/
Text
и. М. МАКАРОВ, I Б. М. МЕНСКИй]
линЕйныIE
АВТОМАТИЧЕСКИЕ
систЕмыI
(элементы теории, методы расчета
и спраВОllНЫЙ материал)
ВТОРОЕ ИЗДАНИЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высше20
u средне20 сnецuаЛЬflО20 образования СССР
в качестве учебн.О20 пособия для студентов
OblCUIUX технических учебных заведений
':
j
il!
.
МОСКВА (i МДLlIИНОСТРОЕНИЕ)) 1982
ББК 32.965.4
M15
УДК 62-50 (075)
Реценаент член-кор. АН СССР с. В. Емельянов
Макаров и. М., I Менский Б. М. I
М15 Линейные автоматические системы (элементы теории,
методы расчета и справочный материал).
2..е ИЗД.,
перераб. и доп
М.: Машиностроение, 1982.
504 С.,
ил.
В пер.: 1 р. 50 к.
Учебное пособие содержит краткие сведения из теории непрерывных
.линейных систем автоматическоrо реrулирован:ия и обширный справочный
материал ДЛЯ их анализа и синтеза. Основное внимание уделено стационарным
системам при детерминированных внешних воздействиях. Приведено MHoro
примеров расчета. Пособие предназначено ДЛЯ студентов машиностроительных
и политехнических вузов, а также может быть использовано инженерио-техни-
ческими работниками при проеКТИРОВ8НИИ автоматических систем.
м 2404000000-046 46-82
038(01)-82
ББI( 32.965.4
6Ф6.5
ИВ NQ 2998
Иеорь Михайлович Макаров, Борис Михайлович Менскuй
ЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Редактор З. с. Баранова Художественный редактор с. с. Вi1дчuц
ТеХllический редактор А. И. Захарова I(oppeKTopbI: О. Е. Мишина, н. Т. БО20.мОЛQва
Оформление художника Е. В. БеlCеmова
СдаН6 в набор 12.05.81. Подписано в печать 06.11.81 Т
2З697. Формат 60Х901/16.
#t Бумаrа типоrрафская .N'2 1. rарнитура литературная. Печать высокая.
Уел. леч. Л. 31,Б. Уч.-изд. л. 33,2. Тираж 13 000 экз. Заказ 565. Цена 1 р. 50 к.
Орд.ена Трудовоrо I(pacHoro Знамени издательство «Машиностроение». 107076, Москва_
Стромынский пер., Д. 4
Ленинrрадская типоrрафия N
6 ордена TpYAOBoro KpacHoro Знамени
Ленинrрадскоrо объединения «Техническая книrа» ИМ. Евrении Соколовой
СОЮЗПОJIиrрафпрома при rосударственном комитете СССР
по делам издательств, полиrрафии и книжной торrОВJIИ.
193144, r. Ленинrрад, УЛ. Моисеенко, 10.
@ Издательство «Машиностроение», 1977 r.
@ Издательство «Машиностроение», 1982 r., с изменениями.
ПРЕДИСЛОВИЕ
в ОСНОВНЫХ направлениях экономическоrо и социальноrо
развития СССР на 1981
1985 rr. и На период до 1990 r. указы-
вается, что rлавная задача одиннадцатой пятилетки СОСТОИТ
в обеспечении дальнейшеrо роста блаrосостояния советских людей
на основе устойчивоrо поступательноrо развития народноrо ха.
зяйства, ускорения научно..техническоrо проrресса и перевода
экономики на интенсивный путь развития, более рациональноrо
использования производственноrо потенциала страны, всемерной
экономии всех видов ресурсов и улучшения качества работы.
При интенсификации промышленности возникают проблемы
u
резкоrо сокращения доли ручноrо труда, развития комплекснои
механизации и автоматизации ПрОИ3БDдства. Вследствие этоrо
специалисты самых различных профилей будут .все чаще сталки"
ваться с необходимостью использования в своей научной и прак-
тической деятельности теории и методов проектирования, созда-
ния и эксплуатации систем автоматическоrо реrулирования и
управления.
Современные учебные nporpaMMbI вузов учитывают эту необхо-
димость. Вопросы автоматическоrо реrулирования и управления
рассматриваются как самостоятельные дисциплины, а также при
изучении соответствующих отраслей техники. Анализ и синтез
автоматических систем..... неотъемлемая часть тематики курсо-
Boro и ДИПJIомноrо проектироваНИЯ.
Быстрые темпы роста ПРОИ3БQДСТВ8, использование более со-
вершенной техники и технолоrии, автоматизация научноrо экспе-
римента требуют от миоrих специалистов знаний в области автома-
тики. Прежде Bcero это необходимо инженерам, которые не имеют
специаJIьноrо образования в области автоматики. и специалистам,
которые ранее не соприкасались с автоматическими приборами,
автоматическими системами и методами их расчета.
В пособии наиболее полно изложены основные сведения о ста...
u
ционарных непрерывных линеиных системах автоматическоrо
реrУЛИРОВ8НИЯ, которые используют также при анализе и синтезе
систем друrRХ классов, в чаСТIiОСТИ дискретных систем.
1* 3
Авторы стреlVIИЛИСЬ ИЗЛОЖIIТЬ ftfатериал в наиболее удобноЙ
ДЛЯ читателя форме. Общие концепции теории ПРИВОДЯТСЯ без
доказательства. Используемый математический аппарат дан в со..
ответствующих разделах пособия и в приложениях.
Основное внимание авторы уделяют различным методам расчета
и справочному :материалу. Для решения одноЙ и ТОЙ же задачи
указано, как правило, несколько применяемых на практике
методов, что позволяет в зависимости от конкретных условий
использовать наиболее удобный. Кроме Toro, владение различными
методами расчета позволяет быстро проверить полученные ре-
зультаты.
Примеры расчета, приведенные в пособии, носят достаточно
общий характер и помоrут читателю при анализе и синтезе систем
автоматическоrо реrулировзния, применяемых в различных отрас..
лях техники. Расчеты выполнены ДЛЯ rипотетических систем
реrулирования иевысокоrо порядка вместо упрощенноrо анализа
и синтеза конкретных систем. Последнее, по мнению авторов,
мо}кет создать у читателеЙ неполное представление об инженерных
расчетах, для которых кроме материала, изложенноrо в данном
пособии, необходимы еще знания соответствующей отрасли тех..
ники.
Все приведенные методы расчета позволяют решать задачи
с использованием электронной вычислительной техники. Однако
nporpaMMЬY расчета на цифровых ЭВМ не приведены; простейшие
nporpaMMbI имеются в библиотеке подпроrрамм каждоrо вычисли...
тельноrо центра.
Для компактности формул и их большей наrлядности apry-
менты часто встречающихея функций не указываются. Поэтому
читателю следует прежде Bcero ознакомиться с принятыми ОСНОВ-
ными обозначениями.
При написании пособия был использован мноrолетний ОПЫТ
работы авторов со студентами-дипломниками, а также с инжене-
рами, повышающими квалификацию во ВЗЭИ и МИРЭА.
По сравнению с первым изданием, вышедшим в 1977 r., второе
издание пособия Д9полнено rл. 10 и пп. 3.4, 5.6, 6.11, 7.9 и 9.7;
увеличено число примеров расчета и внесены изменения и допол-
нения Б текст остальных параrрафов.
Авторы с блаrодарНQСТЬЮ примут все замечания и пожелания
по содержанию книrи, которые следует направлять в адрес мзда..
тельства.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Все обозначения, кроме перечисденных ниже, пояснены в тексте, rде они
упоминаются впервые.
п осmоянные
а, Ь, с, а, , у, Л, В, с;
о < < 1;
k передаточный коэффициент;
Т, 't постоянные времени;
О < < 1 коэффициент демпфирования;
S коэффициент статизма;
Cl коэффициент ошибки;
tp время реrулировзния;
а перереrудирование;
у запас устойчивости по фазе (избыток фазы);
h запас устойчивости по модулю;
J интеrральная оценка.
Ц елочисл.еННbl8 постоянные
n, т, 1, ", J1.
Фун.f\ЦUU времени и их ивображенuя по Лапласу
(5== с+ jro; j == V .....1);
l (t)..... единичная ступенчатая функция;
(\ (t) ..... дельта-функция;
g == g (t) ..... задающее воздействие, G == а (8);
f == f (t) возмущение, F == F (8);
Х ==: Х (t) рассоrласование (ошибка), Х == Х (в);
у == у (t) ..... реrулируемая величина, У == У (8);
z == z (t) ..... реrулирующее воздействие, Z == Z (8);
Уо == Уо (t) ..... сиrнал основной обратной связи, У о == у о (8);
h == h (t) ........ переходная характеристика, Н == Н (s);
W:::::: W (t) импульсная характеристика;
и l :::::: и 1 (t),
у, == Yi(t сиrналы, и, == и/ (8), У, == Y1 (5).
Дифференциальные операторы
р == :t оператор дифферен цирования )
R == R (р), Q == Q (р), D == D (р).
5
п ОЛ1Uiо,;t!bt Ol/l S
R == R (s)t Q ==<: Q (8); D D (S).
П ередатОЧ1tые функции
W:...=: lV (s) раЗОi\.JКНУТОЙ САР;
W g == \\7 g (8) замкнутой САР относительно З8дающеrо воздействия
Wf == Wf(S) замкнутой САР относительно возмущения;
Wx Wx (s) замкнутой САР дЛЯ ошибки слежения;
Wi :=:: W{(s) участка цепи.
Ч aCтOmHbLE пе реда/п ОЧНblе фу Н/\ Ц U U
Wi==Wi(j<u).
Частотные xapaKmepucfпuKU
А =::: А (ш) амплитудная;
'ф ;:::: '\ (ы) фазовая;
L ::=: L (ы) лоrаРИфl\'Iическая амплитудная;
и =:: и (ш) вещественная;
V:::::: V (ы) мнимая;
М М (ш) амплитудная замкнутой САР;
(} == е (ш) фазовая замкнутой САР;
А === А (00) лоrарифмическая амплитудная замкнутой САР;
р р (ы) вещественная замкнутоЙ САР;
N = N (ш) мнимая замкнутой САР.
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ
САР систеJ\Iа автоматическоrо реrулирования;
АФЧХ а:\lплитудно фазовая частотная характеристика;
А ЧХ аI\Jплитудно частотная характеристика;
ЛЧХ ЛОI'арифмическая частотная характеристика;
JIA Ч Х лоrаРИфl\'Iическая амплитудно-частотная характеристика;
ФЧХ фазово частотная характеристика;
ЛФЧХ лоrарифмическая фазово-частотная характеристика.
r лава 1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Современные технические устройства чрезвычайно мноrооб..
разны. Они предназначены для решения всеВОЗМОЖНЫХ i. задач
различными методами. Причем при конструировании каждоrо
устройства предусматривается возможность воздействия на ero
работу ДЛЯ получения оптимальных результатов.
Например, при работе токзрноrо станка необходимо пред..
усмотреть возмо)Кность изменения подачи резца и скорости пере
мещения детали. При движении автомобиля совершенно необхо..
ДИМQ изменение скорости и направления.
Таким образом, Боздействия необходимы прежде Bcero для
сокращения затрат времени, материалов, энерrии и т. п. Обычно
каждое техническое устройство создается не для решения ОДНОЙ
CTporo определенной задачи, а рассчитано на ряд иноrда значи..
тельно различающихся между собой задач. Так, токарный станок
позволяет обрабатывать различные детали и автомобиль может
двиrаться по самым разнообразным маршрутам и с различными
скоростями. Наконец, на каждое техническое устройство влияют
различные внешние факторы. В приведенных ранее примерах
такими факторами являются качество обрабатываемоrо металла
и рельеф пути следования автомобиля: Поэтому, если при любом
вероятном сочетании внешних условий мы ХОТИМ получить любой
из возможных результатов работы техническоrо устройства, в ero
поведении нужно что то изменять ИЛИ в некоторые моменты вре..
мени, или даже непрерывно, т. е. осуществлять управление.
И все операции, позволяющие нужным образом изменять поведе..
иие технических устройств, называются операциями управления.
В настоящее время еще во мноrих технических устройствах
функции управления остаются за человеком. Именно он решает,
как и коrда менять действие устройства, чтобы получить желаемый
эффект, и выполняет операции управления. Однако увеличение
МОЩНОСТИ и быстродействия машин и механизмов, повышение
требований к точности различных процессов и появление новых,
более сложных процессов приводят к тому, что человек становится
7
не в состоянии управлять ими с необходимой быстротой и ТОЧ
ностью. Таким образом, в ходе техническо о проrресса возникла
потребность исключить человека из операциЙ управления для
более совершенноrо их выполнения.
у стройство выполняющее операции управления без непосред...
CTBeHHoro и иепрерывноrо участия человека, называется aBTOMa
тическим управляющим УСТРОЙСТВОМ. Замена человека в проц ссе
управления действием автоматических управляющих устройств
называется автоматизацией.
Автоматизация облеrчает труд человека (не ТОЛЬКО физиче
ский, НО И умственный), ведет к значительному повышению произ
водительности машин и механизмов, УЛУЧШает качество выпуска-
емой ПРОДУКЦИИ и расширяеr возможности человеческоrо обще
ства. Для каждоrо очевидно, например, что полеты космических
кораблеЙ и действие атомных электростанций невозможны при
ручном управлении.
Роль автоматизации весьма велика не только в техническом,
но и в социальном nporpecce. В Проrрамме КПСС сказано, ЧТО
автоматизация и комплексная механизация СЛУlКзт материальной
основой для постепенноrо перерасrания социалистическоrо труда
в труд коммунистический
1.1. ПРИНЦИПЫ АВТОМАТИЧЕскоrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
Постараемся уточнить, в чем заключается задача управления.
Прежде Bcero, еСJIИ речь идет об управлении, ТО имеется объект
управления (управляемый объект), Т. е. некий механизм, arperaT
или устройство, некий технолоrический, энерrетический или
транспортный процесс, желаемое поведение или протекание кота..
poro ДОЛJКно быть обеспечено.
Поведение объекта управления, результат ero действия опре-
деляются некоторыми показателями. Чаще Bcero ими являются
значения каких-то физических величин, которые называют BЫ
ходными величинами объекта управления. Чем сложнее объект
тем большее число показателей характеризует ero действие и тем
труднее следить за всей их совокупностью. Поэтому к ВЫХОДНЫМ
величинам ОТНОСЯТ лишь наиболее важные для оценки поведения
объекта и ero практическоrо использования.
В реальных условиях на каждое техническое устройство,
на каждый технический процесс мноrочисленные воздействия
оказывает внешняя среда. Все эти воздействия практически
невозможно учесть, поэтому в поле зрения оставляют лишь те,
которые оказывают наибольшее влияние на выходные величины,
и называют их ВХОДНЫМИ воздействиями.
Изменения во времени ВХОДНЫХ воздействий и ВЫХОДНЫХ Be
личин объекта управления характеризуют ero поведение, ero
действие.
Входные воздействия, с ТОЧКИ зрения их влияния на действие
объекта, на ero выходные величины, разделяются на две ПРИН-
8
BOJMYI1 ef1uJl
Рис. 1.1. Схематическое изоGра
жение объекта управления
Упра для ю!цuе.... Ооъех т
бозiJеflстDuя аDле/fUЛ
:>
Вь/Апоные
бели Чll.ffЫ
Ципиально отличные rруппы. Некоторые из ВХОДНЫХ воздействий
обеспечивают, как уже отмечалось, желаемое изменение поведения
объекта, достижение поставленных целей. Такие входные воздеЙ..
СТВИЯ называют упраВЛЯЮЩИl\!И, и при ИХ отсутствии задача упра
вления вообще не имеет решения. При ручном управлении такие
воздействия на объект "осуществляет оператор, при автомати
ческам управляющее устройство.
Друrие входные воздействия, напротив, мешают достижению
цели, и изменить ИХ, как правило, невозможно. Такие воздействия
называют возмущающими (возмущениями) или помехами
(рис. 1.1).
Задача управления, по существу, заключается в формировании
TaKoro закона изменения "управляющих воздействий, при котором
достиrается я<елаемое поведение объекта независимо ОТ наличия
ВОЗl\1ущени?r.
Сложная и разносторонняя задача управления в подавляющем
бодьшинстве случаев включает более узкую задачу реrулирова-
ния, которую И будем рассматривать в дальнейшем, так как авто..
матическое реrулирование в настояще время 'имеет наибольшее
практическое значение.
Задача реrулирования заключается в поддержании ВЫХОДНЫХ
величин объекта авными (или пропорциональными).некотбрым
эталонным ФУНКЦИЯМ вреJtlени задающИМ: воздействиям. Послед..
ине MorYT быть постоянными или изменяющимися _ как по задан..
ному, так и по заранее неизвеСТН.6му закону. ·
MeTOI"IJI реJl1ения задачи реrулирования и принципы aBTO 1a..
тическоrо реrулирования ИСПОЛЬ3УЮТСЯ различные. Самый про-
СТОЙ ПРИИЦИП, рассчитанный на несложную ситуацию, неявно
u
основывается на предположении, что влиянием нсех возмущении
можно пренебречь и воздействовать на объект необходимо лишь
в ТОМ случае, коrда нужно изменить действие объекта, значение
t.t
реrулируемои величины.
Разомкнутая система реrулированИЯ (рис. 1.2) действует сле
ДУЮЩИМ образом. При изменении задающеrо воздействия g фор..
МИРУЮIЦИЙ элеl'лент 3 вырабатывает необходимое «указание» ИСПQЛ..
нитеЛЬНОl\.fУ механизму 2. Последний создает реrулирующее воз-
действие z на объект реrу.пирования 1. В результате реrулируемая
величина у прибли)кается с той ИЛИ иной т'очностью К требуеl\10МУ
значению.
ФОРМИРУIОЩИИ элемент и исполнительный механизм соста..
ВЛЯЮТ реrулятор. Реrулятор и объект в совокупности образуют
систему реrулировзния.
9
r ---- ......... ....... ........,
.9: _, з 'r
L ..... ....... .......... J
r" - I
I
I
Р!
I
L ..........""""" ..J
r
Рис. 1.2. Функциональная схема разомкну.. Рис. 1.3. Функциональная схема разомкну..
тоЙ систе1\!Ы реrулирования той системы реrулированuя с. измерением
OCJfOBHOJ'O возмуu\ения
Заметим. что при конструировании реrулятора рассмотренной
системы пеоБХQДИi'vl0 знать все свойства объекта pery ли ров ан ия.
Только при выполнении этоrо условия и отсутствии возмущений
u
МОЖНО правильно предвидеть влияние задающеrо воздеиствия на
реrулируеl\fУЮ величину.
О'бласть ПрИi'vlенения описанной простейшей системы реrули..
рования оrраничена прежде Bcero тем, что нельзя пренебречь
влиянием возмущений. При определенном задающем воздействии
и различных возмущениях выходная величина объекта (реrули..
руемая величина) будет иметь разные значения И, следовательно,
задача реrулирования не будет решена. В связи с ЭТИМ возникает
необходимость контроля возмущений или ХОТЯ бы OCHOBHoro из
них возмущения f. Это возмущение ну}кно измерять и при ero
изменениях создавать дополнительное воздеЙствие на объект,
компенсирующее влияние возмущения. В реrуляторе оказывается
необходимым еще ЭJIемент 4 (рис. 1.3), который через формиру"
ющий элемент 3 создает КОIvlпенсирующее воздействие исполни..
тедьноrо механизма 2 на объект 1.
PaCCl\iOTpeHHbIe системы ЯВЛЯЮТСЯ разомкнутыми: в них pery-
лируемая величина у не влияет на действие реrулятора. Это
V U
означает, ЧТО характер реrулирующих воздеиствии зависит ОТ
СВОЙСТВ объекта лишь в той степени, в какой ЭТО учтено при КОН..
струиронании реrулятора. Из за изменения свойств объекта (и вли..
яния второстепенных возмущений) действительное значение pery
лиру ем ой величины может значительно отличаться ОТ требуе моrо
значения. Чтобы подчер]{нуть ЭТО СВОЙСТВО разомкнутой системы
реrулироввния, иноrда rоворят, что она устроена по баллисти
ческому принципу. Действительно, реrулятор при создании pery
u u
лирующеrо воздеиствия напоминает стрелка, которыи теряет
всякую ВОЗМОЖНОСТЬ ВЛИЯНИЯ на результат выстрела после на..
ведения оружия и спуска курка. Разница м:ежду двумя системами
(СМ. рис. 1.2 и 1.3) лишь в том, ЧТО в последней учитывается вли..
яние возмущения подобно тому, как стрел6к делает поправку
на ветер.
В подавляющем большинстве случаев отсутствует исчерпыва..
ющая и достоверная информ:ация о свойствах объекта реrулиро..
u
вания и о характере возмущении, и разомкнутые системы реrули
рОВС1IIIfЯ оказываются неэq)фективными. ПОЭТО1'.1У прибеrают к соз..
10
Рис, 1.4. Функциональная схема замкнутой
системы автоматическоrо реrулировании
данию конструктивно более сложных, но и значительно более
совершенных замкнутых систем автоматическоrо реrулирования.
В замкнутой системе используется ПРИНЦИП обратной связи,
возможно самый мощный принцип автоматическоrо реrулирования
и управления. Такая система в простейшем случае (рис. 1.4) со..
стоит из объекта реrулирования 1 и реrулятора, который, кроме
исполнительноrо элемента 2 и формирующеrо (или усилительно
преобразовательноrо) элемента 3, имеет еще измерительный эле..
мент 4 и элемент сравнения 5.
Измерительный элемент 4 осуществляет обратную связь в си
стеме обеспечивает влияние реrулируем:ой величины у на ВХОД
системы. Сиrнал Уо. пропорциональный реrулируемой величине,
сравнивается с задающим воздействием g. Если реrулируемая
величина отклонилась ОТ требуемоrо значения, ТО изменяется
сиrнал рассоrласования (сиrнал ошибки) х === g Уо, который
воздействует на элемент 3. Затем воздействие передается на непол..
нительныи элемент 2 и на объект. В результате отклонение pery..
лируемой величины от требуемоrо значения устраняется (с опре
деленной степепью точности).
Таким образом, в замкнутой системе воздействие на объект
формируется не только в зависимости от задающеrо воздействия,
как в системе, показанной на рис. 1.2, но и от состояния объекта
и наличия возмущений. Точнее, реrулирующее воздействие onpe
деляется отклонением реrулируемой величины ОТ заданноrо 3Ha
чения. Поэтому принцип обратной связи позволяет усп€шно
рещвть задачу реrулирования, несмотря на некоторую неопре
деленность (количественную, НО. вообще rоворя, не любую и тем
более не качественную) или неточность в известных конструктору
характеристиках объекта реrулироваН1iЯ и испо,лнительн.оrо меха..
низма, а также сведениях о БDз:wущеНIIЯХ.
Примером системы автоматическоrо реI'у.пирования, выпо.пнен
ной по функциональной схеме рис. 1.4, является достаточно
простая, НО широко используемая в современной технике система
реrулирования скорости вращения электродвиrателя постоянноrо
..а. Ее принципиаJ1ьная схема показана на рис. 1.5.
Система состоит из элеКТРОДБиrателя постоянноrо тока с не..
зависимым возбуждением Мl, вращающеrо какой то рабочий
механизм р М. Двиrатель и рабочий механизм составляют объект
реrулирования. Реrулируемой величиной является уrловая CKO
рость Q вала, связывающеrо электродвиrатель и рабочий Mexa
НИ3М. Момент сопротивления т(. рабочеrо механизма является
возмущением.
J ]
f,+ ЭМУ]
J1
и9 !
аl ц
""
Рис. 1.5. Схема СИС'J'еl\JЫ ,а втома..
тнческоrо реrулнроваиия ско-
(ЮС1 в рr.нп..еt{ия: -Slлектродвиrатс"
ЛЯ nOCTOSHJJJ01'O тока .
Обмотка якоря электродвиrателя ПОJIучает питание от элек
rрОМ3lllинноrо усилителя ЭЛ1У с поперечным Бозбуждением, две
ступени KOToporo ЯВЛЯЮТСЯ соответственно усилитеJiем и исполни..
тельным элементом. Об:\il0ТКИ управления электромаШинноrо уси..
лителя включены На ВЫХОД предварительноrо электронноrо уси..
лителя У. На ВХОД усилителя подается напряжение
ИХ == И,.,. ао.
ь
Здесь напряжение иЕ!. есть задаfОlцее воздеЙствие. Это напря..
}кение снимается с ПQтеНЦlIОl'vlетра П r /IСЖДУ ero среднеЙ точкоЙ
и ДВИЛ(КОl\1. ПОЛО}f{енне двн;,киз ОlIределяет знак и величину напря..
жеНIIЯ llJ!.' tJЗIIряжеНI1С ио снимается с тзхоrеиератора ТТ, СВЯ
занНО["О с налом эл-ектродвнrателя. Поэтому знак ио зависит от
направления вращения ЭТОIО Ba lIa, а величина ао пропорци..
ональна уrловой скорости Q. TaxoreHepaTOp осушеСlвлнет обрат..
ную СВЯЗЬ В систе:ме.
Сравнение напряжении Ug и ио ПРОИСХОДИТ в электрической
цепи, соеДИНЯJощей потенциометр П, ВХОД усилителя Jl и тахо..
reHepaTop Т r.
Знак и значение напряжения Ug определяют направление
вращения пала электродвиrателя и значение ero уrловой СКО"
рости Q. Стабилизация Q при каждом поло}кении движка потен
ЦИО1:Iетра П при каЖДО1\1 значении задаlощеrо воздействия
осуществляется следующим образо л. Если в какоЙ"то 1\tlOMeHT
времени увеличился момент сопротивления тс, то yr ловая СКО"
рость Q уменьшается. Вследствие этоrо уменьшается напряже..
ние ао TaxoreHepaTopa и увеличивается напряжение их возни..
!{ает сиrна.тr раССОl'ласования. Возрастает напряжение на ВЬ1ходе
усилителя и напряжение, подаваемое на обмотку якоря электро"
двиrателя. В результате увеличиваются сила тока и вращающий
МОflr1еит электродвиrателя и уrловая СКОРОСТЬ Q восстанавливаются
(с неКQТОРОЙ поrрешностью).
Подобные процессы реrулирования ПРОИСХОДЯТ в систеlVте при
уменьшении lYlOMeHTa сопротивления т('., а так)ке при изменении
ПОЛО)J{ения движка потенциометра п. В последнем случае уrло..
вая скорость Q устанавливается на НОВОМ уровне, соответству"
юп е!\1 поло/кению дви)кка потеНЦИQJlлеТРFi Т1.
12
р не. 1.6. Фун кционаJlьная схема замкнутой системы автом.атичеСКОfО реrулироnаllИЯ
с дополнительной связью:
а по возмущению; б 110 задающему воздеЙстIЗНЮ
jvl0ЖНО видеть, ЧТО в З3I\ilКНУТОЙ системе аВТО 1атическоrо pery..
лирования по отклонению нет необходимости получать информа
цию непосредственно о задающем воздействии, которое исполь..
зуется ЛИIl1Ь для сравнения с сиrналом обратной связи, и о воз..
мущениях, однако ЭТО ДQПУСТИl'vIО не всеrда. В некоторых случаях
качество TaKoro реrулирования оказывается неприемлемо низ..
ким. Тоrда обеспечивается комбинированное реrулирование, т. е.
сочетание принципов замкнутой и раЗО 1КНУТОЙ систем.
При комбинированном реrулировании создается дополнитель-
ная связь б по БО31\1ущению (рис. 1.6, а), которая компенсирует
влияние воз!\луrцения «в OCHOBHOI\lI», а замкнутый контур устра..
няет рассоr.пасование, возникающее при И3l\lенени:ях задаlощеrо
воздеЙствия и вследствие неточности действия дополнитеЛЬНОl}
связи 6. Используются такл{е комбинированные системы с допол-
нительной связью 7 по задаЮlцему воздействию {рис. 1.6, 6), кота..
рая и обеспечивает «в ОСНОВНОМ» ero воспроизведение реrулиру-
емой величиной. Замкнутый контур в этом случае устраняет
paccor лзсование, возникающее из..за источности действия до-
полнительной связи 7 и от возмущений.
1.2. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕскоrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
За два века развития аВТQматичеСКОI'О реI'У"ТIирования и rлав
НЫМ образом за два три последних десятилетия, создань[ весьма
и весьма разнообразные системы автоматическоrо реrулирования,
которые различаются прежде Бсеrо объектами реrулированИЯ
и назначением. I\лассификация по ЭТИМ признакам: (если она
вообще выполнима) укажет чрезвычайно БОЛЫIlое количество
типов. САР различаются также по физической природе сиrналов
в реrуляторе (системы с э.пектрическиrvr, пнеВ1IзтичеСI{ИМ, электро
пневматическим и электроrидравлически л реrулятораlVIИ), по КОН..
СТРУКЦИИ реrУtllЯТОРОВ и их общеинженерным: свойствам (rабарит"
HыM раЗ:,\,Jерам, массе, защищенности ОТ внеlI1неЙ среды и 'Т. д.).
Однако все ЭТИ СУlцественные различия Иlуlекjт лишь BTopOCTelleH
ное значение при исследовании ОСНОВНЫХ (динамических) своЙств
САР и отыскаНIIН спосо60I3 повьппения точности I1Х деЙСТRИЛ.
13
/(//аС('IJФiJ.lfа ЦlJJl CIJ.C/1/lN
а8тQмаlhичеС!(QZО /
ре e!l/l цр О 8 а fпJJ7
По прuнциПf/ ре2УЛl1ро аНliJl
По целц реzулuро6аН/J.R
"истем' Cu.CтeMbI
1. о/ "роераммнаео
ста Оl1.Лl1за ции ре е у.лцро8аНIJ.Я
По количестВу реZУЛllруемых Величцн
По характер!! сuенало6 6 рее уля торе
По характеру параметро6
Ло ulJеаЛllзаЦЦll l-1атематllf.JССКОеО опu.саНllR
Рис. 1.7. Классификация систем автоматическоrо реrулирования ПО ОСНОВНЫМ при
знакам
с этой точки зрения решающее значение имеет разделение САР
по принципу действия на разомкнутые, замкнутые и комбиниро-
ванные, о чем речь шла ранее, по цели реrулирования и ряду
друrих признаков (рис. 17).
Целью системы стабилизации является сохранение постоян.
Horo значения реrулируемой величины, соответствующеrо постоян..
ному задающему воздействию g == go === const. В замкнутой ИЛИ
комбинированной системе это достиrается с той ИЛИ ИНОЙ точ
ностью путем уменьшения влияния возмущений.
Реrулируемая величина системы nporpaMMHoro реrулирования
должна изменяться во времени по некоторому, заранее известному,
закону у === iJ (t). Для этоrо. задатчик создает соответствующее
воздействие на реrулятор g :=:: су (t) и система обеспечивает с той
или ИНОЙ точностью воспроизведение реrулируемой величиной
изменяющеrося задающеrо воздействия (отработку задания) и
уменьшение влияния возмущений.
Целью следящей системы также является изменение реrули-
руемой величины во времени Б соответствии с изменением зада..
ющеrо воздействия. Последнее, однако, представляет собой за..
14
ранее неизвестную функцию времени g == g (/), которая опреде-
ляется каким-то внешним независимым процессом.
Иноrда к системам автоматическоrо реrулирования относят
экстремальные системы, которые поддерЖИвают экстремальное
(минимальное или максимальное) значение определенноrо пока...
зателя реrулируемоrо процесса. Для этоrо при изменении возму-
щений и состояния объекта нужным образом изменяется задающее
воздействие, Т. е. происходит самонастройка nporpaMMbI действия
реrулятора. Поэтому экстреы:альные системы лоrичнее отнести
к самонастраивающимся (адаптивным) системам автоматическоrо
управления. Последние, как и оптимальные системы автомати..
ческоrо управления, в данной книrе не рассматриваются.
При анализе САР различноrо назначения предполаrалось
наличие в них лишь ОДНОЙ реrулируемой велич:ины. Такие си-
стемы называются одномерными. Если же для правильноrо дей-
ствия объекта (для желаемоrо протекания процесса) необходимо
постоянство или некоторое изменение во ремени двух или более
величин, то создаваемая для этоrо система называется MHoro-
мерной.
Следующий весьма существенный признак, по которому раз-
личаются САР это характер сиrналов в реrуляторе. В простей..
шем случае сиrнал рассоrласования изменяется ВО времени по зна-
u u
чению и знаку лишь в зависимости от значении задающеrо воздеи-
ствия и реrулируемой величины. Такая САР называется непре-
рывной.
Используются также САР с rармоническим. модулированным
сиrналом. Они включают элементы, у которых ВХОДНОЙ и выход-
ной величиной является переменное напряжение (или ток) неко-
торой частоты (00, называемой несущей частотой. При подаче на
этот элемент воздействия напряжение (или ток) модулируе.тся, т. е.
в простейшем случае ero амплитуда и фаза изменяются соответ-
ственно значению и знаку передаваемоrо воздействия. Такие
системы рассмотрены, например, в работах [20, 22].
Дискретными называются САР, в которых на реrулятор дей-
ствует рассоrласование в виде прерывистой функции времени.
I( дискретным относятся релейные [10, 104], импульсные [116,
117] и цифровые [9] системы. Вследствие большой специфичности
релейные системы часто выделяют из дискретных. Бурный рост
дискретной микроэлектроники способствует широкому распро-
странению цифровых систем, обладающих прежде Bcero высокой
точностью.
Возможность использования тех или иных методов исследова-
ния САР и необходимость создания особых методов определяется
еще поведением параметров, характеризующих свойства объекта
и элементов реrулятора. Если параметры не изменяются при дей-
ствии системы (или их можно принимать неизменными), то система
стационарная. Если изменением парамеТРОБ Ба времени пренеб-
речь нельзя, то система нестационарная. Особо выделяются си..
15
cTeMы с распределенными параметрами, имеющие устройство (Ha
пример, длинную электричеСКУIО линию), которое может pac
сматриваться лишь как совокупность большоrо числа отдельных
IvIикроэлементов.
Методы исследования САР определяются идеализацией, ДО..
пустимой (принятой) 7при математическом описании системы.
Величины (физические, химические и др.), характеризующие co
стояние объекта и элементов реrулятора, принято называть фазо
выми координатами (сокращенно координатами) САР. ДИфферен-
циальные и интеrральные уравнения, связывающие координаты
и внешние воздействия, определяют движение САР при тех или
иных начальных условиях (начальных значениях координат и их
производных). Под словом «движение» понимается любой процесс
изменения состояния САР. Лишь B частном случае это будет Me
ханическое движение. Если все уравнения системы линейны,
то и САР линейная, если же среди уравнений имеется хотя бы
одно нелинейное, то и САР является нелинейной.
Линейные стационарны системы описываются линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициен"
тамм, т. е. обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Поэтому такие САР называются обыкновенными. Нестационарные
линейные САР описываются линейными уравнениями с перемеи..
ными коэффициентами, а линейные системы с распределенными
параметрами описываются уравнениями в частных производных.
Это особые линейные C.t\P, к ним относятся еще системы с за..
паздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим apry
ментом. Линейные импульсные и цифровые системы, описываемые
линейными дифференциально разностными уравнениями, так)ке
МОЖНО отнести к особым линейным системам.
Следует за 1етить, что в системах реrулирования по отклоне
НИIО их координаты во мноrих случаях незначительно отличаются
от некоторых базисных значений. Тоrда исходные нелинейныс
уравнения координат иноrда оказывается возможным заменить
приближенными линеЙными для приращения координат, Т. е.
линеаРИЗ0вать уравнения (см. п. 2.1), и рассматривать систему
u
как линеиную.
Основное внимание будет уделено обыкновенным ОДНОlvlерным
системам реrулирования по отклонению. Такие системы MorYT
быть разделены на rруппы еще по наличию или отсутствию усили..
теля, числу заl\tlКНУТЫХ контуров, закону реrулирования, свой
u u
ствам в устаНОБИВIJ1 МСЯ I)Е::; 'I{ИТ\lIС и характеру внеlUНИХ воздеиствии.
ПростеЙIIlие С.Д.Р имеют реrулятор, действующий от энерrии
сиrнала paccor ласования. Это систеlVIЫ прямоrо действия. Однако
более совершенны и получили наибольшее распространение сИ
CTel\1:bI непрямоrо действия, в которых энерrия в реrулятор по
ступает через один или несколько усилителей.
Если система имеет только основную обраТНУI-G связь (см.
рас. J .4), то ЭТО ОДПОJ(ОIIтурная CHCTel\1a. I(poMe основной :иоrут
16
быть местные обратные связи, охватываlощие отдельные элементы
прямой цепи системы, в этом случае система будет MHorOKOH
турной.
Закон реrулирования определяется зависимостью реrулиру
ющеrо воздействия z от рассоrласования х (см. рис. 1.4). Простей-
шими законами реrулирования являются пропорциональный,
коrда z =::: е1х (система с п..реrулятором), и интеrральныЙ, коrда
z С2 JXdt (система с И реrулятором). Более.совершенны системы,
коrда в законе реrулирования кроме пропорциональной COCTa
вляющей имеется интеrрал от рассоrласования: Z == CIX +- С2 J xdt
(система с ПИ реJ'УЛЯТОрОМ). Наилучшие результаты получаются
при введении в закон реrулирования еще и производной от pac
J dx
соrласования: Z === G1X + С2 xdt r сз dt (система с ПУIД реrуля
тором). В комбинированных системах закон реrулирования со..
держит, кроме Toro, составляющие, зависящие от внешних ВОЗ
действий.
По свойствам в установившемся реЖИlVIе различают стати
ческие и астатические (первоrо, BToporo и более Бысокоrо по..
рядка) системы. Если реrулируемая величина в усtановившемся
режиме зависит от постоянноrо виеIJJиеrо воздействия, система
статическая. Если такой заВИСИМОСТI:I нет, то система астатическая
nepBoro порядка. В астатической системе BToPQro порядка нет
зависимости, кроме Toro, и от первой производной внешнеrо
воздействия. Различают статизм или астаТИЗI\1 системы от за..
t,J
дающеrо воздеиствия и ОТ возмущения
В зависимости от характера внешних воздеЙствии (задающеrо
и возмущаlощеrо) САР разделяются на две rруппы. Чаще Bcero
все внешние воздействия можно считать детерминированными
представляющими собой определенные функции времени. Если
хотя бы одно внешнее воздействие есть случайная функция вре..
мени, ТО и реrулируемая величина лвляется случайной функцией.
Такие стохастические системы исследуют осоБЫМ!f методам:и
статистическими [10, 98 J.
Рассмотренная класеификация САР по ряду признаКОБ не
исчерпывает Bcero МНQrообразия таких систем.
Обыкновенные дифференциальные уравнения имеют анали..
тические реlпения. Поэтому ДЛЯ обыкновенных САР достаточно
определить реакции на некоторые эталонные воздействия и затем:
делать выводы относительно влияния внешних воздействий произ
вольноrо вида. На этом основании при расчетах обыкновенных
САР широко используют метод передаточных функций и частот..
ныЙ метод.
Как было ОТI\1ечено, большим преимущество:м замкнутых систеl\1
является их способность обеспечивать решение задачи реrулиро..
вапия даже в Torvl случае, коrда информация об объекте реrУJПlРО..
17
вания не вполне точная. Это свойство имеют не всякие замкнутые
системы, а лишь те из них, которые являются устойчивыми. По
этому СВОЙСТВО устойчивости имеет важнейшее значение для
работоспособности САР и анализ устойчивости.......... ЭТО одна из
основных задач анализа САР. Собственно, решение проблемы
устойчивости и ПОСЛУJКИЛО началом теории автоматическоrо pery
лировзния. .
Первые автоматические реrуляторы, имевшие промышленное значение, появи"
лись В XVIII в. (1765 r. поп ryавковый реrулятор уровня БОДЫ В парО80М котле
И. И. Ползунова; 1784 r. центробежный реrулятор скорости вращения пара..
вои машины Джемса Уатта). Дальнейшее развитие реrуляторов паровых кот,пав,
машин и турбин выявило противоречие' попытки повысить точность реrуляторов
ПРИВОДИЛИ к неустойчивости. В 1876 r. профессор Петербурrскоrо технолоrи..
ческоrо института и. А. Вышнеrрадский в своеЙ работе «О реrуляторах прямоrо
действия» впервые заметил, что объект реrулирования и реt'УЛЯТОР состав.пяют
единую динамичеСКУIО систему, которую и нужно исследовать для решения ВОП
роса об устойчивости. Он нашел критерий устойчивости линейной систем,ы TpeTbero
порядка, не потерявший CBoero значения до наСТQящеrо Бремени.
Впоследствии теория автоматическоrо реrулирования раз..
работала методы, позволяющие исследовать все динамиче ские
свойства выполненных (или рассчитанных) САР, а также рассчи
Tыатьь новые системы по заданным требованиям к качеству pery..
лирования.
Значительное число существенно рззличающихся САР при
вело к созданию lYIноrих методов их анализа и синтеза. Даже для
анализа и синтеза обыкновенных одномерных САР используют
ряд методов, так как в инженерной практике возникает необхо..
ДИМQСТЬ в решении различных задач и при разном подходе.
Заметим, что задачей анализа является исследование процес
сов, ЛРОИСХОДЯЩИХ в заданной системе (В системе с известной
структурой и параметрами) при различных внешних воздействиях,
а задачей синтеза рациональное построение системы (выбор
ее структуры и параметров), отвечающей заданным требованиям.
Следует также иметь в виду, что теория автоматическоrо pery..
лирования служит базой ДЛЯ исследования и проектирования
САР всех отраслей техники.
Следует еще остановиться на вопросе о литературе по автома..
тическому реrулированию и управлению, которая достаточно
обширна. Для предварительноrо ознакомления с предметом МОЖНО
воспользоваться, например, общедоступной книrой [7]. Теория
линейных САР удачно изложена в учебном пособии [82]. Доста..
точно полное изложение теории автоматическоrо реrулирования
и управления на высоком научном уровне содержится в MOHorpa..
фии [45 J, а также в [1 О J. Наиболее полно современная теория
автоматическоrо реrулированИЯ и управления преДСТ8влена в пер-
ВЫХ трех книrах серии инженерных МQноrрафий «Техническая
кибернетика» [l02 104]. Указания на литературу 110 отдельным
вопросам, рассмотренным: в данной книrе, будут сделаны ниже
в соответствующих ее разделах.
18
1.3. ЭЛЕМЕНТЫ САР
Один из первых реrуляторов реrулятор Уатта являлся
единым УСТРОЙСТВОМ. И в течение длительноrо периода для каж-
доrо HOBoro объекта изобретался новый реrулятор. Однако такой
ПОДХОД неЭКQНQмичен, и в настоящее время ero используют лишь
при автоматизации особо ответственных или уникальных объектов.
В остальных случаях, прежде Bcero при автоматизации промыш"
ленных процессов, используют более проrрессивный и ЭКОНОМИЧ"
ный аrреrатно"модульный ПОДХОД, в котором используется основ..
ной принцип кибернетики. Последний заключается в том, что
важна не физическая природа воздействий на входе реrулятора,
между ero элементами и на выходе, а передаваемая ими информа-
ЦИЯ. В результате этоrо оказалось ВОЗМОЖНЫМ разделять реrуля..
торы на отдельные функциональные элементы и в реrуляторах
разных САР использовать одинаковые устройства, собирать pery..
ляторы различных систем из стандартных специализированных
блоков.
В связи с этим возникла и стала весьма актуальной задача
рациональноrо расчленения общей функции реrулятора на более
мелкие и создания унифицированной системы .элементов, выпол"
няющих ЭТИ функции. Унифицированные элементы ДОЛЖНЫ леrко
сочленяться между собой и обеспечивать оперативное и экономич"
ное создание реrуляторов для большоrо числа объектов. Унифи-
цирование плодотворно внедряется при автоматизации народноrо
хозяйства нашей страны.
Начиная с 1951 r. получила практическое применение Arpe-
rатная унифицированная система (АУС) пневматических блоков
и приборов для построения систем автоматики. Затем была соз..
дана Электрическая аrреrатная унифицированная система приw
боров (ЭАУС), представляющая собой более широкий комплекс
функциональных элементов. Позднее было начато производство
и использование Универсальной системы элементов промышленной
пневмоавтоматики (УСЭППА) [112] и Унифицированной системы
пневматических и электрических датчиков теплоэнерrетических
парамеТРОБ 11131. .
В дальнейшем унификацию существующих и разработку новых
элементов автоматики начали ПрОБОДИТЬ и ведут в настоящее
время в рамках rосударственной системы промышленных при..
боров и средств автоматизации (rсп) [] 00 ].
Приборы rсп находят применение не только в промышлен-
НQСТИ, НО И при автоматизации иных технических процессов
(на транспорте, в связи и Т. д.). Кроме приборов rсп в автомати-
ческих системах используют' также приборы, аппараты, меха-
низмы, машины и друrие устройства универсальноrо назначения.
Задачей rсп [24] является обеспечение техническими сред..
ствами разнообразных систем контроля, реrулировзния и упра..
\1
вления технолоrическими процессами при оrраниченнои номен..
19
клатуре унифицированных устройств (приборов) . ОСНОВОЙ ПО""
строения rсп С ТIужат определенные сисtеIVI0технические прин..
ципы, позволяющие наиболее рационально (с экономической и Tex
ничеСI<ОЙ точек зрения) реПIИТЬ указанную задачу. ОдниtvI ИЗ ЭТИХ
принципов является СОВ lестимость отдельных приборов rсп
одноrо с ДPY] HM. Должна обеспечиваться совмеСТИ!vl0СТЬ информа..
ционная (по l-ризическоЙ природе и допустиrvfЫМ преде.тIа:м ИЗ)уlене..
пия сиrналов, Т. е. по воздеИСТВИЯ!\'1 приборов одноrо на ДРУI'ОЙ),
энерrетическая (по виду энерrии для питания приборов), KOHCTPYK
тнвная (по присоединитеЛЬНЫ 1 и rабаритньпv1 размерам и ИСIIОЛЬ
зуе11ЫМ элементам), метролоrичеСI<ая (по допустимоЙ поrреш
насти, Т. е. по классу точности) и эксплуатационная (по защи"
щенности ОТ окружающей среды).
В результате развития rсп будет полностью исключена не..
целесообразная индивидуальная разработка технических средств
для автоматизации. Это обеспечивается как номенклатурой rсп,
так и тем, что отдельные ее устроЙства леrко MorYT быть ДОПОЛ"
нены некоторыми элементами ДЛЯ использования в непредвиден
ных условиях.
По роду энерrии, поступающеЙ ОТ виеПIнсrо источника и не..
пользуеl'vIОЙ для передачи сиrналов, устройства rсп, а также
:1 \
<рункциона.пьные эле:\'iенты, не входящие в эту систему, раздеЛЯIОТ
на электрические, пнеВI\fатичсские и f'идравлические. Кроме Toro,
существует еще rруппа устройств !,'СП, не требующих внешнеrо
источника энерrии (реrуляторы прямоrо деЙствия и И31'.1еритель
вые приборы) .
Систеl'ЛЫ, I{омплектуемые из приборов электрической rруппы,
Т. е. в значительной части из электронных приборов, имеют пре-
и rущества по сравнению с друrими видами УСТРОЙСТВ. К пре-
имуществам относятся прежде Bcero высокая чувствительность,
точность и быстродействие, ВОЗl\10ЖНОСТЬ передачи сиrналов на
большие расстояния.
Пневrv1атические приборы безопасны ДЛЯ при денения в леrКQ-
восплаrvIеняемой или взрывоопасной среде, надежны в тяжелых
условиях работы, например в аrрессивной среде. По быстродей..
СТВИЮ и дальности передачи сиrналов они значительно уступают
электронным приборам.
ПреИ11ущества rидравлических исполнительных устройств
в ТОМ, ЧТО они обеспечиваIGТ точные перем:ещения реrулирующих
opraHOB при больших усилиях.
В ОДНОЙ системе МО)КНО применять устроЙства из различных
rрупп в TOrv1 или ином рациональном сочетании. Например, часто
используют вместе электрические и rидравлические устройства.
ОСНОВНОЙ является классификация средств rсп по ФУНКЦИ
оиаlllЬНОМУ признаку. Прп этом выделяются следующие rрупhы.
1. Устройства получения НОрl'vIированной информации о co
СТОЯНИИ процесса (датчики), которые выдают унифицированныЙ
сиrна.п, соотвеТСТВ /tОIЦИЙ ЗIIа еНlIiО контролируемоЙ физическоЙ
20
величины. Эта rруппа включает первичиые изtvlернте"i'[ьные пр( '>
образователи, нормирующие преобразователи и собственно дат.
чи ки
Цель первпчноrо П3!vfерительпоrо преобраЗОВ8теJlЯ заключается
в том, чтобы из ленения контролируемой (паБJподаем:оЙ) величины
перевести в из:мепеНIIЯ величины, удобной для дзльнейшеrо пре..
образования реТУЛЯТОрОI\1 в ИЗ1>ленепия перС lIеlцения, усилия,
сопротивления, напря)кения, тока, частоты. ДРУIИМИ словами,
сиrнал на выходе первичноrо измеритедьноrо преооразовзтеля,
называемым естественным сиrналом, по своей физической природе
отличается ОТ наблюдаемоrо сиrнала.
f-IОРМИРУIОlЦИЙ IIреобразовзтель заI<анчивает начатое пре..
образование и унифицирует пределы И3i\lенения сиrнала.
Если естественный ВЫХОДНОЙ сиrнал является электрическим
или пневматичеСКИiYl, ТО НОРМИРУIОЩИЙ преобразователь обычно
ВЫПОЛНЯЮТ отдельно. Датчик в этом случае состоит из двух при..
боров. При друrой qJизической природе eCTeCTBeHHoro Быходноrо
сиrнала оба преобразопателя конструктивно объединяют в один
прибор датчик.
2. iY"" строЙствз преобраЗQвания, обработки, хранения инq)орма"
ции и выработки КО!\1анд УПРClвлепия. Эта центральная rРУIIlIз.rсп
ВI{лючас.т ;1на.пнзаторыl спrналов, qJУНКЦИ(Нlзльные и операцион"
вые преобрЗЗ0ватели, лоrические устроЙства, устроЙства памяти,
зздатчики. проrраМl\1ные задатчики, реrуляторы, а также упра..
ВЛЯЮIILие вычислительные устроЙства и комплексы. Следова..
тельно, эта rруппа содержит как собственно реrуляторы, так
и функциональные элементы, из которых их собирают.
3. Устройства использования командной информации для
воздеЙствия на процесс исполнительные устройства. К их
числу принаД.п:ея(ат усилители мощности командноrо сиrнала,
поступающеrо ОТ реrУJIятора или иноrо управляющеrо комплекса,
и исполнитеt-ТIьные J\-1еханизмы, воздеЙствующие на реrулирующий
opraH объекта.
4. Устройства ДЛЯ приема, преобразовапия и передачи ИН
формации по каналам связи телеустроЙства, шифраТОрl)I, де..
шифраторы и Т. Д. Данная rруппа содержит приборы и устроЙ..
ства, обеспечивающие взаимодеЙствие функциональных блоков
первых трех rрупп. Во мноrих СИСТС fах роль таких устройств
выполняют обычные. ПрОБDда (при электрических элементах)
или трубы (при пнев:матических и rидравлических элеI\1ентах),
а перечисленные выше устройства используют ЛIIШЬ при необхо
ДИМОСТИ передавать информацию на большие расстояния (в теле..
управлении) или в условиях сильных помех.
Сопря}кение отдельных приборов и устройств rсп в системе
обеспечивается прежде Bcero тем, что ИНФОРfi.iЗЦИЯ между ними
передается унифипированпыми сиrналаwIИ, которые разделяют на
следующие rруппы: 1) электрические непрерывные сиrналы тока
и напря}кения; 2) электрические непрер вные частотные сиrналы;
21
3) электрические кодированные сиrналы; 4) пневматические сиr-
налы. Пределы ИЗ
fенения сиrнала каждой rруппы выбирают
только из установленной соответствующим rOCTOM шкалы.
Центральный научно..исследовательский институт информа-
ции и теХНИI\о
экономических исследований приборостроения,
средств автоматизации и систем управления (ЦНИИТЭИ прибора..
строения) в 1974 r. издал rенеральный каталоr по rосударствен-
нои системе промышленных приборов и средств автоматизации
(рис. 1.8). В Hero включены подробные сведения о приборах и
устройствах rсп, вплоть до описания типовых КОНСТРУКЦИЙ,
а также примеры применения средств rсп в автоматических
системах.
ЦНИИТЭИ приборостроения издает также отраслевой
каталоr «Приборы, средства автоматизации и системы управлем
НИЯ», включающий сведения об указанной продукции, выпуска-
емой предприятиями Министерства приборостроения, средств
автоматизации и систем управления. к.аталоr содержит отдельные
выпуски (каталожные описания). В каждое из них ВХОДЯТ сведе-
ния о назначении и принципе действия прибора (изделия), ero
КОНСТРУКЦИИ, надежности, комплектности и сведения о постав-
щике; приведены также технические данные и рекомендации по
монтажу и эксплуатации. Каталожные описания комплектуются
в 22
TOMax.
Не все из элементов, охваченных rсп, используются непо..
средственно в САР. Кроме Toro, rсп не включает объекты реrули-
рования, и теория аВТО
Iатическоrо реrулированиЯ пользуется
несколько иной терминолоrией, чем принятая в rсп. Поэтому
не лишними будут следующие сведения.
В каждой САР имеется, конечно, объект ресулuрованuя. Объек-
тами являются самые разнообразные устройства, используемые
в производственных процессах: энерrетические и силовые уста..
новки, летательные аппараты, транспортные средства и средства
связи, а также отдельные составные части перечисленных УСТ-
ройств. Научно"технический проrресс ПОСТОЯННО расширяет
Kpyr объектов реrУ
7Jирования, среди которых оказываются и
весьма специфические. Например, искусственное сердце, ИСКУСм
ственная почка и т. Д. Частью объеI{та реrулирования является
реrулирующий орrаи, с ПОl\'fОIЦЫО KOToporo осуществляется изме-
нение режима работы объекта.
В литературе по автоматическому реrулированию [19, 38, 75,
87, 89, 102, 109, 119] кратко описан ряд типовых объектов. Более
детально они рассмотрены в литературе по автоматизации отдель
ных отраслей промышленности и техники, например в работах
[13, 32, 40, 41, 43, 44, 47, 56, 68, 80, 121].
Решение задачи реrулировзния начинается с математическоrо
описания объекта. При этом возможны два подхода. Рассматрива..
емый объеkТ можно разделить на отдельные части, действие КОТО"
рых определяется извеСТНЫ1.1И закономерностями. Тоrда СОБQКУП-
22
.
I
I ,
"'-
Co
==
=O!":
Co.;o;
J;:....t:{Е-оС
'"' (Q
>'!J =:S:
'Q(J
cI'J
с.Q=
t-Z
foo,-c.J:!UI:f
(i и a::
a:I == c.z:
U =)< Q!.Jfoo
.е==!21; ttt
lO,,",o
>.3=2
'Oc.::I:::"t. Q
....::0=:""='""
...Q
I:{Q):S о
U=::S::O:aQc.
S:
Q,>C:fooC.Q
c:r..c.C:=UC:'C
l'S >IJпшqg nп'n)lhdШJНО)/ i/9goипш aI9NNDgodпtтdJ'f1N
:::f
......
J 'S >tJ!iIJ/qg ( v иur'Jh ) ТI>lПШDWйшgпоwgани Duаш:т:J IIDNqVDJtbgпNh
::,
е:
tc
J .
'J/::Jfiшqg DgШ3'[10dш:;/i п ('I/.oi,ПNDКiJW аlqнqvаШпJШOUЗИ
:-.::;.....
.C:I
" dШ)fЭUJ н ттШDJ.Jошgп pOJlllaит/qlJcdи gШJ'{JOd
OIJ т . r '>IJпJjJ9fj
C:'!t:
CU
Ш:Jп п ттIlDХ'аJ,.fаv
ш J,./аш:;п::J «ир gОШNВJJ
VС J'J/avиwo)/
..........,
Б . [ '>IJfitJIQg ..хаш 'f/ОНtlvаШТJVJпhlqg gШ:JОJdз З1J
uи/.JО}J ( lfJJV) ттll
::, '[1/QНNDроdпш D
ad2r
:::1
::s (:JЯИV ::11>1) waшзп;; ХЛ'mOfNvgDduR..ОN
I::j '>IJfiиrq{}
I:"'l Q:;: В'[
;:j
,E; ./lоп'пDJ.uJоdжп Y/QIlQVDYOV lJир gШJQdd:J упУJJltтl:(;}Ш JjJ;JVиUO)/
:;:,
t:1
..1
"g
["Е )f;;пи/чg ()/::JV) godo
ndи )(/ЧIl9vaшлОаwtпоdШ}Javr J>laVVJ.JOY
I:;jR
ь
t::
g (')
:t: t..I 9- \1 9'[ >lJhutQ8 i/qgошп'т /qdo
пd!f .,чиqViJшпd;JJ.lf710dШ>liVЕ:
:::J
o:::
tj:::l:::.
"
'e:
&- S I r }/Jfiшqg ;тУ:JJАпdШ'JIJ!lf Iqdo
пdи дJqNltпdошg
::J ':jf'
r::. cu
«:I
.g
. f >iJпшqg
Ш:J
роdШJh атiЗ:JltпdШ'>lЭVl :J/qJlqVDHOn'тlllfir.Ь п ап'm(JIfirJлv
rI
I f . f )lJпШ'ЦJ 81J>lJаhТ1ШDwgани IJvоdшlЮ)( ,qdogndи
I
-1:;1 .. dшиа 11" lJпHavgDdun
.C:I ,
1"; )/,пШfl8
020>l,ah пш DwошgD 1)J,JJш,п:; II'(JSI'ЭhТ1шuugаNtJ IJDJlШD2ad:v
i
t:f t
D*ш;тоdШJп in>JJ_h
t
I
t. f >lJhtJlqg .. пшvugаИJJ :ттo/llligrнJufi п iJ/qиqUDNопtt)/N dJ .'aп'mOllidпvh2ad
5
t
i
G.
са. ::"J:t;
U
::1 B'l )Jзfiшqg пV;JШDgОЕr.Юроаdu iJп'mOlfidпt.IOO/l
! 'a
Q:
5
[
1;,,)1(3::; [! }/:;пшqg WЙQйу/qg ",,/qиrJVJd:J ттhШD'р'
::n.C;)
9', >lJhUlQg ра ntJ D:Jиаииоу роgОVП:J j gО'JIn"ШDD Х11>1
.. :J.ltпdШ>lаvс 11 k'Т1>1JJ"пШDugJни Dнаш:тз I!DNИDgOOп,nпcbпJlR
. I
t
S'Z )lJ/iUlQfJ gШ:Jаtтzаg gШ:J{lоg:з 71 DgЮШ;JО:J JJnHiJVag.tiиo нир /qd09ndи
::t::o.;;
::::.:::f
_
)fJ/il1l9f1 HJlgodfi IIлчаааwrn HVQ /fldo9пdu
::J
i;'Z
ij::;,
t::::t
t::
(', >lJnf)J99 DQoYJ1Jd 11 п",ad;JIJcп нии /fldo
пdи
..g
[ ,'! 'НэfiUNfj ISrжаvgDО Ii71Hadaиrn lVQ /9dopпdи
::f
"НJlil/!qg ,wJRШDdаfJf-JfJШ н пИrJdаwt:п кио /9dogrнiи
2.. I '!
23
ноеть ЭТИХ уравнениЙ сuставит математическое описание объекта
в цеЛОlVl. Если п<,доБНhIЙ теоретический анализ объекта пепозмо-
жен или дает лишь весьма приближенные результаты, то необхо
димыеhхарактеристики объекта получают экспериментально, He
посредственно наблюдая за ero поведением в определенных усло-
виях [1,41.
На практике иноrда используют комбинированный ПОДХОД
и одну часть математическоrо описания определяют теоретически,
а друrую экспериментально. Например, теоретически опре-
деЛЯIОТ ВИД дифференциальных уравнений, а экспериrvlента.ЛЬНQ -
значения их коэффициентов.
РеrУЛЯТОРt осуществляющий реrУЛИРОВ8ние по ОТI{лонению,
в общем случае содержит следующие функциональные элем:енты:
U u
задающее устроиство, измерите.тIЬНЫИ элемент, элемент сравнения,
усилитель (или усилители), корректирующий элемент (или эле
менты) и исполнительный элемент.
ЗадаЮlцее устройство создает сиrнал, опредеЛЯЮII ПЙ желаемое
значение реrулируемой величины. Простейшими задающими YCT
ройствами систем стабилизации служат пружины, rрузы, калиб
рованные резисторы и Т. д. В системах проrраммноrо реrулиро.
ванин задающие устройства выполняются в виде профилирован
ных кулачков, шаблонов, фиrурных реостатов и т. д. В более
сложных систеl'л:ах проrраl\.1мноrо реrулировзния задающее БОЗ-
действие вырабатывается счетно..решаrощими устройствами. В сле
дящих системах задающее устройство преобразует некоторую
величину, характеризующую процесс, который управляет си..
ётемои, в сиrнал, удобный для воздеЙствия на реrулятор.
ИзмерumеЛЬflblй или чувствumеЛЫiЫЙ элемент служит д тr я
измерения реrулируемой величины [113]. в комбинированной
системе измеряется, кроме Toro, возмущение. ИЗwrерение ЭТО
создание сиrнала, точно соответствующеrо в каiКЛ,ЫЙ момент
времени значению измеряемой величины.
11аиболее полные сведения об ИЗ\-lеритеЛЬНLIХ элементах
II устройствах можно найти в моноrрафии [111 J. В ней ИЗЛО)l{ены
основные понятия и определения теории измерительных устройств
систе f автоматическоrо реrулирования и управления. PaCCMO
трены принципы работы, конструктивные особенности, стати..
ческие, динамические и точностные характеристики значительноrо
количества измерительных устройств. Приведены сведения, необ
ходи:мые для их выбора, расчета и динаI\1ической компоновки с дpy
rими элеl\ilентами САР. Рассмотрены элементы и устройства для
измерения электрических и тепловых величин, параметров излу-
u u u
чении, давления и расхода жидкостеи и rазов, перемещении, CKO
u u u
растеи и ускорении, rироскопические устроиства для измерения
парамеТРОБ ориентации объектов в пространстве, оптико электрон
u
вые устроиства для измерения уrловыХ координат, радиолока-
ционные устройства для измерения уrловыХ координат и даль-
ности, лазерные и элсктроакустическче устройства.
24
Там же рассмотрены преобраЗQватели электрических сиrналов,
усилий и давлений, линейных и уrловых перемещений. Преобра
зовательные элементыI в таком узком понимании ,имеют СВОИlV1 Ha
значениеrvl изменение физической ПРИРОДЫ сиrнала для более
удобноrо ero использования в процессе реrулирования. Они
MorYT ВХОДИТЬ во все перечисленные Функциональны элементы
реrулятора.
Элеменпl сравнения определяет отклонение реrулируеМОIU{ ве..
ЛИЧИНЫ ОТ задаНRоrо значения и создает таким образом сиrнал
рассоrласования. Чаще Bcero ЭТО простейшее арифметическое
устройство, вычитаЮlцее сиrнал обратной связи из сиrнала
задающеrо устройства. Им может быть входная часть усилителя.
Усилитель повышает МОЩНОСТЬ сиrнала) в реrулятор поступает
энерrия ОТ kakoro-то nQCTopOHHero источника. Сведения, необхо-
димые ДЛЯ выбора и разработки усилителей: о линейных усили..
тельных устроЙствах, э.пектронных (ламповых и полупроводни
КОБЫХ), ИОННЫХ, диэлектрических, квантовых, маrнитных, Mar
НИТО"ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ, электромашинных, электромехани"
ческих, rидравлических и пневматических усилителях, содер-
жатся Б '10ноrрафии [114 J.
КорреКПluрующuе элеАtенmbl u устройсmвС;! обеспечивают устой..
чивость системы и необходимое качество, реrулирования: они
создают )келаемый закон реrулирования [114]. Сведения онаи..
более употребительных корреКТИРУIОЩИХ элементах ПОСТОЯН-
Horo тока приведены в п. 8.5.
Следует заметить, что фОРМИРУЮЩИЙ элемент 3 Функциональ
ных схем (см. рис. 1.2 1.6) обычно состоит из нескольких пере..
численных функциональных элементов, например из усилителя
и корректирующеrо устройства.
Исполнительный элемент это оконечный усилитель pery
лятора, осуществляющий непосредственное воздействие на pery..
лирующий орrаи объекта. Принципы работы, конструктивные
особенности, статические и Динамические характеристики и мето-
дика выбора различных исполнительных элементов и устройств
изложены в лоноrрафии [115]. в ней рассмотрены исполнитель..
вые устройства с электродвиrателями ПОСТОЯННоrо и nepeMeHRoro
тока) с элеКТрО lIаrнитными муфтами, с шаrовыми двиrателями
и маrНИТНЫl\1И элементами, а также rидравлические исполнитель..
ные устройства с дроссельным и объемным управлением, пневма
тические (в ТОМ числе мноrоступенчатые) и rззовые исполнитель..
.ные устройства и механические передачи.
Сведения об отдельных элементах и устройствах, и.сПОЛЬ3У
емых в САР, можно ПОЛУЧИТЬ также в работах [1, 3, 15, 23, 31,
39, 46, 57, 92, 94, 99, 122, 123]. Весьма обширная библиоrрафия
о таких элементах и устройствах содержится в указанных ранее
МQноrрафиях [111, 114, 115].
r лава 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
И СИСТЕМ
Для анализа САР необходимо иметь ее математич еское описа-
ние. Система разделяется на элементы, и составляются уравнения,
описывающие их поведение (движение)
изменение состояния
во времени. Уравнения состаВЛЯIОТСЯ на основании анализа физи-
ческих, химических и иных процессов, ПРОИСХОДЯЩИХ в элементах,
и применения законов сохранения энерrии и вещества, конкрети-
зированных для различных отраслей науки и техники (законы
механики, электротехники, rидравлики, теплотехники, оптики
и Т. д.). Для определения коэффициентов этих уравнений во МНО"
rих случаях необходимы трудоемкие исследования. Поэтому
широко используются также экспериментальные методы для
получения математическоrо описания элементов. Такие методы
требуют минимальных сведений о процессах, ПРОИСХОДЯЩИХ в эле...
ментах, и обеспечивают точность, вполне достаточную дЛЯ ИН"
женерных расчетов.
Ниже будем рассматривать только стационарные САР, У ко..
торых свойства элементов не изменяются с течением времени
и каждый динамический процесс (изменение состояния элемента
во времени) зависит лишь от начальноrо состояния элемента
(от начальных УСЛОВИЙ) и характера внешних воздействий. Пред..
положение о стационарности является идеализацией, ибо не
u
учитывается влияние процесса на своиства элемента, например
ero старение. Будем предполаrать также, что все элементы системы
с сосредоточенными параметрами и непрерывноrо действия. Такие
элементы чаще Bcero описываются дифференциальными уравне..
ПИЯМИ. ЭТО обыкновенные дифференциальные уравнения с ПОСТОЯН"
ными коэффициентами. В некоторых случаях MorYT быть алrебра-
ические или интеrральные уравнения. Чем точнее описываются
процессы в элементе, тем сложнее ero уравнение. Поэтому необ..
ХОДИМ разумный компромисс между наиболее точным описанием
элемента и возможностью исследования полученноrо уравнения.
Если для элемента справедлив принцип суперпозиции, Т. е.
влияния начальных условий и каждоrо из внешних воздействий
26
независимы друr от друrа, ТО дифференциальное уравнение эле..
мента оказывается линеЙНЬП\'I. Однако мноrие элементы описы-
ваются нелинейнымн дифференциальными уравнениями. Далеко
не всякое нелинейное дифференциальное уравнение может быть
проннтеrрировано и даже отыскание приближенноrо числовоrо
решения может оказаться трудоемким. Поэтому при инженерных
расчетах широко используют линеаризацию, т. е. замену нели..
нейных дифференциальных уравнений приближенными линей-
НЫМИ, для которых существует общий метод йнтеrрирования.
В практике весьма широко используют представление элемен
ТОВ их передаточными ФУНКЦИЯМИ, что позволяет составлять
математические модели систем в виде наrлядных структурных
схем. Понятие о передаточных функциях и их определение осно-
вываются на преобразовании Лапласа. Не менее широко исполь-
зуются временные и частотные характеристики, которые описы
вают поведение элементов и С1lсте1\1 в переходных и установив...
шихся реЖИJlлах.
Передаточные функции и временные и частотные характери-
СТИКИ составляют тот специфический математический аппарат,
U IFjJ U U
которыи используется линеинои теориеи автоматическоrо реrули-
ровзния и управления и позволяет ПрОВQДИТЬ анализ и синтез
САР мноrими методами без интеrрирования дифференциальных
уравнений и непосредственноrо исследования из решений. Этот
достаточно простой и rибкий математический аппарат весьма
удобен для инженерных расчетов, поэтому ero используют и в дру-
rих технических дисциплинах.
2.1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Часто встречаются эле.\1енты, у которых нелинейна лишь
стаТическая характеристика, т. е. зависимость ВЫХОДНОЙ вели..
чины у ОТ ВХОДНОЙ величины х в установившемся режиме. Пред"
положим, ЧТО при Действии элемента ero входная величина изме-
няется только в пределах
Xтax
Х
Xmax И на ЭТОМ участке
статическая характеристика с достаточной точностью может быть
аппроксимироsана прямой линией (рис. 2.1). Тоrда эта прямая
и может быть IIринята за статическую характеристику. Следова-
тельно, приближенно
у ::::: kx, (2.1)
rде k == tg Ct.
Такую простую линеаризацию
метод осреднения
исполь..
зуют В инженерной практике, коrда на рабочем участке характе..
ристика достаточно rладкая, НО все же не может быть аппрокси-
МИРОВ8на более точно простой функцией.
Шире используют метод малых отклонений, который позволяет
инеарИ39
ат
K
не
ице
ные статические характеристики, так
7
х
х ,"ах
инелинейные дифференциаль.
ные уравнения [61].
Выясним суть метода, для
этоrо линеаризуем уравнение
ер (у, у, У, X1, X1, Х2) === о,
(2.2)
. .... х 111 ах
у
rде Хl И Х2 входные вели.
чины элемента (известные ФУНК
цИИ времени); у ero ВЫХОД"
ная величина (искомая фуни:ция
Рис. 2.1. Линеаризация статической xapaK времени).
теристнки методом осреднения Д
ля наrлядности рaCCi\fOTpим
уравнение BToporo порядка
и число aprYMeHTOB функции ер примем небольшим. Вообще же,
ЭТОТ метод применим к уравнеНИЯIvI произвольноrо порядка с про.
И3ВОЛЬНЫМ числом арrумеитов ФУНКЦИИ .
Если функция ер дифференцируеI\lа по всем СВОИМ aprYMeHTaM,
ТО она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произ..
вольно выбранной точки. При линеаризации уравнений эле-
:м:ентов С..Д.Р эта точка должна соответствовать установившемуся
режиму. В этом режиме X1 X , Х2 === X и у == уО есть постоянные
величины и Х1 == У == fj == О. Тоrда после разложения ФУНКЦИИ ер
в ряд получим
(Р (о, о, уО, о, x , хю + ( : у Mi +-
( д<р ) о . (дер )0 (дер ) о .
ду 8.у + ду Ау + дХ1 Xl +
( дч> ) о ( д<р ) о
+ дх! Llx1 + дХ2 ДХ2 + ф == О,
(2.3)
rде Xl ==:: x1 X ; Xl == Х1; X2 =::;; Х2 X ; l1y == у уо;
I1у == fJ и y === fj отклонения переменных ОТ установпвшихся
значений; (::1)0, (::1 у. о.. частные производные от функ-
ции qJ при X1 == X , Xz == X , у == уО И Х1 == fJ == ii == о; Ф ......... сумма
членов, которые содержат различные произведения отклонений
и отклонения во второй и более высоких степенях с коэф:рициен"
таl\iИ в виде смешанных частных ПРОИ3ВОДНЫХ и частных произ-
ВОДНЫХ BToporo и высших порядков ОТ функции <р по соответству-
ющим aprYMeHT3M.
В устойчивых системах автоматическоrо реrулирования откло
пения переменных достаточно ?\1a"ТIЫ, поэтому сумма Ф в уравне-
нии (2.3) содержит лишь члены высшеrо порядка 1vI3ЛОСТИ, и ею
l\iОЖНО пренебречь. Кроме Toro, следует принять во внимание Y1JaB-
н ние установившеrося режима
(Л (о О о п о O) О "
t _, , У, ...J, Х 1, Х2 ::=;. . . < 1
28
в результате ПОJ1УЧИ Л ИСКО 10е линеаРИ30ванное
(дер ) о .. (дер) о . (дер ) о
ау 8у -i ду /).у t-- ду ду +
( aq> ) О. (дер ) о ( д<р ) о
+ дХ1 д.х 1 + дх! Xl + дХ2 X2 .=:: О.
Уравнение (2.4) линейное уравнение с постоянными КОЭффИ"
циентзми, НО ОНО В отличие от уравнения (2.2) приближенное,
так как отброшена сумма Ф и уравнение (2.4) содержит не пере..
менные Х1, Х2 И у, а их отклонения от установившеrося режима.
В ряде случаев X === X === уО O тоrда линеаРИЗ0вапное уравне..
нне становится уравнением для переменныIx Хl, Х2 И у:
уравнение
(2.4)
( )O .. + ( )O. , ( )O +
а" у д. У т д У
у у у
(дер ) О. r (дер ) О. (дер ) о
+ дх! Xll дх! )"1 + дХ2 Х2 == о.
Необходимо иметь в виду следующее. Отклонения Xl' Xl
И 8Х2 действительно малы, коrда пере енные Х1 и Х2 есть выходные
величины друrих элементов системы автоматическоrо реrулиро..
вания. Если же каI<ая..то из ВХОДНЫХ величин рассматриваемоrо
элемента представляет собой внешнее воздействие на систему,
то дол}кна быть выяснена ВО3I\10ЖНОСТЬ предположения о Iалости
отклонений этой переменной и ее ПРО ИЗ ВОДНЫХ. .
Очевидно, что метод малых отклонений неприменим для лине..
аризации уравнения (2.2), если ФУНКЦИЯ ер имеет разрывы непре..
рывности или неоднозначность по какой..либо из переменных.
..
(2.5)
Пример 2.1. Уравнение моментов на валу 9лектродвиrателя I10стоянноrо
тока с неэависимым возбуждением
J dro
М :::::;; п1. т с'
rде (о уrловая скорость вращения; т == т (ш, i) вращающий. момент;
i ТОК В обмотке якоря; те == lпс (t) момент СОПРl)тивления вращению и J
момент инерции вращаЮIЦИХСЯ масс.
В установившемся режиме (J) 0)0, т == тО, те === mg, и уравнение моментов
u О о о
имеет следующии вид: == т ...... те.
Раэлаrая функцию т (ю, i) в ряд Тейлора и пренебреrая членами Бысшеrо
порядка малости, получим
т == тО + (:: ) о LlФ + ( ) Lli.
Затем, подставпв в уравнение моментов полученное значение т! а также
dro d (dro) о ! 4. ..
(ft ::;:::: dt и те ::=:' те т L\тc, наидем
d (Аю) о ( дт ) Q ( дl11 )0. о .
J dt .--:.... т + дro ДU) +. дТ- L\L ,пс .t1tпc.
29
Принимая во внимание уравнение установившеrося режима, подучаем .пинеа
ризован ное уравнение моментов на валу Э.J1ектродвиrателя:
d ( (i)) ( дт )0 ( дт )0 .
J dt дro ДСй == (ji t ........ Ilrпc.
Здесь Лi управляющее воздействие и mc возмущение. Частные про-
( дт )0 ( дт )0
нзводные дш < О и 7fi определяются по характеристикам ЭJ]ектродви
rзтеля, которые задаются в виде rрафИКQВ.
2.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ И СИСТЕМ
в линеЙНО l дифференциальном уравнении выходную величину
элемента (искомую ФУНКЦИЮ времени) и ее производные принято
записывать в левой части, а входные величины (известные функ..
ции времени) и их производные в правоЙ части. Коэффициент при
ВЫХОДНОЙ величине удобно иметь равным единице. Если уравне..
ние не содержит ВЫХОДНОЙ величины, то коэффициент при ее
младшей прОИ3ВQДНОЙ равен единице.
Уравнения обычно записывают в символической (операторной)
d
форме, используя символ р.:=: dТ' называемый оператором
dп
дифференцирования. При ЭТОМ п === рп.
di
Уравнение (2.5) в определенной форме запишется так:
Q!J :=; k1R1x1 + k2X ,
rде Q :: аор2 + a1P + 1; R1 == Ьр + 1;
( )O
а"
.......... у .
ao ( )o,
( )O
a.t1
Ь == ( )O
дХ1
(2.6)
( ) о .
аl === ( i ) о ; k1 ===
( 2!р... ) о
дХl .
( :: / '
( )O
дх"
k2 === (.2!f.)O ·
ду
Мноrочлены ОТ символа р с- постоянными коэффиuиентами на-
зываются линейными дифференциальными операторами. Если
коэффициент при младшем члене дифференциальноrо оператора
u
равен единице, ТО оператор нормированныи.
При инженерных расчетах обычно рассматривают совместно
уравнения всех элементов САР, т. е. систему уравнений. Пусть
к САР приложеIiЫ задающее :еоэдействие g и возмущеНliе f (неко.
3Q
торые ФУНКЦИИ вреrvlени). Тоrда в обще 1 случае система уравне..
ний САР будет С ТIеДУIОIцей:
QIIYl r Q12YZ --+ · . . QtkYk :::::: R1]g iL R!2f;
Q21Yt + Q22Y2 + . . . + Q2kYk === R21g + R2 t;
...................... .,...
QklYl + Qk2Y2 + . · · + Qkk!Jk ::;:; Rk1g + RkJ,
(2.7)
rде Qij, Ril И Ri2 линейные дифференциальные операторы
(некоторые из ЭТИХ onepaT(ij)OB MorYT быть тождественно равными
нулю); Yi выходные величины элементов (обобщенные коорди-
наты САР).
Система уравнений (2.7) реальной САР не особенная и может
быть приведена к одному уравнению относительно ОДНОЙ из об..
общенных КQОрДИ нат. Чаще Bcero рассматривают уравнение САР
ДЛЯ реrулируемой координаты:
Dy == Rgg R,f, (2.8)
rде D :::==: аорn + alpn 1 + . . . + йп; Rg == ьорт + blpт l + . · . + Ьт
и Rf == Copl + Clpl l + . . . + Gz; т п и 1 n.
Уравнение (2.8) линейное дифференциальное уравнение,
и для иеrо справедлив принцип суперпозиции, который заклю-
чается в ТОМ, что каждая входная величина (заданная ФУНКЦИЯ
времени) создает составляющую выходной величины (искомой
функции времени) неззвисимо как ОТ наличия и характера изме..
пения друrих ВХОДНЫХ величин, так и от начальных условий.
Вместе с тем начальные условия вызывают переходный процесс
(т. е. еще одну составляющую ВЫХОДНОЙ величины), который не
зависит от ВХОДНЫХ величин. Начальные условия п ro порядка
u
составляют значения ВЫХОДНОИ величины и ее ПрОИ3БОДНЫХ до
n l-й включительно в начальный момент времени.
Следовательно, решение уравнения (2.8) при начальных уело..
виях у (О) == уО, у (О) == уО, ..., y(n l) (О) == y(n 1) О равно сумме
трех составляющих:
у == Yg + У, + Уев'
(2.9)
Здесь У" и Yf частные решения соответственно неоднородных
u
уравнении
пу ;:=; Rgg; Dy == Rfg (2.10)
при нулевых начальных условиях у (О) =:::: у (О) == == y(п l) (О) =:;;
== О, а Уев общее решение однородноrо уравнения
Dy==O (2.11)
при заданных начальных условиях.
31
Общее решение однородноrо уравнения (2.11) предстаВJIяет
собоЙ сумму частных решений, которые зависят от значения кор..
неЙ х (:Jра}{теРИСТПЧ<'СI{оrо уравнения
D (5) == l1r/.;ll al5H 1 + · . · + ап :=.= О,
(2.12)
rде s I{омплексная величина.
Каждому вещественному КОРНIО а[ соответствует частное
реlпение вида Aieuit (в частном случае может быть Cli == О); }{аж-
дому вещественному корню tlk кратности v соответствует" частных
решений eakt (Ak + Ak+1t + .н + Ak+v 1t'\' 1); каждой паре
сопряженных комплексных корней а[ + jbl и а[ jb{ c.OOTBeTCT
BYIOT два частных решения: .
efXlt (А] sin lt + Bz cos lt) :::= G[ealt sin ( lt Фl) (в частном слу..
чае мо)кет быть а[ О); ка}кдой паре сопряженных комплексных
корней ат j m И СХт j т кратности f! соответствует 2!-L част-
ных решений:
еат' (А] sin т' + A2t sin тt + · . · + AJ.tt l sil1 Pmt + l cos Рт t +
+ Bz,t cos m! + . · · + B tiJl l COS тt)'::::::..
:==; еат! [С1 sin( mt + Фl) + C2t sin (BTnt + Ч'2)'+ ...
· . · + CJ.Lt.... l sln ( mt + 'lL)].
Постоянные интеrрирования А, В, С и 1IJ, которые содержатся
в частных решениях, определяются из систем:ы алrебраических
уравнений, составляемых на основании начальных условий.
Дифференциальный оператор D уравнения (2.8) называют
собственным оператором системы (или элемента). Он характери..
зует собственное ДБи}кение системы (или элеl'лента), Т. е. ее движе-
ние (изменение во времени ВЫХОДНОЙ величины) при отсутствии
внешних (входных) воздействий. Дифференциальные операторы
Rg и Rf уравнения (2.8) называют ВХОДНЫМИ операторами.
Пример 2.2. Определить собственное движение системы, описываемой урав..
нением (2.8), rде D === 10р3 + 6p + 1,2 р + 0,08, лри начальных условиях
у (О) == 1; У (О) -== 0,5 и g (О) == о.
Составляем характеристическое уравнение:
1083 + 652 + 1,28 + 0,08 == о.
Это уравнение имеет корень 81 == O,2 кратности 3. Следовательно:
Уев === e o,2t (A1 + A2t + A3t2).
Определяем первую и вторую производные ФУНКЦИИ Уев:
Уев == e Ot2f [(А2 о,2А1) + (2Аз О.2Аа) t О.2Азt2] ;
Уев == e o,2! НО,О4А1 о,4А2 + 2Аз) +
+ (о,О4А2 О,8Аз) t + O.04Aat2j.
32
Состав.пяем уравнения для определения постоянных интеrрирования А 1,
А 2 И Аз, используя начальные условия,
у (О) :=.: 1 == A1;
fI (О) === б,5 :::= А 2 0,2 А i;
jj (О) == О:::::: О .04 А i 0,4 А 2 --i 2А 3"
Решив получеННУIО систему трех алrебраических уравнений, определим А 1 ==
=== 1; А2;::: 0,7; Аз == 0,12.
Таким образом, собственное движение рассмаТрипаемой системы при задан"
ных начальных условиях определяется равенством
Уев == e o,2t (1 + O,7t + 0,12t2) .
При ИН}I{еперных расчетах линейные дифференциальные урав..
нения удобнее решать операционным методом, который будет рас-
смотрен в rл. 4.
2.3.. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ функции И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
Передаточной функцией элемента называется отношение изоб-
ражений по Лапласу ВЫХОДНОЙ и ВХОДНОЙ величин при нулевых
начальных условиях. Поэтому для определен.ия передаточных
ФУНКЦИЙ элемента нужно сначала при нулевых начальных усло-
виях преобраЗQвать по Лапласу (СМ. прил. 1) дифференциальное
уравнение этоrо элемента (имеется в виду линейное или линеари-
ЗОБанное уравнени .
110дверrнем такому преобразованию левую и правую части
уравнения (2.6). Выполним преоБРЭЗ0вание последовательно, ис-
пользуя поз. 1 и 2 табл. П 1.1:
(аоу + а1у + у} :=:: {k1 (ЬХ1 + X1) + k2x2};
ао\! {у} + al {у} + 2 {у} ===
===. k1bf! {х} + kl {х1} + k2 {х2};
aos2Y + alsY + у == k1bsX1 + k1X1 + k2X2;
(aos2 + als + 1) у == k1 (bs + 1) Х1 + k2X2, (2.13)
rде У, Х1 И Х2 изображения по Лапласу функций времени у,
Xl И Х2; s комплексная величина преобрэзования Лапласа.
Изображения есть ФУНКЦИИ комплексной величины s, и полу..
ченное уравнение алrебраическое. Таким образом, дифферен"
циальному уравнению в вещественной области соответствует алrе..
браическое уравнение в комплексной области. Это соответствие
определяется преобраЗ0ваниеl\t1 Лапласа.
Сопоставляя уравнение (2.13) с дифференциальным уравнением
(2.6), леrко сделать следующий вывод: формально преобраэовзние
по Лапласу при нулевых начальных условиях линейноrо диффе
ренциальноrо уравнения с постоянными коэффициентами заклю-
чается в замене оператора дифференцирования р комплексной
величиной s и функций времени их изображениями. Это обсто-
ятельство и используется при расчетах.
2 l\-'\акаров И. М.
33
Из уравнения (2.13) при Х2 === О определяется передаточная
функция рассматриваемоrо элемента относительно входноrо воз-
действия Хl:
у kl(bs+l)
W1 === Х1 ==
aos2 + a1s + 1
(2.14)
Аналоrично при Х1 == О определяется передаточная ФУНКЦИЯ
этоrо элемента относительно входноrо воздействия Х2:
1.V/ У k2
\.у .) ::::::::::;;; ............... ==
w Х 2 aos2 + аl s 1 1
(2.15)
Передаточные ФУНКЦИИ элемента определяются относительно
u u
каждоrо из ВХОДНЫХ Боздеиствии, при ЭТОМ предполаrается, что
все остальные входные воздействия равны нулю.
Из выражений (2.14) и (2.15) очевидна независимость пере-
даточных ФУНКЦИЙ элемента ОТ Toro, какими функциями времени
являются ero входн-ые воздействия. Передаточные функции зави-
сят лишь от вида дифференциальноrо уравнения и значения ero
коэффициентов, т. е. ОТ динамических свойств и парамеТРОБ эле-
мента. Передаточные функции полностью характеризуют собствен...
ное движение элемента и преобразование ВХОДНЫХ воздействий
в ero вынужденное движение.
Обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными
коэффициентами описывается стационарный элемент с сосредото-
ченными параметрами. Из выражений (2.14) и (2.15) следует, что
ero передаточные функции есть дробно"рациональные функции
комплексной величины s. Все передаточные функции элемента
имеют один и тот же знаменатель.
В общем случае передаточная функция есть отношение двух
полиномов от s:
W =::::: R/Q,
(2.16)
rде полиномы Q и R степени соответственно п и m' n. , .
Удобно определить передаточную функцию в виде отношения
двух нормированных полиномов (т. е. полиномов, у которых
коэффициент при младшем члене равен 1), умноженноrо на по..
стоянный коэффициент k, называемый передаточным rкоэффициен"
том:
W == kR/Q.
(2. 1 7)
Корни полинома R являются нулями передаточной функции
и корни полинома Q ее полюсами. Степень п полинома Q опре-
деляет порядок передаточной ФУНКЦИИ. Размерность передаТQЧ-
Horo коэффициента равна размерности ВЫХОДНОЙ величины, делен-
u U
нои на размерность ВХОДНОИ величины.
Каждая передаточная ФУНКЦИЯ соответствует некоторому дина..
мическому звену. Динамическое звено это математическая мо-
34
f/,'
l ..
а)
Yi1Y"'U2 11
'=r!l
.. Y2
1/1. е) УЗ
ш
О)
Vl Yr... !I''y2
2. а) Yz
lJ
.Ji
Ty;
Yl Q9 i/f
Рис. 2.2. Условные знаки структурных схем:
а входная или выходная величича (воздеЙствие, СИI'нал); б динамическое звено;
8 разветвление сиrнала; ;: суммирование сиrналов; а сравнение двух сиrналов;
е измеНение знака сиrнала
дель элемента (или части сложноrо элемента), которая отображает
лишь ero динамические свойства, а не физическую СУЩНОСТЬ проис-
ходящих в нем процессов.
После определения передаточных ФУНКЦИЙ сложноrо элемента
можно составить ero структурную схему. Соединив структурные
схемы всех элементов, получим структурную схему САР.
Структурная схема есть условное rрафическое изображение
САР (или сложноrо элемента). На структурную схему наносятся
условными знаками (рис. 2.2) все динамические звенья, внешние
воздействия и воздействия элементов друr на друrа. Динами..
ческое звено изображается прямоуrольником, в котором указы-
вается передаточная функция этоrо звена. Воздействия на систему
и воздействия элементов (звеньев) друr на друrа изображаются
стрелками. Около каждой стрелки указывается, какую физиче-
скую величину или обобщенную координату системы она изобра..
жает. Изменения этой величины и являются сиrналом, передава-
емой информацией. На динамическое звено может воздействовать
лишь одна входная величина, поэтому используются знаки СУМ-
мирования J:I сравнения сиrналов. Суммироваться и сравниваться
MorYT лишь сиrналы ОДНОЙ и той же физической ПРИРОДЫ. В каж-
ДОМ динамическом звене воздействие передается только от входа
к выходу.
Структурная схема показывает строение САР, наличие внешних
воздействий и точки их приложения, ПУТИ распространения воз..
действий и выходную величину. По структурной схеме можно
составить математическое описание САР, т. е. систему алrебра
ических уравнений относительно изображений всех переменных
(обобщенных координат) или ее передаточные функции (см. rл. 3).
На рис. 2.3 изображена структурная схема элемента, име..
ющеrо передаточные функции (2.14) и (2.15). На ее основании
можно составить следующее равенство:
у == W1X1 + W2X2>
(2.18)
По этому равенству леrко составить дифференциальное ypaB
пение элемента. Конечно, это имеет смысл только в том случае,
2*
35
Wz h q
WI
L_..JWL.
L
'1 L ( }
L42 T-
J
у
\ I
Рис. 2.3. Структурная схема элемента, опи" Рис.2.4.Структурная схема д-вухконтурной
CbJBaeMoro уравнением (2.13) САР
коrда передаточные функции элемента получены на основании
экспериментальных данных.
Равенство (2.18) определяет изображение ВЫХОДНОЙ величины
элемента, и, пользуясь обратным преобраЗQванием Лапласа (СМ.
прил. 1), 1vl0ЖНО определить выходную величину как функцию
времени.
Итак, ДЛЯ составления структурной схемы САР необходимо
иметь ее функциональную схему, которая содержит сведения
U U
О назначении элементов, о роли внешних воздеиствии и о реrули-
руемой величине. Кроме Toro, необходимо иметь дифференциаль-
ные уравнения всех элементов для определения их передаточных
ФУНКЦИЙ или }ке иметь экспериментально найденные передаточные
ФУНКЦИИ.
При составлении структурной схемы удобно начинать с изобра-
...
жения задающеrо воздеиствия и располаrать динамические звенья,
составляющие прямую цепь системы, слева направо до реrулиру..
емой величины. Тоrда основная обратная связь и местные обратные
связи будут направлены справа налево.
Пример 2.3. Построить структурную схему САР, которая описывается СЛЕ'
ДУЮЩИМИ дифференциальными уравнениями:
QIY ::=: R1z Rlff; Q2Z == R2 (х zo):
Q02Z0 == R02z; х == g Уо; Qo'Jo == RoY,
rде Yt g, t и х соотвеТСТЕенно реrулируемая величина, задающее воздействие,
возмущение и рассоrласование; Qi и Ri линейные дифференциальные опера..
торы.
Прео6разовав дифференциальные уравнения по Лапласу при нулевых на..
чальных УС.ТIОВИЯХ, получим следующую систему алrебраических уравнений:
QIY == R1Z R1fF; Q2Z == R2 (Х zo);
Qo 2Z О == R о 2Z; Х == G У о; Q о у о :::::: R о У ,
rде Qi и R i ПОll1ИНОМЫ ОТ s.
После определения передаточных ФУНКЦИЙ динамических звеньев система
уравнений принимает следующий вид:
у == W1Z W1fF; Z W2 (Х zo);
Zo==W02Z; x==a Yo; Yo==Woy,
W R1. W Rlf. W R2. W R02. W Ro
rде 1 Q' l' == ----п----- ' 2 Q' 02 Q , о Q ·
1 " 1 2 02 О
По полученным равенствам строим структурную схему, которая покззана на
рис. 2.4..
36
Следует заТ\t1етить, что структурную схему САР можно рас-
сматривать как ОДИН из видов направленноrо rрафа. Направлен-
ный rраф (rраф сиrналз, диаrрамма прохождения сиrнала) пред-
ставляет собой СОВОКУПНОСТЬ узлов (вершин) и соединяющих их
ветвей (дуr) с обозначением направления передачи сиrналов
и их пропускной способности. Рассматривая структурную схему
как rраф, узлами (вершинами) считают все воздействия внеш-
ние, внутренние и выходное, т. е. реrулируемую величину, вет-
вями (дуrами) динамические звенья, а передаточные ФУНКЦИИ
определяют их ПРОПУСКНУIО способность.
2.4. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Система дифференциальных уравнений (2.7), которая может
быть приведена к уравнению (2.8) для реrулируемой величины
или к уравнению для рассоrласования, является исчерпывающим
математическим описанием САР. Необходимо только иметь в виду
некоторую неизбеЖНУI0 приближенность этоrо описания, которая
возникает ИЗ"З3 идеализации процессов в элементах при составле
нии их уравнений, а также из за линеаризации уравнений,
Наrлядное представление о динаl\лических свойствах САР даст
решение у уравнения (2.8) или решение х уравнения для рассоrла..
сования, так как они покажут изменение этих величин БО времени.
Однако получить это решение практически не удается, ибо функ..
ция g известна лишь в системах стабилизации и nporpaMMHoro
реrулирования, а функция " за очень редкими исключениями,
неизвестна.
Несмотря на это, решения дифференциальных уравнений САР
(и отдельных элементов) широко используются как при анализе
свойств систем, так и для целей синтеза выбора структуры
и парамеТРОБ систем. Речь идет о решениях дифференциальных
уравнений при некоторых стандартных (типовых) воздействиях.
Такие решения и их rрафики называют временными характери-
стиками соответственно элементов и систем. Рассмотрим ос..
новные, наиболее употребительные временные характери
стики.
Весьма часто имеет место резкое (в пределе MrHOBeHHoe) изме-
нение внешнеrо воздействия на САР, например включение или
выключение потребителей электрической энерrии, увеличение или
уменьшение МО1дента сопротивления на валу реrулируемоrо двн-
rателя и Т. п. Всеrда важно оценить поведение САР в таких кри-
тических ситуациях, т. е. ВЫЯСНИТЬ, насколько значительным будет
отклонение от НОрI\JIзльноrо режима и насколько быстро и ТОЧНО
оно будет устранено реrулятором.
Для Toro чтобы сравнивать поведение при этом различных
систем и элементов, следует рассматривать CTporo определенное,
нормированное изменение воздействий. Таким типовым: измене
нием воздействия считают мrиовенное ero изменение от нуля ДО
37
J
о
J!
Рис. 2.5. fрафик единичной ступенча-
той фун КЦИИ
и.
1;.
значения, paBHoro единице. Для математической записи исполь-
зуют единичную ступенчатую ФУНКЦИЮ
{Опри t < о;
1 и) === 1 пр и t О.
(2 + 19)
Эта функция ОТНОСИТСЯ к классу обобщенных ФУНКЦИЙt и rpa-
фИК ее покззан на рис. 2.5.
Реакцию элемента или системы при нулевых начальных усло..
виях на ВХОДНУЮ величину, являющуюся единичной ступенчатой
функцией времени, называют переходной характеристикой (пере..
ХОДНОЙ функцией) h элемента или системы.
Изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции
1
равно ............ (СМ. поз. 1 табл. Пl.2), поэтому изображение пере-
s
ХОДНОЙ характеристики
1
H===W ,
s
( 2.20)
rде W передаточная функция элемента или системы.
Если на элемент или систему действует несколько ВХОДНЫХ
величин (имеется несколько входов), то определяется переходная
характеристика для каждой ВХОДНОЙ величины (относительно
каждоrо входа).
Переходные характеристики находят на основании равенства
(2.20) операционным методом и rрафоаналитически (см. rл. 4),
а также экспериментально. Они имеют разнообразную форму:
стремятся различным образом к некоторому пределу (в частности,
к нулю), колеблются с постоянной амплитудой около иекотороrо
предела, неоrраничеННQ нарастают и Т. п. Переходные характе-
ристики простейших (типовых) динамических звеньев будут рас-
смотрены в п. 2.6.
Если известна переходная характеристика h, а входное БОЗ"
действие ступенчатое и равно а1 (t), rде а == const, то ВЫХОДНОЙ
величиной будет ah.
Используя переХОДНУIО характеристику, можно приближенно
u
определить реакцию на входное Боздеиствие, заданное ПРОИ3-
вольной 'кривой. Достаточно аппроксимировать площадь, orpa--
ц u u а
ниченную ЭТОН КрИБQИ, суммои сдвинутых ВО времени ступенча-
., u )!t ..,
тых воздеиствии и просуммировать реакции на эти воздеиствия.
Пример 2.4. Определить реакцию системы на входное воздействие g, которое
определяется кривой, изображенной Ha рис. 2.6, a.
38
9
9
t2 tJ
а)
.t
t't t
5)
Рис. 2.6. Аппроксимация фун кции g суммой ступенчатых функций
Площадь, оrраниченную кривой, аппроксимируем ПЯТЬЮ ступенчатыми воз-
действиями (рис. 2.6, 6). Тоrда выходная величина приближенно определяется
выражением
6 ..... .... ":'\
У goh (t} -1 glh (t t1) g2h (t t2) gзh (t tз) g4h (t t4),
, '"
......... .
rде h переходная характеристии:а системы.
Если BHelIlHee воздействие есть известная функция времеНИ.g,
ТО реакцию системы можно найти с помощью интеrрала Дюамеля:
t
J dh(t 't)
У == dt g (1:) dT.
О
Пример 2.5. Определить реакцию системы на входное воздействие g == e [3t,
если переходная характеристика системы h == k (1 e...at).
Вычисляем
(2.21)
dh (t '{) === k (1 a и '()) == k a(t 't).
dt d t е ае,
t t
У == j dh ( .) g ('t) d. == J krt.e rJ. (t T)e tJT d't ==
О О
ak e at (1 e (a+ ) t).
a+
. .
Друrими часто встречающимися изменениями внешних воздей..
ствий являются их кратковременные, но существенные по зна..
чению всплески, импульсы. Например, ПОРЫБЫ ветра, действу-
u
ющие на летательным аппарат, ударная наrрузка на двиrатель
и т. п.
Нормированным импульсным воздействием считается единич-
ный импульс, Т. е. импульс, у KOToporo произведение длитель..
ности на величину равно единице. На рис. 2.7 изображены rpa..
фИКИ единичных импульсов
g1tИl :::::=: g2tИ2 === gзtиз == 1,
[де tU1 достаточно мало.
39
02
g,
Пределом, к которому стремится единич"
ный импульс, KorAa ero продолжительность
стремится к нулю, есть единичная импу...1JЬС"
ная ФУНКЦИЯ
{Опри t =1= О,
б (t) ;:::::: 00
При t о;
oo
00
f "(t)dt 1.
(2.22)
Единичная импульсная функция ОТНО"
СИТСЯ К классу обобщенных функций и пред..
ставляет собой производную ОТ е иничной
ступенчатой функции:
(j (t) == d t) .
(2.23)
g(t),\
9J
о tlJJ tu2 tu1 t
Рис. 2.7. rрафики еди-
ничных импульсов
Реакцию элемента или системы на единичную импульсную
ФУНКЦИЮ называют импульсной характеристикой (функцией веса).
На основании равенств (2.20) и (2.23) леrко заключить, что изоб..
ражение импульсной характеристики элемента или системы равно
передаточной функции, а импульсная характеристика w равна
ПРОИ3ВОДНОЙ ОТ переходной характеристики:
dh
W М. (2.24)
Импульсные характеристики типовых динамических звеньев
приведены в п. 2.6.
При оценке динамических СВОЙСТВ элементов и систем, а также
при синтезе систем наиболее широко используют переходную
и импульсную характеристику Далее предпочтение будет отдано
переходной характеристике. Иноrда оказываются необходимыми
характеристики, показывающие реакцию элементов и систем на
некоторые друrие воздействия, например на воздействия, изменя-
ющиеся с ПОСТОЯННОЙ скоростью или с постоянным ускорением.
Переходные характеристики дают предпочтение о поведении
элементов и систем в переходных режимах. Информацию об уста-
новившемся режиме можно получить ЛИШЬ в TO!\f случае, коrда
переходная характеристика асимптотически приближается к не-
которому пределу. Если же она неоrраничеННQ нарастает, ТО из
этоrо следует, что процесс в системе или элементе выйдет ИЗ зоны
линейности.
2.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАI(ТЕРИСТИI(И
Для оценки установившихея режимов оказалось более удобным
рассматривать поведение элементов и систем при воздействиях,
ЯВЛЯЮЩИХСЯ периодическими ФУНКЦИЯМИ времени. в качестве
таких воздействий были выбраны rармонические воздействия,
что обусловлено несколькими обстоятельствами: 1) реально ветре
40
чающиеся воздействия, как правило, MorYT быть представлены
в виде суммы rармоник различных частот (разложение Фурье);
2) в установившихея режимах rармонические сиrналы передаются
линейными элементами и системами без искажений; 3) обычно не
возникает затруднений в экспериментальном исследовании по-
u
ведения таи:их элеJ\lентов и систем при rармонических воздеи-
СТБИЯХ.
Пусть на ВХОД стационарноrо линейноrо элемента или системы
воздействует rармонический сиrнал
А] sin (юt + Фl)'
rде Аl' 'Фl' ffi === 2п/Т и Т соответственно амплитуда, фаза,
уrловая частота и период повторения сиrнала.
Тоrда на выходе с течением времени устанавливается raRMo
нический сиrнал
А 2 sin (ffit + "1'2)
той же уrловои частоты, но с измененными амплитудой и фазой.
Изменение ампдитуды и фазы зависит как от свойств рассматри-
BaeMoro объекта (от вида ero дифференциальноrо уравнения и
значения параметров), так и ОТ уrловой частоты (t) rармоническоrо
сиrнала (СМ. пример 4.1).
Отношение
А == A2/Al (2.25)
И разность
'ф == 1J'2 'Ф1 (2.26)
являются функциями частоты, и их называют соответственно
амплитудно..частотной характеристикой (А ЧХ) и фззово..ча-
статной характеристикой (ФЧХ) рассматриваемоrо элемента или
системыI.
Эти характеристики покззывают, ЧТО линейныIй элемент или
система изменяет амплитуду и фазу rарМQническоrо сиrнала:
в установившемся ре)киме амплитуда уменьшается или увеличи-
вается в А раз и сдвиr по фазе увеличивается или уменьшается
на 11' rрадусов (радиан) при каждом значении уrловой частоты 00.
Частотные характеристики зависят от свойств элемента или
системы, но не зависят от амплитуды и фазы входных rармони-
ческих сиrналов (предполаrается, что процесс не ВЫХОДИТ из зоны
линейности) .
Частотные характеристики всякоrо объекта связаны с ero
передаточной функцией. Подставив в выражение для передаточной
функции W вместо s МНИl\1УЮ величину jffi, получим комплексную
функцию частоты W, которую называют частотной передаточной
функцией.
Функция W при каЖДОNI значении частоты (t) является КОМ-
плексной величиной и поэтому может быть представлена в пока
зательном виде:
W === Аеj'Ф
,
(2.27)
41
+j
Рис. 2.8. АМПJlитудно-фазовая ча-
стотная характеристика
rде
rде
A==IWI и ф==аrgW,
(2.28)
Следовательно, модуль и apry-
мент частотной передаточной функ..
ции определяют соответственно ам..
плитудно..частотную и фазово..частот"
ную характеристики.
ФУНКЦИЯ W может быть пред..
ставлена и в алrебраическом Биде:
w === и + jV,
(2 .29)
и == Re W и V == 1т w. (2.30)
ФУНКЦИИ частоты и и v называют соответственно веществен-
ной (действительной) и мнимой частотными характеристиками.
Они не имеют KOHKpeTHoro физическоrо смысла, НО их используют
при расчетах.
rодоrраф ФУНКЦИИ W, т. е. rеометрическое место KOHЦO век..
торов W при изменении частоты (j) ОТ нуля ДО бесконечности,
представляет собой амплитудно..фаЗОБУЮ частотную характери-
стику (АФЧХ). Эту характеристику строят на комплексной пло..
скости (рис. 2.6). По оси абсцисс откладывают вещественную
часть и и по оси ординат мнимую часть v. АФЧХ МОЖНО стро"
ить И В полярных координатах, откладывая векторы длиной А
под уrлом ф. Уrлы отсчитываются ОТ положительной действи-
U u
тельнои полуоси против часовон стрелки.
Частотная передаточная функция W есть аналитическое вы..
ражение АФЧХ.
На основании равенств (2.27) (2.30) леrко составить СООТНО"
шения, связывающие между собой частотные характеристики:
А -== VU2 + V2; '" === arctg у/и;
и А cos '1'; V == А sin '1'.
(2.31 )
Полезно заметить, что вещественная частотная характеристика
есть четная функция частоты, а мнимая чаСТQтная характери-
стика нечетная функция:
и ( ш) == и (00); v ( ш) === v (0).
(2.32)
Кроме Toro, необходимо заметить, что при определенных
условиях между амплитудной и фазовой частотными характери..
стиками, а также между вещественной и мнимой частотными ха..
рактеристиками существуют однозначные зависимости. Этот во-
прос будет рассмотрен в п. 5.4.
42
При расчетах ШИрОКО используют лоrарифмические частотные
характеристики; амплитудно.частотную (ЛА ЧХ) и фазово--частот-
ную (ЛФЧХ).
При построении ЛА ЧХ по оси абсцисс откладывают частоту
в лоrарифмическом масштабе, т. е. наносят отметки, соответству-
ющие 19 ю. Однако около этих отметок указывают значения ча-
стоты ОО. Отрезок оси аБСIIИСС, соответствующий изменению ча-
стоты в 1 О раз, называется декадой, а отрезок, соответствующий
изменеНИIО частоты в 2 раза, октавой. Декада и октава
это paBHO 1epHыe единицы на оси абсцисс.
Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, так как 19 О ==
=;;;; oo. Поэтому при построении rрафика ЛА ЧХ выбирают
такой отрезок оси абсцисс, который охватывает нужный диапазон
частот.
По оси ординат ЛА ЧХ откладывают в равномерном масштабе
лоrариФмическую амплитуду
L ::;::: 201g А дБ. (2.33)
Децибел (сокращенно дБ) есть внесистемная дольная единица
лоrарифмическоЙ величины. .Ее используют для Toro, чтобы rpa-
фИКОМ можно было охватывать широкий диапазон изменения
рассматриваемой величины. Следовательно, L это амплитуда А,
выраженная в децибелах.
Пусть, например, rрафиком нужно охватить изменени(; А от А1 == 100 до
А2 == О и А:) == 0,01. Очевидно, что при равномерном масштабе значение Аз
будет близко к нулевой линии, но 20 19 А 1 == 40дБ, 20 19 А 2 ===0 И 20 19 Аз ===
== 40 дБ, так что отметки этих точек на rрафике будут хорошо заметны.
ЛФЧХ имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ, а по оси
ординат ЛФЧХ откладывают в равномерном масштабе фазу 'Ф
в уrловых rрадусах или радианах.
Оси абсцисс ЛФЧХ и ЛАЧХ обычно совмещают, чтобы изме.
нения фазы можно было сопоставлять с изменениями амплитуды.
y Лоrарифмические частотные характеристики удобны тем, что
неболыuим rрафИКО1-1 мо}кет быть охвачен широкий диапазон
частот. При этом одинаково Har ЛЯДНО изменение частотных свойств
как на малых, так на средних и высоких частотах. Небольшим
rрафико:м: охватывается и широкий диапазон изменения ампли-
туды с одинаковой наrлядностью изменения больших и малых
амплитуд.
Кроме Toro, оказывается, что значительные участки ЛА ЧХ
с БОЛЫllОЙ точностью MorYT быть заменены прямыми линиями
асимптотаlVlИ. Они имеют отрицательный и положительный на..
клон, кратный 20 дБ на декаду, т. е. О дБ;дек; 20 дБ/дек;
40 дБ/дек; ... +20 дБjдек; +40 дБ/дек; ... .
в ряде случаев можно пренебречь кривизной ЛА ЧХ на не.
которых небольших участках частоты. Тоrда ЛАЧХ изображается
отрезками прямых (асимптотами) и называется асимптотической
43
l
...:.:::
о t'"-.j
а)
L
L
L
L
(;) си
С iJ)
о
.5) 8)
L + 4 DiJБjdек
ь;.
с:::::.
О
ЫС си
ж1
,
<
I
I
О
(;Jc
с)
['
..!ос:
"'-.;:1
о
РИ с. 2.9. Типовые асимптотические JIA Ч Х
ЛА ЧХ. ДЛЯ ее построения нужны ЛИllIЬ весьма простые вычисле
н и я ( СМ. п. 5.3) .
Наиболее характерный вид имеIОТ ЛЛЧХ при СJlедующих
значениях модуля А частотной передаточной ФУНКЦИИ:
а) А === k. В этом случае L ==::: 201g k есть постоянная величина
и ЛА ЧХ представляет собой прямую, параллельную оси
абсцисс (рис. 2.9, а).
б) А == k/w. Имеем L === 201g k 20lg ш. При ro == 1 имеем
L === 201g k, и на протяжении ОДНОЙ декады L уменьшается на
20 дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном 20 дБjдек,
проходящую через точку В с координатами [1; 20Ig k J (рис. 2.9, 6).
в) А === koo. В этом случае L == 201g k + 201g ш. Так же как
и в предыдущем случае, при (J) === 1 имеем L === 201g k.
Затем с увеличением (i) увеЛJ-Iчивается и L на 20 дБjдек. ЛА ЧХ
есть прямая с наклоном +20 дБ/дек, проходящая через ТОЧl{У В
С координатами [1; 201g k] (рис. 2.9, в);
r) А ==: V k . Теперь L 201g k lOlg (l + (!)2Т2).
1 + ш2Т2 '
При малых частотах ro2Т2 « 1 и L 20]g k. Это низкочастот..
ная асимптота, параллельная оси абсцисс. При больших частотах
ш2Т2 » 1 и L 201g k 201g ыТ. Это высокочастотная асимп"
тата, которая уменьшается на 20 дЕ/дек. Следовательно, асимпто"
тическая ЛА ЧХ образуется двумя асимптотами, которые сопря-
rаются при частоте Ю == l/Т (рис. 2.9, С), так как при этой частоте
удовлетворяются уравнения обеих асимптот.
д) А == k 1/ 1 + (02'(2. В даННОIvl случае L 201g k 101g (1 +
+ 0)2't2). Как и в предыдущем случае, асимптотическая ЛА ЧХ
составляется двумя асимптотами, которые сопряrаются при ча-
стоте (ос l/t, НО высокочастотная асимптота имеет ПОЛО)J{итель-
ныIй наклон +20 дБjдек (рис. 2.9, д).
е) А === k k
V (1 0)2Т2)2 + (2Ы6Т)2 V 1 + ш22Т2 (2 2 1) + (О4Т4 '
44
rде 1. В данном случае L == 201g k 101g [1 +
+ 0)22T2 (262 1) + ro4T41. На малых частотах L 201g k и на
высоких частотах L -j 20lg k 401g ro Т. Асимптотическая ЛА ЧХ ,
как и в двух предыдущих случаях, составляется двумя асимпто-
тами, которые сопряrаются при частоте (ос == I/Т. НИ3КDчаст.ОТ"
иая асимптота параллельна оси абсцисс, а высокочастотная имеет
отрицательный наклон 40 дБ/дек (рис. 2.9, е).
ж) А =:=; k V (1 (О2т2)2 + (2ffi6't)2 == k V 1 + 6)22,;2 (2 2 1) + (i)4't4,
rде < 1. В этом случае L == 20Ig k + IOlg [1 -+ ю22,;2 (2 2 1) +
+ (04,,&4]. Асимптотическая ЛА ЧХ опять составляется двумя
асимптотами, которые сопряrаются при частоте (()с == 1/'"(. Низко..
частотная асимптота L 201g k параллельна оси абсцисс, а' вы..
сокочастотная L 201g k + 401g 001: имеет положительный на..
клон +40 дБjдек (рис. 2.9, ж).
2.6. ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
Элементы, различные по физической природе, КОНСТРУКЦИИ,
МОЩНОСТИ и друrим характеристикам, НО описываемые линей..
ными дифференциальными 'уравнеНИЯl\1IИ одноrо и Toro )ке вида,
являются одинаковыми динамическими звеньями, или элементы
с одинаковыми передаточными функциями являются одинаковыми
динамическими звеньями.
у каждоrо динамическоrо звена может быть лишь одна ВХОД"
ная и одна выходная величина, поэтому элементы с несколькими
ВХОДНЫМИ или ВЫХОДНЫМИ величинами разделяют на соответству-
ющее число динамических звеньев. Выходная величина всякоrо
Динамическоrо звена не оказывает на иеrо какоrо..либо влияния,
Т. е. динамические звенья обладают свойством однонаправлен-
НОСТ и .
сло)кныIe динаI\лические звенья удобно разделять на просrейшие
составные части, на типовые динамические звенья, передаточные
функции которых имеIОТ в числителе и знаменателе полиномы от s
не выше BToporo порядка.
Передаточную функцию динамическоrо звена в общем случае
можно представить как произведение сомножителей следующеrо
вида:
1 1
k; sV; тс) + 1; T2s2 r- 2 Ts + 1; 'tS + 1 и 1282 + 2 'ts + 1, (2.34)
rде /l, '-', Т, , , постоянные, причем k > о; 'V может быть
положительным и отрицательным цеJ1ЫМ ЧИСtП:ОМ; Т > о; о <
< 1; L > о; о < 1.
Сомножители (2.34) определяют различные типовые динамиче..
ские звенья. Основные из них приведены в табл. 2.1. В ней даны
дифференциальные уравнения и передаточные ФУНКЦИИ этих
звеньев и показано их деление по основным свойствам на три
45
Типовые динамические звенья
Таблица 2.1
Тип звена
Идеальное
лительное
нерционно
Апериодич
(инерционн
Пози- Лпериодич
(инерцион
ционные BToporo по
звенья
к.олебател
Консерват
Интеrрир
{идеально
Интеrри р
Интеrри. (инерцион
РУIощие
звенья
Изодромн
уси-
(безы-
е)
еское
се)
еское
ное)
РЯДКа
Дифференциальное
уравнение
y==kx
I
(Тр + 1) у;::=- kx
Передаточная функция
W == W (5)
W == k
k
W == Ts + 1
,k
W == T
S2 + т 1 S
r 1 ==
k
(T
p
I Т1Р I 1) У
==- (T
s + 1) (T4s 1
1)'
== kx; rде т 3,4
rдеТl
2Т2
(Т2р2 + 2;Тр + 1) Х
ьное Х у == kx
rде О <
< 1
ивное (Т2р2 + 1) У == kx
УЮI1
ее ру == kx
е)
ующее р (Тр + 1) у == kx
ное)
ое
46
ру -:=:: k ('tp + 1) х
1
===ТХ
х (Т 1::1= yr Т!
4T
)
k
W == T2s2+ 2
Ts+ 1
k
W:::: T2s2 + 1
k
w==
s
w
k
s(Ts+l)
w == k ('ts + 1) ==
s
k
k1 +
,
s
rде k1 :::= k't
Интеrри ..
рующие
звенья
Диффе..
ренци"
рующие
звенья
Диффе..
ренци"
рующие
звенья
Тип звена
Изодромное вто"
poro порядка
fДифференцирую"
щее (идеальное)
Дифференцирую..
щее (инерцион"
ное)
Форсирующее
(идеальн ое)
Форсирующее
(идеальное) ВТО"
poro порядка
Про Д о л ж е н и е т а б л. 2.1
Дифференциальное
уравнение
р2у -:== k (,;2р2 +
+ 26'tP + 1) х,
rде О <
< 1
у
kpx
( т р + 1) У =
kpx
.tJ === k (-rp + 1) х
у ::= k (-r2p2 +
+ 2
'tp + 1) х,
rде
< 1
Передаточная функция
W == W (s)
W;;:::
k (1;2S2 + 2
'ts + 1)
52
k1 R,
== k2 + S + 82'
rде k1 == k
T;
k2 == kt2
\V == ks
ks
W :.=:
Ts+ 1
W == k (-rs + 1)
W == k (T2S2 +
+ 2
'ts
1
1)
т а б л и ц а 2.2
Временные характеристики типовых динамических звеньев
Тип звена и ero
передаточная ФУНКЦИЯ
w == w (s)
Импульсная хара ктери.
стика (функция веса)
W == 'W (t)
Идеальное усилительное
(безынерционное) W == k
Переходная характсри
стика h == h (i)
h==k
!т
k
о
t
w
iltS (t)
w
о
t
47
Тип звена и ero
передаточная функuия
W == W (s)
Апериодическое (инер-
ционное)
w==
k
Ts+ ]
Апериодическое (инер-
ционное) BToporo поряд..
ка
W==: k
T s + T1s+ 1
k
(Т зS + 1) (Т 45 + 1) ,
rде Tl 2T2;
1
Тз,4 ==- Т х
х (Т 1::1: V Тl 4T )
Колебательное
k
W :. T2s2 + 2 Ts + 1 '
rде О < 1
48
Про Д о л ж е н и е т а б л. 2.2
Переходная характери..
стика h == h (t)
h == k (1 e t/T)
"
О'
t
ll==k [I ТЗ Т4Х
Х (тзе :.
T4e ;.)
h
t
о
Импульсная характери
стика <функция веса)
W == 'W (t)
k t/T
tV==...............e
т
w'
."
t
w== k Х
Тз Т4
х (e ;. e :.)
W+
V ,
о t
[ 1 t
h :== k 1 лТ е т Х
Х sin (лt I е) 1, _
v 1 ! .
rде л '::= Т '
лТ
е == arct T ;
11
о л... :1t t
л Т
Л t
... . О'} п
а ke ').,Т lп ==
1 , 02 лТ
k
w ==: "лТ2 Х
'tf
..::........
Х е т sin лt
trt/
о t
Тип звена и ero
передаточная функция
W == W(s)
Консервативное
W/== k
T2s2 1
Интеrрируrощее
(идеальное)
k
w===
s
Про Д о л ж е н и е т а б л. 2.2
Переходная характери
стика h == h (t)
h == k (1 cos i )
h
о
-
t
h :::-:: k t
П
О t
Интеrрирующее (инер h k {t Т(I e...t/T)J
ционное)
h
w k
s(Ts+l)
Изодромное
'W .:::::. k (TS 1 {)
s
о
t
сх =:':' а rctcr k
со
h == k1 + kt,
r де k 1 =-- k-r;
w
о
t
а == arctg k
Импульсная характери
стика (функция веса)
'W == -w (t)
k . t
w ::=:: Sln
т т
I
.1f...
т
о
t
w == k
Wr tk .
О t
w == k (1 e t/T)
И/ ;
o' t
о t
w :::::: k1f1 (t) + k
W
k
о
t
49
Про Д о л ж е н и е т а б л. 2.2
Тип звена и ero
перрдаточная функция
W == W (5) .
Изодромное BTOpOrO по..
рядка
k (1,252 +
w === + 2
'ts + 1)
52
Дифференцирующее
(идеаJIьное)
W :;:: ks
Дифференцирующее
(инерционное)
ks
W:=; Ts + 1
Переходная характери..
стика h == 1
(t)
h == k2 + k1 t + kt2,
rде k1 == 2k
1;
k2 :;::=: k't2
h
Импульсная характери
стика (функция веса)
w == w (t)
\\7 == k26 (t) +
+ k1 + 2kt
h
k,
О t
а ==: arctg k
w == kp/) (t)
w
о
t
fo.......
о
t
k
w ===
6 (t)
Т
k
! /Т
1'2 е
w
'0
t
h === kб (t)
hL
о , t
h ==
e--t/T
т
h
,1
--k ..:
т
....
о
t
50
rруппы: позиционные, интеrрирующие и дифференцирующие.
В таБJI. 2.2 приведены временные и в табл. 2.3 частотные характе.
ристики типовых динамических звеньев.
Позиционные звенья, кроме КQнсервативноrо, характеризуются
Tel\1, что в каждом из них при подаче на ВХОД постоянной величины
с течением вреlVlени устанавливается постоянное значение ВЫХОД"
ной величины. Отношение устаНОВИБШИХСЯ значений ВЫХОДНОЙ и
входной величин есть передаточный коэффициент k звена.
В безынерционном (идеальном усилительном) звене при скачка.
образном изменении ВХОДНОЙ величины мrиовенно изменяетсяф и
выходная величина
переходноrо процесса нет. В апериодиче.
СКОМ (инерционном) звене выходная величина нарастает монотонно.
Продолжительность переходноrо процесса зависит от BToporo
параметра звена, от постоянной времени Т. Чем больше постоян"
ная времени, тем медленнее протекает переходный процесс.
В апериодическом звене BToporo порядка переходный процесс
также монотонный, НО ero продолжительность зависит от двух
IJОСТОЯНIIЫХ времени: Т1 и Т2.
Выходная величина колебательноrо звена в переходнам про.
цессе колеблется около Toro значения, которое ДОЛЖНО устано.
виться. Затухание колебании зависит от значения TpeTbero пара-
метра звена
от коэффициента демпфирования
. Точнее, бы-
строту затуханий характеризует коэффициент затухания:
ct ==
/T.
(2. 35)
Уrловая частота колебаний
==
1
62/Т.
(2.36)
Консервативное звено есть частный случай колебательноrо
звена (s == О) и характеризуется незатухающими колебаниями
при постоянном воздействии на входе. Представление реальноrо
элемента в виде КОRсервативноrо звена, вообще rОБОрЯ, идеализа-
ция, к которой прибеrают при очень малых значениях коэффи-
циента демпфирования 6.
Интесрuрующuе звенья характеризуются тем, что при постоян..
ном входном воздействии выходная величина неоrраниченно
возрастает. у идеальноrо интеrрирующеrо звена передаточный
коэффициент k определяет скорость этоrо роста. У интеrрирующеrо
инерционноrо (реальноrо интеrрирующеrо) звена такой режим
пропорциональноrо роста выходной величины устанавливается
не сразу, а тем позднее, чем больше постоянная времени Т.
В изодромных звеньях имеет место некоторый начальный ска..
чок выходной величины, она неоrраниченно нарастает. Передаточ"
ный коэффициент k ИЗ0дромноrо звена nepBoro порядка опре-
деляет скорость последующеrо нарастания выходной величины,
а изодромноrо звена BToporo порядка
постоянное ускорение,
с которым нарастает выходная величина.
51
ro
....--
.....
--
t'I::S
=t
=
t:;:
\о
ro
fo-c
52
-=
QJ
..а
=
aJ
=
::.::
u
си
:r
....
=
==
а={
><
:а
a:I
о
=
=
..
=
=-::
=
F-
U
=
с..
Q)
F-
::.::
«s
с..
«s
>t:
си
:а
=
F-
С
..
u
:r
cr;3
"- =
Cr;3Uro 13 13 с>
Q..<1J:I:и
ctt::r'f-oCr;3 С'1
x:s:o::r 11
f-of-o'.......
<1)ОUОэ -s:..
::s::f-ottl:Q...... ..........
t:::7'O .....,J 8
::e' C!'J
U O<'J
..........
Et -& 11 tO...:J
=:: CIS >-:s::
..f-o
11
-9= :S:
=
Э ........
p..:s::t:........ o....t
с>
f;oo::2
..........
t..Uro
о::>: 11
P..
:S: ..tC
са;:; 11
::;.:
00.. + 9 ............
(\')
rof"" 8
-&
t:::J 11
'ro 11 3 ..........
Ор.. Э :::>
CIS
J::!
>. ....-.::" .
11
Е-оа::: '
:S::ro + t ............
:;::с I о
I--o
..........
O :::>
t
ro
::J'
О
CIS ........
CQ Э 11
о ...... ==
OO
::C:
CIS :s:
-&511t .
......:: Q) :s::
Э
р., 11
........ f-o aJ
U f-o
<l)O::::(
EfClSro
1\ <l)
о..
, j:Q:S:: CIS .
....:. i к о
<::)
tJ::Э;s:
11
('j........ ,.Q
:t
.........:I: 7
J::! Э
;>. 11 -....-
. ...
Е--о
U
:t:
ro
а 11::r Н
о:::
сс!
::со::
E--о:S::
o:::r
i:-<:s::;
и:с
;>.
",.е.
о
O:: !I
QJ
:,,:::С I
::r
ro
;:C
QJC::(
P:la;
('I')p.
!::(l)
::s:t:::
f--1
..t:C
,!?J>
с
с'\1
1]
'-t
;
11
I I tj
tL
t::> CJ '-')
't- Ci) I
............
о
.........,
1#'0
I
1C'\1
I1
+ 11 .....
t::::I Э
I! ...........
Э м ...
Э
Ic-
в """"
11 :::::>
Э I
...
.
l' 11 11
+ I
........... ...........
.-.1
О Э
..........
::::> ..........
1'='1 [-... . r-
h Э C'I h
е:1 QO t--. Э Э
Э
CI1
+
.tt + t) tt:t Э
"""
ro
t-
....... \
...... I
11 11 11 11
7
h
Э
. -.....
..t:tL
I
11
I
c"t
.
t:;:
\о
E--t
(])
:=
=::
CI)
о
t::{
о
Q.,
t::
tc:
11:):: с'(!
<t)tI:j t:tI
t=
o:t;
(,.)tl:jf-o
<1J=CJ
«s:rf-oro
><
oC]"
i-" f-; , .......
Q)
gэ
:s::c:ro.......
:E I Cl')i"
(,):s::Oro
.e. 11
;>'==.0..
..f--o fiТ
О&=: =..........
:S::::I::
Э
p.:s:t:;........
f-o
иro
Z. 11
""-1
tI:I
a:::::S::
rof--o
I:QU
0=
(\")0..
(I;IQ)
O&
'(1;1
00..
=ro
r:t
»
Е-<о::
:S:ro
r:::c
5 [--<
е.о
r-<
u
ro
:r
D:: ........
ro Э
........
CI') 0:::;::" =
roca :;:,::
-&:с 11
:с u
.....::(l)
:s:
Э
о-
.......ио::;(!)
(l)rof--o
"'Er:?:;
11
:s:: о.
......:сro
..::sx
D::Э
(1;1.......
::t:
"""'::r:
1:::( Эf-o
11"""'o
f-o ....... f-o
:s:: IIIooJU
II
<
tc:
ro
;:1::0::
f-o::S::
Ot::f
f-o:(
U=
(IЗ
:r.g.
О
'""'о::
<1Jro
:S:::C
",О
::r:t--
<1Jro
I:Q
(I)
c<1J
:S::C
.
э
tt::)
I
C::I
I
70)7
"'--i
. r-
"'1
L
.
I
IN
h E::
э
+
э
,.....
'""' +
IN
Э
C'l,.........
h Э h C'1.N
+э
I
l
I I
h
....-1 N
......... 1::) .......... t--.
;
.........
с'1
Э
+
......
11
I
'1
7
............
J
:t: .
.tih
+ tI
(N ,......... ...-4
Э h
t-..
I
C:I
Э
I
11
...-4
h
Э
. .....
.......,
11
I
э
+
11
......1C'1
11
.........
со)
Е-..
11
tI.C
.......
с
.........
с
.........
I
11
е-1
Э
1\
с h
l
.......
::) 11
,-.-....
(;'1
Э
..........
+
.........
С'1:;"-1
Е--.
C"I OOetI с'1
I h
h
Э
l;--+
э
+
......
I1
C\I
h
с'.1
Л
h
I I
hc;l
h
C\I мл Е-.. .цj) "'-ll> е-...
Э
"!tI
..,
...... I
Э
Э
:::
+ I
+
I'U C:I eq
"" э э
+ +
11
+
11
3
8
11
'J
u
.
+
. r-
<I:fI
Э
+
...........
......
I
eq
,).JJ)
с\1
..........
. "..
N
h
WJЭ
ЭI
]Х}
1
1
I
1
II I
....
i
...
h
cq
э
+
.......
11
'аО
.....
=
I
1/
7-
h
,
. .....
+......
[V
C"I 6J..P
Э V
\0
.......
.........
11
'
C":::It::)
[
I
1
I tj
C:)C;:)
\
..
3 \
.
!
+
...........
.......
......
11
;::р
о
11
..........
о
.........
.ц
11
€
I
!I
Ih
11
э
..........
э
..........
+
.........
......
........
11
53
с1 о::
C':I
t:J::
::
t;: ....«1 foo
:::cI;l::O :з 3
'" rou(!jE-о
c'i3
Q)::t:u
tI:!
Е-- ><:S:O
Е-о I ....... .......
Q)ОUОэ О
Q) :=E-o
.........
1\
:r'O
:s: ::t
, M
11
(,) 0«1
О
<1)
:t -& 11
:::: ::rUI:( .......... с::1 Э
Q) :s:: «1 >--::;::
С c::t.
..E-<
tj ............ tIJ
.е-:: ;::....... ;}
'1:::) з:
:S::::СI:iЭ -.1 с))
1:;: t:l.:::t:::.......
;i: I
rof-o
0.4 1
о t..u
O:S:: 11
o.
О
р..
t::: C'>I
::t::
tl::t::
I
E-o з-
U
0= 11
Ct')P..
«jQ)
-e-Q .,..,
'(";3 з з (YJ........O
ОР.. '-:\00
:I:«I .,
I:t;.<
+ 1
>.
to:: '" !!
t:;(;j I
t::::C о
b
.,,-r:Е-<
u
ro
..
о:: """'"
Iэ
c';s э
CQ
gt:J::;:::::
roCQ ::t: I
-&:II
C-:I
.. CI) u Е--. с> 1I
...... :::.:s: cq
эCCl а.
Э
о
........to;:Q) 11 о
CI)roЕ-< J Q')
:f
;
о I
1I
=p. .......
:I::t'O 11 О 1\ 11
,...::
><
tJ::Э:::
I! :::> 7
«1........ .о
::c
.......::t: 11 7
t::{ Эt--o
» .........0
Iэ
f:oo 11
== ro
a
H а" 11
::g
<
о::
ro
::r:a::
f-o:S:
0:1 cq
(-о::.:: Е-....
С)=
«I;;:..а C'I
I.
:r.g.
Э
о I
1-.tJ:: 11
4.lC';S
;s::= '
::r
«10 11
=f-o
Cl)ro la
j:I:I
Cf)
t::(]J
t::::
54
tI::
q (\J
ID:;: ::r:
.
f-o
"""
"' ::G:Ж:
О
j C\lucaf-o
p,QJ:r:u
:cs ('\I::rf-oca
:s::ot::r'
:<f-<f-o........
cu
g
U J!:c::ro
:s::
)1b
w:S::::r:-е-11
:z= ::rИt:t
:;::ro»=
U ::S..f--<
-&= :s::.......
::::::ж:t::Э
""" o.:s::t::....
." caf--<::g
uro
о:::::
o.
:>
:::l.
-.j
-.j са
:ж:
:::::
rof-o
f:Qu
0=
t")o..
caQ)
-e-
'ro
о о.
:r:(!j
I=t:x
»
f-<o:::
::S::CO
t:::r:
!::f-<
::go
<f-o
u
са
::r
11
,..-;; :3
/
C::J I
1&*
!
I
\..
u
Э
. ...
I
11
1::) 1:::) t:)
с:)
O)
f
t'b
j'
""'-1
1"'"1
Э
..,.
+ IJ
8 В м ....... О .........
+
8
11 I 11
Э Э .........
'"",' 11 ===>
.
+ t"?.......o I ......... .
11
о .
1 .........
........... :t- I о
..........
:::>
tr: Э
са
...... .........
Iэ
go:::::.,= . ...
I:N Э
.........
roca
0:1
.е;; 11 t э
cq: "0.-')
I:N . ... э -+-> I
'0.0 0:1 u
,.:. 11)
=: -+-> с1
Э + j....,
c;r
Э
Q. 8 u
I1
.......t;tI::
...... I + +
+ со ..с::: Э
ClJro
.t.t
S"':Ero
. I + .......r О
1I w ::::: р., .......r ......... .tt I э о
f:Q::r:ca
o Э C7'J l;8f
,.:.:g>< ....... "t
о::Э:::S;! Э
11 11 I 1I
са........ л I 11 11
=
Э;: 11
..... о 11
11
t;
:= са 7
2
JI:."
<
b.lI
.....
О
11
'8
.........
.....;j
. ...
I
11
1"'"1
э
о:::
со .........
::со:: Э
f-<= Э
0::;1 ........
f-o
+ . ...... э
U::c
са» +.
::r-e.
h .......
О Э ............
t--.o::
CUro
=II:: I
::r I!
соО 11
::r:
'
C.I
'
l:l:lcu
000-
t::Q)
:::::t= j
[--001
55
о::
C'I
<L
::t:
s;: (--оса Е-о
::e:::c::
o
\о CCIUcaE-о 3 t-a
со o..<U::I::U .r.c:
ca:rE-оI.\I
:s:o::r
f
xf-oЕ-о.........
<uОUОЭ с>
cu ::s::E-cuj:Q...... C\J
t::::rO 11
:s=
:26
1/
<u :S: :::t::.er 1I u
== ::rUJ:f
.......... э
Q) :,;:CCI>.=: 8
:Е..Е-о
t:::i
-&=: :.;:......
.........
::s:
r:;Э с\)
J:;: 0..::1::......
<::;:) с:::. 3--
t:J
CCIE-:а""-1 .... Q) CII::I ....t с::э
О
иco """ I
I:::t
В. 11
о
Q.
t:: со
=
!;)::...... +
caE-о
;nU
o:S: В /N +
(1')00
Q) 11 ...
с:::,
-e-g :3
I
1\
'са 11 c)r:) ............ м Э
00..
::С са .
.
11 .........
I=tx + f о ..
.
;>. 1
E-o
"'" ........... + (
:S::C\j Э :::, I
1=;==
t:(.oo
:20
<Е-о
(,)
C"J
::r
о: .........
са Э
IXI ......".
ga::
=
са«! ::с:
.е-:= 11 i:
.. == CJ
С1):::.. =
Эj:Q Q..
......to:CI)
с1) са Е-о
S":!1
1IC1J::0..
::t:ca
,...:;)!
tE:Э:S:
се-"'" од
::t:
""""'::r:
j::f.....Эf-o
;.>. 11 ........ о
f-< .......!-о
=: IOO,J u
a
11
1:'"
Э
о
О
00
...........
.......
..........
c't
...
cq
э
I
Э
х
Iэ
1I
IN
kP
........."
C"I
C'J
C'I
Э
+
......r
Х
C"I
X
Э
cal
........
..........
I
11
:::.
о
О
о)
+
11
i'"
э
11
"Q.()
.......
u
I--c
ro
Iэ
I
11
э
11
о
11
11
'i'"
..........
tJ::
ro
Л
::r:tJ:: '"
E-o::s.:: Э
О::! ......."
fo-<::e 4
И= Э
1.\1>,
Р".fЭo
1
C'l Э . ......
о
j:...,o;: C'I I 11
<1J(Ij Э
:s::= I I
::r
<"10
=
......
<lJt::[ ..........
c:QOJ
(1')0..
t:1U 11
::t:
I
56
м
а=:
'с:>
c'\s
aJ
==
=:
aJ
t=:
О
О
Q..
t::
tI:
,а: со
'" =
"'X
t-<
::t:C)
"'aJ::cu
Q.:rfo1ro
co=o
lI<E-оfot,
cu
э
!::::т'O""'"
u:g'(f),Q,
cu :S:: о с\1 .
:r
O& 11
:=
=
.; .
=: .--.. ir
=:S::а::;Э
p.;t::.......
CtlE-о::.>!а..}
HCO
11
'-ol
со
::iC
D:=
co
1XI:s:
00.
tr)
со...
-&::!:
'СО
00..
;I;«s
1:::[><:
>-
tJ;'
r:;cc
t::I:
::а [-о
<
()
со
:r
с:::
: э
о ........
(1') tI:..... ==
со c;t;j'"
.в.;IIi:
..(1)..... ()
....... IXI
:s::
ЭЕоо о..
........uQ;:<1.I
t('I'I(1)",E-о
"""S'::!
11 Q) :S: о-
IXI:I:<,:>
х
tJ::Э=(t)
co............:i1
=
э
J:{ ......0
II
==
t:;
II
1::
:s
<
t:)
'''\:,
't
t....
ф1 э
Е--. '0.0
Э с..;
Э
+
....-4
I1
lIf(
о
О
cj)
I1
c't
C"I Э С-l
C\I t.....
fU Э
Э с-1 ......
hЭ +
+ ..-.4
...-4 "
11
::::>
э
31"-.
...
I
11
...-!
Э
I
... bD
l
11
Q
Э
I
11
...--..
...-!
Э
...........
I!
...--..
э
.......".
::::::>
11
8'
"""'"
....J
+
OQ ...... ('J t:::J
11
::3
:з 3
I
I
I
э'" j
11
tj I I
и..
C::J
о) -4-
.
."
+ 1
э
.:t
11
"t
а...с
(Ij
C"I
r:-a
Э
+
.......с
11 ii
"
-=:с
tJ::
""о::
:I:=
"'::1 ........
::iC
u=
Э
С;!>. . ......
cr.f30 Э +
O
э .......
ca
+ ......
11)::: ............
:s::::r
о
co
11
:ж::СО 11
Q)t::::[
p:1CU I
'
(1')0..
<1.)
1::1::::
t!i:
f--o
.rt
tw
.......
...... I r-
.....
.....
,j "
..-4 ...........
Э е,
...
11
I1
8'
...........
::::,
11
.........
о
...........
...
.
&::
\о
f-4
Q)
==
=
(IJ
SE
J:;:
о
J::{
о
Q.
t::
58
CQ
O;; :r::
i-ca
fot
tO°
C!;jC)=
t:L,4.I1-оt:a
ca::r'O:r
X:S:fool
(-оио.......
g(ОQ:lэ
I::='O.......
5:a6
CJ =: ==.в. 11
:rUI:!
:S:: со >a:t:
:2 foo .с..
.в....:s:.......ii'
:s:1S:s:::Э
p.SJ::......
('Qf-t2
'"'и«I
о IS: 1I
Q.
tO
::t
==
o::E-<
Cl;tu
:S:
rof1
.e.
.t'\f
00.
=""
1:(:<
>-
Ь:Ь::
a:;C'J
с:=
<g
U
t':S
:r'
tJ;:
: э
о ......:s:
CI') 1::1:::::.,.
""«1 :s:
-&$111-0
"4) <J
'" C:r:I;::' :s:
Э
А
......иo:
....Q)«S
t1
CG
II
..:SX
Э=
""""""':r:
Эtot
"-""о
...I/
=
r::
11
t:
о::
o:
:t:=:
"'::t
S
u;:r:
«1;>-
::r.e.
2
aJ
=:
::s::::r
о
(l3f-\
=
Q)J:::(
O)
('I')Q.
о)
I::c:
=:
r.
з
'0.0
S
"
з 11
............
с
........
.....:r
....J
. ,..
'o:f
+
........ C'I
""""" t.a
I
Э
X
+
.)..J) э
......
11 ;" 'ол
э tV
+ 1\
i'-
Х
,.....,
,J.J)
э
........
+
............
CII
t-
Э
I
....-1
..........
""""""'
11
I
....
j
t:f
ett
11 э
э 11
.
1 -rt
11
. ,..
..........
с-.
,J..J'J
э c\f
I
11
71
............
,...
э
.........
::::.
..........
с
..........
::::>
Мноrие реальные ин 4
теrрирующие элементы
действуют ЛИП1Ь при or..
раниченном диапазоне из..
менения ВХОДНОЙ вели-
чины.
Д uффереflЦUр ующuе
звенья реаrируют лишь на
изменения ВХОДНОЙ вели..
чины. Например) если
входная величина идеаль-
Horo дифференцирующеrо
звена нарастает СПОСТО..
ЯННОЙ скоростью, то вы-
ходная величина удержи-
BaeTcя постоянной, про..
v u
порциональнои этаи с ко..
расти.
В природе идеальных
дифференцирующих звень-
ев не существует
они
всеrда имеют некоторую
(хотя бы и очень малую)
инерциопность. При ли..
нейном нарастании вход..
нои величины реальноrо
(инерционноrо) дифферен"
цирующеrо звена постоян-
ное значение ero ВЫХОДНОЙ
величины устанавливается
не сразу, а тем позже) чем
больше постоянная вре...
мени Т.
Форсирующие звенья
сочетают свойства позици..
OHHoro и дифференцирую..
щеrо звеньев. Идеальных
форсирующих звеньев так..
же в природе не суще...
ствует: они всеrда обла...
дают хотя бы незначи-
тельной инерционностью.
В табл. 2.1 указаны
лишь основные типовые
динамические звенья, су..
ществуют еще интеrро-диф...
ференцирующие и немини-
мально-фаЗОБые звенья.
Инте2ро
дuфференцuрующuе звенья имеют передаточную функ..
цию вида
W == kR/Q, (2.37)
rде R и Q
нормированные ПОЛИНОМЫ от s первоrо или BToporo
порядка.
В зависимости от вида этих полиномов и значения их коэффи-
циентов интеrро-дифференцирующие звенья в ОДНИХ диапазонах
частот проявляют интеrрирующие и в друrих
дифференцирую-
щие свойства. Такие звенья широко используются в качестве кор-
ректирующих устройств и будут рассмотрены в п. 8.6.
Н емuнuмально-фаЗО8ые создают б6льший фазовый сдвиr по
сравнению со звеньями, имеющими такую же амплитудно..частот"
ную характеристику.
К неминимаЛЬRО"фЭЗОВЫМ относятся прежде Bcero неустойчивые
звенья, передаточные функции которых имеют хотя бы один поло..
жительный полюс. Это звенья с передаточными функциями:
W == Ts
1 (неустойчивое апериодическое); W == Tis2 +
18
1
и W == Т2 2
+ 1 (неустойчивые апериодические BToporo по
28
18
рядка); W == T2s2 + :
TS
1 ; W == T2s2
:
TS + 1 (неустойчивые
колебательные) .
Например, у апериодическоrо устойчивоrо звена АЧХ А == k
Vl + ro2Т2
и ФЧХ 'ф ==
arctg юТ, а у неустойчивоrо А ЧХ та же, но ФЧХ 'ф ==
Jt +
+ arctg юТ. Таким образом,
рассмотренных звеньев одна и та же АЧХ, но
абсолютные значения ФЧХ неминимально-фазовоrо звена больше при всех
значениях (i) < 00.
к неминимально..фазовым звеньям относятся еще звенья,
у которых передаточные ФУНКЦИИ имеют отрицательные нули. Это
звенья с передаточными функциями: W == k ('t's
1); W ==
::= k ('[252 + 2
LS
1) и W:=: k (1'2S2
2
't's + 1).
у форсирующеrо звена с передаточной функцией W == k ('ts + 1) частотные
характеристики таковы: А == k 1( 1 + ffi2't2 и 'tJ' == arctg о)'т, а у звена с периоди..
ческой функцией W == k (t8
1) частотные характеристики следующие: А ==
== k V 1 + W2't2 и 'ф == л
arctg (()'t. А ЧХ этих звеньев одинаковы и значения
ФЧХ неминимально..фазовоrо звена больше при всех значениях со < 00.
Среди интеrро
дифференцирующих звеньев также MorYT быть
неминимально
фазовые.
ФаЗ0во
частотные характеристики элементарных неминималь..
но..фазовых звеньев приведены в табл. 5.4.
Неминимально
фа30ВЫМИ являются также звенья, имеющие
бесконечно большое число левых полюсов. Это звенья чистоrо
запаздывания, относящиеся к особым звеньям.
Итак, звенья, передаточные фУНКЦИИ которых имеют левые
нули и конечное число левых ПОЛЮСОВ, называются МИНИ
.1ально-
59
фазовыми. у них однозначная зависимость между амплитудной и
фазовой частотными характеристиками. Исключением является
интеrрирующее звено. Оно минимально..фазовое, НО между ero
амплитудной и фазовой частотными характеристиками нет ОДНО..
значной зависимости.
2.7. ТИПОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Сложные элементы и САР состоят из HeKOToporo числа соединен..
ных между собой звеньев. Наиболее простыми и часто встречаю-
ЩИМИСЯ (типовыми) соединениями звеньев являются последова-
тельное, параллельное и встречно-параллельное (охват звена
обратной связью).
При последовательном соединении (рис. 2.10, а) выходная ве-
и
личина каждоrо из звеньев, кроме последнеrо, служит ВХОДНОИ
величиной последующеrо звена. Эквивалентная передаточная
функция последовательноrо соединения 1 звеньев равна произведе-
нию передаточных функций этих звеньев:
W пас === W 1 W 2. · · W [. (2.38)
При параллельном соединении (рис. 2.10, б) Все звенья имеют
одну и ту же входную величину, а их выходные величины сумми-
руются. Передаточная функция параллельноrо соединения 1
звеньев равна сумме передаточных функций этих звеньев:
W ПаР == W1 + W2 + ... + Wl. (2.39)
Третье типовое соединение (рис. 2.10, в), называемое встречно-
параллельным, ПрИВDДИТ к образованию замкнутой системы и
состоит ИЗ двух звеньев. Звено с передаточной функцией Wп
является прямой цепью передачи сиrналов, а звено с передаточной
функцией Wo осуществляет обратную связь. Обратная связь
ЭТО воздействие ВЫХОДНОЙ величины KaKorO..TO звена на ero вход.
Если ЭТО воздействие совпадает ПО знаку с входной величиной, то
обратная связь положительная. В противном случае обратная
связь отрицательная.
Эквивалентная передаточная функция встречно-параллельноrо
соединения
W вп === W п/( 1 :!: Wll\\7 о), (2.40)
rде знак + в знаменателе соответствует отрицательной обратной
связи и знак положительной.
Py
а)
у Wn
Уо Wo
В)
Рис. 2.10. Типовые соединения динамических звеньев
60
На практикс наиболее употребительны жесткие обратныIc
связи: отрицательная W(') ko и положитеJIьная W о :=:: kll, а TaK)J{e
rибкая (дифференциальная) отрицательная, при которой Wo:::=
== krs, и изодромная отрицательная с передаточноЙ функцией
Wo == kи ('t"иS + 1) , rде kи и 't'и положительные постоянные.
s
Нередко с помощью обратных связей изменяют в нужном
направлении свойства элементов, являющихся теми или иными
типовыми динамическими звеньями. Эквивалентные передаточные
функции некоторых встречно..параллельных соединений приве..
дены в табл. 2.4. Рассмотрим свойства и возможность ИСПОЛЬЗ0ва..
...
ния этих соединении.
Очевидно, что охват идеальноrо усилительноrо звена жесткой
или rибкой отрицательной обратной связью бесполезен, так как
в первом случае лишь уменьшается передаточный коэффициент,
а Ба втором создается инерционность. Жесткая положительная
обратная связь увеличивает передаточный КОЭффИliиент и находит
применение в практике. Однако при этом неравеНСТБО kku < 1
должно быть достаточно сильным. Полезна также изодромная
отрицательная обратная связь, ибо создается реальное дифферен"
цирующее звено.
Жесткая отрицате,льная обратная связь уменьшает инерцион"
насть апериодических звеньев nepBoro и BToporo порядка, что
часто весьма целесообразно. Положительная жесткая и отрица..
тельная rибкая обратные связи увеличивают инерционность
апериодических звеньев, что практически, чаще Бсеrо, бесполезно.
Инерционность колебательноrо звена уменьшается отрицатель..
ной жесткой обратноЙ связью. При этом уменьшается и коэффи-
циент демпфировання. Жесткая положительная и rибкая отрица..
тельная обратные связи увеличивают инерционность колебатель..
Horo звена, и при определенных условиях (СМ. табл. 2.4) соедине.
ине становится апериодическим звеном BToporo порядка. Таким
образом, охват колебательноrо звена той или иной обратной связью
может, вообще rоваря, оказаться целесообразным:.
Полезен охват КQнсервзтивноrо звена rибкой отрицательной
обратной связью, так как это соединение представляет собой апе-
риодическое звено BToporo порядка. При жесткой обратной связи
(отрицательной и положительной) соединение остается консерва-
тивным звеном.
Интеrрирующее звено (идеальное и реальное) с rибкои отри-
цательной обратной связью также является интеrрируюЩИМ зве-
НОМ, но с меньшим передаточным коэq)Фициентом, Т. е. с б6льшей
постоянной времени интеrрирования. Это 10жет оказаться полез..
ныI\t: при жеСТI{ОИ отрицательной или Н30ДрОМНОЙ обратной связи
образуется апериодическое звено, что явно нецелесообразно.
При охвате изодромноrо звена какой..либо обратной связыо
KpOl\rle жесткой положительной создается интеrро..дифференцирую"
щее звено. Подобные звенья широко используются в корректирую
61
C'::I
=:f
==
а::
\о
«1
fo-4
62
..
Q,)
,.а
==
Q,)
се
tI':I
==
и
Q,)
,..
==
:1
=
==
==
&!(
:!
1:1
е
=
==
..
о:
==
=
Q,)
=
==
&!(
Q,)
8
Q,)
:!
=
.а
t;
а,)
;е
('4
=
.
е
=
:r
aJ
с..
fOOI
U
се
о::
=:
tI:I
(i)
::r:
=:
t:::[
Q)
о
u
CJ::
=:
::f
:::G .а
:с (1')
:.>. о::
.е-
о:: t,::
ro ro
= =
tr" Е-<
О CI:S
(-t О.
ro '\о
О
о.
aJ
t::
D::
ro
=
f-o
::r:
<1)
t;:
t'3
f,Q
=:
j:C
:::с::
(i)
o:
са
::=
.Q
t::
Q)
f-o
са
c:t
:s:
р.
Е-о t!:=
о .t:c:
t;;
са
=:
:s
(;)
р.
1:{
о
tI')
:s::
..........
,....
+
cf)
IS: '1)
........
11
о
&
tr:
са
=:
,.Q
t:;:
<1)
(000'1)
са
::f
II
ь о
I:):;S:
ro
:::с:
'"
:s::
1:):;
""
::r:
.п
t::
Q)
:E.tC
О l'
t::1
О О
I::
о;:
(о
:::с:
Е-о
u
(])
о::
CI:I
tI:I
.Q
t::
(])
f-o О
s.11
Е-о о
O
o::
са
:.с
Е-о
u
Q)
.....
х
:s::
::f
=:s::
:'>'1::
-&(1)
::f
ro
:со
::r,;
01:):;
Е-<р.
C::
Q)
Р.
<1)
i::
У)+
(1)
11
ф
+
..rt u)
11
(!';)
..
(.ТJ
.:t
11
(I'J
..
t'r.)
..:t
1\
с':!
.tt
11
I
11
....
11
(.ТJ
h
Q)
t:I
..s::t
I
.......
11
Q)
t::::(
"'-<
I
1°
+
11
1.'1:)
Q)
t::::(
i:tI
ф
1=:(
t...
:SI
+
:::;:
11
i:tI
h
о
:g
::s::
fo-o
и
>-.
t::=
о
t:::{
.......
v
1::
...t:I:
CI)
(J'.) .-(
(.ТJ t:3
+
'
11
с':!
.tt
u)
(т;)
11
CI)
(Т;)+
CI)
(.ТJ
t....
11
ro
1.:
11
...
......
1:1
.......t
I
. ,..
h
i.1.)
Q)
t::{
Q)
...t:I:
-1
h
11
CI'.)
h
......
t:f
h
I
11
(t,)
..:t
Q)
"""
(1';)
о о
..rt
ф+
h
C,I) I
ф
11
с:>
е:
+
C,I)
t--.
I!
.......
...-.j
11
CI:)
.:t
Q)
"""
ro
h
:s:
ts:
.tt \SI
+
......
\1
11
tj
.....
tj
......
о
:а
V
1=:
О
1=:(
......
Ii
1\
(1)
(f)
......
tl:>E---с
+
с'\1
(1)
N
h
[]
m
....
.....
f
+
Q)
t....
11
= . ,... 18 ...
I ..ct .
О . ..
tf,) (j C-1t.'1
:е ....-j
1
h I
I t
>.
t::
о
J!
ф
'"
t....
....
CJ:)
с)
!::j
.......
11
со
11
Q)
j:...,
с)
....
+ д
.tt
+
.:t+
11
о)
с О
r.' lC'i
.-! ..s:e
.......Е--.+&-.+
11
!::j со
.......
11
Q)
t=;(
CI
!::j
....
+
h
11
Е..., Q)
+
л
с'1 ,.....
h
Е--.
11
11
...;
1::.1
e-:I
h
. ,..
v
.......
11
...;
i'.j
C':.I
h
C"I
V
v
...-t
t::If-.,.
.t:t
:s::
о..
t:::
::s::
о.
t::
CI
.r:t
I
.......
tJ :I:
(--1 13)
Q)
СУ)
-=:
::а
Q) ::С:
::s: ,.д
:I: 1:;:
Q)
:I: с\3
ts:\O
1=:{ Q)
Q) 1=:
о О
u
....
+
h
tj 11 +
+ C)
i'.j
11
.-4
11 tj
о)
1:'.1
...-t
i'.j
+
с\1
CJ:)
с)
tj
11
CI)
CI)
(f)
I1 CI) h(f)
tJ..U)
..
...-4
+
t:I
.rt
I
u О
f-o ::з::
Q) Q)
tt:::
t;: 00
о sж:I lIIi:!
"""' о!:<
..tr: ...... ::а
+ Q) ::С:
...-t I ::S::: ,.д
Е..., :z::
::s::: t\;t
t=;( \о
Q) Q)
о
u
ф
Q)
I=t
...
.......
)1
.......... tJ О
IJ,J) t
tJ: sж:I
r:: ro
.......
'-1
......... с::: ...
==
. :а
..... I;"'"f .. , :I:
Е" C"I = ,.д
V ::с r=:
Q) Q)
=r:
=
.:t
Q)
о r=:
u о
::.::
. ""
. ,..
= =
h
....... E--t I
I
11
11
=
!:j
. ,..
+
+f:o...
....-j
+
C'
1:'.1
C'\1(f)
Е-...
11
......
+..-4
CI) v
11
v
+0
cq
df
h
11
11
о
+f.U)
11
m
..tt
Q)
ф
Е--.
c:::
CiI U::Ж::
,ЦJ)
Q)
о Vtt:::
""
=.......
CQ';
f-o V..tt t;e;: ::а
(.)
Q) :I:
>-
I =,.Q
t::
:I:: Z:::
O
Q)Q)
;I:E-i
....::s:::
I:t\O
=
и
. ,..
11
8"'1
!:j
о
+
.......t
11
с')
,ц"
63
.
1::;
\о
('Q
ф
::s::
=
4)
*
о
t::(
о
р..
t::
64
о::
tO
=
А
(u ......
ь +
ro r.I)
IS:
::;::
о.. ..........
r-
о
о::
«:1
:l:
О
о..
1::(
о
ct)
:s:
.tI!
11
о
о:::
;s::
=
(1)
=
=
1::(
dJ
О
U
о:::
::s:
::!
;:(
х
.е.
..Q
C'I)
о:::
u
о::
..,..
...
.13
r:;
OJCfJ
"""
II
f--< о
O
t:::
tI:1
\о
:s:
""'
t:: о:::
ct!
:т Е--<
о
о-
t::{ \о
<J) О
Q.
<J)
t::
tJ:
ro
::t:
f--o
:t
Q)
t;
ro
т
ro
::r:
д
dJ
t-<
.... '"'"
.... ......
..
;-
о l'
t::;1
О О
t::
t;::
с\!
(-о.
u
ф
о:::
ro
:т::
..о
8:;
Q)
f-o Q
аН
о
O
о:::
ro
;:(
(--о
u
Q)
о:::
::а::
::t::s:
I::
-9(1)
::t
0i1
:%:0
::r';:E
go:::
t"J о..
C:
ClJ
о..
(1)
t::
CJ') cq
I""I h
+11
c1j
c
I
':'.t
1:1)
('1m
h
"
ro
I
с.:>1
C"\I
u)
a)
h
11
t':I
t
v)
1:\1
h
11
..
h
C"'I
':;V
tJ:t
С-:)
tIj
00
c:s
tj
11 i
Q) ...-t
::s::
а.
t::
11
I
"
(!':.
.::с
Q)
t:{
t...o
....
о О
.J:t
I
t-..
........
11
CI:I
.tt
Q)
t::::(
........
.
Е-.....
=
о
м:t
........
I
с.)
о
\1 1=4:
CI:I
h
......
I!
CI)
h
v
1:1
..t(
u)
со
"
ф
. '"
........
I
11
ts::
t->
.tC IS:
+
.....
!I
..f/"'
11
CI)
CL)
1=:{
'"
+
II
CI:I
Q)
а::{
(1)
о
ф tQ
О
:I:
::5:
::r:= о
Q) f:--'
U
c'(j >.
(l)
о
Q.)
f:Q
(Q
«1] +
tIj
ф
t-..,
11
a:I
I
11
<1J
r...
о
......
11
ro
h
I v)
11
....
.........
""""
+
ф + +
h
........
11
н
(1'.)
1I
ф
('I)
Q)
I::t:
ф
Q)
;Е
о
E---t
"""""
+ 1\
..:
'-а? t-....jд
.jд IE-O
+ 11
(т.) 11 Н
\;j
с .-..! с'.1
Q) tj tj
11
t::
(1:)
""""
1
!;I)
E-ot
CJ)
11
3 МЭКC:lрОВ И. М.
=-+....
=:
,
=:= ..t.:t
+
"""""
r-
t--
+
+ s
'-':1 tj
+
v) ,......j
11 + ro ..t(
h
IN (1'.)
IJ 11
(1'.) r....,
Q
]1
tj 1""1 11 ro
(1) i! I:j ..сс ('7)
11
ф h
с1)
<::1
1:
\3 ......
('I)
....
.......... ........... r:.. t..
......
.tt
tt
+
+
... CI:) """""
........h
..r:
'1
....
......
tf) +
C'I
v,)
С"Со')
Е-.....
11
11
ф
11
CI:)
CI:)
си
1=:1:
CI:)
h
(])
о
(-ос
....
..........
+ +
I-a?
11
'--;h f'-)
Q)
о
VJ+
v)
(1)
h
1/
lТ,)
......
+
I
1\
ф
(.1)
............
......r
+V)
v)
t-
.........-
v)
11
!
......
'
11
ф
(])
t::::(
Q)
о
f--4
о
11
о'.)
Е-.....
Q)
1::(
!:-..
65
\о
('J
Е--<
Q)
::s::
Q)
"..
;-t;;
t:::;:
о
о
о..
t::
66
:I:
1\
[С:
(J .......
r'
q
::f
I
tI)
v)
l->
р. ...........
..... :s::
о
tr.::
';)
:::r:
:а
о
Р.
о
......
(1)
о::
:::
....
...
с;
:r::
:!:
t.t
C.J
о
i..t
:r::
о::
:о::
::1
:r
;>..
.в..
.!!
м
IXI
u
>::;
с.., v}
l4
t...
.ц
z..H
(-- о
O
t::::
C':I
::!:
\о
t:::: t:;::
'"
:r:: ::=
::r t-o
О
\с
О
о.
а;
t::;
о::
ro
::r;
од
с..
ь
== 1::
I1
о о
tt;
ro
ч"
Ь
u
<LJ
tr.::
ro
::t
r--
::t:
Q)
1;
CI:!
1!1
....
CQ
(i)
C':I
:с
,..а
t:;
G,;
о
a
II
о
О»
0:::........
t;:I
::s::
u
:.:t:
.л..
u:;
:.s::
::1
:с....
>'с
О&а;
::.1
о;;
C':I
::s;:
::tO
::r
00::
o.
C\:I,....
I'::{....
о-
Q)
t::
C
+
ro
с--о
[l
ro
.....
.
+
...
......
1I
(!:)
Q)
1=:(
'---
.,..
....
==
=
.J:(
w::c
+
I"
......
t-..
'!
CI:I
h
I
i
1.1)
...-1
cj
.
I
tf:)
Q
tj
I1
(
+
cr,
ro
f:-...,
11
t
11
t'I:I
v) J
J
v)
,
11
:t:...
..r:c
...t::(
1I
с
\J
Q)
I::i.
'--о
I
h
11
ro
h
<l)
t:::{
tf:)
t'I:I
о
+
h
11
ro
h
Q)
f....
......
h
11
,...j
о
::s::
!--о
u
t::
О
I=:i
Е-.
V
t:I
...
....
.+
. .. I
v) h о
I""i ..... ::Е !\
v' (j 11 ....
..t'.C .... =s;:
1
ts::
с
U
I;j
t:..
CI:I 1:::: ....
Q Q) 11 о
11
т
I
I
. ...
"' ...... . ,
J
I ........ о
о I
......
......
...". Л
v'.)
о f--<
(1)
u
[.....
о
11 r:::
о
11 (t1 11
(1:) ro
о,) h
1=:(
......
I
v)
I1
I I I
... . ..
...... .......
+ I о
t.., :;; ......с
U,
11 о')
=:: л
I
I::j C.J
а) 11 >.
+ t::
т О ..tt
!:-1
z:::(
v.!
С
cj Q)
11
I I
... . ...
...... . ... . ...
+ ......
I ...... ......
v.! e.tt
I I о
т О C'\I :Е ......
11 ...-t
ts о i:j о :s: !\
«1
..:t ..tt Е--о I
о)
..а:?:
C.J
+
о
11 t::
с'1 11 11 о .r:t
u, t:t
C':I (т)
Q
m
!:j т
...-t с'1
11 d> cj tj I
""'
......
I
+
('J') 11 v)
11 ...-t
1:::j
?;j
+
I
i;'1
tJ:I
с <::)
tj
1/ 1/
3*
67
щих устройствах (СМ. п. 8.3) и создаются в большинстве случаев из
резисторов и конденсаторов (Cl\i. п. 8.5).
Охват идеальноrо дифференцирующеrо звена какой
либо обрат..
ной евязью явно нецелесообразен, так как создается инерцион--
насть, НО охват реальноrо дифференцирующеrо звена жесткой
ПОЛО}J{ительной обратной С'ВЯЗЬЮ ведет к уменьшению инерцион
насти И, следовательно, может быть весьма полезен.
Несомненно, полезны обратные связи. устраняющие неустой
чивость позиционных звеньев. Неустойчивое апериодическое звено
с жесткой отрицательной или ИЗ0ДРОМНОЙ обратной связью пред..
ставляет собой устойчивое позиционное звено соответственно
nepBoro или BToporo порядка. Жесткая или rибкая отрицательная
обратная связь устраняет неУСТОИЧИВОСТh ПОЗИЦИОНноrо звена
BToporo порядка.
Рассмотрено влияние лишь простейших обратных связей.
MorYT создаваться и сложные обратные связи, которые весь-
ма разнообразно изменяют свойства типовых динамических
звеньев.
Для получения новых свойств пользуются и попарным парал..
лельным соединением типовых динамических звеньев. Естественно,
параллельное соединение осуществимо только для таких элемен..
ТОВ, у которых входные величины одинаковой физической природы
и выходные величины также физически одинаковы, но, возможно,
отличаются от входных.
В табл. 2.5 указаны соединения, наиболее интересные ДЛЯ
инженерной практики.
Дифференцирующие свойства проявляет параллеJlьное соеди..
нение звена с инерционными свойствами (апериодическоrо первоrо
или BToporo порядка или колебательноrо) и идеальноrо усили..
тельноrо звена. Пусть, например, параллельно с усИЛИtельным
соединено апериодическое звено nepBoro порядка с передаточным
коэффициентом k1 == ak2. Тоrда постоянная времени Т1 определяет
инерционные свойства соединения и ПОСТОЯН:Iая времени 'tэ ==
== Tt/(l + а) определяет ero дифференцирующие свойства, т. е.
дифференцирующие свойства ПРОЯБЛЯЮТСЯ на более высоких
частотах, чем инерционные.
Пар
ллельное соединение идеальноrо интеrрирующеrо и безы..
нерционноrо звеньев представляет собой ИЗ0дромное звено nepBoro
порядка, создаются дифференцирующие СВОЙСТВа внекоторой
полосе частот. Аналоrичные свойства ПРИСУЩИ параллельному
соединению реальноrо интеrрирующеrо и безынерционноrо звеньев.
При параллельном соединении изодромноrо и безынерционноrо
звеньев увеличивается время ИЗ0дрома, следовательно, уменьша..
ется частота, при которой начинают проявляться дифференцирую..
щие свойства.
При параллельном соединении апериодическоrо звена с инте..
rрирующим или изодромным также возникают дифференцирующие
свойства.
68
Т а б л и ц а 2.5
Параллельные соеДинения типовых динамических звеньев
Передаточные функции
параллельно соединенных зв(-ньев
Эквивалентная передаточная
функция соединения
W
1 W k
1 == Т 18 -l
1; 2 == 2
w
kэ ('tэs + 1)
э
T1s+l '
k k k2 Т 1
r де э
k1 + 2; Тз ==
k1 + k2
RэS
при k2 ==
k1 W Э ;::=
т 18 + 1 '
rде kэ == k1T1
k1
W1==
T12S2 + т 11 S + 1
W 2 == k2
kз (bos2 + b1s + 1)
Wэ==
TI2s2 + т 118 + 1 '
k k + k Ь
k2 Ti2
rде э
, 1 2; о
k1 + k2
k2 Т 11
Ь1 =::
k1 + k2
w k1 ·
1 == TIs2 + 2
lT1S + т'
w 2 == k2
kэ (1';82 + 2ьэ 't'эS + 1)
wэ== ,
Trs2 + 2
lT1 s + 1
rде kэ == k1 + k2;
V k2
'tэ == Т 1 k} + k2
Э
l V k
k
.12
при k2 ==
k1
kэ (1:э5 + ]) s
WЭ ==
Tis2 + 2
lT1S + 1 '
Т1
r де kэ == 2
1 Т lkl; 'Са == 2
1
s
k2
rде Тз ==
k1
k,
W
1.
l
S '
w 2 == k2
k1 ('t'эS + 1)
wз==
w.
k1
1
S (Т 18 + 1)
W " ::::= k ')
... ..
k1 (bos2 --i
b1s + 1)
\\7 э ==
s(T1s+ 1)
rде bo
k2T1. Ь
k2
k1 ' 1
k J
\fll == kj (TlS
1)
S
w 2 == k2
WЭ == k1 ('tэS+ 1)
s
k2
rде 1э == 1'1 + k1
69
Пf'рrдаточ н ые фуш< ЦН J[
11 а р а.71..'l('Л Ы! о ('ОС'ДН 11 01 Н ых эве н ЬС'В
w 1 == k1s; \f/2:=' k2
w k1 (1:18 1) .
1 Т 18 + 1 '
\f' 2 == k2, rде k2 > k1
W k1. W2 === k2
1 s' Т28+1
w k1 (1"18+ 1).
1 S '
W k2
2 == 1'2S + 1
Wl k1s .
Т 18 + 1 ,
W2:::.... k2
т 2S 1 1
\\7 == k 1 (Т 1 S 1) .
1 Т 18 + 1 '
k2
W 2 Т 28 + 1 ' r де
k k Т kl't1 k2Tl
2 > 1 И 2 < k1
w k1s.
1::= т 18 + 1 '
W k2
2
S
w 1 k1 (T1S 1) ·
т 18 I 1 J
\\7 == k2 ('t2s + 1)
2 S '
k1
[де k2 >
Т 1 + "t2
Про Д о л ж: е н и е т а б л. 2.5
ЭКВНВf1лентна я пС'рсдаТ{1Ч ная
ФУНКЦИЯ СОСДIIНСIIИЯ
1 k1
W Э == k", (тэs + ), rде 'tэ === k
2
w kэ (1"э5 + 1) rде
э т 1 S 1 '
kэ==k;!. kJ; тэ== k]Ll+ k'JTl
fl2 k1
W kt(ТэS+l) Т + k2
Э === , rде 'tэ == 2 kl
S (Т 28 + 1)
\\7 == k1 (bos2 + b1s + 1)
э s (Т 28 + 1) ,
Т . Т k2
rде ЬО === 1"1 2' Ь1 == 11 + 2 k1
rде
w э -::; k2 (bQs2 + b1s I - 1)
(Т 1 S + 1) (Т 25 r- 1) ,
ЬО ЬТ2. Ь Т I k1
k2 ' 0'== 1 I k
2
w kэ (Ьов2 b1s j 1)
э (Т 1 S + 1) (Т 28 + 1) ,
k k k. Ь klT J Т 2
r де э --=:: 2 l' О == k k '
2 "1
Ь1 k1't1 4 k2 7\ kl Т
k2 Rl
W k2 (bos2 b1s -+- 1)
э
s (Т 15 1) ,
r де ЬО !!l ; Ь1 == Т]
. k2
\ 7 '3 -= !l2 (bos'J Ь1 S --1 1)
s (Т15 1)
k1T]
r де Ьо :::::: 12 т 1 t k
Ь1 === Т'l + 't 2 !!J.....
k2
70
Если к интеrро диф(реренцирующему звену, передаточная
функция KOToporo имеет положительный нуль, присоединить
параллельно безынерционное пли апериодичеСI{ое звено, то полу..
ченное соединение будет l\1инимально..фазовым звено:м.
Следует заl\1етить, что сложными соединениями типовых дина..
мических звеньев являются, например, электрические машины и
аппараты, широко используемые в системах автоматическоrо
реrулирования [119, 109].
2.8. ОПРЕ): ЕJ[ЕНИЕ ПЕРЕДАточньrх ФУНI(L,ИЙ
ЭЛЕМЕНТОВ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ
Составление дифференциальных уравнений объектов реrу"п:и"
рования, прежде Bcero теХНОЛОI'ических, а также некоторых непал..
нительных и усилительных элементов представляет собоЙ сложную
задачу или даже задачу, решаемую лишь с существенными допу..
щениями, т. е. весьма приближенно. В этих случаях оказывается
целесообразным составлять математическое описание элемента на
основании эксперимента.
Экспериментально определяют частотные характеристики эле..
мента или ero переходную характеристику (при неединичном
входном воздействии характеристику называют кривой разrона).
Чаще Bcero определяют переходную характеристику, что несколько
проще. По переходной характеристике может быть составдена
передаточная функция и определена амплитудно"фззовая характе-
ристика. Естественно, что неизбежны поrрешности как при снятии
экспериментальной характеристики, так и при ее аппроксимации.
Однако поrреШНQСТИ оказываются допустимыrvlИ для инженерных
расчетов.
Процесс экспериментальноrо исследования промышленнаrо
объекта состоит из трех этапов [}-; 4]: планирования и подrотовки
эксперимента, проведения эксперимента и обработки результатов.
Обработка экспериментальной переходной характеристики заклю-
чается в ее сrлаживании и аппроксимации. Сrлаживани:е оказы"
вается необходимым для устранения разброса измерений, т. е.
для IIриближеНJIЯ их к истинным значениям. Этот разброс созда-
ется различными причинами и прежде Bcero помехами, действую.
Il\ИМИ на процесс.
Для сrлаживания используют ряд методов 11,41. Простейшими
и наиболее применяемыми являются следующие.
Метод скользящеrо среднеrо (скользящеrо усреднения) [4].
Принцип метода заключается в выравнивании экспериментальных
данных путем вычисления средних арифметических значений по
небольшому числу 1 измерений.
Число 1 удобно выбирать четным. При общем числе измерений
п (20 +30) первоначально следует выбрать 1 == 2. Если сrлажи..,
вание оказывается недостаточным, то значение 1 нужно постепенно
увеличивать. При n (100 +1f50) можно выбрать первоначально
71
1 -== О,lп и затем пrJИ необходимости ero постепенно увеличивать.
Осреднение осуществляется по фОР1\1уле
1 1/2
hi === l + 1 LI пi+V' (2.41)
"::;;;:; 1 /2
rде hi+v измеренное значение (i + v) й ординаты характери-
стики; hi осредненное значение ее i Й ординаты.
Основное внимание при использовании данноrо метода должно
быть обращено на выбор числа [. При СЛИllIКОМ малых значениях
1 выравнивание экспериментальных данных может оказаться Heдo
статочным, а завышение значения 1 может привести к искажению
характеристики. Следует также иметь в виду, что при сrлаживании
теряются точки с номерами i == О, 1, 2, ..., (1/2 1), п (l/2 +
+ 1), n (//2 + 2), н., n. Это неДQПУСТИМО, так как начальный
участок характеристики определяет структуру ИСКОl\10Й передаточ"
ной функции, а конечный передаточный коэффициент элемента.
Для предупреждения потери точек характеристики следует делать
несколько замеров до начала переходноrо процесса [i == 1/2,
(112 + 1), .... 1] и после ero окончания.
Метод четвертых разностей. Для сrлаживания по каждым
пяти соседним измерениям с помощью метода наименьших квадра..
тов строится парабола BToporo порядка [4] и ее средняя точка
принимается за точку сrлаженной характеристики:
1
ht === 12 ( lii...2 + 4пi"'1 + 6пl + 4Fii+1 пi+2), (2.42)
i === 2, 3,..., п....... 3, п ---- 2.
Для определения двух первых и двух последних точек характе-
ристики используют приближенные формулы
1
ho ::::1 60 (53по + 161i1 6п2 ....... 8liз + 5п4);
1
h1 :::::; 35 (9по + 13пl + 12Fi2 + 6Fiз ....... 5п4);
1
hn"'l === 35 ( 5пп 4 + 61iп з + 12пп...2 t 1зпп 1 + 9пn);
1
h п ==: 60 (5п Il...4, ........ 81iп...з ......... 6 Fi n... 2 + 16пп 1 + 53пn).
(2.43)
Возможно двукратное применение метода. Особенно хорошие
результаты дает метод, если сrлаживаемая переходная характе..
ристика соответствует решению дифференциальноrо уравнения
порядка выше первоrо.
Аппроксимация переходной характеристики. Эта задача может
иметь ряд решений. Различными бывают и требования к точности
аппроксимации. Все это обусловило существование большоrо
числа методов определения передаточной функции элемента по ero
экспериментально полученной переходной характеристике (или
72
кривой разrона). Эти методы [4 J различаются по структуре пере
даточной функции по используемому математическому аппарату.
Для оценки аппроксимации можно использовать величину
[Ь (t[) Ьа (ti)] 100 О/ · 1 2 1 (2.44)
u шах h (00) 'о' t......... , , · · ., ,
rде h (ti) И ha (tд значения переходной характеристики соответ..
ственно экспериментальной и вычисленной по аппроксимирующей
передаточной функции; ti моменты времени.
Достаточно выбрать 1 (3 +6). Если б < (3 +5) %, ТО точность
аппроксимации считают удовлетворяющей требованиям инженер..
ных расчетов. При использовании цифровой ЭВМ наивысшую
точность можно получить методом площадей [92 J.
При ручном счете чаще Bcero предполаrают, что передаточная
функция имеет в знаменателе полином первой или второй степени,
а в числителе ПОЛИНОМ нулевой или первой степени. Рассмотрим
два метода расчета.
Прежде Bcero по э спериментальной характеристике необхо-
димо определить передаточный коэффициент k элемента (устойчи..
Boro). Если снималась переходная характеристика, ТО
k == h (00);
(2.45)
если снималась кривая разrона, ТО
k == у (оо)/х,
(2.46)
rде х == const входная величина; у (00) установившееся зна-
чение кривой разrона.
Затем по виду характеристики следует выяснить, имеется ли
в исследуемом элементе чистое запаздывание, и определить время
е запаздывания.
Некоторые методы, кроме Toro, требуют нормирования экспе-
риментальной переходной характеристики. Для этоrо значения
всех ее ординат нужно разделить на h (00). Ес.пи снималась кривая
рззrона, ТО после деления всех ее ординат на у (00) также будет
получена нормированная переходная характеристика.
Метод площадей. При аппроксимации нормированной пере-
ХОДНОЙ характеристики передаточной функцией
W == k (bs + 1) e es
aos2 + аl s + 1
(2.47)
расчет после определения k и е заключается в следующем.
1. Определяют производную при t == о. Если эта производная
равна нулю, то в передаточной функции (2.47) Ь == о.
2. Ось времени характеристики делят на п равных малых
промеЖУТКОБ времени д! так, чтобы в пределах каждоrо из них
отрезок характеристики МОЖНО было считать прямолинейным.
73
Значения подынтеrральных ФУНКЦИЙ
л.
л.2
1
2л+
2
/...2
1
2л. +2
).,2
1
2л+
2
л
'}..
0,02 0,960 Or68
o, 129 ] ,34
0,782
0,04 0,921 0,70
o, 155 1,36
0,795
0,06 0,882 0,72
o, 181 1,38
O,808
0,08 0,843 0,74
O,206 1,40
O,820
0,10 0,805 0,76
0,231 1,42
O,832
О, ]2 0,767 0,78
O,256 1,44
O,843
0,14 0,730 0,80
O,280 ] ,46
O,854
0,16 0,693 0,82
O,304- 1,48
O,865
0,18 0,656 0,84
O,327 1,50
O,875
0,20 0,620 0,86
O,350 1 52
O,885
,
0,22 0,584 0,88
O,373 1,54
O,894
0,24 0,549 0,90
0,395 1,56
O,903
0,26 0,514 0,92
o, 417 1,58
o, 912
0,28 0,479 0,94
o, 438 ] ,60
O,920
0,30 0,445 0,96
O,459 1,62
o, 928
0,32 0,411 0,98
0,480 1,64
O,935
0,34 0,378 1,00
O,500 1,66
O,942
0,36 0,345 1,02
o, 520 1,68
O,949
0,38 0,312 1,04
O,539 1,70
O,955
0,40 0,280 1,06
O,558 1,72
O,961
0,42 0,248 1,08
O,577 1,74
0,g66
0,44 0,217 ] , 1 О
O,595 1,76
o, 971
0,46 0,186 1,12
o ,613 1,78
0,976
0,48 О, 152 1,14
O,630 1,80
O,980
0,50 0,125 1,16
0,647 1,82
O,984
0,52 0,095 1,18
(), 664 1,84
O,987
0,54 0,066 1,20
O,680 ] ,86
O,990
0,56 О,()37 1,22
O,696 1,88
O,993
, 0,58 0,008 ] ,24
o, 711 1,90
O,995
0,60
0,O20 1,26
o, 726 1,92
o, 997
0,62
O,O48 1,28
o, 741 1,94
O,998
0,64
O,O75 1,30
0,755 1,96
0,999
0,66
o, 102 1,32
O,769 1,98
1 ,000
т а б л и ц а 2.6
л. 1..2
1
2л+ 2"""
2,00
1 ,000
2,02
1, 000
2,04
o, 999
2,06
O,998
2,08
O,997
2,10
O,995
2,12
О,99З
2,14
o ,990
2,16
O,987
2,18
O,984
2,20
O,g80
2,22 .
0,976
2,24
O,971
2,26
0,966
2,28
o, 961
2,30
O,955
2,32
O,949
234
O,942
,
2,36
O,935
2, '18
O,928
2,40
O,920
2,42
o, 9 12
2,44
O,903
2,46
O,894
2,48
O,885
2,50 I
O,875
2,52
O,865
2,54 I
O,854
2,56
O,843
2,58
O,832
2,60
O,820
2,62
O,808
: 2,64
O,795
74
3. Определяют и заносят в таблицу начальное значение h (О)
характеристики, ее значения h (i) в конце каждоrо i..ro проме..
жутка вреl\1:ени
t и разности 1
h (i).
4. Вычисляют вспомоrательную величину
Р1 === At Cf
[1
h (i)]
0,5 [1
h (О)]}. (2.48)
5. Подсчитывают и заносят в таблицу значения
л( [) === i
t; 1
л (i) и [1
h и)][ 1
Ч i) 1.
6. Вычисляют вспомоrательную величину
Р2 === FI At Ci.
[1
h (i)Н 1
Л(i) 1
0,5 [1
h (О)]} . (2.49)
7. Если Ь :=
О, То коэффициенты передаточной функции оказы-
ваются у)ке определенными:
аl === F 1 И ао == F 2.
8. Если Ь =1= О, то подсчитывают и заносят в таблицу значения
1
2Л(i) + 1..2ii) и [1
h (i)] [1
2Л(i) + I..22т] . (2.50)
При этом 1\forYT быть использованы данные табл. 2.6.
9. БЫЧИС,'тIЯЮТ вспомоrательную величину
F
== p
At (t [1
h (i) [ 1
2л (i) + 1..2 i i)]
0,5 L 1
h (О)]! ·
1::::::0
(2.51)
10. Определяют коэффициенты передаточноЙ функции:
Ь == FзIF2; аl == Р1 + Ь; ао == Р2 + bF1.
(2.52)
11. По аппроксимирующей передаточной функции находят
переходпую характеристику ha, пользуясь табл. 4.1. Затем на
основании формулы (2.44) оцениваIОТ точность аппроксимации.
В случае недостаточноЙ ТОЧНОСТИ расчет повторяют при меныuих
значениях д.t.
Пример 2.6. Установпвшееся значение кривой разrона промышленноrо объ-
екта, снятой при х === БА, равно 120 ос. Полученная при этом сrлаженная норми-
рованная переходная характеристика изображена на рис. 2.11 кривой 1. Тре..
буется аппрокснмировпть эту характеристику передаточной функцией вида (2.47).
По формуле (2.46) передаточный коэффициент
k == I
O == 24 ОС/А.
Из характеристики следует, что объект имеет чистое запаздывание и время
зал аздывания е == 1 с.
75
h(t)
1,0
0,8
46
Рис. 2.11. Переходные характеристики:
J ..... Э1<спериментаЛЬ1l3Я; 2 и 3 вычисленные по аппроксимирующим формулам
Отсчет времени i начинаем от момента 1 == 1 с и расчет ведем по ранее изло..
женной методике. Выберем д! == 2 с и определиы h (i) и 1 h (i). Результаты
занесем в табл. 2.7.
По формуле (2.48) вспомоrательная величина
Р1== 2(8,105 O,5)== 15,21.
Теперь можно подсчитать значения л (i), 1 л (i) и [1 h (i)] [1
......л (i)l. Результаты заносим в табл. 2.7.
По формуле (2.49)
F 2 == 15,21 . 2 (3,224 OJ5) == 82,55.
т а б л и ц а 2.7
Определение аппроксимирующеll передаточной ФУНКЦИИ
методом ПЛОlЦаДей
I""'""""'t
I I
.......C"I .......C"I
<N <N
с<
х':: х + х'::. х +
.... ......
...... ,...... ,..........,. ,....,
....... ..... ....... .....
::;-« .... .... -:::- ..... .....
;1 ...... ...... ;1 ....... .......
..s:: с<: ..t:' с<
C"I
C"I I
....... ........ I I I ........ ........ I I
u ..... ..... ..... ..... ......
....... ....... ...... с) ....... .......
..... .......... X ..... ........
1"': « =х 0.......1 Х t"": I « ..... Х
О О О 1,000 1,000 18 0,640 1 , 183 0,O66 0,245
2 0,030 0,131 0,843 0,690 20 0,710 1,314 0,O91 O,219
4 0,080 0,263 0,678 0,489 22 0,780 1,445 0,098 o, 187
6 0,145 0,394 0,518 0,239 24 0,840 1,577 0,O92 O,147
8 0,215 0,526 0,372 0,040 26 0,880 1 ,708 O,O85 o, 115
10 0,300 0,657 0,240 0,062 28 0,920 1,840 O,067 O,079
12 0,385 0,788 0,130 o, 172 30 0,955 1 ,971 o, 044 0,045
14 0,480 0,920 0,042 0,205 32 0,980 2,102 0,022 O,020
16 0,565 1,051 0,022 O,239 34 0,990 2,234 o, 012 o t О 1 О
36 1 , 000 2,365 О О
76
Т а б л и ц а 2.8
Оценка точности аппроксимации переходной характеристики
11- а (1) 11. (1) ha (Т) h(t)
1, с h (t) ha (1) ha О)
при Ь:::::О при b=l=O
О О О О 0,002 O,OO2
5 0,115 0,098 0,017 0,085 0,030
10 0,300 0,312 o, 012 0,324 0,024
15 0,520 0,526 O,006 0,560 o, 040
20 0,71 О 0,702 0,008 0,740 Oy030
25 0,860 О t 828 0,032 0,859 0,001
30 И,955 0,911 0,044 0,933 0,022
35 0,998 0,960 0,038 0,973 0,025
Если принять, что при t == О ПРОИ3БDдная переходной характеристики равна
пулю, то Ь == О и по формулам (2.52)
а1 == 15,21 и ао == 82,55.
Следовательно, значаIЦая часть нормированной переходной характеристики
аппроксимируется передаточной функцией
1 1
W == 82,5582 + 15,218+ 1 == 7282 + 2678 + 1 '
rде Т == 9,08 с и ; == 0,838.
Полъзуясъ формулами поз. 77 табл. 4.1, составим аналитическое выражение
значаrцей части нормированной переходной характеристики:
Ьа (f) :::= 1 1, 90e o,092! sin (O,058t + 0,562).
Несколько значений характеристики Ьа (f), вычисленных по этому выраже-
нию, занесены в табл. 2.8, и характеристика изображена на рис. 2.11 кривой 2.
По формуле (2.44) точность аппроксимации б == 4,4%.
Предположим, что производная переходной характеристики при t == О не
равна нулю, и продолжим расчет, занося ero результаты в табл. 2.7. Затем, поль..
зуясь формулами (2.51) и (2.52), определим
Р9 15.219.2 (0,713 0,5) 98,18; ь ; 5 8 1.19;
а1 == 15,21 1,19 == 14,02; ао == 82,55 1,19.15,21 === 64,45.
Следовательно, значзlЦЗЯ часть нормированной переходной характеристики
аппроксимируется неминимально фазовой передаточной функцией
1 , 19s + 1 'ts + 1
W == 64,4552 + 14,025 + 1 == T2s2 + 2 Ts + 1 '
rде 't === 1,19 с; Т == 8,03 с и S === 0,873.
По формулам поз. 78 табл. 4.1,
Ьа (Т) == 1 2,31 e O.109! sin (0,061 t + 0,447).
Значения Ьа (1), вычисленные по этому выражению, занесены в табл. 2.8,
и характеристика изображена на рис. 2.11 кривой 3. Точность аппроксимации
б == 4% .
Следует выбрать вторую аппроксимирующую передаточную функцию, так
как она дает несколько большую точность на конечном участке характеристики.
77
J hzo
""
о,JS о,.я
I
463
qзо
Ц&8
Ц2S
0,8
f t -
"- I
-
1/1 '- , . ........................
v ""- -" ............+
.
/'
r
! '.L'20
../ /'
v r
п(. '/ '-. i/
./
JII"'- "
f ", 1'-.
1 / '"
/ ,..- ""
,.... "'<1-.,.
",
,
,
,
ha
0,.550
о,52'
о, 500
Рис. 2.12. HOMorpaMMa ии-
терполяционноrо метода
аппроксимации переходиых
хар а ктер и сти К
о, "" 75"
,8S0 0,2 * 0,6 0,8 Z2
Метод площадей позволяет отыскать аппроксимирующую пере..
даточную функцию и переходную характеристику нейтральноrо
элемента. Порядок расчета для этоrо случая изложен в справоч"
нике [1].
Интерполяционный метод [4]. По нормированной переходной
характеристике УСТОИЧИБоrо элеrvlента определяют постоянные
времени Т1 и Т2 аппроксимирующей передаточной функции
ke Os
W::::::: ·
(Т 1 S + 1) (Т 25 + 1)
(2.53)
Сначала по рассматриваемой характеристике находят время t7,
при KOTOpOl\tI ордината h (t7) == 0,7. Затем вычисляют время t4 ==
==о + t7, находят значение переходной характерисrики h (t,.) ==о h.t
II по HOMorpaM ie (рис. 2.12) определяют значения Z2, h8 И h20'
соответствующие найденному значению h4. Теперь можно опре.
делить искомые постоянные времени по формулам
Т} """ 2 (1 +- z) и Т2 === 2 (l z).
(2.54)
Величины h8 11 h20 используют для проверки точности аппрокси
мации путем их сравнения с ординатами переходной характери-
СТИКИ соответственно при ts :=::: 2t4 И tzл == 5/4' Допустимая поrреш
несть 3 6 0;f. .
Может оказаться, что h4 меньше Toro минимальноrо значения,
которое имеется на HOMorpaMMe рис. 2.12. Это означает, что рас..
сматривае 1ая переходная характеристика не может быть аппрокси"
мированз передаточной функцией (2.53). Тоrда следует обратиться,
например, к методу площадей.
78
!
:::i
t::::.i
:j )с;
t.:)
/':j
:t::::"
.t::1
Мат е N ( iТ7Ц I/C C.if Q е
ОЛllсанце ЛILr'lt!t.iноео
элеМf'I..та (СА р)
. ::
! I 1 J '';:el1t !НЫВ l(j,paJ(тe;7lJ.Cт.... .,\IJ. !lfrllт:;тш,'е 1.iрактеристш(,
Дu.фф8рfI-fЦ/lпльнсе ЛереLfаточнад . T'
У'ла8Нl'Нf!J фl/,'/J(ЦlLЛ Стш:!{J. п{:реХО(J IJfi'1Ii1/..7Ь .4M и!{ !, /.J, 'o(J. ФаJо8а
f' , J че"/'аЛ f!ая {''''а I 1., , .'"' ' .
v , '(1 )f.J l"d" - 9Ja ,оСа,;
," - .
!: Zj ;': ;o 111\ /1 I \
\ I ура 5 ',' "!fr.:.Я ' /
/
::.l Получена ( ::, i /",:;
1 ::j . ::::'1 1 rr
'> t; "--- (;:) :S;;:.I .
. "J':: (.;) . . I j i t:::I
! о::, :j :::-.! :,... ::::t ._':) I I " I ' , j . :t:
"'" :r 1""....... i3 r-. t:. "":::) - ...., f' r ';j <1
'" ;-J '>J- <-, "" '" <4 ........ . I I ..... -;,.. I :.'.1 1::: 1:;
!.. 't:\-..",':; "(: :.JI ::-'\.131 ( /':j
; 11 .i- I i I j ..: I .?: ,;! I щ"
.... "s L 1:;; L ,:...J-
. ..J .i ..::C . . J
:о.,...
....:.
U.
<:::.
Рис. 2.13. Варианты математическоrо описания JlинеЙНоrо элемента (САР) и их взаимо-
связи
* * *
Варианты математическоrо описания (математической модели)
линеиноrо элемента: ero свойства полностью определяются диф
ференциальным уравнением, передаточной функцией I временной
характеристикой (переходной или импульсной) или же амплитудно..
фазовой частотной характеристикой (ей равноценны аrvfплитудная
и фазовая частотные характеристики), показаны на рис. 2.13. Все
эти варианты описания справедливы и для линеЙной САР в целом.
Математическое описание можно получать путеf\.I анализа физи-
ческих, химических и иных процессов, происходящих в эдементе,
или экспериментально. В последнем случае определяется BpeMeH
иая (чаще Bcero, переходная) характеристика или частотная (обыч-
но амплитудно Фазовая) характеристика. Некоторые варианты
математическоrо описания взаимосвязаны (рис. 2.13).
Математическое описание элементов САР, построение ее мате-
матической модели это весьма важный этап исследования си
стемы. Излишне подробное математическое описание, учитываю
щее несущественные для данноЙ задачи свойства элементов, УСЛО}J{"
няет решение задачи и может даже сделать ее неразрешимой.
Чрезмерное же упрощение матеrvlатическоrо описания, принятие
необоснованных предположений недопустимо, так как при этом
Moryr быть упущены существенные качества элеl\1ентов И, следова..
тельно, ПРОllессов в системе. Таким образом, при математическом
описании действуют два противополо)кных стимула, и необходимо
осторожное разр ешение этоrо противоречия.
r лава 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫХ
функций СИСТЕМ
При инженерных расчетах весьма полезны и широко исполь
зуются структурные схемы САР, которые показывают строение
систем:, точки приложения внешних воздействий и пути распро..
странения сиrналов. Приемы построения структурных схем были
рассмотрены в п. 2.3.
Структурная схема САР используется прежде Bcero для опре..
деления ее передаточных ФУНКЦИЙ. Последние позволяют выяснить
динамические свойства системы, возможность воспроизведения
u U U
задающеrо воздеиствия с одновремеННQИ компенсациеи ВЛИЯНИЯ
возмущении. Кроме Toro, структурная схема полезна и при син
тезе при выборе путей улучшения свойств систеrl I.
Структурные схемьт разделяются на одноконтурные (рис. 3.1),
имеющие только основную обратную связь, и мноrоконтуриые,
имеющие кроме ОСНОВНОЙ еще и местные обратные связи (СМ.
рис. 2.4).
В настоящей rлаве показано, какими передаточными функциями
характеризуется каждая САР, и дано представление о том, как они
используются при расчетах. Основное внимание обращено на
методы определения передаточных функций.
Для несложных структурных схем эффективен метод, при КОТО..
ром составляют уравнения, связывающие изображения всех пере..
менных системы, исключают изображения промежуточных пере..
менных и по полученному уравнению определяют передаточные
функции.
Общим методом является преобразование структурной cxeMhI
в эквивалентную одноконтурную, составление переДаТОЧf{ЫХ ФУНJ{
ции которой не вызывает затруднений. J1:еобходимые ДЛЯ этоrо
правила детализированы и сведены в таблицу. Недостаток метода
структурных преобразований заключается в необходимости вычер..
чивания структурной схемы ПОЧТИ после каждоrо этапа ее упроще
иия. Это делает данный метод rрО1\10ЗДКИМ, особенно при сложных
структурных схемах. Поэтому наиболее сложные структурные
схемы целесообразно рассматривать как СБоеобразные rрафы и
определять передаточные функции с ПОМОIl ЫО формулы .Мезона.
80
f{t)
Рис. 3.1. Структурная схема од-
ноконтурной САР
y{t)
3.1. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ САР
ДЛЯ расчетов обычно необходимы передаточные функции ра-
зомкнутой САР, а также передаточные функции замкнутой САР
относительно задающеrо воздействия, относительно каждоrо из
возмущений и для ошибки слежения. Определим, что предстатзляют
собой эти передаточные функции, и найдем их значения для одно-
контурной САР (см. рис. 3.1). Элементы этой схемы имеют следую"
щие передаточныIe функции:
W1 === k1R1/Ql; W2 === k2R2/Q2 И W О === koR o/Qo,
(3. 1)
rде kl k2 И ku передаточные коэффициенты; Rl и Qi нормиро..
ванные полиномы от s (некоторые из них MorYT быть равными
единице).
Передаточная функция разомкнутой САР
W == УО/а
(3.2)
есть ОТНОlllение изображения У о сиrнала обратной связи Уа
к изображению G задающеrо воздействия g. При ЭТОМ контур
реrулирования предполаrают разомкнутым около элемента сравне-
ния, как показано на рис. 3.1 волнистыми линиями. Для рас..
сматриваемой САР
w == Wo W1 W2 === kR/Q,
(3.3)
rде k == k()k1k2 ---- передаточный коэффициент разомкнутой САР;
R == RoRlR2 И Q == QoQlQ2.
Передаточная функция W характеризует собственные динами..
ческие свойства системы и позволяет определить ее устойчивость
(см. rл. 6), а также выбрать корректирующие устройства (СМ.
rл. 8 и 9) для улучшения свойств системы.
Для определения устойчивости используют и характеристи-
ческий полином D системы, равный сумме числителя и знаменателя
передаточной функции WСразомкнутой систеl\1Ы:
D === kR + Q.
(3.4)
Удобно пользоваться нормированным характеристическим
полиномом
D == kR + Q
1 + k '
(3.5)
81
если полином Q имеет свободный член, и paBeHCTB01\I
D === kR.: Q === + R, (3.6)
если в полиноме Q нет свободн:оrо члена.
Передаточная функция замкнутой САР относительно задаю..
rцero воздействия
Wg === У/а (3.7)
есть отношение изображения У реrулируемой величины у к изобра-
жению задаюu еrо воздействия. При этом рассматривается замкну..
тая система и преДПQлаrается, что друrих внеlПНИХ воздействии нет.
ДЛЯ САР со структурной схемой, изображенной на рис. 3.1,
W ........... Wtw2 W1W2 kgRg (3 8)
g l+.W 1+WOW1W2 D .
rде kg == k1k2/(1 + k) передаточный коэффициент системы отно-
сительно задающеrо воздействия (если в полиноме Q нет свободноrо
члена, то kg === l/ko); Rg RIR2Qo.
Передаточная функция W g характеризует передачу системон
задающеrо воздействия, ero воспроизведение реrулируемой вели-
чиной. Воспроизведение тем лучше, чем ближе значение Wg
к идеальному: Wg === 1/ko.
Передаточная функция замкнутой САР ДЛЯ ОI1IиБI{И слежения
Wx : Х/О (3.9)
есть отношение изображения Х рассоrласования х ==- g Ус
к изображению задаIGщеrо воздействия при отсутствии друrих
внешних воздействий. У rаССl\1атриваемой системы
Wx ........... 1 ш 1 kxRx (<'1 10
и. )
l+W 1+WOW1W2 D
rде kx === 1/(1 + k) передаточныЙ коэфq)ициент системы для
ошибки слежения (если в ПОЛИНОl\1е Q нет свободноrо члена, то
kx == 1/ k); R х === QoQIQZ.
Передаточная функция W.o как и Wg, хараКlеризует воспро..
изведение реrулируемой величиной задающеrо воздействия (отра-
ботку задания). Воспроизведение тем лучше, чем БЛИ)t(е значение
Wx к идеаЛЬНОl\ЛУ: Wx == о.
Передаточная функция замкнутой САР относительно БОЗl\.1У"
щения
Wf === У/Р
(3. 11 )
есть отношение изобра)кения реrулируемой величины к изображе-
нию F возмущения t. 11ри этом предполаrаIОТ, что друrих внеlUНИХ
воздействий нет. Для рассматриваемой системы
W. W' kfRf
W 1.......... 1
f . 1 + w 1 + w о 1\: :'t W 2 D'
(3. 1 )
82
rде kf ==:k1/(1 + 1<) передаточный!коэффициент системы относи-
тельно возмущения (если полином Q не имеет свободноrо члена, то
kr == .1 /ktJl2); R f :: R L QoQ2'
Передаточная функция Wf показывает влияние возмущения на
реrулируеМУIО величину. Возмущение отклоняет ее от ззданноrо
значения и уменыпает ТQЧНОСТЬ воспроизведения задающеrо воз-
деЙствия. Это Bpe Hoe влияние возмущения тем меньше, чем ближе
значение Wf к идеальному: \Vf =:: о. Если на систему воздействует
несколько БQЗМ:Уlдений 11' 12' ..., то определяются передаточные
(рункции W1f' \\72[, ... относительно каждоrо из них.
Следует заметить, что знаменателем всех переходных функций
замкнутой системы является ее характеристический ПОЛИНОМ.
Передаточные функции Wg и W, позволяют определить состав..
ляющие изобра)кения У реrулируемой величины, создаваемые
соответственно задаIОЩИМ воздействием и возмущением. В линей-
IIЫХ системах справедлив принцип суперпозиции и поэтому изобра..
)кение реrулируеr IОЙ величины равно алrебраической сумме ero
состаВЛЯЮlЦIIХ:
у : WцG + W7fF. (З.13)
Второе слаI'аемое чаще Bcero отрицательное.
АнаJlоrично по передаточным функциям Wx и Wf можно
определить изобра,кение рассоrласования:
х == WлG + lv() WfF. (3.14)
По равенствам (3.13) и (3.14) можно составить дифференциальные
уравнения систеj\ Ы для реrулируемой величины и для рассоrласо..
вания (ошибки). Конечно, это может быть целесообразным только
в том случае, коrда передаточные функции некоторых элементов
системы были определены экспериментально.
В большинстве случаев передаточные функции САР использу-
ются для определения временных (в частном случае статических)
и частотных характеристик. Вычисление, исследование и примене..
вне этих характr.:рпстик раССI\rlатриваются в послеДУIОЩИХ rлавах.
I-1ноrда необходимы передаточные функции, выражающие зави-
симость изобра)кения какой..либо проме:1<УТОЧНОЙ величины САР
от изображения ВП€Juнеrо воздействия ИЛИ' друrой про лежуточной
величины. Наприм.ер, передаточная функция WiX == Z/X, rде
Z изображение реI'УЛИрУЮlцеrо воздеЙствия z определяет
закон реrулирования. В САР со структурной схемой, изображен-
ной на рис. 3.1, lV2X === W2.
В ряде случаев основная часть структурной схемы представляет
собой последовательное соединение динамических звеньев, а один
ее участок имеет сложное строение. Таким участком обычно
являетсп реrулируемыЙ объект или объект и исполнительный
элемент. Некоторые из возможных структурных схем сложных
объектов (с одной реrулируемой величиной) приведены в табл. 3.1,
83
Таблица 3.1.
Структурные CleMbl и передаточные функции
реrулируемых объектов
Эквивалентная структурная
схема
Структурная схема
объекта
Передаточ.ные функ ци и объекта
f
l
z
f
7
f
Wl
Wa;
Wlf
\уlБWа
1 WB(I+Wr)
W1===Wa(l+W2);
W 1 f === W в + \
' б W а (1
t-- W {')
w 1
W б W в
t
\\7 а (1
W 1');
W1f == WB
w 1 ==: W а -t
w б \f! D (1
1
W р) ;
w 1 f == \17 в (1
!
W r )
у
W1==Wа+Wб;
W1f === Wr + WB
f
у W1 =::::; Wa (1 + WBWr) + Wб;
w 1 f ::::= \\7 l'
Z
f
у \f11
\У; а;
W 1(
-=: W В + W r (W б W а
t.
1)
z
f
W1:::::;:; W а (1
1
W в W r) .
1
WаWБWвWr ,
у
\7 1 f ::::= W r (1
\\7 а W о)
z 1
\\7 а W б \Уl n W р
.......
..:.o......
....
Про Д о л ж е н и е т а б л. 3.1.
Структурная схема объекта Передаточные функции объекта
1 у W1 == Wa;
W1f ::::: Wб + WB (1
Wr)
Z
f W1 == Wa;
tj
W1f
WrWa
I
Wб -1
Wn
z '
f W1 == Wa (1 + Wr);
у
)
w 11 == W в + w б (1 + W r)
z
f W 1 === W а + W r (W б + w в);
у
\\7 1 f === W б
+
w n
Z
f W1 == Wa (1 + Wr)
!
Wб;
W1f == Wn
Z
f W1==Wа+Wб+WrWв;
W1f == WB
Z
f
fj W1 == Wa + Wб (1 + Wl');
W1f === WB (1 + Wr)
l
!
у \\71 == Wa + Wб;
W1f == Wn + Wl' (Wa + Wб)
z
, W1 == Wa;
\\7 l! == W в (1
W r + W а W б)
z
f W1 == Wa;
W1f'== Wa (Wr + WБWв) + WB
z
f W 1 ::=: W а (1
r W r);
J
W1f ==: WB [1 + WаWб (1 + Wr)]
Z
85
Про Д о л ж е 11 и е т а б л. 3.1.
Стр; Ii.. 1 уrная схема оБЪСКТ<l
ПС1'едаточные ФУНКL ИII ()бъе"Т 1
у
\\71 -= Wa + (1 + WаWб) WBWr;
W1f == WB (1 + W'аWб)
f ф
\\71 == Wa (1 + Wr r \f/(jWи);
W1f == Wn
z
f
\f/l == WB (Wr + W аWб) ,.I w а;
W1f==Wn
f
w 1 -== W а [1 r (1 j w (') w б W в] ;
W1f == WB (1 + Wr)
f
у
W1 == Wa (1 + WБWв);
W 1/ == W в + (1 + w в W б) W а \\7 r
f .............
W1 == (Wa + WB) Wб + WBWr;
W1f == Ws (Wr + Wб)
W1==Wа(Wб+Wr);
\V1f == (Wa + WB) Wr + WаWб
z
f
Z'" W5
: y
f f
;
(- . 1
l
W1 == \VаWб + Wr (1 -1 Wб);
W1f == WBWr (1 t Wб)
\\7 1 == W а (W б + w в W 1') t- W r ;
W 1/ == W в W r
f
W w а (W б \\7 в \\7 1') .
1 IV/'
l WB"Yr
W WвWr(l-1 Wб)
1/ 1 W в \V r
WаWб
W1 == 1 WаWБWВ
Wб
W 1{ == 1 \\7 а W б \\7 в
L
6
там же даны значения передаточных ФУНКЦИЙ W1 И W1f эквивалент..
ной схемы.
Используя данные табл. 3.1, передаточные ФУНКЦИИ W, W g
и Wx системы можно определять соответственно по формулам
(3.3), (3.8) и (3.10), а передаточную функцию относительно возму-
щения по формуле
W W]f
f.........l+WOW1W2.
Может оказаться, что схема, интересующая читателя, отли-
чается от одной из помещенных в таблице лишь знаком ВЫХОДНОЙ
величины KaKorO..To звена Wi- Тоrда в передаточных функциях
W1 И W1f эквивалентной схемы нужно изменить на обратные знаки
у всех слаrаемых, которые имеют Wi своим СОМНО}l{ителем. Может
также оказаться, что схема отличается отсутствием звена с пере-
даточной функцией W'l. Если вместо этоrо звена разрыв, то все
слаrаемые, имеющие сомножителем Wk, нужно принять равными
нулю. Если вместо звена \t7k соответствующие точки соединены
непосредственно, то W'z == 1.
В БОЛЫllинстве случаев структурные схемы САР содержат мест..
ные обратные связи внутри реrулятора или от реrулируемоrо
объекта к реrулятору. Встречаются и параллельные соединения
динамических звеньев в реrуляторе. Все такие схемы являются
MHorOKOHTYP ными.
Некоторые MHoroKOHTypHbIe структурные схемы и передаточные
функции этих САР приведены в табл. 3.2. Если рассматриваеl'лая
структурная схема отличается от ОДНОЙ из имеющихся в табл. 3.2
знаком выходноЙ величины или отсутствием какоrо..либо звена, то
нужно поступить так же, как было сказано ранее в отношении
табл. 3.1.
Схемы, приведенные в табл. 3.1 и 3.2, не исчерпывают Bcero
мноrообразия структур реrулируемых объектов и MHoroKoHTypHbIX
САР. ДЛЯ схем, не приведенных в указанных таблицах, задача
определения передаточных функциЙ rvrожет быть peIlleFla одним из
следующих методов.
Если структурная cxervta САР несложная , то МО)I{НО составить
уравнение, связыIающееe изображение реrулируемой величины
с изобра)кениями внешних воздействиЙ. Следует последовательно
осматривать схему, начиная с реrулируемоЙ величины и двиrаясь
против направления передачи сиrналов. От каждоrо сумматора
схему необходимо осматривать в нескольких направлениях: до
какоrо--либо из внешних воздействий или до реrулируемой вели..
ЧИНЫ. При этом изобра)I{ение выходной веЛIIЧИНЫ каждоrо звена
выражается через ero передаТОЧНУIО функцию и изобра)кение
входной величины, а изображение суммы нескольких слаrаемых
выражается через сумму их изображений. Постепенно исключа..
ются изображения J.,ПрО1\1ежуточных переменных и получается
искомое уравнение
87
Таблица 3.2.
Структурные схемы и передаточные функции САР
с местными обратными связями
,
СТРУhтурная схема системы
g
Wo
9
!l
2
W2
t WN
1;110
9
Передаточные функции системы
w == WOW1W2 ;
1 + 'V 01 W1
W W1W2. W W1
g W ' 1 W.>:'
rде W L ==
::;;:::: 1 + W01W1 -1 WOW1W2
W === \f/оWtW2Wз
1 :+ \\7 01 W 1 W 2
\V/ W1W2Wg. W W1 ·
,оу g 'f1 W '
W
W' W 1 \fl 2 .
12 W '
1:
rде W L ==
== 1 + W 01 W 1 W 2 + w о W 1 W 2 W 3
WОW1W2WЗ
W == ;
1 + W 01 W 2
W1W2U'/з W1.
W g === W f1 == W '
W
W W1W2
'2 == W '
z
rде W L ==
== 1:+ W 01 W 2 + w о W 1 W 2 W 3
WОW1W2WЗ
w===
1+W01W2
W]W2WЗ
W g :: . ;
W,.
...
w Wt(1+Wo1W2).
{l :;::: W '
L
W WIW2
f2 == W '
L
rде W ==
== 1 + \f/ 01 W 2 + w о W 1 W 2 W 3
38
Структурная схема системы
lJ
9 х
g
у
g
!/
WQ
Про Д о л ж е н и е т а б .11. 3.2.
Передаточные функции системы
WОW1W2WЗ
w== ;
1 + W 01 W 3
W1W2WЗ
Wg==
W1:
W 1 (1 + W 01 W 3)
w {l := ;
Wz
W WjW2
f2 :=:: ,
W
тде W ===
== 1 + W 01 W 3 + w О w 1 W 2 W 3
w == w OW1W2
1=t=W01W2
W W1W2 ·
' ,
W1;
Wf W 1 (1 + W о W 2)
, rде
W
W == I + W 01 W 2 r w о \f'1 W 2
WОW1W2WЗ
w==
1 +W 01W 02W lW 2
W1W2WЗ
Wg==.
W
W + W 01 W 1 W 2 W
f ==:: W ' rде 1: ==
>:
== 1 + W 01 W 02 W 1 W 2 -1
+ WОW1'V2WЗ
WОWIW2(WЗ+W4)
w===
1 +W 01W lW 2W 3
W 1 W 2 (W 3 + w 4)
Wg===
W""
2J
Wf == W1,
W}:
rде W}: == I+WОIWIW2WЗ+
+ WОW1W2(WЗ+ W4)
89
Структуриa4I схема системы
9
fz
f(
g
g
.r;
у
tJ
у
ПроДол)кение табл. 3.2.
Передаточные ФУНКЦИИ системы
у
WОW1W2WЗ .
w==
1 + W 01 W 1 + W 02 \\7 1 W 2 '
W1W2WЗ W 1 .
W g :. W W {1 W '
2
W tr1W2 W
{2 W ,r Д е
, --
== 1 + W 01 W 1 + \\7 02 W 1 W 2 l f
t- \VОW1W2WЗ
WOW1W2WS
W===l W;
=t=WOIWl+W02 2
W1W2WЗ W] .
W g :::::::: W W f 1 == ............w '
W WIW2 W
{2 == lt'l' ,rде ==
1:
::::::: 1 + W 01 W 1 + W 02 W 2 +
+WОW1W2WЗ
WОW1W2\VЗ
W == 1+WOIWIW2+W02W2;
W1W2WЗ W1 .
W g == w w /1 == W '
1: 1:
W1W2
W f2 W '
rде W!. ==
== 1 + W 01 W 1 W 2 =+= W 02 W 2 +
, WОW1W2WЗ
WОW1W2WЗ
\\7 == ;
1 + W OlW lW2+W 02W 2
W1W2WЗ
Wg::::::;:
W
W Wl (1+Wo2W2)
f1 ==
W
W WIW2 и?
12 == W 1: ,rде Iv 1: == 1 :;:
+W 01WIW2+ W 02W2 +
+WoW1W2Wa
90
Структурная схеМа системы
9
g
!l
у
f,юr
Про Д о л )1( е 11 и С т а б л. 3.2'
Передаточные ФУНКЦИИ системы
WОW1W2WЗ
\V ==
J::t (W01 + W02) W2
\V1W2WЗ
Wg==
W1:
\V/ W1 (I=1=W02W2) .
1" f 1 ,
W
W W1W2
{2 == "7 '
rде W 1: == 1=1=
+ (W 01 + W 02) w 2 +
+ WОW1W2WЗ
WОW1W2WЗ
w== ·
l=r=W 01W2+W 02Wa'
W1W2WЗ
Wg==
W...
...
W1 (I=t=Wо2Wз)
W 11 == W ;
1:
W f2 ==; W 1 W 2
Wk
r де W == 1 =F
:f: \\701 W 2+ \\702 W 3 +
+WОW1W2WЗ
WоW11V2Wз
\\7 .
I =1= W 01 W 2+ '\f' 02 W 3
W1W2\\7з
Wg == ;
W
W f 1 :..=
W1 (1=FWОIW2+W02WЗ)
.
W1: '
W W1W2
12 ::;:: \\7 '
rде W 1=FWo1W2=F
:f:: W 02 W 3 + \17 о W 1 W 2 \W 3
9
Структурная схема системы
!I
у
!/
!1
2
Про Д о JI Ж е JI и е т а б л. 3.2.
Передаточные функции системы
WOW1W2WS
w==
14= (W01 + W02) WS
wtw2wз
Wg== W ;
[14= (W 01 W 02)W з]
W fl == ;
W
W 1 W 2 (l=FW 02W 3)
W f2 == W :t '
rде W ==
== 1=F(W01 + W02) Wз +
+ WОW1W2WЗ
WОW1W2WЗ
w==
1=FWOIW02WIW2+=
=+= w оз W 2
W1W2WЗ
Wg==
W
W :l: W 02 W 1 W 2
f == Wz '
rде \\7 ==
== l=t=W 01 '\7 02W 1 W 2=F
=+= W' 03 W 2 + w о W 1 W 2 W 3
WOW1W2 (Wз + W4)
w == 1=FWОIWIW2WЗ+
=FW02W2
W1W2 (Wз + W4)
Wg==
W
W1
Wf == \t7 '
z
rде W 2: == 1=F
=FW 01 W 1 W 2\\'l' a=FW 02 W 2 r
+ w OW1W2 (Wз r W4)
g .c
"".7
g
g
"1"
Структурная схема системы
.,
у
Про Д о л ж е н и е т а б л. 3.2.
Передаточные функции системы
w OW1W2 (Wз + W4)
w=== ;
1 =+= w 01 W 1 =F W 02 W 2 W 3
W 1 W 2 (W 3 + w 4)
Wg
WI;
W1
Wf == ,
:Е
rде W:E===I=F
=t=WОIW1+W02W2WЗ+
+ w OW1W2 (Wз + W4)
wоw1w2(wз+ W4)
w=== ;
l=FW 01 W 2=FW 02 W 2 W 3
W1W2(WЗ+W4)
Wg===
W
W 1 (1 =r:W 02 w 2 W з)
Wf 'f1L '
rде W 2; ==
== 1=FWolW2=FWo2W2W +
+ \VOW1W2 (Wз+ W4)
w oW 1W 2 (Wa W4)
w== ;
1 =F\f! 01 W 2=FW 02 W 8
W1W2(WS+W4)
Wg-==
WL
Wf==
W 1 (1 =t=W 01 W 2=FW O W 3)
W}:
rде W L ==
:.== 1 =FW oiW 2+W 02W 3 .+
+ W oWtW2 (Wз + W4)
93
I
ПРОДОЛ)f(еllие табл. 3.2.
Структурная схема системы
lj
Передаточные ФУНКЦИИ системы
w OW1W2 (Wз + W4)
w==
I+W01W2+
'i;;
=FWО2(WЗ+W4)
lfl1W2(Wз+ W4)
Wg==
W
.
,
:. \fl1 [1 =FW 01 W 2=F
+ W 02 (\\7 з r \\74)]
Wf 0== W '
r Д е lf1 '" ::=:;
"'"
=== 1=FWOIW2=FW02 Х
X(W3+W4)+
+ 1\70WIW2{W31 W4)
w==
WОWIW2WЗW4
1=FWOIWl+1t702W1W2+
=F\\70ЗWIW2WЗ
W1W21V"ЗW4
\\7g W ;
w \\7 1 ·
fl W '
1V1 w 1 W 2 .
l' f 2 W ..... '
.L.
r де \\7
:; I=FWOIWl+W02WlW2+
=FW озW 1 W 2W 3 r
+WОWIW2WЗW4
94
Структурная схрма системы
fl
9 х
ПРОДОJIжение табл. 3.2.
Передаточные функции системы
W/ОWlW21\7ЗW4
",!
1 =+ W 01 W 1 =F W' O W' 2 :+:. ,
+ W O:tW:1 (1 =FW 01 \V)
W1W2WЗW4
W1:
\t71 (1 + \17 03 W з)
w [1 ==
W
\'1 g
w W1W2
12 1t7}; ,
rде W:::
1=t=WOIW/1+W02W24=
=FW 0з\\7 8 (l=+=W 01 W1) +
w о W 1 W 21fl 3 1f14
\\7 о W 1 "? 2 W 3 W 4
w==
I+W 01Wl+W'02W2+ '
=F W 03 W 2 W 11
, W1W2WaW4
\fg==- W
W W] ·
f1 :==: ,
Wk
\\v '2 == W \\v 2 ,
rде W ==
1+WOIWl rW02W2+
.., w 03 W 2 \\7 3
I w о W' 1 W 2 W 3 W 4
95
Про Д о л ж е п и е т а б л. 3.2.
СТ1')УI<тур1l3Я схема системы
Передаточные фУЮ\ЦИ If системы
g
Ff
w==
WОWIW2\WЗW4
1 =+=W 01W 1+\\7 02 W1W 2+
r W 03 \\7 \\7з (1 =F W 01 \f/l)
\\71W2WЗW4
Wg
W
W 1 (1 =F W 03 W 2 \\7 3)
W f1 =::::
W2:
W1W2
W f2:::::= W '
rде W Z ==
== 1 =FW 01 W 1 =t=W 02 \\1\ W 2=F
=t= W 03 W' 2 W 3 (1 =F W 01 W 1) +
w OW1W2W;jW4
w==
w ОW1W2WЗW4 .
=:::: (1+W01W1) (1=t=Wo2W2) Х '
Х (l=FWозWз)
W1W2WЗW4
Wg===
W
Wf1:== \\71 (l=t=Wo2W2) Х
Х (l=FWозWз)
Wz
Wf2 ..:
lW 1 W 2 (1 =F W 03 W 3)
W):
rде W == (l=FW 01W 1) Х
х (1 =t=W 02W 2) (l+W оз\\7 3) ]
+ WОWIW2WЗW4
w 11 ===
16
Рис. З.2. Структурная
схема мноrОI{ОНТУРНОЙ
САР
у
Пример 3.1. ОпредеJ1ИТЬ передаточные ФУНКЦИИ САР относительно задаю..
щеrо воздействия и возмущения, пользуясь ее структурной схемой (рис. 3.2).
ДеЙствуя указанным обраЗОi\f, получим цепочку равенств.
у W 1 У 1 === W' 1 { . . F . }Т 2 в} w 1 { p --t - \У! 2 У 2}
=:: \\11 { F 4 W 2 [Узя I" У4В]} \\71 { p t \Y/2 [W sVз l W'JX]}
= = W1 { p + W2 [Wз (Х I Y01) I W4.c\'"]}
== w 1 { p + \f' 2 [( w 3 r- \V 4) (а у о) r- w s W 01 У 2В]} ==
w 1 { F + w 2 [(W 3 + w 4) (О W ОУ) + w зw С] (F + \ l)]}'
СледоuатеЛЫIО:
у == WIF W2 [W1 (Wз + W4) (О WoY) + WaW01 (W1F t- У)];
[1 W 01 W 2 W 3 ! Y' о tV' 1 W 2 (W з + w 4)] у == w 1 \ " 2 {W з W 4)0
W1 (1 WО1W2WЗ) Р.
I,!скомые передаточные функции имеlОТ следующие значенпя
W g:::= \У' 1 W 2 (\\7з + W 4) ;
\\7
W W 1 (1 W 01 \\7 2 W 3)
' w '
2:
rде W == 1 Wи1W2Wз+ WoW1W2(WS+ W4).
ДЛЯ определения передаточной ФУНКЦИИ u7 разомкнутой си-
стемы осмотр структурной схемы нужно начинать с выходной
величины Уа основной обратной связи ПрИ размыкании этой связи
около элем:ента сравнения и при равенстве нулю возмущений.
Чтобы определить передаточную ФУНКЦИЮ WX для ошибки, схему
следует осматривать, начиная с рассоrл.асования х и также ПрИ
ОТСУТСТВИИ возмущений.
Изложенный прием определения передаточных ФУНКЦИЙ САР
равносилен ИСI{лючению lIромежуточных переменных из систем
уравнений ее элементов.
Более универсальным способом является преобразование слож..
нои структурной схемы в эквивалентную ОДНОКQНТУРНУЮ и опре-
деление передаточных функций по формулам (3.3), (3.8), (3.10) и
(3.12). Кроме Toro, большие возможности дает применение формулы
Мезона.
3.2. СТРУI(ТУРНЫЕ ПРЕОБРА30ВАНИЯ
Структурную схему любой сложности путем последовательных
преобраЗQваний можно привести к эквивалентноЙ QДНОКQНТУРНОЙ.
Полученная одноконтурная схема будет эквивалентна исходной,
4 Макаро}) И. М.
97
ссли в неЙ укаааПllhlе величин()[ lIMeJOT такую iKe зависимость ОТ
внешних воздеЙствий, как в ИСХОДНОЙ. К такиl\tl величинам ОТНО"
сятся прежде Bcero реrулируемая величина, рассоrласование
(ошибка) 1I сиrнал обратной связи.
Преобразование структурной схемы ДОЛЖНО осуществляться на
основании правил, приведенных в табл. 3.3. .
Прежде Bcero каждое имеющееся в схеме типовое соединение
звеньев (последовательное, параллельное и встречно..параллель..
ное) следует заменить эквивалентным звеном (табл. 3.3, 110З. 1, 2
JI Э). Затем целесообразно выполнить перенос точек разветвления и
сумматоров (табл. 3.3, 1103. 4
8, 10
15), чтобы в преобразованной
таким образом с.хеме образовались новые типовые соединения
звеньев. Эти соединения опять ДОЛЖНЫ быть заменеН!>I эквивалент..
ными звеньями, затеl\f вновь может потребоваться перенос точек
разветвления и сумматоров и друrие преоБРЭЗОВ8НИЯ t указанные
в табл. 3.3. Для предупреждения ошибок следует вычерчивать
структурную схему после К8ждоrо этапа преобразований и указы-
вать на ней значения или символы вводимых эквивалентных
звеньев.
Пример 3.2. Определить передаточные ФУНКЦИИ САР t структурная схема
которой изображена на рис. 3.3, а.
у
Yr.
I
00-
а)
00-
9
у
/;,
Уо
о)
у
Рис. з.з. Приведение I\tноrОl<оltТУРНОЙ структурноЙ схемы к ()дноконтурной
8
т а 6 л н U а 3.3
Ilрави.ла структурных пресбраЭОВ8ниil
с.
....
Поро6р а-
о зование
Структурная схеМа
исходная эквивалентная
,
,
<
Сверты"
вание по
следова
тельноrо
сr.еДине
иия
.
WЭ =W,WZ...Wп
ц-
2 Сверты
ванне па
раллель.
Horo сое. у
.... Wa =W, +W2, +... W/1
динения
.........
.........
3 Сверты.
панне , I
встречно
u. у 1
парал.. \ W
1
лельноrо 1,..... WЭ==1+W' W,
соеди.. . .
нения
1
' w
--
4 а)
WI
Перепое Х Wx u
точки
разветв-
ления
через
звен о
б) и W у . и lj WI{ =Wf
у W/( 1J
lL.
:
J j
и 1 + IJ
а) 1 ....
-
и2 К, W,
,
5 Перенос и2 К.
f
суммато"
ра через 1
звено
=w;
б) и. f lJ + W, lj
+
Yz u
w /{ . 'J"
4* 99
r 1 р u Д () ,'J Ж е н н с '1 а u ,11. 3 . :J
CJ,.
о
с:: Прео6ра
с зование
с::
Стру !':Т'УР н а н схема
с.Ot
?;
ИСХОДная / эквивалентная
6 Переста
НОВКа
TOQeK
pa3BeTB
ления
У]
u
l!
"
и2 113
7 Переста-
новка
сумма" L
торов и, и
+ ....
Uz из
Uz. из
:ftr« II
( + li
8 Переиос и, и 2.
точки
разветв
JIения
через и! H ..
суммаТор и
и2. LL
и :t Uz
9 Перенос
звена
через
звено
10 Перенос
прямой
свяЗи
ч е р ез
звено
а)
WX =W2 WJ
. ..c:;
1()()
..... t--".....
р.,
о Прео6ра.
с:
о ЗОВfiние
1::
. б)
10 ПереНDС
прямой
связи в)
через
звено
r)
U
а) .
и
б) "-
11 Перепое
обраТIJОЙ
связи
через
звено
в)
Про Д о л}{{ е н и е т а u л. 3.3
Структурня схема
11 СХОДН J Я
у
u
.и
у
1 )
рф.
L1
у
.......
эквивалентная
WJ
WK=
W,
. ,
':J
V
WK W:
W!( +
и W
- , WK =Wf WJ
у
· 11
у
ж=%
х Wz
tj
W,f- WQ Иf
u
б)
и I У
.
t. [Ш}" !.
w.I:::z:. w'д;
"k " Wj'
....... ..:' ;.;:;;::.. . ... '.?' r .....
\О\
п р () д о JI Ж е н и е т а б .11. .з.Э
Q.
о
r:: Прrобра.
о 30BU ИНС
t:
I
Структурная схема
.
..С,
исходная
эквивалентная
::!: IJ
У,
u
, .
=
+ /( W,:t Wz
12 ВЫНОС и ... у и ..J
точки U
разветв- и
ления из
парал..
.l1ельноrо
соеди..
неиня и :!:. IJ и.
r) + l.l ..'.. У
и у
:И'r
у у
13 ВЫНОС !l,
точки и У и.
р a BeTB" а)
ления из
встречно..
па рап-
лельноrо
соедине-
ния
у и у
1
WX '+WoWt
, I , , ............... l(1li'. ... ..... ....... 1". .
10
n р () д () л л( е 11 11 С Т (1 G Л. д. ::;
Q.
О
О
С
Структурная схема
Преобра-
З0вание
исходная
эквивалентная
13 ВЫНОС
точки
разветв-
ления из r)
встречно-
парал-
лельноrо
соедине.
ния
Yf
у
и
lL
а)
lL
У,
V'YX == Wf
б) и, и1 У
:t
и2 #
14 ВЫНОС
суммато.
f'Я ИЗ па-
рал.1ель"
Horo
соеди"
мения в) У
W,
и2 _ Wx;;:. Wt ! W 2
и!
:t у
1
W/(== W ::t Ж
.J 1 2
103
Про Д о л ж е н JI е т а б л. 3.3
ci.
о
с::
о
t::
Структурная схема
Преобра
зование
JIСХОДН8Я
эквивалентная
а)
tj
И2
15 ВЫНОС У и, y
б)
суммато"
ра из
встреч-
но парал
лельноrо
соедине.. и,
ния
в)
У !j
r)
IJ.,
1J
у
и,
а)
-:ty
и
16 ВЫНОС
звена из
парал- б) JI
лельноrо u fg
соеди
нения
.w: = Щ И'z :t: w.r
В) и :t у х w2 (Wf :t wз)
104
r 1 Р о Д о J1 )1{ е н и с т а б JI а. 3
о-
о ПрС'обра
t::
О ЗОВЯ нц\.'
t::
16 lЗЫНОС
звена нз
па рал.. l' )
Л "lЫI()r о
и
соеди..
нения
С,'руктурная схема
llСХОДная
эквивалентная
:t у
WJ
и.
!/
u
J
1 .f W,
wx= 1 Wo»1
а)
u. у и
б) УУ. W, (1+ Wo)
K
1 + yo Wt
17 ВЫНОС
звена
из BCTpe u, g
чно п а.. в)
раллель
Horo сое.
Динения Wx:::: VVt
r)
. 7
1
W..
X WQ
18 Перепое
ПРЯМОЙ а)
свнзи на
соседнее U
звено
\03
Продолжение табл. 3.3
а) Ij
19 Переное
оБРtJТНОЙ
связи на
соседнее
звено
б) U У
20 Переста-
новка
звеньев
ВО " ......
встречно- lj
парал- Wo ,....
лельном
соеди..
нении
21 В ключе. .... W, :t 1
иие зве. WX'" W xW
на в па
W . 1 Z
раЛЛ(\7IЬ. и ' у w
ное сое-
11
ДИН НИf'
22 8КЛIоче-
ние звена
80
встречно а) у у
пар ал
лельное
соеди.
н ние
......................... ......... ..... .
106
ci.
о
t:: Преобра.
о зованне
t::
L/М
;2;
18 ПереНQС
прямой
связи на б)
соседнее
звено
,
Структурная схема
исходная
эквивалентная
u
у
w, WJ
Wj(
2
Про Д о л ,к е н lf С Т а б л. 3. Э
с..
с
IIреобра.
о зоваllИС
I
el I
2;
22 8ключе.
ине звена
80
8стречна
парал.
лельное
соеди.
нение
23 8КЛJоче.
иие '3ве..
на с еди.
яичной
переда.
точной
функцией
С'rl)УI{турная схеМа
ИСХОДlfан
эквивалентная
б)
u
.
l'
а) и -- lj
" ' Wo W =1...1..
о w W1
24 aMeHa
звена
встречно =JL
па р ал... С)
лелЬНЫМ u0y
соеди .. . W/ 1. "W
неняем
в) 1
WX= W 1
WK
а)
25 Замена
последо-
ватель..
Horo сое...
динения
6)
у
.ц
WJ{ =:W, (Wz 1)
+
9
ц : ' WZ
о Wt Wz
J07
п р () д о л ж е н и е T
а б л. 3 .3
А
О
1::
О
1::
Структурнзя CXe
J
ПреоБРи
зование
исходная '..КВl1в.аЛfН 1 На 5i
а)
+\
II
у
w .
WK= l:!if
\ f
26
Замена
парал
леЛЬНОI'О
соеди
пения
б)
"
у
---W2.'
w
W, (Wl +W 2.)
а)
.и у 1
27 Замена W!( = 1 + Wo W,
встречно
пар ал
лельноrо
соеднне..
w/
ния и у
1
w'W.
б) 1( о t
и
+у
---.: Wj
L.
r
w
w, W,
1(--- W,"tWz.
а)
u
у
28 Разделе
ине двух
сцеп
ленных
КОНТУРОВ
6)
g.
108
......
@
JlVСvбра-
зоваНilС
.....
29 Сверты"
ванне
цепи с
пр Яl\IЫМИ
И обр ат"
НЫМИ
связями
Про Д о .П 11( С Н II е т
б л. 3..1
С1РУКl}рная (XfMa
ИСХОДная
I
п)
K р
j3Дt..'ле
вне двух
cцeII
ленных
контуров
I
) ti.
а
ц
у
r
..........
u
эквивалеНтНая
r1
n...... 'O'
t1: у
и'
!I
и
'.
WЭ =W, VJ2 Vvз i W1\
/5 +'NJW*
ufЮy
W,W2WJ
w=
Э I T
VOI\V, W2 + WOZW2WJ
ц
r V
з] У
w
(w, W2 +W
)
Yl
Э--:'lrWоW2Wз
I Иt, (W2 Wз+W'l)
W3
1+
V9 W, Wz
1 O
)
Для рeIПtЧllfЯ этоЙ задачи прсобразусrlJ задаН1IУЮ СТРУКТУРИУIО схему в ЭКRН"
валентную ОДНОКОНТУРIlУЮ. Прежа.е Bcero послед( нательное соединение звеньев
с передаТОЧНЫJ\jИ ФУНКЦИЯt\IИ W 1 И \f! 2 заменим эквива fJеНТНbJМ звеном с передаточ-
ной функцией
W7== W1W2
И встречно параллельное соединение звеньев с передаточными ФУНКЦИЯМИ w 3
И W 02 эквивалентным звеном с передаточной функцией
\\? я
1Vl
",' S ·
1 + Wо2Wзi
Кроме Toro, перенесем (по направлению передачи сиrналов) сумматор через
звено с передаточной функцией W4. При этом последовательно с звеном, имеющим
передаточную функцию WБ' а также последовательно с звеном, имеющим переда-
точную функцию W 01' необходиыо ВКЛIОЧИТh (табл. 3 3, поз. 5, а) звено с пере..
даточной функцией \\7... Эти два последовательны х соедн вен 11 я ) BY х 3B( I! Ьt:'В
заменим экивален1'НЫМН звеньями с l1еrеДаТОЧНЫМН ФУНКЦflЯ 111
\V9 == W4 \\75 И W 10 === W 01 W4.
В результате преобразований структурная схема упростилась (рис. 3.3, б).
Теперь участок цепи, параллельно которому включено с передаточной функ..
цией W 9' заменим эквивалентным звеном с передаточной функцией
W11== 1 + Wg== 1 + W4W5.
Еще перенесем сумматор через звено с передаточной функцией W8 против на-
правления передачи сиrналов. Соrласно п. 5, б табл. 3.3, в цепь воздействия воз..
мущения f нужно включить звено с передаточной функцией
W 12 == == 1 + w 02 W 8 .
Ws WЗ
Структурная схема после этих преобразований изображена на рис. 3.3, в.
В схеме имеются последовательные соединения звеньев с передаточными
функциями W6, W 11 И W" WS' Заменяем последовательные соединения звеньями
с передаточными функциями соответственно
W 13 == Wв W 11 == (1 + W4 wo) \\78;
W WIW2WЗ
14 == W 7 W 8 == 1 + \\7 02 W 3 ·
Полученная структурная схема покзззна на рис. 3.3, 2.
В заключение заменим эквивалентными звеньями встречно.параллельное
соединение звеньев с передаточными функциями W 14 И W 10 И параллельное соеди"
нение звеньев с передаточными функциями W4 И W1З. Эквивалентные звенья
имеют соответственно следующие передаточные функции:
W 1" == W 14 == W 1 \V 2 W 3 ,
а 1 W 10 W 1-1 1 W 02 W 3 W 01 W 1 U'/ 2 W 3 W 4
W 16 == W 4 W 13 :.:-.:: \У/4 -1 W 4 W 5 W 8 \f/o.
Структурная схема становится одноконтурной (рис. 3.3, д). Сопоставляя ее
со схемой, показанной на рис. 3.1, и пользуясь формулами (3.3), (3.8) J (3.10) и
(3. ]2), определяем передаточные функции рассматриваемой САР;
W w W W WОWIW2WЗ(W4+W4W5Wв+Wв).
о 15 18 W W W W W '
1 + w 02 W 3 "'1 1 2 8 4
W W1;)W16 \t71W2WЗ(W4+W4Wr) 6+W6).
i 1 t- \\,1 w }: ,
110
\У' х . 1 w
\\1 \712W 15
f 1 + w
1 + \V 02 \ :J \У' 01 \\7 1 W 2 W 3 W 4 .
\tI ,
w 1 W 2 (1 + w 02 W 3)
W,E
rде
W.E 1 W 02W 3 W 01 W lW 2WЗW 4 + w olt71W 2WЗ (W 4 W 4WБWв + Wв).
В примере были сделаны простейшие структурные преобразо-
вания. Обычно с их помощью и удается мноrОКОНТУРИУIО структур..
ную схему привести к о оконтурной. Более сложные структурные
преобразования из указанных в табл. 3.3 используются в тех
случаях, коrда исследуемую структурную CXel\1Y нужно привести
к известной, ранее исследованной.
3.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ rРАФОВ
f1ередаточные ФУНКЦИИ сложной мноrоконтурной САР можно
определить по структурной схеме без при ведения ее к одноконтур..
ной, если использовать метод теории rрафов.
Структурную схему САР можно рассматривать как один из
видов rрафа, и для определения передаточных функций пользо-
ваться формулой Мезона:
w zx ==
r
L НiФi
i==l
Ф
(3.15)
rде W /X отношение изображения Z переменной z к изображению
Х перем:енной х;
'1 '2 rs
<D == 1 L H1i I Н2Ё r НЗi + . · . ;
i:::::;:l i==l [==1
IIi передаточная функция разомкнутой цепи i..ro замкиуrоrо
контура структурной схемы; '1 число замкнутых контуров
в схеl'ле; Н2' произведение передаточных функций разомкнутых
lleТl('i I i Й пары несоприкасаJОЩИХСЯ замкнутых контуров; '2
число нар несоприкасающихся контуров; НЗi произведение
нередаточных функций pa30 lKHYTЫX цепеЙ i..Й тройки llесоприка..
сающнхся контуров; 'з число троек несоприкасающихся конту..
ров; Hi передаточная функция i..й прямой цепи от переменнои х
к переменной z; r число прямых цепей от х к z; Фi ФУНКЦИЯ
ф ДЛЯ той части структурной схемы, которая не соприкасается
с i-й прямой цепью от х к z.
Формула (3.15) позволяет без преобразования структурной
схемы САР определить любую ее передаточную функцию, т. е.
отношение изображения одной из переменных (обобщенных
координат) к изображению внешнеrо воздействия или друrой
IIejJei\1elIlloii .
! 11
.JWL
-
у
5
Рис. 3.4. Структурная схема мноrоконтурной САР с дополнительной СВязью по задающему
воздействию
Используя формулу (3.15), нужно иметь в виду слеДУЮlцее.
Прямые цепи от х к z MoryT частично совпадать одна с друrой. Ilри
определении передаточной функции разомкнутой цепи каждоrо из
1\ОIIТУРОll НУЖIIО учитывать знак обратноЙ связи, образующей ЭТОТ
I\OBTYp. КОНТУРЫ не соприкасаются один с друrим, коrда у НМХ нет
IIК общей координаты (стрелки на структурной CXef\'Ie), НИ общеrо
звена (прямоуrольника на структурной схеме). Если в структур..
ной схеме есть более трех несоприкасающихся контуров, ТО при
вычислениИ функции Ф нужно добавить соответствующие суммы.
Каждая W3 функций Фi вычисляется так же, как и функция Ф,
но рассматривается лишь та часть структурной схемы, н:оторая не
соприкасается с i..ii прямой цепью от х к z. Если с i..й прямой цепью
соприкасаются все замкнутые контуры, то Ф{ ==: 1.
Лример. 3.3. По структу ной схеме САР (рис. 3.4) нужно определить ее пере
даточную функцию относительНО задающеrо воздействия g. ВОСПОJIьзуемся фор-
мулой (3.15) и начнем с вычисления ФУНКЦИИ Ф. в рассматриваемоЙ схеме пять
замкнутых контуров; передаточные функции их разомкнутых цепей W i' W t.
WЗ, .....W4, .....w1W2Wзw4.
Следовзтел ЬНО:
Б
Hll :::::. W 1 + w' 2 W з W 4 W 1 W 2 W зW 4'
1==1
Очевидно, что схе:.ла содержит пары из l-ro и 2 ro, l ro и 3-ro, l ro и 4 roJ
2 ro и 4 ro несоприкасающихся контуров, поэтому
4
Н2! === W lW 2..... W lW з..... W 1 W <1 W 2W 4'
1==1
liыеется только ОДна тройка из неПРIIкаС310ЩИХСЯ контуров, и она состоиr
НЗ 1 ro, 2 ro и 4-ro контуров:
IIзi == W1WZW4.
Четырех несоприкасаЮЩИХСf1 ({OHTypUB в схеме нет, следовательно, теперь
можно определить функцию
5 4
Ф ==] ........ Ин + r Н2е Нае (1 W1) [(1 ..... W2) (1 + W ) + wз] +
i==l i=:;:1
+ W1W2WaW..
От эадающеrо воздействия g к реrулируемоЙ координате у идут две прямые
иепе передачи сиrнаЛЗ. Их передаточные функции
Н 1 =:: W'1 1t7:J \f"' 2 \\'11 И lТ 2 \У! 5 \\7 2 1\7 J.
jJ
(Х,
Рис. 3.5. Структурная схема
дифференцирующеrо rиро-
СJ(опа
7
с первой прямой цепью соприкасаются все замкнутые контуры, со второй
пр ямой цепью не соприкасается только 4..й контур I следовательно,
Ф 1 == 1 и <D 2 1 t- w 4;
2
НiФ[ === 1.\71 \\12 I\fI :JU'/4 + (1 + W 4) w 5J.
i==l
Теперь можно 01lределить ИСКОМУIО передаточную функцию
2
L НiФi
i==l W1W2 (WЗW4 + ([ + W4) W51
Wg
ф (1 \\7 1) [( 1 W 2) (1 l \\7 '1) r \\7 3] r w 1 W 2 W 3 W 4 ·
Леrко -убедиться, что преобразование рассмотренной структур..
ной схемы в эквивалентную одноконтурную имеет более сложный
расчет. Использование формулы (3.15)обычно уменьшает трудоем-
кость определения передаточных функций САР, структурная схема
u
которои имеет несколько взаимосвязанных контуров.
Лример 3.4. Составить передаточную функцию W (I дифференцирующеrо
rироскопа (рис. 3.5).
Начнем с вычисления функции Ф. В схеме три замкнутых контура ('1 == 3)
и все ORW соприкасаются, так как имеют общее звено W l' следовательно. '2 ==
== 'з == ... == о Передаточные функции разомкнуТыХ цепей контуров
Н11 == W1 ( W5) == .........W1W6;
Н 12 == W 1 ( W о) (....... w 2) == W 1 W I W.;
Н 13 == Wi Wз ( W 2) == w 1 W 2Wa.
Определяеl\'1 функцию
Ф == 1 ...... (1 r 11 'I н 12 + н 19)::=: 1 + w 1 W I ..... W 1 W I W 8 + W i W 2 W "
В схеме пее прямых цепи от входной величины В к выходной величине а.
1 f х передаточные функции
Нl.......... Wз ( W д W1 == W1W2WЗ И Н2 == W.U71.
Обе прямые цепи содержат звено W l' которое. входит и во все замкнутые
контуры системы, т. е. нет замкнутых контуров, не соприкасающихся с прямыми
цепями, поэтому Ф1 == Ф2 == 1.
Теперь по формуле (3.15) определим искомую передаточную функцию:
\\7 II1Фl+Н2Ф2 W1W2W9+W4W1
af3 Ф 1 + w 1 W i ----- W 1 W 2 W О + w 1 W 2 W 8
W1 (W, W2WO)
'\71 ['172 (W 3 W 6) + W r;) ·
1 ] Э
3.4. AHA.J10r080E МОДЕJIИРОВДНИЕ САР
При решении задач <iнаЛllза ]{ синтеза систем автоматичеСК()I"О
реrу.пирования, нроме расчетов (путем ручноrо счета или с исполь
зованием цифровой ЭВМ), ШИРОКО применяют аналоrовое модели-
рование {42]. Чаще Bcero с помощью АВМ составляется электрон-
ная модель, т. е. электронная схема, процессы в которой описы-
Ваются теми же уравнениями, что и отличные по физическоЙ
природе процессы в исследуемой САР. Иноrда электронная модель
Части САР соединяется с реальным элементом. Например, модель
объекта и исполнитеЛhIIоrо элемеlIта соединяется с реадьным
электрическим реrулятором.
При исследовании модели l\IОЖlIО изучить влияние параметроп
отдельных элементов САР на ее устойчивость и качество реrулиро-
взния, получить осциллоrраммы переходных процессов npu
различных внешних воздействиях, выбрать оптимальные значения
парамеТРОБ элементов н т. д. ПоrреrПНQСТИ результатов MorYT
составлять несколько процентов, НО 3 Т О часто допустимо при
инженерных расчетах.
Основным линеЙНЫ 1 элементом электронной АВМ яв.пяет Я
усилитель постоянноrо тока с весьм"а большим коэффициентuм
усиления и rлубокой отрицательной обратной связью, назыnаемый
операционным усилителем. ОперационныЙ усилитель охватыпа
ется обратной связью с комплексным сопротивлением Zo == Zo (s)
и на входе включается комплексное сопротивление Z1 ==::: Zl (s)
(табл. 3.4). Передаточная функция эле fента
W :== и2/и1 === Z()/Zl' (3.16)
rде и1 и1 (s) И и2 и2 (s) изображения по Лапласу напря
tJO
женин соответственно на входе и выходе элемента.
В АВМ используются следующие линейные решающие эле-
менты (см. табл. 3 4): сумматор, интеrратор, дифференциатор и
инвертор.
Процессы в электронной модели характеризуются машинными
переменными (напряжениями ПОСТОЯННоrо тока) U1, и2, ..., и, и
описываются теми же дифференциальными уравнениями, ЧТО и
процессы в исследуемой системе, которые характеРИ3Уl\>ТСЯ пере
менными Уl? Yz, ...,11,. Однако машинные переменные отличаются
от действительных IIX значениями. Масштабные коэффициенты
У)
f11J ,
и1
и2 Yi
1112 ::::::: , , · . , /1'l :.::;;;
JJ2 III
(: ,17)
должны выбираться так, чтобы во всех режимах машинные пере-
менные не выходили за пределы рабочеrо диапазона операционных
усилителей (--+ 100, :i:50, -+25 или :t: 1 О В). Вместе с тем для повы-
шения точности результатов исследования значения машинных
переменных при решении задачи не должны оставаться малыми
в течение длпте.ТIЬНЫХ проме,КУТI(ОВ времени.
т [1 б л и Ц а 3.4
Линейные элементы аналоrОDоА вычислительной :машины
Назва ине
элемента
Принципиальиая схема
Линейный элемент
АВЛi
Сумматор
Ии
Ии
Интеrратор
Ла
Дифференциатор
Инвертор (фаза..
инвертор)
и:
,
Передаточная функция
или операторное уравнение
W == lo
Zl
..... ....
n
и2 == -Ro U1i
i==1 Ri
W' :=--...:: 1
R 1 С 05
W =:= R.uC1s
w==
Rl
Время 't протекания процессов в модели также может отли-
чаться от времени t исследуемых процессов, масштабный коэффи"
циент времени
t
m, . (3.18)
't
11ри выборе масштабноrо коэффициента необходимо учитываТЬt
что процесс в модели может продолжаться лишь оrраниченное
время несколько сотен секунд. Если же электронная модель
I t 5
соединена с реа.пьным: элементом, то неоБХОДИ IО И fеть 't ==::-= t, Т. С.
Пl t :;:=: 1.
CxervlY электронноЙ J\ilодели составляют ПО д.1'НРЧJеренциаЛЬНО lУ
уравнеНИIО1 KOTOpblItI описывается исследуемая си<':тем-а, или ПО
СТРУКТУРНОЙ схеме этой системы.
В nepBOl'vr случае линейное дифференциальное уравнение пссле
дуеТ\10Й системы ДОЛЖНО быть разретuеНQ относительно старшей
n..й производной. Затем собирается цепочка из п интеrраторов.
Тоrда на выходе l..ro интеrратора будет n l..я производная, на
выходе 2-ro интеrратора п 2..я производная и т. д. На выходе
п..ro интеrраrора будет искомая переменная. На ВХОД l ro интеrра..
тора подается неззвисимая переменная ОТ [енератора, который
создает необходимую функцию вре1'.fени (линейную, синусоидаль..
НУЮ1 экспоненциальную н Т. д.). Для создания единичной СТУllен"
чатой ФУНКЦИИ reHepaTOp не нужен.
J(pOMe Toro, с ВЫХОДОВ соответствующих интеrраrоров на ВХОД
l-ro интеrратора подаются искомая переменная и ее младшие
производные до n l-й ВКЛIочительно. Производные с четных
интеrраторов подаются через инвертор ДЛЯ перемены знаКа.
Начальные условия задаются путе I предварнтельноrо заряда
IIнтеrРИРУЮЩlIХ конденсаторов. Если общее число интеrралов
нечетное, то на выходе ПОСJiеднеrо будет искомая переменная
с обратным знаком. Для изменения ее знака дол}кен БЫТh ВКЛlочен
инвертор.
В заключение составляется уравнение модели. Н а основании
сравнения ero коэффициентов с соответствующими коэффициен"
тами исследуе1-10rо уравнения llолучается система алrебраических
уравнений, которая после выбора масштабных коэффициентов
позволяет определить параметры решающих элементов. В ряде
u u
случаев максимальные значения искомая пере мен нои и ее ПРОIIЗ"
ВОДНЫХ И длительность процессов заранее неизвестны. Тоrда
правильные значения масштабных коэффициентов удается выбрать
только путем проб.
Пример 3.5. Составить схему электронной модели для решения дифферен
циальноrо уравнения
(аорЗ + aip2 + а2Р + 1) у == kg.
РазреUIИМ исследуемое уравнение относительно старшей производпоЙ:
з k 01? а2 1
р У === g ........... p y ру у.
ао ао ао ао
По полученному равенству составим схему модели (рис. 3.6) из интеrраторов
1, 2 н 8 и инверторов 4 и 5. При этом имеет место следующее соответствие ме)кду
машинными и действительными переменными:
Маши нн ая перемен н ая. . .. и Ui и'2 из а4 US
Действительная перемеllная.. g p у ру y PY У
116
. C; r----1
IJ. ЯI1 Я2 jJr-"l qз
9 l r ,1 О :-/jl;,
L r
81-:
{ )
r6J Н[, I
IfО5
. J
Рис. 3.8. Схема электронной МОАели Аифференциапьноrо уравнения TpeTbero порядка
Теперь, используя табл. 3.4, можно составить систему уравнений, описываю.
щих модель:
1 U1
III ---= C1D (u(Rll + и; /RJ' +!I !R1З + u1/RI4); и2 ,
R2C'l,D
и'!. Ro u R05ll3
1 [3 -------:: ll..j -==- и US .
R:з,СзD ' R.1 R6
В инверторах R4 == R04: И R5 =:.:: Rоз! поэтому И4 == и2 И и5 ::::::r. ........ ИЗ.
I-IСКЛЮl1l1М из этой системы уравнениЙ промежуточные переменные и1, и2,
и-а и и4 :
(R R R С С С D3 + R12R2RЗС2СаD2 + R12RзСзD + 1) R12 .
12 2 3 1 2 3 R R t/5 R II
14 13 11
Заменим машинные переменные действительными и D на р на основании
следующих соотношений:
g у
и == , и5 '=- ...............
тg ту
ПОЛУЧ1IМ
( R12R2RРIСzСзm1Р3 +
R12
=== R mgg.
11
и D == тtP,
\
R12R2RзС'2С пl;Р R12RзСзmtР )
+ + 1 туу ==
RI4 R1З
Сравним это уравнение с исследуе IЬП,1 и СОстаВИJ\1 систему алrеБР:lических
уравнений, которые связывают элементы решаIОЩИХ усидителей с маштабными
коэффициентами и коэффициентами уравнений:
R12RzRЗС1С2Сi)тt == 00;
R12R2RЗС2Сзт;
R14
R 12т,.. ..... k
R 11 ту ·
== аl;
R12RзСзт( .
R == а2,
19
По этой системе четырех алrебраических уравнений после выбора масштаб-
ных коэффициентов следует выбрать девять элементов решающих усилителей.
Следовательно, И\lеется свобода выбора параметров.
117
Если задача реJJJается в 33-
!\1еД.nенном темпе (т, < 1), то
необходимы большие значении
СОПРОТИВ.JIений и емкостеЙ,
а при ускоренном темпе (1n! >
> 1) ..... меньшие.
В ряде случаев ясследу
е!\10е уравнение содержит про-
u
изводные независимои перемен..
Рис, 3.7. Схема электродной модели диффе- ной. Для их создания в элек..
ренциаJlьноrо уравнения nepBoro порядка б
тронную модель MorYT ыть
включены дифференциаторы.
Однако при операциях ДlJфtреренцирования ПОВЫUlается ypo
вень llrY]\'10B и возни KalOT некоторые специфические поrреПI"
IIOCTN. Поэтому вместо использования дифференциаторов целе-
сообразнее подавать независимую переменную с соответству"
ющими коэффициентами на входы еще несколько интеrраторов,
кроме первоrо.
RJ
LL
l121
Но
S,z
Пример 3.6. Составить схему электронной модеЛll для решения дифферен..
циальноrо уравнения
(ар + 1) У == k (Ьр + )) Х.
ДЛЯ моделирования уравнения потребуется интеrратор 1, сумматор 2 н нн-
вертор 3 (рис. 3.7). При 3ТОМ имеет место слеДУlощее соответствие между машнн-
ными и действительными nеремеННh1МИ:
Машинная перем:енная ........... u
Действительная переменная . . . . . . . х
и2
У
из
x
По схеме модели на осноnании табл. 3.4 имсе\1
( иl ИЗ ) [ R12U и ].
и2 == R2 R21 R22 == R2 R21 (R12CD + 1) R11 R22 '
RI1R21R22 (R12CD + 1) 112 = R2 [R12R22 + R21R11 (R12CD + 1)] и;
(R12CD 4 1) и2:::::: R2 (Rl]R21 + R12R22) ( RI1R12R21CD + 1) и.
RIIR21R22 R11R21 + R12R22
Заменив машинные переменные действительными и сравнив полученное ypaB
нение с исследуемым, составим систему алrебраических уравнений для выбора
элементов решающих усилителей:
R2Cmt :== а; R2 (Rl]R21 + R12R22) ту =-::= k;
Rl]R21R22fпX
RIIR12R21Cmt ь
R11R21 + R12R22 .
При уравнении более BbIcoKoro порядка и большем числе про..
изводных независимой переменной целесообразно сначала при-
вести ero к системе уравнений }..ro порядка и затем уже составлять
схему модели. Порядок расчета изложен в работе [5]. Схема MO
дели в таком СПОХМОМ случае может быть составлена также С по..
мощью вспомоrательной переменной [1091.
118
НззваниЕ'
зв€на
Идеаль.
ное уси
литель.
ное
Аперио.
дичеСJ<ое
Коле6а
тельное
Консер.
вативное
т а п JJ и Ц а З.1i
Электронные модели ТИПОВЫХ динамических звеньев
СхеМа модели
R
Ц Ц2
с
a l
ч
и
u.z
и, Н{ С, Rч С2
. Z
Передаточная функция
w == k, rде k === R2/R1
W' :::::: kj(Ts + 1), rде
k == R2!R1; Т 2 == R2C
w== k д
T2s2 + 26 т s + 1 ' r е
k == R 2R 5 ;
RIR,
Т VR2RзR"С1С2 ·
R,)
6 :=;: 1 V. R2RзR5С.
2R4 RвС2
k
\\7 == T2s2 + 2 Ts + 1 '
R
rде k ==: R: ;
т == V RзR4::СIС2 ·
== 1 V RзR4RвСz
. 2R:: R5C1
W kj(T2s2 1 1),
('де ' ==- R2R4 ;
RIR.
1; --:. .v R2RзR4СIС2
R,
(J.2
w == kj(T2s2 + 1) ,
R
r д е k == .........----.! ;
R1
Т 7;'7 1/ R2RзR5С1С2
V R4
1 J 9
Название I
звеНа t
Идеаль
ное ин.
теrриру.
юrдее
Иитеrри-
рующее
инерци.
Qниое
ИЗ0ДрОМ
нор
Идеаль"
Ное диф
ферен"
ЦИРУIО"
щее
Диффе.
ренциру
ющее
инерци-
онное
Форси
РУIощее
l O
Про Д о .Т'I ж е н и е т а б л. 3. 5
Схема МОДЕЛИ
Передаточная ФУНКЦН
с
и 2
\17 =-= k/s, rде k.... lj(RC)
\t7 == k
s(Ts-1 I) ,
k.....;: Rз/(R1R2СJ):
т -== RзС'j
Uf
Н2 С
2
W k('ts+l)/s, rде
k==1/(R1C); 't===R2C
\\7 === k ('t"s 'I 1) / s ,
. k R6
I,Ie == RIR C
Т R]RзR4С
R2R6
R
C 2
w == ks. rде k RC
Я2
2
w == ..... ksj(Ts + 1),
те k == R2.C;
Т == R1C
1\? .... ks/(T + 1). r ДС'
k R1R;jC/ R 2;
т == R1C
. .' .. ....
Яр
2
Rj
w ::::: ..... k ('ts t ] ) I
r.ne k == R 2/ R 1; 1- === R 1 С
('f)
C'I:!
::i
1=:
\о
C'\J
rD
О
t-o
::z;
Q,I
::Е
(l)
1:;:
(11
tt::
:о:
:I:
C.J
tr
=:
("1')
I
1\
ct:'
ct:
11
со
ct:'
11
cr;
11
u
...........
.........
I
t:,
............
11 r;
N
11
.....!
... ct::
u
...........
11
. ,
h-
::::: t.J
C'.I f-,. '1 h
h I t..... I
11 I
rv Е:--,
о::' ..,-
.. u
r:-..
11 11
о:; r:::.'
11
h\U
11 It
C\J
1"-
о:: l->
.
I! h
aпQ:;'
. I
ct::;'
h I ct:;
h 111
D'">
11 Q:;
r"'t
tA
Q,)
.А
= tJ
N
81 Q) е:: v
м . r- Q) r::t
r::( h 11 t...
tJ . ... f;g
::s: t-
:f ФQ:;' ... ........ Е--.
.. ,......., со')
Q: ...., ,......" u ....-4 ct: ....-4 .00:: 1\
......... + н
t!;: + ct:; +Сс:: h
:1:: ... t" сс:: ..;о . ,. R:
::f 9 11 u (I) 11 I fJ) о:: -1
== ;::( qt I.Q f..,. h .n
:::с O:; '=> + .......,. о:; """""Ct:;af){J
си ........., , 'O:!I о:: :::::: ct;' ,
Q., CI: см ............. ::: о:: t.J с'1
cu .g. O:: ........ С'.а ...... ct:::
-& h ...... . ... rI ""'Са::'
+ + 11
-& .. CI::;' + "1 11
f.r,j """" С' I I
== ::z; ............ ('! OtrI ct:; f:--.
t:! :r- ........ 11 cr:; о:; ":11
I О ............
&. t-o h
J h .rt 11 i 11 \\ I1
'"" 1:( I
d) C.J I
.. Q, 11
:: C.J ........., "
:s: t:: .:t 11
:: 11
1;
u
z
4)
:а
::
=
о
CL.
f-o
:а.=
Q,)
1;
CI':I
Q::'
11
11
1""1
=
1:;
Q)
1:(
о
11
ro
:2
C.J
Х
U
t..)
с(
121
tO
М
t::
ro
4)
==
х
4)
*
r;:
о
о
а..
122
11
11
ci
f--o
::F.
(u
(1)
11
с'-
.n
с<
11
11
11
со
tJ:;
:;;:
::с
v
:r
t'J
::с
('i)
ci u
........
\ 1, [..... h
'"'i t'" I
Q:;'
-......,..J
11
1»
D::
:о:
:::f
:t:
::с
>.
-е-
tr:::
«1
::с
:r
О
t--
t::t
Q)
о.
Q)
Q)
t:::f
r... 1'"
с'('
... Or.I
.........E---.t...)0::'
1'" '"
LI\
I се
tI') +
'<:11 Ф
CJ
........ ,... с'('
I C\I
11 Q:;'
......... 11
I1
.
::s:.
1=:
Q)
J:(
о
:z
('\5
':;;
OJ
Х
U
...........,С,,)
CJ
"""",Е---.
.............
h 11 .........
\..)
11 с(:
.........
11
м
O:::h
11
u')
u
lJ.........
<..J
11 Е: .t
r.<hl
.!:- I1
..,.
о::
...
<..J
11
C\I
C,J
11 ..
....0::'
CJ 11
l.J
Il l.J
I
C,J
11 11
t'1
t...)
I1
i:":I
Q:;
. ..
.........
....... C\I
+ IQ C,J
..
CI) .............
C\I \s 11
h
CI) .......... о::' 1»
с'1 [.....
о:;'
+11
vj с.5
...-/ IN
t:
Q) 11
1=':{ 11
h "'"'
0I!fI
Q:' cq
:::-......... C'>I\..)
+ ....+ Q::: '""' о:: 1\
I \..) C<I
v:. r;
c2 I
VJ о::' с!) '"'i
о::' ..-1 1"'\.;' t...)
Ct;...... rN
..-10::'
о::
\
"
11
11
..
\1
I
11
(1)
1=:(
t...
с,С)
""
t::=
\0
CQ
си
::о:
:ж:
aJ
::Е
о
о
а.
t:
...........
.
...........
li
'" el «l
Ct: ........
1"" 11 1\
E;:lo;
1\
........... ..-!
11
' h
с:'
11
а
!-о<
::=
w
:=:
Q)
1:;:
(1)
{I:
=
:=
Q)
::1'
:J:
c't1
.........
;:- <..JlJ
. 11
с:' fN
""" <..J
<.J ..:::...:-' I i
........ 11
""" (.J
I il)
11 t-'
<..J N .........
11 ct:
e.I
U
jl
..-!
(.J
11
0"1
...........
....
C'1
...........
I\
h ..-i
11 j
-o:rl\ez::
t-
r,r:
::1
"
"'1
:: ct: v
e-t ..
=- + Ct:, ck:
+ I c.5 11
h м с::: '" ct:: е>1
Ct:"" I
.................. ....: ez:: с::'
..rc ....
I +.......... с::' ct::
'Ff'I .... с..:>
, сс: r:<
t:. 11 11 11
х
>-
-&
IX
('oj
:r::
::r
о
'"""
с13
<u
Q..
<u
11
&
t...
:s:
CI)
::е
Q:I
<u
U
... ;.:. 11
с..:> u с:, ео
11 .........
с'1 ez:: :::::: 11
с..:> 11 Е--. ot)
11 .... 11 11 ct::
<..J""" с:' '" 11
ct:: сс:' n
сс:'
ct:
-4
\с
ct::
\..J
1""'1
<..J
с
с'<
..,
сс:'
C\I
о::
I
h
.....
\..J
1
(.J
ф
Q:'
о::
CQ
сс:'
+
(1) с..:>
CI
v,<lJ.Л о::
C'.I C":I
+0::
"1 11
t:01'J) .J:t
11
e<I
......
r:--\
1I
&..w
123
<.о
с,')
\о
ro
f....
Q)
==
:ж:
aJ
о
о
о..
r:
124
.a:I
О
::
'"'"
<lJ
t:;
(1'\
:r
с)
:r
....
м
...
;-...
..е-
;r:
"
r--
1=:(
Q.)
Q.
Q,)
t::
=
r:;
C1I
r.:[
Q
:s
«s
::;:
C1I
U
...........
<:...J
...,
.........
;.
h
11
,........
tJ
...........
11
.... h 11
о:: 11 ct
. ... IN
C,J о::'
11
C'J
lJ
11
8"'!
<:...J
G
ct:: I.Л
11
...........
\1';: h
Q:'
11 11
C1:;
с::'
CJ
....-1
... ........ <:...J
ci Q:
'o:f! о')
,........ I Q:' Q:
...... I ........ IN
+ vj с1:;
tn tл '"
C'J ,..;;...
+ о:: 11
1 C1:; h
11
.....
........
,:';1
C,.)
ct)
Q::'
Q:'
'С;
11
IJJ)
"
&
0-4
о:
...........
о:
11
wt
.....
. '"
u
"'""
11 <:...J
e;I
C'JQ:'
<:...J
11 11
..-!
U..-t ct::
ct::
11 G
"'Q:'
Q:'........
11
Q:' 11
11 с':
Ct::
ck;
..... CN
.-:.. о;:'
tJ ...
+ u IC cl::;'
о:
C'I с1:::
vj IN о:
C'I
11 t:t:
11 11
'""' е....
....
Для решения мноrих задач Э ТIектронную модель удобнее со.
ставлять так, чтобы ее схема совпадала со структурной схеi\'10Й
исследуемой САР, т. е. собирать электронные модели отдельных
дина иq'еских звеньев САР и соединять их в соответствии с ее
структурной схемой. Такая модель имеет ряд преимуществ:
в процессе реlIJения задачи МаХНО наблюдать за каждой нз коорди"
нат САР, изменять параметры отдельных звеньев и учитывать их
'" u
нелинеиные своиства.
Данные для набора электронных моделей типовых динамиче..
ских звеньев приведены в табл. 3.5. К некоторым схемам для
получения положительных передаточных коэффициентов необхо.
АММО присоединить инвертор. Схемы моде.пей интеrро.диффе.репци..
рующих звеньев даны в табл. 3.6. Сведения для моделирования
более сложных звеньев МаХНО найти в работе [42]. в ЭТОЙ моно..
rрафии рассматривается также моделирование нелинеиных систем,
u
систе.м с переменвыми параметрами и систем npu случаиных
в)здействиях.
r лава 4
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Системы автоматичеСI<оrо реrулирования находятся под влия-
Нllем изменяющихся внешних воздействий: возмущений, задающих
воздействий следящих систем и систем проrраммноrо реrулирова-
ния. Каждое такое изменение создает в замкнутой САР рассоrла..
сование, вызывающее действие исполнительноrо элеl\lента и дви"
жение объекта реrулирования. Поэтому важно исследовать Дlfllа..
fические процессы в САР 11 их динамические свойства.
В п. 2.4 61:.1/10 ОТ fечено, что принято рассматривать динаМIIЧС"
ские процессы, возникающие от типовых внешних воздействиЙ,
которые определяютсн временными характеристиками. Поэтому
при анализе и синтезе САР обычно требуется вычислить или
построить временные характеристики. Наиболее часто оказываются
необходимыми переходные характеристики относительно задаю-
u
щеrо воздеиствия UJIU возмущения.
Рассмотрим наиболее употребительные методы определения
временных характеристик сложных элементов и систем и приведем
справочный материал, необходимый для применения этих методов.
Временная характеристика может быть определена путем реше-
ния дифференциальноrо уравнения классическим методом, опе-
рационным методом, одним н 3 численных методов н с помощью
вычислительной машины (цифровой или аналоrовой).
С появлением и все более широким распространением электрон-
ных микрокалькуляторов существенно повысилась продуктив..
ность ручноrо счета, применение KOToporo в инженерной практике
вновь становится целесообраЗНЫ 1 прежде Bcero из-за большой
оперативности. При этом, несомненно, следует использовать опера-
ционный метод решения дифференциальных уравнений, которому и
u
уделено основное внимание в даннои rлаве.
Для предварительной оценки динамических свойств САР
широко применяют rрафоаналитические методы приближенноrо
u u u
построения переходнои характеристики по вещественнои частотнои
характеристике. Эти методы особенно удобны, коrда каI<ой либо
элемент системы ОПJ1сывается не дифференциальным уравнением,
(-! ЭКС пер нме нталы(() СII ятыIII чаСТ()ТlII)Ii\НI ха рC'l !,т<,р JlC'TJI K(l МВ . Пере..
ходные характеристики MorYT быть определены н друrими MeTO
дамн. Следует всеrда иметь в виду, что rрафик переходной xapaKTe
ристики МОХНО получить на электронной модели САР. БОЛЫlIое
преимущества моделирования заключается в возможности сопря-
жения электронной модели с реальным 'элементом, точное матема..
тическое описание KOToporo затруднено.
4.1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
Операционное исчисление дает экономный метод реllIения ЛII-
неЙных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи.
циентами, который наlлел 1I1ирокое применение в расчетах, связан.
ных с анализом и синтезом САР. Он применим также к линейным
уравнениям с переменными коэффициентами, являющимися поли-
номами от t [62].
Сущность метода заключается в следующем. Пусть требуется
отыскать решение неоднородноrо линейноrо уравнения при задан..
ной функции времени ero правой Части и заданных начальных
условиях. Прежде Bcero уравнение преобразуют почленно по
fiannacy с учетом начальных условий. Из полученноrо алrебраиче..
CKoro уравнения определяют изображение искомой функции вре-
мени. Затем изображение подверrают обратному преобразованию
Лапласа и таким образом находят ориrинал, т. е. искомую функ-
цию времени.
Ecnu задана система линейных уравнений, то преобразуют
по fiannacy каждое из уравнений. Затем из полученной системы
алrебраических уравнений определяют изображение искомой
функции времени и по изображению находят ориrинал.
Пусть уравнение описывается САР и имеет следующий вид:
l:!I == RvV, (4.1)
rде
D === avpn -+ alPn l + . . . ап;
R Ь Рт + 1) Pт l + · + Ь' т п,'
v 1', 1 · · '1 '
У и v функции времени, соответственно реrулируемая величина
и внешнее воздействие.
Для преобразования уравнения (4.1) по Лапласу при нулевых
начальных условиях достаточно (см. п. 2.4) заменить оператор
дифференцирования р комплексной величиной s, а функции вре..
мени у и v заменить их изображениями соответственно У и V.
Выполним эту операцию и решим полученное уравнение относи-
тельно У:
DY RvV; У == z; V === WvV, (4.2)
I"де \flt. " передаточная функция САР относительно воздействия V.
Выясним, как следует поступить в общем случае при l1енуле..
вых начальных условиях, но сначала уточним зто Понятие.
Начальные условия для уравнения (4.1) .есть совокупность
начальных значений искомой функции у и ее производных до
п ---- l..й включительно.
Рассматривают начальные условия у (+0), у' (+), ... (правые
начальные условия) или предначальные условия у ( O), у' ( O), ..
(левые начальные условия). Различие между ними заключается
в направлении подхода к точке t == о. Значения функции 11 и ее
производных в точке t === О, если подходить к ней от f <: О, есть
предначальные УСЛОRИЯ:
уи) ( O) === Вт уи) (tJ t::), ( l. »)
e +O
rде в малая положительная величина; i = 7 О, 1,..., п 1.
Значения функции у и ее производных в точке t == о, если
подходить к ней от t > О, есть начальные условия:
у(О (+0) Нт у(п (О + в).
е ..,.0
(4.4)
Знак + или ..... перед нулевым aprYMeHTOM функции у и ее
u
производных указывает, следовательно, с какои стороны при..
ближались к ЭТОЙ ТОЧке.
Обратимся к уравнению (4.1), которое описывает САР и по
u
которому определяют зависимость ее реrулируемои. величины у от
внешнеrо воздействия У. Предполаrается, что воздействие прило..
жено к системе в момент времени t == о. Тоrда предначальные
условия у ( O), у' ( O), ... характеризуют состояние систеМЫ до
ь
начала динамическоrо npoqecca, создаваемоrо воздеиствием v.
Чаще Bcero предначальные условия нулевые.
Значения воздействия V и ero производных при t == О MorYT быть
отличными ОТ нуля и повлиять на состояние системы, изr-.1енить
u
значение реrулируемои величины у и ее ПРОИЗВОДных сразу же npu
t == о. Тоrданачальныезначенияу (+О),у' (1 0), ... будут отличны
ОТ предначалъных:
у(О (+0) у(О ( O) ---- Ау(О (О).
(4.5)
Приращения искомой функции времени и ее производных при
t == О MorYT быть найдены определенным методом по изображению v
внешнеrо воздействия и передаточной функции Wv системы относи-
-.
тельно этоrо воздеиствия v:
Ау (О) == lim sWvV;
s----;ф.оо .
Ау' (О) == lim s [sWaV ...... Ау (О)];
---io 00
ду"(О) == Нт s [.s2WvV ...... s ду (О) ---- Ау' (О)};
s ---)о 00
(4.6)
......................
Чем меньше степень числителя функции Wv V отличается от
степени v ее знаменателя, тем большее число начальных значений
отличается от предначальных .
Пусть
W V == osJl. + l\sJl. l + · · · + IJ. (4.7)
V aos V + СХ1 S 'v 1 + · · · + CXv '
rде 'v > .
Тоrда при л == v f.t 1
y (О) == t!y' (О) == · · · == у(л 2) (О) == о;
11 у(х...l) (О) == ol ао;
у(Л) (О) === ( а ) ·
ай 1 1 ай '
Ау(Л+l) (О) o [В2 а2 : : ( l а1 :)];
....11.."....11..11............ .
I
l1у(л+х) (О) == а [ X+l а,." t!у(л l) (О) а, у(л) (О) .
о
aX l у(л+l) (О) '.. Cl1 J1у(,л+Х"'l) (О)]
npa п1 п I Ау(О)==О;
при т === п 2 Ау (О) == Ау' (О) == о;
(4.8)
(4.9)
при т == О
dy (О) == J1y' (О) === · · · :::::;; L1y(n l) (О).
Решение уравнения при предначальных условиях. Пусть для
уравнения (4.1) заданы предначальные условия у ( O), у ( O), ....
Преобразуем уравнение по Лапласу, пользуясь п. 1 и 2 табл. П 1.1
и учитывая, что при t == o внешнее воздействие v еще не влияет
на систему. Получим
DY Ми === RvV,
(4. 1 О)
rде
Ми == аоу ( O) Sп l -+ [аоу' ( .O) + а]у ( O)] "п 2 +
+ [аоу" ( O) + а1у' ( O)] + а2у ( O)] sп...З · · · +
+ [aoy(п l) ( O) + a1y(п...2) ( O) + .. · + arl lY ( O)].
Теперь решим полученное алrебраическое уравнение относи-
тельно У:
У Ro V + Ми W V + Мп
.........D D v D.
(4.11)
Если передаточная функция Wv имеет полюсы (корни поли..
нома D) Л1, Л2, ..., Лп И нули (корни полинома Rv) 1'1' 1'2' ..., Ут,
5 Макаров и. Лrl.
129
а изображение V == V1/ V2 имеет полюсы (корни полинома V,)
Рl' Р2, ..., Pll И н,ли (корни полинома V 1) <11' <12, ..., <11l, ТО
У Ьо (s '\(1) (s 1'2) ... (8 '\'т) 10 (8 (Т1) (s (Т2) ... (8 0ll) +
ао (S Лl) (S Л2) ... (S Лп) (S Pl) (S Pz) ... (S рТ))
+ 00 (S Лl)(S 2)'" (S Лп) , (4.12)
rде аоу ЬО и fo ---- постоянные.
Из равенства (4.12) следует t что изображение У и, следова..
тельно, реrулируемая величина у во время динамическоrо про..
цесса, вызванноrо внешним воздействием v, зависят от значения
нулей и ПОЛIОСОВ как передаточной функции W" так и изображе..
HUH V внешнеrо воздействия. Кроме Toro, У и У зависят от началь-
ных условий. В соответствии с этим реrулируемую величину можно
представить в виде суммы трех составляющих:
Y YB+Ye+YCB' (4.13)
Здесь Ув ---- вынужденная составляющая: Ус ---- сопровождаю-
щая составляющая; Усп свободная составляющая; Ус + УСВ ----
собственная составляющая.
Еспи все ПОЛIОСЫ передаточной функции W о И изображения V
простые, т. е. отличаются от нуля и один от друrоrо, то по формуле
1 табл. n 1. 3 определим
t1
Ун === L Rv (Pk) I (Pk) ePkt;
k==l D (Pk) V 2 (Pk)
n
У Rv (Лl) У! (Лl) e""lt.
с D' (ЛI) V2 (ЛI) ,
i==l
n
Ми (ЛI)
Уев ==== D' (Лl)
i==l
1.'
е , ,
(4. 14)
rде
V2 (Pk) Z:::: [ dJ2 ] И D' (ЛI) == [ ] .
8 s==p k 8 S;;;:)...l
Еспи изображение V имеет нулевой полюс и V2 == SV21, ТО по
формуле 2 табл. Пl.3
,, 1
Ув <== Ro (О) Vi (О) + Rv (Pk) V1 (Pk) ePkf (4.15)
D (О) V 21 (О) ft PkD (Pk) У;1 (Pk)
т. е. вынужденная составляющая Уп имеет постоянную составляю..
щую.
Переходная характеристика h есть реакция САР на единичное
..
ступенчатое воздеиствие при нулевых начальных условиях.
В этом случае v == 1 (t), V == 1/8 И МН == о. Следовательно,
изображение лереходной характеристики САР относительно внеш-
u
Hero воздеиствия v определяется равенством
Н Wv == Ьо (5 1'1) (5....... 1'2) ... (8 1'т) , (4.16)
8 ао (5 Лl) (8....... Л2) ... (s Лn) 5
И при простых nonwcax передаточной функции W v
п
h Rv (О) + "---ди..(Лl) А t
D (О) k.J ЛiD' (hi) е l ,
1==1
(4. ] 7)
т. e переходная характеристика САР относительно внешнеrо Воз-
u u
деиствия зависит только от значения нулеи и полюсов передаточ-
HOW функции САР относительно этоrо воздействия.
Формулы (4.13) (4.15) определяют решение дифференциаль-
Horo уравнения в таком виде, который отражает физическую сущ..
ность динамическоrо процесса в системе. В 3ТОМ одно U3 достоинств
операционноrо метода. Преимущества этоrо метода по сравнению
с классическим методом также в ТОМ, что решение не содержит
постоянных интеrрирования, для определения которых нужно
составлять и решать систему алrебраических уравнений.
Пример 4.1. Решить операционным методом уравнения
(р + л.) У == Ь (р + ,,) 1 (t),
rде л == 0,2; Ь == 2 и 'у == 0,1,
при предначальных условиях
У (........0) == Уо == 1 и У' ( O) == Yl == 0,5.
Почленно преобразуем уравнение по Лапласу, используя табл. П 1.1 и П 1.2:
8 Y sYo ........ Yl + 2л (8У Уо) + л.2 у == ь (s + 'У) 1/8== 0)9.
Затем определим из полученноrо алrебраическоrо уравнения изображение У
искомой функции времени у:
у == b(s+v) +Yo(s+c)
s (s + л.)2 (s + л)2 '
rде с == Yl/Yo + 2л.
Теперь можно определить, ПОЛЬЗУЯСЬ табл. Пl.3, составляющие решения
рассматриваемоrо уравнения:
УВ == Ь1'/л.2 == 5;
Ус == [ + ь (л '1') t ] e и == ( 5 + t) e O.2t;
Уев::::;: Уо [1 (л с) t] е...л.t (1 + О, 7t) e O.2t.
Следовательно, решение рассматриваемоrо уравнения
У == Ув + Ус + Уев == 5 + (1,7t..... 4) e 0,2t.
Для пpoeeprtu решения определим
у I ::::;: 1,7 е"'О' 2' 0,2 (1, 7 t ........ 4) е o. 21 =-= (2, 5 0,34 t) е 0,21 ;
У" == .....0,34e O,21 0,2 (2'5....... 0,34t) e O.2' ::::;: (0,068t...... 0,84t) e O,2/.
Подставим значения у, у' и у" в левую часть уравнения:
(р + л)2 у === у" + 2лу' + л2у == (0,068/ 0,84/) e--o,2t +
+ 0,4 (2'5..... 0,34/) e o,2! + 0,04 [5 + (1 ,7' .... 4)]e--ОJ2t == 0,2.
Правая часть уравнения
Ь (р r--1') 1 (t) Ьб (t) + Jr.r1 (t) 2Ь (t) + 0,2.1 (t).
Следовательно, найденное решение не удовлетворяет уравнению. Запишем
решение в таком виде:
у === (Ув + YrJ 1 (t) + УСВ == [5 + (/ ..... 5) e O.2t] 1 (/) + ( 1 + 0,7/) e--o,2t.
Теперь
у' === [e o.2! 0,2 (! 5) e o,2t] 1 (t)+ (5 + (/ 5) e o,2! J б (/) +
+ (o,7e o,2! 0,2 (1 + 0,7/) e o,2t] == (2..... 0,2/) e o,2tl (t)+
+ (0,5 О, 14/) e o,2t,
так как t (t) 6 (t) == f (0)6 (t) и npw t === О [5 + (t 5) e--o,2t] == о;
у" == ( o, 2е o, 21 ..... 0,2 (2..... О ,2/) e O' 2t] 1 (t) + (2..... 0,2/) е o .2' 6 (t) +
+ [ o, 14e o,2t 0,2 (0'5....... О, 14/) e O,2/] ==
= 26 (t)+ (0'041..... 0,6) e...o,2t1 и) + (0,028/ ..... 0,24) e o,2t,
так как при t === О (2 0,2/) e o,2! == 2.
Подставив значения у, у' и у" в левую часть уравнения, получим
(р + л) у == 2 б (/) + 0,2 1 (t),
т. е. решение удовлетворяет уравнению.
По значениям у и у' можно определить предначальные и начальные условия,
подставляя соответственно 1 (t) == О при t == o и 1 (t) == 1 при t == +0:
у ( O)::::= 1; у' ( O) == 0,5; у (+0) == 1; у' (+0) == 2,5.
Леrко убедиться, что изменение начальных условий по сравнению с предна..
чальными удовлетворяет равенствам (4.6).
Предупреждение ошибок. Дифференциальные операторы D
и Rv соответственно левой и правой части уравнения (4.1) MorYT
содержать один А ТОТ же элементарный со {ножитель. Возникает
желание сократить их на общий сомножитель. Однако 3 т О недо..
пустимо, так КаК будет получен неверный результат.
НеоБХОДИl\fО также иметь в виду, ЧТО неверное решение может
быть получено, если упростить правую часть уравнения (4.1),
воздействовав дифференциальным оператором Rv на ФУНКЦИЮ
времени v. Такое упрощение ДОПУСТИМОt коrда функция v является
ступенчатой. Есnи же она непрерывная, то ее необходимо умножить
на единичную ступенчатую функцию 1 (t), так как предполаrается,
что внешнее воздействие v приложено при t == о.
Вынужденная Уп И сопровождающая Ус составляющие решения
(4.13) уравнения (4.1) вызваны внешним воздействием v и суще..
ствуют только nрn t +0. Поэтому решение (4.13) следует запи-
сывать в таком виде:
У:=: (у» + УС) 1 (/) + Усв' (4.18)
132
В противном случае решение может не удовлетворять уравне-
нию, как и было показано в примере 4.1, и по решению нельзя
определить предначальные условия.
Пример 4.2. Пользуясь операционным методом, решить дифференциальное
уравнение
(р + Л1) (р + Л2) у =::: (р + ,,) e pt,
rДе Л1 == 0,2; Л2 == 0,5; у == 0,2; р == 0,05, при передаточных условиях у ( O) ==
.... Уа == 2 и у' ( ) == Уl === 0,5.
Почленно преобразуем уравнение по Лапласу, используя табл. П 1.1 и П 1.2:
5+1'
S2V SYo Уl + (Л1 + Л2) (sV Уо) + л1л2V == + ·
s р
Определим изображение У искомой функции времени У:
V s + v Уо (s + с)
(s + р) (s + Л1) (5 + Л2) ---t. (s + Л1) (s + Л2) ,
rде с::= Уl/УО + (Лl + Л2) === 0,95.
Пользуясь табл. П 1.3, определим составляющие решения искомой функции у:
УВ ==
l' ........ р e P! == 20 e o.05t;
(Лl ...... р) (Л2 ....... р) , 9
"'.......... Лt е Лlt -+- ,, Л,}
(р .... Лl) (Л2 Лl) (р...... Л2) (Лl Л2)
е '''2 t :::::...... 20 е o ,5! ;
9
Ус ==
Уев == Уа (с....... Л1) е Лlt +. Уо (с...... Л2) е Л2t 5e o,2! 3е о.Бt
(Л2 ..... Лl) (Лl ..... Л2) .......
в соответствии с формулой (4.18) решение уравнения
20 5
У == 9 (e OtO t e...O,5t) IJt) + (5e O.2! Зе--о,5t).
Для проверки решения определяем
у' == 290 ( O,05e O.05! + O,5e O.5t) . (t) + (e O.05! e O.51) б (t) +
+ ( e O.2! + 1 ,5e O.5t) == -} (lOe o.5t e O.OЫ) 1 (t) + (1.5e O.5t e O.2t),
так как при t == О (e O.05t e O.5t) == О;
у" 0:= + ( 5e o,51 + o,05e O,05!) 1 (t) + t (IOe o.5t e O.05t) l) (t) +
+ ( o,75e O.5! + O.2e O,2f) 6 (t) + (O.OIe O,05f e O.51) 1 (t) +
+ (О,2е--О.2! ..... O,75e OI5t),
так как пра t == О (1 Ое O.5! е O.05t) == 1.
Подставим значения Уа У' И у'! В J]евую часть уравнения:
(р +- Лl) (р +- Л2) у == у. +- P"l + Л2) у' + Л1Л2У == l} (t) + (0,Ole o.051
e O.ы) 1 (t) + (O.2e O.2t О, 75e O.5t) + 0,7 [+ ([Oe O.5t e O.05t) 1 и) +
+ (1,5e O.5t e o.2I)] + 0,1 [ 2 (e O.05t e O.ii!) 1 (t) +
+ (5e,""O,2t зе ОI5t)] == l) (t) + e"""o,05t.
20
Правая часть уравнения, в которой непрерывная функция e P! умножена на
единичную ступенчатую функцию,
(р + ,\,) e ptl (t) == pe"P! 1 (1) + e...pti) (t)+ уе ptl (1) ==
== l} и) + 2 е O.05t,
так как при t == О e P! == 1.
С.J1едоватеЛuIJО, найденное решение удовлетворяет уравнению.
Дифференциальные операторы левой и правой части уравнения имеют общий
сомножитель (р 0,2). Если их сократить на 3ТОТ сомножитель, ТО уравнение
принимает вид
(р + Л2) у == e Pt.
Преобразуем ero по Лапласу и затем определим
у 1 + УО
(S+Р)(S+Л2) S+Л2
Ун == 1 е"Р! === 20 e""O.05t;
Л2 Р 9
1 ')..a! 20"'0 5!
Ус:;=::: р Л2 е === """"9 е · I
У У е-Лаt 2е"'О, 5!
св о ·
Получено неверное решение, ибо значение ero свободной составляющей су"
щественно отличается ОТ действительноrо.
Попробуем упростить правую часть рассматриваемоrо уравнения, воздей"
ствовзв дифференциальным оператором на имеющуюся там функцию времени:
(р + у) e {)! == pe"P! 1" ye--pt (у р) е--Р'.
Теперь уравнение приняло вид
(р + л'l) (р + л'2) У == (,\, р) e pt.
Преобразуем ero по Лапласу n затем опредеЛИt\'1
у== ,\, p ........ 4'o(s+o).
(s+p) (s+лl) (sh2) + ,
'\' Р е""Р! 20 е O,OЫ:
УА == (лl..... р) (Л2 р) 9
Ус '\' Р е --;..! + '\' Р е "' .2 t ::=;
(р л'1) (Л2 Л1) (р Л2) (Лl Л2)
== e .2! I-}90 e O.5! .
Полученное решение опять неверное: значение ero сопровождающей состав-
л яющей существен но отличается ОТ действител bHoro.
Если же правую часть уравнения записать в виде (р + 1') e P! I (t) то поспе
упрощения она оказывается равной (t) + (" р) e fJt I (/).
Преобразовав это выражение по Лапласу, получи.м
1+ у----р == в+" .
s+p s+p
Следовательно, изображение искомой функции у равно
V s + у Уо (s + с)
(s+ р) (s+лt) (S+Л2) + (s+лt) (S+Лg).
и будет получено верное значение этой функции (решение уравнения).
Решение уравнения при начальных условиях. В этом cnysae,
преобразуя рассматриваемое дифференциальное уравнение по
Лапласу, необходимо учитывать как начальные значения искомой
переменной и ее производных, так и начальные значения внешнеrо
воздействия и ero производных. Поэтому после преобразования по
Лапласу уравнения (4.1) получим
DY Ми == RvV NH, (4.19)
Ми === аоу (+0) sn...t + [аоу' ( +0) + а1у (+0)] sn"2 +
+ [аоу" ( +0) + a1y' ( +0) + а2у (+0)] . n..з + · · · +
+ [аоу(n"'1) (+0) + a1y(n...2) ( +0) + · · · + ап....lУ ( +0)];
Nи =:=; bov (О) Sт...l + [bov' (О) + b1v (О)} Sт...2 + [bov" (О) + b1v' (О) +
+ b2v (О)) sт--з + · · · + [boV(tn l) (О) + blV(т 2) (О) + · · · + bm__1v (О)].
Начальные' значения v (О), v' (О), ... воздействия v и ero про-
изводных определяются в результате подстановки t == О в функцию
v и ее производные. Начальные значения у (+0), у' (+0), .,.
переменной у и ее производных MorYT быть определены по форму-
лам (4.5) и (4.6).
Решение уравнения при начальных условиях всеrда совпадает,
конечно, с ero решением при предначальных условиях.
Пример 4.3. К звену, которое находится в состоянии покоя u описывается
дифференциальным уравнением
(lIoP + аlР + а2) У === (bop + btp + Ь2) о,
приложено воздействие v == te pt.
Преобразуем уравнение по Лапласу при начальных условиях
ао [S2Y ---- sy <+0) + у' (+0)] + й! [sY ---- у (+0)] + а2У == ЬО [s V
....... sv (О) v' (О)] Ь1 [sV v (О)] + b2V
и решим полученное алrебраическое уравнение относительно У:
y bos2+b1s+b2 У+ MH NH
aos2 + a1s + аз aosj + a(s + а2 ·
rде
Ми == аоУ (+0) s + [аоу'(+О) + alY (+0)];
/-'и == Ьои (О) s + [bov' (О) + b1v (о)].
ПО данным табл. П 1.2, изображение по Лапласу функции v есть V == 1/ (s +
+ р)2. Начальные значения этой функции и ее ПРОИЗБОДНОЙ соответственно v (О) ==
=== О и и' (О) == I e pt pte Pt /t==o == 1.
Для определения н'ачальных значений переменной у и ее пронзводной исполь
зу ем формулы (4.5) и (4.6): ..
. . (ь,,2 + b1s + Ь2) s
у (+0) == у ( о)+ Ау (О) == lпп sW vV == lпп (а ')2 а 5 + а ) ( p)2 == О.
5700 S-..)oo О 1 2 S ,
у' ($ О) == g' ( 0)$ Ау' (О) == lim s [s W v V Ау (О)] ==
S OO
. S2 (bos2 + b.s $ Ь2) == ..!!.JL
lпп (aos2 f als + a ) (s + @а а.... '
так как у ( O) == у' ( O) == О.
Следовательно:
Ми == ьо;
N == ь и У == b 2 + b1s + Ь2 .
Н О (aos2 + Q1S + а2) (8 + р)2
Преобразование рассматриваемоrо уравнения по Лапласу пра предначаль-
ных УСЛОВf[ЯХ дает следующий fезультат: +
(aos2 Т a1s $ а,) У:::::: (bos + b1s Ь2) 1/ (S р)2.
Решив это алrебраическое уравнение, получим то же значение, что и ранее,
но при значительно меньшем расчете.
Можно сделать следующий вывод: при использовании опера-
ционноrо метода дифференциальное уравнение следует преобра-
зовать по Лапласу при предначальных или начальных условиях
в соответствии с тем, какие (предначальные или начальные)
значения искомой переменной и ее ПрОН3БОДНЫХ известны.
4.2. ОТЫСКАНИЕ ориrИНАЛА по ИЗОБРАЖЕНИЮ
Заключительным этапом решения дифференциальноrо уравне-
ния операционным методом является отыскание ориrинала (иска..
мой функции времени) по изображению. Эта операция является
обратным преобразованием Лапласа и определяется формулой
(Пl.3). Однако при инженерных расчетах эту формулу не исполь..
ЗУЮТ.
Изображение искомой функции времени линейноrо дифферен"
циальноrо уравнения с постоянными коэффициентами представляет
собой дробно..рациональную функцию комплексной величины s или
сумму таких функций. Поэтому отыскание ориrинаJIЗ (обращение
таких изображений) можно выполнить по формулам табл. Пl.3.
Первые две формулы примеНИNJ:Ы к изображениям, имеющим только
простые корни знаменателя. Последняя фОР!\1ула является наибо-
лее общей, так как применима к ориrиналаl\f с произвольным чис
лом как простых, так и кратных корней знаменатеJIЯ.
Для определения корней знаменатель ориrинала можно сначала
разложить на элементарные СОI\/J:ножители, используя, например,
приложение 2. Каждому сомножнтеЛIО С8 + 1 ==:. с (s 81) COOTBeT
ствует корень Sl ;::::::: llc и каждому сомножителю bos2 + b1s +
+ 1 === ЬО (8 S1) (8 82) соотвеТСТВУЮ1 корни 81,2 == + j ,
rде
R V 4Ьо Ь!
а ....... 2Ьо и jJ 2Ьо ·
Пример 4.4. Отыскать ориrинал, соответствующий изображению
0,25з + О! 125 28 + 1
у == (О, 5s + 1) 8 (5 + 1) == (s + 2)3 (5 + 1) ·
Воспользуемся третьей из формул табл. Пl.3. В данном случае
R ::::::: 25+ 1; Q == (5+ 2)3 (5 + 1);
51 === 2; q1 == 3; 52 == 1 и q2 . 1.
Для вычисления ориrинала составляющей соответствующей корню S1 крат-
ности 3, определим сначала функции
25 + 1 . d (2S + 1 ) 2
Ф11 (s) == s + 1 ' Ф12 (s) ==: dS s + 1 == s + 1
1 d [ 1] 2
== (s + 1)2; Ф13 (8) == dS (s + 1)2 ==....... (s + 1)3 ·
2s + 1
(5 + 1)2
Следовательно, эта составляющая ориrинала
Ф11 ( 2) ,3--1 2t + Ф12 ( 2) t3 2e 2t +
У1 =:: (3 1) r (1 1) ! е (3 2) I (2 1) J
+ Ф13 ( 2) t3....з 2t [2 ( 2) + 1 t2 + I t
(3 3)1(3 1)! е 2+1 ( 2+1)2
2 ] е"'2! == ( t2+t 1) ...2tt
2 ( 2 + 1)8 2
Вычислим составляющую ориrинала, соответствующую корню S2:
Ф21 ( 1) 1--1 ! ( 1)...{ 2( 1) + 1..! ..(
У2 == (1 1)1(1 1)! t е Ф21 е == ( 1 +2)3 е == e ·
Итак, искомый ориrинал
у == Уl + Yg == ( (2 + t + 1 ) e 2t e t.
Для проверки расчета преобразуем функцию у по Лапласу, пользуясь
таБЛ.Пl.2:
() { t2 2t + t 2t + ..2t ..tl == 2 + 1 +
;с 2 е е е е J 2 (s + 2)3 (s + 2)2
I 1 1 28 + 1
I S + 2 5 + 1 == (s 2)3 (s + 1) ·
Следовательно, расчет выполнен правильно.
Расчетов, связанных с применениеl\1 формул табл. Пl.3, можно
избежать, если изображение разложить На простейшие дроби.
Такое разложение выполнимо для дробно..рациональной функции
R/Q) у которой степень п знаменателя выше степени т числителя.
Предположим, УТО полином Q представлен в виде произведения
элементарных сомножителей 8Q, (Ci8 + 1), и (bOkS2 + bJks + 1) .
137
Множителю sq СQOтветствуют дроби
А1 + А2 + . . . + Aq
s S2 5q ,
множителю (cs + 1)11 дроби
8н + 82/ + + 8Т11
с 15 + 1 (с 15 + 1)2 · · · (С [5 + 1)11
И множителю (b"kS2 + b1/l-" + I)JJ дроби
· rC1k5 + D1k + C2kS + D2k + + C k5 + Dpk
bok52 +b1kS + 1 (bok52 + b1kS + 1)2 · .. (bok52 + b1k5 + 1)JA. '
т. е. отношение R/Q разлаrается на простейшие дроби, число
которых равно 9 + 1'] + Jl,. После этоrо 06е части равенства нужно
умножить на Q и сделать сокращения, а затем, приравнивая
коэффициенты при равных степенях s, составить систему алrебраи-
ческих уравнений, из КGТОрОЙ И определить коэффициенты А) В,
С и О,
Составляющие ориrинала, соответствующие простейшим дро..
бям, махно определить непосредственно по табл. Пl.2.
Пример 4.5. Отыскать ориrинал, соответствующий изображению
35+2
у == 58 (0,25 + 1) ·
Разлаrаем изображение на простейшие дроби:
З5 + 2 А1 А2 Аз В
58(0,25+1) ==7+52+83+ 0,25+1.
Приводим обе части равенства к общему знаменателю и отбрасываем ero:
3s + 2 == А 152 (0,25 + 1) + А 25 (0,25 + 1) + Аз (0,25 + 1) + ВsЗ.
Составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при равных сте.
пенях 5 левой и правой части равенства:
А8 == 2; А2 + 0,2 Аз == 3; Al + 0,2 А2 == о; 0,2 Al -f. В == О.
Решив эту систему уравнений, определим
А 1 == 0,52; А 2 == 2,6; Аз == 2; В == 0,104.
I-Iтак,
у == 0,52 + 2,6 + + 0,104
5 S2 53 О, 25 t 1 ·
[10 табл. П 1.2 определим ориrинал
у 0,52 + 2,61 + ,2 + 0,52e 5t.
Значительное число ориrиналов, соответствующих дробно"
рациональным изображениям, содержится в табл. 4.1. Знамена..
тели изображений в этой таблице представлены в виде про из веде-
HNR элементарных сомножителей, являющихся знаменателями
передаточных функций типовых динамических звеньев. Более
обширная таблица (573 формулы) соответствия изображений и
ориrиналов имеется в работе 160].
Применение этих таблиц можно расширить, используя следую..
щие приемы.
1. Пусть раСС 1атривается изображение, знаменатель KOToporo
содержит лишний элементарный сомножитель по сравнению с
изображением, имеющимся в табл. 4.1, тоrда следует воспользо-
ваться соответствующей формулой из табл. 4.2. Вычисление
некоторых наиболее часто встречающихся интеrралов дано
в т а бл . 4.3.
Лример 4.6. Определить ориrинал по изображеНИIО
1
у == (Ts-1 1)2 ·
Это изображение отличается от имеющеrося в табл. 4.1 [формула (12) ] изо..
1
бражения F (s) == S3 (Ts+ ])2 дополнительным множителем s в знаменателе.
Поэтому используя формулу п. 2 табл. 4.2, получим
t
у:::= J [ (1 e a"(;) 2.. (2 + e a't) + ] d't ===
а 2
о
[ 3 ( 1 cG't) 't2 1 ...а,", тЗ ] I
а2 1" + а е а + аЗ е (1 + а1") + '""6
о
3 ( 1 ...а.,! ) t2 1 а! t3 ( 3 1)
== а2 t + а е а + аЗ е'" (1 + at) + 6 ..... а3 + аЗ ==
== + + (4 + at) е"'а.'!
6 ct а2 аЗ '
rде а == 1 iT.
2. Предположим, ЧТО знаменатель Q раССIVlатриваемоrо изобра-
жения можно разложить на сомножители Ql и Q2 (QIQ2 == Q),
которые являются знаменателяrvlИ изображений, имеющихся
в табл. 4.1. Тоrда следует составить равенство
R AlS't'J l + A2S11 :! + . .. + Al1 l
+
Q Ql
L 81 sJJ.. 1 + 82SJJ.. 2 + · .. + 8 JJ.. 1
I . ,
Q2
(4.20)
rде 'у) и L степени ПОЛИНО1\IОВ соответственно QI и Q2'
Затем обе части равенства НУ)КНО привести к общему знамена..
теЛIО, отбросить ero и составить систему уравнениЙ для определе-
HMR постоянных Аl, А2' ..., A1'J l' Bt, В2' ..., BJ.L l'
Ориrиналы, соответствующие двум составляющим рассматри"
Bael\10rO изображения, 10ЖНО определить по табл. 4.1. Вероятно,
что при 3ТОМ окажется необходимым разделить каждое из состав..
ЛЯЮIЦИХ еще на несколько частей.
Т а б л и ц а 4.1
Обратные преобразоsания Лапласа дробuо"рационаJJЬНЫХ ФУНКЦИЙ
N2
ПО Изображение Орнrннал
пор.
1 1 ae a.t, r де 1
Ts+ 1 (J,. -== т
2 1 1 а..' 1
.. e , rдс а::::=
s(Ts+ 1) т
3 1'5 ! 1 1 (а1' 1) e a.t, 1
s (Ts I 1) f/l.e a T
4 't's 1 1 + (а1."' f 1) e a.t, тде 1
s (Т s 1) с/., т
5 1 1 ( o:t) 1
1 +е - t tJ тде а=== т
S2 (Т S + 1) а
6 'tS + 1 с (1 е at) I t J I 1
rде С --== l' ; O!,
S2(7'S+ 1) а Т
С I С e a.t ! t 1
rде С 1 = ь 1 ............;
bos2 + b1s I 1 I 2 !, ct.
7
S2 (Т S I 1) С2 === Ьоа2 Ь1а ! I . 1
a==
, т
а
8 1 (1 e at) +!:..., 1
53 (Т s + 1) rде а == т
((2 а 2
9 1 2t a! 1
(Ts + 1)2 а е , rде 'х === Т
10 1 1 (1 + at) e a! , 1
s (Ts + 1)2. rде а==т
11 1 ( I + е Ш) + t (1 + e at). rдеа
2 (Ts + 1)2
(1 e at) (2 + e at) + !:...
1 а2 а 2 '
12
s3 (Т S 1 1) 2 1
rде а
т
13 s а2 (1 at) e at, rде а с== i
(Ts + l)а
1;5 + 1 а2 r1; + ([ CG't) t] e a.t ,
14 1
(Ts 1)2 r де а == ..............
т
140
Про Д о л }К е н и е т а G л. 4.1
И
по Изобра}кение Орнrинал
пор.
15 1'8 + 1 1 [1 1 а (1 CG't) t] е a! J r де а ==
s (Тв I 1)2
т
1 + (С Bt) e a! , rде ЬО ......... Т2 .
bos2 + b1s I С Т2 '
16
s (Ts I 1)2 в = Ьо .......... b1 Т I Т2 . 1
Т3 а =----=
, т
17 1 а.р t 2 a! 1
(Ts t- 1)3 2 е , rде a==
т
I , ,
18 ( a2t2 ) 1
s (Т5 I 1)3 1 1 + at e a! r де ct :::::::
r 2 ' Т
3 ( 3 at2 )
1 -'1 t ] 1' 2t J.. e CX!
19 а а I 2 '
s (1'5 I 1)3 1
rде а =----=
т
20 s аЗt ( 1 at) e a! 1
( Т s -1 1)3 rде а
2 ' Т
21 · 82 а3 ( 1 2а! + a 2 ) e a! , 1
(1'8 j 1)3 [де а:==
т
22 1 a4{J сх! I
(Ts 1)4 6 е , r де а::::::
т
1 ( 1 + а! + аЦ2 a,3t3 ) t
cx
23 1 2 J е ,
s (Ts + 1)4 1
r де а === ".............
Т
I
24 s а4 (t2 аtЗ) a! I
(Ts 1)4 2 3 е , rде а ==
т
25 S2 а4 (! at2 + ацз) a! 1
(Ts I 1)4 6 е , rде CG =:::
т
а4 ( 1 Заt + 3a2i2 а3tЗ) и!
53 2 6 е ,
26
(Т s r 1)4 I
r де а ==
т
27 1 1 (e alt e a1!t), I
(Т15 -1 1) (Т25 +.1) Т1 Т2 rде al ::---:::
, Т.
1
N
по
пор.
28
29
30
31
32
33
34
\
2
И806ражение
s
( т 1 S + 1) (Т 25 -1
1) ,
rAeT1+T2
'tS +
1
( 7\ s
1) (Т 2$
I
1) ,
r де Т 1 =/= т 2
1
s (Т 1 S
1) (Т 25
1) ,
rде Т 1 + т 2
TS
1
s (Т 18 + 1) (Т 25
I
1) ,
l' Д е Т 1 ==f
т 2
bos2 +
b1s
1
s (Т 15 + 1) (Т 2S
1) ,
r де Т 1 + т 2
1
52 (7\ s + 1) (Т 2$ + 1) ,
r де Т 1
/= т 2
t
!
SЗ (Т 15
1) (Т 25 -1
1)
rдс 1"1 =1= Т2
Про д о п ж е н я е т а б л. 4. 1
Ориrинал
С "'аl! С
CI.,2! rде С
1 .
1 е
2е, 1
Т 1 (Т 2
Т 1) ,
1 I
С2 == Т 2 (Т 2
Т 1); aj == т 1
С
a1t + С
azt С
Т 1
1: ·
le ..I2е, rде 1
Т 1 (Т 1
Т 2)'
т;
T2. 1
C2==T2(Tl
T2)' at===
t Т1
1
t
Cle
alt
C2e
a2 , rде С1
Т 2
'r 1 '
СЗ == т 2 ; al =-=
T2
Tl ТI
I
I
't' Т.
1 I С
al! I С
a...t С
1 .
- 1 е
.J2e
, r де 1 == Т Т,
1
2
Tt'I
1: 1
С .... .,..,
2 ::::= Т, v." 1
Т
Т1
2 t
1
Cle
al!
C2e
a2t,
С 60
Ь{ Т 1 + Ту .
r де 1 === Т ( Т
Т) ,
1 2 1
С
Ьо
Ь] Т 2 + T
. а ==
2
T2(T2
Tl)' 1 Tl
A + Cle
al!
С2е...а2! + "
r де А === Т 1 + т 2;
Ту. T
.
С1
Т 1
Т 2 ' С2 == Т 1
Т 2 '
1
СХI == т;
А
Bt +
+ Cle
a.l!
C2e
a2t,
rде А == Т! + т 1 Т а
r T
; В::::: т 1 + т 2;
ТЯ T
С 1. С ....
..11
Т Т'""2 === Т
Т '
2
1 2 1
1
сх, ==::
Tt
И2
по ИзоБРCJжение
пор.
1
35 (T1s + 1) (T2s + 1)2 ,
rAe Т 1 -+ т 2 С
TS + 1
36 (Т 1 S + 1) (Т 25 + 1) 2 ,
rAe Т 1 +- т 2 С
bos2
b1s + 1
37 (T}s + 1) (T2s + 1)2 ,
rде Т1. + Т2
1
38 s (Т 1 S + 1) (Т 25 + [) 2 , rд
r де Т 1 =F т 2
TS
!
1
39 s (Т 1 S + 1) (Т 28
j
1) 2 , rAe
rде 7\ + 7'2 с
bO.'t2
Ь1 S
t
1
40 s (Т 1 S + 1) (Т 25 + 1) 2 ,
r де Т 1 =1= т 2
С2
Продо.ажение табл. 4.1
Ориrнна.,
Cle
al!
(С2 + Bt) e
a2t,
1
r де В == Т 2 (Т 2
Т 1) ;
Т1
1 ==
C2 == (Т 2
Tl)2
1
а! ==
Cle
a1! + (С2 + Bt) e
(),,2t,
'{
T2 .
r де В == T
(Т 1
Т 2) ,
1'}
't" I
1 ==
C2 == (T1
Т 2)2 al =
=
Cle
rxlt + (С2 + Bt) e
a2t,
ЬО
bl Т 2
I
T
.
r де В == (Т 2
Т 1) T
1
С
ЬО
Ь1 Т 1 + Ту .
1
2'
(T2
Tl) Т]
С
bo(T1
2T2)+blT
TlT
.
2
(Т 2
Т 1) 2 т
'
1
а , ==...............
Т{
1
Cle
tXtt + (С2 +. Bt) e
a2t)
1 Т!
е В == Т 1.
Т 2; C1 == (Т 1
Т 2)2
(2Т 1
Т 2) Т2 . 1
С2 == (71
Т'2)2 ' al
Тl
1 + с le
al t
(С2 + Bt) e--a2f,
T
T2. ('t
Tl) Т1.
В == (Т1
Т2) Тз' C1:=:: (7\
Т2)2 '
'{Т1
(Т2
21'1) T
. 1
2 ::::: (Т 1
T
!)2 ' а,
-= т-;
1
С 1 е
а 1 i
(С 2
t
в t) е
а. 2. t ,
В ЬО
;
(Т 2
Ь}) Т 2
rAe :::::: (Т 1
Т 2) T
с
ьо + (Т.1
b1) т 1
1
(Т1
Т2)2
ЬО
blTl +(2Т}
Т2)Т2. al::"
r11
(Tl
T2)2 '
143
Про д о Л}К е н и е т а б л. 4.1
t; g
по Иэобrажение
пор.
1
41 s2(T1s+ I)(T2s 1)2'
r де Т 1 h: Т 2 В
J
S
42 (Т 1 S + 1) (Т 25 + 1) 2 ,
r де Т 1 =1= т 2 С
52
43 (Т 18 \ 1) (Т 28 1)2 , rде
rде Тl+Т2
1
44 (Т 1 S + 1) (Т 25 1) 3 ,
тде Т 1 :+= т 2
'tS 1
I
45 ( Т 1 S + 1) (Т 25 1)3 ,
[де Tl=/=-T2
Ориrинал
А + t + C2e alt (С2 + Bt) e a2t,
(3Tt 2T2) T Tr
r де А =::::
(Tl T2)2
тз
. с 1.
Т 1 Т 2' 1 == (Т 1 Т 2)2 '
(3Т, 2Т 2) T . 1
С2 === (Т 1 Т 2)2 ' а[ ==
Т2
Cle"'al! + (С2 + Bt) e...a2t,
1
r де В == (Т 1 Т 2) T ;
1 I
1 С2 == (Т 1 Т 2)2 ; r:lwl == т;
Cle alt + (С2 + Bt) e--a2t,
I 1
В === (Т2 Т1) T ; С1::::::: (T2 Tl)2Tl;
Т 1 272 I
С2== (T2 Tl)2T ' al==
Cle ((lt (С2 + B1t + 82t2) е'" а2 f ,
В Т1.
rде 1 ::" = (Tl T2)2T2'
1 .
82 ,
2 (Т 1 Т 2) T
T 1
С} === С2 == (Т1 Т2)3 ; а; т;
С1 e :Xl! (С2 81 t B2t2) e a2 "
Т1 't'
rдеВ1== (Tl T2)2T2
Т() 't
82 === ... ·
2 (Т 1 Т 2) T '
(Т 1 '{) Т 1 . 1
С1 == С2 === (Т1 Т 2)3 ' r.J.I ===
Л'Q
по
пор.
46
47
48
49
50
Изображение
btJS2 + Ь18 1
(Т15 1) (T2s + 1)3 ,
r де Т 1 =1= Т 2
1
s (1\ S 1) (Т 28 1) а ,
rде Т 1 '* 1'2
't:; + 1
S (Т 1 S ! 1) (Т 25 I 1) 3 ,
rде Т 1 =1= Т 2
s
( т 1 S 1) (Т 25 1) 3 ,
rде Т 1 =1= 1'2
1
( т 1 S 1) 2 (Т 28 1) 2 ,
r де Т 1 =1= Т 2
Про д о л }J( е н и е т а б л. 4.1
ОрнrИllал
Cle al! (С2 + B1t + 82t2) e"'a'lt,
В ЬО (2Т2 Т1) + (1'1 bl) T .
rде 1 (Tl T2)2T '
В2 == ЬО + (Т 2 Ь1) т 2
2 (Т 1 Т 2) Ti
ь о Ь] Т 1 r Ту . 1
С1 ::== С2 === (Т 1 1'2)3 ' аl == --т--;-
1 + С1е"'СХ1! (С2 + B1t + B2t2) e...azt,
T2 2Tl .
rде В1 == (Т 2 Т 1)2 '
1
8']. === 2 (Т 2 Т 1) т 2 ' С 1 =-=
1'1 (Т 2 Т 1) .
С2 == (T2 Т1)3 '
1':3
1 .
(Т 2 Т 1)3 '
1
а, ==
1'l
1 + Cle alt (С2 B1t + 82t2) е"'а2',
В т;1'1 (1'2 2Т1) Т2 .
r де 1 ( т т )2 Т '
1 2 2
Т Т 2. (т Т 1) Ту .
В2 == 2 (Т Т ) Т2 ' Cl: (Т т )3 '
1 2 2 1 2
С (1; 7\) Ту (Т 1 1'2):3 .
2 (Т 1 Т2)3 ' а[ ТЕ
с 1 е a t t (с 2 В 1 t в 2 t 2) е (х 2 t ,
1 .
rде 81 == (1'2 1'1)2 Т2 '
1 Т 1
В '2 = , с 1 --= ·
2 (Т 2 Т 1) 1' (Т 2 Т l)a '
')
С2 С1; cxi : " .::.....
TI
(C1 + B1t) е...а1! . (С2 . 82t) e a2t;
"' 2Т 1 Т 2 .
rде С1 ::::::: C2 === (Т 2 Т 1)3 '
1 1
В В ClI :::::::
1 2 (Т 2 Т })2 ; Т 1
145
Продолжение табл. 4.1
J1J
по
пор.
Бl
52
53
54
55
146
Иаооражение
1"5 + I
( Т 1 S + 1) 2 (Т 2$ + 1)2 ,
rAeTi=FT2
bos2 + bjs + 1
(T1s+ 1)2(T2s+ 1)2 ,
rAe Т 1 =F Т 2
1
s (Т 1 S + 1) 2 (Т 28 + 1) '}. ,
r де Т 1 =р т 2
s
(Т 15 + 1)2 (Т 25 + 1)2 ,
r де Т 1 =1= Т 2
Sl
( т 1 S + 1) '}. (Т 28 + 1) '}. ,
rде Т1=1-Т2
1
Орвrинал
(С1 + В11) e a1t (С2 + B2t) е"'Э1.t,
С c 't(Tl+T2) 2TlT2 ·
r де 1 2 (Т 1 Т 2) 8 '
Ti t" .
В1 == ,
(Т 1 Т 2)2 Т 1
T T2 I
В fXl
2 (T1 T2)2T2 ; TI
(С1 + 81t) e a1' + (С2 + B2t) e--a2t,
ЬО -1 (Т 1 b1) Т 1. .
rде В1 == (Т2 Т1)2 ТI '
в ьо + (Т 2 Ь1) т 2 .
2 (Т 2 Т 1)2 T '
2Ьо bl (Т1 + т2).+ 2Т1Т2 .
C1 == C2 ==
(Т 2 Т 1) ' I
1
аl т;
1 + (С1 B1t) e alt + (С2 82t) e...a2t,
Ti. Т2.
rде В1 == (Т 1 Т 2)2 ' В2 == (Т 1 Т 2)2 '
С (3T2 Tl)TT.
1 (Tl T2)3 ,
С (Т2 3Tl) T .
2 (Т 1 Т 2)3 ' fXI Т l
(С1 81t) e...a1t (С2 + 82t) e a2t,
I
rде В1 == {Tl Т2)2 Т1 ;
1 .
82 ===
(Т 1 Т 2)2 Т 2 '
С'l . с 2 =-= Т 1 -1 т 2 ; а 1
(Т 1 Т 2)iJ Т i
(С! + 81t) e alt + (С2 + B2t) e a2t,
В 1. В 1.
[де 1 == (Т Т )2Т2' 2 == (Т T )2Т2'
2 1 1 2 1 2
2 . I
С} :;. C2 (Т 2 Т 1)3 ' (/.,t ==-
N'l
по
пор
Иэображение
1
56 ( Т 1 S + 1) (Т 28 f--. 1) (Т зs + 1) ,
rде Т l' Т 2 И Т 3 раэли't}Iы
I
57 s (Т lS r 1) (Т 25+ 1) (Тзs+ 1) ,
rде 7'1' Т2 И Тз различны
Про д о л ж е н и е т 8 б л. 4.1
Ориrинал
С1 e...ct,tt + С2е...а2! + сзе....схаt,
Т1
r де С 1 == (Т т ) ( Т Т )
l 2 1 3
С Т2
2
(Т 2 Т 1) (Т 2 Т з)
СЗ :::::: ТЗ CXI . 1
(ТЗ Тl)(ТЗ Т2)
1 Cle alt C2e--azt сзе....схзf,
Ту
rде С1 == Т Т Т )
( 1 2)(Tl 3
Т2
. С 2
2 =::: (Т 2 Т 1) (Т 2 Т 3)
Ti 1
сз == (Т з 1'1) (Т 3 7'2) al ::::::
1
58 S2 (Т 1 s+ 1 )( Т 28 + 1 )( Т зs + 1) ,
rде Т 1 Т 2 И ТЗ различны
s
59 ( Т 1 S + 1) ( т 2$ 1) (Т зs + 1) ,
rде Т l' 1'2 И Тэ различны
S2
60 (Т 1 S + 1) (Т 28 + 1) (Т 3 s+ 1) ,
rде Т l' Т 2 И Тз раз.rrичны
A t + Cte...cxtt + C2e","a2t -1 Сзе...азt,
rде А == Т 1 + Т 2 + Тз;
T
С 1 ::::::
(Т1 1'2) (Т1 тз)
T
С2 ==
(Т 2 Т 1) (Т 2 тз)
С rg 1
з :::::;;; ; а, ==
(Т 8 Т 1) (Т 8 Т 2) т 1
С e"'CXlt С е--а,! С е...а..!
1 2 З J
1
rде С1 == (Т 1 Т 2) (Т 1 Т 8)
1
С2 ==
(Т 2 Т 1) (Т 2 тз)
1 1
СЗ == ; а, ==
( т з т 1) (Т з т 2) т 1
с 1 е a 1 t + с 2 е ...СХ. t + с зе "'а.. t ,
(; I .
r де 1 == (Т 1 Т2) (Т 1 Т 3) Т 1 '
С 1 ·
2
(Тз..... Т1) (Т2 тв) Т2
1
Cs == (Та Tl) (ТЗ Т2) Тз
1
(х 1 == 'f;-
147
Продолж ение табл. 4.1
J\..
ПО Ilзо6рз}кение Орl1rИНflЛ
пор.
"
Cle al! C2e a2! + (Сэ + Bt) e a;/,
r де В == 1 .
(ТЗ Тl) (ТЗ Т2) ,
C1 Ту .
1 (Т 1 'Т'2) (Т 1 T:i)2 ,
61 (Т 1 S I 1) (Т 25 j- 1) (Т :Js 1) 2 , T
C2 .
rде Т1, Т'}. И ТЗ различны (Т2 7'1) (Т2 Тэ)2 ,
СЗ -== Тз (2T1T2 ТIТЗ Т2ТЗ) .
(Т з т 1)2 (Т 3 т '2)2 ,
1
ai ==:
.
1 C1e--a1t С:!е"""а2! (Сз Bt) е азt,
[де В == Тз .
(Тз l\)(Тз ТJ ,
С1 == Ту .
1 (1'1 T'.:J (1'1 1'3)2 ,
62 s (Т 1 s+ 1) (Т 2S+ 1) (Т зS+ 1 ) 2 , ТЗ
С2== 2 .
rде Т1) Т2 И Т 3 Р аз.личны (1'2 1'1) (1'2 1'3)2 ,
СЗ == т (.зТ]Т2 2ТIТ 2Т2ТЗ+ T ).
(Тз 1'])2 (ТЗ 1'2)2 ,
1
al ==
Tt
Cle"alt C2e a2! (С3 + Bt) e--a3t,
rде В == 1 .
Тз (Тз 1'1) (Тз 1'2) ,
с 1 ----= 1'1 .
S (1'1 1'2) (1'1 1'3)2 ,
БЗ (Т 1 s+ 1) (Т 25 + 1) (Т :JS 1) 2 , 1'2
С2 == .
rде Т l' 1'2 И ТЗ различны (Т 2 Т 1) (Т 2 Т 3)2 ,
Т 1 Т 2 T .
С3 (ТЗ Тl)2(Тз Т:!)2 '
1
aE
148
,N2
по
пор.
Изображение
S2
64 ( Т 1 S t 1 ) СТ:2S j 1) (T;js I 1) 2 ,
[де 1'1' 1'2 И Тэ раЗЛ1{ЧНЫ
65
п
П(1'ts+l)
i:::;:: 1
rде п 2; все Т{ различны
66
п
S П (Т tS + 1)
i==:1
rде n 2; все Т 1 различны
67
п '
82 П (Т 1$ + 1)
i:::;:: 1
rде п 2, все Т l различны
Продолжение табл. 4.1
Ориrинал
Cle alt + C2e a2! + (Сз + Bt) е азt,
1
rде В === Т,) (Т Т ) Т Т '
3 3 1 ( :) 2)
1
С1 (7\ 1'2) (1'1 1':})2 '
1 .
С2 =--= ,
(7'2 Т1) (1'2 1'3)2
Т 1 + т 2 2Т 3. 1
СЗ == (ТЗ 1'1)2 (Тз T.J2' al ===
rде С{
п
, С a 1 t
J.r --'le ,
i 1
Tff 2
t
1
; а[ ==
Т.
t
!Z
П(Тi Тk)
!l l
" ti
n
1 ,,, С a 1 t
L: {е ,
[==1
rAe С1 ==
Tn. l
l
1
; ctl ==
1'L
п
П(ТI Тk)
"==1
k=f;i
п t
...а
- А + t + L..I с [е "
i==1
п
'-1
rде А ==: т ,;
{==1
Tt!
t
Ci ===
п
П (Ti T/,)
/;;==1
k+i
1
ai == 17
149
Н9
пи
пор.
Изображение
68
s
n J
П (Т tS -1 1)
i==l
rAe n:;.. 2; все Т 1 различны
52
J
69
n
П (Т 1 S I 1)
i=== 1
rде п :;.,. 2; все Т 1 различны
1
,
70
n
(Ts 1)2 П (Т IS 1)
i==l
rде n > 2; все Т 1 различны
и не равны Т
150
11 Р u д u .11 .ж. t: 11 И.., 1 d U оН. "Ж.l
r
ОриrИl1аn
rде С 1 =-::
n
,. . С "'ait
,' le ,
J..
(==1
Tr; 3
,
п
П (TI Tk)
k===l
k+t
. 1
, а, ==-т-;
rде С, ==
n
2.: С/е alt,
[==1
Tп 4
i
I
; al::= 17
n
П (T1 Tk)
k==l
k+i
n
( c + Bt) e at + l Cte--att t
{==1
Tп 2
r де В ==
n
П (T TI)
i==l
.
,
n
С::= Tп l , Т, .
n т Тl '
П (T T,) {==1
i==l
Т7
с 1 :-:= !z
(Т, Т)2П(Т' Тk)
k==l
k+i
1 1
« == т; "t т-;-
.
,
Н2
ПО
пОр.
Изображение
1
71
n
S (Ts + 1)2 П (Т IS + 1)
i==1
rAe n 2; все Т l различны
и не равны Т
1
72
n '
S2 (Ts + 1)2 П (Т tS 1)
1==1
rде п 2; все Т 1 резЛИЧНЫ
и не равны Т
Продолжение табл. 4.1
Ориrинал
n
1 (С + ве) e Ctt :L c,e a.lt,
{=::1
Tn 1
rAe В ==
n
П(т т,)
i==l
.
,
,
с === тn [1 itl Ti/(T Tl)].
п '
П (Т Т,)
1=:;1
Т7+1
С, == n
(T, T)2 П (T, Tk)
k==l
k+l
.
,
1 . 1
а == Т' (Х, ==---т;
n
A + t + (С + Bt) e t + 1\ Cle a.lt,
i==1
n
rAe А == 2Т + r Т,;
1==1
тn
В==
n
П (Т Т 1)
i==l
.
,
с==
тn+1 [2 i::) T,/(T Т,)] .
п )
П (T T,)
{-=1
T +2
С, ==
(Т, Т)2 П (Т, Tk)
k==l
k+l
I I
а :... = ..............; а 1 ==--
т Т,
151
Q
по
пор.
Изображение
s
n '
73 ( Т s + 1) 2 П (Т l S 1)
i==:l
rде п 2, все Т 1 различны
и не равны Т
52
n '
74 (Ts r 1)2 П (Tls + 1)
i l
r де п:>- , все Т l различны
и не равны Т
152
Продолжение табл. 4.1
Ориrинал
n
(С Bt) e ! ,., С cx. t
le 1,
i:::=:ol
rде В ::=:
тп з
n
П (T TI)
'==l
с===
Tп 2 [1+ 1: Tl/(T Tl)]
{ 1
.
11 '
П (T TI)
i===l
T,,! l
СЕ t
n
(Т, Т)2 П (Tl Tk)
k==l
k1=i
1 1
a. ·
т' а, === т-;
n
( C+Bt)e at + C,e a,t)
{::::::=1
r де В ==
Tп 4
п
П (Т Tl)
l==l
с==
тп з [2 + it Tl/(T Tl)] .
n '
П (T Tl)
[:::::01
CI
T': 2
t
.
п '
(T, T)2 П (Tl Tk)
k==l
k=l==i
1 1
a · rI
Т' VOI i :=::-т-;
Ng
по
пор.
75
76
77
78
79
[I зобр з}кение
1
T2s2 + 2 Ts + 1 '
rде О < 1
't"S + 1
Т252 + 2;Ts + 1 '
r де О < < 1
1
s (T2s2 + 26Т8 + 1)'
rде О 6 < 1
't"s + 1
S(T2S2+2sTs l 1)'
rде О s < 1
bos2 + b1s + 1
s (T2s2 r 2 Ts + 1) ,
r де О < 1
Продол)кение табл. 4.1
Ориrинал
С y! . '), t С 1. '" .
е s lП ... , r де :-=:: Л т '2' J Т '
{I ;2
л
Т
Ce 'Vf siJ1 ('At + 8),
V (1 21''t) Т 2 + 't2 .
rAe С == лТ '
1"Л S V 1 Е2
8 == arctg 1 ; V ; л. == Т....
,\,1" Т
1 Ce Y! sin (лt r- 8),
1 /у
rде С == ; е arctgy;
'1 V 1 t2
'у .....Е....... ,.... =::=
т ' т
1 + Ce Y! sin (лt 8),
V 't2 + (1 2)''t) Т 2 .
rде С == л Т2 '
8 '"А Т 2 '1 V 1 2
=::= arctg 't )'Т2; 'у == т ; I'v Т
1 + Ce Y' sin (лt + 8),
Vл2 (ЬО T2)2+[bl 1' (Ьо+Т2))2 .
rде С == 'ЛТ2 '
Л. (ЬО Т2) .
е :::::: а rctg Ь1 V (Ьо + 72) ,
v 1 2
V T; л== т
153
Продолжение табл. 4
но
по
ПОР.
80
81
82
83
84
154
Изображение
1
Sl (T2s2 + 2 Ts + 1) ,
rде О < < 1
s
T2s2 + 2gTs + 1
rZle О -< < 1
81
T2s9 + 2 Ts + 1 '
rде О -< ; < 1
I
(T1s2 + 2 Ts + 1)2 ,
rAe O< <T
1:8 + 1
(T2s2 + 2 Ts + 1)'
rде О -< < 1
ОриrИИ8Л
A r t + Се.....уе sin (лt + 6),
rде А == 2уТ2; С === ! ; е === 2 arctg 2:. ;
А "\'
. v 1 62
, л
т т
Ce 'Vt sin (лt 8),
1 л,
rAe С === 'lT8 ; в == arctg ;
I!., - " '\'
'\' J.... А ]/1 ,:!
T' Т
се.....уе sin (лt 8),
I . л. .
rде С == 'ЛТ4' 6 === 2arctg т'
t '1 == V 1 1::2
У ....!Е...... fI.l == Ь
Т ' Т
Ce......vt (sin 'Лt ....... лt саз лt),
С 1.'U 6.
rAe == 2ArЗТ" r == Т'
V 1 2
л==
Т
e vt [С sin 'Лt C1t cos (лt + В)],
I ....... '\' l' .
rде С === 2')...3Т4 '
V '(2 + Т2 (1 21'1') .
Ci == 2л2Т6 '
l} t л't'. ; ·
(] == arc g 1 yt , у =:::: Т'
л == V 1 a
т
&J
по
пор, т-
85
186
I
I
87
88
и зоб р а ж епие
bos2 b1s + 1
(T2s2 + 2 Ts + 1)2 ,
rде О <: < 1
1
s (Т2з2 + 26Ts r 1)2 ,
rде О 6 < 1
s
(T2s2 + 2 Ts r 1)2
rде О < 1
S2
(Т253 + 2GTs 1)2 ,
r де О -<: ; < I
Про д о л ж е n и е т а б л. 4.1
ОриrИН8Л
e vt [С sin лt + G1t cos (лt + е)],
С ьо + Т2 (1 Vbl) .
rде 2л3Т6 '
Vл2 (ЬО Т2)2 + [Ь} 'v (ЬО + Т2)]2 .
С1 == 2л2Т() ,
л (ЬО Т2) Л .
е == arctg b1 У (ЬО + Т2) arctg Т'
'" . 11 V I 2
r Т' f'w Т
1 + Ce Y! [лТ cos (лt + 28) sin (лt + 8) +
+ лt cos (лt + Э)],
I . л .
rде С == 2'ЛSТ3' е == arctg у'
i' ....l. л. V I 2
Т ' Т
Ce ! [ yT sin лt + лt саз (лt 8»),
1 л
rде С =:: 2'АSТб ; е == arctg т;
'u . '1 V 1 2
' T' I\i т
Ce Vf [sin "лt 'Лt cos (лt 2е)],
I А
rде С == 2'ЛЗТ6; 8 == arctgT ;
'v ....l. л V 1 62
T' Т
155
6
1\"'1
по
пор.
IIзо6ражение
89
1 '/
/"-
(Т152 I 2 1 т 18 1)
1
Х (T S2 2 2T2S 1)'
rде О -<= l < 1;
Т 1 Т 2 ИЛИ 1 =f= 2
90
1 ,/
,-",
S (TIs2 + 2S1T 18 + 1)
I
Х (T S2 2 2T 28 + 1)'
rде О ! < 1;
Т 1 =1= Т 2 ИЛИ 1 =1= 2
156
Про д о л ж е н и е т а б л. 4.]
ОРllrинал
C1e vJt sin (Лlt + 81)
С2е Y2! sin (л2t + е2),
1 4
Т де С l =-== V' (Т'l T )2 4 (1'1 1'2) Х '
Лl (1'1 Ту '\'2 T ) TyT
Л1 (Ту TQ)
01 :.=: arctdb (Т') + TZ)
2У2 T 1'1 t
t Л1.
--1 arcg ,
Л2 (T Ту) +
02 == arctg 2)'1 Ту 1'2 (Т} + T )
Л2 .
+ arctg ,
f: 1/' 1 1
! . 11
Yi === 'fl' ""l == Т,
1 + Cle Vlt sin (/\tlt + 81) +
I C'le Y2t sin (л2t + 82)'
I ..
TI .
rде С, == V(Т ТЮ2+4(Уl У2)Х'
'l (1'1 7} 1'2 T ) TIT
Л1 (Ту T )
01 == arctg 2'\'2T '\'1 (Ту + TQ)
Лi .
+ 2arctg ,
1'1
Л2 (T Ту) 1
А2 == arctg 21'1 Ту '\'2 (Т1 + T )
Л'l .
t 2arctg ,
1'2
1 1
УЕ i ; /УЕ т i
11
по
пор.
Изображение
91
] " >
S2 (Tis2 r 2S1 т 15 i 1) ,"
1
Х (T S2 L 2""T'Js + 1)'
2. I .. I
rде О i < 1;
Т 1 =1= Т '2, ИЛИ l =1= 2
92
s
" '
1 / '"
(T ?S2 2:: т s )
1 I 1 1 I
1
>< (T2s2 L с)'!"' Т S I 1 ) ,
; !. 2 2;' J
rде O l< 1;
т 1 =f=. 7"<2 ИЛИ l =1= 2
Продолжение табл. 4.1
Ориrинал
I
A + t Cle Yl! sjn (/vlt r- 01)
C2e 'Y;c t siп (лzt + 82)'
rде А === 2 (1'1 Ту -1 '\'2 ТЮ;
T
t
С[ ===
V/ (Ту T )2 .r 4 ( )'1 1'2) )<
"л. { ,) Т9) Т.) Т9
X()'1Tl 'V2 2 1
"1 (Т') Т2)
Л'l 1: --+-
01 ::..:.:: arctg Т) I
21'2 T 1'1 (Ti 1
1111
1 3arctg ;
I . 1'1
!"2 (T Ti)
в:; arctg" Т') ( Т1. I Т))
y l' '1 V 2 1 I
/\/.)
-1 3 а r с t g ........=... ;
1'2
1/' 1 l
l . "о
l' 1 :::::: т " f1w[ == Т 1
Cle Y1t siп СЛlt + 81) +
C2e "'{2! siп (/"'2' 82)'
I'де С l ===
1
J / (TI T )2. 4 (Y] 1'2) ><
/v[ Т i / Т,) Т2) Т.) Т2
Х (1'1 1 У2 2 '1 2
1\1 (Т1 T ) .
81 ==- arctg 2 T' ", (Т'2 + T ) ,
У 2' . 1, 1 L
/"2 (T Ту) .
82 arctg Т} (Т,) I Т2) ,
21' 1 1 У 2 \ 1 I
1 ...."
'/ i
'? i т't' }, 1 Т I
157
.
Nv
по
пор.
Изображение
93
S2 Х
(Tls2+2S1T1s+ 1)
I
Х (Tls2 + 262 т 25 + 1) ,
rде О <: , < 1;
Т 1 =1= Т 2 ИЛИ 61 '4= 62
1
n
П (Т;в2 + 2 IT iS + 1)
1==1
94
rде п > 2;
О < l < 1;
все 'Yl == ' различны
Т1
158
Про д о л ж е н и е т а б л. 4.
Ориrннап
Cle vJ.t sin (л1t + 8.)
C2e vJt sl" (л2t + 82)'
rде СЕ ==
I
2 Y(T T )2 + 4 (1'1 1'2) х
Лl Т 1 2 2) 2 2
Х ('\'1 Т 1 '\'2 Т 2 Т 1 Т 2
Лt (Т1 T )
01 == arctg "2Y2T 1'1 (ТI + T )
Л1 .
а r с t g.............. ,
'\'1
л'2 (T Т})
82 == arctg 21'lТ1 '\'2 (Т1 + T )
Л2 .
.......... а rc t g ............... ,
'\'2
t V1 ,
'" . 'i
r 1 Т 1 ' /\,1 == Т l
,
n
l Cte.....Vtt sin ('}.,t + 81)'
{=:::;1
T (IZ 2) n
rде Cl :::= t V ; RI === П Rlk
Лl Rt k=:::;l
k+i
R l k == (T Т l) 2 t 4 ('\' i l' q) Х
Х (УIТ; '\'kT ) Т;Т% == Rkl;
n
L: 2Лl (Vl 1'k) .
81 == arctg )2 (л. ",2)'
(l't 'Yk t k
k==1
k+l
t' 1 1
l . '1
УI === , Аl == Т
Т 1 i
N<!
ПО
пор.
Изображение
n
S П (T7s2 + 2 iT .s + 1)
i:-:=l
95
rде n::> 2;
О <. ; < 1 ;
l
все '\'t == т; различны
I
I
n
52 П ( T B2 + 2 i Т iS + 1)
(::::=1
96
rде n > 2;
О l < 1;
l
У 1 ==............... р аЗ л и ч НЫ
Т!
все
Продол/к ени е табл. 4.1
Ориrннап
n
I C1e.....Ylt sin ('л1t + 81)'
i l
т2п з n
rде C1== V1 ; RI П R/k;
'AJ R 1 k==l
k+l
Rik == (Т7..... Ti)2 + 4 (У, 'Vk) Х
х (у, T YkTi) T TZ == Rki;
n
2л'1 (11 'Vk) +
81 == arctg (Уl Yk)2 (Ч ЛП
k l
k+l
л V'l ;}
+ arctg .......L; л'l ==
'Уl TI
n
А r t + r с Ее....." It sln ('Лlt + B1),
{==1
n T (n l)
rAe А==2:Е YiT ; C1== t ;
i l л'l V Rl
,
n
Rt == П R1k;
k;;;;;;l
k+i
Rik == (т; T )2 + 4 (Уl 'Vk) Х
Х (VtT; 'VkTi) T T == Rkl;
n
I: 2Лi ('VI Y.k) +
81 == arctg 2 ( 2 "2)
(у 1 'Vk) ..... hi (l.k
k==l
k+i
V'l 1
2 t ЛI. 11
+ arc g , "'1 == Т,
'УI
159
J'\g
по
пор.
I
Изuбра ЖСJIНС
I
s
.
11 '
П (T;S2 t 2G i т iS ! 1)
i ::=:.1
97
rде II 2;
О < ' < 1;
все .". i
rt Т различны
L
S2
п ,
П (т 782 2s i Т iS r 1)
i ::== 1
98
rде n => 2;
О i < 1 ;
t .
все '\' i == различны
Т.
t
160
Про д о л Х( е н и е т а б л . 4. 1
I
Орl1rннпл
п
, 1 С v . t . ('1 t
... ' [е t Sln (\.,l 8i),
i==1
T?п 5 Il
rде С. t R П
t Лt' lI'Ri; 1 Rtk:
t k l
/t -4= i
R (2 2 )')
iI === Ti Tk f 4 (Vf 'Yll) Х
(т2 2) 2 ')
Х "У!, i V'lTfl Т iTk == Rki;
II
8, == 1: arctg 2Л.i (Yi Vk)
2 ( 2 2)
k l ('\' i '\' k) Лi Л,/
k4=i
л.
а r с t g..........L... ·
Yi '
J/ 1 7
'Л-
t Т'
I
n
:r с [e Y' [, sin (Лit + в [) J
'==1
T (п З) n
rде C1 =-= tV , RL П Rik:
Лi Rl k l
.. krf=i
R iI == (Т7 T )2 ! 4 (Yi Yk) Х
х (ViT7 Y/,T ) T1TZ == R,li;
n
01 == arctg 2Лl (Vt "(k)
,/ I ( ,) ( 2 2)
'v i 'v iI)" Лi Лk
kфi
л
2arctg .
'V l '
1/ . 1 67
л 1 --=-=
Т{
N'v
по
пор
Изобрижсние
1
99 (T2si r 2 Ts + 1)(T1s + 1)'
r де О . < I
'tS + [
[00 (T2s2 t 2 Ts + 1) (T}s r 1)'
rде О s < 1
bos2 + b1s + 1
01 (T2s2 + 2 T5 + 1) (Т}5 + 1) ,
rAe О -< 6 < 1
6 Макаров И. М.
Про д () л }I{ С 11 И е т а б л. 4.1
Ориrмнал
Ce "! sin (лt 8) + Cle at ,
I .
rде С ,
л. т V Т2 (1 2уТ 1) + Т!
т 1 .
C1 == Т2 (1 2уТ]) + TI'
6 arrtg ЛТ1 · V J...;
I уТ 1 ) Т
V 1 2 . 1
л== Т ' а===т-;
rL. ...,i . ," I \' ......е
"''IW" - (1T \ Itl - V J I L.1 ,
1 V '[ + Т2 (1 ........ 21'1") .
rде С == лта Т2 (1 21'Т 1) + Тl '
Tl Т: .
С 1 ===: Т2 (1 2уТ 1) + Ti '
е == arctg 1 лТ lТ afctg 1 л,'t ;
l' 1 1't'
l' == ; л == V 1 ;a ; а ==
т т Т1
Ce Vf sin (лt В) + Cle a! ,
rде С ==
... f л.2 (2уЬо Ь1)2 +
v ,+ [ЬО (,\,2 л2) "Ь1 + 1]2 .
'А Т Т2 (1 2уТ 1) + ТI '
Ьо (b1 Т 1) т 1 .
С1 == Т1 (та (1 21'Т1) + т}] ,
е лтl
== атс tg I Т +
y 1
Л (21'Ьо bt) .
+ arctg Ьо (у2 'А2) "'(Ь1 + 1 '
; . vl.....;2.
У==Т' л== т '
1
а == ...............
Т1
161
,
Не
по
пор.
Изображение
1
102 s (T2s2 1 2 Ts I I)(Т 18+ 1) J
J'Lte О <: < I
't'S + 1
103 s (T2s2 + 2sTs + 1)(T1s+I)'
rде О < 1
boS2 + b1s + 1
104 s (T2s2 + 2 Ts r l)(T Is+1)'
rде О < ; < 1
162
Про Д о л )К е fI и е т а б л. 4..1
ОриrииаJl
1 Ce vt sin (лt е) Cle at ,
1 .
r де С == ,
л. УТ2 (1 2')'Т 1) + Тl
Тl .
С 1 (1 2')'Т 1) Т2 -r Т! t
л.т л.
f) .: H С t g I 1 '/ :1 rc t g . - ;
- ')' 1 .. ')'
v l 2 . 1
')'=--=т; л. = т ' a т;
1 Ce vt sin (л.t е) + Cle at ,
1 V Т2 (1 2')''t) + '(2 .
rде С == л.т Т2 (1 .. 2')'Т 1) + Ti '
(т: Tl)Tl .
С 1 == Т2 (1 2')' Т 1) + т 1. '
л.Т1 л.1'2 .
е ::--7 arctg 1 Т arctg Т2 'т" J
')' 1 ')'"
. v 1 2. 1
'\' T' л. н т ' CG " Т1
1 Ce vt sin (л.t 8) Cle at ,
rде С ==
... f л.2 (ЬО Т2)2 + .
v + [Ь1 ')' (ЬО + Т2)]2 ,
л.т T2(1 2')'Tl)+T}
ЬО (Ь1 Т 1) т 1 .
С1 == Т2 (1 2')'Т 1) + T'i '
л.Т1
0== arctg 1 ')'Ti +
л. (Т2 ьо) .
+ а rctg Ь1 ....... ')' (ЬО + Т2) ,
'" == .1.. ., л. == J! 1 2 .
I Т Т'
I
a==
Т1
Н!
по
пор.
Изображение
I
105 s2(T2s2 + 2sTs+J) (T1s+ 1)'
.. ......
rде О -<= ; < 1
s
106 (T2S2+ 2 Ts1 1)(T1s+ 1)'
rде О -< < 1
s
107 (T2s2 + 2 Ts + 1)(T1s + 1)'
rде О -< ; < 1
108
1 _
(T2s2 + 2 Ts + 1) Х
1
Х.
(T1s + 1) (T2s + 1)'
rде О -< &.< 1 ;
Т1 Т2
11 Р о Д о '1 Ж е н 11 е т а б л. 4.)
Ориrвнзп
А + t + Ce YI sin (лt ---- 8) + Cl (J.t ,
rде А == ...... (т 1 + 2уТ2);
С== Т .
лVТ2(t 2VТ1)+ Ti '
ту .
С1 == Т2 (1 2уТ 1) + т}'
лт. л
в == arctg 1 lТ 2arctg ;
y i У
. v 1 i . I
У ,л , а. ...............
т т Т1
Ce vt sin (лt ........ 81) Cle t ,
1
r Де С::= ·
лТ2VТ2(1 2УТl)+Т1 '
I
С1== T2(1 2yTl)+TI;
лт. л
6 == arctg 1 IT + arctg ;
y 1 У
; . v 1 2 . 1
Y==T ' л=:. т ,а.==т
1
........ ........ ...... ... - ....... -......... ..".
Ce vt sin (лt........ 6) + Cle al ,
1
rJte С == ·
лтаVТ2(1 2yTl)+ Ti'
с 1 ·
1 == Т 1 [Т2 (1 ...... 2уТ 1) + ту] ,
е == arctg 1 ЛТfт + 2arctg ;
Y i У
; . _ v 1 .....;2. 1
У == , л == , а. ::=-
т -т Т1
Ce....'t sin (лt + 6) + C1e........(l,lt + C2e.....aat,
1 Т2
rде С == ,'r ; С1 == (Т } ) R ;
л у R1R2 1 2 1
Т2
С 2 ·
2 ,
(T2.........T1)R2
6.
..... .......... OI.OII....... .....:.w....;r .......... ... .. ... ...,.... 't.. _........... .. ..... o> #".... .... ........ """ ............ .Т.. .. .............._ ..... ......
163
НI
ПО
пор.
Июбражеиие
108
1
(T2s2 + 2,Т8 + 1) Х
1
Х (Т 18 + 1) (Т.8 + 1) J
rl1e О -< < 1;
Tl=FT"
109
(1'8 + 1)
(Т282 + 2;Т8 + 1) >.с
1
х (Т 18 + 1) (Т 28 + 1)'
rде O<: <I;
Tl=FT"
110
b"s" + b1s + 1
(Т"82 + 2 T8 + 1) Х
1
Х (Т18 + 1) (Т,,8 + 1)'
rде О <: < 1;
Tl=FT"
l/1. П
r ...
164
Продолжение табл. 4.1
Ориrвиал
R 1 == TI (1 ....... 2,\,Т 1) + Ту;
R2 == Т" (1.....2'\'Т2) + Ti;
'ЛТ1 'ЛТ2 .
в ;: arctg Т 1 + arctg Т l'
'\' 1 '\' ,,
. v 1 ..... I. - 1
'\' === Т' 'л == Т ,ctl == --т-;-
Ce vt sin ('Лt + 8) + Cle att + C2e.....a!J.!,
1 1 f 1'2 2,\,1'T" + Т2 .
rl1e С === 'ЛТ У R1R2 '
С Т 1 (Т 1 ..... 1') . С Т 2 (1' Т 2) .
1 (Т 1 Т,,) R1 ' 2 (Т 1 ..... Т 2) R 2 '
R1 == Т" (1 2,\,Т 1) + Т};
R2 Т2 (1 ..... 2,\,Т 2) + T ;
в 'ЛТl
arctg Т 1 +
'\' 1
'ЛТ 2 t 'Л1'.
+ arctg Т 1 + arc g 1 '
'\' 2........ ...... '\' l'
. v 1 ....... 2 . 1
'\' Т ' 'л == Т ,ctl ==---т-j'
......Ce y! sln ('Лt + в) + C1e.....att + C2e......ast,
V 'Л2 (ЬО ..... Т2)2 +
С 1 + [Ь1 ........ '\' (Ьо + Т2)] 2 .
rlte == 'ЛТ RIRa'
С ........ ЬО...... Ь1 Т i + Т' .
1..... ,
(Т 1 ....... Т») R1
С ........ Ь о ....... Ь1 Т 2 + T .
,,--- ,
(Т»....... Т 1) R2
R1 == Т2 (1 ..... 2,\,Т 1) + Т1;
R2 == Т" (1 ..... 2,\,Т,,) + T ;
в 'ЛТi t 'ЛТI +
== arctg Т 1 + arc g Т 1
'\' 1...... '\' 2.......
'л (2,\,Ьо ..... Ь1) .
+ arctg ЬО ('Л1 ,\,1) + Ь1,\, ..... 1 '
; . V 1 2. ........ 1
'\' ;:: Т' д, == Т ,а 1 ....... ---т-j'
..,....
Но
по
пор.
Изображенне
111
1
S (T2S2 + 2STs + 1) Х
'"
1
Х (Т 1 S + 1) (Т 2S + 1)'
rде О -<= S < 1;
Т1=1=Т2
I
112
TS + 1
s (T2S2 + 2STs + 1) Х
1
Х
(T1s + 1) (Тэs + 1)'
rде О <: ; < 1;
T1-=FT2
113
Ь082 + b1s + 1
s (T2s2 + 2 Ts + 1) Х
1
,\/
/,
( Т 1 S + 1) (Т 25 + 1) ,
r де О <. < 1;
T1-=FT2
Продолжение табл. 4.1
Ориrииал
1 Ce Y! sin (лt > 8) + Cle aJt + C2e....rx2t,
т ТЗ
r де С;::= ; С1;::= 1 ·
л}/ RIR2 (T2 Tl)Rl'
ТЗ
С2 == (Т1 2)R2;
R1 == Т2(1 2yTl) + Ti;
R 2 == Т2 (1 2уТ 2) + T ;
лТ
е == arctg 1 +
уТ 1 1
+ t лТ 2 л
arc g Т 1 + arctg ;
у 2 У
l. л == V 1 2 . 1
r т ' Т' ctl == ---т-;-
1 Ce yt sln ('At + 8) + C2e a1.! + C2e a2t,
1 V 't2 2уТ2т + Т2 .
rде С Т R1R2'
С1 == Ту ( Т 1) ; С2 == T ('t Т 2) .
(Tl T2)Rl (T2 Tl)R2'
R1 == Т2 (1 2уТ1) + Ti;
R 2 == Т2 (1 .... 2уТ 2) + T ;
лТ
8 :::::: arctg 1 +
уТ 1 .... 1
лТ 2 лТ2
+ arctg Т 1 + arctg Т2 ;
У 2 У ..........'t
== l. л V 1 2 . 1
r Т' Т ,ctl == -т-;
1 + Ce....yt sin (лt + 8) + Cle YJt + c2e......-v2t,
1
rде С == х
л
х V л2 (ЬО ....... Т2)2 + [Ь1 У (Ьо + Т2)]2 .
R1Rэ '
С Т 1 (ЬО .... Ь1 Т 1 + Ту) .
1 ,
(Та Т1) Rl
165
не
по
пор.
Изображеиие
113
boS2 + Ь18 + 1
8 (TS81 + 2,Т8 + 1) Х
1
Х (Т 18 + 1) (Т 25 + 1) ,
rlle О <: , < 1 ;
T1=FT2
114
8
(T2s2 + 2 T8 + 1) Х
1
Х (Т 18 + 1) (Т 18 + 1 J '
r Ае О <: , < 1;
Tl=FTI
115
Sl
(T1sl+2;Ts+ 1) Х
Х I
(Т18 + 1) (TS8 + 1) J
rle О i < 1;
Tt=#lT.
....;J.:;oQ'............. ........ ..,. ......... ""'.-с............ >......... . .....
166 .
Продо.'1жение табл. 4.1
т I
I
J
ОриrНН8J1
С ..... Т 2 (ЬО ....... Ь1 Т 2 + Ti) .
2 ,
(Т i ..... Т S) R2
R1 == Т! (1 2уТ1) + Ti;
R2 == Т2 (1 2уТ2) + T ;
ЛТ1 ЛТ2
е === arctg уТ 1 1 + arctg уТ 2 1 +
л (ЬО Т2)
+ arctg Ь1 У (ЬО + Т2) ;
. v 1 ...... 2 . 1
У == т' л == Т '(X,l == Т
. 1
____Ce vt sin (лt + е) + C1e......oo(Xlt + C2e......oo(X"f,
1 Т.
rle С == · с . . 1 ·
лТVR1R2' 1 (T2.......Tl)Rl'
С Т2.
2 == (Т 1 Т 2) R 2 '
R 1 == Т 2 (1 ..... 2у Т 1) + т r ;
R 2 == Т2 (1 ...... 2уТ 2) + T ;
лТ
е == arctg 1 +
у т 1 ....... 1
ЛТ2 Л
+ arctg Т 1....... arctg ;
'v 2....... 'v
; . V 1 2 . 1
У == т' л == т '(X,l == -т-;
Ce Y! stn (лt + 8) + Cle rxlt + Cae.....rx.t J
С 1 ·
rlle == V '
лТI IR.
1. 1
С], == ( Т ) R ' С1 == ;
Т i . t (Т t ---- Т 1) R s
R1 == Т' (1 ..... 2уТ1) + Ti;
R2 == Т' (1 ..... 2уТ 2) + Ti;
8 == arctg fЛТt +
уТ t ..... 1
+ arctg ТлТ S 1 ..... 2arctg.!:... ;
'V ......... у
. Vl:.... s . 1
У == т' л == Т ,r.tl == -т-;
io. ..................... ..1 ..... 0J:k. ........ ...""".,;....t.r.-..t, "'..... .. ............
..
Nv
по
пор.
Изображение
I
n
(TIS2+2 Ts rl) П(Т1s+J)
116 1 1
rILe n:>- 2;
O< <I;
все Т 1 различны
1
S(TtS2 + 2 Ts + 1) Х
n
Х П (Т IS + 1),
117 {;;;:1
rде п:>- 2;
0<; < 1;
все Т 1 различны
Про А О Л Ж е 11 и е т а б л. 4.1
Ориrииал
п
Ce vt 51п (лt + 8) + C/e---alt)
/==1
(..... Т)n.....2. n .
r де С == 1'.......' R П R 1 .
Л у R /==1
ТN
{
С, ==
1I
R, П (T/ Tk)
k==l
k+1
n
(} == arctg АТ, .
VT 1 1 '
{=:1
R 1 == (1 2'1' Т 1) Т2 + T ; '\' == ; ;
v 1 2 . 1
л == т · al:= т-;-
n
1 Ce 'Vt 5in (лt + 6) c,.e ait,
;==1
( ....... Т) п.....l . n.
rAe С == 1'......' R == П R{ J
Л У R i==1
T +1
,.
С,==
n
RI П (T/ Tk)
k==l
k+{
R { :::: (1 ....... 2уТ 1) Т2 + Тl;
n
L АТ, Л ·
8 == arctg Т 1 + 8rctg........... ,
V l 1
/==1
. v 1 ;2 .
V===T' л== Т '
1
а, == 17
167
Продолжение табл. 4.1
NIl
ПО
пор.
Изображение
118
1
82 (T2s2 + 2 Ts + 1) х
n
Х П (Tjs+ 1),
i==1 .
r де п:> 2;
О < 1;
все т l различны
119
s
(T9s9 + 2,Ts + 1) Х
n
Х П (Т,8+ 1),
1==1
rде п:;;.. 2;
O <I;
все т 1 различны
168
Ориrинап
n
A t t Ce Y! sin (лt 1 А) Ь c,e alf,
i l
n
rде А == 2'VT9 + Т,;
i==l
( Т)11 п
С == ; R == П Rl;
л V R i l
T +2
L
С, ==
n
R, П (T, Tk)
k==l
k+l
/ R == (1 21'Т i) Т2 + Т1;
n
L лТ, л ·
8 == arctg Т 1 + 2arctg ,
у , 'v
i =:::;; 1
t V 1 t2 .
..., === Tb ., ." ':.1
r л== т '
1
аl ===
Т,
n
____Ce.....vf sin (лt + 8) С le a,t,
i=:::;:1
( T)n 3 . n
rде С == V ' R == П RI;
л R i =:::;; 1
T1"f.....1
L
С, ===
.
,
n
R, П (T, Tk)
k ==1
k+l
R 1 == (1 21'Т 1) Т2 + Т1;
n
8== arctg лТ, arctg ;
1'Т 1 1 У
i==l
. v 1 2 .
1'==т' л== т '
1
а, ==
Т,
Ng
по
пор.
Изображение
120
S2
(T2s2 + 2STs + 1) Х
п
Х П (T[s+1),
i ===1
rде n =>- 2;
0 <1;
все Т [ раЗЛИЧНbI
1
(Ts + 1) Х
121
п
Х П(т s2+2SiТiS+ 1),
i :::::01
I'де 1L 2;
О [ < J ,
все 'У, == ; различны
Продопжение табп. 4.1
Ориrинап
п
Ce vt sin (лt + е) + C[e a.lt,
i===1
( T)п 4 . п.
rде С == 1 r......... , R == П R [,
л v R [==1
Tп 2
[
C1 ==
.
,
п
RI П (Т 1 Tk)
k==1
k+[
R[ == (1 2"1 Т ,) Т1. + T ;
п
8 == arctg лТ[ 2arctg ;
i..J 'VT 1 1 "1
[==1
'I' l. л V[ 2.
T' Т '
1
а 1 == ...............
TI
п
Ce a.t C[e v[t sin (л1t + 81)'
i==1
T2п 1 f т п з
С · С t
r де == ,1 ==
ПN Лl V'IRI
'1
[==1
'i == (1 2"1 i Т) T + Т2;
п
R[ П R1k;
k==l
k+1
Rik == (Т1 T Y + 4 (Vi -/k) Х
х (1'iT1 'Vk Tit) T?Tk;
п
2Лl ("11 'Vk)
el === arctg ( )2 ('12 '12) +
"1 . 'Vk IV. IVk
k== 1 L L
k+i
+ t ЛI Т .
arc g Т 1,
"11
/ 1 1
ЛI == Т 1 ; а == т
169
Продолжение табл. 4.1
Н2
по
пор.
Изображение
1
s(Ts+l)X
122
n
Х П (T1s2 -i 2 iTis + 1)
{==!
rде n > 2;
О < 61 < 1;
все "1, == ', различны
1
Sl (Ts + 1) Х
123
n
Х П(Тls2 + 2;iT iS + 1)
i==l
l'де n >- 2;
О <: l < J ;
все "1, == различны
170
Орнrннал
n
I Ce a' + C,e Ylt sin (л1t + 8i),
, i==l
т2n
r де С ==
n
П 'l
{==1
т2 (n 1)
· C1 ==
, ЛI V'IRI
11
,. == (1 2"" . Т) Т + т 2 . R.::=: П R i k ;
r t ,,,
k==l
k=l==i
Rik == (Т1 Tk)2 + 4 (У! t'k) Х
х (VlT 1'kTi) T1T ;
n
2Лl (1'1 1'k)
8l == arctg ( )2 (л2 л2) +
k:::::::l У! 'Vk i k
k+i
+ arctg ТЛ1 т 1 + arctg l:.L ;
'Vl 'У,
V l 61 1
л, == Т 1 ; а == т
n
A + t + Ce a! Cie 1lt siП(Лit + 8,),
{==1
,
n
rде А == Т + 2 '\'iT7;
i:::;;;l
1 2п+l T n l
11 r, ; С, == 'Л, JriRI ;
i ::=;; 1
С:=.:
r i == (1 2')' t 1') Т 't: Т').;
n
R, == П R,k;
k==l
k+i
R ik == (Т1 T )2 + 4 ('Vi '\'k) Х
х (У (Т1 1'k Tk) T1Tt;
НI
по
пор.
Изображение
123
1
S2 (Т S + [) х
n
Х П (T1s2 + 2SlT iS + 1)
i==1
rдеn:;;а..2;
О < , < 1;
l
все у, ............... различны
Т,
S
(Ts+ 1) х
124
n
Х П (T s2 + 2SIT iS + 1)
С==l
rде n:>- 2;
О -< l < 1;
все у, == ; различны
Про а о 4 Ж е н н е т а б л. 4.1
Ориrинал
п
8 t 2л, (У, ...... 'Vk)
, аrсg('I'i 'I'k)2 (л.1 Ч) +
k===1
k+l
лТ л
+ arctg Т, 1 + 2arctg ;
у, у,
V 1 } . 1
лl == Т, ,а т
п
.....Ce at + t C,e Yl' sln (л,t + 81)'
1==1
т2 (n 1)
T (n 2)
; С, == ;
лl V"R,
rде С ==
п
П '1
1==1
'1 (1 2y1T) Т} + Т2;
п
R, == П R,k;
k==l
k+l
Rlk == (T ...... TI)2 + 4 ('Vl...... 'Vk) Х
х (у i T ----- 'Vk Ti) T1Ti;
n
2л, (у, ....... 'Vk)
f} 1 == arctg ( )2 (11 2 11 2) +
у. ...... 'Vk I\i, I\i k
k==1 1.
k+l
+ t ЛIТ t л, ·
arc g Т 1 arc g ,
у, ..... У,
VI ----" 1
л · a
1=== Т, ' T
('
171
,
Н2
по
пор.
Изображение
S2
(Ts 1) Х
125
п
Х П (T1s2 r 2 iT iS + 1)
i==l
rДе n > 2;
О ! < 1;
все у i == ; различны
1
126 (T2S2 + 2 Ts + 1) (Т 1S+ 1)2'
rде О s < 1
1
127 s(T2s2+26Ts+ 1)(T1s+ 1)2'
rде О ; < 1
172
Продолжение табл. 4.1
Ориrинал
n
Ce a! r Cle 'Vit sin ('л1t + 8')1
1==1
T2n 3 . T n 5
r де С == . С. t ·
fт. 'i t ')..j V 'jRj ,
i l
"
,
{. :::--: ( 1 2"''', Т) T' r т .
t r t J, ,
п
RI:::::: П R1k;
k===l
k=l=i
R ik :::::: (Т1 T )2 + 4 (У i ... 1'k) х
х (1' i Т1 1'k Tk) Т1Т!;
n
е == arctg 2Лl (1'1 '\'k) х
t (1'i 'Vk)2 (лl л,'k)
k===l
k=l=i
ЛlТ Лt
arctg Т 1 2arctg............... ;
1'1 "?!
л V 1 61.
l Т! ,a Т
Ce '\'! sin (лt 8) + (СО + C1t) e at,
1 1
rде С == --т----; СО == """""""2 [( 1 ,\,Т 1) 2Т2Т 1];
1\;' ...., r
1
С1 == ,; , == (1 21'Т1) Т2 + Ti;
е n лТ 1. S .
arctg 1 1'Т 1 ' 'v == T ,
V 1 ;2 . 1
л == , а == ..............
т Т1
1 Ce vt sin (лt 8) r- (СО C1t) e a! ,
Т.
rде С === ,
Л,
Т2
СО == f (4"'(Т2Т 1 3Т2 ТI);
,
Т.
С 1 == ..........L ; r == (1 21'Т 1) Т2 Ту;
r
N2
ПО
пор.
Изображение
1
127 S(T2S2+2 Ts+ 1) (Т 18+ 1)2'
rде О -<= ; < 1
s
128 (T2S2 + 2 Ts+ 1)(T1s+ 1)2'
rде О -<= < 1
82
129 (T2s2 + 2 Ts+ 1) (Т 18+ 1)2'
rle О -<= < 1
130 Х
1
(T2s2 + 2STs + 1) Х
1
(Т 1 S + 1) (Т 28 + 1) 2 ,
rде Т1:::1= Т2;
0<;<1
Продолжение табл. 4.1
Ориrии.ал
лТ
8 == 2arctg 1 t IV.
1 VT i ........ arc g у ,
'\' == l. л V 1 2. I
Т' т ' a, т
1
Ce ! sin (лt 8) I (СО CJ t) e at,
I Т2 Т2
r де С == 1Т ; СО::::.::= 1 ·
I'v , ,2'
1
С 1 == Т 1 ,; , == (1 2уТ 1) Т2 + Ту;
лТ. л
8 == 2arctg 1 T 1 + arctg у...... ;
'" ...t. v 1 2 . 1
r Т7 IV Т ' а,==у
1
Ce Y' sin ('At 8) + (СО + C1t) e rxt,
rде С == 1 . С 2 (,\,Т2 Т 1) .
л T2r' о ,2 '
1
С! == Ti' ; r == (1 2уТ 1) Т2 + Ti;
')."т. ')."
е == 2arctg 1 ;T 1 + 2arctg у ;
. Vl 2 1
Y T' л== т ; а== Т1
........Ce 'Vt sin (лt + 8) + Cle a1! +
+ С2 (СО + t) e a2t,
rде С == Т · С, ту ·
r ' 1
лr 2 1 , 1 (Т 2 Т 1) 2 r 1 '
Т
С 2 ·
2
(T2 Tl)r2 '
СО == Т 2 [ 2 (1 'УТ 2) Т2 Т 1. ].
'2 (Т 2 ....... Т 1) ,
'i == (1....... 2vT 1) Т2 + Т1;
е == arctg Л: 1 + 2arctg 'АТ 2 ·
'VT 1 1 уТ 2 1 '
I\t == l. л y 1 2 . 1
r Т' т ' a,l == Т t
173
.N'Q
ПО
пор.
Изображение
131
I
s ('t2S2 I 2 Ts i }) х
1
,/
,-"'\ ( Т 1 S 1) (Т 28 t 1) 2 ,
rде.. Т i =F Т 2;
O <l
132 Х
s
(T2s2 4 2 Ts + 1) Х
1
(Т 1 S + 1) (Т 2S + 1) 2 ,
rде Т 1 =t= Т 2;
O <l
174
Про Д о л ж е н и е т а б n. 4.1
Ориrинал
I + Ce vt sin ('Лt + е) Cle .-al! +
+ С2 (СО + t) e a2t,
Т2 Т4
rде С:=:: r ; С1 == (Т Тl )0) ;
лr:) v r 1 1 2" r 1
"' T
C2 (Tl T2)'2;
". " 1, [ 2 (1 - 'v Т 2) Т 2 -" I
(J()"
'2
Т1 ] .
Tl T2 +1 ,
'i == (1 2"(Т i) Т2 + Тl;
е == arctg ЛТ:i +
'VT i 1
...L 2 t 'АТ2 'А ·
I arc g Т 1 + arctg ,
"( 2 '\'
", .1.. V 1 2 . 1
r Т' I'v == Т ' al ===
Ce vt sin (лt + О) Cle al!
+ С2 (СО + t) e a2t,
rде С == 1 ; С1 == Ti 2 ;
лr 2 V r 1 (Т 1 Т 2) '1
1
С2 === ;
(Tl T2)'2
СО === Т 2 [ 2 (1 'VT 2) Т2 +
'2
+ Т1. 1] ·
Ti T2 ,
'i == (1 2 T i) Т2 + Т1;
е == arctg лТ1. +
,\,Т 1 1 /
+ 2arctg ТАТ 2 1 arctg ;
'v 2 'v
", .1.. v 1 2 1
f Т ' I'v Т ; аl == т--;-
N2
по
пор.
Изображение
Про д о л }I{ е н и е т а б л. 4.
Ориrинал
133 Х
S2
,/
(T2S2 2 Ts + 1) /"
1
(Т 1 S + 1) (Т 28 + 1) 2 ,
rде Т 1 =1= Т 2;
O <l
Ce vt sin (лt + 8) + Cle a1t +
+ С2 (СО + t) e a2t,
1 Т
rде С ==. /" С1 == (Т } )2 ;
'ЛТ'2 l '1 2 1 '1
]
С 2 =.::
T2(T2 Tl)'2 '
СО :== Т 2 [ 21"2 (1 "(т 2)
'2
Т1' J
2 ;
T2 Tl
'i =-= (1 2"(Ti) Т2 + Т7;
'АТ
е ;;:::= а r с t g 1-1
. "(Т 1 1
_! 2al'ctg 'АТ 2 2arctg ·
"(Т2 1 'у ,
. v 1 62, 1
'v == Т' 'А == Т al == т-;-
Таблица 4.2
8спомоrательные формулы ДЛЯ отыскания ориrинала
.M
по
пор.
Изображение
1
Ориrипал
, )
h .J
sF (s)
d -
dt f (t), при f (О) == О
F (s)
s
3
р (s)
Ts+ 1
t
f f (.) d,;
о
t
ae a! J е,и, (.) d't', l'де
о
1
tX :=:: ...........
т
4
F (8)
s(Ts+ 1)
t t
J f (,;) d't e a! J e(J.,'t f ('f) d't', rде а. ==
о о
175
I
Продолжение табл. 4.2
Н9
по Иэобра женке Оркrинап
пор.
(Xl(X2 [e a" f ea,'ff ('f) d'f
(Ха ...... а.1
5 F (s) e a,t f ea,1"f(-f) d'f] ,
(T1s + 1) (Т2!; + 1)
1 1
rде а.1 == ; а2 == ...............
Т2
[ ,t t ]
6 F (s) rJ.2e at t J ea'ff ('f) d'f J 'fea'ff('f) d'f ,
(Ts + 1)2 1
rде а == т
e 1t [sin лt f е Y't cos Л'ff ('f) d't
F (s) cos Лt f е "1'1" sin Л'ff ('f) d'f] ,
7
T2sa + 2;Ts + 1
rде у == ; л == V 1 ;: ,2 ; р == у2 +- 1..2
/ у....
J f ('f) d-r e Y! Х
о
Х [sin (лt +- О) f eY'tcos л.'ff ('f) d'f
R F (5) cos (Лt +- О) f еУ'! sin Л'ff ('f) d't] ,
S (T2S2 + 2 Ts + 1)
r де у == 3..; л. == V I 62 .
Т Т ,
р == у' + л';
л
е == а rc tg .........
У
I?C.
Про Д о JI Ж е н и е т а б JI. 4.2
Ng Ориrниал
по Изображение
пор.
[Sin e j cos ,! ('1') d'1'
9 F (5) COS e j sin '1'! (т) d'1'] ,
Т252 + 1
1
rде ==
т
t t
J f ('1') d1' cos e J cos 'ff ('1') d'1'
О О
F (5) t
10 s (T2s2 + 1) sin e J sin T! ('1') d'f.
О
1
rде ==
т
т а б л и Ц а 4.3
Таблица неопределенных интеrралов
( р == v ,\,2 + '}..2; Pl == V ,\,2 + (').. + )2; Р2 == V ,\,2 + (').. 2);
Л Л+Р Л Р)
'l' == arctg ; 'l'1 == arctg ; ' 2 == arctg
'у l' l'
Ct't
J Te a:': dT .осс е (1,2 «( + (1,т);
aт.
J 1;2е и l' d't:.=: е (2 2ct't + ct 2't2);
а.З
cx 't'
J '1'3e T д'1' == е (1,6 (6 + ба'1' + 3(1,2'1'2 + (1,3i3);
J е YT s in ').. т д'\" == е ?r s in (').. 'f + 'Ф);
J e YT
Te 'I'T sin '}..,d'f == р2 [sin ('}..'1' + 2ф) + р'1' sin ('}..'1' + ф)];
177
.
Продолжение табл. 4.3
'V't
J 't2e 'V't sin л't d. == е 8 [2sin (Л'f + з,р) +
Р"
+ 2р. sin (л. 2,р) + p2'f2 sin (л'f + ,р)];
V't
J 'f3e----'l''t sin А'" d't е р' [6sin (А'" + 41jJ) +
+ 6p't Sill (л'f -1 31Р) "1 3p2't2 SilJ (Л't + 2'!-,) + p3't3 sin (Л'f + 'ф)];
V't
J e 'I''t со:> Л'fd'( == е р COS (А'" + 1jJ);
.
· e 'V't
J '(e v't COS А'" d'f == р2 (cos (А'" + 21jJ) + р'" COS (А'" + 1jJ)];
'V't
J 'f2e 'V't cos Л'f d'f ==....... е 8 (2cos (л'r + 3'Р) +
р.
t- 2p'f cos (л'r + 21р) + p 2 cos (л'l' + ..р)];
.....у 't
J '(3e 'I''t COS А'" d'f == е р' [6cos (А'" + 41\') +
6p't cos (Л'f + 3ф) + 3p2'f2 COS (л'l' + 211') + p3'f3 cos (Л'f + 11')];
J .......'V't . 1'} . А d e 'Vt {cos [(л + ) '1' + 11'1] соs[(л ) '1' + 11'2]}.
е Slflл.'t Sln 1-''t 'f == 2 ,
Рl Ps
J 'fe 'I''t sin А'" sin '" d'f ==
"
e V't { COS (А + ) 'f + 21\'1] COS НА 'f + 211>1] +
2 pj Р2
+ 'f [COS [(л + ) 't + ..р1] cos [(л ) 'f + '2]]};
Р1 Р2
J 'f2e 'I''t sin А'" sin '" d'f ==
'\" { cos [(л I Р) 1" + 311'1] cos Нл Р) 't + З-Ф2] _
с rr O I
I t [ COS I I ) 't 2''1'1] cos Нл ) 't + 2'V2] ] -1-
р!
L [(05 [(л ) l' + ..р1] cos Нл ) l' + 'I'2]]}'
I ) Р Р'
... 1 2... .....
J e 'I''t sin A't cos 't d't ==
e 'V't {sin [(л + ) 't + 1I'1J + cos Нл ) 'f + 1I's]} ;
2 Р1 . Ра
178
Про Д о JI Ж е н н е т а б л. 4.3
J '(e 'Y'!; sln л:r cos 't" dt ==
== e....v't { sin [(А + ) 't + 2'1>1] + sin [(А ) 't + 2'Ф2] +
2
+ 't [Sin [(А + ) 't + 11'1] sin [(А ) 1" + '1>21 ] } ;
Pl Р2-
J '(2e 'Y'!; s in л:r cos t dt =-=
== e V't { sln НА ) 't --t 311'1] s il [(А . - ) 1" I 3 ф 1 I
РЗ РЗ
1 2
I 't [ sin НА + ) 't + 2Фl] + .!in [(А ,! 1" 2'1>2] ] I
Р! p
+ [Sln [(А + р) 't + Фl] + sin [(А ) 't + 'Ф2]]} ;
2 Pl Р2
J e 'Y'!; сов л:r cos '!; d't ===
== e.....?t {cos [(А + р) 't + '1>11 + cos [(А ) 't + 'l>2'1} ;
2 Рl Р2
J 'te 'Y't СОВ л.'t СОВ ' д'!; ==
e "'t { СОЗ НА + ) 't + 2Фl1 + cos [(А ] 't + 2'1>21 +
2
+ 't [COS [(л. + ) 't + "'1] + COS [(л. ) 't + "'2]]};
Pl Р2
J '(2e 'Y'!; COS л.'t COS . д'!; ==
== e V't { cos [(А + ) 't + ЗФ1] + cos [(А ) 't --t- ЗФ21 _L
РЗ Р3 I
1 2
+ 't [ СОЗ [(А + P)'t+ 211'11 + cos [(A ! 't + 2Ф2] ] +
PI Р2
+ [СОЗ [(А ) 't + "1] + cos НА Р) 't + 'Р2]]};
2 Pi Р2
J i R. d s in т T cos T ·
't S n ... t "t == a ,
J 2 1 R. d 2 cos рт + 2Рт sin р1" 2T2 cos рт
't S n...1" 't == Э
J R. d СОЗ p"t + 't sin T .
't COS fJ't 't == 2 ,
179
I
П р о до. л ж е н и е т а б л. 4.3
J 2 А d 2sin ,; + 2 ,; COS ,; + 2't2 sin 't .
'1' C05...,'t '1' == 3 '
J . 2 А d ----5i" 2 't + 2р1' ·
51" ...,'1' 't == 4 '
J i 2 Д. d COS2 't 2 't Si" 2 1' + 2 21'2
'1" S n t''t 't 8 2
J '(2 sin2 p'f d'f == 2;P [3sln 2P'f 6 T COS 2 . 6 2't2 sin 2 . + 4 З.з];
J 2 R d sin 2 't I 2 T ·
COS ....1' 't 4 '
J q А d СО5 2p't + 2 't Si" 2 't + 2p2.t2 .
't COS.......'t 't == 8 2 '
J .2 COS2 р. d'f == 24I з [ 3sin 2p'f + 6 'f COS 2р. + 6p 2 sin 2р. + 4PS J;
J . Si"2 't
S 1" p't СО5 p't d't == 2 ;
J . А. R d sin 2 't 2 't COS 2 't
'1' 51n}''t COS t''t 't == 8 2
J .2 sin p't cos 'f d'f == 8 8 [COS 2р. + 2 . sin 2 'f 2 2.2 COS 2р.],
Пример 4.7. Определить ориrинал по изображению
у 4s + 3
s3 (2s + 1) 2 (s + 1) ·
в табл. 4.1 имеются изображения со знаменателями в3 (Т8 1) и Т8 1,
поэтому разлаrаем рассматриваемое изображение на два:
4s+3
s (2s + 1) 2 (s + 1) ==
..... A1s4 + A2s3 + А:)в2 + A4s + А5 + в
..... в3 (2в + 1)2 S + 1 ·
Приводим обе части равенства к общему знаменателю и отбрасываем ero:
4s + 3 == (A1s4 + A2s3 + Азs + А48 + Аъ) (s + 1) + в.s2 (482 + 48 + 1).
Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при равных сте-
пенях s левой и правой части равенства:
А& == 3; As + А, == 4; А, + Аз == о; Аз + А 2 + в == о; А 2 + А 1 +
+ 48 == о; А 1 + 48 == О.
Решив эту систему алrебраических уравнений, определим
Al== 4;A2==0; Аз=== I;А4==1; А5==3 и 8==1.
180
Итак:
454 52 + 8 + 3 1
У == 88 (25 + 1 )2 + 5 + 1
.......48
(25 + 1) 2
1
5 (28 + 1 )2 +
1 3 1
+ 82 (2s + 1 )2 + s8 (28 + 1 )2 + 8 -1 1
По табл. 4.1 rФоrмулы (13). (10), (11), (12) и (1)] СОСТ:lППМ искомый ориrинал
!J 4r.t2 (1 at) e" (1.1 [) (1 at) e (f.t J I
+ [ ( I + e al! + t (1 + са/) J +
+ 3 [ (1 e o:t) (2 + e at) + Е....] + ale alt,
а2 а 2
rде а == 1/2 и аl === 1.
После упрощения
у == 31 11/ + 1 ,5t2 + 4 (8 + /) e O.5t + e ! .
3. Если рассматривается изображение Р, которое разлаrается
на про изведение изображений Р1 и Р2! имеющихся в табл. 4.1, то
ориrинал определяется теоремоЙ свертывания (табл. Пl.l), т. е.
t
изображению F соответствует ориrинал J f1 (! 't) f2 ('t) d't,
О
rде '1 и '2 есть ориrинаЛЫt соответствующие изображениям Р1
и Р2. При вычислении интеrрала следует использовать табл. 4.3.
I1ример 4.8. Определить ориrинал по изображению
1
F == (Т 18 + 1)2 (Т 2S + 1)3 ·
в табл. 4.1 TaKoro изобра}i{ения нет, но есть изображения
1 1
F 1 == (Т 15 + 1) 2 И F 2 == (Т 25 + 1) з ,
на которые разлаrается Р. По формулам (9) и (7) табл. 4.1 определим ориrиналы,
соответствующие изображениям F 1 и F 2:
f "'t Nlt f a2 t2 N,t
1 == f"'I".:.1 е \AI И е \AI
\,N 2== '
rде ai == I/Ti.
181
Затем по теореме свертывания (см. табл. Пl. 1) определим искомый ориrинал
(для вычисления интеrрала используем табл. 4.3):
t
з 2
f == J аН t ..) e <х, (t 't) a 't е <х, t dT ==
о
t
'"J 3
== a1a e a,t J (t1:2 ..3) e (<x, a,) , d. ==
о
a a':'. t r e (a2 rJ; 1) 'r
. 1 - a j t I t r 2 ') ( ) ( 2 2]
- 2 е о l (а2 а] )3 1 .:., а2 а.1 l' а2 а]) 't +
е - (CG 2 a 1) '( , }
I (a ., _ (LI r [() 'I () (aj - (,(11) Т. I' ,'1 (rl - rk1)2 (1, . !- (r/' - а,)3 та] ==
.'\ :1
aict:. r ) r"} C/..1!
(а2 'I)4 t [(a а1 t и] е -
t [0,5 (а2 (1)2 [2 2 (а2 а1) t + 3] e -O:2t}.
Для проверки расчета зададимся некоторыми числовыми значениями пара..
метров, содержаIЦИХСЯ в найденном значении у. Положим Т 1 == 1 и Т 2 == 0,5,
т. е. a1 == 1 и а2 == 2. Тоrда
!J == 8 r (t 3) e ! + (O,5t2 + 2! 3) e 2tl;
у 8 [ 1 3 1 2 + 3 J-'
(5 1)2 S + 1 + (s 2)3 + (s + 2)2 S + 2
(5+1/(5+2)3 [( 35 2)(52+6s2+12s+8)+
8 1
-/.. (,1s f, 118 I 17) (S2 I 28 + 1)] := (;, 1)2(S t 2)З :=:: (8 r 1)2 (0,5s t-- 1)3 ·
С.ледоваТСЛЫJО, расчет ВЫПОЛIlСН правильно.
Теорему свертывания МО)I{ПО ПрИlVlенить дважды. Пусть рас..
сматриваемое изображение F разлаrается на про изведение изобра..
жений Р1, Р2 И Fз, имеющихся в табл. 4.1. Тоrда по таблице найдем
ориrиналы /1' 12 И 1з, соответствующие изобра}кениям "Рl' Р2 И Рз.
t
Затем по теореме свертывания определим ориrинал f12 == J f1 (t
о
,;) f2 ('t) d't, соответствуюп ий изобраJкению РЗР2. После этоrо
вычислим искомый ориrипа.тr
t
f === J fз(t .)f12(.) d..
О
Для проверки обратноrо преобразования Лапласа следует,
как правило, выполнять пря лое преобразование Лапласа, что было
сделано в прнмере 4.8.
182
4.3. МЕТОДЫt ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ ВЕЩЕСТВЕННУIО
ЧАСТОТНУЮ ХАРАКТЕРИСТИКУ
ОСНОВОЙ методов является зависимость между переходноЙ
характеристикой h устойчивой САР и ее вещественной характерн..
стикой Р относительно одноrо из внешних воздействий:
00
h 2 J Р sin oot d
==: (1).
1t ffi
U
Наиболее часто нспользуется метод трапецеидалr)ных характе.
рнстик. Суть этоrо метода в следуrощем. ИнтеrрdJI (4.21) RЫЧИСЛСН
при различных значениях IIараJ\1етрОв......ПсIl естI3енной частотноЙ
характеРИСТИКIf простеЙlllей форrvfЫ (транеIlНЯ или треуrольник)
и результаты сведены в таблипу. РеаЛЬНУIО характеристику Р
разбивают на несколько простейших Pi:
1
P = Pi. (4.22)
i:o l
ДJIЯ каждоЙ IIрсн':теi11ней ХQрQl\Т рIН':l'ИКИ Pi с IlUI\lОЩЬЮ таБJIИЦЫ
определяют соотвеТСТВУIОI.ЦУЮ ей характеристику hi. 'Тоrда пере..
ходная характеристика h, соответствующая вещеСТI3епной частот..
ной характеристике Р, определяется суммированием состаВЛЯIО-
щих hi:
(4.21)
1
h r hi.
i==l
( 4.23)
в качестве типовой В. В. СОЛОДОI3никовым [102] выбрана еди..
ничная трапецеидальная вещественная частотная характеристика
(рис. 4.1). Ее высота равна единице и основание (fj п === 1 c l.
Изменяющимся пара1\1етром является отношение меньшей парад..
лельной стороны Ша К большей (к основанию):
Х == (fj а! о) п'
которое называется КоэФt!)IIЦНСНТОl\1 наклона.
По равенству (4.21) вычислены[ знзчеНIIЯ h, соотвеТt'ТВУIОЩIfС
диничной траlIецн 11 с раЗJIlIЧНЫ!\l ]\()
ЭtуфициrНТОJ\1 HaI\JIOlI:J Х ОТ о До 1, ври
рз:зличных значениях YC.110BIIOI"O Bpe
мени t' twп. )ти значения h наЗЫВQ
ются h.ФУНКЦИЯМJI 11 IlриведеныI
в табл.. 4.4.
Построение переходнои характери..
стики h по вещественной частотноЙ
характеристике Р методом трапеций
состоит из нескольких этапов.
1. Вещественную частотную ха..
рактер истику разбивают на трапеци . Рис. 4.1. Единичная трапецеи..
Д.., дальная 8ещ сt8 нная час rOT.
ля этоrо ДСИСТВlfтельную !{PJlBYIU ная хstраитеРlfСТllиlt
( 4 . 24)
r:
1
. ...=:,..,
I
I
I
I
I lU с-;1
J J
LcJa wn=1
о '
183
0,00 0,05 0,10 О,
- 0,0 : 0,000 0,000 0,000 О,
0,2 ., 0,064 0,067 0,070 О,
'.
0,4 :- О, 127 О, 133 0,141 О,
0,6 4 О, 189 О, 198 0,208 о,
....... 0,8
0,250 0,263 0,275 О,
1,0 . 0,310 0,325 0,341 О,
i ,2 0,367 0,386 0,403 О,
1,4 0,422 0,443 0,464 О,
..... 1,6 :! 0,475 0,499 0,522 О,
1,8 (' 0,525 0,551 0,577 О,
2,0 \ 0,571 0,600 0,628 О,
2,2 0,615 0,645 0,675 О,
, 2,4 . 0,655 0,687 0,719 О,
26,. 0,692 0,726 0,758 О,
,
2 8 ,
0,725 0,761 0,795 О,
,
3,0
0,755 0,792 0,828 О,
"'fI1i 3,2
0,781 0,819 0,857 О,
3,4 { 0,804 0,844 0,882 о,
3,6
0,824 0,865 0,903 О,
3,8 . 0,842 0,883 0,922 о,
.JIIII' 40' 0,856 0,898 0,937 О,
,
4 2
0,868 0,910 0,950 О,
,
4,4 . 0,878 0,920 0,960 о,
4,6 I 0,885 0,928 0,968 1 ,
4,8 (. 0,891 0,934 0,973 1 ,
5,0 . 0,895 0,939 0,977 1 ,
6,з" - 0,903 0,945 0,981 1 ,
7, 0,904 0,945 0,978 1 ,
8,0 0,911 0,951 0,983 1 ,
9,0 0,925 0,966 0,996 1,
10,0 . 0,939 0,980 1,009 1 ,
11,0 0,946 0,988 1,015 '1 ,
,
12,0'
0,950 0,990 1,015 1,
13,0 !I О ,950 0,989 1,012 1 ,
14,0 · 0,951 0,990 1,010 1,
15,0 0,956 0,993 1,012 1,
r,16,0 0,961 0,998 1,015 1,
17,0 ' 0,965 1 ,001 1,016 1 ,
] 8,0 0,966 1 ,002 1,015 1 ,
19,0 0,966 1 ,002 1,013 1,
20,0, ' 0,967 1,001 1,011 1 ,
21,0 0,968 1 ,002 1,010 1
22 О
0,971 1,004 1,011 1
,
23,0 0,973 1,006 1,011 1
"- 24,0- 0,975 1,006 1,010 1
25,0 (
0,975 1,006 1,008 О
26,0.:! 0,975 1,005 1,006 О
27, О ' 0,976 1,005 1,005 О
-,. 28, О " 0,977 1 ,006 1,005 О
29 О 1) 0,979 1,007 1,005 О
,
30,0 I 0,980 1 , 007 1,004 О
.31 О I 0,980 1 ,007 1 003 О
Таблица
15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
000 0,000
073 0,076
146 О, 152
217 0,227
288 0,300
356 0,371
422 0,440
485 0,506
545 0,568
602 0,627
655 0,682
705 0,734
750 0,781
791 0,823
829 0,862
863 0,895
892 0,926
918 0,952
940 0,974
958 0,993
974 1,008
986 1,020
996 1,029
003 1,ОЗ5
009 1,040
012 1,042
013 1,036
006 1,024
007 1,020
016 1,025
025 1,0ЗО
028 1,030
025 1,024
019 1,015
015 1,008
014 1,006
014 1 ,006
014 1 , 005
012 1,002
008 0,998
004 0,995
,003 0,994
,002 0,994
,002 0,995
,001 0,995
,999 . 0,996
,997 0,994
,996 0,994
,996 0,996
,997 0,998
,997 0,999
,996 0,999
]84
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,079 0,083 0,086 0,089 0,092
О, 159 0,165 0,171 О, 1 77 О, 183
0,236 0,246 0,255 0,264 0,274
0,312 0,325 0,337 0,34Q 0,361
0,386 0,402 0,417 0,432 0,447
0,458 0,476 0,493 0,510 0,528
0,526 0,546 0,566 0,586 0,606
0,591 0,613 0,636 О ,()5'7 0,679
0,652 0,674 0,700 0,724 0,747
0,709 0,733 0,761 0,783 0,810
0,762 0,789 0,816 0,842 0,867
0,81 О 0,839 0,866 0,893 0,918
0,854 0,883 0,911 0,938 0,964
0,893 0,924 0,952 0,978 1,002
0,928 0,958 0,986 1,013 1 ,038
0,958 0,988 1,016 1,042 1 ,066
0,984 1,014 1,041 1 ,066 1,087
1,006 1 ,035 1 ,062 1 ,085 1 , 1 06
1,024 1,052 1,078 1 , 100 1,119
1,038 1 ,066 1,090 1,110 1 , 127
1 ,049 1,076 1 ,098 1,117 1 , 132
1,057 1,082 1 , 103 1 , 120 1,132
1 ,063 1 ,086 1,105 1,119 1 , 129
1 ,066 1 ,088 1 , 104 1,117 1,124
1 ,067 1 ,087 1 , 102 1,112 1,112
1,05 1 ,065 1,069 1 ,068 1 ,062
1,034 1 ,037 1,033 1,023 1 ,009
1,024 1 , Q21 1,011 0,998 0,982
1,025 1,017 1 ,006 0,992 0,978
1 ,027 1,018 1,005 0,994 0,985
1,024 1,013 1,002 0,993 0,990
1,015 1 , 004 0,994 0,989 0,990
1,004 0,993 0,986 0,984 0,989
0,997 0,987 0,983 0,985 0,991
0,995 0,987 0,986 0,991 0,998
0,995 0,990 0,992 0,999 1,007
0,996 0,993 0,998 1 ,006 1,011
0,994 0,994 1,000 1,007 1,010
0,992 0,994 1 , 001 1 ,006 1 ,006
0,991 0,994 1,001 1,004 1,001
0,991 0,996 1 ,002 1 ,003 0,999
0,994 1 , 000 1,005 1,004 0,998
0,997 1 ,003 1,006 1 ,004 0,998
0,998 1 ,005 1,006 1 ,002.. 0,998
0,999 1,004 1,004 0,999 0,996
0,999 1 ,003 1,001 0,996 0,996
1,000 1 ,003 0,999 0,995 0,997
1 ,001 1 ,003 0,999 0,996 0,999
1 ,003 1 ,004 0,999 0,998 1 ,002
1 ,004 1,003 0,999 0,999 1,003
1 ,004 1 , 001 0,998 1 )оое 1 ,003
h-функций
0,50 0,55 0,60 (),6!) 0,70 О,7б 0,80 (),85 0,90
0,000
;OOO 0,000 0,000' О,ОЬО 0,000 0,000 0,000 0,000
0,096 - 0,099 О, 102 O,.l-(}5 О, 109 О, 111 0,11.5 О, 118 О, 123
0,190 0,196 0,203 0,208 0,217 0,222 0,228 0,241 0,241
0,283 0,292 0,302 0,303,0,314 0,329 0,338 0,347 0,356
0,375 0,386 0,396 0,410
-O,421 0,433 0,445 0,457 0,468
0,461 0,476 0,49t 0,505 0,519 0,534 0,548 0,561 0,575
0,545 0,562 0,579 0,596 0,612
(y;628' 0,644 0,659 0,675
0,625 0,644 0,662 0,681
0,702 0,716 0,734 0,751 0,768
0,700 0,720 0,74 О,76(У:' 0,780 0,798
0,817. 0,834 0,851
0,769 0,791 0,81 0,833: 0,850 0,872 0,891 0,908 0,926
0,831 0,856 0,878
0,899)! 0,919 o.
9.a.в 0,957 0,974 0,991
0,887 0,914 0,936 0,957ILO,977 ..o;9
6 1,010 1,031 1,047
0,940 0,966 0,98 1,008' '1,028' 1',cr:rb. 1,062- 1,078 1,092
0,9861,011 1,032 1,052 1,068 1,086 1,101 1,115 1,127
1,027 1,049 1,069 1,0881 \:1,104 1,119 1,132 1,143 1,153
1,061 1,081 1,100 1 ,116' 1, 131 1, 1
3 1, 154 1,162 1,169
1,084 1,107 1,12а., 1,138' '1,150 1,1БQ
1,168 ],173 1,177
1,109 1 , 126 1 , 141 1 , 153' 11, 162 1, 1-69 ',1,174 1 ,177 1 , 177
1,1241,140 1,lпЗ 1,161'::1,168 1
ID:'1,174 1,1731,170
1,135 1,148 1,151.. 1,164
1,168 1,169+ 1,167 1,164 1,158
1,141 .t, 151 1, 158 1 ,162 '1,163 1..> 161, 1, 156. 1, 150 1,141
1 , 143 .
1, 1Бf} 1 , 154 1 , 155 t 1 , 153 1 , 1 1 , 141 1 , 131 1 , 120
1 ,141 1,145 1 , 147 1 , 144 (
i 1 , 13] .J7f3
] j 1
J 1 ,109 1,096
1,1351,1371,1391,1311.'/1,1231,1121,1001,0861,071
1,128 1,127 1 , 122.. 1, 115 'П, 104 1 ,092 1,077 1 ,062 1 ,045
1,117 1,114 1,107 1,097 "1,084 I,Q69
1,053 1,037 1,019
1,051 1,036 1,020 1,001 0,98
,D,
4
,934 0,922
0,992 0,975 0,957 0,941 . 0,927 0,9171 0,911 1};<ЭО9 0,911
0,966 O,952r 0,941 0,934 0,932 0,9961 0,943, 0,955 0,970
0,968 0,962 О,96! 0,967,
:{),976 0,990 1,006 1,023 1,038
0,982 0,984 0,993 1,006 '1,020 1,036 1,049 1,059 1,063
0,993 1 ,001 1 , 014
,Q-2-1' ;1 1 ,039 1 ,047 1 ,048 1 ,044 1 ,034
0,997 1,007 1,018 1,026, 1,029 1,025 1,015 1,000 0,985
0,997 1,006 1,01 1,012 ,1,005 0,993 0,979 0,965 0,955
0,999 1,005 1,005. 0,998 0,987 0,975 0,965 0,961 0,965
1,005 1,006 1,002 0,993 0,983 0,977 0,978 0,987 1,001
1,010 1,008 1,001 0,994 0,990 0,993 1,003 1,018 1,031
1,012 1,007 1,000 0,996
' ;0,999 1,008 1,021 1,030 1,032
1,008 1,001 0,997.0,997 ?1,ОО4 1,01Ф 1,020 1,019 1,00В
1,001 0,995 0,993.! 0,997' ;1,004 1,009 1,006 0,995 0,981
0,995 -%;991- 0,992 0,998 11,003 1,001 0,991- 0,980 0,972
0,993 0,992 0,99 1,001 ': 1,002 0,996 0,986 0,982 0,987
0,995 0,997 1,002 1,005 1,002 0,995 0,992 0,997 1,010
0,997 1,-002 1 ,007 i
,.OQ7 1,002.0,997 1,001 1,011 1,022
0,999 1,004 1,007 1,004 0,999 0,999 1,007 1,015 1,016
1,000
1,004 1,004 0,999 0,996 1,000 1,007 1,008 0,998
1,000 1,002 0,999 0,995,0,995 1,000 1,002 0,996 0,984
1,001 1,001 0,997 0,994 "0,997 1,001 0,998 0,989 0,984
1,003 1,001 0,997 0,997' 1,001 1,003 0,997, 01992 0,997
1,004 1,001 0,99 1,001( 1,005 1,003 0,998 (,000 1,011
1,003 1,000 0,999 1,004 1,005 1,002' 0,999 1,006 1,015
1,002 0,998 1,000 ;
1,002 0,998 1,000 1,007 1,006
т (l б .11 И Н а 4.4
0,95
О, 000
О, 127
0,,247
0,364
0,482
0,590
0,688
0,785
0,869 '
0,944
1 ,008
1,060
1 , 1 06 -
1,137
1 , 160
1,174
1 , 179
1,176
1 , 166
1 , 152
1 , 132
1 , 1 09
1 ,082
1 , 056
1 ,029
1 ,003
0,914
0,917
0,987
1,051
1 ,062
1,021
0,97 О
0,952
0,976
1,018
1,040
1,026
0,993
0,970
0,975
1,001
1,024
1,025
1 ,006
0,984
0,978
0,991
1,011
1,021
1,0 12
0,994
I,O()
0,000
0,127
0,252
0,374
0,492
0,602
0,705
0,800
0,884
0,959
1,022
1,074
1,116
1 , 146
1 , 166
1 , 1 77
1 , 179
1 , 173
1 , 160
1,142
1,119
1 ,094
1 ,067
1,039
1,0 12
0,987
0,907
0,926
1 ,002
1 ,060
1,056
1,005
0,958
0,955
0,991
1 ,032
1 ,039
1,012
0,978
0,967
0,986
1,015
1 ,029
1,016
0,990
0,975
0,984
1,006
1,022
1,017
0,997
0,982
185
5 2
I
Рис. 4.2. АППРОКСIfI",ация Rеществе"иоА час..
TO'I'lJoii хараJ(теристики трапециями
O,r7I
1. . _
О,Ь
0.4
0.'/
о о
5
l' .
...................1....... 1
70 15 20
I
25
I L..... J [ ld
ЗО 35 '15 50'"
а4
й
и If
0"2 м
,
3
характеристики зам:еняют приближенно прямолинеиными отрез-
камн и концы каждоrо отрезка соединяют с осью ординат пря-
мыми, параЛJ!{\ЛЫ-IЫIVIИ оси абсцисс. Первый отрезок должен на..
чипаться IIЗ точки Р (О), так как эта точка определяет конечное
значение переходноЙ характеристики lL (00) ::--::: р (О). Более тща..
тсльно необходимо аППРОКСИlVIировать начальную часть веществен..
ной частотноЙ характерпс:тики. Ее «XBOCT} , Т. е. конечную часть
с ординатам.И, меньшими по абсолютному зпачеНИIО, чем О, lP (О),
l\'rO}KHO не принимать во внимание.
2. Определяют пара fетры трапеций. Для каждой i-и трапеции
по rра(рику находит чаСТОТLI O)ai И !t>Hi И высоту Pi. Частоты отсчи-
TbIBaloT от начала осеЙ координат. По значениям roai и !t>пi вычис-
ляют коэффициент наклона Xl и окруrляют ero до ближайшеrо из
значений о; 0,05; 0,10; ... 0,95; 1.
Величину Pl считают положительной, если меньшая пар алле ль-
ная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицатель..
ной в противоположном случае. Сумма высот всех трапеций
равна Р (О).
3. ОпреДЕ:\пЯIОТ составляющие _ переходной характеристики.
В таблице h функций для каждой i..й трапеции отыскивают стол-
бец, соотвеТСТВУIОЩИЙ значению Xi. 3 а Telt1 для ряда значений
условноrо времени fP определяют соотвеТСТВУIощие им значения
h ( ).. По значениям и h ( ) вычисляют значения действительноrо
времени t и состаВЛЯlощей h[ переходной характеристики:
t == /(j)Пi; hi Pih ('t). (4.25)
Иноrда можно брать лишь часть значений 1'. Чем больше юпi'
тем fеныпе точек fОЖНО брать. При ЭТОl\1 следует выбирать точки,
lНо
равномерно отстоящие од.. hl(tJ
u
на от друrои и определя..
ющие маКСИI\IУМЫ и IИНIf" ' 8
fУМЫ h ('1').
4. Строят rрафик со.. Ц6
u
ставляющих переходнои Ч
характеристики. Все со-
стаВЛЯIощне располаrают
на одном rрафике; знак
каждой из них определя- 0,2
ется знаком высоты Р, со-
ответствующей трапеции. 1+/1
Обычно оказывается,
что некоторые составля- Рис. 4.3. СостаВJlяющие hl (е) переходной характе..
ристики
ющие определены на мень..
ших отрезках времени, чем
друrие. Это означает, что УI<азанные составляющие раньше ДРУI'ИХ
достиrли устаНОВПВlllеrося значеНIIЯ н в дальнейшем oCTaIoTcH
неизменными.
5. Строят rра( ик I1ереходноЙ характеРllСТIIКИ. Ординатьr IICPC"
ходноЙ характеристики опредеЛЯI-GТ суммированием ординат всех
составляюu их в выбранные l\10MeHTbI времени. Целесообразно
сначала определить ординаты через равные ПРОl\lежутки вре fени,
затем определить дополнительные точки Ta 1, rде вероятны макси..
мумы или минимумы характеристики и имеются максимумы или
минимумы составляющих. После построения достаточноrо числа
u ....
точек их соеДИНЯIОТ плавнои кривои.
Следует заметить, что поrрешности определения переходной
характеристики тем больше, чем сложнее форма кривой веществен-
ной частотной характеристики. Значительное увеличение числа
аппроксимирующих ее прямолинейных отрезков (и трапеций)
u u
может не уменьшить поrрешностеи, так как для каждои трапеции
окруrляется значение Х, возникают также поrрешности при
построении и суммировании составляющих переходной характе..
ристики.
Пример 4.9. Пользуясь методом трапеций, определить переходную характе-
ристику САР, вещественная частотная характеристика которой изображена на
рис. 4.2.
Начиная из точки Р (О), аппроксимируем вещественную частотную характе-
ристику прямолинеАными отрезками 00, 62, 2д, дж, ЖU, и1С, к.л И ЛН. Концы каж-
доrо из этих отрезков соединим с осью ординат прямыми, параллельными осн аб-
сцисс. Получим шесть трапеций: а6в; в2де; еджз; вжuй; ЙКЛAt; МЛНО.
Определяем параметры (f)al, (f)пt, 'Х' и Р i каждой трапеции и заносим их в рас-
четную табл. 4.5. Коэффициенты наклона окруrляем до значений, имеющнхся
в табл. 4.4 h.Функций. Высоты трапеций абв, йкл.м и .мЛНО отрицательные, так
как их меньшие параллельные стороны располо)кены ниже больших.
По значению 'Хl == О трапеции абв выбираем из nepBoro столбца табл. 4.4
значения h ('t') для нескольких значений t, вычисляем затем -значения t и hj и за-
носим их в табл. 4.5. Аналоrичные операции проделываем для остальных трапе.
ций. Значения h (1') каждый раз выбираем так, чтобы можно QЫЛО достаточно точно
ростронть <;оответствующую составляющую ь,.
О,2
0/1
t,c
187
Т а б л и ц а 4. 5,
Построение переходной характеристики метоДОМ трапеций
Трапеция Трапеция Трапеция Трапеция Трапеция Трапеция
а6в в е д е д ж э э ж ий йХАМ МАНО ,
(йа1 == О (йа2=== 6 ООаа==8 . ООа4 == 10,6 (йа5== 14 (йав== 22
WЛ1 === 4 wп2===8 Wпs== 10,6 WП4== 14 (йно==22 Wпв== 45
Хl == О Х2===О,75 Хэ== 0,75 Х4==0,80 Х5==0,65 Хв==0,50
Рl == O,04 Р2==О,39 Рз:::=: 0,90 Р 4 =:: 0,20 P5== O,25 Pв== O,2
,
t h, и) t h2 (t) t hз (О t h4 (О t htJ (t) t he (t)
0,125 0,006 0,06 0,11 0,05 0,25 0,08 0,11 0,05 o, 13 0,04 o, 17
0,250 o, 012 0,13 0,21 0,09 0,48 0,15 0,19 0,09 0,22 0,09 0,23
0,375 o, 018 0,19 0,30 0,14 0,68 0,23 0,23 0,14 0,28 0,13 o ,21
0,500 0,023 0,25 0,37 0,19 0,84 0,31 0,23 0,18 0,29 0,18 o, 19
0,625 0,027 0,31 0,42 0,24 0,96 0,39 0,21 0,23 0,27 0,22 0,20
0,750 0,030 0,38 0,45 0,28 1,02 0,46 0,19 0,27 0,25 0,27 ...... О 2 О
,
0,875 0,031 0,44 0,45 0,33 1,05 0,54 0,18 0,32 0,24 0,31 O,20
1,000 0,034 0,50 0,45 0,38 1,04 0,62 0,19 0,36 0,23 0,36 0,20
1, 125 0,035 0,63 0,42 0,47 0,96 0,69 O, O 0,41 O,24 0,41 o 20
,
0,75 0,38 0,57 0,86 0,77 0,21 0,45 ......0'25
0,88 0,36 0,66 0,83 0,85 0,21 0,50 ......0 ,26
0,94 0,36 0,76 0,84 0,92 0,20 0,55 0,26
1,00 0,37 0,85 0,89 1,00 0,20 0,59 0,25
1,13 0,39 0,94 0,93 1,08 0,19 0,64 025
,
Строим составляющие h1, h2, hз, h4, h6, hi (рис. 4.3) и, суммируя их, получим
приближенную переходную характеристику САР (рис. 4.4 сплошная линия).
Штриховой .rrинией на рис. 4.4 показано точное значение переходной характери
стики этой системы.
А. А. BOpOHOBbII\1 [19 J в КQ.чеС1ве типовой выбрана треуrольная
вещественная частотная характеристика, т. е. трапецеидальная
с коэффициентом наклона Х == о. Блаrодаря этому при одинаковой
точности таблицt.>I h..функций ее объем резко сокращается. Кроме
Toro, вследствие меньшеrо
шаrа таБлицыI можно сум-
мировать составляющие
переходной характеристи"
ки без построения их rpa-
фиков. Порядок расчета
ИЗЛО,жен в работе [19].
Ta 1 )I{e приведена номо-
T'paMI\1a 1(. l'Iзава, ус коря -
ющая процесс нахо)кдения
uрдинат переходной ха..
рактеристики. Друrой l\le-
тод определения переход-
h(t)
,
2
O
0,8
46
D
0,2
Рис. 4.4. Переходная характеристика
1
Т а б JI И Ц а 4.6
Зиачения функции В ('t)
't В ('t) 't В ('t) 't' В ('t) 't В ('t) 't' В ('t)
0,05 о, О 159 1,40 0,4223 2,75 О, 7168 4,2 0,8681 10,5 0,9437
0,10 0,0318 1,45 0,4357 2,80 0,7248 4,3 0,8732 11,0 0,9472
0,15 0,0477 1,50 0,4489 2,85 0,7325 4,4 0,8777 11,5 0,9491
0,20 0,0636 1,55 0,4620 2,90 0,7401 4,5 0,8818 12,0 0,9498
0,25 0,0794 1,60 0,4749 2,95 0,7475 4,6 0,8853 13,0 0,9500
0,30 0,0953 1,65 0,4876 3,00 0,7546 4,7 0,8885 14,0 0,9515
0,35 0,111 О 1,70 0,5001 3,05 .0,7615 4,8 0,8912 15,0 0,9555
0,40 о, 1268 1,75 0,5125 3,10 0,7683 4,9 0,8935 16,0 0,9606
0,45 0,1424 1,80 о; 5246 3,15 0,7748 5,0 0,8955 17,0 0,9646
0,50 0,1581 1,85 0,5366 3,20 0,7811 5,1 0,8972 18,0 0,9662
0,55 О, 1736 1,90 0,5483 3,25 0,7872 5,2 0,8986 19,0 0,9664
0,60 О, 1891 1,95 0,5599 3,30 0,7931 5,3 0,8997 20,0 0,9668
0,65 0,2045 2,00 0 5713 3,35 0,7988 5,4 0,9006 21 0,9684
0,70 0,2198 2,05 0,5824 3,40 0,8043 5,5 0,9013 22 0,971 О
0,75 0,2350 2,] О 0,5934 3,45 0,8097 5,6 0,9018 23 0,9733
0,80 0,2502 2,15 0,6042 3,50 018148 5,7 0,9022 24 0,9745
0,85 0,2652 2,20 0,6147 3,55 0,8197 5,8 0,9025 25 0,9748
0,90 0,2801 2,25 0,6251 3,60 0,8245 5,9 0,9027 30 0,9795
0)95 0,2950 2,30 0,6352 3,65 0,8290 6,0 0,9028 35 О t 9820
1,00 0,3096 2,35 0,6451 3,70 0,8334 6,5 0,9029 40 0,9838
1,05 0,3242 2,40 0,6548 3,75 0,8376 7,0 0,9036 45 '0,9856
1,10 0,3387 2,45 0,6643 3,80 0,8417 7,5 0,9063 50 0,9873
1,15 0,3530 2,50 0,6736 3,85 0,8455 8,0 0,911 О 60 0,9894
1,20 0,3671 2,55 0,6827 3,90 0,8492 8,5 0,9175 70 0,9908
1,25 0,3812 2,60 0,6915 3,95 0,8528 9,0 0,9248 80 0,9921
] ,30 0,3950 2,65 0,7001 4,00 0,8561 9,5 0,9322 90 0,9929
1,35 0,4087 2,70 0,7086 4,10 0,8624 10,0 0,9387 100 0,9937
ной характеристики по вещественной частотной характеристике
системы заключается в следующем [79]. Вещественную ча-
стотную характеристику аппроксимируют о:rреэками прямых.
Аппроксимацию начинают из начальной точки характеристики
[000 == о; Ро == Р (О) J. Конец каждоrо i..ro отрезка (i == 1, 2, ....)
характеризуется абсциссой U}i и ординатой Pi. Затем для каждоrо
прямоуrольноrо участка характеристики вычисляют значения
производной Pi и вспомоrательной величины bi:
Р' р 1........ Р i...i Ь (Р" Р')
i :::::::: И l == i+l 1 (J)l.
(J) 1 ........ (J) 1..1
Переходную характеристику определяют по формуле
( 4.26)
n
h (t) == biB ( t'),
1::1
( 4.27)
rде n ...... число отрезков, аппроксимирующих вещественную частот..
ную характеристику, и 'tl ::;::: t(J)l.
3 чения функции В (Т) приведецы е табл. 4:.6.
189
о
Ри . 4.5. Аппроксимация вещественной час-
тотной характеристики отрезками прямых
р
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
+0
S(/ r.u,
lAJ С'"
11
0,2
О,ч
Пример 4.10. Определить изложенным методой переходную характери-
СТIIКУ САР, вещественная частотная характеристика которой изображена на
рис. 4.2.
Аппроксимируем вещественную частотную характеристику отрезками пря-
мых (рис. 4.5), определяем координаты Ю! и Р! И записываем их в табл. 4.7. Затем
вычисляем значения вспомоrательной величины bi.
По формуле (4.27) составляем выражение для определения ординат переход-
ноЙ характеристики:
11 (1) == 0,425 8 (51) 1,575 8 (71) + 0,8508 (10/) + 2,460 в (12/) +
+ 0,588 8 (141) 0,4208 (21/)...... 0,209 В (30/)...... 0,269 В (54/).
Расчеты по определению ординат переходноА характеристики сводим
в табл. 4.8. Характеристика практически не отличается от изображенной на
рис. 4.4
Переходную характеристику САР можно построить по ее веще-
u U U
ственнои или мнимои частотнои характеристике методом спектраль-
ных преобразований [84]. Меrод не требует какой-либо :аппрокси-
мации частотной характеристики и специальных таблиц. При
расчете определяют площадь, оrраниченную некоторой кривой, и
может быть использовано планиметрирование.
Для приближенноrо вычисления переходноrо процесса предло-
жен ряд методов. Переходный процесс может быть определен по
сопряrающим частотам ЛАЧХ [102, 91] или по нормированным
кривым [8, 91]. Моноrрафия [48] с<?держит подробные таблицы
т а б л и U а 4.7
Данные ДЛЯ определения переходноА характеристики
1 (i)l Р! РI Ь! l (i)l Р, Р! bl
о О 1,00 ---- ....... 5 14 .....0'45 0,010 0,588
1 5 1,05 0,010 0,425 6 21 ------о t 2З 0,032 0,420.
2 7 0,90 ........0 , 075 1 ,575 7 ЗО Ott2 0,012 .......0'209
3 10 О .......0,300 0,850 8 54 О 0,005 ......() J 269
4 12 0,43 ........0'215 2,460
,
!9О
т (1 () л II П:1 4.8
Определение переходнои характеристики
t, с 0,10 0,20 0,30 0,35
0,425B (5t) 0,07 o, 13 o, 19 O,22
1,575B (7t) 0,35 067 0,94 1,05
,
0,850В (lOt) 0,26 0,49 0,64 0,69
2,460В (12t) 0,90 1,61 2,03 2,14
(},588В (14t) 0,25 0,43 0,51 0,53
O,420B (21 t) O,25 O,37 O,38 O,38
Ot209B (30t) o, 16 o, 19 .O, 19 _. (),20
O,269B (54t) O24 O,26 0,26 O,2(-)
,
h(t) I 0,35 I 0,92 I 1,22 I 1,25
t t С 0,40 I 0,50 0,70 0,90
O,425B (5t) 0,24 O,29 .O, 3 5 0,38
1,575B (7t) 1,14 1 ,28 1,41 1,42
0,850В (10t) 0,73 0,76 0,77 0,79
2,460В (12t) 2,19 2,22 2,25 2,33
0,5888 (14t) 0,53 0,53 0,55 О,5()
0,420B (21t) 0,40 O,40 0,40 0,41
O,209B (30t) 020 o 20 o 20 (),20
, , ,
0,269B (54t) 026 ........ О 26 O,26 . o 27
, , ,
.
h (t) I ] ,22 1,09 (),95 I I ,00
ДЛЯ построения переходных процессов в системе 3 ro порядка.
rрафоаналитические методы построения переходных процессов
(метод секущих и метод касательных) описаны в работах [72, 102 J.
Значения переходноrо процесса в отдельные моменты времени
(в моменты изменения режима работы, в моменты достижения
экстремальных точек и т. д.) предложены А. с. Шаталовым [107 J.
Если по изображению Лапласа Н (s) переходной характер н..
стики (или иноrо переходноrо процесса) опредеJIИТЬ z изобра)ке..
ние Н (z) и затем делить числитель этоrо изображения на ero
знаменатель, то будет получен бесконечный ряд
+ 1 + 2 +
СО С1 Z C2Z ... .
Коэффициенты Со, С1, С2, ... этоrо ряда являются значеНИЯl\НI
переходной характеристики в дискретные моменты вреl\1ени t == О,
t == Т, t === 2Т, ..., rде Т интервал повторения, выбранныЙ при
определении z..изображения. Для определения Тl (z) по Е' (8)
можно воспользоваться таблицаIVIИ работы [601.
I
rлаВа 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ
ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Потребность в частотных характеристиках возникает как при
проектировании автоматических систем, так и при исследовании
свойств спроектированных или уже выполненных систем. На-
пример, амплитудно-частотные характеристики САР позволяют
u
оценивать воспроизведение rармоническоrо задающеrо воздеиствия
и rашение rармоническоrо возмущения при различных частотах.
Лоrарифмические амплитудно-частотная и фазово-частотная ха-
рактеристики разомкнутой системы часто используют для про-
верки устойчивости (см. rл. 6) и для выбора элементов, обеспечи-
вающих желаемые динамические свойства системы (см. rл. 9).
В rл. 4 было показано, что по вещественной частотной характе-
ристике леrко построить приближенную переходную характе-
ристику. Эти примеры далеко не исчерпывают Bcero мноrообра-
зия применения частотных характеристик в инженерных расче-
тах. Широкое использование частотных характеристик бази-
u
руется на том, что входное воздеиствие произвольноrо характера
чаще Bcero может быть представлено в виде эквивалентной ему
суммы rармоник различной частоты. Кроме Toro, rармонический
сиrнал передается линейными элементами и системами в установив-
шемся режиме без искажения.
Рассмотрим различные методы определения и построения ча-
стотных характеристик сложных линейных динамических звеньев,
их соединений и систеМt/ которые необходимы для инженерных
расчетов.
Частотные характеристики в общем случае рассматривают
при изменении уrловой частоты ro от О до 00. Однако всякое реаль-
ное устройство может пропускать rармонические сиrналы лишь
HeKoтoporo конечноrо диапазона частот, поэтому в каждом кон-
кретном случае целесообразно выяснить, в каком диапазоне ча-
стот следует рассматривать частотные характеристики.
Например, для электродвиrателя предельное физически допустимое значение
уrловой частоты входноrо сиrнала [83]
V Миt'Xп
Юм === iJ А J
(5.1)
192
r де 1\;1 I-I н()минальный n рп If(ШОIl 1I ii t\tомепт двиrатсл 51; ан КОЭффИl IICHT допу-
Сl'Иi'.1uii пер erp узки ДВИI'ател н; i . IiередаТQЧllое число редуктор а; .1 !\,jOMCJI Т
инерции вращающихся масс; А зазор механическоЙ передачи.
При расчете систем с электродвиrателем частотные характеристики реКОf\IСИ-
дуется рассматривать лишь при о) < О,5roм [83].
Во всех случаях частотные характеристики объекта реrулиро-
вания следует определять в полосе частот, на две декады превы-
Пlающей спектр частот входноrо сиrнала.
Для уменьшения затрат труда на вычисления и построеНJI$l
частотных характеристик используют записимости между отдель-
ными характеристиками, rрафоаналитические fv1етоды, HO!\10rraMMT')J
lt табли I Lbr.
5.1. ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТ)'ДНО..ФА30ВОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАI(ТЕРИСТИI(И РА30МI(Н)'ТОЙ СИСТЕМЫ
ДЛЯ построения АФЧХ должна быть известна передаточная
функция разомкнутой системы или экспериментально полученная
АФЧХ объекта реrулирования и передаточная функция реrулятор,l.
В первом случае по передаточной функции W нул{но определить
чаСТОТНУIО передаточную функцию W и затем представить ее в ал..
rебраическом или показательном виде.
После подстановки s == jw в передаточную функцию W ==
== kR/Q получим
W == k (U1++/i\) , (5.2)
"2 JV2
I'де "1, 'Vl' "2 И 'V2 полиномы от ф.
Чтобы представить W в алrебраическом виде, нужно числи-
тель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное
со знаменателем, и затем отделить действительную часть от мни-
моЙ. В результате
W = k ("1 + jVl) ("2 jv2) :::= и I v ( З)
("2 jV2) ("2 jV2) J , И,t
rде
и ::=:: k "1"2 + Vl 2. V:-:-::::; l:t V1"2 V2"1 . (5 4)
- " 1- 1J ' " + 1J L .
Затем целесообразно сначала определить характерные точки
АФЧХ: ее точки при предельных значениях w (ю == О и w == 00)
1I точки пересечения характеристикой осей координат.
Частоты, при которых характеристика пересекает ось ординат
или ось абсцисс, находят соответственно из уравнений
и === О, т. е. "1"2 'V1'V2 == о;
V () (5.5)
=== , т. е. 'V1"2..... 'V2"1 == о.
Искомыми частотами являются действительные положитель..
ные значения (t). Найденные значения частот позволяют определить
7 Макаров 11. 1\\. 193
по раПСПСТВ3l\1 (5.4) значения ОрЛ,ппат 11 аБСILIJСС, прп к()торьтх
АфlIХ пересекае-с эти оси.
После нанесения характерных точек на комплексную плоскость
И; jV вырисовывается расположение АФЧХ. Иноrда этоrо оказы..
вается достаточным для достижения цели, с которой строится
характеристика. Если необходимо иметь точное ее расположение,
то мо)кно установить, при каких значениях частоты (t) необходимо
вычислять значения и и (J и наносить дополнительные точки. Та-
ким образом, предварительное определение характерных точек
АФЧХ СУIцественно упрои ает расчет, что особенно важно при
ручном счете.
Лример 5.1. Построить АФЧХ разомкнутоЙ САР, если ее передаточная
функция
k(Ts+l)
w===
aos4 + a1s3 + a2s2 + азs + 1 '
rде k ::::::: 25; т == 0,15 с; ао 0,0002 с4; аl == 0,006 с3; а2 == 0,08 c и аз
=== 0,5 с.
Определим частотную передаточную ФУНКЦИЮ и выделим ее действительную
и мнимую части:
W === k (1 j (()т) 2 и + j V,
(1 а2ы2 аоС(4) + j(() (аз a1(() )
rде
и == kB1/B l{ V === kB2/B;
В 1 === 1 + (таз а2) (й (ао таl) си4 === 1 5 . 1 О 3ш2 7 . 1 o 1 ш4;
В2::= u> [(т аз) + (а1 'ta2) (()2 }--- Taou>f] ==
::= u> (0,35 + 6.10 3(()2 3.10""5(4);
В == 1 + (a 2а2) ш2 ,+ (a 2ао 2аlаз) ш4 + (ai 2аоа2) ш6 + аб(()S ==
::= 1 + О, 09(()2 + 8. 1 O 4ы4 + 4. 1 О 6ш6 4. 1 0 8(()8.
Определяем значения и и v при предельных значениях ш:
и (О) == kB 1 (0)/ в (О) === k == 15; V (О) == kB 2 (0)/ в (О) == о;
и (00) == kB 1 (00)/ в (00) == о; v (00) == kB 2 (00)/ В (00) ::=::: О.
Составим условие пересечения АФЧХ оси ординат:
В1 ::= О, т. с. 1 5. 10 З ш 7 .10 4ш4 == О.
Полученное биквадратное уравнение имеет один положительный деиствитель.
ныи корень Ш1 === 5,86. Следовательно, АФЧХ пересекает ось ординат при u> ::= (Oi
И V ((()1) == kB2 ((()l)/В (Ш1) == 8,65.
Составим условие пересечения АФЧХ оси абсцисс:
В 2 == u> (0,35 + 6. 10 Зu> 3. 10 бu>4) == О.
Биквадратное уравнение
0,35 + 6. 1 О"3ш 3. 1 О бu>.t === О
имеет один поло)кительный действител bHbIij корень cu 2 == 15,7. СлеДQва rелыl,,
АФЧХ пересекает ось абсцисс при u> == Сй2 И и (Ы2) == kB1 (Ш2)/В (Ш2) == 2,29.
1ОА
Полученные рсзультаты и выра)ксн-ия дл я-
и и v ПОЗВОЛЯIОТ сделать слеДУЮlцее заКЛlоче..
Irие о расположении ,Д.ФЧХ:
при (()== О и=:=: 15 и V==: о;
при О < u) < 5,86 U > о и V < О;
при (u :=.:: 5,86 U -== о и V == 8,65;
Iiри 5,86 < (() < 15,7 U < о и V < о;
при (() === 15,7 U == 2,2g и V о;
JlрИ 15,7 < u) < о::) u < о и V > о;
при (() === о::) u == v === О.
I-Ia основании этих сведений построена
ориентировочная АФЧХ (рис. 5.1). По ней
уже можно решить вопрос, например, об
устойчивости данной системы в замкнутом состоянии (см. rл. 6). Для уточнения
АФЧХ следует, по видимому, вычислить значения и и v при (() === 2,4,10,13,
25 и 50 с --1 .
'V
r .1
J ,
.....1.
5
10
Рис. 5.1. Ориентировочное
.1"lOжение АФЧХ
распо-
Частотную передаточную функцию, определяемую выражением
(5.2), можно представить в IIоказательном виде:
W == АеiФ
,
rде
VU:>. + 'V2 'V 'V
А == k 1 1 И 'Ф == arctg ........!. arctg ===
" + 'V "1"2
t 1a2 + 'V2"1
=::; arc g "1"2 + 1 2 ·
(5.6)
(Б.7)
По формулам (5.7) мо)кно вычислить длины И фазовые уrлы
векторов W при различных значениях ffi и затем построить АФЧХ.
Предварительно fLелесообразно определить ее характерные точки
при ffi == О, ffi === 00 и точки пересечения осей координат. Усло-
виями пересечения осей ординат и абсцисс являются COOTBeTCT
венно равенства
tg ''1' === 00, т. е. "1"2 'V1V;l == о;
tg '1' == о t т. е. 'V 1"2 ...... iJ l." 1 == О.
При мер 5.2. Построить АФЧХ разомкнутой САР по ее передаточноЙ функции
\\7 .:.=; k (TS + 1)
aos3 + a1s2 + a2s + 1 '
rде k === 2; т == 0,25 с; ао == 0,002 с3; а1 === 0,075 с2; а2 == 0,2 с.
Определим частотную передаточную функцию
W == k (1 j1(o) == АеiФ,
(1 a1(J)2) + J(O (а2 ao(J)2)
(5.8)
rде
А ==kV(1 + ]J/(" +'V ), ф==аrсtg 1 аrсtg 2/"2;
1 == Т(() == 0,25 (О; "2 == 1 al(() == 1 0,075 (()2;
2 === (о (а2 ао(О2) == (о (0,2 0)002(()2).
7*
195
'v
1 .J
I
4
Рис. 5.2. Построение АФ чх
При предельных значениях (JJ
А (О) :..::= k == 2;
11) (О) == о; А (00) :::=: О.
Условие пересеченин АФЧХ
ОСН ординат
(1 0,075(02) + O,25ы Х
Х (О ,2 0 ,002 (02) ==
1 0,025ы2 0,005004 О.
1/1з этоrо уравнения опредеЛIIJ\I
деЙствительное положительное зна..
чение частоты: 00 1 == 5,12.
Условие пересечения оси аб..
сцисс
О,25ю (1 0,075 (02) 00 х
х (О ,2 0 ,002 (2) :::=: (й Х
Х (0,05 0,0 1675 (02) :== О.
rравнению удовлетворяет деЙствительное положительное значение частоты
оо...::=: 1,74.
... Итак, АФЧХ начинается на оси абсцисс и А (О) == 2. Затем при 001 === 1,74
эта ось пересекается , и при ro 2 :::::;; 5,12 пересекается ось ординат. Заканчивается
характеристика в начале осеЙ координат. На основании этих сведений на;\1етим
частоты для вычисления А и 'Ф: 00 === 1; 1,74; 3; 4; 5,12; 7; 10; 20; 30 и 40.
Резул ьтаты вычислениЙ, которые удобно свести в таблицу, соответственно:
А 2,18; 2,58; 3,93; 4,03; 2,64; 1,46; 0,83; 0,33; 0,18 и 0,04; ) === 2,0; о; 22,3;
6l,6; 90,0; 104,8; 11] ,8; 123J8; 133,4 и 140,7 rрад.
Теперь можно построить АФЧХ (рис. 5.2). Для каждой частоты OOi проведем
радиус вектор под уrлом 'Фl (уrол отсчитывается от положительной действитель
ной полуоси против часовой стрелки) и на Hero нанесем точку на расстоянии Ai
от начала осей координат. Плавная кривая, соединяющая эти точки, является ис
комой АФЧХ.
ИНОI'да ВОЗНИкает задача построения АФЧХ разомкнутой САР
по ЧастотНЫМ характеристикам А1 и Фl объекта реrулирования
и частотным характеристикам А2 и 11'2 реrулятора. Частотная пере
даточная функция последовательноrо соединения элементов равна
произведению ЧастотнЫХ передаточных функций этих элементов,
поэтому
А =:;:; А1 А2 1I 'Ф 'Фl 'Фз.
(5.9)
Данное соотношение позволяет вычислить значения А и 'Ф
при различных частотах и построить АФЧХ разомкнутой системы.
Если частотные характеристики А1 и 'Фl объекта реrулиро..
вания получены экспериментально, то и значения частотных ха..
рактеристик А2 и 'Ф2 реrулятора следует вычислить при тех же
частотах, при кqторых ПРОВОДИЛС5J эксперимент (такое построе..
ние выполнено в примере 6.5).
196
5.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАI(ТЕРИСТИI(АМИ
ЗАМI(НУТОЙ И РА30МI(Н}'ТОЙ: СИСТЕМЫ
в системе с единичной обратной связью частотная передаточ"
ная функция замкнутой системы
WЗ W/(1 + W),
(5.10)
rде W частотная передаточная функция разомкнутой системы.
Равенство (5.10) определяет связь между частотными характе..
ристиками замкнутой и разомкнутой системы. Подставив в ра..
венство (5.1 О)
W == (f + jV; Wэ == Р + jN
и разделив ero действительную и мнимую части, получим
U (1 + и) + V2 V
Р:::::::; (1 + и) 2 + V2 и N ==. (1 + и) 2 + V2 · (5. 11 )
Равенства (5.11) определяют зависимость вещественной Р
и мнимой N частотных характеристик замкнутой системы от ве..
щественной и и мнимой V Частотных характеристик разомкнутой
системы.
Подставив в равенство (5.10) Wэ === Mej6 ; W == и + jV
и выделив ero модуль и aprYMeHTt получим
V и2 + V2. . V
М=== + (I+U)2+V2' O==alctgU(I+U)+V2. (5.12)
Равенства (5.12) определяют зависимость амплитудной М
и фазовой е частотных характеристик замкнутой системы от ве-
щественной и мнимой частотных характеристик разомкнутой
системы.
Леrко составить и равенства, определяющие зависимость
частотных характеристик разомкнутой системы от вещественной
и мнимой частотных характеристик замкнутой системы:
и Р (1 Р) N2 . N.
(1 р)2 + N2' V === (1 р)2 + N2 '
1 f р2 + N2 . _ , N
А....... t-- (1 р)2 + N2' 1.1' arctg Р (1 Р) N2 ·
Для определения частотных характеристик замкнутой системы
по вещественной и мнимой частотным характеристикам разомкну-
той системы вместо фОрl\IУЛ (5.11) и (5.12) можно использовать rpa-
фический M TOД KpyroBbIx диаrрамм [27]. Точность расчетов при
этом ниже, но все же достаточна для практических целей.
Суть метода KpyroBbIx диаrрамм заключается в следующем.
Формулы (5.11) и (5.12) l\10ЖНО рассматривать как уравнения кри"
вых в системе координат И; jV, каждая из которых определяет
некоторое постоянное значение соответственно Р, N, М или 8.
Уравнения всех этих кривых есть уравнения окружностей.
(5.13)
197
.с...
6
Рис. 5.3. Вещественная круrовая диаrрамма
Поэтому, задавшись различными значениями, предположим,
характеристики Р, можно построить семейство окружностей в си..
стеме координат И; jV, и это будет вещественная круrовая диа-
rpaMMa. Если затем в этой же системе координат построить АФЧХ
разомкнутой цепи интересующей нас системы, то по точкам ее пе-
ресечения с семейством окружностей можно определить веществен..
ную частотную характеристику этой системы в замкнутом состоя..
нии. Точка АФЧХ, соответствующая некоторой частоте (й! и сов-
падающая с окружностью Р === Р а' определяет значение Р при
частоте Wj, т. е. Р (wJ == Р а. Точно так же строят и исполь-
зуют мнимую, амплитудную и фазовую KpyroBbIe диаrраммы.
Вещественная круrовая диаrрамма (рис. 5.3) состоит из окруж..
настей радиуса ri с центрами, расположенными на действитель..
ной полуоси на расстоянии df от начала осей координат:
1
ri 2II PI;
[ 2P
(l i === 2 (1 Р) ·
(5.14)
Все окружности пересекают ось абсцисс в критической точке
с координатами [ l; jO]. При Р == 1 окружность вырождается
в прямую, которая проходит через эту точку параллельно оси ар..
динат и делит всю диаrрамму на две области. Левая область соот-
ветствует значениям Р > 1, правая значениям Р < 1. Об
ласть, соответствующая отрицательным значениям. Р, оrраничи
вается окружностью, проходящей через начало осей координат 11
критическую точку. Часть вещественной круrовой диаrраммы,
прплеrающая к критической точке, показана на рис. 5.4.
Мнимая круrовая диаrрамма состоит из окружностей ра"
u u
диуса rl' центры которых расположены на прямои, проходящеи через
критическую точку [ l; jO] параллельно оси ординат, и отстоят
or действительной оси на расстояние d1:
1 1
rl == 21 N 1; d1 == 2N · (5.15)
198
jV
2
1I
Рис. 5.4. Вещественная круrовая диаrрамма вблизи точки с координатами ( 1; j О)
При N ==: О окружность вырождается в прямую, совпадающую
с осью абсцисс и делящую диаrрамму на две области. Верхняя об..
ласть соответствует А. положительным значениям N, НII)j(НЯЯ
отрицательным.
Амплитудная круrовая диаrрамма состоит из окру)кностей ра..
диуса rk, центры которых расположены на оси абсцисс на рас..
стоянии dk от начала осей координат:
М М2
l k == 11 М21 ; dk Л12 1 (.5.16)
При М == 1 окружность вырождается в прямую, которая па..
раллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке с коорди"
натами [ O,5; jO J. Область диаrраммы слева от этой пря..
мой соответствует значениям Л1 > 1, справа значениям
Л1 < 1.
Фазовая круrовая диаrрамма состоит из окружностей, которые
проходят через начало осей координат и критическую точку
[ 1; jO]. Центры окружностей располаrаются на прямой, которая
параллмьна оси ординат и имеет абсциссу O,5. Радиусы OKPY)J ..
ностей r т П их центры отстоят от оси абсцисс H(l расстояние dm:
r 1 · {' 1
117. 2 sin tj , .. 11L 2 tg () ·
(5.17 )
KpyroBbIe диаrраммы удобно вычерчивать на прозрачной бу
Mare и затем накладывать на чертеж с АФЧХ разомкнутоЙ системы.
Масштабы чертежей должны быть одинаковыми и достаточно круп..
ными. Чем крупнее масштаб, тем больше окружностей удастся
изобразить на KpyroBoi i диаrрамме и тем точнее будет определена
соотпетствующая частотная характеристика замкнутой системы.
rчасток АФЧХ около начала осеЙ координат и соотвеТСТВУЮЩУIО
область круrовоЙ диаrраl\'I 1Ы обычнu вычерчивают отделыIо и в
uолее КРУПНОМ ЛlаСIuтабе.
LQ9
Основное затруднение при использовании KpyroBbIx диаrрамм
и причина поrрешностей заключается в определении частот, со..
ответствующих точкам пересечения АФЧХ с окружностями.
5.3. построfНИЕ лоrАРИФМИЧЕСI(ИХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК РАЗОМКНУТОЙ ОДНОКОНТУРНОА
СИСТЕМЫ
Частотная передаточная функция одноконтурной разомкнутой
САР представляет собой произведение частотных передаточных
фУНI{ЦИЙ типовых динамических звеньев
1
W ПW:
i :::::; 1 ..
(5.18)
или может быть приведена к такому виду. Поэтому ее лоrарифми"
ческие частотные характеристики определяются равенствами
1 1
L ===201g1WI === ):,201gIWil; ф-==аrgW== argW1. (5.19)
{ 1 i l
Следовательно, для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ системы ДOCTa
точно построить и просуммировать ЛА ЧХ всех звеньев, а затем
построить и просуммировать ЛФЧХ всех звеньев.
Асимптотические ЛА ЧХ типовых динамических звеньев при-
ведены в табл. 2.3, и построение асимптотичес}{ой ЛАЧХ системы
не может вызвать затруднений.
у звеньев первоrо порядка (их передаточные функции содер-
жат полином Ts + 1 или 't"s + 1) максимальное отклонение асим..
тотической ЛА Ч Х от действительной составляет только 3 дВ.
Однако у звеньев BToporo порядка (их передаточные функции
содержат полином T2s2 + 2sTs + 1, rде О < s < 1, или полином
't"2S2 + 2 't"s + 1, rде О < < 1) асимптотическая ЛАЧХ откло-
няется от действительной не более чем на 6 дВ лишь при S > 0,25
и > 0,25. А при малых s и различие между асимптотической и
действительной ЛА ЧХ велико. В связи с этим во мноrих случаях
необходима действительная ЛАЧХ разомкнутой системы, которую
можно получить, суммируя
действительные ЛА ЧХ от..
дельных звеньев.
Действительную ЛА Ч Х
инерционноrо звена первоrо
ПОРЯДl{а можно построить
с помощью шаблона, кото..
рый изrотовляют из твер-
доrо и прозрачноrо мате..
риала. Шаблон (рис. 5.5)
Рис. 5.5. Шаблон ДЛЯ построени я JIA 1.1 Х звень"
ев nepsoro порядка нрикладываIОТ к чертежу
L)8Б
О
70
20
зо
-'
200
Т а б л 11 Ц а 5. 1
Поправки 6 к асимптотическоЙ ЛАЧХ с наклоном :t20 дБ
0../ / 10)1 П,1 I 10 J1.
",,"I
v [; . о т ' '
оа6/овк 2(/dЬ/(/ёК +2Udb/deK
а) 5)
=' --:+L ",.
0,1 11 10]J, 0,1 11 10jIJ..
./' О>О
. _ 1.20d5/Qcf{ 2DBP/ae
оtJбjtlе,lf ОuбjiJек
11,
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
I б 1, дБ
0,04 0,17 0,37 0,641 0,97 1,33 1,73
11,
0,8
0.9 ' 1.0
1,1
1,2
1,3 11,4
I б 1, дБ
11,
2,15 2,58 3,01 2,62 2,29 2,02 1,79
1,5 11.6 1.812.0 12.5 3.0 5,0 110.0
1 ,60 1.4 1,17 0,97 0,64 0,46 0,17 0,04
J б 1, дБ
так, чтобы' асимптоты в еео левой и правой части совпадали
с аСИ Iптотической ЛА Ч Х и относительная частота !l === шj (00 ::::::: 1
совпадала с сопряrающей частотой шо. Затем проводят кривую дей..
ствительной ЛА Ч х.
Шаблон, показанный на рис. 5.5, может быть использован и
для построения действительной ЛА чх форсирующеrо звена пер..
Boro порядка.
Действительную JIA чх типовоrо динамическоrо звена как пер..
Boro, так и BToporo порядка удобно получить, суммируя ординат
асимптотической ЛА чх с поправками . Значения модуля по-
правки в зависимости от относительной частоты t :и или при..
ведены в табл. 5: 1 и 5.2. Рисунки, помещенные в верхней части
этих таблиц, показыпают, с каким знаком должны быть взяты
поправки при той или иной форме асимптотической ЛА чх.
Для построения лФчх типовых звеньев в табл. 5.3 приведены
значения модуля Ф в зависимости от относительной частоты !l
201
Поправки б к асимптотическим
IZ 1 1,0 10 jlL
Оi!бjiJек
I;ОiJБ/iJек
.41 1,0 IO.JlL
О dБ/dСJ{
+1fОdБ/dек
..'//1 !1l/C J! L! }f
а)
(} из lПQ б/7а цы
L )
ЗllаЧ('НII5I б, дБ,
6
или
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0.6
0,7
0,8
0,9
1. О
1, 1
0,025 0,09 0,35 0,82 1,51 2,49 3,87 5,83 8,82 14, 19 26,02 14,92
0,050 0,09 0,35 0,82 1,51 2,48 3,84 5,77 8,67 13,55 20, 00 14,16
0,075 0,09 0,35 0,81 1,49 2,46 3,79 5,67 8,42 12,65 16,48 13,12
0,100 0,09 0,35 0,80 1,48 2,42 3,73 5,53 8,09 11,64 13,98 11,99
0,125 0,08 0,34 0,79 1,45 2,38 3,64 5,37 7,71 10,62 12,04 10,87
0,150 0,08 0,34 0,78 1,43 2,33 3,55 5,17 7,28 9,63 1 0,46 9,81
0,175 0,08 0,33 0,76 1,40 2,27 3,43 4,95 6,82 8,69 9,12 8,82
0,200 0,08 0,32 0,74 1,36 2,20 3,31 4,70 6,35 7,81 7,96 7,90
0,225 0,08 0,32 0,72 1,32 2,12 3,17 4,45 5,86 6,99 6,94 7,04
0,250 0,08 0,31 0,70 1,27 2,04 3,01 4,17 5,38 6,22 6,02 6,26
0,275 0,07 0,30 0,68 1,23 1,95 2,85 3,89 4,91 5,51 5,19 5,53
0,300 0,07 0,29 0,65 1,17 1,85 2,68 3,60 4,44 4,85 4,44 4,85
0,325 0,07 0,28 0,62 1,12 1,75 2,51 3,31 3,98 4,22 3,74 4,21
0,350 0,07 0,26 0,59 1,06 1,64 2.32 3,01 3,53 3,64 3,1 О 3,61
0,375 0.06 0,25 0,56 0,99 1,53 2,13 2,71 3,10 3,08 2.50 3,05
0,400 0,06 0,24 0,53 0,93 1,41 1,94 2,41 2,68 2,56 1,94 2,53
0,425 0,06 0,22 0,49 О,8б 1,29 1.74 2.12 2,28 2,07 1,41 2,03
0,450 _ 0,05 0,20 0,45 0,78 1,16 1,54 1,82 1,88 1.60 0,92 1.55
0,475 0,05 0,19 0,41 0,71 1,03 1,34 1,53 1,50 1,15 0,45 1.10
0,500\ 0,04 0,17 0,37 0,63 0,90 1,14 1,25 1,14 0,73 0,00 0,67
0,525, 0,04 0,15 0,33 0,55 0,77 0,93 0,97 0,78 0,32 O,42 0,26
o,55 0,03 0,13 0,28 0,46 0,63 0,73 0,69 0,44 0,07 0,83 O,13
0,57 0,03 0,11 0,24 0,38 0,49 0,53 0,42 0,11 O,44 1,21 0,50
0,600 0,02 0,09 0,19 0,29 0,35 0,32 0,15 O,22 O,80 1,58 0.86
0,625 0,02 0,07 0,14 0,20 0,21 0,12 O,11 O,53 1,15 1 ,94 1,21
0,650 0,01 0,05 0,09 0,11 0,07 O,08 o, 37 0,83 1,48 2,28 .1, 54
0,675 0,01 0,02 0,03 О, О 1 O,08 O,28 O,62 l,13 1,80 2,бl 1 ,86
О,7ОО 0.00 0,00 О, 02 0.O8 O,22 O,47 0,87 1,41 2,11 2,92 2,l!{
0,725 0,00 O,02 O,O7 O,18 O,37 O,67 1,11 1,69 2,40 3, 23 2,4 ;
0,750 O,OI O,05 О,lЗ O,28 O,51 O,86 1,34 1 ,96 2,69 3,52 2, 76
0,775 O,02 0,08 O,19 O,37 0,б6 1,05 1 ,58 2,22 2,97 3.81 3, 04
0,800 O,O2 O,1 О O,25 O,47 0,80 1,24 1,80 2,47 3,24 4, 08 3,32
0,825 о.оз O,13 O,31 O,57 O,94 1,43 2,O3 2, 72 3,51 4,35 3,58
0,850 O,O4 O,16 0,31 O,67 1,09 1,61 2,24 2,96 3, 76 4,61 3, 84
0,875 O,05 0,19 0,43 o, 78 1,23 1 ,80 2,46 3,20 4,01 4,86 4,O8
0,900 O,05 O,22 O,49 O,88 1,38 1,98 2,б7 3,43 4,25 5, 11 4,33
0,925 O,O6 O,25 O,55 O,98 1 ,52 2,15 2,87 3,65 4,48 5,З4 4,56
0,950 O,O7 O,28 O,62 1 ,08 1, 66 2,33 3,07 3,87 4, 71 5, 58 4, 79
0,975 O,08 0,31 O,68 1,19 1,80 2,50 3,27 4, 09 4,94 5,80 5,O2
1,000 O,09 O,34 o, 75 1 ,29 1,94 2.67 3,46 .....4,30 5,15 6,02 5,23
202
Т а f) л и Ц а 5.2
ЛАЧХ с наклоном +40 дБ
+40 eK
Оl15/аек
О ВБ/iJек r .............J,
.............L .
1 1 10 JlL 0;1 1 10)1
J!lа'lfНfJП б I.i.] тла{iЛ!iЦЬ! с о{iрп,тпцы/'vf знаком
8) ?)
при различных J.1
I I I I I I I
I
J <) I ,:) I , -1 1.5 t , (; 1,8 2,0 ') ::" .O 5,0 1 О, О
..... .(. I >. , ,)
I
. .
1 О, 22 7,74 6,18 5,09 4,29 3,20 2,49 1,51 1,02 0,35 0,09
9,99 7,63 6,11 5,04 4,26 3,18 2,48 1,51 1,02 0,35 0,09
9,33 7,45 6,00 4,97 4,20 3,14 2,46 1,49 1, О 1 0,35 0,09
9,17 7,20 5,85 4, 86 4,12 3,1 О 2,42 1,48 1,00 0,35 0,09
8,64 6,91 5,66 4,73 4,03 3,03 2,38 1,45 0,99 0,34 0,08
8,07 6,58 5,44 4,58 3,91 2,96 2,33 1,43 0,97 0,34 0,08
7,49 6,21 5,19 4,40 3,78 2,88 2,27 1,40 0,95 0,33 0,08
6,89 5,83 4,93 4,21 3,63 2,78 2,20 1,36 0.93 0,32 0,08
6,31 5,43 4,64 3,99 3,46 2,67 2,12 1,32 0,90 0,32 0,08
5,73 5,02 4,35 3,77 3,29 2,56 2,04 1.27 0,87 0,31 0,08
5,18 4,61 4,04 3,54 3,10 2,43 1,95 1,23 0,84 0,30 0,07
4,64 4,21 3,73 3,29 2,91 2,30 1,85 1,17 0,81 0,29 0,07
4,13 3,80 3.42 3,04 2.71 2,16 1.75 1,12 0,77 0,28 0,07
3,63 3,40 3,10 2,79 2,50 2,01 1,64 1,06 0,73 0,26 0,07
3,15 3,01 2,78 2.53 2,28 1.86 1,53 0,99 0.69 0,25 0,06
2.69 2,63 2.47 2.27 2,07 1,70 1,41 0,93 0,65 0,24 0.06
2,25 2,26 2,16 2,01 1,84 1,54 1,29 0,86 0,60 0,22 0,06
1,83 1,90 1,85 1,75 1,63 1,38 1,16 0,78 0.55 0,20 0,05
1,43 1,54 1,55 1,49 1,40 1.21 1,03 0,71 0,50 0,19 0,05
1,04 1,20 1,25 1,23 1,18 1,04 0,90 0,63 0,45 0,17 0.04
0,66 0,87 0,96 0,98 0,96 0,87 0,77 0,55 0,40 0,15 0,04
0,30 0,54 0,67 0,72 0,74 0,70 0,63 0,46 0.34 0,13 0,03
0.05 0,23 0,39 0,47 0,52 0,52 0,49 0,38 0,28 0,11 0,03
0,39 0,08 0,11 0,23 0,30 0,35 0,35 0,29 0,22 0,09 0,02
o, 71 0,38 0,16 O,OI 0,08 0,18 0,21 0,20 0,16 0,07 0,02
1 ,03 0,67 0,42 0,25 0,13 0,00 0,07 0,11 0,10 0,05 О, О 1
1,33 o, 95 0.68 0,49 0,35 o, 17 0,08 0,01 0,03 0,02 0,01
1,63 1,23 0,93 o, 72 O,56 O,35 O,22 0,08 o,03 0,00 0,00
.....1'91 1,49 1,18 0,95 o. 77 0,52 0,37 o, 18 0,10 O,02 0,00
2, 19 1,76 1,42 1,17 O,97 0,69 0,51 O,28 o, 17 0,05 .....0,02
2,46 2,OI 1,66 1,39 1,17 0,86 0.66 0,37 0,24 0,O8 O,02
2, 72 2,26 1,89 1,60 1,37 1,03 0,80 0,47 0,31 0,1 О 0,02
2,98 2,50 2, 12 1,81 .....1,57 1,20 0.95 .....0'57 0,38 o, 13 ..... О, 03
3,22 .....2'73 .....2'34 .....2'02 1,76 .....},37 .....1,09 0,67 0,46 .....0,16 .....0'04
..... 3,46 .....2'96 2,56 .....2,23 1,95 .....1'53 1,24 .....0'78 O,53 .....0'19 0,O5
3, 70 .....3,19 2, 77 .....2'43 ..... 2, 14 1,70 .....1'38 0,88 0,61 .....0,22 .....0,05
.....3,93 3,41 .....2'98 .....2,62 .....2'33 1,86 .....1'52 .....0'98 .....0'68 0,25 ..... О, 06
.....4'15 .....3,62 .....3.18 .....2'82 2,51 2,02 ..... 1 ,66 .....1'08 .....0' 76 .....0'28 .....0.07
4,37 .....3'83 .....3,38 .....3'01 2,69 .....2,18 .....1'80 .....1,19 O,84 .....0,31 O,08
..... 4,58 4,04 3,58 .....3'19 2,86 .....2,34 .....},94 .....1'29 0,92 O,34 .....0.09
203
Лоrарифмические фаэово-частотные характеристики (w частотная
k
w=
1+iJU
0,1 1. 10 fl
ОiJб/lJек 2
0,1 1 10 .Д
... ""i 1 I .
qJ= q/
.90o
а)
W==k(1+iJ1)
,/. +20
Оilб/rJек
I I
1 1 10 ft
ljJ=t;/ "
'iIr. L
OJ1 1 10 J1.
6)
J.L О,] 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1, О 1, 1
, 5,7 11,3 16,7 21,8 26,6 31, О 35,0 38,7 42,0 45,0 47,7
rрад
......................... ...
f{ W==:k[(I jl12) fj2jjU]
W==
(1 jl12}+j 25/l1
О,1 1 10р ОfJБjаВj( + чОдо/Век
t
Oof}!tJeJ( I 10
40rJБjiJек 41 ;<:0
0;1 1 10
Ip Л 1800 tp==1./f
.................. I I
41 1 10jU
е)
8)
3начени я 'ф, rрад,
;
или
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1, О 1,1
0,025 0,3 0,6 0,9 1,4 1,9 2,7 3,9 6,3 13,3 90,0 165,3
0,050 0,6 1,2 1,9 2,7 3,8 5,4 7,8 12,5 25,4 90,0 152,4
0,075 0,9 1,8 2,8 4,1 5,7 8,0 11,6 18,4 35,4 90,0 141,8
0,100 1,2 2,4 3,8 5,4 7,6 10,6 15,4 24,0 43,5 90,0 133,7
0,125 1,5 3,0 4,7 6,8 9,5 13,2 18,9 29,1 49,8 90,0 127,4
О, 150 1,7 3,6 5,7 8,1 11,3 15,7 22,4 33,7 54,9 90,0 122,5
0,175 2,0 4,2 6,6 9,5 13,1 18,2 25,7 37,9 58,9 90,0 118,6
0,200 2,3 4,8 7,5 10,8 14,9 20,6 28,8 41,6 62,2 90,0 115,5
0,225 2,6 5,4 8,4 12,1 16,7 22,9 31,7 45,0 64,9 90,0 113,0
0,250 2,9 6,0 9,4 13,4 18,4 25,1 34,5 48,0 67,1 90,0 110,9
0,275 3,2 6,5 10,3 14,7 20,1 27,3 37,1 50,7 69,0 90,0 109, 1
0,300 3,5 7,1 11,2 16,0 21,8 29,4 39,5 53,1 70,6 90,0 1 07,7
0,325 3,8 7,7 12,1 17,2 23,4 31,4 41,7 55,3 72,0 90,0 106,4
0,350 4,0 8,3 13 0 18,4 25,0 33,3 43,9 57,3 73,2 90,0 105,3
204
Т а () л и Ц:1 5.3
передаточная функция; ,.., юfroо; (йо сопряrающая частота)
И/= k(I+!JU)t
Jjll
аб{аек
0,1 1 lП _! !
l r" "
:/ 90or{fi
g(} о
8)
w= jkjU
(l+jjlL)Т
о) 1 1 10 jlL
1 1
L - ОдБjаек
+ ZОдб/iJ:Н
90I
1 1 10jU
В)
1,2 1,3 1,4 l,G 1,6 1,8 2,0 2,5 3,0
5,0
1 О, О
50,2 52,4 54.5 !)(),З 5В,О БО. ) 63,4 GR,2 71,5
. _ J1 L (1 jlL ) )L / 1 j, li jl ;'
W . . . .
р2
1.
чОrJб/dеl(
Оiiб/ асн
...........J
0,1 1 10 jlL
I I . .......
Ш!7+ljJ
)f1)
при различных t
7Я.7
81,3
. /IIL ?
w l(i .jl/. t)2tfi]rT
1 1 10 jlL
I
Пdь/[i:/(
I J;.O(Jfj/,p!{
0,1 1 10 JlL
з)
1,2 1 , ) 1,4 1,5 1, G ] ,8 2,0 2,5 3,0 5,0 10, О
172,2 174,6 175,8 176,6 177,1 177,7 178,1 178,6 178,9 1 79,4 179,7
164, 7 169,3 171,7 173,2 174,1 175,4 176,2 177,3 1 77,9 178,8 179,4
157,8 164,2 167,7 169,8 171,3 173, 1 174,3 175,9 176,8 178,2 179,1
151,4 159,4 163,7 166,5 168,4 170,9 172,4 174,6 175,7 177,6 178,8
145,7 154,8 160,0 163,3 165,6 168,6 170,5 173,2 174,6 177,0 178,6
140,7 150,5 156,4 160,2 162,9 166,5 168,7 171,9 173,6 176,4 178,3
136,3 146,6 153, О 157,2 160,3 164,3 166,9 170,5 172,5 175,8 178,0
132,5 143, О 149,7 154,4 157,7 162,2 165,1 169.2 171,5 175,2 177,7
129,2 139,7 146,7 151,6 155,2 160, 1 163,3 167,9 170,4 174,6 1 77,4
126,3 136,7 143,9 149,0 152,9 158, 1 161,6 166,6 169,4 174, 1 177,1
123,7 134,0 141,3 146,6 150,6 156,2 159,9 165,3 168,4 173,5 176,8
121,4 131,5 138,8 144,3 148,4 154,3 158,2 164, 1 167,3 172,9 176,5
119,4 129,2 136,5 142,1 146,3 152,4 156,6 162,8 166,3 172,3 176,2
117,7 127,2 134,4 140, О 144,3 1 50,6 155,6 161,6 165,3 171,7 176,0
205
Значсни я '\T , l ра,ц,
1:-
!':
ИЛИ t;
О, ) 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8 0,9 1,0 1. 1
0,375 4,3 8,9 13,9 19,7 26,6 35,1 45,8 59,0 74,3 90,0 1 04,3
0,400 4,6 9,5 14,8 20,9 28,1 36,9 47,7 60,6 75,2 90,0 103,4
0,425 4,9 ] 0,0 15,7 22,0 29,5 38,6 49,4 62,1 76,1 90,0 102,7
0,450 5,2 ] 0,6 16,5 23,2 31,() 40,2 51,0 63,4 76,8 90,0 102,0
0,475 5,5 11,2 17,4 24,3 32,4 41,7 52,f1 64,7 77,5 90,0 1 О 1,4
0,500 5,8 11,8 18,3 25,5 33,7 43,2 53,9 (35,8 78,1 90,() 100,8
0,525 6,1 12,3 19,1 26,6 35,0 44,6 55,2 66,8 78,6 90,0 J 00,3
0,550 6,3 13,0 19,9 27,7 36,3 45,9 56,5 67,8 79,1 90,0 99,9
0,575 6,6 13,5 20,8 28,7 37,5 47,2 57,6 68,6 79,6 90,0 99,4
0,600 6,9 14,0 21,6 29,7 38,7 48,4 58,7 69,4 80,0 90,0 99,0
0,625 7,2 14,6 22,4 30,8 39,8 49,5 59,8 70,2 80,4 90,0 98,7
0,650 7,5 15,2 23,2 31,8 40,9 50,G 60,7 70,9 80,8 90,0 98,4
0,675 7,8 15,7 24, () 32,7 42,0 51,7 61,7 71,6 81,1 90,0 98,1
0,700 8,1 ]6,3 24,8 33,7 43,0 R2,7 62,5 72,2 81,4 90,0 97,8
0,725 8,3 16,8 25,6 34,6 44,0 .13,7 63,3 72,8 81,7 90, () 97,5
0,750 8,6 17,4 26,3 35,5 45,0 54,6 64,1 73,3 82,0 90,0 97,3
0,775 8,9 17,9 27,1 36,4 45,9 55,5 64,8 73,8 82,2 90,п 97,0
0,800 9,2 18,4 27,8 37,3 46,9 56,3 65,5 74,3 82,5 90,0 96,8
0,825 9,5 19,0 28,5 38,2 47,7 57,1 66,2 74,7 82,7 90,0 96,6
0,850 9,7 19,5 29,3 39,0 48,6 57,9 66,8 75,2 82,9 90,0 96,4
0,875 10,0 20,0 30,0 39,8 49,4 58,6 67,4 75,6 83,1 90,0 96,2
0,900 10,3 20,6 30,7 4() ,6 50,2 59,4 68,0 76,0 83,3 90,0 96,1
0,925 10,6 21,1 31,4 41,4 51,0 60,0 68,5 76,3 83,5 90,0 95,9
0,950 10,9 21,6 32,1 42,1 51,7 60,7 69,0 76,7 83,7 90,0 95,7
0,975 11,1 22,1 32,7 42,9 52,4 61,3 69,5 77,0 83,8 90,0 95,6
1,000 11,4 22,6 33,4 43,6 53,1 61,9 70,0 77,3 84,0 90,0 95,5
при различных значениях или . Рисунки, имеющиеся в таб
лицеt указывают знак и расположение ЛФЧХ при различноЙ
форме асимптотическоЙ ЛА ЧХ.
ЛФЧХ звеньев nepBoro порядка ложно стронть с помощью
шаблона (рис. 5.6). Располаrать lпаб.пон нужно в соответствии с ри-
сунками табл. 5.3.
Лример 5.3. f10СТРОИТЬ лоrарифмические частотные характеристики интеrро
дифференцирующеrо элемента с передаточной функцией
W === 0,062552 + 1, 75s I 1 о .
0,25s2 1 О, 15s + 1
Эту передаточную функцию МО}I{НО представить в виде
W == k ('t15 + 1) ('t25 + 1)
T2s2 + 2 Ts + 1 '
rде /l 10; Т == 0,5; == 0,15; '{l == 0,125 и Т2 == 0,05.
Следовательно, рассматриваемый элемент есть последовательное соединение
трех типовых динамических звеньев: колебательноrо (k === ] о; т == 0,5 и ===
==- 0,15) и двух форсируюu.!,пх первоrо порядка ('t] -:: 0,125 и "[2 -== 0,05) с переда-
206
rlродо.пженне TR6J1. 5.3
IIрИ различных IJ,
1,2
I
1, v I 1,4
1,6
1,5
1,8
2,0
?,5
:),0
116,1 125,3 132,4
114,6 123,6 130,6
113,3 122,0 128,9
112,2 120,5 127,3
111,1 119,2 125,8
110,] 118,0 124,4
109,3 116,8 123,2
108,4 115,8 121,9
107,7 114,8 120,8
1 07 , О 113 ,9 11 9,7
1 06,4 113, О 118,8
105,8 112,2 117,8
105,2 111,5 116,9
1 04 ,7 11 О ,8 116, 1
1 04 ,2 11 О, 1 115,3
103,7 109,5 114,6
103,3 108,9 113,9
102,9 :108,4 113,2
102,5 vI07,8 112,6
102,2 107,3 112,0
1 О 1 ,8 1 06 ,9 111,4
1 О 1 , 5 1 06,4 11 0,9
1 01 ,2 1 06, О 11 0,3
100,9 105,6 109,8
100,7 105,2 109,4
100,4 104,9 108,9
138,0 142,4 148,9 153,4 160,
136,2 140,6 147,3 151,9 159,
134,4 138,9 145,7 150,5 158,
132,8 137,3 144, 1 149,0 156,
131,3 135,7 142,6 147,7 155,
129,8 134,3 141,2 146,3 154,
128.4 132,9 139,8 145,0 153,
127,2 131,6 138,5 143,8 152,
125,9 130,3 137,3 142,5 151,
124,8 129, 1 136, О 141,3 150,
123,7 128,0 134,9 140,2 149,
122,7 126,9 133,8 139,1 148,
121,7 125,8 132 ,7 138, О 147,
120,8 124,9 131,6 137,0 146,
119,9 123,9 130,6 136,0 145,
119,1 123, О 129,7 135,0 144,
118,3 122,2 128,8 134 , 1 143,
117,5 121,4 127,9 133,2 142,
116,8 120,6 127,0 132,3 141,
116,1 119,8 126,2 131,4 141,
115,5 119,1 125,4 130,6 140,
114,8 118,4 124,7 129,8 139,
114,3 117,8 123,9 129, О 138,
113,7 117,2 123,2 128,3 137,
113,1 116,6 122,6 127,6 137,
112,6 116,0 121,9 126,9 136,
,. !";.
4 164,3
2 163,3
О 162,3
8 161,4
7 160,4
5 159,4
4 158, 5
4 157,6
3 156,7
3 155,8
2 154,9
2 154, О
3 153,2
3 152,3
4 151,5
5 150,6
6 149,8
7 149,0
8 148,3
О 147,5
2 146,7
4 146, О
6 145,3
9 144,5
1 143,8
4 143,1
5,0
171,1
170,5
170,0
169,4
168,8
168,2
167,7
167,1
166,5
166, О
165,4
164,9
164,3
163,7
163,2
162,7
162 , 1
161,6
161,0
160,5
160, О
159,4
158,9
1 58,4
157,9
157,4
I О, О
175,7
175,4
175,1
174,8
174,5
174,2
174, О
173,7
173,4
] 73,1
172,8
172,5
172,2
1 72, О
171,7
171,4
171,1
170,8
170,5
170,3
170,0
169,7
169,4
169, 1
168,9
168,6
ТОЧIIЫ!\1И коэффициентами, равными единице. rтоэтому JIОI'аРИфМllческие частотные
характеристики эдемента равны сумме соответствующих J10rарифмических частот
иых характеристик этих звеньев.
Построим сначала ЛА ЧХ колебательноrо звена. Определяем ординату низко
частотной асимптоты 20 19 k 20 дБ, сопряrающую частоту (i)l == 2 c 1
И наносим на rрафик (рис. 5.7)
асимптотическую JIi\. Ч Х L i это-
ro звена. Ее Dысокочас [ОТ-
нан асимптота ИМЕ'С l' наклон
40 дБ/ дек.
Для получения действите,ПЬ1
ной ЛА Ч Х нужно сделать по-
правки. Значения характери-
стик берем из табл. 5.2 по
строке, которая соответствует
== 0,15. Рисунок а этой таб..
лицы показывает, что поправки
должны прибавляться к асимп-
тотической Лi Ч Х.
Накладываем на rрафик IlО Рис. 5.6. Шаблон для построения ЛФЧХ звеньев
JrOCKY бумаrи со шкалоЙ отно.. nepBoro порядка
у/, ? f(l fj
п I Q ' ( ' 7 М'
"\
/f5 .
.90
Шаблон
207
L,a5
I
rt,':O-;""'7'777"?'п7Тt"" ,.....". л-,.J/""""';. 1
", . ш.llа.ла.r
110 0,' f!/l " o.t: (1,8 , f. . Ч б IJ '
..f .I · .....
D
.20
20
чо
rp) zpa 8
90 -
п
[iD
180
Рис. 5.7. Построение .n.оrарифмичес.ких частотных характеристик
СlIтельных частот так, чтобы единица этой шкалы совпала" с сопряrающей ча-
стотой 0)1. Затем значения /j откладываем от асимптотической ЛАЧХ L!. Соеди..
нив эти точки плавной l{рИВОЙ, получим действитеЛЬНУIО ЛА. Ч Х L 1 колебатель..
Horo звена.
Для ностроеIlИЯ J1Л Ч Х ФОРСIIРУIОIЦIIХ звеньев перпоrо порядка можно BOC
пользоватьсн lilэБЛОIlО;\f (C f. рис. 5.5). Опрел,еляем сопрнrаlОЩУЮ ч(lс rOTY пеrноrо
из этих звеньев ш 2 =::: l/'t 1 ::::= 8 c l И ОТ;\lечаС:\I ее на rp афике (рис.. 5.7). З;':l['е:\1 п р и
клаЛ,ываСl\1 к rрафику шuБЛОII так, чтобы eI'O о r;\JeTKa «1» совпала с сапр яrаIОЩСЙ
частотой Ш2' НизкочаСТОТНУIО аСlIl\'IПТОТУ шаблона СОВ!vIещаеi\1 с осью абсцисс,
так как передаточный коэффициент звена равен единице. Высокочастотную асимп
тоту шаблона направляем вверх, ибо звено форсирующее. Обведя криволинеЙ
ную сторону шаблона J получим ЛА Ч Х L 2' Высокочастотная асимптота имеет
наклон I- 20 дБ/ дек, и ее можно продолжить насколько необходимо.
ОlIр('деЛЯ '1 далее сопряrаIОЩУIО частоту BToporo ФОРСИРУЮlцеrо звена (J):i
H I/'t 20 c J, отмечаем ее На rрафике и СТрОИМ с п()!\.tОН hlО шаблона .ПА Ч Х L:1,
де(IСТБУЯ TJI\ я(е. как и в IJредыдущсм СЛУЧаС.
Суммировав кривые L11 Lz 11 L'd' найдем действитс.ПhIIУЮ /1...1'\ ЧХ L JJaCt.::\18.TplI
BaeMoro интеrро.днфференцирующеrо элемента. При (i) < 40 c l она практически
совпадает с L l'
Построим теперь ЛФЧХ колебательноrо звена. Значения модуля фазы i'l' \ ==
== \р берем из табл. 5.3 по строке, которая соответствует == 0,15. Знак фазы
определяется рисунком, помещенным в поз. д этой таблицы, т. е. 'l' == ф. Для
нанесения значений 'Ф на rрафик (рис. 5.7) используем шкалу относительных
частот L.
Соедннив все rОЧIОl плавноЙ кривой, получим i\ФЧХ '1'1' Ее НtIзкочаСТОТl1ая
часть равна О II высокочастотная часть равна I80°.
208
J1 Ф Ч Х '\1; 2 II 1.1\'1 ФОРСИРУIОЩИХ BeH ьев перnоrо ппр ядка CTpUf1M с IJU}.li}IЦЬЮ
JlIaUJIOH3, I10КНЭCJпноrо на рис. 5.6. У ФОРСИРУIОЩИХ звеНhСВ ЛФЧ Х jf(lЛО)I<И-
T(\I(bllbIe.
CYM la I<pllBыx "1'1' ''1'2 11 "1'з еСПJ ИСКОl\-1НЯ JIФЧХ, lJIIJ'еI'рu.дифферснци.
r )'Iощеrо Э !lемен ra.
flри JIостроении асимвтотической ЛА t.IX цепи, СОСТОЯllJ.еi"i ба.
лее чем из трех последовательно соединенных звеньев, удобнее
поступать несколько иначе. Передаточную фУНКЦИIО НУЖIlО пр II
вести к виду
W:::::; klI R I
8 'VПQ i '
(Б.20)
rде k передаточный коэффициент; v IlОР}IДОК астаТllзма; Rz
полиномы вида 7:lS + 1 и 7:]S2 + 2 l7:lS + 1 ( < 1). Qi поли.
номы вида Tis 1 и Tis2 + 2 iTiS + 1 ( < 1).
Затем определить сопряrающие частоты (J)l === 1/'tz И (J)i ===
l/Ti И отметить их на rрафике (для каждой частоты проведем
IJ1ТРИХОВУЮ линию).
После этоrо построить низкочастотную асимптоту ЛА ЧХ с Ha
клоном 20'\' дБ/дек. Ордината этой асимптоты или ее продол
жение при (J) == 1 c l должна быть равна 20 19 k. Заканчивается
низкочастотная- асимптота на первой сопряrающей частоте.
Для быстроrо перевода натуральных чисел в децибелы служат
HOMorpaMMbI (рис. 5.8). Каждая из них имеет пять шкал натураль..
ных чисел А и пять шкал соответствующих им значений L. Со
шкалы А нужно переходить на соединенную с ней шкалу L.
r-IаПрИ lер, натуральному числу А -:::::: 12,5 соответствует (рис. 5.8, а) L
21,9 дБ. Натуральному числу А =:-:: 0,725 'соответствует (рис. 5.8, 6) L
2,8 дБ.
На первой н всех послеДУЮIЦИХ сопряrающих частотах наклон
асимптотической ЛА Ч Х изменяется. На сопряrающих частотах,
созданных полиномами RI ЧИСJIителя передаточной функции W,
изменение наклона положительное. Наоборот, на сопряrающих
частотах, созданных полиномами Qt знаменателя передаточной
функции W, изменение наклона отрицательное. Полином первой
степени изменяет наклон на 20 дБ/ дек и полином второй степени
На 40 дБ/дек.
ВысокочаСТОТНУIО асимптоту JIA ЧХ (справа от наибольшеЙ co
пряrающей частоты) проводят в требуемом диапазоне частот.
Пример 5.4. Построить асимптотическую ЛА ЧХ цепи с передаточной функ.
цией
w== k('t1s+ 1) ('t2s+ 1)
s (Т 1 S + 1) (Т 28 + 1) (T 52 + 2; т з5 + 1) ,
rде k 145; 't 1 === 0,5 с; 't 2 0,025 с; Т 1 == 2 с; Т 2 .:::= Ot2 с, Т 3 ==== Ot005 с;
5 == 0,6.
')II()
r о, о 1 О О, О 1,1) О, () 2 (J
А I " 1 __
1. , д Б l 0,/0 О, J S О) 2 О
, ===r -
"8 r 28 в' I I
1/6 26 - Б ! . 1 -14 -JI}
I j / \ 11
:'flll l' 11 /- I - ! - + 1 76 зь'
l' I : :
t: 1
1; L 2 2 2 ] - + - - - .-i . J 8! 38
i :
f : i J: !
I I
40 .20 О 1 ._ ".. ; u - _ш_ 2Jl 2{д
1 I I )
10 15 20 25 I А
I ' _ _! H I i
700 75"0 а) ;)00 250)
4 f D) J О _ Об fl OJ,08 О,Р9 O, O
L д b l 0,3 О} 4 О, 5 О} б Ц '1 О, 8 О, 9 1, О l
6Tr4-O' 2fl ---.rlltl о - .20
58138 18',2 r -22
4 2!!
[1, о i.5
I
0,26'
- 12 З2
56 36 76 I
I
54 Jч ]11
52 32 12
б 26
8 28
50 30 10 70 ЗО
j I
'18 28 8 Le 72 З2
J 4 5 6 7 8 9 70 '
1 I I ......L{ !, д 5
30 40 50 60 70 80 90 700 А
J I
300 400 500 БО ) 700 800 900 7000
Рис. 5.8 HOMorpaMMbI для перевода натуральных чисел в децибелы
ОпределяеI\1 СОПрЯI'ающие часrоты: Шl:::::' 1/1'1 == 0,5 C l;
Ш2 == 1fT! == 2 c l; WЗ ==:: lfT2 == 5 c l;
U>4 == 1/1:2 == 40 c l; WЗ == I/Тз == 200c 1 И отмечаем их на rрафике (рис. 5.9).
Порядок астатизма v == 1, поэтому низкочастотную асимптоту проводим с на-
КЛОНОМ 20 дБf дек ДО первой сопряrаlощей частоты и так, чтобы ее продолжение
при (u === 1 c l имело ординату, равную 20 19 145 === 20.2, 161 43,2 дБ.
Jfa сопряrающей частоте Ыl наклон асимптоты изменяется на 20 дБ/дек.
Последующим сопряrающим частотам соответствует изменение наклона на +20,
20, +20 и 40 дБ/дек. Высокочастотная асимптота имеет, следовательно,
наклон 60 дЕ/дек.
210
Рис. 5.9. Построение асим"
птотической ЛЛЧХ
I
I
!
I
120lg к I
20 I I
I \: 40
I I I U) ( ), с ..1
О " l ..J _ J L L Lf _ I ,
(J)t 7 . иJz I.LJj 10 I JОП (-/);
I I
?D j
20 - ",- J
.
IO
90
Для получения деЙствительной ЛА ЧХ необходимо около каж..
даЙ сопряrающеЙ ЧастотЫ асимптотическоЙ ЛА lTX IIОСТрОИ I'Ь
J\РИПУIО понраВОI<, пользуясь даННЬJМИ табл. 5.] II Б.2. 3атеl\Л все
..
I<рИНЫС Ilоправок неООХО){IlМО СЛ()/КIiТI) с аСНМIIТОlнчеСКОJI
JIA чх.
Если в передаточной функции W рассматриваемой цепи все
полиномы R l И Qi первоrо порядка (цепь состоит из звеньев пер.
Boro порядка), то допустимо приближенное построение ЛФЧХ.
На малых частотах, коrда фаза равна v 900, проводнтся пряман
до первой сопряrающей частоты. Затем на каждой сопряrающей
частоте, созданноЙ полиномом R /, следует прибавить 900 и на каж..
доЙ сопряrающей частоте, созданноЙ полиномом Qi, вычесть 900.
Затем полученную ступенчатую кривую следует сrладить
[116].
Неминимально-фазовые звенья. Линейная система :может со..
держать неМИНИl\1ально..фазовые звенья, передаточные функции
которых имеют положительные нули или полюсы (см. п. 2.6).
Неминимально..фазовое и минимально..фазовое звенья содинако..
выми амплитудно..частотными характеристиками имеют различные
фазово--частотные характеристики. Это обстоятельство и необхо-
димо учитывать при построении лоrарифмических частот..
ных характеристик цепи с неминимально..фазовыми звень
ями.
Основные сведения об элементарных неминимально..фазовых
звеньях даны в табл. 5.4. Для каждоrо звена показано, в част..
ности, расположение ЛФЧХ относительно ero сопряrающей ча-
стоты. При построении этих характеристик следует использовать
табл. 5.3. У неминимально фазовых звеньев те же ЛАЧХ, что и
у звеньев, передаточные функции которых отличаются отсутствием
отрицательных знаков (см. табл. 2.3).
Некоторые полиномы BToporo порядка с корнем, име..
Iоrцим положительную веIцественную часть, MorYT быть
211
Т а б л и ц а 5.4
Элементарные lIеминимально..фазовые звенья
(О < < 1; О < ь < 1)
Передаточна н
функция W
ФаЗ0во частотная
характеристика 'Ф
Лоrарифмическая
фаЗ0во частотная
характеристика
ср, ерао
1"8 1
180') arrtg 1'(1)
180
ВО
о
1/'Т
.....
и)
1 '[8
al'ctg Т(О
ср,враВ
О 1/7: (JJ
90 .......
"(;'2S2 2 TS ! 1
arctg
2 't(U
1 "(;'2(02
epaiJ 1 jr
90
180
UJ
...
T2S2 + 2 T.'; 1
1800
arctg 2 'п.о
1 "[2(1)2
(р] врао
180
90
О
:r,...
и)
1
Ts 1
1800 I arcta Тш
I О
1
1 - Ts
arctg ыТ
tp,2,/Ja8
90
О
6J
.,.....
212
С1 р о Д о л ж е н и е т 3 6 п. 5.4
ПередаТО'Iна я
ФУНКЦИЯ w
Фазано - ч а СТО'( н а л
харшстеристика 1.р
'nara рНфМiJ1J('сн.а я
ФЗЗОflо.частотпа я
характерпстика
]
T2s2 2 Ts + 1
2; Т w
arctg 1 1'2ш2
ер, 2рад
iВП .
90 /
(./.)
О itT
1
1'2s2 -I 2;1'8 ]
] 800 +
1 t 2;1'ш
1 arc g 1 Т2 2
(u
qJ, 2paiJ 1jT
О
90
180
lJ)
разложены на произведеlll1С llОЛИНОМОВ JJервои стеIlени:
T2s2 + 2ctTs 1 === (T1s + 1) (T2s 1); (5.21)
T2S2 2ctTs + 1 == (T1s + 1) (T2s 1),
r де О < ct < ]; Т 1 Т ( / ct2 + 1 ct) И Т j === Т ( ; / ct2 1 . I ct) ;
T2s2 2ctTs 1 (T1s -+- 1) (T2s 1);
(5.22)
T2S2 I 2aTs + 1 (T1s + 1) (T2s 1),
rде О < а < 1; Т1 ==- Т( V ct2 + 1 + 1); T :=:; Т (j/ а;2 1 1).
Следовательно, неминимально фазовое звено, передаточная
функция KOToporo содержит какой-либо из перечисленных поли-
номов, следует рассматривать как последовательное соединение
двух звеньев первоrо порядка, лишь одно из которых неминималь-
но..фазовое.
Трансцендентные и иррациональные звенья. Системы, содер-
жащие звенья с трансцендентными и иррациональными передаточ..
НЫl\1И функциями, не являются, конечно, линейными. Однако
для их исследования в ряде случаев MorYT БыIьь использованы лоrа-
рифмические частотные характеристики.
Трансцендентными являются звено запаздывания (или чистоrо
запаздывания) с передаточной функцией W == e .es и звено полу-
запаздывания (или затухания) с передаточноЙ функцией W ==
== e VO-C;.
13
Наименование
звена и переда-
точная функция
Полуинтеrрирую
щее
\\? =
J/ 5)
ПОJlуинерцион
ное nepBoro рода
,k
Wl :
VTs i 1
Полуинерционное
BToporo рода
k
'\7
V Ts ]
Иррациональные звенья
Частотная передаточная
функция и частотные xa
рактеристики: амплитудная п
фазова я
1ТТ' !l
И! 7 J!=- o
k
A ;
1 ш
1, (1 . j)
v' (й
т а б л и ц а !i5
Лоrарифмические частотные
характеристики: асимптоти
ческая амплитудная и фазовая
L
"
о 1
?-I!li! '
I .... . \ r \
:.1f$, IzpaB
,v
'\1' ,1 h)O
t' . . it,
П'/
и ===
k
L t 10 iJБ/uек
о I: ....
'20 19 k "'
22,5 - 4J
'14.7 .................................. ....................................................... ...................
SfJ1 2рад
Частотная передаточная функция и частотные характеристики
звена запаздывания
W == е jею; А === 1; L -==: о; Ф == еш. (5.23)
Частотная передаточная функция и частотные характеристики
звена полузапаздывания
W === е ---- 1! j6ш == е 1/ 8roj2 (1 + j) . А ===.. е у 6юj2 .
, ,
1 I J /. 7'
-r / }(О.
k [(V I V' (UT) jV шт)
1/r2 (1 ! V 2шТ i шТ)
k
A
i / 1 I V 2roT + roТ
JI (JJ Т
) == arctg V V
2 - 1 шТ
k
w==
Vl + jroT
( ( V \
k r+I j , ll
J!r 2, '
rде r == V 1 -+. ro2Т2;
А === !l/Vr;
11' == ar ctg V (' 1) / (' + 1)
L === 20 V 0(0/2 19 е 8,691/ 8(0/2 дБ; Ч' === v 8roj2. (5.24)
214.
Основные данные об и ррацнона.пLНЫХ звеньях 1105 j сведены
в табл. 5.5. .t\1.аксимаJIьнап раЗIIист!) МС}I{ДУ действитеJIЬНUЙ 11 аСIIМ
птотичес1\.ОЙ JIЛ l 1 Х IIО,ТJуинеРЦИОНIIЫХ звеньев имеет место при
(1) === 1/ Т 11 составляет 11 риблизитеЛЫIО 5, Э дБ у звена перnоrо
рола Ir 1,5 дБ У звена BTOpOI O рода.
5.4. свя.зь Лil:ЖДУ лоrЛРИФМИЧЕСКИМИ
ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ СИСТЕМbI
МИНИМАЛЬНО..ФА30воrо ТИПА
Передаточную функцию, у котороЙ I10ЛИНОМЫ ЧИСЛlIтеля и нсз
ЛIенате.пя не имеют корнеЙ с lIоложительнои вещественноЙ частыо,
называIОТ функцией минимальной фазы, а систему с такой переда-
точной функцией системой :минимально фазовоrо типа. J.T си
стемы TaKoro типа между амплитудной и фазовой, а также между
вещественной и мнимоЙ ЧастотнЫми характеристиками сущест
вует однозначная связь.
Это свойство ИСПОЛЬЗУIОТ для ОlIределеНIIЯ значений фазы IIрИ
некоторых частотах или всей фазово частотной характеристики по
лоrарифмической амплитудно частотноЙ характеристике. Взаимо
связь определяется формулоЙ
00
'" (юо) == + J ]п ctg 1 I т I dll,
oo
(5.2!))
r де u ==: 111 ,; IJ. .=== ш/ (йо.
Следовательно, значение фазы при любой Частоте (йо пропор
ционально средневзвешенному значению производной от лоrариф..
мической амплитудно..частотной характеристики. Функция
lп ctg Jll и/2, выполняет роль функции веса. По неЙ !\10)КНО за
ключить, что наиболее существенное влияние на значение фазы
при данной;, Частоте. сио. имеет наклон ЛА ЧХ вблизи этой Частоты.
С помощью rрафика ФУНКЦИИ ln ctg !ll и/2 I по асимптотической
JIA ЧХ можно определить приближенное значение фазы ПрII выб
рапных частотах [49].
Формула (5.25) позволяет определить ЛФЧХ дЛЯ различных
типовых ЛАЧХ, в частности для полvбесконечноЙ ЛАЧХ с по..
стоянным наклоном. В работе [98] даны" значения 'Ф, соответствую
щие такой ЛАЧХ с наклоном +20 дБ/дек. При наклоне v дБ/дек
значен ия фазы будут 0,05 v-ф. Таким обрззом, если ЛА ЧХ аппрокси"
мировать отрезками прямых, то можно определить составляющие
ЛФЧХ и затем просуммировать их.
На основании формулы (5.25) составлена r64] HOMorpaMMa, по..
ЗВОЛЯЮlцан по асимптотической ЛА ЧХ определить значение фазы
215
lliJ11
ит й 2,2J
!
0,01
),/ I I i I lШ1 ,j JJJJJШ. ,1
1,0 2,0 Цт.)' "2/5
7,8 L ' 1,8
6 1,6
7/t 1, ff
2 1,2
1 () . 1,и
08 = = оя
I b
0,2 1 = 0.2 ."!
0,1 1 10 100
Рис. 5.10. HOMorpaMMa ДЛИ
определения фазы по асимп-
тотической ЛА чх
при выбранноЙ частоте. HOMorpaMrvra (рис. 5.10) представляет собой
rрафик вспомоrательной величины
JJ,
50== JlnctgILlu/2!du.
о
Ее ЧИСJIовые значения приведены в табл. 5.6.
Для определения фазы при выбранной частоте (J)i необходимо
прило)кить HOMorpaMMY к асимптотической ЛА ЧХ так, чтобы оси
абсцисс были параллельны и стрелка HOMorpaMMbI совпадала с ча..
стотой (()z. Значения фазы в rрадусах определяют по формуле
1
'Р (ffil) == L Vk Sk, (5.26)
k==l
[де Vk наклон k..Й асимптоты в дБ/дек (с учетом знака); Sk
изменение аБСОЛIотноrо значения S на участке частот, oxBaTыае..
т а б л и ц а 5.6.
Значения S HOMorpaMMbl для опредеJlения фазы
по асимптотическоя ЛА ЧХ
JJ, s (, s
.,... -
1,00 0,000 3,5 1 ,724
1,05 0,21 О 4.0 1 ,791
Ж, 1 О 0,351 5,0 ] ,884
1,15 0,467 6,0 1 ,945
1,20 0,565 7,0 1 ,989
1,30 0,726 8,0 2,022
1,40 0,855 10,0 2,068
1,60 1,052 20,0 2, 154
1,80 1 , 197 зо о 2,188
2,00 1,31 О 50,0 2,214
2,50 1 ,507 80,0 2,227
3,00 1 ,634 100.0 2,232
216
t-t
s
s
J.t
1,00 (),ооо 0,30 1,6
0,96 0,182 0,25 1,7
0,92 0,318 0,20 1,8
0,88 0,437 0,17 1,9
0,84 0,547 0,14 1,9
0,80 0,650 0,12 2,0
0,70 0,877 0,10 2,0
0,64 1 ,020 0,05 2,1
0,56 1 , 188 0,03 2,1
0,50 1 ,31 О 0,02 2,2
0,40 1 ,507 0,015 2,2
0,35 1 ,603 0,01 О 2,2
97
91
84
39
94
30
68
54
95
14
23
32
i иБ
> '+0 -
ЗА
20
70
О
70
I ... 14iJб/iJе1.
I б оБ/iiек
I
, I
10
I I
Риr. u .11. Л оrЗРИфМIIЧ ес IШЯ [1М ПЛIIТУДI!О IJa СТ01 Е:: я х::рн Ia{'fHHTН I:a Рn: ОМ и"ут() f Л Р
мом k...й асимптотой; l число асимптот на участке Частот, охваты"
u
ваемом номоrраммои.
Если выбранная частота (!)j делит какую..либо асимптоту на
две части, то каждую из них следует считать отдельной асимптО"
той. Результаты вычислений тем точнее, чем меНЫl1е асимптоти...
ческая ЛА ЧХ отличается от действительной.
Перечисленные 1\1етоды удобны для определения фазы при ка..
I<ой..либо одной частоте или при нескольких частотах из диапазона,
oXBaTbIBaeMoro ЛА ЧХ. Их применение целесообразно так)ке для
определения ЛФЧХ по экспериrvrентально полученной ЛА LIX.
Пример 5.5. ЛА ЧХ разомкнутоЙ САР изображена на рпс. 5.11. Определить
значение фазы при частоте среза (ОС'
Задачу будем решать с помощью IIOMOrpaMMbI (см. рис. 5.10). КриволинеЙ
ный отрезок ЛА ЧХ хорошо аППРОl{симируется тремя аСИМПТОТЭi\.IИ с наклоном
соответственно 14, 6 и 14 дБ/дек. HOMorpaMMY располаrаем так, чтобы ее
стрелка находилась на частоте (ОС (см. рис. 5.11). Затем составим по HOi\IOrpa\J:\Te
равенство (5.26) и подсчитаем сумму:
'ф (шс) == 20,(2,25 2,20) 14 (2,20 2,14) 6 (2,14 1,46) 14 (1,46 1
O,80) 20 (2,25 O,80) == 1 ,0 O,8 4, 1 31 ,6 29,O -::::::: 66,50.
5.5. связь МЕЖДУ лоrАРИФМИЧЕСI(ИМИ ЧАСТОТНЬН t'И
ХАРАI(ТЕРИСТИI(АМИ ЗАМI(НУТОЙ И РАЗОМКНУТОЙ
СИСТЕМЫ
На основании (РОРМУЛI)I (5.1 О) можно получить слеДУIОIцее сп..
отношение:
L == 20 1 sin (."1' 6) === 20 1 ( cos "1' ::l:: V cos2 Ф + А 2 1 )'. (5.27)'
g Sln 6 g А 2 1
Здесь L и '1' лоrарифмическая амплитуда и фаза разомкну..
той систеr-,rы; А и е лоrарифмическая амплитуда и фаза замк..
нутой системы с единичной обратной связью.
Соотношение (5.27) позволяет построить в плоскости ['1', L]
линии равных значений () и линии равных значений Л. Получается
HOMorpaMMa замыкания (номоrрам ла пересчета) (рис. 5.12). Цен-
тральная часть HOMOrpal\1MbI в укрупненном маСJJlтабе представ..
лена на рис. 5.13.
217
1/1(1 ,/; Jii ')f)(JtJ
/ " 1 J '/) (, i
7bO
il.()'
8и '
;!O и
2 О О
2.!! '/
'. 2 Б й
32 О . . J 6 О
I ,оБ
T
:::
:'
'
H'
"'" ,:<T'
'
, {"ОБ
7б
",;/
...:;/"/'
....
.
..\ I "-
:':7
J
.
. 116
2 'k6 ' П.'
[')?С О
'.,/."r
;Xj
. .i
_ ( J" 1 L u ,) J? '.,) и, ,; "" "
::;.
r-,,7-L..
-
., -
'--т-----rf)l
.: 0/; . .
.
'. .;.."..
.
.
"\...
,
.
12
/:
L:':
'
c, '/i'5«L,b,'-'т.
:.:.
\..,
12
J X
.'
.
l'
Y'. ._
;:# 2 r"
'
\. '\ \'. \ .
8
i 4- ;к..... ..х- '\.. I /17
\ 1 8
5
....A.
II
.
з
\ \ \
;?5
j i f/f,LL "-К
'r\ 1f..l. \ \
4 ,д
1
' /1l2
'
K
\8
\б1If12 '+
,;:}2 I r
/ О>' .,
f
. jt"
о iб\ T
VL/A
>
"
'
6 '1
О
.
'" "'. .
\
.
".
'\ \. \
8\ \
4
,\
\ '\' 4
d
К-\ \
\
rr70
8
\
u)Р?\\'\.);Sn\ \ \ \ \ j 12
.
8
72
\ \ t\\ 4
\U)
\ \
\ '\14"
72
\ \ \ \
M \ \ \ \ \ \
\ \ \ L
\ \ \ \ \ \ Тl 15 ..
'В \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ 16
,.... \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ , 78 1-
,
,- \ \ \ \'"
80 ' 68 \ 56'
4 \
2
O. 21,.
20 ,
.92 \ .,', ,(, 20
172
15б
140
124-
7q8
, 258 280
29Z,
jot=J7Б' 328
JifO 22-
4
788 204 220
2Jб 252 1 "\ ! I
....2 I I ; I I I 1 24'
2ч
I .
I
: I I \ I \ I I Т
7БО
....200
120
80
240
280
Фаза СР, zpa.a
qO
З20
о
,
36D
Рис. 5.12. HOMorpaMMa замыкания
Ось абсцисс HO:MorpaТVfJ.\.fbI есть ось фазы "1' и ось ординат
ось
лоrарифмической амплитуды L разомкнутой системы.
Номоrраl\лма охватывает значения L от О до +28 дБ и от О
ДО
26 дБ, так как при L » 1 Wз
1, т. е. А
О и е
О,
а при L« 1 WЗ
W, Т. е. А
L и, 8
"1'. Итак, при больших
по абсолютному значеНИIО L надобность в HOMorpaMMe отпадает.
Следует считать
А == О и е === О, если L > 28 дБ;
А == L и () === '1', если: L <
26 дБ.
H01\fOrpa1\1Ma дает ВО3МО)КНОСТЬ по известным значеНИЯl\f '\1'
и L разомкнутой системы определить значения О и А замкнутоЙ
218
(5.28)
Фаза (р; сраD
180
)'!8
i;6 '
171! i72
770
1б8 )6'6
16'1; .)62
lБО '..
780
782
Т8ч
78б
788
1BO
792
19ч
19б
798
200
I I I I I
L,iJfi
, L1iJБ
2
2
lf
6
8
7D"СОL
....цi7'
/ /' /'
'l.L
/2
1ч 76 L l/ /' V
1. I
18
' / v
IT"'rf'.)
/ ;20
2
V / / .//V/ 1/
...... I I I / / / /><'1/>2
28/ /V / /V // v
I I J /.f--.'Й
/ / / /
/JЕЗ2 L/ /V //
.....
r--/..11 / / / / /1 J
./ / /r>
/
J
.JБ/ /V' /",7
1 П'l,(,V J /'/></I/V)rGv
o'V
/ п
.,(V I /,V/
V/X/V
f(
,..
Jrf-j
'..L /11J
vVV)(,
r );45
1- !
1J V7PS'k/Y::PS<VVK )/V \
.'iO
"
l r/.LL '1IrJS
Vj >5<;
v /<
V
r\ S5
1----....
-fr/,LV?P5S
v<
....
........... f-.--
./'
t}i
/', <'
V\
; 1! 70
БО
1----
/
w; 1.,I"t /
?
)....--,-- ,
И/ < л> Х"" ........... 14 1
........,
б5
=
'IIJ 'l. .....'\
v 16
r
rI / /'Л
l
;;$б!)lД
....., ,
70
/22...... .....-1
........
28
?' ::;
rx: ....... 75
'40 l5)д1б
....
8D
'sf::
.......
f--.. Н J 7 r--............
Н......... .......... j I r------ j
u;
r::I bf
L1
............. rI
11 ........... Ч / -:. 85 '"'-
.У' t'....:: r-.........
1 \\.\
r------
7 "'"J '1 J ............. 1... r
9
........
\
<) с--
(' х. I'j r ........ "'j 7.........
95...
........... N ..............
<.; <: х
"-
"-. К .......... "" ,-....:.
700 .................
....'"'" ........) I
,.... uK D Х
>< )<
/ )< r- /'
705 ......................
,....
""'- ......
""'f-rr[J
"'
Х )k''''/''V
lJO
,
J.Ur
\
<
><"'" /К ':< :175
"
.JHh
l)....)
r \ 5<
' к ::'720 '" "-'-,,-
F"'"'"""
, \...... V 125 "-
.....м
r--
1\
K\........К'
1ЗО
" '''" '
..
--r
r\r\
V
"'lio'3!1"
"",- ",,- 1',,-
.L
in
' \ o
J 115 1'" "", "" "" "",-.
I ! \
155
J51 '\\ \ '\ ". ""
775
170
lб5
7бО I \ I t\ 1\. r-. 1'., r"...
, \ \ \ \ \ \ '\ " '\ '\
3
J
2
\ ,
1
1
о
D
1
7
2
2
780
178
77б
77L;.
772
770
lб8
7бб
76'1
lб2
JБО
""'780
182
78'!
186
!88
190
lg2
19'f
79б
198
200
Фаза (jJ? zpafI
Рис. 5.13. Часть HOMOrpaMl\fbl замыкания в укрупненном масштабе
системы с единичной обратной связью. Для этоrо по значениям 'ф
и L с помощью координатной сетки отыскивают на HOMorpaMMe
соответствующую им точку. Затем по криволинейной системе ко..
ординат определяют значения е и А, соотвеТСТВУЮlцие этоЙ точке.
Если точка оказывается между ЛИНИЯIV1И криволинейной системы
координат, то значения е и А определяются интерполяцией.
Каждая линия равных значений {) имеет две отметки, сумма
которых равна
3600. Поэтому нужно иметь в виду, что если О >
> 'ф >
1800, то и о> е >
1800, если же
1800 > 'ф >
3600,
то и
180° ::;> 8>
3600.
219
fIYCTb дли НI.2I\ОТUрОЙ частоты 'Ф ==-- 320 l[ L ==- . 4 дБ. Отыскап на 1I0MO
rpal\rMe соотвеТСТВУJОЩУIО точку, определим, что при заТ\.1ыканни систеr.,'IЫ единич-
нои обратной СВЯ3LЮ дЛЯ этоЙ частоты О 200 и А 8 дБ. Если 'Ф ==:: 3280
It L === 4 дБ, то на HOMorpaMMe им соотпетствует та же точка, что в предыдущем
случае. Однако теперь 'Ф 3400 н попрежнему А 8 дБ.
Предположим, что HOMorpaMMY используют для определения
лоrарифмических частотных характеристик замкнутой системы.
Тоrда удобно на прозрачной бумаrе вычертить такую же коорди"
натную сетку '1'; [,1' на какой построена HOMorpaMMa. По заданным
частотным характеристика 1 разомкнутоЙ системы следует пост-
роить на этоЙ сетке кривую L ('1') и указать частоты, соответствую..
щие отдельным точкам, затем наЛО}I{ИТЬ чертеж на HOMorpaMMY и
определить значения () и А для всех выбранных частот.
HOMorpaMMY замыкания используют не только в рассмотрен..
ном, но и в более общем случае для определения лоrарифмиче..
ских частотных характеристик системы с передаточной функцией
Wv:== Wn/(l + W). (5.29)
Равенство (5.29) можно привести к такому виду:
l/W
Wv == Wл 1 + l/W · (5.30)
Следовательно, для отыскания лоrарифмической амплитуды Av
(или фазы 8,,) замкнутоЙ системы с передаточной функцией Wv,
определяемой равенством (5.30), при какой-то частоте (Ui необхо..
димо:
1) определить значение LJ1 (или 'I'п) по частотной передаточной
функции W л;
2) пользуясь lIОМОI'раммой замыкания (рис. 5.12) или (5.13)
ОIlределить значение Л (или О), соответствующее значениям L
и '1' (L лоrарифмическая а fплитуда и 'ф фаза частотной
передаточной функции W);
3) сложить значения Lп и А (или Ч'н И 0).
Этим путем можно определять лоrарифмические частотные
характеристики замкнутой системы относительно возмущения для
нахождения ошибки слежения, а также относительно задающеrо
воздействия при неединичной обратной связи. Действительно,
в обще1\1 случае САР имеет структурную схему, изображенную на
рис. 3. 1, и перечисленные ее передаточные функции имеют сле..
дующие значения:
l/W . l/W . l/W
Wf == W1 1 + l/W' Wx::::: 1 + l/WJ' WJl: === W1W2 1 + I/W' (5.31)
rде W === Wo W1 W2.
HOMorpaMMa замыкания может быть :использована еще и для
определения лоrарифмических частотных характеристик некото-
рых соединений динамических звеньев [101]. Необходимые для
этоrо сведения даны в табл. 5.7, в ней изображены структурные
220
Т а б JI И Ц а 5.7
ОпредеJlение 'Фэ и Lэ некоторых соеДинений
динамических звеньев по диаrрамме замыкания
Структурная
CXC!l.1'a соrдинсни я
'
I
r ..
Передаточ -
пая функция
соединения
w==
э
\V 1
1 + W1
Wi
1 \V' 1
\\7 1 W' 2
W1 + 1
На HOMorpaMMe взять
точку с КООРДинатами
Фаза и лоrариф-
мическая ампли-
туда соединения
'1'== L-=::=
'Фа== Lэ==
'Фl
в
л
1" 1
1800 Ч'l
(} 1800
L1
А
Фl 2
L1 L2 "'1 B L1 A
'Рl
L1 f} А
'Фl 'Ф2
W 1 lf/2 I L 1 L 2 ) 1 (} L1 А
I 1800
1 W1
1
1 W 1
Wi
1+WIW2
\\'1' 1
1 \VIW'2
1800 Ч'1
e
L1
A
'Фl
Ll
А
(}
I
'ф J I 1 О ) 1 I А 1, 1
'Фl + 'Ф2 I [1 + [2\ 6 'Ф2 IA [2
I '(L +1 I
(,Фl + 11'2) +L:) 8+11'1 А + L1
'Фl+'Ф2+ 18001 [1 + [216 + 1 ot I А [2
( 'Ф2) I +(i t I 6 + 'Фl 'А + [1
221
схемы этих.. соединений и приведены их передаточные функции,
указано, при каких значениях координат 11' и L нужно пользо-
u
ваться номоrраМl\fОИ замыкания в каждом случае и как на OCHOBa
нии полученных по HOMorpaMMe значений е и А определить фа..
зу 'Фэ и лоrарифмическую амплитуду Lэ рассматриваемоrо соеди
нения.
Пример 5.6. Два апериодических звена с передаточными коэффициентами
/" == 0,5 и постоянными времени Т 1 == 0,02 с и Т 2:::::: 0,2 с соединены параллельно.
Определить фазу 'Фэ и лоrарифмическую амплитуду Lэ соединения при частоте
о) == 10 c 1.
Определим фазу и лоrарифмичеСКУIО амплитуду каждоrо из звеньев при задаI-I
нон частоте:
L 1 0,5
'Фl == arctg 0,02-10 :::::: 11,30; 1 ::=: 20 g V == 6,2 дБ;
1 +(0,02.10)2
'Ф2 === arctg 0,2. 1 О 63,40; L2:=:: 20 19 0,5 == 13,0 дБ.
V 1 + (0,2. 10)2
Для определения '1'0 и Lэ можно воспользоваться поз. 3 табл. 5.7. В COOTBeT
С1'вии с таблицей,
'1' == 'Ф1 '1'2 === 11,3° ( 63,40) == 52,10 == 307,90;
L == L1 L2 == 6,2 ( 13,0) :=:: 6,8 дБ.
По H0I\10rpaMMe замыкания (см. рис. 5.12) определяем, что этим значеНИЯ1\l '1'
и L соответствуют е 3440 и А 2,4 дБ.
В соответствии с поз. 3 табл. 5.7 ПОДСЧИТЫDаем фазу и лоrарифмическую aM
плитуду соединения:
'Фэ == 'Фl fJ 11 ,30 ( 344,00) == 332,70 == 27,30;
Lэ == L1 А 6,2 - ( 2,4) == ......3,8 дБ.
Пример 5.7. Звено с передаточной функциеЙ W 1 1 ,25/(0,2s I 1) вклю
чено по схеме, ноказанной в поз. 6 табл. 5.7. Определить фазу Фз и лоrарифми
ческую амплитуду Lo соединения при частоте о) == 1,1 сое1.
Находим фазу и лоrарифмическую амплитуду звена при частоте CI) == 1, 1 c l:
'1'1 == arctgO,2.1,1 == 12,4°; L1:::= 20 Ig 1,25/Vl + (0.2.1,1)2 == 1,73 дБ.
В соответствии сп. 6 табл. 5.7,
'1' == 1800 '1'1 === 1800 ( 12,4°) == 192,40 == 167,6°;
L == Ll == 1,73 дБ.
Воспользуемся частью HOMorpaMMbI замыкания, выполненной в укрупненном
масштабе (см. рис. 5.13), и определим {) 125° и А 9,8 дБ. Следовательно,
""3 == fJ 1250 == 23БО и Lэ == А 9,8 дБ.
Для выборочной проверки результатов, полученных по HOl\fO
rpaMMe замыкания, можно воспользоваться соотношениями
е === arctg 81n ",/(А + cos 11');
А == 20 Jg / А/(А 1/ А -+-- 2 СО8 11'),
r де А === 1 oo.05L.
222
(5.32)
5.6. ПОСТРОЕН ИЕ .Пnf'АРI,I(!,МИLJ ЕСКИХ чАстотныx
ХАРА J(ТЕРИСТИ 1( f\i\HO ['о КОНТУРНО Й СИСТЕМЫ
Наиболее целесообразен слеДУIОЩИЙ порядок построения: оп
ределяется саотвеТСТВУЮil ая передаточная ФУНКЦИЯ систе.МЫ (СМ.
rл. 3), полиномы числителя и знаменателя передаточной функции
разлаrаются на элеlVIентарные сомножители (например, по методике
приложения 2) и затем строятся характеристики, как рекомендо..
вано в 11. Б.З.
Однако расчетов по нахо)кдению корней. 'полиномов J\10)KHO из..
бежать, так как передаточная срункция даже высокоrо порядка
всеrда может быть приведена ]{ виду, при котором для построения
потребуются лишь характеристики элеме;нтарных звеньев и HOl\10"
rpaMMa замыкания [53]. РаССМОТрИ1\f этот метод.
Пусть какая..то из передаточных ФУНКЦИЙ системы
W" == R , (5.33)
s Q
rде
R Ь S'n h Sт 1...L . . . l... ['') (1 1 .
о 1-- J' 1 i ./ т 1 ") I ,
Q == aosl1 + alsrz l ! . .. t aп ]s , 1.
Построение лоrарифмических частотных характеристик L
и '1'1, соответствующих множителю k/sV, не вызовет затруднениЙ,
а полином R может быть представлен в виде
R =0= Rl {l + : [1 + : (1 + . · . ) ] } , (5.:И)
rде Rl' R2, Rз, ... содержат лишь полиномы второй степени.
Так, полином R третьей, четвертой и пятоi:'r степени может быть
представлен в следующем виде:
boS3 + b1s2+b2s+ 1 =o=R13(1 + R1J3)' (5.35)
r де R 13 == bzS ( :: S2 + : s + 1 ) ;
bos4 + b1s3 + bzs2 + ЬзS + 1 === RJ4 ( 1 +- :: ) , (5.36)
rде R14 =0= b2s2 (:: S2 + :: S + 1 ); Rи == ЬзS + 1;
Ь 55 + Ь S4 I_ Ь S3 + Ь Б2 ....1_ Ь S I 1 R ( 1 - l R25 ) (.5.37)
о 1 r 2 3'- I 4 j 15 \ j NHj' .
rде R15 == b2s3 (:: S2 + : S + 1 ); RZ5 == Ьзs2 + b4s + 1.
Выражениям (5.35) (5.37) соответствует структурная схема,
показаннзя на рис. 5.14. Ее лоrарифмические частотные характе-
ристики L2 И 'Ф2 MorYT быть построены на основании поз. 4 табл. 5.7.
223
Я1i h ,
' L{ ::'i -
Рис. 5.14. Структурная схема, соответству-
ющая выражениям (5.3б) (5.38)
Рис. 5.15. Структурная схема, COOTBeTCTBY
ющая выражениям (5.39}.....(5.41)
Последний из СОМНО)1(ите.пей
МОЖНО представить в Биде
1
1 Ql
Q 1 r (Q 2 + Q 3 + ...) ,
Ql
[де Ql, Q2, Qз,... содержат лишь ПОЛИНОl\1Ы BToporo порядка.
Очевидно, что выражению (5.38) соответствует структурная
схема, которая состоит из звена с передаточной функцией l/Ql,
охваченноrо отрицательными обратными связями Q2, Qз,... .
ЗаПИJlIем равенство (5.38) при п :::::: 3, 4 и 5:
передаточной функции (5.33)
(5.Э8)
1 1/Q13
aos3+als2+a2s 1 1 + 1/Q13 '
Q (ао 2 а1 1 ) ·
r де 13 === Й'2,S S + s + ,
а2 а2
1 1/Q14
aos4 + a1s3 + a2s2 + азs + 1 1 + Q24/Q14 '
rде Q14'== a2s2 ( ао S2 + а1 S + 1) Q24 == азs + 1;
а2 а2
1 I/Q15
aos5 + a1s4 + a2s3 + азs2 + a4s + 1 1 + Q25/QliJ '
rде Q15 === a2s3 ( ао 52 + а1 S + 1); Q25 === Q2S2 a4s + 1.
а2 а2
(5.39)
(5.40)
(5.41)
Выражениям (5.39) (5.41) соответствует структурная схема,
изображенная на рис. 5.15. Ее лоrарифмические частотные ха..
рактеристики L3 и '4'3 MorYT быть построены н а основании поз. 8
табл. 5.7.
Итак, изложенный метод позволяет достаточно просто построить
лоrарифмические частотные характеристики по передаточной
функции любоrо порядка. Формулы (5.34) (5.41) показывают,
как ее следует преобразовать. Полиномы BToporo порядка в R1,
R2, "0' Ql, Q2, ..., конечно, должны быть разложены на СОМI-IОЖИ"
тели nepBoro порядка или пред ставлены в Биде T2s2 + 2;Ts + 1,
rде О < < 1. Лоrарифмические частотные характеристики переда
точной функции (5.33) определяются равенствами
L == L I t L. ' L:1 IJ "1' .: '1'1 I 'I'lJ + 11\;.
( 5.42)
224
-.j '';''
. I
9 .
J W
f L .
I
l .
у
а)
1{ IJ--rЖJ l
.'l ,1 <, + r:u 1
( .,. . .. J Vз J1 H 1 vV;; a . W,
k. . l . t " t
, . [' w.J-.
l , , },
у
О)
Рис. 5, t 6. Сl'РУIпурнан схема мноrОКОIIТУРНОЙ САР:
а исходная; 6 преобразованная
Лоrарифмические частотные характеристики разомкнутой
цепи мноrоконтурной системы можно построить И без определения
ее передаточной ФУНКЦИИ. Необходимо только, пользуясь прави..
лами табл. 3.3, преобразовать структурную схему системы так,
чтобы устранить переI{рещивание каких-либо из обратных и пря..
мых связей. В результате разомкнутая систеl\1а будет представлять
собой последовательное соединение отдельных типовых динами..
ческих звеньев, участков с обратными связями и участков с парал..
лельными соединеНИЯl\lIИ. Обратные СВЯЗИ и охваченные ими
участки, а также параллельные ветви MorYT быть достаточно
сложными.
После при ведения структурной схемы к указанному виду ло..
rарифмические частотные характеристики MorYT быть построены
на основании правил табл. 5.7 и HOl\10rpaMMbI заlVIЫкания.
Пример 5.8. ПрIIведем структурную схему системы (рис. 5.16, а) к ВИДУ,
удобному для построения лоrарифмических частотных характеристик pa30I\'IKHY
тоЙ цепи, и наметим порядок этоrо построения.
Структурная схема имеет перекрещивание цепей обратных связей W 01 и
1,\7 02' Кроме TOI'O, цепь обратной СВЯЗИ W 02 перекрещивается еще с цепью прямоЙ
связи W4'
ДЛЯ устранения перекрещиваний достаточно перенести обратную связь W 02
через звено W 1 И прямую связь W4 через звено W 2' При этом в цепь обратноЙ
связи W 02 должно быть включено СОfJlаСУЮJцее звено l/W 1 и В цепь прямой связи
W4 соrласующее звено 1/1\7 2'
rlреобразованная структурная CXe!\Ia (рис. 5.16, 6) позволяет построить
JIоrарифмические частотные характеристики ее раЗОJ\ilКНУТОЙ цепи (размыкается
обычно rлавная обратная связь), Теперь расчеты МО)КIIО вестн в слеДУlои ем П()
рядке:
8 l\1акаров 1I М.
225
1) подсчитать характеристики fPr> == '1'4 "Ч'2 И L'6 == L1 L2 :звена \\16'
ЭКI3ивалентноrо последовательному соеДинению звеньев W 4 И l/lV 2;
2) пользуясь п. 3 табл. 5.7 и номоrраМl\IОЙ замыкания, определить хар акте..
ристики '1'6 И L6 параллельноrо соединения звеньев W з и W5;
3) по п. 9 табл. 5.7 с помощью HOMorpaMMbI замыкания определить XapaI(Te"
ристики 11'7 и L7 звена W71 эквивалентноrо звену W 1 с обратной связью W 01;
4) подсчитать характеристики '1'8 == '1'2 + '1'7 и L8 === L2 + L7 звена W8,
эквивалентноrо последовательному соединению звеньев W 2 и W7;
5) подсчитать характеристики Фв == 11'02 11'1 И L9 L02 L1 звена W9,
эквивалентноrо последовательному соединеНИIО звеньев W 02 и 11 w 1;
6) по п. 8 табл. 5.7 с помощЬJО HOMorpaMMbI замыкания определить характе--
ристики 11'10 и L10 звена W 10, эквивалентноrо звену W8 с обратной связью W'e:
7) подсчитать характеристики разомкнутой цепи системы 11' 1j.. 6 + '1'10 и
L === L8 + L10-
5.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАI(ТЕРИСТИI(И 3АМI(НУТОЙ СИСТЕМЫ
Данная характеристика позволяет построить:приближенную
переходную характеристику (см. п. 4.3), поэтому ее часто исполь..
зуют при инженерных расчетах. Характеристику определяют не
только аналитически по передаточной функции замкнутой.,.СИ"
стемы, но также и rрафоаналитически, по одной из частотных ха..
рактеристик разомкнутой систе,мы. При этом используют характе-
ристику, построенную ранее для друrих целей, и, таким образом,
уменьшаются общие затраты времени на расчет.
Аналитическое определение Р. Каждая из передаточных функ
ций замкнутой системы мо)кет быть представлена в виде
W === bosm + blSm 1 + · . . + bm IS + Ьт :=:: и 1 + jV 1 , (5.43)
V aosп + alsп 1 + .... + an ls + ап и2 jV2
rде
U1 == Ьт ........ bт 2(o2 bт 4{f)-l . . · ;
v 1 == (f) (blJl 1 ...... Ьт з{f)'2 i Ьт 5ш4 · . - );
U 2 == ап an '!.u)2 ап...4(1}4 . . . );
v 2 == (1) (aп 1 ап з(1}2 ап Б(u4....... . · · ).
в этом случае
Р и1и2 + V1V2 U11V2 + V11U2 (5.44)
и + V U21V2 + V2/U2 ·
При определении характеристики следует рассчитать ряд Ча
стот, равномерно отстоящих друr от друrа. Затем выбрать до..
полнительные частоты на участках, rде MorYT быть экстремумы
или имеет место быстрое изменение характеристики. Весь расчет
целесообразнее заносить в таблицу. При ручном счете и наличии
таблиц с обратными значениями чисел расчет удобно вести по пра..
вой части выражения (5.44).
Определение Р по АФЧХ разомкнутой системы. Значения Р
MorYT быть найдены с помощью вещественной круrовой диаrраммы
226
(см. рис. 5.3 и 5.4). Кроме
Toro, используют rрафо..
аналитический метод, KO
торый дает более точные
результаты, так как зна..
чения Р определяют по
точкам АФЧХ, соответ..
ствующим выбранным ча..
стотам.
Пусть обратная связь
единичная. Следовательно,
частотная передаточная функция замкнутой системы определяется
равенством (5.10). Тоrда на комплексной плоскости [и; jV] нужно
провести окружность через начало осей координат и точку А с коор"
динатами [ 1; jO ]. ЗатеI\1 провести прямые через точку А и каЖДУIО
из выбранных точек АФЧХ (рис. 5.17) так, чтобы эти прямые
пересекали окружность. Значение I Pi 1, соответствующее выбран..
ной i-й точке АФЧХ,I'"равно отношению двух отрезков:
, Р I BiCi
i АВ. ·
t
Рис. 5.17. Определение вещсствен.
ной частотной характеристики си.
стемы с единичноЙ обратной связью
по АФЧХ ее разомкнутой цепи
С/ i V
. ....
/ '-"
4 \
L . . . . Л= .. . . . I
2 !.' ,. АО 7И
1\....>'" ()J I
л, Y l""" \"'-" ",,'", ./ [,\!
" I
/ 1)2 (, "i"
-',
'"
"
/ "" fI
. "-.. /) J
V
<
2
/
(5.45)
Возможны три случая, показанные На рис. 5.17. При частоте (1)1
точка В1 АФЧХ находится вне окружности и справа от прямой,
проведенной через точку А параллельно оси ординат. Этой частоте
соответствует положительное значение Р < 1:
Р () ВIС! 1,28 О 61
Ю1 === АВ! 2,10 === , .
При частоте 002 точка В2 АФЧХ также находится вне окруж
ности, но слева от прямой, параллельной оси ординат. Этой
частоте соответствует положительное значение Р > 1:
Р () B2C2 ') ('\0
(1)2 ........... АВ2 . 0,58 ,' .
Ilри частоте Ш3 точка 8з АФЧХ находится внутри окружности.
Значение Р отрицательное:
р ((1)з) ===. ВзСз === . 0,46 ::.. 92.
АВз 0,50
На рис. 5.18 показано, как определить основные параметры
характеристики [12]. Окружность с центром, расположенным
на оси абсцисс, проходит через точку А и касается АФЧХ в точке,
которой соответствует экстремальное значение Р. Экстремум Р
положительный, если центр 01 окружности: расположен левее
8* 227
,;'
Рис. 5.18. Определение основных I1арамет
ров вещественной частотноЙ характеристи
ки системы с единичной обратной связью
по АФЧХ ее раЗ0МКНУТОЙ цепи
v
....
точки А. Он имеет место при
частоте (t)эl И определяется
u u
длинан радиуса rэ1 этон окруж
ности:
1
Р тах === 1 + ...............2. ( 5 . 46)
'эi
Эксrремум Р отрицательный,
если центр 02 окружности pac
ПОЛО.жен правее точки А :
!J l 1
шill -- 2 .
'Э2
(Б.47)
Для случая, lIоказанноrо на рис. 5.18,
Ртах 1 + 2.01,86 1,58 и Р т!п 1 2.d,22 1 ,27.
Частоте (О[[' при которой АфLIХ пересекает окружность, про
ходящую через начало осей координат и точку А, соответствует
р == о.
Вещественная частотная характеристика может быть определена
rрафоаналитически по обратной АФЧХ [19] и по передаточной
функции замкнутой системы [69 J. ,
Определение Р по J]оrарифмическим частотным характери..
стикам разомкнутой системы. Значения вещественной частотноЙ
характеристики системы с единичной обратной связью определя..
ются формулой
р== А(А+соsф) .
1 + А (А + 2 cos '1')
(5.48 )
Здесь А == 10o,o5L; 'ф И L фаза и лоrарифмическзя амплитуда
разомкнутоЙ цепи той системы.
Формула (5.48) ПОЗВО,Тiяет построить HOMorpaMMY (рис. 5.19),
которая представляет собой сеrvIеЙСТRО линиЙ равных значениЙ Р,
построенное в ПЛОСКОСТJI Ф; L. Ось абсцисс охватывает значения '1)
от о до 3600. Ось ординат охватывает значения Р от .28 до t
28 дБ. При lJ > 28 дБ Р :; 1 и при L <:: 28 дБ Р -: О.
НОl\10f'раl\'1lVIОЙ пользуются так: отыскиваю I' ТОЧКУ, соответст-
вующую значениям Ф и L при выбранной частоте (;)i, Н ПОЛО)i{ение
U u
этан очки относительно семеиства кривых определяет значение
Р (roi)'
Если определяют всю характеристику Р, то удобно сначала на
прозрачной бумаrе построить кривую L (''1'). Ее строят, конечно,
при тех же l\1аСIuтабах по осям 'ф и IJ, ЧТО И HOMorpaMMY. Затем
этот rрафик накладывают на HOMorpaMMY и определяют значения Р
при ряде частот.
Z2R
L дЬ- З2D ЗОD " 280 .260 -2110 "220 200 180 760 140 - 120 100 80 BO ....'+0
128 ' 1""",0,975 . O l og r 1025 7.0 / 97S 28
О, 15- " " /' .,,),......1, О ............... ........ ''\ \
2ч L " ./'," / o,9 24
20 \ 1. / /v N :"'-. '" I V A1 20
16' \ /Z l IS---- \ I / /;/
0,85 " '" \. "Ч 1 /' .......1, 1 '" \' . / // /v d;вr:::, 16
;'2 J" , \. \ I (' /&41.ц.--.:,,< 1/ / // /' 1.'>
_", , \: .\\ 777 7,Ч ',\\i\ \ J /!}7/ /! / l.
1..!6 k--. " \\\ I '/ /:/"j.5lб":::" \ ,/, '///''////>
8 . :: . i2 . :::: 8
4 (;O 26 24 o b f(.
{iS -' : f?J,'o,2,' \); :::=-::: Д:55
о о, [; \.: I ) /..::. у о, 5 -=---
o,45 _?,, I. rP,4,lj О
Ч O,? ==::::: 2, ;::::::::: T ; : /I'
о,зи ", rл ' l,б :;;:::::..::::...__.... /l, З.'i ,.,.
8' .;[a;:Z.' f r \ i g \\\ ::-::: .g
'7J: 13L3/ fL1 t \\ : /J l' \ "- 2
iC/ i J '\ ;';/ J/ \
76 qA/ J / '/ lf \ ',,, 'l1>...>_...: IО1S.-/ / / I \ .......... O,1 1б
L"-707i//' '! / I , '- } ./ / ,j \ " .
:: 'f /C2t u \J1=:, iO,07St / \ \\ ;:/ ::
/ . " .'\ ,J'{. o,J.) / I
28 o,02 / I ,и I D, {I. /O,02f о 0,0,25". "'28
з 20 -зпо ' 280 26О . 210 220 ' 200 78;7 lБО 140 720 700 80 50 40 ф, zpaG
Рис. 5.19. HOMorpaMMa для определения ВСIIJ.ественной частотной характеристики Р системы
с единичной обратной связью по лоrарифмическим частотным характеристикам 'Ф и L
ее разомкнутой цепи
Значения Р вблизи точки L == О и Ф == 1800 с большей точ"
ностью можно определить по табл. 5.8.
Определение Р по кривой D...разбиения. При исследовании
влияния парамеТРОБ системы на ее устойчивость строят кривые
D..разбиения (СМ. п. 6.10), которые MorYT быть использованы ДЛЯ
определения вещественноЙ частотной характеристики замкнутой
системы.
Наиболее просто опрелелить значения Р, если имеется кри"
вая D разбиения по передаточному коэффициенту k разомкнутой
систеl'ЛЫ с единичной обратной связью. Для определения 3 наче..
ния р при выбранноЙ частоте roi нул{но из начала осей координат
опустить перпендикуляр На прямую, соеДИНЯIОЩУЮ точки А и Bi
(рис. 5.20). Точка А находится На оси абсцисс и соответствует зна-
чению k системы, а точка Bi На кривой D..разбиения и соответ-
ствует выбранной частоте (J)i' Значение вещественной частотной
характ ристики
I Р I АС[
ABt ·
(5.49)
229
Т а б л и ц а 5.8
Значения BelЦeCTBeHHOH частотоi характеристики замкнутой системы
'Ф. rрад
L. дБ
::!:: 1 8 О ж175 ::!:: 1 7 О :::!= 1 6 5 ::!:: 1 6 О ::!: 155 :f:' 150
4 2,71 2,63 2,44 2,18 1,92 1,68 1,49
3 3,42 3,25 2,84 2,37 1,96 1,64 1,41
2 4,86 4,32 3,28 2,41 1,84 1,47 1,22
1,5 6,30 5,13 3,38 2,27 1,65 1,30 1,08
1 9,20 6,03 3,14 1,92 1,36 1,08 0,91
0,75 12,09 6,24 2,78 1,64 1,23 0,94 0,81
0,5 1 7,90 5,77 2,21 1,31 0,97 0,80 0,71
0,4 22,23 5,24 1,92 1,16 0,88 0,74 0,67
0,3 29,53 4,43 1,59 1,00 0,78 0,68 0,63
0,2 43,95 3,33 1,24 0,84 0,69 0,62 0,59
0,1 87,39 1,99 0,88 0,67 0,60 0,56 0,54
О 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50
0,1 86,З9 0,99 0,12 0,33 0,40 0,44 0,46
02 42,95 2,33 024 0,16 0,31 0,38 0,41
, ,
03 28,53 3,4З ......0'59 О 0,22 0,32 0,37
,
O,4 21 ,23 4,24 092 .........0'16 0,12 0,26 0,33
,
05 16,90 4,77 1 ,21 0,31 0,04 0,20 0,29
,
0,75 11.09 5,24 1,78 064 0,23 0,06 0,19
,
1 ,20 5,03 2,14 .....0 92 0,36 008 0,09
, ,
1,5 5,30 ......4' 13 2,38 .....1 , 27 0,65 030 0,08
,
2 3,86 3,32 228 .........1'41 084 047 o 22
, , , ,
.........3 .........2,42 2,25 1 ,84 .........1'37 .........096 .........0,64 0,41
,
.........4 1 ,71 ......1 ,63 1 ,44 .........1 18 092 0,68 0,49
, ,
Возможны два случая, которые и показаны на рис. 5.20. Точ--
ка В1, соuтвеТСТВУlощая частоте 001, расположена левее прямой А А 1,
параллельной оси ординат и проходящей через точку А. В ЭТО -1
случае
Р АС! 6,3 О 48
=:::; А В i == 13, О :;:=:: 1 ' ·
Точка В2' соотвеТСТВУЮIцая ча, тоте 002, расположена правее
указанной прямой АА 1. В этоr л случае
Р . АС2 . . . () 69
АВ2 1],3 . ,.
Точка кривой D разбlJения, лежащая на прям:ои .АА1, COOTBeT
Cl'ByeT частоте (J»)[' при которой Р :== о. Одна ветвь VрИЕОЙ D
разбиения позволяет построить всю характеристику Р.
Если кроме кривой D разбиения построить дополнительную
кривую, то можно rрафоаналитически определить веществеННУIО
частотную характеристику системы с неединичной обратной свя"
зью [69]. Для определения этой характеристики при единичной
230
Рис. 5.20. Опредеnение веществеНlIОЙ частотноЙ характерис.тики' системь( "с. единичной
обратной связью по КРИВОй п..разбиеиия 4.
обраrной связи может быть использована кривая l)..разбиения .. по
любому параметру, линейно входящему в характеристиче: ое ypaB
нение [19, 69].
5.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДНО..ФА30ВОЙ ЧАСТОТНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО КРИВОЙ РАзrОНА
Эксперимента.JIьное исследование динамических свойств С.JIОЖ"
ных объектов реrулирования выполняют чаще Bcero путем снятия
кривой разrона, т. е. переходной характеристики. Эта кривая, во..
обще rоворя, может быть аппроксимирована некоторым ана.JIИТИ"
ческим выражением, которое позволит определить передаточную
функцию и вычислить частотные характеристики. При аппрокси"
мации неизбежны поrрешности, поэтому используют также ме..
тоды непосредственноrо определения АФЧХ по кривой разrона.
Простейший и проверенный практикой метод [81] заключается
в том, что КрПВУJО разrона аППРОКСИl\'IИРУЮТ отрезкамп пряl\'lыIx
h /
/
Х;'ХБ
А, I l'
Х8 - r 1' +- ,...............
Х4 I I 1: :
I : :: I
I I I I I
: I I I I
I I I I I
I I I I I
I I I I I
r r I - I .. _.
tf, t.s tfi "; ta
х
J
/'1
!
Х,
О
I
I
tJ..
Риr. 5.21. Аппроксимация экспериментальной кривой разrона отрезками прямых для опре..
деления АФЧХ
231
(рис. 5.21). Затем определяют коэффициептыI Ci, характеРИЗУЮIJJ,ие
уrлы наклона прямолинейных отрезков:
C1 X1/t1; С2 === (Х2 x1)/(/2 '1);
С:) == (хз Х2)/ (tз .. '2); ... (5.50)
Значения вещественной и и мнимой V частей частотной переда..
точной функции W при каждой частоте (1) подсчитывают по фор-
мулам
n
и==; ci siл ытli COS (.оНи;
i==l
(5.51 )
п
2 , .
v ;:::::: w Ci sln (1)1'11 SlЛ (ЙT H,
i;;::: 1
rде n [IИСЛО аппроксимирующих отрезков;
Lli === (ti ....... t{ 1)/2 и 't2i === (ti + tl 1)/2.
Существуют таблицы [79, 81], с помощью которых расчет по
формулам (5.51) упрощается. АФЧХ следует определять в полосе
частот, На две декады превышающей частотный спектр входноrо
сиrнала исследуемоrо объекта [102].
Известны методы определения АФЧХ при аппроксимации кри..
вой разrона трапециями, треуrОJIьниками, триrонометрическими
функциями или суммой парабол [4]. Шаблоны-транспоранты
MorYT быть использованы для вычисления АФЧХ по кривой раз-
rOHa после аппроксимации ее небольших участков простыми ана..
литическими функциями [49]. Предложен [88] метод, основанный
на предположении, что кривая разrона представляет собою полу...
период колебаний, которые устанавливаются на выходе системы
при подаче на ее вход периодических колебаний прямоуrольной
формы. Используются и мноrие друrие методы.
r лава 6
ПРОВЕРКА УСТОЙЧИВОСТИ
При оценке свойств спроектированной САР прежде Bcero выяс-
няют ее устойчивость. Понятие устойчивости САР, как и всякой
динамической системы, связано с ее поведением после прекраще..
ния внешн:еrо воздействия, т. е. с ее свободным движением под
влиянием начальных условий (см. п. 2.2).
Предположим, что на САР в течение HeKoToporo промежутка
времени кроме задающеrо воздействия влияет возмущение и в ре..
зультате состояние системы в момент времени t -== 10 характер и..
зуется зна чениями уО, уО, ..., y(n 1) О реrулируемой величины и ее
производных (п порядок дифференциальноrо уравнения си..
стемы). Предположим, что далее в момент времени (о влияние воз-
мущения прекращается. Следовательно, дальнейшее поведение
системы определяется задаЮЩИ1f воздействием и начальными
условиями уО, уО, ..., y(n 1) О, причем на основании принципа су..
перпозиции (см. п. 2.2) эти два влияния в линейной системе неза..
висимы одно от друrоrо.
В наиболее блаrоприятном случае свободная составляющая ре..
rулируемой величины, создаваемая начальными условиями, с те..
чением времени стремится к Нулю. Такую систему называют устой..
чивой (асимптотически устойчивой).
Возможно также, что свободная составляющая стремится к не..
которому конечному значению или совершает rармонические коле-
бания, амплитуда которых стремится к некоторому конечному зна-
чению. Такие систе1\1Ы называют нейтральными (нейтрально устой..
чивыми) .
Возможно, наконец, что свободная составляющая реl"УJ1ируе..
мой величины неоrраниченно возрастает или совеРlпаст rар1'10НИ"
ческие колебания с неоrраниченно возрастающей амплитудой.
Такие системы являются неустойчивыми.
Итак, система устойчива, если после прекращения внешнеrо
воздействия она по истечении HeKoToporo времени возвращается
к тому состоянию равновесия или вынужденноrо движения, в ко..
тором находилась до начала воздействия. Можцо дать несколько
233
I u t..,.t' о ..
иное ОlIределение: устоичивость ЛIlнеинои СIlстемы это своиство
затухания ее переходныIx процессов.
Оценка устойчивости есть оценка принципиаЛЫIОЙ способ
ностн осуществлять реrулирование, IIОЭТОМУ с оценки УСТОЙЧIJ
насти и начинают исследование всякой САР. Появление неустой
чивости при желаемом изменении KaKoro To параметра систеI\1Ы
(например, при увеличении передаточноrо коэффициента) часто
оrраничивает ВОЗI\"10ЖНОСТИ повыI1енияя качества реrулирования.
Ниже будет рассмотрено условпе устойчивости линейных CTa
ционарных спсте ,т и различные ИН)f{енерные I\1етоды проверКII устоЙ
чивости, а так>н:е ряд CI\1e)l(HbIX вопросов.
6.1. УСЛОВИЕ И КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
ДиффереНI Ifа.тrьное уравнение линейной или JIинеаризоваН1l0Й
САР пмеет следующий I3ид (см. пп. 2.2 и 3.2):
(аорп + аlРП 1 I . . . t aп lP t оп) у :=:.
=== (b(lpm ы1т 1 I . . . + lJnt lP + Ьт) g I
(СоР[ CIP[ 1 · . . CL ]P С[) t,
(6.1 )
rде у, g If f соответственно реrулируемая величина, задающее
воздействие и возмущение или отклонения этих величин от их
базисных значений; ао, a1, ..., ajp Ь(), Ь1, ..., Ьт, Со, Cj, ..., С[
постоянные коэффициенты; ,п п и 1 п; р оператор диффе
реНI{ирования.
Для оценки устойчивости системы должна быть исследована
свободная составляющая решения уравнения (6.1), т. е. решение
однородноrо уравнения
(аорn + alpn l + · · · + aп lP + ап) у == о
(6.2)
при начальных условиях
у (О) == уО; у (О) === уо; . . . y(n 1) (О) == y(n 1) О,
(6.3)
rде уО, уО, ..., y(п -l) О постоянные, оrраниченные по абсолют
ному значенлю.
Общее решенне урав нения (6.2) есть сум:ма слаrаемых, вид
которых определяется значениями корней характеристическоrо
уравнения
aosn + alsп l . . . · aп ls I 1 О.
(6.4)
Следует заметить, что коэффициенты уравнения (6.4) и, следо..
вательно, значения ero корней зависят только от свойств н пара
метров элементов системы, способа их соединения.
234
Если характеристическое уравнение не имеет кратных корней
(что наиболее вероятно, так как корни вычисляются приближенно),
то решение уравнения (6.2) будут иметь слаrаемые вида
ALectlt;
Ckeakt sin ( kt Ч'k)'
(6.5)
(6.6)
Слаrаемое (6.5) соответствует веIцествеНIIО1\1У корню а, и сла
raeMoe (6.6) соответствует паре комплексных сопряженных кор..
ней ak :.t: jBk.
Если в реIТIении уравнения (6.2) каКОС I1ибудь ero слаrаемое
неОI'раниченно возрастает по аБСОЛIОТНОМУ значению, то пеоrра..
ниченно возрастает по аБСОЛIОТНОМУ значению и вся сумма в целом.
Очевидно, что присутствие одноrо положительноrо вещественноrо
корня ai > О достаточно для Toro, чтобы соответствующее ему
слаrаемое в решении уравнения (6.2) неоrраниченно возрастало.
При наличии одной пары комплексных сопряженных корней с по..
ложительной вещественной частью ak > О в решении уравнения
(6.2) оказывается rармоническое СЛаrаемое с неоrраниченно возра..
стаIощей амп.питу дой. В обоих случаях система оказывается не-
устойчивой.
Таким образом, для устойчивости (асимптотической устойчи-
вости) линейной стационарной системы необходимо и достаточно,
чтобы все корни ее характеристическоrо уравнения имели отрица..
тельную вещественную часть. При наличии хотя бы одноrо корня
с положительной вещественной частью система неустойчива.
Среди корней характеристическоrо уравнения может быть ко..
рень ai О или пара чисто мнимых корней + j k. Если при этом
вещественные части всех остальных корней отрицательны, то ре..
Illение уравнения (6.2) будет иметь постоянное слаrаемое Ai
или rармоническое слаrаемое с постоянной амплитудой Ck sin (Bkt+
t- Фk). в этих случаях система Hejtrp..aJlbH .
Сформулированное выше условие устойчивости справедливо
как для линейных, так Il для линеаризованных систем (TeopelVlbI
JIяпунова): по кор НЯI\1 характеристическоrо уравнения системы,
элементы которой описываются линеаризованными уравнениями
(см. п. 2.1), действительно можно судить о ее устойчивости или
неустойчивости. Однако в случае нулевых или чисто мнимых кор..
ней характеристическоrо уравнения вопрос об устойчивости ли..
неаризованной системы может быть решен только на основании
исследования ее нелинеиных уравнений.
Корни алrебраическоrо уравнения, как и всякие комплексные
числа, удобно преставлять в виде точек на комплексной плоскости.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно,
чтобы все корни ее характеристическоrо уравнения лежали слева
от мнимой оси комплексной плоскости (рис. 6.1, а), т. е. чтобы все
корнн были «левыми». Если хотя бы один вещественный корень
П')!:
. f+j -f+j +J
. .
.
....... ........ +
. . ,
.
. о } . I .
а) ) п) в) t J
+]
.
+
е
j
2)
Рвс. 6.1. Расположение корней хаРЗКТСIНfСТН'1ескоrо уравнсння системы пятоrо lIорндка=
а устuI1.ЧIJПО:М:; 6 - неустс1'1ЧIIDоJ1; е Jl i! - наХОДЯЩ,l;ftся На !'palIJlt e VС'rоttЧПDQСТИ
или одна пара комплексных сопряженных корней находится справа
от мнимой оси, то система неустойчива (рис. 6.1, б).
Мнимая ось является, следовательно, rраницей устойчивости.
rоворят, что система находится на rранице устойчивости, если
имеется нулевой корень (рис. 6.1, в) или пара чисто МНИ!\1ЫХ кор..
ней (рис. 6.1, с), а остальные корни «левые». В первом случае,
который имеет место при ап == О, уравнения (6.1) и (6.2) определяют
только скорость изменения переменноЙ у, а сама эта перем:енная
будет зависеть еще и от cBoero начальноrо эначения. Во втором
случае в системе имеют место незатухаЮЩIlе rармонические коле..
бания с постоянной амплитудой.
На практике для упрощения расчетов УСТОЙЧIIВОСТЬ САР опре..
деляют с помощью критериев устойчивости. Критерий устойчи..
вости это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы
без вычисления корней характеристическоrо уравнения. Рас-
сматриваются коэффициенты характеристическоrо уравнения или
некоторые их функции. Критерии устойчивости эквивалентны
сформулированному выше условию устойчивости.
Систеl\fЫ перпоrо и DToporo порядка устойчивы, если все коэф
фициентыI характеристическоrо уравнения больше нуля. Для
систем более BblcoKoro порядка положительность коэффициентов
характеристическоrо уравнения является необходимым:, но не..
достаточным условием устойчивости. ..Если все коэффициенты этоrо
уравнения положительны, то все ero вещественные корни отрица
тельны, но среди комплексных корней MorYT быть и корни с поло..
жнтельной вещественной частью. Если хотя бы один из коэффи"
циентов отрицателен, то система заведомо неустойчива. fIри ра.. \
венстве ну JIЮ коэффициента ап система находится на rpa нице устой,, -
GИВОСТИ. При равенстве нулю какоrо-либо ДРуrоrо коэ(рфициента
система или находится на rpaHl!ILe устойчивости, или неустойчива.
КритерПII устойчивости разделяют на алrебраические и частот..
ные. К алrебранческим относят критерии l'урвица, Льенара..
lIJипара и Рауса, к частотным критерии Михайлова и Найк"
виста.
236
Из аЛI"ебраических критериев устойчивости чаl.це ИСПОЛI)ЗУЮТСЯ
критерии rУРвнца иРауса. I(ритерий rУРВlIца удобен для нсследо
вани я устойчивости систе1\1 TpeTbero и четвертоrо порядков. коrда
известны пара:метры системы. I(poMe Toro, он позволяет получить
анаJ1итическое выражение (выражения) для исследования ВJIИЯ"
ния какоrо либо параметра (параметров) на устойчивость.
Критерии Рауса llIИрОКО ИСПОЛЬЗУIОТ при определении устой..
ЧlIВОСТИ систеl\! BbIcOKoro порядка, если IIзвеСТlIЫ (или lorYT быть
подсчитаны) коэффициенты характеристическоr() уравнения. Этот
l(ритериЙ у до6ен при ИСПОЛl)зоваНIJИ ЭI LВЛ1. R ЭТОМ СЛУЧr\(1 !\;JO)KHO
выяснить ВЛИЯНlIе I(O'7(pq1IIlI нентов урзвнеfНIЯ (JI:1pal\ll'TpOB ('IIL 'I'eI\ll ll)
ll;) \lСТОЙЧlfВОL'Т)).
k р IlтернЙ 1\1 Hxai'l.HOBJ пр I1 1111)1\:(' вер н ы х р Н'll(\та х 11(' flОЛ I): \ PTl' >1
CpaBlIl1TeJIЬHO редко.
) По КрJIтерпяrvI rУРВIlца, Рауса JI i\'lнхаЙлона можно СУДIПЪ ои
)УСТОЙЧИВОСТИ САР как в заМI(НУТОl\I, так и в разомкнуто:м состоя
нии. При использовании этих критериев рассматриваIОТ xapaKTe
ристическое уравнение, и в ряде случаев расчеты можно упростить
за счет изменения масштаба коэффициентов этоrо уравнения 11181.
Коэффициенты характеристическоrо уравнения нужно разДС
лить на а1l и сделать подстановку .s с')..'. Тоrда это уравненнс пplI
мет слеДУIОЩИЙ вид:
аосп
'1 n I
/'v T
ап
а1сп 1
ап
л п l . .. 1 aп lC Л 1 1 === о.
ап
(6.7)
I1ОСТОЯННУIО С следует выбирать так, чтобы иметь аосп/ аll 1.
Иноrда удобнее сделать paBHbIlVI единице коэфqЛlциент при i..
В ряде случаев целесообразно принимать с 10. В результате
характеристическое уравнение прИнимает более простой вил, Но
только ero корни уменьшаются в с раз.
Пример 6.1. Имеется характеристическое уравнение
0,25 sз I 8,75s2 1 87,5 s ' 250 О.
Er() корни: 5; 10 11 20.
Разделим уравнение на a: = 250-
(), 0018'1 : (), 0035s2 I о 35s 1 ] о
Сделаеi\'1 ПОJ1.ста I!OU ку S =- 1 О)\.,
лЗ + 3,5)\i2 + 3 5л f ] == О.
Уравнени приняла более простой вид. Ero корни: 0,5; 1 и 2.
Наиболее lllИРОКО используют критерий виста...... ПРИЧf,rны
этоrо заключаlОТСЯ в следующе!\f.
1. T стоичивость системы в заМКНУТОl\..1 состоянии исследуют
по частотной передаточной функции ее раЗОl\1КНУТОЙ цепи, а эта
(рункция, чаlI(е Bcero, состоит из простых сомножителей. Коэф
фициентаl\1И являются реальные параметры систеrvlЫ, что позволяет
выбирать их из условий УСТОИЧIIВОСТН.
237
2. Для исследования устойчивости можно использовать экс
периrvIентально полученные частотные характерпстнки наиБОJIее
сложных эле:ментов системы (объект реrулирования, исполнитель
вый opraH), что повышает точность полученных результатов.
3. Исследовать устойчивость можно по лоrариф:мическим ча
СТОТНым характеристикаIV'I, построение которых нес.JIОЖНО.
4. Удобно определять запас устоЙчивости.
Проверка устойчивости с одновре1\1енной оценкой качества ре-
rулирования может быть сделана с помощью }{OpHeBOro rодоrрафа
(см. п. 7.8).
6.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТJ-j r УРвицл
ПрII нспольэоваНlIН J{ритеrня 1IЗ КОЭффНfоrеНТОR характеРlIСТИ
чеrкоrо уравнеНJlЯ (6.4) состаВЛЯIОТ матрицу
а 1 i й;): OfJ I . () J О
I I I J
.. 'I I
I I I
Оп й2: а4 I . · . о J о
.._--..----I I I
I I
О 1 аз I О I о
I
.............. ......_... I I
I
l' . .
1
I
l' . .
]
о о о . Qп ll ()
l
,
о
(6.8)
..... .1..
о
о
о
· . . aп 2 ап
По диаrонаЛII таблицы от левоrо BepXHero уrла выписывают
по порядку все КОЭLрфициенты, начиная с аl и заканчивая ап.
Затем каждый столбец таблицы дополняют так, чтобы вверх от
диаrонали индексы КОЭффIIциентов увеличивалпсь, а вниз УI\.1еIlЬ"
}uались. В случае отсутствии D уравнении какоrО ЛI[бо коэффн
циеНТа 11 вместо коэф(рнциент(нз с IIндеКСОIVI l\'ICIIbII1C О И БолыIеe 11
ПИIllУТ пуль.
Критерий формулируется так: чтобы рассмаТРIlваемая система
была устоЙчивой, неоБХОДИl\10 и достаточно при Оп > О иметь поло..
жнтеЛЬНЫ IИ ВСС ДПClI'онаЛЫIhlе определители, I10лучаемые II
матрицы (G.8), т. е.
а1 О;з а1 О;] 05
Л} О} > о; Л2 == o. Дз === ай а'!, а4 ......... . О.
-,"-" -, . ,
ай а"!, О (11 а.)
,1
Лll l > о; Лп =--== ап п l > О. (6.9)
Если ап > О, то последнее неравенство в (6.9) УДОDлетворяется
при п l > О.
Система находится на rранице устоЙчивости, если 4,'1 == () И все
предыдущие определитеЛII в (6.9) ПОЛО}l{ительны. Это условие paClIa
238
дается JI а два; Оп : :. О (апер Ilодическ ()Я ['раНlIца устоЙч н I30СТИ) J1
Лп 1 U (колебательная rраница устоЙчивости).
Иноrда удобно определитель п l привести к диаrонаЛЬНО IIУ
виду (С1\1. прило){{ение 3). Если псе ero диаrональные элементы OKa
зываются положительными и ап > О, то система устойчива.
Для устойчивости систем первоrо и BToporo порядков доста-
точно, чтобы все коэффициенты характеристическоrо уравнения
были положитеЛЬНЫl\1И. Для систеl\tI более BbIcOKoro порядка кроме
этоrо необходимо удовлетворение слеДУIОЩИХ неравенств;
для системы TpeTbero порядка
аlа2 >. Qоаз;
(6.]0)
для систеЛIЫ четвертоrо порядк()
QIG2Па > aoa + аIа4;
(б.ll)
для систеl\1Ы ПЯТОI"О lIорядка
QtПz > 000з; (ala2 llоаз) (аза.1 11211;J ;. (аlа4 llоа5)2; (6.12)
для СИt:темы IlIccToro порядка
a,l (а la']. аоа;1) > II J (1l1111 ........ аоа5);
(аlа2 GоQз) [а5 (Й411з a2as) I аб (2ala5 а5)] - f---
з 2
+ (аlа4 0.005) tаlазОб а5 (аlа4 lloas)] > аiGб. (6.13)
Пример 6.2. Составить условие УСТОЙЧИВОСТИ ОДIIОКОНТУРНОЙ САР, содержа..
щей три апериодических звена.
Передаточная функция разомкнутой систе)..fЫ
w== k
(Т 1 S + 1) (Т 25 + 1) (Т з5 + 1) ,
rде k передаточный коэффициент разомкнутой системы; Т l' Т 2 И Тз по
СТОЯНlIые времени апериодических звеньев.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
(T1s+ 1) (T2s+ 1) (Тзs+ 1)+ k== о
или
aos3 + al5 + a2s аз == О,
rде
ао== ТlТ2ТЗ; al== TlT2+ Т2ТЗ+ ТзТ1;
а2 :::::: т 1 Т 2 + T: ; аз 1 ! ! .
х ар зктерис rическое у paBHCII не третьей степен 1I t все Ш"О коэффициенты llОЛО
жительны. Для устойчивости САР должно еще удовлетворяться неравенство (6.10).
В данном случае оно может быть Ilриведено к виду
(Т1 { Т2+ тз) (l/Tl + I/Т2 I/Тз) > 1 ! .
Обозначим Т 2 == С2Т 1 и Тз == сзТ 1, тоrда условие устойчивости
(1 + С2 + сз) (1 + I/С2 + l/сз) > 1 + k.
Условие устойчивости рассматриваемой САР зависит не от аБСОДIОТНЫХ
значений постоянных времени, а лишь от НХ соотношениЙ.
Пример 6.3. Одноконтурная САР состоит из двух колебате ТIЬНЫХ звеньев.
Выяснить, при каком значении передаточноrо коэффициента разомкнутой системы
она остается устойчивой.
239
11ере)1.(lТUЧ IJ (\ Н фун кl1и Я pC J()MKIIY 1 uЙ системы
W k
== (TIs2 + 2 1T 1S + 1) (T S2 + 2 2T2S + 1) ,
I) e 1(, передаточныЙ коэффициснт; Т 1 11 Т 2 ПОС rUЯНlIblС BpeMelllI звеньсв;
.1 Н 2 коэффициенты деl\IПфИрОDания звеньев.
Характеристическое уравнение замкнутой системы
(T1 f 2 1T 1S 1 ') (Т 282 2 2T 2S + 1) Il ;: О
IIЛИ aos4 ! a1s3 a2s2 азs + а4 == О,
rде ао TTT ; а1 2Т lТ 2 (;1 т 2 + 2 7\); а2 =- Ту 1- 4SI 2T lT T ;
аз == 2 ( 1TI + 2T 2); a4 ": 1 k
Характеристическое уравнение четвертой С'lепени. псе ero коэффициенты
положительны. Для устойчивости системы дол/кво еlце УДОВJlеТПОРЯТLСЯ неравен.
СТВО (6.11). В данном случае оно принимает вид
4 Т 1 Т'l. (s 1 Т 1 + 52 т 2) ( 1 Т 2 + 2 т 1) (Ту + 4 1 2 Т 1 Т + T ) >
> 4 T1T ( 1 Т 2 2 Т 1)2 (1 1 k) TYT 4 (61 Т 1 2T )2.
lз получеНlIоrо Ilсравенства определяе\1 допустимое знаЧСJIIlе нсреда I'{jЧ1!оrо
коэффициента разомкнутой системы:
' < 1 2 [( Т r Т ) 2 + 4 Т 1 Т 2 ( l Т 1 + 2 Т 2) а; 1 Т 2 + Т 1) ]
Т lТ 2 ( 1T 2 r- S2T 1)2 ·
Обозначим Т 2 :::::::: T l' тоrда
k < Sl 2 [( 1 t2)2 1 4м ( 1 1 M 2) ( 1 r- 2)]
Jl (1-161 + 2)2 ·
у СТОЙЧIIDОСТЬ САР И допустимое значение передаточноrо коэффициента k
зависят от соотношения между постоянными времени колебательных звеньев и от
аБСОЛIОТНЫХ значений их коэффициентов деI\Iпфирования.
6.3. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА
ПРНI\Iенение КрJIтерия требует составлен ия таБлнцыI Рауса
(табл. 6.1). Элеl\1ентами ее первой строки явля}{)тся четные коэч)
фициенты характеристическоrо уравнения (6.4) начиная с а{).
Элементы второй строки нечетные коэффициенты начиная с а1.
Элементы последующих строк вычисляют по приведенным
в табл. 6.1 формулам, причем перед вычислением элементов какой
либо { й строки неоБХОДIП\10 вычислить КОЭффIlI иент 'i' Bcero в таб
.rI I1 це заJIОЛ If ЯЮТ /l. 1 строку.
I\}1нтсриi1 ({)ОРМУЛfIруетсн СJI ДУIОLЦI1;\'f (Jбра= Оj\I: itJIЯ УL1()iiЧIl
I.;\OCTIf системьr неоБХОДИ1\;IО If достаточно, ЧТОПI)I ВСС :JЛРi\JеНТI-,I IJерч
BOI'O столбца таблицы Рауса Иl\fели одинаковый знак. Оuычно
в характеристическом уравнении ао > О. Тоrда для устойчивости
системы и все остальные элементы первоrо столбца должны быть
положительными: Cil >0, i == 2,3, ..., (п + 1).
При наличии отрицательных элементов в первом столбце таб
ЛIIЦЫ система неустоЙчива. Число таких элементов равно ЧИСЛУ
корней характеристическоrо уравнения с положительной веще
стненноЙ частыо. Если однн из элементов первоrо столБI а равен
2.10
BCIlOMora
тельн ые
I{ОЭффИЦИ
енты
'3 =-= С11/С21
l' .1 С21/С31
.
.
,.
L
с. Iс.
. t 2,11 t 1,1
.
r п+l ==
1
:::::: Cп l,l/Cпl
N2
CTpO
I{И
Таблица Рауса
N2 столбца
т а 6 .ТJ И JJ. а 6.1
С11 :::;:; ао
2
С21 :::::: а1
2
С12 === а2
С22 == аз
3
I .
3
СЗi == С12
r ЗС22
С13 ::::::;: а4
023 == а5
4
i
С41 === С22
'4С32
С32 == С]3
'ЗС23
С33 == С14
, ЗС24
С42 == С23
'40зз
rici 1,2
Ci1 == Ci 2,2 Ci2 == Ci 213
ricl ll
Cп+I,l
t 1 == Cn 1,2
'п+1Сп,2
С4З == С24
'4С31
С[3== Ci 2,4
, [С t 1,4
НУЛIО, а остальные элеl'v1енты ПОЛО)I{ительные, ТО систеl'r13 на [pa
нице УСТОЙЧIfВОСТН характеристическое уравнение имеет пару
ЧlIСТО J\JHlIMblX корнеЙ. При равенстве ПУJНО IIоследнеrо (12 j l) ro
зле!\1ента оли IIОСJIеДНJIХ 'v элементов перВОI'О столбца CffCTeI\Ia
также на rранице устоЙчивости . характеристическое ypaBHe
нне Иl'леет соответственно ОДИН ИЛИ \' пулевых корней.
Составляя таблицу Рауса, расчет l\10ЖНО закончить сразу )ке
после появления нулевоrо или отрицательноrо элеrvlента в первом
столбце. В этом случае уже можно сделать ВЫВОД, что система
на rранице устойчива или неустойчива. Все элеl\ленты каждой
из строк таблицы Рауса, начиная с третьей, можно умножить или
разделить нз одно и то )ке поло)кительное число, если это упро
lцает расчет.
241
N
с.о
-
c..s
I
l()
t-.....
О
11
0::11
::f
"q'
:::;:
\о
c..s
f---I
C'
I
О L(,)
....... t-....
<.о C'l
c'f')
о
м <.о I1
11 '"
с'? N
.....,
са
u
-
со.
c'j
::f
:s:: \о
Q. t::;
Q,) О'
f--<' I I
:s:: с) о о
с.. .......
, . .
.z; с'\1 tf)
с) C\J cn
t: с'! Ф t-...
:: 11 11
Е-
C.J С'1 1:'1
Q ..... C\I
=
==
::r
==
Q
[-о
C.J
tI::
:s::
= ф
cs) 11)
I I
aJ О О
t=(
Q,) . .
Q, СУ)
== .......
...
Q ....... 1.(')
Q. 11 11
aJ
:s ..... I""i
I""i с'1
==
с..
с:
I
<::1' С
.......
%
с'\1
с)
<u
:а;:а
::t:E-<
..a::r:
(1)
=:
ro::1
L.=
ст&
.e
0(1")
O
C)
р4
242
.......
I
О О
11 .......
11
....-.1
. О
C'l .
N О()
<:) СУ) сх)
t-..... <.о
I о о
tJ') 11 о
[
-... I
о ......
11 11
"='
11
С''')
I [] t-...
О
1:',1 v") C\I .
I t-... I с()
О c'-l О 00
.... ....... с.о tJ')
. о . о с'\1
ф . ф о c'-l
СУ) с"1 t---. I
с.о c'-l о
о 11) l() 11
11 '0 11 (.......
C'l
с\1 I
'" о
t.,) I1
С'1
'<:!'
I 11 I 1I
0':1
oo:1t I "':1' I:i':) с.о 0':1 с'
I О I I
I I
О ....... О О lO О
. .......
....... .....-4
. tO . . о .
C"J (j) t--- LC . Q')
о; со
с"! t'-...
00 OJ
Ф . t-.... t-.... <.о СУ)
C'.J 11 о
11 c'-l 11 11
о о
..... I""i
cr:. О r1 I
4;.,) !
СУ)
сх)
C'l о()
G'.J со
О о
о о
11 11
ф I
"":)
I I I I
О О О О
....... ....... ....... ........
. . . .
СУ) -.:::j-I "':t' t-...
....... ....... .......
... ... ...
....... UJ 1.1.)
11 11
с: "".j1
"-. "-.
11
0::11
I
о
о
о
о
.'
.......
СУ".) 11
.,..
L(j о
о .
С.,., t-....
['-.. 11 t!j
... C'.J
<:) ....... о о о
11 .
t'-... I
1:"1 со
tO .......
о
I 11
t:'1
CCI
t...)
l() \1 .......
00 .......
11 о . 1\
о c'-l
LC 00 <:)
N tO 11 .
C"J l1") Ф tO
tO О cv",)
.....-4 C"J cv) СУ)
о о C'\I -.:::t' ] ... C\J
. 1.(') о о
f"-o. О О
00 11 о cv) 1I I
11 . -.:::j-I
1:"-- LC
О I""i tO .......
I Q.:) C'\I О 11
t.,)
о 1\ ,..,
I r-f со
l' t.,)
t.,)
<:)
.......
.
с.о
1:"--
tO
!I
,..,
u)
t.,)
1.(') ф (..... 00
..................
............... ...................
..............
['---- 1:'.... С'1
00 'с 00
....... C"J ....... L{')
Q ...
СУ)
о о C\J
[1 11 11 о
0':1 11
I I I -1':)
О О О L.Q l1") L(')
....... .....-4 ....... ....... LC 00 tO .........
. ....... 00 с.о
. . О o
f:'--. m (J) О СУ)
"<:j
Q') о'> О 00 О <:)
...
f:'--. cv",) СУ)
11 11 11 11
1Q
1:'" 00
"-. "-. "-. "-.
Лример 6.4. ПроверIIТЬ УСТОЙЧПDОСТЬ САР, характеристическое уравнепие
которой
1, 13.10
(js7
{
5, 11- ]O
;)sG -1
9,22.10
4s5 -1
7,95.IO
384
I
I
6,36. 1 O
25
-1
О, 27552 -1
О, 755
t
1 =-7
О.
Расчет занесен в табл. 6.2. Все п + 1 элемент nepBoro столбца положитель.
ные, И, слеДОDательно, систе}.'lа устойчива.
6.4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА
КритеРIIЙ предполаrает построение ['одоrраq)() 1Vlихайлова,
т. е. кривой, которую orlIlCLJIBfleT копен вектора D (j(I)) на комплекс..
ноЙ 1lЛОСК(JСТlI llрИ ИЗi\Iснении (.) от О ДО 00. Вектор D \j<J)) полу
чается 11:3 хаР:lктеристичеСКОI'О ПОЛИНО1\Jа
п1\rJ(IIУТОЙ систеМhI прп
подстанопке s
j(l): .
D (j(t)) :=:::: ао (jo))tl
о. (j(J) )п
1 + · · . + aп
1 (jro) + Оп === Х + j У,
(6.14)
rде
Х ::::= ап
(,)2aп
2 + <()4all
4
. . _,
у === ro (aп
l
<J)2all
3 + (o4aп
o
. . . ).
rодоrра(-р начинается при ffi == О на вещественной положитель
ной полуоси в точке ап и при ro :-.::= 00 уходит В бесконечность в со..
ответствующем кваДранте. Уrол поворота вектора D (jro) опреде..
ляется выражением
Ф =::: nп/2
lл, (6.15)
rде п
степень характеристическоrо полинома; 1
число ero кор-
ней с поло)кительной вещественной частью.
Следовательно, для устойчивости системы n-ro порядка необ-
ходимо и достаточно, чтобы rодоrраф Михайлова обошел' в положи..
тельном направлении (против часовой стрелки) последоватеЛI)НО п
квадрантов, ниrде не обращаясь
в нуль.
Приблизительный вид rодоrра
фов МихаЙЛОВll устоЙчивых си..
CTeI\f первоrо
- пятоrо порядков
наказан на рис. 6.2. Если систе1\Нi
на rранице устойчивости, то rодо..
f'раф проходит через начало осей
координат так, что после неболь-
IПОЙ ero деформации около начала
осей координат критерий удовле-
творяется. fодоrрафы системы
четвертоrо порядка, находящейся
на rранице устойчивости, пока..
заны на рис. 6.3. На рис. 6.3, а
характеристический полином име..
u Рис. 6.2. rодоrpафы Михайлова устой-
ет пару чпсто мнимых корнеи "иных систем
t'
х
243
у
(
\",шо
.
х
",
а; - , . .
"... ,
Й)
Рис. 6.3. f'одоrрафы !\'\ихаЙлона <:НС-l ем чеТlJерН)J u nOIH AHa, lIаХОД jЩJ.1ХСИ на rранице
устойчивости:
{.[ f(оле6а'lельной: 6 ппеРИОДl1чеСI<ОЙ
(колебательная I'раНI1ца устойчивости), ВО BTOpOl\lI (рис. 6.3, б)
нулевоЙ корень (апериодическая rраница УСТОЙЧlIВОСТИ).
РаССl\10ТрИМ rодоrрафы неустойчивых CI1CTel\l четвертоrо по
РЯДка (рис. 6.4). vlx характеристический ПОЛИНОl\1 имеет положи
тельный вещественный корень (кривая 1), два положительных Be
щественных корня (кривая 2), два комплексных сопря)кенных KOp
ия с положительной вещественной частью (кривая 3), два чисто
мнимых корня и положительный вещественный корень (кривая 4).
В последнем случае rодоrраф проходит через начало осей KOOp
динат, но небольшая дефОРl\lIация ero не ПрИБGДИТ к удовлетворе
нию критерия. Имея rодоrраф неустоЙчивой систеl\1Ы и пользуясь
равенством (6.15), можно определить число корнеЙ характеристи..
ческоrо полинома с положительной вещественной чаСТЬfО.
Характеристический полином можно представить в TaKOl\rl виде:
aostl + а L Sп l . . . 1 aп ] s 1 ап :=::: (82 1 (1)2) (COSll 2 I с 1 Sп З !
I" . . . i Сп .3<; + CI1H J 1 ('п. , S + C/l! (6.16)
де ' а ( ) c . 2;, . {'
r с о :-- а о ; {. 1 а 1 ; (\ 2 1.... о ; С а а а (1) L. 1, ... .. п " 1
'2 .., . , "
::=: ан ) " (,) (и :1' (t1 " Оп (I) C'l 2'
-
jf
I
I
I
2
"
..
х
Рис. 6.4. rОДОI'рафы Михайлопа неУСТОЙ1IИПЫХ
систем ч CTBe'pToro ЛОРЯДI<<l
244
После подстаНОВКII s :-- jro
получим
D (j(j)) ==:; Сп - 1 j{f)C'l ]' (6. 17)
Таким образом можно
определять координаты rода..
rрафа Михайлова, не вычис"
ляя степеней ffi выше второй.
Расчет при каждом значении
частоты удобно вести ПО
cxeJ\!e, показанной в табл. 6.3.
1 а б л и ц а 6.3
Вычисление координат rодоrрафа Михайлова
ао a1
а2
аз
aп 2
aп l
ап
Wi
2 2 2 t)
tQJ iCO WiC] . . ш iC п 4 '[Q)'":c 3
l п
2
W iCI1 2
ш
L
СО С)
С2
СЗ
CТ1 2
Cп lWi
. }Т (w l )
(
-n '
Х (U?-I i )
I(оэqJчJициентыI L'k получак)тся ал l'ебраIIче<:КIII\I СJlОlI<ениеl\'[ коэсi).
фициентов ak II ffi1Ck 2'
Иноrда удобнее пользоваться ДРУl ОЙ формулировкоЙ критерия.
J\t1ихаЙлова: для устоЙчивости зам:кнутой системы необходимо и
достаточно, чтобы корни мнимой (полином У) и вещественной
(ПОЛИНОl\1 Х) частеЙ ее характеристическоrо вектора были поло
жительными вещественными и череда вались.
6.5. I(РИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙI(ВИСТА
Частотный критерий НаЙКБиста дает возможность определить
устойчивость замкнутой САР по амплитудно фазовой частотной
характеристике ее разомкнутой цепи. I{ритериЙ применим к си..
стемам, у которых степень числителя передаточной функции ра-
зомкнутой цепи не выше степени ее знаменателя. При правильном
математическом описании реальных САР это условие выполняется.
Предварительно должна быть определена устойчивость иссле
дуемой системы Б разомкнутом состоянии. Для неустойчивой pa
зомкнутой систеl\1Ы нужно выяснить, какое число корней ее ха.
рактеристическоrо полинома имеет положительные вещественньте
части.
В одноконтурной систе ле, составленноЙ из последовательно
соединеННЬJХ звеньев, корни характеристических полиномов этих
звеньев являются одновременно корнями характеристическоrо по
ЛИНОrла раЗОl\1КНУТОЙ систеJVIЫ. Если какое либо звено в прямоЙ
цепи систеl'.1Ы охвачено обратноЙ связью, то нужно определить
корни характеристическоrо ПОЛИНОIVrа замкнутоrо контура. Эти
корни ВОЙДУТ в число корней характеристическоr'о полинома ра-
зомкнутоЙ системы.
При наличии перекрестных обратных связей и параллельных
соединениЙ передаточную функцию разомкнутой систеrv1Ы МОЖНО
определить методами, изложенными в rл. 3. Для исследования
ее устоЙчивости удобно пользоваться критериями Рауса или Ми
хайлова. Они позволяют определить число корней с положитеЛh
ными вещественными частями, если ра20м:кнутая систеl\13 ока}кетсн
неустойчивоЙ.
245
+) АФЧХ устойчивоЙ или ней..
тральной разомкнутой системы
можно определить эксперимен"
тально, что позволит избежать
+ составления уравнениЙ слож..
ных объектов реrулировзния и
ис.полнительных элеl\lентоп, а
точность результатов получа..
ется более выIокой.. ПОЭТОl\lIУ
указанная B03l'v10)KHOCTb исполь..
зуется в ин)кенерной практике
Достаточно IlfИрОКО.
РаЗЛIIчают три случая при..
Рис. 6. 5. АмнJlитудно фа30выc частотные Н
характеристики УСТОЙЧИВЫХ разомкнутых l\Iенения критерия айквиста.
систем 1. Разомкну/пая сuспzема ус..
mойttuвая. В этом случае для
устойчивости замкнутой системы неоБХОДИТvIО и достаточно, чтобы
АФЧХ разомкнутой системы при изменении ffi от О до 00 не охваты..
вала точку с координатами [ 1, jOl.
На рис. 6.5 изображены основные из возможных ситуаций.
При АФЧХ, показанноЙ кривой 1, замкнутая система абсолютно
устойчива она остается устойчивой и при Уl\1еньшении передаточ"
Horo коэффициента k раЗОl\.1КНУТОЙ пепи. Если АФЧХ представляет
собой кривую 2, то замкнутая система условно устоЙчива она
остается устойчивой только при значении 1'. лежащеl\1 в некоторых
пределах. Кривая 3 ПРОХОДИТ через критическую точку с коорди-
натами t 1, jO J. Это означает, что за:мкнутая система находится
на колебательной rранице устойчивости. Кривая 4 охватывает
критическую точку, поэтому заl'лкнутая система неу тойчива.
Пример 6.5. IIсследовать на УСТОЙЧИВОСТЬ одноконтурНУIО САР С еДППIIЧПОЙ
обратноЙ связью. Передаточная функция прямой цепи реrу.ттятора
kp ('tS + 1)
W р ( т 1 S 1) (Т 28 + 1) ,
rде kp == 5; 't" ::::::: 0,08 С; Т 1 == 0,1 с; Т 2 == 0,05 с.
Частотные характеристики реrулируемоrо объекта получены экспеРl' мен-
тально:
ro
о
2
4
6
8
10
15
20
Ао 2,0 0,96 0,49 0,31 0,21 0,15 0,076 0,048
,фо, rрад О 73 99 114 124 132 145 153
24&
Составп;\-! фОрl\'1УJIЫ ДJJЯ опреде.!lСllIIЯ амплитуды If фазы IIllЯl\fоii ДСIJИ реrУЛ5I
тора:
V 1 2
Ар . kp ( I 'J'.' ,1' . ")" I (Т I .Т" )<) <) .
. \ . 1 2((1"'''' 1 2.... Ш'-'
J / 1 I о 0064002
h / ' .
== L> 1 t 0,0125002 =.:= О,ОООО25ш4 '
, . . . ( т t Т 2) ffi
'\I)p == 31 ctg ШТ . arctg 1 Т 1 Т 2(U2
О, 1 5ш
== аrсtgО,08ш arctg 1 0,005002 ,
а TCllOKe для определения амплитуды А и фазы '\.р разомкнутой системы:
А == А оАр; 11' == '\.Ро , )p'
Для построения j\фЧХ целесообразно вычислить значения ее веществснноЙ
и l\IнимоIr частей:
и == А cos '\Р; 1/ == А siп ).
В результате расчета получено:
о 2 4 6 8 10 15 20
..... 1oro ........................................................ .. .... ...................... ' ............... ......................
10 0,70 o, 9 5 . 1 ,01 0,7g O,5g 0,26 o, 13
О 4,69 2,14 O,99 O,43 o, 16 o 03 0,06
,
(1,)
и
v
Частотные характеристики объекта сняты экспериментально, и, следова
тельно, он устойчив. Корни характеристическоrо полинома прямой цепи реrуля..
тора отрицательные: 10 и 20. Разомкнутая система устойчива и ее АФЧХ
(рис. 6.6) не охватывает критической точки с координатами ( l, jO]. Поэтому
можно заключить, что в замкнутом состоянии рассматриваемая система будет
устойчивой.
2. Разомк-нутая система на ранице УСfпойчuвОСПlU. Характе-
ристический полином: такой системы имеет нулевые или чисто
мнимые корни, а у остальных корней отрицательные веществеННf>Iе
части.
Если нулевых корней v, то АФЧХ при (t) О дуrой бесконечно
большоrо радиуса перемещается от положительноЙ вещественной
полуоси На уrол 90v() по часовой стрелке (рис. 6.7).
Если есть пара чисто 1\fНИl\1ЫХ корней (в знаменателе частотноЙ
передаточной функции имеется l'vlно)китель 1 (й2Т1), то АФЧХ
при частоте (;)l == 1/1'i дуrой бесконечно большоrо радиуса пере..
мещается на уrол 1800 по часовой стрелке (рис. 6.8).
В обоих случа'ях для устойчивости заl\ЛКНУТОЙ систе:мы необходи
мо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении
ffi от О до 00, дополненная' на участке разрыва дуrой бесконечно
бuльшоrо радиуса, не охватывала точку с координата1\1И [ 1,
jO] .
2'17
I
+J
f
/
I
3 /
}- ..'
..} а)
iJ
1,0
L
q5
О
ОС
,;)
1
+
O,J
7)0
-
\
\
,
'-,..
: ."", .-.";<''''
+
J-
I
/
,/
/"
\
! 2.
)
б) J
Рис. 6. 6. Амплитудно фаЗ0вая частотная хараl{теристика РЗЗОМI{НУТОЙ САР
Рис. 6.7. Лмплитудно..фазовые частотные характеристики разомкнутой цепи систем,
находяЩИХСЯ на rранице устойчивости:
a. замкнутая СIIстсма устоЙчивая (у == 1); б замкнутая система на rранице устоЙ.
чивости (у == 2)
По АФЧХ, изображенным на рис. 6.7 и 6.8 показаны три слу..
чая: замкнутая система соответственно устойчивая, На rранице
устойчивости инеустойчивая.
Пример 6.6. Исследовать на устойчивость САР, разомкнутая цепь которой
описывается передаточноЙ функциеЙ
k (175 1)
\\7 (Tis: + 1) (T2s + 1) ,
rде / .=:; 20; 1;== О ,02 с; Т 1 == О ,05 с; Т 2== 0,01 с.
70 '1 J
) +j
- II \
. I
о. i ш .
....
\
\
"
"
""""
.J
.I
ЗD 20
... ЗО
\ UJ =-02 I
\
\
\
""-
"
-t'
70
30 I
/
I
/
I
/
/
,;'
/
,'.'{I r
j
"-
", " ЗОl- '-о /
.... .......... .
"".c< ..........
i
i J
Рис. G.8.
Рис. 6.9.
24R
Дмплитудно"фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи системы,
находящейся на колебательной rранице устойчивости
Исследование УСТОЙfIИВОСТИ системы, рассматриваемой в примере 6.6.
Прежде Bcero f...IОЖНО заКЛIОЧIIТh, ч'rо хаР[lктеРИСТlIческиii ПОЛlfllОМ IIмеет
чисто мнимые корни, т. е. раЗО 'lквутая система на rранице устойчиuостн.
Затем определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:
20 (1 + j(OO,02)
w == (1 (020,0025)(I+i(OO,01) ==U+jV,
rде
U == 20 (1 + 0,0002(02)
(1 0,0025(02) (1 + 0,0001(02) ,
V .=: О, 2ы .
(] 0,О025(2) (1 + 0,0001(02)
I Jo пол)'ченным выражениям вычислим U и V:
r
(о
о
5
10
12
15
25
27
30
35
40
и
20
21,4 26,9 31,7 46,8 37,6 26,0 17,3 ]0,8 7,9
v
о
1,06 2,64 3,70 6,71 8,36 6, 12 4,40 3,02 2,38
АФЧХ разомкнутой системы построена на рис. 6.9. При (() === 20 c l она
имеет разрыв. Если эту кривую дополнить дуrоЙ бесконечно БО.ТIьшоrо радиуса,
то критическая точка будет находиться вне получившеrося контура. Следова
тельно, замкнутая система будет устойчивой.
3. Разомкнутая сиСтема неустоtlчивая. Характеристический
полином такой системы имеет l корней с положительной вещест
венной частью.
В этом наиболее общем случае критерий фОР1\fулируется так:
для устойчивости замкнутой системы непбходимо и достаточно,
чтобы при изменении «) от О до 00 АФЧХ разомкнутой системы ох..
ватывала точку с координатами [ l, iO] 1/2 раз п положJIтелыI:\III
направлении (против часовой стрелки).
Характеристический полином разомкнутой системы, кроме KOp
ней с вещественной частью (положительной или отрицательноЙ),
может иметь нулевые и чисто мнимые корни. Тоrда на участках
разрыва АФЧХ должна быть дополнена дуrой бесконечно G:)LT'lJ
шоrо радиуса.
Пример 6.7. Выяснить устойчивость системы, если передаточная функция
ее разоыкнутоrо контура
W :::::: k ('t5 1)
(Т 1 5 1) (Т 2.') + 1) (Т 85 1) ,
rде k == 50; 't == 0,05 с; Т 1 == 0,1 с; Т'}, == 0,02 с; Т 3 == 0,25 с.
В данном случае характеристический полином разомкнутой систеJ\IЫ Пi\Iеет
один положитслыflrr вещественный корень 51 == 10.
249
+]
1
+1 1 I
4ft'; lд
+j
""'............
/'
+
fAJ O
си "" се
+
)
...]
Рис. 6.10. Исследование устойчивости си. Рис. 6.11. Оценка персхода АФЧ Х через от..
стемы, рассматриваемой в примере G.7 резок вещественной оси от .....1 до .....00
Для исследования устuiiчнrзостн co('r lBH\1 чаСТОТНУIО передаточную функцию
р аЗОi\lI(Н уто Й СИСТf'i'rIЫ
W -:: k (1 +. j(tyr;) == [! 'V
( 1 -1 j (о т 1) ( 1 r- j ш Т 2) (1 J j (,) т 3) , J ·
r,пе
50 (1 + 0,0305002 + 0,000025(4) .
и : 1 r 0,0729ш2 + 0,000654004 + 0,00000025006
V 50(() (О, 12 0,0006(02)
1 + 0,0729002 + 0,000654(()4 + 0,00000025006 ·
По выражениям для и и v заключаем:
а) при (() == О и == 50 и V === о;
б) при О 00 < 00 и < о;
в) при ш == 00 и == v == о;
r) при (()1 == V 200 V == о; и === 9,25;
д) при О < 00 < (() 1 V > О и при (() 1 < (() < 00 v > о.
Полученные данные определяют приблизительно форму АФЧХ раЗОl\lКНУТОЙ
системы (рис. 6.1 О). Она охватывает точку с координатами [ 1, jO] 1/2 раза.
С.педовательно, замкнутая система будет устойчивой.
При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее при..
менять друrую формулировку критерия Найквиста, которая не..
пользует правило переходав. Переход АФЧХ при увеличении (1)
через отрезок вещественной оси от 1 до oo сверху вниз считают
положительным и снизу вверх отрицательным (рис. 6.11).
АФЧХ М:ОЖЕ:'т начинаться на указанном отрезке при (J) == о или
заканчиваться при (U == 00. Тоrда считается, что она совеРIпает
полперехода.
Критерий формулируют так: замкнутая система устойчива,
если разность между числом положительных и отрицательных
переходсв АФЧХ раЗОIVIКНУТОЙ системы через отрезок веществен..
ной оси от 1 до oo равна 1/2. Здесь 1 число корней xapaKTe
u U
ристическоrо полинома разомкнутои систеl'ЛЫ с положительном
вещественной частью.
Пример 6.8. Выяснить устойчивость САР, У которой передаточная функция
рззомкнутоrо контура
W == k('ts+ 1)
s(T1s I)(T s +2ST2s+1) ,
rде k == 40; 't === 0,25 с; Т1::.:::: 0,5 с; Т 2 == 0,02 с; == 0,1.
I
I
t
I
i
I
+j
f +)
l
u) о
+
--..:
ш==-=сх) +
..
}
I (..().. 00
. J
Рис. 6.12. Исследование устойчивости САР,
рассматриваемой в примере 6.8.
Рис. 6. t з. Исследование устойчивости САР.
рассматриваемой в примере 6.9
Характеристический ПОЛИIlОl\-1 разомкнутоЙ системы имеет один нулевоЙ KO
рень и один положительный вещественный корень 81 == 2. .
Составим частотнуrо передаточную функцию разомкнутой систе IЬJ:
40 (1 + jooO,25) .
\t7 joo ( 1 + jwO,5) (1 + jwO,004 0,00040)2) ::::=. и + J V,
rде
40 (0,746 1 0,0002(02)
1 + о, 249ы2 0,000 196ы4 + 0,00000004000 '
40 (1 О, 1224002 + 0,00005(04)
V === 00 (1 + 0,249002 0,000196004 + 0,00000004(06) ·
По этим выражениям определяем:
а) при ы == О и == 29,8; V 00;
б) при О < 00 < 00 и < о
в) при 001 == VB v == о; и == 10,0;
r) при Ы2 == V 2440 V == о; и == 1,4;
д) при 0<00 < 001 И 002 < 00 < ею V > О,
е) при ы 1 < 00 < 002 v < о;
ж) при ы == 00 и == v == О.
Теперь определен характер АФЧХ разомкнутой системы (рис. 6.12). При
00 == о АФЧХ имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дуrой бесконечно
большоrо радиуса от отрицательной вещественной полуоси.
На участке от 1 до ею имеется один положительный переход и полтора
отрицательных. Разность между положительными и отрицательными переходами
равна 1/2. Для устоЙчивости замкнутой системы необходимо, чтобы эта разность
раВlIялась + 1/2, так как характеристическиЙ полином разомкнутоЙ системы
имеет один поло)кительныЙ корень. Следовательно, рассматриваемая система
n замкнутоr-.-1 СОСТОЯJI ни будет неустойчивоЙ.
и
ПрИl\'lеняя критерий IаЙКI3иста I3 передаточной функции разом
KHYTO!i системы, члены знаменателя, кроме cTaplllero, можно пере..
носить в числитель 1\7 [10]. Тоrда построение АФЧХ системы
BblcoKoro порядка упрощается. Однако при исследовании таких
систем целесообразнее строить обратную АФЧХ, т. е. rодоrраф
вектора W l.
В этом случае критерий Найквиста ctормулируется так: зам..
....
кнутая система устоичива, если разность между отрицательными
251
JI поло)кнтеЛЬНЫМJf переходами обратной ,, ФЧХ отрезка действи..
тельной осп от О до 1 равна 1/2) rде 1 число корней с положи..
тельной веlцественной частью характеристическоrо уравнения
раЗОМI{НУТОЙ системы. Знаки переходов нужно принимать обрат
ными по сравнению с указанными на рис. 6.11.
Пример 6.9. Определить устойчивость САР, если передаточная функция
ее разомкнутои цеп и
2
W 0,00001,')4 + 0,00125s3 + 0,0255s2 + 0,045 1 ·
110 этому выражению заключаем, что W имеет один положительный веще
ственный полюс и что для ПрИ fенения критерия Найквиста удобнее построить
обратную АФЧХ.
В данном случае
\fI l :" 0,5 [0,00001 (jro)4 0,00125 иш)з)
-1 o, 0255 0(0)2 + 0,04 0(0) 1] ::::::: и + jV,
rде
и ==: 0 5 (1 -1 O,0255ro2 0,0000I(4); V 0,5ro (0,04 O,00125(O2).
По полученным выражениям определяем:
а) при (j) == о и == 0,5; V == о;
б) при rol == V 32 V . о; и == 0,0083;
в) при О < (О < ro 1 и < о; v > о;
. r) при ro2 V 2588 и == о; v === .....81,3;
д) пр н ro 1 < (О < ro 2 и < о; v < о;
е) при (02 < (j) < 00 и > о; v < о;
)к) при ro == 00 и 00; V == oo.
Характер обратной АФЧХ показан на рис. 6.13. На участке вещественной
оси от 1 до О имеются положительный полупереход и отрицательный переход.
Следовательно, разность между отрицательными и положительными переходами
составляет 1/2 == 1/2 и система в замкнутом состоянии будет устойчива.
6.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ПО лоrАРИФМИЧЕСКИМ ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
КРllтерий Найквиста позволяет выяснить устойчивость зам..
кнутой системы не только по АФЧХ, но и по лоrарифмическиrvr ча.
CTOTI-IbIМ характеристикам разомкнутой системы. Эту возмо)кность
JfСПОЛЬЗУIОТ весьма широко вследствие простоты постр()ения таких
характеРIlСТНК н определения по ним запаса устойчивости.
Если разомкнутая система устойчива или нейтральна) то для
ее устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно,
чтобы число лереходов ЛФЧХ через линию 1800 при положи
тельных значениях ЛА Ч Х было четным (в частном случае равным
НУЛIО). Пересечение Фазово-частотной характеристикой линии
1800 снизу вверх считается положительным, а сверху вниз
отрицательным. На рис. 6.14 показаны наиболее характерные
ЛФЧХ.
252
L,Bo
зо
20
10
О
10
20
зо
110
=---
(J,j 'р, ера а
L
D
о
о
си" u)
100
I
6.)
I ..
100
180
Рис. 6.14. Лоrарифмическнс vастс.тиые характеристики раЗОМl{ltуТ«:'Й системы:
1 замкнутая снстема абсолютно устойчиnая; 2 условно устоЙчивая; 3 на rраннце
УСТОЙЧИВОС1 и; 4 ..... неустойчивая
p,tC. 6.15. Лоrарифмические частотные характеристики цепи из четырех апериоднческих
звеньев
Пример 6.10. Выяснить устойчивость САР, у которой разомкнутая цепь
описывается передаточной функцией
w== k
(Т 15 + 1) (Т 28 + 1) (Т з5 r 1) (Т 4.5 + 1) ,
rде k == 20; Т 1 == 1,25 с; Т 2 == 0,6 с; Т 3 == 0,02 с; Т4 == 0,01 с.
По характеристическому ПОJ1ИНО:vIУ разомкнутой системы (по знаменателю W)
заключаем, что все ero корни вещественные отрицательные.
Затем строим лоrарифмические частотные характеристики (см. п.5.3) по сле..
дующим данным: 20 Ig k === 26 дБ; сопряrающие частоты 001 == 1fT 1 == 0,8 с"'1;
002 == 1fT 2 == 1,67 с"'1; ООз == 1fT з == 50 с--1 И 004 == 1fT4 == 100 c 1. Характе"
ристически La и 'Фа показаны на рис. 6.15.
На участке частот, при которых асимптотическая ЛАЧХ положительная
(до частоты среза оос), ЛФЧХ не пересекает линии 1800. Поэтому л.елаем вывод,
что замкнутая СИСТ l\1а устойчивая.
Jtля с j-' )l<ден н н об устоЙ ч HBOl' ПI обычно сна чала стро ят ас r 11\1 ПТО..
1 нчеСКУIО ЛАIIХ. ЗатеI\f к неЙ нужно сделать поправки (CI\f. Н. 5.Э)
около тех частот, которые оrраничивают поло)китсльные участки
'! расположены достаточно близко от сопряrающих частот (осо-
бенно от сопряrающих частот, соответствующих колебательным
звеньям).
в примере 6.10 поправки к асимптотической ЛА ЧХ не сделаны, так как ча..
стота среза ООс достаточно удалена от сопряrающих частот 002 и ооз. Поправки
мало повлияют на значение ООе и не изменят выпода об устойчивости системы.
Фазово- частотная характеристика нейтральной разомкнутой
системы при ((1 О стремит я к 90vo, rде v число нулевых
25.3
I
L
о
rp, ера а
о
.... .
\ "
\ ,
\ '.....
\
\
" 8°f
..... 2
, дБ
,
50
40
ЗО
20
с:::::.
7 О C"J
О
70
qJ,2яад
О
I
I
! ! UJз 1
ИJ1 ИJ2 70
1
I
I
\ иJ'
1 '
10 I
I
1
;r
1
Си
.........
90
180 t
I
270 t
I
Рис. 6.16. Лоrарифмические частотные характеристики разомкнутой нейтральной системы:
1 при V == 1; 2 при v '== 2
Рис. 6.17. Лоrарифмические частотные характеристики к примеру 6.11
корней характеристическоrо уравнения. Поэтому ЛФЧХ такой
системы нужно дополнить монотонным участком, приводящим ее
t< Ф === о при L 00 (рис. 6.16). Это соответствует дополнению
АФЧХ бесконечно БОЛЬШИ!vI радиусом.
Пусть харан:теристический полином разомкнутой сиетемЬ1 имеет
[ корней с положительной вещественной частью. В этом, самом об
щем, случае критерий формулируется так: для устойчивости замк
нутой систеl\fЫ необходимо и достаточно, чтобы при положитель
ных значениях ЛА ЧХ разность между числом положительных и
отрицательных переходов ЛФЧХ через линии 180°, 3. 180°, ...
равнялась [/2. При наличии в характеристическом полиноме нуле
вых корней начальную часть ЛФЧХ опять следует приводить
к Ф == о.
Пример 6.11. ВЫНСНIIТЬ устойчивость системы с передаточноЙ Функцпеii
разомкнутоЙ цепи
'\7 k (1"1 S + 1) (т 2S + 1)
S2 (Т S 1) ,
rде k:::= 300; т == 0,25 с; 1"1 == 0,2 с; '1"2 =:: 0,1 с.
Характеристический полином разомкнутой системы имеет два нулевых корня
(v == 2) и один вещественный положительный корень, равный 4.
Для построения лоrарифмических частотных характеристик имеем 20 l k ==
:::= 49,5 дБ; сопряrающие частоты 001 == I/Т == 4 c 1; 002 === 1/'1"1 == 5 c l; Ыа ===
т
== 1/1" == 10 c l; 'ф == 180° + arctg CU1"l + arctg 00'1"2 arctg 1 ·
254
L
- 6..JL.'l (ЦС" (VCJ
О '""'l .
,/1 " t;
I I I
zpaJ I I I
о i ' I ..
I I I {..}
180 r
L дБ
)
40
20
Рис. 6.1 8. Л оrарифмические часто I'
вые характеристики lIеУСТОЙЧИВОII
(1 2) разомкнутоЙ системы
I ИJсЫ] UJз си", и.)
О -L ............J. I !
20 (,J, 7О! I ! 100
I \J
ф,2раt7 I
I (.)
О - .. --- I - . - - -- .-
,
,
90 " - - - - } . . ............ ........
I
780 .-::f- - ...........
/. j
/ > '..
270 . i .....
Рис. 6.19. Л оrарифмические частот..
ные характеристики условной ра-
зомкиутой системы
Характеристики показаны на рис. 6.17. Вследствие положительноrо корня началь
ный (при ro == О) скачокЛФЧХ на 90vO нужно отсчитывать не от НУJIЯ, а OT 1800.
ЭТО показано штриховой линией со стрелками.
На участке частот, при которых ЛАЧХ положительна, ЛФЧХ делает полпе-
рехода через линию 1800 сверху вниз и один переход снизу вверх. Следовательно,
разность между числом положительных и отрицательных переходов составляет
1/2 == 1/2, и можно сделать вывод об устойчивости системы в замкнутом состоянии.
Поправки к асимптотической ЛА ЧХ на Hero не повлияют.
Переходы ЛФЧХ через линию 180°, а возможно и через
линии 3.180°, 5.180°, ..., при высоком порядке характери..
стическоrо полинома подсчитывают не только на начальном, но
и на последующих положительных участках ЛАЧХ. На рис. 6.18
показан один из возможных случаев: разность между положитель..
ными и отрицательными переходами составляет 1 == l/2, и зам..
кнутая система устойчива.
Знаменатель передаточной функции разомкнутой MHoroKoH..
тур ной системы n-ro порядка обычно представляет собой полином
n..ro порядка, и для построения ЛЧХ ero разлаrают на элементар..
ные сомножители. Эти вычисления можно существенно упростить,
если воспользоваться тем, что критерий Найквиста позволяет
переносить часть членов знаменателя передаточной функции
разомкнутой системы, кроме старшеrо, в числитель.
При мер 6.12. Исследовать устойчивость САР, если передаточная функция
ее разомкнутой цепи
W -= k ('ts + 1)
aos5 + a1s4 + a2s3 t азs2 --t a4s + 1 '
rде k =:.: 80; 't == 0,2 с; ао ==: 0,0002 с5; ai == 0,008 с4; а2 == 0,075 сз; аз -==
== 0,3 c ; а4 == 0,8 с.
255
IlepCIIeCei\1 слаrаемыс азs f а4.'> 1 1 из знаменателя в числптеЛIJ и получеfl"
IlУ10 таким оБР{1ЗОМ )'словную передаточную ФУНКЦИIО разомкнутоЙ систеМLl \\1 *
раз Т]ожим на элементарные сомножителп:
W* 0,3s2 + 16,88 + 81
0,00025° + 0,0088,1 + О,О75Б2
1080 (О, 185s + 1) (0,028 + 1)
sз (0,0668s + 1) (0,04s + 1)
1080 (0,0037s2 + 0,205s + 1)
S3 (0,00267s2 + О, 107s + 1)
СТРОИf\.1 лоrарифмичес).;:ие частотные характеристики условной разомкнутой
системы п() следующим данным: 20 19 k === 60,6 дБ; (й1 == 1/0,185 =:: 5,3 c l;
Ы2 )/0,0668 == 15 c l; Ша:=: 1/0,04 25 с"l; (й4 === 1/0,02 === 50 C l.
По характеристикам (рис. 6.19) заключаем, что при :iамыкании нсследуеi\Iая
система становится неустойчивой.
Условная разомкнутая система имеет три нулевых корня, и поэтому .ПФ Ч Х
нужно ДОПОЛНИТЬ монотонным участком, сводящим ее к нулю при L ..-...)- 00. След().
llательно, на этом участке .ПФЧХ имеет один отрицательный переход через JIИ"
нию 1800. Для устойчивости замкнутой системы .П Ф Ч Х должна иметь еще поло
жительный переход, что на рис. 6.19 показано lIIТРИХПУНКТИРНОЙ линией.
6.7. ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ
Для нормальноrо функционирования всякая САР должна быть
достаточно удалена от rраницы устойчивости и иметь достаточный
запас устоЙчивости. Необходимость этоrо обусловлена прежде
Bcero следующими причинами : а) уравнения элементов САР, как
правило, идеализированы, при их составлении не учитывают вто"
ростепенные факторы; б) при линеаризации уравнений поrреш..
ности приближения дополнительно увеличиваются; в) параметры
элементов определяют снекоторой поrрешностыо; r) параметры
однотипных элементов имеют технолоrический разброс; д) при
эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие ста..
рения.
Следовательно, устойчивая по расчету САР в действительности
может оказаться неустойчивой. В следящих системах запас устой..
чивости необходи л еще и для хорошеrо качества реrулирования
(см. r л. 7).
О запасе устойчивости можно судить по расположению корней
характеристическоrо уравнения системы: чем дальше отстоят они
от мнимой оси (в левой полуплоскости), тем больший запас устой-
чивости. Каждый критерий устойчивости также позволяет опре..
делять запас устойчивости. _
Количественная оценка запаса устойчивости зависит от Toro,
какой критерий устойчивости выбран. В практике инженерных рас..
четов наиболее широко используют определение запаса устойчи"
вости на основании критерия Найквиста, по удалению АФЧХ
разомкнутой системы от критической точки с координатами
[ 1, jO], что оценивают двумя показателями: запасом устойчи
вости по фазе 'V и запасом устойчивости по модулю (пп аМПJIИ
туде) h.
256
lJ86 L,85'
h
+) О UJ
1 h О
+ ср, zpa д
r ц) ер, 'lp'GB
о I
О lJ f/I
j 180+r
180
180 T
а)
Рис. 6.20. ЗОНЫ, определяющие требования к запасу устойчивости:
а ..... при построеНИ и А ФЧ Х: 6 ..... ПрИ построении Л Ч Х
Рис. 6.21. Опредеn:ение запаса устойчивости по JIоrарифмическим частотиым характе-
ристикам
Для TOrO чтобы САР имела запасы устойчивости не менее 'V
и h, АФЧХ ее разомкнутой цепи при удовлетворении критерия
устойчивости не должна заходить в часть кольца, заштрихован-
Horo на рис. 6.20, а. Эта запретная зона, включающа'я в себя
точку с координатами [ 1, jO], оrраничена лучами, проведенными
из начала осей координат под уrлами 1800 + у и 180° у,
и дуrами с радиусами 1 + н и 1 Н, rде Н определяется соот"
ношением 19 Н =::: h/20.
Если устойчивость определяется по лоrарифмическим частот..
ным характеристикам., то для обеспечения запасов устойчивости
не менее 'V и h необходимо, чтобы:
а) при h L h фазово..частотная характеристика удовлет-
воряла неравенствам 'Ф > 1800 + у или 'ф < 1800 у, т. е.
не заходила в заштрихованную область 1 на рис. 6.20, б;
б) при 180° + у ?-- 'ф ?-- 180° у амплитудно-частотная
характеристика удовлетворяла неравенствам L > h или L < h,
т. е. не заходила в заштрихованные области 2 на рис. 6.20, б.
Для абсолютно УСТОЙЧИВОЙ системы запасы устойчивости у
и h определяют так, как показано на рис. 6.21.
Запас по фазе
'V == 1800 + 'Ф (<Uc)'
rде <Uc частота среза, при которой L == о;
запас по модулю
(6.18)
h == L (<U1J') ,
(6.19)
rде <U,p частота, пр:и КОТОРОЙ 'Ф == 1800.
Необходимые значения запасов устойчивости зависят от
класса САР и требований к качеству реrулирования. Ориенти-
ровочно должно быть ,,== 30+600 и h == 6+20 дВ.
По лчх (см. рис. 6.15) определим запасы устойчивости исследованной си-
стемы: Уа :::::: 200 н Ьа 7 дБ. .
9 Макаров И. М.
257
I
6.8. .ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ
Иноrда один или несколько параметров САР оказываются ма-
лыми по сравнению с друrими. Возникает желание пренебречь
этими малыми параметрами (считать их равными нулю) и пони..
зить порядок уравнения (передаточной функции) для упрощения
расчетов. Если это не влияет на устойчивость, то САР является
rрубой в смысле А. А. Андронова. Однако может оказаться, что
малые параметры влияют на устойчивость, и расчет по упрощен-
ному уравнению приведет к неверным выводам. Такая САР явля-
ется неrрубой. Следовательно, в каждом случае необходимо вы..
яснить, нужно ли учитывать малые параметры или ими можно
пренебречь.
Пусть характеристическое уравнение САР может быть при..
ведено к виду
! (CosN + С1 SN...t + · · · + CN....tS + CN) +
+ aosn + alsn l + · . · + aп ls + ап == О, (6.20)
u
rде J.t малыи параметр.
Малый параметр J1 не влияет на устойчивость, и ее можно ис-
следовать [63] по вырожденному харак.теристическому уравне-
нию
aosn + aJ.sп l + · · · + aп ls + ап == О, (6.21)
ес,,1'JИ Ото/Со> О при N п == 1 и c1/Co a1/ao> О при N п == 2.
Если N п > 2, то отбрасывать малый параметр J1 нельзя
и устойчивость САР необходимо исследовать по характеристиче..
скому уравнению (6.20).
Пример 6.13. Исследовать на устойчивость САР, характеристическое урав-
нение которой
(Tls2 + 2;Т 15 + 1) (Т25 + 1) (f.t5 + 1) + k == О,
rде === 0.8; Tl == 0,9 с; Т2 == 0,09 с; == 0,001 с; k == 15.
Приведем характеристическое уравнение к виду (6.20):
f.t [T T2s4 + т 1 (2sT2 + т 1) 53 + (2sT + Т2) 52 + 5] +
+ [ТtТ25З + Т1 (2 T2 + Т1) 52 + (2sTl + Т2) s + (1 + k)] == о.
в данном случае
ао T Т 2 1
N n == 4 3 == 1 и со == Т! т 2 == .
Следовательно, параметром f.t можно пренебречь и исследовать устойчивость
по вырожденному характеристическому уравнению
TiT2s3 + Т1 (2sT2 + Т1) 52 + (2sTl + Т2) 5 + (1 + k) == о;
0.072953 + 0,94052 + 1,538 + 16 == о.
По критерию rурвица система устойчива, так как все коэффициенты этоrо
уравнения положительные и 0,94.1,53 == 1,44 > 0,0729.16 == 1,17.
Предположим, что характеристическое уравнение системы
u
содержит т малых параметров J.tl' J.t2' ..., J.t.n, каждыи из которых
258
повышает порядок характеристическоrо уравнения на единицу..
Выразим их через один малый параметр :
1 == 111 ; 2 == 112 ; ...; т == 1'] т , (6.22)
rде 111, 1'] 2, ..., 11 т величины, сопоставимые с друrими пара...
метрами системы.
Тоrда характеристическое уравнение приводится к виду
т (coosN _+ C01SN...1 + · · · ) + т...l (C10SN...1 + С11 SN...2 + · · · ) +
+ · · · + (ao.sn + а1 n 1 + · · · + ап) === о.
Чтобы при малом система была устойчива, необходимо и до...
статочно, чтобы вырожденное характеристическое уравнение
aosп + a1sn...1 + · . · + aп l 5 + ап == О (6.23)
и вспомоrательное уравнение
Coosm + Cl0Sп 1 + · . · + Cт...L, 08 + ао == О,
каждое порознь, удовлетворяли условиям устойчивости
Вместо одноrо полноrо характеристическоrо уравнения
дуют два более простых.
Пример 6.14. Передаточная функция разомкнутой САР
W == k ('ts + 1)
s (f.L1S2 + а5 + 1) (f.L2S + 1) (J.Lзs2 + bs + 1) ,
rде k == 50; "t' == 0,1 с; а == 0,2 с; Ь == 0,25 с; f.Ll == 0,0005 с2; f.L2 == 0,0008 с
f.L3 == 0,0001 с2.
Исследовать устойчивость этой САР в замкнутом состоянии, считая пара....
метры J.Ll' J.L2 и f.Lз малыми.
Примем f.L == 0,0001. Тоrда Т'll == J.L 1/f.L == 5; 1'12 == J.L2/J.L == 8 и Т'lз == J.Lз/J.L == 1..
Составим полное характеристическое уравнение замкнутой САР:
(6.24 )
[19] ..
иселе...
J.L81]I1]а1'lзs8 + J.L' ((1'Il1'12b + 1'111'1з + 1'I21]за) 55 + (Т'll + 1'18) 1]1s4] + J.L [1'Ilb +
+ 11.аЬ + 1]аа) s' + (Т'll + 1'Iza + 1'IIb + 1'1з) sЗ + 1'1251] + аЬsЗ + (а +
+ Ь) 5' + (k"t' + 1) s + k == о.
Составим вырожденное характеристическое уравнение, приравняв нулю.
все члены, содержащие J.L:
аЬsЗ + (а + Ь) 52 + (kt + 1) 5 + k == о;
0,05 sЗ + 0,45 S2 + 6s + 50 == О.
Условие устойчивости по критерию rурвица выполняется, так как все Коэф....
фициенты этоrо уравнения положительные и
0,45.6== 2,7 > 0,05.50 == 2,5.
Составим вспомоrательное уравнение по формуле (6.24):
1'111'121'1з53 + (1'Il1'11b + 1]IТ'1з + 11211за) 52 + (1'Ilb + 1'I2ab + 1'Iза) 5 + аЬ == о;
40 53 + 16,6 52 + 1,85 s + 0,05 == О.
Условие устойчивости по критерию rурвица для этоrо уравнения также вы..
полняется: все ero коэффициенты положительные и 16,6.1,85 == 3,071 > 40.0,05==
== 2.
Следовательно, рассматриваемая САР в замкнутом состоянии устойчивая.
9*
259
Пусть малым", параметрами являются постоянные времени f.1i
и J.1z нескольких апериодических и колебательных звеньев, а пе..
редаточная функция разомкнутой системы
kR
w==
т! т2
П ( tlS + 1) П ( ls2 + 2S[1-l1s + 1) Q
i==l [====1
,
(6.25)
rде R и Q полиномы от s соответственно степени т и п (п > т),
которые не содержат малых параметров f.1i и f.1[.
Тоrда устойчивость можно определять по вырожденноЙ пере..
даточной функции
W* == kR/Q
(6.26)
и оценить влияние малых параметров на запас устойчивости по
фа зе [ 19 ] .
Параметры f.1i и f.1l достаточно малы и сопряrающие частоты
0), == 1/J.1i И Ю, == 1/f.1[ значительно больше частоты среза юС
ЛА ЧХ, построенной по частотной передаточной функции W*..
Поэтому малые параметры создают малые дополнительные сдвиrи
по фазе при частоте ЮС' ИХ сумма (в рад)
ф === [ arctg iЮс + arctg 12 !1l 2]
,'==1 [;;:::::::1 l о
[ i + 2 l l] юс. (6.27)
Запас по фазе вследствие этоrо влияния малых параметров
уменьшается и становится равным
У Уо + 57 ,3'Ф , (6.28)
rде Уо запас по фазе (в rрад), определенный по частотной пере..
даточной функции W*.
Пример &.15. Выяснить устойчивость и определить запас по фазе САР, пере..
даточная ФУНКЦИЯ которой в разомкнутом состоянии
W :'::::: k (Т5 + 1)
s (T 5 + 1) (Т2в + 1) (Т з5 + 1) (Tls2 + 26T,S + 1) J
rде k == 100; 't == 0,125 с; Т 1 == 0,5 с; Т 2 == 0,02 с; Т 3== 0,002 с; Т4, 0,001 с
и === 0,8.
Постоянные времени ТЗ и Т4 примем за малые параметры и определим устой-
чивость по вырожденной передаточной функции
W* == k (TS + 1) .
s (T1s + 1) (T2s + 1)
Для построения ЛЧ Х имеем 20 Ig k == 40 дБ; сопряrающие частоты 00 1 ==
1fT 1 == 2 c l; 002 == L/'t == 8 c l; ООз == 1fT з == 50 c l.
По характеристикам (6.22) заключаем: за кнутая САР устойчива и запас
по фазе 1'0 === 500.
260
Рис. 1.22. Лоrарифмические чаСТОТllые L ;}б
}и
карактернстикн, построенные по 8ЫрОЖ"
денной передаточной функции 40
20
Затем по формуле (6.27) вычислим
сдвиr по фазе при частоте среза ООС,
вызываемый малыми параметрами: О
Ч'JI, == (T 3 2 Т 4.) (()с == O,0904.
Следовательно,
запас устойчивости
действительный
ер, 2раи
UJ
О,
'v == 500 57,30.0,0904 == 44,7°.
I
\
I
1
Т.
Ш
96
в данном случае параметры, при.
нятые за малые, существенно влияют
на запас устойчивости по фазе, так
как эти параметры (постояниые времени Тз и Т4 лишь
рядка отличаются от основных (от поСтоянных времени
на одНн....аВа
т 1 И T .
по.
6.9. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ
Весьма часто возникает необходимость исследовать влияние
на устойчивость САР тех или иных ее параметров. Обычно рас..
матривают влияние таких параметров, KOTop e MorYT' быть из
менены, например передаточных коэффициентов и постоянных
времени усилительно преобразовательных элементов.
Ltопустимые пределы изменения одноrо или двух параметров
определяют при неизменных значениях остальных. В последнем
случае на плоскости двух параметров выделяют (строят) область
устойчивости, т. е. такую область изменения этих параметРОБ,
при которых САР остается устойчивой.
Построение областей устойчивости возможно с помощью лю..
боrо из критериев устойчивости. Однако так поступают лишь при
определении rраничноrо значения передаточноrо коэффициента
разомкнутой системы, а при выделении областей устойчивости
привлекают более общий метод D..разбиения. Принципиально
это метод разделения n"MepHoro пространства параметров на об-
ласти, каждой из которых соответствует определенное число пра-
вых корней характеристическоrо уравнения. Область, которой
соответствует нуль правых корней, есть область устойчивости.
Практичесн:и с помощью D-разбиения выделяют области устой..
чивости в плоскости одноrо и двух параметров. Предложен также
метод построения областей устойчивости в плоскости обобщенных
параметров.
Определение rраничноrо значения передаточноrо коэффи-
циента. Весьма часто выясняют влияние на устойчивость переда..
точноrо коэффициента k разомкнутой САР. Определяют ero rpa..
ничное значение krp, т. е. то значение, при котором САР оказы-
вается на rранице устойчивости. Такая необходимость возникает
261
потому" что с УВ.,еличением k повышается статическая точность
(см. п. 7.1) и нужно знать, в каких пределах ero можно увеличи...
вать.
В САР дО четвертоrо порядка включительно krp наиболее
просто определить по критерию rурвица (см. п. 6.2). Неравенства,.
составляющие условие устойчивости, записывают как равенства,.
и те из них, которые содержат k, рассматривают как уравнения
относительно kr .
В примере (f2 для определения kr достаточно составленное
неравенство превратить в равенство. Из этоrо примера следует,
что в наиболее неблаrоприятном случае, при Т1 == Т,. == Тз,
krD == 8.
. Чем больше в одноконтурной САР апериодических звеньев
с одинаковыми постоянными времени, тем меньше krp: при четырех
звеньях krp равно 4, при пяти 2,9, при шести 2,4. Для од--
ноконтурной САР, состоящей из трех апериодических звеньев,
.krp тем больше, чем больше разница между наибольшей и наи-
меньшей постоянными времени, а их среднее арифметическое
должно быть равно постоянной времени TpeTbero звена.
Пусть постоянные времени апериодических звеньев однокон...
турной САР образуют rеометрическую проrрессию
Т1/Т2 == Т2/Тз == Тз/Т4. === ... == q. (6.29)
Тоrда rраничное значение передаточноrо коэффициента зависит от
q и числа звеньев n следующим образом [19]: если q == 5, то krp
равно соответственно З7; за; 29 и 28 при n == з; 4; 5 и 6; если
q == 10, то krp == 122 при n == 3 и krp == 110 при n == 4; 5 и 6.
Прнмер 6.16. Определить rраничное значеиие передаточиоrо коэффициента
разомкнутой САР с передаточной функцией
w== k
( Т IS + 1) (Tis2 + 2, т 2S + 1) ,
rде Т1 == 0,1 с:; Та == 0,02 с и , == 0,4.
. Составим характеристическое уравиение замкнутой САР
Т lТlsЗ + Т 2 (Т 2 + 2 T 1) s' + (Т 1 + 2 T 2) s + (1 + k) == о.
Уравнеиие TpeTbero порядка, все ero коэффициенты положительиые. Для
устойчивости иеобходимо и достаточио удовлетворить неравеиство (6.10), которое
в данном случае имеет вид
(Т! + 2;Тl) (Тl + 2;Т2) > TITI (1 + k).
Превратим это HepaBeH TBO в равенство и определим, что
k 2 (Ti+T +2 T,T2) 48
rp ТТ ,.
12,
Передаточный коэффициент k всеrда положительная величина..
Поэтому, если условия устойчивости удовлетворяются при k <
< О, то они удовлетворяются и при всех возможных значениях
k. В подобных случаях принимают (условно), что krp === 00.
Если k не входит в условия устойчивости, то и в этом случае
принимают krp == 00. Возможность создания САР с весьма боль..
шим значением k будет рассмотрена в п. 8.1.
262
Пример 6.17. Определить rраничное значение передаточноrо коэффициента
разомкнутой САР с передаточной функцией
W:=:: k (1"5 + 1) .
52(T8+1)
Составим характеристическое уравнение замкнутой САР
Т83 + 82 + k1"s + k == О
и условие ее устойчивости
k1" > k Т ил и 1" > Т.
Коэффициент k не входит в условие устойчивости. Замкнутая система
устоЙчива при всех возможных значениях k и kcp -==: 00.
В условно устойчивых САР (см. п. 6.5) не одно, а два rранич"
ных значения передаточноrо коэффициента разомкнутой цепи.
Ими являются наибольшее и наименьшее значения k, при которых
САР оказыва тся на rранице устойчивости.
Пример 6. 18. Выяснить, при каких значениях k будет устойчива САР,
если передаточная функция ее разомкнутой цепи
W == k (-rs + 1) ,
(Т 18 + 1) (Т iS + 1) (Т з.r; . 1)
rде Т 1 == 0,2 с; Т 2 === 0,25 с; Тз:::: 0,5 с; "J == 0,1 с.
Составим характеристическое уравнеиие замкнутой САР:
Т1Т2Тзs' + (ТIТЗ + Т2Тз...... T}T'J) 82 + (ТЗ Т} Т2 + k1") S +
+ (k ..... 1) == О;
Ot025 s' + 0,175 82 + (0,1 k + 0,05) 8 + (k 1) == О.
По критерию rурвица для устойчивости замкнутой САР необходимо и доста-
точно удовлетворить два неравенства:
k> 1 н 0.175 (0,1 k + 0,05) > 0,025 (k 1).
Из этих двух неравенств определим требования к значению лередаточноrо
коэффициента: k > 1 и k < 4,5.
Итак, замкнутая САР устойчива, если 1 < k < 4,5.
Значение krp удобно определять по лоrарифмическим частотным
характеристикам разомкнутой САР. Если k == krp, то запас устой-
чивости по модулю h равен нулю и частота среза шс совпадает-
е частотой Ш,р, при которой 'ф == 1800. Поэтому для определе..
ния krp нужно построить лчх при заданном или произвольно
выбранном значении k (например, при k == 1). Затем определить
ординату L (1) низкочастотной асимптоты (или ее продолжения}
при частоте о> == 1 и ординату L (О>,р) при частоте О>ф. Ордината
L (Ю,р) может быть как положительной, так и отрицательной.
Равенство
/20 19 krp == L (1) L (шф) (6.30)
позволяет вычислить значение krp.
в примере 6.10 (см. рис. 6.15) L (1) 26 дБ и L (00",) == 7 дБ. Следователь..
но, 20 19 krp === 26 + 7 == ЗЗ дБ и krp == 44,7.
При высоком порядке характеристическоrо уравнения для оп-
ределения krp используют метод D..разбиения.
D"разбиение ПЛОСКОСТИ одноrо параметра. Пусть требуется
выяснить, в каких пределах можно изменять параметр "", не на-
263
I
j
+
u
рушая при этом устоичивости.
Предположим, что fJ входит в ха...
рактеристическое уравнение зам...
u u
кнутои системы линеино и урав-
нение может быть приведено к виду
fJN1 + N2 == О, (6.31)
rде N 1 И N 2 полиномы
Разрешим уравнение
относительно fJ:
fJ == .....N ,) N l'
от s.
(6.31)
(6.32)
Это равенство определяет за...
висимость параметра fJ от значе-
ния корней характеристическоrо
уравнения. Прежде Bcero интересно выяснить, при каких зна..
чениях fJ система находится на rранице устойчивости, т. е.
какие значения fJ соответствуют чисто мнимому корню joo. Сде-
лаем подстановку s == joo и построим на комплексной плоскости
(рис. 6.23) rрафик функции
(joo) N'A (joo)/N1 (joo) === Х (00) + jY (00),
Рис. 8.28. D-разбиение плоскости пара-
метра J.L
(6.33)
при изменении 00 от oo до +00.
Функция Х (00) четная функция 00, а У (00) .......... нечетная,
поэтому искомая кривая симметрична относительно вещественной
оси и достаточно построить одну ветвь кривой, изменяя 00 от О
до 00, а затем построить ее зеркальное отображение относительно
вещественной оси.
Полученную таким образом кривую называют кривой D...
разбиения, она представляет собой отображение мнимой оси
u
плоскости корнеи характеристическоrо уравнения на плоскость
параметра 1-'. Е ли, двиrаясь по кривой от 00 == oo К 00 == +00,
наносить штриховку слева, то эта штриховка будет направлена
в ту часть плоскости параметра fJ, которая соответствует левой
u
полуплоскости корнеи.
Кривая D-разбиения разделяет плоскость параметра JL на
несколько областей (области 1, 2, 3 и 4 на рис. 6.23). Та из них,
внутрь которой направлена штриховка кривой, может быть об-
ластью устойчивости (область 4 на рис. 6.23). Теперь нужно взять
какую-либо точку JLi на оси абсцисс из этой области и, пользуясь
любым критерием устойчивости, проверить устойчивость системы
при fJ == fJ[. Если критерий удовлетворяется, то рассматриваемая
область есть область устойчивости.
Рав.енство (6.33) условно определяет параметр fJ как коrvlплек-
сную величину. На самом деле это вещественная величина и на
плоскости fJ следует рассматривать только точки, лежащие на
вещественной оси. Поэтому значения параметра fJ, при которых
264
система остается устойчивой, определя-
ются отрезко л положительной полуоси аб
сцисс, лежаЩJl.\1 внутри области устойчи-
вости.
Пример 6.19. ] 1ередаточная ФУНКЦИЯ разомкну-
той САР
W k ('t.: + 1)
s (Т 18 + 1) (Т 28 + 1) ,
"де k == 50; Т 1 == 0,4 с; Т 2 == 0,1 с.
Выяснить влияние постоянноя времени 't' дифферен"
цирующеrо звена на устойчивость замкнутой системы.
Составим характеристическое уравнение замкну
тоЙ системы:
Т lT 2S3 + (Т 1 + Т 2) 82 + (1 + kt) s + k == о;
0,0453 + 0,5s2 + (1 + 50t)8 + 50 == о.
Решим это уравнение относительно '{:
1
't' :== 50s (0,0483 + 0,55' + 8 + 50)
и выполним подстановку s == j ы:
+
Рис. 8.24. D-раsбиенио
плоскости параметра '"
't иы) j 50 ( jО,04ооЗ 0,5002 + joo + 50) == Х + j У.
еде
1
Х == OJ02 (.....1 + 0,0400'); у == (1 0,01(02).
00
Для построения кривой D-разбиения определим:
а) при (i) == о х == 0,02; У == +00;
б) пр и 00 1 == 5 Х == о; У == О, 15;
в) ир и 002 == 10 Х == 0,06; У == о;
r) при 00 == 00 х == +00; у == ......00.
Полученные данные позволяют построить кривую (рис. 6.24) на участке от
00 == о до (i) == + 00. Построив зеркальное отображение этоrо участка кривой
относительно оси абсцисс, получим второй ее участок (от (i) == ..........00 ДО 00 == о).
Двиrаясь по кривой от (i) == oo к (i) == +00, штрихуем ее слева.
Плоскость разделена на три области, из которых на устойчивость претендует
область 3, так как штриховка направлена внутрь этой области. Проверим устой-
чивость системы при 't' == о, 1 эта точка лежит в области 3. Характеристическое
уравнение при этом значении "t'
0,04 s3 + 0,5 s + 6 s + 50 == О.
Критерий устойчивости rурвица удовлетворяется: все коэффициенты харак"
теристическоrо уравнения положительные и выполняется неравенство (6.10):
0,5.6 == 3 > 0,04.50 == 2.
Следовательно, область 3 есть область устойчивости. Рассматриваемая САР
устойчива при 't > 0,06.
Нноrда параметр f.t, влияние KOToporo на устойчивость САР
исследуют, входит в характеристическое уравнение как в первой,
265
I
так и во второй степени. Тоrда можно обозначить 112 == "1 и де..
лать D-разбиение плоскости параметров и "1.
D-разбиение плоскости двух параметров. Предположим, что
нужно выяснить влияние на устойчивость САР двух параметров:
и '1, которые входят в e характеристическое уравнение ли..
нейно. Тоrда это уравнение может быть приведено к виду
N + "18 + F == о, (6.34)
rде N, 8 и F полиномы от s.
После подстановки s === joo.
N N} + jN2; 8 == 8} + j82; р.== р} + jF2'
rде N}, N2, 8}, 82' р} и Р2 полиномы от 00, и уравнение (6.34)
распадается на два:
N'1 + 'У)8} + р} == о; N2 + "18з + Р2 == о. (6.35)
Решим эту систему уравнений:
I P1 81 N1 P1
P2 82 N2 -P2 (6 36)
fl === ; 'У) == tJ.. ' ·
rде определитель системы уравнения (6.35)
NJ 8}
L\ == N 2 82 ·
Равенства (6.36) определяют и 'У) как функции 00. Следо..
вательно, при каждом значении 00 === ooi можно вычислить значе..
ния i и 'Y)i И нанести соответствующую точку на плоскость пара..
метров и "1. rеометрическое место этих точек при изменении
00 от oo до + 00 является кривой D..разбиения плоскости ( , 11),
rде откладывается по оси абсцисс и 'У) по оси ординат.
Уравнения (6.35) совместны и равенства (6.36) опредеЛЯIОТ
точки кривой D..разбиения только при тех значениях (О, при ко..
торых определитель не равен нулю.
При движении по кривой D..разбиения в сторону возрастания
00 (от О к 00) штриховку наносят слева, если определитель по..
ложителен, и справа, если отрицателен. Точка по кривой про--
беrает дважды: первый раз при изменении 00 от oo до О и второй
раз при изменении (() от О до + 00. ОДнако при 00 == о меняется
знак определителя д, и поэтому кривую оба раза штрихуют
с одной и той же стороны.
При некотором значении (() (отличном от нуля) определитель
може'f' обратиться в нуль. Если при этом числители равенств
(6.36) не равны одновременно нулю, то точка ( , 11) уходит в бес..
конечность.
Если же одновременно с обращаются в нуль и числители
равенств (6.36), то уравнения (6.35) оказываются линейно зависи..
мыми, отличающимися одно от друrоrо на постоянный множитель.
266
,
о' r:J jJ.
, а)
n. u) -;
L\J'
t> . t>7
U),
.,/
,.
.
!(
z)
Рис. 6.25. ПравилА штриховки осuбых прямых
Получается уравнение прямой линии
f.1N1 + 1181 + Fl == О,
(6.37)
.которую называют особой прямой. Всем ее точкам соответствует
одно и то же значение 0). Появление особых прямых отличает D..
разбиение плоскости двух параметров от D..разбиения плоскости
одноrо (комплексноrо) параметра.
Особые прямые получаются также из уравнения ап == О при
(t) == о и из уравнения ао == О при о) == 00, если в эти коэффици-
енты линейно входит хотя бы один из параметров и .
Правила штриховки особых прямых следующие:
а) если особая прямая и кривая D-разбиения сближаются
.асимптотически штриховка особой прямой однократная, на..
правлена к заштрихованной стороне кривой D..разбиения
(рис. 6.25, а);
б) если особая прямая имеет общую точку с кривой D..раз-
биения, но не пересекает ее штриховка особой прямой одно-
кратная и около общей точки направлена к заштрихованной сто-
роне кривой D-разбиения; в точках пересечения с кривой D..раз..
биения штриховку особой прямой не изменяют, так как знак
определителя А в этих точках не меняется (рис. 6.25, 6): .
в) если особая прямая пересекает кривую D-разбиения
в двух точках штриховка особой прямой двойная и направлена
.к заштрихованной стороне кривой D..разбиения около той точки
пересечения (точка А на рис. 6.25, в), в которой определитель
меняет знак; во второй точке пересечения (точка В на рис. 6.25, в)
определитель А не меняет знака и штриховку особой прямой не
изменяют;
r) если особая прямая пересекает кривую D-разбиения
(рис. 6.25, 2), но знак определителя А в точке пересечения не
меняется особую прямую не штрихуют.
После Toro как кривая D..разбиения и особые прямые постро"
ены и на них нанесена штриховка, отыскивают область, внутрь
которой направлена штриховка ее rраниц. Это область потенци-
альной устойчивости. После подстановки в характеристическое
уравнение значений f.1 и , соответствующих какой..либо точке
267
этой области, используют один из критериев устойцивости. Если
он удовлетворяется, то рассматриваемая область есть область
устойчивости, т. е. при всех сочетаниях параметров f.t и 11, соот..
ветствующих точкам этой области, исследуемая САР устойчива.
Возможны случаи, коrда область устойчивости отсутствует.
Пример 6.20. Выяснить зависимость устойчивости САР от постоянных вре-
меии Т 2 И "{. Передаточная функция разомкнутой системы
1'== k(ts+l)
s (Т 1 S + 1) (Т 2S + 1) ,
rде k == 50 и Т 1 == 0,4 с.
Составим характеристическое уравнение замкнутой системы:
Т 1.Т 2gЗ + (Т 1 + Т 2) s + (1 + k't) S + k == о;
0,4 Т 2sЗ + (0,4 + Т 2) S2 + (1 + 50't) 5+ 50 == о,
и приведеи ero к виду (6.34):
Т 2 (OJ4s3 + S2) + 't50s + 0,4s2 + S + 50 == О.
Выполним подстановку s == jro, и тоrда уравнение распадется на два:
1'2Nl + 'tS1 + Рl == о;
т 2N а + 'ts2 + F 2 == О,
rде N 1 == oo2; N 2 == 0,4ro3; Sl == о; S 2 == 50ro; F 1 :::= 50 O,4 ш2; F 2 == (1)..
Вычислим значение определителя д системы уравнении:
.....(08 О
Д == == 50ш3.
o ) 4008 5000
По формулам (6.36) составим выражения для определения Т 2 И "{:
1...... (50 О ,4(02) О
Т oo 5000 === (50 0,4(02) 5000 == 50 0,4,'
2 == 50oo 50008 ш2
oo2 (50 0,4(02)
't==
0,4ооЗ
ООЗ 0,4003 (50 0,4(2)
50oo8
oo
.........50008
== 0,02 (19 0,16(02).
Вычиелим значения Т 2 И "{:
6
10
}f19/0,16 У50/0,4
(f)
о
5
8
15
00
Т2
00 1 ,60 O, 0,38 0,10
0,02
о
0,18 0,40
't
0,38 0,30 0,27 0,18 0,06
о
......0 02
,
......0 , з 4 .......()Q
По результатам вычислений строим кривую D..разбиения (рис. 6.26). При дви"
женин по кривой от (t) == о к (t) == 00 штриховку наносим справа, так как при
00 > о А < о.
n O
Определитель 6. обращается в нуль
только при 00==0. Коэффициент ап == 50
характеристическоrо уравнения не за-
висит от параметров Т 2 И Т, но коэффи.
циент ао == 0,4 Т 2 зависит от пара-
метра Т 2' Приравняв этот коэффици"
ент нулю, получим уравнение един..
ственной особой прямой Т 2 == О, т. е.
особой прямой является ось ординат.
Она асимптотически приближается
к кривой D.разбиения при 00 == 00 , и
поэтому ее нужно штриховать в соот.
ветствии с правилом а (см. рис. 6.25, а).
И (Т ) Рис. 6.26. D-разбиение плоскости парамет..
так, плоскость параметров 2,Т ров T и 't
делится на четыре области. Штриховка
направлена внутрь области 1, которая
и является, следовательно, областью потенциальной устойчивости. Проверим ее
устойчивость по точке М. Подставим Т 2 == "t == 0,2 в характеристическое урав.
нение
7
4
I
0,2
......L........
1,0 Т2
0,08 53 + 0,65 + 118 + 50 == о.
Проnерим устойчивость по критерию rурвица:
0,6.11 === 6,6 > 0,08.50 === 4.
Следовательно, область 1 является областью устойчивости. Парам.етры Т 2
И Т это положительные величины, поэтому действительной областью устой
чивости является только часть области 1, лежащая в первом квадранте.
eTOДOM D разбиения плоскости двух параметров иноrда MO
жно выяснить влияние на устойчивость одноrо параметра ",
который входит в характеристическое уравнение нелинейным
образом, но этот полином удается представить в виде (6.34), обоз-
начив !l и 11 некоторые функции параметра "'.
В ряде случаев уравнения относительно параметров J.L и 11
оказываются нелинейными и после подстановки s == joo имеют
вид
qJl (00, J.L, 11) === о; СР2 (00, !l, 11) == о. (6.38)
Тоrда кривую D-разбиения строят в результате числовоrо ре..
шения системы уравнений (6.38). Штриховка кривой определя..
ется знаком якобиана, который составляют из частных произ..
водных от функций ер! И СР2 по переменным J.L и 11:
д<Рl aqJ 1
11 == д!! дYj. (6.39)
д<Р2 дСР2
д,.... дl1
При движении по кривой в сторону увеличения ro ее штрихуют
слева при Д. > о и справа при Д. <z о.
Иноrда в характеристическое уравнение линейно входят две
нелинейные функции тех параметров, влияние которых на устой-
чивость нужно выяснить. Тоrда D разбиение относительно этих
двух нелинеЙных функций является линейной задачей.
269
Пример 6.21. Выяснить влияние на устоАчивость САР передаточноrо коэф-
фициента k ее разомкнутой цепи и пОстоянной времени 't форсирующеrо звена.
Передаточная функция разомкнутой САР
W == k ('t5 + 1)
8 (Т 18 + 1) (Т 28 + 1) ,
rде Т1 == 0,4 с и Т2 == 0,1 с.
Составим характеристическое уравнение замкнутой системы:
Т lТ 2 + (Т 1 + Т 2) 52 + (1 + k't) 5 + k == о;
0,04 + 0,552 + (1 + k't)s k === о.
Будем выполнять D-разбиение относич-ельно k == fJ. и k't == Т), И В этом случае
задача будет линейной.
После подстановки 8 == joo определим:
N 1 == 1; N 2 == о; s 1 :::::: о; S 2 == 00; F 1 == 0)5 002; F 2 == 00 (1 0)04002);
А == I == 00;
I 0,5002 I
....... 00 (0,04002 1) == 0)05ro2;
Jl ro
11 О ) О 5ro 2 I
о ro (О,04ro2 1)
11 === == 0,04ro2 1.
ro
Результаты вычислений таковы:
(о
о
v 1/0,04
6
8
10
12
14
00
J1.
о
12,5
18
32
50
72
98
00
11
1
о
0,4
1,6
3,0
4,76
6,84
00
По полученным данным построена кривая D-разбиения (рис. 6.27).
Свободный член характеристическоrо уравнения ап == k, поэтому уравнение
особой прямой fJ. == k == О, т. е. особой прямой является ось ординат. Она имеет
()бщую точку с кривой D разбиения и ее следует штриховать по правилу б (см.
рис. 6.25, б).
Плоскость параметров fJ., т) разделена на три области, из которых областью
потенциальной устойчивости является область 1. Для проверки рассмотрим точку
М с координатами [20; 2]. После подстановки в характеристическое уравнение
k == 20 и k't == 2 получим
0,04sЗ + 0,552 + Зs + 20 == о.
Все коэффициенты этоrо уравнения положительные и
0,.1 3 == 1,5 > 0,04. 20 == 0,8,
т. е. условия устойчивости по критерию rурвица удовлетворяются.
Следовательно, область 1 есть область устойчивости. Параметр т) == k't не
может быть отрицательным, и действительной областью устойчивости является
лишь та часть области 1, которая лежит в первом квадранте. Значение пара...
метра '( при каждом значении k определяется так: 't == ТI' k.
<)7"
"'1
4
2
А2
А2
А,
1 О
О}
А1
1
'0
а)
Рис. 6.27. п..разбиенне плоскости двух параметров
Рис. 6.28. Плоскость обобщеиных параметров САР четвертоrо порядка:
а с областью устоfiчивости; 6 с опреде.'Iением rраничных значений 't
Друrие методы. С целью упрощения устойчивости rурвица
и использования их для выделения областей устойчивости, пред-
ложено [95] рассматривать обобщенные параметры (обозначим
их А1, А2, ...). которые вычисляются по коэффициентам ао, \
а1, ..., ап характеристическоrо уравнения САР:
А аоаз. А а1а4. А' а2а5 . (6 4()'
l , 2 , 3 , . ,)
a1a2 а2аз' аза4
Тоrда система TpeTbero порядка характеризуется только
одним обобщенным параметром Аl' и условием устойчивости при
положительности всех коэффициентов характеристическоrо урав..
нения является неравенство
1 > Ао > О. (6.41)
Точка А1 == О соответствует наличию нулевоrо или бесконеч-
Horo корня, а точка А] === 1 наличию пары мнимых корней харак-
теристическоrо уравнения.
Система четвертоrо порядка характеризуется обобщенными
параметрами А1 и А2. Условие устойчивости при положитель-
ности коэффициентов характеристическоrо уравнения составляют
неравенства
Al > о; А2 > о; Al + А2 < 1. (6.42)
rрафически область устойчивости в плоскости параметров А1
и А2 представляет собой треуrольник (рис. 6.28, а). Наклонный
прямой соответствует наличие пары мнимых корней. При А] == О
имеется один бесконечный корень и при А2 == О один нулевой
корень.
Система пятоrо порядка характеризуется обобщенными пара
метрами A1, А2 и Аз. Условие устойчивости при положительности
коэффициентов характеристическоrо уравнения составляют не..
равенства
(1 А1) (1 Аз) А2 (1 . А1Аз)2 > о;
1 > А] > о; А2 > о; Аз > о. (6.43)
271
I
При каждом значении параметра А2 в плоскости параметров
Al и А2 может быть выделена область устойчивости.
Пример 6.22. Выяснить влияние постоянной времени 'т форсирующеrо звена
на устойчивость САР, у которой передаточная функция разомкнутой цепи
k (TS + 1)
W === 82 (T2s2 + 2STs + 1) ,
rде k 20; Т === 0,1 с; S == 0,5.
Составим характеристическое уравнение замкнутой САР:
T2s4 + 2 Ts3 + 82 + kTS + k == о;
0,01 84 + 0)1 s3 + 8 + 20Т8 + 20 == о.
Определим значения обобщенных лараметров:
А . О, О 1 · 20т 2 . А 0,1. 20 о, 1
1 0,1.1 т, 2 1.201' . ·
Вычислим значения обобщенных пармметров при нескольких значениях Т:
0,1 0,2 0,25 0,5
0,2 0,4 0,5 1,0
1,0 0,5 0,4 0,2
"с
Ai
А.
Нанесем эти точки на rрафик (рис. 6.28, б) и соединим их кривой. Система
устойчива при 0,28 < А1 < 0,72, т. е. при 0,14 < 't < 0,36.
Выяснить зависимость устойчивости САР от какоrо..либо па-
раметра а можно с помощью ЛЧХ [109]. Достаточно построить
ЛЧХ разомкнутой САР при нескольких значениях а и определить
соответствующие значения запаса устойчивости у по фазе. При
'у < о система неустойчива. .
Одновременно целесообразно определить значения запаса yc
тойчивости h по модулю. fрафики зависимости 'у и h от а с до-
статочной полнотой характеризуют влияние этоrо параметра как
на устойчивость, так и на запасы устойчивости.
6.10. СТРУКТУРНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
САР называют структур но неустойчивой, если ее нельзя cдe
лать устойчивой только изменением параметров (изменением их
значений, но не знаков), а необходимо изменение структуры,
т. е. введение в САР новых звеньев и связей, или изменение типа
имеющихся звеньев и связей.
Одноконтурная САР структурно неустойчива [2], если нару-
шаются неравенство
т > 'v + l 1 (6.44)
272
Т а б л и ц а 6.4
Неравенства для про верки структурной устоичнвости
т.=::;; О т > О, четно т > О, нечетно
Четно n+ т> 4r n + т> 4r 1 n + т > 4r 2
Нечетно п + т> 4r п + т > 4r п + т> 4r + 1
и неравенство из табл. 6.4, соответствующее показателям т и 1
этой САР. В указанных неравенствах т и n степени соответ-
ственно полиномов R и Q числителя и знаменателя передаточной
функции разомкнутой САР; 'V число нулевых корней полинома Q;
1 число положительных вещественных корней полинома Q;
1 число комплексных корней полинома Q с положительной или
нулевой вещественной частью; , целая qaCTb дроби 1/2. Поли-
ном R не имеет правых корней.
Рассмотрим частные случаи.
1. Если числитель передаточной функции разомкнутой САР
R == k, то она структурно неустойчива при нарушении одноrо
из неравенств:
v+1<: 1; n 4r. (6.45)
2. Если R == k ('t's + 1), то САР структурно неустойчива в
случае нарушения одноrо из следующих неравенств:
'V + 1 2; n> 4, ...... 3 при четном 1; }
v + 1 ...;: 2; п > .1r при нечетном f; (6.46)
3. Если R ==< k (bos2 + b1s + 1), то система структур но не-
устойчива при нарушении одноrо из следующих неравенств:
'V + 1 3; n > 4r 2 при четном {; f }
'V + 1 3; n > 4r 1 при нечетном "
(6.47)
Пример 6.23. Проверить у 2ТОЙЧИВОСТЬ одноконтурной САР, состоящей из
безынерционноrо, интеrрирующеrо апериодическоrо и консервативноrо звеньев.
Передаточная функция разомкнутоЙ l епи
W . k .
5 (Т15 + 1) (T s.c + J)
Имеет место 1 й частный случай: R == k. Полином Q четвертоrо порядка,
у Hero один нулевой корень, один отрицательный вещественный и два чисто мни..
мых, Т. е. п == 4; 'v == 1; 1 == о; f == 2. Следовательно, r == 1 и п == 4r.
Второе из неравенств (6.47) не удовлетворяется, поэтому можно сделать вы..
вод о структур ной неустойчивости САР
ля проверки составим характеристическое уравнение замкнутой системы:
TiTis4 + T ss + т 1s1 + s + k == О,
и применим критерий устойчивости rурвица.
273
Все коэффициеНТIII характеристическоrо уравнения положительные, а не-
равенство (6.11) имеет левой частью T T l' а правой частью T11l + T k. Коэффи-
циенты Т 2 И k положительные вещественные величины, инеравенство (6.11)
не может 6ыть удовлетворе'но изменением этих коэффициентов. Рассмотренная
САР действительно структурно неустойчивая.
6.11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ устойчивости СИСТЕМ
С ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ, ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ
И НЕСТАЦИОНАРНЫМИ ЗВЕНЬЯМИ
Процессы в некоторых элементах не MorYT быть описаны обык"
новенными линейными дифференциальными уравнениями с по..
стоянными коэффициентами. Однако в ряде случаев исследование
устойчивости САР с такими звеньями сводится к использованию
ранее рассмотренных критериев устойчивости. Проанализируем
эти возможности.
Система с чистым запаздыванием. Имеются САР, в которых
реакция на внешнее воздействие возникает только через опреде..
ленный промежуток времени 8 после начала этоrо воздействия.
Такое свойство называют чистым (транспортным) запаздыванием и
фиксируют последовательным включением динамическоrо звена
с трансцендентной передаточной функцией
WЗ e-os. (6.48)
Исследование устойчивости САР с чистым запаздыванием воз-
можно с помощью крит:ерия Найквиста, и передаточная функция
разомкнутой САР должна быть представлена в виде
W === Woe;8s, (6.49)
rде Wo передаточная функция линейной части.
Точка размыкания САР должна быть выбрана в соответствии
с расположением звена чистоrо запаздывания. В одноконтурной
системе (рис. 6.29, а) можно размыкать основную обратную связь,
и тоrда
W ;::::: \fll W2e. 8s. (6.50)
Если звено с запаздыванием находится в цепи местной обратной
связи (рис. 6.29, 6), то систему следует размыкать на выходе этой
связи. В этом случае
W == w 01 W 2 e"'Os (6.51 )
1 \\7 1 W 2 W 3 .
Звено с запаздыванием может быть в параллельной ветви пря..
мой цепи системы (рис. 6.29, в). При этом
W1W2\V'4 ..8s
1V =- 1 + W lW з\f' 4 е · (6.52)
Формулировка критерия Найквиста для систем с чистым запаз-
дыванием сохраняется прежней. Однако построение АФЧХ имеет
274
9 .:we Bs w !I
. .... 2 1
а)
Рис. 6.29. Выбор точки раз..
мыкания САР со звеном чнс"
Toro запаздывания:
а о прямой цепн; 6 о
цепи местной обратной свя"
зи; tJ ..... о параллельной BeT
он
у
с)
у
8)
некоторую особенность. Подставив в равенство (6.49) s:=::: jw,
получим частотную передаточную функцию
W == Woe--jero == Aei1P, (6.53)
rде А== Ао и 'ф == 'Фо 800.
Следовательно, звено чистоrо запаздывания не изменяет ам"
плиту дно..частотную характеристику, но создает дополнительный
отрицательный сдвиr по фазе, пропорциональный частоте. Поэтому
можно построить АФЧХ Wo линейной части и для каждой час..
тоты OOi повернуть вектор W о (j шд на уrо.п 8OOi, т. е. по часовой
стрелке. Получается АФЧХ W разомкнутой системы с запазды..
ванием.
Пример 6.24. Построить АФЧХ разомкнутой САР, если ее передаточная
функция
W == 2 e...jO,02.
О, Is + 1
Сначала строим АФ ЧХ линейной части W о (рис. 6.30) по ее частотной пере..
даточной функции
...... 2 2(I jO,loo)
W о == О, ljoo + 1 == 1 + 0,01002.... ·
Необходимый уrол поворота векторов W о (jOOi) определяется в данном случае
выражением
Д'l>i == 0,0200i57,3°.
Поэтому при частотах 5; 10; 20; 30; 50; и 60 c l делаем ПОБОРОТЫ соответ"
ственно на 5,7; 22,5; 22,9; 34,4; 57,3 и 68,80. Соединив найденные точки
плавной кривой, получим АФЧХ W рассматриваемой САР.
275
+j
+}
Рис. 6.30. Построеиие ЛФЧХ системы с запаSАываиием
Рис. в.З1. Определение критическоrо времени запаЗАываиия по ЛФЧХ разомкнутой системы
Дополнительный фазовый сдвиr Д'Ф == oo8 «закручивает»
rодоrраф Wo по часовой стрелке и тем сильнее, чем больше ча..
стота. Вследствие этоrо условия устойчивости чаще Bcero ухуд--
аются. Однако в некоторых случаях, при сложной форме АФЧХ
Wo, запаздывание улучшает условия устойчивости.
Для оценки влияния чистоrо запаздывания на устойчивость
введено понятие критическоrо времени запаздывания 8кр' Для
абсолютно устойчивой системы определение 8ир показано на
рис. 6.31. На АФЧХ линейной части Wo отыскивается точка,
для которой модуль равен едини.це. Пусть этой точке соответствует
частота (01 и избыток фазы 1'1' Тоrда критическое значение времени
запаздывания
6мр ;:: 1'1/(01' (6.54)
rде 1'1 в радианах.
Если передаточная функция Wo не имеет нулевых и мнимых
полюсов и I Wo I 1, то САР устойчива при всех значениях вре..
мени запаздывания 6.
Исследование устойчивости САР с запаздыванием удобно
проводить по лоrарифмическим частотным характеристикам ее
разомкнутой цепи. Сначала строят ЛЧХ линейной части. Затем
в ЛФЧХ добавляют фазовый сдвиr Д'Ф == 6oo, создаваемый зве..
ном чистоrо запаздывания. Критическое значение времени за..
паздывания определяют по формуле (6.54), rде за 1'1 принимают
запас по фазе (избыток фазы при частоте среза) разомкнутой си..
стемы без запаздывания.
Пример 6.25. Выяснить устойчивость и определить критическое значение
вр емени запаздывания в САР, У которой передаточная функция разомкнутой цепи
k ...e
w е
(Т 1 S + 1) (Т 2S + 1) ,
rде k == 2; е == 20 с; Т 1 40 с; Т 2 == 1 О с.
276
Сначала строим ЛЧ Х L о и o ли.
нейной части САР (рис. 6.32) по следу-
ющим данным: 20 19 k == 6 .в.В; со.
пряrающие частоты 001 == I/Т:( ==
== 0,025 с"'l; 001 == 1/Т1 === 0,1 C l.
Затем определяем дополнительныw
сдвиr по фазе i\'Ф === eы, создава.
емый звеном чистоrо запаздывания,
и'ЛФЧХ'Ф разомкнутой системы о за..
л аз)!,Ыва н и ем.
На участке частот, меньших ча-
стоты среза ООС' ординаты ЛФЧХ боль-
ше 31. Следовательно, в замкнутоы
состоянии исследуемая САР будет
устойчивой.
Запас ло фазе системы без зала.
здывания 1'1 == 900 или 1,57 радиан,
частота среза ООС == 0,048 c l. Крити-
ческое значение времени запаздывания
8кр == 1,57/0,048 == 32,7 с.
Используя критерий Най-
квиста, можно выяснить устой-
чивость САР с несколькими звеньями запаздывания, а также
со звеньями полузапаздывания.
Звено полузапаздывания [105] имеет передаточную функцию,
Wп.з == e--Y8s (б.55)
Il характеризует процессы в некоторых диффузионных и тепловых
объектах. Ero АФЧХ и ЛЧХ определяются следующими ра-
венствами:
W (1 + j) 118(0/2 е-- У8Ф/2е j У8(О/2.
п. :З ........... е ,
L;аБ
10 LD
о
10
w
ЦJ, zpa d
1
I
I
I I
I
i UJя;
I \
\ \
I
vJ
о
90
180
Рис. 8.32. ЛоrаРНфМRческие частотные ха..
рактернстнки линейной частн САР
L п. з == 20 19 е 118(0/2 ..........8' 7 V 8ш/2 дБ;
'i'и. э == ........ v Вш/2.
( б . 5б }
Система с иррациональным звеном. При математическом опи-
сании диффузионных и тепловых объектов их представляют
иррациональными звеньями: полуинтеrрирующим и полуинер-
ционными [105]. Передаточные функции и значения частотных
характеристик этих звеньев приведены в табл. 5.5.
Передаточная функция разомкнутой САР с такими звеньями
будет функцией q == / s:
W === kR (q)/Q (q). (б. 57)'
Характеристическое уравнение замкнутой САР также будет
уравнением относительно q:
Q (q) + kR (q) == О. (б.58)
Условие устойчивости в данном случае формулируется следу"
ющим образом [14]: для устойчивости САР; которая в разомкну...
. 277:
'"
том состоянии описывается передаточнои
функцией (6.57), необходимо и достаточно,
чтобы все корни qi уравнения (6.58) лежали
вне сектора 900, расположенноrо в правой
полуплоскости q симметрично относительно
вещественной оси (рис. 6.33).
Следовательно, MorYT быть применены
частотные критерии устойчивости. Удобнее
пользоваться критерием Найквиста. Необ..
ходимо строить А Ф Ч Х разомкнутой САР
и подсчитывать число оборотов этой ха..
рактеристики BOKpyr точки [ l, jO] или
Рис. 6.33. Область ус..
тойчивости САР С ирра- число ее переходов через отрезок в еще..
циональным звеном ственной оси от 1 до .........00 (см. п. 6.5).
Можно также пользоваться лоrарифмичес
ними частотными характеристиками, как было изложено в п. 6.6.
Пример 6.26. Определить запасы устойчивости по фазе и по аМПЛИТуде САР,
сли в разомкнутом состоянии она описывается передаточной функцией
k
w ,
(Т 15 + 1) (у Т 25 + 1) (Т з5 + 1) (Т 45 + 1)
t+j
Ооласть
!lсmoj.чu80ст
q
J
+
тде k == 20; Т 1 == 1 ,25 с; Т 2 == 0,6 с; Т 3 == 0,02 с и Т 4 == О, 01 с.
Данная САР отличается от рассмотренной в примере 6.10 только тем, что
второе звено не инерционное, а полуинерционное первоrо рода. Поэтому восполь
зуемся ранее проведенными расчетами и будем строить ЛЧХ на том же rрафике
(см. рис. 6.15).
i Теперь при сопряrающей частоте Ы2' создаваемой вторым звеном, наклон
.асимптоты изменится не на 20 дБ/дек, а лишь на 10 дБ/дек (см. табл. 5.5).
Асимптотической ЛА ЧХ рассматриваемой САР является ломаная Lб.
Составляющую ЛФЧХ, составляющую второму звену, определяем по фор-
муле
'1'2 == arctg У ыТ 2/(У2 + у юТ 2):
(1) 014 1 2 7 1 О 20 40
-Ф2 14,4 19,5 23,6 -----30'6 ----3214 ........з5,4 .......з7,8
.лф ЧХ на рис. 6.15 соответствует кривой 'Рб.
Можем заключить, что рассматриваемая САР в замкнутом состоянии устой
чива и имеет запасы устойчивости 1'б == 49,50 и hб == 18 дБ. Замена инерционноrо
звена на полуинерционное привела к увеличению запасов устойчивости.
Система с нестационарным линейным звеном. В общем случае
такая система описывается уравнением
[ао (t) рп + а1 (t) pп l + · · . + ап (t)] у (t) ::::
==: rbo (t) рт + Ь. (t) рт...l + . . · + Ьт (t)] f (t),
(6.59)
тде f (t) внешнее воздействие (задающее или возмущающее).
2.78
Рис. 6.34. Структурная схема
САР с нестацнонарным звеном
СтаЦlJ.DнарН4Д z Нестацаонарное !I
часть з6ено
Импульсная W (t, 8) и переходная h (t, 6) характеристик
нестационарной САР являются функциями двух переменных:-
момента времени 6, в которой приложено внешнее воздействие
(соответственно импульсная или единичная ступенчатая функция)v
и текущеrо времени 't' == t 6.
По временной характеристике может быть определена так Ha
зываеi\1ая нормальная пара1\1етрическая передаточная фУНКЦИ5f
00 '
00
w (8, е) ==:; J w ('t, О) е s'l d't 8 J h ('t, е) e ST d't. (б.бО)
о о
Целесообразно выяснять устойчивость нестационарной САР
лишь на интервале времени То ее действия. Система устойчива,
если импульсная характеристика 'W ('t', 6) затухает во времени
при всех моментах 8, лежащих внутри интервала ТО [97].
Вопрос об устойчивости удобнее решать по передаточной
функции W (s, 6). В этом случае условие устойчивости формули ,
руется следующим образом [97]: нестационарная САР устойчива
на интервале времени ТО тоrда и только тоrда, коrда ее нормаль
ная параметрическая передаточная функция не имеет полюсов
в правой полуплоскости и на мнимой оси комплексной плоскости s
при всех 6, лежащих в рассматриваемом интервале То.
Опр деление временной характеристики нестационарной САР-
[97, 10] чаще Bcero представляет собой сложную задачу. Однако.
следует иметь в виду, что во мноrих САР параметры нестационар..
Horo элемента (рис. 6.34) и коэффициенты уравнения (6.59) изме..
няются достаточно медленно. Если за время переходноrо про
цесса (за время затухания импульсной и переходной характери..
стик) параметры изменяют свои значения несущественно, то САР
квазистационарна.
При инженерных расчетах для исследования устойчивости
квазистационарной САР используют метод замороженных коэф
фициентов. Считают параметры нестационарноrо элемента по
стоянными, равными их значениям в какой то момент времени 8 .
Тоrда можно определить передаточную функцию этоrо элемента
и исследовать устойчивость системы, используя любой из крите
риев устойчивости.
Исследование необходимо провести при нескольких значе
ниях 6i из интерпала То. Моменты времени 6i выбирают так,
чтобы охватить все возможные варианты значений параметров
нестационарноrо элемента. Особое внимание обращают на точки,.
в которых имеет место значительное изменение какоrо либо'
параметра или смены ero знака.
27
Пример 6.27. Нестационарный элемент САР (рис. 6.34) описывается урав..
,яением
I
aoii + a1fJ + (а2 + at) у == z,
rде ао === 0,12; аl == 0,51; а2 == 2,43; а == 0,0105, и передаточная функция ее
стационарной части
W k2 (Т зs + 1)
2 Т 2S + 1 '
rде kfj== 31; тз== 0,083 и Т2== 0,11 с.
Выяснить устойчивость системы если время ее действия То == 180 с.
Коэффициент afj + at уравнения нестационарноrо элемента изменяется во
времени равномерно, поэтому применяя метод замороженных коэффициентов
достаточно выяснить устойчивость САР при t == О и t == Т о == 180 с.
В начальном режиме передаточная функция разомкнутой САР
1 31 (0,083s + 1)
W == W 1 W 2 == О, 12s1 + 0,51s + 2,43 О, 11s + 1
и ее характеристическое уравнение в замкнутом состоянии
0,0132 s3 + О, 176s + 3,35s + 33,43 == О.
Коэффициенты характеристическоrо уравнения положительные, и неравен-
.ство (6.10) критерия rурвица удовлетворяется;
0,176. 3,35 == 0.590 > 0,0132.33,43 == 0,441.
в конечном режиме
W ==: 1 31 (0,083s + 1)
О, 12s' + O,51s + 4,32 О, 11s + 1
в характеристическое уравнение
О,О132sЗ + O,1765 + 3,565 + 35,32 == О.
Неравенство (6.10) также удовлетворяется:
Q,176.3,56 == 0,626 > 0,0132.35,32 == 0,466.
Итак, применение критерия rурвица при замороженных коэффициентах
характеристическоrо уравнения свидетельствует об устойчивости САР. Остается
выяснить, можно ли было использовать этот метод.
В начальном режиме запас устойчивости несколько меньше, поэтому следует
рассмотреть переходный процесс при начальном значении переменноrо коэффи.
циента.
Определим передаточную функцию замкнутой САР и изображение переходной
характеристики:
Н:== W :::1: W ____ 31 (0,083s + 1) _
5 S (1 + W) s (0,013258 + 0,17659 + 3,35s + 33,43)
0,927 (0,0835 + 1)
..... 5 (0,09025 + 1) (0,06622s2 + 2.0,0744.0,06625 + 1) ·
Используя п. 103 табл. 4.1, определим
h == 0,927 [1.....0.826e..1,124/sin (15,06t + 1.36) 0,193e"'9.09t].
:280
Вычислим значения h при различных t:
0,927
t
1
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
h
0,927
1,175
1,141
0,994
0,952
0,985
1,01 О
1,009
Длительность переходноrо процесса tp 2,5 с. За этот промежуток времени
переменный коэффициент уравнения нестационарноrо элемента изменится на
0,0105.2,5
2,43 100 === 1,08%. Изменение незначительное, И, следовательно, приме...
нение метода замороженных коэффициентов допустимо.
Более точные результаты дает метод замороженных реакций
[10 1, который треб,ует решения уравнения нестационарноrо эле..
мента. Если это уравнение nepBoro порядка
iJ (t) + а (t) у (t) == z (t),
(6.61)
то ero решение
t
У (t) == е Ф (1) J z (t) e (1) dt,
О
(6.62)
t
'де q> (t) ==; J а (t) dt.
о
Равенство (6.62) позвоnяет определить импульсную или пере..
ходную характеристику нестационарноrо эnемента. Затем, поль-
зуясь формулой (6.60), можно определить ero параметрическую
передаточную функцию. При каждом фиксированном значении
е она по своим свойствам совпадает с передаточной функцией
стаuионарноrо звена. Тоrда может БЫТh определена передаточная
функция разом,кнутой цепи САР (рис. 6.34):
w (8, е) == W1 (8, е) WЭ (8)
(6.63)
и исследована устойчивость системы.
Исследование должно охватывать все «опасные» точкl'. рабо..
чеrо диапазона изменения t (от О до То). При этом нужно учитывать
не только значения nepeMeHHoro коэффициента, но и характер
ero изменения, т. е. скорость и ускорение изменения.
Если переменный коэффициент содержится в правой части
уравнения нестационарноrо элемента, то необходимо определить
ero переходную характеристику. Иначе не будет учтено измене-
ние этоrо коэффициента во времени.
28}
Решение нестаЦИ6нарноrо уравнения BToporo порядка и методы
'приближенноrо решения уравнений более высоких порядков
приведены, напр'имер, в работе [101.
Пример 6.28. 11:естаЦIIонарный элемент САР (рис. 6.34) описывается ypaB
нением
у + ау (Ь ct) z,
тде а == 5; Ь == 20; с::.;;:: 0,2, и передаточная функция стационарной части
k2
W2=::
S (Т 2S + 1) ,
тде k" == 5; Т 2 == 0,05 с.
Выяснить устойчивость САР, если время ее действия ТО == 100 с.
Используем метод «замороженных» реакций, для этоrо опредеJ;tим переход-
.ную характеристику нестационарноrо элемента, т. е. решение уравнения
dh
dт;1 + ah1 == (Ь + с (-r + 6») 1 (-r),
тде7-r == t 8.
По формуле (6.62)
'с
h1 == e <P ('t) J [Ь + с (1' + ан ] (-r) е<Р ('t) J-r.
о
'f
i1'Ae Ip (1') == J а d-r == a-r.
о
Следовательно,
'f
Ь1 == e a't J [(Ь + се) + C'f) e/J't d'I ==
О
== е ...a't [Ь + с8 eQ't ....... Ь + се + с (..!.. J.....) ea't + ]
а а а аl а'
== В1 (1 ..... e...a't) + B2-r,
В а (Ь + се) ....... с И Во == .
:r де 1 == аl Q а
Определим параметрическую передаточную функцию нестзционарноrо эле-
мента по формуле (6.60):
00
w 1 (s. 6) == s J [81 (1 e Q't) + 82-r] e s't d,; ==
о
s ( Вl В} + В2 ) == k1 (Тзs + 1) ,
s s + а 5' 5 (Т 18 + 1)
тде Т:( ...... l/a == 0,2 с; ki == с/а == 0.04; Т 8 == Ь/с + е . 100 + е.
:282
Передаточная функция разомкнутой САР
а а k1k2 (Тз5 + 1)
W (s, u) == W1 (St u) W2 (5) == 52 (T1s + 1) (T2s + 1)
0,2 [( 100 + 8) + 1]
== 52 (0,25 + 1) (0,55 + 1) ·
Составим характеристическое уравнение замкнутой САР:
0,0154 + 0,25sЗ + S2 + 0,2 (100 + 8)s + 0,2 == О.
Коэффициенты характеристическоrо уравнения положительные, и для устой
чивос.ти САР необходимо выполнение неравенства (6.11):
0,25.1.0,2 (100 + 8) > 0,01 (100 + 8)2 + 0,2-0,252.
Это неравенство удовлетворяется лишь при начальном режиме (при Тз ==
100 с). rраничное значение 8I'P определяется из уравнения
0,05 (100 + 8rp) == 0,01 (100 + 8rp)2 + 0,0125.
Решение этоrо уравнения 8rp == 24,75 с.
Итак, при t > 24,75 с САР становится неустойчивой. Необходимо ввести
корректирующее устройство обеспечивающее устойчивость на всем рабочем диа"
пазоне (см. rл. 8).
rлава 7
ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РЕrУЛИРОВАНИЯ
, l'/
-,\
Каждая система автоматическоrо реrулирования оценивается
u
устоичивостью и точностью В установившихся режимах и каче..
,ством переходных процессов. Устойчивость обеспечивает затуха-
ние переходных процессов. Методы исследования устойчивости
,были рассмотрены в предыдущей rлаве. Кроме устойчивости необ-
ходимо еще, чтобы в установившихся режимах реrулируемая ве..
личина была достаточно близка к заданному значению, т. е. обес-
печивалась требуемая точность реrулирования. Необходимо также,
чтобы затухание каждоrо переходноrо процесса было достаточно
быстрым и с допустимым отклонением реrулируемой величины,
т. е. обеспечивалось бы требуемое качество переходных процессов.
Точность установившихся режимов и качество переходных
процессов в совокупности определяют качество реrулирования.
Всякая реальная система действует при различных значениях
задающеrо воздействия и возмущений, при различном характере
ях изменения. Чем меньшее значение имеет при этом рассоrласо..
вание (отклонение реrулируемой величины от заданноrо значения),
тем выше качество реrулирования. Однако качество реrулирова..
ния не может быть оценено едиными числовым показателем.
Точность оценивается отсутствием или наличием рассоrласо..
вания в различных установившихся режимах и коэффициентами
.ошибки.
Значительно сложнее проблема оценки переходных про..
цессов. Используют прямые оценки переходноrо процесса, вы..
зываемоrо наиболее характерным единичным ступенчатым воз..
действием, и приближенные косвенные оценки качества: частот..
ные, интеrральные и корневые.
К частотным оценкам относятся ранее рассмотренные запасы
УСТОЙЧИВОСТИ по модулю и по фазе (см. п. 6.7), оценки переход..
Horo процесса по вещественной и амплитудно..фазовой частотной
характеристике и показатель колебательности. Интеrральные
.оценки (линейная, квадратичная и улучшенные) одним ЧИСЛОl\I
.,характеризуют и отклонения реrулируемой величины и продол-
..'284
жительность переходноrо процесса. Основные из корневых оце-
нок это степень устойчивости и колебательность, диаrрамма
Вышеrрадскоrо и корневые rодоrрафы. Все перечисленные оценки
будут рассмотрены ниже.
Оценки качества используются как при выяснении свойств
спроектированных систем, так и при синтезе систем. В первом
случае можно воспользоваться несколькими оценками, чтобы
полнее выяснить, каковы свойства системы. ВО втором случае
решение задачи возможно лишь при использовании оrраниченноrо
числа оценок. Иноrда ориентируются только на одну оценку.
Качество САР, внешние воздействия которых есть случайные
функции времени, принято оценивать среднеквадратичным зна
чением рассоrласования [10, 103].
7.1. ТОЧНОСТЬ 8 VСТАНОВИ8ШИХС.я РЕЖИМАХ
Ошибка (рассоrласование) САР имеет две составляющих:
Х == Xg +. xf.
(7. 1)
Здесь Хв ошибка вопроизведения задающеrо воздействия;
Х, ошибка, создаваемая возмущением. При нескольких воз-
мущениях Х, имеет соответственно несколько слаrаемых. Не при..
няты во внимание ошибки, обусловленные нечувствительностью
реrулятора (прежде Bcero наличием зоны нечувствительности
у датчика и элемента сравнения), и друrие ошибки, связанные
с неидеальной линейностью элементов реrулятора. Устранение
этих дополнительных поrрешностей связано с повышением класса
точности элементов р rулятора, что оrраничено техническими воз..
можностями и ведет к повышению стоимости реrулятора. Иноrда
эти дополнительные поrрешности рассматривают, как влияние
неких возмущений.
Значения составляющих ошибки в установившемся режиме
можно определять с помощью теоремы о конечном значении (см.
табл. П 1.1):
..,''tgg == Нт sX,; Х,,, == Вт sX'J
S O S O
(7.2)
rде Xg == WхG и Xf WХfF изображения составляющих
ошибки; G и р......... изображения соответственно g и {; W х и W х'
передаточные функции ошибки слежения и от возмущения.
Система, в которой постоянное внешнее воздействие созда-
ет ошибку B установившемся режиме, называется статической.
Если постоянное внешнее воздействие не создает установившейся
ошибки, то система астатическая относительно этоrо воздействия.
На рис. 7.1 изображена типичная структурная схема САР,
на которую воздействуют два возмущения. Одно из них прило-
жено к объекту реrулирования и друrое на входе системы. Пере..
285
у
Рис. 7. J. Стру ктурн ая схема ОАНО-
контурной САР с АВУМЯ возмуще..
ниями
даточные функции для ошибки слежения и для слаrаемых ошибки
от возмущений 11 и 12 соответственно
Wx == 1/(1 + W); WXf1 W1Wo/(1 + W); WX/2 == W/(1 + W),
(7.3)
rде W == Wc W1 W2 передаточная функция разомкнутой си..
CTe .1Ы .
Предположим, что к системе приложены постоянные внешние
воздействия g == go, 11 === 110 И 12 == 120. Тоrда возможны следующие
характерные случаи.
1. Передаточные функции участков цепи
W1 == k1R1/Ql, W2 == k2R2/Q2 И Wo == ko'
rде k1, k2, ko......... передаточные коэффициенты; Rl' Ql' R2' Qz.......
нормированные полиномы от s (с равным единице свободным чле-
ном).
По формуле (7.3) находим
W QIQ. ·
Х QIQ2 + kRIRs '
W 1t1kuR1Q2.
хl1 == QIQ.+kR1R. '
kR1R2
W х/2 == QIQ2 + kR1R2 '
rде k == koklk2 ----- передаточный коэффициент разомкнутой си-
стемы;
по формуле (7.2) определяем
Xgy == Sfo; Х/1у == kJ/ oSII0; Xf2Y == kSf20'
rде S == 1/(1 + k) коэффициент статизма.
Следовательно, в данном случае система статическая и уста..
новившаяся ошибка пропорциональна коэффициенту статизма,
который тем меньше, чем больше передаточный коэффициент k
разомкнутой системы. Однако с увеличением k ухудшаются по..
казатели качества переходных процессов (см. п. 8.1), и при k
больше rраничноrо значения система оказывается неустойчивой
(см. п. 6.9).
286
2. Пер даточная функция W1 === k1R1/(SQ1), а остальные пе..
редаточные функции участков системы прежние. По формулам
(7.3) и (7.2) находим
W \: === SQ1Q2 ; W k1koR1Q2.
. SQ1Q2 + kR1R2 xf1 == SQ1Q2 + kR1R2 '
Wx .'"" == kR 1 R 2 О Х f 10 · t
{4:. SQ1Q2 + kR1R2 Xg'l ===; Т1У == k;' Xf2Y === 20'
Система астатическая относительно задающеrо воздействия
вследствие Toro, что на участке с передаточной функцией W1
(см. рис. 7.1) имеется последовательно включенное интеrрирующее
звено или изодромное звено первоrо порядка.
3. Передаточная функция W2 === k2R2/(sQ2) И остальные переда..
точные функции участков системы те же, что и в первом случае.
По формулам (7.3) и (7.2) находим
W SQ1Q" · W k1koR1Qjs
Х SQIQ2 + kR1R2 ' xfl SQIQS + kR1Rj
W kR1R2. 1
xf2 == SQIQ2 + kR1Rg' Х,у == Xfll1 == о; Xf2y == 20'
Система астатическая относительно задающеrо воздействия
и относительно возмущения 11' так как на участке с передаточной
функцией W2 имеется интеrрирующее или изодромное звено.
Итак, при наличии интеrрирующеrо или изодромноrо звена
в прямой цепи система с жесткой основной обратной связью яв-
ляется астатической относительно задающеrо воздействия. Аста-
тизм относительно возмущения имеет место, коrда интеrрирующее
или изодромное звено в прямой цепи такой системы находится
перед элементом, на который воздействует это возмущение. На..
личие интеrрирующеrо или изодромноrо звена не создает аста-
тизма относительно возмущения, действующеrо на входе системы.
К астатической системе может быть приложено задающее воз-
действие, изменяющееся с постоянной скоростью v: g == vt.
При этом создается установившаяся ошибка Xgy == v/ kv, rде kv
передаточный коэффициент разомкнутой системы, называемый
в этом случае добротностью по скорости.
Задающее воздействие, изменяющееся с постоянной скоро..
стью, не создает установившейся ошибки в системе, прямая цепь
которой содержит два интеrрирующих или изодромных звена,
соединенных последовательно. В этом случае система астатиче..
ская BToporo порядка. .
К астатической системе BToporo порядка может быть прило-
жено задающее воздействие, и меняющееся с постоянным ускоре-
нием в: g :::= et2. Оно создает установившуюся ошибку Xgy ==
=== e/ke, rде ke передаточный коэффициент разомкнутой системы,
называемый в этом случае добротнос.тью по ускорению.
Установившаяся ошибка не создается задающим воздействием,
изменяющимся с постоянным ускорением, если в прямой цепи
287
системы три интеrрирующих или изодромных звена соединены
последовательно. Такая система астатическая TpeTbero порядка.
Система может быть астатической BToporo и TpeTbero порядка
относительно возмущения, если соответственно два или три ин..
теrрирующих или изодромных звена находятся в прямой цепи
перед элементом, на который воздействует это возмущение. Вли..
яние интеrрирующих и изодромных звеньев на качество перехqд..
ных процессов будет выяснено в п. 8.1.
Возможно изменение задающеrо воздействия по rармониче..
скому закону: g == gm sin юgt. При этом установив-шаяся ошибка
в линейной системе также будет rармоническqй:
Хву == Xgm sin ((j)gt + \р). (7.4)
Значение X&т определяется с помощью частотной передаточ-
ной функции Wx для ошибки:
Xgm::=:= I Wx (jUJg)1 gm gm
11 + W (jWg) I
gm gm
I w иы,)I А (Wg) ·
(7.5)
Эта приближенная формула обеспечивает точность, достаточ
ную для инженерных расчетов. Ее можно использовать и при
всяком задающем воздействии, разлаrаемом на сумму rармоник.
7.2. КОЭФФИЦИЕНТЫ ОШИБОК
Установившееся значение Xgy ошибки воспроизведения зада-
ющеrо воздействия, являющеrося произвольной, но достаточно
плавной функцией времени, можно определить с помощью коэф-
фициентов Со, С1, С2, . . .:
С vg С2 d2g СЗ d3g
Х,у == Gog + ldТ + ""2т ([j2 + зr dtЗ + · · ·
(7.6)
Коэффициенты ошибки вычисляются по передаточной функции
для ошибки слежения и ее производным по s при S::=: о:
Со == [wx]s;::o;
С ....... [ dW х ] ·
1 ......... ds 8==0 '
[ r12W ]
С I == ds2 х 8==0 ; ...
(7.7)
в статической системе Со == 1/(1 + k) === S, в астатической
Со == о, С1 == l/kv, в астатической BToporo порядка Со === С1 == о,
С2 == I/kp. MorYT быть системы с астатизмом TpeTbero порядка
и более BbIcoKoro.
Формулы для вычисления первых четырех коэффициентов
ошибки воспроизведения задающеrо воздействия (коэффицентов
ошибки слежения) приведены в табл. 7.1. Формулы содержат
коэффициенты передаточной функции W разомкнутой системы,
и, следовательно, отпадает необходимость в составлении переда..
точной функции W х.
288
Прнмер 7. t. Вычислить КОЭФФИЦlIенты СО, С1, С2 И Сз ошибки сле,J{еIlИЯ
если передаточная функция разомкнутой системы
20 (0,055 + 1)
W == 5 (О,ООООI5( + 0,0015. + 0,0181 + 0,55 + 1) ·
Система пятоrо порядка астатическая, и для вычисления коэффициентов
ошибки можно воспользоваться формулами поз. 8 табл. 7.1. В данном случае
ЬО == 0,00001; Ь1 == 0,001; Ь2 == 0,01; ЬЗ == 0,5; k == 20; o =:--; 1 2 == 8 === о;
4 === 0,05.
Подставив эти значения КОЭффИI(иентов D формулы, получим СО :--::: о; С1 ::=
==: 0,05; С2 0,02; СЗ == 0)00275.
По lIередаточной функции W xf ошибки о т возмущения M()rYT
быть вычислены коэффициенты ОllIибки от ВОЗМУI1 ения:
CfO === iWxf]s O; Cf, [ d Xf ] ; Cf2 == [ d: xf] ;. . .
5 ::=O ,S 5:=::0
(7.8)
Эти коэффициенты позволяют определить установившееся
значение ошибки, создаваемой возмущением, если оно является
достаточно медленно изменяющейся функцией времени:
· dl Cf2 d21 Cfs d81
Xfy =::=. Cfof + Cf1 dt + т dt2 + dtS + . · · (7.9)
Формулы для вычисления коэффициентов ошибки по коэф-
фициентам передаточной функции системы для ошибки приведены
в табл. 7.2. ЭТИ ФОРМУЛ:Ы MorYT быть использованы как дЛЯ BЫ
числения CfO, Cft, Cf2, .Н' так и для вычисления Со, C1, С2, ... ·
Пример 7.2. В системе со структурной схемой, изображенной На рис. 7.1,
передаточные функции ее участков имеют следующие значения:
2. 500 (0,155 + 1) .
\W 1 == S (O,25s + 1) , W 2 == о, Is + 1 ' W о == 0,05.
Вычислить установившееся значение ошибки, если задающее воздействие
g == got, а возмущения 11 == /I0 sin 0,628t; 12 == О.
Составим передаточную функцию разомкнутой системы:
50 (О, ] 55 + 1)
W == W OW1W2 5 (0,02552 + 0,35s 1) ·
ПО формулам поз. 2 табл. 7.1 определим коэффициенты ошибки от задающеrо
воздействия:
Со == о; С1 == l/k == 1/50 === 0,02.
Следовательно, соrласно формуле (7.6) Xgy == 0,02g0.
Составим передаточную функцию для ошибки от возмущения (учитывая знак
воздействия ВОЗМУIцения и обратной связи):
. WOW1 0,002(0,15+1)
Wxl== Wo( Wf)==I+W 0,000558+0,0075'+0,175+1 ·
Для вычисления коэффициентов ошибки от возмущения можно воспользо",
ваться формулами поз. 1 табл. 7.2. В данном случае kx == 0,002; ЬО == Ь1 == о;
Ьа == 0,1; йо == 0,0005; al == 0,007; al == 0,17.
10 Макаров И. М,
289
Формулы для определения КО9ффициентоtl ошиоки еле
N. Коэффициенты
Передаточная функция
по разомкнутой системы W I
пор. с. С1
..
1 k (PoSS + PlS2 + P2S + t) 1 Ь2 (Ь2 + k 2) со
bosa + b1s2 r b2s + I l+k l+k
2 k ( оsз + lS2 + 2S + 1) о I
s (bos2 + b1s + 1) k
3 k ( оsз + 1 S2 + 2S + 1) О О
S9 (bos + 1)
4 k (POS4 + PlS' P2S2 + зs I 1) 1 ЬЗ (ЬЗ kРз) со
bos4 + b1sS + b2s9 + ьЗS I 1 1 + k l+k
5 k (PoS4 + PlS8 + IS2 + зS + 1) о 1
s (ЬоsЗ 1 b1s9 + Ь25 + 1) R
........ k ( OS4 + lSЗ + 2S2 + ЗS r- 1)
6 О О
52 (bos2 + b1s + 1) ,
7 k (posn + lSn l + ... + п"15 + 1) 1 Ьп...1 (bn"l + kPп 1) СО
bosn + blSn l + ... + bп lS + 1 I+k l+k
8 k (PoSn + PlSn l + · · · + Pп"'1S -+ 1) О .. 1
S (bosп.....1 -t b15n 2 + ... + bn-.2s r- 1) k
I
9 "( oSп + PlSп l + ... + P"..lS + 1) о О i
s2 (bosn 2 + Ь1Sп.....з + · · · + bп 3S ])
290
женин по передаточноl функции разомкнутой системы
Таблица 7.1
ошибки
C1
Ь1 (Ь1 + k l) СО (Ь2 + k 2) С1
l+k
Ь1 (1 + k 2) С1
k
1
Т
Ь2 (Ь2 + ' 2) СО (Ьз + k з) С1
l+k
Ь2 (1 + k з) С1
k
1
k
Ьn"'2 (Ьn...2 + k n...2) СО
(bn 1 + k n"'l) С1
l+k
bn... ....... (1 + k n...t) С!
k
..
1
..........
N
C1
ЬО (ЬО + k o) СО (Ь1 + k l) Cl
(Ь2 + k 2) С2
l+k
ЬО (Ь1 + k l) С1 (1 + k 2) С2
k
ЬО k 2C2
k
Ь1 (Ь1 + k l) СО (Ь2 + k 2) С1
(Ьз + k з) C
I+k
Ь1 (Ь2 + k 2) С1 (1 t k з) С2
k
bi k ЗС2
k
Ьn з (Ьn з + ' n...8) СО
(Ьп...2 k n...2) С1 ....... (Ьn...1 + k n...l) С2
l+k
Ьп...з (Ьп...2 + k п..2) Ci (1 + 'Рп...l) С2
k
Ьn...А ..... k n...J. С2
k
10.
291
Формулы для определения КО9ффициентов ошибки по
Коэффнциенты
Н2 ПереДаточная функция замкнутой
по системы для ошибки W х I I
пор. СО С1
I kx (boS8 + b1s2 + b2s + 1) kx kx (Ь2 а2)
ЙoS. + a1s2 + a2s + 1
kx5 (boS2 + b1s + 1) О kx
2
aos8 + a1s2 + Q2s + 1
1
.
3 kxS2 (bos + 1) О О
aos3 + a1s2 + a2s + 1
4 kx (bos' + b1s8 + b2s2 + Ьзs + 1) kx kx (ЬЗ аз)
aos' + Q1S8 + a2s2 + азs + 1
5 kxs (bos3 + b1s2 + b2s + 1) О kx
1 aos' + lSЗ + a2s2 + азs + 1
6 kxS2 (boS2 + b1s . 1) О О
aos' + a1s3 + a2s2 + азs + 1
7 kx (bosn -1 blSn l + .. · + bn...1s + 1) kx kx (bn i aп l)
aosn + alSn l + ... + an..1s + 1
8 kxs (boSn l blSt% 2 + · .. + bп 2S + 1) о kx
aoSn + a1sn....1 + · · · + aп...1s + I
9 kx52 (boS: ..""'2 + Ьtsп....з + · · · + bп-.as + 1) О О
aosn + Йlsn l + · · · + аn..1з + 1
,;,
....... .;j ....
.. :v
29.2
Т а б 11 И Ц а 7.2
передаточной ФУНКЦИИ замкнутой системы для ошибки
ошибки
С. I с,
kx [b1 ..... Ь2а2 (ai ....... а!)] kx [ЬО b1 а2 Ь2 (a1 ..... a ) .......
(ао 2a1a2 + a )]
kx (b1 a д kx [Ьо b1a2 (a1 a )]
F
kx kx (ЬО а2)
kx [Ь2 Ьзаз (а2 a )] kx [b1 Ь2аз Ьз (а2 аА)
....... (a1 2а2аз + aR)]
..
, /
kx (Ь2 ..... аз) k х [b1 Ь2 аз ..... (а2 ....... ai)]
kx kx (b1 ........ аз)
kx [bn 2 bn 1an 1 kx [Ьп з bп 2aп.....1
ь 1 (й 2 ..... а2 1).......
....... ( а 1l 2 ..... a 1) ] n..... п n .....
..... (аn з ....... 2аn.....2йn.....1 + a .....1)]
kx (bп 2 ....... aп l) kx [ Ьn з ....... bп 2an 1 ....... (an 2 a I)]
kx .х (Ьп...а ........ an...t)
...... ......-.....
......... 1>- ,
"I!' ............ ........ -.r
L :II: a.; f"I!.,. .. ,.1.0- ......?..... ....... ...
.
293
Подставив эти ЗШlчения коэффициентов передаточной функции в формулы,
получим Cfo == 0,002; Сl1 ==
0,00014; Cfx == 0,0000098 и Сfз:::::
0,00000169.
Соrласно формуле (7.9) имеем
Xfy == +0,002 10 sin 0,6281
0,00014.0,62810 СО5 0,6281
0,0000098 Х
Х 0,197 10 sin 0,6281 + 0,00000169.0,41 10 СО5 0,628 1 == 10 (0,002 sin О,628' ==
== 0,0000878 cos 0,628/).
В соответствии с формулой (7.1) суммарное значение установившейся ошибки
Ху == 0,02 go + 10 (0,002 sin 0,628 1
0,00000878 cos 0,628/).
Передаточная функция для ошибки есть дробно-рациональная
функция от S, поэтому значения коэффициентов ошибки можно
вычислить делением ее числителя (начиная с младшеrо члена)
на знаменатель. Такой прием следует применять, коrда нельзя
использовать данные табл. 7.1 и 7.2. При этом удобно пользо-
ваться техникой подвижной полосы [55 J. Перед расчетом переда
точную функцию для ошибки (слежения или от возмущения)
ПрИ1Зодят к виду
Wx === kx (Ь&5n + blsn
t + .., + bп
lS + Ьп)
aosпl + alSn
l + · · · + ап...15 + 1
Затем на полосу бумаrи (на подвижную полосу) выписывают
столбиком .............ао, at, ..., .........aп
t, 1 и на листе бумаrи (на непод..
вижную полосу) выписывают столбиком Ьп, bп
l' ..., Ьо, О,
О, ... в статической системе Ь п == 1, в астатической Ь п и несколько
последующих коэффициентов bi равны нулю.
Подвижную полосу кладут слева от неподвижной так, чтобы
осталось место для записи результатов. Сначала flИЖНЯЯ цифра
u u v
подвижнои полосы должна находиться в однои строке сверхнеи
цифрой неподвижной полосы. Затем подвижную полосу постепенно
перемещают вниз.
В каждом положении подвижной полосы ее нижнюю цифру ум..
ножают на цифру неподвижной полосы в той же строке. Каждую
из остальных цифр подвижной полосы умножают на находящуюся
рядом цифру из столбца «Результат». Сумму всех произведений
записывают в столбец «Результат», рядом с нижней ..цифрой под-
...
вижнои полосы.
Цифры из столбца «Результат», начиная с верхней, после ум-
ножения на kx являются коэффициентами ошибки СО, Ct, С2, ....
Поэтому расчет нужно продолжать, пока в столбце «Результат»
не окажется столько цифр, сколько коэффициентов ошибки не-
обходимо вычислить.
Пример 7.3. Вычислить коэффициенты ошибки слежения СО' Ci, С2, СВ
и С4 дЛЯ системы, у которой передаточная функция
0,1 (0,158 + 0,559 + 5)
Wx== ·
О, 15' + О, 2st + 5 + 1
2Q4
t 3 б л и п а 7.3
Расчет к примеру 7.3
1'19. подсчета Подвнжная Результаты НеПОД8нжна я
полоса полоса
Otl
1 ......0 t 2
.........1'0
] ,О . . . О . . О
"
1,0
0,5
0,1
Otl
2
0,2 О О
.....1 , О
. 1,0 . . . . . . 1,0 . . . . . . 1,0
O,f)
0,1
3
o,] О ()
02
, 1,0 ] ,0
I,O
1,0 . . . . . . ........05 . . . . . . 0,5
,
0,1
....... О t 1 О О
4
02 1,0 1,0
,
O,5 0,5
I,O
1,0 . . . 0,4 . . . . . . 0,1
О ()
.....0' 1 I 1,0 1,0
5" .......0 2 ........ О , 5 0,5
, 0,4 0,1
.....1 ,О
I 1,0 I . .
o, 4 . . . . О
I I
Расположение полос при расчС'те показано в табл. 7.3 для Каждоrо подсчета.
Запись подсчетов имеет вид:
Ng подсчета Результат
1 ].0====0
2 1.1
1.0== 1
3 1.0,5
O,2.0
1.1
0,5
4 1 . О, 1
o, 1 . О
0,2- 1 + 1. 0,5 == 0,4
5 1.O
0,1.1 i
OJ2.0,5
1.0,4
O,4
Следовательно, коэффициенты ОIllибки имеют следующие значения: СО
о;
С1 == ] .0,1 == 0,1; С2
0,5 0,1 == .""
OJ05; Са == 0,4.0,1::--: OJO.
И С4 ==
==
0,4. 0,1 :==
0,04.
Данные для определения коэффициентов Оlпибки по ЛА Ч Х
минимально-фазовой системы приведены в табл. 9.6.
2g5
7.3. ПОI(А3АТЕЛи... I(АЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАI(ТЕРИСТИI(И
Среди во можных режимов САР важное значение имеет лере-
ходный процесс, возникающий при быстром (в пределе MrHoBeH"
ном) изменении задающеrо воздействия или возмущения от од..
Horo значения до друrоrо. Чем с большей скоростью и плавностью
протекает такой процесс,. тем меньшие продолжительность и зна..
чение рассоrласования.
Поэтому одной из оценок качества реrулирования (прямой
оценкой) служит оценка качества переходной характеристики САР
относительно задающеrо воздействия. При этом имеется в виду,
что чем лучше переходная характеристика, тем лучше система
будет отрабатывать (воспроизводить) произвольное задающее
воздействие.
Переходные характеристики (рис. 7.2) бывают колебательными
(кривая 1) и монотонными. (кривая 2). Особенность колебательной
характеристики в наличии перереrулирований переходов через
установившееся значение. Если только одно перереrулирование,
то характеристика малоколебательная. У монотонной характери..
v dh ОИ
стики не изменяется знак производнои: dt . ноrда к моно-
тонным относят характеристики без перереrулирования (кривая 3),
хотя знак производной и изменяется.
К основным локазателям качества переходной характеристики
относят перереrулирование а и время реrулирования tp. Пере-
реrулирование есть разность между максимальным значением
hmax лереходной характеристики и ее установившимся значением
hy. Перереrулирование выражают в процентах:
fJ == hmax kv 1 00 % . (7.1 О)
hy
В большинстве случаев требуется, чтобы перереrулирование
не превышало lO 30%. Иноrда необходимо, чтобы перереrули..
h
11 Ь
'1
1, 'х
r I t:I
Е:
l' ...t:::
"
,1
О J
t: tl!l 11 t О
tD.1 .11 1- t
tlJ1 . .!.
t.I
h
Рис. 7.2. Основные типы переходных характеристик относительно эадающеrо воздействия
Рис. 7.3. Область допустимых ОТКJlонениА переходноА характернстики относительно за..
дающеrо ВО3Аействия
296
о
t
I7f
tP1
Рис. 7.4. ОСИОllиые типы переходных характеристик относительно возмущения
рование отсутствовало и характеристика была :монотонной. В не-
'которых САР допускают перереrулирование до 50% н более.
Временем реrулирования оценивают длительность переход-
Horo процесса. Однако в идеальной линейной системе переходный
процесс бесконечен, поэтому временем реrулирования tp считают
тот интервал времени, по истечении KOToporo отклонения пере-
ходной характеристики от установившеrося значения не пре..
вышают :
I h h IJ I <. h У. (7.11 )
На рис. 7.2 время реrулирования указано для каждой из
трех хараl\теристик. Значение выбирают обычно равным 5 %.
Иноrда устанавливают == 2 % и даже === 1 %, но такой выбор
следует оrоваривать.
При заданных значениях '(1 и tp переХОДН8Я характеристика
не должна выходить И3 определенной области (риt;. 7.3), назы-
ваемой областью допустимых отклонении. t
Существенным показателем качества служит также число ко-
лебаний, Т. е. число максимумов характеристики за время pery-
лирования. Обычно бывает одно-два колебаlJИЯ. Допускается до
трех- четырех колебаний.
Всякая САР имеет своеи целью, кроме воспроизведения зада..
ющеrо воздействия, еще и подавление (уменьшение влияния)
возмущений. Поэтому качество реrулирования оценивают также
по переходной характеристике h, системы по возмущению. Ос-
новная особенность этой характеристики (рис. 7.4) в том, что
ее устаНОВИI3шееся значение должно быть весьма малым в стати-
ческой системе (кривая 1) и равно нулю:в астатической системе
(кривые 2 и 3). Характеристику, пересекающую ось абсцисс,
называют колебательной (кривые 1 и 2) и монотонной (кривая '3)"
если TaKoro пересечения нет.
Для определения времени еrулирования характеристиt<и h,
служит то же значение 5 %. В астатической системе значе...
цие Ll откдадhtвают от оси аБСЦIIСС.
2Э7
Понятие перереrулироnания для характеРИСТИI{ Ь, не имеет
смысла, и ЭТИ характеристики оценивают непосредственно мак..
симальным значением h, шах' На рис.. 7.4 указаны значения времени
реrулировзння tp и максимальные значения h, rnax для всех трех
характеристик.
Качество реrулирования САР оценивают и по переходным ха..
рактеристикам Ьх для ошибки слежения, которые отличаются
от Ь, тем, что их начальное значение не равно нулю.
7.4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
Приближенно качество переходной характеристики можно
оценить по вещественной частотной характеристике, так как
между этими характеристиками минимально..фазовой системы есть
взаимосвязь, определяемая формулой (4.21). Наиболее употреби..
тельны те оценки, которые MorYT быть даны без дополнительных
расчетов. Основными из них являются следующие [102 J.
1. У становившееся значение hy === h (00) переходной характе..
v
ристики определяется начальным значением вещественнои часто-
тной характеристики:
hy == Р (О). (7.12)
2. Начальное значение ho == h (О) переходной характеристики
определяеrся конечным значением вещественной ч стотной харак"
теристики:
ho == р (00).
(7.1 З)
З. Двум вещественным частотным характеристикам, сходным
по форме, но отличающимся масштабом по оси абсцисс в n раз,
соответствуют переходные характеристики, TaK)I(e сходные по
форме и отличающиеся масштабом по оси абсцисс в 1/n раз. Если
вещественной частотной характеристике P1 (00) соответствует
переходная характеристика h1 (t) (рис. 7.5), то вещественной ча..
стотной характеристике Р2 (nro) соотв.етствует переходная харак"
теристика Ь!, (t/n)
4. Двум вещественным частотным характеристикам, сходным
по форме, IIО отличающимся масштабом по оси ординат в п раз,
соответствуют переходные характеРИСТИI{И, также сходные по
форме и отличающиеся масштабом по оси ординат в n раз.
5. Разрыв непрерывности вещественной частотной характери..
стики свидетельствует о том, что система находится на rранице
устойчивости. Разрыву при ro == О соответствует апериодическая
rраница устойчивости (наличие нулевоrо корня характеристиче-
cKoro уравнения) и разрыву при ro =1= О колебательная rраница
устойчивости (наличие пары чисто мнимых корней характери-
стическоrо уравнения).
298
о
h
t
рис. 7 .6 ВещеС1 вениые частотные характеРИСТIIК 1 н 1':001 ветст вующие им переходные
характеристики
6. Острый пик вещественной частотной характеристики при
уrловой частоте (Oi (c l) свидетельствует о медленно затухающих
колебаниях переходной характеристики с частотой, близкой
к (rц).
7. Если вещественная частотная характеристика непрерывная
положительная и имеет вид воrнутой кривой, т. е. ее производная
dP
dю < О и монотонно уменьшается по абсолютному значению,
то переходная характеристика монотонная.
8. Если при какой-либо частоте ордината вещественной ча-
стотной характеристики больше начальной, то переходная харак-
теристика немонотонная. Это один из признаков немонотонности.
9. При положительной невозрастающей вещественной частот-
ной характеристике перереrулирование переходной характери-
стики не превышает 18 % .
10. При наличии у положительной вещественной частотной
характеристики максимума Р шах перереrу лирование переходной
характеристики оценивают неравенством
(J' < l,18Pmax Р (О) 1 00 OL
Р (О) 70 ·
(7.14 )
11. Если вещественная частотная характеристика имеет по-
ложительный Р шах И отрицательный Р mln экстремумы (рис. 7.6),
то перереrулирование переходной характеристики оценивают
неравенством 15]
< l,18Pmax+0,277Pmln P(0) 10001:
а Р (О) /0 ·
(7.15)
12. Если вещественная частотная характеристика непрерывная
невозрастающая и по форме приближается к трапецеидальной,
то переходную характеристику приближенно можно опреде..
299
р
р
I
1><
Jt::S
'
I
I
О I lU
О (J.Jb (i)d (JJп
Рис. 7.8. Вещественная частотния хар8К10-
ристика с двумя $кстремумами
Рнс. 7 7. Веществеllная частотная xapaKTe
РНСТН'Ш,L'аппроксимируемая двумя
трапециями
лить по табл. 4.4 h..Функций, r де Х === (l)и/(Ul1 (СМ. рис. 4.1). В этом
случае время реrулирования находится в пределах
n/cuп < ')! < 4n/ооп. (7.16)
13. Если вещественная частотная характеристика положи-
тельная на интервале частот ffiп, 1'0 во всяком случае время pery-
лирования
tp > n/ffiп. (7.17)
14. Вещественную частотную характеристику, !{оторая мо-
жет быть аппроксимирована двумя трапециями (рис. 7.7), опре-
деляют тремя параметрами: основным коэффициентом наклона
Х == rod/(f) 11; коэффициентом формы л == ооь/шн И дополнительным
коэффициентом наклона Ха == ооа/roь. Такой вещественной Ча-
стотной характеристике соответствует переходная характери-
\
O/o tp,C
60
50
40
30
10
1f
UJc '1 О
Ц Ртах
G', О/О
70
tp,c
5К
t.Uc
... ,.. ... '" ...
.tp /'r
7
j.......--. """" t;7 1--.... ....
... ... .. '
./ 7 t
" . . v
L v lOiii'"
i..-.. .. 1... ... V .. "'"---- ......
l..oo""'" Т
+
!
... .... , ... - 1---....
t
J
60
4]('
(,()с
50
'ю
3ff
Wc
3D
21Т"
(А)с
20
!L.
UJc
01,2 1,3
1,Ч 1,5 Ртах.
6)
Рис. 7.8. rрафики зависимостн времени реryJlИРОВ8НИЯ tp и перереrУJlирования (J от
максимальноrо значения Pmax вещественной частотноА характеристики:
а ...... при Х.;; 0.8; А 0.5 н ха 0.4: б..... при Х 0,8; О, 1 А 0,5 и Ха;;' 0,4
300
Таблица 7 4 .tJ.
Значения функции а
3
11 а 11 а
2
О О 8", 3. 165
n 1,852 9л 3,240 1
2п 2,282 10п 3,306
Эл 2,541 11", 3,366
4", 2,724 1211: 3,421 О 21r Lf'Л 6fT 8тr Ю1Т 12J/ lЧЛ '1
511: 21866 13", 3,471
631 2,982 14л 31517
7л 3,080 15л 3,560 Рис. 7.9. rрафик зависимости 8CnOMOraTeJlbHOA
фУНКЦИИ а
стика, показатели качества КОТОрОЙ MorYT быть приближенно
определены по I рафикам, изображенным на рис. 7.8.Здесь Ртах
максимальное значение вещественной частотной характеристики
и (()с частота среза ЛА ЧХ разомкнутой системы. Эти записи..
"
мости используют и при, синтезе корреКТИРУЮII ИХ устроиств
(см. п. 9.5).
Некоторые IIЗ перечисленных оценок (1 14) удобно приме..
нять, пренебреrая высокочастотной частью вещественноЙ частот..
ной характеристики или внося неБОЛЫllие коррективы n ее сред..
нечастотную часть. Поrрешность, которая при ЭТОl\1 вносится
В переходную характеристику, можно приближенно определить
[ 102 ].
Пусть отброшенная часть РОТ === РОТ (00) вещест енной частот..
ной характерис:rики удовлетворяет следующим условиям:
Р GT == О при О 00 OOL:
I РОТ I 1--1- при (()! (() (Uk, (7.18)
причем функция Рот имеет N экстремумов в интервале и)l (1)
OOk И не возрастает по абсолютному значению при ffi > ffik.
Тоrда верхний предел поrрешности I1h, которыЙ вносится в
переходную характеристику прп t t" определяют по формуле
!1h (tJ <. 2: [а (1)2) а ('I11)J, (7.19)
rде "1 == ooltL; "2 == (с + N) л; с наименьшее из целых чисел,
удовлетворяющих неравенству с ooLti/n.
rрафик функции а (уй изображен на рис. 7.9, и ее значения
приведены в табл. 7.4.
Из формулы (7.19) следует, что верхний предел поrрешности h
уменьшается с увеличением t, и наибольшее значение h тем
меньше, чем больше 00 1 И меньше J.L.
По оценке (7.17) время реrулирования больше п/ооп, по..
этому поправки h целесообразно вычислять только при t:>
> П/ООП.
i;J
1......
J,O
0,8
0,6
0,4
10
Рис. 7.10. Вещественная частот..
пая характеристика к приме..
ру 7.4
0,2
50
о
w
Wl
0,2.
Пример 7.4. Выяснить возможность аппроксимации вещественной частотной
характеристики, изображенной на рис. 7.10, одной трапецией при оценке качества
соответствующей ей переходной характеристики.
Параметры трапеции ООП == 32 c 1; OOtl == 19 c 1; коэффициент наклона
Х == Юа10оп 0,6. По табл. 4.4 h Функций определяем показатели качества пере.
ходной характеристики, соответствующей этой трапеции: а 16%; tp
== 8,5/32 == 0,27 с.
Теперь определим верхний предел дh поправки. Отброшенная часть РО,
вещественной частотной характеристики, состоящая из участка 1 (рис. 7.10) и ее
высокочастотной части 11, удовлетворяет условиям (7.18) при 001 == 8 с"1; ft ==
== 0,2 и Н == 2.
Вычислим поправку при tp == 0,27 с: ooltp 8.0,27 == 2,16; ooltp/1t == 0,69;
с 1; с + N == 3; по rрафику рис. 7.9 а (0,69 п) == 1,5; по табл. 7.4а (3п)
== 2,54; h (0,27) == 2. 0,2 (2,54 1,5) == 0,13.
ft
Значение h С.1JИШКОМ велико. В рассмотренном случае нельЗЯ оценить
качество переходноЙ характеристики, аппроксимировав вещественную частотную
характеристику одной трапецией. Необходима аппроксимация по меньшей мере
тремя трапециями. Тоrда для построения переходной характеристики может быть
использован метод, изложенный в п. 4.2.
Прнмер 7.5. Оценить поrрешность в определении переходной характери..
стики, если вещественную частотную характеристику Р! (рис. 7.11, а) считать
равной характеристике Р1.
Отбрасываемая высокочастотная часть РОТ характеристики изображена на
рис. 7.11, б. По этим rрафикам определим: ООп == 85 c 1; Ю[ == 75 c ).; fA. == 0,14
и N== 1.
Вычислим верхний предел поrрешности при /1 == п/юп == 0,037 с: Ю[/1 ==
== 75.0,037 == 2,78; 001/1/1t == 0,88; с == 1; с + N == 2; по rрафику рис. 7. tO.
2.0,14
(О,88п) == 1,75; по табл. 7,4 а (2п) == 2,28; h (0,037)== 1t (2,28 1,75) ==
== 0,069.
Вычислим верхний предел поrрешности при /2 -:-- 2, 51t/ооп == 0,092 с: ЮI / а ==
== 75.0,092 == 6,9; (J)1/2/n == 2,21; с == 3; с + N == 4; по rрафику рис. 7.]0
а (2,21n) == 2,30; по табл.7.4 CG (4л) 2,79; tJ.h (0,092) == 2.0,14 (2,72
1t
2,30) 0,037.
302
Приближенно оцени..
вать переходную характе-
ристику замкнутой си ..
стемы можно и по А Ф Ч Х
ее разомкнутой цепи.
Наиболее простым яв-
ляется признак колеба..
тельности переходной ха.. Рис. 7.1 J. Вещественные частотные характеристи-
рактеристики [12 J. Если ки К примеру 7.5
АФЧХ разомкнутой аста-
тической системы пересекает прямую и == O,5, параллельную оси
ординат (кривая 1 на рис. 7.12, а), то переходная хараКТ,еристика
колебательная. Если пересечения нет (кривая 2), то удовлетворя-
ется необходимый [признак:монотонности I1ереходной характе-
ристики.
Для Toro чтобы переходная характеристика статической си-
стемы была колебательной, АФЧХ разомкнутой цепи этой си..
стемы должна :пересекать окружность радиуса " центр "кото..
Вычислим верхниiJ предел р.
rrurР IllНОСТИ прп tз 4л/ооп
=- 0,148 с: 001 tз == 75. о, 148 :::=:
11,1; ООltз/п == 3,53; с == 4; 1,0
с 1 N == 5; по rрафику рис. 7.10
а, (3,53л) === 2,64; по табл. 7.4
а (5п) == 2,78; 6.h (0,148) ==
== 2.0,14 (2J87 2,64) === 0,020. 0,.6
.n ..
I1TaK, при определении пс-
реходной характеристики по
вещественной частотноЙ харак-
теристике Р2 вместо Рl ПО"
rpelUHOCTb на участке от t 1 ==
== П/Шп до tз == 4п/шп, охва..
тывающем tp, постепенно YMeHЬ
шается от 7 до 2%.
Jv
...U
"-::1
1
...jV
а)
0,8
Ч
0;2
О 20 '10. 60
(JJп
Pz.
а)
т
о)
Lr
1 I. jO т
L7,Z
и
Рис. 7.12. Определеиие ко.nебатеп:ьности переходиой характеристики замкнутой системы
по АФЧХ ее разомкнутой цепи:
а --.. астатическая система; б ..... статическая система
303
рой "расположен на оси абсцисс в точке и == а (кривая 1 на
рис. 7.12, б):
r == k (k + 1)/(2k + 1); а === k2/(2k + 1), (7.20)
rде k передаточный коэффициент разомкнутой системы.
При отсутствии указанноrо пересечения (кривая 2) переход..
u u u
ныи процесс статическои системы монотонныи.
Оценки перереrулирования и времени реrулирования переход..
ной характеристики замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой
цепи приведены в работе [102, rл. XVI, п. 10 и II J. Связь ме-
жду показателями качества переходной характеристики и лоrа
рифмическими частотными характеристиками рассмотрена в п. 9.5.
7.5. ПОКА3АТЕЛЬ КОЛЕБАТЕльноети
Показатель колебательности 1\1 есть отношение максимальной
ординаты амплитудно..частотной характеристики замкнутой си..
стемы к начальной ординате:
м == Amax/A (О).
(7.21 )
Рассматривают обычно амплитудно..частотную характери..
стику относительно задающеrо воздействия. В астатических си..
стемах с единичной обратноЙ связью А (О) == 1, в статических
системах при k» 1 имеем А (О) 1, поэтому можно принять
М Amax. .
Физический смысл этой оценки заключается в том, что она
показывает максимально возможное отношение амплитуды ре-
u
rулируемои величины к амплитуде rармоническоrо задающеrо
воздействия. Косвенным показателем колебательности является
также запас устойчивости, при уменьшении KOToporo колебатель-
ность системы увеличивается.
Считается, что система имеет допустимый зя.пас устойчивосrи
при 1,5 М 1,7, хороший запас устойчивости при 1,1
м 1,3. Системы используются как при М == 1, так и при
М > 2. Обоснованные рекомендации устанавливают для каждоrо
I\:ласса систем на основании опыта их эксплуатации.
Значение 1\1 может быть определено непосредственно по
АФЧХ раЗОI\IКНУТОЙ системы с единичной обра"rной связью. На
u "
КОI\1плексную П.7'[оскость наносят сеi\lеиство окружностеи
(рис. 7.13) радиусом R с центром, смещенным влево от начала
координат на с:
R == А/(А2 1); с .42/(А2 1),
(7.22)
rде значение амплитуды А == А'Ф изменяется от 1 до 00.
Около каждой окружности указывают соответствующее зна-
чение А М. При А == 1 окружность вырождается в прямую
304
jV
// j
/'н"1, 1S
2
1
1
,
'" ........................ ...............-
2
3
-.._
Рис. 7.1 В.. Определен 11 е покаэатепя копебатепьности М по А ФЧ Х разом кнутоА системы
линию,... параллельную оси ординат и сдвинутую от нее влево на
0,5. При А === 00 окружность вырождается в точку с координа..
тами [ 1; j О]. Значения с и R для некоторых значений А
приведены ниже:
А 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 2,00
о 5,76 4,10 3,27 2,78 2,45 2,04 1,80 1,64 1,53 1,45 1,33
R
5,24 3,57 2,73 2,22
] ,88
1,46 , 1,20 1,03 0,90 0,80 0,67
I
Затем на рассматриваемой комплексной плоскости строится
АФЧХ. Наименьшая окружность, КОТОрОЙ коснется АФЧХ,
определит значение iVf рассматриваемой системы. Наименьшая
окружность на рис. 7.13 определяет М === 1,7.
Пусть в требованиях к системе предусмотрено, что показатель
колебательности не должен превышать HeKoToporo значения М.
Тоrда строят окружность, соответствующую А == М, и АФЧХ
разомкнутой системы не должна пересекать этой окружности
запретной зоны, но может коснуться ее".
Запретная зона может быть построена и для. лоrарифмиче-
ской фззово..частотной характеристики разомкнутой системы
305
L
'f,8tJcrf}
О
Рис. 7.14. Запретная зона для лфчх раЗОМКlIуrоЙ
системы 110 значенню показателя копебате.п:ьности
(рис. 7.14). Показатель коле5атель..
ности не превысит заданноrо значе
ния М, если избыток фазы не менее
А2+с
11, (l[CCOS (7.2:3)
2Ас
в ТОМ лиапазоне частот, в котором
20 19 [М /(М + J)] L
20 19 М/(М 1), (7.24)
т. е. в указанном диапа оне частоr ЛФЧХ не должна заходить
в З0НУ, оrраниченную прямой 1800 и кривой 1800 + 'L.
Значения избытка фазы
Таблица 7.5
3начс- 3начени я , rрад, при различных М
ния
L,дБ 1,05' 1,10 /1.15 (1,2o) J.251 J.30 11,40 r 1,50 , 1,60 , 1,70 /1.80 1 ?,ОО
........
5 23,Б 20,1 16,6 12,6 8,0
4 35,0 32,1 29,8 27,5 25,2 22,9 18,9 14,3 10,3 2,9
3 42,4 40,1 37,8 35,Б 33,8 31,5 28,6 25,2 22,9 20,1 17,8 13,8
2 48,1 45,8 43,5 41,3 39,5 37,8 34,4 31,5 29,2 27,5 25,2 21,8
1 52,7 50,4 48,1 45,8 j 43,5 41,8 39,0 36,1 33,8 31,5 29,8 26,4
О 56,7 53,9 51,6 49,3 I 47,0 45,3 41,8 39,0 36,7 34,4 32,1 29,2
l 602 57,3 54,4 52,1 i 49,8 47,6 44,1 40,7 37,8 35,5 33,8 29,8
,
2 63,0 59,6 56,7 5з,9: 51,G 49,3 45,3 41,8 38,4 36,1 33,8 29,2
3 65,3 61,3 58,4 55,0; 52,7 49,8 45,8 4] ,8 38,4 35,5 32,7 28,1
4 67,0 63,0 59,6 56, 1 53,3 50,4 45,3 40,7 37,2 33,2 30,4 24,6
5 6818 64,2 60,2 56;7\ 53,3 49,8 44,1 39,0 34,4 30,4 26,4 18,3
6 69,9 64,7 60,2 56,1 52,7 48,7 42,4 36,7 30,9 25,2 20,1 2,9
7 71,0 65,3 60,2 55,6\ 51,0 47,0 39,5 32,1 25,2 17,2 4,0
8 71,6 65,3 59,6 54,4 t 49,3 44,7 35,5 26,4 15,5
9 72,2 65,3 58,4 52,7 ! 47,0 41,3 29,8 16,0
10 72,2 64,2 " 57,3 49,81 43,5 36,7 21,2 ,
11 72,2 63,6 55,0 47,0: 39,0 30,4 - "
12 71,6 61,9 52,1 43,0 32,7 20, t I I - !
I
13 71,6 60,2 48,7 37,2 23,5 " ! i
14 70,5 57,9 44,7 29,8 I . - .
15 69,3 55,0 39,0 18,3 ..... I .
16 68,2 51,0 32,1 ........
17 66,5 47,0 21,2
18 64,2 41,3 ---- ----
19 61,9 33,8
20 59,0 23,5
I 21 55,6 -
22 51,3 I
I I I
306
в табл. 7.5 приведепы данные для ПОСТроения зависимостей
от ординат ЛАЧХ. В п. 9.6 будет рассмотрена методика построе..
ния ЛАЧХ по заданному значению М [8].
7.6. ИНТЕrРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Отклонение х реrулируемой величины от установившеrося
значения в переходном процессе и продолжительность этоrо про..
цесса характеризуются при интеrральных оценках качества од..
ним числом. Интеrральные оценки удобны для сравнения близких
по структуре систе I (ЛУЧluая из них имеет меньшую ннтеrральную
оценку) и для выбора параметров при синтезе систем (см. п. 9.2).
Обычно используются интеI'ральные оценки системы относи..
тельно задаЮII(еrо воздействия, но MorYT рассrvrатриваться такие
оцеНIlИ И относительно возмущения. РассrvIОТРИМ наиболее увот..
ребительные оценки.
Линейная интеrральная оценка. Численно она равна площади,
оrраниченной кривой отклонения х (рис. 7.15), и выражается
через изображение по ,Лапласу Х отклонения х:
00
Jf) J Х dt . 1iш Х. (7.25)
о 5 0
tпинейную интеr'раЛЬНУI0 оценку можно применять только
при монотонном переходном процессе (рис. 7.15, а). при колеба-
тельном процессе (рис. 7.15, б) суммарная площадь, оrраниченная
кривой х, совершенно не оценивает качество процесса: она будет
минимальной ПрИ незатухающем колебательном процессе.
Используются также линейные интеrральные оценки более
общеrо вида:
00
J J mdt ( ml' dmX
От == xt == 1) 1т т.
5--+0 ds
о
Они связаны с коэффипиеНТ31\1И ()ll1нБКII (crvr. н. 7.2):
Ст === ( I)т Jom (7.27)
и позволяют [72] определить приближенное реruение линейноrо
дифференциальноrо уравнения с постоянными кnэффициентами.
(7.26)
h,X
h x
Рис. 7.15. Определение линейной
ннтеrpаnьиой оценки:
а переходиая характеристи"
ка монотонная; б копебатель
ная
D
t
307
Квадратичная интеrральная оценка. Она МQжet применяtьсst
как при монотонны!, так и при колебательных переходных про-
цессах и зависит только от значения отклонения, но не от ero
знака:
00
J==Jx2dt.
о
(7.28)
Пусть изображение по .J1апласу рассоrласования х будет
Х == boSт + b1sm...1 + · .. + bm..1s + Ьт
qoS + a1sn...1 + · . · + aп__ls + ап t
(7.29)
rде т п 2 и все корни полинома aos" t- als/1 l ... Оп
имеют отрицательные вещественные части. j
Тоrда квадратичная JIнтеrральная оценка определяется [451
следующей фОРМУJIОЙ:
J === Bт т + Bт...1Am"1 + BIAl + Bo o .
2а2А
n
(7.30)
Злесь определитель
аn an 2 an 4 О
О aп l al' :J О
А== О ...........аn аn...2 О (7.31 )
. . . . . . . . . .
о о о й1
определители L.\i' i == пz, т............ 1, ..., О, образуются из опреде..
лителя L.\ заменой (т i 1 2)-ro столбца столбцом
a/l l' Q/l, О, О, ...;
(7.а2)
в L.\ и L.\i элементы с индексами меньше О н БОЛЬПIе n заменяются
нулями.
Коэффициенты Bi в формуле (7.30) имеют следуrощие значения:
Вт == b ;
B,,! l == b "'l ...... 2bт 2b т;
................. .
В, == Ь; ....... 2Ь/...1Ь /+1 + 2b1...2b 1+2..... · · . ;
........".......... I
(7.33)
Во === b ,
rде элементы с индексами меньше О и больше т заменяются HY
лями.
308
Если изображеlIие рассоrJIас6йания
Х === ЬoSп l + blSn 2 + · · + bll 2S + bll i
aoSn + alSn--1 + .. · + an..1S + а" '
(7.34)
то квадратичная ИlIтеrральная оценка
J ВпАп + BII lAn...i + · · · + В2А2 + ВIАl БnБn l
'2 2 ·
2апА йп
(7.35)
Здесь определитель имеет прежнее значение (7.3]) и опре..
делители i' i == n, n 1, ..., ], образуются из определи..
теля заменой (n i + l) ro столб а столбцом (7.32).
".., f""J
Коэффициенты l'i и В[ в формуле (7.35) составляют следующим
образом:
Оп :::::: Ьо ( all/ao); Бi === Ьо (l}i/bo aj/ao), i == tl ....... ],
n 2, ..., 1; (7.36)
'" 2.
Вп == Бnt
'" '2 .
Bп l === Бп"'l ........ 2Бп 2Бпt
.................. .
Bl === Бj ........ 2Бl lБ l+l + 2Бl 2Бl+2 . . .;
(7.37)
.................. .
81 == Б ,
rде элементы с индексами меньше О и больше n 1 заменяются
нулями.
Если известно изображение Н переходной характеристики,
то, чтобы воспользоваться формулами (7.30) или (7.35), следует
сначала определить изображение Х отклонения:
Х == hy/S Н,
rде hy == Вт sH.
S-+O
(7.38)
Значения квадратичной интеrральной оценки, соответствующей
некоторым значениям Н, даны в табл. 7.6.
Весьма различные по форме переходные процессы MorYT иметь
равные квадратичные интеrральные оценки. В этом заключается
недостаток таких оценок. Кроме Toro, если выбирать параметры
системы по минимуму квадратичной интеrральной оценки, то
переходный процесс может оказаться сильно колебательным.
Все это оrраничивает использование квадратичных интеrральных
оценок при анализе и синтезе САР.
309
tC!
f'o-..
=
=:
J;
'о
f--i
3LO
;5
...
" I
"'It"
.а
... I
r ... C'I)
C'I) .а JIC't
.а I""'f
.а
I
.... I + . ...
'о I I ... I""'f
N
tffC't tf
"t .а
. ... c't
I
с eq +
8
o + <j t:S
11 tSl
11
I I
.а
1"""""""" I N ..о
..... + N
N
CQ
.а
.а
с'; + tт:) ..... CQ ,;'1')
:.: +
. ... <j t:S t::S I .а
= + С"I
"I') 11
Q) ........... ..с:. ........, 11
=t
) ...... CQ
С'.) .., С"
О ..о ..с::.
<1 t:::I
+ (:'1
I
+ t::S I с <1 <1 11
о::: I cj
I ...........
с'1
С"1
::J:;
........... с ОН'!')
t---
с t::S "1
..с:. <j . ... . ...
од ..... t:S ..... t::S t::S
:::> CQ
t.:S
..о I 11 IN <j t.:S 11
! ...........
с';
I ..... <j
I
Q. ..... I с'1 .....
IN t:S C'J C'I)
t... t:S cq CQ ...... CQ I t:S ..с::. CQ
Q)
<j I .., C'J
.... + с'1 с'1 ......., ,
==
I""i C'I) ..... I
=
+
. ...
1
О + ...." .........., C'I) .CQ .-4 <J
о:::
'
CI ......., <j с') JI C'1
.......... ..... <j
+ oo:t'
== С'.1
I
11 «1 i!
::r
"........, I ...." <J
=
I""'f
.... <j c't
.....
CQ
0;1
r t:S <j
= о.. "........,
f ....'
C'I)
I:t
l
.:> IXI
I!
r
cu I
....... ......
:1 <j CQ
= N
.а
1:; L
,
Z. N:>'
'-
cu
...
=
::с
cu
:и
=
:r
:с ..........
...
I ........ +
......... +
..
u)
"11
:t:
u) ......... + t::S
....... v)
:s: ........... ..,. +
>.:.:: .......
r
и= ........... +
«1 I
(1) ......
t::S
I :--.1
t-o u)
....... ......... +
I
IN
v) .а
; р.В ......... C'I
e:;\V....... ...... -1
+
.а +
t:
t--- C'I + u)
..с::. е-1 eq +
g [1\
=
+ C'-I
C'-I
C'I ..с::. + CQ C'I
«1 .-4
\v >< >а ..с::. + cq
+
= ...t: ...." v)
..с::. +
.-4
=
+ CQ .... +
Q) "= 41 '1:. ...." u)
..,
Ol:t ....
a:s:I:1-.
>а = ..о +
p.tt ...."
v) ...." v) t.:S
I с
'00
..с:. +
0>< ...."
u)
C'JQ) . с
.c
:=
,1
u)
с:
I ...." С
t:S
..........
. c't (v)
,о. О Q.
c::g J
-1
IQ
-<]
с'1
-+
"'<t'
....... <J
"'о "<1'
N
8c........,.....
o -+ ,.........,
с'1
!I
<J
.....-.... ... C'I':)
о м ,....... -о +
са -<] .n ......
:.:
"""
. .
::r: +
= . .. с'1
..........
<1)
,.........,.
I
,.......
:1 + .. It)
-о =
о
r 1 I t:s ,.........,.
cq + C"II"""4
IN at:I ..... C"I C"I
I I
о::: .............. -<]
00:II
C':I
tt:I 11 + """
::r: + м I """ I
C"I
.Q
. . C'I':) =
t; м
С
"""
C"I I
I
........... ...
C"I ('1')
cq'0f#4
........,. I::S
c'tj -<] """
"""
........,.
tjC
.. с.. . ...
........,. I .........
t..
""" .. «='1 >. о
Q,) C"I -<] + <] I I I I ..
+
... I::S C"I """" l.t:)
= Ot:I =
= I
,.......
,....... "............
.....
........... -1
м ('1') ot:) tt:I 11
tj
о:::
tjQ
c'tj cq = с = C"I C"I +
::с м
..........
::r .............. <:j
i:Ii:: + IN f ! I I
C"I>.
(--о tj . .
(Ij е-1 C"I
'of#4
с..
I I::S
1::( -<] ......
......
са "............ е-1
I::S I t
s:q
"'I:t' <] ........... .............. ........... ...........
tj ..... 0:1 1.0 Ot:I tn
tn C"Ic:r)
+ tj
I::S
tj
11 11 11 !I 11 11 11
""" IN ('1') 0I!tI l.t:)
('1')
.............. <] <] <] <:j <:j cq
I J
C"I>'
v)
,.......
....-4
,.......
....-4 +
+ CJj
.. at:I
:t::
tI)
...., \о
-о +
i:Ii:: -1
'
>.:.: .......
(,)= IN
v) ,.......
СО... IN
......
1:;(,) v) tj ........
C:s::......
,....... + v)
со с.. 8 -о 1
+ iN
.......
<1)......
(I)
ol: CI) + (I) 01 +
g
11 0:1 v) .....
,
v)
tI) +
м
"""
aJca
+
+ .....
=Х
........... CQ, I::S
::с .t:
00:II v) ..... +
Q) -=- aJ
v1
= ...t::)
:EOt:! v)
.
.........
C'tjtr::t.. ..,
I"
c..t:t -о -1
"00 + .
0« I::S
CI')<1) '
.о
v) ......
t:::
........... -1
..s:: ..
tI)
с
tj
.........
:Z!0A tC со t---
t:::0
с
(Q
t---
t::
'о
Q)
:s:
:r:
Q)
:Е
о
I::!
О
Q.,
t::
311
ц=!
t'oo
.
t;
'о
со C"I)
... I:::S
..... о
'1:t I:::S .........
f1) 81
=
::s: 11 с") -.t< t:j
.а lC
:ж: 8
o ......
I
. "
11 ,....... -.t< CI:I ......
aJ
с")
IC
..о
+ I:::S
t:j
C'\I
о I
I:::S '""
с:
,....... С")+ I:::S о
:::: .а ............ I ......... I:::S
О := ...... " lC "dI =
Q.J I:::S
>Q t:j I .а
t:::( t:f
............
I ...... ..о
О о о I:::S ...... CI') 11
C'-
I:::S t:j t:j
р.. о:: "'-"" ro I C':I I:::S 1
«1 t:j I I IQ "'-""
t:: =
с"1 ro
.о с")
а:; t:j
с") ot) .а
са ...... ........"
>Q
I:::S
...... I:::S ........,,
.... Н
CI. ,.....,. t:j
с...
.a "'-"" +i: CI:I . ..
Q) ...... t:j ,.....,. ...... C"I)
t-o
+ I:::S = (\. t:j CQ
= IOOOOOOOO.I с"1 t:j t:j
Q I
== .а о lC I:::S I I ro
C'\I
'00 .а
о:: !:j C'\I
«1 I C\I """;) 'O:fI с") .а -ь
= е-:1 I:::S t:j C'\I
с" I:::S !:j CI:I
I I
с") '"" t:j
::; .а + t:j I:::S
f-o ......... ........" СI -':'
«1 + ......... -.t<
Q ..о
CI.
= !:j tS ..о
1:::( C'\I
I:::S 11 11 11
со tS .....". 11 11
"'-"" IOOOOOOOO.I с"1
IOOOOOOOO.I
>- ('1 :z rв
>-
lt':I
..
::x:
==
:.:
У::а
«It-o
t;U......
1::118
CI.......,
f:;
.c
8[11
ca >а
::;><.,:::
Q)
Ol:(
;O;O:=L.,
'8
Ма.,
::S;:Q.J
С
С). о о..
:Z=l:g
312
+
t:j
+
+
V.J ; I:::S
.cr+
+
lIt
V.J I:::S
.Q+
t .,
V.J
'I!fI
I:::S
+
ot'),
I:::S
=-
r--
+
t:j
+
+
('1 I:::S
+
.t '"
t:j
с.;..
ф
t:j
00
.
t:;
\с)
f-t
4)
==
=
4)
iE
t;
о
1::{
о
Q.
t::
. ..
+ . ...
......
..t::J 'of!f
'"
cq
C'J .и,
Ч ............ ! I ...(:)
8
o о . .. ....-4
r;::s r-""I at) ...(:)
1I ..........
...(:) C'I
r C'I
r;::s ............ 11
I
""а '"
-.:t' ..........
r;::s
tc r;::s . ..
\о CQ IIC
i:'l "'t'
..........,
I с' I ст) cj CQ
C'
:s:
cj I ..t::>
CI.I r;::s (!:I I .
c'-t
::1' ::а -(
+ r;::s ..........
о Q . .. -.:t'
I
r;::s ...... IC r;::s r;::s
. .. (!:I tj ....-4
('Q Ot:I ..........
r;::s r;::s I
CТ)
...(:)
I""'i ..t::>
А: ............ (!:I
I""'i
..........,
,Q
r;::s r;::s r;::s r;::s 11
с:: r;::s (!:I +
at)
r;::s I I I r;::s r;::s
cg I :.з C\I "'t'
ро + ............ I tj CQ
" -( .......... ............ ..........
&t'J
C':I 10 u) ..........
CQ LQ 'of!f r;::s r;::s r;::s t3
:а CQ tO О Q
r;::s
:g ..........,
t3 r;::s r;::s r;::s
r;::s
...(:)
+ + at) + I I I I C'\I
о:: r;::s
«1 c-
.......... ..........
а:: <.D Q at)
-.:t' i
r::'
r;::s r;::s t3 r;::s r;::s r;::s lt:I C':I
:s:: c'-t Q I""'f
'"
.с ...t::)
1-0 ............ r;::s r;::s r;::s r;::s r;::s r;::s ст)
"'t' .......... .........., .......... .........., ........... I ...t::)
ро
I.t)
I.t:! I.t) C'I c'-t
tt
+ r;::s ':j t3 r;::s t:S I I
0:::1 ........ .......... ........ .......... .......... (!:I
a:I r;::s
::.::-
Q; о Q О LQ cq
-.:t'
CQ r;::s r;::s r;::s t3 t3 t3 ...(:) ...t::)
.........., 11 11 11 11 11 .......... 11 11
..........
O') C'I C':I
со r;::s ст)
lt:I
со со со со I CQ
-(
-(
,
........
..........
+ rJ)
at)
r;::s
:t:
v,) +
1: + cq
>a
v,)
Ua::
_1-0
r;::s
J:;u v3
==.......
+
са с. 8
+
rJ)
о:.=..с:: (!:I
J::
11 CQ r;::s
v3
+
Q,)
...(:)
.r: +
CI.I са Q,) {,I'j
:Egr::[
C'I
t3
1::( "" 1:'1
Рос .с +
'8
+
Cl'JQ,) .о,
:s:
.о'
{,I'j t3
1
..........
). со
v)
Q
tj
cc. о
c ......
J::
с.о
t-..=
313
v лучшенная квадратичная интеrральная оценка. 4асто нс-
ПОЛЬ3УIОТ оценку
00
JT == J (х2 + 1'2х2) d/,
О
(7.39)
rде Т некоторая постоянная.
Чем меньше значения JT, тем меньше ОТI{лонение переходной
характеристики от Экспоненты с постоянной вре fени Т, называ..
емой экrтремалью:
у == Уу с e +).
(7.40)
Для вычисления оценки Jr ее разделяют на два слаrаемых:
00
00
J r == J х2 dt + Т2 J х2 dt === J + T2J' . (7.41 )
о о
Чтобы вычислить слаrаемое J', следует определить изображе..
ние производной х отклонения х, равное s)( (при х (О) == О),
и затеАI использовать формулу (7.30) или (7.35). Можно также
воспользоваться пп. 6 1 О табл. 7.6 и определить J' по изображе-
нию sH производной от переходной характери'стики.
При инженерных расчетах применяют и еще более сложные
интеrральные оценки [102 J. Например, оценку
00
'тт:>:= J (х2+71х2+Т:х2)dt, (7.42)
о
которая показывает приближение переходной характеристики
к экстремали, определяемой уравнением
20 + 1b + У == Уу' (7.4:3)
rде 2== и 1:=:VT .....2T .
Методика выбора параметров САР по минимуму интеrральной
оценки будет рассмотрена в п. 9.2.
7.7. ОЦЕНI(А I(АЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАI(ТЕРИСТИI(И
ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ
ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНI(ЦИИ
Переходная характеристика зависит от значения нулей и по..
люсов передаточной функции САР (см. п. 4.1). Эта зависимость
u
используется для оценки качества переходнои характеристики.
Качество реrулирования зависит также от взаимноrо расположе..
ния нулей и полюсов передаточной функции и изображения
внешнеrо воздействия. Ниже ИЗIl'Iаrаются основные сведения' об
314
этих оценках. Наиболее эффективен метод корневых rодоrрафов,
который будет рассмотрен в п. 7.8.
Оценка распределения полюсов передаточной функции и ИХ
связь с показатеJlЯМИ качества. В простейшем случае перед точ-
ная функция САР относительно внешнеrо воздействия g не имеет
нулей:
W g == aosn + alSn l' + . .. + аn ·
Тоrда переходная характеристика и ее показатели качества
полностью определяются распределением полюсов этой переда..
точной функции, т. е. корнями характеристическоrо уравнения
(6.4). Будем рассматривать устойчивую систему: все коэффици
енты характеристическоrо уравнения положительные и ero корни
81' 82, ..., 8п располаrаются слева от мнимой оси комплексной пло..
u
скости корнеи.
Некоторой обобщенной оценкой числовоrо. значения коэффи-
циентов характеристическоrо уравнения" и ero корней может слу..
жить параметр
(7.44)
Q === VI 5182 ... 8п I == JI ап/ао,
(7.45)
называемый среднеrеометрическим корнем.
Параметр Q служит мерой быстроты протекания переходных
процессов. Увеличение Q в с раз ведет к тому, что форма переход-
u
нои характеристики не изменяется, а время реrулирования умень"
шается в с раз. Очевидно, что для увеличения Q следует увеличи..
вать передаточный коэффициент разомкнутой САР.
Предварительные сведения о расположении корней характе-
ристическоrо уравнения можно получить на основании следующих
соотношений между коэффициентами этоrо уравнения [53]:
1) при .
> аl >. · · > ап > О (7.46)
u
модули всех корнеи меньше единицы;
2) при
О < ао < а1 <. · · < ап
(7 .47)
модули всех корней больше единицы;
3) если все отношения последующеrо коэффициента к пре..
дыдущему заключены между положительными числами т и М:
о < т a,+f. .;; М
й, ,
(7 .48)
то модули всех корней заключены между теми же числами т и М:
т I S{ I -<: М.
(7.49)
315
+}
+!
+
+
а)
j
j
Рис. 7.18. Определение обnасти раСПОJlожения корнеА характернстнческоrо уравнеНИА
параметрамн , i и р== tg "'.
Q: --- ближайшие корни комплексные сопряженные; б.... ближайший корень
вещественный
Пример 7.6. Определить rраницы расположения корней х рактеристическоrо
уравнения
2st + 25s3 + 1345 + 225s + 82 == о.
Неравенства (7.46) и (7.47) не выполняются и, следовательно, модули корней
и меньше и больше единицы. Вычислим отношения последующеrо коэффициента
уравнения к предыдущему:
25 134 225 82
2" == 12,5; 25 == 5,36; 134 == 1,67; 225 == 0,36.
На основании неравенств (7.48) и (7.49) заключаем, что модулн корней рас..
сматриваемоrо уравнения лежат в пределах
0,36 < I Sll -< 12,5.
Для проверки вычислим корни paCCMoTpeHHoro уравнения: 5i == 0,5;
52 == 2 и 5з,4 == 5 :f::.j4. Следовательно, в действительности МОДJЛИ корней
находятся в пределах 0,5 .<;: I sl I -< 6,4.
Точнее область расположения корней характеристичес оrо
уравнения можно определить параметрами 11, i и f.1 == tg Ф
(рис. 7.16). Параметр 11, называемый степенью УСТОЙЧИВОСТИt
есть расстояние от мнимой оси до ближайшеrо корня, т. е. зна-
чение ero вещественной части. Не следует смешивать параметры
«степень устойчивости» и «запас устойчивости», так как это со..
вершенно различныеt не связанные один с друrим параметры.
Степень устойчивости оценивает быстродействие системы.
Параметр S есть расстояние от мнимой оси до наиболее уда-
ленноrо корня, т. е. значение ero вещественной части. Параметр 11,
называемый колебательностью, .......... это отношение мнимой части
ближайшеrо комплексноrо корня к вещественной а:
11 == /a == tg ф.
Для вычисления 1] рекомендуют следующий метод.
теристическое уравнение (6.4) подставляют s == z 1] и
смаценное уравнение
ао (z ...... l1)п + й1 (z ....... 11)n"'} + · · · + йп ==
:::: йozп + АJzп--t + · · · + Ап == О,
r де коэффициеflты А,....... функции al и 11'
316
(7 . 50)
В харак"
получают
(7.51 )
Уравнение (7.51) получено в результате смещения мнимой оси
плоскости корней характеристическоrо уравнения влево на ве-
личину z. При этом пара комплексно сопряжен ых корней (см.
рис. 7.16, а) или вещественный корень (см. рис. 7.16, б) попадают
на мнимую ось. Поэтому смещенное уравнение (7.51) соответ-
ствует rранице устойчивости, и для вычисления 11 к этому уравне-
нию следует применить любой критерий устойчивости.
Приближенная связь между параметрами 11, s и ,.., и показа..
телями качества переходной характеристики заключается в сле-
дующем. Корни характеристическоrо уравнения, расположенные
ближе к мнимой оси, т. е. имеющие наименьшую по абсолютному
значению вещественную часть, дают составляющие переходной
характеристики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому
по степени устойчивости можно приближенно .определить время
реrулирования, т. е. время по истечении KOToporo отклонение от
установившеrося значения не превысит 5 %: tp 3/11, если бли
жайший к мнимой оси корень вещественный, и tp 3/11, если
ближайшая к мнимой оси пара корней комплексная сопряженная.
я. З. Цыпкин [116] дает друrую оценку быстродействия по
значению 1): процессы в системе затухают быстрее, чем экспо-
нента e 1)t.
По значению 1) можно также построить мажоранты имино..
ранты 72], т. е. кривые, определяющие область, в которой рас..
полаrается переходная характеристика при типовом располо-
жении корней и типовых начальных условиях.
По значению колебательности J.1 можно определить прибли-
женное значение перереrулирования переходной характеристики:
о' е 1C/J1 100 % , (7 . 52)
если ближе к мнимой оси расположена пара комплексных сопря..
женных корней.
Колебатепьность ,.., связана еще с одним показателем качества
переходной характеристики с затуханием . Затухание за
период
== Cl C2 100%, (7.53)
rде С1 И Cz первая и вторая амплитуды синусоидальной со..
ставляющей переходной характеристики, соответствующей комп,
лексным сопряженным корням.
Взаимосвязь ,.., и определяется следующими .формулами;
,... == 1 ---- е "'21С/Р,. 2л:
1) =::;: lп 1/( 1 ) ·
(7.54)
Пример 7.7. Передаточная функции замкнутой системьr
1
W I == 9,QOO4s. + p,Ol sa + 0,107,1 + 9,465s + J ·
317
Определить приближенно показатели качества переходной характеристики,
пользуясь степенью устойчивости и колебательностью.
Определим корни характеристическоrо уравнения:
51,2 == 3 =l:.j 4; 5з == 8; 54, == ........10.
4
Следовательно, 1') == 3 и JJ == 3 == 1,33.
По ранее приведенным соотношениям определим время реrулированил ипс..
ререrулирование:
3
tp < 3 == I с; а -< е...п/1 ,33 .1000/0 == 9,4 %.
Действительные значения этих показателей таковы: tp == 1,22 с; а == 6% .
Диаrрамма 8ышнеrрадскоrо. Если в характеристическом урав-
нении TpeTbero порядка все члены разделить на свободный член
и выполнить подстановку s == qQo == q аз/ао, то получим норми..
рованное уравнение
q3 + Aq2 + Bq + 1 == О,
rде А н В параметры Вышнеrрадскоrо:
А == a1/f/ а аз; В a2/-j! aoai. (7.56)
На плоскости параметров А и В rраница колебательной устой..
чивости определяется уравнением АВ == 1 при А > О и В > о.
Это равнобокая rипербола, для которой оси координат служат
асимптотами (рис. 7.17). Область устойчивости находится выше
этой кривой, ее разделяют на три части в соответствии с располо-
жением корней уравнения (7.55) на комплексной плоскости.
Уравнение
А2В2 4 (А3 + В3) 18АВ 27 (7.57)
кривыми СЕ и СР выделяет область 111, соответствующую трем
вещественным корням. Кроме Toro, уравнение
2А3 9АВ + 27 == О при А > 3 (7.58)
дает кривую СО. В результате выделяются области 1 и 11. Им со..
'"
8 ответствует один вещественныи и
пара комплексных сопряженных кор..
ней (см. рис. 7.18).
Полученный rрафик называют
диаrраммой Вышнеrрадскоrо. Об..
ласть 1 область колебательных
процессов, область 11 монотон..
ных процессов и область 111
апериодических процессов. Таким
образом, по диаrрамме леrко опре-
делить как устойчивость системы
v
TpeTbero порядка с передаточнои
функцией (7.44), так и характер
Рнс. 7.17. Диаrpамма ВыwиеrpаА"
с кото переходной характеристики.
7 IJ
6
5
Lf
J
2
1
о
1
2 3
11 5 6 7 А
318
(7.55 )
По уравнсниям для облаСТJJ 1
В === 1/ (А 2110) f 2110 (А 2чо)
и для областей 11 и 111
B==-I/'r)o ---- 'r) + А f}o
(7.59)
(7.60)
на диаrрамму можно нанести дополнительные линии равной
степени устойчивости f}{). R данном случае 11{) нормированная
степень УСТ()ЙЧIIВОСТИ:
:1 "
'r)o === 11/ o == i/ 00/0.111. (7.61 )
Дополнительные линии, соотвеТСТВУЮlцне равным значениям o,
на носят на диаrрамму по уравнениям для областей 1 и 111
В == l/so ---- + A o (7.62)
и для области 11
В == ] /(А 2 o) + 2 o (А 2 (,). (7.63)
Здесь
o === /Qo ==: У а()/аз , (7.64)
Дополнительные линии равной I<олебатеЛhНОСТИ наносят на
диаrрамму по уравнению
4х2 (АЗ + В3) х3А2В2 + (2х3 4х2 16х) АВ х3 +
+ 12х2 48х + 64 === О, (7.65)
rде Х == 1 + f.t2. Эти же линии являются линиями равных зНа-
чений затухания .
Диаrрамма с дополнительными линиями позволяет по пара
метрам А и В Вышнеrрадскоrо определить значения 11, и t.
Затем, как было изложено ранее, можно найти приближенные
значения показателей качества переходной характеристики.
В двух случаях диаrрамму Вышнеrрадскоrо удается использо..
ватъ для приближенной оценки качества системы более BbIcoKoro
порядка и с передаточной функцией, имеющей нули. Это воз
можно, коrда:
1) три полюса передаточной функции системы являются домн..
нирующими, а остальные удалены от мнимой оси влево значительно
дальше и ими можно пренебречь;
2) передаточная функция имеет нули, которые компенсируют
некоторые из полюсов, и остаются лишь три ДО fИНИрУЮЩИХ
полюса. Можно считать, что нуль Yl компенсирует полюс Лi, если
IЛi YII-< О,IIЛi I O,IIYi 1.
(7.66 )
в обоих случаях действитеЛЬНУIО передаточную функцию
системы замеНЯIОТ приближенной передат()чной функцией TpeTbero
порядка, не имеющей нулей.
319
h
1,Q r
2
1,0
Ц8
Ц6
q4
Q2
О 0,1
Рис. 7.18. Переходиые ха..
рактеристики, определен-
lIые по передаточным функ..
ЦИПМ
0,2
0,3
0,4
t,c
Влияние расположения нулей и полюсов передаточной ФУНК-
цИИ на переходную характеристику. На основании изложенноrо
можно заключить, что в устойчивой системе имеет место следующее.
1. ,Близко расположенные полюс и нуль взаимно компенеи..
руются. Их расположение считается близким при удовлетворении
неравенства (7.66).
2. Уменьшение а fПЛИТУДЫ колебательной составляющей, соз..
даваемой КОJ\fплексными полюсами, и приближение к асимптоте
экспоненциальной составляющей, создаваемой вещественным по-
люсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль вещественноrо
полюса.
3. Время реrулирования переходной характеристики зависит
в основном от абсолютноrо значения вещественной части домини..
рующих полюсов или полюса. Доминируют ближайшие к мнимой
оси комплексные полюса или ближайший вещественный полюс.
4. Перереrулирование переходной характеристики зависит от
отношения мнимой части доминирующих комплексных полюсов
к вещественной.
5. Близкие к началу координат нули, если они не компенси"
руются полюсами, и удаленные от Hero, но не доминирующие
полюса увеличивают время реrУЛИРОВ8НИЯ и перереrулирование.
Пример 7.8. Полюсы передаточной ФУНКЦИИ замкнутой системы /"'12==
== ......8,74 :f: j 18; /"'З == ----20. ·
Определитьпоказатели качества tp И а переходной характеристики и выяс..
нить. как они изменятся, если передаточная функция имеет еще нуль 'V == .........5
ИЛИ полюс "'4 == ......40. Для рассматрнваемых случаев передаточная ФУНКЦИЯ си..
стемы имеет соответственно следующие значения;
1
W '1 == 1 ,25.10"'4s8 + 4,69.10""82 + 9.38.10....38 + 1 ;
W 0,28 + 1 .
'2 == 1,25.10""821 + 4,69.10""8' + 9,38. 10"'28 + 1 '
1
w,з == 3, 13.10 684 + 2,42.10 8 + 7103.10 382 + 0,1198 + 1 ·
320
предельных точек. Вблизи этой области MorYT быть пересечения
асимптот.
5. Ветви rодоrраtра от вещественных начальных Точек рас-
полаrаются на вещественной оси до встречи одна с друrой, с пре-
дельной точкой или уходят в бесконечность.
ВеТВЯ1\IИ rодоrрафа заняты отрезки вещественной оси, для
которых выполняется условие
'lI , lJ === N, А === I----- 1;
+3'" .
, .
(7.70)
[де '11 Н 'п число соответственно начальных и предельных
точек, расположенных справа от рассматриваеrvlоrо отрезка.
В каждой точке Oi встречи вещественных ветвей rодоrрафа
возникает пара комплексно..сопряженных ветвей, выходящих на
комплексную плоскость перпендикулярно к вещественной оси.
Абсциссами с' точек О, являются вещественные корни урав..
нения
Вп (с) B'm (с) Вт, (с) B;l (C) О,
[де
B (с) [dB;/S) 1 c и в;,. (с) ==-" [dB s (s) J s c ·
Например, у KopHeBoro rодоrрафа, изображенноrо на рис. 7.19, й, справа
от участка действительной оси, оrраниченноrо начальной точкой 1.,1 И предельной
точкой 1'1' 'н == 1 и 'п == О. Следовательно, 'н 'п === 1 и на этом участке оси
располаrается действительная ветвь rодоrрафа от 1.,1 к 1'1' Для участка действи
тельноЙ оси от начальной точки 1.,4 до CX) 'н ===: 4 и 'п == 1. Следовательно, 'н
, п == 3 и на этом участке также располаrается действительная ветвь rодоrрафа,
уходящая в бесконечность.
у rодоrрафа, изображенноrо на рис. 7.19, б, для участка действительной
оси ме)кду начальными точками "-1 и 1.,2 имеем 'H ==J1, 'п;:::::=о И 'н 'п=:::::: 1.
На этом участке располаrаются действительные ветви rодоrрафа, идущие от 1.,1
и 1.,2' Они встречаются в точке 01' и из нее выходит пара КО1\1плексно сопряженных
ветвей. Справа от участка действительной оси между предельноЙ точкой 1'1 И Ha
чальной точкой Аз 'н == 2, 'п == 1 и 'н 'п ===: 1. На этом участке оси распола-
rается действительная ветвь rодоrрафа от Аз к 1'1'
(7.71 )
6. Из каждой пары комплексно-сопряженных начальных то..
чек выходит пара комплексно-сопряженных ветвей rодоrрафа.
Все КО1\1плексно-сопряженные ветви расположены симметрично
относительно действительной оси. Они оканчиваются в комплексно..
сопряженных предельных точках или уходят в бесконечность.
Уrол выхода комплексной ветви из начальной точки и входа
в предельную точку определяется равенством
'Рп === ч' л, (7.72)
[де ч' .. сумма фазовых уrлов векторов, проведенных в рас..
сматриваемую точку из всех остальных основных (начальных н
предельных) точек. Фазовым называют уrол между положитель ..
ной действительной полуосью и вектором.
11 *
323
""1
+j lAJ
+jw
о с ......с
о с
а)
""2
...j u)
....jw
) 2
Рис. 7.20. Определение уrла:
а выхода траеКТОрИИ из начальной ТОЧКИ; 6 входа траеКТОрИИ в предельную точку
Определение уrла выхода траектории из начальной точки показано на
рис. 7.20, а. В данном случае
lРв == 11'12 + 11'13 + 11'21 + 11'22 1800 == 90 + 70 + 7 5З 180 400.
На рис. 7.20, б показано определение уrла входа траектории в предельную
точку "(1:
'Ч'd == 'Ч'11 + 'Ч'12 + ФIЗ + 11'22 1800 187+ 127+ 140 +90 180 == 364 .
7. Корневому rодоrрафу принадлежат те и только те точки
\J
комплекснои плоскости, для которых удовлетворяется равенство
(уравнение фаз):
n т
'1' J i 1. '1'21' === N л, N == + 1; + 3 ; ...
i==l i l
(7.73)
rде 'Pli и 'P2i <tа:::ОБые уrлы векторов, проведенных в рассматри..
ваемую точку соответственно из начальных и предельных точек.
8. 3начеItие свободноrо параметра А, соответствующее какой..
либо точке KopHeBoro rодоrрафа, определяется формулой пара..
метра
А == a0111112 ... 11"
bo121122 ... 12т'
(7 .74)
rде 111 и 12j модули векторов, проведенных в рассматриваемую
точку соответственно из начальных и предельных точек.
Изложенны свойства KopHeBoro rодоrрафа позволяют по-
строить ero rеометрическим методом. Вследствие симметрии ro-
доrрафа относительно действительной оси ero ветви, расположен..
ные в нижней полуплоскости, иноrда не строят.
324
Возможно и аналитическое построение rодоrрафа. Если корень
характеристическоrо уравнения (7.67) S[ === с + j(J), то основное
аналитическое уравнение траектории корней
[ (02 " ] [ , (02", ]
Вn (с) ..... 21 Вn (с) + ... Вт (с) 31 Вт (с) + ...
[ , (02 11 ] [ (02 " ]
Вn (с) --зr в (с) + ... Вт (с).......... 2J Вт (с) + ... == О,
(7.75)
rде
B (с) [дB (5)] ; B (с) [ dZ \(5)] ;. . . .
s s==c S s==c
Уравнение (7.75) позволяет при выбранном значении с найти
ординаты (а), при которых прямая с абсциссой с пересекает TpaeK
тории корней характеристическоrо уравнения (7.67). Такой
u
смысл имеют, конечно, лишь деиствительные значения (J): положи..
тельные и отрицательные при построении Bcero rодоrрафа и
только положительные, если rодоrраф строится лишь в верхней
ПОIl1JУПЛОСКОСТИ.
Значение свободноrо параметра А определяют по формуле
, (02 '"
Вn (с) 31 Вп (с) + ...
A == (7.76)
, ф2 т
В (с) --зr Вт (с) + . · ·
при комплексных сопряженных корнях и по формуле
А== Ва(С)/Вm(С)
(7 .77)
при действительном корне.
Чаще Bcero метод KopHeBoro rодоrрафа используют для иссле
до вани я влияния на свойства САР передаточноrо коэффициента
разомкнутой цепи, передаточная функция которой
w kR == R (s '\'1) (s '\'2) ... (s 17т)
Q (s ....... Л1) (s Л2) .... (в Лn) ,
rде
R == bosm + b1sm..1 + .. · + bm...1s + 1;
Q == CXosn + CX1Sn..1 + · · · + CXn...1S + 1;
R == kbo/Clo.
Характеристическое уравнение замкнутой САР
(s ....... Л1) (s Л2) . . . (s ....... лn) + k (s ...... "(1) (s ..... "(2)' · · (S ....... "(т) == О.
(7.79)
Если в качестве свободноrо параметра рассматривается k,
то начальными точками являются полюсы и предельными точ"
ками нули передаточной функции разомкнутой САР. В одно..
(7.78)
325
контурной систе1\1е и даже в системе с местными обратными свя"
зями их значения rKo определить по передаточным функциям
отдельных звеньев.
При построении rодоrрафа целесообразно комбинировать reo
метрический и аналитический методы и действовать в следующе:м
порядке:
1) на комплексную плоскость нанести начальные Лi и предель
ные 1'[ точки;
2) нанести центр асимптот 00' пользуясь формулой (7.68),
и провести п lп асимптот, уrлы наклона которых определяются
формулой (7.69);
3) пользуясь условием (7.70), выделить отрезки действитель
ной оси, на которых распо.паrаются траектории корней;
4) нанести точки 0i отрыва траекторий от действительной
оси, пользуясь уравнением (7.71), и направления этих траекторий;
5) по уравнению (7.72) определить направления выхода тра..
екторий из комплексных начальных точек и входа их в предель-
ные точки, нанести эти направления на чертеж;
6) пользуясь уравнением фаз (7.73) или основньпvl аналитиче..
ским уравнением (7.75), нанести несколько точек для уточнения
положения комплексных траекторий;
7) определить значение свободноrо параметра в HYiKHbIX точ"
ках, пользуясь уравнеННЯI\IИ (7.74) или (7.76) и (7.77).
Корневой rодоrраф позволяет исследовать влияние свобод
Horo параметра на динамические свойства САР: на устойчивость
и качество реrулирования. Система устойчива при тех значениях
свободноrо параметра, которым соответствует расположение KOp
HeBoro roдоrрафа в левой полу плоскости. Переход хоrя бы одной
ветви rодоrрафа в правую полу плоскость свидетельствует о He
УСТОЙЧИБОСТИ. fраницу устойчивости определяют из услопия попа..
дания действительноrо корня в начало осеЙ коорднна r (апериоди..
ческа'я rраница устойчивости) или пары коI\lплексныIx корней на
мниr.лую ось (колебат льная rраница устойчивости).
Основное аналитическое уравнение траектории корней (7.75)
при с === О превращается в уравнение критических часто r й)нр'
Ero действительные корни это ЗНdчения ординат, при которых
комплексно сопряженные траекторпи пеrесекают мнимую ось.
Уравнение (7.76) при с == О и ro === (ОНР опреде.iIяет значение
свободноrо пара:rvlетра, состветrтвующеrо rранице устойчивости.
Корневой rодоrраф позволяет также определить показатели
качества переходной характеристики для выбранных значений
свободноrо параметра по аналитическому выражению этой ха..
рактер истики.
Если передаточная функция разомкнутой САР определена
выражением (7.78), то изображение переходной характеристики
kR
Н === Ds ' (7.80)
rдеD===Q+kR.
326
Тоrда по фор]\луле (П. 1.8) разложения Х евисайда
tl
h kR (О) kR (Si) eSit
D (О) I l.J SiD' (si) )
i==l
(7.81 )
rде 5i корни характеристическоrо уравнения, которые при
выбранном значении свободноrо параметра определяют непосред
ственно по KOpHeBOl\1Y rодоrрафу.
Сумму в равенстве (7.81) удобнее вычислять, пользуясь зна..
чениями длин и уrлов векторов, взятыми из чертежа KopHeBoro
rодоrрафа. Если свободным параметром является 7i = kbo/ao)
то коэффициент i ro члена этой суммы
R. (Si + 1'1) (Si + '\(2). . . (8i + '\'т) == kA .eifPi. (7.82)
SL (Si +81) (Si +S2)" '(Si rSi l) (51 +Si+l)" .(8i +Sn) t
Следовательно:
А == 121122' . .12т
l [ 1 [ 11Т12 . · . Т11 i ...1Т11 i + l' . . Т1n
(7.83)
,... ..... ....
С'). ::=:: 11).") + 11\-.., + . .. + 11"'2 ,,1'1. ,,1'1 ,,1'1 'J . . .
'-(-'t. ""l 'f....... 'f m 't"t.. 't"ll 't"l..
....
'Р]1 [ 1 'ФJ, i+l . · . 'Р1п.
(7.84)
Здесь li и Фi длина и фазовый уrол eKTopa, проведенноrо
из начала осей координат к корню 5Е; 11v и 'Фlv длина и фазовый
уrол вектора, проведенноrо из корня 5v К корню Si; l2j и 2j длина
и фазовый уrол вектора, проведенноrо из предельной точки 'у j
к корню Si'
Очень важно также, что корневой rодоrраф наrлядно показы
Ba T, как изменяется взаимное расположение нулей и полюсов
передаточной функции замкнутой САР при изменении свободноrо
параметра. Следовательно, и на этом основании, пользуясь Ma
териалом п. 7.7, можно приблизительно судить о влиянии свобод
Horo парам:етра на показатели качества переходной характери-
стики.
Пример 7.9. Передаточная функция разомкнутой САР
w == k ('t8 + 1)
S(TI8+1)(T2s+1) ,
rде k == 100 c l; Тl == 0,1 и Т2 === 0,02 с.
Выяснить влияние постоянной времени l' корректирующеrо устройства на
динамические свойства системы.
Для решения этой задачи построим корневой rодоrраф, считая свободным
параметром постоянную времени 'т.
Составим характеристическое уравнение и приведем ero к виду (7.67):
8 (Tls+ 1) (T2s+ 1) + k ('t8+ 1):== о;
[Т 1 Т 283 + (Т 1 + Т 2) S + s + k] + k'ts == О.
327
. +j UJ После подстановки числовых значений из..
вестных параметров и деления на k получим
со
""'"'
... <:;:) ..
c Аз Оа 11 +С
.42
jш
Рнс. 7.21. КорнеооА rодоrраф
к примеру 7.9
Вп (5) + '"СВт (s) == О,
rде
Вп (5) == 0,0000253 + 0,001252 + 0,01 s + 1;
Вт (5) == 5.
Начальными точками траекторий являются
корни полинома Вп (5), которые определяем,
пользуясь прил. 2:
Л1,2 == 2,5 :i: j29,9; ЛЗ == 64,3.
Предельная точка, корень полинома
Вт (5), есть 1'1 == О.
Нанесем основные точки на чертеж (рис.
7.21), теперь можно сделать вывод, что при
't == О система неустойчива, так как в этом
случае пара комплексных сопряженных кор-
ней характеристическоrо уравнения располо-
жена в право й полуплоскости .
По формуле (7.68) определим абсциссу цен-
тра асимптот и по формуле (7.69) их направ"
ления:
0,0012 o
Са == O.OO O 1 1 == зо; 'Фа == I O 1) == х900,
Асимптотами являются прямые, выходящие из точки Ой и параллельные оси
ординат.
Для участка действительной оси от предельной точки l' 1 до начальной точки Лз
выполняется условие (7.70): 2 1 == 1, т. е. с у.величением 't траектория из началь..
ной точки Лз пойдет по действительной оси в предельную точку l' l'
Комплексные сопряженные траектории из начальных точек Л1 и Л2 по мере
увеличения't будут приближаться к асимптотам. Чтобы выяснить расположение
этих траекторий, можно воспользоваться формулой (7.75). Предварительно сле-
дует вычислить производные полиномов Вп (5) И Вт (5) по s:
, "
Вт (s) ::=: 1 ; Вт (s) == о;
B (5) == 0,0000&2 + 0,00245 + 0,01;
"
Вп (5) == 0,000125 + 0,0024;
1'/ "Н
Вп (s) == 0,00012; Вп (5) == О.
По формуле (7.75) при с == О определим критическую частоту:
( 2] [ 2 ]
Юk", Юk
Вп (О) 2 Вп (О) Вт (О) == 1 Т 0,00024 1 == о;
2 1.
Юкр == О 0012 ' Ю,k == :i: 28,9.
,
328
Итак, комплексно сопряженные траектории пересекают мнимую ось при
ординатах +28.9. Значение '{, соответствующее ЭТИ I точкам, определим по фJр
муде (7.76) при с == О и (u == 28,9:
0,01 28,92 0,00012
6
1
1'==
== 0,0067.
Следовательно. система устойчива при l' > 0,0067.
Чтобы выяснить, как расположены комплексно-сопряженные траектории
в левой полуплоскости, вычислим по формуле (7.75) ординаты нескольких точек.
задаваясь значениями их абсцисс:
при с == 10 (u == :1:33,9;
пр и с == 15 (u == + 38, о;
ри с == 20 (й == + 45,8;
при с == 24 ro == :1:84.
Полученные точки достаточно хорошо определяют расположение комплексных
сопряженных траекторий.
Вычислим по формуле (7.76) значения l' для дву Х точе.к:
при с == 10 и (й == 33,9 имеем........ l' == 0,031;
при с::::::: 20 и w == 45,8 имее 1 't == O,056.
По формуле (7.77) вычислим значения 't для двух точек траектории, распо
ложенной на действительной оси:
при с== 10 1'== O,I;
при с == 20 1' == 0.056.
· Таким образом. для устойчивости системы постоянная времени 't должна
быть больше 0,0067 с. При l' < 0,056 доминирующими являются комплексные
сопряженные корни характеристическоrо уравнения и колебательность J..L не
.СЛИШКОМ велика. Так, при '[ 0,031 fJ. == 3 o9 == 3,39 и перереrулирование,
вычисленное по формуле (7.52), о' е 1t/з,39. 100% == 39,5%; при 't == 0.056
fJ. == 4:08 == 2,29 и о е Л/2.29 .100% == 25,4%. Дальнейшее увеличение '[
ведет к резкому увеличению КО.пебательности J..L.
Выяснить влияние передаточноrо коэффициента k разомкну-
той САР на ее динамические свойства можно на основании лоrа..
рифмическоrо KopHeBoro rодоrрафа. Ero построение значительно
проще, так как MorYT быть использованы шаблоны и HOMorpaMMbl.
Основные сведения о лоrарифмическом корневом rодоrрафе из
ложены, например, в работе [102].
7.9. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
При эксплуатации САР значения ее элементов и прежде Bcero
объекта реrулирования вследствие различных причин MorYT
отличаться от расчетных. При этом действительныIe статические
и динамические свойства также, конечно, оказываются отличными
от расчетных. Поэтому возникает задача уже при синтезе САР
выяснить, какие изменения свойств возможны при эксплуатации.
329
Функции чувствительности и чувствительность передаточных фун
N:J
ПО
пор
Структурнз Я схема САР
Передаточные функции САР
tJ7 g
U? 1 \\7 2 .
1
I
w )
g
W1
W f ::
1 1
\\7 '
\\1' 1
х
1
i
\\?
2
9
fj
w 1 (W 2
t W 3) .
lV/
И,. g
.
11
w
1
W о W 1 \f/ 3
WX
1
I
W
I
330
Т а б л и ц а 7.7
кций САР к передаточным функциям ее участков (W == W о W t Пi' 2)
Функции чувствительности
Чувствительность
w 2 '"'-J W
V gl == (1 + W)2; v g2 == (1 +
)2 ;
'" ( WIW2 )2 '"
1.
V go ===
1 + w ; Vfl == (1 + W)2 '
'" w о W r . <'J lV! w 2 .
Vf2 == (1 + W)2' Vfo == (1
W')2 )
'"
WOW2 . <'J
WOWl .
VX1 == (1 + \\7)2 ' VX2
(1 + W)2 )
<'J
W1W2
V хо == (1 + W) 2
.
1
Sgl == Sg2 ==
Sfl == 1
+
w
SgO ==
Sf2 ==
Sfo
SXl ===
W
== SX2 == Sxo ==
1 + w
,-.J W2+Wз.
V gl == (1
W) 2 ,
V
W1 (1
wоw1wз)
g2
(1
t
W)2
W1
V gз ==
1 +W
v
WIW2(W2+WЗ)
go
(1+W)2
V
WО(W2+WЗ).
Хl
(1
\\7)2 ,
V
\VOW1 (WоW1Wз
1) .
Х2
(1 + W) 2
<'J
WOW1
V Х 3 == 1
\\7
Ухо ==
Wl (W2 + Wз)
(1 + W)2
1
S gl == 1 + w '
l\72
WЗW .
Sg2 === (W2
1
wз) (1-1
W)'
\\7 3 .
S gя
\V 2
+
w 3 '
SgO
SX2 =:=
\\7
1
W '
\V
WoWlWa .
SXl == Sxo == ,
(l
1
\\7) (W' о W 1 W а
1 )
\\7()\V1Wз
S хз
:: W О W 1 W 3
1 '
331
NQ
по
пор.
Стр}ктурная схема сАР
Передаточные ФУНКЦИИ САР
.
з
9
у
w WtW2
g === 1 \\'1'
W W 1 (\\? 2 W 3 1) .
[ I+W '
1
W х 1 + W'l
ЗаВИСИl\lIОСТЬ своЙств САР от изrvlенения параметров элементов
есть ее чувствительность. Для ее количественной оценки исполь..
зуют различные функции чувствительности [10, 66, 103, 116],
которые позволяют оценивать вариации (изменения) передаточ"
ных функций, временных характеристик или показателей ка..
чества при вариациях (малых изменениях) параl\llетров. Будем
предполаrать, что вариации достаточно малы и, кроме Toro, не
изменяют степени уравнений (порядка передаточных функций)
как отдельных эле1\1ентов, так и системы в целом.
Функции чувствительности передаточных функций. Функция
чувствительности Vij == Vi,j (5) передаточной функции Wi к па..
раметру а j есть частная производная от \\7i по а j при НО lиналь..
ных (расчетных) значениях всех параметров:
. дW ] о
V i i === I да.: '
(7 . 85)
rде Wi === Wi (s, а , а2, ...).
Для определения функции чувствительности передаточной
функции Wz системы к параметру aj K3Ki)rO..To i ro элемеНТа
удобно сначала отыскать ФУНКЦИЮ чувствительности Vzi пере..
даточной функции Wz к передаточной функции Wi этоrо i..ro
элемента:
. . r aW z l о
V" l 1 ("ЧУ! l J '
(7.86)
rде W.,
W.<: (W() , W 1, \\7 2. ... ) .
332
n р о:д о п. ж е н и е т 8 б п. 7.7
ФУНkЦИИ чувствительности
Чувствительность
Vg1' Vg2t Vgo' УХ1' УХ2 и.......Vхо
те же, что и для схемы в п. 1;
V Rэ == V хз ==: о;
f:"J W2Wз 1
Vfl=== (I+W)2
V Wl(WOW1+W )
f 2 (1 W) 2
....... W1W2
Vfз == 1 + w
v WiW2 (1 W2Wз)
'О (1 : \f/)2
S '1' S g2' S go, S Хl' S Х2 И S хо
те же, что и для схемы в п. 1;
Sgз == Sхз == о;
1
Sfl === 1 + W
W 2 (пr/ О W 1 W 3)
Sf2=== (W2Wз 1)(1+W)
W2
Sfs== W2Wз J
...JW
Sfo == ] + w
Затем определяется ФУНКI{ИЯ чувствительности передаточной
ФУНКЦИИ WZ к пара метру а j:
.......
VZj== VziVijo (7.87)
В табл. 7.7 приведены значения функций чувствительности
передаточных функций САР трех наиболее характерных структур.
Здесь Vgi,r ,Vfi"'и УхЕ есть функции чувствительности передаточных
функций соответственно Wg) W L и Wx к передаточной функции
Wi (i === О, 1, 2 и 3) участка САр. Значения передаточных функ..
ций Wo, W.\, W2 И Wз должны быть взяты при номинальных (рас-
четных) значениях параметров.
ФУНКЦИИ чувствительности временных харак теристик. Они
позволяют определить дополнительное движение, т. е. наиболее
наrлядно выяснить влияние вариаций параметров. Дополнитель..
ным движением называют разность между движением системы,
в которой произошли вариации параrtfетров, и ее движениеrvl при
расчетных значениях параметров.
Функция чувствительности i й координаты САР к парамеrру а j
иij == [ ]0, (7.88)
rде УЁ :::= УЁ (1, а , а2, ...).
Предположим, что Ус реrулируемая координата: Yi == Уl'
И К систеl\ле приложено только задающее воздействие. Тоrда
Уl ::::= 2 1 {W gG},
rде G изображение по Лапласу задающеrо воздействия.
333
Следовательно:
и . ::e 1 {ф Gt == ::e 1 { aW gO} ==: ::e 1 { V .Qt.
1/ да. g r да. g/ r
/ /
(7.89)
Теперь 10ЖНО определить дополнительное движение реrули..
руемой координаты при вариации Aaj параметра а;
I1Уl} == U]j даj == ::e 1 {Vg;,G} Даj.
(7.90)
Аналоrично можно выяснить, как влияет вариация параметров
на движение реrулируемой координаты, создаваемое возмуще..
нием. Также можно отыскать дополнительное движение рассоrла
сования х. Если предположить, что задающее воздействие есть
единичное ступенчатое воздействие, то формула (7.90) будет
. u
определять вариацию переходнои характеристики системы отно..
сительно задающеrо воздействия при вариации параметра ai.
Пример 7.10. Выяснить влияние вариаций на переходную характери
стику САР, если Дт === 0,002 с и передаточная функция разомкнутой системы
в первом приб rтижении
W == k ('ts + 1)
s(Ts+ 1)'
rде k == 50, Т == 0,1 с и 't == 0,02 с.
Определим передаточную функцию замкнутой системы:
\\7
Wg==I+W
k ('ts + 1)
т 52 + (1 + k't) s + k ·
Функция чувствительности этой передаточной функции к постоянной вре-
мени 't будет
V [д W g] [ ks k ('ts + 1) ks ] о
g}; дТ о TS2 + (1 + k,) 5 + k [Т52 + (t + ,k) 5 + kJ2
[ k (Т 8 + 1) S2 ] О 50 (О, 1 s + 1) S2
[T52 + (1 + k't) 5 + k]2 == (0,182 + 28 + 50)2 ·
Следовательно, вариация переходпой характеристики (дополнительное дви"
жение)
дlt == IE l {. V5gl:, } L1T l r 50 (0,15 + 1) 5 ] О 02 ==
I (0,152 + 28 + 50)2 '
== 0,025 [sin 201 (20 cos 201 10 sin 20t) t] e 10t.
334
По этому равенству вычислим:
t, с 0,01 0.02 0,04 0,06 0,08 0,10
tJ.h 0,009 0,014 0,017 0,011 0,002 0,008
t, с 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22
tJ.h o, о 14 o, 017 o, 016 o, о 1 О 0,006 0,001
t, с ] 0,24 0,26 I 0,28 0,30 I 0,32
tJ.h 0,004 0,007 0,008 0,008 0,006
Дополнительное движение при вариации нескольких пара
метров линейной системы определяется на основании принципа
суп ер позиции:
r r
AYi === r AYij =:::= r Utj ila].
]':==1 j 1
(7.91 )
ФУНКЦИИ чувствительности показателей (критериев) качества.
Так, если какой то показатель качества J может быть выражен
в виде функцип параметров: J === J (a1, а2, н., а/), то функция
ero чувствительности к параметру aj
[ aJ ] о
иJj =" дrxj
(7.92)
и весьма наrлядно показывает влияние этоrо параметра на свой
ства САР.
Вариация этоrо пока за тел я при вариации одноrо параметра
AJ. == UJ. Да.
] ]] ,
(7.93)
и при вариации нескольких параметров
r r
AJ === r AJ. == L UJ, Да..
.1 / '1 J J
]=::=; ]
(7.94)
к таким показателям качества относятся прежде Bcero ин
теrральные оценки, показатель колебательности, запас устойчи
вости, коэффициент статизма. Сло)кнее определить функции чув
ствительности показателей качества переходной характеристики:
перереrулирования и времени реrулирования.
335
ЛоrариФмические ФУНКЦИИ ЧУВСТВИ"
тельности Szi == Szi (5). При исследо
вании САР принято рассматривать ло
rарифмические функции чувствитель-
ности передаточных функций:
S . д 1" W z == дW Z . дW l === V. W l
Zt al"WI Wz. Wl Zt Wz ·
(7.95)
Иноrда [116] их называют просто чувствительностью. Фор-
мула (7.95) показывает связь чувствительности передаточноЙ
функции Wz с ее функцией чувствительности Vz1 к передаточной
функции i ro элемента, параметр KOToporo изменяется. Если
i-й элемент не находится в цепи обратной связи (местной или
основноЙ), то структурную схему САР можно привести к виду,
показанному на рис. 7.22. По этой структурной схеме передаточ"
ная функция системы
у
z
Рис. 7.22. При веденная струк"
турная схема сАР
\\'lz == l/Y == Wп + WIIWiWIII/(l + WiWI).
(7.96)
Следовательно, функция чувствительности передаточной функ-
ции Wz к передаточной функции Wi
,.... aWz WIIWIII WIIW1WIIIWI WII\\I'I1I 97)
V-:'i === aW1 1 + W1WI (1 + W1WI)2 (1 + WlWI)2. (7.
Подставив в формулу (7.95) значение 'Vzi по (7.97) и затем
значение l WW \I из (7.96), получим, что чувствительность
передаточной функции W z К передаточной функции Wi в paCCMa
триваемоЙ системе
S w 11 W IТ Т W 1 \\1' z W п 1 W п/W Z
1.' === (1 + W' 1 W 1)2 W Z (1 + W i W 1) W z 1 + \f" l W 1 ·
Эта формула рекомендована [116] для исследования чувстви
тельности различных САР. В табл. 7.7 приведены значения чув-
ствительностей Sg , S fi И Sxl передаточных функций Wg, Wf
и Wx у передаточным функциям Wo, W1, W2 И Wз участков САР
трех характерных структур.
Чем меньше чувствительность передаточной функции Wg си-
стемы к передаточным функциям ее участков, тем совершеннее,
вообще rоворя, система, меньше влияние вариаций параметров на
ее свойства. Желательно, следовательно, иметь нулеВУIО чувстви"
тельность. Формулы (7.98) и (7.96) указывают пути прибли)кения
к нулевоЙ чувствительности: нужно увеличивать передаточный
коэффицпент контура W, Wr или уменьшать передаточный коэф
(l)иппент цепи WJI W/ \V1 JJ'
(7.98)
r лава 8
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА СТАБИЛИЗАЦИИ
И ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА РЕrУЛИРОВАНИЯ
Проблема создания линейных непрерывных САР с хорошими
динамическими свойствами является мноrо.стороннсй и весьма
сложной. В ней прежде Bcero lvfОЖНО выделить следующие частные
задачи: обеспечение устойчивости (стабилизация); повышение
запаса устойчивости; повышение точности в установившихся
режимах (уменьшение статических ошибок и обеспечение аста..
тизма относительно задающеrо воздействия и возмущения); улуч-
шение переходных процессов (увеличение быстродействия, умень..
шение динамических ошибок воспроизведения задающеrо воздей..
ствия и ошибок возмущения).
Каждую из этих задач решают различными способами. Иноrда
две или несколько частных задач MorYT быть решены совместно,
в друrих случаях они оказываются противоречивыми. В зависи..
мости от Назначения и условий эксплуатации системы одни задачи
становятся основными, друrие второстепенными.
Простой способ обеспечения устойчивости и необходимоrо
качества реrулирования это соответствующий выбор основных
элементов системы или изменение в ну)кном направлении их
динамических свойств местными обратными связями. Выбор типа
и конструкции исполнительноrо элемента и усилителя может
привести к тому, чrо их динамические свойства, прежде Bcero
инерционность, не будут отрицательно влиять на свойства системы
в целом.
Местные обратные связи весьма существенно изменяют свой..
ства тех элементов, которые они охватывают (см. табл. 2.4) или
внутри которых они созданы. Может быть обеспечена устойчивость
неустойчивоrо или нейтральноrо элемента, изменена статическая
характеристика, уменьшена инерционность, созданы интеrриру..
ющие или дифференцирующие свойства. Причем местные обрат..
ные связи MorYT быть созданы не только в исполнительном эле-
менте и усилителе, но иноrда и в реrулируемом объекте.
ДРУI"'ОЙ путь создание дополнитеЛЬНI.>IХ воздействий на ре4
I"'УЛЯТОр или объект реrулирования. Если это воздействие ocy
337
r
у
а)
о)
Рис. 8.1. Структурные схемы l{aCKaAHbIX систем реrулнровапия:
а с ДВ)'МН рf'т'улятораМIl; б с диФФереНЦIlатором
ществляется извне, то получается система КО1\1бинированноrо pe
rулирования. Основные сведения о таких системах будут изло
жены в rл. 10.
Дополнительные воздействия 1\1orYT быть созданы и внутри
'"
замкнутоrо контура реrулирования. .::,то имеет 1\1eCTO в каскадных
cvc1eMax реrулиrова ния [88] (р ис. 8.1). Дополнительное воздей
ствие создается коо рдинатой Уl объекта реrулирования, которая
реаrирует на возмущение t быстрее, чем реrулируемая коорди
ната у. Реrулятор WV2 (рис. 8.1, а) под воздействием координаты Уl
устраняет в основном влияние f на у. Задающее воздействие для
реrулятора Wp'2 создается реrулятором Wp1 под влиянием рассо..
rласования х. Во втором варианте каскадной системы реrулиро
вания (рвс. А.l, б) дифференциатор Wп под воздействием коорди
натыI Уl СОЗДClет сиrнал только при изrvlенении возмущения t.
Этот спrнал поступает на вход реrУЛЯТора Wp B1\1eCTe с рассоrла
сованием g и и форсирует переходные nроцессы в системе.
Использование каскадных систем реrулирования наиболее эф
фективно при сложных объектах с большой инерционностью.
В некоторых объектах можно и целесообразно создавать до..
полнительное реrУЛИРУIощее воздействие [71 J. ЭТО воздействие Zl
прикладывается ближе к реrулируемой величине у (рис. 8.2)
и форсирует переходные процессы.
Для обеспечения высокой точности используют нониусные
следящие системы [1 01 ]. Двухступенчатая нониусная САР
(рис. 8.3) состоит нз двух систем. Первая система W1 создает
основную составляющую Уl реrулируемоЙ величины, приблизи
тельно соответствующую задаlощему воздействию g. Вторая си
стема W2 уточняет значение У создает составляющую y, , COOT
ветствующую рассоrласованню R Уl'
Для умеНЫllения влияния ВОЗ lущений находят применение
КО1\1паундирующие связи, которые будут рассмотрены в п. 8.4.
С помощью фильтра и местной обратной связи может бь ть обеспе
чена различрая реакция системы на задающее I30здействие и воз..
мущение для Toro, чтобы подавл нть как высокочастотные помехи,
IIоступаЮllLие с задаl0ЩИМ воздействием, так и возмущение, при
ложеНIIое к обьекту. Эту задачу можно решить и в том случае,
338
у
Рис. 8.2. Структурная схема САР с вспомоrательным реrулирующим воздействием
Рис. 8.3. Структурная ('.хема двухступенчатой нониусной САР
коrда задающее воздействие недоступно для измерения. Подобные
результаты дает схема с условной обратной связью. Дополнитель..
ные связи позволяют выделять истинное значение задающеrо
воздействия при наличии двух источников информации, а также
компенсировать инерционность сравниваlощеrо элемента. Все эти
вопросы рассмотрены в учеБНОl\f пособии [45].
Основной путь стабилизации и достижения необходимоrо Ka
чества реrулирования это дополнение системы специальными
элементами. К НИl\f относятся элементы, обеспечивающие аста
тизм, Н корректирующие элеI\1енты, которые и будут рассмотрены
ниже.
.
Будут рассмотрены также некоторые принципиальные вопросы,
связанные со стабилизацией САР и улучшением ее динамических
свойств, и наиболее распространенные технические средства для
создания корректирующих устройств и дополнительных связей.
8.1. ПОВЫШЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ТОЧНОСТИ
Ошибка в установившихся режимах САР слаrается из ошибки,
создаваемой несовершенством (прежде Bcero низкой чувствитель-
ностью) отдельных элементов реrулятора, ошибки воспроизведе-
ния задающеrо воздействия и ошибки, создаваемоЙ возмущением.
Уменьшение первой составляющей достиrается использованиеl\l
более совершенных элементов и сопровождается, как правило,
увеличением сложности и стоимости реrулятора. Для уменьшения
остальных двух составляющих используют следующие основные
пути.
Увеличение передаточноrо коэффициента k разомкнутой САР.
Это универсальныЙ и эффективныЙ способ уменьшения ошибки
во всех установившихся режимах, что видно из выражения коэф"
фициентов ошибки (см. п. 7.2). Причем уменьшаются ошибка
слежения и ошибка от возмущения.
Увеличения k достиrаIОТ чаще Bcero введением усилителей.
Иноrда оказывается достаточным увеличить передаточные коэф"
фициенты отдельных элементов, например исполнительноrо эле..
мента или элемента сравнения.
339
В большинстве случаев увеличение k ведет к уменьшению
запаса устойчивости, и для Toro чтобы система не потеряла устой..
чивости, значение k не должно превосходить HeKoToporo значения
krp (см. п. 6.10). Однако приближение к этому rраничному зна-
чению обычно невозможно из..за резкоrо ухудшения показателей
качества переходной характеристики. Таким О,бразом, имеется
противоречие между точностью и устойчивостью системы pery..
лирования по отклонению. Это противоречие может быть устра-
нено, если одновременно с увеличением k до значения, обеспечи-
вающеrо необходимую точность, создавать и необходимый запас
устойчивости с помощыо корректирующих устройств, которые
будут рассмотрены в п. В.З.
Несомненный интерес представляют такие структуры САР,
при которых возможно повышение k до весьма большоrо значе-
ния. С этой целью J\tl. В. Мееровым [6З] предложено одно из
звеньев прямой цепи охватывать отрицательной I'ибкой обратной
связью (рис. В.4). Пусть элементы этой системы имеют следующие
передаточные функции:
W1 == k1/Ql; W2 == k2/Q2 И Wr == k2Rr/Qr, (В.l)
rде Ql' Q2' Rr и Qr полиномы от .s с младшим членом:, равным
единице.
Тоrда п редаточный коэффициент k2 участка прямой цепи,
охваченноrо обратной связью, может иметь весьма большое
значение при выполнении трех условий:
1) вырожденное характеристическое уравнение
SI rQl + k1Qr == Aos" + AlS" l + . · · + Av === О (В.2)
удовлетворяет условиям устойчивости;
2) разность между степенью n полинома
Q Q'.!.Qr == Bosn + В1 sn l + · . . + Вп (В.З)
и степенью v вырожденноrо характеристическоrо уравнения (В.2)
не больше двух: n v 2;
З) удовлетворяются неравенства Ао > О при n v == 1
Во
В1 А1 2
и > при n v .
Во Ао
Очевидно, что при весьма большом k2 становится весьма боль-
шим и передаточный коэффициент k разомкнутой системы. По вы-
ражениям (В.2) и (В.З) леrко заключить, что для удовлетворения
неравенства n v 2 не следует иметь полином Q!1 более высокой
степени, чем полином sRr. Однако передаточная функция Wr
может быть физически реализована только при степени Qr не ниже
степени sR r. Поэтому целесообразно иметь равные степени полино-
мов Ql' И sRr. Тоrда полином Q2 может быть только первой или вто-
рой степени. Этим определяется, какие звенья может содержать
участок цепи, охватываемыЙ обратной связью.
340
Передаточная функция W1 в рас-
сматриваемой структурной схеме
представляет собоЙ перед.аточную
функцию той части системы, KOTO
рая не охвачена rибкой обратной
связью Wr. В W1 входит И переда
Ф б Рис. 8.4. Структурная схема САР,
точная ункция основноЙ о ратной допускающая весьма БОJlьшие зна-
связи, если она не равна единице. чения k
Часть системы, не охваченная rиб..
кой обратной связью, может иметь звенья чистоrо запаздывания.
М. В.' Мееровым предложены [63] также варианты структур
с несколькими rибкими обратными связями, обеспечивающими
возможность неоrраниченноrо увеличения k.
Следует заметить, что рассмотренная возможность увеличе..
ния k не находит широкоrо применения, так как неучтенные
малые параметры MorYT заметно изменить войства системы вплоть
до ее неустойчивости. Кроме Toro, при большом k ухудшаются
показатели качества переходной характеристики [36 ].
Пример 8.]. САР выполнена по структурной схеме, изображенной на рис. 8.4,
и ее элементы описываются передаточными функцияr...1И
W == k1 · W.) == k2 И W === 'Т5
1 aos2 + a1s + 1 Со52 + c1s + 1 r Т5 + 1
rде k1 == 4; ао == 0,02 с2; аl == 0,5 с; Со == 0,005 с2; С1 == 0,02с.
Выбрать значения параметров 't и Т rибкой обратной связи, при к оторых пере-
даточный коэффициент k2 может быть весьма большим.
Составим вырожденное характеристическое уравнение (8.2):
'Т5 (aos2 + а15 + 1) + k1 (Ts + 1) == о;
au't53 a1'ts2 + ('t + k1T) 5 + k1 == о.
Условие устойчивости этоrо уравнения по критерию rурвица
а1т ('t + k1T) > aU'tk1; а1 ('t + k1T) > aOkl'
Из полученноrо неравенства определим условие, которому должны удовлет-
ворять параметры 't и Т:
't' + kfT > a: l; 't' + 4Т > 0,16.
Составим полином (8.3):
(ао52 + а15 + 1) (cos2 + c1s + 1) (Ts + 1) ==
== 0,0001 Т5б + (0,0029Т + 0,0001) S4 + (0,035Т + 0,0029) 53 +
(0,52Т + 0,035) 52 + (Т + 0,52) 5 + 1.
в рассматриваемом случае n v == 5 3 == 2. Следовательно, САР будет
обладать TpeJyeMbIM свойством только при удовлетворении еще слеДУКjщеrо
условия:
В1 > А1 .
--в; А"; ,
0,0029'[ + 0,001 > 0,5't
0,0001 Т 0,02't
29Т+l>25Т, 4T I>0.
29Т + 1
>25;
Т
3'"11
L, lJ l5
зо
20
10
О 1
rj1 ёfJа iJ
? .
(I
1
I .
10(10 UJ с 1
,
180
Ри . 8.3. Jlоrарифмичсскне частотные характеристики цепи из ТрРХ апериодических
звеНьев
Полученное неравенство удовлетворяется при положительных значе..
ниях Т, поэтому достаточно выбрать l' и Т так, чтобы удовлетворилось
ранее полученное нсравенство l' + 4Т > О, 16.
Для проверки полученных результатов выясним, УСТОЙ1Iива ли система
llplI l' 0,1 с; Т == 0,05 с и k2 == 10000. В этом случае l' + 4Т === О,] I
4. 0,05 == 0,3 > О, 16 и передаточный коэффициент k2 достаточно пслик.
Составиы характеристическое уравнение
(aos2 1 als , 1) [(cos2 + C1S + 1) Х (Ts + 1) + k2'ts] I k1k2 (Ts + 1) ===
== 0,000005s5 0,000245s4 + 20,005s3 + 500,06s2 + 3000,6s 40001 == О.
Для проперкн устойчивости воспользуемся критерием Рауса. Составим
табл. 6.1, убедимся) что все элементы nepBoro столбца положительные и! следа..
вательно, при выбранных параметрах система устойчива.
Обеспечение астатизма. ДанныЙ метод также весьма широко
используется для улучшения статических свойств САР (см. пп. 7.1
и 7.2). Все следящие системы и системы проrраммноrо реrулиро
вания дол)кны быть астатическими. Иначе при нарастании зада
ЮlJ еrо воздействия с постоянной скоростью ошибка будет Hapa
стать, а при сколько нибудь длительном воздействии это
недопустимо. Статическими l\rlorYT быть только системы CTa
билизации.
Чаще Bcero астатизм достиrается включением интеrрирующих
звеньев в ПрЯМУIО цепь системы. :к сожалению, это неблаrоприятно
мо)кет сказаться на ее устойчивости. При двух интеrрирующих
звеньях система ул{е может оказаться структурно неустойчивой
(Cl'vl. П. 6.11). ПОЭТО11У одновременно с обеспечениеI\1 статизма
I\lorYT оказаться неоБХОДИМЫl\1И l\1ероприятия для обеспечения дo
статочноrо запаса устойчивости (см. п. 8.2).
342
Рис. 8.6. Изменение JJоrарифмических
частотнЫХ характеристик прн включе L,дб
нии ИЗ0дромноrо устройства
k
W:::::::: ,
(T1s+ 1)(T2s+ 1)(Тзs+ 1)
r де k == 20 и а) Т 1 == 0,5, Т 2 ==
=== 0,02, Т. 0,0]; б) Т 1 === 0,05;
Т 2 === 0,002; Т 3 0,001 с.
Для случая а лоrарифмические 90
частотные характеристики L1 и '1-'1
системы без интеrрирующеrо звена
и L 2 И '1'2 системы с интеrрирую-
lЦИ!\1 звеном построены на рис. 8.5. 180 ....... . ........
При введении интеrрирующеrо зве-
на запас устойчивости по фазе
уменьшился с 1'1 == аза до 1'2 == 12°. Уыеньшился и запас УСТОЙ Jвосr!! по фазе.
Для С ТIучая б ТIоrарифмически частоzные характеристики L1 и '\ 1 I1pIl OT
сутствии интеl рирующеrо звена и L2 и: '1'2 при наличии интеrРИРУlощеrо звена
также построены на рис. 8.5. Интеrрирующее звено увеличило запас устоЙчивости
по фазе с V 1 300 до v 2 ==: 430 . Увеличился и запас устойчивости по МОДУЛIО.
Пример 8.2. Выяснить, как
повлияет на устойчивость введение
интеrрирующеrо звена, если пере-
даточная функция разомкнутой САР
30
20
10 [
o
1 (Ut
10
If, 2рао
I
I
I r
и) 1 10
{,)с f
1
cJC211 ЩС
1 I
\ 1
[1 I
,1 100 С:){1
I I J
11
J [
1I
Il
I !
о
I
10
Простейший и широко используемыЙ интеrрирующий элемент
электродвиrатель постоянноrо тока с независимым возбуждением,
поворачивающий движок потенциометра. Напряжение и2, сни"
маемое с потенциометра, пропорционально интеrралу по времени
I!!
от напряжения иl, приложенноrо к OO!\tIOTKe якоря электродвиrа
теля. Используют также механические, rидравлические, пневма..
тические, химические и иные интеrрирующие элементы.
Друrой путь достижения астатизма это включение в ПрЯМУIО
цепь САР ИЗ0дромноrо устfМ"Йства с передаточной функцией
WП == kи (тв 8 + 1)/8. При соответствующем выборе постоянной
времени тн включени е изодромноrо устройства не оказывает
или почти не оказывает влияния на запас устойчивости системы.
НаJ1ример. L 1 И '1'1 (рис. 8.6) есть лоrарифмические Чdстотные характеристики
разомкнутой САР с передаточной функцией
20
W -== (О, 125s + 1) (0,05s 1) (0,008s + 1) ,
а L2 и '1'2 характеристики тоЙ же системы при включении в ее ПРЯМУIО цепь
изодромноrо устройства с kи:::::: 1 и Lп == 0,8 с. Изодромное устройство обеспечило
аСТйТИЗ1\1 и заметно IIОВ ТIИЯЛО лишь на низкочастотную часть характеристик.
Запас устойчивости при ЭТОМ IIрактически не изменился.
с ПОМОЩЫО изодромных устройств, ВКЛIочан их последова
I!!
тельно, мо)кно ооеспечить астатизм BToporo и TpeTbero порядка.
Выбор постоянных времени изодромов ОСуiцествляется так, чтобы
одновременно с астатизмом обеспечивались и необходимые динами
ческие свойства системы.
34З
Изодромные устроЙства MorYT иметь различную физическую
при роду. Такое уст ойство можно получить параллельным вклю-
чением интеrрирующеrо элемента и усилителя с передаточными
функциями W1 ==: k1/s и W2 == k2. Эквивалентная передаточная
функция соединения
Wэ == W1 + W2 == k1/s + k2 == klI (тиs + 1)/s,
rде kи == k1 И Ти == k2/k1.
Можно усилитель W1 == k1 охватить отрицательной обратной
связью, представляющей собой реальное диффереНЦИРУЮЧJ.ее звено
Wo == kos/(ToS + 1). в этом случае эквива.пентная передаточная
функция соединения
W w } ........ k 1 (Т 05 + 1)
э 1 + WOW1 (To+kok})s+ 1
и при большом
W kи (тиs+ 1)
э S '
rде kи === l/ko и Ти == ТО'
Если усилитель с передаточной функцией W1 == k1 охватить
положительной инерционной обратной связью Wo == ko/(ToS + 1),
то при ko === 1/ k1
Wэ W1 kи(тиs+ 1)
I WOWl s'
rде kи == kl'J./To и Ти == То.
В некоторых случаях необходимо, чтобы установившаяся
ошибка не зависела от одной из производных внешнеrо воздей...
ствия. Это достиrается реrулированием по производной [10],
т. е. включением в прямую цепь САР форсирующеrо звена с пере-
даточной функцией W Ф == ТфS + 1.
Например, если передаточная функция разомкнутой САР
W k ('tф- + 1)
aos3 + a}s2 + a2s + 1 '
то при 'tф === а2 коэффициенты ошибки СО == 1/(1 + k); С1 == О И С2 == alk/(l +
+ k). у становившаяся ошибка становится независящей от первой производной
задающеrо воздействия. При устойчивости разомкнутой цепи остается устойчи-
вой и замкнутая система.
Последовательным включением двух форсирующих элементов
можно обратить в нуль два коэффициента ошибки. В этом случае
будет осуществляться реrулирование по первой и второй произ-
водным и может быть достиrнута независимость установившейся
ошибки от двух производных задающеrо воздействия.
Коррекция задающеrо воздействия [45 ]. Придать системе
астатические свойства или повысить порядок астатизма относи...
тельно задающеrо воздействия мо)кно с помощью коррекции.
344
9
а)
Рис. 8.7. Варианты структур..
ной схемы САР с коррекцией
зада ющеrо Rоздействия
6)
!J
8)
Ее осуществляют по схеме, показанной на рис. 8.7, а, т. е. на
вход системы включают преобразовательный элемент с передаточ"
ной функцией W п'
Изображение Х ошибки х == g у в данном случае имеет
следующее значение:
Х == G У :== G W п W G ] + W (1 W л) G
l+W I+W.
Следовательно, передаточная функция для ошибки слежения
W 1 + W (1 W л)
X l+W ·
Предположим, что замкнутый контур статический:
'k
W === n + n...l + + 1
cos c1s · '. + Cп lS
WII == == I t k .
Тоrда передаточная функция для ошибки слежения
(Cosп"'l + C1Sп 2 + · · · + Cп...l) S
CoS, + C1Sп 1 + ... + Cп..1S + (1 + k) ,
т. е. соответствующим выбором безынерционноrо преобразова-
тельноrо элемента достиrают астатизма системы при статическом
замкнутом контуре. Такой прием находит применение, однако,
если передаточный коэффициент k разомкнутой системы из-за
ошибки при расчете или из-за неточности выполнения усилителя
отличается от расчетноrо значения на д-k, то появляется устано..
вившаяся ошибка [ 1 О ]
Ak
Ху ==== go.
Пусть замкнутый контур астатический:
k п+l
W == (Co5n 1 + C1Sп 2 + ... + Cп...2S + 1)5 WЛ == Ts + 1 '
rде 't' > Т И удовлетворяется равенство k ('t' т) == 1.
(8.4)
(8.5)
(8.6)
wx===
(8.7)
(8.8)
(8.9)
345
о) ."
а)
РИС. R. ,\}. СТРУКТ}'ОН а я СХ('М а
САР:
а с нееДИНИЧНОЙ обрат
ноН СRЯ3ЬЮ; 6 эквнва
леllтная
Тоrда передаточная функция для ошибки слежения
(Cosп 2 + ClSIl 3 · . · + Cп 2)s2
Cosп + ClSIl l I · · · + Cп 2S2 + s + k
Wx-==
(8.10)
Значит, при использовании в качестве преобразовательноrо
элемента реальноrо форсирующеrо звена первоrо порядка aCTa
тизм увеличивается на один порядок. Форсирующее звено BToporo
порядка увеличит астатизм на два порядка и т. д. [45 J.
Изложенный метод 'достижения астатизма или повышения ero
порядка имеет несомненные преимущества вследствие своей про
стоты И отсутствия В замкнутом контуре интеrрирующих звеньев,
которые затрудняют обеспечение устойчивости. Однако примене..
ние метода оrраничивается теми случаями, коrда задающее воз
действие имеет малый уровень помех. Кроме Toro, отклонение па-
-раметров от расчетных значений приводит к появлению статиче
ских ошибок.
Существуют САР, в которых задающее воздействие не может
быть измерено (отсутствует), а измеряется лишь рассоrласование х.
В этом случае преобразовательный элемент WJ1 может быть вклю
чен в цепь сиrнала paccor ласования (рис. 8.7, б). Для Toro чтобы
схема была эквивалентна ранее рассмотренной (см. рис. 8.7, а),
включают компенсирующую отрицательную обратную связь с пе
редаточной функцией
W!{П === (1 Wп)/WII. (8.11)
Компенсирующая связь может быть включена и по схеме,
изображенной на рис. 8.7, в [1 01 ]. Тоrда ее передаточная функция
W кп == 1 ......... W П' (9.12)
Неединичная обратная связь. Такая связь (рис. 8.8, а) также
позволяет получить астатизм относительно задающеrо воздействия
[10J. Этой схеме эквивалентна схема (рис. 8.8, б) с единичной
обратной связью и прямой цепью с передаточной функцией
WЭ == W1 . (8.13)
1 (1 ko) W 1
Пусть
W1 0== k1(bOsт + blSт l + ... + bт lS + 1)
cos n ClSn l + · .. + Cп lS + 1
1
и ko:-== 1 ·
k1
346
(8.14)
Т()I да
k1(bo"lIZ -j b18т 1 +.... 1 bт 18 1)
\f' э 2 (8. 1 5 )
Coi.)ll t . . . I' (Cп 2 bm '.!.) s (( Cп 1 bт 1) S
Следовательно, в системе без интеrрИРУfОЩИХ или изодромных
звеньев соответстпующим выбором коэффициента основноЙ обрат
ной связи MO)I{HO обеспечить астатизм относительно задаlощсrо
поз действ ия .
НееДИНИЧная обратная связь позволяет так}кс повысить поря
док астатизма [1 О J. Неточность расчета и нестабильность пер
даточноrо коэффициента k1 так же, как и n ранее расс лотреННО 1
случае, служат причиной появления статической ОПIибки c.тre
жен ия.
Общие условия неискажеННОI'О воспроизведения детер1\1ИНИрО"
BaHHoro задающеrо воздействия в устаНОВИБшемся режиме. Если
САР Иrvrеет структурную схему, изображенную на рис. 3.1, то эти
условия зак.тпочаются в том [51 J, что среди ПОЛfОСОВ передаточной
функции W1 W2 прямой цепи системы долж.ны быть все ПОJ1IОСЫ
изображения {g} задающеrо воздействия.
НаПРИ -Iер, если g::::: а! + ь, то
{а! + ь jl === а/ 82 + ь/ s == (а + bs)/ S2
11 для отсутствия установившейся ошибки передаточная функция W 1 W 2 ДО.,1ЖIi3
имеrь два нулевых полюса. Систеыа должна быть астатическо{i DToporo порядка,
что следует также И из формулы (7.6).
ЕС.,iJ:И g :::::: а s in (J) о t, то
53 {а siп(Uоt}' a(Uo/( 82 + (й6).
Для отсутствия устаНОI3ившейся ошибки передаточная ФУllКЦИЯ \v 1 \ ' 2
должна содержаТl) в качсстве 1\lножителя передаТСIJНУЮ ФУНКIIЛ1О !{онсерваТИI3ноrо
звена с постоянноЙ пре\IСНИ Т == J/ (йо.
Аналоrично условие отсутствия установившеися ошибки от
возмущения f (см. рис. 3.1) заключается в том, что среди полюсов
передаточноЙ функции W2 должны быть все полIосы изобрал(ения
{f} возмущения.
8.2. ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И УВЕЛИЧЕНИЕ
ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ
Способы обеспечения устойчивости (стабилизации) замкнутых
САР и придания им необходимоrо запаса устойчивости (демпфи-
рования) разнообразны. Уже отмечали возможность решения
задачи выбором основных элементов реrулятора и изменение 1 их
динамических свойств местными обратными связями. При этом
можно руководствоваться следующими рекомендациям:и [74 J.
Если сопряrающая частота апериодичеСI<оrо или колебательноrо
звена расположена левее частоты среза ЛА ЧХ разомкнутой си
стемы, а сопряrающая частота форсирующеrо зпена располо}кена
правее частоты срсза, то упеличение постоянной времени ка)J{доrо
317
из этих звеньев ведет к увеличению запаса устойчивости. Указан-
ная зависимость справедлива лишь при условии, что сопряrа-
ющая частота расположена на некотором удалении (около декады)
от частоты среза. Встречаются, однако, структуры, для которых
эти рекомендации не выполняются.
Друrой и более распространенный путь стабилизации и демпфи-
рования введение в систему дополнительных звеньев. Их
включают последовательно в прямую цепь системы, параллельно
отдельным участкам или с охватом участков обратной связью.
В качестве дополнительных используют интеrрирующее, аперио-
дическое, дифференцирующее, форсирующее и чаще Bcero более
сложные интеrро.. дифференцирующие звенья.
Эти способы улучшения динамических свойств отличаются
один от друrоrо влиянием на частотные характеристики разом-
кнутой системы. Основными являются три способа, приведенные
ниже.
1. Демпфирование с подавлением высоких частот (демпфиро-
вание с внесением отрицательных фазовых сдвиrов). В этом случае
устойчивость замкнутой САР и достаточный запас устойчивости
обеспечивают приданием разомкнутой системе способности по-
давлять rармонические колебания, частота которых превышает
некоторое значение ООй'
Если разомкнутая САР состоит из безынерционных, апериоди...
ческих, колебательных и форсирующих звеньев, то для подавле..
ния высоких частот достаточно включить апериодическое звено
с достаточно большой постоянной времени То. Значение То должно
быть выбрано так, чтобы частота среза ООС измененной ЛАЧХ
находилась в диапазоне частот, при которых ординаты исходной
ЛА ЧХ еще весьма мало отличаются от 20 19 k и ординаты исход-
ной ЛФЧХ от нуля. В этом случае остальными постоянными
времени можно пренебречь и приближенно считать, что переда..
точная функция разомкнутой системы
w k/(ToS + 1).
(8. 16)
Следовательно, замкнутая система устойчива и имеет вполне
достаточный запас устойчивости. При увеличении k запас устой...
чивости не изменится, если одновременно увеличивать То так,
чтобы оставалось неизменным отношение
k/To == ООС.
Пример 8.3. Передаточная функция разомкнутой САР
(8. 1 7)
w k
(Т 15 + 1) (Т 25 + 1) (Т з5 + 1) ,
rде k == 100, Т 1 == 0,05, Т 2 == 0,01 и Т 3 == 0,001 с.
Выяснить, как повлияет на свойства системы включение в ее прямую цепь
апериодическоrо звена с постоянной времени Т о == 8 с.
348
L,дб
40
30
20
10 I
I
а 0,1 Ша
r, срад
о
0,1
9D
,
1
I
I
1W2
100
ШСl lAJj
1
I 1 00 f.U,C
I I
I
юо
Рис. 8.9. Л оrарифмичсские частотные характеристики цепи из трех апериодических звеиьев
По лоrарифмичсским частотным характеристикам L'i и '1'1 разомкнутой САР
(рис. 8.9) заключаем, что при замыкании она будет неустойчива. Характеристики
L2 и '1'2 разомкнутой САР с дополнительным апериодическим звеном свидетель
ствуют об ее устойчивости в замкнутом состоянии. Запас устойчивости по фазе
1'2 == 51 о. Постоянная времени Т о дополнительноrо звена имеет меньшее значение,
чем следует по ранее сделанным рекомендациям, так как значение '1'1 при ШС2
не близко к нулю. Однако получены вполне приемлемые результаты (достаточное
значение 1'2), поскольку ближайшая сопряrающая частота 001 создается апериоди-
ческим звеном. Рекомендации же предполаrают наихудший случай, коrда эта
сопряrающая частота создается колебательным звеном.
Демпфирование статических систем можно осуществить не
только апериодическим, но и более сложным интеrро..дифферен"
цирующим звеном с передаточной функцией
Wo == (ToS + 1)/(ToS + 1) при То > То. (8.18)
В этом случае постоянная времени То может иметь меньшее
значение, чем рекомендовано для апериодическоrо звена.
Интеrро..дифференцирующее звено с передаточной функцией
(8.18) обеспечивает подавление высоких частот и достаточный
запас устойчивости и в астатических системах nepBoro порядка.
Передаточные функции систем разомкнутой статической и
астатической с дополнительным интеrро.. дифференцирующим зве-
ном при достаточно больших То и То соответственно
W k (То5 + 1)/(То5 + 1) и W k (ToS + 1)/5 (То5 + 1). (8.19)
В системах с астатизмом BToporo порядка демпфирование
с подавлением высоких частот дает нужные результаты только
в некоторых случаях.
Преимущество paccMoTpeHHoro способа в том, что дополнитеЛL-
ное звено с большой постоянной времени То представляет собой
фильтр низких частот и подавляет высокочастотные помехи.
Недостаток способа значительное уменьшение быстродействия
системы.
349
2. Демпфирование с поднятием высоких частот (демпфирова
нне с внесением положительных фазовых сдвиrов). Устойчивость
и нужный запас устойчивости обеспечивают посредством увеличе
ния способности разомкнутой системы пропускать rармонические
колебания, частота которых выше HeKoToporo значения (ОН'
ДЛЯ этоrо неоБХОДlIМО в ПрЯМУIО цепь САР включить форси
рующее звено с передаточной функцией W Ф TS + 1. Это звено
создает положительный фазовый сдвиr '\j\}) == arctg (от, которыЙ
в области высоких частот приближается к 900 и увеличивает
амплитуду в Аф ===- }/'1 + (О2т2 раз, т. е. тем сильнее, чем BbIllle
частота.
Если влияние одноrо форсирующеrо звена оказывается Heдo
статочным, то включают последовательно два таких звена с по
стоянными времени Т1 и т2. Тоrда положительный фаЗОВЬН I сдвиr
имеет две составляющие: 'Ч'ф === arctg СиТ! . arctg ШТ2, и ампли"
туда увеличивается в Аф ==== ,/ (1 { (o T'i) (1 (02T ) раз.
При использован ии реальноrо форсируюrцеrо звена с переда..
точной функцией
W Ф === kф (тф S 1)/(Т фs 1), (8.20)
rде kф' < 1 и тф» Тф, неоБХОДИ!\10 дополнительное увеличение
передаточноrо коэффициента остальноЙ части раЗОl\1КНУТОЙ цепи
в 1/kф раз.
Постоянная времени Тф оrраничивает диапазон высоких
частот, на котором вносится положительный фазовыЙ сдвиr.
Однако, чем больше Тф по сравнению с Т ф' тем меНЫllе влияние
постоянной Т ф'
Вместо последовательных форсирующих звеньев MorYT быть
использованы эквивалентные по влиянию !\1естные обратные связи.
Демпфирование с поднятием высоких частот является теоре..
тически универсальным способом и дает желаемый результат
практически при любой передаточной функции исходной системы,
в том числе и при наличии неминимально..фазовых звеньев. Пре..
имущество этоrо метода также и в увеличении быстродействия
системы. Однако способ имеет и весьма существенный недостаток:
при дифференцировании сиrнала повышается уровень высоно..
частотных помех.
Пример 8.4. Выяснить, как повлияет на свойства САР, РLlссмотренной в при.
мере 8.3, включение форсирующеrо звена с передаточной функциеЙ W Ф == 0,01 s +
+ 1.
На рис. 8.10 показаны доrарифмические частотные характеристики L1 и "1'1
разомкнутой исходной системы и характеристики L2 и "1'2 системы с форсирующим
звеном. Поднятие ВЫСОI{ИХ частот обеспечивает устойчивость замкнутой системы
и запас устойчивости по фазе у 2 == 42°.
3. Демпфирование с подавлением средних частот также ста...
билизирует САР и создает достаточный запас устоЙчивости. До...
стиrается это включением в ПРЯМУIО цепь системы интеrро диффе
350
L)дБ L, iJ Б
40 J/O
.30 30
20 20
10 1n
о 10 О
10
'f, ера д t..J, с 1
О I
lОО 1000
90 9 -
180 ......
Рис. 8.10. Л оrарифмические частотные характеристики цепи из трех апериодических
и форсирующеrо звеиа
Рис. 8.1 J. Лоrарифмические частотные характеристики цепи И3 трех апериодических и
ИfIтеrро дифференцирующеrо звена
ренцирующеrо звена BToporo порядка с передаточной функцией
W ('t1S + 1) ('t2s + 1) (8 21)
ид (Т 1 S + 1) (Т 2S + 1) , .
rде постоянные времени 1"1 и 1"2 меньше Т1 и больше Т2.
Вместо последовательноrо звена можно создать эквивалент
ную по влиянию местную обратную связь.
При подавлении средних частот быстродействие системы YMeHЬ
шается, но обычно незначительно. Данный способ демпфирования
наиболее распространен по сравнению с двумя первыми.
Пример 8.5. Выяснить как повлияет на свойства САР, рассмотренной в при
мере 8.3, включение интеrро"дифференцирующеrо звена с передаточной функ..
цией.
(O,Ols + 1)2
W ид === (О, 1 s + 1) (О J 00 1 s 1 1)
На рис. 8.11 представлены лоrарифмические частотные характеристики L1
и '1'1 исходной системы в разомкнутом состоянии и ее характеристики L2 и '1'2
при включении интеrро дифференцирующеrо звена. Подавление средних частот
обеспечило устойчивость замкнутой системы и запас устойчивости по фазе 'V 2 === 49".
Во мноrих случаях рассмотренные способы комбинируют
в зависимости от Toro, каковы частотные характеристики САР,
УСТDЙЧИВОСТЬ которой необходимо обеспечить. Может оказаться
необходимым подавление средних частот с одновременным подня"
тием высоких частот, усиление части высоких частот и подавление
друrой их части и т. д.
При наличии в системе консервативноrо или колебательноrо
звена с малым затуханием хорошие результаты дает демпфирова-
ние с введением отрицательных фазовых сдвиrов [1 О ]. Для этоrо
351
I
Рис. 8.12. АМП.llитудно-фазовые частотные харак"
теристики ИСХОДffоА и скорректированной системы
в прямую цепь САР включают He
минимально-фазовое звено, напри-
мер, с передаточноЙ функцией
W), (1 Ts)/(Ts + 1). (8.22)
Звено не увменяет амплитудно
частотной характеристики системы
и создает отрицательные фазовые
сдвиrи, так как
А д ::::= V 1 -+ ш2Т2/ V 1 + {I)2T2 === 1;
фд === 2arctg соТ. (8.23)
в результате обеспечивается устойчивость и не И311еняется
быстродействие системы.
Пример 8.6. Передаточная функци я разомкнутой САР
k
W == s (Tis2 + 2 T1S + 1) J
rде k == 5, Т 1 == 0,05 с и =:: 0,01.
Выяснить, как повлияет на свойства САР включение в ее прямую цепь неми
нимально-фазовоrо звена с передаточной функцией (8.22) при Т == 0,1 с.
Частотная передаточная функция разомкнутой цепи исходной САР
W:=:
k
j(J)( TI(J)2 + j2 Tl(J) + 1)
rде
==и + j,V
0,005 .
и 1 0,005002 + 6,25. 10 6ш4 '
5 (1 0,0025002)
V ........ 00 (1 0,005002 -+.6,25. 1 0 в004 ·
Определим основные точки АФЧХ разомкнутой САР:
00==0
u == 0,005; V == oo;
о < 00 < 20 u < о;
(J) == 20 U == ....... 12, 5 ;
20<0) и<о;
(1) == 00 U == о;
v < о;
v == о;
v > о;
v == о.
Полученные данные позволяют выяснить вид АФЧХ (кривая 1 на рис. 8.12).
Пользуясь критерием устойчивости Найквиста, определяем, что исходная система
в замкнутом состоянии неустойчивая.
352
Чi[С'Т()Тllа51 rlеРl'j1,tIТОЧIl(Нt <.1) у н КIJ,I1 и }Н\ЗОi\Н\llуто]'i САР с ДОПОЛl1lf rСЛЫJЫ\1 :HH:lIOi\l
Il( jTw)
\ ' -== jw ( Т1Ш:!. + j2 T tW + 1) (1 jTw) и I jV,
[де
V
5 (0,2 0,00051 (02) .
В '
[) (1 О 101 27 (й2 + 2,5. 1 o i)004) .
шВ
0)005(1]2 4,37 . 1 () \tyl 1,6,25. 1 () R(I)I1.
и
в 1 1
I 10 U[}lp I)KeI1HH!\1 для и н v JlаХОДlI1\1
(.) о; 1 J . 1, О ; V сх),
о < w < 9,87 U < о, v < О,
(,) 9,87 U =: 0,67; V о;
9,87 < w < 19,85 u < о; v > о;
ш:::::: 19,85 U === о; V::::= 10,2;
19,85 < (и < 20,26 U > о; v > о;
w 20,26 U === 7,24; V === о;
20,26 < w U > о; v < о;
ей 00 U о; v о.
IlОJlученные данные определяют вид АФЧХ (кривая 2 на рис. 8.12) и ПОЗВО
ЛНJОТ rделать вывод об устоЙчивости замкнутой системы с дополнительным звеном.
Нс:\!инимаЛЫlо.фаЗОDое звено создает дополнительные фазовые сдвиrи, н
АФЧХ как бы аКРУЧИRастся BOl(pyr начала oceii координат по чаСОВОЙ стре,,1ке.
R реJультtlте удовл тн()ря('тсн I1соБХОДИ!\lОl' lf достаточнос УСЛОJНIl' ует()i>flIИRОСТН
J;;-\!\IКlIУТОН системы.
8.3. КОРРЕКТИРУЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Наиболее действенным способом обеспечения необходимых
динамических свойств САР является введение в нее дополнитель.
Horo элемента, который исправляет (корректирует) ее статические
и динамическ е свойства. Такой элемент называют корректиру
ющим элементом или корректирующим устройством.
Итак, корректирующее устройство это функциональный
элемент системы автоматическоrо реrулирования по отклонению,
обеспечивающий необходимые свойства этой системы, устойчивое
и качественное ее действие. Ранее уже рассматривались такие
устройства, теперь остановимся на некоторых их обll(ИХ свойствах.
I(орректирующее устройство можно включать в прямую цепь
системы последовательно (рис. 8.13, а). Такое последовательное
корректирующее устройство ",,'нl включают непосредственно после
элемента сравнения или после предварительноrо усилителя.
Последовательное корректирующее устройство, например, мо"
жет вводить производную от рассоrласования, что увеличивает
запас устойчивости и качество переходноrо процесса. При введе-
нии интеrрала и производной от рассоrласования обеспечивается
J 1)
М;:шзр(ш 11. Л1.
ЭfJ3
yr=v/! \';1 Jly
п) K2
WJ V 2 Wj b)
g \А' У
VVKJ
8)
Рис. 8.1 З. Структурная схема САР с корректирующим устройством:
II .. I10следовательным:: 6..... пар:1ЛJlfoЛЬНЫМ; 8 прямым ппраллеЛЬНЫI\'1
истатнзм JI ОДНОАремеНIIО сохраНЯIОТСЯ УСТОЙЧИВОСТI) н кзчеСТfJО
IlереходноЙ ха раI\Тl'рIlСТИ 1\11. [1 aи e IIСПОЛЬЗ уютен БОJ1се CJIO)f(lIIJI с
последuвательные корреКТИРУЮlцие устроЙства. Он Н ОI{(1ЗЬТВ3IОТ
разностороннее влияние на динаМIIческие и статические своЙства
САР.
Широко используют также включение корректирующеrо уст..
ройства WJ\2 в виде обратной связи, чаще Bcero отрицательной
(рис. 8.13, 6). Такое корректируюu ее устройство назыпают па-
раллельным. Оно охватывает обратной связью оконеЧНhТЙ каскад
усилителя или исполнительный элемент.
Передаточная функция участка цепи с параJ1лельным KoppeK
ТИРУЮIЦИМ устроЙством
W э -=--= W /( 1 l WK \\7 ). (8.24)
Обычно параллельное корректирующее устроЙство ВI)ТПОЛIIЯIОТ
так, чтобы в достаточно широком и наиболее существенном дли
качества системы диапазоне частот выполннлось неравенство
f w к2 W 21 > > 1.
Тоrда в этом диапазоне частот
(8.25)
W э 1 /W к2,
(8.26)
т. е. при удовлетворении неравенства (8.25) свойства цепи с па..
раллельным корректирующим устройством определяются только
свойствами caMoro корректирующеrо устройства.
Указанное обстоятельство является большим преимуществом
параллельноrо корректирующеrо устройства, так как свойства
участка цепи и изменение ero параметров не ВЛИЯIОТ на свойства
системы. Ilреимуп ество TaKoro ВКЛl0чения также в том, что на
корректирующее устройство поступает сиrнал с выхода мощноrо
элемента, и после преобразования сиrнала ero усиления не по-
требуется. Параллельное корректирующее устройство может быть
включено и в цепь основной обратной связи [49].
Применяют и третий вариант включения корректирующеrо
устройства WI 3 параллельно одному из участков прямой цепи
САР (рис. 8.13, в). В этом случае корреКТИРУЮIlLее устройство
следует называть прямым параллельным.
З54
1 J рямо(' lНlраL!IJlельное корреК1 нрующее УСТРОЙС'l но нмее', I
нооБI.ЦС rоворя, меньшие возможности, чем два друrих, 11 IfCnOJlb-
уется реже. Однако иноrда такое устройство при меньшей слож-
НОСТII создает необходимое преобразование сиrнала.
Пусть, например,
\\/'3 kэ и Wкз == kкз/ (Ts + 1).
Тоrда передаточная ФУНI{ЦИЯ участка цеrlИ с прямым JIараллеЛЬНblМ KOppel{.
тирующим устройством
W э == kэ (т эs + 1) / (Т s + 1),
rде /lз == /(3 kнз И "'[':) == IlзТ/(I<:J - '(H ).
След()ваТСЛLlIО, TOT участо}\ J ('IIJI нроянлнет ссбн как rеlJЛ])1I0С фОРСIlРУIОJцее
звено, н при малой раЗJlОСТИ k3 - /tH:i el"'O настоянная fjрем ни дифферСlJннропания
может быть весьма знаЧИТСJIЫI0й.
При выборе прямоrо параллеЛЬНОI О корректирующеI'О УСТ-
РОЙСТЕа MorYT быть полезными данные табл. 2.5.
l3 ряде случаев возникает задача выбора вида корректиру-
JОJцеrо устройства. Приводимые ниже формулы позволяют по
нередаточно1''r ФУНI{ЦIfИ, которую ДОЛII<НО иметь корректирующее
устройство одноrо вида, определить nередаТОЧНУIО ФУНI<ЦИIО эн:ви-
Ba.JJCHTHoI O ervIY корректирующеrо устройства друrоrо вида. Кор-
ректирующие устроЙства различноrо вида эквивалентны, если они
создаЮl' один и тот же эффект, одно и то же преобразование cIIr-
нала на участке цепи с корректирующим устройством. Кроме Toro,
на участке цепи с параллельным или прямым параллельным кор-
реКТИРУIОЩИМ устройством должно осуществляться преобразова-
ние сиrнала, соответствующее передаточной функции W2 или WЗо
Формулы ЭI{пивалентности корреКТИРУIОЩИХ устройств таковы:
W 1 1 + w кз ·
Kl =:=: (1 + w К2 W 2) === W 8 '
\\7 ? == .. 1 W Ki ===........... w ка
к" WK1W2 W2 (Wкз + Wз)
\V1,з '==" WЗ(\VК1 1) === IW+2;: 2 .
(8.27)
(8.28)
(8.29)
Т:СЛlI значенне передаточноЙ функции WE2 отрицатепыIе,'
то это означает, что параллельное корректирующее устроЙство
представляет собой положительную обратную связь.
Во мноrих случаях необходима сложная коррекция динаМIf
чеСI{IIХ свойств САР, и тоrда вместо одноrо корреК1ирующеrо
устроЙства удобно использовать два более простых.
Последовательному корректирующему устройству эквива-
лен rHO сочетание параллельноrо и прямоrо параллельноrо, пере-
д3.точнr I2 {lJУНКЦИИ I{OTOPbIX удозлетворяют равенству
1 + \ ' кз/\\7 . Лl
1 + \\'t' К2 W 2 >." KJ' (8.ЗО)
12* 355
Паралле,lIЬНОМУ корреl(тирующему устроЙству эквивалеН'I НО
сuчетание последuвательноrо и прямоrо параЛ,ТIельноrо KoppeKTII
рующих устройств, передаточные функции которых удовлетво
ряют равенству
1
W1\1 (1 + Wк2/Wэ) === 1 + w w ·
К2 2
(8.31)
Прямому параллельному корректирующему устройству ЭКI3Ji
валентно сочетание последовательноrо и параллельноrо корректи-
рующих устройств, передаточные функции которых удовлетво-
ряют равенству
WK1 . 1 ...L W /W
1 + W w I кЗ ;1'
К2 2
(8.32)
При составлении формул (8.30) (8.32) предполаrалось, что
параллельное корректирующее устройство охватывает обратной
связью звено W2 и прямое параллельное корректирующее уст-
ройство включено параллельно звену Wз.
Методы синтеза корректирующих устройств будут ИЗЛО)Еены
в r Л. 9.
8.4. КОМПАУНДИРУЮЩИЕ СВЯЗИ
В некоторых объектах реrулирования MorYT быть две физи..
ческие величины, которые зависят от одних и тех же внешних
воздействий и взаимосвязаны. Если одна из этих величин яв
ляется реrулируемой, то друrая может осуществить дополнитель
ное воздействие на реrулятор. Такая дополнительная связь внутри
замкнутоrо контура реrулирования по отклонению называется
компаундирующей [51 J. Существуют два вида компаУНДИРУКЩIIХ
св язей.
I(омпандирующая связь W ко образующая второй канал воз-
действия возмущения. Такая связь может быть создана, коrда
в объекте реrулирования возмущение f воздействует на реrУJ1П-
руемую величину у через промежуточную величину Уl (рис. 8.14, а).
В этом случае реrулирующая величина z РJ1ИЯ€Т на Уl только
через у.
Компаундирующая связь в общем случае состсит из датчика
и компенсирующеrо элеМЕнта. Иноrда необходимость в датчике
отпадает, например, коrда Уl есть электрическая веЛИЧина. KOM
пенсируlCЩИЙ эле:rvrент преобразует сиrнал так, чтобы компен-
сировать влияние возмущения f на реrулируемую величину у.
Система с компаундирующей связью описывается передаточ
ными функциями: разомкнутой цепи
w WoWltW2W::r ·
1+Wt2\VIЭ WllW2WКСW1а 1
(8.33)
356
Рис. 8.14. СТРУI<турная
схема СА Р с Ii"омпаундиру
ющей СВЯ зью:
а образующ,с-Й второй Ka
нал воздеЙстви я возмуще-
ния; 6 не образующеЙ
TaKoro канала
у
о)
относительно задающеrо воздействия
W \\711W2WЗ (8.34)
g 1 + W12W13 W11W2Wкс\\71З -1 WОWI1W2WЗ
относительно возмущения
Wl 1 WH(W12 WllW2WKC) W' (8.35)
\\7 J 2 W 13 W 11 \\,1 2 W КС W 13 + \\7 о W 11 W 2 3
rде W11, W12, W1з, W14 передаточные функции элементов
объекта реrулирования; W(, W2, Wз передаточные функции
элементов реrулятора.
При выполнении компаундирующей связи с передаточной
функцией
WFC == W12/(W11 W2) (8.36)
передаточная функция W1 относительно возмущения сбращается
в нуль. В этом случае возмущение f не оказывает какоrо-либо
влияния на реrулируемую величину у, т. е. достиrается ПО 7Iная
инвариантность (независимость) у от f. Равенство (8.36) усло
вие полной инвариантности, которое, вообще rоворя, может быть
реализовано, ибо существуют два канала, по которым возмущение
воздействует па ре!'УЛIIРУСМУIО нс.пIIЧННУ у. О} ИН I<анал (CCTeCTneH
ный) состоит из э.пеlVlентов с псредаТQЧНЬПЛИ функциями W 11
И W12, друrой образован комлаундирующеЙ связью и включает
элементы с передаТОЧНЫlVIИ функциями U'/14 , W 1-\ ' W2 И W11.
Вероятнее Bcero из..за инерционности Э.ТIемента W! условие
инвариантности не может быть реаЛfIЗ0ваио ПОЛRОСТЬЮ не
357
:MCHKer быть фнзичеСI{I1 осущеСТВJIена компаундирующая СВЯЗh
с передаточной функцией, определяе '10Й равенством (8.36). ТОI'ДR
]{омпаундирующую связь выполняют, лишь приближаясь к этому
равенств у, II достиrают частичноЙ нвва риантности (C I. 11. 1 О. 1 )
пли инвариантности с точностью до малой величины Е. Однако
11 в такой ситуации влияние f на У уменыпается весьма существенно.
ВОЗl\10ЖНОСТЬ достижения Toro или иноrо вида инвариантности
реrулируемой величины от OCHoBHoro возмущения является боль..
11IИМ преимуществом рассматриваемой структуры.
Однако компаундирующая связь оказывает отрицательное
влияние на устойчивость системы, так как она создает поJtожи
теЛЬJlУIО обратную СВЯ3Ь, охватыIijJоJцуюю элемеПТI>I W11 и W2
нрямой ЦСIIИ. ЭТО влияние может БыIьь скомвснсировано соответ..
ствующим выбором корреКТИРУlощеrо устроЙства в прямой цепи
системы.
reHepaTop постоянноrо тока с независимым возбуждением может служить
примером объекта, который ПП1воляет осуществить компаундирующую связь,
образующую второй канал В()З,'i.r йствня возмуrцения. Реrудируемой величиноЙ
является напряжение UI на зажимах rCHepaTopa; возt\'lущеНIIСМ напря,кение ин
у IIотребителя, изменяющееся при изменении мощности паrрузки; второй велн
чиноЙ, характеризующей действие объекта, ЯВ 1]яется ток ir reHepaTopa; реrули-
рующим воздействием ток возбуждения iB.
При обычных допущениях (скорость вращения reHepaTopa постоянная и eru
маrнитная: система не насыщена) указанные величины связаны слеДУIОЩИМИ ypaB
lJениямн:
llr == kriB (LaP + Ra) ir; (L.ТJ.p + R fj) ir == Ur lllP
rде kf' передаточный коэффициент reHepaTopa; La, Ra, Lл и Rл индуктив
ности И сопротивления соответственно об IОТКИ якоря reHepaTopa и линии, соеди"
НЯlощей reHepaTop с потребителем.
После преобраэования этих уравнений по Лапласу при нулевых начальных
условиях можно определить передаточные функции элементов объекта:
1
\\7 11 == kr; W 12 == R а (Т aS + 1); W 13 == \У! 14 == R J1 (Т J1S + 1) ,
rде Т а == La/Ra и Т 11 == Lл/Rл.
Очевидно, что структурная схема reHepaTopa такая же, как и изображенная
на рис. 8.14, а. Следовательно, в системе автоматическоrо реrулирования ero
напряжения можно создать компаундирующую связь для компенсации влияния
возмущения. Такую DОЗМОЖНОСТЬ широко используют.
Компаундирующая связъt не образующая BToporo канала воз-
действия воз ]ущення. В этом случае возмущение влияет на
промеЖУТGЧНУЮ величину Уl через реrулируемую величину У
(рис. 8.14, б). Реrулирующая величина z обычно влияет на pery..
лируемую величину у через промежуточную Yl.
Система описывается передаточными функциями: разомкнутой
цепи
w===
\\7 о W 11 W 12 W 2 \f/ 3 .
t l \\71 \\7 3 \f 12 W 2' 1\1
(8.37)
(
3 8
относительно эадаJОJ.цеrо воздеНствия
\\7 :=== 'У1 11 W 12 W 2 '\7 з
g 1 + W11'f/J3 - W'ttW2W[{C + 1\7ОWl1W12\\72W'З
(8.38)
относительно возмущения
\\7' === W14 (1 W12W2WKC). ,. (8. 39)
f 1 + w 11 W 13 W 12 W 2 \\7 КС + W о W 11 W 12 W 2 W 3
r де W)l' \\712' W 1З, W [<1 передаточные (РУНКЦIlН ЭЛ€J\/lентов объекта
реrулирования; Wt!, W , \f1:! -. нерелаТОЧIН)lе (l)УНКI ИН э.rJе",н:нтон
реrулятора.
Передаточная qJУНКЦIIЯ \V'f ойраIl аетсн в IIУ.rп) I1рИ nI}llНJJlпеIlIIН
компаУНДИРУЮlцеЙ СВЯ НI с ]1(- ре} аТ()Ч}J()i'I (])уннцнРЙ
W Ее = 1 / ( W 12 W 2). ( . <1 ())
Таким образом, это равенство является условием JfнвариаIIТ
ности реrулируемой величины у от возмущения t. Однако, как
правило, компенсирующая цепь не может быть выполнена с пере
даточной функциеЙ, удовлетворяющей равенству (8.40). Удается
лишь уравнять своБодныIe члены и коэффициенты при млаДIJJlIХ
степенях s левон и правоЙ частеi'J равенства, которое получаете}]
из равенства (8.40) после подстановки в Hero значений I1ередаточ
ных функций W12 И W2 II преДJJолаr"аеl\10Й передаточноЙ ФУНКПJlII
WHCI При этом достиrается лишь частичная инвариантност[) 1"
от у, но влияние t на у значительно уменьшается.
Компаундирующая связь весьма значительно влияет на устоЙ
ЧИВОСТЬ системы и качеСТDО воспроизведения задающеrо ВОЗJ ей
ствия, поэтому оказывается необходимым корректирующее YCT
ройство в прямой цепи.
Примером объекта, которыЙ позволяет создать компаУНДИРУЮЩУlО связь
)1accMoTpeHHoro типа, может служить электродвиrатель ПОСТОЯНIIоrо тока с неза-
IЗисимым возбуждением. Ero реrулируемая величина скорость вращения
якоря ы; возмущение момент сопротивления т; вторая величина, характери-
зующая деЙствие двиrателя, ток якоря i; реrулирующее воздеЙСТDие напрн
жение и, прилож ппое к обмотке якоря.
Уравнения элеj(тродвиrатедя
(LaP + Ra) i u Се(й; (.lp + С) (й =.:= cmi т,
rде La и Ra индуктивность и сопротивление обмотки якоря; J момент инер
ции якоря и СDязанных с IIИJ\I nращаЮIЦИХСЯ масс; Се, с, Ст постоянные.
После преобразования уравнений по Jlапласу при пулевых начальных усло.
виях опредеЛЯIОТСЯ персдаточные фу II кции элеt\.1ентоn электродлпrател я:
Q k11 Q k12.
W 1 === Т == т mS + l' \\7 12 ==== М == Т mS + 1 '
J k1э J k14
W 13 === Q т nS + 1 W 14 == и т aS + 1 '
rде Q, J, М, U соответственно изобраiкения переменных ш; i, пz, и; k11 ==
== С,п/С; k12 == 1/с; k]З =:: c[/Ra; k14 == 1/Ra; Тт =::: J/c; Ти == LI1/Ra.
Структурная схема электродвиrателя такая же, как и у объекта реrулирова-
ния на рис. 8.14, 6. СлеДОВ:1тельно, R системе аnТОМRтическоrо реrулироваНJlН
359
скорости ВРШЦСНIIЯ элсктро,rцзиrате.пя l\',:ОЖlIО создать компаУНДНРУIОЩУIО связь
(обратную связь по току), которая, однако, не образует BToporo канала воздей-
ствия ВОЗ lущения на реrулируеМУIО ве.ТIичину. Такую ВОЗ;vl0)КllОСТЬ широко НС"
пол ьзую l' В а втоыатизирова н ных Э..lектропр иводах.
8.fi. ПРЕОБРАЗОRАТЕЛИ сиrНАЛО8 постоянноrо ТОКА
13се рассмотренные методы стаБПJIИЗ3ЦИИ и обеспечения пео()..
ходимоrо качества реrулирования предполаrают соответствующее
формирование сиrнала, поступающеrо на исполнительный элемент
реl'улятора. Для этоrо реrулятор должен быть дополнен коррек..
ТНРУЮll иrvl устройством. В простеЙUlем случае оно представляет
собоЙ элемент, осуществляющий то или иное преобразование
сиrналз. Более сложные корректирующие устройства состоят из
нескольких преобразовательных элементов.
В САР используют преобразовательные элементы различной
физической при роды и с весьма разными свойствами. Наиболее
шиrоко применяют электрические преобразовательные элеl\1ентыI
постоянноrо тока.
Пассивные четырехполюсники постоянноrо тока. Эти четырех..
полюсники представляют собой электрические цепи из резисторов,
конденсаторов и индуктивностей. Основные типовые cxeMbr таких
четырехполюсников и формулы для определения их передаточных
функций W при отсутствии наrрузки и W1J при наrрузке ZП при..
недены в табл. 8.].
При последовательном соединении резистора СОIlРОТIIвлением
1<:, конденсатора емкостью СЕ и индуктивности Li полное сопр()
тннление участка, записанное в операторной (рОрМС, будет
z. R. C L.s 1' 1 C;LiS2 + RiCis 4 1
1 L I t С iS С i S
Полное сопротивление параллельноrо соединения резистора
сопротивлением Ri и конденсатора емкостью C1
1 Ri
l. ·
l l/RJ+Cis RlCis+l
Пассивные четырехполюсники состоят из дешевых стандарт..
ных деталей (если не используются индуктивности). Они наде)l(НЫ
в эксплуатации, так как не имеют подвижных изнашивающихся
частей. Разнообразие возможных схем весьма велико, и в каждой
схеме в широких пределах можно изменять параметры. Следо"
вательно, четырехполюсники MorYT ОСУIцествлять различные пре
образования сиrнала (напряжения постоянноrо тока). Сочетание
четырехполюсников с друrими электрическими элементами обычно
не вызывает затруднений. Блаrодаря перечисленным положитель-
ным свойствам пассивные четырехполюсники постоянноrо тока
широко применяют в САР самых различных кЛассов.
Недостаток пассивных четырехполюсников в ослаблении
сиrнаJIа вследствие потерь энерrии в резисторах. Поэтому при их
360
Т а б л и ц а 8.1
Типовые схемы пассивных Четырехполюсников постоянноrо тока
N'l
ПО
пор.
Электрическая схема
чет ы р ех 11 олlOС Н И К Я
Персдаточн ые фун кцн и:
\\7 при z 00' w при
н ' н
наrрузке
Z,
и H
1\7 == Z 2
2 1 i 22 '
\V;' Z2ZП
I Н ===
2122 (Z1 Z2) 2а
Z.
I
== 22Zз
Z1 (22 + 2з) 22Zз '
Z2Zз2и
Wи ==
Z1Z22з1 [Z1 (Z2 2з) 222з] 2и
2
ZH
7,
li7 ::::::::' (21 ! Z2) 23 .
( z 1 I Z 2) 2 3 . 2122
(21 22) Zз2и
Z12223 + [2122 (21 1 Z2) Zз1 Zи
3
w и ==:.
ZH
Z/
1V == Z324
(Z1 i 2з) (Z2 24) .j Z123 '
Zz
4
ZH
\\7 и ==
Zз24ZИ
24 [(Z1 + Z2) 23 I 21 22] 1
[(Z1 1 2з) (Z2 + 24) i 21Zз] Zи
5
Z/
;-".1
, 2 Z rl
О1 /---. J Uz ZfI
... C . .. ... .. '.......... J
.J.,....
\УI -== (21' f 22 ! zз) 24 Z2ZЗ .
(21 ZЗ) (22 t Z'l) Z224 '
[(Z1 ' I' 72 + 2з) Z4 'I Z2Za] ZH
IZ2 (2з I ' 24) \ 2ЭZ4] 21 +
.+ r ( 4 1 1 z 3) (; 2 I z 1) I z 3 2' :1 J ZJj
1\7 н .=.
===
[(Z1 + 22 t 2з) Z4 +- 222з] 25
[ Z 2 (z 3 I z 4 j Z 5) + z 3 Z 4] z 1 : '
!. [(21 I 22 I 2з) 24 1 222з] 25
[( 21 Z2 I- 2з) 24 + 222 з] Z[iZ I
[Z2 (2з [, Z4) + 23Z4] 21 25 I """"""'"
I [(ZI2'з 1 2ЗZ5 ! Z5Z]) ><
Х (Z2 + Z4) + (Z1 25) Z Z4] ZH
ZI
6
1\/ н ==
361
Про Д о л }К е н и е т а б л. 8.1
.N2
по
пор.
Электрическая схема
четырех полюсника
Передаточные функции:
W/ при Zи =.::: 00; W н при
наrрузке
Z/ Z2
\V Z4Z Z6
( Z 3 Z 6) [( 21 + Z 4) (z 2 + 25) + z 1 Z 4] +
I 2 [) I ( 21 + Z 2) 2 4 t z 1 Z2 ]
,УI н ..::= Z425262и
[(Z1 + 24) (222з r 23Z5 + Z5Z2)
I 212'1 (2а + z J] Z6 I
I [( 2 1 I 24) [ ( z 2 I Z 5) (2:} I Z 6) +
! Z22;j] ! " 2124 (ZЗ f 2;) ) 26)} ZH
7
8
и/
,
Uz Q IH
J
\\7 II =-==
\\7 :..:.:: 22 Z 11 .
21 + 22 23 + 24 '
(Z22з 21Z4) Zи
(Z 1 + 22) 2з24 2122 (2з 2(1) I
1 (Z1 I 22) (ZЗ f Z4) 2и
использовании необходимо вводить дополнительный усилитель
либо увеличивать передаточный коэффициент И v'lеющеrося
усилителя.
., Электрические схемы четырехполюсников, используемых на
практике, и основные сведения о них приведены в табл. 8.2.
Передаточные функции определены в предположении, что иаrрузка
отсутствует: Z 11== 00. На эскизах табл. 8.2 цифрами +20; +40;
20 и 40 дБ/дек указаны наклоны асимптот ЛА чх. Ординаты
,ПА ЧХ Lo === 20 19 Ао; Loo == 20 19 Аоо.
Если: знаменатель передаточноЙ ФУНКI ИИ четыреХПО.JIюсника
11 ре) ставляет собоН треХЧJIеп {loS2 ' а LS I 1 1I (ii > 100, то
lIol\ 1" tllS ! 1. (1' .) 1. 1) (7'(,.') I 1),
I } ll' ' j' ; 1. () - l! I / : J . 1 / -' 1 T! а о ·
I:t'./II! (/'1' <" tlпo, ТО
Оо52 f а 1 s + I '1' . 2 + 2 ['::; . 1 J
r де Т == V ао; === , ·
подоБныIM образом может быть представлен и трехчлен bos2 +
+ b1s + 1 ЧИСЛ,ителя передаточной функции четырех полюс ника.
По характеру преобразования сиrнала четыреХПОЛIОСНИКИ
pa: ;) eJIHIOT на СЛСДУIощие ]'РУJIПLI:
:Jfj:!
рис. 8.15. Включение пас- иа1
сивных элементов в диффе-
реНI И3J1ЬНУЮ цепь:
а ..... чеТЫРСХПОJ1 юсникоп; иы
б ДВУПОJ1юсника
La I R
иа2 L
L
иЬ2 ilJl R tb2
а) о)
1) дифференцирующие четыреХJIОЛЮСНИКИ (110З. 1 24 в табл.
8.2) в опреде.пенном диапазоне частот осуществляют дифференци-
рование сиrнала, создают ПОЛО)J{ительный сдвиr по фазе;
2) интеrРИРУlощие четырехполюсники (поз. 25 41 в табл. 8.2)
D определенном диапазоне частот осуществляют интеrрирование
сиrнала, создают отрицательный сдвиr по фазе;
3) интеrро-дифференцирующие четырехполюсники (поз. 42 58
в табл. 8.2) в одних диапазонах Частот проявляют диффереНЦИРУf()
щие свойства, в друrих интеrрирующие;
4) неминимально фазовые или фазосдвиrающие четыреХПОЛIОС-
ники (поз. 58 61 D табл. 8.2) создают значительный отрицатель-
ный сдвиr по фазе. f1ри этом четырехполюсники (см. поз. 60 и 61)
не изменяют амплитудЫ сиrнала, имеют бесконеЧIIУIО полосу
пропускания;
5) а нтивибратор (поз. 62 в табл. 8.2) при частоте (1) =-=: 1/т не
пропускает сиrнала.
В ряде случаев возникает необходимость иметь корреI(ТИРУIО
щее устройство с передаточной функцией, равной произведеНИIО
передаточных функциЙ двух (или более) четырехпо.rrЮСНlIКОВ.
Последовательное соединение этих четыреХПОЛЮСНИКОD может не
дать желаеl\fЫХ результатов, так как каждЫЙ послеДУЮII ИЙ четы
рехполюсник паrружает предыдущий; передаточная функция
наrруженноrо четырехполюсника иная, чем указано в табл. 8.2.
При последовательном соединении двух пассивных четырех-
полюсников между ними необходимо включить разделительный
(буферный) усилитель. Сопротивление ero входной цепи должно
быть весьма большим. Иноrда допускают непосредственное соеди-
нение двух четырехполюсников, если все импедансы последую-
щеrо четыреХIlОЛIосника не 1eHee чем n 10 100 раз превышают
напболыuиЙ импеданс преДЫДУlцеrо четырехполюсника.
Встречаются САР с дифференциальной (балансной) цепью
передачи Сllrнала, т. е. с передачей сиrнала в виде разности u
== иа llf) двух напряжений постоянноrо тока. Таким путеlVf
обычно поступает сиrнал на встречно включенные обl\10ТКИ управ
ления элеКТРОl\1ашинноrо и маrнитноrо усилителеЙ. Для преобра-
зования сиrнала в соответствии с передаточной функцией WП
в дифференциальную цепь необходимо включить два пассивных
четырехполюсника (рис. 8.15, а) с передаточными функциями W П'
Вместо двух интеrрирующих четырехполюсников можно вклю-
чить двуполюсник (рис. 8.15, б) параллельно взаимно связаННI.>lМ
C"I
00
C";j
:::r
.....
.....
\о
C\J
364
I
I \л
-8' t-<
Цо
r..:;r;;;C"j
о::т:::С
O
:I: ()
tЛ 1::( ::;:
ro,..>.
;::!: !--< CJ
u:S::f-o
(1)
::r
ro
=;2:Р.
bro
f--<
t:.:: tЛ
ro
(.) с..)
,
т' и
, 'j'
(j
:3
-
СК'" .,
J
"...)
kl
....J
_
"'Ih..
j C::J
......
("
о
C,J
1I о
11 11
CtI с
,
8
с
1
C,J 11
с
...... ..-1
f-
8
CJ"'" C..J .....j
с (1);::) /........,
Q::'
'- -.......-
11
tЛ
C..J
,
"--':: о
1 с::
:с Q::'
== :lJ 11 11 I
-
i
м 1- N
:;, ...... с::: м ........... с(
f-
""" u
с:: м
, J_
C.I
<':'1 --.......... NC:( с( Q::;'
-
8 с(
I ij I
r.::: ............- с( u
I
tЛ ;:--, ........ C,J "'. I м
f-... 1:
, м 1 Q::' --i c:r;-
= :::r:s:
с:( il
I [1 u I h
:::;: h
t-- "'. """ 1:
= ::r: r
I[ 11 ..... h ,....; Q::' 'С\::
"- .,., 1, с::: C,J
::с ,п
<::J
-&cov
11
C.I 8 t"-j C,J u с::: ..-1
;: 11 .....
c::::s:
11
(.j 11 C
r=; Q
::r:
:::: 8
В
11
t: .. о
I1
а:: ,....;
>< O
11
8 c..Jc:::
4) t--t-- ".......... t:\I
Q. СС: Il)
[l
I
r::!
......-1
:а C:)ro ++
Е- Р.р.,
"""
с!) <v
_. -
с(
t"""' ".. v)
о v)
::r ......
........
и
4) 'J) 'J) + v)
11 ..........h 11
h
:а
v) CI"J
::с li h Е---. , 11
са v)
:::
--: 1I
u
1I !I 'J)
u h h
CtI
t::
11
"'"
(1)
х
u
D;;: 'L
9
:::е
u
()..J o
;J'
р.,
c,
1
. tc:
с,.)
(j) " '"
tc:
((".)
,'о, О о..
?:r.:;o
t::
(у)
LQ
с'.1
4
"---'
.....:
:-l.) 007
(,
-::)
,,", I! ---- то I t--. -
",1 !;-.:>
"--IE)
'-- J
7 _ о 7
.....J с.::) ....
J с:::1
':'
U
с<
I:'-
I
C..J ...........
c.:r: C\I C'I
r.'l 11
,.,.,
,
C..J ,.......j .1
IC? C..J
11
С::; 8 11 <':'1 I с::
11
I-- '"'"
11
c.:r:
11 g 11 8
'r.'\j с::
I
е:;С::; ,....4
11
IC<'
I [ -
u '" I
с:: 11 r.'\j
с1 ,.., +
r'1 ,.., MI
<':'1 C'I с:;
\.J C..J C'I с( U C..J
L
с>
I.!::
I
....-1
I
....-1 r.-l I с'::
cs
+
lJ C..J С;+ с::;
I C..J
с1 11 ct:;'
Cr; Q:; с:: ,:
....-1 11 ....-1 ....-1 ,.., с?+
с%
C..J ,..., с::; C..J U + с с2
j
c,j
(:":J
.....
+
11
11 li 11 li .....
,....,
с с::: с'.с; "
с!:;' r.-l
11
..........Сс;'
lJ
11
/1
!
C'I C'lCr; 8 ,..,
r.-1\.J с:::
........... lJ ...........
==-+
.....
с;
I
c't
с'(
........ с1
:
с::; .....-oj
1:
1
+ C..J
r.-l
,....{
J
-j
,...., 1Cr;
\
VJ U u с1
............. 8
CI) с/) I v'} ........ ......
I...J v) .............c..J I
-1
-"""'-h 11
v) ....-1 ........ 1:'1
h с:: ...........h C'I I ++ ....-1
I
+ с::;
с::
с::; ....-1
CI)
11
!I 11 +CS VJ CI)
C::;
v)
11 11
h ........t--. 11
h
.....
11
h
cr; 11 h 11 h
-.........-
11
h
1
;
1::
:::з
с:.:
т
)
TcJ'\ '1--
c:t::
"'"-
:::J
ф
t'-...
со
о)
о
3(15
С"1
00
C
(\j
,.t; ....
F::
;s:O
Q.E-<
ccu('j
Cl:lv
O::r::::
1:;:1....
ОЕ-<
:t: С)
I:':{:S::
C'CI>.o..
!-- а)
И
r-
O)e:;:
::rt::C'CI
:S::
Q..
b
Е-<
t::
CI:I
::s::: :::::
ии
t:;:
\о
ro
(1)
.....
,.,..
(1)
о
J::t:
о
о..
t::
CJ
C:/:="
.....
11
CI:I Q
-----
J::( 8
;>,........
э
s 2 11
8
:s::
с\!
::I::(:I:I:S::
::то
Ор,
[--<
се Q)
(!)се
p.
r::
u
..........
С':: '<1!
!
eq
00:II c.t
'"""" Q::;'
+
I
с; о-::
11 '<1'
Q
,.......
+
+
CZ
u +r:;
C
...........
+
с::;' ---:::
e\I ........... "'.
СЕ
Q::;' 'е::
+
+.
11 ct:: r:-I м
t
м
I
11
8
I1
..-
I
' I
.
...
u,
.t,
11
I
11
t--.
о
.......
I
с()
1::
и
(t')
u
1:'1
I
11
1
11
[1
8
э
!
""-J t:::I
,.....,
lJ
,.....;
11
1:--
<..J
I
('}l ,...;
er:.
11
I!
8
о
11
с
'"'"
(J
1:":)
+
".-...."
G\.\
C,J
I
-
I
,...;
(J
'""""
с"!
....L. C'I ct:;'
;::-
+
,...; er: ,...;
'I
. с<
t
'"""" Сl 11
"2:, ,...;
11
........
11
Q
It::)
.
+-
i-
"I
eq
.'"
C'I I r.\J
ct::
T"" е::
,...; C'I
а:: о::
Ii
11
..........
........ ......-4
с>
'I
"I
I
t:'.::::!-...J
С'1
с\1 cr.:
I
u 'I
м
о::;'
1'"'1
11
.......,
+
I
I
cr
. I - 1I
v) с\1
:::: o:jM
.+""
I
t';-l
"""'"
?
Q)
'/
И
<:...:> C",:)
ro "-
........,
и
()
::r
,",
о.. с:с
[--<
Q)
t:;
(i)
...0. о р.
7;t::o
с::
:н;()
........
1
+ с\1 С'1
v) (..l) ч
.!::. h
I
I
,...;
11
а::
11
h
........
CVJ
11
C..J
......
11
11
8
11
l
ct:
С(+
1'"'1
11
Q
tj
с)
,.....,
м
I
с..)
I
СI I
,...;
,...;
11
1'"'1
tj
"1" 1 ,':1
i '.J
, 'J .
"1 CJ
()
lС:З
I ,
' . 9
,
.,..
\ '., t1
l
'
.
'. )[
'
l
':J'1
\ \
'1:)
" J
:;
!.
"
I't::)
t-; t:::.)
"Ih"
c>..j
;...
"I
.
';1
2;
'II
I1 .......) r,\I
,\.)
с> 1':'1
а:-; 1
, ....-i
i\.)
,..,
r.'1 Q;
lJ...........
cs ,
i/
\.)
....-i
11
R
11
1:'1
. !'\J """ "1 C..J
...... ....,J с...:>
C
+ cj"" +
\.) \"'"1
"""
<:..J """ \.J
................ C"J
+-
t-
cf) cf)
""" \"'"1
tj
L
r С'1
C'
) C\I lJ
с> CI'\ r.'1
,g с(;
II I
>-с)
11
с>
с
......
l!)
э
:э
g
I
,..
"11'::
I
"
11
'4
...-J
)
IZ'\
I'
1м
C..J ct;'
,.-1 <':'1
lJ lJ """ с( ...5" I
'" \..J
C'
",....... +
е-1
11 11 с::;'
""""
с( C\I с::;' с-:, 11
l' 8
с-) + С'1С::;'
.1
tj
Q:;'
C..J
1I
<::::>
сс:;
c:i
Q:;' "1
........., 8
о
1:'1 сс:; C,J
lJ
[1 ........... с(
IZ'I 11 т-i
lJ I1 11 т-i ct: 11
т-i Q
lJ
11
о
С'1 tj 11 tj 11
Q:;' 8 с'1
11 lJ 8 11
с::;' с\1
с>
lJ
u
11 с'1 ......
+ со':)
о с( """
+ 11 с'1 о .....:]
........ U'J с::;'
С1 """ 11 ....... CJ
,,--.... + с:'> tI')
с\1
+ ,:+
u
i
с:'> 11
v}
........
+ C\I м "........, CI)
+
rl")
'i'1
I """
U'J с( !:j
r-i
\
. с::
CI) U tj + с\1 CI) + 11
(;',1 м C..J
tj ..........
CI'\
1 ...........С'1 с>
м v') 11 t:'J """"
-1
Q:;' Q Q:;' со':)
CI) !:j
Q
'---'" Q:;'
C\I I1
м
CI) 11 с::;'
с> 11
!:j
........
tj C
11
11 ..........
с
+
(j
.......
......."'.......
...........................................
.......
..
.....
"...
"Т'IIIIIIO<........
"'..........................
-"'
.........,,"'Н'
.
.....
..............................
........
........
........
...
""'"""'"" ..........................
!' '1'\
_ YY"
(
, .
'-.J ,
t::t ' j
т
" 1
.J
::J
...
l )
'
"..
fi ti
""
1
ф
00
t'---
........
Q)
.......
367
C\I
00
,О;:
::: ro
-&r--
:0::0
o.r--
roИro
О,:.:;::
or--
::r: u
tr::1=!:::
е'О>,Р..
r--11i
u:;::r--
::s;:t::o.
,
c\j
," х
о::
.... C<:J
::
u
\о
с\3
t-<
(])
=с:
(])
о
о
о...
t::
l1i
Q)
о::
:::"'С
I1
::r ::::>
ro.,....
::r:""
(\')
..
8
tr:: ;>.......
::;:r--...r<
:;f:O::"
11
8
tr:::O::
е'О
:I:P::):::::
:;<0
00..
r--f-<
rol1i
I::(
I1iro
о..р.,
<l)c;I
t::t::
м;j
, ,
17:.
;1-:
( )
1)
;.J'
р.,
(--о
Q)
r::;
(i]
,С' О Q..
i':t::o
t::
:')( )
')
(J)
:::с
( )
(!')
u
1':'1 I':'J
c..J\.J
,...... I
\.J
I
...-1 ------
с( C.s
cs
j
11
.....
lJ
..........
(';\J
,.........
C'I
lJ
...-1 ........
\..J..... 11
[1
.....
.....
lJ
...........
C'I
11
о
C'I 11
lJ с
\..J""
C'I
v) I
;:;
r
.....
v)
cr 11
I
!.
...........
I':'
11
.....
11
,...,..
. [l
'J'"
: б +::
1
()
о
C\I
:э!
8
-...:l
"I
"I
1-.../
......
с==>
0<1
11
\:..01
с>
\..J
\..J
C'I
I!
.........
с;а
+
(';\J
+
...........
11
.....
11
+ 8
v) \..J
I
...-I 1:'1
Е
:;
C'I I
,..,
...........
I1 11
о
,.....
lС{С;'. ,,' ,
....'t.
rJ
С I
)с>.., J
'.
.
с'-1
.....
C'I
lJ
G'I
с(
11
с;а
1.-"'
.....
u
.....
11
........
........
+
t-' v)
........... .....
+
IС'1
v)
-...........
11
...
э
ftS
i-
....1-
,..
i- "
"J
"J
"1 t'.J
,\..)
""I
.....:) t:::::)
G'I
C..J
r.'\I
а:::
,..,
а:::
с::; с.':\
1
Q;'
..... ,...... il
---::; а::; i I
с(;
+
2
.I
I
I+
C'I .....
l I!
C(
C(;
с>
...............
I
---;;
'"""
C,J 1:'1
+
.
I
.,
l-"'
er?C:;'c(
........... +........... 11
11 C'I
Q.:;'
с>?
,......
11
м
(,j
о
о
G'1
C'
"
r-
'':-....
-I
-+- t:;:)
"I
'1--
't- ,
"I
-t.
1;'1
C..J
м
\..)
'.::'1
Q::;'
,...,
с:;'
11
с>
-:I'J
с2+
.....
11
............
........ .......
с
++
с/) v)
,...... ,...,
J
I
I
I
<':'
'1
v)
'-...)'=:1
I;'I! .
\..j0:-:
II
с( i
.....! N
I
+
<';\1
C...J
I
.....
\..)
-........-
1':'1
cq
11
.......
.....
I1
8
с>
11
[l
с>
С".1
,.....-,
'='J
C..J
+
,..,
c"j
11
I
11
..-...
,....,.
'''''
.С)
м
с'-1
Lr:I
CQ
ct;'
11
,.........
007
'.....I
""-J с:,)
,...,
C..J
с'1
ct;'
11
,...,
<i ....
1'""1
ct;'
+
......
+
I
(:001
.............-1 11
,......... (j I
......c..J...... с>
-1
':'11 (j
(:001 <::j
..........
11
......
"""""
э
,
+ "'t
+
+
"-I
""'I
"""'I
'
I
...-1
lJ
,
с::
::'\1
\1')
с::
ct;
,.........
\1')
ct;'
.........,
I:'J
ICQ
11 I1
1'""1
tj
r:-I
'-'""
( 1 :
I l'
07
r
1'""1
C,J
с'1
,.......,
ll:I
+
с:;
...........
,.........
::'\1 iC)
LJ ct;
:':1
i"
"
м
Ct;C:::'
.........,
с::; "':11
ct;
I
::'\1
..J......C:::'
1+
ct; ...-1
...........С:;
,......... '-...,..'
C'J
ct;'
............
Lr:I
с:;
+
"':11
ct;'
+
С:::'
...........
1'""1
Q:;'
1......1
)
I
I <11
Т- с(
1'""1 "...........,.
ct; с'1
::=:С:::'
I
!
1'""1
с<
,
........
::::>
.q<
N
1:
11
o::t'
"+
a.r:I-,"""
С:::" iC)
."':II! ct;'
С:::'+
ct;'
..........
11
8
11
Q.::j
1'""1
ct;
3
"-Ih
'z
C"-.J
I
/N
C'1C,j
C,J...-I +
C,J
ct;' 1'""1
U
1I
h
о
r.S 11
..... I 8
r,
-.....;I
.....
C,J
1I il
Q
j
CI)
h
11
.....
:з
"Ih..
1:'-1
U
с'1
ct:: +
...,
С:::' 1'""1
ct;'
11
h
о
/N 11
ct;' 8
+
1'""1
ct;'
11
\1
Q
...j
о
11
8
11
с>
LJ
11
h
l
I
CI)
h
11
07
---...!
+
h
11
t
.\ r -"
...)
.J 1)
)
.. "t;j
...
се
1"-
I Q:;: "..
)
-.#
.. :::r
lL.)
C'-J
ф
c'\l
с'1
ct;'
..s+
.....
о::
11
h
о
с'1 i I
Q:; 8
с'1
C:::'+
1'""1
Ct;'
,! 11
с>
......
..r:c
t
v,)
h
11
t-....
rf.)
C\I
369
01
O'J
,
.
'7ri
t
-iI t..:
.:... 't1
:):;
.е-
..
::::;0
"
,........
r..J
C'J(\;r:\
L. 'J'
I
. о
...
::r;u
tt.: i=:( :::::
C'J >,С
::, r-" (\)
и"", {....
cl)t::<
...; ro
:::P.
ф
g
;.<
t::tt.:
c<j
....
....
vИ
<.t,
\0
CIj
r-<
CI)
с)
о
о
о...
CfJ
С-:1
I
<-О
С'I
.....,J
"'<:
/'t:}
с:::,
<"-j
I
()
(f)
u
"""'It.
.......
с:>
. r-
"'"
с':! с::
С": C..J """'
U а:;
"""'
-I
t
"<:jI l.J '<:jI
<...J а:;
м C..J CI;)
о
C,J <.J
м
Ct:;Q:;'
C'I 11
f
....... ct:; !NCt:; +
1':'1
C\I Ct:;+ (,J
с( '<:t' 8
<l.J
11 'I:'jI CJ:::
"""'
Q)Q C..J C(
cr
C..J оо:з::
I """'
tt.:
ON
:S:
-.т. с::;'
с::;' е::
\1 с( 1"""1
.........- r:2
1
j
+ + 1"""\
c:r: Q:; .........
cr:;' .С'!
:1' !I ........... с:: + -'"'"'
I!
ro Q О с--.! +
!N '<'1t 1';'1 ct:;'
11
h 11 11 ct:;' а:; cr:;' ct;' ct:; (N о::;' =
!N .......... ---....- с::;'
. I:::t: 8
+ 11
-'"'"' + с
h """' tj
tJ:: ;;>......... 8 cr:: ..........
'<:t'
::S::t--<
. ...,
,.... 8
ct:; 1';'.1
::r:s:
!N
@
11 C-
l.J 11 +..........
C,J
C,J C\I
:»:2 . " с::;' 8 11
о?l ., ,.... ........
..g..ro 8 ..... I
..r:c
о::;' с.l
lJ
C(w-..C(
ct:;'
tt::
11 11 ..t:C 11 .......... ..........
ro
11 CJ:)
:r:
::S:: l) с>
,
11 1I 1"-'!
... О
......
"""'
00...
t-.... 8
f
с::;'
Е-< f--o 11 11 ............
C'J Ij) .......
..........
:iE
...... ........ +
1':'1 +
Ij)
с> ,'=' v)
hfl
I
С':)О::;' ............ с>
CJ .
;
t;j """'
t::ro CJ:)
с( ......
C,J
1.: .
CI\ t.I7J .t:,[:-... ,...,+
l.JC( 11
t-" h
(1) 11
......,
с:: ....t I
Q::
cr.:;
)
11 с::;'
С/') I':'
:::.
11 .......... h CI::;
11
CJ:)
,
с:.; 1""1
h :::: tj
C\I 11 11
11 с::;'
11
.....
h...
..........................."...............
h
..................
<1)
u
tt:
(':1
()
(l)
:-r-
о...
ro
Q)
!
<
а)
<'?' О Р.
7; t:: О
t::
э,'{)
, ,
'1' 1',' \ (\'
,
) t
i
Q
i
C:t; I J
\
( \
,
1 ,
( I
,:,
,J
i}-.:;
(>
<)
, r
1
С\
{ \
'
:::}:
о)
С',,\
о
cv)
.......
СУ7)
CY'j
СУ7)
........-!
С",
э
I
I.(:)
'
I
I
-....J
lJ
11
......
t;j
с,,)
1"'"1
11
с
+
1I
Q
L
I
<:1
v)
(:)
tj
11
.......
"1
ч:::
cv)
"14
r:--I
lJ
э
(
.....
"'-J с:::,
t:'-1
C,,)
t:'-1 1
lJ
I
'
1"'"1 ..-1
uc,,)
11
с::>
1
с,,)
cs
1"'"1
с,.)
1I
v)
...-!
t;j
+
1I
:;I
V
<--J
,"о
'-J
о
11
8
,......,..
'::f\
I
'.I
+
;-
с(
e\I ............
C<
C;C(
+ с,,)
1
+ о
м ,...
11
er: с:;' 8
11 +++
м C'I С\1
C(r':
...
'---' "'"--J
1
""""""
!
11
+
Cr;+
11 с2
I
8
t-
;1
v)
с::>
tj
C"J
..........
11
cr;
11
...-!
r,j
Н')
С'о")
о
11
8
..tC
\1
<:::-
l
1:'1 C,J
+
....-1 ct;' ,...,
\..)
I
11
.....
1
v)
с::>
"
"
ф
cv)
1;\1
....r ct;'
u I
I'N
...-!
с:;
С"1 I
Q:;'
1
f'"1
11
'f)
н
..tC 1;j
11
......
"
t\?
11
о
11
8
1:'1
с<
11
CI
C\I
I cr.:
lJ
t
r;q .....
IC::;'C:;
..1
......
er:
,
I
v)
с>
t---.
cv)
11
м
tj
3
::
.....Ik' L.l::J'1:::I c'"j
'
I
'"-J t:)
1;1
с.)
...
C..J
о
1I
8
'"
ct:;
I
"='1
"..1
ct;'
11
11
Q
с>
1;1
\.J
tr:>
CJ:;'
11
1;.1
lJ
,..-......
м
I
.';'1
'%
-1
t
...."
!""!
er:
r.!')
.., i
I
/;j ,....(
f2
I
'
1 с::;'
v)
11
,....(
l' tj
1I
"-
'::1
'-о
(..';
r
CIJ
C'i')
:
71
C"J
00
;
::C
.Q.f--<
....0
5.f--<
ro()ro
'""'
C,::s:
t::Фt-<
:I:()
tJ: 1:{ :S::
ro:>'o.,
f-o(l)
():s::f-o
C)t::
::rt::C\1
::S:::!10..
f-oС\1С\1
Х
t::ti::
.... u
C)
"<, ::r
\о
со;:!
f--I
::r::
Q)
r::
о
ri
о
cl.
t:::
(l) ,......,
Q)O
;
11
::r
с\1 Q
;;
,......,
,,
8
IJ;; :>'-""'"
:= Е-<
::f:S::
l'
;!:С::: I
.f3- ("(j 8
O::::
e'V
::C
::>::
::r О
00..
f:-oЕ-<
e'V<u
:E
C\1
<uP-.
t::
::1
....... <::)
/;,1
<..J
.-,j<
I1
11
с>
U
?"'\
U
э
....,
......:J
ta?
C,,)
+
с(
",",С<
с?-+--
1:'1 I
сс': с(
11
,..j
2
с( :1
11
'""' I
.. i---
......
07
u
':'1
Q::;'
11
,1
,
cr:
............
..........
м
с(
I
':ос:
I;to
.!!::..
I,Ц
'\..J
(j" L::,
'b
1
('-I I
I
с'1
\;j
с(
,.....
I
C..J 1:'1
!;'
+
?"'\
с(
11
с>
1;j
....,
<..J
C":J
ct;'
1I
...,
It',)
C:;'
+
1I
?"'\
ct:;'
11
Q:;'
11
.С
I
:,,-
Q;
<:tJt;;;)
C'<.J
1
C::I
-.1-
'"t:> I
C::I
...............
.-
/;,1
<..J
?"'\
U
1
u
LQ
+
........
<..J IC
Q:;'
,......, "1t
'--..- с2 Cr:;'
СЕ -+
....... .1':)
cz +
Q:;'
-1
It',)
+
ct;' с::;
I
+
1
с2 ct;'
cr:
I
11
Cr:
:)
'i
::: ct':
сс':
с2
+
t cr:
I
Q1
'--"
............
?"'\ ..........
Q:;',
;:::::
'
1
I1
.......,
.....
(\') u
C't::;.......... I
""" <11
i
C't::;C't::;
+
'""'"'
<11 +
с::; c't::; .
м
L
I
c't::; сс':
I
?"'\
C(
............
....,
с(
..........
;:- +
+
с>
1;j
..........
.......
с
-+ .......
CI:>
i
CI:>
..........
..........1;j
+
+C'I
CI:> CI:>
.... Q
1;j
............
...t:C
11
cr:;'
..........
'"
cr:;'
[
I
............
?"'\
1;j
?"'\
U
c't::;
11
,..j
t-
........
- ........
CI:>+
<:'1 CI:>
ь'
............1;j
"'"' ,
.......
[
C'lCI:>
............
,,; +
с::; ....
+:::
""'cij
Q:;'
=::+
1/ ....,
с::;'
1I
8
11
11
Q
1;j
с\1
Q)
х
()
о:::
с\1
()
Q)
::r
:s::
о.
t-< "-
с< "-
Q) c:r.:
t::
(1)
...0' О о..
t::O
t::
372
с> ........."
1;j
11
11
1;j
о";
C'I")
о
"':::]"1
LQ
ct:;'
I
O::fI
Q:;
(\')
ct:;'
,...;
ct:;'
+
Q
It',)
ct:;'
'С C::J
Q:;'Cr::'
С(+
(;'1;)
с::;
J
C::J
cr:;'
qt
сс':
..........
cr:;'
+.
Q:;'
............
11
8
r"
".... It i
\ '.
II' ц,
'1:,>
LC-
.
:
tJ::J
I
I
.....j а
.......
++
CI')
и;..,
-.......- tj
=- +
.
;
rJ
Е-"
-.......-
э
о,
'.....'"
...-.4
с\1
C..J
с\1
11
[1
8
I1
С'1
Q
C..J
с(
I1
C"I
lJ
'""'"'
C"I
с(
.I
C..J
с(
11
1I
с'1
I..J
lJ
С-l
с(
м
с(
11
с'-1
Q.
,
'\
'I
..Q "-1
"""'II:--J
+
t:i <::.'1
"""I
't;:)
I
..)
...........
с'1
+
..............
...........
+ +
I
;..
11
...а tj
+
+
C'l С'1
CI') v)
.g8lJ
tj
Э
с'1
lJ
м
lJ
с\1
м
с(
11
11
8
11
<:>
C"I
C,J
ct;
I
<::>
tj
11
м
lJ
Q
11
'""'"'
с\1
ct;
+
с(
...........
--i
..t::)
СУ)
""t'
i ?,
J
If r:) j)t
'
.
'
I It.:)
"
с' (, '-!
.. Р>'
-\
, <::::>
"'-1\ "
'<
L()'
""
I f":-
<;"1
I
I <:,
,
CI')
t
=:-
с\1
I CI')
CI') с
1'"'1
t:-
-.......-
11
1:'.1
lJ
"='
c't:;'
11
C\I
t:-
"
:!
.
с::>
lJ
C..J
lJ
...........
C\I
ct;
I
'
с\1
?C..J
с(
м м
++
с:;'
...........
11
с\1
C':ICt;
С(...........
+
1""4
C(U
............
1.--
,..-.......
С'1 <:'l
Ct;C:::
i1
<::> Q::;'
tj ............
11
"'1"
G'Q
Q::;'
f""!
C::;'
С::;'+
,..-.......
с'1 .........--
G'Q
Q:;
м
с( м
...........С::;'
11
8
11
f""!
1:"1
lJ
1:"1
lJ
с":)
с:::
11
...........
с(
J
I
<:'l
Q:;
!-
с'1
,..,
lJ
с\1
с::;'
11
,
с:::
............
с:::
+ с2
I
м
Q:;
м
м
C,J
с\1
с::;'
11
11
8
........
............
\"'"
tj
I
CIl
l C'
с\1 CI') C,J
lJ
C\I
Q:;
<::>
С-l
с::;'
11
;:::--
+""
Ct::
+
f""!
с::;'
............
11
11
tj
c:r:. r:-...J
t() .
с:::
м м
lJ
с:::
.........--0::;'1
С-I
r
с::
с\1
с:::
I
C(
'1 ............
I 1"'1
[
cS1 11
1'"'1 8
с(
1"'1
с::;'
....... +
I-"" + С<l
CI')............
,
tjM
+
с(
............
.......
=-+
+ С'1С1')
Q
t-'
-.........-
.
С'I
lJ
СЕ
11
1:'1
м
lJ
'""'"'
<:'l
с::;'
I
I
Q::;'
11
1""4
1.--
11
""!
м
tj
.......
1I
с)
с'1
lJ
с::;'
I
Т
11
IN
с(
...........
ф
373
1":'1
00
\0
Е--<
Q)
O
-.. c,j
:х:
..в.r--.
?
>--'-- ,)
Е ,')
O
Of-<
::r.:
I::t ...,
(\j>,
r--. <:'.)
j
....' 'ro
o..
Е-" y
ro
О с,) Х
r:
"'" c\j
...... у
:s: u
(;,)
", ::r
......
.......
(jj
у....
о
о
о..
t::
ф.---..
Q)S
:I: 11
I
ro =
.---..
I::t 8
t>:: :>'''''''
a
а "
8
.е-ro
:S::
ro
::C
:S::
:то
00..
r--.r--.
C\jф
Cliro
Р-о..
<i)C\j
t::
с1
;;.;
(l)
....
u
о.:;
(""J
(.J
cli
:J.
р..
(....
со)
(iJ
,С, О C:J.
.<
о
" 1
I
r
-r ;с;:
.QI
+
::.с:
CL<
<::';)
I
-...J
ry
Q;'
C\I
(,J
""1"
':'4 С
l.)
,....{
(,J
'"
с<
I
м
U
CS
со": C\I
Ct:;
II.
I
I
I
i
1:'1
с(
I
I
м
C)
-.........
....
11
с
..с:.
e'l -:-1
11
.gj
rf
11 + '
I::t:
::;j
,..j
c:r:
...........
[1
с':)
с( 0;1
1C(
+
'o:to "'11
С(С(
1 ,..-;,
Cc;
:
I
O::c:r;
........... ...........
11
8
м
lJ
м
ct;
11
м
1.--'
м
ct:; C\lQ:;
- G
I
L (
l м C\I
I """-t С::
С'l
е'1 + ct:; +
ct:;
Ct:;
11
........
c.S r::
О?+
eq ...........
ct:; ct:; ,....{
" ct:;
"
I
c.l'
Ct:;\
t-
11
Q:;M
-......Cr;
,
1I
t:'I 8
.
c't;'
cs
............. 1""1
с:; 11
=>
(1')+
C'I
CI)
..........
1
1:'1
'"
u) с::>
.........
1I
с>
/N
t'-... 00
r
'
:
с:)
C""I
I
---.J с::>
,....{
c'j
с':! c't:)
U МС,,)
СоI <:..J
<:..J
.
rJl
I
I C\I ..... c:q
U C.J с,)
cs 1
'€I
t
c5Ct:cS
11 11
.---....
........
I
........
u')
С'1 I
1- CI)
........... ,....{
..........
........
I
L
]
1"
/;'1
v) CI)
1""1 с::>
c'j
...........
с,)
C\I
11
11
,..j
/N С1 U
с,) U '""'
+
1""4
о:: c.s 11
I1
1
I
I-
C..J
...........
Q
tj
c't:) '" ........
U
11
eq I
ct: '
8
+CS
I
1
<:..J 1""1
+ <:..J 11
t:'I
U
...........
<;.1
1:'1
,
Q:;'
(1':)
r
L ct;
1:'1
. Q::'
11"4
I
I
I' -=-
с::.: CS
11 ::::
i
c2
L
CI)
1:'1 I 1:'1
CJM СЕ сс::
{ : u
i
eq
=
. ,.,
1'"'4
!;j
I""'f
t'J . .
:;:,
l
"'-
':::i
(7)
'<:1<
CZ
!
cr;
j 1:":)
I
.
!:\I
C..J
"'-1..0
C..J
r"" <:'j
.
I
+
:: с< С:<I
r:2 r:<
l
+
11 1:":)
.-.i ooii
,...,
'1 u
L Q:;
I ::,
...... I
Сl с:<
!:
+ r:;;; I
I
ct:;'
1
cr.:;'
----' 1""1
I
1..
C..J ,., cr; C'I
I
,......... ...........
c:r: "1
+. ::
С'l !:\I
+ с( с::
СЕ
11
+
tf.)
+-
IN
r- v)
.......... 1""1
,.........1;j
,
+
CJ:) U'I
1""'1 CI
1;j
..........
11
С'I
\.)
"1'
с(
1""'1
с)
(::s
C'I
1""'1
cr;
a........r
.....
!
.
, l
\"j
...
t.J
о
J1)
I
11
8
"::t::
...tC
11
"='
11
м
("3
')
,g;
'L&
,'t:)
с;:)
,...
о 7
'......J
(.'1
C..J
.r,)
ct:;'
r
ooii
It) . ,... сс: '...J 'о'
r\/
f'"\/ C'I
I........ f"I/ .........
u C..J"--'-" '.....
!
r
1""'1
j
'--1 ..... U I I
C,J It)
r т
................ ,..........
'I('j' + ",,.........,.,j( "'f -11
а:; r--;; с:; "1'
с<
c>l
C\J c:r: '--
cs
I
c:r: с< ct:;
\rJ
\rJ IC
. i
I1 + IC er:
с::
I
+
c:r: + +
---:;
!
IC!
............ f"\/ I
ct:; .
c:r:
1
"1'
IC '""'"" 0:11 Q:;' CI:)
............ 0:11
с:: ct:;'
ct: Q:;
;:::
СЕ ct:;' +
+ -t- +
1 --
-+- +
.J
I . J I с( C>l IN
c:r: C>l,.:;" м
I
r I
ct::
ct:: ::- cr:;'
CJ:) 1:'1
-.......- + + -
11
I.
j
8
C\I,..., ..........
r::::'
:;; ""
, + :::; сс; ..n!
11 I
с:<
.......... 11 с(
.......... о:. '--"
........
с
11
11
,...j
м
(j
, I
j
Н")
In
.п
1
СУ:)
l()
( )
(1)
::;,
u
с'..!
C..J "'1
uM Q:;
а? .
С" ,...,
hl-:
,...,
cr;
I1
о
If
11
8
11
c:s
'=:>
,..., C'I
ul:":)
cs
1
.I
1:'1
C\I ,...,
с( .....
cr; 1""'1
11 с:;'
I'
11
C\I
(.J
'.
C"J 1""1
CI)
1""'1 ..........
CIj \j 1:":)
+- cr;
'='1 11
r/')
CI м
\j
11
\ I
t -J (
'......"1
\
)
;.
':"'3 r ." ,
<
,,)
o
"" e-.S.-.j
,
\--..
'::j
C'-'I
1.1)
31и
I
с\.1
00 .:
....ro
t::: ::Е:!::
-&f-<
\о
CIj
uro 3 Э
'--"
Е--< О, = :L7 СО7
о [--<
Q) ::: U
ti;: 1:{ :=:
ro :>. р.. ""1
I
[--<<l)
:I: U :=: [--<
I
<li
Q) ::rt:ro
=",:Р.
f-< "" cij
oro;;.<:
[--<
t: о:: ......, с::::.
о ::Ero '-J <:::)
=
UU
О -<
о...
С'1 .;I
C..J
"'"
C,JCr:
'" I
l
т"'"'t
C..J 11
'<:!I
I:'J c't;)
с':(
t"'1 C..J ,
Q:;'
I
<:..J
11
I
<l) .---..
о о::: -т
Q)
CI 11
""О::: C..J
11
I
C..J
Cr:+ CI
,......., i::j ....
11 c't;) 8
C'
<:..J
C..J cr;
::r C\I м r,\1
o:j!
\'""'1 '<:!I м
ro о C::;'......:J\'""'1 '<:!I с::;' '<:!I Q::; 11 м 1:"-1
+ C:;Cr;
CJ:;Q:;'
+
.---.. C,JCt:;'+Cr;O 11 C.J'
о
+
++
.1:{8 11 11
Ct:;' м
CI c't;) 1
tJ:: >. '"""
+
+ 11
Q::;
I1
a
r
,
c.
,........"
Q::; C't;)o:j!
8 Q:::C:( C::;'
Q::;C::;'C::;' 8 Q::; Q::; 1I
2 11 Q::;
f
I
+
++
C"J 11 '='1 Q::;
I 8
;>.
8
Q::; 11 \'""'1 Т
-8<ro ....-4
C'J
11 C\I 11 Q::; c'l
tt::
1
+
ct:C::;' C\I
+
a::
CI ...........- с::;'
ro J
..........
:I:a:I:S: CIj ...........
\'""'1 I c't;) 11 ........... о
::ro v) 11
CIj 1:j Q::;
ОР-. ,\'""'1 CJ:; \'""'1 с::;' 11
f-<E-o CIj
+
CI
ro(J)
с> I -........-
1:j
I::t:
1:j I I I CIj
с>
Q)ro I 1:'1 I! т r,\1 ,.......,
0.0. ::'1 ,.., CIj CIj с(
м
Q)ro CIj с( с:> со') ct:;
t:::::: с:> <:j \:3...... \'""'1 + \'""'1
tj
CIj
......... ..cr "'" .......
1I
+
CJ:; CIj t
1I 11 ........ -......... 11
G"J
v)
v)
,..., с 11 CI \'""'1
t.j i::j \j tj
\'""'1
I1 tj 11
.
(-;:1 f';.J
t
r)
'l) )c
.
"'
t)
tr:
;
'\J
U "".
<l)
:;;;:
Р-.
Е--< c:t
"-
Q)
r:::
'"
cn ::j
<<:>' О о-
::::O
t:::
с,')
LQ
LQ
L()
LO
C.D
L()
37б
са
Q::'
OQ
с:;
............
C'l
C..J
C..J
u':!
C'-J
C..J
OQ
-.:r
с<
I
i
c.s
с>:)
'"
ct; I C\I
C'-Ij ct;
!
I
I OQ +
[
с;
I
t
".-....... 1-.:tI
с:;
I
Q:;
с::;' '<:1<
1" I:'J
V'
с( с(
. j.
. i
I
I
G'!
с( с(
с::> /) --........
с........ +
Z
11
11
I
11
с
"'"'
с::;'
..........
.......
11
..-1
I
11
....J
1
!'tS
( '1
(;:);
.
'/
/,
'='1
с(
,
I
...........
1/';1
с(
+
1;\/
C..J
1'""1
C..J
OQ
ct;
"'1
, ItQ
I
/'""'-..
"'-"
с:::
!
!
C\I
ct:
1'""1
с(
са
с(
с>:)
t .
c'
0-"
""ч
с:;
, ...,.;
.........
Q
се
cr=;
CJ::
ф
с(
I
I
ее
&:1
I
!
!
I
tr';l
.
............
0.......1
"'
----'
.............
са
+
ICQ
Jj Х
..-1
('-..,
'.()
I
со
с::;'
+.
cr;;'
...........
.............
<::J
с(
/'""'-..
-1i
с::;'
i
"'1
ct:
C'l
,.........
............. C\I с::;'
C.J
T;;'
11
С'1 а::;
C(::::
t
сх::
I
<11
'-'<
-.........
lJ
I
I
(.",';\
Q:;
I
I
С'1
............
1I
CQ
се
с::;
L
i
Q:;'
са
r::z::.C:;
,.........., С'1
"'Q:;'
с(
С'I 1.
0::;1
1
,
C::;
oof
с< I
C\I
C:;'
С(--.....-
I
I ...,
C\lC:.'
с::;' са
с::;
. j
I
'
r:;: са
........ ,,
Q:-;
с::;'
..-1
о:;
-.......
11
в
э
.
" I
"\ Il'
'
I h ;i2'
I
--..J
4... с,:::)
(.., ........
+
I
......
I!
i---
:3
lJ
,...j
с::;'
I
..-1]
Q:;'IC(
I
C'I C\I
ct: i С<
11
8
t:'I
ct:
..........-
li
h
C"J
.....
с(
I
С'1
11
11
Q
н
ct;
/\
C\I
00
l()
377
(-1
00
C'G
;.:
'
t--'"
:::: о
.
t \
")
:,) ,
ro
о >' ::t.
r::o
;r:u
t:: I':{ :s:
И::::;f---
U
::r't:ro
.".",0..
[
ro
('Jv:
t: tr.:
\..\j
c.JИ
t::;
\0
с'о
Е--<
(])
:s::
aJ
.....
о
r{
О
р..
<lJ ,..........
<1.10
.......
tt;
'<"'''1''
'
11
C\J
.t:f8
D;; r. '--"
::'::f--.oq<
::1::::: 1
2 !I
»
.-8. с\1 8
D;;
-Ч:
(\J
::r.:щ:::
::ro
Ор.,
ro<lJ
(])CIj
Р..о..
(])ro
h
э
э
'><;
,""
't.:
!
I
'
' /I!
J
\' I
I
\ I
т
:.
t:1 ............
......)
C,J <;..,
&:
1':'1
<..JQ:;
r:::
I
,...,
a::1
11
1:-'>
1
Q:;'
I f
,...,
Ct;C(
11
11
8
I!
Q
I
1\
,...,
С-'I
'"""""' C..J
t2
с?
I
с( ,...,
....... C.I)
...........,.h
11
1I
h
э ::3
'\
"'I
.....
I
"'
11
11
1:-'>
I I
I
C.I) v)
h
.JJJ 4J.Л
C\I
1+
IN
CI:) CI)
с'1 r.q
h
11
3'З
<"t:;)
c::::.
О"
э
::3
I
::;:
.......
11
8
JI
Q
/CJ/
....-..4 '...........
/С'1
11
"-U>
11
'-.J ,
t;;:}
<\.>
Э,
)
"t::>
С) 2<:::;
'-J "".
с:::.
<'1)
'1',.
4,;) Ч:I
\.... 1")
'
,С,.)
11
h
11
1...1
11
g
11
с:>
11
8
]]
с:::.
(.,)
'-'(
11
h
11
t.:o
CI') ........
I -1
CI)
.......h
11
. ...
+ JU I
I
б
l C\I
I
CI) 11
G'1 I
е-... .цп
11
ro
(]) r
';:::j :::j
х
u I
а::
с\1
И "-
<.J -....J
::r
::s::
р.
Е-о
:::::
(]) "-
с l'
"
(/J ':::j
<01 О Р-.
r:i::O
t:
j7
Q')
L()
о
ф
t.O
с'1
Ф
l'ИС'. 8. t 6. Схема аКТИВ}lоrо чеlырrх.
полюсuика постоянноrо тока
Zn j
l() .
>
.
И1 Uz
оБМОТI{ам на выходе цепи. Такое ВКЛlочение обеспечивает преобра.
зование сиrпала по передаточной функции
W
Zд (8,1\)
Э
/1
Zд
2[(Lо
Мо)s+Rо] ,
r де /1 и /2
И
()б ражени я п() .П а пл асу разн()сти т()коп с()отпет
ственно iJ
аи1
i/}, И i'1.
(/';!.
i/л, /
{), f-J() И Л10
СОJlротивле
иие, нндуктивност() и взаимоиндуктивность ка,кдоЙ из обмот()к;
Z)].
импеданс ДВУIlОЛIосника в ОIlераторноЙ <рорме.
Например, при Zд == Rд
WЭ == k/(Ts + 1),
rде k
Rд/(Rд + 2Ro) и Т::::: 2 (Lo + Мо)/(Rд + 2Ro), что эквивалентно
включению четыреХIIОJlЮСНИКfJ, приведеНlIОI'О II поз. 26 табл. 8.2.
При Zд == I/(sСд)
W з ==. 1/ (aos
-1
01 S
t-- 1),
rде ао === 2Сд (Lo + Мо), а1 == 2RоСд' ЧТО ЭКВИВ3JlеНl'1I0 UI\JночеНIlЮ \1(,ПlljЧ\Х
полюсника, изображенноrо в поз. 33 или 34 табл. 8.2.
Активные четырехполюсники постоянноrо тока. Такие четы
u t..
рехполюсники состоят из электронных усилителеи и цепеи из
резисторов, конденсаторов и индуктивностей. В общем случае
четырехполюсник (рис. 8.16) содержит входную цепь с импедаНСОlVl
Zfl и цепь с импедансом Zo, которая охватывает усилитель отри
цательной обратной связью. Обычно используют операционныЙ
усилитель с BeCblYla большим передаточным коэффициентом. Тоrда
передаточная функция четырехполюсника с большой точностыIo
определяется равенством
Wa =::
Zо/Zп. (8.42)
Активные четырехполюсники MorYT быть выполнены так, что
по своим свойствам будут близки к IIдеаЛЬНЫl\1 дифференцирующим.
форсирующим или интеrрирующим звеньям. В ЭТОl\1 основное
преимущество таких элементов.
Например, при Zn === l/(Cs) и Zo == Ro \Va
RCs, и активный четырех-
полюсник практически идеально дифференцирует сиrнал.
При ZП == R/(RCs + 1) (параллельное соединение резистора и конденсатора)
и Zo == Ro Wa
a (RCs+ 1). и четырехполюсник приближается к идеаЛЬ-
ному форсирующему звену.
На входе активноrо четырехполюсника леrко осуществлять
суммирование сиrналов. Одновременно с преобразованием сиrнал
может быть значительно усилен. ТаКИ
l образом, аКТИIJные чеТLI
рехцq
J:fЮСЦЦI,и ЦI\1еК!т 3I{ачите
Ьf
Q более совершенные динамиче-
:)79
и1
р)
ит
д)
-11
с
Н!
PI1C. 8.17. Схема полупро.
80ДНИКО80rо дифференцнру
ющеrо ЭJlемента:
а с общей UЗЗОIUI; б с
оБЩll М ЭМ IIттером; (J дву х
каскаДНОI'О; i' С бал аllСНОЙ
наrрузкой
ские свойства, чем пассивные. Однако активные четырехполюсники
сложнее пассивных и стоимость их выше.
Активный дифференцирующий четырехполюсник с полупровод
НИКОDЫМ усилителем может быть выполнен по одной из схем,
ПОI{азанных на рис. 8.17. Передаточная функция схемы с оБJцей
базой (рис. 8.17, а)
W ks, (8.43)
rде I аRэС; Rэ RRlI а коэффициент усиления
2 (R + RJj)
триода по току.
Для схемы с общим эмиттером (рис. 8.17, 6) коэффициент
передаточной функции k === аRэС/(1 а). При двухкаскадной
cxe le (рис. 8.17, 8) k RэС/(1 а)2. В схеме с балансной наrруз..
кой (рис. 8.17, 2) k === аС, если выходной величиной считать раз
пость токов i == (! ib двух обмоток. Индуктивность обмоток
практически не влияет на динамические свойства схемы. Выраже..
ние (8.43) справедливо для достаточно широкоrо диапазона частот,
практически до (J) === 200 + 300 c l.
Дифференцирующий трансформатор. Такой трансформатор
имееет весьма малую мощность и используется для дифференциро-
вания сиrнала постоянноrо тока (рис. 8.18, а). Если пренебречь
рассеянием, то при RJ[ 00 ero передаточная функция
W'l === k'IS/(Tjs + 1), (8.44)
I"'де kJ === k'I Ll/(Ro R1); Т];:::::. Ll/(Ro R1); kTP == W2/Wl I{O-
эффициент трансформации; R1 и L1 СОПРОТИЕление и индуктив"
ность первичноЙ оБМОТI{И; Wj И W2 число ВИТКОВ первичной и
вторичной обмоток; Ro входное сопротивление.
При конечном значении сопротивления HarpY3KII (Rjj =1= <..'Y.J)
W'j ==; (71 + а;;;$ + 1 ' (RAS)
rде а :::::: RH/(R2 + RI.); Т2 == L2/(R2 + RH); R2 и L2 сопротив"'<
ление и индуктивность вторичной обмотки трансформатора.
зsо
б)
с
.
и,
2)
RJ
Рис. 8.18. Дифференцирую..
щий трансформатор:
а простейшая схема; 6
схема ело/кениЯ енrиала и
el'o производной
'
и,
Uz
а)
о)
ДиффереНЦИРУIОЩИЙ трансформатор часто используют в каче..
стве параллельноrо корректирующеrо устройства. Он позволяет
избежать rальванической связи между цепями входноrо и выход..
Horo сиrналов, что в ряде случаев необходимо и не может быть
достиrнуто при использовании четырехполюсников постоянноrо
тока. Если rальваническая связь допустима, то при включении
трансфор:матора по схеме, показанной на рис. 9.18, б, можно по
лучить выходной сиrнал в виде суммы двух составляющих. Одна
нз НИХ пропоциональна входному сиrналу, друrая производной
ОТ Hero. Передаточная функция этой схемь! при Ra 00
W kT (1"5 [) (8.46)
rl (T1s+ 1) ,
rде kJ' == R4 ; Т1 == L1 И 't === (Rэ -1 R4) kTL1 .
(Rэ + R4) (Ro + R1) R4 (Ro + R1)
Если в пеРВИЧНУIО или вторичную цепь дифференцирующеI"О
траНСфОрlVIатора включить пассивный четырехполюсник, то можно
получить элементы с более сложными передаточными функциями.
TaxoreHepaTOp постоянноrо тока. Это reHepaTop весьма малой
мощности с независимым возбуждением или с возбуждением от
постоянных маrнитов. Ero напряжение при холостом ходе можно
считать пропорциональным частоте вращения якоря или производ..
ной от yr ла ero поворота. При этом передаточная функция
W r === kl S,
(8.47)
rде kr передаточный коэффициент TaxoreHepaTopa.
Передаточные функции TaxoreHepaTopa при конечном значении
сопротивления наrрузки, а также в случае соединения TaxoreHe..
u
ратора с простеишими пассивными четырехполюсниками при
Ян == 00 приведены в табл. 8.3.
СерьеЗНЫIvI недостатком коллекторных TaxoreHepaTopoB постоян..
НО1'О тока является наличие пульсаций выходноrо напряжения. От
этоrо недостатка свободны бесконтактные TaxoreHepaTopbI постоян..
Horo тока, состоящие из синхронноrо reHeparopa и ПОЛУПрОБОДНИ"
KOBoro блока управления. Бесконтак ные TaxoreHepaTopbl полу..
чают возбуждение от постоянных маrflИТОВ, расположенных на
381
Т н (j ТI И 11. а ,q.:з
Корректирующие усrрОИС1'8Н с ТЗХCJI'енера'fОрUМ ПОСТОS1нноrо TOJ{a
ЭJlекrрИЧССJ\НЯ схема
-rl
[ill] . u [] RH
J?J {
с(
RRlu
о<.
Z 1 r
с
.д/ " ;
I';:J s/) (,! R rl ц
'7) l
()(
ц
(х
u
fI
382
ПереД:1точная функция.
: lIаtlеIll!Я ее пзра:м:еТРОR 11
а МПЛJП уды А (1 == А (О)
и Аоо === А (00)
\иl == ks 1 1
V /l == /( r ;
Ts + 1
L
Т r. А О.
== R f' I Rп' о::::': ,
/1,,, . . ! EJ./ L,, 12
ks .
\\7 :: , II == !?'р;
Ts ' 1
r
т Lf' ; Ао :: О
R ! R
Р I
kp (RJ, R)
А CJO
!
ks2
\\?
aos2 + а1 s + 1 '
1, ::::= krRC; ао::;:= CLr;
а1 == (Rr + R) С;
Ао==О; Асю==: krR
Lr
\\7 == ks
aos2 + a1s + 1 '
k == kl'; ао == CLr;
а! :::::: (Rr + R) С;
Ао == Аоо == О
\\7 == k rZ 25 ;
Zr + Zi + Z2
Zr == Rr + Lrs
u
\\7 :::::;: krZ2Zзs ;
(Z1 +Z2+ZЗ) Zr +
+ Z2 (Zl + lз)
Zr == Rr I Lrs
Асимптотическая
ЛАЧХ
L
Lco
......
о
CJ
2ПilБ/{li';(
L
о
CJ
,t 20db/df!/(
L
+ 20iJб/iJек
1
ld I Lce
1 CJ
То
+'fОfJб/8ек
о
L
О
.....".
(J
+ 20аБ/tJек
?оаб/tJеf(
( rз r L
I I
+ . т
/11 } R1 } !
и{] ')
Ид (
I
R2
и2 .......
'а) б) В)
Рис. 8.19. Твхометрическнli MOll:
а . rФt1СТf:Аш[),я схема: (j схема с фильтром; 8 . снятне 1It1IIРЯil\tНIIН, 1\ 1t)\lOrIЩоI1.1.)lu.
НOJ'О частоте вран\ения, в CXeMf" r'eHf'paTOp ABJI('aTtJlt.)
роторе. Срок с.лужБЬf ИХ по Ср[1ПIIС'I1I110 С КОЛ.JIС1(ТОРIlI)rм([ {';l,\()('PII('"
ратораМII в 8 10 раз Болыlе..
Тахометрические мосты. СИI IIаЛLI, IlроIlорционалLныc ])РОJlЗ
ВОДНЫМ от уrла поворота а электродвиrателя, MOII{HO получить без
помощи TaxoreHepaTopa. Простейшая схема тахометричеСI{оrо
моста с электродвиrателем постоянноrо тока приведена на
рис. 8.19, а. Ero передаточная функция в первом прибли)кении
r 10] ]
w м ==: И -z/A === 1<1\1 (TMs t 1) 8, (Н,'18)
J'де ""м :=..: CeR)/(I<l I R;!,); ТМ === (Rя R'!.RaIRl)' ] /(СеСМ); CM ::
==== Cc/9,81; Се (ИН RяIн)/(t}Нt Ин,
/п и (1)11 соответственно номинальные значения паПРН)КСНIIЯ,
тока и уrловой скорости вращения двиrателя; Rя сопротивлс..
ние обмотки якоря; А и и2 изображения по Лапласу УI'ла
поворота двиrателя и напряжения И2'
Если мост уравновешен
R1Rя === R2Rз,
(8.49)
то
w м === kMs.
(8.50)
Равенство (8.49) проверяют при затормо}кенном якоре двиrа..
теля; n этих условиях должно быть и2 == О.
ДЛЯ сrлаживания пульсаций, вызываеi\'iыIx наличием к()ллек
u '
тора, II тахометрическии мост пключают конденсатор Сф
(рис. 8.19, б). Тоrда передаточнан функция ypaBHoBeIlleHHoro
моста [87]
w м == kMs/(T MS + 1),
rде ТМ == Сф [RзRя/(Rз + Rя) + R1R2/(R1 + R2»).
(8.51)
в электроприводе, выполненном по схеме rенератор двиrатель
с электромашинным усилителем, создавать тахометриtiеrкиii мост
3Н.з
не следует. Наl1ря)кение и2, пропорциональное ПрОИЗПОДНОIUj 01'
уrла поворота якоря двиrателя, снимается, как показано на
рис. 8.19, 8. Если
1
Rl == 2 [Rи + Rд (1 + RJjRHO)]'
то lIередаточнзя функция
W м == и2! А === Ces!2. (8.52)
Здесь RI\O. сопротивление компенсационноЙ обмотки эму"";
R t часть сопротивления R п от продольной lI етки -1Л1У ДО
точки а; I<H.... СОПРОТJIвление, J1IУlIтирующее }(омпеllсаЦНОННУIО
обмотку.
Более точные передаточные функции тахометрических мостов
даны в работе [83 J. Там же показано, как ИЗl\'lенять некоторые
постоянные этих передаточных функций.
Недостатком тахометрическоrо моста является малый переда
точный коэффициент kM. Кроме Toro, при неточном удовлетворении
равенства (8.49) напряжение на выходе моста будет иметь состав..
ляющую, пропорциональную напряжению ид' Тоrда включение
моста в цепь местной обратноЙ связи вызовет создание непре
дусмотренной обратной связи (положительной или отрицательной)
по напряжению ид двиrателя.
rлава 9
МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ РЕrУЛИРОВАНИЯ
ПО ОТКЛОНЕНИЮ
Синтез САР есть выбор ее структуры и параметров такими,
чтобы удовлетворялись определенные (заданные) требования к ка..
честву реrулирования. При этом известен объект реrулирования,
т. е. имеются ero характеристики (математическое описание),
а иноrда уже выбраны основные функциональные элементы pery..
лятора.
Синтез САР это лишь один из этапов ее проектирования, ему
предшествует, по крайней мере, следующее:
1. Исследование объекта реrулирования для определения
ero динамических свойств и условий, в которых ero используют.
Динамические свойства определяют либо теоретически, либо
экспериментально, а часто используют оба пути одновременно.
Результаты исследования фиксируют в виде дифференциальноrо
уравнения (уравнений) или передаточной функции, или частотных
характеристик. При анализе условий эксплуатации выявляют
действующие на объект возмущения и их характеристики (хотя бы
длительность существования и максимальные значения), стабиль..
ность ero параметров или возможную их зависимость от каких"то
факторов.
2. Составление требований к качеству реrулирования. Требо-
вания определяются назначением объекта, а также опытом проек"
тирования и эксплуатации САР TaKoro же класса. Верхний предел,
оптимальные показатели качества, которые далеко не всеrда
достижимы, определяются теорией. При составлении требований
необходимо учитывать оrраничения, налаrаемые на динамические
характеристики системы допустимыми наrрузками элементов,
подводимой мощностью и т. п.
3. Выбор основных элементов реrулятора (исполнительноrо
элемента, датчика реrулируемой величины, задатчика, элемента
сравнения и усилителя) и определение их динамических свойств.
В результате синтеза САР выявляются структура реrулятора
(расположение и тип корректирующеrо устройства или устройств,
усилительных элементов и дополнительных связей) и необходимые
значения параметров всех элементов.
13 Макаров И. М.
385
Затем выполняют последующие этапы проектирования и прежде
Bcero выбирают технические средства для реализации выбранной
структуры реrулятора, проводят энерrетический расчет и соrласо-
вание элементов системы f 111, 114, 115, 76].
Заключительным этапом проектирования является определе..
ние динамических свойств системы и уточнение параметров pery..
лятора. При этом используют такие приемы, как исследование
электронной модели системы или системы, составленной из объекта
и 1aKeTa реrулятора. Большие возможности дает использование
цифровой ЭВМ.
При проектировании САР, кроме требованиЙ к ее динамическим
свойствам, должны быть удовлетворены и требования выбора
оптимальных массы, rабаритных размеров, стоимости и друrих
параметров, определяемых конкретными условиями эксплуа..
тации.
В теории автоматическоrо реrулирования есть ряд методов
синтеза САР. Это объясняется как разнообразием исходных данных
и требований, так и сложностью задачи синтеза. Необходимо
учитывать, что эта задача не имеет однозначноrо решения и нельзя
ожидать высокой точности результатов. Следовательно, целесо..
образно и даже необходимо рассматривать несколько вариантов
решения и полученные результаты, как уже было сказано, обяза-
тельно уточнять.
При синтезе системы непрерывноrо реrулирования по отклоне..
нию основа ее структуры уже задана. В этом случае характерны
два варианта постановки задачи. Первый из них допускает лишь
выбор некоторых параметров (вероятнее Bcero, передаточноrо
коэффициента разомкнутой системы и постоянных времени коррек-
тирующих устройств). Второй, кроме выбора части параметров,
разрешает уточнение структуры: выбор местных обратных связей,
а также элементов, обеспечивающих астатизм, и корректирующих
устройств. Чаще Bcero задача сводится к выбору структуры и
u
параметров корректирующеrо устроиства, т. е. к синтезу коррек-
u
тирующеrо устроиства.
Требования, предъявляемые к поведению САР, делятся на
несколько катеrорий: требования к точности реrулирования
u
В установившихся режимах при различных внешних воздеиствиях
(постоянном, изменяющемся с постоянной скоростью и ускорением,
rармоническом), требования к запасу устойчивости и поведению
системы в переходных режимах (в частности, при единичном сту'"
пенчатом воздействии). Возможны различные формулировки тре..
бований в зависимости от назначения САР, используемоrо метода
расчета и т. д.
По проблемам синтеза обыкновенных линейных САР имеется
обширная литература. Можно указать, например, на моноrрафии,
ПОСВЯlценные этой проблеме {5, 8, 17, 76,86], на книrи о синтезе
систем определепноrо назначения [28,33,40,41,43,47,56,58,80].
Кроме Toro, подавляющее большинство книr по теории автомати..
386
ческоrо реrулирования и управления содержит раздел, paCCl\ila..
тривающий методы синтеза САР.
Дальнейшее совершенствование методов синтеза САР в значи-
тельной степени связано с применением современной вычис.питель.
ной техники цифровой ЭВМ. При использовании цифровой ЭВJvl
основные элементы (объект реrулирования и исполнительный
элемент) можно расс'матривать без излишнеrо упрощения уравне...
ний, описывающих их свойства, анализировать влияние большоrо
числа параметров системы па ее свойства, отыскивать и оценивать
большое число вариантов решения.
Ниже кратко изложен порядок синтеза линейных систем непре..
pbIBHoro реrулирования по отклонению при наиболее характерных
'l'ребопаниях и наиболее широко прим:еняемыми методами. Часть
этих методов предусматривает лишь синтез систем HeBbIcoKoro
порядка. В примерах также рассматриваются системы не выше
пятоrо порядка. Это объясняется следующим. Синтез систе f
HeBbIcoKoro порядка осуществлять, конечно, леrче, а так как
задача синтеза всеrда имеет приближенное зцачение, то нет OCHOBa
ний усложнять ее. Целесообразно, следовательно, при синтезе
САР пренебречь теми параметрами, влияние которых на свойства
(и уравнения или передаточные функции) объекта и исполнитель..
Horo элемента незначительно. Полученное решение может быть
уточнено дополнительным расчетом и окончательно экспериментом.
Даже при синтезе с помощью цифровой ЭВМ нет смысла излишне
усложнять исходные данные.
Рассмотренные ниже методы предполаrают синтез систе l
минимально-фазовоrо типа. Сведения о синтезе неминимально"
фазовых систем можно найти в моноrрафии [103 J.
9.1. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ПО ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ
Простейшая задача синтеза САР это выбор ее параметров
при известной структуре по заданной точности (допустимой ошибке)
в установившt.,.,{ся режиме. Иноrда выбору подлежит лишь один
параметр передаточный коэффициент k разомкнутой системы.
Часто при обеспечении необходимой точности воспроизведения
задающеrо воздействия предполаrают, что при этом будет достаточ"
ное уменьшение влияния возмущений.
После удовлетворения требований к точности всеrда необхо-
дима проверка устойчивости и наличия необходимоrо запаса
устойчивости.
Рассмотрим несколько вариантов решения задачи обеспечения
заданной точности.
1. Выбирают значение k, обеспечивающее заданное значение
So }(оэффициента статизма.
По определению коэффициент статизма S == 1/(1 + k), следо-
вательно, он будет иметь заданное значение So, если
k::=: (1 ........ So)/So.
13*
(9. 1 )
387
2. Выбирают значение k, при котором установившаяся ошибка
слежения в астатической системе не будет превышать р, если
задающее воздействие g === go + glt, rде go И gl постоянные.
В астатической системе коэффициенты ошибки Со === О и С1 ==
l/k, поэтому па основании формулы (7.6)
в C1g'1 1 ;
/l gl .
(9.2)
3. Отыскивают оrраничение на лоrарифмическую амплитудно..
частотную характеристику разомкнутоЙ астатической системы, при
котором коэффициенты ошибки слежения не более C10 и С20.
Предположим, что среднечастотная асимптота ЛА ЧХ доста..
точно велика (рис. 9.1, а). Тоrда пе'редаточная функция разомкну...
той системы
w k (1"2S 1)
S (Т 15 + 1) ,
rде Тl == 1/001 и Т2 === 1/002'
По формулам поз. 2 в табл. 7.1 коэффициенты ошибки слежения
в данном случае имеют значения
С С Ь1 (1 + k 2) С1 Т1 1"2
1 k и :! k k k2 ·
При достаточно большом k вторым членом в выражении дЛЯ С2
можно пренебречь. Тоrда из составленных равенств следует, что
низкочастотная часть ЛА ЧХ должна удовлетворять требованиям
1 [ 1 С2О
(00 C ; ........ C ·
1 О Ш1 Ш2 1 О
(9.3)
Если низкочастотная часть ЛА Ч Х имеет форму, показанную
на рис. 9.1, б, в и i!, то при аналоrичных допущениях требования
к ней выражаются соответственно следующими неравенствами:
OOu cl и С20 ·
10 Ш1 Ш2 2С10 '
(9.4)
1 + >... С20 ,.
000 C и ..:;::;
10 ((}1 Ш2 ((}з С10
(9.5)
I
CU() C и
10
2 1 1 С20
............... .
Ш1 Ш2 ((}з С1 О
(9.6)
4. Отыскивают значение k, при котором установившаяся
ошибка в статической системе не должна превышать , если
задающее воздействие и возмущение постоянные и равны соответ...
ственно go и {о.
388
,L
L.
"']
.....................
'1Di}б/деК
..................
20 дб/дек ........ tJ
........ о
(;.)0
I .................
I 60lШlfjеК
I .................
I I 2Dдf1/tJе"R:.......................
Ша (J)
6)
1.,
L
"2.DдБjiJек
........ 40 iJб /дек
.........
I .........
I I Бад6/tiеК...............'"=-'-
1 I 20DD/fJe/f:"'o............ -' о
{J)1 VJ2 WJ (.J.}o W
О)
2.0 дБ/tiех.
БОдб/дек
I .........
I I ij.OOoiaeK....................
1 I 2.00б/дВi<...............,
UJo w
е)
о
I).ис. 9.1. Основные варианты низкочастотноА части Л А Ч Х раЗ0мкнутоА астатнческоА
системы
Б установившемся режиме (при единичной обратной связи).
хо == go/(l + k) + k, {о/(1 + k),
rде k, ........ передаточный коэффициент цепи от возмущения до pery..
u
лируемои координаты.
Следовательно, необходимо иметь
k go+ kffo 1.
(9.7)
5. Находят оrраничение на лоrарифмическую амплитудно-
частотную характеристику разомкнутой системы, при котором
установившаяся ошибка слежения от rармоническоrо задающеrо
воздействия g == gmax sin (Ugt не превышает .
IW (}. )Ig gmax gmax
Хrnах х U)g mах........ 11 + W (jrog) I I W (jrog) I '
rде W и W.( передаточные функции разомкнутой системы и
замкнутой системы для ошибки слежения.
Следовательно, необходимо иметь
I W (jffig) I rg ax (9.8)
я ЛАЧХ разомкнутой системы должна проходить не ниже KOH
трольной точки В (рис. 9.2, а) с координатами
ffiи == U)g И Lf\ === 20 19 gmax/ .
(9.9)
389
L
t 8
......l . "_ Т"
gl I :
t
I
с> t
I:\J
L
иJX
о
о
f.A.)
а)
6)
Рис. 9.2. Построение ДЛЯ низкочастотной части ЛА чх разомкнутой слеДящей системы:
а .... КОНТрОЛЬНОЙ точки; б запретной зоны
Пример 9.1. Задающее воздействие следящей системы g === gmax sin (j) t,
rде gmax == 200 и (j)g == 6,28 C l, и ее передаточная функция
W k (TS + 1)
s (Т 1 S + 1) (Т 2S + 1) ,
rде 't' == 0,008 с; Т 1 ::=: 0,01 и Т 2 == 0,005 с.
Определить минимальное значение k, при котором установившаяся ошибка fS
не превыснт 0,0250. .
Определим координаты контрольноя точки, пользуясь формулой (9.9):
20
Юк == 6,28 c l; LH ==: 20 19 0,025 == 58 дБ.
Нанесем на rрафик контрольную точку В (рис. 9.3). Затем строим ЛАЧХ
разомкнутой системы так, чтобы ее низкочастотная асимптота проходила через
контрольную точку В. По ЛАЧХ определяем. что L (1) ==.74 дБ. Следовательно
Ig k == 3,7, и искомое значение передаточноrо коэффициента разомкнутой си..
стемы k == 5012.
Для проверки устойчивостн системы при этом значении k строим ЛФЧХ
Пользуясъ критерием устойчивости Найквиста, заключаем, что замкнутая система
устоЙчива, но запас устойчивости по фазе составляет .лишь 260.
б. Отыскивают оrраничение на ЛА ЧХ разомкнутой системы.
при КОТОрО1! установившееся значение ошибки слежения не пре-
вышает , если задающее воздействие изменяется с максимальной
скоростью Йmах И максимальным ускорением Йtnах.
В данном случае удобно рассматривать эквивалентное rармони-
ческое задающее воздействие
gэ == gmax, э sin ffigэt,
изменяющееся с заданными максимальными значениями скорости
и ускорения:
· ... 2..
g Э === g шах, эU)gэ == g max; g э ::=: g тах, э(I) gэ === g max.
Эти равенства удовлетворяются при
ffigэ == gmax/ Йmах И gmax, э === Й ах/ Йmах' (9.1 О)
390
Пусть скорость изме..
пения задающеrо воздей-
ствия остается максималь - 180' ........... .......... .... ----...
ной, а ускорение умень-
шается. По формулам РиСе 9.З. Лоrарифмические частотные характери..
(9.11) видно, что при этом стики К примеру 9.1
контрольная точка В бу..
дет перемещаться влево по прямой с наклоном 20 дБ/дек.
Если скорость изменения задающеrо воздействия уменьшается,
а ускорение остается максимальным, то контрольная точка на
рис. 9.2, б будет перемещаться вправо по прямой с наклоном
40 дБ/ дек.
Построенные прямые оrраничивают сверху область, в которую
не ДОIIТfжна заходить ЛА ЧХ разомкнутой системы. В частности,
передаточный коэффициент k астатической системы первоrо по-
рядка (добротность по скорости) должен удовлетворять неравен-
ству
,k :=;,.. g max/P.
3 коэффициент k астатической системы BToporo порядка (доброт-
ность по ускорению) неравенству
,k :=;,.. gmax/ .
Если сопряrающая частота одноrо ИЗ апериодических звеньев
равна ын, то оrраничивающие прямые на рис. 9.2, б следует
поднять на 3 дВ.
На основании формул
(9.9) и (9.10) заключаем,
что ЛА ЧХ разомкнутоЙ
систем ы должна проходить
не ниже контрольной точ-
ки В (рис. 9.2, б) с коор-
дината ми
О)Н === max
gmax
.2
И [к === 20 19 gmax .
gmax
(9.11 )
L,дБ
80
БО I
I
40 I
I
20 I
I
I
О 1
fjl,zpaB
о 1
::.::
.......]
ШХ 10
10
100
1000 иJ,ё1
80
./
(9.12)
(9. 13)
.........
Пример 9.2. Скорость и ускорение задающеrо воздействия следящей системы
MorYT иметь максимальные значения соответственно gmax == 25 rрад/с и Йmах.==
== 40 rрад/ , а передаточная функция ее разомкнутой цепи
W == k ('t"s + t)
s (Т 1 S + 1) (Т 25 + t) ,
('де 't" == 0,1 с; Т 1 == 0,5 и Т 2 == 0,25 с.
Определить минимальное значение k, при котором установившаяся ошибка
слежения не превысит == 0,05 rрад.
391
L,д6
о
J
I I
I I
I I
J I
,.:
CtJI( w.,
,
,
,.
"-
,
Рис. 9.4. Лоrарифмические
час,отные хаР&КТСРИСТНКII
к примеру 9.2
6
*0
20
100 щё1
180
.......
По формулам (9.11) определим координаты контрольной точки В:
40 252
(i)и == 25 == 1,6 с 1; Lи == 20]g 40. 0,05 == 49,9 дБ.
Наносим контрольную точку В (рис. 9.4) и проводим от нее прямую с наклоном
20 дЕ/дек в сторону низких частот и прямую с наклоном 40 дБ/дек в сторону
высоких частот. Область, в которую направлена штриховка, является запретной
дЛЯ ЛА Ч Х разомкнутой системы.
Пользуясь формулой (9.12), определим минимально допустимое значение
передаточноrо коэффициента:
25
k == 0,05 == 500 c"'J..
Теперь построим асимптотическую ЛА Ч Х разомкнутой системы. Ее низко
частотная асимптота совпадает с rраничной прямой, а остальная часть ЛА ЧХ
изображена линией 2, которая заходит в запретную зону.
ЛА Ч Х для удовлетворения требования к точности должна занимать положе -
ние, показанное на рис. 9.4 линией 1. Ордината этой ЛА Ч Х L (1) == 60,5 дБ,
т. е. необходимо иметь k == 1060.
Для проверки устойчивости на рис. 9.4 построена ЛФЧ Х разомкнутой систе .
мы при k == 1060. На основании критерия устойчивости Найквиста эаключаем
что в этом случае система неустойчива. Следовательно, необходимо корректирую
щее устройство, обеспечивающее соответствующий запас устойчивости.
Запретная область дЛЯ ЛА ЧХ разомкнутой системы, обеспечи..
вающей заданную точность, может быть построена [8] при нееди
ничной обратной связи, для статической системы и с учетом
возмущения.
392
9.2. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ПО МИНИМУМУ
ИНТЕrРАЛЬНОЙ ОЦЕН И
Выбор параметров САР при заданной структуре довольно
часто выполняют с помощью интеrральных оценок. Постановка
задачи в этом случае сводится к следующему. Структура системы и,
следовательно, ее передаточные функции известны. Некоторые
параметры системы можно изменять, остальные заданы. Необхо..
димо отыскать такие значения изменяемых параметров, при кото..
рых интеrральнзя оценка становится минимальной. Используют
чаще Bcero квадратичную или улучшенную квадратичную инте..
rральную оценку. Рассмотрим интеrральную оценку переходной
характеристики относительно задающеrо воздействия в следящих
системах и относительно ВОЗМУIцения в системах стабилизации.
Предположим сначала, что может изменяться только один
параметр а. Тоrда расчет будет содержать следующие этапы.
1. Выбирают вид интеrральной оценки. Мйнимизация квадра..
тичной интеrральной оценки J приближает переходную характери..
стику к ступенчатой, но возможно значительное перереrулирова-,
ние. Однако если отличны от нуля коэффициенты Ь1, Ь2, ... в числи..
теле изображения переходной характеристики, то существенное
перереrулирование мало вероятно. Поэтому оценку J широко
используют.
При минимизации улучшенной квадратичной интеrральной
оценки Jr переходная характеристика приближается к экспоненте
(7.40), и чем больше Т, тем меньше возможное перереrулирование.
Улучшенные квадратичные оценки более сложноrо вида [102]
используют, коrда требования к форме переходной характеристики
должны быть выдержаны особенно точно.
2. Составляют выражение для выбранной интеrральной оценки.
Необходимые для этоrо сведения содержатся в п. 7.6.
з. В выражение для интеrральной оценки подставляют число..
вые значения известных параметров.
После этоrо интеrральная оценка становится функцией лишь
одноrо параметра а.
4. Определяют значение а, при котором интеrральная оценка
имеет минимум, из уравнения
dJd ) == о. (9.14)
Затем необходимо проверить, что равенство (9.14) действительно
есть условие минимума функции J (а). Это имеет место, если при
найденном значении а выполняется неравенство
d2J(a) >0 (9.15)
da2 ·
Иноrда для указанной проверки удобнее вычислить J при
u
наиденном значении а, а также, при двух соседних значениях
393
большем и меньшем. Последние два значения J должны быть
больше nepBoro. _
Мо)кет оказаться, что функция J (а) не имеет минимума по а
вообще или внутри области допустимых значений а. Тоrда нужно
определить J при rраничных значениях а (максимальном и мини..
мальном) и выбрать то из них, которое соответствует меньшему
значению J.
5. Проверяют устойчивость системы и определяют показатели
Р U
качества переходнои характеристики при наиденном значении а.
При неудовлетворительных показателях качества необходимо
искать друrое значение а. Вместо квадратичной оценки J следует
использовать улучшенную квадратичную оценку JT. Если при..
менял ась оценка JT, то нужно изменить значение Т. Вероятнее
Bcero, ero следует увеличить для уменьшения перереrулирования
и уменьшить для уменьшения времени реrулирования. К цели
также приведет более сложная интеrральная оценка.
При выборе нескольких параметров а1, az, ... по миниму:му
интеrральной оценки порядок расчета остается тем же. После
определения интеrральной оценки как функции искомых пара..
метров вычисляют и приравнивают нулю ее частные производные
по каждому из этих параметров:
aJ (CLf, , ...) О. r aJ (а1, а2 j ...) ...... О.
дa.j =-, ikx.t ......, ...
(9.16 )
Полученная система уравнений позволяет вычислить искомые
значения параметров. Необходимо, конечно, проверить, действи-
тельно Jlи равенства (9.16) соответствуют минимуму оценки J.
Если порядок системы выше четвертоrо, то при расчете следует
использовать аналоrовые вычислительные машины (102 J.
Выбор параметров по минимуму интеrральной оценки наиболее
удобен, коrда синтезируется система, сходная с существующей.
Иноrда расчет следует вести не по минимуму интеrральиой оценки,
а по некоторому заданному значению [103 J. Это оrраничение
может быть обусловлено, например, мощностью исполнительноrо
opraHa.
Пример 9.3. Выбрать значение передаточноrо коэффицнента разомкну..
той САР, если ее передаточная функция
W....... k
....... s (Т 1 S + 1) (Т 25 + 1) ,
rде Т i === 0,1 и Т 2 === 0,06 с.
Будем искать значение k по минимуму квадратичной интеrральной оценки.
Определим сначала изображение переходной характеристики:
W 1 1
Н 1::= 1 + W s == (aos8 + als2 + a2,S + 1) s '
rде йо == 0,006/ k; й1 == О, 16/ k и Qz == 1/ k.
394
По п. 2 табл. 7.6 квадратичная интеrральная оценка (при
hy == 1 и . Ь1 === Ь2 === О)
J ау + а2 === 6,4 +
2 (а1а2 ао) 2 80 3k 2k ·
Для ОТЫСI{ания минимума J по k определяем ПрОИ3БОДНУЮ
dJ 6,4 ( Э) 1 38 ,4k2 (80 3k)2
dk == (80 3k)2 2k2 == 2k2 (80 3k)2
При равняв нулю числитель
уравнение для определения k:
v
производнои
dJ
dk '
получим
38,4k2 (80 3k)2 == о; k2 + 16,2k 217 == о.
Ero решение, учитывая, что k > о: k == 8,7.
Вторая производная от J по k
d2J 19,2( 2)( З) ( 2) 115,6 1
dk2 == (80 3k)З 2kЗ == (80 3k)З + 13 > о,
и, следовательно, при k == 8,7 квадратичная интеrральная оценка
действительно имеет минимум.
При этом значении k система устойчива, однако показатели ее
качества (показатели качества переходной характеристики) а
=== 36,9 % и tp == 1,24 с нельзя считать приемлемыми. Поэтому
будем искать значение k по минимуму улучшенной интеrральной
оценки Jr == J + T2J', выбирая постоянную Т равной наиболь..
шей постоянной времени Тl системы: Т == 0,1 с.
Для отыскания J' составим выражение
1
sH :==;
aos3 + аl S2 + a2S + 1 ·
Тоrда по п. 7 табл. 7.6 (при hy === 1 и Ь1 == Ь2 == О)
J' === йl .
2 (а1й2 ао)
Следовательно, улучшенная интеrральная оценка
J т == J + T2J' === ai + а2 + T2ai
2 (а1а2 ао) 2 2 (а1а2 йо)
== ау + Т2аl + а2 == 16 + k +
2 (аlа2 ао) 2 200 7,5k 2k ·
395
Определяем прd'изводную от JT по k и, приравнивая нул ю ее
числитель, составляем уравнение относительно k:
dJr 1 (16+k)( 7,5) 1
200 7,5k (200 7,5k)2 2k2
......... 320 1 640k2 (200 7,5k)2 .
........ (200 7 ,5k)2 2kЯ 2k2 (200 7,5k)2 ,
640k2 ........ (200 7,5)2 == о; 584k2 + 3000k 4000 о.
Решение этоrо уравнения: k == 6, 1.
Значения JT при k == 5; 6,1 и 7 соответственно равны 0,229;
0,225 и 0,227. Можем заключить, что при k:::::: 6, 1 оценка J т
действительно минимальная.
При этом значении k система устойчива и показатели качества
ее переходной характеристики (J === 23,4% и tp === 1,17 с лучше"
чем при k ==: 8, 7 .
9.3. КОРНЕВЫЕ МЕТОДЫ
Зависимость переходных процессов (переходной характери..
стики) САР от значения нулей и полюсов ее передаточной функции
рассмотрена в rл. 4. Наиболее сильное влияние оказывают полюса
передаточной функции, т. е. корни характеристическоrо уравне..
ния. Поэтому разработан ряд методов синтеза САР,использующих
эту зависимость.
Синтез по преобладающим корням [961. Если вещественные
части у двух корней характеристическоrо уравнения значительно
меньше по абсолютной величине, чем у друrих, то эти корн и и
определяют вид переходной характеристики. Характеристическое
уравнение n- й степени в этом случае можно представить в следую..
щем виде:
(5n..2 + С15n"'З + . . . + Сn..2) (52 + b1s + Ь2) ==== о, [(9.17)
rде коэффициенты Ь1 и Ь2 соответственно значительно меньше
коэффициентов с п...з И С n...2'
Определяющей паре комплексных сопряженных корней будет
соответствовать колебательная составляющая переходной харак-
теристики с затуханием за период === 98% при соотношении
i 1], === 0,867bi. (9.18)
Зто соотношение между коэффициентами Ь2 и Ь1 следует обеспе
чивать выбором параметров элементов системы.
Более правильно кроме пары комплексных сопряженных кор..
ней отнести к определяющим еще и наименьший вещественный
корень. В этом случае характеристическое уравнение
( n--З + С15n...4 + . . . + Сn..з) (53 + b1s2 + b2s + ьз) === о, (9.19)
rде коэффициенты Ь1, Ь2 и Ьз соответственно значительно меньше
коэффици ентов с п...5, С n...i И С n 3.
396
Если выполняются соотношения
Ь2 == 0,607b и ьз:::=: О, 128b , (9.20)
то колебательная составляющая будет иметь затухание за период
=== 98% и вещественные части трех определяющих корнеЙ будут
одинаковыми.
Т. Н. Соколов [96] дает рекомендации для выбора коэффи
циентов характеристических уравнений и более высоких степеней.
Однако использование данноrо метода оrраничено. В сложных
системах необходимые значения коэффициентов характеристиче
CKoro уравнения не всеrда MorYT быть получены выбором корректи
рующеrо устройства.
Метод стандартных коэффициентов (стандартных передаточ..
ных функций [45 ]). Метод предполаrает такой выбор параметров
элементов САР с заданной структурой, при котором коэффициенты
ее передаточной функции принимают заранее заданные (стандарт-
ные) значения. При этом и переходная характеристика системы
будет иметь заранее известную (стандартную) форму.
Пусть передаточная функция разомкнутоЙ САР
W k (9.21)
cosn + ClSп l + ... + Cn lS + 1
Корни характеристическоrо уравнения замкнутой системы
будут кратными вещественными отрицательными и равными Q,
Таблица 9.1
Коэффициенты стандартной передаточной функции разомкнутой
статической САР
n со Сl С7- Са С. Cr. Се С1
2 l+k 2 (1 + k) I
{22 {2 I
3 l+k 3 (1 + k) 3 (1 + k)
Q3 Q2 Q
4 l+k 4 (1 k) 6 (1 + k) 4 (1 + k)
Q4 QЗ Q2 . g
5 l+k 5 (1 + k) 1 О (l t-- k) 10(I+k) 5 (1 + k)
QD Q4 Q3 Q2 Q
6 l+k 6 (1 + k) 15(I+k) 20 (1 + k) 15(1 +k) 6 (1 + k)
О6 [25 Q4 Q3 Q2 Q
7 l+k 7 (l + k) 21(I+k) 35(1 +k) 35(I+k) 21(I+k) 7 (l 1 k)
Q7 Q6 Q5 Q4 t 3 Q2 Q
8 l+k 8 (1 + k) 28 (1 +k) 56 (1 +k) 70 (1 +k) 56(1 +k) 28(1 +k)!a (1 + k)
Q8 а7 Q6 Q5 Q4 Q3 g2 Q
397
h
1 O
0,8
0,5
р Не. 9.5. Переходные харак-
теристики при стандартных
0/1 коэффици ент ах передаточ"
ной фун кци н, выбранных
i t I соrласно табл. 9.1
0,2 i
I
j
I
J
О 2 ч б 8 1:) 12 1У 7:
если коэффициенты этой передаточной функции выбрать по
табл. 9.1. Переходные характеристики в этом случае апериодиче-
ские (рис. 9.5) и определяются формулой
Ь(Т)== 1 k(l e ;:), (9.22)
1==0
r де 't === Qt.
В работах [1 О, 45 J рекомендуются стандартные коэффициенты
при друrом виде передаточной функции w. Переходные характери-
стики будут колебательными с оrраниченным перереrулированием
и меньшим временем реrулирования.
Синтез САР методом стандартных коэффициентов не сложен.
Необходимо прежде Bcero выбрать стандартные коэффициенты, при
которых будут удовлетворены требования к динамическим свой-
ствам системы. Затем должна быть составлена система уравнений
для определения параметров элементов САР. После ее решения
MorYT быть выбраны эти элементы.
Однако применение данноrо метода оrраничено. Ero недоста-
ток в том, что одновременно выбираются все коэффициенты пере-
даточной функции и необходимо иметь по крайней мере n варьируе-
мых параметров. Необходимые значения параметров не всеrда
MorYT быть физически реализованы прежде Bcero из-за малоrо
перереrулирования стандартных переходных характеристик.
Типовые характеристические уравнения. Характеристические
уравнения для синтеза САР дО 8-ro порядка включительно предло-
жены в работе [83 J и до 12-ro порядка включительно в работе [124 J.
При каждом значении п дается значительное число (от 18
до 57) уравнений, отличающихся коэффициентами и, следователь-
но, распределением корней. Для каждоrо уравнения указаны покз
затели качества соответствующей ему переходной характеРИСТИI<И.
Даны также значения показателя колебательности и резонансной
частоты амплитудно-частотнои характеристики соответствующей
САР.
398
Типовые характеристические уравнения дают несколько более
широкую возможность удовлетворения требований к динамиче..
ским свойствам САР, че:м таблицы стандартных коэффициентов.
Однако использование типовых характеристических уравнений
оrраничено по тем же причинам, что и использование таблиц стан..
дартных коэффициентов.
Все же изложенными методами можно получить хотя бы пред..
ставление о том, к каким значениям параметров элементов системы
следует стремиться. В этом несомненное достоинство этих простых
методов.
Корневой rодоrраф. Влияние одноrо из парамеrров системы
на расположение полюсов и нулей ее передаточной функции и,
следовательно, на ее динамические свойства позволяет выяснить
корневоЙ rодоrраф (см. п. 7.8). Поэтому он может быть использован
для выбора какоrо..либо параметра системы, например параметра
корректирующеrо устройства.
Пусть требуется выбрать значение параметrа а. Тоrда при
постоянных значениях всех остальных параметров нужно задавать
различные значения параметра ct внутри возможных пределов ero
изменения и построить траектории корней. Затем можно выбрать
такое значение а, при котором имеет место наиболее блаrоприятное
расположение нулей и полюсов или же их расположение, обеспе..
чнвающее требуемые показатели качества переходной характе..
ристики.
Корни следует вычислять наиболее простым числовым методом,
так как большоЙ точности не требуется из..за приближенности
корневых методов оценки качества. Показатели качества прибли-
женно можно леrко определить по преобладающей паре комплекс-
но-сопряженных пол!Осов
51,2 == ........б 1 ::1: j Юl' (9.23)
. .
т. е. для предварительнои оценки можно полаrать, что передаточ-
ная функция замкнутой системы
Ws T1sI + ; TS + 1 · (9.24)
Тоrда переходная характеристика
h == 1 e 61! sin (ffi t + 8) (9.25)
6)1 т 1 I ,
6)
rде 8 === arctg б 1 .
1
Приближенные значения показателей качества (перереrулиро-
вания, времени реrулирования и показателя кол ебатель ности)
определяются формулами
61п Л
а ==e -Ы-;-- ==е VH2; tp ! зт ;
иl ь
М::=; 2l)1 lTI 26 у.: 62 (9.26)
З9:;)
fрафики зависимости
0', t1JT и М от показаны
На рис. 9.6.
Продолжительность пе..
реХОДНОI'О процесса при..
бли)кается к минимальной
при == 0,7. Ь этом слу..
чае а === 0,05 и М === 1. По..
ЭТО1VIУ значение коэффициента демпфирования == 0,7 является
в определеННОI\II Сl\tlысле оптимальным и целесообразно прибли..
жать к этому значению. Иноrда полаrают, что переходная
характеристика определяется ближайшим к мнимой оси веществен..
ным полюсом. Более правильно оценивать качество по трем бли..
жайшим к мнимой оси полюсам, из которых два комплексные
сопряженные и один вещественный. Еще лучше рассматривать
кроме этих трех полюсов и ближайший к мнимой оси нуль.
Во всех случаях остальные полюсы и нули должны быть
достаточно удалены от мнимой оси или же достаточно близко
расположенные полюсы и нули должны быть взаимно ском-
пенсированы.
Вообще rоворя, если известны значения полюсов и нулей
передаточной функции замкнутой системы, то не составляет труда
определить точное аналитическое выражение переходной характе-
ристики, пользуясь табл. 4.1. Тоrда и оценка качества будет
точной.
С;; % jp
100 Т
8Or10 1 . т
I I/, AJ,\ I
fjOr JO[!I -r -i '<\ \
t ' "\'
I j I
10 I 2fJ 4. ... :. J .' i..
I ' I I : I """, -'-.....
l I i i 1 l"," ',
I I '-i "-
",. "J .,.... .'. ... :. r
. ц ." l' I I I l
J о J J. ! .".1." .l.j ,l,., O,";\ 0,11 п5
L I' .., I . l' ( r 'и,/.. . J 7 и,
д
, I ,
mi...
I I 1)
I I I I
! ' I ! J
i I
IL+-+ \ !!
i l' i i
; .; I I I
I " 1 \ !)
r- ,- "'- , <
I 1>y IL
I,J j !
i 1...; i}
О, 7 as
r
Рис. 9.6. I"рафики зависимости пе..
'ю" ререrулирования а, относительноrо
времени реrулирования tp/T и пока
зателя колебательности Af от коэф"
фициентя. демпфирования преобла..
дающей Rомплексно..сопряженной
пары полюсов
Пример 9.4. Выбрать последовательное корреКТИРУlощее устройство дЛЯ САР
так, чтобы при 20 k 30 иметь (J == 25% и tp == 0,5 с. Передаточная функция
неизменяемой части системы
w == k1 ,
s(T1s+1)
rде k1 == 7,2 и Т 1 == 0,2 с.
По rрафику рис. 9.6 определим о' == 25% , если коэффициент демпфирования
определяющеЙ пары комплексно..сопряженных полюсов == 0,4. При этом tp/T ==
== 7,5. Следовательно,
tp , v 1 2
Т == 7,5 == 0,0667 с; 81 == Т == 6 и (йl == Т == 13,7 с 1.
Нанесем на комплексную плоскость (рис. 9.7, а) точку 81 == б1 + j(i)1
и начальные точки KopHeBoro rодоrрафа л'1 == О И л'2 == l/T 1 == .......5.
Для Tora чтобы корни 81,2 были действительно определяющими, :скомпенси
руем полюс л'2 нулем '\'1 == 5.
400
+jUJ
Sf
j+j
I
В(
А.2
/j.
а)
А.!
Ji.,a J1 J
Рис. 9.7. Построение точек кориев',rо rодоrрафа
Точка 51 будет принадлежать корневому rодоrрафу, если для нее будет спра..
ведливо уравнение фаз (7.73). Для этоrо необходимо иметь еще хотя бы одну Ha
чальную точку Аз, вектор от которой к точке 51 был бы наклонен под уrлом
'Ф13 =::: 1800 'Фll 1800 114° === 660.
Нанесем на чертеж эту начальную точку Аз по назначению 'Ф1З и определим
Аз == 12.
Теперь, пользуясь формулой параметра (7.74), опредеЛИt\1 значение k, COOT
веТСТВУlощее точке 51 KopHeBoro rодоrрафа:
k === 11111з == 15.15 == 18,75.
ЛЗ 12
Значение k меньше требуемоrо, и необходимо ввести диполь с отношением
== 30лз 30. 12 === 1,6.
Ai 111113 15.15
Можно ввести, например, диполь Л4 == 0,5 и 1'2 == O,8 или Л4 == l
и 1'2 === 1,6. Каждый из этих диполей почти не повлияет на уравнение фаз для
точки 51' Однако в корректирующем устройстве потребуются элементы с большими
постоянными времени, поэтому диполь с необходимым соотношением создадим
изменением нуля '\'1' Вместо Hero должен быть нуль
1'10 == 1,6'Л2 === 1,6.5 == 8.
Уравнение фаз для точки 81 будет удовлетворено при
'ФIЭО == 1800' 'Фll 'Фi2+'Ф21 == 1800 114° 95° + 820 == 530.
По значению ФIЗО нанесем на чертеж ПОЛIОС Лзо и определим Лзо == 15,8.
Теперь точке 81 соответствует
k== 11 11ilЗО'УlО == 15 1 ,8.16, .8 ==25.5.
21 2ЛЗО 1 , · 5. 15,
что удовлетворяет требованиям.
Составим передаточную функцию необходимоrо последовательноrо коррек..
тирующеrо устройства
1
............... 5 + 1 О, 1255 + 1
W 1...... 1'10 .......
Нl ...... 1 ---
............... 8 + 1 0,06335 + 1
Лзо
401
и определим передаточную ФУНКЦИЮ системы ОТНОСИТeJIЬНО задающеrо воздей-
ствия:
О, 1255 + 1
W g === 4,96.10 4sS + 1 ,03.10 2s2 + 0,1645 + 1 ·
ПоказаТeJIИ качества переходной характеристики а == 31 ,6 6 и tp===' 0,52 с.
Время реrулирования можно считать удовлетворяющим требованиям, но перере-
rулирование слишком велико.
Для уменьшения перереrулирования уменьшим передаточный коэффи"
циент до k == 22. Нужно иметь диполь с отношением
У 1 == 22лз == 22. 12 == 1, 17.
л, l1111з 15.15
Пусть полюсом диполя будет по-прежнему А2 == 5. Тоrда необходим нуль
У1 == 1, 17А2 == 1,17 ( 5) == ......5,85.
Примем Уl == 5,9 (рис. 9.7, 6). Уравнение фаз для точки будет удовлетво-
ряться при
'Ч'iа == 1800 'Ч'11""""'Ч'12+'Ч'21 == 180o.....114° 95°+900 == 610.
По значению "1'13 нанесем на rрафик (рис. 9.7, 6) полюс Аз и определим ero
значение: Аз == 13,4. Тоrда по формуле (7.74)
k == '11'1'IIЗУi == 15.13,8.15,5.5,9 == 20,6.
121А2Аз 13,7-5.13,4
Значение k удовлетворяет требованию. Составим передаточную ФУНКЦИЮ кор-
ректирующеrо устройства:
1
..... "l S + 1 О, 1695 + 1
Wиi 1 == 0,0746s + 1 '
Аз 8 + 1
и передаточную функцию системы относительно задающеro воздействия:
О, 1698 + 1
W, == (0,06672s2 + 2. 0,409. 0,0667s + 1) (0,1638 + 1)
Лольsуясь формулой п. 103 табл. 4.1, составим аналитическое выражение
переходноА характеристики:
h == 1 .......1.137е...6.1З2t slп (13,681 + 1,166) + O,044e--6,lЗ5t.
Локазатели качества переходной характеристики а == 26,7% и tp == 0,505 с.
Можно полаrать, что они удовлетворяют требованиям.
9.4. МЕТОД поrАРИФМИЧЕСI(ИХ
Ампп ИТУ ДН 0- ЧАСТОТН ЫХ ХАРА I(T ЕРИСТИ 1(
Свойства САР полностью определяются частотными характери-
стиками ее разомкнутой цепи. Если все элементы системы мини..
мально-фазовые, то достаточно рассматривать только амплитудно-
частотную характеристику. Построение лоrарифмических ампли..
тудно..частотных характеристик не сложно, поэтому метод синтеза
САР, использующий ЛАЧХ, широко применяют в инженерной
практике.
402
Сущность этоrо метОДа заключается в следующем. Сначала
-строят асимптотическую ЛА ЧХ Lи неизменяемой (основной)
части системы. Затем составляют желаемую ЛА ЧХ Lж разомкну-
той системы. Разность
LiK Lи === LK1 (9.27)
есть ЛА Ч Х дополнительноrо элемента, который нужно ввести
в систеl\1У, чтобы она имела необходимые свойства.
Неизменяемая часть системы реrулирования по отклонению
'содержит объект реrулирования и исполнительный элемент,
а также элемент основной обратной связи и элемент сравнения.
К неизменяемой части обычно относят Еще элеl\lенты, которые
обеспечивают необходимые статические свойства: усилитель и
в астатической системе интеrрирующий или изодромный элемент
(элементы). Асимптотическую ЛА Ч Х L 1I строят по передаточной
функции неизменяемой части системы (см. п. 5.3).
Желаемую ЛА ЧХ условно разделяют на три части: низко..
частотную, среднечастотную и высокочастотную. Низкочастотная
час ь определяет статиtfескую точность системы точность в уста..
новившихся режимах. В статической системе низкочастотная
асимптота параллеJJьна оси абсцисс. В астатической системе
наклон этой асимптоты составляет ........20" дЕ/дек, rде v порядок
астатизма (" == 1, 2, ...). Ордината L ж пр и (о == 1 с --1 определяется
значением передаточноrо коэффициента k разомкнутой системы.
Чем шире низкочастотная часть Lж, тем больше высоких частот
воспроизводится системой без заметноrо ослабления.
Среднечастотная часть является наиболее важной, так как
она определяет устойчивость, запас устойчивости и, следова..
тельно, качество переходных процессов, оцениваемое обычно
показателями качества переходной характеристики. Основные
u
параметры среднечастотнои асимптоты это ее наклон и частота
среза (ос (частота, при которой Lж пересекает ось абсцисс). Чем
больше наклон среднечастотной асимптоты, тем труднее обеспечить
хорошие динамические свойства системы. Поэтому наиболее
целесообразен наклон 20 дБ/дек и крайне редко он превышает
40 дБ/дек. Частота среза (ос определяет быстродействие системы.
Чем БQ . "G, теМ: IШ Qы.СJ'-РQде Iвие, тем меньше время pery-
лирования tp переходной характеристики.
Высокочастотная часть желаемой ЛА ЧХ незначительно влияет
на динамические свойства системы. Вообще rоворя, лучше иметь
возможно больший наклон ее асимптот, что у rеньшает требуемую
мпщность .исполнителыIrоo opraHa и влияние высокочастотных
помех. Иноrда при расчете высокочастотную часть ЛА ЧХ не
принимают во внимание.
Желаемую ЛА ЧХ строят на основании требований, преДъявляе..
мых к свойствам системы. Требования к статическим свойствам
задают в виде порядка астатизма v и передаточноrо коэффициента
(добротности) k разомкнутой системы. Иноrда для системы с аста-
403
L
Рис. 9.8. Построение желае..
мой ЛАЧХ
тизмом nepBoro порядка задают коэффициенты ошибки С1 и С2.
Ранее (см. п. 9.1) было показано, как с учетом этих требований
построить низкочастотную асимптоту ЛА Ч Х.
При синтезе САР методом ЛА ЧХ динамические свойства чаще
Bcero определяются максимально допустимыми значениями пере..
реrулирования (J' и времени реrулирования tp переходной характе..
ристики. .l\10жет быть задано еще оrраничение в виде максимально
допустимоrо ускорения Wmax реrулируемо:W величины при началь..
ном рассоrласовании Хо.
Если неизменяемая часть системы включает все элементы,
обеспечивающие необходимые статические свойства, то низко..
частотная часть неизменяемой характеристики Lп является вместе
с тем и низкочастотной частью желаемой характеристики Lж.
В этом случае равенством (9.27) определяется ЛА ЧХ L1<.1 последо..
вательноrо корректирующеrо устройства. По параметрам этой
ЛА ЧХ можно составить передаточну о функцию WK1 последова..
тельноrо корректирующеrо устройства. ФОРl\lУЛЫ (8.28) и (8.29)
позволяют отыскать передаточные функции Wh2 параллельноrо и
Wfi3 прямоrо параллельноrо корректирующих устройств, имеющих
одинаковые свойства.
Для построения желаемой ЛА ЧХ используют различные пра..
ВИЛа. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
Построение желаемой ЛАЧХ по В. В. Солодовникову [72, 1031.
Предположим, что ее' низкочастотная асимптота, совпадающая
с ЛА ЧХ L'rlt имеет наклон 20 дБ/дек и ордината этой ЛА ЧХ при
00 == 1 c"l равна 20 Jg k дБ (рис. 9.8). Порядок построения желае-
мой ЛАЧХ будет следующий.
1. Выбирают частоту среза (Ое; так, чтобы удовлетворялось
неравенство
ООС1 ООс -<: ООс2.
(9.28 )
Здесь (.ос1 .......... значение частоты среза, при котором время pery..
лирования не превысит заданноrо значения tp. Значение (OL1
определяют по HOMorpaMMe, изображенной на рис. 7.8. По задан..
ному значению о с помощью кривоЙ.. (J' (Pmax) HOMOrpaMMbl опре..
деляют соответствующее значение P ax' Затем по значеНИIО Ртах
с ПО 'ОЩЬЮ кривой tp (Pmax) определяют значение C1f/tp;. Эту вели-
404
LтдБ d, zpaB
70
Рис. 9.9. rрафи к для опре..
деления ординат :tLv кон..
TPoп"LHbIX точек" необходи"
Moro избытка фазы "mlп
20
50
зо
1й
1Р J 1;1
1,2
11'3
1,4
1,Б Ртах
чину прираВНliвают заданному значению tp и из полученноrо
равенства
(1)Cl === ел/tр с"'l. (9.29)
Правая часть неравенства (9.28) есть максимальное значение
частоты среза, допусти!\!ое при заданных значениях !vlаксимальноrо
ускорения и'тах реrулируемой координаты и начальноI"О рассоrла-
сования Хо:
(1)с2 == V штах/хо c l, (9.30)
Если оказывается, что (1)(;1 > (1)С2' то нужно выбирать roc ЮС2'
Иноrда /значения (йrnах И Ха не задаются, тоrда юс (1)сl'
Выбранное значение (ос наносят на rрафик (см. рис. 9.8).
2. Строят среднечастотную асимптоту. Ее проводят через
точку (1) с на ос абсцисс с наклоном ..........20 дБ/ дек. Меньший наклон'
трудно осуществить, а при большем наклоне трудно обеспечить
необходимый запас устойчивости.
3. Среднечастотную асимптоту сопряrают с низкочастотной'
так, чтобы в том интервале частот, в KOTOrOM
О L ж <! Lv' (9.31 )
иметь избыток фазы
'У 'УШIП'
(9.32 )
Сопряжение осуществляется асимптотой с наклоном 40 дБ/ дек
или 60 дБ/дек при v ==- 1, и асимптотой с наклоном 60 дБ/дек
при v == 2.
Значения Lv и 'Ymtn определяют с помощью HOMorpaMMbI
(рис. 9.9) по ранее найдеННОl\IУ значению Ртах. Удовлетворение'
неравенств (9.31) и (9.32) означает, что желае tой ЛАЧХ соответ-
ствует типовая вещественная частотная характеристика, у которой
I Р min I == Рrnах 1 и для которой составлены ранее использо-
ванные зависимости а (РmюJ и tp (Е rnах) (см. рис. 7.8).
Избыток фазы 'У == л + ф, rде Ф <' О, проверяют лишь при
той частоте (j)a (см. рис. 9.8), при которой ордината ЛАЧХ Lж ==
== Lv. Этой частоте может соответствовать точка сопряжения'
4051
асимптот или точка на одной из аСИ fПТОТ. Избыток фазы при
частоте (Оа МО}I{НО определить по приближенной формуле
'\'а ==: л vл/2 (mn/2 f (jJJ(jJa) + (!Л/2 t (jJJ(jJII) , (9.33)
t l { 1
rде (J)i сопряrающие частоты, lеньшие (йа; т и 1 число сопря..
rаюших частот, на которых наклон желаемой ЛАЧХ изменяется
соответственно на 20 или на т20 дБ/дек.
Для вычисления '\' можно использовать и друrие методы опре..
деления фазы по ЛА ЧХ (С:М. п. 5.4).
Если при выбранном СОПРЯ)l{еНИJI асимптот избыток фазы Уа
'"
в контрольнои точке оказывается меньше 1'mln' то сопряrающую
асимптоту следует С 1естить влево Н.НИ Уt\1еньшить ее наклон.
Если '\'а > Ymln' то сопряrающую асимптоту необходиrvfО сместить
вправо или увеличить ее наклон. .ТаКИ f обраЗОl\vf, нужное положе..
ине сопряrающей асимптоты отыскивается путем проб. Пр и ЭТО f
разность 'Уа i'mtn не должна превышать несколы(их rрадусов.
При сопряжении стремятся также к тому, чтобы желаемая
ЛА Ч Х ВОЗt\fОЖНО меньше отличалась от ЛА Ч Х неизменяеt\10Й части
системы.
4. Среднечастотную асимптоту сопряrают с , ысокочастотной
частью ЛАЧХ Lннеиз:меняемой части системы. При этом в интер-
вале частот, в котором
О Lж ..........Lv.
должно удовлетворяться неравенство (9.32).
Избыток фазЫ достаточно проверить лишь при той частоте Cl)б
(см. рис. 9.8), при которой ордината желаемой ЛА ЧХ равна Ly.
Можно пользоваться приближенной формулой
r
Л ffiб
'\' б =::::: n т q ер....... i'..J С;;;-'
{==1
u u
.rде qcP относительныи наклон среднечастотнои асимптоты; r ..........
число сопряrающих частот, которые рольше частоты среза.
Если при выбранном сопряжении избыток фазы i'б в контроль-
ной точке оказывается меньше Ymtn' то сопряrающую частоту сме..
щают вправо или уменьшают ее наклон. Если Уб > Утах, то
сопряrающую асимптоту необходимо сместить влево или увеличить
ее наклон. Таким образом, нужное положение сопряrающей
асимптоты также находят путем проб. Разность '\'6 'Ymtn не
должна превышать нескольких rрадусов.
При сопряжении опять следует стремиться к тому, чтобы Lж
возможно меньше отличалась от LH. Чем меньше различие между
формой этих ЛА ЧХ, тем проще необходимое корректирующее
устройство.
Уменьшить различие между формами Lж и LH' а иноrда и
построить желаемую ЛА ЧХ можно с помощью HOMorpaMM [72,
102]. .
(9.34)
(9.35)
406
HOMorpaMMbI для СИН- L
теза корректирующих УС-
тройств. Желаемая ЛА ЧХ
u
астатическои систе 1Ы ча-
сто состоит из четырех
асимптот (рис. 9.10): низ- о
кочастотной с наклоном
..........20 дЕ/дек, сопряrающей
с наклоном 40 или
60 дЕ/дек, среднеча..
стотной с наклоном
..........20 дЕ/дек и высокоча-
cToTHoй с наклоном 40 или 60 дЕ/дек. Изменение наклона
высокочастотной части ЛАЧХ при ординатах, меньших 26 дБ,
можно не принимать во внимание. Такие сопряrающие частоты
создаются постоянными времени, которые относятся к малым
параметрам и весьма слабо влияют на динамические :свойства
системы.
Таким образом, имеются четыре типа разомкнутой астатиче--
ской ЛА ЧХ (табл. 9.2). Каждая типовая ЛА ЧХ полностью опре..
ДeJIЯется четырьмя параметрами: передаточным коэффициентом
к разомкнутой пепи (добротностью по скорости) и сопряrающими
частотами:
qО(БО) дБ/дек
--2 О tJб/tJех
. .
Рис. 9.10. Типовая JJАЧХ
СОl == 1fT 1; (&)2 == 1/ I Н (()з == I/Т в.
Однако более удобно использовать совокупность следующих
параметров: ординату L1 ЛА ЧХ при сопряrающей частоте Юlt
частоты среза шс И относительные значения сопряrающих частот
т а б JI И Ц а 9.2
Типовые лоrарифмические 8мплитудно-частотные характеристики
Наклон асимптот, дБ/дек .
Тип низко- со- сред- высо- ПеРеА8точиая функnия
ЛАЧХ Ч8- пря- неча- к ОЧ 8 .
стот- rвю. стот- стот-
ной щей ной ной
1 20 40 20 40 w=== k("t + 1)
s (Т 1S + 1) (Т ЗS + 1 ) )
11 20 60 20 40 w== k ("t25 + 1)2
5 (Т 15 + 1) 2 (Т зS + 1)
111 20 40 20 60 w== k ("t2s + 1)
s (Т 15 + 1) (Т зs + 1) 2 \
lУ 20 60 20 БО w== k (1"25 + 1) 2
S (Т 1 S + 1) 2 (Т зs + 1) 2
401
rдеа === 2для JIАЧХ типа
41 w,/юс 1 и 1 1 1 и а == 3 дл я tП А Ч Х
типа 11 и lV.
Для типовых ЛА Ч Х составлены HOMorpaMMbI [118 J, которые
по перечисленным параметрам позволяют определить основные
характеристики замкнутой системы: время реrулирования tp,
м:аксимальное значение hrnax переходной характеристики, время
,достижения этоrо максимума, частоту колебаний переходной ха..
u
рактеристики, 1/Iаксимальное значение амплитудно..частотнои ха..
рактеристики и частоту, при которой достиrается этот мак..
симум.
HOMorpaMMbl [70, 74] дают зависимость этих характеристик от
Юl/Юс при L1 == 20; зо; 40; 60 и 80 дБ и нескольких значениях
Юз/(jJс (1,2,4,8 и 00 дЛЯ ЛАЧХ типа 1 и 11; 1,2,4 и 8 дЛЯ ЛАЧХ
типа 111; 2, 4, 8 дЛЯ ЛАЧХ типа lV).
На рис. 9.11
9.14 показаны взятые из этих HOMorpaMM rрафики
зависимостей hrna.x и Wr:tp от W1/Юс при юз/юс === 4 и L1 == 20; 30;
40; 60 и 80 дБ для каждоrо типа ЛАЧХ. .
Показатели качества 'системы: перереrулирование и время
реrулирования переходной характеристики, запас устойчивости по
фазе у и коэффициенты ошибки С1 и С2 можно определить с по..
мощью параметров Ll' юс' wl/юс и Wз(Юс типовых ЛАЧХ
(С!\1. табл. 9.2) по HOMorpaMMaM, приведенным в работах
[72, 102].
HOMorpaMMbI дают зависимость показателей качества замкнутой
системы от (iJl/Юс при L1 == 20; зо; 40; 50; 60; 70 и 80 дБ и ffiJ/Wc :=::
== 1; 2; 4 и 8.
HOMorpaMMbI MorYT быть использованы прежде Bcero для опре..
деления показателей качества САР с типовыми ЛА ЧХ разомкнутой
цепи. Некоторые ЛА ЧХ можно привести к типовым путем замены
двух близко расположенных сопряrающих частот W" и Ю
+1 одной @i
(рис. 9.15).
Замена
отличаются
-основании
hтax I
1/1
112
1,0
'.J
:/
L,.oo"'" /' ",'" /' ./
'rf r
1"" ...""
",.
Iooo
,
8006 . 6046
Oд6 зоаб 2006
шс tp
10
80 д6 6005 1fOiJ5 JОдБ 20дБ
8
. . I I
J / 11 J I I
"'
I f
, \. ,.........' 1
t
, I \
,
J
1
, i\....... t L
;
" iJ I
I J
'fi.
I I
1
I
,
1
6
'"
2 0,001 \
0,01
Рис. 9.11. rрафик 1 зависимости
hrnax и fJ)ctp IJT Ю1/00с AJHI CJICTe..
мы с ЛАЧХ типа 1
(jJl/(jJc И юз/юс' При этом
сопряrающая частота Ю2
определяется соотноше..
нием
(а
1) 19 (02 == L1 +
(ос 20
r
+al
g (ос '
(8.36)
допустима, если ординаты упрощенной ЛАЧХ
от ординат исходной не более чем на 2 дБ. На этом
следующие передаточные функции MorYT быть
408
Рис.': 9.] 2.
rрафи к зависи..
МОс:Ти..лпlaх..... и roetp от ю1/юс
AJlя
системы с ЛАЧХтнпзн
Рис. 9. ]3. rрафик 3G.IJИСИ"
мости Ьтах и roctp от ro1/roс
дпя системы с ЛАЧХТt.rrа 111
hm
1,8
1,6
1,11-
1,2
1,0
lAJcJp
12
10
8
6
4
2
0,001
ах
J
11
J
I
I
J J ) 't
/ I 7 I
I 1/ / 1/
/ / 1..- / /
1 ,;f
, v /
1) I
j
8066 6065 40i5JОд6 20'06
'-
80д6 60д6 40д5 JОдБ 2065
J J " ..
/ IJ, r\ \ 1
/ J 't \ '
/ / J \ \
v
11 ) \
V 1I I
-'\.... /"' "--
7 J
rv /
И'-II'
r "'-
IJ
j
"-'" -11
0,01
fNl/IA!
'
0,1
hтax
1,8
1,5
1, '"
2
'1 I J
'f I , 1
I
11 / )
'/ /
/ 17
k' < /'"
/
\ \ \
,,,".
. . 20;} 6
8065 60д5 '1015 30 iJ 6
O
t.Uc. tp
12
10
8
6
'1
2
О
OOl
60.45 #0 и5 3045 204&
8006
\ . .
l' , 1
1..... )
, IJ , J
I \. J I "" ,
I
"'1' "
.., 'В"" L/
J /
V
1 I 111 I
I I 1
0,01
1
, /lAJc:-
40
А
I \' J it ! !
}
I
I 1/ J J ,
""""""1 I ,
.1
I J 1"
I 1/ 7
J
j
V J / [l IJ
i , :J J I
/ / [
/ If
V
if' ./ /
7 ".,.
j I I ' , """ 1
птах
2..2
2,0
e
1,6
Ij
1,2
1,0
80д6 6045 4086 3045 2005
6
Рнс. 9.14. rрафиlt зависи-
мости Ьтах и (i)ctp от OJ1!Шс
для системы с ПА чх типа IV
Ц)с.
fZ
10
8
6
4.
20,001
tp 80,6 604{ '101j JO..16 2р4
"- " 1\. ,
1\
"- " 'f \
"- J
I I
. j , 17
i= \ 11 I), J
"-
"
.-
'/ J
,,
"
I ,.-
i/
r 1
0,01
0,1
(.U,/wc
заменены упрощенными, соответствующими типовым ЛА ЧХ:
w == k (1' з5 + 1) (т 4S + 1)
5 (Т 15 + 1) (Т 25 + 1) (Т 55 + 1)
k (Т25 + 1 )2
.,..,..,
...... ,
5 (Т 15 + 1) 2 (Т з5 + 1)
(9.37)
rде Т1 > Т'?- > Lз > 'Т4 > Т5; 7\
V Т1Т2; ;;2
V' LЗL4.;
ТЗ == Та;
w == k(1'25+ 1)
S(T15+ 1)(Tss+ 1)(T4s+ 1)
L
k (Т25 + 1)
...... 1'"01 ,
5 (Т 15 + 1) (Т з5 + 1) 2
(9.38 )
L
ц)
410
,,'не. 9.15. Прt\wеры замены АВУХ блиsко раСПО.llо.еиных сопряrа ющнх частот ОАиоА
'"
rде Т1 > T
> Тз> Т4; ТI === T1;
W
k (т з5 + 1) ('t4s + 1)
s (Т 1 S + 1) (Т 2S + 1) (Т б S + 1) (Т 6 S + 1)
Т2 == Т2; ТЗ
i/
ТзТ4;
k (-t2s + 1)2
.......... "'" "'" ,
s (Т 1
])2 (Т зS + 1)2
(9.39)
rде Т1 > Т2> 17Я > 174 > То> Т6; ТI
VT1T2;
T
=== V 17з't4; Тз === VT&T6.
HOMorpaMMbI можно использовать и в тех случаях, коrда вместо
двух апериодических звеньев с одинаковыми постоянными времени
имеется одно колебательное с достаточно большим коэффициентом
демпфирования
. Ошибка тем меньше, чем меньше отличие
01
единицы. HOMorpaMMbI используют также для приближенноrо
определения покаЗ8телей качества tp и fJ статических систем и
систем с астатизмом BToporo порядка. Это допустимо, если ЛА ЧХ
разомкнутой цепи такой системы совпадает с типовой ЛА ЧХ
в диапазоне частот, в котором I L ,
30 дБ. При этом по HOMO
rpaMMaM будут получены для статических систем несколько завы
шенные, а для систем с астатизмом BToporo порядка несколько
заниженные значения перереrулирования и времени реrулиро
вания.
HOMorpaMMbI успешно используют и при синтезе САР дл
построения желаемой ЛА ЧХ (см. пример 9.5). С помощью номо"
rpaMM можно также несколько уменьшить отличие жалаемой
ЛАЧХ, построенной по В. В. Солодовни ков у, ОТ ЛАЧХ неизме
няемой части системы [72, ) 02 J.
Построение желаемом ЛАЧХ по Е. А. Санковскому
r. r. Си--
raJJOBY [101 90]. Для синтеза САР можно рассматривать девять-
типов ЛА ЧХ разомкнутой системы. Формы типовых асимптотиче-
ских ЛА ЧХ и соответствующие им передаточные функции пр иве..
девы в табл. 9.3. Там же указана связь частоты среза юс с переда..
точным коэффициентом k разомкнутой системы и сопряrающимw
частотами.
При выборе типа ЛАЧХ рекомендуется исходить из следующих:.
соображений:
а) выбирать ЛА ЧХ типа 1 или 2, если задающее воздействие-
изменяется с большим ускорением, а уровень помех мал;
б) выбирать ЛА Ч Х типа 3, 4 или 5, если ускорение задающеrо
воздействия невелико, но высокий уровень помех;
в) при больших ускорениях и высоком уровне помех выбирают.
ЛАЧХ типа 6,
7, 8 или 9.
Исходными данными для расчета желаемой ЛА Ч Х MorYT быть
следующие показатели: максимальные значения скорости и уско...
рения задающеrо воздействия gmax И Йmах; допустимая ошибка
в установившемся режиме
; допустимые значения F1еререrулиро..
вания и времени реrулирования fJ и tp и запас устойчивости по.,
фазе у. Расчет мо)кно вести и в том случае, коrда задающее воздей...
ствие и помеха являются случайными функциями времени.
4114
Таблица .3
ТИПОВlfе лоrарифмические амплитудно-частотные
характеристики по Е. А. Санковскому r. r. Сиrалову
Час- I
Тип Передаточна я ФУНКIlИЯ W Асимптотическая ЛАЧ Х тата
ЛАЧХ среза
! {ос
L
О
k kШ1
(Т 1 S + 1) (Т эS + 1) о
40a5/aeK
L
0 k k
8 (Т 1 S + 1) (Т зS + 1) /}
---60Н6/Век
L О
k ('"'28 + 1) ....40R6/0еК koo2
3 ....'l.086/lei Ы.1 1
(T1s + 1)2 (Тз8 + 1) g
.Ы, ЫС W 002
... +066/0ел
4
k (,",2S + 1)
8 (Т 1 S + 1) (Т з5 + 1)
g
(J
kOOl
Ш2
L
(J
k
5
k (т 25 + 1)
82 (Т 88 + 1)
о
002
6
k (т 28 + 1) 2
(Т 18 + 1)3 (Т э5 .. 1)
L ·
D .
...еОlб/lек
Q I .... 20!5/Век · {J
kООЗ
1
ш2
2
7
k (т 25 + 1) 2
8 (Т 1 S + 1) 2 (Т 3!' + 1)
L 2005/aeK
БОаБ/8ек
I 20iJБ/iJек
о
koo2
1
002
2
.412
Про Д о л ){( е н и е т а б л. 9.3
I
Час
Тип I Передаточна $1 функция \r' Асимптотическая ЛАЧХ тота
ЛАЧХ срез а
I (йс
I L IJ-ОiJ5/tJек
I k (т 2S 1) 2 БОQ5/Dек k001
8 52 (Т 15 - r 1) (Т э5 + 1) о .... 208б/iJек 002
Ы! ы, ЫС 2
L
9
k (t25 +- 1)2
58 (Т з5 + 1)
о
GJ
k
(й2
2
Предположим, что выбран тип ЛА ЧХ и по требованиям к ста-
TичecKoй точности определены параметры ее низкочастотной часТи.
Тоrда остальную часть желаемой ЛА ЧХ следует построить так,
чтобы удовлетворить требования к качеству переходной xapaKTe
ристики и запасу устойчивости. При этом MorYT быть использованы
данные табл. 9.3 и следующие соотношения:
tp ::== с/юс и (J == 73() O, (9.40)
rде с==:9 при "У == 300; с === 8 при "У === 450 и с == 7 при "У 600.
Формулы дают поrрешность не более 0,05 0, 1 при 600 >
> "У > 300 [ 1 О 1 ].
Кроме Toro, при расчете MorYT быть использованы соотношения
(02 а
(йс 2 (1 1)
n
И <Ос Ti == .
i==3
(9.41)
I де l == 2 и 3 при наклоне сопряrающей асимптоты соответственно
40 и 50 дБ/дек; а == л/2 "У. .
Значение а (в рад) определено в предположении, что U>cTi « 1,
i == 3, 4, . .. и » 1.
(йl
I При наклоне сопряrающей асимптоты 20 дБ/дек можно
выбрать
n
п'
Юс == (01 И (.1) С Т i === 41 ........ ".
i==3
Построение желаемой ЛАЧХ изложенным методом выполнено
в примере 9.6.
(9.42)
413
fJ
(, 2ро.Ь
I
50
50
'10
30
20 JO '10 j G; О/О 20 JO
а)
m
O,
о
'10. G; o/fJ
Ь)
Ко
2
Рис. 9.16. rрафИkИ приБJlижен-
ных методов построения желае-
моА ЛАЧХ
.3
1
о
10 20 30 6, о/о
8)
Упрощенное построение желаемой ЛАЧХ. Изложенные ранее
методы построения желаемой ЛА ЧХ содержат некоторые допу..
щения. Например, метод В. В. Солодовникова предполаrает, что
вещественная частотная характеристика замкнутой САР будет иметь
типовую форму t показанную на рис. 7.7. Кроме Toro, rрафические
этапы расчета вносят неизбежные неточности. Поэтому расчет,
чаще Bcero, дает лишь приближенные значения параметров pery..
лятора. Однако они уточняются .при испытании ero макета. Ука..
занные обстоятельства позволили предложить ряд упрощенных
методов построения желаемой ЛА ЧХ.
Например, рекомендуется [16] выбирать частоту среза желае..
мой ЛАЧХ по HOMorpaMMe рис. 7.8, строить среднечастотную
асимптоту с наклоном .........20 дБ/дек и оrраничивать ее слева и
справа соответственно частотами 0)2 == а2(1)с и о)з == азо)с. Обычно
принимают аз == 2 +4 и значение 0)2 выбирают по рис. 9.16, а.
После сопряжения среднечастотной и низкочастотной асимптот
проверяют избыток фазы при частоте (&)2' Он должен составлять
не менее 400. Затем по приближенной формуле (9.33) проверяют
избыток фазы на участке от 002 до ЮС' Он должен соответствовать
зависимости, показанной на рис. 9.16, б. После этоrо по формуле
(9.35) проверяют избыток фазы при частоте ЮЗ в предположеНИИt
что от этой частоты наклон асимптоты 40 дБ/дек до частоты
004 === (6 +8) Юс. Далее идет высокочастотная часть, влияние кото..
u
рои не учитывают.
Рекомендуется [35] иметь.наклон среднечастотной асимптоты
.........20 дБ/дек, а частоту среза и чаСТОТЫt оrраничивающие
414 .
среднечастотную асимптоту,
выбирать по соотношениям
юс kо'Л/tр;
(й2 ю /юз И Ш3 (2 + 4) о)с,
(9.43)
rде коэффициент ko должен быть выбран по rрафику, приведенному
на рис. 9.16,8.
Если ЛАЧХ разомкнутой САР типа 1 (см. табл. 9.2), то для
выбора ее параметров имеются следующие рекомендации [74].
Перереrулирование не должно превышать 20 30% при удовлетво-
рении неравенств
(оз 1 о; 2 < (оз < 4.
(02 (ОС
(9.44)
При этом время реrулирования с достаточной точностью оп ре-
u
деляется частотои среза:
tp == 'Л/Юс.
(9.45)
Следовательно, заданное значение передаточноrо коэффициента
k разомкнутой системы определяет поло ение низкочастотной
асимптоты, а значение шс положение среднечастотной асимп-
тоты. Остается выбрать частоты (1)2 и CUЗ так, чтобы удовлетворялись
неравенства (9.44). (
При упрощенном построении желаемой ЛАЧХ предусматри-
вают использование соотношений, указывающих допустимые пре-
делы Toro или иноrо параметра. Поэтому целесообразно одновре-
менно рассмотреть два три варианта и выбрать тот, который обес-
печит наиболее приемлемые значения показателей качества при
наиболее простом корректирующем устройстве.
Перечисленные рекомендal.{ИИ для построения желаемой
ЛАЧХ весьма удобно использовать при предварительном р\счете.
Выбор корректирующеrо устройства. После построения ЛА ЧХ
Lи неизменяемой части системы и желаемой ЛАЧХ Lж можно
определить их разность (9.27), т. е. ЛАЧХ Lи последовательноrо
корректирующеrо устройства. Это удобно сделать rрафически:
при каждой из сопряrающих частот характеристик LH и Lж
вычислить разность их ординат, полученI1ыIe точки нанести на
rрафик (рис. 9.17) и соединить отрезками прямых.
На основании ЛАЧХ LRl составляют передаточную функцию
WИ1 необходимоrо последовательноrо корректирующеrо устрой-
ства.
Каждой сопряrающей частоте (r)i, при которой наклон ЛА ЧХ
LИ1 :увеличивается на v20 дБ/дек, соответствует множитель
( , s + 1) '\> В знаменателе W ИР Если при сопряrающей частоте
{i)J наклон ЛА Ч Х LRl уменьшается на +'У}20 дБ/дек, то ей соответ-
. 1
СТВУет множитель (ОО} S + 1) 11 В tfислителе W"I.
415
L
о
w
50a5/OCI(
Рис. 9.17. Определение ЛА Ч Х последовательноrо корреКТJlр30 ющеrо устройства
Например, ЛАЧХ LHl' изображенной на рис. 9.17, соответствует передаточ
ная функция
W kK (1"25 + 1)1 (1"з5 + 1) (1"45 + 1)
Кl (T1s + 1)2 (Т 55 + 1)2 ,
rде Т 1 == 1/001; 'Т2 + 1/002; 1"3 == 1/(0з; 1"4 :::::: 1/004; т 5 === 1/005'
Иноrда желаемую ЛА ЧХ не строят, а определяют ее параметры,
по которым можно составить желаемую передаточную функцию
WiH разомкнутой САР. Тоrда
WH1 === W ж/wн. (9.46)
Затем решают вопрос о том, какое корректирующее устройство
целесообразно выполнить. Выбирают участки для включения
параллельноrо и прямоrо параллельноrо корректирующих уст-
ройств и по формулам (8.28) и (8.29) определяют необходимые
значения W"2 и wнз. Анализируя общие свойства последователь
Horo, параллельноrо и прямоrо параллельноrо корректирующих
устройств и слЬжность передаточных функций WH1t WF2 И Wнз,
можно выбрать одно из них. В сложной системе может оказаться
целесообразным или даже необходимым введение двух корреКТИе
РУICщих устrойств. Для определения их передаточных функций
следует рсслользоваться формулами (8.30) (8.32).
При рыбере типа корректирующеrо устройства необходимо
принимать во внимание, из каких элементов оно может быть вы-
полнено. Весьма часто используют пассивные и активные четырех-
полюсники лостоянноrо тока, а также дифференцирующие транс..
форматоры и TaxoreHepaTopbI (см. п. 8.6).
В простейшем случае .схему пассивноrо четырехполюсника
постоянноrо тока с необходимой передаточной функцией удается
подобрать по табл. 8.2. Если необходимо соединить последова.
тельно два четырехполюсника из числа указанных в табл. 8.2,
то между ними необходим разделительный усилитель.
416
Схему четыреХПОJ1юсника ПОСТОЯНIlоrо тока, реализующеrо
сложную передаточную функцию, можно определить методами,
изложенными в приложении 4. Там же даны методы определения
схемы двухполюсника по заданной передаточной функции. Выбор
двухполюсников необходим пlJи выполнении корректирующеrо
устройства в виде активноrо четырехполюсника постоянноrо тока.
После выбора схемы четырехполюсника определяют параметры
ero элементов. При этом необходимо учитывать входное сопро
тивление последующеrо элемента. Если число соотношений для
определения параметров элементов меныпе числа этих параметров,
то можно удовлетворить дополнительное требование (или требова-
ния). Например, иметь конденсаторы минимальной емкоетн.
11e следует предусматривать пассивный четырехполюl'ННК
с. передаТОЧНЫ 1 коэффициентом меныне O,()5 O, 1. Н е следует
также в одной схеме иметь сопротивления (или емкости), ПR ДBa
три порядка отличающиеся одно от друrоrо.
Заключительные этапы синтеза. пасси13ныIe четырехпо с
ники уменьшают общий передаточный коэффициент цепи. Поэтому
после их выбора следует окончательно определить необходимое
значение передаточноrо коэффициента усилителя.
В заключение должно быть проверено удовлетворение требова
ний, на основании которых осуществлялся синтез САР. Для про..
верки показателей качества необходимо построить переХОДНУIО
характеристику методами, изложенными в rл. 4, или определить
ее на электронной модели (см. п. 3.4). Еще более точной будет
переходная характеристика, получаемая при сочетании электрон-
ной модели реrулятора с объектом реrулирования и исполнитель..
ным элементом.
..
Пример 9.5. Передаточная функция неизменяемой части САР
w ЗА
н s (0,25s + [) (0,25+ 1).
Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее при передаточном
коэффициенте разомкнутой системы k ;:. 1 00 C l слеДУJощие показатели качества:
о 25% и tp 0,2 с.
Коэффициенты 0,25 и 0,2, являющиеся постоянными времени неизменяемой
части системы, мало отличаются одна от друrой, поэтому ее передаточную функ
цию можно заменить упрощенной:
w 30
5 (Т 15 + 1 )2 ,
rде Т 1 == V 0,25.0,2 == 0,224 с.
в качестве желаемой примем ЛА ЧХ типа IV (см. табл. 9.2). Тоrда потребуется
корректирующее устройство с передаточной функцией
Wи == ('t25 + 1)2/(Тзs + l) ,
реализация которой не вызовет затруднений.
14 Макаров и. М.
417
L,дБ
5О
I
2О
I
I
I
I
I I
:
(О, {O 10
ltL
1
I ЩС
I
I
зо .j.....
I
I
I
I
I
10
о
10
O .
30
Рис. 9.18. 1I0 I po tНle ЖСJl3СМОi'l JI А '1 Х прн k ;;. I ОО c J, О' 2G % и t р -...-.., 0.2 с
Для построения желаемой ЛА ЧХ воспользуемся номоrраммой, изображенной
на рис. 9.14. По этой HOMorpaMMe при (f)зl(f)с == 4; L1 == 20 дБ и hшах === 1,25
имеем Ы1/ыс == 0,255 и (j)ctp == 4,8. Следовательно,
1
Ы1 т; == 4,46 c--1;
4,8 О 2
и t р == 17,5 == , 7 с.
Ы1
ЫС =:::: 0,255 == 17,5 с
Время реrулирования болыuе допустимоrо. Принимаем L1 === 30 дЕ. Тоrда
по HOMorpaMMe имеем (j)l/(j)c == 0,125 и (f)ctp == 5,9. Вычисляем
4,46 35 7 1
())с == 0,125 === , с
и tp == з55 7 == 0,17 с.
Время реrулирования не превышает допустимоrо и близко к нему. Поэтому
принимаем, что желаемая ЛА ЧХ типа IV имеет следующие параметры: L 1 ==
== 30 дЕ; ())1 == 4,46 c l; ())с == 35,7 с--1 и (j)з::::= 4 ())с === 143 c l. Она построена
на рис. 9.18. По точке пересечения среднечастотной и сопряrающей асимптот опре
· ()) 143
деляем: ())2 == 8,9 с 1. Отношение === 8 9 == 16 свидетельствует о вполне
())2 ,
достаточной протяженности среднечастотной аСИмптоты. Проверка значения а
по формуле (9.36) дает следующий результат: а == 2,99, т. е. а имеет значение, соот-
веТСТВУl0щее ЛА ЧХ типа IV. Ордината низкочастотной асимптоты при (i) == 1 c 1
равна 43 дБ. Следовательно, 19 k 2,15 и k == 141 с--1, что удовлетворяет Tpe
бованиям.
Итак, построена желаемая ЛА ЧХ, которая удовлетворяет всем требованиям.
Составим по ней передаточную функцию, учитывая, что сопряrающая частота ())l
заменяет две действительные сопряrаюп ие частоты:
w iН :::::
141 ( s + I у
( 1 )2
S (0,25s r 1) (0,2s t 1) 143 s I 1
_ 141 (О, 112s + 1) 2
. - s (0,25s + 1) (0,2s r 1) (0,007s + 1)2.
418
Рис, 9.1 Н. 11 ос l'роеlfИС жеJlа моli '/,,1I/i
J7 Л ч х tlри о' 25 % и tp < 0.4 с
Определим далее переда..
точную функцию необходимоrо
последовательноrо корректи"
рующеrо устройства:
Wж
W' Кl ==
Wи
47(0,1128+ 1)2
(0,0078 + 1)2
Эта передаточная функции
может быть реализована ДDУМЯ
дифференцирующими четырехполюсниками, Dыполненными, например, по схеме
поз. 5 табл. 8.2, и разделительным усилителем. После выбора параметров эле..
ментов этих четырехполюсников необходимо определить передаточный коэффи"
циент усилителя.
Переходная характеристика САР с выбранным корректирующим устройством
имеет слеДУJощие ПОl<азатели качества: (J ==: 25,8% и tp:== 0,166 с. Требования,
на основании которых осущеСТD/IЯЛСЯ синтез, удовлетворены с достаточной точ"
НаСТЕ- ... .\
р g 16 ,J Передаточная функция неизменяемоЙ части САР, состоящеЙ
из ьекта реrулирования, исполнительноrо элемента' и усилителя,
50
W н === 5 (0,258 + 1) (0,0055 + 1)
Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее следующие пока
зате.,'IИ качества: (J -<= 25% и tp -< 0,4 с. Система будет функционировать при
медленно изменяющемся задающем воздействии с высоким уровнем помех.
В соответствии с рекомендациями Е. А. CaHKoBCKoro r. r. Сиrалова желае..
мую ЛА ЧХ будем строить по схеме поз. 4 табл. 9.3. Определим прежде Bcero
необходимое значение запаса устойчивости по фазе, пользуясь формулой (9.40):
у == 73 (J == 480. Теперь можно определить частоту среза, принимая с == 8:
с 8
(о с === ............. :=::: ............... == 2 О с 1 .
tp 0,4
Примем, что сопряrающую частоту (01 создает постоянная времени 0,25 с,
и по соотношению из табл. 9.3 определим:
1 "'1. k(O 1 50. 4
(01 0,25 4 с, (()2 (ОС 20 ,10 c 1.
[]
1fNiJЬ!дек
иJ2 20tЗЬ/оек
10 сие
.
Вычислим постоянную а и прнмем, что сопряrающую частоту (0-1 создает
постоянная времени 0,005 снеизменяемоЙ частыо системы:
n n 48 1
а == "'"2 у === т 57,3 == 0,733: (04 :=:: 0,005 == 200 c 1.
Теперь по формуле (9.41) можем определить сопряrающую частоту (оз:
1 а 1 0,733 1
(()з == 2(Ос (()4. == 2.20 200 ==0,0133;
1
(() == 75,2 c"'l.
з == 0,0133
Для проверки расчета составим левую и правую части равенства (9.41):
(()2 == == 0,5; а 0,733 0,367.
(ос 20 2 (1 1) 2 (2 ] )
14.
41 (,
Л\UiКНО ПОЛ(!I'ать, Jl.TO асчет ВЫП() /Iнеfl правильно. Ilостроим желаемую
JIЛ Ч Х (plIC. 9.19) И составим но неЙ пеt){ Дct ['очную функцию
k(*S+I)
W ж S ( ! S + I ) ( 3 S + 1) ( 4 S + 1)
50 (О, 1 s + 1)
s (0,25s + 1) (0,0133s + 1) (0,005s + 1) ·
Следовательно, необходимо последовательное корректирующее устройстпо
с передаточной функцией
W WЖ O,(s+ 1
Ki == Wп 0,0133s + 1 ·
Переходная характеристика корректированной системы имеет следующие
покаэатепи качества а == 18% и tp == 0,258 с. Требования, на основании которых
осуществлялся синтез САР, удовлетворены.
9.5. СИНТЕЗ НА ОСНОВЕ ЧАСТОТНЫХ КРИТЕРИЕВ
КА Ч ЕСТВА
Применение данноrо метода [8, 10] обусловлено Te f, что
построение желаемой ЛА ЧХ значительно упрощается, если каче
ство реrулирования оценивать не по переходной характеристике
САР, а непосредственно по ее частотным свойствам.
САР достаточно полно оценивают точностью в типовых режи-
мах, быстродействием и запасом устойчивости. Если точность
оценивать по воспроизведению rармоническоrо воздействия, то
одновременно по частоте этоrо воздействия можно оценить и
быстродействие. Таким образом, критерий точности и критерий
быстродействия сливаются в один динамический критерий точ-
ности.
Дина fическая точность САР определяет расположение низко..
частотной части желаемой ЛАЧХ (см. п. 9.1).
Удобным частотным критерием, оценивающим запас устойчи-
вости, является показатель колебательности М (см. п. 7.5). Он
характеризует склонность системы к колебаниям и, следовательно,
ее удаление от rраницы устойчивости. Чем меньше М, тем больше
удаление от rраницы устойчивости ---- тем больше запас устой-
чивости.
Показатель колебательности астатической системы равен макси-
u
мальному значению ее амплитудно частотнои характеристики
максимальному значению модуля ее частотной передаточной
функции. Показатель колебательности статической системы есть
отношение максимальноrо значения амплитудно..частотной ха рак..
теристики к ее начальному значению. В статических следящих
системах часто для исключения статической ошибки выбирают
коэффициент обратной связи (см. п.8.1) k(l' == (kп 1)/kn, rде
kи ---- передаточный коэффициент прямой цепи системы. Тоrда
начальное значение А ЧХ равно единице. Если в статической
-120
о
L
...'10 дб / rJ е х ;,
I ос;
I
I
20дб/дек
l'
'J
.,
I
I 1
I
Т2 О
W
LfОдБ/дек
...чоt1б/дех
I
I 1
I ,,1 ...20д{/Оех 12.
Ша VJf,f (,.uC I
: L{ОдБ/t1ек/ I
I
I 60 iJб/iJек /'
I
I
IWM
I
I
I
I.JO
,
1.:
tJ!;;.
с.)
't..з
с)
s::
а)
><
.... ..........
.Q:;j
t:::;::x::
t:jQ,)
,
; .Q Q..)
;
/t.J
/ t:s )ос;:
/
t::)
.
UJ
tf, ерао
О
Рис. 9.20. Типовые JJ Ч Х ра..
зомкнутых систем с астатиз..
мом BToporo порядка
180
системе единичная обратная связь, то начальное значение А ЧХ
равно k/(l + ko). В подавляющем БОЛЫl1lIнстве случаев передаточ
ный коэффициент разомкнутой системы k » 1, поэтому и начальное
значение А ЧХ lvl0ЖНО считать равным единице.
В хорошо деl\1пфированных системах с весьма малым перереrу..
лированием переходной характеристики показатель колебатель..
ности М == 1, 1 + 1,3. Обычно достаточно иметь М == 1,3 + 1,5.
В ряде случаев допускается М == 1,6 + 1 ,8.
Необходимым и достаточным условие 1 Toro, что показатель
колебательности устойчивоЙ системы будет не больше заданноrо,
является расположение амплитудно..фазовой (см. pIrC. 7.14) или
лоrаРИфl\1ической фазовой (см. рис. 7.15) характеристики вне
запретной зоны. В минимально..фазовой системе это условие может
быть выдержано соответствующим построением ЛА чх.
Рассмотрим принципы построения типовых ЛА ЧХ при задан..
ном значении показателя колебательности и порядок построения
желаемоЙ ЛА ЧХ при синтезе САР данным меТОДО11 [8, 10].
Система с астатизмом BToporo порядка. Простейшая симме..
тричная ЛА ЧХ разомкнутой цепи такой системы показана на
рис. 9.20, а. Ей соответствует передаточная функция
W k ('ts + 1)
== 52 (Т 25 + 1) J
rде k передаточный коэ4фициент (добротность 110 ускореНIiЮ).
ПОЛО}l(енне JIA Ч Х мо)кет быть задано значением баЗОЕОй ча..
с то ты ШО, llрИ I\ОТОрUИ продолжение низкочастотнои асимптоты
пересекает ось абсцисс, н протяженностью Il второй асимптоты,
uпределяеf\1UЙ uтнuшением ЧаС['QТ ее конечных точек:
(9.47)
(йи == /.k;
' === Т/Т 2.
(9.48)
llJl
NlаКСlJмальныii lI;БыIокK фазы Нмеет место при частоте (ОМ:
h 1 1
Ушах с== arctg V ; Шм ==: V · (9.49)
2 h Т2 h
При оптимальном соотношении параметров при совпадении
максимальноrо избытка фазы с максимумом запретной зоны
(рис. 9.20, б) имеем
М+I h+I
IL M I и M==h l. (9.50)
Эти формулы определяют минимальное значение, какое может
иметь показатель колебательности при заданном значении h,
и минимаЛЬНУIО протяженность h, какую должна иметь асимптота
с наклоном 20 дБ/ дек для обеспечения заданноrо значения М.
Чем меньше h, тем леrче физически реализовать ЛА Ч х.
Постоянные времени передаточной функции (9.47) разомкнутой
САР, при которых показатель колебательности замкнутой САР
имеет заданное значение, находят по формулам
1 V М · Т VM(M l) (9.51)
l' (00 М 1 ' 2 == 000 (М + 1) ·
Положение ЛА ЧХ (см. рис. 9.20) можно фиксировать не базо..
вой частотой (йо, а частотой среза (йс. Тоrда для определения по
стоянных l' И Т2 по заданному значению М следует пользоваться
соотношениями
М М
l' ooc(M 1); Т2 (Ос(М+ 1) (9.52)
Если неравенства (9.52) удовлетворяются, то показатель коле..
бательности меньше заданноrо значения М. Создается некоторый
дополнительный запас устоЙчивости. Такой же эффект имеет
место, если постоянная времени Т2 меньше значения, определяе..
loro равенством (9.51). Увеличивать постоянную l' по сравнению со
значением, определяемым равенством (9.51), не следует. Это в не..
которых случаях может уменьшить запас устойчивости.
В более общем случае система с астатизмом BToporo порядка
может иметь несколько апериодических звеньев, колебательное
звено и звенья чистоrо (постоянноrо) запаздывания. Тоrда пере-
даточная функция ее разомкнутой цепи
w k(Ts+I)e e. (953)
52 (Т 25 + ) (Т зs + 1) . · . (Т 252 + 2 т 5 + 1) , .
и для получения заданноrо значения показателя колебательности
в формулы (9.51) или (9.52) вместо Т2 нужно подставлять
r т =:=; Т2 Ts + · · · + е + 2 T, (9.54)
, ;-
т. е. вместо постоянной времени Т2 следует рассматривать сумму
всех постоянных времени апериодических звеньев (включая ма.дые
постоянные), а также СУМ1\'lарное время чистоrо запаз,ДываЦИfl 61
42
чтобы не появилось птороЙ
зап ретной зоны в районе ника р НС. 9.21. :Jаписимость IJсрсреrу,nировзиии (r
,ПА Ч Х, создаваемоrо колеба н tнноситеЛЫIOI't времени рсrулироваllИII (')о! l'
Пlстемы с uстзтизмом BToporo порядка от 110-
тельным звеном. К I:Jателя КОJlебатеЛЬНО,I.. М
Расчетные СООТНОIпения
для системы, содержащей колебательное звено с болыпой IIОСТОЯII
ной времени или неустойчивое звено, приведены в работе [8j.
Если система имеет ЛА ЧХ разомкнутой цепи, изображенную
на рис. 9.20, а, и показатель колебательности минимален опре
деляется равенством (9.50), то переходные процессы в системе
в некотором смысле оптимальны. Переходная характеристика
приближается к экспоненте с постоянной времени Тэ == 2.
(йо
Чем больше h, тем меньше М и тем лучше переходные процессы.
Зависимость показателей качества переходной характеристики:
перереrулирования (J' и относительноrо времени реrулирования
<Ootp от значения М показаны на рис. 9.21. Эти заВl!СИМОСТИ спра
ведливы и для систем, у которых.. ЛА ЧХ разомкнутой цепи имеет
форму, показанную на рис. 9.20, б, если среднечастотная асимптота
имеет достаточную протяженность по обе стороны от частоты среза.
Построение желаемой ЛА ЧХ при синтезе системы с астатизм6м
BToporo порядка начинают с нанесения низкочастотной асимптоты.
При этом должны быть удовлетворены требования к точности (см.
п. 9.1). Для де1\1нфирования системы низкочастотную асимптоту
следует располаrать возможно левее: она должна проходить через
контрольную точку В с координатами [(1)1" LH], значения которых
определяют по формулам (9.9) и (9.1 J). Низкочастотная асимптота
сливается в этом случае с правой rраницей запретной зоны (см.
рис. 9.2, б), и базовая частота
При налични коле(jзт('ль
Horo звена, у KOToporo по
стоянная времени Т« l/шо,
в сумму (9.54) включают еще
2 T и, кроме Toro, должно
удовлетворяться неравенство
I w иl/Т) 1< м: 1
(9.55)
<00 === V g шах/В ·
G, О/О
50
и; о t р
' I 1 О
(5 9
8
7
6
20
5
4
J
' ... ?
lЬ' 17 М
1 "1
)
-ю,!
t
1,'1 .
1,!)
1,2
7,3
(9 !)6)
Затем наносят среднечастотную асимптоту с наКЛОНОl\1
20 дБ/дек между сопряrающими частотами 1/1' и I/Т2. О пыборе
постоянных т и Т2 было сказано ранее.
Высокочастотная часть желаемой ЛА ЧХ строят в соответствии
с тем, какие звенья неизменяемой части системы учтены при
выборе постоянной Т2.
423
Пример 9.7. Нен:зменяемая часть следящей системы, СОСТОЯII ая из объекта
реrулирования и исполнительноrо элемента, описывается передаточноЙ функцией
8
W н S2 (О, I s + 1»0,0 25s + 1) ·
Выбрать корректирующее устройство, обеспечивающее следующие показа..
тела качества: установившуюся ошибку 0,05 rрад при изменении задающеrо
воздействия с максимальной скоростью Йmах:::::::::: 12 rрад/с и максимальным YCK()
рением g mах == 4 rрад/с2; перереrулирование a 30% и время реrулирования
tp 0,75 с.
По формулам (9.11) определим ко()рдинаты контрольной т()чки В, оrраНИЧJf
ваЮlцей желаемую ЛАЧХ снизу:
i1 шах О r) i) 3 . ;L .
(III{ =-- == ,l.k)1. С ,
g шах
()
I . ()() I g;'HtX r:.") Б
. к ... g ." ,) I ' " Д . .
gmax
IIаходнм необходимое значение передаТОЧНОI'О К(Jэффициента разомкнутой
системы и базовую частоту, пользуясь формула 1И COOTRe'iCTBeHТlO (9.12) и (9.48):
k == iiшзх :::::::= 80 C 2., Vk 8 94 1
(00 , с.
По рис. 9.21 определим, что перереrулирование а не превысит 30% , если пока-
затель колебательности системы будет равен 1,36. При этом ffiotp == 5,6, т. е.
время реrулирования составит : 4 == 0,626 с, что удовлетворяет требованиям.
,
Теперь, пользуясь формулами (9.51), можем вычислить необходимые значения
постоянных времени:
't=== V м
(()о М 1
Т VM(M I)
2 (()о (М + 1)
1 V 1 ,36
=== 8,94 1 ,36 1 .-= 0,286 с;
VI,36(1,36 1)
== 8,94 (1,36 + 1) == 0,033 с.
Теперь можно составить желаемую передаточную функцию разомкнутой
системы и определить передаточную фУНКЦИIО необходимоrо последовательноrо
корректирующеrо устройства:
\f1 k ('t5 + 1) 80 (0,2868 + 1) .
ж 52 (Т25 + 1) S2 (0,0335 + 1) ,
W W ж 10 (0,2868 + 1) (0,18 + 1) (0,0255 + 1)
Кl WH 0,0338 + 1
Для достаточно точной реализации передаточной функции WИ1 необходим
активный четырехполюсник. Переходная характеристика замкнутой системы
в этом случае будет следующей:
h == 1 4,429е lЗ,lt sin (20,36t + 1,025) + 0,22Ie 1,119t.
Ее показатели качества: fI == 28,4% и t р == 0,285 с.
Видимо, потребуется менее сложное корректирующее устройство, если за Т 2
принять постоянную времени 0,025 с неизменяемой части системы. Для вычисле-
ния постоянной времени 't сначала по формуле (9.50) определим протяженность h
среднечастотной асимптоты и воспользуемся формулой (9.48):
h== (М + I)/(M 1) === (1,36 + O/(1,36 1) === 6,56;
't == Т 2h == 0,025.6,56 == 0,164 с.
424
L
.0
1
I
J.
1
Т,
u.JO
L
20аб/dСК
цo дБ/dск
\ '20iJб/аек
I ,
1
't
w
60 д б/iJе к/'
а)
о)
Рис. 9.22. T..nol\bIe ЛА ЧХ разомкнутых систеМ с астатизмом nepBoro порядка
Затем составим желаемую передаточную ФУНКЦИIО разомкнутоЙ системы
и определим передаточную функцию необходимоrо последовательноrо корректи"
рующеrо устройства:
W 80 (О I 1645 + 1) .
ж S2 (0,025s + 1) ,
Итак, требуется менее сложное корректирующее устроЙство, чем в первом
случае. При реализации передаточной функции WИ1 активным четырехполюсни-
ком передаточная функция замкнутой системы будет
О, 164s + 1
W g == 0,000313053 + 0,0125s2 + 0,1645 + 1
Аналитическое выражение переходной характеристики
h == 1 2 ,69е ...8,28t sin (8,24t + 2, 11) + 1 ,31 е "'23,4t .
Ее показатели качества: а == 31,5% и tp == 0,425 с.
Система с астатизмом nepBoro порядка. Простейшая ЛА ЧХ
разомкнутоЙ цепи такой системы показана на рис. 9.22, а. Пока..
затель колебательности замкнутой системы не превысит допусти..
Moro значения при выполнении неравенства
1 Т М2 + Л1 V М2 1
, L 2 .... · ( 9 · 57)
ЛА ЧХ разомкнутой цепи более совершенных систем с астатиз-
мом перпоrо порядка (рис. 9.22, 6) пересекает ось абсцисс асимпто-
той с наклоном 20 дБ/дек. Этой ЛА ЧХ соответствует передаточ"
ная функция
пr/ k ('(8 + 1) .
s (Т 1 S + 1) (Т 25 + 1) (Т з5 + 1). · ·
'ТаКаЯ JIA ЧХ отличается от ЛА ЧХ системы с астатизмом вто"
poro порядка (см. рис. 9.20, б) лишь наличием низкочастотноЙ
асимптоты с наклоном 20 дБ/дек и изломом при частоте 1/1'1'
Пусть »шм. rде Шм частота, определяемая формулой
1
(9.49). При этой частоте требуется максимальный избыток фазы.
Тоrда расчет с достаточной точностью можно вести по формулам
для систем с астатизмом BToporo порядка с симметричной ЛА ЧХ
(см. рис. 9.20, а).
WK1 == 10(0,1645+ 1) (O,ls+ 1).
(9.58)
4 :)
I
/.,
о
о
L ЗдБ
... 200б/tiех
,
1 юо Wc Ц).
'с
8)
1I00б/QеJ(
L
о
20дБ/iJек
UJo w
....'100б/tJеК
о)
Рис. 9.2 з. Варианты постр"еfJИЯ
НИ зкочаСТОТIIОЙ части желаемой
JIA Ч Х системы с астатизмом
первоrо ftOрядка
lIоложение ЛА ЧХ (рис. 9.22, б) фиксируется частотой
(I)u :::=:: V k/T 1 (9.59)
нли частотой среза ООС'
Показатель колебательности не превышает допустимоrо значе..
ния lИt если удовлетворяются соотношения
1 V tM V М (М 1)
l' == 000 (М 1); т 2 + т 3 + · .. 000 (М + 1)
или
(9.60)
м м
't :а- (ос (М 1) ; Т2 + Тз + · .. (ос (М + 1) · (9.61)
При расчете системы с колебательным звеном и со звеном
чистоrо запаздывания действительны указания, сделанные для
системы с астатизмом BToporo порядка. Для определения показа-
телей качества (J и /р переходной характеристики можно пользо..
паТhСЯ зависимостями, приведеННЫ11И на рис. 9.21.
[Iостроение желаемой ЛА ЧХ начинаIОТ с ее низкочастотном
части, положение которой должно удовлетворять требованиям
к точности (см. п. 9.1). Возможны различные варианты выбора
постоянной времени Т} и соответственно расположения низко-
частОтной части желаемой ЛА ЧХ относительно запретной зоны
(см. рис. 9.2).
1
Пусть Т 1 (2 + 3) ООн' r де (ОН частота, определяющая
ТОЧI{У В апретноii зоны. То['да НIIзкочаСТОТНУIО аснмнтоту )J{ лае..
.1 :!fj
/,пп
)
о
с/)
БD
Рис. 9.24. Построение Же
Jlаемой ЛА Ч Х при M:.=. 1,5
мой ЛА Ч Х МОЖНО совместить с первой асимптотой запретноЙ зоны
(рис. 9.23, а). При этом передаточный коэффициент будет иметь
минимальное значение, определяемое формулой (9.12). Однако при
этом значение (йо велико, поэтому вся ЛА ЧХ сдвиrается в область
высоких частот и затрудняется демпфирование системы.
Если выбрать ; < (2+3) (01,' то вторую асимптоту желаемой
1
ЛА ЧХ можно совместить со второй асимптотой запретноЙ зоны
(рис. 9.23, б). Тоrда частота 0)0 минимальная и определяется фор
мулой t(9.13). Передаточный коэффициент k (добротность по
скорости) в этом случае будет в 2 3 раза превышать минимально
необходимое значение, что увеличит влияние помех. ·
Если ни один из указанных вариантов не имеет преимущества,
то выбирают 1fT! == (ОН И низкочастотные асимптоты желаемой
ЛА ЧХ располаrают па 3 дБ выше запретной зоны (рис. 9.23, в),
чтобы в эту зону не попала действительная ЛА Ч Х. в этом случ;:н
k "'" }/2 gr ax ; (')0 v v 2 Й ах (9.62)
Среднечастотную й высокочастотную части )келаемой ЛА ЧХ
формируют так же, как и при синтезе системы с астатизмом BToporo
порядка.
Пример 9.8. Передаточная функция неизменяемои части системы
8
WH== s(O,15s+1)(0,02S+1).
Выбрать последовательное кор ректирующее устройство, обеспечивающее
удовлетворение следующих требований: поrрешность 0,02 rраД при изменении
задающеrо воздействия с максимальной скоростью g тах== 8 rрад/с и максималь
ным ускорением gmax === 3 rрад/с2; показатель колебательности М == 1,5.
Определим координаты контрольной точки В, пользуясь формулаl\1И (9.11):
3 82
(йК == 8 == 0,375 с"1; LK === 20 19 3.0,02 == 60,56 дЕ.
Нанесем контрольную точку В (рис. 9.24) и проведем через нее асимптоты,
1 1
оrраНИ1JиваЮll не запретную зону. r Jримем Т 1 :----:: () t)7r:. = 2,67 с и ПО
(ОН ,а .)
427
строим низкочастотную .,часть желаемой ЛА Ч Х так, чтобы ее асимптоты были
на 3 дБ выше rраницы запретной зоны.
По формулам (9.62) определим необходныое значение передаточноrо коэффи-
циента k и значение базооой частоты ыо:
J k
k - t :2 n 62 H !)f)t. с' 1,
(о) 11 J / 1.' _ о :
1 .(Il' J.
ОпредеЛIН,,'I необходимое значение постоянной времени "[', пользуясь форму.
лой (9.60):
т ( o V м 1 C 141,[; I ] ,f ,5 (" · 0,119 с.
1
lIaHeceM на rр(jфИI\ СОllряrающую чаСI'ОТУ 't ill9 -- 8,4 C J II ]IOCT
pOHt\,r от этоЙ частоты среднечаСТОТНУIО асимптоту желаемой ЛА Ч Х.
Определим ординату LB прямой) которая оrраничивает справа сrеднечастот
HYIO асимптоту и сверху высокочаСТОТНУIО часть желаемоi-i J11\ Ч Х:
L О 1М 20 1 1 ,5 4 Б
в 2 g М + 1 g 1,5.., 1 :--= 4, д .
1 r анеся эту ПРЯМУIО па rрафик, опредеЛИi\!, что среднечаСТОТJIая аСИМПТОТR
может БЫТIJ оrраничена частотой 45, 7 c l. Следовательно, сопр ][rаIО[Ц Н1 ЧRСТОТН
O, 2 . 50 C l. создаваемая ПОСТОJJJlIIOЙ временн 0,02 снеизменяемой чаСТII
систеыы, л.опустиыа для )I(елаемоЙ ЛА чх. ПрИ 1ем Т 2 :=:: 0,02 с и от частоты 1fT 2
=== 50 c l пострuнr..-t высокочастотную асимптоту желаемой ЛА чх.
СопряrаЮlцая частuта 6,67 c l, соответствующая постоянной времени 0,15 с
IIензмеJIяемой части системы, недопустима для желаемой ЛА чх. Для реализуе..
мости передаточной функции корректирующеrо устроЙства пассивным четырех-
полюсником полаrаем, что желаемая ЛА чх имеет еще сопряrающую частоту
1
'F; 50 C l. Принимаем Тз == 0,001 с.
Тоrда желаемая передаточная функция РЗЗОМКНУТUЙ системы
566(0,1195+ 1)
W ж =:::: S (2 ,67s t-- 1) (0,025 + 1) (0,0015 + 1) ,
а необходимая передаточная функция последователuноrо корреКТИРУIОlцеrо
устройства
WЖ 70,7(0,119s+ 1)(0,15s+ 1)
\\1' !<l == W JI
(2,67s + 1) (O,OOls + 1)
Показатель коле6ательности замкнутой системы А1 == 1,4 и показатели Ka
чества ее переходноЙ характеристики о' == 32,7% и tp .=:: 0,24 с.
Статическая система. ПростеЙlllая ЛА ЧХ разомкнутой си..
1 1
стемы показана на рис. 9.25, а. Если <-: U)C < T ' то llрИ
1 2
М 1,3 достаточную точность дает приближенная формула
k (Т 1 + т 2 + · · · ) М2 + м V Л12 1 (9 63)
То 2 ·
Из этой формулы следует, что постоянная времени То увели-
чивает запас устойчивости. При увеличении передаточноrо коэф
фициента k или суммы постоянных времени 1'1 Т2 ... для
428
J..,
L
1
.71 .
5005/OeH
о
20iJli/QeK 1. L
1" 72 h
.1 t.Vo ШС I W
1: Oд5/Oel(
б) БОд6/j)ек
о
20 д6/оек
.'"Ji045/6eK
I 1.
Т2
а)
PIH'. 9. 5. TIIlIOB le JJАЧХ разомкнутых ста1'IIЧt"('КИХ flll']t"M:
а J]I)(){ 'It iiIIItH"; б CIIMMt'TPIPIJt:-Нl
сохранения заданноrо значения М показателя колебатеЛIJ}]ОСТII
;
необходимо увеличивать наибольшую постоянную времени то.
При повышенных требованиях к качеству статическая система
должна иметь ЛА ЧХ, изображенную на рис. 9.25, б. Ей соответ..
ствует передаточная функция
W k (TS + 1) (9.64)
(Tos+l)(Tls+l)(T2s+1)... ·
Такую систему можно рассчитывать как систему с астатизмом
BTop6ro порядка, имеющую симметричную ЛА ЧХ (см. рис. 9.20).
Базовую частоту определяют приближенно по формуле
ooo Vk/(ToT1). (9.65)
Показатель колебательности не превышает заданноrо значе..
ния М при удовлетворении соотношений (9.60) или (9.62).
Отклонение симметричной ЛА ЧХ статической системы (см.
рис. 9.25, б) в области низких частот от ЛА ЧХ системы с аста..
тизмом BToporo порядка (см. рис. 9.20, а) является причиной не..
большоrо дополнительноrо запаса устойчивости.
При расчете статической системы с симм. тричной ЛА ЧХ, име-
ющей колебательное звено, звенья чистоrо запаздывания и не..
устойчивые, следует поступать так же, как при расчете системы
с астатизмом BToporo порядка. Зависимость ПОI<азателеЙ качества
переходноЙ характеристики (J и tp от М можно определять 110
рис. 9.21.
Низкочастотную асимптоту желаемой A ЧХ строят 110 значе-
нию передаточноrо коэффициента k разомкнутой системы, ]три
котором обеспечивается необходимая точность:
L (О) == 20 Ig k. (9.66)
,Затем проверяют возможность получения необходимоrо зна..
чения М показателя колебательности при простейшей форме
ЛАЧХ (см. рис. 9.25, а). Если это невозможно, то следует форма..
ровать среднечастотную и высокочастотную части желаемой ЛА ЧХ
в соответствии с рис. 9.25, б.
42
9.6. CIIIIT[ 1 С/(Р CPABJIfIl IEt\\ ПЕРI 'l АТОIIНЫХ ФУНКЦИЙ
И ПО КРИ I'ЕРИЮ СБЛИЖЕНИЯ
11ноrда необходимое корректирующее устроЙство САР невысо..
Koro порядка удобно определить по результату сравнения желае..
мой передаточной функции с передаточной функцией основной
част 1 I системы.
К таким случаям следует отнести выбор орректирующеrо
устройства по преобладающей паре комплексно..сопряженных по..
люсов передаточной функции замкнутой системы. В п. 9.5 эта
задача решалась с использованием KopHeBoro rодоrрафа, однако
ее можно решить н без rрафических построений.
Лре) положим, что заданы необходимое значение передатоЧ
IIUI'O коэффициента k разомкнутой статической систеМ!>I, а также
) оrJустимые значения нереrУJIIIрования а 11 времени реrулирuва-
вня tp' 110 HOMorpaMMe, изображенной на рис. 9.6, определим
необходимые значения коэффициента демпфирования 6 и постоян-
ноЙ времени Т. Тоrда желаемая передаточная функция замкнутой
системы относительно задаЮIЦЕ:rо воздействия
k
W g == (1 + k) (Т282 + 2 T$ + 1)
(9.67)
и желаемая передаточная функция разомкнутой системы
wж=== Wg
1 Wg
k
(1 +k) (T2s+2;T)s+ 1 ·
(9.68)
При
'> 1
.. > 1 k
имеем
w '
ж .== (7\ $ t 1) (Т '}.$ I 1) ,
rде
Т 1, 2 == (1 + k) (Ts + / 62 1/( 1 + k),
(9.69)
сс? 1
п при - < 1 +.k
k
Wж == Tys2 + 2 lT 18 + 1
(9.70)
l'де t1=-==ТVl+k; l=== Vl+k.
Передаточная функция необходимоrо последовательноrо кор..
ректирующе о устройства может быть затем определена по фор..
муле (9.46).
Значения k, а и tp целесообразно варьировать в допустимых
пределах с тем, чтобы Т} или Т2 совпала с ОДНОЙ из постоянных
времени основной части системыI.
4.( O
Если синтезируется астаТII[IеСКаЯ система IIрИ заДаННОМ зн(]
чении k, то желаемая передаточная функция замкнутой системы
должна содержать еще диполь:
W т а.'; + 1 (9 71)
g (T2S2 + 26Ts + 1) (ТБS + 1) , ..
rде Та Tu.
В этом случае желаемая передаточная функция разомкнутой
системы
W. :::=:. (Т aS + 1) .
,(, (aos2 I a1s 1)8
Здесь
1
k=:=.
26Т + (Т б Та)
a1 ::=::; kT (Т + 2 Тб)'
J1з первой (Рормулы (9.73) следует, что разность постоянных
времени диполя не МО)l(ет быть выбрана I1РОИЗВ()ЛЬНО. Она опре
деляется заданным значением k и значениями Т и , которые OIlpe
деляются заданными значениями о' и t". Действительно,
1
Тб Та -==: l/k 2 T.
(9,72)
.
ао :==:: /lT БТ2
(9.73)
(9.74 )
При составлении желаемой передаточной функции tl7 ж необ
ходимо стремиться к возможно большему совпадению ее с пере..
даточной функцией Wи неизменяемои части системы. Это может
быть достиrнуто выбором постоянной времени Т б (или Та) диполя.
Если в желаемой передаточной функции замкнутой системы
предусмотреть двойной диполь, т. е. иметь
(",282 + 2 ",s + 1)
W д === (T2s2 + 26Ts + 1) (Т582 2601'os + 1) , (9.7Б)
то для выбора Wjи будут большие возможности.
Пусть То == 'Т. Тоrда передаточный коэффициент разомкнутой
системы
I 1 (9.76)
Il =--== 26 т I 2", (60 ) ·
l ля Toro чтобы иметь, паIlример,
'1 k ('t2S2 2 't8 + 1)
1f )К == (Т 18 + 1) (Т 2S + 1) (Т зS + 1) S ' ( 9. 77)
постоянные Тl' Т2' Та, 'т И o нужно выбирать так, чтобы удов"
летворялась система уравнений
Т 1 Т 2 Т а == k Т2-т;2;
Т1Т2 + Т2Тз + T3Tl 2kT,; (T o + 'т); (9.78)
Тl + Т'}. .}.. T;j === /lT (Т 4 o'Т).
431
I::сли выбрать ;0 так, чтобы разность ;0 была малоЙ,
II ностоянную времени Т1 принять равной одной из постоянных
неизменяемой части., системы, то система уравнений (9.78) позво..
лит определить Т2' Тз и 't'.
Пример 9.9. Передаточная функция неизменяемой части системы ,.
W 100
н S (0,85 + 1) (0,255 + 1) ·
I Выбрать передаточную функцию последовательноrо корректирующеrо уст..
роЙства, которое при k == 100 c l обеспечивает перереrулирование а;:::::: 20%
и премя реrулирования tp 0,4 с.
По HOMorpaMMe, изображенной на рис. 9.6, определим, что при f1 == 20?;6 необ-
ходимо иметь == 0,44 и tp/T == 7. Следовательно,
т == tp/7 == 0,4/7 == 0,057 с.
I-Iтак, желаемая передаточная функция замкнутой системы должна содер-
жать в знаменателе трехчлен:
T2s2 ! 2s Т5 ! I == 0,00325s2 0,05025 + 1.
fIYCTb также эта передаточная функция содержит двоЙноЙ ДИIIО.J1Ь. Тоrда
't2S2 + 2 'ts 1
W g == (O,00325s2 + 0,05028 + 1) ('t252 + 2 O't8 + 1) ·
На основании соотношения (9.76),
т 2 ( ol ) (+ 2ST).
Выберем o == 0,05, тоrда т == 0,402 с.
Предположим, что желаемая передаточная ФУНI{ЦИЯ разомкнутой системы
включает передаточные функции трех апериодических звеньев и одно из них имеет
постоянную времени Т 1 == 0,8 с, т. е. является одним из звеньев неизменяемой
части системы. Теперь составим уравнения (9.78) для определения Т 2' Тз И 60.
0,8 Т 2Т3 == 0,0524; 0,8 (Т 2 + Т 3) + Т 2Т3 == 0,2616 + 0,809;
0,8 + т 2 + т 3 == 0,325 + 4,029 O.
Решение этой системы уравнений: Т 2 == 0,985; Тз == 0,066 и 60 == 0,379.
Следовательно, == ео + 0,05 == 0,429.
)I(Сw1аемая передаточная функция замкнутоЙ системы
., О, t615' I 0,345s + 1
\\' g -: (0,()0325s'J . 0,05025 1) (0,16152 + О,304.') +- 1)
11 t II/.J ,11111'1)11< 'с J\ 0(' Н 1.1 Р ;HI(f'H 11 С 11 (' p ХОД!! nii х (\ paI{TCp не [Н J{ ti
1, I , t () . е 7 ,7: I S i fI (1 G , 7 5 t I 1 , I () 1). - п, I I 7 е U I 914 s i n ('), : j () 11 t 1 .3 ,f ('Ц ) .
1Iol'i:aJi:i'Te.I(H ее качества (J 24,3'!{, и tp 0,:35 с удовлеrворяюL' rpe60BaHJlHI\1.
)I,еJJаемая передаточная функция разомкнутоЙ системы
100 (О, 161s2 + 0,345s + 1)
WH\:::::::: 5 (0,85 + 1) (0,9855 + 1) (0,0665 + 1)
и передаточная функция необходимоrо последовательноrо корреКТИРУlощеrо
устройства
\11' 1\ 1
(O,161s2 + 0,3455 1) (0,255 1)
(О , 985,') + 1) ((),066s + 1)
43
параметрыI синтезируемой САР (В частности, параметры ее
корректируrощеrо устройства) можно определить по критерию
сближения; [120]. Сущность метода заключается в следующем.
Пусть по требованиям к качеству реrулирования выбрана переда..
точная функция ФЖ == Rw,/Gж замкнутой системы. Известна также
в общем виде действительная передаточная функция Ф == R/G
замкнутой системы, состоящей из неизменяемой части и коррек..
тирующеrо устройства. Передаточным функциям ФЖ и Ф соответ"
ствуют весовые функции (см. п. 2.4) wjH и w.
Необходимо выбрать параметры передаточной функции Ф,
при которых весовая функция w минимально отличается от wж.
Сближение весовых функций можно оценивать текущим крите..
рием
б == w wж, (9.79)
интеrральным квадратичным критерием
(х)
J === J (w wж) dt, (9.80)
о
а также более СЛОЛОiЫМИ ИНТСI ральными квадратичными крите-
риями.
Изобра)J(епие по Лапласу текущеrо критерия сближения
д (s) === Ф ФЖ == ; :=;; RGж жRжG . (9.81)
Доказано [120], что по модулю комплексной функции д (jro)
можно найти действительную часть комплексной функции S (jiЬ):
2 Re \S (jw)} === 1 д (j(o) 12, (9.82)
а мнимую часть этой комплексной функции определяет интеrраль-
ный квадратичный критерий сближения:
J === ........ lim [ш 1т t S (jw)} 1. (9.83)
00+00
Таким образом, после определения Д (jw) следует выбрать
]{омплеКСНУIU ФУНКЦИIО S (jro) так, чтобы у этих двух функциЙ
GЫЛIl одипау\"()вые знаменатели и paBHIJIe степени числителей. Тоrда
мол{I[() н рпрапн.нТll и:о::)(IJqНIuиеиты ври одинаковых степенях ro
IJИСJllIТР.l1l'ii левой и правой части равенства (9.82). Полученная
систем \ Cl,III'ебраических уравнений позволит определить коэффи-
циенты ЧlIслителя функции S (jw). Затем можно отыскать значе.
ние J по формуле (9.83).
Выра)l(ение для J будет содержать выбираемые параметры а,
., ... передаточной функции Ф. Их значения должны быть опре..
делены по минимуму J (см. п. 9.2)/--и 'при этом будет достиrнуто
возможное приближение весовой функции W к Wiи. В случае не-
достаточноrо сближения следует изменить "'вид передаточной
Функпип (р или число выбираемых параметров. Расчет можно
ПрОВf)}(IIТIJ на пифровоп ЭIЗМ [51..
1.1 t: \
Пример Н.10. rlередаТО1JII(]Я ФУНКЦIiЯ замкнутоЙ снстемы
(1) == 1:5 I I .
0,01 52 ('t + 0,02) 5 I
Выбрать парамет 't так, чтобы весовая функция, соответствующая этой l1epe-
даточной функции, максимально приближалась к весовой функции, соответствую"
щей передаточной функции Ф}I\ == 1/(0,2s + 1).
Прежде Bcero, пользуясь формулой (9.81), определим изображение по Лап-
ласу текущеrо критерия сближения:
.1 8 "('8 + 1 1 Ьо82 + Ь18
( ) 0,0152 ('t 0.02) s + 1 0,28 + 1 ао5З + а182 + а28 + 1 '
rде ЬО == 0,2 ('! 0,05); Ь 1 ==::= 0,18; ао == 0,002; 01 == 012 ('t 0,07); а2 ==
== 1: 0,22.
Сл ед пва тел ь н о;
bo(02 + jb1 (fJ
.1 (j(fJ) == (1 а1(О2) + jш (а2 ао(О2) ·
Выберем
CO(fJ2 + jC1 (о
S (j(J)) (1 а.(О2) + j(fJ (а2 ао(О2)
н состаВИJ\l равенство
2 [сош2 (1 Йl(fJ2) + Сlш2 (а2 ао(2)] Ь3ш4 + bi(fJ2
(1 al(fJ2Y + ш2 (а2 ао(2)2 (1 a1(fJ2)2 + ш2 (а2 ао(2)2 ·
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ш числителей Левой
и правой части составленноrо равенства:
2 (со + a2c1) == br; 2 (а1со + аос1) == ЬВ.
Решив полученную систему уравнений, определим
Ьб + аlЬ} . (а2Ь3 + aobi)
сl ::::::: , СО == ·
2 (аlа2 аО) 2 (аlа2 аО)
Далее составим выражение для квадратичноrо интеrральноrо критерия сбли..
жения по формуле (9.83):
J 1. [ СIШ (1 аl(2) СОШЗ (а2 ao(fJ2) ] co
1т (j) .
Ы O(J (1 аl(2)2 + ш2 (а2 ао(2)2 ао
Подставим значение Со и затем значения Ьо, Ь1, ао, аl и а2:
J == а2Ь?, аоы1 ('t + 0,22) 0,04 ('t 0,05)2 + 0,002. о, 182
2ао (а1 а2 ао) 2. 0,002 [0,2 (1: + 0,07) ('t + 0,22) 0,002]
50 (1:3 + о, 12'12 0,01951: 0,00217)
1:2 о, 29't + 0,0054
Определим условие минимума функции J ("[):
dJ == 50 [31:2 2,0,121: 0,0195
d't 1:2 + 0,29't + 0,0054
('tЗ + о, 12т2 0,0195't + 0,00217) (2't + 0,29) ] :=: о;
(1:2 + 0,291: + 0,0054)2
(3't2 + 0,241: 0,0195) (1:2 + O,29't + 0,0054)
(1:3 + о, 12"[2 0,0195't + 0,00217) (21: + 0,29) == о;
T<t 0,581:3 + 0,n70Б't2 0,0030441: 0,0007.346 ---= о.
431
h
tc
О, 7 0,8 9 O
1,2
:1
1,0
0,8
7
б
5
1/
0,6
q'l
0,2
1
О
0,1
o ц
о
Рис. 9.26. Весовые функции и переходные характеристики
Полученное уравнение имеет следующие корни: Т1 -== 0,08805; Т2 7""":: 0,393
и 'tз,4 == .........0,1375 + jO,0481.
Постоянная времени 't форсирующеrо звена есть ПОложительная величина.
Следовательно, 't == 0,08805.
Проверим, что при этом значении 't квадратичныЙ интеrральный критерий
сближения действительно имеет минимум: при 't ==: 0,05 J == 5,85; при 't ==
=== 0,08805 J == 2,67 и при 't ==: 0,1 J === 2,725. .
Итак, весовая функция w, соответствующая передаточной функции
Ф == 0,08805s + 1
O,Ols2 + О, 108s + 1
0,08805s + 1
T2s2 + 2 Ts + 1 '
rде Т == 0,1 и == 0,54, максимально приближаетсs:r (судя по минимуму KBaдpa
тично!"о интеrральноrо критерия сближения) к весовой функции Wap соответству-
юrцей передаточной функции Фж == 1/(0,25 f 1).
rрафнки w и WЖ показаны на рис. 9.26. Там же помеrцепы rрафики переход
IIЫХ характеристик h и hж,
Заметное различие между w и Wж, а так}ке между h и hж при 't < 0,5с объяс-
няется прежде Bcero значительным отличием структуры передаточной функции Ф
от структуры ФЖ. Кроме Toro, иrрает роль свойство квадратичноЙ интеrральной
оценки, использованной при расчете. Более высокие результаты можно получить
при использовании улучшенной квадратичной интеrральной оценки.
9.7. СИНТЕЗ САР ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Мноrие системы автоматическоrо реrулирования подвержены
U u
воздеиствиям, которые с течением времени принимают случаиные
(заранее точно не предсказуемые) значения. Случайный характер
имеют обычно внешние возмущения: изменения наrрузки reHepa"
тора, питающеrо большое количество потребителей, порывы ветра,
действующие на самолет, и т. д. Некоторые элементы систем яв-
ляются источниками внутренних случайных возмущений. Напри-
мер, в электронном усилителе с большим I{оэффициентом усиления
создаются шумы флуктуационноrо характера. Случайными в боль-
Iлинстве случаев являются задающие воздействия следящих
435
СIIстем. Очень час'fО задаlОlЦ(;С ноздсiJстпис кроме ПОЛСЗIIОЛ состав..
ляющей содержит помеху (возмущение) также случаиноrо харак"
тер а.
Если синтез САР при случайных воздеЙствиях НРUВUДllТЬ ра..
нее рассмотренными методами, которые предполаI'ают, что внеш-
ние воздействия детерминированы (описываются некоторыми опре..
деленными функциями времени), то будут получены лишь прибли-
женные результаты. Более точные результаты дают специальные
методы статистической динамики систем/<. реrулирования.
Наиболее полно проблемы и методы стаТИСТlIческой динамики
ИЗJlожены в работах 185, 98 J. Там же даны неоБХОДИl'лые сведения
Нз теории вероятностей, в которой рассматрипаlОТС5J (:JIуч:н"'fllые
события, случайные величины и СJJучаЙНJ)Iе J1pOI eCcbl 11 НХ СТи..
тистические характер истики. ...,'
Ниже приведем ЛlIlIIЬ начальные сведения о синтезе линейных
САР при случайных внешних воздействиях. Предварительно дадим
представление о статистических характеристиках случайноrо про..
цесса и о преобразовании случайноrо сиrнала линейной системоЙ.
При этом предполаrается, что случайные воздействия есть такие
случайные функции времени, статистические (вероятностные) ха..
рактеристики которых с течением времени не измеНЯIОТСЯ, т. е.
будут рассматриваться стационарные случайные процессы.
Одной из основных статистических характеристик стационар"
HOI'O СJIуЧайноrо процесса g (/) является корреляционная функция
т
. 1
R,g ('t) === 11т '27' J g (t) g (t + '{) dt,
т OO ...1'
(9.84)
которая определяется на основании наблюдения за процессом.
Корреляционная функция указывает степень связи ПО Jlедующих
значений случайной функции g (/) с предыдущими: чем шире
диапазон "'с, на котором Rgg ('t) отлична от нуля, тем сильнее
эта связь
JLруrая основная статистическая характеристика процесса
g (/) есть спектральная плотность, которая связана с корреля..
ционной функцией преобразованием Фурье:
00 00
S и (ro) === S R" ('t) e jblT dT === 2 J R" (т) cos roт dT;
u
(9.85)
00 00
R'fl (т) == 2 S S 11 (ro) еjЮТ dro =:=; L S S" «(О) cos roт d..
oo О
(9.86 )
Если существуют два случайных процесса g (/) и f (/), то связь
между ними характеризуется взаимной корреляционной функ..
436
циеЙ Rgf (1:), ПО ](оторои опрсдсляется взаимная спектральная
плотность S gf (((»):
т
Ng/ (Т} ==- Нт 2 f g (t) f (t + 1) dt Rfg ( T);
r -700
J
(9.87)
00
S gf «(,)) J Rg[ (т) e i"J't d. === Sfll ( T).
oo
(9.88 )
Т1 реД110ЛО)](ИJ\;1, '11'0 Cf1eKTplJJIbHtiH ПЛ()ТlJОСТI.J имеет ОДНО II та )]\('
значение N на ВС<':'М диаIJазон( Ч8СТОТ от 00 JlO . J 00. Такай СЛУ
чайный IIроцесс нмеИУIОТ «беЛЫJ'il ]IIYM()M». J:ro статистичес]\н
характеристики
S gg (w) == N;
Rgg (т) == Nб (т).
(9.89
Это идеальный, физически неосущеСТВИ1v1ЫЙ случайный процесс,
в I{OTOPOM последующие значения g (t) conepI.UeHHO не связаны
с предыдущими.
Иноrда реальныЙ случаЙныЙ процесс в первом приближении
можно рассматривать как «белыi! шум». lIau e наблюдается CTa
ционарный случайный процесс g (t) без IlОСТОЯННОЙ и периодиче-
ской составляющих со статистическими хараI(теристиками
2 J-tD
Rgg (т) De"'J.L I 't 1; S g (w) == J-t2 + (02 , ( .90)
rде D и tJ. постоянные.
Конечно, имеют место случайные процессы и lIHoro характера,
в частности с периодической составляющей. Их корреляционные
функции и спектральные плотности опредеЛЯIОТСЯ более сложными
выражениями.
Прохождение случайноrо сиrнала через линейную систему.
Если к линейной системе приложено внешнее воздействие, яв"
ляющееся стационарной случайной функцией, то в установившемся
режиме все координаты системы представляют собой так)ке CTa
ционарные случайные функции. При этом спектральная плотность
каждой из координат равна спектральной плотности внешнеrо
воздействия, умноженной на квадрат модуля частотной переда
точной функции системы для рассматриваемой координаты. В "си
стеме автоматическоrо реrулирования наибольший интерес пред
ставляет определение статистических характеристик рассоrласо..
вания ero спектральной плотности и среднеквадратичноrо зна
чения.
Пусть задающее воздействие линейной САР (рис. 9.27) есть
стационарная случайная функция g (t) со спектральноЙ п.лот
ностью S gg ((О), а ВОЗl\1ущение f (t) отсутствует. T() дa спектраль..
нан плотность S АХ (w), среднее значение квадрата х2 11 среднеква..
437
()
1;
" !J
........ Рис. 9.27. Структурная схема САР
со СJlучаЙн ы ми внешними воздей-
ствиями
дратичное значеНlIе ХСi,П рассоrласования х (t) равны соответст-
венно:
S хх ((и) == I W х (j ш) 12 S g g ( (и ) ;
(9.91 )
00
х2 2 J sп ((1) dш;
(9.92)
oo
1/
"УС1' ::::-= х.... ,
. \Н
(9.93)
I'де
W х (j ш) == 1 Л 1 + \\7 (j (1) ) ] ; \\7 (j' 1)) := -= W О (j u)) w 1 (j (,)) W:2 (j (t) ) .
Предположим, что на раССl\.1аТРИВ3fМУЮ САР кроме задающеrо
воздействия влияет и возмущение f (t), также ЯВЛЯfощееся стацио
нар ной случайной функцией со спектральной плотностью S f f (ш).
Имеются взаимная связь (корреляция) этих двух случайных функ..
ций и взаимная спектральная плотность Sgf (ш) :::::: SJg ( ш) *- О.
Тоrда
S хх (ш) == I Wx (ju)) 12 S gg (tu) Wx ( jll)) Wfx (jUJ) S gf (U)) +
Wx (jш) Wfx ( j(I)) S Jg (11) I WJ.,- (jtt)) 12 S f{ (1)),
(9.94)
rде
w о (jш) W 1 (jш)
1 I \\7 (j ш )
Возмущение f (t) может быть приложепо и на входе системы.
В этом случае Wfr (jш) ==- W (jш)/ [1 W (jш) J. Если корреля-
ция между задающим воздействием и возмущением отсутствует
и Sgf (ш) === Sfg ( o)) О, то формула (9.94) соответственно
упрощается.
СООТНОIuения (9.91) и (9.94) позволяют определить спектраль-
ную плотность рассоrласования и n более сложном случае при
нескольких случайнь!х воздеЙствиях, из которых два взаимо
связаны, а остальные aSTOHO!Y1III,I. СостаВЛЯЮIцая S хх (ш) от кор-
релированных воздействиЙ определяется соrласно (9.94) и состав-
ляющие от автономных воздействиЙ соr.пасно (9.91).
J\10жет оказаться, что к САР приложены как случайные, так
и детерминированные внешние воздействия. В этом случае при
9 u
подсчете среднеrо квадрата х.... рассоrласования к составляющеи от
случаЙных воздействий, определяемоЙ сIJОРМУЛОЙ (9.92), необхо-
димо прибавлять и СОСТ(lв.п 101цие ОТ кажд()rо и::\ детерминирован..
W J х ( j(l) )
4З8
ных воздеЙСТПllii. ПреДПОЛО)I<ИМ, что ВО3МУlценис f (/) в САР,
структурная схема котороЙ нзuбражена на рис. 9.27, детермини"
рованное. I/IM создается соста13ляющая среднеrо квадрата рассо..
rласования
ij === [liln sWfx (5) [< (S)J ' (9.95)
S O
rде F (8) изображение по Лапласу возмущения f (/);
W fx (8) ==: W (8)/ [1 + W (8) ];
W (8) = Wo (8) W1 (s) Wj (8).
При ОIIределении среднеI'О квадрата раССОI'ласования х2 по
формуле (9.92) возникает необходимость вычислять интеrралы
вида
00
1 J B(jw)
Jft == 2n I А (jw) 12 dw,
(9.96)
cx)
rде
А (jw) 00 (jtJJ)fl 1' й1 (j(I))/1 -1 1.... I afl
В (jw) === Ьо (jW)2п 2 Ь! (j(U)2fl"'1 1' · · · lJfl t.
В общем случае ври ЛIоБОl\1 п и отсутствии IIравых и нулевых
корней у ПОЛИIrt:>:ма А (8) этот интеI'рал имеет следующее значе..
ние [28]:
( 1)п 1 МN
Jn ===
2ao n
(9.97)
rде
а1 аз й5... о
ао а J а 1 · · · о
11 n ===
о
а!
а.о, · · · о
,)
,
о () О. · · Оп
И он ределитсль М Il IlОJIучаетсн И3 L\ н заменоЙ первой строки
на Ьо, Ь1, Ь2, ..., b!l l.
При п =:: 1 ... 6 интеI'ралы J n имеют следующие значения:
J 60.
L -=== 2 а!) а I '
Jз ==:
аОЬ1
bo+
а2
2аоаl
2{ h I аоа,lЬ2
u )0 йО - 1 I
о,:!
2ао ((11 a Gо(1з)
J а -----==
439
Сз Ь 1 + Ь + С! Ь
а о uз,7t а1 п а:1
J4 о 4
2 (alC: + aua )
J5-==
a cь + а4С2 аоСе а1сз
Ьо . сьы1 Czbz . С1Ьз + Ь4
00 Об
2 (C с 1 С [i )
Jo (т1Ьо f т2Ь1 .+ mЗЬ2 .+ т4 Ьз + тЬЬ4 ,п6Ь")
2ао (а1т1 -1 азm2 + йотз)
(9.98)
I
rде "11 === a [а5 (и2С5 а4С2 + авс1) + ав (а2св + а1с4)];
о
tll2 === (а5С5 + авсв);
тз === а1азао а5с2;
т4 == (а5Сl + aia6); тБ alC2 + аЗС1;
(п6 == [(С5 а1а6) Сl C ];
ав
Сl == аоаз а1а2;
С2 ==: ala4 .. аоао;
сз == ala4 а2аз;
С4 ==: alaG аза4;
С5 == а2а5 аза4:
2
Св == аз ala5.
Пример 9.11. Задающее воздействие g (!) следящей системы, структурная
схема которой изображена на рис. 9.27, является случайной функцией и Rgg (t) ==
== De"" J.L I 't 1, rде D == 25 rрад 2; I-L == 0,05 с""l. Передаточные функции системы
w k1
1 5 (Т 15 + 1)
\W k2.
,11 2 === Т 2S + 1 '
Wo == с
rде k1 == 5; Т1 == 0,15 с; k2 == 2 и Т2 == 0,1 с.
Определить среднеквадратичное значение рассоrласования.
Определим, пользуясь формулой (9.90), спектральную плотность задающеrо
воздействия:
2ftD 1000
S gg (О)) === ft2 I 0)2 1 I 400ы2
1000
11 + 20jO) 12
CC)CraHH 1) нерf'Д;II'ОЧНУЮ ФУНКЦИIО системы ДЛfI рассоrласования:
1
\V х (5) 1 + \\7 1 (5) W 2 (5)
0,01553 + 0,25s2 + 5
0,01553 + 0,25s2 + 5 + 10 ·
5 (Т 1 S .t 1) (Т 25 t 1)
s (Т 1 S ] 1) (Т 28 + 1) ! k 1 k 2
.
l-lайдем, пользуясь формулой (9.91) J спектральную плотность рассоrласо..
вания:
Sxx (ы) === I w х (j(j)) 12..Sgg (ы) :::::
10,015 Оы)3 I 0,25 (j(j))2 I jш 12 ]ООО
... I O,UI5 (j(J)):1 t 0.25 (j(1)2 j(,) I 10 (211 I Oj(l) I ·
Ll,10
TrlIepu, ИСПО.rlLЗУН ФОJпvfУJ1У (9.92), '1()Я(IIО ()/llч:'леЛI[ТL. СрtДНt't: lIa4eI!He KHaд
рата рассоrласования:
00
х2 == 2 J Sxx (00) доо == 1000J ,
....00
rде
00
J 4 == 2 J
... 00
10,015 (j(j})3 --1 0,25 (j(j})2 + jш 12
[O,U15 (jш)З j 0,25 (jw)2 + jw + 10] [1 r 20jw] 12dw
00
1 J. ( O,UuU:2:25 (jw)lJ I U,0325 (j(H)4 - (ift)) l
2п: . I 0,.1 иш)4 , s, о J., (j(u)3 + 20,2:1 иы)2 1. 20I7( ) t=. ПТi; (j( ) . ·
I oo
],lTaI(, I\:ОЭФФИЦllен j'lJl )fOJII1IlUMUll А (jw) н lJ (jш) н IJ теl'р ал;) J 4 слеДУJOll Ir.:
ао == 0,3; а1 5,015; а2 === 20,25; аз 2U1; а4 = 10, ЬО == O,000225,
Ь1 == 0,0325; Ь2 : 1 и Ьз == О.
Следовательно, на основании соответствующей формулы из (9.98)
( 4g ' 1) ( 0,000225) 201.0,0325 + 5,015 ( 1)
J 4 =-= L OJ000906.
2 t5,0 5 ( 4020, 1) + 0,3.2012
Среднее значение квадрата рассоrласования
X == 1000.0,000906 == 0,906
и среднеквадратичное значение рассоrласования
ХСК8 == V 0,906 ::: 0,952 rрад.
Среднеквадратичное значение рассоrласования (ошибки) при..
нято рассматривать как показатель (критерий) оптимальности
САР при случайных внешних воздействиях.
Определение оптимальных парамеТРО8 систем. Среднеквадра..
тичное значение рассоrласования зависит как от статистических
характеристик внешних воздействий, так и от структуры и пара..
метров системы. Синтез САР проводится при заданных характе..
ристиках внешних воздействий, и необходимое (допустимое . или
оптимальное) среднеквадратичное значение рассоrласования может
быть обеспечено только соответствующим выбором 'структуры и
параметров САР.
Во мноrих случаях при синтезе САР задаются ее структура
(передаточные функции элементов) и часть параметров. Значения
остальных параметров должны быть определены так, чтобы они
были оптимальными обеспечивали минимум среднеквадратич-
Horo значения рассоrласования. Обычно выбору подлежит неболь-
шое число параметров 'i. Чаще Bcero выбирают один параметр.
Для решения такой задачи среднее значение квадрата рас..
соrласования определяется в виде явной функции искомых пара..
метров:
.....2 .....2 ( )
х == х '1' '2, . · . .
(9.99)
441
Затем иекомыIe параметрьr Н3ХОДПТ по МНllIIМУМУ qJУПКЦПП x ,
так же как по минимуму интеl ральной оценки (см. п. 9.2).
Пример 9.12. Передаточная функция разомкнутой следящей системы
k (O,ls + 1)
W (s) == S2 (0,05s + 1) ·
Задающее воздействие g (t) 11 помеха f (t) на входе систеl\,IЫ являются не свя..
занными одна с друrой случаЙНЫl\IИ времени:
, 10001.
S g g ((t)) ,: 1 I 1()(}ш2
Sn' (ы) 0,05 ' P )) ' с.
ОпредеЛIIТЬ среднеквадратичное 3f1:lIICltJIC расс()rЛt:1СОВ3IIИН при / ==: 20 c 1,
что соответстиусr МНflИМУМУ IfН'I'('r}J;]лrJн()i 1 оценкн, ]J I/pH оIIтиJ\It:1лыlмM Зllаче
нин k.
Определим I1ередаТUЧllые фУI/Кf НН СЛР дЛИ расс()} ласоваIlИН от задаЮIцеrо
воздействия и от помехи:
w х (s)
1
1 + W' (8)
W (s)
1 + W (s)
0,05s3 + 82
0,0583 + 82 + О, 1 ks + k '
k(0,18+ 1)
0,0583 + 82 + O,lks + k ·
w f (8) ==
[1о формуле (9.94) найдем спектраЛЬНУIО плотность рассоrласования, при'"
няв Sgf ((О) == Sfg ((О) == о:
Sxx ((О) === I W х и(О) 12 Sgg ((О) I W'f (j(O) [2 Sff ((О) :=:
== I 0,05 (j(O)3 + (j(O)2 12 1000
0,05 (j(O)3 + (j(O)2 r О, lk и(О) + k 1 100(02
+1 O,lk(j(O)+k 120,05==
0,05 и(О)З + и(О)2 О, lk (j(O) k
1000 10,05 (j(O)3 + и(О)212 0,051 k (j(O)2 + 10, lk (j(O) r k /2
10,5 (jOO)4 + 10,05 (j(O)3 + (1 + k) (j(O)2 + 10,] k иоо) + k 12
Следовательно, на основании формулы (9.92) среднее значение квадрата pac
соrласования
00
r-.I 1 J
х2 == Sxx ((О) d(O J4,
2зt
oo
rде
00
J ] J [ 2,5 (j(O)G (1000 I 0,05k2) 0(0)4 5,0005k2 и(О)2 0,05k2] .
4 2зt 10)5 и(О)-1 I' 10,05 (j(O)3 r (1 + k) (j(O)2 + 10,Jk Ооо) + k j2
oo
Коэффициенты полиномов А иш) и В и(О) интеrрала J 4 имеIОТ сдедующие зна.
q ен и я:
ао :::::: 0,5; аl::::-'= 10)05; а2 = 1 I k; аз === 10,1 k; а4 == k;
ЬО =-= 2J5; {)l:'::':: 1000 r O,05k ; /)2 == 5)0005k ;
442
J.. ..=:
[1u СООТU('l'СТВУIOI[tеЙ ФОРМУJI() IJJ ( ). )H) !J:J - О,()[) //.2.
( O,05 1 О, I k2) ( 2 ,5) 10,1 k (1000 + O,05k2) +
,О
+ 10,05 ( 5,0005k2) + ( IO,o: 5k) O,05k2
2 [10,05 ( 0,05k 10, lk2) I 0,5 (10, lk)2]
404,03 + 4,0402k + O,0202k2
0,0402 + 4,04k
При k:== 20 J 4 == 5,148 И, следовательно,
ХСКП ==: V х2 2,269 [рад.
Для определения оптимаЛЫlоrо значения k находим частную ПРОИЗВОДllУЮ
от х2 ПО k и приравниваем ее нулю:
дх2 4,0402 + 2.0,0202 (4n4,О3 + 4,0402k O,0202k2) 4,04 О
ak 0,0402 + 4,04k (0,0402 + 4,04k)2 .
f10.ТIУЧИМ уравнение для опре)\сления Ilопт:
k JlT I O,0199IlU[J'l' 19999,Б О.
I.:ro решение: kопт 141,4. flри этом X ==. /t 2,114 и ХСНВ:::::: 1,55 rрад.
Для проверки вычислим: при fl === 135 X == J4 2,416 и при k == 150
х2 == J4 == 2,417.
Действительно, при fl === 141,4 c l в рассматриваемой САР при случайных
внешних воздействиях среднеквадратичное значение рассоrласования минимально.
Оно заметно меньше значения при k, выбранном по минимуму улучшенной квадра..
тичной интеrральной оценки.
Определение оптимальной передаточной функции системы.
При реализации оптимальных (в статистическом смысле) значений
параметров в системе с заданной структурой не всеrда достиrается
желаемое (допустимое) среднеквадратичное значение paccor ласо-
вания. Значительно лучшие результаты MorYT быть получены
при оптимальной структуре системы при оптимальной переда..
точной функции.
Если оптимальная передаточная функция не может быть физи-
чески реа.пизована, то Есе же ее определение полезно: становится
очевидным тот предел улучшения !<ачества системы при данных
'" u
СJ1учаиных воздеиствиях, к которому следует стремиться.
Задача определения оптимальней передаточной функции мо-
жет быть сформулирована следуICЩИМ сбразом. На входе системы
(рис. 9.28) задающее воздействие (полезный сиrнал) g (t), и воз-
мущение (помеха) f (t), ЯЕЛЯICщиеся стационарньтми СJ1учайными
функциями времени с известными статистическими характери..
стиками. Система должна воспроизводить задающее воздействие
в соответствии с передаточной функцией W ж (s). Требуется найти
О(Jтимальную передаточную функцию W'-iП1' (s) системы, при ко..
торой имеет минимум среднеквадратичное значение ошибки е (t),
т. е. разности между желаемым u (t) и действительным У (t) зна..
чениями реrули уемой не.пичины. [Iередаточная функция WОП'l' (s)
43
Рис. 9.28. К Определению оп..
ТИМ ал ьной n ередаточн ой
функции
должна удовлетворять наиболее слабому условию физической
реализуеrvIОСТИ: реакция системы на входной сиrнал не может
наступать ранее сиrнала.
Решение задачи дано Н. Вине ром:
00 00
W (. ) 1 J jrotdt J Sиq>(OO) jrotd
о п т ) (f) 2 пФ (j 00 ) е Ф ( j (0) е О) .
oo "'00
(9.100)
Здесь Sщр ((О) взанмная спектральная плотность сиrналов u (t)
и <р (t), а комплексные функции Ф (j(O) и Ф ( j(O) зависят от
спектральной плотности cYMMapHoro сиrнала <р (t) на входе си..
стемы :
I ф (j(o) 12 == Ф (jю) Ф ( j(O) == Sq)q> ((О) S gg ((О) + S ff(O)) +
r S gf ((о) + S f g (ы). (9.1 О 1 )
Спектральная плотность SЧ1<Р (ш) есть чеТI<:ая функция (О,
ее rvIОЖНО представить в виде
ЬО + ь1оо2 + . .. + bJ,too2,u.
S срср (Ю) === йо + й1Ы 2 + . . . + avoo'2V ·
Поэтому
. А (Ы )'1) (OO '\'2)...(OO ,\,Jl).
Ф ()(О) (00 Лl) (00 Л2) .. . (00 лv) ,
. (00 + )'1) (00 + )'2) · . . (00 + ,\,Jl)
Ф ( ) (о) А (00 + Л1) (00 + Л2) . . . (00 + лv) ,
(9.102)
rде А == V blJ,/av; t'i и Лl нули И полюсы функции S fP ((О).
Если передаточная функция W OnT(S) соответствует выражению
(9.100), то среднее значение квадрата ;2 ошибки минимальное.
Формула (9.100) может быть использована прежде Bcero для
решения задачи фильтрации (сrлаживания) помехи [98], т. е.
для отыскания передаточной функции W СЛ1' (5) системы, в которой
при наличии помехи f (t) задающее воздействие g (t) ..воспроизво-
дится с l\1ннимальным среднеквадратичным значением. рассоrласо-
вания х (/). [lри решеНИIf этоЙ задачи \V(Ji (s) == 1; lt (/) == g (t);
SИfJ ((и) , 'g(P ((,,) l)fШ (u)) + S gf (tl)), (9.103)
и формула (9.100) приводится к виду
W о Л'!' (j(O) == в (j(О)/Ф (j(O). (9.104)
444
Функция Q) (jbl) опредеJIяется по формуле (9.102), а
q
В (jw) r ai/(w ...... lll)'
l==l
(9.105)
rде lli (i === 1, 2, ..., q) полюса функции
S grp (U) )/(]) ( j(u),
лежащие в верхней ПОJIУПЛОСКОСТИ;
[ S gф (00) ]
ai =:: (ы 'Y)J ф ( jw) OO==lll. (9.106)
Определение WOnT (j(f)) по формуле (9.104) может быть выпал..
нено не только аналитически, но и rрафоаналитически [98], что
особенно удобно, коrда спектраJIьные и взаимные спектральные
плотности заданы в виде rрафиков.
ПреДПОЛОЖИ 1, что W оп'! (j(f)) определяется для воспроизве-
дения полезноrо сиrнаJIа при высоком уровне помехи f (t), которая
представляет собой «белый шум» со спектральной плотностью
S f f (ю) === N II не имеет взаимной связи с полезным сиrналом
g (1). I'Оf да в перI30 1 приближении [98 J
w 11 П i ( jUJ) S gg ( (f) )/ N ·
(9.107)
Пример 9.13. Для системы, рассмотренной в примере 9.12, отыскать пере-
даточную функцию W Qп'r (s), оптимальную относительно фильтрации помехи f и),
и определить среднеквадратичное значение рассоrласования Х и), возникающеrо
в системе с передаточноj'I функцией W опт (8).
Определим спектральную плотность cYMMapHoro сиrнала на входе системы.
Полезный сиrнал g (t) и помеха f (t) не имеют взаимной связи (не коррелированы):
Sgf (w) == Sfg (ш) === О, поэтому по формуле (9.101)
100 1000 + 5w2
S «Р«Р (00) :=: S g g (w) + S f f (00) == 1 + 100002 + О) 05 1 + 100002 ·
Далее, использовав формулы (9.101) и (9.102), определим
Ф (jш) Ф ( jш) == S(fQ; (ш) == 0.05 ;''; g, ==
== v о 05 00 j 2ёЮ V О 05 00 + j 200 .
t ffi }О, 1 ' 00 + }О, 1
Следовательно:
Ф (. ):=: 1/ О O 00 j Vr 2ёЮ
} 00 t '., .0 1
ш } ,
Ф ( . ) Vo 05 00 + j V2Об
}W , (J) + jO, 1
Затем НQi'fде, l ФУНКЦИIО В Оы). В данном случае Sgf (ш) == О и
10 10
S gф (w) S g g (w) == (j) 2 + О, 01 == (оо jO, 1) (J) + jO, 1) ·
445
Тепер ь MO)KIIO сос faBIITIJ функuию
S gq> (ы)
Ф (....... j (о )
I [О
((() jO,l) (ы + 1'0,1)
10
== V 0,05 ((О jO, 1) ((() + j V 200) ·
v 0]5 ((() + j V200)
(r) + jO I 1
Эта функuия имеет два полюса, и в верхней полу плоскости лежит только
один из них: 111 == 1'0,1. Следовательно, по формуле (9.106)
а1 == [(OO jO,I) V 10 V ] ==
0,05 ((() jO, 1) ((() + l' 200) (0==1'0,1
10
j V 0,05 (о, 1 + V 200)
и по формуле (9.105)
8иоо) V ·
l' 0,05 (о, 1 r 200) ((() 1'0, )
Далее, ИСllользовав формулу (9.104), определим
W (') в (j(())
опт J(() == ф (j(()) ==
100 r0]5 ((() j V200)
j V 0,05 (о, 1 + V 200) (ы 1'0, 1) · (() 1'0, 1 ==
20
j (0,1 + V 200) ((() j V 200)
kOllT
т ОПТ (j(()) + 1 '
rде
V 200 1
ko 0,1 + V200 0,993; Т о V200 "'" 0,0707.
11raK, оптимальная передаточная функция замкнутой системы
k
W оп r (S) == т 05 + 1 '
и передаточная функция разомкнутой цепи этой системы
) W опr (5) ko
W оит. р (s == 1 W опт (s) == т 08 + (1 ko) ·
в заключение определим среднеквадратичное значение рассоrласования
х (/), которое возникает в этой оптимальной системе. По формуле (9.94)
S хх «(()) == I W х (1' ы) 12 S g g ((()) + I W f (j ы) 12 S f f (<0),
rде
. 1 То (j(()) + (1 ko)
W х иы) == . т ( ) + 1
1 + W 01lТ. Р (J(r)) о J(()
. w ОПТ. р (1'(1)) ko
W f (J(()) == ·
1 + WОПТ. {) (j(()) То и<о) + 1
G
Затем с П()МОIЦLIО формулы (9.99) IIнiiл.ем
00
"'2 J [1 То (joo) + (1 ko) 12 1000 +
Хоnт 2л Т о (joo) + 1 (1 + 100(02)
oo
+ I т о : ) + 1 12 0,05] dro == 1000J2 + 0.0511'
rде
00
1 J" .......0'07072 (j 00 ) 2 + 0,0072
J'}. -== 2л ' 10,707 (j(tЭ)2 -1 10,07 (ju» r 1/2 Jы;
oo
00
J 1 ::::: J 0,9932 (1(1);
2л I 0,0707 (j(u) -1 I '
oo
уIспользовав соответствующие формулы из (9.9В), вычислим J 2 === 0,00035
.......2
и J 1 == 6,97. Следовательно, Хопт == 1000.0,00035 + 0,05.6,97 == 0,35 +
+ 0,35 == 0,70, и среднеквадратичное значение рассоrлаСОвания в оптимальной
системе
ХСКВ. опт === V Х5пт == 0,84 rрад.
Из полученноrо результата следует, что в оптимальной системе задающее воз..
действие и возмущение создают одинаковые слаrаемые рассоrласования.
Сравнивая полученный результат с результатом примера 9.12, заключаем:
оптимальное значение передаточноrо коэффициента разомкнутой системы не
обеспечивает еще достаточноrо приближения к минимально возможному средне-
квадратичному значению рассоrласования. Видимо, если невозможно иметь оп-
тимальное значение передаточной функции системы, то следует кроме оптималь
Horo значения передаточноrо коэффициента k иметь еще и оптимальное значе-
ние постоянной времени форсирующеrо элемента.
По формуле (9.100) может быть определена [98 J передаточная
функция W оnт (8) системы, в которой с минимальным среднеква-
дратичным значением ошибки 8 (t) воспроизводится упрежденное
значение g (t + to) задающеrо воздействия, т. е. задающее воз-
действие воспроизводится с оценкой ero вероятноrо значения
в будущем. В этом случае W ж (8) == etos. Такая задача статисти..
ческоrо упреждения может быть решена совместно с задачеЙ
фильтрации помехи.
Формула (9.100) может быть использована также для опреде..
ления передаточных функций запаздывающеrо фильтра или диф-
ференциатора. Запаздывающий фильтр это система, в которой
задающее воздействие воспроизводится с необходимым запаздыва-
нием. Дифференциатор воспроизводит производную от задающеrо
воздействия. В обоих случаях может быть обеспечен минимум
среднеквадратичноrо значения рассоrласования при наличии
помехи.
Формула (9.100) может быть преобразована для решения
перечисленных задач при заданной передаточной функции объекта
реrулирования и при наличии кроме помехи на входе возмущения,
приложенноrо непосредственно к объекту.
447
rлаваlО
КОМБИНИРОВАННОЕ РЕrУЛИРОВАНИЕ
ДJIЯ улучшения лннамическнх своЙств CAI) ВJIlfЯНl1t эаt\-lКНУ"
TOI'O контура реrулирования по отклонению дополняется непо..
средственным влиянием внешнеrо воздействия. В системе с до...
полнительной связью по возмущению (см. рис. ) .5, а) мо)кет быть
получена инвариантность(независимость) реrулируемой величины
от возмущения. Дополнительная связь по задающему воздействию
(см. рис. ) .5, б) позволяет приближаться к инвариантности рас-
соrласования от задающеrо воздействия. В мноrоконтурной си..
стеме инвариантность, вообщ rоворя, может быть достиrнута
(см. п. 8.4) и без дополнительной связи по внешнему воздействию.
Ниже рассматривается принципиальная возможность дости..
жения инвариантности, свойства и расчет комбинированных си.
стем.
10.1. ВИДЫ ИНВАРИАНТНОСТИ
Комплекс проблем, связанных с реализацией принципа инва..
риантности, составляет теорию инвариантности. Основополаrа..
ющими являются работы [52, 59, 77 J. Систематическое изложение
основных сведений об инвариантности дано в моноrрафиях [54,
65 J. Обширный теоретический материал и сведения о практиче..
ской реализации принципа инвариантности содержат труды Все..
союзных совещаний по инвариантности [106, )07, ) 10 J.
Решение проблемы инвариантности в той или иной САР на..
чинается с определения условия инвариантности, которое может
быть удовлетворено не менее чем при двух каналах воздействия
возмущения на реrулируемую величину. Лишь в этом случае
воздействие возмущения по одному каналу может быть скомпен-
сировано противоположным по знаку воздействием этоrо же
возмущения по друrому каналу (или по друrим каналам). Прин..
цип двухканальности ----- это необходимый, но недостаточный кри-
терий реализуемости условия инвариантности. Дополнительные
связи в комбинированных системах (см. рис. 1.5) и являются
необходимыми вторыми каналами влияния внешних воздействИЙ.
448
Наиболее блаrоприятным вариантом удовлетворения условия
инвариантности является изменение лишь параметров kakoro-то
элемента (элементов). САР. Однако эти изменения физичеСI(И
осуществимы, если остается справедливым соотношение
т < n. (10.1)
Здесь т и 12 порядок соответственно правой и левой части
дифференциальноrо уравнения элемента, т. е. степень числитеJ1Я
и знаменателя ero передаточной функции.
Соотношение (10.1) должно выполняться и для всех реальных
элементов, 'вводимых в САР с целью обеспечения инвариантности.
Таким образом, достаТОЧНЫ11 критерием реализуемости УСЛОВЕЯ
инвариантности является возможность физическоЙ осуществиме-
сти необходимых для этоrо реальных эле .лентов САР.
Трудности реализации условия инвариантности обусловили
целесообразность создания систем и с приближенным ero удовле-
творением. Поэтому в зависимости от степени реализации усло-
вия инвариантности и получаемых результатов различают сле
дующие виды инвариантности: абсолютную, полную (с точностью
до переходной составляющей), частичную (до l-й производной
В'ключительно) и с точностью до малой величины В.
При абсолютной инвариантности реrулируемая величина си-
стемы совершенно не зависит от возмущения, момента времени
(начальноrо значения возмущения и ero производных), коrда воз-
мущение начинает воздействовать на систему, и ero последующеrо
изменения. Предполаrается, конечно, оrраниченность значения
этоrо возмущения.
Если от возмущения не зависит лишь установившееся значение
реrулируемой величины, то имеет место полная инвариантность.
В этом случае начальные значения возмущения и ero производ"
ных создают переходную составляющую реrулируемой величины.
Пример 10.1. Выяснить, при каких значениях параметров обеспечивается
инвариантность реrулируемой величины Уl от возмущения [в САР, описываемой
уравнениями
QIIYi Q12Y2 QIЗУЗ == о;
Q22УЗ Q2ЗУЗ == R 2f[;
QЗIУi + QЗ2У2 + Qззуз == Rзgg,
rде Qlj == C[jp2 'иР + k1j; R2f == 2p2 + а2р + Р2; Cij, '11" kii' S2' а2 И Р2
посто ян ные.
Для определения зависимости Уl от [ предположим на основании привципа
суперпозиции, что g == о и У[ (О) == Yi(O) == О. Затем преобразуем систему урав..
нений по Лапласу:
Qll V i ....... Q12 V 2 QIЗ V 3 == о;
Q22 V 2 ....... Q2З V 3 ==== R 21Р М;
QЗIVi + QЗ2V2 + QззVз == О,
rде М == ( 2S + (2) [О + s2/0, [О и 10 ...... начальные значения возмущения и ero
производной.
1/& 15 Макаров И. М.
4!9
I1з полученноЙ (lИстемы алrебраических уравнениЙ найдем
}.rl == (Q12Qзз Q1зQЗ2) (R2fF М) .
Q11Q22Qзэ + Q11Q2зQЗ2 + Q12Q2зQЗ1 + Q1зQ22QЗl
/словием инвариантности является равенство
Q12Qзз == QlsQЗ2'
Равенство удовлетворяется при следующих соотношениях между парамет..
рами элементов:
С1аСsз == СlаСЗ2; СИt'зз + '12СЗЗ == Сlз'З2 + 'lЗСЗ2;
Сlаksз + '11'ЗЗ + k1sсзз == Сiзk82 + 'lз'sа + k1ЗСЗ2;
'i2kзз + R18'ЗЗ == '1зkзs + k1З'З2 и k12kзз == k1зks2,
Если параметры элементов удовлетворяют этим равенствам, то изображение
у f реrулируемой координаты становится независимым как от изображения F
возмущения, так и от начальных значений ,О и 10 возмущения и ero производной.
В этом случае достиrается, следовательно, абсолютная инвариантность. Реализа..
циеА условия инвариантности достиrается симметрирование двух каналов воз..
действия' на Уl'
Пример 10.2. Составить условия инвариантности реrулируемой величины У1
от возмущения' в САР. которая состоит из трех элементов и описывается систе..
мой дифференциальных уравнений
Ql1Y1 Q1tY2 == R1f';
Qa2Y2 Q2зУ. == R 2f';
QЗ1У1 + QззУз == R8gg,
rде Qij === CijP + 'ijP + kij; Ri/ == SiP + aiP + Pi; Cij, 'ij' kij' l' al и Рl
постоянные.
Чтобы выяснить влияние' на У1' будем на основании принципа суперпозиции
рассматривать САР при g == О и нулевых начальных условиях: Уl(О) == Yi(O) == о.
Преобразовав систему уравнений по Лапласу, получим следующую систему
алrебраических уравнений для изображений переменных:
QIIY 1 Q12Y 2 == R1fF + м 1;
Q22Y 2 Q2ЗУЗ::=: R21F М 2;
Q81Y1 + QззУз == О,
rде Mi == (SiS + ai) f + ifO.
Разделим каждое i e уравнение на собственный оператор Qu:
Y1 W12Ya== W1/F+ M1/Ql1;
у 2 1\7 2З Уз == W 2fF----.М 2/Q22;
WЗ1У1 + УЗ == О,
rде Wij == QijlQij, Wij == RiflQu передаточные функции
сительно Yj и,.
Из по.пученной системы уравнений определим
У пr; F + (Q22Ml Q12M2) Qзз
1 f Q11Q22Qзз + Q12Q2зQЗl '
W 12W 21 W 1f САР
r де W f :::= 1 + w \\7 W передаточная функция
. 12 23 Зl
Передаточная функция Wf обращается в нуль, если
W 12 W 2f W 1f == О или Q12R21 Q22R11 == О.
i ro элемента отно"
относительно' .
450
В левой части этоrо равенства разность полиномов от s имеет четвертую сте-
пень. Для удовлетворения равенства должны быть равны нулю свободный член
и коэффициенты при s, S , SJ и s4-, т. е. можно записать пять уравнений для опреде
ления постоянных коэффициентов системы уравнений. Постоянные 61' O'i, Рl'
2' 0'2 И Р2 следует считать неизменными. Если выбрать одну из постоянных С12'
'i2' k12, С22, '22 И k221 то можно определить необходимые значения остальных.
При этом Qi2 == Q22Rlf/R2f и изображение У1 реrулируемой величины не
зависит от изображения F возмущения, но зависит от начальных значений fO
и 10 возмущения и ero производной. При реализации этоrо условия будет достиr-
нута, следовательно, полная инвариантность.
Для независимости У! также от fO и 10, т. е. для достижения абсолютной ин-
вариантности, необходимо еще удовлетворить равенство
Q22M f ..... Q12M 2 == о.
После подстановки в это равенство значения Qi2 получим
Q2sMt Q22 RR11 М. == о;
21
QRI2 (R2fMl ---- Rf.1M2) == о.
21
Для абсолютной инвариантности необходимо иметь, следовательно,
R.,M 1 ...... R 11М. == о,
т. е. должна быть обеспечена о пределенная зависимость между постоянными 6i,
о' i, PI' 61' 0'2 И PI.
Итак, если возмущение приложено к двум элементам САР, то
обеспечить абсолютную инвариантность сложнее, чем полную
инвариантность. Если возмущение приложено только к одному
элементу САР, то при реализации условия инвариантности дости..
rается абсолютная инвариантность.
При частичной инвариантности обеспечивается независимость
реrулируемой величины в установившемся режиме лишь от абсо..
лютноrо значения возмущения и ero младших производных (до
l..й включительно). Такая ситуация возникает прежде Bcero из-за
физической неосуществимости элементов, необходимых для реал и..
зации условия инвариантности. Очевидно, что частичная инва..
риантность эффективна лишь при относительно медленном изме..
нении возмущения. Начальные значения возмущения 11 ero про..
изводных создают переходный процесс.
Вследствие неточности расчета или выполнения необходимых
элементов часто достиrается только приближение к абсолютной,
полной или частичной инвариантности, т. е. влияние возмущения
на реrулируемую величину оказывается существенно уменьтен..
ным, но все же имеет место как в пер еходных , так и в установив-
шихся режимах. В этом случае достиrается инвариантность с точ-
ностью до малой ве'личины В. Результат, вообще rоворя, такой )ке,
какой может быть достиrнут реrулированием по отклонению.
Различие лишь в методе обеспечения этоrо результата: он дости-
rается не улучшением динамических свойств замкнутоrо контура
реrулирования по отклонению, а созданием дополнительной
связи по возмущению.
451
Часто необходимо иметь инвариантность реrулируемой ве-
личины от нескольких возмущений полиинвариантность. Ко...
нечно, это задача более сложная и сществует оrраничение [65]
на число возмущений, инвариантность от которых принципиально
достижима.
Итак, были рассмотрены виды инвариантности реrулируемой
величины от возмущения. Аналоrично классифицируется инва-
риантность рассоrласования от задающеrо воздействия в комби-
нированных следящих системах. Однако абсолютная инвариант-
ность в них принципиально достижима лишь в исключительных
случаях
10.2. СИСТЕМА I(ОМБИНИРОВАнноrо РЕrУЛИРОВАНИЯ
Комбинированное реrулирование это основной и широко
используемый способ обеспечения инвариантности реrулируемой
величины от возмущения. В системе комбинированноrо реrулиро-
вания (см. рис. 1.5, а) компенсирующая цепь создает сиrнал и,
который вызывает такое действие исполнительноrо элемента,
которое, компенсирует (с той или иной точностью) непосредствен"
ное (естественное) влияние возмущения f на объект и, следова..
тельно, на реrулируемую величину у. Замкнутый контур осуще-
ствляет реrулирование по отклонению: обеспечивает воспроизве..
дение Iреrулируемой величиной задающеrо воздействия и умень-
шает влияние второстепенных возмущений. Компенсирующая
цепь включает вторую точку воздействия возмущения на систему
и в связи с этим (см. п. 10.1) не может обеспечить абсолютную
инвариантность.. В лучшем случае возможна лишь полная (с точ-
ностью до переходной составляющей) инвариантность, поэтому
замкнутый контур участвует и в уменьшении влияния OCHoBHoro
возмущения.
Рассмотрим укрупненную структурную схему системы комби-
нированноrо реrулирования (рис. 10.1). Передаточные функции
описывают следующие участки цепи; W1 == k1R1/Ql основную
часть объекта реrулирования; W2 == k2R2/Q2' rде полиномы R2
И Q2 не имеют равных корней, участок замкнутоrо':контура,
в который входят в общем случае элементы объекта, исполнитель-
ный элемент, усилитель и корректирующий элемент; Wз:::::::
== kзRз/Qз предварительный усилитель; Wo === ko основную
обратную связь и W4 == k4R4/Q4 компенсирующую цепь.
Компенсирующая цепь включает чувствительный элемент для
измерения возмущения и элемент, создающий необходимый
сиrнал и.
Составим передаточную функцию системыl относительно возму-
щения:
\t7 Wl(W2W4 1) klRl(k2k4R2R4 Q2Q4)Q8 (10.2)
f 1 + WОW1W2WЗ (Q +kR) Q4
452
Рис. J 0.1. Укрупнеиная структур- g
ная схема систем ы комбиннрован-
НОТО реТУЛНРОВ8НИЯ
и относительно задающеrо воздействия:
W === w 1 W 2 W 3 == kR , ( 1 О 3)
{; 1 + w о W 1 W 2 W 3 Q + kR ·
rде k == koklk2k3; R === R1R2Rз и Q == QIQ2Qз.
Условием инвариантности реrулируемой величины у от воз..
мущения f является равенство, обращающее в нуль передаточ"
ную функцию \Wf:
Q2Q4 == k2k4R2R4. (10.4)
Для удовлетворения этоrо равенства должны быть равны коэф"
фициенты при одинаковых степенях s в левой и правой части ра...
венства, т. е. прежде Bcero степень полинома R2R4 должна быть
равна степени полинома Q2Q4. Между степенями т2 и n2 полино-
мов R2 И Q2 возможно только соотношение т2 n2. у физическк
осуществимой компенсирующей цепи степень т4 полинома R4
не может быть выше степени n4 полинома Q4. Следовательно, то..
чное удовлетворение равенс'(ва' (10.4) возможно только при т2 == n2=
и в этом случае необходимо иметь
k4 == 1/k2; R4 == Q2; Q4 == R2.
(10.5)
Если т2 < n2, то степень полинома R2R4 меньше степени'
полинома Q2Q4 и равенство (10.4) не может быть реализовано.
В нуль MorYT быть обращены лишь коэффициенты при свободном
члене и при нескольких младших стпенях S в полиноме k2k4R2R4
Q2Q4. Следовательно, будет обеспечена частичная инвариантность.
Всеrда достижима частичная инвариантность до т4..й производной
включительно. В лучшем случае, коrда необходимая компенсиру"
ющая цепь физически реализуема и оказывается устойчивой, до--
стижима частичная инвариантность до (т4 + n4)..й производной
включительно.
В компенсирующей цепи всеrда должно осуществляться диф
ференцирование сиrнала, создаваемоrо чувствитеЛЬНbIМ элемен...
том. Широко используются дифференцирую.щие устройства, соз
дающие первую и вторую производные. Производные более BЫ
COKoro порядка получить сложнее. При этом уменьшается точность
преобразования и повышается уровень помех. Эти обстоятельства
оrраничивают возможности дифференцирования сиrнала в ком...
пенсирующей цепи, поэтому при т2 == n2 чаще Bcero оrраничи
ваются обеспечением лишь частичной инвариантности.
15 Макаров и. М.
453
Пример 10.3. САР lIMeeT структурную схему, изображенную на рис. 10.1,
и ее передаточные функции
W1 :::::; k1 (bs + 1); W2 k2 (bos2 + b1s + 1)
as + 1 aos2 + a1s + 1
wз::::= k3 И Wo == 1.
Выяснить зависимость реrулируемой величины у от возмущения 1, если:
1) компенсирующая цепь должна обеспечивать полную инвариантность:
2) W4 == k4 ( S + 1) /(as + 1) и компенсирующая цепь должна обеспечивать
частичную инвариантность.
Для ответа на поставленный вопрос в каждом случае сначала следует опреде
лить необходимую передаточную функцию W4.
1. В рассматриваемой САР т2 ==: n2 == 2,и для удовлетворения условия ин
вариантности (10.4) необходимо иметь
W k4( OS2+ lS+ 1)
4 . Ctos2 + а1 s + 1 ·
Тоrда равенство (lO.4) примет вид
(aos2 + a1s + 1) (aos2 + als + 1) == k2k4 (bos2 + b1s + 1) ( os + ls+I).
Для удовлетворения этоrо равенства коэффициенты передаточной функции W4
должны быть следующими:
k4, ==::: l/k2: o == ао; 1 == а1; ао == Ь(): Ctl == Ь1.
Пользуясь передаточными функциями элементов САР, запишем их диффе-
ренциальные уравнения:
(ар + I)y == k1 (bs + 1) (z 1);
(аор2 + аlР + 1) z == k2 (bop + Ь1р + I (v + и);
1
(Ьор2 + Ь1р + 1) и == k2 (аор2 + а1р + 1) 1; и == kз (g у).
в линейной системе справедлив принцип суперпозиции, поэтому для выясне
ния влияния 1 на у достаточно рассмотреть систему при g == о и нулевых началь.
ных значениях координат у, z, v и и и их производных. Преобразуем при этих
условиях систему уравнений по Лапласу:
(as + 1) у == k1 (bs + 1) (Z F) + k1blo;
(aosl + als + 1) Z == k2 (bos + b1s + 1) (V+U);
1
(bQs1 + b1s + 1) С1 == k2 [(aos2 + a1s + 1) F (aos + а1) 10 ао'о);
V == kзУ.
Из полученной системы алrебраических уравнений определим, что при вы-
бранной передаточной функции W4
У === kl [(aos + аl b) 10 + ао (hs + 1) '0] .
(as + J) (aos + als + 1) + k1k2kз (bs + 1) (bos2 + b1s + 1)
На основании этоrо равенства заключаем, что при точной физической реали..
зации выбранной компенсирующей цепи реrулируемая величина зависит только
от начальноrо значения возмущения и ero производной.
2. Если в передаточной функции W4 компенсирующей цепи R2 == s + 1
и Q2 == Cts + 1, то левая и правая части условия инвариантности (10.4) соответ"
ственно равны (aos2 + als + 1) (as + 1) и (bos2 + b1s + 1) Х ( s + 1).
Передаточная функция W4 содержит три коэффициента. Выбор этих коэффи"
циентов позволяет сделать равными нулю свободный член и коэффициенты при s
454
и s условия инвариантности (10.4). Для этоrо должны удовлетворяться следую"
щие соотношения:
k2k4 == 1; а1 + а == Ь1 + ; ао + аlа == ЬО + bl ' т. е. необходимо иметь
k. == 1/k2; == а1 + (ao bo)/(bi al); а == Ь1 + (ЬО ao)/(al bl)'
Удовлетворение этих равенств оrраничивается тем, что коэффициент а не
может быть отрицательным, так как при этом компенсирующая цепь становится
неустойчивой. Предположим, что а > О и компенсирующая цепь физически ocy
ществима даже при < О. Тоrда, составив уравнения элементов системы и затем
преобразовав их по Лапласу при g == о и нулевых начальных значениях коорди-
нат у, z, v и u и их производных, определим
у == kl [(аоа bo ) (bs + 1) sЗF + М{О]
(as + )) [(as + 1) (aos2 + a1s + 1) + k1k21lз (bs + 1) (bos2 + b1s + 1)] ,
еде М == M(s).
Следовательно, обеспечивается частичная (до 2 й производной включительно)
инвариантность у от {. Начальное значение {о возмущения создает переходный про..
цесс.
Если передаточная функция W4 С необходимыми значениями коэффициентов
и а не может быть осуществлена, то можно выбрать только коэффициенты k..
и , а коэффициента должен быть возможно меньшим. В условии инвариантности
(10.4) можно сделать равными нулю только свободный член и коэффициент при s,
если
k4 l/k2; == аl + а Ь1.
в этом случае будет обеспечена частичная инвариантность лишь до l-й про-
изводной включительно, и начальное значение {О возмущения будет создавать
переходный процесс.
Следует иметь '8 виду, что из-за неточностей в определении
параметров объекта и выполнении компенсирующей цепи, а также
вследствие изменения параметров системы при эксплуатации прак-
тически обеспечивается полная или частичная инвариантность
лишь с точностью дО Е.
Компенсирующую цепь целесообразно включать в замкнутый
контур системы так, чтобы участок контура с передаточной функ..
цией W2 (см. рис. 10.1) содержал усилитель и корректирующее
устройство. При этом не возникает необходимости иметь усили-
тель в компенсирующей цепи и леrче выполнить ее дифференци"
..,
рующии элемент.
При достаточно эффективной компенсирующей цепи появляется
возможность иметь меньший передаточный коэффициент разомк..
HYToro контура и, следовательно, леrче обеспечить устойчивость
системы.
По передаточной функции Wg, определяемой формулой (10.3),
можно заключить, что компенсирующая цепь не влияет на дина..
мические свойства замкнутоrо контура. Качество переходноrо
процесса, создаваемоrо задающим воздеиствием, и устоичивость
замкнутоrо контура не зависят от компенсирующей цепи. Однако
сама эта цепь должна быть устойчивой.
Синтез системы комбинированноrо реrулирования может осу..
ществляться по частям. Сначала следует выполнить синтез замк..
15*
455
HYToro контура реrулирования одним из ранее изложенных мето-
дов. Затем можно рассчитать компенсирующую цепь: выбрать
чувствительный элемент для измерения возмущения; выбрать
точку включения этой цепи в замкнутый контур; составить усло..
вие инвариантности; выбрать вид и параметры передаточной
функции цепи и элементы для физической реализации цепи.
После синтеза системы следует оценить качество реrулирова..
ния. Кроме определения показателей качества, характеризующих
свойства замкнутоrо контура реrулирования относительно за..
дающеrо воздействия, нужно выяснить, насколько эффективно
компенсируется влияние возмущения.
При частичной инвариантности (до l-й производной включи..
тельно) обеспечивается астатизм (l + 1)..ro порядка относительно
возмущения. Следовательно, существенно уменьшается лишь
влияние медленно изменяющеrося возмущения, представляющеrо
собой полиномиальную функцию времени, и только в установив..
шихся режимах. Для оценки влияния в установившемся режиме
rармонически изменяющеrося возмущения целесообразно по..
строить амплитудно..частотную характеристику. По ней м:ожна
выяснить, достаточно ли хорошо компенсируется такое возмуще....
ние в рабочем диапазоне частот. Компенсацию возмущения внеоос
установившихся режимах оценивают по переходной характери..
стике системы относительно возмущения. Целесообразно, кроме
Toro, определить составляющую реrулируемой величины, созда..
ваемую начальными значениями возмущения и ero производных
(см. пример 10.3).
10.3. I(ОМБИНИРОВЛННАЯ СЛЕДЯЩАЯ СИСТЕМА
Рассоrласование (ошибка) САР имеет две основные составля
ющие: составляющая Хl возникает из..за неточности воспроизве..
дения задающеrо воздействия реrулируемой величиной, а со....
ставляющая Х2 создается возмущением. В следящих системах
задающее воздействие не остается постоянным, иноrда оно изме..
няется непрерывно, с большими скоростями и ускорениями.
В этих случаях вследствие инерционности объекта и исполнитель-.
Horo элемента составляющая Хl может оказаться недопустимо
большой. Возникает необходимость обращать основное внимание
на ее оrраничение, что часто достиrается с помощью дополнитель..
ной связи по задающему воздействию (см. рис. 1.5, 6). Такую'
связь можно назвать форсирующей, так как она увеличивает
влияние задающеrо воздействия, а систему реrулирования п(}
отклонению, имеIОЩУЮ такую дополнительную связь, комбини..
рованной следящей системой.
Абсолютная инвариантность рассоrласования х от задающеrо
воздействия g принципиально недостижима [65]. Полная инва..
риантность х от g в комбинированной следящей системе мало
вероятна, н всеrда достижима литпь частичная (до l..й производ
456
Рис. 10.2. Укрупнениая структур-
ная схема комбннированной следя-
щей системы
ной включительно) инвариантность. Замкнутый контур реrули..
рования такой системы У fеньшает влияние внутренних и внешних
возмущений и повышает, в некоторой мере, точность Боспроизве..
дения задающеrо воздействия.
Укрупненная структурная схема комбинированной следящей
системы изображена на рис. 10.2. Здесь передаточные функции
Wo, W1, W2 И Wз имеют те же значения, что и в схеме рис. 10.1,
а W5 === kБRБ/Qб есть передаточная функция дополнительной связи
по задающему воздействию.
Составим передаточные функции этой ,САР дЛЯ ошибки сле..
жения:
W ] wOwlw2w5....... (Q1Q2R5 koklk2k5R1R2R5)QS (10.6)
х 1+WоW1W2Wз (Q+kR)Qs '
и относительно возмущения:
W W1 k1R1Q2Qз
, :::::: 1 W t) W 1 W 21\7 s === Q + kR '
rде k === kok1k2k3; R === R1R2Rз; Q == Q1Q2Qз.
Условием инвариантности х от g является соотношение, при
удовлетворении KOToporo передаточная функция Wx обращается
в нуль:
1 Wo \\71 W2 Wб === о,
(10.7)
т. е.
QIQ2Q5 kоklk2kБRlR2RБ == о. (10.8)
Равенство (10.8) удовлетворяется при
1 .
kб == koklk2' Rб ;::: QIQ2 И Qr, == R1R2 (10.9)
(предполаrается, что полиномы QIQ2 И R1R2 не имеют одинаковых
корней) .
Удовлетворение первоrо из равенств (10.9) не вызывает за-
труднений, однако удовлетворение остальных, как правило,
невозможно. Это объясняется следующим: степень п5 полинома Qб
не может быть меньше степени т5 полинома Rб у физически реали..
зуемой передаточной функции W5 дополнительной связи, а сте-
пень полинома R1R2 в подавляющем большинстве случаев ниже
степени полинома Q1Q2 из-за инерционности объекта реrулирова..
ния и исполнительноrо элемента.
По передаточной функции W" определяемой формулой (10.7),
JIerKO заключить, что дополнительная связь по задающему воз-
457
действию не влияет на свойства системы относительно возмущения
и на устойчивость замкнутоrо контура. Вместе с тем сама допол..
нительная связь должна быть устойчивой.
Выбирая коэффициенты полинома R5 передаточной функции
W5 дополнительной связи, можно сделать равными нулю свободный
член и коэффициенты при 8, 82, 1'" в левой части условия инва-
риантности (10.8). Следовательно, можно обеспечиrь частичную
инвариантность до т5..й производной включительно. Степень
полинома R1R2 может быть отличной от нуля, он может содержать
члены с 8, 82, .... Тоrда для частичноrо удовлетворения равенства
(10.8) можно выбрать и коэффициенты полинома Qб передаточной
функции W5. Если при этом дополнительная цепь остается устой--
чивой (коэффициенты полинома Q5 остаются положительными), то
обеспечивается частичная инвариантность до производной более
высокоrо порядка, даже до (m5 + п5) Й производной. Физическая
реализация передаточной функции W5 дополнительной связи
с отрицательными коэффициентами полинома R5 (т. е. немини"
мально фазовой дополнительной связи), вообще rоворя, возможна.
Пусть, например, QIQ2 == аоsЗ --1 a1s2 + a2s + 1, R1R2 :::: bs + 1, R5 :::::: s + 1
и Q5 == as + 1.
Тоrда левая часть условия инвариантности (10.8) равна
(aosS + alS2 + a2s + 1) (as + 1) koklk2k5 (bs + 1) ( + 1).
Свободный член и коэффициенты при s и S2 обращаются в нуль при
удовлетворении следуюlЦИХ равенств:
kok1k2k" === 1; а2 + а === Ь + ; йl + а2а === ЬВ.
Необходимо иметь
А аl .. Ь
... == а2 Ь' а == аl Ь ..
a2 а2
Ь
Коэффициент а > О при a1> Ь' и дополнительная связь тоrда будет-
a2
устойчивой. Достижима частичная инвариантность до 2..й производной вклю"
чительно (в данном случае т6 + nь == 2).
При частичной инвариантности до l..й производной включи..
тельно достиrается астатизм (l + l)-ro порядка х от g: обра-
щаются в нуль коэффициенты ошибки Со, С1, ..., Cz. Иноrда тре..
бования к форсирующей связи можно ослабить и выбирать коэф"
фициенты ее передаточной функции исходя из допустимой уста..
новившейся ошибки от полиномиальноrо задающеrо воздействия
[65]. Предложен метод расчета форсирующей связи [37], устра..
няющей установившуюся ошибку от rармоническоrо задающеrо
воздействия.
Комбинированная следящая система кроме высокой статиче..
ской точности должна, как правило, обладать и достаточно вы..
сокоА динамической точностью. Следовательно, при синтезе до-
полнительной связи по задающему воздействию должна решаться
более сложная задача уменьшения ошибки ero воспроизведения
не только в установившихся, но и в переходных режимах. В этом
1 .
k" == kokl k2 '
458
случае удобно рассматривать [11 J одноконтурную систему, экви-
валентную синтезируемой комбинированной.
Одноконтурная система эквивалентна комбинированной, если
равны их передаточные функции Wx для ошибки слежения (или
перез.аточные функции Wg относительно задающеrо воздействия).
Передаточная функция Wx комбинированной следящей системы
со структурной схемой, изобра)l(енной на рис. 10.2, определяется
формулой (10.2). У одноконтурной системы
Wx== J/(1 + Wэ); Wэ===(1 Wx)IWx) (10.10)
rде W э передаточная функция разомкнутой цепи эквивалент..
ной системы.
Необходимо иметь в виду, что, пользуясь передаточной функ-
цией wэ, определяемой формулой (10.10), нельзя выяснить свой-
ства комбинированной системы относительно возмущения.
По эквивалентной одноконтурной системе можно рассчитать
комбинированную следящую систему частотным методом. Напри-
мер, можно поступать так [65 J. Сначала на основании требуемоrо
порядка астатизма составить передаточную функцию дополни-
тельной связи по задающему воздействию. Затем по структурной
схеме системы определить передаточную функцию для ошибки
слежения и передаточную функцию W э разомкнутой цепи одно-
контурной эквивалентной системы. Далее, на основании Bcero
комплекса требований к статичес}(им и динамическим свойствам
системы построить желаемую ЛАЧХ Lэ. ж разомкнутой цепи
эквивалентной системы и определить передаточную функцию Wэ. ж
этой цепи. Сравнение соответствующих коэффициентов переда..
точных функций W э И W э. Н{ позволит составить систему алrебраи..
ческих уравнений для определения искомых коэффициентов
передаточных функций комбинированной системы.
В структурной схеме комбинированной системы следует пре-
дусмотреть не только дополните...'IЬНУЮ связь по задающему воз-
действию, но и корректирующее устройство. Тоrда леrче удо-
JIетворить весь КОМПJIекс требований к воспроизведению заДа-
u
ющеrо воэдеиствия.
Пример 10.4. Комбинированная следящая система выполняется по структур
ной схеме, приведенной на рис. 10.2, и передаточные функции ее основных эле-
ментов
W W k1 (bs + 1) W k W 1
1 2 (aos2 + аl s + 1) (as + 1)' 3 == 3; О === ,
rде k1 == 1,85; ао == 0,082 с2; аl == 0,777 с.
Выбрать передаточную функцию W6 дополнительной связи и коэффициенты Ь
и а передаточной функции последовательноrо корректирующеrо устройства так,
чтобы относительно задающеrо воздействия система имела астатизм 3 ro порядка
при добротности 500 с з и ее переходная характеристика имела следующие пока-
затели качества: перереrулирование (J 30% и время реrулирования tp
0,25 с.
Для обеспечения астатизма 3 ro порядка (частичной инвариантности до 2 й
производной включительно) передаточная функция W, дополнительной связи
459
.должна иметь в числителе полином R& второй степени. Эта передаточная функция
может быть физически Реализована, если и в ее знаменателе будет полином Qa
также второй степени. По формуле (10.6) леrко заключить, что знаменатель пере..
даточной функции Wx будет наименьшей степени, если полином Qa содержит
..множите.лем двучлен bs + 1. Итак, выберем
W ks ( OS2 + IS + 1)
5 (as + 1) (bs + 1) ·
Тоrда по формуле (10.6) определим
W (aos2 +a1s+ 1) (as+ 1) (ш+ 1) (bs+l)' klk5 (b.s+ 1) ( OS2+ IS+ 1)
[ (aos2 + а1 s + 1) (as + 1) + k1 kз (bs + 1)] (а') + 1) (bs + 1)
aoaas4 + [ао (а + а) + а1аа] 53 +
-== ...
aoaas4 + [ао (а + а) + а1аа] s3 +
+ [ао + а1 (а + а) + аа klk5 oI S2 +
... - .............
+ [ао + а1 (а + а) + аа + k1kзЬа] S2 +
+ (al + а + а klk5 1) S + (1 k1k5)
..... . . .
+ [а1 + а +. а + klk3 (Ь + а)] + (1 + k1kз) ·
Частичная инвариантность до 2-й производной включительно обеспечивается
при
1 ...... k1kб == о; аl + а + а klkб i == о;
ао + аl (а + а) + аа klkб О == о.
Следовательно, необходимо иметь
ka === l/k1 == 0,541; 1 == а1 + а а;
o == ао + аl (а + а) + аа.
Затем по формуле (10.10) определим передаточную ФУНКЦИIО разомкнутой
цепи эквивалентной одноконтурной системы:
1 W х Qx Rx kэ (Ьэоs2 + ьэ1s + 1)
wэ==
W х Rx S8 (аэ + 1)
rде
kз == 1 + k1kз ·
ао (а + а.) + а1аа '
ь ао + аl (а + а) + аа + k1k3ba
зо 1 + klk3
ь а1 + а + а + .k1kэ (Ь + а.) .
эl 1 + k1 k3 '
аоаа
аз== ао(а+а)+а1аа.
На основании передаточной функции W э и требований к системе можно
строить желаемую ЛА Ч Х Lэ. ж разомкнутой цепи эквивалентной системы
(рис. 10.3). Ее низкочастотная асимптота должна иметь наклон 60 дБ/дек
и проходить через точку А с координатами ООА === 1 и LA == 20 Ig 500 == 54,0 дБ.
Наклон высокочастотной асимптоты должен составлять ----40 дБ/дек.
460
L,86
80
о
60
IJO
Рис. 10.8. Желаемая ЛА ЧХ
разомкнутой эквивалентной
системы
20
20
Для построения среднечастотной асимптоты по HOMorpaMMe (см. рис. 7.8, а)
определим соотношение между частотой среза U>o временем реrулирования 'р,
а также максимальное значение Ртах вещественной частотной характеристики:
'р == 3, 6л/roс; Ртах == 1,38.
Следовательно, необходимо иметь оос == g,:5 == 42,5 C l; ч.ерез эту точку
проводим среднечаСТОТНУIО асимптоту с наклоном 20 дБ/ дек. Затем по номо..
rpaMMe (см. рис. 9.9) определим, что для обеспечения Ртах == 1,38 необходимо
иметь избыток фазы 34,50 на частотах U>a и Ц)б, при которых ординаты ЛА Ч Х
Lэ. ж соответственно будут La == 11,5 дБ и Lб == 11,5 дБ.
Путем проб найдено сопряжение среднечастотной асимптоты с низкочастотноЙ
и высокочастотной асимптотами (см. рис. 10.3), при котором избыток фазы в кон-
трольных точках Уа == 38,20 и Уб === 330 достаточно хорошо удовлетворяет необ-
ходимым значениям.
Итак, желаемая ЛАЧХ Lз.ж эквивалентной системы состоит из четырех асим-
птот с наклоном 60, 40, 20 и 40 дБ/дек. Ее сопряrающие частоты U>1 ::::;
== 0,813, Ц)2 == 12,6 и СОв == 126 c l. Следовательно) желаемая передаточная функ..
ция разомкнутой цепи эквивалентной системы
W kз. Ж ('&315 + 1) ('&32S + 1)
э. ж s' (Т эS + 1) ,
rде kэеж:=: 500 с"3; 'tЭl == 1/ u> 1 == 1,23 с; 'tЭ2 == 1/ u> i == 0,0794 с; Т 1)::::::1 1/ U>з ==
== 0,00794 с. 4
Приравняв коэффициенты перед(точнои функции wэ.)I( соотвеТСТВУIОЩИМ
коэффициентам передаточной функции wэ, составленной по структурной схеме,
получим четыре уравнения для определения kз, а, Ь и а:
kэ. ж (ао (а + а) + а1йа] == 1 + k1kз;
'f8l'tЭ2 (1 + k1kз) == йо + й! (а + а) + аа + klkзЬа:
('t9t + ТЭ2) (1 + k1kз) == ах + а + а + Jt1kз (Ь + а»)
Т. [йо (а + а) + asaa] == йоаа.
Под став ив в составленную систему алrебраических уравнений значения ki'
ас) а:(, kЭ.)I(' 'tэх, 'tЭ2 И Т Э и исключив kз, а и Ь, получим уравнение относительно а:
at....... 1,31а3 + OJ098a ....... 0,002а + 0,0000159 == о.
Это уравнение имеет два положительныlx веlцественных корня: а == 0,0516
и а == 1,2314.
461
При а === 0,516 имеем kз == 0,943; Ь == 1,528; а == О J 1 03; o === О, 1306; 1 ==
=== 0,8389 и при а =:::; 1,2316 имеем kз == 29,17; Ь == 0,0634; а == 0,0086; o == 1,056;
1 == 2,0170. I
Выберем второе сочетание коэффициентов, так как в первом случае слишкоr-.-r
мало значение передаточноrо коэффициента k === k1kз разомкнутой цепи контура
реrу.rrирования по отклонению и влияние возмущения будет значительным.
Итак, выберем слеДУlощие передаточные функции дополнительной связи по
задающему воздействию и последовательпоrо корректирующеrо устройства:
w 0,541 (1,05652 + 2,0175 + 1). пr! kпос (0,0635 + 1)
о (1,2325 + 1) (0,0635 + 1) , пас 0,00855 + 1 ·
Иноrда требованием к динамическим свойствам системы отно-
сительно задающеrо воздействия является д()пустимое значение
показателя колебательности М. rоrда желаемая ЛА Ч Х экви"
валентной системы должна строиться так, как рекомендовано в
работе [11].
*
* *
Непосредственное измерение внешних воздействий (прежде Bcero возмущений)
может оказаться весьма сложной, а иноrда и неразрешимой задачей. В этих слу
чаях следует выяснить возможность обеспечения инвариантности реrулируемой
координаты от возмущения и рассоrласования от задающеrо воздействия при KOC
венном и относительном измерении внешних воздействий [65].
Мощным методом улучшения динамических свойств САР является создание
в ней скользящеrо режима путем соответствующеrо изменения структуры pery.
ТIятора [108 J. в такой системе с переменной структурой может быть обеспечена,
в частности, инвариантность реrулируемой координаты от внутренних (параметри-
ческих) возмущений.
Приложение 1
ПРЕОБРА30ВАНИЕ ЛАПЛАСА
Преобразование Лапласа [26, 29, 6] J
00
(/ (t)J == J f (t) e st dt == F (8)
о
(П 1.1)
определяет соответствие между функцией временя f (t) ориrи..
налом и комплексной функцией F (8) изображением, rде 8 ===
== с + jw; j =:::: V' 1; с и w постоянные.
Ориrиналом может быть любая функция времени f (t), равная
нулю при t < О и имеющая лишь конечное число точек разрыва
v
непрерывности первоrо рода на всяком интервале оrраниченнои.
длины при t о. Кроме Toro, интеrрал
00
J I f (t) I e " dt < 00:
о
(Пl .2),
должен существовать при всех с > со, rде со абсцисса абсолют..
ной сходимости функции f (t).
Cor ласно свойствам преобразования (табл. П 1 .1), операцияМ'
над ориrиналами соответствуют определенные операции над,
изображением. В частности, дифференцированию и интеrрирова..
нию ориrиналов соответствуют алrебраические операции над
их изображением. Последнее ис.пользуют для решения обыкновен"
ных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф"
фициентами. Сначала дифференциальное уравнение (или систему
уравнений) преобразуют по Лапласу, а затем получают алrебраи..
ческое уравнение (или систему уравнений) относительно изобра..
u
жении.
Интеrрал (Пl.l) для большеrо числа функций вычислен, и
преобразование сводится к использованию таблиц [зо]. Изобра..
жени я наиболее часто встречающихся функций даны в табл. Пl.2.
Правильность преобразования рекомендуется [91, с. 125] прове..
463;
Таблица Пl.l
Основные С80lства преобраэования Лаппаса
(а, с...... постоннвые; п == О, 1, 2, ...)
1
Линейность пре-
образования
2
Дифференцирова-
ние ориrинапа
3
Интеrри рование
ориrинапа
4 Смещение в об-
ласти орнrинапов
5 Смещение в облас-
ти изображений
6 Изменение мас-
штаба
7 Умножение в об...
пасти изображе..
н ий (теорема
свертывани я)
8 Дифференцирова-
ние изображения
9 Начальное значе-
ние ориrинала
10 Предепьное зна-
чение ориrинапа
464
sз {еl (t)} == еР (8)
sз {/1 (1) + 12 (t)} == Р1 (8) + Р2 (s)
sз {/' (t)} == sF (s)
1 (+ О)
{/" (t)} == 82р (5)
sl (+ О)
l' (+ О)
................... ....
sз {/(n) (t)\ ==snF(s)
sn""'11 (+ О)
sn.....2/' (+0)
...
'(n.....l) (+ О)
53 и(
1) (I)} == F (s) + ,(
1) (+ О)
s s
sз J ,(
2) (t)t == F (8) + ,(
1) (+ О) 1(.....2) (+0)
1 r S2 S2 + s
......... ... .... ........
53 \I(
п) (t)} == F (5) + ,(
1) (+ О) +
sn Sn
,(
2) (+ О) ,(
n) (+ О)
+ +...+
sn
1 S
{I (t
а)} == e
a.') Р(5), а> О
\eatl (t) \ === F (s
а)
53 {I (
) } == аР (as)
53 {j 11 (t
'1") t2 ('1") d'1"} == Р1 (s) Р2 (s)
d
{tl (t)} == ..... dS F (s)
liт 5Р (5) == Jim 1 (t), еспи этот предел сущест-
S
ею t--+ ею
вует
liт sF (5) == Вт 1 (t), если этот предел сущест-
t --+ 00
вует
со!
......
t:
CtI
=:f
::s:
1:;:
\о
f--t
,.....
*-
= :
:s
:111:: ..
tN..
-е-"
)ifi! ..
:1=
%11
...
е
:111:: ...
CI)CI)
=:1
=
у=
. а:
1;0
с:...
.У
&::8
g,
7
:1:
= ..
Cl)C-<
iE ..
2.?-
\с ..
осс..
:s: ..
'-'
111
=:
=
с.
'о
О
t;:
са......
=0
ё/\
:s:....
с. ......
О
си
=
:с
си
с.
'g
о
t;:
ccs......
=0
Ел
а::
с.....
о......
си
=:
=
си
CtI
С.
'о
О
CI')
:s:
с:
..<:
v)
"
I
1/)+
о R
U VJ
.......
......
'"
С<
I
fl
VJ
.......
с:
.....
rп
1+
1/) ?-
8+
......
?-......
+
v)
.......
+
.....
С<
.......
сп
О
U
.....
,....,
R
С<
I :<
с.) c't
+C<C<
:.. + +
+
CO!
+ с: '"
'й
с<......'"
cq
.....
С<
с
-;;
.....
I
Q
"
.....
.......
.......1 VJ .......I
"
v' VJ
(Q. ......,
,....,
cq..
......
CQ.
+
...;:
.......
X
(g+
u
.....
...... С<
?-.......
IQ х
1/)
о
с.)
VJ
С<
+
с:+
.... "
1/) '"
...... ......
-
с<
I
'"
'"
.......
......
+
.....
с<
.......
с
'v)
,....,
..
.......
са.
I
......: .............:
...... e't ......
+ lXl. +
i _
e't
......,
+
R са
.......+
C<
.......
+ +
.. R
v'
......, ......,
.....
CQ.
с:
с/')
.....
С<
с:
.;;;
.....
с:а.
с/')
о
с.)
......
с
v;
1""""1
..
.......
сс.
I
1""""1
..
......
CQ.
I
.............:
" .......
са.+
+R
R
......,
+
.. C:Q.
+
CIl...;:
.......
c't
?-
?-!
+
-
I.000OI
......
CQ.
1/)
О
с.)
.....
С<
1/)
о
с.)
R
'" ......
С<:<
1+
м
'"
.. -
с/') '"
.......
100,1
......
"
?-
I
..
VJ
.....
ос
сп
......
" 5
с<......
Ct:I"
IC<
- +
-
.......'"
"'......
.....
с<
1/)
о
u
.....
.......
+
t:
+
'"
......
"
?-
1
R
?-
v) I
..
VJ
R
" ......
?-?-
+1
R R
VJ VJ
.......
м
?-
8 1
+
"'+
VI
......
......
.....
?-
..с:
с.)
.....
tJ
I
Q
с/')
о
u
R
C<
++
с ?-
о;; +
...... '"
......
+
lfJ
.......
,....
+
x
=+
1/).....
.... с<
?-.......
I х
Q
R
С<
+
.....
с<
lIt
О
с.)
.......
r:+
t:
VJ
м
.......+.......+ё:
R
(1'.
.......
..
?-......
+
.....
$100
ос
u
,....,
..
С<
CQ
I
=
.. С<
+
+
::'+
'"
+ -::.
'"
.......
cq
.....
с<
сп
О
с.)
.....
С<
1/)
о
с.)
.....
I
Q
"
....
1/)
1+
"
'"
сп
О
U
......
+
.....
С<
......
сп
О
с.)
c't
'"
С< ....... С<
+
+
+",
VJ ......
.........
+
VJ
........
VJ
.........
......,
.....
С<
.......
с
'(j)
.....
v)
VJ
.........
VI
.......
.....
..с:
с/')
.....
.....
ос .....
сп ?-
..... ос
tJ u
t
.
.....
1
4)
.....
С<'"
+
.
I
..... ......
r:;: с< С<
ctI...... ..а=: ...... ...... ...... s::
:1:0 t::;;::f ...... ..... ......
...... С< с< с
:s:: 41:;':: ...... с: 8
I с< с 'и;
'"'" ;\
a:: ........ ...... ...... I I = 0'1
С ......
:s:: ..... Q Q 'сп сп .....
с....... ,....>- Q ...... с: u)
.......е-
.. ICI)
о...... ..... ..... I
......
со CI) ......
46&
R
М ","""
С< С<:<
?-+ 1+
+:..
"
'"
+ ++
=- '"
.......
......,
.....
с<
ао
О
u
..
.....
.....
ф
о
о
.....
р.
14)
R
'"
......
" R
с<......
1:<
+
R Ct:I N
VJ ....... VJ
.........
.........
R
R ......
с<
:::
c<+
+
Т а б л и ц а П 1.3
Формулы обращения ,цробно-рацнональных изображениА
по Лапласу
(ЬО, b1, ..., ао, ai, ...
постоянные;
т == О, 1, 2, ...; n == 1, 2, ...)
Изображение
Ориrинал
n r
Ь sm +Ь sт
l+..+b s+b
('k) /kt
R(s;) s;t
R. (s)
т т...l 1 о
Q' (sk)
Q' (51*) е +
Q (5) sn + а sn
1 +.. .+ а s + а · k===.1 1:::::;;;1
n
l 1 о
т < п; корни SI' 5:1' . . . 5п полинома Q (s)
.. .
простые и из них 5 1 r 52' . . .. 5, веще-
.....,....., .....,
ствен ные и SI' 52'.... 5р комплексиыf"
с положнтельными мнимыми частямн
R. (s) Ь т sт + ь т
1 5т
1 + .. . +Ь 1 s + ь Q
5Q (s)
5 (sn...l+а 5n--2+...+а 5+а ).
п...2 1 О
т < n; корнн 51' 52" . ., Sп
i полинома
простые
R. (s) bmsm + Ьт__l sт
l +...+ ы1 s +Ьо
Q (s) ;;:::; (s
SI)q" (5
sз)q. .,. (5
5,)q,'
m < n: ql + ". + ... + q, ;;:::; п;
корни
11 52' . · '. 9, полинома Q (
) раз.
Jlичны
р
+2Re
R(s;) eSjt,
Q' (5;)
i==1
Q' (s) == d Q (s)
d s
n
1
R. (О)
R. (5k) skt
Q (О) +
SkQ' (Sk) е ·
k==1
d Q (s)
Q' (s) ==
d 5
r
1 dqk
l [ q st
Iim
(s
k)ke Х
(qk.....1)1 5
skd5qk 1
k==l
, qk
R. (s)]
Фkl (5k)
Х Q (5) ==
(qk
I)1 (1.....1)1 Х
k==l 1===1
Х tqk
I е
kt ,
d/.....1 [(5.... Sk)Qk R. (5)]
Фkl (s) ..... d s/....1 Q (s)
рять по следующим необходимым (а практически часто и достаточ-
ным) условиям: размерность изображения должна быть равна
размерности ориrинала, умноженной на время (размерность s
'есть с"l), и по изображению должны быть правильно определены
начальное и предельное значения ориrинала (см. табл. Пl.l).
Из алrебраическоrо уравнения (или системы уравнений) опре-
деляют изображение искомой переменной. Затем по изображению
путем обратноrо преобразования Лапласа.
c+1'oo
l I F (5) I ==: j;л J F (5) est d5 == f (t)
с-- 1'00
466
(Пl.3)
u
С точностью до значении в точках разрыва непрерывности опре-
деляют ориrинал, т. е. функцию времени, являющуюся искомой
переменной. Таблица ориrиналов, вычисленных по формуле
(Пl.3) для различных изображений, имеется в работе [30 J.
Изображение реПJения обыкновенноrо линейноrо дифферен"
циальноrо уравнения с постоянными коэффициентами представ-
ляет собой дробно..рациональную функцию. Для обращения
(обратноrо преобразования Лапласа) таких функций удобно поль-
зоваться формулами табл. Пl.3. Ориrиналы, соответствующие
различным дробно"рациональным изображениям, приведены
в табл. 4.1 и в значительно большем количестве в работе [60 J.
Для обращения дробно"рациональноrо изображения, которое
отсутствует в таблицах, можно воспользоваться теоремой сверты"
вания (см. табл. Пl.l) или же разложить это изображение на
сумму простых дробей. Один из методов обращения, который
может оказаться экономным, изложен в работе [18 J. Иноrда
при инженерных расчетах достаточно разложить изображение
в ряд Лорана (см. п. 7.2) и отыскать приближенное значение ори
rинала.
Приложение 2
РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИНОМОВ
С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
НА- МНОЖИТ.ЕЛИ ·
При анализе и синтезе автоматических систем в ряде случаев
возникает необходимость в разложении полиномов от s на мно-
жители, т. е. в вычислении корней этих полиномов. Корни поли-
номов третьей и четвертой степеней можно вычислить по точным
формулам [53], однако расчет достаточно сложен. Корни поли-
номов более высоких степеней можно вычислить только прибли-
женно.. Для этоrо используют ряд методов, F'OTOpbIe изложены,
например, в работах [35, 55 J. Существуют также методы, пред..
ложенные специально для расчета автоматических систем [50,
70 J. Все эти методы обеспечивают точность, вполне достаточную
для инженерных расчетов, и позволяют вести вычисления на циф-
ровой ЭВМ. При ручном счете следует пользоваться микрокаль-
JlУЛЯТОрОМ, например «Электроника 53-18».
rрафоаналитический метод (50] предполаrает весьма простые
вычисления, но результаты MorYT иметь существенные поrреш-
ности, поэтому он может быть использован лишь для ориенти"
ровочных оценок значения корней.
На основании весьма npocToro метода Лина (501 можно со-
ставить итерационные формулы, которые и приводятся нижедля
полиномов третьей, четвертой, пятой и шестой степеней. Для
каждоrо из этих полиномов дается два варианта решения.
По первому варианту из полинома выделяют двучлен вида
CS + 1.
(П2.1 )
Если процесс вычисления сходится медленно, то ero можно
форсировать. Для этоrо после KaKorO..TO k-ro шаrа вычислений
следует принять за Ck тот предел, к которому стремятся значе-
ния Сl' С2, ..., Ck...l' .
По второму варианту из полинома выделяют трехчлен вида
boS2 + b1s + 1,
468
(П2.2)
Такой трехчлен можно разложить на двучлены или преобра..
зовать:
· при Ь] > 2VБ;
boS2 + b1s + 1 (T}s + 1) (T2s + 1),
тде
Т1. 2 == (1 + V 1 4Ьо/Й) ;
при Ь1 === 2 Vb.
boS2 + b1s + 1 == (Ts + 1)2,
rде т == Ь1/2 :::= VБ;;
при Ь1 < 2Vbo
bos2 + b1s + 1 === T2s2 + 2sTs + 1,
{'де
v........ bi
Т == ьо; == y .
2 ЬО
Разложение полинома можно начинать по любому из двух
u
вариантов, так как расположение ero корнеи заранее неизвестно.
Если процесс вычисления оказывается расходящимся, то необ-
ходимо перейти к друrому варианту.
Вычисление следует закончить, если после KaKoro.To l-ro
шаrа значения коэффициентов разложения отличаются от преды..
дущих с допустимой поrрешностью.
Полином третьей степени
а (5) == aoSJ + als2 + als + 1.
Вариант 1. Итерационные формулы:
qli == аl ..... C1...1; qOi == а1 ...... QliCi...l; Cl == GO/QOl'
i==l, 2,...; со==о.
Разложение полинома:
а (8) == (cs + 1) (Q о tS2 + Ql S + 1).
Вариант 2. Итерационные формулы:
' a Ь · Ь ao. P a Ь-
1 2...... 1, 1...1' oi rt' ' i 1.......... 01'
Ь1! == Pl/r. i == 1, 2 . . .; ь 10 === о. :(П2.5)
Разложение полинома:
а (s) == (rs + 1) (bns2 + b1s + 1). (П2.6)
Пример П2.1. Вычислить с точиостью до 0,005 коэффициенты 9лементаРНЫJl
сомножителей полинома
(П2.3)
(П2.4)
G (5) == s8 + 2s + 3s + 1
469
Воспользуемся вариантом 1, т. е. итерационными формулами (П2.3). Расчет
сведем в таблицу:
1 qli == 3 Ci l QOi== 2 qlici l Ci;::: 1/QOi
1 310 2,0 0,5
2 2,5 0,75 1133333
3 1,66667 .......0'22222
Процесс вычисления расходится, следовательно 1 необходимо пользоваться
вариантом 2, т. е. итерационными формулами (П2.5):
1 '1 3 bl,l--l ЬОI == I/rl Рl == 2 ..... ЬО{ Ь11 == Pl/' 1
1 3,0 0,33333 1,66667 0,55555
2 2,44444 0,40909 1 ,59090 0,62857
3 2,37143 0,42169 1,57831 0,66555
4 2,33445 0,42837 1,57163 0,67324
5 2,32676 0,42978 1,57022 0,67485
6 2,32515 0,43008 1,56992 0,67519
7 2,32481 0,43014 1 ,56986 0,67526
Вычисление коэффициентов с требуемой точностью закончено. Следовательно,
по формуле (П2.6)
а (s) == (2,32s + 1) (0,4352 + 0,68s + 1).
Полином четвертой степени
а (s) == aos4 + а15З + O-ts2 + азs + 1.
BapuaHrn 1. Итерацнонные ФОРМУЛЫ:
q21 === аз ....... ci...1; q]i === а,....... q2iCi"'1; qOI === а1 ...... QliCi..o.Jl;
Ci ==aO/QOi, i== 1,2,...; со==о.
Разложение полинома:
а (5) == (С5 + 1) (Qos3 + Q152 + Q2s + 1).
Вариант 2. Итерационные формулы:
, 11 == аз ......... Ь1, 1...1; а.' Oi === а2 ...... Ьо, {"'1 , libl, i --1;
ЬО1 == aO/'Pi; Р 1 == ai ...... , libOi; Ь11 == Р {/' Oi i === 1 J 2,...;
ЬОО == Ь10 == о.
Разложение полинома:
а (s) == (boS2 + Ь15 + 1) ('052 + '15 + 1).
470
(П2.7)
(П2.8)
(П2.9)
(П2.10)
Полином пятой степени
о (s) === aos& + а]5' + а2sЗ + азs2 + a4s + 1.
Вариант 1. Итерационные формулы:
qЗi === а4 ...... С/---1; q2i:=:: a qa/Ci l; qli === а, ....... q2iC/"'1;
QOi === а1 ......... qliCi...l; С! === ao/QOj' i === 1, 2,...; Со === о.
Разложение полинома:
О (5) == (sc + 1) (q + q1s' + qls?' + qзs + 1).
Вариан.т 2. Итерационные формулы:
(П2.11)
(П2.12)
r2i === а4 ....... Ь1а [--l; 'li == аз ...... Ьо, [--1 ......... '2[b1. 1...1;
r Ol =- а?, ....... , 2lbo, 1...1 ......., l1bl. 1--1; ЬО! == йoJ' 01;
Pl == а1 ....... '11bOi; b1[ == Pt/'OI, i === 1, 2, .. .; ЬОО == Ь10 == о.
(П2.13)
Разложение полинома:
G (s) == (bos' + b1s + 1) (, + r1s' + 'IS + 1).
(П2.14)
Полином шестой степени
о (s) == afJs6 + a1s5 + a2s4 + азsЗ + a4.5 + afjs + 1.
Вариан.т 1. Итерационные формулы:
q4i === а5 ........ C/...1; qЗi == а4 ...... Q4iCi"'1; Q21 == аз q ЗIС/--l ;
ql( === а2 ...... q2iCi 1; qOi == а1 ...... Q lCCi--1; Cj === aoJqOl,
i == 1, 2, .. .; СО:=:= о.
(П2.15)
Разложение полинома:
G (s) ::::= (cs + 1) (qоsБ + Qls4 q2SЗ + Qзs2 + Q4S + 1).
Вариач.т 2. Итерационные формулы:
f 3! === а5 ....... b1, ["'1; r 2i === а4 ........ Ьо, 1"'1 ........ r Зi Ь 1. t...1; f 1l == а. .......
....... fзiЬо. 1 l ---- r2lblt [...1; '01 == а2 ........ r2ibo, 1 1 ....... r иЬ1' 1 1; bOl ==
ао · Р а r 1.. .
' i 1........... ll,JOi,
(П2.16)
.
b1i === J!L, i== 1,2,
'01
Разложение полинома:
G (s) == (bos2 + b1s + 1) ('05' + 'lsЗ + '2S2 + 'зS + 1). (П2.18)
Пример П2.2. Разложить на элементарные множители полином
G (5) == sБ + 255 + 354 + 453 + 35 + 25 + 1.
Вычисления вести с точностью до 0,0005.
.
" . .,
Ьоо === [-;10 == ().
(П2.17)
471
Воспользуемся вариантом 1, т. е. итерационными формулами (П2.15). Расчет
сведем в таблицу.
i q4 i == qЗi == I q2 i 4 I Ql i == qo i == с
==2 C{ 1 3 q4ici 11 QЗiСi l j =::: 3 Q2iCi 1 == 2 qlici l i Qoi
1 2 3 4 3 2 0,5
2 1,5 2,25 2,875 1 ,5625 1,21875 0,820513
3 1,179487 2,032216 2,332541 1,086120 1,108825 0,901856
4 1,098144 2,009632 2,187601 1 ,027099 1,073705 0,931355
5 1,068645 2,004712 2,132902 1,013512 1,056061 0,946915
6 1,01 2,000 1 2,019901 1 ,000298 1 ,009705 0,99()389
7 1,009612 2,000092 2,019132 1,000275 1 ,009339 0,990747
8 1,009253 2,000086 2,018420 1,000255 1,009000 0,991 081 I
Процесс вычислений сходится медленно, поэтому для ero форсирования
примем Са == 0,99.
Вычисление коэффициентов можно считать законченным. По формуле (П2.16)
G (5) == (0,9915 + 1) (1,00956 + 1,000s4 + 2,018sЗ + 2,000S2 + 1,0095 + 1).
Далее нужно выделить элементарный множитель из полинома пятой степени,
затем из полинома четвертой степени, И, наконец, из полинома третьей степеНИа
*
* *
Предложенные итерационные формулы не применимы 1{ поли
номам, у которых а1 == а2 === О. в этих случаях используют сле-
дующие возможности.
Если полином третьей степени, то
aos3 + 1 == (cs + 1) (C2S2 ...... cs + 1), (П2.19)
/......
I'де с == v ао.
Для разложения полиномов друrих степеней необходимо еде-
.nать подстановку
s == z ....... '\', (П2. 20)
rде '\' == con<;t (например, '\' == 1).
Затем в полученных сомножителях следует вернуться к преж-
ней переменной s (сделать подстановку z == s + у).
Приложение 3
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ' ОПРЕДЕЛliТЕЛЯХ [53, 6 ]
Определитель n..ro порядка
a11
а21
a12
а22
аlп
а2n
л===
. . .
(П3. 1 )
. . .
Qn1 ап2 аll1l.
содержит n строк и n столбцов, каЖДЫЙ из которых имеет п эле..
ментов. hcero элементов пЗ. Первая цифра в индексе элемента.
указывает номер строки, вторая номер столбца. '
Приведем основные свойства определителя.
1. Определитель не меняется при транспонировании, т. е" 'при
таком преобраэованци, коrда ero строки становятся столбцами
с TeM же самым номером:
Ql1 Q12 Qln а11 а2:( . . . an1
J
а21 а22 Q2n a1t 2 аn2
(ПЗ.2)
. . "
а"1 ап2 апп Qlп а2n апn
Отсюда следует, что строки и столбцы равноправны. Свойства,
сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.
2. Определитель равен нулю, если он имеет: а) строку, со-
стоящую из нулей; б), две одинаковые стр ки; в) две пропор-
циональные строки; r) строку, являющуюся линейной комбина-
u
циеи друrих строк.
· 3. При пе.рестановке двух строк определитель меняет знак.
. 4. Общий множитель всех элементов одной строки можно вы...
нести за знак определителя.
5. Определитель не меняется, если к элементам одной строки
прибавить соответствующие элементы друrой, умноженные -на
одно и то же число (положительное или отрицательное).
16 Макаров И. М.
473
I
Для вычисления определ теля n..r() порядка используют ero
разложение по i..й c pOKe:
....
а == at1A11 + at '2 + · · · + a'taAtnt
(П3.3)
т. е. определитель 11 равен сумме произведений всех элементов
произвольной ero строки на их алrебраические дополнения.
Алrебраическое дополнение элемента aiJ есть
Aii - ( l)t+i M1/t
(П3. 4)
rде Mij ........ минор элемента aijt т. е. ОllределитеЛh (п 1 )-ro
порядка, который получается из определителя вычеркиванием
\-й строки и j-r() столбца.
В результате (П3.3) вычисление определителя n..ro порядка
заменяется вычислением определите.лей (п l)..ro порядка. Пос-
ледние также MorYT быть разложены по формуле ,(П3.3)t и их
вычисление сведется к вычислению определителей. (п 2)-ro
порядка. Повторяя эту процеДУРУt вычисление определителя n-ro
порядка можно свести к вычислению определителей 2-ro порядка,
которое выполняют по следующеtvlУ правилу:
a11
а21
a12
== all 2 ....... al 21.
а22
(П3.5)
I
Перед разложением опреДeJIИТ.еля по i..й строке удобно, поль..
зуясь свойством б, приравнять нулям часть . лементов ЭlОЙ строки
и даже все, кроме одноrо. Тоrда число елаrа.емых в разложении
(П3.3) соответственно уменьшится
Лример ПЗ.l. Вычислить определитель
д==
4 7 6 6
2 634
587'4--
154 2
Сначала УМНОЖИ!\j элементы четвертоrо столбца на O,5 и прибавим их к СООТ"
ветствующим элементам первоrо столбца. Тоrда определитель примет следуюи ий
вид:
1 7 6 6
О 6 3 4
== 3 8 7 4 .
О 5 4 2
474
Тспср ь р азло,КИ!\1 определи [ель по. ЭЛС 'lснтам llepnoro C'fO/luaa:
6 3 4 7 6 6
.
д ;:= 1 8 7 4 + 3 6 3 4
5 4 2 5 4 2
КаждыЙ из определителей TpeTbero порядка разложим по элементам nepBoro
столбца:
.
Д=::617 4 8]3 4 +5 3 4 +3{713 42 6 6 6 + 6-6}
4 2 4 2 7 4 4 4 2 \)3-4.
Вычислив определители BToporo порядка, получим
.J.,
А == 6 (7.2 4.4) 8 (3.2 4.4) + 5 (3.4......4.7) + 3{7 (3.2 ,4) 6 (6.2
....... 6.4) + 5 (6 .4 6. 3)} == l08.
Полное СОПРОТИDлеПl.1е Z iожет быть реализовано в виде RC-
двухполюсника, только если оно удовлетворяет следующим усло-
виям: I
а) функция Z (s) представляет собоЙ рациональную дробь,
у которой степень числителя равна или на единицу меньше сте..
пени знаменателя; . '
б) полюсы (корни полинома знаменателя) и нули (корни по..
ли ома числит еля) функции Z (s) простые. действительные,
отрицательные и перемежаются между собой, т. е. между двумя
соседними полюсами находится нуль, и наоборот;
в) наименьшим по абеолютному значению является I10 JHC С ,
он может равняться нулю;
, r) наибольшим по абсолютному значению является нуль. Он
конечен, если степень ЧИС.,'Iителя ФУIJКЦИИ Z (s) равна степени
знаменате ТIЯ, и бесконечен, если степень числителя Ь-fеньше сте..
пени знаменателя. .
ПОЛlffiЯ проводимость обратна полному сопротивлению У ==
== l/Z, и это соотношение определяет условия, KOTOpЫ ! 'ДОЛ)i{на
удовлетворять полная ПРОВОДИ 9СТЬJ реализуемая RС-двухполюс-
НИКО f.
В ряде случаев реализуемые ЗНачения ZtJ И ZII удается составить
только по фОр fулам .
,
Zo == M/Q; Zп == N/Q, ' (П4.1)
rде М == М (5) И N === N (5) полиномы соответственно числи..
теJIЯ и знаменателя функции Wa; полином Q === Q (5) выбирают
\
так, чтобы Z/) и Zп удовлетворяли условиям реализуемости, он
может содержать, в частности, двучлены из полиномов М и N.
\
С нтеэ ДВУХIJОJlюсника
Схему и параметры RС..двухполюсника, имеющеrо заданные Z
или У, можно найти различными способами. К схемам с наимень"
шим числом элементов приводят следующие способы.
. Разложение Z на простые дроби (t-A способ). Полное сопро-
тивление Z, удовлетворяющее ранее перечисленным услевиям,
можно разложить на простые дроби: ·
Z Ао + Аl ...f ' А2 +. : · + А. (П4 2)
s в+11 в+111 '....
Здесь
,А, == [Z (5) (5 + ЛI)]S== л" i == О, 1, 2, . . ., (П4.3)
rде ло == о и
А == Z (00). (П4.4)
Каждый член разложения (П4.2) можно реализовцтъ"пр<?стым
RС..двухполюсником из числа предстаВJlенных На рис. П4.1.
1
c
A
А
z=
S
А.
R= lt..
Л.
l.
1
c=
А.
L А..
Z ...:.:k..
$+Л'
. f.,
1Я=А
-----c:r----
Zc:A
r 11 С. rJ 4 . t . R С . с х ем bl It И Х
поли ые СОПРОТИВJlения
Последовательное соединение таких двухполюсников образует
RС"двухполюсник, реализующий заданное полное сопротивле..
ние z. ,
Разложение У на простые дроби (2..й способ). Если полная
проводимость У удовлетворяет условиям реализуемости, то она
может быть представлена следующим образом:
у === в + 81S + Bgs +,.. + в
о s + Рl S + Ра s.
Здесь
Bl [у* (5) (5 + Pi)] S:::---P 1 , i === О, 1, , . . .,
rде у. у (5)/5, РО == О и
В == у* (00).
(П 4.5)
(П 4.6)
,
(П4 .7)
I
Члены правой части равенства (П4.5) можно рассматривать,
как полные проводимости простых RC-схем из числа приведенных
на рис. П!.2. Параллельное соединение таких простых RC-схем
образует двухполюсник, "котоРый реализует заданное значение у.
Разложение Z в непрерывную дробь (3..А способ)., Члены поли..
нома числителя и знаменателя нкцuи Z (s) нужно расположить
по убывающим степеням 5, затем функцию можно разложить в
непрерывную дробь.
Пусть степени числителя и знаменателя одинаковы и равны т.
Тоrда нужно определить первый член частноrо и результат запи-
сать так:
1
Z (5) ;;:: В (5)/ А(5) == Rl + А (5)/81 (5) ·
n R=
Т Во
2. 1
R :z.....
Ф
в.
Т С =::J...
.Р;" ,
у= BJS
S+.Pj f
У==В
о
478
t c=
Рис. 04.2. ПростеАшие R.C-
схемы и их полные право-
димости
}' ;; 8 s
с, 1
п2 Нт Я 10+1
. . .
Cz L... Ст
а)'
Н2 Нт
.. .
Я,
Рис. П4.3. Схема лест-
иичиоro RС-двухполюс-
ника. соответствующеrо:
а непрерывной дроби
(П.4,8); б..... нetрерывиой
дРоби (П4.9) ,
я,
.J с, . т Cz
5)
Далее нужно найти первый член--частноrо А (5)/ В1 (s), который
будет содеря:<ать 5, так как степень А (5) па единицу выlеe сте.
пени В1 (5), т. е.
Z (5) === Rl + С15 + 81 s)/ А1 (5) ·
Продолжение этоrо процесса приводит к искомому разложе-
нию:
Ст
,
. . .
z (5) == R1 + ,
C1S +
R2 + C2s + =
(П4.8)
....
1
1
Cms + R
m+l
Если полное сопротивление Z удовлетворяет ранее изложен-
ным УСЛОВIiЯМ, то величины R1' С1, R2' С", ..., Ст, Rm+l положи
тельные. Из раЗJlожения (П4.8) следует, что Z полное сопро..
тивление схемы, изображенной на рис. П4.З, а.
Пусть степень числителя Z на единицу меньше степени т
знаменаТeiIЯ. Тоrда Z можно предстаSИТЬ в виде.
Z \ · 1
(5) === А (5)/В (5)
.
и затем начать разлож"ение ero в непрерывную дробь. В резуль-
тате получим
Z (s) === 1
C1s + 1
Rl C2s + :
.
.
(П4.9)
1
Cms+
Rm
, По разложению (П4.9) Z есть полное сопротивление RC-
CX MЫ, изображенной на рис. П4.3, б.
479
с
Ь=-2. . .
RтT1
...
...
а).
5)
PIIC. 114.4. Сжемы Jlестничвыж J( С-двухполюсников, соответст вуюu их иепрерывноА дРоби
(П4.10) ·
(
Разложение У в непрерывную дробь (4...й способ). Члены поли-
номов числителя и знаменателя функции Y(s) должны быть рас-
положены по возрастающим степеням s, затем функцию можно
разложить, }(ак указано выше, в непрерывную дробь;
1 1 (П4.1 О)
У (s) Rl + 1 1 ' .
C1s + + 1
R2 1
C2s
Этой непрерывной дроби соответствует лестничный двухпо-
люсник, Jlзображенный на рис. П4.4, а, если числитель и знаме..
натель У имеют степень т, и лестничны;й двухполюсник, изобра-
женный на рис. П4.4, б, если степень т числителя на единицу
больше степени знаменателя. \
Постепенное удаJlение состаВJlЯЮЩИХ функций Z (8) И У (8)
(5-й способ). ПО разложению (П4.2) на простые дроби может
быть составлено такое равенство:
Z == А + Za,
· (П4 .11)
t
rде
Z Ао + r Al + .:42
+ ....
а S s+лl S+Л2
Равенству (П4.11) соответствует двухполюсник (рис. П4.5, а),
состоящий из последовательноrо соединения резистора сопротив-
лением R1 == А и полноrо сопротивления Za- Вторая часть двух-
полюсника имеет полную проводимость Уа == l/Zи, Ее можно
раЗЛОЖИТli" на простые дроби по формуле (П4.5) и составить яа-
венство
У а == Bs + у ь, (П4.12)
rде
У В + В1З, + B2S +
· == о S + Pl S + Р2 · · · ·
480
"
Za . Я"
С, Уь
а) о)
Рис. n 4.5. Составление JlеСТlfичноrо RC-ДВУХПОJlюсккка Б-м спосоБJ>М
По равенству (П4.12) ПОЛНУIО проводимость УЬ можно заме..
нить двумя параллеЛЬНЫМIf ветвями (рис. П4.5, б) с проводи-'
мостями Bs и У ь' Первая веТВI? есть емкость С1 == В, а вторая
ветвь имеет полное сопротивление Zb == l/Уь. Ero можно разлооо
жить на простые дроби по формуле (П4.2) и в результате опреде..
лить сопротивление R2 лестничноrо двухполюсника (см.
рис. П4.3, а). Продолжение процесса приведет к синтезу Bcero
лестничноrо двухполюсника.
После разложения Zk на простые дроби можно выделить ero
СОф'аВЛЯIОЩУЮ AkJ(s + Лkд и реализовать ее параллельным
соединением резистора сопротивлением R i И конденсатора ем-
!<ОСТЫО С! (см. РИС. П4.1). Аналоrично ПРИ,раэложении на про-
стые дроби У1 можно выделить состаВЛЯЮЩУIО f3ijS/(S + Pij) и
реализовать ее последовательным соединением R i и С} (см.
рис. П4.2). Тоrда Z будет реализовано лестничны м ДВУХПОЛIОС-
ником с иными элементами, чем у двухполюсника, изображен-
Horo на рис. П4.3, й. Такой' метод называют удалением ПОЛI0СОВ"
Лрllмер 04.1. Активный четырехполюсник постоянноrо тока, выполняемый
по схеме. приведенной иа рис. 8.21, должен иметь передаточную ФУНКЦliЮ
(0,15 + 1 ) (0,025 + 1) (0,015 + 1)
W а == (0,055 + 1) (0,045 + 1) (0,005 + 1)
'Выяснить, как должны быть выполнены двухполюсники Zo и Zп. Преобра
зуем выражение требуемой передаточиой функции: \
W 2 ($ + 10) (5 + 50) (5 + 100)
а (s + 2.0) (s + 25) (5 + 200) ·
Ориентируясь на формулу (8.42), выберем передаточные функции двухполюс
ников так, чтобы они удовлетворяли условиям реализуемости:
Z .... 2 (5 + 100). Z (5 + 20) (5 + 200)
о.... s + 25 ' п (s + 1 О) (s + 50) ·
Найдем схему и парамеТРIrI двухполюсника обратной связи 100М сrrособом.
По формулам (П4.2)......(П4.4): ...
А :;= Zo (00) == 2; Ai == [2'(5 + 100)]S 25 == 150; Zo == 5 025 + 2.
Затем на основании рис. П4.1 определим, что двухполюсник может быть BЫ
полиен по схеме, показанной на 'рис. П4.6, й, со следующими элементами:
150 1
R ==:2МОм; R1:::;25 ==6МОм; С1 == 150 0,0667 мкФ.
'-
481
./
Я,
а)
о) Ro
Рис. П4.8. Возмо)Кные
схемы RС.ДВУХПОJlЮСНИ"
ка обратной сВЯЗИ (при-
мер П4.1)
rlолная ПрОБОДИМОСТЬ двухполюсника обратной связи
У .J 0,5(8+25)
о Zo s + 100 ·
Найдем схему и параметры двухполюсника 2-м способом. По формулам (П4.5)
и (П4.6)
В == [0,5 (s + 25)] == о 125'
о / 8 + 1 00 5==0 ' ,
В1 == [0,5 (s + 25) ] == 0,375; У о == 0,125 + 0,3758 .
s 5==--100 8 + 100
в соответствии с полученными результатами на основании рис. П4.2 опре..
делим второй вариант двухполюсника обратной связи. Ero схема показана на
рис. П4.6, б. 11
1 1
Здесь Ro == 0,125 == 8 МОм; R1 == 0,375 =.:: 2,67 МОм;
0,375
С1 == 100 == 0,00375 мкФ
..
Итак, двухполюсник обратной связи м.ожно выполнить по одной из схем,
показанных на, рис. П.4.6.
НаАдем схему и параметры двухполюсника прямой цепи. Сначала восполь-
зуемся l-м способом. По формулам (П4.2) (П4.4) определим:
А Z "( ) 1. А [(8 + 20) (5 + 200) ] 47 5. -
поо , 1 +50 "
s s== 10
А2 == [ (5 + 20) (5 + 200) ] == 112,5; zп == 47,5 +
8 + 10 5==--50 S + 10
112,5
5+50
+ 1.
По полученному разложению Zп на основании рис. П4.1, составим схему
дву хполюсника (рис. П4. 7, а) и определим значения ее элементов:
47 5 1 112,5
R1 == Ii>- == 4,75 МОм; С1 == 47,5 0,0211 мкФ; Rz == 50
1
== 2,25 МОм; С2 == 112,5 0,0089 мкФ; R == 1 МОм.
"
Теперь воспользуемся 2-м способом. Полная проводимость двухполюсника
прямой цепи
1 (8+10)(8 1 50)
УН t;; ;" (5 20) (5 + 200) .
\
482
ло'
с,
\.
Cz
Л, Rz
а)
С,
Я,
Я2
С,
2) RJ
8) RJ
Но
Рис. 04.7. ВОЗМО)l(ные схемы
RC-д.ВУХПОJlюсннка прямой це.. .
ПII (пример n 4.1)
а)
По формулам (П4.5) и (П4.6)
В :=:: [, (s 10) (5 50) J .::= 0,125. В. == [ (5 10) (s + 50) J ==
о (s + 20) (s 200) S :OO '1 S (s + 200) s== 20
1 . [ (s + 1 О) (s + 50)] 19
;: 12 "'" 0,083, 82 =: s (s + 200) ... 2cO о=; 24 0,792; У п ==
0,083s 0,792
0,125 + s + 20 + s + 200 ·
"
По этому разложению У п и на основании рис. П4.2 составим схему Двухполю "
ника (рис. П4. 7, б) и определим значения ее элементов:
1 1 0,083
Ro == 0,125 == 8 МОм; Rl == 0,083 == 12 МОм; C1 == 20
1 0,792
== 0,00415 мкФ; R2 == 0,792 == 1,26 МОм; СЗ == 200 == 0,00396 мкФ.
Для получения TpeTbero варианта схемы двухполюсника разложим ZП в не..
прерывную дробь:
ZП == 1 t-
1
r
".
0,00625s +
1
4,20 r 1
0>02728 + 2,80
483
Сопоставив эту непрерывную дробь с формулой (П4.В) If рис. П4.3. а, соста..
вим схему ДВУХПОЛlQсника (рис. П4.7. в), rде Rl == 1. R.::::: 4,2 и R3 == 2,В Мом;
С1 == 0,00625 'и с. == 0.0212 мкФ.
Еще одну схему ДВУХПOnIOСНИК8- можно получить 4"м способом 1 разложив У п
8 непрерывную дробь: '
1
уп===т+ 1
0,008138 +
1
1
1 +
3,93
1
1 1
0,004868 + 1,61
Сопоставив эту непреРЫDНУЮ дробь с Ф9РМУЛОЙ (П4.10) 11 рис. П4.4, а, полу-
чим схему, показанную на рис. П4.7, е. Здесь Rl 8, R2 == 3,93 и R3 ==
== 1,61 МОм; C1 == 0,00813 и С2 == 0,00486 мкФ.
Воспользуемся 5 M способом. Из разложения Zп на простые дроби, найденноrо
ранее, в соответствии с формулой (П4.11) выделим одно слаrаемое, но не А, как
в этой формуле:
Z 47,5 Z Z 112,5 1
п == s + 10 + а, rAe а == 8 + 50 + ·
Первое слаrаемое полученноrо выраження есть полное сопротивление парал..
1
лельноrо соединения рези тора R1 == ю==,4,75 МОм и емкости С1 == 47,5 ==
== 0,0211 мкФ. Последовательно должен быть включен второй участок с полным
сопротивлением Za. Определим полную проводимо сть Bтoporo участка:
1 8 '+ 50
Уа == Za === 8+162,5 ·
Найдем RC:cxeMY с полной проводимостью У а, подьзуясь 2"м способом:
в о ;::::: [ 8 + 50] == о, 30В; В 1 == [8 + 50 ] :::::::::
8 + 162,5 5==0 8 s lб2.5
112,5 0,692s
== 162,5 == 0.692; У а == 0,З0В + 8 + 162,5 ·
Следовательно, второй участок двухполюсника состоит из двух параллельных
1
ветвей. Первая ветвь..... резистор сопротивлением R о == 0.308 == 3,25 МОм,
'... 1
а вторая последовательное соединение резистора сопротивлением R 2 == 0,692
0,692
J .45 MO и конденсатора емкостью С2 == 162,5 0,00426 мкФ. Схема BYX"
полюсника показана иа рис. П4.7, д.
Из разложения Zп на простые дроби можно выделить сначала второе слаrае..
мое. Тоrда
1 J 2,5
Zп == s + 50 + Za,
rде
.
Za 47 , 5 1.
8 -1 10
4.R4.
Первое c.1,araeMo есть сопротивление параnnелъноrо соединеНИll резистора
112,5 1
сопротивления R i == 50 == 2,25 МОм и конденсатора емкостью С 1 == 112.5
,,0,0089 мкФ. Полная ПРОDОДИМОСТЬ BToporo участка ,
1 s + 10
У. == Z. == &+67,5 ·
Найдем RC..cxeMY Q пррводимостъю, У. ПО 2"му способу:
Во == [ 8 + 10] ==0,174; В1;:: [ s+ 10 ] . ==
s + 57,5 5==:0 S s 57,5
0,8268
0,826; Ya O,174+ s+57,5.
торой участок двухполюсника состоит из двух параnлельных ветвей. Пер-
1
вая резистор сопротивлением Ro == О 174 5,75 МОм, вторая резистор,
. '
1 0,826
сопротивлением R2 == 0,826 1,21 МОм и конденсатор емкостью С2 == 57,5
0,0144 мк<Р. Схс\{а двухполюсника остается прежнеJi (рис. П4.7, д).
Итак, составлено шесть схем, по которым может быть выполнен RС"двух-
полюсник прямой цепи раССl\'1зтриваемоrо активноrо четырехполюсника постоян-
Horo -тока. Из них должна быть выбрана схема, наиболее удобная для физической
реализации.
Синтез ненаrруЖенноrо четырехполюсника
Jlестничным четырехполюсником из резисторов и конденсато-
ров может быть реализована с точНостью до постоянноrо множи"
теля только передаточная функция
W === М/ N, (П4.13)
rде М == М (s) и N == N (s), удовлетворяющая следующим усло-
виям:
1) степень числителя не выше степени знаменателя;
2) все полюсы простые, действительные, отрицательные и
отличные от нуля;
3) все нули действительные, отрицательные или равные нулю;
Mor)rT быть кратНЫМИ.
Ilри физическом осуществлении RС..четырехполюсника следует
иметь в виду, что ero передаточная функция остается неизменной
c 'Ючностью до постоянноrо множителя при увеличении всех
активных сопротивлений в CG раз и одновремеlIНОМ уменыпении
всех емкостей также в CG раз.
r.lобра:iНЫЙ четырехполюсник. Такой четырехполюсник
(рис. П4.8) является простейшим лестничным четырехполюсни..
ком. Ero передаточная функция при 'отсутствии наrрузки
Wr == 22/(21 + 22)'
(П4.14)
rne 21 и 22 операторные выражения полных сопротивлений
cooTBeTCTueH\iO после11.0нательноЙ If параллельной ветвеЙ.
--485
2,
.
и2.
Рнс. 04.8. Схема r-образво-
ro 'IетыреХDО.1lюсннка
"-
Для TOrO чтобы r -образный четырехполюсник имел перед.аточ-
ную функцию (П4.13), ero полные сопротивления должны быть
выполнены по равенствам
Zl == (N M)/Q и Z2 == M/Q. (П4.15)
Здесь полином Q выбран так, чтобы Zl.И Z2 удовлетворяли усло..
виям реализуемости.
Если r-образной схемой нельзя реализов ть передаточную
функцию (П4.13), то следует выяснить возможность реализации
ее с измененным передаточным коэффициентом: .
W :=: M/N, ( 4.16)
rде Jl == const.
В -атом случае
,
Zl '==:: (N JlM)/Q; Z2 == JlM/Q. (П4.17)
Изменение nередаточноrо н:оэффициента четырехполюсника
должно быть скомпенсировано соответствующим изменением пере-
даточноrо коэффициента УСИЛ}Iтеля.
,
Пример П4.2. Выбрать схему и параметры элементов r обраЗНОI'О RС-четы-
рехполюсника так, чтобы при ......оТсутСтВии наrрузки ero передаточная функция
?w == (0,15 + 1) (0,01255 + 1)
(O,02s + 1) (0,005s + 1)
В данном случае I
М == 0,001255 + 0,11255 + 1; N == O.OOOI5 + 0,0255 + 1; N M ==
== 0,00115 s 0,0875 5.
Следовательно, заданную передаточную функцию можно реализовать только
при уменьшенном передаточном коэффициенте. Выберем == 0,08, тоrда по фор-
мулам (П4.17): ,
Z 0,000152 + 0,0255 1 0,08 (0,00125s2 + 0,11258 + 1)
1 Q
0,016 (5 + 57,5) .
Q ,
Z2 0,08 (0,0012582.+ 0,1,1255 + 1) O OOOI (5 + 10) (5 + 80)
, Q. Q
Выберем Q 0,001 s (5 + 75). При этом
Z 16 (5 ,+ 57 , 5). Z 01 1 (s + 1 О) (в + 80)
1 5(5+75) , . s(5+75)
и двухполюсники rдorYT быть реализованы RС схемами.
.
486
Определим схему и параметры элементов двухполюсника Zl) nользуясь l-м
способом. По фqрМУЛ8М (П4.2) (П4.4):
А..... [ 16 (5 + 57,5)] ___ 184 12 27'"
о 8 + 75 5==0...... 15 =:1 t t
А [16(8+57,5)] ---- 373.
1 ......... 15 , ,
8 5==...75
А . О. Z . 12t27 + 3,73
, 1 8 S + 75 ·
На основании этоrо разложения и рис. П4.1 составим схему двухполюсника
Zi (рис. П4.9) и определим значения ero элементов: ,'"
1 1
С1 == 12,27 0,0815 мкФ; С2 =:: 3,73 0,268 мкФ;
Rl == 37 3 "'" 0,0498 МОм.
Определим схему и параметры четырехполюсника Z2' пользуясь также l"м
способом. По формулам (П4.l) (П4.4): ·
Ао == [ (8 + 10) (8 + 80)] :::::: =:1 1,067;
. 10 (8 + 75) 5==0 15
А1 === [ (8 + 10) (5 + 80) == 0,433;
. 108 5==....75 30
· 1 t067 0,433
Аз === Z2 (00) == 0,1; Z2 == 8 + s + 75 + 0,1.
Теперь можно составить схему двухполюсника Z 2 (см. ряс. П4.9) и опреде-
ЛИТЬ значения ero элементов:
С3 == 1 , 67 "'" 0,938 мкФ; С( == 0. 33 2,31 мкФi
0,433 '
R'2 == 75 0)00578 МОм; R8 == 0,1 МОм.
r ).
Для проверки определим передаточную функцию синтезированноrо четырех-
ЛО 7Jюсника, пользуясь формулоU п. 1 табл. 8.1:
1
019385
1
+ 1 + 0,1
0,00578 + 2,315
1 1
+0,9388+ 1 +0,1
0,00518+ 2,315
w==
1
0,08155 + 1
0,0498 + 0,268s
0,08 (0,15 + 1) (0,OJ25s + 1)
(0,025 + 1) (0,0058 + 1)
Составленная схема четырехnолюсника может оказаться неудобной для физи..
ческой реализации. Тоrда следует искать иные варианты, пользуясь ранее изло.
жеННI>I IИ способами.
, ,
............
Лестничный RС-четырехполюсннк. В общем случае этот че ы..
реХПОЛIОСНИК следует строить по полному сопротивлению
Z 'N/Q. (П4.18)
I ·
487
Здесь N полином зна..
менателя ре изуемой пе..
редаточной функции W,
а полином Q выбирается
TaKt чтобы Z удовлетво..
ряло условиям полной
реализации. Полином Q
может содержать нули
реализуемой передаточной
и; функции, а ero степень
должна быть равна [сте-
пени N.
Реализация I Z должна
осуществляться так, что..
бы кроме полюсов пере-
даточной функции W, т. е.
нулей Z, БЬJЛИ реализо..
Рис. П4.9. Схема r"об , оrо RС..четыреХПОJlЮС" ваны и нули W. Вместе
с тем полюсы Z, не яв..
ляющиеся нулями пере..
даточной функции W, не должны быть реализованы. Следова-
тельно, необходимо частичное удаление полюсов Z. При этом
нули оставшейся части z, сдвиrаются, и один из них можно сде..
лать равным нулю передаточной функции w. При последующем
удалении TaKoro нуля реализуется нуль передаточной функции W.
Удаление полюса Z достиrается введением в схему четырех-
полюсн ка.....резистора сопротивлением Ri. При этом нули оста в..
шейся .части Z увеличиваются o модулю. Удаление- нулевоrо
полюсаjдостиrается введением в схему конденс'атора емкостью Gj,
при этом оставшиеся нули уменьшаются по модулю.
1
Значение R i или С определяют подс.тановкой s-::::: Pi В Z.
iPi
Здесь Pi значение Toro нуля функции w, который намечено
получить в оставшейся части z.
Среди полюсов Z может оказаться один из нулей функции W.
Тоrда сначала необходимо реализовать этот полюс Z, и затем,
действуя указанным обраЗGМ, реализовать остальные нули функ
цИИ W.
Изложенный метод позволяет реализовать передаточную функ..
uию W с точностыо до постоянноrо множителя.
Z7
r ...... --,
с R Cz I
L 1. I
-т l
I Сз I
I Zz
I
I I
I :
: Rзi
L... ___ ...... .......
ц,
Пример П4.3. Выбрать схему и параметры лестничноrо RС-четырехполюс..
ника так, чтобы при отсутствии наrруэки ero передаточная функция
'"
W === (О, ls + 1) (0,5s + 1) == (!» + 10) (8 + 2)
(0,2ч + 1) (0,4s + 1) 1,6 (s + 5) (s + 2,5)
Выберем Q s (s + 4), тоrда по формуле (П4.18)
.
Z == 1,6 (s + 5) (8 + 2,5) .
,1) (5 + 4)
.... I
4Н8
R.
1
.,а.
Н,
ой)
УЬ
RZ
С,т
z)
Рис. П4.10.. Построение nepBoro варианта схемы Rс..qетыреХПОJlюсннка
Эта функция удовлетворяет условиям реализуеr-.JОСТИ. Первым будем реа.'1И
зовать нуль Рl == 10 передаточной функции W. Для этоrо определим, I<aI<oe
сопротивление R 1 необходимо включить в схему, чтобы среди нулей Z оказался
нуль, равный 10:
R Z ( 10) == 1,6 ( 5) ( 7,5) == 1 МО
1 ( 10) ( 6) ,м.
Оставшаяся часть сопротивления Z будет
Z Z R == 1,6 (S2 + 7 ,5s + 12,5) 1 == 0,6 (5 + 10) (5 + 10/3) .
а 1 S2 + 4s , 5 (5 + 4)
"
Сопротивление R 1 реализуем последовательной ветвью (рис. П4.1 О, а) и об-
ратим функцию Za, т. е. определим соответствующую ей полную проводимость:
1 5s (5 + 4)
у а о Za' == 3 (5 + 10) (5 + 10/3) ·
Разложим У а на простые дроби, воспользовавшись формулами (П4.5) и
(П4.6):
В [ - 5 (s + 4) 1 . 82 , '
1 3 (5 10/3) s:::= lO 2 '
[ 5 (5 + 4 ] . у 3s/2 + 5/6
3 (5 + 10) s --10/3 6' а 5 + 10 5 + 10/3 ·
Реализуем первое слаrаемое разложения последовательным соединением
резистора сопротивлениеМ,R2 и конденсатора емкостыо-С1. На основании рис. П4.2
R2 == 1/81 == 2/3 МОм и С1 == 81/10 == 3/20 мкФ.
Тоrда вторая параллельная ветвь имеет полную проводимость (рис. П4.10, б)
38/2 5/6
УЬ ==Ya 5+ 10 ::=: 5+ 10/3 ·
Обратим функцию У Ь, т. е. определим соответствующее ей полное сопроти"
вление:
Zb == ==с 6 (5 + 10/3) .
УЬ 5
Теперь нужно реализовать нуль Р2 == .......2 передаточной функции w. Для
Toro чтобы в Zb появился нуль Р2 == 2, необходимо включить емкость С2' опре..
деляемую равенством
[ 1 ] == Zb ( 2) == 6 (4/3) == 4, т. е.
С 2S s:::;; 2 2"
1
с'}. :::: т мкФ. ,
489
а)
о)
н,
С2Т
z)
6)
R2
.....1
-----1 С1
Я,
Cz
; \
Рис. П4.11. Построение BToporo варианта схемы Rс..qетырехполюсника
Включим С2 В виде последовательной ветви (рис. 114.10, в) Jf ОIlределим истав
ШУIОСЯ часть полноrо сопротивления:
Zc == Zb == 6 (8 + 10/3) .!. == 6 (s + 2) .
С 28 S S S
В заключение обратим/функцию Zc:
у .... 1 s/6
с,:--'" z; 8 + 2
и реализуем У с в соответствии с рис. П4.2 последоватеЛЬНЫ!\-J соединением резие.
тора сопротивлением R3 и конденсатора емкостью С3:
R3 == 6 МОм; С3 == 1/12 мкФ.
Оставшаяся полная проводимость равна нулю, что соответствует бесконечно
большому сопротивлению на выходе четырехполюсника четырехполюсник не
наrружен. Полная схемн первоrо варианта четыреХПОЛJосника представлена ин
рис. П4.10, 2. __
Для нроверки расчета составим передаточную функцию четырехполюсника
по полученпой схеме, полъэуясь формулой п. 4 табл. 8.1. В данном мучае
Zl === R1 :;::;: 1; Z2 == C ==...!.; l3 == R2 + ....!.... == : + ==
25 S C1s u 3s
J
2 (s + (О) . Z" == R3 + 1 == 6 r J!. == 6 (s + 2)
3s' C;tS s s
Следовательно:
w == Z8Z4
(Zl + Z8) (Z2 + Z4) + ZlZЗ
0,6 (О, 1 s 1) (О, 5s + 1)
(O,2s + 1) (0,4s + 1)
и заданная передаточная функция реализована с точностью до постоянноrо мно-
жителя, paBHoro 0,6.
Составим второй вариант схемы четырехполюсника . При этом снача 'Iа реали-
зуем нуль Р2 == 2 функции W и сдвиr нулей функции Z осуществим включением
емкости С l' Значение емкости С 1 определяется равенством
[ 1 ] '1,6.3.0,5 5
C1s $==...2 == Z ( 2) == (.......2) 2 == .....0'6' т. е. С1 == 6 мкФ.
Включим С 1 В виде последовательной ветви рис.. П4.11, а) и определим OCTaB
шесся полное сопротивление '
1
Za :::::: Z
C1s
1 .6 (s I '2) (8 . 4, 75 )
s (s 4)
./
490
Обратим фУНКЦНIО Zа И раэло)ким функцию У (,j на простые дроби с помощью'
формул (П4. ) и (П4.6): ..
1 55 (5 + 4) 55 155
У а == Za == 8 (5 + 2) (5 + 4,75)::::: 11 (s + 2) + В8 (5 + 4,75) ..
Реализуем первое слаrаемое разложения параллельной ветвью, состоящей
из R1 и С. (рис. П4.11, 6). В соответствии c рис. П4.2
1
11 5
Rl == Т МОм; С. == ""'22 мкФ.
Обратим оставшуюся часть У ь функции У а:
Z 1 В8 (s + 4,75)
jb == 17ь == 155
Теперь реализуем нуль 10 функции W. ДЛИ этоrо определим R2, обеспе-
чивающее необходимый сдвнr нуля Zb (рис. П4.11, в):
R 2 Zb (......1 О) ==: 88 ( 5,25) !2....
15 ( 10) 25
Оставшаяся часть функции Zb
Z Z R 209(s +;10)
с Ь 2 755 ·
....,
Обратим функцию Zc и реализуе!\1 У с параллельной вет ью из резистора сопро
тивление1\1 R3 н конденсатора емкостыо сз:
т 1 75s. 209 15 '
} с :: 209 (5 10)' R3:=: 75 МОм И Са == 418 мкФ.
............
Функция У с реализована полностью, Т. е. на выходе чеТЫр'ехполюсника
(рис. П4.11, 2) беС((r'\'iечно БОЛЬLuое сопротивление четыреХПОЛЮСIJИК не на..
rpY}KCIJ .
Для проверки расчета определим передаточную функцию четыреХЛОЛЮС]lика,
пользуясь формулой п. 4 табл. В.1:. ,
1 . 6 .. 77 . 1 11 (5 + 2) ..
Zl == С18 == 55' Z2:::; R2 == , Z3 =:: Rl + С25 == 5 '
Z == R + == 209(5 + 10). W == 0,76 (0,18 + 1) (0,58+ 1) .
4 3 9з5 755' (0,25 + 1) (O,4s + 1)
Составим третий вариант схемы четырехполюсника; для этоrо выберем поли-
ном Q так, чтобы он содержал один из нулей функции W : Q == (5 + 2) (8 t 4).
Тоrда
z..... 1,6 (s + 5) (s + 2,5)
..... (5 + 2) (s + 4) ·
Разложим Z на простые дроби, пользуясь формулами (П4.2)........(П4.4):
Al == [ 1,6 (5 + 5) (5 + 2,5) ] .'
s + 4 s:::=...2 5 '
\
А2 == [ 1,6 (5 + 5) (s + 2,5) ] == ;
5 + 2 s== 4 5
8 . 6 6 8
А == Z (00) =="""5; z == 5 (8 + 2) + 5 (8 + 4) :"""5'
491
I
1(,
Za
R;
CI..
)
в
Рис. П4.12. Построение TpeThero варианта CS_1iI RС..четыреSПОJllOCника
Реализуем первьtй член разложения последовате.льной ветвью, состоящей
из резистора сопротивлением R 1 И конденсатора емкостыо С 1 (рис. П4. 12, а),
соединенных параллельно. tIa основании рис. П4.1
635
Rl , 5..2 5 МОм и С1 ===6 мкФ.
Оставшаяся часть полноrо сопротивления Z
6 6 == 8 (5 + 19/4)
Za == Z 5 (s + 2) 5 (5 + 4) L 5 5 (5 + 4)
Теперь нуя{но реализовать второй нуль функции W, равный 10. Определим,
при каком сопротпвлении R 2 будет НУ){ПIЫЙ сдвиr нуля функции Za:
R ---== Za ( IO) ==.: 8 ( 21/4) =:= 2.. МО.ч.
.. 5 6) 5
Оставшаяся часть функции Za
Z Z R _____ 8 (5 + 19/4) !...... 5 + 1 О
Ь а 2 5 (5 + 4) 5 5 (5 + 4)
\
Образовавшаяся схема показана на рис. П4.12, б.
Остается обратить ФУНКЦИIО 7ь и разложить У ь на простые дроби, пользуясъ
формулами (П4.5) и ([14.6): >'.
у == == 5 (5 + 4) == В + В15
ь ZI1 s + 1 о о s + 1 о
35
::::2+
5 + 10 ·
Реализуем У ь двумя параллельными ветвями: одна из резистора сопротивле.
нием RЗJ друrая из резистора сопротивлением R4 и конденсатора емкостью С2.
На основании рис. П4.2 опреде.ПИ1\1 "-
Rз === 1/80 == 1/2 MOы; -R4 == I/В1 == 1/3 Мам; С2 == В1/10 === 3/10 мкФ.
Полная проводимость У ь реализопана И, следовательно, сопротивление
'Iежду выходными клеммами четыреХПОЛlосника (рис. I14.12, в) равно бесконеч-
пости четырехполюспик не наrружен. ,
Для проверки расчета составим передаТОЧНУJО ФУИКЦИIО четыреХПОЛЮСIIика
по полученной схеме, пользуясъ формулой п. 1 табл. 8.1:
1 75 + 20 . 1
Zl == 1/R1 + С15 + R2 == 5 (5 + 2)' Z2 I ( 1 ) .....
. I/Rs + 1 Rt + С25
"-
5 + 1 О. W == Z 2 0,2 (О, 1 s + 1) (0,55 + '1 )
== 5 (s + 4) , Z 1 + Z2 (0,25 + 1) (О, 4s + 1)
492
Составлены три схемы четырехпо-
пюсtJика, реаЛИЗУlощеrо с точностью до
nостоянноrо множителя заданную переда..
точную функцию. Выбрав друrие значе-
ния nОЛИНОl".f8 Q и изменив порядок реа-
лизации нулей функции w. а также ведя
pac ,. не по ПОЛНОМУ сопротивлению, но
по ПОJIНОЙ ПРОВОДИМОСТ}I, можно ПОЛУ"
чить еще большое чис..'IО схем, реа.'IИЗУ-
ющих заданную передаточную функцию.
Мостовой четыреХПОJ1ЮСНИК:
Такой четырехполюсник (рис.
П .13) имеет специфические свой Рис, П4. ]3. Схема МОСТОВОТО четырех-
В полюсника
ства. частности, им можно pea
лизовать передаточную функцию
с положительными НУЛЯ 1И, т. е. получить неминимально-фазо-
вый элемент. Передаточная функция уравновешенноrо мосто..
..
Boro четыреХПО..7JЮС,ника
Ц/
и'
z
WM == (Zl Z2)/(Zl Z2) === M/N,
(П4.19)
rде Zl и Z2 операторные выражения полноrо сопротивлеция
плеч моста; М и N полиномы от s.
Для реализации передаточной' фунvции WM необходимо иметь
N r J\;1. Z N М
Z L == 2Q ) 2 == 2Q ·
(П4.20),
/ .
[Iолином Q в этих выражениях нужно выбирать так, чтобы Zl
и Z2 бы..7JИ физически реализуемыми.
Если передаточная ( ункция W м оказывается нереализуемой,
то следует искать возможности реализовать передаточную функ..
цию fJ W м. В этом случае необходимо иметь '
Z N + JlM. Z _ N JlM
1 2Q , 2 2Q ·
(П4.21)
Пример П4.4. Выбрать схему и опредепить параметры элементов MOCToBoro
четыреХПОЛЮСНlIка с передаточной функцией
w 0,2 I ..... 2 (s 5)
м ..... O,ls+ I ..... s + 10 ·
Выберем р. == 0.2. Тоrда по ФОРМУJIе (П4.21)
(s + 10) + 0,2.2 (8 5)
Zi ==
2Q
ZI== (5+ 10) 0,2.2(8 5)
2Q
Выберем Q == 8 + 5. При этом
Zl == 0,7 (8 + 40/7) . Z" == 0,3 (8 + 20)
s+5 , s+5.
1,48 + 8 .
2Q ,
0,65 + 12
2Q
493
172
р
"Ч
Рис. 04.14. Схемы RC.
А8УХDОЛЮСНИКО8, Я8ла
щи!:са П.lечам. MOCl'080ro
четыреХDo.IlOCIIВU
Выберем схему двухполюсника с полным сопротивлением Zl. Для. зтоrо,
ПOJIьзуясь формулами (П4.2) (П4.4), разложим функцию Zl на простые дроби:
Al А 0,5
Zl === 5+5 + == 5+5 +0,7.
На основании рис. П4.1 составим схему двухполюсника (рис. П4.14. а) и оп..
ределим значения ero эл ментов:
R1 == А == 0,7 МОм; R2 == А1/5 == 0,1 МОм; С1 == I/A1 == 2 мкФ.
Далее, действуя аналоrично, выберем схему двухполюсника с полным сопро..
Т,ивлением Z2' Разложим функцию Z2 на простые дроби:
Zs 4.5 5 + 0,3.
5+
Составим схем)' двухполюсника (рис. П4.14, б) и определим значения ero
элементов:
4,5 1 2
R3 == 0,3 МОм; R. :=: 5 == 0,9 МОм; С2 == 4,5 == 9 мкФ.
Для физической реализации четырехполюсника целесообразнее иметь кон..
денсаторы меньшей емкости Поэтому уменьшим еr..IКОСТИ в 5 раз и одновременно
увеличим сопротивления реЗИСТОрОD также в пять раз:
R1 == 3,5 МОм; R =.:: 0,5 L\'\OM; Cl == 0,4 мкФ; Rз == 1,5 МОм;
2
R. ;;;;;: 4,5 МОм; С2 == 45 0,0444 мкФ.
Для проверки расчета определим передаточную функцию синтезированноrо
qетырехполюсника:
1 0,75+4 . 1 0,38+6 .
Zl==R1+1/R2+C1S == 0,25+1' Z2==Rs+ lIR4,+C28 0,2s+1 '
W Zl Z2
M
Zl + Z2
(0,78 + 4) (0,38 + 6) 0,2 (0,2s 1)
== :;=.
(0,7s + 4) + (О,зs + 6) 0,15 + 1
yITaK, синтезированный мостовой четырехполюсник имеет передаточную функ..
цию, которая отличается от требуемой лишь постоянным множителем 0,2.
. ,
Синтез наrруженноrо четырехполюсника
Во мноrих: случаях ИСТОЧНИК входноrо напряжения имеет
внутреннее сопротивление R LH' а на выходе четырехполюсника
включена наrрузка R н (рис. П4 15, а). Эти сопротивления можно
считать элементами четырехп.DЛIОСНИI<а (рис. П4.15, 6). .Следова-
тельно, изложенный ранее ПОрЯДОК синтеза лестничноrо нетырех-
полюсника должен быть дополнен требованием иметь на входе
и выходе заданные сопротивления соответственно R ВI! II R н'
Тоrда передаточная функция наrруженноrо чеtыр хполюсника
АОА
RI1
RH
Uz.
а)-
-б)
Рис. П4.15. Схемы иаrруженноrо четырехполюсника:
а l деJ1ствнтельная; б 9КВIIвалентная
б,удет иметь требуемое значение с точностью до постоянноrо множи"
теля. НеоБХОДИl\fУЮ схему С\ПQследовательным сопротивлением
R1 == R ПН на входе и шунтирующее сопротивление R 1 == R н На
выходе можно получить, предъявив соответствующие требования
к реализуемому значению z. Значение z, определяемое формулой
(П4.18), должно не иметь нулевоrо полюса и иметь полюс, равный
нулю реализуемой передаточной фУНКЦJJИ.
Такому требованию, например, удовлетворяет Z в третьем варианте примера
П4.3. Полученная при синтезе схема четыреХПОЛIосника (СМ. рис. П4.12, в) при-
нимает ну}кный вид, если поменять местами R 2 И цепочку параллельноrо соедине..
ния R1 и Сl' а также R3 и цепочку ПОCJIедовательноrо соединения Rt и C'J. Такое
преобразование структурной CX MЫ не изменит ее передаточной ункции.
Пусть четыреХПОЛIeСНИК имеет последовательное сопротивле..
ние Rl на' входе и шунтирующее с()противление R 1 На выходе.
Если R 1 < R I1 И Rl > R Н'.' то все сопр()тивления четырехполюс..
ника HY)I{HO увеличить в а R tJ R 1 раз и все емкости умень"
ПIИТЬ в а раз. Тоrда шунтирующее сопротпвление R 1 на выходе
оказывается не нужным: ero роль выполняет сопротивление на..
rрузки. А последоватеЛЬН9е сопротивление На входе должно быть
равным aRr R Пfl.
Есл и R / > R ii И _ R 1 < R liH' то все сопроти четырех..
полюсника следует увеличить в а === R ан! Rl раз e емкости
уменьшить в а раз. При ЭТОМ.110следовательное сопротивление Rt
на входе оказывается не нужным: ero роль, выполняет внутреннее
сопротивление ИСТОЧН!iка ВХQдноrо напряжения. I1Тунтирующее
сопротивление на выходе в этом случае нужно вы олнять равным
R zR r/(R 11 R.,). '
Предположим, что для ПрИ 1ера П-1.3 Rп == 5 МОм и RBH == 0,2 МОМ. Тоrда
в третьем варианте четырехполюсника , синтезированноrо в этом примере, все
5
сопротивления нужно увеличить и емкости уменьшить в се == 0,5 == 10 раз.
А 10 1
Следовательно, необходимо иметь R 1 == 6 MOY\ 4 ::::::' 3 МОм; C'l == 12 мкФ;
3'
2 === 100 мкФ И"R2 .::= o. 1 ,4 O,2 -=:: 13,8 МОм. Сопроти ление Rз оказываетс.п
не нужным: оно за 'еня тся сопротнвлением Rп.
IIp и ЭТО't пС'ре.r\:1 ТО((ПflП ФУII ICJ\HH чстыреХJНJ-'J ЮС[IИКt\ остается прежней.
495
;1
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
!
\
1. Автоматизация, приборы контроля и реrулирования производственных
процессов в нефтяной и нефтехимической промышленности. I(ниrа пятая. Автома-
тическое реrулирование. Телемеханика. М.: Недра, 1967,956 с.
2. Айзерман М. А. Теория автоматическоrо реrулирования. ......М.: Наука,
1966. 452 с.
3. Арменскнй Е. В., Фалк r. ь. Электрические микромашины. М.: Высшая
школа, 1968. 212 с.
4. Балакнрев В. С., Дудников 1;. r., Цирлин А. М. Экспериментальное опре-
деление динамических характерпстик промышленпых объектов управления. М.:
Энерrия, 1967. 232 с. I
5. БарКО8СКИЙ В. В., Захаров В. Н., Шата ов Д. с. Методы син теза систем
управления. М.: МаI1JИIIостроение, 1969. 328 с.
6. Бендриков r. Д., Теодорчик 1(. Ф. Траектории корней линеЙных автома..
тических CHCTe1J. М.: 1 Iay ка, 1964. 160 с.
7. Беседы но aBTOMaTI1I{ . I I. И. I о л у б н и ч и и, r. Ф. 3 а й ц е в,
Л\. А. И в а 111. е 11 к О и др. КиеD, TeXHiI<a, 1971. 232 с.
8. Бесекерский В. А. Динамический синтез сист€.м автоматическоrо реrули-
рования. М.: Наука, 1970. 576 с.
9. Бесекерский В. Д. Цифровые аВТО!\Iатическне систе1IЫ. 1\1..: !iaYKa, 1976.
576 с.'
10. БесекерсlЩ.-Й В. А., Попов Е. П. Теорин систем автоматическоrо реrули..
рования. 3 e *.J: Наука, 1975. 768 с.
11. Бесек А В. А., Федоров с. М. Применение эквивалентной передаточ"
liой ФУНКЦИИ при расчете следящих систем комбинированноrо управления мето-
дом лоrарифмических частотных характеристик. Труды 1 Международиоrо
KOHrpecca ИФАI(. М.: Изд"во АН СССР, 1961, т. 1, с. 154 165.
12. Блох З. ш. Переходные процессы в линейных системах автоматичеСКО1;О
pery лироваНIIН. Л1.: Физматrиз, 1961. 492 с.
13. Боднер В. А. Теория систем управления ПО.1Itтом. М.: Наука, 1964. 696 с.
14. Брин И. Д. Об устойчивости некоторых систем с распределенными и со-
средоточенными П.1"рамстрами. Автоматика и те.пемеханикаt т. XXIII, 1962,
NQ 7, с. 863 871.
15. Еычковский Р. В. Контактные датчики температуры. М.: Металлурrия,
1978. 240 с.
16. Василье9 д. В., Филиппо r. с. Основы теQРИИ и расчета следящих си..
стем. М. Л.: rосэнсрrоиздат, 1JБ9. 428 с.
17. Васильев д. В., Чуич В. f. Системы автоматическоrо управления. М.:
Высшая школа, 1967. 420 с. '
18. ВерПНIНИН В. д. Определеиие ориrинала по конечным значеииям преоб-
раЗОВ2НIIЯ Jlапласа и ero производным. l-iзвестия высших учебных заведений.
ЭлектромсхаIIIIК(l, 1976, ,NQ 5, с. 487 489.
496
,
19.1Воронов А. А. ОСНОВЫ теории автоматическоrо управления. M. JI.:
Энерrия 1965. 396 с. (Линейные системы реrулирования ОДНОЙ величины; ч. 1).
20. Воронов А. А. Основы теории автоматическоrо управления. М. Л.:
Энерrия, 1966. 372..с. (Специальные линейные и не.1Jинейные системы реrулирова-
ния одной величины; ч. 11).
21. Воронов А. А. Основы теории автоматическоrо управления. 1)l. Л.:
Энерrия, 1970. 328 с. (Оптимальные, мноrосвязные и адаптивные системы; ч. 111).
22. Власов Н. П.,.Теория линейных следящlfX систем, работающих на пере..
менном токе. М.: Энерrия, 1964. 256 с.
23. rальперин М'8ОВ., Злобин Ю. П., Павленко В. А..Усилители лостоянноrо
тока. 2-е изд. М.: Эн рrия, 1978. 248 с.
24. rосударственная система промышленных npиборов и средств автомати..
эации: Каталоr, М.: ЦНИИТЭИприборостроение, 1973, т. 1, вып. 1. 36 с.
25. Денисов А. А., Наrорный В. с. Пневматические и rидравлические устрой...
ства автоматики. М.: Высшая школа, 1978.216 с.
26. Деч r. РУКОВОДСТВО к практическому применению преобраЗОlЗания Лап-
ласа и Z"прео6разования. М.: Наука, 1971. 288 с.
27. Джеймс Х., Никольс Н., Филиппе Р. Теория следящих систем. 2-е иэд.
М.: Изд-во иtIостр. лит., 1951. 464 с.
28. Динамика электромашинных следящих систем/Под ред. Н. М. Я к и-
м е н к о. М.: Энерrия, 1967. 408 с.
29. Диткин B.Qo.A., Лрудников А. п. Операционное исчисление. М.: Высшая
школа, 1975. 408 с.
30. Диткин В. А., Прудников А.;..П. Справочник по операционному исчисле-
нию. М.: Высшая школа, 1965. 468 с.
31. Дмитриев В. Н., rородецКий....В. r. Основы пневмо втоматики. М.: Маши-
ностроение, 1973. 360 с.
32. Дубилович В. А. Автоматическое реrулирование мощности энерrетиче..
ских блоков. Минск: Наука и техника, 1978. 248 с. .
33. Дудников Е. r.OCHOBbl автоматическоrо реrулирования тепловых процес..
сов. М. Л.: Энерrия, 1965. 264 с.
34. EropoB К. В. Основы теории автоматическоrо реrулирования. М.: Энер"
rия, 1967. 648 с.
35. Заrускин Л. В. Справочник по численным методам решения уравнений.
М.: Физматrиэ, 1960. 21 , с.
36. Зайцев r. Ф. Синтез следящих сисt,ем высокой точности. Киев: Техника.
1971. 204 с.
37. Зайцев r. Ф.. Стеклов В. К. Комбинированные следящие системы. Киев:
Техника, 1978. 264 с.
38. Иващенко Н. Н. Автоматическое реrулирование. 3-е иэд. М.: Машино"
строение, 1973. 608 с.
39. Из'Ьюрова r. И. Усилители переменноrо тока. М.: МИРЭА, 1973. 144 с.
40. Kapry Л. И. Системы уrловой стабилизации космических аппаратов.
М.: Машиностроение, 1973. 176 с.
41. Касьянов А. И. Автоматизация радиопередающих устройств. М.:
ВЗЭИсвязн, 1973. 108 с.
42. Кириллов В. В.. Моисеев В. с. Аиалоrовое моделирование динамически:xi
систем. Л.: Машиностроение, 1977. 288 с.
43. Кисельннков В. Б., Плоткин А. r. Системы автоматизации силовоrо
дизельноrо привода. л.: Машиностроение, 1973. 240 c .
44. Колесииков К. с. Жидкостная ракета как объект реrулирования. М.:
Машиностроеиие, 1969. 300 с.
45. Красовский А. А.. Поспелов r. с. Основы автоматиk.И и технической
кибернетики. М.......Л.: rосэнерrоиздат, 1962. 600 с.
46. Кровоносов А. И. Полупроводниковые датчики температуры. М.: Энер"
rия, 1974. 188 с. /
47. Крутов В. И. Автоматическое реrУЛИРОВ8ние Двнrателей BHYTpeHHero
сrорания. 2-е нзд. М.: Машrиз, 1963. 624 с.
48. Крутов В. И. Переходные процессы СНСТeAL..автоыатическоrо реrулирова...
ния. М.: Машинострое не. 1965. 252 с.
.
497
49. I<узовков 11. Т. l"еорин (lnТ(J ИЧ€скоrо рсrУJJирования, осНоВаtf118Я tla
частотных методах. М.: Обuрuнrиз, 1960. 448 с.
50. Кузовков Н. Т. Динамика систем аВ'Iul\'lаТllческurо управления. М.: Маши
ностроение, 1968. 428 с.
51. Кулебакин В. с. ВЫС(JI окач твевные инвариантные системы рсrУJJИРО
вания. ....... J::l КВ.: Теория инваРИ:1НТНОСТИ п ее ЛVIIМСIIСПllе в автоматических уст.
ройствах. М.: Изд"во АН ССС}> , 1959, с. 11 39.
52. Ку.пебакин В. с. Теuрия инвариантнuсти аDI'оматически реrулируемых
и управляемых систем. ТЕ.УДЫ l-ro Междунарuдноrо \<:oHrpecca ИФАI(. М.:
Изд"во АН СССР, 1961, т. 1, с. 247 255.
53. Курош А. r. I(урс высшей алrебры. 9 e изд. 1\1.: Наука, 1968. 432 с.
54. Кухтенко А. и. l1роблема инвариантности в автоматике. Киев: rOcTex-
издат, 1963. 376 с. .
55. Jlанцош К. Ilрактическис методы НрИКJJаДlIоrо анализа. М.: Физматrиз,
19б1. 524 с. '
56. Jlебедев А. А., KapaGaHoB В. А. Динамика систем управления беспилuт"
нымн летательными аппаратами. Jv1.: iV1ашинострuенис, 1965. 528 с.
57. Jlебедев и. В., Трескунов с,- Jl., Яковенко В. с. Элементы струЙноЙ авто"
матики. М.: Машиностроение, 1973. 360 с. J
58. Jlетов А. М. Динамика полета н управление. М.: l aYKa, 1969. 360 с.
59. Лузин Н....Н., Кузнецов П. И...К аБСОЛIОТНОЙ tlнвариантнuсти и инвариант..
ности.до е. в теории дифференциальных уравнений. ДАII СССР. т. 51,1946,
Н2 4, С'.' 247 250; Ng 5, с. 031 334; т. 8U, 1951, N2 3, с. 325 328.
БО. MaKap B и. М., Менский Б. М. Таблица обратных преобразований Лап..
ласа и обратных Z преобразований. 1\\.: Высшая школа, 1978. 248 с.
61. Математические основы теории автоматическоrо реrулирования/Под
ред. Б. 1(. Ч е м о Д а н о в а. 2 e изд. М.: Высшая школа, 1917, т. 1, 366 с.
б2. Математические основы теории автоматическоrо реrулирования/Под
ред. Б. 1(. Ч е м о Д а н о в а. 2 e изд. 1\1..: Высшая школа, 1977, т. 11. 45б с.
63. Мееров М. В. Синтез структур систем автомаТИЧt:скоrо реrулирования
высокой точности. 'М.: Физматrиз, 195 . 284 с.
64. Менский Б. М. HOMorpaMMa для определения фаЗbI по асимптотической
лоrарифмическьй аМl1л тудно частuтной арактеристике. втоматика и теле..
механика, т. ХХ 11, 1961, .f'[g 3, с. 400 402.
65. Менский Б. М. l1РИllЦИП инвариантности Б автоматическом реrулирова..
нии и управлении. М.: Nlашиностроение, 1972. 248 с.
66. МетоАЫ. теории чувствительности в автоматических системах/В. И. r о..
р о Д е ц к и Й, Ф. М. Зах а р н н, Е. Н. Роз е н в а с с е р, Р. М. Ю с у"
п о В. л.: Энерrnя, 1971.344 с.
б7. . МОроЗОDСКИЙ В. Т. Мноrосвязные системы автоматическоrо реrулирова-
ния. М.: Энерrия, 1970. 288 с.
68. МОРОЗ0ВСКИЙ В. Т., Синдеев И.1\\., Рунов К. Д. Системы электроснабжения
летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 420 с.
. 69. Наумов Б. Н. llереходные процессы в линейных системах автоматическоrо
реrулирования. М.: r осэнерrоиздат, 1960. 224 с. ,
70. Наумов Б. Н. Косвенные методы анализа и синтеза качества линейных
систем автоматическоrо управления. М.: ВЗЭИ, 1967. 172 с.
71. Оппельт В. Основы техники автоматическоrо реrулирования. М. Л.:
I'осэнер rоизда т, 1960. 608 с.
7'2. Основы автоматическоrо реrулирования. Теория/Под ред. В. В. С о л о..
Д о в н и к о в а. М.: Машrиз, 1 54. 1118 с.
73. Основы авто.матическоrо реrулирования/Под ред. В. В. С о л О Д О в-
Н И К О В а. М.: Мзшrl!З, 1959. 454 с. (Корректирующие элементы и элементы
вычислительных машин; т. 11, ч. 2). ,
74. Основы' автоматическоrо управления/Под ред. В. С. П у r а ч:е в а.
2..е ИЗД. М.: Наука, 1968. б80 с.
75. Основы автоматическоrо управления/Под ред. В. С. П у r а ч е в а.
3-е НЗД. М.: HaYKa, 1974. 720 с. J
76. Основы проектирования следящи систем/Под ред. Н. А. Л а к о т ы. М.:
Маши ностроени'е, 1978. 392 с.
498
77. Петров Б. Н. ПРННЦltП инваРlIантности и УСЛОDНЯ cro применеиия при
расчете ТIJlнейных JI нелинейных систем. Трул:ы I.ro Между+rародноrо KOHrpecca
ИФАК. М: Изд во АН СССР, 1961, т. 1, с. 259--:----27f.
78. Петров r. М., ЛаКУНИfl Н. Б., Бартольд Э. Е. j\\етоды моделирования
систем управления на 3Ha,,1IOrOBbIX и аналоrо.цифровых вычислитеЛЬН IХ маши..
нах. М.: Машиностроение, 1975. 256 с.
. 79. Печорина ,... Н. Расчет систем автоматическоrо упрайления. Справочное
пособие. Москва СвеРДЛОDСК: Машrиз, 1962. 112 с.
80. Плетнев r. п. Автоматическое реrулирование и ЗaJцнта тепло"нерrетиче
l=ких установок электрических станций. М.: Энерrия, 1970. 408 с. '-.,...
81. Пономарев В. Ф., Воеоодина В. В. Расчет систем автоматическоrо реrули..
рования технолоrическнх объектов . Калининrрад: Калининrрадский техниче-
ский институт рыбной промышленности и хозяйства, 1972. 276 с.
82. Попов Е. п. Теория линейных систем автоматическоrо реrулирования
и управления. М.: Наука, 1978. 256 с.
83. Проектирование инвариантных следящих приводов/В. Н. Я в о р С..
К И Й, А. А. Б е с с о н о в, А. И. К о р о т а е в, А. М. П о т а п о В. М.:
Высшая школа, 1963. 476 с. ...
84. Процессы автоматическоrо управления и обобщенное дифференцирова-
ние/Н. д. С а пер ш т е й н, Р. A. С а n о ж н.и к о В, В. л. Фай н ц" м и Д т,
Б. П. Р о Д и н. М.: Высшая школа, 1973. 240с.
85. Пуrачев В. с. Теория случайн'ых функций и ее применение к задачам
автоматическоrо управления. fr\.: Физматrиз 1960. 884 с.
86. Рабинович л. В., Петров Б. Н., Терсков В. r. Проектирование следящих
систем. М.: Машиностроение, 1969. 500 с.
87. Расчет автоматических систем/Под ред. А. В. Ф а т е е в а. М.: В сшая
школа, 1973. 336 с.
88. Ротач В. я. Расчет динамики промышленных автоматических систем
реrулирования. М.-.....-Л.: Энерrия, 1973. 440 с..
89. Рязанов ю. А. Проектирование систем автоматическоrо реrулирования.
М.: Машиностроение, 1968. 360 с.
90. СанковскиА Е. А. Вопросы теории автоматическоrо управления. М.:
Высшая школа, 1»71. 2 2 с. \
91. Сборник задач по теории автоматическоrо реrулирования и управления/ ,
Под ред. В. А. Б е с е к е р с к о r о... 5-е изд. М.: Наука, 1978. 512 с.
92. Симою М. П. Определение коэффициентов передаточных функций линеа-
ризованных звеньев и систем реrулирования. Автоматика и телемеханика,
т. XVIII, 1957, N2 6. с. 514 528.
93. Скаржепа В. А., Морозов А. А. Устройства автоматики на тиристорах."""
Киев: Техника, 1974. 224 с.
94. Слободкии М. с., Смирнов п. Ф., Казинер ю. А. Исполнительные устрой-
ства реrуляторов. М.: Недра, 1972. 304 с.
95. Соболев О. К. Выбор обобщенных параметров прц исследовании устой-
чивости лиtlейных систем. ........ Известия АН СССР. Техиическая кибернетика, 1970,
М 5, с. 191........198.
96. Соколов T. Н. Электромеханические системы автоматическоrо управле-
ния.-М.: rосэнерrоиздат, 1952. 252 с.
97. Солодов А. В., Петров Ф. с. ЛинеАНВе автоматические системы с перемеи..
ными параметрами. М.: Наука, 1971. 620 с.
98. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автомати-
ческоrо управления. М.: Физматrиз, 1960. 656 с.
99. Сотсков Б. с. Основы расчета и проектирования электромеханических
элементов автоматических и телемеханических устройств. М.......л.: Энерrия,
1965. 576 с. ' .
100. Сотсков Б. с. Тенденция и перспективы раЗВИТИR основ построения
rсп. ...... Пр ибор ы и системы уп р авл ения, 1972, N9 8, с. 1........ 7.
101. Справочное пособие по теории систем автоматическоrо реrулирования
и управления/Под ред. Е. А. С а н к о в с к о r о. Минск: Вышэйшая школа,
1973. 584 с.
102. Теория 2ВТ.()М 1тичес){оrо реrУ.ТIирования. Кн. 1. Математическое описCl.
иие, анализ устойчивости и качества систем автоматическоrо реrулирования/
Под ред. В. В. С о тr о Д о в н и к о в а. М.: Машиностроение, 1967. 768 с. (Сер ия
инженерных l\, оноrрафиЙ: «Техническая кибернетика)).
103. Теория автоматическоrо реrУJLИррвания. Кн. 2. Анализ и синтез линей
ных непрерывных и дискретных систем автоматическоrо реrулирования/Под
ред. В. В. С о л о Д о в н и к о в а. 'л1..: Машиностроение, 1967. 680 с.
104. Теория автоматическоrо реrулирования. Кн. 3. Теория нестационарных,
нелинеЙных и самонастраивающихся систем автоматическоrо реrулирования/Под
ред. В. В. С 'о л о Д о в н и к о в а. М.: Машиностроение, 1969, ч. 1. 608 с. t ч. 11.
368 с.
105. Теория аnтоматическоrо управления/Под ред. А. В. Н е т у ш и л а.
2..е изд. М.: Высшая школа, 1.916. 400 с.
. 106. Теория инвариантности в сис-ремах автоматическоrо управления. Ь\.:
Наука, 1964. 504 с. (Труды BToporo Всесоюзноrо совещания, состоявшеrося в Кие..
ве 29 мая 1 ИIОНЯ 1962 rода).
107. Теория инвариантности и теория чувствительности автоматических си-
стем. Киев: АН УССР, 1977, ч. 1.436 с., ч. 11. 496 с., ч. 111. 752 с.
108. Теория систем с переменной структурой/Под ред С. В. Ем е л ь я ..
н о в а. М.: Наука, 1970. 592 с.
109. Топчеев ю. и., Цыплаков А. п. Задачник по теории автоматическоrо
реrулирования. М.: Машино троение, 1977. 592 с.
110. Труды 3 ro Всесоюзноrо совещания по теории инвариантности и ее при..
м нению в \ системах аптоматическоrо управления. 1\1.: Наука, 1970, ч. 1. 420 с.,
ч. 11.
111. Устройства и элементы систем автоматическоrо реrулирования и управ..
ления. I(H. 1. Измерительные устройства, преобразовательные элементы и уст..
РОЙСТDа/Под ред. В. В. С о л о Д о в н и к о в а. M.: Машиностроение, 1973.
680 с. (Серия инженерных моноrрафий «ТехничеСI{ая кибернетика»). .. ·
112. Универсальная система элементов промышленной пневмоавтоматики:
К.аталоr. М.: ЦНИИТЭИприборостроение, 1972. 44 с.
113. Унифицированная система пневматических и электрических датчиков
теплоэнерrетических параметров: -Каталоr. М.: ЦНИИТЭИприборосtPоение,
1972 с.
114 Устройства и элементы систем автоматическоrо реrулирования и управ..
лени. н. 2. Усилительные устройства, корректирующие элементы и устройства/
П . в. в: С о л о Д о в н и. к о в а. М.: Машиностроение, 1975. 688 с.
15 Устройства и элементы систем автоматическоrо реrулирования и управ..
дени . Кн. 3. Исполнительные устройства и сервомеханизмы/Под ред. В. В. С о -
.'1 О Д О В Н И К О В а. 1\1.: Машиностроение, 1976. 435 с.
116. Цыпкин я. з. Основы теории автоматических систем. М.: Наука, 1977.
560 с.
117. Цыпкнн Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М.: Физматrиз,
1963. 968 с. "
118. Честнат r., Майер Р. Проектирование и расчет следящиХ систем и систем
реrулирования. М. Л.: rосэнерrоиздат, 1959, ч. 1. 488 с.
119. шАталов А. -,с. Структурные методы в теории управления и электроав..
томатике. 1\\.: rосэнерrоиздат, 1962. 408 с.
120. Шаталов А. с. Обобщенные методы исследования непрерывных линей-
ных систем автоматическоrо управnения. ..... В кн.: Современные методы проекти"
рования систем автоматическоrо управnения. М.: Машиностроение, 1967,
с. 265 286.
121. Шат3.JIОВ А. с., Топчнев Ю. Н., Кондратьев В. С. Летательные аппараты
как объекты управления. М.: Машиностроение, 1972. 240 с.
122. ШтеАнберr Щ. Е., Хвилевнцкий л. О., Ястребенецкий А\. А. Промыш-
леиные автоматические рerуляторы. М.: Энерrия, 1973. 568 с.
123. Яворский В. Н., Макшанов В. Н., Ермолии В. п. Проектирование не..
линейных следящих привод.ов. Л.: Энерrия. 1976.208 с.
,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплиту дно ..фазовая частотиая характе-
ристика 42
Построение 193, 231
Амплитудно..частотная характеристика 41
лоrарифмическая 43
лоrарнфмнческая асимптотическая 43
Построенне 200
А пп ро ксимац и я 9 ксперимент ал ь ной пере..
ходной характеристики 72
Асимптота 43
Астатизм 287 t 342
Вещественная частотная
СТИl(а 42
Связь с переходноЙ характеристи.
кой 183
Виды инвариантности 448
Внешние воздействия типовые 38
Временные характеристики 38
тнповых динамическнх звеньев 47
Время запаздыва я 274
реrулиропания 297
Вышнеrрадскоrо ДИfirрамма 318
rибкая обратная связь 61
rодоrраф корневой 321
Михайлова 243
rосударственная система приборов ( СП)
19
rраница устойчизости 236
rраНlfчное время запаздывания 276
значенне передаточноrо КО9ффициента
261
Движение дополннтельное 333
D"разбнение 263
по двум параметрам 266
по одному параметру 263
Декада 43
Декремент затухания 317
Дельта-функция 40
.ДемпФирование З"i 7
Децибелы 43
Перевод в натуральные числа 209
Диаrрамма ВышнеrраДС1{оrо 318
Динамнческие звенья 35
типовые 45 Характеристики 46, 47, 52
Дифференциальная (балансная) цепь 363
Дифференциальное уравнение 30 .
Решеиие операционным методом 463
Дифференцирующий трансформатор 380
Дифференциальный оператор 30
Единичная импульсная функция 39
ступенчатая. функция 38
Жеnаемая JlАЧХ 402 429
..... Построение упрощенн ыми методами 414
Жесткая обратная связь 61
ЗадаlOщее ус.тройство 24'
Законы реrуанроваиия 17
Запаздывание «чистое:. 274
Запас. устоlqивости 256
по модулю 257
..... по фазе 257
Звенья дифференцирующие 58
... И)lтеrрйрующие 51
иррациональные 213
не ннимально фазовые 59, 211
......... неусто"Йчивые 59
......... TpaHcцeHдeHTHыe 213
......... типовые динамическне 45
Измернтельиый (чувствительный) еnе..
мент 24
Изодромная обратная связь 61
Импульсная характернстика 40
.... нестационараый САР 279.
Инвариантность 448
аб олютная 449
характери..
полная 449
с точностыо до малой величины 451
частичная 451
Интеrральная оценка 301
квадратичная 308, 310
......... квадратичная улучшенная 314
линейная 301
Интеrрал ДlOамеля 39
Интсрполяцkонный метод 18
исrtолнителыfйй элемент 565
Каскадная система реrулировапия 338
Квазистационарная САР 279
Классификация САР 14
Колсбательность 316
I(омпаундирующая связь 356
Корректирующее устройство 353
параллельное 351
последовательное 353
прямое параллельное 355
Коррекция задающеr воздействия 344
I(ОРРСJJяционная функция 436
Коэффицнент демпфирования 51
затухания 51
ошибки ,288. 290-, 292
передаточный 34
передаточный разомкнутый САР 387
статизма 286
Коэффицие1lТЫ ошиБI{И 288
Вычисление 288
Конная разr.она 71
КритериЙ сближения 430
Критерий устойчивости 236
rурвица 238
..... Л'1ихайлопа 243
Найквиста 245
..... Рауса 240
Критнческое время запаздывания 276
I(руrовая диаrрамма 197
амплитудная 199
..... вещественная 198
---- мнимая 198
---- фазовая 199
J1инеаризацня 27
---- методом малых отклонений 27
---- методом осреднения 27
Л оrар..ифмнческне частотиые хараI{тери-
стикн иррациональных зпеньеп 213
типовых динамическнх звеньев 52
..... трансцендентных звеньев 213
Малые параметры 258
Мезона формула 111
Метод вещественных частотных характе-
рнстик 183
...::.. «замороженных» коэффициентов 219
.... «замороженных» реакций 281
..... интерполяционный 78
..... корневых rод.оrрафов 321,
..... мал ых отклоненнй 27
..... операционный 127
..... trл ощадей 73
.... скользящеrо среднеrо 71
.... спектральпых преобразовавий 190
.... стандартных коэффициентов 397
..... четвертых разностей 72
Модуnированный сиrнал 15
Наqальные усnовня 31
HOMorpaMMa для определения фазы 216
замыкания (пересчета) 218
..Ноннусная следnщая с.истема 338'
Нормированне переходной хараnOери-
СТНЮf 73
Нули передаточной функцни 34
Область устойqнвости 261 .
Обобщенные параметры 271
Обратная АфЧХ 251
501
Обратная связь 60
rибкая 61
..... IIЗОДРОМН ая G 1
..... жестка я 61
..... условная 339
Объект реrу.пирования 8, 22
Оператор дифференцирования : O
Опреде.пите.пи 473
Определяющие кьрни 396
Орнrи и а.пы дробно ..ра цион альн ы х И::J обра-
жений 140
Осмотр структурной схемы 97
Передаточная функция
Определенне по экспериментальным ,дин-
ным 71
Передаточная функ.ция САР 81
..... для ошибки (рассоrласовання) 83
относительно возмущеннЯ 82
относите.пьно задающеrо воздействия
82
разомкнутой цепн 81
Перед точная функция частотная 41
Передаточная функция соединения ди-
намических звеньев 60
..... встречно-параллельноrо 62
..... параллельноrо 69
..... последоватепьноrо 60
nеререrулирование 296
Переходная характеристика 38
нестационарноR САР 279
..... построение 183. 188
типовых дннамических звеньев 47
Подавленне высоких частот 348
средних частот 351
Поднятие высоких частот 350
Показателн качества 284, 296, 298, 314
Покаэатель колебательности 304
Полюсы передаточной функции 34
Поправкн к асимптотической ЛА Ч Х 201,
202 )
Постоянные интеrрированltЯ 32
Правила структурных преобразований 97
Правнло пере ходов АФЧ Х 252
..... подвижной полосы 294
ПредначаJlьные условия 128
Преобразование Лапласа 463
..... дифференциаЛЬНQ.rо уравиеиия 4q3, 465
..... обратное 466
Принцип двухканальности 448
инвариаитиости 44R
.... обратной связи 11
..... суперпозиции 31
РаЗJlожение изображения на простейшие
Аробн 137
..... полинома иа элементарные миожите-
ли 468
РеаJlизация УСJlОВИЯ инварнантности 449
Синтез двухполюсника 477i
..... комбинироваииой следящей системы
456
Синтез САР по отклоиеиию 385
--- методом Л А Ч Х 402
..... методом стаИАартных коэФФициентов 397
--- по крнтерию сближеиия 430
по мииимуму интеrра.пьной оцеи ки 393
--- с помощью kopHeBoro rодоrрафа 399
..... с помощью показателя колебательностн
305
..... упрощениым и методами 414
Синтез системы комбннироаанноrо pery..
Jlироааиия 452
Сиитез чеТlllрехполюсника 48.6
..... r-образноrо 485
'лестиичноrо 487
мосто Boro 493
..... наrруженнorо 495
502
?
Сис reMa автомаТ1tческоrо реl"УЛ ItроваllИЯ
каскадная 338
комбинированная 452, 136
нониусная 338
с большим передаточным I<ОЭФФ,ИЦИ I!.
том 340
с компаундирующей связью 35б
Система уравнений САР 30
Соединение динамических звеньев 60
встречно параллельное 60, 62
параллельное 60, 69
последовательное 60
Составление структурной cxeMЬJ ЗЗ .
Состав.пяющая решения дИффере..цllа....-
Horo уравнения вынужденная 3.1
..... свободная 31
..... сопровождающая 31
Спектра.пьная плотность 436
Стаби.пнзация САР 347
Статическая точность 2&5, 339
Степень устойчивости 316
Структурная иеустойчивость 272
Структурная схеМа 33
Преобразование в одноконтурную 97
Структурные преобразования 97
Суперпозицня 31
Таблица h функцнй 184
..... Рауса 241
Тахоrеиератор 381
Тахометрический мост 383
Теорема свертывания 181
Техиика подвижной' полосы 294
Типовые внешние воздеЙствня 39
соединения динамических звеньев 60
..... характеристические уравнения 398
V иифицированиые сиrналы 21
..... системы элементов 19
Условные знаки структурной схемы 35
Усилнтель 25
Ус"овие УСТОЙЧИВОСТИ САР 234
..... линейной 239, 271
..... нестационар ой 274
..... с запаздыванием 274
..... с ирра-иональными звеньями 274
Формула Ме.зона 111
Функция веса 40
ФУНКЦИЯ чувствительности
характерисТhКИ 333
..... передаточиой функции 332
показателя качества 335
Характеристический вектор 243
..... попииом САР 81
Характеристическое уравнение 32. 25
Чаетотная характеристика 40
амплитудная 41. 43, 200, 215, 211
..... а м пл иту дио фазо вая 42, 193, 231
..... веществениая 42, 226
миимая 42
..... Фаеовая 41, 43, 200, 215
qетырехпо юсннк ПОСТОЯнноrо TOQ ак"
тиаиый 379
ЧетыреХПОJlЮСИИК постоянноrо тока аас.-
сиаиый 360
..... аитивибратор 363
....... Аифференцирующий 363
....... иитеrрирующий 363 -
..... иитеrродмфференцирующий 363
.;....... фазосдвиrающий 363
увст итеJlЬИОСТЬ 329
Э кстремаль 314
ЭJlемент САР исполиительный 25
корректирующий 25
.... сравнеиия 5
усил тельный 25
..... чувствительный 24
.
"
времеивой
оrЛАВЛЕНИЕ
ПредИсловие . . . . . . . . . · · · ·
Основиые обозначения. . . . . .
ОСlIовные' сокращения . . -. . . . . .
r л а в а 1. Общие свеАения . ... .. . .. ". · . · ·
1.1. IТринципы автоматическоrо реrулирования . .. . . .
. ..2. Некоторые основные 'понятия теории автоматическоrо реrулиро-
вания .....,........' . . . . . . . . . . . · ·
1.3. . Элементы СА,Р. . .. . .. .. .. .. .. . . . . . . .. . . . · . · ·
r .11 а в а 2. Математическое описание элементов и систем .. . . . ..
2.1. ЛинеаРИЗ!lЦИЯ статических характеристик и дифференциальных
уравнении ....................................
2.2. Линейные дифференциальные уравнения элементов и систем
2. "'Пер еда точные функции и структурные схемы . . .
2!4.. Временные характеристики . .. . . . . . . .
2.5. Частотные характеристики. .. . . . '.. . . . . . .
2.6. Типовые динамнческие звеИbll . . \. .. . . . . . ..
2.. 7. Ти'повые соединения динамических звеньев . . . . . . .. ..
2.8. Определение передаточиых фуикций элементов по экспери..
ментальным данным .. .. . . . . . . . . . . .. .. .
r л а в а 3. Определение переАаточнwх функций систем . . . .
3.1. Передаточные функции САР . .. . . .. . . . . . .
3.2. Структурные преобразования ....
3.3. Применеине теории rрафов .
3.4. Аиалоrовое моделироваиие САР . '.
r л а в а 4.. Опре.делеиие.....времениых характеристик... .. . . . .
4.1. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
4.2. Отыскание ориrинала по изображению . .. . . . . . .. . . ..
'4.3. Методы, использующие вещ.ественную частотную характеристику
r л а в...а 5. Определение и построеиие частотных характеристик. . .
5.1. Построение амплитудно-фазовой частотной характеристики
. разомкнутой системы . . .. . . .. . . . . . . .
5.2. Связь между частотными характеристиками замкнутой и pa
зомкнутой системы. . . . . . . . .. . . .. . . . . . .. . . .
5.3. Построение JJоrарифмических частотных характеристик pa
зомкнутой одноконтурной системы .. . . .. .. ! . .. . . . . .
5.4. Связь между JJоrарифмическими !Ulстотными характеристиками
системы. мииимально-фазовоrо типа ............ .
5.5. Связь между JJоrарифмическими частотными характеристиками
замкнутой и разомкнутой системы . . .. .. . .. .. .. . . . . .
5.6. Построение лоrарифмических частотиых характеристик мно-,
rt>контурной системы. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . .
5.7. Определение, вещественной частотной характеристики замкну"
той систе"'IЫ ................. ". '. . . .. .. .. . .. ..
..
:3
5
6
7
8
13
19
26
27
30
зз
37
40
45
60
71
80
81
97
111
114
126
127
136
183
192
193
197
200
215
217
223
226
503
5.8. Опре ленис Вi\f)lлитудно-фаЗОЕоi\ чt1СТОТНОЙ хараl(теристики
по КрIIВОЙ разrОНа . . . . . . . . . . . .
б. Про верка УСТОЙЧИВОСТИ . . : . . . . . . . . . . . . . .
Условие и критерии устойчивости
Критерий устойчивости fурвица . .
Критерий устойчивости Рауса . . .
Критерий устойчивости Михайлова.
Критерий устойчивости Найквиста ...........
Определени устон:чивости по лоrарифмическим частотным
ха рактер 11 с ти I\a м . . . .. ..............
6.7. Запас устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . .
б.8. Влияние малых параметрст на устойчивость
б.9. Выделение областей устойчивости. . . . . . . . . .
6.10. Структурная неустойчивость . . . . . . . . . . . . . . .
6.11. Определение 'устойчивости систем. с трансцендентными, ирра..
циональными и нестационарнымн звеньями.. .....
7. Оценка качества реrулирования . . . . . . .
Точность в установившихся режимах . . . .
Коэффициенты ошибок ..................
Показатели качества переходной 4iхарактеристики. "
Оценка качества переходной характеристики по частотным
характеристикам ........ ...........
7.5.. ПоказатеJJЬ колебательности . . . . . . . . . . . . . . . .
7.б. Интеrральные оценки . . . . . . ./. . . . . . . . . . . .
7.7. Оценка качества переходной характеристики по расположе..
нию нулей и полюсов передаточной функции. . . . . . .
7.8. Метод корневых rодоrрафов . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9. ЧувствитеЛЬflОСТЬ . . . . . .'. . . . . . . . . . . . . . .
r л а в а 8. Методы и средства с.таБИJ}lfзации и повышения качества
pery л ироваlИfя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Повышение статической точности. . . . . . . . . . . . . .
8.2. Обеспечение устойчивости и увеличение запаса устоЙчивости
8.3. Корректирующие устройства . . . . . .
8.4. Компаундирующие связи ................
8.5. Преобразователи сиrналов постоянноrо тока. . . . . . . .
f л а в а 9.....Методы синтеза систем реrулироваиия по отклоненню. . .
9.1. Выбор параметров по заданной точности . . . . . . .
9.2. Выбор параметров по минимуму интеrральноЙ оценки
9.3. KopHeBыe методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Метод. лоrарифмических амплитудно..частотных характеристик
9.5. Синтез на основе частотных критериев качества . . . . . . .
9.б. Синтез САР сравнением передаточных функций и по критерию
сближения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7. Синтез САР при CJIучайных ВОЗДей твиях
r JJ а в а 10. Комбинированное реrулирование . . . . .
10.1. Виды инвариантности . . . . . . . . . . .
10.2. Система ко бинированноrо реrулиропания. .
10.3. Комбинированная следящая система
Приложение 1. Преобррование Лапласа . . . . . . . .
ПРВЛОЖi(ие 2. РаЭJIожеиие полиномов с вещественными коэффициен-
тами на множители . . . . . . .. ....
rJJaBa
б.l.
6.2.
б.з.
,б.4.
б.5.
L б. 6.
fлава
7.1.
7.2.
7.3.
7..4.
. . .
.
Приложение 3. Краткие сведения об опре елителях .........
Приложение 4. Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников
Сп сок литературы . . . . . . . . . . ,
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
233
234
238
240
243
24&
252
256
258
2бl
272
274
284
285
288
29б
298
304
307
314
321
329
337
339
347
353
356
360
385
.3В7
.393
396
402
420
43О
435
448
448
452
456
4б3
468
473
47б
, 497
501