БИБЛИОТЕКА ПО АВТОМАТИКЕ
Выпуск 88
Э. Г. УДЕРМАН
МЕТОД
КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
В ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1963 ЛЕНИНГРАД

Редакционная коллегия:
И. В. Антик, А. И. Бертинов, С. Н. Вешеневский,
Л. М. Закс, Н. Е. Кобринский, В. С. Кулебакин, В. С. Малов.
В. Э. Низе, А. Д. Смирнов, Б. С. Сотсков, А. С. Шаталов
ЭЭ-5(4)-3
УДК 62-501.7
У 29
Настоящая книга содержит систематшсеское изло-
жение метода корневого годографа, являющегося ме-
тодом графоаналитического расчета линеаризованных
систем автоматического управления во временной об-
ласти.
В книге даны необходимые сведения о линеари-
зованных системах, излагается сущность метода, свой-
ства корневых годографов и оценки параметров пере-
ходной и частотной характеристик системы в зависи-
мости от расположения нулей и полюсов передаточ-
ной функции замкнутой системы.
Рассмотрены вопросы синтеза систем автоматиче-
ского управления при помощи метода корневого го-
дографа. Все изложенные вопросы иллюстрированы
примерами расчета.
Книга предназначена для научных работников, ин-
женеров и студентов, занимающихся расчетом систем
автоматического управления.
Удерман Эмануил Григорьевич
лгстод корневого годографа в теории автоматического управления,
ли —Л., Госэнергоиздат, 19G3, 112 с. с черт. („Библиотека по автоматике",
six: п. 88)
Редактор Г. А. Бендриков Техн. редактор Г. Е. Ларионов
Сдано Б пр-во 8/VII 1963 г. Подписано к печ. 22/XI 1963 г.
Формат бумаги 84xl08Va^ 5,74 п. л. 7 уч.-изд. л.
Т-14846 Тираж П ООО экз. Цена 35 коп. Зак. 392
Типограф.чя 1 Госэнергоиздата. Москва, Шлюзовая наб., 10.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Среди 'Немалого количества отечественных книг по теории ав-
томатического регулирования нет ни одной, в -которой содержалось
бы достаточно полное и систематическое изложение метода корне-
вого годографа. Целью автора при написании предлагаемой книги
являлось воаполнение этого пробела.
Этот метод, появившийся более ilO лет назад, нашел в настоя-
щее время широкое распространение, как эффективный метод ана-
лиза н синтеза систем автоматического управления (САУ), т. е.
систем а1вторегулирования, контроля и следящих систем. Это объяс-
няется тем, что метод корневого годографа дает расчетчику те же
сведения и воз(можности, что и частотный метод плюс все данные
для непосредственного вычисления переходной и импульсной харак-
теристики системы, т. е. то, что необходимо для анализа и синтеза
САУ не только в частотной, но и во временной области. Кроме того,
метод корневого годографа весьма прост и вполне доступен любому
инженеру.
Будучи рассчитана на широкий круг научных, инженерно-тех-
нических работников и лиц, интересующихся вопросами проектиро-
вания ОАУ, данная книга содержит систематическое изложение ме-
тода корневого годографа, которое иллюстрировано достаточно
большим количеством примеров расчета, как отравило, доведенных
до численного результата.
Изложение материала подчинено принципу: от простого к слож-
ному, от примера к общему доказательству.
Книга состоит из пяти глав. Б первой, вводной главе даются
необходимые сведения о линейных САУ, которые облегчают усвое-
ние последующего материала.
Во второй и третьей главах излагаются сущность метода, свой-
ства и построение корневых годографов.
/В четвертой главе даются оценки параметров переходной и час-
тотной характеристик по корневым годографам, необходимые для
эффективного использования корневых годографов, т. е. для реше-
ния задач анализа и синтеза САУ. Эта глава, так же как и сле-
дующая, частично содержит оригинальный, ранее не опубликован-
ный материал.
Пятая глава содержит вопросы синтеза корректирующих эле-
ментов САУ в плоскости ее нулей и полюсов при помощи метода
корневого годографа.
Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность
Г. А. Бендрнкову, А. Д. Дудыкину и в -особенности А. С. Шаталову
за ценные замечания, сделанные ими при чтении рукопидц этой
книги.
Автор

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Глава п е р в а я. Введение 5
1. Характеристика и область применения метода корневого
годографа 5
2. Необходимые сведения о линейных системах автомати-
ческого управления 6
Глава вторая. Метод корневого годографа 14
3. Плоскость нулей и полюсов 14
4. Р1дея метода 17
5. Простые примеры 20
Глава третья. Свойства и построение корневых го-
дографов 22
6. Свойства корневых годографов 22
7. Построение корневых годографов 27
8. Неодноконтурные системы 35
9. Доказательства основных свойств корневых годографов 42
Глава четвертая. Оценки параметров переходной и
частотной характеристик по корневым годографам.
Построение переходных процессов 47
10. Вводные соображения 47
11. Влияние расположения нулей и полюсов замкнутой си-
стемы на переходную характеристику h(t) 52
12. Влияние расположения нулей и полюсов замкнутой си-
стемы на ее полосу частот 62
13. Возмущения, приложенные не к основному входу си-
стемы 67
Глава пятая. Синтез систем автоматического управ-
ления 73
14. Вводные замечания 73
15. Опережающая (дифференциальная) коррекция ..... 74
16. Интегральная коррекция 83
17. Интегро-дифференциальная кофрекция 89
18. Гибкая обратная связь 93
19. Коррекция по возмущению 99
20. Самонастраивающиеся системы 103
Приложение. Определение корней многочлена 107
Дитература 1Ц

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
1. Характеристика и область применения метода
корневого годографа
(Метод корневого годографа (Root iLocus Method) является
методом расчета линеаризованных замкнутых динамических систем,
т. е. таких систем с обратной связью, поведение которых (в переход-
ных процессах с достаточной для практических целей точностью
описывается линейными дифференциальньши уравнениями.
iK линеаризованным системам с обратной связью относятся
многие системы автоматического регулирования и 1контроля, следя-
щие системы ^ а также усилители с обратной связью.
(Корневыми годографами называются траектории, описываемые
корнями характеристического уравнения системы в комплексной
плоскости корней при изменении одного из параметров, чаще всего
общего коэффициента усиления, от О до оо.
(Метод корневого годографа позволяет успешно решать задачи
анализа и синтеза л-инеаризованных систем в свете требований
к поведению системы в переходных процессах ,(к кскачеству» си-
стемы), вызванных возмущениями, приложенными к системе, или
управляющими воздействиями.
1В0ЗНИКШИЙ позже частотного метода расчета систем автомати-
ческого ^регулирования (iQAiP) метод корневого годопрафа в тече-
ние тоследних лет получил большое распространение в США бла-
годаря своим несомненным достоинствам. (Будучи в своей основе
методом графоаналитичесйим, метод корневого годографа, так же
как и частотный метод, обладает большой наглядностью.
Однако, в то время как прямая интерпретация частотных ха-
рактер'Истик системы с точки зрения ее поведения в переходных
процессах »в общем довольно затруднительна, данные корневых го-
дографов могут 1быть непосредственно использованы для вычисле-
ния переходного процесса по простым формулам, а чаще (всего
основные черты переходного процесса выявляются из рассмотрения
корневых годографов без всяких дополнительных вычислений.
Конечно, при проектировании конкретных САУ каждый вари-
ант рассчитьЕвается не одним, а несколькими методами, после чего
отбирается наилучший из вариантов. (При этом частотный метод и
метод корневых годографов хорошо дополняют друг друга, облег-
^ iBce эти системы ты /будем далее называть системами З'вто-
матического управл^цйя (ОАУ).
5>

чая лроектировщику, иоторый .пользуется обоими методами, реше-
ние задач анализа и синтеза заданной САУ.
Шервой из ра'бот, в которых была 'высказана идея корневых
годографов, 'наоколько нам известно, является статья профессора
К. Ф. Теодорчика I[J1. II], в которой аналитически исследовались
траектории корней характеристического уравнения третьей степени
при непрерывном изменении свободного члена.
Это аналитическое направление метода корневых годографов
развито в последующих работах iK. Ф. Теодорчика и Г. А. Бендри-
кова [Л. 2-н6].
'Графический метод построения корневых годографов был пред-
ложен в 1949 г. С. |П. Стрелковым [Л. 9] и независимо в il950 г.
В. Р. Иш'нсом ![Л. 7, в] и с тех шор получил в США !большое рас-
пространение; как (Root iIjocus Method.
iB работах автора [Л. 10] развит другой графоаналитический
метод построения корневых годографов, тесно связанный с частот-
ными идеями.
Настоящая книга в основном посвящена изложению сущности
и .применению метода корневого годографа Ивэнса, который позво-
ляет решать следующие задачи: •
1. Строить годографы полюсов передаточной функции замкну-
той системы при изменении общего коэффициента усиления или
другого параметра системы.
2. Оценивать качественно и «количественно, как изменяется ре-
акция системы на типовой сигнал ори изменении значения параме-
тра корневых годографов.
3. Учитывать влияние новых параметров системы, появляю-
щихся при изменении или усложнении системы дополнительными
элементами, или учитывать малые параметры.
4. {Производить синтез корректирующих элементов системы.
Прежде чем перейти к обоснованию метода и свойств корне-
вых годографов, напомним читателю основные сведения и понятия
о линейных САУ.
2. Необходимые сведения о линейных системах
автоматического управления
Любая САУ может быть представлена в виде функциональной
схемы (рис. 11), в которой регулируемая величина х^ых некоторого
объекта О .благодаря регулятору Р поддерживается с необходимой
о
0
г
г
п
Рис. 1. функциональная схема системы.
степенью точности, равной или пропорциональной (если в системе
между ее выходом и элементом сравнения ЭС происходит п|ри по-
мощи элемента П .преобразование сигнала) входной величине аГвх,
которая является для САУ заданием.
&

Для 'САУ, называемых сй-стеМами стабилизации, например ре-
гуляторов «апряжения, регуляторов скорости и т. и., '-^Bx=*const.
Для следящих систем Хвх является некоторой функцией времени
и называется управляющим воздействием.
Далее мы будем считать параметры линеаризованных САУ
сосредоточенными и не зависящими от (времени, поэтому дифферен-
циальные уравнения, описывающие САУ, будут уравнениями с по-
стоянными коэффициентами вида К
d^x d^'^x dx .
^0 dV
dt^
h . . . -TOm-i rOmX^x. (1)
dtrr^-^
В уравнении m</г,. коэ(ффициенты щ (i=0, il, 2,..., n) и
(y = 0, 1, 2,m), постоянны, x^^ix для краткости обозначено
через X. Составление уравнения вида (Ч) для каждой конкретной
линеаризованной САУ во многих случях значительно облегчается
при использовании структурной схемы (ОАУ, состоящей из соответ-
ствующих физическим элементам САУ (или их частям) динамиче-
ских звеньев, показанных на рис. 2,а под номерами i/, .2, <5 и 4.
/
0
?
6
и
aj б)
Рис. 2. Структурные схемы САУ.
Число элементарных динамических звеньев невелико; это —
безынерционное (или усилительное) звено, апериодическое (или
инерционное) звено, интегрирующее, дифференцирующее, колеба-
тельное звенья и звено чистого запаздывания. 1Кроме этих звеньев,
в САУ часто применяются стабилизирующие и корректирующие
звенья, например в виде пассивных четырехполюсников.
(Процессы в каждом из перечисленных выше звеньев (кроме
звена запаздывания) описываются уравнениями, представляющими
частный случай уравнения (1) при п^2. Весьма важным и полез-
ным понятием, полностью отражающим динамические свойства зве-
на .(системы), является понятие передаточной функции звена (си-
1 В уравнении i(l) для простоты не учтены воздействия (воз-
мущения), точки приложения которых не совпадают со входом си-
стемы. Для решения уравнения (1) должны быть известны началь-
ные условия, которые могут быть, в частности, нулевыми.
7

стемы), которая определяется .кай отношение нзображеиий но
Ла1п1ла<^ выходной величины к вхюднюй от'ри нулевых (начальных
условиях,
^(')=^- й
Так, если уравнение (Ч) написано для зам'кнутой системы, то
ее передаточная функция (в замкнутом состоянии) в соответствии
с выражением (12) равна
Передаточная функция kW(s) разомкнутой системы |(рис. 2,6) опре-
деляется, как
где
e(s)=^x^±(s)--z(s).
При 1^^(5)=|1 z{s)—x.{s) и e{s) я1вляется изображением ошибки
системы. (Связь между 11ередаточны.ми функциями замкнутой
й^6(5)=а:вых'(5)/л:вх'(5) и разомкнугой систем kWis)=kWi(s)W2{s)
дается выражением
которое легко получить из рассмотрения схемы !рис. 2,6. ,(На этом
рисунке звенья i, 2, 3 рис. 2,а имеют общую 'передаточную функ-
цию kWi\(s), а звено 4—передаточную (функщию W'i^(s).
(Передаточные функции kWi(s)W2(s) и ^о(5), как указыва-
лось выше, вполне определ^яют динамические свойства системы (зве-
на). Это объясняется тем, что они зависят от структуры и всех
параметров системы. |Следовательно, передаточная функция яв-
ляет'ся характерщл^икой (системы. Еотестй'енно, что система i(звено)
может быть описана также и другими характеристиками, а именно:
переходной характеристикой, импульсной переходной характеристи-
кой и частотной характеристикой.
Эти характеристики представляют собою соответствующие реак-
ции (отклики) системы (звена) на так называемые типовые или стан
дартные входные воздействия, поданные на систему (звено), нахо-
дившуюся до этого в покое; переходной характеристикой h(t) на-
зывается реакция системы (звена) на входное воздействие в виде
единичной ступенчатой функции
о
* Здесь и далее обозначение передаточной функции замкнутой
системы будет с индексом 0.

(единичного скачка); импульсной переходной характеристикой или
функцией веса g(t) называется реакция системы (звена) на входное
воздействие в виде единичной импульсной функции b(t) (дельта-
00
функции или функции Дирака, определяемой условием ^d{t)di=l)\
—00
наконец, частотной характеристикой IF (/со) является установившаяся
реакция системы (звена) на входное гармоническое воздействие еди-
ничной амплитуды и частоты со. которую мы предполагаем прини-
мающей все значения от О до оо.
Значение этих характеристик обусловлено не только тем, что
они представляют собою поведение системы i(эвена) при наиболее
типичных, чаще всего встречающихся воздействиях, но и потому,
что они, на1пример скачок 1 \{t), во многих случаях являются наи-
более тяжелыми ^ для системы воздействиями. Если поведение си-
стемы удовлетворяег предъявленным к ней требованиям при возщей-
ствии типа скачка, то полагают, что оно окажется более удовле-
творительным при других видах воадействий.
iKpoMe того, на основании применимости к линейным системам
принципа наложения всегда возможно, зная переходную характе-
ристику h(t) или импульсную переходную характеристику системы
g(t), вычислить ее поведение и при иных характерных воздейст-
виях. Например, для следящих систем такими воздействиями часто
являются линейно нарастающие во времени или нарастающие по
параболическому закону \(по закону равномерно-ускоренного дви-
жения) воздействия x^j^(t),
(Пользуясь интегралом свертки
t t
S S
и зная характеристики ^'(./) или h{t) системы, можно определчть
ее поведение х^ыА^) при любом заданном виде воздействия.
Между всеми упомянутыми выше характеристиками системы
qyщecтвyeт простая связь. Переходная характеристика системы яв-
ляется оригиналом по отношению к ее передаточной функции, побе-
ленной на 5, т. е.
так как
S
4--^^вх(0=1(0.
Импульсная переходная характеристика равна оригиналу пере-
даточной функции системы
^ По вызванным ими (переходным прсщессам.

так как
Частотная характеристака, также называемая комплексным
коэфф'ициентом усиления (шередачи),
получается из выражения для передаточной функции Wi(s) при за-
мене иараиметра .преобразования Лапласа комллексной переменной
5 на мнимую переменную /со.
Зависимость модуля | W1(/co) | =Д(й)) от частоты со называется
амплитудно-частотной, а arg W(/co) =|ф((о)—^фазо-частотной харак-
теристикой системы. Частотная характеристика системы 1^(/й))
лежит в основе частотного метода расчета' GAP и следящих систем,
так как она также отражает динамические свойства системы.
Частотная характеристика W{j(xi) также нео'бходима ири рас-
чете систем при входных сигналах, заданных в" шде случайных
функций времени ири наличии помех.
(Приведем в качестве примера характеристики апериодического
звена, дифференциальное уравнение которого -имеет вид
— L _1
W{s)^ 7-5+1 ' h(t)=\-e \ g(0 = -^e ^ ,
l + i<oT'
Здесь (принято к=1\ Т — постожнная (времени апериодического зве-
на, (величина котррой является мерой его 'инерционности. Зная пере-
даточные функции звеньев, легко получить дифференциальное урав-
нение всей системы в целом, т. е. уравнение зависимости между
выходной и входной величинами вида -(1).
Обычно система состоит из звеньев направленного действия, т. е.
таких, присоединение (которых не оказывает влияния |(не вызывает
обратной реакции) на (предшествующее звено. (В этом (случае спра-
ведливы простые правила для последовательного (|каокадного) и
параллельного соединения звеньев: передаточная фунадия последо-
вательной щепочки звеньев равна произведению передаточных функ-
ций ее звеньев; (при параллельном соединении звеньев их передаточ-
ные функции суммируются.
I. На рис. 3 показаны принципиальная и структурная схемы сле-
дящей системы, состоящей из корректирующего, усилительного,
двух апериодических и одного интегрирующего звеньев. Переда-
точная функция разомкнутой системы kW{6)— ^^^у равна
1^) - pxs + 1 TiS +1 T2S + I S
s{^^s+\)(T,s+l)(T,s+\)^
где (k = kjiji^k;),
10

x{s)
Передаточная функция замкнутой системы (s) =
гласно (4) при W2 (s) — I равна
Заменяя Wo(s) «а x{s)Ixbx(\s), освобождаясь от з.наменателя и
обозначив коэффициенты ори соответствующих степенях s (а имен-
но, при 5^^-» и 5^-», t = 0, il, 2, ...) через ао, аи ^п,
6т, получаем после формальной замены s на d/dt уравнение В1ида (1).
В дальнейшем нам не понадобится ' переход от передаточной
б)
Рис. 3.
а) Принципиальная схема. 6) Структурная схема.
функции замкнутой системы W^(s) к дифференциальному уравнению
системы, так как, зная нули и полюсы WdCs) и начальные условия,
можно сразу написать решение этого ура1внвния при типовом воз-
действии вада единичного скачка 1 {$) или импульса i6(|/), (пользуясь
дриводймыми ниже формулами обратного преобразования Лапласа.
Как (ВИДНО из выражений (3) и (4), (передаточная функция Wo(«)
для рассматриваемого класса САУ является рациональной функцией
комплексной переменной 5 (вида
^.<')-^.
где и Яо(5)—полиномы icreneHin т и п соответственно, при-
чем т<,п\ полином Яо(5), прира(внвнный нулю, является характе-
ристическим уравнением замкнутой системы.
(Переходная характеристика НЩ системы вычисляется три no-
il

= L- ^
г G(s) 1
s
Мощи обратного преобразования Лапласа (|фо;рмулы разложения
Хевисайда)
(7)
имеющей при простых (не кратных) корнях Hq(s) вид [Л. 12, 13]
g(0) . ^(^^)
а импульсная переходная характеристика
^1
В выражениях (7) и (8) (k = 1, 2,..., /2) корни характеристи-
ческого полинома Hq{s) или, что то же, полюсы передаточной функ-
ции замкнутой системы Wq(s\ Я'о (s^)—первая производная
Таиим образом, для иахождения 1пе|реходных характеристик h(t)
и g(t) ino |формулам |(7) и ((8) требуется знать корни xaipaiKTepncTH-
чеокого ура1ане1ния за1М'К1нутой системы Яо(5)=0.
(Как известно, только при степени полинома п<,2 его корни
находятся |без труда, при л=3, 4 и тем 1более п>4 определение кор-
ней уравнения с известными числбнньши значениями коэффициентов
классическими методами становится тем сложнее, чем (выше сте-
пень п (1а (при (буивенных коэффициентах в общем случае при п'^
П|р:йнципиальяо (невозможно).
(Метод корневого годографа не только (позволяет весьма щросто
графическим путем находить корни характеристического уравнения
замкнутой системы независимо от его порядка /г, но 1И определять,
в каком направлении изменяются эти корни (при ва|рьироваеии како-
го-либо существенно важного параметра системы, нап!р1имер его
общего коэффициента усиления. Тем самым метод корневого годо-
графа позволяет решать ряд задач анализа и синтеза линеаризован-
ных САУ.
В заключение данного раздела кратко остановимся на основных
показателях, при помощи которых оценивается качество САУ и ко-
TqpbBMH пользуются (при анализе и синтезе САУ.
.Поскольку метод корневого годографа непосредственно позво-
ляет судить о (поведении л1инеа,ризовакных САУ при переходных про-
цессах, основными оценками качества САУ, которым!и пользуются
при этом методе, )Я1вляются временные (показатели качества: время
регулирования величина выброса или перерегулирование g и кру-
говая частота затухающих колебаний ©i оили число колебаний N
за (время ^о) — р(ис. 4,а.
12

временные .показатели качества характеризуют процесс регули-
рования в системе при приложении к ее входу воздействия ib виде
единичного окачка, следовательно, U, g и coi — это оценки по пере-
ходной ха;рактеристике h(t).
Так как основная задача САУ заключается ib достаточно точном
поддержании регулируемой величины вблизи заданного значения
(например, с точностью до 3—5%), то, кроме указанных выше пока-
t
h(i)
ч ^
/\
>
/ 1
t
1
Wo (ОН
Рис. 4. временные показатели
качества регулирования.
зателей для системы, весьма важен показатель, характеризующий
статическую точность регулирования, а именно— наибольшую уста-
новившуюся ошибку системы. Последняя ограничивает снизу допу-
стимое значение общего коэффициента усиления системы.
При 'большей детализации требований к характеру переходного
процесса иногда к указанным выше основным оценкам присоеди-
няют оценки по времени достижения первого .максимума tm пере-
ходной характеристики h(t) и по времени установления ty\ ij — это
время, за которое переходная характеристика h(t) изменится от 0,1
до 0,9.
Очень важным показателем САР и следящих систем является
величина полосы пропускания частот системы соп. Полосу пропуска-
ния соп определим в соответствии с заданным уровнем, который
обычно принимают равным = 0,707 (рис. 4,^). Таким образом,
сод определяет интервал частот, в пределах которого величина ор-
13

динат амплитудно-частотной характеристики замкнутой системы
We (со) оказывается не меньше 0,707 начального значения W'o(w)j^_o=
==Wq{0)= \. Слишком малое значение соп свидетельствует о „вя-
лости" системы, чрезмерно большое значение ©п показывает, что
система излишне чувствительна к помехам.
При синтезе невозможно обеспечить наилучшие значения всех
показателей качества, поэтому при выборе окончательного варианта
приходится таринимать те или иные компромиссные решения с тем,
чтобы в зависимости от конкретных обстоятельств выполнить в пер-
вую очередь главные тех)нические условия.
ГЛАВА ВТОРАЯ
МЕТОД КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА
3. Плоскость нулей и полюсов
|Как было показано в § 2 предыдущей главы, динамические свой-
ства линеаризованной САУ полностью определяются ее пе(редаточ-
ной функцией
[см. рис. 2,6 и выражение (4)].
Часть системы и соответствующие этой части параметры обычно
являются заданными ([объект регулирования, силовая часть следя-
щих систем, исполнительный орган регулятора и некоторые другие
элементы) и не могут быть изменены.
Друпие элементы, например кQppeктиpyющиe, выбираются так,
чтобы их структура и параметры обеспечивали наилучшие или по
крайней MCipe приемлемые показатели «ачессва системы согласно за-
данным техническим условиям. Так же можно изменять в опреде-
ленных пределах значение общего коэффиииента усиления.
iB примере схемы, приведенной на рис. 3, заданными па|раметра-
ми мож';{1о считать коэффициенты ku (^2 п kz и постоянные вре-
мени Ti и Гг. Остальные параметры а, Р, т и ko выбираются. Заме-
тим, 1ЧТ0 при изменении ko измеряется также и общий коэффициент
усиления k.
iB настоящей главе мы будем рассматривать только одноконтур-
ные системы, полагая, что структура системы и все параметры ее
известны и что только общий коэффициент усиления системы можно
изменять в широких пределах. Для самого общего вида одноконтур-
ной системы, показанной на рис. 2,6, можно при этом считать изве-
стными все нули и полюсы ее передато:чной функции разомкнутой
системы kWi{s)W2{s). Действительно, передаточная функция
^1^1(5)^72(5) в этом случае, в соответствии с правилом для после-
довате.чьной цепочки звеньев, равна произведению передаточных
функций звеньев системы. Так как порядок Ч1ислителя и знамена-
теля отдельных звеньев не выше чем 2, то при известных (1задан-
ных) параметрах'звеньев можно считать известными также корни
числителя и знаменателя каждого звена, а следовательно, и всей
передаточной функции разомкнутой системы.
14

(Корни числителя kWi(s)W2{\s) являются нулями, а корни знаме-
нателя— полюсами передаточной функции разомкнутой системы.
Итак, пока будем считать нули и полюсы kWt(s)Wi^(s) известными,
так как полагаем параметры системы заданными.
Нулями передаточной функции замкнутой системы Wo(s)=^
= G,{s)IHo(\s) являются корни <j(|s), т. е. корни числителя Wo(s),
а полюсами IFo(s)—корни его знаменателя Ho{s). Так как Wi(s)
и ^2(5) сами являются дробями (ютношением полиномов по s), то
Wo(]s) имеет нули, совпадающие с нулями Wi(s) и с полюсами W2(s)
(если только последние все или частично не сокращаются с нуля-
1ми Wi(s)).
Wo(\s) имеют полюсы, являющиеся корнями характеристического
полинома замкнутой системы Яо(5)=0, которому равносильно урав-
нение:
^+kWi{s)W2is)=0. (110)
Рассмотрим простейший пример. Пусть
S+1 5+3
тогда
k(s + \)(s + 0,b)
(s + 3)[s {s + 3)(s + 0,5) + k(s+\)\'
Отсюда видно, что один нуль W(i(s) совпадает с нулем Wi(s),
равным Ni=—\.
Второй нуль Wq{\s), равный — 0,5, совпадает с полюсом 1^2(5).
Один полюс Wo(!s), а именно равный — 3, совпадает с полюсом
Wi (s) вследствие того, что этот полюс Wi (s) оказался равным нулю
W2(^). Остальные три полюса Wo(s) находятся из уравнения, полу-
ченного приравниванием квадратной скобки знаменателя Wo(s)
нулю.
'В случае системы, рассмотренной в предыдущем параграфе (|5)
и (6)
kW (s) = kW, (s) = si^.s+\l7^\T,s+l) (1 ^)
"^o^'f-H.is) s(^zs+\)(T^S+l)(T,s+\) + k(axs+iy ^'^f
легко убедиться, что единственный нуль N данной замкнутой си-
стемы* совпадает с нулем разомкнутой системы ^~"~"'^> а по-
люсы Wq(s) являются корнями уравнения Яо(5) = 0, т. е. корнями
уравнения 4-й степени
s(pTs + l) (Tis+\) (T2S+I)-Ь^(ат5+1) =0. (13)
^ Для краткости здесь и далее будем иногда опускать слова
«передаточная функция» и называть ее нули и полюсы нулями и
полюсами системы.
15

Вообще нули Wo{s), равные нулям Wi(s) и полюсам 1^2(5),
для всех одноконтурных систем определяются без .труда, так как
числитель G(s) передаточной функции W(i(s) в этом случае пред-
ставляет собою произведение сомножителей первого или второго
порядка,
Полюсы 1^0 (5), как это показано ииже, находятся методом кор-
невого годографа на комплексной плоскости переменной 5, являю-
//лосность S
^^"/7 "^""5 ^1 ^^^^^
.0 б-
Плоскость
1
>
^0 ^
Рис. 5. Плоскость нулей и
полюсов.
а — нули и полюсы переда-
точной функции разомкнутой
системы; бив — построение
векторов (s—P^).
щейся плоскостью нулей и полюсов передаточных функций системы
kW(s) и 1^0(5) (рис. 5).
На этом рисунке крестиками изображены полюсы, а кружочка-
ми—нули передаточной функции разомкнутой системы kW(s) =
=\kWi(s)W^(s), соответствующей выражению ;('Ш) и рис. 3:
^^(") = i7^-j(^
kW (s) = kW, (s) is) = s(^.s+lT.s+l)iT,s+xy (14)
x (5)). Система имеет один конечный нуль
N^ — 'rr и четыре полюса = О, — т~"» —tjt-^vl
(Здесь 1^2(5)= 1 и z{s)
_ 1
расположенных на отрицательной части вещественной оси
плоскости S.
16

Из уравнения (|13) видно, что (при значении k, равном нулю,
корни характеристического уравнения замкнутой системы Hq(s)=Q,
или, что то же, полюсы Wo{s) совпадают с полюсами передаточной
функции разомкнутой системы kWi^)^kWi(s)w2(s).
Однако при k полюсы Wo(s) уже не совпадают с полюсами
kW\{!^)W^(s). Расположение полюсов Wq(s) в плоскости s для всех
значений k от О до оо находится (методом Ивэнса, который изла-
гается ниже.
4. Идея метода
Запишем уравнение i(10) (равносильное характеристичеркому
уравнению замкнутой системы) в (виде
kWdsW,(s)==-h (15)
где k — вещественное число.
Так как W\{^) и W^is) являются функциями комплексной пере-
менной 5, то уравнение (15) распадается на два уравнения:
и при ^>0
При ^ < О
\kW,(s)W,(s)\ = \, (16)
arg [kW, is) (5)] = ±Tz (21 + 1). (17)
(/ = 0, 1, 2,...)
arg [kW, (5)1^2 (s)] = ± 2izl (17,a)
В дальнейшем будем рассматривать системы, для которых k>Q
(отрицательная обратная связь), (поэтому согласно уравнению (|17)
корни характеристического уравнения HqS^O при 0<k< + oo лежат
яа линиях, для которых аргумент равен нечетному числу я.
Уравнение (17) является уравнением корневых годографов или
уравнением фаз, ибо каждый корень Sk уравнения i(15) удовлетво-
ряет также уравнениям (16) и (|17).
Уравнение (17) лежит в основе метода построения корневых
годографов. Чтобы это показать, представим kWi(js)w2{s) в (виде
kW,(S)W,(S) = kc(18)
где Nu n2, Л/^т—яули, Рь р2, Рп—полюсы передаточной
функции разомкнутой системы, а с —множитель, появляющийся при
(переходе выражения вида ()14) к виду (18). Каждый из множите-
лей, (s—Pi) или [s—Nj\ выражения (18), изображается на плоско-
сти 5 нулей и полюсов (рис. 5,6) вектором, направленным из точки
Pi(Nj) в точку 5 (где s вообще (произвольная точка в этой плоско-
сти) (ПОД соответствующим углом 6^ (8?) к вещественной оси. На
рис. б,в показаны векторы, проведенные в точму s из полюсов Pi, р2,
Рз, Pi и нуля Л^, показанных на рис. 5,а.
'Если же точка s.является одиим 1из Sk корней (^==1, 2, п)
характеристического уравнения (|15), то (комплексное число удовле-
2—Э, г, Удерман. \J

т&оряет уравнению (17), которое можно записать в развернутой
форме:
0; + е; + ... + 9;~(9, + 92 + ... + 8„) = ±(2/ + 1)7:. (19)
Оказывается, что нетрудно, пользуясь только линейкой и
транспортиром, довольно быстро отыскать яа плоскости 5 точки,
удовлетворяющие уравнению (19), н таким образом найти возмож-
ные кррни характеристического .полинома Ho(]s) замкнутой системы^
для ik, изменяющегося в пределах от О до +оо. Важно подчеркнуть,
что при таком способе графического решения уравнения (19) совсем
не нужно принимать во внимание коэффициент усиления системы k
(который IB уравнение ('19) не входит). Для уже найденного корняSk
полинома Ho(s) значение k, соответствующее определенной точке
годографа, легко находится из уравнения (16), которое удобнее
(представить в виде:
1 /Л^^
с Г Г Г ' ^^^^
где li и /у —длины соответствующих векторов (5а—Pi) н (|5а—iVj),
(/=1, 2, Пу /=1, 2 , т), (проведенных из (известных полю-
сов и нулей разоминутой системы в полюс Sk замкнутой системы.
Совокупность точек Sk на плоскости 5, т. е. найденных указан-
ным способом корней Sh полинома Яо(5), для которых значение k
изменяется от О до оо, образует п ветвей корневого годографа си-
стемы |(в соответствии с порядком п системы).
Построение корневых годографов значительно облегчается при
пользовании нескольким1и правилами, .основанными на свойствах
корневых годографов, которые изложены в следующей главе. Для
иллюстрации и лучшего понимания сущности метода вернемся к (при-
меру системы с передаточной функцией
kWAs)WAs)^ s(H+l)(7'.. + l)(7-,s4-l)' (2')
нуль и (ПОЛЮСЫ которой показаны на рис. 6, причем для параметров
системы приняты числовые значения: Г1 = 0,1; Г2=0,05; г=0,015;
а=14; Р=1.
Выражение (i21) представим в 1форме (18):
kW, (5) W, (5) = k _ _ р^) •
^ Для ускорения графического построения корневых годогра-
фов Ивэнс разработал специальное приспособление «Spirul» [Л. 8],
состоящее из (прозрачного транспортира для суммирования углов 9
и логарифмической спирали для перемножения длин векторов, опре-
деляющих усиление.

Здесь
с —
а _ 14 1
рГ^Гз 1.0,1.0.05 2^^^' = 4'^'
Pj = 0, P2 = ---7Y = "~10, Рз = —-у-^—20.
^-67,2.
На рис. 6 цреугольником показана одна точка корневого годо-
графа—полюс 51 замкнутой системы, графически найденная путем
^■50j
40J
Плоскость S
-3Dj
/(-8,5
К'
■20j
\у
■fOj
'^^'P^W "^^
-10
-lOj
Рис. 6. Корневой годограф системы
2 800 k{s + 4,8)
5 (s + 10) (s + 20) (5 + 67) •
проб ;(попыток) ^ вскторы (^j-Pi), (5i—Рг), ..., проведенные из
каждого полюса Pi, Ps, Рз, Ра и нуля Ni в полюс Si, длины этих
векторов /ь /2, .. ..и их углы наклона к оои абсцисс 0i, 62.
Нетрудно видеть, что указанный полюс
5i=-^10+/17,3
удовлетворяет уравнению фаз (19).
— (Gi + 82 + бз + 8J = 107° — (120° + 90° + 60° + 17°) = — 180^
^ То-есть испытанием различных точек плоскости 5, выясняя,
удовлетворяют ли они уравнению ((19), до тех пор, пока не обна-
руживаются точки '(такие, как 5i), ему удовлетворяющие.
2* 19

itt(pih указашых uta рис. 6 длинах вектаров /i=20, /2=17,3,
/3=20, /4=62 и /? = 18, (получаем значение k в точке корневого
годографа si=—104-/17,3, согласно (20)
1 IUbU^ 1 20-17,3.20.62 _
^— с /° 2 800 18
Так как характеристическое уравнение Яй(5)=0 имеет действи-
тельные коэффип'иенты, то его кОхМ1Плекочые корни являются сопря-
женными. Кроме «айденного полюса Si=—lO-f/17,3, при ^=8,5
имеется также сопряженный с ним полюс 52=—tlО4-/17,3, находя-
щийся на ветви годографа, которая является зеркальным отраже-
нием от действительной оси ветви годографа, показанного на рис. 6
жирной линией.
Стрелки на корневых годографах указывают на возрастание па-
раметра k, изменяющегося от ^=0 до k= + oo; значения k указы-
ваются для характерных точек корневых годографов.
Из рис. 6 видно, что ветвь корневого годографа, на которой
находится полюс 5i, начинается (|при ^=0) в полюсе ^2=—Ю разо-
мкнутой системы. При увеличении k полюс si перемещается влево
навстречу полюсу 52 (двигающемуся от полюса Рз=—20 цри ^=0
вправо) по части действительной оси. В точке встречи полюсов Si
и 52 они образуют двукратный полюс, затем при дальнейшем возра-
стании k полюсы 51 и 52, бывшие до 13Т0Г0 действительными, отходят
от действительной оси, становясь комплексно-сопряженными, и да-
лее двигаются (по (ветвям корневого годографа, лежащим соответ-
ственно во втором и третьем квадратах плоскости 5.
При k -♦оо указанные ветви годографа после пересечения мни-
мой оси /со плоскости 5 уходят в •бесконечность. Остальные ветви
корневого годографа, показанные на рис. 6, совпадают с отрезками
действительной оси. Одна из них начинается (при k = 0) в полюсе
Pi = 0 и заканчивается (Цари k=oo) в нуле A^i=—4,8. Последняя ветвь
годографа начинается (при ^=0) в полюсе р4=—67 и при k-*co
удаляется вдоль отрицательной части действительной оси в —оо.
Число ветвей годографа совпадает с порядком системы п=4.
Расположение и конфигурация корневого годографа являются
следствием определенных свойств корневых годографов, рассмотрен-
ных в следующей главе, знание которых значительно облегчает их
построение.
5. Простые примеры
Прежде чем перейти к систематическому изложению правил по-
строения корневых годографов, целесооб!разно познакомиться с по-
строением корневых годографов для нескольких (простейших случаев.
а) На рис. 7,а изображен полюс передаточной функции разо-
мкнутой системы (точнее, звена)
неустойчивой в разомкнутам состоянии.
20

При замыканий этой системы жесткой отрицательной обратной
связью (\l72(s) = l), получаем
Единственная ветвь корневого годографа этой элементарной си-
стемы совпадает с частью действительной оси, .расположенной между
точкой G = a и —оо (рис. 7,а).
Плоскость S
Плоскость S
■f-a
Плоскость $
- а
а
1
б)
Плоскость 5
О ?
Рис. 7. Корневые годографы простейших систем:
б) Корневой годограф элементарной системы с передаточной
функцией
показан на рис. 7,6. Годограф состоит из отрезка действительной
оси длиной а и прямой, параллельной мнимой оси /со.
1в) Структурно неустойчивая система, состоящая из одного апе-
риодического и двух интегрирующих звеньев и стабилизированная
при помощи нведения сигнала по производной, имеет передаточ-
ную функцию
Передаточная функция замкнутой системы
k(s + b)
v^o{s)-as^ + ks + kb'
21

При a>b>0, как следует из проверки системы на устойчивость при
помощи критерия Гурвица,
A2=ak—\-bk>0
видно, что данная система устойчива при всех значениях k от О
до оо.
Так как сумма всех трех полюсов данной замкнутой системы
в соответствии с формулами Виета равна — a=const и от k не за-
шсит, то кюрнев^ой подопраф си/отемы дол1жен иметь В1ид, изобра-
женный на рис. 7,в.
Действительный полюс Wo(s) при ^ = оо попадает в нуль систе-
мы—б. Два комплексно-сопряженных полюса Wo{\s) при /г=оо по-
падают на прямую параллельную оси /со — асимптоту, расстояние
которой от мнимой оси легко найти из условия
si-fRes2+Res3=—а (при ^=оо),
откуда
-а + Ь
Ке ^2 = Re 5з = 2 *
г) Система с передаточной функцией
имеет корневой годограф, изображенный на рис. 7,г. При значении
/jj > О в точке 1 возникает двукратный полюс замкнутой системы.
При ^ > ^1 две симметричные ветви годографа имеют вид полу-
окружностей. При значении в точке 2 опять возникает двукрат-
ный корень, и при k-^co (^ > ^2) корни остаются действительными
отрицательными, причем один из них стремится к нулю—Ь, второй
к—оо. Такой вид годографа легко обосновать, анализируя харак-
теристическое уравнение замкнутой системы 4- (а + k) s + kb=0,
из дискриминанта которого D = ( —^—) — kb определяются зна-
чения ^1,2 = 26 — л 4- — аЬу соответствующие двукратным кор-
ням в точках 1 и 2 годографа (рис. 7,г).
В рассмотренных примерах оказалось нетрудно наметить без
всяких вычислений очертания корневых годографов. Это также воз-
можно во многих других случаях и для сложных систем.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
СВОЙСТВА И ПОСТРОЕНИЕ КОРНЕВЫХ
ГОДОГРАФОВ
6. Свойства корневых годографов
iB настоящем параграфе приводятся свойства корневых годогра-
фов, использование которых существенно облегчает их построение.
Доказательства десяти основных свойств корневых годографов
даны в конце главы.
22

1. Непрерывность и симметричность. Корневые годографы яв-
ляются неп!ре;рыв1ными кривыми или отрезками прямых, соответствую-
щими изменению коэффициента усиления от О до оо. Корневые го-
дографы, не лежащие на действительной оси, симметричны относи-
тельно етой оси, Эти свойства иллюстрируются нриведеиными выше
примерами и рис. 6 и ,7.
2. Число ветвей корневых годографов. Число ветвей корневых
годографов равно порядку системы. Это очевидно, так как число
ветвей годопрафа равно числу полюсов передаточной функции Wo(s)
(или числу корней характеристического уравнения Hq(s)=0).
3. Ветви корневых годографов на действительной оси (при
k^O). Отрезки действительной оси, по которым перемещаются дей-
ствительные корни при изменении k^O, являются ветвями корне-
вого годографа. Эти ветви корневого годографа находятся в тех ча-
стях действительной оси, справа от которых расположено нечетное
>
Плошсть S
si
,0 б
Р Р Р
а)
Плоскость S
6)
Рис. 8. Ветви корневого годографа на действительной оси.
общее число действительных нулей и полюсов разомкнутой системы.
Это свойство является следствием уравнения фаз корневых годогра-
фов (|19); рис. 8 является к нему иллюстрацией.
iHa рис. 8,а показаны три полюса передаточной функции системы
третьего порядка, не имеющей нулей. Первая ветвь корневого годо-
графа находится между полюсом Pi=0 и вторым полюсом. Для лю-
бой точки (полюса Sh замкнутой системы) этой ветви справа нахо-
дится один полюс Рь
Для второй ветви корневого годографа, идущей из точки Рз
в — со, также справедливо указанное свойство: справа от любой
точки (Is'a) второго годографа находятся три полюса — Рь Р2 и Рз.
Отрезок действительной оси между полюсами Р2 и Рз не может
принадлежать положительному корневому годографу (^>0), так
как справа от любой точки этого отрезка находится четное число (2)
полюсов. На рис. 8,6 по тем же соображениям только отрезки
между полюсом Pi и нулем N и между Рг и |беоконечностью являют-
ся ветвями положительного корневого годографа.
4. Начало и конец ветвей корневых годографов. Ветви корневых
годографов начинаются при ^=0 в полюсах передаточной функции
разомкнутой системы.
23

При k -> с» m ветвей корневых годографов стремятся « т ко-
нечным нулям нередаточной функции. Остальные п-^т ветвей кор-
невых годографов стремятся к бесконечности.
Из рис. 6, 7 1И в видно, что все ветви корневых годографов на-
чинаются 1при ^==0 в полюсах Я»; одна из ветвей годографов рис. 6,
7,в, 7,2, и 8,6 нри k=oo сливается с единственным нулем системы
(в обоих случаях т=1), а остальные ветви годографов при k-^co
уходят в бесконечность.
Асимптота
Рис. 9. Асимптоты корневого годографа.
5. Асимптотические свойства. Ветви корневых годографов, ухо-
дящих при ^ ->оо в бесконечность, имеют асимптоты, число которых
равно разности высших степеней знаменателя и числителя переда-
точной функции kW(s). Асимптоты в виде .звезды из п—m полупря-
мых выходят из одной точки, находящейся на действительной оси,
под углами 9а к оси абсцисс, которые вычисляются по формуле
= 0, 1,
,n — fn — 1).
Общая точка пересечения асимптот имеет абсциссу
п т
/=1
/=1
п — т
(22)
(23)
где Pi и Nj, как и выше, обозначают соответственно полюсы и нули
передаточной функции разомкнутой системы. Для примера, рас-
смотренного в § 4, на рис. 6 были нанесены приближенно построен-
ные комплексные ветви корневого годографа. На рис. 9 для того
же примера, кроме комплексных ветвей корневого годографа, пока-
24

занЬ! Тар^же их асимптоты. Для этой системы п=4 и т=1, поэтому
число асимптот равно п—т=3.
Углы 0а равны
180° 3-180° 5-180°
9а = —=60°. ^-^ = 180°, —3^ = 300°.
Абсцисса точки пересечения асимптот
0_ 10 —20 —67--(—4.8) _
аа= 3
-30.7.
Построение асимптот, «ак мы убедились, совершенно элемен-
тарно, ;В то же время асимптоты .весьма облегчают построение ком-
плексных /ветвей корневого годографа. На рис. 9 цифры яа корне-
Плосность S
Рис. 10. К определению точки (а) пересечения корневого годо-
графа с действительной осью.
вом годографе показывают значения коэффициента усиления
соответствующие данному комплексно-сопряженному полюсу замкну-
той системы.
На рис. 7 мы также встретились с асимптотами: на рис. 1,6
ветви годографа, параллельные мнимой оси, в то же время являются
и асимптотами. На рис. 7,в асимптоты находятся под углами 9а =
= + (дг — /п = 2) и согласно (23) пересекаются в точке с абсцис-
— л + 6
сой аа= 2 » "^"^^ совпадает с тем, что было найдено в § 5.
6. Пересечение с мнимой осью. Точки пересечения нетвей корне-
вых годографов с мнимой осью плоскости S находятся при помощи
одного из К|ритериев устойчивости: Рауса, Гурвица, Михайлова или
Найквиста. Для систем высокого порядка графическое нахождение
этих точек методом проб (как и любой другой точки корневого годо-
графа) при помощи уравнения фаз (S9) быстрее приводит к цели,
чем'критерии устойчивости.
7. Точки пересечения с действительной осью. Кратные точки,
в которых ветви корневых годографов покидают действительную ось
и уходят одна в верхнюю, другая (|сапряженная) в нижнюю поло-
вину плоскости S или, наоборот, приходят оттуда, создавая кратные
корни на действительной оси, находятся из условия нулевого изме-
нения суммы углов в уравнении фаз (19) при переходе от точки
25

Пересечения к достаточно близкой к ней точке, не лежащей на дей-
ствительной оси. При этом должны учитываться знаки приращения
углов а9. поясним сказанное примером из [Л. il41. На рис. 10 лока-
зано расположение полюсов разомкнутой системы. В искомой точ-
ке —а, в которой образуется двукратный полюс 5==—а, небольшое
приращение коэффициента уоиления А^>0 превращает этот полюс
(жратности 2) в два близких к точке —а комплексно-сопряженных
полюса 51 и 52 К
Заменяя приращения А8 углов 0 в уравнении (19) их тангенсами
(ибо все Д0 малы), получаем (рис. 10)
\P2\-0i ^ IP3I-
=0,
(оо)
откуда после сокращения е находится а. Очевидно, все изложенное
остается справедливым и для обратного случая, когда из двух близ-
Плоснрсть S
Рис. и. К определению угла выхода ветвей корневого годо-
графа из комплексного полюса.
КИХ комплексно-сопряженных полюсов образуется двукратный дей-
ствительный полюс — а.
8. Углы выхода и входа. Углы 0, под которыми ветви корневых
годографов выходят из комплексного полюса и входят в комплекс-
ный нуль передаточной функции разомкнутой системы, находятся из
уравнения фаз (19), записанного для этого полюса или нуля. Это
лучше всего уясняется на примере.
Найдем угол выхода ветви годографа из комплексного полюса
= — 1 + у Уз' системы с передаточной функцией (в разомкнутом
состоянии)
1 Полюс 52 на рис. 10 не показан.
26

kW, (s) WAS)-+ '
нуль и полюсы которой изображены на рис. 11.
Для полюса Pi iBce углы 9 уравнения фаз (19)
6° -(9х + 9^ + 9з + 9,)= + (2/ + 1) 180°,
кроме 1угла Эр который и является искомым углом /выхода «ветвн
корневого годографа из полюса Рь известны. ^
Тогда
0, = + 180° (2/ + 1) - (02 + 9з + 9,) + 0;.
Для нашего примера угол выхода
9i = + 180° — 90° — 120° — 30° + 45° = — 15°.
Аналогично определяется и угол входа ветвей годографа в ком-
плексный нуль. Очевидно, что углы выхода из вещественного полю-
са и входа в вещественный нуль равны нулю или 180°.
9. Расхождение ветвей корневого годографа. В том случае, когда
разность п—^т высших степеней числителя и знаменателя переда-
точной функции разомкнутой системы больше двух (п—т>2), одни
ветви корневых годографов отклоняются в правую половину, дру-
гие — в левую половину плоскости s.
Это свойство является следствием асимптотических свойств кор-
невых .годографов (см. пункт 5) и имеет существенное значение. При
расчете сиатемы, для которой п—^т>2, имеется основание при оцен-
ке переходных процессов учитывать только нули и полюсы тех вет-
вей годографа, которые отклоняются вправо. Иначе говоря, благо-
даря указанному расхождению ветвей корневого годографа в проти-
воположные стороны система п-то порядка во многих случаях ведет
себя в динамике как некоторая эквивалентная система более низкого
(например, третьего, второго и даже первого) порядка, имеющая
нули и полюсы, совпадающие с группой нулей и полюсов, наиболее
близких к мнимой оси и началу плоскости s.
Рис. 6, 7,в и г, 8,а и 9 иллюстрируют указанное свойство. По-
дробнее это изложено в § И.
ilO. Сумма и произведение корней. Использование известных
свойств суммы и произведения корней алгебраического уравнения ча-
сто оказывается весьма полезным при построении корневых годо-
графов.
7. Построение корневых годографов
В настоящем параграфе приведены примеры построения корне-
вых годографов, в которых систематическое использование указан-
ных выше основных свойств корневых годографов существенно
Для полюса Pi эти углы обоз1начены на рис. М 9,
27

>
Плоснаат s
3j
Пмшсть s
3j
2j
К 'О ' ' 1
,0 6
V
.0 6
-J- -/ 1
-S -4 -3 -2 -1
'Рз
Ллосиость s
Ошкость s ^
б
^« // /
^;
,0
Плоскость s
Рис. 1?. Этап1?1 построени?! корнееого годографа

облегчает их лостроение. Эти примеры имеют основной целью про-
иллюстрировать технику построения корневых годографов, поэтому
они даны 'В порядке возрастающей сложности со всем1И этапами по-
строения.
Примеры, приведенные в этом параграфе, относятся к однокон-
турнььм системам. Неодноконтурные системы рассматриваются в сле-
дующем параграфе.
Пример 1. На рис. 12 показаны последовательные этапы по-
строения корневых годографов для системы с передаточной функ-
цией
fe(5 + 2.73)
kV^is) - s(s + 4) (s^ -f 2s + 4) '
расположение полюсов Pi и нуля Л^, которой на рис. 12,а принято
таким же, как и на рис. 11. Сначала определяем число ветвей кор-
невого годографа, равное порядку системы /г=4; из них две ветви
годографа, исходящие из пары комплексных полюсов Pi,2=—1±/1,73,
являются комплексно-сопряженными. Согласно третьему свойству,
вычерчиваем на действительной оси ветви корневого годографа
замкнутой системы ()рис. '12,6), Одна из них занимает отрезок между
полюсом Рз=0 и нулем вторая направлена от полюса Р4 к —оо.
В соответствии с четвертым свойством ветви корневого годографа
начинаются при k=0 в полюсах Рь Рг, Рз и Р4 и заканчиваются
один в нуле Л^, а остальные три — в бесконечности.
Далее определяем число асимптот /г—/n=4—1=3, их "углы 6а
и абсциссу Оа их пересечения с действительной осью, согласно фор-
мулам (22) и (23),
9а =5^180° (/ = 0, 1. 2)
9^ = 4-60°. —60° и 180°.
/г т
п — т
а == Т Т 0_2-4-(-2,73),
^—1.09*.
Асимптоты наносим на чертеж рис. ;12,в. Определяем точки пересе-
чения двух сопряженных ветвей годографа с мнимой осью, пользуясь
критерием Гурвица.
Характеристический полином для данной замкнутой системы
Яо(5) = ао54+а15Иа25'2 + аз5 + а4 = 5*+б53-Ы252+|(16+^)5 + 2,73 k. (24)
Из единственного условия для границы устойчивости — уравнения
Дз = a^a^dz — а^а\ — а\а^ — О
* Заметим, что в сумме Рг можно не писать мцимых частей
комплеккгцо-сопряженных полюсов,
29

легко определяется соответствующее значение ^кр,. а из уравне-
ния Яо|(/сОкр) = 0 — граничные частоты
которые Ч!Исленно равны координатам искомых точек пересечения
двух 1ветвей корневого годографа с .мнимой осью.
iB данном случае ^кр='13,'8 и С0кр=±2,24; соответствующие по-
люсы si и S2 на мнимой оси показаны на рис. 12,в треугольниками.
В соответствии с восьмым свойством определяем углы выхода
01 и 02 корневых годографов из комплексных полюсов Р, и —
рис. 12,2. Так как углы 0i и 02 вычислены в предыдущем параграфе
именно для этой ко'нфигурации полюсов: 0i = — 15°, 02 = + 15°, то
наносим нх на чертеж рнс. 12,г. На последнем рис. 12,^ в увели-
ченном вдвое масштабе показан окончательный вид всех четырех
ветвей годографа. На этих ветвях указаны три значения k:
Aj = 0, ^=4,22 и ;^=13,8.
(При вычислении полюсов на вещественных ветвях годографа
было использовано десятое свойство: например, при ^=^кр=13,8
произведение двух вещественных корней найдено делением свобод-
ного члена полинома (24) на <о^р=2,242, д сумма этих корней, оче-
видно, равна коэффициенту при 5^ полинома Яо(|5), взятому с обрат-
ным знаком, т. е. — 6:
2,73^„р 2,73.13,8^
iol 2,24^
Si + S2 = -6 j
Но-видимому, читатель заметил, что корневые годографы
(|рис. 12) в данном примере были построены почти полностью ана-
литически. Основное уравнение корневого годографа (19) было ис-
пользовано только один раз при определении углов выхода комплекс-
но-сопряженных ветвей годографа из полюсов Pi и Рг. Точность
построения этого годографа может быть повышена при использова-
нии уравнения (19) для контроля двух-трех точек приближенно по-
строенного годографа рис. \2,д, однако едва ли в этом есть необхо-
димость, так как точность порядка 5—^10% в технических расчетах
САУ обычно вполне приемлема.
В заключение отметим, что коэффициент k в рассмотренном
выше примере не является добротностью ky данной астатической
системы (-г- называют также коэффициентом скоростной ошибки
системы j. ky определяется из выражения:
ky = [skW{s)]s=,,
2 73
В нашем примере ky = k ~^^ = 0,\7к
(срав(ннт^ выражения (18) и (20)).
30

Пример 2. В примере показано построение корневого годографа
для системы, принципиальная схема которой изображена на рис. 13.
Объектом является силовая часть следящей системы с элекгроиным
ЭУ и электромашинным ЭМУ усилителями, имеющая оостоянные
времени: цепи [управления Гу = 0,01 сек, поперечной цепи ЭМУ
Рис. 13. принципиальная схема следящей системы.
Гд = 0,02 сек, пени якорей генератора и двигателя Га=0,004 сек и
электромеханическую постоянную Гм = 0,025 сек.
Передаточная функция -двигателя (с учетом индуктивности яко-
рей Га) равна 1/5|[(Га5+11)Гм5 + 1]. Эгго выражение ори Га = 0,004 се/с
и Гм = 0,025 сек можно преобразовать к виду 10V5('-s+50) (s-t-200).
Данная система имеет показанную в углу рис. 13 последовательную
интегро-дифференцирующую корректирующую цепь, которая вклю-
чается на 1входе соответствующего каскада ЭУ с передаточной
функцией
с'{8 + \.Ъ)(8+\2)
(s + 0.1)(s+167)-
Передаточная функция всей разомкнутой системы при указан-
ных данных
Система имеет семь полюсов и два нуля, расположенных яа ве-
щественной оси (рис. 14,а). Число нетвей корневого годопрафа /1=7,
ветви вещественных корней годографа показаны на рис. 14,6 без
соблюдения масштаба.
Определим число аси.мптот, их углы наклона 9а и абсциссу Оа
центра звезды аси.мптот.
Число асимптот равно л—w=5. 9а находится по формуле (22),
а Оа—по формуле (23):
31

»< X f> X 11 X |Н>Х—ti-
-200-m-m -so -12-10 -v -n
Плошстб s
-12
-m'167-^00-60 'fO -1,3-0,1
//jfoCKOcmb s
Пмошсть s '^^
'0'
ej
Рис. 14. Этапы построения корневого годографа.
9а = ^^"'"g^'^°''=±36°. ± 108°, 180°, (»• = 0. 1 4);
Са = ^ =-(0—0,1—10—50—100—167—200+1,3+12)
= — 103.
32

Из рис. 14,6 ясно, что из семи полюсов данной системы на поведе-
ние сиатемы в переходном процессе ©(лияют только два или три (бли-
жайших к нача1Л1у плоакости s полюса и один иушь A^i = —'1,3. Дей-
Ствиггель1Н0,па1Юсы — 100, —167 и -н200 уходят при ^оо,'стрем1Ясь
к своим аси.мптотам, в левую половину плоскости s, полюс — 50
стремится к нулю Л^2=—12, достаточно далекому (по сравнению
с ближайшей группой полюсов Pi = 0, Р2=0,1 и нуля Ni=—1,3) от
начала плоскости s. Поэтому существенными для данной системы
являются только полюсы Pi=0, Р2=—0,1, Рз=—^10 и нуль Л^1 =—1,3,
Рис. 15. Корневой годограф системы примера 2.
изображенные схематически на рис. (14,г и ^ в соответствии с двумя
возможными конфигурациями корневых годографов.
Для того чтобы выяснить, какая из этих конфигураций иа самом
деле имеет место, определим точки пересечения ветвей годографа
с вещественной осью, т. е. установим, существуют ли кратные ве-
щественные корни —а на отрезке оси от —^1,3 до —10. Изменение
суммарного угла вблизи полюса —а (рис. !l4,e)
Отсюда находим: ai=2,8, а2~7. Третий вещественный корень куби-
ческого уравнения относительно а находится между О и 0,1.
3—Э. г. Удерман. 33

Таким образом, далее необходимо построить комплёксно-солрй-
женные ветви годографа с конфигурацией, показанной яа ряс. 14,(5.
Верви годографа, охватывающие нуль Ni=—1,3, существенны толь-
ко при малых значениях коэффициента усиления ^ —при достаточно
больших k один из полюсов замкнутой системы почти компенси-
руется 1Н|улем Л^ь поэтому так называемыми доминирующими полю-
сами являются только комплексные полюсы на комплексно-сопря-
женных ветвях годографа, идущих к мнимой оси /со. На <рис. 15
представлен в -масштабе окончательный вид корневого годографа.
На ветвях годографа доминирующие комплексные корни пока-
заны треугольником. Два значения полюса Si были найдены графи-
чески с использованием основного уравнения фаз ()19). В данном
случае полюс на мнимой 'Оси s«/40 оказалось легче найти (путем
двух проб) при помощи уравнения ()19), чем по условию для гра-
ницы устойчивости, так как порядок системы п=7 достаточно высок
и применение любого из критериев устойчивости потребовало бы го-
раздо больше времени на вычисления.
Покажем, как был найден второй полюс Si^—\0+j20, Для это-
го полюса уравнение фаз (19) будет
eI + e2-(9i + 92 + 93 + ... + 9,)=113° + 84°-
•--{117^ + 116,5° + 90° + 26.5^ -f 13^ + 7° + 6°) = — 180^
Значение k в этой точке равно (рис. 15)
hi
^ ^^•^2-20-45.92.170.200 ^3^^^^^^
— = 2Ша = 31.10'. (20)
п ^
1
Добротность kv при этом
ЗЫ0«
10,7.10®
где
0,1.10.50.100.167.200 _ ^
^^-^ йгл2 =10,7.10«
(множитель, определяемый по передаточной функции kWi(s), когда
она представлена в форме (18).
На вещественной ветви корневого годографа, расположенной
между полюсом Р4=—50 и нулем iV2=—12, также отмечены тре-
угольниками две точки, соответствующие значениям ^«кр«=в30 и
kv=290, которые без труда вычисляются по формуле (20). В ука-
занных точках полюсы замкнутой системы соответственно равны
5з«—12 и —13. Отсюда видно, что при значениях 150<^г<830 дан-
ная система может быть заменена эквивалентной ей системой второго
порядка с полюсами, равными доминирующим полюсам исходной си-
стемы и оставшимися нескомпенсированными ее нулями. Так, напри-
мер, при ^„ = 290 передаточная функция рассматриваемой замкнутой
системы седьмого порядка практически может быть записана в виде:
34

500
Wo{s)^ s2 + 20s + 500 '
так как доминируют полюсы si,2=—'10±/20, а оба нуля исходной си-
стемы Л^1=—1,3 и N2=—12 ском'пенснраваны (почти союратились)
очень близко «подошедшими» к ним полюсами s3 и s4. В отличие от
«настоящей» системы второго порядка, рассмотренная система при
^„>830 сд'ановится неустойчивой.
8. Неодноконтурные системы
Построение корневых годографов неодноконтурных систем в том
случае, когда нули и полюсы передаточной функции разомкнутой не-
пи заданы, в принципе не отличается от построения годографов
одноконтурной системы. Однако построению годографов неоднокон-
турной системы предшествует этап получения передаточной функции
-X
-Ц .
"— r(s)
-X
-у
Рис. 16. Структурные схемы САУ.
а — о, тахометрической обратной связью; б — с внутренним контуром.
разомкнутой неодноконтурной системы и определение ее нулей и по-
люсов. На этом мы здесь и остановимся.
На рис. )16,а изображена схема САУ, в которой, кроме жесткой
обратной связи, имеется так называемая гибкая обратная связь Г (is),
соединяющая выход со входом системы. Очевидно, объединив обе
указанные связи в звено
U72(s) = l-fr(^),
получаем одноконтурную систему с передаточной функцией разомкну-
той цепи
kW{s)=kW^{s)W2{s)^kW,(s)[^-\-r{^)l
Если Г (is), как это обычно бывает, имеет порядок не выше чем 2,
то можно и в этом случае считать, что все нули и полюсы kW(s)
известны и лостроение корневых годографов в этом случае не отли-
чается от рассмотренных в § 7 случаев.
Пусть, например, r\s)=xs. Этот случай соответствует гибкой об-
ратной связи следящей системы через тахометр. Тогда передаточная
функция разомкнутой системы kW{s) равна ^It^i (s) (1+ts). Система
(разомкнутая) имеет полюсы в полюсах l^i(s) и 'Нулц q ну-
лях W\(]s] плюс дополнительный нуль iV=——.
3*
35

А is)
Пусть Г(5) = щ^, где A{s) и B(s) полиномы по s, тогда
kW(s) равно
kW [s) = kW, {s)[\+ -=kW, (5) ^ .
^l^i(is) имеет нули ъ нулях IFi'(s) и [А (s)B(s)] и полюсы в полю-
сах 1^1 (s) и нулях полинома B{s). При порядке последнего поли-
нома, меньшем или равном двум, эти полюсы можно считать изве-
стными, в противном случае перед построением корневых годогра-
фов при k, изменяющемся от О до оо, необходимо один раз найти
корни B{s) и [Л(5)+5(is)]. Это, кстати, '.можно выполнить при по-
мощи вопомогательного корневого годографа (см. приложение).
В типичном случае, когда Г{8)= jqr^(l^>^)'
и в этом случае нули и полюсы kW (s) известны и построение кор-
невых годографов можно начинать сразу.
На рис. 16,(5' изображена схема САУ, имеющая внутренний кон-
тур обратной связи, охватывающий только часть звеньев прямой
цепи, содержащихся в IFii(s). Для такой схемы передаточная
z(s)
функция разомкнутой системы ^^(^)='^J^ равна
Wi2(s)B{s)+ А{8)*
kW,,{s){W,,(s) + Г{в)) = kWn is) ^ ^(,) .
. Из этого выражения видно, что только нули kW (s), может
быть, придется определить перед построением корневых годо-
графов.
Если (s) = Jf^^ (^2 и Яа полиномы по s),
то
kW (s) = kWn is) HAs)B(s) • (2^)
Полюсы kW{s) совпадают с полюсами Wii(s), Г\(8) и 1^12(5),
нули kW'(8} совпадают с пул жми 1^11(5) и нулями полинома
62(8)В(8) -{-А (8)N2(8), которые необходимо определить один раз до
построения корневых годографов. Это, очевидно, тем сложнее, чем
большее количество звеньев не охвачено внутренней обратной
связью, ибо при этом возрастает порядок полинома 1(за счет N2(8)).
* Wu{8) и Wi2{8) предполагаются состоящими из нескольщх
последовательных элементарных зэ?ньевг
36

в за-ключение отметим, что корневые годографы можно строить
не только при изменении общего коэффициента уоиления k системы,
но и при изменении какого->нибудь другого параметра: коэффициента
усиления одного или группы звеньев или постоянной нремени одного
из Звеньев, например корректирующего.
Для этого необходимо такой параметр—назовем его — выде-
лить сомножителем передаточной функции, т. е. чтобы корневые
годографы строились по некоторой передаточной функции -вида
Q(s) ' (27)
имеющей такую же алгебраическую структуру [{k' и Я (s) —сомно-
жители), как и передаточная функция Одноконтурной (разомкнутой)
системы kW{s)=y^ ът^ kW{s)==^kW^{s)W2(s)=^^^ с кото-
рой мы имели дело в предыдущих параграфах. В выражении (27)
P(s) и Q (s) —полиномы по s (так же, как и полиномы G{s)
k'P (s)
и H{s)\ Передаточную функцию q^^^ ■ назовем эквивалентной пе-
редаточной функцией
k'Pis^
Эквивалентную передаточную функцию 1^э(5) можно получить про-
стым преобразованием любой одноконтурной или многоконтурной си-
стемы. Инвариантным при преобразовании заданной системы к си-
стеме с передаточной функцией W^{s) остается характеристический
полином замкнутой системы H^{s).
Пусть kW'{s)—передаточная функция разомкнутой заданной си-
стемы. Приравн-яв kW{s) минус единице,
и представив полученное характеристическое уравнение замкнутой
системы :в форме
^'^(i5)+Q(s)=0 (29)
(P\s) и q(s)—полиномы, не содержащие выделяемого парамет-
ра k'), записываем (29) в виде
\Гэ(5)=-~1.
и является требующейся эквивалентной передаточной функцией ра-
зомкнутой системы.
Поскольку Wq{s) имеет такую же алгебраическую структуру, как
и kW\{s), то на нее распространяются все выводы, изложенные©пре-
дыдущих параграфах применительно к одноконтурной системе.
Теперь перейдем к примерам.
Пример 3. Построим для системы, изображенно1| на рис. 16,6
корневой годограф при следующих данных:
37

Интерес представляет изучение влияния т, которое предполагаем
варьировать от О до 'Смакс (т. е. здесь Aj'= т:).
Для kW(s) = z{s)le(s) имеем для данной системы
kW (S) = kAWn (s) Fi2 (s) + Г (s)] =
{s + a,)(s + a^) \s + a,^l+'^sj'
Эквивалентная передаточная функция (s) получается приравни-
ванием kW(s) минус единице и выделением t сомножителем:
Q{s).
_ т5 [k.kzkj + k,k2 (S + дз) + + д'о ('у + ^2) + дз)]
~ ^ А^з + (5 + ^0 (s + ^2) (5 + а,)
Здесь удобнее временно положить 'с = 1/(х и далее строить кор-
невые годографы по а для функции
э
. а [^1^2^з + is + a,)(s + да) (S + дз)]
- s [/ji/^aA^a + k,k2 (S + дз) + (5 + до (s + д2) {S + дз)] '
у которой степень знаменателя п=4 выше степени числителя т=3.
При значениях параметров ^i = 100, ^2=10, Aj3=1; = Д2=5,
Плоскость S
Рис. 17. Корневой годограф в функции параметра т.
Рз=10 ОДИН раз вычисляем нули и полюсы ' (s), которые по
лучились э данном случае равными:
/V, === - 16. iVj = + /7,9. iV, = - ;7,9, Р, = 0.
i'^ = _10, Р,.^ = -3±/31,5,

Следовательно, эквивалентная передаточная функция разомкну-
той системы:
, a(s + l6)(s + j7.9)(s^j7,9)
и^э (^) l0)(s+3 —/31.5)(S + 3H-731.5) •
Нанеся полученные нули и лолюсы на чертеж рис. 17 и изме-
няя а от О до оо, строим обычным путем корневой годограф, нополь-
зуя его свосйтва 1-^-10 (см. § 6 я примеры 1 и 2) и основное урав-
нение фаз ()19).
Вещественные ветви годографа находятся на участках действи-
тельной оси между Р, = 0 и Р2 = — Юи между Ni = — 16 и —оо.
Это находится в согласии с тем. что число асимптот /г—/?г=4—3=1,
0а = 180^ и G^==-^(11P -.Ш)=~^(\6—16)=0.
Разрешив уравнение для точек пересечения корневого годографа
с действительной осью
1 , 1 1 ^ _п
получаем для точек пересечения (кратных точек) Si — —Xi=—4 и
S2=—л:2=—41. Эти данные позволяют нанести предполагаемые очер-
тания комплексно-сопряженных нетвей корневого годографа на чер-
теже рис. 17. Для контроля найдены подбором по уравнению фаз (19)
комплексные полюсы 5з=--26+/Г8,5 и S4=-h26--/18,5, показанные
треугольником. Заметим, что на рис. 17 крестиками, как обычно,
обозначены полюсы, а кружками нули W^\s), н 'ветв1и годографа вы-
ходят из полюсов при а=0.
Но так как нас интересуют перемещения полюсов замкнутой
f 1 ^
системы при изменении х от О до оо ( а не а= —1, стрелки на
годографах рис. 17 нанесены не так. как раньше, а от нулей к по-
люсам W^^ (s). Действительно, замкнутая система при т = О имеет
передаточную функцию
k 1 000
v^o (5) — (s + ai) (s + a^) (5+^3)+^ + 165^ -f 65s+1 050
с полюсами, которые равны нулям ^^^(s), показанными на рис. 17.
При возрастании т от пуля появляется четвертый полюс замкнутой
системы, перемещающийся по действительной оси от —оо навстречу
полюсу, идущему от точки —16 (|нуля N\)\ после их встречи возни-
кают комплексные полюсы W^(s), перемещающиеся по внешним вет-
вям годографа к точкам —3±/31,5 (которые достигаются при t=oo).
По -внутренним комплексным ветвям годографа при возрастании т
от О до оо перемещаются полюсы IFo(s), начинающиеся в нулях
(^) Л^2=/7,9 и Nz=—j7,9 и стремящиеся к точкам Pi=0 и
Р2=—10.
39

Очевидно, доминирующими являются .полюсы 'внутренних вет-
вей годографа. Из чертежа 'рис. 17 .нетрудно (выбрать значение t
(при заданном ^1^2^з= 1 O00 = const), соответствующее желательному
(Переходному .процессу. Например, данная система, передаточная
функция которой ;в замкнутом состоянии
^ , W3(l+t5)
(s + a,)(s + а^) (s + Дз)(1 + ^s)+ k.k^ [k, (1 +ts) + (s+a,)]
при x = 0,025 имеет полюсы 5i,2 = — 4,2^/4,5 и ^з,^^ — 26 +
+ /18,5, показанные на рис. 17, поэтому ее можно записать в виде
37,8.1 000(1 +т5)
"^0 (5) 8^45 ^ (52_(.505 + 1 ООО)*
Так как доминирующими являются полюсы Si,2 (как значительно
более близкие к началу плоскости 5, чем полюсы 53,4), то
37,8(1 + 0,0255)
5^ + 8,45 +38*
Рассмотренный .пример .показывает не только технику построе-
ния корневых годографов нри изменении параметра х стабилизирую-
"3
-У
^4
Рис. 18. Структурная схема неодноконтурной системы.
щей цепи, но н то, что при этом оказывается возможным (ia это еще
/важнее) исследовать влияние t на поведение системы при типовых
сигналах и выбрать наиболее подходящее с точки зрения предъяв-
ленных к системе требований его значение.
Пример 4. Построим корневой годограф при изменении ky для
неодноконтурной системы, изображенной на рис. 18 [Л. 16], которая
является частным случаем схемы рис. 16,6.
k'GAs) Gzis) A(s)
Приняв Й7.,(^)=^\ г..= и Г(.)=^ =
1 + ts
{k' = ky, G, (s) = k,k2. G2 (s) = ^зМз.
IU {s) = (l+ sT,) (1 + sTz), Я2 (5) = (1 + sT,){l + sr J
z(s)
имеем в данном простом случае Wq (s) = , так как изменяется
от О до оо коэффициент усиления звена, находящегося в прямой
цепи = Согласно (26)
40

или
WAS)
j§j = k'W„(s)[WAs)+r{s}]
k'GAs)[GAs)B{s)+ A{s)HAs)]
HAs)HAs)ii(s)
(\+sT,)(\ + sT,)(\ + sT,)(\+sT,){\+j^)-
Птнг^ть j
.1
1
1
1
Рис. 19. Корневой годограф системы, представленной на
рис. 18.
Из последнего выражения видно, что порядок знаменателя (s)
/2 = 5, а числителя т — Ъ. W^(s) имеет пять полюсов Рх =
= — ... и три нуля, являющиеся корнями уравнения
P(s) = (1 + + sz(\+ sT,){\ + sT,) = 0.
К этим трем нулям при k' = ky -^со стремятся три полюса
замкнутой системы. Оставшиеся два полюса стремятся к бесконеч-
ности. Число асимптот равно п — т = 2, углы асимптот (22)
21+ 1
а абсцисса центра асимптот (23)
<7а ■■
1 Г
2
2 1_
-{-к
'^2[Т+Г^Т)<^'
>4
'Качественно корневой годограф для данной системы изображен
на рис. 19 в предположении, что корни полинома P{s) лежат левее
мнимой оси.
41

Из «рассмотрения годографа рис. 19 вадно, что данная система
хотя и Я1вляется системой пятого лорядка, но обладает свойствами
системы второго порядка в том отношении, что теоретачеоюи допу-
скает неограниченное возрастание коэффициента усиления k'^ky без
потери устойчивости. Системы такого типа были изучены М. В. Мее-
ровым [Л. 15, 16 и др.].
Как видно из выражений (р2) и (23), способность этих систем
сохранять устойчивость при сколь угодно большом значении коэф-
фициента усиления весьма просто и наглядно объясняется при по-
мощи асимптотических свойств корневых годографов. Условиями
принадлежности системы к классу устойчивых при k-*oo являются,
как это 'Следует из ()22) и (23): 1) /г—,т<2; 2).. 'аа<0|('при п—т=2)
и 3) корни полинома P'(s) должны находиться левее оси /со плоско-
сти 5.
Эти условия совпадают с ранее полученными алгебраическим
путем результатами М. В. Меерова [Л. 15 и др.]. Физическое истол-
кование асимптотических свойств подобного рода систем дано
Я. 3. Цьшкиным [Л. 17].
Необходимо отметить, что схема рис. 18 представляет собою
идеализацию реальной системы, которая (система) лишена указан-
ных выше исключительных свойств при k^l. Усилитель с очень
большим коэффициентом уоиления должен состоять из не-
скольких каскадов, каждый из которых обладает некоторой, хотя и
малой, но отличной от нуля постоянной времени, поэтому порядок
внутреннего контура системы при k'^ky^l или k—kykik2%\ и
т=3 заведомо больше, чем л—т=2. Практически такая система
при т=3* имеет порядок /г^5 и не <>бладает (указанными выше
асимптотическими свойствами. Таким образом, реальная система и
ее идеализированная модель могут друг от друга отличаться не толь-
ко количественно, но и качественно.
9. Доказательства основных свойств
корневых годографов
1. Непрерывность и симметричность. Непрерывность корневых
годографов при изменении коэффициента усиления ^ от О до оо (или
другого параметра системы) вытекает из теоремы алгебры, устанав-
ливающей, что корни линейного алгебраического уравнения являют-
ся непрерывными функциями его коэффициентов.
Геометрически это поясняется формулой i(20):
. /1/2 . . . /п
(20)
Бесконечно малому приращению Ak соответствуют бесконечно
малые изменения длин векторов li(i=\, 2, ..., /г) и /у (/=1,
2, т) .(проведенных из соответствующих полюсов Pi и нулей Nj
* Если также принять во внимание малые параметры части си-
стемы, не вошедшие во внутренний контур системы, то в данном
примере будет т>3,нопри п>5 неизвестно, будет ли п—т^2 или
/1—т>2.
42

iflepeДatoчнoй фуНкцН'И разамкнутой системы kW(\^) в '.полюс s —йб-
редаточной функции замкнутой системы Wo{s)), вызывающие беоко-
нечно малое приращение As полюса s, т. е. беоконеч'но малое его
перемещение в плоскости s по своей траектории,— соответствую-
щей ветви корневого годографа.
Так как коэффициенты характеристического уравнения системы
действительные числа, то его комплексные корни являются сопря-
Плдскость s
О б
Рис. ео. Ветви корневого годографа на действительной оси.
женными, следовательно, их годографы симметричны относительно
действительной оси.
2. Число ветвей корневых годографов. Число ветвей положитель-
ных (^>0) годографов равно числу корней характеристического
уравнения системы, т. е. порядку системы п, как это следует из
основной теоремы алгебры.
3. Ветви корневых годографов на действительной оси (при /г>0).
Ооновное уравнение фаз (19) положительных корневых годографов
т п
V е;-.^ 9i = ±(2t-f 1)180° (t = 0, 1, 2,...)
/=1
i=i
может выполняться при ^>0 для точки на действительной оси
только в том случае, если справа от нее на этой оси находится не-
четное (2/+ 1) общее число нулей и полюсов, так как каждый из
этих нулей или полюсов добавляет к сумме (или отнимает) по 180''
(рис. 20). Нули и полюсы, расположенные слева от рассматриваемой
точки, имеют углы 9у и 9г, равные нулю, точно так же, как и лю-
бая пара комплексно-сопряженных нулей или полюсов системы в
сумме дает 6'+ 0^ = 360° (рис. 20). Поэтому уравнение фаз (19)
выполняется при ^>0 для точек действительной оси только за
счет вещественных нулей и полюсов, находящихся справа от рас-
сматриваемой точки.
4. Начало а конец ветвей корневых годографов. Из характе-
ристического уравнения замкнутой системы Hq(s), которое при
kG is)
kWi (s) W2 (5)= приобретает вид
Ho{s)=H(s) + kG(s) = 0,
(30)
43

ВИДНО, ято inipn '^=0 полиномы Ho{s) и H\(s) равны и, следователь-
но, корнями Яо(|5) ири ^ = 0 являются корни Я(5), т." е. полюсы пере-
даточной функции разомкнутой системы.
Таким образом, корневые годографы начинаются (при ^=-0)
в полюсах разомкнутой системы.
Запишем уравнение, равносильное характеристическому уравне-
нию замкнутой системы в виде
kWi(s)W2(s)=—\y
(31)
из которого заключаем, что при kоо Wi{s)W2(s) должно стре-
миться к нулю, ибо произведение к на Wi{\s)W2is) равно конечному
числу (—1). Если Wi(s)W;^(s) имеет т нулей, то при kоо т кор-
ней уравнения (31) стремится к т нулям передаточной функции
разомкнутой системы.
Поведение остальных п—т корней характеристического уравне-
ния системы выясняется в следующем пункте.
5. Асимптотические свойства. Представим (31) в виде
fcw t.uw ,А 1 (s-N^){s-N,)... (s-N„,) _
или
S-^(P, + P2 + ... +Pn) S--'+... k'
Поделив числитель на знаменатель и сохраняя при J5| -►оо только
первые два члена ряда со степенями т — п и т — п — \» получаем
[Л. 18]
1
1
Возводим в степень
т — п
S 1- :—^
Применяя к левой части равенства формулу бинома Ньютона
и учтя, что I S I оо, имеем:
44

откуда
^= n-m +
(4У
1 1
1
+k'^
5 является суммой двух векторов
; (/ = 0, 1, .... /г —m— 1)
s^Ga + Aj'^-^ Л . (32)
где аа — постоянный вектор, лежащий на действительной оси пло-
/А
СКОСТИ 5, а kP'~^ е ^ — наклоненный под углом 0а вектор, длина
которого при k оо безгранично растет (рис. 21).
Уравнение (32), справедливое при | s | оо, является уравнением
п — т асимптот, к которым стремятся // — т корней характери-
стического уравнения замкнутой системы при k -^со.
Оа — абсцисса центра звезды асимптот
п т
1 1
Оа =
п — т
а 0а — уг'лы наклона асимптот к оси абсцисс плоскости s
0а = ^^-^180° (/ = 0, 1,..., /г_т—1).
(22)
(23)
б Точки пересечения с мнимой осью. В точках пересечения кор-
невых годографов с мнимой осью корни характеристического урав-
нения замкнутой системы являются мнимыми—-5i,2= ±/о)о. Следова-
Ллосмость S
Рис. 21. К уравнению асимптот корневых годографов.
тельно, их можно найти при помощи уравнения для границы устой-
чивости в форме критерия Гурвица — An-i=0 или положив в харак-
теристическом полиноме
Яо(5)=0 S = /0o.
45

7. Точки пересечения с действительной осью. Точки на дейсши-
тельной оси, в которых корневые годолрафы имеют кратные корни
s=—а, превращающиеся в комплексно-сопряженные лри увеличении
коэффициента усиления (или, наоборот, древратившиеся из комплекс-
ных в кратные), находятся из уравнения фаз (19)
т п
'£^b]-Yi^i = ±(2i+\)m\ (19)
1 1
Для точки Si на комплексных ветвях годографа, близкой
к кратному корню s = —а (рис. 10), также остается справедливым
уравнение (19), т. е. правая его часть остается неизменной (равной)
rt (2/+ 1) 180° = const). Дифференцируя (19) и заменяя дифферен-
циалы приращениями Д0, получаем
m п
^Де;-^А9, = 0. (33)
в (33) слагаемые A8i и А9у берутся с плюсом (под [знаком S), если
Ьи ву находятся слева от точки s = — а, и со знаком минус, если
0,-, 9у лежат справа от кратного полюса s = — a.
8. Углы выхода и входа. Уравнение фаз (19) справедливо при
всех значениях k от ^ = 0 до k = oo. При k = 0 полюсы замкнутой
системы совпадают с полюсами разомкнутой системы.
Применение уравнения фаз (19) для любого полюса (нуля)
разомкнутой системы позволяет найти угол выхода (входа) соот-
ветствующей ветви корневого годографа. Так, для полюса Рк угол
выхода 0к равен:
т п
0«= + (2/+1).18О° + ^ 0;-^ 0,. (34, а)
1 i=l
Аналогично для нуля
0; == Т(2/ + 1).180° + S - S (^4' ^)
/=1 /=1
9. Расхождение ветвей корневого годографа. При п — ту
> 2, как это следует из выражения для углов асимптот (22)
(см. пункт 5)
0а = Jj^z:^ 180 ,
споловина» асимптот направляется из центра звезды асимптот в ле-
вую часть комплексной плоскости s, а другая половина — в правую
ее часть.
Бели Ч1И1СЛ0 аюИ'Мптот нечетное, гго ib левую пойуплоскооть ух-одит
либо на одну больше, либо на одну меньше асимптот, чем в правую.
46

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕХОДНОЙ
И ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК ПО КОРНЕВЫМ
ГОДОГРАФАМ. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ
10. Вводные соображения
iB (Предьшущих :гла(вах 'была изложена методика построения «ор-
невых годографов при изменении общего коэффициента усиления си-
стемы или коэффициента усиления какой-либо ее части, а также при
изменении одной из постоянных времени системы т.
Теперь уместно поставить вопросы: .можно ли извлечь из обзора
построенных корневых годографов какие-нибудь полезные сведения
о качестве системы? Можно ли хотя бы качественно представить
себе, какова будет реакция системы на типовые воздействия при не-
котором определенном значении параметра k (или т), и, что еще
важнее, как будет изменяться эта реакция при изменении парамет-
ра ^ (или т)?
Ответы на поставленные выше вопросы являются положитель-
ными. Больше того, после качественного суждения о том, как изме-
няется поведение системы при изменении k (или т) и выбора по наи-
более соответствующим техническим условиям показателям качества
определенного значения k (или т), нетрудно точно ^ вычислить инте-
ресующую нас реакцию системы — h(t) или g{i) — по формулам (7)
и (8), а также ее частотную характеристику или оценить только ши-
рину полосы пропускания частот системы.
'В этих возможностях и заключается большая ценность корневых
годографов для проектировщика САУ.
(Поясним это примером.
Па рис. 22 вновь изображен корневой годограф, построенный
для системы с пе!редаточной функцией
2 800^(^ + 4.8)
kW (S) - ^ ^ ^ (5 + 67) •
Вычислим для значения ^=8,5, при котором замкнутая система имеет
полюсы si,2=—10±;Т7,3; 5з=—3,65; 54=—68 и нуль iV=—4,8, пере-
ходную характеристику системы по формуле (7)
Передаточная функция данной замкнутой системы при k = 8,5
и указанных выше полюсах и нуле
w (л ^ 20 600 (S +4,8)
^^^^fЯо(5) (S + 3,65)(S -f 68)(s + 10 — ; 17,3)(s + 10 +J 17,3)'
^ Разумеется, точность здесь, как и всегда, ограничена точно-
стью расходных данных, т. е. самих корневых годографов.
47

G(0)
Коэффициент 20 600 в числителе получен из условия 7/~(о)~™
= 1 для установившегося режима рассматриваемой астатической
системы при входном сигнале\Гвх (О = 1 (О-
Плоскость $
Рис. 22. К вычислению амплитуд составляющих h{t).
Прежде чем перейти к вычислениям, представим выражение
для h (t) в более удобном для вычислений виде [пригодном также
и для g{t)].
Полином /г-й степени Яо (s) = (5 —- Si)(s — Sg).. .(s — где
Si, 52».... Sn — его корни.
dH
Производная Я'о (s) = имеет вид (для простоты взято п = 4)
dH.
-j^ = (5 — 52)(S — 5з)(5 — S4) + (5 — 5j)(s — S^){S — 5^)+
+ (5 — 5,) (S — Ss) (5 — S^) + (5 — 5i) (S—S2) (S — S3).
npH подстановке s=si все слагаемые этого выражения, кроме
первого, обращаются в нуль.
При s=S2 остается только второе слагаемое и т. д. Таким обра-
зом, значение производной при s = Sk
п
Я'о (sO = (Sft - s,) (Sft - S2) • • • (Sft - s„) = П (Sft - Si)- (34)
(=1
48

Произведеиие '(34) 'со-сгоит «з (п—\) множителей (5^—5,), где i
пробегает все значения от 1 до п, за исключением i=k. Следова-
тельно, для h{\t) можно написать
^^ = 17ло)+ 2j л • ^ ^
;fe=iSft l|(Sft —Si)
1=1
Вычисления упрощаются, если пользоваться корневыми годо-
графами. В знаменателе каждый из сомножителей (s^ — Si) изобра-
жается на плоскости s вектором, проведенным из f-ro полюса^
(/ = О, 1, 2,.. ., п, i ф k) замкнутой системы в полюс (см. рис. 22).
Таким образом, чертеж корневого годографа содержит все данные
для вычисления h{t) (или g{t)).
Вычислим для нашего конкретного примера члены правой части
G(0)
h(t). Очевидно, что ^ = 1. Числитель первого слагаемого
суммы при s = 5i = —10+;17,3 равен G (sj) = 20 600 (5, +
+ 4,8) ^«x' = 20 600 (-10 + У 17,3 + 4.8) ei' < =
= 20 600.18,3^^'^^^' ei' io+ii7.3)
Знаменатель этого слагаемого
s,H', (sO:= s, (s, - s,) is, - S3) [s, - s,) = (-10 + / 17,3) [(-10 +
+ / 17.3) _ (—10 — ] 17.3)] (-10 + I 17,3 + 3.65) (—10 +
+ /17.3+ 68) = 41 2^^ei^^~\
Следовательно, первое слагаемое hit) (не считая 1) равно
~ =0,56--'^^^%(-"»«+i^^.»)«.
s,H',is,
Вычисления, однако, практически удобнее производить, пользуясь
значениями длин и углов векторов, взятыми из чертежа корневого
годографа — рис. 22, на котором нанесены полюсы
s,,2 = — 10 ± у 17.3, S3 = — 3.65. S4 = — 68 и нуль = — 4,8.
Обозначив
1 Напомним, что полюсы замкнутой системы изображены на го-
дографе треугольниками.
4-_Э. г. Удерман. 49

имеем
20 600L°
20 600.18
LiL^L^L^ 19.5.18,5.34.6.60
= 0,5
(Зб.а)
Ф1 = f - 9i - ?2 - ?з - ?4 = 106° - 120° -
— 90° — 108° — 14°= — 226°. (36,6)
Второе слагаемое при s = Sg = — 10 — / 17.3 дает выражение,
сопряженное с первым слагаемым,
hit)при к'8,5
о
0,5 0,6сек
У:
fftj
h(t]npu k^2,6S
OJ 0,2 0,3 0,^ 0,5 0,6 OJ Oficen
6)
Рис. 23. Построение переходной характеристики,
а —при Л«»8,5; б —при Л=»2,65 и Л>8,5.
Оба слагаемые вместе дают колебательную составляющую h{t)
2Л1^~''^^ cos (о>1^ + ФО = 2.0.5б-*о« cos(17.3^ — 226°).
Вычисляя по данным рис. 22 третье и четвертое слагаемые суммы,
получаем выражение вида
Л (^) = 1 + 2Aie-''^ cos (coi^ + + Бз^-^»' + В^^-^^'
или
h{t)=\ + 2.0,5^- cos (17.3^ — 226°) — 0,38^+ о,08^-««<.
На рис. 23,л изображены все составляющие переходной ха-
рактеристики h{t) и сама функция h{t). Из этого рисунка видно, что
основное значение имеют первые две составляющие, обусловленные
ближайшими полюсами
si,2=—10±/17,3 и 5з=—3,65.
Время нереходного процесса /о = 0,6 сек, а выброс g (перерегу-
лирование) |близок к нулю. На рис. (23,а выброс сильно преувеличен.
Длительность переходного процесса определяется экспонен-
циальной составляющей—0,38 e-3'65t^ которая затухает медленнее
других; вторая экспонента практически никакого влияния на пере-
ходную характеристику h(t) не имеет. Заметим, что обьшно ампли-
туды составляющих h{t) н g{t) тем (больше, чем ближе к началу
50

|К001рД1иНат плoc■к6ctи 5 находятся обусловливающие йх полюсы, если
только 'Вблизи этих полюсов нет нулей.
•В нашем «онкретном случае вблизи полюса 5з=—3,65 И'меется
нуль N=—4,8, поэтому амплитуда Вз получилась небольшой. В слу-
чае совпадения полюса и нуля получается В = 0, что означает вы-
рождение системы на один порядок (т. е. система оказывается не
п-го, а ((гг—ll) -!го порждка).
Вторая экспонента Bie-^^^ затухает столь быстро, что практи-
чески влияет на h(\t) только вблизи /=0.
Таким образом, из четырех полюсов системы полюсами, опреде-
ляющими ход переходного процесса, являются только три ближай-
ших полюса: Si, S2 и S3 |(не скомпенсированные нулем .Л^). Мы их
назвали выше доминирующими полюсами.
Отметим также влияние нуля N системы на амплитуды 2Ai и
Вг. Оно заключается в том, как лепко (усмотреть из выражения
(36), что эти амплитуды возрастают тем сильнее, чем ближе нуль N
(или нули, если их несколько), к началу плоскости s. При N-^0 эти
амплитуды -*оо.
Заметим, что система второго порядка с полюсами, такими же,
как si,2=—110±/17,3, без конечных нулей (но и без полюсов sa и
Si) имела бы перерегулирование, которое равно
^ !0_^
5 = 5 =е ^^'^ :^0,175, 50^ = 17.5%.
Рассмотренная выше система 4-го порядка с доминирующими
полюсами si,2=—10±/ 17,3 и S3=—3,65 имеет малый или равный
нулю выброс, который трудно определить при графическом построе-
нии. Это объясняется влиянием дополнительных действительных по-
люсов S3 и S4, которые, как это 'будет показано ниже, уменьшают
перерегулирование .(и тем эффективнее, чем они ближе к началу
плоскости s), в то время ка'К нули его увеличивают. В нашем слу-
чае действие полюсов S3 и S4 сильнее, чем одного нуля N, так как
5з==—3,65 находится ближе к началу, чем этот нуль N=—4,8.
Легко убедиться в том, что при снижении коэффициента усиле-
ния, например, до значения ^=2,65, что соответствует доминирую-
щим полюсам Si,2=—tl'2±/8, S3=-^2,5 и четвертому полю1ау S4=
=—70,5, переходная характеристика будет
h(t) = 1 +2 . 0,487 e-i2i,coS'(8f—237°) — 0,63 е-'г.б* +0,032 e-7o.5t.
График h{t) изображен на рис. 23,6. Из него видно, что выброс
отсутствует, длительность процесса возросла до 1 сек. Первое объ-
ясняется, в основном \ уменьшением частоты o)i колебательной со-
ставляющей h(t), а второе — уменьшением затухания составляющей
0,53 е-^'^', в связи с приближением полюса S3=—2,5 к оси /со и его
отдалением (вдвое больше, чем в первом случае) от нуля N.
Если же, наоборот, увеличить k, сделав его значительно больше,
чем ^ = 8,5, получим переходную характеристику h{t), изображен-
ную качественно на рис. 23,6. В этом случае полюс S3 еще в боль-
шей степени, чем при ^=8,5, будет компенсирован нулем N, и систе-
ма ведет себя почти как система второго порядка. Переходная ха-
^ А также приближением действительного полюса S3 к началу
плоскости S.
4* 51

рак-геристйка при этом становится тем шлебательнее, чем больше k,
так как при этом уменьшается затухание Oi (.доминирующих ком-
плексных !Полюсо:в 5i,2) 1и увеличизастся их частота сО]. Длительность
процесса U также возрастает.
Резюмируя, устанавливаем, что причиной изменения переходной
характеристики h(i) при вариации k является различное взаимное
расположение полюсов s и пулей передаточной функции Wq(s).
Длительность переходного процесса в основном зависит от затуха-
Плосностд S
о б
Рис. 24. Типичное расположение нулей и полюсов замкнутой
системы.
НИЯ ближайших к мнимой оси полюсов, не компенсированных слиш-
ком близкими нулями. Выброс зависит от относительного коэффи-
циента демпфирования до'минирующих комплексных полюсов Si и S2
и от степени близости к началу координат плоскости 5 других полю-
сов и нулей Wo(s), причем близкие полюсы уменьшают выброс,
а близкие нули увеличивают его. Влияние указанных полюсов и ну-
лей на выброс объясняется в основном тем, что они изменяют ам-
плитуду и начальную фазу колебательной составляющей h{t). Эти
выводы, хотя и получены при анализе частного примера, имеют, од-
нако, общий характер.
Таким образом, мы убедились, что можно делать определенные
выводы о характере переходного процесса системы при типовых воз-
действиях, просматривая корневые тодографы и следя за тем, как
изменяются доминирующие полюсы системы при изменении пара-
метра корневых годографов (k или т).
11. Влияние расположения нулей и полюсов
замкнутой системы на переходную характеристику h{t)
IB настоящем параграфе обобщаются и обосновываются выво-
ды, сделанные нами о поведении €АУ, приведенной в последнем
примере, на основании рассмотрения ее корневого годолрафа.
На рис. 24 показано расположение нулей и полюсов устойчивой
замкнутой системы, которое является типичным и достаточно общим,
а потому представляет наибольший практический интерес. Ближай-
шими к мнимой оси являются комплексно-сопряженные полюсы si
и S2. Доказано [Л. 19, 20, 21] ^ что при удалении от начала плоско-
^ iB |[Л. 20] в основном рассматриваются вынужденные движе-
ния линейных систем.
52

сти 5 гтолюсов 5ft амплитуды сботб€тсТву1бщи)с (Составляющих
2Ak{Bk) убывают тем быстрее, чем больше модуль полюса Sk по
оравнеиию с до:мии1И)рующ|И'Ми шю^тюсамл! 5i,2. HainpiniMeip, если модули
Sft (^=3, 4,..., я) возрастают ио геометрической прогрессии
со знаменателем q ^ 2, то их амплитуды 2Ah, (Bh) мень-
ше, чем (амплитуда 2Ai составляющей h(t), соответствую-
щей лолюсам Si,2. В этом (мы, кстати, убедились лри рассмотрении
примера IB '§ 10. Если вблизи полюсов расположены нули, то при
достаточно малом расстоянии между полюсами и нулями 2Ak(Bk)
становятся -соответственно малы.ми. Это следует из выражения (35),
Рис. 25. К оценке длительности U и выброса \ переходной
характеристики h{t).
в котором числитель обращается в нуль для слагаемого, у которого
Таким образом, для системы с расположением нулей и полю-
сов, как на рис. 24, к тому моменту времени ^о, когда колебатель-
ная составляющая 2Ли ^""^''^ cos((Oi ^-fifi) переходной характери-
стики, имеющая наибольшую амплитуду 2Ai н наименьшее затуха-
ние 01, сделается равной заранее обусловленному достаточно мало-
му числу, например 6 = 0,05 (5% от установившегося значения h(t)),
все остальные составляющие заведомо затухнут, так как все Ah(Bk)
меньше, чем Ль. и для всех Sk ReSft<—cTi (^=3, 4,..., п)
(рис. 25).
Следовательно, при оговоренных выше условиях время переход-
ного процесса САУ может быть определено как
Сказанное остается справедливым и в том случае, если между
доминирующими полюсами и началом плоскости s есть другие по-
люсы, но почти компенсированные 'близкими к ним нулями.
53

;Полюс И нуль можНо считать близкими, если расстояние между
ними на порядок меньше их модуля, т. е. нри выполнении условия
|s,-^^il<0,l|sftr«0,l|A^i|.
В выражении (37) для оценки длительности переходного процес-
са входит затухание Oi доминирующих полюсов si,2 и амплитуда
2Ai соответствующей полюсам 5i,2 колебательной составляющей
/г(/), зависящая от .всех полюсов и нулей замкнутой системы. Одна-
ко, как мы увидим ниже, изменение 2Ai в пределах от 1 до 10 толь-
ко на 75% из-меняет to.
Если ближайшим к оси /со является вещественный полюс, то
Для оценки 'выброса системы Л'римем .во внимание следующее
обстоятельство.
|Как следует из формулы (35),
которая также может быть записана в виде
/г (о = 1 + 2AiO^ cos {(Oit + Ф0+ В,е^.* + ... + (38)
(в предположении, что только полюсы 51,2 комплексные), знаки
перед каждым из слагаемых типа В^е^^^ {k = 3, 4, п) пра-
вильно чередуются: > О, < О и т. д., если передаточная функ-
G(s)
ция Wo{s) = не имеет нулей. Если же нули есть, то пра-
вильное чередование знаков нарушается в том месте, где перед
полюсом Sh находится нуль. В этом случае перед В^ стоит проти-
воположный знак, затем чередование плюса и минуса продолжается.
Из сказанного следует, что алгебраическая сумма затухающих
л
экспонент В^е^^ меньше, чем наибольшая из экспонент, входя-
3
щих в эту сумму, Втб ^ . Точнос вычисление выброса 5 из выра-
жения (38) невозможно, однако достаточное для практики прибли-
жение легко получить, если вычислить 5i в пренебрежении
п
^Bhe^^\ а затем к полученному значению 1^ прибавить Ag, рав-
3
п
нее ^ Bft/*^"* или равное В^е"^*"^, где t^a — момент достижения
3
Л (о ^ 1 4- ^А^е""^* cos ((Oi^ + ф1) максимума h {tm) (рис. 25). Посту-
пив таким образом, находим ^т» дифференцируя
А (/) ^ 1 + 2Aie- cos (со^^ + фо (39)
54

dh (t)
и приравнивая нулю. Получаем
(о,
arc tg
(^ = 0. 1,...).
Для первого выброса 3, ^ = 0.
Угол ^1. равный аргументу комплексной амплитуды Ai согласно
(36, б) и рис. 22, равен
/=1
(40)
А;=2
В выражении (40) Ф^- — углы векторов, проведенных из нулей
Nj в полюс sl (число нулей равно т)\ (р^ —углы векторов, прове-
денных из всех (п —1) полюсов в полюс sj, а
arg s, = arc tg |
Следовательно,
1
со,
Так как
то
-«(-^)+S'-ll*'+""^(^)
ft=2 1
л т \
Л=2
или
-4-(-+S"-!i4
\ к=ъ 1 /
(41)
ибо аргумент вектора (sj — sg) равен -g-. Учтя, что Ei = a(/m)—1
и что при t = tm
cos (coi^m + ФО = cos ^-^ + arg = sin arg =
55

окончательно получаем нз $i = h{tjn) — 1
/ п ^ \
(42)
Из выражения (42) следует, в частности, что для системы вто-
рого порядка
ft ги
без нулей J]^*-^]ф,=0 и 2Л, = -^.
поэтому
£i равно точному значению
1 = е
(42.а)
как и должно быть для этой системы {п = 2 и т = 0). Заметим,
что в формуле (42) учитывается влияние всех нулей и полюсов
системы на величину li, ибо амплитуда 2Ai зависит от модулей
векторов, проведенных из всех полюсов и нулей в полюс 5i, а по-
казатель степени е от фаз этих векторов.
Следовательно, $i зависит от взаимного расположения всех
нулей и полюсов замкнутой функции системы.
Выброс системы ^ оказывается равным в том случае, если
п
к моменту tm все экспоненты суммы В^е^^^ успевают сделаться
3
достаточно малыми, в противном случае к величине следует
прибавить их алгебраическую сумму, вычисленную для момента tm-
Окончательное выражение для приближенной оценки выброса
будет
( п т
$^2Л,-
где согласно (41)
1 /
(43)
m ^
I
* График \ для системы второго порядка приведен на рис. 28 (^=/ (С)),
где С —относительный коэффициент затухания (демпфирования), ^5;=^j.
56

Формула (43) интересна не только потому, что ойа позволйет
для просматриваемых точек корневых годографов приближенно оце-
нить величину выброса. Она 'представляет и теоретический интерес,
ибо позволяет заключить, в каком направлении изменяется выброс
при перемещении нулей и полюсов замкнутой системы. Анализируя
формулу (43), мы замечаем, что выброс g возрастает при умень-
шении декремента затухания системы Oi/coi, при приближении нулей
к началу плоскости s и удалении от него недоминирующих полюсов
(^ = 3, 4, п).
В самом деле, приближение нулей к началу плоскости s увели-
т
чивает ^ Ф^-, которая влияет на ^ в том же направлении, что и
1
уменьшение декремента затухания Ci/co,. Наоборот, приближение
недоминирующих полюсов к началу плоскости 5,, увеличивая сумму
я
углов ^ влияет на 5 в противоположном направлении, т. е.
3
уменьшает
Это 'весьма общий и важный вывод о влиянии нулей и полюсов
на форму переходной характеристики fi(t), позволяющий качествен-
но оценить без всяких вычислений характер переходных процессов
при различных значениях параметра k (или т) корневого годографа,
делая пенным труд, затраченный на их построение.
•Как длительность переходного процесса to, так н выброс g зави-
сят, как следует из выражений (37) и (|43), от амплитуды колеба-
тельной составляющей 2Ai'Ai {вычисляется согласно (7) и (36,а):
G(s,
s,W,(s,)
П 5/.П(51-5.)
k=\ f=\
п
SiWiSi —Si)
i=2
(44)
Из последнего выражения видно, что Ai возрастает в двух слу-
чаях: когда вблизи Si оказывается один (или несколько) из полю-
сов Si и когда нули Nj приближаются к началу плоскости s.
Действительно, уменьшение любого множителя (si—Si) знаме-
нателя (144) вызывает увеличение Ai. Чтобы объяснить влияние ну-
лей на Al, вспомним, что
57

Где из условия (0) = 1 имеем
т
1
1
= 1.
Если та же система не имеет конечных нулей, то также имеет
место
Us.
1
= I.
Следовательно, Ci = fl
Sft, а с = '
и тогда i4, можно за-
писать в виде
^1 П(^1—«О
1=2
J
т
1
(45)
Первый множитель (45) представляет собой значение Ai при
отсутствии конечных нулей, а второй множитель
1
N
показывает увеличение Ai вследствие влияния нулей. При нуле Nj,
стремящемся к началу координат плоскости s, этот множитель соот-
ветственно возрастает, увеличивая Ль
Как следует из формул для времени нереходного процесса to
и выброса 6 (37) и (43), при этом возрастает как to, так и g.
Таким образом, приближение любого полюса Sh к доминирую-
щему полюсу si и приближение нуля Nj к началу координат пло-
скости S увеличивают время переходного процесса to и перерегули-
рование |. Следующий простой пример наглядно поясняет оказан-
ное выше.
Пример 5. Для элементарной системы с передаточной функ-
цией
Wois) =
(On
52 + 2?cooS + cd2 s^ + 2s + 4 '
58

не имеющей конечных нулей (рис. .26,а), Ci = <i)q = 4 и А\ =
_ <0о _ 1
Для системы с теми же полюсами, но с нулем N (рнс. 26,6').
имеем
где
cjs + b) _ cjs + b)
■ + 2^a>oS + co2 -5^ + 2s_+4'(^--^)'
c = -^=:£l=-i, так как Wo{0)=\.
b b b
Плос/<ость s
>
s, ^
0 6
Плоскость $
Л/
ja,
s,v
0 6
-b
aj
6j
/1мос/<ос/пь 3
я
0 6
Плоскость s
>
\
0 6
5^7
6)
Рис. 26. Влияние нулей на амплитуду доминирующей состав-
ляющей h{i).
Для ЭТОЙ системы Л, равно
с
2cOia)o
<0о I + 6 I
2coiO)o 2(0i b
или
^'-^^ b
N
Из последнего выражения и рис. 26,в видно, что при | iV | ^ Si
А ^ А\» а при I 1 О Ах, благодаря множителю *
, соот-
59

ветственно возрастает, стремясь'к оо.
Вычислим длительность переходного процесса . и выброс ^
для данной системы в двух случаях: при N = эо и при М = 0,2.
а) При N = оо имеем А\ = —1=г . Согласно (37,а)
уз
И выброс
е = ^ ' ==-0 =0,175 (==17,5%).
1 2 10
б) При N = — 0,2 получаем Лх = 'у^0~2^^^г^ ^^^^ простоты
принято i Si — i Si = 2). Согласно (37,а) длительность переход-
ного процесса
/. = V-^^=5.44,
а выброс в соответствии с (43)
со,
(0 = arctg(si —yV)^arctgSi= 120°).
Оценивая влияние нуля Л^=0,2, очень близкого к началу плоскости s
(он IB '10 раз ближе, чем полюс 5i), мы замечаем, что амплитуда 2Л1
увеличилась в 10 раз, но это не так сильно сказалось на длитель-
ности переходного процесса, которая возросла только на 75%, По
этой причине 1МОЖН0 приближенно, но практически с малой погреш-
ностью оценивать длительность переходного процесса to ло формуле
(37), полагая в ней 2Л1 или В равными единице.
Выброс увеличился в 31 раз (!) по сравнению с прежним его
значением (когда нуля не было) — в /10 раз из-за роста амплитуды
и еще в 3,1 раза из-за влияния фазы Ф.
Физически такое сильное влияние нуля объясняется тем, что
в систему введен значительный дополнительный сигнал по первой
производной, создающий сильный импульс в самом начале пере-
ходного процесса.
Пример 6. Вычислим для случая, рассмотренного в § 10, дли-
тельность переходного процесса to и выброс системы | при значении
общего коэффициента усиления ^==8,5.
6Q

Как известно, .при ^ = 8,5 доминирующие 'полюсы
si,2=—10±/17,3: 5з=—3,65; S4=—68 и нуль iV=—4,8.
Значения Ль и Вз, вычисленные ранее при этих данных, равны:
Ai = 0,S, il)i = —226°; Бз=0,38.
Согласно (37,6)
3 + 1пВ 3 +In 0,38 ^
^0==—— = —3765—
Здесь учтено, что длительность переходного процесса опреде-
ляется амплитудой Вз и затуханием Оз=|5з| наиболее близкого
к 1хМНИ1мой ООН /(О полюса 5з=—3,65, который не вполне компенсиро-
ван нулем N = —4,8.
Если бы мы определили длительность to по ам'плитуде 2Л1 и
0]=—^10, то получили бы неверное значение /о=0,3 сек.
Выброс g согласно (42)
10 / lOr^-f 17°—106° \
17.3 -17:3 —Г80=—
= 2.0.5.^.
= 0.876 ' =0,113.
Момент tm достижения максимума h{t) равен (41)
3 1 1,1л;
^"' = ^г; =Т7:з = о-2-
При этом значение экспоненциальной составляющей, дающей
поправку Д^,
Бз/'^"^ = 0,38^-3,65. 0.2 ==0.18.
Выброс I равен (с учетом знака А|<0)
g^ii+Ag=0,113-0,18=-0,067,
т. е. выброс в данном случае отсутствует.
(Пусть ^=2,65 система передемпфирована, процесс затянут и дли-
тельность его равна
3 + 1п5з _ 3 +In 0,55 _
^- аз ~ 2.5
т. е. на 70% больше, чем при ^^8,5,
61

в заключение данного параграфа сформулируем выводы о том,
как влияет расположение нулей и лолюсов замкнутой системы на
основные показатели переходной характеристики.
1. Длительность to переходной характеристики h{i) (процесса)
в основном зависит от абсолютного значения действительной части
ближайших к мнимой оси /со плоскости комплексных полюсов за-
мкнутой системы или действительного полюса, если он является
ближайшим к оси /со, н ближайшие полюсы (|или полюс) не ком-
пенсированы достаточно близкими к ним нулями.
Длительность процесса to тогда определяется формулой (37,а)
или '(37,6), в которых в первом приближении -можно положить 2Ai
или В равными единице.
2. Выброс переходной характеристики g зависит от декремента
затухания Oi/wi доминирующих комплексных полюсов и от степени
близости к началу плоскости 5 остальных полюсов и нулей замкну-
той системы.
3. Близкие к началу плоскости s нули увеличивают выброс,
а близкие (но не доминирующие) полюсы его уменьшают. Выброс
определяется формулой (43).
12. Влияние расположения нулей и полюсов
замкнутой системы на ее полосу частот
В предыдущих двух параграфах было исследовано, как влияет
расположение нулей и полюсов замкнутой системы на основные вре-
менные показатели переходной характеристики — длительность to и
выброс I. Но к САУ часто предъявляют определенные требования
к величине ее полосы пропускания частот «п.
iB тех случаях, когда известен спектр воздействий, которые САУ
или следящая система должны отрабатывать, ширина полосы частот
(Оп системы, очевидно, должна быть не меньше величины спектра
воздействий. С другой стороны, соп не должна быть заметно больше
практической ширины спектра воздействий, ибо тогда система ока-
жется излишне чувствительной к помехам, которые обычно имеют
более широкий спектр частот, чем полезный сигнал. Поэтому часто
полоса частот соп системы ограничена сверху, а не снизу.
Определим, чему равна полоса пропускания частот а)п2 элемен-
тарной системы второго порядка без конечных нулей, а затем выяс-
ним для системы Аг-го порядка 'влияние нулей и недоминирующих
полюсов на величину полосы частот системы сопп (которую кратко
будем записывать сОп).
Для астатической системы второго порядка передаточная функ-
ция замкнутой системы
Амплитудно-частотная характеристика этой системы W^{(o) =
= WMs=j„ будет
Wo Ы = . (46)
62

Йапомним, что полосой пропускания называют частоту ton, при
которой значение Wo(ton) в раза меньше, чем Wq(0)= 1, или,
другими словами, частоту, при которой усиление W^o(^n) снижается
на 3 дб по сравнению с усилением Wo(0)= I при нулевой частоте
(рис. 27). Приравнивая выражение (46) при со = сода и разре-
шая полученное уравнение относительно ©П2» получим [Л. 14]
(47)
График == f (У приведен на рис. 28.
Рис. 27. Полоса пропускания частот
замкнутой системы.
0^ 0,6 0^ ю
Рис. 28. Выброс \ и полоса про-
пускания «о^^^системы второго
порядка в функции относи-
тельного затухания С.
При относительном коэффициенте демпфирования 5=у=^~0»707
O)n2 = ft>0«
Из выражения (147) нидно, что при уменьшении g возрастает
С0п2, т. е. полоса пропускания расширяется. При S О
^о/ 1+К"2=1,55соо,
При £=1 СОп2 = 0,64сОо.
На корневых годографах чаще всего наносятся значения обще-
го коэффициента усиления системы k. Для рассматриваемой астати-
ческой системы второго порядка k — это добротность системы kv (по
скорости).
Представляет интерес выразить полосу частот а)п2 непосредст-
венно через kv.
Передаточная функция разомкнутой системы, соответствующая
Wois)
(48)
63

Так как добротность kv ойределйетсй как отношение установившейся
скорости изменения выходной величины к входной, когда система
разомкнута, т. е.
ky==\im[s{kW{s)]Y
ТО из (48) имеем
ky = '^^. (49)
Используя выражение (47), получаем
Оп2 = 2^^, [1 - + f 2-4^2 _|.4J;4jl/2 ^ (50)
Формулы (47) и (50) содержат 2 параметра, которые известны
в каждой точке корневых годографов.
При характере корневого годографа, показанного на рис. 9, по-
лоса частот (Оп расширяется при увеличении kv быстрее, чем растет
kvy так как при этом также происходит уменьшение £.
Перейдем к определению влияния нулей и недоминирующих
полюсов на величины полосы частот сОп.
Рассмотрим наиболее типичный случай, когда доминирующими
являются два комплексно-сопряженных полюса замкнутой системы,
а остальные полюсы, так же как н нули, будем для простоты счи-
тать действительными (рис. 24).
Передаточная функция, соответствующая рис. 24,
т
П
ft=l
или
т
cY\(s + bi)
r„(s) = -
п
(s2 + 2^c0os +0)2)17 [s + Uh)
Частотная характеристика замкнутой системы в этом случае
будет
3
64

Из условия Wq(0)== 1 имеем = XI • П ^i-
1 1
1^0 И =
(51)
W,fo)-f
Из выражения (51) следует, что далекие от начала плоскости 5,
нули Nj = — bj и полюсы Sh = — аи, т. е. такие, что bj ^ ©о и
^ft^coo не влияют на амплитудно-частотную характеристику W'o(^)
и полосу сОд, так как при этом соответствующие множители
т п
\\У\ + d^lbjf и fl V^l + (^/<з:л)2 оказываются мало отличающи-
1 3
мися от 1.
Следовательно, на амплитудно-
частотную характеристику и полосу
пропускания частот сод !имеют влия-
ние только нули Nj и полюсы 5й,
близкие к доминирующим, т. е. мо-
дули которых имеют порядок вели-
чины 0)0 или 0)п2 или же меньше,
чем 0)0 и 0)п2.
При (этом яоно, что нули и полю-
сы влияют противоположньим обра-
зом, ибо нули стоят в числителе,
а полюсы в знаменателе выраже-
ния (511). По этой причине достаточ-
но вы'яонить влияние одного нуля,
достаточно близкого к началу коор-
динат плоскости 5; результат обобщается для всех т нулей и az —2
недоминирующих полюсов.
На рис. 29 показана характеристика^ соответствующая первому
множителю выражения (51),— кривая Л которая при со = ©п2 имеет
ординату ; кривая 2 соответствует Y\ +{<olbf» где —b = N
близкий нуль.
Приравнивая
Рис. 29. Влияние «улей и недо-
минирующих полюсов на ча-
стотную характеристику и поло-
су пропускания системы.
5—Э. г. Удерман.
65

ааМечаеМ, что при b фса > conj, tak кйк
">0 _ 1 ^ 1
а это возможно только при (Оп>а)п2-
Результирующая амплитудно-частотная характеристика пред-
ставлена кривой 3. Итак, близкие к началу координат плоскости s
вещественные нули устойчивой системы ^ расширяют полосу пропу-
скания частот СОп тем больше, чем они ближе к этому началу.
Очевидно, что близкие к началу вещественные (не доминирую-
щие) полюсы уменьшают полосу частот (Оп тем больше, чем они
ближе к началу плоскости 5.
При этом, как легко убедиться, подставив в (51) (о = (От, где
сОт —частота, при которой амплитудно-частотная характеристика
имеет пик М, близкие к началу координат плоскости s веществен-
ные нули увеличивают пик М, а близкие недоминирующие полюсы
уменьигают пик М, т. е. близкие нули и полюсы влияют на величину
пика М в том же направлении, что и на величину выброса g (пере-
регулирования) переходной характеристики h(:t).
Этим обстоятельством и объясняется то, что М — критерий ка-
чества САУ |[Л. 22], теоретически справедливый для системы второго
порядка ((для которой М является функцией единственного парамет-
ра g), практически и не без успеха используется для оценки качест-
ва САУ п-го порядка.
Таким образом, просматривая корневые годографы, опытный
расчетчик использует возможность качественного суждения об из-
менении полосы пропускания частот соп и пика М амплитудно-ча-
стотной характеристики при изменении параметра k.
Выбрав определенное значение совместимое с заданными
техническими условиями, нетрудно по формуле (51) построить ам-
плитудно-частотную характеристику замкнутой системы Wa(/co) и
определить точное значение полосы частот соп, а если это нужно, то
и пика М.
Пример 7. Определим ширину полосы пропускания системы,
поведение которой при изменении общего коэффициента усиления k
было рассмотрено в § 10.
При Aj=8,5 передаточная функция замкнутой системы
, , 20 600 (.-f 4,8)
М^о (5) - (5 3^65) (5 ^ 68) (s2 + 20s 4- 400) *
Амплитудно-частотная характеристика этой системы
20 600 /4.82 + «2
W, (а>) = , ^
' /(3,652 + (о2)(б82 + 0)2) [(400 — ©2)2 + 400о)2]
^ Здесь и далее имеются в виду только устойчивые нули и по-
люсы W^(p).
66

400
■ уГ (400 — (о2)2 + 400(о2
Полоса частот сопг» соответствующая первому множителю вы-
ражения (52), равна (по формуле 47)):
5 == ©о /1 - 2^2 + |/-2 _ 4^2 + 4^4 _
= 20l/'l — 2-0,52 + К 2 — 4.0,52 + 4.0,5* = 20.1,27 = 25,4
^^ = ^==:^=0,5 для доминирующих полюсов
Полоса частот (Оп рассматриваемой системы меньше, чем (0п2=
=25,4, поскольку полюс 53 = —3,65 ближе к началу координат пло-
скости S, чем нуль N=—4,8.
Второй вещественный полюс S4=—^8, как очень удаленный от
начала, почти не влияет на величину полосы пропускания (Оп:
Л2 /25,4\2
^ =0,14<1.
68
Так как полюс S3 и нуль N довольно близки друг к другу, Юп
не может быть намного меньше, чем С0п2.
Действительно, из построенного графика амплитудно-частотной
характеристики по выражению (51) (рис. 30 —сплошная кривая)
получаем а)п=21,б. Пунктиром показана кривая U^o'(a)) Для системы
второго порядка с £=0,5 и «о=20 без конечных нулей.
13. Возмущения, приложенные не к основному
входу системы
В системах автоматического регулирования и следящих систе-
мах, кроме воздействия, приложенного к основному входу
системы — задания или управ-
ляющего воздействия, — имеют
место воздействия, приложен-
ные к другим точкам систе-
мы—возмущения. Примерами
возмущений являются измене-
ния или колебания нагрузки
выхода системы, влияние дру-
гих регулируемых величин,
связанных с данной величиной
через объект, колебания на-
пряжения, питающего элемен-
ты системы, и т. п.
Технические услов!ия обыч-
но «предусматривают, чтобы
Рис. 30. Частотная характеристика си-
стемы (пример 7).
67
5*

(Установшш-ибся ютжшюншия рег^лтруёмой величины, !выз1йа>ййы6 воз-
мущениями, |были до,статочно малы, а длительность переходиюго
процесса и выброс оставались бы примерно такими, как и вызван-
ные только управляющим воздействием.
Естественно, что для исследования поведения САУ под влия-
нием возмущений, имеющих форму типовых воздействий — единич-
ного скачка, единичного импульса, и приложенных не к основному
входу системы, вполне применимы корневые годографы.
Метод корневого годографа также позволяет синтезировать
САУ в соответствии с заданными показателями качества, учитываю-
щими требования в отношении реакции системы как на управляю-
щее воздействие, так и на возмущения, действующие в точках си-
стемы, не совпадающих с основным входом.
1
щ
aj
6)
Рис. 31. Система, подверженная действию возмущения,
а — структурная схема САУ, к точке А которой приложено возмущение F\
б —ее эквивалентная схема.
Рассмотрим^схему САУ, приведенную на рис. 31,д, к точке А
которой приложено возмущение F. Передаточная функция от
точки А к выходу системы х, которую мы будем обозначать
X {s\
■ЕГ7-Т , получается аналогично основной передаточной функции
Заменяя схему рис. 31,а эквивалентной ей схемой рис. 31,<Г,
находим
У(5)
f(s)-
= W.(s)
I Л
r,(s)U7,(s);
переходя от разомкнутой системы к замкнутой по формуле
получаем
£(£),
F(s)
1 ■ Hi) '
1 + «7, (s) (s) ir, (s) + r, (s)(s) (s) •
(52)
68

сравнивая с передаточной функцией (s) ~x^^\s)
x{s) _WAsWAsWds)
^вх (s) 1 + г, (s) (s) W, (s) + r, (s) r, (5) (s) ' (^^>
замечаем, 'Что эна/менатели у иих одинаковы, следователшо, полю-
сы этих передаточных функций, являющиеся корнями знаменателя,
совпадают.
Отсюда вытекает, что корневые годографы, построенные по об-
щему для выражений (52) и (53) знаменателю, т. е. характеристи-
ческому полиному замкнутой системы, совпадают.
Однако переходные процессы в одной и той же системе, вы-
званные воздействием на входе лгвх'СО и возмущением F, даже если
Хъ-к. и F равны (например, 1(0). неодинаковы. Переходная харак-
теристика hi(t) при x^x{t)=X{t) и F=0 для системы, изображенной
на рис. 31,
1 W,(s)W,(s)W,(s)
s \ + W, (s) r2 (s) (s) + r2 (s) Гз (s) (s)
a переходная характеристика /^2(0 при Хвх = 0 и F=\{t)
г1 ^з(^)
S \ + W,{s)W2(s)IS73(s) + (5) 1^3 (s) (s)
(54)
(55)
Различие реакций системы h\(t) и h2{t) обусловлено, как видно
из этих выражений, разными числителями передаточных функций
x(s)IXb±(s) и x{s)IF{s), т. е. тем, что нули a:(s)/a:bx(5) и x{s)IF(s)
не совпадают, хотя все полюсы у них одинаковы.
Таким образом, при анализе системы с учетом управляющего
воздействия .^вх и возмущения F можно пользоваться одними и те-
ми же общими корневыми годографами, принимая во внимание, что
переходные характеристики h\(t) и h2(t) зависят от соответствую-
щих нулей передаточных функций х{8)1хвл(8) и x(s)/F(s).
Указанные выше общие корневые годографы системы строятся
по передаточной функции разомкнутой системы kW'(s), полученной
приравниванием нулю знаменателя выражений (52) и (53):
1 + Wi(s) (s) (s) + W2 (5) Wz (s) 1^4 (s) = 0,
T. e. no передаточной функции
kW(s) = Wi(s) W2(s) Wz{s) + W2[s) W^is) W,(s). (56)
Пусть, например, (s) = fJT^' («) = т^^Х * =
=f « «^.(^)=^-
Тогда
^W(s)- s(T,s + l)(T2S + l){^s+l) '
Общие корневые годографы легко могут быть построены для
данной системы, если изменяемым параметром является один из
коэффициентов усиления ^2 или кг или же их произведение (^^з) —
69

общий коэффициент усиления прямой части внутреннего контура
системы, изображенной на рис. 31,а.
Если же необходимо исследовать систему при изменении дру-
гого параметра, например ki (или ^4), то корневые годографы
строятся по эквивалентной передаточной функции (см. § 8).
^ . . ^1{Мз(^^+1)]
- S {Tis + 1)(r^s + 1)(Т5 + 1) + k^k.k.'ZS (TiS + 1)
или (при изменении k^)
= S (7-,s + 1 ){,T,s + 1) (xs + 1) + кАкг ("+!)•
Для рассматриваемого примера переходные характеристики
k,[k,k,xs{T,s+\)]
(54) и (55) будут:
и hAt) = L~'
x(s)
sF(s)
в соответствии с
hl(t)=
' 1
_ S S HiS-t-l, (Г2«+1)(^5 + 1) + k^k, \k, (X5+1) +^,TS {J,s + 1) J
1 ^з(Л5+1)(7^25+1)(^^+1)
5 s (r^s+l) (T^aS+l) ("^S-f 1) +^2^3 [^1 ^5 +1) -f ^^TS(Л5+1)
Из этих выражений видно, что установившиеся значения (t) и
h^if) различны и что h^if) может иметь больший выброс чем /ii(^).
Действительно, из
^1 (0^=00 =
5->0
a:bx(s) j
имеем для рассматриваемой системы /ii(oo)=l, /12(00) = -^^
К (оо)
Отношение ^. равно
Л,(оо)
Moo)i__l_
Л 1(00) ^1^2
Физический смысл этого отношения прост: оно показывает, что
если F=l(/) и ^вх(0='ЦО» то установившиеся значения х\оо)
регулируемой величины .соответственно относятся как/12(00) к/ii(оо)
или как 1 : ^1^2-
Отсюда следует важный вывод о том, что, если это не проти-
воречит другим техническим условиям, произведение k\k2 должно быть
велико: ^i^2^1—для того, чтобы влияние возмущения f на регулируе-
мую величину X было в установившемся состоянии (т. е. после оконча-
ния переходного процесса, вызванного возмущением F) незначи-
тельно.
70

в то же время коэффициент передачи j^^^y^ == (оо) = ^ обе-
спечивает точное воспроизведение выходом управляющего воздей-
ствия Хвх в установившемся состоянии.
Возможность большего выброса hzit) по сравнению с hi{t)
объясняется наличием двух лишних нулей передаточной функции
* ^ именно Ni = — jT- и n2 = — Y" * по сравнению с един-
ственным нулем Л^ = —-^ передаточной функции -j^^^ .
Как было показано в § 11, нули передаточной функции, в осо-
бенности если они близки к началу координат плоскости s, увели-
чивают выброс системы. Но если эти нули находятся ближе к доми-
Пяоскость S
0,2 О,'! 0,6 0,8 1,0
Рис. 32. Корневой годограф и переходные характеристики системы, представ-
ленной на рис. 31.
а — корневой годограф; б — переходные характеристики.
нирующим полюсам, чем к началу плоскости 5, то они могут и сни-
зить выброс за ючет уменьшения амплит|уды 2Л1 доминирующего ко-
лебания в реакции системы.
На рис. 32,а построен корневой годограф для системы, изобра-
женной в виде структурной схемы на рис. 31,а, передаточная функ-
ция которой
M,[fei(x5+1) + V5(r,5+1)]
5(Л5+1)(Г25+1)(х5 + 1) •
При значениях параметров Г1 = 0,1 сек, == 0,05 с^л:, х =
^ 0,04 сек, =с 100 и = 0,5
71

[100 (0.045 + 1) + 0>5»а04 (OAs + 1)] _
f^\V{s}- s(0.l5+ 1)(0.055+ l)(0.04s+ 1)
_ 10Мз[5+ 25)(s + 2 00Q) *
s(s+ lG)(5 + 20)(5 + 25) •
Ветви корневого годографа пересекают мнимую ось /со при С0кр =
= 14,3 и (^2^з)кр = 0,3.
Выбирая на корневом годографе доминирующие полюсы 5i,2=*
=—3,54-/5, вычисляем значение соответствующее этим полю-
сам, согласно (20)
п
ibh\ 1 6.8.5-17.5
(ЙА) = -j^= ^000 = 0.045.
1
Третий полюс ^3 замкнутой системы легко находится из условия
1^р(0)== х^^\о) ~ ^* "Р" котором выполняется равенство
i SiS^S^ I — Т1Т2 '
откуда
_ 100.0,045.200 _
I «^з I— 3^52 52 — 24,2.
Тогда передаточная функция замкнутой системы может быть на-
писана:
x{s) _900
АГвх (S) (S + 3,5 — /5)(S + 3,5 + /5) (S + 24,2)'
X (s)
Передаточная функция 'pj^ при этом будет:
x(s)_ 900 {TiS+ \)(T2S+ 1)
F (s) kik2 (s + 3,5 — /5) (s + 3,5 + /5) (s + 24,2) '
Принимая, что ^2 = 1» з = 0,045, имеем kikz =100 и
jc(s)_ 0(TiS+\)(T2S+\)
F (s) (s2 + 7s + 37,2) (s -f 24.2) '
* SaiMCTHM, что здесь лолюс —25 компенсирован нулем —25;
по этой причине этого нуля не будет в передаточных функциях
X'{s)lxBT^is) и x(s)IF(s), так как он сокращается.
72

Переходные характеристики hi(t) и hzit) будут:
hi{t)= 1 + l,4^-».5<cos(5^ —229°)—0,085-2м<,
h^(t) = щ [1 + 0,98^-cos (5^ — 174*') — а03^-24.2«у
Из этих выражений видно, что в установившемся состоянии
Кривые hi{t) и hzit) показаны на рис. 32,6'. При выбранном значе-
нии ^2^3 выброс практически отсутствует как в реакции системы
на лгвх = 1 (О» так и в реакции на F = 1 (/),
ГЛАВА ПЯТАЯ
СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ
14. Вводные замечания
Как уже было указано в § 3, любая САР, или следящая систе-
ма, рассматривается как состоящая из неизменяемой части (объект,
силовая часть следящих систем, исполнительные органы) и допол-
нительных элементов, специально присоединяемых к системе. Эле-
менты неизменяемой части либо задаются (объект регулирования),
либо выбираются из условий получения необходимой мощности и
удовлетворения техническим требованиям для установившегося ре-
жима! работы системы.
Дополнительные элементы, называемые стабилизирующими и
корректирующими элементами, обеспечивают надлежащую работу
системы в динамике, т. е. ее устойчивость и качество переходных
характеристик.
Синтез САУ заключается в определении структуры и параметров
корректирующих элементов в соответствии с заданными показате-
лями качества системы: общим коэффициентом усиления k, дли-
тельностью переходного процесса ^о, выбросом переходной характе-
ристики 1% и полосой пропускания ©д.
В отдельных случаях указанные показатели могут быть допол-
нены или часть из них заменена другими показателями .
В настоящей главе вопросы синтеза САУ рассматриваются толь-
ко применительно к расчету параметров корректирующих элементов,
структура которых (схема и передаточная функция) выбирается за-
ранее. При выборе типа корректирующего элемента не игнорирует-
ся опыт и интуиция проектировщика.
Многочисленные типы корректирующих устройств чаще всего
состоят из пассивных RC и реже ЯЬС-цепей. Корректирующие эле-
менты подразделяются на последовательные и па|р1аллельные - (жест-
кие, гибкие, прямые и обратные связи). iB качестве последователь-
ных корректирующих элементов иршменяютгая диффе|рвнци1рующие
(опережающие), интегрирующие, интегро-дифферендирующие или
-более 1Сложные цепи.
73

Параллельные корректирующие элементы образуют внутренние
контуры системы, охватывающие все или часть ее элементов. При-
меняются также комбинации последовательной и параллельной кор-
рекции.
Ниже синтез САУ рассматривается как проблема определения
нулей и полюсов передаточной функции корректирующих элементов,
обеспечивающих заданные показатели качества.
Синтез корректирующих элементов в плоскости s основан на
знании свойств корневых годографов и влияния расположения ну-
лей и полюсов замкнутой системы на временные показатели каче-
ства и полосу пропускания частот системы.
е
0-
-0
Плошсть S
Рлошсть S
Плоскость S
О *
10
6}
'jO.SS
О 6 ''о''^"' ^
sj^-63-so -го -юу,^
>0j
Рис. 33. Опережающая (дифференциальная) коррекция,
а —схема; б — расположение нулей и полюсов; в и г— корневые годографы
нескорректированной и скорректированной системы соответственно.
Существенным также является использование идеи доминирую-
щих полюсов. Далее, везде предполагается, что и при наличии кор-
рекции система, как и раньше, остается линейной. Это означает,
что сигналы, действующие в системе (входные воздействия и воз-
мущения), ограничены по величине, так что ни в одном из элемен-
тов «е наступают насыщение или аналогичные нелинейные эффекты.
15. Опережающая (дифференциальная) коррекция
Опережающая коррекция в простейшем случае реализуется пас-
сивным 7?С-звеном (рис. 33,а) с передаточной функцией
1 1+XS
1 +
или
74
K{s) =

Rl + f^2
где 'С = а Yo = •
Обычно выбирается в пределах 5—20, поэтому данное звено
осуществляет приближенное дифференцирование входного сигнала
(с тем большей точностью, чем больше Уо)- Из выражения для K(s)
видно, что к полюсам и нулям неизменяемой части системы Wh(s)
добавляется еще один нуль —Nq= и один полюс — Ро =
= ^,в Yo раз более удаленный от начала координат'плоскости s,
чем нуль — No (рис. ЗЗ,^^;. Смысл введения опережающей коррекции
ясен из сопоставления рис. 33,в и г. На рис. 33,в изображен корне-
вой годограф нескорректированной системы, имеющей полюсы Р=0,
Pi и Рг- Две комплексные ветви годографа расположены вблизи
оси /со и пересекают ее при сравнительно небольшом значении коэф-
фициента усиления ^кр. Длительность to переходного процесса не-
скорректированной системы, определяемая значением вещественной
части полюсов si,2, велика. На рис. 33,г изображен случай, когда
нуль —No компенсирует наиболее близкий к оси /со полюс Рг, тог-
да комплексные ветви корневого годографа существенно отодви-
гаются влево от оси /со, что позволяет значительно увеличить зна-
чение k и уменьшает время переходного процесса to.
Ясно, что компенсация полюса Pi нулем —Л^о не должна быть
обязательно точной, так как близкие нуль — Л^о и полюс Sz замкну-
той системы дают составляющую переходного процесса с амплиту-
дой тем меньшей, чем этот нуль и полЮс ближе друг к другу (см.
параграфы 10 и И).
Например, для неизменной части системы
^ s(s + 5)(s +20) '
k
полюсы которой показаны на рис. 33,в, при ^^=^^20^^^»^* доми-
нирующие полюсы замкнутой системы s^^^ — — Ы +/6,85. При по-
S + 5 /
следовательной опережающей коррекции звеном /C(s)=^^gQ (что
соответствует '^^"^ и Yo= передаточная функция всей разом-
кнутой системы
kW(S) = fe/C(s) 1Г„ (s) = sis + 5)(ltms + 50y'
Корневой годограф скорректированной системы изображен на
рис. 33,г. При kv—3\fi доминирующие полюсы Si,2=-^4-}-/22 обеспе-
чивают, несмотря на большее почти в 3 раза усиление kvy в 4 раза
менее длительный переходный процесс при таком же примерно, как
75

и раньше, выбросе 1=55%. Нетрудно, снизив усиление, получить
меньший выброс при еще более быстром переходном процессе.
Таким образом, при опережающей коррекции можно рекомендо-
вать размещение нуля корректирующей цепи вблизи ближайшего
к мнимой ООН /(О вещественного полюса разомкнутой системы.^ Рас-
смотренный выше метод компенсации нежелательных полюсов ра-
зомкнутой системы нулями корректирующей цепи (называемый ино-
гда методом сокращения, так как полюсы и соответствующие нули
Рмосность S
Рис. 34. К определению параметров опережающей корректирующей
цепи.
а — графическим методом; б — аналитическим методом.
сокращаются при точной компенсации) становится технически бо-
лее сложным, когда неизменяемая часть системы имеет комплекс-
ные полюсы.
в этом случае простая корректирующая /?С-цепь вида ^qj^T-*'
очевидно, не подходит — необходима более сложная цепь RLC или
несколько последовательных секций /?С-цепи.
После изложенного выше качественного рассмотрения вопроса
о выборе параметров последовательного опережающего корректи-
рующего звена можно перейти к методике определения его пара-
метров ло заданным показателям качества.
Пусть при заданном расположении нулей и полюсов неизменяе-
мой части системы (рис. 34,л) в плоскости s выбраны доминирую-
щие полюсы Si,2 замкнутой системы, включающей также корректи-
S Т '
рующее звено [Л. 11] K(s)^'—T-r~i- Уравнение фаз (19) для
точки Sj имеет слагаемыми не показанные на рис. 34,а углы 9 век-
торов, проведенных из нулей и полюсов неизменяемой части системы
в точку Si и углы бд и бд. векторов, направленных из нуля —iV© и
полюса —Ро в точку
2 9i + e;-9o = ±(2^-f 1).180°.
/=1
(19)
/=1
76
^ Не считая полюса. Р=0, если система астатическая,

Но
где Р —угол при вершине треугольника Pq^i^o- Отсюда
п т
Р = ± (2^ + !)• 180° + ~ S
1 1
Пусть неизменяемая часть системы имеет вид*
= 5Р(Л5+1)(Га5 + 0...(Гп-р5+1) '
где р — порядок астатизма р=0, 1, '2, ...,
ко — заданный общий коэффициент усиления.
Вместе с последовательным корректирующим звеном K(s) пере-
6yj
даточная функция разомкнутой системы будет
hi).(Т^п-
кК (s) Wj, (s) = ^j.^^ + 1)... (Гп_ pS + 1)(s + Yo^ -
(5 + Yo*^" *) (5 + «l)(5 + ^2) .. .(5 + an-p)
(58)
При s = 5i, где Sl — желаемый полюс замкнутой системы
|А5/С(50\Гн(5,)|. = Ь т. е.
»1. (59)
5f (5, + -(5| + «i)... (5, + а« - р)
Обозначая | 5i + л» | =| 5i + t-'l = а и | Sj + Yo'^'M = ^»
получаем
а = ^ = (60)
^ ИП/Л.../п.р
В выражении (60) все величины правой части известны, так
как к задано (через ко) и выбран доминирующий полюс si.
Введение корректирующего элемента K(s)=^j^^ при не-
изменном к снижает коэффициент усиления к^ в y© раз. Так как Ye
находится в П!редел1ах б-н20, то, положив, например iii=20|x', мы
обеспечим фактическое значение уоиления ко скорректированной си-
стемы не ниже заданного значения.
Теперь вопрос сводится к построению треугольника PoSiNoy вер-
шина которого совпадает с выбранным полюсом Su угол при вер-
шине Р известен из (57) и стороны треугольника b и а относятся
* W^(s) может, конечно, содержать также колебательные
звенья и нули.
77

(кй.к М-: 1 (м.=20|х^). Такой треугольник легко .построить (рис. 34,а):
в любом месте плоскости 5 вычерчивается вспомогательный тре-
угольник со сторонами \ п \i и углом между иими р. Затем этот
треугольник (разворачивается вокруг вершины Р так, чтобы сторона
его, лежащая против угла Р, оказалась па|раллельной вещественной
оси .'ПЛОСКОСТИ 5. После этого из точки Si проводятся линии, парал-
лельные сторонам 1 и [Л, до пересечения с действительной осью.
Точки пересечения этих линий с действительной осью и дадут иско-
мые значения нуля —Л^о и полюса — Яо, т. е. параметры «о;рректи-
рующего звена t и уо-
Задача нахождения параметров последовательного корректирую-
щего звена ори заданном «оэффищиенте уоиления также решается
аналитически [Л. 23].
Пусть в выражении (60) k задано (через ^о). Умножим его
сразу на уо, чтобы заданный коэффициент усиления скорректиро-
ванной системы, равный
оказался равным заданному значению ко.
Обозначим через М — \ sp (s + Ui).,, (s+Un-^ р)\8 = 8^ » и по-преж-
нему \si + 'z'4 = a, \ si+u'^''\ = b.
Тогда условие I kK{Si)WniSt) \ = 1 запишется в виде
Из треугольников P^SiN^ и Po^iO (рис. 34,(Т) имеем
sin« _No sin (g + P) Л
sinS a ' sind ^ b '
откуда
sin(a+P)_Po a _Yo^
sin a No в b '
Учтя (61), имеем
sin(a + g)_ M
sin a k '
После несложных преобразований получаем
где угол р известен из уравнения фаз (57) для точки s,. Из тех
же треугольников нетрудно получить
lOpfe sln(a + P)
78

sin(a + P)
где
9 = л — a — 5 и ciOo = |si|. (65)
Рассмотрим пример, '.поясняющий технику расчета inipn заданных по-
казателях качества н общем коэффициенте усиления системы.
Пример 8. Примем, как и прежде, передаточную функцию не-
изменяемой части системы
k
Заданы: время переходного процесса ^о<0,4 сек, выброс (Inepe-
регулирование) 25%, полоса пропускания 0)п~^ сек-^, доброт-
ность kv ^ 12 сек-^. Требуется определить параметры опережающего
корректирующего звена t и уо. Заметим, что значения kv и (Оп не
являются независимыми, но простая функциональная связь между
ними известна только для системы второго порядка (см. § 12). Бели
kv и (Оп заданы произвольно, они могут оказаться несовместимыми.
Расчет производится в следующем порядке.
1) По кривой рис. 28 значению выброса 5=25% соответствует
для системы второго норядка отнооительное затухание £=0,4. Вы-
брав для доминирующих полюсов 5i,2 £=0,4 мы получим выброс
S<25%, так как нуль —Л^о, который появится при введе-
нии корректирующего звена, должен быть достаточно близок
к полюсу Pi=—5, li их совместное влияние на выброс ,(см. форму-
лу (43)) компенсируется. Полюс 54 замкнутой системы, как это ясно
из конфигурации корневого годографа, по модулю |54|>Yot~^ поэто-
му он будет настолько удален от начала координат плоскости s, что
его влияние на % (в сторону уменьшения выброса) невелико.
2) Полагая ^0 определим затухание доминирующих
3 3
полюсов 5,,2 = — + /(Oj Oj^^ = ^ = 8 сек-^. При ai = 8
а, 8
-=7ГГ = 20 сек-К
К 0,4
(Ojj2
3) По кривой -^ = f(^) рис. 28 получаем для выбранного зна-
(Од2
чения К = 0,4 = 1,35, откуда
сдп2 = 1,35.0)0= 1,35.20 = 27 сек-К
. По соображениям, изложенным выше, можно полагать, что
вследствие некоторого превалирующего влияния полюсов замкнутой
системы ее полоса пропускания сод будет несколько меньше, чем Wn2=
= 27 сек-^. Если бы оода и заданное значение сод = 25 сек сильно
отличались, следовало бы изменить ^.
79

4) Определяем значение k с учетом заданного ^„ = 12 сек-'^,
считая, что Yo ^ 20,
^^ = ^„Yo-20-50 = 24 000.
5) Наносим на чертеж рис. 35, а выбранный доминирующий по-
Ъ
люс 5i=—8 + /18,4, вычисляем угол \ и jx = —:
р = 114° + 100° + 57° — 180°=9Г;
к _ 24 000
^- |5i|/,/2 20-19,6.22
Пмшсть S
■\\ ¥г*
/
о б
0
Рис. 35. К расчету корректирующей цепи примера 8.
а — при нуле Л^о справа от полюса Р\\ б — при нуле No
слева от полюса Pi.
Построенный аналогично рис. 34,а треугольник PqS\Nq дает
параметры:
-Л^о = —^ = -3, -.р, = ~^=-57;
т== 0,33 с^/с, Yo= 19.
Так как полученное значение 'уо='19 оказалось меньше предпо-
80

.лагаемого Yo=20, то при si,2=--e±/18,4 значение К будет на 5%
больше заданного:
20
^^ = 12уд==12,61 сек'\
Прежде чем проверить .фактическое (выполнение технических
условий, сделаем расчет т и Yo но формулам (62) — (64). Предвари-
тельно вычисляем:
^^ = ^„.5.20=1 200;
Af=20. 18,6.22=8 200;
А _ 0,146; р = 9Р.
Согласно (62)
М \ ^1
^^е« = -^ННТ"~'^^^^0Л46' tga = 0,146; а = 8^20'
Определяем 9 = те — а — д = 180° — 8°20' — 66° = 105°40'.
<0о^ sin(a + p) ^ sin 99°40'
^0 = ir-Жр^ = 20-0.146 -^JHIW = 3;
sin(a+?) sin99°40'
^« - ^« sin (9 — p) - 20 * sin 14° 40' ~~
Результаты получились близкими к прежним. Теперь проверим,
будут ли действительно полюсы Sl,2=—8±/18,4 доминирующими. Для
этого необходимо вычислить полюс S3 замкнутой системы лри полу-
ченных значениях параметров и вычет в этом полюсе.
Передаточная функция замкнутой системы
^ , . 1 200.78(s + 3)
- 3(s2 + 16s + 400)(s + c){s+ dy
тле с и d — модули полюсов S3 и S4.
|Из lFo(s)8=o='l получаем уравнение для определения произве-
дения cd, а из равенства коэффициента при s^ знаменателей переда-
точных функций скорректированной разомкнутой и замкнутой систем
(который не зависит от к) —уравнение для суммы (c+d).
Тогда 400с^=Г200 . 78 и !16+с-|-с?='54-20Н-78=il03, откуда полу-
чаем с=2,9 и d=S4A'
Таким образом, полюсы и нуль замкнутой скорректированной
системы будут: Si,2=—8±/18,4, S3=2,9, S4=—84,1 и —Л^о=—3.
Амплитуда наиболее медленно убывающей составляющей пере-
ходной характеристики h{t) согласно (36):
1 200.78 , ^ ^
3 (-2.9 + 3)
6—Э. г. Удерман. 81

в то вреМ'Я как амплитуда колебания, обусловленного Доминирую-
щими полюсами (36),
1 200.78
|--8 + /18,4 + 3|
9 4 _о ^ =1.07.
^л1 —Z 20.36,8.19-74
Переходная характеристика
Л(0^1 + l,075"^^cos(18,4^ —218°) —0,0346~3f.
Через i=0,4 сек колебательная составляющая станет меньше,
чем 0,05, а экспоненциальная составляющая станет равной 0,01. Сле-
довательно, полюсы si,2 действительно доминируют. Выброс g, оче-
видно, будет меньше, чем 25%, как мы и предполагали, так как
7z 7z
экспонента к моменту времени ^=^т="^^~ УЗ^'Почти равна началь-
ному значению Bz
5 <=^ 0,25-бз=0,25—0,034=0,216.
Приведенный выше расчет показывает, что П|ри вещественных
полюсах неизменяемой части разомкнутой системы опережающая по-
следовательная коррекция дает примерно одинаковые результаты
при точной и неточной компенсации ближайшего не равного нулю
полюса Pi нулем корректирующего элемента —la^o, т. е. что точная
компенсация некритична.
При расположении нуля —Л^о слева от полюса Pi (рис. 35,6)
корневой годограф видоизменяется (|рис. 35,6), яо результат коррек-
ции остается таким же, как и в предыдущих случаях.
Опережающая коррекция тем эффективнее, чем дальше от на-
чала координат плоскости s находится второй некомпенсируемый
полюс Рг неизменяемой части разомкнутой системы, так как при
этом соответственно левее могут быть отодвинуты от оси /со доми-
нирующие полюсы 51,2 при заданной величине усиления ко (т. е. ^р,
kv или ка). Наоборот, при близких к оси /со полюсах Рь р2,...
опережающая коррекция при помощи одного звена может оказаться
невозможной. (Критерием возникновения такой ситуации может слу-
жить значение угла ip, вычисленного по (57).
Если g оказывается больше угла 61 (рис. 35,а), то для звена
типа К {s)^g _|, ^ ^-1> получается Yo = ибо при ? = линия
SiPq становится параллельной действительной оси.
В этом случае корректирующая цепь должна состоять из не-
скольких последовательных секций (двух-трех). Если эти секции
одинаковы, то расчет их параметров [Л. 23] производится, как и
выше, согласно формулам
М 1
к singn
x Sin(a„ + pn) „ Sln(a„ + pn)
(66)
82

где п — число одинаковых звеньев (секций). Пусть неизменяемая
часть системы имеет передаточную функцию (данный пример взят
из [Л. 23]):
420 Г 420 \
нужно, чтобы s,,2 = — 7,45 ± /12,65; сод = 14.62
Пользуясь формулами (66), получаем:
р = 117°; 5 = 59.5°; -^ = 0.1375.
Так как р = 117° близок к 01 = 180 — 5=120,5°, а 9 = 9i —а,
то р>9. и коррекция возможна только при числе секций /г>1.
Взяв AZ = 2, получаем ра = 58,5, «а + ?2 = 79,4, — 99,Г.
/1
Так как 92 > Ра» д^ух секций достаточно. Найдя у
= 0,371, определяем —Nq = — 5A и — Pq = — 22A,
420-22.5^(5 + 5.4)^
kK(s)Wu{s) 5 425(5 + l)(s + 15)(5+22.5)2-
Обе секции не должны быть обязательно одинаковыми. Так, если
при помощи одной секции сперва реализовать для заданной выше
системы полюсы 51,2=—3±/8, что возможно, так как при этом
6 = 70° и 9=86,5° параметры первой секции будут — Л^о1=—3,54;
--Ро1=-30,1;
Ьfru^w ( ^ 3 570(5 + 3.54)
kK(5)(5) = 5(5+ 1)(,+ 15)(5 +30,1) •
Теперь для полученной системы задаемся полюсами 5i,2=
=—7,45±/12,65 (такими же, как и принятые выше при двух одина-
ковых секциях); тогда Р=40°, 0=84°, —Л^о2=—8,8, Ро2=—20,5.
Окончательно получим
8 300(5 + 3,54)(5 + 8.8)
kKi (5) /С2 (s) IFh (5) =- 5 (5 1) (5 (5 ^ 20.5) (5 + 30,1) •
Поведение этой системы в переходном процессе мало отличается
от поведения системы с двумя одинаковыми секциями корректирую-
щей цепи.
16. Интегральная коррекция
Интегральная коррекция осуществляется в простейшем случае
при помощи последовательной корректирующей пассивной /?С-цепи
(рис. 36,а) с передаточной функцией.
6* 83

или
где
1^1-{-Rz
«2
Интегральная коррекция применяется в тех случаях, когда вре-
менные показатели качества нескорректированной системы — время
переходного процесса, выброс — являются удовлетворительными, но
Окрестмость О
ffea масштаба)
i?—С
Вход
0-
X
-"д -Рд
R--0 5
Ллосность S '^А
а)
-6
Рис. 36. Интегральная коррекция,
а —схема; б —корневые годографы.
коэффициент усиления мал и его значение требуется существенно
увеличить (с целью уменьшения установившейся ошибки системы),
сохранив прежние показатели (/о, 6) ^- Интегральная коррекция по-
зволяет по крайней мере яа один порядок увеличить коэффициент
усиления, не ухудшая динамических свойств системы.
Это осуществляется при помощи введения так называемого
интегрирующего диполя или, кратко, диполя.
Диполем называют весьма близко расположенные нуль —Л^д и
полюс —Рд интегрирующей цепи коррекции.
Большое увеличение коэффициента усиления системы объяс-
няется тем, что диполь помещается очень близко к началу коорди-
нат плоскости 5. Чтобы это стало ясным, рассмотрим корневой
годограф нескорректированной системы, показанный на рис. 36,6
(ветвь 1). При некотором значении замкнутая система имеет
доминирующие полюсы 5i,2, изображенные треугольниками. На том
же рисунке показан корневой годограф той же системы, но скор-
ректированной введением диполя, очень близкого к началу пло-
скости 5 (ветвь 2) [см. окрестность нуля на рис. 36,6 в увеличенном
^ Ясно, что интегральная коррекция пригодна и в том случае,
когда коэффициент усиления к достаточен, но система плохо демп-
фирована !(или даже неустойчива); тогда интегральная коррекция
позволяет сох(раиить значение К улучшив динамику системы.
84

виде (без соблюдения масштаба)]. Полюс диполя Рд =—нахо-
дится ближе к полюсу Р=0 исходной системы, чем нуль Л^д = —
поэтому в начале координат плоскости s как бы существует двой-
ной полюс.
Как известно, разомкнутая система с двукратным полюсом
в начале координат плоскости s имеет астатизм второго порядка,
т. е. у такой системы общий коэффициент усиления (добротность)
установившаяся скорость
установившаяся ошибка ^^^^^ бесконечности. Следовательно,
наша система с диполем близка к системе с астатизмом второго
порядка, и значение при наличии диполя больше, чем у исходной
нескорректированной системы, при тех же приблизительно полю-
сах 51,2 замкнутой системы.
Если, например, передаточная функция нескорректированной
разомкнутой системы:
18,5 18,5
и при этом ее два полюса в замкнутом состоянии
5i,2=—0,67±/1,5,
то, применяя интегральную коррекцию при помощи
1 5 + 0,2
^(^) = -ТоТТоЖ' (^' = '0>'
получаем
^/Г/сМ17 , . 12^^(5 + 0,2)
(5) Wu (5) _ J Q Q2) (s+2) (5 + 6)'
Распорядимся величиной k\ так, чтобы k'v было больше, чем
kvi увеличим kv в \0 раз, приняв k\ = \Okv = 15,4; тогда
kK (5) Wu is) = 5(5 + а02И?+"25^5>
Доминирующие полюсы замкнутой скорректированной системы, как
это видно из корневого годографа (ветвь 2 рис. 36,6), остались
близкими к полюсам 5i.2=—0,67±yi,5*. Амплитуда 2Л1 основной
колебательной составляющей h{t) также мало отличается от той,
которая имела место без коррекции, так как влияние диполя на Ai
пропорционально отношению
s, + 0.2
s. + 0,02
:1,
ибо Л^д < I 5i |, и тем более ] Рд | <^ 1.
Читателю полезно проверить это расчетом.
85

Дополнительная экспоненциальная составляющая, обязанная
появлению четвертого полюса, имеет очень малую амплитуду, так
как чем больше kv, тем ближе .полюс Рг подходит к нулю -—^^д,
который его компенсирует.
Увеличение добротности kv по скорости -при помощи диполя,
близкого к началу плоскости s, можно доказать в общем ви-
де [Л. 14].
X is)
Передаточная функция замкнутой систеты Wq(s)=——т-т-
•^вх \S)
eis)
может быть представлена в виде Wq (5) = 1 — ——т-ч = 1 —
— yqr^ s — -^s^ —где ^(s) —изображение ошибки
системы й kp, kv, kai — коэффициенты усиления по положению,
по скорости и ускорению, обратно пропорциональные коэффици-
ентам ошибок (позиционной, скоростной и т. д.).
Очевидно, что
idWAs)]_ 1
Так как для астатических систем W„(0)= I, то можно написать
d
J_
kv
ds
L WAS) J
57-lnr.(s)
Ho Wois) можно записать через нули —A^j и полюсы —5< замкну-
той системы
т
oUis + Ni) *
П (s + Si)
Тогда
ds
(S + Si)
1пс+2^1п(5+ЛГЛ-
/г ^ m
(67)
Если очень близко к началу плоскости расположить почти равные
по величине один нуль N° и один полюс Р", так что остальные нули
* Здесь Nj и 5j —нули и полюсы, взятые с обратным знаком.
86

й полюсы можно считать Достаточно удаленными от них, то в вы-
ражении (67) можно сохранить только два слагаемых, обратных
вышеуказанным нулю № и полюсу s°, т. е..
' (68)
Из этого выражения видно, что kv возрастает тем сильнее, чем s°
и № ближе друг к другу (не будучи, конечно, равными).
При интегральной коррекции нуль диполя—Л^д является нулем
Плоскость S
рх В точке S,
-4 -2
НорнеЫ годогрод/нескору,
ректиробсшш сишеш'
Рис. 37. к расчету интегральной коррекции примера 9.
—№ в формуле (68), а тот из полюсов замкнутой системы, кото-
рый при увеличении kv стремится к Л^д, является полюсом s° в (68).
В рассмотренном выше примере таким полюсом был полюс 5, дви-
жущийся от Р2 к Л^д при k-^ оо Р<1 на (рис. 36,6).
Теперь перейдем к расчету параметров т и у» интегрирующей
последовательной цепи коррекции. Порядок расчета, имеющий
общий характер, покажем в целях наглядности на примере.
Пример 9, Для неизменной части системы с передаточной функ-
цией
800^t)
kW^ (5) = 5(5 4,4)(5+ 10)(s + 20)
заданы: k^^\2ceK-'^\ ^<2.5 сек\ ?<20 %; й)п<5 с^л:-!
1. Строим корневой годограф для нескорректированной систе-
мы, приведенной на рис. 37, и находим полюсы Si,2 при kv — l2.
В нашем случае они оказались в правой половине плоскости s, т. е.
при kv = \2 нескорректированная система неустойчива.
3
2. При заданном /о<2»5 сек = Re |5i| ^ 2^ = 1,2с^л:-». Так
как максимальное значение Oi на комплексных ветвях годографа
87

cTiMaKc — l.B В точке пересечения их с действительной осью больше,
чем требуемое значение ai=l,2, то применение интегральной кор-
рекции позволяет выполнить технические условия.
3. Проводим на расстоянии ai=l,25 линию, параллельную
оси /о), до пересечения с корневым годографом (точка А). Вблизи
точки А следует выбирать полюс 5i скорректированной системы.
Относительное затухание ^ в точке А равно С=0,5. Для системы
второго порядка при ^=0,5 выброс ^=17,5% (см. рис. 28).
Из корневого годографа видно, что при интегральной коррек-
ции данная система
kK (S) Wu (s) = -,,5 (s + РдИ^+^4)^ + 10) (s + 20)' (^^)
имеющая порядок n=5, ведет себя практически как система 2-го по-
рядка с полюсами 51,2. равными доминирующим полюсам. В самом
деле, весьма удаленные комплексные полюсы 54 и 55 (см. рис. 37)
не влияют на переходную характеристику h(t) при ^>0, а полюс 53,
как было показано выше (и как мы далее убедимся), почти ком-
пенсируется нулем —Мд.
Поэтому ?==0,5 обеспечит для нашей системы выброс g=17,5%.
4. Полюс 5i располагаем вблизи точки Л, несколько правее ее
(па 40° правее линии ^) и проводим пз пего под (углом ^=^^10^ к ли-
нии прямую до пересечения с действительной осью. В точке пере-
сечения расположим нуль корректирующего элемента. Это
правило (угол «10°) является практическим и обеспечивает прием-
лемые (не слишком большие) значения постоянных времени т и yiX
корректирующей цепи RC. При таком выборе полюса 5i и пуля
—Л^д суммарный угол диполя Л/'д, Рд, вносимый в уравнение фаз,
приблизительно равен нулю (считаем Рд?^0), а это гарантирует,
что 51, расположенный вблизи точки Л, является полюсом скоррек-
тированной системы, т. е. будет лежать на ее корневом годографе.
Имеем 5i=—l,2-f/2,15 и Л^д = 0,3.
4. Вычисляем значение k для точки 5i (или точки Л) по фор-
муле (20):
^=Я/=2,4. 3,5.10,2.19,5= 1 600.
Приравнивая модуль правой части (69) единице, имеем
(при 5 = 5i)
800^^ I 5^ + А^д I 1
Y. и, + ЯдГ|51(5, + 4)(51+10)(51 + 20)|-^-
Откуда, ввиду Л^д < I 5i |. P«<|5il, l^l^p^
1
5i(Si + 4)(5i+10)(5, + 20)
получаем (при ^„ = 12)
--k==\ 600,

800.12 ^ ^ Nj, 0,3 1
^^ = Т600"^^' Рд=- —=-^ = 0.05; 3,33 сек.
-{iz == 20 сек.
Таким образом, передаточная функция скорректированной си-
стемы
1 600(5 + 0,3)
kK (5) Wn (s) - 5 (5 + 0,05) (5 + 4) (5 + 10) (5 + 20) •
В замкнутом состоянии эта система имеет при kv = \2 домини-
рующие полюсы 5i,2=—1,2±/2,15, и третий полюс несколько боль-
ше по модулю, чем 0,35 5з~—0,35, что легко проверить: для
5з=—ч0,3б соглашо (20)
^ 0,35.0.3.3,65.9,65.19,65 , ^
^ = 0705 = I 450 =^ 1 600.
Будучи очень близок к нулю Л^д=~-0,3, полюс 5з=—0,35 дает
экспоненту, хотя и очень медленно убывающую, но ic весьма -малой
амплитудой.
Переходная характеристика скорректированной системы
Г 1 6.1
A(O^L-M —53 + 2,45+6.1
= 1 + 1.15^-^'2^ cos(2, Ш — 209°).
Полоса пропускания частот «п этой системы соп~о)п2. так как
в окрестности доминирующих полюсов 51,2 нет некомпенсированных
нулей и полюсов. При £=0,5 из графика рис. 28 получаем
(Оп2= 1,30-0)0=11,3.2,46 = 3,2 сек-К Следовательно, С0п=3,2 сек-^
меньше предельного заданного значения 5 сек-^.
17. Интегро-дифференциальная коррекция
Интегро-дифференциальная коррекция представляет собою ком-
бинацию опережающей и интегральной коррекции, которая может
быть осуществлена при помощи i^C-цепи, схема которой показана
на рис. 38,а. Интегро-дифференцирующая цепь включается после-
довательно с корректируемой системой. Этот вид коррекции при-
меняется в тех случаях, когда одновременно требуется существен-
но повысить коэффициент усиления и сдвинуть влево от мнимой
оси /со доминирующие полюсы замкнутой системы, т. е. увеличить
ее быстродействие и уменьшить выброс. Первое, т. е. увеличение
усиления, обеспечивается в основном интегрирующей частью схемы
за счет введения диполя около начала координат плоскости 5, вто-
рое — опе)режающей ча'стью схемы за счет иолпой 1или частичной
(но достаточной) компенсации ближайшего к оси /со вещественного
полюса неизменяемой части разомкнутой системы.
89

Рассмотрим как выбираются параметры интегро-дифференци-
рующей корректирующей цепи
(1+5Тз)(1+5Г,) '
которая должна обеспечить заданные техническими условиями пока-
затели.
Простой способ расчета состоит в том, что сперва в пло-
скости 5 выбираются точки, в которых должньг расположиться до-
минирующие полюсы si,2, соответствующие заданным времени ре-
гулирования i/o, выбросу i и 'Полосе пропускания 0п. При этом зна-
чение коэффициента усиления k не задается, но при реализации по-
Р окрестность О
(бед масштаба)
-30 -20 -10
Корневой годоград) неспор-
рентироданной сас/пеш/
Рис. 38. Интегро-дифференциальная коррекция,
а —схема; б — корневой годограф.
люсов 51,2 при помощи опсрежающеи части цепи коррекции ^qi^
следует стремиться, чтобы k имело возможно большее значение
(хотя еще и далекое от заданного).
Затем помещают вблизи начала плоскости 5 диполь, параметры
которого позволяют получить необходимое значение коэффициента
усиления к.
Покажем это на примере.
Пример 10. Неизменная часть системы такая же, как и в при-
мере 2 (см. § 7, рис. 13)
= 5 (5 + 10) (5 + 50) (5% 100) (5 -f 200)'
Заданы: коэффициент усиления ^tj=200—250; время регу-
лирования /о ^0,4 сек\ выброс |<20%; полоса пропускания
(Оп=-25 сек-^,
90

Полезно начать расчет с построения (точнее, наброска) корне-
вого годографа нескорректированной системы (рис. 38). Нетрудно
определить критическое значение коэффициента усиления ^икр*, для
нескоррштцрованной системы ^^;кр = 27,6.
Сравнивая это значение с заданным =200—250, мы видим, что
коррекция должна позволить повысить усиление на один порядок,
обеспечив также высокие динамические качества системы.
Исходя из заданных /о<0,4 сек, g<20% и С0п=25 сек-^, при-
нимаем доминирующие полюсы
si,2=—10±/17,3; |5i| = coo=20,
при которых относительное демпфирование t=0,5. По кривым
рис. 28 для системы второго порядка |<20% и а)п2=1,3соо. Из при-
мера 2 нам известию, что эта кажущаяся 1сложной система седьмого
порядка (скорректированная) ведет себя как система только вто-
рого порядка. ^
Попытаемся осуществить точную компенсацию полюса Р=—10
нулем Л^о опережающей части корректирующей цепи.
Из уравнения фаз при 5i=—10+/17,3 и —Л^о=—Ю получаем
угол р, характеризующий опережающую коррекцию (57):
р= 120°+90Ч23°+11Ч5°—.180°=70°.
Построив при полюсе 5i как вершине угол р, так, чтобы
—Л^о=—10, получаем —Ро=—48.
При этом согласно (20) имеем в точке 5i
Aj=20 . 42,5. 51 .90.190=7,25 • 10^,
из
.г,,, .у; , 10^Pofe.(^ + iVo)
Л А (S) н (S) M^s{s + Ро) (5 + 10) (S + 50) (S + 100) (s + 200)
N,k _ 10»7,25«10« _
^«-РоЮ^ 48.10^
Далее, помещаем диполь Л^д, Рд вблизи начала плоскости s
так чтобы полюсы 5i,2 сместились незначительно, а усиление можно
было довести до требуемого значения А;г,=250. Отношение А^д : Рд
при этом должно равняться
Яд ■"15,1-^0,5,
приняв Л^д <0,1 I S, |, получаем
Л^д = 1,65 и Яд = 0,1,
Таким образом, параметры корректирующей цепи будут:
Tl = =0,1 сек\ тз = ==0,021 сек\
-То = лг~ "^О.б сек\ т. = "н^^ 10 сек.
Передаточная функция скорректированной системы (разомкнутой)
будет:
(Л- 0.29.10^.^Л^+10)(^+Ь65)
I5jv!/Hl5j 5(5 + 0,l)(s + 10)(s + 48)(5 + 50)(s+ 100)(s + 200) *
91

При ^t)=250 замкнутая система будет имеТь доминирующие
полюсы Si,2=—10±/17,3, один полюс компенсируется нулем —Nq,
второй вещественный полюс почти компенсируется нулем дипо-
ля —Мд, третий вещественный полюс находится левее точки —20
и два удаленных комплексных полюса (находятся левее центра звез-
ды асимптот аа=—79 (см. рис. 38).
Для скорректированной системы критическое значение kv, пере-
водящее систему на границу устойчивости, равно «850 сек, в то
время как для исходной системы «без коррекции оно равнялось
всего лишь 27,6 сек.
На рис. 38 корневой годограф скорректированной системы не
показан, так как для нашей задачи это является лишним, В левом
Плошсть 5
jia
Пшжть s
ts
aj
I
s
г)
Плошсть $
Рис. 39. Коррекция тахиметрической обратной связью,
а — структурная схема; б — корневые годографы нескомпенсированной
системы; в, г и 5 — корневые годографы скомпенсированной системы
при различном расположении нуля n.
углу рис. 38 ЛИШЬ показаны (не в масштабе) часть корневого
годографа в окрестности диполя.
Можно показать, что при неточной компенсации достигаются
те же результаты, что и при точной компенсации.
В. иримере 2 было принято -^о=—■1'2, —Ро=—^167 (вместо
—Л^о=-^10 и —Ро=—48 в данном примере 10), при это.м и Рд
в обоих случаях остались близкими и как видно из рис. 15 доми-
нирующие полюсы Si,2 при kv^lbO 'Мало отличаются от значений
5,.2=—10±/17,3.
Данный пример показывает, каким мощным орудием расчета
является метод корневых годографов и синтез САУ в плоскости s.
Радикальное улучшение статических и динамических свойств следя-
щей системы пятого порядка достигается при помощи несложной
схемы интегро-дифференцирующей цепи, параметры которой опре-
деляются путем весьма примитивных построений и вычислений.
При этом ясно видно, каково будет поведение системы в пере-
ходном процессе и без всякого дополнительного труда определяются
92

ОСйбЁНые пйраметры частотной характеристики системы. Коне^^нй,
не следует забывать, что существенно лучшие показатели скоррек-
тированной цепи достигаются при условии, что действующие на си-
стему сигналы ограничены такими значениями, при которых систе-
ма продолжает оставаться линейной, т. е. когда ни в одном из эле-
ментов системы еще не начинается насыщение.
18. Гибкая обратная связь
Для стабилизации и коррекции САУ очень часто применяется
гибкая обратная связь.
С точки зрения синтеза в плоскости 5 гибкая обратная связь
является одним из удобных технических средств введения нулей
в передаточную функцию системы с целью улучшения ее динами-
ческих свойств при помощи полной или частичной компенсации
этими нулями нежелательных полюсов.
Рассмотрим следующую систему, стабилизированную при по-
мощи одного из простейших видов гибкой обратной связи— тахоме-
трической обратной связи (рис. 39,а).
Передаточная функция разомкнутой системы kW(s)=^-^» оче-
видно, равна
kW{s) = kWu{s)(\+'^s).
Таким образом, тахометрическая обратная связь привела к появле-
нию конечного нуля —= ^ в передаточной функции kW(s),
Выбор значения параметра t сводится к определению положения
нуля —N в плоскости 5, так, чтобы наилучшим образом удовлетво-
рить заданным техническим условиям.
Это частный и притом более простой случай, чем синтез опе-
)ежающей корректирующей пассивной i^C-цепи, описанный в § 15.
-1а рис 39 показаны корневые годографы: б —нескорректированной
системы и скорректированной, в—при недокомпенсации, г —точной
компенсации и (9—перекомпенсации ближайшего к мнимой оси
вещественного полюса Р. Из этого рисунка видно, что точная ком-
пенсация не является критической. Лучшие результаты дает точная
или близкая к ней компенсация.
Поэтому параметр t тахометрической обратной связи следует
выбирать так, чтобы обратная величина была примерно равна
модулю ближайшего к оси /со вещественного полюса Pi нескоррек-
тированной разомкнутой системы.
Для системы невысокого порядка (п=2 или 3) влияние пара-
метра т легко проследить, построив корневые годографы при изме-
нении t при помощи эквивалентной передаточной функции Wa(s)
(см. § 8).
Пример 11. Пусть
93

dp «2 и k = aiaik-o задйнЫ.
Тогда для системы с тахометрической обратной свяЗью
Из характеристического уравнения замкнутой системы
s{s + a,){s + a,) + k{\+^s) = 0
и условия (s) = — 1 получаем
Га(5) = -^ --.
Найдя корни знаменателя W^is), строим корневой годограф при
изменении т от т=0 до т=оо.
ч\ -
щ
v
ZOj
lVr=<?
t^o ио
А* 7600 А ^620
1 ^'^"^ «{
0 f
Р/ ^ -20
\-10
Рис. 40. К расчету параметра t тахометрической обратной
связи примера И.
Для ai=5, а2='20 и двух значениях k, а именно: k='820 и
ife'=7 600, на рис. 40 показаны построенные корневые годографы,
начинающиеся ири t=0 в полюсах W/(s), равных:
при А;=820 Pi,2=—1,8±/6, Рз=~21,4;
при^'=7600 Pi,2=+3±/16, Рз=—31.
■Комилексно-сопряженные ветви годографов с увеличением т
асимптотически стремятся к прямым Оа = —)Ш,5, кш при ^=820, так
и при ^'=7 600,
94

Третья ветви годографов в обоих случаях стремятся при Г—>оо
к нулю \^э(5), равному —Л^=—— и при t=0, попадающему в на-
чало координат плоскости 5.
Очевидно, наивыгоднейшее значение г определяется либо зада-
нием относительного затухания ^, либо заданием максимального за-
тухания амакс Последнее обеспечивается при таком значении t,
когда все три полюса Si, S2 и 53 замкнутой системы оказываются
расположенными на одной вертикальной прямой. Нетрудно устано-
вить, что указанное значение х=0,2 сек, ибо при этом —iV=——=—5
как раз равен полюсу Pi=—5, который этим нулем компенсируется
(точно). Так как система при /указанной точной компенсации вырож-
3
Rs)
Рис. 41. Структурная схема системы, корректированной при
помощи гибкой обратной связи.
дается ъ систему второго пор'ядка, то остающиеся два комплексно-
сопряженных полюса si,2 замкнутой системы имеют затухание
20 _
'макс= — ~2
Как при т<0,2, так и при T>0,i2 (но близких к t=i0,2), что соот-
ветствует неточной компенсации, существует третий вещественный
полюс 5з: при t<0,2 |5з|>110, а при т>0,2 |5з|<|10.
Перейдем к рассмотрению вопроса о синтезе в плоскости s
пассивных 7?С-цвпей, используемых в качестве элементов гибкой
обратной овязи. Применение гибкой обратной связи весьма привле-
кательно тем, что при этом используются более высокие уровни
мощности, при которых работают элементы системы, находящиеся
ближе к выходу или на самом выходе САУ. Это позволяет обой-
тись без усиления полученных таким образом корректирующих сиг-
налов.
На рис. 41 представлена структурная схема регулятора ско-
рости, скорректированная при помощи пассивной депи гибкой обрат-
ной связи, имеющей передаточную функцию r{s)='^-^j^> Передаточ-
ная функция замкнутого внутреннего контура системы
95

Если часть схемы (s) имеет большой коэффициент усиления
то приближенно Wdu(s) равно обратной величине
так как при всех значениях s, кроме 1 s |->сю, при которых Wi(5)->0,
|r.(s)r(s)|>l.
В этом случае передаточная функция всей разомкнутой системы
приближенно равна
kW(s)^-j^WAsy (70)
Из данного выражения следует, что синтез цепи гибкой обратной
связи r(s) при таком приближении сводится к синтезу последова-
тельной цепи с передаточной функцией K{s)= р^^^, т. е. к рас-
смотренным в § 15, 16 и 17 задачам. При этом, если в звене r(s) =
= л>6, то звено r(s), являясь приближенно интегрирую-
щим, создает опережающий эффект, так как осуществляет
дифференцирование управляющего сигнала. При а<6, наоборот,
опережающее звено в цепи гибкой обратной связи создает инте-
гральную коррекцию.
К сожалению, такое простое решение задачи, основанное на
выражении (70), могущее дать хорошие результаты; в отдельных
частных случаях, как общий метод не может быть использовано,
ибо при этом, в сущности, рассматривается задача синтеза вырож-
денной системы, в которой игнорируются все параметры части си-
стемы ^^1(5), кроме коэффициента усиления ku Рассчитанные ука-
занным способом параметры цепи r(s) не только не могут гаран-
тировать поведения системы в соответствии с заданными техниче-
скими условиями, но система может даже оказаться неустойчивой.
Рассмотрим конкретный пример, на котором демонстрируются
как приближенный, гак и точный метод расчета.
Пример 12. Примем для схемы рис. 41
^'(-)-(s + 20)is.+ 50)- ^^H = 7TlO
И
S -4- а
где а и 6 —параметры, которые необходимо определить.
Приближенное решение будет:
96

приняв для компенсации полюса W2{s), равного—10, 6=10
и задаваясь коэффициентом усиления kp = 100. получаем при ^2=10
k^^kW(0)=^=^ = m, а = 0.1.
При этом установившаяся статическая ошибка равна 1%, а пере-
ходная характеристика h{t) представляет собой экспоненту с по-
стоянной времени Г<0,1 сек.
Точное выражение передаточной функции разомкнутой системы
при данных значениях а=0,1 и 6 = 10 имеет вид
(5)- [(s +\0){s + 20)(s + 50) + /5+ 0Л)](s + 10) •
Чтобы ^p= 100 и
^ 1 при I 5 I > 0.
s+lO
следует принять ki= 10^
Нетрудно убедиться, что данная система имеет в замкнутом состоя-
нии полюсы
10, S2,3=—35±/1 ООО,
в то время как без коррекции она при kp = lOO неустойчива. Следо-
вательно, приближенное решение в данном случае оказалось вполне
приемлемым. Гибкая обратная связь при введении звена
5 + 0,1
r(s) ^ S + 10' ^' ^ постоянной времени т=10 сек и ослаблением
Y=100 дала благоприятную интегральную коррекцию. Легко видеть,
что результат не изменяется и при любом а<0,1 и даже при а=0.
s + 0,1
. Теперь посмотрим, что даст та же коррекция Р (5) =-^-^Туо", если
в рассмотренной выше САР учтен еще один (малый) параметр
части системы Wi(s),
Пусть
^(S + 1 ООО)(5 + 50)(S + 20)(S + 10) +ki(s + 0,1)'
для того чтобы иметь, как и раньше, усиление ^р = 100, ki должно
быть равно 10^.
В то время как приближенное решение при а=0,1 и 6 = 10
остается прежним, точное решение показывает, что система нахо-
дится далеко за границей устойчивости Ч
Таким образом, заманчивый своей простотой приближенный
расчет параметров r{s) гибкой обратной связи может дать ложный
результат.
1 Только при дополнительной постоянной времени порядка
Ю-б сек эта САР при данных значениях а и 6 цепи r(s) оказы-
вается устойчивой.
7-_Э. г. Удерман. 97

Чтобы разумно выбрать параметры а и b корректирующей
цепи обратной связи r(s) для системы, в которой не игнорируется
малый параметр, рассмотрим передаточную функцию разомкнутого
внутреннего контура данной САР (рис. 41),
^=-Wl(s)W2(s) + r(s)]^
kAk2(s + b) + (s + a){s + \0)]
[s + 1 000)(5 + 50)(5 + 20)(5 + 10)(s + ЬУ
Параметры а и b можно выбрать так, чтобы числитель сократился
с какими-нибудь двумя множителями знаменателя. Сокращение
Плоскость S
-SO
-20
>
lOOffj
Рмшость s
s^'-fO^jm W200J
0 б
о б
Рис. 42. Корневые годографы,
а —при ат^О; б —при а=0; 6=10.
наиболее близких к началу координат плоскости полюсов отдаляет
некоторые ветви корневого годографа от мнимой оси и облегчает
получение нужного коэффициента усиления. Легко видеть, что при
z(s)
д.2=10, а=0 и 6 = 10 числитель
Тогда
e(s)
становится равным ^i(s-f 10)^.:
e[s)
(s+ 1 000)(s + 50)(s + 20) •
2(5) .
Из уравнения 1 -f = 0 легко получить предельное значе-
ние ^1кр по условию устойчивости: ^1кр = 7«10^ Из передаточной
функции замкнутой системы
98

\Oki{s + b)
[(s + 1 ООО) (s + 50) (s + 20) + кг] + 10) + b)
видно, что статическая точность в 1%, т. е. ^р = 100, соответствует
значению ki = l0^y которое несколько больше, чем ^1кр = 7'108. Кор-
невые годографы, построенные для данной системы: а) без учета,
рис. 42,а, и б) с учетом малого параметра, рис. 42,6, при
Г(5) = ^ показывают, что при любом значении 0<^р<40
замкнутая система имеет не зависящий от kp доминирующий полюс
о1=—10. При ^р = 0,22 (рис. 42,6) появляются два комплексно-со-
пряженных полюса. Четвертый полюс всегда по модулю боль-
шее 1 000. Выбирая ^р = 40, получаем 10; S2,3=—10±/200 и
S4~—1 ООО. Переходная характеристика h(t) представляет собою
экспоненту с постоянной времени Г=0,1 сек, на которую наложена
«вибрация» с частотой 200 сек'К
Если бы мы сразу приняли гибкую обратную связь типа Г(5) =
~g b'^i -j, i;5> «и = 0,1, то значение удовлетворяющее заданным
условиям, можно было бы также найти, построив корневые годо-
графы при изменении х (см. § 8) при нескольких фиксированных
значениях k,.
Итак, при синтезе рассмотренной САР учет малого параметра
в части системы Wi(s), охваченный гибкой обратной связью, потре-
бовал изменения типа корректирующего звена и снижения статиче-
ской точности системы (3% вместо 1%). В обоих случаях, т. е.
с учетом и без учета малого параметра, переходная характеристи-
ка h(t) оказывается экспонентой с постоянной времени Г=0,1 сек,
которая получается за счет внесения нуля —N=—b = —-10 в пере-
даточную функцию системы.
19. Коррекция по возмущению
Комбинированные САР и следящие системы используют одно-
временно сигналы, являющиеся функцией отклонения (ошибки)
регулируемой величины, и сигналы, зависящие от возмущений.
В комбинированных системах, удовлетворяющих точным и при-
ближенным (до 8) условиям инвариантности [Л. 26—32], а также
условиям физической реализуемости [Л. 29], может быть достигнута
большая точность, чем в обычных САУ, не использующих сигналов
по возмущению. Это объясняется независимостью условий инва-
риантности и условий устойчивости комбинированных систем.
Для синтеза комбинированных САУ с успехом могут быть при-
менены методы, использующие корневые годографы. Покажем на
примере расчет следящей системы (рис. 43,а), удовлетворяющей
приближенным условиям инвариантности относительно управляю-
щего воздействия [35],
7* 99

Рис. 43. Коррекция по возмущению.
а — структурная схема САУ с комбинированным управлением; б — ее
корневой годограф.
Для структурной схемы рис. 43,а справедливы уравнения
x=W2{s)(u-\-v), u=Wi(s)e, v=Wz(s)Xb:,, е^х^^—х. (71)
Разрешая систему уравнений (71) относительно —, а затем от-
носительно
получаем соответственно передаточные функции
X в
замкнутой системы Wo(s) = -—- и ошибки системы
Хьх
W^(s)WAs) + WAs)W,(s)]
(72)
e{s) _l-WAs)W,{s)
Из последнего выражения вытекает условие абсолютной инвариант-
ности е = 0:
Предположим, что вместо условия (74) выполняется условие
(73)
ант-
(74)
WAs)W,(sy
.Ms)
'B(s)
(75)
вызванное трудностями или невозможностью реализации устройства
с передаточной функцией
е ($)
Тогда из выражения (73) для ^^^^^^ с учетом (75) следует, что пе-
редаточная функция
100

.Ms)
не равна О, как в случае абсолютной инвариантности.
Из выражения (73) видно, что условия инвариантности (абсо-
лютные или приближенные) и условия устойчивости, заключающие-
ся в том, что ResA<0 (^=1, 2, ..., п), где 5^ —корни уравнения
1 + 1^1 (5) 1^2(5)= О
являются независимыми Ч Как мы увидим ниже, выполнение усло-
вий устойчивости в комбинированных системах этим только облег-
чается. Пусть для системы, изображенной в виде структурной схе-
мы на рис. 43,а,
где
заданы: максимальная скорость (угловая) изменения входного сиг-
нала =100 zpaojcefc; максимальное ускорение —di^ ^
= 200 zpadjceK^; максимальная ошибка ^макс = 0,1 град; время пе-
реходного процесса t < 0,4 сек; выброс 5 < 25%; полоса пропуска-
ния ©п < 25 сек.
Параметры системы: 7'i = 0,002 сек, 7^2 = 0,05 сек, ^2=0,5 zpadje.
Примем, что часть системы W^is) реализована при помощи тахо-
генератора, пассивной опережающей /?С-цепи с передаточной функ-
цией /С (5) =и усилителя, так что
Ye i Т" 5Х
т. е. выполняется приближенное условие инвариантности (при т = О
получается абсолютно инвариантная система).
Согласно (73) имеем
e{s) __ zsH\+sT,)(\ + sT,) гу_у.,
x^x{s) (\+sz)[s{\+sTi){\+sT2) + k\ ' ^f^-i^M-
e{s)
Представив в виде
Хвх (s) Ло + + «2s2 + a^s^ +... *
где 6o = 6, - 0, 62 = 'c. 63 = X (Tl + Г2), ^ = '^ТгТ^;
йо = k, ai= ik + 1, Д2 = 7^1 + T^, a, = T1T2, a^ = iT^T^,
^ Ясно, что корни Б (5)= о также должны удовлетворять требо-
ванию ReSft<0,
101

получаем коэффициенты ошибок:
позиционной Y '^'а'^^' ^р = °°»
по скорости -r-==-V (^1^0 — ^0^1) = 0» = 00;
kv
по ускорению 1Г" ~ "V [^2^1 — ^i^o^i + ^0 С*^? — ^о^г)! ^ ^
Так как
У ^макс ^а = 2 000 гр-сек-^
расчет сводится к определению двух параметров: k и i.
При этом параметры ^ и т могут быть выбраны независимо, так
e(s)
как 1 не содержится во втором множителе знаменателя ——т-.
Построив корневой годограф по коэффициенту усиления k поли-
нома
P(s) = s(\ + sT,)(\ + sT,) + k
(рис. 43,6), выбираем такое значение k, при котором доминирующие
e{s)
полюсы и нули —7-v соответствуют заданным временным показа-
телям переходной характеристики h(t) и в то же время обеспечи-
вается заданное значение добротности системы по ускорению
Последнее достигается выбором значения т.
Из рис. 43,6 видно, что при k = 20 сек-^ полюсы замкнутой
системы 5i,2 = —7,7 ±/14, s3 = — —= —100, 54 = —515, а нули
e(s)
^)
— = —-^=—500, —//2 =-4-=—20,
где t=0,01 сек получено три (выбранном k—20 сек-\ исходя из за-
данного значения ^а=2 000 град/сек^. Некоторое влияние на вы-
брос I (в сторону небольшого увеличения) имеет только нуль
—Л^2=—20. Так как при доминирующих полюсах Si,2=—7,7±/14
время регулирования /о«0,4 сек, а выброс | около 20% (для систе-
мы второго порядка без конечных нулей при ^=0,5 ^=17,5%) и
полоса пропускания о)п<25 сек-^, то все заданные технические усло-
вия удовлетворены,
102

На основании полученных данных нетрудно вычислить ошибку
системы e{t) в переходном процессе при скачкообразном единичном
ускорении, т. е. при s^Xbx{s)=— и нулевых начальных условиях:
_^ ^TJ,(s + TY')(s-\-7j')
При k^20 сек' К 1 = 0.01 сек, = 7.7. coj =14, р = 515
, , (5 + 20)(5 + 500) 1_
(5 + 7.7 —/14)(5 +7.7 +у14)(5 + 100)(5 +515) s '
Ошибка в переходном процессе
S + 20
1
5 (s2+ 15,4s+ 250) (5+ 100)
2000 П + 1.276-V* cos (14/ — 160°)+ 0.2^-100'].
Данные системы (параметры Ti и Т2) взяты такими же, как и
в примере, приведенном в [Л. 31], где дан метод расчета комбини-
рованных следящих систем для частного случая, когда входной сиг-
нал представляет собою гармоническое колебание с заданными
амплитудой и частотой и задана максимальная (допустимая) ампли-
туда ошибки. Критерием качества в [Л. 31] принимается значение
относительного пика М амплитудно-частотной характеристики замк-
нутой системы. Метод, данный в [Л. 31], достаточно прост, но
является менее общим, чем приведенный выше метод расчета по
заданной добротности, временным показателям качества и полосе
пропускания.
Из рассмотренного выше примера видно, что комбинированные
САУ, работающие и по отклонению и по возмущению, в известной
мере свободны от противоречия между устойчивостью и точностью,
которое характерно для САУ, в которых используется принцип ра-
боты только по отклонению. Это обстоятельство, имеющее своей
причиной независимость условий инвариантности и условий устой-
чивости, вместе с тем облегчает расчет комбинированных систем.
20. Самонастраивающиеся системы
в настоящем параграфе приведены примеры линейных самона-
страивающихся систем, в которых реализуется идея сохранения по-
ложения доминирующих полюсов и нулей системы при всех усло-
виях ее работы.
Если в системах автоматического управления с постоянными
параметрами объекта необходимое качество системы достигается
при соответствующей структуре и параметрах корректирующих эле-
ментов, которые остаются на все время фиксированными, так же
как и общий коэффициент усиления, то в самонастраивающихся
(или приспосабливающихся) системах дело обстоит иначе. Во мно-
гих САУ вместе с изменением условий работы объекта управления
изменяются его динамические характеристики и параметры. Это
103

изменение обычно происходит во /много раз медленнее, чем дли-
тельность переходных процессов, так что в каждом из режимов
система может рассматриваться как имеющая постоянные (для
данного режима) параметры, но значения этих параметров в край-
них режимах существенно отличаются друг от друга. Такая ситуа-
ция имеет место во многих САУ производственных процессов,
в современных самолетах и т. д.
От блока саманастрасЫа
1
S
Кг
Отнлонете
PffM бо/сты
плоскость s j'^
-SO -40 -30 -20jj-lO^
Pf3
'сг\\
6j
V
Щ
m
ZOj
m
0 б
Плоскость s
k=0,875-W^,
-SO 40 -30 -iO-<^t -4o
V
30j
m
0 б
Рис. 44. Самонастраивающаяся система автоматического управления
углом тангажа самолета.
а — эквивалентная структурная схема; б и в — корневые годографы
для двух крайних режимов полета.
Если В линейных САУ указанного вида характер и форма пере-
ходной характеристики h(t) должны по заданным техническим усло-
виям сохраняться одними и теми же при всех возможных условиях
(режимах) работы объекта управления, то одним из возможных
принципов самонастройки САУ является сохранение положения до-
минирующих полюсов и нулей передаточной функции замкнутой
системы.
В данном параграфе мы остановимся только иа предпосылках,
необходимых для синтеза указанного выше класса самонастраиваю-
щихся систем, которые опираются на данные, почерпнутые из кор-
невых годографов, построенных для этих систем,
104

На рис. 44,а приведена эквивалентная структурная схема авто-
матического управления углом тангажа 6 самолета В-25 [Л. 33].
В этой схеме передаточная функция в цепи обратной связи
^F(s2+2gFCOF5 + (o^) является эквивалентом суммы жесткой обрат-
ной связи (кг), связывающей выход со входом системы, и гибкой
обратной связи [^i(5 + o)i)] через тахогенератор, соединяющий выход
системы с входом усилителя kx, имеющих место в исходной схеме,
1не показанной на (ри<аун1ке. С И'31ме1ншие1м высоты и 'скорости ■полета
в 8нач:и1тельных (пределам нзменяюгися пара)метры самолета (послед-
него GiB'ena 1П'ря1мой це1п1и схемы ipnc. 44,а).
Для двух крайних режимов полета на рис. 44,6 и в показаны
корневые годографы, построенные для рассматриваемой системы
в соответствии с ее передаточной функцией
fe(s + co^o)(s^ +2^^.(0^5 + 4)
kWi (s) (s) ^ ^ -^^j^^, ^ 2^^^^^ ^ ^ 2?^co^s + C.I) '
k
где k = kjkxkj^kgkQkjn kp = -^.
Для одного крайнего режима (рис. 44,<5')
™ , , ^(5 + 3)(s^ + 25,45 + 324)
fiWi(s)W2(s) 15) (52+ 70,75+ 2 500) (52+ 3,55+ 6,25) '
Для другого крайнего ^режима (рис. 44,б)
ь^w < ^ш fA- Ms+ 4,5)(5^ + 25,45+ 324)
i^\Vi{S)W2{S) s (s+\5)(s^ +70,7s+ 2500)(s^ +7s + 135)'
Из этих передаточных функций, а также рис. 44 видно, что
с изменением режима изменяют свое положение (в плоскости 5)
только два полюса Pci и Рс2 и нуль (Осо передаточной функции
самолета.
Чтобы во всех режимах полета реакция системы h(t) была
одной и той же, необходимо обеспечить неизменное положение двух
пар комплексно-сопряженных полюсов замкнутой системы, показан-
ных на рис. 44,6 и в треугольниками. Рассмотрение корневых годо-
графов показывает, что это может быть достигнуто за счет соот-
ветствующего изменения значения общего коэффициента усиления k.
Для этого изменение режима должно быть каким-нибудь способом
«уловлено» (измерено) и осуществлено соответствующее воздействие
на усилитель для изменения в нужную сторону коэффициента kxy
являющегося множителем k. Эту функцию выполняет не показан-
ный на схеме блок самонастройки.
Из изложенного выше ясно, что синтез самонастраивающихся
систем рассматриваемого класса производится так же, как и обыч-
ных систем: параметры корректирующих элементов (в данном при-
мере цепи обратной связи) выбираются из условия обеспечения же-
лаемого положения полюсов замкнутой системы при каком-нибудь
промежуточном (среднем) режиме. Это может быть выполнено
методами, изложенными в предыдущих параграфах данной главы.
105

самонашройт
а)
\
+
-30 I -20
б)
Рис. 45. Самонастраивающаяся САУ.
а — структурная схема; б — корневые годографы.
Самостоятельной проблемой, допускающей множество различ-
ных решений, является техническое осуществление блока самона-
стройки, который, изменяя усиление системы или дополнительно
еще какие-нибудь параметры корректирующих элементов, обеспечи-
вает при всех режимах объекта управления выбранное расположе-
ние доминирующих полюсов и нулей или определенное значение
другого выбранного показателя, характеризующего поведение си-
стемы в динамике.
На рис. 45,а изображена структурная схема другого варианта
автоматического управления углом тангажа самолета, в которой
блок самонастройки изменяет не только общий коэффициент усиле-
ния k, но и параметр последовательной цепи интегральной коррек-
ции (полюс сог) при изменении условий полета [Л, 33]. Передаточ-
ная функция данной разомкнутой системы
^(5 + co^)(s + o)^q)(5 —(о^о)
^^'^~ (5 + + co,)(s2 +2?ла>^5 + 4) *
На рис. 45,6 приведены построенные для двух крайних режимов
полета корневые годографы — сплошными и пунктирными линиями
соответственно. Желаемое поведение системы соответствует пересе-
чению сплошных и пунктирных годографов ^ доминирующих полюсов
замкнутой системы, имеющих в выбранной точке относительный ко-
эффициент затухания ^=0Д
Для одного режима полета коэффициент усиления ^=^i=0,25
и полюс элемента интегральной коррекции С02=—14,5, для второго
режима ^=^2=4,13 и о)^2=—30,
1 Эти годографы начинаются в полюсах передаточной' функции самолета
Рв первом режиме и Рво втором режиме.
106 -

ПРИЛОЖЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА
Метод корневого годографа применяется для приближенного
определения корней многочлена
P(s)=s"-fais^-i+ . .r+an_is+an,
т. е. для его разложения на множители. Точность определения кор-
ней зависит от степени п полинома P(s). При /г=5—6 точность ло-
рядка 10% может быть достигнута без особых усилий. Такая точ-
ность вполне приемлема для расчетов САУ, ибо практически пара-
метры САУ редко бывают известными с точностью, превышающей
10—20%. В тех случаях, когда корни многочлена должны быть
определены с точностью, большей, чем 10%, их значения, найден-
ные методом корневого годографа, могут служить первым прибли-
жением, которое уточняется при помощи какого-нибудь другого ме-
тода, например, метода Лина (Л. 34].
В § 8, И, 13 мы встретились с необходимостью разложения
многочлена на множители, поэтому ниже приводятся простейшие
способы (из многих возможных) такого разложения при помощи
метода корневого годографа.
Идею первого способа поясним на простом примере [Л. 24]:
Р (s) = s4 as3+6s2-f CS-f с?.
Правую часть P{s) заключают в ряд скобок, внутри которых нахо-
дятся полиномы более низких степеней: 1-й, 2-й, 3-й и т. д. Так,
P(s) записываем в виде
P(s)^{[[S + a)s + b\s + с) S + d.
Вначале находят корни полинома 2-й степени в квадратных скоб-
ках, затем при помощи построения корневых годографов для вы-
ражения в фигурных скобках находят три корня этого выражения.
Это дает разложение полинома в фигурных скобках на три мно-
жителя и позволяет построить корневые годографьг для полино-
ма P(s) и этим самым определить его корни.
Пусть корни выражения ,в квадратных скобках будут —ri и —Г2.
Тогда
(s+a)s-f6=(s+ri)(s-fr2).
Выражение внутри фигурных скобок можно записать:
(S-fri)(s + r2)s + C.
107

Корни этого полинома находятся построением корневых годо-
графов по передаточной функции
^'<^) = ^(s + r!)(s+r.)' ^ = '^'
при ^/изменяющемся от О до оо, и выбором точек на трех ветвях
корневого годографа, в которых k=c. Эти точки дают три корня:
г'ь и г'з. Полином P(s) принимает вид
Строим корневой годограф по передаточной функции
k
и в точках k=d получаем искомые четыре корня заданного поли-
нома P{s).
Пусть P(s)=s3+25,5s2+6855-f8 150. Записываем P{s) в форме
P(s)=[(s-f25,5)s+685]s+8 150.
Корни полинома внутри квадратных скобок находятся по формуле
квадратного уравнения
/•1.2=—12,7б±у22,85.
Переписываем P(s) в виде
P{s) =;(s-f 12,76—/22,85) (s+(12,75+/22,)85)>-i-8 150
или
k
s(s + 12.75 —/22,85)(s+ 12.75+ /22,85) *
Строим корневой годограф, соответствующий W(s), полагая чис-
литель равным k. Этот корневой годограф приведен на рис. 46. По-
ложив а=в 150, получаем три по-
люса W{s), являющиеся корнями
полинома P{s): Si,2 = —6±/i22,4,
S3=—415,5. !Недоста1ТК01м изложен-
inoro icinoool6a является необходи-
мость нахождения на построенных
корневых тодолрафах точек, в ко-
торых k равно заданному коэф-
фициенту полинома Р(5), напри-
мер с или d, а в последнем при-
мере -н8150.
.В то время 1как для лкУбой
точки построенного корневого ш-
долрафа 31начение к находится
Рис. 46. Корневой годограф, по- сразу по формуле ! (120), выражаю-
строенный для определения корней щей условие |^U^(5)| = 1, обрат-
многочлена, ^^jj задача, т. е. нахождение точ-
ки корневого годографа, в кото-
рой k имеет заданное эцачение, требует последовательных прибли-
жений в два-три шага.
/
т
.0 а
-20 -10
108

От указанного недостатка свободен следующий способ [Л. 25],
особенно эффективный при степени полинома п ^ 5. Полином
P(s)=s'^+ais''-^-b ... +ап==0 представляют в форме
S +
Полагая an-2=k и считая п < 5, легко разлагаем числитель и зна-
менатель W{^) на множители и затем строим корневые годографы.
Для того чтобы не искать точку на корневом годографе, в кото-
рых k равно заданному числу, из полинома W{s) образуют две
-4
ja,
б
0 "
6
■ 1 i
0 *
Рис. 47. К определению корней многочлена,
а —корневой годограф \V^{s)\ б — корневой годограф в — их
пересечения.
формы \W\(s) и 1^2(5)), одна из них с коэффициентом другая
с—и строят для обеих форм W\(s) и 1^2(5) корневые годографы.
Точки пересечения корневых годографов и дают искомые корни по-
линома P(is).
Покажем эту процедуру сперва на элементарном примере, затем
на более сложном.
1) P(s)=s2+8s+25.
Записываем два эквивалентных выражения:
к.
2(5) =
5(5 + 8)
25^^
8
— 1 (^1 = 25);
' = -1 (^2 = 8).
На рис. 47,а изображен корневой годограф, построенный по переда-
точной функции W\(s) (с числителем к{), а на рис. 47,6 — корневой
годограф 1^2(5) (с числителем ^2); рис. 47,б представляет собою сов-
мещение рисунков а и б. Точки пересечения обоих годографов дают
корни полинома P(s) 51,2=—4±/3,что легко проверить аналитически.
109

Для простоты проверки приводится следующий пример.
2) P{ls)=s<+15sH55s2+245s+204,
, / , 245 , 204
55
)
5^5+15)
52(s2 + 15s + 55)
Рис. 48. К определению корней многочлена мето-
дом двух пересекающих годографов.
Так как и U^i(s) и 1^2 («) легко раскладываются на множители:
"^М-- sMs+15)
"^2 1^)- s2(5 + 6,4)(s + 8,6l) '
то шересечение корневых годографов, построенных ;по W\[s) и 1^2(s)
(рис. 48), н дает два комплексно сопряженных корня полинома P{s)\
Si,2=—1±/4, после чего остальные два его корня: 5з=—1 и S4=—12
пайти нетрудно.
iHa рис. 4'8 показаны только нули н полк>сы ^^1(5), необходимые
для построения корневого годографа при k\, изменяющемся от О
до ос,
Нуль и полюсы 1^2(5) на рис. 48 не показаны. В точкам пере-
сечения корневых годографов ^i=25 и fe=e, однако знания этих
чисел (в противоположность первому способу) здесь не требуется
для разложения полинома P(s) на множители.

ЛИТЕРАТУРА
(1. Т е о д о р ч и к iK. Ф., Траектории корней характеристиче-
ского уравнения третьего порядка при непрерывном изменении сво-
бодного члена и максимальная достижимая при этом устойчивость,
ЖТФ, am т. XVIII, (Nb 111.
е. |Б е н д р и к о в Г. А., Т е о д о р ч и к iK. Ф., Законы мигра-
ции корней линейных алгебраических уравнений третьей и четвертой
степени при непрерывном изменении свободного члена, «Автомати-
ка и телемеханика», 1955, т. XIV, № 3.
13. 1Б е н д р и 1К о в Г. А., Т е о д о р ч и к К. Ф., 'К теории регу-
лирования по производной в линейных системах третьего порядка,
«Автоматика и телемеханика», tl957, т. XVIII, № 5.
'4. Теодор чик iK. Ф., Основы анализа и коррекции линейных
систем методО)М траектории корней (собственных частот), «Вестник
МГУ», 1957, JMb 4.
б. ;Б е и д р и к о в 1Г. А., Т е о д о р ч и к iK. Ф., .К аналитиче-
ской теории построения траекторий корней, «Автоматика и телеме-
ханика», 1959, т. XX, № 3.
6. Т е о д о р ч и к К. Ф., Б е н д р и к о в Г. А., Методы построе-
ния траекторий корн'ей линейных систем и качественного определе-
ния типа траектории, Труды I международного конгресса Междуна-
родной федерации по автоматическо.м,у управлению (ИФАК), т. 1,
Теория непрерывных систем и др.. Изд. АН СССР, 1*961.
7. lE V а п S W. 'R., Control system synthesis by root locus me-
thod, Trans. AIEE, 1950, v. 69.
8. lE V a n s W. iR., Control-sysftem dynamlics, McGraw-Hill,
1954, N. Y.
9. Стрелков С. П., Авторское свидетельство № 12179,1949.
10. Удерман Э. Г., (Применение годографа затухания к ис-
следованию линеаризованных регулируемых систем, «Электриче-
ство», 1952, № 2.
11. Л ер н ер А. Я., введение в теорию автоматического регу-
лирования, гл. 11, Машгиз, 1958.
12. 1К о н т ор ович М. И., Операционное исчисление и неста-
ционарные явления в электрических цепях, Гостехиздат, 1949.
13. Гарднер М., Бэр не Дж., Переходные процессы в ли-
нейных системах, Физматгиз, 1961.
14. Траксе л Д., Синтез систем автоматического регулирова-
ния, Машгиз, 1959.
15. Мее ров iM. В., О системах авторегулирования, устойчивых
при сколь угодно большом коэффициенте усиления, «Автоматика и
телемеханика», т. VIII, 1947. № 4.
16. Мее ров М. В., Синтез структур систем автоматического
регулирования высокой точности, Физматгиз, 1959.
111

117. Ц ыпкин Я. 3., Об асимптотических свойствах некоторых
неодноконтурных систем автоматического регулирования- Труды
ВЗЖ, iNb 6, Госэнергоиздат, 1956.
18. Lass iH. А., А note on the root locus method, Proc. IRE,
1956, May, V. 44.
19. У дерм ан Э. Г., Об одном методе определения параме-
тров линейных систем авторегулирования, «Автоматика и телеме
ханика», т. X, 1949, № 2.
120. 'Стрелке .в С. П., iK общей теории линейных усилителей,
«Автоматика и телемеханика», 1948, т. IX, № 3, 1949, т. X, № 4.
121. М U 111 g а п I. Н., The effect of pole 'and zero location on
the itransient responce of linear dynamic systems, Proc. IRE, 1949
V. 37, № 5.
22. Brown G. S., Campbell D. P., The principles of ser
vomechanisms, John Willey, 1948, N. Y.
23. Ross lE. R., Warren T. C, Thaler G. I., Design of
servo compensation based on the root locus approach, Applic. and
Ind., 1960, September, № 50.
i24. D e 1 Того W., P a r к e r S. R., Principles of control sy-
stems engineering, McGraw-Hill, 1960, N. Y.
25. Glomb J. D., On the approximation of roots of the n-th
order polynomials, Trans. IRE, AC-5, 1960,-№ 4.
26. Щи панов Г. В., Теория и метод проектирования автома-
тических регуляторов, «Автоматика и телемеханика», 1939, т, 1,№1.
i27. Лузин Н. Н., Кузнецов П. И., К абсолютной инвари-
антности и инвариантности до е в теории дифференциальных урав-
нений, ДАН СССР, 1946, т. 51, № 4,5 и ДАН СССР, 1951, т.80,№3.
28. Кулебакин В. С, Теория инвариантности и ее примене-
ние в автоматических устройствах. Труды совещания ио теории
инвариантности. Изд. АН УССР, 1959.
29. Н е т р о в Б. Н., Принцип инвариантности и условия его
применения при расчете линейных и нелинейных систем. Труды
I международного конгресса по автоматическому управлению
(ИФАК), т. 1, Теория непрерывных систем и др.. Изд. АН СССР,
1961.
30. Ивахненко А. Г., Техническая кибернетика, 'Гостехиз-
дат УССР, 1959.
Ш. Б ессе кер ски й В. А., Федоров С. М., Расчет следя-
щих систем комбинированного управления методом логарифмиче-
ских частотных характеристик, Труды совещания по теории инва-
риантности, под ред. В. С. Кулебакина, Изд. АН УССР, 1959.
32. Уланов Г, iM., Регулирование по возмущению, Госэнер-
гоиздат, 11960.
33. М i s h к i п Е., В г а и п L., Adaptive control systems,
McGraw-Hill, 1961, N. Y.
34. Lin S. N., Method of successive approximations of evalua-
ting the real and complex roots of cubic and higher-order equations,
J. Mathem. Phys., 1941, v. 20, № 3.
35. Удерман Э. Г., О свойствах и расчете комбинированных
'Следящих систем, удовлетворяющих условиям инвариантности. Изве-
стия АН ОТН, Энергетика и авто(матика, 1962, № 6.