*ь
"X
Уъ т&.

И.М.МАКАРОВ, Б.М.МЕНСКИЙ
АИНЕЙНЫЕ
АВТОМАТИЧЕСКИЕ
СИСТЕМЫ
(элементы теории, методы расчета
и справочный материал)
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
МОСКВА « МАШИНОСТРОЕНИЕ » 1982

ББК 32.965.4
М15
УДК 62-50 (075)
Рецензент член-кор. АН СССР С. В. Емельянов
Макаров И. М., [Менский Б. М.
М15 Линейные автоматические системы (элементы теории,
методы расчета и справочный материал). — 2-е изд.,
перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1982. — 504 с,
ил.
В пер.: 1 р. 50 к.
Учебное пособие содержит краткие сведения из теории непрерывных
линейных систем автоматического регулирования и обширный справочный
материал для их анализа и синтеза. Основное внимание уделено стационарным
системам при детерминированных внешних воздействиях. Приведено Много
примеров расчета. Пособие предназначено для студентов машиностроительных
н политехнических вузов, а также может быть использовано
инженерно-техническими работниками при проектировании автоматических систем.
м 2404000000-046 яв оп ББК 32.965.4
М 038(01)-82 46"82 6Ф6.5
ИБ № 2998
Игорь Михайлович Макаров, Борис Михайлович Менский
ЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Редактор 3. С. Баранова Художественный редактор С. С. ВЪдчиц
Технический редактор А. И. Захарова Корректоры: О. Е. Мишина, Н. Г. Богомолова
Оформление художника Е. В. Бекетова
Сданб в набор 12.05.81. Подписано в печать 06.11.81 Т-23697. Формат 60X907ia-
Л Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 31,5. Уч.-изд. л. 33,2. Тираж 13000 экз. Заказ 565. Цена 1 р. 50 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Машиностроение», 107076, Москва,
Стромынский пер., д. 4
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой
Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
193144, г. Ленинград, ул. Моисеенко, 10.
© Издательство «Машиностроение», 1977 г.
© Издательство «Машиностроение», 1982 г., с изменениями.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В Основных направлениях экономического и социального
развития СССР на 1981—1985 гг. и на период до 1990 г.
указывается, что главная задача одиннадцатой пятилетки состоит
в обеспечении дальнейшего роста благосостояния советских людей
на основе устойчивого поступательного развития народного
хозяйства, ускорения научно-технического прогресса и перевода
экономики на интенсивный путь развития, более рационального
использования производственного потенциала страны, всемерной
экономии всех видов ресурсов и улучшения качества работы.
При интенсификации промышленности возникают проблемы
резкого сокращения доли ручного труда, развития комплексной
механизации и автоматизации производства. Вследствие этого
специалисты самых различных профилей будут все чаще
сталкиваться с необходимостью использования в своей научной и
практической деятельности теории и методов проектирования,
создания и эксплуатации систем автоматического регулирования и
управления.
Современные учебные программы вузов учитывают эту
необходимость. Вопросы автоматического регулирования и управления
рассматриваются как самостоятельные дисциплины, а также при
изучении соответствующих отраслей техники. Анализ и синтез
автоматических систем — неотъемлемая часть тематики
курсового и дипломного проектирования.
Быстрые темпы роста производства, использование более
совершенной техники и технологии, автоматизация научного
эксперимента требуют от многих специалистов знаний в области
автоматики. Прежде всего это необходимо инженерам, которые не имеют
специального образования в области автоматики, и специалистам,
которые ранее не соприкасались с автоматическими приборами,
автоматическими системами и методами их расчета.
В пособии наиболее полно изложены основные сведения о
стационарных непрерывных линейных системах автоматического
регулирования, которые используют также при анализе и синтезе
систем других классов, в частности дискретных систем.
1*
3

Авторы стремились изложить материал в наиболее удобной
для читателя форме. Общие концепции теории приводятся без
доказательства. Используемый математический аппарат дан в
соответствующих разделах пособия и в приложениях.
Основное внимание авторы уделяют различным методам расчета
и справочному материалу. Для решения одной и той же задачи
указано, как правило, несколько применяемых на практике
методов, что позволяет в зависимости от конкретных условий
использовать наиболее удобный. Кроме того, владение различными
методами расчета позволяет быстро проверить полученные
результаты.
Примеры расчета, приведенные в пособии, носят достаточно
общий характер и помогут читателю при анализе и синтезе систем
автоматического регулирования, применяемых в различных
отраслях техники. Расчеты выполнены для гипотетических систем
регулирования невысокого порядка вместо упрощенного анализа
и синтеза конкретных систем. Последнее, по мнению авторов,
может создать у читателей неполное представление об инженерных
расчетах, для которых кроме материала, изложенного в данном
пособии, необходимы еще знания соответствующей отрасли
техники.
Все приведенные методы расчета позволяют решать задачи
с использованием электронной вычислительной техники. Однако
программы расчета на цифровых ЭВМ не приведены; простейшие
программы имеются в библиотеке подпрограмм каждого
вычислительного центра.
Для компактности формул и их большей наглядности
аргументы часто встречающихся функций не указываются. Поэтому
читателю следует прежде всего ознакомиться с принятыми
основными обозначениями.
При написании пособия был использован многолетний опыт
работы авторов со студентами-дипломниками, а также с
инженерами, повышающими квалификацию во ВЗЭИ и МИРЭА.
По сравнению с первым изданием, вышедшим в 1977 г., второе
издание пособия дополнено гл. 10 и пп. 3.4, 5.6, 6.11, 7.9 и 9.7;
увеличено число примеров расчета и внесены изменения и
дополнения в текст остальных параграфов.
Авторы с благодарностью примут все замечания и пожелания
по содержанию книги, которые следует направлять в адрес
издательства.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Все обозначения, кроме перечисленных ниже, пояснены в тексте, где они
упоминаются впервые.
Постоянные
а, Ь, с, а, р\ у, Я, В, С;
0<С<1;
k — передаточный коэффициент;
Т, т — постоянные времени;
О < | < 1 — коэффициент демпфирования;
S — коэффициент статизма;
С{ — коэффициент ошибки;
tp — время регулирования;
а — перерегулирование;
у — запас устойчивости по фазе (избыток фазы);
ft — запас устойчивости по модулю;
/ — интегральная оценка.
Целочисленные постоянные
п, т, I, v, ц.
Функции времени и их изображения по Лапласу
(s= с+/ш; /= /=1);
1 (t) — единичная ступенчатая функция;
в (0 — дельта-функция;
8 = S 16 — задающее воздействие, G= Q (s);
f=f(t)— возмущение, F = F (s);
x = x (t) — рассогласование (ошибка), X = X (s);
У = У (6 — регулируемая величина, Y = Y (s);
г = г (t) — регулирующее воздействие, 2 = Z (s);
у0 = у0 it) — сигнал основной обратной связи, У0 = У о (s)>
ft = ft (t) — переходная характеристика, Н = Н (s);
W = W (С) — импульсная характеристика;
и/ = и, (0.
У1 = </>(0 — сигналы, U[ = U[ (s), Yt = Yt (s).
Дифференциальные операторы
p = -rj— оператор дифферен цирования )
R = R(P), Q = Q(P), D = D(P).

Полиномы от s
Я = R(s), Q= Q(s); D = D (s).
Передаточные функции
W — W (s) — разомкнутой CAP;
Wo = Wg (s) — замкнутой CAP относительно задающего воздействия
w/ = Wf(s) — замкнутой CAP относительно возмущения;
Wx— Wx (s) — замкнутой CAP для ошибки слежения;
Wi = W[(s) — участка цепи.
Частотные передаточные функции
Wi =TP, (уШ).
Частотные характеристики
А — A (w) — амплитудная;
я|з = г|з (ш) — фазовая;
L = L (со) — логарифмическая амплитудная;
U = U (ш) — вещественная;
К = К (ю) — мнимая;
jW = М (со) — амплитудная замкнутой САР;
8 = 6 (w) — фазовая замкнутой САР;
Л = Л (со) — логарифмическая амплитудная замкнутой САР;
Р — Р (со) — вещественная замкнутой САР;
N -= N (со) — мнимая замкнутой САР.
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
САР — система автоматического регулирования;
АФЧХ — амплитудно-фазовая частотная характеристика;
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика;
ЛЧХ — логарифмическая частотная характеристика;
ЛАЧХ — логарифмическая амплитудно-частотная характеристика;
ФЧХ — фазово-частотная характеристика;
ЛФЧХ — логарифмическая фазово-частотная характеристика.

Глава 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Современные технические устройства чрезвычайно
многообразны. Они предназначены для решения всевозможныхл задач
различными методами. Причем при конструировании каждого
устройства предусматривается возможность воздействия на его
работу для получения оптимальных результатов.
Например, при работе токарного станка необходимо
предусмотреть возможность изменения подачи резца и скорости
перемещения детали. При движении автомобиля совершенно
необходимо изменение скорости и направления.
Таким образом, воздействия необходимы прежде всего для
сокращения затрат времени, материалов, энергии и т. п. Обычно
каждое техническое устройство создается не для решения одной
строго определенной задачи, а рассчитано на ряд иногда
значительно различающихся между собой задач. Так, токарный станок
позволяет обрабатывать различные детали и автомобиль может
двигаться по самым разнообразным маршрутам и с различными
скоростями. Наконец, на каждое техническое устройство влияют
различные внешние факторы. В приведенных ранее примерах
такими факторами являются качество обрабатываемого металла
и рельеф пути следования автомобиля. Поэтому, если при любом
вероятном сочетании внешних условий мы хотим получить любой
из возможных результатов работы технического устройства, в его
поведении нужно что-то изменять или в некоторые моменты
времени, или даже непрерывно, т. е. осуществлять управление.
И все операции, позволяющие нужным образом изменять
поведение технических устройств, называются операциями управления.
В настоящее время еще во многих технических устройствах
функции управления остаются за человеком. Именно он решает,
как и когда менять действие устройства, чтобы получить желаемый
эффект, и выполняет операции управления. Однако увеличение
мощности и быстродействия машин и механизмов, повышение
требований к точности различных процессов и появление новых,
более сложных процессов приводят к тому, что человек становится
7

не в состоянии управлять ими с необходимой быстротой и
точностью. Таким образом, в ходе технического прогресса возникла
потребность исключить человека из операций управления для
более совершенного их выполнения.
Устройство, выполняющее операции управления без
непосредственного и непрерывного участия человека, называется
автоматическим управляющим устройством. Замена человека в процессе
управления действием автоматических управляющих устройств
называется автоматизацией.
Автоматизация облегчает труд человека (не только
физический, но и умственный), ведет к значительному повышению
производительности машин и механизмов, улучшает качество
выпускаемой продукции и расширяет возможности человеческого
общества. Для каждого очевидно, например, что полеты космических
кораблей и действие атомных электростанций невозможны при
ручном управлении.
Роль автоматизации весьма велика не только в техническом,
но и в социальном прогрессе. В Программе КПСС сказано, что
автоматизация и комплексная механизация служат материальной
основой для постепенного перерастания социалистического труда
в труд коммунистический
1.1. ПРИНЦИПЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Постараемся уточнить, в чем заключается задача управления.
Прежде всего, если речь идет об управлении, то имеется объект
управления (управляемый объект), т. е. некий механизм, агрегат
или устройство, некий технологический, энергетический или
транспортный процесс, желаемое поведение или протекание
которого должно быть обеспечено.
Поведение объекта управления, результат его действия
определяются некоторыми показателями. Чаще всего ими являются
значения каких-то физических величин, которые называют
выходными величинами объекта управления. Чем сложнее объект
тем большее число показателей характеризует его действие и тем
труднее следить за всей их совокупностью. Поэтому к выходным
величинам относят лишь наиболее важные для оценки поведения
объекта и его практического использования.
В реальных условиях на каждое техническое устройство,
на каждый технический процесс многочисленные воздействия
оказывает внешняя среда. Все эти воздействия практически
невозможно учесть, поэтому в поле зрения оставляют лишь те,
которые оказывают наибольшее влияние на выходные величины,
и называют их входными воздействиями.
Изменения во времени входных воздействий и выходных
величин объекта управления характеризуют его поведение, его
действие.
Входные воздействия, с точки зрения их влияния на действие
объекта, на его выходные величины, разделяются на две прин-
8

Возмущения
1 1 1
Рнс. 1.1. Схематическое изобра- __».
жение объекта управления УпрйВмЯЮ!ЦИВ_^
боэдвйстбия „
ципиально отличные группы. Некоторые из входных воздействий
обеспечивают, как уже отмечалось, желаемое изменение поведения
объекта, достижение поставленных целей. Такие входные
воздействия называют управляющими, и при их отсутствии задача
управления вообще не имеет решения. При ручном управлении такие
воздействия на объект осуществляет оператор, при
автоматическом — управляющее устройство.
Другие входные воздействия, напротив, мешают достижению
цели, и изменить их, как правило, невозможно. Такие воздействия
называют возмущающими (возмущениями) или помехами
(рис. 1.1).
Задача управления, по существу, заключается в формировании
такого закона изменения "управляющих воздействий, при котором
достигается желаемое поведение объекта независимо от наличия
возмущение.
Сложная и разносторонняя задача управления в подавляющем
большинстве случаев включает более узкую задачу
регулирования, которую и будем рассматривать в дальнейшем, так как
автоматическое регулирование в настоящее время имеет наибольшее
практическое значение.
Задача регулирования заключается в поддержании выходных
величин объекта равными (или пропорциональными) .некоторым
эталонным функциям времени — задающим воздействиям.
Последние могут быть постоянными или изменяющимися как по
заданному, так и по заранее неизвестному закону.
Методы решения задачи регулирования и принципы
автоматического регулирования "используются различные. Самый
простой принцип, рассчитанный на несложную ситуацию, неявно
основывается на предположении, что влиянием'всех возмущений
можно пренебречь и воздействовать на объект необходимо лишь
в том случае, когда нужно изменить действие объекта, значение
регулируемой величины.
Разомкнутая система регулирования (рис. 1.2) действует
следующим образом. При изменении задающего воздействия g"
формирующий элемент 3 вырабатывает необходимое «указание»
исполнительному механизму 2. Последний создает регулирующее
воздействие z на объект регулирования /. В результате регулируемая
величина у приближается с той или иной точностью к требуемому
значению.
Формирующий элемент и исполнительный механизм
составляют регулятор. Регулятор и объект в совокупности образуют
систему регулирования.
Объект
упрабмтя
'Выходные
" величины
9

Рис. 1.2. Функциональная схема разомкну- Рис. 1.3. Функциональная схема
разомкнутой системы регулирования той системы регулирования с измерением
основного возмущения
Заметим, что при конструировании регулятора рассмотренной
системы необходимо знать все свойства объекта регулирования.
Только при выполнении этого условия и отсутствии возмущений
можно правильно предвидеть влияние задающего воздействия на
регулируемую величину.
Область применения описанной простейшей системы
регулирования ограничена прежде всего тем, что нельзя пренебречь
влиянием возмущений. При определенном задающем воздействии
и различных возмущениях выходная величина объекта
(регулируемая величина) будет иметь разные значения и, следовательно,
задача регулирования не будет решена. В связи с этим возникает
необходимость контроля возмущений или хотя бы основного из
них — возмущения /. Это возмущение нужно измерять и при его
изменениях создавать дополнительное воздействие на объект,
компенсирующее влияние возмущения. В регуляторе оказывается
необходимым еще элемент 4 (рис. 1.3), который через
формирующий элемент 3 создает компенсирующее воздействие
исполнительного механизма 2 на объект /.
Рассмотренные системы являются разомкнутыми: в них
регулируемая величина у не влияет на действие регулятора. Это
означает, что характер регулирующих воздействий зависит от
свойств объекта лишь в той степени, в какой это учтено при
конструировании регулятора. Из-за изменения свойств объекта (и
влияния второстепенных возмущений) действительное значение
регулируемой величины может значительно отличаться от требуемого
значения. Чтобы подчеркнуть это свойство разомкнутой системы
регулирования, иногда говорят, что она устроена по
баллистическому принципу. Действительно, регулятор при создании
регулирующего воздействия напоминает стрелка, который теряет
всякую возможность влияния на результат выстрела после
наведения оружия и спуска курка. Разница между двумя системами
(см. рис. 1.2 и 1.3) лишь в том, что в последней учитывается
влияние возмущения подобно тому, как стрелок делает поправку
на ветер.
В подавляющем большинстве случаев отсутствует
исчерпывающая и достоверная информация о свойствах объекта
регулирования и о характере возмущений, и разомкнутые системы
регулирования оказываются неэффективными. Поэтому прибегают к соз-
10

Рис. 1.4. Функциональная схема замкнутой
системы автоматического регулирования
данию конструктивно более сложных, но и значительно более
совершенных замкнутых систем автоматического регулирования.
В замкнутой системе используется_принцип обратной связи,
возможно самый мошный принцип автоматического регулирования
и управления. Такая система в простейшем случае (рис. 1.4)
состоит из объекта регулирования / и регулятора, который, кроме
исполнительного элемента 2 и формирующего (или усилительно-
преобразовательного) элемента 3, имеет еще измерительный
элемент 4 и элемент сравнения 5.
Измерительный элемент 4 осуществляет обратную связь в
системе — обеспечивает влияние регулируемой величины у на вход
системы. Сигнал у0, пропорциональный регулируемой величине,
сравнивается с задающим воздействием g. Если регулируемая
величина отклонилась от требуемого значения, то изменяется
сигнал рассогласования (сигнал ошибки) х —- g" — у0, который
воздействует на элемент 3. Затем воздействие передается на
исполнительный элемент 2 и на объект. В результате отклонение
регулируемой величины от требуемого значения устраняется (с
определенной степенью точности).
Таким образом, в замкнутой системе воздействие на объект
формируется не только в зависимости от задающего воздействия,
как в системе, показанной на рис. 1.2, но и от состояния объекта
и наличия возмущений. Точнее, регулирующее воздействие
определяется отклонением регулируемой величины от заданного
значения. Поэтому принцип обратной связи позволяет успешно
решать задачу регулирования, несмотря на некоторую
неопределенность (количественную, но, вообще говоря, не любую и тем
более не качественную) или неточность в известных конструктору
характеристиках объекта регулирования и исполнительного
механизма, а также сведениях о возмущениях.
Примером системы автоматического регулирования,
выполненной по функциональной схеме рис. 1.4, является достаточно
простая, но широко используемая в современной технике система
регулирования скорости вращения электродвигателя постоянного
Щ(.а. Ее принципиальная схема показана на рис. 1.5.
Система состоит из электродвигателя постоянного тока с
независимым возбуждением Ml, вращающего какой-то рабочий
механизм РМ. Двигатель и рабочий механизм составляют объект
регулирования. Регулируемой величиной является угловая
скорость Q вала, связывающего электродвигатель и рабочий
механизм. Момент сопротивления тс рабочего механизма является
возмущением.
11

Рис. 1.5. Схема системы
автоматического регулирования ско-
pncip вращения
электродвигателя постоянного тока '
Обмотка якоря электродвигателя получает питание от
электромашинного усилителя ЭМУ с поперечным возбуждением, две
ступени которого являются соответственно усилителем и
исполнительным элементом. Обмотки управления электромашинного
усилителя включены на выход предварительного электронного
усилителя У. На вход усилителя подается напряжение
llx ^^ tin LIq»
Здесь напряжение ив есть задающее воздействие. Это
напряжение снимается с потенциометра Я — между его средней точкой
и движком. Положение движка определяет знак и величину
напряжения ий. Напряжение щ снимается с тахогенератора ТГ,
связанного с валом электродвигателя. Поэтому знак щ зависит от
направления вращения этого вала, а величина и0
пропорциональна угловой скорости Я. Тахогенератор осуществляет
обратную связь в системе.
Сравнение напряжений ug и и0 происходит в электрической
цепи, соединяющей потенциометр П, вход усилителя У и
тахогенератор ТГ.
Знак и значение напряжения ug определяют направление
вращения вала электродвигателя и значение его угловой
скорости Я. Стабилизация Q при каждом положении движка
потенциометра П — при каждом значении задающего воздействия —
осуществляется следующим образом. Если в какой-то момент
времени увеличился момент сопротивления тс, то угловая
скорость £2 уменьшается. Вследствие этого уменьшается
напряжение и0 тахогенератора и увеличивается напряжение их —
возникает сигнал рассогласования. Возрастает напряжение на выходе
усилителя и напряжение, подаваемое на обмотку якоря
электродвигателя. В результате увеличиваются сила тока и вращающий
момент электродвигателя и угловая скорость О восстанавливаются
(с некоторой погрешностью).
Подобные процессы регулирования происходят в системе при
уменьшении момента сопротивления тс, а также при изменении
положения движка потенциометра П. В последнем случае
угловая скорость Q устанавливается на новом уровне,
соответствующем положению движка потенциометра Я.
12

1*
i ■— 2
^
I)
Рис. 1.6. Функциональная схема замкнутой системы автоматического регулирования
с дополнительной связью;
а — по возмущению; б — по задающему воздействию
Можно видеть, что в замкнутой системе автоматического
регулирования по отклонению нет необходимости получать
информацию непосредственно о задающем воздействии, которое
используется лишь для сравнения с сигналом обратной связи, и о
возмущениях, однако это допустимо не всегда. В некоторых случаях
качество такого регулирования оказывается неприемлемо
низким. Тогда обеспечивается комбинированное регулирование, т. е.
сочетание принципов замкнутой и разомкнутой систем.
При комбинированном регулировании создается
дополнительная связь 6 по возмущению (рис. 1.6, а), которая компенсирует
влияние возмущения «в основном», а замкнутый контур
устраняет рассогласование, возникающее при изменениях задающего
воздействия и вследствие неточности действия дополнительной
связи 6. Используются также комбинированные системы с
дополнительной связью 7 по задающему воздействию (рис. 1.6, б),
которая и обеспечивает «в основном» его воспроизведение
регулируемой величиной. Замкнутый контур в этом случае устраняет
рассогласование, возникающее из-за неточности действия
дополнительной связи 7 и от возмущений.
1.2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
За два века развития автоматического регулирования и
главным образом за два-три последних десятилетия, созданы весьма
и весьма разнообразные системы автоматического регулирования,
которые различаются прежде всего объектами регулирования
и назначением. Классификация по этим признакам (если она
вообще выполнима) укажет чрезвычайно большое количество
типов. САР различаются также по физической природе сигналов
в регуляторе (системы с электрическим, пневматическим,
электропневматическим и электрогидравлическим регуляторами), по
конструкции регуляторов и их общеинженерным свойствам
(габаритным размерам, массе, защищенности от внешней среды и т. д.).
Однако все эти существенные различия имеют лишь
второстепенное значение при исследовании основных (динамических) свойств
САР и отыскании способов повышения точности их действия.
13

Классификация систем
у- автоматического
г? регулирования
По принципу регулирования
1 I L'
разомкнутые
замкнутые
тмЫнираваккш
По цели регулирования
системы
стабилизации
системы
программного
регулирования
следящие
системы
По количеству регулируемы/ (сличив
I
одномерные
1
многомерные
Jloхарактеру сигналов Iрегуляторе
I
непрерывные
I
р гармоническим
модулированным
сигналом
1
дискретные
По характеру параметров
I
стационарные
I
нестационарные
с распределён-
ными.
параметрами
По идеализации математического описания
it
линейные
нелинейные
Рис. 1.7. Классификация систем автоматического регулирования по основным
признакам
С этой точки зрения решающее значение имеет разделение САР
по принципу действия на разомкнутые, замкнутые и
комбинированные, о чем речь шла ранее, по цели регулирования и ряду
других признаков (рис. 17).
Целью системы стабилизации является сохранение
постоянного значения регулируемой величины, соответствующего
постоянному задающему воздействию g" = g"„ = const. В замкнутой или
комбинированной системе это достигается с той или иной
точностью путем уменьшения влияния возмущений.
Регулируемая величина системы программного регулирования
должна изменяться во времени по некоторому, заранее известному,
закону у = у (t). Для этого- задатчик создает соответствующее
воздействие на регулятор g = су (/) и система обеспечивает с той
или иной точностью воспроизведение регулируемой величиной
изменяющегося задающего воздействия (отработку задания) и
уменьшение влияния возмущений.
Целью следящей системы также является изменение
регулируемой величины во времени в соответствии с изменением
задающего воздействия. Последнее, однако, представляет собой за-
14

ранее неизвестную функцию времени g = g (t), которая
определяется каким-то внешним независимым процессом.
Иногда к системам автоматического регулирования относят
экстремальные системы, которые поддерживают экстремальное
(минимальное или максимальное) значение определенного пока»
зателя регулируемого процесса. Для этого при изменении
возмущений и состояния объекта нужным образом изменяется задающее
воздействие, т. е. происходит самонастройка программы действия
регулятора. Поэтому экстремальные системы логичнее отнести
к самонастраивающимся (адаптивным) системам автоматического
управления. Последние, как и оптимальные системы
автоматического управления, в данной книге не рассматриваются.
При анализе САР различного назначения предполагалось
наличие в них лишь одной регулируемой величины. Такие
системы называются одномерными. Если же для правильного
действия объекта (для желаемого протекания процесса) необходимо
постоянство или некоторое изменение во времени двух или более
величин, то создаваемая для этого система называется
многомерной.
Следующий весьма существенный признак, по которому
различаются САР — это характер сигналов в регуляторе. В
простейшем случае сигнал рассогласования изменяется во времени по
значению и знаку лишь в зависимости от значений задающего
воздействия и регулируемой величины. Такая САР называется
непрерывной.
Используются также САР с гармоническим, модулированным
сигналом. Они включают элементы, у которых входной и
выходной величиной является переменное напряжение (или ток)
некоторой частоты со0. называемой несущей частотой. При подаче на
этот элемент воздействия напряжение (или ток) модулируется, т. е.
в простейшем случае его амплитуда и фаза изменяются
соответственно значению и знаку передаваемого воздействия. Такие
системы рассмотрены, например, в работах [20, 22].
Дискретными называются САР, в которых на регулятор
действует рассогласование в виде прерывистой функции времени.
К дискретным относятся релейные [10, 104], импульсные [116,
117] и цифровые [9] системы. Вследствие большой специфичности
релейные системы часто выделяют из дискретных. Бурный рост
дискретной микроэлектроники способствует широкому
распространению цифровых систем, обладающих прежде всего высокой
точностью.
Возможность использования тех или иных методов
исследования САР и необходимость создания особых методов определяется
еще поведением параметров, характеризующих свойства объекта
и элементов регулятора. Если параметры не изменяются при
действии системы (или их можно принимать неизменными), то система
стационарная. Если изменением параметров во времени
пренебречь нельзя, то система нестационарная. Особо выделяются си-
15

стемы с распределенными параметрами, имеющие устройство
(например, длинную электрическую линию), которое может
рассматриваться лишь как совокупность большого числа отдельных
микроэлементов.
Методы исследования САР определяются идеализацией,
допустимой (принятой) ^при математическом описании системы.
Величины (физические, химические и др.), характеризующие
состояние объекта и элементов регулятора, принято называть
фазовыми координатами (сокращенно координатами) САР.
Дифференциальные и интегральные уравнения, связывающие координаты
и внешние воздействия, определяют движение САР при тех или
иных начальных условиях (начальных значениях координат и их
производных). Под словом «движение» понимается любой процесс
изменения состояния САР. Лишь'в частном случае это будет
механическое движение. Если все уравнения системы линейны,
то и САР линейная, если же среди уравнений имеется хотя бы
одно нелинейное, то и САР является нелинейной.
Линейные стационарные системы описываются линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными
коэффициентами, т. е. обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Поэтому такие САР называются обыкновенными. Нестационарные
линейные САР описываются линейными уравнениями с
переменными коэффициентами, а линейные системы с распределенными
параметрами описываются уравнениями в частных производных.
Это особые линейные САР, к ним относятся еще системы с
запаздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим
аргументом. Линейные импульсные и цифровые системы, описываемые
линейными дифференциально-разностными уравнениями, также
можно отнести к особым линейным системам.
Следует заметить, что в системах регулирования по
отклонению их координаты во многих случаях незначительно отличаются
от некоторых базисных значений. Тогда исходные нелинейные
уравнения координат иногда оказывается возможным заменить
приближенными линейными для приращения координат, т. е.
линеаризовать уравнения (см. п. 2.1), и рассматривать систему
как линейную.
Основное внимание будет уделено обыкновенным одномерным
системам регулирования по отклонению. Такие системы могут
быть разделены на группы еще по наличию или отсутствию
усилителя, числу замкнутых контуров, закону регулирования,
свойствам в установившгмся pei-симе и характеру внешних воздействий.
Простейшие САР имеют регулятор, действующий от энергии
сигнала рассогласования. Это системы прямого действия. Однако
более совершенны и получили наибольшее распространение
системы непрямого действия, в которых энергия в регулятор
поступает через один или несколько усилителей.
Если система имеет только основную обратную связь (см.
рис. 1.4), то это одноконтурная система. Кроме основной могут
16

быть местные обратные связи, охватывающие отдельные элементы
прямой цепи системы, в этом случае система будет
многоконтурной.
Закон регулирования определяется зависимостью
регулирующего воздействия г от рассогласования х (см. рис. 1.4).
Простейшими законами регулирования являются пропорциональный,
когда г = егх (система с П-регулятором), и интегральный, когда
z = c2 [xdt (система с И-регулятором). Более совершенны системы,
когда в законе регулирования кроме пропорциональной
составляющей имеется интеграл от рассогласования: z = cxxJrc2 ixdt
(система с ПИ-регулятором). Наилучшие результаты получаются
при введении в закон регулирования еще и производной от рас-
согласования: z = c1x + c2 x&t-\-cs-rr (система с ПИД-регуля-
тором). В комбинированных системах закон регулирования
содержит, кроме того, составляющие, зависящие от внешних воз-
действий.
По свойствам в установившемся режиме различают
статические и астатические (первого, второго и более высокого
порядка) системы. Если регулируемая величина в установившемся
режиме зависит от постоянного внешнего воздействия, система
статическая. Если такой зависимости нет, то система астатическая
первого порядка. В астатической системе второго порядка нет
зависимости, кроме того, и от первой производной внешнего
воздействия. Различают статизм или астатизм системы от
задающего воздействия и от возмущения
В зависимости от характера внешних воздействий (задающего
и возмущающего) САР разделяются на две группы. Чаще всего
все внешние воздействия можно считать детерминированными —
представляющими собой определенные функции времени. Если
хотя бы одно внешнее воздействие есть случайная функция
времени, то и регулируемая величина является случайной функцией.
Такие стохастические системы исследуют особыми методами —
статистическими [10, 981.
Рассмотренная классификация САР по ряду признаков не
исчерпывает всего многообразия таких систем.
Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют
аналитические решения. Поэтому для обыкновенных САР достаточно
определить реакции на некоторые эталонные воздействия и затем
делать выводы относительно влияния внешних воздействий
произвольного вида. На этом основании при расчетах обыкновенных
САР широко используют метод передаточных функций и
частотный метод.
Как было отмечено, большим преимуществом замкнутых систем
является их способность обеспечивать решение задачи
регулирования даже в том случае, когда информация об объекте регулиро-
17

вания не вполне точная. Это свойство имеют не всякие замкнутые
системы, а лишь те из них, которые являются устойчивыми.
Поэтому свойство устойчивости имеет важнейшее значение для
работоспособности САР и анализ устойчивости — это одна из
основных задач анализа САР. Собственно, решение проблемы
устойчивости и послужило началом теории автоматического
регулирования.
Первые автоматические регуляторы, имевшие промышленное значение,
появились в XVIII в. (1765 г. — поплавковый регулятор уровня воды в паровом котле
И. И. Ползунова; 1784 г. — центробежный регулятор скорости вращения
паровой машины Джемса Уатта). Дальнейшее развитие регуляторов паровых котлов,
машин и турбин выявило противоречие- попытки повысить точность регуляторов
приводили к неустойчивости. В 1876 г. профессор Петербургского
технологического института И. А. Вышнеградский в своей работе «О регуляторах прямого
действия» впервые заметил, что объект регулирования и регулятор составляют
единую динамическую систему, которую и нужно исследовать для решения
вопроса об устойчивости. Он нашел критерий устойчивости линейной системы третьего
порядка, не потерявший своего значения до настоящего времени.
Впоследствии теория автоматического регулирования
разработала методы, позволяющие исследовать все динамические
свойства выполненных (или рассчитанных) САР, а также
рассчитывать новые системы по заданным требованиям к качеству
регулирования.
Значительное число существенно различающихся САР
привело к созданию многих методов их анализа и синтеза. Даже для
анализа и синтеза обыкновенных одномерных САР используют
ряд методов, так как в инженерной практике возникает
необходимость в решении различных задач и при разном подходе.
Заметим, что задачей анализа является исследование
процессов, происходящих в заданной системе (в системе с известной
структурой и параметрами) при различных внешних воздействиях,
а задачей синтеза — рациональное построение системы (выбор
ее структуры и параметров), отвечающей заданным требованиям.
Следует также иметь в виду, что теория автоматического
регулирования служит базой для исследования и проектирования
САР всех отраслей техники.
Следует еще остановиться на вопросе о литературе по
автоматическому регулированию и управлению, которая достаточно
обширна. Для предварительного ознакомления с предметом можно
воспользоваться, например, общедоступной книгой [7]. Теория
линейных САР удачно изложена в учебном пособии [82].
Достаточно полное изложение теории автоматического регулирования
и управления на высоком научном уровне содержится в
монографии [45], а также в [10]. Наиболее полно современная теория
автоматического регулирования и управления представлена в
первых трех книгах серии инженерных монографий «Техническая
кибернетика» [102—104]. Указания на литературу по отдельным
вопросам, рассмотренным в данной книге, будут сделаны ниже
в соответствующих ее разделах.
18

1.3. ЭЛЕМЕНТЫ CAP
Один из первых регуляторов — регулятор Уатта — являлся
единым устройством. И в течение длительного периода для
каждого нового объекта изобретался новый регулятор. Однако такой
подход неэкономичен, и в настоящее время его используют лишь
при автоматизации особо ответственных или уникальных объектов.
В остальных случаях, прежде всего при автоматизации
промышленных процессов, используют более прогрессивный и
экономичный агрегатно-модульный подход, в котором используется
основной принцип кибернетики. Последний заключается в том, что
важна не физическая природа воздействий на входе регулятора,
между его элементами и на выходе, а передаваемая ими
информация. В результате этого оказалось возможным разделять
регуляторы на отдельные функциональные элементы и в регуляторах
разных САР использовать одинаковые устройства, собирать
регуляторы различных систем из стандартных специализированных
блоков.
В связи с этим возникла и стала весьма актуальной задача
рационального расчленения общей функции регулятора на более
мелкие и создания унифицированной системы .элементов,
выполняющих эти функции. Унифицированные элементы должны легко
сочленяться между собой и обеспечивать оперативное и
экономичное создание регуляторов для большого числа объектов.
Унифицирование плодотворно внедряется при автоматизации народного
хозяйства нашей страны.
Начиная с 1951 г. получила практическое применение
Агрегатная унифицированная система (АУС) пневматических блоков
и приборов для построения систем автоматики. Затем была
создана Электрическая агрегатная унифицированная система
приборов (ЭАУС), представляющая собой более широкий комплекс
функциональных элементов. Позднее было начато производство
и использование Универсальной системы элементов промышленной
пневмоавтоматики (УСЭППА) [112] и Унифицированной системы
пневматических и электрических датчиков теплоэнергетических
параметров 11131.
В дальнейшем унификацию существующих и разработку новых
элементов автоматики начали проводить и ведут в настоящее
время в рамках Государственной системы промышленных
приборов и средств автоматизации (ГСП) [100].
Приборы ГСП находят применение не только в
промышленности, но и при автоматизации иных технических процессов
(на транспорте, в связи и т. д.). Кроме приборов ГСП в
автоматических системах используют также приборы, аппараты,
механизмы, машины и другие устройства универсального назначения.
Задачей ГСП [24] является обеспечение техническими
средствами разнообразных систем контроля, регулирования и
управления технологическими процессами при ограниченной номен-
19

клатуре унифицированных устройств (приборов). Основой
построения ГСП служат определенные системотехнические
принципы, позволяющие наиболее рационально (с экономической и
технической точек зрения) решить указанную задачу. Одним из этих
принципов является совместимость отдельных приборов ГСП
одного с другим. Должна обеспечиваться совместимость
информационная (по физической природе и допустимым пределам
изменения сигналов, т. е. по воздействиям приборов одного на другой),
энергетическая (по виду энергии для питания приборов),
конструктивная (по присоединительным и габаритным размерам и
используемым элементам), метрологическая (по допустимой
погрешности, т. е. по классу точности) и эксплуатационная (по
защищенности от окружающей среды).
В результате развития ГСП будет полностью исключена
нецелесообразная индивидуальная разработка технических средств
для автоматизации. Это обеспечивается как номенклатурой ГСП,
так и тем, что отдельные ее устройства легко могут быть
дополнены некоторыми элементами для использования в
непредвиденных условиях.
По роду энергии, поступающей от внешнего источника и
используемой для передачи сигналов, устройства ГСП, а также
функциональные элементы, не входящие в эту систему, разделяют
на электрические, пневматические и гидравлические. Кроме того,
существует еще группа устройств ГСП, не требующих внешнего
источника энергии (регуляторы прямого действия и
измерительные приборы).
Системы, комплектуемые из приборов электрической группы,
т. е. в значительной части из электронных приборов, имеют
преимущества по сравнению с другими видами устройств. К.
преимуществам относятся прежде всего высокая чувствительность,
точность и быстродействие, возможность передачи сигналов на
большие расстояния.
Пневматические приборы безопасны для применения в легко-
воспламеняемой или взрывоопасной среде, надежны в тяжелых
условиях работы, например в агрессивной среде. По
быстродействию и дальности передачи сигналов они значительно уступают
электронным приборам.
Преимущества гидравлических исполнительных устройств
в том, что они обеспечивают точные перемещения регулирующих
органов при больших усилиях.
В одной системе можно применять устройства из различных
групп в том или ином рациональном сочетании. Например, часто
используют вместе электрические и гидравлические устройства.
Основной является классификация средств ГСП по
функциональному признаку. При этом выделяются следующие группы.
1. Устройства получения нормированной информации о
состоянии процесса (датчики), которые выдают унифицированный
сигнал, соответствующий значению контролируемой физической
20

величины. Эта группа включает первичные измерительные
преобразователи, нормирующие преобразователи и собственно
датчики,
Цель первичного измерительного преобразователя заключается
в том, чтобы изменения контролируемой (наблюдаемой) величины
перевести в изменения величины, удобной для дальнейшего
преобразования регулятором — в изменения перемещения, усилия,
сопротивления, напряжения, тока, частоты. Другими словами,
сигнал на выходе первичного измерительного преобразователя,
называемый естественным сигналом, по своей физической природе
отличается от наблюдаемого сигнала.
Нормирующий преобразователь заканчивает начатое
преобразование и унифицирует пределы изменения сигнала.
Если естественный выходной сигнал является электрическим
или пневматическим, то нормирующий преобразователь обычно
выполняют отдельно. Датчик в этом случае состоит из двух
приборов. При другой физической природе естественного выходного
сигнала оба преобразователя конструктивно объединяют в один
прибор — датчик.
2. Устройства преобразования, обработки, хранения
информации и выработки команд управления. Эта центральная групна.ГСП
включает анализаторы сигналов, функциональные и
операционные преобразователи, логические устройства, устройства памяти,
задатчики. программные задатчики, регуляторы, а также
управляющие вычислительные устройства и комплексы.
Следовательно, эта группа содержит как собственно регуляторы, так
и функциональные элементы, из которых их собирают.
3. Устройства использования командной информации для
воздействия на процесс — исполнительные устройства. К их
числу принадлежат усилители мощности командного сигнала,
поступающего от регулятора или иного управляющего комплекса,
и исполнительные механизмы, воздействующие на регулирующий
орган объекта.
4. Устройства для приема, преобразования и передачи
информации по каналам связи—телеустройства, шифраторы,
дешифраторы и т. д. Данная группа содержит приборы и
устройства, обеспечивающие взаимодействие функциональных блоков
первых трех групп. Во многих системах роль таких устройств
выполняют обычные . провода (при электрических элементах)
или трубы (при пневматических и гидравлических элементах),
а перечисленные выше устройства используют лишь при
необходимости передавать информацию на большие расстояния (в
телеуправлении) или в условиях сильных помех.
Сопряжение отдельных приборов и устройств ГСП в системе
обеспечивается прежде всего тем, что информация между ними
передается унифицированными сигналами, которые разделяют на
следующие группы: 1) электрические непрерывные сигналы тока
и напряжения; 2) электрические непрерывные частотные сигналы;
21

3) электрические кодированные сигналы; 4) пневматические
сигналы. Пределы изменения сигнала каждой группы выбирают
только из установленной соответствующим ГОСТом шкалы.
Центральный научно-исследовательский институт
информации и технико-экономических исследований приборостроения,
средств автоматизации и систем управления (ЦНИИТЭИ
приборостроения) в 1974 г. издал Генеральный каталог по
Государственной системе промышленных приборов и средств автоматизации
(рис. 1.8). В него включены подробные сведения о приборах и
устройствах ГСП, вплоть до описания типовых конструкций,
а также примеры применения средств ГСП в автоматических
системах.
ЦНИИТЭИ приборостроения издает также отраслевой
каталог «Приборы, средства автоматизации и системы
управления», включающий сведения об указанной продукции,
выпускаемой предприятиями Министерства приборостроения, средств
автоматизации и систем управления. Каталог содержит отдельные
выпуски (каталожные описания). В каждое из них входят
сведения о назначении и принципе действия прибора (изделия), его
конструкции, надежности, комплектности и сведения о
поставщике; приведены также технические данные и рекомендации по
монтажу и эксплуатации. Каталожные описания комплектуются
в 22 .томах.
Не все из элементов, охваченных ГСП, используются
непосредственно в САР. Кроме того, ГСП не включает объекты
регулирования, и теория автоматического регулирования пользуется
несколько иной терминологией, чем принятая в ГСП. Поэтому
не лишними будут следующие сведения.
В каждой САР имеется, конечно, объект регулирования.
Объектами являются самые разнообразные устройства, используемые
в производственных процессах: энергетические и силовые
установки, летательные аппараты, транспортные средства и средства
связи, а также отдельные составные части перечисленных
устройств. Научно-технический прогресс постоянно расширяет
круг объектов регулирования, среди которых оказываются и
весьма специфические. Например, искусственное сердце,
искусственная почка и т. д. Частью объекта регулирования является
регулирующий орган, с помощью которого осуществляется
изменение режима работы объекта.
В литературе по автоматическому регулированию [19, 38, 75,
87, 89, 102, 109, 119] кратко описан ряд типовых объектов. Более
детально они рассмотрены в литературе по автоматизации
отдельных отраслей промышленности и техники, например в работах
[13, 32, 40, 41, 43, 44, 47, 56, 68, 80, 121].
Решение задачи регулирования начинается с математического
описания объекта. При этом возможны два подхода.
Рассматриваемый объект можно разделить на отдельные части, действие
которых определяется известными закономерностями. Тогда совокуп-
22

л
Государственная систепа промышленных приборов и средств автоматизации
I
Топе
Устройства получения
информации о технологических
параметрах
I Г JL I
g-
ITTT
1
1-1
I*
х
Там Ш
Устройства преобразования,
обработки, отображения,
хранения информации
Т
Л
Том Е
Устройства использования
командна! инфсрмацчи влп
возвействия на процесс
Том 7
Типовые конструктивы и.
Й
1
h
X
%
t
I*
!■£.
■a
8-1
»
ее
II
I
XI
XX
Рис, l.S. Схема
генерального каталога
приборов и устройств,
входя щих в Государ■
ственную систему
промышленных
приборов и средств
автоматизации

ность этих уравнений составит математическое описание объекта
в целом. Если пбдобный теоретический анализ объекта
невозможен или дает лишь весьма приближенные результаты, то необхо-
димые^характеристики объекта получают экспериментально,
непосредственно наблюдая за его поведением в определенных
условиях [1, 4].
На практике иногда используют комбинированный подход
и одну часть математического описания определяют теоретически,
а другую — экспериментально. Например, теоретически
определяют вид дифференциальных уравнений, а экспериментально —
значения их коэффициентов.
Регулятор, осуществляющий регулирование по отклонению,
в общем случае содержит следующие функциональные элементы:
задающее устройство, измерительный элемент, элемент сравнения,
усилитель (или усилители), корректирующий элемент (или
элементы) и исполнительный элемент.
Задающее устройство создает сигнал, определяющий желаемое
значение регулируемой величины. Простейшими задающими
устройствами систем стабилизации служат пружины, грузы,
калиброванные резисторы и т. д. В системах программного
регулирования задающие устройства выполняются в виде
профилированных кулачков, шаблонов, фигурных реостатов и т. д. В более
сложных системах программного регулирования задающее
воздействие вырабатывается счетно-решающими устройствами. В
следящих системах задающее устройство преобразует некоторую
величину, характеризующую процесс, который управляет
системой, в сигнал, удобный для воздействия на регулятор.
Измерительный или чувствительный элемент служит для
измерения регулируемой величины [113]. В комбинированной
системе измеряется, кроме того, возмущение. Измерение — это
создание сигнала, точно соответствующего в каждый момент
времени значению измеряемой величины.
Наиболее полные сведения об измерительных элементах
н устройствах можно найти в монографии [111 j. В ней изложены
основные понятия и определения теории измерительных устройств
систем автоматического регулирования и управления.
Рассмотрены принципы работы, конструктивные особенности,
статические, динамические и точностные характеристики значительного
количества измерительных устройств. Приведены сведения,
необходимые для их выбора, расчета и динамической компоновки с
другими элементами САР. Рассмотрены элементы и устройства для
измерения электрических и тепловых величин, параметров
излучений, давления и расхода жидкостей и газов, перемещений,
скоростей и ускорении, гироскопические устройства для измерения
параметров ориентации объектов в пространстве,
оптико-электронные устройства для измерения угловых координат,
радиолокационные устройства для измерения угловых координат и
дальности, лазерные и электроакустические устройства.
24

Там же рассмотрены преобразователи электрических сигналов,
усилий и давлений, линейных и угловых перемещений.
Преобразовательные элементы в таком узком понимании имеют своим
назначением изменение физической природы сигнала для более
удобного его использования в процессе регулирования. Они
могут входить во все перечисленные функциональные элементы
регулятора.
Элемент сравнения определяет отклонение регулируемой
величины от заданного значения и создает таким образом сигнал
рассогласования. Чаще всего это простейшее арифметическое
устройство, вычитающее сигнал обратной связи из сигнала
задающего устройства. Им может быть входная часть усилителя.
Усилитель повышает мощность сигнала, в регулятор поступает
энергия от какого-то постороннего источника. Сведения,
необходимые для выбора и разработки усилителей: о линейных
усилительных устройствах, электронных (ламповых и
полупроводниковых), ионных, диэлектрических, квантовых, магнитных, маг-
нито-полупроводниковых, электромашинных,
электромеханических, гидравлических и пневматических усилителях,
содержатся в монографии [114].
Корректирующие элементы и устройства обеспечивают
устойчивость системы и необходимое качества регулирования: они
создают желаемый закон регулирования [114]. Сведения о
наиболее употребительных корректирующих элементах
постоянного тока приведены в п. 8.5.
Следует заметить, что формирующий элемент 3
функциональных схем (см. рис. 1.2—1.6) обычно состоит из нескольких
перечисленных функциональных элементов, например из усилителя
и корректирующего устройства.
Исполнительный элемент — это оконечный усилитель
регулятора, осуществляющий непосредственное воздействие на
регулирующий орган объекта. Принципы работы, конструктивные
особенности, статические и динамические характеристики и
методика выбора различных исполнительных элементов и устройств
изложены в монографии [115]. В ней рассмотрены
исполнительные устройства с электродвигателями постоянного и переменного
тока, с электромагнитными муфтами, с шаговыми двигателями
и магнитными элементами, а также гидравлические
исполнительные устройства с дроссельным и объемным управлением,
пневматические (в том числе многоступенчатые) и газовые
исполнительные устройства и механические передачи.
Сведения об отдельных элементах и устройствах,
используемых в САР, можно получить также в работах [1, 3, 15, 23, 31,
39, 46, 57, 92, 94, 99, 122, 123]. Весьма обширная библиография
о таких элементах и устройствах содержится в указанных ранее
монографиях [111, 114, 115].

Глава 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
И СИСТЕМ
Для анализа САР необходимо иметь ее математическое
описание. Система разделяется на элементы, и составляются уравнения,
описывающие их поведение (движение) — изменение состояния
во времени. Уравнения составляются на основании анализа
физических, химических и иных процессов, происходящих в элементах,
и применения законов сохранения энергии и вещества,
конкретизированных для различных отраслей науки и техники (законы
механики, электротехники, гидравлики, теплотехники, оптики
и т. д.). Для определения коэффициентов этих уравнений во
многих случаях необходимы трудоемкие исследования. Поэтому
широко используются также экспериментальные методы для
получения математического описания элементов. Такие методы
требуют минимальных сведений о процессах, происходящих в
элементах, и обеспечивают точность, вполне достаточную для
инженерных расчетов.
Ниже будем рассматривать только стационарные САР, у
которых свойства элементов не изменяются с течением времени
и каждый динамический процесс (изменение состояния элемента
во времени) зависит лишь от начального состояния элемента
(от начальных условий) и характера внешних воздействий.
Предположение о стационарности является идеализацией, ибо не
учитывается влияние процесса на свойства элемента, например
его старение. Будем предполагать также, что все элементы системы
с сосредоточенными параметрами и непрерывного действия. Такие
элементы чаще всего описываются дифференциальными
уравнениями. Это обыкновенные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами. В некоторых случаях могут быть
алгебраические или интегральные уравнения. Чем точнее описываются
процессы в элементе, тем сложнее его уравнение. Поэтому
необходим разумный компромисс между наиболее точным описанием
элемента и возможностью исследования полученного уравнения.
Если для элемента справедлив принцип суперпозиции, т. е.
влияния начальных условий и каждого из внешних воздействий
26

независимы друг от друга, то дифференциальное уравнение
элемента оказывается линейным. Однако многие элементы
описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Далеко
не всякое нелинейное дифференциальное уравнение может быть
проинтегрировано и даже отыскание приближенного числового
решения может оказаться трудоемким. Поэтому при инженерных
расчетах широко используют линеаризацию, т. е. замену
нелинейных дифференциальных уравнений приближенными
линейными, для которых существует общий метод интегрирования.
В практике весьма широко используют представление
элементов их передаточными функциями, что позволяет составлять
математические модели систем в виде наглядных структурных
схем. Понятие о передаточных функциях и их определение
основываются на преобразовании Лапласа. Не менее широко
используются временные и частотные характеристики, которые
описывают поведение элементов и систем в переходных и
установившихся режимах.
Передаточные функции и временные и частотные
характеристики составляют тот специфический математический аппарат,
который используется линейной теорией автоматического
регулирования и управления и позволяет проводить анализ и синтез
САР многими методами без интегрирования дифференциальных
уравнений и непосредственного исследования из решений. Этот
достаточно простой и гибкий математический аппарат весьма
удобен для инженерных расчетов, поэтому его используют и в
других технических дисциплинах.
2.1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Часто встречаются элементы, у которых нелинейна лишь
статическая характеристика, т. е. зависимость выходной
величины у от входной величины х в установившемся режиме.
Предположим, что при действии элемента его входная величина
изменяется только в пределах —хт!а <: х < x^ и на этом участке
статическая характеристика с достаточной точностью может быть
аппроксимирована прямой линией (рис. 2.1). Тогда эта прямая
и может быть принята за статическую характеристику.
Следовательно, приближенно
У - кх, (2.1)
где k = tg a.
Такую простую линеаризацию — метод осреднения —
используют в инженерной практике, когда на рабочем участке
характеристика достаточно гладкая, но все же не может быть
аппроксимирована более точно простой функцией.
Шире используют метод малых отклонений, который позволяет
Линеаризовать как нелинейные статические характеристики, так
37

и нелинейные
дифференциальные уравнения [61].
Выясним суть метода, для
этого линеаризуем уравнение
ф(#, У, У, ■*!. xv х2)=0,
(2.2)
где хх и х2 — входные
величины элемента (известные
функции времени); у — его
выходная величина (искомая функция
времени).
Для наглядности рассмотрим
уравнение второго порядка
и число аргументов функции ф примем небольшим. Вообще же,
этот метод применим к уравнениям произвольного порядка с
произвольным числом аргументов функции ср.
Если функция ф дифференцируема по всем своим аргументам,
то она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности
произвольно выбранной точки. При линеаризации уравнений
элементов САР эта точка должна соответствовать установившемуся
режиму. В этом режиме хх = х\, х2 = х\ и у = у" есть постоянные
величины иа:1 = 1/ = # = 0. Тогда после разложения функции ф
в ряд получим
Рис. 2.1. Линеаризация статической харак
теристини методом осреднения
+ (*)•«+(*)'*+(£)'«.+
+ (-&)'**.+(£)•**+•-<>.
Axi
i-ЛЛл Лп
(2.3)
&У = У — У°>
где Axt
Ay = у и Ау = у — отклонения переменных от установившихся
значений; (-^-) , (Ш~) . ••• — частные производные от
функции ф при хг = х\, х2 = х\, у = у° и хх = у = у = 0; Ф — сумма
членов, которые содержат различные произведения отклонений
и отклонения во второй и более высоких степенях с
коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных
производных второго и высших порядков от функции ф по
соответствующим аргументам.
В устойчивых системах автоматического регулирования откло
пения переменных достаточно малы, поэтому сумма Ф в
уравнении (2.3) содержит лишь члены высшего порядка малости, и ею
можно пренебречь. Кроме того, следует принять во внимание
уравнение установившегося режима
'Г (0, 0, у\ 0, .г?, х2°) = 0.
28

В результате получим искомое линеаризованное уравнение
(*)*«+(-8-)'*+(*)'*+
+ (fc)V+(£)•". + (£-)• а*-о. («)
Уравнение (2.4) — линейное уравнение с постоянными
коэффициентами, но оно в отличие от уравнения (2.2) приближенное,
так как отброшена сумма Ф и уравнение (2.4) содержит не
переменные хх, х2 и у, а их отклонения от установившегося режима,
В ряде случаев х\ = х\ = у0 = 0, тогда линеаризованное
уравнение становится уравнением для переменных хъ хг и у:
(*)•»+W* +(45-)'»+
Необходимо иметь в виду следующее. Отклонения Ахх, &хх
и Лх2 действительно малы, когда переменные хх и х2 есть выходные
величины других элементов системы автоматического
регулирования. Если же какая-то из входных величин рассматриваемого
элемента представляет собой внешнее воздействие на систему,
то должна быть выяснена возможность предположения о малости
отклонений этой переменной и ее производных.
Очевидно, что метод малых отклонений неприменим для
линеаризации уравнения (2.2), если функция ф имеет разрывы
непрерывности или неоднозначность по какой-либо из переменных.
Пример 2.1. Уравнение моментов на валу электродвигателя Постоянного
тока с независимым возбуждением
где со — угловая скорость вращения; m = m (со, i) — вращающий- момент;
i — ток в обмотке якоря; отс = mc (i) — момент сопротивления вращению и У —
момент инерции вращающихся масс.
В установившемся режиме со = со0, /га = m°, mG = ml, и уравнение моментов
имеет следующий вид: 0 = /га0 — от?.
Разлагая функцию /га (со, i) в ряд Тейлора и пренебрегая членами высшего
порядка малости, получим
—' + (ж)*4- + (-н>-
Затем, подставив в уравнение моментов полученное значение т, а также
do) d (Дсо) о , . •.
Т7- = —' н тс — тс + Дтс, найдем
аг at

Принимая во внимание уравнение установившегося режима, получаем
линеаризованное уравнение моментов на валу электродвигателя:
d(Acu)
(ж)0Лш=(-§г)вл*'-Лте
Здесь At — управляющее воздействие и Дтс — возмущение. Частные про-
/ dm \° n f dm \°
нзводные I -?— 1 < 0 и ( —^г- 1 определяются по характеристикам
электродвигателя, которые задаются в виде графиков.
2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ
В линейном дифференциальном уравнении выходную величину
элемента (искомую функцию времени) и ее производные принято
записывать в левой части, а входные величины (известные
функции времени) и их производные в правой части. Коэффициент при
выходной величине удобно иметь равным единице. Если
уравнение не содержит выходной величины, то коэффициент при ее
младшей производной равен единице.
Уравнения обычно записывают в символической (операторной)
форме, используя символ р = -п-, называемый оператором
d"
дифференцирования. При этом —— = рп.
Уравнение (2.5) в определенной форме запишется так:
в|/ = МА + *Л, (2-6)
где Q — аар2 + ахр + 1; Rx = bp + 1;
, Аду) . {ду ) . ' , \dxj_.
"~ fiS-V' ~~ л*ел°' (дч> у'
\ду ) \ду ) \ду)
/_Ё£Л° ( ftp у
и \9iJ . , _ \dxj
W" """ (^
а*/
Многочлены от символа р с постоянными коэффициентами
называются линейными дифференциальными операторами. Если
коэффициент при младшем члене дифференциального оператора
равен единице, то оператор нормированный.
При инженерных расчетах обычно рассматривают совместно
уравнения всех элементов САР, т. е. систему уравнений. Пусть
к САР приложены задающее воздействие g и возмущение / (неко-
30

торые функции времени). Тогда в общем случае система
уравнений САР будет следующей:
QaVx + <?!«Й Н 1- ЯхкУк = Лив" + Л12/;
<?*i0i + QmVi H (- Qm№ = *fti# + Rut, (2-7)
где Q/;-, /?,! и R12 — линейные дифференциальные операторы
(некоторые из этих операторов могут быть тождественно равными
нулю); yt — выходные величины элементов (обобщенные
координаты САР).
Система уравнений (2.7) реальной САР не особенная и может
быть приведена к одному уравнению относительно одной из
обобщенных координат. Чаще всего рассматривают уравнение САР
для регулируемой координаты:
Dy-Rsg + R,f, (2.8)
где D = айрп + ^р"-1 -\ + ап\ Rg = b0pm + ^р"1"1 H +bn
и Rf = C0pl -\~ Cipl~l + • • • + Ct; m < n и / < п.
Уравнение (2.8) — линейное дифференциальное уравнение,
и для него справедлив принцип суперпозиции, который
заключается в том, что каждая входная величина (заданная функция
времени) создает составляющую выходной величины (искомой
функции времени) независимо как от наличия и характера
изменения других входных величин, так и от начальных условий.
Вместе с тем начальные условия вызывают переходный процесс
(т. е. еще одну составляющую выходной величины), который не
зависит от входных величин. Начальные условия п-то порядка
составляют значения выходной величины и ее производных до
п — 1-й включительно в начальный момент времени.
Следовательно, решение уравнения (2.8) при начальных
условиях у (0) = у°, у (0) = у0, .... г/*"-') (0) = г/С-1) ° равно сумме
трех составляющих:
У = Уе + Уг + Ус*' (2.9)
Здесь Уц и у/ — частные решения соответственно неоднородных
уравнений
Dy^Rgg; Dy^Rfg (2.10)
при нулевых начальных условиях у (0) = у (0) = ... = у{п~1Ц0) =
= 0, а усв — общее решение однородного уравнения
Я</=0 (2.11)
при заданных начальных условиях.
31

Общее решение однородного уравнения (2.11) представляет
собой сумму частных решений, которые зависят от значения
корней характеристического уравнения
D (s) = flo&'« + flls« -1 + • • • + ап =, 0, (2.12)
где s — комплексная величина.
Каждому вещественному корню щ соответствует частное
решение вида Л,еаг< (в частном случае может быть щ = 0);
каждому вещественному корню ak кратности v соответствует v частных
решений е°*' (Ak + Ak+1t + ... + Ak+V_1tv~'>y, каждой паре
сопряженных комплексных корней al + jbt иа, — jb,
соответствуют два частных решения:
еа'* (A; sin ру + Bi cos py) = С,еа'' sin (рУ + 4t) (в частном
случае может быть a,t = 0); каждой паре сопряженных комплексных
корней ат + j$m и ат — }$т кратности (х соответствует 2|i
частных решений:
еа»' (Л, sin $J + А4 sin $J + f- Л^"-1 sinM + Picos ft»' +
+ B4 cos p mt-\ 1- /у"-1 cos $J) =.
= ee»' [C\ sin (M + iW + C4 sin (pV +1^) + ...
•■•+CyM-1sin(pf71* + ^)].
Постоянные интегрирования А, В, С и \|), которые содержатся
в частных решениях, определяются из системы алгебраических
уравнений, составляемых на основании начальных условий.
Дифференциальный оператор D уравнения (2.8) называют
собственным оператором системы (или элемента). Он
характеризует собственное движение системы (или элемента), т. е. ее
движение (изменение во времени выходной величины) при отсутствии
внешних (входных) воздействий. Дифференциальные операторы
Rs и Rf уравнения (2.8) называют входными операторами.
Пример 2.2. Определить собственное движение системы, описываемой
уравнением (2.8), где D = Юр3 + 6р3-+ 1,2 р + 0,08, при начальных условиях
0(0)= 1;у(0)=0,5 иу (0)=0.
Составляем характеристическое уравнение:
10s3 + 6s2 + 1,2s + 0,08 = 0.
Это уравнение имеет корень s^ = —0,2 кратности 3. Следовательно:
yc*=e-°-2t(A1 + A2t + Ast2).
Определяем первую и вторую производные функции усв:
0ОВ = е-0-2' [(Л2 - 0,2/^) + (2Л3 - 0.2Л,) t - 0,2А31?];
Эсъ = е~0'2' 1(0,044! - 0,4Л3 + 2Л,) +
+ (0,04Л2 — 0,8/4„) t + 0,04i4g<aj.
32

Составляем уравнения для определения постоянных интегрирования Ах,
Л 2 и Ац, используя начальные условия,
у (0) = 1 = At;
y(0)=0',5=A!i — 0,2Ai;
у (0) = 0 = 0,04 Ai — 0,4 А2 + 2/4».
Решив полученную систему трех алгебраических уравнений, определим А х =
= 1; А2= 0,7; А3 = 0,12.
Таким образом, собственное движение рассматриваемой системы при
заданных начальных условиях определяется равенством
4CB=e-°-24l+0,7* + 0,12f2).
При инженерных расчетах линейные дифференциальные
уравнения удобнее решать операционным методом, который будет
рассмотрен в гл. 4.
2.3. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
Передаточной функцией элемента называется отношение изоб"
ражений по Лапласу выходной и входной величин при нулевых
начальных условиях. Поэтому для определения передаточных
функций элемента нужно сначала при нулевых начальных
условиях преобразовать по Лапласу (см, прил, 1) дифференциальное
уравнение этого элемента (имеется в виду линейное или
линеаризованное уравнение).
Подвергнем такому преобразованию левую и правую части
уравнения (2,6). Выполним преобразование последовательно,
используя поз. 1 и 2 табл. П1.1:
2 [ооу -f агу + у) = £ [kx {bxx + *J -f *л);
=> kJ>Z {x} +• kfi [x^ -f k& {x2\;
a^Y + ajsY + Y = kibsXi + № + kzX2;
(a0s2 + of + 1) Y = К (bs + l)X1 + *,*,, (2.13)
где Y, X± и Х2 — изображения по Лапласу функций времени у,
хх и х2; s — комплексная величина преобразования Лапласа.
Изображения есть функции комплексной величины s, и
полученное уравнение алгебраическое. Таким образом,
дифференциальному уравнению в вещественной области соответствует
алгебраическое уравнение в комплексной области. Это соответствие
определяется преобразованием Лапласа,
Сопоставляя уравнение (2.13) с дифференциальным уравнением
(2.6), легко сделать следующий вывод: формально преобразование
по Лапласу при нулевых начальных условиях линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
заключается в замене оператора дифференцирования р комплексной
величиной s и функций времени их изображениями. Это
обстоятельство и используется при расчетах.
2 Макаров И. М.
33

Из уравнения (2.13) при Ха = О определяется передаточная
функция рассматриваемого элемента относительно входного
воздействия хг:
Аналогично при Хх = 0 определяется передаточная функция
этого элемента относительно входного воздействия х2:
^-ТГ=^Д5+.- (2-15)
Передаточные функции элемента определяются относительно
каждого из входных воздействий, при этом предполагается, что
все остальные входные воздействия равны нулю.
Из выражений (2.14) и (2.15) очевидна независимость
передаточных функций элемента от того, какими функциями времени
являются его входные воздействия. Передаточные функции
зависят лишь от вида дифференциального уравнения и значения его
коэффициентов, т. е. от динамических свойств и параметров
элемента. Передаточные функции полностью характеризуют
собственное движение элемента и преобразование входных воздействий
в его вынужденное движение.
Обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами описывается стационарный элемент с
сосредоточенными параметрами. Из выражений (2.14) и (2.15) следует, что
его передаточные функции есть дробно-рациональные функции
комплексной величины s. Все передаточные функции элемента
имеют один и тот же знаменатель.
В общем случае передаточная функция есть отношение двух
полиномов от s:
W = R!Q, (2.16)
где полиномы Q и R — степени соответственно п и /л~< п."- '
Удобно определить передаточную функцию в виде отношения
двух нормированных полиномов (т. е. полиномов,* у которых
коэффициент при младшем члене равен 1),* умноженного на
постоянный коэффициент k, называемый передаточным
[коэффициентом:
W=kRIQ. (2.17)
Корни полинома R являются~нулями передаточной функции
и корни полинома Q — ее полюсами. Степень п полинома Q
определяет порядок передаточной функции. Размерность
передаточного коэффициента равна размерности выходной величины,
деленной на размерность входной величины.
Каждая передаточная функция соответствует некоторому
динамическому звену. Динамическое звено — это математическая мо-
34

«■
W;
a) \-~J S) Ь
\} й*~ IF,IF ^
Рис. 2.2. Условные знаки структурных схем:
я — входная или выходная величина (воздействие, сигнал); б — динамическое звено;
а — разветвление сигнала: г — суммирование сигналов; о — сравнение двух сигналов;
е — изменение знака сигнала
дель элемента (или части сложного элемента), которая отображает
лишь его динамические свойства, а не физическую сущность
происходящих в нем процессов.
После определения передаточных функций сложного элемента
можно составить его структурную схему. Соединив структурные
схемы всех элементов, получим структурную схему САР.
Структурная схема есть условное графическое изображение
САР (или сложного элемента). На структурную схему наносятся
условными знаками (рис. 2.2) все динамические звенья, внешние
воздействия и воздействия элементов друг на друга.
Динамическое звено изображается прямоугольником, в котором
указывается передаточная функция этого звена. Воздействия на систему
и воздействия элементов (звеньев) друг на друга изображаются
стрелками. Около каждой стрелки указывается, какую
физическую величину или обобщенную координату системы она
изображает. Изменения этой величины и являются сигналом,
передаваемой информацией. На динамическое звено может воздействовать
лишь одна входная величина, поэтому используются знаки
суммирования и сравнения сигналов. Суммироваться и сравниваться
могут лишь сигналы одной и той же физической природы. В
каждом динамическом звене воздействие передается только от входа
к выходу.
Структурная схема показывает строение САР, наличие внешних
воздействий и точки их приложения, пути распространения
воздействий и выходную величину. По структурной схеме можно
составить математическое описание САР, т. е. систему
алгебраических уравнений относительно изображений всех переменных
(обобщенных координат) или ее передаточные функции (см. гл. 3).
На рис. 2.3 изображена структурная схема элемента,
имеющего передаточные функции (2.14) и (2.15). На ее основании
можно составить следующее равенство:
У=У1Х1+^А- (2.18)
По этому равенству легко составить дифференциальное
уравнение элемента. Конечно, это имеет смысл только в том случае,
2*
35

^S-
л,
Щ
^
а *
—ф
}
^Г—I .
•~i--[^w7]-*0-*i.
>'
Рис. 2.3. Структурная схема элемента,
описываемого уравнением (2.13)
Рис.2.4.Структурння схема двуххонтурной
САР
когда передаточные функции элемента получены на основании
экспериментальных данных.
Равенство (2.18) определяет изображение выходной величины
элемента, и, пользуясь обратным преобразованием Лапласа (см.
прил. 1), можно определить выходную величину как функцию
времени.
Итак, для составления структурной схемы САР необходимо
иметь ее функциональную схему, которая содержит сведения
о назначении элементов, о роли внешних воздействий и о
регулируемой величине. Кроме того, необходимо иметь
дифференциальные уравнения всех элементов для определения их передаточных
функций или же иметь экспериментально найденные передаточные
функции.
При составлении структурной схемы удобно начинать с
изображения задающего воздействия и располагать динамические звенья,
составляющие прямую цепь системы, слева направо до
регулируемой величины. Тогда основная обратная связь и местные обратные
связи будут направлены справа налево.
Пример 2.3. Построить структурную схему САР, которая описывается
следующими дифференциальными уравнениями:
Qtg = tfjZ — R^f; Qiz=R2(x — z0)\
Q02z0 = R02z; x=g — y0; QBy0 = R0y,
где у, g, f и x — соответственно регулируемая величина,задающее воздействие,
возмущение и рассогласование; Qj и /?/— линейные дифференциальные
операторы.
Преобразовав дифференциальные уравнения по Лапласу при нулевых
начальных условиях, получим следующую систему алгебраических уравнений:
QlY=RlZ-RlfF
QovPo = RaiZi л = G
где Qi и Rt — полиномы от s.
После определения передаточных функций динамических звеньев система
уравнений принимает следующий вид:
Y=W1Z— WlfF; Z~Wi(X—Z0);
X = G-Ya; Y0 = W0Y,
^if_ • w — _5i
Q%Z — R% (Л — Z0);
Z0 = W02Z;
где Wi:
Ь *"-■
Qi
r.=
vn
*
v„
рис
36
По полученным равенствам строим структурную схему,
2.4.
Ем.
Qo '
которая показана на

Следует заметить, что структурную схему САР можно
рассматривать как один из видов направленного графа.
Направленный граф (граф сигнала, диаграмма прохождения сигнала)
представляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их
ветвей (дуг) с обозначением направления передачи сигналов
и их пропускной способности. Рассматривая структурную схему
как граф, узлами (вершинами) считают все воздействия —
внешние, внутренние и выходное, т. е. регулируемую величину,
ветвями (дугами) — динамические звенья, а передаточные функции
определяют их пропускную способность.
2.4. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Система дифференциальных уравнений (2.7), которая может
быть приведена к уравнению (2.8) для регулируемой величины
или к уравнению для рассогласования, является исчерпывающим
математическим описанием САР. Необходимо только иметь в виду
некоторую неизбежную приближенность этого описания, которая
возникает из-за идеализации процессов в элементах при
составлении их уравнений, а также из-за линеаризации уравнений.
Наглядное представление о динамических свойствах САР даст
решение у уравнения (2.8) или решение х уравнения для
рассогласования, так как они покажут изменение этих величин во времени.
Однако получить это решение практически не удается, ибо
функция g известна лишь в системах стабилизации и программного
регулирования, а функция /, за очень редкими исключениями,
неизвестна.
Несмотря на это, решения дифференциальных уравнений САР
(и отдельных элементов) широко используются как при анализе
свойств систем, так и для целей синтеза — выбора структуры
и параметров систем. Речь идет о решениях дифференциальных
уравнений при некоторых стандартных (типовых) воздействиях.
Такие решения и их графики называют временными
характеристиками соответственно элементов и систем. Рассмотрим
основные, наиболее употребительные временные
характеристики.
Весьма часто имеет место резкое (в пределе мгновенное)
изменение внешнего воздействия на САР, например включение или
выключение потребителей электрической энергии, увеличение или
уменьшение момента сопротивления на валу регулируемого
двигателя и т. п. Всегда важно оценить поведение САР в таких
критических ситуациях, т. е. выяснить, насколько значительным будет
отклонение от нормального режима и насколько быстро и точно
оно будет устранено регулятором.
Для того чтобы сравнивать поведение при этом различных
систем и элементов, следует рассматривать строго определенное,
нормированное изменение воздействий. Таким типовым
изменением воздействия считают мгновенное его изменение от нуля до
37

1Щ _
Рис. 2.5. График единичной
ступенчатой функции
Q %
значения, равного единице. Для математической записи
используют единичную ступенчатую функцию
Г 0 при *<0;
^Ишри^О. <2Л9>
Эта функция относится к классу обобщенных функций, и
график ее показан на рис. 2.5.
Реакцию элемента или системы при нулевых начальных
условиях на входную величину, являющуюся единичной ступенчатой
функцией времени, называют переходной характеристикой
(переходной функцией) h элемента или системы.
Изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции
равно — (см. поз. / табл. П1.2), поэтому изображение
переходной характеристики
H=*W~y, (2.20)
где W — передаточная функция элемента или системы.
Если на элемент или систему действует несколько входных
величин (имеется несколько входов), то определяется переходная
характеристика для каждой входной величины (относительно
каждого входа).
Переходные характеристики находят на основании равенства
(2.20) операционным методом и графоаналитически (см. гл. 4),
а также экспериментально. Они имеют разнообразную форму:
стремятся различным образом к некоторому пределу (в частности,
к нулю), колеблются с постоянной амплитудой около некоторого
предела, неограниченно нарастают и т. п. Переходные
характеристики простейших (типовых) динамических звеньев будут
рассмотрены в п. 2.6.
Если известна переходная характеристика А, а входное
воздействие ступенчатое и равно а\ (t), где а = const, то выходной
величиной будет ah.
Используя переходную характеристику, можно приближенно
определить реакцию на входное воздействие, заданное
произвольной кривой. Достаточно аппроксимировать площадь,
ограниченную" этой кривой, суммой сдвинутых во времени
ступенчатых воздействий и просуммировать*реакции на эти воздействия.
Пример 2.4. Определить реакцию системы на входное воздействие g, которое
определяется кривой, изображенной на рис. 2.6, а.
38

^_J
I
1,
\
9, Рг
[Л
*У
tj ti,
1
g3\ - № :t
Рис. 2.6. Аппроксимация функции g суммой ступенчатых функций
Площадь, ограниченную кривой, аппроксимируем пятью ступенчатыми
воздействиями (рис. 2.6, б). Тогда выходная величина приближенно определяется
выражением
' У™ 8<А ф + 8ih (t - h) — SJi С — h) — gift V — 4) — 8*h С — U)>
где ft — переходная характеристика системы.
Если внешнее воздействие есть известная функция времени.g,
то реакцию системы можно найти с помощью интеграла Дюамеля:
dft(f —т)
-J-
■ g (т) <1т.
(2.21)
Пример 2.5. Определить реакцию системы на входное воздействие g = e p ,
если переходная характеристика системы А = k (l — е~ ).
Вычисляем
m^jl = * k(l - е-« <'-*>) = tee-a«-T);
df
У = j ?A£pL) ^ (T) dT = J feae-« <*-т)е-ет dT
aA _
a + p
■а*(1_е_(а+р>0'
Другими часто встречающимися изменениями внешних
воздействий являются их кратковременные, но существенные по
значению всплески, импульсы. Например, порывы ветра,
действующие на летательный аппарат, ударная нагрузка на двигатель
и т. п.
Нормированным импульсным воздействием считается
единичный импульс, т. е. импульс, у которого произведение
длительности на величину равно единице. На рис. 2.7 изображены
графики единичных импульсов
Si^hi == ёг^тяи — £з'ич — I)
где tui достаточно мало.
39

9г-
9,-
^иЗ *«2 *ц/ *
Рис. 2.7. Графики
единичных импульсов
Пределом, к которому стремится
единичный импульс, когда его продолжительность
стремится к нулю, есть единичная
импульсная функция
О при t^O,
оо при I = 0; __{
(2.22)
Единичная импульсная функция
относится к классу обобщенных функций и
представляет собой производную от единичной
ступенчатой функции:
8(0-
J fi(*)cH = l.
«ю-Т-
(2.23)
Реакцию элемента или системы на единичную импульсную
функцию называют импульсной характеристикой (функцией веса).
На основании равенств (2.20) и (2.23) легко заключить, что
изображение импульсной характеристики элемента или системы равно
передаточной функции, а импульсная характеристика w равна
производной от переходной характеристики:
Импульсные характеристики типовых динамических звеньев
приведены в п. 2.6.
При оценке динамических свойств элементов и систем, а также
при синтезе систем наиболее широко используют переходную
и импульсную характеристику. Далее предпочтение будет отдано
переходной характеристике. Иногда оказываются необходимыми
характеристики, показывающие реакцию элементов и систем на
некоторые другие воздействия, например на воздействия,
изменяющиеся с постоянной скоростью или с постоянным ускорением.
Переходные характеристики дают предпочтение о поведении
элементов и систем в переходных режимах. Информацию об
установившемся режиме можно получить лишь в том случае, когда
переходная характеристика асимптотически приближается к
некоторому пределу. Если же она неограниченно нарастает, то из
этого следует, что процесс в системе или элементе выйдет из зоны
линейности.
2.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Для оценки установившихся режимов оказалось более удобным
рассматривать поведение элементов и систем при воздействиях,
являющихся периодическими функциями времени. В качестве
таких воздействий были выбраны гармонические воздействия,
что обусловлено несколькими обстоятельствами: 1) реально ветре
40

чающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены
в виде суммы гармоник различных частот (разложение Фурье);
2) в установившихся режимах гармонические сигналы передаются
линейными элементами и системами без искажений; 3) обычно не
возникает затруднений в экспериментальном исследовании
поведения таких элементов и систем при гармонических
воздействиях.
Пусть на вход стационарного линейного элемента или системы
воздействует гармонический сигнал
Аг sin (at + tyl),
где Аг, %, со = 2п/Т и Т — соответственно амплитуда, фаза,
угловая частота и период повторения сигнала.
Тогда на выходе с течением времени устанавливается
гармонический сигнал
А2 sin (со* -f- 1|з8)
той же угловой частоты, но с измененными амплитудой и фазой.
Изменение амплитуды и фазы зависит как от свойств
рассматриваемого объекта (от вида его дифференциального уравнения и
значения параметров), так и от угловой частоты со гармонического
сигнала (см. пример 4.1).
Отношение
А = А2/А1 (2.25)
и разность
г|э = <р2 — % (2.26)
являются функциями частоты, и их называют соответственно
амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и фазово-ча-
стотной характеристикой (ФЧХ) рассматриваемого элемента или
системы.
Эти характеристики показывают, что линейный элемент или
система изменяет амплитуду и фазу гармонического сигнала:
в установившемся режиме амплитуда уменьшается или
увеличивается в А раз и сдвиг по фазе увеличивается или уменьшается
на <J> градусов (радиан) при каждом значении угловой частоты со.
Частотные характеристики зависят от свойств элемента или
системы, но не зависят от амплитуды и фазы входных
гармонических сигналов (предполагается, что процесс не выходит из зоны
линейности).
Частотные характеристики всякого объекта связаны с его
передаточной функцией. Подставив в выражение для передаточной
функции W вместо s мнимую величину /со, получим комплексную
функцию частоты W, которую называют частотной передаточной
функцией.
Функция W при каждом значении частоты со является
комплексной величиной и поэтому может быть представлена в
показательном виде:
F=4e«>, (2.27)
41

где
A=-\W\ и $ = argW.
(2.28)
Рис. 2.8. Амплитудио-фазовая
стотная характеристика
где
Следовательно, модуль и
аргумент частотной передаточной
функции определяют соответственно
амплитудно-частотную и фазово-частот-
ную характеристики.
Функция W может быть
представлена и в алгебраическом виде:
W=*U + jV, (2.29)
U=ReW и К=1тГ. (2.30)
Функции частоты U и V называют соответственно
вещественной (действительной) и мнимой частотными характеристиками.
Они не имеют конкретного физического смысла, но их используют
при расчетах.
Годограф функции W, т. е. геометрическое место концов
векторов W при изменении частоты ш от нуля до бесконечности,
представляет собой амплитудно-фазовую частотную
характеристику (АФЧХ). Эту характеристику строят на комплексной
плоскости (рис. 2.§). По оси абсцисс откладывают вещественную
часть U и по оси ординат — мнимую часть V. АФЧХ можно
строить и в полярных координатах, откладывая векторы длиной А
под углом ф. Углы отсчитываются от положительной
действительной полуоси против часовой стрелки.
Частотная передаточная функция W есть аналитическое
выражение АФЧХ.
На основании равенств (2.27)—(2.30) легко составить
соотношения, связывающие между собой частотные характеристики:
A^VlP + V*; i|j = arctg V/U;
U = A cos г|з; V = A sin ф.
(2.31)
Полезно заметить, что вещественная частотная характеристика
есть четная функция частоты, а мнимая частотная
характеристика — нечетная функция:
U (—ш) = U (ю); V (—ш) = — V (ш).
(2.32)
Кроме того, необходимо заметить, что при определенных
условиях между амплитудной и фазовой частотными
характеристиками, а также между вещественной и мнимой частотными
характеристиками существуют однозначные зависимости. Этот
вопрос будет рассмотрен в п. 5.4.
42

При расчетах широко используют логарифмические частотные
характеристики: амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазово-частот-
ную (ЛФЧХ).
При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту
в логарифмическом масштабе, т. е. наносят отметки,
соответствующие lg ш. Однако около этих отметок указывают значения
частоты ш. Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению
частоты в 10 раз, называется декадой, а отрезок, соответствующий
изменению частоты в 2 раза, — октавой. Декада и октава —
это равномерные единицы на оси абсцисс.
Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, так как lg 0 =
= —оо. Поэтому при построении графика ЛАЧХ выбирают
такой отрезок оси абсцисс, который охватывает нужный диапазон
частот.
По оси ординат ЛАЧХ откладывают в равномерном масштабе
логарифмическую амплитуду
L = 201g А дБ. (2.33)
Децибел (сокращенно дБ) есть внесистемная дольная единица
логарифмической величины. Ее используют для того, чтобы
графиком можно было охватывать широкий диапазон изменения
рассматриваемой величины. Следовательно, L — это амплитуда А,
выраженная в децибелах.
Пусть, например, графиком нужно охватить изменение- А от Лх = 100 до
А2 = 0 и А3 = 0,01. Очевидно, что при равномерном масштабе значение А3
будет близко к нулевой линии, но 20 lg А1 = 40дБ, 20 lg А2 =0 и 20 lg A3 =
= —40 дБ, так что отметки этих точек на графике будут хорошо заметны.
ЛФЧХ имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ, а по оси
ординат ЛФЧХ откладывают в равномерном масштабе фазу г|)
в угловых градусах или радианах.
Оси абсцисс ЛФЧХ и ЛАЧХ обычно совмещают, чтобы
изменения фазы можно было сопоставлять с изменениями амплитуды.
т> Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что
небольшим графиком может быть охвачен широкий диапазон
частот. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств
как на малых, так на средних и высоких частотах. Небольшим
графиком охватывается и широкий диапазон изменения
амплитуды с одинаковой наглядностью изменения больших и малых
амплитуд.
Кроме того, оказывается, что значительные участки ЛАЧХ
с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями —
асимптотами. Они имеют отрицательный и положительный
наклон, кратный 20 дБ на декаду, т. е. 0 дБ/дек; —20 дБ/дек;
—40 дБ/дек; ... +20 дБ/дек; +40 дБ/дек; ....
В ряде случаев можно пренебречь кривизной ЛАЧХ на
некоторых небольших участках частоты. Тогда ЛАЧХ изображается
отрезками прямых (асимптотами) и называется асимптотической
43

Рис. 2.0. Типовые асимптотические ЛАЧХ
ЛАЧХ. Для ее построения нужны лишь весьма простые
вычисления (см. п. 5.3).
Наиболее характерный вид имеют ЛАЧХ при следующих
значениях модуля А частотной передаточной функции:
а) А = k. В этом случае L = 201g & есть постоянная величина
и ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси
абсцисс (рис. 2.9, а).
б) А = k/a. Имеем L = 201g k — 201g to. При ш = 1 имеем
L = 201g k, и на протяжении одной декады L уменьшается на
20 дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном —20 дБ/дек,
проходящую через точку В с координатами [1; 201g k) (рис. 2.9, б).
в) А = Ы. В этом случае L = 201g k + 20lg ш. Так же как
и в предыдущем случае, при ш = 1 имеем L = 201g k.
Затем с увеличением ш увеличивается и L на 20 дБ/дек. ЛАЧХ
есть прямая с наклоном +20 дБ/дек, проходящая через точку В
с координатами [1; 201g k) (рис. 2.9, в);
г) A =*-r k Теперь L = 201g k — 101g (1 + ©2Т2).
При малых частотах ш2!4 < 1 и L«*201g k. Это
низкочастотная асимптота, параллельная оси абсцисс. При больших частотах
ю2Т2 > 1 и L «=* 201g k — 201g (иТ. Это высокочастотная
асимптота, которая уменьшается на 20 дБ/дек. Следовательно,
асимптотическая ЛАЧХ образуется двумя асимптотами, которые
сопрягаются при частоте ю,. = \/Т (рис. 2.9, с), так как при этой частоте
удовлетворяются уравнения обеих асимптот.
д) А = k V I + шЧ2. В данном случае L = 201g k + 101g (1 +
+ шгт2). Как и в предыдущем случае, асимптотическая ЛАЧХ
составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при
частоте ш0= 1/т, но высокочастотная асимптота имеет
положительный наклон +20 дБ/дек (рис. 2.9, д).
е) А = k = k
V(l - шаГа)2 + (2со|Г)2 Vl +ш22Т2(2£2-1)+ш4Т4 '
44

где 1 <^ 1. В данном случае L= 201g k — 101g [1 +
+~<в22Г2 (2|2 — 1) + <в4ГЧ. На малых частотах L^201g к и на
высоких частотах L «=* 201g £ — 401g ю7\ Асимптотическая ЛАЧХ,
как и в двух предыдущих случаях, составляется двумя
асимптотами, которые сопрягаются при частоте шс= \/Т.
Низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс, а высокочастотная имеет
отрицательный наклон —40 дБ/дек (рис. 2.9, ё).
ж) А = k [/(1 - ю2т2)2 + (2ю£т)2 = k V1 + ог2т2 (2£2 - 1) + oV,
где С < 1. В этом случае Z, = 20Ig ft + 101g [1 + ш22т2 (2£2— 1) +
Ч-юЧЧ. Асимптотическая ЛАЧХ опять составляется двумя
асимптотами, которые сопрягаются при частоте ш0= 1,'т.
Низкочастотная асимптота L ^ 201g k параллельна оси абсцисс, а-
высокочастотная L я=* 201g k + 401g ют имеет положительный
наклон +40 дБ/дек (рис. 2.9, ж).
2.6. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Элементы, различные по физической природе, конструкции,
мощности и другим характеристикам, но описываемые
линейными дифференциальными уравнениями одного и того же вида,
являются одинаковыми динамическими звеньями, или элементы
с одинаковыми передаточными функциями являются одинаковыми
динамическими звеньями.
У каждого динамического звена может быть лишь одна
входная и одна выходная величина, поэтому элементы с несколькими
входными или выходными величинами разделяют на
соответствующее число динамических звеньев. Выходная величина всякого
динамического звена не оказывает на него какого-либо влияния,
т. е. динамические звенья обладают свойством
однонаправленности.
Сложные динамические звенья удобно разделять на простейшие
составные части, на типовые динамические звенья, передаточные
функции которых имеют в числителе и знаменателе полиномы от s
не выше второго порядка.
Передаточную функцию динамического звена в общем случае
можно представить как произведение сомножителей следующего
вида:
*; sv; т?тг; w+w; TS+1 и ^ + 2£^+1,(2.34)
где k, v, Т, I, т, £ — постоянные, причем k > 0; v может быть
положительным и отрицательным целым числом; Т > 0; 0 < \ <
< 1; т >0; 0 « £ < 1.
Сомножители (2.34) определяют различные типовые
динамические звенья. Основные из них приведены в табл. 2.1. В ней даны
дифференциальные уравнения и передаточные функции этих
звеньев и показано их деление по основным свойствам на три
45

Таблица 2.1
Типовые динамические звенья
Тип эвена
Дифференциальное
уравнение
Передаточная функция
W = W (s)

Позиционные
звенья
Идеальное
усилительное
(безынерционное)
у = kx
W = k
Апериодическое
(инерционное)
Апериодическое
(инерционное)
второго порядка
Колебательное
Консервативное
{Tp-\-l)y=kx
W = ■
Ts + I
(T\f-t TlP I 1),/.
= kx:
где 7j > 272
(7
ris3 + 7\s
ft
3s+l) (T4s
где T3i4 =
l
= -2-X
-hi
-bD'
X (T1=fc Vrf - 4T1)
(7*p2 + 2|7p+l)x
где 0 < I < I
W =
T«sS + 2gTs+l
(T»p»+I)y = fa
«7 =
T3Sa + I
Интегрирующее
(идеальное)
py=kx
W

Интегрирующие
звенья
Интегрирующее
(инерционное)
p(Tp+l)y = kx
W =
*(Гя+1)
Изодромное
py = k(tp-\-\)x
W
k(ts+ I)
где fej = fet

Продолжение табл. 2.1
Тип авена

Интегрирующие
звенья


ренцирующие
звенья


ренцирующие
звенья
Изодромное
второго порядка
1
Дифференцирующее (идеальное)

Дифференцирующее
(инерционное)
Форсирующее
(идеальное)
Форсирующее
(идеальное)
второго порядка
Дифференциальное
уравнение
р*у=к(т?р* +
+ 2£тр-Н)*,
где 0 < 1 < 1
y = kpx
(Tp+l)y = kpx
y = k(xp+l)x
y = k(t*p* +
+ 2&р+1)х,
где t, < I
Передаточная функция
W = W (s)
W =
fc(T«s« + 2gts+I)
s2
- йа i" s + s* '
где fei = й2£т;
fca = ftr2
W=ks
\Y - ks
Ts + I
W = k(xs+\)
+ 2Ста+1)
Таблица 2.2
Временные характеристики типовых динамических звеньев
Тип звена и его
передаточная функция
W = W (s)
Переходная
характеристика Л = Л (О
Импульсная
характеристика (функция веса)
о» = то (t)
h = k
w = k5 (t)
Идеальное усилительное
(безынерционное) W = к
W
47

Продолжение табл. 2.2
Тип звена и его
передаточная функция
W = W (s)
Апериодическое
(инерционное)
и
W =■
Ts+\
Переходная
характеристика Л = Л (t)
h = k{\-t~tlT)
Импульсная
характеристика (функция веса)
w = да (/)
Я):
t/T
Апериодическое
(инерционное) второго
порядка
ь
W =
•ry + Tf-ri
k
(T3S+l)(TiS + l) '
где TX>2TS;
I
Тзл - — X
X (7Ч± ^-471)
Колебательное
T*s8-T-2gTs+l'
где 0<С i<3 l
A=fe
l т .
X
r3 - r4
X U T" -e T*J
W,
^~v~
w
X
AT
Xsin(M 1 9)
где Я
в = arctg
лА
г
XT
А
XT2
X е г sin М
и/
в
1л
.7Г
А
.
V/
А
-^ №~
*••>
Я
^t
*-»-"в"-г-&
48

Продолжение табл. 2.2
Тип авсна и его
передаточная функция
W = W (s)
Переходная
характеристика Л = Л (t)
Импульсная
характеристика (функция веса)
■w = w (t)
Консервативное
k
W =
h = k f I — cos -jr)
Т%2 +1
JIT \3TT ЗГ t
4~
k . t
Ю = у8Шу
ЯТ jtT JtT\
Интегрирующее
(идеальное)
h
h=--kt
4
Интегрирующее
(инерционное)
ь
W =
ft=*U-T(l-e-'/7')]
s (Ts + I)
Ti
a = arctg k
w = fe
m
w = k{\ -e-t/T)
0
Изодромное
W ■
k (ts + I)
ft = fcj + kt,
где &! - fet
И/1
1M
ia
a = arctg k
w = fex6 (/) + k
W
49

Продолжение табл. 2.2
Тип звена и его
передаточная функция
W = W (s) .
Переходная
характеристика Л = Л (t)
Импульсная
характеристика (функция веса)
W = W (t)
Изодромное второго
порядка
W--
ft (гЧ* +
+ 2СИ+1)
h = k3 + klt + kti,
где fex = 2ft£t;
ft2 = ftt2
"fa -
Ь
w = fta6 (0 +
+ ftj + 2ft/
0 i
a = arctgft
Дифференцирующее
(идеальное)
lF = fts
A = kt> (/)
0 .
w = kp& (/)
Wl
Дифференци рующее
(инерционное)
W
ks
Ts+l
»=-fe-'/f
4
Mr
W = y«(()
*_ e-*/r
Г2

группы: позиционные, интегрирующие и дифференцирующие.
В табл. 2.2 приведены временные и в табл. 2.3 частотные
характеристики типовых динамических звеньев.
Позиционные звенья, кроме консервативного, характеризуются
тем, что в каждом из них при подаче на вход постоянной величины
с течением времени устанавливается постоянное значение
выходной величины. Отношение установившихся значений выходной и
входной величин есть передаточный коэффициент k звена.
В безынерционном (идеальном усилительном) звене при
скачкообразном изменении входной величины мгновенно изменяется- и
выходная величина — переходного процесса нет. В
апериодическом (инерционном) звене выходная величина нарастает монотонно.
Продолжительность переходного процесса зависит от второго
параметра звена, от постоянной времени Т. Чем больше
постоянная времени, тем медленнее протекает переходный процесс.
В апериодическом звене второго порядка переходный процесс
также монотонный, но его продолжительность зависит от двух
постоянных времени: Т1 и Т2.
Выходная величина колебательного звена в переходном
процессе колеблется около того значения, которое должно
установиться. Затухание колебаний зависит от значения третьего
параметра звена — от коэффициента демпфирования £. Точнее,
быстроту затуханий характеризует коэффициент затухания:
се = Б/7\ (2.35)
Угловая частота колебаний
Р = \ T=V/T. (2.36)
Консервативное звено есть частный случай колебательного
звена (£ = 0) и характеризуется незатухающими колебаниями
при постоянном воздействии на входе. Представление реального
элемента в виде консервативного звена, вообще говоря,
идеализация, к которой прибегают при очень малых значениях
коэффициента демпфирования \.
Интегрирующие звенья характеризуются тем, что при
постоянном входном воздействии выходная величина неограниченно
возрастает. У идеального интегрирующего звена передаточный
коэффициент k определяет скорость этого роста. У интегрирующего
инерционного (реального интегрирующего) звена такой режим
пропорционального роста выходной величины устанавливается
не сразу, а тем позднее, чем больше постоянная времени Т.
В изодромных звеньях имеет место некоторый начальный
скачок выходной величины, она неограниченно нарастает.
Передаточный коэффициент k изодромного звена первого порядка
определяет скорость последующего нарастания выходной величины,
а изодромного звена второго порядка — постоянное ускорение,
с которым нарастает выходная величина.
51

Таблица 2i3
Частотные характернстнкн типовых динамических звеньев
Тип звена и его частотная
передаточная функция
Амплитудная А = А (ш), фазовая
yf — Ч> (<о), вещественная
О = U {и>) и мнимая V = К (о)
частотные характеристики
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика
Логарифмические
характеристики: асимптотическая
амплитудно-частотная
L = L (со) и фазово-частотная
Ч> = Ч> (о)
Г = &
: fc; ^5 = 0°; U=k; V = 0
w=0 +
,*до
-/
{/ (0) = U (со) = &
L
/7
ш
со
L (0) = L (<*>) = 20 lgft
№ =
- fe
l-t-/mr
■ф = — arctgcoT;
K = -
1 + й)2Т2 '
fooT
1 + ш»Г«
+/
£J=oogj.0 +
ZOdBJdeK
,,, . ft 1
V (mi) = —_; mi = -=-
5p^__
Д?|
L(0)
"i
-S^_
= 201g
w
CJ
k

Продолжение табл. 2.3
Тип звеиа и его частотная
передаточная функция
Амплитудная Л = Л (со), фазовая
Ч> = Ч> (<■>). вещественная
U = U (со) м мнимая V = V (со)
частотные характеристики
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика
Логарифмические
характеристики: асимптотическая
амплитудно-частотная
L = L (со) и фазово-частотная
Ч> = Ч> (<■>)
«7
■(1-«*71) + /ш7\ -
& .
-(l-(D2rsr4)+/(D(r3 + r4),
T'M = -g-(7'i±Vrrf-4rs);
7'1>2Г2
А =
ф = — arctg
1 + ч>Щ
k(l— <&Т\)
1+ (02(71-
- 271) + <°4r2 '
kaT1
1 +©2(r'i— 271) +
+ <о*Г£
У (0) = ft;
' 1 . У 2
L(0) = 201gfc
№ = ■
(l-(oar2)+/(ijgr
0<|<1
tf
V =
У\+вР2Т* (2|2_1)_|_(о4Г4'
* «о2?7, .
*=-■"** 1-5.7-.'
fe(l—Ю.Г2)
1+(й22Г2(2|2—1)+ '
4- m4T 4
—*ю2£Г .
14-(й22Г2(2|2_1)4- '
4-(й*Г*
CJ=°o U]=0 +
о
L(0) = 201gfc

Тип звена и его частотная
передаточная функция
Амплитудная А = А (со), фазовая
Ч> = Ч> (со), вещественная
U — U (ш) и мнимая V = V (ш)
частотные характеристики
W =
1 —и^та
Л=# =
1 _ Ш2Г51
■ф = 0; К = 0
— k
1®
k k
JL; u = 0; V = -;
■ф = — 90°
Продолжение табл. 2.3
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика
Логарифмические
характеристики: асимптотическая
амплитудно-частотная
L = L (со) и фазово-частотная
Ч> = Ч> (со)
+/1
и=о
U—U/
U(0)=k; Щ = -т-
ч
0
-У,
^
V
X «
и, V
г/ю
J
о?
L(0)=201gfc
+/I
-/
Ы=оо +
1*
- !^-
SOl
-q>) град
<йс = k

11 р о д о л ж с и и с таил, л.о
Тип звена и его частотная
передаточная функция
Амплитудная А = Л (ш). фазовая
Ч> = Ч> '<■>), вещественная
U = U (со) и мнимая К = V (со)
частотные характеристики
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика
Логарифмические
характеристики; асимптотическая
амплитудно-частотная
L = L (со) и фазово-частотная
Ч> = Ч> (<■>)
W =■
щаг + /ш *
4 =
^ = _(90° + arctg(or);
— kT
U =
v = -
1 + шага '
— й
(0(1 +W2T2)
—
V
1 /
1 /
IA
V
-f-
Cj = oo
К .
-/
{/ (0) = — й7
^годб/дек
^Одб/аек)
1 .
a1=— ; Шс = й
— ft (1 + /(от)
/ш
4 = — /Г+
,aT2-
(0
(0аТ
ф = — 90° + arctg (от;
#=,«; V=—-
(0
*/.,
•V*
U(0) = U (oo) = йт
(Oi = —; L (oo) = 20 lg йт

ел
СП
Продолжение табл. 2.3
Тип звена и его частотная
передаточная функция
Амплитудная А = А (со), фазовая
Ч'— Ч'(w), вещественная
U= U (а) и мнимая К= V (а)
частотные характеристики
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика
Логарифмические
характеристики: асимптотическая
амплитудно-частотная
L = £ (со) и фазово-частотная
Ч> = Ч> (о)
W
М(1—тЧ») + /а>2ет]
— 6)2
X /l + ш22т2(2^ — 1) + ш*т*
ю2£т
■ф = arctg-
" = -^<1
1 —шЧ2
со
180°;
w2!*);
ш,
{/ (0) = fct2
L(co) = 201gfrti!
W = jka
А = Ы; ■$ = +90°
tf = 0; К = &о
+/.
-/
ш=0
Шс =

Продолжение табл. 2-3
Тип звеиа и его частотная
передаточная функция
Амплитудная А = А (со), фазовая
\р —\j> (со), вещественная
*/= U ((О) и мнимая V= V (со)
частотные характеристики
Амплитудно-фазовая
частотная характеристика
Логарифмические
характеристики; асимптотическая
амплитудно-частотная
L =£ (ш) и фазово-частотная
1р = ip «о)
Г- '*»
1 + /шГ
4 =
few
<ф = 90° — arrtgwT;
tf =
V =
1 + eflT* '
to
1 + Ш^З
-7
Т '
(/((D1)=V((fll)=-gr
m- =
I (oo) = 20 lg ■
W=ft(l+/(0T)
Д = k /l + a>*r»;
■ф = arctgwt;
U = k; V=kan
+/■
LO=0
U(0) =U(oo) = k
L(0) = 20Igft

Многие реальные
интегрирующие элементы
действуют лишь при
ограниченном диапазоне
изменения входной
величины.
Дифференцирующие
звенья реагируют лишь на
изменения входной
величины. Например, если
входная величина
идеального дифференцирующего
звена нарастает с
постоянной скоростью, то
выходная величина
удерживается постоянной,
пропорциональной этой
скорости.
В природе идеальных
дифференцирующих
звеньев не существует — они
всегда имеют некоторую
(хотя бы и очень малую)
инерционность. При
линейном нарастании
входной величины реального
(инерционного)
дифференцирующего звена
постоянное значение его выходной
величины устанавливается
не сразу, а тем позже, чем
больше постоянная
времени Т.
Форсирующие звенья
сочетают свойства
позиционного и
дифференцирующего звеньев. Идеальных
форсирующих звеньев
также в природе не
существует: они всегда
обладают хотя бы
незначительной инерционностью.
В табл. 2.1 указаны
лишь основные типовые
динамические звенья,
существуют еще
интегро-дифференцирующие и
неминимально-фазовые звенья.

Интегро-дифференцирующие звенья имеют передаточную
функцию вида
W ~ kRlQ, (2.37)
где R и Q — нормированные полиномы от s первого или второго
порядка.
В зависимости от вида этих полиномов и значения их
коэффициентов интегро-дифференцирующие звенья в одних диапазонах
частот проявляют интегрирующие и в других —
дифференцирующие свойства. Такие звенья широко используются в качестве
корректирующих устройств и будут рассмотрены в п. 8.6.
Неминимально-фазовые создают больший фазовый сдвиг по
сравнению со звеньями, имеющими такую же
амплитудно-частотную характеристику.
К неминимально-фазовым относятся прежде всего неустойчивые
звенья, передаточные функции которых имеют хотя бы один
положительный полюс. Это звенья с передаточными функциями:
W =з Ts_{ (неустойчивое апериодическое); W = r„ 2 ,Ts_i
и W — -==-=—=—-j—г- (неустойчивые апериодические второго по-
I JS — I jS -\- 1
рядка); У= Т^ + ^Т,_Х ; W= TV-^Ts + l (неУст0Йчивые
колебательные).
Например, у апериодического устойчивого звена АЧХ А =
и ФЧХ ф = —arctg шТ, а у неустойчивого АЧХ та же, но ФЧХ ф = —я -f-
+ arctg <oT. Таким образом, у* рассмотренных звеньев одна и та жеАЧХ.ио
абсолютные значения ФЧХ неминимально-фазового звена больше при всех
значениях со < оо.
К неминимально-фазовым звеньям относятся еще звенья,
у которых передаточные функции имеют отрицательные нули. Это
звенья с передаточными функциями: W = k (is — 1); W =
= k (t2s2 + 2£ts — 1) и W - k (tV — 2£ts + 1).
У форсирующего звена с передаточной функцией W = k (%s + 1) частотные
характеристики таковы: А = k V \ + (оах2 и i|; = arctg шт, а у звена с
периодической функцией W = k (xs — 1) частотные характеристики следующие: А =
= k V^l + (о2та и i|) = я — arctg (от. АЧХ этих звеньев одинаковы и значения
ФЧХ иеминимальио-фазового звена больше при всех значениях ш < оо.
Среди интегро-дифференцирующих звеньев также могут быть
неминимально-фазовые.
Фазово-частотные характеристики элементарных
неминимально-фазовых звеньев приведены в табл. 5.4.
Неминимально-фазовыми являются также звенья, имеющие
бесконечно большое число левых полюсов. Это звенья чистого
запаздывания, относящиеся к особым звеньям.
Итак, звенья, передаточные функции которых имеют левые
нули и конечное число левых полюсов, называются минимально-
59

фазовыми. У них однозначная зависимость между амплитудной и
фазовой частотными характеристиками. Исключением является
интегрирующее звено. Оно минимально-фазовое, но между его
амплитудной и фазовой частотными характеристиками нет
однозначной зависимости.
2.7. ТИПОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Сложные элементы и САР состоят из некоторого числа
соединенных между собой звеньев. Наиболее простыми и часто
встречающимися (типовыми) соединениями звеньев являются
последовательное, параллельное и встречно-параллельное (охват звена
обратной связью),
При последовательном соединении (рис. 2.10, а) выходная
величина каждого из звеньев, кроме последнего, служит входной
величиной последующего звена. Эквивалентная передаточная
функция последовательного соединения I звеньев равна
произведению передаточных функций этих звеньев:
W,„oo = WriWV--W/. (2.38)
При параллельном соединении (рис. 2.10, б) все звенья имеют
одну и ту же входную величину, а их выходные величины
суммируются. Передаточная функция параллельного соединения I
звеньев равна сумме передаточных функций этих "звеньев:
WW = Wt + w, + ... + w,.
(2.39)
Третье типовое соединение (рис. 2.10, в), называемое встречно-
параллельным, приводит к образованию замкнутой системы и
состоит из двух звеньев. Звено с передаточной функцией Wa
является прямой цепью передачи сигналов, а звено с передаточной
функцией W0 осуществляет обратную связь. Обратная связь —
это воздействие выходной величины какого-то звена на его вход.
Если это воздействие совпадает по знаку с входной величиной, то
обратная связь положительная. В противном случае обратная
связь отрицательная.
Эквивалентная передаточная функция встречно-параллельного
соединения
W„ = Wj(V±WuW0)t (2.40)
где знак + в знаменателе соответствует отрицательной обратной
связи и знак — положительной.
W,
Рис. 2,10. Типовые соединения динамических звеньев
60

На практике наиболее употребительны жесткие обратные
связи: отрицательная W(t — k0 и положительная W0 = kn, а также
гибкая (дифференциальная) отрицательная, при которой W0 ■=
= £rs, и изодромная отрицательная с передаточной функцией
W0 = —h(Ths+ i—^ где kB и хя — положительные постоянные.
Нередко с помощью обратных связей изменяют в нужном
направлении свойства элементов, являющихся теми или иными
типовыми динамическими звеньями. Эквивалентные передаточные
функции некоторых встречно-параллельных соединений
приведены в табл. 2.4. Рассмотрим свойства и возможность
использования этих соединений.
Очевидно, что охват идеального усилительного звена жесткой
или гибкой отрицательной обратной связью бесполезен, так как
в первом случае лишь уменьшается передаточный коэффициент,
а во втором создается инерционность. Жесткая положительная
обратная связь увеличивает передаточный коэффициент и находит
применение в практике. Однако при этом неравенство kkn < 1
должно быть достаточно сильным. Полезна также изодромная
отрицательная обратная связь, ибо создается реальное
дифференцирующее звено.
Жесткая отрицательная обратная связь уменьшает
инерционность апериодических звеньев первого и второго порядка, что
часто весьма целесообразно. Положительная жесткая и
отрицательная гибкая обратные связи увеличивают инерционность
апериодических звеньев, что практически, чаще всего, бесполезно.
Инерционность колебательного звена уменьшается
отрицательной жесткой обратной связью. При этом уменьшается и
коэффициент демпфирования. Жесткая положительная и гибкая
отрицательная обратные связи увеличивают инерционность
колебательного звена, и при определенных условиях (см. табл. 2.4)
соединение становится апериодическим звеном второго порядка, Таким
образом, охват колебательного звена той или иной обратной связью
может, вообще говоря, оказаться целесообразным.
Полезен охват консервативного звена гибкой отрицательной
обратной связью, так как это соединение представляет собой
апериодическое звено второго порядка. При жесткой обратной связи
(отрицательной и положительной) соединение остается
консервативным звеном.
Интегрирующее звено (идеальное и реальное) с гибкой
отрицательной обратной связью также является интегрирующим
звеном, но с меньшим передаточным коэффициентом, т. е. с большей
постоянной времени интегрирования. Это может оказаться
полезным: при жесткой отрицательной или изодромной обратной связи
образуется апериодическое звено, что явно нецелесообразно.
При охвате изодромного звена какой-либо обратной связью
кроме жесткой положительной создается интегро-дифференцирую-
щее звено. Подобные звенья широко используются в корректирую-
61

Таблица 2.4
Встречио-параллельные соединения типовых динамических звеньев
Передаточная функция
прямой цепи
Эквивалентная передаточная функция соединения
Обратная связь
жесткая отрицательная
жесткая положительная
гибкая отрицательная
нзодромная отрицательная
„ *h(V+1)
W = k
wa = ft.,
w» = ft».
v* =
где fta =
1+ftfto
где ft3 =
1 ~~" ККц
допустимо
f3s + Г'
где Тэ — ftftr
W,
k3s
»- T8s+1 '
где ft3 = -r- ;
ftft„<l
7"e = ти + ■
ftftn
W:
Ts+1
№"
wa
je fta =
T. ■:
ft3
T3s+1 '
ft
1 + ftfto '
T
Э 1+fefto
r
*э
8 r8s+l '
ft
где kg =
Г
Г
3 1—feftn '
допустимо
ftftn <1
^-TJTT'
где
7Э = Г + kkr
W
RaS
3 0^+0,8+ 1'
. 1 .
где ft3 = -r—,
o„ =
1 -f~ ftftn^H
ftftn

w =
k
Тф+Tjs+l'
где
T1>-2Ti
k
T2si _|_ 2\Ts + 1
где 0 < I < 1
7 = 25
k
где kg =
при
1 + fcfco '
« - ri •
0 l + fefeo '
I rl •
1 1 + &Й0 '
7-1
<272
/1 + Mo
соединение является
колебательным звеном
7ls2+2137>+l '
3 jA + fefeo
W = 2^
8 o0sa-Lais+ 1 '
где fe8 =
1—fefen '
при
"1_ 1—Лид '
допустимо
т
:<2Г2
/1—«о
соединение является
колебательным звеном
где
Т1Э = Т1 + **г
&э
Гэ О^ + UlS + 1 '
WB=-
где kg =
1 — fefen '
72
a, =
2gT
1_ 1 — kku '
допустимо
fefen< i;
при 1 — fefen<l2
соединение является
колебательным звеном
aus* + axs + 1 '
где о0 = Г2;
ot = 2\T + fefer;
при
fcfcr<2T(l — I)
соединение является
колебательным звеном

£
Продолжение табл. 2.4
Передаточная функция
прямой цепи
Эквивалентная передаточная функция соединения
Обратная связь
жесткая отрицательная
жесткая положительная
гибкая отрицательная
изодромная отрицательная
w _ MV+1)
w =
TV + 1
wa =
тЪ2+1
где ka =
Т..
1+Мо '
т
Vi + kk0
т-y + i
где k3 =
Т3
1 — kka
Т
Vl-kka '
допустимо
££п<1
VB =
э a0s2 -|- ats -f- 1 '
где о0 = Г2;
Oj = kkr;
при «£r<27\
№ = -
7V+1 '
где Аэ = -г-;
«о
Ta =
KRq
Эквивалентное
звено неустойчивое
где k3
1+i
И7Э =
где
тя-
Tas+l '
ь 1 .
ft3 = -z->
1 + kkBXa

w =
s(Ts+l)
Га=-
ClgS* + UjS + 1
1
где fta = -—;
1
при 21^jjj>l
№ =
ft(TS+l)
Гэ =
ft3(TS + 1)
T8s+1 '
1
где «а = -_;
«o
Гэ=т +
KKq
W = ks
где T9 = A£0
Гэ-5(Гэ5+1)'
To же
где k3 =
l+kkr '
T
To же
*а(Т5+1)
W3-S(Tas+l)>
где fta =
kkrx
_ fc3S(TS+l)
э o0sa + flls + I '
гдейз = —;
"о = ™л + ■
1
*» = ^2,2
fe
To же
ту + i ■
где Гэ = VkkT
kkyi
о1 = т+ти
W3 = ^S
Tgs+l '
где k3 =
3~ l + ft/s„ '
3 1 -T- kk«

Продолжение т а б л. 2.4
Передаточная функция
прямой цепи
Эквивалентная передаточная функция соединения
Обратная связь
жесткая отрицательная
*о = ко
жесткая положительная
гибкая отрицательная
изедромная отрицательная
W = ■
ks
Ts-\-l
Wa=-
ks
Tas+i '
где Tg=T+kk0
W„
ks
Tb'-
Wa =
где T3 = T — kkll;
допустимо
kka<T
3 OqS* -(- ttjS -j- 1 '
где o0 = kkr;
7'gS+l '
где kB =
3 l + kkH '
Г + ftft„T„
Гэ 1+««
№ =
Ts— 1
w
r
J —
«g -
«^
TBs + 1
k
~ kk0~
T
J
1
.
kk0— 1 •
допустимо
fcfco> 1
!?. = ■
fa
o0s2 + ots -f 1
где a0 = T;
«! = £/гити — 1
допустимо

w =
k
OoS2 -(- axs — 1
k
a0s2 — axs -(- 1
~~ а0э«2 + o19s + 1'
а2Э~ ftfto-1 '
допустимо
ftft<J> I
—
ft
где а1Э = kkr — 1;
допустимо
kkr> 1

щих устройствах (см. п. 8.3) и создаются в большинстве случаев из
резисторов и конденсаторов (см. п. 8.5).
Охват идеального дифференцирующего звена какой-либо
обратной связью явно нецелесообразен, так как создается
инерционность, но охват реального дифференцирующего звена жесткой
положительной обратной связью ведет к уменьшению
инерционности и, следовательно, может быть весьма полезен.
Несомненно, полезны обратные связи, устраняющие
неустойчивость позиционных звеньев. Неустойчивое апериодическое звено
с жесткой отрицательной или изодромной обратной связью
представляет собой устойчивое позиционное звено соответственно
первого или второго порядка. Жесткая или гибкая отрицательная
обратная связь устраняет неустойчивость позиционного звена
второго порядка.
Рассмотрено влияние лишь простейших обратных связей.
Могут создаваться и сложные обратные связи, которые
весьма разнообразно изменяют свойства типовых динамических
звеньев.
Для получения новых свойств пользуются и попарным
параллельным соединением типовых динамических звеньев. Естественно,
параллельное соединение осуществимо только для таких
элементов, у которых входные величины одинаковой физической природы
и выходные величины также физически одинаковы, но, возможно,
отличаются от входных.
В табл. 2.5 указаны соединения, наиболее интересные для
инженерной практики.
Дифференцирующие свойства проявляет параллельное
соединение звена с инерционными свойствами (апериодического первого
или второго порядка или колебательного) и идеального
усилительного звена. Пусть, например, параллельно с усилительным
соединено апериодическое звено первого порядка с передаточным
коэффициентом kt = а&2. Тогда постоянная времени Тг определяет
инерционные свойства соединения и постоянная времени т9 =
= 7\/(1 4- а) определяет его дифференцирующие свойства, т. е.
дифференцирующие свойства проявляются на более высоких
частотах, чем инерционные.
Параллельное соединение идеального интегрирующего и
безынерционного звеньев представляет собой изодромное звено первого
порядка, создаются дифференцирующие свойства в некоторой
полосе частот. Аналогичные свойства присущи параллельному
соединению реального интегрирующего и безынерционного звеньев.
При параллельном соединении изодромного и безынерционного
звеньев увеличивается время изодрома, следовательно,
уменьшается частота, при которой начинают проявляться
дифференцирующие свойства.
При параллельном соединении апериодического звена с
интегрирующим или изодромным также возникают дифференцирующие
свойства.
68

Таблица 2.5
Параллельные соединения типовых динамических звеньев
Передаточные функции
параллельно соединенных звеньев
Эквивалентная передаточная
функция соединения
г1 =
7>+1 '
№» = £»
где k3 = К -f- k2; тэ =
при k2 = — ky W9 = —
TlS+l '
АЛ
TlS+l '
где &9 = &1Т1
rt
*1
W2 = k2
w _ k3(b^ + blS+l)
3 Ttf + Tns+I '
где Ai =*! + *,; *0=-^J|
*!=■
^1 + ^2
r1 =
A.
7V + 2^X^+1 '
*.(ф8+2С,у+0
где £э = *i + kt\
W3 =
. + *2 *
при kz~ —kt
w = _ __iiiM±ili__
r?s2 + 2|1r1s+l '
т.
где £э = 2|1T1ft1; тэ = ■
26i
^i
_ *1
Г»=£,
*i(t»>+1)
s
&2
*1
W, = ft»
Гэ= s(rlS+D '
где ft.-Mi; b^b.
w,
_ MV+1),
r„ = *2
w3 =
Mw+i)
rw,'=t'+]f
69

Продолжение табл. 2.5
Передаточные функции
параллельно соединенных звеньев
Эквивалентная передаточная
функция соединения
W1 = k1s; №2 = ft2
*!
W9 = кг (TsS + 1), где тэ = -г
W,
_ fei(V — 1)
7\s+l '
W'2 = ft2, где ft2>ft!
и^э = —т, „ , , ,
7V+1
где
ft]Tl "Г ^2^1
Aj2 «j
*•=£: *•—f&T
Wa~ s(T#+l) ' гдеТэ-Гг + ^
w1 =
k1(T1S+ 1),
s
ft,
7'2s + 1
ft^y + V+1)
s(T2s+l) '
где b0 = xtT2\ b1 = x1+Ti+^-
W1 =
ftts
7\s+l '
fta
T2s + 1
W3 --=
(TiS+lXT^+l)'
где6о^А^; * = rH£
w, =■
Т^ТГ' где
ft2 > ftx и Т2 <
Wi =
fets
TlS+I '
r,
ft.
Гэ
где ft3-= ft2 —ftj; b,
bi
ft3(fe»s2 + V+l)
(rlS+l)(T2s+l)'
ftiTi^a .
K2 Kj
M+ftaTV-^r»
Гэ
ftt(VM ^+0
s(TlS+I)
где *0=--|p *1=Г,
Wi
^i =
где ft2>
ftl (TiS — 1 ) .
tv-i-i '
ft2 (t2s + I)
fti
7Ч+-Ч
.„ ^ ft2 (V2 + V + l)
s(7lS+l)
где b0 = гаГ! ■
ftlT]
*i = Tx + т2 —
*i
70

Если к интегро-дифференцирующему звену, передаточная
функция которого имеет положительный нуль, присоединить
параллельно безынерционное или апериодическое звено, то
полученное соединение будет минимально-фазовым звеном.
Следует заметить, что сложными соединениями типовых
динамических звеньев являются, например, электрические машины и
аппараты, широко используемые в системах автоматического
регулирования [119, 109].
2.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
ЭЛЕМЕНТОВ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Составление дифференциальных уравнений объектов
регулирования, прежде всего технологических, а также некоторых
исполнительных и усилительных элементов представляет собой сложную
задачу или даже задачу, решаемую лишь с существенными
допущениями, т. е. весьма приближенно. В этих случаях оказывается
целесообразным составлять математическое описание элемента на
основании эксперимента.
Экспериментально определяют частотные характеристики
элемента или его переходную характеристику (при неединичном
входном воздействии характеристику называют кривой разгона).
Чаще всего определяют переходную характеристику, что несколько
проще. По переходной характеристике может быть составлена
передаточная функция и определена амплитудно-фазовая
характеристика. Естественно, что неизбежны погрешности как при снятии
экспериментальной характеристики, так и при ее аппроксимации.
Однако погрешности оказываются допустимыми для инженерных
расчетов.
Процесс экспериментального исследования промышленного
объекта состоит из трех этапов [1-; 4]: планирования и подготовки
эксперимента, проведения эксперимента и обработки результатов.
Обработка экспериментальной переходной характеристики
заключается в ее сглаживании и аппроксимации. Сглаживание
оказывается необходимым для устранения разброса измерений, т. е.
для приближения их к истинным значениям. Этот разброс
создается различными причинами и прежде всего помехами,
действующими на процесс.
Для сглаживания используют ряд методов 11,4]. Простейшими
и наиболее применяемыми являются следующие.
Метод скользящего среднего (скользящего усреднения) [4].
Принцип метода заключается в выравнивании экспериментальных
данных путем вычисления средних арифметических значений по
небольшому числу / измерений.
Число / удобно выбирать четным. При общем числе измерений
п < (20 -ьЗО) первоначально следует выбрать 1 = 2. Если
сглаживание оказывается недостаточным, то значение / нужно постепенно
увеличивать. При л > (100 -г-150) можно выбрать первоначально
71

/ = 0,In и затем прги необходимости его постепенно увеличивать.
Осреднение осуществляется по формуле
1 т
н<=тпЛЛ- (2-41)
где hi+y — измеренное значение (/ + v)-fi ординаты
характеристики; nt — осредненное значение ее i-ii ординаты.
Основное внимание при использовании данного метода должно
быть обращено на выбор числа /. При слишком малых значениях
/ выравнивание экспериментальных данных может оказаться
недостаточным, а завышение значения / может привести к искажению
характеристики. Следует также иметь в виду, что при сглаживании
теряются точки с номерами i = 0, 1,2 (1/2 — 1), п — (1/2 +
+ 1), п — (1/2 + 2), ..., п. Это недопустимо, так как начальный
участок характеристики определяет структуру искомой
передаточной функции, а конечный — передаточный коэффициент элемента.
Для предупреждения потери точек характеристики следует делать
несколько замеров до начала переходного процесса и = —1/2,
—(1/2 + 1) —1 ] и после его окончания.
Метод четвертых разностей. Для сглаживания по каждым
пяти соседним измерениям с помощью метода наименьших
квадратов строится парабола второго порядка [4] и ее средняя точка
принимается за точку сглаженной характеристики:
Л, = -1. (-Я,_а + 4Я,_1 + 6Я, + 4ЯШ - Я(Ч2), (2.42)
t = 2, 3,..., л —3, п — 2.
Для определения двух первых и двух последних точек
характеристики используют приближенные формулы
\ = ■!■ (9Я0 + 13ЯХ + 12Я2 + 6Я3 - 5Я4);
[ (2-43)
Возможно двукратное применение метода. Особенно хорошие
результаты дает метод, если сглаживаемая переходная
характеристика соответствует решению дифференциального уравнения
порядка выше первого.
Аппроксимация переходной характеристики. Эта задача может
иметь ряд решений. Различными бывают и требования к точности
аппроксимации. Все это обусловило существование большого
числа методов определения передаточной функции элемента по его
экспериментально полученной переходной характеристике (или
72

кривой разгона). Эти методы [4 ] различаются по структуре
передаточной функции по используемому математическому аппарату.
Для оценки аппроксимации можно использовать величину
б = тах'й^-у100°/0, *_1. 2.....1, (2.44)
где h (t{) и ha (t{) — значения переходной характеристики
соответственно экспериментальной и вычисленной по аппроксимирующей
передаточной функции; /, — моменты времени.
Достаточно выбрать / <: (Зч-б). Если б < (Зч-5)%, то точность
аппроксимации считают удовлетворяющей требованиям
инженерных расчетов. При использовании цифровой ЭВМ наивысшую
точность можно получить методом площадей [921.
При ручном счете чаще всего предполагают, что передаточная
функция имеет в знаменателе полином первой или второй степени,
а в числителе полином нулевой или первой степени. Рассмотрим
два метода расчета.
Прежде всего по экспериментальной характеристике
необходимо определить передаточный коэффициент k элемента
(устойчивого). Если снималась переходная характеристика, то
k = h (oo); (2.45)
если снималась кривая разгона, то
k = y (oo)/*, (2.46)
где х = const — входная величина; у (оо) — установившееся
значение кривой разгона.
Затем по виду характеристики следует выяснить, имеется ли
в исследуемом элементе чистое запаздывание, и определить время
6 запаздывания.
Некоторые методы, кроме того, требуют нормирования
экспериментальной переходной характеристики. Для этого значения
всех ее ординат нужно разделить на h (оо). Если снималась кривая
разгона, то после деления всех ее ординат на у (оо) также будет
получена нормированная переходная характеристика.
Метод площадей. При аппроксимации нормированной
переходной характеристики передаточной функцией
W = ^1±Rl!L /247)
W «„s' + tM+I ^Л1)
расчет после определения k и 8 заключается в следующем.
1. Определяют производную при t = 0. Если эта производная
равна нулю, то в передаточной функции (2.47) 6 = 0.
2. Ось времени характеристики делят на п равных малых
промежутков времени Л? так, чтобы в пределах каждого из них
отрезок характеристики можно было считать прямолинейным.
73

Таблица 2.6
Значения подынтегральных функций
X
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
5i2
0,960
0,921
0,882
0,843
0,805
0,767
0,730
0,693
0,656
0,620
0,584
0,549
0,514
0,479
0,445
0,411
0,378
0,345
0,312
0,280
0,248
0,217
0,186
0,152
0,125
0,095
0,066
0,037
0,008
—0,020
—0,048
—0,075
—0,102
X
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
i-2*+i-
—0,129
—0,155
—0,181
—0,206
—0,231
—0,256
—0,280
—0,304
—0,327
—0,350
—0,373
—0,395
—0,417
—0,438
—0,459
—0,480
—0,500
—0,520
—0,539
—0,558
—0,577
—0,595
—0,613
—0,630
—0,647
—0,664
—0,680
—0,696
—0,711
—0,726
—0,741
—0,755
—0,769
X
1,34
1,36
1,38
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
1,92
1,94
1,96
1,98
X2
—0,782
—0,795
—0,808
—0,820
—0,832
—0,843
—0,854
—0,865
—0,875
—0,885
—0,894
—0,903
—0,912
—0,920
—0,928
—0,935
—0,942
—0,949
—0,955
—0,961
—0,966
—0,971
—0,976
—0,980
—0,984
—0,987
—0,990
—0,993
—0,995
—0,997
—0,998
—0,999
—1,000
X
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,20
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,48
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
Xs
—1,000
—1,000
—0,999
—0,998
—0,997
—0,995
—0,993
—0,990
—0,987
—0,984
—0,980
—0,976
—0,971
—0,966
—0,961
—0,955
—0,949
—0,942
—0,935
-0,928
—0,920
—0,912
—0,903
—0,894
—0,885
—0,875
—0,865
—0,854
—0,843
—0,832
—0,820
—0,808
—0,795

3. Определяют и заносят в таблицу начальное значение А (0)
характеристики, ее значения A (i) в конце каждого t-ro
промежутка времени А* и разности 1 — А (С).
4. Вычисляют вспомогательную величину
Fl==At
Г [1 - А (»)]-0,5 [1-А (0)] . (2.48)
£=0
5. Подсчитывают и заносят в таблицу значения
40 = -^; 1-40 и [i-A(i)][i-M01-
6. Вычисляют вспомогательную величину
F* = F\ А* { _£ [ 1 - А (0] 11 - Я. (01 - 0,5 [ 1 - А (0)]}. (2.49)
7. Если Ь = 0, то коэффициенты передаточной функции
оказываются уже определенными:
аг = Fj и а0 = Fa.
8. Если ft Ф 0, то подсчитывают и заносят в таблицу значения
1-2Ц0 + -^- и [l-ft(i)] [1-2Ц<) + -^-]. (2.50)
При этом могут быть использованы данные табл. 2.6.
9. Вычисляют вспомогательную величину
Fi = FlAt\^i[l-h(i)[l-2K(i) + ^f] -0,511-А(0)].
(2.51)
10. Определяют коэффициенты передаточной функции:
Ь = F3/Fz; al = F1 + b; a0 = F2 + М^. (2.52)
11. По аппроксимирующей передаточной функции находят
переходную характеристику Ла, пользуясь табл. 4.1. Затем на
основании формулы (2.44) оценивают точность аппроксимации.
В случае недостаточной точности расчет повторяют при меньших
значениях At.
Пример 2.6. Установившееся значение кривой разгона промышленного
объекта, снятой при х = 5А, равно 120 °С. Полученная при этом сглаженная
нормированная переходная характеристика изображена на рис. 2.11 кривой /.
Требуется аппроксимировать эту характеристику передаточной функцией вида (2.47).
По формуле (2.46) передаточный коэффициент
120
fc = -i|l=24°C/A.
Из характеристики следует, что объект имеет чистое запаздывание и время
запаздывания 6 = 1 с.
75

Рнс. 2.11. Переходные характеристики:
/ — экспериментальная; 2 и 3 — вычисленные по аппроксимирующим формулам
Отсчет времени F начинаем от момента ? = 1 с и расчет ведем по ранее
изложенной методике. Выберем А(=2 с и определим h (i) и 1 — h (t). Результаты
занесем в табл. 2.7.
По формуле (2.48) вспомогательная величина
Рг= 2(8,105—0,5)= 15,21.
Теперь можно подсчитать значения Я (»), 1—Я (») и [1 — ft(t')] [1 —
— Л (/)!. Результаты заносим в табл. 2.7.
По формуле (2.49)
F2 = 15,21?-2 (3,224—0,5) = 82,55.
Таблица 2.7
Определение аппроксимирующей передаточной функции
методом площадей
76

Таблица 2.8
Оценка точности аппроксимации переходной характеристики
?, с
0
5
10
15
20
25
30
35
А (?)
0
0,115
0,300
0,520
0,710
0,860
0,955
0,998
*а <?>
при
0
0,098
0,312
0,526
0,702
0,828
0,911
0,960
Л (?) -
-Аа(?)
Ь= 0
0
0,017
—0,012
—0,006
0,008
0,032
0,044
0,038
ha(i)
прн
0,002
0,085
0,324
0,560
0,740
0,859
0,933
0,973
ft (?) -
-haU)
Ь Ф 0
—0,002
0,030
—0,024
—0,040
—0,030
0,001
0,022
0,025
Если принять, что при t = 0 производная переходной характеристики равна
нулю, то Ь = 0 и по формулам (2.52)
ot = 15,21 и во = 82,55.
Следовательно, значащая часть нормированной переходной характеристики
аппроксимируется передаточной функцией
1 1
W
' 82,558» +15,21s+l
где Т = 9,08 с и | = 0,838.
Пользуясь формулами поз. 77 табл. 4.1, составим аналитическое выражение
значащей части нормированной переходной характеристики:
ha (?) = 1 - 1,90е-°-092' sin (0,058* + 0,562).
Несколько значений характеристики йа(У), вычисленных по этому
выражению, занесены в табл. 2.8, и характеристика изображена на рис. 2.11 кривой 2.
По формуле (2.44) точность аппроксимации б = 4,4%.
Предположим, что производная переходной характеристики при t= 0 не
равна нулю, и продолжим расчет, занося его результаты в табл. 2.7. Затем,
пользуясь формулами (2.51) и (2.52), определим
F3 = 15,218-2 (0,713 - 0,5) = 98,18; Ь = j^T = -1,19;
о1 = 15,21 —1,19 = 14,02; о0 =82,55 — 1,19-15,21 =64,45.
Следовательно, значащая часть нормированной переходной характеристики
аппроксимируется неминимально-фазовой передаточной функцией
-1,195 + 1 ts+1
64,45s!» + 14,02s +1 TW + 2gTs + 1'
где т= —1,19 с; Т= 8,03 с и |= 0,873.
По формулам поз. 78 табл. 4.1,
ha (?) = 1 — 2,31е-°'109' sin (0,061* + 0,447).
Значения ha (f), вычисленные по этому выражению, занесены в табл. 2.8,
и характеристика изображена на рис. 2.11 кривой 3. Точность аппроксимации
б = 4%.
Следует выбрать вторую аппроксимирующую передаточную функцию, так
как она дает несколько большую точность на конечном участке характеристики.
77

л hzu
¥•
0,35
0.30
_
0?5
0,20
П1Ч
-0,90
fW
0,88
0,87
0,86
V
ч
0
V
s
о,
—
Ч^
>
У/
2
'—|
—
\l
4
, ,
-..
—
\>20
^
-A ^
~/7j
^
ж
S
^
0
у
Щ
¥
0
—
,6
—
о,
8
—
ф
&
*8
0,550
0,525
0,500
0,475
Zz
Рис. 2.12. Номограмма
интерполяционного метода
аппроксимации переходных
характеристик
Метод площадей позволяет отыскать аппроксимирующую
передаточную функцию и переходную характеристику нейтрального
элемента. Порядок расчета для этого случая изложен в
справочнике [1].
Интерполяционный метод [4]. По нормированной переходной
характеристике устойчивого элемента определяют постоянные
времени Тх и Тя аппроксимирующей передаточной функции
W =
fee"
-0s
(7V+l)(r2s+l)
(2.53)
Сначала по рассматриваемой характеристике находят время t7,
при котором ордината h (t7) = 0,7. Затем вычисляют время *4 =
= -g- t7, находят значение переходной характеристики h (Q = ft4
и по номограмме (рис. 2.12) определяют значения z2, h8 и ft20,
соответствующие найденному значению ft4. Теперь можно
определить искомые постоянные времени по формулам
7\--Й-(1-|-2) и Г2 = ^-(1-2).
(2.54)
Величины h8 и h20 используют для проверки точности
аппроксимации путем их сравнения с ординатами переходной
характеристики соответственно при ts = 2tt и tw -— Ы.. Допустимая
погрешность 3-6%.
Может оказаться, что ft4 меньше того минимального значения,
которое имеется на номограмме рис. 2.12. Это означает, что
рассматриваемая переходная характеристика не может быть
аппроксимирована передаточной функцией (2.53). Тогда следует обратиться,
например, к методу площадей.
78

Математически
описание линейного
элемента (СА Р)
Рис. 2.13. Варианты математического описания линейного элемента (САР) и их
взаимосвязи
* # #
Варианты математического описания (математической модели)
линейного элемента: его свойства полностью определяются
дифференциальным уравнением, передаточной функцией, временной
характеристикой (переходной или импульсной) или же амплитудно-
фазовой частотной характеристикой (ей равноценны амплитудная
и фазовая частотные характеристики), показаны на рис. 2.13. Все
эти варианты описания справедливы и для линейной САР в целом.
Математическое описание можно получать путем анализа
физических, химических и иных процессов, происходящих в элементе,
или экспериментально. В последнем случае определяется
временная (чаще всего, переходная) характеристика или частотная
(обычно амплитудно-фазовая) характеристика. Некоторые варианты
математического описания взаимосвязаны (рис. 2.13).
Математическое описание элементов САР, построение ее
математической модели — это весьма важный этап исследования
системы. Излишне подробное математическое описание,
учитывающее несущественные для данной задачи свойства элементов,
усложняет решение задачи и может даже сделать ее неразрешимой.
Чрезмерное же упрощение математического описания, принятие
необоснованных предположений недопустимо, так как при этом
могут быть упущены существенные качества элементов и,
следовательно, процессов в системе. Таким образом, при математическом
описании действуют два противоположных стимула, и необходимо
осторожное разрешение этого противоречия.

Глава 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ
ФУНКЦИЙ СИСТЕМ
При инженерных расчетах весьма полезны и широко
используются структурные схемы САР, которые показывают строение
систем, точки приложения внешних воздействий и пути
распространения сигналов. Приемы построения структурных схем были
рассмотрены в п. 2.3.
Структурная схема САР используется прежде всего для
определения ее передаточных функций. Последние позволяют выяснить
динамические свойства системы, возможность воспроизведения
задающего воздействия с одновременной компенсацией влияния
возмущений. Кроме того, структурная схема полезна и при
синтезе — при выборе путей улучшения свойств системы.
Структурные схемы разделяются на одноконтурные (рис. 3.1),
имеющие только основную обратную связь, и многоконтурные,
имеющие кроме основной еще и местные обратные связи (см.
рис. 2.4).
В настоящей главе показано, какими передаточными функциями
характеризуется каждая САР, и дано представление о том, как они
используются при расчетах. Основное внимание обращено на
методы определения передаточных функций.
Для несложных структурных схем эффективен метод, при
котором составляют уравнения, связывающие изображения всех
переменных системы, исключают изображения промежуточных
переменных и по полученному уравнению определяют передаточные
функции.
Общим методом является преобразование структурной схемы
в эквивалентную одноконтурную, составление передаточных
функций которой не вызывает затруднений. Необходимые для этого
правила детализированы и сведены в таблицу. Недостаток метода
структурных преобразований заключается в необходимости
вычерчивания структурной схемы почти после каждого этапа ее
упрощения. Это делает данный метод громоздким, особенно при сложных
структурных схемах. Поэтому наиболее сложные структурные
схемы целесообразно рассматривать как своеобразные графы и
определять передаточные функции с помощью формулы Мезона.
80

Ш4-
Рис. S.l. Структурная схема од-
ноконтурной САР
/ft),—-п 1 | л
>—- Wz(s) -»®-» Wt(S)
W(s)
3.1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ САР
Для расчетов обычно необходимы передаточные функции
разомкнутой САР, а также передаточные функции замкнутой САР
относительно задающего воздействия, относительно каждого из
возмущений и для ошибки слежения. Определим, что представляют
собой эти передаточные функции, и найдем их значения для
одноконтурной САР (см. рис. 3.1). Элементы этой схемы имеют
следующие передаточные функции:
W, = kLR,/Qu W2 = WQ2 и W0 = knRJQ0, (3.1)
где ki, k2 и ku — передаточные коэффициенты; Rt и Q,- —
нормированные полиномы от s (некоторые из них могут быть равными
единице).
Передаточная функция разомкнутой САР
W = YJG (3.2)
есть отношение изображения Y0 сигнала обратной связи у0
к изображению G задающего воздействия g. При этом контур
регулирования предполагают разомкнутым около элемента
сравнения, как показано на рис. 3.1 волнистыми линиями. Для
рассматриваемой САР
W = W0WiW, = kR/Q, (3.3)
где k= k0k±k2 — передаточный коэффициент разомкнутой САР;
R = R0RiR2 и Q = Q&Q,.
Передаточная функция W характеризует собственные
динамические свойства системы и позволяет определить ее устойчивость
(см, гл. 6), а также выбрать корректирующие устройства (см.
гл. 8 и 9) для улучшения свойств системы.
Для определения устойчивости используют и
характеристический полином/) системы, равный сумме числителя и знаменателя
передаточной функции ИР*разомкнутой системы:
D = kR +Q. (3.4)
Удобно пользоваться нормированным характеристическим
полиномом
B-«f$f. (3.5)
81

если полином Q имеет свободный член, и равенством
D = ^ = l + R, (3.G)
если в полиноме Q нет свободного члена.
Передаточная функция замкнутой САР относительно
задающего воздействия
Wg = YIG (3.7)
есть отношение изображения Y регулируемой величины у к
изображению задающего воздействия. При этом рассматривается
замкнутая система и предполагается, что других внешних воздействий нет.
Для САР со структурной схемой, изображенной на рис. 3.1,
w _ УгУя _ W^Wt _ kgRg ,„ fi.
w8— i+r — l+WoWJPi D ' к° '
где kg = k^k2/(\ + k) — передаточный коэффициент системы
относительно задающего воздействия (если в полиноме Q нет свободного
члена, то kg = \lk0)\ Rg = tfjtfaQo-
Передаточная функция Wg характеризует передачу системой
задающего воздействия, его воспроизведение регулируемой
величиной. Воспроизведение тем лучше, чем ближе значение Wg
к идеальному: Wg = \lk0.
Передаточная функция замкнутой САР для ошибки слежения
Wx -= X/G (3.9)
есть отношение изображения X рассогласования х — g — у0
к изображению задающего воздействия при отсутствии других
внешних воздействий. У рассматриваемой системы
№ =- L_ ~ ' — kxRx СЯ Ю)
Wx 1 + Г— 1+WcW^z — D ' \o.ivt
где kx = 1/(1 + k) — передаточный коэффициент системы для
ошибки слежения (если в полиноме Q нет свободного члена, то
kx = 1/ft); Rx = Q0QiQz.
Передаточная функция Wx, как и Ws, хараюеризует
воспроизведение регулируемой величиной задающего воздействия
(отработку задания). Воспроизведение тем лучше, чем ближе значение
Wx к идеальному: Wx = 0.
Передаточная функция замкнутой САР относительно
возмущения
Wf=Y/F (3.11)
есть отношение изображения регулируемой величины к
изображению F возмущения /. При этом предполагают, что других внешних
воздействий нет. Для рассматриваемой системы
W - Wi - *t - ktRt И 1 «Л
' " 1 + W ~ l + W0WxW2 ' D ' ' ;
82

где kf =?fcx/(l + A') — передаточный[коэффициент системы
относительно возмущения (если полином Q не имеет свободного члена, то
k{ =i,i/M2); Rf = RiQoQ*-
Передаточная функция Ws показывает влияние возмущения на
регулируемую величину. Возмущение отклоняет ее от заданного
значения и уменьшает трчность воспроизведения задающего
воздействия. Это вредное влияние возмущения тем меньше, чем ближе
значение W; к идеальному: Wf — 0. Если на систему воздействует
несколько возмущений fv /2, ..., то определяются передаточные
функции WXf, li72/, ... относительно каждого из них.
Следует заметить, что знаменателем всех переходных функций
замкнутой системы является ее характеристический полином.
Передаточные функции Wg и Wf позволяют определить
составляющие изображения Y регулируемой величины, создаваемые
соответственно задающим воздействием и возмущением. В
линейных системах справедлив принцип суперпозиции и поэтому
изображение регулируемой величины равно алгебраической сумме его
составляющих:
Y = WRG + WfF. (3.13)
Второе слагаемое чаще всего отрицательное.
Аналогично по передаточным функциям Wx и Wf можно
определить изображение рассогласования:
X = WXG+ WUW[F. (3.14)
По равенствам (3.13) и (3.14)можно составить дифференциальные
уравнения системы для регулируемой величины и для
рассогласования (ошибки). Конечно, это может быть целесообразным только
в том случае, когда передаточные функции некоторых элементов
системы были определены экспериментально.
В большинстве случаев передаточные функции САР
используются для определения временных (в частном случае статических)
и частотных характеристик. Вычисление, исследование и
применение этих характеристик рассматриваются в последующих главах.
Иногда необходимы передаточные функции, выражающие
зависимость изображения какой-либо промежуточной величины САР
от изображения внешнего воздействия или другой промежуточной
величины. Например, передаточная функция WiX = Z/X, где
Z — изображение регулирующего воздействия z — определяет
закон регулирования. В САР со структурной схемой,
изображенной на рис. 3.1, W2X = W2-
В ряде случаев основная часть структурной схемы представляет
собой последовательное соединение динамических звеньев, а один
ее участок имеет сложное строение. Таким участком обычно
является регулируемый объект или объект и исполнительный
элемент. Некоторые из возможных структурных схем сложных
объектов (с одной регулируемой величиной) приведены в табл. 3.1,
83

Таблица 3.1.
Структурные схемы и передаточные функции~регулируемых объектов
■U- W,
rJL
w,
Эквивалентная структурная
схема
Структурная схема
объекта
Передаточные функции объекта
W1 -r- Га;
Wlf^W6Wa\ Гв(1 + Гг)
^i = ^а (1 + W2);
Wlf=Wb+W^Wa{l + WT)
П^-ГоГв + ГаО + ПМ;
wlf = гв
Wlf = WB(l-\-Wr)
Wt = Га + Гб;
Г!/ = Гг + Гц
rl = ra(I + rBWr) + r6;
Га(1 + Г6Гг) .
Н^Г
_ГгО_+_ГаГб)_
1 — WaW6WBWr

Продолжение табл. 3.1.
Структурная схема объекта
Передаточные функции объекта
W1 = Wa;
W1 = Wa;
Wlf - WrWa + Гб -I- W„
Wl = Wa{\ + WT);
^if = ^в+ Wc(l + ^r)
rt = Га + Гг (Гб + Гв);
rxf = Гб + Гв
rlf = rB
rlf = rB
W1 = Wa+W6(l + Wr);
Wlf = WB(l + Wr)
Wlf = Гв + Гг (Га + Гб)
Гх = Wa;
Wy = Wa;
Wlf = Wa (Wr + ГбГв) + WB
Wlf = Wj,[l + WaW6(l + Wr))

Продолжение табл. 3.1.
Стр>кгурная схема объекта
Пе| едаточные функции объекта
щ
Wlf = WB(l + WaW6)
Wlf = Гв
W, =Гв(Гг+ГаГб)|-Га;
Wlf = Гв
W, -Га[1-г-(1Н-Гг)ГбГв];
Wlf = Гв (1 + Гг)
^1 = ^а(1 + ^б^в);
wlf = ги + (1 + гвгб) гагг
Wi = (^а + ^в) We + WBWr:
Wif = WB (Гг + Гб)
Г1 = Га(Гб + Гг);
rlf = (lFa + Гв) Гг + ГаГб
Г1 = гагб + гг(1 + №б);
Wlf = WBWr(l\ Гб)
г,
= гг
г1 =
rif
Г1
rxf
Г if = WBWr
Га (Гб + WBWr) .
1 — WBWr
ГвГг(1 + Гб)
1 — WBWr
rar6
i — rar6wB '
r6
1 — ГаГбГи

там же даны значения передаточных функций Wx и W\f
эквивалентной схемы.
Используя данные табл. 3.1, передаточные функции W, We
и Wx системы можно определять соответственно по формулам
(3.3), (3.8) и (3.10), а передаточную функцию относительно
возмущения по формуле
Может оказаться, что схема, интересующая читателя,
отличается от одной из помещенных в таблице лишь знаком выходной
величины какого-то звена W{. Тогда в передаточных функциях
W1 и WXf эквивалентной схемы нужно изменить на обратные знаки
у всех слагаемых, которые имеют Wi своим сомножителем. Может
также оказаться, что схема отличается отсутствием звена с
передаточной функцией Wk. Если вместо этого звена разрыв, то все
слагаемые, имеющие сомножителем Wk, нужно принять равными
нулю. Если вместо звена Wk соответствующие точки соединены
непосредственно, то №/г = 1.
В большинстве случаев структурные схемы САР содержат
местные обратные связи внутри регулятора или от регулируемого
объекта к регулятору. Встречаются и параллельные соединения
динамических звеньев в регуляторе. Все такие схемы являются
многоконтурными.
Некоторые многоконтурные структурные схемы и передаточные
функции этих САР приведены в табл. 3.2. Если рассматриваемая
структурная схема отличается от одной из имеющихся в табл. 3.2
знаком выходной величины или отсутствием какого-либо звена, то
нужно поступить так же, как было сказано ранее в отношении
табл. 3.1.
Схемы, приведенные в табл. 3.1 и 3.2, не исчерпывают всего
многообразия структур регулируемых объектов и многоконтурных
САР. Для схем, не приведенных в указанных таблицах, задача
определения передаточных функций может быть решена одним из
следующих методов.
Если структурная схема САР несложная, то можно составить
уравнение, связывающее изображение регулируемой величины
с изображениями внешних воздействий. Следует последовательно
осматривать схему, начиная с регулируемой величины и двигаясь
против направления передачи сигналов. От каждого сумматора
схему необходимо осматривать в нескольких направлениях: до
какого-либо из внешних воздействий или до регулируемой
величины. При этом изображение выходной величины каждого звена
выражается через его передаточную функцию и изображение
входной величины, а изображение суммы нескольких слагаемых
выражается через сумму их изображений. Постепенно
исключаются изображения ; промежуточных переменных и получается
искомое уравнение *
87

Таблица 3.2.
Структурные схемы и передаточные функции САР
с местными обратными связями
Структурная схема системы
Передаточные функции системы
Ws
W0W1W2 ,
wxw2
rz ' f ws'
где Г2 =
= 1 + W01Wj + W0W1W2
W =■
Г0ГгГ2Г3 .
1 + Г01^1^2 '
Wg
W\,
•Л*^Ьт-
где Г2 =
^\^W01W1W2+W0WlWiWi
W ■
WoVjrjr,
l + W01W2 '
vft =
WjW2
где Г2 =
14=^01^1+^0^1^8
1 + Г01Г2 '
r,r2r3
Гг(1н:Г01Г2)
r =
*>!=■
где Г„ =
l + Woi^+Wo^i^^s
38

Продолжение табл. 3.2.
Структурная схема системы
Передаточные функции системы
W =
Wg--
wfl =
l + W01W3 '
~~ ^2 ;
^2
где rs =
W =
r,=
1Ч=Г01№2
rtr2.
y,= »i('yW, гда
*2
ЧШ
r =■
rg =
WiW2W3
W»
rf
Г2 'ГДе№2
+ WoWjWtWs
9 x
\w.
Гй^
-Gub-
r =
Го^Га (№3 + Г4)
Wa =
rf =
Г2
где Г2 = 1=йГ01Г1Г2Г3
+ r0r1r2(Ws+r4)

Продолжение табл. 3.2.
Структурна* схема системы
Передаточные функции системы
1—Ш
w =
Wg-
V0Wjrjrb
w
h
X + W^Wi + W^WiW^
w
WoWiW^Wa
1—\Щ~
Wfl = w
Г,
H
= -фг-* , где Г3 =
W =
W0W1W2W3
*ft=-
где Wv =
= 1 + Г01Г1Г2й:Г02Г2 +
+ W0W1W2W3
W =
W0W1WtWs
l + Wo^iW^WoaWY
WiW2W3
r» = -
W,
rh =
вМ1+г02г2) .
2
4=r01r1r2+r02r2 +

Продолжение табл. 3.2'
Передаточные функции системы
WoWjWzWs
WtW2W3 _
Ws =
v.
wfl =
w,w
1^2
где Г2 = IT
=F (W01 + W02) W2
+ W0WtW2W3
w =
w
wh =
l=FW01W2=FW02W3'
WiW2Wa
^i(lTW02rs)
r.
где Г2 = It
±Woi«72zFr02r3 +
W =-
IFolF^jir,
1ТГ01Г2н=№02№3 '
^1(1ТГ01Г2ТГ02Г3)
w%
Vf
w.
где Г^ = 1ч=Г01Г2Т
±«702«7S+«70«7l«72«73
9

Продолжение табл. 3.2.
Структурная схема системы
Передаточные функции системы
W =-
ГоГ^аГз
WtW2W3
Wa =
W,
Wfl =
*h
[1Т(Г01+Г02)Г3]
W1W2(l=FW(nW^)
где Ws =
= 1Т(Г01 + Г03)Гз +
+ W0WtW2W3
W
W0W1W2W3
L*.*
l=F^oi^o»^i^»=F '
TV,
ws = —f—;
где Ws =
= \^Х701^02^^2^
=FW03W2+W0W1W2W3
W
Ws
=FW02W2
W1W2 (V, + Wt)
где Г2= lq=
=FW01W1W2WII=FW02W2 +
+ Г0Г1Г2(К>'з+«74)

Продолжение табл. 3.2.
Структурная схема системы
Передаточные функции системы
W =
W0W1W2(W3+Wi)
W1W2 (^з + W4)
w,- ri
w f jp »
где Г2 = 1Т
Г =
Го^Г^Гз + Г^
Г» =
И7!^ (Г3 + Г4)
W, =
r2
где Г2 =
■■ l^FW01W2TW02W2W^ +
+ W0W1W2(Ws+Wi)
S^-J
w =
W0W1W2(Wa+Wi)
we =
l=FW01W2=FW02W3 '
W\
rf
Wi (1ТГ01Г2ТГоаГ3)
где Г2 =
- lTWoiW2=FW02Ws +
+ Г0Г,Г2(Гз+Г4)

Продолжение табл. 3.2.
Структурная схема системы
Передаточные функции системы
W =
We =
ТГ02(Г3+Г4)'^
{ЖН
rf =
IF :
ТГ02(Г3+Г4)]
где Wz =
= 1тГ01Г2тГ02 X
Х(Г3 + Г4) +
+ W^IF, (Г3 + Г4)
? Л*
Х«*[^]н»-{^
4Kb
w =
Г»-=
H7fl =
Wf2
№2
где \Г2 --=
Tr03r1r2r3 +

Продолжениетабл. 3.2.

Продолжение табл. 3.2
Структурная схема системы
Передаточные функции системы
L-®
W =
=F W 03Г ДП^ГоЛ)
We =
*h =
w1
wh
где
№2
(iTr03r2r3)
IF
rxr2
r2 '
Г2 =
ТГо3Г2Г8(1тГ01Г1) +
w =
X (1ТГ03Г3)
r«
r1r2r3w4
X (1ТГ03Г3)
rf2 =
№2
где r2 = (lTroirt) X
X (I=FlFoiira)(I=Firo»r,)-b
+ ГоГ^аГзГ*

■*-»
Рис. 3.S. Структурная
схема многоконтуриой
САР
Пример 3.1. Определить передаточные функции САР относительно
задающего воздействия и возмущения, пользуясь ее структурной схемой (рис. 3.2).
Действуя указанным образом, получим цепочку равенств.
У W1Y1 = \rt { -F ■ [- YiB] - W1 {-F + Г2У2!
=r Wl (-f + W2 [Узв -\-Y„]) = \VX l-F + W2 [rsFs -|- vrtX])
,,ri{_F + r2[r3(X-|-yoi)-|-W4X]} =
= VT[-F + W2 [(W3 + Wt) (G - Y0) + WSW01Y2B]} =
- Vi [-F + Г2 [(Г3 + Wt) (G - Г0К) + W3WC, (f + Jl) ] } .
Следовательно:
Y=-V1F+ W2 [ПМГ3 + r4)(G-roF)+ ГНГ01(Г^ + У)];
[1- W01W2W3-\- Г0Й71Г2(Г3+ Г4)] У= Г^'ЛГзН- lFt)G —
— Гх (I — r01r,rs) F.
Искомые передаточные функции имеют следующие значения
We = -
Wf =
r2
w\
где Г2 = I
^oir2r3+HWMr3+r4)-
Для определения передаточной функции W разомкнутой
системы осмотр структурной схемы нужно начинать с выходной
величины у0 основной обратной связи при размыкании этой связи
около элемента сравнения и при равенстве нулю возмущений.
Чтобы определить передаточную функцию Wx для ошибки, схему
следует осматривать, начиная с рассогласования х и также при
отсутствии возмущений.
Изложенный прием определения передаточных функций САР
равносилен исключению промежуточных неременных из систем
уравнений ее элементов.
Более универсальным способом является преобразование
сложной структурной схемы в эквивалентную одноконтурную и
определение передаточных функций по формулам (3.3), (3.8), (3.10) и
(3.12). Кроме того, большие возможности дает применение формулы
Мезона.
3.2. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Структурную схему любой сложности путем последовательных
преобразований можно привести к эквивалентной одноконтурной.
Полученная одноконтурная схема будет эквивалентна исходной,
4 Макаров И. М.
97

если в ней указанные величины имеют такую же зависимость от
внешних воздействий, как в исходной. К таким величинам
относятся прежде всего регулируемая величина, рассогласование
(ошибка) н сигнал обратной связи.
Преобразование структурной схемы должно осуществляться на
основании правил, приведенных в табл. 3.3.
Прежде всего каждое имеющееся в схеме типовое соединение
звеньев (последовательное, параллельное и
встречно-параллельное) следует заменить эквивалентным звеном (табл. 3.3, поз. 1, 2
и 3). Затем целесообразно выполнить перенос точек разветвления и
сумматоров (табл. 3.3, поз. 4—8, 10—15), чтобы в преобразованной
таким образом схеме образовались новые типовые соединения
звеньев. Эти соединения опять должны быть заменены
эквивалентными звеньями, затем вновь может потребоваться перенос точек
разветвления и сумматоров и другие преобразования, указанные
в табл. 3.3. Для предупреждения ошибок следует вычерчивать
структурную схему после каждого этапа преобразований и
указывать на ней значения или символы вводимых эквивалентных
звеньев.
Пример 3.2. Определить передаточные функции САР, структурная схема
которой изображена иа рис. 3.3, а.
Рис. 3.3. Приведение миогоконтуриой структурной схемы к одноконтурной
8

Таблица 3.3
Правила структурных преобразований

Преобразование

Свертывание по
следова
тельного

соединения

Свертывание

раллельного
соединения

Свертывание
встречно-

параллельного

соединения
Перенос
точки

разветвления
через
звено
Перенос

сумматора через
звено
Структурная схема
исходная
irE№>-*&7
Ф*
а « 1 1 У
1— tv„ -*J
а) йТ^1
К
б) rfShtl"
У
"2
эквивалентная
«ЧЗЗт*-^-""'
4 Wi-lV/+lAi+...Wi,
**%£*
aU=tLw«=^
"T*-S4jJ=V|,'/

Продолжение табл. З.о

Преобразование
Структурная схема
исходная
эквивалентная

Перестановка
точек

разветвления
I—I у'
ь

Перестановка

сумматоров
С?г?гт
—•-*•&—Гг.
Перенос
точки

разветвления
через
сумматор
и,
и,\ \а2
и, т± * и
и, i * и,
Перенос
звена
через
звено
ггЕНКК-
W2 — W/
10
Перенос
прямой
связи
через
звеио
а)
Шл

Продолжение табл. 3.3
а
о
с
о
с
Z
10
11

Преобразование
Перенос
прямой
связи
через
звеио
Перенос
обратной
связи
через
звено
Структурип схема
ИСХОДИЛИ
(—ЧШ—1 +
б) jHKHilH»^
в) цНЖНМнЦ-
",«18*,
•Iffir^
•^а&*
в) ^Цг®*®-Т-г
t:—щ—J
ц^Г7ГЬй».ПЛ »»
эквивалентная
ИЛ,-—*
1—КШ—1+'
»*-ии НЖН
tf ,—, ,—.< У

Продолжение табл. .3.3
Преобра •
ЗОВ<1ИИС
Структурная схема
исходная
эквивалентная
12
Вынос
точки

разветвления из

параллельного

соединения
%
и=
W,
-*\wz
I—»-и
г)
+ и
L-Jh
Г—Н 1+ **=Щ±й/г
-Ж иь-и}
13
Вынос
точки

разветвления из
встречно-

параллельного

соединения
а) и
ш
а)
#
' 1 Wo H
■^—н w,
кк^
■*-■*:
'к- 1 + %Щ

Продолжение т ;i б л. 3 3

Преобразование
Структурная схема
исходная
эквивалеитиая
13
Выиос
точки

разветвления из
встречно-
парал-
лельиого

соединения
I W- -•
С
14
а)
б) Щ
W/
Вынос

сумматора из

раллельного

соединения
в)
w,= w,
/""2
103

Продолжение табл. 3.3

Преобразование
Структурная схема
исходная
эквивалентная
15
Выиос

сумматора из
встреч-
ио-парал-
лельиого

соединения
а)
к
' Via *
WK~
1 + %W,
в)
r^&jr
"J
r) ^^Ha1
IV/< = 4r \^L
16
a)
u
—»
^
kV£
W,
- Щ±Щ
w,
к г-H w,
Вынос
звена из

параллельного

соединения
б)
В) и
И4=
гц№г
1УК —■
W, |—®—^
-ж.
^^±1»;
104

Продолжение т а б л 3.3

Преобразование
Структурная схема
эквивалентная
Вынос
звена из

параллельного

соединения
г)
1 Щ | -I
к=1--
17
Вынос
звена
из ветре-
чио-па-
р ал л ель -
иого
соединения
С)
u Л 1 1 V
I— w„ *J
L_ w0 J
L__ w.-
w.
* Hi
Щ
IV.-IV,
w»
— IV, -J
w„
IV=
J
18
Перенос
прямой
снязи иа
соседнее
звено
а) Г
—L
*?
щ
~т±
HgK
w2
и
г* W,
W,
L. w2
.W2WJ
103

Пр о д о л же и ие таб л. 3.3

Преобразование
Структурная схема
исходная
эквивалентная
18
Перенос
прямой
связи иа
соседнее
звеио
б)
rS-u
19
а)
Перенос
обратной
связи иа
соседнее
звено
б)
20

Перестановка
звеньев
во
встречно -

параллельном

соединении
21
22

Включение
звена в
параллель-
пор
соединение
цЧ^-Щ
В ключе
ние звена
во
встречно-

параллельное

соединение
a) U Т*
W, ±1
W0
К-Щ

П р о д о л ж е и и о т а б л. 3.3
11реобра■
зоваиис
Структурная схема
исходная
эквивалентная
22

Включение звена
во
встречно-

параллельное

соединение
б;
т^Щ1
W/t/=w0;v^2--—
23

Включение
звена с
единичной

передаточной
функцией
U I Г ц
24
Замена
звена
встречно-

параллельным

соединением
а) U
W
С)
«-JU у
в) Л
^4jv}-£
и ^JS&T'f
W1=1.-W
~tra>=»-'
25
Замена


вательного
соединения
" гй№>7
та
/-W,
'о W, W2

Продолжение т'абл. 3.3
Преобра
зованне
26
Замена

параллельного

соединения
27
Замена
встречно-

параллельного

соединения
Структурная cxevi
исходная
а)
б)
Wz
а)
б)
I щ I—г-
'гквнвалешнаи
И/, У
а" Т- i=±i \ У
2гИ*&Т
w.=
'я J+W0w,
28

Разделение двух

сцепленных
контуров
%
щщ
л- w,tw2
Цй
Ж
^
Wt
б)
W
2и_
'k-i*%,w,

П р о д о л ж с и и е табл. 3.3
ПрсЙра-
Струк1>рная схема
исходная
■2Н

Разделение двух

сцепленных
контуров
")
"—&!
эквивалентная
и/. —I
w9
'—I we U—
—*i W'|—I
НМр><гЧ№
29

Свертывание
цепи с
прямыми
и
обратными
связями
Г^шг^ЩШТ!
**!
W,W2Wj
№№Е}т
г^
43
W*
Г
Wj
w3\1tWeWzWj
а~ w, -*-
109

Для решения этой задачи преобразуем заданную структурную схему в
эквивалентную одноконтурную. Прежде всего послед< вательное соединение звеньев
с передаточными функциями Ц7Х н W2 заменим эквивалентным звеном с
передаточной функцией
и встречно-параллельное соединение звеньев с передаточными функциями W3
и ^02 — эквивалентным звеном с передаточной функцией
№я =
W3
I + V„W,\'
Кроме того, перенесем (по направлению передачи сигналов) сумматор через
звено с передаточной функцией W4. При этом последовательно с звеном, имеющим
передаточную функцию Wb, а также последовательно с звеном, имеющим
передаточную функцию W01, необходимо включить (табл. 3 3, поз. 5, о) звено с
передаточной функцией Wt. Эги два последовательных соединения диух звеиьен
заменим экивалентнымн звеньями с передаточными функциями
У, = Г41176 и W10 = U701U?4.
В результате преобразований структурная схема упростилась (рис. 3.3, б).
Теперь участок цепи, параллельно которому включено с передаточной
функцией Wt, заменим эквивалентным звеном с передаточной функцией
Гц = I + Wt = I + WtWt.
Еще перенесем сумматор через звено с передаточной функцией Wa против
направления передачи сигналов. Согласно п. 5, б табл. 3.3, в цепь воздействия
возмущения f нужно включить звено с передаточной функцией
1 + W02W3
W,
W* W,
Структурная схема после этих преобразований изображена на рис. 3.3, е.
В схеме имеются последовательные соединения звеньев с передаточными
функциями Wt, Wn и W-!, W3. Заменяем последовательные соединения звеньями
с передаточными функциями соответственно
W13 = W9Wn = (I + WtWt) W0;
I + W02W3 *
Wu = W-,WS = ■
Полученная структурная схема показана на рис. 3.3, г.
В заключение заменим эквивалентными звеньями встречно-параллельное
соединение звеньев с передаточными функциями W-ц и W-к, и параллельное
соединение звеньев с передаточными функциями W4 и W13. Эквивалентные звенья
имеют соответственно следующие передаточные функции:
w Уы WtW,W9 .
Wlt = W4 + W13= Wt + WiWbW9 + Wt.
Структурная схема становится одноконтурной (рис, 3.3, д). Сопоставляя ее
со схемой, показанной на рис. 3.1, и пользуясь формулами (3.3), (3.8), (ЗЛО) и
(3.12), определяем передаточные функции рассматриваемой САР:
w-ww w W0WxWbW*(Wt + WtW,We + We),
w ~~ w°w™w™ - 1 + W02W3 — W„1W1W2W3Wl '
w _ У1.У11 *!*,*» (W* + WtWaWt + Wt).
5 l-f-lf Ws
110

V/ x •
' i+w ~ ws
где
Ц72 - I + W02W3 - WoiWiWiWsWt + WoWiW^W,, (Wt + WtWbW0 + W,).
В примере были сделаны простейшие структурные
преобразования. Обычно с их помощью и удается много контурную
структурную схему привести к одноконтурной. Более сложные структурные
преобразования из указанных в табл. 3.3 используются в тех
случаях, когда исследуемую структурную схему нужно привести
к известной, ранее исследованной.
3.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРАФОВ
Передаточные функции сложной многоконтурной САР можно
определить по структурной схеме без приведения ее к
одноконтурной, если использовать метод теории графов.
Структурную схему САР можно рассматривать как один из
видов графа, и для определения передаточных функций
пользоваться формулой Мезона:
Г« = -^Ф > <3-15)
где WiX — отношение изображения Z переменной z к изображению
X переменной х\
Ф= 1
Hj— передаточная функция разомкнутой цепи t-ro замкнутого
контура структурной схемы; гх — число замкнутых контуров
в схеме; Н2 — произведение передаточных функций разомкнутых
цепей 1-й нары несоприкасающихся замкнутых контуров; г2 —
число пар несоприкасающихся контуров; Н3,- — произведение
передаточных функций разомкнутых цепей t-й тройки
несоприкасающихся контуров; г3 — число троек несоприкасающихся
контуров; Н; -- передаточная функция t-й прямой цепи от переменной х
к переменной г; г — число прямых цепей от х к z; Ф,- — функция
Ф для той части структурной схемы, которая не соприкасается
с i-й прямой цепью от х к г.
Формула (3.15) позволяет без преобразования структурной
схемы САР определить любую ее передаточную функцию, т. е.
отношение изображения одной из переменных (обобщенных
координат) к изображению внешнего воздействия или другой
переменной.
1=1
+ S н2/ -
-£н8,.+
*=1
III

-*TO—
Рис. 3.4. Структурная схема многоконтурной САР с дополнительной связью по задающему
воздействию
Используя формулу (3.15), нужно иметь в виду следующее.
Прямые цепи от х к z могут частично совпадать одна с другой. При
определении передаточной функции разомкнутой цепи каждого кз
контуров нужно учитывать знак обратной связи, образующей этот
контур. Контуры не соприкасаются один с другим, когда у нмх нет
пк общей координаты (стрелки на структурной схеме), ни общего
звена (прямоугольника на структурной схеме). Если в
структурной схеме есть более трех несоприкасающихся контуров, то при
вычислении функции Ф нужно добавить соответствующие суммы.
Каждая W3 функций Ф, вычисляется так же, как и функция Ф,
но рассматривается лишь та часть структурной схемы, которая не
соприкасается с i-ii прямой цепью от х к г. Если с i-и прямой цепью
соприкасаются все замкнутые контуры, то Ф, = 1.
Пример. 3.3. По структурной схеме САР (рис. 3.4) нужно определить ее
передаточную функцию относительно задающего воздействия g. Воспользуемся
формулой (3.15) и начнем с вычисления функции Ф. В рассматриваемой схеме пять
замкнутых контуров; передаточные функции их разомкнутых цепей Wt, Wt,
— Wa, —Wt, — W1W2WaWi.
Следовательно:
б
£ Нц = Wt + W, - Ws - W, - WJPJTM.
(=1
Очевидно, что схема содержит пары из 1-го и 2-го, 1-го и 3-го, 1-го и 4-го,
2-го и 4-го несоприкасающихся контуров, поэтому
4
Jj Н2, = W1W2 - WtWs- WtWi - WaW4.
1=1
Имеется только одна тройка из непрнкасающихся контуров, и она состоит
из 1-го, 2-го и 4-го контуров:
HSi = — ^^3^4"
Четырех несоприкасающихся контуров в схеме нет, следовательно, теперь
можно определить функцию
5 4
Ф=1 - £ Н1(+ X H.j-Hrt-O-lTJKl-lP.MI + lPd + ir.H-
От задающего воздействия g к регулируемой координате у идут две прямые
uene передачи сигнала. Их передаточные функции
//1= W.tW3W2W, и ITa=- WsWzWi.

Рис. 3.5. Структурная схема
дифференцирующего
гироскопа
—♦*&*■ w3 -HSH"
К
С первой прямой цепью соприкасаются все замкнутые контуры, со второй
прямой цепью не соприкасается только 4-й контур, следовательно,
Ф1= 1 И Ф4 = I + Ц74;
2
£ Н;Ф, - WxWt [W3W4 + (1 + W,) W&\.
f=l
Теперь можно определить искомую передаточную функцию
£ ад
№«--=■
W№,[WtWt + 0+Wt)Wb]
ф
(i - wj [(i - w,) (i -i- w.,) -h «M + г^^з^
Легко убедиться, что преобразование рассмотренной
структурной схемы в эквивалентную одноконтурную имеет более сложный
расчет. Использование формулы (3.15) обычно уменьшает
трудоемкость определения передаточных функций САР, структурная схема
которой имеет несколько взаимосвязанных контуров.
Пример 3.4. Составить передаточную функцию Wap дифференцирующего
гироскопа {рис- 3.S).
Начнем с вычисления функции Ф. В схеме три замкнутых контура (гх = 3)
и все orw соприкасаются, так как имеют общее звено Wlt следовательно, л8 =
= г3 = ... = 0 Передаточные функции разомкнутых цепей контуров
#и= W1(-Wb) = -W1Wb;
#12 = Wi (-We) (-W2) = W1W?2W,;
#is= WiWs (-W2) = -*!*,*,.
Определяем функцию
ф= 1 -(Пм-'|-Н1а + Ни)= 1+ W1Wt-V1WtV,+ WiVtW^
В схеме пее прямых цепи от входной величины р к выходной величине а.
iJx передаточные функции
Hi - W3 (—W2) Wt = —W1W2W3 нН,= WtWi.
Обе прямые цепи содержат звено Wlt которое входит и во все замкнутые
контуры системы, т. е. нет замкнутых контуров, не соприкасающихся с прямыми
цепями, поэтому Ф,^ = Ф2 = 1.
Теперь по формуле (3.15) определим искомую передаточную функцию:
Н^ + Н.Ф,
Г«Р= ф
I + wtWt - WjWtWe + WkW2W3
Wl(Wt-WtWt)
I ! W, WAV»- Wt) + Wt)
113

3.4. АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ САР
При решении задач анализа и синтеза систем автоматического
регулирования, кроме расчетов (путем ручного счета или с
использованием цифровой ЭВМ), широко применяют аналоговое
моделирование {42]. Чаще всего с помощью АВМ составляется
электронная модель, т. е. электронная схема, процессы в которой
описываются теми же уравнениями, что и отличные по физической
природе процессы в исследуемой САР. Иногда электронная модель
части САР соединяется с реальным элементом. Например, модель
объекта и исполнительного элемента соединяется с реальным
электрическим регулятором.
При исследовании модели можно изучить влияние параметров
отдельных элементов САР на ее устойчивость и качество
регулирования, получить осциллограммы переходных процессов при
различных внешних воздействиях, выбрать оптимальные значения
параметров элементов и т. д. Погрешности результатов могут
составлять несколько процентов, но зто часто допустимо при
инженерных расчетах.
Основным линейным элементом электронной АВМ является
усилитель постоянного тока с весьма большим коэффициентом
усиления и глубокой отрицательной обратной связью, называемый
операционным усилителем. Операционный усилитель
охватывается обратной связью с комплексным сопротивлением Z„ = Z0 (s)
и на входе включается комплексное сопротивление Zx = Z1 (s)
(табл. 3.4). Передаточная функция элемента
W^Ut/Ul=-Z0/Zl, (3.16)
где Ux = Ux (s) и U2 — t/2 (s) — изображения по Лапласу
напряжений соответственно на входе и выходе элемента.
В АВМ используются следующие линейные решающие
элементы (см. табл. 3 4): сумматор, интегратор, дифференциатор и
инвертор.
Процессы в электронной модели характеризуются машинными
переменными (напряжениями постоянного тока) иг, ы2, ..., щ и
описываются теми же дифференциальными уравнениями, что и
процессы в исследуемой системе, которые характеризуются
переменными ylt yit ..., у,. Однако машинные переменные отличаются
от действительных их значениями. Масштабные коэффициенты
должны выбираться так, чтобы во всех режимах машинные
переменные не выходили за пределы рабочего диапазона операционных
усилителей (— 100, =£50, ±25 или ± 10 В). Вместе с тем для
повышения точности результатов исследования значения машинных
переменных при решении задачи не должны оставаться малыми
в течение длительных промежутков времени.

Таблица 3,4
Лииейиые элементы аналоговой вычислительной машины
Название
элемента
Принципиальная схема
Передаточная функция
или операторное уравнение
Лииейиый элемент
АВМ
d±>
Сумматор
.к„
Интегратор
.r^Y-,
w
RxCoS
Диффереици атор
иг
W = — RoCxs
Инвертор (фазо-
иивертор)
■е±Ь
w =
Ro
Ri
Время т протекания процессов в модели также может
отличаться от времени t исследуемых процессов, масштабный
коэффициент времени
т.4 —
(3.18)
При выборе масштабного коэффициента необходимо учитывать,
что процесс в модели может продолжаться лишь ограниченное
время — несколько сотен секунд. Если же электронная модель
115

соединена с реальным элементом, то необходимо иметь т = t, т. е.
mt = 1.
Схему электронной модели составляют по дифференциальному
уравнению, которым описывается исследуемая система, или по
структурной схеме этой системы.
В первом случае линейное дифференциальное уравнение
исследуемой системы должно быть разрешено относительно старшей
п-й производной. Затем собирается цепочка из п интеграторов.
Тогда на выходе 1-го интегратора будет га — 1-я производная, на
выходе 2-го интегратора п — 2-я производная и т. д. На выходе
п-го интегратора будет искомая переменная. На вход 1-го
интегратора подается независимая переменная от генератора, который
создает необходимую функцию времени (линейную,
синусоидальную, экспоненциальную и т. д.). Для создания единичной
ступенчатой функции генератор не нужен.
Кроме того, с выходов соответствующих интеграторов на вход
1-го интегратора подаются искомая переменная и ее младшие
производные до га — 1-й включительно. Производные с четных
интеграторов подаются через инвертор для перемены знака.
Начальные условия задаются путем предварительного заряда
интегрирующих конденсаторов. Если общее число интегралов
нечетное, то на выходе последнего будет искомая переменная
с обратным знаком. Для изменения ее знака должен быть включен
инвертор.
В заключение составляется уравнение модели. На основании
сравнения его коэффициентов с соответствующими
коэффициентами исследуемого уравнения получается система алгебраических
уравнений, которая после выбора масштабных коэффициентов
позволяет определить параметры решающих элементов. В ряде
случаев максимальные значения искомой переменной и ее
производных и длительность процессов заранее неизвестны. Тогда
правильные значения масштабных коэффициентов удается выбрать
только путем проб.
Пример 3.5. Составить схему электронной модели для решения
дифференциального уравнения
(аор3 + flip2 + а2р + 1) у = kg.
Разрешим исследуемое уравнение относительно старшей производной:
Л = — s - ~- р*у - ~ ру - — у-
"о "о ао ао
По полученному равенству составим схему модели (рис. 3.6) из интеграторов
Л 2 и 3 и инверторов 4 и 5. При этом имеет место следующее соответствие между
машинными и действительными переменными:
Машинная переменная . . . . ы щ щ щ щ ы5
Действительная переменная. . g —р*у ру —у —ру у
11G

] IH—
г£ГН
1А1Й
y,-<J '—'
Ъ
h
J
r-il^i
ч
Рис. 3.8. Схема электронной модели дифференциального уравнении третьего порядка
Теперь, используя табл. 3.4, можно составить систему уравнений,
описывающих модель:
«1 = —-£-g-("/Д„+ «,//?). 4--'V#is + "i/#i*); Щ = — ■ R £D \
Rouu3
Rm4_
И «5
3 ' R„C2D ' 4 Я, Я6 •
В инверторах /?4 = fl04 и fls —Ко.» поэтому и4 = — "з и иь = ~ из-
Исключим из этой системы уравнений промежуточные переменные щ, иг,
и-х и н4:
(*12Яг* зС^СЯ3 + ^'W^^' + R^D + 1) иъ = -|jj- „ •
Заменим машинные переменные действительными и D на /? на основании
следующих соотношений:
получим
[ WA<V*?P> + WA^ + «^^ + , j mytJ =
Rn
m&g.
Сравним это уравнение с исследуемым и составим систему алгебраических
уравнений, которые связывают элементы решающих усилителей с маштабными
коэффициентами и коэффициентами уравнений:
RnW£ic£imt = °o
_ RnR2R3C2C&m*
4i
:а,;
#is Rnmy
По этой системе четырех алгебраических уравнений после выбора
масштабных коэффициентов следует выбрать девять элементов решающих усилителей.
Следовательно, имеется свобода выбора параметров.
117

Если задача решается в
замедленном темпе (т,^ 1), то
необходимы большие значения
сопротивлений и емкостей,
а при ускоренном темпе (mt ">
> 1) — меньшие.
В ряде случаев
исследуемое уравнение содержит
производные независимой
переменной. Для их создания в
электронную модель могут быть
включены дифференциаторы,
операциях дифференцирования повышается уро-
и возникают некоторые специфические погреш-
Рнс. 3.7. Схема электродной модели
дифференциального уравнении первого порядка
Однако при
вень шумов
поста. Поэтому вместо использования дифференциаторов
целесообразнее подавать независимую переменную с
соответствующими коэффициентами на входы еще несколько интеграторов,
кроме первого.
Пример 3.6. Составить схему электронной модели для решения
дифференциального уравнения
(ар+ [)y=k(bp+ [)x.
Для моделирования уравнения потребуется интегратор 1, сумматор 2 и
инвертор 3 (рис. з.7). При этом имеет место следующее соответствие между
машинными и действительными переменными:
Машинная переменная и
Действительная переменная . х
«з
По схеме модели на основании табл. 3.4 имеем
Rui (RiiCD -\- I) Ru R22
R11R21R22 (R12CD + 1) я, = R2 [Я„/?я + RnRii (RitCD + I)] и;
Ri»u
(/?i,CD+ !)«,=
R2 (RuRsi + RiiRw) ( RiiRnRgCD
RuRnRi
I RiiRitRnCD , Л и
\ #11^21 + #12^22 /
Заменив машинные переменные действительными и сравнив полученное
уравнение с исследуемым, составим систему алгебраических уравнений для выбора
элементов решающих усилителей:
Rz (RuRu + #12^22) Щ
\г\. ■■-- ■-
R2Cmt =- a;
R\\Ri\Riimx
■= k;
= b.
RiiRiaRiiCmi
RllRil + #12^22
При уравнении более высокого порядка и большем числе
производных независимой переменной целесообразно сначала
привести его к системе уравнений 1-го порядка и затем уже составлять
схему модели. Порядок расчета изложен в работе [5]. Схема
модели в таком слохмом случае может быть составлена также с
помощью вспомогательной переменной [1091.
lis

Таблица З.Г)
Электронные модели типовых динамических звеньев
Название
звена
Схема модели
Передаточная функция

Идеальное

лительное
ач^Ь>
W = — k, где k = R2/Rt

Апериодическое
и, я,
№ = —fc/(Ts+1), где
к — Rz/Rl'i '2 s* ^2^

Колебательное
и, "г
ГУ- (%^1
w = -
ТЧ* + 2|Ts + I '
А — ^2^5 ■
где
1 =
1 |/ ^3^
Л
w =
— А
U, *1
«г
где *=^г«
"г
"I / RaRjl<oCiC2
~ У /?5
1 1/" ЯзЯ«Я«С
«( Л,

Консервативное
Г - A/(T!s»-|- ').
г 1/ °2^3°4^1^2
- СГ —"-^
Д^А^'
IF = — fe/(T2s2+ I)
где Л= R* •
"I / °а°з°в^'1^2
Г Я4
И»

Продолжение табл. 3,Б
Название
звена
Схема модели
Передаточная функция

Идеальное

тегрирующее
"•-<ьф-и'
W = —kis, где к- \I(RC)
Интегри
рующее

инерционное
и, *,
W s(Ts + l)'
T = R3C2
t-AJ^L^
W = —k(TS+l)/s, где
A=l/(/?,C); t = RX
Изодром-
ное
Is Bt
А^Щ——gij>u
1У = ft(TS+l).'s,
ще ft = . R°
RtRX '
m __ R1R3R1C
RzRt

Идеальное диф-
фереи-
цирую-
щее
nJ>ii
W = — ks, где k = RC


ренцирующее

инерционное
£*М1>Ъ
К, А
-•^7
-СЭ--
W = — As/(rs -f
me ft = #2C;
Г =^6
№ -- ks!(T+ l), где
ft -- RtRX/R.,;
T = RtC

Форсирующее
-ОФ^1
где к = R2/Ri, т = RtC
120

Таблица 3.6
Электронные модели интегро-дифференцирующих звеньев
Схема модели
Передаточная функция
Значения элементов
Ы<*>Ц>
W =k(xs+ l)/s,rae6 = -
R.RiC '
Т =
R --!-■ R - R •
W =—A(ts+1)/(Ts+1), где
Д3 = т/С; Д2 = (Г — x)/C;
ffj tfj
W = — fe(Ti+l)/(Ts + l), где
k =
°6 (°1 °4 — °8*?з)
T = °1°а°<С . T = R С
RiRi — R%R$
R5=R- R^TzRHkT,):
R2 = T,C\ H3 = TiR/(kTl);
R*
l^-TJC
= (ts+1)/(Ts+1), где
RiR^RiRt .
RlRlRs H~ «2«3«6
T = #,C; Г > t
J"2 J"
*u = (T— x)C ' *2 = "C~ ''
/?3 " *M ^ ^5 == A? ~ *^ i

Продолжение табл. 3.6
Схема модели
Передаточная функция
Значения элементов
и, »i
!"**?_
<з-^
W=(v+l)HTs+l). где
т=Д,С; т>Г;
„ RuRtRfRiC
Т~ R2RiRt + RsRsR7
R± = ГД/т; «, = т/С;
хТ
(т— Г) С
= Дв=Д
&
(7V+l)(r3s+l) '
где k = R2Ru.C1/Rt;
Т1 = A2Cj| 7 2 = R4C2
С1=С.,= С: R^-TlKkC):
Ri=T1Til(kC)
w =
*(ts+1)
s(Ts+l) '
где fe = R1R3 — R2R1 .
°i°8°4Ca
RlRjRtiPi
K1R3 R^R^
T = R^Ci, x>T
/?з = /?•" /?s = T/C;
«1 =
Д< = Г/(йтС)

Продолжение табл. 3.6
Схема модели
Передаточная функция
Значения элементов
-k(is+l)
(TlS+l)(T2S+\)'
где k = ^4(^1^3~^г#5>
RyR^Ri
т _ R\R%R?Pi ■
RiRs — RiR&
i x = Rz^i'y 7 3 — R-P--2
Cl = C2 = C; Rx = T1RI(ki)\
R2 = Тг/С; .
_ т7\7у .
(т — 7\) C*R '
Rt=T2/C; Rb=T1Til(kiC)\
x >T1>T2 d = C2 = C;
Ri=nR/(kT); tf2 = 7yC;
_ хТлТ3 .
Л= (т - Г,) С*Я '
Ri=TltC; R5 = 7\7у(Ы:);
Л > т > Га
W = ;
6s
где k^R^ClR,:
i
2Д,
YbRtRMR^
Cj — C2 — Cj
Д, = £2C/6
Д2 = Г/(2|С);
Я, = TV(C*R)\
Ro= °s = R&= R

Продолжение табл. 3.6
Схема модели
Передаточная функция
Tas*+2|Ts+l '
где т=/?1Д3Д6С1/(Д4Д7);
Г «4
k = R2/R1; T =
у __ i "1 / RvRsRjCi
s 2/?в К (Д4С2)
Значения элементов
Cj = С3 = С; /?, = Д7 = Т 7(АтС);
#* = Г*/(тС);
#з = т/С;
*. = 77(2£С)
где k = RsRfC/Ri,
-V
RAMA
Ra
Ci — On — О)
Rl=RtC/k;
#3 = r*/(«C)a

Для решения mfiohix задач электронную модель удобнее
составлять так, чтобы ее схема совпадала со структурной схемой
исследуемой САР, т. е. собирать электронные модели отдельных
динамических звеньев САР и соединять их в соответствии с ее
структурной схемой. Такая модель имеет ряд преимуществ:
в процессе решения задачи мохно наблюдать за каждой нз
координат САР, изменять параметры отдельных звеньев и учитывать их
нелинейные свойства.
Данные для набора электронных моделей типовых
динамических звеньев приведены в табл. 3.5. К некоторым схемам для
получения положительных передаточных коэффициентов
необходимо присоединить инвертор. Схемы моделей интегро-дифференци-
рующих звеньев даны в табл. 3.6. Сведения для моделирования
более сложных звеньев мохно найти в работе [42]. В этой
монографии рассматривается также моделирование нелинейных систем,
систем с переменными параметрами и систем при случайных
воздействиях.

Глава 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Системы автоматического регулирования находятся под
влиянием изменяющихся внешних воздействий: возмущений, задающих
воздействий следящих систем и систем программного
регулирования. Каждое такое изменение создает в замкнутой САР
рассогласование, вызывающее действие исполнительного элемента и
движение объекта регулирования. Поэтому важно исследовать
динамические процессы в САР и их динамические свойства.
В п. 2.4 было отмечено, что принято рассматривать
динамические процессы, возникающие от типовых внешних воздействий,
которые определяются временными характеристиками. Поэтому
при анализе и синтезе САР обычно требуется вычислить или
построить временные характеристики. Наиболее часто оказываются
необходимыми переходные характеристики относительно
задающего воздействия или возмущения.
Рассмотрим наиболее употребительные методы определения
временных характеристик сложных элементов и систем и приведем
справочный материал, необходимый для применения этих методов.
Временная характеристика может быть определена путем
решения дифференциального уравнения классическим методом,
операционным методом, одним нз численных методов н с помощью
вычислительной машины (цифровой или аналоговой).
С появлением и все более широким распространением
электронных микрокалькуляторов существенно повысилась
продуктивность ручного счета, применение которого в инженерной практике
вновь становится целесообразным прежде всего из-за большой
оперативности. При этом, несомненно, следует использовать
операционный метод решения дифференциальных уравнений, которому и
уделено основное внимание в данной главе.
Для предварительной оценки динамических свойств САР
широко применяют графоаналитические методы приближенного
построения переходной характеристики по вещественной частотной
характеристике. Эти методы особенно удобны, когда какой-либо
элемент системы описывается не дифференциальным уравнением,

л экспериментально снятыми частотными характеристиками.
Переходные характеристики могут быть определены и другими
методами. Следует всегда иметь в виду, что график переходной
характеристики мохно получить на электронной модели САР. Большое
преимущество моделирования заключается в возможности
сопряжения электронной модели с реальным элементом, точное
математическое описание которого затруднено.
4.1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Операционное исчисление дает экономный метод решения
линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами, который нашел широкое применение в расчетах,
связанных с анализом и синтезом САР. Он применим также к линейным
уравнениям с переменными коэффициентами, являющимися
полиномами от t [62].
Сущность метода заключается в следующем. Пусть требуется
отыскать решение неоднородного линейного уравнения при
заданной функции времени его правой части и заданных начальных
условиях. Прежде всего уравнение преобразуют почленно по
fiannacy с учетом начальных условий. Из полученного
алгебраического уравнения определяют изображение искомой функции
времени. Затем изображение подвергают обратному преобразованию
Лапласа и таким образом находят оригинал, т. е. искомую
функцию времени.
Ecnu задана система линейных уравнений, то преобразуют
no fiannacy каждое из уравнений. Затем из полученной системы
алгебраических уравнений определяют изображение искомой
функции времени и по изображению находят оригинал.
Пусть уравнение описывается САР и имеет следующий вид:
fy = Rvv, (4.1)
где
D = щрп + а^"-1 + -.. Н- а„;
Rv = b,,pm + V"1-1 +■■*"'" bn' m<n;
у и v — функции времени, соответственно регулируемая величина
и внешнее воздействие.
Для преобразования уравнения (4.1) по Лапласу при нулевых
начальных условиях достаточно (см. п. 2.4) заменить оператор
дифференцирования р комплексной величиной s, а функции
времени у и v заменить их изображениями соответственно У и У.
Выполним эту операцию и решим полученное уравнение
относительно Y:
DY = R0V; Y = -§- V = WVV, (4.2)
где Wv — передаточная функция САР относительно воздействия v.

Выясним, как следует поступить в общем случае — при
ненулевых начальных условиях, но сначала уточним зто понятие.
Начальные условия для уравнения (4.1) есть совокупность
начальных значений искомой функции у и ее производных до
п— 1-й включительно.
Рассматривают начальные условия у (+0), у' (+), ... (правые
начальные условия) или предначальные условия у (—0), у' (—0), ..
(левые начальные условия). Различие между ними заключается
в направлении подхода к точке t = 0. Значения функции у и ее
производных в точке t — 0, если подходить к ней от f < 0, есть
предначальные условия:
//<>(—0)= lim t/<'> (и -ь), (4.3)
Е-+0
где е — малая положительная величина; i — 0, 1 п — 1.
Значения функции у и ее производных в точке t = 0, если
подходить к ней от t >■ 0, есть начальные условия:
j/<'>(-f0) = limii<'>(0 + e). (4.4)
е->0
Знак + или — перед нулевым аргументом функции у и ее
производных указывает, следовательно, с какой стороны
приближались к этой точке.
Обратимся к уравнению (4.1), которое описывает САР и по
которому определяют зависимость ее регулируемой- величины у от
внешнего воздействия v. Предполагается, что воздействие
приложено к системе в момент времени t = 0. Тогда предначальные
условия у (—0), у' (—0), ... характеризуют состояние системы до
начала динамического npoqecca, создаваемого воздействием v.
Чаще всего предначальные условия нулевые.
Значения воздействия v и его производных при t — 0 могут быть
отличными от нуля и повлиять на состояние системы, изменить
значение регулируемой величины у и ее производных сразу же при
t = 0. Тогда начальные значения у (+0),у' (+0), ...будут отличны
от предначальных:
yd) (+0) = уМ (-0) - Д«/«> (0). (4.5)
Приращения искомой функции времени и ее производных при
t = 0 могут быть найдены определенным методом по изображению v
внешнего воздействия и передаточной функции Wv системы
относительно этого воздействия у:
Ау(0)= limsH^V;
Ay'(0) = Yims[sWvV-Ay(0)]-
Д^(0) = lim s[sWvV - s by (0) - Ay' (0)]; (4.6)

(4.7)
Чем меньше степень ц числителя функции WVV отличается от
степени v ее знаменателя, тем большее число начальных значений
отличается от предначальных.
Пусть
TV7 I/ ЕР*" + М*"1 + • • • + К
v — v I v-1 i i '
где v > \i.
Тогда при X = v — ц >■ 1
Ау (0) = А«/' (0) = Ajf(»-=) (0) = 0;
Д^а-1)(0) = р0/а0;
Д«/Ш(0) = ^-(р1-а1^-);
Д^+о (0) = J- [р, - сс2 А. _ i. (Pl _ ttl А) ];
Д«/(я.+х) (0) - [pz+1 - а,.„ Д^-1» (0) - а, Д<у<*-> (0)
— ах_х Д«/№+1> (0) ах Д«/№+х-1) (0)]
npa m = n — I Ау(0) = 0;
При т=А7-2 Ау(0) = Ау'(0) = 0;
при т = 0 Д«/(0) = Д«/' (0)= ■ •■ ^Ду^-1)^).
(4.8)
(4.9)
Решение уравнения при предначальных условиях. Пусть для
уравнения (4.1) заданы предначальные условия у (—0), у (—0)
Преобразуем уравнение по Лапласу, пользуясь п. 1 и 2 табл. П1.1
и учитывая, что при t = —0 внешнее воздействие v еще не влияет
на систему. Получим
где
DY-Mn = RvV, (4.10)
Мн = а0у (-0) s«-i + Ш' (-0) + а,у (-0)] *»-» +
+ КУ" (-0) + «i«/' (-0)] + ъу (-0)] s«-3 + • •. +
+ [сыр-* (-0) + <У/("-2> (-0) + • • • + «*-i</ (-0)]-
Теперь решим полученное алгебраическое уравнение
относительно Y:
y =,^-V+^l = wvv + ^
(4.11)
Если передаточная функция Wv имеет полюсы (корни
полинома D) Я1, Х2, ..., %п и нули (корни полинома Rv) ylt у2, ..., ут,
5 Макаров И. М.
129

а изображение V = VJV,. имеет полюсы (корни полинома V,)
Pi> Ра» ••■, Рп и нУли (корни полинома Vt) аи а2, ..., а^, то
у __, b0(s — yt) (s —Va) ■•• (s —Vm) /p(s —at) (s — a2) •■• (s —Оц) ,
a0(s — K1)(s — X2)---(s — Xn) (s —pi)(s—p8) ..-(s —p4) '
+ ae(s-b)(' —**)••• ('-**) ' (4-12)
где a0, b„ и /0 — постоянные.
Из равенства (4.12) следует, что изображение Y и,
следовательно, регулируемая величина у во время динамического
процесса, вызванного внешним воздействием v, зависят от значения
нулей и полюсов как передаточной функции W„ так и
изображении V внешнего воздействия. Кроме того, У и у зависят от
начальных условий. В соответствии с этим регулируемую величину можно
представить в виде суммы трех составляющих:
У^У* + Уа + Уы- (4-13)
Здесь ув — вынужденная составляющая: ус —
сопровождающая составляющая; усп — свободная составляющая; у -{- уав
собственная составляющая.
Ecnu все полюсы передаточной функции W0 и изображения V
простые, т. е. отличаются от нуля и один от другого, то по формуле
1 табл. пЛ.Зопределим
_у Ур*)Мр*) ср,/.
Н D(?k)K{9k)
»-.-S#$bv' <4Л4>
1=1
где
*w-№U' "<w-[*W
Ecnu изображение V имеет нулевой полюс и Va = sV21, то по
формуле 2 табл. Ш .3
„ Rv(0)Vi(Q) , у ^^ (Pfe)к! (Pfe) ,p»f /4151
^-D^^w+Zjp^fp^^np*) ( ;
т. е. вынужденная составляющая «/„ имеет постоянную
составляющую.
Переходная характеристика h есть реакция САР на единичное
ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

В этом случае v = 1 ft), V = 1/s и Мн = 0. Следовательно,
изображение переходной характеристики САР относительно
внешнего воздействия v определяется равенством
ft — W ' _ bf,(s — y1)(s — yl)--.(a—ym) u ш
и при простых nonwcax передаточной функции Wv
п
h Rv(Q) , у _BfjKt)_ Ki (4.17)
" D(0) ^ jUXP(hi)* ' '
т. е. переходная характеристика САР относительно внешнего
воздействия зависит только от значения нулей и полюсов передаточ-
hoW функции САР относительно этого воздействия.
Формулы (4.13)—(4.15) определяют решение
дифференциального уравнения в таком виде, который отражает физическую
сущность динамического процесса в системе. В зтом одно из достоинств
операционного метода. Преимущество этого метода по сравнению
с классическим методом также в том, что решение не содержит
постоянных интегрирования, для определения которых нужно
составлять и решать систему алгебраических уравнений.
Пример 4.1. Решить операционным методом уравнения
(p+k)»y=b(p + y)l (/),
где Я= 0,2; Ь= 2 и у= 0,1,
при предначальных условиях
У (-0) = г/о = 1 и у' (-0) = г/i = 0,5.
Почленно преобразуем уравнение по Лапласу, используя табл. П1.1 и П1.2:
s2K — sy0 — (/! + 2А, (sK — г/о) + №Y = Ь (s + у) l/s = 0,9.
Затем определим из полученного алгебраического уравнения изображение Y
искомой функции времени у:
У _ b(s + y) y0(s + c)
s(s + A,)a "•" (s + A,)a '
где с = yJyQ + 2\.
Теперь можно определить, пользуясь табл. П1.3, составляющие решения
рассматриваемого уравнения:
ув=Ьу/к*=5;
by . b(\-y)
Ус
Уев =Уо[1 - №-с) /] e"w - (1 +0,7/) е-°-2'.
Следовательно, решение рассматриваемого уравнения
У = г/в + г/с + Ус» = 5 + (1Л - 4) в"0-2'.
Для npoeeprtu решения определим
у = 1,7е-°-2' — 0,2 (1,7/ — 4) е'0'2' = (2,5 — 0,34<) е"0-2';
у" = — 0,34е-°-2' — 0,2 (2,5 — 0,34<) е-0-2' = (0,068< — 0,84<) е~0-2'.

Подставим значения у, у' и у" в левую часть уравнения:
(р + к)2 у --= у" + 2ку' + к2у = (0,068/ - 0,84/) е"0-2' +
+ 0,4 (2,5 — 0,34/) е-0'2' + 0,04 [5 + (1,7/ - 4)]tTu'2t =0,2.
Правая часть уравнения
b(v + y) l(t)^bb(t)+byl (t) = 26(t) +0,2-1 (t).
Следовательно, найденное решение не удовлетворяет уравнению. Запишем
решение в таком виде:
7 = (yB + </c)M0 + (/cB=[5 + (/-5;e-0'2/]i(/) + f; + 0,7/)e-°-2/.
Теперь
у' = [е-°-2' - 0,2 (/ - 5) е-°-2'] I (t) + (5 + (t- 5) е'0-2'] 6 (/) +
+ [О,7е-°-2'-0,2(] +0,7/)е-0-2'] = (2-0,2/)e-°.2'l (t)+
+ (0,5-0,14/)е-°'2',
так как / (/) 6{t)=f (0)6 (/) и npw / = 0 [5+ (/ - 5) е-0'2'] = 0;
у" = [—о,2е-°-2' — 0,2 (2— 0,2/) е-0'2'] 1 (t) + (2— 0,2/) tTQ-2t(>(t) +
+ [-0,14е'0-2' - 0,2 (0,5 - 0,14/) е"0'2'] =
= 26 (t)+ (0,041— 0,6) е-0-2'! (/) -j- (0,028/ — 0,24) е"0,2',
так как при t = 0 (2 — 0,2/) е-0'2' = 2.
Подставив значения у, у' и у" в левую часть уравнения, получим
(Р + Я)? у = 2 6 (/) + 0,2 1 (0,
т. е. решение удовлетворяет уравнению.
По значениям у и у' можно определить предначальные и начальные условия,
подставляя соответственно 1 (/) = 0 при / = —0 и 1 (/) = 1 при /= -)-0:
у (-0) =\;уГ (-0) = 0,5; у (+0) = 1; у' (+0) = 2,5.
Легко убедиться, что изменение начальных условий по сравнению с предна-
чальными удовлетворяет равенствам (4.6).
Предупреждение ошибок. Дифференциальные операторы D
и /?„ соответственно левой и правой части уравнения (4.1) могут
содержать один а тот же элементарный сомножитель. Возникает
желание сократить их на общий сомножитель. Однако зто
недопустимо, так как будет получен неверный результат.
Необходимо также иметь в виду, что неверное решение может
быть получено, если упростить правую часть уравнения (4.1),
воздействовав дифференциальным оператором Rv на функцию
времени v. Такое упрощение допустимо, когда функция v является
ступенчатой. Ecnu же она непрерывная, то ее необходимо умножить
на единичную ступенчатую функцию 1 (t), так как предполагается,
что внешнее воздействие v приложено при t = 0.
Вынужденная уп и сопровождающая ус составляющие решения
(4.13) уравнения (4.1) вызваны внешним воздействием v и
существуют только npn t :> +0. Поэтому решение (4.13) следует
записывать в таком виде:
7 = (г/в + г/с)Ч0 + г/св. (4.18)
132

В противном случае решение может не удовлетворять
уравнению, как и было показано в примере 4.1, и по решению нельзя
определить предначальные условия.
Пример 4.2. Пользуясь операционным методом, решить дифференциальное
уравнение
(р + XJ (/> + Х2) У = (Р + V) е-*",
где Xt = 0,2; Х2 = 0,5; у = 0,2; р = 0,05, при передаточных условиях у (—0) =
- у0 = 2 и у' (-0) = «/! = 0,5.
Почленно преобразуем уравнение по Лапласу, используя табл. П1.1 и П1.2:
s*K - si/o - Ух + (К + Х8) («Г - Уо) + KKY = ^^
s + P
Определим изображение Y искомой функции времени у:
v s + V , J/oJs + с)
(s + p)(s + k1)(s + X2) n (s + XJis + XJ'
где с = yjyu + (Xt + Х2) = 0,95.
Пользуясь табл. Ш.З, определим составляющие решения искомой функции у.
и Y-P -о/ 20 0-аИ.
Ув (^-рХ^-р) ■- 9
YC (Р-К)(Ъ-К) (Р-Х^-Х.) _ 9
(/св = .Vo(c-^i) -v ,. Уо(с-^) х,/ __ ,_о,2/ - _о,«
(Х.-Хх) ^ (Xi-X.) e -5е ~3е
В соответствии с формулой (4.18) решение уравнения
У = _^_ (е-о.ои _ .-0.6/), (/) + (5.-0.2/ _ зе-"-5').
Для проверки решения определяем
У> = 2&- (-0,05е-°.°5' + 0,5е-°-а) I (/) + ■&■ (е"0-05' - е"0-5') 6 (t) +
+ (-в"0-2-' + 1,5е-°-5') = -L (10е-°-5' - е'0-05') I (/) + (ьбе"0-5'- е"0-2'),
так как при t = 0 (е-0-05' — е"-0'5') = 0;
у" = -5" (-бе"05' + 0,05е-°-05') I (t) + -L (Юе"0-5' - е-"-"5') fi (t) +
+ (-0,75е-°-5' + О,2е-°-20 =- 6 (t) + -1 (o,01e-°-os/ - е"0-5') 1 (t) 4
+ (0,2е-°'2/-0,75е-°-Б0,
так как пра t = 0 j (l0t'°-5t - t'°-05t) = 1,

[p + *i)(P + К)У = У" + (К + К)У' + ККУ = Ь(0 + i-(O.Ole"0'03' -
Подставим значения у, у' и у" в левую часть уравнения:
i) У' + ЬЛ» = *(<) + -§-
- е-».5') 1 (О + (0,2е-0-2' - 0,75е-°'5') + 0,7 [±- (Юе'0-5' - е"0-05') I (0 +
+ (1,5е-°-5' - е-°-2')] + 0,1 [-^- (е-0'03' - е'0'5') I (Q +
+ (5е-0'2' - Зе-°.5')] = * (0 + -|- е"0'05'.
Правая часть уравнения, в которой непрерывная функция е~~р' умножена на
единичную ступенчатую функцию,
(р + Y) e-p'l (/) = -ре'*"/ (1) + е-Р'б (t)+ ye "'l (t) =
так как при t = 0 е—р/ = J.
Следовательно, найденное решение удовлетворяет уравнению.
Дифференциальные операторы левой и правой части уравнения имеют общий
сомножитель (р + 0,2). Если нх сократить на этот сомножитель, то уравнение
принимает вид
(р + К) у = е-Р'.
Преобразуем его по Лапласу и затем определим
у _ ' . Уо .
(s+p)(s + b2) Ч" 8 + Я2 '
(/cB = </0e"V=2e-0-5'.
Получено неверное решение, ибо значение его свободной составляющей
существенно отличается от действительного.
Попробуем упростить правую часть рассматриваемого уравнения,
воздействовав дифференциальным оператором на имеющуюся там функцию времени:
(р + Y) е"р' = -ре~р' Ч- 7*""' = (7 - Р) *""'•
Теперь уравнение приняло вид
(Р + *i) (Р + Х|) У = (Y - Р) е-"'.
Преобразуем его по Лапласу п затем определим
(s+p)(s + X1)(s + X2) + (s + AaXs + Xa)'
„ _ Y-P е-р/ _ 20 »-о,<№.
^"~ (Xi-p)(X,-p) 9 •
rc_(P-*i)(*«-*i) +(P-X.)(Xi-X«)
9 e T-j e

Полученное решение опять неверное: значение его сопровождающей
составляющей существенно отличается от действительного.
Если же правую часть уравнения записать в виде (р ' у) е-**' 1 (t), то поспе
упрощения она оказывается равной 6 (<) + (у — р) е~~р' 1 (/).
Преобразовав это выражение по Лапласу, получим
~r s + P s + P
Следовательно, изображение искомой функции у равно
у = s + Y , Ус (* + с)
и будет получено верное значение этой функции (решение уравнения).
Решение уравнения при начальных условиях. В этом cnysae,
преобразуя рассматриваемое дифференциальное уравнение по
Лапласу, необходимо учитывать как начальные значения искомой
переменной и ее производных, так и начальные значения внешнего
воздействия и его производных. Поэтому после преобразования по
Лапласу уравнения (4.1) получим
DY — Ma = RvV — Nnt (4.19)
^H = a^(+0)s«-i4-[ao«/'(+0)4-«I«/(+0)]s"-24-
+ [здГ(+0) + ау(+0) + ад(+0)]я»-з+ ... -j-
+ [а0у("-» (+0) + <y/<n-2) (+0) -f • • • +ая_1у(+0)];
NK = Кь (0) s»»-1 -f lb0v (0) 4- bxv (0)1 s«-» 4- IV-" (0) 4- ft,»' (0) 4-
+ hv (0)] 4«-3 + • • • + [ V<m_1) (0) + b^"1"2) (0) 4 r- Ьт-i» (0)].
Начальные "значения v (0), a' (0), ... воздействия v и его
производных определяются в результате подстановки t = 0 в функцию
а и ее производные. Начальные значения у (4-0), у' (4-0), ...
переменной у и ее производных могут быть определены по
формулам (4.5) и (4.6).
Решение уравнения при начальных условиях всегда совпадает,
конечно, с его решением при предначальных условиях.
Пример 4.3. К звену, которое находится в состоянии покоя и описывается
дифференциальным уравнением
(аорЗ + alP + а2) у = (Ь0р? + Ь-ф + frg) v,
приложено воздействие v = ttTp .
Преобразуем уравнение по Лапласу при начальных условиях
«о [s*Y - sy(+0)~ у' (4-0)] + а1[вУ-у (+0)] + atY = bt [*V -
- sv (0) - u' (0)] + 6i [sV — v (0)] + b2V
и решим полученное алгебраическое уравнение относительно Y:
у_ Ь^ + Ь^ + Ъ Mn-Ns
a0s2 + axs + a2 "*" a0s» 4- OjS + aa *
где
A1H = a„y (+0) s + [ад'(+0) 4- сцу (+0)];
tfH = b„v (0) s + [M' (0) 4- M (0)].

По данным табл. П1.2, изображение по Лапласу функции v есть V = l/(s +
+ р)а. Начальные значения этой функции и ее производной соответственно v (0) =
= 0 н v' (0) = | tTp< — pttTpt |/=o = 1.
Для определения начальных значений переменной у и ее производной
используем формулы (4.5) н (4.6):
у(+0) = у (- ОН- Ау(0) = Ш, sWvV = Шп (a;4Ziai)(s + Py = 0;
г/' С50; = g» Г- »JS А</' (0) = lim л [sWvV - Ay (0)] =
S-»oo
_.. sW + tlS$|,2) _ 6„
iirn(a0s=>+a1s+a2)(s + @« a-'
так как </ (—0) = У (—0) = 0.
Следовательно:
Mu = bt; NH=b0 и Y =
V4-Ais-j-&a
(a0s* + a±s + a2) (s + p)»
Преобразование рассматриваемого уравнения по Лапласу пра
предначальных условиях дает следующий результат: ,
(aos* + aLs $ a,) Y = (b0ss + bts + 62) l/ <s + p)a.
Решив это алгебраическое уравнение, получим то же значение, что и ранее,
но при значительно меньшем расчете.
Можно сделать следующий вывод: при использовании
операционного метода дифференциальное уравнение следует
преобразовать по Лапласу при предначальных или начальных условиях
в соответствии с тем, какие (предначальные или начальные)
значения искомой переменной и ее производных известны.
4.2. ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
Заключительным этапом решения дифференциального
уравнения операционным методом является отыскание оригинала
(искомой функции времени) по изображению. Эта операция является
обратным преобразованием Лапласа и определяется формулой
(Ш.З), Однако при инженерных расчетах эту формулу не
используют.
Изображение искомой функции времени линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представляет
собой дробно-рациональную функцию комплексной величины s или
сумму таких функций. Поэтому отыскание оригинала (обращение
таких изображений) можно выполнить по формулам табл. П1.3.
Первые две формулы применимы к изображениям, имеющим только
простые корни знаменателя. Последняя формула является
наиболее общей, так как применима к оригиналам с произвольным
числом как простых, так и кратных корней знаменателя.
Для определения корней знаменатель оригинала можно сначала
разложить на элементарные сомножители, используя, например,
приложение 2. Каждому сомножителю cs-\-l —с (s — Sj) соответ-

ствует корень Si = —I/с и каждому сомножителю b^s* + bTs +
+ 1 = b0 (s —«]) (s —Si) соответствуют корни Sii2 =
где
Пример 4.4. Отыскать оригинал, соответствующий изображению
0,25s + 0,125 2s + 1
К =
(0,5s+l)8(s+l) (s + 2)8(s+l)
Воспользуемся третьей из формул табл. Ш.З. В данном случае
Я = 2s+ I; Q=(s+2)'(s+ 1);
si = —2; ?! =3; sa = — 1 н q2= 1.
Для вычисления оригинала составляющей, соответствующей корню s1
кратности 3, определим сначала функции
•»»-■*$-; ^-4-{Ш)-
2*+L. Л1 /.*_ d /Js+M__2__i£±J_
s+1 (s+l)a
2
ФИ(«) = 4-
-(8+1)2' ~MW ^ [(S+1)«J (S+1)»'
Следовательно, эта составляющая оригинала
_ Фц (-2) .8-1 -И , Фц(-2) .3-8.-8/ ,
У1 ~ (3 — 1)1(1 — 1)1 '+" (3 — 2)1(2—1)1 "'"
Фц (~2) ,э-зв-а/ = [2 (-2) + 1 ,2 , • t _
• Г2 (-2) + 1 л ,
(3 — 3)1(3—1)! " ~ L —24-1 (-24-1
J ]e"2' = (-|-^4-<4-l)*-2'
2 (-2 4-1)
Вычислим составляющую оригинала, соответствующую корню sa:
„ _ Фц(-1) л-1.-/ _ ^ , п .-/ _ 2(-1) 4-1 .-/ _ _.-/
Л- (1_i)|(i_i)| < е -Фи(-1)* - (-1+2)8 с - с •
Итак, искомый оригинал
У = Уг 4- </a = (4'24-'4-l)e-2'-e-<.
Для проверки расчета преобразуем функцию у по Лапласу, пользуясь
табл.П1.2:
a(4-t2e-« + rt'!M+e-M-e-'\= 3 2.1.
2 ' ^ ^ J 2 (s + 2)8 ^ (s + 2)а
1 1 2s+1
^s+2 s+1 (s + 2)»(s+I) *
Следовательно, расчет выполнен правильно.
Расчетов, связанных с применением формул табл. Ш.З, можно
избежать, если изображение разложить на простейшие дроби.
Такое разложение выполнимо для дробно-рациональной функции
R/Q, у которой степень п знаменателя выше степени т числителя.
Предположим, yto полином Q представлен в виде произведения
элементарных сомножителей s", fas + 1)ч и (bokf + Ьц£ + l)i*.
137

Множителю s» соответствуют дроби
ii__|__djL_| L А,
множителю (cs -f 1)* дроби
Bu | fiat | | fiw
c,s + 1 ^ (c,s + 1)« ^ ^ (C<s + i)i
и множителю (fr^s2 + b1ks -\- l)v дроби
■ ^CxftS + Dxfe ■ CjkS + Djk I ■ Cuts + Dyk
*0ftS2 + M + 1 "•" (M8 + *l*S + 1)S "^ ' " ~l_ (fr0ftS» + tlftS + l)* '
т. е. отношение R/Q разлагается на простейшие дроби, число
которых равно 9 + г\ -+- ц. После этого Обе части равенства нужно
умножить на Q и сделать сокращения, а затем, приравнивая
коэффициенты при равных степеняхs, составить систему
алгебраических уравнений, из которой и определить коэффициенты А, В,
С и D.
Составляющие оригинала, соответствующие простейшим
дробям, мохно определить непосредственно по табл. Ш.2.
Пример 4.5. Отыскать оригинал, соответствующий изображению
у 3s + 2
ss(0,2s+l) -
Разлагаем изображение на простейшие дроби:
3s + 2 А1 Л, А3 В
s8(0,2s+l) s "^ S* "^ ss "^ 0,2s + 1 -
Приводим обе части равенства к общему знаменателю н отбрасываем его:
3s + 2= i41sa(0,2s+ 1) + /4as(0,2s+ 1) + i43(0,2s+ 1) + Bi?.
Составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты прн равных
степенях s левой н правой части равенства:
Л8= 2; Л2 + 0,2Л8= 3; Ах + 0,2 Ла= 0; 0,2 А^ + В^ 0.
Решив эту систему уравнений, определим
Лх= —0,52; А2= 2,6; Аа= 2; В= 0,104.
Итак,
„_ 0.52 2,6 2 0,104
s + s2 + s3 + 0,2s + 1 "
По табл. П1.2 определим оригинал
у = —0,52+ 2,6/ + '2+ 0,52е-5'.
Значительное число оригиналов, соответствующих дробно-
рациональным изображениям, содержится в табл. 4.1.
Знаменатели изображений в этой таблице представлены в виде
произведения элементарных сомножителей, являющихся знаменателями
передаточных функций типовых динамических звеньев. Более
обширная таблица (573 формулы) соответствия изображений и
оригиналов имеется в работе 160].

Применение этих таблиц можно расширить, используя
следующие приемы.
1. Пусть рассматривается изображение, знаменатель которого
содержит лишний элементарный сомножитель по сравнению с
изображением, имеющимся в табл. 4.1, тогда следует
воспользоваться соответствующей формулой из табл. 4.2. Вычисление
некоторых наиболее часто встречающихся интегралов дано
в табл. 4.3.
Пример 4.6. Определить оригинал по изображению
1
Y =
s*(Ts+l)2
Это изображение отличается от имеющегося в табл. 4.1 [формула (12)]
изображения F (s) = , ._—, ... дополнительным множителем s в знаменателе.
л3 (Ts-\- l)a
Поэтому используя формулу п. 2 табл. 4.2, получим
-i- (1 - е-«т) - — (2 + е"ат) + -£■
а2 а х ' 2
Я
dx =
-[-M'+T-~)-S-+-^-<'+«»+-f]J-
-■i-(' + T«-)--S-+>-<>+->+-f-(* + -W-
= 4г - — + Д- + Л-(4 +«0 в"0",
6 а а2 ' а8
где а = ЦТ.
2. Предположим, что знаменатель Q рассматриваемого
изображения можно разложить на сомножители Qj и Q2 (QiQ2 = Q),
которые являются знаменателями изображений, имеющихся
в табл. 4.1. Тогда следует составить равенство
я V^ + V^ + '-'+Ai-i ,
Q Qi
(4.20)
где т) и ц. — степени полиномов соответственно Q, и Qt.
Затем обе части равенства нужно привести к общему
знаменателю, отбросить его и составить систему уравнений для
определения постоянных Аи А2, .... А^х, £,, В2, ....В^.
Оригиналы, соответствующие двум составляющим
рассматриваемого изображения, можно определить по табл. 4.1. Вероятно,
что при зтом окажется необходимым разделить каждое из
составляющих еще на несколько частей.

Таблица 4.1
Обратные преобразования Лапласа дробно-рациональных функций
№
по
пор.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Изображение
1
Ts+ 1
1
s(7s+l)
TS -|- 1
s (7s -|- 1)
TS — 1
s(Ts+l)
1
s*(Ts + 1)
TS+ 1
s» (Ts + 1)
b^ + blS + 1
s2 (Ts -|- 1)
1
s3(Ts+ 1)
1
(Ts+I)»
1
s (Ts + l)a
1
s2 (7s + l)2
1
s*(Ts-\- I)2
s
(Ts+I)»
TS+ 1
(Ts+1)»
Оригинал
ae a\ где a = y
l-e-a', где а = -1-
l + (ax-l)e-a', где a = ^p
~ 1 + (ат -!- 1) e~a/, где a = ~r
-i-(_l+ ."«<) +Л гдеа=|
С (l _ е-*) -|- /, где С =х ~; а = -~
Сх |- С2е -«' + <> где C1 = -b1--L;
г Ьао? - Ьха -|- 1 . „ 1
С,- а , а т
^-0-е «0- —+ -2-. гдеа^
аЧв-°", гдеа = -уг
1-(1 + а/)е-а', где а=у
А (_ 1 + .-«/) + < (1 Н_ е-«0, где а = -1
jrd-e--)--|-(2+e-ao+4.
1
где а = -у
аЦ\ - at) e~at, где а =-i-
а»[т+(1 — ат) t] t~at,
1
где а, —у
140

Продолжение табл. 4.1
но
пор.
Изображение
Оригинал
15
TS+ 1
S (TS + 1)2
1 — [1 -|- а (1 — ат) /] е-а\ где а =
16
fc0sg + bts + 1
s(rs-| l)2
I + (С — Bt) •~at, где C-^ —
6в-^Г-|-Г«,
о p > и - - у
Jl2
1
17
18
1
(7-s + l)a
a3*2 _a, 1
—— e a\ где а = —
1
s(rs-|- l)3
l-(.+^ + if-)e--, где« = 4-
19
1
ss(7V|- l)3
_3_
a
.<-,.(iH.M+^)
-a<
где а:
20
21 '
22
(Ts + I)3
аЧ1_"т)е~а'' гдеа^4"
(7's-l-D3
'(l-2a/-!--^-)e-a', гдеа=1
1
(Ts +1)4
a4*3 -a/ 1
—g— e , где а = -y
23
1
s(Ts+ I)*
('+
и/-
a2/2 , a3/3 \ _
2 ' 6
1
)e-*,
где a = -
24
25
(Гя + О4
а4 Л, а/3 \ _a,
t(''—3~)e ' гдеа = '
(Гя-i-d*
*(<--+^)
a2'3 ^i -at 1
e at, гдеа=:у
26
(Ts+l)*
,(,_„+«l_^.)^.
где а = ■
27
1
(rlS+l)(r,s + I)
1 (e-n.< _e-a«'), - '
Tt — T
где a;

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
28
29
30
31
32
33
34
Ияображенне
S
(riS+l)(r2s+l)'
где Гх ф Га
XS -г- 1
(7\Н 1) (Г25-|- 1) '
где Тх + Т%
1
s(rlS+l)(ras+l) '
где Гх =£ Га
TS f 1
s(rlS+I)(r2s-|-l) '
где Т, ф Г2
fr„s» + bts + 1
s(rlS+l)(r2s+l) '
где Гх ^ Га
1
i*(TlS+l)(T? + l) '
где Г^-^Гг
1
sa(riS+l)(r2s+l)
где Тхф'\\
Оригинал
/•> .-а,/ /•> „-а,/ /•> 1
ЧС L2c , где 4 ri(ri_ri)»
С 1 • ос '
°3 ^(r.-rj' • г.
г r~a,t 1 Г г~а"' гпг Г Т1—т:
Цс |.Cac , где ^-^(^-Г,)'
^- ТАТг-Т.У а'" Г,
Г
1 | UjC о2С , ГДС Oj - - ,
ч — ; 1
Сз - г,-г,' а'^ г,
1 -|- Cte-a>' -|- С,е-«'', где Ct = ^-Г1 ;
11 — 'а
Г«-т . „ 1
4" ^-г,' а' ■ г,
fte-МЧ + П.
где ч Ti(T?_Ti) f
Ъ-bTi + Ti. i
с*- г,(г,-г,) ' а' г,
—А + С^-™1' — Сае~а>' + /,
где Л = Гх + Га;
* 1 '2 ' 1 '2
1
а'=тг
A — Bt + ^j- + Clt'ai' ~ с2*~а*''
где А = Т\+ TJz + П; В = Гх + Га;
Г ^ 1 . Г '2 •
1 - Tt—Ti1 2 ~ Га — Гх '
1
а'=тг

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
Изображение
Оригинал
35
1
(rlS+l)(r2s+l)s '
где 7\ ф Та
С^"**''+ (С2 + В*) е"<4
1
где В
С1 = С2 = ■
ТШ(ТЯ-Т1У
Т, 1_
(Tt-Tt)* ' а'~ Tt
36
TS + 1
(rlS+I)(TaS+l)s '
где ТхфТл
C^~ait + (С2 + Bt) е-*2',
т— Г. .
где В
TlCi-r,)'
с --с ri-T
(rt-r,)« •
а< =
УЧ-М + 1
37 (7lS+l)(72s+l)* '
где 7\ =£ Т2
Ьо-ь^ + п.
(г,-го»г, '
где В
С1 =
С _fro(^i " 2Г,) + Ь{Г\ -TJI.
2 (Г2 — ТХ)*Т\
38
1
s(rlS+l)(r2s+l)»'
где Т1фТл
где В =
1 — Ctt'ait + (С2 + 60 е~°Ч
1 . ^ П
7\
■; с1=-
(rt-т»)1 '
(2Г, - Г,) Га
(T^ — 7\,)»
я, =
1
39
TS + 1
s(7lS+l)(72s-|-l)a'
где Т^фТ^
1+С1е-а''-(С, + Я/)е-в«',
где д т-г» - С - (t-rt)ri.
(71! —Г2)7У 1_ (71!—Г2)» '
С„ =
тГ1 + (Г2-2Г1)Г8
(Г, - Г3)«
«Г
1
l—C1t~ait+(C2 + Bt)t
■o..t
V» + blS -[- 1
40 s(rlS+l)(72s+l)a'
где Т1фТй
где В =
(7'»->1)Г, .
q =
(Г, - Г,) 71
(Г1-Г,)»
" (7-х-Г,)» ' а/
1
143

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
Изображение
Оригинал
41
1
я»(Г1я+1)(Г1в+1)1'
где Т1фТг
A+t + C2e-ai/ - (С, + ВО е-"»',
(37\—2Гг)71 —Г? .
где Л =■
В
Г?
Г1-Г,
(Ti-T2)2
(Ti-Ta)*
42 С/,1Я+1)(Ги+1)1 '
где Тх + Т2
-C1e■a'' + (Ci! + Д0e~a■^
д 1
где д~(г1-г1)гг
^1 = ^2 = "7т т \2 » а<
(Г1-Г,)» '
1
43 (TlS+ l)(r2s h I)2 '
где 71! =f Гг
где В =
С^-"»' + (С, + ВО е"01"',
1 . „ 1
(T^-r^rf' Cl
С2 =
_ 1
(т2 — Ti)2Tl ' Л{~ Tt
ч
■2Т2
44
1
(7lS + l)(7V+l)3 '
где Г! ф Т2
C^-iCz + BJ + B^e-"**,
т
где Вх
1
2(Г1-Г,)Г1 '
Сх — С2 — ■
rtj
Ci-r,)» '
а, =■
45
TS + 1
С^-*1' — (Ca + Вх* + В2<2) с-а»',
Г1-т .
(Г1Я+1)(Г^ + 1)» '
где Г! ^ Гг
где Вх =
В2
т2-т
2(Т1-Г2)Г.| '
Г -Г - (^-t)Ti . „

Продолжение табл. 4.1
Изображение
Оригинал
(rlS+l)(r2shl)3 '
где Ti, Ф Г2
Cjt-^* - (С, + BJ + Я,/8) е-01'',
г„ д &о(2Г2-Г1) + (Л-МП.
где «! (Гх-Г,)»^ '
6» + (Г«-*1)Г,
2(rt —Га)Г|
Г -Г _ бр-^Г.^П. _ 1
1-2 (7-1-г,)» ' а'~Т7
Я, =•
1
s(7V+l)(7V+l)3'
где 71! ^ 7'2
1 + С^-™1' — (С2 + Д^ + B2f) е-"2',
Г2-2Г! .
гдеД1 = (?Wi)a ,
Д2 =
1
2(Г2-Г1)Г
-; с1==
Т\+{ТХ-Т& .
(ri-Tt)»
(^
а,=
_Г1)1'
1
= т.
т»+ 1
я(Г1Н-1)(Г,«+1)» '
где 71! =£ Г2
1 + de""1' - (С, + Дх/ + Д/) е"01'',
где в - тГ1+(Г2-2Г,)Га .
А * (7-1-Г,)» Г, '
т-Г, г (т - Г,) Т\ .
Ва 2 (rt - Г,) Г1 '
а,
1
7"/
где 71! =^ Г2
de-"1' — (С2 — BiH- B2<2) е"аг/,
1
Д., =-
где Вх:
1
(Г,-ГО» Г,'
^(Т^ — Т^Ц
a"» ^1 -
(7-2 —Г!)» '
С2 — Cl! Я; "
1
(Г18 + 1)" (ГЯ8 + 1)* '
где Тх Ф Г2
(Ci + Bjt) е-»'' + (С, + Я,0 е-»"';
где d = -С, = ^Г' "
Й! = В2 = ■
(T'i-T'i)» '
1 . _1_
Ti
(Г.-Ti)1 '
«/
145

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
Иаображение
Оригинал
51
TS + 1
(rlS+l)*(7V+l)a '
где Т^Т2
(Сх + BJ) е-"'' - (С, + Д,0 е"9'',
где С - С - т(Г1 + Г,)-2Г1Г1 .
Bi=-
(Т1-Т2)*Т1 '
В2
(Т.-Т^Т., '
а, =■
^0sg+^lS+l
52 (rlS+l)»(ras+l)*
где Tj^T,
(Ci + Bjt) e-°"' + (С, + Btt) *-">',
где в >. + (Г1-МГ1 .
в _ »о + (Г2-МГ2 .
Сх — —С2 —
^о-^^ + г^ + гг^,.
1
53
1
1 + (Сх - BiO e""'' + (С, - Д,0 е-»*',
Ti . „ Г,
где Вх = ■
■ J В% =■
8(7^+ I)» (7,8+1)»'
где 71! =^= Та
(Гх-Г,)» ' ~2~ (Г1-Г,)»
(зг2-г,)п .
Ci
с,=
(Г2-37^)71
а, =■
1
54
(Сх — Д!<) е-06'' — (С, + Д,<) е-02',
1
(Г1Я+1)«(Гй+1)« '
где Т^фТъ
где Вх =
1
(7-х - Г,)» Г, '
С -С - Ti + T* ■ а —
55
s»
(d + ЯхО е-»'' + (С, + В2*) е-»*',
1 . „ 1
(rlS+l)a(r2s+l)2 '
где Гх =А Г2
где В1-(Гя_Г1)атч; Дв ~ (Та —Г^аГ"!'
2 1
-С, .-=
(Г1-Гх)«
-, at
1
146

Продолжение табл. 4.1
по
пор
Ипображенке
Оригинал
1
56
(TlS+\)(T*+l)(Tf+l)'
где Гх, Га н Гэ различны
С^-™1' + С2е-а«' + С8е-«'',
где С, =
(^-ГОС^-Г,) '
Са =
(Г,-ГО (Г,-Г,) '
с. = -
(г3-го(г8-гг)
а,—
57
1
я(Г1я+1)(7'я5+1)(7*^+1)'
где Г[, Гг и Г8 различны
1 — С^-"1' — С^'а'' — Саь~а°',
где Сх = •
(Гх - Г,) (Тх - Т3) '
Т\
(Г.-ГО^.-Г,) '
п
Сэ (г,-го(г,-го '
а, =■
-Л + f + С^-0"' + Сае-™*' + С3е"™»',
где Л = Т,1 + Т-2+Т-8;
1
58
S2(7V+l)(7-2s+l)(7-8s+l)'
где Tv Га и Г3 различны
С.=
с1 =
(7\ - Г,) (Г, -
Т\
(Г,-Г0(Г,-
п
-т3) '
-г,) '
(Г,-Г^ (Г,-Г,)
59
(Г1Я+1)(Г,8+1)(Гй + 1)'
где ГХ) 7'2 и 7'3 различны
где Ct
С^"™1' — С2е-™«' — Сэе-06*',
1
(Тг-Т^Ту-Тъ) '
1 .
(г,-го(г,-го •
с« = -
1
(Гв-^ХГ.-Г.)
, «,:
60
(Г1в+1)(Г^+1)(Г,в+1)'
где Гц Г2 и 7'3 различны
С^' + С^ + С^Г*',
1
где Ci =
(Гц-ГЛ^-Г,)^ '
г ! •
а (г,-rj(г,-г,)г, '
8~ (Г,-го(г,-г,)г, ' а'- г,
147

Продолжение табл. 4.1
№
по
пор.
Изображение
Оригинал
61
С^"""1' + С2е_а2' + (С3 + Bt) e-a'1,
1
где В =
С,
1
(Гз-^НГ.-Г,) '
п .
(7> |-l)(r2s-|-l)(ras-hl)2'
где Tv T2 и Гз различны
С, -
П
(Тг-'1\)(Тг-Т^ '
Га(2ГгГ,|-Г1Г,--Г1Г,) .
1
Сз (Тэ-Т^ЦТз-Т,)*
62
1 — С^"""1' — ae~aJ — (С3 -Ь Bt) е"Кз',
Г,
1
где В = ■
Сп
(Ta-TJiTa-TJ '
s(TlS+l)(T2S+l)(T3s+l)*>
где Tj, Г2 и Т3 различны
С2
уз
(Г,-7'1)(7'1-7'э)»;
С3 =
Г| (ЗТЛТ„ — 2Г,ГП — 2Г2Г3 + 71)
(Т3~Т^(Т3~Т2)^
а, =■
1
63
(Г1Я+1)(Г25+1)(Гз8+1)»'
где Гх, Г2 и Гд различны
-Cte-"1' — С2е~а*' — (С3 + ВО е-"3'.
1
где В- 7'3(7'а-7'1)(7'з-7'2) '
с Tl
01 " (Г1-7'2)(7'1-
с Га
" (^-^(Г,-
г тлт,-п
3 (Гв-Г^ЧГа-
1
.
Г3)2 '
.
Г,)» '
,
7\,)2 '
«/

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
Изображение
Оригинал
64
С1ч'а'' + С2(Га'' + (С3 + Bt) е-""',
1
(7VM>(7VH-i)(7V4-i)2'
где 7\, Т2 и Тя различны
где В =
Cj-'
С2--
1 .
(7\-Г2)(7'1-Г3)2 '
1 .
С3 =
Т1+Т2-2Т3 ,
(Г, - Т^ (Т3 -Г,,)»'
«/
65
1
П(7>+1)
где п » 2; все Тt различны
где С/ --
i i
Т'1-2
1 I
П (Tt-Tk)
k+i
aL = ■
1
I-^C|«
-а,/
»=1
66
S П(Г,8+1)
(=1
где я > 2; все Т{ различны
где Ci =
rpll—
1 i
11
Пег,-
кф1
а, =
1
Ti
1
п
где Л = Y Ti''
67
s2 П(7>+1)
i=i
где я » 2, все Г/ различны
с;= —
у«
П (Г,-ГА)
ft + i
1
149

продолжении i аил. i.i
пи
пор.
Изображение
Оригинал
68
П(7>+!)
где п > 2; все Tt различны
где С,
V С|.-,<.
Т'Л-З
—й ■» п<
П (Т, - тк)
А=1
1
S2
69
П (Tts -|- 1)
где п > 2; все T, различны
где С,
1 с,.-''.
1=1
тп-4
П (т, - тк)
к+l
a.t
1
(_C+B*)e~a' + 1', C,e-*/',
70
где В = ■
г. гс—2
П (т-т,)
(Ts+1)*П(Г,8+1)
1=1
где п >• 2; все Т/ различны
и не равны Т
гл—i
П (т-т{) *-1
STf .
Г —Г| '
с,=-
(т,-т)«П(т,-т»)
! . 1
150

Продолжение табл. 4.1
№
ПО
ПЬр.
71
72
Изображение
1
п '
s(Ts+l)2 U(Tts+l)
где п з» 2; все Tj различны
и не равны Т
1
sa(Ts+l)2 П(Г,4+1)
где я > 2; все 7\ резличиы
и не равны Т
Оригинал
п
1 - (С + В<) е-0' - ^ C,e-V
ГДС D — п ,
П (т - г,)
Tn\l-j^T,l(T-T,)]
С п
U (т - Tt)
t=i
тп+1
Г
(т,-г)»П(г,-т4)
*+*
i . i
>
п
—Л + t + (С + Bt) ъ41* + £, C,e-<V,
n
где Л = 2T + In T,;
П (т — г,)
Tn+i U — £ 7^/(7 — T,)
r_ L /=i J
n
П (т - г,)
С - '
(T, - T)* П (Ti - Tft)
*+<
l . l
— J

Продолжение табл. 4.1
№.
по
пор.
Изображение
Оригинал
(C — Bt) е-01' — £ C^V,
'рп—3
где В = — ;
П (Г - Г,)
73
(Г5+1)2П(Г25+1)
(=1
где « >■ 2, все Т/ различны
и не равны Т
-п—2
с =
1 + Y Тс/(Т - Г,)
С=1
с,=.
П(г-г,)
Tn-1
(Г,-г)*П (Ti-Tk)
кф1
1
1
« = ^, «,=-тГ
"П—4
74
(Ts+l)*Yl(Tts+l)
где /j >• ; все Т{ различны
и не равны Т
С =
■ да "
— п '
П (Г-г,)
<=i
7>«—з
Г " "1
2+I1 7V(T-T()
L *=i J
п
U (T-Tt)
/=i
тл—2
~ п '
(т,-т)«П (Т|-Тй)
а=1
fe+г
а =
1 • п 1
- т , а{ -

Продолжение табл. 4.1
№.
по
пор.
Изображение
Оригинал
75
1
TW + 2§Ts + 1 '
где 0 <: t < 1
Се-* sin W, где С ■= ^j V = -|"'
76
xs+ 1
T-2S2 _|_ 2lTs + 1 '
где 0 <: I < 1
где С
Ce_v'sin(W+e),
_ У(\ — 2ут)Г2 + т2
77
78
1
s(T*s2 + 2£Ts+ 1)'
где 0 <: £ < 1
ts+ 1
s (TW + 2£Ts -|- 1)'
где 0 <: I < 1
1— Ce-T'sin^ + e),
гдеС=-^47-; e^arctg—
AT '
V=X;X=%11
где С
6 = arctg-
l+Ct-t'siniM-B),
V~f+(l — 2ут)Га
AT»
AT2
yT^' V — ^ » *■'
/l-£2
6„s» -f felS + 1
79 s(T2S2 + 2Srs+l)>
где 0 <: | < 1
где С =
l+Ce-v'sm(A,< + 6),
V%* (b0 - T^+jb.-y (Ь0+Т*П*
6 = arctg
XT*
Я (bp - Г») .
bi-Y^o + T-2)'
/l-l2
T '
153

Продолжение табл. 4
по
пор.
80
81
82
83
84
Изображение
1
s» (T*s* + 2gTs + i) '
где 0 < £ < 1
s
ТЧ* + 2£Ts + 1
где 0 < £ < 1
si
7'2ss_|_2£Ts+ i '
где 0 < £ < 1
1
(T»s»+2£Ts+ l)* '
где 0 < £ < Т
TS+ 1
(T»s» + 2?Ts+ l)s
где 0 < £ < 1
Оригинал
—А + < + Ce-V,sin (М + G),
гдеЛ = 2уГ*; С = -^-; G=2arctg —;
А V
Y — у » А у
— Ce-v'sin(A< — G),
гдеС_ ЯГ9 ; G-arctg y ;
Y у > А у
Ce_v,sin(A< —G),
где С = -513-; e=2arctg-l;
Y у > А у
Ce-^slnM—McosM),
где с = 2л?т* ' Y = T";
, К 1-6»
е-1" [С sin Ж — Сх/ cos (kt + в)],
где С 1~У-
V-t*+T*(l— 2ут) .
1 2АаГ*
o_nrri„ Ат • г ... „в..
0 arct8 I_T» » Т- г .
, 1^1-6»
154

Продолжение табл. 4.1
Изображение
Оригинал
е-7' [С sin Xt + C{t cos {Xt + 6)],
b^ + b.s+l
(T*s*+2%Ts + l)* '
где 0 < I < 1
V *a (60 -
fto+^Cl-Yii) .
2A,8Te '
-Г^+^-ГСо+Щ2
G = arctg
2^T8
6i-Y(6o+r»)-arCtgT'
Y=-fr; *, = ■
l
s(rasa + 2£Ts-|- l)a '
где 0 <: I < 1
1 + Ce_v/ [XT cos (Xt + 26) — sin (Xt + 6) +
+ № cos (Xt + 8)],
где С =
Wt*; e = arctgy
r
x =
VT
(T»s2+2|Ts-h l)2
где 0 <: g < 1
Ce~T' [—yT sin W + W cos (Xt — 8)J,
ГдеС=2?А^; e=arctg-Y-'
5 ■ i_£Lzi!
(T2s8 + 2|Ts+ l)2 '
где 0 < I < 1
Ce"v/ [sin Xt — M cos (W — 26)]
где С =
Y__L. j^£i^il

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
Изображение
Оригинал
89
1
(7>Ч-2^5+1)
1
X
(Т|я»+25,Т28+1)'
где 0<|/< 1;
ТхфТг или g^Ej
где С/
— C2e'V2/sin(V + e2).
1
Oj = arctg
(ri-T|)H-4(Y!-Y2)X
Xtti^-VDTST*
02 = arctg
2у2Ц-У1(Т1 + Ту
Yi '
%, (T? - 71)
■H-
+ arctg
ЗУЛ-УЛП+Ц)
+ arctg—2-;
Г2
Yi =
h
h =
|/i-S*-
90
где С, =
1 + C1e-Vl/ sin (A,^ + ex) +
-!-C2e-v»'sin(A,a< + 9a),
I
1
X
1/(Tf-T?)» + 4(Y1-Y2)X'
£K X(Y1TJ-Y.71)nn
d1 = arctg
МЛ-П)
X
(T?s2 + 2|2T2s+l)'
где 0 <: 1^ < 1;
Г^^ ИЛИ Е1Э4=Е,
fl„ = arctg
2Y.71-Yi(n + 1)
re
Ъ (71 - Г?)
+ 2arctg-^;
+ 2arctgb-;
Г2
Yr
li ■ j _
■-jr-, Ц-
\ 1-Е?
156

Продолжение табл. 4.1
Кг
ПО
пор.
Изображение
Оригинал
91
С, =
-A + t — Cle_Yl' sin (V + 6i) •
— C2e-Y='sm(V+e2),
где А=2(у1Т1 + уяЦ);
1
X
-r-a^s-j-1)
l
uY
(T2_T1)2+4(Yi_Y2) x
УЛУгП-УгТЬПП
К (П - П)
где 0 < h < 1;
Тх ф Т2 или £х =£ |2
+ 3arctgb-;
Yi
arctg
2y,n-yl(Tl-]-Tj)
t К ■
arc g—-
Yi
К(П — т\)
6 27i^-7*(T! + 71)
}
+ 3arctg-^-;
ё Y2
vi=-l^-; V
у i-51
92
(Tis» + 2s1T1s-rl)'s
Л (T|s2+ 2g2r2s + l)'
где 0<g,< 1;
Tt ть 7\ или gt ^ |2
C1e_v'/ sin (V + 6i) +
+ C2e-'V2'siri(;W + e2)I
где Сi =
1
0J = arctg
92 —■ arctg
(71-Ti)»+4(Tl-vs)X
X(Yiri-Y271)nTI
Ях (71 - Гр .
2ъП-ъ(7Ц-71) '
X2 (71 - П)
2Vi7,i-Y2(7"i+7'?) '
* = £-;
Fl-Й

891
Й-I 1
Y • J5 л
SjaiB
= 'fl
'=,r 'tf Л 'y
"» 11='» ' , = ?Д agJ
u (8—и) S^
i=;
инынгевс! -ут- = 'А ээн
il>'5>0
'Z < v atfj
O + ^'te + j&Oij
< "_
1
Й-1.Л
-= ?v «
'3
u
»A
Simb ■
_ (fct + U)'*-UTAz - __,
(U-U)4 J G
(!U — Ш TY
№(gi8A-U,A)x /1, ,
I
= 'a arj
— ('e + ^YJDIs,,^»1^—
«Э ¥= *3 И1СИ г1 ^ ll
■'I>'3>0 aw
« (i+ssjs3s + ^1j)
I
X
ifBHHJHdQ
эииэжвйдоБИ
■f -if9Bi эинэж1гоИо с1ц

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
Изображение
Оригинал
95
1
s П (ту + 2£,т? + 1)
где п > 2;
0<6,<1;
все Y/ = ~^г- различны
1 — £, C/e_Vsin(V + 6<).
y2n—3 ц
глеС1 = ■. .'/-б- ; Я|^ПЛ(*;
«#* = С? - Г»)а + 4 (iff- v*) X
х(у,г?-Т4г»)г»г»=*„;
2*1 (Yf - Vfe)
6, =
arctg
(vi-v*)"-W-*i)
+ arct
Y/
, Л;
X,-
J/"I-61
96
1
где п > 2;
0<6,<l;
все уi = -|г- различны
■Л + t+Y- C,e~V sin (ktt + Qt),
<=i
где
n T2 (n—1)
/1-2Ут.т"; с, -l- •
■L-1 " Cl~ ^пь'
Ri = П *,*:
кф1
x(Y^-YifeT|)T2T2=^;
arctg
2Я,/ (yf - Yfe)
(Yi-Y*)2-(*?"*»
+ 2arctg^-; Я, = ^И

Продолжение табл. 4.1
по
[юр.
Изображение
Оригинал
97
■ V C,e-Vsin(M+6,),
г2«-5
1 i
К VrT
где Ct — — ; 7?f — 11 K.lk,
п
кф1
П(Г?Яа + 2Б,7>-|-1)
i=i
где /г > 2;
0<Б,<1:
««ft = (7'?-7'*)a-M(Y,-Y*)X
x(Y^-Yfcr2)T2r2=Rft.;
о, =
arctg
2А/(У/—Vt)
все Y/ = -^r-
различны
(т,-т*)а-(*?-*1)
arctg-
Yz
X»
J/ 1-Е?
98
П(Г2«2 + 2££T(s + l)
где п >■ 2;
0<£,<1;
все Y<
Tj
различны
У C,e-Vsin(Xj<+e,),
(=1
T2 (n-3) rj
где С, = ' ; R, = П Rik\
А/ К Я/ k=\
кф1
«£* = C?-Tj)a + 4(Y|-Y*)X
x(Y,Ta-Y*n)TaT2 = l?4/;
*-У!
arctg
2MY/-Yft)
(v,-v*)2-(*?-*£)
h .
■2arctg —*-;
*i-
I'"1-6?

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
Изображение
99
1
(T2s»+25Ts+l)(T1s+l)'
где 0 < £ < 1
Оригинал
Се-*' sin (М — 0) + qe-™',
1
где С =
Ti_
Cl_T2(l— 2уТ,) + Л'
«-"^т^г;
-; v
Т '
а-—т—, «--JT-
,^а/
100
01
TS+ 1
(f2s»+2|Ts+l)(7'iS+l)'
где 0^ё<1
где с l i/msLEMz.
Гг(1 — 2уТ1)+Т\'
0 =arctg l-yVt ~arctg т
v = -4- : 1. = _ i_ • «
1
ftps» + fcxs + 1
(f2S» + 2STs+l)(r1s+l)'
где 0 < I < 1
Ce-*'sin(W —e^Qe-»',
где С =
_L_V + tMv
c1 =
(2v&0-6i)s +
Т*(\—2уТ1) + Т\
bt-(bl-Tl)T1 .
T1[Ta(l—2yT1)-\-Tfl '
e = arctgT^r +
+ arctg
М2у6о-6,)
;^~> Л ~ <
1
6
Макаров И. М.
161

Продолжение табл. 4..1
по
пор
Изображение
Оригинал
1 — Се-т' sin (M — в) — Cje-0",
1
1
102
,(Tas2_)_2|Ts-|-l)(T,,s+I)'
где 0 < I < I
где С =
Я^Г» (I — 2vTj)+ П
"'(1 — 2yT1)Ti-\-T\''
в - arctg-
ЯГ,
i-TTt "arctgT
r t^ » Л - «и » a— 7»
1 — Ce-V'sin (« — в) + Схе-а',
где С
TS+1
:J_i/j:
Га(1—2тт) + т2 .
103
s (T2s» + 2gTs + 1)(TjS+1) '
где 0 <: g < 1
(1-27Тх)+П'
Ci г» (Г—"2>у7\)+П
6 — arctg
ЯГ,
- arctg-
ЛГа
1-Y7-!
уТ* — х '
1
а
104
^os'+V + l
s(T^ + 2|Ts+l)(r1s+l)'
где 0 < g < 1
1 + Ce-v' sin (Л* - 0) — Схе-Я',
где С =
.+ П]' '
Та(1_2уТ1) + П
ra(i — гут^ + П'
XT, ,
1
XT
/" X» (ft,-Г»
I/ +[fti-Y(ft,-
» та /i о..т
в = arctg
+ arctg
1-уТг '
МГа-6„) ,
bi~y(b0+T*)'
V-J-- Я-ПЕЕ-
oc = -
1
162

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
Изображение
Оригинал
105
I
A + t + Ce_v'sin (kt — 9) + С^е"-»',
где A = -(Ti + 2yT*);
т
kV~T*(t — 2yT1) + T\ '
sMT^ + ^Ts+lJ^s+l)'
где 0 « |< 1
С1 =
Г?
Т*(1—2уТ1) + Т1'
9 = arctS I _yTi ~ 2arctg ~-1
Е 1^1 — Е* I
Y Г ' T ' ТГ
106
(TW + 2tTs+l)(TlS+\)'
где 0 < g < 1
где С
-Ce-V'sin (kt — 9Х) - Схе-а',
1
Сг
XTiVTi{l—2yT1) + T\ '
= I .
Тг(1— 2уТ1) + Т\ '
п I кТ* X
9 = arctg - i-—f- arctg —
6 • г- ^'-ga
:~r ' T~
Ce^'sin (M — 9) + CiC-™',
1
107
(TV + 2eTs+l)(TlS+l)'
где 0 < | < 1
где С =
A,T8/Ta(l— 2yT!) + T?'
1 .
TjlT^l— 2уТ1) + Ц] '
к .
9 = arctg-г 1
,_YTl r2arctg-Y>
108
1
(T2Sa+2gTs+ 1)
1
X
Ce_T' sin 0-t + 9) + С^-™1' + C2e_ot'',
1 . „ T| .
X
(TV+lHTgS+l)'
где 0<|.<1;
где С =
ГИНРЩэГЯМ'.< ЛЯМИгЛЩ- Ж. J9RJU.. "-U
ii- 4.- ..4 J
163

Продолжение табл 4.1
N,
по
пор.
Изображение
Оригинал
108
1
X
(T»s2 + 2gTs + 1)
1
X
(TlS+l)(7V+l)'
где 0<|<1;
T^T3
9 = arctg
R1=T^(l-2YT1) + T\;
Rl = T*(l-2yT3) + Tl
A.Tj , ...,_ AT,
yTt-i
arctg
YTS-1
109
(w+t)
X
(Tasa _(. 2|Ts + 1)
1
X
(7^+1) (7^+1)'
где 0<|<1;
Т!фТа
Ce_v'sin (Kt + 9) + С^-"1' + С2е-И"',
™c=ttV—^—•
^«rvi-arTiJ + n:
«2=ra(i-2vr2) + ^;
9 = arctg
V^i-l
+ arctg
AT,
YTa-l
arctg-
At
T 5Г) Л— 5!
1—YT '
1
a, =
Г/
110
—Ce-*' sin (a/ + 9) + Cje-»'' + Cse-"«',
W(*b-*■■)■ +
+ [Ьг-У(Ь0 + Т*)]* .
D D >
где С
X
(Г28а + 2|Ts + 1) A
1
(TlS+l) (T*+iy
где 0<|<1;
T^Ta
C-*!L
9 = arctg
К1 = Г*(1-27Г1) + П;
/?s = Г» (1 - 2yTt) + T|;
KTj . . AT,
+ arctg;
УЪ-l^ ""'eY7V=rT^
A,(2vfc,— *i)
+»^N(Mra+u-i'
1 jr , A = = , «/ = -j—
164

Продолжение табл. 4.1
Nt
по
пор.
Изображение
Оригинал
111
1 — Се-1" sin (U -;- 9) + Схе-а'' + С2е~а'',
Т . „ Т\
где С =
1
s(Tasa + 2|Ts + l)
1
X
X
(TV+ih^s+D'
где 0<|<1;
Тх + Т*
а (Гх-Т,)/?,'
/?!=Тг (1-27^)4-74;
/?2 = T»(l-2YTa) + n;
9 = arctg J'^ , +
YTX-1
+ arctg *■
T
Y7vrr^arctgT;
У = —\ *• = т-"-' «(
112
TS+ 1
s(Tasa + 2|Ts + 1)
1
X
X
где 0<|<1;
Ti + Тш
1 — Ce_v' sin (W + 9) + Cae-"'' + C^-"1',
_ 1 i/та —2уТат + Т2 .
г _ Л(^-Гх) . с _ Га(т-Га) ,
1 (Гх —Га)/?х' 2 (Г,-^)*,'
/?1 = Т»(1-2уТ1) + П;
/?a = T*(l-2YTa) + Ta;
■ 9 = arctg-
^2
+ arctg *—
YTX-1
Y^-l
arctg-
ЛГа
-яг*» Л — я; » «< —
уТ* — х '
1
1
113
s(r»sa + 2|Ts+ l)
N/ 1
Х (rlS+l)(7V + l)'
где 0 < | < I;
ТхФТ2
1 + Се-1" sin (М + 9) + Cxe-V'' + Cae-V'',
где С = -у- х
Т / X' (fe„ - Г»)' + fo - Y (6о + Г2)]2
К ДхДг
1_ (т.-т^л, '

Продолжение табл. 4.1
J*
DO
пор.
Изображение
Оригинал
b^ + hs+l w
s(T»s« + 2|Ts+l)A
1
113 X(TlS+l)(7V+l)'
где 0<|<1;
7"i чЬТ,
г _Г,(6ь-^Г,+ Г1).
(Г<-Г2)/?а '
/?i= ra(i_2Vr1) + r5;
Яа = Г*(1-2уГа) + Г1;
9 = a'cte^rr + arctg^=T
. к(Ьв — Г») .
Y = ~j5"» * = т » at ~ ~~f
114
(T*sa + 2|Ts+l)
1
X
X
(Т1в+1)(Ти+1,*
где 0<|<1;
7"i I* Т.
—Ce_v'sin (Л* + в) + C1tT<x't + Сае-°Ч
1 T(
где С =
ЯГ УДЛ
■; с,.
(7-г-Гх)/?!'
^-(Tl-Ta)/?2'
R1=T*(l-2yT1) + T\;
Л,= Т»(1-2тТ,) + Т|;
9 -««■l!P7b- +
+ arctg
^=T-arctgT;
Y 7fT > л я? » о^ =
JL-
т
1
115
Се-1'' sin (W + в) + С^-™1' + Сае-"»',
1
(T»s» + 2|Ts+l)
* (Т1в+1)(Ти+1)*
где 0<5<1;
ТгфТг
С1 =
где С =
1
лт» /та'
■» Са — -
1
(T,-7W ~а (Т,-Тх)/?а'
/?1=Т»(1-2тТ1) + П;
Ка = Г*(1-2уГа) + 71;
8 = arctg
YTj-1
+
+ arctg _^2_-2arctg-L;
v- 2 • 1_£1ЕЕ- „ - '
Г — "т^ » Л — 7 » а1 — ~j!~
'." '_: _'_и .' jjju _»—ь-j.——-» ■'■■
166

Продолжение табл. 4.1
по
пор
Изображение
Оригинал
Се-* sin (*i + 9) + J] С,е-<У,
глеС-тк-'' *=П/?<:
<=^i
i
не
(TV+^Тл НО П(Т,Н-1)
где л > 2;
0<|<1;
все Г, различны
С, = -
Л| П (Т, - Тк)
л =
_ ^Ггр
«г
117
1
s(TV + 2|Ts + l)x
X П(Г,в+1),
где я > 2;
0<|<1;
все Т, различны
1 - Ce-T'sin (Я/ + 9) — J] C^e'V,
i=l
гдаС^1 , * ; /?= YlRt;
%VR
f=i
c,=
Tn+1
Rt П (T, - t»)
*=i
k+i
Rl**{\-Wl)'n + T\;
n
9 = 2 arctg уГЯД , + arctg^- ;
<=1
«<=■
I

Продолжение табл. 4.1
Nn
по,
пор.
118
119
Изображение
1
S2 (T2S2 _|_ 2|rS + 1 ) X
п
х П(7>+1),
<=i •
где я > 2;
0<|<1;
все Тi различны
s
(T2s2+2|Ts+l) х
п
х П(т,в+1),
где л > 2;
0<|<1;
все Тi различны
Оригинал
п
—А-\ t + Се-1" sin (M + 0) + У_, C,e_tV,
i=l
п
где Л = 2уГ* + VJ Tt;
С- J"7!"; R-URf,
Я| П (Tt-Tk)
, /г = (l — 2vr,.) r» + rj;
п
9=Sarctgwh-+2arctgT;
Y_ £ . ,_ Vi-V. i
П
—Се-1" sin (М + 9) — Tj C,e_tV,
t=\
глеС=к \> ; Я = ПЯ<;
А, К Я ,=i
Tfi—1
Ri П (Tt - тк)
k=i
k+i
Rl = (l-2yTl)T* + T]-
n
e = Sarctg^T-arctgT;
1=1
Г ^ ) Л ^ »
1
168

Продолжение табл. 4.1
по
пор.
120
121
Изображение
S»
(TW + 2| Ts+ 1)X
X П (T,s + 1),
где п > 2;
о<|<1;
все Г/ различны
I
(Ts+l)x
х П(г^ + 2б,-7>+0.
где « > 2;
0<|,<1,
t
все Yi = -тр различны
11
Оригинал
п
Ce-V'sin (W + 9) + Б с<с_а'''
(=1
™c~\vr : *"Д*':
ГЧ—2
п 1
Я, П (Г, - Т4)
k+l
Y_ 1 • ,_ К1-6».
1
«'= —
Ce-"' — 2 C,e-Vsin (X,/ + 9,),
i=i
r2fl-l - 7-2/1-3
rjIC Q— • Г. — '
fi, l<^
*=i
ri = (1-2v*7')T? + T1;
n
«i = П Я,*;
**<
Х(ТЛ-Г*Т|)Т}Г|;
**<
I arcte YiT - 1 '
ht— у ■ , a — T

Продолжение табл. 4.1
Nt
по
пор.
122
123
Изображение
-
1
s(Ts+l)X '
л
X П(7>* + 2&,Г.«+1)
1=1
где я > 2;
о<|,<1;
все у* = -|г- различны
1
s»(Ts+l)x '
X П(7>г + 2|1Т^+1)
f=l
где п > 2;
о<|,<1;
все Y< = -тр~ различны
Оригинал
п
I — Се-"' + J] C,e~V sin (ktt + 9<),
i=i
y2n y2 (n—1)
<=i
Г| = (1 — 2Y,r) г; + т*; /?,.= П^*;
ft=l
Л|*=(П-''Й1 + 4(Т|-Т*)Х
X{ytT\-yJ%)T\T%-
П V ЗГЕ»* 2Я' (V' - У к) |
k-hl
+ arcte Y<T'_i +arcte YJ ;
, К1-SI. l
h- Ti ; *-T
n
—A + t + Ce~"' — V_, C,e_Vsin( V + 9,),
i=i
где Л = T + 2 J Y(T»;
i=i
T2«+l r2fl~l
A,. ' l<^'
i=-i
г,= (1-2Т(Г)Г, + Г;
n
К, = П tf,*;
*=i
k-hl
«<*=(П-П)' + 4(Т,-Т*)Х
X(Y,TJ-T4Ti)TJTl;
170

Продолжение табл. 4.!
Nt
по
пор.
123
124
Изображение
1
s»(Ts+l)X
X П(7>2 + 2|,7>+1)
1=1
где я > 2;
о<|,<1;
все yt — -^г- различны
s
(Ts+l)X '
X П(7>* + 2|,7>+1)
1=1
где я > 2;
0<|,<1;
все у{ = -яМ- различны
<
Оригинал
0 Varctr 2Xi(Vi-Y*) -
°< LaKtg(yl-yky-m-4) +
кф1
+ arctsY<T'-i + 2arctg y! ;
n
-Се""' + J] C,e~V sin (X,/ + Qt),
i=i
T2 (n-1) ^2 (n-2)
гдсС ■ ' c* A</F^7'
11 Ti
1=1
rt=(l-2ittT)T\+T>;
n
Rt=Tl Rik:
k=i
кФ1
К1к=(Ц-ЧТ + ЧУ1-Ук)х
х(У,Ц-УкЦ)ТЧП;
\S _„.. 2X£(Yi-Y*)
кФ1
+ »rctg^-M-j arctg^i-;
л У1~Ц • а- '
171

Продолжение табл. 4.1
№
по
пор.
Изображение
Т
Оригинал
125
(Ts-\-l)X
X П (TJs» + 2£,7> + 1)
/=1
где я > 2;
0<|,<1;
все yt = -jjr- различны
11
Се
ЛР
-at
с =
',■
1—1
у2п—3
и
(=1
«1 =
е v/' sin
-• с,=-
2YlT) 7-}
= П Я,*
кф1
(V
-1-е,).
y2n—5
X|/
+ r
r,R,
)
Х(У(Ц-УкП)Тт-
Varctg ^i(Vi-V*)
£j»«8(Y(_Yik)._(X}_
кф1
+ arctg
4)
X
ktT
_ , -2arctg-^-;
К'-SI
1
XT; 5=7r[(l-Y7'1)2T%];
1
126
(T*s2 + 26Ts+ 1)(7V4-1)»'
где 0 <: I < 1
Ce_v' sin (X/ — 9) + (C0 + Cxt) tTa1,
где С
Ct = -b г=(1-2уТ1)Т»+П:
9=2arctg t_jTi ; Y = + ;
jAT£F. 1_
127
1
^(T^+SITs+lXTiS+l)2'
где 0 <: | < 1
1 — Ctrl* sin (X/ — 9) + (C0 — CJ) е-0",
гдеС=-£;
C, = -P-(4rT»T1-3T»-TJ);
C1 = -^-; r = (l-2YT1)r + rT;
172

Продолжение табл. 4.1
№
по
пор.
Изображение
Оригинал
1
9 = 2arctg
127
s(Tht+2lTs+[)(T1s+l)t'
где 0<|< 1
Х7\ , X .
.—-f Л — , а —
1
7\
128
—Ce_v'sin (kt - 6) + (С0 — C,t) e_ot',
1 . „ Г|-7'2 ,
где С =
Х7> '
(T2s2 + 2|Ts+l)(T1s+l)2'
где 0<|<1
Cl=7V; r-V-WJTt+TK
9=2arctg
XTj
v = -f-; * =
T^rrTarctgT;
ЛЕЕ- а L
129
(T2s2 + 2£Ts+ 1) (7V +1)2'
где 0<!< 1
Ce~v' sin (X/ — 9) + (C0 + CiO e~a',
гдеС L_. с -ШИ=Ы-
Д ~~ XT*r ' ° г2 '
Cl = ~W; г=(1-2ут1)т*+Л;
9 = 2arctg
T^7 + 2a^T;
■-£-• x-
Vi-61
l
Ti
130
1
X
X
(T2s2 + 2|Ts+ 1)
1
(7V+1)(7V+ I)2 '
где ТгФТш;
0<|<1
—Ce_v' sin (X/ + 9) + С^-™4' +
+ C2(C„ + 0e-aa',
где С
kf.Vr,
=^; Ci =
Тз
(T^-T^'
r,
i = T, [■
""(T.-TOr,'
2(1-уГ1)Г»
r* (T.
г, = (1-2ГГ,)Г2 + Г2;
-TUT
9= arctg-
X7\
ТГж —1
2arctg-
XT,
Y._L; x=VizJ!
l
173

Продолжение табл. 4.1
№
по
пор.
Изображение
Оригииал
131
1
s(7aA'4-2gTs-J- ») Х
1
(Т1а+1)(Т&+ 1)» '
где, Т^фТь,
0<|<1
+ Се~?' sin (kt + 9) — de~a»' +
+ С2(С0+0е-°5а',
где С =
7"2
—; с, = .
Tf
T*2
^2-
+ ■
(Г,- Т2)г2'
2(1 -ТТ,)7"
7-1
^-Т,
Ф
г^о-гут^тч-Л;
9 = arctg-
Я7\
YTf-1
+ 2arctg
ЯТ2
T
—; а _ ; <*< —
1
132
X
(T2s2 + 2gTs+l)
1
(TlS+l)(7V+l)2 '
где Тх Ф Т2;
0«|<1
Ce_v' sin (kt + 9) — С^-™1' +
где С:
1
Яг21/"^
=■; с1 =
Г|
(Гх-Г^/у
С0 — Т2
(Л-Т,)^'
2(1-уГа)Г»
7"i
]'
' 74-г,
ri=(l-2yTl)T*+T*;
9 = arctg
YTX-1
+ 2arcte Yrar_i ~arctg T'
v = -f; * =
Vi-i2
at =
1
174

Продолжение табл. 4.
№
по
пор.
Изображение
Оригинал
X
(TV + 2&rs+I) 'ч
1
(TlS+l)(^+l)2 '
где Тх Ф Т2;
0<£|<1
—Ce_v' sin (kt + 9) + Cje-™'' +
+ Ci(C0+t)tTa*t,
где С =
1 T
c,=
I
-o — 'a
c,
2Г»(1-уГ,)
'a
II 21.
Ti-T1 'J'
Г;=(1-*/Т;)Т* + Ц-
Я7\
в= arctg
yTt-l
■ +
IT 1
f2arclg-^ia-r-2arctg4-;
yi 2 — i у
Y — -^r"» * = т > at —
т
l
Таблица 4.2
Вспомогательные формулы для отыскания оригинала
№
по
пор.
1
о
3
4
Изображение
sF(s)
F(s)
s
F(s)
Ts+1
F(s)
s(Ts+l)
Оригинал
-jJ-/(0. при /(0) = 0
f/(T)dx
0
ae-a/ Jeat/(T)dT> где a = ^_
0
J f (t) dt - e-°" J eat f (t) dt, где a = -1-
0 0
175

*
Продолжение табл. 4.2
№
по
пор.
5
6
7
8
Изображение
F(s)
(TlS+l)(T2s + l)
F(s)
(Ts+1)2
F(s)
Tas» + 2|Ts + 1
F(s)
s(Tas» + 2|Ts+l)
Оригинал
Г t
OxOSa
Oj —«x
e-<M[ee«T/(T)dT-
0
— e~e'' J ee'T/ (т) dt ,
1 1
где Oi = -=—; a,, = -=—
' 1 '2
Г *' ' T
а2е-°"
*Jeat/(T)dT-JTea7(T)dT ,
p 0 0 J
1
где а = -уг
-£- e-* sinA/ J eVT cos At/ (т) dx -
L о
i
t
— cos A/
I
где у = ~; A
eTT sin At/ (t) dT
-V"-
»
= Y2 + Aa
J/(T)dt ^e^x
0
X
i
sin (A/ + 8) J eVTcos At/ (t) dT -
1 -1
— cos (A< +
где у = -
6) J eVTsinAT/(T)
0
1 . ,_ /l-Is
dt ,
P=YS + A»;
e
= arctg —
Y

Продолжение табл. 4.2
по
пор.
9
10
Изображение
F(s)
T2s2 + 1
F(s)
s(T%2+l)
Оригинал
P
t
sinpr Jcospx/(T)dT —
0
cos p* [ sin рт/ (т) dt ,
где Р = -у
1 1
[ / (т) dx — cos P< f cos рт/ (t) dt —
0 0
i
- sin P< I sin рт/ (t) dt,
0
о 1
где Р = -y
Таблица 4.3
Таблица неопределенных интегралов
(p = /y2 + a.2; pi = /v2 + (A. + P)s; ра = ^г2 + (Я-ра);
i|)=arctgA; ^1 = arctgA±JL; ,,,, = arctg J^=±)
J
Te-aTdT--
J
re-atdt-
5S-(I Ь«т);
•(2+2ctT+aV);
J t3e-at dt = - -5^1 (6 + бат + ЗаV + «V);
I e vxsina,TdT=— sin (А,т -|- гр);
f e—vx
Te~vxsin Лт dt = -5— [sin (Лт + 2ф) + рт sin (Лт + ф)];
J P
177

Продолжение табл. 4.3
[ iV^sin Лт dt = — -5-j— [2sin (Лт + 3t|>) +
J p
+ 2рт sin (Vr — 2ф) + pH» sin (Лт + ф)];
f « e_?x
tV^x sinVr dt = —-=-j— [6sin (Лт + 4i|>) +
J P
+ брт sin (Ят 4 3ij3) -j- Зр2тг sin (Лх + 2ф) + pHa sin (Лт + -ф)];
[ е vxcosA,TdT;
e-vx
cos(VH-i|>);
»-vx
f те~ vx cos Ят dt = — e a [cos (Vr + Щ + рт cos (Лт + ф)];
jT2e-^tcosXTdT = -
^-[2cos(Xt + 3i|)) +
-f 2рт cos (Лт + 2ф) + p^» cos (Лт + ф)];
T3e-^x cos Лт dt = — -Ц— [6cos (Лт + 4-ф) +
J P
H- брт cos (A* + Зф) + Зр2т* cos (А,т + Щ + рЧ8 cos (А,т + ф)];
J e~vx sin Ят sm рт dt = ^ {cos [(Я + »т + Ц - С05[(Я - » т + *'};
f Te~vxsinXTSinpTdT =
e-vx Г cos [(Я + Р) т + 2ft] cos [(А, - Р) т + ДЦ
2 I Р? р! +
, .ГС05[(Я + Р)Т + ^1] С05[(Я-Р)Т + Фа]П.
+TL Pi pi J;-
[ T2e_vx sin А,т sin рт dt =
_vc f со8[(ХЧ-Р)т + 3<>1] _ со5[(Я-Р)т + ЗЦ>2]
" I P! °1 H
cos I (A, -1 ■ P) т \ - 2ft] cos [(A, — р)т + 2ф,]
■[
+4f
pi
Pi
v |cos[(M-P)t-H>i] cos[(X-P)T + ft]
Pi Pa
[ e_vx sin А,т cos Рт dt =
rvx fsin[(X+P)T+ti1 , cos[(A.-P)T + ft]
]ч-
Pi
Pa

Продолжение табл. 4.3
+ т
j те~^х sinta cos Рт dx =
-vT f sin[(X+P)T + 2^1] , gln[(X-P)T + 2t»1
P? P
sin[(X + P)t + i>i] ! sin[(X-P)T + i|>a]
+
};
!J--|-
Pi Pa
[ т2е—vx sin Лт cos Px dx —
_ _e-Vt /81Щ(Х+Р)т+ЭМ Яп[(Х-р)т-ЬЗф;
1 P? + PI
_Г s»n[(X + P)T + 2^] , 81п[(Х-Р)тЧ-2ф,] 1
"* L P? + Pi Г1"
+ "2-[ Й + Pi Jj'
I e~vx cos А,т cos Рт dx =
_ e-?1 fcos[(^ + P)T + ^il , сов [(Х-Р)т+tall.
2 I Pi ^ pa J'
I Te_vx cos \t cos Pt dx =
= - С-ТТ / CQg[(X+P)T+2*i1 , CQg[(X-PlT + »M
2 1 pi + pi
( Trcoi[(X+P)T + i>i1 , cog[(X-P)T + W11.
I T2e-Vx cos A,t cos Pt dx =
= _e-vx /cos[(^ + P)T + 3t|)1] cos[(^-P)T + 3t|)a]
I A + Pi
Г CQg[(X+P)T + g»|] , C08[(X-P)T + glh1 1 ,
+ т |_ -я— + pl J +
4- x* rcos[(*,4-P)T+i|>i] cog[(X-P)T + mi.
+ "2-[ й + й JJ-
jTsinpxdx= sinPT-PxcospT.
jT»sinpTdT= 2cosPT + 2PTStapT-PVcosPT .
jTcospTdT= cosPx+PtsmpT ,

П*р одо"лжен ие табл. 4.3
Г . Q . —2sin Вт + 2Рт cos Рт + Р2т2 sin Рх
J т2 cos Рт dx = и» — 5
Jsin2pTdT=Z^±2Pl;
JxritfM.- -^Рт-2Р^п2рх + 2Р^ .
J ts sin» Рт dx = -gJp- [3sln 2?т - брт cos 2?т - 6P2t2 sin 2?т + 4Р3т3];
JcosaB,dx = sill2Pi+^;
J т2 cos» Рт dx = -^p- [-3sin 2?т + брт cos 2?т + 6PV sin 2рт + 4psTeJ;
f • d d л sinspx .
sin Вт cos рт dt = —нгр—;
f . о Q . sin2Px —2Ptcos2Pt ,
I Tsinjk cos рт dT = -—=gj — ;
J та sin Pi cos рт dT = -g^j- [cos 20т + 2рт sin 2?т — 2р2т2 cos 2рт].
Пример 4.7. Определить оригинал по изображению
4s+3
Y =
s3(2s + l)2(s + 1)
В табл. 4.1 имеются изображения со знаменателями s3 (Ts + 1)? и Ts + l,
поэтому разлагаем рассматриваемое изображение на два:
4s+ 3
s«(2s+l)s(s+l)
_ ;V« + A3s* + Atf» + A& + 4s , В
ss(2s + l)s +s + l
Приводим обе части равенства к общему знаменателю и отбрасываем его:
4s + 3 = (i4lS* + A2s» + i4ss» + Ats + Аъ) (s + 1) + Ss3 (4s» + 4s + 1).
Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при равных
степенях s левой и правой части равенства:
At=3; As+At=A;At+Aa=0; Аа+ А% + В = 0; Л„+ЛХ +
+ 4В= 0; i4i + 4S= 0.
Решив эту систему алгебраических уравнений, определим
Ai= — 4; i42= 0; Аа= — 1; At = I; Л5=3 и В=1.
180

Итак:
—4s« — sa + s + 3 i _ — 4s 1
s8(2s+l)2 +s+l (2s+1)2 s(2s+l)a +
I ' I 3 1
^ sa (2s + 1)» ^ s8 (2s + 1)* T s -j- 1
По табл. 4.1 [формулы (13), (10), (11), (12) и (1)] еостлшш искомый оригинал
r/ = —<1a2(l —at)e-at — [1 —(1 -\-at) e~'1'\-]-
+ 3[^(l-e-0--^(2 + e-«0+f
+ aie-a'',
где я = 1/2 и ах— 1.
После упрощения
у = 31 — 1U + 1.5*г + 4 (8 + 0 е-0'5*1 + е-' •
3. Если рассматривается изображение F, которое разлагается
на произведение изображений Fx и F2, имеющихся в табл. 4.1, то
оригинал определяется теоремой свертывания (табл. П1.1), т. е.
изображению F соответствует оригинал I /х (f — т) /2 (т) dt,
о
где /х и /2 есть оригиналы, соответствующие изображениям Fi
и F2. При вычислении интеграла следует использовать табл. 4.3.
Пример 4.8. Определить оригинал по изображению
1
F =
(TlS+l)2(T2s+l)' ■
В табл. 4.1 такого изображения нет, но есть изображения
Fl = it , i !va И F2=-
(7\s + 1)» a (T2s + 1)» '
на которые разлагается F. По формулам (9) и (7) табл. 4.1 определим оригиналы,
соответствующие изображениям Fi и Fa'
f^ayt-^ н/2 =^1е-а'',
где а,- = 1/7V
181

Затем по теореме свертывания (см. табл. П1.1) определим искомый оригинал
(для вычисления интеграла используем табл. 4.3):
/= Ja'i(*-T)e-a'<'-x)-^e-a2tdT =
1
•'J(ha_T8)e-«a'~e'>4T =
alai c-g,t
.^e-1/|5{_^l_^L^[2H-2(a2--ai)T + («2-«])2T2] +
e -(a2-ai) T
(a,- -a,)'
— [f> .'|- Г, (a, - «,) т -|- Л (re, - a,)" i" -1- («i - ai)3 ts] | =
- (^Й;7- ([(«--«h) <-зк-' +
-{- [0,5 (a, — И1)« P + 2 (я2 - at) t + 3] i
-ne./l
Для проверки расчета зададимся некоторыми числовыми значениями
параметров, содержащихся в найденном значении у. Положим Т^= 1 и Тг = 0,5,
т. е. ах = 1 и а2 = 2. Тогда
у = 8 [(< — 3) е"' + (0,5*2 + 2* + 3) е"2М;
К=8Г ' 3,1,2
(s+1)2 s + 1 (s + 2)3 ^ (s + 2)2 ' s+2
[(—3s — 2) (s2 + 6s2 + 12s + 8) +
]-
(S+l)2(s+2)3
+(3s2 "I"'!s +17> <s2 +2s +'>] - (s + in,+W °(. + i)«(i),B. + i)'-
Следовательно, расчет выполнен прапнлыю.
Теорему свертывания можно применить дважды. Пусть
рассматриваемое изображение F разлагается на произведение
изображений Fu F2 и F3, имеющихся в табл. 4.1. Тогда по таблице найдем
оригиналы /i, /2 и /з. соответствующие изображениям Flt F2 и Fs.
Затем по теореме свертывания определим оригинал/12 = I ft (t —
о
— т) /2 (т) dt, соответствующий изображению F]F2. После этого
вычислим искомый оригинал
/= J/.(/-t)/ia(T)dT.
Для проверки обратного преобразования Лапласа следует,
как правило, выполнять прямое преобразование Лапласа, что было
сделано в примере 4.8.
182

4.3. МЕТОДЫ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ВЕЩЕСТВЕННУЮ
ЧАСТОТНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ
Основой методов является зависимость между переходной
характеристикой А устойчивой САР и ее вещественной
характеристикой Р относительно одного из внешних воздействии:
*-fJ
Р sin at
со
d(0.
(4.21)
Наиболее часто используется метод трапецеидальных
характеристик. Суть этого метода в следующем. Интеграл (4.21) вычислен
при различных значениях параметров^вещественной частотной
характеристики простейшей формы (трапеция или треугольник)
и результаты сведены в таблицу. Реальную характеристику Р
разбивают на несколько простейших PL:
(4.22)
Для каждой простейшей характеристики Р( с помощью таблицы
определяют соответствующую ей характеристику А,-. Тогда
переходная характеристика А, соответствующая вещественной
частотной характеристике Р, определяется суммированием
составляющих hi-,
i
А**1-А,. (4.23)
В качестве типовой В. В. Солодовниковым [102] выбрана
единичная трапецеидальная вещественная частотная характеристика
(рис. 4.1). Ее высота равна единице и основание ш„ = 1 с"1.
Изменяющимся параметром является отношение меньшей
параллельной стороны <иа к большей (к основанию):
X = »>д, (4.24)
которое называется коэффициентом наклона.
По равенству (4.21) вычислены значения А, соответствующие
единичной трапеции с различным
коэффициентом наклона % от 0 до 1, при
различных значениях условного
времени х — /ш„. Эти значения А
называются А-функциямк и приведены
в табл. 4.4.
Построение переходной
характеристики А по вещественной частотной
характеристике Р методом трапеций
состоит из нескольких этапов.
1. Вещественную частотную
характеристику разбивают на трапеции.
Для этого действительную кривую
Л,
1
и.с-
w„
ш„=Г
Рис. 4.1. Единичная
трапецеидальная вещественная частот,
няя характеристика
183

Таблица
- 0,0 !
0,2 :
0,4 :
0,6 -.
- 0,8 г
ьо ;
1,2
1,4
- 1,6 5
1,8"
. 2,0'
2,2
. 2,4"
2,6-
2,8 ■■
з.о;
- 3,2 1
3,4 <
3,6
3,8 •
■» 4,0 '
4,2"
4,4 '
4,6 ■
4,8 ',
5,0
6'3/'
7,0'
8,0
9,0
10,0 •
11,0
—12,0 -
13,0 !'
14,0 '
15,0
-16,0
17,0 •
18,0
19,0
- 20,0, '
21,0
22,0
23,0
-I 24,0-
- 25,0 t
26,0 -•
27,0 <
.. 28,0 -
29,0 о
30,0 '
■ 31,0 /
0.00
0,000
0,064
0,127
0,189
0,250
0,310
0,367
0,422
0,475
0,525
0,571
0,615
0,655
0,692
0,725
0,755
0,781
0,804
0,824
0,842
0,856
0,868
0,878
0,885
0,891
0,895
0,903
0,904
0,911
0,925
0,939
0,946
0,950
0,950
0,951
0,956
0,961
0,965
0,966
0,966
0,967
0,968
0,971
0,973
0,975
0,975
0,975
0,976
0,977
0,979
0,980
0,980
0,03
0,000
0,067
0,133
0,198
0,263
0,325
0,386
0,443
0,499
0,551
0,600
0,645
0,687
0,726
0,761
0,792
0,819
0,844
0,865
0,883
0,898
0,910
0,920
0,928
0,934
0,939
0,945
0,945
0,951
0,966
0,980
0,988
0,990
0,989
0,990
0,993
0,998
1,001
1,002
1,002
1,001
1,002
1,004
1,006
1,006
1,006
1,005
1,005
1,006
1,007
1,007
1,007
0,10
0,000
0,070
0,141
0,208
0,275
0,341
0,403
0,464
0,522
0,577
0,628
0,675
0,719
0,758
0,795
0,828
0,857
0,882
0,903
0,922
0,937
0,950
0,960
0,968
0,973
0,977
0,981
0,978
0,983
0,996
1,009
1,015
1,015
1,012
1,010
1,012
1,015
1,016
1,015
1,013
1,011
1,010
1,011
1,011
1,010
1,008
1,006
1,005
1,005
1,005
1,004
1,003
0,15
0,000
0,073
0,146
0,217
0,288
0,356
0,422
0,485
0,545
0,602
0,655
0,705
0,750
0,791
0,829
0,863
0,892
0,918
0,940
0,958
0,974
0,986
0,996
1,003
1,009
1,012
1,013
1,006
1,007
1,016
1,025
1,028
1,025
1,019
1,015
1,014
1,014
1,014
1,012
1,008
1,004
1,003
1,002
1,002
1,001
0,999
0,997
0,996
0,996
0,997
0,997
0,996
0,20
0,000
0,076
0,152
0,227
0,300
0,371
0,440
0,506
0,568
0,627
0,682
0,734
0,781
0,823
0,862
0,895
0,926
0,952
0,974
0,993
1,008
1,020
1,029
1,035
1,040
1,042
1,036
1,024
1,020
1,025
1,030
1,030
1,024
1,015
1,008
1,006
1,006
1,005
1,002
0,998
0,995
0,994
0,994
0,995
0,995
0,996
0,994
0,994
0,996
0,998
0,999
0,999
0,25
0,000
0,079
0,159
0,236
0,312
0,386
0,458
0,526
0,591
0,652
0,709
0,762
0,810
0,854
0,893
0,928
0,958
0,984
1,006
1,024
1,038
1,049
1,057
1,063
1,066
1,067
1,054,
1,0341
1,024
1,025
1,027
1,024
1,015
1,004
0,997
0,995
0,995
0,996
0,994
0,992
0,991
0,991
0,994
0,997
0,998
0,999
0,999
1,000
1,001
1,003
1,004
1,004
0,30
0,000
0,083
0,165
0,246
0,325
0,402
0,476
0,546
0,613
0,674
0,733
0,789
0,839
0,883
0,924
0,958
0,988
1,014
1,035
1,052
1,066
1,076
1,082
1,086
1,088
1,087
1,065
1,037
1,021
1,017
1,018
1,013
1,004
0,993
0,987
0,987
0,990
0,993
0,994
0,994
0,994
0,996
1,000
1,003
1,005
1,004
1,003
1,003
1,003
1,004
1,003
1,001
0,35
0,000
0,086
0,171
0,255
0,337
0,417
0,493
0,566
0,636
0,700
0,761
0,816
0,866
0,911
0,952
0,986
1,016
1,041
1,062
1,078
1,090
1,098
1,103
1,105
1,104
1,102
1,069
1,033
1,011
1,006
1,005
1,002
0,994
0,986
0,983
0,986
0,992
0,998
1,000
1,001
1,001
1,002
1,005
1,006
1,006
1,004
1,001
0,999
0,999
0,999
0,999
0,998
0,40
0,000
0,089
0,177
0,264
0,349
0,432
0,510
0,586
0,657
0,724
0,783
0,842
0,893
0,938
0,978
1,013
1,042
1,066
1,085
1,100
1,110
1,117
1,120
1,119
1,117
1,112
1,068
1,023
0,998
0,992
0,994
0,993
0,989
0,984
0,985
0,991
0,999
1,006
1,007
1,006
1,004 -
1,003
1,004
1,004
1,002*
0,999
0,996
0,995
0,996
0,998
0,999
1,00в1

й-функцнй
Таблица 4.
0,50
0,000
0,096
0,190
0,283
0,375
0,461
0,545
0,625
0,700
0,769
0,831
0,887
0,940
0,986
1,027
1,061
1,084
1,109
1,124
1,135
1,141
1,143
1,141
1,135
1,128
1,117
1,051
0,992
0,966
0,968
0,982
0,993
0,997
0,997
0,999
1,005
1,010
1,012
1,008
1,001
0,995
0,993
0,995
0,997
0,999
1,000
1,000
1,001
1,003
1,004
1,003
1,002
0,55
QjOOO
0,099
0,196
0,292
0,386
0,476
0,562
0,644
0,720
0,791
0,856
0,914
0,966
4тШ4
1,049
1,081
1,107
1,126
1,140
1,148
t,l5l
4,15©
1,145
1,137
1,127
1,114
1,036
0,975
Q,95£
0,962
0,984
1,001
1,007
1,006
1,005
1,006
1,008
1,007
1,001
0,995
0,992
0,997
1,002
1,004
1,004
1,002
1,001
1,001
1,001
1,000
0,998
0,60
0,000
0,102
0,203
0,302
0,396
0,49T
0,579
0,662
0,74b
0,812:
0,878
0,936
0,98§J
1,032
1,069
1,100
1,122,
1,141
1,153
1,161
1 ""
0,65
0,000^
0.70
o.c
0^; 0,109
0,208-; 0,217
0,303
0,410
0,505
0,596
0,681?
0.760?
0,8331
0,899]
0,957.
1,008
1,052
1,088
1
0,314
0,421
.,0,519
0,612
0,702
0,780
0,850
10,919
i0,977
1,028
1,068
SI
15^
154
147
136
122.
107
1,020
0,957
0,94
0,96.
0,993
1,014
1,018.
1,012
1,005.
1,002
1,00 b
1,000
0,997
0,99a
0,992.
0,996
1,002
1,007
1,007
1,004
0,999
0,997
0,997>
0,998
0,999
1,000
0,75
0,000
0,111
0,222
0,329
0,433
0,534
ТП628
0,716
0,798
0,872
0.80
0,000
0,415
0,228
0,338
0,445
0,548
0,644
0,734
0,817
0,891
116
138
153
161
164
162
1,155-
1,144!
1,131,
1,115
1,097
1,001
0,941
0,934
0,967
1,006
4T037;
1,026,
1,012
0,998
0,993
0,994
0,996'
0,997
104
131
150
162
168
168
1,163
<4,153
.1,139
'1,123
11,104
'1,084
0,984
0,938. .0,957
* "" 1,010
1,062
0396
1,015.
1,086
1,119
1,1*3
1,160
1,169
1,169
Хщ
0,927
0,932
«0,976
■1,020
■ 1,039
1,029
4,005
0,987
0,983
0,990
0,999
'1,004
0,997 Ы, 004
0,998
1,001
+,ДО7-
1,004
1,003
4,002
l,005.i 1,002
,1,002
0,999
0,999 0,996
0,995 0,995
0,994 '0,997
0,997 1,001
1,0010 1,005
1,004- 1,005
.4т004-+-1,002
, Ъ
0,996'
0,990
1,036
1,047
1,025
0,993
0,975
0,977
0,993
1,008
1,014
1,009
1,001
0,996
0,995
0,997
0,999
1,000
1,000
1,001
1,003
1,003
1,002'
0,998
101
132
154
168
174
174
1,167
1,156
1,141
Х121
1,100
1,077
1,053
£,94»
0,911
0,943
1,006
1,049
1,048
1,015
0,979
0,965
0,978
1,003
1,021
1,020
1,006
0,991-
0,986
0,992
1,001
1,007
1,007
1,002
0,998
0,997
0,998
0,999
1,000
0,85
0,000
0,118
0,241
0,347
0,457
0,561
0,659
0,751
0,834
0,908
0,974
1,031
1,078
1,115
1
143
162
173
177
173
164
150
131
109
086
1,062
1,037
Л ,934
0,90
0,000
0,123
0,241
0,356
0,468
0,575
0,675
0,768
0,851
0,926
0,991
1,047
1,092
0,955
1,023
1,059
1,044
1,000
0,965
0,961
0,987
1,018
1,030
1,019
0,995
0,980
0,982
0,997
1,011
1,015
1,008
0,996
0,989
. 0,992
f,000
1,006
1,007
127
153
169
177
177
170
158
141
120
1,096
1,071
1,045
1,019
0,922
0,911
0,970
1,038
1,063
1,034
0,985
0,955
0,965
1,001
1,031
1,032
1,008
0,981
0,972
0,987
1,010
1,022
1,016
0,998
0,984
0,984
0,997
1,011
1,015
1,006
0,95
0,000
0,127
0,247
0,364
0,482
0,590
0,688
0,785
0,869
0,944
1,008
1,060
1,106
1,137
1,160
1
1
1
1
1
1
1
174
179
176
166
152
132
109
1,082
1,056
1,029
1,003
0,914
0,917
0,987
1,051
1,062
1,021
0,970
0,952
0,976
1,018
1,040
1,026
0,993
0,970
0,975
1,001
1,024
1,025
1,006
0,984
0,978
0,991
1,011
1,021
1,012
0,994

Риг. 4.2. Аппроксимация вещественной
частотной характеристики трапециями
характеристики заменяют приближенно прямолинейными
отрезками и концы каждого отрезка соединяют с осью ординат
прямыми, параллельными оси абсцисс. Первый отрезок должен
начинаться из точки Р (0), так как эта точка определяет конечное
значение переходной характеристики h (<х>) -- Р (0). Более
тщательно необходимо аппроксимировать начальную часть
вещественной частотной характеристики. Ее «хвост», т. е. конечную часть
с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем 0,If (0),
можно не принимать во внимание.
2. Определяют параметры трапеций. Для каждой t-й трапеции
по графику находят частоты e>(rf и <ош- и высоту Pt. Частоты
отсчитывают от начала осей координат. По значениям <aai и <ani
вычисляют коэффициент наклона %,• и округляют его до ближайшего из
значений 0; 0,05; 0,10; ... 0,95; 1.
Величину Р[ считают положительной, если меньшая
параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и
отрицательной — в противоположном случае. Сумма высот всех трапеций
равна Р (0).
3. Определяют составляющие . переходной характеристики.
В таблице А-функций для каждой i-й трапеции отыскивают
столбец, соответствующий значению %*• Затем для ряда значений
условного времени <р определяют соответствующие им значения
А (х). По значениям х и А (х) вычисляют значения действительного
времени / и составляющей hi переходной характеристики:
/ = х/(оП(.; А,«Р,А(т). • (4.25)
Иногда можно брать лишь часть значений т. Чем больше ю„г,
тем меньше точек можно брать. При этом следует выбирать точки,
186

Рис. 4.3. Составляющие Л. (<) переходной
характеристики
равномерно отстоящие
одна от другой и
определяющие максимумы и
минимумы Л (х).
4. Строят график
составляющих переходной
характеристики. Все
составляющие располагают
на одном графике; знак
каждой из них
определяется знаком высоты Pi
соответствующей трапеции.
Обычно оказывается,
что некоторые
составляющие определены на
меньших отрезках времени, чем
другие. Это означает, что указанные составляющие раньше других
достигли установившегося значения и в дальнейшем остаются
неизменными.
5. Строят график переходной характеристики. Ординаты
переходной характеристики определяют суммированием ординат всех
составляющих в выбранные моменты времени. Целесообразно
сначала определить ординаты через равные промежутки времени,
затем определить дополнительные точки там, где вероятны
максимумы или минимумы характеристики и имеются максимумы или
минимумы составляющих. После построения достаточного числа
точек их соединяют плавной кривой.
Следует заметить, что погрешности определения переходной
характеристики тем больше, чем сложнее форма кривой
вещественной частотной характеристики. Значительное увеличение числа
аппроксимирующих ее прямолинейных отрезков (и трапеций)
может не уменьшить погрешностей, так как для каждой трапеции
округляется значение %, возникают также погрешности при
построении и суммировании составляющих переходной
характеристики.
Пример 4.9. Пользуясь методом трапеций, определить переходную
характеристику САР, вещественная частотная характеристика которой изображена на
рис. 4.2.
Начиная из точки Р (0), аппроксимируем вещественную частотную
характеристику прямолинейными отрезками об, бг, гд, док, оки, и к, кл и лн. Концы
каждого из этих отрезков соединим с осью ординат прямыми, параллельными оси
абсцисс. Получим шесть трапеций: обе; веде; едлсз; вжий; йклм; млно.
Определяем параметры о)я/, о)„/, %i и Pi каждой трапеции и заносим их в
расчетную табл. 4.5. Коэффициенты наклона округляем до значений, имеющихся
в табл. 4.4 я-функций. Высоты трапеций абе, йклм и млно отрицательные, так
как их меньшие параллельные стороны расположены ниже больших.
По значению Xi = 0 трапеции абе выбираем из первого столбца табл. 4.4
значения h (т) для нескольких значений т, вычисляем затем значения t и Л/ и
заносим их в табл. 4.5. Аналогичные операции проделываем для остальных
трапеций. Значения ft (т) каждый раз выбираем так, чтобы можно было достаточно точно
достроить соответствующую составляющую h(.
187

Таблица 4.5.
Построение переходной характеристики методом трапеций
Трапеция
а б в
СОщ = 0
0)П1= 4
Xi=0
рх = _0,04
t
0,125
0,250
0,375
0,500
0,625
0,750
0,875
1,000
1,125
Л, (О
—0,006
—0,012
—0,018
—0,023
—0,027
—0,030
—0,031
—0,034
—0,035
Трапеция
вед
0)а8=6
«П8=8
Х8=0,75
Ра=0,39
t
0,06
0,13
0,19
0,25
0,31
0,38
0,44
0,50
0,63
0,75
0,88
0,94
1,00
1,13
А,«)
0,11
0,21
0,30
0,37
0,42
0,45
0,45
0,45
0,42
0,38
0,36
0,36
0,37
0,39
Трапеция
е 3 ж s
Шаа=8
©щ=Ю,6
Хз=0,75
Ра=0,90
t
0,05
0,09
0,14
0,19
0,24
0,28
0,33
0,38
0,47
0,57
0,66
0,76
0,85
0,94
h,(t)
0,25
0,48
0,68
0,84
0,96
1,02
1,05
1,04
0,96
0,86
0,83
0,84
0,89
0,93
Трапеция
з ж и й
Ша4=Ю,6
о>м=14
Х4=0,80
Р4=0,20
t
0,08
0,15
0,23
0,31
0,39
0,46
0,54
0,62
0,69
0,77
0,85
0,92
1,00
1,08
Л* <0
0,11
0,19
0,23
0,23
0,21
0,19
0,18
0,19
0,20
0,21
0,21
0,20
0,20
0,19
Трапеция
й к л м
0)ав= 14
toUB=22
7в=0,65
Рв=_0,25
t
0,05
0,09
0,14
0,18
0,23
0,27
0,32
0,36
0,41
0,45
0,50
0,55
0,59
0,64
Л. (О
—0,13
—0,22
—0,28
—0,29
—0,27
—0,25
—0,24
-0,23
—0,24
-0,25
—0,26
—0,26
—0,25
—0,25
Трапеция
м л н о
0)а,= 22
о)п,=45
Х.=0,50
Р,=-0,2
t
0,04
0,09
0,13
0,18
0,22
0,27
0,31
0,36
0,41
Л. (О
—0,17
—0,23
—0,21
—0,19
—0,20
—0,20
—0,20
—0,20
—0,20
Строим составляющие ftlt ft2, h3, h4, ftB, ft,- (рис. 4.3) и, суммируя их, получим
приближенную переходную характеристику САР (рис. 4.4 сплошная линия).
Штриховой линией на рис. 4.4 показано точное значение переходной
характеристики этой системы.
А. А. Вороновым [19 J в качестве типовой выбрана треугольная
вещественная частотная характеристика, т. е. трапецеидальная
с коэффициентом наклона х = 0. Благодаря этому при одинаковой
точности таблицы А-функций ее объем резко сокращается. Кроме
того, вследствие меньшего
шага таблицы можно
суммировать составляющие
переходной
характеристики без построения их
графиков. Порядок расчета
изложен в работе [19].
Там же приведена
номограмма К. Изава,
ускоряющая процесс нахождения
ординат переходной
характеристики. Другой
метод определения переход-
Рис. 4.4. Переходная характеристика
№

X
OS
xS
09
5 х ss
5 ч р
а п> ь,
•та о
•9*5 о
s о
SS „м
^rt О»
Я «ч. О
f ■? о
со ' S
£ к
«
I
S
Р4 В
о
н
CD
П>
X
X
S
л
и
о
а
JLM-
00
■3 '
3
S -е
•та
09
н
(D
•та
s
о
н
s
«
О
а
•та
5
•та
S
«■<
I .^
N3
СЛ
Г* Г" Г* Г* Г* I™ Г" Г* Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р Р
оз оз То То — — о oto «оЪоЪо-^ ^д ел ел сл^л"^^. оз "ы'ю "to — — 'о
елоелоепоелоелоелоелоелоелоелоелоелоелоел
00000000000000000000 °Р 0000°
Vubuu ы ыЪзТоТоЬэТоТоТоТо— — — — — — 'о о ороо
OCOC»0)CnCOtOOCOC»CT>CnCi5 — ОООЧСЛЛЮ"- СО->)СЛ i&CO —
спел— viuoo*toaiouiooito*!DU*ioa- слсосо~-1 — ел
VION3- очмао- к> to о со ел — да— 4*сЪосо^сп~-]сою
jojo^ojo to to toto to totojo to tojo —^- —— — T" "™ "™ Г™ "™ "™
-чет enTyiел Wos'co to"to — — оо'со^оЪо'ао^'^дЪэЪэ'слсл^"'^
*"4 /•« *"Ч ГП l*\ /•« .-"* /•« /™S ftl /™S ГТ1 /™S ftl /™S /•« *"4 ftl *""^ /•« /™S ftl /™S ГП I** ftl /™S
^i w. w* wi wiT&.'ji.'eo'eo to'to — ~-"o oco'couo'boVi Viот "ел ел сл"^"^
осл осл ослоелоел ослоел осл ослоел осл осл ос ~
ело
о о о о о о о о о_о_о о о о_о_о о о о о о о о о о о о
^-ч'от'сл'сп Ъэсл лот "ел Ъэ"сл ел сл'сл'сл'сл'слсл ел "ел -4*.'"&.'*&.'4*.'4*.'*&.
ootooo~gSjcn*.coto—oe*~JCn« '
aoo—»оср1^*.слслсл*.*.05Кэ—cot
ОЭ — СЛ~ЗСПО3 00 — to— ~J to ■&■■&■ CO CO t
10)Ol-0)!00!Ovl03
— о со со oo 'ooVi-vipicn слел *. *.озозТчэ to— — ooiototsbVi
оослослослослослослослослослослослослосл
ooooooooooooooooooooooooooo
'7fflM<OOi— чес со.' "" - ~ '
to en кэ со ел — •*icoco*.co*.cQ*.<»co~q — ^qd— *. ~j о to ■&■ ел
*.— OOtOCn~J05*.OCn~JC0^0300— tO— СОСОСЛ05СЛ— СП CD CD
aoao~4g>o)cn>t*.4*.coto —
1
ОСОСООООО~д^ОЭО) СП СЛ СЛСЛ СП СЛ СЛ СЛ^СЛСЛ 4*.4*.4*.4*.4*.4*.<4*.,&.
о ел о ел о ел о ел о «о ao-vi ел ел *■ оз to — о со оо Vi ел сл^. оз to
gcoao~qa5cn4».*.cocototototototo—— — — — — — — — — —
0 0000010Сл001*ЫЮ- Ор_00ЧСЛ Cn^f<3JO—— О
ооооооооослосл
00000роооооооорроороооррроо
со со со со со со*со со'ср со со со со со со со со со ср'ср'со со со со со со со
ЙСОСОСОСОСвСвСО№^^^^^0)фСПСЛффСЛСЛСЛ|&^^4^
totooco^cncoi5cOib>>uco— свепепсЪЬосл— разори
~дсо— св^сослсоослс1ослсоо^св*-1чэсло5спспосо— to~g
ел
и
в

Рис. 4.5. Аппроксимация вещественной
частотной характеристики отрезками прямых
Пример 4.10. Определить изложенным методой переходную
характеристику САР, вещественная частотная характеристика которой изображена на
рис. 4.2.
Аппроксимируем вещественную частотную характеристику отрезками
прямых (рис. 4.5), определяем координаты ш^ и Pi и записываем их в табл. 4.7. Затем
вычисляем значения вспомогательной величины Ь[.
По формуле (4.27) составляем выражение для определения ординат
переходной характеристики:
ft (/) = —0,425 В (5/) — 1,575 В (7/) + 0,850В (100 + 2.460 В (12/) +
+ 0,588 В (14/) — 0,420 В (21/) — 0,209 В (30/) — 0,269 В (54/).
Расчеты по определению ординат переходной характеристики сводим
в табл. 4.8. Характеристика практически не отличается от изображенной на
рис. 4.4
Переходную характеристику САР можно построить по ее
вещественной или мнимой частотной характеристике методом
спектральных преобразований [84]. Метод не требует какой-либо
^аппроксимации частотной характеристики и специальных таблиц. При
расчете определяют площадь, ограниченную некоторой кривой, и
может быть использовано планиметрирование.
Для приближенного вычисления переходного процесса
предложен ряд методов. Переходный процесс может быть определен по
сопрягающим частотам ЛАЧХ [102, 91] или по нормированным
кривым [8, 91]. Монография [48] содержит подробные таблицы
190
Таблица 4.7
Данные для определения переходной характеристики
1
0
1
2
3
4
®1
0
5
7
10
12
Pi
1,00
1,05
0,90
0
—0,43
P'i
0,010
—0,075
—0,300
—0,215
*i
-0,425
-1,575
0,850
2,460
I
5
6
7
8
«.,
14
21
30
54
P(
—0,45
—0,23
—0,12
0
P'i
—0,010
0,032
0,012
0,005
b{
0,588
—0,420'
—0,209
—0,269

Таблиц а 4.8
Определение переходной характеристики
Л с
—0.425В (50
—1.575В (70
0.850В (100
2.460В (120
0,588В (НО
—0.420В (210
—0,209В (300
—0.269В (540
AW
t. с
—0,425В (50
—1.575В (70
0.850В (10<)
2,460В (120
0,588В (140
—0.420В (210
—0,209В (300
—0.269В (540
АО)
0,10
—0.07
—0.35
0.26
0.90
0,25
—0.25
—0,16
—0,24
0,35
0,40
—0,24
-1,14
0,73
2.19
0.53
—0,40
—0,20
—0.26
1.22
0,20
—0.13
—0,67
0.49
1,61
0.43
—0.37
—0.19
—0.26
0.92
0,50
—0.29
—1.28
0.76
2,22
0,53
—0,40
—0,20
—0,26
1,09
0,30
—0,19
—0,94
0,64
2,03
0,51
—0,38
—0,19
-0.26
1.22
0,70
—0,35
-1.41
0.77
2,25
0.55
- 0,40
—0.20
—0.26
0,95
0,35
—0,22
—1.05
0,69
2,14
0,53
—0,38
-0,20
—0,26
1,25
0,90
—0,38
—1,42
0.79
2,33
0.5G
—0,41
—0,20
- -0,27
1,00
для построения переходных процессов в системе 3-го порядка.
Графоаналитические методы построения переходных процессов
(метод секущих и метод касательных) описаны в работах [72, 102].
Значения переходного процесса в отдельные моменты времени
(в моменты изменения режима работы, в моменты достижения
экстремальных точек и т. д.) предложены А. С. Шаталовым [107].
Если по изображению Лапласа Я (s) переходной
характеристики (или иного переходного процесса) определить г —
изображение Я (г) и затем делить числитель этого изображения на его
знаменатель, то будет получен бесконечный ряд
с0 4-qz"1 + C2Z"2 + ... .
Коэффициенты с0, си с2, ... этого ряда являются значениями
переходной характеристики в дискретные моменты времени t = 0,
t = Т, t = 2Т, ..., где Т — интервал повторения, выбранный при
определении z-изображения. Для определения Я (г) по Е (s)
можно воспользоваться таблицами работы [60].

Глава 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Потребность в частотных характеристиках возникает как при
проектировании автоматических систем, так и при исследовании
свойств спроектированных или уже выполненных систем.
Например, амплитудно-частотные характеристики САР позволяют
оценивать воспроизведение гармонического задающего воздействия
и гашение гармонического возмущения при различных частотах.
Логарифмические амплитудно-частотная и фазово-частотная
характеристики разомкнутой системы часто используют для
проверки устойчивости (см. гл. 6) и для выбора элементов,
обеспечивающих желаемые динамические свойства системы (см. гл. 9).
В гл. 4 было показано, что по вещественной частотной
характеристике легко построить приближенную переходную
характеристику. Эти примеры далеко не исчерпывают всего
многообразия применения частотных характеристик в инженерных
расчетах. Широкое использование частотных характеристик
базируется на том, что входное воздействие произвольного характера
чаще всего может быть представлено в виде эквивалентной ему
суммы гармоник различной частоты. Кроме того, гармонический
сигнал передается линейными элементами и системами в
установившемся режиме без искажения.
Рассмотрим различные методы определения и построения
частотных характеристик сложных линейных динамических звеньев,
их соединений и систем, которые необходимы для инженерных
расчетов.
Частотные характеристики в общем случае рассматривают
при изменении угловой частоты © от 0 до оо. Однако всякое
реальное устройство может пропускать гармонические сигналы лишь
некоторого конечного диапазона частот, поэтому в каждом
конкретном случае целесообразно выяснить, в каком диапазоне
частот следует рассматривать частотные характеристики.
Например, для электродвигателя предельное физически допустимое значение
угловой частоты входного сигнала [83]
192

где Мп — поминальный пршцающма момент двигателя; а„ — коэффициент
допустимы! перегрузки двигателя; / — передаточное число редуктора; J -- момент
инерции вращающихся масс; Л — зазор механической передачи.
При расчете систем с электродвигателем частотные характеристики
рекомендуется рассматривать лишь при ш < 0,5<ом [83].
Во всех случаях частотные характеристики объекта
регулирования следует определять в полосе частот, на две декады
превышающей спектр частот входного сигнала.
Для уменьшения затрат труда на вычисления и построения
частотных характеристик используют зависимости между
отдельными характеристиками, графоаналитические методы, номограммы
и таблицы.
5.1. ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Для построения АФЧХ должна быть известна передаточная
функция разомкнутой системы или экспериментально полученная
АФЧХ объекта регулирования и передаточная функция регулятор;'.
В первом случае по передаточной функции W нужно определить
частотную передаточную функцию W и затем представить ее в
алгебраическом или показательном виде.
После подстановки s = /© в передаточную функцию W =
= kR/Q получим
¥= *<"1+Л>, (5.2)
где »!, Vi, Щ и Vz — полиномы от ©.
Чтобы представить W в алгебраическом виде, нужно
числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное
со знаменателем, и затем отделить действительную часть от
мнимой. В результате
W к (й1 + /»l) («2 ~ /»,) = Ц | у (53)
где
Затем целесообразно сначала определить характерные точки
АФЧХ: ее точки при предельных значениях © (© = 0 и © = со)
и точки пересечения характеристикой осей координат.
Частоты, при которых характеристика пересекает ось ординат
или ось абсцисс, находят соответственно из уравнений
U = 0, т. е. и.Ио -4- ViV» = 0;
1/ п л (5-5)
к=0, т. е. г^Ио — <огиу = 0. v '
Искомыми частотами являются действительные
положительные значения <о. Найденные значения частот позволяют определить
7 Макаров И, М. 193

по равенствам (5.4) значения ординат п абсцисс, при которых
АФЧХ пересекает; эти оси.
После нанесения характерных точек на комплексную плоскость
И; jV вырисовывается расположение АФЧХ. Иногда этого
оказывается достаточным для достижения цели, с которой строится
характеристика. Если необходимо иметь точное ее расположение,
то можно установить, при каких значениях частоты © необходимо
вычислять значения и и г» и наносить дополнительные точки.
Таким образом, предварительное определение характерных точек
АФЧХ существенно упрощает расчет, что особенно важно при
ручном счете.
Пример 5.1. Построить АФЧХ разомкнутой САР, если ее передаточная
функция
П7 ft(TS+l)
a0S* + ajS8 + a2s2 + a3s + 1 '
где k = 25; т = 0,15 с; а0 = 0,0002 с4; ax = 0,006 с3; a2 = 0,08 с? и a3 =
= 0,5 с.
Определим частотную передаточную функцию и выделим ее действительную
и мнимую части:
Г= *(1+А") =u+iv
(1 — a2w2 + а0ш4) + /ш (ag - al(B») T ' '
где
U = kBxIB и V=kB2IB;
Bj = 1 + (та3 — а*) ш? + (a0 — toj) w4 = 1 -5.10'3»2 - 7-10"1 со4;
B2 — ш [(т — a3) + («i — та2) w2 + та0ш'] =
= — ш (0,35 + 6- 10-3ша — 3- 10-бш4);
В = 1 + (al — 2a2) со2 + (а\ + 2а0 — 20^) со4 + (а\ — 2a0a2) ша + а§ш8 =
= 1 + 0,09ш2 + 8- 10"4o)4 + 4- 10-8ша + 4- 10-8ш8. "
Определяем значения U и V при предельных значениях ш:
U (0) = A-Bi (0)/В (0) = k = 15; V (0) = ЙВ2 (0)/В (0) = 0;
I/ (оо) = kBx (оо)/В (оо) = 0; V (оо) = ЙВ2 (оо)/В (оо) = 0.
Составим условие пересечения АФЧХ оси ординат:
Вх = 0, т. с. 1—5- К)"8 со2. — 7 10-*со4 = 0.
Полученное биквадратное уравнение имеет один положительный
действительный корень <&х = 5,86. Следовательно, АФЧХ пересекает ось ординат при со = at
и V (сох) = kB2 (coj/fl ((Bj) = —8,65.
Составим условие пересечения АФЧХ оси абсцисс:
В и = со (0,35 + 6 • 10-3ш? — 3 • 10-8ш<) = 0.
Биквадратное уравнение
0,35+ 6.10-3ш2. — 3-10-вш4= 0
имеет один положительный действительный корень со2= 15,7. Следовательно,
АФЧХ пересекает ось абсцисс при со = ш2 и U (ш2) = kBx (ы^/В (ш2) = —2,29.

15 U
Полученные результаты и выражения для
U i\V позволяют сделать следующее
заключение о расположении АФЧХ:
при ш= О U = 15 н V= 0;
при 0 < со < 5,86 U > 0 и V < 0;
при м = 5,86 U = 0 и V ■-= —8,65;
1фи 5,86 < ш < 15,7 U < 0 и V < 0;
при ш = 15,7 £/ = —2,29 и V - 0;
при 15,7 <ш<оо£/<0иУ>0;
при co=oot/=V=0.
На основании этих сведений построена
ориентировочная АФЧХ (рис. 5.1). По ней
уже можно решить вопрос, например, об
устойчивости данной системы в замкнутом состоянии (см. гл. 6). Для уточнения
АФЧХ следует, по-видимому, вычислить значения f/и V при ш = 2,4, 10, 13,
25 и 50 с"1.
Частотную передаточную функцию, определяемую выражением
(5.2), можно представить в показательном виде:
Рис. 5.1. Ориентировочное
расположение АФЧХ
W = Ле/*,
где
л=кУаШи +=arctg % -arctg 5-=
= arctg^^±ML
5 «1«2 + »1»2
(5.6)
(5.7)
По формулам (5.7) можно вычислить длины и фазовые углы
векторов W при различных значениях со и затем построить АФЧХ.
Предварительно целесообразно определить ее характерные точки
при со = 0, со = оо и точки пересечения осей координат.
Условиями пересечения осей ординат и абсцисс являются
соответственно равенства
*ВЧ> = °°, т- е. щщ + VjV* = 0;
tg г|э = 0, т. е. г>,я2 — «^ = 0. * ' '
Пример 5.2. Построить АФЧХ разомкнутой САР по ее передаточной функции
w *(тз + 1)
a0s3 -|- fljS2 -|- a2s -|- 1 '
где k = 2; т = 0,25 с; а0 = 0,002 с3; ах = 0,075 с2; а2 = 0,2 с.
Определим частотную передаточную функцию
fe(l -f /Чей)
Г =
(1 — О^Ш2) + /СО (02 — «оШ2)
= i4e'4
где
A=kV(l + v\)l(ul + г>2), i|> = arctg г>х — arctg v2/u2
г»! = тш = 0,25 ш; И2 = 1 — ato)2 = 1—0,075 ш2;
г» 2 = ш (а2 — оош2) = со (0,2—0,002ш2).
195

При предельных значениях со
А (0) - k = 2;
i|> (0) = 0; А (оо) = 0.
Условие пересечения АФЧХ
оси ординат
(1 — 0,075м2) + 0,25ш2 X
X (0,2—0,002 ш2) =
=-= 1—0,025ш2 — 0,005ш4 = 0.
Из этого уравнения определим
действительное положительное
значение частоты: o)t= 5,12.
Условие пересечения оси
абсцисс
0,25(0(1 —0,075 ш2) - шх
X (0,2—0,002 ш2) = (о X
X (0,05—0,01675 ш2) = 0.
Уравнению удовлетворяет действительное положительное значение частоты
со2= 1,74.
Итак, АФЧХ начинается на оси абсцисс и А (0) = 2. Затем при cuj = 1,74
эта ось пересекается, и при ш2= 5,12 пересекается ось ординат. Заканчивается
характеристика в начале осей координат. На основании этих сведений наметим
частоты для вычисления А и г|з: со = I; 1,74; 3; 4; 5,12; 7; 10; 20; 30 и 40.
Результаты вычислений, которые удобно свести в таблицу, соответственно:
А = 2,18; 2,58; 3,93; 4,03; 2,64; 1,46; 0,83; 0,33; 0,18 и 0,04; ij>= 2,0; 0; —22,3;
—61,6; —90,0; —104,8; —111,8; —123,8; —133,4 и —140,7 град.
Теперь можно построить АФЧХ (рис. 5.2). Для каждой частоты со,- проведем
радиус-вектор под углом т|зг (угол отсчитывается от положительной
действительной полуоси против часовой стрелки) и на него нанесем точку на расстоянии Л,-
от начала осей координат. Плавная кривая, соединяющая эти точки, является
искомой АФЧХ.
Иногда возникает задача построения АФЧХ разомкнутой САР
по частотным характеристикам Аг и ^ объекта регулирования
и частотным характеристикам Ал и \|за регулятора. Частотная
передаточная функция последовательного соединения элементов равна
произведению частотных передаточных функций этих элементов,
поэтому
А = АхАъ п i|> ^= i^ + i|js. (5.9)
Данное соотношение позволяет вычислить значения А и чр
при различных частотах и построить АФЧХ разомкнутой системы.
Если частотные характеристики Аг и ifo объекта
регулирования получены экспериментально, то и значения частотных
характеристик А2 и i|)a регулятора следует вычислить при тех же
частотах, при которых проводился эксперимент (такое
построение выполнено в примере 6.5).
Рис. 5,2. ПостроениеЛФ ЧХ
196

5.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
ЗАМКНУТОЙ И РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
В системе с единичной обратной связью частотная
передаточная функция замкнутой системы
Wa = Wj(l+ W), (5.10)
где W — частотная передаточная функция разомкнутой системы.
Равенство (5.10) определяет связь между частотными
характеристиками замкнутой и разомкнутой системы. Подставив в
равенство (5.10)
и разделив его действительную и мнимую части, получим
1Ф+Ю + У» N=t V
(l+f/)2+K2 (l+f/)2 + K2 к '
Равенства (5.11) определяют зависимость вещественной Р
и мнимой А/ частотных характеристик замкнутой системы от
вещественной U и мнимой V частотных характеристик разомкнутой
системы.
Подставив в равенство (5.10) W3 = MeiQ; W = U-{-]V
и выделив его модуль и аргумент, получим
М = + У {l+u)2 + vt; б = arctg U(l+U) + yi ■ (5-12)
Равенства (5.12) определяют зависимость амплитудной М
и фазовой 8 частотных характеристик замкнутой системы от
вещественной и мнимой частотных характеристик разомкнутой
системы.
Легко составить и равенства, определяющие зависимость
частотных характеристик разомкнутой системы от вещественной
и мнимой частотных характеристик замкнутой системы:
ц ^ P(l-P)-№. y= N
(1_/.)2+№ • г (1_/,)2 + Л/2 .
(5.13)
!/_£!+№_ • „, _ arct£f N
л + V (1-/>)2 + ^' ^-arctgp(\-p)-
Л"
Для определения частотных характеристик замкнутой системы
по вещественной и мнимой частотным характеристикам
разомкнутой системы вместо формул (5.11) и (5.12) можно использовать
графический метод круговых диаграмм [27]. Точность расчетов при
этом ниже, но все же достаточна для практических целей.
Суть метода круговых диаграмм заключается в следующем.
Формулы (5.11) и (5.12) можно рассматривать как уравнения
кривых в системе координат U; /к, каждая из которых определяет
некоторое постоянное значение соответственно Р, N, М или 0.
Уравнения всех этих кривых есть уравнения окружностей.
197

irjv
пи.
Рис. 5.3. Вещественная круговая диаграмма
Поэтому, задавшись различными значениями, предположим,
характеристики Р, можно построить семейство окружностей в
системе координат О; jV, и это будет вещественная круговая
диаграмма. Если затем в этой же системе координат построить АФЧХ
разомкнутой цепи интересующей нас системы, то по точкам ее
пересечения с семейством окружностей можно определить
вещественную частотную характеристику этой системы в замкнутом
состоянии. Точка АФЧХ, соответствующая некоторой частоте ©г и
совпадающая с окружностью Р = Ра, определяет значение Р при
частоте ©,, т. е. Р (©,) = Ра. Точно так же строят и
используют мнимую, амплитудную и фазовую круговые диаграммы.
Вещественная круговая диаграмма (рис. 5.3) состоит из
окружностей радиуса г, с центрами, расположенными на
действительной полуоси на расстоянии dt от начала осей координат:
г, —
1
2| \—Р\ '
d, ■= —
■2Р
2 (1-Я)
(5.14)
Все окружности пересекают ось абсцисс в критической точке
с координатами [—1; /0]. При Р = 1 окружность вырождается
в прямую, которая проходит через эту точку параллельно оси
ординат и делит всю диаграмму на две области. Левая область
соответствует значениям />> 1, правая — значениям Р < 1.
Область, соответствующая отрицательным значениям' Р,
ограничивается окружностью, проходящей через начало осей координат и
критическую точку. Часть вещественной круговой диаграммы,
прилегающая к критической точке, показана на рис. 5.4.
Мнимая круговая диаграмма состоит из окружностей
радиуса гг, центры которых расположены на прямой, проходящей через
критическую точку [—1; /0] параллельно оси ординат, и отстоят
or действительной оси на расстояние dt:
2\N\
dl = W
(5.15)
198

Рис. 5.4. Вещественная круговая диаграмма вблизи точки с координатами (—1; j 0)
При N = 0 окружность вырождается в прямую, совпадающую
с осью абсцисс и делящую диаграмму на две области. Верхняя
область соответствует^ положительным значениям N, нижняя —
отрицательным.
Амплитудная круговая диаграмма состоит из окружностей
радиуса rk, центры которых расположены на оси абсцисс на
расстоянии dk от начала осей координат:
м . м*
'*= |1_Л11| ' Лк - М»-1 • (5ЛЬ>
При М = 1 окружность вырождается в прямую, которая
параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке с
координатами [—0,5; /0]. Область диаграммы слева от этой
прямой соответствует значениям М > 1, справа — значениям
/И < 1.
Фазовая круговая диаграмма состоит из окружностей, которые
проходят через начало осей координат и критическую точку
[—1; /0]. Центры окружностей располагаются на прямой, которая
параллельна оси ординат и имеет абсциссу —0,5. Радиусы
окружностей гт и их центры отстоят от оси абсцисс на расстояние d,„:
Гщ==2~1йГб; б'ш " TtglT (5Л7)
Круговые диаграммы удобно вычерчивать на прозрачной
бумаге и затем накладывать на чертеж с АФЧХ разомкнутой системы.
Масштабы чертежей должны быть одинаковыми и достаточно
крупными. Чем крупнее масштаб, тем больше окружностей удастся
изобразить на круговой диаграмме и тем точнее будет определена
соответствующая частотная характеристика замкнутой системы.
Участок АФЧХ около начала осей координат и соответствующую
область круговой диаграммы обычно вычерчивают отдельно и в
более крупном масштабе.
199

Основное затруднение при использовании круговых диаграмм
и причина погрешностей заключается в определении частот,
соответствующих точкам пересечения АФЧХ с окружностями.
5.3. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК РАЗОМКНУТОЙ ОДНОКОНТУРНОЙ
СИСТЕМЫ
Частотная передаточная функция одноконтурной разомкнутой
САР представляет собой произведение частотных передаточных
функций типовых динамических звеньев
W^l[W, (5.18)
(=1
или может быть приведена к такому виду. Поэтому ее
логарифмические частотные характеристики определяются равенствами
L=20Jg|TF|=t>;.201g|irz|; 4|> = argr=IargWY (5.19)
i=i i'=i
Следовательно, для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ системы
достаточно построить и просуммировать ЛАЧХ всех звеньев, а затем
построить и просуммировать ЛФЧХ всех звеньев.
Асимптотические ЛАЧХ типовых динамических звеньев
приведены в табл. 2.3, и построение асимптотической ЛАЧХ системы
не может вызвать затруднений.
У звеньев первого порядка (их передаточные функции
содержат полином Ts + 1 или xs + 1) максимальное отклонение асим-
тотической ЛАЧХ от действительной составляет только 3 дБ.
Однако у звеньев второго порядка (их передаточные функции
содержат полином 7V + 2%Ts + 1, где 0 < g < 1, или полином
x2s2 + 2£ts + 1, где 0 < £ < 1) асимптотическая ЛАЧХ
отклоняется от действительной не более чем на 6 дБ лишь при £ > 0,25
и £ > 0,25. А при малых \ и £ различие между асимптотической и
действительной ЛАЧХ велико. В связи с этим во многих случаях
необходима действительная ЛАЧХ разомкнутой системы, которую
можно получить, суммируя
s 0,1 1 W
Waff ion
действительные ЛАЧХ
отдельных звеньев.
Действительную ЛАЧХ
инерционного звена первого
порядка можно построить
с помощью шаблона,
который изготовляют из
твердого и прозрачного мате-
D „ с ,„ . „.„„ риала. Шаблон (рис. 5.5)
Рис. 5.5. Шаблон для построения ЛАЧХ звсмь- г г '
ев первого порядка ИрИКЛаДЫВаЮТ К ЧвртвЖу
LJ6
0
10
20
30
Ч
200

Т а б л и ц а 5.1
Поправки б к асимптотической ЛЛЧХ с наклоном ±20 дБ
0,1 1 Юм
а) "\
0,1 /j 10/1
OdB/век
В)
fi
|б|, дБ
fi
|в|, дБ
fi
|в|, ДБ
0,1
0,04
0,8
2,15
1,5
1,60
6-.D
д>0
си -21
0,2
0,17
0,9
2,58
1.6
1,43
0,1 I Юм
0,1 /J 10JU.
ОЗб/йек
г) -
0,3
0,37
1,0
3,01
1,8
1,17
0,4
0,64
1,1
2,62
2,0
0,97
2,5
0,64
0,5
0,97
1.2
2,29
3,0
0,46
0,6
1,33
1,3
2,02
5,0
0,17
0,7
1,73
1,4
1,79
10,0
0,04
так, чтобы асимптоты в его левой и правой части совпадали
с асимптотической ЛАЧХ и относительная частота \i = <в/©0 = 1
совпадала с сопрягающей частотой <в0. Затем проводят кривую
действительной ЛАЧХ.
Шаблон, показанный на рис. 5.5, может быть использован и
для построения действительной ЛАЧХ форсирующего звена
первого порядка.
Действительную ЛАЧХ типового динамического звена как
первого, так и второго порядка удобно получить, суммируя ординат
асимптотической ЛАЧХ с поправками б. Значения модуля
поправки б в зависимости от относительной частоты |х и £ или £
приведены в табл. 5.1 и 5.2. Рисунки, помещенные в верхней части
этих таблиц, показывают, с каким знаком должны быть взяты
поправки при той или иной форме асимптотической ЛАЧХ.
Для построения ЛФЧХ типовых звеньев в табл. 5.3 приведены
значения модуля ty в зависимости от относительной частоты (i
201

Поправки 6 к асимптотическим
Е
или £
0,025
0,050
0.075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,225
0,250
0,275
0,300
0,325
0,350
0,375
0,400
0,425
0,450.
0,475
0,500]
0,525,
0,550,
0,575
0,600
0,625
0,650
0,675
0,700
0,725
0,750
0,775
0,800
0,825
0,850
0,875
0,900
0,925
0,950
0,975
1,000
0,1
0,09
0.09
0,09
0,09
0,08
0,08
0,08
0,08
0,08
0,08
0,07
0.07
0,07
0,07
0,06
0,06
0,06
0,05
0,05
0,04
0,04
0,03
0,03
0,02
0,02
0,01
0,01
0,00
0,00
— 0,01
—0,02
— 0,02
—0,03
— 0,04
— 0,05
—0,05
— 0,06
— 0,07
— 0,08
-0,09
0.2
0,35
0,35
0,35
0,35
0,34
0.34
0,33
0,32
0,32
0,31
0,30
0,29
0,28
0,26
0,25
0,24
0,22
0,20
0,19
0,17
0,15
0,13
0,11
0,09
0,07
0,05
0.02
0,00
— 0,02
—0,05
—0,08
— 0,10
— 0,13
— 0,16
— 0,19
— 0,22
— 0,25
— 0,28
— 0.31
— 0,34
0,1
1,0
Одд/дек l>s
0.3
0,82
0,82
0,81
0,80
0,79
0,78
0,76
0,74
0,72
0,70
0,68
0,65
0,62
0,59
0,56
0,53
0,49
0,45
0,41
0,37
0,33
0,28
0,24
0,19
0,14
0,09
0,03
-0,02
— 0,07
-0,13
— 0,19
— 0,25
— 0,31
—0,37
— 0,43
—0,49
— 0,55
— 0,62
— 0,68
— 0,75
10 JU
\
-Wtf6/&w\
Значении
а)
0.4
1,51
1,51
1,49
1,48
1,45
1,43
1,40
1,36
1,32
1,27
1,23
1,17
1,12
1,06
0,99
0,93
0,80
0,78
0,71
0,63
0,55
0,46
0,38
0,29
0,20
0,11
0,01
— 0,08
—0,18
— 0,28
— 0,37
— 0,47
-0.57
— 0,67
— 0,78
— 0,88
— 0,98
— 1,08
-1,19
— 1,29
0,5
2,49
2,48
2,46
2.42
2,38
2,33
2,27
2.20
2,12
2,04
1.95
1,85
1,75
1,64
1,53
1,41
1,29
1,16
1,03
0,90
0,77
0.63
0,49
0,35
0,21
0,07
— 0,08
— 0,22
— 0,37
— 0,51
— 0,66
— 0,80
— 0,94
— 1,09
— 1,23
— 1,38
— 1,52
— 1,66
— 1,80
— 1,94
. 0,1 1.0
' г—-~рг-
10 м
OddldeK
+Ш1з1аек
6 из таблицы
0.6
3,87
3,84
3,79
3,73
3,64
3,55
3,43
3,31
3,17
3,01
2,85
2,68
2,51
2,32
2,13
1,94
1,74
1,54
1,34
1,14
0,93
0,73
0,53
0,32
0,12
-0,08
— 0,28
—0,47
—0,67
—0,86
— 1,05
— 1,24
— 1,43
— 1,61
— 1,80
— 1,98
— 2,15
—2,33
— 2,50
— 2,67
*J
0.7
5,83
5,77
5,67
5,53
5,37
5,17
4,95
4,70
4,45
4.17
3,89
3,60
3,31
3.01
2,71
2,41
2,12
1,82
1,53
1,25
0,97
0,69
0,42
0,15
—0,11
— 0,37
— 0,62
— 0,87
— 1,11
— 1.34
— 1,58
— 1,80
— 2,03
— 2,24
—2,46
— 2.67
— 2,87
— 3,07
— 3,27
— 3,46
0.8
8,82
8,67
8,42
8,09
7,71
7,28
6,82
6.35
5.86
5,38
4,91
4,44
3,98
3,53
3,10
2,68
2,28
1,88
1,50
1,14
0,78
0,44
0,11
— 0,22
—0,53
-0,83
-1,13
-1,41
— 1,69
— 1,96
— 2,22
— 2,47
—2,72
— 2,96
— 3,20
— 3,43
— 3,65
— 3,87
—4,09
—4,30
3
0,9
14,19
13,55
12,65
11,64
10,62
9,63
8,69
7,81
6,99
6,22
5,51
4,85
4,22
3,64
3,08
2,56
2,07
1,60
1,15
0,73
0,32
—0,07
—0,44
—0,80
— 1,15
-1,48
— 1,80
—2,11
— 2,40
— 2,69
— 2,97
— 3,24
— 3,51
— 3,76
— 4,01
—4,25
—4,48
—4,71
—4,94
—5,15
гаченпя
1.0
26,02
20,00
16,48
13,98
12,04
10,46
9,12
7,96
6,94
6,02
5,19
4,44
3,74
3,10
2,50
1,94
1,41
0,92
0,45
0,00
—0,42
—0,83
— 1,21
— 1,58
— 1,94
— 2,28
—2,61
— 2,92
—3,23
— 3,52
— 3,81
—4,08
—4,35
—4,61
—4,86
—5,11
—5,34
—5,58
—5,80
—6,02
«. ДБ.
1.1
14,92
14,16
13,12
11,99
10,87
9,81
8.82
7,90
7,04
6,26
5,53
4,85
4,21
3,61
3,05
2,53
2,03
1,55
1,10
0,67
0,26
— 0,13
— 0,50
—0,86
— 1,21
— 1,54
— 1,86,
-2,1^
—2,47?
—2,76
— 3,04
— 3,32
— 3,58
— 3,84
-4,08
—4,33
—4,56
—4,79
—5,02
—5,23

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
СйСйСйМММММ ——— -ОООООООО---ММЮСйМШ^***СЛСЛСЛСП05 01О
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ю--1010СйСй10и-©<0-^СЛ10ЮСЛи-Сй-^1000Сй<ОСЛн--^Сй<0^<Ок**-^Юн-ОООСйт-^^СО
«
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
tOtOtOtOtO— н-н-н-н-ОООООООООО —— — — tOlOtOtOWC*3C*3C*3C*3C*3C*3rf*rf*kf*rf*,£s.
1 И 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
оооооооооооооооооооооооооооооооооооо————
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ооо oooooooooooooo ooooooooooooooooooooooo
СйСйЮЮЮ1— н-н-н-ОООООООО^^^^^МММ10101010СйСйСйСйСйСйСйСйСйСйСй
.£*. — oouiMtoo5LoooocnMoiocnStO"-b3aistooM>^cno30oto о— ммсйк**к**слелелел
I! 1 1 1 I I I I I I
оооooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о о "о о ооо о о о о о о о о о о о о о о
OOo^OiOlOlk^c*3lolOlOOO----lOlOC*3C*3^^C7itnOiOiOi-^-^-^-^OOOOOOOOOOOOCOCOCOCO
г
-
'-
1.5
-
1,8
^3
N3
он
3.0
о
10,0

Значения ф, град,
MJ
«—<
о
0,9
0,8
0,7
СО
о"
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
я
•я cn"--"co" i^<m" coinmooS 1~-Гсо"ю"
о о_о_о_о_о о_о_о_о_о о о о
о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о" о"
оэоэоэоэоэоэоэоэоэоэоэоэоэоэ
со" in \о со оГ •ч"" со" <м" -*" i^ аГ о" cn" со"
— <МСО-*-*ЮЮсОсОсОсО!~-1~-1~-
co^«<l«o_-^i~-о^со о o_i~-_ —со_со_
со" <м" оо" -^ аГ со" i~-T _Г in оо" о" со ю" i~-T
-^--CNcNCOCO-^-^-^lOlOlOlO
О^00_сО^-*_О5_-*_|^00_1^Ю^— lONOl
со" |С —Г ю оо" <м" in оо" —< ■*" t-Т о? —Г со"
—■ — — <М<М<МСОСОСОСО-*'#
i~- "*о«э_<м ^<м со^05— со ■* -*со
<м" in оо" о" со" in об" о" оГ in 1^Г of —" со"
—с—с—с—c<mcncn<m<mcoco
О5 00 •^^"^co^oi^-^-^oo^o^
—Г со" in i~-T of —Г со" ■*" со" оо" о" —« со" т"
"* ,~~."-.т110Я."^.10.о:1"1.'*.,^0.с<1т1'.
—< <м" •# ю^ со" оо" о>" о" cn со" ■*" со" t^ оо"
o^asop^ooi^-i^-coio4!**-^ со^с^^о
о" —< <м" со" •ч*' in со" f^ оо" аГ о" —^ <м" со"
СО_ CN_ 00_ •*_ О СО CN 0О_ •*_ 0_ lO —<_ 1^ СО
о" —* —«^ of со" со" -=t-ч^ю^ со" со i^Ti^r оо"
со со оэсм т г-о сосо^о^с^ю оо^о
о" о" о -< —<"—<"<м"<м"<м"<м"со" со" со" -*"
юоюоюоюоюоюоюо
«lONOINlONOOlONOOin
Р» °_ °. "1 "1 "1 "1 °i °i СЯ.СЯ. 'Я 'Я 'Я
о"о"оо"о"о"о"о"о"о"о"о"о"о"

Таблиц,-) 5.3
передаточная
функция; {Li -
- м/со0;
ш„ —
сопрягающая
частота)
jju (?+/Mjr
-**ЦО00<* 0дб13ек 0,1 1 10 м
0,1 1 10 V '+20дб/дек '
—i r-^=*=T—■ +sO^~^^i/J=S0-'iji
90 в) г)
1,2
50,2
1,3
52,4
1,4
54.5
1,5
50,3
1,6
58,0
1,8
00,9
2,0
63,4
2,5
OS, 2
3,0
71,5
W~[(f-yjvziju]rz
\0ОдБМок «' ' 1°#
\^ Одб/дск / Qdbldix
—i—-Ьи- 1— l У, itOddldcK
0,1 1 10 ju '
' ' /^л ' /«/""""-n.
/ rp=iso-ii\.
180° ^Scp—1Й0+Ц) i i ^«l_
, 0,1 1 10 JU
M) 3)
5,0
78.7
10,0
81.3
при различных ц
1,2
172,2
164,7
157,8
151,4
145,7
140,7
136,3
132,5
129,2
126,3
123,7
121,4
119,4
117,7
1,3
174,6
169,3
164,2
159,4
154,8
150,5
146,6
143,0
139,7
136,7
134,0
131,5
129,2
127,2
1.4
175,8
171,7
167,7
163,7
160,0
156,4
153,0
149,7
146,7
143,9
141,3
138,8
136,5
134,4
1,5
176,6
173,2
169,8
166,5
163,3
160,2
157,2
154,4
151,6
149,0
146,6
144,3
142,1
140,0
1,6
177,1
174,1
171,3
168,4
165,6
162,9
160,3
157,7
155,2
152,9
150,6
148,4
146,3
144,3
1,8
177,7
175,4
173,1
170,9
168,6
166,5
164,3
162,2
160,1
158,1
156,2
154,3
152,4
150,6
2,0
178,1
176,2
174,3
172,4
170,5
168,7
166,9
165,1
163,3
161,6
159,9
158,2
156,6
155,6
2.5
178,6
177,3
175,9
174,6
173,2
171,9
170,5
169.2
167,9
166,6
165,3
164,1
162,8
161,6
3,0
178,9
177,9
176,8
175,7
174,6
173,6
172,5
171,5
170,4
169,4
168,4
167,3
166,3
165,3
5,0
179,4
178,8
178,2
177,6
177,0
176,4
175,8
175,2
174,6
174,1
173,5
172,9
172,3
171,7
10,0
179,7
179,4
179,1
178,8
178,6
178,3
178,0
177,7
177,4
177,1
176,8
176,5
176,2
176,0
205

или t
0,375
0,400
0,425
0,450
0,475
0,500
0,525
0,550
0,575
0,600
0,625
0,650
0,675
0,700
0,725
0,750
0,775
0,800
0,825
0,850
0,875
0,900
0,925
0,950
0,975
1,000
0,1
4,3
4,6
4,9
5,2
5,5
5,8
6,1
6,3
6,6
6,9
7,2
7,5
7,8
8,1
8,3
8,6
8,9
9,2
9,5
9,7
10,0
10,3
10,6
10,9
11,1
П.4
0,2
8,9
9,5
10,0
10,6
11,2
11,8
12,3
13,0
13,5
14,0
14,6
15,2
15,7
16,3
16,8
17,4
17,9
18,4
19,0
19,5
20,0
20,6
21,1
21,6
22,1
22,6
0,3
13,9
14,8
15,7
16,5
17,4
18,3
19,1
19,9
20,8
21,6
22,4
23,2
24,0
24,8
25,6
26,3
27,1
27,8
28,5
29,3
30,0
30,7
31,4
32,1
32,7
33,4
0,4
19,7
20,9
22,0
23,2
24,3
25,5
26,6
27,7
28,7
29,7
30,8
31,8
32,7
33,7
34,6
35,5
36,4
37,3
38,2
39,0
39,8
40,6
41,4
42,1
42,9
43,6
0,6
26,6
28,1
29,5
31,0
32,4
33,7
35,0
36,3
37,5
38,7
39,8
40,9
42,0
43,0
44,0
45,0
45,9
46,9
47,7
48,6
49,4
50,2
51,0
51,7
52,4
53,1
0,6
35,1
36,9
38,6
40,2
41,7
43,2
44,6
45,9
47,2
48,4
49,5
50,G
51,7
Ji2,7
53,7
54,6
55,5
БС.З
57,1
57,9
58,6
59,4
60,0
60,7
61,3
61,9
0,7
45,8
47,7
49,4
51,0
52,5
53,9
55,2
56,5
57,6
58,7
59,8
60,7
61,7
62,5
63,3
64,1
64,8
65,5
66,2
66,8
67,4
68,0
68,5
69,0
69,5
70,0
0,8
59,0
60,6
62,1
63,4
64,7
65,8
66,8
67,8
68,6
69,4
70,2
70,9
71,6
72,2
72,8
73,3
73,8
74,3
74,7
75,2
75,6
76,0
76,3
76,7
77,0
77,3
Значения i
0,9
74,3
75,2
76,1
76,8
77,5
78,1
78,6
79,1
79,6
80,0
80,4
80,8
81,1
81,4
81,7
82,0
82,2
82,5
82,7
82,9
83,1
83,3
83,5
83,7
83,8
84,0
1,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
90,0
, град,
1,1
104,3
103,4
102,7
102,0
101,4
100,8
100,3
99,9
99,4
99,0
98,7
98,4
98,1
97,8
97,5
97,3
97,0
96,8
96,6
96,4
96,2
96,1
95,9
95,7
95,6
95,5
при различных значениях Ь, или £. Рисунки, имеющиеся в
таблице, указывают знак и расположение ЛФЧХ при различной
форме асимптотической ЛАЧХ.
ЛФЧХ звеньев первого порядка можно строить с помощью
шаблона (рис. 5.6). Располагать шаблон нужно в соответствии с
рисунками табл. 5.3.
Пример 5.3. Построить логарифмические частотные характеристики интегро-
дифференцирующего элемента с передаточной функцией
0,0625s2 + 1,75s Н- Ю
0,25s2 -I- 0,15s + 1 *
Эту передаточную функцию можно представить в виде
ft(Tt«+l)(T,«+l)
w - 72S2 _|_ 2|js + 1 '
где /г = 10; Т = 0,5; £ = 0,15; ^ = 0,125 и т2 = 0,05.
Следовательно, рассматриваемый элемент есть последовательное соединение
трех типовых динамических звеньев: колебательного (k =10; Т = 0,5 и | =
= 0,15) и двух форсирующих первого порядка (Tj — 0,125 и т2 = 0,05) с переда-
206

Продолжение табл. 5,3
при различных ц
1,2
116,1
114,6
113,3
112,2
111,1
110,1
109,3
108,4
107,7
107,0
106,4
105,8
105,2
104,7
104,2
103,7
103,3
102,9
102,5
102,2
101,8
101,5
101,2
100,9
100,7
100,4
1,3
125,3
123,6
122,0
120,5
119,2
118,0
116,8
115,8
114,8
113,9
113,0
112,2
111,5
110,8
110,1
109,5
108,9
,108,4
'107,8
107,3
106,9
106,4
106,0
105,6
105,2
104,9
1,4
132,4
130,6
128,9
127,3
125,8
124,4
123,2
121,9
120,8
119,7
118,8
117,8
116,9
116,1
115,3
114,6
113,9
113,2
112,6
112,0
111,4
110,9
110,3
109,8
109,4
108,9
1,6
138,0
136,2
134,4
132,8
131,3
129,8
128,4
127,2
125,9
124,8
123,7
122,7
121,7
120,8
119,9
119,1
118,3
117,5
116,8
116,1
115,5
114,8
114,3
113,7
113,1
112,6
i,6
142,4
140,6
138,9
137,3
135,7
134,3
132,9
131,6
130,3
129,1
128,0
126,9
125,8
124,9
123,9
123,0
122,2
121,4
120,6
119,8
119,1
118,4
117,8
117,2
116,6
116,0
1,8
148,9
147,3
145,7
144,1
142,6
141,2
139,8
138,5
137,3
136,0
134,9
133,8
132,7
131,6
130,6
129,7
128,8
127,9
127,0
126,2
125,4
124,7
123,9
123,2
122,6
121,9
2,0
153,4
151,9
150,5
149,0
147,7
146,3
145,0
143,8
142,5
141,3
140,2
139,1
138,0
137,0
136,0
135,0
134,1
133,2
132,3
131,4
130,6
129,8
129,0
128,3
127,6
126,9
?,6
160,4
159,2
158,0
156,8
155,7
154,5
153,4
152,4
151,3
150,3
149,2
148,2
147,3
146,3
145,4
144,5
143,6
142,7
141,8
141,0
140,2
139,4
138,6
137,9
137,1
136,4
3,0
164,3
163,3
162,3
161,4
160,4
159,4
158,5
157,6
156,7
155,8
154,9
154,0
153,2
152,3
151,5
150,6
149,8
149,0
148,3
147,5
146,7
146,0
145,3
144,5
143,8
143,1
5,0
171,1
170,5
170,0
169,4
168,8 ■
168,2
167,7
167,1
166,5
166,0
165,4
164,9
164,3
163,7
163,2
162,7
162,1
161,6
161,0
160,5
160,0
159,4
158,9
158,4
157,9
157,4
10,0
175,7
175,4
175,1
174,8
174,5
174,2
174,0
173,7
173,4
173,1
172,8
172,5
172,2
172,0
171,7
171,4
171,1
170,8
170,5
170,3
170,0
169,7
169,4
169,1
168,9
168,6
точными коэффициентами, равными единице. Поэтому логарифмические частотные
характеристики элемента равны сумме соответствующих логарифмических
частотных характеристик этих звеньев.
Построим сначала ЛАЧХ колебательного эвена. Определяем ординату
низкочастотной асимптоты 20 lg k = 20 дБ, сопрягающую частоту т1= -=- = 2 с"1
и наносим на график (рис. 5.7)
асимптотическую ЛАЧХ L\
этого звена. Ее Бысокочасгот-
ная асимптота имеет наклон
—40 дБ/дек.
Для получения
действительной ЛАЧХ нужно сделать
поправки. Значения
характеристик берем из табл. 5.2 по
строке, которая соответствует
| = 0,15. Рисунок а этой
таблицы показывает, что поправки
должны прибавляться к
асимптотической ЛАЧХ.
Накладываем на график
полоску бумаги со шкалой отно-
Ч1, град
_Ци .v..:. j
1 10
•
>
Шаблон '',
/
VJ
1*5
30
Рис. 5.6. Шаблон для построения ЛФЧХ звеньев
первого порядка
207

L.dS '
\ o,t сг ич of ill f ' if f в if]
Phc, 5.7. Построение логарифмических частотных характеристик
сительных частот ji так, чтобы единица этой шкалы совпала' с сопрягающей
частотой e>i. Затем значения б откладываем от асимптотической ЛАЧХ L*.
Соединив эти точки плавной кривой, получим действительную ЛАЧХ Lx
колебательного звена.
Для построения ЛАЧХ форсирующих звеньев первого порядка можно
воспользоваться шаблоном (см. рис. 5.5). Определяем сопрягающую частоту перного
из этих звеньев ш2 = 1/тj = 8 с-1 и от.мечаем ее на графике (рис. 5.7). Затем
прикладываем к графику шаблон так, чтобы его отметка «1» совпала с сопрягающей
частотой со2. Низкочастотную асимптоту шаблона совмещаем с осью абсцисс,
так как передаточный коэффициент звена равен единице. Высокочастотную
асимптоту шаблона направляем вверх, ибо звено форсирующее. Обведя
криволинейную сторону шаблона, получим ЛАЧХ L2- Высокочастотная асимптота имеет
наклон -|-20 дБ/дек, и ее можно продолжить насколько необходимо.
Определяем далее сопрягающую частоту второго форсирующего звена о)а —
— Ъ%1 ~ 20 c"J, отмечаем ее на графике и строим с помощью шаблона ЛАЧХ Ая,
действуя так же. как и в предыдущем случае.
Суммировав кривые Lt, L2 и LA. найдем действительную ЛАЧХ L
рассматриваемого интегро-днфференцирующего элемента. При со < 40 с1 она практически
совпадает с Lx.
Построим теперь ЛФЧХ колебательного звена. Значения модуля фазы | я|) | =
= t|? берем из табл. 5.3 по строке, которая соответствует |= 0,15. Знак фазы
определяется рисунком, помещенным в поз. д этой таблицы, т. е. i|) = —-г|?. Для
нанесения значений ф на график (рис. 5.7) используем шкалу относительных
частот |л.
Соединив все точки плавной кривой, получим АФЧХ г|5г. Ее низкочастотная
часть равна 0 и высокочастотная часть равна —180°.
208

ЛФЧХ ^2 » Ч'з форсирующих звеньев первого порядка строим с помощью
шаблона, показанного на рис. 5.6. У форсирующих звеньев ЛФЧХ
положительные.
Сумма кривых i)^, i|)a и i|>3 ecu. искомая ЛФЧХ i|> шиегро-дифференци-
рующего элемента.
При построении асимптотической ЛАЧХ цепи, состоящей
более чем из трех последовательно соединенных звеньев, удобнее
поступать несколько иначе. Передаточную функцию нужно
привести к виду
svIIQ,- ^ '
где k — передаточный коэффициент; v — порядок астатпзма; Ri —
полиномы вида t,s + 1 и t^s2 + 2£,t,s + 1 (t < 1). Qt —
полиномы вида 7> + 1 и 7>2 + 2|(-7> + 1 (g < 1).
Затем определить сопрягающие частоты ю, = 1/тг и о>: =
= MTt и отметить их на графике (для каждой частоты проведем
штриховую линию).
После этого построить низкочастотную асимптоту ЛАЧХ с
наклоном — 20v дБ/дек. Ордината этой асимптоты или ее
продолжение при ш = 1 с"1 должна быть равна 20 lg k. Заканчивается
низкочастотная асимптота на первой сопрягающей частоте.
Для быстрого перевода натуральных чисел в децибелы служат
номограммы (рис. 5.8). Каждая из них имеет пять шкал
натуральных чисел А и пять шкал соответствующих им значений L. Со
шкалы А нужно переходить на соединенную с ней шкалу L.
Например, натуральному числу А = 12,5 соответствует (рис. 5.8, a) L «
« 21,9 дБ. Натуральному числу А -- 0,725 соответствует (рис. 5.8, б) L «
«2,8дБ.
На первой н всех последующих сопрягающих частотах наклон
асимптотической ЛАЧХ изменяется. На сопрягающих частотах,
созданных полиномами Rt числителя передаточной функции W,
изменение наклона положительное. Наоборот, на сопрягающих
частотах, созданных полиномами Q, знаменателя передаточной
функции W, изменение наклона отрицательное. Полином первой
степени изменяет наклон на 20 дБ/дек и полином второй степени
на 40 дБ/дек.
Высокочастотную асимптоту ЛАЧХ (справа от наибольшей
сопрягающей частоты) проводят в требуемом диапазоне частот.
Пример 5.4. Построить асимптотическую ЛАЧХ цепи с передаточной
функцией
W _ k (IjS + I) (12S + \)
s (7\s + 1) (7V + I) (71* + 2g7\,s + 1) '
где k = 145; тх = 0,5 с; т2 = 0,025 с; Г, = 2 с; Г2 = 0,2 с, Т3 — 0,005 с;
I = 0,6.
опо

ffl.O/fl
0.01 H
0.020
0,025
SO
58
56
54
5?
50
—
f
1
J.
\
'10
-20
-22
-24
■26
8 -28
-30
9
10 Г
30 40 SO BO 10 80 90 100 U
ttL-32,
CdlT
300 400 500 600 s 700 800 900 1000
6)
Рис. 5.8. Номограммы для перевода натуральных чисел в децибелы
Определяем сопрягающие частоты: o)j= \1Тг = 0,5 с 1;
ша = l/i! = 2 с"
ы4 = 1/т;2 = 40 с"
1/Га = 5 с-*;
= l/T3 = 200 с-1 и отмечаем их на графике (рис. 5.9).
Порядок астатизма v = 1, поэтому низкочастотную асимптоту проводим с
наклоном —20 дБ/дек до первой сопрягающей частоты и так, чтобы ее продолжение
при со = 1 с-1 имело ординату, равную 20 lg 145= 20-2,161 «* 43,2 дБ.
На сопрягающей частоте с^ наклон асимптоты изменяется на —20 дБ/дек.
Последующим сопрягающим частотам соответствует изменение наклона на +20,
—20, +20 и —40 дБ/дек. Высокочастотная асимптота имеет, следовательно,
наклон —60 дБ/дек.
210

LM
60
го
Рис. 5.9. Построение асим-
лтотической ЛАЧХ "
W
Для получения действительной ЛАЧХ необходимо около
каждой сопрягающей частоты асимптотической ЛАЧХ построить
кривую поправок, пользуясь данными табл. 5.1 и 5.2. Затем все
кривые поправок необходимо сложить с асимптотической
ЛАЧХ.
Если в передаточной функции W рассматриваемой цепи все
полиномы /?, и Qi первого порядка (цепь состоит из звеньев
первого порядка), то допустимо приближенное построение ЛФЧХ.
На малых частотах, когда фаза равна —v 90°, проводится прямая
до первой сопрягающей частоты. Затем на каждой сопрягающей
частоте, созданной полиномом Rh следует прибавить 90° и на
каждой сопрягающей частоте, созданной полиномом Q,, вычесть 90°.
Затем полученную ступенчатую кривую следует сгладить
[116].
Неминимально-фазовые звенья. Линейная система может
содержать неминимально-фазовые звенья, передаточные функции
которых имеют положительные нули или полюсы (см. п. 2.6).
Неминимально-фазовое и минимально-фазовое звенья с
одинаковыми амплитудно-частотными характеристиками имеют различные
фазово-частотные характеристики. Это обстоятельство и
необходимо учитывать при построении логарифмических
частотных характеристик цепи с неминимально-фазовыми
звеньями.
Основные сведения об элементарных неминимально-фазовых
звеньях даны в табл. 5.4. Для каждого звена показано, в
частности, расположение ЛФЧХ относительно его сопрягающей
частоты. При построении этих характеристик следует использовать
табл. 5.3. У неминимально-фазовых звеньев те же ЛАЧХ, что и
у звеньев, передаточные функции которых отличаются отсутствием
отрицательных знаков (см. табл. 2.3).
Некоторые полиномы второго порядка с корнем,
имеющим положительную вещественную часть, могут быть
21!

Таблица 5.4
Элементарные неминимально-фазовые звенья
(О < 6 < 1; 0 < Е < 1)
Передаточная
функция W
Фазово- частотна я
характеристика 1|>
Логарифмическая
фазово-частотная
характеристика
T.S •
180° — arctg m
arctg тсо
Ц>,град
тА2 — 2£ts -|- 1
— arctg
2£т©
1-тАо2
tp. град
— t2s8 + 2£ts — 1
180°—
<p, град
WO
■ arctg
2£-ro
1 — тАо2
Ts-
180° -|- arctg Ты
<p, град
l — Ts
arctg coT
212

Продолжение табл. 5.4
Передаточная
функция W
Фазово-часто! пал
характеристика i|)
Логарифмическая
фазово*частотна я
характеристика
TV — 2\Ts + 1
arctg
2£Гсо
1 — TV
1
T2saH-2|Ts— 1
arctg
80° +
2£Ти
1 - W
разложены на произнедепие полиномов первой
TV + 2а7Ъ - 1 = (Ttf + 1) (r2s - 1);
—7V — 2ars + 1 = — (7\s + 1) (7Vs — 1),
где0<а<1; ri = r(j/aa+1-a) иГ9 = Г({/аа+1
7V — 2aTs — 1 ■-= (7\s + 1) (T2s — 1);
—7V + 2ars + 1 - — (T,s + 1) (7> — 1),
где 0<a<l; 7, =T{ j/tf+T+ l); Га =-- Г (j/ ^TT -
степени:
(5.21)
-I °0;
(5.22)
1).
Следовательно, неминимально-фазовое звено, передаточная
функция которого содержит какой-либо из перечисленных
полиномов, следует рассматривать как последовательное соединение
двух звеньев первого порядка, лишь одно из которых
неминимально-фазовое.
Трансцендентные и иррациональные звенья. Системы,
содержащие звенья с трансцендентными и иррациональными
передаточными функциями, не являются, конечно, линейными. Однако
для их исследования в ряде случаев могут быть использованы
логарифмические частотные характеристики.
Трансцендентными являются звено запаздывания (или чистого
запаздывания) с передаточной функцией W = e~6s и звено
полузапаздывания (или затухания) с передаточной функцией UP =
= е- Уо\
213

Таблица 5.С
Иррациональные звенья
Наименование
звена н
передаточная функция
Частотная передаточная
функция и частотные
характеристики: амплитудная и
фазовая
Логарифмические частотные
характеристики:
асимптотическая амплитудная и фазовая

Полуинтегрирующее
k
№
W
VT
V
4_- -Ш=Д.
''jM l/'2co
— ; i[i -r- — 45°
~<P, град

Полуинерционное первого рода
k
W :■-
VTs-\- l
w
b\(V5 A-VuD—iVur)
V'2(\
Л = -
У'2ыТ-] ыТ)
k
I ' l -|- V 2шГ+ шГ
■ф = — arctg —гг=
/шГ
K^ + iAor
Полуинерционпое
второго рода
VTs+l
W =
VTr
где г = Vrl+co2ra;
А = /е/1/"7;
ф = —arctg V(t—\)I(t+\)
Частотная передаточная функция и частотные характеристики
звена запаздывания
Г = е-'еи; А = 1; £=0; я|> = — бсо. (5.23)
Частотная передаточная функция и частотные характеристики
звена полузапаздывания
№ = е
-г/ёш
- УВш72(1+/).
Л=е
— /бю/2 .
L = -20 j/Qco/2 lg е «* - 8,69 ]/бю/2 дБ; if = — ]/9со/2. (5.24)
214

Основные данные об иррациональных звеньях 1105 J сведены
в табл. 5.5. Максимальная разность между действительной и
асимптотической ЛАЧХ иолу инерционных звеньев имеет место при
to = \1Т и составляет приблизительно - -5,3 дБ у звена первого
рода и --1,5 дБ у звена второго рода.
5.4. СВЯЗЬ МЬЖДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ
ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СИСТЕМЫ
МИНИМАЛЬНО-ФАЗОВОГО ТИПА
Передаточную функцию, у которой полиномы числителя и
знаменателя не имеют корней с положительной вещественной частью,
называют функцией минимальной фазы, а систему с такой
передаточной функцией — системой минимально-фазового типа. У
системы такого типа между амплитудной и фазовой, а также между
вещественной и мнимой частотными характеристиками
существует однозначная связь.
Это свойство используют для определения значений фазы при
некоторых частотах или всей фазово-частотной характеристики по
логарифмической амплитудно-частотной характеристике.
Взаимосвязь определяется формулой
* ^ = 4" J -^Inctg/i ^-| d«, (5.25)
где и = \п \i; |x = со/со0.
Следовательно, значение фазы при любой частоте ш0
пропорционально средневзвешенному значению производной от
логарифмической амплитудно-частотной характеристики. Функция
In ctg h | u/2 | выполняет роль функции веса. По ней можно
заключить, что наиболее существенное влияние на значение фазы
при данной!частоте. ©0. имеет наклон ЛАЧХ вблизи этой частоты.
С помощью графика функции In ctg h\ u/2 | по асимптотической
ЛАЧХ можно определить приближенное значение фазы при
выбранных частотах [49].
Формула (5.25) позволяет определить ЛФЧХ для различных
типовых ЛАЧХ, в частности для полубесконечной ЛАЧХ с
постоянным наклоном. В работе [98] даны значения "ф,
соответствующие такой ЛАЧХ с наклоном +20 дБ/дек. При наклоне v дБ/дек
значения фазы будут 0,05 v\|>. Таким образом, если ЛАЧХ
аппроксимировать отрезками прямых, то можно определить составляющие
ЛФЧХ и затем просуммировать их.
На основании формулы (5.25) составлена [64] номограмма,
позволяющая по асимптотической ЛАЧХ определить значение фазы
215

LLLU
ш
щ
is
/л
/,2
4«
0.6
о,г
а
#
£
№
^
# итуць
is
w
/,z
w
o,n
ah
0,1 „
Рис. 5.10. Номограмма для
определения фазы по
асимптотической ЛАЧХ
да
при выбранной частоте. Номограмма (рне. 5.10) представляет собой
график вспомогательной величины
р
S = -£-Jlnctg/i|«/2|dM.
Ее числовые значения приведены в табл. 5.6.
Для определения фазы при выбранной частоте ©г необходимо
приложить номограмму к асимптотической ЛАЧХ так, чтобы оси
абсцисс были параллельны и стрелка номограммы совпадала с
частотой о)/. Значения фазы в градусах определяют по формуле
4>W=£v*ASA, (5.26)
где vk — наклон 6-й асимптоты в дБ/дек (с учетом знака); ASft —
изменение абсолютного значения S на участке частот, охватывае-
Таблица 5.6.
Значения 5 номограммы для определения фазы
по асимптотической ЛАЧХ
р
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,30
1,40
1,60
1,80
2,00
2,50
3,00
S
0,000
0,210
0,351
0,467
0,565
0,726
0,855
1,052
1,197
1,310
1,507
1,634
Р
3,5
4.0
5,0
6,0
7,0
8,0
10,0
20,0
30,0
50,0
80,0
100.0
S
1,724
1,791
1,884
1,945
1,989
2,022
2,068
2,154
2,188
2,214
2,227
2,232
Р
1,00
0,96
0,92
0,88
0,84
0,80
0,70
0,64
0,56
0,50
0,40
0,35
S
0,000
0,182
0,318
0,437
0,547
0,650
0,877
1,020
1,188
1,310
1,507
1,603
Р
0,30
0,25
0,20
0,17
0,14
0,12
0,10
0,05
0,03
0,02
0,015
0,010
S
1,697
1,791
1,884
1,939
1,994
2,030
2,068
2,154
2,195
2,214
2,223
2,232
216

Рис. Б.II. Логарифмическая амплитудио-частепг.пя характеристика разомкнутой ГАР
мом k-Pi асимптотой; / — число асимптот на участке частот,
охватываемом номограммой.
Если выбранная частота со, делит какую-либо асимптоту на
две части, то каждую из них следует считать отдельной
асимптотой. Результаты вычислений тем точнее, чем меньше
асимптотическая ЛАЧХ отличается от действительной.
Перечисленные методы удобны для определения фазы при
какой-либо одной частоте или при нескольких частотах из диапазона,
охватываемого ЛАЧХ. Их применение целесообразно также для
определения ЛФЧХ по экспериментально полученной ЛАЧХ.
Пример 5.5. ЛАЧХ разомкнутой САР изображена на рпс. 5,11. Определить
значение фазы при частоте среза шс.
Задачу будем решать с помощью номограммы (см, рис. 5,10),
Криволинейный отрезок ЛАЧХ хорошо аппроксимируется тремя асимптотами с наклоном
соответственно —14, —6 и —14 дБ/дек. Номограмму располагаем так, чтобы ее
стрелка находилась на частоте шс (см. рис, 5,11). Затем составим но номограмме
равенство (5.26) и подсчитаем сумму:
■Ф («с) = —20,(2,25—2,20)—14 (2,20-2,14)—6 (2,14—1,46) — 14 (1,46 \-
+ 0,80)—20 (2,25—0,80) = —1,0—0,8—4,1—31,6—29,0= —66,5°.
5.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ ЧАСТОТНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЗАМКНУТОЙ И РАЗОМКНУТОЙ
СИСТЕМЫ
На основании формулы (5.10) можно получить следующее
соотношение:
Z^20lg Si"^-9) ^201g(co^±^f_VA"2-1). (5.27)
Здесь L и if — логарифмическая амплитуда и фаза
разомкнутой системы; Л и 8 — логарифмическая амплитуда и фаза
замкнутой системы с единичной обратной связью.
Соотношение (5.27) позволяет построить в плоскости [if, L ]
линии равных значений в и линии равных значений Л. Получается
номограмма замыкания (номограмма пересчета) (рис. 5.12).
Центральная часть номограммы в укрупненном масштабе
представлена на рис. 5.13.
217

-no
-200
'I'и 41 ijit ,:/>aii
-uu -So ->:0
-24'/ -280 -ГЮ
0
-360
-wo
-200
-ПО -80
-240 -280
Фаза (р, град
-40
-no
0
-360
Рнс. Б.12. Номограмма замыкания
Ось абсцисс номограммы есть ось фазы г|з и ось ординат — ось
логарифмической амплитуды L разомкнутой системы.
Номограмма охватывает значения L от 0 до +28 дБ и от О
до —26 дБ, так как при L > 1 W3 «=* 1, т. е. Л «* 0 и в ^ О,
а при L <С 1 W3 *& W, т. е. Л я=* L и 8 я» г|з. Итак, при больших
по абсолютному значению L надобность в номограмме отпадает.
Следует считать
Л = 0 и 6 = 0, если L>28 дБ;
Л = £ и 8 = г|з, если L< — 26 дБ. (5,28)
Номограмма дает возможность по известным значениям if
и Z, разомкнутой системы определить значения 0 и Л замкнутой
218

Фаза (р, град
180 178 -пь -т т -rio-ms -шь т -тг-шо -
-180-182 -ЦЦ -186 -188 -190 -192 -1S4 -196 -198 -200
'г, ',. U к J. I I / , / / У , У У
Фаза ipf град
Рис. 5.13. Часть номограммы замыкания в укрупненном масштабе
системы с единичной обратной связью. Для этого по значениям \\>
и L с помощью координатной сетки отыскивают на номограмме
соответствующую им точку. Затем по криволинейной системе
координат определяют значения в и Л, соответствующие этой точке.
Если точка оказывается между линиями криволинейной системы
координат, то значения в и Л определяются интерполяцией.
Каждая линия равных значений в имеет две отметки, сумма
которых равна —360°. Поэтому нужно иметь в виду, что если 0 >
> -ф> —180°, тои0>е> —180°, если же — 180°>г|з>—360°,
то и — 180°>е>— 360°.
219

Пусть для некоторой частоты ф = —32" ni= —i дБ, Отыскав па
номограмме соответствующую точку, определим, что при замыкании системы
единичной обратной связью для этой частоты 9 « —20° иА» —8 дБ, Если г|) = —328°
н L = —4 дБ, то на номограмме им соответствует та же точка, что в предыдущем
случае. Однако теперь г|) «: —340° и попрежнему А =» —8 дБ.
Предположим, что номограмму используют для определения
логарифмических частотных характеристик замкнутой системы.
Тогда удобно на прозрачной бумаге вычертить такую же
координатную сетку г|з; L, на какой построена номограмма. По заданным
частотным характеристикам разомкнутой системы следует
построить на этой сетке кривую L (г|з) и указать частоты,
соответствующие отдельным точкам, затем наложить чертеж на номограмму и
определить значения в и Л для всех выбранных частот.
Номограмму замыкания используют не только в
рассмотренном, но и в более общем случае — для определения
логарифмических частотных характеристик системы с передаточной функцией
WV^WJ(\+W). (5.29)
Равенство (5.29) можно привести к такому виду:
^v-^n-^jjw» (5-30)
Следовательно, для отыскания логарифмической амплитуды Av
(или фазы 6V) замкнутой системы с передаточной функцией Wv,
определяемой равенством (5.30), при какой-то частоте сог
необходимо:
1) определить значение Ln (или г|зп) по частотной передаточной
функции W„\
2) пользуясь номограммой замыкания (рис. 5.12) или (5.13)
определить значение Л. (или в), соответствующее значениям — L
и —ty{L — логарифмическая амплитуда и г|з —фаза частотной
передаточной функции W);
3) сложить значения Ln и Л (или г|зи и в).
Этим путем можно определять логарифмические частотные
характеристики замкнутой системы относительно возмущения для
нахождения ошибки слежения, а также относительно задающего
воздействия при неединичной обратной связи. Действительно,
в общем случае САР имеет структурную схему, изображенную на
рис. 3.1, и перечисленные ее передаточные функции имеют
следующие значения:
где W = W0WlWt.
Номограмма замыкания может быть"использована еще^и для
определения логарифмических частотных характеристик
некоторых соединений динамических звеньев [101]. Необходимые для
этого сведения даны в табл. 5.7, в ней изображены структурные
220

Таблица 5.7
Определение г|)э и Lg некоторых соединений
динамических звеньев по диаграмме замыкания
Структурная
схема соединения
-*<?Н~^П-г*'
—*ф—*■ VV, —t-*-
r-*- Wt —г
L» w2 —i
•
■f
*-
~^(S}^~
■a»
'
"1 m-1
<»-— Щ
\
-*®—*- w, —t—
" 1—1
1— w2 —i
-£-H-T^
L ^J

Передаточная функция
соединения
Wi
l + ^i
1— \Уг
Wt + W2
w\ + l
wx - ir2
1—1^!
1
1 + ^1
w,
1+VjV^
w1
1-lTjW,
На номограмме взять
точку с координатами
Ч>= | 1=
*i
180° + ■$!
Ь - ta
-1>i
■*1 — ^2 +
+ 180°
180° —i|)j
-*i
Ъ
■фх + 'Фа
-Oh + iM
ФгНуИвО0
!80° —
(Ф1 + Ф1)
ti
ix
Lj L2
-*-i
Lj L2
-*-i
-*-i
*-i
^1+^2
-(*•! +
+ ^2)
*-l+*-l
+ *-.)
Фаза и
логарифмическая
амплитуда соединения
*в=
е
9+ 180°
♦i-в
— в
*1-в
— в
е
e-*i
в-Ф,
в-Н>1
в—■*■ +
+ 180°
в + %
L3=
Л
Л
Lt-A
-Л
Z.J-A
-А
А
A-/.J
A-L2
Л + ii
A-L2
A+Lx
221

схемы этихлсоединений и приведены их передаточные функции,
указано, при каких значениях координат г|з и L нужно
пользоваться номограммой замыкания в каждом случае и как на
основании полученных по номограмме значений в и Л определить
фазу г|зэ и логарифмическую амплитуду L3 рассматриваемого
соединения.
Пример 5.6. Два апериодических эвена с передаточными коэффициентами
к = 0,5 и постоянными времени 7^ = 0,02 с и Т2 = 0,2 с соединены параллельно.
Определить фазу фэ и логарифмическую амплитуду Lg соединения при частоте
ш= 10 с"1.
Определим фазу и логарифмическую амплитуду каждого из звеньев при
заданной частоте:
■ф, = — arctg 0,02-10 = — 11,3°; L, = 20 lg °'5 = —6,2 дБ;
Т 1 V\ +(0,02-10)*
ib2= —arctg0,2!0=—63,4°; Г. "0 1г; , °'5 = — 13,0 дБ.
Vl+ (0,2- !0)2
Для определения фэ и La можно воспользоваться поз. 3 табл. 5.7. В
соответствии с таблицей,
Ч> = "Фх — "Фя = —П.3° —(—63,4°)= 52,1°= —307,9°;
L = Li. — L2= —6,2 — (—13,0) = 6,8 дБ.
По номограмме замыкания (см. рис. 5.12) определяем, что этим значениям ф
и L соответствуют 9 «« —344° нА* —2,4 дБ.
В соответствии с поз. 3 табл. 5.7 подсчитываем фазу и логарифмическую
амплитуду соединения:
фэ = ф1 _ 9 ~ — 11,3° — (—344,0°) = 332,7° = —27,3°;
L9 = L1-A«-6,2 — (-2,4)=— 3,8 дБ.
Пример 5.7. Звено с передаточной функцией W1 = !,25/(0,2s+ I)
включено по схеме, показанной в поз. 6 табл. 5.7. Определить фазу г|зэ и
логарифмическую амплитуду La соединения при частоте со = !,! с-1.
Находим фазу и логарифмическую амплитуду звена при частоте ш = 1,1 с"1:
1)?! = —arctg 0,2.1,1 =—12,4°; 1г = 20 lg 1,25/]Л + (0.2.1,1)2 ^ | ]73 дБ,
В соответствии с п. 6 табл. 5.7,
г|з= 180° — 1)?!= 180° —(—12,4°)= 192,4°=—167,6°;
L= —Li= —1,73 дБ.
Воспользуемся частью номограммы замыкания, выполненной в укрупненном
масштабе (см. рис. 5.13), и определим 9 «* —125° иАи 9,8 дБ. Следовательно,
■фв = _е ~ 125° = —235° и Ц = — А ~ —9,8 дБ.
Для выборочной проверки результатов, полученных по
номограмме замыкания, можно воспользоваться соотношениями
в = arctg sin i|)/(>4 -f cos i|>);
A = 20 lg VA/(A + 1/4 + 2cos\|>), (5.32)
где 4 = 10M5i.
222

5.С. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК МИОГОКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ
Наиболее целесообразен следующий порядок построения:
определяется соответствующая передаточная функция системы (см.
гл. 3), полиномы числителя и знаменателя передаточной функции
разлагаются на элементарные сомножители (например, по методике
приложения 2) и затем строятся характеристики, как
рекомендовано в п. 5.3.
Однако расчетов по нахождению корней полиномов можно
избежать, так как передаточная функция даже высокого порядка
всегда может быть приведена к виду, при котором для построения
потребуются лишь характеристики элементарных звеньев и
номограмма замыкания [53]. Рассмотрим этот метод.
Пусть какая-то из передаточных функций системы
Wv = -%> (5-33)
где
R --= b0sm + V*-i + • • • + 6,n_rs -f- 1;
Q =- a0sn + aLs"-! + ■ • ■ + an^s + 1.
Построение логарифмических частотных характеристик L
и ifo, соответствующих множителю k/sv, не вызовет затруднений,
а полином R может быть представлен в виде
/?5./?1{l+*L[i+*L(i + . ..)]}, (5.34)
гДе -Ri» Rz> #з> ••• содержат лишь полиномы второй степени.
Так, полином R третьей, четвертой и пятой степени может быть
представлен в следующем виде:
60s3 + V2 + ^s+l-^8(l + -^-), (5.35)
r№*11«ft|S(Afi. + A.fi + 1);
b0<* + V3 + V2 + b3s + 1 = RH (1 -h -|sj-) , (5.36)
где ^4 = ^s2(-^-s2 + |i-s + l); /?M-6,s+l;
b0s* + V1 + b^ + b3s> + biS -|- 1 = Rlt (1 -|- -f^-) , (5.37)
где Rlt> = b2Ss(^s* + ±-s+\); Ru^b^ + b^s+U
Выражениям (5.35)—(5.37) соответствует структурная схема,
показанная на рис. 5.14. Ее логарифмические частотные
характеристики L2 и г|э2 могут быть построены на основании поз. 4 табл. 5.7.
223

1 л,
] nh
т
1 Qa *J
Ряс. 5.14. Структурная схема,
соответствующая выражениям (5.35)—(5.38)
Рис, Б.1Б. Структурная схема,
соответствующая выражениям (5.39)—(5.41)
Последний из сомножителей передаточной функции (5.33)
можно представить в виде
1
J_ Qi_
Q
+ -q-(Q2 + Q3 +
•)
(5.38)
где Qi, Q2, Qs, ■■■ содержат лишь полиномы второго порядка.
Очевидно, что выражению (5.38) соответствует структурная
схема, которая состоит из звена с передаточной функцией \/Qu
охваченного отрицательными обратными связями Q2, Q3, ... .
Запишем равенство (5.38) при п — 3, 4 и 5:
1/Q*
о„5з + alS2 + a2s + 1 1 + 1/Qu
l/Q:
14
(5.39)
(5.40)
(5.41)
o0s* + olS3 + a,s» + o3s + 1 _14- QM/Ql4:'
где Ql4=a2S2(-^-s2 + -5-s+l)Q24 = a3S+l;
1 l/Q»
o0ss + olS* + a2s3 + a3s2 + a4s + 1 1 + QmIQv, '
где Ql5 = ^s3 (-^ s2 + -^-s + l) ; Q25 = a,s2 + a4s + 1.
Выражениям (5.39)—(5.41) соответствует структурная схема,
изображенная на рис. 5.15. Ее логарифмические частотные
характеристики L3 и % могут быть построены на основании поз. 8
табл. 5.7.
Итак, изложенный метод позволяет достаточно просто построить
логарифмические частотные характеристики по передаточной
функции любого порядка. Формулы (5.34)—(5.41) показывают,
как ее следует преобразовать. Полиномы второго порядка в Rx,
#2» •••» Qi. Q2» •••> конечно, должны быть разложены на
сомножители первого порядка или представлены в виде TV + 2\Ts + 1,
где 0 <С 5 <С 1. Логарифмические частотные характеристики
передаточной функции (5.33) определяются равенствами
L = L,
/_, |- £а п * = ф, + ih + 4V
(5.42)
224

Рис. 5.16, Структурная схема многоконтурной САР:
а — исходная; б — преобразованная
Логарифмические частотные характеристики разомкнутой
цепи многоконтурной системы можно построить и без определения
ее передаточной функции. Необходимо только, пользуясь
правилами табл. 3.3, преобразовать структурную схему системы так,
чтобы устранить перекрещивание каких-либо из обратных и
прямых связей. В результате разомкнутая система будет представлять
собой последовательное соединение отдельных типовых
динамических звеньев, участков с обратными связями и участков с
параллельными соединениями. Обратные связи и охваченные ими
участки, а также параллельные ветви могут быть достаточно
сложными.
После приведения структурной схемы к указанному виду
логарифмические частотные характеристики могут быть построены
на основании правил табл. 5.7 и номограммы замыкания.
Пример 5.8. Приведем структурную схему системы (рис. 5.16, о) к виду,
удобному для построения логарифмических частотных характеристик
разомкнутой цепи, и наметим порядок этого построения.
Структурная схема имеет перекрещивание цепей обратных связей Wol и
W02- Кроме того, цепь обратной связи W02 перекрещивается еще с цепью прямой
связи Wt.
Для устранения перекрещиваний достаточно перенести обратную связь W02
через звено W-± и прямую связь W4 через звено W2. При этом в цепь обратной
связи W02 должно быть включено согласующее звено 1/U^ и в цепь прямой связи
Wt согласующее звено 1/W2-
Преобразованная структурная схема (рис. 5.16, б) позволяет построить
логарифмические частотные характеристики ее разомкнутой цепи (размыкается
обычно главная обратная связь). Теперь расчеты можно вести в следующем
порядке:
8 Макаров II М.
226

1) подсчитать характеристики <р5 = г|з4 — ^2 и Lb— L%—L2 звена Wb,
эквивалентного последовательному соединению звеньев Wt и l/W2',
2) пользуясь п. 3 табл. 5.7 и номограммой замыкания, определить
характеристики фв и L6 параллельного соединения звеньев Ws и Wb;
3) по п. 9 табл. 5.7 с помощью номограммы замыкания определить
характеристики t|>, и L, звена Wlt эквивалентного звену W-± с обратной связью W01;
4) подсчитать характеристики г|з8 = г|з2 + г|з, и L« = L2 + А7 звена W8,
эквивалентного последовательному соединению звеньев w2 и W^\
5) подсчитать характеристики г|зв = ф02 — tfo и Le = L02 — Li звена We,
эквивалентного последовательному соединению звеньев W02 и \IW^,
6) по п. 8 табл. 5.7 с помощью номограммы замыкания определить
характеристики ф10 и Lio звена W10, эквивалентного звену W8 с обратной связью №9:
7) подсчитать характеристики разомкнутой цепи системы гр = г|5о + ^ю и
L = L/ + Lig.
5.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ
Данная характеристика "позволяет построить^приближенную
переходную характеристику (см. п. 4.3), поэтому ее часто
используют при инженерных расчетах. Характеристику определяют не
только аналитически — по передаточной функции замкнутой
системы, но также и графоаналитически, по одной из частотных
характеристик разомкнутой системы. При этом используют
характеристику, построенную ранее для других целей, и, таким образом,
уменьшаются общие затраты времени на расчет.
Аналитическое определение Р. Каждая из передаточных
функций замкнутой системы может быть представлена в виде
ту? _ М" + М"1"1 Ч \- bm.j.8 + bm _Ui + jVi (r.n,
a^n + a^n-i + .-.+an^s+an U2 + jV2> ^0ш™>
где
Ux = Ьт — Ьт_2а2 Ч- brn^a1 — • ■■;
VL = о) (Ьт_г — frm_3w2 Ч- Ьт_ьа£ —••■);
£/г = я„ — а^и? Ч- «п-4®4 — • • •);
V2 = о) (а„_! — а„_3о)2 + ал_5ю4 ).
В этом случае
U1U2 + KtK2 f^/r, + Ki/У,
tff+Kf ^2/К2+К2/^2
(5.44)
При определении характеристики следует рассчитать ряд
частот, равномерно отстоящих друг от друга. Затем выбрать
дополнительные частоты на участках, где могут быть экстремумы
или имеет место быстрое изменение характеристики. Весь расчет
целесообразнее заносить в таблицу. При ручном счете и наличии
таблиц с обратными значениями чисел расчет удобно вести по
правой части выражения (5.44).
Определение Р по АФЧХ разомкнутой системы. Значения Р
могут быть найдены с помощью вещественной круговой диаграммы
226

Рис. Б.17. Определение
вещественной частотной характеристики
системы с единичной обратной связью
по АФЧХ ее разомкнутой цепи
(см. рис. 5.3 и 5.4). Кроме
того, используют
графоаналитический метод,
который дает более точные
результаты, так как
значения Р определяют по
точкам АФЧХ,
соответствующим выбранным
частотам.
Пусть обратная связь —
единичная. Следовательно,
частотная передаточная функция замкнутой системы определяется
равенством (5.10). Тогда на комплексной плоскости [U; /V] нужно
провести окружность через начало осей координат и точку А с
координатами [—1; /0 ]. Затем провести прямые через точку А и каждую
из выбранных точек АФЧХ (рис. 5.17) так, чтобы эти прямые
пересекали окружность. Значение | Pt |, соответствующее
выбранной г-й точке АФЧХ,'равно отношению двух отрезков:
1Л1
ABt
(5.45)
Возможны три случая, показанные на рис. 5.17. При частоте ю1
точка Вг АФЧХ находится вне окружности и справа от прямой,
проведенной через точку А параллельно оси ординат. Этой частоте
соответствует положительное значение Р < 1:
При частоте <о2 точка В2 АФЧХ также находится вне
окружности, но слева от прямой, параллельной оси ординат. Этой
частоте соответствует положительное значение Р > 1:
При частоте ю3 точка В3 АФЧХ находится внутри окружности.
Значение Р отрицательное:
ВЯС3 0,46
РЫ = -
АВЯ
0,50
92.
На рис. 5.18 показано, как определить основные параметры
характеристики [12]. Окружность с центром, расположенным
на оси абсцисс, проходит через точку А и касается АФЧХ в точке,
которой соответствует экстремальное значение Р. Экстремум Р
положительный, если центр Ог окружности] расположен левее
8*
227

точки А. Он имеет место при
частоте юЭ1 и определяется
длиной радиуса гэ1 этой
окружности :
* max — 1 -|-'
2г,
Э1
(5.46)
Рис. 5.18. Определение основных
параметров вещественной частотной
характеристики системы с единичной обратной связью
по АФЧХ ее разомкнутой цепи
Экстремум Р отрицательный,
если центр 02 окружности
расположен правее точки А:
Р = 1
1 mm l
1г,
эа
(5.47)
Для случая, показанного на рис. 5.18,
1 . ™ . 1
'max — 1 г
2-0,86
1,58 и Рты == 1
2-0,22
= --1,27.
Частоте со„, при которой АФЧХ пересекает окружность,
проходящую через начало осей координат и точку А, соответствует
Р = 0.
Вещественная частотная характеристика может быть определена
графоаналитически по обратной АФЧХ [19] и по передаточной
функции замкнутой системы [69].
Определение Р по логарифмическим частотным
характеристикам разомкнутой системы. Значения вещественной частотной
характеристики системы с единичной обратной связью
определяются формулой
A(A-\-costy)
1 + А (А + 2 cos r|>)'
(5.48)
Здесь А = 10°'05i; ifnL —фаза и логарифмическая амплитуда
разомкнутой цепи этой системы.
Формула (5.48) позволяет построить номограмму (рис. 5.19),
которая представляет собой семейство линий равных значений Р,
построенное в плоскости i]>; L. Ось абсцисс охватывает значения \\)
от 0 до —360°. Ось ординат охватывает значения Р от —28 до +
+28 дБ. При I > 28 дБ Р «^ 1 и при L < —28 дБ Р ?* 0.
Номограммой пользуются так: отыскивают точку,
соответствующую значениям ^ и L при выбранной частоте о)(, и положение
этой точки относительно семейства кривых определяет значение
р («*)•'
Если определяют всю характеристику Р, то удобно сначала на
прозрачной бумаге построить кривую L (Ф). Ее строят, конечно,
при тех же масштабах по осям ф и L, что и номограмму. Затем
этот график накладывают на номограмму и определяют значения Р
при ряде частот.
228

-320 -JOO 280 -269-240 -220 -200 -180 -760 -НО -120 -100 -80 -60 ~40 <р,щд
Рис. Б. 19. Номограмма для определения вещественной частотной характеристики Р системы
с единичной обратной связью по логарифмическим частотным характеристикам \f и L
ее разомкнутой цепи
Значения Р вблизи точки L = 0 и \р — —180° с большей
точностью можно определить по табл. 5.8.
Определение Р по кривой .D-разбиения. При исследовании
влияния параметров системы на ее устойчивость строят кривые
D-разбиення (см. п. 6.101, которые могут быть использованы для
определения вещественной частотной характеристики замкнутой
системы.
Наиболее просто определить значения Р, если имеется
кривая D-разбиения по передаточному коэффициенту k разомкнутой
системы с единичной обратной связью. Для определения
значения Р при выбранной частоте aL нужно из начала осей координат
опустить перпендикуляр на прямую, соединяющую точки А и В{
(рис. 5.20). Точка А находится на оси абсцисс и соответствует
значению k системы, а точка В{ — на кривой D-разбиения и
соответствует выбранной частоте шг. Значение вещественной частотной
характеристики
229

» л я
IT WO
S 2 я
-i
О
«XV
tax
ь »
М X)
О W
го^э _,
За Я Z1
я «
я *<
to
™ о
ф Я
*8
х Е
03
чэ о
"-> л °
х> gx>
s * го
Я ja
Я Я)
Я S
О ~i
53е СГ
о
я
к
я
а
X)
я
чэ о
со со
2 1 ^ S
sIss
2 ^0 ГО СО
го и О
О о S'
•о а- О
я го
со н а х>
о «а ы
*§*&
*Э2 3 S
' « О в
■Оойк
03 к ° 5
Я °» Ь
ГО гд ГО
£ о ъ*
* Я оэ
"ив
3 X оэ
g 03 о»
3»" S
'I 2 О
в 72 оэ и
°" 5 S
о, ,-* *
За
о и
OV ГО
X) Jj
я в
о и
» го
я
. О
Я
Я
Я
Л
Я
О
в*
Ч go
6 я 3 я
я 5 и
я
я
го
сг
я
*<
S
• X)
Я о
О о
и
to
со
ОТ
СО
оэ о
я л
5 *
о вз
Яс
a *»
-J to
X) -
я= ^
CD
^ ГО
J^ О
- н
• ю
Wg
«О Я
й к»
л о
оэ н
го го
XI
03
о
я
о
о
го
я
03
я
XI
03
а
го
го
Л оз
00
2
сг
я
с
я»
с
о
я
с
XI
За
Я
я
03
Ш
с
со
2
с
я
сг
За
со
03
а
хз
с
х
с
За
Я
В
го
я»
л
го
хз
го
со
с
.с
«
8
с
СП
го
о
СП
"-<
3 о
£ а
о "
Я «
го
хз
03
о
а
о
о
го
я
03
ГО 03
ю
(Ь s
а о
хз •
я ел
2
(S3
Ш
g
яс:
U-LUUodU
о о о о о о о о о о о_о о>—►— ю со *
-~i"3i"*»."co"n>"— T-.Wco"*.cn"-i Ъх
СЛ СП
I I I I I •— •—юю Id
•— юсослоэ.— оэ>— оо юоэ \ -iw<on>-i
I N>tOC3*.COJO
-i *. оо со bo ~o io bo en to со со tocnboto'o'bscogp*.--!
>— ьэ с» ooto ocococnto tooicoco о<Вооаз ю>—
I I I I I I I I I I I
>—joco >Kcncn>**>Kwtooo —
CT» K^ M . ."^—* к>\1~1 K^ Ji. r,1 er\ r-n frt
"oi'tocoT— ^"bo^boV'coXo'cn'iD'coV'to'^'to'o'J— соьоЪз
I I I I I I I II I
00 it». 00 00 S ^
I I I I I I I I
и-.«»-и-0 0 00 0 0 00 0 0~- и-»—н-н-(0(0(ОЮ
1— uVwbbiU" -co en оз'оо ol— cooitoVo'^.'co'J—
00 -J — -J N> *. •— ОЗ ОЗ CO О -J *. О ОЗ •— *. ЬЭ -J •— -J 00
ШШ
ooooooooooo»-
СОСООООЭСОЮО»— МСОФ.СЛОЭОЭ~*100СОЮСООЭ00СОСО
ЬЭОЗ*.СПОЗСО*.ЬЭЬЭ>— OOOtDOOOO-JC003Cn*.03bO
1,1 I I I
озоз"*.со ooboTsoososVoicri озоз-^Ър"£>осо *.озоз
oo*.-Jooo03003booo*.o5ibooo*.o*.ooo-J*.oo
I I I I
о o_o о о о о оооооооо о_о о о — *- >— ч-
*.*.Ьоо"|- ьэмоз^^Тяот"»озо^ЪоТо оТо'*.'*.
tD>— bO0O<5tDtDW~q>— 030*><bCO~J>— •—и-0ОЬЭ>— tD

Рис. Б.20. Определение вещественной частотной характеристики^системы^с единичной
обратной связью по кривой Л-разбиеиня "*
обратной связи может быть использована кривая О-разбиения" по
любому параметру, линейно входящему в характеристическое
уравнение [19, 691.
6.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО КРИВОЙ РАЗГОНА
Экспериментальное исследование динамических свойств
сложных объектов регулирования выполняют чаще всего путем снятия
кривой разгона, т. е. переходной характеристики. Эта кривая,
вообще говоря, может быть аппроксимирована некоторым
аналитическим выражением, которое позволит определить передаточную
функцию и вычислить частотные характеристики. При
аппроксимации неизбежны погрешности, поэтому используют также
методы непосредственного определения АФЧХ по кривой разгона.
Простейший и проверенный практикой метод [81 ] заключается
в том, что кривую разгона аппроксимируют отрезками прямых
Риг. 5.21. Аппроксимация экспериментальной кривой разгона отрезками прямых для
определения АФЧХ
231

(рис. 5.21). Затем определяют коэффициенты c.h характеризующие
углы наклона прямолинейных отрезков:
сн = (х3 — x2)/(t3 — 4); ... (5.50)
Значения вещественной U и мнимой V частей частотной
передаточной функции W при каждой частоте © подсчитывают по
формулам
п
(/=>— ^ с,- sin cor,, cos on,,;
(5.51)
V ^ -J- ^ с,- sin ©т„ sin сот,,-,
где п — число аппроксимирующих отрезков;
ти =■ & - *м)/2 и T2, = a,.-b^_i)/2.
Существуют таблицы [79, 81 ], с помощью которых расчет по
формулам (5.51) упрощается. АФЧХ следует определять в полосе
частот, на две декады превышающей частотный спектр входного
сигнала исследуемого объекта [102].
Известны методы определения АФЧХ при аппроксимации
кривой разгона трапециями, треугольниками, тригонометрическими
функциями или суммой парабол [4]. Шаблоны-транспоранты
могут быть использованы для вычисления АФЧХ по кривой
разгона после аппроксимации ее небольших участков простыми
аналитическими функциями [49]. Предложен [88] метод, основанный
на предположении, что кривая разгона представляет собою
полупериод колебаний, которые устанавливаются на выходе системы
при подаче на ее вход периодических колебаний прямоугольной
формы. Используются и многие другие методы.

Глава 6
ПРОВЕРКА УСТОЙЧИВОСТИ
При оценке свойств спроектированной САР прежде всего
выясняют ее устойчивость. Понятие устойчивости САР, как и всякой
динамической системы, связано с ее поведением после
прекращения внешнего воздействия, т. е. с ее свободным движением под
влиянием начальных условий (см. п. 2.2).
Предположим, что на САР в течение некоторого промежутка
времени кроме задающего воздействия влияет возмущение и в
результате состояние системы в момент времени t = t0
характеризуется значениями у0, у0 ^<я-»о регулируемой величины и ее
производных (и — порядок дифференциального уравнения
системы). Предположим, что далее в момент времени t0 влияние
возмущения прекращается. Следовательно, дальнейшее поведение
системы определяется задающим воздействием и начальными
условиями у0, у° y(n-\)Ot причем на основании принципа
суперпозиции (см. п. 2.2) эти два влияния в линейной системе
независимы одно от другого.
В наиболее благоприятном случае свободная составляющая
регулируемой величины, создаваемая начальными условиями, с
течением времени стремится к нулю. Такую систему называют
устойчивой (асимптотически устойчивой).
Возможно также, что свободная составляющая стремится к
некоторому конечному значению или совершает гармонические
колебания, амплитуда которых стремится к некоторому конечному
значению. Такие системы называют нейтральными (нейтрально
устойчивыми).
Возможно, наконец, что свободная составляющая
регулируемой величины неограниченно возрастает или совершает
гармонические колебания с неограниченно возрастающей амплитудой.
Такие системы являются неустойчивыми.
Итак, система устойчива, если после прекращения внешнего
воздействия она по истечении некоторого времени возвращается
к тому состоянию равновесия или вынужденного движения, в
котором находилась до начала воздействия. Можно дать несколько
233

иное определение: устойчивость линейной системы --это свойство
затухания ее переходных процессов.
Оценка устойчивости есть оценка принципиальной
способности осуществлять регулирование, поэтому с оценки
устойчивости и начинают исследование всякой САР. Появление
неустойчивости при желаемом изменении какого-то параметра системы
(например, при увеличении передаточного коэффициента) часто
ограничивает возможности повышения качества регулирования.
Ниже будет рассмотрено условие устойчивости линейных
стационарных систем и различные инженерные методы проверки
устойчивости, а также ряд смежных вопросов.
6.1. УСЛОВИЕ И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Дифференциальное уравнение линейной или линеаризованной
САР имеет следующий вид (см. пп. 2.2 и 3.2):
(а0Рп + «iP"-1 - [ f an_xp - \- ип) у =--
= (b0pm + fr,p»-> -| + bm.lP + bm) g -|-
+ fop' + ^p'-1 + • ■ ■ + cUip Ь с,) /, (6.1)
где у, g и / — соответственно регулируемая величина, задающее
воздействие и возмущение или отклонения этих величин от их
базисных значений; а0, аъ ..., аа, b0, bu ..., Ьт, с0, с} с: —
постоянные коэффициенты; т. < п и / <: п; р — оператор
дифференцирования.
Для оценки устойчивости системы должна быть исследована
свободная составляющая решения уравнения (6.1), т. е. решение
однородного уравнения
(оор» + ^р"-1 + 1- ап_ф + an)y = Q (6.2)
при начальных условиях
У (0) = у°; У (0) = у°; ... */<»-!> (0) = */<"-!> °, (6.3)
где у0, у0, ,,., у(п~1)° — постоянные, ограниченные по
абсолютному значению.
Общее решение уравнения (6.2) есть сумма слагаемых, вид
которых определяется значениями корней характеристического
уравнения
a0sn -f а^-1 + • • • + On-iS-| ■ 1 = 0. (6.4)
Следует заметить, что коэффициенты уравнения (6.4) и,
следовательно, значения его корней зависят только от свойств и
параметров элементов системы, способа их соединения.
234

Если характеристическое уравнение не имеет кратных корней
(что наиболее вероятно, так как корни вычисляются приближенно),
то решение уравнения (6.2) будут иметь слагаемые вида
Л,ев''; (6.5)
CJtee*'sln(P^ + i|Jft). (6.6)
Слагаемое (6.5) соответствует вещественному корню at и
слагаемое (6.6) соответствует паре комплексных сопряженных
корней ак ± /fjt.
Если в решении уравнения (6.2) какое-нибудь его слагаемое
неограниченно возрастает по абсолютному значению, то
неограниченно возрастает по абсолютному значению и вся сумма в целом.
Очевидно, что присутствие одного положительного вещественного
корня а,- > 0 достаточно для того, чтобы соответствующее ему
слагаемое в решении уравнения (6.2) неограниченно возрастало.
При наличии одной пары комплексных сопряженных корней с
положительной вещественной частью а4>0в решении уравнения
(6.2) оказывается гармоническое слагаемое с неограниченно
возрастающей амплитудой. В обоих случаях система оказывается
неустойчивой.
Таким образом, для устойчивости (асимптотической
устойчивости) линейной стационарной системы необходимо и достаточно,
чтобы все корни ее характеристического уравнения имели
отрицательную вещественную часть. При наличии хотя бы одного корня
с положительной вещественной частью система неустойчива.
Среди корней характеристического уравнения может быть
корень а,- — 0 или пара чисто мнимых корней ±/pY Если при этом
вещественные части всех остальных корней отрицательны, то
решение уравнения (6.2) будет иметь постоянное слагаемое Лг
или гармоническое слагаемое с постоянной амплитудой Cfcsin (fV+
+ V*)- В этих случаях система нейтральна.
Сформулированное выше условие устойчивости справедливо
как для линейных, так и для линеаризованных систем (теоремы
Ляпунова): по корням характеристического уравнения системы,
элементы которой описываются линеаризованными уравнениями
(см. п. 2.1), действительно можно судить о ее устойчивости или
неустойчивости. Однако в случае нулевых или чисто мнимых
корней характеристического уравнения вопрос об устойчивости
линеаризованной системы может быть решен только на основании
исследования ее нелинейных уравнений.
Корни алгебраического уравнения, как и всякие комплексные
числа, удобно преставлять в виде точек на комплексной плоскости.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно,
чтобы все корни ее характеристического уравнения лежали слева
от мнимой оси комплексной плоскости (рис. 6.1, а), т. е. чтобы все
корни были «левыми». Если хотя бы один вещественный корень

t+J
я)
+J
-J
•
—
•
•
+J
+
'•
J
-У
t+J
Рис. 6.1. Расположение корней характеристического уравнения системы пятою иоридка:
а — устоЛчнвоП: б — неустойчивой; в и г — находящейся на границе устойчивости
или одна пара комплексных сопряженных корней находится справа
от мнимой оси, то система неустойчива (рис. 6.1, б).
Мнимая ось является, следовательно, границей устойчивости.
Говорят, что система находится на границе устойчивости, если
имеется нулевой корень (рис. 6.1, в) или пара чисто мнимых
корней (рис. 6.1, г), а остальные корни «левые». В первом случае,
который имеет место приал = 0, уравнения (6.1) и (6.2) определяют
только скорость изменения переменной у, а сама эта переменная
будет зависеть еще и от своего начального значения. Во втором
случае в системе имеют место незатухающие гармонические
колебания с постоянной амплитудой.
На практике для упрощения расчетов устойчивость САР
определяют с помощью критериев устойчивости. Критерий
устойчивости — это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы
без вычисления корней характеристического уравнения.
Рассматриваются коэффициенты характеристического уравнения или
некоторые их функции. Критерии устойчивости эквивалентны
сформулированному выше условию устойчивости.
Системы первого и второго порядка устойчивы, если все
коэффициенты характеристического уравнения больше нуля. Для
систем более высокого порядка положительность коэффициентов
характеристического уравнения является необходимым, но
недостаточным условием устойчивости. Если все коэффициенты этого
уравнения положительны, то все его вещественные корни
отрицательны, но среди комплексных корней могут быть и корни с
положительной вещественной частью. Если хотя бы один из
коэффициентов отрицателен, то система заведомо неустойчива. При ра- >
венстве нулю коэффициента ап система находится на границе
устойчивости. При равенстве нулю какого-либо другого коэффициента
система или находится на границе устойчивости, или неустойчива.
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и
частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица, Льенара-
Шипара и Рауса, к частотным — критерии Михайлова и Найк-
виста.
236

Из алгебраических критериев устойчивости чаще используются
критерии Гурвнца и Рауса. Критерий Гурвнца удобен для
исследования устойчивости систем третьего и четвертого порядков, когда
известны параметры системы. Кроме того, он позволяет получить
аналитическое выражение (выражения) для исследования
влияния какого-либо параметра (параметров) на устойчивость.
Критерий Рауса широко используют при определении
устойчивости систем высокого порядка, если известны (или могут быть
подсчитаны) коэффициенты характеристическоги уравнения. Этот
критерий удобен при использовании ЭЦВМ. В этом случае можно
пыяснить влияние коэффициентов уравнения (параметров системы)
на устойчивость.
Критерий Михайлова при инженерных расчетах используется
сравнительно редко.
J По критериям Гурвнца, Рауса и Михайлова можно судить об
устойчивости САР как в замкнутом, так и в разомкнутом
состоянии. При использовании этих критериев рассматривают
характеристическое уравнение, и в ряде случаев расчеты можно упростить
за счет изменения масштаба коэффициентов этого уравнения 11181.
Коэффициенты характеристического уравнения нужно
разделить на ап и сделать подстановку s -= ск. Тогда это уравнение
примет следующий вид:
««с^дп л flic" "' д»-1 н +^гы1я, + 1==о. (6.7)
Постоянную с следует выбирать так, чтобы иметь а0сп/ап ■■■ 1.
Иногда удобнее сделать равным единице коэффициент при /„.
В ряде случаев целесообразно принимать с - 10. В результате
характеристическое уравнение принимает более простой вид, но
только его корни уменьшаются в с. раз.
Пример 6.1. Имеется характеристическое уравнение
0,25 s3-!- 8,75s2-!- 87,5 s-|- 250= 0.
Его корни: —5; —10 и —20.
Разделим уравнение на ал — 250'
0,001s8 ; 0,0035s2 |- 0,35s + 1 - 0
Сделаем подстановку s ■=■ ЮЛ.-
Xя + 3.5А,2 + 3.5Я, + 1 = 0.
Уравнение приняло более простой вид. Его корни: —0,5; —1 и —2.
Наиболее широко используют критерий Найквиста^. причины
этого заключаются в следующем.
1. Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют
по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта
функция, чаще всего, состоит из простых сомножителей.
Коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет
выбирать их из условий устойчивости.
237

2. Для исследования устойчивости можно использовать
экспериментально полученные частотные характеристики наиболее
сложных элементов системы (объект регулирования,
исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов,
3. Исследовать устойчивость можно по логарифмическим
частотным характеристикам, построе.ние которых несложно.
4. Удобно определять запас устойчивости.
Проверка устойчивости с одновременной оценкой качества
регулирования может быть сделана с помощью корневого годографа
(см. п. 7.8).
6.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦЛ
При использовании критерия из коэффициентов
характеристического уравнения (6.4) составляют матрицу
al\
«0
0
о3
0-1
«1
а4
аз
... 0
... 0
... 0
и
0
0
0
0
0
• ■ ■ оп_,
• ■ ■ апо
0
0
0
л
а„
(6.8)
По диагонали таблицы от левого верхнего угла выписывают
по порядку все коэффициенты, начиная с % и закапчивая ап.
Затем каждый столбец таблицы дополняют так, чтобы вверх от
диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз —
уменьшались. В случае отсутствия в уравнении какого-либо
коэффициента н вместо коэффициентов с индексом меньше 0 и больше п
пишут пуль.
Критерий формулируется так: чтобы рассматриваемая система
была устойчивой, необходимо и достаточно при ап > 0 иметь
положительными все диагональные определители, получаемые in
матрицы (6.8), т. е.
\
■О; Д2 =
■О: Д,
«1
а0
0
а3
а.;,
ai
ов
а4
а.
•О;
Д^Х); A„ = fl,A«-,>0- (6-°)
Если ап > 0, то последнее неравенство в (6.9) удовлетворяется
при Д^ > 0.
Система находится на границе устойчивости, если Д., = 0 и все
предыдущие определители в (6.9) положительны. Это условие распа-
238

дается па два; ап — 0 (апериодическая граница устойчивости) и
Л„_! — U (колебательная граница устойчивости).
Иногда удобно определитель Ап_х привести к диагональному
виду (см. приложение 3). Если все его диагональные элементы
оказываются положительными и о„>0, то система устойчива.
Для устойчивости систем первого и второго порядков
достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения
были положительными. Для систем более высокого порядка кроме
этого необходимо удовлетворение следующих неравенств:
для системы третьего порядка
а1а2>а0а3; (6.10)
для системы четвертого порядка
Oia2a3 > aadi + ф4; (6-11)
для системы пятого порядка
0[Я2 :>о0а3; (акаъ — и„а3) (a3flj — сци-^) > (а^ --ад,)2; (6.12)
для системы шестого порядка
a, {aLa, — а0а„) > а, («,«4 — а0аь);
(aia2 — aoa-i) [as (<Wz — а2а5) + щ, {2ахаъ — al)] ■ \-
+ (ajOj — аааъ) [aya3a6 — а5 (а^ — Ооаъ) ] > а\а\. (6.13)
Пример 6.2. Составить условие устойчивости одноконтурной САР,
содержащей три апериодических звена.
Передаточная функция разомкнутой системы
(rlS+l)(r2s+l)(r3s+l) '
где к — передаточный коэффициент разомкнутой системы; Tt, Га и Т3 —
постоянные времени апериодических звеньев.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
(TlS + 1) (T2s + 1) (Tss + 1) + k = 0
или
OoS3 + a^f. + a2s + о3 = 0,
где
а0= Т{Г{Г* а1= Т{Г2 + Т2Т3 + Т3ТХ\
а2 = Т,.+ Т2 + Гя; а3= 1-|- /г.
Характеристическое уравнение третьей степени, все его коэффициенты
положительны. Для устойчивости САР должно еще удовлетворяться неравенство (6.10).
В данном случае оно может быть приведено к виду
(74 Ч- Т2 + Г3) (1/74 + 1/Г, + 1/74) > 1 + k.
Обозначим Т2 = с274 и Т3 — с3Т1: тогда условие устойчивости
(1 + с2 + cs) (1 + 1/с, + 1/с3) > 1 + к.
Условие устойчивости рассматриваемой САР зависит не от абсолютных
значений постоянных времени, а лишь от их соотношений.
Пример 6.3. Одноконтурная САР состоит из двух колебательных звеньев.
Выяснить, при каком значении передаточного коэффициента разомкнутой системы
она остается устойчивой.
239

Передаточная функция рсюмкпушй системы
№ + ZliTiS + 1) (Ля» + 21,7,8 + 1) '
где к— передаточный коэффициент; Тх и Т2— постоянные времени звеньев;
£, и £2 — коэффициенты демпфирования звеньев.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
(7V -[- niTiS Н I) (T2s2 + 2Б,Г,8 + 1) + ft -: О
или a„sA -\- а^3 -f- o2s2 -|- oDs + о4 = О,
гдео0^НП; % -2ГХГ2 (|,Г, + £27Ч); а2 --= Г| -|- 4&,§27Y/\ -f Ц;
в»=2(Б1Г1 + Е,Г1); а4т,1 + А
Характеристическое уравнение четвертой степени, все его коэффициенты
положительны. Для устойчивости системы должно еще удовлетворяться
неравенство (6.11). В данном случае оно принимает вид
47\Гг (6гГ, + |2Г2) for, + g27\) (Tf + 46^747-, + TJ) >
> АТ\Ц (g,7\2 -Ь SaTi)" (1 -I- А) + П7Ч4 &ХТХ + №2.
Из полученного неравенства определяем допустимое значение передаточного
коэффициента разомкнутой системы:
r^fo^ + i^)2
Обозначим Т2 = рТх, тогда
Устойчивость САР и допустимое значение передаточного коэффициента к
зависят от соотношения между постоянными времени колебательных звеньев и от
абсолютных значений их коэффициентов демпфирования.
6.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА
Применение критерия требует составления таблицы Рауса
(табл. 6.1). Элементами ее первой строки являются четные
коэффициенты характеристического уравнения (6.4) начиная с ап.
Элементы второй строки — нечетные коэффициенты начиная с aL.
Элементы последующих строк вычисляют по приведенным
в табл. 6.1 формулам, причем перед вычислением элементов какой-
либо /-й строки необходимо вычислить коэффициент rt. Всего в
таблице заполняют п. + 1 строку.
Критерии формулируется следующим образом: для услончп-
иостн системы необходимо и достаточно, чтобы все элементы
цервою столбца таблицы Рауса имели одинаковый знак. Обычно
в характеристическом уравнении а0 > 0. Тогда для устойчивости
системы и все остальные элементы первого столбца должны быть
положительными: сц > 0, i — 2, 3, ..., (я + 1)-
При наличии отрицательных элементов в первом столбце
таблицы система неустойчива. Число таких элементов равно числу
корней характеристического уравнения с положительной
вещественной частью. Если один из элементов первого столбца равен
240

Таблица Рауса
Таблица 6.1

Вспомогательные

коэффициенты
—
—
Г3 = сц/с21
ri — c2l/CSl
0 =
= ci-2,i/ci-i,i
rn+i =
= cn-i,\lcni
№

строки
1
2
3
4
1
я+ 1
№ столбца
1
си = ао
с21 = аг
са = ci2
— Г3С22
^41 "^ ^22
— Г4С32
. . .
с11 = с/-2,2
— Г1С1-1Л
Сл+Ы
~ СЛ-Ъ2
rn+lc;i>2
2
С-у2 ^^ ^2
с22 = а3
с32 = С13
— ''зСгз
с42 = с23
— Г4С33
• • .
СС2 = C(-2i3
. . .
—
3
с13 — а4
С23 == а5
с33 = с14 —
— Г3С24
с48 = с24 —
— r4c31
. . .
с<3 = с/-2.4
— 'ic7-х .4
—
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
—
нулю, а остальные элементы положительные, то система на
границе устойчивости — характеристическое уравнение имеет пару
чисто мнимых корней. При равенстве нулю последнего (га -|- 1)-го
элемента или последних v элементов первого столбца система
также на границе устойчивости — характеристическое
уравнение имеет соответственно один или v пулевых корней.
Составляя таблицу Рауса, расчет можно закончить сразу же
после появления нулевого или отрицательного элемента в первом
столбце. В этом случае уже можно сделать вывод, что система
на границе устойчива или неустойчива. Все элементы каждой
из строк таблицы Рауса, начиная с третьей, можно умножить или
разделить на одно и то же положительное число, если это
упрощает расчет.
241

Таблица 6.2
Пример определения устойчивости по критерию Рауса
Вспомогательные
коэффициенты
—
5,14-10 °
5,14-Ю"5
* 7;47.io--0'0688
7,47-Ю-* п 10,
Ч~ 3,99.10-3 _0,187
3,99-Ю-з „ „_,
'•- 0,0155 -°'2а7
0,0155
Г'~ 0,085 -0,182
0.085 „ OQC
г«- 0,361 -°'235
Л*9

строки
1
2
3
4
5
6
7
8
№ столбца
1
сп= 1,13-10-»
с21 = 5Л4.10"5
csi = 9,22.10-* —
— 0,022-7,95-10-3 =
= 7,47.10~4
с41 = 7,95- Ю-3 —
— 0,0688-0,576 =
= 3,99-10-3
с61 = 5,76- Ю-2 -
— 0,187-0,225 =
= 0,0155
с61 = 0,225—
— 0,257-0,543 = 0,085
с71 = 0,543 — 0,182-1 =
= 0,361
с81= 1—0,235-0= 1
1
с12 = 9,22-10-*
с22 = 7,95-10-3
с32 = 6,36-10-2 —
— 0,022-0,275 =
= 5,76-Ю-2
с42=0,275—0,0688-0,73=
= 0,225
с62 = 0,73 —
— 0,187-1 =0,543
с02= 1 — 0,257-0= 1
0
0
3
с13 = 6,36-10"2
с23 = 0,275
с83 = 0,75 — 0,22-1 =
= 0,73
с43= 1—0,0688.0= 1
0
0
0
—
4
с14 = 0,75
с,4 = 1
0
0
0
—
—

Пример 6.4. Проверить устойчивость САР, характеристическое уравнение
которой
1,13- KT°s7 + 5,11- 10-5s° -f 9,22- 10'V + 7,95- lO'V +
+ 6,36- 10-V + 0,275s* -f 0,75s -\- 1 =^ 0.
Расчет занесен в табл, 6.2, Все п + 1 элемент первого столбца
положительные, и, следовательно, система устойчива.
6.4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
Критерий предполагает построение годографа Михайлова,
т. о. кривой, которую описывает конец вектора D (joy) на
комплексной плоскости при изменении со от 0 до оо. Вектор D tjco)
получается н.5 характеристического полинома замкнутой системы при
подстановке s - jm:
D (/со) = а0 (/со)" + a, (j(o)«-i Н f- а,^ (/щ) + а„ = Х+ JY,
(6.14)
где
Х = ап — с.го„_2 + ю4а„_4 — . . .;
К = со (a„_j — со2я/г_3 + (о*ая-5 — ■•■)•
Годограф начинается при © = 0 на вещественной
положительной полуоси в точке ап и при со = оо уходит в бесконечность в
соответствующем квадранте. Угол поворота вектора D (jay)
определяется выражением
г|> =~ пл/2 — In, (6.15)
где п — степень характеристического полинома; / — число его
корней с положительной вещественной частью.
Следовательно, для устойчивости системы n-го порядка
необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошел'в
положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно п
квадрантов, нигде не обращаясь
в нуль.
Приблизительный вид
годографов Михайлова устойчивых
систем первого — пятого порядков
показан на рис. 6,2. Если система
на границе устойчивости, то
годограф проходит через начало осей
координат так, что после
небольшой его деформации около начала
осей координат критерий
удовлетворяется. Годографы системы
четвертого порядка, находящейся
на границе устойчивости,
показаны на рис. 6.3. На рис. 6.3, а
характеристический полином
имеет пару чисто мнимых корней
Рис. 6.2. Годографы Михайлова
устойчивых систем
243

Рис. 6,3. Годографы Михайлова «нечем четверюю поридка, иаходищихся на границе
устойчивости:
и - колебательной; и — апериодической
(колебательная граница устойчивости), во втором (рис. 6.3, б) --
нулевой корень (апериодическая граница устойчивости).
Рассмотрим годографы неустойчивых систем четвертого
порядка (рис. 6.4). Их характеристический полином имеет
положительный вещественный корень (кривая /), два положительных
вещественных корня (кривая 2), два комплексных сопряженных
корня с положительной вещественной частью (кривая 3), два чисто
мнимых корня и положительный вещественный корень (кривая 4).
В последнем случае годограф проходит через начало осей
координат, но небольшая деформация его не приводит к
удовлетворению критерия. Имея годограф неустойчивой системы и пользуясь
равенством (6.15), можно определить число корней
характеристического полинома с положительной вещественной частью.
Характеристический полином можно представить в таком виде:
a0s" + flt.s»-i -f 1- a„_]S f an = (s2 -f со2) (cfls"-2 -\- c^ +
-I +c-n -ss + c„ «) -\- rn. ls j- rn, (6.16)
где с„
a0\ <-\
сот,,.,.
o)V„; r3 =-- «., -- w-6-,; ... сп_л
Рис. 6.4. Годографы Михайлова неустойчивых
систем четвертого порядка
2-14
После подстановки s- /©
получим
D{jw>)^cn-\-jacn_r (6.17;
Таким образом можно
определять координаты
годографа Михайлова, не
вычисляя степеней © выше второй.
Расчет при каждом значении
частоты удобно вести по
схеме, показанной в табл. 6.3,

Таблица 6.3
Вычисление координат годографа Михайлова
«0
—
с0
Oj
<!
02
-«Фо
с2
03
— а»?с,
с3
а-п-г
- w]cn-i
сП-2
О/г-i ап
- ™)сп-г
~ W1Cn-2
-Y(w,)
- X (ив,)
Коэффициенты ск получаются алгебраическим сложением
коэффициентов CLk II йфА_2.
Иногда удобнее пользоваться другой формулировкой критерия.
Михайлова: для устойчивости замкнутой системы необходимо и
достаточно, чтобы корни мнимой (полином Y) и вещественной
Сполином X) частей ее характеристического вектора были
положительными вещественными и чередовались.
6.5. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
Частотный критерий Найквиста дает возможность определить
устойчивость замкнутой САР по амплитудно-фазовой частотной
характеристике ее разомкнутой цепи. Критерий применим к
системам, у которых степень числителя передаточной функции
разомкнутой цепи не выше степени ее знаменателя. При правильном
математическом описании реальных САР это условие выполняется.
Предварительно должна быть определена устойчивость
исследуемой системы в разомкнутом состоянии. Для неустойчивой
разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней ее
характеристического полинома имеет положительные вещественные
части.
В одноконтурной системе, составленной из последовательно
соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих
звеньев являются одновременно корнями характеристического
полинома разомкнутой системы. Если какое-либо звено в прямой
цепи системы охвачено обратной связью, то нужно определить
корни характеристического полинома замкнутого контура. Эти
корни войдут в число корней характеристического полинома
разомкнутой системы.
При наличии перекрестных обратных связей и параллельных
соединений передаточную функцию разомкнутой системы можно
определить методами, изложенными в гл. 3. Для исследования
ее устойчивости удобно пользоваться критериями Рауса или
Михайлова. Они позволяют определить число корней с
положительными вещественными частями, если разомкнутая система окажется
неустойчивой.
245

АФЧХ устойчивой или
нейтральной разомкнутой системы
можно определить
экспериментально, что позволит избежать
составления уравнений
сложных объектов регулирования и
исполнительных элементов, а
точность результатов
получается более высокой. Поэтому
указанная возможность
используется в инженерной практике
достаточно широко.
Различают три случая
применения критерия Найквиста.
1. Разомкнутая система
устойчивая. В этом случае для
устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы
АФЧХ разомкнутой системы при изменении ш от 0 до оо не
охватывала точку с координатами [—1, /0].
На рис. 6.5 изображены основные из возможных ситуаций.
При АФЧХ, показанной кривой 1, замкнутая система абсолютно
устойчива — она остается устойчивой и при уменьшении
передаточного коэффициента k разомкнутой цепи. Если АФЧХ представляет
собой кривую 2, то замкнутая система условно устойчива — она
остается устойчивой только при значении />, лежащем в некоторых
пределах. Кривая 3 проходит через критическую точку с
координатами I—1, /0]. Это означает, что замкнутая система находится
на колебательной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает
критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчива.
Рис. 6.5. Амплитудно-фазовь.е частотные
характеристики устойчивых разомкнутых
систем
Пример 6.5. Исследовать на устойчивость одноконтурную САР с единичной
обратной связью. Передаточная функция прямой цепи регулятора
Wr
fep(TS -f 1)
(rlS+l)(T2s+l)
где ftp = 5; т = 0,08 с; 7\ = 0,1 с; Т2 = 0,05 с.
Частотные характеристики регулируемого объекта получены
экспериментально:
(0
Ло
0
2,0
2
0,96
4
0,49
6
0,31
8
0,21
10
0,15
15
0,076
20
0,048
%, град
0 —73 —99 —114 —124 —132 -145 —153
246

Составим формулы для определения амплитуды н фазы прямой цепи
регулятора:
А»--
к
Л 1/
;Др V (1-
I/
1 -|- т2^
-'V^'-i-^ + r,)»©»
1 -|- 0.0064Ш2
1 +0,0125й)2=0,000025й)4
, (Т, + Г2) со
% = arctgwT— arclg ^ту-~~-
= arctg0,08d) — arctg ■;
1 — 0,005ы2'
а также для определения амплитуды А и фазы \р разомкнутой системы;
А = А0Лр; i|) = i|)o +V
Для построения ЛФЧХ целесообразно вычислить значения ее вещественной
и мнимой частей:
U = A cos i[>; У = Л sin \|>.
В результате расчета получено:
О 2 4 6 8 10 16 20
U 10 0,70 —0,95 —1,01 —0,79 —0,59 —0,26 —0,13
0 —4,69 —2,14 —0,99 —0,43 —0,16 —0,03 0,06
Частотные характеристики объекта сняты экспериментально, и,
следовательно, он устойчив. Корни характеристического полинома прямой цепи
регулятора отрицательные: —10 и —20. Разомкнутая система устойчива и ее АФЧХ
(рис. 6.6) не охватывает критической точки с координатами [—1, /0]. Поэтому
можно заключить, что в замкнутом состоянии рассматриваемая система будет
устойчивой.
2. Разомкнутая система на границе устойчивости.
Характеристический полином такой системы имеет нулевые или чисто
мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные
части.
Если нулевых корней v, то АФЧХ при ш =-= 0 дугой бесконечно
большого радиуса перемещается от положительной вещественной
полуоси на угол 90v° по часовой стрелке (рис. 6.7).
Если есть пара чисто мнимых корней (в знаменателе частотной
передаточной функции имеется множитель 1 — ю2Т]), то АФЧХ
при частоте ш; = 1/71,'дугой бесконечно большого радиуса
перемещается на угол 180° по часовой стрелке (рис. 6.8).
В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы
необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении
в от 0 до оо, дополненная' на участке разрыва дугой бесконечно
большого радиуса, не охватывала точку с координатами [—1,
/0].
247

6) 1-J
Рис. 6.6. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой CAP
Рис. 6.7. Амплитудно-фазовые частотные характеристики разомкнутой цели систем,
находящихся на границе устойчивости:
а.— замкнутая система устойчивая (V = 1); б — замкнутая система на границе
устойчивости (V = 2)
По АФЧХ, изображенным на рис. 6.7 и 6.8 показаны три
случая: замкнутая система соответственно устойчивая, на границе
устойчивости и неустойчивая.
Пример 6.6. Исследовать на устойчивость САР, разомкнутая цепь которой
описывается передаточной функцией
ft(TS+l)
W =■
(T\s: + i)(T2s + i) '
где /е=20; т=0,02 с; Г1=0,05 с; Г2=0,01 с.
Рис. 6.8. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи системы,
находящейся на колебательной границе устойчивости
Рис. 6.9. Исследование устойчивости системы, рассматриваемой в примере 6.6.
248

Прежде всего можно заключить, что характеристические полином имеет
чисто мнимые корни, т. е. разомкнутая система на границе устойчивости.
Затем определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:
W 20(1+/ш0,02)
(1—ш20,0025)(1 + /ш0,01) -u^Jr'
где
U =
20(1+0,0002а>2)
(1 — 0,0025ш2) (1 + O.OOOlco2) '
v 0^2й)
(I ~ 0,0025ш2) (I +0,0001со2; "
Но полученным выражениям вычислим U и V:
(0
и
V
0
20
0
5
21,4
1,06
10
26,9
2,64
12
31,7
3,70
15
46,8
6,71
25
—37,6
—8,36
27
—26,0
—6,12
30 35
—17,3 10,8
—4,40 —3,02
40
—7,9
—2,38
АФЧХ разомкнутой системы построена на рис. 6,9. При со = 20 с"1 она
имеет разрыв. Если эту кривую дополнить дугой бесконечно большого радиуса,
то критическая точка будет находиться вне получившегося контура.
Следовательно, замкнутая система будет устойчивой.
3. Разомкнутая система неустойчивая. Характеристический
полином такой системы имеет I корней с положительной
вещественной частью.
В этом наиболее общем случае критерий формулируется так:
для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно,
чтобы при изменении о от 0 до оо АФЧХ разомкнутой системы
охватывала точку с координатами [—1, /0] 112 раз в положительном
направлении (против часовой стрелки).
Характеристический полином разомкнутой системы, кроме
корней с вещественной частью (положительной или отрицательной),
может иметь нулевые и чисто мнимые корни. Тогда на участках
разрыва АФЧХ должна быть дополнена дугой бесконечно 6:vj,-
шого радиуса.
Пример 6.7. Выяснить устойчивость системы, если передаточная функция
ее разомкнутого контура
w = ft(i»+l)
(rlS-l)(r2S+l)(r8s+l)
где k = 50; т = 0,05 с; Тг = 0,1 с; Т2 = 0,02 с; Т3 = 0,25 с.
В данном случае характеристический полином разомкнутой системы имеет
один положительный вещественный корень s± = 10.
249

Рис 6.10. Исследование устойчивости
системы, рассматриваемой в примере 6.7
_1_
+j
-j
Рис. 6.11. Оценка перехода АФЧХ через от.
резок вещественной оси от —1 до —<х>
Для исследования устойчивости составим частотную передаточную функцию
разомкнутой системы
6(1 + /сот)
W --
где
U
V -=
(-1 -1- /тТ,) (1 + j(oT2) (Т -|- Jar,) U + 'V'
50 (1 + 0,0305соа + 0.000025(0*)
1 + 0,0729ш2 + 0,000654ш4 + 0,00000025ш° '
50ш (0,12—0,0006а2)
1 + 0,0729со2 + 0,000654(0* + 0,00000025ш° '
По выражениям для U и V заключаем:
а) при со = 0 U = —50 и V = 0;
б) при 0 < со < оо U < 0;
в) при со = оо J/ = V = 0;
г) при cot = К 200 К = 0; U= —9,25;
д) при 0<co<c0i К > 0 и при со! < со < оо V > 0.
Полученные данные определяют приблизительно форму АФЧХ разомкнутой
системы (рис. 6.10). Она охватывает точку с координатами [—1, /0] 1'2 раза.
Следовательно, замкнутая система будет устойчивой.
При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее
применять другую формулировку критерия Найквиста, которая
использует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении ш
через отрезок вещественной оси от —1 до —со сверху вниз считают
положительным и снизу вверх — отрицательным (рис. 6.11).
АФЧХ может начинаться на указанном отрезке при ю = 0 или
заканчиваться при со = оо. Тогда считается, что она совершает
полперехода.
Критерий формулируют так: замкнутая система устойчива,
если разность между числом положительных и отрицательных
переходов АФЧХ разомкнутой системы через отрезок
вещественной оси от —1 до —оо равна 112. Здесь / — число корней
характеристического полинома разомкнутой системы с положительной
вещественной частью.
Пример 6.8. Выяснить устойчивость САР, у которой передаточная функция
разомкнутого контура
w = *(т»+1)
s(r,s—1)(Г1# + 2£Г,в+1) '
где k = 40; т = 0,25 с; 1\ = 0,5 с; 7\ = 0,02 с; \ = 0,1.

\ш—0
f \
1 \
- 1 \
..+;
VW
ш =оо +
-у
Рис. 6.12. Исследование устойчивости САР,
рассматриваемой в примере 6.8.
' Ч
1 и = 0
^\
I W »-00
Рис 6.13. Исследование устойчивости САР,
рассматриваемой в примере 6.9
Характеристический полипом разомкнутой системы имеет один нулевой
корень и один положительный вещественный корень sl =- 2.
Составим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:
W =
40(1 -f/coO,25)
/ш (— 1 + /ш0,5) (1 + /0)0,004 — 0,0004ft)2)
U + jV,
где
U = -
40 (0,746 + 0,00020)2)
+ 0,249о)2 — 0,000196о)4 + 0,00000004шв
40 (1 — 0,12240)2 + 0,00005о)4)
со (1 + 0,249й)2 _ 0,000196ш4 + 0,00000004шб) '
По этим выражениям определяем:
а) при со = 0 U = —29,8; V = оо;
б) при 0<0)<оо{/<0
в) при ®1=V"g V=0;U= —10,0;
г) при ш2 = К2440 V = 0; {/ = —1,4;
д) при 0<о)<о)1 ио)3<о)<оо V>0,
е) при ci>x < ш < ш2 К < 0;
ж) при о) = оо L/ = К = 0.
Теперь определен характер АФЧХ разомкнутой системы (рис. 6.12). При
ш = 0 АФЧХ имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дугой бесконечно
большого радиуса от отрицательной вещественной полуоси.
На участке от —1 до —оо имеется один положительный переход и полтора
отрицательных. Разность между положительными и отрицательными переходами
равна —1/2. Для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы эта разность
равнялась -|-1/2, так как характеристический полипом разомкнутой системы
имеет один положительный корень. Следовательно, рассматриваемая система
в замкнутом состоянии будет неустойчивой.
Применяя критерий Найквиста в передаточной функции
разомкнутой системы, члены знаменателя, кроме старшего, можно
переносить в числитель W [10]. Тогда построение АФЧХ системы
высокого порядка упрощается. Однако при исследовании таких
систем целесообразнее строить обратную АФЧХ, т, е. годограф
вектора W'1.
В этом случае критерий Найквиста формулируется так:
замкнутая система устойчива, если разность между отрицательными
251

н положительными переходами обратной АФЧХ отрезка
действительной оси от 0 до —1 равна 112, где / — число корней с
положительной вещественной частью характеристического уравнения
разомкнутой системы. Знаки переходов нужно принимать
обратными по сравнению с указанными на рис. 6.11.
Пример 6.9. Определить устойчивость САР, если передаточная функция
ее разомкнутой цепи
0,0000b* + 0,00125s3 + 0,0255s2 + 0,04s — 1 '
По этому выражению заключаем, что W имеет один положительный
вещественный полюс и что для применения критерия Найквиста удобнее построить
обратную АФЧХ.
В данном случае
W-1 -=-• 0,5 [0,00001 (/со)* + 0,00125 (/со)5») +
-1-0,0255 (до)2 + 0,04 (уш) — 1] = U + JV,
где
U =- -0,5 (1 + 0,0255со2 - 0,00001ш«); V = 0,5ш (0,04-0,00125ш2).
По полученным выражениям определяем:
а) при ш = 0 U = —0,5; V = 0;
б) при ш, = V"32 V = 0; U = —0,0083;
в) при 0 < и <со1 U < 0; V > 0;
. г) при ш2 = ]^2588 U = 0; V = —81,3;
д) при cuj < со < со2 U < 0; V < 0;
е) при ш2 < со < со U > 0; V < 0;
ж) при со = со U = со; V = —оо.
Характер обратной АФЧХ показан на рис. 6.13. На участке вещественной
оси от —1 до 0 имеются положительный полупереход и отрицательный переход.
Следовательно, разность между отрицательными и положительными переходами
составляет 1/2 = 1/2 и система в замкнутом состоянии будет устойчива.
в.в. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Критерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость
замкнутой системы не только по АФЧХ, но и по логарифмическим
частотным характеристикам разомкнутой системы. Эту возможность
используют весьма широко вследствие простоты построения таких
характеристик и определения по ним запаса устойчивости.
Если разомкнутая система устойчива или нейтральна, то для
ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно,
чтобы число переходов ЛФЧХ через линию —180° при
положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным
нулю). Пересечение фазово частотной характеристикой линии
—180° снизу вверх считается положительным, а сверху вниз —
отрицательным. На рис. 6.14 показаны наиболее характерные
ЛФЧХ.
252

us
Рис. 0.14. Логарифмические ^астстиые характеристики разомкнутой системы:
/ — замкнутая система абсолютно устойчивая; 2 — условно устойчивая; 3 — на границе
устойчивости; 4 — неустойчивая
Рчс. 6.16. Логарифмические частотные характеристики цели из четырех апериодических
звеньев
Пример в. 10. Выяснить устойчивость САР, у которой разомкнутая цепь
описывается передаточной функцией
w _ ^
(r1s+l)(r2s+l)(rss+l)(7,1s+l) '
где k = 20; Тх = 1,25 с; Т2 = 0,6 с; Т3 = 0,02 с; Г4 = 0,01 с.
По характеристическому полиному разомкнутой системы (по знаменателю W)
заключаем, что все его корни вещественные отрицательные.
Затем строим логарифмические частотные характеристики (см. п.5.3) по
следующим данным: 20 lg k = 26 дБ; сопрягающие частоты сох = \1Тг = 0,8 с-1;
со2= 1/Г2= 1,67 с"1; со8= 1/7,з= 50 с"1 и со4 = 1/7*= 100 с"1.
Характеристически La и ipa показаны на рис. 6.15.
На участке частот, при которых асимптотическая ЛАЧХ положительная
(до частоты среза й>с), ЛФЧХ не пересекает линии —180°. Поэтому делаем вывод,
что замкнутая система устойчивая.
Для суждения об устойчивости обычно сначала строят
асимптотическую ЛАЧХ. Затем к ней нужно сделать поправки (см. н. 5.3)
около тех частот, которые ограничивают положительные участки
и расположены достаточно близко от сопрягающих частот
(особенно от сопрягающих частот, соответствующих колебатечьным
звеньям).
В примере 6.10 поправки к асимптотической ЛАЧХ не сделаны, так как
частота среза сос достаточно удалена от сопрягающих частот со2 и (о3. Поправки
мало повлияют на значение й)с и не изменят вывода об устойчивости системы.
Фазово-частотная характеристика нейтральной разомкнутой
системы при ю —+ 0 стремится к —90v°, где v — число нулевых
253

Рис. 6.18. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой нейтральной системы:
/ — при v = 1; 2 — при v = 2
Рис. 6.17. Логарифмические частотные характеристики к примеру 6.11
корней характеристического уравнения. Поэтому ЛФЧХ такой
системы нужно дополнить монотонным участком, приводящим ее
к \|5 = 0 при L —> оо (рис. 6.16). Это соответствует дополнению
АФЧХ бесконечно большим радиусом.
Пусть характеристический полином разомкнутой системы имеет
/ корней с положительной вещественной частью. В этом, самом
общем, случае критерий формулируется так: для устойчивости
замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при
положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных и
отрицательных переходов ЛФЧХ через линии —180°, —3-180°, ...
равнялась 1/2. При наличии в характеристическом полиноме
нулевых корней начальную часть ЛФЧХ опять следует приводить
к \|5 = 0.
Пример 6.11. Выяснить устойчивость системы с передаточной функцией
разомкнутой цепи
Afas + lHy+l)
s*(Ts — l)
где k = 300; Т = 0,25 с; тх = 0,2 с; т2 = 0,1 с.
Характеристический полином разомкнутой системы имеет два нулевых корня
(v = 2) и один вещественный положительный корень, равный 4.
Для построения логарифмических частотных характеристик имеем 20 Is» k =
= 49,5 дБ; сопрягающие частоты и>х = \1Т = 4 с"1; со2 = 1/тг = 5 с-1; со3 =
т
= 1/т? = 10 с"1; г|> = —180°+ arctg cot! + arctg сот2 — arctg .
254

Рис. 6.18. Логарифмические
частотные характеристики неустойчивой
</ -= 2) разомкнутой системы
Рис. 6.19. Логарифмические
частотные характеристики условной
разомкнутой системы
Характеристики показаны на рис. 6.17. Вследствие положительного корпя
начальный (при со = 0) скачок ЛФЧХ на —90v° нужно отсчитывать не от нуля, а от—180°.
Это показано штриховой линией со стрелками.
На участке частот, при которых ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ делает
полперехода через линию —180° сверху вниз и один переход снизу вверх. Следовательно,
разность между числом положительных и отрицательных переходов составляет
1/2 = 1/2, и можно сделать вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии.
Поправки к асимптотической ЛАЧХ на него не повлияют.
Переходы ЛФЧХ через линию —180°, а возможно и через
линии —3-180°, —5-180, ..., при высоком порядке
характеристического полинома подсчитывают не только на начальном, но
и на последующих положительных участках ЛАЧХ. На рис. 6.18
показан один из возможных случаев: разность между
положительными и отрицательными переходами составляет 1 = 1/2, и
замкнутая система устойчива.
Знаменатель передаточной функции разомкнутой
многоконтурной системы /г-го порядка обычно представляет собой полином
п-го порядка, и для построения ЛЧХ его разлагают на
элементарные сомножители. Эти вычисления можно существенно упростить,
если воспользоваться тем, что критерий Найквиста позволяет
переносить часть членов знаменателя передаточной функции
разомкнутой системы, кроме старшего, в числитель.
Пример 6.12. Исследовать устойчивость САР, если передаточная функция
ее разомкнутой цепи
fe(rs-fl)
W
a^sb -f а^ -f a2s3 + a3s2 -}- ats -f 1 '
0,0002 c5; et= 0,008 c1; a2= 0,075 c3; a, -=
где k — 80; т = 0,2 с; Oq
= 0,3 с?; a4 = 0,8 с.
255

Перенесем слагаемые ass2. -[- a4s"b ' из знаменателя в числитель и
полученную таким образом^словную передаточную функцию разомкнутой системы W*
разложим на элементарные сомножители:
0,3s' + 16,8s + 81 1080 (0,0037^ + 0,205s + 1) _
~ 0,0002s5 -f 0,008s* -f 0,075s» ~ s3 (0,00267s» -f 0,107s -f 1) ~~
1080 (0,185s + 1) (0,02s + 1)
s8 (0,0668s-f 1) (0,04s +1) '
Строим логарифмические частотные характеристики условной разомкнутой
системы по следующим данным: 20 lg k = 60,6 дБ; coj. = 1/0,185 = 5,3 с"1;
0)2= 1/0,0668= 15 с"1; соа = 1/0,04-- 25 с"1; со4 = 1/0,02= 50 с"1.
По характеристикам (рис. 6.19) заключаем, что при замыкании исследуемая
система становится неустойчивой.
Условная разомкнутая система имеет три нулевых корня, и поэтому ЛФЧХ
нужно дополнить монотонным участком, сводящим ее к нулю при L -*■ оо.
Следовательно, на этом участке ЛФЧХ имеет один отрицательный переход через
линию —180°. Для устойчивости замкнутой системы ЛФЧХ должна иметь еще
положительный переход, что на рис. 6.19 показано штрихпунктирной линией.
в.7. ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ
Для нормального функционирования всякая САР должна быть
достаточно удалена от границы устойчивости и иметь достаточный
запас устойчивости. Необходимость этого обусловлена прежде
всего следующими причинами: а) уравнения элементов САР, как
правило, идеализированы, при их составлении не учитывают
второстепенные факторы; б) при линеаризации уравнений
погрешности приближения дополнительно увеличиваются; в) параметры
элементов определяют с некоторой погрешностью; г) параметры
однотипных элементов имеют технологический разброс; д) при
эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие
старения.
Следовательно, устойчивая по расчету САР в действительности
может оказаться неустойчивой. В следящих системах запас
устойчивости необходим еще и для хорошего качества регулирования
(см. гл. 7).
О запасе устойчивости можно судить по расположению корней
характеристического уравнения системы: чем дальше отстоят они
от мнимой оси (в левой полуплоскости), тем больший запас
устойчивости. Каждый критерий устойчивости также позволяет
определять запас устойчивости. .
Количественная оценка запаса устойчивости зависит от того,
какой критерий устойчивости выбран. В практике инженерных
расчетов наиболее широко используют определение запаса
устойчивости на основании критерия Найквиста, по удалению АФЧХ
разомкнутой системы от критической точки с координатами
[—1, /0], что оценивают двумя показателями: запасом
устойчивости по фазе v и запасом устойчивости по модулю (по
амплитуде) А.
256

Рис. 6.20. Зоны, определяющие требования к запасу устойчивости:
а — при построении АФЧХ; б — при построении ЛЧХ
Рис. 6.21. Определение запаса устойчивости по логарифмическим частотным
характеристикам
Для того чтобы САР имела запасы устойчивости не менее у
и А, АФЧХ ее разомкнутой цепи при удовлетворении критерия
устойчивости не должна заходить в часть кольца,
заштрихованного на рис. 6.20, а. Эта запретная зона, включающая в себя
точку с координатами [—1, /0], ограничена лучами, проведенными
из начала осей координат под углами —180° + у и —180° — у,
и дугами с радиусами 1 + Н и 1 — Н, где Н определяется
соотношением lg Н = А/20.
Если устойчивость определяется по логарифмическим
частотным характеристикам, то для обеспечения запасов устойчивости
не менее у и h необходимо, чтобы:
а) при h> L >■ — А фазово-частотная характеристика
удовлетворяла неравенствам г|з >> —180° + у или г|з < —180° — у, т. е.
не заходила в заштрихованную область 1 на рис. 6.20, б;
б) при —180° + у > 1|з > —180° — у амплитудно-частотная
характеристика удовлетворяла неравенствам £>А или £<—А,
т. е. не заходила в заштрихованные области 2 на рис. 6.20, б.
Для абсолютно устойчивой системы запасы устойчивости у
и А определяют так, как показано на рис. 6.21.
Запас по фазе
v = 180° + Мр (ec), (6.18)
где ©0 — частота среза, при которой L = 0;
запас по модулю
А = — L Ю, (6.19)
где ©ф — частота, при которой Мр = —180°.
Необходимые значения запасов устойчивости зависят от
класса САР и требований к качеству регулирования.
Ориентировочно должно быть у = 30-7-60° и А = 6-г20 дБ.
По ЛЧХ (см. рис. 6.15) определим запасы устойчивости исследованной
системы: уо «» 20° и Аа «* 7 дБ.
9 Макаров И. М. 257

в.8. ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Иногда один или несколько параметров САР оказываются
малыми по сравнению с другими. Возникает желание пренебречь
этими малыми параметрами (считать их равными нулю) и
понизить порядок уравнения (передаточной функции) для упрощения
расчетов. Если это не влияет на устойчивость, то САР является
грубой в смысле А. А. Андронова. Однако может оказаться, что
малые параметры влияют на устойчивость, и расчет по
упрощенному уравнению приведет к неверным выводам. Такая САР
является негрубой. Следовательно, в каждом случае необходимо
выяснить, нужно ли учитывать малые параметры или ими можно
пренебречь.
Пусть характеристическое уравнение САР может быть
приведено к виду
|х (c0sN + ctsN-i + ■ • • + cN_,s + cN) +
-fa^ + а^Ч hffn-is + a„ = 0, (6.20)
где р — малый параметр.
Малый параметр ц не влияет на устойчивость, и ее можно
исследовать [63] по вырожденному характеристическому
уравнению
a0s" + V""1 Н h «n-iS + я„ = 0, (6.21)
если Oq/Cq > 0 при N — п — 1 и cxlcQ — а^сц > 0 при N — п = 2.
Если N — п > 2, то отбрасывать малый параметр ц нельзя
и устойчивость САР необходимо исследовать по
характеристическому уравнению (6.20).
Пример в. 13. Исследовать иа устойчивость САР, характеристическое
уравнение которой
(T]s* + ЦТгл + 1) (T2s + 1) (p-s + 1) + k = 0,
где I = 0.8; Тг = 0,9 с; Г2 = 0,09 с; ц = 0,001 с; k = 15.
Приведем характеристическое уравнение к виду (6.20):
ц [T\T2s? + 7\ (2£Г2 + 7\) S3 + (21Т[ + Т2) s*+s] +
+ [T\Ttf + Тх (2£Т2 + Тх) s2 + (2£Гг + Т2) s + (1 + k)] = 0.
В данном случае
tf_„=4_3 = l н -£L=4g2_ = l.
Следовательно, параметром ц можно пренебречь и исследовать устойчивость
по вырожденному характеристическому уравнению
HV + Ti («Г, + TJ s* + (2£Гг + Г,) s + (1 + k) = 0;
0.0729s3 + 0,940s2 + 1,53s + 16 = 0.
По критерию Гурвица система устойчива, так как все коэффициенты этого
уравнения положительные и 0,94-1.53= 1,44 > 0,0729-16 = 1,17.
Предположим, что характеристическое уравнение системы
содержит m малых параметров \ilt ц.3, ..., \i.n, каждый из которых
258

повышает порядок характеристического уравнения на единицу.
Выразим их через один малый параметр ц:
Hi = w> и« = 'Чгц; ■••; ^ = тип, (6.22)
где Th, т|2, ..., г\т — величины, сопоставимые с другими
параметрами системы.
Тогда характеристическое уравнение приводится к виду
Hm (coos* + Сох*""1 +•••) + I*—1 (ci0sN-1 + cus»-* +•••) +
H f- (a0.s" + ахь"-1 H M„) = 0.
Чтобы при малом ц. система была устойчива, необходимо и
достаточно, чтобы вырожденное характеристическое уравнение
aoi" + ^s"-1 H f- a„_xs + a„ = 0 (6.23)
и вспомогательное уравнение
V" + cl0s»-i H h cm_u Os + a0 = 0, (6.24)
каждое порознь, удовлетворяли условиям устойчивости [19L
Вместо одного полного характеристического уравнения
исследуют два более простых.
Пример в. 14. Передаточная функция разомкнутой САР
г= *(та+1)
s(M«+ae+I)(|i2e+I)(|i,#+fa+I) '
где k = 50; т = 0,1 с; a = 0,2 с; ft = 0,25 с; щ = 0,0005 с»; ц2 = 0,0008 с
ц8 = 0,0001 са.
Исследовать устойчивость этой САР в замкнутом состоянии, считая
параметры Цх, |1а и Цз малыми.
Примем \i = 0.0001. Тогда т^ = \ij\i = 5; % = ц,/ц = 8 и Щ = [i3/|i = ! к
Составим полное характеристическое уравнение замкнутой САР:
И^ЛЛа* -f Ц* КЛ1Л1* + ЛгЛз + Л»Лэв) sB + (Tli -f Л») TijS4] -f |i [^i* +
+ lio* + lie) s* + (rix + r\ta + Tiji + TI3) s3 + TijS1] + аЬ? + (a -f
+ *) s* + (At + 1) * + k = 0.
Составим вырожденное характеристическое уравнение, приравняв нулю,
все члены, содержащие \ч
abs3 + (a + ft) s» + (At + 1) s + A = 0;
0.05 s3 + 0,45 sa -f 6s + 50 = 0.
Условие устойчивости по критерию Гурвица выполняется, так как все
коэффициенты этого уравнения положительные и
0,45-6 = 2.7 > 0.05-50 = 2.5.
Составим вспомогательное уравнение по формуле (6.24):
ЛгЛгЛз*3 + (Л1Л1& + ЛгЛз + ЛгЛзй) sa -f ftift + Лг<*& + Лз«) s -f aft = 0;
40 s3 + 16,6 sa + 1,85 s + 0.05 = 0.
Условие устойчивости по критерию Гурвица для этого уравнения также
выполняется: все его коэффициенты положительные и 16.6-1.85= 3,071 > 40-0.05=
= 2.
Следовательно, рассматриваемая САР в замкнутом состоянии устойчивая.
9* 259

Пусть малыми» параметрами являются постоянные времени ц,
и ц, нескольких апериодических и колебательных звеньев, а
передаточная функция разомкнутой системы
* = тп sr^ > <6-25>
П (IV + 1; П (|фг + 26,11,8 + 1) Q
где /? и Q — полиномы от s соответственно степени m и л (л > т),
которые не содержат малых параметров ц, и ц.,.
Тогда устойчивость можно определять по вырожденной
передаточной функции
W* = kR/Q (6.26)
и оценить влияние малых параметров на запас устойчивости по
фазе [19].
Параметры ц,- и ц, достаточно малы и сопрягающие частоты
«о,- = 1/ц./ и о); = 1/ц, значительно больше частоты среза <ос
ЛАЧХ, построенной по частотной передаточной функции W*.
Поэтому малые параметры создают малые дополнительные сдвиги
по фазе при частоте <ос. Их сумма (в рад)
% = —
">1 т, "I
2 Hi + 2 2bl*'
(6.27)
Запас по фазе вследствие этого влияния малых параметров
уменьшается и становится равным
V «* Yo + 57,3%, (6.28)
где Yo — запас по фазе (в град), определенный по частотной
передаточной функции W*.
Пример в. 15. Выяснить устойчивость и определить запас по фазе САР,
передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
w = _ £(ts+1)
s (Tfs + 1) (7V + 1) (7V + 1) (TV + 2lTts + 1) •
где k = 100; т = 0,125 с; Тх = 0,5 с; Т2 = 0,02 с; Та= 0,002 с; Г4= 0,001 с
и £ = 0,8.
Постоянные времени Т3 и Г4 примем за малые параметры и определим
устойчивость по вырожденной передаточной функции
W* *(ts+ 1)
s(TlS+l)(T2s+l) '
Для построения ЛЧХ имеем 20 lg k = 40 дБ; сопрягающие частоты (аг =
= 1/74 = 2 с-1; а>2 = L/т = 8 с'1; а>3 = 1^з = 50 с~\
По характеристикам (6.22) заключаем: замкнутая САР устойчива и запас
по фазе Yo = 50°.
260

Рис. 6,22. Логарифмические частотные
характеристики! построенные по
вырожденной передаточной функции
Затем по формуле (6.27) вычислим
сдвиг по фазе при частоте среза а>с,
вызываемый малыми параметрами:
% = -(7Уг21 ТА шс =-0,0904.
Следовательно, действительный
запас устойчивости
у = 50°—57,3°. 0,0904= 44,7°.
В данном случае параметры,
принятые за малые, существенно влияют
на запас устойчивости по фазе, так
как эти параметры (постоянные времени Т3 и Г4 лишь на одии-два
порядка отличаются от основных (от постоянных времени 7^ и Г,).
6.9. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Весьма часто возникает необходимость исследовать влияние
на устойчивость САР тех или иных ее параметров. Обычно рас-
матривают влияние таких параметров, которые могут быть
изменены, например передаточных коэффициентов и постоянных
времени усилительно-преобразовательных элементов.
Допустимые пределы изменения одного или двух параметров
определяют при неизменных значениях остальных. В последнем
случае на плоскости двух параметров выделяют (строят) область
устойчивости, т. е. такую область изменения этих параметров,
при которых САР остается устойчивой.
Построение областей устойчивости возможно с помощью
любого из критериев устойчивости. Однако так поступают лишь при
определении граничного значения передаточного коэффициента
разомкнутой системы, а при выделении областей устойчивости
привлекают более общий метод D-разбиения. Принципиально
это метод разделения л-мерного пространства параметров на
области, каждой из которых соответствует определенное число
правых корней характеристического уравнения. Область, которой
соответствует нуль правых корней, есть область устойчивости.
Практически с помощью D-разбиения выделяют области
устойчивости в плоскости одного и двух параметров. Предложен также
метод построения областей устойчивости в плоскости обобщенных
параметров.
Определение граничного значения передаточного
коэффициента. Весьма часто выясняют влияние на устойчивость
передаточного коэффициента k разомкнутой САР. Определяют его
граничное значение /г^, т. е. то значение, при котором САР
оказывается на границе устойчивости. Такая необходимость возникает
L,d6
чй
20 -
>>.
-5=
5
1
1 ш,
v^~
ш210
^<»г
Г<
ы, h
^<1(№
у, град
0.
90.
Ш-
261

потому, что с увеличением k повышается статическая точность
(см. п. 7.1) и нужно знать, в каких пределах его можно
увеличивать.
В САР до четвертого порядка включительно krp наиболее
просто определить по критерию Гурвица (см. п. 6.2). Неравенства,
составляющие условие устойчивости, записывают как равенства,
и те из них, которые содержат k, рассматривают как уравнения
относительно kTP.
В примере 6.2 для определения krp достаточно составленное
неравенство превратить в равенство. Из этого примера следует,
что в наиболее неблагоприятном случае, при 7\ = Tt = Та,
К* = 8.
Чем больше в одноконтурной САР апериодических звеньев
с одинаковыми постоянными времени, тем меньше krp: при четырех
звеньях kj.p равно 4, при пяти — 2,9, при шести —2,4. Для
одноконтурной САР, состоящей из трех апериодических звеньев,
Мгр тем больше, чем больше разница между наибольшей и
наименьшей постоянными времени, а их среднее арифметическое
должно быть равно постоянной времени третьего звена.
Пусть постоянные времени апериодических звеньев
одноконтурной САР образуют геометрическую прогрессию
TJT% = 7У7\, = T,/Tt = ... = q. (6.29)
Тогда граничное значение передаточного коэффициента зависит от
q и числа звеньев п следующим образом [19 J: если q = 5, то krf>
равно соответственно 37; 30; 29 и 28 при п = 3; 4; 5 и 6; если
q = 10, то £гр = 122 при п = 3 и krp = НО при п = 4; 5 и 6.
Пример 6.16. Определить граничное значение передаточного коэффициента
разомкнутой САР с передаточной функцией
Г= *
(Г,в+1)(Г1* + 2б7у+1) •
где Тх = 0,1 с; Т, = 0,02 с и | = 0,4.
Составим характеристическое уравнение замкнутой САР
ТхП& + ТЛ(ТЛ + 2674) s* + (Г, + 2%Tt) s + (1 + k) = 0.
Уравнение третьего порядка, все его коэффициенты положительные. Для
устойчивости необходимо и достаточно удовлетворить неравенство (6.10), которое
в данном случае имеет вид
(Г, + 26Г,) (Г, + 2£Га) > ТХТ% (1 + ft).
Превратим это неравенство в равенство и определим, что
2g (И + П + 2lTtTt) .
«гр т т — ч,о.
1 1' 2
Передаточный коэффициент k всегда положительная величина.
Поэтому, если условия устойчивости удовлетворяются при k <
< 0, то они удовлетворяются и при всех возможных значениях
k. В подобных случаях принимают (условно), что ^р = ее.
Если k не входит в условия устойчивости, то и в этом случае
принимают krp = ее. Возможность создания САР с весьма
большим значением k будет рассмотрена в п. 8.1.
262

Пример в. 17. Определить граничное значение передаточного коэффициента
разомкнутой САР с передаточной функцией
Составим характеристическое уравнение замкнутой САР
Ts3 + s2 + kzs + k = О
и условие ее устойчивости
ki > kT или т > Т.
Коэффициент k ие входит в условие устойчивости. Замкнутая система
устойчива при всех возможных значениях k и kcp = оо.
В условно устойчивых САР (см. п. 6.5) не одно, а два
граничных значения передаточного коэффициента разомкнутой цепи.
Ими являются наибольшее и наименьшее значения k, при которых
САР оказывается на границе устойчивости.
Пример 6.18. Выяснить, при каких значениях k будет устойчива САР,
если передаточная функция ее разомкнутой цепи
w k (is + 1)
(Т*+\)(Т++\)(Т+-\) *
где Тг = 0,2 с; Т2 = 0,25 с; Т9 = 0,5 с; т = 0,1 с.
Составим характеристическое уравнение замкнутой САР:
ТгТ2Т3^ + (ЛГз + ТгТ3 - ТгТг) sa + (Г, - Гх - Тг + ki) s +
+ (А - 1) = 0;
0,025 s3 + 0,175 s2 + (0,1 к + 0,05) s + (А — 1) = 0.
По критерию Гурвица для устойчивости замкнутой САР необходимо и
достаточно удовлетворить два неравенства:
к > 1 и 0,175 (0,1 k + 0,05) > 0,025 (А — 1).
Из этих двух неравенств определим требования к значению передаточного
коэффициента: k > 1 и k < 4,5.
Итак, замкнутая САР устойчива, если 1 < k < 4,5.
Значение kry удобно определять по логарифмическим частотным
характеристикам разомкнутой САР. Если к = krp, то запас
устойчивости по модулю А равен нулю и частота среза <о0 совпадает
с частотой щ, при которой ij> = —180°. Поэтому для
определения £гр нужно построить ЛЧХ при заданном или произвольно
выбранном значении k (например, при k = 1). Затем определить
ординату L (1) низкочастотной асимптоты (или ее продолжения)
при частоте <о = 1 и ординату L (щ) при частоте о)ф. Ордината
L (о)ф) может быть как положительной, так и отрицательной.
Равенство
'20 lg krp = L (1) — L (о)ф) (6.30)
позволяет вычислить значение £гр.
В примере 6.10 (см. рис. 6.15) L (1)= 26 дБ и L (щ) = —7 дБ.
Следовательно, 20 lg krp = 26 + 7 = 33 дБ и Агр = 44,7.
При высоком порядке характеристического уравнения для
определения krp используют метод D-разбиения.
D-разбиение плоскости одного параметра. Пусть требуется
выяснить, в каких пределах можно изменять параметр ц, не на-
263

Плоскость
параметра ju
рушая при этом устойчивости.
Предположим, что ц входит в
характеристическое уравнение
замкнутой системы линейно и
уравнение может быть приведено к виду
ц#! + N2 - 0, (6.31)
где #! и Nt — полиномы от s.
Разрешим уравнение (6.31)
относительно ц:
ц = —NJN^ (6.32)
Рис. 6,28. О-разбиенне плоскости
параметра |i
Это равенство определяет
зависимость параметра ц. от
значения корней характеристического
уравнения. Прежде всего интересно выяснить, при каких
значениях ц. система находится на границе устойчивости, т. е.
какие значения ц. соответствуют чисто мнимому корню /<в.
Сделаем подстановку s = /<в и построим на комплексной плоскости
(рис. 6.23) график функции
ц (/о)) =» -Nt (/о))/^ (/о)) = А-(о) + /К (о),
(6.33)
при изменении <о от —оо до + оо.
Функция X (о)) — четная функция <о, a Y (<о) — нечетная,
поэтому искомая кривая симметрична относительно вещественной
оси и достаточно построить одну ветвь кривой, изменяя <о от О
до оо, а затем построить ее зеркальное отображение относительно
вещественной оси.
Полученную таким образом кривую называют кривой D-
разбиения, она представляет собой отображение мнимой оси
плоскости корней характеристического уравнения на плоскость
параметра ц. Если, двигаясь по кривой ото = —оо к о = +оо,
наносить штриховку слева, то эта штриховка будет направлена
в ту часть плоскости параметра ц, которая соответствует левой
полуплоскости корней.
Кривая D-разбиения разделяет плоскость параметра ц. на
несколько областей (области 1, 2, 3 и 4 на рис. 6.23). Та из них,
внутрь которой направлена штриховка кривой, может быть
областью устойчивости (область 4 на рис. 6.23). Теперь нужно взять
какую-либо точку ц* на оси абсцисс из этой области и, пользуясь
любым критерием устойчивости, проверить устойчивость системы
при ц. = ц.,. Если критерий удовлетворяется, то рассматриваемая
область есть область устойчивости.
Равенство (6.33) условно определяет параметр ц. как
комплексную величину. На самом деле это вещественная величина и на
плоскости ц. следует рассматривать только точки, лежащие на
вещественной оси. Поэтому значения параметра ц, при которых
264

система остается устойчивой,
определяются отрезком положительной полуоси
абсцисс, лежащим внутри области
устойчивости .
Пример в. 19. Передаточная функция
разомкнутой САР
W
*(т.!+1)
s(TlS+l)(T2s+l)
где k = 50; Тх = 0,4 с; Т2 = 0,1 с.
Выяснить влияние постоянной времени т
дифференцирующего звена на устойчивость замкнутой системы.
Составим характеристическое уравнение
замкнутой системы:
TiT2S> +(T1+TJs* + (l + ki)s+k=0;
0,04s3 + 0,5s2 + (1 + 50t)s + 50 = 0.
Решим это уравнение относительно т:
Т = ~~ Ж (°'04s3 + 0,5s* + s + 50)
и выполним подстановку s = /со:
1
Рис 6.24. D-рмбнеине
плоскости параметра %
т (/со) = ■
где
/со50
(—/0,04со» — 0,5со2 + /со + 50) = X + /Т.
1
X = 0,02 (-1 + 0,04со»); У = — (1 - O.Olco*).
со
Для построения кривой D-разбиения определим:
а) при со = 0 X = —0,02; У = +оо;
б) при coj = 5 X = 0; Y = 0,15;
в) ири со2 = 10 X = 0,06; У = 0;
г) при со = оо X = +оо; У = —оо.
Полученные данные позволяют построить кривую (рис. 6.24) на участке от
со = 0 до со = + схз. Построив зеркальное отображение этого участка кривой
относительно оси абсцисс, получим второй ее участок (от со = —оо до со = 0).
Двигаясь по кривой от со = —оо к со = +°°' штрихуем ее слева.
Плоскость разделена на три области, из которых на устойчивость претендует
область .У, так как штриховка направлена внутрь этой области. Проверим
устойчивость системы при т = 0,1 — эта точка лежит в области 3. Характеристическое
уравнение при этом значении т
0,04 s3 + 0,5 s? + 6 s + 50 = 0.
Критерий устойчивости Гурвица удовлетворяется; все коэффициенты
характеристического уравнения положительные и выполняется неравенство (6.10):
0,5-6= 3> 0,04-50= 2.
Следовательно, область 3 есть область устойчивости. Рассматриваемая САР
устойчива при т > 0,06.
Иногда параметр ц, влияние которого на устойчивость САР
исследуют, входит в характеристическое уравнение как в первой,
265

так и во второй степени. Тогда можно обозначить (л2 = г\ и
делать D-разбиение плоскости параметров ц и г\.
/^-разбиение плоскости двух параметров. Предположим, что
нужно выяснить влияние на устойчивость САР двух параметров:
|*ит], которые входят в ее характеристическое уравнение
линейно. Тогда это уравнение может быть приведено к виду
\iN +r\S + F = 0, (6.34)
где N, S и F — полиномы от s.
После подстановки s = /<в.
N = N, + /Wa; S = Si + }S%; F = F, + }F„
где Nlt Nit Sv S2, Fx и F2 — полиномы от <о, и уравнение (6.34)
распадается на два:
\iNt + r\St + Ft = 0; \iN, + r)Sa + Fs = 0. (6.35)
Решим эту систему уравнений:
-F, S,
Т|=»
-Fi
(6.36)
где определитель системы уравнения (6.35)
А =
N, S,
Nt S2
Равенства (6.36) определяют (л и т| как функции <о.
Следовательно, при каждом значении <о = о, можно вычислить
значения ц,- и т], и нанести соответствующую точку на плоскость
параметров (лит]. Геометрическое место этих точек при изменении
о от —оо до +оо является кривой D-разбиения плоскости (ц, т|),
где (л откладывается по оси абсцисс и т| по оси ординат.
Уравнения (6.35) совместны и равенства (6.36) определяют
точки кривой D-разбиения только при тех значениях со, при
которых определитель А не равен нулю.
При движении по кривой D-разбиения в сторону возрастания
о (от 0 к оо) штриховку наносят слева, если определитель А
положителен, и справа, если А отрицателен. Точка по кривой
пробегает дважды: первый раз при изменении о от —оо до 0 и второй
раз при изменении со от 0 до +оо. Однако при <о — 0 меняется
знак определителя А, и поэтому кривую оба раза штрихуют
с одной и той же стороны.
При некотором значении со (отличном от нуля) определитель А
может" обратиться в нуль. Если при этом числители равенств
(6.36) не равны одновременно нулю, то точка (ц, т|) уходит в
бесконечность.
Если же одновременно с А обращаются в нуль и числители
равенств (6.36), то уравнения (6.35) оказываются линейно
зависимыми, отличающимися одно от другого на постоянный множитель.
266

Рис. 6.25. Правила штриховки особых прямых
Получается уравнение прямой линии
li^ + t|Si + Z7! = 0, (6.37)
которую называют особой прямой. Всем ее точкам соответствует
одно и то же значение <о. Появление особых прямых отличает D-
разбиение плоскости двух параметров от D-разбиения плоскости
одного (комплексного) параметра.
Особые прямые получаются также из уравнения ап = 0 при
«о = 0 и из уравнения а0 = 0 при <о = ею, если в эти
коэффициенты линейно входит хотя бы один из параметров ц. и т).
Правила штриховки особых прямых следующие:
а) если особая прямая и кривая D-разбиения сближаются
асимптотически — штриховка особой прямой однократная,
направлена к заштрихованной стороне кривой D-разбиения
(рис. 6.25, а);
б) если особая прямая имеет общую точку с кривой
D-разбиения, но не пересекает ее — штриховка особой прямой
однократная и около общей точки направлена к заштрихованной
стороне кривой D-разбиения; в точках пересечения с кривой
D-разбиения штриховку особой прямой не изменяют, так как знак
определителя Д в этих точках не меняется (рис. 6.25, б):
в) если особая прямая пересекает кривую D-разбиения
в двух точках — штриховка особой прямой двойная и направлена
к заштрихованной стороне кривой D-разбиения около той точки
пересечения (точка А на рис. 6.25, в), в которой определитель А
меняет знак; во второй точке пересечения (точка В на рис. 6.25, в)
определитель Д не меняет знака и штриховку особой прямой не
изменяют;
г) если особая прямая пересекает кривую D-разбиения
(рис. 6.25, г), но знак определителя Д в точке пересечения не
меняется — особую прямую не штрихуют.
После того как кривая D-разбиения и особые прямые
построены и на них нанесена штриховка, отыскивают область, внутрь
которой направлена штриховка ее границ. Это область
потенциальной устойчивости. После подстановки в характеристическое
уравнение значений \i и г\, соответствующих какой-либо точке
267

этой области, используют один из критериев устой"ивости. Если
он удовлетворяется, то рассматриваемая область есть область
устойчивости, т. е. при всех сочетаниях параметров \i и г\,
соответствующих точкам этой области, исследуемая САР устойчива.
Возможны случаи, когда область устойчивости отсутствует.
Пример 6.20. Выяснить зависимость устойчивости САР от постоянных
времени Г 2 и т. Передаточная функция разомкнутой системы
ИГ
ft(is + l)
s(TlS+l)(T2S+l) '
где k = 50 и Tj = 0,4 с.
Составим характеристическое уравнение замкнутой системы:
TiTV + (Tj + Г2) s2 + (1 + At) s + k = 0;
0,4 TV + (0,4 + T2) s2 + (1 + 50t) s+ 50 = 0,
и приведем его к виду (6.34):
Г2 (0,4s3 + s2) + t50s + 0,4s2 + s + 50 = 0.
Выполним подстановку s = /со, и тогда уравнение распадется на два:
Tjtj. + tSi + F i = 0;
T2Ni + tsi+ F2 = 0,
где N± = —со2; N2 = —0,4cos; Sj =0; S2 = 50co; Fx = 50—0,4 ш2; F2 = со.
Вычислим значение определителя Д системы уравнений:
Д =
= —50со3.
—to2 0
—0,4соа 50со
По формулам (6.36) составим выражения для определения Т2 и т:
— (50 — 0,4со2) 0
50со
—со2
—0,4со8
— 50со*
— (50 — 0,4со2)
—со
т _ —50соа
= 0,02(19 —0,16со2).
Вычислим значения Та и т:
— (50 —0,4со2)50со_ 50
— бОео3 _ со2 ,:
со8 —0,4со3(50 —0,4со2)
—50соа
<В
тг
т
0 5 6
со 1,60 0,&
0,38 0,30 0,27
8
0,38
0,18
10
0,10
0,06
V 19/0,16
0,02
0
V 50/0,4
0
—0,02
15
—0,18
-0,34
оо
—0,40
—оо
По результатам вычислений строим кривую D-разбиения (рис. 6.26). При
движении по кривой отсо=0ксо = оо штриховку наносим справа, так как при
со > 0 А < 0.

X
4 0,2
0
0,2 J>
* 0,4
/
*
;
\
и
i
0,2
1
^^**^Т^о
2
i i i
0A 0,6 0,8
i
1,0 Тг
Рис. 6.26. D-разбиение плоскости
параметров Та и х
Определитель Д обращается в нуль
только при со=0. Коэффициент ап= 50
характеристического уравнения не
зависит от параметров Г2 и т, но
коэффициент а0 = 0,4 Г2 зависит от
параметра Га. Приравняв этот
коэффициент нулю, получим уравнение
единственной особой прямой Т2 = 0, т. е.
особой прямой является ось ординат.
Она асимптотически приближается
к кривой D-разбиения при со = оо , и
поэтому ее нужно штриховать в
соответствии с правилом а (см. рис. 6.25, а).
Итак, плоскость параметров (Г2,т)
делится на четыре области. Штриховка
направлена внутрь области У, которая
и является, следовательно, областью потенциальной устойчивости. Проверим ее
устойчивость по точке М. Подставим Тг = т = 0,2 в характеристическое
уравнение
0,08 s3 + 0,6s2 + 1 Is + 50 = 0.
Проверим устойчивость по критерию Гурвица:
0,6-11 = 6.6 > 0,08-50= 4.
Следовательно, область 1 является областью устойчивости. Параметры Т.2
и т — это положительные величины, поэтому действительной областью
устойчивости является только часть области 1, лежащая в первом квадранте.
Методом D-разбиения плоскости двух параметров иногда
можно выяснить влияние на устойчивость одного параметра v,
который входит в характеристическое уравнение нелинейным
образом, но этот полином удается представить в виде (6.34),
обозначив [I и г] некоторые функции параметра v.
В ряде случаев уравнения относительно параметров у. и г\
оказываются нелинейными и после подстановки s = /<в имеют
вид
<Pi (<о, Ц, *]) = 0; фа (о, \i, г\) = 0. (6.38)
Тогда кривую D-разбиения строят в результате числового
решения системы уравнений (6.38). Штриховка кривой
определяется знаком якобиана, который составляют из частных
производных от функций фх и фа по переменным ц и г\:
А =
дц
д<Ра
да
дг\
дфа
(6.39)
При движении по кривой в сторону увеличения <о ее штрихуют
слева при А > 0 и справа при А <5 0.
Иногда в характеристическое уравнение линейно входят две
нелинейные функции тех параметров, влияние которых на
устойчивость нужно выяснить. Тогда D-разбиение относительно этих
двух нелинейных функций является линейной задачей.
269

Пример 6.21. Выяснить влияние на устойчивость САР передаточного
коэффициента k ее разомкнутой цепи и постоянной времени т форсирующего звена.
Передаточная функция разомкнутой САР
W =
£(ts + 1)
s(rlS + l)(T2s + l)
где Tj =0,4сиТ„= 0,1 с.
Составим характеристическое уравнение замкнутой системы:
TiT*s? + (Tj + Г2) s* + (1 + ki) s + k = 0;
0,04s3 + 0,5s2 + (1 + *r)s H- Jfe = 0.
Будем выполнять D-разбиение относительно й = цийт=г|,ив этом случае
задача будет линейной.
После подстановки s = /со определим:
Ni = 1; Nt = 0; Sj. = 0; S2 = со; fj. = —0,5 coa; f2 = со (1 — 0,04co2);
^ =
1
|c
0
) CO
= со;
1 0,5co2 о
|co(0,04co2— 1) со
CO
1 0.05co2
0 co(0,04co2—1)
_ о Пйгл8-
L = 0,04co2 — 1.
4
Результаты вычислений таковы:
(0
n
л
0
0
—1
V 1/0,04
12,5
0
6
18
0,4
8
32
1,6
10
50
3,0
12
72
4,76
14
98
6,84
oo
oo
oo
По полученным данным построена кривая D-разбиения (рис. 6.27).
Свободный член характеристического уравнения ап = k, поэтому уравнение
особой прямой р. = k = 0, т. е. особой прямой является ось ординат. Она имеет
общую точку с кривой D-разбиения и ее следует штриховать по правилу б (см.
рис. 6.25, б).
Плоскость параметров р., г| разделена на три области, из которых областью
потенциальной устойчивости является область /. Для проверки рассмотрим точку
М с координатами [20; 2]. После подстановки в характеристическое уравнение
k = 20 и fer = 2 получим
0,04s3 + 0,5s2 + 3s + 20= 0.
Все коэффициенты этого уравнения положительные и
0,5 3= 1,5 > 0,04-20= 0,8,
т. е. условия устойчивости по критерию Гурвица удовлетворяются.
Следовательно, область / есть область устойчивости. Параметр r| = ki не
может быть отрицательным, и действительной областью устойчивости является
лишь та часть области /, которая лежит в первом квадранте. Значение
параметра t при каждом значении k определяется так: т = t\/k.

20
W
д = о
50 Ji
Рис. 6.27. D-разбиеиие плоскости двух параметров
Рис. 6.28. Плоскость обобщенных параметров CAP четвертого порядка:
— с областью устойчивости; б — с определением граничных значений т
Другие методы. С целью упрощения устойчивости Гурвица
и использования их для выделения областей устойчивости,
предложено [95] рассматривать обобщенные параметры (обозначим
их Alt А2, ...). которые вычисляются по коэффициентам а0> ^
ау, ..., ап характеристического уравнения САР:
1 a-iO-z
a-idi
Ая = -
. -. -; •• • (6.40)
а2а3 а3аь v
Тогда система третьего порядка характеризуется только
одним обобщенным параметром Аи и условием устойчивости при
положительности всех коэффициентов характеристического
уравнения является неравенство
/>Л0>0. (6.41)
Точка Аг = 0 соответствует наличию нулевого или
бесконечного корня, а точка Ал = 1 наличию пары мнимых корней
характеристического уравнения.
Система четвертого порядка характеризуется обобщенными
параметрами Аг и Л2. Условие устойчивости при
положительности коэффициентов характеристического уравнения составляют
неравенства
4i>0; Л2>0; Ах + Л2<1. (6.42)
Графически область устойчивости в плоскости параметров Ау
и Аг представляет собой треугольник (рис. 6.28, а). Наклонный
прямой соответствует наличие пары мнимых корней. При Ал = О
имеется один бесконечный корень и при А2 = 0 — один нулевой
корень.
Система пятого порядка характеризуется обобщенными
параметрами А .у, А2 и Ая. Условие устойчивости при положительности
коэффициентов характеристического уравнения составляют
неравенства
(1 _ Ау) (1 - Л3) - Л2 (1 - AyA3f > 0;
1 >Л]>0; Л2>0; А3 > 0. (6.43)
271

При каждом значении параметра А2 в плоскости параметров
Ах и А2 может быть выделена область устойчивости.
Пример в.22. Выяснить влияние постоянной времени т форсирующего звена
на устойчивость САР, у которой передаточная функция разомкнутой цепи
w k (ts -f-1)
S2(7ss2 + 2|rs+1) '
где k = 20; T = 0,1 c; g = 0,5.
Составим характеристическое уравнение замкнутой CAP:
TV + 267V + s2 + fas + k = 0;
0,01 s4 + 0,1 s» + s2 + 20ts + 20 = 0.
Определим значения обобщенных параметров:
. _ 0,01 -20т „ . _ 0,1-20 _ 0,1
Al '- ~ЬТП * 2 ~ Ь20т Г~Г •
Вычислим значения обобщенных пармметров при нескольких значениях т:
X
Ai
At
0,1
0,2
1.0
0,2
0,4
0,5
0,25 0,5
0,5 1,0
0,4 0,2
Нанесем эти точки на график (рис. 6.28, б) и соединим их кривой. Система
устойчива при 0,28 < Аг < 0,72, т. е. при 0,14 < т < 0,36.
Выяснить зависимость устойчивости САР от какого-либо
параметра а можно с помощью ЛЧХ [109]. Достаточно построить
ЛЧХ разомкнутой САР при нескольких значениях а и определить
соответствующие значения запаса устойчивости v по фазе. При
Y < 0 система неустойчива.
Одновременно целесообразно определить значения запаса
устойчивости h по модулю. Графики зависимости у и h от а с
достаточной полнотой характеризуют влияние этого параметра как
на устойчивость, так и на запасы устойчивости.
в. 10. СТРУКТУРНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
САР называют структурно неустойчивой, если ее нельзя
сделать устойчивой только изменением параметров (изменением их
значений, но не знаков), а необходимо изменение структуры,
т. е. введение в САР новых звеньев и связей, или изменение типа
имеющихся звеньев и связей.
Одноконтурная САР структурно неустойчива [2], если
нарушаются неравенство
т > v + / — 1 (6.44)
272

Таблица 6.4
Неравенства для проверки структурной устойчивости
1
Четно
Нечетно
т = о
гс + т> 4/-
п -\- т> 4/-
т > 0, четно
гс + т> 4/- — 1
т > 0, нечетно
гс + т> 4/- — 2
п+ "*> 4/-+ 1
и неравенство из табл. 6.4, соответствующее показателям /пи/
этой САР. В указанных неравенствах тип — степени
соответственно полиномов R и Q числителя и знаменателя передаточной
функции разомкнутой CAP; v — число нулевых корней полинома Q;
I — число положительных вещественных корней полинома Q;
/ — число комплексных корней полинома Q с положительной или
нулевой вещественной частью; т — целая часть дроби //2.
Полином R не имеет правых корней.
Рассмотрим частные случаи.
1. Если числитель передаточной функции разомкнутой САР
R = k, то она структурно неустойчива при нарушении одного
из неравенств:
v + / <: 1; п>4г. (6.45)
2. Если R — k (xs + 1), то САР структурно неустойчива в
случае нарушения одного из следующих неравенств:
v + /<2; n>4r —3 при четном /;
v -\-1 <. 2; п > 4г при нечетном /;
3. Если R = k (b0s2 + bts + 1), то система структурно
неустойчива при нарушении одного из следующих неравенств:
v + /<3; л>4г —2 при четном f\ )
\ t о ^ л , " * (647)
v + /<3; n>4r— 1 при нечетном /. J
Пример 6.23. Проверить устойчивость одноконтурной САР, состоящей нз
безынерционного, интегрирующего апериодического н консервативного звеньев.
Передаточная функция разомкнутой цепи
k
w = : _ .
s(7V+l)(7^ + J)
Имеет место 1-й частный случай: R = k. Полином Q четвертого порядка,
у него один нулевой корень, один отрицательный вещественный и два чисто
мнимых, т. е. п = 4; v = 1; / = 0; / = 2. Следовательно, г = 1 и п = 4л
Второе из неравенств (6.47) не удовлетворяется, поэтому можно сделать
вывод о структурной неустойчивости САР
Для проверки составим характеристическое уравнение замкнутой системы:
T\T\st + 71s8 + 7\sP + s + k = 0,
и применим критерий устойчивости Гурвнца.
273
(6.46)

Все коэффициенты характеристического уравнения положительные, а
неравенство (6.11) имеет левой частью Т\Т±, а правой частью Тл1\ + T\k.
Коэффициенты Т2 и k —положительные вещественные величины, и неравенство (6.11)
не может быть удовлетворено изменением этих коэффициентов. Рассмотренная
САР действительно структурно неустойчивая.
6.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ
И НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ
Процессы в некоторых элементах не могут быть описаны
обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с
постоянными коэффициентами. Однако в ряде случаев исследование
устойчивости САР с такими звеньями сводится к использованию
ранее рассмотренных критериев устойчивости. Проанализируем
эти возможности.
Система с чистым запаздыванием. Имеются САР, в которых
реакция на внешнее воздействие возникает только через
определенный промежуток времени 6 после начала этого воздействия.
Такое свойство называют чистым (транспортным) запаздыванием и
фиксируют последовательным включением динамического звена
с трансцендентной передаточной функцией
W3 = e-es. (6.48)
Исследование устойчивости САР с чистым запаздыванием
возможно с помощью критерия Найквиста, и передаточная функция
разомкнутой САР должна быть представлена в виде
U7 = W>J8s, (6.49)
где WQ — передаточная функция линейной части.
Точка размыкания САР должна быть выбрана в соответствии
с расположением звена чистого запаздывания. В одноконтурной
системе (рис. 6.29, а) можно размыкать основную обратную связь,
и тогда
W = WXW*&*. (6.50)
Если звено с запаздыванием находится в цепи местной обратной
связи (рис. 6.29, б), то систему следует размыкать на выходе этой
связи. В этом случае
W 1 + WjWiWa ' (0-0l>
Звено с запаздыванием может быть в параллельной ветви
прямой цепи системы (рис. 6.29, в). При этом
Формулировка критерия Найквиста для систем с чистым
запаздыванием сохраняется прежней. Однако построение АФЧХ имеет
274

-*¥
w,
w,
«0
Рис. 6.29. Выбор точки
размыкания САР со звеном
чистого запаздывания:
о. — в прямой цепи; б — в
Цепи местной обратной
связи: в — в параллельной
ветви
-H^Hj^Hf*-
Г5*"]--]!^
W,
Q
-~ф~ w4
I "\ WJI \
(?)
некоторую~особенность. Подставив в равенство (6.49) s = /&,
получим частотную передаточную функцию
W? = W0e-/8<a==^e'''1', • (6.53)
где А= А0 и "ф = а|з0 — 8<о.
Следовательно, звено чистого запаздывания не изменяет
амплитудно-частотную характеристику, но создает дополнительный
отрицательный сдвиг по фазе, пропорциональный частоте. Поэтому
можно построить АФЧХ W_0 линейной части и для каждой
частоты о,- повернуть вектор W0 (/со,) на угол — 0<о/? т. е. по часовой
стрелке. Получается АФЧХ W разомкнутой системы с
запаздыванием.
Пример 6.24. Построить АФЧХ разомкнутой САР, если ее передаточная
функция
W
0,1s+ 1
-/0.02
Сначала строим АФЧХ линейной части W0 (рис. 6.30) по ее частотной
передаточной функции
W0 =
0,1/(0+ 1
2(1—/0,1й))
1+0,01(оа"
Необходимый угол поворота векторов W0 (/(ог) определяется в данном случае
выражением
Д^,. = _ 0,02(о,-57,3°.
Поэтому при частотах 5; 10; 20; 30; 50; и 60 с-1 делаем повороты
соответственно на —5,7; —22,5; —22,9;—34,4; 57,3 и 68,8°. Соединив найденные точки
плавной кривой, получим АФЧХ IP рассматриваемой САР.
275

Рис. 6.80. Построение АФЧХ системы с запаздыванием
Рис. 6.31. Определение критического времени запаздывания по АФЧХ разомкнутой системы
Дополнительный фазовый сдвиг Лг|) = —ыб «закручивает»
годограф W0 по часовой стрелке и тем сильнее, чем больше
частота. Вследствие этого условия устойчивости чаще всего
ухудшаются. Однако в некоторых случаях, при сложной форме АФЧХ
W0, запаздывание улучшает условия устойчивости.
Для оценки влияния чистого запаздывания на устойчивость
введено понятие критического времени запаздывания 0КР. Для
абсолютно устойчивой системы определение 6КР показано на
рис. 6.31. На АФЧХ линейной части W0 отыскивается точка,
для которой модуль равен единице. Пусть этой точке соответствует
частота <ох и избыток фазы Yi. Тогда критическое значение времени
запаздывания
9«р = VM> (6.54)
где у1 в радианах.
Если передаточная функция W0 не имеет нулевых и мнимых
полюсов и | W01 <5 1, то САР устойчива при всех значениях
времени запаздывания 0.
Исследование устойчивости САР с запаздыванием удобно
проводить по логарифмическим частотным характеристикам ее
разомкнутой цепи. Сначала строят ЛЧХ линейной части. Затем
в ЛФЧХ добавляют фазовый сдвиг ДЦ) = —0<о, создаваемый
звеном чистого запаздывания. Критическое значение времени
запаздывания определяют по формуле (6.54), где за уг принимают
запас по фазе (избыток фазы при частоте среза) разомкнутой
системы без запаздывания.
Пример в.25. Выяснить устойчивость и определить критическое значение
времени запаздывания в САР, у которой передаточная функция разомкнутой цепи
£e~e'
W = —
(7V+1H7V+1)»
где k = 2; 0 = 20 с; Тг = 40 о; Тг = 10 с
276

Сначала строим ЛЧХ L0 и ф, ли-
иейной части САР (рис. 6.32) по следу-
ющим данным: 20 lg k = 6 дБ; со-
прягающие частоты coi = l/7\ =
= 0,025 с-1; (в2= 1/г,= 0,1 с"1.
Затем определяем дополнительный
сдвиг по фазе Д\ь = —во»,
создаваемый звеном чистого запаздывания,
иЛФЧХ г|) разомкнутой системы с
запаздыванием.
На участке частот, меньших ча-
стоты среза а>с, ординаты ЛФЧХ боль-
ше—л. Следовательно, в замкнутом
состоянии исследуемая САР будет
устойчивой.
Запас по фазе системы без
запаздывания Yi= 90° или 1,57 радиан,
частота среза а>с = 0,048 с-1. Крити-
ческое значение времени запаздывания
6кр= 1,57/0,048= 32,7 с.
Используя критерий Най-
квиста, можно выяснить
устойчивость САР с несколькими звеньями запаздывания, а также
со звеньями полузапаздывания.
Звено полузапаздывания [105] имеет передаточную функцию
w*-* ~ e (6.55)
и характеризует процессы в некоторых диффузионных и тепловых
объектах. Его АФЧХ и ЛЧХ определяются следующими
равенствами: v
Рис. 6.32. Логарифмические частотные
характеристики линейной части САР
^п. а = е~ <1+') ^6<fl/2 = e" Vea>'2e-i ^ё^Тг.
■"п. а —
^п.а=—учет
,/вга/2
201geye<a/2^_8,7KM2 дБ;
(6.56>
Система с иррациональным звеном. При математическом
описании диффузионных и тепловых объектов их представляют
иррациональными звеньями: полуинтегрирующим и
полуинерционными [105]. Передаточные функции и значения частотных
характеристик этих звеньев приведены в табл. 5 5.
Передаточная функция разомкнутой САР с такими звеньями
будет функцией q = J/s:
W = kR (q)/Q (q). (6 57)
Характеристическое уравнение замкнутой CAP также будет
уравнением относительно q:
Q (?) + kR (q) = 0. (6 58)
Условие устойчивости в данном случае формулируется
следующим образом [14]: для устойчивости САР; которая в разомкну-
277/

Offyracmt
устой wSoc/m
том состоянии описывается передаточной
функцией (6.57), необходимо и достаточно,
чтобы все корни qt уравнения (6.58) лежали
вне сектора 90°, расположенного в правой
полуплоскости q симметрично относительно
вещественной оси (рис. 6.33).
Следовательно, могут быть применены
частотные критерии устойчивости. Удобнее
пользоваться критерием Найквиста.
Необходимо строить АФЧХ разомкнутой САР
и подсчитывать число оборотов этой
характеристики вокруг точки [—1, /0] или
число ее переходов через отрезок
вещественной оси от —1 до —с» (см. п. 6.5).
Можно также пользоваться
логарифмическими частотными характеристиками, как было изложено в п. 6.6.
Пример 6.26. Определить запасы устойчивости по фазе и по амплитуде САР,
«ели в разомкнутом состоянии она описывается передаточной функцией
k
Рис. 6.88. Область
устойчивости САР с
иррациональным звеном
W
(TlS + 1) (^r2s + 1) (rss + 1) (r4s + 1)
где k = 20; Tt = 1,25 с; Т3 = 0,6 с; Т3 = 0,02 сиГ(= 0,01 с.
Данная САР отличается от рассмотренной в примере 6.10 только тем, что
второе звено не инерционное, а полу инерционное первого рода. Поэтому
воспользуемся ранее проведенными расчетами и будем строить ЛЧХ на том же графике
(см. рис. 6.15).
Теперь при сопрягающей частоте сог, создаваемой вторым звеном, наклон
асимптоты изменится не на —20 дБ/дек, а лишь на —10 дБ/дек (см. табл. 5.5).
Асимптотической ЛАЧХ рассматриваемой САР является ломаная L<j.
Составляющую ЛФЧХ, составляющую второму звену, определяем по
формуле
ч|>2 = -arctg VWJ{V2 + VtfF2):
0,4
10
20
40
+i
-14,4
-19,5 —23,6
-30,6 —32,4 .—35,4 —37,8
ЛФЧХ на рис. 6.15 соответствует кривой t|><j.
Можем заключить, что рассматриваемая САР в замкнутом состоянии
устойчива и имеет запасы устойчивости "ye = 49,5° и /i<j = 18 дБ. Замена инерционного
звеиа на полуинерционное привела к увеличению запасов устойчивости.
Система с нестационарным линейным звеном. В общем случае
такая система описывается уравнением
[а0 (t) р» + аг (t) p"-i + ■ ■ ■ + ап (t)] у (t) =
= [bo (t) Pm + К (t) P"-1 + ■■•+*» (t)] f (t), (6.59)
гДе / (0 — внешнее воздействие (задающее или возмущающее).
278

Рис. 6.34. Структурная схема
СЛР с нестационарным звеном
Стационарная
Нестационарное
~*VV* часть зНеио \ у
L. I
Импульсная w (т, 8) и переходная h (т, 8) характеристик
нестационарной САР являются функциями двух переменных:
момента времени 8, в которой приложено внешнее воздействие
(соответственно импульсная или единичная ступенчатая функция),,
и текущего времени т = t — 8.
По временной характеристике может быть определена так
называемая нормальная параметрическая передаточная функция
00 ' ОО
W (s, 8) =3 J w (т, 0) е"5' dx = s J h (x, 8) e'ST dr. (6.60)
о о
Целесообразно выяснять устойчивость нестационарной САР
лишь на интервале времени Т0 ее действия. Система устойчива,
если импульсная характеристика w (т, 6) затухает во времени
при всех моментах 6, лежащих внутри интервала Т0 [97].
Вопрос об устойчивости удобнее решать по передаточной
функции W (s, 6). В этом случае условие устойчивости
формулируется следующим образом [97]: нестационарная САР устойчива
на интервале времени Т0 тогда и только тогда, когда ее
нормальная параметрическая передаточная функция не имеет полюсов
в правой полуплоскости и на мнимой оси комплексной плоскости s
при всех 8, лежащих в рассматриваемом интервале Т0.
Определение временной характеристики нестационарной САР
[97, 10] чаще всего представляет собой сложную задачу. Однако
следует иметь в виду, что во многих САР параметры
нестационарного элемента (рис. 6.34) и коэффициенты уравнения (6.59)
изменяются достаточно медленно. Если за время переходного
процесса (за время затухания импульсной и переходной
характеристик) параметры изменяют свои значения несущественно, то САР
квазистационарна.
При инженерных расчетах для исследования устойчивости
квазистационарной САР используют метод замороженных
коэффициентов. Считают параметры нестационарного элемента
постоянными, равными их значениям в какой-то момент времени в .
Тогда можно определить передаточную функцию этого элемента
и исследовать устойчивость системы, используя любой из
критериев устойчивости.
Исследование необходимо провести при нескольких
значениях 6г из интервала Т0. Моменты времени 0, выбирают так,
чтобы охватить все возможные варианты значений параметров
нестационарного элемента. Особое внимание обращают на точки,,
в которых имеет место значительное изменение какого-либо-
параметра или смены его знака.
279*

Пример 6.27. Нестационарный элемент САР (рис. 6.34) описывается урав-
-нением
ао9 + а\У + («2 + а0 У = г,
где ао = 0,12; ах = 0,51; а2 = 2,43; а= 0,0105, и передаточная функция ее
стационарной части
^(Г35+1)
^2 7V+1 '
где А2= 31; Г3 = 0,083 и Tj= 0,11 с.
Выяснить устойчивость системы если время ее действия Го = 180 с.
Коэффициент а2 + at уравнения нестационарного элемента изменяется во
времени равномерно, поэтому применяя метод замороженных коэффициентов
достаточно выяснить устойчивость САР при t = 0 и t = Го = 180 с.
В начальном режиме передаточная функция разомкнутой САР
т-ттр ! 31(0,0835+1)
1 2_ 0,12s* + 0,51s + 2,43 O.Hs+1
и ее характеристическое уравнение в замкнутом состоянии
0,0132 s3 + 0,176s» + 3,35s + 33,43 = 0.
Коэффициенты характеристического уравнения положительные, и
неравенство (6.10) критерия Гурвица удовлетворяется:
0,1763,35= 0,590 > 0,0132 33,43= 0,441.
В конечном режиме
™ 1 31 (0,083s+1)
0,12s2 + 0,51s + 4,32 0,1 Is -f- 1
я характеристическое уравнение
0,0132s3 + 0,176s5! + 3,56s + 35,32= 0.
Неравенство (6.10) также удовлетворяется:
0,176-3,56 = 0,626 > 0,0132-35,32 = 0,466.
Итак, применение критерия Гурвица при замороженных коэффициентах
характеристического уравнения свидетельствует об устойчивости САР. Остается
выяснить, можно ли было использовать этот метод.
В начальном режиме запас устойчивости несколько меньше, поэтому следует
рассмотреть переходный процесс при начальном значении переменного
коэффициента.
Определим передаточную функцию замкнутой САР и изображение переходной
характеристики:
н = ^± W 31 (0,083s+1)
s =s (l + №) s (0,0132ss +0,176s2 + 3,35s + 33,43) ™
0,927 (0,083s+1)
= s (0,0902s + 1) (0,0662»s2 + 2-0,0744-0,0662s + 1) *
Используя п. 103 табл. 4.1, определим
А = 0,927 [1 — 0,826e_1>124'sin (15,06/ + 1,36) — ОЛЭЗе"9-09'].
280

Вычислим значения _- при различных ft
/
h
0,927
1
1,175
1,5
1,141
2,0
0,994
2,5
0,952
3,0
0,985
3,5
1,010
4,0
1,009
Длительность переходного процесса fP да 2,5 с. За этот промежуток времени
переменный коэффициент уравнения нестационарного элемента изменится на
' .„ '. 100= 1,08%. Изменение незначительное, и, следовательно, приме-
л,4о
нение метода замороженных коэффициентов допустимо.
Более точные результаты дает метод замороженных реакций
[10], который требует решения уравнения нестационарного
элемента. Если это уравнение первого порядка
t(t) + a(t)y(t) = z(t), (6.61)
то его решение
t
i/(0=-eHp<<>Jzft)e,<°d/, (6.62)
уде <p(f) = ^a(t)di.
Равенство (6.62) позволяет определить импульсную или
переходную характеристику нестационарного элемента. Затем,
пользуясь формулой (6.60), можно определить его параметрическую
передаточную функцию. При каждом фиксированном значении
в она по своим свойствам совпадает с передаточной функцией
стационарного звена. Тогда может быть определена передаточная
функция разомкнутой цепи САР (рис. 6.34):
W (s, 6) = Wx (s, 6) W2 (s) (6.63)
и исследована устойчивость системы.
Исследование должно охватывать все «опасные» точкь
рабочего диапазона изменения / (от 0 до Т0). При этом нужно учитывать
не только значения переменного коэффициента, но и характер
его изменения, т. е. скорость и ускорение изменения.
Если переменный коэффициент содержится в правой части
уравнения нестационарного элемента, то необходимо определить
его переходную характеристику. Иначе не будет учтено
изменение этого коэффициента во времени.
281

Решение нестацивнарного уравнения второго порядка и методы
приближенного решения уравнений более высоких порядков
приведены, например, в работе [10].
Пример 6.28. Нестационарный элемент САР (рис. 6.34) описывается
уравнением
У + ау = (b I ct) z,
где а = 5; b = 20; с --= 0,2, и передаточная функция стационарной части
W* =
s(T2s+l) '
где Аа = 5; Т2 = 0,05 с.
Выяснить устойчивость САР, если время ее действия Т0 = 100 с.
Используем метод «замороженных» реакций, для этого определим
переходную характеристику нестационарного элемента, т. е. решение уравнения
-^- + а*1 = [Ь + с(т + е)]1(т),
тдеТт — t — 0.
По формуле (6.62)
%
^ = е-ф (t) [ [Ь + с (т + в)] 1 (т) еф (t) Jt,
о
т
где <р (т) = в dx = вт.
о
Следовательно,
х
*! = е_вт [ ЦЬ + ев) + ст] еот <1т =
0
-ах
= В1(1-е-ат)+В2т,
„ а (* + с0) — с „ с
тде Вх = ^да и В2= —•
Определим параметрическую передаточную функцию нестационарного эле"
меита по формуле (6.60):
00
1Гх (s, 0) = s J [Вх (1 - e-"j + Bit] e-st dx =
о
,/Bt B! B2N _ *x(T,8+l)
~Ч в S + e+S»;' •(Tif+1) '
где 7\ = l/o = 0,2 c; *i = с/в = 0,04; T„ = */c + 0 = 100+ 0.
282

Передаточная функция разомкнутой САР
*(.. в)-*1(.. e)^^s)=s2(^f(+s1)+1) =
0,2[(100 + e)s + l]
- s2 (0,2s +1) (0,5s +1)'
Составим характеристическое уравнение замкнутой САР:
0,01s4 + 0,25s3 + s2 + 0,2 (100 + Q)s + 0,2 = 0.
Коэффициенты характеристического уравнения положительные, и для
устойчивости САР необходимо выполнение неравенства (6.11):
0,25.1 0,2 (100 + 0) > 0,01 (100 + О)2 + 0,2-0,25*.
Это неравенство удовлетворяется лишь при начальном режиме (при Т3 =
= 100 с). Граничное значение 6ГР определяется из уравнения
0,05 (юо + егр) = о,о1 (юо + егр)2 + o,oi25.
Решение этого уравнения 0гр = 24,75 с.
Итак, при t > 24,75 с САР становится неустойчивой. Необходимо ввести
корректирующее устройство, обеспечивающее устойчивость иа всем рабочем
диапазоне (см. гл. 8).

Глава 7
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
.{."'
Каждая система автоматического регулирования оценивается
устойчивостью и точностью в установившихся режимах и
качеством переходных процессов. Устойчивость обеспечивает
затухание переходных процессов. Методы исследования устойчивости
-были рассмотрены в предыдущей главе. Кроме устойчивости
необходимо еще, чтобы в установившихся режимах регулируемая
величина была достаточно близка к заданному значению, т. е.
обеспечивалась требуемая точность регулирования. Необходимо также,
чтобы затухание каждого переходного процесса было достаточно
быстрым и с допустимым отклонением регулируемой величины,
т. е. обеспечивалось бы требуемое качество переходных процессов.
Точность установившихся режимов и качество переходных
процессов в совокупности определяют качество регулирования.
Всякая реальная система действует при различных значениях
задающего воздействия и возмущений, при различном характере
их изменения. Чем меньшее значение имеет при этом
рассогласование (отклонение регулируемой величины от заданного значения),
тем выше качество регулирования. Однако качество
регулирования не может быть оценено едиными числовым показателем.
Точность оценивается отсутствием или наличием
рассогласования в различных установившихся режимах и коэффициентами
ошибки.
Значительно сложнее проблема оценки переходных
процессов. Используют прямые оценки переходного процесса,
вызываемого наиболее характерным единичным ступенчатым
воздействием, и приближенные косвенные оценки качества:
частотные, интегральные и корневые.
К частотным оценкам относятся ранее рассмотренные запасы
устойчивости по модулю и по фазе (см. п. 6.7), оценки
переходного процесса по вещественной и амплитудно-фазовой частотной
характеристике и показатель колебательности. Интегральные
оценки (линейная, квадратичная и улучшенные) одним числом
характеризуют и отклонения регулируемой величины и
продолам

жительность переходного процесса. Основные из корневых
оценок — это степень устойчивости и колебательность, диаграмма
Вышеградского и корневые годографы. Все перечисленные оценки
будут рассмотрены ниже.
Оценки качества используются как при выяснении свойств
спроектированных систем, так и при синтезе систем. В первом
случае можно воспользоваться несколькими оценками, чтобы
полнее выяснить, каковы свойства системы. Во втором случае
решение задачи возможно лишь при использовании ограниченного
числа оценок. Иногда ориентируются только на одну оценку.
Качество САР, внешние воздействия которых есть случайные
функции времени, принято оценивать среднеквадратичным
значением рассогласования [10, 103].
7.1. ТОЧНОСТЬ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ
Ошибка (рассогласование) САР имеет две составляющих:
х = xg +• Xf. (7.1)
Здесь xg — ошибка вопроизведения задающего воздействия;
Xf—ошибка, создаваемая возмущением. При нескольких
возмущениях Xf имеет соответственно несколько слагаемых. Не
приняты во внимание ошибки, обусловленные нечувствительностью
регулятора (прежде всего наличием зоны нечувствительности
у датчика и элемента сравнения), и другие ошибки, связанные
с неидеальной линейностью элементов регулятора. Устранение
этих дополнительных погрешностей связано с повышением класса
точности элементов регулятора, что ограничено техническими
возможностями и ведет к повышению стоимости регулятора. Иногда
эти дополнительные погрешности рассматривают, как влияние
неких возмущений.
Значения составляющих ошибки в установившемся режиме
можно определить с помощью теоремы о конечном значении (см.
табл. П1.1):
Xgy=*\\msXt; XfHB=]imsXfl (7.2)
s->0 s->0
где Xg = WXG 2K Xf~ WxfF — изображения составляющих
ошибки; G и F — изображения соответственно g и /; Wx и Wxf —
передаточные функции ошибки слежения и от возмущения.
Система, в которой постоянное внешнее воздействие
создает ошибку в- установившемся режиме, называется статической.
Если постоянное внешнее воздействие не создает установившейся
ошибки, то система астатическая относительно этого воздействия.
На рис. 7.1 изображена типичная структурная схема САР,
на которую воздействуют два возмущения. Одно из них
приложено к объекту регулирования и другое на входе системы. Пере-
285

wa
-m- Рис 7.1. Структурная схема
одноконтурной CAP с двумя
возмущениями
даточные функции для ошибки слежения и для слагаемых ошибки
от возмущений fx и f2 соответственно
W,= l/(1+W); W^WjWoKl+W); W^W/d+W),
(7.3)
где W = W0WXW2 — передаточная функция разомкнутой
системы.
Предположим, что к системе приложены постоянные внешние
воздействия g = g0, fx = /10 и /2 = /20. Тогда возможны следующие
характерные случаи.
1. Передаточные функции участков цепи
, Wx = Mi/Qi. W2 = k2R2IQ2 и W0 = k0,
где kx, k2, k0—передаточные коэффициенты; /?lt Q1( /?a, Qa —
нормированные полиномы от s (с равным единице свободным
членом).
По формуле (7.3) находим
W,
Wxf2
QiQ.
kRiRy
3~оЖ+Ж*Т'
где k — kjijii — передаточный коэффициент разомкнутой
системы;
по формуле (7.2) определяем
xgy =■ ог0; Х[1У = kftoSfiQ; Xjiy = kSf20,
где «5 = 1/(1 + k) — коэффициент статизма.
Следовательно, в данном случае система статическая и
установившаяся ошибка пропорциональна коэффициенту статизма,
который тем меньше, чем больше передаточный коэффициент k
разомкнутой системы. Однако с увеличением k ухудшаются
показатели качества переходных процессов (см. п. 8.1), и при k
больше граничного значения система оказывается неустойчивой
(см. п. 6.9).
286

2. Передаточная функция Wx = &i/?i/(sQi)> а остальные
передаточные функции участков системы прежние. По формулам
(7.3) и (7.2) находим
«7 sQiQi . «7 kikpRiQz .
4 ~ «Qi<?2 + АЛЛ ' xh sQ1Q2 + kR1R21
«7, kRiRii . п. _ fio . с
w*f*— sQiQz + kRiRz ' xs'J — y}> xhv~ k% ' х1гу—1ю-
Система астатическая относительно задающего воздействия
вследствие того, что на участке с передаточной функцией Wx
(см. рис. 7.1) имеется последовательно включенное интегрирующее
звено или изодромное звено первого порядка.
3. Передаточная функция W2 — ^Яг/ДОг) и остальные
передаточные функции участков системы те же, что и в первом случае.
По формулам (7.3) и (7.2) находим
«7 _ sQiQi . то _ *i*ofliQ»s .
w4* = j&q,+ **,*, ' xty = x!iv = 0'> *f2y = ho-
Система астатическая относительно задающего воздействия
и относительно возмущения Д, так как на участке с передаточной
функцией W2 имеется интегрирующее или изодромное звено.
Итак, при наличии интегрирующего или изодромного звена
в прямой цепи система с жесткой основной обратной связью
является астатической относительно задающего воздействия. Аста-
тизм относительно возмущения имеет место, когда интегрирующее
или изодромное звено в прямой цепи такой системы находится
перед элементом, на который воздействует это возмущение.
Наличие интегрирующего или изодромного звена не создает аста-
тизма относительно возмущения, действующего на входе системы.
К астатической системе может быть приложено задающее
воздействие, изменяющееся с постоянной скоростью v : g = vt.
При этом создается установившаяся ошибка xgy = vlkv, где k^ —
передаточный коэффициент разомкнутой системы, называемый
в этом случае добротностью по скорости.
Задающее воздействие, изменяющееся с постоянной
скоростью, не создает установившейся ошибки в системе, прямая цепь
которой содержит два интегрирующих или изодромных звена,
соединенных последовательно. В этом случае система
астатическая второго порядка.
К астатической системе второго порядка может быть
приложено задающее воздействие, изменяющееся с постоянным
ускорением е : g = ef. Оно создает установившуюся ошибку xgy =
= e/ke, где ke — передаточный коэффициент разомкнутой системы,
называемый в этом случае добротностью по ускорению.
Установившаяся ошибка не создается задающим воздействием,
изменяющимся с постоянным ускорением, если в прямой цепи
287

системы три интегрирующих или изодромных звена соединены
последовательно. Такая система астатическая третьего порядка.
Система может быть астатической второго и третьего порядка
относительно возмущения, если соответственно два или три
интегрирующих или изодромных звена находятся в прямой цепи
перед элементом, на который воздействует это возмущение.
Влияние интегрирующих и изодромных звеньев на качество
переходных процессов будет выяснено в п. 8.1.
Возможно изменение задающего воздействия по
гармоническому закону: g = gm sin u>Bt. При этом установившаяся ошибка
в линейной системе также будет гармонической:
xgy = xgmsin(ti>J-{-^). (7.4)
Значение xgm определяется с помощью частотной
передаточной функции Wx для ошибки:
х = | W\ (/Ч)| gm =, ^ ^ _Sm = -г^-л. (7.5)
Эта приближенная формула обеспечивает точность,
достаточную для инженерных расчетов. Ее можно использовать и при
всяком задающем воздействии, разлагаемом на сумму гармоник.
7.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК
Установившееся значение хы ошибки воспроизведения
задающего воздействия, являющегося произвольной, но достаточно
плавной функцией времени, можно определить с помощью
коэффициентов С0, Clf С2, ...:
*„ - <* + С& + ^ + ■* # + • • • (7.6)
Коэффициенты ошибки вычисляются по передаточной функции
для ошибки слежения и ее производным по s при s = 0:
C.-[tr,W Cl-[^]^; ft-pg*.]^; ... (7.7)
В статической системе С0 = 1/(1 + k) = S, в астатической
Со = 0, Сг = \lk0, в астатической второго порядка C0 — Ci= 0,
С2 = \lkr. Могут быть системы с астатизмом третьего порядка
и более высокого.
Формулы для вычисления первых четырех коэффициентов
ошибки воспроизведения задающего воздействия (коэффицентов
ошибки слежения) приведены в табл. 7.1. Формулы содержат
коэффициенты передаточной функции W разомкнутой системы,
и, следовательно, отпадает необходимость в составлении
передаточной функции Wx.
288

Пример 7.1. Вычислить коэффициенты С0, Clt C2 и Ся ошибки слежения
если передаточная функция разомкнутой системы
™ = 20 (0,05s+1)
s (0,00001s* + 0,001s» + 0.01s2 + 0,5s + 1) '
Система пятого порядка астатическая, и для вычисления коэффициентов
ошибки можно воспользоваться формулами поз. 8 табл. 7.1. В данном случае
Ь„= 0,00001; &!= 0,001; Ъг = 0,01; 63= 0,5; А = 20; р\,=- pj -- В2= В3 = 0;
Р4 = 0,05.
Подставив эти значения коэффициентов в формулы, получим С0— 0; Сг =
= 0,05; С2 -= 0,02; С„ = —0,00275.
По передаточной функции Wxf ошибки от возмущения могут
быть вычислены коэффициенты ошибки от возмущения:
'{О'
\Wxf]^; Ch
wx,
ds~Js=o' W« =
CH
dsa Js==o'
(7.8)
Эти коэффициенты позволяют определить установившееся
значение ошибки, создаваемой возмущением, если оно является
достаточно медленно изменяющейся функцией времени:
Формулы для вычисления коэффициентов ошибки по
коэффициентам передаточной функции системы для ошибки приведены
в табл. 7.2. Эти формулы могут быть использованы как для вы*
числения С/о, С/1, С/2 так и для вычисления С0, Съ С2
Пример 7.2. В системе со структурной схемой, изображенной на рис. 7.1,
передаточные функции ее участков имеют следующие значения:
Г, ^ 2 _ 500(0,155+1).
Wl s (0,2Bs+1)* 2 0,1s+1 ' ^»-°'и&-
Вычислить установившееся значение ошибки, если задающее воздействие
g = g0t, а возмущения }г = —/м sin 0,628/; /а = 0.
Составим передаточную функцию разомкнутой системы:
w w«wiw* s (o,025sa + 0,35s +1)
По формулам поз. 2 табл. 7.1 определим коэффициенты ошибки от задающего
воздействия:
С„ = 0; d = 1/А = 1/50 = 0,02.
Следовательно, согласно формуле (7.6) Xgy = 0,02g0.
Составим передаточную функцию для ошибки от возмущения (учитывая знак
воздействия возмущения и обратной связи):
• W .__Г ( Г[) W»W* ... 0.002 (0,1s+ 1)
*xt- *«\ W')~i + W 0,0005ss +0,007s* + 0,17s+1
Для вычисления коэффициентов ошибки от возмущения можно
воспользоваться формулами поз. 1 табл. 7.2. В данном случае kx = 0,002; b0 = bx = 0;
6а = 0,1; во = 0,0005; аг = 0,007; а, = 0,17.
Ю Макаров И. М 289

Формулы для определения коэффициентов ошибки еле
по
пор.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Передаточная функция
разомкнутой системы W
ft0s, + V+*ts+1
*(PoSs+plS»+p2S+l)
* (Ни" + Pi*1 + Ри + О
sa(V+l)
A(poS*+plS»+Pasa+Pss |-1)
V*+*!«* +V + V +1
^(P^+P^+pjS'+PsS+l)
SQJ + w + bf+l)
*(p0s*+p1s*+p2s2+p3s+l)
*(p0s',+ p1s',-1 + ..- + pn_iS+ 1)
* (Pes" + Pis""1 + h Pn_,s + 1)
s2 (Vn_2 + V"-3 + • • • + Ьп-Яв + 1)
Коэффициенты
с.
1
1 + *
0
0
1
1+*
0
0
1
1+*
0
0
с,
*a-(*a + Ap2)c„
1+A
1
A
0
*s-(*s + Aps)C0
1+A
1
R
0
*n-i-(*«-i + APn-,)C0
1+A
1
A
0
290

Таблица 7.1
жения по передаточной функции разомкнутой системы
ошибки
с,
1+А
fti-(l+*P,)C1
А
1
б2-(62 + АР2)С0-(6з + *Рз)С1
1+А
А
1
А
6Я-2 — (*Я-2 + АРп-2) С0 —
-(бя-i + Ap^C!
1+А
&я_а — (1 + APn-i) Ct
А
4 '
1
с,
Ь, - (Ь0 + Ар.) С0 - (*! + APi) Cx-
-(*2+*Р2)С2
1+А
*«-(*1+Ар1)С1-(1 + Ар2)С2
А
*о — АРаСа
А
*i - & + Apt) С0 - (Ь2 + Ар2) d -
-(*з + Арз)Са
1+А
*i-(*a + *p2)C1-(l+Aps)C2
А
bi — APsCa
А
*я-з — (*п-з + APn_t) C0 —
- (Ьп.2 + Аря-.) Сг - (Vi + APn-i) Ca
1+А
fc-i - ftu, + *Р»-а) Ci - (1 + Ар^) С,
А
*я_* — ЛРя-iCa
А
№•
291

Формулы для определения коэффициентов ошибки по
№
по
пор.
1
2 "
3
4
5
6
7 .
8
9
Передаточная функция замкнутой
системы для ошибки W,
a„s* + a^ + a2s + 1
*^»(^»+1)
aoS» + «is2 + a2s + 1
**(*о*4 + \«3 + ***а + *з*+1)
«0s* + aiS* + a2«a + e«s + l
1 а0й* + £ts3 + aasa -f- ass + I
*^"(^, + *1«+l)
dgs* + alSs + agsa + ass + l
a0s" + a1s',-1 + ..-+a„.1s+l
*r« (V-1 + blS"-2 + ••■+ *„.2s + 1)
0,8"+ 01«n-1+... +0^+ I
й^2 (VL"2 + ^s""3 + • • • + *„_ss + I)
O^+Oj»*-1 + -..+««.!•+ 1
Коэффициенты
С,
**
0
0
**
0
0
**
0
0
Сг
Ьх (b2 — а2)
kx
0
kx (*s — a3)
kx
0
кх(Ьп_± — an.x)
kx
0
-J

Т а б л и ц а 7.2
передаточной функции замкнутой системы для ошибки
ошибки
«-■
С,
kx [*1 — *2«2 — К — а1)]
kx (*i — Я2)
kx
kx [*2 — b3a3 — К — а*)]
kx (bt — а»)
kx
kx[bn-2— bn-\an-\~
-OV-2-aLi)]
** (*Я-2 — atl-l)
kx
с.
kx [b0 — bxa2 — *2 (ax — a\) —
— (a„ — 2aia2 + a\)]
kx[b0 — ftia2^(ai — al)]
** (*o - a2>
** [*i — Vs — *s (a2 — a%) —
— (aj —2a2as+a|)]
ft*[*i —Vs —(a2 —al)l
**(*i —a»)
kx\bn~Z — bn-2an-\ —
-J«-i(v2-aLi)-
** [6n-3 — */1-2ая-1 — (ая-2 — a«-l)]
ft* (*я-8 — On.j)
293

Подставив эти значения коэффициентов передаточной функции в формулы,
получим С/0 — 0,002; Ch = —0,00014; Cfx = 0,0000098 и С{3 = —0,00000169.
Согласно формуле (7.9) имеем
xfy = +0,002 U sin 0,628/ — 0,00014-0,628 /„ cos 0,628/ — 0,0000098 X
X 0,197 L sin 0,628/ + 0,00000169-0,41 /„ cos 0,628 / = /„ (0,002 sin 0,628/ =
= 0,0000878 cos 0,628/)-
В соответствии с формулой (7.1) суммарное значение установившейся ошибки
ху = 0,02 gt + /0 (0,002 sin 0,628 / — 0,00000878 cos 0,628/).
Передаточная функция для ошибки есть дробно-рациональная
функция от s, поэтому значения коэффициентов ошибки можно
вычислить делением ее числителя (начиная с младшего члена)
на знаменатель. Такой прием следует применять, когда нельзя
использовать данные табл. 7.1 и 7.2. При этом удобно
пользоваться техникой подвижной полосы [55]. Перед расчетом
передаточную функцию для ошибки (слежения или от возмущения)
приводят к виду
oes"1 + a1e"-1 + ..-+oe.1e+I
Затем на полосу бумаги (на подвижную полосу) выписывают
столбиком —а0, аг —ап_и 1 и на листе бумаги (на
неподвижную полосу) выписывают столбиком Ьп, Ьп_г Ь0, 0,
0, ... В статической системе Ьп = 1, в астатической Ьп и несколько
последующих коэффициентов bt равны нулю.
Подвижную полосу кладут слева от неподвижной так, чтобы
осталось место для записи результатов. Сначала нижняя цифра
подвижной полосы должна находиться в одной строке с верхней
цифрой неподвижной полосы. Затем подвижную полосу постепенно
перемещают вниз.
В каждом положении подвижной полосы ее нижнюю цифру
умножают на цифру неподвижной полосы в той же строке. Каждую
из остальных цифр подвижной полосы умножают на находящуюся
рядом цифру из столбца «Результат». Сумму всех произведений
записывают в столбец «Результат», рядом с нижней цифрой
подвижной полосы.
Цифры из столбца «Результат», начиная с верхней, после
умножения на kx являются коэффициентами ошибки С0, Clt C2
Поэтому расчет нужно продолжать, пока в столбце «Результат»
не окажется столько цифр, сколько коэффициентов ошибки
необходимо вычислить.
Пример 7.3. Вычислить коэффициенты ошибки слежения С0, С±, С2, С3
и Ct для системы, у которой передаточная функция
w 0,l(0,ls8 + 0.5s2 + s)
* 0,1s» + 0,2s* +s+l *
2Q4

Таблица 7.3
Расчет к примеру 7.3
№ подсчета
1
2
3
4
5
Подвижная п Неподвижная
полоса Результаты полоса
-0,1
-0,2
-1,0
1,0
1
-0,1
-0,2
-1,0
1,0
-0,1
-0,2
-1,0
1,0
-0,1
-0,2
-1,0
1,0
-0,1
—0,2
-1,0
1,0
0 0
1.0
0,5
0,1
0 ' 0
0,5
0,1
0 0
1,0 1,0
0,1
0 0
1,0 1,0
—0,5 0,5
0 0
1,0 1,0
—0,5 0,5
0,4 0,1
0,4 0
Расположение полос при расчете показано в табл. 7.3 для каждого подсчета.
Запись подсчетов имеет вид:
№ подсчета Результат
1 1-0=0
2 1 -1—1 -0 = 1
3 1 -0,5—0,2-0— 1-1 = —0,5
4 1-0,1— 0,1-0 — 0,2-1 + 1-0,5= 0,4
5 1-0—0,1-1 +0,2-0,5-1-0,4=-0,4
Следовательно, коэффициенты ошибки имеют следующие значения: С„ — 0;
С1 = 1-0,1 = 0,1; С2 - —0,5 0,1 == -0,05; С3 = 0,40,1 = 0,04 и С4 =
= —0,4-0,1 = —0,04.
Данные для определения коэффициентов ошибки по ЛАЧХ
минимально-фазовой системы приведены в табл. 9.6.
295

7.3. ПОКАЗАТЕЛИ, КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Среди возможных режимов САР важное значение имеет
переходный процесс, возникающий при быстром (в пределе
мгновенном) изменении задающего воздействия или возмущения от
одного значения до другого. Чем с большей скоростью и плавностью
протекает такой процесс,.тем меньшие продолжительность и
значение рассогласования.
Поэтому одной из оценок качества регулирования (прямой
оценкой) служит оценка качества переходной характеристики САР
относительно задающего воздействия. При этом имеется в виду,
что чем лучше переходная характеристика, тем лучше система
будет отрабатывать (воспроизводить) произвольное задающее
воздействие.
Переходные характеристики (рис. 7.2) бывают колебательными
(кривая /) и монотонными (кривая 2). Особенность колебательной
характеристики в наличии перерегулирований — переходов через
установившееся значение. Если только одно перерегулирование,
то характеристика малоколебательная. У монотонной
характеристики не изменяется знак производной: -gj- > 0. Иногда к
монотонным относят характеристики без перерегулирования (кривая 3),
хотя знак производной и изменяется.
К основным показателям качества переходной характеристики
относят перерегулирование а и время регулирования *р.
Перерегулирование есть разность между максимальным значением
ЛШах переходной характеристики и ее установившимся значением
Лу. Перерегулирование выражают в процентах:
о =
«max ■
-ЙУ
100%
(7.10)
В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование
не превышало 10—30%. Иногда необходимо, чтобы перерегули-
т—г
ь
26.
Рис. 7.2. Основные типы переходных характеристик относительно задающего воздействия
Рис. 7.3. Область допустимых отклонений переходной характеристики относительно
задающего воздействия
296

Рис. 7.4. Основные типы переходных характеристик относительно возмущения
рование отсутствовало и характеристика была монотонной. В
некоторых САР допускают перерегулирование до 50% и более.
Временем регулирования оценивают длительность
переходного процесса. Однако в идеальной линейной системе переходный
процесс бесконечен, поэтому временем регулирования tp считают
тот интервал времени, по истечении которого отклонения
переходной характеристики от установившегося значения не
превышают А:
|A-ft,|<:AV (7.11)
На рис. 7.2 время регулирования указано для каждой из
трех характеристик. Значение А выбирают обычно равным 5%.
Иногда устанавливают А = 2% и даже А = 1%, но такой выбор
следует оговаривать.
При заданных значениях о и tP переходная характеристика
не должна выходить из определенной области (рис. 7.3),
называемой областью допустимых отклонений. '
Существенным показателем качества служит также число
колебаний, т. е. число максимумов характеристики за время
регулирования. Обычно бывает одно-два колебания. Допускается до
трех-четырех колебаний.
Всякая САР имеет своей целью, кроме воспроизведения
задающего воздействия, еще и подавление (уменьшение влияния)
возмущений. Поэтому качество регулирования оценивают также
по переходной характеристике hf системы по возмущению.
Основная особенность этой характеристики (рис. 7.4) в том, что
ее установившееся значение должно быть весьма малым в
статической системе (кривая /) и равно нулю в астатической системе
(кривые 2 и 3). Характеристику, пересекающую ось абсцисс,
называют колебательной (кривые 1 и 2) и монотонной (кривая 43)'
если такого пересечения нет.
Для определения времени регулирования характеристики hf
служит то же значение А = 5%. В астатической системе
значение Д откладывают от оси абсцисс.
2Я7

Понятие перерегулирования для характеристик hf не имеет
смысла, и эти характеристики оценивают непосредственно
максимальным значением hfmm. На рис. 7.4 указаны значения времени
регулирования tP и максимальные значения Л/гаах для всех трех
характеристик.
Качество регулирования САР оценивают и по переходным
характеристикам hx для ошибки слежения, которые отличаются
от Л/ тем, что их начальное значение не равно нулю.
7.4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Приближенно качество переходной характеристики можно
оценить по вещественной частотной характеристике, так как
между этими характеристиками минимально-фазовой системы есть
взаимосвязь, определяемая формулой (4.21). Наиболее
употребительны те оценки, которые могут быть даны без дополнительных
расчетов. Основными из них являются следующие [102].
1. Установившееся значение hy = h (оо) переходной
характеристики определяется начальным значением вещественной
частотной характеристики:
hy=P(0). (7.12)
2. Нач альное значение Ло = h (0) переходной характеристики
определяется конечным значением вещественной частотной
характеристики:
Ао = Я(оо). (7.13)
3. Двум вещественным частотным характеристикам, сходным
по форме, но отличающимся масштабом по оси абсцисс в п раз,
соответствуют переходные характеристики, также сходные по
форме и отличающиеся масштабом по оси абсцисс в \1п раз. Если
вещественной частотной характеристике Рх (со) соответствует
переходная характеристика /МО (рис. 7.5), то вещественной
частотной характеристике Р% (псо) соответствует переходная
характеристика hiit/n)
4. Двум вещественным частотным характеристикам, сходным
по форме, но отличающимся масштабом но оси ординат в п раз,
соответствуют переходные характеристики, также сходные по
форме и отличающиеся масштабом по оси ординат в п раз.
5. Разрыв непрерывности вещественной частотной
характеристики свидетельствует о том, что система находится на границе
устойчивости. Разрыву при со = 0 соответствует апериодическая
граница устойчивости (наличие нулевого корня'характеристиче-
ского уравнения) и разрыву при со Ф 0 — колебательная граница
устойчивости (наличие пары чисто мнимых корней
характеристического уравнения).
298

рис. 7.6, Вещественные частотные характеристики н соответствующие им переходные
характеристики
6. Острый пик вещественной частотной характеристики при
угловой частоте <о; (с-1) свидетельствует о медленно затухающих
колебаниях переходной характеристики с частотой, близкой
к % (Гц).
7. Если вещественная частотная характеристика непрерывная
положительная и имеет вид вогнутой кривой, т. е. ее производная
—i— < 0 и монотонно уменьшается по абсолютному значению,
то переходная характеристика монотонная.
8. Если при какой-либо частоте ордината вещественной
частотной характеристики больше начальной, то переходная
характеристика немонотонная. Это один из признаков немонотонности.
9. При положительной невозрастающей вещественной
частотной характеристике перерегулирование переходной
характеристики не превышает 18%.
10. При наличии у положительной вещественной частотной
характеристики максимума />„,„ перерегулирование переходной
характеристики оценивают неравенством
о<
1.18Л,
РФ)
Р(0)
100%,
(7.14)
11. Если вещественная частотная характеристика имеет
положительный Ящах и отрицательный Рта экстремумы (рис. 7.6),
то перерегулирование переходной характеристики оценивают
неравенством [5]
1,18Рш«+0.27И>ш1п-/»(<>) 1ППо/
(7.15)
12. Если вещественная частотная характеристика непрерывная
невозрастающая и по форме приближается к трапецеидальной,
то переходную характеристику приближенно можно опреде-
299

Рис. 7.6. Вещественная частотная
характеристика с двумя экстремумами
ал шп
Рис. 7,7. Вещественная частотная характе-
ристика,[аппроксимируемая двумя
трапециями
лить по табл. 4.4 А-функций, где % = сои/шп (см. рис. 4.1). В этом
случае время регулирования находится в пределах
л/со„<^,<4я/соц. (7.J6)
13. Если вещественная частотная характеристика
положительная на интервале частот сош то во всяком случае время
регулирования
*р>я/соп- (7.17)
14, Вещественную частотную характеристику, которая
может быть аппроксимирована двумя трапециями (рис. 7,7),
определяют тремя параметрами: основным коэффициентом наклона
% = o)d/o)u; коэффициентом формы Я = <ой/<оц и дополнительным
коэффициентом наклона %а = (ла/(ль. Такой вещественной
частотной характеристике соответствует переходная характери-
V* Ртах
о,
70
ВО
50
W
30
го
■ю
п
L1
Vo
--
—
—
— ■
2
—
1,
—
^".
3
I—
*
*
•
+•
»
*
)
♦
I
%
—
ч
?р
—
<У
X
■~г
* t
ь
—
"
—1
'та
с
Sff
4Ж
рс
f
зя
Шс
ш
(Ос
я
х-
I)
Рис, 7.8, Графики зависимости времени регулирования t и перерегулирования о от
максимального значения Ртах вещественной частотной характеристики:
в . - - - -
шал ^ ^
при X < 0,8; Я > 0,5 и Хд > 0,4; 6 — при X < 0,8; 0,1 < & < 0,5 и Хд > 0,4
300

Таблица 7.4 • «t
Значения функции
ч
0
я
2я
Зя
4я
5л
6я
7я
а
0
1,852
2.282
2,541
2,724
2,866
2,982
3,080
ч
8я
9я
10я
11л
12л
13я
14я
15я
стика, показатели качества которой могут быть приближенно
определены по графикам, изображенным на рис. 7.8.3десь Ршх —
максимальное значение вещественной частотной характеристики
и о)с — частота среза ЛАЧХ разомкнутой системы. Эти
зависимости используют и при, синтезе корректирующих устройств
(см. п. 9.5),
Некоторые из перечисленных оценок (1 — 14) удобно
применять, пренебрегая высокочастотной частью вещественной
частотной характеристики или внося небольшие коррективы в ее сред-
нечастотную часть. Погрешность, которая при этом вносится
в переходную характеристику, можно приближенно определить
[102].
Пусть отброшенная часть Рот = Рт (со) вещественной
частотной характеристики удовлетворяет следующим условиям:
Рст — 0 при 0 < со < со,:
| Р01: | ■< ц при со, < со <: щ, (7.18)
причем функция Рог имеет N экстремумов в интервале со, < со <:
<: соА и не возрастает по абсолютному значению при со > coft.
Тогда верхний предел погрешности АЛ, который вносится в
переходную характеристику при t -= tt, определяют по формуле
АЛ(/,)<-^[а(т)1)-а(т11)]1 (7.19)
гДе *]i = «Mi! Лг °= (с + N) тс; с — наименьшее из целых чисел,
удовлетворяющих неравенству с > со,^/я.
График функции а (т)) изображен на рис. 7.9, и ее значения
приведены в табл, 7.4.
Из формулы (7.19) следует, что верхний предел погрешности ДЛ
уменьшается с увеличением t, и наибольшее значение ДЛ тем
меньше, чем больше со; и меньше [i.
По оценке (7.17) время регулирования больше л/соп>
поэтому поправки ДЛ целесообразно вычислять только при t >
> я/соп.
а
3,165
3,240
3,306
3,366
3,421
3.471
3,517
3,560
3
2
7
—
lit 47Г $Я 8л 1Qrr 12'Х ЩТ q
Рис. 7.9. График зависимости вспомогательной
(hvuviiuu гш

Рис. 7.10. Вещественная
частотная характеристика к
примеру 7.4
0,2L
Пример 7.4. Выисиить возможность аппроксимации вещественной частотной
характеристики, изображенной на рис. 7.10, одной трапецией при оценке качества
соответствующей ей переходной характеристики.
Параметры трапеции шп = 32 с~^; а>а = 19 с-1; коэффициент наклона
X = <ва/(Вп «* 0.6. По табл. 4.4 ft-фуикций определяем показатели качества
переходной характеристики, соответствующей этой трапеции: а« 16%; tn *»
= 8,5/32 = 0,27 с.
Теперь определим верхний предел ДА поправки. Отброшеииаи часть Р09
вещественной частотной характеристики, состоищан из участка / (рис. 7.10) и ее
высокочастотной части //, удовлетвориет условиям (7.18) при о»; = 8 с-1; ц =
= 0,2 и Н = 2.
Вычислим поправку при tp = 0,27 с: ш/<п= 8-0,27= 2,16; mtJn = 0,69;
с = 1; с + N = 3; по графику рис. 7.9 а (0,69 я) = 1,5; по табл. 7.4а (Зя) =
= 2,54; ДЛ (0,27) = ^1°-^ (2,54-1,5) = 0,13.
я
Значение ЛЛ слишком велико. В рассмотренном случае нельзи оценить
качество переходной характеристики, аппроксимировав вещественную частотную
характеристику одной трапецией. Необходима аппроксимация по меньшей мере
треми трапециими. Тогда для построении переходной характеристики может быть
использован метод, изложенный в п. 4.2.
Пример 7.5. Оценить погрешность в определении переходной
характеристики, если вещественную частотную характеристику Р3 (рис, 7,11, а) считать
равной характеристике р±.
Отбрасываемая высокочастотнаи часть Рог характеристики изображена на
рис. 7.11, б. По этим графикам определим: а>в = 85 с-1; ш/ = 75 с-1; ц = 0,14
и N = 1.
Вычислим верхний предел погрешности при tt
= 75-0,037= 2,78; mtjn = 0,88; с = 1; с+ W = 2; по графику рис. 7'АО.
а (0,88я) = 1,75; по табл. 7,4 а (2я) = 2,28; ДА (0,037)= 2'0'14 (2,28-1,75) =
= 0,069.
Вычислим верхний предел погрешности при t2 = 2,5я/а>в= 0,092 с: ш//а =
= 75-0,092= 6,9; a>itt/n= 2,21; с= 3; с+W = 4; по графику рис. 7.10
а (2,21 я) = 2,30; по табл. 7.4 а (4я) = 2,79; М (0,092) = ^^-(2,72—
— 2,30)0,037.
302
я/шп = 0,037 с: о»/*! ■

p
1,0
0,6
0,6
о,ч
0,2
0
у
У
S
s=b
20
|
4
\
\
\
\
\
\
\
\
40. 60 \
I I
4
4 ioo^I
*гЛ
и
W"M
Вычислим верхний предел
погрешности при t3 = 4nla>n=
= 0,148 с: mt3 = 750,148 =
= 11,1; a>itjn= 3,53; с = 4;
с-\- N = 5; по графику рис. 7.10
а (3,53я)=2,64; по табл. 7.4 0,6
а (5я) = 2,78; ДА (0,148) =
= Mili (2,87-2,64) = 0,020.
Итак, при определении
переходной характеристики но
вещественной частотной
характеристике Р2 вместо Р^
погрешность на участке от i± =
= я/а>п до ta = 4я/а>п,
охватывающем <р, постепенно
уменьшается от 7 до 2%.
Приближенно
оценивать переходную
характеристику замкнутой си -
стемы можно и по АФЧХ
ее разомкнутой цепи.
Наиболее простым
является признак
колебательности переходной
характеристики [12]. Если
АФЧХ разомкнутой
астатической системы пересекает прямую U = —0,5, параллельную оси
ординат (кривая / на рис. 7.12, а), то переходная характеристика
колебательная. Если пересечения нет (кривая 2), то
удовлетворяется необходимый [признак^ монотонности переходной
характеристики. |И
Для того чтобы^переходная характеристика статической
системы была колебательной, АФЧХ разомкнутой цепи этой
системы должна 'пересекать окружность радиуса г, центр 'кото-
0
20
40
о,г
О.)
60 cot
100 ПО 140 (j
V
Рис. 7.11. Вещественные частотные
характернстнкн к примеру 7. В
-Л- •
/
' i
/?
/
'
а)
J*
?
ЧУ
и
Рнс. 7.12. Определеине колебательности переходной характернстнкн занкнутой системы
по АФЧХ ее разомкнутой цепи:
а — астатическая система; б — статическая система
303

рой 'расположен на оси абсцисс в точке U = а (кривая / на
рис. 7.12, б):
г = k (k + l)f(2k + 1); а = W(2k + 1), (7.20)
где k — передаточный коэффициент разомкнутой системы.
При отсутствии указанного пересечения (кривая 2)
переходный процесс статической системы монотонный.
Оценки перерегулирования и времени регулирования
переходной характеристики замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой
цепи приведены в работе [102, гл. XVI, п. 10 и 11J. Связь
между показателями качества переходной характеристики и
логарифмическими частотными характеристиками рассмотрена в п. 9.5.
7.5. ПОКАЗАТЕЛЬ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ
Показатель колебательности М есть отношение максимальной
ординаты амплитудно-частотной характеристики замкнутой
системы к начальной ординате:
М = AmJA (0). (7.21)
Рассматривают обычно амплитудно-частотную
характеристику относительно задающего воздействия. В астатических
системах с единичной обратной связью Л (0) = 1, в статических
системах при k > 1 имеем Л (0) я* 1, поэтому можно принять
М « Лтах.
Физический смысл этой оценки заключается в том, что она
показывает максимально возможное отношение амплитуды
регулируемой величины к амплитуде гармонического задающего
воздействия. Косвенным показателем колебательности является
также запас устойчивости, при уменьшении которого
колебательность системы увеличивается.
Считается, что система имеет допустимый запас устойчивости
при 1,5 < М <: 1,7, хороший запас устойчивости при 1,1 <
< М < 1,3. Системы используются как при М = 1, так и при
М >> 2. Обоснованные рекомендации устанавливают для каждого
класса систем на основании опыта их эксплуатации.
Значение М может быть определено непосредственно по
АФЧХ разомкнутой системы с единичной обратной связью. На
комплексную плоскость наносят семейство окружностей
(рис. 7.13) радиусом /? с центром, смещенным влево от начала
координат на с:
R = А/(А* — 1); с = АЩА* — 1), (7.22)
где значение амплитуды А = А$ изменяется от 1 до оо.
Около каждой окружности указывают соответствующее
значение Л — М. При Л = 1 окружность вырождается в прямую
304

Рис. 7.13. Опрсделеиие показателя колебательиостя М по АФЧХ разомкнутой системы
линию,, параллельную оси ординат и сдвинутую от нее влево на
0,5. При А = оо окружность вырождается в точку с
координатами [—1; / 0]. Значения с н R для некоторых значений А
приведены ниже:
А
0
R
1,10
5,76
5,24
1,15
4,10
3,57
1,20
3,27
2,73
1,25
2,78
2,22
1,30
2,45
1,88
1.40
2,04
1,46
1,50
1,80
1,20
1,60
1,64
1,03
1,70
1,53
0,90
1,80
1,45
0,80
2,00
1,33
0,67
Затем на рассматриваемой комплексной плоскости строится
АФЧХ. Наименьшая окружность, которой коснется АФЧХ,
определит значение М рассматриваемой системы. Наименьшая
окружность на рис. 7.13 определяет М = 1,7.
Пусть в требованиях к системе предусмотрено, что показатель
колебательности не должен превышать некоторого значения М.
Тогда строят окружность, соответствующую А — М, и АФЧХ
разомкнутой системы не должна пересекать этой окружности —
запретной зоны, но может коснуться ее.
Запретная зона может быгь построена и для
логарифмической фазово-частотной характеристики разомкнутой системы
305

Рис. 7.14. Запретная зона для ЛФЧХ разомкнутой
системы по значению показателя колебательности
(рис. 7.14). Показатель
колебательности не превысит заданного
значения УИ, если избыток фазы не менее
H=-arccos^±^ (7.23)
в том диапазоне частот, в котором
20 lg [УИ /(УИ + 1)]<L<
« 20 lg MI(M — I), (7.24)
т. е. в указанном диапазоне частот ЛФЧХ не должна заходить
в чону, ограниченную прямой —180° и кривой —180° -f- ц.
Таблица 7.5

Значения
t, ДБ
—5
—4
—3
—2
— 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Значения избытка фазы ц
Значения |1> град, при различных М
1,05
23,5
35,0
42,4
48,1
52,7
56,7
60,2
63,0
65,3
67.0
68.8
69.9
71.0
71.6
72.2
72.2
72,2
71.6
71.6
70.5
69.3
68.2
66.5
64.2
61.9
59,0
55.6
51.3
1,10
20,1
32,1
40,1
45,8
50,4
53,9
57,3
59.6
61.3
63.0
64.2
64.7
65.3
65.3
65.3
64.2'
63,6
61,9
60.2
57,9
55.0
51.0
47,0
41.3
33.8
23.5
1,15 \1.20J 1,25
16,6
29,8
37,8
43,5
48,1
51,6
54,4
56,7
58,4
59,6
60.2
60.2
60,2
59,6
58,4
'57,3
55,0
52,1
48,7
44,7
39.0
32.1
21,2
12,6
27,5
35,5
41,3
45,8
49,3
52, Г
53,9!
55,0;
56,1;
Б6т7
56.1
55.61
54.4
52.7!
49.8*
47,0
43,0
37,2
29,8
18,3
8,0
25,2
33,8
39,5
43,5
47,0
49,8
51,0
52,7
53,3
53.3
52.7
51.0
49.3
47,0
43,5
39,0
32,7
23,5
1.30
22,9
31,5
37,8
41,8
45,3
47.6
49,3
49,8
50,4
49,8
48,7
47,0
44,7
41.3
36,7
30,4
20,1
1,40
18,9
28,6
34,4
39,0
41.8
44,1
45,3
45,8
45,3
44,1
42,4
39,5
35.5
29.8
21,2
1,50 | 1,60
14,3
25,2
31,5
36,1
39,0
40,7
41,8
41,8
40,7
39.0
36.7
32.1
26.4
16,0
10,3
22,9
29,2
33,8
36,7
37,8
38,4
38,4
37.2
34.4
30.9
25.2
15.5
1,70
2,9
20,1
-27,5
31,5
34,4
35,5
36.1
35.5
33,2
30.4
25.2
17.2
1,80
17,8
25,2
29,8
32,1
33,8
33,8
32,7
30,4
26.4
20,1
4,0
?,00
13,8
21,8
26,4
29,2
29,8
29,2
28,1
24,6
18,3
2,9

В табл. 7.5 приведены данные для построения зависимостей ц
от ординат ЛАЧХ. В п. 9.6 будет рассмотрена методика
построения ЛАЧХ по заданному значению М [8].
7.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Отклонение х регулируемой величины от установившегося
значения в переходном процессе и продолжительность этого
процесса характеризуются при интегральных оценках качества
одним числом. Интегральные оценки удобны для сравнения близких
по структуре систем (лучшая из них имеет меньшую интегральную
оценку) и для выбора параметров при синтезе систем (см. п. 9.2).
Обычно используются инте1ральные оценки системы
относительно задающего воздействия, но могут рассматриваться такие
оценки и относительно возмущения. Рассмотрим наиболее
употребительные оценки.
Линейная интегральная оценка. Численно она равна площади,
ограниченной кривой отклонения х (рис. 7.15), и выражается
через изображение по Лапласу X отклонения х:
J0= \ х At •= lim X.
s-»0
(7.25)
Линейную интегральную оценку можно применять только
при монотонном переходном процессе (рис. 7.15, а). При
колебательном процессе (рис. 7.15, б) суммарная площадь, ограниченная
кривой х, совершенно не оценивает качество процесса: она будет
минимальной при незатухающем колебательном процессе.
Используются также линейные интегральные оценки более
общего вида:
У0т= \xtmdt = (-l)mlim±-
J s-ю as
dmX
(7.26)
Они связаны с коэффициентами ошибки (см. п. 7.2):
Ст = (~1)тЛт (7-27)
и позволяют [72] определить приближенное решение линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Рис 7.15. Определение линейной
интегральной оценки:
а — переходная
характеристика монотонная; б —
колебательная
307

Квадратичная интегральная оценка. Она может применяться
как при монотонных", так и при колебательных переходных
процессах и зависит только от значения отклонения, но не от его
знака:
y = Jxactt.
(7.28)
Пусть изображение по Лапласу рассогласования х будет
X _ ftps" + blSm-1 + • • • + ftm-iS + Ьт
а<& + а^"-1 -\ Ь a^s + а„
(7.29)
где т < п — 2 и все корни полинома agS" 4- а^п'1 -\- ... + ап
имеют отрицательные вещественные части. ,
Тогда квадратичная интегральная оценка определяется [451
следующей формулой:
Здесь определитель
(7.30)
Д =
ап
0
0
0
—ап-г
a„-i
—ап
0
an-i •
—й/1-1 ■
ап.г ■
0
.. 0
. 0
.. 0
.. а
(7.31)
определители Дг, i == пг, т — 1, ..., 0, образуются из
определителя Д заменой (т — i + 2)-го столбца столбцом
a„-i,a„,0,0,..A (7.32)
в Д и Д/ элементы с индексами меньше 0 и больше п заменяются
нулями.
Коэффициенты В, в формуле (7.30) имеют следующие значения:
Вт = "т\
Вт-\ = "т-\ — 2Ьт_2От;
Bt = Щ - 2ЬцЬм + 2b!.2bU2 - . . .;
(7,33)
Во
ъ\,
где элементы с индексами меньше 0 и больше т. заменяются
нулями.
308

Если изображение рассогласования
а,/1 + a^""1 Н 1- a„.lS + a„
то квадратичная интегральная оценка
(7.34)
j __ Д»Ап + Дл-iAn-i + • • • + ВгАа + £iAi gAt-i ^ >7 35)
2<Д
Здесь определитель Д имеет прежнее значение (7.31) и
определители Д/, I = п, п—I, ..., 1, образуются из
определителя Д заменой (п — i + 1)-го столбца столбцом (7.32).
Коэффициенты fy и Bt в формуле (7.35^ составляют следующим
образом:
бп = К (—ап/а0); Bi = b0 (b,/bu — а;/а0), i = n—\,
п-2 1; (7.36)
ВП-1 = 6„_1 — 2ВП-2&п'>
Bt =б]- 2В,.фм + 25/_25,+2 - ...; (7.37)
5i = в?,
где элементы с индексами меньше 0 и больше п — 1 заменяются
нулями.
Если известно изображение Н переходной характеристики,
то, чтобы воспользоваться формулами (7.30) или (7.35), следует
сначала определить изображение X отклонения:
X = hY/'S — Н, (7.38)
где hy — lim sH.
s-»0
Значения квадратичной интегральной оценки, соответствующей
некоторым значениям Н, даны в табл. 7.6.
Весьма различные по форме переходные процессы могут иметь
равные квадратичные интегральные оценки. В этом заключается
недостаток таких оценок. Кроме того, если выбирать параметры
системы по минимуму квадратичной интегральной оценки, то
переходный процесс может оказаться сильно колебательным.
Все это ограничивает использование квадратичных интегральных
оценок при анализе и синтезе САР.
309

Таблица 7.6
Квадратичные интегральные оценки
по
пор.
1
2
3
4
Изображение по Лапласу Н
переходной характеристики А,
где hy — h (oo)
Ay(*,s+D
(a^ + aiS-f- l)s
MV2 + *2s + l)
(ags3 + axs* + a2s-+- l)s
> Ay(&1s3 + *lss2 + *ss-f 1)
(aoS4 + aj.s3 + a^s2 -j- a^ + 1) s
M*lS4+*2S8+*3S24-*4S+l)
(aoS6 + ajs4 + ajs8 + ags* + a4s -f-1) s
Квадратичная интегральная оценка J = J ** df
0
2<h
,2Г«1(«1+622-2*1) + *? . a2 1
яу[ 2(aia2-a0) 4" 2 °2j
Aj = a^ — a0a3; Bx = *| — 2*2; B2 = 6^ — 2*j*3
*2y
Г (51 + аз)Д1 + (В2-а1)Д2 + В3Дз + 6?Д4 - '
2 (a4Ai — а2Д2 + а0Д3) + 2 *_
Aj = a3A2 — a^; A2 = a^ — а0а^,
As=a1a4 — a„; Д4 = а8а4 — aa;
Bx = b\ — 2*3; 32 = 0^ — 262^ + 2*!:
Я3 = *2-2*1*з
I-

Продолжение табл. 7.6
по
пор.
5
6
7
Изображение по Лапласу Н
переходной характеристики ft,
где fty = ft (oo)
Ау (*lS5 + * .s* + V* + *4S2 + *5s + 1)
(a0sfi + a^ + a»s4 + a3ss + a^2 + a5s + 1) s
/ly(*,S+l)
a»s2+ais+l '
M*iS2 + **s+D
a„s* + a^2 + a2s + 1
Квадратичная интегральная оценка J = | je2 d^
0
2 ("(Bi + o4) At + (52 - oj) Д2 + (53 + oo) A3 4- 54A4 + *2Д.;
У[ 2(05^-0,^+0,^) '
+ "2 *5 ,
Д, = а4Д2 — а2Д3 + а0Д4;
Д2 = аа (axa2 — а0аа) — a, (a^ — а0аъ);
Лз = as (aia2 — аоаз) — аЬ
Д4 = а5 (0^4 — а0аъ) — а^;
Д5 = as (a3a4 - a2as) - (4- aias);
В1=*§-2*4: В2 = *42-2*з&5+2*2:
53 = b\ - 262*4 + 2*!*д; B4 = *22 - ЩЬг
4(ao + *D
2a0a,
2a0 (axa2 — a0)

Продолжение табл. 7.6
по
пор.
8
9
Изображение по Лапласу Н
переходной характеристики h,
где fty = ft (oo)
Ay(V3 + *2S2 + *3S+l)
[ags* + ajs3 4- a2s2 + a3s 4-1
hy (V* 4- ft«s" + M* + M -fl)
«OS* + "I5* + a2s* + V2 + a*S + 1
00
Квадратичная интегральная оценка J = J x4t
0
fty [(«2 + *§ - 2*a) Vi - К - *2 + 2&i63) Va +
+ *l(a2a3-al)]
4[ai(a2a3-ai)7ao^]
Лу [(B2 + a3) Л52 4- (B8 - ai) ^53 - S4^S4 + ^55]
2a0 (a^,, —a,i4M4-i4,8)
Л62 = a0 (a,a2 — a0a3); Л63 = a0 (a^ — a0);
Л56 = a4 («2a3 - aA) - (a2 - «(ft):
B2 = bl-2b3; B3 = *l-262*44-26i;
B4 = b\ — frl*3

Продолжение табл. 7.6
по
пор.
10
Изображение по Лапласу И
переходной характернстикн А,
где fty = ft (oo)
hy fort + *2S* + *,S3 + *4S2 + ftfct + 1)
a„s* -\- ajtf + a2s* + a3& + a4sa + abs+1
00
Квадратичная интегральная оценка J — \ x' it
0
hl [(S2 + a4) Ай + (S3 - a2) A» + (S4 T ao) ^64 +
2a0 (а6Лм + а3Д,5 + ajdee)
Ав2 = ao Iai (ao<»5 + %a4> — a8 (ao<»3 — %a2)];
A>3 = a0 [«5 (ala2 - a0a3) - a?]'-
^в4 = ao Ia5 (я^ — a0as) — a^];
A65 = a0 К (a3a4 - a2a5) + alao - 4]'
A<X = a5 К (a0C4 - 4) - a4 (ala4 - °2аз) I -
— a8 (a2a3 — aia4) + % (a2a5 — ai): B2 = *6 — 2ft4;
B3 = *f - 2*3*s -f 2*2; B4 = *32 - 2fc2&4 - J»^;
B5 = *2 — 261*3

Улучшенная квадратичная интегральная оценка. Часто
используют оценку
оо
/г=. |(*» + Т"*«)<Н, (7.39)
о
где Т — некоторая постоянная.
Чем меньше значения JT, тем меньше отклонение переходной
характеристики от экспоненты с постоянной времени Т,
называемой экстремалью:
y = yy(l-i1~). (7.40)
Для вычисления оценки JT ее разделяют на два слагаемых:
оо оо
JT=\ *2 & + Т2 \ х2dt = J + 7V'. (7.41)
о о
Чтобы вычислить слагаемое J', следует определить
изображение производной х отклонения х, равное s.K (при х (0) = 0),
и затем использовать формулу (7.30) или (7.35). Можно также
воспользоваться пп. 6—10 табл. 7.6 и определить J' по
изображению sH производной от переходной характеристики.
При инженерных расчетах применяют и еще более сложные
интегральные оценки [102]. Например, оценку
Jtt - J (* + П** + Т\Р) dt, (7.42)
о
которая показывает приближение переходной характеристики
к экстремали, определяемой уравнением
<h9 + ai6 + V*~Vy, (7-43)
где аа = Т2 и a, = VT\ - 2Т\.
Методика выбора параметров САР по минимуму интегральной
оценки будет рассмотрена в п. 9.2.
7.7. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ
Переходная характеристика зависит от значения нулей и
полюсов передаточной функции САР (см. п. 4.1). Эта зависимость
используется для оценки качества переходной характеристики.
Качество регулирования зависит также от взаимного
расположения нулей и полюсов передаточной функции и изображения
внешнего воздействия. Ниже излагаются основные сведения'об
314

этих оценках. Наиболее эффективен метод корневых годографов,
который будет рассмотрен в п. 7.8.
Оценка распределения полюсов передаточной функции и их
связь с показателями качества. В простейшем случае
передаточная функция САР относительно внешнего воздействия g не имеет
нулей:
Wg = ~— М . (7.44)
Тогда переходная характеристика и ее показатели качества
полностью определяются распределением полюсов этой
передаточной функции, т. е. корнями характеристического уравнения
(6.4). Будем рассматривать устойчивую систему: все
коэффициенты характеристического уравнения положительные и его корни
sv sa, ..., s„ располагаются слева от мнимой оси комплексной
плоскости корней.
Некоторой обобщенной оценкой числового значения
коэффициентов характеристического уравнения.и его корней может
служить параметр
Q = VlSi&i ... sn\ = l/an/Oo, (7.45)
называемый среднегеометрическим корнем.
Параметр Q служит мерой быстроты протекания переходных
процессов. Увеличение Q в с раз ведет к тому, что форма
переходной характеристики не изменяется, а время регулирования
уменьшается в с раз. Очевидно, что для увеличения Q следует
увеличивать передаточный коэффициент разомкнутой САР.
Предварительные сведения о расположении корней
характеристического уравнения можно получить на основании следующих
соотношений между коэффициентами этого уравнения [531:
1) при
fle>ai >••>«„ >0 (7.46)
модули всех корней меньше единицы;
2) при
0<а„ <«!<•■• <а„ (7-47)
модули всех корней больше единицы;
3) если все отношения последующего коэффициента к
предыдущему заключены между положительными числами т и М:
0<т<-^-<:М, (7.48)
то модули всех корней заключены между теми же числами т и М:
m<]s,\<M. (7.49)
315

и^>>*.
\ *
Y х
1
ж1ч"
»4г^
%
а)
Э»
'
+J
+
-J
Рис. 7.16. Определение области расположения корней характеристического уравнения
параметрами J, | и ц= tg Ч>-
о — ближайшие корни комплексные сопряженные; б — ближайший корень
вещественный
Пример 7.6. Определить границы расположения корней характеристического
уравнения
2s*+25s»+ 134s*+225s+ 82= 0.
Неравенства (7.46) и (7.47) не выполняются и, следовательно, модули корней
и меньше и больше единицы. Вычислим отношения последующего коэффициента
уравнения к предыдущему:
225 I «?•
= 1>Ь7;
"2~-12,5; "25"5,361
134
ё=0'36-
На основании неравенств (7.48) и (7.49) заключаем, что модули корней
рассматриваемого уравнения лежат в пределах
0,36 < | st | <: 12,5.
Для проверки вычислим корни рассмотренного уравнения: Sf = —0,5;
Sj = —2 н s3(4 = —5 ±/ 4. Следовательно, в действительности модули корней
находятся в пределах 0,5 < | s^ | < 6,4.
Точнее область расположения корней характеристического
уравнения можно определить параметрами т), | и ц = tg ф
(рис. 7.16). Параметр т), называемый степенью устойчивости,
есть расстояние от мнимой оси до ближайшего корня, т. е.
значение его вещественной части. Не следует смешивать параметры
«степень устойчивости» и «запас устойчивости», так как это
совершенно различные, не связанные один с другим параметры.
Степень устойчивости оценивает быстродействие системы.
Параметр | есть расстояние от мнимой оси до наиболее
удаленного корня, т. е. значение его вещественной части. Параметр ц,
называемый колебательностью, — это отношение мнимой части р
ближайшего комплексного корня к вещественной а:
ц = р/а = tg ^. (7.50)
Для вычисления г\ рекомендуют следующий метод. В
характеристическое уравнение (6.4) подставляют s = г — г\ и получают
смещенное уравнение
vB-l
= oozn4-V_1 + --- +л„ = о,
где коэффициенты At — функции а, и т).
316
(7.51)

Уравнение (7.51) получено в результате смещения мнимой оси
плоскости корней характеристического уравнения влево на
величину г. При этом пара комплексно сопряженных корней (см.
рис. 7.16, а) или вещественный корень (см. рис. 7.16, б) попадают
на мнимую ось. Поэтому смещенное уравнение (7.51)
соответствует границе устойчивости, и для вычисления ц к этому
уравнению следует применить любой критерий устойчивости.
Приближенная связь между параметрами ц, | и ц и
показателями качества переходной характеристики заключается в
следующем. Корни характеристического уравнения, расположенные
ближе к мнимой оси, т. е. имеющие наименьшую по абсолютному
значению вещественную часть, дают составляющие переходной
характеристики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому
по степени устойчивости можно приближенно-определить время
регулирования, т. е. время по истечении которого отклонение от
установившегося значения не превысит 5%: tP «=< З/tj, если
ближайший к мнимой оси корень вещественный, и /р <: З/tj, если
ближайшая к мнимой оси пара корней комплексная сопряженная.
Я. 3. Цыпкин [116] дает другую оценку быстродействия по
значению г\: процессы в системе затухают быстрее, чем
экспонента е-4'.
По значению г\ можно также построить мажоранты и
миноранты 172], т. е. кривые, определяющие область, в которой
располагается переходная характеристика при типовом
расположении корней и типовых начальных условиях.
По значению колебательности ц можно определить
приближенное значение перерегулирования переходной характеристики:
о«:е"я/ц100%, (7.52)
если ближе к мнимой оси расположена пара комплексных
сопряженных корней.
Колебательность ц связана еще с одним показателем качества
переходной характеристики — с затуханием £. Затухание за
период
g^-Cl~Cz 100%, (7.53)
где d и С8- первая и вторая амплитуды синусоидальной
составляющей переходной характеристики, соответствующей
комплексным сопряженным корням.
Взаимосвязь ц и £ определяется следующими формулами:
Пример 7.7. Передаточная функция замкнутой системы
Wt = 0,0J)04s* -f- 0,012ss-f- 0,107s* -f- 0,465s+1 '
317

Определить приближенно показатели качества переходной характеристики,
пользуясь степенью устойчивости и колебательностью.
Определим корни характеристического уравнения:
si,« = —3 ±1 4; s3 = —8; s4 = —10.
4
Следовательно, r\ = 3 и ц = -=- = 1,33.
о
По ранее приведенным соотношениям определим время регулирования и
перерегулирование:
*.<:-|- = 1 с; ff<:e-"/1-33.100% =9,4%.
Действительные значения этих показателей таковы: tp ■■
1,22 с; о= 6%.
Диаграмма Вышнеградского. Если в характеристическом
уравнении третьего порядка все члены разделить на свободный член
и выполнить подстановку s — qQ0 — q Уа^а^, то получим
нормированное уравнение
q3 + Aq* + Bq + I = 0, (7.55)
где А и В — параметры Вышнеградского:
А=а1Ц
*о"з» " — "а' у "о"з* (7.56)
На плоскости параметров А и В граница колебательной
устойчивости определяется уравнением АВ = I при А >0 и В >0.
Это равнобокая гипербола, для которой оси координат служат
асимптотами (рис. 7.17). Область устойчивости находится выше
этой кривой, ее разделяют на три части в соответствии с
расположением корней уравнения (7.55) на комплексной плоскости.
Уравнение
А2В*— 4 (А3 + В3) + ШВ =^27 (7.57)
кривыми СЕ и CF выделяет область ///, соответствующую трем
вещественным корням. Кроме того, уравнение
2Л3 — 9АВ + 27 =• 0 при А > 3 (7.58)
дает кривую CD. В результате выделяются области lull. Им
соответствует один вещественный и
пара комплексных сопряженных
корней (см. рис. 7.18).
Полученный график называют
диаграммой Вышнеградского.
Область / — область колебательных
процессов, область // —
монотонных процессов и область /// —
апериодических процессов. Таким
образом, по диаграмме легко
определить как устойчивость системы
третьего порядка с передаточной
функцией (7.44), так и характер
переходной характеристики.
IIъ
\
\
V
_ J
7
т
1
1
А
:
"**>
г
С
>Ш
Е —
•*-*•*
у^"
*
1
jjmHuifa устоич
> 3 4 5 6
"F
ulocmu
7 А
Рис, 7.17. Диаграмма
Вышнеградского
318

По уравнениям для области /
В=ЩА— 2т]0) + 2т]0 (А - 2Ло) (7.59)
и для областей // и ///
В=1А|.-Л; + ЛЛ. (7.60)
на диаграмму можно нанести дополнительные линии равной
степени устойчивости т)п. В данном случае т)п — нормированная
степень устойчивости:
4o = ^o^v4AV1-' (7.61)
Дополнительные линии, соответствующие равным значениям £0>
наносят на диаграмму по уравнениям для областей / и ///
Я=1/£о-Г5 + Л£0 (7.62;
и для области //
В=]/(А- 2|0) + 2£0 (А - 2|(). (7.63)
Здесь
to = llQo =*¥*&&. (7.64)
Дополнительные линии равной колебательности наносят на
диаграмму по уравнению
4х2 (А3 + В3) — %3А2В2 + (2х3 — 4Х2 — 16%) АВ-%3 +
+ 12х2 — 48*+ 64 =0, (7.65)
где % = I тЬ цг. Эти же линии являются линиями равных
значений затухания £.
Диаграмма с дополнительными линиями позволяет по
параметрам А и В Вышнеградского определить значения т), £ и ц.
Затем, как было изложено ранее, можно найти приближенные
значения показателей качества переходной характеристики.
В двух случаях диаграмму Вышнеградского удается
использовать для приближенной оценки качества системы более высокого
порядка и с передаточной функцией, имеющей нули. Это
возможно, когда:
1) три полюса передаточной функции системы являются
доминирующими, а остальные удалены от мнимой оси влево значительно
дальше и ими можно пренебречь;
2) передаточная функция имеет нули, которые компенсируют
некоторые из полюсов, и остаются лишь три доминирующих
полюса. Можно считать, что нуль Y/ компенсирует полюс %i, если
|Ь,-V/| < 0,1 |Ь,-1^0,1 Ы- '7.66)
В обоих случаях действительную передаточную функцию
системы заменяют приближенной передаточной функцией третьего
порядка, не имеющей нулей.
319

h
V
V
¥
0,6
0,2
'if
\
\ ,
//
и
2
/
\ 1
3
Рис. 7.18. Переходные
характеристики,
определенные по передаточным
функции»!
0,1
о,г
о.з
о,ч
ъ.с
Влияние расположения нулей и полюсов передаточной
функции на переходную характеристику. На основании изложенного
можно заключить, что в устойчивой системе имеет место следующее.
1. Близко расположенные полюс и нуль взаимно
компенсируются. Их расположение считается близким при удовлетворении
неравенства (7.66).
2. Уменьшение амплитуды колебательной составляющей,
создаваемой комплексными полюсами, и приближение к асимптоте
экспоненциальной составляющей, создаваемой вещественным
полюсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль вещественного
полюса.
3. Время регулирования переходной характеристики зависит
в основном от абсолютного значения вещественной части
доминирующих полюсов или полюса. Доминируют ближайшие к мнимой
оси комплексные полюса или ближайший вещественный полюс.
4. Перерегулирование переходной характеристики зависит от
отношения мнимой части доминирующих комплексных полюсов
к вещественной.
5. Близкие к началу координат нули, если они не
компенсируются полюсами, и удаленные от него, но не доминирующие
полюса увеличивают время регулирования и перерегулирование.
Пример 7.8. Полюсы передаточной функции замкнутой системы Я,, , =
= -8,74 ± /18; %3 = -20.
Определить показатели качества tP и в переходной характеристики и
выяснить, как они изменятся, если передаточная функция имеет еще нуль у = —5
или полюс Я,4 = —40. Для рассматриваемых случаев передаточная функция
системы имеет соответственно следующие значения:
v ! .
w tl ~~ 1,25- 10-«s» + 4,69.10-»s* + 9,38- 10"»s + I'
w '* 1,25- 10-*s» + 4,69- 10-»s* + 9.38- 10~»s + 1'
W
i3 3,13- 10-Os* + 2,42- 10-»ss + 7,03- lQ-'s2 + 0,119s + 1
320

Переходные характеристики, соответствующие этим передаточным функциям,
изображены на рис. 7.18 кривыми 1, 2 и 3; перерегулирование а = 11; 130 и
10%; время регулирования tP = 0,31; 0,5 и 0,32 с]
О взаимном расположении нулей и полюсов передаточной
функции и изображения внешнего воздействия. Целью САР является
воспроизведение с минимальными погрешностями задающего
воздействия и максимально возможное подавление возмущений.
Достижению этой цели способствует выполнение следующих
рекомендаций.
1. Полюсы передаточной функции необходимо удалять от
области расположения полюсов внешнего воздействия и во всяком
случае не допускать их совпадения, что приводит к резонансу.
2. Нули передаточной функции относительно возмущения
следует располагать возможно ближе к полюсам изображения
этого возмущения. При этом уменьшается вынужденная
составляющая регулируемой координаты, создаваемая возмущением.
3. Нули и полюсы передаточной функции Wg (s) относительно
задающего воздействия следует располагать так, чтобы при
всех полюсах plt р2, ... изображения задающего воздействия она
имела приблизительно одно и то же значение: Wg (pj «*
«* Wg (p2) «*•••#« const. При этом ошибка слежения
минимальная.
4. Нули передаточной функции необходимо располагать около
ее полюсов, наиболее близких к мнимой оси. Это уменьшает
собственную сопровождающую составляющую.
5. Полюсы передаточной функции следует по возможности
удалять от мнимой оси: чем дальше полюсы от мнимой оси, тем
быстрее затухает свободная составляющая.
7.8. МЕТОД КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ
Корневым годографом называют совокупность траекторий,
которые описывают корни характеристического уравнения
замкнутой САР на комплексной плоскости при изменении одного из
параметров от 0 до <х>. Метод корневых годографов [6]
графоаналитический; он отличается большой наглядностью и
используется при исследовании устойчивости, оценке качества
регулирования и синтезе САР.
Изменяемым (свободным) параметром может быть любой из
параметров, линейно входящих в характеристическое уравнение.
Чаще всего рассматривается влияние передаточного
коэффициента разомкнутой системы и параметров корректирующего
устройства.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы
может быть приведено к виду
Вп (s) + ABm (s) - 0,
11 Макаров И. М.
(7.67)
321

предельных точек. Вблизи этой области могут быть пересечения
асимптот.
5. Ветви годографа от вещественных начальных точек
располагаются на вещественной оси до встречи одна с другой, с
предельной точкой или уходят в бесконечность.
Ветвями годографа заняты отрезки вещественной оси, для
которых выполняется условие
ru-ru = N, A=±l; ±3;---. (7.70)
где ги н гп — число соответственно начальных и предельных
точек, расположенных справа от рассматриваемого отрезка.
В каждой точке О,- встречи вещественных ветвей годографа
возникает пара комплексно-сопряженных ветвей, выходящих на
комплексную плоскость перпендикулярно к вещественной оси.
Абсциссами ct точек Oi являются вещественные корни
уравнения
Ва (с) В'т (с) - Вт (с) В'~(с) = 0, (7.71)
где
««ИЗД.--«.м-№*]..■
Например, у корневого годографа, изображенного на рис. 7.19, а, справа
от участка действительной оси, ограниченного начальной точкой А.х и предельной
точкой Yj_, rH = 1 и гп = 0. Следовательно, гн — гп = 1 и на этом участке оси
располагается действительная ветвь годографа от 'К1 к уг. Для участка
действительной оси от начальной точки А.4 до —оо г„ = 4 и г„ = 1. Следовательно, гн —
— гп= 3 и на этом участке также располагается действительная ветвь годографа,
уходящая в бесконечность.
У годографа, изображенного на рис. 7.19, б, для участка действительной
оси между начальными точками А,,_ и Х2 имеем rH'= j 1, гп'= 0 и гн — гп = 1.
На этом участке располагаются действительные ветви годографа, идущие от Х±
и Х2. Они встречаются в точке Оъ и из нее выходит пара комплексно-сопряженных
ветвей. Справа от участка действительной оси между предельной точкой Yi и
начальной точкой Х3 rs = 2, Гц = 1 и гн — гп = 1. На этом участке оси
располагается действительная ветвь годографа от А.3 к Yi-
6. Из каждой пары комплексно-сопряженных начальных
точек выходит пара комплексно-сопряженных ветвей годографа.
Все комплексно-сопряженные ветви расположены симметрично
относительно действительной оси. Они оканчиваются в комплексно-
сопряженных предельных точках или уходят в бесконечность.
Угол выхода комплексной ветви из начальной точки и входа
в предельную точку определяется равенством
*»=1*-я, (7.72)
где 2^ --сумма фазовых углов векторов, проведенных в
рассматриваемую точку из всех остальных основных (начальных и
предельных) точек. Фазовым называют угол между
положительной действительной полуосью и вектором.
И*
323

ufzi
-с /
У
' H1i
h
• 7
0
№
+Ju
с
-jco
4
Рис. 7.20. Определение угла:
a — выхода траектории из начальной точки; б — входа траектории в предельную точку
Определение угла выхода траектории из начальной точки показано на
рис. 7.20, а. В данном случае
Фв = Фи + Фхз + Фи + Ф22 - 180° = 90 + 70 + 7 + 53-180 = 40°.
На рис. 7.20, б показано определение угла входа траектории в предельную
точку Yi"-
Фв = Фи + Ф12 + Фи + Ф22 — 180° = 187+127+140 f 90—180 = 364=.
7. Корневому годографу принадлежат те и только те точки
комплексной плоскости, для которых удовлетворяется равенство
(уравнение фаз):
ЕФи—!'■*■/ = М». ЛГ = ±1; ±3; ....
(7.73)
где ^ и Ф2/ — фазовые углы векторов, проведенных в
рассматриваемую точку соответственно из начальных и предельных точек.
8. Значение свободного параметра А, соответствующее какой-
либо точке корневого годографа, определяется формулой
параметра
"ViVii • • • ^V^^
(7.74)
где [и и /2/- — модули векторов, проведенных в рассматриваемую
точку соответственно из начальных и предельных точек.
Изложенные свойства корневого годографа позволяют
построить его геометрическим методом. Вследствие симметрии
годографа относительно действительной оси его ветви,
расположенные в нижней полуплоскости, иногда не строят.
324

Возможно и аналитическое построение годографа. Если корень
характеристического уравнения (7.67) s,- = с -f /©, то основное
аналитическое уравнение траектории корней
[вп(с)-^В"п(с)+ ...] [вт(с)-^В"т(с)+ ...] -
-[в'„(с)--%-В'(с)+ ...] [вт(с)—£вт(с)+ ...]=0,
(7.75)
где
Д' М - rd5"(s)l • Я" fn - Г d2g" (s) I •
Уравнение (7.75) позволяет при выбранном значении с найти
ординаты ю, при которых прямая с абсциссой с пересекает
траектории корней характеристического уравнения (7.67). Такой
смысл имеют, конечно, лишь действительные значения ©:
положительные и отрицательные при построении всего годографа и
только положительные, если годограф строится лишь в верхней
полуплоскости.
Значение свободного параметра А определяют по формуле
~А = 5?Ч (776)
В'(с)-^гВп(с) + ...
при комплексных сопряженных корнях и по формуле
- А= Ва(с)/Вт(с) (7.77)
при действительном корне.
Чаще всего метод корневого годографа используют для
исследования влияния на свойства САР передаточного коэффициента
разомкнутой цепи, передаточная функция которой
W — J**! — ^(s —Vi)(s—Va) ■•• (я — Vtn) ,7 7Яч
w " Q - <»-*i)<i-aj ... (i-я.) ' к '
где
# = b0sm + Ь^ + • • • + ft^s + 1;
Q = Oos" + c^s"-1 + • • • + a^s + 1;
й = A&0/a0.
Характеристическое уравнение замкнутой CAP
(s — Xj) (s — ki)... (s — kn) + £(s - Yl) (s - y2) ... (s — Ym) = 0.
(7.79)
Если в качестве свободного параметра рассматривается k,
то начальными точками являются полюсы и предельными
точками — нули передаточной функции разомкнутой САР. В одно-
325

контурной системе и даже в системе с местными обратными
связями их значения л^гко определить по передаточным функциям
отдельных звеньев.
При построении годографа целесообразно комбинировать
геометрический и аналитический методы и действовать в следующем
порядке:
1) на комплексную плоскость нанести начальные X, и
предельные 7( точки;
2) нанести центр асимптот Оа, пользуясь формулой (7.68),
и провести п — т асимптот, углы наклона которых определяются
формулой (7.69);
3) пользуясь условием (7.70), выделить отрезки
действительной оси, на которых располагаются траектории корней;
4) нанести точки О, отрыва траекторий от действительной
оси, пользуясь уравнением (7.71), и направления этих траекторий;
5) по уравнению (7.72) определить направления выхода
траекторий из комплексных начальных точек и входа их в
предельные точки, нанести эти направления на чертеж;
6) пользуясь уравнением фаз (7.73) или основным
аналитическим уравнением (7.75), нанести несколько точек для уточнения
положения комплексных траекторий;
7) определить значение свободного параметра в нужных
точках, пользуясь уравнениями (7.74) или (7.76) и (7.77).
Корневой годограф позволяет исследовать влияние
свободного параметра на динамические свойства САР: на устойчивость
и качество регулирования. Система устойчива при тех значениях
свободного параметра, которым соответствует расположение
корневого годографа в левой полуплоскости. Переход хогя бы одной
ветви годографа в правую полуплоскость свидетельствует о не-
устойчиЕости. Границу устойчивости определяют из условия
попадания действительного корня в начало осей координат
(апериодическая граница устойчивости) или пары комплексных корней на
мнимую ось (колебательная граница устойчивости).
Основное аналитическое уравнение траектории корней (7.75)
при с = 0 превращается в уравнение критических частот шкр.
Его действительные корни — это значения ординат, при которых
комплексно-сопряженные траектории пересекают мнимую ось.
Уравнение (7.76) при с = 0 и © = шкр определяет значение
свободного параметра, соответствующего границе устойчивости.
Корневой годограф позволяет также определить показатели
качества переходной характеристики для выбранных значений
свободного параметра по аналитическому выражению этой
характеристики.
Если передаточная функция разомкнутой САР определена
выражением (7.78), то изображение переходной характеристики
И ■■=-!£■, (7.80)
где D = Q + kR.
326

Тогда по формуле (П. 1.8) разложения Хевисайда
- АК(0) . V» kR{s,) s,t
1=1
где Si — корни характеристического уравнения, которые при
выбранном значении свободного параметра определяют
непосредственно по корневому годографу.
Сумму в равенстве (7.81) удобнее вычислять, пользуясь
значениями длин и углов векторов, взятыми из чертежа корневого
годографа. Если свободным параметром является k — kb0/a0,
то коэффициент r'-го члена этой суммы
*(s,- + Vi)(sf+T2)---(s/ + Vm) = ^4 е'ф/ п 82)
S/(S/ + Si)(S;+S2)...(S/ + S/-i)(S/+S,4i)...(S;+Sn) , • \- )
Следовательно:
(7.83)
' Uhihi- ■ h, l-ih, 1+1- • Iw
<Pt = Ьх + 4Ъ + • • • + 4"2m — i>i — *U — 4>lS — • • • -
- *], i-i - *j, in *i». (7-84)
Здесь Г/ и ^ — длина и фазовый угол вектора, проведенного
из начала осей координат к корню st; tlv и ijjlv — длина и фазовый
угол вектора, проведенного из корня sv к корню s,-; /г,- и i|'a/ — длина
и фазовый угол вектора, проведенного из предельной точки 7;-
К КОРНЮ Si.
Очень важно также, что корневой годограф наглядно
показывает, как изменяется взаимное расположение нулей и полюсов
передаточной функции замкнутой САР при изменении свободного
параметра. Следовательно, и на этом основании, пользуясь
материалом п. 7.7, можно приблизительно судить о влиянии
свободного параметра на показатели качества переходной
характеристики.
Пример 7.9. Передаточная функция разомкнутой САР
A(xs_+1)
W =■
s{TiS+l){T#+l) '
где k= 100 с"1; 7^= 0,1 и Т2 = 0,02 с.
Выяснить влияние постоянной времени т корректирующего устройства на
динамические свойства системы.
Для решения этой задачи построим корневой годограф, считая свободным
параметром постоянную времени т.
Составим характеристическое уравнение и приведем его к виду (7.67):
s(TlS+ I)(7,s+ l)+ft(xs+ 1) = 0;
17ЧГ as3 + (71! + У a) s» + s + k] + hxs = 0.
327

где
Рис. 7.21. Корневой годограф
к примеру 7.8
После подстановки числовых значений
известных параметров и деления на k получим
Вп (s) + тбт (s) = О,
Вп (S) = 0,000025s + 0,0012s2 + 0,01 s+ 1;
Вт (s) = s.
Начальными точками траекторий являются
корни полинома Вп (s), которые определяем,
пользуясь прил. 2:
*1,* = 2>5± /29'9; К= —64,3.
Предельная точка, корень полинома
Bm(s), есть Vi= 0.
Нанесем основные точки на чертеж (рис.
7.21), теперь можно сделать вывод, что при
т = 0 система неустойчива, так как в этом
случае пара комплексных сопряженных
корней характеристического уравнения
расположена в правой полуплоскости.
По формуле (7.68) определим абсциссу
центра асимптот и по формуле (7.69) их
направления:
0,0012
0,00002"
Is
1
= —30; г|>а =
180 (±1)
3—1
: ±90°.
Асимптотами являются прямые, выходящие из точки Оа и параллельные оси
ординат.
Для участка действительной оси отпредельной ТОЧКИ71ДО начальной точки А.3
выполняется условие (7.70): 2—1 = 1, т. е. с увеличением т траектория из
начальной точки А.3 пойдет по действительной оси в предельную точку Vi-
Комплексные сопряженные траектории из начальных точек Аг и Kt по мере
увеличения т будут приближаться к асимптотам. Чтобы выяснить расположение
этих траекторий, можно воспользоваться формулой (7.75). Предварительно
следует вычислить производные полиномов В„ (s) н Вт (s) no s:
В'т (s) = 1; Вт (s) = 0;
Вп (s) = 0,00006s2 + 0,0024s + 0,01;
5л (s) = 0,00012s + 0,0024;
В™ (s) =0,00012; B~(s)=0.
По формуле (7.75) при с= 0 определим критическую частоту:
\в„ (0) - ^- В"п (0) I В'т (0) = I 1 - -^- 0,00024 I 1 = 0;
со
1
КР 0,0012'
соь
: ± 28,9.
328

Итак, комплексно-сопряженные траектории пересекают мнимую ось при
ординатах ±28,9. Значение т, соответствующее этим точкам, определим по
формуле (7.76) при с = 0 и со = 28,9:
28 9а
0,01 — -£^1-0,00012
—т = у = —0,0067.
Следовательно, система устойчива при т > 0,0067.
Чтобы выяснить, как расположены комплексно-сопряженные траектории
в левой полуплоскости, вычислим по формуле (7.75) ординаты нескольких точек,
задаваясь значениями их абсцисс:
при с = —10 со = ±33,9;
при с= —15 со = ±38,0;
при с= —20 со = ±45,8;
при с = —24 «в = ±84.
Полученные точки достаточно хорошо определяют расположение комплексных
сопряженных траекторий.
Вычислим по формуле (7.76) значения т для двух точе,к:
при с= —10 и «в = 33,9 имеем — т= —0,031;
при с = —20 и со = 45,8 имеем —т = —0,056.
По формуле (7.77) вычислим значения т для двух точек траектории,
расположенной на действительной оси:
при с= —10 —т= —0,1;
при с = —20 —т = —0,056.
Таким образом, для устойчивости системы постоянная времени т должна
быть больше 0,0067 с. При т < 0,056 доминирующими являются комплексные
сопряженные корни характеристического уравнения и колебательность ц не
33 9
.слишком велика. Так, при т = 0,031 \i = —r-r- = 3,39 и перерегулирование,
вычисленное по формуле (7.52), а « е"я/3,39-100% = 39,5%; при т= 0,056
л е о
ц=-д=-=2,29 и а « е_я/2,29-100% = 25,4%. Дальнейшее увеличение т
ведет к резкому увеличению колебательности ц.
Выяснить влияние передаточного коэффициента k
разомкнутой САР на ее динамические свойства можно на основании
логарифмического корневого годографа. Его построение значительно
проще, так как могут быть использованы шаблоны и номограммы.
Основные сведения о логарифмическом корневом годографе
изложены, например, в работе [102].
7.9. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
При эксплуатации САР значения ее элементов и прежде всего
объекта регулирования вследствие различных причин могут
отличаться от расчетных. При этом действительные статические
и динамические свойства также, конечно, оказываются отличными
от расчетных. Поэтому возникает задача уже при синтезе САР
выяснить, какие изменения свойств возможны при эксплуатации.
329

Функции чувствительности и чувствительность передаточных фун
по
пор
Структурная схема САР
Передаточные функции САР
■*-*•&—■ Wt
w2 —®-» w,
К -
w,.
W
wx
1 + №

Таблица 7.7
кцнй САР к передаточным функциям ее участков (W = WqWjWjj)
Функции чувствительности
Чувствительность
W,
; vM = -
w1
V&1~ (1 +W)2 ' rg2~ (1 + W)2'
W0Wj
-1
^» =
(1 + W)2'
-W„W2 ,
(1 + W)2 '
-C1" (1 + Г)2 ' *2 (1 + W)2 '
(1 + W)2 '
w\w2 ,
w„ =
—Wt^a
(1 + W)2
•*gi — Sgz — —*f i —
1
1 + № '
Sg0 = Sf 2 = —5f0 — Sxl =
w
— Sx2 — "^л;о —
1 + W
S1 (1 + W)2 '
fi2 (1 + W)2
v« = ■
Wl .
^0 =
-WjF2(W2+W3)
(l + W)2
V - ~W° ^2 + W*> ■
X1 (l+W)2
«. _ Wew^w^wa-l) ■
*2 (l + W)2
_ -W0Wt ,
•Sg2
e.
•Sgi
(W2
Sg.i
— С
1
l + W '
W2 - W3W
+ W3)(1 + W)
w3 .
w2 + w3'
w
1 + W '
W + WaWxWy
(1+W)(W0W1W3-1)
wBwxwt ,
^xn —
-W1 (W2 + W3)
(1 +W)2

№
по
пор.
Структурная схема САР
Передаточные функции САР
W,
—•■ю-» w2
w2 —®
-ПйЛ-
=гт
w
wrw2 ,
1 + № '
W\(W'2r3-l) .
1 -f W
1
1 + Г
Зависимость свойств CAP от изменения параметров элементов
есть ее чувствительность. Для ее количественной оценки
используют различные функции чувствительности [10, 66, 103, 116],
которые позволяют оценивать вариации (изменения)
передаточных функций, временных характеристик или показателей
качества при вариациях (малых изменениях) параметров. Будем
предполагать, что вариации достаточно малы и, кроме того, не
изменяют степени уравнений (порядка передаточных функций)
как отдельных элементов, так и системы в целом.
Функции чувствительности передаточных функций. Функция
чувствительности Vi,-= V,-,/(s) передаточной функции W-t к
параметру а у есть частная производная от \Vt по а. при
номинальных (расчетных) значениях всех параметров:
v _ (i^Ll0
(7.85)
где W, = W{ (s, а , а„ ...).
Для определения функции чувствительности передаточной
функции Wz системы к параметру af какого-то 1-го элемента
удобно сначала отыскать функцию чувствительности Vzl
передаточной функции Wz к передаточной функции Wt этого 1-го
элемента:
у.- №1°
* '■' ~~ \ Л1Г/ . '
cW
I i
(7.86)
где Wz
332
W, (W0, W„ W» ...).

Продолжение табл. 7.7
Функции чувствительности
Чувствительность
Va, Ve,, V,
g*>
£0> 'XI'
Vxi н V.
те же, что н для схемы в п. 1;
W2W3 - 1 .
?/i
/i = -
(1 + Г)2
rjr2(i-r2r3)
^/o =
(1 -1 W)2
$tl' "^£2' "SfiO' "XI• "Л И "*Х0
те же, что н для схемы в п. 1;
Sg3 = 5,з = 0;
1
*/l =
«/• =
1 +Г '
У,(УвУг-\-У,) .
5/:
(Г2Г3-1)(1 + и?) '
3 Г2Г3 —1 '
Sh-
1 + Г
Затем определяется функция чувствительности передаточной
функции Wz к параметру а;:
К^-К^К,,. (7.87)
В табл. 7.7 приведены значения функций чувствительности
передаточных функций САР трех наиболее характерных структур.
Здесь Kg,-.'.К/Ги Vxl есть функции чувствительности передаточных
функций соответственно Wg, Wf и Wx к передаточной функции
W, (t = 0, 1, 2 и 3) участка САР. Значения передаточных
функций W0, Wx, Wz и W3 должны быть взяты при номинальных
(расчетных) значениях параметров.
Функции чувствительности временных характеристик. Они
позволяют определить дополнительное движение, т. е. наиболее
наглядно выяснить влияние вариаций параметров.
Дополнительным движением называют разность между движением системы,
в которой произошли вариации параметров, и ее движением при
расчетных значениях параметров.
Функция чувствительности t'-й координаты САР к параметру а,
-^'-1° (7.88)
Г ду! 1°
L да, J '
где у; = y;(f, a , а2, ...).
Предположим, что у, — регулируемая координата: yL = уъ
и к системе приложено только задающее воздействие. Тогда
y^2£^\WtG\,
где G — изображение по Лапласу задающего воздействия.
333

Следовательно:
Теперь можно определить дополнительное движение
регулируемой координаты при вариации Да,- параметра а.;
At/,, = Oj/ Аа; = i?"1 {re/G| Да/. (7.90)
Аналогично можно выяснить, как влияет вариация параметров
на движение регулируемой координаты, создаваемое
возмущением. Также можно отыскать дополнительное движение
рассогласования х. Если предположить, что задающее воздействие есть
единичное ступенчатое воздействие, то формула (7.90) будет
определять ва'риацию переходной характеристики системы
относительно задающего воздействия при вариации параметра а,-.
Пример 7.10. Выяснить влияние вариаций на переходную
характеристику САР, если Дт = 0,002 с и передаточная функция разомкнутой системы
в первом приближении
w k(rs+\)
s(Ts+l)'
где k = 50, Т = 0,1 с и т = 0,02 с.
Определим передаточную функцию замкнутой системы:
W k (xs + 1)
g 1 + № 7V + (1 + kx)s + k "
Функция чувствительности этой передаточной функции к постоянной
времени т будет
*v
dWglo г k% k(xs+l)ks
W|f_ Г_
дх J [ 1
Ts* + (l+br)s + k [Ts* + (t + xk)s + k]2]
_ Г k(Ts+l)s2 ]Q^ 50(0,ls+l)s2
~ l[Ts* + (I + kx) s + k]*\ ~ (0,lsa + 2s + 50)2 '
Следовательно, вариация переходной характеристики (дополнительное
движение)
ДА = <?-i 1Хм] ДТ - <?-! Г 50(0,ls+l)s I
дя х |# s |дт-а- |^ ((Ms2 + 2s + 50)2 J '
02:
= 0,025 [sin 20/ + (20 cos20/ — 10 sin 20/) /] е-10'.
334

По этому равенству вычислим:
Л с
ДЛ
*, с
ДЛ
i, С
ДЛ
0,01
0,009
0,12
—0,014
0,24
0,004
0,02
0,014
0,14
—0,017
0,26
0,007
0,04
0,017
0,16
—0,016
0,06
0,011
0,18
—0,010
0,28
0,008
0,08
0,002
0,20
—0,006
0,30
0,008
0,10
—0,008
0,22
—0,001
0,32
0,006
Дополнительное движение при вариации нескольких
параметров линейной системы определяется на основании принципа
суперпозиции:
Луг = Г Af/J7 = Г-я./Да,- (7-91)
Функции чувствительности показателей (критериев) качества.
Так, если какой-то показатель качества J может быть выражен
в виде функции параметров: J = J (av aa, ..., а,), то функция
его чувствительности к параметру а(
"»-[%]' <™2>
и весьма наглядно показывает влияние этого параметра на
свойства САР.
Вариация этого показателя при вариации одного параметра
Д/, = #.,,. Да,., (7.93)
и при вариации нескольких параметров
ДУ = Т AJ,-=£ Uj, Аа,-. (7.94)
К таким показателям качества относятся прежде всего
интегральные оценки, показатель колебательности, запас
устойчивости, коэффициент статизма. Сложнее определить функции
чувствительности показателей качества переходной характеристики:
перерегулирования и времени регулирования.
335

Рис. 7.22. Приведенная
структурная схема CAP
Логарифмические функции
чувствительности Szi = 5Я- (s). При
исследовании САР принято рассматривать
логарифмические функции
чувствительности передаточных функций:
dlnW; _ dW? dW{ v Wj_
с
г'"~ din Г,
W,
W,
W,
(7.95)
Иногда [116] их называют просто чувствительностью.
Формула (7.95) показывает связь чувствительности передаточной
функции Wt с ее функцией чувствительности Vzl к передаточной
функции t'-ro элемента, параметр которого изменяется, Если
i-й элемент не находится в цепи обратной связи (местной или
основной), то структурную схему САР можно привести к виду,
показанному на рис. 7.22. По этой структурной схеме
передаточная функция системы
Wt = Z/Y = Wn + WnW^wKl + W;Wi).
(7.96)
Следовательно, функция чувствительности передаточной
функции Wz к передаточной функции Wt
Vy,
dWz
dW,
VllV 111
1 +W[W:
VuWm
(7.97)
Подставив в формулу (7.95) значение V
_ " j_i'1 Из (7.96), получим
значение l + v^
передаточной функции W.
триваемой системе
li~ O + WiWtfw^
(1 + WiWtf-
zi no (7.97) и затем
что чувствительность
к передаточной функции Wc в рассма-
wz-WB
(1+WiW^W,
1 - w„/Wz
l + w{w:
(7.98)
Эта формула рекомендована [116] для исследования
чувствительности различных САР. В табл. 7.7 приведены значения чув-
ствительностей 5Kl, S fi и S,, передаточных функций Wg, Wf
и Wx у передаточным функциям W0, Wu W2 и W3 участков CAP
трех характерных структур.
Чем меньше чувствительность передаточной функции Wg
системы к передаточным функциям ее участков, тем совершеннее,
вообще говоря, система, меньше влияние вариаций параметров на
ее свойства, Желательно, следовательно, иметь нулевую
чувствительность. Формулы (7.98) и (7.96) указывают пути приближения
к нулевой чувствительности: нужно увеличивать передаточный
коэффициент контура WiWl или уменьшать передаточный
коэффициент цепи WnW,Wlu.

Глава 8
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА СТАБИЛИЗАЦИИ
И ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА РЕГУЛИРОВАНИЯ
Проблема создания линейных непрерывных САР с хорошими
динамическими свойствами является многосторонней и весьма
сложной. В ней прежде всего можно выделить следующие частные
задачи: обеспечение устойчивости (стабилизация); повышение
запаса устойчивости; повышение точности в установившихся
режимах (уменьшение статических ошибок и обеспечение аста-
тизма относительно задающего воздействия и возмущения);
улучшение переходных процессов (увеличение быстродействия,
уменьшение динамических ошибок воспроизведения задающего
воздействия и ошибок возмущения).
Каждую из этих задач решают различными способами. Иногда
две или несколько частных задач могут быть решены совместно,
в других случаях, они оказываются противоречивыми. В
зависимости от назначения и условий эксплуатации системы одни задачи
становятся основными, другие второстепенными.
Простой способ обеспечения устойчивости и необходимого
качества регулирования — это соответствующий выбор основных
элементов системы или изменение в нужном направлении их
динамических свойств местными обратными связями. Выбор типа
и конструкции исполнительного элемента и усилителя может
привести к тому, что их динамические свойства, прежде всего
инерционность, не будут отрицательно влиять на свойства системы
в целом.
Местные обратные связи весьма существенно изменяют
свойства тех элементов, которые они охватывают (см. табл. 2.4) или
внутри которых они созданы. Может быть обеспечена устойчивость
неустойчивого или нейтрального элемента, изменена статическая
характеристика, уменьшена инерционность, созданы
интегрирующие или дифференцирующие свойства. Причем местные
обратные связи могут быть созданы не только в исполнительном
элементе и усилителе, но иногда и в регулируемом объекте.
Другой путь — создание дополнительных воздействий на
регулятор или объект регулирования. Если это воздействие осу-
337

w.
jZ~«£-| wp, H»H w„i UH8bH~w^
i
i
w2 h
a)
w,
Л-
-*<&
h-*\ wp [-Н&р-] w, I—\-JL
w„ *
I
y<
6)
Рис, Я.1. Структурные схемы каскадных систем регулирования:
а — с двумя pei уляторамп; б — с дифференциатором
ществляется извне, то получается система комбинированного
регулирования. Основные сведения о таких системах будут
изложены в гл. 10.
Дополнительные воздействия могут быть созданы и внутри
замкнутого контура регулирования. Зто имеет место в каскадных
системах регулирования [88] (рис. 8.1). Дополнительное
воздействие создается координатой у, объекта регулирования, которая
реагирует на возмущение / быстрее, чем регулируемая
координата у. Регулятор Wv2 (рис. 8.1, а) под воздействием координаты//!
устраняет в основном влияние / на у. Задающее воздействие для
регулятора W,,o создается регулятором Wvl под влиянием
рассогласования х. Во втором варианте каскадной системы
регулирования (рис. 8.1, б) дифференциатор Wn под воздействием
координаты i/i создает сигнал только при изменении возмущения /.
Этот сигнал поступает на вход регулятора Wp вместе с
рассогласованием g — у и форсирует переходные процессы в системе.
Использование каскадных систем регулирования наиболее
эффективно при сложных объектах с большой инерционностью.
В некоторых объектах можно и целесообразно создавать
дополнительное регулирующее воздействие [71J. Это воздействие гг
прикладывается ближе к регулируемой величине у (рис. 8.2)
и форсирует переходные процессы.
Для обеспечения высокой точности используют нониусные
следящие системы [101]. Двухступенчатая нониусная САР
(рис. 8.3) состоит из двух систем. Первая система W± создает
основную составляющую ух регулируемой величины,
приблизительно соответствующую задающему воздействию g. Вторая
система W2 уточняет значение у — создает составляющую у„,
соответствующую рассогласованию g — ух.
Для уменьшения влияния возмущений находят применение
компаундирующие связи, которые будут рассмотрены в п. 8.4.
С помощью фильтра и местной обратной связи может быть
обеспечена различная реакция системы на задающее воздействие и
возмущение для того, чтобы подавлять как высокочастотные помехи,
поступающие с задающим воздействием, так и возмущение,
приложенное к обьекту. Эту задачу можно решить и в том случае,
338

'Л ~ъ
7-®-~\щ
w3
щ
*П-
Т-1
-®
Н w2
W-,
-J
T~V2
—ч
Рис. 8.2. Структурная схема САР с вспомогательным регулирующим воздействием
Рис. 8.3. Структурная схема двухступенчатой нониусной САР
когда задающее воздействие недоступно для измерения. Подобные
результаты дает схема с условной обратной связью.
Дополнительные связи позволяют выделять истинное значение задающего
воздействия при наличии двух источников информации, а также
компенсировать инерционность сравнивающего элемента. Все эти
вопросы рассмотрены в учебном пособии 145].
Основной путь стабилизации и достижения необходимого
качества регулирования — это дополнение системы специальными
элементами. К ним относятся элементы, обеспечивающие аста-
тизм, и корректирующие элементы, которые и будут рассмотрены
ниже.
Будут рассмотрены также некоторые принципиальные вопросы,
связанные со стабилизацией САР и улучшением ее динамических
свойств, и наиболее распространенные технические средства для
создания корректирующих устройств и дополнительных связей.
8.1. ПОВЫШЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ
Ошибка в установившихся режимах САР слагается из ошибки,
создаваемой несовершенством (прежде всего низкой
чувствительностью) отдельных элементов регулятора, ошибки
воспроизведения задающего воздействия и ошибки, создаваемой возмущением.
Уменьшение первой составляющей достигается использованием
более совершенных элементов и сопровождается, как правило,
увеличением сложности и стоимости регулятора. Для уменьшения
остальных двух составляющих используют следующие основные
пути.
Увеличение передаточного коэффициента k разомкнутой САР.
Это универсальный и эффективный способ уменьшения ошибки
во всех установившихся режимах, что видно из выражения
коэффициентов ошибки (см. п. 7.2). Причем уменьшаются ошибка
слежения и ошибка от возмущения.
Увеличения k достигают чаще всего введением усилителей.
Иногда оказывается достаточным увеличить передаточные
коэффициенты отдельных элементов, например исполнительного
элемента или элемента сравнения.
339

В большинстве случаев увеличение k ведет к уменьшению
запаса устойчивости, н для того чтобы система не потеряла
устойчивости, значение k не должно превосходить некоторого значения
krp (см. п. 6.10). Однако приближение к этому граничному
значению обычно невозможно из-за резкого ухудшения показателей
качества переходной характеристики. Таким образом, имеется
противоречие между точностью и устойчивостью системы
регулирования по отклонению. Это противоречие может быть
устранено, если одновременно с увеличением k до значения,
обеспечивающего необходимую точность, создавать и необходимый запас
устойчивости с помощью корректирующих устройств, которые
будут рассмотрены в п. 8.3.
Несомненный интерес представляют такие структуры САР,
при которых возможно повышение k до весьма большого
значения. С этой целью М. В. Мееровым [63] предложено одно из
звеньев прямой цепи охватывать отрицательной гибкой обратной
связью (рис. 8.4). Пусть элементы этой системы имеют следующие
передаточные функции:
W, = VQiI ^2 = VQ. и Wr = k2Rr/Qr, (8.1)
где Qi, Q2> Rt H Qr — полиномы от s с младшим членом, равным
единице.
Тогда передаточный коэффициент k2 участка прямой цепи,
охваченного обратной связью, может иметь весьма большое
значение при выполнении трех условий:
1) вырожденное характеристическое уравнение
sRrQi + KQr = ^«sv + Л**'1 + • • • + Av = 0 (8.2)
удовлетворяет условиям устойчивости;
2) разность между степенью п полинома
ЯЛА = A,s" + В, sM + • - - + Вп (8.3)
и степенью v вырожденного характеристического уравнения (8.2)
не больше двух: п — v < 2;
3) удовлетворяются неравенства -б2- > 0 при п — v = 1
"о
и -7Г- > -т- при п — v = 2.
Очевидно, что при весьма большом да становится весьма
большим и передаточный коэффициент k разомкнутой системы. По
выражениям (8.2) и (8.3) легко заключить, что для удовлетворения
неравенства п — v < 2 не следует иметь полином Qv более высокой
степени, чем полином sRr. Однако передаточная функция WT
может быть физически реализована только при степени Qr не ниже
степени sRr. Поэтому целесообразно иметь равные степени
полиномов Qc и sRr. Тогда полином Q2 может быть только первой или
второй степени. Этим определяется, какие звенья может содержать
участок цепи, охватываемый обратной связью.
340

Ъ—«»®—■■
П_^
w2
щ
w,
Рис. 8.4. Структурная схема САР,
допускающая весьма большие
значения k
Передаточная функция Wi в
рассматриваемой структурной схеме
представляет собой передаточную
функцию той части системы,
которая не охвачена гибкой обратной
связью Wr. В Wx входит и
передаточная функция основной обратной
связи, если она не равна единице.
Часть системы, не охваченная
гибкой обратной связью, может иметь звенья чистого запаздывания.
М. В. Мееровым предложены [63] также варианты структур
с несколькими гибкими обратными связями, обеспечивающими
возможность неограниченного увеличения k.
Следует заметить, что рассмотренная возможность
увеличения k не находит широкого применения, так как неучтенные
малые параметры могут заметно изменить двойства системы вплоть
до ее неустойчивости. Кроме того, при большом k ухудшаются
показатели качества переходной характеристики [36].
Пример 8.1. САР выполнена по структурной схеме, изображенной на рис. 8.4,
и ее элементы описываются передаточными функциями
w, = -
w, = -
и Wr =
<z0s2 + flls + 1 ' - c„s2 + Cls + 1 r Ts 4- 1 '
где kx =4; a0 = 0,02 с2; аг = 0,5 с; с„ = 0.005 с2; ct = 0,02c.
Выбрать значения параметров т и Г гибкой обратной связи, при которых
передаточный коэффициент &а может быть весьма большим.
Составим вырожденное характеристическое уравнение (8.2):
xs (a0s2 4- <ZiS 4- 1) + *i (Ts 4- 1) = 0;
a0Ts3 4- «its2 4- (t 4- kiT) s 4- k1 = 0.
Условие устойчивости этого уравнения по критерию Гурвица
агх (х 4- k-tf) > a^xk-i; а1 (х 4" kj*) > a^k^
Из полученного неравенства определим условие, которому должны
удовлетворять параметры т и Т:
% + kLT>
т + 4Г>0,16.
Составим полином (8.3):
(я*« + alS 4- 1) (c0sa + «V + О (Ts + 1) =
= 0,00017V4- (0,0029Г 4- 0,0001) s4 4- (0.035Г 4- 0,0029) s3 +
+ (0,527,4-0,035)sa4-(7,4-0,52)s4- 1.
В рассматриваемом случае п — v = 5 — 3 = 2. Следовательно, CAP будет
обладать треЗуемым свойством только при удовлетворении еще следующего
условия:
Во ^ А» '
0,0029Г 4- 0,001
>■
0,5т
29Г4- 1
0,00017' -^ 0,02т
29Г4- 1>257\ 47' — 1>0.
>25;
341

Pi!j. S.3. Логарифмические частотные характеристики цепи из трех апериодических
звеньев
Полученное неравенство удовлетворяется при положительных
значениях Т, поэтому достаточно выбрать т и Т так, чтобы удовлетворилось
ранее полученное неравенство т + 4Г > О,16.
Для проверки полученных результатов выясним, устойчива ли система
при т = 0,1 с; Г =0,05 с и Д-2 = 10 000. В этом случае т + 4Г=0,1 |_
+ 4-0,05 = 0,3 >0,16 и передаточный коэффициент k2 достаточно велик.
Составим характеристическое уравнение
(<z0s2 + alS+ 1) [(c0s*+ Cls+ 1) X (Ts+ 1)+ k2xs] |- A1A2(7's+ 1) =
= 0,000005s5 + 0,000245s4 + 20,005s3 + 500,06sa + 3000,6s + 40001 = 0.
Для проверки устойчивости воспользуемся критерием Рауса. Составим
табл. 6.1, убедимся, что все элементы первого столбца положительные и,
следовательно, при выбранных параметрах система устойчива.
Обеспечение астатизма. Данный метод также весьма широко
используется для улучшения статических свойств САР (см. пп. 7.1
и 7.2). Все следящие системы и системы программного
регулирования должны быть астатическими. Иначе при нарастании
задающего воздействия с постоянной скоростью ошибка будет
нарастать, а при сколько-нибудь длительном воздействии это
недопустимо. Статическими могут быть только системы
стабилизации.
Чаще всего астатизм достигается включением интегрирующих
звеньев в прямую цепь системы. К сожалению, это неблагоприятно
может сказаться на ее устойчивости. При двух интегрирующих
звеньях система уже может оказаться структурно неустойчивой
(см. п. 6.11). Поэтому одновременно с обеспечением статизма
могут оказаться необходимыми мероприятия для обеспечения
достаточного запаса устойчивости (см. п. 8.2).
342

Рис. 8.6. Изменение логарифмических
частотных характеристик при
включении изодромного устройства
Пример 8.2. Выяснить, как
повлияет на устойчивость введение
интегрирующего звена, если
передаточная функция разомкнутой САР
1Е7= *
(7\S+l)(r2S+l)(7\,s+l)'
где ft =20 и а) 7\ = 0,5, Т2 =
= 0,02, Тв = 0,01; б) Тх = 0,05;
Г а= 0,002; Та = 0,001 с.
Для случая а логарифмические
частотные характеристики L\ и if]
системы без интегрирующего звена
и La и ifa системы с
интегрирующим звеном построены на рис. 8.5.
При введении интегрирующего
звена запас устойчивости по фазе
уменьшился с Yi = 33° до Ya = 12°. Уменьшился и запас устойчивости по фазе.
Для случая б логарифмические частотные характеристики L\ и if^ при
отсутствии интегрирующего звена и La и i|)2 при наличии интегрирующего звена
также построены на рис. 8.5. Интегрирующее звено увеличило запас устойчивости
но фазе с Yi — 30° до \>а = 43°. Увеличился и запас устойчивости по модулю.
Простейший и широко используемый интегрирующий элемент—
электродвигатель постоянного тока с независимым возбуждением,
поворачивающий движок потенциометра. Напряжение ы2,
снимаемое с потенциометра, пропорционально интегралу по времени
от напряжения ии приложенного к обмотке якоря
электродвигателя. Используют также механические, гидравлические,
пневматические, химические и иные интегрирующие элементы.
Другой путь достижения астатизма — это включение в прямую
цепь САР изодромного устройства с передаточной функцией
W7,, = &и (т„ s + l)/s. При соответствующем выборе постоянной
времени т„ включение изодромного устройства не оказывает
или почти не оказывает влияния на запас устойчивости системы.
Например, Lx и ifj (рис. 8.6) есть логарифмические частотные характеристики
разомкнутой САР с передаточной функцией
w = 20
(0,125s Н- 1) (0,05s + 1) (0.008s+1) '
aL2 и 'Фг — характеристики той же системы при включении в ее прямую цепь
изодромного устройства с &и = 1 ит„ = 0,8 с. Изодромное устройство обеспечило
астатизм и заметно повлияло лишь на низкочастотную часть характеристик.
Запас устойчивости при этом практически не изменился.
С помощью изодромных устройств, включая их
последовательно, можно обеспечить астатизм второго и третьего порядка.
Выбор постоянных времени изодромов осуществляется так, чтобы
одновременно с астатизмом обеспечивались и необходимые
динамические свойства системы.
343

Изодромные устройству могут иметь различную физическую
природу. Такое устройство можно получить параллельным
включением интегрирующего элемента и усилителя с передаточными
функциями Wi = kjs и Wt = kz. Эквивалентная передаточная
функция соединения
Wa=W1+Wt = kjs + k2 = kn (t„s + l)/s,
где ka = kx и ти = V^i-
Можно усилитель W\ = kx охватить отрицательной обратной
связью, представляющей собой реальное дифференцирующее звено
W0 = k0s/(T0s + 1). В этом случае эквивалентная передаточная
функция соединения
w *i biiTpS + l)
Wa 1+WoW, — (r. + MJs+I
и при большом
где ки = l/k0 и тн = Т0.
Если усилитель с передаточной функцией Wt = kx охватить
положительной инерционной обратной связью WQ = kJ(T^s + 1),
то при k0 = \lkx
w Wx _ feB(THs+l)
где ka = ka/T0 и ти = Г0.
В некоторых случаях необходимо, чтобы установившаяся
ошибка не зависела от одной из производных внешнего
воздействия. Это достигается регулированием по производной [10],
т. е. включением в прямую цепь САР форсирующего звена с
передаточной функцией №ф = Тфв + 1-
Например, если передаточная функция разомкнутой САР
W = k(\&+ 1)
a0ss + ^s2 + a2s + 1 '
то при Тф = а2 коэффициенты ошибки С0 = 1/(1 + k); Ct = 0 и Са = axkl{\ +
+ k). Установившаяся ошибка становится независящей от первой производной
задающего воздействия. При устойчивости разомкнутой цепи остается
устойчивой и замкнутая система.
Последовательным включением двух форсирующих элементов
можно обратить в нуль два коэффициента ошибки. В этом случае
будет осуществляться регулирование по первой и второй
производным и может быть достигнута независимость установившейся
ошибки от двух производных задающего воздействия.
Коррекция задающего воздействия [45]. Придать системе
астатические свойства или повысить порядок астатизма
относительно задающего воздействия можно с помощью коррекции.
344

Рис. 8.7. Варианты
структурной Схемы CAP с коррекцией
аадающего воздействия
7<Н
б)
«;
Ее осуществляют по схеме, показанной на рис. 8.7, а, т. е. на
вход системы включают преобразовательный элемент с
передаточной функцией Wn.
Изображение X ошибки x = g — у в данном случае имеет
следующее значение:
WnW
X = G-Y^G-
1 -\-W
u — \ + w u-
(8.4)
Следовательно, передаточная функция для ошибки слежения
w __ l+W(l-W„)
1 +W
Предположим, что замкнутый контур статический:
ft
w=-
c0sn + c1sn-1 + -..+cn_1s+\
(8.5)
(8.6)
WU = K =
1 +ft
Тогда передаточная функция для ошибки слежения
Wx =
(c0s"-1 + c1s"-2+..-+cn.1)s
<W3 + Cis""1 + • • • + cn.ys + (1 + k)
(8.7)
т. е. соответствующим выбором безынерционного
преобразовательного элемента достигают астатизма системы при статическом
замкнутом контуре. Такой прием находит применение, однако,
если передаточный коэффициент k разомкнутой системы из-за
ошибки при расчете или из-за неточности выполнения усилителя
отличается от расчетного значения на Ak, то появляется
установившаяся ошибка [10]
Ху — ■
А*.
ft2
■ ffo-
Пу сть замкнутый контур астатический:
где т> Т и удовлетворяется равенство k (т— Т) = 1.
(8.8)
(8.9)
345

T^WrVy
6)
Рис. 8.8. Структуопая схема
САР:"
а — с неединнчной обрат-
hoi'i связью; б —
эквивалентная
Тогда передаточная функция для ошибки слежения
W,
_ (слЧ¥"-Ч-+и»2
Cos'l+ClS"-1-|-
+ сП-&- + s + k
(8.10)
Значит, при использовании в качестве преобразовательного
элемента реального форсирующего звена первого порядка
астатизм увеличивается на один порядок. Форсирующее звено второго
порядка увеличит астатизм на два порядка и т. д. [45].
Изложенный метод достижения астатизма или повышения его
порядка имеет несомненные преимущества вследствие своей
простоты и отсутствия в замкнутом контуре интегрирующих звеньев,
которые затрудняют обеспечение устойчивости. Однако
применение метода ограничивается теми случаями, когда задающее
воздействие имеет малый уровень помех. Кроме того, отклонение
параметров от расчетных значений приводит к появлению
статических ошибок.
Существуют САР, в которых задающее воздействие не может
быть измерено (отсутствует), а измеряется лишь рассогласование х.
В этом случае преобразовательный элемент W,L может быть
включен в цепь сигнала рассогласования (рис. 8.7, б). Для того чтобы
схема была эквивалентна ранее рассмотренной (см. рис. 8.7, а),
включают компенсирующую отрицательную обратную связь с
передаточной функцией
Wm = (l-Wn)/Wn. (8.11)
Компенсирующая связь может быть включена и по схеме,
изображенной на рис. 8.7, в [101 ]. Тогда ее передаточная функция
Гк:1=1-Гп. (9.12)
Неединичная обратная связь. Такая связь (рис. 8.8, а) также
позволяет получить астатизм относительно задающего воздействия
[10]. Этой схеме эквивалентна схема (рис. 8.8, б) с единичной
обратной связью и прямой цепью с передаточной функцией
Wl (8.13)
W3
Пусть
1 _ (1 _ ko) Wi
Wt =
kjbys"1 + у"1-1 +
+ ftm-ls + l)
h ClS"-l + ■ ■ ■ + Cn-iS + 1
и kn
1 —
1
ftl
(8.14)
346

Тогда
r _ W" -!- V""1 + ■■■-!- bn,-,s + 1) g
C0S" "| + (d-2 — 6m_a) S2 + (C.i — 6,,,.!) S
Следовательно, в системе без интегрирующих или изодромных
звеньев соответствующим выбором коэффициента основной
обратной связи можно обеспечить астатизм относительно задающего
воздействия.
Неединичная обратная связь позволяет также повысить
порядок астатизма [10]. Неточность расчета и нестабильность
передаточного коэффициента k^ так же, как и в ранее рассмотренном
случае, служат причиной появления статической ошибки
слежения.
Общие условия неискаженного воспроизведения
детерминированного задающего воздействия в установившемся режиме. Если
САР имеет структурную схему, изображенную на рис. 3.1, то эти
условия заключаются в том [51 ], что среди полюсов передаточной
функции WtWz прямой цепи системы должны быть все полюсы
изображения 2 \g\ задающего воздействия.
Например, если g = at -f- b, то
Q [at Л- b) = <z/s2-f bls= (a+ 6s)/sa
и для отсутствия установившейся ошибки передаточная функция W^W.^ должна
иметь два нулевых полюса. Система должна быть астатической второго порядка,
что следует также и из формулы (7.6).
Если g = a sin w0/, то
й {asinft>0/} + aft>0/(s2 + ft>§).
Для отсутствия установившейся ошибки передаточная функция №[№2
должна содержать в качестве множителя передаточную функцию консервативного
звена с постоянной времени Т = I/w0.
Аналогично условие отсутствия установившейся ошибки от
возмущения / (см. рис. 3.1) заключается в том, что среди полюсов
передаточной функции W2 должны быть все полюсы изображения
£ {/} возмущения.
8.2. ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И УВЕЛИЧЕНИЕ
ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
Способы обеспечения устойчивости (стабилизации) замкнутых
САР и придания им необходимого запаса устойчивости
(демпфирования) разнообразны. Уже отмечали возможность решения
задачи выбором основных элементов регулятора и изменением их
динамических свойств местными обратными связями. При этом
можно руководствоваться следующими рекомендациями [74].
Если сопрягающая частота апериодического или колебательного
звена расположена левее частоты среза ЛАЧХ разомкнутой
системы, а сопрягающая частота форсирующего звена расположена
правее частоты среза, то увеличение постоянной времени каждого
317

из этих звеньев ведет к увеличению запаса устойчивости.
Указанная зависимость справедлива лишь при условии, что
сопрягающая частота расположена на некотором удалении (около декады)
от частоты среза. Встречаются, однако, структуры, для которых
эти рекомендации не выполняются.
Другой и более распространенный путь стабилизации и
демпфирования — введение в систему дополнительных звеньев. Их
включают последовательно в прямую цепь системы, параллельно
отдельным участкам или с охватом участков обратной связью.
В качестве дополнительных используют интегрирующее,
апериодическое, дифференцирующее, форсирующее и чаще всего более
сложные интегро-дифференцирующие звенья.
Эти способы улучшения динамических свойств отличаются
один от другого влиянием на частотные характеристики
разомкнутой системы. Основными являются три способа, приведенные
ниже.
1. Демпфирование с подавлением высоких частот
(демпфирование с внесением отрицательных фазовых сдвигов). В этом случае
устойчивость замкнутой САР и достаточный запас устойчивости
обеспечивают приданием разомкнутой системе способности
подавлять гармонические колебания, частота которых превышает
некоторое значение соа.
Если разомкнутая САР состоит из безынерционных,
апериодических, колебательных и форсирующих звеньев, то для
подавления высоких частот достаточно включить апериодическое звено
с достаточно большой постоянной времени Т0. Значение Т0 должно
быть выбрано так, чтобы частота среза со0 измененной ЛАЧХ
находилась в диапазоне частот, при которых ординаты исходной
ЛАЧХ еще весьма мало отличаются от 20 lg k и ординаты
исходной ЛФЧХ — от нуля. В этом случае остальными постоянными
времени можно пренебречь и приближенно считать, что
передаточная функция разомкнутой системы
W я* k/(T0s + 1). (8.16)
Следовательно, замкнутая система устойчива и имеет вполне
достаточный запас устойчивости. При увеличении k запас
устойчивости не изменится, если одновременно увеличивать Т0 так,
чтобы оставалось неизменным отношение
k/T0 = coc. (8.17)
Пример 8.3. Передаточная функция разомкнутой САР
W== (7\s + 1) (Tas + 1) (7V + 1) '
где k = 100, Ту = 0,05, Tt = 0,01 и Т3 = 0,001 с.
Выяснить, как повлияет иа свойства системы включение в ее прямую цепь
апериодического звена с постоянной времени Т0= 8 с.
348

Рис. 8.8. Логарифмические частотные характеристики цепи из трех апериодических звеньев
По логарифмическим частотным характеристикам Li и ift разомкнутой САР
(рис. 8.9) заключаем, что при замыкании она будет неустойчива. Характеристики
Lt и ifa разомкнутой САР с дополнительным апериодическим звеном
свидетельствуют об ее устойчивости в замкнутом состоянии. Запас устойчивости по фазе
Yj = 51°. Постоянная времени Т0 дополнительного звена имеет меньшее значение,
чем следует по ранее сделанным рекомендациям, так как значение i^npn <ос8
не близко к нулю. Однако получены вполне приемлемые результаты (достаточное
значение Ya)> поскольку ближайшая сопрягающая частота a>i создается
апериодическим звеном. Рекомендации же предполагают наихудший случай, когда эта
сопрягающая частота создается колебательным звеном.
Демпфирование статических систем можно осуществить не
только апериодическим, но и более сложным интегро-дифферен-
цирующим звеном с передаточной функцией
W0 = (t„s + l)/(T0s + 1) при Т0 > т0. (8.18)
В этом случае постоянная времени Т0 может иметь меньшее
значение, чем рекомендовано для апериодического звена.
Интегро-дифференцирующее звено с передаточной функцией
(8.18) обеспечивает подавление высоких частот и достаточный
запас устойчивости и в астатических системах первого порядка.
Передаточные функции систем — разомкнутой статической и
астатической с дополнительным интегро-дифференцирующим
звеном при достаточно больших Уо и т0 — соответственно
W ^ k (t„s + l)/.(ToS + 1) и W «* k (t0s + \)ls (TqS + 1). (8.19)
В системах с астатизмом второго порядка демпфирование
с подавлением высоких частот дает нужные результаты только
в некоторых случаях.
Преимущество рассмотренного способа в том, что
дополнительное звено с большой постоянной времени Т0 представляет собой
фильтр низких частот и подавляет высокочастотные помехи.
Недостаток способа — значительное уменьшение быстродействия
системы.
349

2. Демпфирование с поднятием высоких частот
(демпфирование с внесением положительных фазовых сдвигов). Устойчивость
и нужный запас устойчивости обеспечивают посредством
увеличения способности разомкнутой системы пропускать гармонические
колебания, частота которых выше некоторого значения соа.
Для этого необходимо в прямую цепь САР включить
форсирующее звено с передаточной функцией W$ = xs -f 1. Это звено
создает положительный фазовый сдвиг \\\ь = arctg сот, который
в области высоких частот приближается к 90е и увеличивает
амплитуду в А$ = V 1 + со2т2 раз, т. е. тем сильнее, чем выше
частота.
Если влияние одного форсирующего звена оказывается
недостаточным, то включают последовательно два таких звена с
постоянными времени тх и т2. Тогда положительный фазовый сдвиг
имеет две составляющие: 1рф = arctg сотд -f arctg сот2, и
амплитуда увеличивается в Лф= ]/(\ |-со'-т'{)(1 -f ьгт;) раз.
При использовании реального форсирующего'звена с
передаточной функцией
^ф = кф (тф s + 1)./(7V + 1), (8.20)
где £ф < 1 и тф > Тф, необходимо дополнительное увеличение
передаточного коэффициента остальной части разомкнутой цепи
в 1/&ф раз.
Постоянная времени Гф ограничивает диапазон высоких
частот, на котором вносится положительный фазовый сдвиг.
Однако, чем больше тф по сравнению с Тй, тем меньше влияние
постоянной Тф.
Вместо последовательных форсирующих звеньев могут быть
использованы эквивалентные по влиянию местные обратные связи.
Демпфирование с поднятием высоких частот является
теоретически универсальным способом и дает желаемый результат
практически при любой передаточной функции исходной системы,
в том числе и при наличии неминимально-фазовых звеньев.
Преимущество этого метода также и в увеличении быстродействия
системы. Однако способ имеет и весьма существенный недостаток:
при дифференцировании сигнала повышается уровень
высокочастотных помех.
Пример 8.4. Выяснить, как повлияет на свойства САР, рассмотренной в
примере 8.3, включение форсирующего звена с передаточной функцией W$ = 0,01s +
На рис. 8.10 показаны логарифмические частотные характеристики Lt и \^1
разомкнутой исходной системы и характеристики L2 и г()2 системы с форсирующим
звеном. Поднятие высоких частот обеспечивает устойчивость замкнутой системы
и запас устойчивости по фазе у2 = 42°.
3. Демпфирование с подавлением средних частот также
стабилизирует САР и создает достаточный запас устойчивости.
Достигается это включением в прямую цепь системы интегро-диффе-
350

Рис 8.10. Логарифмические частотные характеристики цепи из трех апериодических
и форсирующего звеиа
Рис. 8.11. Логарифмические частотные характеристики цепи из трех апериодических и
интегро-дифференцирующего звена
рейдирующего звена второго порядка с передаточной функцией
W
ид ■
(7V+l)(r2s + l)'
(8.21)
где постоянные времени тх и та меньше Т1 и больше Т2.
Вместо последовательного звена можно создать
эквивалентную по влиянию местную обратную связь.
При подавлении средних частот быстродействие системы
уменьшается, но обычно незначительно. Данный способ демпфирования
наиболее распространен по сравнению с двумя первыми.
Пример 8.5. Выяснить, как повлияет на свойства САР, рассмотренной в
примере 8.3, включение интегро-дифференцирующего звена с передаточной
функцией.
Wa
(0,01s+l)2
(0, Is + 1) (0,001s + 1)
На рис. 8.11 представлены логарифмические частотные характеристики Lx
и \J>! исходной системы в разомкнутом состоянии и ее характеристики La и \J)a
при включении интегро-дифференцирующего звена. Подавление средних частот
обеспечило устойчивость замкнутой системы и запас устойчивости пофазе-уа = 49°.
Во многих случаях рассмотренные способы комбинируют
в зависимости от того, каковы частотные характеристики САР,
устойчивость которой необходимо обеспечить. Может оказаться
необходимым подавление средних частот с одновременным
поднятием высоких частот, усиление части высоких частот и подавление
другой их части и т. д.
При наличии в системе консервативного или колебательного
звена с малым затуханием хорошие результаты дает
демпфирование с введением отрицательных фазовых сдвигов [10]. Для этого
351

Рис. 8.12. Амплитудно-фазовые частотные
характеристики исходной и скорректированной системы
в прямую цепь САР включают
неминимально-фазовое звено,
например, с передаточной функцией
Wn = (1 — Ts)l{Ts + 1). (8.22)
Звено не изменяет амплитудно-
частотной характеристики системы
и создает отрицательные фазовые
сдвиги, так как
Л,
4>д<
К1+(о2Г2/К1+мгГа = 1;
— 2arctgw7\ (8.23)
В результате обеспечивается устойчивость и не изменяется
быстродействие системы.
Пример 8.6. Передаточная функция разомкнутой САР
k
W
s(71s2 + 2grlS+l)
где к = 5, 7\ = 0,05 с и g = 0,01.
Выяснить, как повлияет на свойства САР включение в ее прямую цепь
неминимально-фазового звена с передаточной функцией (8.22) при Т= 0,1 с.
Частотная передаточная функция разомкнутой цепи исходной САР
W=-
где
f/« —
М-7>* + /2&7>+1)
0,005
-U + I.V
Г»
1— 0,005©» +6,25- ИГ6©* '
5(1 — 0,0025со2)
© (1 — 0,005©2-1-6,25• Ю-"©*'
Определим основные точки АФЧХ разомкнутой САР:
(0=0 U = —0,005; V = —оо;
0 < © < 20 U < 0; V < 0;
©=20 [/=—12,5; V =0;
20<© £/<0; V>0;
м = оо [/ = 0; У=0.
Полученные данные позволяют выяснить вид АФЧХ (кривая / на рис. 8.12).
Пользуясь критерием устойчивости Найквиста, определяем, что исходная система
в замкнутом состоянии неустойчивая.
352

Частотная переда точная функция разомкнутом САР с дополнительным звоном
W k {-1Ты) // 1 iv
~ \ч> (-7>^ + №Т 1в>+1)(1+УГ<») ' U "1' }V •
где
„ 5 (0,2 —0,00051(02) .
U « g ,
, 5 (I ^-0,0127(О24-2.5-Ю'г'й)4)
V « ^ ,
В « 1 -| 0,005со2 - 4,37 • 10 -V | - 6,25 • 10" 8оУ\
Но выражениям для U и V находим
м 0; V - -- 1,0; V ->х>,
0 < (0 < 9,87 U < О, V < О,
м = 9,87 U --= —0,67; V ■-= 0;
9,87 < (0 < 19,85 [У < 0; V > 0;
о)= 19,85 [;= 0; У = 10,2;
19,85 < to < 20,26 L/ > 0; V > 0;
со = 20,26 U = 7,24; V = 0;
20,26 < со U >0; V < 0;
ы — оо U --- 0; V =-- 0.
Полученные данные определяют вид АФЧХ (кривая 2 на рис. 8.12) и
позволяют сделать вывод об устойчивости замкнутой системы с дополнительным звеном.
Неминимально-фазовое звено создает дополнительные фазовые сдвиги, н
АФЧХ как бы закручивается вокруг начала осей координат по часовой стрелке.
В результате удовлетворяется необходимое и достаточное условно устойчивости
замкнутой системы.
8.3. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Наиболее действенным способом обеспечения необходимых
динамических свойств САР является введение в нее
дополнительного элемента, который исправляет (корректирует) ее статические
и динамические свойства. Такой элемент называют
корректирующим элементом или корректирующим устройством.
Итак, корректирующее устройство — это функциональный
элемент системы автоматического регулирования по отклонению,
обеспечивающий необходимые свойства этой системы, устойчивое
и качественное ее действие. Ранее уже рассматривались такие
устройства, теперь остановимся на некоторых их общих свойствах.
Корректирующее устройство можно включать в прямую цепь
системы последовательно (рис. 8.13, а). Такое последовательное
корректирующее устройство №к1 включают непосредственно после
элемента сравнения или после предварительного усилителя.
Последовательное корректирующее устройство, например,
может вводить производную от рассогласования, что увеличивает
запас устойчивости и качество переходного процесса. При
введении интеграла и производной от рассогласования обеспечивается
J2 макарон II. М. 353

Рис. 8.13. Структурная схема САР с корректирующим устройством:
(1 - последовательным: б — парлллельиым: в — прямим параллельным
астатизм н одновременно сохраняются устойчивость и качество
переходной характеристики. Чаще используются более сложные
последовательные корректирующие устройства. Они оказывают
разностороннее влияние на динамические и статические свойства
САР.
Широко используют также включение корректирующего
устройства WKi в виде обратной связи, чаще всего отрицательной
(рис. 8.13, б). Такое корректирующее устройство называют
параллельным. Оно охватывает обратной связью оконечный каскад
усилителя или исполнительный элемент.
Передаточная функция участка цепи с параллельным
корректирующим устройством
W3-=--W2/(l-\-WKJW>)- (8-24)
Обычно параллельное корректирующее устройство выполняют
так, чтобы в достаточно широком и наиболее существенном для
качества системы диапазоне частот выполнялось неравенство
\Wj?t\»l. (8.25)
Тогда в этом диапазоне частот
W3 ж тл, ■ (8.26)
т. е. при удовлетворении неравенства (8.25) свойства цепи с
параллельным корректирующим устройством определяются только
свойствами самого корректирующего устройства.
Указанное обстоятельство является большим преимуществом
параллельного корректирующего устройства, так как свойства
участка цепи и изменение его параметров не влияют на свойства
системы. Преимущество такого включения также в том, что на
корректирующее устройство поступает сигнал с выхода мощного
элемента, и после преобразования сигнала его усиления не
потребуется. Параллельное корректирующее устройство может быть
включено и в цепь основной обратной связи [49].
Применяют и третий вариант включения корректирующего
устройства W,.s — параллельно одному из участков прямой цепи
САР (рис. 8.13, в). В этом случае корректирующее устройство
следует называть прямым параллельным.
351

Прямое параллельное корректирующее устройств имеет,
вообще говоря, меньшие возможности, чем два других, и
используется реже. Однако иногда такое устройство при меньшей
сложности создает необходимое преобразование сигнала.
Пусть, например,
W,^ke и WKS = -kM/(Ts+l).
Тогда передаточная функция участка цепи с прямым параллельным
корректирующим устройством
r9 = ft9(T9s+l)/(rs+l),
где ка — к3 — кпз ит0= кяТ/(кя — *„,).
Следовательно, этот участок щчш проявляет себя как реальное форсирующее
звено, и при малой разности ka — /i'J!;i его постоянная времени дифференцировании
может быть весьма значительной.
При выборе прямого параллельного корректирующего
устройства могут быть полезными данные табл. 2,5.
В ряде случаев возникает задача выбора вида
корректирующего устройства. Приводимые ниже формулы позволяют но
перед.чточноп функции, которую должно иметь корректирующее
устройство одного вида, определить передаточную функцию
эквивалентного ему корректирующего устройства другого вида.
Корректирующие устройства различного вида эквивалентны, если они
создают один и тот же эффект, одно и то же преобразование
сигнала на участке цепи с корректирующим устройством. Кроме того,
на участке цепи с параллельным или прямым параллельным
корректирующим устройством должно осуществляться
преобразование сигнала, соответствующее передаточной функции Wt или W3,
Формулы эквивалентности корректирующих устройств таковы:
^«1= (1+rK2ra) ==1 "^~F7"; (8'27)
ш . ' — wkj гкз /я оя\
Wk*~ wKlw2 — wt(wKS + ws) ' ^гб>
Wll3-W3(^Kl-l) = *+w**wt - (8.29)
1хлн значение передаточной функции Wl3 отрицательное,
то это означает, что параллельное корректирующее устройство
представляет собой положительную обратную связь.
Во многих случаях необходима сложная коррекция
динамических свойств САР, и тогда вместо одного корректирующего
устройства удобно использовать два более простых.
Последовательному корректирующему устройству
эквивалентно сочетание параллельного и прямого параллельного, пере-
даточныг функции которых удозлетворяют равенству
1 + У«№* .. v <я -™
1 +WK2[Wi ~~ ' КГ \o.^j)
12*
355

Параллельному корректирующему устройству эквивалентно
сочетание последовательного и прямого параллельного
корректирующих устройств, передаточные функции которых
удовлетворяют равенству
WK1(\+WK2/W3) = —~r^r- (8.31)
Прямому параллельному корректирующему устройству
эквивалентно сочетание последовательного и параллельного
корректирующих устройств, передаточные функции которых
удовлетворяют равенству
v« ^X+W^tW,. (8.32)
1 + WK2W2
При составлении формул (8.30)—(8.32) предполагалось, что
параллельное корректирующее устройство охватывает обратной
связью звено W2 и прямое параллельное корректирующее
устройство включено параллельно звену W3.
Методы синтеза корректирующих устройств будут изложены
в гл. 9.
8.4. КОМПАУНДИРУЮЩИЕ СВЯЗИ
В некоторых объектах регулирования могут быть две
физические величины, которые зависят от одних и тех же внешних
воздействий и взаимосвязаны. Если одна из этих величин
является регулируемой, то другая может осуществить
дополнительное воздействие на регулятор. Такая дополнительная связь внутри
замкнутого контура регулирования по отклонению называется
компаундирующей [51 ]. Существуют два вида компаундирующих
связей.
Компандирующая связь WKC, образующая второй канал
воздействия возмущения. Такая связь может быть создана, когда
в объекте регулирования возмущение / воздействует на
регулируемую величину у через промежуточную величину ух (рис. 8.14, а).
В этом случае регулирующая величина г влияет на ух только
через у.
Компаундирующая связь в общем случае состоит из датчика
и компенсирующего элемента. Иногда необходимость в датчике
отпадает, например, когда ух есть электрическая величина.
Компенсирующий элемент преобразует сигнал так, чтобы
компенсировать влияние возмущения / на регулируемую величину у.
Система с компаундирующей связью описывается
передаточными функциями: разомкнутой цепи
1Г/ WqW^zW* .
\ + wuwu-wnwtwKjria ' [0 •
356

Рис. S.14. Структурная
схема САР с
компаундирующей связью:
а — образующей второй кв-
иал воздействия
возмущения; б — не обрвзующей
такого квналв
относительно задающего воздействия
W.
У11У1У»
1 + WiaW^ia - «%1«^КСГ13 + W0WyiW2Ws
относительно возмущения
- »Wfi2 - wnw2wKC)
(8.34)
1_ 1+ ^12^13 - ^11^2ГКСГ13 + Г0ГПГ2Г3 ' Iе-00'
где №ц, W12, W13> Wlt — передаточные функции элементов
объекта регулирования; Wt, W2, W3 — передаточные функции
элементов регулятора.
При выполнении компаундирующей связи с передаточной
функцией
Wvc = Wl2/(WnW2) (8.36)
передаточная функция W1 относительно возмущения обращается
в нуль. В этом случае возмущение / не оказывает какого-либо
влияния на регулируемую величину у, т. е. достигается полная
инвариантность (независимость) у от /. Равенство (8.36) —
условие полной инвариантности, которое, вообще говоря, может быть
реализовано, ибо существуют два канала, по которым возмущение
воздействует па регулируемую величину ;/. Один канал
(естественный) состоит из элементов с передаточными функциями Wu
и W12, другой образован компаундирующей связью и включает
элементы с передаточными функциями Wu> W^, W2 и Wn.
Вероятнее всего из-за инерционности элемента №2 условие
инвариантности не может быть реализовано полностью — не
357

можег быть физически осуществлена компаундирующая связь
с передаточной функцией, определяемой равенством (8.36). Тогда
компаундирующую связь выполняют, лишь приближаясь к этому
равенству, и достигают частичной инвариантности (см. п. 10.1)
пли инвариантности с точностью до малой величины е. Однако
н в такой ситуации влияние /на у уменьшается весьма существенно.
Возможность достижения того или иного вида инвариантности
регулируемой величины от основного возмущения является
большим преимуществом рассматриваемой структуры.
Однако компаундирующая связь оказывает отрицательное
влияние на устойчивость системы, так как она создает
положительную обратную связь, охватывающую элементы Wn и Wz
прямой цепи. Это влияние может быть скомпенсировано
соответствующим выбором корректирующего устройства в прямой цепи
системы.
Генератор постоянного тока с независимым возбуждением может служить
примером объекта, который птволяет осуществить компаундирующую связь,
образующую второй канал воздействия возмущения. Регулируемой величиной
является напряжение иг на зажимах генератора; возмущением— напряжение и„
у потребителя, изменяющееся при изменении мощности нагрузки; второй
величиной, характеризующей действие объекта, является ток ir генератора;
регулирующим воздействием — ток возбуждения iB.
При обычных допущениях (скорость вращения генератора постоянная и его
магнитная система не насыщена) указанные величины связаны следующими
уравнениями:
иг = kria — (Lap + Яв) /г; (L„p + Ял) ir = ur — иа,
где kP — передаточный коэффициент генератора; La, Ra, LR иДп —
индуктивности и сопротивления соответственно обмотки якоря генератора и линии,
соединяющей генератор с потребителем.
После преобразования этих уравнений по Лапласу при нулевых начальных
условиях можно определить передаточные функции элементов объекта:
Wu=kr; U?12 = tfa(ras+1); wa = Wlt= ял(Г'8+1) .
где Та = LjRa н Тл = 1Л/ЯЛ-
Очевидно, что структурная схема генератора такая же, как и изображенная
на рис. 8.14, а. Следовательно, в системе автоматического регулирования его
напряжения можно создать компаундирующую связь для компенсации влияния
возмущения. Такую возможность широко используют.
Компаундирующая связь, не образующая второго канала
воздействия возмущения. В этом случае возмущение влияет на
промежуточную величину ух через регулируемую величину у
(рис. 8.14, б). Регулирующая величина z обычно влияет на
регулируемую величину у через промежуточную ух.
Система описывается передаточными функциями: разомкнутой
цепи
"~ 1+ ^ii^is -Wis^ttV. ' • '

относительно задающего воздействия
07 WnW12W2W3 . ,яэд.
относительно возмущения
W -Г14(1-Ц71аГ2Гкс) . R „0
где Wu, 1У12, №13, ^м — передаточные функции элементов объекта
регулирования; №„, W», W» - ■ передаточные функции элементов
регулятора.
Передаточная функция \V; обращается в нуль при выполнении
компаундирующей связи с передаточной функцией
W,c = V(WaW%). (8.40)
Таким образом, это равенство является условием
инвариантности регулируемой величины у от возмущения /. Однако, как
правило, компенсирующая цепь не может быть выполнена с
передаточной функцией, удовлетворяющей равенству (8.40). Удается
лишь уравнять свободные члены и коэффициенты при младших
степенях s левой и правой частей равенства, которое получается
из равенства (8.40) после подстановки в него значений
передаточных функций W12 и W2 и предполагаемой передаточной функшш
WKC. При этом достигается лишь частичная инвариантность /'
от у, но влияние f на у значительно уменьшается.
Компаундирующая связь весьма значительно влияет на
устойчивость системы и качество воспроизведения задающего
воздействия, поэтому оказывается необходимым корректирующее
устройство в прямой цепи.
Примером объекта, который позволяет создать компаундирующую связь
рассмотренного типа, может служить электродвигатель постоянного тока с
независимым возбуждением. Его регулируемая величина — скорость вращения
якоря <о; возмущение — момент сопротивления т; вторая величина,
характеризующая действие двигателя, — ток якоря i; регулирующее воздействие —
напряжение и, приложенное к обмотке якоря.
Уравнения электродвигателя
(L„p + Ra) i — и — cea; (Jp + с) to ■•= cmi — m,
где LaK Ra — индуктивность и сопротивление обмотки якоря; J — момент
инерции якоря и связанных с ним вращающихся масс; С(, с, ст — постоянные.
После преобразования уравнений по Лапласу при нулевых начальных
условиях определяются передаточные функции элементов электродвигателя;
Г1==
Q __ kn „ й К
J Tms + 1 ' la M - Tms + 1
*13 . w, __ J _ *14
Q Tns +1 • " " и Tas + 1 '
где Q, J, M, U—соответственно изображения переменных <о; i, m, и; fen =
= Cjnlc; klt = 1/c; /e]3 = cjRa\ ku = \lRa- Tm= J/c; Ta = LjRa.
Структурная схема электродвигателя такая же, как и у объекта
регулирования на рис. 8.14, б. Следовательно, в системе автоматического регулирования
359

скорости вращения электродвигателя можно создать компаундирующую связь
(обратную связь по току), которая, однако, не образует второго канала
воздействия возмущения на регулируемую величину. Такую возможность широко
используют в автоматизированных электроприводах.
8.5. ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ СИГНАЛОВ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Все рассмотренные методы стабилизации и обеспечения
необходимого качества регулирования предполагают соответствующее
формирование сигнала, поступающего на исполнительный элемент
регулятора. Для этого регулятор должен быть дополнен
корректирующим устройством. В простейшем случае оно представляет
собой элемент, осуществляющий то или иное преобразование
сигнала. Более сложные корректирующие устройства состоят из
нескольких преобразовательных элементов.
В САР используют преобразовательные элементы различной
физической природы и с весьма разными свойствами. Наиболее
широко применяют электрические преобразовательные элементы
постоянного тока.
Пассивные четырехполюсники постоянного тока. Эти
четырехполюсники представляют собой электрические цепи из резисторов,
конденсаторов и индуктивностей. Основные типовые схемы таких
четырехполюсников и формулы для определения их передаточных
функций W при отсутствии нагрузки и Wn при нагрузке Z„
приведены в табл. 8.1.
При последовательном соединении резистора сопротивлением
R„ конденсатора емкостью Q н индуктивности L,- полное
сопротивление участка, записанное в операторной форме, будет
Полное сопротивление параллельного соединения резистора
сопротивлением Ri и конденсатора емкостью Ct
7 1 _ Rt
1/Rl+CiS RtCiS + l *
Пассивные четырехполюсники состоят из дешевых
стандартных деталей (если не используются индуктивности). Они надежны
в эксплуатации, так как не имеют подвижных изнашивающихся
частей. Разнообразие возможных схем весьма велико, и в каждой
схеме в широких пределах можно изменять параметры.
Следовательно, четырехполюсники могут осуществлять различные
преобразования сигнала (напряжения постоянного тока). Сочетание
четырехполюсников с другими электрическими элементами обычно
не вызывает затруднений. Благодаря перечисленным
положительным свойствам пассивные четырехполюсники постоянного тока
широко применяют в САР самых различных классов.
Недостаток пассивных четырехполюсников — в ослаблении
сигнала вследствие потерь энергии в резисторах. Поэтому при их
360

Таблица 8.1
Типовые схемы пассивных четырехполюсников постоянного тока
№
по
пор.
Электрическая схема
четырехполюсника
Передаточные функции:
W — при гн = оо; wa — при
нагрузке
-СУ
и, z2
&■'
W =
Zi f z2 '
Z2ZH
11 z^a + (z1 + z2) za
-r
W
z2z3
WH
Zl(Z2 + Z3)-hZ2Z3 '
Z2Z3ZH
ZlZ2Z3 + [Z1 (Z2 + Z3) H- Z2Z3] ZH
Г
(Zl + Z2) Z3
(zl "I" Z2) Z3 -)- ziZ2
(Zl + Z2) Z3ZH
\(7 _
H ^z2zs + [Zlz2 + (Zl + z2) z3] zH
^ ?2
"' zjQ ^D^Dz,
o-
№
Wh =
(Zl + Z3) (Z2 + Z4) + ZlZ3 '
Z3Z4ZH
Z4 [(Zl + Z2) Z3 -I- Z^] +
+ [(Zi + Z3) (Z2 + Z4) + Z^g] ZH
1С/.
w..
(Zl • [
(Zl +
[(Zl -1
-z2-h
z3) (z2
z3) z4 -\
+-г4)-
z3) z4 ■
-z2z3
h z2z4
1 *А]
t
zH
^ZsVzO'+ZsZ^Zj'H-
+ [(м-f za)(?2 f<-,l + %]z„
W:
WH
\(zx+z.
[z2 (z3 +
+ f(Zi +
[(Zi +
!-f Z.
z4 +
Z2-I-
z2 +
,) z4 4- z2z3] zs
Z5) + Z3Z4] Z1 -1-
z3) z4 -f z2z3] z5
z3) z4 + z2z3] z5zTI
[Z2(Z3-1-Z4) + Z3Z4]Z1Z5-|-
H(Zl23 -|- Z3Z5-|-Z5Zj) X
X (Z2 + Z4) + (Zj + Z5) Z2Z4] ZH
361

Продолжение табл.8,1
л»
по
пор.
Электрическая схема
четырехполюсника
Передаточные функции:
W — при zH = со; Wn — при
нагрузке
W
Z4Zr,Ze
h h
и, t
-O-i
n =
(z3 + «в) I(zi +z4) (z2 + z6) +Zlz4] +
4-z3l(z1 + z2)z4 + z1za]
Z4Z6Z6ZH
[(Zi + Z4) (Z2Z3 + Z3Z5 + Z5Z2) +
-|-z,z4(z3-| zj]ze +
! [(Zi-I z4)[(z2-|-z5)(z3-fze) +
-I 22г0] + zlZ4 (z8 4- z3 -I zt)}zH
W ■-=■
W„
Zi + z2 z3 + z4
(Z2Z3 — ZjZj) ZH
(zl + Z2) Z3Zi + Z^ (ZS + Z4) -)-
-I- (Zj + z2) (z8 -J- z4) zH
использовании необходимо вводить дополнительный усилитель
либо увеличивать передаточный коэффициент имеющегося
усилителя.
Электрические схемы четырехполюсников, используемых на
практике, и основные сведения о них приведены в табл. 8.2.
Передаточные функции определены в предположении, что нагрузка
отсутствует: Z „= оо. На эскизах табл. 8.2 цифрами +20; 4-40;
—20 и —40 дБ/дек указаны наклоны асимптот ЛАЧХ. Ординаты
ЛАЧХ L0 = 20 lg A0; L„ = 20 lg A„.
Если знаменатель передаточной функции четырехполюсника
представляет собой трехчлен «,,.s3 |- <7ts
1 и а\ > 4«о, то
«(Ла l-./..ч | 1-(Гл.к |- l)(7V,s | 1),
|,чс '/'„, (5 - </|/2 Л. \'(i'ili — a0.
1'ivni a"\ ■:' 'ley, 'io
o0s> + alS i I - 7V +21; A + 1,
где r = j/«0; l-
2Г *
Подобным образом может быть представлен и трехчлен b0s2 +
+ 6xs + 1 чисдителя передаточной функции четырехполюсника.
По характеру преобразования сигнала четырехполюсники
ралделяют на следующие группы:
362

Рис. 8.15. Включение пас- Uai
сивиых элементов в диффс-
ренциальиую цепь:
а — четырехполюсников; ^Ь/
б — двуполюсника
а) 6)
1) дифференцирующие четырехполюсники (поз. 1—24 в табл.
8.2) в определенном диапазоне частот осуществляют
дифференцирование сигнала, создают положительный сдвиг по фазе;
2) интегрирующие четырехполюсники (поз. 25—41 в табл. 8.2)
в определенном диапазоне частот осуществляют интегрирование
сигнала, создают отрицательный сдвиг по фазе;
3) интегро-дифференцирующие четырехполюсники (поз. 42—58
в табл. 8.2) в одних диапазонах частот проявляют
дифференцирующие свойства, в других — интегрирующие;
4) неминимально-фазовые или фазосдвигающие
четырехполюсники (поз. 58—61 в табл. 8.2) создают значительный
отрицательный сдвиг по фазе. При этом четырехполюсники (см. поз. 60 и 61)
не изменяют амплитуды сигнала, имеют бесконечную полосу
пропускания;
5) антивибратор (поз. 62 в табл. 8.2) при частоте со — 1/т не
пропускает сигнала.
В ряде случаев возникает необходимость иметь
корректирующее устройство с передаточной функцией, равной произведению
передаточных функций двух (или более) четырехполюсников.
Последовательное соединение этих четырехполюсников может не
дать желаемых результатов, так как каждый последующий
четырехполюсник нагружает предыдущий; передаточная функция
нагруженного четырехполюсника иная, чем указано в табл. 8.2.
При последовательном соединении двух пассивных
четырехполюсников между ними необходимо включить разделительный
(буферный) усилитель. Сопротивление его входной цепи должно
быть весьма большим. Иногда допускают непосредственное
соединение двух четырехполюсников, если все импедаисы
последующего четырехполюсника не менее чем в 10—100 раз превышают
наибольший импеданс предыдущего четырехполюсника.
Встречаются САР с дифференциальной (балансной) цепью
передачи сигнала, т. е. с передачей сигнала в виде разности и —
— иа — иь двух напряжений постоянного тока. Таким путем
обычно поступает сигнал на встречно включенные обмотки
управления электромашинного и магнитного усилителей. Для
преобразования сигнала в соответствии с передаточной функцией W„
в дифференциальную цепь необходимо включить два пассивных
четырехполюсника (рис. 8.15, а) с передаточными функциями Wn.
Вместо двух интегрирующих четырехполюсников можно
включить двуполюсник (рис. 8.15, б) параллельно взаимно связанным
иаг
W»
i-at fi\ (Я2
L J
L <
Z,7
hi R £ hi

Таблица 82
Пассивные четырехполюсники постоянного тока
по
пор.
Электрическая схема
Передаточная функция, значения ее
параметров и амплитуд Аи = А (0)
и А ю = А (оо)
Асимптотическая
логарифмическая амплитудио-частотная
характеристика
о—1| . о
О'" О О
w =-.
ks
Ts l : к=т = *с- Л, = 0: A~=i
•+ 20 да/дек
<Н=>-||
а £V
Л/ Ч [I «г
HI—г—р>
"7 ЧП^П иг
W :
ks
Ts-f l
•; k -= Я2С; Г - (/?! -f- Я2) С; Л0 = 0;
Л =
Д.,
^1 Т' ^2
W = Т1^__; * = ЯС1: Г = R (Ct + С2); Л0 = 0,
л __ с>
Ci + C*
№
fo
Ts ~t- 1 ' " i?x -\- R2'
T^(^-^fe)C
^4 =о; А = ^2^я
^1 (^2 ~Г ^з) *~ ^2^3
1 8
f ~1
■^я-.чмули1
"1 >Ы\ U
W Ts+l ' Й'
r = frt = J?lM.; Л
•; t=/?jC;
Ях + TV о "/?i-r/?i
; a=\

Ml-Г о
w = k_te + vi. k:
Q
T = kx
RCjC^
сх+с2'
Ci-rC2' Ла d-rCj,'
t = #C2;
A„= 1
Ri
0-C3-
AJra+l).
^ Ts -r l ' ft
т _ ^i_ _• л
Я1-Я2' ° #1 + Я.
#2 . T _ +^1_ .
Л1 -+- «2 #2
Л = 1
f *'..
10
X „^
*-o-tt
— rs—°
* 11 «
C2X-
<ч±-кэ
у Mts+I), Ct .
T = ( "l ~l~ ^2) bjC2 . л _ ^1 . Л __ R-2
™ __ fe (ts + 1).
^~ Ts+1 ' ft"
^1 + ^2 "t" ^з
T_ (Ri^Rs)RzC . л =
-; г = #2C;
Я.
Ri + Ri + Rs ' ° «1-Л»Ч-Л8 '
A_ = ■
Л1 + Ля
/P, £
о—i—t i
ч '**n «j
^Hxs+1) ft = .
Ts+ 1 '
Ri 4- %
t = (#! — #2) C;
Л„
T-(R^ rA'r*)c' л°" /?г-глГ
(Я, + Я,) Я3
Ао
Ri (Я2 + Rs) -г R-2RS

Продолжение табл. 8.2
по
пор.
Электрическая схема
Передаточная функция, значения се
параметров н амплитуд А„ = А (0)
н А0о = А (оо)
Асимптотическая
логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика
11
12
W
k (TS -г 1) .
Ts -J- 1 ч' R-l + Rz + Ri '
(Rl + #4) #2 "1 •>. Л _ ^4
t = («2 + Яг) С;
tf*U «2
(Л* + Д|) «4
Лтс =
(«1 + R*) (R2 + Лв) + RzR*
См. эск. п. 8—10
R1 if
w = k{;s + }~>; k=-
Ts+ 1
«/
«2
i-i-
Rl _Г ^2
■ /1 —
#i + R*'
R*
Ri + Rz'
лоо —
h.-
L2
i-i-
13
w =
20 = kx; ax
fe(xs-fl)s .
a0s2 -f- GjS -|- 1 '
' RiR.
. __ R2R3C2 . T
:/?A;
#l + #2
Si + #2
(Cx -l- C2) + Д3С2; Ло = 0; Аоо
Г+20дБ/дек
14
w = k (tiS + l) (xiS + \). ft
a0s2 -j- GjS -7- 1 '
t1 = R1C; т2=—±; <z0 =
A2
#1 + Я2 '
RiCLx .
^1 T" ^2
A — ^2
Я1-Я2 '
Лоо=1
"*
Л. 1S~± ±
a)
уГ+20д6/дек ■

■ь-ojh—
W
v k(b^ + blS+\).
Сг
aas2 -\- a^s -f- 1
Ci-C,
^А;
*i = R2C2; a,
A
#1 — '
""Ci + C "X
C! + C2 '
Cx + C2
20 дБ/дек
, r ^
aoS2 J- alS -r- i ' ft-№CiCi; «o - R1R2Ci.Cz;
«i = Я1 (Ci + C2) + Я2С2; Л0 = 0; Л» = 1
w =
fcs2
a0s2 -)- cijS + 1
Aa =0; ^00= 1
; fe=a0=CL1; c^ = #C;
_7
J_
0)
>20аб/дег,
'+Ь0 дБ/дек
"Mi:
W-
fcs3
k = #2#3CiC2;
CflS2 + GjS + 1
«о = [Я1 (Я, + Я,) + R2R3] Cfy fll = (Яг+ Д2) d
(Я2 + Дз)С2; Ло = 0; Л<х,=
^1 (% + %) + R2R3
fzOdS/дек
S+tfOaS/de/C
"/
0—
■ И C a
J! f
'4
"'^
uf
fl^
ft (ts-1- 1)s
a0s2 + ajs + 1
ft = fll = /?C; t=-^-;
a0=kx = CL1; Ao=0; A<x> = 1
"^говв/дек
- ЬОдБ/деИ
'*2СдБ/дек

Продолжение табл. 8.2
по
пор.
Электрическая c'-ieva
Передаточная функция, значения ее
параметров н амплитуд. А„ =А (0)
и Л„ = А (<*>)
\симптотическая
логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика
20
xS
h
а0 = k- = R&C^; 0l = R1C1 + Rt (Cx J- C2);
Ло=0; Ло„ = 1
См. эск п. 19
21
«7 =
/e(xs+l)s .
008» + ^+Г5 * = ^С; Т- R2 '
Oo = (L, + L2)C-, «! = (/?! +/?2) С; Ло=0;
А<х> =
ii + it
^7
_ / 7 /
^ V Та Tb \ ш
] | IT:»
ч ^^-40дб/дек
-*+20дБ/д8/(
22
0—
'«су
•—
с.
Ц
fe(TlS+l)(t2S-^l).
a^ + a^+l ' *
, #3#4
тх = RiC-i', т2 — /?2^2>
" (Ri + R») (#2 + Rt) + RiRs '
RiR3 {Ri + Rt) C, -j- IRi {R, + Я«) + frKJ #2^2.
(Я, + R») (Rt + Я4) + RiR,
a0 — kTit2; A0 = k; A<*> =- 1
'+ tfOSB/fcK
20дБ/де/с
23
R3
~ <z„S* + alS + 1 ' * R1 + Л,
; b9 = R1R^1Cs:
О! = i?2 (Cx TC2); a0 = kbQ; a1 = 52 (Cx + C2)
#1 "Г ^3 '
Ъ20ёВ[дек
-f 40 дБ/дек
'+20 дБ/дек

24
o-
Ri #z n?3 П
fe(TlS+l)(T2s+l). ь _ RtR5 .
4 - <z„S* + alS + l ' k 5~' Ti-«^i,
т2 = RA; «о = 4" №i (*« + /?e) + ^4^5] RzRs^C,;
*i = -g" {№ (*8 + #4 + Я,) + «4 (Лв + Rb)] ЛЛ +
+ [(«1 + Яя) (Я4 + R5) + Я*Я5] RA);
в = (Лх + л,) л4 -г («1 + R* + «4) (Я8 -I- лв); Л - А;
#4#5
г+20дБ1дек
г+40дБ/дек
'+20дБ/дек
Аа
Ri (Ri + Rb) + Я4Я5
25
ff -
о cm-» о
w =
Ts-r
■ ; T = RC; Д, = 1; Л*, = О
-20дВ/дек
CJ
26
127
28
С, Я,
О H-CZb
u1 I.
ST
-2T :
#, i.
* с
°-o-t-1—'
^ = ^4-r; *=o-^; r= *CiC;
Ts -f- 1 ' '" Сг + C2' Cx + C2 '
Л0 = £; Л» = О
W =
■; * =
#2 . • T _ ^-1
7-s+i ' " #Y-F#2 ' " /?! + /?,'
Л0 = £; Л«>=0
fl? =
Ts-h 1
; k-.
R% . j, __ RjRjC .
^1 + ^2 Ri + ^2
A. = «: A x — 0
-20дБ/дек
CJ

Продолжение табл. 8.2
пор.
Электрическая сг.ема
Передаточная функция, значения ее
параметров и амплитуд А0 — А (0)
и Ax = А (со)
Асимптотическая логарифм]
чсская амплитудно-чзстотр -
характеристика
i
29
R
:-.L J_:-
Ts~ I
Сг
Ci — Co '
T = R[C:
£•1 ""Г C3
См. эск п. 26—28
30
c—EZJ-t-
Г = ГЛ I ; т = Я2С; Г = (/?! +i?2) С;
Ts + 1
Л0=1; Л,
Я2
Д1 + Я2
31
31
/F,
tf/
I
W = k(? + }); k
T = R2
Ts+ 1 '
#l + #3
#i + R* '
x = Я2С;
#2 (#1 + Ri) -Г ^A
fl? =
fe(xs+ 1).
Ts-h 1 '
k =
; г
Л1 + Л;
{Ri -f- R3) R4
(Ri + Ri)(R2 + R3) + RiRi '
[Ri {R, + Ri) + R2Ri) RSC .
№1 + Ri) № + R») + RA '
Я, (#2 + Я«) + #2#4
33
ft, P.
" T T
) .1 «—
№ =
1
" ) Gq — /\ 1^2^ 1^2»
aos2 -f axs + 1
«i = ЯА + № + Rt) c2< A>=i; A» = o

34
К Li
"1,
w
1
аф" + diS -f- 1
■; a0 = 1ХС; аг = RC;
JL L
Та Tt
35
36
37
"1 f^z "j
U, ч ^} J=0 [] иг
с 1 i
w =
■; * = •
«4
a„s- + alS + l ' " Ri+R2+ Rj -f Я4'
^1^2 (Яз ~Ь Я4) СгС2 .
° /?! + /?, + *,+ /?« '
Ri (Я2 + Rs + Я4) Ci + (Яг + Я2) (Я3 + Я4) C2
Я1 -г Яг + Яз + Я4
A0 = k; А о» = О
/? Z, ..Г,
hi °
о
Я, Z,
*0—p-r о
Р i — i i i О
W ■■
a0s2 + OjS -7- 1
■; *■
Сг
Сг + С2
a0
ai= rCfr ' Л°=й; Лсо = 0
Сх -j- 02
W =
■; £
я.
a0 =
Я^
<z0s* + fllsfl ' ■- Я, + Я2 ' "° «i-«B'
R1R2C — L1 . л ._ l. л —n.
1 = —R ' Я—' ° ' '
% r4'
38
-L тЛ в
w.
XS -r 1
QgS^ -b diS -,- i
г = Я3СУ, «о = Яг (Я2 -f Я3) ^С,;
«i =Я1С1-;^14-Яг-1-Яз)С:;; Л0=1; Л,
•о

Продолжение табл. 8.2
по
пор.
Электрическая схема
Передаточная функция, значения ее
параметров и амплитуд А„ = А (0)
и Ах — А (со)
Асимптотическая
логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика
.39
R, f>z
о—[Z3-J-CD-J- °
о Т'Т^ о
г
(V+ l)(t2s-l-l)
С,;
% = (Ri + Яя) Сх + (Ях + Я2 + Я«) С.; Л0 = 1;
Л3#4
Л0
(«1 + %) (Л, + Ri) -г RiRs
40
ffj^
W
а.
k(xs+ 1)
a0s2 -f- axs -p 1
On
/?i + R2 + Rs' *
AR, + Ra) R2C + L,.
R,C;
0 /Ъ + Я. + Я.' ° Я1 + Я2 + Я.
Л0 = А; Л» = 1
41
i Tj — Rt^-i-
R-i R2_
aoS2 + alS + 1 ' ^ + /?t + /?B
„ _ (Ki+ft) № (J?t+^)+/?t/?.]+/?i^8 (Я4+Я5) „ „
a° дттжт% *2
КЯ1 + Я|) «2 + Rb) + #1#3] Cx +
+ [(/?! + Я») (#4 + Rb) + K«Kt] C2 .
R1+R2 + R0
A0 = A;
RsRtRb
A„
(Ri + Rs) IR* (R, -h Rb) + Я2Я5] -г ЯЛ («4 -f Rb) '
Li-5] J 1 1 £
У^а ^ r' *?

42
о—MZD-l-j-—
ГЦ7-
w =
(Tls+l)(T2s+l) .
a0s2 + ats + 1
? Tj — Rl^l' ^2 — f\2^2'
a0 = R1R2C1C2; at = Я^ + (^ -f- #2) C2; A0 = Aoo=l
43
о—*-l t-yl i-i—о
О 1 .-Q
№ =
fibS»+M + 1 .
5 #0 — a0 — /\1/\2^1^2'
a0s3 + ats + 1
61 = (Ri + Я2) Cx; ax = (Rj_ + #2) Cx -f «iC2; Л0 = A» = 1
л' 7a ^a E6 7f> '-'
-20Шёек *20S5.tei
44
45
46
гсэчн
=—MZ3 f
"2 N*» -
т 2
о 4 ■—-.■■ о
w^
(xxs+ 1)(t2s+1) .
a0s2 + axs -f- 1
5 T'l — (°1 — Д2) ^1' ^2 — «S^J'
a» = [#2 (Ri + R3) + R1R3] CtC2;
(RiJrR2)C1 + (R2+Rs)C,; Л0----, 1;
Л<х> = •
(Лх + Я,) из
% (#1 + #з) ~Ь #1%
—Ч>
о—LS—■
R.
ii
*2
a0 = (Й1 + /?s) ^CjC,; ax = R2Ct + (7?i + Я2 -f Я8) C,:
Л0= 1; A<x> =
R1 + R3
W--
(TlS+l)(TjS+l)
a0s2 -\- ats-\- I
j Tj — (Kx -j- Rz) Cj*, T2 — R?,L>2
+ (*2 + *,)C2: Л0=1; Л„ = . <*! + *»>*•
(Ri + Rs) R2 + ЯА
-20сБ/дел '■20u5/s>-

Продолжение т а б л. 8.2
Электрнчес:ая схема
Передаточная функция, значения ее
параметров и амплитуд А0 = А (0)
и Аю = А (оо)
Асимптотическая
логарифмическая а мплитудно- частотна я
характеристика
Pi С,
w =
bps2 -- fe,s 4- 1
aas- -- ciiS -- I
[(Ri + R^ + Rs) Ri —
+ ЯаЯ.,] CA; 6i = (#1 -r Ri 4- Яз) ci -- &A;
<z0 = [(/?! + R3) (R, -j- #4) + Д2Я4] CjC,;
«1 = (/?! ■+- R2 + Яа) Cx - (Я, -f Я4) С2; Д, = 1;
(/?! + Я3 4- Я,) fl4 + R2R3
± x 1,
?a rb 74 j
■20d5/foK *20ЯБ/дек
A<x> =
"^
w =
k =
x2 =
ff 2 4- #3
Ai ~h ^2 4~ ^3
RyRiRy~-> i^ 2
^г + ^з ^1 + % 4" ^3
Ki (/?» + R,) Ci + #з (Я1 -r Я») C2
«os2 -rais+l
R2R3C2 . ,
ад
Ri + R2+R3
Aa =k; Aco= 1
№ =
^(tiS4-1)(t2s+1),
a0s2 + a,s + 1
Ci-
^ 1 + ^2 4" Сз
RiCiC2 . D _ . R1R«C-lCiC3 .
Ci + C2
Cx
_ -R1C1 (Ci + ct) + j?2c3 (Ci 4- c2)
A,=
Cj -j- C2 + C3
?il I. L J-
-20дб/дек +20д5/дек

= fe(TlS+l)(T2S+l) . , = Я3 + £4 .
а052 + С[15+1 ' Й2 -Ь ^3 "Г ^4 '
Хх = № + Я2) Ci,- т2 =
ЯЛС»
Я3 + #4 '
„ _ (RlRj + (Rl 'Г R2) RS] R^C, .
° -R2 + «8 + ^4
№#2 + (Kl 4- ft) (ft + ft)l Cl f (^2 - ft) «4C2
Ri + #5 + &l
A, = *, Л» = -
(ft -'г R2) Ri
R1R2 ~r (Ri 4~ R2) R9
-гШЙек +2Ддб/дек
Г = Ц||15!|У|1), A =
Я 4 + # 5
#2 + #4 ~Г ^5
! *,=
. _ [(/?i + #2 + #3) #4 + Sift] RbC1C2 .
°~' «4~T^ "'
URl + #2 + Я,) (#4 + ft) + ftft] Ct + RtR5C2 ,
- [(/?! + J?t)(J?2+4) + /?»/?l]/?.ClCl ■
[(Л1 + Яв) № + «I + Rl) + R2 (Ri + ft)]Ci -
+ (Я» + Ki) ftA
#2 + #4 + ft
Л, = А; .I.,- (ft + ft + Я») Я* - ftft
■iOdB/дек ЯОафек
(Rl + ft) (#2 - ft) + ftft
VI" =
ks
a0s2 4- ars + 1 '
^ = ftft^i . а = ftftftAC^
Ri ~г Яг
ft+ft
a, = ft (Q + С,) + ^'^ ; Л0 = Л» = 0
См. эск п. 53—55

Продолжение табл. 8.2
по
пор.
Электрическая схема
Передаточная функция, значения ее
параметров и амплитуд А0 = А (0)
Асимптотическая
логарифмическая амплитудно-частотная
характеристика
54
55
W = -
ks
R*R£
fff С A R2 L;
ui яj U я.
1
a0s2 + %s + 1 ' R2 + Я, + #4 '
#2 + #3 + #4
[(ft + Да) (Rz + Д4) + R1R3] С 4- Lt .
«2 + «3 + «4
л0 = л<х, = о
о l—o
W:
fe
«0s* + °1S +
•; A = R2C; a0 = CL{,
a} = (ft + ft) C; A0 = Aoo = 0
1 i
fo 7*
^^ 0 ^\ f
^20 OS/дек ^
~20д5/дек
№:
As
ft _ ftftA ■ Д1ДаД8С1С.
aus- + a1s-]-l ' " R± 4- ft ' ° #t 4- ft '
[i?i (ft + ft,) + Д2Д3] ^1 + (ft + Д,) ftA .
Ri + R»
A„ = A<x> = 0
56
y= _^s4-Q|S| . k =
RsR*C
._ ii •
u, R
a0s* + ais + 1 ' '" ~~ Rt + ft + ft ' ft '
(ft + ^CZ-! .
0 fts + ft, + #4 '
_ _ Kft + Да) (Да + Д.) + Д1Д,] С 4-L, .
1 Да + ft, + «4
Да
Л = 0; А—^^

57
. [(i?l ~ R-2 + K8) #4 + i?2^3] ^A ■
_ KRi + ЯИ- RsHRi + Rb) + i?2i?3] ^ n- К,КВС.,
#4 + ^5
1
ao = -g- KR1R3 ~ RsRe + Ke#i) № f «4) +
^I^ + ^IWj;
1
% = -g- ([(ЛЛ -г #з#в -f Л.«1) («2 + #4 + Дв) + «2:
X («! + Я.) (Л, -г Лв)1 Q + [(/?,-(- Я4) <Я8 + R,) -f
+ Д2Д1]С2}:
5 = (R2 -i- R3 -!- Д,) (Ri TJ?5I- Д2 (Д3 -l- д.);
V~ I i)
шав/аек -;т/аек
A<x> =
A0 = k,
{(R1-Rz + Rs)R*-R2Rs]Re
(RiRa + R3Re + i?ei?i) (Д„ - Д4) -т- Я2Я4 (Rt -j- £6)
58
№ =
1 — ts .
Ts+ 1 '
т = (R2 — i?i) С; Г =-. (Д2 - Rt) C,
Я1

Продолжение т а б л. S.2
по
пор.
Электрическая схема
Передаточная функция, значения ее
параметров и амплитуд А<> = А (0)
и Лоо = -4 (»)
I
Асимптотическая логарифм.:- f
чеспйя г мплктудне-""скотная
характеристика
59
w_k(\—xs). u_ R1-Ri . т_ А^АУ
Ki -г а а
да'
60
I гч
61
ras2 + 2£Г5 - 1 ' т к °J1 '
62
°—£_) 1 с
с—£л—„
т2о2 _!_ 1
W = — ' т—Г —lArf •
r2s2 + 2?rs+l' ''

Рис. е. 19. Схема активного
четырехполюсника постоянною тона
обмоткам на выходе цепи. Такое включение обеспечивает
преобразование сигнала по передаточной функции
^э~ 1_ - 2д-2[(10-Л*0)5 + Я0] ' 1°*'"
где /1 и /а — изображения по Лапласу разности токоп
соответственно t, - аа1 — г',,| и i_ i,,_ --- i,,_, R0, L0 и Ми-
сопротивление, индуктивность и взаимоиндуктивность каждой из обмоток;
ZA — импеданс двуполюсника в операторной форме.
Например, при 2Д= /?д
Wb=kl(Ts+ 1),
где k = Ra/(Ra + 2/?0) и Г = 2 (L0 + М„)/(ЯЯ + 2R0), что эквивалентно
включению четырехполюсника, приведенного в поз. 26 табл. 8.2.
При 2Д= \l(sCA)
Wa= l/(eerf+e1s+ 1),
где а0 = 2СД (L0 + М0), аг = 2R0Cn, что эквивалентно включению чешрех-
полюсника, изображенного в поз. 33 или 34 табл. 8.2.
Активные четырехполюсники постоянного тока. Такие
четырехполюсники состоят из электронных усилителей и цепей из
резисторов, конденсаторов и индуктивностеи. В общем случае
четырехполюсник (рис. 8.16) содержит входную цепь с импедансом
Zu и цепь с импедансом Z0, которая охватывает усилитель
отрицательной обратной связью. Обычно используют операционный
усилитель с весьма большим передаточным коэффициентом. Тогда
передаточная функция четырехполюсника с большой точностью
определяется равенством
W_ = -ZJZ_. (8.42)
Активные четырехполюсники могут быть выполнены так, что
по своим свойствам будут близки к идеальным дифференцирующим,
форсирующим или интегрирующим звеньям. В этом основное
преимущество таких элементов.
Например, при Z_= l/(Cs) и Z0 = R<_ Wa » —RCs, и активный
четырехполюсник практически идеально дифференцирует сигнал.
При Z_ = R/(RCs-\- 1) (параллельное соединение резистора и конденсатора)
и Z0= #o Wa » -_£ (RCs+ 1), и четырехполюсник приближается к
идеальному форсирующему звену.
На входе активного четырехполюсника легко осуществлять
суммирование сигналов. Одновременно с преобразованием сигнал
может быть значительно усилен. Таким образом, активные
четырехполюсники имеют значительно более совершенные динамиче-
379

Рис. 8.17. Схема
полупроводникового
дифференцирующего элемента!
а — с общей базой; 6 — с
общим эмиттером; о — Двух-
каскадного; г — с балансной
нагрузкой
ские свойства, чем пассивные. Однако активные четырехполюсники
сложнее пассивных и стоимость их выше.
Активный дифференцирующий четырехполюсник с
полупроводниковым усилителем может быть выполнен по одной из схем,
показанных на рис. 8.17. Передаточная функция схемы с общей
базой (рис. 8.17, а)
Rs
RR»
2(R + R„)
а — коэффициент
(8.43)
усиления
где k = aR3C;
триода по току
Для схемы с общим эмиттером (рис. 8.17, б) коэффициент
передаточной функции k = aR3C/(\ — а). При двухкаскадной
схеме (рис. 8.17, в) k = R£/(l — а)2. В схеме с балансной
нагрузкой (рис. 8.17, г) k = aC, если выходной величиной считать
разность токов / = ilt — ib двух обмоток. Индуктивность обмоток
практически не влияет на динамические свойства схемы.
Выражение (8.43) справедливо для достаточно широкого диапазона частот,
практически до а» = 200-5-300 с-1.
Дифференцирующий трансформатор. Такой трансформатор
имееет весьма малую мощность и используется для
дифференцирования сигнала постоянного тока (рис. 8.18, а). Если пренебречь
рассеянием, то при Rn яа оо его передаточная функция
W, = k,s/(TlS + 1), (8.44)
где k, = klvLJ(R0 -\- Я,); Ть - LJ{R0 + /?,); £т„ = w2lw1 -
коэффициент трансформации; /?tH L1 — сопротивление и
индуктивность первичной обмотки; Wi и w2 — число витков первичной и
вторичной обмоток; R0 — входное сопротивление.
При конечном значении сопротивления нагрузки (/?„ Ф со)
W,
(8.45)
lT!+Tt)S+\ '
где а = RH/(R2 + /?,,); Т2 = L2/(R2 + R„); R2 и L2 —
сопротивление и индуктивность вторичной обмотки трансформатора.
380

Рис. 8.18.
Дифференцирующий трансформатор:
а — простейшая схема; б —
схема сложения сигнала и
его производной
Дифференцирующий трансформатор часто используют в
качестве параллельного корректирующего устройства. Он позволяет
избежать гальванической связи между цепями входного и
выходного сигналов, что в ряде случаев необходимо и не может быть
достигнуто при использовании четырехполюсников постоянного
тока. Если гальваническая связь допустима, то при включении
трансформатора по схеме, показанной на рис. 9.18, б, можно
получить выходной сигнал в виде суммы двух составляющих. Одна
из них пропоциональна входному сигналу, другая — производной
от него. Передаточная функция этой схемы при Rn — оо
Н7 ;= Т 'TS Т Ч
Wn- ~ (7\s+l) '
(8.46)
где £,=
R*
7\ =
А.
и т
_№+ММ.
(Яв + *4) х (Ro + Ri) R4(Ro + Ri)
Если в первичную или вторичную цепь дифференцирующего
трансформатора включить пассивный четырехполюсник, то можно
получить элементы с более сложными передаточными функциями.
Тахогенератор постоянного тока. Это генератор весьма малой
мощности с независимым возбуждением или с возбуждением от
постоянных магнитов. Его напряжение при холостом ходе можно
считать пропорциональным частоте вращения якоря или
производной от угла его поворота. При этом передаточная функция
Wv = klS,
(8.47)
где kr — передаточный коэффициент тахогенератора.
Передаточные функции тахогенератора при конечном значении
сопротивления нагрузки, а также в случае соединения
тахогенератора с простейшими пассивными четырехполюсниками при
./?п = с» приведены в табл. 8.3.
Серьезным недостатком коллекторных тахогенераторов
постоянною тока является наличие пульсаций выходного напряжения. От
этого недостатка свободны бесконтактные тахогенераторы
постоянного тока, состоящие из синхронного генератора и
полупроводникового блока управления. Бесконтактные тахогенераторы
получают возбуждение от постоянных магнитов, расположенных на
381

Т а б л и n a Я.З
Корректирующие устройства с тахогенератором постоянного тока
Электрическая счема
Передаточная функция,
значения ее параметров и
амплитуды Аа= А (0)
и Л,*, = А (оо)
Асимптотическая
ЛАЧХ
03
" ГК
W =■
ks
Ts+ l
RvlRu
; AR =. 0;
л Ар («г I Ян)
г?{Т- ±_
Т -
ks
ТГмГ'й = *г:
-; А,-о
Яг -I-Я
+20d6/duK T
ks1
/г = krRC; a0 = CLr;
«i = (Яг + Я) С;
> +20дб/Иек i
7 -
тв, /ТТ.
^0 дБ/дек
Е-
«7 =
As
a0sa + a,s + 1 '
«i = (ЯГ + Я) С;
-20d5/ffei
Ш
к
h
w
**Г" 2^
Zv-\- Z±-\-Z%
Zrp =^ /\p "~}~ -t>r^
w =
ArZ2Z.s
(Z1 + Z2+Z3)Zr +
+ Z1(Z1 + Za)
Zr = Дг + Lrs

Рис. 8.19. Тахометрическип мои;
а — простейигоя схема; 0 — схема с фильтром; в -- снятие напряжении, iipoiiopioiuH.i.iib«
ного частоте вращения, в схеме генератор—двигатель
роторе. Срок службы их по сравнению с коллекторными
глкооператорами в 8-10 раз больше.
Тахометрические мосты. Сигналы, пропорциональные
производным от угла поворота а электродвигателя, можно получить без
помощи тахогенератора. Простейшая схема тахометрического
моста с электродвигателем постоянного тока приведена на
рис. 8.19, а. Его передаточная функция в первом приближении
7101]
WM^U,/A = kM(TMs+\)s, (8,18)
где *„=-ед/(Я1 + Ъ); П, = (^-я4яа/я1Н/(с,А|); см-
= Се/9,81; С0 == (U„ - /?„/„)/«„, Uu,
^п и Mir — соответственно номинальные значения напряжения,
тока и угловой скорости вращения двигателя; R„ —
сопротивление обмотки якоря; А и [/, — изображения по Лапласу угла
поворота двигателя и напряжения и,2.
Если мост уравновешен
RiRm = Я2Я3, (8.49)
то
WM = kf. (8.50)
Равенство (8.49) проверяют при заторможенном якоре
двигателя; в этих условиях должно быть «а — 0.
Для сглаживания пульсаций, вызываемых наличием
коллектора, в тахометрический мост включают конденсатор 1 Сф
(рис. 8.19, б). Тогда передаточная функция уравновешенного
моста [87]
WM = kMs/(TMs+\), (8.51)
где Тм = Сф [RaRARs + R») + R1R2/(Ri + Я,)].
В электроприводе, выполненном по схеме генератор—двигатель
с электромашинным усилителем, создавать тахометричегкин мост
383

не следует. Напряжение и.г, пропорциональное производном от
угла поворота якоря двигателя, снимается, как показано на
рис. 8.19, в. Если
то передаточная функция
WM = U J A = Ces/2. (8.52)
Здесь Rb0 — сопротивление компенсационной обмотки ЭМУ;
Ri --- часть сопротивления /?„ от продольной щетки ЭМУ до
точки a; RK --•- сопротивление, шунтирующее компенсационную
обмотку.
Более точные передаточные функции тахометрических мостов
даны в работе [83]. Там же показано, как изменять некоторые
постоянные этих передаточных функций.
Недостатком тахометрического моста является малый
передаточный коэффициент £м. Кроме того, при неточном удовлетворении
равенства (8.49) напряжение на выходе моста будет иметь
составляющую, пропорциональную напряжению «д. Тогда включение
моста в цепь местной обратной связи вызовет создание
непредусмотренной обратной связи (положительной или отрицательной)
по напряжению ыд двигателя.

Глава 9
МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
ПО ОТКЛОНЕНИЮ
Синтез САР есть выбор ее структуры и параметров такими,
чтобы удовлетворялись определенные (заданные) требования к
качеству регулирования. При этом известен объект регулирования,
т. е. имеются его характеристики (математическое описание),
а иногда уже выбраны основные функциональные элементы
регулятора.
Синтез САР — это лишь один из этапов ее проектирования, ему
предшествует, по крайней мере, следующее:
1. Исследование объекта регулирования для определения
его динамических свойств и условий, в которых его используют.
Динамические свойства определяют либо теоретически, либо
экспериментально, а часто используют оба пути одновременно.
Результаты исследования фиксируют в виде дифференциального
уравнения (уравнений) или передаточной функции, или частотных
характеристик. При анализе условий эксплуатации выявляют
действующие на объект возмущения и их характеристики (хотя бы
длительность существования и максимальные значения),
стабильность его параметров или возможную их зависимость от каких-то
факторов.
2. Составление требований к качеству регулирования.
Требования определяются назначением объекта, а также опытом
проектирования и эксплуатации САР такого же класса. Верхний предел,
оптимальные показатели качества, которые далеко не всегда
достижимы, определяются теорией. При составлении требований
необходимо учитывать ограничения, налагаемые на динамические
характеристики системы допустимыми нагрузками элементов,
подводимой мощностью и т. п.
3. Выбор основных элементов регулятора (исполнительного
элемента, датчика регулируемой величины, задатчика, элемента
сравнения и усилителя) и определение их динамических свойств.
В результате синтеза САР выявляются структура регулятора
(расположение и тип корректирующего устройства или устройств,
усилительных элементов и дополнительных связей) и необходимые
значения параметров всех элементов.
13 Макаров И, М.
385

Затем выполняют последующие этапы проектирования и прежде
всего выбирают технические средства для реализации выбранной
структуры регулятора, проводят энергетический расчет и
согласование элементов системы [111, 114, 115, 76].
Заключительным этапом проектирования является
определение динамических свойств системы и уточнение параметров
регулятора. При этом используют такие приемы, как исследование
электронной модели системы или системы, составленной из объекта
и макета регулятора. Большие возможности дает использование
цифровой ЭВМ.
При проектировании САР, кроме требований к ее динамическим
свойствам, должны быть удовлетворены и требования выбора
оптимальных массы, габаритных размеров, стоимости и других
параметров, определяемых конкретными условиями
эксплуатации.
В теории автоматического регулирования есть ряд методов
синтеза САР. Это объясняется как разнообразием исходных данных
и требований, так и сложностью задачи синтеза. Необходимо
учитывать, что эта задача не имеет однозначного решения и нельзя
ожидать высокой точности результатов. Следовательно,
целесообразно и даже необходимо рассматривать несколько вариантов
решения и полученные результаты, как уже было сказано,
обязательно уточнять.
При синтезе системы непрерывного регулирования по
отклонению основа ее структуры уже задана. В этом случае характерны
два варианта постановки задачи. Первый из них допускает лишь
выбор некоторых параметров (вероятнее всего, передаточного
коэффициента разомкнутой системы и постоянных времени
корректирующих устройств). Второй, кроме выбора части параметров,
разрешает уточнение структуры: выбор местных обратных связей,
а также элементов, обеспечивающих астатизм, и корректирующих
устройств. Чаще всего задача сводится к выбору структуры и
параметров корректирующего устройства, т. е. к синтезу
корректирующего устройства.
Требования, предъявляемые к поведению САР, делятся на
несколько категорий: требования к точности регулирования
в установившихся режимах при различных внешних воздействиях
(постоянном, изменяющемся с постоянной скоростью и ускорением,
гармоническом), требования к запасу устойчивости и поведению
системы в переходных режимах (в частности, при единичном
ступенчатом воздействии). Возможны различные формулировки
требований в зависимости от назначения САР, используемого метода
расчета и т. д.
По проблемам синтеза обыкновенных линейных САР имеется
обширная литература. Можно указать, например, на монографии,
посвященные этой проблеме [5, 8, 17, 76, 86], на книги о синтезе
систем определенного назначения [28, 33, 40, 41, 43, 47, 56, 58, 80].
Кроме того, подавляющее большинство книг по теории автомати-
386

ческого регулирования и управления содержит раздел,
рассматривающий методы синтеза САР.
Дальнейшее совершенствование методов синтеза САР в
значительной степени связано с применением современной
вычислительной техники — цифровой ЭВМ. При использовании цифровой ЭВМ
основные элементы (объект регулирования и исполнительный
элемент) можно рассматривать без излишнего упрощения
уравнений, описывающих их свойства, анализировать влияние большого
числа параметров системы па ее свойства, отыскивать и оценивать
большое число вариантов решения.
Ниже кратко изложен порядок синтеза линейных систем
непрерывного регулирования по отклонению при наиболее характерных
требованиях и наиболее широко применяемыми методами. Часть
этих методов предусматривает лишь синтез систем невысокого
порядка. В примерах также рассматриваются системы не выше
пятого порядка. Это объясняется следующим. Синтез систем
невысокого порядка осуществлять, конечно, легче, а так как
задача синтеза всегда имеет приближенное значение, то нет
оснований усложнять ее. Целесообразно, следовательно, при синтезе
САР пренебречь теми параметрами, влияние которых на свойства
(и уравнения или передаточные функции) объекта и
исполнительного элемента незначительно. Полученное решение может быть
уточнено дополнительным расчетом и окончательно экспериментом.
Даже при синтезе с помощью цифровой ЭВМ нет смысла излишне
усложнять исходные данные.
Рассмотренные ниже методы предполагают синтез систем
минимально-фазового типа. Сведения о синтезе неминимально-
фазовых систем можно найти в монографии [103].
9.1. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ПО ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ
Простейшая задача синтеза САР — это выбор ее параметров
при известной структуре по заданной точности (допустимой ошибке)
в установившемся режиме. Иногда выбору подлежит лишь один
параметр — передаточный коэффициент k разомкнутой системы.
Часто при обеспечении необходимой точности воспроизведения
задающего воздействия предполагают, что при этом будет
достаточное уменьшение влияния возмущений.
После удовлетворения требований к точности всегда
необходима проверка устойчивости и наличия необходимого запаса
устойчивости.
Рассмотрим несколько вариантов решения задачи обеспечения
заданной точности.
1. Выбирают значение k, обеспечивающее заданное значение
S0 коэффициента статизма.
По определению коэффициент статизма S = 1/(1 + k),
следовательно, он будет иметь заданное значение S0, если
k = (\-S0)/S0. (9.1)
13*
387

2. Выбирают значение k, при котором установившаяся ошибка
слежения в астатической системе не будет превышать |3, если
задающее воздействие g = g0 + g^t, где g0 и gx — постоянные.
В астатической системе коэффициенты ошибки С0 = 0 и Сг =
= \lk, поэтому на основании формулы (7.6)
P>Cl8l ■=-§-; /г>^-. (9.2)
3. Отыскивают ограничение на логарифмическую амплитудно-
частотную характеристику разомкнутой астатической системы, при
котором коэффициенты ошибки слежения не более С10 и С20.
Предположим, что среднечастотная асимптота ЛАЧХ
достаточно велика (рис. 9.1, а). Тогда передаточная функция
разомкнутой системы
W.
k (TaS — 1 )
s(TlS+l)'
где Т1 = \1щ и т2 = 1/щ.
По формулам поз. 2 в табл. 7.1 коэффициенты ошибки слежения
в данном случае имеют значения
Г _ 1 „ г fr-(4-ftk)Ci _Г1-та 1
С' — k И Ь2— J - k — ki •
При достаточно большом k вторым членом в выражении для С2
можно пренебречь. Тогда из составленных равенств следует, что
низкочастотная часть ЛАЧХ должна удовлетворять требованиям
м«>т-; ^---s-^-r8- (9-3)
Если низкочастотная часть ЛАЧХ имеет форму, показанную
на рис. 9.1, б, в и г, то при аналогичных допущениях требования
к ней выражаются соответственно следующими неравенствами:
м^it и -^--^^it-' <9-4)
<в0 > J- и — + - ->-£*; (9.5)
ю0 :> J- и A_J L > <k. (9.6)
4. Отыскивают значение k, при котором установившаяся
ошибка в статической системе не должна превышать (J, если
задающее воздействие и возмущение постоянные и равны
соответственно g0 и /о-
388

^20дб/дек
L
11
чодЫЩ
aij loz
а)
-2.0 дБ/век
^■МВб/дек
-2ОВ50УГ--
uXf cj2 ш3
Wo и)
В)
-20дб/дек
-.ВОдВ/дек
ш, wz и)3
Рис. 9.1. Основные варианты низкочастотной части ЛАЧХ разомкнутой астатической
системы
В установившемся режиме (при единичной обратной -связи).
*о = Ml +k)+kf fj{\ + k),
где kf — передаточный коэффициент цепи от возмущения до
регулируемой координаты.
Следовательно, необходимо иметь
Р
(9.7)
5. Находят ограничение на логарифмическую амплитудно-
частотную характеристику разомкнутой системы, при котором
установившаяся ошибка слежения от гармонического задающего
воздействия g = g„,ax sin agt не превышает р.
8 max
gmox
v | W I fm \ I a б шах ^ gmax
Jfmax - | Wx UWg; | gmax — | , + w {j(ug) | ~ , w (/u)g) ( ,
где W и Wx — передаточные функции разомкнутой системы и
замкнутой системы для ошибки слежения.
Следовательно, необходимо иметь
gmxx
1^(К)|>£|
(9.8)
и ЛАЧХ разомкнутой системы должна проходить не ниже
контрольной точки В (рис. 9.2, а) с координатами
<oK=(Bg и LK = 20 Ig&Wp.
(9.9)
389

а
Е
«Я
1
ч
5>
-г
Г |
UJK
«О
ui
-годВ/дек
Woo/ден
Рис. 9.2. Построение дли низкочастотной части ЛАЧХ разомкнутой следящей системы:
а — контрольной точки; б — запретной зоны
Пример 9.1. Задающее воздействие следящей системы g = Umax sin agt,
где Umax = 20° и a>g — 6,28 с-1, и ее передаточная функция
W
ft(TS+l)
s(TlS+1)(Г25 + 1) '
где т= 0,008 с; 7\= 0,01 и Га= 0,005 с.
Определить минимальное значение k, при котором установившаяся ошибка Э
не превысит 0,025°.
Определим координаты контрольной точки, пользуясь формулой (9.9):
ш« = 6,28 с-1; z.„=201g_g_- = 58 ДБ .
Нанесем на график контрольную точку В (рис. 9.3). Затем строим ЛАЧХ
разомкнутой системы так, чтобы ее низкочастотная асимптота проходила через
контрольную точку В. По ЛАЧХ определяем, что L (1) =.74 дБ. Следовательно,
lg k = 3,7, н искомое значение передаточного коэффициента разомкнутой
системы k= 5012,
Для проверки устойчивости системы при этом значении k строим ЛФЧХ.
Пользуясь критерием устойчивости Найквиста, заключаем, что замкнутая система
устойчива, но запас устойчивости по фазе составляет лишь 26°.
6. Отыскивают ограничение на ЛАЧХ разомкнутой системы,
при котором установившееся значение ошибки слежения не
превышает Р, если задающее воздействие изменяется с максимальной
скоростью £тах и максимальным ускорением £шх.
В данном случае удобно рассматривать эквивалентное
гармоническое задающее воздействие
gs^max.sSlnuJg^,
изменяющееся с заданными максимальными значениями скорости
и ускорения:
gs — Smax, sMgs =3 smax! 8э ~ smax, эм£э — gmax-
Эти равенства удовлетворяются при
Mgs = gnrax/gmax И Smax, э — gmax/gn
(9.10)
390

На основании формул
(9.9) и (9.10) заключаем,
что ЛАЧХ разомкнутой
системы должна проходить
не ниже контрольной
точки В (рис. 9.2, б) с
координатами
со„ =
8 max
и LK = 20 lg.
л2
gmax
Рис 9.3. Логарифмические частотные
характеристики к примеру 9.1
1 gmax Р
(9.11)
Пусть скорость
изменения задающего
воздействия остается
максимальной, а ускорение
уменьшается. По формулам
(9.11) видно, что при этом
контрольная точка В
будет перемещаться влево по прямой с наклоном —20 дБ/дек.
Если скорость изменения задающего воздействия уменьшается,
а ускорение остается максимальным, то контрольная точка на
рис. 9.2, б будет перемещаться вправо по прямой с наклоном
—40 дБ/дек.
Построенные прямые ограничивают сверху область, в которую
не должна заходить ЛАЧХ разомкнутой системы. В частности,
передаточный коэффициент k астатической системы первого
порядка (добротность по скорости) должен удовлетворять
неравенству
*»£шах/Р, (9.12)
а коэффициент k астатической системы второго порядка
(добротность по ускорению) неравенству
*>fmaX/P. (9.13)
Если сопрягающая частота одного из апериодических звеньев
равна юк, то ограничивающие прямые на рис. 9.2, б следует
поднять на 3 дБ.
Пример 9.2. Скорость и ускорение задающего воздействия следящей системы
могут иметь максимальные значения соответственно gmax = 25 град/с и ётах=
— 40 град/с?, а передаточная функция ее разомкнутой цепи
fe(xs-H)
№ =
s(7\s+l)(r2s+l)
где т = 0,1 с; Тх = 0,5 иГ,= 0,25 с.
Определить минимальное значение k, при котором установившаяся ошибка
слежения не превысит р = 0,05 град.
391

Рис. 9.4. Логарифмические
частотные характеристики
к примеру 9.2
По формулам (9.11) определим координаты контрольной точки В:
■ = 49,9 дБ.
40 i с -1 г on 1 25а
^ = 15=1,6с; 1«=20]*ЖоЖ
Наносим контрольную точку В (рис. 9.4) и проводим от нее прямую с наклоном
—20 дБ/дек в сторону низких частот и прямую с наклоном —40 дБ/дек в сторону
высоких частот. Область, в которую направлена штриховка, является запретной
для ЛАЧХ разомкнутой системы.
Пользуясь формулой (9.12), определим минимально допустимое значение
передаточного коэффициента:
ПК
*=w = 500trl-
Теперь построим асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой системы. Ее
низкочастотная асимптота совпадает с граничной прямой, а остальная часть ЛАЧХ
изображена линией 2, которая заходит в запретную зону.
ЛАЧХ для удовлетворения требования к точности должна занимать
положение, показанное на рис. 9.4 линией /. Ордината этой ЛАЧХ L (I) = 60,5 дБ,
т. е. необходимо иметь k = 1060.
Для проверки устойчивости на рис. 9.4 построена ЛФЧХ разомкнутой
системы при k = 1060. На основании критерия устойчивости Найквиста заключаем,
что в этом случае система неустойчива. Следовательно, необходимо
корректирующее устройство, обеспечивающее соответствующий запас устойчивости.
Запретная область для ЛАЧХ разомкнутой системы,
обеспечивающей заданную точность, может быть построена [8] при
неединичной обратной связи, для статической системы и с учетом
возмущения.
392

9.2. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ПО МИНИМУМУ
ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ
Выбор параметров САР при заданной структуре довольно
часто выполняют с помощью интегральных оценок. Постановка
задачи в этом случае сводится к следующему. Структура системы и,
следовательно, ее передаточные функции известны. Некоторые
параметры системы можно изменять, остальные заданы.
Необходимо отыскать такие значения изменяемых параметров, при
которых интегральная оценка становится минимальной. Используют
чаще всего квадратичную или улучшенную квадратичную
интегральную оценку. Рассмотрим интегральную оценку переходной
характеристики относительно задающего воздействия в следящих
системах и относительно возмущения в системах стабилизации.
Предположим сначала, что может изменяться только один
параметр а. Тогда расчет будет содержать следующие этапы.
1. Выбирают вид интегральной оценки. Минимизация
квадратичной интегральной оценки У приближает переходную
характеристику к ступенчатой, но возможно значительное
перерегулирование. Однако если отличны от нуля коэффициенты blt bif ... в
числителе изображения переходной характеристики, то существенное
перерегулирование мало вероятно. Поэтому оценку J широко
используют.
При минимизации улучшенной квадратичной интегральной
оценки JT переходная характеристика приближается к экспоненте
(7.40), и чем больше Т, тем меньше возможное перерегулирование.
Улучшенные квадратичные оценки более сложного вида [102]
используют, когда требования к форме переходной характеристики
должны быть выдержаны особенно точно.
2. Составляют выражение для выбранной интегральной оценки.
Необходимые для этого сведения содержатся в п. 7.6.
3. В выражение для интегральной оценки подставляют
числовые значения известных параметров.
После этого интегральная оценка становится функцией лишь
одного параметра а.
4. Определяют значение а, при котором интегральная оценка
имеет минимум, из уравнения
^=0. (9.Т4)
Затем необходимо проверить, что равенство (9.14) действительно
есть условие минимума функции J (а). Это имеет место, если при
найденном значении а выполняется неравенство
^->0. (9.15)
Иногда для указанной проверки удобнее вычислить J при
найденном значении а, а также при двух соседних значениях —
393

большем и меньшем. Последние два значения J должны быть
больше первого.
Может оказаться, что функция J (а) не имеет минимума по а
вообще или внутри области допустимых значений а. Тогда нужно
определить J при граничных значениях а (максимальном и
минимальном) и выбрать то из них, которое соответствует меньшему
значению J.
5. Проверяют устойчивость системы и определяют показатели
качества переходной характеристики при найденном значении а.
При неудовлетворительных показателях качества необходимо
искать другое значение а. Вместо квадратичной оценки J следует
использовать улучшенную квадратичную оценку JT. Если
применялась оценка JT, то нужно изменить значение Т. Вероятнее
всего, его следует увеличить для уменьшения перерегулирования
и уменьшить для уменьшения времени регулирования. К цели
также приведет более сложная интегральная оценка.
При выборе нескольких параметров а1( а2, ... по минимуму
интегральной оценки порядок расчета остается тем же. После
определения интегральной оценки как функции искомых
параметров вычисляют и приравнивают нулю ее частные производные
по каждому из этих параметров:
аУ(И1^2'") ~0; ^dJ(a^-) -0;... (9.16)
Полученная система уравнений позволяет вычислить искомые
значения параметров. Необходимо, конечно, проверить,
действительно ли равенства (9.16) соответствуют минимуму оценки J.
Если порядок системы выше четвертого, то при расчете следует
использовать аналоговые вычислительные машины [102].
Выбор параметров по минимуму интегральной оценки наиболее
удобен, когда синтезируется система, сходная с существующей.
Иногда расчет следует вести не по минимуму интегральной оценки,
а по некоторому заданному значению [103]. Это ограничение
может быть обусловлено, например, мощностью исполнительного
органа.
Пример 9.3. Выбрать значение передаточного коэффициента
разомкнутой САР, если ее передаточная функция
W~ s(rlS + I)(7V + l) '
где Tf = 0,1 и Га= 0,06 с.
Будем искать значение k по минимуму квадратичной интегральной оценки»
Определим сначала изображение переходной характеристики:
W 1 _ 1
Н ^ \ +W~T= (a0s8 + a1sa + aas + l)s '
где a0 = 0,006/А; аг = 0,1 Q/k и a2 = \lk.
394

По п. 2 табл. 7.6 квадратичная интегральная оценка (при
Лу = 1 и \ЬХ = Ь2 = 0)
, а\ , jh_ __ 6,4 , 1_
2 (ajag — a0) "•"" 2 ~~ 80 — 3* "•"" 2* '
Для отыскания минимума J no k определяем производную
d/ ^_ 6,4 (— 3) 1 38,4*» — (80 — 3*)»
d* ~~ (80 —ЗА)2 2*2 — 2*а(80 —ЗА)2 '
Приравняв нулю числитель производной -т-г-, получим
уравнение для определения k:
38,4/fe2 — (80 — 3k)2 = 0; k2 + 16,2* — 217 = 0.
Его решение, учитывая, что k > 0: k = 8,7.
Вторая производная от J no k
_dV_ 19,2 (— 2) (— 3) (— 2) _ 115,6 1 .
d*2 (80 - 3k)3 2k3 ~ (80 — 3k)3 + A3 -> '
и, следовательно, при k = 8,7 квадратичная интегральная оценка
действительно имеет минимум.
При этом значении k система устойчива, однако показатели ее
качества (показатели качества переходной характеристики) а =
= 36,9% и fp = 1,24 с нельзя считать приемлемыми. Поэтому
будем искать значение k по минимуму улучшенной интегральной
оценки JT — J + TV, выбирая постоянную Т равной
наибольшей постоянной времени 7\ системы: 7" = 0,1 с.
Для отыскания J' составим выражение
sH = 1
a0sa + diS* + a2s + 1
Тогда по п. 7 табл. 7.6 (при hy = 1 и Ьх = Ь2 = 0)
J' =: £1 .
2 (a^ — a0)
Следовательно, улучшенная интегральная оценка
/ _. j I -та /' £i l _£i. I F2af _
т " ~ ' " 2(а1а«, — а0)т 2 Т2(вА- а0)
2 (e^a-j — а0) + 2 200 — 7,5* ""*" 2* '
395

Определяем производную от JT no k и, приравнивая нулю ее
числитель, составляем уравнение относительно k:
6JT 1 (16 + fe)(—7,5) 1_
uk ~~ 200 — 7,5k (200 — 7,5fe)a 2k3
_ 320 1 640fe2 — (200 — 7,5fe)a .
~ (200 — 7.5Л)2 2k3 ~ 2#»(200 —7,5fe)a •
640£2 - (200 - 7,5)2 = 0; 584£2 + 3000ft - 4000 = 0.
Решение этого уравнения: k = 6,1.
Значения JT при А = 5; 6,1 и 7 соответственно равны 0,229;
0,225 и 0,227. Можем заключить, что при k = 6,1 оценка JT
действительно минимальная.
При этом значении k система устойчива и показатели качества
ее переходной характеристики в = 23,4% и tP — 1,17 с лучше,
чем при k = 8,7.
9.3. КОРНЕВЫЕ МЕТОДЫ
Зависимость переходных процессов (переходной
характеристики) САР от значения нулей и полюсов ее передаточной функции
рассмотрена в гл. 4. Наиболее сильное влияние оказывают полюса
передаточной функции, т. е. корни характеристического
уравнения. Поэтому разработан ряд методов синтеза САР,использующих
эту зависимость.
Синтез по преобладающим корням [961. Если вещественные
части у двух корней характеристического уравнения значительно
меньше по абсолютной величине, чем у других, то эти корни и
определяют вид переходной характеристики. Характеристическое
уравнение n-й степени в этом случае можно представить в
следующем виде:
(*"* + V""8 + • • ■ + с„_3) (s2 + bxs + Ь2) = 0, [(9.17)
где коэффициенты Ьг и Ь2 соответственно значительно меньше
коэффициентов сп_3 и сп_2.
Определяющей паре комплексных сопряженных корней будет
соответствовать колебательная составляющая переходной
характеристики с затуханием за период £ = 98%^при соотношении
J *, =■ 0.867&». (9.18)
Это соотношение между коэффициентами Ь2 и Ьг следует
обеспечивать выбором параметров элементов системы.
Более правильно кроме пары комплексных сопряженных
корней отнести к определяющим еще и наименьший вещественный
корень. В этом случае характеристическое уравнение
(*-» + Cls-* + • • • + с„_3) (s3 + Ьг* + b,s + h)^0, (9.19)
где коэффициенты Ьи Ь2 и Ь3 соответственно значительно меньше
коэффициентов с„_5, сл_, и сп_3.
396

Если выполняются соотношения
&я =. 0,607ft; и ft3 = 0,128ft?, (9.20)
то колебательная составляющая будет иметь затухание за период
£ = 98% и вещественные части трех определяющих корней будут
одинаковыми.
Т. Н. Соколов [96] дает рекомендации для выбора
коэффициентов характеристических уравнений и более высоких степеней.
Однако использование данного метода ограничено. В сложных
системах необходимые значения коэффициентов
характеристического уравнения не всегда могут быть получены выбором
корректирующего устройства.
Метод стандартных коэффициентов (стандартных
передаточных функций [45]). Метод предполагает такой выбор параметров
элементов САР с заданной структурой, при котором коэффициенты
ее передаточной функции принимают заранее заданные
(стандартные) значения. При этом и переходная характеристика системы
будет иметь заранее известную (стандартную) форму.
Пусть передаточная функция разомкнутой САР
W = — —г—- . (9.21)
coin+c1sn-1+---+cn_1s + l
Корни характеристического уравнения замкнутой системы
будут кратными вещественными отрицательными и равными —Q,
Таблица 9.1
Коэффициенты стандартной передаточной функции разомкнутой
статической САР
п
2
3
4
5
6
7
8
Со
l + k
ft2
1 + *
1 + *
ft*
i + *
l + k
ft8
1 + *
ft'
l + k
Q"
ci
2(1+ k)
ft
3(1+*)
Q2
4(1+*)
Q»
5(1+*)
Q*
6(1+*)
Об
7(1+*)
Qe
8(1+*)
ft'
сг
3(1+*)
Q
6(1+*)
Q2
10(1+*)
Q3
15(1+*)
Й4
21(1+*)
ft6
28(1+*)
Qe
c>
4(1+*)
Q
10(1+*)
ft2
20(l+fe)
PJ>
35(1 +*)
ft*
56(1+*)
ft5
C4
5(1+*)
ft
15(1 +k)
Q2
35(1+*)
Q3
70(1+*)
ft*
4
6(1+ k)
Q.
21(1+*)
ft2
56(1+-*)
fts
c»
7(1+ k)
ft
28(1+*)
ft2
C7
8(1+*)
ft
397

h
1,0
0,8
0,6
о,ч
0,2
I
л-2^
ih
Ш
'
/V
W^^^\^^'^
8/ /
V
Us
I
^^3
r—
Рис. 9.5. Переходные
характеристики при стандартных
коэффициентах
передаточной функции, выбранных
согласно табл. 9.1
10 11
14 г
если коэффициенты этой передаточной функции выбрать по
табл. 9.1. Переходные характеристики в этом случае
апериодические (рис. 9.5) и определяются формулой
п-1
Л(т) =
1 +k
1-е-' > 4-
(9.22)
где т = Qt.
В работах [10, 45] рекомендуются стандартные коэффициенты
при другом виде передаточной функции W. Переходные
характеристики будут колебательными с ограниченным перерегулированием
и меньшим временем регулирования.
Синтез САР методом стандартных коэффициентов не сложен.
Необходимо прежде всего выбрать стандартные коэффициенты, при
которых будут удовлетворены требования к динамическим
свойствам системы. Затем должна быть составлена система уравнений
для определения параметров элементов САР. После ее решения
могут быть выбраны эти элементы.
Однако применение данного метода ограничено. Его
недостаток в том, что одновременно выбираются все коэффициенты
передаточной функции и необходимо иметь по крайней мере п
варьируемых параметров. Необходимые значения параметров не всегда
могут быть физически реализованы прежде всего из-за малого
перерегулирования стандартных переходных характеристик.
Типовые характеристические уравнения. Характеристические
уравнения для синтеза САР до 8-го порядка включительно
предложены в работе [83] и до 12-го порядка включительно в работе [124].
При каждом значении п дается значительное число (от 18
до 57) уравнений, отличающихся коэффициентами и,
следовательно, распределением корней. Для каждого уравнения указаны
показатели качества соответствующей ему переходной характеристики.
Даны также значения показателя колебательности и резонансной
частоты амплитудно-частотной характеристики соответствующей
САР.
398

Типовые характеристические уравнения дают несколько более
широкую возможность удовлетворения требований к
динамическим свойствам САР, чем таблицы стандартных коэффициентов.
Однако использование типовых характеристических уравнений
ограничено по тем же причинам, что и использование таблиц
стандартных коэффициентов.
Все же изложенными методами можно получить хотя бы
представление о том, к каким значениям параметров элементов системы
следует стремиться. В этом несомненное достоинство этих простых
методов.
Корневой годограф. Влияние одного из параметров системы
на расположение полюсов и нулей ее передаточной функции и,
следовательно, на ее динамические свойства позволяет выяснить
корневой годограф (см. п. 7.8). Поэтому он может быть использован
для выбора какого-либо параметра системы, например параметра
корректирующего устройства.
Пусть требуется выбрать значение параметра а. Тогда при
постоянных значениях всех остальных параметров нужно задавать
различные значения параметра а внутри возможных пределов его
изменения и построить траектории корней. Затем можно выбрать
такое значение а, при котором имеет место наиболее благоприятное
расположение нулей и полюсов или же их расположение,
обеспечивающее требуемые показатели качества переходной
характеристики.
Корни следует вычислять наиболее простым числовым методом,
так как большой точности не требуется из-за приближенности
корневых методов оценки качества. Показатели качества
приближенно можно легко определить по преобладающей паре
комплексно-сопряженных полюсов
Si,2 = -Si ± /»i. (9.23)
т. е. для предварительной оценки можно полагать, что
передаточная функция замкнутой системы
wn « ! . (9.24)
Тогда переходная характеристика
А = 1 U е-*»' sin (ш,* + G), (9.25)
где 9 = arctg -^-.
Приближенные значения показателей качества
(перерегулирования, времени регулирования и показателя колебательности)
определяются формулами
а = е
зг
Т
M = -y^ = Wn=w <9-26>
39Э

Щ%1р
60
10
.20
10
70
^
—
ч \
М
Г^К
; i \
1 J
^
,<5
ч
-
1
1
Рис. 9.6. Графики зависимости
перерегулировании с, относительного
времени регулирования t /T и
показателя колебательности М от
коэффициента демпфировании |
преобладающей комплексно-сопряженной
пары полюсов
'м:-
■> 0.2 0,} 0,4 0,5 О? S51
Графики зависимости
a, tJT и М от £ показаны
на рис. 9.6.
Продолжительность
переходного процесса
приближается к минимальной
при | = 0,7. Ь этом
случае а = 0,05 и М = 1.
Поэтому значение коэффициента демпфирования £ = 0,7 является
в определенном смысле оптимальным и целесообразно
приближать £ к этому значению. Иногда полагают, что переходная
характеристика определяется ближайшим к мнимой оси
вещественным полюсом. Более правильно оценивать качество по трем
ближайшим к мнимой оси полюсам, из которых два комплексные
сопряженные и один вещественный. Еще лучше рассматривать
кроме этих трех полюсов и ближайший к мнимой оси нуль.
Во всех случаях остальные полюсы и нули должны быть
достаточно удалены от мнимой оси или же достаточно близко
расположенные полюсы и нули должны быть взаимно
скомпенсированы.
Вообще говоря, если известны значения полюсов и нулей
передаточной функции замкнутой системы, то не составляет труда
определить точное аналитическое выражение переходной
характеристики, пользуясь табл. 4.1. Тогда и оценка качества будет
точной.
Пример 9.4. Выбрать последовательное корректирующее устройство для САР
так, чтобы при 20 <: k < 30 иметь а = 25% и tP = 0,5 с. Передаточная функция
неизменяемой части системы
W
*L
s(7V+l) •
где ki = 7,2 и Тх = 0,2 с.
По графику рис. 9.6 определим а = 25% , если коэффициент демпфирования
определяющей пары комплексно-сопряженных полюсов | = 0,4. При этом tp/T =
= 7,5. Следовательно,
Т = ^=0,0667 с; Sx = f-
V\
= 13,7 c-i.
Нанесем на комплексную плоскость (рис. 9.7, а) точку st = —8t + /0)i
и начальные точки корневого годографа Лх = 0 и Х2 = —1/Тх = —5.
Для того чтобы корни s1)2 были действительно определяющими,
'скомпенсируем полюс Х2 нулем Yi = —5.
400

Рис. 9.7. Построение точек корневого годографа
Точка sx будет принадлежать корневому годографу, если для нее будет
справедливо уравнение фаз (7.73). Для этого необходимо иметь еще хотя бы одну
начальную точку к3, вектор от которой к точке sx был бы наклонен под углом
i|)13= 180°—11)!!= 180°—114°= 66°.
Нанесем на чертеж эту начальную точку к3 по назначению ib13 н определим
^з= —12.
Теперь, пользуясь формулой параметра (7.74), определим значение к,
соответствующее точке sx корневого годографа:
Ь — Vi3 _ 15-15 _ to 75
Значение k меньше требуемого, н необходимо ввести диполь с отношением
yt _ 3(Л3 _ 30-12
15-15
= 1,6.
Можно ввести, например, диполь А,4 = —0,5 и 7г = —0,8 нлн А,4 = —1
н 7а = —1>6- Каждый из этих диполей почти не повлияет на уравнение фаз для
точки sx. Однако в корректирующем устройстве потребуются элементы с большими
постоянными времени, поэтому диполь с необходимым соотношением создадим
изменением нуля Yi- Вместо него должен быть нуль
7ю= 1,6-А,2= —1,6.5= —8.
Уравнение фаз для точки s1 будет удовлетворено при
i|)130= 180°—i|>n—i|)12+i|521= 180°—114°—95°+ 82°= 53°.
По значению i|)13o нанесем на чертеж полюс А,30 и определим А,30 = —15,8.
Теперь точке s1 соответствует
ь *иУ1зо7ю _ 15-13,8-16,8-8 _=5Д
^21^2^30 13,8- 5-15,8
что удовлетворяет требованиям.
Составим передаточную функцию необходимого последовательного
корректирующего устройства
W»
'-Т- + 1
л30
0,125s+1
0,0633s + i
401

и определим передаточную функцию системы относительно задающего
воздействия:
™ 0.125s+ 1
s ~~ 4,96- 10_4sa + 1,03- 10_asa + 0,164s + 1 "
Показатели качества переходной характеристики 0=31,6% н tP= 0,52 с.
Время регулирования можно считать удовлетворяющим требованиям, но
перерегулирование слишком велико.
Для уменьшения перерегулирования уменьшим передаточный
коэффициент до k = 22. Нужно иметь диполь с отношением
У< 22>,з 22-12
h hihz 15-15 -'''•
Пусть полюсом диполя будет по-прежнему Х2 = —5. Тогда необходим нуль
Vt= 1,17А,а= 1,17 (—5)= —5,85.
Примем Yi = —5,9 (рнс. 9.7, б). Уравнение фаз для точки будет
удовлетворяться при
i|)is= №°-уп-у13+у21 = 180°-114о-95о+90°= 61°.
По значению iJj1s нанесем на график (рис. 9.7, б) полюс Я$ и определим его
значение: А,3 = —13,4. Тогда по формуле (7.74)
t. »n»ii*i»Ti 15-13,8.15,5-5,9
1ю№ъ ~ 13,7-5.13,4 -™>°-
Значение k удовлетворяет требованию. Составим передаточную функцию
корректирующего устройства:
-^-s+' Q,169s + 1
п 1 , , ~~ 0,0746s + 1'
и передаточную функцию системы относительно задающего воздействия:
0,169s+ 1
ТГ« = -
(0,0667as2 + 2-0,409-0,0667s + 1) (0,163s + 1)
Пользуясь формулой п. 103 табл. 4.1, составим аналитическое выражение
переходной характеристики:
А == 1 — l,137e-e'132/ sin (13,68/ + 1,166) + 0,044е-6-135'.
Показатели качества переходной характеристики О = 26,7% и tv = 0,505 с.
Можно полагать, что они удовлетворяют требованиям.
9.4. МЕТОД ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Свойства САР полностью определяются частотными
характеристиками ее разомкнутой цепи. Если все элементы системы
минимально-фазовые, то достаточно рассматривать только амплитудно-
частотную характеристику. Построение логарифмических
амплитудно-частотных характеристик не сложно, поэтому метод синтеза
САР, использующий ЛАЧХ, широко применяют в инженерной
практике.
402

Сущность этого метода заключается в следующем. Сначала
•строят асимптотическую ЛАЧХ Ln неизменяемой (основной)
части системы. Затем составляют желаемую ЛАЧХ Lm
разомкнутой системы. Разность
L>K La = LK] (У. It)
есть ЛАЧХ дополнительного элемента, который нужно ввести
в систему, чтобы она имела необходимые свойства.
Неизменяемая часть системы регулирования по отклонению
содержит объект регулирования и исполнительный элемент,
а также элемент основной обратной связи и элемент сравнения.
К неизменяемой части обычно относят еще элементы, которые
обеспечивают необходимые статические свойства: усилитель и
в астатической системе интегрирующий или изодромный элемент
(элементы). Асимптотическую ЛАЧХ Lu строят по передаточной
функции неизменяемой части системы (см. п. 5.3).
Желаемую ЛАЧХ условно разделяют на три части:
низкочастотную, среднечастотную и высокочастотную. Низкочастотная
часть определяет статическую точность системы •— точность в
установившихся режимах. В статической системе низкочастотная
асимптота параллельна оси абсцисс. В астатической системе
наклон этой асимптоты составляет —20v дБ/дек, где v — порядок
астатизма (v = 1, 2, ...). Ордината £жпри а = 1 с-1 определяется
значением передаточного коэффициента k разомкнутой системы.
Чем шире низкочастотная часть Lm, тем больше высоких частот
воспроизводится системой без заметного ослабления.
Среднечастотная часть является наиболее важной, так как
она определяет устойчивость, запас устойчивости и,
следовательно, качество переходных процессов, оцениваемое обычно
показателями качества переходной характеристики. Основные
параметры среднечастотной асимптоты — это ее наклон и частота
среза а»с (частота, при которой Lm пересекает ось абсцисс). Чем
больше наклон среднечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить
хорошие динамические свойства системы. Поэтому наиболее
целесообразен наклон —20 дБ/дек и крайне редко он превышает
—40 дБ/дек. Частота среза а>с определяет быстродействие системы.
Чем 6ЪлjШIel^шЛ),тeмJшцe_бJiCЛ$oдeйcJЪHfi, тем меньше время
регулирования tp переходной характеристики.
Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ незначительно влияет
на динамические свойства системы. Вообще говоря, лучше иметь
возможно больший наклон ее асимптот, что уменьшает требуемую
мощность исполнительного органа и влияние высокочастотных
помех. Иногда при расчете высокочастотную часть ЛАЧХ не
принимают во внимание.
Желаемую ЛАЧХ строят на основании требований,
предъявляемых к свойствам системы. Требования к статическим свойствам
задают в виде порядка астатизма v и передаточного коэффициента
(добротности) k разомкнутой системы. Иногда для системы с аста-
403

Рис. 9.8. Построение
желаемой ЛЛЧХ
тизмом первого порядка задают коэффициенты ошибки Сх и Сг.
Ранее (см. п. 9.1) было показано, как с учетом этих требований
построить низкочастотную асимптоту ЛАЧХ.
При синтезе САР методом ЛАЧХ динамические свойства чаще
всего определяются максимально допустимыми значениями
перерегулирования в и времени регулирования tP переходной
характеристики. Может быть задано еще ограничение в виде максимально
допустимого ускорения wm!a регулируемой величины при
начальном рассогласовании х0.
Если неизменяемая часть системы включает все элементы,
обеспечивающие необходимые статические свойства, то
низкочастотная часть неизменяемой характеристики Ln является вместе
с тем и низкочастотной частью желаемой характеристики Lm.
В этом случае равенством (9.27) определяется ЛАЧХ LKl
последовательного корректирующего устройства. По параметрам этой
ЛАЧХ можно составить передаточную функцию WKl
последовательного корректирующего устройства. Формулы (8.28) и (8.29)
позволяют отыскать передаточные функции Whi параллельного и
Wh3 прямого параллельного корректирующих устройств, имеющих
одинаковые свойства.
Для построения желаемой ЛАЧХ используют различные
правила. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
Построение желаемой ЛАЧХ по В. В. Солодовникову [72, 103].
Предположим, что её низкочастотная асимптота, совпадающая
с ЛАЧХ LH, имеет наклон — 20 дБ/дек и ордината этой ЛАЧХ при
ш = 1 с"1 равна 20 lg k дБ (рис. 9.8). Порядок построения
желаемой ЛАЧХ будет следующий.
1. Выбирают частоту среза сас так, чтобы удовлетворялось
неравенство
шг1 < шс < ш(;2. (9.28)
Здесь гоа — значение частоты среза, при котором время
регулирования не превысит заданного значения tv- Значение ыл
определяют по номограмме, изображенной на рис. 7.8. По
заданному значению а с помощью кривой, a (Pmsx) номограммы
определяют соответствующее значение Pmax. Затем по значению Рщя
с помощью кривой tv (Лпах) определяют значение сп//Р. Эту вели-
404

Lrd6 р.град
Рис. 9.9. График дли
определении ординат ±£v
контрольных точек и
необходимого избытка фазы \>пип
""V» , 1,1 Jfi 1,3 1,4 1,5 Рт0х
чину приравнивают заданному значению tP и из полученного
равенства
Чл =• cn/tp с"1. (9.29)
Правая часть неравенства (9.28) есть максимальное значение
частоты среза, допустимое при заданных значениях максимального
ускорения о/щах регулируемой координаты и начального
рассогласования л-0:
о)с2 = |/штах/д;0 с"1. (9.30)
Если оказывается, что шс1 > а>с2, то нужно выбирать а»с <: шсЯ.
Иногда значения ^щ, и х0 не задаются, тогда а»с > шс1.
Выбранное значение а>с наносят на график (см. рис. 9.8).
2. Строят среднечастотную асимптоту. Ее проводят через
точку wc на ос абсцисс с наклоном —20 дБ/дек. Меньший наклон
трудно осуществить, а при большем наклоне трудно обеспечить
необходимый запас устойчивости.
3. Среднечастотную асимптоту сопрягают с низкочастотной-
так, чтобы в том интервале частот, в котором
0<{Lm<[Ly. (9.31)
иметь избыток фазы
V>Vn.m- (9.32)
Сопряжение осуществляется асимптотой с наклоном —40 дБ/дек
или—60 дБ/дек при v = 1, и асимптотой с наклоном—60 дБ/дек
при v = 2.
Значения Ly и Vmin определяют с помощью номограммы
(рис. 9.9) по ранее найденному значению Ртт. Удовлетворение
неравенств (9.31) и (9.32) означает, что желаемой ЛАЧХ
соответствует типовая вещественная частотная характеристика, у которой
I ^min I = Лпах — 1 и для которой составлены ранее
использованные зависимости а {Рта>) и tp (/max) (см. рис. 7.8).
Избыток фазы 7 = я + Ф, где ^ <" 0, проверяют лишь при
той частоте ь>а (см. рис. 9.8), при которой ордината ЛАЧХ Lm =
= Lr Этой частоте может соответствовать точка сопряжения
405,

асимптот или точка на одной из асимптот. Избыток фазы при
частоте иа можно определить по приближенной формуле
7а =. я - vjt/2 - (тп/2 - Ь Ч/Ч] + f/я/2 - £ ЧМ,), (9.33)
где o)j — сопрягающие частоты, меньшие саа; m и / — число
сопрягающих частот, на которых наклон желаемой ЛАЧХ изменяется
соответственно на —20 или на -г20 дБ/дек.
Для вычисления у можно использовать и другие методы
определения фазы по ЛАЧХ (см. п. 5.4).
Если при выбранном сопряжении асимптот избыток фазы уа
в контрольной точке оказывается меньше ут1а, то сопрягающую
асимптоту следует сместить влево или уменьшить ее наклон.
Если 7а -> Vmim т0 сопрягающею асимптоту необходимо сместить
вправо или увеличить ее наклон. Таким образом, нужное
положение сопрягающей асимптоты отыскивается путем проб. При этом
разность Va — Ymin не должна превышать нескольких градусов.
При сопряжении стремятся также к тому, чтобы желаемая
ЛАЧХ возможно меньше отличалась от ЛАЧХ неизменяемой части
системы.
4. Среднечастотную асимптоту сопрягают с высокочастотной
частью ЛАЧХ L„неизменяемой части системы. При этом в
интервале частот, в котором
0>1Ж>— Lv, (9.34)
должно удовлетворяться неравенство (9.32).
Избыток фазы достаточно проверить лишь при той частоте шб
(см. рис. 9.8), при которой ордината желаемой ЛАЧХ равна —Lv.
Можно пользоваться приближенной формулой
г
где <7СР — относительный наклон среднечастотной асимптоты; г —
число сопрягающих частот, которые больше частоты среза.
Если при выбранном сопряжении избыток фазы уб в
контрольной точке оказывается меньше Ymin> T0 сопрягающую частоту
смещают вправо или уменьшают ее наклон. Если уб >Vm«. T0
сопрягающую асимптоту необходимо сместить влево или увеличить
ее наклон. Таким образом, нужное положение сопрягающей
асимптоты также находят путем проб. Разность уб — Vmin не
должна превышать нескольких градусов.
При сопряжении опять следует стремиться к тому, чтобы Lm
возможно меньше отличалась от Ln. Чем меньше различие между
формой этих ЛАЧХ, тем проще необходимое корректирующее
устройство.
Уменьшить различие между формами Lm и LH, а иногда и
построить желаемую ЛАЧХ можно с помощью номограмм [72,
102].
406

-2.0 361 дек
^40(60) дБ/дек
-20дБ/дек
Рис. 9.10. Типовая ЛАЧХ
Номограммы для
синтеза корректирующих
устройств. Желаемая ЛАЧХ
астатической системы
часто состоит из четырех
асимптот (рис. 9.10):
низкочастотной с наклоном
—20 дБ/дек, сопрягающей
с наклоном —40 или
—60 дБ/дек, среднеча-
стотной с наклоном
—20 дБ/дек и
высокочастотной с наклоном —40 или —60 дБ/дек. Изменение наклона
высокочастотной части ЛАЧХ при ординатах, меньших—26 дБ,
можно не принимать во внимание. Такие сопрягающие частоты
создаются постоянными времени, которые относятся к малым
параметрам и весьма слабо влияют на динамические ^свойства
системы.
Таким образом, имеются четыре типа разомкнутой
астатической ЛАЧХ (табл. 9.2). Каждая типовая ЛАЧХ полностью
определяется четырьмя параметрами: передаточным коэффициентом
к разомкнутой цепи (добротностью по скорости) и сопрягающими
частотами :$
»i = l/7i! *>2 = 1/*я и со3 = 1/Г3.
Однако более удобно использовать совокупность следующих
параметров: ординату Lx ЛАЧХ при сопрягающей частоте ©17
частоты среза ис и относительные значения сопрягающих частот
Таблица 9.2
Типовые логарифмические амплитудно-частотные характеристики
Тип
ЛАЧХ
I
II
III
IV
Наклон асимптот, дБ/дек
ннзко-
ча-
стот-
иой
—20
—20
—20
—20


прягаю-
щей
—40
-60
—40
-60
сред-
неча-
стот-
ной
—20
-20
—20
-20
высо-
коча-
стот-
ной
—40
-40
—60
—60
Передаточная функция
v ь (v +1)
strxi+I) (Г^ + 1)
s(rlS+l)2(r3s+l)
ft(T,S+l)
■ s(rlS + l)(rss+l)a
MxaS+1)2
s(TlS+l)'(Tas + l)*
4 0T

1max
1,0
Рис. 9.! I. График 1 зависимости
Апих и шс'р ст *Уис для CHCTe*
ны с ЛАЧХ типа I
80 дБ • 603Б ЧОдЬ ЗОдВ 20 дБ
80 дБ 60 дБ
WE ЗОдВ 20дВ
б>1./б>с И С03/(й
сопрягающая
определяется
нием
,. При этом
частота со2
соотноше-
("■
»'^
20
+
uJf/wc
где а = 2 для ЛАЧХ типа
I и III и а = Здля ЛАЧХ
типа II и IV.
Для типовых ЛАЧХ составлены номограммы [118], которые
по перечисленным параметрам позволяют определить основные
характеристики замкнутой системы: время регулирования tP,
максимальное значение /»„,„ переходной характеристики, время
достижения этого максимума, частоту колебаний переходной
характеристики, максимальное значение амплитудно-частотной
характеристики и частоту, при которой достигается этот
максимум.
Номограммы [70, 74] дают зависимость этих характеристик от
ах/ас при Lx = 20; 30; 40; 60 и 80 дБ и нескольких значениях
шз/»с (1, 2, 4, 8 и оо для ЛАЧХ типа I и II; 1, 2, 4 и 8 для ЛАЧХ
типа III; 2, 4, 8 для ЛАЧХ типа IV).
На рис. 9.11—9.14 показаны взятые из этих номограмм графики
зависимостей hmax и со0*р от taj®,. при ш3/шс = 4 и Lx = 20; 30;
40; 60 и 80 дБ для каждого типа ЛАЧХ.
Показатели качества системы: перерегулирование и время
регулирования переходной характеристики, запас устойчивости по
фазе v и коэффициенты ошибки С\ и С2 можно определить с
помощью параметров 1ь сос, И!/сос и (о3/шс типовых ЛАЧХ
(см. табл. 9.2) по номограммам, приведенным в работах
Номограммы дают зависимость показателей качества замкнутой
системы от Oi/co, при Lx = 20; 30; 40; 50; 60; 70 и 80 дБ и а)3/шс =
= 1; 2; 4 и 8.
Номограммы могут быть использованы прежде всего для
определения показателей качества САР с типовыми ЛАЧХ разомкнутой
цепи. Некоторые ЛАЧХ можно привести к типовым путем замены
двух близко расположенных сопрягающих частот со и и ., одной а,
(рис. 9.15).
Замена допустима, если ординаты упрощенной ЛАЧХ
отличаются от ординат исходной не более чем на 2 дБ. На этом
•основании следующие передаточные функции могут быть
408

hmw
Рис.£ 9.12.* График зависи-
"огти'АП1ах"и ШЛ от wi/wc
для.системы с ЛАЧХтипаП
80дБ 60дБ ЧОдБЪОдЬ 20УБ
80ВБ 60дБ 4036 30дБ 20 дБ
ш,/шс.
Ьтах
Рис. 9.13. График зависи-
"ости Атах и Vp от Vwc
для систеныс ЛАЧХткпа 111
* ВОдБ БОдБ г/о дБ 30 дБ 20 дБ
u>c.tp 80дБ 60дБ 40дБ 30дБ 20дБ

hmax
П
2,0
1,е
У*
V-
Ь°
wctp
п
1С
В
6
Ч
г
-
80
:::::_~ ц п
Г_Г _]
у
_у
У
--.)
1
дБ SOd't
/ 1
j- Л
Г /
/
2 3
2 ,
X ^
' /
i ЧО'ЗЬ
1
1
/ /
/ h '
/\
/ \/ 1
-...J-JLJ-
yjri
• л /
/ /1/
■('' Л
^\
зо а б го а в
809Б
в.0д^ .v°?£ УУ 5°У
1
lisi
Рис 9.14. График
зависимости Аши и »с*р «г «Bj/m,.
для системы с ЛАЧХ типа IV
0,001
0,01
V
ЦК
•11ШС
заменены упрощенными, соответствующими типовым ЛАЧХ:
W =■
A(T3S+1)(T4S+1)
*(*1»+П'
S (TlS + 1) (Tt8 + 1) (TsS + 1) ~ s (flS + 1)2 (fsS + 1) '
где 7,1>7,,>т3>т4>7,5; 7, ==1/7^; f8-|/W,
(9.37)
fe(T2S+l)
fe(T2S + 1)
s (Tji + 1) (Tss + 1) (TiS + I) s (f lS + 1) (fss + l)a
(9.38)
Vhc. 9.15. Призеры замены двух близко расположенных сопрягающих частот одной
410

где T1>x2>T3>Ti; f1 = T1; f2 = x2; f3=j/Y3r4;
w fe(T3s+l)fas+l) fe(r8s + i)2
W ~ 5(Г15+1)(Г25+1)(Г63+1)(Гв5+1) ~S(f1$+l)«(TaS+l)«*
__ (9.39)
где 7,1>7,2>т3>т4>7,Г1>7,6; Г, = VTxT,\
f s = K^I; 7, = J/TJV
Номограммы можно использовать и в тех случаях, когда вместо
двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени
имеется одно колебательное с достаточно большим коэффициентом
демпфирования £. Ошибка тем меньше, чем меньше отличие £ от
единицы. Номограммы используют также для приближенного
определения показателей качества tP и в статических систем и
систем с астатизмом второго порядка. Это допустимо, если ЛАЧХ
разомкнутой цепи такой системы совпадает с типовой ЛАЧХ
в диапазоне частот, в котором | L | < 30 дБ. При этом по
номограммам будут получены для статических систем несколько
завышенные, а для систем с астатизмом второго порядка несколько
заниженные значения перерегулирования и времени
регулирования.
Номограммы успешно используют и при синтезе САР дл^.
построения желаемой ЛАЧХ (см. пример 9.5). С помощью
номограмм можно также несколько уменьшить отличие жалаемой
ЛАЧХ, построенной по В. В. Солодовникову, от ЛАЧХ
неизменяемой части системы [72, 102].
Построение желаемой ЛАЧХ по Е. А. Саиковскому — Г. Г. Си-
галову [101 90]. Для синтеза САР можно рассматривать девять
типов ЛАЧХ разомкнутой системы. Формы типовых
асимптотических ЛАЧХ и соответствующие им передаточные функции
приведены в табл. 9.3. Там же указана связь частоты среза ис с
передаточным коэффициентом k разомкнутой системы и сопрягающим»
частотами.
При выборе типа ЛАЧХ рекомендуется исходить из следующих;
соображений:
а) выбирать ЛАЧХ типа 1 или 2, если задающее воздействие-
изменяется с большим ускорением, а уровень помех мал;
б) выбирать ЛАЧХ типа 3, 4 или 5, если ускорение задающего
воздействия невелико, но высокий уровень помех;
в) при больших ускорениях и высоком уровне помех выбирают
ЛАЧХ типа 6," 7, 8 или 9.
Исходными данными для расчета желаемой ЛАЧХ могут быть
следующие показатели: максимальные значения скорости и
ускорения задающего воздействия gmaX и ^ш; допустимая ошибка
в установившемся режиме $; допустимые значения
перерегулирования и времени регулирования в и tP и запас устойчивости па
фазе у. Расчет можно вести и в том случае, когда задающее
воздействие и помеха являются случайными функциями времени.
41L

Таблица 9.3
Типовие логарифмические амплитудно-частотные
характеристики по Е. А. Саиковскому — Г. Г. Сигалову
Тип
ЛЛЧХ
Передаточная функция W
Асимптотическая ЛАЧХ
(TlS+l)(TaS+l)
-r^-2t>mtfeir
и, и>е
s(rlS+l)(rss+l)
ft (t8s + 1)
(Г18+1)МГз5+1)
в
ЬОВб/дек
- МЯб/Ш*\
fe(V±i)
s(r1s+l)(rss+l)
-was/дек
- Шдб/Яел*^
ft fas+1)
ft (t2s + 1)«
(TlS + l)3 (T3s + 1)
-^шу/ди-
fe(Tas+l)«
s(rlS+l)2(rss+l)
^20вб/дек
"" -бОЯб/Яек
У^^швб/Яех to, и
I ' ^*w^T—г4—"~
CJ, £Jj> Wc
-тфек
412

Продолжение табл. 9.3
Тип
ЛАЧХ
Передаточная функция W
Асимптотическая ЛАЧХ

Частота
среза
k (t2s + 1)2
s*(7\S.M)(r3S+l)
}^wss/geif
-60дБ/дек
-ы—^^-^ 1 *-
to.
\-60дб/дек
и, а
OK
Предположим, что выбран тип ЛАЧХ и по требованиям к
статической точности определены параметры ее низкочастотной части.
Тогда остальную часть желаемой ЛАЧХ следует построить так,
чтобы удовлетворить требования к качеству переходной
характеристики и запасу устойчивости. При этом могут быть использованы
данные табл. 9.3 и следующие соотношения:
U = с/о)с
а = 73°
(9.40)
где с = 9 при v = 30°; с = 8 при v = 45° и с = 7 при v = 60°.
Формулы дают погрешность не более 0,05—0,1 при 60° >
>V>30° [101].
Кроме того, при расчете могут быть использованы соотношения
ш0 2(/-1)
1=3
(9.41)
где I — 2 и 3 при наклоне сопрягающей асимптоты соответственно
—40 и —50 дБ/дек; с = я/2 — у.
Значение с (в рад) определено в предположении, что cocTi С 1.
* = 3, 4,
Шс
»1-
При наклоне сопрягающей асимптоты
выбрать
Юг
= 0),
и со,
2 *■--
4
-20 дБ/дек можно
(9.42)
/=з
Построение желаемой ЛАЧХ изложенным методом выполнено
в примере 9.6.
413

10 20 30 НО 50<5,%
а)
)
/
/
/
Г, гран
50
to
50
К
30
чо. <?,"/>
«
10 20 30 Ц%
6)
Рис. 9.16. Графики
приближенных методов построения
желаемой ЛАЧХ
Упрощенное построение желаемой ЛАЧХ. Изложенные ранее
методы построения желаемой ЛАЧХ содержат некоторые
допущения. Например, метод В. В. Солодовникова предполагает, что
вещественная частотная характеристика замкнутой САР будет иметь
типовую форму, показанную на рис. 7.7. Кроме того, графические
этапы расчета вносят неизбежные неточности. Поэтому расчет,
чаще всего, дает лишь приближенные значения параметров
регулятора. Однако они уточняются при испытании его макета.
Указанные обстоятельства позволили предложить ряд упрощенных
методов построения желаемой ЛАЧХ.
Например, рекомендуется [16] выбирать частоту среза
желаемой ЛАЧХ по номограмме рис. 7.8, строить среднечастотную
асимптоту с наклоном —20 дБ/дек и ограничивать ее слева и
справа соответственно частотами и2 = а2<ас и ©3 = а3юс. Обычно
принимают а3 = 2 -з-4 и значение иа выбирают по рис. 9.16, а.
После сопряжения среднечастотной и низкочастотной асимптот
проверяют избыток фазы при частоте ю2- Он должен составлять
не менее 40°. Затем по приближенной формуле (9.33) проверяют
избыток фазы на участке от и2 до ис. Он должен соответствовать
зависимости, показанной на рис. 9.16, б. После этого по формуле
(9.35) проверяют избыток фазы при частоте и3 в предположении,
что от этой частоты наклон асимптоты —40 дБ/дек до частоты
и4 = (6 -4-8) ис. Далее идет высокочастотная часть, влияние
которой не учитывают.
Рекомендуется [35] иметь.наклон среднечастотной асимптоты
—20 дБ/дек, а частоту среза и частоты, ограничивающие
414

среднечастотную асимптоту, выбирать по соотношениям
ас ^ k0n/tp; о)2«=<(Вс/(Вз и (D3«^(2-f-4)coc, (9.43)
где коэффициент k0 должен быть выбран по графику, приведенному
на рис. 9.16, в.
Если ЛАЧХ разомкнутой САР типа I (см. табл. 9.2), то для
выбора ее параметров имеются следующие рекомендации [74].
Перерегулирование не должно превышать 20—30% при
удовлетворении неравенств
-J-10; 2<^-<4. (9.44)
При этом время регулирования с достаточной точностью
определяется частотой среза:
*р = я/ис. (9.45)
Следовательно, заданное значение передаточного коэффициента
k разомкнутой системы определяет положение низкочастотной
асимптоты, а значение аа — положение среднечастотной
асимптоты. Остается выбрать частоты о>2 и а»3 так, чтобы удовлетворялись
неравенства (9.44). (
При упрощенном построении желаемой ЛАЧХ
предусматривают использование соотношений, указывающих допустимые
пределы того или иного параметра. Поэтому целесообразно
одновременно рассмотреть два-три варианта и выбрать тот, который
обеспечит наиболее приемлемые значения показателей качества при
наиболее простом корректирующем устройстве.
Перечисленные рекомендации для построения желаемой
ЛАЧХ весьма удобно использовать при предварительном расчете.
Выбор корректирующего устройства. После построения ЛАЧХ
LH неизменяемой части системы и желаемой ЛАЧХ Lm можно
определить их разность (9.27), т. е. ЛАЧХ LK последовательного
корректирующего устройства. Это удобно сделать графически:
при каждой из сопрягающих частот характеристик La и Lm
вычислить разность их ординат, полученное точки нанести на
график (рис. 9.17) и соединить отрезками прямых.
На основании ЛАЧХ LKl составляют передаточную функцию
WK1 необходимого последовательного корректирующего
устройства.
Каждой сопрягающей частоте ю,, при которой наклон ЛАЧХ
LK1 увеличивается на —v20 дБ/дек, соответствует множитель
/ — s + 1] в знаменателе WK1. Если при сопрягающей частоте
*»/ наклон ЛАЧХ LKl уменьшается на +т]20 дБ/дек, то ей
соответствует множитель (—s+ П в числителе WKl.
415

Рис. 9.17. Определение ЛАЧХ последовательного корректирлощего устройства
Например, ЛАЧХ LK1, изображенной на рис. 9.17, соответствует
передаточная функция
_ kK (xas + 1)* (t3s + О (t4s + I)
*K1 (Г1«+1)«(Г,8+1)1
где 7\ = l/tui; xa + 1/ша; т3 = 1/ш3; т4 = 1/ш4, Ть = l/tuj.
Иногда желаемую ЛАЧХ не строят, а определяют ее параметры,
по которым можно составить желаемую передаточную функцию
W,K разомкнутой САР. Тогда
WKl = WjWH. (9.46)
Затем решают вопрос о том, какое корректирующее устройство
целесообразно выполнить. Выбирают участки для включения
параллельного и прямого параллельного корректирующих
устройств и по формулам (8.28) и (8.29) определяют необходимые
значения W,t2 и WK3. Анализируя общие свойства
последовательного, параллельного и прямого параллельного корректирующих
устройств и слбжность передаточных функций WKl, Wv2 и WKS,
можно выбрать одно из них. В сложной системе может оказаться
целесообразным или даже необходимым введение двух
корректирующих устройств. Для определения их передаточных функций
следует Есспользоваться формулами (8.30)—(8.32).
При Еыбсре типа корректирующего устройства необходимо
принимать во внимание, из каких элементов оно может быть
выполнено. Весьма часто используют пассивные и активные
четырехполюсники постоянного тока, а также дифференцирующие
трансформаторы и тахогенераторы (см. п. 8.6).
В простейшем случае схему пассивного четырехполюсника
постоянного тока с необходимой передаточной функцией удается
подобрать по табл. 8.2. Если необходимо соединить последова.
тельно два четырехполюсника из числа указанных в табл. 8.2,
то между ними необходим разделительный усилитель.
416

Схему четырехполюсника постоянного тока, реализующего
сложную передаточную функцию, можно определить методами,
изложенными в приложении 4. Там же даны методы определения
схемы двухполюсника по заданной передаточной функции. Выбор
двухполюсников необходим Яри выполнении корректирующего
устройства в виде активного четырехполюсника постоянного тока.
После выбора схемы четырехполюсника определяют параметры
его элементов. При этом необходимо учитывать входное
сопротивление последующего элемента. Если число соотношений для
определения параметров элементов меньше числа этих параметров,
то можно удовлетворить дополнительное требование (или
требования). Например, иметь конденсаторы минимальной емкости.
Не следует предусматривать пассивный четырехполюсник
с передаточным коэффициентом меньше 0,05--0,1. Не следует
также в одной схеме иметь сопротивления (или емкости), на два-
три порядка отличающиеся одно от другого.
Заключительные этапы синтеза. Пассивные четырехпошос-
ники уменьшают общий передаточный коэффициент цепи. Поэтому
после их выбора следует окончательно определить необходимое
значение передаточного коэффициента усилителя.
В заключение должно быть проверено удовлетворение
требований, на основании которых осуществлялся синтез САР. Для
проверки показателей качества необходимо построить переходную
характеристику методами, изложенными в гл. 4, или определить
ее на электронной модели (см. п. 3.4). Еще более точной будет
переходная характеристика, получаемая при сочетании
электронной модели регулятора с объектом регулирования и
исполнительным элементом.
Пример 9.5. Передаточная функция неизменяемой части САР
W 30
н s (0,25s + l)(0,2s+l)'
Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее при передаточном
коэффициенте разомкнутой системы k > 100 с"1 следующие показатели качества:
о =» 25% и f p < 0,2 с.
Коэффициенты 0,25 и 0,2, являющиеся постоянными времени неизменяемой
части системы, мало отличаются одна от другой, поэтому ее передаточную
функцию можно заменить упрощенной:
W<* 30
S(7lS+l)*'
где Тх = 1Л),25-0,2 = 0,224 с.
В качестве желаемой примем ЛАЧХ типа IV (см. табл. 9.2). Тогда потребуется
корректирующее устройство с передаточной функцией
W„=(Tas + \)*/(T3s+ l)a,
реализация которой ие вызовет затруднений.
14 Макаров И. М. 417

бОдб/дск
Рис. 9.18. Uoeipoemie желаемой ЛАЧХ при k i- 1UU с-1, <r .с 25% и / -^ и.2 с
Для построения желаемой ЛАЧХ воспользуемся номограммой, изображенной
иа рис. 9.14. По этой номограмме при Шз^с = 4; Lt = 20 дБ и /гшах = 1,25
имеем taj/co,. = 0,255 и actP = 4,8. Следовательно,
«!=-=— =4,46 с"1;
11
0,255
= 17,5 с
Время регулирования больше допустимого. Принимаем Lx = 30 дБ. Тогда
по номограмме имеем Wj/wc = 0,125 и шс*р = 5,9. Вычисляем
ш°=тшг=35'7с~1 и ^=ё-=°>17с-
Время регулирования ие превышает допустимого и близко к нему. Поэтому
принимаем, что желаемая ЛАЧХ типа IV имеет следующие параметры: L± =
= 30 дБ; о)! = 4,46 с"1; шс = 35,7 с-1 и ш3 = 4 шс = 143 с"1. Она построена
на рис. 9.18. По точке пересечения среднечастотнои и сопрягающей асимптот
определяем: ша = 8,9 с-1. Отношение —— = -5-^- = 16 свидетельствует о вполне
0>2 о,9
достаточной протяженности среднечастотнои асимптоты. Проверка значения о
по формуле (9.36) дает следующий результат: а = 2,99, т. е. а имеет значение,
соответствующее ЛАЧХ типа IV. Ордината низкочастотной асимптоты при ш = 1С1
равна 43 дБ. Следовательно, lg k = 2,15 и k = 141 с"1, что удовлетворяет
требованиям.
Итак, построена желаемая ЛАЧХ, которая удовлетворяет всем требованиям.
Составим по ней передаточную функцию, учитывая, что сопрягающая частота шг
заменяет две действительные сопрягающие частоты:
141
W»
(Ж—)'
e(0,25s+l)(0,2s+l)(-ig.s + iy
141 (0,112s + I)2
s(0,25s+l)(0,2s+ I) (0.007s + 1)*'
418

Рис. 9.19. Построение желаемой
J?A4X при а < «6% и <р < 0.4
Определим далее
передаточную функцию необходимого
последовательного
корректирующего устройства:
*ki=-
Wn
- 47 (0,112s + 1)»
~ (0.007s+1)* '
Эта передаточная функция
может быть реализована двумя
дифференцирующими четырехполюсниками, выполненными, например, по схеме
поз. 5 табл. 8.2, и разделительным усилителем. После выбора параметров
элементов этих четырехполюсников необходимо определить передаточный
коэффициент усилителя.
Переходная характеристика САР с выбранным корректирующим устройством
имеет следующие показатели качества: а = 25,8% и tP= 0,166 с. Требования,
на основании которых осуществлялся синтез, удовлетворены с достаточной
точностью—■ \
fnjyiMfipja-fiujПередаточная функция неизменяемой части САР, состоящей
из Объекта регулирования, исполнительного элемента и усилителя,
w = §0 _
н s(0,25s+ 1) (0,005s + 1) *
Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее следующие
показатели качества: о* <: 25% и /Р< 0,4 с. Система будет функционировать при
медленно изменяющемся задающем воздействии с высоким уровнем помех.
В соответствии с рекомендациями Е. А. Санковского — Г. Г. Сигалова
желаемую ЛАЧХ будем строить по схеме поз. 4 табл. 9.3. Определим прежде всего
необходимое значение запаса устойчивости по фазе, пользуясь формулой (9.40);
у — 73—о* = 48°. Теперь можно определить частоту среза, принимая с = 8:
Примем, что сопрягающую частоту а1 создает постоянная времени 0,25 с,
и по соотношению из табл. 9.3 определим:
1 . _, tox 50-4
Ш1=--0^5=4с ; ffl»=="ST==-20-
Вычислим постоянную а и примем, что сопрягающую частоту ш4 создает
постоянная времени 0,005 с неизменяемой частью системы:
Я Я "8 :0,733; a,, = ^L- = 200c-i-
= 10 с"1.
0 = __v=.
2 57,3 ' ■ * 0,005
Теперь по формуле (9.41) можем определить сопрягающую частоту ш3:
J___a 1 0,733
ш3 =
2ш„
ш«
2-20
200
: 0,0133;
= 75,2 с"*.
0,0133
Для проверки расчета составим левую и правую части равенства (9.41):
а 0,733
^- = ~ =0,5;
шс 20
И*
2{1-
1) 2(2-1}
^0,367.
414

Можно полагать, >ito расчет выполнен правильно. Построим желаемую
ЛАЧХ (рнс. 9.19) и составим но ней передаточную функцию
*(-s- + l)
50 (0, Is + 1)
— s(0,25s+ I) (0,0133s + ljI (0,005s + I) "
Следовательно, необходимо последовательное корректирующее устройство
с передаточной функцией
07 vm 0,ls+l
Kl ~ WH 0,0133s+1 •
Переходная характеристика корректированной системы имеет следующие
показатели качества а = 18% и tP = 0,258 с. Требования, на основании которых
осуществлялся синтез САР, удовлетворены.
9.5. СИНТЕЗ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНЫХ КРИТЕРИЕВ
КАЧЕСТВА
Применение данного метода [8, 10] обусловлено тем, что
построение желаемой ЛАЧХ значительно упрощается, если
качество регулирования оценивать не по переходной характеристике
САР, а непосредственно по ее частотным свойствам.
САР достаточно полно оценивают точностью в типовых
режимах, быстродействием и запасом устойчивости. Если точность
оценивать по воспроизведению гармонического воздействия, то
одновременно по частоте этого воздействия можно оценить и
быстродействие. Таким образом, критерий точности и критерий
быстродействия сливаются в один динамический критерий
точности.
Динамическая точность САР определяет расположение
низкочастотной части желаемой ЛАЧХ (см. п. 9.1).
Удобным частотным критерием, оценивающим запас
устойчивости, является показатель колебательности М (см. п. 7.5). Он
характеризует склонность системы к колебаниям и, следовательно,
ее удаление от границы устойчивости. Чем меньше М, тем больше
удаление от границы устойчивости—тем больше запас
устойчивости.
Показатель колебательности астатической системы равен
максимальному значению ее амплитудно-частотной характеристики —
максимальному значению модуля ее частотной передаточной
функции. Показатель колебательности статической системы есть
отношение максимального значения амплитудно-частотной
характеристики к ее начальному значению. В статических следящих
системах часто для исключения статической ошибки выбирают
коэффициент обратной связи (см. п. 8.1) k0- = (ka — l)/ka, где
ku — передаточный коэффициент прямой цепи системы. Тогда
начальное значение АЧХ равно единице. Если в статической
420

Рис. 9.20. Типовые ЛЧХ
разомкнутых систем с астатиз-
мом второго порядка
системе единичная обратная связь, то начальное значение АЧХ
равно kl{\ + k0). В подавляющем большинстве случаев
передаточный коэффициент разомкнутой системы k > 1, поэтому и начальное
значение АЧХ можно считать равным единице.
В хорошо демпфированных системах с весьма малым
перерегулированием переходной характеристики показатель
колебательности М = 1,1-*-1,3. Обычно достаточно иметь М = 1,Зн-1,5.
В ряде случаев допускается М = 1,6-4-1,8.
Необходимым и достаточным условием того, что показатель
колебательности устойчивой системы будет не больше заданного,
является расположение амплитудно-фазовой (см. рис. 7.14) или
логарифмической фазовой (см. рис. 7.15) характеристики вне
запретной зоны. В минимально-фазовой системе это условие может
быть выдержано соответствующим построением ЛАЧХ.
Рассмотрим принципы построения типовых ЛАЧХ при
заданном значении показателя колебательности и порядок построения
желаемой ЛАЧХ при синтезе САР данным методом [8, 10].
Система с астатизмом второго порядка. Простейшая
симметричная ЛАЧХ разомкнутой цепи такой системы показана на
рис. 9.20, а. Ей соответствует передаточная функция
r==^(Vas+l)' (9-47)
где k — передаточный коэффициент (добротность по ускорению).
Положение ЛАЧХ может быть задано значением базовой
частоты со0, при которой продолжение низкочастотной асимптоты
пересекает ось абсцисс, и протяженностью h второй асимптоты,
определяемой отношением частот ее конечных точек:
Щ-
Vk; h = т/71,.
(9.48)
^'21

Максимальный избыток фазы имеет место при частоте (ом:
Ymax = arctg jy=-; coM = —^=. (9.49)
При оптимальном соотношении параметров — при совпадении
максимального избытка фазы с максимумом запретной зоны
(рис. 9.20, б) — имеем
Эти формулы определяют минимальное значение, какое может
иметь показатель колебательности при заданном значении А,
и минимальную протяженность А, какую должна иметь асимптота
с наклоном —20 дБ/дек для обеспечения заданного значения М.
Чем меньше А, тем легче физически реализовать ЛАЧХ.
Постоянные времени передаточной функции (9.47) разомкнутой
САР, при которых показатель колебательности замкнутой САР
имеет заданное значение, находят по формулам
T-J_l/ZH- т -ШШЕЛ. ляп
Положение ЛАЧХ (см. рис. 9.20) можно фиксировать не
базовой частотой са0, а частотой среза а>0. Тогда для определения
постоянных т и Т% по заданному значению М следует пользоваться
соотношениями
Т>.а>0(М-1) ; Т*< (00(М+1) • <9-52)
Если неравенства (9.52) удовлетворяются, то показатель
колебательности меньше заданного значения М. Создается некоторый
дополнительный запас устойчивости. Такой же эффект имеет
место, если постоянная времени Т2 меньше значения,
определяемого равенством (9.51). Увеличивать постоянную % по сравнению со
значением, определяемым равенством (9.51), не следует. Это в
некоторых случаях может уменьшить запас устойчивости.
В более общем случае система с астатизмом второго порядка
может иметь несколько апериодических звеньев, колебательное
звено и звенья чистого (постоянного) запаздывания. Тогда
передаточная функция ее разомкнутой цепи
U7 fe(Ts+l)e-6s ,q ...
s3(ras+l)(r3s+l)...(72ss + 5£rs+l) ' V-°°>
и для получения заданного значения показателя колебательности
в формулы (9.51) или (9.52) вместо Т2 нужно подставлять
Xr = r2~fr3+.--+e + 2|r, (9.54)
т. е. вместо постоянной времени Тг следует рассматривать сумму
всех постоянных времени апериодических звеньев (включая малые
постоянные), а также суммарное время чистого запаздывания 6,
423

<з;%.
,w
w
All
20
AH0tp
)
UJ„t
<5
■
-
9
10
9
8
7
5
*
V
12
1.3
VI
V И
Рис. 9.21. Зависимость перерегулировании (Г
и игноснтелыюг» времени регулирования <» ',,
cucieMM с асгатизмом втирого порядка от мо
кгиателя колебательное!u M
При наличии
колебательного звена, у которого
постоянная времени Т < 1/а»0,
в сумму (9.54) включают еще
21Т и, кроме того, должно
удовлетворяться неравенство
(9.55)
чтобы не появилось второй
запретной зоны в районе пика
ЛАЧХ, создаваемого
колебательным звеном.
Расчетные соотношения
для системы, содержащей колебательное звено с большой
постоянной времени или неустойчивое звено, приведены в работе [8J.
Если система имеет ЛАЧХ разомкнутой цепи, изображенную
на рис. 9.20, а, и показатель колебательности минимален —
определяется равенством (9.50), то переходные процессы в системе
в некотором смысле оптимальны. Переходная характеристика
приближается к экспоненте с постоянной времени Тэ = —^— •
Чем больше А, тем меньше М и тем лучше переходные процессы.
Зависимость показателей качества переходной характеристики:
перерегулирования в и относительного времени регулирования
Wotfp от значения М показаны на рис. 9.21. Эти зависимости
справедливы и для систем, у которых- ЛАЧХ разомкнутой цепи имеет
форму, показанную на рис. 9.20, б, если среднечастотная асимптота
имеет достаточную протяженность по обе стороны от частоты среза.
Построение желаемой ЛАЧХ при синтезе системы с астатизмбм
второго порядка начинают с нанесения низкочастотной асимптоты.
При этом должны быть удовлетворены требования к точности (см.
п. 9.1). Для демпфирования системы низкочастотную асимптоту
следует располагать возможно левее: она должна проходить через
контрольную точку В с координатами [to,, Z,,J, значения которых
определяют по формулам (9.9) и (9.11). Низкочастотная асимптота
сливается в этом случае с правой границей запретной зоны (см.
рис. 9.2, б), и базовая частота
<»0=К£тах/Р«
(9 56)
Затем наносят среднечастотную асимптоту с наклоном
—20 дБ/дек между сопрягающими частотами 1/т и \/Т2. О выборе
постоянных т и Т2 было сказано ранее.
i Высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ строят в соответствии
с тем, какие звенья неизменяемой части системы учтены при
выборе постоянной Т2.
423

Пример 9.7. Неизменяемая часть следящей системы, состоящая из объекта
регулирования и исполнительного элемента, описывается передаточной функцией
WK =
s*(0,ls+l)j;0,025s + l) '
Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее следующие
показатели качества: установившуюся ошибку р <: 0,05 град при изменении задающего
воздействия с максимальной скоростью £тах = 12 град/с и максимальным
ускорением #тах = 4 град/са; перерегулирование ст<: 30% и время регулирования
tp < 0,75 с.
По формулам (9.11) определим координаты контрольной точки В,
ограничивающей желаемую ЛАЧХ снизу:
,„к =, Ьв*. = 0,333 с"*; /.„ - 2П lg -£^ - 5/.1! дБ.
8 max Smax
Находим необходимое значение передаточного коэффициента разомкнутой
системы и базовую частоту, пользуясь формулами соотве1Ственчо (9.12) и (9.48);
k = _£njax_ = 80 с-а. Q,0 = ^ft" = 8,94c-1.
Р
По рис. 9.21 определим, что перерегулирование о* не превысит 30% , если
показатель колебательности системы будет равен 1,36. При этом a0tP = 5,6, т. е.
5 6
время регулирования составит <rij3= 0,626 с, что удовлетворяет требованиям.
Теперь, пользуясь формулами (9.51), можем вычислить необходимые значения
постоянных времени:
т =
со0
Ущм-р /1,36(1,36-1)
'*- со0(Л*+1) _ 8,94(1,36+1) -и'илз с-
Теперь можно составить желаемую передаточную функцию разомкнутой
системы и определить передаточную функцию необходимого последовательного
корректирующего устройства:
fe(rs+l) _ 80 (0,286s + 1) .
ж ~ s*(ras+l) _ sa (0,033s + 1) '
™ Wm 10 (0,286s +1)(0, Is +1) (0,025s + 1)
K1 ~ WH ~ 0,033s + 1
Для достаточно точной реализации передаточной функции WK1 необходим
активный четырехполюсник. Переходная характеристика замкнутой системы
в этом случае будет следующей:
Л= 1 -4,429e_13'usin (20,36/+ 1,025) + 0,221e_4'149'.
Ее показатели качества: а = 28,4% и tp = 0,285 с.
Видимо, потребуется менее сложное корректирующее устройство, если за Та
принять постоянную времени 0,025 с неизменяемой части системы. Для
вычисления постоянной времени т сначала по формуле (9.50) определим протяженность Л
средиечастотной асимптоты и воспользуемся формулой (9.48):
Л = (М + \)1(М — 1) = (1,36 + 1)/(1,36-1) = 6,56;
т = Тф. = 0,025-6,56 = 0,164 с.
424

Рис. 9.22. Тнпопые ЛАЧХ разомкнутых систем с астатизмом первого порядка
Затем составим желаемую передаточную функцию разомкнутой системы
и определим передаточную функцию необходимого последовательного
корректирующего устройства:
80 (0,164s+1) .
W»
sa (0,025s -f 1)
WKl = 10 (0,164s + 1) (0,1s + 1).
Итак, требуется менее сложное корректирующее устройство, чем в первом
случае. При реализации передаточной функции WK1 активным
четырехполюсником передаточная функция замкнутой системы будет
W
0,164s+1
й 0,000313s3+ 0,0l25sa +0,164s + i •
Аналитическое выражение переходной характеристики
Л = 1 - 2,69е~8'28' sin (8,24/ + 2,11) + 1,31е"23-'1'.
Ее показатели качества: а = 31,5% и tP = 0,425 с.
Система с астатизмом первого порядка. Простейшая ЛАЧХ
разомкнутой цепи такой системы показана на рис. 9.22, с.
Показатель колебательности замкнутой системы не превысит
допустимого значения при выполнении неравенства
, „ Ma + M Vl№ — 1
Rl t «S g
(9.57)
ЛАЧХ разомкнутой цепи более совершенных систем с
астатизмом первого порядка (рис. 9.22, б) пересекает ось абсцисс
асимптотой с наклоном —20 дБ/дек. Этой ЛАЧХ соответствует
передаточная функция
W
k(TS+ 1)
(9.58)
s(rls+l)(rIs+l)(r,s+l)... *
Такая ЛАЧХ отличается от ЛАЧХ системы с астатизмом
второго порядка (см. рис. 9.20, б) лишь наличием низкочастотной
асимптоты с наклоном —20 дБ/дек и изломом при частоте \П\.
Пусть ■=- > о)м, где сам — частота, определяемая формулой
(9.49). При этой частоте требуется максимальный избыток фазы.
Тогда расчет с достаточной точностью можно вести по формулам
для систем с астатизмом второго порядка с симметричной ЛАЧХ
(см. рис. 9.20, а).
4L>!3

-ЧОВд/дек
Рис. 9.23. Варианты построения
низкочастотной части желаемой
ЛАЧХ системы с астатиэмом
первого порядка
Положение ЛАЧХ (рис. 9.22, б) фиксируется частотой
щ=УШ\ (9-59)
или частотой среза шс.
Показатель колебательности не превышает допустимого
значения М, если удовлетворяются соотношения
-kV-
\М
(М-1)
То_ + Т3 +
Ум (М — 1)
<о0(М+1)
или
м
т, + та +
м
(9.60)
(9.61)
При расчете системы с колебательным звеном и со звеном
чистого запаздывания действительны указания, сделанные для
системы с астатизмом второго порядка. Для определения
показателей качества а и tp переходной характеристики можно
пользоваться зависимостями, приведенными на*рис. 9.21.
Построение желаемой ЛАЧХ начинают с ее низкочастотной
части, положение которой должно удовлетворять требованиям
к точности (см. п. 9.1). Возможны различные варианты выбора
постоянной времени 7\ и соответственно расположения
низкочастотной части желаемой ЛАЧХ относительно запретной зоны
(см. рис. 9.2).
1
Пусть
> (2ч-3) шк, где о),( — частота, определяющая
точку В запретной зоны. Тогда низкочастотную асимптоту желае-

I,ПК
60
40
Рис. 9 24. Построение
желаемой ЛАЧХ при М- 1,5
го
о
20
мой ЛАЧХ можно совместить с первой асимптотой запретной зоны
(рис. 9.23, с). При этом передаточный коэффициент будет иметь
минимальное значение, определяемое формулой (9.12). Однако при
этом значение со0 велико, поэтому вся ЛАЧХ сдвигается в область
высоких частот и затрудняется демпфирование системы.
Если выбрать ■=- < (2-=-3) и„ то вторую асимптоту желаемой
ЛАЧХ можно совместить со второй асимптотой запретной зоны
(рис. 9.23, б). Тогда частота со0 минимальная и определяется
формулой 1,(9.13). Передаточный коэффициент k (добротность по
скорости) в этом случае будет в 2—3 раза превышать минимально
необходимое значение, что увеличит влияние помех.
Если ни один из указанных вариантов не имеет преимущества,
то выбирают 1/7\ = со,, и низкочастотные асимптоты желаемой
ЛАЧХ располагают па 3 дБ выше запретной зоны (рис. 9.23, в),
чтобы в эту зону не попала действительная ЛАЧХ. В этом случае
k = J/2 -isp-; со,, ■= У \/ 2 -isp-. (9.62)
Среднечастотную и высокочастотную части желаемой ЛАЧХ
формируют так же, как и при синтезе системы с астатизмом второго
порядка.
Пример 9.8. Передаточная функция неизменяемой части системы
" " s(0,15s+l)(0,02s+l) '
Выбрать последовательное корректирующее устройство, обеспечивающее
удовлетворение следующих требований: погрешность 0 < 0,02 град при изменении
задающего воздействия с максимальной скоростью gmax^ 8 град/с и
максимальным ускорением gmax = 3 град/с2; показатель колебательности М = 1,5.
Определим координаты контрольной точки В, пользуясь формулами (9.11):
ик=-|- = 0.37Бс-ь 1„=201б-1^- = 60,56дБ.
Нанесем контрольную точку В (рис. 9.24) и проведем через нее асимптоты,
ограничивающие запретную зону. Примем 7\ — — — ,, 0-г ~ 2,67 с и но-
427
^ЖдВ/дек
»«:i 1
^-WdB/дек
^§s.-2oe6liicK !
^jsjg<^, т2 100 ш
% " " ^\-iOdB/dsK

строим низкочастотную^часть желаемой ЛАЧХ так, чтобы ее асимптоты были
на 3 дБ выше границы запретной зоны.
По формулам (9.62) определим необходимое значение передаточного
коэффициента k и значение базовой частоты ш0:
Определим необходимое значение постоянной времени т, пользуясь форму"
лой (9.60):
~кУ-
М _L.T/_J^..!.0,||9c
14,0 У • с •
М—\ 14,0 У 1,5 1
Нанесем на график сопрягающую частоту — -- — -8,4 с"1 и
построим от этой частоты среднечастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ.
Определим ординату LB прямой, которая ограничивает справа
среднечастотную асимптоту и сверху высокочастотную часть желаемой ЛЛЧХ:
1„ - • 20 lg ^L_ = 20 lg 1-i|_ = _4,4 дБ.
Нанеся эту прямую на график, определим, что среднечастотная асимптота
может быть ограничена частотоП 45,7 с"1. Следовательно, сопрягающая частотя
■ ■■ —50 с"1, создаваемая постоянной времени 0,02 с неизменяемой части
системы, допустима для желаемой ЛАЧХ. Примем Та = 0,02 с и от частоты \/Тг =
= 50 с"1 построим высокочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ.
Сопрягающая частота 6,67 с"1, соответствующая постоянной времени 0,15 с
неизменяемой части системы, недопустима для желаемой ЛАЧХ. Для
реализуемости передаточной функции корректирующего устройства пассивным
четырехполюсником полагаем, что желаемая ЛАЧХ имеет еще сопрягающую частоту
-=— »50 с-1. Пр инимаем Тд — 0,001 с.
Тогда желаемая передаточная функция разомкнутой системы
w = 566(0,119s+')
ж s (2,67s + 1) (0,02s + 1) (0,001s + 1) '
а необходимая передаточная функция последовательного корректирующего
устройства
W - W™ 70,7 (0,119s+1) (0,15s +1)
1(1 Wn (2,67s+1) (0,001s +1)
Показатель колебательности замкнутой системы М = 1,4 и показатели
качества ее переходной характеристики а = 32,7% и tP = 0,24 с.
Статическая система. Простейшая ЛАЧХ разомкнутой
системы показана на рис. 9.25, а. Если -=- <; а>с < -=г-, то при
М -<: 1,3 достаточную точность дает приближенная формула
*(Г1 + та+---) < м» + муж=т дб3
Т0 2
Из этой формулы следует, что постоянная времени Т0
увеличивает запас устойчивости. При увеличении передаточного
коэффициента k или суммы постоянных времени 7\ + Т2 + ... для
428

Рис. 9.25. Типовые ЛАЧХ разомкнутых статичгскиу гнпгш:
и — ирппгПпии; б - ciimmi грпчили
сохранения заданного значения М показателя колебательности
необходимо увеличивать наибольшую постоянную времени Т0.
При повышенных требованиях к качеству статическая система
должна иметь ЛАЧХ, изображенную на рис. 9.25, б. Ей
соответствует передаточная функция
fe(TS+ 1)
W
\(T0s+ l)(r1s+l)(TIs+ !)■
(9.64)
Такую систему можно рассчитывать как систему с астатизмом
второго порядка, имеющую симметричную ЛАЧХ (см. рис. 9.20).
Базовую частоту определяют приближенно по формуле
щ^УШЩ- (965)
Показатель колебательности не превышает заданного
значения М при удовлетворении соотношений (9.60) или (9.62).
Отклонение симметричной ЛАЧХ статической системы (см.
рис. 9.25, б) в области низких частот от ЛАЧХ системы с
астатизмом второго порядка (см. рис. 9.20, с) является причиной
небольшого дополнительного запаса устойчивости.
При расчете статической системы с симметричной ЛАЧХ,
имеющей колебательное звено, звенья чистого запаздывания и
неустойчивые, следует поступать так же, как при расчете системы
с астатизмом второго порядка. Зависимость показателей качества
переходной характеристики а и tv от М можно определять но
рис. 9.21.
Низкочастотную асимптоту желаемой ЛАЧХ строят но
значению передаточного коэффициента k разомкнутой системы, гри
котором обеспечивается необходимая точность:
L (0) = 20 lg k. (9.66)
• Затем проверяют возможность получения необходимого
значения М показателя колебательности при простейшей форме
ЛАЧХ (см. рис. 9.25, с). Если это невозможно, то следует
формировать среднечастотную и высокочастотную части желаемой ЛАЧХ
в соответствии с рис. 9.25,6.
429

9.G. СИНТЕЗ СЛР СРАВНЕНИЕМ ПЕР1 ДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ
И ПО КРИТЕРИЮ СБЛИЖЕНИЯ
Иногда необходимое корректирующее устройство САР
невысокого порядка удобно определить по результату сравнения
желаемой передаточной функции с передаточной функцией основной
части системы.
К таким случаям следует отнести выбор .корректирующего
устройства по преобладающей паре комплексно-сопряженных
полюсов передаточной функции замкнутой системы. В п. 9.5 эта
задача решалась с использованием корневого годографа, однако
ее можно решить и без графических построений.
Предположим, что заданы необходимое значение
передаточного коэффициента к разомкнутой статической системы, а также
допустимые значения перегулнрования а и времени
регулирования tr,- По номограмме, изображенной на рис. 9.6, определим
необходимые значения коэффициента демпфирования | и
постоянной времени Т. Тогда желаемая передаточная функция замкнутой
системы относительно задающего воздействия
We = (1 + *)(r*s* + 2£Ts+l) (9.b7;
и желаемая передаточная функция разомкнутой системы
^ж= i_wg =(l+A)(ras + 2|T)s+l " ^ '
При £2 > , имеем
г'-(1-,. + Ч*(Ти+1)' (S'G9)
где
7\,2 = (1+*)(П±КБя-г-1/0+*).
и при 12<ТцГк
W = - - (9.70)
где Tl = TV\+k; l^tVl+k.
Передаточная функция необходимого последовательного
корректирующего устройства может быть затем определена по
формуле (9.46).
Значения k, а и tp целесообразно варьировать в допустимых
пределах с тем, чтобы 7\ или Т2 совпала с одной из постоянных
времени основной части системы.
4.40

Ксли синтезируется астатическая система при заданном
значении k, то желаемая передаточная функция замкнутой системы
должна содержать еще диполь:
W TaS ~t~ ' <Q 7П
w2-~ lTW + 2£Ts+[)(T6s+\) ' ^-'l}
где Ta ^ TC).
В этом случае желаемая передаточная функция разомкнутой
системы
(eoS» + o,s+l)ji , '-'^
Здесь
^2ёГ + (Гб-Га) ; *»=*№ (9-73)
^ = ^(7 + 2^).
Из первой формулы (9.73) следует, что разность постоянных
времени диполя не может быть выбрана произвольно. Она
определяется заданным значением k и значениями Т и £, которые
определяются заданными значениями о и /,,. Действительно,
Гб—7,,= 1/А —2£7\ (9,74)
При составлении желаемой передаточной функции Wm
необходимо стремиться к возможно большему совпадению ее с
передаточной функцией W„ неизменяемой части системы. Это может
быть достигнуто выбором постоянной времени Тб (или Т&) диполя.
Если в желаемой передаточной функции замкнутой системы
предусмотреть двойной диполь, т. е. иметь s^
m (т%* + 2£тз+1) п?„
д_ (TW + 2£Ts + 1) (ГЦ* + 26,7-08 + I)' V'°}
то для выбора WyK будут большие возможности.
Пусть Т0 = т. Тогда передаточный коэффициент разомкнутой
системы
k -= 2|г-]-2т(|0-е) • (976)
Для того чтобы иметь, например,
U* k(xW-[-2&s+[) q _
и«- (TlS+l)(T3s+l)(Tas+l)s' V-">
постоянные Tlt T2, Ta, т и ?0 нужно выбирать так, чтобы
удовлетворялась система уравнений
7i7,17, = kT4*;
TtT2 + Т2Т3 + T3T, = 2kTx (Tlo + £т); (9.78)
Ti + Tt + Т3 = kT (T + 4Ц0т).
431

Пели выбрать £0 так, чтобы разность £0 — £ была малой,
п постоянную времени 7\ принять равной одной из постоянных
неизменяемой части, системы, то система уравнений (9.78)
позволит определить Т2, Т3 и т.
Пример 9.9. Передаточная функция неизменяемой части системы »
100
«V
s(0,8s + 1) (0,25s + 1)'
Выбрать передаточную функцию последовательного корректирующего
устройства, которое при k= 100 c"1 обеспечивает перерегулирование а « 20%
и время регулирования tP <. 0,4 с.
По номограмме, изображенной на рис. 9.6, определим, что при а = 20%
необходимо иметь £ = 0,44 и tP/T = 7. Следовательно,
Г = *Р/7 = 0,4/7 = 0,057 с.
Итак, желаемая передаточная функция замкнутой системы должна
содержать в знаменателе трехчлен:
ТЧ2 Ь 2£ Ts -|- 1 = 0,00325s3 + 0,0502s + 1.
Пусть также эта передаточная функция содержит двойной дшюль. Тогда
w _ T2s2 + 2gTS+l
(0,00325ss + 0,0502s + 1) (t2s2 +2g0xs + 1)
На основании соотношения (9.76),
1 / 1
(т-*-)-
2 (5o — S)
Выберем g0 — £ = —0,05, тогда т = 0,402 с.
Предположим, что желаемая передаточная функция разомкнутой системы
включает передаточные функции трех апериодических звеньев и одно из них имеет
постоянную времени Т1 = 0,8 с, т. е. является одним из звеньев неизменяемой
части системы. Теперь составим уравнения (9.78) для определения Га, Та и |0(
0,8 TaTt = 0,0524; 0,8 (Га + Та) + Т2Та = 0,261£ + 0,809;
0,8 + Га + Г, = 0,325 + 4,029 |„.
Решение этой системы уравнений: Г2 = 0,985; Г3 = 0,066 и |0 = 0,379.
Следовательно, £ = |0 + 0,05 = 0,429.
Желаемая передаточная функция замкнутой система
0, l61sa-[- 0,345s + 1
g ~ (0,00325sH-0,0502s + l)(0,161s2 +0,304s + I)
и iHi.i.'iiiiii'iccKor нмрижрннс переходной характеристики
It I I.IOi'e"7-7'-"5' sin (15,75/ h 1-101) 0,ll7e-°-444sln C',30W -| ..UH'4).
Показатели се качества о* — '24,3% и tp — 0,35 с удовлетворяют [ребованпям.
Желаемая передаточная функция разомкнутой системы
100(0,16Isa + 0.345s + l)
ж_ s (0,8s+1) (0,985s + 1) (0,066s+1)
и передаточная функция необходимого последовательного корректирующего
устройства
(0,161я» + 0.345s + 1) (0,25s+I)
K1 ~ (0,985s + 1) (0,066s +1)
432

Параметры синтезируемой САР (в частности, параметры ее
корректирующего устройства) можно определить по критерию
сближения - [120]. Сущность метода заключается в следующем.
Пусть по требованиям к качеству регулирования выбрана
передаточная функция Фж = RM/Gm замкнутой системы. Известна также
в общем виде действительная передаточная функция Ф = RIG
замкнутой системы, состоящей из неизменяемой части и
корректирующего устройства. Передаточным функциям Фж и Ф
соответствуют весовые функции (см. п. 2.4) w>K и W.
Необходимо выбрать параметры передаточной функции Ф,
при которых весовая функция w минимально отличается от wm.
Сближение весовых функций можно оценивать текущим
критерием
8 = w - wx, (9.79)
интегральным квадратичным критерием
ао
J^jiw — wjfdt, (9.80)
о
а также более сложными интегральными квадратичными
критериями.
Изображение по Лапласу текущего критерия сближения
М*) = Ф-Фж = £-^ = ^^. (9.81)
Доказано [120], что по модулю комплексной функции А (/<о)
можно найти действительную часть комплексной функции 5 (/'©):
2RelS(/co)} = |A(/G))|3, (9.82)
а мнимую часть этой комплексной функции определяет
интегральный квадратичный критерий сближения:
J = _ Hm [Ш im \S (/ш)Ц. (9.83)
(О +0О
Таким образом, после определения А (/'©) следует выбрать
комплексную функцию 5 (/<о) так, чтобы у этих двух функций
были одинаковые знаменатели и равные степени числителей. Тогда
можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях <о
числителем"! левой и правой части равенства (9.82). Полученная
система алгебраических уравнений позволит определить
коэффициенты числителя функции 5 (/<о). Затем можно отыскать
значение J но формуле (9.83).
Выражение для J будет содержать выбираемые параметры а,
Р передаточной функции Ф. Их значения должны быть
определены по минимуму J (см. п. 9.2),ги "при этом будет достигнуто
возможное приближение весовой функции w к а»ж. В случае
недостаточного сближения следует изменить "вид передаточной
функции Ф или число выбираемых параметров. Расчет можно
цровоцить па цифровой ЭВМ [51.
лх\

Пример 9.10. Передаточная функция замкнутой системы
Ф = Ii±i .
0,01s2+ (т +0,02) s + [
Выбрать параметр*т так, чтобы весовая функция, соответствующая этой
передаточной функции, максимально приближалась к весовой функции,
соответствующей передаточной функции Ф,к = l/(0,2s + 1).
Прежде всего, пользуясь формулой (9.81), определим изображение по
Лапласу текущего критерия сближения:
д <s) = •"+ 1 |__ V2 + *is
у> 0,01s2+ (т +0,02) s+ 1 0,2s+1 «v8 + OjS2 + a2s + 1 '
где b0 = 0,2 (т — 0,05); b± = 0,18; a0 = 0,002; я, = 0,2 (т + 0,07); oa =
= т + 0,22.
Следовательно;
Д (/о,) = ~У>2 + Л*>
(1-О1Ш2)+/ш(О2-О0й)2)
Выберем
с0ш2 + /с^ш
S(/<o)
(1 — а,ш2) + /ш (о2 — «о»3)
и составим равенство
2 [с0й)г (1 — о1Юг) + ciu)2 (а2 — а&>*)] 6g<o* + 6fo2
( 1 — Oju)2)2 + Ш2 (02 — О0й>2)а "~ ( 1 — Oju)2)2 + Ша (Оа — О0й>2)а '
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ш числителей левой
и правой части составленного равенства:
2 (С0 + o2ci) = ЬЬ —2 (Oic0 + "oCi) = ft8,.
Решив полученную систему уравнений, определим
с *8 + Qi^ ■ с __ -(<hbl+aj>\)
1 2 (о^г — о0) ' ° 2 (0loa — о0)
Далее составим выражение для квадратичного интегрального критерия
сближения по формуле (9.83);
сха (1 — aim2) — срй)8 (аг — а0й)2) ] __ —с0
(1 - 0lu>a)a + ш2(а2- a0«a)a J ~ "«о-'
Подставим значение с0 и затем значения ft0, blt a0, ах и а2:
a2ftg, + go6! (т + 0.22) 0,04 (т — 0.05)2 + 0,002-0,182
2оо (а^ — а0) ~~ 2-0,002 [0,2 (т + 0,07) (т + 0,22) — 0,002] ^
50 (т3 +0,12т2 —0,0195т+0,00217)
~~ т2 + 0,29т + 0,0054
Определим условие минимума функции J (т):
Г= —lim Г с
Q-ХХ) L
jU_ _ Г3та+2.0,12т —0,0195
dT ~ L т2 + 0,29т + 0,0054
(т8 + 0,12та — 0,0195т + 0,00217) (2т + 0,29)
(та + 0,29т + 0,0054)а
(Зта + 0,24т — 0,0195) (та + 0,29т + 0,0054) —
— (т3 + 0,12та — 0,0195т + 0,00217) (2т + 0,29) = 0;
т4 + 0,58т8 + 0,0705та — 0,003044т — 0,0007346 -= 0.
]-*
431

h
V
1,0
OJS
0,6
0,4
w
0
w
г
7
5
1
3
1
0
\
\
\
\
i
/
/
I/
o,
/
/
{
V'
A
n\
7 0,
•" ч
/
W(t)
/
K^
\
2 1Ц
^
Aft)
Wt)
**W
t,c
,3 0,4 ОЛ^ф 0,1 0,8 0,9 1,
Рис. 9.26. Весовые функции и переходные характеристики
Полученное уравнение имеет следующие корни: тг = 0,08805; т„ — —0,393
и ТМ = —0,1375 ± /0,0481.
Постоянная времени т форсирующего звена есть положительная величина.
Следовательно, т = 0,08805.
Проверим, что при этом значении т квадратичный интегральный критерий
сближения действительно имеет минимум: при т = 0,05 J = 5,85; при т =
= 0,08805 J = 2,67 и при т = 0,1 J = 2,725.
Итак, весовая функция w, соответствующая передаточной функции
- 0,08805s + 1 _ 0.08805s + 1
~ 0,01s2 + 0,108s+1 ~ T*tP + 2ZTs+[ '
где Т = 0,1 и £ = 0,54, максимально приближается (судя по минимуму
квадратичного интегрального критерия сближения) к весовой функции wlK,
соответствующей передаточной функции Фж = l/(0,2s+ 1).
Графики W и Шж показаны на рис. 9.26. Там же помещены графики
переходных характеристик ft и Лж.
Заметное различие между w и П1ж, а также между Л и Лж при т < 0,5с
объясняется прежде всего значительным отличием структуры передаточной функции Ф
от структуры Фж. Кроме того, играет роль свойство квадратичной интегральной
оценки, использованной при расчете. Более высокие результаты можно получить
при использовании улучшенной квадратичной интегральной оценки.
9.7. СИНТЕЗ САР ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Многие системы автоматического регулирования подвержены
воздействиям, которые с течением времени принимают случайные
(заранее точно не предсказуемые) значения. Случайный характер
имеют обычно внешние возмущения: изменения нагрузки
генератора, питающего большое количество потребителей, порывы ветра,
действующие на самолет, и т. д. Некоторые элементы систем
являются источниками внутренних случайных возмущений.
Например, в электронном усилителе с большим коэффициентом усиления
создаются шумы флуктуационного характера. Случайными в
большинстве случаев являются задающие воздействия следящих
435

систем. Очень часто задающие воздействие кроме полезной
составляющей содержит помеху (возмущение) также случайного
характера.
Если синтез САР при случайных воздействиях проводить
ранее рассмотренными методами, которые предполагают, что
внешние воздействия детерминированы (описываются некоторыми
определенными функциями времени), то будут получены лишь
приближенные результаты. Более точные результаты дают специальные
методы статистической динамики систем регулирования.
Наиболее полно проблемы и методы статистической динамики
изложены в работах 185, 98]. Там же даны необходимые сведения
из теории вероятностей, в которой рассматриваются случайные
события, случайные величины^ случайные процессы и их
статистические характеристики. ..■
Ниже приведем лишь начальные сведения о синтезе линейных
САР при случайных внешних воздействиях. Предварительно дадим
представление о статистических характеристиках случайного
процесса и о преобразовании случайного сигнала линейной системой.
При этом предполагается, что случайные воздействия есть такие
случайные функции времени, статистические (вероятностные)
характеристики которых с течением времени не изменяются, т. е.
б> дут рассматриваться стационарные случайные процессы.
Одной из основных статистических характеристик
стационарного случайного процесса g (t) является корреляционная функция
т
Rtg (т) = lira -±г [ g (t) g(t + x) At, (9.84)
T~>oo il J
которая определяется на основании наблюдения за процессом.
Корреляционная функция указывает степень связи последующих
значений случайной функции g (t) с предыдущими: чем шире
диапазон т, на котором Rgg (т) отлична от нуля, тем сильнее
эта связь
Другая основная статистическая характеристика процесса
g (t) есть спектральная плотность, которая связана с
корреляционной функцией преобразованием Фурье:
со со
Su (и) = j Ru (т) е~/ют dT = 2 J Ru (т) cos сот ck; (9.85)
-оо О
оо оо
Л« w ^ ~kr \s" ^е/шт d(D=jr J 5« нcos U)T dT- (9-86>
-оо О
Если существуют два случайных процесса g (t) и / (/), то связь
между ними характеризуется взаимной корреляционной функ-
436

цией Rgf (т), по которой определяется взаимная спектральная
плотность Sef (со):
г
Rt,V)=\im-±r [g(t)f« + i)dt~RJlt(—xy, (9.87)
оо
S* ¥) - \ Rg! (т) е-/« их =-- S!t (-т). (9.88)
Предположим, что спектральная плотность имеет одно и то же
значение Af на всем диапазоне частот от —оо до -|-оо. Такой
случайный процесс именуют «белым шумом». Его статистическне
характеристики
Sgg(co) = yV; Ru(x) = N8(x). (9.89
Это идеальный, физически неосуществимый случайный процесс,
в котором последующие значения g (t) совершенно не связаны
с предыдущими.
Иногда реальный случайный процесс в первом приближении
можно рассматривать как «белый' шум». Чаще наблюдается
стационарный случайный процесс g (t) без постоянной и
периодической составляющих со статистическими характеристиками
*и(т) = Яе-МЧ; s„(o.) = _^__, (9.90)
где D и [х — постоянные.
Конечно, имеют место случайные процессы и иного характера,
в частности с периодической составляющей. Их корреляционные
функции и спектральные плотности определяются более сложными
выражениями.
Прохождение случайного сигнала через линейную систему.
Если к линейной системе приложено внешнее воздействие,
являющееся стационарной случайной функцией, то в установившемся
режиме все координаты системы представляют собой также
стационарные случайные функции. При этом спектральная плотность
каждой из координат равна спектральной плотности внешнего
воздействия, умноженной на квадрат модуля частотной
передаточной функции системы для рассматриваемой координаты. Вси-
стеме автоматического регулирования наибольший интерес
представляет определение статистических характеристик
рассогласования — его спектральной плотности и среднеквадратичного
значения.
Пусть задающее воздействие линейной САР (рис. 9.27) есть
стационарная случайная функция g (t) со спектральной
плотностью Sgi ((о), а возмущение / (t) отсутствует. Тогда
спектральная плотность SiX (со), среднее значение квадрата х2 и среднеква-
437

£^ф_^[ w2 |-^н8>-*р^ |—Д
L%
D-
l'nc. 9.2 7. Структурная схема CAP
со случайными внешними
воздействиями
дратичное значение x,.,.n рассогласования х (() равны
соответственно:
5,Лсо)=|С(/а.)|25ггН; (9.91)
с»
** = -йг J*«Hdw; (9.92)
■*скн ~~ ' X" у (У.Уо)
где
Wx (/со) =1/Ц+ W (/со)]; Г (/-о) = Г() (/и) W, (/со) ^ (/со).
Предположим, что на рассматриваемую САР кроме задающего
воздействия влияет и возмущение f (/), также являющееся
стационарной случайной функцией со спектральной плотностью 5^ (со).
Имеются взаимная связь (корреляция) этих двух случайных
функций и взаимная спектральная плотность Ssf (со) = Srg (—со) Ф 0.
Тогда
Sxx (со) = | Wx (/со) |2 Sgs (со) - F, (-/ю) W,x (/со) S,, (со) 4-
+ №, (/со) if,, (-/со) S!g (с„) 1- | Гд (/со) |* S„ (со), (9.94)
где
'х ' ' i-|-w(/«)
Возмущение f (/) может быть приложено и на входе системы.
В этом случае W'fx (/со) =• W (/со)/II + W (/со)]. Если
корреляция между задающим воздействием и возмущением отсутствует
и Sgf (со) = Sfg (—со) = 0, то формула (9.94) соответственно
упрощается.
Соотношения (9.91) и (9.94) позволяют определить
спектральную плотность рассогласования и в более сложном случае — при
нескольких случайных воздействиях, из которых два
взаимосвязаны, а остальные автономны. Составляющая Sx!c (со) от
коррелированных воздействий определяется согласно (9.94) и
составляющие от автономных воздействий — согласно (9.91).
Может оказаться, что к САР приложены как случайные, так
и детерминированные внешние воздействия. В этом случае при
подсчете среднего квадрата Я2 рассогласования к составляющей от
случайных воздействий, определяемой формулой (9.92),
необходимо прибавлять и составляющие от каждого из детерминирован-
438

ных воздействий. Предположим, что возмущение / (t) в САР,
структурная схема которой изображена на рис. 9.27,
детерминированное. Им создается составляющая среднего квадрата
рассогласования
xf=\limsWfx(s)F(s)f, (9.95)
где F (s) — изображение по Лапласу возмущения / (t);
Wfx (s) = W(s)/[l + W(s)];
W (s) ---- W0 (s) Wi (s) W, (s).
При определении среднего квадрата рассогласования х2 по
формуле (9.92) возникает необходимость вычислять интегралы
вида
,/" — 2я J
В (/со)
I А (/со) |«
ски,
(9.96)
где
''«.
■К
Л(/(о) = о0(/ш)'Ч-«1(А->)"-1 !■••
• В (/со) = К (/со)2'-2 + Ьх (/to)2""4 Ч - - - - , ^
В общем случае при любом п и отсутствии правых и нулевых
корней у полинЪма A (s) этот интеграл имеет следующее
значение [28]:
•/„ =
(-\)п-'Мп
где
2а0Д„ '
<h аз аь ш
do a2 «1 •
0 fi, a3 •
••0
■•0
••0
(9.97)
А„ =
0 0 0 • • • я
и определитель М„ получается из А„ заменой первой строки
на Ь0, Ьъ b.i% ..., &„_,.
При /г = 1 ... 6 интегралы У„ имеют следующие значения:
J ° •
1 2^0, '
6 + a°bl
°^ п
1 "2
J 2я0а1
а2Л0 - flo*i "
3 2fl0(«ia3 -
»
-<Vs)
439

(9.98)
-~btt — <f»bi + atbn + А. Ья
J _ Ар "4 .
4 2 (а^з -f au«§)
g2C6 + Q4Ca и rh rh h , а0с6 -4 Qic3 ■
1 __ °[) ^6 .
5 2(^-ClcB)
у _ — С"Л Ч тф\ + «з^а + «4 &з + «А + '»A) .
e 2a„ (a^ + a3m2 + o6m3)
где /нх = -— [a5 (a.2c5 + a4c» + a^) + ай (a.,c6 + a, c4) ];
"0
>«2 = — (a5c5 + ckca); m3 = а^з^ — a5c2;
m4 = — (fleCi + aX)'» m5 = ахсч + а3Сь
/и6 = -г- [(с5 — ага6) сх — с\]\
Ci = а0а3 — OiO,; c2 = а^ — а^;
с5 = ауа5 — «3Я4: Сб = а\ — aia5.
Пример 9.11. Задающее воздействие g (I) следящей системы, структурная
схема которой изображена на рис. 9.27, является случайной функцией и Rgg (т) =
= Dc'11' х ', где D = 25 град 2; (j, = 0,05 с"1. Передаточные функции системы
у1=.(г2+1); ^=idVr; *•='•
где *х = 5; Г, = 0,15 с; k2 = 2 и Га = 0,1 с.
Определить среднеквадратичное значение рассогласования.
Определим, пользуясь формулой (9.90), спектральную плотность задающего
воздействия:
_ 2ц£) 1000 1000
Sgg (») - ^ _,_ ш2 - , _|_ 400а)2 =- | j _|_ 20/ш |2 •
Сосгашы перед»точную функцию системы для рассогласования:
1 s(T1s-fl)('/,as+l)
Vx(s)
1 + Wi («) W, (s) " s(7V I l)(T2s + l) I fe1fes
0,015ss + 0,25sa-j-s
0,015s3 + 0,25sa + s+ 10
Найдем, пользуясь формулой (9.91), спектральную плотность
рассогласования:
Sxx (ш) = I Фх (/шГГА, (ш) =
| 0,015 (/ю)3 |-0,25 (/и)2 |-/<д|а 1000
| 0,015 (/«)» {-0,25 (/(о)3 f /О) |-10|»|Ч 20/(0 |»
410

Теперь, используя формулу (9.92), можно определи п. среднее значение
квадрата рассогласования:
оо
*2 = "sr JSxx (ш) da) = ,000/*'
-оо
, = J_ 7 10,015 (;ср)»-1-0,25 (/cd)» +/to I8 =
4 2я J [0,015 (/о)» + 0,25 (/со)2 + /со + 10] [1 • |- 20/со] |2 dco
1 Г I- 0.0UU225 (/со)6 + 0.0325 (jo,)4 - {м)Ц
где
2я J | 0,3 (/го)4 | 5,015 (Да)8+ 20,25 (/со)* | 201/м fl()|aflo, '
• -00
Пгак, коэффициент полиномов A (jw) н /J (/»■») ингегралл ^4 следующие:
я„ = 0,3; at = 5,015; a2 = 20,25; as = 201; a4 ■= 10, b0 = —0,000225,
6x = 0,0325; ft2 = — 1 и bs = 0.
Следовательно, на основании соответствующей формулы из (9.98)
— (~4°20Л) (—0,000225) — 201.0,0325 + 5,015 (—1)
У* =" 215,015(-4020,1)+0,3.201* = 0'000906-
Среднее значение квадрата рассогласования
л?? = 1000-0,000906= 0,906
и среднеквадратичное значение рассогласования
*скв = 1^0,906 = 0,952 град.
Среднеквадратичное значение рассогласования (ошибки)
принято рассматривать как показатель (критерий) оптимальности
САР при случайных внешних воздействиях.
Определение оптимальных параметров систем.
Среднеквадратичное значение рассогласования зависит как от статистических
характеристик внешних воздействий, так и от структуры и
параметров системы. Синтез САР проводится при заданных
характеристиках внешних воздействий, и необходимое (допустимое или
оптимальное) среднеквадратичное значение рассогласования может
быть обеспечено только соответствующим выбором структуры и
параметров САР.
Во многих случаях при синтезе САР задаются ее структура
(передаточные функции элементов) и часть параметров. Значения
остальных параметров должны быть определены так, чтобы они
были оптимальными — обеспечивали минимум
среднеквадратичного значения рассогласования. Обычно выбору подлежит
небольшое число параметров rt. Чаще всего выбирают один параметр.
Для решения такой задачи среднее значение квадрата
рассогласования определяется в виде явной функции искомых
параметров:
*2 = Jc2(r„ га, ...). (9.99)
441

Затем искомые параметры находят по минимуму функции хг,
так же как по минимуму интегральной оценки (см. п. 9.2).
Пример 9.12. Передаточная функция разомкнутой следящей системы
к ' sa (0,05s + 1) '
Задающее воздействие g (t) и помеха / (/) па входе системы являются не
связанными одна с другой случайными времени:
Ses (и)'"'' Т~+ \ш^' Sff (ш) °'05 град3'с-
Определить среднеквадратичное значение рассогласования при k = 20 с-',
что соответствует минимуму интегральной оценки, и при оптимальном
значении ft.
Определим передаточные функции СЛ1> для рассогласования от задающего
воздействия и от помехи:
\-\-W(s) 0,05s3+ sa + 0,lfts + ft '
Wf(s) У(«) fe(0,ls+l)
м; 1 + W(s) 0,05s3+ sa + 0,lfts + ft '
По формуле (9.94) найдем спектральную плотность рассогласования,
приняв Sgt (со) = Sfg (со) = 0:
Sxx (со) = | Wx (/со) |« Sgg (со) +1 Г, (/со) |* Sf/ (со) =
= I °'05 (/со)3+Цсо)а
| 0,05 (/'с
+ '
0,05 (/to)3 + (/со)а + 0,1ft (/со) + ft
0, lft (/со) + ft
1000 _
2 Т
0,05 (/со)3 + (/со)" + 0,1А (/со) + ft
1 + ЮОсо2
2
0,05 =
1000 |0,05 (/со)3 + (/со)а |2 + 0.05 I « (/">)" + Ю'1* (/<») + k 1а
_ 10,5 (/со)4+10,05 (/со)3+ (1 + ft)(/co)a + 10,1ft(/co) + ft|a *
Следовательно, иа основании формулы (9.92) среднее значение квадрата
рассогласования
?а="2^- J Sxx (со) dco ■= /4
где
1 7 [—2,5 (/со)° + (1000 + 0,05fea) (/со)4 — 5,0005fea (/со)' + 0,05ftaj
*""2п J |0,5(/со)* + 10,05 (/со)3+(1 +ft) (/to)» + 10,1ft (/to) + ft |a *
—во
Коэффициенты полиномов А (/со) и В (/со) интеграла /4 имеют следующие
значения:
а0 = 0,5; at — 10,05; а2 "- 1 + *! fla = Ю,1 ft; а4 = £;
й0= —2,5; />!-= 1000+0,05*?; Л, = —5,0005fta;
442

—»
./--=•
По соотжтствующей формуле iu (9.!)8) Ь.л --- 0,05 /г'2.
(—0,05fe— lO.lfea) ( _2 5) _ |0>|/е(1000 + о,05^)
_>—__ . _____ ,
+ 10,05 (— 5,0005£г) + ( 10.05 -Щ 0>0gft2
в
2 [10,05 (—0,05к — 10,1йа) -|- 0,5 (10,1/г)2] ~~
404,03 + 4,0402fe + 0,0202^
_ 0,0402+4,04£
При k = 20 У4 = 5,148 и, следовательно,
X^ = Vb =2,269 град.
Для определения оптимального значения & находим частную производную
от ха по k и приравниваем ее нулю:
дха 4,0402+2-0,0202 (404,03 + 4,0402). + 0,0202).') 4,04 _
а/г ~ 0,0402 +4,04£ — (0,0402+ 4,04£)а ~ -
Получим уравнение для определения /гопт:
кот |- 0,0199/гО11Т - 19999,5 --- 0.
Его решение; #опт = 141,4. При этом X" --- У} — 2,114 и хскв = 1.55 град.
Для проверки вычислим: при k= 135 х2 — У4 = 2,416 и при k = 150
Х2= У4= 2,417.
Действительно, при £ = 141,4 с-1 в рассматриваемой САР при случайных
внешних воздействиях среднеквадратичное значение рассогласования минимально.
Оно заметно меньше значения при k, выбранном по минимуму улучшенной
квадратичной интегральной оценки.
Определение оптимальной передаточной функции системы.
При реализации оптимальных (в статистическом смысле) значений
параметров в системе с заданной структурой не всегда достигается
желаемое (допустимое) среднеквадратичное значение
рассогласования. Значительно лучшие результаты могут быть получены
при оптимальной структуре системы — при оптимальной
передаточной функции.
Если оптимальная передаточная функция не может быть
физически реализована, то все же ее определение полезно: становится
очевидным тот предел улучшения качества системы при данных
случайных воздействиях, к которому следует стремиться.
Задача определения оптимальней передаточной функции
может быть сформулирована следующим образом. На входе системы
(рис. 9.28) задающее воздействие (полезный сигнал) g (t), и
возмущение (помеха) f (.), являющиеся стационарными случайными
функциями времени с известными статистическими
характеристиками. Система должна воспроизводить задающее воздействие
в соответствии с передаточной функцией Wm (s). Требуется найти
оцтимальную передаточную функцию Wr,nT (s) системы, при
которой имеет минимум среднеквадратичное значение ошибки е (t),
т. е. разности между желаемым и (.) и действительным у (t)
значениями регулируемой величины. Передаточная функция Wom (s)
443

№
Wmw\ f r Рис. 9.28. К определению оп-
t———* I «•■.uai.LuAq перед&тппипЛ
функции
j | тимальной передаточной
должна удовлетворять наиболее слабому условию физической
реализуемости: реакция системы на входной сигнал не может
наступать ранее сигнала.
Решение задачи дано Н. Винером:
*««.<W-!s4sr b'ia'dt J$^e""dw- (9Л0О)
-во -во
Здесь 5„ф (со) —взаимная спектральная плотность сигналов и (t)
и ф (/), а комплексные функции Ф (/со) и Ф (—/со) зависят от
спектральной плотности суммарного сигнала ф (/) на входе
системы:
I Ф (/со) I2 - Ф (/со) Ф (-/со) = Sw (о) = Sgu (со) + 5,/(м) +
+ Sg/(co) + S/g(co). (9.101)
Спектральная плотность 5фф (со) есть четкая функция со,
ее можно представить в виде
5ффИ =
Поэтому
ф(/со) =
ф (—/со) = Л " ; , —. '7, (9.102)
йо +
(со-
Л(со-
OjW2 + ■
- Vi) (» -
- Лх) (со -
л (со + Vi) (ь
• + Ovco'^
-%)...(<»-
- Ла).. • (со —
) + ?„)...(&
-Тц).
К) '
+ Уч)
где Л = У bjav; yt и Я,, — нули и полюсы функции 5^ (и).
Если передаточная функция Wom(s) соответствует выражению
(9.100), то среднее значение квадрата е2 ошибки минимальное.
Формула (9.100) может быть использована прежде всего для
решения задачи фильтрации (сглаживания) помехи [98], т.е.
для отыскания передаточной функции Wpm (s) системы, в которой
при наличии помехи f (/) задающее воздействие g (/)
воспроизводится с минимальным среднеквадратичным
значением'рассогласования х (t). При решении этой задачи Wn; (s) = 1; и (t) = g (/);
S,v H - Sw (со) = 5&l (to) + Sttf (со), (9.103)
и формула (9.100) приводится к виду
Wom (/со) = В (/со)/Ф (/со). (9.104)
444

Функция Ф (/со) определяется по формуле (9.102), а
£(/со)=* Т а4-/(ю - Л,), (9.105)
где т](- (/ = 1, 2 7) — полюса функции
5ЙФ(ю)/Ф (—/»),
лежащие в верхней полуплоскости;
(9-106)
Определение W„m (/со) по формуле (9.104) может быть
выполнено не только аналитически, но и графоаналитически [98], что
особенно удобно, когда спектральные и взаимные спектральные
плотности заданы в виде графиков.
Предположим, что WonT (/со) определяется для
воспроизведения полезного сигнала при высоком уровне помехи f (t), которая
представляет собой «белый шум» со спектральной плотностью
Sff (со) = N и не имеет взаимной связи с полезным сигналом
g (/). Тогда в первом приближении [98]
Wam(M^Sa(<a)/N. (9.107)
Пример 9.13. Для системы, рассмотренной в примере 9.12, отыскать
передаточную функцию U7onT (s), оптимальную относительно фильтрации помехи / (/),
и определить среднеквадратичное значение рассогласования х (t), возникающего
в системе с передаточной функцией Woin (s).
Определим спектральную плотность суммарного сигнала на входе системы.
Полезный сигнал g (t) и помеха / (<) не имеют взаимной связи (ие коррелироваиы):
Sgf (w) = Sfg (со) = 0, поэтому по формуле (9.101)
?фф (со) = Sgg (со) + Sff (со) = , _,_ |ППм> + 0,05 «
100 . ... 1000 + 5со*
гТТоо^ + 0,05^ i + iooco* ■
Далее, использовав формулы (9.101) и (9.102), определим
«а + 200
Ф (/со) Ф (-/со) = 5ФФ (со) = 0,05
со»+0,01
со —/0,1 со+ /0,1
Следовательно:
Затем найдем функцию В (/ы). В данном случае Sgf (ш) = 0 и
с , > с , , 10 10
*gv (со) - Sgg (со) _ ffl, + 0f0j- - (<о_/0,1)(а>Ч-;0Л) '
445

Теперь можно составить функцию
Si4>(e>) _ * Ю , I/ 0^05 (со + / 1^200)
Ф(—/со) """ (со — /0,1) (со + /0,1) : со+ /0,1
10
: 1^0,05 (со —/0,1) (со + /J/200)
а функция имеет два полюса, и
з них: 11!= /0,1. Следовательи
а1 = Г(<о-/0,1) г —, т=г] =
L ^0,05 (со - /0,1) (со + / 1/200) J«>=/o. 1
Эта функция имеет два полюса, и в верхней полуплоскости лежит только
один из них: t]i= /0,1. Следовательно, по формуле (9.106)
10
/ К0,05 (0,1+^200)
и по формуле (9.105)
*</.) = -_ 10
/
К0,05 (0,1 + J/200) (со - /0,1)
Далее, использовав формулу (9.104), определим
117 ч.л _ BU<0) _
^опт(/<о)--(Щ]соТ-
100 |/о7>5 (со - / j/200)
/1/0,05(0,1+1/200) (со —/0,1) ' со-/0,1
£^ &опт
_ / (0,1 + 1/200) (со — /1/200) ~ топт (!<о) + 1 '
где
^200 1
0,1+1/200 1/200
Итак, оптимальная передаточная функция замкнутой системы
ft
kB = у ^__ = 0,993: Т0 = 77=^ = °.°707-
^ОПГ (S) =
TBs + I '
и передаточная функция разомкнутой цепи этой системы
иг/ /_\ Ц^ОПГ (S) ^0
Гоит' р ( ' ~ 1 - WonT (s) - 7> + (1 - ft.) •
В заключение определим среднеквадратичное значение рассогласования
х (t), которое возникает в этой оптимальной системе. По формуле (9.94)
Sxx (со) = | Wx (/со) !• Sgg (со) + | Wf (/со) |а Sff (со),
где
_ 1 ro(/co) + (l-fe„) ,
w* (/to) , + w^ p (j<o) Т0 (/со) + 1 '
Wt(m 1 + WQIIT.p (/<o) Г0(/со)+Г
446

Затем с помощью формулы (9.99) найдем
Йпт—_L Г П г.(W+ ('-*.)
J О
2п J L| T0 (/©)+!
1000
(1 + 100<о2) +
—оо
+• *
Т. /») + 1
0,05] d<o = 1000/j + 0,05/!,
где
J_ г —0,0707" (ftp)" + 0.007а
а "" 2п J | 0,707 (/(о)а + 10,07 (/а) + 1 |а :
— 00
1 г° 0,993"
1=~ 2п J | 0,0707 (/со) Н- 1 |» т;
—оо
Использовав соответствующие формулы из (9.98), вычислим У2 = 0,00035
и /i=6,97. Следовательно, х«?пт= 1000 0,00035+0,05-6,97 = 0,35 +
+ 0,35 = 0,70, и среднеквадратичное значение рассогласования в оптимальной
системе
,= 1/йпт=0,84
град.
Из полученного результата следует, что в оптимальной системе задающее
воздействие и возмущение создают одинаковые слагаемые рассогласования.
Сравнивая полученный результат с результатом примера 9.12, заключаем:
оптимальное значение передаточного коэффициента разомкнутой системы не
обеспечивает еще достаточного приближения к минимально возможному
среднеквадратичному значению рассогласования, Видимо, если невозможно иметь
оптимальное значение передаточной функции системы, то следует кроме
оптимального значения передаточного коэффициента k иметь еще и оптимальное
значение постоянной времени форсирующего элемента.
По формуле (9.100) может быть определена [98] передаточная
функция Wom (s) системы, в которой с минимальным
среднеквадратичным значением ошибки е (t) воспроизводится упрежденное
значение g (t + t0) задающего воздействия, т. е. задающее
воздействие воспроизводится с оценкой его вероятного значения
в будущем. В этом случае WK (s) = e'°s. Такая задача
статистического упреждения может быть решена совместно с задачей
фильтрации помехи.
Формула (9.100) может быть использована также для
определения передаточных функций запаздывающего фильтра или
дифференциатора. Запаздывающий фильтр — это система, в которой
задающее воздействие воспроизводится с необходимым
запаздыванием. Дифференциатор воспроизводит производную от задающего
воздействия. В обоих случаях может быть обеспечен минимум
среднеквадратичного значения рассогласования при наличии
помехи.
Формула (9.100) может быть преобразована для решения
перечисленных задач при заданной передаточной функции объекта
регулирования и при наличии кроме помехи на входе возмущения,
приложенного непосредственно к объекту.
447

Глава 10
КОМБИНИРОВАННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ
Для улучшения динамических свойств САР нлиянне
замкнутого контура регулирования по отклонению дополняется
непосредственным влиянием внешнего воздействия. В системе с
дополнительной связью по возмущению (см. рис. 1.5, а) может быть
получена инвариантность(независимость) регулируемой величины
от возмущения. Дополнительная связь по задающему воздействию
(см, рис. 1.5, б) позволяет приближаться к инвариантности
рассогласования от задающего воздействия. В многоконтурной
системе инвариантность, вообще говоря, может быть достигнута
(см. п. 8.4) и без дополнительной связи по внешнему воздействию.
Ниже рассматривается принципиальная возможность
достижения инвариантности, свойства и расчет комбинированных
систем.
10.1. ВИДЫ ИНВАРИАНТНОСТИ
Комплекс проблем, связанных с реализацией принципа
инвариантности, составляет теорию инвариантности.
Основополагающими являются работы [52, 59, 77 J. Систематическое изложение
основных сведений об инвариантности дано в монографиях [54,
65]. Обширный теоретический материал и сведения о
практической реализации принципа инвариантности содержат труды
Всесоюзных совещаний по инвариантности [106, 107, ПО].
Решение проблемы инвариантности в той или иной САР
начинается с определения условия инвариантности, которое может
быть удовлетворено не менее чем при двух каналах воздействия
возмущения на регулируемую величину. Лишь в этом случае
воздействие возмущения по одному каналу может быть
скомпенсировано противоположным по знаку воздействием этого же
возмущения по другому каналу (или по другим каналам).
Принцип двухканальности — это необходимый, но недостаточный
критерий реализуемости условия инвариантности. Дополнительные
связи в комбинированных системах (см. рис. 1.5) и являются
необходимыми вторыми каналами влияния внешних воздействий.
448

Наиболее благоприятным вариантом удовлетворения условия
инвариантности является изменение лишь параметров какого-то
элемента (элементов) -САР. Однако эти изменения физически
осуществимы, если остается справедливым соотношение
т < п. (10.1)
Здесь тип — порядок соответственно правой и левой части
дифференциального уравнения элемента, т. е. степень числителя
и знаменателя его передаточной функции.
Соотношение (10.1) должно выполняться и для всех реальных
элементов, вводимых в САР с целью обеспечения инвариантности.
Таким образом, достаточным критерием реализуемости условия
инвариантности является возможность физической
осуществимости необходимых для этого реальных элементов САР.
Трудности реализации условия инвариантности обусловили
целесообразность создания систем и с приближенным его
удовлетворением. Поэтому в зависимости от степени реализации
условия инвариантности и получаемых результатов различают
следующие виды инвариантности: абсолютную, полную (с точностью
до переходной составляющей), частичную (до 1-й производной
включительно) и с точностью до малой величины е.
При абсолютной инвариантности регулируемая величина
системы совершенно не зависит от возмущения, момента времени
(начального значения возмущения и его производных), когда
возмущение начинает воздействовать на систему, и его последующего
изменения. Предполагается, конечно, ограниченность значения
этого возмущения.
Если от возмущения не зависит лишь установившееся значение
регулируемой величины, то имеет место полная инвариантность.
В этом случае начальные значения возмущения и его
производных создают переходную составляющую регулируемой величины.
Пример 10.1. Выяснить, при каких значениях параметров обеспечивается
инвариантность регулируемой величины у^ от возмущения / в САР, описываемой
уравнениями
Qiil/i — Qinl/a — QisJ/з = 0;
Q22J/3 — Qaaf/s = R2ft;
QsM + Qsai/a + Q38J/3 = #sgg.
где Qu = сцр* + rtjp + kt!\ R2f = g2pa + a2p + pa; сц, гц, кц, £а, аа и р2 —
постоянные.
Для определения зависимости yt от / предположим на основании принципа
суперпозиции, что g= 0 и yi (0) = yt(0) = 0. Затем преобразуем систему
уравнений по Лапласу:
QuVi - QuV* - Qiay3 = 0;
Qaa^a — Qi3Y» = RtfF — M;
Qs^i + QeaK2 + QMY3 = 0,
где M = (gas + a2) f° + £af°, f° и /° — начальные значения возмущения и его
производной.
■/б'З Макаров И. М.
449

Из полученной вистемы алгебраических уравнений найдем
У (QuQu-QuQuHfirff-M)
*Эи*Эм*Эзз ~г QiiQasQea ~Ь QiaQasQei ~г QieQaaQsi
Условием инвариантности является равенство
QiaQsa = QisQsa-
Равенство удовлетворяется при следующих соотношениях между
параметрами элементов:
ciac83 = сцРал1 сигзз ~Ь riacss = с18гза ~Ь г1всза!
cia^88 + ri»Taa + ^iac88 = ci8^ea + ''le'ea ~r ^l^sa;
ria^3S "г *iar88 = ri3^ea ~b ^isr8a и ^ха^зв = ^ls^ea'
Если параметры элементов удовлетворяют этим равенствам, то изображение
Yi регулируемой координаты становится независимым как от изображения F
возмущения, так и от начальных значений /° и /° возмущения и его производной.
В этом случае достигается, следовательно, абсолютная иивариаитиость.
Реализацией условия инвариантности достигается симметрирование двух каналов
воздействия / на yt.
Пример 10.2. Составить условия инвариантности регулируемой величины yi
от возмущения / в САР, которая состоит из трех элементов и описывается
системой дифференциальных уравнений
Qn^i — Qui/a = —Riff;
QaaJ/a — QasJ/s = Riffi
QaiVi + QssJ/s = Ragg<
где Qij = cijp2. + njp + kif, Rif = Itp*. + aip + p;; ctl, Гц, kih \t, а, и р,- —
постоянные.
Чтобы выяснить влияние / иа уъ будем на основании принципа суперпозиции
рассматривать САР при g = 0 и нулевых начальных условиях: yt(Q) = yt(0) = 0.
Преобразовав систему уравнений по Лапласу, получим следующую систему
алгебраических уравнений для изображений переменных:
QuYi-QuYt=-RifF+Ml;
Qaa^a — Qae^s = Rtf? — M2\
Q8i^i + Q38K3=0,
где M»=(6,s + 0|)/• + !,/•.
Разделим каждое i-e уравнение на собственный оператор (}ц:
Yi - WuYt = -VjF + Mi/Qiil
Ка- W„Y,= W^F-Mt/QHi
W3lYt + Ya = 0,
где W[j = Qij/Qij, Wtf = RiflQn — передаточные функции 1-го элемента
относительно у/ и /.
Из полученной системы уравнений определим
V WrF I (Qza^i — QiA) Qaa
Ki - WF ■+■ QuQMQ83 + Qli:Q23Q8i '
где Wf = " "' " — передаточная функция CAP относительно /.
I + ^ ia"' аз •» 8i
Передаточная функция Wf обращается в нуль, если
H^iaWa/ —Wlf = 0 или Ql2R2f — Qaa#i/ = 0.
450

В левой части этого равенства разность полиномов от s имеет четвертую
степень. Для удовлетворения равенства должны быть равны нулю свободный член
и коэффициенты при s, s?, s3 и s*, т. е. можно записать пять уравнений для
определения постоянных коэффициентов системы уравнений. Постоянные jlF а у, рь
£а, аа и ра следует считать неизменными. Если выбрать одну из постоянных с1а,
гiz, klt, са2, гаа и &аа, то можно определить необходимые значения остальных.
При этом Qia = QaaRif/Raf и изображение Yt регулируемой величины не
зависит от изображения F возмущения, но зависит от начальных значений /°
и /° возмущения и его производной. При реализации этого условия будет
достигнута, следовательно, полная инвариантность.
Для независимости у^ также от /° и 7°, т. е. для достижения абсолютной
инвариантности, необходимо еще удовлетворить равенство
QnMi-QiiMi= 0.
После подстановки в это равенство значения Q]2 получим
р
QajAfj — Qaa _^L м, = 0;
■^■(«а/М1-Л1,Ма)=0.
Для абсолютной инвариантности необходимо иметь, следовательно,
RtfMi — RiaMa= 0,
т. е. должна быть обеспечена определенная зависимость между постоянными %lt
°"i. Pi. £i> °"а и ра.
Итак, если возмущение приложено к двум элементам САР, то
обеспечить абсолютную инвариантность сложнее, чем полную
инвариантность. Если возмущение приложено только к одному
элементу САР, то при реализации условия инвариантности
достигается абсолютная инвариантность.
При частичной инвариантности обеспечивается независимость
регулируемой величины в установившемся режиме лишь от
абсолютного значения возмущения и его младших производных (до
1-й включительно). Такая ситуация возникает прежде всего из-за
физической неосуществимости элементов, необходимых для
реализации условия инвариантности. Очевидно, что частичная
инвариантность эффективна лишь при относительно медленном
изменении возмущения. Начальные значения возмущения и его
производных создают переходный процесс.
Вследствие неточности расчета или выполнения необходимых
элементов часто достигается только приближение к абсолютной,
полной или частичной инвариантности, т. е. влияние возмущения
на регулируемую величину оказывается существенно
уменьшенным, но все же имеет место как в переходных, так и в
установившихся режимах. В этом случае достигается инвариантность с
точностью до малой величины е. Результат, вообще говоря, такой же,
какой может быть достигнут регулированием по отклонению.
Различие лишь в методе обеспечения этого результата: он
достигается не улучшением динамических свойств замкнутого контура
регулирования по отклонению, а созданием дополнительной
связи по возмущению.
451

Часто необходимо иметь инвариантность регулируемой
величины от нескольких возмущений — полиинвариантность.
Конечно, это задача более сложная и сществует ограничение [65]
на число возмущений, инвариантность от которых принципиально
достижима.
Итак, были рассмотрены виды инвариантности регулируемой
величины от возмущения. Аналогично классифицируется
инвариантность рассогласования от задающего воздействия в
комбинированных следящих системах. Однако абсолютная
инвариантность в них принципиально достижима лишь в исключительных
случаях
10.2. СИСТЕМА КОМБИНИРОВАННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Комбинированное регулирование — это основной и широко
используемый способ обеспечения инвариантности регулируемой
величины от возмущения. В системе комбинированного
регулирования (см. рис. 1.5, а) компенсирующая цепь создает сигнал и,
который вызывает такое действие исполнительного элемента,
которое "компенсирует (с той или иной точностью)
непосредственное (естественное) влияние возмущения / на объект и,
следовательно, на регулируемую величину у. Замкнутый контур
осуществляет регулирование по отклонению: обеспечивает
воспроизведение 'регулируемой величиной задающего воздействия и
уменьшает влияние второстепенных возмущений. Компенсирующая
цепь включает вторую точку воздействия возмущения на систему
и в связи с этим (см. п. 10.1) не может обеспечить абсолютную
инвариантность. В лучшем случае возможна лишь полная (с
точностью до переходной составляющей) инвариантность, поэтому
замкнутый контур участвует и в уменьшении влияния основного
возмущения.
Рассмотрим укрупненную структурную схему системы
комбинированного регулирования (рис. 10.1). Передаточные функции
описывают следующие участки цепи: Ц7Х = kxRjQx — основную
часть объекта регулирования; W2 = k2RJQ2, где полиномы R2
и Q2 не имеют равных корней, — участок замкнутого * контура,
в который входят в общем случае элементы объекта,
исполнительный элемент, усилитель и корректирующий элемент; W3 =
= kaR3/Qa — предварительный усилитель; W0 = k0 — основную
обратную связь и W4 = ktRJQi — компенсирующую цепь.
Компенсирующая цепь включает чувствительный элемент для
измерения возмущения и элемент, создающий необходимый
сигнал и.
Составим передаточную функцию системы относительно
возмущения:
452

Рис. 10.1. Укрупненная
структурная схема системы
комбинированного регулирования
-*р
W. *
и относительно задающего воздействия:
w wtw2wa
kR
Q + kR
(10.3)
где k = k^k^; R = RtRiRa и Q = Q&Qa.
Условием инвариантности регулируемой величины у от
возмущения / является равенство, обращающее в нуль
передаточную функцию Wf.
Q& = *ЛЯ.Я4.
(10.4)
Для удовлетворения этого равенства должны быть равны
коэффициенты при одинаковых степенях s в левой и правой части
равенства, т. е. прежде всего степень полинома R^Ri должна быть
равна степени полинома Q^Qi. Между степенями тг и па
полиномов Rv и Q2 возможно только соотношение тг <:• п2. У физически
осуществимой компенсирующей цепи степень т4 полинома R4
не может быть выше степени п4 полинома Q4. Следовательно,
точное удовлетворение равенства- (10.4) возможно только при тг = пъ
и в этом случае необходимо иметь
К = 1/Ъ; R* = Q2; Q4 = R*
(10.5)
Если пц < п2, то степень полинома R2Rt меньше степени
полинома QzQi и равенство (10.4) не может быть реализовано.
В нуль могут быть обращены лишь коэффициенты при свободном-
члене и при нескольких младших стпенях S в полиноме k^R^Ri—
QiQi. Следовательно, будет обеспечена частичная инвариантность.
Всегда достижима частичная инвариантность до т4-й производной
включительно. В лучшем случае, когда необходимая
компенсирующая цепь физически реализуема и оказывается устойчивой,
достижима частичная инвариантность до (т4 + п4)-й производной
включительно.
В компенсирующей цепи всегда должно осуществляться
дифференцирование сигнала, создаваемого чувствительным
элементом. Широко используются дифференцирующие устройства,
создающие первую и вторую производные. Производные более
высокого порядка получить сложнее. При этом уменьшается точность
преобразования и повышается уровень помех. Эти обстоятельства
ограничивают возможности дифференцирования сигнала в
компенсирующей цепи, поэтому при тг = па чаще всего
ограничиваются обеспечением лишь частичной инвариантности.
15 Макаров И. М.
45а

Пример 10.3. САР1шеет структурную схему, изображенную на рис. ЮЛ,
и ее передаточные функции
kt(bs + l) . w _ fea(V+6lS+l) .
х~ as+1 ' ^2~ a0s» + a,s + l '
Ws= k3 и №„ = 1.
Выяснить зависимость регулируемой величины у от возмущения /, если:
1) компенсирующая цепь должна обеспечивать полную инвариантность:
2) №4 = kt (ps + 1) /(as + 1) и компенсирующая цепь должна обеспечивать
частичную инвариантность.
Для ответа на поставленный вопрос в каждом случае сначала следует
определить необходимую передаточную функцию №4-
1. В рассматриваемой САР т2 = п2= 2,и для удовлетворения условия
инвариантности (10.4) необходимо иметь
MfV' + fV+U
4 aos» + «is + 1 *
Тогда равенство (10.4) примет вид
(aos2 + ats + 1) (aos2 + alS + 1) = k2k4 (b^ + bts + 1) (ДО + PiS+1).
Для удовлетворения этого равенства коэффициенты передаточной функции Н74
должны быть следующими:
ft4 = l/ft2; Р0 = а„; р\ = ai; a„ = 6„; «i = *i-
Пользуясь передаточными функциями элементов САР, запишем их
дифференциальные уравнения:
(ар + 1)</ = kt(bs + 1)(г-/);
(я„рг + alP + 1) г = 62 (60р* + btp + 1Н» + и):
(боР» + v + О и = 4- («оРа + «i/> + О h f = *8 (£-</)•
В линейной системе справедлив принцип суперпозиции, поэтому для
выяснения влияния / на у достаточно рассмотреть систему при g= 0 и нулевых
начальных значениях координату, г, у и и и их производных. Преобразуем при этих
условиях систему уравнений по Лапласу:
(as + \)Y = kt (bs + 1) (Z-F) + W,
(a0s* + ats + 1) Z = ft„ (b0s*. + bts + 1) (V+U);
(6es« +b,»+l)U = -L [(a0s* + ats + 1) F - (a0s + at) f - a0M;
V=-ft8K.
Из полученной системы алгебраических уравнений определим, что при
выбранной передаточной функции W4
-ft, [(a0s + at - b) f + a0 (bs + 1) f]
(as + 1) (a0s* + ats + 1) + ktk2k3 (bs + l) (b0s* +bls+l)'
На основании этого равенства заключаем, что при точной физической
реализации выбранной компенсирующей цепи регулируемая величина зависит только
от начального значения возмущения и его производной.
2. Если в передаточной функции W4 компенсирующей цепи #а= f$s + 1
и Q2 = as+ 1. то левая и правая части условия инвариантности (10.4)
соответственно равны (a^s2 -\- ats + 1) (as + 1) и (UqS2 + bts + 1) X (Ps + 1).
Передаточная функция W4 содержит три коэффициента. Выбор этих
коэффициентов позволяет сделать равными нулю свободный член и коэффициенты при s
454

и s1- условия инвариантности (10.4). Для этого должны удовлетворяться
следующие соотношения:
£а£4 = 1; fli +« = fti + Р; До + aia ~ *о + *iP. т. е. необходимо иметь
kt = Uk2; P = «i + (а0—bu)l(bi—аД; « = 6г + (60 — a0)/{ai— bj).
Удовлетворение этих равенств ограничивается тем, что коэффициент а не
может быть отрицательным, так как при этом компенсирующая цепь становится
неустойчивой. Предположим, что а > 0 и компенсирующая цепь физически
осуществима даже при р < 0. Тогда, составив уравнения элементов системы и затем
преобразовав их по Лапласу при g = 0 и нулевых начальных значениях
координату, г, v и и и их производных, определим
у== -*1 [(«о» ~ 6qP) (bs + 1) *F + Wl
(as + 1) [(as + 1) Ks* + alS + 1) + kJ^A (* + 1) (60sa -fAs + 1)] '
где Af = Af(s).
Следовательно, обеспечивается частичная (до 2-й производной включительно)
инвариантность у от/. Начальное значение/0 возмущения создает переходный
процесс.
Если передаточная функция W4 с необходимыми значениями коэффициентов р
н а не может быть осуществлена, то можно выбрать только коэффициенты (^
и р, а коэффициента должен быть возможно меньшим. В условии инвариантности
(10.4) можно сделать равными нулю только свободный член и коэффициент при s,
если
kt = l/kt; P = fli + а — bv
В этом случае будет обеспечена частичная инвариантность лишь до 1-й
производной включительно, и начальное значение /° возмущения будет создавать
переходный процесс.
Следует иметь в виду, что из-за неточностей в определении
параметров объекта и выполнении компенсирующей цепи, а также
вследствие изменения параметров системы при эксплуатации
практически обеспечивается полная или частичная инвариантность
лишь с точностью до е.
Компенсирующую цепь целесообразно включать в замкнутый
контур системы так, чтобы участок контура с передаточной
функцией W2 (см. рис. 10.1) содержал усилитель и корректирующее
устройство. При этом не возникает необходимости иметь
усилитель в компенсирующей цепи и легче выполнить ее
дифференцирующий элемент.
При достаточно эффективной компенсирующей цепи появляется
возможность иметь меньший передаточный коэффициент
разомкнутого контура и, следовательно, легче обеспечить устойчивость
системы.
По передаточной функции Wg, определяемой формулой (10.3),
можно заключить, что компенсирующая цепь не влияет на
динамические свойства замкнутого контура. Качество переходного
процесса, создаваемого задающим воздействием, и устойчивость
замкнутого контура не зависят от компенсирующей цепи. Однако
сама эта цепь должна быть устойчивой.
Синтез системы комбинированного регулирования может
осуществляться по частям. Сначала следует выполнить синтез замк-
15*
455

нутого контура регулирования одним из ранее изложенных
методов. Затем можно рассчитать компенсирующую цепь: выбрать
чувствительный элемент для измерения возмущения; выбрать
точку включения этой цепи в замкнутый контур; составить
условие инвариантности; выбрать вид и параметры передаточной
функции цепи и элементы для физической реализации цепи.
После синтеза системы следует оценить качество
регулирования. Кроме определения показателей качества, характеризующих
свойства замкнутого контура регулирования относительно
задающего воздействия, нужно выяснить, насколько эффективно
компенсируется влияние возмущения.
При частичной инвариантности (до 1-й производной
включительно) обеспечивается астатизм (/ + 1)-го порядка относительно
возмущения. Следовательно, существенно уменьшается лишь
влияние медленно изменяющегося возмущения, представляющего
собой полиномиальную функцию времени, и только в
установившихся режимах. Для оценки влияния в установившемся режиме
гармонически изменяющегося возмущения целесообразно
построить амплитудно-частотную характеристику. По ней можно
выяснить, достаточно ли хорошо компенсируется такое
возмущение в рабочем диапазоне частот. Компенсацию возмущения в
неустановившихся режимах оценивают по переходной
характеристике системы относительно возмущения. Целесообразно, кроме
того, определить составляющую регулируемой величины,
создаваемую начальными значениями возмущения и его производных
(см. пример 10.3).
10.3. КОМБИНИРОВАННАЯ СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
Рассогласование (ошибка) САР имеет две основные
составляющие: составляющая хг возникает из-за неточности
воспроизведения задающего воздействия регулируемой величиной, а
составляющая jca создается возмущением. В следящих системах
задающее воздействие не остается постоянным, иногда оно
изменяется непрерывно, с большими скоростями и ускорениями.
В этих случаях вследствие инерционности объекта и
исполнительного элемента составляющая х^ может оказаться недопустимо
большой. Возникает необходимость обращать основное внимание
на ее ограничение, что часто достигается с помощью
дополнительной связи по задающему воздействию (см. рис. 1.5, б). Такую-
связь можно назвать форсирующей, так как она увеличивает
влияние задающего воздействия, а систему регулирования по
отклонению, имеющую такую дополнительную связь, —
комбинированной следящей системой.
Абсолютная инвариантность рассогласования х от задающего
воздействия g принципиально недостижима [65]. Полная
инвариантность х от g в комбинированной следящей системе мала
вероятна, и всегда достижима лить частичная (до 1-й произвол-
456

Рис. 10.2. Укрупненная
структурная схема комбинированной
следящей системы
t га- 1
ной включительно) инвариантность. Замкнутый контур
регулирования такой системы уменьшает влияние внутренних и внешних
возмущений и повышает, в некоторой мере, точность
воспроизведения задающего воздействия.
Укрупненная структурная схема комбинированной следящей
системы изображена на рис. 10.2. Здесь передаточные функции
W0. Wx, W2 и W3 имеют те же значения, что и в схеме рис. 10.1,
a W5 = k6R6/Q6 есть передаточная функция дополнительной связи
по задающему воздействию.
Составим передаточные функции этой САР для ошибки
слежения:
Wx~ 1 + 1Г„1Г1У1У1 - (Q+kR)Qb ' *IU-°'
и относительно возмущения:
w, wi — hRiQiQ* /107ч
f~ l + W0WlWiW3~ Q + kR ' ^ >
где k = WM; R = ЯЛЯз; Q = QAQ3-
Условием инвариантности х от g является соотношение, при
удовлетворении которого передаточная функция Wx обращается
в нуль:
1 — WoW^tW, = 0,
т. е.
QiQ*Qs - MAW^i?. = 0. (Ю.8)
Равенство (10.8) удовлетворяется при
*б=щ; R6 = Q1Q2 и Q5 = R,R2 (10.9)
(предполагается, что полиномы Q^2 и i?xi?a не имеют одинаковых
корней).
Удовлетворение первого из равенств (10.9) не вызывает
затруднений, однако удовлетворение остальных, как правило,
невозможно. Это объясняется следующим: степень пъ полинома Q5
не может быть меньше степени ть полинома Rb у физически
реализуемой передаточной функции W6 дополнительной связи, а
степень полинома RiR2 в подавляющем большинстве случаев ниже
степени полинома Q±Q2 из-за инерционности объекта
регулирования и исполнительного элемента.
По передаточной функции Wf, определяемой формулой (10.7),
легко заключить, что дополнительная связь по задающему воз-
457

действию не влияет на свойства системы относительно возмущения
и на устойчивость замкнутого контура. Вместе с тем сама
дополнительная связь должна быть устойчивой.
Выбирая коэффициенты полинома R6 передаточной функции
W6 дополнительной связи, можно сделать равными нулю свободный
член и коэффициенты при s, s2, ..., в левой части условия
инвариантности (10.8). Следовательно, можно обеспечить частичную
инвариантность до т5-й производной включительно. Степень
полинома RiR2 может быть отличной от нуля, он может содержать
члены с s, s2, .... Тогда для частичного удовлетворения равенства
(10.8) можно выбрать и коэффициенты полинома Q5 передаточной
функции W6. Если при этом дополнительная цепь остается
устойчивой (коэффициенты полинома Q5 остаются положительными), то
обеспечивается частичная инвариантность до производной более
высокого порядка, даже до (ть + п5)-й производной. Физическая
реализация передаточной функции W6 дополнительной связи
с отрицательными коэффициентами полинома R6 (т. е.
неминимально фазовой дополнительной связи), вообще говоря, возможна.
Пусть, например, dQj = AqS3 -f- ats2 + aas + 1, RiRt = bs + 1, R5 = Ps + 1
и Q5 = as+1.
Тогда левая часть условия инвариантности (10.8) равна
(flos3 + a,s2 + a2s + 1) (as + 1) - кф^къ (bs + 1) (P + 1).
Свободный член и коэффициенты при s и s2 обращаются в нуль при
удовлетворении следующих равенств:
fe^fejfeg =1; аа -f- a = Ь + 0; аг -f- яаа = &р.
Необходимо иметь
ь_ ! «_„ fli . „__ b
Коэффициент а > 0 при at"> г , и дополнительная связь тогда будет
#2 — О
устойчивой. Достижима частичная инвариантность до 2-й производной
включительно (в данном случае тв4-л5 = 2).
При частичной инвариантности до 1-й производной
включительно достигается астатизм (/ + 1)-го порядка х от g:
обращаются в нуль коэффициенты ошибки С0, Съ .... С/. Иногда
требования к форсирующей связи можно ослабить и выбирать
коэффициенты ее передаточной функции исходя из допустимой
установившейся ошибки от полиномиального задающего воздействия
[65]. Предложен метод расчета форсирующей связи [37],
устраняющей установившуюся ошибку от гармонического задающего
воздействия.
Комбинированная следящая система кроме высокой
статической точности должна, как правило, обладать и достаточно
высокой динамической точностью. Следовательно, при синтезе
дополнительной связи по задающему воздействию должна решаться
более сложная задача уменьшения ошибки его воспроизведения
не только в установившихся, но и в переходных режимах. В этом
458

случае удобно рассматривать [11] одноконтурную систему,
эквивалентную синтезируемой комбинированной.
Одноконтурная система эквивалентна комбинированной, если
равны их передаточные функции Wx для ошибки слежения (или
передаточные функции Wg относительно задающего воздействия).
Передаточная функция wx комбинированной следящей системы
со структурной схемой, изображенной на рис. 10.2, определяется
формулой (10.2). У одноконтурной системы
Wx=\/(l + W3); W3 = (\-WX)IWX> (10.10)
где W3 — передаточная функция разомкнутой цепи
эквивалентной системы.
Необходимо иметь в виду, что, пользуясь передаточной
функцией W3, определяемой формулой (10.10), нельзя выяснить
свойства комбинированной системы относительно возмущения.
По эквивалентной одноконтурной системе можно рассчитать
комбинированную следящую систему частотным методом.
Например, можно поступать так [65]. Сначала на основании требуемого
порядка астатизма составить передаточную функцию
дополнительной связи по задающему воздействию. Затем по структурной
схеме системы определить передаточную функцию для ошибки
слежения и передаточную функцию W3 разомкнутой цепи
одноконтурной эквивалентной системы. Далее, на основании всего
комплекса требований к статическим и динамическим свойствам
системы построить желаемую ЛАЧХ 1Э. ж разомкнутой цепи
эквивалентной системы и определить передаточную функцию Wa. ж
этой цепи. Сравнение соответствующих коэффициентов
передаточных функций W3 и W3. ж позволит составить систему
алгебраических уравнений для определения искомых коэффициентов
передаточных функций комбинированной системы.
В структурной схеме комбинированной системы следует
предусмотреть не только дополнительную связь по задающему
воздействию, но и корректирующее устройство. Тогда легче удо-
летворить весь комплекс требований к воспроизведению
задающего воздействия.
Пример 10.4. Комбинированная следящая система выполняется по структур
ной схеме, приведенной на рис. 10.2, и передаточные функции ее основных
элементов
где kt= 1,85; а0= 0,082 с2; at = 0,777 с.
Выбрать передаточную функцию Wt дополнительной связи и коэффициенты Ь
и а передаточной функции последовательного корректирующего устройства так,
чтобы относительно задающего воздействия система имела астатизм 3-го порядка
при добротности 500 с-8 и ее переходная характеристика имела следующие
показатели качества: перерегулирование о < 30% и время регулирования f„ <
< 0,25 с.
Для обеспечения астатизма 3-го порядка (частичной инвариантности до 2-й
производной включительно) передаточная функция Wb дополнительной связи
459

должна иметь в числителе полином Rs второй степени. Эта передаточная функция
может быть физически реализована, если и в ее знаменателе будет полином QB
также второй степени. По формуле (10.6) легко заключить, что знаменатель
передаточной функции Wx будет наименьшей степени, если полином Q5 содержит
множителем двучлен bs + 1. Итак, выберем
МРо^ + М + П
w* (ou+l)(fa+l) *
Тогда по формуле (10.6) определим
w _(fl0»1 + ai»+l)(fl8+l)(ai+l)(te+l)'-*i*»(fc+l)(M + Pi»+l).
* [(flosa + fliS+ 1) (« + l) + *A(fa+ П] (««+ 0(fa+ 1)
_ дг0аои4 + [д0 (д + «) + flifla] s3 +
— a0aas4 + [a0 (a + a) + ataa] s3 +
+ [fl0 + fli(fl + «) + fl« — MgPols'+ ^
" ' + [a0 + fli (fl + «) + "« + MW s" + ' "
^_ + (fli + a + « ~ M»Pi) я + (1 - Ms)
+ [a1+a + a + M8(6 + a)] + (l + M8) '
Частичная инвариантность до 2-й производной включительно обеспечивается
при
1 — ft А = 0; fl! + а + a — MePi = 0;
a„ + й! (a + a) + aa — MsPo = 0.
Следовательно, необходимо иметь
kb= \lkt= 0,541; p1= fll + a_a;
Po = «o + «i (a + a) + aa-
Затем по формуле (10.10) определим передаточную функцию разомкнутой
цепи эквивалентной одноконтурной системы:
l-Wx _QX-RX_ k3 (fops' + b3ls+l)
Wx Rx ~ s"(a3i+l)
где
. 1 + Ms
a„ (a + a) + ajaa '
_ fl0 + fli (a + «) + a« + Ms***
&9° гтм!
_ fli + fl + « + Мэ (ft + a) .
&91 гт*А '
a„ (a + a) + a^a
На основании передаточной функции №э и требований к системе можно
строить желаемую ЛАЧХ Lg. ж разомкнутой цепи эквивалентной системы
(рис. 10.3). Ее низкочастотная асимптота должна иметь наклон — 60 дБ/дек
и проходить через точку А с координатами юл = 1 и La = 20 lg 500 = 54,0 дБ.
Наклон высокочастотной асимптоты должен составлять —40 дБ/дек.
460

Рис 10.3. Желаемая ЛАЧХ
разомкнутой вквивалентной
системы
Для построения среднечастотной асимптоты по номограмме (см. рис. 7.8, а)
определим соотношение между частотой среза (о0 временем регулирования /р,
а также максимальное значение Рщзх вещественной частотной характеристики:
3,6
/р=3,6л/<ос; /W = 1.38,
Следовательно, необходимо иметь wc = jp)p= 42,5 с"1; через эту точку
проводим среднечастотиую асимптоту с наклоном —20 дБ/дек. Затем по
номограмме (см. рис. 9.9) определим, что для обеспечения Ртах = 1,38 необходимо
иметь избыток фазы 34,5° на частотах wa и щ, при которых ординаты ЛАЧХ
La. ж соответственно будут La = 11,5 дБ и Lq = —11,5 дБ.
Путем проб найдено сопряжение среднечастотной асимптоты с низкочастотной
и высокочастотной асимптотами (см. рис. 10.3), при котором избыток фазы в
контрольных точках уа = 38,2° и ув = 33° достаточно хорошо удовлетворяет
необходимым значениям.
Итак, желаемая ЛАЧХ La.ж эквивалентной системы состоит из четырех
асимптот с наклоном —60, —40, —20 и —40 дБ/дек. Ее сопрягающие частоты и>х =
= 0,813, (оа = 12,6 и (о8 = 126 с-1. Следовательно, желаемая передаточная
функция разомкнутой цепи эквивалентной системы
w _ ^.ж^-НН^-Н)
Wt-ж- в«(Г,8+1) »
гае Ih.m = 500 с"а; iai = l/wj = 1,23 с; тэа = l/w, = 0,0794 с; Ть = \1щ =
= 0,00794 с. i
Приравняв коэффициенты передаРгочиой функции 1УЭ.Ж соответствующим
коэффициентам передаточной функции Wa, составленной по структурной схеме,
получим четыре уравнения для определения k3, а, Ь и а;
*». ж К (а + «) + ахаа] = 1 -+- ft1ft8;
т«Тза (1 + Мз) = «о + <Ч (а + «) + а« + МАчЗ
(т91 + тэд) (1 + Ms) = 4 + а + « +it1k3(b + a)f
Т% [ао (а + а) + ajaa] = а0аа.
Подставив в составленную систему алгебраических уравнений значения kf,
<4>ai> ^э.ж>тэ!>тэа иТ9и исключив k3, а и Ь, получим уравиеиие относительно а:
а« — 1,31а8 + 0,098а5! — 0,002а + 0,0000159 = 0.
Это уравнение имеет два положительных вещественных кория: a = 0,0516
и a= 1,2314.
461

При а= 0,516 имеем k3 = 0,943; Ь = 1,528; а= 0,103; Р„ = 0,1306; 0t =
= 0,8389 и приа = 1,2316 имеем ks = 29,17; 6 = 0,0634; а = 0,0086; р0 = 1,056;
Р1= 2,0170. ,
Выберем второе сочетание коэффициентов, так как в первом случае слишком
мало значение передаточного коэффициента k = k^ разомкнутой цепи контура
регулирования по отклонению и влияние возмущения будет значительным.
Итак, выберем следующие передаточные функции дополнительной связи по
задающему воздействию и последовательного корректирующего устройства;
w 0,541 (1,066s* + 2,017s +1) . w fenoc (0,063s+1)
6 (1,232s + 1) (0,063s + 1) ' noc 0,0085s+1
Иногда требованием к динамическим свойствам системы
относительно задающего воздействия является допустимое значение
показателя колебательности М. Тогда желаемая ЛАЧХ
эквивалентной системы должна строиться так, как рекомендовано в
работе [11].
* *
Непосредственное измерение внешних воздействий (прежде всего возмущений)
может оказаться весьма сложной, а иногда и неразрешимой задачей. В этих
случаях следует выяснить возможность обеспечения инвариантности регулируемой
координаты от возмущения и рассогласования от задающего воздействия при
косвенном и относительном измерении внешних воздействий [65].
Мощным методом улучшения динамических свойств САР является создание
в ней скользящего режима путем соответствующего изменения структуры
регулятора [108]. В такой системе с переменной структурой может быть обеспечена,
в частности, инвариантность регулируемой координаты от внутренних
(параметрических) возмущений.

Приложение 1
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
Преобразование Лапласа [26, 29, 61]
оо
8{/(0) = J/(*)e-*d* = F(s) (П1.1)
о
определяет соответствие между функцией времени / (t)
—оригиналом и комплексной функцией F (s) — изображением, где s —
= с + /ю; / = V — 1; с и ю —постоянные.
Оригиналом может быть любая функция времени / (t), равная
нулю при t < 0 и имеющая лишь конечное число точек разрыва
непрерывности первого рода на всяком интервале ограниченной
длины при t^sO. Кроме того, интеграл
J|/(*)|e-"d*<oo (П1.2>
о
должен существовать при всех с > са, где са — абсцисса
абсолютной сходимости функции f (t).
Согласно свойствам преобразования (табл. П1.1), операциям
над оригиналами соответствуют определенные операции над.
изображением. В частности, дифференцированию и
интегрированию оригиналов соответствуют алгебраические операции над
их изображением. Последнее используют для решения
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Сначала дифференциальное уравнение (или систему
уравнений) преобразуют по Лапласу, а затем получают
алгебраическое уравнение (или систему уравнений) относительно
изображений.
Интеграл (П1.1) для большего числа функций вычислен, и
преобразование сводится к использованию таблиц [30].
Изображения наиболее часто встречающихся функций даны в табл. П1.2.
Правильность преобразования рекомендуется [91, с. 125] прове-
463;

Таблица П1.1
Осиовиые свойства преобразования Лапласа
(о, с — постоянные; л = 0, 1, 2, ...)
Линейность
преобразования
S {cf (t)} = cF (a)
8{/i(0+MQ} = Ms)+Ms)
Д ифференци рова-
ние оригинала
8{/'(f)> = af(a)-/(+0)
С {/" (0} = saf (s) - s/ (+ 0) - /' (+ 0)
fli/<e>(/)}=anf(a)-an-V(+0)-
_s"-a/'(+0) /<n-1)(+0)
Интегрирование
оригинала
8{/<-1>(/)} =
f (s) , /(-1)(+0)
s |/<-2> (0} = -^SfL + ^<~1><+°) -L- I^h+°l
sa
cl/<-n.(0}=^ + i!^l±0L +
/(-2)(+Q)
/(-n)(+Q)
Смещение в
области оригиналов
й {f (t - а)} = t-as F (s), a>0
Смещение в
области изображений
u\**f{t)) = F{a-a)
Изменение
масштаба
№)-
aF (as)
Умножение в
области
изображений (теорема
свертывания)
2 j|/i (t - т) /, (т) Л = Fl (a) F, (а)

Дифференцирование изображения
8 {'/(')}
ds
■f(s)
Начальное
значение оригинала
lim sF (s) = lim / (t), если этот предел сущест-
s-*oo /-»оо
вует
10
Предельное
значение оригинала
lim sF (s) = lim/ (/), если этот предел сущест-
t -* ее
вует
-464

Таблица Ш.2
Изображения по Лапласу некоторых функций
(а, р, у, К, i|) — постоянные; л= 0, 1, 2, ...)
Оригинал
(<>0)
Изобра жеиие
Оригинал
О > 0)
Изображение
Оригинал
<*> 0)
Изображение
в (О дельта-
фуикция
МО
t
tn
t-at
tnt-at
sin Xt
/sin W
f'slnW
e—Vf sin W
te-V sin M
У -
1
s2
n\
sn+l
1
s + <x
1
(s+a)"
W
(s + aj'H-1
X
s'+ X1
2Xs
(s1 + A.')'
2*. (3s* - *,•)
<s=+ *.•)'
2Ms + 7)
[<s + Y>*+ »■»]»
fV"7' sin M
sin {Xt + M>)
f sin (Xt + M»
е-?' sin X
X <W+M»
cosU
f cos Xt
t* cos «
tfl* cos U
f e-V' cos Xt
t't—V* cos W
cos (W + M»
2A, [3 (s + y)« - A,»]
[(s + V)' + »•■]•
s sin M> + ^ cos M>
s» +Л»
(s» — k») sin i|i + 2ks cos M>
<*■ + »••)■
(s + y) sin M> + A, cos M>
<s + 7), + ^,
s« +Л»
s' — A,»
<s> + *,•)»
2s (s» — ЗА,')
(s* + A')1
s + T
<s + V)' + b'
(« + ?)'-»•'
[(s + V)"+ »••]•
2(s+Y)[(s + V)'-3X«]
[(s+ 7)'+ »••]•
s cosM> —A, sin M>
s» + Jl»
f cos (W + M»
e—7< cos X
X (W + M>)
sin Xt sin pf
sin Xt cos pf
cos Xt cos pf
sh7*
/sh yt
e—a' sh v'
ch v'
tcbyt
t,—<** ch v<
(s1 — Я,1) cos M> — 2s>. sin M>
(s»+ *,*)•
(s +V) cos M> — X sin
M>
<s + 7), + *.1
[s'+(X + P)»] [«'+(».-
». <s* + X» - p")
[s,+ (*.+ P),][s» + <».
s (s» + X» + P')
[s«+<a. + p)*J[s«+<».
7
s» —v»
27»
(S._V.)S
7
(s + a)» — v"
s
s1 — v»
s' + V
(s* — v1)»
s + a
(s + a)* - V2
-P)*]
-P)*]
-P)']

Таблица П1.3
Формулы обращения дробно-рацнональиых изображений
по Лапласу
(b0, bi, ..., а0, А{, ... — постоянные;
т= О, 1, 2, ...; п = 1, 2, ...)
Изображение
Оригинал
Q(s)
»т»т+*я
«т-1
+---+у+Ь()
■" + «■
«п—1
+■•■+«,! +а„
т < л; корни s , sg. . .. s„ полинона Q (s)
• • •
простые и из них s j, So sr
вещественные и s,, s^ s„ комплексные
с положительными мнимыми частями
fe=l Z=l V '
+ 2 Re
> eV.
l=\
Q' (S):
ds
RM bm^+ bm-i*m-1 + - +V + "o
sQ (s) s(sn-l + an_aSn-2+... + aiS+ao)-
m < п; корни s s„ sn_j полинома
простые
л— 1
Q (0) + ^j skQ' (
*('*> -*<,<
4=1
Q' (s) =
ft)
dQ(s)
ds
m<n: »! + ?,+ h?r = n:
'. sr полинома Q (j) раз-
s->sftds"
Q(s)J Zj *—I (?ft-/)l(/-l)l
0>ft/ (s)
d/-i [(t-n)'*j;(i)1
' d s'-i L Q <s> J
рять по следующим необходимым (а практически часто и
достаточным) условиям: размерность изображения должна быть равна
размерности оригинала, умноженной на время (размерность s
■есть с"1), и по изображению должны быть правильно определены
начальное и предельное значения оригинала (см. табл. П1.1).
Из алгебраического уравнения (или системы уравнений)
определяют изображение искомой переменной. Затем по изображению
путем обратного преобразования Лапласа.
C+/CJ
8-1 (F <s» ~Ш \ ^)es'ds=f(0
(П1.3)
С-/Ш
466

с точностью до значений в точках разрыва непрерывности
определяют оригинал, т. е. функцию времени, являющуюся искомой
переменной. Таблица оригиналов, вычисленных по формуле
(Ш.З) для различных изображений, имеется в работе [30].
Изображение решения обыкновенного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
представляет собой дробно-рациональную функцию. Для обращения
(обратного преобразования Лапласа) таких функций удобно
пользоваться формулами табл. Ш.З. Оригиналы, соответствующие
различным дробно-рациональным изображениям, приведены
в табл. 4.1 и в значительно большем количестве в работе [60].
Для обращения дробно-рационального изображения, которое
отсутствует в таблицах, можно воспользоваться теоремой
свертывания (см. табл. П1.1) или же разложить это изображение на
сумму простых дробей. Один из методов обращения, который
может оказаться экономным, изложен в работе [18]. Иногда
при инженерных расчетах достаточно разложить изображение
в ряд Лорана (см. п. 7.2) и отыскать приближенное значение
оригинала.

Приложение 2
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИНОМОВ
С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
НА* МНОЖИТЕЛИ
При анализе и синтезе автоматических систем в ряде случаев
возникает необходимость в разложении полиномов от s на
множители, т. е. в вычислении корней этих полиномов. Корни
полиномов третьей и четвертой степеней можно вычислить по точным
формулам [531, однако расчет достаточно сложен. Корни
полиномов более высоких степеней можно вычислить только
приближенно. Для этого используют ряд методов, которые изложены,
например, в работах [35, 55]. Существуют также методы,
предложенные специально для расчета автоматических систем [50,
70]. Все эти методы обеспечивают точность, вполне достаточную
для инженерных расчетов, и позволяют вести вычисления на
цифровой ЭВМ. При ручном счете следует пользоваться
микрокалькулятором, например «Электроника БЗ-18».
Графоаналитический метод [50] предполагает весьма простые
вычисления, но результаты могут иметь существенные
погрешности, поэтому он может быть использован лишь для
ориентировочных оценок значения корней.
На основании весьма простого метода Лина [501 можно
составить итерационные формулы, которые и приводятся ниже для
полиномов третьей, четвертой, пятой и шестой степеней. Для
каждого из этих полиномов дается два варианта решения.
По первому варианту из полинома выделяют двучлен вида
cs+1. (П2.1)
Если процесс вычисления сходится медленно, то его можно
форсировать. Для этого после какого-то fc-ro шага вычислений
следует принять за с* тот предел, к которому стремятся
значения си са ск_г.
По второму варианту из полинома выделяют трехчлен вида
bj + hs+l. (П2.2)
468

Такой трехчлен можно разложить на двучлены или
преобразовать:
при bi >2Vb,
Ь^ + blS + 1 =■• (Tjs + 1) (7^ + 1), •
где
Tu2 = h-(l±Yl-4bolbi);
при Ьг — 2 УЬ%
bos2 + bxs + 1 = (Ts + l)\
где Т = bJ2 = VW,
при Ьг < 2УЬ0
60S2 + hs + 1 = TV + 2|Ts + 1,
где
Разложение полинома можно начинать по любому из двух
вариантов, так как расположение его корней заранее неизвестно.
Если процесс вычисления оказывается расходящимся, то
необходимо перейти к другому варианту.
Вычисление следует закончить, если после какого-то 1-го
шага значения коэффициентов разложения отличаются от
предыдущих с допустимой погрешностью.
Полином третьей степени
G (s) = cs8 + o^s2 + oas + 1.
Вариант I. Итерационные формулы:
<7if = fl« — <W- goi^Oi — Qifii-v P, = ae/q0„
t = l, 2,...; еь = 0. (П2.3)
Разложение полинома:
G (s) = (cs + 1) (t/o.s2 + frs + 1). (П2.4)
Вариант 2. Итерационные формулы:
rl = ai — bu и1; Ьы = -±; pl = a1 — bot;
К = Pi/r„ t = 1, 2 ...; 610 = 0. [(П2.5)
Разложение полинома:
G (s) = (rs + 1) (b^ + bts + 1). (П2.6)
Пример П2.1. Вычислить с точностью до 0,005 коэффициенты элементарных
сомножителей полинома
G (s) = s» + 2s? + 3s + 1
469

Воспользуемся вариантом 1, т. е. итерационными формулами (П2.3). Расчет
сведем в таблицу:
/
1
2
3
Чц= 3-с,-_1
3,0
2.5
1,66667
<Ku= 2- i\(ct-\
2,0
0,75
—0,22222
"t= 1/<J0/
0,5
1,33333
Процесс вычисления расходится, следовательно, необходимо пользоваться
вариантом 2, т. е. итерационными формулами (П2.5):
/
1
2
3
4
5
6
7
rl — 3 — bl,i-l
3,0
2,44444
2,37143
2,33445
2,32676
2,32515
2,32481
bot = Цг{
0.33333
0,40909
0,42169
0,42837
0,42978
0,43008
0,43014
pt = 2 - b0i
1,66667
1,59090
1,57831
1,57163
1,57022
1,56992
1,56986
btf = "tfrl
0,55555
0.62857
0,66555
0,67324
0,67485
0,67519
0,67526
Вычисление коэффициентов с требуемой точностью закончено. Следовательно,
по формуле (П2.6)
G (s) = (2,32s + 1) (0,43s2 + 0,68s + 1).
Полином четвертой степени
G (s) = AqS4 + axs3 + tv2 + OsS + 1.
Вариант 1. Итерационные формулы:
Ча = fl8 — ci-v Ям = о» — q%fi-i> Ян = ai — 4uci-*'
с, = flo/%(, ' — 1. 2, —: с0 = 0. (П2.7)
Разложение полинома:
G (s) = (cs + 1) (fts3 + fts2 + fts + О- (П2.8)
Вариант 2. Итерационные формулы:
ги = а8 ~ &ii i-v Sot = fl2 — fy>, ,-_x — r^, f_x;
60/ = aJrH\ Pt = ai— rvbon bv = р^/Го; t = 1, 2,...;
&oo = &l0 = 0. (П2.9)
Разложение полинома:
G (s) = (bos2 + bis + 1) (/"„s2 + rxs + 1). (П2.10)

Полином пятой степени
G (s) = a0s5 + fljS4 + a^s3 + a^ + a4s + 1.
Вариант 1. Итерационные формулы:
Им — &i — C[-v Qzt = яя — q^c^i; qu = aa — toiC/-].;
9o/efli — ?iA-i; Ct^aofqo,, t = l, 2,...; c0 = 0. (П2.11)
Разложение полинома:
О (s) = (sc+l) (</oS« + fts3 + q,s* + q^ + 1). (П2.12)
Вариант 2. Итерационные формулы:
rn = a4 — 6Ь ,_x; ru = a3 — 60,;_i — fiA,/_х;
Ли — °« — Ла/&о, /_! — ''l/t'i, /_j.t "o/ = cklrai\
Pi = <h — ruboi\ bu=pjrutt 1=1, 2, ...; 600 = 6^ = 0.
(П2.13)
Разложение полинома:
G (s) = (bos3 + 6xs + 1) (ros8 + ^s2 + r2s + 1). (П2.14)
Полином шестой степени
G (s) = Oos8 + axs5 + OjS4 + AgS3 + a4sa + a6s + 1.
Вариант 1. Итерационные формулы:
Яи = <h — Ci-i\ Чы = a4 — quci-v Чи = а3 — quct_^ ;
Яи = <k — qztCi-i', <7oz = eA — <7«c/-i; Щ = (к1Яо1,
i=l, 2, ...; c„ = 0. (П2.15)
Разложение полинома: .
G(s) = (Cs+l)(t/0s5 + ^-t/2s3 + ^-(-94s+l). (П2.16)
Вариант 2. Итерационные формулы:
г3i = аъ — Ьъ г-1; rai = а4 — 60, ,_г — л,,^, (_г; ги =- а, —
— rsibo, /_i — ra/^i, /-ii fo/=a2—r2i^o, /-1 — rii^it /-iJ fro; =
— 7^"' Pt ~ai~ rit^0h
bli = it* '=1.2,...; ^00 = &,* = 0. (П2.17)
Разложение полинома:
G (s) = (bos* + blS + 1) (ros4 + r^ + ras2 + r3s + 1). (П2.18)
Пример П2.2. Разложить на элементарные множители полином
О (s) = s6 + 2s6 + 3s4 + 4s8 + 3s? + 2s + 1.
Вычисления вести с точностью до 0,0005.
471

Воспользуемся вариантом 1, т. е. итерационными формулами (П2.15). Расчет
сведем в таблицу.
t
1
2
3
4
5
6
7
8
941 =
2
1,5
1,179487
1,098144
1,068645
1,01
1,009612
1,009253
43i =
= 3 — «Л-1
3
2,25
2,032216
2,009632
2,004712
2,0001
2,000092
2,000086
?2i = * -
— «3ic!-l
4
2,875
2,332541
2,187601
2,132902
2,019901
2,019132
2,018420
3
1,5625
1,086120
1,027099
1,013512
1,000298
1,000275
1,000255
40 i =
= 2 - ЯиН-\
2
1,21875
1,108825
1,073705
1,056061
1,009705
1,009339
1,009000
l
с, =
' "ot
0,5
0,820513
0,901856
0,931355
0,946915
0,990389
0,990747
0,991081
Процесс вычислений сходится медленно, поэтому для его форсирования
примем сь = 0,99.
Вычисление коэффициентов можно считать законченным. По формуле (П2.16)
G(s)= (0,991s + 1) (1,009s6 + 1,000s4 + 2,018s3 + 2,000sa + l,009s+ 1).
Далее нужно выделить элементарный множитель из полинома пятой степени,
ватем из полинома четвертой степени, и, наконец, из полинома третьей степени.
* *
Предложенные итерационные формулы не применимы к
полиномам, у которых йг = аъ = 0. В этих случаях используют
следующие возможности.
Если полином третьей степени, то
flos3 + 1 = (« + 1) (Л3 — cs + 1), (П2.19)
где с = >/~ао.
Для разложения полиномов других степеней необходимо
сделать подстановку
s = г — v. (П2.20)
где у = const (например, у = 1).
Затем в полученных сомножителях следует вернуться к
прежней переменной s (сделать подстановку г = s + у).

Приложение 3
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ [53, 6\]
Определитель n-го порядка
Д =
Oil
(П3.1)
содержит и строк и п столбцов, каждый из которых имеет п
элементов. Ьсего элементов п2. Первая цифра в индексе элемента*
указывает номер строки, вторая — номер столбца.
Приведем основные свойства определителя.
1. Определитель не меняется при транспонировании, т. е. при
таком преобразовании, когда его строки становятся столбцами
с тем- же самым номером:
"11
021
*Я1
^12
022
ЯП2
"1Я
"41
h»
Ол2
(П3.2)
Отсюда следует, что строки и столбцы равноправны. Свойства,
сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
2. Определитель равен нулю, если он имеет: а) строку,
состоящую из нулей; б), две одинаковые строки; в) две
пропорциональные строки; г) строку, являющуюся линейной
комбинацией других строк.
3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
. 4. Общий множитель всех элементов одной строки можно
вынести за знак определителя.
5. Определитель не меняется, если к элементам одной строки
прибавить соответствующие элементы другой, умноженные «а
одно и то же число (положительное или отрицательное).
16 Макаров И. М.
473

Для вычисления определителя га-го порядка используют его
разложение по 1-й строке:
Д = atlAtl + attAt2 ^ |- atliAtn,
(ПЗ.З)
т. е. определитель Д равен сумме произведений всех элементов
произвольной его строки на их алгебраические дополнения.
Алгебраическое дополнение элемента atl есть
Л,;-(-1)'+/Л!„,
(П3.4)
где Мц — минор элемента а,,, т. е. определитель (п — 1)-го
порядка, который получается из определителя Д вычеркивание;!
^-й строки и /-го столбца.
В результате (ПЗ.З) вычисление определителя га-го порядка
заменяется вычислением определителей (п — 1)-го порядка.
Последние также могут быть разложены по формуле ^(ПЗ.З), и их
вычисление сведется к вычислению определителей. (п — 2)-го
порядка. Повторяя эту процедуру, вычисление определителя п-го
порядка можно свести к вычислению определителей 2-го порядка,
которое выполняют по следующему правилу:
(hi flaa
= avfhz — <Wn-
(П3.5)
Перед разложением определителя по i-й строке удобно,
пользуясь свойством 5, приравнять нулям часть элементов этой строки
и даже все, кроме одного. Тогда число слагаемых в разложении
(ПЗ.З) соответственно уменьшится.
Пример П3.1. Вычислить определитель
4 7 6 6
2 6 3 4
Д = 5 8 7 4
15 4 2
Сначала умножив элементы четвертого столбца на —0,5 и прибавим их к
соответствующим элементам первого столбца. Тогда определитель примет следующий
вид: ,
17 6 6
0 6 3 4
3 8 7 4
0 5 4 2
474

Теперь разложим определитель по_ элементам первого столби.;!:
+ 3
Д= 1
6 ,3 4
,8 7 4
5 4 2
7 6 6
6 3 4
5 4 2
Каждый из определителей третьего порядка разложим по элементам первого
столбца:
Д = 6
7 4
4 2
— 8
3 4
4 2
+ 5
3 4
7 4
+ 3 7
13 4
4 2
6 6
4 2
+ 5
6 6
3-4
Вычислив определители второго порядка, получим
д = б (7.2—44)—8 (3-2—44) + 5 (3-4—4-7) + 3(7 (3.2-^4)—6 (6-2-
— 6-4)+ 5(6-4-6-3)} ^=108.

Полное сопротивленце Z может быть реализовано в виде RC-
двухполюсника, только если оно удовлетворяет следующим
условиям: '
а) функция Z (s) представляет собой рациональную дробь,
у которой степень числителя равна или на единицу меньше
степени знаменателя;
б) полюсы (корни полинома знаменателя) и нули (корни
полинома числителя) функции Z (s) — простые, действительные,
отрицательные и перемежаются между собой, т. е. между двумя
соседними полюсами находится нуль, и наоборот;
в) наименьшим по абеолютному значению является полюс,
он может равняться нулю;
. г) наибольшим по абсолютному значению является нуль. Он
конечен, если степень числителя функции Z (s) равна степени
знаменателя, и бесконечен, если степень числителя меньше
степени знаменателя.
Полная проводимость обратна полному сопротивлению Y =
= 1/Z, и это соотношение определяет условия, которым должна
удовлетворять полная проводимости реализуемая #С-двухполюс-
ником.
В ряде случаев реализуемые значения Z0 и Zn удается составить
только по формулам
Z0 = M/Q; Zn == N/Q, . (П4.1)
где М = М (s) и N = N (s) — полиномы соответственно
числителя и знаменателя функции Wa; полином Q = Q (s) выбирают
так, чтобы Z0 и Zn удовлетворяли условиям реализуемости, он
может содержать, в частности, двучлены из полиномов М а N.
Синтез двухполюсника
Схему и параметры #С-двухнолюсника, имеющего заданные Z
или Y, можно найти различными способами. К схемам с
наименьшим числом элементов приводят следующие способы.
■ Разложение Z на простые дроби (1-й способ). Полное
сопротивление Z, удовлетворяющее ранее перечисленным услевиям,
можно разложить на простые дроби:
г = 4 + т$1Г-1-1^г+-:-+л- * (П4-2>
Здесь
Л, = [Z(s)(s+ *,)]—*,. f = 0, 1, 2 (П4.3)
где Яо = 0 и
А = Z (оо). (П4.4)
Каждый член разложения (П4.2) можно реализовать-простым
RC-двухполюсником из числа представленных на рис. П4.1.

Ч
i=
s+kl
Рис. П4.1. RC-схсмы н их
полные сопротивления
Последовательное соединение таких двухполюсников образует.
/?С-двухполюсник, реализующий заданное полное
сопротивление Z. , ■
Разложение Y на простые дроби (2-й способ). Если полная
проводимость Y удовлетворяет условиям реализуемости, то она
может быть представлена следующим образом:
Ва +
Bis
B«s
+ • • • + Bs.
« + Pi s + Pa
Здесь
Bjr*(s)(s + Pl.)b=-V i = 0, 1, 2
где Y* =s Y (s)/s, p0 = 0 и
В = Y* (oo).
(П4.5)
(П4.6)
(П4.7)
Члены правой части равенства (П4*.5) можно рассматривать
как полные проводимости простых RC-схем из числа приведенных
на рис. Ш.2. Параллельное согдинение таких простых RC-схем
образует двухполюсник, "который реализует заданное значение У.
Разложение Z в непрерывную дробь (3-й способ).. Члены
полинома числителя и знаменателя функции Z(s) нужно расположить
по убывающим степеням s, затем* функцию можно разложить в
непрерывную дробь.
Пусть степени числителя и знаменателя одинаковы и равны т.
Тогда нужно определить первый член частного и результат
записать так:
1 r_Bj
R-±
У=вп
у BJS
С=в
Y=BS
Рис П4.2. Простейшие ЦС-
схемы и их полные
проводимости
478

Рис. П4.3. Схема
лестничного ЛС-двухполюс-
ника, соответствующего:
а — непрерывной дроби
(П.4,8); б— непрерывной
дроби Ш4.9) '
Далее нужно найти первый член'частного A (s)/Bi (s), который
будет содержать s, так как степень A (s) на единицу выше
степени Bt (s), т. е.
Z(s) = /?! + ■
1
C1s + B1(s)/At(s) *
Продолжение этого процесса приводит к искомому
разложению:
1
Z(s) = Rx +
С^
1
(П4.8)
1
C2s +
Cms +
Если полное сопротивление Z удовлетворяет ранее
изложенным условиям, то величины Rlt Clt R\, Св Сп, Rm+1
положительные. Из разложения (П4.8) следует, что Z — полное
сопротивление схемы, изображенной на рис. П4.3, а.
Пусть степень числителя Z на единицу меньше степени т
знаменателя. Тогда Z можно представить в виде
Л W - A (s)/B («)
и затем начать разложение его в непрерывную дробь. В
результате получим
■ Z(s) = : l—t . (П4.9)
Cts +
*i
1
C2s +
Cms-
• По разложению (П4.9) Z есть полное сопротивление RC-
схемы, изображенной на рис. П4.3, б.
479

i^/_ 11^2. ^ \\Cm _ ^ II ^c II ^2 £
*/ U*2 . U«m UV? LK U 4
a).. 0
Рис. !14.4, Схемы лестничных ЛС-двухполюсников, соответствуютих непрерывной дроби
(П4.10)
Разложение Y в непрерывную дробь (4-й способ). Члены
полиномов числителя и знаменателя функции Y(s) должны быть
расположены по возрастающим степеням s, затем функцию можно
разложить, как указано выше, в непрерывную дробь:
У(з) = -Ъ + — 1 ! (П4.10)
С^ + 1
*,+
Cas
Зтой непрерывной дроби соответствует лестничный
двухполюсник, изображенный на рис. П4.4, а, если числитель и
знаменатель Y имеют степень т, и лестничный двухполюсник,
изображенный на рис. П4.4, б, если степень т числителя на единицу
больше степени знаменателя. N
Постепенное удаление составляющих функций Z (s) и Y (s)
(5-й способ). По разложению (П4.2) на простые дроби может
быть составлено такое равенство:
Z = A+Z„ (П4.11)
где
л" — s "*" s + Xj. ^ s + K2 "г
Равенству (П4.11) соответствует двухполюсник (рис. П4.5, а),
состоящий из последовательного соединения резистора
сопротивлением #1 = А и полного сопротивления Za. Вторая часть
двухполюсника имеет полную проводимость Уа = l/Za. Ее можно
разложите на простые дроби по формуле (П4.5) и составить
равенство
Ya = Bs + Y„, (П4.12)
где
480

/f,
c,*r
%
a) 5)
Рис. П4.5. Составление лестничного /JС-двухполюсника 5-м способом
По равенству (П4.12) полную проводимость Yh можно
заменить двумя параллельными ветвями (рис. П4.5, б) с проводи--
мостями Bs и Yb. Первая ветвь есть емкость Сг — В, а вторая
ветвь имеет полное сопротивление Zb = \IYb. Его можно
разложить на простые дроби по формуле (П4.2) и в результате
определить сопротивление R2 лестничного двухполюсника (см.
рис. П4.3, а). Продолжение процесса приведет к синтезу всего
лестничного двухполюсника.
После разложения Zk на простые дроби можно выделить его
сосзтавляющую AkHs + Хы) и реализовать ее параллельным
соединением резистора сопротивлением Rt и конденсатора
емкостью Ci (см. рис. П4.1). Аналогично при разложении на
простые дроби Yx можно выделить составляющую B,jS/(s + ptl) и
реализовать ее последовательным соединением 7?;- и С} (см.
рис. П4.2). Тогда Z будет реализовано лестничным
двухполюсником с иными элементами, чем у двухполюсника,
изображенного на рис. П4.3, а. Такой метод называют удалением полюсов.
Пример П4.1. Активный четырехполюсник постоянного тока, выполняемый
по схеме, приведенной иа рис. 8.21, должен иметь передаточную функцию
'" ™ (0.1s+l)-(0,02s+ l)(0,01s+l)
0 (0,05s+1) (0,04s+1) (0,005 + 1) ",
'Выяснить, как должны быть выполнены двухполюсники Z0 и 2П-
Преобразуем выражение требуемой передаточной функции:
2(s+10)(s + 50)(s+100)
а (s + 20)(s + 25)(s+200) "
Ориентируясь на формулу (8.42), выберем передаточные функции
двухполюсников так, чтобы они удовлетворяли условиям реализуемости:
z _ 2(g+100).
£° s + 25 '
Za =
(s + 20)(s + 200)
(s+10)(s+50)
Найдем схему и параметру двухполюсника обратной связи 1-м способом.
По формулам (П4.2)—(П4.4):
1Ч)
A=Z0(оо) = 2; Аг = [2(s + 100)]s 25 = 150; Z0 = -JZfe + 2.
Затем на основании рис. П4.1 определим, что двухполюсник может быть
выполнен по схеме, показанной на рис. П4.6, а, со следующими элементами:
1 ЪО
Я =2МОм; Ry =-^- = 6МОм; Су
25
1
150
■■ 0,0667 мкФ.
481

A-A-,
I " 1 Рис. П4.6. Возможные
~"т Т схемы /{С-Двухполюсни-
I ' I ' "а обратной связи (при-
I—-Пэ мер П4.1)
б) °
Полная проводимость двухполюсника обратной связи
1 0,5(s + 25)
'О — 7
^■1
s+100
Найдем схему и параметры двухполюсника 2-м способом. По формулам (П4.5)
и (П4.6)
В„ =
В, =
0.5(s + 25) 1 _
s+ юо Js=0-0,125,
0,5(s + 25)
s
1 =0,375; К0 =0,125 +
J s=-ioo
0,375s
s+100 '
В соответствии с полученными результатами на основании рис. П4.2
определим второй вариант двухполюсника обратной связи. Его схема показана на
рис. П4.6, б.
Здесь [R„ = -тгттхг = 8 МОм; #i =
0,125
d = °\3™ = 0,00375 мкФ.
0,375
= 2,67 МОм;
100
Итак, двухполюсник обратной связи можно выполнить по одной из схем,
показанных начрис. П4.6.
Найдем схему и параметры двухполюсника прямой цепи. Сначала
воспользуемся 1-м способом. По формулам (П4.2)—(П4.4) определим:
(s + 20) (s + 200)
*-*M-li*-[i±a^]_ji-«№- .
1 _ 112,5,2,,= 4" ■ 112-5
Js=-50
(s + 20)(s + 2Q0) 1 _,,ос. ? • 47,5
s+10 Js=-5o ' ' п_ s+10 ' s + 50
+
+ 1-
По полученному разложению Zn на основании рис. П4.1, составим схему
двухполюсника (рис. П4.7, а) и определим значения ее элементов:
Я, =
47,5
10
= 4,75 МОм; Ct =-j^=-» 0,0211 мкФ; Я2 =
112,5
50
= 2,25 МОм; С„ =
112,5
» 0,0089 мкФ; R = 1 МОм.
Теперь воспользуемся 2-м способом. Полная проводимость двухполюсника
прямой цепи
Уп
1 (s + 10) (s -|- 50)
Za r-= (H-20) (s + 200)
482

ч
Я, _ /?г
в)
-f-O-f
"О
-0
41—*—[=>-
Рис П4.7. Возможные схемы
/iC-двухполюсиика прямой
цепи (пример П4.1)
По формулам (П4.5) и (П4.6)
-[■
, (s + Ю) (s + 50)
(s + 20) (s 4- 200)
-I --0 125-В -Г <s+Ю) (s + 50)l
J *-_о - °'I25, Bl ~ [ s(s + 200) Jj
[ s(s + 200) J _-2C0 ~ 24 * 0,79Л Кп -
= -jj« 0,083; 52
= 0,125 +
0,083s , 0,792
s + 20 ^s + 200
По этому разложению Уп и на основании рис. П4.2 составим схему
двухполюсника (рис. П4.7, б) и определим значения ее элементов:
1 I Л ЛОО
я. =mW = 8 м°м; Rx =тгжг =12 м°м; Ci=
0,125
0,083
20
1 О 792
= 0,00415 мкФ; Я2 = -^-^g- = 1.26 МОм; С„ = -Ц£=- = 0,00396 мкФ.
0,792
200
Для получения третьего варианта схемы двухполюсника разложим Zn в
непрерывную дробь:
2п = 1
0,00625s +
4,20-
1
0,0272s -f--
1
2,80
483

Сопоставив эту непрерывную дробь с формулой (П4.8) и рис. П4.3, а,
составим схему двухполюсника (рис. П4.7, в), где Rx = 1, #а = 4,2 и Ra = 2,8 Мом;
Ct = 0,00625 и С, - 0,0272 мкФ.
Еще одну схему двухполюсника-можно получить 4-м способом, разложив YB
в непрерывную дробь:
V -J-J. '
Уп =""Т5~ +
1
0,00813s
3,93 ' 1 ,
0,00486s ' 1,61
Сопоставив эту непрерывную дробь с формулой (ШЛО) и рис. П4.4, а,
получим схему, показанную иа рис. П4.7, г. Здесь Rt — 8, #а=3,93 и Rt =
= 1,61 МОм; Сх= 0,00813 кС,= 0,00486 мкФ.
Воспользуемся 5-м способом. Из разложения Zn на простые дроби, найденного
ранее, в соответствии с формулой (П4.11) выделим одно слагаемое, но не Л, как
в этой формуле:
7 47-5 ,7 ,.„» 7 112'5 л. t
*п = -j+n- + Z<" W Z" = -7+50- + L
Первое слагаемое полученного выражения есть полное сопротивление парал-
А7 ^ 1
дельного соединения резистора flj = -jtt-=,4,75 МОм н емкости Сг = -■',. =
= 0,0211 мкФ, Последовательно должен быть включен второй участок с полным
сопротивлением Za. Определим полную проводимость второго участка:
Ка= 1 _ 5 + 50
Za s+162,5
Найдем #С-схему с полной проводимостью Ya, пользуясь 2-м способом:
ш'5.-ода, у.- ода-^-±т*
S=-162,5
~ 162.5 -"'""' "»-"■""" i s+162,5 "
' Следовательно, второй участок двухполюсника состоит из двух параллельных
ветвей. Первая ветвь — резистор сопротивлением Rt = о ада = ^.25 МОм,
1
а вторая — последовательное соединение резистора сопротивлением R 2 = п «92 ~
0 692
« 1,45 МОм и конденсатора емкостью Са = ' - ~ 0,00426 мкФ. Схема
двухполюсника показана на рис. П4.7, д-
Из разложения Zn на простые дроби можно выделить сначала второе
слагаемое. Тогда
_ 112,5
Zn_ s + 50 +Za'
где
47,5 , ,
Z0=-
"а~ s+10
4Й4

Первое слагаемое есть сопротивление параллельного соединения резистора
сопротивления flj = —=^— = 2,25 МОм и конденсатора емкостью Cj = тт^Ъ "*
«0,0089 мкФ. Полная проводимость второго участка »
v = 1 - »+10
r" Z, ~ s + 57,5 '
Найдем ЛС-схему о проводимостью, К« по 2-му способу:
-.0,826; Ка = 0,174 +
57,5
0,826s ~
s + 57,5
Второй участок двухполюсника состоит из двух параллельных ветвей.
Первая — резистор сопротивлением R0 = - ._. » 5,75 МОм, вторая — резистор,
1 „ 0,826
сопротивлением R2 = а0ос *** 1>21 МОм и конденсатор емкостью С2 = ■ ««
0,о*о о/ »£)
я* 0,0144 мкФ. Схема двухполюсника остается прежней (рис. П4.7, д).
Итак, составлено шесть схем, по которым может быть выполнен RC-ppyx-
полюеннк прямой цепи рассматриваемого активного четырехполюсника
постоянного тока. Из пнх должна быть выбрана схема, наиболее удобная для фнзнческон
реализации.
Синтез ненагруженного четырехполюсника
Лестничным четырехполюсником из резисторов и
конденсаторов может быть реализована с точЯсстью до постоянного
множителя только передаточная функция
W = M/N, (П4.13)
где М = М (s) и N = N (s), удовлетворяющая следующим
условиям: „
1) степень числителя не выше степени знаменателя;
2) все полюсы простые, действительные, отрицательные и
отличные от нуля;
3) все нули действительные, отрицательные или равные нулю;
могут быть кратными.
- При физическом осуществлении #С-четырехполюсника следует
иметь в виду, что его передаточная функция остается неизменной
с, точностью до постоянного множителя при увеличении всех
активных сопротивлений в а раз и одновременном уменьшении
всех емкостей также в а раз.
Г'образный четырехполюсник. Такой четырехполюсник
(рис. П4.8) является простейшим лестничным
четырехполюсником. Его передаточная функция при отсутствии нагрузки
Wr = Zif(Zi + ZJ, (П4.14)
где ZL и Z2 — операторные выражения полных сопротивлений
соответственно последовательной и параллельной ветвей.
- 485

Рис. П4.8. Схема Г-обраэво-
го четырехполюсника
Для того чтобы Г-образный четырехполюсник имел
передаточную функцию (П4.13), его полные сопротивления должны быть
выполнены по- равенствам
Zx = (N — M)/Q и Za = M/Q. (П4.15)
Здесь полином Q выбран так, чтобы Zx.h Z2 удовлетворяли
условиям реализуемости.
Если Г-образной схемой нельзя реализовать передаточную
функцию (П4.13), то следует выяснить возможность реализации
ее с измененным передаточным коэффициентом:
W = \lM/N, _ (П4.16)
где ц = const.
В этом случае
Zx = (N — nM)/Q; Za = цМ/Q. (П4Л7)
Изменение передаточного коэффициента четырехполюсника
должно быть скомпенсировано соответствующим изменением
передаточного коэффициента усилителя.
Пример П4.2. Выбрать схему и параметры элементов Г-образного ЯС-четы-
рехполюсника так, чтобы при^ртсутствии нагрузки его передаточная функция
- (0,1s +1) (0.0125s + l)
w ~ (0,02s + 1) (0,005s + 1) "
В данном случае .
М = 0,00125s? + 0,1125s + 1; N = 0,0001s? + 0,025s + 1; N—M =
= —0,00115 s?—0,0875 s.
Следовательно, заданную передаточную функцию можно реализовать только
при уменьшенном передаточном коэффициенте. Выберем (х = 0,08, тогда по
формулам (П4.17): \
_ 0,0001sa +0.025s + 1-0,08(0,00125s' + 0.П258+1) _
_ 0,016 (s +57,5)
" Q '
_ 0,08 (0,00125^.+ 0,1125s + 1) 0,0001 (s + 10) (s + 80)
Ll'\ Q • 0 '
Выберем Q = 0,001s (s + 75). При этом
16 (s^-57,5), 0,l(s+10)(s + 80) I
1 ~~ s (s + 75) ' , a ' s (s + 75)
и двухполюсники (иогут быть реализованы ЯС-схемами.
486

Определим схему и параметры элементов двухполюсника Zx, пользуясь 1-м
способом. По формулам (П4.2)—(П4.4):
л п у 12-27 I 3,73
^=o;z1=-i_+1T7r.
На основании этого разложения и рис. П4.1 составим схему двухполюсника
Zi (рис. П4.9) и определим значения его элементов:
Cl = ~12l7 " 0,()815 МкФ; Са = TW" *" °'268 МКФ;
Rl = ^W~ * °'0498 МОм-
Определим схему и параметры четырехполюсника Za, пользуясь также 1-м
способом. По формулам (П4.1)—(П4.4):
0 . L 10(s + 75) Js=o 15
Г (s + 10)(s + 80) = 13
1 b 10s S=-7S 30
л у, s nt г 1,067 , 0,433 | Л ,
А% =Za(oo) = 0,1; Z2 =- -+ s i 75 +0'1-
Теперь можно составить схему двухполюсника Za (см. ряс. П4.9) и
определить значения его элементов:
С3 = у~ « 0,938 мкФ; С4 = -^-щ- » 2,31 мкФ?
°'433 -.0,00578 МОм; /?,= 0,1 МОм.
"2 - 75
Для проверки определим передаточную функцию синтезированного
четырехполюсника, пользуясь формулой п. 1 табл. 8.1:
1 ' 1
1 + i—i -+0,1
0,938s ' 1 , „ 31.
0,00578 + AdW
1 , 1 , 1 , 1 +ол
0,0815s ' 1 ..„. ' 0,938s 1 , „ „
1Ш>Г + ()'2685 бЛ0578+2'318
_ 0,08 (0, Is+1) (0,0,125s+1)
~~ (0,02s+1) (0,005s+1) "
Составленная схема четырехполюсника может оказаться неудобной для
физической реализации. Тогда следует искать иные варианты, пользуясь ранее
изложенными способами.
Лестничный RС-четырехполюсник. В общем случае этот
четырехполюсник следует строить по полному сопротивлению
Z ~'N/Q. (П4.18)
' ' 487

Рис. П4.9. Схема Г-обраэиого ЛС-четырехполюс-
ника
Здесь N — полином
знаменателя реализуемой
передаточной функции W,
а полином Q выбирается
так, чтобы 2
удовлетворяло условиям полной
реализации. Полином Q
может содержать нули
реализуемой передаточной
функции, а его степень
должна быть равна
[степени N.
Реализация ' Z должна
осуществляться так,
чтобы кроме полюсов
передаточной функции W, т. е.
нулей Z, были
реализованы и нули W. Вместе
с тем полюсы Z, не
являющиеся нулями
передаточной функции W, не должны быть реализованы.
Следовательно, необходимо частичное удаление полюсов Z. При этом
нули оставшейся части Z4 сдвигаются, и один из них можно
сделать равным нулю передаточной функции W. При последующем
удалении такого нуля реализуется нуль передаточной функции W.
Удаление полюса Z достигается введением в схему четырех-
полюсника^резистора сопротивлением #,-. При этом нули
оставшейся 'части Z увеличиваются по модулю. Удаление- нулевого
полюса,достигается введением в схему конденсатора емкостью С,-,
при этом оставшиеся нули уменьшаются по модулю.
Значение R, или-~— определяют подстановкой s■= р1 в Z.
Здесь р, — значение того нуля функции W, который намечено
получить в оставшейся части Z.
Среди полюсов Z может оказаться один из нулей функции W.
Тогда сначала необходимо реализовать этот полюс Z, и затем,
действуя указанным образом, реализовать остальные нули функ
ции W.
Изложенный метод позволяет реализовать передаточную
функцию W с точностью до постоянного множителя.
Пример П4.3. Выбрать схему и параметры лестничного RC-четырехполюс-
ника так, чтобы при отсутствии нагрузки его передаточная функция
(0,18+1) (0,58+1) (д + 10)(8 + 2)
(0,2?+1) (0,4s+1) l,6(s + 5)(s + 2,5) "
Выберем Q = s (s + 4), тогда по формуле (П4.18)
у _ 1,6 (s + 5) (а + 2,5)
Ь"(8 + 4) f '
488

^Z ^1 ^2
в) г)
Рис. П4.10. Построение первого варианта схемы ЯС-четырехполюсинка
Эта функция удовлетворяет условиям реализуемости. Первым будем
реализовать нуль Pi = —10 передаточной функции W. Для этого определим, какое
сопротивление Ri необходимо включить в схему, чтобы среди нулей Z оказался
нуль, равный —10:
(-10) (-6)
Оставшаяся часть сопротивления Z будет
Za = Z — Ri —
1,6 (s» + 7.5s +12,5)
s2 + 4s
1 =
0,6 (s + 10) (s + 10/3)
s(s + 4)
Сопротивление Ri реализуем последовательной ветвью (рис. П4.10, а) и
обратим функцию Z0, т. е. определим соответствующую ей полную проводимость:
Ya
1
Za
5s (s + 4)
В,
3(s+10)(s+10/3)
на
5(s + 4)
Разложим Yа на простые дроби, воспользовавшись формулами (П4.5) и
(П4.6):
_3_
2
3s/2
f-5(s + 4) I
L 3 (s И- 10/3) J »=.io
5(s + 4
**■=
Г 5(s + 4 I _J_.
1.3 (s + 10)J »=-io/3 6 '
s/6
s + 10 ' s + 10/3
Реализуем первое слагаемое разложения последовательным соединением
резистора сопротивлением Я 2 и конденсатора емкостью Cj. На основании рис. П4.2
R2 = l/^j = 2/3 МОм и Сх = Bj/lO = 3/20 мкФ.
Тогда вторая параллельная ветвь имеет полную проводимость (рис. П4.10, б)
Уь = У,
3s/2
s/6
Z*=-
а s + 10 s + 10/3 '
щию Yb, т. '
6 (s +' 10/3)
Обратим функцию Yb, т. е. определим соответствующее ей полное
сопротивление:
Теперь нужно реализовать нуль ра = —2 передаточной функции W. Для
того чтобы в Zb появился нуль ра = —2, необходимо включить емкость Са,
определяемую равенством
6(4/3)
[^r]s=-2=Zb(-2) =
■ = —4, т. е.
1
мкФ,
489

■ ■ С, С, Jb С «г
R^h ^_ч) Ж~^
О 4) г)
Рис. П4.11. Построение второго варианта схемы /{С-четырехполюсника
Включим Са в виде последовательной ветвн (рис. П4.10, в) и определим
оставшуюся часть полного сопротивления:
- _7 1 6 (s + Ю/3) 8 6(s + 2)"
£с-1ь~~с^ i Т =—i—• -
В заключение обратим^фуикцию Zc:
1 s/6
Yc =
s + 2 '
и реализуем Yc в соответствии с рис. П4.2 последовательным соединением
резистора сопротивлением R3 и конденсатора емкостью С3:
Я8= 6 МОм; С8= 1/12 мкФ.
Оставшаяся полная проводимость равна нулю, что соответствует бесконечно
большому сопротивлению на выходе четырехполюсника — четырехполюсник не
нагружен. Полная схема первого варианта четырехполюсника представлена иа
рис. П4.10, г.
Для проверки расчета составим передаточную функцию четырехполюсника
по полученной схеме, пользуясь формулой п. 4 табл. 8.1. В данном случае
2(»+(0) . у _р , 1 _6 . 12 -6<s + 2)
Следовательно:
' w ^Z« 0,6(0.1s+0(0,5»+1)
(Zy + ZJ^ + ZJ + ZyZt (0,2s+1) (0,4s+ 1)
и заданная передаточная функция реализована с точностью до постоянного
множителя, равного 0,6.
Составим второй вариант схемы четырехполюсника. При этом сначала
реализуем нуль Ра = —2 функции W и сдвиг нулей функции Z осуществим включением
емкости Су. Значение емкости С2 определяется равенством
hs-]—-«-"-W-^* "e- *--»--••
Включим Ct в виде последовательной ветви-(рис. П4.11, а) и определим
оставшееся полное сопротивление
Za = Z-
1 l,6(s + '2)(s + 4,75)
CiS ~ s(s + 4)
490

Обратим функцию" Za и разложим функцию Уа иа простые дроби о помощью
формул (П4.5) и (П4.6):
„ 1 _ 5s(s + 4) 5s ' , 15s
Za 8 (s + 2) (s + 4,75) - ll(s + 2) "*" 88 (s + 4,75)" -
Реализуем первое слагаемое разложения параллельной ветвью, состоящей
из Rx и Са (рис. П4.11, б). В соответствии с рис. П4.2
«1=-j-MOm; Са=-|-мкФ.
Обратим оставшуюся часть Kj функции Ya:
1 88 (s + 4,75)
z*=Tr = ^^i5r
Теперь реализуем нуль —10 функции W. Для этого определим #2,
обеспечивающее необходимый сдвиг нуля Zj (рис. П4.11, в):
D 7 / ,m 88 (—5,25) 77
Rt-*Zb(-lO)= 15(_,0) ^-gg-.
Оставшаяся часть функции Zj
209(s-+:i0)
I. С — Lb Л2 — ygT •
Обратим функцию Zc и реализуем Yc параллельной ветвью из резистора
сопротивлением Ra и конденсатора емкостью С8:
1 75s . _ 209 ... „ 15 .
Яз — -=ё-МОм и С8 = -775- мкФ.
с "" Zc — 209 (s Ч-10) ' 3 75'""»»~8 418
Функция Кс реализована полностью, т. е. иа выходе четырехполюсника
(рис. П4.11, г) беск^чечно большое сопротивление — четырехполюсник не
нагружен.
Для проверки расчета определим передаточную функцию четырехполюсника,
пользуясь формулой п. 4 табл. 8.1:
, L-'JL- Z -R -JL- Z -R | ' »(« + 2) ■
^ - Cts - 5s ' Z* - *а _ 25 ' £* ~ Hl + Cts 5s '
„ 1 209(s + 10) . т_ 0,76(0,ls+l)(0,5s+l)
*«-«■+ р^- 75s ' * (0,2s+1) (0,4s+1)
Составим третий вариант схемы четырехполюсника; для этого выберем
полином Q так, чтобы ои содержал один из нулей функции W : Q = (s + 2) (s + 4).
Тогда
^_ l,6(s + 5)(s + 2,5)
(s + 2)(s + 4) ■
Разложим Z на простые дроби, пользуясь формулами (П4.2)—(П4.4):
_ г l,6(s + 5)(s + 2,5) I _ 6 .*
1 ~ L Г+4 J s=-2 -Т '
_ Г 1,6 («+ 5) («+2,5) 1 J 6 .
А*-[ s"+2 Js=-4 Г'
4 7^ 8 ■ 7 6,6, 8
^=Z(oo)=-g-, *=5(s + 2) + 5(s + 4) +-g-
491

-&&
ci fi3
a) . ■ S) Q
Рис. П4.12. Построение третьего варианта схема ЛС-четырехполюсника
- Реализуем первый член разложения последовательной ветвью, состоящей
из резистора сопротивлением R± и конденсатора емкостыо Су (рис. П4.12, а),
соединенных параллельно. На основании рис. П4.1
МОм и С,
мкФ.
41 - 5-2 5 1 6
Оставшаяся часть полного сопротивления Z
Za = Z
8
5(s + 2) 5(s + 4)
8(s+19/4)
5(s + 4)
Теперь нужно реализовать второй нуль функции W, равный —10. Определим,
при каком сопротивлении R2 будет нужный сдвиг нуля функции Za-
Оставшаяся часть функции Za
s + 10
5(s + 4)
5(s + 4)
Образовавшаяся схема показана на рис. П4.12, б.
Остается обратить функцию 7.ь и разложить К& на простые дроби, пользуясь
формулами (П4.5) и (П4,6):
1 5(s + 4) _- - Bjs
6 -~ТЬ s + 10 -a°+ s+10
= 2 +
3s
s + 10
Реализуем K& двумя параллельными ветвями: одна из резистора
сопротивлением Ra, другая из резистора сопротивлением Rt и конденсатора емкостью Са.
На основании рис. П4.2 определим х
Ra = \1вй = 1/2 .МОм; 7?4 = 1/Si = 1/3 МОм; С2 = Bj/10 = 3/10 мкФ,
Полная проводимость Уь реализооана и, следовательно, сопротивление
между выходными клеммами четырехполюсника (рис. П4.12, в) равно
бесконечности — четырехполюсник не нагружен.
Для проверки расчета составим передаточную функцию четырехполюсника
по полученной схеме, пользуясь формулой п. 1 табл. 8.1:
Z,=
URt + CyS
, о 7s + 20 . .
+ **- 5(s + 2) ' ^
1
1^ + 1|(i?«+c7)
s + 10 .
:57Г+4)'
W
Zt _ 0,2 (0,ls+l) (0,5s+ 1)
Zi + Zi
(0,2s+l)(0,4s+l)
492

Составлены три схемы
четырехполюсника, реализующего с точностью до
постоянного множителя заданную переда»
точную функцию. Выбрав другие
значения полинома Q и изменив порядок
реализации нулей функции W, а также ведя
расчет не по полному сопротивлению, но
по полной проводимости, можно
получить еще большое число схем,
реализующих заданную передаточную функцию.
Мостовой четырехполюсник.
Такой четырехполюсник (рис.
П4.13) имеет специфические
свойства. В частности, им можно
реализовать передаточную функцию
с положительными нулями, т. е. получить
неминимально-фазовый элемент. Передаточная функция уравновешенного
мостового четырехполюсника
Рис, П 4.13. Схема мостового
четырехполюсника
W* = (Zi ~ Z,)/^! + Z.) = MIN,
(П4.19)
где Zx и Z2 — операторные выражения полного сопротивления
плеч моста; М и N — полиномы от s.
Для реализации передаточной функции W№ необходимо иметь
Zt =
N -\-М .
2Q
Z, =
N — M
2Q
(П4.20),
Полином Q в этих выражениях нужно выбирать так, чтобы Zx
и Z2 были физически реализуемыми.
Если передаточная функция WM оказывается нереализуемой,
то следует искать возможности реализовать передаточную
функцию \> WM. В этом случае необходимо иметь
7 ._ N + iiM . „
2Q
(П4.21)
Пример П4.4. Выбрать схему и определить параметры элементов мостового
четырехполюсника с передаточной функцией
Wm =
0,2s—1 2(s-5)
0,ls+l s+10
Выберем ц = 0,2. Тогда по формуле (П4.21)
_ (s+10) +0,2-2 (s — 5) 1,4s+ 8 .
£* 2Q 2Q
(s+10)—0,2-2 (s —5) 0,е»+12
Выберем Q = s + 5. При этом
7 ~ 0.7 (s +40/7) . -
2Q
s + 5
0,3(s + 20)
s + 5
493

к
Рис. П4.14. Схемы RC-
Д8УХПОЛЮСИНК08, ЯВЛЯЮ-;
щнхся плечами мостового
..., л) шгырежполюсвнкд
1 _*Т * е
2a = ^V + 0,3.
Выберем схему двухполюсника с полным сопротивлением Z*. Для этого,
пользуясь формулами (П4.2)—(П4.4), разложим функцию Z\ иа простые дроби:
Ь-^ + Л-^+О,?.
На основании рис. П4.1 составим схему двухполюсника (рис. П4.14, а) и
определим значения его элементов:
Ri = А = 0,7 МОм; Яа= Aj5= 0,1 МОм; С± = МАХ = 2 мкФ.
Далее, действуя аналогично, выберем схему двухполюсника с полным
сопротивлением 22. Разложим функцию Z2 на простые дроби:
4,5
s + 5
Составим схему двухполюсника (рис. П4.14, б) и определим значения его
элементов:
Яз = 0,3 МОм; Rt == -g- = 0,9 МОм; Сг = -^=- = -?- мкФ.
Для физической реализации четырехполюсника целесообразнее иметь
конденсаторы меньшей емкости. Поэтому уменьшим емкости в 5 раз и одиовремеиио
увеличим сопротивления резисторов также в пять раз:
Rx = 3,5 МОм; Яа = 0,5 МОм; Cj = 0,4 мкФ; R3 = 1,5 МОм;
R. = 4,5 МОм, Са = -%г » 0,0444 мкФ.
45
Для проверки расчета определим передаточную функцию синтезированного
четырехполюсника:
£l~1<l+l/R2 + C1s _0,2s + l ' Z*-*8+ l/*4 + Cas -0.2.+ 1 '
№
= 2t —Za = (0,7s + 4)-. (0,3s + 6) _ 0,2 (0,2s—1)
M- Zt + Z2 (0,7s + 4) + (0,3s + 6)"" O.ls+1 '
Итак, синтезированный мостовой четырехполюсник имеет передаточную
функцию, которая отличается от требуемой лишь постоянным множителем 0,2.
Синтез нагруженного четырехполюсника
Во многих случаях источник входного напряжения имеет
внутреннее сопротивление RbU, а на выходе четырехполюсника
включена нагрузка Ra (рис. П4.15, а). Эти сопротивления можно
считать элементами четырехполюсника (рис. П4.15, б).
-Следовательно, изложенный ранее порядок синтеза лестничного
четырехполюсника должен быть дополнен требованием иметь на входе
и выходе заданные сопротивления соответственно jRBIf и RH.
Тогда передаточная функция нагруженного четырехполюсника

Рис. П4.15. Схемы нагруженного четырехполюсника:
о -+ действительная; б — экзпвалеитная
будет иметь требуемое значение с точностью до постоянного
множителя. Необходимую схему с^прследовательным сопротивлением
Ri = Run на входе и шунтирующее сопротивление Rt = RH на
выходе можно получить, предъявив соответствующие требования
к реализуемому значению Z, Значение Z, определяемое формулой
(П4.18), должно не иметь нулевого полюса и иметь полюс, равный
нулю реализуемой передаточной функции.
Такому требованию, например, удовлетворяет Z в третьем варианте примера
П4.3. Полученная прн синтезе схема четырехполюсника (см. рис. П4.12, в)
принимает нужный вид, если поменять местами R2u цепочку параллельного
соединения Ri н-Сх, а также Ra и цепочку последовательного соединения Rt и Са. Такое
преобразование структурной схемы не изменит ее передаточной функции.
Пусть четырехполюсник имеет последовательное
сопротивление Rb на входе и шунтирующее сопротивление Rt на выходе.
Если Rt < #,, и Ri >#к.> т0 все сопротивления
четырехполюсника нужно увеличить в а — RJR/ раз и все емкости
уменьшить в а раз. Тогда шунтирующее сопротивление Rt на выходе
оказывается не нужным: его роль выполняет сопротивление
нагрузки. А последовательное сопротивление на входе должно быть
равным aRx — Rm.
Если Ri^>Rlt и Ri <#,,„, то все conpoTHjjf^mp
четырехполюсника следует увеличить в а = R^JRj. раз'^Щ;е емкости
уменьшить в а раз. При этом последовательное сопротивление Rx
на входе оказывается не нужным: его роль.выполняет внутреннее
сопротивление источника входного напряжения. Шунтирующее
сопротивление на выходе в этом случае нужно выполнять равным
RiRJ(Rtl — Ri).
Предположим, что для примера П4.3 Ra = 5 МОм и Явн = 0,2 МОм. Тогда
в третьем варианте четырехполюсника, синтезированного в этом примере, все
сопротивления нужно увеличить и емкости уменьшить в « —тгё"" Ю Раз.
0,5
Следовательно, необходимо иметь R±
3*
6 МОм**?* =■ — j МОм; Ci = ~^ мкФ;
100
Ф и^?а — *10-1,4—0,2 ~ 13,8 МОм. Сопротивление R3 оказывается
не нужным: оно заменяется сопротивлением Rn.
При этом передаточная функция четыре хио поскика остается прежней.
495

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
/
1. Автоматизация, приборы контроля и регулирования производственных
процессов в нефтяной и нефтехимической промышленности. Книга пятая.
Автоматическое регулирование. Телемеханика. М.: Недра, 1967, 956 с.
2. Айзермаи М. А. Теория автоматического регулирования. -М.: Наука,
1966. 452 с.
3. Армейский Е. В., Фалк Г. В. Электрические микромашииы. М.: Высшая
школа, 1968. 212 с.
4. Балакирев В. С, Дудников Е. Г., Цирлии А. М. Экспериментальное
определение динамических характеристик промышленных объектов управления. М.:
Энергия, 1967. 232 с.
5. Барковский В. В., Захаров В. Н., Шаталов А. С. Методы синтеза систем
управления. М.: Машиностроение, 1969. 328 с.
6. Беидриков Г. А., Теодорчик К- Ф. Траектории корней линейных
автоматических систем. М.: Паука, 1964. 160 с.
7. Беседы но автоматике. Н. И. Г о л у б и и ч и й, Г. Ф. Зайцев,
М. А. И в а щ е и к о и др. Киев, Техн!ка, 1971. 232 с.
8. Бесекерский В. А. Динамический синтез систем автоматического
регулирования. М.: Наука, 1970. 576 с.
9. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976.
576 с-
10. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического
регулирования. 3-е gr^: Наука, 1975. 768 с.
11. БесоЛРвиЙ в. А., Федоров С. М. Применение эквивалентной
передаточной функции при расчете следящих систем комбинированного управления
методом логарифмических частотных характеристик. — Труды 1 Международного
конгресса ИФАК- М.: Изд-во АН СССР, 1961, т. 1, с. 154—165.
12. Блох 3. Ш. Переходные процессы в линейных системах автоматического
регулировании. М.: Физматгнз, 1961. 492 с.
13. Боднер В. А. Теория систем управления полетом. М.: Наука, 1964. 696 с.
14. Брин И. А. Об устойчивости некоторых систем с распределенными и
сосредоточенными параметрами. — Автоматика и телемеханика, т. XXIII, 1962,
№ 7, с. 863-871.
15. Бычковский Р. В. Контактные датчики температуры. М.: Металлургия,
1978. 240 с.
16. Васильев Д. В., Филиппов Г. С. Основы теории и расчета следящих
систем. М. — Л.: Госэнергоиздат, 1J69. 428 с.
17. Васильев Д. В., Чуич В. Г. Системы автоматического управления. М.:
Высшая школа, 1967. 420 с. '
18. Вершинин В. Д. Определение оригинала по конечным значениям
преобразования Лапласа и его производным. — Известия высших учебных заведений.
Электромеханика, 1976, № 5, с. 487—489.
496

194Вороиов А. А. Основы теории автоматического управления. М.—Л.:
Энергия 1965. 396 с. (Линейные системы регулирования одной величины; ч. I).
20. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. М.—Л.:
Энергия, 1966. 372_с. (Специальные линейные и нелинейные системы
регулирования одной величины; ч. II).
21. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. М.—Л.:
Энергия, 1970. 328 с. (Оптимальные, мнососвязные и адаптивные системы; ч. III).
22. Власов Н. П./Теория линейных следящих систем, работающих на
переменном токе. М.: Энергия, 1964. 256 с.
23. Гальперин М..В., Злобии Ю. П., Павленко В. А.^Усилители постоянного
тока. 2-е изд. М.; Энергия, 1978. 248 с.
24. Государственная система промышленных приборов и средств
автоматизации: Каталог, М.: ЦНИИТЭИприборостроение, 1973, т. 1, вып. 1. 36 с.
25. Денисов А. А., Нагорный В. С. Пневматические и гидравлические
устройства автоматики. М.: Высшая школа, 1978. 216с.
26. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования
Лапласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971. 288 с.
27. Джеймс X., Никольс Н., Филиппе Р. Теория следящих систем. 2-е изд.
М.; Изд-во иностр. лит., 1951. 464 с.
28. Динамика электромашинных следящих систем/Под ред. Н. М. Я к и-
м е н к о. М.: Энергия, 1967. 408 с.
29. Диткии В.ЬА., Прудников А. П. Операционное исчисление. М.: Высшая
школа, 1975. 408 с.
30. Диткии В. А., Прудников А. „П. Справочник по операционному
исчислению. М.: Высшая школа, 1965. 468j:.
31. Дмитриев В. Н., Городецкий"В. Г. Основы пневмоавтоматики. М.:
Машиностроение, 1973. 360 с.
32. Дубилович В. А. Автоматическое регулирование мощности
энергетических блоков. Минск: Наука и техника, 1978. 248 с.
33. Дудников Е. Г.Основы автоматического регулирования тепловых
процессов. М.—Л.: Энергия, 1965. 264 с.
34. Егоров К- В. Основы теории автоматического регулирования. М.:
Энергия, 1967. 648 с.
35. Загускии Л. В. Справочник по численным методам решения уравнений.
М.: Физматгиз, 1960. 216, с.
36. Зайцев Г. Ф. Синтез следящих сисхем высокой точности. Киев: Техника,
1971. 204 с.
37. Зайцев Г. Ф., Стеклов В. К. Комбинированные следящие системы. Киев:
Техника, 1978. 264 с.
38. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование. 3-е изд. М.:
Машиностроение, 1973. 608 с.
39. Изъюрова Г. И. Усилители переменного тока. М.: МИРЭА, 1973.-144 с.
40. Каргу Л. И. Системы угловой стабилизации космических аппаратов.
М.: Машиностроение, 1973. 176 с.
41. Касьянов А. И. Автоматизация радиопередающих устройств. М.:
ВЗЭИсвязи, 1973. 108 с.
42. Кириллов В. В., Моисеев В. С. Аналоговое моделирование динамических
систем. Л.: Машиностроение, 1977. 288 с.
43. Кисельинков В. Б., Плоткии А. Г. Системы автоматизации силового
дизельного привода. Л.: Машиностроение, 1973.240 с.
44. Колесников К. С. Жидкостная ракета как объект регулирования. М.:
Машиностроение, 1969. 300 с.
45. Красовский А. А., Поспелов Г. С. Основы автоматики и технической
кибернетики. М.—Л.: Госэнергоиздат; 1962. 600 с.
46. Кровоносов А. И. Полупроводниковые датчики температуры. М.:
Энергия, 1974. 188 с.
47. Кругов В. И. Автоматическое регулирование двигателей внутреннего
сгорания. 2-е изд. М.: Машгиз, 1963. 624 с.
46. Кругов В. И- Переходные процессы систем автоматического
регулирования. М,: Машиностроение, 1965. 252 с.
497

49. Кузовков II. Т. Теория автоКштического регулирования, основанная iia
частотных методах. М.: Оборонгиз, 1960. 448 с.
50. Кузовков Н. Т. Динамика систем автоматического управления. М.:
Машиностроение, 1968. 428 с.
51. Кулебакин В. С. Высококачественные инвариантные системы
регулирования. — В кн.: Теория инвариантности и ее применение в автоматических
устройствах. М.: Изд-во АН СССР, 1959, с. 11—39.
52. Кулебакии В. С. Теория инвариантности автоматически регулируемых
и управляемых систем. — Труды 1-го Международного конгресса ИФАК. М.:
Изд-во АН СССР, 1961, т. 1, с. 247—255.
53. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. 9-е изд. М.: Наука, 1968. 432 с.
54. Кухтеико А. И. Проблема инвариантности в автоматике. Киев: Гостех-
издат, 1963. 376 с.
55. Лаицош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз,
1961. 524 с.
56. Лебедев А. А., Карабанов В. А. Динамика систем управления
беспилотными летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1965. 528 с.
57. Лебедев И. В., Трескунов С Л., Яковенко В. С. Элементы струйной
автоматики. М.: Машиностроение, 1973. 360 с. >
58. Летов А. М. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 360 с.
59. ЛузинН. Н., Кузнецов П. И._К абсолютной инвариантности и
инвариантности-до е в теории дифференциальных уравнений. —ДАН СССР. т. 51, 1946,
№ 4, С: 247—250; № 5, с. 331—334; т. 80, 1951, № 3, с. 325—328.
60. Макаров И. М., Менский Б. М- Таблица обратных преобразований
Лапласа и обратных 2-преобразований. М.: Высшая школа, 1978. 248 с.
61. Математические основы теории автоматического регулирования/Под
ред. Б. К. Ч е м о д а н о в а. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1977, т. I, 366 с.
62. Математические основы теории автоматического регулирования/Под
ред. Б. К. Ч е м о д а н о в а. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1977, т. П. 456 с.
63. Мееров М. В. Синтез структур систем автоматического регулирования
высокой точности. "М.: Физматгиз, 1959. 284 с.
64. Менский Б. М. Номограмма для определения фазы по асимптотической
логарифмический амплитудно-частотной характеристике. — Автоматика и
телемеханика, т. ХХП, 1961, № 3, с. 400-402.
65. Меиский Б. М. Принцип инвариантности в автоматическом
регулировании и управлении. М.: Машиностроение, 1972. 248 с.
66. Методы, теории чувствительности в автоматических системах/В. И. Г о-
р о Д е Ц к и й, Ф. М. 3 а х а р и н, Е. Н. Р о з е и в а с с е р, Р. М.
Юсупов. Л.: Энергия, 1971. 344 с.
67. Морозовский В. Т. Многосвязные системы автоматического
регулирования. М.: Энергия, 1970. 288 с.
68. Морозовский В. Т., Сиидеев И. М., Руиов К- Д. Системы электроснабжения
летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 420 с.
69. Наумов Б. Н. Переходные процессы в линейных системах автоматического
регулирования. М.: Госэнергоиздат, 1960. 224 с..
70. Наумов Б. Н. Косвенные методы анализа и синтеза качества линейных
систем автоматического управления. М.: ВЗЭИ, 1967. 172 с.
71. Оппельт В. Основы техники автоматического регулирования. М.—Л.:
Госэнергоиздат, 1960. 608 с.
72. Основы автоматического регулирования. Теория/Под ред. В. В. С о л о-
д о в и и к о в.а. М.: Машгиз, 1954. 1118 с.
73. Основы автоматического регулирования/Под ред. В. В.
Солодовни ко в а . М.: Машгиз, 1959. 454 с. (Корректирующие элементы и элементы
вычислительных машин; т. 11, ч. 2).
74. Основы автоматического управления/Под ред. В. С. П у г а ч:е в а.
2-е изд. М.: Наука, 1968. 680 с.
75. Основы автоматического управления/Под ред. В. С. Пугачева.
3-е изд. М.: .Наука, 1974. 720 с. - ,
76. Основы проектирования следящих систем/Под ред. Н. А. Л а к о т ы. М.:
Машиностроение, 1978. 392 с.
498

77. Петров Б. Н. Пришит инвариантности и условия его применения при
расчете линейных и нелинейных систем. — Труды 1-го Между«ар одного конгресса
ИФАК. М: Изд-во АН СССР, 1961, т. 1, с. 259—27Г.
78. Петров Г. М., Лакуиии Н. Б., Бартольд Э. Е. Методы моделирования
систем управления на аналоговых и аналого-цифровых вычислительных
машинах. М.: Машиностроение, 1975. 256.с.
79. Печорина И. Н. Раечек систем автоматического управления. Справочное
пособие. Москва — Свердловск: Машгиз, 1962. 112 с.
80. Плетнев Г. П. Автоматическое регулирование и защита
теплоэнергетических установок электрических станций. М.: Энергия, 1970. 408 с. ^_
81. Пономарев В. Ф., Воеводина В. В. Расчет систем автоматического
регулирования технологических объектов". Калининград: Калининградский
технический институт рыбной промышленности и хозяйства, 1972. 276 с.
82. Попов Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования
и управления. М.: Наука, 1978. 256 с.
83. Проектирование инвариантных следящих приводов/В. Н.
Яворский, А. А. Б е с с о и о в, А. И. К о р о т а е в, А. М. П о т а п о в. М.:
Высшая школа, 1963. 476 с.
84. Процессы автоматического управления и обобщенное дифференцирова-
ние/Н. Д. Саперштейи, Р. Л. Сапожн.иков, В. Л. Файнц'мидт,
Б. П. Родин. М.: Высшая школа, 1973. 240 с.
85. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления. М.: Физматгиз 1960. 884 с.
86. Рабинович Л. В., Петров Б. И., Терсков В. Г. Проектирование следящих
систем. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.
87. Расчет автоматических систем/Под ред. А. В. Фатеева. М.: Высшая
школа, 1973. 336 с.
88. Ротач В. Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем
регулирования. М.—-Л,: Энергия, 1973. 440 с
89. Рязанов Ю. А. Проектирование систем автоматического регулирования.
М.: Машиностроение, 1968. 360 с.
90. Санковский Е. А. Вопросы теории автоматического управления. М.:
Высшая школа, 1971. 232 с. ч
91. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления/.
Под ред. В. А. Б е с е к е р с к о г о., 5-е изд. М.: Наука, 1978. 512 с.
92. Симою М. П. Определение коэффициентов передаточных функций
линеаризованных звеньев и систем регулирования. — Автоматика и телемеханика,
т. XVIII, 1957, №'6, с. 514—528.
93. Скаржепа В. А., Морозов А. А. Устройства автоматики на тиристорах,-
Киев: Техника, 1974. 224 с.
94. Слободкии М. С, Смирнов П. Ф., Казинер Ю. А. Исполнительные
устройства регуляторов. М.: Недра, 1972. 304 с.
95. Соболев О. К. Выбор обобщенных параметров при исследовании
устойчивости линейных систем. —Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1970,
№ 5, с. 191—198.
96. Соколов Т. Н. Электромеханические системы автоматического
управления. -М.: Госэнергоиздат, 1952. 252 с,
97. Сол од о а А. В., Петров Ф. С. Линейные автоматические системы с
переменными параметрами. М.: Наука, 1971. 620 с.
98. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем
автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960. 656 с.
99. Сотсков Б. С. Основы расчета и проектирования электромеханических
элементов автоматических и телемеханических устройств. М.—Л.: Энергия,
1965. 576 с.
100. Сотсков Б. С. Тенденция и перспективы развития основ построения
ГСП. —Приборы и системы управления, 1972, № 8, с. 1—7.
101. Справочное пособие по теории систем автоматического регулирования
и управления/Под ред. Е. А. Санковского. Минск: Вышэйшая школа,
1973. 584 с.

102. Теория автоматического регулирования. Кн. 1. Математическое
описание, анализ устойчивости и качества систем автоматического регулирования/
Под ред. В. В. Солодовников а. М.: Машиностроение, 1967. 768 с. (Серия
инженерных монографий «Техническая кибернетика»). ,»
103. Теория автоматического регудиррвания. Кн. 2. Анализ и синтез
линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования/Под
ред. В. В. С о л од о в н и к о в а. М.: Машиностроение, 1967. 680 с.
104. Теория автоматического регулирования. Кн. 3. Теория нестационарных,
нелинейных и самонастраивающихся систем автоматического регулирований/Под
ред. В. В. Солодовников а. М.: Машиностроение, 1969, ч. I. 608 с, ч. II.
368 с.
105. Теория автоматического управления/Под ред. А. В. Н е т у ш и л а.
2-е изд. М.: Высшая школа, ЫЭ/б. 400 с.
. 106. Теория инвариантности в системах автоматического управления. М.:
Наука, 1964. 504 с. (Труды Второго Всесоюзного совещания, состоявшегося в
Киеве 29 мая — 1 июня 1962 года).
107. Теория инзариантности и теория чувствительности автоматических
систем. Киев: АН УССР, 1977, ч. I. 436 с, ч. II. 496 с, ч. III. 752 с.
108. Теория систем с переменной структурой/Под ред С. В. Ем е л ь я •
нова. М.: Наука, 1970. 592 с.
109. Топчеев Ю. И., Цыплаков А. П. Задачник по теории автоматического
регулирования. М.: Машиностроение, 1977. 592 с.
ПО. Труды 3-го Всесоюзного совещания по теории инвариантности и ее
применению в'системах автоматического управления. М.: Наука, 1970, ч. I. 420 с,
ч. II.
111. Устройства и элементы систем автоматического регулирования и
управления. Кн. 1. Измерительные устройства, преобразовательные элементы и
устройства/Под ред. В. В. Солодовников а. -М.: Машиностроение, 1973.
680 с. (Серия инженерных монографий «Техническая кибернетика»).
112. Универсальная система элементов промышленной пневмоавтоматики:
Каталог. М.: ЦНИИТЭИприборостроение, 1972. 44 с.
113. Унифицированная система пневматических и электрических датчиков
теплоэнергетических параметров: Каталог. М.: ЦНИИТЭИприборосхроение,
1972^ с.
s/0l4j Устройства и элементы систем автоматического регулирования и управ-
леиияТкн. 2. Усилительные устройства, корректирующие элементы и устройства/
Подпел. В. В'. Солодовни, ков а. М.: Машиностроение, 1975. 688 с.
Дл'ПЯ Устройства и элементы систем автоматического регулирования и управ-
ленийт Кн. 3. Исполнительные устройства и сервомеханизмы/Под ред. В. В. С о -
лодовникова. М.: Машиностроение, 1976. 435 с.
116. Цыпкии Я. 3. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.
560 с.
117. Цыпкии Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматгиз,
1963. 968 с.
118. Честнат Г., Майер Р. Проектирование и расчет следящих систем и систем
регулирования. М.—Л.: Госэиергоиздат, 1959, ч. I. 488 с.
119. Шаталов А. С. Структурные методы в теории управления и
электроавтоматике. М.: Госэиергоиздат, 1962. 408 с.
120. Шаталов А. С. Обобщенные методы исследования непрерывных
линейных систем автоматического управления. — В кн.: Современные методы
проектирования систем автоматического управления. М.: Машиностроение, 1967,
с. 265—286.
121. Шаталов А. С, Топчиев Ю. И., Кондратьев В. С. Летательные аппараты
как объекты управления. М.: Машиностроение, 1972. 240 с.
122. Штейнберг Щ. Е., Хвилевицкий Л. О., Ястребеиецкий М. А.
Промышленные автоматические регуляторы. М.: Энергия, 1973. 568 с.
123. Яворский В. Н., Макшанов В. И., Ермолин В. П. Проектирование
нелинейных следящих приводов. Л.: Энергия, 1978. 208 с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитудно-фазовая частотная
характеристика 42
— Построение 193. 231
Амплитудно-частотная характеристика 41
— логарифмическая 43
— логарифмическая асимптотическая 43
— Построение 200
Аппроксимация экспериментальной пере*
ходиой характеристики 72
Асимптота 43
Астатиэм 287, 342
Вещественная частотная
характеристика 42
— Связь с переходной
характеристикой 183
Виды инвариантности 448
Внешние воздействия типовые 38
Временные характеристики 38
— типовых динамических звеньев 47
Время запаздывания 274
— регулирования 297
Вышнеградсхого диаграмма 318
Гибкая обратная связь 61
Годограф корневой 321
— Михайлова 243
Государственная система приборов (ГСП)
19
Граница устойчивости 236
Граничное время запаздывания 276
— значение передаточного коэффициента
261
Движение дополнительное 333
D-разбиение 263
— по двум параметрам 266
— по одному параметру 263
Декада 43
Декремент затухания 317
Дельта-функция 40
-Демпфирование Л7
Децибелы 43
— Перевод в натуральные числа 209
Диаграмма Вышнеградского 318
Динамические звенья 35
— типовые 45 — Характеристики 46. 47. 52
Дифференциальная (балансная) цепь 363
Дифференциальное уравнение 30
— Решение операционным методом 463
Дифференцирующий трансформатор 380
Дифференциальный оператор 30
Единичная импульсная функция 39
— ступенчатая,функция 38
Желаемая ЛАЧХ 402—429
— Построение упрощенными методами 414 -
Жесткая обратная связь 61
Задающее устройство 24
Законы регулирования 17
Запаздывание «чистое» 274
Запас устойчивости 256
— по модулю 257
— по фазе 257
Звеиья дифференцирующие 58
— интегрирующие 51
— иррациональные 213
■— неминимально фазовые 59. 211
— неустойчивые 59
— трансцендентные" 213
— типовые динамические 45
Измерительный (чувствительный)
элемент 24
Иэодромная обратная связь 61
Импульсная характеристика 40
— нестационарный САР 279- -
Инвариантность 448
*- абсолютная 449
— полная 449
— с точностью до малой величины 451
-— частичная 451
Интегральная оценка 307
— квадратичная 308. 310
— квадратичная улучшенная 314
— линейная 307
Интеграл Дюамеля 39
Интерполяционный метод 78
Исполнительный элемент 565
Каскадная система регулирования 338
Квазистациоиарная САР 279
Классификация САР 14
Колебательность 316
Компаундирующая связь 356
Корректирующее устройство 353
— параллельное 351
— последовательное 353
-— прямое параллельное 355
Коррекция задающее) воздействия 344
Корреляционная функция 436
Коэффициент демпфирования 51
— затухания 51
— ошибки 288, 290, 292
— передаточный 34
— передаточный разомкнутый САР 387
— статизма 286
Коэффициенты ошибки 288
— Вычисление 288
Коивая разгона 71
Критерий сближения 430
Критерий устойчивости 236
— Гурвица 238
— Михайлова 243
— Майквиста 245
— Рауса 240
Критическое время запаздывания 276
Круговая диаграмма 197
— амплитудная 199
— вещественная 198
— мнимая 198
— фазовая 199
Линеаризация 27
— методом малых отклонений 27
— методом осреднения 27
Логарифмические частотные
характеристики иррациональных звеньев 213
— типовых динамических звеньев 52
— трансцендентных звеньев 213
Малые параметры 258
Мезона формула 111
Метод вещественных частотных
характеристик 183
' — «замороженных» коэффициентов 279
— «замороженных» реакций 281
— интерполяционный 78
— корневых годографов 321 •
— малых отклонений 27
— операционный 127
— площадей 73
— скользящего среднего 71
— спектральных преобразований 190
— стандартных коэффициентов 397
— четвертых разностей 72
Модулированный сигнал 15
Начальные условия 31
Номограмма для определения фазы 216
— замыкания (пересчета) 218
-Ноннусиая следящая система 338'
Нормирование переходной
характеристики 73
Нулн передаточной функции 34
Область устойчивости 261 .
Обобщенные параметры 271
Обратная АФЧХ 251
~ 501

Обратная связь 60
-•- гибкая 61
— пзодроииая G1
— жесткая 61
— условная 339
Объект регулирования 8, 22
Оператор дифференцирования 30
Определители 473
Определяющие корни 396
Оригиналы дробио-рациоиальиых
изображений 140
Осмотр структурной схемы 97
Передаточная функция
Определение по экспериментальный
.данный 71
Передаточная функция САР 81
— для ошибки (рассогласования) 83
— относительно возмущения 82
— относительно задающего воздействия
82
— разомкнутой цепи 81
Передаточная функция частотная 41
Передаточная функция соединения
динамических звеньев 60
— встречно-параллельного 62
— параллельного 69
— последовательного 60
Перерегулирование 296
Переходная характеристика 38
— нестационарной САР 279
— построение 183, 188
— типовых динамических звеньев 47
Подавление высоких частот 348
— средних частот 3S1
Поднятие высоких частот 350
Показатели качества 284. 296. 298, 314
Показатель колебательности 304
Полюсы передаточной функции 34
Поправки к асимптотической ЛАЧХ 201,
202 i
Постоянные интегрирования 32
Правила структурных преобразований 97
Правило переходов АФЧХ 2S2
— подвижной полосы 294
Предиачальные условия 128
Преобразование Лапласа 463
— дифференциального уравнения 46,3, 465
— обратное 466
Принцип двухканальиости 448
— инвариантности 448
— обратной связи 11 i
— суперпозиции 31
Разложение изображения на простейшие
дроби 137
— полинома на элементарные
множители 468
Реализация условия иивариаитиости 449
Синтез двухполюсника 477J
— комбинированной следящей системы
4S6
Синтез САР по отклонению 385
— методом ЛАЧХ 402
— методом стандартных коэффицвевтов 397
— ПО критерию сближения 430
— по минимуму интегральной Оценки 393
— с помощью корневого годографа 399
— с помощью показателя колебательности
305
— упрощенными методами 414
Синтез системы комбинированного
регулирования 452
Синтез четырехполюсника 495
— Г-образиого 485
— лестничного 487
— мостового 493
— нагруженного 495
Система автоматического регулирования
каскадная 338
— комбинированная 452. 456
— иоииусиая 338
— с большим передаточным
коэффициентом 340
— с компаундирующей связью 35С
Система уравнений САР 30
Соединение динамических звеньев 60
— встречно-параллельное 60. 62
— параллельное 60. 69
— последовательное 60
Составление структурной схемы 33
Составляющая решения
дифференциального уравнения вынужденная 3.1
— свободная 31
— сопровождающая 31
Спектральная плотность 436
Стабилизация САР 347
Статическая точность 285. 339
Степень устойчивости 316
Структурная неустойчивость 272
Структурная схема 33
Преобразование в одноконтурную 97
Структурные преобразования 97
Суперпозиция 31
Таблица ft-функцнй 184
— Рауса 241
Тахогеиератор 381
Тахометрический мост 383 ш '
Теорема свертывания 181
Техника подвижной-полосы 294
Типовые внешние воздействия 39
— соединения динамических звеньев 60
— характеристические уравнения 398
Унифицированные сигналы 21
— системы элементов 19
Условные знаки структурной схемы 35
Усилитель 25
Условие устойчивости САР 234
— линейной 239, 271
— нестационарной 274
— с запаздыванием 274
— с иррациональными звеньями 274
Формула Мезона 111
Функция веса 40
Функция чувствительности вреыенвов
характеристики 333
— передаточной функции 332
— показателя качества 335
Характеристический вектор 243
— полином САР 81
Характеристическое уравнение 32, 26*
Частотная характеристика 40
— амплитудная 41, 43, 200, 215, 217
— амплнтудио-фазовая 42, 193, 231
— вещественная 42, 226
— мнимая 42
— фавовая 41, 43, 200, 215
Четырехполюсник постоянного той,
активный 379
Четырехполюсвих постоянного ток»
пассивный 360
— аитивибратор 363
— дифференцирующий 363
— интегрирующий 363
— иитегродифференцирующий 363
— фазосдвигающий 363
Чувствительность 329
Экстремаль 314
Элемент САР исполнительный 25
— корректирующий 25
— сравнения \Ь
— усилительный 25
— чувствительный 24
502

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Основные обозначения _. 5
Основные' сокращения . . .6
Глава 1. Общие сведения 7
1.1. Принципы автоматического регулирования 8
..2. Некоторые основные -понятия теории автоматического
регулирования ' 13
ЬЗ.Элементы САР 19
Глава 2. Математическое описание элементов и систем 26
2.1. Линеаризация статических характеристик и дифференциальных
уравнений 27
2.2._Лииениые дифференциальные уравнения элементов и систем 30
2.3ГПередаточиые функции и структурные схемы 33
2.4. Временные характеристики 37
$.Ь. Частотные характеристики '. 40
2.6. Типовые динамические звенья . .' 45
2.7. Типовые соединения динамических звеньев 60
2.8. Определение передаточных функций элементов по
экспериментальным даииым 71
Глава 3. Определение передаточных функций систем 80
3.1. Передаточные функции САР '. 81
3.2. Структурные преобразования 97
3.3. Применение теории графов ' 111
3.4. Диалоговое моделирование САР 114
Глава 4. Опредёлеиие_времеииых характеристик 126
4.1. Решение дифференциальных уравнений операционным методом 127
4.2. Отыскание оригинала по изображению 136
' 4.3. Методы, использующие вещественную частотную характеристику 183
Глав-а 5. Определение и построение частотных характеристик. . . 192
5.1. Построение амплитудно-фазовой частотной характеристики
разомкнутой системы 193
512. Связь между частотными характеристиками замкнутой и
разомкнутой системы. ..." 197
5.3. Построение логарифмических частотных характеристик
разомкнутой одноконтурной системы 200
5.4. Связь между логарифмическими частотными характеристиками
системы минимально-фазового типа . 215
5.5. Связь между логарифмическими частотными характеристиками '
аамкиутой и разомкнутой системы 217
5.6. Построение логарифмических частотных характеристик мио-,
гокоитуриой системы ' 223
5.7. Определение вещественной частотной характеристики
замкнутой системы „ * ,

5.8. Определение ацплитудно-фазовой частотной характеристики
по кривой разгона -. . 231
Глава 6. Проверка устойчивости . . " 233
6.1. Условие и критерии устойчивости 234
.6.2. Критерий устойчивости Гурвица 238
,6.3. Критерий устойчивости Рауса 240
^6.4. Критерий устойчивости Михайлова 243
6.5. Критерий устойчивости Найквиста 24S
£_6.6. Определенна устойчивости по логарифмическим частотным
характеристикам 252
, 6.7. Запас устойчивости 256
6.8. Влияние малых параметров иа устойчивость 258
6.9. Выделение областей устойчивости 261
6.10. Структурная неустойчивость 272
6.11. Определение-устойчивости систем.с трансцендентными,
иррациональными и нестационарными звеньями 274
Глава 7. Оценка качества регулирования 284
7.1. Точность в установившихся режимах 285
7.2. Коэффициенты ошибок . 288
7.3. Показатели качества переходной ^характеристики. t 296
7.4. Оценка качества переходной характеристики по частотным
характеристикам - 298
7.5.. Показатель колебательности 304
7.6. Интегральные оценки / 307
7.7. Оценка качества переходной характеристики по
расположению нулей и полюсов передаточной функции 314
7.8. Метод корневых годографов 321
7.9. Чувствительность - 329
Глава 8, Методы и средства стабилизации и повышения качества
регулирования 337
8.1. Повышение статической точности 339
8.2. Обеспечение устойчивости и увеличение запаса устойчивости 347
8.3. Корректирующие устройства 353
8.4. Компаундирующие связи 356
8.5. Преобразователи сигналов постоянного тока -. 360
Глава 9.„Методы синтеза систем регулирования по отклонению, . . 385
9.1. Выбор параметров по заданной точности 387
9.2. Выбор параметров по минимуму интегральной оценки . . 393
9.3. Корневые методы 396
9.4. Метод, логарифмических амплитудно-частотных характеристик 402
9.5. Синтез на основе частотных критериев качества 420
9.6. Синтез САР сравнением передаточных функций и по критерию
сближения „ 430
9.7. Синтез САР при случайных воздействиях 435
Глава 10. Комбинированное регулирование 448
10.1. Виды инвариантности 448
10.2. Система комбинированного регулирования 452
10.3. Комбинированная следящая система 456
Приложение 1. Преобразование Лапласа 463
Приложение 2. Разложение полиномов с вещественными
коэффициентами иа множители 468
Приложение 3. Краткие сведения об определителях 473
Приложение 4. Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников 476
Список литературы ~ 437
Предметный указатель 501