOiJб 20iJб
BOiJБ БОilб 'fOilt; JOiJб 20iJБ
-,
"
''
'-
'/
'
'
1
1
/
'
/
\
'J... II\
1
'\.
~
1J
1;
\.
1/
,,,,--
/
1
0,01
0,1
Формулы для вычисления С 1 , С 2 и у по параметрам типовых
ЛА ЧХ приведены в табл. 9.6 .
Номограммы могут быть использованы прежде всего для опре­
деления по казателей качества САР с типовыми ЛА ЧХ разомкну­
той цепи .
Некоторые ЛА ЧХ можно привести к типовым путем замены
двух близко расположенных сопрягающих частот wi и W;+1 ,
одной wi, как показано на рис. 9. 13 . Замена допустима, если
ординаты приведенной ЛА ЧХ отличаются от ординат исходной
не более, чем на 2 дБ.
L
L
а)
о)
Рис. 9.13. Заме на двух близко расположенных сопрягающих частот одной
375


L__
с,:,
- --1
G)
Тип
1
ЛАЧХ
I
II
III
IV
Таблица 9.6
..Рормулы дл я вычисления С1 , С2 и "? замкнутой системы по параметрам типовых логарифмических
амплитудно-частотных характеристик
1
1
С1
с,
1
V
L1
2С1 (-l -+_1
___ _
l__c1)
Л
Wc
Wc•
Wc
-
1-10
-20
-
-
arctg--+ arctg--- arctg--
W1
W~
W3
W2
2
W1
Wz
W3
L,
2С1 (-2
-
+-1
-
-
-
2--С1)
Л
Wc
Wc
Wc
-
1-10
-
20
-
-
2 arctg -
+ 2 aгctg -- - arctg--
W1
W1
W3
W2
2
W1
Wz
W3
L1
•
1
2
1
)
л
Wc
Wc
Wc
-
1- 10
- 20-
2С1 (--+----С1
-
-arctg --+ arctg--- arct g--
W1
W1
W3
W2
2
W1
UJ2
W3
L,
(2
2
2
)
л
Wc 12
Wc
2
Wc
1
-20-
2С1 - +-- ---С1
-
-
2 aгctg -- т arctg --- aгctg
--
-
10
W1
W1
W3
W2
2
W1
W2
W3


На таком основании следующие передаточные функции могут
приближенно соответствовать типовым ЛА ЧХ:
W=
k (1:3S -1- 1) (1:4s -1- 1)
~ k (-r2s -1- 1)2
s(T1s+1)(T2s -1-1)(T5s+1) ~s(7\s-i-1)(7\s+J)' (9.44)
где
Т1>Tz>--сз>'t4>Т5, 7\= li T1T2,
-r2 = V.-з.-4, Тз = Т5;
(9.45)
где
Т1>'t2 >Тз> Т4, Т1= Т1, т2='t2, Тз = l1ТзТ4;
W_
k (1:3S -1- 1) (1:4s -1- 1)
~ k(т2s-1- 1)2
-
s(T1s-1-1)(T2s+l)(T5s-1-1)(T6s-1-1)~s(7\s+ 1)2(7\s+1)2 '
(9 .46)
гдеТI>Т2>'tз>'t4>Т5>Тв,
Т1 = VT1T 2, 't2 = V--c3't4, Тз = vт5тG.
Номограммы можно использовать и в тех случаях, когда
вместо двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными
времени имеется одно колебательное с достаточно большим коэф­
фициентом демпфирования s- Ошибка тем меньше, чем меньше
отличие s от единицы.
Номограммы используют также для приближенного опреде­
ления показателей качества tP и а статических систем и систем с
астатизмом второго порядка. Это допустимо , если ЛА ЧХ разом­
кнутой цепи такой системы совпадает с типовой ЛА ЧХ в диапазоне
частот, в котором
I L(co) l -<30 дБ.
(9.4 7)
При этом по номограммам будут получены для статических
систем несколько завышенные, а для систем с астатизмом второго
порядr<а несколько заниженные значения перерегулирования и
времени регулирования .
Кроме оценки качества номограммы успешно используют при
синтез~ САР для построения желаемой ЛА ЧХ (см. пример 9.5).
С помощью номограмм можно также несколько уменьшить отличие
желаемой ЛАЧХ, построенной по В. В . Солодовникову, от ЛАЧХ
неизменяемой части системы (84, 113].
Построение желаемой ЛА ЧХ по Е. А. Санковскому - Г. Г. Си­
rалову [110, 100]. Для синтеза САР Е. А. СанкЬвским и Г. Г. Си­
rаловым предложено рассматривать девять типов ЛА ЧХ разомкну­
той цепи . Форма типовых асимптотических ЛА ЧХ и соответству­
ющие им: передаточныё функции приведены в табл . 9. 7. Там же
377


:><
:т
<>:
i:;
t::
,:
f-<
2
3
4
5
6
378
Таблица 9.7
Типовые логарифмические амплитудно-частотные характеристики
по Е. А . Санковскому-Г. Г. Сигалову
Пер еда точн ая фун"ция 1\1/
k
(Т1s -J- 1) (Т3s -J- 1)
k
s (T1s+1)(T3s+1)
k(т2s+1)
(T1s+1)2(T3s+1)
k (т2s+1)
s 2 (T3s-J-l)
Асимптоти ческ а я лоrариф м ичесн. а я
амплитудно-частотная
характеристика
L
о
о
w,
-40iJБ/ikк
L
о
-БOiJБ/iJel(
Lо
о
L -20дБ/iJе"'
- 40дБ/iletr
-20iJБ/ile/\
о i---
,- ..,- --::: .. ......,. .-- 1-, -c- -
-
Lо
ilel(
и)
о t--:,u)-' - - - .. :,,,,,,-- .;::---,:::.,i_:;;.
Частота
среза
Wc
kro1
k
kroi
<й2
k


t:
:,:
f--<
7
8
9
П срсд ато ч1-1 а " функцн" \11/
k (i:2s + 1)2
s 2 (T1s+·J) (T 3s+ 1)
ll (-C2S + 1)2
s3(T3s+ 1)
Продолжение табл. 9.7
Ас им11тотич ес 1< ая лоrарифмич0:с1{ая
амп литудно-ч астотн а я
ха ракт ер истик а
L -20 дБ/деt<.
-5 0 дБ/дек
-2ОiJБ/дех {. ,J J w
о t--+--+-- =-.. .c,-'-- -+- -" '-
L
о
-4ОдБ/i}еt<
L
о
Частота
среза
ffi c
/UJ)l
-2-
(i)2
k
-2-
(i)2
указана связь частоты среза wc с передаточным коэффициентом k
разомкнутой системы и сопрягающими частотами.
При выборе типа ЛА ЧХ рекомендуется исходить из следующих
соображений:
а) выбирать ЛА ЧХ типа 1 или 2, если задающее воздействие
изменяется с большим ускорением, а уровень помех мал;
б) выбирать ЛА Ч Х типа 3, 4 или 5, если ускорение задающего
воздействия невелико, но высокий уровень помех;
в) при больших ускорениях и высоком уровне помех выбирать
ЛАЧХтипа6,7,8или9.
Исходными данными для ра~чета ж~~аемой ЛАЧХ могут быть
следующие характеристики : gma x и gmax - максимальные зна­
чения скорости и ускорения задаю щего воздействия; ~ - допусти­
мая ошибка в уст1шовившемся режиме; а и tP - допустимые
значения показателей качества переходной характеристики; у -
запас устойчивости по фазе.
Расчет можно вести и в том случае, когда задающее воздей­
ствие и помеха являются случайными функциями времени.
Предположим, что выбран тип ЛАЧХ и по требованиям к
статической точности определены параметры ее низкочастотной
части. Тог да остальную часть желаемой ЛА ЧХ нужно построить
так, чтобы удовлетворить требования к качеству переходной ха-
379


рактеристики и запасу устойчивости. При этом могут быть нсполь­
з ованы данные табл. 9.7 и следующие соотношения:
(9 .48)
гдес=9приу=30°, с=8приу=45°ис =7приу=60°;
а=73-у0•
(9.49)
Формулы (9.48) и (9.49) дают погрешность , не более 0,05-0, 1
при60°>у>30°(110].
Кроме того, при расчете могут быть использов-ань( соотношения
(9.50)
(9 .51)
где l = 2 и 3 при наклоне сопрягающей асимптоты соответственно
- 40 и -60 дБ/дек;
:rt
а=2-у.
Значение а (в рад.) определено в предположении, что wcTi « 1,
(J)
i = 3, 4 , ... , и _с » 1. При наклоне сопрягающей асимптоты
Ш1
- 20 дБ/дек можно выбирать
(9.52)
Построение желаемой ЛА ЧХ изложенным методом выполнено
в примере 9.6.
Упрощенное пос,;роение желаемой ЛА ЧХ. Изложенные ранее
методы построения желаемой ЛА ЧХ содержат некоторые допу­
щения . Например, метод В. В . Солодовникова предполагает, что
вещественная частотная характеристика замкнутой системы бу­
дет иметь типичную форму. Кроме того, графические этапы рас­
чета вносят неизбежные неточности. Поэтому расчет чаще всего
дает лишь приближенные значения параметров регулятора.
Однако _они легко уточняются при испытании макета САР.
_
Указа~щые обстоятельства привели к тому, что предложен
ряд упрощенных методов построения желаемой ЛАЧХ .
Например рекомендуется [21] выбирать частоту среза желае­
м_ой ЛА ЧХ по номограмме рис . 7 .5, строить среднечастотную
асимптоту с наклоном -20 дБ/дек и ограничивать ее слева и справа
частотамл соотвеТ<;твенно w 2 = a 2 wc и w3 = a 3 wc. Обычно зна-
чение дз., ___2-а:-4
_и
значение а 2 выбирают по номограмме
рис, 9, Н,, а . J1осл~ с;опряженю_=r среднечастотной и низкочастотной
асимп_тот провiрЯJот и_збыток фазы при частоте w 2 . Он дощкен
380


о
1020JO40
а)
Ко
·3
2
1
о
10 20 JO 6,°lo
8)
5 0 6,0/о
0, гpail
60
50
40
30
20
.
'r--...
'!"-. .
...........
r--
......__
30
Рис. 9.14: Номограммы для щ,иб­
лиженных методов построения
желаемой ЛА ЧХ
составлять не менее 40°. Затем по приближенной формуле (9.40)
проверяют избыток фазы на участке от ш 2 до шс. Он должен соот­
ветствовать зависимости, показанной на рис. 9 . 14, б. После этого
по формуле (9.42) проверяют избыток фазы при частоте ш 3 в пред­
положении, что от этой частоты накл'она асимптоты -40 дБ/дек
до частоты ш4 = (6 + 8) шс- Далее идет высокочастотная часть,
влияние которой не учитывают.
Частоту среза желаемой ЛА ЧХ рекомендуют (37] выбирать
по соотношению
где коэффициент k 0 определяют по графику (рис . 9.14, в). Частоты,
ограничивающие среднечастотную асимптоту (имеющую наклон·
- 20 дБ/дек) слева и справа, выбирают соответственно по соотно­
шениям .
В системе, у которой ЛА Ч Х разомкнутой цепи типа I (см .
табл. 9.5), перерегулирование не превысит 20-30 %, если удовле­
творяются неравенства (86] :
(9.53)
381


L
Рис . 9.15. Определени е ЛА ЧХ желаемого последовательного
корректирующего устройства
При этом время регулирования с достаточной точностью опре­
деляют по частоте среза
(9.54)
Следовательно, заданное значение передаточного коэффици­
ента k разомкнутой системы определяет положение низкочастот­
ной асимптоты, а значение fP определяет положение среднечастот­
ной асимптоты . Остается выбрать частоты w 2 и w3 так, чтобы
удовлетворялись неравенства (9.53) .
При упрощенном построении желаемой ЛА ЧХ предусматри­
вают использование соотношений, указывающих допустимые пре­
делы того или иного ее параметра . Поэтому целесообразно одно­
временно рассмотреть два-три варианта и выбрать тот, который
обеспечивает наиболее приемлемые значения . показателей ка­
чества при наиболее простом корректирующем устройстве.
Перечисленные рекомендации для построения желаемой ЛА ЧХ
_
часто весьма удобно использовать при предварительных расчетах.
Выбор корректирующих устройств. После построения ЛА ЧХ
Lн (w) неизменяемой части системы и желаемой ЛАЧХ Lж (w)
можно определить их разность (9 .34), т. е. ЛАЧХ Lк 1 (w) после­
довательного корректирующего устройства. Это удобно сделать
графически : при каждой из сопрягающих частот характеристик
Lж (w) и Lн (w) вычислить разность их ординат, полученные точки
нанести на график и соединить отре з ками прямых (рис . 9.15).
На основании ЛАЧХ Lк 1 (w) составляют передаточную функ ­
цию W1, 1 необходимого последовательного корректирующего ус­
тройства . Его передаточный коэффициент определяют по орди­
нате Lк 1 (1) этой ЛАЧХ при частоте w = 1, так как
(9 .55)
382


Каждой сопрягающей частоте W;, при которой наклон ЛАЧХ
L,, 1 (w) увеличивается на -v 20 дБ/дек, соответствует множитель
( ~; s + 1) v в знаменателе W" 1 . Если при сопрягающей частоте
wi наклон ЛАЧХ L" 1 (w) уменьшается на +11 20 дБ/дек, то ей
соответствует множитель ( ~ i s + 1 ) 11 в числителе W,<1·
Например, ЛА ЧХ L" 1 (w), изображенной на рис. 9.15, соответствует пере­
даточная функция
\\;'
_
('t2S + 1)2(т3s+ 1) (т4s+ 1)
"1-
(T1s+ J) 2 (T5s+1) 2 '
где
Иногда желаемую ЛАЧХ не строят, а определяют ее пара­
метры, по которым можно составить желаемую передаточную
функцию Wж разомкнутой САР, тогда
•
W
Wж
"1=Wн•
(9.56)
Затем решают вопрос о том, какое корректирующее устройство
целесообразно выполнить. Выбирают участок неизменяемой ча­
сти системы, пэ.ралельно которому может быть включено
корректирующее устройство, и по найденному значению Wк 1
с помощью формул (8.38), (8.40) определяют необходимые значения
wк2 и w,,з·
Анализируя общие свойства последовательного, параллельного
и прямого параллельного корректирующих устройств, а также
сложность передаточных функций wкl• WJ(2 И Wкз можно сделать
выбор одного из них. В сложной системе может быть целесообраз­
ным введение двух корректирующих устройств. Для определения
их передаточных функций следует воспользоваться формулами
(8.42) - (8.44) .
При выборе типа корректирующих устройств необходимо
принимать во внимание, из каких элементов они могут быть вы -
полнены. Весьма часто в качестве корректирующих устройств
используют пассивные и активные четырехполюсники постоян­
ного тока, а также дифференцирующие трансформаторы и тахо ­
генерато,ры . Основные сведения об этих элементах приведены
в п. 8.6.
В простейшем случае схему пассивного четырехполюсника
с необходимой передаточной фу нкцией уд ается подобрать по
табл. 8.2. Если необходимо соединить последовательно два четы­
рехполюсника, из числа указанных в табл . 8.2, то между ними
необходим разделительный усилитель.
Схему четырехполюсника, соответствующего сложной переда­
точной функции корректирующего устройства, можно определить
383


методами, изложенными в приложении 4. Там же даны методы
определения схемы двухполюсника по заданной передаточной
функции. Выбор двухполюсников оказывается необходимым при
,
выполнении корректирующего устройства в виде активного четы-
~
рехполюсника постоянного тока.
1
~
После выбора схемы пассивного четырехполюсника определяют
параметры его элементов. Необходимое значение выходного
сопротивления з ависит от последующего элемента (чаще всего
усилителя). Значения остальных сопротивлений и емкостей вы-
,
числяют по соотношениям, которые определяют постоянные
времени передаточной функции . Если таких соотношений меньше,
j
чем вычисляемых параметров, то можно удовлетворить дополни-
тельное требование (или требования), например, иметь минималь-
ную емкость конденсаторов.
Не следует предусматривать пассивный четырехполюсник с
передаточным коэффициентом k < (О, l--i -0,05) . Не следует также
в одной схеме иметь сопротивления (или емкости) на два-три
порядка, отличающиеся одно от другого.
Заключительные этапы синтеза. Пассивные четырехполюсники
уменьшают общий передаточный коэффициент цепи. Поэтому
после их выбора нужно окончательно определить необходимое
значение передаточного коэффициента усилителя.
В заключение должно быть проверено удовлетворение требо­
ваний, на основании которых осуществлялся синтез САР. Для
проверки показателей качества необходимо построить переходную
характеристику методами, изложенными в гл. 4, или определить
ее на электронной модели. Еще более точной будет переходная
характеристика, полученная при сочетании электронной модели
регулятора с объектом регулирования.
Пример 9.5 . Передаточная функция неизменяемой части астатической сJiе­
дя щей системы
30
' \\7=s-(
-0
-,2~5-s-+~1-) -(0-, -2s- + ~J -) •
Выбрать корр ектирую щее устройство, обеспечивающее при передаточном
коэффициенте разомкнутой системы k ~ 100 с- 1 следующие показатеJiи качества:
а:,::; 25% и tp :,::; 0,2 с.
Дшr построен ия жеJiаемой ЛА Ч Х воспользуемся номограммами, изобра-
женными на рис. 9.9-9 . 12 .
-
По стоян ные времени 0,25 и 0,2 с неизменяемой части системы мало отли­
чаются одна от другой. Поэтому ее передаточную функцию можно заменить экви­
валентной
rде
т1 = Vo,2s.o,2 = 0,224 с.
Пусть
384


,----=
.......-._._,,
__
,&
.. ...-
....~----------------
---
1
1
и сопрягающая асимптота желаемой ЛА ЧХ имеет наклон -60 дБ/дек. Тогда
целесообразно строить желаемую ЛА ЧХ типа IV (табл. 9.5) . В этом случае
необходимо последовательное корректирующ ее устройство с передаточной функ­
цией
реализация которой не вызовет затруднений.
(i)
Согл асно рекомендации желаемую ЛАЧХ будем строить при - 3
-
=4.
Ci>c
По номограмме (см. рис. 9. 12) при L1 = 20 дБ и hmax = 1,25 определим
= 0,255 И Ci>cfp = 4,8.
Следовательно,
Ci>1
4,46
48
Ci>c= 0,255=0,255=17,5иfp= 17,5 =0,27с.
Время регулиро,вания больше допустимого .
ПриL1= 30дБиhmax= 1,25имеем :~ = 0,125иWcfp= 5,9.
Тогда
4,46 35 7
5,9 о7
Ci>c = 0,125 =
'
иtp=35,7 = ,!с.
Время регулирования не превышает допустимого значения и близко к нему .
Поэтому принимаем, что желаемая ЛА ЧХ относится к типу IV и им еет следую ­
щие значение основных параметров :
L1=30дБ;w1=4,46с-1;Ci>c= 35,7с-1;
Для построения желаемой ЛАЧХ (рис . 9 . 16) при частоте w1 откладываем
ординату, равную 30 дБ. Из полученной точки проводим низкочастотную асим­
птоту с наклоном -20 дБ /дек и сопрягающую асимптоту с наклоном -60 дБ /дек .
Затем наносим частоту среза и через нее проводим среднечастотную асимптоту
с наклоном -20 дБ/дек. Справа среднечастотная асимптота ограничивается
частотой w3 . От этой частоты проводим высокочастотную асимптоту с наклоном
-60 дБ/дек .
По точке пересечения среднечастотной и сопрягающей асимптот определим ,
что w2 = 8,9 с1. Отношение
свидетельствует о вполне достаточной протяженности среднечастотной асимп ­
тоты . Проверка значения w2 по формуле (9 .43) дает положительный результат .
Ордината низкочастотной асимптоты при w = 1 с- 1 равна 43 дБ . Следо­
вательно,
20lgk=43;lgk=2,15;k=141с-1,
т . е. значение k удов л етворяет требованиям .
Таким образом , построенная желаемая ЛАЧХ удовлетворяет всем требо­
ваниям , . предъявляемым к синтезируемой САР. По желаемой ЛА ЧХ составим
25 И. М . Ма"аров
385


L,iJБ
50
1
30 -1---
---- -
1
201
1
101
1
0,--:-------:~~-:;,;------=:~~~~ц}~----
и.)1 ц;210
щс-1
10
20
JD
Рис. 9. 16 . Построение желаемой ЛА ЧХ к пример у 9.5
передаточную функцию, учитывая, что сопрягающая частота w1 заменяет две
действительные сопрягающие частоты :
141( 8\s+ 1) 2
w-
\'
.
-
ж- s(0,25s+ 1)(0,2s+ 1)(113s+ 1)2
-
141(0,11 2s + 1)2
= s(0,25s+ 1)(0,2s+ 1)(0,007s+ 1)2•
Определим необходимую передаточную функцию последовательного коррек­
тирующего устройства :
W_Wж
_
4,7 (0,112s+ 1) 2
кl- Wн
-
(0,007s+ 1) 2 •
Эта передаточная функция может быть реализована усилителем и двумя
дифференцирующими четырехполюсниками, выполненными, например, по схеме
No 5 табл. 8.2 . Общая схема корректирующего устройства показана на рис. 9. 17.
Значения сопротиВЛ!сНИЙ R 2 и R4 следует выбрать при расчете соответственно
усилителя и исполнительного элемента. Для определения . значений остальных
элементов четырехполюсников на основании формул табл . 8.2 . имеем следующие
соотношения :
Следовнтельно, необходимо иметь :
Передаточный коэффициент усилителя должен быть
ky= ___
4_,7___ =
1203 .
R2
R4
R1+R2Rз+R4
Переходная характеристика синтезированной системы имеет следующие
показатели качества : а= 25,8% и tp = О , 166 с. Требования, на основании кото­
рых осуществлялся синтез САР , удовлетворены с достаточной точностью.
386


-------------- ---
-
Рис. 9. 17 . Электрическая схема по­
следовательного корректирующего u 1
устройства к пр11меру 9. 5
>
Пример 9.6. Передаточная функция неи з меняемой части системы , состоящей
из· объекта регулирования исполнительного элемента и усилителя
50-
Wн= s(0,25s+1)(0,005s+1) '
Выбрать корректирующее устройство , обеспечивающее следующие показа ­
тели качества : cr ~ 25% и tp ~ 0,4 с .. Система будет функционировать при мед•
ленно изменяющемся задающем воздействии с высоким уровнем помех .
.
В соответствии с рекомендациями Е . А . Санковскоrо - Г. Г. Сиrалова
желаемую ЛАЧХ будем строить по схеме No 4 табл. 9.7.
ОпредЕ'лим прежде всего необходимое значение запаса устойчивости по фазе ,
пользуясь форму~ой (9.49) :
у=73- cr= 73- 25=48·0
•
Теперь по формуле (9.48) можно определить частоту среза, принимая с= 8:
с
8
.wc=7;=004=20с-1.
Принимаем, что сопрягающую частоту w 1 создает постоянная времени 0,25 с
неизменяемой части системы :
1
<01= 0,25=4с-1.
Тогда по соотношению из табл . 9.7 определим
_
kw1_50
-4
_
10c-l.
(02 -
.:Ос- 20-
Вычислим постоянн ую
п
:rt
48
а=2
-
'У=2
-
57,3 = 0,733.
Примем, что постоянная времени 0,005 с неизменяемой · части системы создае1
сопрягающую частогу
1
W4 = 0,005 = 200 с-1.
По формуле (9.51) определим сопрягающую частоту w3 :
1~а_1
_
0,733 _ 1
_
00133.
<03
2wc
ffi4- 2-20
200 -
'
'
w3 = 75,2 с-1.
Для проверки расчета составим левую и правую части при бл иженного ра­
венства (9 .50) :
2s•
ffi2 =_!_О_ -о5·
<Ос 20-
''
.а
0,733
б
2(/- 1) =-
2-= 0,.3, 7-·
387


L,ilб
20
Рис. 9.18. Построение желаемой
ЛА ЧХ к примеру 9.6
о j---L --; -----:'; ---- -;';; ----" ''" '-. :: --- ~(<)~3~ _:;:(<)z..~-
1100
Щ{'
20
1/0
-Wоб)Оек
1
-бOiJб/iJeк 1
Можно считать, что расчет
выполнен правильно.
Построим желаемую ЛА ЧХ
(рис. 9. 18) и составим · по ней
передаточную функцию
k(~2 s+1)
Wж.=s(~
1
s+ 1)(~зs+ 1)(~
4
s+1)=
50 (0,1s + 1)
s (0,25s + !) (0,0133s + !) (0,005s + 1) •
Определим передаточную функцию последовательного корректирующего
устройства, необходимого для обеспечения требуемых свойств системы: •
1171<1= WWж = 0,1s+1
н 0,0133s + 1
Переходная характеристика скорректированной системы имеет следующие
показатели качества: а= 18% и tp = 0,258 с . Требования, на основании кото­
рых осуществлялся синтез САР, удовлетворены.
9.6. СИНТЕЗ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНЫХ КРИТЕРИЕВ
КАЧЕСТВА
Применение данного метода [14, 17, 18] объясняется тем, что
построение желаемой ЛА ЧХ значительно упрощается, если ка­
чество регулирования оценивать не по переходной характеристике
САР, а непосредственно по ее частотным свойствам.
САР достаточно полно оценивают точностью в типовых режи­
мах, быстродействием и запасом устойчивости. Одновременно с
о"ценкой точности воспроизведения гармонического .· воздействия
по частоте этого воздействия можно оценить и быстродействие
системы. Таким образом, - критерий точности и критерий быстро­
действия сливаются в один динамический критерий точности.
Необходимая динамическая - точность определяет • .требования
к низкочастотной части желаемой ЛАЧХ. В п. 9.2 были рассмот-
трены основные случаи ее построения. ·
.
Удобным частотным кр1-1терием оценки запаса устойчивости
является показатель колебательности М (см. п. 7.5). Он характе­
ризует склонность системы к колебаниям и, следовательно, ее
удаление от границы устойчивости. Чем меньше М, тем больше
удаление системы от границы устойчивости, т . е. тем больше
запас устойчивости .
•
звs


Показатель колебательности равен максимальному значению
амплитудно-частотной характеристики замкнутой астатической
системы, т. е . максимальному значению модуля ее частотной пере ­
даточной функции
1
w (i(J))
1
М=
1
+ W (j(J))
max
'
(9.57)
где W (jw) - частотная передаточная функция разомкнутой си ­
стемы:
Показатель колебательности астатической сu.стемы равен отно ­
шению максимального значения А ЧХ к ее начальному значению
(при ro = О) . В статических следящих системах обычно для исклю ­
чения статической ошибки (см. п . 8.1) добиваются, чтобы коэффи -
циент обратной связи k 0 = k\п 1 , где kп - передаточный коэф­
фициент прямой цепи . Тогда начальное значение А ЧХ равно
единице .
Если в статической системе единичная обратная связь, то на -
k
,
чальное значение А ЧХ равно 1 + k' В подавляющем большинстве
случаев передаточный коэффициент разомкнутой системы k » 1.
Следовательно, и в этом случае начальное значение А ЧХ можно
с достаточной степенью точности считать равным единице.
В хорошо демпфированных следящих системах с весьма малым
перерегулированием показатель колебательности М = 1, 1+ 1,3 .
Обычно достаточно иметь М = 1,3+ 1,5 . В ряде случаев допуска­
ется М = 1,6+ 1,8.
Необходимым и достаточным условием того, что показатель
колебательности устойчивой системы будет не больше заданного,
является расположение амплитудно~фазовой (см. рис. 7.9) или
логарифмической фазовой (см. рис . 7. 10) характеристики вне
запретной зоны. В минимально-фазовых системах это условие
может быть выдержано соответствующим построением ЛА Ч Х.
Рассмотрим принципы построения типовых ЛА ЧХ при задан~
ном показателе колебательности и порядок построения желаемой
ЛА ЧХ при синтезе САР данным методом.
Система с астатизмом второго порядка. Простейшая симме ­
тричная ЛА ЧХ разомкнутой цепи такой системы показана на
рис. 9.19, а . Ей соответствует передаточная функция
W- k(TS+1)
(9 58)
-
s2(Т2S+1) '
•
•
где - k - передаточный коэффициент (добротность по ускорению) .
Положение ЛА ЧХ может быть задано значением базовой
частоты
ffio = Vli,
(9.59)
uри · которой продолжение низкочастотной асимптоты пересекает,
ось абсщ1сс . .
389


---
L
- чОдб/дек
h
Рис. 9.19. Типовые ЛА ЧХ
разомкнутых систем с аста­
тизмом второго порядка
L
-f/Одб/ilек
180
Протяженность второй асимптоты (с наклоном -20 дБ/дек),
т. е . отношение частот ее конечных точек (большей к меньшей),
равна
h=/2•
(9.60)
Избыток фазы
-у= 'ф (w) + 180° = arctg wт- arctg wT2 = arctg (~ 1+h~2
~:2
(9.61)
Максимальный избыток фазы
h-l
'Vmax = arctg v -
2h
имеет место при частоте
(9.62)
(9.63)
При оптимальном соотношении параметров - при совпадении
максимального избытка фазы с максимумом запретной зоны
(рис . 9.19, 6):
h= M+l
M=h+I
М-1 и
h-1
.
(9.64)
Эти формулы определяют, какое минимальное значение может
иметь показатель колебательности при заданном значении h и
какую минимальную протяженность должна иметь асимптота
с наклоном -20 дБ/дек для обеспечения заданного значения М .
Чем меньше h, тем легче физически реализовать ЛАЧХ .
390


Для получения заданного показателя колебательности М
замкнутой системы необходимо иметь следующие постоянные
времени в передаточной функции (9.58) ее разомкнутой цепи:
(9.65)
(9.66)
Положение ЛАЧХ (рис. 9.19, а и 6) можно фиксировать не
базовой частотой u> 0 , а частотой среза u>c . Тогда для определения
постоянных 't и Т нужно пользоваться следующими соотношениями :
1
М
't»fficм-1;
(9.67)
1
М
Т2.,,;.Юс м+1
(9.68)
Если неравенства (9.67) и (9 .68) удовлетворяются, то пока­
затель колебательности меньше заданного значения М. Созда­
ется некоторый дополнительный запас устойчивости. Такой же
эффект имеет место, если постоянная Т 2 меньше значения , опре­
деляемого равенством (9.66) . Увеличивать постоянную 't по срав ­
нению со значением, определяемым равенством (9.65), не следует.
Это в некоторых случаях может уменьшить запас устойчивости .
В более общем случае передаточная функция раз омкнутой
системы с астатизмом второго порядка
k(1:s+1)г85
W= s2(T2s2+1)(T3s+!)...(T2s2+2~Ts+1)'
(9-69 )
т. е. в системе может быть несколько апериодических звеньев,
колебательное звено и звенья чистого (постоянного) запаздывания
с суммарным временем запаздывания 0. Тогда постоянную вре­
мени 't следует определить по формуле (9.65), а вместо формулы
(9.66) нужно использовать выражение
~ т. _1 ( VM(M-1)
f..J
,.,,;_ W0
M+J
(9 .70)
Сумма. в левой части этого выражения должна включать в
в себя все постоянные времени Т; апериодических звеньев, удов-
1
летворяющие условию Т; > 40w0
•
Для приближенного учета
влияния колебательного звена и чистого запаздывания в эту
сумму включают слагаемые 2~Т и 0. Наличие звеньев с малыми
постоянными времени ( меньше 4dwo ) учитывается уменьшением
правой части выражения (9 . 70) на _О,,_!_ .
Wo


'5_0/а
50.---т---т---т---~-~ W 0 tp
10
Рис. 9.20 . Номограмма для определения
показателей качества системы с аста--
тизмом второго порядка
(5
9
в
7
6
Наличие колебательного
5 звена допустимо лишь при
4
условии, что его постоянная
3
времеНJ;I
101,1
1,2
7,3
1,4
(5 1,6
~7 и2
т«-1.Ыо
(9. 71)
К:роме того, должно выполняться неравенство
IW(j+)J< м:1'
(9. 72)
чтобы не появилось второй запретной зоны в районе пика ЛА ЧХ.
В предельном случае, если ~ Т = О, показатель колебатель ­
ности не превысит заданного значения при выполнении нера в ен­
ства
11/2м2-мVм2-1
т:;;., % V
м2- 1
(9. 73)
или
2 м2-мVм2- 1
т:;;.,-
м·2I
•
Ыс
-
(9. 74)
Расчетные соотношения для системы, содержащей колебатель-
u
Т>1
u
ное звено с постояннои времени
-
и различные неустоичи -
wо
.
вые звенья, приведены в работе [17].
Если система имеет ЛА ЧХ разомкнутой цепи, изображенную
на рис . 9.19, а, и показатель колебательности М имеет минималь­
ное значение, определяемое выражением (9.64), то переходные
процессы в некотором смысле оптимальны. Переходная характе­
ристика замкнутой системы максимально приближается к экспо-
ненте с постоянной времени Тэ = _!_ _h2 •
Чем больше h, • тем
Wo
меньше М и тем лучше переходные процессы. Зависимости пока­
зателей качества переходной характеристики: перерегулирова­
ния а и относительного времени регулирования ro 0 tp, от значе­
ния М показателя колебательности показаны на рис. 9.20.
Эти зависимости с достаточной степенью точности справедливы
и для систем, у которых ЛА ЧХ разомкнутой цепи имеет форму,
показанную на рис. 9.19, б, т. е. когда по обе стороны отчастоты
среза довольно протяженные участки асимптоты с наклон~м
-20 дБ/дек .
Построение желаемой ЛА ЧХ системы начинают с нанесения
низкочастотной асимптоты, при этом должны быть удовлетворены
требования к точности (см . п. 9.1).
392


Рис. 9. 21 . Построение желае­
мой ЛА ЧХ системы с аста­
тизмом второго _лорядка
L
Для демпфирования системы низкочастотную асимптоту сле­
дует сдвигать влево : она должна проходить через контрольную
тqчку В с координатами [ro", Lк ], значения которых определяют
по формулам (9.12) или (9 . 14) . В последнем случае низкочастотная
асимптота сливается с правой границей запр~тной области (см .
рис. 9.1, 6) и базовая частота
,.,
_
-.
/ {lmax
UJO-V~.
(9 .75)
Затем наносят среднечастотную асимптоту (рис. 9 .21) с нак -
1
1
лоном -20 дБ/дек между сопрягающими частотами --:;; и 'Т; .
Значения 't ' и Т 2 определяют по формулам (9.65) и (9 .66) .
Высокочастотная часть ЛА ЧХ может иметь произвольный
вид. Она лишь ограничивается сверху прямой с ординатой
м
Lв=20lgм+1,
(9 .76)
начинающейся от среднечастотной асимптоты (см . рис . 9.21).
Реализовать желаемую ЛА ЧХ будет легче , если ее высоко ­
частотная часть будет иметь изломы при сопрягающих частотах ,
соответствующих тем постоянным времени апериодических звеньев
неизменяемой части системы, которые меньше Т 2 , и тем постоян-
. ным
времени колебательных звеньев , которые значительно меньше
1
Wo • Если имеются постоянные времени, не удовлетворяющие
этим услGвиям, то высокочастотная часть желаемой ЛА ЧХ должна
все же иметь соотв 'етствующее число изломов на произвольно
выбранных частотах, удовлетворяющих условиям .
ЛА ЧХ последовательного корректирующего устройства опре­
деляют вычитанием ЛА ЧХ неизменяемой части из желаемой
ЛАЧХ . Можно по желаемой ЛАЧХ составить передаточную
функцию Wж, тогда передаточную функцию последовательного
корректирующего устройства можно определить делением Wж
на передаточную функцию Wн неизменяемой части системы .
393


L
L
-2ааб/ilек
11
w
r; 't
- бОilб/оек
а)
о)
Рис. 9.22 . Типовые ЛАЧХ разомкнутых систем с астатизмом перво г о порядка
Система с астатизмом первого порядка. Простейшая ЛАЧХ
разомкнутой цепи такой системы показана на рис . 9.22, а. Ей
соответствует передаточная функция
W= s(T1sk+1)
(9.7?)
Показатель колебательности не превысит допустимого значе ­
ния М при выполнении неравенства
·м2+мVм2- 1
kT1 -,,;
2
.
(9.78)
В более общем случае передаточная функция разомкнутой
системы
ke-0s
W с= ----,,=-~~--~-- '
s(T1s+ 1) (T2s+ 1) ...
(9.79)
где 0 - суммарное время чистого запаздывания.
Тогда при М -,,; 1,3 можно пользоваться приближенной фор -
. мулой
(9.80)
Она является точной при М = 1 и дает достаточно точные
результаты при небольших значениях М (М -,,; 1,3).
Система с простейшей ЛАЧХ, тем более при нескольких апе­
риодических звеньях, может удовлетворить лишь невысокие тре­
бования к точности и запасу устойчивости.
ЛА ЧХ разомкнутой цепи более совершенных систем с аста­
тизмом первого порядка (рис . 9.22, 6) пересекает ось абсцисс асим­
птотой с наклоном - 20 дБ/дек . Этой ЛА ЧХ соответствует пере ­
даточная функция
(9 .81)
где
394


Такая ЛА Ч Х отличается от ЛА Ч Х систем с астатизмом вто­
рого порядка (см. рис. 9.19, а) лишь наличием низкочастотной
1
асимптоты с наклоном -20 дБ/дек и изломом при частоте --у;.
Пусть ; 1 )) ffiм, где ffiм - частота, определяемая формулой (9 .63) .
При этой частоте требуется максимальный избыток фазы. Тогда
расчет с большой степенью точности можно вести по формулам
для системы с астатизмом второго порядка с симметричной ЛА ЧХ
(см . рис. 9.19, а).
Положение ЛАЧХ (см. рис. 9.22, 6) фиксируется частотой
или частотой среза uJ" .
Показатель колебательности не превышает допустимого
чения М, если удовлетворяются соотношения
1v-л1
1 Vм(М-1)
't=Ша
М- 1 ИТ2+Тз+... -< <uc
М+1
или
(9.82)
зна-
(9 .83)
(9.84)
При расчете системы с колебательными звеньями и со звеньями
чистого запаздывания действительны указания, сделанные для
системы с астатизмом второго порядка.. Для определения показа­
телей качества а и tP переходной характеристики можно пользо­
ваться зависимостями, приведенными на рис. 9.20 .
Построение желаемой ЛА ЧХ начинают с ее низкочастотной ча ­
сти, положение которой должно удовлетворять требованиям к точ­
ности (см . пункт 4 в п. 9.1 .) Возможны различные варианты вы­
бора постоянной времени Т 1 и соответственно расположения низко ­
частотной части желаемой ЛА ЧХ относительно запретной зоны
(см. рис. 9.2).
1
Пусть Т~~(2+3)ffiк, где uJ" -
частота, определяющая
точку В запретной зоны. Тогда низкочастотную асимптоту желае­
мой ЛА ЧХ можно совместить с первой асимптотой запретной зоны
(рис. 9 .23, а). При этом передаточный коэффициент будет иметь
минимальное значение, определяемое формулой (9.15):
Однако при этом значение uJ O велико, поэтому вся ЛА ЧХ сдви­
гается в область высоких частот и затрудняется демпфирование
системы.
395


L
Ot-----'-----'-"s.L_-=,___..::.,:.:'-т----
uJк
1
т; -2Dilб/iJeк
а) -1./DfJБ/ileк
L 3дБ
о t---~1:----'-"" -'" - - --""'-<::---~w
-
r.=Wк
t
-100Бjоек
В)
L
Рис. 9.23. Построение низко­
частотной части желаемой
ЛА ЧХ системы с астатиз-
мом первого порядка
Если выбрать ; 1 ~ (2 + 3) (i)"' то вторую асимптоту желаемой
ЛА ЧХ можно совместить со второй асимптотой запретной зоны
(рис. -9 .23, 6). Тогда частота w0 минимальная. В соответствии
с формулой (9.16)
r·-..--
(i)O = Vgъах.
Передаточный коэффициент k (добротность по скорости) в этом
случае будет в 2-3 раза превышать минимально · необходимое зна­
чение, что увеличит влияние помех.
Если ни один из указанных вариантов не имеет преимуществ,
· то выбирают
(9.85)
Тогда асимптоты низкочастотной части желаемой ЛА ЧХ рас­
полагаются на 3 дБ выше запретной зоны (рис . 9.23, в), чтобы
в эту зону не попала действительная ЛАЧХ.
В этом случае
и
(9.86)
396


L,аб
Рис . 9. 24. Построение желаемой ЛА ЧХ к примеру 9. 7
Среднечастотную и высокочастотную части желаемой ЛА ЧХ
формируют так же, как и при синтезе системы с астатизмом вто­
рого порядка .
Пример 9.7 . Передаточнзя функция н е изменяемой части системы с астатиз ­
мом первого порядка
8
s (О,15s+ 1)(0,02s+1)
Выбрать последовательное корректирующе е устройство, обеспечивающее
удовлетворение следующих требований : погрешность ~ ~ 0,02 г рад при изме -
нении задающего воздействия с максимальной скоростью ilmax=8 град/с и мак­
симальным ускорением g~iax = 3 град/с2 ; показатель колебательности М,;;; 1,5.
Определим координаты контрольной точки В, пользуясь формулами (9.14) :
-
gтах- 3
-
О375 -1 .
Wк- --. --
-
8-- ,
С,
gтах
•2
gmax
82
•Lк=20lg ..
=20lg 3_0
,
02 =60,6 дБ.
gтах~
Нанесем контрольную точку В (рис . 9.24) и проведем через нее асимптоты,
ограничивающие запретную зону .
1
1
Примем Т 1 = Wк = О, 375 = 2,67 с и построим низкочастотную часть
желаемой ЛАЧХ так, ч;rобы ее асимптоты были на 3 дБ выше границы запретной
зоны.
По формулам (9 .86) определим необходимое значение передаточного коэф­
фициента k (добротности по скорости) и з нач ение базовой частоты w 0 :
~iv-:iшах Vv- 3
W0=V2-
~
-
=
2 О,О2 = 14,6 с-1•
397


Определим необходимое значение постоянной времени ,:-, пользуясь фор­
мулой (9.83):
Нанесем на график сопрягающую частоту
1
1
•
~=о]!9 =8,4с-1
и построим от этой частоты среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ.
По формуле (9.76) определим ординату Lв прямой, которая ограничивает
справа среднечастотную асимптоту и ограничивает сверху высокочастотную часть
желаемой ЛАЧХ :
Lв=20lgМ:1=201gl,5
1~1 =-4,4дБ.
Нанеся эту прямую на график, определим, что среднечастогная асимптота
может быть ограничена частотой 45,7 с- 1 . Следовательно, сопрягающая частота
1
0,02 = 50 c·l,
создаваемая постоянной времени 0,02 с неизменяемой части .системы, допустима
для желаемой ЛАЧХ . Примем, что ~ 2 = 0,02 с, и от значения частоты *=
= 50 с- 1 построим высокочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ .
1
Сопрягающая частота ~ = 6,67 с- 1 , соответствующая постоянной вре-
мени О, 15 с неизменяемой ч;сти системы, недопустима для желаемой ЛАЧХ.
Для обеспечения физической реализуемости корректирующего устройства пола-
гаем, что желаемая ЛАЧХ имеет еще одну сопрягающую частоту ) 3 » 50 с- 1.
Тогда желаемая передаточная функция
566 (О, 119s + 1)
Wж= s(2,67s + 1)(0,02s + 1)(T3s+ 1)
а необходимая передаточная функция последовательного корректирующего
устройства
W_Wж
_
70,7 (0,119s+ 1) (0,15s + 1)
к-Wн-
(2,67s+ 1) (T3s+ 1)
•
При физической реализации корректирующего устройства необходимо выб­
рать значение постоянной времени Т3 « 0,02 с.
Пусть Т 3 = 0,001 с, тогда передаточная функция замкнутой системы
О,!19s+1
w g = 9,93-10 -8s4+9,91.10-5s3+4,75-10-3s2 +о,!21s+1
По1<азатели качества переходной характеристики: cr = 32,7% и tp = 0,24 с.
Статическая система. Простейшая ЛА ЧХ разомкнутой ста­
тической системы показана на рис. 9.25, а . Ей соответствует
передаточная функция
W=
k
(9.87)
(T0s+1)(T1s+1)(Т2,+1)
398


L
а)
L
о r-~ ,~- ,,~ -~ ~> <;--== ~:::-- -+ -:.;1-.
.1.. uJo шс
Та т; 'С -'!Ооб/ilек
о) -5ОDБ/оек
Рис. 9.25 . Типовые ЛАЧХ разомкнутой статической с и стемы
1
1
Если Т~ < u>c < Тz , то при М -,;;;: 1,3 достаточную точность
дает приближенная формула
·k(Т1+т2+···) М2+МV~
(9 .88)
Т0
- ,;;;:
2
Из формулы следует, что постоянная времени Т O увеличивает
запас устойчивости. При увеличении передаточного коэффи­
циента k или суммы постоянных времени Т1 + Т2 + . . . для
сохранения заданного значения М показателя колебательности
нужно увеличивать наибольшую постоянную времени Т 0 .
При повышенных требованиях к точности статическая система
должна иметь ЛА ЧХ, изображенную на рис . 9.25, 6 . Ей соответ­
ствует передаточная функция
W-
k(1:s+1)
(9.89)
-
(T0s+1)(T1s+1)(T2s+1)... '
где
T0 >T1 >-r>T2 > ...
Такую систему с достаточной степенью точности можно рас­
считывать как систему с астатизмом второго порядка, имеющую
симметричную ЛАЧХ (см. рис. 9.19).
Базовую частоту определяют приближенно по формуле
u>o = Vт:т1 .
(9 .90)
Показатель колебательности не превышает заданного значе­
ния М при удовлетворении следующих соотношений :
и
't' =
~о~=~сМ~1
V M(M-1)
м+1
(9.91)
399


L,дб
1/0 о
2П
рис. 9.19, а)
чивости . Его
Рис . 9.26 . Построение желаемой
ЛА ЧХ к примеру 9.8
Отклонение симметрич­
ной ЛА ЧХ статической
системы (рис . 9.25, 6) в об-
10
ласти низких частот от
ЛА ЧХ системы с астатиз­
мом второго порядка (см.
является причиной дополнительного запаса устой­
можно учесть, если пользоваться формулой
1[VМ(М-1)
(1
1)М]
Т2+ Тз+··· .:;:;;.-
-----+
-+-
w0
М+1
w0T 0
w0T1 М+1 •
(9.92)
При расчете статической системы с симметричной ЛА ЧХ,
имеющей колебательное звено, звенья чистого запаздывания и
неустойчивые , следует поступать так же , как при расчете системы
с астатизмом второго порядка. Зависимость показателей качества
переходной характеристики cr и tP от М можно определять по
рис. 9.20 .
.
Низкочастотную асимптоту желаемой ЛА ЧХ строят по зна­
чению передаточного коэффициента k разомкнутой системы, при
котором обеспечивается необходимая точность :
•
•
L(О)=201gk.
(9.93)
Затем нужно проверить возможность получения необходимого
значения М показателя колебательности при простейшей форме
ЛАЧХ (рис . 9.25, а) . Если это невозможно, то нужно формировать
среднечастотную и высокочастотную части желаемой ЛА ЧХ
в соответствии с рис. . 9 .25, 6.
•
Пример 9.8. Передаточная функция разомкнутой цепи статической следя­
щей системы
W=
100
(0,8s+1)(O,0!s+1)(Ts+1)
Выяснить, при каком максимальном значении постоянной времени Т пока­
затель колебательности М не превышает 1,3.
Строим низкочастотную часть ЛА ЧХ разомкнутой системы (рис. 9.26):
1
1
L(О)=20lg100=40дБ; -
Т=О8 =1,25с-1;
о
'
1
1--00
-
1
Т~=0,01=Iс•
ЛАЧХ системы является типовой (см. рис . 9.25, а). Для приближенного
определения максимального значения Т можно воспользоваться соотношением
400


(9.88), рассматривая его как равенство. Подставив известные величины, получаем
100 (0,01 + Т)
1,32+1,3Vl,32- 1
0,8
2
Т = 0,00108 с.
Итак, при найденном значении Т показатель колебательности системы М""" 1,3.
9.7. СИНТЕЗ САР СРАВНЕНИЕМ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
И ПО КРИТЕРИЮ СБЛИЖЕНИ.Я
Иногда необходимое корректирующее устройство удобно опре­
делить непосредственным сравнением желаемой передаточной
функции с передаточной функцией основной части системы.
К таким случаям относят выбор корректирующего устройства
по преобладающей паре комплексно-сопряженных полюсов пере-
•даточной функции замкнутой системы. Ранее в п . 9.5 эту задачу
решали с использованием корневого годографа. Однако ее можно
решить и без графических построений. •
Предположим, что заданы необходимое значение передаточного
коэффициента k разомкнутой статической системы, а также до­
пустимые значения перерегулирования а и времени регулирова­
ния tP. По номограмме, изображенной на рис. 9.5, определяют
необходимые значения коэффициента демпфирования 1; и постоян­
ной времени Т. Тогда желаемая передаточная функция замкну­
той системы относительно задающего воздействия
k
Wg= (k+1)(T2s2+2GTs+1) '
(9.94)
а желаемая передаточная функция разомкнутой системы
W=Wg_
k
ж 1- Wg - (k+1)(T2s2+2GTs)+1
При
!:2
1
"> 1--j -k
k
Wж = (T1s--j - l) (T2s--j - l)'
где
при
!:2
1
"=
1--j -k
k
Wж = (T1s+ 1)2'
26 И. М. Макаров
(9.95)
(9.96)
(9 .97)
401


где
и при
(9.98)
где
т1= v1+kт; G1= Gv 1+k.
Передаточная функция необходимого последовательного кор­
ректирующего устройства по формуле (9.56)
W
Wж
,й= Wн'
где Wн - передr1точная функция неизменяемой части системы .
Формулы (8.38) и (8.40) позволяют вычислить значения пере­
даточных функций эквивалентных параллельного и прямого па­
. раллельного
корректирующих устройств. Затем можно выбрать
наиболее приемлемое из них.
Значения k, а и tP целесообразно варьировать в допустимых
пределах , так , чтобы Т 1 или Т 2 совпали с одной из постоянных
времени неизменяемой части системы.
Если задано максимально допустимое значение ускорения
регулируемой координаты Wmax при начальном рассогласовании
х 0 , то постоянную времени Т нужно выбирать по значению tpo
времени регулирования , которое удовлетворяет неравенству
tpmln~tpo~tp,
(9 .99)
где tP - допустимое время регулирования; tP min -
минимально
допустимое время р егулирования, определяемое по формуле
tpmln= 2VХо•
Wmax
(9.100)
Во всех случаях можно иметь лишь tpo ::;,, .
tPmin.
Если синтезируют астатическую систему при заданном зна­
чении k, то желаемая передаточная функция замкнутой системы
должна содержать еще диполь :
(9.101)
где
Та= тб.
В этом случае желаемая передаточная функция разомкнутой
системы
(9 . 102)
402


--- --- --- -- ----
-
--
Здесь
k=
_
__ 1 ~---с=---с--
21;т -t - (Тб
-
Та)
(9.103)
Из первой формулы (9 . 103) следует, что разность постоянных
времени диполя зависит от заданного значения k, а также от зна ­
чений s и Т, определенных по заданным значениям cr и tP:
1
Тб- Та = т-2sТ.
(9.104)
При
имеем
(9 . 105)
где
При
имеем
(9.106)
где
При составлении желаемой передаточной функции Wж сле­
дует стремиться к возможно большему совпадению ее с передаточ­
ной функцией неизменяемой части системы Wн. Дополнительная
возможность получить такой результат - соответствующий вы­
бор постоянной времени тб диполя.
Необходимо иметь в виду, что переходная характеристика
замкнутой системы будет действительно зависеть только от опре­
деляющей пары полюсов лишь при Та= Т6 . Поэтому после вы­
бора корректирующего устройства совершенно необходима про ­
верка качества переходной характеристики замкнутой системы .
Пример 9. 9. Передаточная функция неизменяемой части системы (включая
усилитель)
W_
100
н- s(0,8s+!)(0,25s+!)•
Выбрать передаточную функцию W,<1 последовательного корректирующего
устройства , обеспечивающего при k = 100 с· 1 перерегулирование а ~ 20%
и время р е гулирования tp < 0,4 с.
26*
403


По номограмме , изображенной на рис. 9.5, определим, что при cr = 20%
1; = 0,44 и ~ = 7. .Следовательно,
т=1 =.о:! =о057
7
7
'
с.
По формуле (9 . 104) определим разность между постоянными времени Т6
и Та• при которых передаточный коэффициент разомкнутой системы k имеет
необходимое значение:
1
Тб-Та= l00 - 2-0,44-0,057= -
0,0402 с .
Выберем Тб = 0,8 с, тогда
Та= Тб + 0,0402 = 0,84 с;
4; 6 = 0,032 < (Т +21;Тб)2= 0,579;
по формуле (9.105) составим желаемую передаточную функцию разомкнутой
системы
100 (0,84s + 1)
Wж= s (4,28s+ 1)(0,0608s + 1) •
При соответствующем выполнении корректирующего устройства передаточ­
ная функция системы относительно задающего воздействия
0,84s + 1
Wg = (0,0572s2 + 2-0,44-0,057s + 1) (0,8s + 1)
Используя формулы No 62 табл 4.1 составим аналитическое выражение
переходной характеристики:
h (t) = 1 - 1, 172е-7•721 sin (15,75t + 1,118) + О,05Зс1•251•
Ее показатели качества: а = 28% и tp = 0,33 с.
Значения показателей качества несколько отличаются от требуемых вслед­
ствие того, что относительное значение разности между постоянными времени
диполя
0,84-0,8 _О05
0,8
-
'
•
Чтобы необходимая разность между Та и Тб имела меньшее относительное
значение, нужно увеличивать Тб и соответственно увеличивать Та. Однако при
этом увеличивается сложность корректирующего устройства.
Поэтому выясним может ли быть в желаемой передаточной функции Wж
как и в передаточной функции Wн неизменяемой части системы постоянная вре­
мени, равная 0.8 с. При этом потребуется значительно более простое корректи­
рующее устройство, чем в ранее рассмотренном случае.
Пользуясь равенствами (9 . 103), составим систему уравнений для определе­
нияТ2иТб:
О,8Т2 = 100 · 0,0572Тб;
0.8 + Т 2 = 100·0,057 (0,057 + 2·0,44·Тб)-
Решение этой системы уравнений: Т 2 = 0,0418 с и Тб = О, 103 с.
404
---


---~ ~- -- --- --
-- --
--·-----
Рнс. 9.27 . График за11исимости cr от ~ к
при меру 9. 9
Следовательно, нужно иметь:
Т3 =0,!43 с; l\7ж=
100 (О, 143s-+ 1)
s(0,8s+1)(0,0418s+1) '
W _ (О,143s+1)(0,25s+1)
"
1-
0,0418s + 1
О,'15 0,50 0 ,55
0,бО О,б5 f
Реализация передаточной функции необходимого корректирующего устрой­
ства не вызовет затруднений. Однако относительная разность
резко увеличилась. Поэтому переходная характеристика замкнутой системы
имеет значительно худшие показатели качества: а = 40% и tp = 0,43 с.
Зададимся для расчета меньшими показателями ' качества : а= 15% и tp =
= 0,36 с. Тогда показатели качества переходной характеристики синтезирован­
ной системы: а= 37% и tp = 0,33 с.
Повторим расчет при еще меньшем значении перереrулирования а= 10%
и несколько большем значении времени регулирования tp = 0,4 с . В этом слу­
чае показатели качества переходной характеристики синтезированной системы
а=28%иfp=0,37с.
По результатам трех последних вариантов расчета можно построить график
зави_имости а от s (рис. 9.27) при Т 1 = 0,8 с. Продолжая эту кривую определим,
чтоа= 20% приs= 0,65.
t
Пользуясь [номограммой, определим: при s= 0,65 ,; = 4,5.
Следовательно, Т =
~:: = 0,0889 с;
1
Тб-Та =1с5о-2-0,65,О,0889 =-0,1056 с.
Система уравнений для определения Т 2 и Тб при Т 1 = 0,8 с:
О,8Т 2 = 100·0,0889 2 Тб;
0,8 + Т 2 = 100·0,0889 (0,0889 + 2·0,65Тб).
Решение этой системы уравнений: Тб = 0,000946 с и Т 2 = 0,000934 с.
Следовательно,
,Т8 = 0,000946 + 0,1056 = 0,1065 с;
100 (О, 1065s + !)
Wж = s (0,8s + !) (0,000934s + 1)
Wж (0,1065s + 1) (0,25s + 1)
\17,п=--=
--~~~------
Wн
0,000934s + 1
Передаточную функцию необходимого корректирующего устройства можно
реализовать с помощью активного четырехполюсника постоянного тока. При
405


этом передаточная функция замкнутой системы относительно задающего воздей­
ствия
100 (О, 10ё5s + 1)
Wg = s2(0,8s+1)(0,000934s+1)+100(О,1065s+1)
0,1065s + 1
(0,0889 2s2 + 2 -0,65-0,0889s + 1) (0,000946s + 1)
и аналитическое выражение переходной характеристики
h(t) = 1- l ,24le-7•312t sin (8,548t+2,187) -f--0,0
1
13e-IOOOt.
Показатели качества переходной характеристики: cr = 20% и tp = 0,39 с,
удовлетворяют требованиям.
Рассмотренный пример показывает возможность использова­
ния номограммы (см. рис. 9.5) для синтеза системы, передаточная
функция которой, кроме пары комплексно - сопряженных полю­
сов, имеет близкий к ним нуль (или полюс).
Параметры синтезируемой САР (в частности, параметры ее
корректирующего устройства) можно определить по критерию
сближения [ 124 ].
Сущность метода заключается в следующем. Пусть по требова-
ниям к качеству выбрана передаточная функция Фж = RGж
ж
замкнутой системы. Известны также в общ~м виде действительная
ф
фR
.
•
передаточная ункция = 0 замкнутои системы, состоящеи из
неизменяемой части и корректирующего устройства. Здесь R" 0
Gж,R и G- полиномыот s.
Передаточным функциям Фж и Ф соответствуют весовые функ­
ции(см.п.2.4)Wж=Wж(t)ИW= W(t).
Задача заключается в выборе параметров передаточной функ­
ции Ф, при которых весовая функция w минимально отличается
от wж.
Сближение весовых функций можно оценивать те·кущим крите­
рием
(9.107)·
интегральным квадратичным критерием
J = J (w-w"J2 dt,
(9.108)
о
а также более сложными интегральными квадратичными крите­
риями.
Изображение по Лапласу текущего критерия сближения
л()=ф-ф
=
!l- Rж = RGж --GRж
s
жGGж
GGж •'
(9.109)
406


-------~------ ---------· --· · · - -- -
Доказано, что по модулю комплексной функции Л (jw) можно
найти действительную часть комплексной функции S (jw) [124]:
2:RejS(jw)\ = IЛ(iw)l2,
(9 . 110)
а- по мнимой ·части этой комплексной функции определяют инте­
гральный квадратичный критерий сближения:
J=
-
lim[w Jm jS(jw)\].
(9.111)
ОО➔оо
Таким образом, после определения Л (jw) следует выбрать ком­
плексную функцию S (jw) так, чтобы у этих функций были оди­
наковые знаменатели и равные степени числителей. Тогда можно
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях w числителей
· левой и правой части равенства (9 . 110). Полученная система алге­
браических уравнений позволяет определить коэффициенты числи­
теля функции S (jw ). Затем можно отыскать значение J по формуле
(9.111).
•
Выражение для J будет содержать выбираемые параметры
а:, ~ .... передаточной функции Ф. Их значения должны быть
определены по минимуму J (см . п. 9.2) и при этом будет достиг­
нуто возможное приближение весовой функции w к wж . В случае
недостаточного сближения следует изменить вид передаточной
функции Ф или число ее выбираемых параметров. Расчет можно
проводить на ЦВМ [ 11 ].
Пример 9.10 . Передаточная функция замкнутой системы
ф=
'tS+1
0,01s2+ ('t+0,02)s+ 1
Выбрать параметр ,; так, чтобы весовая функция, соответствующая этой
передаточной функции, максимально приближалась к весовой функции, соот-
•
•ф
ф
1
ветствующеи передаточнои ункции ж = 0, 2s + 1
Прежде всего, пользуясь формулой (9.109), определим изображение по Лап ­
ласу текущего критерия сближения
тs+ 1
Л(s) =0,01s2+ (,;+0,02)s+ 1
0,2s+ 1
где
Ь0= 0,2(,; - 0,05);Ь1= О,18;
а0='0,002;а1= 0,2(,;+ 0,07);а2=
,; + 0,22.
Следовательно,
Выберем
407


hw
1,2 8
1,0 7
б
0,8
5
О,б '1
0,4
J
2
0,2
1\
\/
"'
h(t)
'- '/
'/
---~
-
~/
,,_ ./
17ж{t)
1\/\V
~хW(t)
/1 "'-\ V
'
// \"---
Wж(t
оо
V
\-
-~
tc
О;! 0,2 0,3 О,'1 0,5 0,б О,7 0,8 0,9 ;о
Рис . 9.28 . Весовые функции и переходные характеристики
к примеру 9. 1О
и составим равенство (9 . 110):
2 с0ы2(1- а1ы2)+с1ы2(а2- а0ы2)
(1 - a1w2)2 + w2 (а2 - aow2)2
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ы числителей левой
и правой части составленного равенства :
при ы2 имеем 2(с0 + а2с1) = bf;
при Ы4 имеем -2 (а1Со + аоС1) = ьа.
Решая полученную систему уравнений, определим
Далее составим выражение для квадратичного интегрального критерия
сближения по формуле (9.111):
408
J=
_
lim [ы С1Ы(l -- а1ы2) - с0ы3 (а2 -а0ы2)] =
-
с0=
<,ноо
' (1- a1w2)2+w2(а2- aow2)2
ао
а2Ьб + aobr
(,+ 0,22)0,04(,-
0,05)2 + 0,002. о,182
2а0 (а1а2 - а0) 2 -0,002 [0,2 (, + 0,07) (, + 0,22) - 0,002]
_
50,3 + о,12,2 - 0,0195,+ 0,00217
-
,:2 + 0,29, + 0,0054
•
Определим условие минимума J :
!!:!__= 50 [ 3,2 +2-0,12,-0,0195
d,
,: 2 + 0,29, + 0,0054
(,3 + 0,12,2 - 0,0195 + 0,00217) (2, + 0,29) ] = О·
(12 + 0,29, + 0,0054) 2
'
(3,2 + 0,24, -
0,0195) (,2 + 0,29, + 0,0054) -
-
(,3 + 0,12,2 - 0,0195, + 0,00217) (2, + 0,29) = О;
,:4 + 0,58,3 + 0,0705,2 - 0,003044, -
0,0007346 = О .


Полученное уравнение имеет следующие корни :
т1=0,08805; т2= -
0,393ит3,4= -
О, 1375 j:- j0,0481,
Постоянная времени ,: форсирующего звена есть положительная величина .
Следовательно, ,: = 0,08805.
Проверим, что при этом значении ,: квадратичный интегральный критерий
сближения действительно имеет минимум:
при,: = О05J=585·
при т = о:08805 J ~ 2',67;
при,:= 0,1 J = 2,725.
Итак, весовая функция w (t), соответствующая передаточной функции
0.0881s + 1
0,0881s + 1
Ф=O,Ols2 +0,l08s+l = 0 , J2s 2 +2-0,54-0,1s+l '
максимально приближается (судя по минимуму квадратичного интегрального
критерия сближения) к весовой функции Wж (t), соответствующей передаточной
функции
Ф=--=--~~~
0,2s+1
Графики w (t) и Wж (t) показаны на рис. 9.28 . Там же показаны графики
h (t) и hж (t) переходных характеристик.
Заметное различие между w (t) и Wж (t), а также между h (t) и hж(t) при
t < 0,5 с объясняется прежде всего значительным отличием структуры пере­
даточной функции Ф от структуры Фж. Кроме того, играет роль свойство квад·
ратичной интегральной оценки, использованной при расчете. Лучшие резуль­
таты можно получить, используя улучшенную квадратичную интегральную
оценку .


Приложение 1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
И ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Преобразование Лапласа
F(s) = Jf(t)e-stdt,
о
(Пl .1)
где s =с+ jw, с и w - постоянные, j = V - 1; определяет соот­
ветствие между функцией времени f (t) и комплексной функцией
F (s). Функцию f (t) называют оригиналом, а функцию F (s) изо­
бражением. Операцию перехода от оригинала к изображению сим­
волически записывают так:
F(s) =Р!f(t)\ или f(t) •. F(s).
Оригиналом может быть любая однозначная функция времени
f (t), если
f(t)=Оприt<О;
(Пl .2)
интеграл
00
,JIf(t)1e-ctdt<оо
(Пl .3)
о
существует при всех с > с 0 , где число с 0 - абсцисса абсолютной
сходимости функции t (t).
Операциям над оригиналами соответствуют некоторые опера­
ции над изображениями. Теоремы, приведенные в ' табл. Пl.1,
устанавливают соответствие этих операций. Эти теоремы состав­
ляют основу операционного исчисления.
Многим соотношениям и операциям над оригиналами соответ­
ствуют более простые соотношения и операции над изображениями.
Этим объясняется использование операционного исчисления при
инженерных расчетах, в частности для решения линейных диф·
ференциальных уравнений.
, Сначала дифференциальное
уравнение (или систему диффе­
ренциальных уравнений) преобразуют по Лапласу и получают
410


Таблица Пl.1
Основные теоремы операционного исчисления
(а, Ь, с, п - различные постоянные)
Наименование
1
Оригинал
1
Изображение_
cf (t)
cF (s)
Свойство линейности
f1(t)+ f2(i)
f1 (s) +F2 (s)
snF(s)- sn-lf(О)
-
Дифференцирование ори •
r<n) (t)
-
sn-2f' (О) -
••• -
rинала
_
fCn-1> (0)
Интегрирован и~ ориrи •
Jf (t) dt
1
-F(s)
нала
s
Теорема подобия
f(at), а>О
+F(+)
Теорема за п аздывания
1
f(t-b), Ь>О
1
e-bs F (s)
Теорема смещения
1
e- atf(t)
1
F(s+а)
Дифференцирование изо-
1
tnf (t)
1
(- l)nf<nJ (s)
бражения
00
Интегрирование изобра-
m
JF (z) dz
жения
t
s
Теорема свертывания
t
(умножения изобра-
Jf1(т)f2(t- т)dт
F1 (s) F2 (s)
жений)
о
Теорема о конечном зна -
f (оо)
lim sF (s)
чении
s➔ь
Теорема о начальном
f (О)
lim sF (s)
значении
S➔oo
411


Оригинал ( t > О)
1
1 (t)
б (t)
tn
e-at
te-at
t2 e-at
1-e-.
at
sin лt
cos лt
Изображения t1екоторых функций
(а, л, у, п - различные постоянные)
Изображение
11
Оригинал ( 1 > О)
1
tsinлt
-
s
1
'
nl
tcosм
sn+1
1
e-'V i sin лt
--
s+а
1
e-vt cos М
(s+ а)2
2
te-'V1 sin лt
(s+а)3
а
te-'V1 cos лt
s(s+а)
Л,
sh yt
s2+л2
s
s2 +л2
ch yt
Таблица П 1.2
1
Изображение
1
2лs
(s2 + л2)2
s2- л2,
(s2 + л2)2
Л,
(s +-v)2 + л2
s+у
(s+у)2+л2
2л(s+ у)
[(s+ у)2+л2]2
(s+у)2-л2
[(s+ у)2+л2]2
у
82_ 12
s
82_ 12
алгебраическое уравнение (или систему алгебраических уравне­
ний) 9тносительно изображений. Интеграл (Пl . 1) для больщого
числа функций вычислен, поэтому преобразование обычно сво­
дится к использованию таблиц. Изображения некоторых функций
времени при нулевых· начальных условиях даны в табл . Пl.2.
; Из алгебраического уравнения (или системы уравнений) опре­
деляют изображение искомой переменной и затем оригинал, т. е.
функцию времени, являющуюся искомой переменной.
'
• Оригинал f (t), соответствующий изображению F (s), отыски­
~ают путем обратного преобразования Лапласа:
c+jffi
f(t)=)n JF(s)estds.
(Пl.4)
C-j(!)
Вместо . вычисления интеграла (Пl .4) удобнее, конечно, оты­
tкивать оригинал по таблице преобразований различных функ­
ций.
[ Если rrзображение F (s) представляет собой дробно-рациональ­
ную фунkцJю, то оригинал f (t) можно определить с помощью
рдной из теорем разложения Хевисайда .
412
;,l..•


Пусть изображение Лапласа функции f (t) есть
R (s)
F(s)=G(s)'
(Пl.5)
где G (s) - полином от s степени k, не имеющий нулевых и крат­
ных корней; R (s) - полином от s степени т < k.
Тогда
(Пl .6)
гдеsi,i=1,2, . . ., k -корниполиномаG(s),
G'(si)=[dG(s)] .
ds s=si
Изображение F (s), знаменатель которого имеет нулевой ко­
рень, следует представить в таком виде:
R(s) •
F(s)= sQ(s),
(Пl.7)
(
-
где Q (s) - полином от s степени п, не имеющий нулевых и крат­
ных корней; R (s) - полином от s степени т ~ п.
В этом случае
(Пl .8)
гдеS;,i -:-1,2, ..., п-корниполиномаQ(s),.
Q' (s•) ~ Г dQ·(s)] ••
1
'lds
s=s; ••
При• определении оригинала по дробно-рациональному изобра­
жению F (s) используют также следующий прием . Изобр,ажение
разделяют на сумму простых дробей и для каждой из них отыски ­
вают оригинал по таблице преобразований Лапласа или с помощью
теоремы разложения. На основании свойства линейности ориги­
нал, соответствующий изображению F (s), · равен сумме оригина­
лов, соответствующих этим простьiм дробям. •
•
•••
• - Иногда при инженерных расчетах достаточно рассматрива_ т1
приближе.щюе значение оригинала, определяемое по коэффи2
циентам ошибки (см. , п. 7.2).


Приложение 2
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИНОМОВ
С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
НА МНОЖИТЕЛИ
При вычислении переходных характеристик и построении ло­
гарифмических частотных характеристик возникает необходимость
в разложении полиномов от s на множители, т . е. в вычислении
корней этих полиномов . Корни полиномов третьей и четвертой
степеней можно вычислить по точным формулам [66], однако рас­
чет достаточно сложен. Корни полиномов более высоких степе­
ней можно вычислить только приближенно и для этого используют
ряд методов [38, 67 и др.]. Существуют также специфические
методы, предложенные для использования при анализе систем
автоматического регулирования . Ниже рассмотрим применение
некоторых из этих методов для разложения полиномов на элемен­
тарные множители вида Tis + 1 ,и ТJs2 + 2sTis + 1, s < 1.
Они обеспечивают точность, вполне достаточную для инженер­
ных расчетов, и позволяют вести вычисления с помощью ЭЦВМ.
Графоаналитический метод [62, 63] предполагает весьма простые
вычисления, но результаты могут иметь существенные погрешности
поэтому он может быть использован лишь для ориентировочных
оценок .
Применение метода Лина
Этот весьма простой метод позволяет вычислять действитель­
ные и комплексные корни полиномов выше третьей степени [62,
63 ]. Применим его для разложения на элементарные множители
полинома вида
G(~)= a0sn+a1sn-I+-.··+an_1s+1
(П2.1)
и будем последовательно выделять трехчлены вида
414
b0s2+b1s+1.
В качестве первого приближения можно принять, что
Ьо1=~иЬн= .!:!._
а2
а2
(П2.2)


Затем полином (П2 . 1) нужно делить на трехчлен (П2 . 2), начи­
ная с младших членов:
1_Lа s+ ...+аsn-1+аsn/
1+ b11s+ bo1s2
,
n-1
1
о1+
+
+r5п-2
'п-зS ••• о
r0s11- 2 + (а1- r1Ь01) s11- 1 + a0s11
r0s11- 2 + r0b11sn-I + r0b01s11
(а1- r1Ь01-r0b11) s11- 1 +(a0-r0b01) s11.
(П2.3)
Если разности а1- r1b01 - r0b11 и а0- r0b01 не являются
пренебрежимо малыми по сравнению соответственно с а 1 и а 0 ,
то нужно определить второе приближение коэффициентов поли­
нома (П2.2):
rде r O и r 1 - коэффициенты старших членов частного в (П2.3) .
Затем полином (П2.1) делить на 1 + b12 s + b02s2 и иссле­
доватьразностиа1- r1b02- r0b12 и а0- r0b02. Вычисления
нужно продолжать, пока не окажется, что разности а 1 - r 1 b 01 -
-
r 0Ь11 и а0 - r 0Ь01 при l :;;,, 2 пренебрежимо малы (по сравнению
соответственно с а 1 и а 0). Тогда можно принять
Ьо=Ьоz, Ь1 =Ь11
и тем же путем выделить трехчлен из полинома
r0s11- 2+ •••+ r11_3s+ 1,
еслип- 2>2.
l(аждый из трехчленов вида (П2.2) нужно разложить, если
возможно, на двучлены или преобразовать:
приЬ1>2Vьо
Ь0s2+ Ь1s+ 1=(T1s+ 1)(T2s+ 1),гдеТ1.2=
=~
1 (1-+ -Vl-~ o);
приЬ1=2Vьо
Ь0s2 +Ь1s+1 =(Ts+I)2, где Т= ~1 =VЬ0 ;
приЬ1<2Vьо
Ьоs2+Ь1s+1= T2s2+2sTs+1, где т =VЬои s = 2:k
Изложенный процесс определения коэффициентов Ь 0 и Ь 1
сходится лишь при условии, что два старших по модулю корня
полинома (П2.1) действительные или комплексные сопряженные .
415


Если это ·условие не выполняется и процесс определения коэффи­
циентов Ь 0 и Ь 1 рас х одится , то из полинома (П2 . 1) следует выде­
лить двучлен
cs+1.
В качестве первого приближения нужно принять
с- ао
1--
а1
(П2.4)
и затем действовать так же, 1,ак и при в1;,щелении трехчлена
(П2.2).
На основании · изложенного можно · составить итерационные
формулы для определения коэффициентов Ь 0 и Ь 1 трехчлена (П2.2)
или коэффициента с двучлена (П2.4). Эти формулы заметно упро­
щают расчет, так как исключают необходимость в операциях де­
ления (П2.3).
Ниже приведены формулы для разложения полиномов третьей,
четвертой, пятой и шестой степеней. Даны два варианта формул:
первый для случая, когда два старших по модулю корня действи­
тельные или комплексные сопряженные ; второй - для случая,
когда это условие не выполняется. Распределение корней, как
правило, заранее неизвестно и поэтому расчет можно начинать
по любому из двух вариантов формул. Если же процесс опреде­
ления коэффициентов расходится, то использовать другой ва ­
риант формул . Расчет удобнее сводить в таблицу .
416
Полином третьей степени
G(s)=a0s3+a1s2+a2s+1.
1-й вариант
Итерационные формулы :
ь
ао
01=-;
а2
а
ь·-
1.
11-а;,
Pi
bli =
-
,
i=2,3, ...
Гi
Ра зложение полинома :
Ь-,ао.
Oi- Гi,
G(s) =(b0s2+b1s+1)(rs+1).
2-й вариант
Итерационные формулы :
i=2,3, •••
(П2.5)
(П2.6)
(П2.7)
i
1


---------
Разложение полинома
G(s)=(cs+ 1)(q0s2+ q1s+ 1).
Пример П2, 1, Разложить на элементарные множители полином
01(s)=5s3+6s2+6s+1.
(П2.8)
Попытаемся воспользоваться 1-м вариантом формул, т. е. формулами (П2.5),
а расчет сведем в таблицу:
No приближения
1
,i
1
Р;
1
boi
1
b1i
1
-
-
0,833
1,000
2
5,000
5,167
1,000
1,033
3
4,967
5,000
1,007
1,007
4
4,993
4,993
1,001
1,000
Можнопринять,чтоЬ0= Ь1= 1иr = 6 - 1=51Тогдапоформуле(П2.6)
Gr(s) = (s2+s+ 1)(5s+ 1) = (Tis2 +2sTrs+ l)(T2s+ 1),
гдеТ1=1с;~=0,5;Т2=5с.
Полином четвертой степени
G(s)=a0s4+a1s3+a2s2+a3s+1.
1-й вариант
Итерационные формулы:
Разложение полинома:
G(s) =(b0s2+ b1s+ 1)(r0s2+ r1s+ 1).
2-й вариант
Итерационные формулы
с-~-
1-
G1,
С·=~ i 23
'
qoi '
=
'
' •••
Разложение полинома:
G(s)=(cs+ 1)(q0s3+ q1s2+ q2s+ 1).
. 27 И. М. Ма1<аров
(П2.9)
(П2.10)
)
1 (П2.11)
1
J
(П2.12)
417'


Пример П2.2 . Разложить на элементарные множители полином
G2(s) = 0,5s4+5,6s3+6,6s2+6,1s+1-
.
Предположим, что справедлив 1-й вариант соотно шения корней полинома,
т. е. будем пользоваться формулами (П2.9). Расчет сводим в таблицу:
No прибли-
1
rli
1
rOi
1
Р;
1
boi
1
bli
жения
1
-
-
-
0,076
0,848
'
2
5,252
2,070
5,202
0,242
2,5 13
3
3,587
- 2,656
4,732
- 0,188
-
1,784
Процесс определения коэффи циентов Ь 0 и Ь 1 не сходится. Следовательно,
нужно воспользоваться формулами (П2 . 11):
No приближения
1
q2i
1
qli
1
qoi
1
'
1
-
-
-
2
6,0 107
6, 063
5,059
3
6,00 12-
6,007
5,0 07
Можно принять с= 0,1 и, следовательно, q2 = q1 = 6; q0 = 5.
Тогда по формуле (П2.12):
G2(s)=(0,1s+1)(5s3+6s2+6s+1).
Ci
0,0893
0,0988
0,0999
Входящий в выражение G2 (s) полином третьей степени рассматривался
в примере П2.1 . Поэтому окончательно
гдеТ1=1с; ~=0,5;Т2=5иТ3=0,\ с.
418
Полином пятой степени
G(s)=a0s5+a1s4+a2s8+a3s2+a4s+1.
1-й вариант
Итерационные формулы:
Г2;=а4 - Ь1,1-1; Гн =аз-Ьо,i-1
-
Г2;Ь1, i-1; Го;
= а2 - Г2;Ьо. i-1 - Г1;Ь1, ;_1; Р; = а1 - rlibo, i-1;
ь.-~-
о,- Го/ '
Pi
Ь1;= -
, i=2,3, ....
Го/
Разложение полинома:
(П2.13)


G(s) =(b0s2+b1s+1)(r0s3+r1s2+r2s+1).
2-й вариант
Итерационные формулы:
i=2,3, ....
Разложение полинома:
•Пример П2.3. Разложим на элементарные множители полино~r
G3 (s) = 0,006s~ + 0,116s4 + 0,716s3 + 1,71s2 + 1,6s + 1.
(П2. 14)
1(П2. !5)
(П2.16)
Предполагаем 1-й вариант распределения корней и пользуемся форму­
лами {П2.13):
.1i
1
r2i
1
rli
1
roi
1
pi
1
.ьоi
1
bli
1
-
-
-
-
0,00823
0,1620
2
1,4380
1,4687 0,4660
0,1037
0,01288
0,2225
3
1,3775
1,3906
0,3890
0,0981
0,01542
0,2522
;4
1,3478
1,3547
0,3536
0,0951
0,01697
0,2689
5
1,33 11 1,3350
0,3344
0,0933
0,01794
0 ,2790
6
1,3210
1,3235 0,3230
0,0923
0,01858
0,2858
7
1,3142
1,3158 0,3155
0,0916
0,01901
0,2903
8
1,3097
1,3108 0,3 106
0,0911
0,01932
0,2933
9
1,3067
1,3074 0,3075
0,0907
0,01951
0,2950
10
1,3050
1,3055 0,3054
0,0905
0,01965
0,2963
:11
1,3037
1,3041
0,3039
0,0904
0,01974
0,2975
Можно принять г2 = г1 = 1,3; г0 = 0,3 и р = 0,09. Следовательно, Ь0 =
= 0,02_и Ь1 = 0,3 . По формуле (П2.14)
•
03(s) =(0,0Qs2+0,3s+ 1)(0,3s3+ 1,3s2+1,3s+1).
Процесс отыскания значений Ь 0 и Ь 1 , вообще говоря, можно было ускорить .
Для этого следовало по трем - четырем приближениям построить кривые Ь 0 (i)
и Ь 1 (i) и экстраполировать их. Были бы получены значения Ь0 и Ь 1 , приближаю­
щиеся к действительным, и потребовалось бы одно~два приближения для их
уточнения.
Теперь разложим полином
G31(s) =0,3s3+ 1,3s2+1,3s+1,
27*
419


воспо~ьзовавшись формулами (П2.5):
i
1
Г;
1
Р;
1
boi
1
bli
1
-
-
0,231
1,000
2
0,300 1,069
1,000
3,563
3
-2,263 0,300
-0,133 -0,133
Процесс расходится и поэтому нужно воспользоваться формулами (П2.7):
i
1
qi
1
qoi
1
1
-
-
2
1,069
1,053
3
1,015
1,011
4
1,003
1,002
Итак, с= 0,3; q1 = q0 = 1 и по формуле (П2.8)
G31(s) =(0,3s+!)(s2+ s+!).
Следовательно,
Ci
0,231
0,285
0,297
0,300
G31(s) =(0,02s2+0,3s+!)(0,3s+ 1)(s2+ s+ !).
После исследования трехчленов, входящих в 031 (s), получим
гдеТ1=0,1;Т2=0,2;Т3=0,3;Т4=1,0с;~ =0,5.
Полином шестой степени
G(s)=a0s6+a1s5+a2s4+a3s3+a4s2+a5s+1.
1-й вариант
Итерационные формулы:
ь
ао
Ь
а1
01=-;
11=-;
а2
а2
Тз;= G5-Ь1.i-1; r2; = а4- Ьо,i-1 - rз;Ь1,;_1;
r1; = аз-rз;Ьо, i-1 -r2;b1, i-1;
i=2,3, ....
Разложение полинома:
!(П2.17)
G(s) = (b0s2+ b1s+ 1)(r0s4+ r1s3+ r2s2+ r3s+ 1). (П2.18)
420


2-й вариант
Итерационные формулы:
ао.
С1=-,
а1
q4; = а5-С;_1; qз; = a4-q4;C;_1; q2; = а3-qз;С1_1;
i=2,3,
Разложение полинома:
(П2.l 9)
Применение итерационного метода О. М. Крыжановского
Полиномы, р_ассматриваемые при анализе САР, чаще всего
не имеют корней с положительной вещественной частью, а крат­
ность действительных корней не более двух. Эти особенности
учтены итерационным методом, предложенным О. М. Крыжанов ­
ским (61 ]. Ниже рассмотрено его применение для разложения
на множители полиномов 3, 4, 5 и 6-й степеней .
Для каждого из полиномов приведены два варианта разло­
жения на множители. Первый справедлив, когда младший по мо­
дулю корень действительный, а далее следуют комплексные сопря­
женные. Второй - когда два младших по модулю корня комплекс­
ные сопряженные или оба действительные .
Во всех случаях должны быть определены некоторые вспомо ­
гательные постоянные путем последовательного приближения к их
истинным значениям . По приведенным формулам вычисляют сна­
чала первое, а затем последующие приближения . Искомой по ­
стоянной является то приближение , которое с необходимой точ­
ностью равно предыдущему.
После определения вспомогательных постоянных полином по
соответствующим формулам разлагают на множители . В поли­
номах 4, 5 и 6-й степеней один из сомножителей должен быть
р азложен на сомножители меньшей степени .
Чаще всего сведения о младших по модулю корнях рассматри­
ваемого полинома отсутствуют и расчет следует вести по первому
вариантУ,. Если процесс вычисления вспомогательных постоянных
р асходится, то необходимо перейти ко второму варианту .
Полином третьей степени
G(s)=a0s3+a1s2+a2s+1.
1. Младший по модулю корень действительный .
Первое приближение вспомогательных постоянных
1
а1 =-; ~1 =а1 (а1-а0а1);
(П2.21а)
а2
421


где
где
422
последующие приближения
1
а;=
~ ; ~; =rx;(а1- а0а;),i=2,3, ... (П2.21б)
а2-
i-1
Разложение полинома на множители:
G(s) =(Ts+ 1)R(s),
(П2.22 )
При~<2Va0a
R(s)=Tis2+2sTzs+1,гдеТ1 =Vaoa; s=
~2.Vа0а,
при~= 2Va0a
R(s)=(T1s+I)2, где T 1 =Vaacx={-;
r-
при~>2}'а0а
R(s) =(T1s+1)(T2s+ 1),:где Т1,2 = {-(1-+- V1- 4;~а).
2. Два младших по модулю корня комплексные сопряженные .
Первое приближение вспом<;>гательной постоянной ·
(П2.23а )
последующие пр11ближения
а,. = __а_2__
'
а1-а0а;_1 ·
i = 2, 3, ... .(П2.23б)
Разложение полинома на множители:
G(s) =(Ts+1)(Tis2+ 2sT1s+ 1),
Пример· n2.4 ; Разложить . на элементарные множители полином
G4(s}=s3+2s2+;2s+ 1.
(П2.24)


Предположим, что младший по модулю корень действительный и вспомога­
тельные постоянные будем вычислять по формулам (П2.21).
Получим:
а1=0,5; ~1=0,75; а2=0,80; ~2=0,96; а3=О,96; ~3 = 1,00; а4=1,00.
Итак, а=~= 1,00 и~< 2 Va0a = 2. Тогда по формуле (П2 . 22)
04(s) =(Ts+1)(Тrs2+2~,Т1s+1),
гдеТ=1;Т1=1с;1;=0,5.
Процесс вычисления а и ~ может оказаться длительным,
чтобы его сократить, нужно после вычисления l приближений
построить график а1 (i), i = 1, 2, ... , l. Затем по графику опреде­
лить приблизительно предел а0 , к которому стремится а1 , _ и
вычислить ~1 = а0 (а1 - а0а0). Последующие приближения уточнят
сделанное предположение о предельном значении а.
Полином четвертой степени
.
G(s)=a0s4+a1s3+a2s2+a3s+1.
1. Младший по модулю корень действительный.
Первое приближение вспомогательных постоянных
а1= -
1 ; ~1 =а1(а1-а0а1); у1=а1(а2-
~1); } (П2.25а)
аз
.
последующие приближения
1
i=2,3, ....
Разложение полинома на множители:
G(s) -~
(Ts+1)(a0as3+~s2+ys+1),
(П2.26)
где
1
Т=а=а3-у.
2. Два младших по модулю корня комплексные сопряженные
или действительные.
Первое приближение вспомогательных постоянных
а1= ::•-
_
:~;
~1= а1(а1- а0а1)+::;} (П2~27а)
последующие приближения


42,4
Разложение полинома на множители:
G(s) = R1(s)R2(s).
(П2.28)
При r1<2~, где r1 = a1-a0rx и r2=a2-~,
R1(S)=Тrs2 +2s1T1s+1, где T1=Va0 ; s1= ;-
1-
Г2
2 a0r2
при r1= 2Va0r2
1
R1(s) =(T1s+ 1)2, где Т1=Vао;,
r2
-2(v4a0r2)•
R1(s)=(T1s+ 1)(Тзs+ 1),гдеТ1,з= 2,2 1± 1------,у- ,
приrxVr2<-2
приrx~=2
•
v-
2
R2(s) = (T2s+ 1)2, где Т2 =
r2=-;
а,
приrx~>2
R2(s) =(T2s+ 1)(T4s+ 1),гдеТ2,4 = а.;2(1±V1- a,;,J.
Полином пятой степени
G(s) = aoS5+ a1S4+ а2sз+ a3S2+ a4S+1.
1. Младший по модулю корень действительный:
первое приближение вспомогательных постоянных
1
•
]
rx1= -
; ~1 = rx1(а1- aorx1); У1= rx1(а2-- ~1);
а4
μ1 = rx1 (аз -у1);
•
последующие приближения
(П2.29а)
а; - а,__'μ,:'~
~,-а,(а,-
."':'); V; - а; (а, - М ](П2.29б)
μ1
-
rx1 (аз
у1),i-2,3, ....
Разложение полинома на множители:
G(s)=(Ts+ 1)(a0rxs4+ ~s3+ ys2+ μs+ 1),
(П2.30)


где
1
Т=
-
=
G4-μ.
CG
2. Два младших по модулю корня комплексные сопряженные
или действительные:
первое приближение вспомогательных постоянных
• последующие приближения
G2-
~l-1
.
(аз -
'\'t-1)2 '
Разложение полинома на множители:
G(s) = (~s3 +~s2 +_:!_s+ 1) R(s),
'з
Гз
'з
где r1= а1-а0а; r2= а2-р; r3 = а3-у.
При аVrз<2
при ех,Vrз= 2
V-
2
гдеТ1= r3=-;
CG
при ех,Vrз"> 2
(П2.31б)
(П2.32)
R(s)=(T1s+ 1)(T2s+ 1),гдеТ1.2a;s = (1±V1- а;,3).
Полином шестой степени
425


где
1. Младший по модулю корень действительный:
первое приближение вспомогательных постоянных
а1=
~
5 ; ~1 = а1(а1- а0а1); У1=а1(а2 -
~1);) (П2.ЗЗа)
μ1~а1(аз- У1); Ч1 =а1(а4- μ1);
последующие приближения
у:: а: (а,-М ) (П2.33б)
t- 2,3, ...
Разложение полинома на множители :
G(s) =(Ts+1)(a0as5+ ~s4+ys3+μs2+чs+!), (П2.34)
2. Два младших по модулю корня комплексные сопряженные
или действительные:
•
где
426
первое приближение вспомогательных постоянных
последующие приближения
aз-'Vi-1.
(а4- μ;_1)2 ,
Разложение полинома на множители:
(П2.35а)
(П2.35б)
(П2.36 )


При aVr4 <2
R(s)=Лs2+2~T1s+1, где Т1 =Vr4;
при aVr4 >2
R(s)=(T1s+1)(T2s+1),гдеТ1,2 = а;4(1± -V1- a;r4) •
Пример П2.5. Разложить на множители полином
G5(s) =8s6+24s5+36s4+33s3+18s2+6s+1,
Предположим, что младший по модулю корень действительный, восполь ­
зуемся формулами (П2 . 33). Расчет сведем в таблицу:
No при-
/3i
1
ближе•
а-·
У1
μi
Т]i
'
ния
1
О,IБ7 -- --·
--
3;78
.-
-
- 55,47.-
-···
.:.....37,52
92,71
2
- 0,012
- 0,29
- 0,43
- 0,40
- 0,22
--
-
.
Процесс вычисления вспомогательных постоянных явно не сходится. Сле-­
довательно, два младших по модулю корня действительные или комплексные::
сопряженные и нужно применять формулы (П2.35). Выполняем расчет:
i
1
аi
1
131
1
У1
1
μi
1
0,23
5,54
8,24
7,38
2
0,35
8,17
11,74
10,06
3
0,42
9,68
13,65
11,45
4
0,47
10,73
14,97
12,34
5
0,50
11,41
15,83
12,88
6
0,51
11,72
16,27
13,29
7
0,52
12,02
16,68
13,58
8
0,52
12,13
16,83
13,80
9
0,51
12,06
16,95
13,88
10
,0,51
12,10
17,02
13,95
1
11
0,50
11,98
16,95
13,99
Принимаема=0,5;~=12;у=17;μ=14,тогдаr1= 20;r2= 24;r3=
16; r4 = 4 и рассматриваемый полином разлагается на множители следующи м:
образом:
гдеТ1=2си~1=0,5.
42Т


Теперь:будем разлагать на множители полином четвертой степени G51 (s),
входящий в G0 (s). Предположим, что младший по модулю корень действитель­
ный, воспользуемся формулами (П2.25):
i
1
(Xi
1
Bi
1
"?i
1
0,25
1,13
2,44
2
0,64
2,38
2,32
1
3
0,60
2,28
2,23
4
0,57
2,20
2,17
5
0,55
2,15
2,12
6
0,53
2,09
2,07
7
0,518
2,053
2,045
8
0,512
2,032
2,028
9
0,506
2,018
2,017
10
0,504
2,012
2,007
Полагаема=0,5и~=у=2,тогда
G51(s) =(T2s+1)(s1'+2s2+2s+1), гдеТ2=2с.
Второй сомножитель в полученном выражении рассматривался в примере
П2.4. Поэтому окончательно
05(s) =(Туs2+2~1Т1s+1)(T2s+1)(Т3s+1)(Tis2+2~4T+s+1),
!!'де--.._Т1=2с;~1= 0,5;Т2=2;Т3=1;Т4°==,1си64=0,5.


Приложение 3
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ (66)
Определитель п-го порядка
а11а12''' а1п
Л=а21а22'''а2п
(ПЗ.1 )
содержит п строк и п столбцов, каждый из которых имеет п эле­
ментов. Всего элементов п 2 • Первая щrфра _в индексе элемента ука­
зывает номер строки и вторая - номер столбца.
Основными свойствами определителей являются следующие.
1. Определитель не меняется при транспонировании , т. е.
при таком преобразовании, когда его строки становятся столбцами
с тем же самым номером:
.ана12 •••а1п
а21а22'''а2п
ана21 ••• ап1
а12а22 ••• ап2
(ПЗ.2)
Отсюда следует, что строки и столбцы равноправны . Свойства
сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
2. Определитель равен нулю, если он имеет : а) строку, со­
стоящую из нулей; б) две одинаковые строки; в) две пропорцио­
нальные строки; г) строку, являющуюся линейной комбинацией
других строк.
3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
4. Общий мнощитель всех элементов одной строки можно
вынести за знак определителя.
5. Определитель не меняется, если к элементам одной строки
прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно
и то же число (положительное или отрицательное) .
Для вычисления определителя п-го порядка используют его
разложение по i-й строке:
(ПЗ.3)
429


-т. е. определитель Л равен сумме произведений всех элементов
nроизвольной его строки на их алгебраические дополнения.
Алгебраическое дополнение элемента a;i есть
i+i
A;i=(- 1) M;i,
(ПЗ.4)
где M;i - минор элемента а;!' т . е. определитель (п
-
1)-го по­
р ядка, который получается из определителя Л вычеркиванием
.i-й строки и j-ro столбца.
В результате разложения (ПЗ.3) вычисление определителя
.п-го порядка заменяется вычислением определителей (п :..... 1)-го
порядка . Последние, в свою очередь, могут быть разложены по
•формуле (ПЗ.3) и их вычисление сведется к вычислению опреде­
лителей (п - 2)-го порядка . Повторяя эту процедуру, вычисление
-определителя п-го порядка можно свести к вычислению определи­
'Телей 2-го порядка, которое выполняют по следующему правилу:
(ПЗ.5)
Перед разложением определителя по i-й строке удобно, поль­
зуясь свойством 5, сделать нулями часть элементов этой строки
.и даже все, кроме одного. Тогда число слагаемых в разложении
<ПЗ .3) соответственно уменьшится.
Пример ПЗ.1. Вычислить определитель
4766
2634
Л=5874
542
:::начала умножим элементы четвертого столбца на -0,5 и прибавим их
ж соответствующим элементам первого столбца:
1766
о634
Л=3874
о542
Теперь разложим определитель по элементам первого столбца~
634
766
Л=1874 +3 634
542
542
Каждый из определителей третьего порядка разложим по элементам первого
~ 1олб1~а:
•
Л= 5 \: :1- 3 1:: i+sl~: 1+ 3 {1 1:: 1- 6 \~:\+si::\}·
Вы 1шслив определители второго порядка, получим
Л=6(7·2 - 4·4)- 8(3·2 - 4·4)+5(3·4 - 4,7)+3[7(3·2 - 4·4)-
-6(6·2 - 6·4)+ 5(6•4 - 6·3)]= 108.


Приложение 4
СИНТЕЗ ПАССИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ
И ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ .
• При синтезе корректирующих устройств САР возникает задача
реализации их передаточных функций пассивными или активными
четырехполюсниками постоянно го тока. Последние содержат
пассивные двухполюсники. Пассивные двухполюсники и четырех­
полюсники постоянного тока - это электрические цепи из ре­
зисторов, конденсаторов и индуктивностей. В большинстве слу­
чаев индуктивности не используют, так как частота сигналов САР
низкая и возникает необходимость в больших индуктивностях.
Рассмотрим методы определения электрических схем и пара­
.метров двухполюсников и четырехполюсников, состоящих из
активных резисторов и конденсаторов, по передаточным функциям,
которые они должны иметь [63, 85, 123 ]. Любая передаточная
функция может быть реализована пассивным двухполюсником
I:IЛИ четырехполюсником из резисторов и конденсаторов с точ­
ностью до постоянного множителя. Причем в каждом случае число
вариантов схемы практически неограничено . Имеет смысл рас­
сматривать и сравнивать лишь схемы с минимальным числом
элементов.
Разложение передаточной функции
активного четырехполюсника
Для синтеза двухполюсников активного четырехполюсника
(см. рис. 8.21) передаточную функцию Wa, которую он должен
иметь, нужно представить в соответствии с формулой (8 .57) в виде
отношения
где Z., = Z,1 (s) и Уп = Уп (s) - операторные выражения пол­
ного сопротивления и полной проводимости двухполюсника
прямой цепи; Z0 = Z ., (s) и Уа = Уа (s) - операторные выраже­
ния полного сопротивления и полной проводимости двухполюс­
ника обратной связи.
431


Полное сопротивление Z = Z (s) может быть реализовано
в виде RС-двухполюсника, только если оно удовлетворяет сле­
дующим условиям:
а) функция Z (s) представляет собой рациональную дробь,
у которой степень числителя равна или на единицу меньше сте­
пени знаменателя;
б) полюсы (корни полинома знаменателя) и нули (корни поли­
нома числителя) функции Z (s) - простые, действительные отри­
цательные и перемежаются между собой, т . е. между двумя со-
седними полюсами находиться нуль и наобdрот;
.
в) наименьшим по абсолютной величине является полюс и
он может равняться нулю;
г) наибольшим по абсолютной величине является нуль. Он
1<онечен, если степень числителя функции Z (s) равна степени зна­
менателя, и бесконечен, если степень числителя меньше степени
знаменателя.
Полная проводимость обратна полному сопротивлению
1
У (s) = z (s) и это соотношение определяет условия, которым
должна удовлетворять полная проводимость, реализуемая RС­
двухполюсником.
В ряде случаев реализуемые значения Z0 и Zп удается соста­
вить только по формулам
(П4.1)
где М = М (s) и N = N (s) - полиномы соответственно числи­
теля и знаменателя функции Wa;
полином Q = Q (s) выбирают так, чтобы Z0 и Zп удовлетво­
ряли условиям реализуемости . Он может содержать, в частности,
двучлены из полиномов М и N.
• Синтез двухполюсника
Схему и параметры двухполюсника RC, имеющего заданные Z
или У, мож_но найти различными способами. К RС-схемам с наи­
меньшим числом элементов приводят следующие способы .
Разложение Z на простые дроби (1-й способ). Полное сопротив­
ление z, удовлетворяющее перечисленным условиям, можно раз­
ложить на простые дроби:
Z=~+__6_+___ь__-t- · · · -t-А.
(П4.2)
s
s+л1 s+л2
Здесь
А;=[Z(s)(s-t-л;)]S=-Л· , i =О, 1, 2, ...,
'
гдел0=О,
и
А=Z(оо).
432
(П4.3)
(П4.4)


Рис. П4.1. RС-схемы, реа­
лизующие простейшие пол­
ные сопротивления
R=A
~
Z=А
Каждый член разложения (П4.2) можно реализовать .прость,м.
RС-двухполюсником из числа представленных на рис . П4 . 1 .
Последовательное соединение таких двухполюсников образует
RС-двухполюсник, реализующий заданное полное сопротивле­
ние Z.
Разложение .У на простые дроби (2~й CIJ-OCoб) : Если полная
проводимость У удовлетворяет у.слов.иям 1 реализуемости, то она
может быть представлена _следУ-ющим: образом:
Здесь
где
j=о,1,2,
У*(s)=У;5)иРо=О;•
•В= У*(оо).
(П4.5)
... ,
(П4.6)
(П4.7)
Члены правой части равенства (П4.5) можно рассматривать
как полцые проводимости простых RС-схем 'из числа приведенных
на рис. - П4.2. Параллельное соединение таких простых RС-схем
образует двухполюсник, который реализует заданное значение У.
Разложение Z в непрерывную дробь (3-й способ) . Члены поли­
номов числителя и знаменателя функции Z (s) нужно расположить
по убыв'ающим стеценям s и затем разлагать ее в непрерывную
дробь .
Пусть степени числителя и знаменателя одинаковы и равны т .
Тогда нужно определить первый член частного и результат запи ­
сать так:
28 И. М . Макаров
433


Рис. П4_.2. RС-схемы, реализую­
щие пJ)остейшие полны е про­
водим0сти
Далее нужно найти первый член частного : 1\;) , к9торый
будет содержать s, так как степень А (s) на единицу выше степени
В1 (s), т. е.
-
Продолжение ~того процесса приводит к искомому разложению:
1
1
Cms+-R --
m+l
(П4.8) ·_
Если полное сопротивление Z удовлетворяет ранее изложенным
условиям, то величины R1, С1, R2, С2, ... ,
Ст_1 , Rm положи­
тельные. Из разложения (П4.8) следует, что Z есть полное сопро­
тивление RС-схемы, изображенной..на рис. П4.3, а.
Пусть степень числителя Z на единицу меньше степени т зна ­
менателя. Тогда Z нужно представить в виде
1
Z(s) = A(s)
В(s)
-
,.
<.
и· затем начинать разложение его в непрерывную дробь. В ре- ·
зультате получим:
Z (s) = --------
C1s.+ .
- -----
--
-
R1+------
c25 +:
l
C,,,s+Rm•
(П4.9) .
По разложению (П4 :Ю__Z есть полное- сопротивление RС-схемы,
представленной на рис. П4.3, 6.
434
j,
;
'
•


Рис. П4.3. Схема _ лестничного RС-двухполюсника, соответствующего:
· а -"- не~рерывной дроби (П4 ,-8); 6 - непрерывной дроби (П4.9)
Разложение У в непрерывную дробь (4-й способ). Члены полино­
мов . числителя и знаменателя функции У (s) должны быть распо­
ложены по возрастающим степеням s и затем она может быть раз­
ложена, как указано выше, в непрерывную дробь:
1
1
Y(s)=r+1
1
(П4.10)
1
--+ -,------
C1s
_1_+ !
R2
Этой непрерывной дроби соответствует лестничf{ЫЙ двухполюс­
fIИК, изображенный на рис. П4.4, а, если числитель и знамена­
тель У _имеют степень т, •и лестничный двухполюсник на
рис . П4.4, б, если степень т числителя на единицу больше сте­
пени _ знаменателя.
Постепенное удаление составляющих функций Z (s) и У (s)
~5-й - способ). По разложению (П4.2) на простые дроби для Z может
быть _составлено _ т_акое
. рав енств о:
Z =А+ Za,
(П4.11)
Рис. П4,4. Схемы лестничных RС-двухполюсннков, соответствующих непрерывной дроби
•
(П4, \Оt)
-
28*
435


где
я,
R,
с,
а)
о)
Рис. П4.5. Последовательные этапы составления лестнич­
ного двухполюсника 5-м способом
z= _io__+~+А2 +....
а
s
s+л1
s+л2
Равенству (П4.11) соответствует двухполюсник (рис. П4.5, а),
состоящий из последовательного соединения резистора сопро­
тивлением R 1 = А и полного сопротивления Za, Вторая часть
.
.
1
двухполюсника имеет полную проводимость Уа • -у;;-· Ее можно
разл.ожить на . простые дроби по формуле (П4.5) и составить ра-
·венс'rво, •
•
(П4.12)
где
-
-
•
•
1
Уь = Во +_!!__!!_+ 82s + ....
s+Р1
s+Р2
По равенству (П4.12) полную проводимость У ь можно заме­
нить двумя параллельными ветвями (рис. П4.5, 6) с проводимо­
стями Bs + Уь. Первая ветвь есть емкость С 1 = В, а вторая ветвь
...
1
~меет полне>е сопротивление Zь = Уь . Его можно разложить
на ·простые ·дроби rro формуле (П4.2) и в результате определить
фпротивл·ен·ия R 2 лестничного двухполюсника (см. рис. П4.3, а).
·_
· ;· , Цродолж~ние процесса приведет к синтезу -всего лестничного
д-вухпЬлюсника : ..
·-
·
·•
·
·
•
·
.
·
·
·
, . Ло<;:ле разложения . Z 1,, на простые дроби можно выделить его
'.
,
..
... .
А·.
..
-со~тав,1Н1ющую __ 5+~k; ·l:i _ ре_а,1щзов_ать ее параллельным соедине-
нием резистора сопротивлением R. с -и конденсатора . емкостью Ci
(см..' р11с. П4.1) . Аналогично цри разложении на простые дроби Yz
B1·s
можно выделить его составляющую -+' и реализовать ее после-
s PI•
довательным соединением Ri и Ci (см . рис. П4.2). Тогда Z буд.е-1'
реализовано лестничным двухполюсником с иными элементами,
чем у двухполюсника, изображенного на рис. П4.3, а. Такой ме­
тьд называют удалением полюсов.
Пример П4.1. Активный четырехполюсник постоянного тока, выполняемый
по схеме, приведенной на рис . 8.21, должен иметь передаточную функцию
(0,1s + \) (0,02s + !) (0,01s + 1)
Wa= -
(0~05s + 1)(0,04s + 1) (0,005s + 1) '
436


Рис. П4.G. Возможные схемы RС-двухполюсника обратной связи
к примеру П4.1
Выяснить, как должны быть выполнены двухполюсники Z0 и Zп , Преобразуем
выражение требуемой передаточной функции
W __ 2 (s+ 10) (s+50) (s+ 100)
а-
(s+ 20)(s+25)(s+200) •
Ориентируясь на формулу (8 .57), выберем передаточные фун~L,(ИИ двухполюс ­
ников так, чтобы они удовлетворяли условиям реализуемости:
Z·
_
2(s+ 100).
0-
s+25 '
Z_ (s+20)(s+ 200~
п- (s+10)(s+ 50)••
Ищем схему и параметры двухполюсника обратной связи 1-1'! . .способом.
По формулам (П4.2)-(П4А):
А=Z0(оо) =2; А1=[2(s+ 100)]5""_25. = 150;.
150
Zo= -s+25+2.
В соответствии с полу,1енным разложением Z0 с помощью рис. П4.1 опреде­
JШМ, что двухполюсник может быть выполнен по схеме, показанной на рис. П4 . 6, d;
со следующими элементами:
150
1
R=2МОм;R1= 25
= 6МОм; С1= 150 =0,0667 мкФ.
Полная проводимос!ь двухш)Люсника обратной связи
у __1
_
0,5(s+ 25)
0-Z0-
.
s+100 •
Ищем ~хему и параметры двухполюсника 2~м способом. По формулам (П4.5)
и (П4.6).
В = [ 0,5 (s+25)] =0 125·
о . s+100 ss=O
'
'
В1= [ О,5(s+25) ]
= О,375 ;
S
Ss=-100
у=0125+ 0,375s
0
'
s+100
В соответствии с полученными результатами с помощью рис. П4.2 опреде­
лим второй вариант двухполюсника обратной связи. Его схема показана на
рис. П4.6, б.
•


~~
~ф
~
~:
R1
Rz
о)
о)
R,
~~'
~
~~
~
1
Rz
с,
8) RJ
г)
RJ
R,
Ra
я,
Ro
iJ)
е)
Рис. П4 .7 Возможные схемы RС-двухполюсника прямой цепи к примеру П4 . 1
Здесь
1
Ra= О,125=8МОм;
1
.
R1 = О,375 = 2,67 МОм;
0,375
С1 = --ТОО = 0,00375 мкФ.
Итак, двухполюсник обратной связи можно выполнить по одной их схем,
показанных на рис. П4.6 .'
.
Ищем схему и параметры двухполюсника прямой цепи. Сначала восполь­
зуемся 1-м способом. По формулам (П4 . 2)-(П4.4) определим:
А-Z()-1.А
-=- [ (s+20)(s+200)]
-
47 5·
-
ПОО-
'
l-
S+50
S=-10
-
'
'
А2=·[(s+20) (s_+2oq)]
= 112,5;
s+ [0
S=-50
z =~+~+1
п s+10
s+50
•
По полученному разложению Zп с помощью рис . П4.1, составим схему
двухполюсника (рис. П4.7, а) и определим значения ее элементов :
R
47•5 475МО•С
1
00?11 мкФ·,
1=-тег= '
м'1=47,5='-
R/ "'=: 1~~Б= 2,25 МОм; С2= l/215 ••о;оО89 мкФ; R= 1МОм.
438


Теперь воспользуемся 2-м способом.
Полная проводимость двухполюсника прямой цепи
1
(s+ 10)(s+50)
Уп=Zп = (s+20)(s+ 200)
По формулам (П4.5) и (П4.6)
[ (s+1О)(s+50)
80= (s+ 20)(s+200)] =0,125;
s=O
1
= 12=0,083;
В_[s+10)(s+50)]
l-
S (S + 200) S=-20
В=[(s+10)(s+50)]
= ~= 0,792.
2
s (s+20)
s=-200
24
'
0,083s +
0,792
Уп=О,! 25 + s+20
s+200•
По этому разложению Уп и рис. П4.2 составцм сх ему двухполюсника
(РИС. П4 . 7, 6) и определим значения ее элементов :
1
1
0,08 3
Ro= 0
,
125 =8МОм; R1= о,083 = 12 МGм; С1=20=0,00415мкФ;
R2=О7
1
92 =1,26 МОм; С =О,792=О00396 мкФ.
,
2
200
,
Для получения третьего варианта схемы двухполюсника р а злож и м Zп в не­
прерывную дробь:
Zп = 1 + --------'- -- --- --
0,00625s +
4,20 + --------: - -,-
0,0272s + 2,80
.
Сопоставляя эту непрерывную дробь с фор мулой (П4.8) и рис . П4. 3, а,
составим схему двухполюсника (рис . П4.7, в) по 3-му способу, где R 1 = 1, R2=
= 4,2, Rз = 2,8 Мом, С1 = 0,00625, С2 = 0,0272 мкФ.
Еще одну схему двухполюсника можно получить 4 - м способом, разложив Уп
в непрерывную дробь :
1
Уп~~в+ 1
b,00813s +
1
--
-1-
3,93 1
1
0,00486s + т,6Т
Сопоставляя эту непрерывную дробь с формулой (П4.10) и рис . П4.4, а ,
получим схему, показанную на рис. П4.7, г. Здесь R1 = 8, R2 = 3,93, Rз =
= 1,61 Мом, С1 = 0,00813, С2 = 0,00486 мкФ.
•
Воспользуемся еще 5-м способом. Из разл ожения . Zп на простые дроби ,
найденного ранее, в соответствии с форм ул ой (П4 . 11) выделим од н о слаг ае м·ое ,
н, не А, как в этой формуле, а
Z
47,5 +Z
-п= s+10 -а,
439 .


rде
Z=~+1 ·
а s+50
•
Первое слагаемое полученного выражения есть полное сопротивление (см.
,
,
,-
.
-
,
475
рис. П4.1) параллельного соединения активного сопротивления ·Ri = --ГВ- =
1
= 4,75 МОм и емкости С1 = 47 ,5 = 0,0211 мкФ. Последовательно с этим
полным сопротивлением должен быть включен второй участок с полным сопро-
тивлением Za, Определим полную проводимость второго участка:
•
По 2- му способу ищем RС-схему с полной проводимостью Уа:
s+50 ]
[.$+50]
s + 162,5 . s--o = 0,308; В1_=
J
•
s
s= -162,5
, 112,5
•
= 162,5 = о, 59-2-;-
--
08 - 0;692s
Уа=О,3 + s+162,5
Следовательно, второй участок двухполюсника состоит из двух параллель ~
•
1
ных ветвей. Первая ветвь (см . рис. П4.2) явл-яе'!'G-Я- Gоп-ротивлением R O = 0 308
=
,
= 3,25 МОм, а вторая последо_вательным соединением резистора сопротивле-
1
•
~~
нием R 2 = О, 692 = 1,45 МОм и конденсатора емкостью С 2 = 162
,
5·=
= 0,00426 мкФ.
Схема. -всего : двухполюсника показана на рис. П4 ; 7; д. _
Из .разлqжения Zп на ' простые дроби можно выделить сначала второе сла­
гаемое. Тогда
rде
•••-
112,5
••
Zп= 5+50+Za,
47,5
Za=s+ 1o+I.
Первое слагаемое , полученного выражения есть . полное сопротивление (см.
•
.
-
.
·
-.
-
.
1 12,5
-
рис. П4.1) параллельного соединения ·резистора сопротивлением R 1 ~ °50 = , _
== 2,25 ·_ МОм
и - конденсатора емкостью С1 ~ •1 i;,.~
= ' 0,0089 мкФ ; · Полная
проводимость второго участка
440
1
Уа;=Za
s+!О
s+ 57,5


Ищем RС-схему с У а по 2-му способу:
В0=[ s\ 10
5]
= О,174; В1=[ 5+!О]
= 0,826;
S+ 7,
s=O
s
s=-57,5
•
у=0174+ 0,826s
а'
S +57,5
Второй участок ·двухполюсника состоит из двух параллельных ветвей. Пер-
!
.
вая (см. рис. П4.2) - сопротивление R u = О:Тм = 5, 75 МОм, вторая - со-
.
1.
.
.
0,826
противление R2 = О,826 = 1,21 МОм и емкость С2 = ~ = 0,0144 мкФ.
Схема всего двухполюсника приведена на рис. П4.7, е.
.
Итак, составлено шесть схем, по которым может быть выполнен RС-двух-
полюсник прямой цепи рассматриваемого активного четырехполюсника постоян­
ного тока. Из них может быть выбрана наиболее удобная схема для физической
реализации.
Синтез ненаrруженноrо четырехполюсника
Лестничным RС-четырехплюсником может быть реализована
(с точностью до постоянного множителя) только передаточная
функция
(П4.13)
где М = М (s) и N = N (s), удовлетворяющая следующим усло­
виям:
1) степень числителя не выше степени знаменателя;
2) все полюсы простые, действительные, отрицательные и
отличные от нуля ;
3) все нули действительные и отрицательные, могут быть крат­
_ ные и равные нулю .
При физическом осуществлении RС-четырехполюсника сле­
дует иметь в виду, что его передаточная функция остается неизмен ­
ной (с точностью до постоянного множителя) при увеличении
всех активных · сопротивлений в а раз и одновременном уменьше­
нии всех емкостей также в а раз.
Г-образный четырехполюсник (рис. П4.8) является простейшим
лестничным четырехполюсником. Его передаточная функция при
отсутствии нагрузки
(П4 . 14)
где Z1 = Z1(s) и Z2 = Z 2 (s) - операторные выражения полных
сопротивлений соответственно последовательной и параллельной
ветвей.
441


1'11с. П4.8 . Схема Г-образноrо четырехполюсника
Для того, чтобы Г-образный четырехпо­
люсник имел передаточную функцию (П4.13),
его полные сопротивления должны быть вы­
полнены по равенствам
N-M
М
Z1=
Q иZ2=r[·
(П4 . 15)
Здесь полином Q выбран так, чтобы Z 1 и ,Z 2 удовлетворяли
условиям реали зу емости .
Если Г-образной схемой нельзя реализовать передаточную
функцию (П4.13), то следует выяснить возможность реализации
ее с и з мененным передаточным коэффициентом:
м
W=μN,
(П 4. 16)
где μ = coпst.
В этом случае
N- pM
~tM
Z1 -=
Q иZ2= Q'
(П4.17)
Из ме н ен и е передаточного . коэффициента четырехполюсника
д олж но быть скомпенсировано ус илителем .
Прvмер П4.2. Выбрать схему и параметры элементов Г-образного RС-ч е ­
. тырехпотосника с тем, чтобы при отсутствии нагр уз ки его передаточная функция
В данном случа е
и
lv' =
(0,1 s+ 1)(0,0 125s+ 1)
(0,0j.s + 1) (0,005s + 1)
М = 0,00125s2 + 0,1125s + !;
N = 0,0001s2 + 0,025s + 1
N '-- М = - 0,001 15s2 - 0,0875s.
Следовательно, зада нную передаточную функцию можно реализовать толы: о
•при умен ьшен ном передато чном коэффициенте .
Выбе р ем μ = 0,08 , тогда по формулам (П4.17):
Z.
_
0,0001 s2 + 0,025s + 1- 0,08 (0,00i25s2 + о;1125s + 1)
1-
(J
0,016s + 0,92 0,016 (s + 57,5) .
Q
Q
0,08 (0,00125s2 + О, 1l2fis + 1)
Z2=
Q
0,0001 (s + 10) (s -f- 80)
Q
Выберем Q = 0,001 s (s + 75), при этом
Z _ lб(s+57,5)
1-
s(s+73) '
z~0,I(s-t- _
I0)(s +80)
2-
s(s+75)
·'
и двухполюсники могут быть реализованы RС - схемами .
. 442


Определим схему и параметры элементов двухполюсника Z1 , пол~зуясь
1-м способом. По формулам (П4.2) -(П4.4):
•
•
А=[16(s+57,5)] =184~1227.
0
s+75
s=9
15~
''
А1=[16(s~57,5)]s=- 75
~~ ""3,73;
А=0;
z_12,27+~
1-
s
s+75 •
На основаыии этого разложения и рис. П4.1 составим схему двухполюсника Z 1
(рис . П4.9) и определим значения его элементов:
1
1
С1= 12
,
27 =0,0815 мкФ; С2= 3
,
73 = 0,268 мкФ;
R1 = \~3 = 0,0498 МОм.
О п ределим схему и параметры четырехполюсника Z 2 , также пол ьзуясь 1-м
способом. По формулам (П4 . 2)-( П 4.4).
А =[(s-j-- 10)(s +80)] =-.1_0 _= 1067.
0
10(s+75) s=O
15
'
'
А1= [(s+ 10)У+80)].
= _!_? _ = 0,433;
lvs
s=-75
30
А=, [(s+10)(s+80)] =О,1;
10s (s + 75) s=oo
Z=1,067+0,433+Оl
2
s
s+75
'
•
В соответствии с полученным разложением и рис. П4.1 составим схему двух­
полюсника Z2 (см. рис. П4.9) и оп р еделим значения его элементов:
1
1
С3= 1
,
067 = 0,938 мкФ; С4 = О,433 = 2,31 мкФ;
R2 = о,;:3 =0,00578 МОм; R3 = 0,1 МОм.
Для проверки определим передаточную функ цию синтезированного четы­
рехполюсника:
1
0,938s +--1-
----j--O,I
0,00578 + 2•315
\\;' = ---:-1- -- --- -- -' -- -- -,1------, -- -- --
0,os 15s +
1
+ 0,938s + ---,-----
+ о,1
0,0498 + 0•2685
- 0=-,0~0~5=73=-- + 2•315
0,08 (О,1s + 1) (0,0125s + 1)
(0,02s + 1) (0,005s + 1)
Составленная схема четырехполюсника может оказаться неудобной для
физической реализации . Тогда следует составить и рассмотреть другие ва-
443


z,
''
г------
· Рис. П4 ; 9. · Схема <tетырехполюсни ­
ка к пр.имеру П4.2
~1--с.___.
.рианты , пользуясь ранее изло­
ж енными способами .
L_.._ ,- -- -- --- , ___J
L__ _
1
В общем случае для
построения
лестничного
RС- четырехполюснuка ну­
жно составить
(П4.18)
Здесь N - полином з на­
менателя реализуемой пе­
редаточной функции W,
определяемой равенством
(П4.13); полином Q = Q (s)
выбирают так , чтобы Z удовлетворяло условиям физической реа­
лизуемости . Степень полинома Q должна быть равна степени
полинома N . Полином может содержать нули реализуемой ш;ре­
даточной функции .
Затем нужно реализовать Z так, чтобы кроме полюсов переда­
точной функции W , т. е. нулей Z, были реализованы и нули пе­
редаточной функции W. Вместе с тем полюсы Z, не являющиеся
нулями передаточной функции W , не должны быть реализованы.
Требуемой реализ ации Z достигают путем частичного удаления
его полюсов. При этом нули оставшейся части Z сдвигаются и
можно один из них сделать равным нулю передаточной функции W .
При последующем удалении такого нуля реализуется равный
ему нуль передаточной функции W.
Частичного удаления полюса z·достигают введением в схему
четырехполюсника активного сопротивления R. При этом нули
оставшейся части Z увеличиваются по модулю. Частичного уда ­
ления нулевого полюса достигают введением емкости С и при этом
нули уменьшаются по модулю .
1
'
Значение R или у-- определяют путем подстановки в Z s = р ;,
Р;
.
где Р; _:__ значение того нуля функции W, который намечено полу -
чить в оставшейся части Z.
Среди полюсов Z может ока з аться один из нулей функции 1-17 .
Тогда сначала нужно реализовать этот полюс Z, и затем, действуя
указанным образом , реализовать остальные нули функции W .
Изложенный метод . обеспечивает реализацию передаточной
функции W с точностью до постоянного множителя.
Пример П4.З. Выбрать схему и параметры . лестничного четыре х полю с ник а
так, чтобы при отсутствии . нагру з ки е го передаточная функция
iv_ (0,1s+I)(0,5s+1)
--.
(0,2s+1)(0,4s+1) •
444


!
'!,
1
1
1
1
н~
__::r
а)
---------------- --------
н ....с_,__. . ..
я,
Cz
о)
6)
Рис . П4 . 1 О. Первый вариант реализации nередаточной функции nримера П4.3
Сначала преобра зуем переда точную функцию ·
(s+10)(s+2)
W = ~-~~~~.
1,6(s+5)(s+2,5)
Выберем Q = s (s + 4), тогда по формуле (П4.18)
Z_1,6(s+5)(s+2,5)
-
s(s+4) _
•
Эта функция удовлетворяет условиям реализуемости .
Первым будем реализовать нуль р 1 = -10 передаточной функции W. Опре­
делим, какое сопротивление R 1 нужно включить в схему, чтоб~~ среди нулей Z
оказался нуль, равный -10 :
1,6 (-5) (-7,5)
-
R1 = Z (-10) = (~-!О) (-6) 7' 1 МО1.;1.
Оставшаяся часть
1,6(s2+7,5s+12,5) _ 1==с
s(s+4)
0,6s2 +8s +20
s(s-j -4)
0,6(s+10)(s+10/3)
s(s+4)
Сопротивление R 1 , удаленное из Z; реализуем последовательной ветвью
(рис. П4. 1 0, а).
•
•
Обращаем фун!{цию Za, т. е. определяем соответствую щую ей полную про­
водимость
1
5s(s+4)
--
= Уа = --------
Za
3(s+!О)(s+10/3)
Разлага ем Уа на простые дроби, пользуяс1, формулами (П4.5) и (П4.6):
8_[s(s+4)]
_
s(-6) __ l.
1-
3(s+10/3)-s=-10
-
3(-20/3) - 2 '
[ 5(s+4) ]
5 (2/3)
1.
82=,
3(s+10) s=-10/3 = 3(20/3) =6'
_
~ ...L.
s/6
Уа- s+1О I s+20/3
Реализуем первое слагаемое разложения последовательным соединением
резистора сопротивлением R 2 и конденсатора емкостью _<;:: 1 в соответствии с
рис . П4.2:
•
1
2
R,=-
=- -МОм·
-
В1
3
'
445


Тогда оставшаяся полная проводимость
-
3s/2 -
'
s/5
Уь=Уа- s+ 10 = -s-+-10
_ /_3
и в схеме появляются две параллельные ветви (рис . П4.1 О, 6).
Обращаем функцию Уь, т. е. определяем соответствующее ей полное со­
противление
_yl=Zь=6(s+10/3).
ь
s
Теперь нужно реализовать нуль р 2 = -2 передаточной функции :W- Для
того, чтобы в Zь появился нуль ~ 2, необходимо включить емкость С1 , оп р еде ­
л яемую равенством:
[1]
=Zp(-2)=6~i3)=- 4;
c";,s s=-2
1
С2=8мкФ,
Включим С 2 в виде последовательной ветви и определим оставшуюся часть
полного сопротивления
z_z
-'- _1
__
6(s+10/3)_~=6s+12=6(s+2)
с-ь C2s-
s
s
s
s
Схема показана на рис. П4.10, в.
В заключение обращаем функцию Zc:
1
s/6
z:;=Yc=s+2'
и реализуем эту полную проводимость в соответствии с рис. П4.2 последова­
тельным соединением резистора сопротивлением Rз и конденсатора емкостью С3 :
..
1
Rз=6МОм;-С3=12мкФ.
Оставшаяся полная проводимость равна нулю, что соответствует бесконечно
большому сопротивлению нагрузки на выходе четырехполюсника.
Полная схема четырехполюсника" представлена на рис. П4.10, г.
Для проверки расчета ' составим передаточную функцию четырехполюсника
по схеме, пользуясь формулой No 4 табл. 8. 1:
W=
ZsZ4
(Z1+Z3) (Z2+Z4) --!- Z1Z3
В данном случае
z -R +-1-
_
6+~_6(s+2)
4-:--
3
C3s -
s-
s
•
Подставив значения Z 1 , Z 2, Z 8 , Z4 в выражение, определяющGе iv, и упро'
стив его, получим
446
W_ 0,6(0,1s+ 1)(0,5s+ 1)
-
(0,2s + !) (0,4s + 1)


Рис. П4.11. Второй вариант реализации передаточной фуикции примера П4.3
Следовательно, заданная передаточная функция реализована с точност ь ю
до постоянного мно,кителя, равного 0,6.
Составим второй вариант схемы четырехполюсника. С этой цел ью сначала
р еал изуем нуль -2 функции W и сдвиг нулей Z осуществим включением емко­
сти С 1 . Определим необходимое значение этой емкости:
[ _1_]
=Z(-2) = 1,6 ,3,0,5 =- О,6·
C1s s=-2
(-2),2
'
5
С1=
-
мкФ.
G
Включим С 1 в виде последовательной ветви (рис. П4 . 11, а) и определим оста в•
шееся полное сопротивлr ние
Za=z__1
_
= 1,6(s2 + 7,5s + 12,5) ---°-с =
C1s •
s(s+4)
.
5s
l,Es2 + 10,8s + 15,2
s(s+4)
1,6 (s + 2) (s +4,75)
s(s+4)
Обращаем функцию· z~ :C
Разложим Уа на простые дроби, пользуясь формулами (П4 .5 ) и (П4.6):
[ 5/8(s+4)] •
5/8-2
5
81 = (s+4,75) s=-2 = 2,75= Т!
в.,=[5/8(s+4)]
"
(s+2) s=-4,75
5/8 (- 0,75)
-2,75
у_ 5s/1~+ 15s/88
•а--s+2
s+4,75
15.
= ss·
Р е ализуем первое слагаемое получ ен ного ра з ложения параллельной ветвью ,
. состоящей
из сопротивления R 1 и емкости С 2 (рис. П4.11, 6) . Согласно рис. П4 . 2
11
•
·
5
R1=5 МОмиС2=22мкФ.
О с1 авшуюся часть п олно й пр оводимост и
Уь =Уа..:__ ~ = 15s /88
s+2
s+4,75


обращаем:
_
l_=Zь=88(s+4,75)
Уь
15s
Те_перь реализу ем другой нуль функции W, равный -10 . Определим сопро •
тμвление R 2 , которое обес,печит необходимый сдвиг нуля Zь, и оставшуюся часть Z1,:
R=Z(-l0)=88(-5,25)
77
2
ь_
15 (-10) = 25;
Z_Z
_
R _ 88(s+ 4,75)_!!_
с-ь
2-
15s
25
209(s+ 10)
75s
Полученная схема пр едставлена на
Обращаем функцию Zc:
l
рис. П4.l1, в.
75s
-= Ус
Zc-
209(s+l0)'
и реализуем Ус параллельной ветвью, состоящей из резистора сопротивлением R3
и конденсатора емкостью С3 • Их значения в соответствии с рис. П4.1:
209
75
15
R3= 75МОми С3= 209_!О =4!8мкФ.
Полная проводимость Ус р·еализована полностью. Полная проводимость
другой параллельной ветви равна нулю, т. е. на выходе четырехполюсника
нагрузка с бесконечно большим сопротивлением . Полная схема четырехпо­
люсника показана на рис. П4.11 , г.
Для проверки расчета составим по схеме четырехполюсника его передаточ ­
ную функцию. Полные сопротивления отдельных ветвей имеют следующие зна­
чения:
77
Z2=R2=25;
•
•
1
11
22
11(s+2)
Zз=R1+C2s =5 +5s=
5s
z=R+_1_=209+~=209(s+10)
4
3
C3s
75
15s
75s
Подставив значения Z1, Z 2 , Z3, Z4 в формулу п. 4 табл. 8.1 и сделав упро­
щения, получим
W= 0,76(0,1s+1)(0,5s+ 1)
(0,2s + l) (0,4s + 1)
Составим .еще один вариант схемы четырехполюсника и для этого выберем
полином Q т~к, чтобы он содержал один из нулей функции W:
Тогда
448
·Q=(s+2)(s+4).
Z = l,6(s+5)(s+2,5)
(s -1-2) (s -1-4)
:s:.


о)
8)
Рис. П4.12. Третий вариант реализации передаточной функции примера П4.3
Разложим Z на простые дроби, пользуясь формулами (П4 . 2), (П4.3) и (П4.4):
Ai=[1,6(s+~)(s+2,5)]
=_о_:
S f---4
S=- 2
5
А2=[1,6(s+5)(s+2,5)]
6
S+2
s=-4 = 5'
8,
А= Z (оо) =s,
6
6
Z= 5(s+2)+5(s+4)
Реализуем первый член разложения последовательной ветвью, состоящей
из сопротивления R 1 и емкости С 1 , соединенных параллельно (рис. П4. 12, а).
Их значения в соответствии с рис. П4.1:
6
3
5
R1=5_2=5МОм;С1=бмкФ.
Оставшаяся часть полного сопротивления
6
Za=z- 5(s+2)
6
8 8(s+19/4)
5(s+4)+5= 5(s+4)
Теперь нужно реализовать второй нуль функции W, равный -10. Опреде­
лим, при каком сопротивлении R 2 будет нужный сдвиг нуля Za:
R=Z (-10)= 8(-2l/4) =2_5
. МОм.
2
а
5 (-6)
Оставшееся полное сопротивление
Zь_z
_
R_8(s+19/4)_75=
s+10
-
а2-
5(s+4)
5(s+4) '
схема_ показана на рис. П.4.12, 6.
Обращаем функцию Zь:
_1
_
-
Уь-
..!U~. + 4)
Zь-
-
s+10 '
Разложим Уь на простые дроби, пользуясь формулами (П4.5) и (П4.6) :
Во=[5(~/i)] • = 2; В1=[5(s+4)]
=3;
S
\
S=0
S
s=-10
Яs
Уь=2+ s+10
29 И. м. Макар"в
449


Реализуем Уь двумя параллельными ветвями: одна из резистора сопротив­
лением R 3, другая из резистора сопротивлением R 4 и конденсатора емкостью С 2 .
В · соответствюf 1 с рис. П4.2 ,
'
•
1
1
1
1
В1
з· ..
R3 _=в;= 2 МОм; R4 =в;= 3 МОм; С2 =w~ =wмкФ.
, Пол!:!.ая
пров.одимость Уь реализована полностью и остаток, равный нулю,
соответствует Щ)лной проводимости ·между выходными клеммами четырех ­
полюсника. Схема четырехполюсника дана на рис. П4.12, в.
По схеме четырехполюсника составим. ег.о переда.точную функцию, пользуясь
формулой No 1 табл. 8.1:
•
1
7
7s+20
21== l/R1+C1s +Rz = 5/3+5s/G+5= 5(s+2)
s+10
5(s+4)'
Z2 = ----------
1/Rз + 1;( R4 + ~12s)
2+ 1/3+10/3s
W=
Z2
0,2 (0,1s + 1) (0,5s + 1)
Z1+Z2 = (0,2s+1)(0,4s+1) •
СостаРлены три схемы (см. рис. П4.10, г, . П4.1 1 , г и П4.12, в) четырехполюс­
ника, реализующего (с точностью до постоянного мноiкителя) заданную переда­
точную функцию. Выбирая другие значения полинома Q, TflIOKe изменяя порядок
· реализации нулей функции · W, можно составить еще большое число таких схем.
К:роме того, расчет можно вести не по полному сопротивлению, а по полной
проводимости.
Мостовой четырехполюсник (рис. П4.13) имеет специфические
свойства. В частности, им можно реализовать передаточную функ­
цию с положительными нулями, т. е. получить неминимально­
фазовый элемент.
Передаточнiя функция уравновешенного мостового четырех­
полюсника
W- 21
-
Zz
(П4 19)
:
м-,
Z1+Z2'
•
где Z 1 и Z 2 - операторные выражения полного сопротивления
плеч моста.
Для реализации передатqчной функции W, определяемой · ра­
венством (П4.13), необходимо иметь
и,
450
N-1 -M
N-M
'\
Z1=2QиZ2= -Щ-.f
(П4.20)
Полином Q = Q (s) в этих фор­
мулах нужно выбирать так, чтобы
Z 1 и Z 2 были физически реали­
зуемыми .
Рис. П4. 1 3 . Схема мостового четырехполюсника


Если передаточная функция, • определяемая . равенством
(П4.13), оказывается нереализуемой, то следует выяснить воз"
можность реализации передаточной функции, определяемой ра~
венством Щ4.16).
•В этом · случае следует иметь
Z
N+~LM , z
N-
~tM )
1=
2Q
и2=,
2Q •J
Синтез нагруженного четь1рехполюсника
Во многих случаях источник входного напряжения имее:~: вну- .
треннее сопротивле-ние Rвн, а на выходе четырехполюсника вклю 0
чена нагрузка Rн, (рис. П4.14, а). Эти сопротивления можно счи ­
тать элементами ',{етырехполюсника (рис. П4.14, 6) . Следовательно,
изложенный ранее порядок синтеза четырехполюсника должен
быть дополнен требованием иметь на входе и выходе заданные
сопротивления R011 и Rн· Тогда передаточная функция нагружен­
ного четырехполюсника будет иметь требуемое значение (с точ­
ностью до постоянного множителя).
Нужный результат, т. е. схему четырехполюсника с последо­
вательным сопротивлением R 1 на входе и шунтирующим сопро­
тивлением RI на выходе, можно получить, предъявив соответ­
ствующие требования к Z. Значение Z, определяемое формулой
(П4.18), не должно иметь нулевого полюса и иметь полюс, равный
нулю реализуемой передаточной функции.
Такому требованию удовлетворяет Z в третьем варианте при­
мера П4.3. Полученная при синтезе схема четырехполюсника (см.
рис. П4.12, в) принимает нужный вид, если поменять местами R 2
и цепочку параллельного соединения R 1 и С 1 , а также R3 и це­
почку последовательного соединения R 4 и С 2 . Такое преобразова­
ние схемы не изменит ее передаточной функции .
Пусть четырехполюсник имеет последовательное сопротивле­
ние R 1 на входе и шунтирующее сопротивление RI на выходе.
29*
а)
Рнс. П4.14. Схемы 1-1агруженнD1' О четырехполюсника:
а - д еiiствнт ел ы--1атт; 6
-
эн:внвалентная
6)
451


Если R1 < Rн и R 1 > Rвн• то все сопротивления четырехполюс­
ника ·нужно увеличить в сх = ~: раз и все емкости уменьшить
в сх раз . Тогда на выходе четырехполюсника шунтирующее сопро­
тивление не нужно . Его роль выполняет сопротивление нагрузки,
а последовательное сопротивление на входе четырехполюсника
должно быть равным cxR 1 - Rвн.
Если R1 > Rн и R 1 < Rвн, то все сопротивления следует уве-
личить, а емкости уменьшить в сх = RRвн раз.' При этом на входе
1
•
четырехполюсника последовательное сопрот11вление не нужно.
Его роль выполняет внутреннее сопротивле~!'lе источника вход­
ного напряжения, а шунтирующее сопроти~лr ние на выходе че-
тырехполюсника нужно выполнить равным RRtRR .
н-1


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
.
1. Автоматизация, приборы контроля и регулирования производственных
процессов в нефтяной и нефтехимической промышленности. Книга пятая: Авто­
матическое регулир<JВание. Телемеханика. М., «Недра», 1967, 956 с.
2. Агейкин Д. И., Костина Е. н., Кузнецова ff. Н. Датчики контроля
и регулирования. М . , «Машиностроение», 1965, 928 с .
3. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р. Условия существования областей
устойчивости у одноконтурных систем автоматического регулирования, · содер­
жащих воздействия по производным. - «Прикладная математика и механика»,
1954, No 1, с. 103-122.
4. Алексеев К. Б., Бебенин Г. Г. Управление космическими летательными
аппаратами. М., «Машиностроение», 1974, 343 с.
5. Аранович Б. И., Шамрай Б. В. Электромагнитные устройства авто­
матики. М., «Энергия», 1965, 484 с.
6. Арменский Е. В., Фалк Г. Б Электрические микромашины. М., «Выс­
шая школа», 1968. 213 с.
7. Ахметжанов А. А. Системы передачи угла повышенной точности. М.,
«Энергия», 1966, 272 с.
8. Балакирев В. С. Методы исследования статики и динамики объектов
регулирования и выбора настроек регуляторов. М., изд. Всесоюзного заочного
энергетического института, 1966, 124 с.
9. Балакирев В. С, Дудников Е. Г., Цирлин А. М Экспериментальное
определение динамических х арактеристик промышленных объектов управления.
М., «Энергия», 1967, 232 с.
10. Балашов М. А., Елагин Е. Б., Конев Ю. И. Электронные и полупро­
водниковые устройства систем автоматического управления. М., «Машинострое­
ние», 1966, 440 с.
11 . Барковский В. В., Захаров В. Н., Шаталов А. С. Методы синтеза си­
стем управления. М. , «Машиностроение», 1969, 327 с.
12. Бендриков Г. А., Теодорчик К. Ф. Траектории корней линейных авто­
матических систем. М., « Наука», 1964, 160 с.
13 . Берендс Т. К., Ефремова Т. К., Тагаевская А. А. Элементы и . схемы
пневмоавтоматики. М., «,Машиностроение», 1968, 312 с.
14. Бесекерский В. А., Орлов В. П., Полонская Л. В., Федоров С. М.
Проектирование следящих систем малой мощности. Л., Судпромгиз, 1958, 508 с.
15 . Бесекерский В. А., Востоков С. Б., Цейтлин я. М. Электромехани­
ческие сглаживающие устройства. Л., «Судостроение», 1964, 146 с.
16 . Бесекерский В. А., Фабрикант Е. А. Динамический синтез систем гиро ­
скопической стабилизации. Л., «Судостроение», 1968, 351 с.
17. Бесекерский В. А. Динамический синтез систем автоматического регу-
лирования. М., « Наука », · 1970, 576 с.
.
18. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регули­
рования . Изд. 2-е. М., « Наука », 1972 , 768 с.
453


19. Блох 3. Ш. Переходные процессы в линейных системах автоматичес-
кого регулирования.. М., Физматгиз, 1961, 492 с.
.
20. Боднер В . А. Теория систем управления полетом. М., « Наука», 1964,
698 с.
21. Васильев Д. В., Филиппов Г. С. Основы теории и расчета следящих
систем . М . -Л., Госэнергоиздат, 1959, 428 с .
22 . Васильев Д. В., Чуич В. Г. Системы автоматического управления . М.,
«Высшая школа», 1967, 418 с .
23. Воронов А. А . К приближенному построению кривых переходного про­
цесса по вещественной частотной характеристике. - «Автоматика и телемеха­
ника», т. XIII, 1952, No 6, с. 747-749.
24. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. · Ч. ! . Ли­
нейные системы регулирования одной величины. М.-Л ., «Энергия», 1965 , 396 с.
25. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Ч. 11.
Специальные линейные и нелинейные системы регулирования одной величины.
М.-Л. , «Энергия», 1966, 372 с.
26. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления, Ч. III.
Оптимальные , многосвязанные и адаптивные системы. М . -Л., «Энергия», 1970,
328 с.
27. Ганулич А. к. Электронные моделирующие устройс тва. М.-Л., Гос­
энергоиздат, 1961, 78 с.
28. Голубничий Н . И., Зайцев Г. Ф., Иващенко М. А., Чинаев · п. И. Чу­
маков н. М. Беседы по автоматике. Киев, «Технiка», 1971, 232 с .
29. Государственная система приборов. Унифицированная система пнев­
матических и электрических датчиков теплоэнергетических параметров. М .,
Изд . ЦНИИТЭИ приборостроения , 1970, 76 с.
30. Динамика электромашинных следящих систем . По д ред. Н . М. Якименко.
М., «Энергия», 1967, 408 с.
31. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчис­
лению . М., «Высшая школа», 1965, 466 с.
32. Джеймс Х., Никольс Н., Филлипс Р. Теория следящих систем. Изд. 2 - е.
М., Изд-во иностр. лит ., 1951, 464 с.
33. Дмитриев В. Н . , Городецкий В. Г. Основы пневмоавтоматики . М.,
«Машиностроение», 1973, 360 с.
34. Доrановский С. А., Иванов В . А. Устройства запаздывания и их при­
менение в автоматических системах . М., «Машиностроение», 1966, 280 с.
35. Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых про­
цессов . М . -Л., Госэнергоиздат, 1965, 244 с .
36. Дудников Е. г: Определение коэффициентов qередаточной функции
линейной системы по начальному участку экспериментальной амплитудно -фа­
зовой характеристики. - «Автоматика и телемеханика», т. ХХ, 1959, No 5,
с . 576-582 .
.
,37. Егоров К- В. Основы теории автоматического регулирования. М., «Энер­
гия», 1967, 648 с .
38. Загускин Л. В. Справочник по численны м методам решения уравнений.
М., Физматгиз, 196). 216 с.
39. Зайцев Г. Ф . Синтез следящих систем высокой точности. Киев, «Тех­
нiка», 1971, 202 с.
40. Залманзон л. А. Пневмоника, струйная автоматика, М., «Наука»,
1965, 64 с.
41. Захаров В. К- Электронные элементы автоматики. Л ., «Энергия», 1967,
352 с.
42. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. Изд. 3-е, перераб. и
доп. М., «Машиностроение», 1973, 608 с .
43. Изъюрова r. И. Усилители переменного тока. М ., Изд. Московского
института радиотехники, электроники и автоматики, 1973, 142 с.
44. Каргу Л. И. Системы угловой стабилизации космических аппаратов .
М., «Маши ностроение», 1973, 176 с .
454


45. Кардашев А. А., Карнюшин Л. В. Определение параметров системы
по экспериментальным (заданным) частотным характеристикам. - «Автоматика
и телемеханика», т. XIX, 1958 , No 4, с. 334-345.
_
46. Касьянов А. И. Автоматизация радиопередающих устройств. М., изд.
ВЗЭИсвязи, 1973, 109 с.
47. Каталог «Государствен ная система промышленных приборов и средств
автоматизации». Т. I, вып. I. М., изд. ЦНИИТЭИприборостроения, 1973, 36 с.
48 . Каталог. Комплекс «Спектр». М., изд. ЦНИИТЭИприборостроения ,
1968, 88 с.
49. Каталог «У ниверсальная система элементов промышленной пневмоав­
томатики». М., изд. ЦНИИТЭИприборостроения , 1972, 42 с.
50. Каталог «Унифици рованная система пневматически х и электрических
датчиков теплоэнергетических параметров». М., изд. ЦНИИТЭИприборострое­
ния, 1972, 68 с.
51. Кин г Л. Г. Снижение установившейся динамической ошибки в замкну­
тых следящих системах. - «Прикладн ая механика и машиностроение», 1954,
No2, с. 3-14.
52. Кисельников В. Б., Плоткин А. Г. Системы автоматизации силового
щ,зельноrо привода . Л., «Ма шиностро ение», 1973, 239 с.
53. Клюев А. С. Автоматическое регулирование. Изд. 2-е. М., «Энер гия»,
1973, 391 с.
54. Колесников К, С. Жидкостная ракета как объ'ект регулирования. М.,
«Ма шиностроение », 1969, 298 с.
,_
55. Колосов С. П., Калмыков И. В., Нефедова В. И. Элементы автоматики.
Изд. 3-е. М., «Машиностроение», 1970 , 392 с.
56. Котченко Ф. Ф. Следящие системы автоматических компенсаторов.
М., «Недра», 1965, 322 с.
57. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической
кибернетики. М.-Л., Госэнергои здат , 1962, 600 с.
58. Крассов И. М. Гидравлические элементы в системах управления. Изд. 2 - е,
М., «Машиностроение», 1967, 255 с.
59. Кривоносов А. И. Полупроводниковые датчики температуры. М., «Энер­
гия», 1974, 185 с.
60. Крутов В. И. Автоматическое регулирование двигателей внутреннего
сгорания. Изд. 2-е. М., Машгиз, 1963, 624 с.
61. Крыжановский О. М. Об итерационном методе определения прибли­
женных корней уравнений. - «Автомат ика и телемеханика», т. XI, 1950, No 5,
с. 347-360.
62. Кузовков Н. Т. Теория автоматического регулирования, основанная
на ч астотных методах. М., Оборонгиз, 1960, 446 с.
•
63. Кузовков Н. Т. Динамика систем автоматического управления. М.,
«Ма шиностроение», 1968, 428 с.
64. Кулебакин В. С. Высококачественные инвариантные системы регули­
рования. - В кн.: Теория инвариантности и ее применение в автоматических
устройствах. М., Изд. АН СССР, 1959, с. 11-39.
65. Куропаткин П. В. Теория автоматического управления. М., «Высшая
школа», 19 73, 528 с.
66. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. Изд. 9-е. М., «Наука», 1968, 432 с.
67. Ланцо'ш К. Пр актические методы -прикладного анализа. М., Физмат­
гиз, 1961. 524 с.
68. Лебедев А. А., Карабанов В. А. Динамика систем управления беспи­
лотными летательными аппаратами. М., «Машиностроение», 19 65, 528 с.
69. Лебедев И. В . , Трескунов С. Л., Яковенко В. С. Элементы струйной
автоматики. М., «Машиностроение», 1973, 360 с.
70. Летов А. М. Динамика полета и управление. М., «Наука», 1969, 359 с.
71. Макаров И. М. Аналитическое исследование устойчивости движения
электромеханического преобразующего устройства. - «Автоматика и телеме­
хан ик а», т. XVI II, 1957, No 4, с. 315-323.
_
455


72. - Мака ров
И. М. Электромашинный усилитель с поперею-1ым полем. -
В кн.: Энциклопедия измерений, контроля и автомати з ации. М., Госэнергоиз-
дат, 1962, с. 219-220 .
.
73. Макаров И ; М . , Смирнов Н. А. Пр еобразующие . устройства.
-
В кн.:
Автоматизация производства и промышл енная электроника . .Т. 3. М., «Совет­
ская энциклопедия», 1964, с. 85-86.
74. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциаль­
ных уравнений. М . , «Высшая школа», 1963, 548 с .
75. Мееров М. В . Синтез структур систем автоматического регулирования
высокой точности. М . , Физматгиз, 1959, 284 с.
76. Мелкозеров П . С. Энергетический расчет систе,м автомат ич еского управ­
ления и следящих систем. М., «Энергия», 1968, 304 с .
77. Менский Б. М . .Номограмма
для определения фазы по _ асимптотической
логарифмической амплитудно -ч астотной характеристике . - «Автоматика и теле­
механика», т. XXII, 1961, No 3, с. 400-402 .
78 . Менский Б. М. Принцип инвариантности в автоматическом регулиро­
вании и управлении . М., «Машиностроение», 1972, 248 с.
79 . Миловзоров В . П. Электромагн ип1ая техника . М., «Высшая школа»,
1966, 470 с.
.
,
80. Морозовский В. Т., Синдеев И. М., Рунов к. Д. Системы электроснаб­
жения летательных аппаратов. М., «Машиностроение», 1973, 420 с.
81. Наумов Б. Н. Переходные процессы в линейных системах автомати­
ческого регулирования. М. , Госэнергоиздат, 1960, 224 с.
82. Наумов Б. Н. Косвенные методы анализа и синтеза качества л ин ейных
систем автоматического управления . М., и зд. Всесоюзного заочного энергети­
ческого института, 1967, 172 с.
83. Оппельт В. Основы т е хники автоматического регулирован и я. М. - Л.,
Госэнергоиздат, 1960, 606 с.
84. Основы автоматического регу J1ирования. Теория. Под ред . В. В. Со­
лодовникова . М., Машгиз , 1954, 1118 с.
85. Основы автоматического регулирования . Под ред . В. В. Солодовн и­
кова. Т . II, ч. 2. Корректирующие элементы и элементы вычислительных маши н .
М., Машгиз, 1959, 454 с.
86 . Основы автоматического управления . Под ред. В. С . Пугачева. Изд . 2-е .
М., «Наука», 1968, 679 с.
•
87. Основы автоматического управления. Под ред. В. С. Пугачева. Изд. 3 - е.
М., «Наука», 1974, 720 с.
88. Панасенко В. Д. Элементы автоматических устройств и вычисл и тель­
ной техники. М . , Оборонгиз, 1962, 300 с.
89. Печорина И. Н . Расчет систем автоматического у п равления. Справоч ­
ное пособие. Москва-Свердловск , Машгиз, 1962, 11 2 с:
90. Плетнев Г. П. Автоматическое регулирование и защита теплоэнерrе­
тических установок электрических станций. М., «Энергия», 1970, 408 с .
.
91. Попов Е. П. Автоматическое регулирование. Основные понятия : М.,
Гостехиздат, 1956, 296 с .
92. Приборы для измерения и регулирования температуры. Номенклатур­
ный справочник. М., изд. ЦНИИТЭИприборостроения, 1973 , 164 с.
93. Рабинович Л . В., Петров Б. И., Терсков В. Г. Проектирование сле­
дящих систем. М., «Машиностроение», 1969, 499 с.
94. Расчет автоматических систем. Под ред. А. В. Фатеева. М., «Высшая
школа», 1973, 336 с.
95. Регуляторы прямого действия, датчики-реле, механизмы исполнитель­
ные. М., изд. ЦНИИТЭИприfiоростроения, 1973, 208 с. (Номенклатурный спра ­
вочник).
96. ·
Розенблат М. А. Магнитные элементы автоматики , вычислительной
техники. М., «Наука» , 1966, 716 с.
97. Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем
регулирования. М .- Л., «Энергия», 1973, 440 с.
98. Рудаков В. В. Электромашинные усилители в системах автоматики.
М.-Л. , Госэнергоиздат, 1961, 376 с.
456


99. Рязанов ·· Ю. -- А. Прое·ктиро·вание · ·систем - автомап1чес:коrо рег-улирощшия.
М., «Ма шиностроение» , 1968, 360 с.
•
.
100. (;анко11сю_1й _ Е . . А. Вопросы теории · автоматического управления. М.,
«Высшая школа», 1971, 231 с .
•
.
.
.
.
101, Сеrал Б. И, ; Семендяев 1(. А .. Пятизначные_ 111атеr,щтические та.блицы.
М., Изд - во АН СССР, 1950, 464 с.
.
.
.
.
)02., Симою М- П Опр ед~ление коэффициентов переда:го.чньtх функций лине­
аризованных звеньев и систем регулирования . -: - «Автомати_ка и т~J!ем_е;,цщика»,
т, X.VIII, 1957, No 6, с. 514-528.
..
..
..
_
:..
.
.
.
!03 . Симою М. П. Определение передаточных фу1щц_иi\ _по !Jре_менным харак- .
теристикам ли11е1!р:11зованных систем. -,- «Пр_ иборострqе1ще»,
.1958, J'{~ 3, с. 8-:-11.
104 . Скаржепа В. Л., Морозов А_. А. Устрой<::тв_а_ автоматик. и на тиристорах,
Киев, «.Т~хнiка», 1974, 224 с .
.
.
•
•
• 105. Слободкиц М. G., Смирнов п. Ф., l(азинер Ю. А Исполнительные
устройства регуляторов. М., «Недра», 1972, 304 с. . .
• 106. Солодовников В. · В. Анализ устойч_иl)ОПИ и качества с4едяЩJ1Х . систем
по их амплитудно-фазовым ха рактеристикам. - «Известия АН СССР. Отделение _
технических наук», 1949, No 4, с. 473-491.
107. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем авто­
матического управленl!я. М., Физматгиз, 1960, 656 с.
108. Сотсков Б. С. Основы расчета и проектирования электромеханических
сэлементов автоматических и телемеханических устройств. М.-Л., «Энергия»,
1965, 576 с.
109. Сотсков Б. С. Тенденции и перспективы развития основ построения
ГСП. - «Приборы и системы управления», 1972, No 8, с. 1-7.
110 . Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования
и управления. Под ред . Е. А. Санковскоrо. Минск, «В ышэйшая школа», 1973,
584 с.
111. Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и транзисторных схем.
М.-Л . , «Энерг ия», 1967, 616 с.
112. Стрелков С. П. К общей теории линейных усилителей .
-
«Автоматика
и телемеханика», ч. 1, т. IX, 1948, No 3, с. 233-244; ч. 11, т. Х, 1949, No 4,
с. 274-289.
113. Теория автоматического регулирования. Кн. 1. Математическое опи­
сание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования.
Под ред. д-ра техн . наук проф. В. В. Солодовникова. М., «Ма шиностроение»,
1967, 768 с. (Серия инженерных монографий «Техни ческая кибернетика»).
114. Теория автоматического регулирования. Кн. 2. Анализ и синтез линей­
ных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования. Под
ред. д- ра техн. наук проф. В. В. Солодовникова . М., «Маши ностроение», 1967 ,
680 с.
115. Теория автоматического регулирования. Кн. 3 . Теория нестационар­
ных, нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулиро­
вания. Под ред . д-ра техн. наук проф. В. В . Солодовникова. М., «Ма шинострое­
ние», ч. 1, 1969, 608 с; ч. 11, 1969, 368 с.
116 . Техника проектирования систем автоматизации. Под ред. Л. И. Ши­
петина, М., «Машиностроение», 1966, 704 с.
117 . Удерман Э. Г. Метод корневого годографа в теории автоматических
систем. М., «Наука», 1972 , 448 с.
118. Урманов А. С. Основы моделирования на АВМ. М., «Наука», 1974,
320 с.
'
119 . Фатеев А . В. Основы л инейной теории автоматического регулирова •
ния. М.-Л., Го сэнер гоиздат, 1954 , 296 с.
120. Фролов Л. Б. Измерение крутящего момента. М., «Энергия », 1967, 120 с.
121 . Хохлов В. А. Электрогидравлический следящий привод. М., «Наука»,
1964, 200 с.
122 . Честнат Г., Майер Р. Проектирование и расчет следящих систем и
систем регулирования, ч. 1. М .-Л ., Энергоиздат, 1959, 488 с.
123 . Шаталов А . С. Структурные методы в теории управлени я и электро­
автоматике. М., Энерrоиздат, 1962, 408 с.
457


.....
124. Шаталов А. С. Обобщенные методы исследования непрерывных ли­
нейных систем автоматического управления. - В кн.: Современные методы
проектирования систем автоматического управления. М., «Машиностроение»,
1967, с. 265-286.
125. :Шаталов А. С., Топчеев Ю. И., l(ондратьев В. С. Летательные аппа­
раты как объекты управления. М., «Машиностроение», 1972, 239 с.
126. Шевяков А. А. Автоматика авиационных и ракетных силовых уста­
новок. М., «Машиностроение», 1965, 548 с.
127. Шеrал Г. Л. Электрические исполнительные механизмы. М.-Л.,
Госэнергоиздат, 1961, 98 с.
128. Шишкин О. П., Парфенов А. н. Основы автоматики и автоматизация
производствен~ых процессов. М., «Недра», 1973, 408 ' с.
.
129 . Штейнберr Ш. Е., Хвилевицкий Л. О., Ястребенецкий М. А. Про­
мышленные автоматические регуляторы. М., «Энергия», 1973, 586 с.
130. Яворский В. Н. и др. Проектирование инвариантных следящих при­
водов. М . , «Высшая школа», 1963, 476 с .
~-
цщс___;


ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитудно-фазовая характеристика
. 38, 162, 201
Амплитудно - частотная. характеристи-
ка 37
•
-
логарифмическая (ЛАЧХ) • 39,
174, 190
-
-
асимптотическая 175
-
-
типовая 372
Антивибратор 321, 337
Асимптота 39
Астатизм 248, 298
Вещественная частотная характери­
.
стика 38, 197
-
аппроксимированная 156
-
, связь
с переходной характери -
..
стикой 150
Внешние воздействия типовые 34
Воспроизведение детерминированного
задающего воздействия 303
Временные характеристики 34
-
типовых динамических звеньев 44
Время
•
•
-
регулирования 259
-
чистого запаздывания 317
Вышнеградского диаграмма 279
Годограф
-
корневой 283
-
Михайлова 215
Государственная система промышлен­
.
ных приборов и средств автомати-
зации (ГСП) 14
Гурвица критерий устойчивости 21 О
Датчики 19
Декада 39
Дельта-функция 35
Демпфирование 292, 304
Децибелы 39 •
Динамическое звено 31
-
типовое 41
-
-
характеристики
-
-
-
временные 44
-
-
-
частотные 47
Дифференциальная (балансная) . цепь
338
Дифференциальное уравнение 26
-
решение операционным методом 112
Дифференцирующий трансформатор
340
Д- разбиение 238
плоскости двух параметров 240
-
плоскости одного параметра 238
Импульсная функция 35
Интегральные оценки 268
Интерполяционный метод 775
Качества . показатели 247, 258, 260, 275
Колебательность 277
Корректирующие устройства 310.
Коррекция задающего воздейстщ1я 30 1
Коэффициенты
-
ошибки 249
--, вычисление 250, 254
-
передаточные
--, граничное
значение 236
--, разомкнутой САР 347
-
статизма 248
Критерий устойчи13ости 208
-
Гурвица 210
-
Михайлова 214
459


Найквиста 217
Рауса 211
Линеаризация 24
Мезона формула 108
Метод
вещественных частотных характе ­
ристик 150
интерполяционный 75
корневых годографов 283-286
площадей 70
скользящего среднего 67
спектральных преобразований 16_0
четвертых разностей 68
Михайлова
-
годограф 215
-
критерий устойчивости · 2:14
Мнимая частотная · характер_истика 38
Найквиста критёрий . ус,ойчивости . 217
Номограмма замыка:JJяя .-191, .195
Обратнаil свя.зь 55, 63
Объек-r регулирования 21
Октава 39
Определители 429
Перевод натуральных чисел 184
Передаточная функция -29.
-, определение по экспериментальным
данным 67
-
САР 76
- -, определение 76, 84, 91, 108
--
относительно возмущения 78
--
относительно задающего воздей-
, ствия -78
--
относительно ошибки 78
--
разомкнутой 7.7
~ · частотная 37
-
эквивалентная
--
корректирующих устройств 312
--
типовых динамических звеньев
---
с обратными связями 56
---
соединенных параллельно 64
Перерегулирование 258
Переходная характеристиlfа 34
построение 150, . 156 •
-, связь
с веществеiiной . частотной
характеристикой : 150 .
460
Переходный процесс
-
, составляющие 113
Переходов АФЧХ правило 223
Подвижной полосы метод 256
Показатель колебательности 264
Поправки к амплитудно-частотной ха -
рактеристике 176, 178
Преобразование Лапласа 410
-
дифференциального уравнения 29
-
обратное 412
оригиналы дробно-рациональных
изображений 116
разложение изображени'й на про ­
стые дроби 115
Принцип
обратной связи 9
-
суперпозиции 27
Разложение полинома на множители
_ 414, 424
Рауса таблица 212
Сглаживание экспериментальной кри-
вой 67
Серводвигатель 21
Синтез
-
двухполюсника 432
-
САР по отклонению 345
методом ЛАЧХ 367; 377
методом . стандартных • коэффици­
ентов 355; 360
--
по критерию сближения 406
по минимуму интегральной оцен-.
ки 353
•
с помощью корневого годографа
363
•
с помощью 1;1астотных критериев
к·ачества 388, 394, 398
упрощенными методами 363
-
четырехполюсника
Г-образного 441
лестничного 444
--
мостового 450
--
нагруженного 451
Системы автоматического регулирова­
ния (САР) 7
-
каскадные 293
- , классификация 12
нониусные 293
-' - - с большим передаточным
коэффи­
циентом 296
-
с компаундирующими связями 313
Соединение звеньев
параллельное 55, 64
последовательное 54
-
типовое 54


Статизма коэффициент 248
Статическая точность 247, 295
Структурная схема 30
-, преобразование в одноконтурную
96, 106
-
САР с местными обратными свя-
зями 85
-
сложных объектов 81
Структурные преобразования 91, 92
Ступенчатая функция, единичная 34
Таблица h-функций 152
Тахогенератор 341
Тахометрический мост 342
Униф1щированные сигналы 17
Упредители линейньrе 318
Усилители 20
Устойчивость линейной системы 207
влияние малых параметров 232
граница 207
з апас 230
, критерий 208, 210
--
Гурвица 210
--
Михайлова 214
--
Найквиста 217
--
Рауса 211
, область 235
-, условия 206
Фij~овая частотная характерист.ика .37,
186
Характеристическое уравнение 206
-
«вырожденное» 232, 296
-
смещенное 277
Хевисайда теоремы 412
Частотные характеристики 36, 38
-
амплитудные 37
--
логарифмические 39, 174, 190
-
амплитудно-фазовые 38, 162, 201
-
вещественные 39, 196
-
замкнутой и разомкнутой САР 169
-
логарифмические 39, 174, 190
--
замкнутой и разомкнутой САР
190
--
для минимально-фазовой системы
186
•
-
мнимая 38
-
фазовая 37, 186
--
логарифмическая 39, 174, 186,
• 190
Четырехполюсники
-
пассивные постоянного Т(Щ;} 319
:-: - . диффер енцир ующие 322-328
--
интегрирующие 328-331
--
интегрощ1фференцирующце :331-
336
--
фазосдвигающl-!е З.3,6, . 337
Элементы
исполнительные 21
-
сравнения, суммирования · и · ра з­
ветвления сигналов 20
чувствительные 19


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Гл а в а r: Общие ·сведения .
1. 1 . Принципы автоматического регулирования
.
1.2. Некоторые . основные · понятия теории а•втоматического регули-
-- • рования
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1.з1. . Унифицированные си стемы элементов
1.-4.. - Краткие сведения об . элементах САР
Г л а в а 2. Математическое описание элементов и систем
.
2.1 . Линеаризация статических характеристик и дифферен циальных
уравнений ....... ...... .......... .
2.2. Линейные дифференциальные уравнен и я с постоянными коэф -
фициентами.............
2.3. Лередатрчные функции · и структурные схемы
.
2.4 . Временные хар ·актеристики
.
.
.
.
.
2.5. Частотньrе ·. характеристики
.
.
...
.
2.6. Типовые динамические звенья
_
2.7. Типовые соединения динамических звеньев
.. ....
..
.
2.8. Определение передаточных функций элементов по эксперимен-
тальнымданным...............
Г л а в а 3. Определение передаточных функций систем
.
3.1 . Передаточные функции САР
3.2 . Структурные преобразования
3.3 . Применение теории графов
Г л а в а 4. Определение временных характеристик
4.1 . Решение дифференциальных уравнений операционным мето-
дом
....................
.
4.2 . Метод вещественных частотных характеристик
.
.
.
.
Г л а в а 5. Определение и построение частотных характеристик
.
462
5.1. Построение амплитудно - фазовой частотной характеристики ра­
зомкнутойСАР......................
5.2 . Связь между частотными характеристиками замкнутой и ра­
зомкнутойСАР......................
5. 3 . Построение логарифмических частотных характеристик разомк­
нутойодноконтурнойСАР.................
3
5
;6
10
14
17
r
23
24
26
29
33
36
,41
54
67
76
76
91
108
111
112
1No
161
162
169
174


5.4 . Связь между логарифмическйми частотными характеристиками
системыминимально-фазовоготипа.............
5.5. Связь между логарифмическими частотными характеристиками
замкнутой и разомкнутой САР
.
.
.
..
.
..
.
.
..
.
.
.
5.6. Определение вещественной частотной характер .истики замкну-
той САР . ........ .. . ............. .
5.7. Определение амплитудно-фазовой частотной · характер истики
по экспериментальной переходной характеристике . . .. .. . ..
~ Г л а в а 6. Проверка устойчивости
.
.
.
.
6.1. Условие и критерии устойчивости
6.2. Критерий устойчивости • Гурвица
.
6.3. Критерий устойчивости Рауса
6.4. Критерий устойчивости Михайлова
6.5. Критерий устойчивости Найквиста
6.6 . Определение устойчивости по логарифмическим частотным
характеристикам
.
.
.
.
.
.
6. 7 . Определение устойчивости систем с запаздыванием
.
6.8 . Запас устойчивости
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6.9. Влияние малых параметров на устойчивость . , .
6.10. Выделение областей устойчивости
.
6.11. Структурная неустойчивость
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Гл а в а 7. Оценка качества регулирования
7 .1 . Статическая точность
.
.
.
.
.
.
7.2. Коэффициенты ошибок
.
7.3. Показатели качества переходной характеристики
.
7.4 . Оценки качества переходной характеристики по вещественной
частотной характеристике
7.5. Показатель колебательности
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.6. Интегральные оценки
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.7 . Оценка качества переходной характеристики по расположению
нулей и полюсов передаточной функции .
7.8 . Метод корневых годографов
.
•..... ..... .
Г л а в а 8. Методы и средства стабилизации и повыщения качества
регулирования . . ,
.
.
.
..
.
,,. .
8. 1 . Повышение статической точности
8.2. Обеспечение устойчивости и увеличение за паса ус тойчивос ти
8.3. Корректирующие устройства
..
.
..
.
.,
.
.
.
.
.
..
,.
8.4. Компаундирующие связи
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8.5. Компенсация влияния чистого з апаздывания объекта
.
.
8.6. Преобразовательные элементы
'1"
•....,..
Г л а в а 9. Методы синтеза систем регулирования по отклонению
.
9.1. Выбор параметров по з;щанной точности
.
•........
9.2. Выбор парам етров по м инимуму интегральной q це нки • . ••
.
9.3 . Метод стандартных коэффициентов , (стандартных переходных
характеристик).......................
9.4. Использование корневых годографов
.
.
.
.
.
.
.
.
._,
.
,.
9.5. _.Метод _ лоr.арифми.чески.х.
амплитудно , ч астогв ых характер истик
9.6 . Синтез на основе частотных критериев · качества · ;
.
,....
9.7 . С инте з САР сравнением передаточных функiщй и по крi:перию
сближения . . . :.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
186
190
.YQ
196
201
205
'206
w
211
214
- 1lL
224
228
230
232
235
245
247
247
249
258
260
264
268
275
283
292
295
304
310
313
317
319
345
:. 1.! 346
353
355
363
367.
388
401
463


П р и л о ж е н и е 1. Преобразование Лапласа и элементы операцион- .
ноrо.исчисления... ............ 410
П р и л о ж е н и е . 2 . .Разложение полиномов с вещественными коэффи­
циентами на множители
414
Пр иль же I-i и е · 3. Краткие · сведения · об · определителях
.
.
.
.
.
.
429
П р и л о ж е н и е · 4. Синтез пассивных двухполюсников и четырехпо-
люсников
Список ли'Гературы
Г!редметньiй указ атель
I
ИБNo233
· Игорь · Михайлови•t · Макаров ,
Борис Михайлович Менский
ЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Реда,пор изд ательства инж. З . С . Баранова
• • Технический . редактор А . и. Захарова
Корректор Н . И . Шарунина
Переплет художника Е. В. Бекетова
Сдано в набор · 29 / VII • 1975 г. Подписано к печати 24/111 1977 г .
Формат 6Ох901/, , . Бумага типографская No 1 .
Усл . печ. ·л. 29,0 . Уч.-изд. л. 30,3.
Тираж S000 .эк.з. . Зак.аз. Н74. Цена l р.42 к.
Т-02172 .
Издательство «МаniиliострЬение», 107885, ГСП , Москва, 1-й Басманный пер., J
.
Ленинградская типография No 6 Союзполнграфпрома .
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
·1931 44,- Леи ·нн·град; С-144,- ул. · Моисеенио ,- 10.
431
453
459
j