К. Н. Волков
В. Я. Емельянов
Теченищщеплообмен
и
вращающихся полостях

Предисловие
При создании современных газотурбинных двигателей практически
невозможно обойтись без использования численных методов расчета
внутренних турбулентных течений и теплообмена вязкого сжимаемого
газа в областях сложной геометрической конфигурации. Вопросы рас¬
чета течений в газотурбинных двигателях включают в себя моделиро¬
вание турбулентного теплообмена в условиях влияния благоприятного
и неблагоприятного^градиентов давления, свободной турбулентности,
течений с учетом кривизны линий тока, вращения и закрутки потока,
взаимодействия вихревых структур с поверхностью и многого другого.
Тенденция к увеличению температуры газа на входе в межлопаточный
канал до Т = 1800-2000 К приводит к необходимости обеспечения
надлежащего охлаждения обтекаемых поверхностей.
В книге рассматриваются физические механизмы формирования
течений в каналах и кавернах газовых турбин и компрессоров, а полу¬
ченные результаты дополняют имеющиеся экспериментальные данные.
Важное место отводится разработке и верификации вычислительного
комплекса, основанного на решении уравнений Навье-Стокса или Рей¬
нольдса, замкнутых с помощью дифференциальных моделей турбулент¬
ности. Результаты тестирования моделей турбулентности и численных
исследований имеют самостоятельный интерес и могут быть полезными
для пользователей коммерческих пакетов.
Книга разбита на главы, разделы и подразделы. Формулы, рисунки
и таблицы нумеруются внутри каждой главы (указывается номер главы
и порядковый номер рисунка или таблицы).
Во Введении излагаются вопросы, связанные с применением мето¬
дов вычислительной газовой динамики при проектировании и оптими¬
зации газотурбинных двигателей.
В главе 1 формулируются требования к программному обеспече¬
нию, предназначенному для численного моделирования нестационар¬
ных пространственных течений вязкого сжимаемого газа, описываемых
уравнениями Навье-Стокса, а также приводится его системное и функ¬
циональное наполнение. Основные концептуальные положения, приня¬
тые при реализации программного кода, иллюстрируются парадигмами
объектно-ориентированного программирования. Обсуждаются инстру¬
ментальный характер разработанных программных средств, структура
организации классов и их практическая реализация. Обосновывается
выбор системы объектов, которые лежат в основе построения классов
программного комплекса и выражают основные предметные понятия
и их свойства.
В главе 2 рассматриваются особенности дискретизации уравнений
Навье-Стокса на неподвижных и подвижных неструктурированных
сетках при помощи метода конечных объемов. В качестве контроль¬

ного объема используется среднемедианный контрольный объем, цен¬
трированный относительно узла сетки. Вектор потока расщепляется
на невязкий и вязкий потоки. Для дискретизации невязких потоков
применяется схема М115СЦ а для дискретизации вязких потоков —
центрированные конечно-разностные формулы 2-го порядка. Нахож¬
дение градиента и псевдо-лапласиана в серединной точке грани кон¬
трольного объема производится на основе соотношений, приспособ¬
ленных к расчетам на сетках, используемых в пограничном слое. Си¬
стема разностных уравнений решается многосеточным методом. Для
ускорения сходимости итерационного процесса и при моделировании
низкоскоростных течений применяется метод блочного предобусловли-
вания. Обсуждаются структура матрицы предобусловливания для схем
различного порядка и способ учета граничных условий.
Возможности разработанной вычислительной процедуры демон¬
стрируются на примере решения ряда задач газовой динамики (обтека¬
ние профиля потоком невязкой и вязкой жидкости, обтекание прямой
решетки профилей, совершающих малые гармонические колебания).
Проводится сравнение эффективности вычислительного алгоритма при
использовании скалярного и блочного предобусловливания.
В главе 3 обсуждаются достоинства и недостатки различных мето¬
дов моделирования турбулентных течений. Приводится формулировка
некоторых моделей турбулентности (модель Спаларта-Аллмараса, к-е
модель, двухслойная модель) с учетом поправок на кривизну линий
тока, вращение и сжимаемость, а также особенности реализации ме¬
тода пристеночных функций. Для расчетов турбулентных течений на
неструктурированных сетках предлагается модифицированный метод
пристеночных функций, основанный на постановке слабых граничных
условий на стенке, и обсуждаются особенности его численной реали¬
зации.
Возможности различных моделей турбулентности, метода присте¬
ночных функций и слабых граничных условий демонстрируются на
примерах расчетов пограничного слоя на плоской пластине с нулевым,
благоприятным и неблагоприятным градиентом давления, а также те¬
чения в межлопаточном канале компрессора. Проводится сравнение
результатов расчетов, полученных на основе модели Спаларта-Аллма¬
раса, к-е модели и двухслойной модели турбулентности, с данными
физического эксперимента и имеющимися корреляционными зависимо¬
стями. Показывается влияние пристеночного шага сетки на точность
расчетов и исследуется сеточная зависимость решения при использо¬
вании метода пристеночных функций и слабых граничных условий.
В главе 4 рассматриваются вопросы, связанные с исследованием
сопряженного теплообмена при движении вязкой сжимаемой жидко¬
сти в полости, ограниченной неподвижными и подвижными стенками,
в условиях вынужденной конвекции, а также разработка и реализация
программного обеспечения, предназначенного для численного решения
задач сопряженного теплового анализа.

Обсуждаются дискретизация уравнений, описывающих распределе¬
ние температуры внутри твердого тела и движение жидкости, реали¬
зация упрощенного подхода к расчету температурного поля в жидко¬
сти, основанного на интегрировании уравнения изменения температуры
при замороженном поле скорости, а также автоматическое построение
неструктурированной сетки в области, занятой жидкостью, и дру¬
гие детали численной реализации. Для решения системы разностных
уравнений, полученной в результате конечно-объемной дискретизации
осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса, используется
многосеточный метод и обобщенный метод взвешенных невязок.
Возможности подхода демонстрируются на примере решения ря¬
да задач, связанных с сопряженным тепловым анализом компонент
газовых турбин. Проводится сравнение ускорений вычислительного
алгоритма, полученных при использовании полного и упрощенного
подходов к решению задачи. Результаты расчетов сравниваются с тео¬
ретическими зависимостями и данными измерений.
В главе 5 рассматриваются течения и сопряженный теплообмен
в кавернах газовых турбин и компрессоров, имеющих упрощенную
геометрическую конфигурацию, а также течения, индуцированные вра¬
щением дисков. Выделяются конфигурации каверн, характерные для
внутренней воздуховодной системы газотурбинных двигателей, и за¬
висимость основных режимов течения в каверне от входных пара¬
метров задачи. Приводятся критериальные соотношения для расчета
интегральных характеристик течения и теплообмена.
Проводится численное моделирование течения около свободного
вращающегося диска, течения между двумя дисками, вращающими¬
ся в одном направлении, течения, индуцированного вращением диска
в закрытой осесимметричной каверне. Результаты расчетов локальных
и интегральных характеристик течения и теплообмена в кавернах,
ограниченных подвижными и неподвижными стенками, сравниваются
с данными физического эксперимента, критериальными зависимостями
и имеющимися результатами численного моделирования, полученными
на основе различных моделей турбулентности.
Газодинамические расчеты без учета сопряженного теплообмена
используются для выбора подходящего типа тепловых граничных усло¬
вий, направления течения, массового расхода жидкости, распределения
коэффициента теплоотдачи по границам модели и дополнительных
тепловых источников. Поле течения, рассчитанное для теплоизоли¬
рованных стенок модели, служит в качестве исходных данных для
моделирования сопряженного теплообмена компонент газовых турбин
и компрессоров.
В главе 6 разрабатываются двух- и трехмерные модели теплового
состояния стенок каверн внутренней системы охлаждения газотурбин¬
ного двигателя в сопряженной постановке.
Моделирование теплового состояния дисков и околодисковых ста¬
торных деталей основано на решении нелинейной сопряженной зада¬

чи теплопроводности методом конечных элементов в осесимметричной
и трехмерной постановке. Расчеты гидравлической сети, эквивалент¬
ной системе охлаждения, и постановка граничных условий проводятся
с использованием обобщенных экспериментальных данных.
Рассчитываются расходы охлаждающего воздуха и его параметров
в системе охлаждения двигателя на стационарных и переходных ре¬
жимах работы, коэффициенты теплоотдачи на поверхности подвижных
и неподвижных деталей, температуры среды на поверхности ротора
и статора, а также поля температур ротора и статора по узлам расчет¬
ной модели на всех режимах работы двигателя.
В заключении формулируются основные выводы и некоторые на¬
правления дальнейших исследований.
Список литературы дается в конце книги в алфавитном порядке
(сначала русскоязычные издания, затем публикации, вышедшие за
рубежом на английском языке). При ссылках на литературу в тексте
указывается порядковый номер в квадратных скобках.
Разработки и результаты, приведенные в монографии, были получе¬
ны авторами в Балтийском государственном техническом университете
«Военмех» им. Д. Ф. Устинова (Санкт-Петербург) и университете Сур¬
рея (УтуегзЦу оС Зиггеу, СшПёГогй, Ыпйес! Кт^ёот).
Исследования проводились в рамках проектов 1СА5-ОТ (1п1егпа1
СооПп^ Ац 5уз1:ет5 !ог (Заз ТигЫпез) и МСОО (МиШ-Сотропеп*
Эез^п апс1 ОрИгтгаИоп), поддержанных программой Европейского Со¬
юза по научным исследованиям (Еигореап 11шоп КезеагсЬ Рго^гатте)
и министерством торговли и промышленности Великобритании (Эе-
раг1теп1: Тгаде апс! 1п(3из1:гу, ЭТ1), в выполнении которых участвовали
промышленные корпорации (КоПз-Коусе р1с, А151от Ро’мег, 51етеп5
и другие) и университеты Великобритании (Ш^егзКу оГ $иггеу,
УшуегзНу оГ Зиззех, 1трепа1 Со11е^е, 11туег51*у оГ Ох!ог(1).
Вычисления производились как на персональных компьютерах раз¬
личной мощности, так и современных параллельных вычислитель¬
ных системах в режиме удаленного терминала. Кластер расположен
в университете Суррея, а суперкомпьютерный центр находится в Цен¬
тральной лаборатории Совета по научным исследованиям фагезЬигу
ЬаЬогаЬгу, Шагпп^оп, Ш1е(1 Ктдйот).
Авторы надеются, что полученные результаты и собранный мате¬
риал поможет читателю уверенно ориентироваться в многочисленных
публикациях на данную тему, а приведенные результаты будут способ¬
ствовать развитию исследований в данной области.
Авторы выражают глубокую признательность Е. М. Смирнову,
А.	В. Зибарову, С. А. Исаеву, предоставившим сведения о пакетах
вычислительной газовой динамики и сделавшим ряд ценных замечаний
для содержания книги, сотрудникам кафедры плазмогазодинамики
и теплотехники Балтийского государственного технического уни¬
верситета и всем коллегам, дискуссии с которыми способствовали
прояснению вопросов, рассмотренных в монографии, а также многим

другим, чьи имена не позволяет привести ограниченный объем книги,
но без помощи и поддержки которых издание книги оказалось бы
невозможным. Особую благодарность авторы выражают академику
РАН А. М. Липанову за поддержку и постоянное внимание к работе.
Стимулирующее влияние на издание книги оказали многочисленные
обсуждения на конференциях, семинарах и рабочих встречах, а также
беседы с нашими коллегами в университете и других организациях.
Авторы будут благодарны за замечания и уточнения, которые мож¬
но присылать на адрес кафедры плазмогазодинамики и теплотехни¬
ки Балтийского государственного технического университета (190005,
Санкт-Петербург, ул. 1-я Красноармейская, д. 1) или на электронные
адреса с!$С1@таП.ги, у1а<1ете1уапоу@ртаН.сот.
К. И. Волков
В.	И. Емельянов

Введение
Развитие и совершенствование газотурбинных двигателей и их
компонентов связаны с разработкой методов диагностики и поиском
способов управления свойствами внутренних течений. В связи с тре¬
бованиями практики, направленными на сокращение числа испытаний
проектируемых изделий и сроков опытно-конструкторских разработок,
проявляется повышенный интерес к использованию методов матема¬
тического моделирования для оптимизации выходных характеристик
газовых турбин и компрессоров и предотвращения непредусмотренных
режимов их работы.
В течение длительного времени исследования и разработки носили
преимущественно эмпирический характер с опорой на качественные
физические представления, а процесс проектирования опирался на
систему жестких требований разработанных стандартов. Упрощенные
подходы, основанные на приближенном описании типовых компонентов
течений, а также зонные модели не дают полной и достоверной ин¬
формации о характеристиках потока. Экспериментальные возможности
выявления детальной картины потока ограничены, равно как и возмож¬
ности их теоретического описания. Достигнутый уровень понимания
природы протекающих процессов и развитие численных методов, рост
мощности и снижение относительной стоимости компьютеров, доступ¬
ность коммерческого программного обеспечения делают возможным
внедрение в инженерную практику современного подхода к математи¬
ческому моделированию внутренних течений и теплообмена, который
использует средства вычислительной газовой динамики (Сотри1а1юпа!
Р1шс1 Оупагтнсз, СРЭ).
Факторы, влияющие на производство
двигательной техники
Системы разработки и производства двигательной техники претер¬
певают качественные изменения.
Факторами, определяющими изменения в мировом и отечествен¬
ном двигателестроении, являются глобализация рынка и определение
национального и мирового лидера, фактор свободной конкуренции,
изменения законодательных и рыночных требований к перспективным
разработкам.
Перечисленные факторы взаимосвязаны между собой, однако доми¬
нирующее влияние на промышленные предприятия оказывает глобали¬
зация рынка, приводящая к консолидации его участников и определе¬
нию лидера на мировом и национальном уровне. Глобализация тесно
связана с тенденцией развития техники, которая выражается в по¬
степенном усложнении и удорожании как проектов, так и продукции

промышленности вследствие повышения и ужесточения требований
к изделиям.
Востребованными оказываются долгосрочные комплексные про¬
граммы высокотехнологичного уровня, разработка которых не под си¬
лу отдельным преуспевающим странам. Примерами таких разработок
являются межконтинентальный лайнер А-380 и самолеты А320/321,
выпускаемые корпорацией А1гЬиз Гпйиз^гу, а также самолет В-777, вы¬
пускаемый фирмой Воет^г. Эти проекты не ограничены национальными
рамками и приобрели глобальный характер. Консолидация участников
крупных проектов происходит вокруг признанных мировых и нацио¬
нальных лидеров индустрии.
Двигатели для современных пассажирских самолетов создаются
при участии фирм-производителей из различных стран.
Двухвальный двигатель У2500 предназначен для сектора граж¬
данской авиации и производится консорциумом 1п1егпа{юпа1 Аего
Еп^пез (1АЕ), крупнейшим акционером которого является корпорация
КоНз-Коусе. Другими партнерами являются фирмы Рга11 & ШЬИпеу,
ЛАЕС, Аего Еп^тез СогрогаНоп и МТЫ Аего Еп^пез. Компрессорная
система высокого давления разработана корпорацией КоПз-Коусе, вен¬
тилятор и лопатки компрессора — фирмой МЕС, турбина высокого дав¬
ления и камера сгорания — фирмой РгаИ & ШЫ1пеу, турбина низкого
давления — фирмой МТ11 Аего Еп&тез. Двигатель имеет относительно
низкую полную степень повышения давления и низкую температуру на
входе в турбину.
Двигатель У2500 используется на самолетах АЗ 19/320/321, ДШ90,
Воет^ 737-300/400-700/800/900, Воет& 757/900, а также на самолете
АЗ 19 в корпоративной модификации. К середине 2008 г. было постав¬
лено более 1400 самолетов с двигателями У2500. На счету двигателей
этого типа более 50 миллионов летных часов. На авиасалоне в Фарн-
боро (РагпЬогои&Н, ШКес! Юп^с1от) в июле 2008 г. консорциум 1АЕ за¬
ключил контракт на поставку 232 двигателей этого типа для самолетов
семейства А320. Стоимость контракта составила более $ 1,1 млрд. За¬
ключенные контракты отражают способность компании-производителя
формировать конъюнктуру рынка, продолжая расширять ассортимент
энергетических систем и услуг.
Рассматривается возможность установки двигателей У2500 на са¬
молеты Ту-204 (в качестве замены отечественных двигателей ПС-90А
на самолетах Ту-204-100 и Ту-204-300). Предполагается, что это по¬
может снизить вес самолета и приведет к снижению расхода топлива
на 12-17%.
Корпорация КоПз-Коусе производит двигатели для более чем 30 ти¬
пов гражданских и 39 военных самолетов, основную долю среди кото¬
рых составляют газотурбинные двигатели семейства Тгеп1. Особенно¬
стью двигателей семейства Тгеп! является то, что в их конструкции ис¬
пользуется трехступенчатый вентилятор в сочетании с компрессорами
среднего и высокого давления. Двигатели семейства Тгеп!: созданы для

установки на широкофюзеляжных авиалайнерах (Тгеп! 700 на АЗЗО,
Тгеп! 800 на Воет§ 777, Тгеп* 900 на А-380).
Стратегия корпорации КоПз-Коусе заключается в том, чтобы раз¬
рабатывать семейства двигателей, приспосабливая при этом каждый
двигатель семейства под особенности определенного вида самолета.
Это позволяет снизить уровень риска и повысить качество продукции,
а также открывает новые рыночные возможности с появлением каждо¬
го нового типа самолета.
Характеристики газотурбинных двигателей
Простейший газотурбинный двигатель имеет одну турбину, которая
приводит компрессор и одновременно является источником полезной
мощности.
В многовальном (тиШ-зЬаК) двигателе имеется несколько после¬
довательно расположенных турбин, каждая из которых приводит свой
вал. Турбина высокого давления (Н^Ь Ргевзиге ТигЫпе, НРТ), которая
стоит после камеры сгорания, всегда приводит компрессор двигате¬
ля, а последующие турбины промежуточного давления (1п1егтесНа{е
Ргеззиге ТигЫпе, 1РТ) и низкого давления (Ьо’м Ргеззиге ТигЫпе, ЬРТ)
приводят как внешнюю нагрузку, так и дополнительные компрессоры
самого двигателя, расположенные перед основным (рис. 1).
Рис. 1. Схема многовального двигателя
Преимущество многовального двигателя состоит в том, что каждая
турбина работает при оптимальных числе оборотов и нагрузке. При
нагрузке, приводимой от вала одновального двигателя, оказывается
плохой приемистость двигателя (способность к быстрой раскрутке), по¬
скольку турбина поставляет мощность как для обеспечения двигателя
большйм количеством воздуха (мощность ограничивается количеством
воздуха, поступающим в двигатель), так и для разгона нагрузки. При
двухвальной схеме легкий ротор высокого давления быстро выходит
на режим, обеспечивая двигатель воздухом, а турбину низкого дав-
ЬР
■
1Р
НР

Гондола	Компрессор
(№се11е)	(Сотргевзог)
Камера сгорания
(СотЬизКоп сЬашЬег)
Входной кана^
(1п1аке сЗис!)
Обтекател
(Зртпег)
Вентилятор
(Рап)
Система двигателя
(Еп^пе зуз^егп)
Рис. 2. Двухконтурный газотурбинный двигатель
ления — большйм количеством газа для разгона. Появляется также
возможность использовать менее мощный стартер для разгона при
пуске только ротора высокого давления.
В двухконтурном двигателе (Ьуразз еп^те), схематически пока¬
занном на рис. 2 (Н^Н-Ргеззиге Вуразз Еп^те), воздушный поток
попадает в компрессор низкого давления, после чего часть потока
проходит по обычной схеме через турбокомпрессор, а остальная часть
(холодная) проходит через внешний контур и выбрасывается без сго¬
рания, создавая дополнительную тягу. Температура выходного газа и
расход топлива снижаются, а шум двигателя уменьшается. Отношение
расхода воздуха через внешний контур двигателя к расходу воздуха
через внутренний контур определяет степень его двухконтурности т
(Ьуразз га*ю). При т < 4 потоки контуров на выходе смешиваются
и выбрасываются через общее сопло, а при т > 4 потоки выбрасы¬
ваются раздельно, поскольку из-за значительной разности давлений
и скоростей их смешение затруднительно.
Увеличение степени двухконтурности ведет к усложнению кон¬
струкции двигателя и увеличению стоимости его изготовления и экс¬
плуатации, но позволяет улучшить расходные характеристики.
Общая степень повышения давления (оуегаН ргеззиге гаИо) пред¬
ставляет собой отношение полного давления воздуха за компрессором
к давлению атмосферного воздуха.
Часть воздушного потока (порядка 8-22% от общего расхода),
поступающего в двигатель, отводится от компрессора через систему
каналов и каверн (т*егпа1 а!г зуз1ет) и используется для вентиляции
и охлаждения компонентов газотурбинного двигателя. Уменьшение
расхода газа, отбираемого из компрессора для охлаждения дисков га¬
зовой турбины на 1 %, приводит к увеличению эффективности газовой
турбины на 0,4%.

Лопатки
вентилятора
(Гап ЬЫе)
Передняя рама
(Ггоп Ггате)
Труба отбора воздуха
(Ыеед ШЪе шоипЬ)
Лопатки компрессора
(сошргеззог ЬЫе)
Предотвращение
обледенения
(ап(йстд)
Графитовое
уплотнение
(сагЬоп зеа!)
Тепловые нагрузки
на поверхности втулки
(1Ьегша1 Ьадз а1 Ьеапп^)
Температура
в резервуаре
(зшпр
*етрега1иге)
Нагрузки
на направляющий
стержень
(рИо1 1оас1з)
Диск
компрессора
(^Ьее!)
Рис. 3. Основные компоненты газотурбинного двигателя, находящиеся перед камерой сгорания

Рис. 4. Основные компоненты газотурбинного двигателя

Эффузионное охлаж¬
дение стенок камеры
сгорания (ейизюп сооНпд)
Внутреннее охлаждение
({игЫпе аагГоП т1егпа1
сооНпд)
Лопатки
турбины
(1игЬте Ыайе)
Междисковая
каверна
(шНе11 сауЦу)
Температура
в резервуаре
(зишр 1етрега1иге)
Камера предвари¬
тельной закрутки
(рге-5ду1г! сЬашЬег)
Диск
турбины
(шНе11)
Осевой зазор между
ротором и статором
(го1ог-51а!ог §ар) .
Рис. 5. Основные компоненты газотурбинного двигателя, находящиеся позади
камеры сгорания
Адиабатическая эффективность (аШаЬаМс еШаепсу) компрессора
составляет порядка 0,83-0,88, а турбины — 0,85-0,92. Тепловая эф¬
фективность (1Ьегта1 еШаепсу), определяемая как расход топлива
на единицу полезной мощности, составляет около 35% (при степени
повышения давления 13-15).
Основные компоненты газотурбинного двигателя схематически по¬
казаны на рис. 3-5 с необходимыми пояснениями.
Характеристики некоторых трехвальных двигателей семейства
Тгеп1, выпускаемых корпорацией КоПз-Коусе, приводятся в табл. 1.
Число ступеней компрессоров низкого, промежуточного и полного
давления составляет 1, 8 и .6, а число ступеней турбин высокого,
промежуточного и низкого давления — 1, 1 и 5 (4 для двигателя
Тгеп* 700).
Таблица 1. Характеристики двигателей семейства Тгеп!
Двигатель
Тгеп! 500
Тгеп! 700
Тгеп* 900
Самолет
А340-500/600
А330-200/300
А380
Год ввода в эксплуатацию
2000
1995
2006
Максимальная тяга, кН
240-270
300-320
310-370
Удельный расход топлива, кг/ч
Полная степень повышения

—
0,557
давления
36,3
35,5
41,1
Степень двухконтурности
7,6
5,0
8,15
Длина, м
—
3,91
5,30
Диаметр вентилятора, м
4,47
2,4
2,79

В компрессорной системе используется три компрессора — ком¬
прессор низкого давления (вентилятор), компрессор промежуточного
давления и компрессор высокого давления. Турбины имеют отдельный
вал, что позволяет выбрать оптимальную скорость вращения ротора.
Преимущества такой конструкции состоят в уменьшении габаритов
двигателя и разделении двигателя на модули, обладающие хорошими
показателями производительности и обслуживания. Температура на
входе в двигатель Тгеп* 700 достигает 1570 °С.
Области применения средств
численного моделирования
(Сотри{а1юпа1 Р1шс1 Оупагшсз)
Применение СРЭ в качестве средства дизайна и оптимизации газо¬
турбинных двигателей включает моделирование аэродинамики гондолы
двигателя и ее взаимодействия с поперечным потоком ветра, невязких
и вязких стационарных и нестационарных течений со скоростями,
изменяющихся от дозвуковых до транс- и сверхзвуковых, горения и те¬
чения двухфазной смеси в камере сгорания и топливных форсунках,
истечения выхлопных газов и их взаимодействия с корпусом, флаттера
вентилятора, нестационарного взаимодействия ротора и статора, проте¬
чек и потерь в межлопаточном канале, течений и теплообмена во вра¬
щающихся кавернах, межлопаточных каналах и лабиринтных уплотне¬
ниях, турбулентного теплообмена в условиях влияния благоприятного
и неблагоприятного градиентов давления, свободной турбулентности,
отрыва потока, взаимодействия вихревых структур и скачков уплотне¬
ния с поверхностью и пограничным слоем.
При высоких температурах предел эластичности материала являет¬
ся достаточно чувствительным к изменению температуры (повышение
температуры вала на 10 К приводит к сокращению жизненного цикла
вдвое). Это накладывает достаточно жесткие условия на точность
численных методов, использование которых для расчета распределения
температуры и тепловых потоков в системе позволяет выбрать более
дешевые или легкие материалы.
К числу элементов проточной части газовой турбины, в наиболь¬
шей степени влияющих на ее эффективность, относятся лопаточный
аппарат, тракты подвода охлаждающей среды к лопаткам, включая
внутрилопаточные каналы, входные и выходные устройства, а также
камера сгорания. Важной задачей остается проблема численного мо¬
делирования пространственного течения и теплообмена в дозвуковых
и трансзвуковых решетках, составленных из профилей рабочих лопаток
газовых турбин.
Уровень турбулентности в свободном потоке зависит от условий
вверх по потоку. Течение на выходе из многоступенчатого компрессора
имеет более высокий уровень турбулентности, чем на входе в него.

Необходимость увеличения температуры газа на входе в межлопа-
точный канал до Т = 1800-2000 К приводит к необходимости обеспе¬
чения надлежащего охлаждения обтекаемых поверхностей.
Внутренняя воздуховодная система (т!егпа1 а1г Бузует) выполняет
функции охлаждения обтекаемых поверхностей, их защиты от воздей¬
ствия горячего газа и вентиляции внутренних полостей двигателя. Воз¬
дух для этих целей, отбираемый из основного потока в межлопаточном
канале компрессора (порядка 20-30% от полного расхода), не вносит
вклада в коэффициент полезного действия и отрицательным образом
сказывается на показателях эффективности, но является эффективным
средством защиты внутренних поверхностей несмотря на усложнение
конструкции и связанные с этим финансовые затраты.
С практической точки зрения важно минимизировать количество
воздуха, используемого во внутренней воздуховодной системе. Для
этого требуются исследования течений и теплообмена в каналах и вра¬
щающихся полостях, знание характеристик которых помогает предот¬
вратить появление зон локального повышения температуры и возник¬
новение дополнительных тепловых нагрузок на элементы конструкции.
Технология охлаждения компонентов газовых турбин при помо¬
щи внутренних конвективных течений прошла много стадий, начиная
с каналов простой формы и заканчивая конструкциями, включающими
в себя каверны сложной геометрической конфигурации, ограниченные
подвижными и неподвижными стенками, в которых возникают слож¬
ные вихревые течения жидкости.
Диск турбины высокого давления представляет собой наиболее теп¬
лонагруженный компонент конструкции, поскольку он напрямую под¬
вержен воздействию горячих газов, поступающих из камеры сгорания.
В то время как реализовать систему охлаждения лопаток соплового
направляющего аппарата (Ыогг1е Ошс1е Уапе, ЫОУ) достаточно просто,
внутреннее охлаждение лопаток ротора представляет собой более труд¬
ную задачу, поскольку поток подается к вращающейся системе. Для
этого используются сопла предварительной закрутки потока (рге-5\У1г1
по221е), установленные под некоторым углом к оси вращения ротора,
пройдя через которые газ получает закрутку в определенном направле¬
нии (ненулевую окружную скорость) и поступает в каверну (рге-зшЖ
сЬашЬег), образованную стенками статора и ротора, а затем радиально
подается к лопаткам ротора через специально сконструированные от¬
верстия (гесе1уег Ьо1е) и возвращается в основной поток.
Использование расчетных средств
при проектировании и оптимизации
Стратегическое направление развития методов проектирования из¬
делий различного назначения состоит в создании и совершенствовании
информационной поддержки жизненного цикла изделий и внедрение
технологии управления жизненным циклом изделия (Ргос1ис1: Ы[есус1е

Мапа^етеп!, РЬМ). Основной принцип технологии РЬМ заключается
в том, что информация, возникающая на каком-либо этапе жизненного
цикла изделия, сохраняется в интегрированной информационной среде
и становится доступной всем участникам этого и других этапов. Разра¬
батывается полный сценарий жизненного цикла изделия как элемента
комплекса.
Компании, занимающиеся разработкой и производством газовых
турбин и компрессоров, внедряют в процесс их проектирования и
оптимизации методы СРО. Список задач, решаемых методами СРО,
постоянно расширяется. Появляются новые модели для описания фи¬
зических явлений и процессов, совершенствуются численные методы,
растет производительность компьютерной техники.
Использование методов СРЭ при проектировании изделий позволя¬
ет не только улучшить основные показатели эффективности их работы
при обеспечении приемлемой механической надежности, но и создать
конструкции, практически не нуждающиеся в доработке, что сокраща¬
ет период ввода изделия в эксплуатацию и повышает его конкуренто¬
способность. К важным вопросам относятся численная оптимизация,
включение мелких деталей в расчетную модель, интеграция методов
СРЭ с предварительными газодинамическими расчетами и программ¬
ными комплексами расчета теплового и напряженно-деформированного
состояния.
Существует два ключевых критерия, по которым оценивается
эффективность разрабатываемых средств проектирования: качество
и масштаб рассматриваемой модели, а также простота в использовании,
степень интеграции и надежность.
Проектирование узлов и деталей осуществляется приблизительно
по одной и той же схеме.
Создается эскизный проект, который начинается с изучения техни¬
ческого задания. Утверждается общая концепция проектируемого из¬
делия, выбираются методы улучшения показателей его эффективности
и исследуется поведение системы при работе на нерасчетных режимах.
Определяются основные геометрические параметры конструкции и по¬
тенциально достижимый уровень эффективности. Дополнительными
целевыми факторами являются компактность конструкции, экономич¬
ность и вес, что требует быстрой и точной оценки влияния ограничива¬
ющих факторов на этой стадии проектирования. Ошибки, допущенные
на этой стадии, невозможно исправить позднее.
Проводится двумерный газодинамический расчет проточной части
с учетом изменения параметров по высоте лопатки. Данный этап яв¬
ляется подготовительным для перехода к трехмерному моделированию
течения в проточном тракте компрессора или турбины и конечно-эле¬
ментным расчетам.
Ключевым средством достижения точности и скорости проектиро¬
вания является полная интеграция расчетных технологий в процесс

проектирования. Цель заключается не в исключении отдельных стадий
проектирования, а в их ускорении.
В методе, основанном на решении двумерных уравнений Эйле¬
ра, осредненных в окружном направлении, ограничиваются изучени¬
ем плоского установившегося потока, соответствующего идеализиро¬
ванному течению жидкости в осевых или радиальных турбомашинах
с цилиндрическими или плоскими осредненными поверхностями токов.
Разработка этого метода началась в середине 40-х годов XX века,
а позднее он был дополнен учетом вязкости, паразитных утечек, осевых
и радиальных зазоров.
Начиная с 80-х годов XX века, методы СРО стали активно ис¬
пользоваться на всех этапах проектирования турбомашин: от создания
эскизного проекта до детальной проработки основных узлов.
Возможность точного предсказания поведения потока привела к бо¬
лее перспективным проектам, выходящим за рамки прежнего опыта,
и сокращению затрат на натурные испытания изделий.
Использование конечно-элементных технологий (РтЛе Е1етеп1
Апа1уз1з, РЕА) при проектировании турбомашин находится на доста¬
точно продвинутой стадии (это касается статических линейных за¬
дач и расчетов собственных колебаний конструкции). Расчеты ста¬
тического напряженно-деформированного состояния применяются для
определения перемещений, напряжений, деформаций в конструкциях,
к которым приложены постоянные внешние нагрузки, в том числе инер¬
ционные, что требуется для определения характеристик вибраций (соб¬
ственных частот) конструкции в условиях динамического нагружения.
На переходных режимах машина может проходить эти частоты, одна¬
ко длительное возбуждение влечет за собой усталостное разрушение.
В подобных расчетах нагрузки со стороны рабочего тела на лопатки
не учитываются, поскольку они малы в сравнении с инерционными
нагрузками (в высокоскоростных турбомашинах).
Система компьютерного проектирования, в которой используются
технологии СРБ и РЕА, имеет модульную структуру с разными уров¬
нями представления исследуемой модели. При необходимости обеспе¬
чения скорости проектирования применяются относительно простые
методы расчета (например, двумерные). Для детальной проработки
конструкции ставка делается на «продвинутые» и точные расчетные
технологии. В том случае, когда приоритетом для конструкции явля¬
ется максимальная эффективность, для доводки геометрии требуется
несколько дополнительных итераций.
Возможность создания виртуальной модели изделия с помощью
современных систем проектирования предопределяет следующий этап,
на котором результаты численных расчетов подвергаются оптимиза¬
ции. Учитываются ограничения, связанные не только с механической
прочностью или аэродинамическими характеристиками турбомашины,
но и с технологичностью проектируемой конструкции.

1.кежцу процессами проектирования и расчета существует четкое
разгра !ние. Этап проектирования состоит в определении прием¬
лемой как с конструктивной, ж и с технологической точек зрения
геометрии кон-.рукции. Расчетный этап посвящен анализу полученных
результатов. Существенную трудность реализации расчетного этапа
представляет большой объем информации, который требует интерпре¬
тации.
Газодинамические расчеты пчполняются на детализированных мо¬
делях проточной части, что п^золяет учесть влияние некоторых ее
конструктивных особенностей (протечки через радиальные зазоры,
вдув охлаждающего воздуха, галтели 'тупы) на общую структуру
течения во внутреннем тракте.
Нестационарные расчеты находят применение ° задачах, в которых
граничные условия зависят от времени (например, учение в турбоком¬
прессоре) или в которых анализируется работа машины на нерасчетных
(критических) режимах (например, на режиме, близком к помпажу),
а также для расчета флаттера или ответной реакции ь струкции на
внешнее воздействие.
Одно из направлений, где ожидается совершенствование, расчетных
технологий, связано с расчетом теплового состояния охла даемых ло¬
паток турбин в сопряженной постановке и решением задач численного
моделирования аэродинамического шума в турбомашинах.
По мере увеличения скорости расчета и разработки новых числен¬
ных методов моделирование течения в проточной части перешло от
отдельных межлопаточных каналов к ступеням и полному трехмерному
анализу многоступенчатых компрессоров и турбин. Развитие вычисли¬
тельных технологий привело к разработке более совершенных аэроди¬
намических профилей, в том числе пространственно-профилированных
лопаток.
Достижения в методах численного моделирования позволяют уйти
от идеально «чистого» газового тракта и включить в рассмотрение
смежные области, а также некоторые технологические особенности,
которые влияют на эффективность (бандажные полки, уплотнения,
галтели и другие). Возможность учета конструктивных особенностей
тракта в численных расчетах делает возможным рассмотрение связан¬
ных с ними практических вопросов на ранних стадиях проектирования.
Результаты численного моделирования являются полезными с точки
зрения обеспечения механической прочности элементов и узлов ком¬
прессоров или турбин. Они применяются, например, для оценки мно¬
гоцикловой усталости и усталостной долговечности при ползучее"".
Согласно данным развития авиационной техники с 1958 по 200^ гг.,
удельный расход топлива (ЗресШс Рие! Соп5игпр1юп, 5РС) за этот пе¬
риод снизился на 60% (по отношению к первому коммерческому реак¬
тивному пассажирскому самолету), из которых снижение на 45% было
достигнуто благодаря совершенствованию двигателей, и 15% — аэро¬

динамики самолета '). Совершенствование двигателей включает в себя
улучшение тепловой эффективности ({Ьегта1 еШаепсу) (30%), состо¬
ящей из улучшения отдельных компонентов (сошропеп! еШаепсу),
увеличения температуры на входе в газовую турбину (1игЫпе еп!гу
1етрега1:иге), уменьшения потерь полного давления (оуегаП ргеззиге
гаИо). Оставшиеся 15% относятся к улучшению условий горения топ¬
лива. Такой прогресс стал возможным благодаря развитию теории
горения и созданию высокотемпературных материалов.
Продолжительность жизни лопаток турбины высокого давления бы¬
ла удвоена с середины 1970 гг. и сейчас превышает 20000 ч работы
двигателя.
Задача снижения удельного расхода топлива двигателя на 10% не
решается путем модернизации существующей конструкции газотурбин¬
ного двигателя. Мероприятия по повышению температуры газа перед
турбиной, улучшению эффективности компрессора, газодинамического
цикла, газодинамики внутренних и внешних элементов, связанные
с разумными затратами, дают эффект не более 3-5%. Дальнейшее сни¬
жение удельного расхода топлива связывается с изменением конструк¬
ции двигателя, затрагивающим его основные компоненты. Стоимость
двигателя новой конструкции с требуемыми расходными характеристи¬
ками увеличивается приблизительно на 20-30%, что приводит к росту
стоимости самолета на 6-7%.
Применение корпорацией КоПз-Коусе новой технологии изготов¬
ления рабочих лопаток компрессора (она получила наименование
ЗЭ-Аего) для модификаций газотурбинных двигателей семейства Тгеп!
'^геп! 500 для самолетов А340-500/600 консорциума А1гЬиз 1пс1из1:гу
'геп! 8104 для самолетов В777 фирмы Воет^) позволила снизить
удельный расход топлива примерно на 2%. Технология ЗО-Аего ос-
11 ана на использовании методов расчета трехмерных турбулентных
течений вязкого сжимаемого газа и позволяет оптимизировать наклон
и стреловидность лопаток для повышения эффективности компрессора.
Имеющиеся публикации
Важный этап при построении математических моделей и вычисли¬
тельных алгоритмов составляет систематический обзор и обобщение
имею”'1хся данных и результатов, критический анализ возможностей
исполосования известных решений и разработка на этой основе более
правильных физических представлений, а также методических и рас¬
четных рекомендаций. Изучение предшествующих работ позволяет
проследить за развитием идей и наметить пути дальнейших иссле¬
дований.
') Ки[[1ез Р. С. ТЬе Ги1иге оГ а1гсгаГ1 ргориЫоп // ,1оигпа1 о[ МесНап1са1
Епешеегше - псе. 2000. V. 214, Ыо. 1. Р. 289-305.

лам,, /ные течения рабочего тела в проточных частях и кавер¬
нах газовых турбин и компрессоров описываются уравнениями Эйлера
и Навье-Стокса для несжимаемой или сжимаемой жидкости (для
описания турбулентного режима течения привлекается осреднение или
фильтрация уравнений Навье-Стокса с последующим замыканием по¬
лученных уравнений). Анализ этих уравнений, поиск способов замы¬
кания и построение численных алгоритмов их решения представлены
в работах О. М. Белоцерковского О, А. М. Липанова, Ю. Ф. Кисарова,
И. Г. Ключникова 2), Е. М. Смирнова, Д. К. Зайцева 3) и других. Доста¬
точно полный обзор работ и вопросы математического моделирования
турбулентных течений рассматриваются в ряде публикаций, среди ко¬
торых отметим книгу коллектива авторов, вышедшую под редакцией
A.	В. Ермишина и С. А. Исаева 4), и книгу Ю. А. Быстрова, С. А. Исаева,
Н.	А. Кудрявцева, А. И. Леонтьева 5), а также книгу К. Н. Волкова,
B.	Н. Емельянова 6), посвященную моделированию крупных вихрей тур¬
булентных течений.
В книге, вышедшей под редакцией А. В. Ермишина и С. А. Исаева,
рассматриваются методы физического и численного моделирования
турбулентных течений жидкости и газа применительно к задачам
управления обтеканием тел. Детально представлены методические раз¬
работки по многоблочным вычислительным технологиям для расчета
многосвязных двумерных ламинарных и турбулентных течений на пе¬
ресекающихся разномасштабных сетках. Излагаются результаты тесто¬
вых и параметрических исследований обтекания вязкой несжимаемой
жидкостью кругового цилиндра и толстого профиля, а также движения
жидкости в каналах с вихревыми ячейками.
В книге Ю. А. Быстрова, С. А. Исаева, Н. А. Кудрявцева, А. И. Ле¬
онтьева представлены многоблочные вычислительные технологии,
') Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных
сред. М.: Физматлит, 1994. 444 с.
2)	Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных по¬
токов/А. М. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И. Г. Ключников. Екатеринбург: Изд-во
УрО РАН, 2001. 160 с.
3)	Смирнов Е.М., Зайцев Д. К. Метод конечных объемов в приложении
к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геометрии //
Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2004. №2. С. 70-81.
4)	Управление обтеканием тел с вихревыми ячейками в приложении к лета¬
тельным аппаратам интегральной компоновки (численное и физическое моде¬
лирование)/Под ред. А. В. Ермишина и С. А. Исаева. М.: Изд-во МГУ, 2001.
360 с.
5)	Численное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в па¬
кетах труб/Ю. А. Быстров, С. А. Исаев, Н. А. Кудрявцев, А. И. Леонтьев. СПб:
Судостроение, 2005. 392 с.
6)	Волков К. Н., Емельянов В. Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах
турбулентных течений. М.: Физматлит, 2008. 356 с.

предназначенные для решения задач вихревой интенсификации
теплообмена, а также результаты их верификации и численных
исследований (течение в каверне с подвижной крышкой, обтекание
и теплообмен кругового цилиндра, обтекание профиля).
Книга К. Н. Волкова, В. Н. Емельянова посвящена систематическо¬
му изложению вопросов, связанных с применением метода моделиро¬
вания крупных вихрей для расчетов турбулентных течений. Основ¬
ное внимание уделяется замыканию фильтрованных уравнений На-
вье-Стокса и построению моделей подсеточной вязкости. Рассматрива¬
ются особенности численной реализации метода моделирования круп¬
ных вихрей и приводятся результаты расчетов внутренних и струйных
турбулентных течений. Систематизация и обобщение данных позволяет
сформулировать ряд проблем, решение которых имеет важное значе¬
ние для развития данного направления в численном моделировании
турбулентности, и выделить круг задач, для которых его применение
представляется возможным и рациональным.
Имеется также обширная литература, посвященная применению
методов вычислительной газовой динамики в процессе проектирования
и оптимизации турбомашин, а также расчетам течений и теплообмена
в во вращающихся системах.
Вопросы моделирования двух- и трехмерных течений в элемен¬
тах газовых турбин и компрессоров рассматриваются в работах
Г. Ю. Степанова, А. В. Бойко, А. В. Гаркуши, Ю. Н. Говорушенко,
С. В. Ершова, А. В. Русанова, С. Д. Северина, Е. М. Смирнова, А. И. Ки-
ллова, В. В. Риса, А. А. Халатова, А. А. Авраменко, И. В. Шевчука,
С.	Г. Черного, Д. В. Чиркова, В. Н. Лапина, В. А. Скороспелова,
С.	В. Шарова и многих других.
Моделью рабочих колес различных турбомашин (турбин, лопаточ¬
ных компрессоров, насосов, вентиляторов) является гидродинамиче¬
ская решетка. Характер взаимодействия решетки с потоком зависит
от геометрии профилей и определяет качество турбомашины. Ранние
работы были связаны с разработкой и совершенствованием методов
оптимизации формы решеток профилей.
Выбор геометрических параметров решетки, при которых выпол¬
няются предъявляемые к турбомашинам требования, проводится при
помощи методов решения обратных задач аэродинамики и оптимиза¬
ции формы обтекаемого тела. Такие методы имеют давнюю историю
и продолжают развиваться применительно к двумерным течениям.
Достоинство этого подхода состоит в его высокой эффективности,
что является следствием развитых методов аналитического описания
потенциальных течений. Соответствующие расчетные методы излага¬

ются в книгах Г. Ю. Степанова 1), А. М. Елизарова, Н. Б. Ильинского,
А. В. Поташева 2).
Другой подход связан с использованием методов численной опти¬
мизации, основанных на решении прямой задачи обтекания решетки
с привлечением тех или иных итерационных алгоритмов. Достоинство
подхода заключается в возможности использования сложных моделей
течений, включая модели трехмерных турбулентных течений. Для его
реализации требуются существенные временные затраты, что препят¬
ствует использованию итерационных алгоритмов для решения задач
оптимизации.
В книге А. В. Бойко, А. В. Гаркуши 3) рассматриваются методы оп¬
тимального проектирования проточной части паровых и газовых тур¬
бин, основанные на использовании принципов нелинейного програм¬
мирования. Излагается методика проектирования высокоэкономичных
профилей турбинных лопаток, основанная на применении степенных
многочленов. Даются основные принципы проектирования последней
ступени турбины для работы в широком диапазоне режимов с уче¬
том влияния выпускного патрубка. Разрабатывается методика расчета
оптимальной формы меридиональных очертаний проточной части. Рас¬
считываются распределение теплоперепадов между ступенями в группе
турбинных ступеней при заданном законе изменения осевой скорости
вдоль отсека и при заданной форме проточной части с учетом влияния
протечек на потери в осевой турбинной ступени. Приводятся резуль¬
таты экспериментальных исследований исходных и спроектированных
профилей турбинных лопаток и ступеней осевых турбин. Результаты,
приведенные в книге, получены, в основном, при помощи осесиммет¬
ричных математических моделей.
В книге А. В. Бойко, Ю. Н. Говорушенко, С. В. Ершова, А. В. Руса¬
нова, С. Д. Северина 4) рассматривается новый подход к решению ком¬
плексной многоуровневой задачи — оптимальному проектированию
турбомашины как сложной технической системы с использованием
блочно-иерархического процесса оптимизации, который обеспечивает
максимум глобального критерия качества системы и ее надежность.
Излагается задача оптимального пространственного профилирования
ступени турбины на основе численных методов расчета вязких трех¬
') Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Физматгиз,
1962. 512 с.
2)	Елизаров А. М., Ильинский Н.Б., Поташев А. В. Обратные краевые
задачи аэрогидродинамики. М.: Наука, 1994. 436 с.
3)	Бойко А. В., Гаркуша А. В. Аэродинамика проточной части паровых и га¬
зовых турбин: расчеты, исследования, оптимизация, проектирование. Харьков:
Изд-во ХГПУ, 1999. 360 с.
4)	Аэродинамический расчет и оптимальное проектирование проточной ча¬
сти турбомашин/Бойко А. В., Говорушенко Ю. Н., Ершов С. В., Русанов А. В.,
Северин С. Д. Харьков: Изд-во НТУ ХПИ, 2002. 356 с.

мерных течений. Для исследования и оптимизации многоступенчатых
турбин используются методы нелинейного программирования и пла¬
нирования эксперимента. Обсуждаются методы оптимизации основных
геометрических параметров сопловых и рабочих решеток профилей,
а также методы оптимального пространственного профилирования сту¬
пеней турбин и проточной части осевых компрессоров. Приводится
описание комплекса программ (специализированный программный ком¬
плекс Р1о\уЕК), предназначенного для проведения расчетов газоди¬
намических, геометрических и прочностных характеристик решеток
профилей, включая вибрационный режим, а также примеры оптималь¬
ного профилирования цилиндров, отсеков, ступеней и решеток осевых
турбин и компрессоров как в квазидвумерной, так и в трехмерной
постановке.
Часть книги посвящена современным методам аэродинамического
расчета течений в проточных частях турбомашин на основе модели
турбулентности Болдуина-Ломакса и 55Т-модели Ментера. Уравнения
Навье-Стокса записываются в приближении тонкого слоя. Обсуждает¬
ся решение ряда задач газовой динамики, связанных с расчетом обте¬
кания решеток и ступеней турбомашин (течения в решетке Лэнгстона
и Ходсона, течение в рабочем колесе компрессора, течение в ступени
турбины, течение в многоступенчатой турбомашине).
Обширный цикл фундаментальных исследований вихревых и закру¬
ченных потоков, течений около криволинейных поверхностей и во вра¬
щающихся системах выполнен в Институте технической теплофизики
НАН Украины под руководством А. А. Халатова. На основе этих иссле¬
дований сформирована уникальная база физических данных и разрабо¬
тан новый подход к расчету потоков в полях центробежных массовых
сил, анализу их подобия и устойчивости. Проведенные исследования
позволили предложить улучшенные методы расчета, новые системы
охлаждения, а также интенсивные технологические процессы и аппа¬
раты, основанные на принципе вихревого и закрученного движения.
Результаты опубликованы в фундаментальной монографии в четырех
томах «Теплообмен и гидродинамика в полях центробежных массовых
сил», созданной по инициативе и под руководством А. А. Халатова
{Халатов А. А., Авраменко А. А., Шевчук И. В. Теплообмен и гид¬
родинамика в полях центробежных массовых сил. Т. 1. Криволиней¬
ные потоки. Киев: Институт технической теплофизики НАН Украины,
1996. 290 с.; Т. 2. Вращающиеся системы. Киев: Институт технической
теплофизики НАН Украины, 1996. 289 с.; Т. 3. Закрученные потоки.
Киев: Институт технической теплофизики НАН Украины, 2000. 476 с.;
Т. 4. Инженерное и технологическое оборудование. Киев: Институт
технической теплофизики НАН Украины, 2000. 212 с.).
Ряд результатов, полученных на кафедре гидроаэродинамики
Санкт-Петербургского государственного технического университета
при помощи программного комплекса 5ШР, приводится в статье

Е. М. Смирнова, А. И. Кириллова, В. В. Риса '). В пакете 51ЫР исполь¬
зуется метод конечных объемов на блочно-структурированных сетках
и метод искусственной сжимаемости, заключающийся в добавлении
в уравнения неразрывности и изменения количества движения
производных по псевдо-времени давления и компонент скорости.
Приводятся результаты расчетов турбулентных течений в проточных
частях турбомашин и результаты моделирования обтекания решетки
профилей.
Книга С. Г. Черного, Д. В. Чиркова, В. Н. Лапина, В. А. Скороспело-
ва, С. В. Шарова 2) посвящена моделированию трехмерных течений
в турбомашинах. Инструментом исследования является численный ме¬
тод решения пространственных уравнений Эйлера и Рейнольдса для
несжимаемой жидкости. Обобщается опыт численного решения этих
уравнений с помощью метода конечных объемов и современных схем
высокого порядка аппроксимации. Рассматриваются вопросы геомет¬
рической поддержки расчетов, связанные с созданием геометрических
моделей элементов проточной части и построением сеток. Изучаются
основные особенности течений в проточных трактах турбомашин.
Среди англоязычных изданий следует отметить двухтомную книгу
М. Оуэна и Р. Роджерса (том 1, 1989 3); том 2, 1995 4)), в которой
обобщаются результаты теоретических, расчетных и эксперименталь¬
ных исследований течений и теплообмена во вращающихся кавернах
модельных конфигураций. Выделяются характерные конфигурации ка¬
верн, ограниченных подвижными и неподвижными стенками, изучают¬
ся основные режимы течения и их зависимость от параметров задачи.
Приводятся критериальные соотношения для расчетов интегральных
характеристик течения и теплообмена.
Среди последних публикаций отметим книгу И. В. Шевчука 5), в ко¬
торой представлены результаты расчетов течений и теплообмена во
вращающихся системах (теплообмен свободного вращающегося диска
в различных режимах, течение и теплообмен между двумя вращающи¬
*) Смирнов Е.М., Кириллов А. И., Рис В. В. Опыт численного анализа про¬
странственных турбулентных течений в турбомашинах // Научно-технические
ведомости СПбГТУ. 2004. №2. С. 55-70.
2)	Численное моделирование течений в турбомашинах/С. Г. Черный,
Д. В. Чирков, В. Н. Лапин, В. А. Скороспелое, С. В. Шаров. Новосибирск: Нау¬
ка, 2006. 202 с.
3)	Отеп 1.М., Ко%ег5 К.Н. Р1о\у апс! Кеа! 1гапз?ег т гоЫт§ сИзс 5у5у1ет5.
V. 1. Ко1ог-з1а1ог зуз^етз. 11т1ес1 Кт^с1от, Таип1оп, КезеагсЬ З^исПез Ргезз,
1989.
4)	Оьаеп / М., Яо^егз к.Н. Р!ош апс! Неа1 1гапз1ег т го!а1т^ сПгс зуз^етз.
V. 2. КоЫт§г сауШез. ЫшЧес! Кт^с!от, КезеагсН Таигйоп, КезеагсН 31исПе5
Ргезз, 1995.
°) ЗНеьскик /. V. СопуесКуе Неа! апс! тазз 1гапз[ег т гоШт§г сНзк зуз^етз //
Ьес^иге Мо1ез т АррПес! апс! СотриЫюпа! МесНатсз. 2009. V. 45. 300 р.

мися дисками, течение и теплообмен в конической каверне и другие),
полученные на основе метода интегральных соотношений, приближен¬
ных аналитических решений, а также с применением современных
расчетных средств.
В приведенных изданиях остался не затронутыми ряд важных во¬
просов, связанных с моделированием течений в межлопаточных кана¬
лах и вращающихся кавернах газовых турбин и компрессоров в усло¬
виях вынужденной конвекции и сопряженного теплообмена. За рам¬
ками перечисленных публикаций остались: формулировка и числен¬
ная реализация математической модели, описываемой осредненными
по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса, на неструктурированных
сетках (в том числе, и подвижных), которые широко используются
в практических расчетах; вопросы, связанные с предобусловливани-
ем уравнений Навье-Стокса при описании низкоскоростных течений
и разработкой многосеточного метода решения системы разностных
уравнений; тестирование дифференциальных моделей турбулентности
применительно к течениям во вращающихся системах; взаимодействие
течения в межлопаточном канале газовой турбины с потоком охлади¬
теля из каверны и ряд других вопросов.
Исследования в области численного моделирования течений и теп¬
лообмена в элементах турбомашин поддерживаются грантами между¬
народных и национальных фондов по фундаментальным и прикладным
исследованиям, а также промышленными корпорациями и фирмами-
разработчиками вычислительных пакетов.
Результаты, полученные в рамках международных проектов
1СА5-ОТ1, 1СА5-ОТ2 и МСОО и обобщающие экспериментальные
и расчетные данные по исследованию течений и теплообмена
в межлопаточных каналах и кавернах газовых турбин, опубликованы
в отчетных материалах 1).
Последние достижения, связанные с разработкой САО/САЕ/САМ
технологий инженерного анализа (Сотри1ег-А1с1ес1 Ое21§п, Сотри1ег-
АШес! Еп§1пеепп§, Сотрейег-АШес! МатЛас^ипп^) компанией Апзуз
1пс, публикуются в инженерно-техническом журнале «АЫ5У5
Ас1уап1а{*е. Русская редакция» (сайт журнала ^и^.апзуззоЫюпз.ги).
Статьи по тем или иным вопросам, связанным с моделированием
течений и теплообмена в газовых турбинах, публикуются практически
во всех отечественных изданиях по механике жидкости и газа, в част¬
ности, «Известия РАН» (серия «Механика жидкости и газа» и «Энер¬
гетика»), «Теплофизика высоких температур», «Теплофизика и аэро¬
механика», «Прикладная механика и техническая физика», а также
') 5тои1 Р.й., СНет ]. №., СкИйз Р. к. N. 1СА5-ОТ: А Еигореап соПаЬогаМуе
гезеагсН рго§гатте оп т^егпа! сооПп^ а\г	Гог	{игЫпез	//	А5МЕ
Рарег. 2002. N0. СТ-2002-30479. 12 р.

в специализированных журналах, например, «Известия вузов» (серии
«Авиационная техника» и «Энергетика»), «Теплоэнергетика» и других.
Издаются специализированные международные научные журналы,
посвященные проблематике течений и теплообмена в газовых турби¬
нах и компрессорах, например, Лоигпа1 о! ТигЬотасЬтегу (журнал
Американского общества инженеров-механиков, Атепсап 5ос1е{у оГ
МесНатса1 Еп§теегз, А5МЕ), а также проводятся специализирован¬
ные международные научные конференции, в частности, А5МЕ ТигЬо
Ехро (сайт \у\уу/.азтесоп!егепсе5.ог5) и Еигореап ТигЬотасЫпегу
СопГегепсе (сайт ^\у^.еиго!игЬо.еи). Многие научные симпозиумы,
конференции и семинары поддерживаются Международным институ¬
том газовых турбин (1п1егпа1юпа1 (Заз ТигЫпе 1пзШи1е, 1СЗТ1), яв¬
ляющимся структурным подразделением А5МЕ (сайт ^К.азте.ог^).
Статьи по отдельным вопросам, связанным с газотурбинной тематикой,
публикуются также в трудах многих международных и национальных
конференций по газовой динамике и теплообмену, а также в междуна¬
родных научных журналах широкого профиля.
Несмотря на то, что русско- и англоязычная библиография по
вопросам моделирования течений в турбомашинах увеличивается ла¬
винообразно, следует отметить, что подавляющее число публикаций
посвящено вопросам, связанным с выбором оптимальной формы лопа¬
ток, расчетам течений в межлопаточных каналах и обтеканию решеток
профилей, а также избранным вопросам численной и программной реа¬
лизации. Вопросы, связанные с моделированием течений и теплообме¬
на во вращающихся кавернах, нашли сравнительно слабое отражение
в монографиях и периодических изданиях (особенно в отечественных).

Глава 1
РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ
ПРИКЛАДНОГО ПРОГРАММНОГО
ОБЕСПЕЧЕНИЯ
Течения жидкостей и газов играют ключевую роль в рабочих
процессах многих технических устройств, включая газовые турбины
и компрессоры. Эти течения сопровождаются нестационарными эф¬
фектами, образованием застойных зон и вихревых структур, а при
сверхзвуковых скоростях движения — скачков уплотнения и ударных
волн. Ситуация усложняется при наличии теплопереноса и течений
смеси газов с горением и химическими реакциями.
Газотурбинные двигатели являются дорогостоящими и трудоемки¬
ми в изготовлении изделиями, и физическое моделирование и определе¬
ние параметров их работы на различных режимах требует существен¬
ных временных и финансовых затрат. Вследствие ограниченных воз¬
можностей датчиков и измерительных приборов, развиваются средства
математического моделирования течений жидкостей и газов, позволяю¬
щие прогнозировать характеристики и параметры работы технических
устройств на стадии проектирования.
Численное моделирование в газовой динамике представляет собой
динамически развивающуюся отрасль, тесто связанную с прогрессом
вычислительной техники и созданием пакетов прикладных программ.
Имеется обширный фонд вычислительных алгоритмов, предназна¬
ченных для численного моделирования течений, описываемых нестаци¬
онарными уравнениями Эйлера или Навье-Стокса в пространственных
областях сложной конфигурации. Широкое распространение получи¬
ли многочисленные коммерческие и свободно распространяемые про¬
граммные продукты.
Развитие систем параллельной обработки данных вносит суще¬
ственные изменения в сегменты математического моделирования и
порождает ряд новых проблем в методологии получения, обработки,
хранения и передачи данных большого объема.
В данной главе рассматриваются вопросы разработки и формулиру¬
ются требования к программному обеспечению, предназначенному для
численного моделирования нестационарных пространственных тече¬

ний вязкого сжимаемого газа, описываемых уравнениями Навье-Сток-
са, а также приводится его системное и функциональное наполне¬
ние. Основные концептуальные положения, принятые при реализации
программного кода, иллюстрируются парадигмами объектно-ориенти¬
рованного программирования. Обсуждаются инструментальный харак¬
тер разработанных программных средств, структура организации клас¬
сов и их практическая реализация.
Обосновывается выбор системы объектов, которые лежат в основе
построения классов программного комплекса и выражают основные
предметные понятия и их свойства. С каждым из выделенных по¬
нятий связывается базовый класс, а с обобщенной постановкой —
проблемный класс. Базовые классы не ориентированы на конкретную
область применения и носят универсальный характер. Проблемно-ори¬
ентированные классы представляют собой высокоуровневые конструк¬
ции, которые характеризуются узкой областью применения и строятся
в результате обобщения группы вычислительных методов.
Применение разработанного подхода представляется перспектив¬
ным для построения параллельной численной библиотеки и приклад¬
ных вычислительных систем, к которым предъявляются повышенные
требования к расширяемости, модифицируемости и масштабируемости.
1.1.	Математическое моделирование
Развитие численных методов, совершенствование вычислительной
техники и появление новых компьютерных технологий привело к фор¬
мированию нового направления — математического моделирования,
которое представляет собой математический метод исследования про¬
цессов, происходящих в реальном мире, и включает в себя построе¬
ние математических моделей (систем уравнений), создание численных
методов решения этих уравнений и их компьютерную реализацию
(рис. 1.1).
Уровень понимания реального физического явления (предыстория,
динамика развития, возможность прогнозирования реакций на различ¬
ные возмущения) детерминирует процесс его математического модели¬
рования, позволяет использовать подходящие физико-математические
модели, конструировать вычислительные алгоритмы, создавать ком¬
пьютерные программы и проводить анализ полученных решений.
Рассмотрим концепцию математического моделирования научных
задач с детерминированной последовательностью ключевых эта¬
пов [47].
1. Построение физической модели.
Создание физической модели заключается в разделении общего
процесса на главные, второстепенные и несущественные подпроцессы,
а также в определении доминирующих факторов при варьировании
параметрами в диапазоне их возможного изменения. Уровень физиче-

Проверка
результатов
Подтверждение
результатов
Упрощения
и допущения
Проведение
Создание
Численный
Математическая
расчетов
программы
алгоритм
модель
Верификация
кода
Рис. 1.1. Математическое моделирование
ской модели реального физического явления определяет дальнейшую
цепочку моделирования и влияет на ее результаты.
2.	Построение математической модели.
В соответствии с выбранной или принятой физической моделью
формируется математическая модель физического явления, под кото¬
рой понимается корректная, с точки зрения формальной математики,
задача. В физической модели отбрасываются параметры, оказывающие
несущественное влияние на физическое явление. Формализация фи¬
зической модели осуществляется с помощью известных физических
законов и математического аппарата, отражая ее физические свойства
уравнениями и граничными условиями.
Выписывается система уравнений (алгебраическая, дифференци¬
альная или интегро-дифференциальная) с размерностью, соответству¬
ющей уровню модели физического процесса, проводится постановка
начальных и граничных условий. Для количественного описания про¬
цесса вводится те или иные системы координат и используются какие-
либо системы единиц.
Обоснование модели связывается с математическими аспектами до¬
казательств ее внутренней непротиворечивости (теоремы существова¬
ния и единственности решения, анализ свойств основных уравнений,
построение точных и автомодельных решений и их анализ).
3.	Теоретический анализ математической модели.

Проводится исследование корректности постановки и анализ един¬
ственности решения, что позволяет разрабатывать качественные чис¬
ленные методы и прогнозировать особенности решения.
4.	Конструирование вычислительного алгоритма.
На основании принятой физико-математической модели создается
вычислительный алгоритм (переход от непрерывного представления
математической задачи к ее дискретному аналогу), ориентированный
на тот или иной тип компьютерных систем.
5.	Программирование.
Программная реализация состоит в эскизном проектировании, кон¬
струировании, построении и отладке программы (препроцессор, вычис¬
лительный модуль, состоящий из ряда подпрограмм для решения от¬
дельных задач, постпроцессор), обеспечивающих расширяемость, мас¬
штабируемость и переносимость программного обеспечения. Свойство
расширяемости предполагает гибкость создаваемых конструкций, что¬
бы дополнение программного комплекса новыми сегментами или со¬
вершенствование уже разработанных не приводило к кардинальному
пересмотру и переработке модуля в целом. Масштабируемость подра¬
зумевает способность настраиваться на существующие ресурсы с их
максимальным использованием. Переносимость — способность модуля
к функционированию в программной и аппаратной средах с вариацией
ее свойств.
6.	Организация полученных данных.
При решении больших задач возникает проблема структурирова¬
ния, представления, хранения и передачи информации. Распростра¬
нение технологий параллельного счета вызывает появление новых
проблем обработки информации. Используются графические систе¬
мы, обеспечивающие визуализацию полученной цифровой информации.
Табличная информация поддерживает графическую и позволяет про¬
вести уточнение решения, переводя его из глобального качественного
и общего количественного в детально-количественный.
7.	Анализ результатов.
Внутренний контроль результатов подразумевает их верификацию,
включая в себя цикл экспериментов для контроля за выполнением
фундаментальных законов сохранения. Контроль за точностью выпол¬
нения законов сохранения определяет степень пригодности выбранных
физико-математических моделей.
Внешний контроль включает в себя сравнение полученных резуль¬
татов с экспериментальными данными и результатами других алго¬
ритмов.
8.	Принятие решения.
Принимается решение о завершении или продолжении разработки.
Выбирается сегмент моделирования, требующий доработки, пересмотра
или изменения.

9.	Завершение исследования.
Расширяется область знаний с возможностью генерации новых
представлений о природе изучаемого явления. Создаются новые науч¬
ные теории и на их основе реализуются прикладные разработки.
Данная схема не является простой последовательностью перечис¬
ленных действий, но обладает и обратной связью.
Методы математического моделирования позволяют получать толь¬
ко частные решения дифференциальных уравнений и не подменяют
теоретические подходы, которые предназначены и используются для
получения общих решений. Математическое моделирование не претен¬
дует на открытие новых физических явлений, а лишь помогает понять
структуру течения в тех или иных условиях. Результаты расчетов не
подменяют данные физического эксперимента, а дополняют их.
1.2.	Системное и функциональное наполнение
программного комплекса
Средства автоматизации инженерного анализа, основанные на чис¬
ленных методах, стали неотъемлемой частью процесса проектирования
изделий различного назначения. Многие из таких разработок реали¬
зованы в виде специализированных программных комплексов (вычис¬
лительных пакетов), позволяющих проводить моделирование сложных
и дорогих для натурного эксперимента процессов.
Современный подход к математическому моделированию течений
жидкостей и газов использует средства вычислительной гидроди¬
намики.
Пакеты прикладных программ, ориентированные на решение задач
газовой динамики и теплообмена, включают в себя функциональные
и системные компоненты (рис. 1.2). Функциональные компоненты свя¬
заны с формулировкой математической модели и разработкой числен¬
ного алгоритма ее решения, а системные компоненты ориентированы
на компьютерную реализацию вычислительного алгоритма.
Описание течений жидкости и газа на основе уравнений Эйлера
(невязкая среда) или Навье-Стокса (вязкая среда) имеет богатую ис¬
торию и не нуждается в детальном обосновании. В некоторых случаях
допускается применение упрощенных или усеченных моделей, основан¬
ных на использовании осесимметричной постановки задачи или трех¬
мерной модели в виде сектора с постановкой периодических граничных
условий в окружном направлении.
Разработка вычислительного алгоритма сводится к построению рас¬
четной сетки, дискретизации основных уравнений, решению системы
разностных уравнений, оценкам точности, устойчивости и сходимости
численного метода.
Компьютерная реализация вычислительного алгоритма подразуме¬
вает написание программного комплекса, его отладку на тестовых

— Программное обеспечение
Системное наполнение
библиотеки функций
фильтры
форматы данных
язык программирования
язык управления
операционная система
диалоговая система
Функциональное наполнение
сеткн
модели
методы
Файлы и данные
расчетные сеткн
вложенные
неструктурированные - - структурированные
гибридные
блочные
начальные условия
исходные уравнения
стыковка блоков
гиперболические
параболические
эллиптические
алгебраические
комплексные
конформные
ортогональные
уравнения
Навье-Стокса
уравнения Эйлера
уравнения
потенциала
уравнения
пограничного слоя
независимость от
одной или нескольких
координат
осреднение/
фильтрация
замыкание
Ускорение счета
наборы данных
модули
параллелнзация
векторизация
файлы
граничные условия
ось/плоскость
симметрии
периодические
удаленные
неотражающие
численные методы
метод
конечных объемов
метод
конечных разностей
метод
конечных элементов
спектральный/
пссвдоспектральный
дискретизация
по времени
явно-неявные
по пространству
жесткие
низкого порядка
слабые
высокого порядка
решение разностных
уравнений
прямые
итерационные
ускорение	}
СХОДИМОСТИ	"I
предобусловливанне
многосеточныи
метод
лннеиные
нелинейные
Рис. 1.2. Системное и функциональное наполнение программного обеспечения, предназначенного для решения задач механики
жидкости и газа

задачах, проведение параметрических расчетов и обработку получен¬
ных результатов с проверкой их соответствия реальному физическому
процессу, уточнение исходной модели в случае необходимости.
Развитие систем параллельной обработки данных вносит суще¬
ственные изменения в сегменты математического моделирования и
порождает ряд новых проблем в методологии получения, обработки,
хранения и передачи данных большого объема.
Для решения задач механики жидкости и газа требуются высо¬
кое быстродействие, а также обработка и хранение большого объема
информации, что предъявляет повышенные требования к оперативной
памяти. Такие ресурсы имеются в распоряжении высокопроизводитель¬
ных вычислительных систем или суперкомпьютеров (Н^Ь Рег^огтапсе
Сотри{т§, НРС).
Зависимость производительности вычислительных систем от вре¬
мени их ввода в эксплуатацию приводится на рис. 1.3, взятом из
работы [331].
108,-
ю7 -
106 -
и
1	105 -
о
104
и
о
м 103 -
с;
а>
| Ю2 -
О
Ш
3 101 -
о
а*
С 10° -
10'1 -
1(Г2 -
1950	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Год
Рис. 1.3. Динамика увеличения производительности вычислительных систем
различного класса (/ — суперкомпьютеры; 2 — рабочие станции; 3 — персо¬
нальные компьютеры)
Производительность современных суперкомпьютеров превышает де¬
сятки терафлопс, а динамика ее роста является довольно оптимистич¬
ной. Сравнительно дешевые рабочие станции и персональные ком¬
пьютеры достигли скорости в несколько сотен мегафлопс (их про¬
изводительность увеличивается по зависимости, близкой к линейной

в логарифмических координатах). Это делает реальными и доступными
расчеты практических турбулентных течений с помощью современных
подходов к описанию турбулентности [29]. При этом на каждые 106
ячеек расчетной сетки требуется приблизительно 1 Гб оперативной
памяти.
Перспективы численного моделирования течений вязкого сжимае¬
мого газа в свете совершенствования вычислительных платформ вы¬
глядят достаточно привлекательными.
Подход к численному решению задач механики жидкости и газа при
помощи современных вычислительных технологий и методов парал¬
лельного программирования основан на геометрической декомпозиции
расчетной области на подобласти, количество которых равняется числу
процессоров, расчете каждым процессором своей подобласти и обмене
данными между ними на каждом шаге по времени. Связь подобластей
обычно осуществляется при помощи введения фиктивных ячеек (их
количество зависит от шаблона разностной схемы), которые находятся
за границами подобластей и не обрабатываются кодом [20]. Показатели
производительности зависят от метода декомпозиции, способа распре¬
деления данных по процессорам и реализации численных методов,
применяемых для решения подзадач.
1.3.	Построение математической модели
Формулировка математической модели включает выбор системы
координат, запись основных дифференциальных уравнений, постановку
начальных и граничных условий.
1.3.1.	Основные уравнения. Стационарные или нестационар¬
ные течения вязкого сжимаемого газа описываются уравнениями На-
вье-Стокса, а течения идеальной среды — уравнениями Эйлера, кото¬
рые для безвихревых течений сводятся к уравнениям потенциала.
В зависимости от размерности решаемой задачи используется трех¬
мерная формулировка исходных уравнений или их сокращенный ва¬
риант — свойство независимости от одной или нескольких простран¬
ственных координат (плоские или осесимметричные течения). Модели¬
рование течений с преимущественным направлением развития потока
(течения в пограничных слоях или струях) проводится на основе пара¬
болизованных уравнений Навье-Стокса.
Для расчетов турбулентных течений используется осреднение или
фильтрация уравнений Навье-Стокса с последующим замыканием по¬
лученных уравнений [29]. Прямое численное моделирования и мо¬
делирование крупных вихрей являются принципиально трехмерными
подходами, поэтому использование двумерной формулировки задачи
рассматривается как полезное с точки зрения сокращения затрат ма¬
шинного времени, но необоснованное допущение [18].

Численное моделирование на основе полных уравнений Навье-
Стокса вытесняет формально более простые модели. Наблюдается пе¬
реход от простых моделей к изучению реальных процессов не толь¬
ко в том, что касается свойств рабочего тела, в частности вязкости
и теплопроводности, но и при описании реальной, а не упрощенной
геометрии расчетной области. Описание физической области сложной
пространственной конфигурации приводит к использованию неструк¬
турированных или гибридных сеток.
1.3.2.	Начальные условия. В момент времени I = 0 задается
начальное распределение скорости, удовлетворяющее уравнению нераз¬
рывности, а также начальные распределения температуры и давления.
При решении статистически стационарных задач методом установ¬
ления удачный выбор начальных условий снижает затраты компью¬
терного времени, а неудачный — увеличивает затраты или не обеспе¬
чивает получения стационарного решения вследствие выхода процесса
установления на осциллирующий режим (периодический, квазиперио-
дический или апериодический).
В случае нестационарных расчетов средние значения искомых
функций задаются, исходя из данных физического эксперимента или
рассчитываются при помощи интегрирования осредненных по Рей¬
нольдсу уравнений Навье-Стокса (достижения полной сходимости чис¬
ленного решения не требуется). На средние значения накладываются
случайные флуктуации, функция плотности вероятности которых во
времени подчиняется нормальному закону распределения с нулевым
математическим ожиданием и заданной дисперсией [29].
1.3.3.	Граничные условия. При решении полных уравнений На¬
вье-Стокса требуется задание граничных условий на всех границах
расчетной области. Эти условия формулируются на основе дополни¬
тельной физической информации.
Граничные условия на входной и выходной границах задаются в за¬
висимости от соотношения между скоростью потока и скоростью звука
(проверяются знаки собственных чисел якобиана А*). Различные гра¬
ничные условия приводятся в табл. 1.1 (под а понимается направление
потока, ро и То — давление и температура торможения, <2 — вектор
консервативных переменных, с — скорость звука).
На границе, через которую жидкость поступает в расчетную об¬
ласть, обычно задается распределение скорости или расход рабочей
среды, направление потока, распределения полного давления и полной
температуры (или числа Маха), а также распределения характеристик
турбулентности.
На практике находят применение различные приемы постановки
граничных условий на входной границе, позволяющие учесть нестаци¬
онарный характер течения [29]. Однако ни один из них не позволяет
достоверно описать турбулентную структуру рассматриваемых течений
и не является универсальным. В случае свободных сдвиговых течений

Таблица 1.1. Граничные условия для уравнений Навье-Стокса
на входной и выходной границах
Условие
Скорость
А,
м
Аз
а4
А5
Параметры
Дозвуковые
входные
—С < V • п < 0
+
Ро, То, а
Дозвуковые
выходные
0 < V • П < С
+
+
+
+
Р
Сверхзвуковые
входные
— ОО < V ■ П < —с
Я
Сверхзвуковые
выходные
С < V • П < +00
+
+
+
+
+

задача несколько упрощается, поскольку эти течения неустойчивы,
и колебания в них возникают даже при отсутствии внешних источни¬
ков возмущений.
При решении задачи в неограниченной области из-за отсутствия
точных граничных условий, заменяющих условия на бесконечности для
исходной задачи с неограниченной областью, постановка граничных
условий реализуется приближенным способом. Конечные размеры рас¬
четной области затрудняют изучение длительных по времени процес¬
сов. Ослабление нежелательного влияния границы достигается путем
ее удаления от источников возмущения. При этом из-за увеличения
числа узлов сетки возрастают затраты машинного времени.
При расчете стационарных течений на выходной границе, через
которую жидкость покидает расчетную область, обычно выставляются
мягкие граничные условия, выражающие собой условие равенства нулю
производной по нормали к границе (д/дп = 0).
При моделировании нестационарных дозвуковых течений возмуще¬
ния, дойдя до внешней границы, частично отражаются от них, искажая
решение внутри расчетной области. Возможные численны эффекты
генерации и отражения звуковых волн на выходной границе искажа¬
ют реальную картину потока. Имеются вычислительные алгоритмы,
обеспечивающие эффективное поглощение продольных квазиплоских
звуковых волн, приходящих ко входной границе из внутренней обла¬
сти, а также компенсирующие эффекты генерации звуковых волн на
выходной границе при пересечении ее вихрями [54].
Проблема отыскания граничных условий на искусственной грани¬
це расчетной области, на которой не приходит отражения возмуще¬
ний, является важной с точки зрения сокращения затрат времени
счета и получения достоверных результатов на длинном промежутке
времени.
Для нестационарных расчетов широкое применение находят неот¬
ражающие граничные условия (Ыоп-КеПес1;т§ Воипдагу СопсШюп,

Г\1КВС). Это позволяет избежать проблем, связанных с отражением
волн давления от выходной границы.
При расчете невязких течений на непроницаемой стенке выстав¬
ляется граничное условие непротекания для нормальной скорости
(V • п = 0). Для моделирования вязких течений на непроницаемой
стенке ставятся граничные условия непротекания и прилипания для
нормальной и тангенциальной скорости (V • п = 0, V • т = 0). При
наличии проницаемой границы со вдувом среды используется гра¬
ничное условие нормального вдува (у • п = где — скорость
вдува). В обоих случаях задается температура стенки (изотермическая
граница) или условие теплоизолированности. Граничные условия для
давления выставляются при помощи дискретизации уравнения измене¬
ния количества движения в проекции на нормаль к стенке.
Для постановки граничных условий на стенке вводятся также
фиктивные ячейки сетки и задаются условия зеркального отражения.
В фиктивной ячейке, построенной от границы внутрь твердого тела,
задаются те же параметры, что и в соседней со стороны потока ячейке,
с тем отличием, что компонентам скорости приписывается противо¬
положный знак. Такие условия справедливы только для безградиент-
ных пограничных слоев, но в общем случае противоречат уравнениям
Навье-Стокса.
Для постановки граничных условий для характеристик турбулент¬
ности на стенке используется метод пристеночных функций или слабые
граничные условия [11, 21, 49, 52].
Использование слабых граничных условий позволяет избежать при¬
менения пристеночных функций и связанных с ними проблем. Влияние
стенки на поток учитывается в виде сеточных напряжений сдвига
и дополнительной сеточной генерации турбулентности за счет отличия
профиля касательной скорости от логарифмического распределения
около стенки [11, 21].
На удаленных границах расчетной области задаются условия сколь¬
жения или условия невозмущенного течения.
Периодические граничные условия формулируются для всех иско¬
мых функций на противоположных границах расчетной области при
расчете течений в области, обладающей свойством симметрии (напри¬
мер, при использовании трехмерной модели с вращательной периодич¬
ностью).
1.3.4.	Упрощенная постановка задачи. В частных случаях дви¬
жения жидкости или газа используется упрощенная постановка задачи.
В случае установившегося движения в любые моменты времени 1\
и рассматриваемого интервала времени все характеристики движе¬
ния являются одинаковыми и время перестает быть существенным па¬
раметром задачи. Все производные по времени в уравнениях равняются
нулю и нет необходимости в начальных условиях.

Выбор координатных осей х, у и г таким образом, что параметры
потока во всех плоскостях 2 = сопз! являются одинаковыми, делает
возможным исключить переменную г из исходных уравнений и пони¬
зить размерность задачи.
Во многих практически важных задачах число независимых пере¬
менных уменьшается из-за специального характера движения. В слу¬
чае осевой симметрии вместо х, у, г, I аргументами искомых функций
являются х, г, 9, I (при отсутствии закрутки д/дв = 0), а в случае
центральной симметрии — г, Уменьшение числа независимых пере¬
менных упрощает решение задачи.
В дальнейшем, расчеты проводятся в декартовых координатах
(х,у,г). Однако для задания граничных условий и обработки резуль¬
татов численного моделирования используется также цилиндрическая
система координат (х,г,в). Углы между направлением потока и соот¬
ветствующими координатными плоскостями находятся по формулам
Радиальная и окружная скорости связаны с декартовыми скоростями
при помощи соотношений
где г = (у2 +- г2)1/2.
1.3.5.	Условие пространственной периодичности. Рассмотрим
течение в проточной части многоступенчатой турбины, у которой каж¬
дый нечетный венец имеет число лопаток щ и угловую скорость враще¬
ния и>\, а каждый четный венец — число лопаток пг и угловую скорость
вращения Ш2, причем ш\ ^ и>2. Расчетная область содержит по одному
межлопаточному каналу в каждом венце, поэтому для выполнения
расчета определяются параметры потока на границах периодичности
и поверхности скольжения в произвольный момент времени.
Введем относительные окружные координаты в\ и вч, связанные
с 1-м и 2-м венцами
где в — угловая координата, ^ — момент времени, в который опре¬
деляется начальное взаимное положение венцов в абсолютной системе
координат.
Установившееся течение через взаимно движущиеся лопаточные
венцы является периодическим по времени, поэтому
IV	= - (ууу + угг), уе = -(угу-уу2),
О| — в + (Ь — 1о),	$2	—	в	и>2{1	—	^о)>
Щ0ь*) = Щвг,Ь + 1Тг), Т{ =
Т12—г |^3—г	^г|

где V — вектор примитивных переменных, Т* — период по времени,
г — номер венца (г = 1,2), I — произвольное целое число. Условие
пространственно-временной периодичности имеет вид
П{вг, I)	= Щвг + тпАв-1,1 -Ь Д^);	(1-1)
Дв( = —;	(1.2)
ТпАвг
]	Г	+ 1Т{.	(1.3)
Условия (1.1)—(1.3)	означают, что поток	в произвольном межлопаточ-
ном канале г-й решетки в момент времени I полностью повторяет
течение в канале этой же решетки через промежуток времени Аи,
соответствующий смещению венцов на угол тпАвг (т — целое число).
Дополнительный член Щ учитывает периодичность течения по време¬
ни и необходим для минимизации времени запаздывания Д^.
Пусть известны газодинамические параметры для некоторого меж-
лопаточного канала г-го венца с угловыми координатами
_	27Г
$0г	^	^Ог
П4
на периоде времени
2тт
^0 | | ^ ^ ^ ^0-
^■3—г|^3—г ^г\
Необходимо определить параметры течения в произвольном межлопа-
точном канале для точки с угловой координатой вг в момент времени
1.	Из приведенных соотношений получим, что
2тг	_	2тг	(	I	тп\
	;	г <Ь = 1 + 	г (	1	) ^ ^о;	(1-4)
Т13— г|^3—г ^г|	1^3—г ^г| \^3 —г	/
27Г л -	27ТТЛ	.	..
$0г — 	 <		^	(1-5)
щ	щ
Из соотношения (1.5) определяется значение тп, а из (1.4) — зна¬
чение I, которые удовлетворяют условию 11{вгЛ) =	Тогда	при
известной зависимости параметров потока от времени в одном межло-
паточном канале каждого венца турбинной ступени воспроизводится
полная картина течения в любой момент времени. Это позволяет рас¬
сматривать в качестве расчетной области только один межлопаточный
канал в каждом венце. Параметры потока во времени сохраняются
только на границах периодичности и поверхности скольжения, а не во
всей области.
1.3.6.	Выбор системы координат. Уравнения, описывающие те¬
чение жидкости или газа, записываются либо для абсолютной скорости
V	(аЬзо1и!е уе1осИу), либо для относительной скорости уг (ге1аиуе

уе1осИу). Использование абсолютной скорости является предпочти¬
тельным в тех случаях, когда жидкость не вращается в большей части
расчетной области.
Для наблюдателя, расположенного во вращающейся системе коор¬
динат, связь между абсолютной и относительной скоростями выража¬
ется соотношением
V = Уг + У X Г,
где ш — угловая скорость вращения, г — локальный радиус-вектор.
Уравнение сохранения массы имеет одинаковый вид как для абсо¬
лютной, так и для относительной скорости.
При решении уравнений Навье-Стокса во вращающейся системе
координат ускорение жидкости появляется в качестве дополнительного
члена в уравнении изменения количества движения.
Левая часть уравнения изменения количества движения в инерци-
альной системе отсчета имеет вид
5
— (ру) + V • (руу).
Во вращающейся системе координат левая часть уравнения изменения
количества движения записывается в следующем виде
—	для абсолютной скорости
— (ру) + V • (ругу) + р{ш х у);
—	для относительной скорости
д , ч	/	ч	/г.	ч	дш
^ (руг) + V • (ругУг) + Р (2и> хуг4-ыхшхг)+ р— х г.
При ш = сопзЬ последнее слагаемое в правой части обращается в ноль.
Уравнения изменения количества движения во вращающейся си¬
стеме координат содержат силы инерции, которыми являются сила
Кориолиса —2ш х уг и центробежная сила 0,5У(ш х г).
Сила Кориолиса направлена по нормали к оси вращения и векто¬
ру скорости. Она изменяет направление движения частиц жидкости
в плоскости, нормальной вектору ш (направление этого изменения про¬
тивоположно направлению вращению подвижной системы координат),
не совершая работы. Для жидкости постоянной плотности влияние
центробежной силы эквивалентно дополнительному давлению [8].
1.3.7.	Взаимодействие неподвижных и подвижных компонен¬
тов ступени турбины. Характерной чертой газовых турбин и ком¬
прессоров является вращение роторных элементов проточной части
относительно статорных элементов, что приводит к постоянному изме¬
нению геометрии расчетной области, требуя учета взаимного влияния
вращающихся и неподвижных элементов.
Для выполнения газодинамических расчетов подготавливается
твердотельная геометрическая модель области, занимаемой жидко¬

стью. Геометрия неподвижных и вращающихся элементов обычно
готовится по отдельности с их последующей стыковкой. При подго¬
товке технической документации обычно приводится твердотельная
модель металлических деталей, составляющих конструкцию.
При использовании подвижной системы координат (5т^!е Ке[егепсе
Ргате, 5КР) течение является нестационарным в инерциальной систе¬
ме координат (системе координат, фиксированной относительно лабора¬
торной системы отсчета), поскольку ротор вращается. При отсутствии
статора расчеты проводятся в области, которая перемещается вместе
с ротором, так что течение становится стационарным по отношению
к вращающейся (неинерциальной) системе координат (границы пере¬
мещаются с той же скоростью, что и система координат).
Для моделирования течения в неподвижных компонентах использу¬
ется стационарная система координат, а течения во вращающихся ком¬
понентах — вращающаяся система координат. Подход используется для
моделирования течений в изолированных компонентах и является наи¬
более экономичным с вычислительной точки зрения. Взаимодействие
между неподвижными и подвижными компонентами не учитывается.
Постановка нестационарных граничных условий во входном сече¬
нии позволяет учесть влияние следов за лопатками на компоненты
модели, находящиеся вниз по потоку.
При наличии статора и ротора невозможно выбрать систему коор¬
динат, в которой течение является стационарным. Для моделирования
взаимодействия статора и ротора используются различные подходы.
1.	Расчетная область разбивается на ряд подобластей, каждая из
которых перемещается по отношению к лабораторной системе отсчета,
а смешения потоков на границе различных подобластей не происходит.
Уравнения сохранения в каждой подобласти записываются в систе¬
ме координат, соответствующей этой подобласти (МиШр1е Ке1егепсе
Ргате, МКР).
Геометрические модели неподвижных и подвижных компонентов
готовятся отдельно друг от друга. Границы раздела подобластей ори¬
ентируются таким образом, чтобы скорость перемещения системы ко¬
ординат по нормали к границе равнялась нулю. На границе раздела
подобластей для абсолютной скорости используется условие непрерыв¬
ности.
Подход используется для расчета средних по времени характери¬
стик или для получения начального приближения решения, которое
используется для расчетов в полной постановке.
2.	Течение в каждой подобласти считается стационарным, а взаимо¬
действие статора и ротора учитывается приближенным способом при
помощи поверхности смешения (гтихт^ р!апе).
Находятся решения в каждой подобласти. Параметры потока на
границе раздела подобластей (на выходной границе неподвижной под¬
области и на входной границе подвижной подобласти или наоборот,
порядок следования подобластей не является принципиальным) осред-

няются в окружном направлении. В результате осреднения получаются
профили параметров потока для обновления граничных условий на
границе раздела.
Подход приемлем в случае, когда взаимодействие статора и рото¬
ра является относительно слабым, а на границе раздела подобластей
не возникает возвратного течения. В численных расчетах возвратное
течение обычно возникает на начальном этапе счета. Для избежания
проблем со сходимостью численного решения получаются начальные
приближения решения в каждой подобласти, используя фиксированные
граничные условия на границе раздела.
3.	Течение считается нестационарным и взаимодействие статора
и ротора учитывается в полной мере при помощи поверхности сколь¬
жения (зНсПп^ р1апе).
Расчет течения в неподвижных компонентах проточной части вы¬
полняется в неподвижной системе координат, а течения во враща¬
ющихся компонентах — в системе координат, вращающейся вместе
с деталью. В уравнениях математической модели фигурируют скорости
относительного движения. Переход от неподвижной к вращающейся
системе координат происходит на границе стыковки между компонен¬
тами модели. Положение скользящей поверхности задается пользо¬
вателем на стадии подготовки геометрии расчетной области. Форма
и площадь состыкуемых скользящих поверхностей должны быть оди¬
наковыми (допустимая разница обычно не превосходит 1 %).
1.3.8.	Полная температура. При моделировании течений в систе¬
мах, состоящих из подвижных и неподвижных компонентов, использу¬
ется абсолютная и относительная системы координат (рис. 1.4).
V	и	—	V
ротор	ротор
//У/////	////////
и = шг
Рис. 1.4. Абсолютная (а) и относительная (б) системы координат
Скорости в абсолютной и относительной системах координат нахо¬
дятся из следующих соотношений:
^аЬб = г;2 4-го2, ь2е1 = (и - ь)2 + и>2.
Полная энтальпия определяется соотношением

Выделим члены, учитывающие вклад внутренней и кинетической энер¬
гии	_
Г	2
н= срат + у,
где Т и То — статическая и полная температура. Полная температура
находится из соотношения
У1
т° = т+ V
Как и скорость, полная температура допускает определение в абсо¬
лютной и относительной системе координат
Т0,аЫ=Г+^,	Г0.Ре,=Т+^.
2 ср	2ср
Разность температур в абсолютной и относительной системе координат
равняется	2
Г0.»ь5 ~ Го.гЫ = V	(1.6)
Учитывая, что во вращающихся системах основной вклад в кине¬
тическую энергию вносит скорость в окружном направлении (ух < уд,
ут Ув, поэтому г?аь5 = Щ и уге\ = гш — ув), для абсолютной полной
температуры (аЬзо1и1е 1о1а1 {етрега1иге) и относительной полной тем¬
пературы (ге1аИуе 1о1а1 1егпрега1иге) получим соотношения
т т (Р™)2 т т [(1 -/Э)гы]2
^О.аЬз = ^ Н	о	’	-*0,ге1 = 1 Н	о	'
2 ср	2 Ср
где /? = у/и = у/(шг) (5мпг1 Ггасйоп). В этом случае связь между
полными температурами в абсолютной и относительной системе коор¬
динат, описываемая соотношением (1.6), упрощается и принимает вид
2	2
Го.аЪ* = То.ге, + ^ (2/3 - 1).	(1.7)
Скорости в абсолютной и относительной системе координат связаны
с окружной скоростью при помощи соотношений
г'аЬв = 0ГШ, г>ГС1 = (1 - /3)гш.
В чисто вращающихся или неподвижных системах выбор подхо¬
дящей температуры не представляет труда. Для неподвижных компо¬
нентов температура поверхности равняется абсолютной полной тем¬
пературе, а для вращающихся компонентов — относительной полной
температуре. При учете взаимодействия подвижных и неподвижных
компонентов выбор температуры является неоднозначным.

1.3.9.	Сопротивление, вызванное вращением диска. Оценка
дополнительного сопротивления, вызванного вращением ротора, про¬
изводится на основе мощности, затрачиваемой или потребляемой на
создание вращения.
Вследствие условия прилипания скорость жидкости на вращаю¬
щейся поверхности равняется скорости вращения. За пределами по¬
граничного слоя скорость вращения жид¬
кости зависит от расстояния до стенки.
Сдвиг скорости приводит к повышению
температуры и нагреву вращающейся по¬
верхности вследствие трения (Гпс1юпа1
НеаПп^, ичпс^е).
Полагая поверхности ротора и статора
теплоизолированными, запишем условие
сохранения момента количества движе¬
ния (рис. 1.5)
М — ^ = тп(г2 У2 — г\ г^),	(1.8)
где М — момент ротора, индуцирован¬
ный вращением ротора (го*ог У1зсои5 то-
теп!), О — момент сопротивления стато¬
ра (зЫог с1га§г), ш — удельный массовый
расход.
Умножая (1.8) на угловую скорость вращения ротора, найдем мощ¬
ность, затрачиваемую на поддержание его вращения:
IV = Ии; + тш (гг г>2 - п ^1).	(1.9)
В стационарном и теплоизолированном случаях (<? = 0) уравнение
сохранения энергии в абсолютной системе координат дает
IV = СрТП (Тог.аЬз - То 1,аЬз)-	(1-10)
Сравнивая (1.9) и (1.10) и используя связь между полными темпе¬
ратурами в абсолютной и относительной системах координат (1.7),
в относительной системе координат получим
™	™	и2	,	о	9ч	Ош	.
^02,ге1 — ^01,ге1 = л— (г2 _ Г1Н	“•	(11 1)
2Ср	СрГП
Для случая теплоизолированной поверхности диска мощность, за¬
трачиваемая на поддержание вращения диска, вычисляется по формуле
(сНзс \*ппс1а^е соггеЫюп)
IV = 2^м Ри3Ъ5,
где Ь — радиус диска. Коэффициент момента См рассчитывается по
корреляционным формулам для свободного вращающегося диска [56]
или диска, вращающегося в осесимметричной каверне [132, 223].
статор
зотор
\
/
\
/
\
X
\
X
\
Д М
/
\
/
\
/
\
тп
/
\
/
\
I
—
	(Р&
Рис. 1.5. Нагрев вследствие
трения

1.3.10.	Сопряженные задачи. В связи с тенденциями развития и
расширения возможностей для проведения многодисциплинарных рас¬
четов, например, для решения связанных задач газодинамики и проч¬
ности (ПиШ-Б^гис'Шге т1егас1юп)‘или газодинамики и теплопередачи
(соирЫ {Ьегта! апа1уз15), многие пакеты оснащаются специализиро¬
ванными инструментами взаимодействия с программными комплек¬
сами вычислительной механики деформируемого тела (СотриЫюпа1
5оНс1 МесНашсз, С5М). Такое взаимодействие заключается в передаче
результатов расчета одного пакета другому (при условии геометриче¬
ской идентичности границ, на которых происходит обмен данными).
Выполнив расчет течения, определяются нагрузки на ограничива¬
ющие область поверхности, а затем полученная картина нагружения
используется в качестве граничного условия в задаче расчета напря¬
женно-деформированного состояния. При однократной передаче дан¬
ных о воздействии потока на некий элемент конструкции от СРЭ-паке-
та к РЕА-пакету взаимодействие носит однонаправленный характер
и допустимо в тех случаях, когда имеется слабо выраженное обратное
влияние процесса деформирования на поток. В общем случае необхо¬
дим двунаправленный обмен данными (СРЭ-пакет передает нагрузки,
а получает значения перемещений узлов границы сопряжения).
При однократном обмене данными в течение шага по времени
реализуется явная схема сопряжения программных комплексов. Мно¬
гократный обмен данными решения сопряженной задачи на шаге по
времени приводит к неявной схеме сопряжения (необходимость много¬
кратного обмена данными связана с проблемами устойчивости расчет¬
ного процесса. Необходимость обмена данными обусловлена высокой
инерционностью жидкости вследствие ее высокой плотности, что при¬
водит к большйм усилиям реакции, действующей со стороны потока на
перемещающуюся границу сопряжения. Для получения сходящегося
решения сопряженной задачи на шаге по времени используется итера¬
ционная процедура.
Модули решения сопряженной задачи газовой динамики и динами¬
ки твердого тела позволяют рассчитывать движение объекта с задан¬
ными инерционными характеристиками под действием сил, приложен¬
ных со стороны потока жидкости или газа.
Характеристики объекта включают массу и совокупность моментов
инерции в главных осях. Определение начального состояния пред¬
полагает задание координат центра масс и компонентов начальной
скорости поступательного и вращательного движений. На шаге по вре¬
мени находятся параметры течения в расчетной области, в том числе
силовое воздействие потока на границы, формирующие подвижный
объект. Распределения давления и напряжение трения интегрируются
по границе контакта объекта и среды для определения компонентов
главного вектора и главного момента сил, действующих со стороны
потока на тело. В ходе решения шести уравнений динамики тела

(для трех поступательных и трех вращательных степеней свободы)
определяются перемещения объекта.
Необходимость модификации сеточной структуры обусловлена пе¬
ремещением границ, которые формируют объект и являются границами
расчетной области гидродинамической задачи. Видоизменение сетки
заключается в ее локальном перестроении или деформировании (рас¬
тяжении/сжатии) совокупности сеточных линий с сохранением взаи¬
мосвязей узлов, ребер и граней контрольных объемов.
1.4.	Дискретизация основных уравнений
На практике применяются различные подходы к дискретизации
уравнений, описывающих течения жидкости и газа [23, 29].
1.4.1.	Методы дискретизации. Для дискретизации уравнений
Навье-Стокса используются метод конечных разностей, метод конеч¬
ных объемов, метод конечных элементов и спектральные методы.
Метод конечных разностей (РшИе ЭШегепсе Ме^Нос!, РОМ) ос¬
нован на замене производных, входящих в исходные уравнения, их
дискретными (разностными) аналогами. Его достоинствами являются
эффективность и простота реализации, а также наглядность проце¬
дуры дискретизации, дающая возможность построения схем высокого
порядка точности (эти достоинства реализуются при использовании
структурированных сеток). Расчеты проводятся либо на совмещенной,
либо на разнесенной сетке (з^а^егес! ^пс1), когда скорость и давление
рассчитываются в смежных узлах [24, 49].
В методе конечных объемов (Ртйе Уо1ите Ме*Ьос1, РУМ) исполь¬
зуется интегральная формулировка законов сохранения. Дискретный
аналог балансовых соотношений, записанных для контрольного объ¬
ема, получается суммированием по всем его граням потоков массы,
импульса и энергии, вычисленных по каким-либо квадратурным фор¬
мулам. Метод конечных объемов пригоден для дискретизации урав¬
нений сохранения как на структурированных, так и на неструктури¬
рованных сетках с различной формой ячеек. В качестве контрольного
объема выбирается контрольный объем, совпадающий с ячейкой, или
контрольный объем, центрированный относительно узла [18].
Метод конечных элементов (РтМе Е1етеп1 Ме1Нос1, РЕМ) опира¬
ется на вариационную задачу о минимуме ошибки аппроксимации ис¬
комого решения базисными функциями, а не на исходные физические
уравнения. Метод конечных элементов получил широкое распростране¬
ние в механике деформируемого твердого тела [419]. Дополнительная
математическая нагрузка, делающая его более сложным для пони¬
мания, наряду с отсутствием преимуществ перед методом конечных
объемов и трудностями обеспечения необходимой точности описания
тонких пограничных слоев, являются причинами низкой популярности
метода конечных элементов при решении задач механики жидкости
и газа.

Для задач с достаточно гладким решением и мягкими граничными
условиями для дискретизации уравнений Навье-Стокса находят при¬
менение спектральные методы (зрес1га1 те^Нос!), которые позволяют
определить значения искомых функций более точно, чем локальные
методы [51]. Важная роль граничных условий при построении спек¬
тральных методов привела к использованию псевдо-спектральных под¬
ходов (р5еис1о-5рес1га1 те{Ьос1). Использование полиномов Чебышева
для определения точек коллокации приводит к мелкой вблизи границ
и сравнительно грубой сетке внутри расчетной области, что удобно для
моделирования течений при большйх числах Рейнольдса.
Преимущество спектральных методов состоит в том, что высокая
пространственная точность получается при сравнительно небольшом
числе точек коллокации. Их основной недостаток связан с ограни¬
чениями на шаг по времени при расчете стационарных или слабо
меняющихся со временем течений [51]. При моделировании нестаци¬
онарных течений, в которых для достижения необходимой точности
требуются малые шаги по времени, спектральные методы становятся
конкурентноспособными с конечно-разностными и конечно-объемными
методами (особенно для областей регулярной формы).
1.4.2.	Дискретизация по времени. С точки зрения дискретиза¬
ции по времени разностные схемы делятся на явные, неявные и сме¬
шанные явно-неявные [24].
Явные схемы (ехрНсК зсНете) лучше согласованы с конечной скоро¬
стью распространения возмущений, характерной для гиперболических
уравнений, ограничивая их перенос одним шагом сетки за один шаг
по времени. Для дискретизации параболических уравнений, которые
характеризуются мгновенной скоростью распространения возмущений,
используются неявные схемы (1трПсИ зсНете), снимающие жесткие
ограничения на шаг интегрирования по времени. В явно-неявной схе¬
ме (ехрПсИ/1трПсИ зсНете) для дискретизации конвективных потоков
применяется явная схема, а для дискретизации диффузионных пото¬
ков — неявная схема.
Одна из проблем численного решения уравнений Навье-Стокса и
построения разностных схем на неструктурированных сетках связа¬
на с необходимостью обеспечения положительности искомых функ¬
ций. Условие положительности выполняется для схем Рунге-Кут-
ты различного порядка [22] (при условии, что выполняется условие
Куранта-Фридрихса-Леви, и все коэффициенты схемы являются неот¬
рицательными).
Рост мощности современных многопроцессорных вычислительных
систем делает оправданным использование простых явных конеч¬
но-разностных схем [20]. При этом реализация и распараллеливание
вычислительной процедуры существенно упрощаются по сравнению со
случаем неявных разностных схем.

1.4.3.	Дискретизация по пространству. Различные версии ме¬
тода конечных объемов различаются способом вычисления пото¬
ков [7, 12, 22].
Численные схемы, используемые для дискретизации конвективных
потоков, должны сохранять монотонность и сходиться к физически
корректному решению [53]. Условие сохранения монотонности реше¬
ния обусловлено идеей невозможности появления ложных максимумов
или минимумов (нефизических осцилляций, развивающихся со вре¬
менем).
Нелинейные взаимодействия среди разрешимых масштабов и со¬
ответствующих им волновых чисел продуцируют волны с волновыми
числами, большими предельного волнового числа, которые интерпре¬
тируются как ложный перенос энергии к малым волновым числам [5]
(отрицательная турбулентная вязкость).
Для получения монотонного решения применяется схема Годуно¬
ва [53], предполагающая кусочно-постоянное распределение парамет¬
ров течения на нижнем временном слое. В ней используется точное
решение задачи о распаде произвольного разрыва (задача Римана).
Для экономии машинных ресурсов применяются также приближенные
подходы [7, 22] (среди наиболее популярных следует отметить методы
Рое и Ошера).
В силу теоремы Годунова, не существует монотонных линейных
разностных схем с порядком аппроксимации по пространству выше
1-го [51]. Принцип минимальных значений производных, используемый
в схеме Колгана, позволяет повысить порядок схемы Годунова до 2-го
по всем направлениям, за исключением направления интегрирования.
Схема Колгана является неоднородной, но сохраняет свойство монотон¬
ности, позволяя уменьшить размывание контактных разрывов и слабых
скачков уплотнения, а также достичь большей точности в областях
непрерывного изменения решения.
Прогресс в направлении улучшения диссипативных и дисперсион¬
ных свойств разностных схем, используемых для дискретизации кон¬
вективных потоков, связан с разработкой и реализацией разностных
схем повышенной разрешающей способности (Н^Ь Кезокйюп ЗсНете,
НК5). Общим во всех методах подобного класса является использова¬
ние разнообразных монотонизирующих ограничителей потоков с пере¬
ключателями, зависящими от локальных свойств решения [7, 12, 22].
Повышение точности конечно-разностных схем без потери их стро¬
гого теоретического обоснования достигается путем замены усло¬
вия сохранения монотонности на условие уменьшения полной вари¬
ации [51] (То1а1 УапаМоп ОтЫзЫп^, ТУО). Для получения раз¬
ностных схем, удовлетворяющих условию ТУО, вводится ограничитель
потока, зависящий от градиентов искомой функции. В зависимости от
структуры ограничителя, разностные схемы условно разделяются на
линейные и нелинейные [12].

Для обеспечения ограниченности численного решения разностные
схемы должны удовлетворять критерию конвективной ограниченности
(СопуесШп Воипс1еёпе25 СпЧепоп, СВС). Критерий СВС представляет
собой необходимое и достаточное условие для обеспечения ограни¬
ченности численного решения в том случае, когда для дискретизации
конвективных потоков на грани контрольного объема используется
не более трех узлов против потока. Он находит подтверждение для
неявных расчетов стационарных течений, но не гарантирует получение
сходящегося решения [12].
Для того чтобы гарантировать получение сходящегося решения,
используется универсальный ограничитель потока (11шуег5а1 ЫтКег,
1ЛЛГ1МАТЕ). Критерий 1ЛТ1МАТЕ находит подтверждение для явных
расчетов нестационарных течений и сводится к критерию СВС при
числах Куранта [12].
Условия, выражаемые критериями СВС и 1ЛТ1МАТЕ, оказываются
более мягкими, чем условие ТУЭ, но, как показывают многочисленные
расчеты, позволяют получить монотонные и сходящиеся решения [12].
В отличие от схем ТУО, схемы ЕЗМО (Е55епИа11у Ыоп-ОзсШаЬгу,
ЕЫО) допускают осцилляцию полной вариации решения в пределах
ошибки округления, но тем не менее являются квазимонотонными.
Вблизи разрывов ЕЫО-схемы переключаются на односторонние разно¬
сти и тем самым не используют разрывные данные, которые вносят
паразитные осцилляции. Они имеют равномерную точность и хорошо
описывают острые и монотонные профили скачков.
Среди различных монотонизированных разностных схем повышен¬
ного порядка аппроксимации наиболее оптимальное соотношение меж¬
ду точностью, экономичностью, простотой и универсальностью имеет
метод кусочно-параболической реконструкции [7] (Р)'есеш5е РагаЬоНс
Ме1Нос1, РРМ), который считается наиболее перспективным для пря¬
мого численного моделирования газодинамической неустойчивости и
турбулентности на современных многопроцессорных системах.
Разностные схемы, использующие в качестве базовой схемы схему
Годунова или ее модификации, реализуются в следующей последова¬
тельности.
1.	Реконструкция решения в каждом контрольном объеме, экстра¬
поляция неизвестных для нахождения состояния потока на его гранях
по величинам, заданным в центре (гесоп51гис!юп). На практике исполь¬
зуется кусочно-постоянное (схема Годунова), кусочно-линейное (схема
Ван Лира) и кусочно-параболическое [106] (схема Чакраварти-Ошера)
распределения параметров потока в пределах ячейки (рис. 1.6).
2.	Решение задачи Римана (Шетапп зокег) для каждой грани кон¬
трольного объема с учетом локального направления потока (в направ¬
лении нормали к грани контрольного объема). Точное решение задачи
Римана представляется достаточно затратным с вычислительной точки
зрения (при этом происходит потеря информации о структуре рас¬
пада разрыва в результате осреднения по ячейке), поэтому широкое

ь к	ь	к	ь	н
Рис. 1.6. Кусочно-постоянное (а), кусочно-линейное (б) и кусочно-параболиче-
ское (в) распределения параметров потока в пределах ячейки
применение находят приближенные подходы, например, методы Рое
и Ошера [334].
3.	Реализация шага по времени (еуо1и!юп).
В то время как дискретизация конвективных потоков проводится
при помощи разностных схем высокого порядка, способ дискретизации
диффузионных потоков не влияет на техническую сторону реализации
подхода и соответствующие разностные схемы необязательно должны
иметь повышенный порядок. При расчете турбулентных течений более
низкий порядок дискретизации вязких членов интерпретируется как
неточность в представлении сил вязкости, что допустимо, когда турбу¬
лентная вязкость рассчитывается при помощи некоторой приближенной
модели [29].
1.4.4.	Решение системы разностных уравнений. Решение си¬
стемы разностных уравнений представляет собой один из наиболее
важных и доминирующих моментов вычислительной процедуры с точ¬
ки зрения затрат машинных ресурсов [20, 23].
Сравнительная характеристика различных итерационных методов
и ресурсов (время счета и память), необходимых для реализации по¬
следовательного и параллельного кода, приводится в табл. 1.2 в зависи¬
мости от размера матрицы системы п. Время выполнения оценивается
как произведение числа итераций па стоимость одной итерации
соз^ ~	+г2
где п — число неизвестных; р — число процессоров; — время,
затрачиваемое на одну операцию; ^ — время задержки посылки сооб¬
щения; — время, необходимое для пересылки одного числа между
процессорами.
Прямые методы (например, метод исключения Гаусса) предъявляют
жесткие требования к быстродействию и памяти. Время вычислений
оценивается как 0(п3), а память, необходимая для хранения данных,
как 0(п2), где п — число неизвестных. Для итерационных методов
время решения зависит от качества начального приближения, а требо¬
вания к памяти значительно мягче и оцениваются как 0(п). Например,

Таблица 1.2. Сравнительная характеристика итерационных методов
Метод
Последова¬
тельный КОД
Параллель¬
ный КОД
Память
Число
процессоров
Метод Якоби
п2
п
п
ть
Метод Гаусса-Зейделя
(гей/Ыаск)
п2
п
п
п
Метод 50К
(гей/Ыаск)
п3/2
п'/2
п
п
Метод СО
п3/2
п1/21п п
п
п
И_1-разложение
(плотная матрица)
п3
п
п2
п2
И-1-разложение
(ленточная матрица)
„2
п
п
п3/2
п
Ш-разложение
(разреженная матрица)
п 3/2
77. '
Т1 '
п\пп
ть
Метод РРТ
п\пп
1п п
п
Т1
Многосеточный метод
п
1п2 п
ть
Т1
Нижняя граница
п
1п п
* п
—
для методов Якоби и Гаусса-Зейделя время счета оценивается как
0(к2), где к — количество итераций.
Для увеличения скорости сходимости итерационного процесса ис¬
пользуются различные методы предобусловливания [24, 51]. Их при¬
менение приводит к удорожанию вычислительной процедуры прибли¬
зительно на 50% [51]. Более продуктивным оказывается использо¬
вание многосеточного метода решения системы разностных уравне¬
ний [18, 176].
1.4.5.	Ускорение вычислений. При решении полных уравнений
Навье-Стокса достаточно важной становится проблема сокращения
затрат машинного времени. Данная проблема рассматривается с двух
позиций — с точки зрения ускорения итерационного процесса и с точки
зрения ускорения вычислений за счет эффективного использования
ресурсов современных вычислительных систем.
Прогресс в ускорении сходимости итерационного процесса требует
реализации и внедрения специальных вычислительных алгоритмов,
обладающих достаточно сложной логикой счета [51]. Ускорение сче¬
та предполагает привлечения новых дорогостоящих вычислительных
ресурсов и программного обеспечения, а также их своевременное об¬
новление.
Среди итерационных методов решения систем разностных уравне¬
ний наибольший эффект ускорения сходимости позволяет получить
многосеточный метод [18, 176], а наиболее привлекательный способ

ускорения счета состоит в использовании параллелизации или векто¬
ризации процесса вычислений [20].
Многосеточный метод сравнительно легко реализуется на струк¬
турированных сетках. В случае неструктурированных сеток требуется
построение последовательности вложенных сеток, позволяющих прове¬
сти дискретизацию основных уравнений на различном уровне [18, 279].
1.5.	Расчетные сетки
Построение сетки в физической области относится к одному из
ключевых моментов численного эксперимента [1, 51, 53]. Сетки раз¬
личаются идеологией построения (регулярные, блочные, неструкту¬
рированные, гибридные), а регулярные сетки — методами решения
модельных уравнений для нахождения координатных линий.
1.5.1.	Регулярные сетки. При решении задач газовой динами¬
ки широко применяются регулярные сетки (структурированные сетки
с четырехугольными ячейками на поверхности и шестигранными в про¬
странстве). Регулярность заключается в том, что сетка представляет
собой упорядоченную по определенным правилам структуру данных
с выраженными сеточными направлениями. Для структурированных
сеток ($1гис1иге(1 тезЬ) сравнительно легко реализуются вычислитель¬
ные алгоритмы на основе метода конечных разностей или метода ко¬
нечных объемов и современных монотонных методов высокого порядка
точности. Регулярные сетки позволяют использовать методы расщеп¬
ления для решения многомерных задач и реализовать сравнительно
простую векторизацию программы [5].
Для построения регулярной сетки в сложной области применяется
преобразование координат общего вида, основная цель которого состо¬
ит в получении равномерной сетки в вычислительном пространстве,
представляющем собой прямоугольник [1, 51, 53]. При этом физиче¬
ские границы расчетной области совпадают с координатными линиями
в вычислительном пространстве. В преобразованном (вычислительном)
пространстве ячейки сетки являются топологическими прямоугольни¬
ками (двумерные задачи) или параллелепипедами (трехмерные задачи).
В уравнениях, записанных в криволинейных координатах, появляют¬
ся дополнительные члены (параметры преобразования), определяющие
отображение физической области на пространство обобщенных коор¬
динат. Параметры преобразования (компоненты метрического тензора)
имеют форму производных, требующих дискретизации, что вносит
дополнительные погрешности в решение [1, 51, 53].
Дополнительные преимущества дают ортогональные и конформные
сетки, поскольку преобразованные уравнения упрощаются [1, 51, 53].
В случае ортогональной сетки компоненты метрического тензора, на¬
ходящиеся не на главной диагонали, равняются нулю. Использование
конформного преобразования позволяет сохранить такую же структуру

модельных уравнений, записанных в вычислительном пространстве,
как и в физической области (параметры преобразования равняются
либо нулю, либо единице).
Использование криволинейных координат порождает определенные
сложности, связанные с появлением в компонентной форме записи
уравнений членов, содержащих символы Кристофеля. Наличие этих
членов, чувствительных к скошенности и неравномерности ячеек сетки,
приводит к потери точности численного решения. Кроме того, в этом
случае уравнения изменения количества движения приобретают некон¬
сервативную форму. Один из путей решения этой проблемы состоит
в записи уравнений изменения импульса в ковариантных компонентах
вектора скорости, которая не содержит символов Кристофеля [49].
Запись уравнений движения в ковариантных компонентах вектора ско¬
рости приводит к погрешностям на грубых и неравномерных сетках.
Методы построения регулярных сеток делятся на алгебраические,
дифференциальные и методы с использованием теории функций ком¬
плексной переменной [1, 51, 53].
Основная идея алгебраических методов состоит в использовании
интерполяции граничных данных для расчета внутренних узлов сетки.
Контроль за размещением узлов сетки осуществляется с помощью
функции растяжения (з^гекЫп^ ГипсМоп). Широкое применение на¬
ходят метод двух границ (1ж)-Ьоипс1агу те1Но(1), метод многих по¬
верхностей (тиЖ-зигГасе те1Ьоё) и метод трансфинитной интерпо¬
ляции ((хапзПп^е ш1:егро1а{юп). Недостаток алгебраических сеток со¬
стоит в трудности контроля за сеточными линиями внутри области,
следствием чего во многих случаях является заметный скос сеточных
линий [1, 51].
Дифференциальные сетки строятся на основе решения системы
дифференциальных уравнений в частных производных [1, 51]. В за¬
висимости от типа решаемых уравнений, выделяют гиперболические,
параболические и эллиптические сетки. Для управления координат¬
ными линиями вносятся изменения в постановку граничных условий
или задаются предварительные условия при решении соответствующей
системы дифференциальных уравнений.
Гиперболические уравнения решаются эффективными маршевыми
методами и требуют сравнительно небольших затрат времени. Гипербо¬
лические уравнения лишены механизма диффузионного сглаживания,
поэтому разрывы в начальных данных сохраняются во всей расчетной
области, что неприемлемо при построении сетки. Граничные условия
в физической области используются не в полной мере, что оказывается
существенным для ряда задач.
Параболическая сетка также строится маршевым методом, что обес¬
печивает вычислительную эффективность подхода. Вместе с тем, пара¬
болические уравнения имеют многие свойства эллиптических уравне¬
ний, в частности, механизм диффузионного сглаживания, что гаранти¬
рует отсутствие изломов и разрывов в решении. К их недостатку отно¬

сится невозможность использования всех граничных условий в физи¬
ческой области, поскольку для параболических уравнений в маршевом
направлении граничные условия не ставятся.
Эллиптические уравнения (обычно используются уравнения типа
Лапласа или Пуассона) позволяют получить гладкое решение и учесть
граничные условия на всех границах физической области. В силу
принципа максимума для эллиптических уравнений, обеспечивается
взаимооднозначность отображений физической и вычислительной об¬
ластей. При этом реализуется достаточно гибкий механизм контроля
за размещением внутренних узлов сетки (1, 51] (координатные линии
находятся из решения уравнения Пуассона с ненулевой правой частью).
Для дискретизации уравнения Лапласа или Пуассона используется
пятиточечный разностный шаблон, а для решения системы разност¬
ных уравнений — метод продольно-поперечной прогонки. Недостатки
подхода связаны с использованием итерационных методов решения
системы разностных уравнений, что приводит к увеличению времени,
необходимого для построения сетки.
Для построения конформных сеток обычно применяется преобра¬
зование Шварца-Кристофеля [51]. К недостаткам конформных сеток
относятся ограничение на размерность сетки (двумерные), нетриви-
альность выбора последовательности конформных отображений для
области сложной конфигурации, сложность построения обратного пре¬
образования (из вычислительного пространства в физическое).
Ортогональные сетки строятся либо методом конформных отобра¬
жений с последующим растяжением узлов (конформность нарушается,
но требование ортогональности соблюдается), либо дифференциаль¬
ными методами [53] (во многих случаях они приводят к сильной
деформации сетки в физической области). Уравнения для построения
локально-ортогональной сетки получаются на основе принципов вари¬
ационного исчисления.
С точки зрения вычислительной эффективности предпочтительнее
применение алгебраических методов, которые обеспечивают условие
локальной ортогональности сетки и ее быструю перестройку. Вза¬
имооднозначность отображений физической и вычислительной обла¬
стей обеспечивают методы последовательных конформных отображе¬
ний и дифференциальный метод на основе решения эллиптических
уравнений в частных производных [53]. В остальных случаях взаимо¬
однозначность отображений не гарантируется, поэтому требуется ин¬
терактивный процесс генерации сетки с использованием графического
интерфейса.
До недавних пор использование методов вычислительной газовой
динамики в процессе проектирования компрессоров и газовых турбин
ограничивалось расчетами обтекания лопаток. Во многом это объясня¬
ется необходимостью построения структурированной сетки, в которой
узлы группируются по трем осям криволинейной системы координат —
в окружном направлении (от лопатки к лопатке), по высоте лопатки

(радиальное направление) и по ходу течения (осевое направление).
Подобная система координат обеспечивает простую и надежную дис¬
кретизацию области течения, а также подготовку исходных данных
и обработку результатов численного моделирования.
Расчеты на структурированных сетках одного или двух венцов
лопаток обычно применяются для оценки эффективности ступени, сте¬
пени повышения давления, нахождения распределений характеристик
потока, а также для определения исходных граничных условий (нагру¬
зок) для расчетов напряженно-деформированного состояния.
При моделировании трехмерных течений в межлопаточном канале
газовой турбины обычно используется сетка типа Н, в то время как
для плоских течений предпочтение отдается сеткам типа С и О. Сетка
каждого типа имеет свои преимущества и недостатки. Сетка типа
Н строится достаточно просто, не требуя интерполяции, и потому
легко приспосабливается для расчетов стационарных и нестационарных
течений в ступени или многоступенчатой турбине. Основной недоста¬
ток сетки типа Н связан со скошенностью ячеек и их вырождением
вблизи круглых кромок при измельчении сетки, что иногда приводит
к увеличению погрешности решения при измельчении сетки. Сетки
типа С и О лишены этого недостатка, но процесс их построения
сложнее. При этом нет уверенности в возможности создания надежных
и универсальных алгоритмов расчета течений через последовательно
расположенные решетки при малых осевых зазорах, основанных на
этих сетках. Для сеток типа О разрешение вязкого следа может быть
недостаточным, поскольку шаг сетки возрастет по мере удаления от
поверхности лопатки.
Используется также комбинированных подход, в котором вблизи
профиля используется сетка типа О, а в ядре потока — сетка типа Н.
Обычно зоны перекрываются внахлест, и сетки в них получаются несо¬
гласованными. В результате достигается уточнение решения в районе
кромок, однако необходимость привлечения интерполяции на границах
зон ограничивает применимость данного подхода.
При использовании структурированных сеток непросто управляться
с относительно простыми особенностями геометрии лопаток, такими,
как галтели в месте сопряжения пера лопатки с полкой. Расчетные мо¬
дули современных СРО-пакетов поддерживают неструктурированные
сетки, использование которых позволяет включить в расчетную модель
компрессора или турбины любые детали, окружающие основную часть
газового тракта.
1.5.2.	Блочные сетки. Диапазон геометрических объектов, опи¬
сываемых структурированными сетками, ограничен. Использование
блочно-структурированных сеток предполагает разбиение области те¬
чения на несколько подобластей (блоков) простой формы, в каж¬
дой из которых строится своя сетка. Составная сетка не является
структурированной, однако внутри каждого блока сохраняется обычная

индексная нумерация узлов, что позволяет использовать алгоритмы,
разработанные для структурированных сеток.
Для построения блочных сеток выделяют метод многоблочных
структур (тиШ-Ыоск з{гис1ипп§ или гопа! Ыоск) и метод иерархиче¬
ских блочных структур (етЬеёсПп^ ^пс1). Сетки в разных блоках могут
иметь различные топологические характеристики [49] (допускается
также решение различных модельных уравнений в разных блоках).
Метод иерархических блочных структур подразумевает иерархиче¬
скую вложенность блоков сетки друг в друга. Нижестоящие по иерар¬
хии сетки погружаются в вышестоящие. Реализация подхода требует,
чтобы подобласти не были разъединены и включали одна другую
полностью или частично.
Внутри отдельных блоков имеются широкие возможности для ис¬
пользования эффективных численных методов. Основной недостаток
блочного подхода состоит в достаточно сложной процедуре сшивки
решений, полученных в различных подобластях.
В методе многоблочных структур физическая область разбивается
на несколько зон или блоков. В соответствии с граничными условиями
для каждой подобласти, для каждого блока строится своя сетка (гопа1
^гИ). Подход к построению многоблочных структурированных сеток
предполагает возможность упрощения геометрии подобластей и ис¬
пользование простых способов размещения расчетных ячеек (напри¬
мер, алгебраических сеток в каждой подобласти).
Для перехода от одноблочной сетки к многоблочной необходимо
организовать стыковку блоков (обмен данными между соприкасающи¬
мися подобластями для учета их взаимного влияния).
Различают два подхода к организации обмена данными между
соседними блоками: сетки из разных блоков стыкуются по поверхности
раздела физической области на зоны (метод компонентно-адаптивной
поверхности раздела, ра!сНе(1 §пс!) или сетки из соседних блоков пе¬
ресекаются между собой (метод компонентно-адаптивного перекрытия,
оуег!арресЗ &пс!) [36].
В случае совпадения границ блоков при переходе от одной зоны
к другой сохраняется консервативность разностной схемы, и не тре¬
буется интерполяция между соседними блоками (однако требование
точного совпадения границ блоков накладывает некоторые дополни¬
тельные условия на сетку). Для проведения стыковки организуется
вспомогательный виртуальный блок, состоящий из двух приграничных
слоев ячеек каждого из стыкуемых блоков. Вычисления, связанные
с определением потоков на интерфейсе стыковки, проводятся внутри
виртуального блока по тем же правилам, что и в обычных блоках.
При необходимости выполняется дополнительная обработка данных
(поворот векторов для обеспечения условий вращательной периодич¬
ности, переинтерполяция в случае нестыкующихся сеток). Затем рас¬
считанные потоки вместе со значениями переменных на интерфейсе
передаются в стыкуемые блоки и используются для расчета невязок.

В случае пересечения границ блоков каждый блок допускает пере¬
мещение относительно других блоков, а при переходе от одного блока
к другому консервативность схемы не гарантируется, и требуется ин¬
терполяция искомых функций в пересекающихся областях [49]. В каж¬
дой области строится своя независимая сетка, а уравнения сохранения
решаются раздельно. Примером реализации такого подхода служит
работа [203], в которой рассматривается движение трех цилиндров
относительно друг друга в однородном потоке несжимаемой жидкости.
1.5.3.	Неструктурированные сетки. В области сложной геомет¬
рии достаточно часто не удается построить не только структурирован¬
ную, но и многоблочную сетку.
Особенностью неструктурированных сеток (ипз1гис1:иге(] тезН) яв¬
ляется произвольное расположение узлов сетки в физической области.
Произвольность расположения узлов понимается в том смысле, что
отсутствуют выраженные сеточные направления и нет структуры сет¬
ки, подобной регулярным сеткам. Число ячеек, содержащих каждый
конкретный узел, изменяется от узла к узлу. Узлы сетки объединяются
в многоугольники (двумерный случай) или многогранники (трехмер¬
ный случай). Как правило, на плоскости используются треугольные
и четырехугольные ячейки, а в пространстве — тетраэдры и призмы
(рис. 1.7). Для дискретизации уравнений Навье-Стокса применяется
метод конечных элементов или метод конечных объемов.
а	б	в	г
Рис. 1.7. Ячейки сетки в виде шестигранника (а), пирамиды (б), призмы (в)
и тетраэдра (г)
Неструктурированные сетки различаются по типу составляющих
их элементов. В трехмерном случае выделяют тетраэдральные, шести¬
гранные, смешанные и многогранные сетки. Элементами смешанной
сетки являются тетраэдры, пирамиды, призмы и параллелепипеды. Под
многогранной сеткой понимается сетка, форма ячеек которой заранее
не определена. Сетки этого типа получаются из ячеек Дирихле или
при помощи преобразования пространственной сетки.
Преимущество неструктурированных сеток перед регулярными за¬
ключается в большей гибкости при дискретизации физической области
сложной формы. Современные программы генерации сеток позволяют
за приемлемое время строить сетки для сколь угодно сложных геомет¬
рических объектов.

Для неструктурированных сеток необходимо хранить информацию
о ячейках, гранях, узлах и ребрах, а в некоторых случаях о расстоянии
от центра контрольного объема до стенки.
Вопрос об эффективном использовании неструктурированных сеток
для моделирования течения в проточной части газовой турбины пред¬
ставляется достаточно важным.
Использование неструктурированных сеток усложняет алгоритм
и требует дополнительной памяти для хранения информации о связях
ячеек сетки. Дополнительная вычислительная работа связана с увели¬
чением числа ячеек, граней и ребер по сравнению с шестигранными
сетками. Например, тетраэдральная сетка из N узлов имеет примерно
6N ячеек, 12N граней и 7N ребер, в то время как шестигранная сетка
состоит из N ячеек, ЗЛ/- граней и ЗЛ^ ребер. Численный алгоритм,
основанный на неструктурированной топологии сетки, является трудо¬
емким в плане количества операций на шаг по времени и памяти на
узел сетки.
В результате, неструктурированные сетки требуют примерно в 5-6
раз больше ячеек, чем регулярные сетки, а для разрешения тонких по¬
граничных слоев — достаточно мелких ячеек вблизи стенки, что ведет
к увеличению их общего количества. Тем не менее, процесс генерации
неструктурированной сетки легче формализуется и автоматизируется
по сравнению с регулярными сетками, занимая меньше времени, что
обуславливает его широкое распространение на практике. При этом
сравнительно легко реализуются локальные сгущения и адаптация
сетки к решению [69].
При проведении расчетов на нерегулярных сетках увеличивается
объем вычислений, приходящихся на каждый из узлов сетки, а также
возникают трудности на этапах ввода/вывода данных и обработки
результатов численного моделирования. В удаленных расчетах следует
учитывать, что связь между рабочими терминалами и вычислитель¬
ными центрами обеспечивается относительно медленными каналами
связи, не позволяющими за разумное время передать весь объем по¬
лученных результатов. Дополнительные трудности возникают при рас¬
параллеливании вычислительных алгоритмов на неструктурированных
сетках [2, 20].
Структурированная сетка намного эффективней, поскольку в ней
используются элементы с высоким отношением сторон ячейки (азрес*
га!ю) при приемлемых значениях угла скошенности. Элементы неструк¬
турированной сетки с высоким отношением сторон ячейки, напротив,
имеют маленькие значения угла скошенности. Для компенсации этого
недостатка и достижения приемлемого качества неструктурированной
сетки требуется большее количество ячеек.
В связи с многообразием возможных форм ячеек сетки и необхо¬
димостью применения более сложных методов для решения системы
разностных уравнений, не имеющей определенной структуры, исполь¬
зование неструктурированных сеток является сложным в алгоритми¬

ческом отношении, трудоемким при реализации и ресурсоемким при
проведении трехмерных расчетов. Тем не менее, неструктурированные
сетки являются неотъемлемым компонентом моделирования течений
в межлопаточных каналах и кавернах газовых турбин.
1.5.4.	Гибридные сетки. Гибридная сетка (НуЬпс! тезЬ) предпо¬
лагает объединение регулярных и неструктурированных сеток в раз¬
личных подобластях расчетной области, позволяя суммировать досто¬
инства и снизить влияние недостатков, присущих каждому типу сеток.
Гибридные сетки широко используются при решении задач механи¬
ки жидкости и газа. Имеются многочисленные публикации, посвящен¬
ные разработке и реализации вычислительных алгоритмов на таких
сетках [18, 20, 23, 69], а также избранным вопросам дискретизации
уравнений Эйлера и Навье-Стокса [11, 21, 129, 267-270, 272, 279,
314-316].
В отличие от хорошо разработанных технологий метода конеч¬
ных элементов, конечно-объемные технологии на неструктурированных
и гибридных сетках характеризуются отсутствием единых принципов,
позволяющих провести дискретизацию конвективных и диффузионных
потоков, источниковых членов, а также учет граничных условий. До¬
статочно часто способы дискретизации, имеющие различные характе¬
ристики, объединяются.
1.5.5.	Способы построения сеток. Методы построения сеток
делятся на прямые и непрямые. Прямые методы позволяют построить
сетку непосредственно по геометрическому описанию области. Непря¬
мые методы в качестве входных данных имеют некоторую трехмерную
сетку и на ее основе строят другую сетку.
Построение трехмерной неструктурированной сетки реализуется
в несколько этапов: анализ САО-геометрии, построение реберной сет¬
ки (приближение топологически криволинейных ребер отрезками),
построение поверхностной сетки методом сжатия текущей границы
с адаптацией к геометрии, генерация объемной сетки (например, при
помощи алгоритма Делоне с ограничениями).
Геометрическая модель строится в САЭ-системе и экспортируется
в файл для дальнейшей работы с ним, используя тот или иной сеточ¬
ный генератор.
Сеточные генераторы имеют прямой интерфейс к САЭ-системам,
которые не просто позволяют построить любую расчетную модель, но
и взаимодействуют с расчетными модулями.
Для построения шестигранных и смешанных сеток исходная гео¬
метрическая область декомпозируется на подобласти, в каждой из
которых строится шестигранная сетка. Такие подобласти удается выде¬
лить не всегда. При построении смешанных сеток пространство меж¬
ду шестигранными сетками заполняется промежуточными элементами
(призмами, пирамидами, тетраэдрами). Достаточно часто в промежу¬
точном слое образуется сетка невысокого качества.

К процедурам перестроения сетки относятся преобразование тетра¬
эдральной сетки в шестигранную (разделение тетраэдра на 4 гексаэд¬
ра), регулярное деление тетраэдров, адаптивное перестроение сетки.
На вход подаются тетраэдры, каждый из которых разбивается по
определенному принципу.
Для построения треугольных сеток широкое распространение полу¬
чил метод триангуляции Делоне [43].
Задача построения оптимальной триангуляции, обладающей ми¬
нимальной суммой длин всех ребер, является NР-полной и имеет
сложность 0(ем), где N — число точек, а потому оказывается неприме-
лемой для решения практических задач ввиду большой трудоемкости.
Трудоемкость классического алгоритма триангуляции составляет
порядка 0(ЛГ1пЛГ) арифметических операций. Имеются алгоритмы, до¬
стигающие этой оценки в среднем и худшем случаях, а также ал¬
горитмы, позволяющие построить триангуляцию в среднем за О(Л^)
операций.
Одной из основных проблем при решении задач триангуляции яв¬
ляется проблема вычислительной устойчивости алгоритма. Требуется
проверять ряд исключительных ситуаций: совпадение двух заданных
точек, взаимное расположение двух точек относительно прямой, кол¬
линеарность трех заданных точек, взаимное расположение точки и
треугольника, обход трех заданных точек, выполнение условия Делоне
для двух заданных смежных треугольников, локализация точки в три¬
ангуляции, поиск пересечения двух прямых.
1.5.6.	Структуры данных для представления сетки. Выбор
структуры данных для представления неструктурированной сетки ока¬
зывает существенное влияние на трудоемкость вычислительных алго¬
ритмов, а также на скорость реализации сеточной модели.
Понятия, используемые в численных методах на неструктурирован¬
ных сетках, определяются на основании графа узлов [2].
В качестве основных объектов рассматриваются узлы (точки, вер¬
шины), ребра (отрезки), грани и ячейки (рис. 1.8). Узлы являются либо
граничными (лежат на границе расчетной области), либо внутренними
(находятся внутри расчетной области). Правила расчета для внутрен¬
них и граничных узлов различаются.
На практике используются 4 вида структур [43].
1.	Для каждого узла хранятся его координаты на плоскости и спи¬
сок указателей на соседние узлы, с которыми имеются общие ребра.
Ячейки не представляются вообще, что является препятствием для
последующего использования подхода. К недостаткам относится также
переменный размер структуры узла, приводящий к неэкономному рас¬
ходу памяти.
2.	Основой построения сетки является список ориентированных ре¬
бер. Каждое ребро входит в структуру сетки дважды (с различной
ориентацией). Для каждого ребра хранятся указатели на концевой узел

4
Ячейка
Грань
Ребро
4
. |
гх3
2
4 3
А
А
А А
2
2 3
3 11
1
'
2 .3
,12 3
2
3 11
к
14 4 4
Ф
®
Рис. 1.8. Иерархия объектов ячейки сетки в виде тетраэдра
ребра, на следующее по часовой стрелке ребро в ячейке, находящееся
справа от данного ребра, а также на ребро, соединяющее те же са¬
мые узлы, но направленное в противоположную сторону. Недостаток
структуры состоит в представлении ячеек в неявном виде, а также
в большом расходе памяти.
3.	Все объекты сетки задаются в явном виде. Для каждого ребра
хранятся указатели на два концевых узла и две соседних ячейки. Для
ячеек хранятся указатели на ребра, образующие ячейку. Недостатки
данной структуры также связаны с большим расходом памяти.
4.	Для каждой ячейки хранятся указатели на узлы, образующие
ячейку, и указатели на смежные ячейки. Нумерация точек в соседних
ячейках производится в порядке обхода по часовой стрелке. Напротив
точки с номером г е {1,2,3} располагается ребро, соответствующее
соседней ячейке с таким же номером. Ребра в явном виде не хранятся.
В силу компактности и удобства в работе данная структура наиболее
часто применяется на практике.
Структура вида узлы-ребра-грани-ячейки требует максимальной
памяти, поскольку реализует задание всех возможных типов объектов.
При программной реализации основными структурами данных являют¬
ся: множества (узлы, внутренние и граничные грани, ячейки различно¬
го типа); данные, связанные с множествами (координаты узлов сетки,
объемы ячеек, нормали к граням); указатели между множествами
(список узлов, формирующих ячейки того или иного типа, список гра¬
ничных узлов); операции над множествами (цикл по множеству ячеек
с использованием указателей на список узлов, формирующих ячейки,
для расчета невязки в узлах сетки, цикл по ненулевым элементам
разреженной матрицы).

При программной реализации все узлы нумеруются целыми числа¬
ми от 1 до ппойе, а все ячейки — целыми числам от 1 до псе11.
Порядок нумерации произвольный и определяется методом построения
сетки.
Граф узлов распределяется между процессорами с номерами к =
= 1 ,	Часть графа узлов, передаваемая некоторому процессору,
называется локальным графом этого процессора, а весь граф — пол¬
ным или глобальным графом. В параллельной программе узлы сетки
имеют глобальную нумерацию (нумерация узлов глобального графа)
и локальную нумерацию (нумерация узлов локального графа). При
этом существует однозначное правило получения локального номера по
глобальному, а переход от глобального номера к локальному осуществ¬
ляется за одну операцию деления нацело.
1.6.	Организация программного кода
Сложность математических моделей, необходимость построения
многовариантных программных модулей, обслуживающих вычисли¬
тельный эксперимент, а также существенный объем программного кода
ставят вопрос организации его конфигурационных построений.
1.6.1. Функциональные подсистемы. Разработка универсальной
программной среды подготовки данных, управления процессом расчета
и визуализация результатов представляет достаточно сложную задачу.
В соответствии с функциональным назначением, в системе вы¬
деляется три основные подсистемы: подсистема подготовки данных,
подсистема управления процессом счета, подсистема визуализации по¬
лученных результатов. Управление подсистемами и их связь между
собой осуществляется путем обмена сообщениями с управляющей
программой (приложением). Подсистемы включают в себя следующие
компоненты (их взаимодействие поясняет рис. 1.9).
1.	Подсистема подготовки данных и создания твердотельной моде¬
ли. Импорт твердотельной модели и сетки из коммерческих пакетов.
1.1.	Задание геометрии расчетной области. Информация о геометрии
хранится отдельно от поля течения.
1.2.	Построение сетки.
1.3.	Задание граничных условий. Указываются допустимые типы гра¬
ничных условий и данные, необходимые для задания каждого из
этих типов. Привязка граничных условий к отдельным сеточным
линиям и формирование диалога для задания данных на каждой
границе производится на основе коммерческих сеточных генера¬
торов.
1.4.	Задание начальных условий. Начальные условия задаются либо
аналитически, либо с использованием интерполяции табличных
данных, либо при помощи считывания из файла.

Подготовка исходных данных
Создание твердотельной
модели
Построение сетки
Граничные условия
Начальные условия
Свойства рабочей среды
Управляющие параметры
Привязка граничных условий
Экспорт геометрии и сетки
ч
Управление процессом счета
Расчетный модуль
Накопление данных
'
Импорт результатов
г
Визуализация результатов
Рис. 1.9. Функциональные подсистемы и их взаимодействие
1.5.	Задание параметров, относящихся к физической постановке зада¬
чи и реализации вычислительного алгоритма.
2.	Подсистема управления процессом счета. Возможны несколько
вариантов управления:
—	не допускается управление во время счета (управление произво¬
дится через систему подготовки данных, задавая продолжительность
счета и шаг вывода промежуточных результатов, которые накаплива¬
ются в файлах);
—	частичное управление (предусматривается возможность наблю¬
дения за изменением какого-либо параметра во времени);
—	полное управление (приостановка счета и изменение управля¬
ющих параметров, сохранение текущего состояния с последующим
рестартом, получение промежуточных результатов, выдача результатов
при достижении заданного значения какого-либо параметра).
3.	Подсистема визуализации результатов (графическое представле¬
ние результатов в виде изолиний, векторных полей, графиков) и экс¬
порт результатов в ряд форматов, поддерживаемых распространенными
коммерческими пакетами.
С математической точки зрения расчет течения жидкости или газа
представляет собой решение начально-краевой задачи некоторым чис¬
ленным методом (рис. 1.10).

Рис. 1.10. Структурно-функциональная схема решения задачи
На условном языке программирования схема решения задачи вы¬
глядит следующим образом:
подготовка данных и инициализация
коммуникации между процессорами
с1о {
продвижение времени
расчет внутренних узлов
расчет граничных узлов
коммуникации между процессорами
вывод/сохранение результатов
} юЫ1е (условие окончания счета)
обработка результатов

В общем случае не удается разделить этапы расчета внутренних и гра¬
ничных узлов (например, при использовании неявных методов).
Специфика задач механики жидкости и газа подразумевает зави¬
симость результатов расчетов от геометрии физической области, что
накладывает на подсистему задания геометрии особые условия (пара¬
метрическое описание геометрических объектов и возможность их лег¬
кого редактирования). Для задач разной размерности этапы создания
геометрии и построения сетки различаются, что осложняет реализацию
системы.
Создание твердотельной модели и построение сетки, задание типа
граничных условий и обработка результатов производятся на локаль¬
ном компьютере. Для этого используются коммерческие системы под¬
готовки и обработки данных.
Расчетная сетка выгружается в текстовом или бинарном формате.
Препроцессор считывает файл сетки и формирует файл статистики,
содержащий необходимую информацию о количестве и размерах век¬
торов, которые выделяются в памяти на расчетном этапе.
Расчетный модуль считывает файл статистики, файл, содержащий
граничные, начальные условия и физические параметры среды. Вы¬
полняется расчет, и расчетные данные выгружаются в файл для по¬
следующей обработки в системе визуализации. Память выделяется
на этапе загрузки данных, и итерационный расчет выполняется без
перевыделения памяти. В этом случае удается практически избежать
дефрагментации оперативной памяти (указатели адресов в памяти рас¬
полагаются упорядоченно). Достигаются эффективное использование
памяти и надежность работы расчетного модуля.
1.6.2.	Объектно-ориентированный подход. Развитие программ¬
ного обеспечения осуществляется, в основном, не за счет замены имею¬
щихся модулей на их более совершенные версии, а за счет расширения
и включения в программу новых модулей, отражающих различные
решения, принимаемые в ходе вычислительного эксперимента. Ключом
к эффективному программированию вычислительных задач является
рациональный подход к организации создания и модификации про¬
граммного обеспечения.
Традиционная организация программного обеспечения в виде биб¬
лиотек подпрограмм соответствует технологии разработки, опирающей¬
ся на идеи процедурного программирования. Принципы процедурно¬
го программирования отражают концепцию построения программного
обеспечения на основе выделения структурируемых и самостоятельно
значимых подпрограмм, выполняющих некоторую последовательность
операций над данными и решающих независимые подзадачи. К его
недостаткам относятся необходимость унификации внутренних форма¬
тов данных, которые используются импортируемыми библиотечными
модулями, в связи с чем реализуется избыточная поддержка несколь¬
ких эквивалентных представлений данных, низкие модифицируемость,

наглядность и выразительность процедурных средств программирова¬
ния, отсутствие внутренней структуризации программы, несмотря на
процедурную завершенность отдельных подпрограмм.
Мощную и гибкую технологию разработки и развития программ¬
ного обеспечения предоставляют средства объектно-ориентированного
программирования (0Ь]ес1:-0пеп1ес1 Рго^гатгтпп^, ООР). Его отличи¬
тельные черты состоят в прозрачности и возможности доступа к де¬
талям реализации конкретного метода и алгоритма, математической
ясности описания нового метода для разработчика и пользователя, от¬
крытости и возможности дополнения библиотеки новыми процедурами,
а также простоте использования разработанных методов.
Инкапсуляция методов в классах математических объектов способ¬
ствует повышению наглядности применяемых численных методов и ре¬
гламентированию корректной дисциплины работы с данными объектов
без нарушения их целостности (особенно это относится к динамически
размещаемым данным математических объектов, в частности, к век¬
торным и матричным объектам).
Иерархическое упорядочивание позволяет выделить общие свойства
объектов в базовых классах, а в производных классах дополнять пе¬
ременные состояния и поведение объектов новыми свойствами. Неко¬
торые из наследуемых свойств в объектах производных классов допус¬
кают переопределение, а указатели на объект производного класса —
приведение к указателям на объект базового класса.
При обращении к виртуальным методам иерархии по указателям на
объекты базового класса вызываются методы тех классов, на объекты
которых они на самом деле указывают.
Наследование классов и полиморфизм методов, инкапсулируемых
соответствующими классами, предоставляют возможность гибкой мо¬
дернизации и развития математического обеспечения как с учетом
проблемной ориентации, так и в соответствии с детальной классифика¬
цией объектов, выделенных по их математическим и вычислительным
свойствам.
Объектно-ориентированный подход обеспечивает компромисс меж¬
ду необходимостью иметь надежное функционально полное и унифи¬
цированное алгоритмическое ядро и возможностью замещения универ¬
сальных работоспособных методов на эффективные алгоритмические
версии, применимые только в частных случаях. Он широко применя¬
ется для создания текстовых редакторов, графических интерфейсов и
библиотек вычислительной математики [42]. Меньше внимания уде¬
ляется вопросам использования объектно-ориентированных техноло¬
гий при разработке программного обеспечения, предназначенного для
численного решения задач в различных предметных областях. В об¬
ласти механики жидкости и газа объектно-ориентированный подход
находит применение для разработки модели декомпозиции расчетной
области [35, 249], конечно-элементного подхода к дискретизации зако¬
нов сохранения [147, 276, 280], методов решения операторно-сеточных

задач двумерной газовой динамики [41], системы подготовки данных,
управления процессом счета и визуализации результатов численного
моделирования [33, 34].
Выбор системы объектов, специфичных для данной предметной
области, и принципы, лежащие в основе построения иерархии классов,
определяют характеристики и показатели качества разрабатываемого
программного обеспечения. Несмотря На имеющиеся примеры исполь¬
зования объектно-ориентированного подхода для реализации алгорит¬
мов решения задач механики жидкости и газа, принятые шаблоны
построения системы объектов и иерархии классов отсутствуют [309]
и зависят от субъективных представлений [249, 280, 309].
Полная реализация классов с использованием функций генерации
и обработки исключительных ситуаций при задании некорректных
исходных данных или при неправильном обращении к методам классов
увеличивает размер исходного кода программы и предъявляет повы¬
шенные требования к производительности компьютера.
1.6.3.	Выбор объектов. В качестве основы объектной реализа¬
ции программного обеспечения рассматривается триада: математиче¬
ский объект, вычислительный алгоритм, проблема. Соответствующая
классовая поддержка обеспечивает общность математических методов
и программных средств решения вычислительной задачи. С каждым из
выделенных понятий связывается математический класс, а с обобщен¬
ной постановкой — проблемный класс (рис. 1.11).
Рис. 1.11. Объектная структура пакета и иерархия классов
Математический объект представляет собой сущность, выражаю¬
щую некоторую математическую категорию и составляющую объект
вычислений. В качестве объектов, составляющих классовое ядро биб¬
лиотеки, рассматриваются вектора, матрицы, а в более общем слу¬
чае — геометрические примитивы, из которых строится твердотельная
модель. Каждый математический объект обладает набором математи¬
ческих признаков, являющихся основой для классификационных по¬
строений. Однако сами по себе математические объекты не составляют
вычислительной задачи и являются лишь инструментальным средством
для ее постановки и решения.

При реализации математических классов вычислительно мощные
методы реализуются на конкретной структуре данных, а их вирту¬
альное использование переносится на абстрактный уровень. В этом
случае затраты на вызовы виртуальных функций оказываются малыми
по сравнению с объемом вычислительной работы, а сложно органи¬
зованные вычислительные процессы реализуются на самых верхних
уровнях классовой иерархии.
Математические классы выражают общие проблемно-инвариант¬
ные понятия, а математическая объектно-ориентированная библиотека
представляет собой базовую инструментальную среду для разработки
вычислительных приложений.
Под вычислительным алгоритмом понимаются методы вычислитель¬
ной математики и вспомогательная информация, определяющая усло¬
вия их алгоритмического использования. Каждый алгоритм предназна¬
чен для решения одной проблемы, хотя и может косвенно использо¬
ваться для решении других задач (для решения численных проблем од¬
ного класса могут использоваться разные подходы). Кроме параметров
численного метода алгоритмические объекты содержат информацию
о	точности решения и вычислительных ресурсах, имеющихся в нали¬
чии (они выражаются, например, в виде предельного числа итераций
и времени счета). Данная информация определяет условия организации
вычислительного процесса.
В качестве численной проблемы рассматривается задача вычисли¬
тельной математики, представленная в унифицированной форме (на¬
пример, проблема решения системы линейных или дифференциальных
уравнений). Организация проблемных классов обеспечивает желаемую
общность программной реализации близких постановок задач, отлича¬
ющихся типами математических объектов.
Наряду с решением задачи, важно иметь информацию о корректно¬
сти и эффективности использования алгоритма в конкретной ситуации.
Такая информация ассоциируется с решаемой проблемой, а не с ис¬
пользуемыми объектами вычислений. Поскольку объекты численных
проблем имеют большее время жизни, чем базовые объекты, управле¬
ние вычислительными ресурсами производится на этом уровне.
1.6.4.	Связи между классами. Специфическая для данной пред¬
метной области система понятий, их свойств и отношений находит
отражение в системе классов, построенной по принципу иерархической
детализации. Свойства ООР, такие, как инкапсуляция (объединение
данных и методов), наследование (сохранение объектом следующего
уровня всех свойств предыдущего) и полиморфизм (возможность вы¬
бора нужного действия в зависимости от ситуации) отображаются на
газодинамические явления и их взаимосвязи.
Классы делятся на следующие группы:
—	классы твердотельной модели (узлы, граничные условия,
область);

—	классы метода декомпозиции, необходимые для реализации па¬
раллельной версии программного кода (подобласть, модуль решения
для подобласти);
—	численные классы, выполняющие вычисления и хранение данных
задачи (вектора, матрицы, графы);
—	классы решения задачи (алгоритм решения, схема наложения
граничных условий, способы упорядочивания уравнений), облегчаю¬
щие повторное использование программного кода.
Существует три основных типа объектов: объекты-операции, объек¬
ты-данные и объект-расчетный модуль. Операции и данные являются
внутренними объектами системы, а расчетный модуль — внешним.
Объекты-данные соответствуют понятиям предметной области и иерар¬
хически упорядочены в соответствии с уровнем абстракции, выделен¬
ной при декомпозиции области (например, геометрические, топологи¬
ческие и сеточные объекты). Объекты-операции хранятся в контейне¬
ре операций, который представляет собой многосвязный граф. Связи
в этом графе отражают отношение использования. Объекты-данные
возникают в результате выполнения операций порождения данного
объекта и могут использоваться только через изменение соответствую¬
щей операции порождения.
Помимо описания классов, объектно-ориентированная модель вклю¬
чает в себя диаграмму сущностей (взаимоотношение между объек¬
тами), динамическую (изменения, происходящие с объектами, и их
связями во время работы) и функциональную (вычисления) модели
системы.
Диаграмма класса (внешняя спецификация класса) описывает
внешнее представление класса, а также данные, отвечающие за
хранение информации об объектах данного класса, и общедоступные
операции.
Схема структуры класса (блок-схема на уровне подпрограмм) пока¬
зывает внутреннюю структуру класса (данные, модули, потоки данных
и управление в пределах класса, а также обращения к другим классам).
Диаграмма зависимостей описывает связи между классами, возни¬
кающие в ходе работы программы. Стрелки показывают связь или со¬
общение (модель вызывает общедоступную операцию), двойная стрел¬
ка — дружественную связь (обращение к личной части класса), двой¬
ная линия — использование (в разделе данных объявлен объект дру¬
гого класса).
Диаграмма наследования предназначена для представления связи
между классами и описывает имена классов, их данные и общедоступ¬
ные операции.
Классы подразделяются на базовые и проблемно-ориентированные.
Базовые классы не ориентированы на конкретную область применения
и носят универсальный характер. Проблемно-ориентированные классы
представляют собой высокоуровневые конструкции, характеризуемые

узкой областью применения. Они строятся в результате обобщения
группы вычислительных методов.
Базовые классы реализуются с помощью шаблонов-заготовок, в ко¬
торых фиксируются инвариантная часть. Настройка шаблона на кон¬
кретную область применения осуществляется фиксацией структурных
и функциональных параметров. Структурные параметры определяют
топологию параллельной программы, в то время как функциональная
часть определяет вычислительное содержание алгоритма.
Для хранения граничных значений искомых функций используют¬
ся списки с одиночными связями. Связные списки допускают гибкие
методы доступа, поскольку каждый элемент данных содержит ссылку
на следующий элемент данных в цепочке.
Базовые классы, реализующие работу с динамическими структура¬
ми данных, а также с одномерными, двух- и трехмерными массивами
данных, оформляются в виде соответствующих обобщенных классов
и их шаблонов, что позволяет использовать эти классы в предметных
модулях прикладной программы.
Классы векторов и матриц предназначены для хранения инфор¬
мации о системах уравнений и характеристиках узлов. Интерфейсы
этих классов предоставляют набор операций в форме перегружаемых
операторов. От базового класса матрицы наследуются специальные
классы матриц (симметричные, ленточные и другие).
Вектора и матрицы представляют собой объекты класса, в основе
которого лежит хранение компонент в контейнере — динамическом
массиве. В этом случае векторы имеют любую «разумную» размер¬
ность. Исключительным случаем являются векторы нулевой размер¬
ности, образующиеся в результате ошибочных действий программы.
В отличие от массивов, для векторов и матриц определяются операции
линейной алгебры. Различий между векторами-столбцами и векто¬
рами-строками не делается.
Контейнерный класс динамических массивов реализуется как шаб¬
лон классов. Класс настраивается на хранение значений любого ариф¬
метического типа, и в дальнейшем используются различные реализа¬
ции шаблона. Для объектов этого класса определяются операции из¬
менения размерности, заполнения, индексации и присваивания. Класс
векторов наследует все свойства вещественных динамических массивов
и определяет новые свойства — операции линейной алгебры. Класс дву¬
мерных матриц реализует хранение значений элементов матриц в виде
массива строк — векторов. Для объектов этого класса определяются
операции изменения размерности матрицы, заполнения, индексации,
присваивания и ряд операций линейной алгебры, включая вычисление
определителя и получение обратной матрицы. Интерфейсы векторных
и матричных классов предоставляют набор векторных и матричных
операций в формате перегружаемых операций. В соответствии со
стандартом программирования на С++ определяются конструктор по
умолчанию, инициирующий конструктор, а также деструктор.

Классы решения задачи предназначены для проверки корректности
объектов и установки необходимых связей между ними, а также для
управления шагами решения задачи и определения последовательности
операций.
Данные, необходимые для параллелизации задачи, инкапсулирова¬
ны в специальном классе, который встраивает функциональность МР1
в иерархию классов для обеспечения простого интерфейса.
Для реализации обменов данными, представленными в памяти не
последовательно, а с определенным шаблоном, а также абстрагиро¬
вания от специфики шаблона и обмениваемых данных применяются
пользовательские типы данных МР1. Типы данных, описывающие шаб¬
лон, определяются в локализованном блоке в процессе инициализации
программы и допускают легкую модификацию. В функциях обмена тип
данных используется в качестве параметра и позволяет реализовать
логику обмена абстрактно, например, обмены в разных направлениях
выполняет один и тот же программный код.
1.6.5.	Файлы и данные. Файлы и данные, необходимые для чис¬
ленного решения задачи тем или иным способом, показаны на рис. 1.12
(считается, что программа работает в пакетном режиме, графический
интерфейс не используется).
Файл сценария (файл исходных данных) содержит информацию,
необходимую для решения задачи, в частности, имена файлов с геомет¬
рией области, тип граничных условий, параметры разностной схемы,
теплофизические характеристики жидкости и другие параметры. Для
параметров, значения которых не определяются в файле сценария,
используются значения по умолчанию.
Бинарные файлы сетки и поля течения содержат координаты узлов
сетки, начальные распределения искомых функций, а также форму
тепловой
поток
Файл истории
Файл интегральных
сходимости
параметров
температура
давление
граница 1
		1
граница 2
Файлы граничных
		условий
Файл локальных
характеристик
Файлы и данные
Файл сценария
Файлы сетки
уровень
1
уровень 2
потери
моменты
силы
Файл интегральных
характеристик
Файлы поля течения
I	——
	1
начальное
конечное
Рис. 1.12. Файлы и данные

всех ячеек сетки, тип выставляемых граничных условий и ряд других
параметров. Сетка хранится отдельно от поля течения. При этом для
хранения каждого уровня неструктурированной сетки используется
отдельный файл (уровень 1 соответствует сетке наилучшей разре¬
шающей способности). Начальное и конечное поля течения хранятся
либо в отдельных файлах (файл начального поля течения сохраняется
неизменным), либо в одном и том же файле (файл начального поля
течения заменяется на новый).
Файлы граничных условий хранят профили функций, задаваемые
на границах. Для проверки сходимости итерационного процесса требу¬
ется файл, содержащий значения невязок. Для обработки результатов
расчетов значения локальных и интегральных параметров потока со¬
храняются в файлах, имена которых указываются в файле сценария.
1.6.6.	Файл сценария и макроязык. Прикладная система клас¬
сов наряду со своим функциональным назначением обеспечивает под¬
держку текстового интерфейса, необходимого для конечного пользова¬
теля. Для описания параметров задачи и задания их значений в файле
сценария используется встроенный макроязык. Реализация макроязыка
при помощи объектно-ориентированного подхода позволяет добиться
преемственности синтаксических конструкций.
Макроязык включает описание комментариев (для их обозначения
используется символ !) и блоков (признаком начала блока служит
последовательность символов ***). Каждый блок имеет имя (поддер¬
живаются имена попИпеаг, пашеНб'Ь, оиЪриЪ, топаД:ог). Синтак¬
сический разбор блоков производится в порядке их появления в файле
сценария. Исходные данные задаются в размерном виде, а уравнения
решаются в безразмерном виде.
Приведем шаблон файла сценария (в квадратных скобках указыва¬
ются необязательные параметры).
*** попИпеаг
п1еуе1 п1_Гшд п1_рге	п1_розЪ
дгл-сЛ^Ие . 1. ас!^
дг1с1Л1е. 2 . ас!Г
[Г1оиГ11е.1п1.ас1Г] ЛоюШе. ас!Г
[У1зиа1] [МзЪГИе] [оиЪЛИе] [аррепй]
псус1е пх^зау пргхпЪ	сГ1
шо<1е1
дашта
Ъс__дгоир. 1 Ьс_Ъуре. 1	!	паше	!	кеумогс!
[Ъоипйагу сопсНЫопз]
Ьс_дгоир.2 Ьс_Ъуре.2	!	пате	!	кеуюогс!
[Ьс_соп<1.1 Ьс_сопс1.2 ...]
*** патеИзЪ
уаггаЫе = Уа1ие
*** оиЪриЪ

Ьс_дгоир. 1 ои1:_1:уре. 1
ои1_1Ие. 1
*** шопИ:ог
Ьс_дгоир.1 топшуре. 1 шоп_заVе
топ_^х1е.1
В блоке попНпеаг указываются параметры, необходимые для
инициализации исходных данных и проведения расчетов.
Параметр п1еVе1 определяет число уровней сетки. Параметр
п1_^шд имеет смысл уровня сетки, с которого начинаются многосеточ¬
ные итерации. Параметры п1_рге и п1_роз1: указывают число итера¬
ций для предварительного и заключительного сглаживания. Далее сле¬
дуют имена файлов, содержащих информацию о последовательности
вложенных сеток (дглЛ^Ие. 1. а <11:, дгл.сИ::11е. 2 . асИ:, ...), начиная
с сетки хорошей разрешающей способности (всего п1еуе1 штук).
После этого указываются имена файлов с начальным и конечным
полем течения — файлы ^1ом^Ие . 1П1 . асИ: и ^1о«^Ие. ас!^ (если
указывается только один файл, то он используется для инициализации
поля течения, а потом затирается). Число переменных, сохраняемых
в файле ПоиШе. ас!!:, зависит от типа течения (например, 6 при
использовании модели Спаларта-Аллмараса и 7 при использовании
к-е модели).
Следующие параметры указывают на необходимость визуализации
поля течения в процессе расчета (параметр у1зиа1), имя файла
для сохранения истории сходимости итерационного процесса (файл
МзШ1е), имя файла, в котором сохраняются интегральные ха¬
рактеристики потока на каждой итерации (файл оиЪГИе), а также
указание на то, сохранять ранее созданные файлы или нет (параметр
аррепс1).
Параметр псус1е определяет число многосеточных итераций, па¬
раметр п^^5аV — число итераций, через которое сохраняется поле
течения, параметр пргл.п1: — число итераций, через которое выводится
информация о сходимости итерационного процесса, параметр с^1 —
число Куранта-Фридрихса-Леви.
Выбор модели турбулентности происходит в зависимости от зна¬
чения параметра тос1е1 (невязкое течение, ламинарное течение или
турбулентное течение).
Параметр дашша определяет род рабочего газа и имеет смысл
отношения удельных теплоемкостей (равняется 1,4 для воздуха).
Каждая граница расчетной области характеризуется порядковым
номером (параметр Ъс_дгоир), типом выставляемых граничных усло¬
вий (параметр Ъс_Ьуре), именем (для этого служит комментарий
пате), ключевым словом (комментарий кеуетогс!) и граничными усло¬
виями (параметры Ъс_сопс1). Порядковый номер используется для
определения общего числа границ и ссылок на границу в других

блоках. Тип каждой границы, представляющий собой целое число,
хранится в файле сетки и определяет дополнительную информацию,
которая записывается в файл сетки. Например, для стенки, на ко¬
торой выставляются граничные условия прилипания и непротекания,
в файл сетки записывается расстояние до ближайшей стенки, а при
использовании граничных условий скольжения — направления норма¬
ли к стенке. Такой подход позволяет сэкономить место на диске, но
требует перестройки сетки при смене типа границы (точнее, повторного
преформатирования сетки из формата сеточного генератора в формат
библиотеки АОР). Имя границы обычно определяется при создании
сетки. Ключевое слово содержит необходимые пояснения для пользо¬
вателя.
Граничные условия задаются двумя способами. В простейшем слу¬
чае задаются соответствующие численные значения (их количество за¬
висит от типа границы) в файле сценария. При необходимости задания
профилей характеристик потока граничные условия определяются в от¬
дельном файле. Файл граничных условий имеет следующий формат.
прго! л-соогс!
соогй(1) уаг(1,1)	Vа^(1/2)	...
соогс1(2) Vа^(2,1)	Vа^(2,2)	...
При этом прго^ представляет собой число точек, определяющих про¬
филь, 1соог<1 — направление, в котором задаются граничные условия,
соог<1(1) — значения координат, Vа^1(^,^) — граничные значения
(первый индекс соответствует координате, а второй — функции). Мак¬
симальное значение индекса г равняется прго^, а максимальное значе¬
ние индекса ^ зависит от типа граничных условий. Полагается, что зна¬
чения 1СООг<1= 1, 2, 3 и 4 соответствуют координатным направлениям
х, у, г и г (при использовании цилиндрической системы координат).
При необходимости используется кубическая сплайн-интерполяция.
Блок пашеИ81: используется для присваивания значений перемен¬
ным с предопределенным именем (в виде Vа^^аЫе=Vа1ие). Напри¬
мер, элементы массива псус1е(л.) имеют смысл числа сглаживающих
итераций на сетках различной разрешающей способности (число эле¬
ментов массива равняется п1еVе1), а элементы массива ^е51еV(^)
содержат минимальные значения невязок для всех уровней сетки.
Блок ои^ри'Ь используется для вывода информации о локальных
характеристиках потока после окончания расчета. Для этого указы¬
вается номер границы (параметр Ьс_дгоир). Параметр ои*:_Ьуре
определяет сохраняемую характеристику в файле с именем ои^_Л1е
(1 для объема ячейки, 2 для температуры, 3 для статического давления,
4 для теплового потока).
Блок топИ:ог служит для сохранения интегральных характери¬
стик потока в файле с именем топ_^Ие через топ_заVе итераций.
Параметр Ьс_дгоир указывает на порядковый номер границы, а пара¬

метр топ_Ъуре определяет сохраняемую характеристику потока (1 для
силы, 2 для момента).
1.6.7.	Средства реализации. Выбор средств реализации вычис¬
лительного алгоритма во многом определяет показатели производи¬
тельности программного обеспечения, переносимость и возможности
его последующего расширения. Немаловажным представляется вопрос
о	переносимости программного обеспечения с одной платформы на
другую (например, с Шшёо^з на 11тх). В основном это касается гра¬
фического интерфейса. Проблем с переносимостью расчетных модулей,
как правило, не возникает.
Программный код написан на языках программирования Ройгап
(процедурный подход) и С/С++ (объектно-ориентированный подход).
Использование языка Рог1гап объясняется возможностью использова¬
ния мощных библиотек функций, а С-Н— его универсальностью.
Проведение вычислений на современных параллельных программ¬
ных системах в пакетном режиме или режиме удаленного терминала
делает нерациональным создание программного обеспечения с графи¬
ческим интерфейсом и развитыми средствами визуализации. Для этих
целей используются специализированные коммерческие или свободно
распространяемые пакеты и открытые форматы данных.
Используется модель программирования 5РЛШ (5тд1е Рго^гат апс!
МиШр1е Ба1;а), в которой параллельно исполняется несколько копий
одной программы на нескольких процессорах. Поддерживается одна
версия программного кода, которая не зависит от числа процессоров.
Вопрос построения сетки отделяется от проблемы дискретизации
уравнений Навье-Стокса. Расчетная сетка (структурированная или
неструктурированная) считается заданной, в частности, построенной
при помощи одного из коммерческих сеточных генераторов, например,
ОатЬИ или Ап$уз 1СЕМ СРЭ. Представление и хранение координат
узлов сетки в виде структуры данных (массива) лежит в плоскости
программной реализации и не рассматривается.
Разработанные программные средства используют трансляцию сет¬
ки из формата сеточного генератора в формат общедоступной библиоте¬
ки АОР (Айуапсес! Оа1а Роггпа!), которая является частью библиотеки
СОЫ5 (СРЭ Оепега1 ЫоЫюп 5уз1ет), разработанной сначала для
внутреннего использования в корпорации Воет§, а затем получившей
широкое распространение в ЫАСА и компании МсОоппе! Оои^!аз
Аегозрасе. Формат ССШ5 поддерживается многими вычислительны¬
ми пакетами (соответствующая опция и.меется, например, в пакете
Р1иеп{). Для генерации файлов объемом, превышающим 2 Гб (макси¬
мальный размер файла ограничивается 4 Гб, но максимальный размер
указателя не превышает 2 Гб), что необходимо для проведения рас¬
четов с использованием полной геометрической модели, на системе
с 32-разрядной архитектурой используется расширенная версия биб¬
лиотеки СОЫ5 ЬР5 (Ьаг^е РПе 5уз1еш), разработанная корпорацией

Роллс-Ройс (КоНз-Коусе р1с) и Университетом Суррея (11туег$йу о[
Зиггеу). Размер файла в 2 Гб приблизительно соответствует неструк¬
турированной сетке, содержащей 7 * 106 шестигранных ячеек.
Программа решения уравнений Навье-Стокса реализует только
расчетные функции (консольное приложение). Для задания входных
данных и параметров используется встроенный макроязык. Такой под¬
ход позволяет добиться переносимости программных модулей и их
независимости от конкретных особенности операционной системы.
Для визуализации результатов используются коммерческие паке¬
ты Теср1о1 и р!еЫУ1еил Число поддерживаемых форматов данных
расширяется за счет реализации и подключения соответствующих
фильтров. Визуализация результатов расчетов, сохраненных в формате
АБР, проводится при помощи библиотеки У151МЬ 3, разработанной
в Массачусетском технологическом институте (МаззасЬизейз 1пзШи1е
о? ТесЬпо^у, М1Т). Она использует X и ОрепОЬ (Ореп ОгарЫсз
иЬгагу) библиотеки и предназначена для визуализации результатов,
полученных на неструктурированных сетках.
Для сопряжения с коммерческими пакетами требуется знание со¬
ответствующих форматов данных и разработка специальных фильтров,
осуществляющих трансляцию из одного формата в другой (или запись
результатов в нужном формате данных).
Для создания параллельных приложений широкое применение на¬
ходит интерфейс межпроцессорного взаимодействия (Мезза^е Раззш^
1п1егГасе, МР1). Технология МР1 предназначена для поддержки работы
параллельных процессов в терминах передачи сообщений. Интерфейс
МР1 предоставляет единый механизм взаимодействия ветвей внут¬
ри параллельного приложения независимо от машинной архитектуры
(однопроцессорные/многопроцессорные системы с общей/распределен¬
ной памятью), взаимного расположения ветвей (на одном процессо¬
ре/на разных). Во многих случаях предпочтительно использовать про¬
граммные средства более высокого уровня, чем МР1, облегчающие
создание параллельного приложения.
Для распараллеливания используется библиотека ОР1из (ОхГогс! Ра-
га11е1 ЫЬгагу 1ог 11п51гис1игес1 5о1уегз), реализованная на языке Рог1:гап
77 в вычислительной лаборатории университета Оксфорда (ОхГогй 11т-
уегзНу СотриКпд ЬаЬога1огу) для платформ Шт32, Ьтих, 501, А1Х.
К достоинствам библиотеки 0Р1из относятся использование обобщен¬
ных структур данных (в качестве элемента данных рассматриваются
грани и ячейки, которые имеют различный тип — шестигранники,
призмы, параллелепипеды, тетраэдры), производительность (посылка
сообщений происходит только при модификации данных, а для умень¬
шении задержек при посылках сообщений данные объединяются в па¬
кеты), переносимость (для посылки сообщений используются функ¬
ции МР1).
Операции над множествами применяются в любом порядке без вли¬
яния на конечный результат, что ограничивает использование библио¬

теки 0Р1из для некоторых численных алгоритмов (например, метода
Гаусса-Зейделя). Тем не менее, многие современные вычислительные
алгоритмы удовлетворяют этому ограничению. Множества и указатели
декларируются в начале исполняемой программы и не изменяются
в дальнейшем, что не позволяет провести динамическое изменение
сетки. В то же время такой подход делает алгоритм независимым от
порядка циклов и числа разбиений.
Функции библиотеки ОР1из делятся на функции управления
процессами, функции инициализации указателей, функции управления
вводом/выводом, функции управления вводом/выводом в файлы
и функции управлениями циклами.
Расчетная область разбивается на некоторое число подобластей,
каждая из которых обрабатывается отдельным процессором. Каждый
элемент множества и связанные с ним данные принадлежат уникально¬
му процессу, а другие процессы при необходимости могут иметь копии
этих данных. Изменение данных одним процессом (например, данных
в ячейке) может привести к изменению данных, относящихся к дру¬
гому процессу (например, данных в узлах). В этом случае операции
проводятся над всеми разбиениями.
Использование библиотеки ОР1из позволяет запустить программу
как в последовательном режиме без вызова функций передачи сооб¬
щений (что удобно, например, для отладки кода), так и в параллель¬
ном режиме. Последовательная версия библиотеки содержит функции
с теми же аргументами, что и ее параллельная версия, но которые не
выполняют действий по передаче сообщений (пустое тело функции).
Вычисления производятся в режиме удаленного терминала на кла¬
стере и суперкомпьютере.
Вычислительные модули кластера связаны между собой высо¬
коскоростной сетью Муппе* (пропускная способность составляет
1 Гбит/с) и сетью Раз! Е^Негпе! (пропускная способность составляет
100 Мбит/с). Сеть Муппе! предназначена для высокоскоростного
обмена между модулями в ходе вычислений, а сеть Раз! Е1Иегпе1 —
для начальной загрузки программ и данных в модуль, передачи
служебной информации о ходе вычислительного процесса и соединения
решающего поля с управляющим узлом и дисковым массивом.
Суперкомпьютерный центр находится в Центральной лаборато¬
рии совета по научным исследованиям (Сеп1га1 ЬаЬога!огу Гог 1Ье
КезеагсЬ СоипсЛз, СЬКС) в ЭагезЬигу ЬаЬога1:огу (Шаггт^оп, УпЛес!
Кт^от) и создан в результате проекта НРСх (данные приводят¬
ся на 2003 год). Система поддерживается НРСх-консорциумом (1ЛоЕ
НРСх Ыс1), в который входят университет Эдинбурга (ШК'егзЛу о!
ЕЛпЬиг^Ь), Центральная лаборатория совета по научным исследовани¬
ям (Сеп!га1 ЬаЬога1огу Гог 1Ье КезеагсЬ СоипсЛз, СЬГСС) и компания
1ВМ. Учебно-методическую поддержку осуществляет компьютерный
центр университета Эдинбурга (Е(1тЬиг^Н Рага11е1 Сотри1ег Сеп1:ег,
ЕРСС). .

Суперкомпьютер 1ВМ 5Р/1600 состоит из 40 5МР-узлов рЗепез
690 Ке^аИа, каждый из которых содержит 32 процессора Роу/ег 4+
с 64-разрядной архитектурой и тактовой частотой 1,7 ГГц, обеспечивая
теоретическую пиковую производительность 6,66 ТФлопс. Для оптими¬
зации передачи данных между фреймами каждый из них разделяется
на 4 узла по 8 процессоров (Ьо^1са1 РагШюпз, ЬРАК). С точки зрения
программирования система представляет собой 160 узлов 5МР-типа по
8 процессоров каждый.
1.7.	Верификация и утверждение результатов
Тестирование разработанного вычислительного комплекса при по¬
мощи решения совокупности задач модельного плана, для которых
имеются надежные экспериментальные и расчетные данные, имеет
принципиальное значение, независимо от степени его универсальности
и компьютерной платформы.
Методология проверки соответствия численного решения физиче¬
ской модели (УепПса1юп апс! УаМ(1а1:1оп, У&У) развита достаточно
хорошо [173, 291, 292, 362, 363]. Имеются специализированные на¬
боры контрольных задач и примеров (У&У сазе з1ис!у), позволяющих
проверить качество численного решения [118, 390].
Процесс проверки решения проводится в 4 шага: подготовка (ргера-
га!юп), заключающаяся в выборе СРО-кода, определении целей ис¬
следования, формулировке геометрии, входных условий и имеющихся
документированных данных, верификация (уегШсаНоп) и утверждение
результатов (уаНсЫюп) при помощи сравнения полученных результатов
с имеющимися решениями и данными, документация (с!оситеп1а1:юп),
включающая подробные данные о проделанном исследовании.
Верификация представляет собой процесс доказательства того, что
вычислительная модель достаточно точно воспроизводит свойства ма¬
тематической модели и ее решения [173] (например, корректность
решения уравнений сохранения и уравнений модели турбулентности).
Верификация обычно разделается на верификацию компьютерного
кода (сос!е уегШсаМоп) и верификацию численного решения (зокйюп
уепПсаМоп). Верификация компьютерного кода заключается в предо¬
ставлении доказательств того, что математическая модель и алгоритм
ее решения работают корректно (устранение ошибок в программном
коде и численном алгоритме). Верификация численного решения за¬
ключается в анализе точности математической модели (проверка чис¬
ленного метода, итерационной сходимости алгоритма, сеточной зави¬
симости решения, точности входных и выходных данных).
Источники ошибок в результатах решения задачи разделяются на
ошибки моделирования (тоёеШпд еггог) и ошибки численного решения
(питепса1 еггог). Ошибки моделирования связаны с постановкой мате¬
матической модели (геометрия, уравнения, преобразования координат,
граничные условия, модель турбулентности), а численные ошибки — с

дискретизацией уравнений сохранения, численной диссипацией, непол¬
ной сходимостью итерационного процесса, нарушением условий сохра¬
нения, ошибками округления.
Зависимость решения от входных параметров проверяется реше¬
нием задачи на последовательности уменьшающихся величин данного
параметра с последующей оценкой численной ошибки.
На практике различают монотонную сходимость, осциллирующую
сходимость и отсутствие сходимости.
В случае монотонной сходимости для оценки сеточной сходимо¬
сти решения используется обобщенный метод экстраполяции Ричард¬
сона [105, 327] (^епегаНгеё ШсНагёзоп ех1гаро1а!юп), позволяющий
оценить точность решения на сетке с шагом к, если имеется решения
задачи на 3-х сетках (к\ = к, к% = гк, /13 = г2к, обычно г = 2).
Основным препятствием к использованию данного подхода на практике
служат ограничения по времени.
Для течений с закруткой для анализа сходимости большое значе¬
ние имеет проверка условия сохранения углового момента [180, 288]
(ап^и1аг тотеп1ит Ьа1апсе).
В случае осциллирующей сходимости для оценки точности решения
имеют значение нижняя и верхняя границы осцилляций решения,
а также отклонение решения от среднего значения. При расходимости
итерационного процесса ошибка не подлежит оценке.
Для остановки итерационного процесса достигнутый уровень невяз¬
ки сравнивается с заданной степенью точности (сходимость к машин¬
ной точности является желательной, но не достижимой на практике).
Методы оценки ошибки основаны либо на графическом представлении
истории сходимости итерационного процесса, либо на теоретическом
исследовании поведения невязки и зависят от типа сходимости (моно¬
тонная, осциллирующая, смешанная).
Сеточная зависимость решения проверяется при помощи решения
задачи на последовательности сеток, шаг которых при движении по
иерархии сеток сверху вниз уменьшается на определенную величину,
например, в 2 раза.
Утверждение результатов численного моделирования представляет
собой процесс сравнения полученного решения с имеющимися экспе¬
риментальными данными и документированными численными реше¬
ниями, а при соответствии решения имеющимся данным — оценку
его точности [173]. Одним из важных компонентов является выбор
критериев точности численного решения, а при сравнении данных СРЕ)
с данными измерений — выбор данных из множества имеющихся.
Результаты тестирования вычислительной процедуры на ряде мо¬
дельных задач газовой динамики и задач, связанных с расчетом
внутренних турбулентных течений, а также сведения по ускоре¬
нию и производительности программного кода приводятся в рабо¬
тах [11, 12, 18, 20-22, 24].

1.8.	Пакеты вычислительной газодинамики
Развитие компьютерной техники и распространение информаци¬
онно-вычислительных технологий приводят к их широкому использо¬
ванию не только в области фундаментальных научных исследований
и научно-технических разработок, но и для многочисленных приклад¬
ных проектов.
1.8.1.	САО/САЕ/САМ-технологии. Востребованность готового
компьютерного инструментария вызвала разработку и появление на
рынке широкого спектра комплексов прикладных программ, предназна¬
ченных для решения задач газовой динамики и теплообмена и деклари¬
рующих возможности качественного решения различных прикладных
задач. С наличием таких пакетов создается иллюзия фактической за¬
вершенности создания теоретических методов, вычислительных алго¬
ритмов и компьютерных программ.
В зависимости от набора сервисных функций по подготовке исход¬
ных данных и обработке результатов расчета, предоставляемого поль¬
зователю, вычислительные пакеты подразделяются на легкие, средние
и тяжелые. Степень «тяжести» в данном случае представляет собой
показатель мощности и эффективности пакета.
Коммерческие СРО-пакеты составляют неотъемлемую часть цепоч¬
ки проектирования и создания новой техники САО/САМ/САЕ-техно-
логии (Сошри!ег АШес! Оез^п/МапиГаситпд/Еп^теепп^) и относятся
к кругу САЕ-технологии.
Универсальные СРО-пакеты представляют собой сложные много¬
компонентные системы, имеющие трехступенчатую структуру: сеточ¬
ный генератор, расчетный модуль, графический интерпретатор резуль¬
татов. В пакеты включаются широкие наборы математических моде¬
лей управляющих физических процессов, конечно-разностных схем,
методов решения систем разностных уравнений, из элементов которых
конструируется решение той или иной задачи. Многие пакеты допус¬
кают эксплуатацию не только на персональных компьютерах, но и на
многопроцессорных вычислительных системах.
Современные инженерные задачи обладают рядом особенностей,
к числу которых можно отнести сложную геометрию расчетной обла¬
сти, сложные физико-химические процессы, протекающие в системе,
а также существенные ограничения, накладываемые на работу соответ¬
ствующих изделий (мощность, шум, загрязнение окружающей среды
и другие).
Один из мощных инструментов инженерного анализа предостав¬
ляют средства САО/САМ/САЕ-технологии, среди которых выделяют
системы автоматизированного проектирования, предназначенные для
выполнения инженерно-конструкторских работ, и системы проведения
расчетных исследований в различных областях машиностроения. Сре¬
ди систем расчетного анализа можно выделить пре-процессоры и сеточ¬

ные генераторы, расчетные модули и пост-процессоры, предназначен¬
ные для визуализации и обработки данных численного моделирования.
Общую схему применения вычислительных пакетов САЕ-техноло-
гии можно представить в виде следующих шагов.
1.	Построение геометрической модели при помощи той или иной
системы автоматизированного проектирования.
2.	Построение математической модели решаемой задачи. На данном
этапе исправляются все ошибки и неточности конструктора, а также
производится некоторое упрощение геометрической модели, задаются
граничные условия и свойства рабочей среды.
3.	Построение сеточной модели на основе созданной геометрии.
Почти все современные сеточные генераторы используют блочный под¬
ход к построению сетки. Для передачи модели в сеточный генератор
используется один из форматов обмена данными (в частности, 5ТЦ
10Е5).
4.	Численное решение задачи.
5.	Обработка результатов численного моделирования.
6.	Оптимизация модели.
В рамках представленной схемы возможен возврат к предыдущим
шагам для уточнения и исправления геометрической и математической
модели.
Количество публикаций, содержащих результаты успешного приме¬
нения коммерческих программных пакетов к расчету локальных и ин¬
тегральных показателей течений в проточных частях газовых турбин
и других технических устройств, стремительно расчет.
1.8.2.	Пакеты общего и специального назначения. Среди
наиболее популярных коммерческих пакетов следует отметить
пакеты Апзуз СРХ (сайт \УШ'м.5оГ1у/аге.аеа1.сот/с[х), 5*агСО (сайт
■му/^.сс1-ас1арсо.сот), Р1иеп1 (сайт игму/.Ииеп1.сот). Пакеты имеют
традиционные черты, такие, как дружественный интерфейс, интер¬
активная графика, контекстная поддержка, мобильность и простота
в репродуцировании, возможности для дальнейших модификаций.
Помимо вычислительных модулей, имеются коммерческие пакеты
для создания геометрии расчетной области и твердотельной модели,
в частности, ЗоПс^огкз (сайт ^^^.зоНё^огкз.сот), РгоЕп^теег (сайт
^\у^.р1с.сот), Ыш^гарЫсз (сайт \у\^м.ес1з.сот), использующие форма¬
ты данных УКМЦ ЮЕ5, 5ТХ.
В состав некоторых пакетов входят также сеточные генераторы,
например, СРХ-ВшШ в СРХ, Рго-Агп в 5ТАК-СЭ, ОАМВ1Т и ТОпс1
в Р1иеп1. Имеются и независимые сеточные генераторы, например,
1СЕМ СРО (\уу/\у.1сетсГс1.сот). Модуль СРХ-ТигЬоОпс! предназначен
для генерации сеток высокого качества в проточных частях лопаточных
машин. Лопатки газовых турбин и компрессоров имеют специфическую
форму и для создания соответствующих геометрических моделей пред¬
назначены модуль СРХ-В1ас1еОеп и модуль О/ТигЬо в пакете Р1иеп1;.

Для обработки результатов расчетов разрабатываются мощные
средства визуализации, например, ТесР1о1 (сайт ^улу.ат!:ес.сот),
1СЕМ СРЭ У15иа! 3 (сайт ш^^лсетсМ.сот).
Многие пакеты имеют специализированные модули, ориентиро¬
ванные на расчет нестационарных трехмерных течений вязкого газа
в газовых турбинах и адаптированные к стандартным конфигурациям
проточных частей лопаточных машин. Узкая специализация позволяет
создать простые алгоритмы и добиться превосходства над универсаль¬
ными пакетами как в вычислительном плане, так и в плане удобства
работы с программой.
Гибкость пакетов обеспечивается их открытой архитектурой, поз¬
воляющей подключать пользовательские процедуры, написанные на
языке Рог^гап.
Достижения в создании универсальных вычислительных пакетов,
предназначенных для решения задач газовой динамики и теплообме¬
на, выглядят достаточно впечатляюще. Во многом этим они обязаны
прогрессу в разработке вычислительных систем с параллельной обра¬
боткой данных, математических моделей и эффективных численных
методов.
Широкое распространение вычислительных пакетов создает иллю¬
зию того, что они позволяют решить любые задачи. На самом деле
используемые в них наборы математических моделей и разностных
схем далеки от совершенства, поскольку научные изыскания по ним не
закончены. Приемлемость многих моделей для решения сложных задач
и определение границ их применимости составляет предмет отдельного
исследования (многие подходы тестируются на расчетах канонических
течений и их приемлемость в более широком диапазоне условий не
очевидна).
В создании пакетов наблюдается стремление к охвату всего много¬
образия моделей, причем математическая сторона вопроса доминирует
над здравым физическим смыслом. Современное состояние науки не
способно ответить на ряд важных вопросов о приемлемости некоторых
моделей, взятых по отдельности или в сочетании.
1.8.3.	Пакет Мшпеса. Основной областью специализации паке¬
та Ыигпеса, разрабатываемого компанией Ыитеса 1п1егпа1тпа1 (сайт
\ушш.питеса.Ье), является турбомашиностроение.
Пакет включает трансляторы для импорта геометрических моделей,
модуль построения твердотельной модели ЮСТМ, набор сеточных
генераторов различного назначения Аи1оОпс1ТМ и НЕХРКЕ55ТМ,
расчетные модули РШЕТМ/ТигЬо, РШЕТМ/Неха и РШЕТМ/Маппе
(Р1о\у 1Ы1е§га{ес1 Етпгоптеп!), средства визуализации и обработки
результатов расчетов СРУ1е^ТМ (общераспространенные и специали-
рованные инструменты для визуализации локальных, интегральных
и осредненных характеристик потока). Среди дополнительных ком¬
понентов, входящих в состав пакета Ышпеса, имеются модуль пара¬

метризации для лопаточных машин, модуль оптимизации РШЕТМ/
Эез^пЗО, а также среда проектирования турбомашин Аи1оВ1ас1еТМ.
Для построения сеточных структур, используемых в расчетах те¬
чений в проточных частях турбомашин, используется модуль Аи1о-
ОПС1ТМ, включающий набор высокоэффективных технологий авто¬
матизированной блочной декомпозиции расчетной области, построе¬
ния гексаэдральной сетки и средств контроля качества сетки. В об¬
щем случае построение сетки осуществляется при помощи модуля
НЕХРКЕ55ТМ, который позволяет провести генерацию сетки при ми¬
нимальным участии пользователя. Сеточный генератор включает под¬
держку большого числа геометрических форматов, средства обработки
геометрии, алгоритмы построения неструктурированной гексаэдраль¬
ной сетки по технологии из объема к внешним границам, средства
адаптации (измельчения/загрубления) построенной сетки, внедрение
приграничных слоев с высокой плотностью элементов вблизи границы,
а также экспорт построенной сетки в форматы других пакетов. Особен¬
ностью модуля является возможность создания автоматизированного
сценария построения сеточной структуры для однотипной геометрии.
В пакете Ыитеса реализованы оригинальные вычислительные тех¬
нологии, ориентированные на расчет течений в компонентах газовых
турбин. Имеется поддержка моделей несжимаемой жидкости, совер¬
шенного газа, реального газа, включая модели влажного пара, фреоно¬
вых и криогенных смесей. Для расчета турбулентных течений преду¬
смотрен широкий спектр моделей турбулентности с возможностью рас¬
чета переходных режимов. Моделирование многофазных течений осу¬
ществляется на основе имеющихся моделей, включая модель кавитации
и модель расчета течений со свободной поверхностью.
1.8.4.	Пакет 5ШЕ. Программный пакет 51ЫР (Зирегзотс 1о
1псотрге$$1Ые РЬ^з) развивается на кафедре гидроаэродинамики
Санкт-Петербургского государственного политехнического университе¬
та с 1993 года под руководством д. ф.-м.н. Е. М. Смирнова [44] (сайт
кафедры аего.зрЪз1и.ги).
К настоящему моменту пакет позволяет проводить расчеты дву¬
мерных и трехмерных, стационарных и нестационарных, до- и сверх¬
звуковых течений жидкости или газа, развивающихся в областях
сложной геометрии с подвижными границами, включая решение за¬
дач тепломассопереноса и магнитной гидродинамики, а также задач,
требующих сопряжения неподвижных и вращающихся подобластей
(непосредственно или через введение поверхности смешения). Задачи
теплообмена потока с твердыми телами могут решаться в полностью
сопряженной постановке.
Численный метод основан на использовании блочно-структуриро-
ванных сеток, согласованных с границами области течения. Дискрети¬
зация пространственных операторов уравнений сохранения выполнена
по методу конечных объемов со вторым порядком точности с исполь¬

зованием широкого набора схем, вводящих численную диссипацию.
Для получения нестационарных решений используется неявная трех¬
слойная схема второго порядка точности по физическому времени.
На основе обобщенной лагранжево-эйлеровой формулировки законов
сохранения реализована возможность расчета нестационарных течений
на деформируемых сетках. На каждом временном слое итерации (про¬
движение по псевдо-времени) осуществляются по методу искусствен¬
ной сжимаемости или по методу типа 51МРЬЕС (в случае течений
несжимаемой жидкости или существенно дозвуковых течений газа),
а при расчете трансзвуковых течений используются неявные схемы
с введением регуляризации по методу масштабирования сжимаемо¬
сти. Распараллеливание вычислений осуществлено на основе метода
декомпозиции расчетной области по блокам сетки с использованием
коммуникационной библиотеки МР1.
Для расчета турбулентных течений реализован широкий спектр
моделей турбулентности (в частности, модели к-е, к-и), 53Т). В слу¬
чаях, когда КАЫ5 подходы не обеспечивают необходимой точности
моделирования турбулентности, могут использоваться нестационарные
формулировки ф]\[5, ЬЕ5, ЭЕ5 и другие комбинированные КАЫ5/ЬЕ$
подходы).
В пакете реализована также возможность моделирования течений
газовзвеси на основе метода пробных частиц и с учетом эффектов
турбулентной диффузии частиц.
С применением пакета 5ЮТ выполнены циклы фундаментальных
и прикладных исследований по ряду актуальных направлений гидро-
газодинамики и конвективного тепломассообмена, в частности, иссле¬
дования в области гидродинамики и теплообмена в полях массовых
сил (течения с определяющими эффектами плавучести, закрученные
потоки, течения вращающейся жидкости, магнитогидродинамические
течения), численное моделирование автоколебаний тел в потоках, ис¬
следования аэродинамики и теплообмена в потоках, характерных для
проточных частей турбомашин (плоские и пространственные течения
в решетках турбинных и компрессорных ступеней, впускные и вы¬
пускные тракты), численное моделирование сложных вентиляционных
течений, численный анализ конвективных течений в установках выра¬
щивания монокристаллов полупроводников из жидкой фазы.
1.8.5.	Пакет ОазОупаписзТоо!. Пакет прикладных программ
ОазОупагтсзТоо! предназначен для численного моделирования неста¬
ционарных газодинамических процессов в химически реагирующих
в средах областях с динамически изменяющимися границами и в ши¬
роком диапазоне входных параметров [32]. Пакет разрабатывается
в Тульском научном центре СОТ ЗоГЬуаге Огоир (сайт у/у/адлсМ.ш) под
руководством д. ф.-м. н. А. В. Зибарова, начиная с 1988 г.
Интерфейс пакета основан на технологии \УУ51ШУО, позволяю¬
щей в любой момент во время работы с пакетом вносить изменения

в конфигурацию задачи и выбирать разнообразные виды представле¬
ния промежуточных и окончательных результатов расчета в процессе
решения задачи.
Возможности пакета включают в себя моделирование плоских
и пространственных нестационарных течений газа в широком диапа¬
зоне параметров задачи, учет диффузии и теплопроводности, в том
числе в твердых телах (прогрев тел за счет теплопередачи), расчет хи¬
мических реакций, включая моделирование дефлаграции и детонации;
моделирование детонации как в газообразных (объемная детонация),
мультифазных (с включением частиц металлов), так и в конденсиро¬
ванных взрывчатых веществах, учет действия гравитационных и мас¬
совых сил, а также импульсных источников энергии.
Расчеты проводятся на основе решения нестационарных уравнений
газовой динамики (уравнений Эйлера или Навье-Стокса) при наличии
подмоделей, описывающих процессы теплопроводности и диффузии
и учитывающих многокомпонентность системы и присутствие дисперс¬
ной фазы. Программа использует регулярные сетки с квадратными
или кубическими ячейками, что является одной из причин ее высокой
производительности.
Для численного интегрирования используется разностная схема
метода крупных частиц (явная двухшаговая схема первого порядка).
Метод крупных частиц относится к методам сквозного счета (нет
предварительного выделения особенностей). К достоинствам метода
относится его универсальность, предполагающая расчет до- и сверх¬
звуковых течений по единому алгоритму, относительная простота про¬
граммирования.
К другим возможностям пакета относится динамический сценарий
расчета (при решении задачи в несколько стадий допускается изме¬
нение шага интегрирования по времени, граничных условий и других
входных данных задачи). Имеется возможность импорта геометрии
изделия в различных форматах, сохранения параметров рабочей среды,
вывода результатов в текстовом, а также в стандартных видео- и гра¬
фических форматах.
1.8.6.	Пакет УР2/3. Пакет УР2/3 (скорость-давление, двумер¬
ная и трехмерная версии) разрабатывается группой исследователей под
руководством д. ф.-м. н. С. А. Исаева [49, 52].
Пакет основан на использовании неявных факторизованных алго¬
ритмов и многоблочных вычислительных технологиях (МВТ). В основе
МВТ положена автоматизированная система введения блочных пересе¬
кающихся структурированных сеток простой топологии, позволяющая
улавливать разномасштабные структурные особенности за счет вве¬
дения в выделенных подобластях сеток соответствующих масштабов.
Перенос значений между пересекающимися сетками осуществляется
с помощью неконсервативной линейной интерполяции.

В пакете используется модифицированная, с учетом влияния кри¬
визны линий тока на характеристики турбулентности, модель переноса
сдвиговых напряжений Ментера, скорректированная с учетом влияния
вращения модель вихревой вязкости Спаларта-Алмараса, модель адап¬
тивных масштабов 5А$ и модель отсоединенных вихрей (ОЕ5).
Расчетная методология решения осредненных по Рейнольдсу урав¬
нений Навье-Стокса основана на концепции расщепления по физиче¬
ским процессам и процедуре коррекции давления $1МРЬЕС, приспо¬
собленной для моделирования конвективного теплообмена на много¬
блочных структурированных сетках с их частичным перекрытием.
Система исходных уравнений записывается в дельта-форме в кри¬
волинейных, согласованных с границами расчетной области координа¬
тах, относительно приращений зависимых переменных, включающих
декартовые составляющие скорости. Методология распараллеливается
применительно к кластерным (многоядерным и многопроцессорным)
системам и обобщается на случай неструктурированных сеток.
Для уменьшения эффектов численной диффузии, связанных
с ошибками аппроксимации конвективных членов уравнений ко¬
личества движения, используется схема Леонарда с квадратичной
интерполяцией против потока и схема МШСЬ. В уравнениях переноса
турбулентных характеристик и уравнении энергии конвективные члены
дискретизируются по схеме Ван Лира, ориентированной на расчет
параметров с их скачкообразным изменением.
В неявную часть уравнений вводится механизм искусственной диф¬
фузии в сочетании с применением односторонних противопоточных
схем для дискретизации конвективных членов, а в блок коррекции
давления — монотонизатор, предложенный Рхи и Чоу с определенным
из численных экспериментов коэффициентом релаксации, равным 0,1.
Высокая эффективность расчетной процедуры обеспечивается приме¬
нением для решения дискретных алгебраических уравнений метода
неполной матричной факторизации Булеева в варианте 51Р-процедуры
Стоуна.
В пакете включен каталог моделей неоднородных сред (вода, транс¬
форматорное масло, масло М20).
Пакет содержит оригинальные процедуры коррекции давления
и среднемассовой температуры при использовании периодических гра¬
ничных условий, оригинальные согласованные входные граничные
условия.
Пакет ориентирован на расчеты ламинарных и турбулентных от¬
рывных течений и теплообмена в многосвязных областях сложной гео¬
метрии при до-, сверх- и гиперзвуковых скоростях потока при наличии
скачков уплотнения.

Глава 2
ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ
Развитие средств вычислительной газовой динамики и компьютер¬
ной техники делает возможным разработку и реализацию методов
расчета нестационарных течений жидкости и газа в пространственных
областях сложной конфигурации. Для удобства описания областей
сложной геометрической конфигурации, характерных для межлопаточ-
ных каналов и каверн газовых турбин, широкое применение находят
неструктурированные сетки. При использовании неструктурированных
сеток отпадает необходимость применения многоблочных сеток в мно¬
госвязных областях, а также появляется возможность добавления но¬
вых узлов без перестройки всей сетки, что требуется для точного
расчета пограничных слоев, скачков уплотнения и вихревых структур.
Метод дискретизации основных расчетных соотношений и исполь¬
зуемые разностные схемы во многом предопределяют качество чис¬
ленного решения и показатели эффективности вычислительной про¬
цедуры.
Для дискретизации уравнений Навье-Стокса на неструктурирован¬
ных сетках применяются метод конечных элементов и метод конеч¬
ных объемов. В отличие от хорошо разработанных технологий мето¬
да конечных элементов, конечно-объемные технологии на неструкту¬
рированных сетках характеризуются отсутствием единых принципов,
позволяющих провести дискретизацию конвективных и диффузионных
потоков, источниковых членов, а также учет граничных условий. До¬
статочно часто способы дискретизации, имеющие различные характе¬
ристики, объединяются.
В данной главе рассматриваются особенности дискретизации урав¬
нений Навье-Стокса на неподвижных и подвижных неструктуриро¬
ванных сетках при помощи метода конечных объемов. В качестве
контрольного объема используется среднемедианный контрольный объ¬
ем, центрированный относительно узла сетки. Вектор потока расщеп¬
ляется на невязкий и вязкий потоки. Для дискретизации невязких
потоков применяется схема М11$СЬ, а для дискретизации вязких по¬

токов — центрированные конечно-разностные формулы 2-го порядка.
Нахождение градиента и псевдо-лапласиана в серединной точке грани
контрольного объема производится на основе соотношений, приспо¬
собленных к расчетам на сетках, используемых в пограничном слое.
Система разностных уравнений решается многосеточным методом. Для
ускорения сходимости итерационного процесса и при моделировании
низкоскоростных течений применяется метод блочного предобус ловли-
вания. Обсуждаются структура матрицы предобусловливания для схем
различного порядка и способ учета граничных условий.
Возможности разработанной вычислительной процедуры демон¬
стрируются на примере решения ряда задач газовой динамики (обтека¬
ние профиля потоком невязкой и вязкой жидкости, обтекание прямой
решетки профилей, совершающих малые гармонические колебания).
Проводится сравнение эффективности вычислительного алгоритма при
использовании скалярного и блочного прудобусловливания.
2.1.	Основные уравнения
В консервативных переменных уравнение, описывающее нестаци¬
онарное трехмерное течение вязкого сжимаемого газа, записывается
в следующем виде:
^ + УР(п,С},УСг) = Н(<Э,УС)).	(2.1)
Здесь <3(х,Ь), Р(п, ф, Уф), #(<3,У(2) представляют собой вектор кон¬
сервативных переменных в точке х в момент времени I, вектор потока
через поверхность, ориентация которой задается внешней единичной
нормалью п, и источниковый член соответственно. Источниковый член
в уравнении (2.1) учитывает неинерциальность системы отсчета, свя¬
занную с влиянием кориолисовой и центробежной сил.
При моделировании течений во вращающейся системе координат
уравнение (2.1) записывается для абсолютной скорости V. В отличие
от инерццальной системой координат, уравнение изменения количества
движения во вращающейся системе координат содержит дополнитель¬
ный источниковый член — рш х V, а конвективный поток вычисляется
по относительной скорости жидкости V = V — и> х г, где г — радиус-
вектор, и> — угловая скорость вращения.
Уравнение (2.1) дополняется уравнением состояния идеального газа
р — рЯТ.
Уравнение, записанное в виде (2.1), пригодно для описания как
ламинарных, так и турбулентных течений. При моделировании тур¬
булентных течений уравнение (2.1) дополняется уравнениями модели
турбулентности, а вместо молекулярных коэффициентов переноса ис¬
пользуются их эффективные значения [29].

В качестве начальных условий задаются распределения плотности,
давления и скорости в момент времени Ь = 0 (при решении стационар¬
ной задачи методом установления начальные условия не играют роли).
Для нормальной скорости на твердой стенке используется гранич¬
ное условие непротекания (г>п = 0), а для касательной — условие
прилипания (ьт = 0). Имеются разнообразные граничные условия, вы¬
ставляемые для температуры на стенке, а также различные граничные
условия на входной и выходной границах расчетной области. Однако
для дискретизации уравнений Навье-Стокса их тип не является прин¬
ципиальным.
Для удобства дискретизации уравнение (2.1) записывается в следу¬
ющем виде:
^ + Д(С?) = 0.	(2.2)
Вектор невязки находится из соотношения
ад) = V • ^(п,Я, ЧЯ) - Н(Я, уд).
Вектор потока расщепляется на невязкую и вязкую составляющие:
Р( п.<Э,У<Э)= Р'(п,<2) +РУ( п,<Э,У<Э).	(2.3)
4			'	V	V	'	'■	V-	✓
полный поток невязкнй поток вязкий поток
Для дискретизации уравнения (2.2) используется метод конечных
объемов на структурированной, неструктурированной или комбиниро¬
ванной сетке [13, 18, 26].
Несмотря на то, что входные данные и граничные условия задаются
в размерном виде, расчеты проводятся в безразмерных переменных.
Это позволяет объединить невязки, обусловленные дискретизацией
уравнений неразрывности, изменения количества движения и энергии
(невязка Я\), а также невязки, возникающие в результате дискретиза¬
ции уравнений модели турбулентности (невязка Яг)-
Прогресс в практике численного решения уравнений Навье-Стокса
связан с разработкой разностных схем расчета потоков повышенной
разрешающей способности (Н1§Н КезокШоп ЗсНегпе, НК5), позволяю¬
щих получать одновременно точные и монотонные решения при нали¬
чии слабых и сильных разрывов.
2.2.	Метод конечных объемов
Расчетная область разбивается на N непересекающихся контроль¬
ных объемов таким образом, что каждая узловая точка содержится
только в одном контрольном объеме. Уравнение (2.1) интегрируется по
каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов исполь¬
зуются кусочно-непрерывные функции, которые описывают изменения
зависимых переменных между узлами сетки. В результате дискрети¬

зации получается система нелинейных алгебраических уравнений, для
линеаризации которой используется метод замороженных коэффициен¬
тов или метод Ньютона (для обеспечения сходимости требуются до¬
полнительные итерации с привлечением техники нижней релаксации).
Система разностных уравнений решается тем или иным итерационным
методом.
Интегрируя уравнение (2.1) по контрольному объему V* с границей
дУг, ориентация которой задается внешней единичной нормалью п,
и применяя теорему Гаусса-Остроградского, получим
д_
дЬ
V^
V,
С^сЮ,+ о ^(п, ф, V(Э) ^5 =
еук
Преобразуем уравнение (2.4) к полудискретному виду:
(2.4)
сИ
+ ЩО) = о.
(2.5)
Сеточная величина, определенная в центре контрольного объема, пред¬
ставляет собой среднее интегральное значение соответствующей непре¬
рывно распределенной величины
<2г =
г ^
Уг
Вектор невязки в уравнении (2.5) находится из соотношения
ж
У*
(2.6)
Учитывая расщепление потока (2.3), невязки, связанные с дискретиза¬
цией невязких и вязких потоков, имеют следующий вид
Я' = ^ | Р‘(п.О)<гП;
дУг
4 I гуМ,ч<з)<1П.
*
ЭУг
(2.7)
(2.8)
При дискретизации уравнений Навье-Стокса по методу конечных
объемов используются контрольный объем, совпадающий с ячейкой
сетки (се11-сеп!егес1 Уо1ише), или контрольный объем, центрированный
относительно узла сетки (уег!ех-сеп!егес1 уо1ише) [69]. Несмотря на
то, что выбор контрольного объема, центрированного относительно
узла сетки (рис. 2.1, а), требует примерно в 6 раз большего объема

Рис. 2.1. Внутренний (а) и граничный (б) контрольные объемы
памяти- по сравнению со случаем, когда контрольный объем совпадает
с ячейкой, он позволяет получить более точные результаты в погра¬
ничном слое за счет более мелкого шага сетки в пристеночной об¬
ласти [11, 21]. Вблизи стенки используется половинный контрольный
объем (рис. 2.1, б).
Вопрос вычисления нагрузок, действующих со стороны жидкости
на погруженное в нее тело, связан с выбором контрольного объема,
поскольку силы трения, действующие на элементарную площадку тела,
полностью определяются диффузионными потоками через нее. При вы¬
числении диффузионных потоков применяется та же процедура, какая
используется при расчете диффузионных потоков для пристеночных
ячеек.
При использовании сетки, центрированной относительно узла сет¬
ки, расчетные точки располагаются в жидкости, а со стенкой совпа¬
дают грани контрольных объемов. Такой подход приводит к решению
уравнений движения для всех ячеек сетки. При этом граничные усло¬
вия учитываются при расчете конвективных и диффузионных потоков
через грани контрольного объема, совпадающие со стенкой.
Частным случаем контрольного объема, центрированного относи¬
тельно узла сетки, является среднемедианный контрольным объем
(те(11ап-(1иа1 Уо1ите), показанный на рис. 2.2. Среднемедианный кон¬
трольный объем Уг, связанный с узлом г = 1,...,7У сетки, где N —
число узлов, строится таким образом, что геометрические центры ячеек
сетки с вершиной в узле г соединяются друг с другом через середины
	 сетка
	 контрольный объем,
полученный соединением
центров соседних ячеек
	 среднемедианный
контрольный объем
Рис. 2.2. Среднемедианный контрольный объем

разделяющих их граней [69]. Грань контрольного объема, соединяю¬
щая узлы сетки г и ], обозначается через (г,^).
Невязка в узле г рассчитывается при помощи суммирования потоков
через грани контрольного объема:
Иг — — ^ ^ Ец Пу А5у.
* 3€Е<
Невязки (2.7) и (2.8), обусловленные дискретизацией невязких и вяз¬
ких потоков, находятся из соотношений
Н*г = у. ( Л Пг3	+	Л	ЕгТк	Шк &*гк
1 \зеЕг	к<=Вг
" &Ег
Невязка (2.9), обусловленная дискретизацией невязких потоков, учи¬
тывает вклад внутренних и граничных граней контрольного объема,
а невязка (2.10), обусловленная дискретизацией вязких потоков —
только вклад внутренних граней (на стенке выставляются граничные
условия прилипания и непротекания, поэтому Е^. = 0 для V к е Вг).
Весовые множители (площади граней) внутренних граней кон¬
трольного объема являются антисимметричными (Д$^ = —Д^г для
V з е Ег), а весовые множители его граничных граней — симметрич¬
ными (Аз** = Азкг для V к е Вг). При этом имеет место следующее
соотношение [69]:
^2 ПуДву +	=	(2Л1)
З^Ег	кеВг
Здесь Ег — множество внутренних граней, связанных с узлом г; Вг —
множество граничных граней, связанных с узлом г\ пу — внешняя
единичная нормаль, задающая ориентацию грани {г,з)\ Дзу — пло¬
щадь грани, соединяющей узлы г и 7; щь — внешняя единичная
нормаль к граничной грани (г, к)', Азцс — площадь граничной грани,
соединяющей узлы г и к.
2.3.	Расчет потоков через грани контрольного объема
Интеграл по границе контрольного объема вычисляется как сумма
произведений значений вектора потока в центрах граней контрольного
объема на площади его граней. Интеграл от потока в соотношении
(2.9)
(2.10)

(2.6)	разделяется на два слагаемых, связанных с внутренними и гра¬
ничными гранями контрольного объема:
Р(п, <3,	(1з= У2 Р(п13' <3. ^<2)	&8ц +
Х=хц
дV^	ЭеЕ*
+ У2 Р{Пгк,Я, У<Э)| ШкАЗгк- (2.12)
к€В<
С учетом расщепления потока (2.12) и теоремы о среднем соотношение
(2.6)	примет следующий дискретный вид:
-й* =	|	^	^	^{3^13	^ ] Ргк^-гк гк ~ Нг | •	(2.13)
г V 3ея*	кев^	/
внутренние гранн	граничные грани источник
Здесь Рц — поток через внутреннюю грань (г,^), ориентация которой
задается внешней единичной нормалью п^; Ргк — поток через гра¬
ничную грань (г, к), ориентация которой задается внешней единичной
нормалью пгк', и А$гк — площади внутренней (г, .7) и граничной
(г, к) граней контрольного объема.
2.3.1.	Внутренние грани. Поток через внутреннюю грань (г,.?)
контрольного объема вычисляется в серединной точке грани
1 /
Хгз = 2 ^ +	’
как полусумма	соответствующих узловых значений,	умноженных на
площадь грани:
Ргз = 2 № + ^3 ) П0' АЗу ■
Суммируя по	всем	внутренним граням (для V.?'	е Ег),	получим
Р — - (Рг + Рз)Щ] А.
3€Ег
Из свойства антисимметричности весовых множителей внутренних гра¬
ней для замкнутого контрольного объема (2.11) следует, что
Пу А8ц = О,
3 €
поэтому
Р = ~ } ^ (Рг + ^з)пгЗ — Рг Пу &8^.
З^Е{	3€Е<
4*

Перепишем приведенное соотношение в виде
З^Ег
Учитывая, что Аз^ = — А5^ Д-ля V ] Е Ег, вклад каждой грани (г,])
контрольного объема представляется в виде
Р13 ~ 2	*^гз А Зц.
2.3.2.	Граничные грани. Поток через граничную грань (г, к)
контрольного объема рассчитывается в точке
= 2Г> + 2 ^ [1 +	+
зеск
где Э — размерность задачи, Сь — множество узлов в приграничной
ячейке к.
Вклад грани, лежащей на границе расчетной области, записывается
отдельно. Учитывая свойство симметричности весовых множителей
внутренних граней и свойство антисимметричности весовых множите¬
лей внутренних граней контрольного объема, описываемое соотноше¬
нием (2.11), имеем
Для расчета потоков через грани граничного контрольного объема
получим такое же соотношение, что и для его внутренних граней:
Р = л У! (^3 ~ Рг) пгз А$ц.
Использование одинаковых выражений для расчета потоков через
грани внутренних и граничных контрольных объемов обеспечивает
более простую программную реализацию метода конечных объемов.
2.4.	Невязкие потоки
Невязка, связанная с дискретизацией невязких потоков, представ¬
ляется в следующем виде:
я,7(<э) = у (Е 4 п« + Е п-к Д8“0 ■	<2- ■14>
г ^з'еЕ(	кеВ1	'

Для дискретизации невязких потоков используется схема МШСЬ
(Мопо^ошс Цр^Ы ЗсЬете 1ог СопзегуаКуе Ьашз), которая представля¬
ет собой комбинацию центрированных конечных разностей 2-го и 4-го
порядка, для переключения между которыми служит ограничитель
потока [334], построенный на основе характеристических перемен¬
ных [187]. Вместо потоков из соседних ячеек экстраполируются пере¬
менные, величина их производных ограничивается, а уточненные зна¬
чения подставляются в выражения для потоков. Преимущество схемы
МШСЬ состоит в возможности повышения порядка точности схемы за
счет изменения порядка интерполяции в пределах ячейки.
2.4.1.	Схема ЛШ5С1,. Рассмотрим уравнение
§ + ч.Щ) = 0.
(2.15)
Уравнение (2.15) учитывает только конвективный перенос и является
модельной формой уравнения (2.1). Линеаризуя уравнение (2.15), по¬
лучим
^ + АУ<Э = 0.	(2.16)
Якобиан в уравнении (2.16) находится из соотношения
дР дРх дР„ дРг
А дС)
+
+
<9(2	<9(2
Схема АШ5СЬ для уравнения (2.16) записывается в виде
р1. = I
ч 2
'г&Ш +	-	5О	-	*)	И«1	[Ш)	-	ЫО)}}.
невязкии поток
дисснпативныи член
(2.17)
где Ь(<2) — псевдо-лапласиан, хе[0,1]. Для сохранения монотонности
решения в схему (2.17) вводится ограничитель потока [334]. После
линеаризации потоков получим следующее соотношение:
	V-
невязкий поток
-мм
1(1 - <р) (г*(<э) - гш) +<р (о, - о*)
4-й порядок
2-н порядок
диссипатнвнын член
, (2.18)
где Ь*(<2) — модифицированный псевдо-лапласиан. Полагается, что
х = 1/3. Соотношение (2.18) представляет собой комбинацию конеч-

ных разностей 2-го и 4-го порядков. Для переключения между ними
служит функция, зависящая от распределения статического давле-
где е = 8.
На твердой стенке, вследствие условия непротекания, Р(к — 0 для
УкеВг. На входной границе расчетной области используются условия
невозмущенного течения, в связи с чем полагается
где С}оо — вектор консервативных переменных на бесконечности.
Матрица А представляется в виде А = ЕАЬ, где А — диагональная
матрица, составленная из собственных чисел якобиана, а Я и Ь —
матрицы, составленные из его правых и левых собственных векторов
(Ь — Я-1). Вид этих матриц для уравнений Навье-Стокса, записан¬
ных в консервативных и примитивных переменных, приводится в при¬
ложении.
2.4.2.	Расчет псевдо-лапласиана. Псевдо-лапласиан представля¬
ет собой обобщение центрально-разностной производной 2-го порядка
на неструктурированную сетку [199]:
поэтому диссипативный член в (2.17) имеет порядок 0(/г3). После под¬
становки в соотношение (2.18) и деления на объем в (2.13) получается
погрешность порядка 0(к2).
Разложение в ряд Тэйлора в окрестности точки х* дает
где 1/7;(х) = {ЬгХ, Ьгу, Ь{г}'. Следовательно, на неравномерной сетке
схема не имеет 2-го порядка точности. В случае, если вектор консерва¬
тивных переменных <2 является линейной функцией пространственных
координат, получаем Ьг((2) Ф 0. Указанные обстоятельства приводят
к потере точности решения, в связи с чем псевдо-лапласиан переопре¬
деляется следующим образом [128]:
ния [129]
(2.19)
где \Ег\ — число элементов множества Ег■
Оценка на равномерной сетке с шагом к показывает, что
ь;(!3)~о(л2) у2<2|х=Х1,
Ш) = 1н(х) ЧС}\Х=Х1+0(Л2).
Ц(<Э) = Ь(<2)-х?С1Мх).
(2.20)

Если С} = ах. + с, то ЬДф) = аЬг(х), ЧС} = а, поэтому 1/*(<2) = 0.
Вместе с тем, представление псевдо-лапласиана в виде (2.20) допускает
потерю устойчивости численного решения и дает неточные результаты
на сильно растянутых сетках, используемых для моделирования тече¬
ний в пограничном слое [129]. Для обеспечения устойчивости решения
вводится оператор масштабирования
Модифицированный псевдо-лапласиан находится из соотношения
Псевдо-лапласиан в виде (2.21) дает ноль на линейной функции и поз¬
воляет обеспечить точные результаты на сильно растянутой сетке.
Недостаток представления псевдо-лапласиана в виде (2.21) связан
с анизотропным масштабированием, что приводит к демпфированию
высокочастотных гармоник только в направлении наивысшего сеточно¬
го разрешения (поперек пограничного слоя).
2.4.3.	Расчет градиента. Рассмотрим контрольный объем аЬсс1е,
связанный с узлом г неструктурированной сетки (рис. 2.3). С учетом
того, что <2г = сопб-Ь в пределах кон-
Здесь О. — расширенный контрольный объем 12345, участвующий в вы¬
числении градиента; Ь — площадь граней расширенного контрольного
объема; V — исходный контрольный объем аЬсйе\ 3 — площадь граней
контрольного объема.
Ц(<3)=Ьг(<3)-Ш Ьг(х).
(2.21)
=0

Интегралы, входящие в соотношение (2.22), представляются в виде
При этом имеют место соотношения
5 = 5аь + 5ьс	“Ь §сс1	"Ь §с1е	“Ь §еа >
Ь = 1/\2	■+■ 1-/ 23	^34 "Ь ■^'45	-Ь	=3x5;	Г2	= 3	х	V.
Нормали к граням контрольного объема находятся из соотношений
ПаЬ =	П51 + П]2, П ьс =	П]2 +	П23,	Псс*	= П23 + П34,
П^е =	П34 + П45, Пеа =	П45 +	П51.
Используя формулы Грина, получим
С учетом свойства симметричности и антисимметричности весовых
множителей, описываемого соотношением (2.11), запишем
Для расчета лапласиана в узле г расчетной сетки применяется
теорема Стокса
*
2.5.	Вязкие потоки
Для невязки, связанной с дискретизацией вязких потоков, имеет
место следующее соотношение:
ОС}г<11 = С}гЬ.
ь
кСВг
(2.23)
После дискретизации получим соотношение
\эекг	кев^

Учитывая, что вследствие условий прилипания и непротекания на
стенке Рук = 0 для Ук € Вг, и пренебрегая вязкими силами на входной
границе расчетной области, соотношение (2.24) переписывается в сле¬
дующем дискретном виде:
(2.25)
з€Ег
Соотношение (2.25) используется для всех контрольных объемов,
включая граничные.
После линеаризации соотношения (2.25) получим
Ку = —
{ К
I г€Ву
дРХ
(2.26)
а— = вм-'Ш,
д1
где М — матрица перехода от консервативных переменных к прими¬
тивным.
Вязкий якобиан в консервативных переменных имеет вид
„ дРу дРу дУ дРу .
В = ——— = —— —— = —— М ,
д(2 дУ 5(5 дУ
где
дРу
дУ
0
0
0
0
0
0
/т**
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7Р^/Рг „
2 1
р1 7-1
7/^/Рг
р 7-1
ЗдеСЬ 71* = Т1х1х “Ь	И** =	Т1у^у “Н ^2^21 Я 11 —
= {пх,пу,п2У и 1 = {1х,1уЛг}' представляют собой единичный вектор
нормали веса грани (г,]) и единичный вектор, коллинеарный грани
(г,,7') и направленный от узла г к узлу у, так что
п * 1 —	“I- тьу1 у ~Ь
На практике можно принять, что п, = 1 и п** = 1 (вектора п и 1
приблизительно коллинеарны). При моделировании турбулентных те¬
чений вместо молекулярной вязкости ц используется эффективная вяз¬
кость [29]. Молекулярному числу Прандтля присваивается постоянное
значение.

Градиент в (2.26) находится из соотношения
<9(2 _	-	<2г
81	—	Хг|	’
что позволяет переписать соотношение (2.26) в следующем виде:
Для расчета градиента У(2 в серединной точке каждой грани
ху = (х* +х^)/2 в соотношении (2.26) используется полусумма соот¬
ветствующих узловых значений
Для расчета градиентов (У(2)г и (У<2)^ в узлах сетки применяет¬
ся соотношение (2.23). Однако среднее арифметическое центральных
разностей не демпфирует высокочастотных гармоник решения [128].
Хотя выражение для расчета невязких потоков и включает диссипатив¬
ные слагаемые, демпфирующие высокочастотные осцилляции решения,
этого недостаточно в пограничном слое, где вязкие члены становят¬
ся доминирующими. Поэтому составляющая градиента в направлении
наиболее короткой грани заменяется простой разностью [129]
где 5зу = (х^ - х*)/ |х; — х*|.
Соотношения (2.21) и (2.23), используемые для расчета псевдо-лап¬
ласиана и градиента, позволяют обеспечить высокую точность резуль¬
татов в пограничном слое.
■ <2з - <2г
' |х7- - х*|
ВМ 1 Пу Д$у.
(2.27)
<*8у,	(2.28)
2.6.	Дискретизация по времени
Перепишем уравнение (2.2) в следующем виде:
(2.29)
где Ь((2) — дифференциальный оператор. После линеаризации уравне¬
ние (2.29) примет вид
где С — квадратная матрица.

2.6.1.	Метод Рунге-Кутты. Для дискретизации уравнения (2.29)
используется метод Рунге-Кутты (ГСип^е-КиКа Ме1Нос1, ККМ) к-го
порядка [269]
(?"+' = А(кС) <?", Л(г) = ^ат гт,
7П=0
где ао = а\ = 1 и ар ф 0. На шаге п+ 1 по времени метод Рунге-Кутты
порядка к (т = 1,...,/г) записывается в виде
§('”) = (3(°) + \тм1
В качестве начального приближения используется решение, получен¬
ное на предыдущем шаге по времени = фп-
Представим матрицу С в виде С = КАЬ, где А — диагональная
матрица, состоящая из собственных чисел матрицы С, Я и Ь —
матрицы, состоящие из ее правых и левых собственных векторов (при
этом Я = Ь~'). Учитывая, что Ст — (ЯАК~')т = НА~тН~\ запишем
дп+1 = ь(кс)<эп = нь(кА)я-1дп.	(2.зо)
Из (2.30) следует, что решение уравнения (2.29) на слое п по времени
находится из соотношения
<2п = я[ь{кА)У я-'<э°.
Область устойчивости 5 = {г = х + гу : |Л(г)| ^ 1} имеет вид
окружности с радиусом гс и на комплексной плоскости представляется
в виде 2 = гехр(г0). Радиус области устойчивости находится из соот¬
ношения [267]
/Л\	^	Л З7Г
гс = пип г{в) при 2^	~2'
Области устойчивости для методов Рунге-Кутты различного порядка
показаны на рис. 2.4, причем гс = 0,25 для к = 1, гс = 0,5 для к = 2,
гс = 1,25 для к = 3, гс= 1,39.для к = 4 и гс = 2,7 для к — 5.
Приведем структуру методов Рунге-Кутты различного порядка.
1.	Метод Рунге-Кутты 1-го порядка (к= 1)
с!” = <э!0)+д*ью!0))-
2.	Метод Рунге-Кутты 2-го порядка {к = 2)
<3^ = (?10)+Д<1(0,(0));
(3<2> = (Э<°> + дгвд!1’).

Рис. 2.4. Области устойчивости методов Рунге-Кутты порядка к = 2 (а); 3 (б);
4 (в); 5 (г)
3.	Метод Рунге-Кутты 3-го порядка (к — 3)
«1° = «!0) +
«!2) = «Г* +
<3|3) = <?<0) + д ЩО:™).
4.	Метод Рунге-Кутты 4-го порядка (/с = 4)
<?<■> = <??» + 1д*ь(«|0,):
д<2) = д<°> +
<Э<3) = д'0) +	Р>);
<э!4) = <?10) + а <вд13))-

5.	Метод Рунге-Кутты 5-го порядка
О|”) = О<0)-атД^Я<”*-|)
где
в<"-|) = АлА(<Э|т~')) + (1 - МВ{™-2)
При этом Сг учитывает вклад конвективных членов, а Д учитыва¬
ет вклад источниковых членов, физической и численной диссипации
(т= 1, — ,5). Коэффициенты схемы ат и Рт принимают следующие
значения [267]:
2.6.2.	Шаг по времени. В отсутствие предобусловливания расче¬
ты производятся с использованием локального шага по времени.
Шаг по времени находится, исходя из оценки невязких и вязких
потоков в каждом узле расчетной сетки:
где е ~ 0,5. Число Куранта-Фридрихса-Леви (параметр СРЬ) исполь¬
зуется в качестве параметра расчета.
Шаг по времени в узле г вычисляется исходя из спектрального
радиуса якобиана дискретного невязкого оператора
где р(А) — спектральный радиус матрицы А = дР1 /дС}.
Шаг по времени в узле г вычисляется, исходя из квазилиней¬
ной формы вязких потоков, записанных в примитивных переменных,
и спектрального радиуса якобиана дискретного вязкого оператора. По¬
лагая длину каждой грани равной )х* — х^|, получим
д г —	^	]	Р{Агз)пгз	р[Агк)	пгк	&$гк	,
*	*	Ьея*	к$В{
где р(В) — спектральный радиус матрицы В = дРу/<9ф.

Сходимость вязких расчетов при использовании локального шага
по времени достаточно медленная. Для ускорения сходимости при
моделировании низкоскоростных течений локальный шаг по времени
в узле г заменяется величиной СРЬ-Р* (матричный шаг по времени),
где Р-1 — матрица предобусловливания в узле г.
2.7.	Решение системы разностных уравнений
Рассмотрим реализацию многосеточного метода решения системы
разностных уравнений, полученной в результате конечно-объемной
дискретизации уравнений Эйлера или Навье-Стокса на неструктури¬
рованной сетке. Последовательность вложенных неструктурированных
сеток строится при помощи метода схлопывающихся граней, учитыва¬
ющего особенности задачи (невязкая/вязкая).
2.7.1.	Многосеточные технологии. Выбор метода решения си¬
стемы разностных уравнений оказывает существенное влияние на
устойчивость вычислительной процедуры и скорость сходимости ите¬
рационного процесса. Одним из универсальных методов решения си¬
стем разностных уравнений является многосеточный метод (МиШ-Опс!
МеИюё, МОМ), основанный на использовании последовательности
вложенных сеток и операторов перехода от одной сетки к другой.
Процесс решения начинается с самой грубой сетки. Решение, по¬
лученное на грубой сетке, интерполируется на подробную сетку и ис¬
пользуется в качестве начального приближения в каком-либо итераци¬
онном процессе, что требует сравнительно небольшого числа итераций
для достижения заданной точности. При этом учитывается свойство
некоторых итерационных методов (например, метода Гаусса-Зейделя)
сходиться с высокой скоростью на нескольких итерациях за счет быст¬
рого подавления высокочастотных компонент Фурье начальной ошибки
в разложении по базису из собственных векторов, замедляясь в даль¬
нейшем. Низкочастотные гармоники сходятся медленнее и составляют
основную часть ошибки.
Многосеточный метод не является фиксированным методом, а пред¬
ставляет собой шаблон и сборную конструкцию, эффективность ре¬
ализации которой зависит от адаптации ее компонентов к решаемой
задаче.
Наиболее простой реализацией классических многосеточных мето¬
дов является каскадный метод, состоящий из процедуры интерполяции
с итерационным сглаживанием.
Многосеточный алгоритм для стандартной пятиточечной дискре¬
тизации уравнения Пуассона в единичном квадрате сформулирован
в работе [50], а заложенные идеи получили развитие в работах [3, 4].
Существенный вклад в перенесение идей многосеточного алгорит¬
ма на область решения нелинейных уравнений, разработку техники

многоуровневой адаптации и метода вложенных итераций внесли ра¬
боты [99, 176].
В современных численных методах используются многоуровневые
многосеточные методы с явным и неявным построением последователь¬
ности сеток.
Многосеточный цикл включает в себя следующие этапы: предва¬
рительное сглаживание (рге-зтоо1Ып^), расчет невязки на текущем
уровне сетки (гез1с!иа1 са1си1а1юп), ограничение и коррекция невязки на
грубой сетке (гезШсШп), продолжение и интерполяция ошибки на по¬
дробную сетку (рго1оп§аИоп), коррекция решения на подробной сетке
с использованием поправки, интерполируемой с грубой сетки (соагзе
§пс! соггесйоп), заключительное сглаживание (розЬзгтюо^Ып^) для
погашения высокочастотных компонент погрешности, появляющихся
после интерполяции на подробную сетку. Вычисления прекращаются
по достижении заданной точности.
Сглаживающий метод (зшоо1Нег), демпфирующий высокочастотные
моды ошибки, представляется наиболее зависимым от типа решаемой
задачи компонентом многосеточного метода [200]. Роль сглаживающе¬
го метода заключается в том, что он должен не столько уменьшать
полную ошибку, сколько сглаживать ее (подавлять высокочастотные
гармоники) так, чтобы ошибка допускала хорошее приближение на
грубой сетке. Стандартными сглаживающими методами являются ли¬
нейные итерационные методы (метод Якоби, метод Гаусса-Зейделя,
метод неполной факторизации).
Выбор последовательности сеток и оператора интерполяции во мно¬
гом определяют качество многосеточного метода. Критериями качества
являются фактор сходимости, показывающий насколько быстро схо¬
дится метод (сколько итераций требуется для достижения заданного
уровня невязки), и сложность операторов ограничения и продолжения,
определяющая количество операций и объем памяти, необходимых для
каждой итерации.
В задачах механики жидкости и газа для реализации многосеточ¬
ной технологии применяются различные подходы.
1.	Используется независимая последовательность сеток, построен¬
ных при помощи того или иного сеточного генератора [308] (Ыаск-
Ьох дп<3 ^епега!ог). Процедура построения сеток различного уровня
не является полностью автоматизированной (сетки различного уровня
строятся вручную), а связь между топологией сеток и многосеточным
методом отсутствует. Однако имеется возможность использования про¬
извольного сеточного генератора, что придает подходу определенную
гибкость.
2.	Для решения сложных задач используется подход, основан¬
ный на построении весовых множителей грубой сетки (ес1^е у/е|'^Н1з)
при помощи слияния контрольных объемов подробной сетки [251]
(а^1отега!юп тиШ-дпс!). Использование гибридной сетки не приво¬

дит к дополнительным трудностям, обеспечивая высокие показатели
эффективности.
Различают алгебраический (А1§еЬга]с МиШ-Опс1, АМО) и геомет¬
рический (Ри11 АрргохтаНоп ЗЬга^е, РАЗ) подходы. В алгебраическом
подходе дискретные уравнения на последовательности вложенных се¬
ток формируются без построения вложенных сеток, а в геометриче¬
ском — иерархия сеток создается при помощи слияния контрольных
объемов подробной сетки (при этом отпадает необходимость хранения
сеток различного уровня в виде отдельных файлов). В зависимости
от топологии исходной сетки, грубые сетки имеют ячейки нерегу¬
лярной формы с различным числом граней (несколько контрольных
объемов подробной сетки объединяются в контрольный объем грубой
сетки). Простота построения сеточных уровней приводит к простоте
построения операторов ограничения и продолжения. Геометрический
подход представляется более подходящим для решения нелинейных
задач, поскольку нелинейности исходной системы передаются вниз
по иерархии сеток (от подробной сетки к грубой). Подход нарушает
сумму порядков точности операторов ограничения и продолжения при
решении уравнений Навье-Стокса [176].
3.	Последовательность вложенных сеток строится при помощи внед¬
рения новых узлов с последующим перестроением сетки [69] (дпс!
айарИуе геПпешеп!). Процесс построения сеток начинается с самой
грубой сетки, что приводит к трудностям контроля качества подробной
сетки в пристеночной области при решении вязких задач. Несмотря
на полностью автоматизированную процедуру построения последова¬
тельности вложенных сеток, возникают также трудности при моде¬
лировании течений около тел сложной формы, для воспроизведения
поверхности которых используются сплайны.
4.	Использование процедуры, основанной на схлопывании грани
подробной сетки для перехода к следующему сеточному уровню. Про¬
цесс построения сеток начинается с сетки наилучшей разрешающей
способности. Такой подход представляется достаточно гибким и эффек¬
тивным, позволяя достичь 1-го порядка точности для оператора огра¬
ничения и 2-го порядка точности для оператора продолжения [69, 270],
и в модифицированном виде используется в данной работе.
Последовательность вложенных структурированных сеток строится
тривиальным образом (узлы сетки поочередно удаляются в каждом
координатном направлении).
Подход к построению последовательности вложенных треугольных
и тетраэдральных сеток развивается в работе [129] (Ы1 соагзешп^
те1:Ьос1). Два узла сетки, связанных гранью, заменяются одним узлом,
а все ячейки, связанные с этой гранью, перестраиваются. В процессе
огрубления сетки отношение числа ячеек к числу узлов остается по¬
стоянным. Дополнительные ограничения позволяют добиться изотроп¬
ности сетки (например, около стенки).

Обобщение подхода [129] на случай гибридных сеток представля¬
ется затруднительным, поскольку при перестроении ячеек их форма
(число угловых точек) должна, по возможности, сохраняться, чтобы
не нарушалась топология вложенных сеток. На треугольной или тет¬
раэдральной сетке удаление двух узлов и замена их одним (схлопы-
вание грани) приводит к исчезновению ячейки, а на гибридной сетке
исчезновение ячейки связывается со схлопыванием нескольких гра¬
ней. Огрубление сетки в регулярной шестигранной области приводит
к уменьшению числа узлов в 2 раза, но не приводит к уменьшению
числа, граней, в связи с чем подход [129] не сохраняет регулярной
структуры грубых сеток.
В работе [279] рассматривается граф узлов сетки и вводятся два
ограничения, одно из которых состоит в том, чтобы схлопывание
граней сетки не приводило к возникновению ячеек с отрицательным
объемом, а другое — в том, чтобы длина ни одной из соседних граней
не превышала заданной длины (при огрублении сетки длина грани
удваивается). Подход [279] дает последовательность сеток высокого
качества в приблизительно изотропном случае (расчеты невязких тече¬
ний). В расчетах вязких течений подход приводит к слишком грубому
разрешению сетки вблизи стенки, не обеспечивая надлежащей точ¬
ности [268].
В модифицированном подходе (сИгес1юпа1 соагзепт^ теплое!), раз¬
виваемом в [268], для построения сетки в пограничном слое, где
используются ячейки, сжатые по нормали к стенке, накладывается
дополнительное ограничение, не позволяющее схлопывать самую ко¬
роткую грань в ячейке. Схлопывание грани производится тогда, когда
имеется еще одна грань, ориентированная по нормали к стенке. Моди¬
фицированный подход позволяет сохранить структурированную часть
сетки вблизи стенки (например, около профиля). Потеря регулярности
сетки вдали от профиля сравнительно слабо сказывается на качестве
численного решения. Недостаток подхода состоит в том, что скошен¬
ность ячеек грубой сетки возрастает.
Многосеточный метод находит также применение в совокупности
с блочным методом Якоби, используемым для предобусловливания
уравнений Эйлера и Навье-Стокса [316]. Предобусловливание демпфи¬
рует все конвективные моды, в то время как многосеточный метод, ис¬
пользуемый на сетке, огрубляемой в направлении, нормальном к стен¬
ке (поперек пограничного слоя), гарантирует подавление акустиче¬
ских мод.
2.7.2.	Реализация многосеточного подхода. Рассмотрим систе¬
му разностных уравнений
N{<2) = ;,	(2.31)
где N — дискретный оператор.

Итерационная процедура дл :истемы уравнений (2.31) записыва¬
ется в виде
д"+1 = дп + 7-‘[/-ЛГ| .•*)] для 71=1,2,...,
где ^ — якобиан, а Я = / — Л^ф71) представляет собой невязку. Верх¬
ний индекс п относится к номеру итерации.
В основе многосеточной технологии решения системы (2.31) лежат
вычисления на последовательности вложе....ых сеток к\Э...^>км,
порождающих последовательность коне1 шерных пространств
Уд, э ... э Унм, и на последовательности опер )рных уравнений
ЛГк(<г*) = /\ «г*еУл„ к= 1	м.
Решение на грубой сетке используется для коррекции поправки Ре-
шения на подробной сетке. В отсутствие согласованного решения по¬
лучается относительная погрешность аппроксимации порядка 0(Ь^)
на сетке уровня к. Хорошая аппроксимация достигается тогда, когда
вектор фг_| оказывается близким к Спо крайней мере с точностью
порядка 0(/г^,). Решение на более грубой сетке С}1 служит начальным
приближением для решения на подробной сетке С}1~1.
Дискретизация уравнений на последовательности вложенных сеток
не представляет затруднений, поскольку реализация метода конечных
объемов не имеет ограничений по числу ячеек и их граней, а также
по форме ячеек (при использовании гибридной сетки форма ячеек
исходной сетки изменяется при переходе к следующему сеточному
уровню).
Для решения системы (2.31) применяется схема полной аппрок¬
симации [99, 176] (Ри11 Арргох1та1юп ЗсНете, РАЗ). В отличие от
методов линеаризации по Ньютону с адаптацией числа многосеточных
итераций на каждой итерации или с фиксированным числом многосе¬
точных итераций на каждом шаге, схема полной аппроксимации поз¬
воляет избежать глобальной линеаризации (линеаризация проводится
внутри цикла на самой грубой сетке) и не проводить расчета якобианов
большой размерности , а также использовать разнообразные алгоритмы
сглаживания. Согласования внутренних и внешних итераций не тре¬
буется.
В дискретном виде на подробной сетке имеем
= Л	(2.32)
где фн — точное решение дискретной системы. Выбирая С}к в качестве
начального приближения и определяя погрешность решения Ен = С}н —
—	перепишем (2.32) в виде
дг'1 {дн + ен) = /\
(2.33)

Вычитая Nк(^к) из обеих частей уравнения (2.33), получим
лг'1 (дл + ек) - мн{<эн) = !к - лг/1(<э;г) = кк{ЯК'
Ограничим невязку и решение на грубую сетку
NН{ЕН) = 1ЦКН(С},1)\
атн(1?(Эн + ен) - лгя(/яд/г) = /я [;н - ^л(дл)].
Под Iя и 1н понимаются операторы ограничения с подробной сетки
на грубую и продолжения с грубой сетки на подробную, в частности,
дя = 1{?Нк, С}к = 1цКн. На подробную сетку переносится погреш¬
ность и невязка, которые являются гладкими функциями (в отличие от
решения).
На грубой сетке имеет место уравнение
/Н = /Ц [/Л - ЛГ'>(<ЭЛ)] + N"(1,?<?'•).
Для решения системы уравнений ./Уя(дя) = /я делается пс сглажи¬
вающих итераций на грубой сетке (обычно пс ~ 10).
Поправка при переходе с подробной на грубую сетку имеет вид
тИ = Л/'я(/^д'1) - 1%Мк{(Эк).
Поправка к уравнению на грубой сетке делается для того, чтобы
решение на грубой сетке совпадало с решением на подробной сетке.
Реализация многосеточж метода сводится к выполнению следу¬
ющей последовательности шагов.
1.	Делается !1\ приближений решения на сетке к при помош" мето¬
да Гаусса-Зейделя (предварител^ сглаживание):
д^ := д* + (7Л)-' Г/* - Nн(^,^)
Для простоты записи верхний инд<	...осящийся	к	номеру итера¬
ции, опускается.
2.	Невязка Кк = }к — Мк{С}к) € V*, проектируется на пространство
Ун, поэтому Кн = Iя Кк.
3.	Находится приближенное решение на грубой сетке МН(С}Н) —
= Ми(1^^к) + Кн. Для этого делается 7 циклов и тьс итераций на
самой грубой сетке для сглаживания.
4.	Погрешность Ея = дя - 1^Як интерполируется на подробную
сетку и производится коррекция решения на подробной сетке:
С!* := С)н + I& (<?н - 1ЦЯк).

5.	Делается Ц2 приближений решения на подробной сетке для по¬
давления ошибки интерполяции (заключительное сглаживание).
Задается число сглаживающих итераций на каждом уровне (обычно
М! = А^). число рекурсивных вызовов метода 7 на каждом уровне и чис¬
ло итераций пс на самой грубой сетке. Одна итерация многосеточного
метода решения системы разностных уравнений определяется рекур¬
сивной процедурой С}п+{ = МСМ{к,Оп), где Си С}п+1 — решения
на итерациях пип + 1. При 7 = 1 одна итерация метода дает У-цикл,
а при 7 = 2 — Ш-цикл.
2.7.3.	Операторы продолжения и ограничения. Для обеспе¬
чения сходимости классических многосеточных методов необходимо
выполнение условия Ор + Оц > Ое [176], где Ор и Од — порядки
операторов продолжения и ограничения, представляющие собой наи¬
высшие степени полиномов +1, которые интерполируются точно опера¬
торами продолжения и ограничения, а Ое — порядок решаемой задачи
(порядок дифференциального уравнения, равный двум для уравнений
Навье-Стокса). Операторы переходов не зависят от решаемой задачи,
итерационного метода и способа упорядочивания неизвестных.
Процедуры продолжения (ргоЬп^аШп) и ограничения (гез^псИоп)
определяются следующим образом.
1.	На шаге продолжения с грубой сетки на подробную (Ггогп соагзе
!о Ппе) для реконструкции решения используется линейная интерполя¬
ция
ДО'1 = до" + (х? - х") • V (Д<ЭН)3- ДЛЯ УгбД-,-, (2.34)
где Д(2 — поправка решения. Индексы к и Я относятся к подробной
и грубой сетке.
Скаляр на треугольной или тетраэдральной сетке К находится при
помощи соотношения
я?= Е Ф“-'(х?)яГ'.
<ес* ■*-'
где ф1* — кусочно-линейные базисные функции, центрированные от¬
носительно узла х^ 6 К. Верхний индекс К относится к сеточному
уровню. Множество	включает узлы тетраэдра на сетке К — 1,
содержащие узлы х^. Около криволинейной границы узлы могут
оказаться вне сетки К ~ 1, что приводит к отрицательным весовым
множителям (процедура экстраполяции), которые полагаются равными
нулю.
2.	На шаге ограничения с подробной сетки на грубую ([гот
Ппе 1о соагзе) вычисляется среднеобъемная невязка (уо1ише-у/е1^Н1ес1
ауега^т^)
л"= Е ^/Е ^	<2-35)
гб/С^	гЕК}

Осреднение по объему предполагает, что выполняется условие
К/
я
= Е к".
Вблизи границы расчетной области (например, вблизи стенки) возмож¬
но, что
у,н > Е
гек.
Условие (2.35) заменяется модифицированным соотношением (ПтКес!
уо1ите-\уе1дН1ес1 ауега^т^)
Я» = Е	Е к")
1&К-,	гек^
(2.36)
Реализацию многосеточного подхода поясняет рис. 2.5. Итерации
начинаются с сетки, имеющей наилучшую разрешающую способность
(уровень 1). Число уровней сетки составляет п1еVе1. Стрелки ука¬
зывают на передачу данных с одного сеточного уровня на другой.
Горизонтальные стрелки показывают, что вычисления (сглаживание)
происходят на одном уровне сетки. Для оценки числа СРЬ выполняется
пзЪагЪ итераций (по умолчанию используется 1 итерация). Параметр
прге задает число итераций для предварительного сглаживания на
каждом уровне сетки (при переходе с подробной сетки на грубую).
Параметр проз!: определяет число итераций для постсглаживания
(при переходе с грубой сетки на более подробную). Параметр псгз
задает число итераций, которое выполняется на самой грубой сетке.
	^ I цикл
Урове„ь4|—НЖНН^ЖЖЖ
Уровень 3
ГГ1ГТ1 Пт
Уровень 2 —
Ж
_ ПШ11
утеныши!!!! ш итшш ш иГПи
п5(аг1 пргс
прол
4 Ограничение ^ Продолжение о Начальное • Вывод невязки
приближение
Рис. 2.5. Реализация многосеточного метода (У-цикл)
2.7.4.	Построение вложенных сеток. Выбор и построение после¬
довательности вложенных сеток представляет собой один из важных

компонентов многосеточного подхода и определяет качество вычисли¬
тельной процедуры.
Количество вложенных сеток представляет собой параметр задачи.
На практике обычно используется не более 4-5 вложенных сеток.
Дальнейшее увеличение числа сеточных уровней не оказывает суще¬
ственного влияния на фактор сходимости.
Вложенные сетки не имеют общих узлов и граней контрольных объ¬
емов. Существует взаимооднозначное отображение между индексами
узлов и граней грубой сетки и сетки наилучшей разрешающей способ¬
ности. Для построения подсеток требуется знать только число узлов
и топологию подробной сетки, поэтому построение вложенных сеток не
зависит от решаемой задачи и оформляется в виде стандартизованной
подпрограммы.
Последовательность вложенных сеток строится при помощи метода
схлопывающихся граней. Два узла г и ] грани заменяются одним
узлом, расположенным посередине между ними (рис. 2.6, а). С каждой
гранью связывается ее длина, которая умножается на фактор роста
грани при переходе к следующему сеточному уровню (например, на 2).
В пограничном слое схлопывание ячейки производится в направлении
наиболее короткой грани (рис. 2.6, б), если только длина грани не
оказывается меньшей некоторого порогового значения, что позволя¬
ет сохранить топологию сетки в пристеночной области. Проверяется
ограничение на длину получившихся граней. Строится список яче¬
ек, фиксируется максимально возможный угол между двумя гранями
(например, 135°) и проверяется геометрический критерий (перебор
производится по всем ячейкам, в состав которых входит схлопыва-
ющаяся грань).
Рис. 2.6. Схлопывание ячейки в направлении наиболее короткой грани на
неструктурированной (а) и структурированной (б) сетках

Алгоритм имеет рекурсивную природу и сравнительно просто ре¬
ализуется. Создается список всех ячеек сетки, который сортируется
в соответствии с их размером. По мере схлопывания ячеек сетки они
удаляются из списка. Алгоритм заканчивает работу, когда список ячеек
оказывается пустым.
Последовательные шаги в преобразовании ячейки сетки в виде
шестигранника в тетраэдр показывает рис. 2.7.
Рис. 2.7. Преобразование ячейки сетки в виде шестигранника в тетраэдр
Алгоритм построения вложенных сеток реализуется в виде следую¬
щей рекурсивной последовательности шагов.
1.	Строится список Т всех ячеек, связанных с узлами г и ] данной
грани.
2.	Строится список С всех граничных граней, которые появляются
один раз в множестве Т.
3.	Строится множество 3 новых ячеек, связывающих узел хп с каж¬
дой гранью в множестве С (связывание происходит, если получив¬
шиеся контрольные объемы являются положительными). Координаты
нового узла зависят от положения узлов грани. Для внутренней грани
координаты нового узла определяются в серединной точке грани. Для
граничной грани для сохранения формы стенки при огрублении сетки
новому узлу присваиваются координаты узла, лежащего на стенке.
Координаты узла хп находятся в соответствии с правилом
хГ| = <
^(Хг + хД	если	Лг	=	^,
Хг,	если	Йг	>	С^,
х^-,	если	йг	<	<1/,
где Ль — номер граничной поверхности, касающейся узла к.
4.	Если все сбъемы в 5 являются положительными, то множество
Т заменяется на множество 8.
2.7.5.	Ускорение алгоритма. Для параллелизации вычислитель¬
ного алгоритма расчетная сетка разделяется на р перекрывающихся
подсеток (по числу процессоров). Разделение расчетной области про¬
исходит как на подробной, так и на грубых сетках. Узлы грубой сетки
принадлежат подсетке данного процессора в том случае, если они
принадлежат подробной сетке.

Ускорение параллельного алгоритма для сетки г на системе с р
процессорами составляет [176]
где Т{ — число ячеек в сетке г, Т-* — число ячеек в разбиении а.
Ускорение многосеточного метода находится из соотношения [176]
Рассмотрим вопросы, связанные с ускорением сходимости итераци¬
онного процесса и моделированием низкоскоростных течений невязкой
и вязкой жидкости на основе сжимаемой формы уравнений Эйлера
и Навье-Стокса.
2.8.1.	Моделирование низкоскоростных течений. При модели¬
ровании течений при низких числах Маха (при М < 0,3) обычно
используется модель несжимаемой жидкости (поле скорости является
соленоидальным VV = 0), а решение стационарной задачи получается
при помощи метода установления.
Уравнение сохранения массы для несжимаемой жидкости содер¬
жит лишь составляющие скорости, в связи с чем нет прямой связи
с давлением, которая для сжимаемых течений осуществляется через
плотность [5, 51]. Для преодоления этой трудности используется метод
искусственной сжимаемости [5], связанный с введением производной
по псевдо-времени от давления в уравнение неразрывности, а также
методы, основанные на процедуре коррекции давления [1, 51] (их
общей чертой является формулировка разностной схемы относительно
приращений искомых функций и решение уравнения Пуассона для
поправки давления на каждом шаге во времени) или принципе расщеп¬
ления неизвестных [5, 51] (метод проекции и его модификации).
В методе искусственной сжимаемости в уравнение неразрывности
вводится фиктивная производная от давления (3~1др/д1 (коэффициент
Р пропорционален квадрату характерной скорости потока). В процессе
установления ненулевая невязка уравнения неразрывности (несоблю¬
дение баланса массы) приводит к возмущению поля давления, кото¬
х	суг	1	шах	{Г“} + пс тах {Т^ } Т/у
а	а
Где С = Ц\ + (12 + 1.
2.8.	Ускорение сходимости

рое через уравнения движения воздействует на поле скорости. При
др/дЬ = 0 (установившееся решение) вклад искусственной поправки
исчезает и выполняется исходное уравнение неразрывности.
Многие задачи механики жидкости и газа, представляющие прак¬
тический интерес, характеризуются изменением скорости потока от
существенно дозвуковой (течение во входном участке канала, цир¬
куляционные зоны) до сверхзвуковой (сопловой участок течения, ло¬
кальные сверхзвуковые зоны при обтекании профиля). Для избежания
разделения расчетной области на подобласти в зависимости от харак¬
терного числа Маха и применения в каждой подобласти упрощенных
математических моделей, соответствующих этим значениям (модель
вязкой несжимаемой жидкости при М <С 1, модель вязкой сжимаемой
жидкости при М < 1 и модель невязкой сжимаемой жидкости при
М > 1), используется математическая модель, основанная на реше¬
нии полных (сжимаемых) уравнений Навье-Стокса. Реализация такого
подхода требует дополнительных усилий, направленных на повыше¬
ние устойчивости вычислений и ускорение сходимости итерационного
процесса.
Характерная черта моделирования низкоскоростных течений на ос¬
нове сжимаемой формы уравнений Эйлера или Навье-Стокса состо¬
ит в возникновении неустойчивости численного решения, а также
уменьшении скорости сходимости итерационного процесса в связи
с малой разницей между скоростями акустических и конвективных
волн [134, 315, 382, 383, 398]. Шаг интегрирования по времени опре¬
деляется скоростью наиболее быстрой волны, а время достижения
стационарного состояния зависит от скорости наиболее медленной вол¬
ны. При использовании явных конечно-разностных схем и растянутых
сеток в пограничном слое шаг по времени ограничивается акустиче¬
скими модами решения и шагом сетки в направлении, нормальном
к стенке [129, 314, 315], поэтому АЬ = 0{Ау/с). Это условие является
на несколько порядков величины более ограничивающим, чем условия,
необходимые для надлежащего разрешения конвективных мод реше¬
ния, в связи с чем АЬ = 0(Ах/ьх) = 0(Ах/ьу).
Невязкий поток через грань контрольного объема находится из
соотношения
Г1. = -
13 2
г'т+г'т
"2 И №-<?<)•	(2-37)
Невязкий якобиан представляется в виде \А\ — Т'-1|Л|7\ где Г —
матрица, составленная из левых собственных векторов якобиана, Л —
диагональная матрица, составленная из собственных чисел якобиа¬
на (А| = ^ - с, Лг = я + с, Л345 = <?). Для низкоскоростных течений
|д| с, что накладывает ограничения на шаг интегрирования по вре¬
мени и приводит к увеличению вклада сглаживающего члена, пропор¬
ционального скорости потока.

Модификация исходных уравнений (умножение на матрицу предо¬
бусловливания) обычно производится тогда, когда число Маха внутри
расчетной области оказывается ниже значения г/М^, где Моо — число
Маха в невозмущенном потоке, г} — некоторый коэффициент (77 > 1).
Несмотря на успешное использование на практике в случае структури¬
рованных сеток [314, 382, 383], глобальное предобусловливание (§1оЬа1
ргесопс1Шошп^) неприменимо в тех случаях, когда число Маха на
входной границе является неизвестным (внутренние течения) или его
выбор представляет собой сложную задачу. Выход состоит в исполь¬
зовании ограничителя, рассчитанного при помощи локального числа
Маха или локального поля давления (локальное предобусловливание,
1оса1 ргесопсШюгмп^).
2.8.2.	Предобусловливание уравнений Навье-Стокса. Ско¬
рость сходимости итерационного процесса зависит от спектральных
свойств линейной системы.
Предобусловливание (ргесопсШюпш^) позволяет видоизменить си¬
стему разностных уравнений таким образом, чтобы собственные числа
якобиана (скорости распространения волн) модифицированной системы
уравнений имели одинаковый порядок величины [267, 398]. Строится
матрица Р (матрица предобусловливания), в некотором смысле близкая
к матрице А (матрица АР~] близка к единичной) и для которой опера¬
ция умножения матрицы на вектор реализуется экономичным способом
(либо прямым методом, либо некоторым внутренним итерационным
процессом, скорость сходимости из-за специальной структуры матрицы
Р выше, чем для матрицы А).
Для спектральной эквивалентности матриц А и Р необходимо,
чтобы для любого вектора и выполнялись неравенства
а(Вп, и) ^ (Аи, и) ^ 0(Ви, и).
Множители а и /? не зависят от размерности матриц. Собственные
числа матрицы АР~1 принадлежат отрезку [а, 0\ и задача становится
хорошо обусловленной.
Среди методов алгебраического предобусловливания, когда матрица
Р определяется только элементами матрицы А, а информация о диффе¬
ренциальной задаче и способе ее дискретизации (дифференциальный
оператор, расчетная область, сетка) не используется, находит примене¬
ние метод неполной 1/17-факторизации, осуществляющий приближен¬
ное /^-разложение с занулением внедиагональных малых элементов
верхней и нижней треугольных матриц. В случае симметричной и по¬
ложительно определенной матрицы неполное разложение Холесского,
используемое в качестве предобусловливания в методе сопряженных
градиентов (Соп]и^а1е СгасНеп*, СО), дает хорошие результаты для
больших задач.
В других случаях матрица Р-1 (именно эта матрица нужна в про¬
цессе вычислений) ищется как разреженная матрица, делающая малой

||Е — АР~1 | для некоторой подходящей нормы. Использование инфор¬
мации об исходной дифференциальной задаче повышает возможности
поиска эффективного предобусловливания.
Физическое предобусловливание, которое широко используется при
решении уравнений Эйлера на структурированных сетках, достаточно
трудно реализуется на неструктурированных сетках, в связи с чем
находит применение численное предобусловливание [267, 314, 315].
В работах [62, 277, 278] развиваются методы полунеявного (зегш-
1трПсй ргесопсШюпт^) и полностью неявного предобусловливания
(1гпрИсК ргесопсШюшп^), поскольку явные методы не обеспечивают
демпфирования низкочастотных мод решения. Для решения системы
разностных уравнений применяется многосеточный метод, а огрубле¬
ние сетки производится одновременно по всем координатным направ¬
лениям (Ги11 соагзешп^ те^Ноб) [62]. Для успешного использования
многосеточного метода предлагается также подход, основанный на
последовательном огрублении сетки в каждом координатном направле¬
нии [277, 278] (зегтп-соагзешп^ те{Нос1).
В другой реализации подхода (Нпе-шрНсМ .ЫасоЫ ргесопсПИошп^).
разработанной в [62], матрица предобусловливания строится с учетом
невязких и вязких слагаемых в направлении, нормальном к направле¬
нию потока. Преимущество модифицированного подхода [62] состоит
в том, что его стоимость остается одинаковой как при решении двух-,
так и трехмерных задач (огрубление сетки производится по одному
координатному направлению).
Недостатки подходов [62, 277, 278] связаны с увеличением слож¬
ности и трудностями параллелизации неявных алгоритмов. Несмотря
на то, что для дискретизации уравнений Навье-Стокса широко ис¬
пользуются разностные схемы высокого порядка (2-го и выше), для
дискретизации модифицированных уравнений (после умножения на
матрицу предобусловливания) обычно применяется схема 1-го порядка,
что приводит к недооценке шага по времени [134]. Дополнительный
недостаток имеющихся подходов состоит в их ориентации на решение
узкого круга задач внешней аэродинамики, что накладывает ограниче¬
ние на выбор ограничителя и критерия перехода.
2.8.3.	Выбор шага по времени. При численном решении уравне¬
ний Эйлера или Навье-Стокса используются различные шаги интегри¬
рования по времени.
1.	Глобальный шаг (^1оЬа1 Игле з!ер) выбирается при помощи пере¬
бора всех ячеек сетки:
Да; Ах Ах
Ах
(2.38)
\ч-с\'\д + с\' \д\
шах д(А)'
где д(А) — спектральный радиус якобиана.

2.	Локальный шаг (1оса1 Ише з1ер) находится по параметрам потока
в каждом контрольном объеме:
Ах
Ш)\
(2.39)
При таком подходе скорость сходимости итераций обычно выше, чем
при использовании глобального шага по времени. Его недостаток со¬
стоит в использовании различных СРЬ-условий в ячейках сетки (вы¬
бирается наименьшее значение).
3.	Матричный шаг (таЫх ^те з!ер) вычисляется, исходя из соб¬
ственных чисел якобиана:
(2-40>
оценка которого является локальной.
Умножая уравнение (2.5) на матрицу Т-1, получим
д\У ,
—+ Т-1Д = 0,	(2.41)
дЬ
где д№ — Т~[д(2 — вектор характеристических переменных.
С учетом условия (2.40) уравнение (2.41) примет следующий дис¬
кретный вид:
цгп+1 _ц/п = _А1СТ~ 'п.
Переходя к консервативным переменным, получим
дп+1 _дп = _ТАЬСТ~1 К,
откуда следует, что
дп+1 _ дп = _ (Т^ЛС'Г-1) Я Ах.
Используя (2.38), получим соотношение
<?"+'-<у = -|А|-' тахе(Л) Дх,-,.- Я,
тах д{ А)
которое приводит к следующему уравнению:
^ = - тах д{А)\А\~[Я.	(2.42)
Дискретное уравнение (2.42), записанное с использованием шага АЬд,
соответствует дифференциальному уравнению вида
+ тах^(Л)|Л|_1Я = 0,
о1

из которого получается уравнение
30
ж
записанное с использованием матричного шага по времени.
Метод предобусловливания уравнений Навье-Стокса при модели¬
ровании низкоскоростных течений (1о\у-МасН ргесопсШюпт§;) встраи¬
вается в блочный метод Якоби (В1оск-ЛасоЫ ргесопсШюшп^), который
основан на использовании матричного шага по времени и предназначен
для ускорения сходимости итерационного процесса.
Использование многосеточного метода является достаточно выгод¬
ным для задания матрицы предобусловливания. При численной реа¬
лизации матрица предобусловливания не вычисляется в явном виде,
а задается правило ее умножения на произвольный вектор, которое
состоит в выполнении нескольких циклов многостеочного метода.
2.8.4.	Скалярное и блочное предобусловливание. Матрица пре¬
добусловливания выбирается, исходя из линеаризованной формы урав¬
нений Эйлера или Навье-Стокса.
В двумерном случае линеаризованные уравнения Навье-Стокса
имеют вид
§ + + М)
01	ох ду ох1 оу1 ох оу
Оценка шага интегрирования по времени производится исходя из
оценок гиперболической и параболической частей уравнения (2.43),
соответствующих невязким и вязким потокам:
1	_ 1 1
д* “ д*] + дг2‘
Оценки шагов А^^ и Д^ находятся с учетом спектральных радиусов
невязкого и вязкого якобианов:
1
Д*1 СРЬ
1 1
Д*2 “ СРЬ
0(Л) , б(В)
Ах Ду
4е(С) МГ>) в(Е)
т	А	О	I
Ах2	Ду2 АхАу
Для уравнения (2.43) шаг по времени АЬ определяет скалярный
множитель предобусловливания Р~1 = 1/Д2. Для уравнений Эйлера
множитель предобусловливания определяется гиперболической частью
уравнения (2.43), поэтому Р~1 = \/АЬ\.
В случае блочного предобусловливания используется матричный
шаг по времени, и матрица предобусловливания имеет вид [315]
Р~1 =
СРЬ \ Дх
ПА[ \В\	2С_	2Л\
\ Ах Ау Ах2 Ау2)

При решении уравнений Эйлера вязкие члены отбрасываются, поэтому
матрица предобусловливания принимает вид
2.8.5.	Построение матрицы предобусловливания. Для ускоре¬
ния сходимости вместо глобального и локального шага интегрирования
по времени используется характеристический (матричный) шаг по вре¬
мени (блочное предобусловливание).
Уравнение (2.5) записывается в модифицированной форме
С учетом расщепления потока, записанного в виде (2.3), матрица
предобусловливания в узле г представляется в виде суммы вкладов
невязкой и вязкой составляющих:
Матрица предобусловливания рассчитывается в каждом узле сетки
перед проведением расчетов на данном шаге по времени, обращается
и умножается на вектор невязки. Расчет матрицы Р/, соответствующей
невязким потокам, производится во внутренних и граничных узлах
сетки, а матрицы РУ, соответствующей вязким потокам, только во
внутренних узлах сетки, поскольку вязкие потоки на стенке обраща¬
ются в ноль.
Использование предобусловливания приводит к изменению формы
представления диссипативного члена в соотношении для расчета невяз¬
ких потоков, что делает сравнительно простой модификацию суще¬
ствующего программного кода. В отличие от структурированной сетки,
матрица предобусловливания на неструктурированной сетке имеет раз¬
личный вид для схем 2-го и 4-го порядка.
Вклад невязких потоков. При использовании предобусловливания
вместо соотношения (2.37) для расчета невязкого потока через грань
(г,^) используется формула
Матрица предобусловливания строится таким образом, чтобы новые
скорости волн, которые определяются собственными числами мат¬
рицы РА (модифицированный якобиан), имели одинаковый порядок
величины.
В силу теоремы о дивергенции, интеграл от постоянного вектора по
замкнутой поверхности равняется нулю, поэтому из соотношения (2.9)
следует, что
р"'^ + л(д)=0-
(2.44)
р,-' = №Г‘ + ИТ1-

Матрица предобусловливания для невязких потоков приобретает вид
(р1) 1 = 2^ ( ^ \Аа |-Ц^пуДду + ^2 1^|-Ц^п^Дв4Д
г \ з€Е1	кев1	/
(2.46)
Параметр (р определяет порядок разностной схемы.
Соотношение (2.46) показывает, что в случае неструктурированной
сетки матрица предобусловливания оказывается различной для схем
2-го {<р = 1) и 4-го (<р = 0) порядка, в то время как на структу¬
рированной сетке она имеет одинаковый вид для обеих разностных
схем. Как следует из (2.45), предобусловливание изменяет лишь фор¬
му представления диссипативного члена, что упрощает модификацию
существующего программного кода.
Матрица РА имеет следующие собственные числа:
Д1 = ^ (1 +е)д- ^т, Л2 = ^ (1 + ё) д + ^т, А3 = Л4 = Л5 = д,
где г = [(1 - г)2#2 4- 4е,с2]1/2. Роль параметра е заключается в уравнове¬
шивании собственных чисел невязкого якобиана. Поскольку в звуковой
точке имеется особенность, то предобусловливание выключается при
определенном числе Маха (на практике при М > 1/\/3 или на основе
какого-либо другого критерия). При в —> О (М —► 0) все собственные
числа имеют порядок скорости потока. При е —> 1 (М —► 1) предобу¬
словливание сводится к умножению невязки на единичную матрицу.
Матрица предобусловливания представляется в симметричном виде,
используя разложение [382]
Р = ЛГ ГЛГ1,
где N — матрица перехода от симметризованных к консервативным
переменным, Г = сНа§{е:, 1,1, 1,1}. Выбор матрицы Г в таком виде
эквивалентен подходу [398], сформулированному в симметризованных
переменных.
Учитывая разложение невязкого якобиана и связи между якобиана¬
ми в консервативных, примитивных и симметризованных переменных,
запишем
\ас\ = мап?-1[га5|.лг1м-1 = ШУГ-'Г"1 [Л^ЛГ'М-1,
где М и N — матрицы перехода. Индексы р, с и з относятся
к примитивным, консервативным и симметризованным переменным.
Вид матриц Тс и Тр, записанных с использованием консервативных
и примитивных переменных, а также матриц перехода приводится
в приложении.

Вклад вязких потоков. При построении матрицы предобусловли¬
вания для вязких потоков смешанными производными пренебрегается,
а градиент в серединной точке грани представляется в виде
д(3 Л д<Э _	-	<Зг
дЬ д1 |х7- — Хг |
Вектор 1 направлен вдоль грани (г,у) от узла г к узлу ^.
Соотношение (2.10) примет вид
□У _	1	г>	д
г — у 2-^ с д1 пч ч ’
г 3€Ег
где Вс — вязкий якобиан в консервативных переменных.
Для более точного расчета производных от скорости в узлах сетки,
входящих в вязкий якобиан, используются примитивные переменные.
Вязкий якобиан в примитивных переменных находится из соотношения
Вс = ВРМ~[. Вид этих матрицы приводится в приложении.
Матрица предобусловливания, соответствующая вязким потокам,
во внутренних узлах сетки записывается в виде
Учет граничных условий. Расчет невязкого и вязкого якобианов
производится в каждом внутреннем узле сетке. В граничных узлах
вязкий якобиан не рассчитывается в связи с постановкой условия при¬
липания на стенке. При решении уравнений Эйлера невязкий якобиан
в граничных узлах сетки изменяется таким образом, чтобы удовлетво¬
рить условию непротекания (V • п = 0).
Для построения матрицы предобусловливания в граничных узлах
сетки используется локальная система координат (хп,хТ\,хТ2), в кото¬
рой ось хп направлена по нормали к поверхности, а оси хт\ и хт2 — по
касательным к ней. Преобразование одной системы координат к другой
осуществляется при помощи матрицы Т (матрица вращения).
При использовании предобусловливания уравнение имеет вид
р~'^ = -я
ей
При вычислении правой части необходимо обеспечить выполнение
условий уп = 0 и Ауп = 0.
1. Условие уп — 0
мтр- 1Т-1(Гдд) = -м{ТК).	(2.47)

2. Условие Ауп = О
8{ТАЯ) = 0.	(2.48)
Суммируя соотношения (2.47) и (2.48), обеспечивающие прямой
и обратный поворот системы координат, получим уравнение
[р-1 _ Т-'ЗТ{Р~' - /)] ^ = -(I - Т~1ЗТ)П,
(2.49)
где 5 — матрица, позволяющая обнулить нормальную компоненту им¬
пульса и удовлетворить граничному условию непротекания на стенке,
I — единичная матрица, М = I - 8. При этом 8 = сПа§{0,1,0,0,0},
М = сПа§ {1,0,1,1,1}, а матрица Т имеет следующий вид:
Т —
/ 1
ООО
0\
0
ТЪХ ТЬу 71%
0
0
^х1 1у\ ^г1
0
0
^х2 1уЧ
0
\°
ООО
ч
умножение матриц дает
/°
0 0
0
°\
0
п2х пхпу
пхп
г
0
0
пхпу п2
п2п
У
0
0
п\
0
\0
0 0
0
0/
Т~Х8Т =
С точки зрения программной реализации, учет граничных условий
производится за два шага. Изменению подлежат только составляющие
якобиана, соответствующие скоростям потока в координатных направ¬
лениях х, у иг.
1.	Шаг 1 (рге-тиШр1у), ] = 1,, 5:
где
Мз = Мз ~ бАпх, - А^ - 5Апу, А^ = А^ - 6Апг,
3А — А%^ пх -Ь* А^ Пу А^ .
2.	Шаг 2 (роз^-шиШр^), г = 1,..., 5:
А%ч = А{2 — 5Апх, А{ з = ^4гз 5Апу, А^4 —	5Агь^%
где
5А — А\2 ТЬх Ч- А%3 Т1у Ч- Ах\ Т1г, 5А — 5А	8(2 71х гЗ Ну ^»4
Выбор ограничителя. Для получения устойчивого решения зада¬
чи необходимо, чтобы е = 0(М2). В отличие от подходов [129, 314,
5	К. Н. Волков, В. Н. Емельянов

315], используется локальный ограничитель е = пип {1,г/М^ах}, где
1 < г} ^ 4 (в расчетах г) = 3).
Для нахождения Мтах проводится цикл по всем граням неструк¬
турированной сетки. Находится максимальное число Маха для двух
узлов, связанных с гранью, и сохраняется для обоих узлов. Процеду¬
ра повторяется несколько раз (4 раза), в результате чего находятся
области течения с общим максимальным значением локального числа
Маха. Такой подход гарантирует, что конвективные и акустические
волны имеют одинаковый порядок величины, сравнимый со скоро¬
стью потока. Сделанная оценка является локальной и обеспечивает
гладкое поведение ограничителя потока. Однако он неприменим при
моделировании внутренних течений, в которых число Маха на входе
в расчетную область обычно неизвестно.
Ограничитель рассчитывается в серединной точке грани (г,^‘) как
полусумма значений, полученных в узлах е = (г* 4- е7-) /2. Для нахож¬
дения величин Ег и в] в узлах сетки используется алгоритм, основан¬
ный на последовательном исполнении следующих шагов.
1.	Перебираются все грани сетки, для каждой из которых находятся
параметры, зависящие от локального распределения скорости и давле¬
ния:
В противном случае, М = М. Полученные значения сохраняются в каж¬
дом узле сетки.
2.	Перебираются все узлы сетки и в каждом узле производится
осреднение:
где N1 — число граней, связанных с узлом г.
3.	Для сглаживания делается т}т — 5 итераций. На каждой итера¬
ции перебираются все грани сетки, для каждой из которых полага¬
ется, что
М2 = 4? ^ + ^'1 + 1у< “	’
При М2 < Р полагается, что
5г — шах {е*, 5} ,	6] = шах {Е^, —5} ,

где 6 =	—	Ег.	Перебираются	все	узлы и для каждого узла находится
сглаженное значение ограничителя:
1 г	$г
Е‘'С' + 24 + Щ-
4.	Перебираются все узлы сетки и производится ограничение в каж¬
дом узле:
Ег = а ^1,2 — 0,2а5^ , а = пип {1,77?*} ,
где 77 ~ 12.
2.8.6.	Метод искусственной сжимаемости. Для предобусловли¬
вания уравнений Навье-Стокса при моделировании низкоскоростных
течений вводится производная по псевдо-времени от вектора прими¬
тивных переменных [398] (Мте-ёепуаШе ргесопйШошп^).
Перейдем в уравнении (2.4) к примитивным переменным
<9<2 д
дУ т
УйП + о Г (18
дУг
НёП.
(2.50)
V*
При моделировании течений несжимаемой жидкости выбор прими¬
тивных переменных обеспечивает точный расчет градиентов скорости
и температуры при дискретизации вязких потоков, а также градиента
давления при дискретизации невязких потоков.
В уравнении (2.50) матрица перехода М = дС^/дУ заменяется мат¬
рицей предобусловливания, которая имеет следующий вид:
( Рр
0
0
0
РТ \
РрУ X
Р
0
0
РтУх
р-1 =
РрУ у
0
р
0
РТУу
РрЪг
0
0
Р
РТУг
\ ррН — 8
рУх
руу
рУг
ртН + рСр
где Я — полная энтальпия. Для идеального газа 5 = 0, а для несжима¬
емой жидкости — 5=1. Параметры рр и рт находятся из соотношений
Рр
др
др
др
Рт = Ш
В преобразованном виде имеем
р-> =
(
в
0
0
0
Рт
\
9и
Р
0
0
рти
6у
0
Р
0
рту
вш
0
0
Р
РТУ)
\
9Н-6
ри
ру
ри>
ртН + рср
/

Здесь
Щ
РТ
рср
Параметр Ьтт выбирается так, чтобы собственные числа якобиана были
одного порядка с конвективными и диффузионными масштабами [398].
Якобиан модифицированной системы уравнений имеет следующие
собственные числа:
Л) = д, Л2 = д, А3 = д, Х4 = д' + с', Л4 = д' - с'.
Здесь
д — "V • п, </ = д(1-а:), с'= (а2 д2 + II2)1/2.
Параметры а и /? находятся из соотношений
а=1(1-ДО*). ^=(^ + 5)-
Для идеального газа (3 = 1/(7КТ) = 1/с2. При М > 1 получим, что
11т = с, а = 0, и все собственные числа имеют порядок д ± с. При
М —► 0 получим, что 1/т —у 0, а = 0,5, и все собственные числа имеют
порядок скорости потока д.
Для течения с постоянной плотностью (р = сопзЪ) получим, что
а — 0,5, /3 = 0 вне зависимости от величины 11т, и все собственные
числа имеют порядок д. При этом рр = 1/112, так что Р = М~1.
2.8.7.	Двойная процедура по времени. Для явной схемы ис¬
пользуется один и тот же шаг по времени во всех узлах расчетной
сетки (опция предобусловливания выключается).
Для неявной схемы используется процедура с введением шага по
псевдо-времени (биаМлте з^еррт^). В уравнение (2.4) вводится произ¬
водная по псевдо-времени
д_
дь
г\
д<й) + р-‘ —
ОТ
Уг
Уг
УдП + о Рв,8 =
ЭУг
НёП,
где Ь — физическое время, г — псевдо-время (рзеибо-Ите). При г —► оо
нестационарный член в левой части исчезает.
Производные по времени дискретизируются при помощи неявной
схемы 1-го или 2-го порядка:
ео д<3
Ат А1дУ
1
ДУк+1 + — ^РЛЗ = #+— (еоЯк -е^п + е2Яп~1) -
У г
А%
Индекс к имеет смысл счетчика внутренних итераций, а индекс п
соответствует слою по физическому времени. При этом ео = е\ = 1/2,

еч = 0 для схемы 1-го порядка и ео = 3/2, е\ = 2, еч = 1/2 для схемы
2-го порядка.
Внутренние итерации на каждом слое по физическому времени
с использованием явной или неявной схемы обеспечивают стремление
к нулю производной по псевдо-времени. Во внутреннем итерационном
цикле Оп~{ и полагаются постоянными, а С}к рассчитывается,
исходя из решения Ук. При г —► сю решение на слое по физическому
времени (2п+1 полагается равным С}(Ук). Шаг по физическому времени
выбирается, исходя из требований точности, а шаг по псевдо-вре¬
мени Дт определяется условием Куранта-Фридрихса-Леви.
2.9.	Дискретизация уравнений Навье-Стокса
на подвижных сетках
Рассмотрим подходы к дискретизации уравнений Навье-Стокса на
подвижных неструктурированных сетках и методы перестроения сеток
на каждом шаге по времени.
2.9.1.	Дискретизации уравнений на подвижной сетке. Подход,
в котором координатные линии структурированной сетки или объем и
форма ячеек неструктурированной сетки остаются неизменными в про¬
цессе расчета, используется при описании стационарных течений при
отсутствии линий раздела и движения жестких границ. В случае мо¬
делирования течений с учетом движения жестких границ или течений
со свободными границами сеточные линии или форма ячеек сетки не
являются фиксированными, а подстраиваются под положения границ,
меняющихся во времени, что приводит к использованию подвижных
(лагранжевых) сеток.
Построение новой сетки на каждом шаге по времени представля¬
ется достаточно дорогостоящей процедурой, поэтому сетка строится
перед началом расчета, а затем ее узлы на каждом шаге по времени
перемещаются по некоторому закону.
Распределение узлов сетки внутри расчетной области обычно кон¬
тролируется распределением узлов на ее границе, а перемещение уз¬
лов — решением уравнения Лапласа или линейного уравнения упруго¬
сти. Движение границы определяется либо внешними факторами, либо
является частью самого решения как, например, при моделировании
течений со свободными границами.
Для структурированных (в том числе, криволинейных) сеток ши¬
рокое распространение получили метод трансфинитной интерполя¬
ции [175] ({гапзПпКе ЫегроЫюп) и метод изопараметрического отоб¬
ражения [160] (15орагате1пс таррт^).
Основная трудность реализации вычислительных алгоритмов на
подвижных неструктурированных сетках/состоит в сохранении каче¬
ства деформированной сетки внутри области (в частности, необходимо

обеспечить положительность контрольных объемов деформированной
сетки).
Для контроля качества сетки используются топологические и гео¬
метрические критерии. Проверка топологических критериев (появление
узла на каждой грани и грани в каждой ячейке не более одного
раза, две ячейки разделяют не более одной грани, топологическая
замкнутость внутренних и граничных ячеек) не требует знания коор¬
динат узловых точек (для их проверки используется матрица связно¬
сти). Контроль геометрических критериев (положительность площадей
и объемов, замкнутость ячеек и границ, выпуклость и ориентация)
проводится с учетом координат узловых точек сетки. Геометрические
параметры ячеек сложной формы (площадь грани, объем ячейки, нор¬
мали, центр контрольного объема) обычно расчитываются при помощи
декомпозиции ячейки на треугольники или тетраэдры. При деформа¬
ции сетки ее топологические характеристики остаются неизменными,
а изменение претерпевают лишь координаты узловых точек.
Методы дискретизации уравнений Навье-Стокса на подвижных
и деформируемых сетках должны удовлетворять некоторым условиям,
в частности, условию геометрической консервативности [376, 410]. При
вычислении потока по средней скорости возможно появление дополни¬
тельных паразитных массовых источников.
Для явных схем шаг интегрирования по времени определяется усло¬
вием устойчивости и зависит от наименьшего пространственного шага
сетки. При построении неструктурированных сеток достаточно трудно
контролировать размер и форму ячеек. Появление скошенных ячеек
даже в малом количестве приводит к существенным ограничениям
временного шага и его уменьшению до значений, меньших тех, которые
требуются для получения точного решения.
Другой путь состоит в применении неявных разностных схем, что
ставит задачу построения эффективного метода решения системы раз¬
ностных уравнений на каждом шаге по времени.
2.9.2.	Метод конечных объемов. Рассмотрим особенности дис¬
кретизации уравнений Навье-Стокса в области, границы которой из¬
меняются во времени [14].
В консервативных переменных уравнение, описывающее нестацио¬
нарное течение вязкого сжимаемого газа, записывается в виде
^ + V • [*•(<?) + С(О)] = 0,	(2.51)
где С}, Р{0), С(С}) представляют собой вектор консервативных пере¬
менных в точке х в момент времени I, вектор невязких потоков и век¬
тор вязких потоков. Для простоты источниковый член в уравнении
(2.51) не учитывается.

Интегрируя уравнение (2.51) по контрольному объему У(1) с грани¬
цей дУ(1), ориентация которой задается внешней единичной нормалью
п, и применяя теорему Гаусса-Остроградского, получим
Г дО
Г{(Э)-пс1Г +
с?(д)-п^г = о.
(2.52)
У{1)
дУ(ь)
ЭУ(1)
Интеграл от производной по времени в уравнении (2.52) представляет¬
ся в виде разности
У(г)
УЦ)
(3 (х • п) сГГ,
8У{1)
где х — скорость перемещения границы дУ{1) контрольного объема
У(Ь). После подстановки уравнение (2.52) примет вид
д_
д1
[Р(<2) - хф] • п сГГ +
(?((?)-п<2Г = 0. (2.53)
дУ(1)
дУ{1)
Применяя теорему о среднем, запишем уравнение (2.53) в эйлерово-
лагранжевом дискретном виде (АгЪИгагу ЕШеп'ап-Ьа^гап^ап, АЬЕ):
Здесь
^УЯ) + Р[С?,п(*),х(*),х(*)] + 5[<Э, п(*),х(*)] = 0.
Р[<2, п(^), х(*), х(4)] =	|	[Р(<2)	-	х(3]	•	п	ЙГ;
дУ{Ь)
(2.54)
5[(2, п(г),х(г)] =	|	0(0)-пвТ.
дУ (О
По сравнению с уравнением для статических сеток, уравнение
(2.54) включает скорость изменения контрольного объема и скорость
перемещения его границы. В чисто эйлеровой формулировке х = 0,
и для дискретизации уравнения (2.54) используется обычный под¬
ход [13, 18, 26].
На подвижной границе расчетной области для вязкой жидкости вы¬
ставляются граничные условия прилипания и непротекания: V • г = 0,
(у — х) • п = 0, где т и п — касательная и нормаль к поверхности.
2.9.3.	Условие геометрической консервативности. При исполь¬
зовании подвижных сеток погрешность, вносимая дискретизацией про¬
изводных по времени и потоков, зависящих от скорости перемещения

границы контрольного объема и его геометрии, приводит к нарушению
формального порядка точности разностной схемы [376, 410].
Для получения как минимум 1-го порядка по времени требуется вы¬
полнение условия геометрической консервативности [376] (Оеоте1пс
СопзегуаНоп Ьа\у, ОСЬ). Условие сохранения объема является эквива¬
лентным уравнению неразрывности в случае нулевой скорости потока.
Результаты работы [174] показывают, что выполнение условия ОСЬ
является достаточным условием для достижения 1-го порядка точности
по времени, но не является необходимым [168]. В [252] подчеркивает¬
ся, что связи между выполнением условия ОСЬ и порядком точности
разностной схемы по времени нет, а его роль сводится лишь к полу¬
чению консервативной разностной схемы. Вместе с тем, условие ОСЬ
является необходимым и достаточным условием для предотвращения
нелинейной неустойчивости вычислительной процедуры [156].
Согласно трактовке, введенной в работе [376] для структурирован¬
ных сеток, разностная схема удовлетворяет условию ОСЬ, если вектор
(5 = сопз!, соответствующий однородному потоку, является точным
решением уравнения (2.54).
При С} = сопз!; следует, что 5((Э, п) = 0, поскольку вязкие потоки
зависят от градиентов компонентов вектора консервативных перемен¬
ных. Учитывая, что интеграл от вектора невязких потоков по любому
замкнутому контуру равняется нулю для ф = сопзЪ (при условии, что
разностная схема является консервативной по пространству), получим
| |р(<2)-х<2 • п(1Г = й((2,х,х) = -<2Д*(х,х),
дУ(1)
где Д*(х,х) определяет вклад слагаемого, зависящего от скорости
перемещения границы контрольного объема. Запишем условие ОСЬ
в полудискретном виде (01$сге1;е ОСЬ, ЭОСЬ):
^-Д*[х(4),х(<)) = 0.	(2.55)
Имеются различные подходы к построению разностных схем, для
которых выполняется условие ОСЬ, описываемое соотношением (2.55).
В подходе [168] в правую часть уравнения (2.54) добавляется источ-
никовый член, вид которого дает соотношение (2.55). Это гарантирует,
что ф = сопз! при решении уравнения (2.54), даже если условие (2.55)
не выполняется. Другой подход состоит в раскрытии производной по
времени от произведения вектора консервативных переменных и кон¬
трольного объема с последующей оценкой производной по времени от
контрольного объема, фигурирующей в соотношении (2.55). Однако
такой подход не является полностью консервативным [252].
2.9.4.	Дискретизация по времени. Разностные схемы 1-го и 2-го
порядков точности по времени, удовлетворяющие условию ОСЬ, обсуж¬

даются в работах [219, 237], а схема 3-го порядка — в [410]. Неявная
схема Рунге-Кутты 4-го порядка построена в работе [209].
Схема Эйлера. Дискретизируя уравнение (2.55), получим
Уп+] - Vй
‘ м ' = Е<* ■ П>Л5>-
/
Суммирование проводится по всем граням контрольного объема. Учи¬
тывая, что имеет место соотношение [417]
у.п+' - 1Л" = Е щ.
/
найдем скорости узлов сетки, удовлетворяющие условию ОСЬ
АУ;
X • п =
АЬА51
Трехслойная схема. Для невязких течений трехслойная разностная
схема по времени для уравнения (2.54) имеет вид [237] (Васкдуагс!
ОК1егепсе ЗсЬете, ВЭ5)
О	1	к
-У<Эп+' - 2УС)п + 1-У<2п-' = -АЬ^2акН(С1п+',х.к,х.к).
2
к=\
К
где	=	1.	Условие	ОСЬ	требует,	чтобы
к=\
3	,,			1	К
-УСГ+' -2У(гп + ^У(2п-1 = Д*^а*Д*(дп+1,х*,х*).
к=I
Приведенное соотношение позволяет найти координаты узлов сетки хк
и их скорости хк, удовлетворяющие условию ОСЬ. Менее дорогостоя¬
щий подход, с вычислительной точки зрения, состоит в использовании
средних сеточных параметров, что дает [219]
-2У<2п + ^УЯп~{ = -дгД(ф"+1,п\п*),
где
К	К
п* = а* п(х*), П* = ^а*п(хй,хк).
к= 1	к=1
Величины пип являются функциями координат узлов сетки.

Процедура нахождения конкретных значений коэффициентов аь,
удовлетворяющих 2-му порядку точности по времени и условию ОСЬ,
рассматривается в [410].
Многослойная схема. Используя к слоев по времени, разностную
схему для уравнения (2.54) запишем в следующем виде:
к~\
(уаг+' -	=	Д«Л<Э	[(удг+,,4'*+|].	(2.56)
г=0
Координаты узлов сетки и их скорости требуют расчета только на слое
п + 1 по времени. Для схемы 2-го порядка точности (к = 2) по времени
= -4/3, а\ -• 1/3, 02 = 2/3.
Используя (2.56) и полагая, что ф = сопвй, в дискретном виде
получим [252]
А:— 1
уП+] -	=	Д4Д	^ п"+1.
г=0	т= 1
Суммирование проводится по всем граням. Скорость изменения норма¬
ли к грани контрольного объема представляется в виде
й-+| = ^Е^Д1/-	<2-57>
г— 1
где	=	У^1 - У^ представляет собой изменение контрольного
объема между слоями г и г + 1 во времени, обусловленное движением
грани т. Коэффициенты т* находятся из условия
^7,ду.	‘
г= 1	4	г=0	'
Для схемы 2-го порядка получим, что 71 = —1/2, 72 = 3/2.
В одномерном случае использование формулы (2.57) сводится к вы¬
полнению тривиальных действий, поскольку контрольный объем пред¬
ставляет собой линейный сегмент. Смещение контрольного объема за
время ЬЛ равняется смещению концевых точек этого сегмента.
В двумерном случае, считая скорость перемещения сеточных уз¬
лов постоянной (либо по величине, либо по направлению), контроль¬
ный объем, сформированный положением грани в моменты време¬
ни Ьп и гп+1, равняется площади четырехугольника, показанного на
рис.2.8, а.
Расчет контрольного объема, образованного смещением его грани,
также проводится в предположении о постоянстве скорости узлов сет-

Л(*+А"4
А{1)
В{Ь +Д
А(1+1
АЦ)
С{ I + ДI)
т
б
а
Рис. 2.8. Изменение контрольного объема во времени в двумерном (а) и трех¬
мерном (б) случаях
ки. Контрольный объем, сформированный положениями грани в мо¬
менты времени Ьп и гп+1, равняется объему пирамиды, показанной на
рис. 2.8, б.
Схема Рунге-Кутты. В полудискретном виде получим
Для решения уравнения (2.58) вводится псевдо-время т, а вектор
С} принимается в качестве приближения решения на слое п + 1 по
времени и рассматривается уравнение
Внутренние итерации по псевдо-времени проводятся до достижения
сходимости решения. Процедура по псевдо-времени (с1иаИ1те те1Нос1)
оказывается более эффективной, чем явный маршевый метод. На внут¬
ренних итерациях для дискретизации по времени используется схема
Рунге-Кутты 3-го порядка
Здесь аь = 1 /(т — к + 1). Индекс п относится к слою по времени,
индекс т указывает на порядок разностной схемы, а индекс к пред¬
ставляет собой индекс суммирования.
где
+я*(<э)=о,
= Е - <?(* ■ п) + СЮ)], АЗ,.
(2.58)
/
где
(2.59)

2.9.5.	Перемещение узлов сетки. Представим сетку в виде дис¬
кретной псевдо-механической системы с фиктивной массой, а также
фиктивными коэффициентами демпфирования и жесткости. Движение
системы описывается уравнением динамического равновесия
Мй + 1)й + Л и = 0,	(2.60)
где М, П, Л — матрицы массы (тазз та1пх), демпфирования (с!атрт§
та^пх) и жесткости (зШГпезз таШх).
Координаты внутренних узлов сетки рассчитываются путем реше¬
ния уравнения (2.60). Смещения узлов сетки и = х(1) — х(0) на грани¬
це области считаются известными, полагая и(х, {) = при х € <9П.
Считая систему непрерывной, получим уравнение упругих коле¬
баний
где р — плотность фиктивного материала системы, а — тензор напря¬
жений, связанный с тензором перемещений. Частным случаем приве¬
денного уравнения является уравнение Лапласа (Ди = 0).
При использовании дискретного подхода матрицы массы, демпфи¬
рования и жесткости формируются при помощи присваивания каждому
узлу сетки некоторой фиктивной массы, а каждой грани — некоторых
демпфирующих и упругих свойств.
Уравнение (2.60) интегрируется по времени до тех пор, пока не
достигается статическое равновесие системы. Матрицы массы и демп¬
фирования обычно выражаются через матрицу жесткости системы
М = аА, В = 6Л, где а и Ь — некоторые скалярные множители,
значения которых выбираются из вычислительных соображений.
В большинстве случаев рассматривается уравнение статического
равновесия Ли = 0 (перемещения узлов сетки на каждом шаге по
времени являются достаточно малыми).
2.9.6.	Построение деформированной сетки. В основе подходов
к смещению узлов сетки лежат вариационные принципы, основанные
на минимизации потенциальной энергии системы. Ребро, соединяющее
узлы г и ], обозначим через а грань сетки, образованную узлами
г, ] и к — через (г^,к).
Пружинная аналогия растяжения/сжатия. Метод пружинной
аналогии растяжения/сжатия ({епзюп/сотргеззюп зрпп§ апа1о^у) от¬
носится к одному из наиболее простых и распространенных подходов
к перемещение узлов сетки [71].
На каждом шаге интегрирования по времени положения узлов сет¬
ки, характеризуемые вектором ип = хп — хп-1, находятся из решения
уравнения статического равновесия
Лип = 0,
(2-61)

где Л — матрица жесткости, связанная с системой. Перемещения узлов
сетки на границе области дО. считаются заданными и используются
в качестве граничных условий.
С каждым ребром сетки* соединяющим
узлы г и ], связывается пружина (рис. 2.9),
коэффициент жесткости (зШГпезз зрпп§)
которой обратно пропорционален длине
ребра в некоторой степени:
ха = 7р~ * 1Ь = X] [М* “ (хз)ь\2-
ч	к=	I
Такой выбор Ау мотивируется тем, что
при сближении узлов г и 3 пружина
становится более жесткой, предотвращая
схлопывание ребра. Сила, действующая
на ребро (г,з), представляется в виде
щ = л;;.(иу - и").
При р= 1 система уравнений (2.61) является линейной. Смещения
узлов в различных координатных направлениях являются независимы¬
ми и находятся из соотношения
Рис. 2.9. Введение пружин
растяжения/сжатия,
связанных с ребрами
и,
лг,-
= ЕА-
з
N.
Ел
з
-I
гз
где N1 — число ребер, связанных с узлом г.
При этом допускается возможность схлопывания ребра, соединяю¬
щего узлы г и 3, за счет того, что вычисления проводятся с конечной
степенью точности. Кроме того, линейная пружина (Ппеаг зрпп^) не
гарантирует отсутствия пересечения ребер или граней деформирован¬
ной сетки [409].
Использование других значений, например, р = 2 [386] или экс¬
поненциальной зависимости [409] (такой подход находит применение
в расчетах течений со свободной поверхностью), обеспечивает стрем¬
ление силы к бесконечности при сближении узлов г и 3. Однако задача
становится нелинейной, и для ее решения используются итерационные
методы. Линеаризация системы обычно проводится при помощи метода
замороженных коэффициентов.
При использовании метода верхней релаксации соотношение для
расчета смещений узлов сетки на итерации к + 1 имеет вид

Коэффициент релаксации подбирается эмпирическим путем (обычно
~ 1,4). Итерации прекращаются по достижении заданной точности
шах |х?+1 - хЛ ^ е,
г=1	N г	г|
где е = 10-6. Координаты узлов находятся из соотношения
х? = х”-1 4- и™.
В общем случае условие статического равновесия приводит к урав¬
нению У(ЛУи) = 0 [410]. В работе [355] используется уравнение
\7[(1 +7)У]и = 0, где 7 = (Лтах - Ат-1П)/А, что предотвращает ис¬
чезновение мелких ячеек (под А понимается площадь ячейки). Вы¬
полнение принципа максимума для уравнений эллиптического типа
гарантирует, что возмущения, вносимые движением границы, не рас¬
пространяются глубоко внутрь расчетной области. Лапласиан также
остается ограниченным при произвольном изменении коэффициента
жесткости.
В некоторых случаях, например, при использовании сеток со ско¬
шенными ячейками в пограничном слое, подход приводит к сеткам
с нулевыми или отрицательными контрольны¬
ми объемами (происходит схлопывание ячей¬
ки). Поскольку для уравнения Лапласа выпол¬
няется принцип максимума, данный подход не
воспроизводит вращение твердого тела даже
при использовании большйх значений коэффи¬
циента упругости (например, при моделирова¬
нии восходящего или нисходящего движений
крылового профиля это требует большйх сме¬
щений узлов сетки вдали от поверхности про¬
филя).
Обобщение подхода на трехмерный случай
предполагает введение дополнительной линей¬
ной пружины (рис. 2.10), присоединенной к ли¬
нии, образованной узлом и точкой, лежащей на
противоположной грани и соответствующей точке пересечения медиан
треугольника [93] (Ьа11-уег1ех зрпп§ апа1о§у). Подходящий выбор ко¬
эффициента жесткости предотвращает сближение узла и грани. Усло¬
вие статического равновесия записывается с учетом дополнительной
пружины, а смещение дополнительной точки вычисляется при помощи
линейной интерполяционной формулы.
Координаты точки, представляющей собой проекцию узла г на про¬
тивоположную грань, находятся из соотношения
Хр = X; - [(Хг ~ Ху) • п] П,
где п — единичная нормаль к грани (усодержащей точку р.
Рис. 2.10. Введение до¬
полнительной пружи¬
ны растяжения/сжатия
в трехмерном случае

Пружинная аналогия кручения. Для устранения недостатков ме¬
тода пружинной аналогии, основанного на использовании пружин рас¬
тяжения/сжатия, присоединенных к каждому ребру, вводятся допол¬
нительные пружины кручения, присоединенные к каждому узлу сет¬
ки [281] (1;ог5Юп врпп^ апа!о§у).
Рис. 2.11. Введение пружин кручения, связанных с узлами
Коэффициент жесткости пружины кручения (рис. 2.11), присоеди¬
ненной к узлу г, определяется соотношением
хак =	1	=	%А-
1	ЯП2	ер 4 Л?.к'
где 9?к — угол	между гранями (г,])	и (г, к),	Iу	— длина грани
{г,Л, Ацк — площадь ячейки (г^,к). Для расчетов коэффициентов
жесткости используются соотношения
^
Здесь
1й 1%(аи Ьз1 ~ аз1 Ъц)2'
\гзк __ 	|
к 11к Цк (агк Ь^к ~ Ьгк )2 '
Х^-Хг и	У]	~	Уг
гу	гз
При этом	Ьу = —Ь^.
Увеличение коэффициента жесткости пружины (А* —> оо при 0* —» О
или вг —► 7г) предотвращает пересечение граней ячеек при деформа¬
ции сетки, а также появление нулевых или отрицательных площадей
и объемов.
Демпфирующие моменты определяются коэффициентами жесткости
пружины и угловыми перемещениями узлов сетки = Ацк Ав^к, где
вцк = Ягук\1цк. Связь моментов и сил имеет вид Гул = Яг3к 1цк [155].

В двумерном случае вектор сил % = {/*ж, Лу./^х,/^.Лх.Лу}'.
действующих на узлы ячейки (г,^,к), и вектор перемещений узлов
сетки и^к = Уг, г^-, г^, ги*, ги-,}' связаны при помощи соотношения
^.7к>
где
Ар 0
0 \
II
<
0
0
1
0 0
Ар )
(
Ьгк ^
г] &гк
Ьгу (1{у
Ьгк
0>гк
^гзк —
^1]
~аг]
Ь]к Лук
Ь]к
О-ук
\
Ьгк
0>гк
Ьук ~®']к
Ьгк Ь^к
&]к О-гк
Система уравнений является нелинейной и решается итерационными
методами.
Обобщение подхода на трехмерный случай, предложенное в рабо¬
те [139], связано с введением трех треугольников для каждого узла
ячейки (дополнительные узлы вводят¬
ся посередине граней, как показывает
рис. 2.12), что позволяет контролировать
сохранение объема ячейки и предотвраща¬
ет ее от схлопывания.
Расчет элементов матрицы жесткости
в двумерном случае требует 72 сложе¬
ний и 117 умножений на ячейку сетки на
каждой итерации (координаты узлов сет¬
ки считаются известными). Метод являет¬
ся строго обоснованным в случае малых
перемещений и вращений узлов сетки на
шаге интегрирования по времени.
Комбинированный	метод. Недостат¬
ки методов пружинной аналогии, осно¬
ванных на введении	пружин растяже¬
ния/сжатия и кручения, устраняет подход, основанный на их комбина¬
ции [84, 416] (зетМогзюпа! зрг1п^ апа1оцу).
В работе [84] коэффициент жесткости пружины определяется отно¬
шением Хг^/в, где А^- — коэффициент жесткости линейной пружины,
9 — угол поворота грани. Такой подход является противоречивым,
поскольку грань, принадлежащая двум ячейкам, получает различные
перемещения.	_
Коэффициент	жесткости представляется в виде	суммы Ац =	+
+ А^, где	Ау	—	коэффициент жесткости пружины	растяжения, А^- —
Рис. 2.12. Обобщение под¬
хода на трехмерный случай

Рис. 2.13. Определение угла в в двумерном (а) и трехмерном (б) случаях
коэффициент жесткости пружины кручения. Сила, действующая на
грань (г,з), представляется в виде
В двумерном случае для расчета коэффициента жесткости пружины
кручения используется соотношение
— ус
81П2 91
+
1
зт2 92
Коэффициент х выбирается из вычислительных соображений. Коэффи¬
циенты жесткости узлов I и к, принадлежащие ячейкам, разделяющим
грань (г,]) (рис. 2.13, а), находятся из соотношений
А«‘ =
1
51П2 91
=
1
81П 92
Углы 9\ и 02. лежащие напротив грани (г,3) в ячейке (г,зЛ) и напротив
грани (г,з) в ячейке (г,з,к), находятся из соотношений
■ 2 п |(х*-х*) х (х^-х,)|
81П С71 =	—
81П 92 =
1(х* -хг)|2|(х;- -х*)|2’
1(Хг ~ Хд.) X (Х-,- ~ ХА-)|2
|(Х» -Хй)|2 |(Х* - ХА;)!2
При 9 —» 0 или 9 —> 7г пружина становится более жесткой, что предот¬
вращает попадание узла на противоположную грань. Элементы мат¬
рицы В, связывающей вектор сил Гу = {/и, 1гУ, 1зу}' и вектор
перемещений	= {щ,Уг,щ,у^У, имеют вид

Расчет коэффициентов жесткости требует 18 сложений и 20 умноже¬
ний на ячейку сетки на каждой итерации.
Основная трудность реализации данного подхода состоит в опре¬
делении коэффициента жесткости пружины кручения в трехмерном
случае. С вычислительной точки зрения достаточно удобным является
соотношение [416]
1
^гз = Х X/ • 2 пгз ’
тп=1 5Ш ^
где ^ — число ячеек, которые разделяют грань (г,э). Угол 0^, сфор¬
мированный гранями (г,к,1) и {у,к,1) и лежащий напротив ребра (г,у),
принадлежащего элементу т (рис. 2.13, б), находится из соотношения
5Ь2 0« = 1 _ ("'-“г)2
|щ|2|п2|2'
Под П] и пг понимаются нормали к граням (о,к,1) и (г,к,1), которые
находятся через координаты узловых точек:
П] = (х* - X,) X (х*; - Х;) , П2 = (XI - X*) X (х* - Х<) .
Элементы матрицы В, связывающей вектор сил
~ {/гх» /гу» /гг»
и вектор перемещений
Чу = {щ,Уг,гиг,и^,у^,ю^}\
имеют вид
Врд — <5рд Ч" 3	$р-\-3,д-
Расчет коэффициента жесткости для ячейки (г^,к,1) требует 25 сло¬
жений и 25 умножений. В том случае, если грань разделяется N
ячейками, требуется 267У — 1 сложений и 25N умножений. При этом
стоимость расчета в данном случае существенно ниже, чем при ис¬
пользовании пружин кручения в двумерном случае.
В подходе [250] (ог1Ьо-1:ог5юпа1 зрпп^ апа1о§у) в каждом узле
ячейки вводятся 4 дополнительные линейные пружины, 3 из которых
связаны с ребрами, а 1 соединяет узел с точкой, лежащей на проти¬
воположной грани (она представляет собой проекцию узла сетки на
грань ячейки).
В то время как метод пружинной аналогии предполагает малые
деформации сетки на каждом шаге по времени (хотя общие деформа¬
ции за весь интервал интегрирования могут быть большими), данный
подход свободен от этого ограничения, поскольку не использует кине¬

матических соотношений для определения смещений узлов сетки. При
этом ограничения на шаг по времени становятся более мягкими.
Комбинация подходов, основанных на пружинной аналогии рас¬
тяжения и кручения, показывает хорошие показатели производитель¬
ности, в том числе и на трехмерных сетках. При этом получаются
ячейки с близким отношением сторон (или отношением шагов сетки по
различным координатным направлениям в случае структурированной
сетки), что обеспечивает приемлемые значения числа Куранта [155].
Уравнение растяжения стержня. Каждая грань представляет со¬
бой балку или упругий стержень (1гиз5 апа1о^у). Для расчета сме¬
щений узлов сетки в каждом координатном направлении используется
решение уравнения, описывающего растяжение стержня [155] (Ьаг
ециаНоп):
где Е — модуль упругости, Ь — длина стержня, А — площадь его
поперечного сечения. Координата х отсчитывается вдоль стержня.
Глобальная матрица жесткости (зШТпезз та1пх) представляется
в виде разложения К = Я'АН, где К — матрица преобразования,
а матрица Л имеет вид
Величина ЕА является обратно пропорциональной длине грани.
Линейное уравнение упругости. Сетка представляется в виде
упругого тела, которое деформируется за счет нагрузок, приложенных
к его границам (Ппеаг екзИсМу апа1о^у).
Для расчета малых смещений узлов сетки, описываемых век¬
тором и(х) = (г1,г','ш}/, используется линейное уравнение упруго¬
сти [205, 287] (Нпеаг е1а5МсИу еяиаШп)
где р — плотность псевдо-материала, Г — внешняя сила. Считая,
что напряжения возникают за счет перемещения границы системы,
полагается Г = 0 (или р = 0). Для решения уравнения (2.62) на границе
расчетной области 5Г2 выставляются условия типа Дирихле — и(х) = §
при х 6 П.
Тензор напряжений и тензор деформаций связаны при помощи соот¬
ношения, представляющего собой обобщенный закон Гука (сопзШиИуе
1а\у, Нооке’з 1аш)
(2.62)
а = А Ъгасе (е)1 4* 2/хе,
(2.63)

где А и д — постоянные Лямэ (Ьате сопз1ап1:5), причем Е > 0, — 1 <
< V < 1/2. Постоянные Лямэ выражаются через модуль Юнга (Уоип^’з
тос1и1и5) и коэффициент Пуассона (Р01550п’5 га1ю)
иЕ
(1+*/)(!-2е/)’
М =
Е
2(1+1/)*
Обычно полагается, что и = 0,25 и (1 = А = 1.
Связь тензора деформаций с тензором перемещений имеет вид
(Ппеаг ктетаИс 1а^)
е = ^(Уи + Уи*).	(2.64)
Звездочка обозначает сопряженный тензор.
Учитывая свойство симметрии тензора напряжений и тензора де¬
формаций (о-у = сг^ь = е^г для V г Ф ]), тензорные равенства, описы¬
ваемые соотношениями (2.63) и (2.64), удобно переписать в векторной
форме.
В трехмерном случае тензор напряжений и тензор деформаций
характеризуются векторами
= {СГП.<722|СГЗЗ,СГ12,СГ23,СГ31}/; Е = {^11, Е22, ^33. ^12. ^23» ^31 }'•
Связь между векторами а и е имеет вид а = Пе, где
В =
Векторы е и и связаны при помощи соотношения е = Аи, где
( д/дх	0	0	д/ду	0	д/дг
0	д/ду	0	д/дх	д/дг	0
0	0	д/дг	0	д/ду	д/дх
( А + 2(1
А
А
0
0
0 \
А
А + 2ц
А
0
0
0
А
А
А + 2ц
0
0
0
0
0
0
2(1
0
0
0
0
0
0
2(1
0
V о
0
0
0
0
2м /
л=х-
и
\
Вводя функции формы N1 такие, что и = N1?, и применяя для
дискретизации метод Галеркина, получим соотношение
(А^'В(М)чг<1П = -
N'€0(1.
В матричной форме имеем Ли = где
Л =
(АМ)'Б (АМ) ЛП, \* =

При использовании граничных условий типа Дирихле вектор внешних
сил равняется нулю, Г = 0, и решается однородная система уравнений
После нахождения смещений узлов сетки в момент времени Ьп
новые координаты узлов сетки находятся как хп = хп~1 + ип.
В работе [287] коэффициенту упругости присваивается постоянное
значение. Для избежания деформации сетки в некоторых областях
используется специальное распределение модуля упругости. Области
сетки с большими значениями модуля упругости перемещаются как
твердое тело. Обычно модуль упругости полагается обратно пропорци¬
ональным объему ячейки или расстоянию до границы области, подвер¬
женной деформации [205], позволяя направить деформацию сетки в те
области, где сетка является более грубой и способна выдержать отно¬
сительно большйе деформации без существенного растяжения ячеек.
Нелинейное уравнение упругости. Не касаясь проблем решения
уравнения (2.62) и точности численного решения, отметим, что ли¬
нейная связь (2.63) не позволяет воспроизвести вращение сетки как
твердого тела, поскольку дает ненулевые деформации при вращении.
Использование нелинейной связи (Ьа^гап^ап з^гезз 1епзог)
требует решения нелинейной задачи теории упругости, что существен¬
но увеличивает вычислительные затраты.
При этом интересно отметить, что хотя линейное соотношение
(2.63) дает ненулевые деформации при вращении и линейных преобра¬
зованиях, деформации не зависят от х, поскольку
Следовательно, напряжения также не зависят от х, и уравнение (2.62)
выполняется, хотя и не имеет в данном случае строгого обоснования.
Введение зависимости модуля упругости от координат узлов сетки
в соотношение между тензором напряжений и тензором деформаций
приводит к тому, что полученное уравнение не описывает вращение
твердого тела. Для устранения такой ситуации достаточно потребо¬
вать, чтобы <7 = 0. Подстановка приведенных соотношений в уравнение
(2.62)	дает
При этом сг = 0, если А + ц = 0 или А = -Е, /х = Е.
Методы решения нелинейного уравнения упругости рассматривает¬
ся в работе [355].
Ли = 0.
е = - (Уи + Уи* + Уи*Уи)
а = 2(А + /х)(сой$ — 1)/.

2.10.	Обтекание профиля
Возможности многосеточного метода решения системы разностных
уравнений и метода блочного предобусловливания уравнений Эйлера
и Навье-Стокса демонстрируются на примере решения задачи обте¬
кания профиля равномерным потоком невязкой и вязкой сжимаемой
жидкости на структурированной, неструктурированной и гибридной
сетках. Приводится топология сеток различного уровня, обсуждается
их качество и влияние структуры сетки на фактор сходимости многосе¬
точного метода. Основное внимание уделяется не точности полученных
результатов, а скорости сходимости итерационного процесса на струк¬
турированной и неструктурированной сетках.
2.10.1.	Обтекание профиля NАСА 0012. Рассмотрим обтекание
профиля ЫАСА 0012 равномерным потоком невязкой сжимаемой жид¬
кости при Мот = 0,8 и а = 1,25° (АОА1Ш Тез! Сазе 02).
Расчеты проводятся как на структурированной сетке (вариант 1),
содержащей 20800 узлов (сетка типа О размерности 320 х 64), так
и неструктурированной сетке с треугольными ячейками (вариант 2),
содержащей 5766 узлов. В варианте 1 выходная граница расчетной
области располагается на удалении 201/ от задней кромки профиля,
а в случае 2 — на удалении ЗОЬ, где Ь — хорда профиля. Для ша¬
гов сетки наилучшей разрешающей способности выполняются условия:
(Ау/Ах)т]п = 0,45, (Ау/Ах)тах = 20, (Ау/Ь) = 8 • 10-4. На входной
границе задаются условия невозмущенного течения, на боковых и вы¬
ходной границе — условия свободного вытекания.
В расчетах используется 5 уровней сетки и метод построения, осно¬
ванный на охлопывании граней по всем направлениям (ГиИ соагзепт^
те1Ьос1). Сетки уровней 1, 2 и 3, построенные при помощи метода
схлопывающихся граней, показаны на рис. 2.14 (вариант 1) и рис. 2.15
(вариант 2). Число узлов сетки каждого уровня в вариантах 1 и 2 при¬
водится в табл. 2.1. При огрублении сетки передняя кромка профиля
претерпевает некоторые изменения, становясь более острой, что вносит
определенные погрешности в решение на грубой сетке, но не оказывает
влияния на решение, полученное при помощи многосеточного метода.
Процедура построения вложенных сеток сохраняет общую топологию
сетки внутри области. В варианте 2 максимальное отношение граней
ячейки составляет 1 для сетки уровня 1, 0,37 — для сетки уровня 2,
0,44 — для сетки уровня 3, 0,57 — для сетки уровня 4 и 0,71 — для
сетки уровня 5.
Таблица 2.1. Число узлов сетки каждого уровня
Вариант
Уровень 1
Уровень 2
Уровень 3
Уровень 4
Уровень 5
1
20800
9496
3767
1825
603
2
5766
2180
893
403
214

а	б	в
Рис. 2.14. Последовательность вложенных сеток около профиля ЫАСА 0012
для варианта 1
Рис. 2.15. Последовательность вложенных сеток около профиля ЫАСА 0012
для варианта 2

Распределения коэффициента давления по поверхности профиля
показаны на рис. 2.16 и имеют практически одинаковый вид как на
структурированной, так и не¬
структурированной сетках. Ре¬
шение дает сильный скачок на
верхней поверхности профиля
(при х/Ь ~ 0,68) и слабый ска¬
чок на его нижней поверхно¬
сти (при х/Ь ~ 0,32). Для усло¬
вий задачи интегрирование дав¬
ления по поверхности профи¬
ля дает коэффициенты трения
и подъемной силы (Сх = 0,0227
и Су = 0,3527), хорошо согласу¬
ющиеся с данными [60].
Данные о сходимости итера¬
ционного процесса на началь¬
ном участке изменения невяз¬
ки (от 10° до 10-4) и во
всем диапазоне ее изменения
(от 10° до Ю-10) приводятся
в табл. 2.2 (норма невязки нор¬
мируется на норму начальной
невязки). В числителе показываются данные при использовании ска¬
лярного предобусловливания, а в знаменателе — блочного предобу-
словливания Якоби. Число итераций для предварительного и заклю¬
чительного сглаживания полагается равным 1. На самой грубой сетке
делается 5 сглаживающих итераций.
Ход сходимости на структурированной и неструктурированной сет¬
ках показана на рис. 2.17, а при использовании скалярного и блочного
предобусловливания — на рис. 2.18. Сходимость на структурированной
сетке (вариант 1) достигается за 338 и 485 многосеточных циклов при
использовании блочного и скалярного предобусловливания, а сходи¬
мость на неструктурированной сетке (вариант 2) — за 347 и 876 при
использовании блочного и скалярного предобусловливания. Блочное
предобусловливание дает ускорение 2,81 и 2,36 в вариантах 1 и 2 на
начальном участке сходимости и ускорение 2,47 и 2,48 — на всем
интервале изменения невязки.
Таблица 2.2. Сходимость итерационного процесса
Вариант
Сходимость 10° —* 10 4
Сходимость 10° —»• 10 10
Число циклов
Время счета, с
Число циклов
Время счета, с
1
180/108
1072/382
485/338
2560/1038
2
267/112
269/114
876/347
833/336
Рис. 2.16. Сравнение распределений ко¬
эффициента давления по поверхности
профиля, полученных на структуриро¬
ванной (сплошная линия) и неструкту¬
рированной (значки □) сетках

О 60	120	180	п	240
Рис. 2.17. Изменение невязки в зависимости от числа многосеточных циклов
на структурированной (линия 1) и неструктурированной (линия 2) сетках
Рис. 2.18. Изменение невязки в зависимости от числа многосеточных циклов на
структурированной (а) и неструктурированной (б) сетках при использовании
скалярного (линия /) и блочного (линия 2) предобусловливания
Решение вязкой задачи при Ееь = 500 (число Рейнольдса рассчиты¬
вается по хорде профиля) дает распределение коэффициента давления
по поверхности профиля, согласующееся с данными [125] и слабо
отличается от решения, показанного на рис. 2.16. Отношения шагов
сетки поддерживаются такими же, как и для невязкой задачи, но
(Ау/Ь) = 1,8 • 10-4, что требуется для надлежащего разрешения погра¬
ничного слоя на профиле. Коэффициенты сопротивления и подъемной
силы принимают значения Сх = 0,0225 и Су = 0,3536 (относительное
различие результатов решения невязкой и вязкой задачи составляет
0,88 % для коэффициента сопротивления и 0,26% для коэффициен¬
та подъемной силы). Для достижения уровня относительной невязки
(К ~ 10-5) требуется 158 многосеточных циклов при использовании

скалярного предобусловливания и 45 многосеточных циклов при ис¬
пользовании блочного предобусловливания.
Ускорение вычислительного алгоритма на 5 вложенных сетках со¬
ставляет Ь| = 6,6 (самая подробная сетка), 1/2 = 6,2, Ьз = 6,2,	= 5,9,
1/5 = 5,2 (самая грубая сетка), а ускорение многосеточного подхода —
1м = 6,1 (при р = 8).
2.10.2.	Обтекание профиля КАЕ 2822. Рассмотрим турбулент¬
ное обтекание профиля КАЕ 2822 потоком вязкой сжимаемой жидко¬
сти при Ее/, = 6,5 • 106 и различных условиях в невозмущенном потоке:
Моо = 0,725, а = 2,4° (вариант 1, АОАРШ Тез! Сазе 06) и Моо = 0,73,
а = 2,8° (вариант 2, АОАКО Тез! Сазе 09). Для моделирования турбу¬
лентности используется модель Спаларта-Аллмараса с фиксированной
точкой перехода при х/Ь = 0,03.
Расчеты проводятся на неструктурированной сетке с треугольными
ячейками (варианты 1а и 2а), содержащей 11298 узлов, и гибридной
сетке (варианты 16 и 26), содержащей 19126 узлов (структурированная
область сетки находится около профиля). Для шагов сетки выполня¬
ются условия: (Ау/Аж)т1П = 6,8 • 10~4, (Ау/Аж)тах = 30, (Ау/Ь) =
— 3,6 • 10-6. На поверхности профиля у+ ~ 1,8-2,2.
В расчетах используется 4 уровня сетки и метод построения, осно¬
ванный на схлопывании ячейки в направлении наиболее короткой гра¬
ни (зегтп-соагзепш^ те!Нос1), что позволяет учесть наличие погранич¬
ного слоя на профиле. Сетки уровней 1, 2 и 3, построенныепри помощи
метода схлопывающихся граней, показаны на рис. 2.19 и рис. 2.20.
Число узлов сеток каждого уровня в вариантах 1 и 2 приводится
в табл. 2.3.
Таблица 2.3. Сходимость итерационного процесса
Вариант
Уровень 1
Уровень 2
Уровень 3
Уровень 4
1а, 2а
11298
3246
1129
325
16, 26
24339
11484
5528
2894
При использовании гибридной сетки сетка уровня 1 содержит 24339
ячеек (10692 треугольников и 13647 четырехугольников), сетка уровня
2	— 11484 ячеек (5527 треугольников и 5957 четырехугольников),
сетка уровня 3 — 5528 ячеек (2795 треугольников и 2733 четырех¬
угольников), сетка уровня 4 — 2894 ячеек (1599 треугольников и 1295
четырехугольников). Для сеток уровней 1-4 в области А у/Ь < 5 • 10-6
размещается 50, 25, 13 и 6 ячеек соответственно.
Отношение сторон ячеек сеток уровней 2, 3 и 4 составляет 1:2 вдали
от профиля. Вблизи профиля отношение сторон ячеек немного ниже
1:2, поскольку часть четырехугольников превращается в треугольники
при построении последовательности вложенных сеток. Максимальное
отношение граней составляет 1 для сетки уровня 1 (1 для треуголь-

а	б	в
Рис. 2.19. Последовательность вложенных сеток около профиля КАЕ 2822 для
варианта 1
а	б	в
Рис. 2.20. Последовательность вложенных сеток около профиля КАЕ 2822 для
варианта 2

Рис. 2.21. Сравнение расчетного (сплошная линия) распределения коэффициен¬
та давления по поверхности профиля с данными [125] (значки о) для вариантов
1 (а) и 2 (б)
ников и 1 для четырехугольников), 0,47 — для сетки уровня 2 (0,54
для треугольников и 0,44 для четырехугольников), 0,47 — для сетки
уровня 3 (0,51 для треугольников и 0,45 для четырехугольников),
0,52 — для сетки уровня 4 (0,57 для треугольников и 0,48 для четырех¬
угольников).
Решения задачи для вариантов 16 и 26, полученные на гибридной
сетке и обработанные в виде распределения коэффициента давления по
поверхности профиля, показаны на рис. 2.21. Интегрирование распре¬
деления давления и трения по поверхности профиля дает Сх = 0,8388
и Су = 0,0197 для варианта 16, Сх = 0,7757 и Су = 0,0142 для ва¬
рианта 26. Решения для вариантов 1а и 2а не приводятся, поскольку
результаты на неструктурированной и гибридной сетках различаются
сравнительно мало.
Данные о сходимости итерационного процесса на начальном участ¬
ке изменения невязки (от 10° до 10-4) и всем диапазоне ее изменения
(от 10° до 10-8) приводятся в табл. 2.4 {норма невязки нормируется
на норму начальной невязки). В числителе показываются данные при
использовании скалярного предобусловливания, а в знаменателе —
Таблица 2.4. Сходимость итерационного процесса
Вариант
Сходимость 10° —> 10 4
Сходимость 10° —> 10 8
Число циклов
Время счета, с
Число циклов
Время счета, с
1а
311/122
839/341
947/240
2522/649
2а
565/171
1510/472
1233/361
3293/1052
16
234/78
1563/534
1788/918
11956/6152
26
297/170
1982/1149
2655/1697
17645/11377

О 200	400	600	п	800	1000	0	200	400	600	п	800	1000
Рис. 2.22. Изменение невязки в зависимости от числа многосеточных циклов
на неструктурированной (а) и гибридной (б) сетках при использовании ска¬
лярного (линии /, 2) и блочного (линии 3, 4) предобусловливания
блочного предобусловливания Якоби. Число итераций для предвари¬
тельного и заключительного сглаживания полагается равным 1. На
самой грубой сетке делается 5 сглаживающих итераций.
История сходимости на неструктурированной и гибридной сетках
показана на рис. 2.22 для варианта 1. Линии / и 3 соответствуют невяз¬
ке, полученной в результате дис¬
кретизации уравнений неразрывно¬
сти, изменения количества движе¬
ния и энергии, а линии 2 и 4 —
невязке, полученной в результате
дискретизации уравнения модели
турбулентности (расчеты проводят¬
ся в безразмерных переменных).
Во всех случаях имеется сходи¬
мость к заданному уровню невязки
(К ~ Ю-10). Блочное предобуслов-
ливание обеспечивает более быст¬
рую скорость сходимости итераций
по сравнению со случаем, когда ис¬
пользуется скалярное предобуслов-
ливание как на неструктурирован¬
ной, так и на гибридной сетках.
Для вариантов 1а и 16 фактор
ускорения составляет 2,46 и 2,93
Рис. 2.23. Изменение невязки в за¬
висимости от числа многосеточных
циклов при использовании 1 сетки
(линия /) и 4 вложенных сеток (ли¬
ния 2)
для начального участка сходимости и 3,89 и 1,94 для всего интервала
изменения невязки.
Зависимость фактора сходимости многосеточного метода от числа
сеточных уровней показывает рис. 2.23 (приведенные данные соответ-

Рис. 2.24. Линии уровня числа Маха около профиля после 100 (а) и 400 (б)
многосеточных циклов
ствуют варианту 1а). При увеличении числа сеточных уровней с 1 до
4	число многосеточных циклов уменьшается с 800 до 220. В случае
п = 1 после 1000 многосеточных циклов невязка выходит примерно на
постоянный уровень 10-5 (дальнейшее увеличение числа итераций
не приводит к уменьшению невязки), в то время как при п = 4 невязка
после небольшого начального участка монотонно убывает до значе¬
ния Я ~ 10-8 (потенциально возможно достичь более низкого уровня
невязки).
Результаты расчетов, обработанные в виде линий уровня числа
Маха около профиля, показаны на рис. 2.24 для варианта 2 (расчеты
проводятся на гибридной сетке). При увеличении числа многосеточных
циклов от 100 до 400 качество численного решения улучшается, что
соответствует изменению невязки, показанному на рис. 2.23 (линия 2).
Распределение коэффициента трения С/ = 2гш/(/?00^) по поверх¬
ности профиля, приведенное рис. 2.25 для варианта 2 и гибридной
сетки, достаточно хорошо согласуется с данными измерений [125].
Рис. 2.25. Распределение коэффициента трения по поверхности профиля
(сплошная линия) в сравнении с данными [125] (значки □)

2.10.3. Низкоскоростное обтекание профиля \АСА 0012. Рас¬
смотрим стационарное обтекание профиля ЫАСА 0012 ламинарным
потоком невязкой сжимаемой жидкости при М,» —► 0 и нулевом угле
атаки. Выходная граница размещается на удалении 10Ь от задней
кромки профиля, где Ь — его хорда. Расчеты проводятся на структури¬
рованной сетке типа О, имеющей 320 х 64 узлов (фрагмент сетки пока¬
зан на рис. 2.26, а), и неструктурированной сетке, имеющей 5766 узлов
(фрагмент сетки показан на рис. 2.26, б), с использованием скалярного
и блочного предобусловливания уравнений Навье-Стокса (случаи 1
и 2), а также при выключенной опции предобусловливания (случай 3).
Профиль ЫАСА 0012
Рис. 2.26. Фрагмент структурированной (а) и неструктурированной (б) сетки
для расчета обтекания профиля
Изменение невязки решения при использовании различных методов
предобусловливания показывают рис. 2.27 и рис. 2.28 (результаты соот¬
ветствуют регулярной сетке). Блочное предобусловливание (линия 1 на
рис. 2.27 и рис. 2.28) позволяет получить существенный выигрыш как
в числе многосеточных циклов, требуемых для достижения заданного
уровня невязки, так и в общем времени счета по сравнению с реше¬
нием задачи без использования опции предобусловливания (линия 2
на рис. 2.27) или при использовании скалярного предобусловливания
(линия 2 на рис. 2.28). При этом число многосеточных циклов умень¬
шается с 856 при скалярном предобусловливании до 98 при блочном,
а время счета уменьшается в 2,6 раза.
Применение нерегулярной сетки, показанной на рис. 2.26, б, дает,
в целом, такие же результаты. При этом имеет место некоторое сни¬
жение скорости сходимости многосеточных итераций при использова¬
нии скалярного и блочного предобусловливания. Число многосеточных

Рис. 2.27. Изменение невязки в за¬
висимости от числа итераций при
использовании (линия /) и без ис¬
пользования (линия 2) предобуслов¬
ливания
Рис. 2.28. Изменение невязки в за¬
висимости от числа итераций при
использовании блочного (линия 1)
и скалярного (линия 2) предобуслов¬
ливания
циклов увеличивается приблизительно на 8% и 5% по сравнению
с расчетами на структурированной сетке.
Результаты расчетов при Моо = 0,01, обработанные в виде линий
уровня числа Маха (рис. 2.29), показывают, что решение задачи при
выключенной опции предобусловливания приводит не только к увели¬
чению числа многосеточных циклов и времени счета, но и к искажению
картины течения около профиля, заключающейся в появлении «волни¬
стости» линий уровня.
Результаты численного решения невязкой задачи, обработанные
в виде распределения коэффициента давления по поверхности профиля
(рис. 2.30), хорошо согласуются с точным решением для несжимаемой
жидкости, полученным при помощи преобразования Шварца-Кристо-
феля. Имеется также хорошее согласование результатов, полученных
на структурированной и неструктурированной сетках.
Уменьшение числа Маха от 0,1 до 0,0001 приводит к уменьшению
числа многосеточных итераций на неструктурированной сетке от 109
при Моо = 0,1 (время счета составляет 156 с) до 91 при Моо = 0,01
(время счета 133 с), 86 при Моо = 0,001 (время счета составляет 124 с),
57 при Мое = 0,0001 (время счета составляет 81 с).
2.11.	Колебания решетки профилей
Рассмотрим обтекание прямой решетки профилей, совершающих
малые гармонические поступательные (изгибные) и вращательные
(крутильные) колебания с постоянным сдвигом фаз. В качестве рас¬
четной области выделяется участок турбинного вала, содержащий две

Рис. 2.29. Линии уровня числа Маха около профиля без использования (а)
и при использовании (б) предобусловливания
Рис. 2.30. Сравнение распределений коэффициента давления на структуриро¬
ванной (значки •) и неструктурированной (значки о) сетке с точным решением
(линия)
лопатки. Расчеты проводятся для двух вариантов течения в межлопа-
точном канале, соответствующих различным граничным условиям во
входном сечении.
2.11.1.	Теоретические и численные модели. Течения газа в ком¬
прессорах и турбинах характеризуются аэродинамическим взаимодей¬
ствием между лопаточными венцами. Рабочая лопатка при своем дви¬
жении относительно статорных решеток испытывает периодические
воздействия как вследствие следовой потенциальной неравномерности
6	К. Н. Волков, В. Н. Емельянов

течения, порождаемой предыдущей решеткой статора, так и от по¬
тенциальной неравномерности потока, порождаемой последующей ре¬
шеткой [46]. В результате этого взаимодействия на рабочие лопатки
действуют нестационарные нагрузки, которые снижают прочностные
свойства конструкции и коэффициент полезного действия ступени,
а также приводят к другим нежелательным явлениям, к числу которых
относится, в частности, флаттер (ПиМег).
Флаттер связан с аэроупругими коллективными изгибно-крутиль-
ными колебаниями турбинных лопаток, а его изучение предполага¬
ет моделирование напряженно-деформированного состояния деталей
и узлов и интеграцию математических моделей разного уровня [104].
Одной из таких подмоделей является модель течения и теплообмена
в дозвуковых и трансзвуковых решетках, составленных из профилей
рабочих лопаток, имеющих сложную трехмерную геометрию и со¬
вершающих малые гармонические колебания. Изучение вибрационных
характеристик турбинных лопаток представляет и самостоятельный
интерес в связи с необходимостью обеспечения надежности работы
деталей и узлов в условиях периодически действующих сил.
Для отработки различных моментов моделирования выполнен ряд
документированных экспериментальных и численных исследований по
обтеканию прямых решеток потоком невязкого и вязкого газа, в том
числе с учетом турбулентного характера течения [45, 159, 234].
Полученные данные показывают, что степень согласования экспери¬
ментальных и численных результатов в существенной степени зависит
от метода измерений, подхода к дискретизации основных уравнений
и других деталей численной реализации, а также выбора модели тур¬
булентности [45, 127, 159, 217, 225, 234]. В целом согласование расчет¬
ных результатов с данными измерений достаточно хорошее в области
низких дозвуковых скоростей, в то время как при высоких дозвуковых
и трансзвуковых скоростях согласование расчетных и эксперименталь¬
ных данных ухудшается [127, 159, 225, 234]. В случае трансзвуковых
скоростей происходит формирование локальных сверхзвуковых зон, что
приводит к генерации нестационарных силовых нагрузок, действующих
на профили. Влияние ударно-волновых структур на осцилляции про¬
филей (усиление или демпфирование колебаний) зависит от частоты
и фазы колебаний [217].
Теоретические подходы к описанию поля течения около изоли¬
рованного профиля, совершающего малые гармонические колебания,
основаны на решении линеаризованных уравнений Эйлера [388]. При
увеличении числа Маха в свободном потоке образование вихревых зон
происходит при существенно меньших углах атаки, чем при обтекании
неподвижного профиля [182]. С другой стороны, увеличение частоты
колебаний профиля предотвращает появление вихревых образований
при увеличении угла атаки.
Имеются также исследования по обтеканию решетки профилей при
помощи численного интегрирования уравнений Навье-Стокса. На ос¬

нове численных расчетов выясняется влияние разрешения сетки вблизи
передней и задней кромок профиля [388], расстояния между профиля¬
ми [396], особенностей постановки неотражающих граничных условий
в выходном сечении расчетной области [165], количества профилей
в решетке, необходимых для получения точных результатов [126],
выбора модели турбулентности [45, 220] (модели Спаларта-Аллмараса,
модели к-ш и к-е, модель Ментера), условий в невозмущенном пото¬
ке [154], а также учитываются влияние стенок канала [408] и движе¬
ние решетки относительно потока [418]. Топологические особенности
потока в зоне отрыва (тип и положение критических точек) исследу¬
ются в работе [140].
На практике находит применение модель вязко-невязкого обтекания
профиля и решетки профилей [151], в которой уравнения Эйлера
используются для описания течения в свободном потоке, а уравнения
Навье-Стокса — в отрывной зоне и области следа. Расчеты показы¬
вают, что все подходы (модель невязкого обтекания, модель вязкого
обтекания и вязко-невязкое приближение) дают схожие распределения
давления по поверхности профиля [151, 159, 234]. Наибольшее рас¬
хождение результатов имеет место на нижней поверхности профиля.
Расчеты [254] с использованием к-и> модели турбулентности также
свидетельствуют о слабом влиянии вязких эффектов на устойчивость
конфигурации.
Для определения газодинамических нагрузок на профили обычно
ограничиваются моделью невязкого обтекания решетки, применимой
до углового отклонения профиля порядка 2,5° [104].
При решении задачи в стационарной постановке в рамках метода
установления (стационарное решение задачи с неподвижными профи¬
лями используется в качестве начальных условий для решения соответ¬
ствующей нестационарной задачи) помимо граничных условий необхо¬
димо задать также условие Чаплыгина-Жуковского. Результаты расче¬
тов с применением и без применения условия Чаплыгина-Жуковского
показывают, что в обоих случаях в процессе установления получаются
распределения, различие между которыми находится в пределах точ¬
ности вычислений [6].
2.11.2.	Расчетная область. Расчеты проводятся в области, пока¬
занной на рис. 2.31. Для простоты нижняя и верхняя границы расчет¬
ной области заменяются прямыми линиями.
Граничные условия задачи соответствуют работе [159] (101Ь
51апс1агс1 СопП^ига1юп Гог ипз1еас1у Р1о\^ ТНгои^Н УНэгайп^ Ах1а1-Р1о\у
ТигЬотасЫпе-Сазсайез).
Взаимное расположение профилей в прямолинейной решетке одно¬
значно определяется расстоянием между соседними профилями (шаг
решетки) и углом между хордой профиля и фронтом (установочный
угол). Угол наклона лопатки к оси х составляет /? = 45°. Поток по¬
ступает в канал через сечение АВ под углом а| к оси х', а покидает
6*

Рис. 2.31. Геометрия расчетной области
ее через сечение СЭ под углом ач к оси х'. Числа Маха на входной
и выходной границах составляют М1 и М2 соответственно. Расстояние
между профилями, а также длина расчетной области впереди и позади
профиля полагаются равными его хорде Ь.
Профиль лопатки представляет собой модифицированный профиль
ЫАСА 0006 [159] (рис. 2.31), который строится при помощи суперпо¬
зиции распределений кривизны и толщины профиля вдоль координаты
0 ^ х/Ь ^ 1, где Ь — хорда профиля. Распределения кривизны и тол¬
щины профиля даются соотношениями [234]
С{х) = Нс - Я + [Д2 - {х - 0,5)2]1/2;
Т{х) = Нь (2,969 я1/2 - 1,26 х - 3,51 я2 + 2,843 х3 - 1,036 х4).
Здесь Я= (Я2 4- 0,25)/2#с (радиус дуги). Под Нс и Нь понимаются
кривизна и максимальная толщина профиля в серединной точке хорды.
В расчетах принимается, что Нс = 0,05 и Нь = 0,06.
Поскольку рассматриваются малые гармонические колебания ре¬
шетки, то уравнения, описывающие поступательное и вращательное
движения профиля, не решаются, а координаты точек на его поверхно¬
сти представляются в явном виде.
Координаты точек, лежащих на поверхности профиля, находятся из
соотношения

Знаки «+» и «—» относятся к поверхностям разрежения и давления
профиля соответственно.
Профили решетки совершают малые гармонические поступательные
(изгибные) и вращательные (крутильные) колебания с постоянным
сдвигом фаз:
Н(х, у, Ь) = Н(х, у) ехр (гшЬ),	а(^)	=	А(х,	у)	схр	(ги,'2),
где ш — частота колебаний.
Для нормальной скорости на поверхности профиля используется
граничное условие непротекания. Для модели невязкого газа гранич¬
ного условия для тангенциальной скорости на стенке не требуется.
На входе в расчетную область задаются число Маха и направле¬
ние потока, характеризуемое углом а = агсЬ$(уу/ух), а на выходе —
статическое давление (рассматриваются режимы течения только с до¬
звуковой скоростью на входе в межлопаточный канал). На нижней
и верхней границах расчетной области выставляются периодические
условия (условия повторения течения)
где 8 — расстояние между лопатками (5 = Ь),Т — период колебаний.
2.11.3.	Сетка и ее деформация. Неструктурированная сетка со¬
держит 2897 узлов и 5443 треугольных ячеек в серединном сечении
межлопаточного канала (рис.2.32). При этом 239 узлов и 351 грань
размещаются на поверхности профиля. В расчетах используется 5
вложенных сеток и У-цикл.
Смещение узлов, лежащих на поверхности профиля, во времени
представляется в виде линейного гармонического возмущения их пер¬
воначального положения
где хо — положение узлов невозмущенной сетки, 5х+ и 5х~ — откло¬
нения узлов от невозмущенного положения. Амплитуды возмущений
находятся из соотношений
у(ж, у = уоЛ~ *о) = ^(х, у = уо + 5, Ь = <о + Т)
х(г) = хо + зт (ш1) (а+<5х+ + а Ях ),
Грань сетки представляет собой пружину в состоянии равновесия
с коэффициентом упругости, обратно пропорциональным длине грани.

Каждая грань перемещается на пред¬
писанную величину, после чего на¬
ходится новое положение равновесия
системы.
Смещения узлов сетки от по¬
ложения равновесия хо находятся из
решения уравнения
Л (хо + <Ьс) У<5х
= 0.
(2.65)
Рис. 2.32. Сетка для части рас¬
четной области
Уравнение вида (2.65) получается
из условия статического равнове¬
сия [410]. Подходящие выбор коэф¬
фициента упругости предотвращает
исчезновение мелких ячеек.
Коэффициент жесткости Л являет¬
ся постоянным в каждой ячейке <5х
сетки хо и рассчитывается по форму¬
ле
Аа(хо + <Ьс) = —{Уо1(хо+<Ьс, а),е} .
шах
Функция Уо1(хо + &х, а) возвращает
объем ячейки а сетки х. Малая поло¬
жительная величина е предотвращает появление отрицательных зна¬
чений коэффициента жесткости. Приповерхностные ячейки имеют от¬
носительно большйе значения А, приводя к малым градиентам <5х
и позволяя избежать быстрого изменения объема.
В качестве граничных условий для уравнения (2.65) используются
граничные условия Дирихле. Дискретизация уравнения (2.65) прово¬
дится при помощи метода конечных разностей. Система разностных
уравнений решается методом релаксации с эмпирически подбираемым
коэффициентом.
2.11.4. Результаты расчетов. Рассматриваются два варианта те¬
чения в межлопаточном канале, соответствующих различным гранич¬
ным условиям во входном сечении: М = 0,7 и (3 = 55° в случае 1,
М = 0,8 и (3 = 58° в случае 2. Угол атаки профиля составляет 10° и 13°
в случаях 1 и 2 соответственно. Приведенные значения соответствуют
перепадам давлений р\/ро = 0,8716 в случае 1 и р\/ро = 0,8740 в слу¬
чае 2, где ро — давление торможения на входе в межлопаточный канал.
Период колебаний равняется Т = 25,82 с. Шаг интегрирования по
времени выбирается равным АЬ = 3,25 • 10-5 с. Число внешних шагов
по времени полагается равным 100 (ои!ег йиа1 Мгле з1ер). На каждом
внешнем шаге по времени выполняется 50 внутренних шагов (шпег
Игле з1:ер). Для дискретизации по времени используется явная трех¬
слойная схема.

В качестве характерных параметров задачи для переменных с раз¬
мерностью длины используется хорда профиля Ь, а для переменных
с размерностью скорости — скорость на входе в расчетную область
Безразмерная частота вычисляется как Г2 = о)Ь/У00.
Распределения числа Маха по поверхности профиля при его стаци¬
онарном обтекании приведены на рис. 2.33 (символы I) и О относятся
к верхней и нижней поверхности профиля). Результаты расчетов пока¬
зывают, что в случае 1 течение в канале является полностью дозвуко¬
вым. В случае 2 в межлопаточном канале возникают локальные обла¬
сти сверхзвукового течения. В обоих случаях имеет место достаточно
хорошее согласие расчетных результатов с данными измерений [234].
Рис. 2.33. Сравнение распределений числа Маха по поверхности профиля
в случае 1 (а) и случае 2 (б) с данными [234] (значки •)
Течение газа, дозвуковое и почти равномерное на входе, становится
неравномерным в межлопаточном канале. Около фронтальных частей
профилей наблюдается существенное увеличение статического давле¬
ния. Начиная со входной зоны межлопаточного канала происходит
ускорение потока. В случае 2, проходя через 5-образную звуковую
линию, газ ускоряется до сверхзвуковой скорости. В средней части
канала происходит поворот сверхзвукового потока, в результате чего
возникает присоединенный к выпуклой части профиля скачок уплотне¬
ния. Поток в межлопаточном канале за скачком уплотнения становится
дозвуковым, а статическое давление увеличивается. Вблизи кормовой
части профиля и в следе за ним течение остается дозвуковым. Течение
на выходе из решетки является неравномерным.
В случае 1 течение тормозится на поверхности давления профиля
при х/Ь — 0,0005. Число Маха достигает максимального значения
0,916 на поверхности разрежения при х/Ь = 0,109. В выходном сече¬

нии число Маха и угол наклона вектора скорости к оси х составляют
0,446 и 40,2° соответственно.
В случае 2 течение тормозится при х/Ь = 0,002, а скачок уплотне¬
ния возникает на поверхности разрежения при х/Ь = 0,258 (влияние
волновой структуры отражается в резком повышении давления на
спинке профиля). Число Маха перед скачком уплотнения на верхней
поверхности профиля достигает 1,282, а на нижней — 0,816. Перепад
давления на скачке уплотнения составляет 0,477. Число Маха и угол
наклона вектора скорости к оси х в выходном сечении составляют
0,432 и 40,3° соответственно.
Средние значения коэффициента подъемной силы составляют 0,35
и 0,42 в случаях 1 и 2 соответственно.
Вибрации лопаток воспроизводятся в виде двух последовательных
циклов — восходящего и нисходящего движения профиля (профиль
имеет одну степень свободы). Восходящее движение профиля происхо¬
дит с амплитудой 0,01 м по нормали к его хорде. Нисходящее движе¬
ние воспроизводится в виде вращения граничных узлов относительно
серединной линии хорды {ха,Уа} = {0,5,0,05} с угловым отклонением
2°. Расчеты проводятся на интервале времени (0,12Х'), где Т = 2ж/ш —
период колебаний. В качестве начального приближения используется
стационарное решение задачи.
Рассматривается влияние частотных и фазовых характеристик на
распределение давления по поверхности профиля. Частота колебаний
профилей изменяется в диапазоне П = 0,25-1,5. Профили совершают
колебания либо в одной фазе, либо в противоположных.
Коэффициент давления на поверхности профиля находится из соот¬
ношения
Г = РЕ> ~Ри
Р РооУж |ао + ЛоИ’
где ри и ро — давление на верхней и нижней поверхностях профиля.
Под ао и ко понимаются амплитуды восходящего и нисходящего дви¬
жений профиля.
Распределения коэффициента давления по поверхности профиля
показаны на рис. 2.34 и рис. 2.35 при О, = 1 (профили совершают коле¬
бания в одной фазе). Полученные распределения хорошо согласуются
с данными измерений [234] как в отношении минимальных и макси¬
мальных значений коэффициента давления на верхней и нижней по¬
верхностях профиля, так и в отношении положения скачка уплотнения,
присоединенного к спинке профиля.
Распределения величины и фазового угла колебаний давления по
поверхности профиля приведены на рис. 2.36 (символы Р и 5 соответ¬
ствуют поверхностям давления и разрежения профиля). Результаты,
относящиеся к распределению давления, достаточно хорошо согла¬
суются с решением линеаризованных уравнений Эйлера [388] и ре¬
шением [159], полученным на основе интегрирования уравнений На-
вье-Стокса (вязкое приближение). В целом согласование результатов,

12
8
4
О
-4
-8
О	0,2	0,4	0,6	0,8	1	0	0,2	0,4	0,6	0,8^1
Рис. 2.34. Сравнение распределений давления при восходящем (а) и нисходя¬
щем (б) движениях профиля с данными [234] (значки •) в случае 1
6
3
0
-3
-6
-9
О	0,2	0,4	0,6	0,8 . 1	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
X/ Х-/	X/ 1а
Рис. 2.35. Сравнение распределений давления при восходящем (а) и нисходя¬
щем (б) движениях профиля с данными [234] (значки •) в случае 2
полученных на основе различных математических моделей, довольно
хорошее. Наибольшее расхождение результатов численного моделиро¬
вания с данными [159] (модель, основанная на решении уравнений
Навье-Стокса) имеет место в окрестности передней кромки и на по¬
верхности разрежения профиля. Распределение давления на поверхно¬
сти разрежения профиля, рассчитанное в рамках модели вязкого обте¬
кания, является более наполненным по сравнению с распределением,
полученным при помощи интегрирования уравнений Эйлера.
В случае гармонических колебаний распределение давления по по¬
верхности профиля представляется в виде
Ср(х, Ь) = Ср(х) ехр (ги>1) = [Срц(х) - Ср/(ж)] ехр (Ш),

О 0,2	0,4	0,6	0,8	,	Л	0	0,2	0,4	0,6	0,8	/Г1
X/ Ь	X/	ъ
Рис. 2.36. Амплитуда (а) и фаза (б) крутильных синфазных колебаний давле¬
ния в случае 1 при Г2 = 0,5 в сравнении с данными [388] (значки •) и [159]
(значки о)
Рис. 2.37. Распределения вещественной (а) и мнимой (б) частей комплексного
давления при Л = 1,25 и р = 90°
где Ср — комплексный коэффициент давления, а Срц и Ср/ — его
вещественная (синфазная) и мнимая (сдвинутая по фазе) части. Ве¬
щественная и мнимая части комплексного коэффициента давления
выражаются в виде
Срн(ос) — Ср(х)с05<р(х), Ср1{х) — Ср(х) 51П1р(х).
Результаты расчетов, приведенные на рис. 2.37, показывают, что
распределения вещественной и мнимой частей комплексного давления
на поверхности давления профиля является практически однородным.
В то же время, распределение комплексного давления вдоль поверхно-

Рис. 2.38. Распределения вещественной части комплексного коэффициента
подъемной силы в зависимости от фазы при Л = 0,8 (а) и частоты при у? = 90°
(б) в случае 1
сти разрежения профиля носит существенно неоднородный характер,
принимая максимальное значение при х/Ь = 0,236.
Распределения вещественной составляющей комплексного коэффи¬
циента подъемной силы в зависимости от частоты и фазового угла
приведены на рис. 2.38. Зависимость комплексного коэффициента подъ¬
емной силы от частоты носит более слабый характер, чем от фазы
колебаний профилей в решетке.
Зависимость расхода газа, покидающего расчетную область, от
числа итераций показана на рис. 2.39 (результаты нормируются на
Рис. 2.39. Распределение массового расхода газа, покидающего расчетную об¬
ласть, в зависимости от числа итераций

массовый расход газа в выходном сечении, полученный для стационар¬
ного решения задачи). Кривая / соответствует стационарному решению
задачи при отсутствии колебаний решетки профилей, а кривая 2 —
решению задачи с учетом их колебаний. Профили начинают колебания
после 2400 итераций, необходимых для выхода решения задачи на
стационарный режим. Выход решения нестационарный задачи на пери¬
одический режим происходит за достаточно малый интервал времени,
равный приблизительно 8 периодам колебаний.
Построенная модель правильно воспроизводит влияние волновых
эффектов на распределение давления по поверхности профиля. Частот¬
ные и фазовые характеристики оказывают существенное влияние на
параметры потока в межлопаточном канале, распределение давления
по поверхности профилей и коэффициент подъемной силы.

Глава 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ
И ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
НА СТЕНКЕ
При проектировании и оптимизации газовых турбин и компрессо¬
ров практически невозможно обойтись без использования численных
методов расчета внутренних турбулентных течений и теплообмена вяз¬
кого сжимаемого газа. Во многих случаях интенсификация переносных
свойств среды и теплообменных процессов в пристеночных областях
обусловлена турбулентной структурой формирующихся течений. В га¬
зовых турбинах относительный уровень теплообмена, характеризуе¬
мый отношением числа Нуссельта при высоком уровне турбулентно¬
сти к числу Нуссельта при низком уровне турбулентности, возрастает
на 20% при увеличении уровня начальной турбулентности от 1%
до 19,5%.
Одна из проблем, которая появляется при численном расчете те¬
чений и теплообмена в межлопаточных каналах и кавернах газовых
турбин, состоит в выборе модели турбулентности, служащей для за¬
мыкания осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса. Выбор
модели турбулентности оказывает существенное влияние на точность
численных расчетов и устойчивость итерационного процесса.
Для гибкого описания физических областей сложной формы при¬
меняются неструктурированные сетки. Расчеты турбулентных течений
на неструктурированных сетках демонстрируют существенную зависи¬
мость решения от шага сетки вблизи стенки.
В данной главе обсуждаются достоинства и недостатки различных
методов моделирования турбулентных течений. Приводится формули¬
ровка некоторых моделей турбулентности (модель Спаларта-Аллмара-
са, к-е модель, двухслойная модель) с учетом поправок на кривизну
линий тока, вращение и сжимаемость, а также особенности реализации
метода пристеночных функций. Для расчетов турбулентных течений на
неструктурированных сетках предлагается модифицированный метод
пристеночных функций, основанный на постановке слабых граничных
условий на стенке, и обсуждаются особенности его численной реа¬
лизации.

Возможности различных моделей турбулентности, метода присте¬
ночных функций и слабых граничных условий демонстрируются на
примерах расчетов пограничного слоя на плоской пластине с нулевым,
благоприятным и неблагоприятным градиентами давления, а также
течения в межлопаточном канале компрессора. Проводится сравнение
результатов расчетов, полученных на основе модели Спаларта-Аллма-
раса, к-е модели и двухслойной модели турбулентности, с данными
физического эксперимента и имеющимися корреляционными зависимо¬
стями. Показывается влияние пристеночного шага сетки на точность
расчетов и исследуется сеточная зависимость решения при использо¬
вании метода пристеночных функций и слабых граничных условий.
3.1.	Методы моделирования турбулентных течений
Среди методов моделирования турбулентных потоков выделяют пря¬
мое численное моделирование (01гес1 Митепса1 51тиЫюп, ОЫ5),
моделирование крупных вихрей (Ьаг^е Ес1с1у 51ти1а1юп, ЬЕ5), решение
осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (КеупоНз-Ауе-
га^ес! Ыау1ег-51оке5, КАЫ5). Имеются также комбинированные подхо¬
ды, сочетающие в себе те или иные черты ЭЫ5, КАМ5 и ЬЕ5, напри¬
мер, квазипрямое численное моделирование ((ЗиазнОЫЗ, (ЗОЫ5) и ме¬
тод моделирования отсоединенных вихрей (Ве1:асНес1 Ес1с1у ЗшиЫюп,
ОЕ5), а также ряд других [29].
Трактовку различных подходов к моделированию турбулентности
удобно пояснить графически, используя условное распределение кине¬
тической энергии турбулентности по волновым числам в логарифмиче¬
ском масштабе (рис. 3.1).
Энергосодержащие Инерционный Диссипативные
. масштабы , интервал , масштабы
Универсальные масштабы
ь— 	н
Разрешимые	Подсеточные
I	масштабы	|	масштабы	|
~	Разрешаются ■	Моделируются	'
в ЬЕ5	в	ЬЕ5
	I	Моделируются	в КАЫ5		■
' Полностью разрешаются в ОЫ5 ^	^
Рис. 3.1. Спектр кинетической энергии турбулентности

Спектр кинетической энергии турбулентности характеризуется до¬
статочно протяженным прямолинейным участком, описывающим закон
Колмогорова-Обухова (инерционный интервал).
В то время как при решении КАЫ5 моделируется весь спектр
масштабов, в ЬЕ5 рассчитывается только его часть, соответствующая
размерам вихрей, не превосходящим ширину фильтра. Использование
ЭЫ5 предполагает разрешение всего спектра масштабов турбулентного
течения. Соотношения между полным спектром и его разрешимой
и моделируемой компонентами в различных методах моделирования
турбулентности поясняет рис. 3.2.
Области приложения перечисленных подходов вполне определи¬
лись, а полученные результаты позволяют дать оценку границ приме¬
нимости, возможностей и перспективности каждого из них, а также
вычислительных ресурсов, необходимых для реализации того или ино¬
го подхода [29].
Полный спектр
Разрешимая часть Моделируемая часть
Е
Е
Полный спектр
Разрешимая часть Моделируемая часть
Е
и>
Полный спектр
Разрешимая часть Моделируемая часть
Е
Рис. 3.2. Соотношения между разрешимой и моделируемой компонентами
спектра турбулентности

3.1.1.	Решение уравнений Рейнольдса. В расчетной практике
доминирует полуэмпирическая теория турбулентности, основанная на
решении уравнений Рейнольдса.
В рамках решения КА1М5 моделируется вклад в среднее движение
всех масштабов турбулентности, а влияние флуктуаций параметров по¬
тока учитывается при помощи той или иной полуэмпирической модели
турбулентности. При замыкании уравнений Рейнольдса рассматрива¬
ются масштабы длины, типичные для энергосодержащих вихрей, за
исключением пристеночной области течения.
Вопросы замыкания уравнений Рейнольдса решаются на различном
уровне сложности [29, 49, 52]. Выбор модели турбулентности зависит
от характера турбулентного потока, требуемой точности, доступных
вычислительных ресурсов и временных затрат.
Наиболее простые модели турбулентности используют эмпириче¬
ские соотношения для коэффициента турбулентной вязкости или дли¬
ны пути смешения Прандтля, а турбулентные напряжения связываются
со свойствами осредненного течения при помощи гипотезы Буссинеска.
Наибольшей популярностью среди дифференциальных моделей тур¬
булентности пользуются двухпараметрические модели [233, 400], осно¬
ванные на решении уравнений переноса кинетической энергии турбу¬
лентности, скорости ее диссипации или удельной скорости диссипации
(модели к-е и к-и>), а также модель Спаларта-Аллмараса [357], пред¬
полагающая решение уравнения переноса для турбулентной вязкости.
Для моделирования течений вблизи стенки используются присте¬
ночные функции, которые представляют собой полуэмпирические со¬
отношения, связывающие параметры течения с расстоянием от стенки.
В другом подходе пристеночные функции заменяются на двухслой¬
ные модели турбулентности. На практике широко используются модель
к-е/к-1 [328] и модель Ментера [261], а также низкорейнольдсовые
версии к-е модели [27], справедливые для расчета турбулентных тече¬
ний во всей области. Двухслойные модели требуют хорошего сеточного
разрешения в области пограничного слоя.
Подход, в котором решаются нестационарные уравнения Рейнольд¬
са (Ш51еас1у КАЫ5, 1ШАЫ5), как правило, рассматривается как обоб¬
щение метода КАЫ5. Надежное теоретическое обоснование 1ЖАЫ5
для описания турбулентных течений отсутствует [29] (при выводе
уравнений Рейнольдса используется осреднение по интервалу времени,
который намного превышает характерные времена всех турбулентных
пульсаций). Калибровка традиционных моделей турбулентности прово¬
дится на основе сопоставления результатов расчетов с эксперименталь¬
ными данными по характеристикам течений, осредненным по времени.
При решении КАЫ5 или 1ШАЫ5 в случае наличия статистически
однородных направлений допускается применение усеченных расчет¬
ных моделей (одномерных или двумерных). Нестационарные уравнения
Рейнольдса в сочетании с условиями симметрии приводят к симмет¬
ричным нестационарным решениям.

Используемые для замыкания уравнений Рейнольдса модели тур¬
булентности не обладают приемлемой универсальностью, а потому не
могут применяться для решения широкого круга прикладных задач.
Недостатки моделей турбулентности обычно компенсируются удачным
выбором эмпирических констант [27].
Хотя возможности усовершенствования полуэмпирических моделей
турбулентности не до конца исчерпаны, существенный прогресс в этой
области представляется сомнительным, а создание универсальной по-
луэмпирической модели турбулентности, пригодной для расчета всех
или, по крайней мере, большинства турбулентных течений — неразре¬
шимой задачей.
Отсутствие универсальной полуэмпирической модели турбулентно¬
сти, пригодной для расчета всех или, по крайней мере, большинства
турбулентных течений, привело к смещению акцентов в исследовани¬
ях, связанных с моделированием турбулентности, и развитию прямого
численного моделирования и моделирования крупных вихрей турбу¬
лентных течений [29].
3.1.2.	Прямое численное моделирование. Рост ресурсов вычис¬
лительной техники и неудовлетворенность результатами, получаемыми
на основе подхода Рейнольдса, обозначили интерес к методам прямого
численного моделирования турбулентных течений, основанных на ре¬
шении полных уравнений Навье-Стокса.
Для использования 0]М5 требуются мощные вычислительные ре¬
сурсы, а возможности его применения ограничиваются расчетами те¬
чений с довольно простой геометрией и сравнительно малыми числами
Рейнольдса. Характерной особенностью течений, исследованных в рам¬
ках ОЫ5, является их пространственная ограниченность.
Статистика, полученная из результатов 01М5, используется для те¬
стирования полуэмпирических моделей турбулентности, развития ме¬
тодов управления турбулентными потоками, исследования ламинарно¬
турбулентного перехода.
Наряду с'ОЫ$ находит применение метод псевдо- или квазипри-
мого численного моделирования (РзеисЬ- или Риа51-ОЫ$, РОИЗ или
С20ЫЗ), в котором подсеточные модели не используются, а диссипа¬
тивные процессы вводятся при помощи специально сконструированных
разностных схем [5, 29].
3.1.3.	Моделирование крупных вихрей. Метод моделирования
крупных вихрей является компромиссным вариантом между Э]М5 и ре¬
шением КАЫ5. Данный подход ограничивается исследованием течений
в масштабах, превышающих некоторую заданную величину — ши¬
рину фильтра. Мелкомасштабное движение исключаетсяиз уравнений
Навье-Стокса при помощи фильтрации (рис. 3.3). При проведении рас¬
четов на основе метода конечных объемов фильтрация осуществляет¬
ся в результате интегрирования дифференциальных уравнений, пред-

Рис. 3.3. Исключение мелкомасштабных пульсаций при помощи фильтрации
ставляющих законы сохранения, по контрольным объемам разностной
сетки [29].
Крупномасштабные компоненты турбулентности образуются из
среднего течения благодаря работе по преодолению вязких или
рейнольдсовых напряжений и определяются граничными условиями
задачи.
Мелкие вихри (коротковолновая часть спектра) имеют универсаль¬
ную структуру и характеристики, которые определяются скоростью
диссипации кинетической энергии и вязкостью, сравнительно слабо
зависят от геометрии течения и внешних условий и моделируются
при помощи моделей подсеточного масштаба (5иЬ-(Зпс1 5са1е, 505),
построенных на основе концепции вихревой вязкости или других ра¬
циональных приближений процессов переноса.
Наиболее простой и во многих случаях наиболее предпочтительной
в вычислительном плане подсеточной моделью является модель Смаго-
ринского [29], в которой турбулентная вязкость определяется средним
значением скорости диссипации, приходящейся на единицу объема.
Оценки показывают, что количество узлов для ЬЕ5 составляет
около 5% количества узлов, используемого в ЭШ. При фиксированной
расчетной памяти возможно достижение более высоких чисел Рей¬
нольдса, чем в 0Ы5.
3.1.4.	Моделирование отсоединенных вихрей. Применение
ЭЫ5 и ЬЕ5 требует достаточно мощных вычислительных ресурсов.
С другой стороны, решение КАЫ5 не в состоянии обеспечить при¬
емлемую для практики точность предсказания характеристик многих
течений в силу ограниченных возможностей полуэмпирических
моделей турбулентности. Характерные для отрывных течений крупно¬
масштабные нестационарные трехмерные вихревые структуры (следы,
рециркуляционные зоны) определяются граничными условиями
и геометрическими характеристиками течений и не описываются
в рамках таких моделей. Указанные обстоятельства стимулируют поиск
и разработку комбинированных (гибридных) подходов, сочетающих
в себе экономичность КАШ и универсальность ЬЕ5 [29].

Метод моделирования отсоединенных вихрей [358, 365] представ¬
ляет собой гибрид традиционных уравнений Рейнольдса, которые ис¬
пользуются в пристеночной области (в области присоединенного погра¬
ничного слоя), где шага сетки недостаточно для разрешения крупных
вихрей, и метода моделирования крупных вихрей, применяемого в от¬
рывных зонах с характерными для них крупномасштабными вихревыми
структурами.
Модель турбулентности, лежащая в основе ЭЕ5, влияет на поло¬
жение точки отрыва, а следовательно, и на точность решения в це¬
лом.. Конкретные реализации ЭЕ5, использующиеся в вычислительной
практике, основаны на использовании модели Спаларта-Аллмараса
и модели Ментера [358, 365].
3.1.5.	Выбор подхода. Требования, предъявляемые к различным
методам моделирования турбулентных течений, и перспективы их при¬
менения для решения внешних задач дозвуковой аэродинамики (обте¬
кание самолета) приводятся в табл. 3.1, взятой из [356].
Таблица 3.1. Расположение методов моделирования
турбулентных течений в порядке возрастания
вычислительных затрат
Метод
2
3
4
5
6
7
8
9
20
Численная
+
1
-
Т
105
103’5
1980
КА№ 30
Численная
-
1
-
т
107
103
1985
1ЖАМ5 30
Численная
+
1
-
т
107
103'5
1995
0Е5
Гибридная
+
1
+
т
10®
104
2000
ЬЕ5
Гибридная
+
1
+
1
Ю'1.5
106'7
2045
(^N5
Физическая
+
Т
+
1
1015
ю7-3
2070
0№
Численная
+
Т
+
-
1016
ю7-7
2080
Методы моделирования турбулентных течений располагаются в по¬
рядке возрастания вычислительных затрат, необходимых для их при¬
менения. В колонке 1 приводится название численного метода. Ко¬
лонка 2 показывает степень зависимости результатов численного мо¬
делирования от разрешения сетки (физическая/численная/гибридная).
В колонке 3 приводится зависимость характеристик течения от вре¬
мени (нет/да). Колонка 4 указывает на зависимость возрастания чис¬
ла узлов вычислительной сетки при увеличении числа Рейнольдса
(слабая/сильная). Колонка 5 указывает на возможность использования
трехмерных уравнений в случае расчетной области с осевой симмет¬
рией (нет/да). В колонке 6 показывается степень эмпиризма подхода
(слабая/сильная). В колонке 7 приводится количество узлов вычисли¬
тельной сетки (с учетом узлов, необходимых для разрешения погра¬
ничного слоя). В колонке 8 приводится число шагов по времени (число
Куранта равняется единице), а в колонке 9 — степень готовности

метода и возможность его использования для решения практических
задач (учитываются возможности и прогноз развития вычислительной
техники). Считается, что для решения задачи требуется компьютер,
выполняющий около 1015 операций с плавающей точкой в секунду.
Согласно прогнозу Спаларта, использование Э1М5 для расчета обте¬
кания самолета станет возможным к 2080 г., а перспективы широкомас¬
штабного применения ЬЕЗ для решения прикладных задач реализуются
к 2045 г.
К настоящему времени накоплен обширный опыт по применению
ЬЕ5 и ОЕ5 для решения широкого круга сложных прикладных задач,
а сами подходы включаются в качестве одной из опций для моделиро¬
вания турбулентности в наиболее известные коммерческие СРЭ-пакеты
(например, Р1иеп{, Апзуз СРХ, 51агСО).
Тем не менее, достигнутые успехи не означают, что ЬЕ5 и ОЕ5
решают все стоящие перед исследователями проблемы и являются
готовыми инструментами для решения инженерных задач. Для этого
предстоит решить ряд методических вопросов, в частности, разрабо¬
тать методы построения и разумные критерии оценки качества се¬
ток, рациональные способы задания начальных и граничных условий,
а также ряд других. В многочисленных расчетах опробован широкий
круг подсеточных моделей, фильтров, граничных условий и конечно¬
разностных схем [29]. Несмотря на это, не ясны ни оптимальный
выбор подсеточной модели, ни обоснование выбора такого варианта.
Нет также универсальных пристеночных функций, обеспечивающих
уменьшение количества узлов вблизи стенки, в связи с чем ЬЕ5 за¬
труднительно использовать для расчетов течений с малыми отрывными
зонами и точками перехода, например, для расчета обтекания профиля
под углом атаки.
При решении практических задач используется, в основном, клас¬
сическая полуэмпирическая теория турбулентности.
Наряду с традиционными исследованиями, направленными на усо?
вершенствование существующих и разработку новых моделей турбу¬
лентности, большое внимание уделяется проблеме их тестирования
и определению границ применимости. Имеются специальные междуна¬
родные программы, посвященные тестированию полуэмпирических мо¬
делей турбулентности, координируемые Стэнфордским университетом
(51ап1оп1 йшуегзйу, 115А), Комиссией ЕС по развитию научных ис¬
следований (ЕЫ Ргатешогк Рго^гаттез Гог КезеагсН апс1 ТесНпо1о^к:а1
Оеуе1ортеп^ и Европейским сообществом по течениям, турбулентно¬
сти и горению (Еигореап КезеагсН СоттипЙу оп Р1о\у, ТигЬи1епсе
апс! СотЬиБИоп, ЕКСОРТАС). Значительный вклад в решение данной
проблемы внесли Стэнфордские конференции (31апГогв, 115А, 1968,
1980, 1990), международные рабочие семинары ЕКСОРТАС (1997,
1998), а также Европейский проект по вычислительной аэродинамике
(Еигореап СотриЫюпа! Аегос1упагтйс5 КезеагсЬ Рго]ес1, ЕСАКР).

3.2.	Модели турбулентности и их классификация
В основе полуэмпирических моделей турбулентности лежит пред¬
ставление мгновенных параметров потока в виде суммы средней (ре¬
гулярной) и пульсационной (хаотической) составляющих. На практике
ограничиваются изучением средних величин, сравнительно плавно ме¬
няющихся во времени и пространстве.
3.2.1.	Гипотеза Буссинеска и замыкание уравнений Рейнольд¬
са. Осреднение уравнений Навье-Стокса приводит к уравнениям, ко¬
торые представляют собой уравнения переноса первых корреляционных
моментов пульсаций скорости. Проблема замыкания этих уравнений
сводится к установлению связи тензора турбулентных (рейнольдсовых)
напряжений с тензором осредненных скоростей деформаций [29].
Формула Буссинеска устанавливает линейную связь компонент тен¬
зора турбулентных напряжений с компонентами тензора осредненных
скоростей деформаций:
ап
где щ — кинематический коэффициент турбулентной вязкости.
Турбулентный тепловой поток записывается в форме закона Фурье:
* = - (к'Г') = А(^>,	(3.2)
где АI — коэффициент турбулентной теплопроводности, который выра¬
жается через турбулентную вязкость и турбулентное число Прандтля.
Турбулентному числу Прандтля обычно присваивается постоянное зна¬
чение.
Формулы (3.1) и (3.2) не решают проблему определения связи
между тензором турбулентных напряжений и вектором турбулентного
теплового потока со средними характеристиками потока, а лишь пе¬
реводят ее на уровень коэффициента турбулентной вязкости. Важное
значение формулы (3.1) состоит в том, что она указывает на сдвиговое
происхождение турбулентного напряжения.
Вопросы замыкания уравнений Рейнольдса решаются на различном
уровне сложности, что предопределяет большое разнообразие полу¬
эмпирических моделей турбулентности — от сравнительно простых
моделей нулевого порядка до моделей с несколькими дополнительными
уравнениями переноса [29, 49, 52].
Модели турбулентности классифицируются по числу дифферен¬
циальных уравнений, вводимых в. дополнение к исходной системе
уравнений движения и теплопереноса. Увеличение числа уравнений
требует привлечения дополнительной информации полуэмпирического
характера для определения модельных коэффициентов и функций, что
снижает универсальность модели.

3.2.2.	Алгебраические модели. В алгебраических моделях тур¬
булентности (модели нулевого порядка) связь между тензором рей-
нольдсовых напряжений и характеристиками среднего движения зада¬
ется алгебраическими соотношениями.
В модели Прандтля турбулентная вязкость связывается со средней
скоростью посредством масштаба длины (пути смешения), на котором
жидкие частицы сохраняют средние значения количества движения.
Модель Прандтля находит применение для расчета тонких вязких
слоев и свободных слоев со сдвигом. Другие модели, например, модели
Болдуина-Ломакса и Джонсона-Кинга, используются для расчетов
погранслойных течений с отрывом и присоединением потока.
Разработка модели Прандтля положила начало современной полу-
эмпирической теории турбулентности. Один из важных результатов
теории Прандтля состоит в установлении универсального логарифмиче¬
ского профиля скорости в пристеночной области для течений в трубах,
каналах и пограничных слоях.
Современные алгебраические модели турбулентности основаны на
представлениях о двуслойной структуре турбулентного пограничного
слоя, сформулированных в модели Клаузера.
Введение эффективной вязкости ие — и + где /м — демпфиру¬
ющая функция Ван Дриста, позволяет отказаться от дискретной схемы
(ламинарный подслой и турбулентное ядро) и открывает возможности
для непрерывного описания внутренней области пограничного слоя,
включающей вязкий подслой, переходную область и область логариф¬
мического профиля скорости.
Алгебраические модели турбулентности обладают вычислительной
эффективностью и простотой модификации. Вместе с тем они мгно¬
венно реагируют на изменения параметров потока и неприменимы
в случаях с доминирующим влиянием конвективного и диффузионного
переноса. Массовые силы, возникающие вследствие влияния сил пла¬
вучести или кривизны линий тока, существенно изменяют величину
пути перемешивания. Узкая специализация ограничивает область их
применения. Эмпирические константы, значения которых находятся
из опытов, не обладают свойством универсальности (постоянства при
изменении числа Рейнольдса) и требуют корректировки.
3.2.3.	Дифференциальные модели. В основе полуэмпирической
теории Прандтля и ее модификаций лежит гипотеза локальности меха¬
низма турбулентного переноса, согласно которой турбулентные напря¬
жения зависят только от локальной структуры среднего течения. Для
неравновесных течений, в которых структура среднего течения не соот¬
ветствует внутренней структуре турбулентности, применение гипотезы
локальности оказывается тем менее оправданным, чем больше сте¬
пень этого несоответствия. Это обстоятельство диктует необходимость
установления связи между компонентами тензора турбулентных на¬
пряжений и локальными параметрами турбулентного потока, посколь¬

ку равновесие внутренней структуры турбулентности устанавливается
быстрее, чем равновесие между турбулентностью и средним течением.
Приведенные соображения стали исходной предпосылкой для разра¬
ботки полуэмпирических теорий турбулентности на основе уравнений
переноса вторых моментов, в частности, уравнения переноса кине¬
тической энергии турбулентности и уравнений переноса компонент
тензора рейнольдсовых напряжений. Возможности для обоснованного
установления связей между неизвестные членами и характеристиками
среднего течения оказались довольно многообразными, что привело
к разработке большого числа моделей подобного рода [29, 49, 52].
Фундаментальную роль в теории турбулентности, основанной на
привлечении уравнений переноса вторых моментов, сыграла формула
Колмогорова-Прандтля, в которой коэффициент турбулентной вязко¬
сти связывается с кинетической энергией турбулентности и скоростью
ее диссипации.
Уравнения переноса кинетической энергии турбулентности и скоро¬
сти ее диссипации, пригодные для численных расчетов, сформулирова¬
ны в работе [233] (модель к~е).
Уравнения к-е модели используются для описания развитых турбу¬
лентных течений (течений, на которых не сказываются эффекты вязко¬
сти). Применительно к турбулентным пограничным слоям это означает
возможность применения уравнений к-е модели к областям течения,
лежащим вне вязкого подслоя и переходной области. Недостатки к-е
модели при моделировании пристеночных течений связаны с особенно¬
стями скорости диссипации как параметра турбулентности и условиями
настройки уравнения для диссипативной функции на определенный
тип закона стенки, отражающего характер профиля скорости в присте¬
ночной области [49, 52].
Применение модели к-е сталкивается с трудностями при описании
пограничных слоев с градиентом давления, сильно закрученных тече¬
ний с кривизной линий тока, ламинарно-турбулентного перехода, трех¬
мерных течений с реламинаризацией пограничного слоя, а также при
моделировании сжимаемых и отрывных течений. Во многих случаях
она дает завышенные значения кинетической энергии турбулентности,
например, в окрестности критической точки, но хорошо согласуется
с данными измерений по скорости. Постоянные модели турбулентности
не являются универсальными, что создает существенные трудности,
поскольку приходится прибегать к их подбору, сравнивая результаты
расчетов и измерений для одного характерного класса течений. Для
учета вращения потока используется модифицированная запись члена
производства турбулентности [211] (поправка Като-Лаундера), а для
учета кривизны линий тока — демпфирующие функции, зависящие от
турбулентного числа Ричардсона (49, 236].
Несмотря на перечисленные ограничения, распространение к-е мо¬
дели на практике объясняется устойчивым итерационным процессом,

устойчивостью к погрешностям задания входных данных и разумной
точностью для широкого класса турбулентных течений.
Версия к-е модели, разработанная на основе теории ренормализо-
ванных групп (КепогтаНгаМоп Огоир, ГШО), а также КеаПгаЫе к-е
модель приспособлены для расчета течений как при высоких, так и
при низких числах Рейнольдса, и устраняют некоторые недостатки
исходной модели.
В РШО-модели вводится дополнительное условие в уравнение для
скорости диссипации, которое улучшает точность решения для по¬
токов с большими величинами касательных напряжений. При этом
также учитывается эффект циркуляции турбулентности, что улучшает
точность расчета высокоскоростных вращающихся и циркуляционных
потоков. Вводится аналитическая зависимость для вычисления турбу¬
лентного числа Прандтля в процессе решения (в отличие от стандарт¬
ной к-е модели, в которой турбулентному числу Прандтля присваи¬
вается постоянное значение). Использование аналитической формулы
для турбулентной вязкости позволяет повысить точность расчета ха¬
рактеристик турбулентных течений при низких числах Рейнольдса (при
хорошем сеточном разрешении в области пограничного слоя).
По сравнению со стандартной версией к-е модели, в КеаПгаЫе
к-е модели вводится улучшенный способ расчета турбулентной вяз¬
кости, а уравнение для скорости диссипации выводится из точного
уравнения переноса среднеквадратического значения пульсационного
вихря скорости. Термин КеаПгаЫе означает, что модель удовлетворяет
математическим ограничениям на нормальные напряжения, согласую¬
щимся с физикой турбулентных течений (исключаются отрицательные
значения вихревой вязкости при расчете высокоградиентных течений).
Это достигается при помощи введения функциональной зависимости
вместо постоянного коэффициента в формуле для вихревой вязкости.
Преимущество КеаПгаЫе к-е модели состоит в том, что она более
точно предсказывает распределение скорости диссипации плоских и
круглых струй, а также обеспечивает лучшее предсказание характери¬
стик вращающихся потоков, пограничных слоев, подверженных силь¬
ным градиентам давления, отрывных и рециркуляционных течений,
а также потоков, в которых существуют развитые вторичные течения.
Недостаток модели заключается в том, что она завышает или занижает
турбулентную вязкость, когда вычислительная область содержит одно¬
временно вращающиеся и неподвижные области (при использовании
множественных систем координат или скользящих сеток). Это объяс¬
няется тем, что модель использует эффект осредненного вращения при
определении турбулентной вязкости.
Для моделирования турбулентных течений вблизи стенки традици¬
онно применяется несколько подходов — метод пристеночных функ¬
ций (у+ ~ 10), низкорейнольдсовые модели турбулентности (у+ < 1) и
двухслойная к-е/к-1 модель (у+ ~ 1).

В методе пристеночных функций вязкий подслой и переходная
область пограничного слоя не разрешаются, а описываются полуэм-
пирическими формулами (пристеночными функциями). Пристеночные
функции позволяют снести граничные условия с поверхности в точки,
расположенные вне области влияния вязкости (как правило, в области
логарифмического профиля скорости). Точный расчет характеристик
турбулентности и напряжения трения на стенке требует сгущения
узлов сетки около стенки. Увеличение сеточного разрешения около
стенки (до у+ ~ 10) обычно приводит к более высокой точности.
Улучшение точности достигается при помощи решения упрощен¬
ных уравнений пограничного слоя в пристеночном контрольном объе¬
ме [100] (время счета увеличивается приблизительно на 30%).
Длительный опыт применения стандартной к-е модели с исполь¬
зованием различных модификаций пристеночных функций (высоко-
рейнольдсовая версия к-е модели) свидетельствует о нерешенности
многих проблем, связанных с описанием пристеночных эффектов при
больших продольных перепадах давления, малых и переходных числах
Рейнольдса, а также в трехмерных течениях [29, 49, 52].
Стремление расширить границы применимости к-е модели вплоть
до стенки, включая вязкий подслой (при условии необходимого раз¬
решения сетки в пограничном слое), привело к созданию ее низко-
рейнольдсовых версий, различающихся формой записи источниковых
членов, граничными условиями на стенке, а также демпфирующи¬
ми функциями, учитывающими влияние вязкости на характеристики
турбулентности вблизи стенки [27, 100]. Несмотря на многочислен¬
ные расчеты и тестирование, применение низкорейнольдсовых моделей
на практике представляется достаточно затратным с вычислительной
точки зрения, поскольку первый узел сетки должен находиться на
расстоянии у+ < 1 от стенки.
Другой подход предполагает замену пристеночных функций на
двухслойные модели турбулентности, такие, как модель к-а/к-1 [328]
и модель Ментера [261]. Модели этого типа справедливы для расчетов
турбулентных течений во всей расчетной области, однако требуют
хорошего сеточного разрешения в области пограничного слоя.
Для улучшения описания пристеночных течений в рамках диф¬
ференциальных моделей турбулентности вместо уравнения для ско¬
рости диссипации используется уравнение для псевдо-завихренности
и = к/е, которая имеет размерность частоты и характеризует вели¬
чину скорости диссипации, приходящуюся на единицу кинетической
энергии турбулентности [400] (модель к-и). Модель к-и) оказывается
чувствительной к свободной турбулентности.
Модель Ментера [261] (ЗНеаг З^гезз Тгапзрог!, 55Т) объединяет
достоинства к-и и к-е моделей турбулентности. В модели Менте¬
ра во внутренней области используется модифицированная к-и> мо¬
дель [400], предназначенная для описания крупномасштабных коге¬

рентных структур, а во внешней — стандартная к-е модель [233],
ориентированная на разрешение мелкомасштабной турбулентности.
Конкуренцию двухпараметрическим моделям составляют эффектив¬
ные и достаточно универсальные однопараметрические модели, напри¬
мер, модель Спаларта-Аллмараса [357].
Несмотря на то что модель Спаларта-Аллмараса требует решения
одного дополнительного уравнения для турбулентной вязкости, она
представляет новый класс однопараметрических моделей, в которых
нет необходимости вычислять длину пути смешения, связанную с ло¬
кальной толщиной слоя, характеризуемого большими значениями ка¬
сательных напряжений.
В оригинальной форме, развитой в работе [357], модель Спа¬
ларта-Аллмараса представляет собой низкорейнольдсовую модель, ко¬
торая требует надлежащего сеточного разрешения пристеночной зоны
пограничного слоя. Вместе с тем модель Спаларта-Аллмараса исполь¬
зуется и в сочетании с методом пристеночных функций в случае при¬
менения достаточно грубой сетки. Во многих публикациях отмечается,
что градиенты переносимой переменной в модели Спаларта-Аллмараса
намного меньше, чем градиенты искомых функций в моделях к-е
и к-ш. Это делает модель Спаларта-Аллмараса менее чувствительной
к численным ошибкам в расчетах на неструктурированных сетках
в пограничном слое [49, 52].
Модель Спаларта-Аллмараса разработана для применения в аэро¬
космической отрасли и широко используется для решения задач до¬
звуковой аэродинамики и турбомашиностроения при расчетах погра¬
ничных слоев, подверженных неблагоприятным градиентам давления.
Для расширения границ применимости модели Спаларта-Аллмараса
используются поправки на кривизну линий тока и вращение [130].
Модель Спаларта-Аллмараса не является безупречной и не пред¬
сказывает распада однородной изотропной турбулентности [49, 52].
Модели переноса рейнольдсовых напряжений (многопараметр>иче-
ские модели) используются с тех случаях, когда существенна разница
в переносе отдельных компонент тензора напряжений Рейнольдса. Та¬
кой подход предполагает решение уравнений относительно всех компо¬
нент тензора напряжений Рейнольдса и позволяет без дополнительных
эмпирических предположений учесть кривизну линий тока, влияние
сил плавучести, закрутку потока. Вопрос о перспективах моделей
турбулентности, использующих уравнения переноса компонент тензора
напряжений Рейнольдса, остается во многом открытым [29, 49, 52].
Наряду с нерешенностью проблемы замыкания уравнений Рейнольдса,
принципиальной в практическом плане является вычислительная труд¬
ность реализации этих моделей.
Для уменьшения количества решаемых уравнений находят при¬
менение упрощенные модели переноса рейнольдсовых напряжений,
в частности, многопараметрические модели.

Среди многопараметрических моделей следует отметить четырех¬
параметрическую я;2-/ модель, которая включает уравнения к-е мо¬
дели, уравнение для нормальной к линии тока компоненты тензора
напряжений Рейнольдса, а также уравнение эллиптического типа для
релаксационной функции.
3.2.4.	Вычислительные ресурсы. Один их этапов совершенство¬
вания моделей турбулентности состоит в устранении или уменьшении
влияния эффектов численной диффузии в расчетах циркуляционных
течений. Утверждение о том, что моделирование турбулентности неот¬
делимо от проблем численной реализации моделей турбулентности,
в настоящее время является очевидным [49, 52].
С вычислительной точки зрения модель Спаларта-Аллмараса пред¬
ставляется самой экономичной, поскольку использует одно дополни¬
тельное уравнение переноса.
Стандартная к-е модель требует несколько больших вычислитель¬
ных ресурсов, решая два дополнительных уравнения переноса — для
кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации. Из-за
дополнительных условий и функций в уравнениях переноса, а также
в связи с большей степенью нелинейности КеаПгаЫе к-е модель требу¬
ет более мощных ресурсов, чем стандартная к-е модель. Подобно к-е
модели, модель к-и> также является двухпараметрической и требует
некоторых вычислительных усилий.
Помимо временных затрат на итерационный процесс, выбор модели
турбулентности влияет на сходимость численного решения. Например,
стандартная к-е модель в некоторых случаях является сверхдиффу-
зионной, в то время как КЫО-модель разработана таким образом,
что турбулентная вязкость уменьшается при резких изменениях на¬
пряжений. Поскольку диффузия положительно влияет на сходимость
численного решения, то РШО-модель более восприимчива к неустой¬
чивости решения в стационарных задачах. Однако это не является
недостатком КЫО-модели, так как данная характеристика делает ее
более отзывчивой к важной физической нестабильности, такой, как
зависящие от времени потери турбулентных вихрей [49, 52].
По сравнению с двухпараметрическими моделями, например, моде¬
лями к-е и к-и>, модели переноса рейнольдсовых напряжений требуют
дополнительной памяти и процессорного времени из-за увеличения
числа уравнений и сильной взаимосвязи между компонентами рей¬
нольдсовых напряжений и средним течением. В среднем модели пере¬
носа рейнольдсовых напряжений требуют на 50-60% времени больше,
чем двухпараметрические модели турбулентности, и на 15-20% больше
оперативной памяти.
3.3.	Уравнения модели турбулентности
Для моделирования течений в каналах и кавернах широкое приме¬
нение находят модель Спаларта-Аллмараса (как в низкорейнольдсовой

формулировке, так и в сочетании с методом пристеночных функций),
к-е модель и двуслойная модель. Дискретизация уравнений модели
турбулентности проводится также, как и уравнений Навье-Стокса.
Источниковые члены в уравнениях модели турбулентности дискретизи¬
руются таким образом, чтобы гарантировать ограниченность искомых
функций в соответствии с их физическим смыслом.
3.3.1.	Уравнения в консервативных переменных. В декартовой
системе координат (х,у,г) нестационарное течение вязкого сжимаемо¬
го газа описывается уравнением
дф дРх
дЬ дх ду
дру + т = н
дг
(3.3)
Уравнение (3.3) дополняется уравнением состояния совершенного газа
Р = ( 7- 1 )р
^ ( 2 , 2 , 2
- 2 (ух + уу+'>г-
2 2
иг
Вектор консервативных переменных С} и векторы потоков Рх> Ру, Рг
имеют следующий вид:
( Р \
РУ X
Я = РУу
рУг
\ ре )
Р, =
(	РУх	\
рУхУх +Р тхх
рУхУу Тху
рУхУг ТХ2
V (р® "Ь Р)Ух Ухтхх УуТ~ху Уг^хг "Ь Ях )
I
Ру =
(П)у
рУуУх Тух
рУуУу + р — Туу
\
рУуУг
- Т,
У*
\ (рб р)уу Ухтух Уу^уу У^Тух Яу }
рУг
Р, =
рУгУх "Ггх
РУгУг
’гу
ругу2 + р-т22
V (Ре ^ Р)Уг ~ Ух^гх ~ УуТгу Уг^гг Н" Яг /

Неинерциальность системы отсчета учитывается при помощи введения
в источниковый член Я кориолисовой и центробежной сил:
( 0 \
О
Н= ри>{у1х>+ 2уг)
Компоненты тензора вязких напряжений и составляющие вектора теп¬
лового потока находятся из соотношений
Здесь I — время; р — плотность; г — радиус; ух, уу, у2 — составляющие
скорости в координатных направлениях х, у, г соответственно; ш —
угловая скорость вращения; р — давление; е — полная энергия единицы
массы; Т — температура; 7 — отношение удельных теплоемкостей.
Уравнение (3.3) пригодно для описания как ламинарных, так и тур¬
булентных течений. При моделировании турбулентных течений урав¬
нение (3.3) дополняется уравнениями модели турбулентности. При
этом эффективная вязкость де вычисляется как сумма молекулярной
// и турбулентной вязкости, а эффективная теплопроводность Ас
выражается через вязкость и число Прандтля:
где Ср — теплоемкость при постоянном давлении. Молекулярному
и турбулентному числам Прандтля присваиваются постоянные значе¬
ния (для воздуха Рг = 0,72, Рг^ = 0,9).
Для получения значений молекулярной вязкости в зависимости от
температуры используется закон Сазерленда
где //* = 1,68 • 10“5 кг/(м-с), Т* = 273 К и 5о = 110,5 К для воздуха.
Граничные условия задаются в зависимости от их принадлежности
к внутренним и внешним задачам газовой динамики и теплообмена.
Для пристеночных турбулентных течений на входной границе при
фиксированной толщине пограничного слоя используется распределе¬
ние скорости, удовлетворяющее закону степени 1/7, или подход, свя¬
занный с предварительным решением параболизованной задачи для
нахождения распределений скорости и температуры. В качестве вход¬
ных условий для характеристик турбулентности выбираются параметры
Ш	Д..
дх2	дхг 3 дхь %3
дуг ду< 2 дУк ,
-7Г- +	-	«77—<5*7

в рабочей части виртуальной аэродинамической трубы (степень и мас¬
штаб турбулентности), которые соответствуют условиям физического
эксперимента.
Для решения внешних задач в качестве граничных условий на
выходной границе применяются мягкие граничные условия (условия
продолжения решения изнутри области на границу, которые выводятся
из предположения о равенстве нулю второй производной от зависимой
переменной по координате, нормальной к границе).
При моделировании нестационарных дозвуковых течений на выходе
из расчетной области используются условия конвективного переноса
(неотражающие граничные условия).
Для скорости на стенке используются граничные условия непроте-
кания и прилипания. В качестве граничных условий для температу¬
ры на стенке используется условие изотермичности (Тю = сопзЪ) или
условие теплоизолированности (дТ/дп — 0). Характеристики турбу¬
лентности на стенке определяются при помощи метода пристеночных
функций. При расчете турбулентных течений на основе модели Спа-
ларта-Аллмараса для определения диффузионного потока касательной
скорости используется подход, реализующий переход от низкорей-
нольдсовой формулировки к пристеночным функциям в зависимости от
разрешения сетки в пристеночной области.
3.3.2.	Модель Спаларта-Аллмараса. Модель Спаларта-Аллма-
раса в дополнение к уравнениям (3.3) предполагает решение уравнения
переноса для рабочей переменной и, являющейся аналогом турбулент¬
ной вязкости [357]:
Источниковый член в уравнении (3.4) учитывает порождение и дисси¬
пацию турбулентной вязкости [138]:
где с1 — расстояние от центра контрольного объема до ближайшей
стенки. Рабочая переменная и связана с турбулентной вязкостью при
помощи соотношения щ = $у\и. Член производства турбулентности
моделируется соотношением
4- (ру • V) V = ^{V[(/х + ри)V?] 4- съгрЧи ■ VI/} + 8у.	(3.4)
2
— сы р5р
+ Л,р( АЦ)2,
ч
производство
диссипация
переход
в котором 5 вычисляется на основе величины завихренности

Для обеспечения корректного поведения рабочей переменной в ло¬
гарифмическом слое (и = усуиг) вводится демпфирующая функция
г _ X3 _ Н
/■и 1	о	,
X3 +	У
Функции /„2 и /уз имеют следующий вид:
/«2=1- 1	* г .	/«з	= 1-
1 + х/у\
Функция /ц, играет роль во внешней области пограничного слоя:
Функция д выступает в качестве ограничителя, предотвращая завы¬
шенные значения Параметры г и /ш равняются единице в лога¬
рифмическом слое и уменьшаются во внешней области. Постоянным
модели присваиваются значения: сы = 0,1355, о>2 = 0,622, а = 2/3,
с„ 1 =7,1, ст\ = сы/х2 + (1 4- съ2)/сг, Ош2 = 0,3, сшз = 2,0, н = 0,42.
Форма диссипативного члена показывает, что возможна ситуация,
когда 5 —> 0 и г —» сю. При г —» оо следует, что /ш-> (1 + с^)1/6. Для
устранения особенности действительные значения функций заменяют¬
ся их предельными значениями при |г| > 5.
Функции /л, /42 и дг контролируют ламинарно-турбулентный пере¬
ход в некоторой точке (х*,!/*,^) пограничного слоя:
/л = Се1 5* ехр
, (П1 ДС/ 1
/*2 = адехр {-а4Х ) ;	=	Ш1П |0,1, ^ д
Здесь Зг — величина завихренности, Дх* — шаг сетки вдоль стенки,
Д?7 = |-и - щ\. Расстояние о точки перехода до стенки находится из
соотношения
= [(ж - хг)2 + (у- уь)2 + (* - гь)2]1/2 .
Дополнительные постоянные принимают следующие значения: сц = I,
с*2 = 2, сьз = 1,2, сы = 0,5
Для устранения отрицательных значений источникового члена про¬
изводства турбулентности при сильном изменении г (например, при
расчете отрывных течений) функции /г,2 и /^з переопределяются:

где сУ2 = 5. Такой выбор демпфирующих функций гарантирует, что
источниковый член является неотрицательным. При V = 0 и нулевой
завихренности следует, что 5 = 0. Для избежания численных проблем
вместо х используется шах{х, Ю-4}.
В модели [130] источниковый член находится по величине завих¬
ренности и инварианту тензора скоростей деформаций:
5 = |П| + с,шш {0,|5|-|П|},
где
|5| = {23цЗц)'/2, 5ц = -	+д^)-
Дополнительной постоянной присваивается значение с3 = 2,0.
Дискретизация уравнения (3.4) проводится так же, как и уравнений
Навье-Стокса, записанных в виде (3.3). Отличие заключается в дис¬
кретизации диффузионного члена, который имеет неконсервативную
форму [138]. Слагаемое, содержащее градиент (VI/)2, представляется
в виде У2/П+1У1/П. Для представления члена с градиентом в неявном
виде при численной реализации используется тождество
у*7 • V? = V ■ (и V?) — V V • (V?).
Полагая модифицированную турбулентную вязкость в центре кон¬
трольного объема постоянной (ир = сопзЪ), получим
(V?)2 = V [ (Е7 - ир) \7и ].
Диффузионный член в уравнении (3.4) примет вид
V|	-I-	ри	Сь2Рр (у ~ Ър) ] VI/1.
Наличие слагаемого съгРр(у — VР) может приводить к отрицательной
суммарной вязкости.
Рассмотрим коэффициент турбулентной диффузии для грани (г,^)
контрольного объема
Г г] = Ргу^гз ~Ь 0>2Рр {Уг “1“ ^3 ) •
Полагая = (щ + ^)/2, получим
^ = 2 (Ргз + сЬ2Рр) ^1+2	~	СЪ2Рр)	и3-
При постоянной плотности положительность коэффициента переноса
гарантируется, если |сьгI < 1 (по умолчанию используется значение
сь2 = 0,622). При переменной плотности требуется проверять положи¬
тельность суммарного коэффициента диффузии.

Для получения устойчивой вычислительной процедуры проводится
линеаризация источникового члена в уравнении (3.4). Несмотря на то,
что в уравнении (3.4) выделены члены производства и диссипации,
каждый из них является знакопеременным, поэтому линеаризуется
суммарный источниковый член.
Приведем соотношения, используемые для дискретизации невязких
и вязких потоков, а также источникового члена в уравнении (3.4).
1.	Невязкие потоки:
(ру ■ V) I/ (15 = ^2 9 \ РЫ • ПУ) (^ + щ) -
дУг
невязкии поток
IV,; • П
13 I
(1 - ч>)р(ь\{уз) - Ц{щ)) +срр (и3 -
4'й порядок	2-й	порядок
' Пу Д 5 у
диссипативным члеи
2.	Вязкие потоки:
[	[(/»	+	/»)??]	+сЬ2Р(УР)2}й5	=
дУ1
= Е
з€Ег
3. Источниковый член:
{ц + ри) + 2СЬ2Р(^ - К
У^ПуДйу.
Уг
р8(Ю. = р
ЗЕЕг
Зи- (сш1/ад-^-Л2и^) + /*, (Д^)2
К:.
При моделировании низкоскоростных течений используется вели¬
чина скорости жидкости |Уг-пу| на грани (г,^) контрольного объе¬
ма. Матрица предобусловливания для невязких потоков имеет следу¬
ющий вид:
(^7)-1 =	2	1у» • пу | ПуДбу + ^ 1Ук • П^1	)	.
г \ З^Е<	гевк	)
Матрица предобусловливания для вязких потоков представляется
в следующем виде:
№Т' = ^Е
3 ^ Ех

Локальный шаг интегрирования по времени в узле г определяется
спектральными радиусами невязкого и вязкого якобианов и находится
из соотношения
1
Аи
2(м + рй)
X; - X,
Ну Д Зу
При использовании метода Рунге-Кутты 5-го порядка для предот¬
вращения появления отрицательных значений рабочей переменной ее
приращение во времени находится по формуле
ДР = отД
Для того чтобы гарантировать положительность рабочей переменной,
полагается
Аи
^ {у
(и71 - ^т1п) -|- Аи
при Аи ^ О,
при Аи > 0.
На практике итт = и^ = Юг/оо, где и^ — кинематическая вязкость
в невозмущенном потоке.
Для сохранения положительности рабочей переменной во времени
необходимо модифицировать процедуру Рунге-Кутты. Вклад источни-
кового члена вычисляется при помощи неявной схемы, что эквивалент¬
но в данном случае явной процедуре с уменьшенным шагом по времени
'
д5
■
— 1
Аи = д*
1 -
ди
АЬ
•
3.3.3. Диссипативная модель.
В
к-е
модели
в дополнение к уравнениям (3.3) решаются уравнения переноса кине¬
тической энергии турбулентности и скорости ее диссипации, которые
имеют вид [233]
дрк
~дЬ
+ (ру ■ V) к = V
Э-§ + (Р'!-V)г = V
М + — IV*:
М + — )Уе
<Те
+ Р + С - ре;
(3.5)
+ |[се,(Р + С)-се2^]. (3.6)
Турбулентная вязкость вычисляется по формуле Колмогорова-Прандт-
ля = с^рк2/е. Постоянным модели присваиваются значения: см =
= 0,09, ак = 1,0, <ге -- 1,3, се\ = 1,44, се2 = 1,92.
Для расширения границ применимости к-е модели вводятся по¬
правка Като-Лаундера [211] к слагаемому, описывающему порождение
турбулентности, поправка на кривизну линий тока [49, 236] и поправка

на сжимаемость [172, 400]. Учет влияния сил плавучести производится
при помощи включения в уравнения (3.5) и (3.6) дополнительного
слагаемого градиентного типа.
В модели [233] член производства турбулентности находится из
соотношения
Р = ^\Я
При численной реализации вместо Р обычно используется величи¬
на шт {Р, Юре}. Для учета вращения потока вводится поправка
Като-Лаундера [211]:
Р = М1|5|'/2Р'/2.
Модификация к-е модели для вращающихся течений и течений
с кривизной линий тока заключается в коррекции полуэмпирических
постоянных путем их умножения на некоторые поправочные функции,
зависящие от турбулентного числа Ричардсона.
Для учета кривизны линий тока в работах [97, 98, 188, 215, 275,
350] вводятся поправки к масштабу турбулентности.
В работах [235, 329] и [48, 231] корректируется уравнение переноса
диссипативной функции (3.6), которое носит модельный характер.
Влияние кривизны линий тока учитывается через изменение члена
генерации турбулентности и умножение постоянной се\ на поправоч¬
ную функцию [235, 329]
/с = Л,{1-ехр[Л2(^-Лз)]},	(3.7)
где Л] = 1,15, Л2 = 1,13, Лз = 0,18. Основанием подхода служит
хорошая корреляция рейнольдсовых напряжений (г^) и параметра
кривизны в криволинейной двумерной пристеночной струе. Для дву¬
мерных течений с отрывными зонами параметр кривизны находится из
соотношения
р = ч(пс9я
дЯ
где д — модуль скорости. Локальный радиус кривизны вычисляется по
формуле
_1_ _ _1_
пс ~ <,*
, дУу д\)х	2	2
I ~ду ~ 1ь + '>х~ду ~')у^у
Интуитивная модификация диссипативного члена в уравнении
для скорости диссипации (3.6), основанная на анализе устойчивости
турбулентных вихрей на криволинейной поверхности, производится
в [48, 231]. Поправка реализуется с помощью умножения постоянной
се2 на демпфирующую функцию
/с — 1 ссШ*,
(3.8)

где сс = 0,2. Турбулентное число Ричардсона находится по формуле
Ш« =
к \ 2 Г д дд Кс 1 1
1) [Щ дКс _
Для осесимметричных течений
Поправка используется для расчета течений в пограничном слое на
криволинейной поверхности.
Поправки (3.7) и (3.8) отличаются тем, что поправка (3.8) модифи¬
цирует член в уравнении (3.6), который уже смоделирован, в то время
как поправка (3.7) касается модификации точного члена в уравнении
(3.6). Обе поправки реагируют на изменение скорости вращения, гради¬
ента тангенциальной скорости и временного масштаба турбулентности.
В областях потока с отрицательной скоростью градиент турбулентного
числа Ричардсона также является отрицательным, достигая максималь¬
ного значения в отрывных зонах [49, 52].
Другой подход основан на прямой коррекции коэффициента тур¬
булентной вязкости [236]. Постоянная см, входящая в формулу для
турбулентной вязкости, умножается на демпфирующую функцию
Дополнительная постоянная в (3.9) определяется из условия согла¬
сования расчетных и экспериментальных данных для коэффициента
лобового сопротивления тел различной конфигурации с фиксированной
точкой отрыва [49] (диск, два диска, композиция диска и цилиндра).
В отличие от аналитической оценки [236] (сс = 0,57), в [49] при¬
нимается, что сс = 0,1, и накладывается ограничение на произведение
СсСм (0,02 < сссм < 0,15). Турбулентное число Ричардсона вычисляется
по формуле [49]
где Ь — бинормаль к линии тока; ш — завихренность; Яс — локальный
радиус кривизны. Касательная, нормаль и бинормаль к линии тока
находятся из формул треугольника Френе:
/с - (1 + сс Ш*) 1.
(3.9)
Локальный радиус кривизны находится из соотношения

где 5 — координата, отсчитываемая вдоль линии тока (д = йз/сИ).
Производные вдоль линии тока находятся из соотношений
д2х 1 (	1	.
= 9|’ч;
д<1г 1 ^уг-~ Уд
дз2 д2 \	2	д
Соотношение для расчета числа Ричардсона приобретает вид
Ш4 =	(я	х	г)	•	из.
Модели рейнольдсовых напряжений не способны предсказывать
влияние кривизны линий тока без использования корректирующих
эмпирических соотношений [49, 52].
Учет влияния сил плавучести производится при помощи введения
в уравнения (3.5) и (3.6) дополнительного слагаемого
Г-	—
Ъ Рге дХг '
Коэффициент термического расширения определяется соотношением
Р Р\дт)р
Для идеального газа член, связанный с влиянием сил плавучести,
принимает вид
С =	9*	^	др
р Рг* дХг '
Для учета сжимаемости в уравнение (3.5) вводятся дополнитель¬
ные слагаемые, а скорость диссипации представляется в виде суммы
соленоидальной и сжимаемой составляющих [172, 401]. Сжимаемая
составляющая выражается в виде ес = О.ЗегМ^, где М* — турбулентное
число Маха (М4 = к[/2/с).
3.3.4.	Двухслойная модель. Двухслойная модель турбулентности
совпадает со стандартной /г-е-моделью в области развитого турбулент¬
ного течения и преобразуется в модель с одним уравнением в присте¬
ночной области.
Внешняя и внутренняя подобласти. Пристеночная область раз¬
деляется на две подобласти — внутреннюю и внешнюю, граница между

которыми зависит от локального числа Рейнольдса Кеу = ркх/2у/ц,
где у — расстояние от геометрического центра контрольного объе¬
ма до ближайшей стенки. Обычно принимается, что К,еу* = 150-220
(при этом у+ = 100-110). При Кеу > Кеу* используются уравнения
(3.5)	и (3.6). Турбулентная вязкость вычисляется по формуле Колмо-
горова-Прандтля. При Ее,; < Яеу* используется однопараметрическая
к-1-модель турбулентности [404]. Кинетическая энергия турбулентно¬
сти определяется из уравнения (3.5), а уравнение (3.6) заменяется со¬
отношением е = к3/2/1е, и турбулентная вязкость находится по формуле
№ = Сд/д/эА:1/2, где и 1е — линейные масштабы турбулентности.
В отличие от метода пристеночных функций, для применения ко¬
торого необходимо, чтобы ближайший к стенке узел сетки находился
в логарифмическом подслое, модель с одним уравнением применима
в логарифмическом и вязком подслоях [328]. Переключение между мо¬
делями осуществляется с помощью непрерывной управляющей функ¬
ции [17, 208]. Для этого расчетное соотношение для скорости дисси¬
пации из модели с одним уравнением и уравнение (3.6) объединяются
в одно уравнение. Достоинство подхода состоит в том, что при его
реализации не нарушается однородность численного алгоритма.
Переход между подобластями. Резкий переход между подобла¬
стями приводит к вычислительным проблемам, связанным с расходи¬
мостью численного решения. Для обеспечения плавного перехода от
одной подобласти к другой используется функция перехода \е, такая
что Ае = 0 около стенки, и Ае = 1 во внешнем потоке. Такой же подход
применяется при расчете скорости диссипации, что позволяет гаранти¬
ровать плавный переход между решением, полученным из уравнения
(3.6),	и значением, найденным во внутренней подобласти.
В простейшем случае используется линейная функция. Для области
180 < Кеу < 220 линейная функция перехода имеет вид
Постоянная А контролирует плавность перехода от одной модели к дру¬
гой (рис. 3.4) и определяется исходя из того, чтобы значение \е состав¬
ляло около 1 % от ее значения вдали от стенки в данном диапазоне
изменения локального числа Рейнольдса ДКеу, поэтому
Ае 40
220 — Кс^
В работе [208] используется следующая функция:
ДКеу

Рис. 3.4. Функция перехода при А = 1 (линия /) и А = 10 (линия 2)
На практике ДКеу = (0,05-0,2)Кеу*, в связи с чем А = 1-10 (переход
от одной модели к другой происходит в переделах нескольких ячеек
сетки).
Применение функции перехода [208] позволяет избежать явного
разделения расчетной области на подобласти. Уравнение (3.5) не изме¬
няется, в то время как уравнение для диссипативной функции и турбу¬
лентная вязкость умножаются на функцию Ае. Турбулентная вязкость
вычисляется по интерполяционной формуле
Щ = Хе1Уц + (1 - Ае) Щ2.
Источниковый член в уравнении (3.6) заменяется слагаемым
&
Г (к3*1 М
5, — А е
^ {Се\Рк ~ Се2^)
+ (1 — Ае)
.4 ^ Ч
Конвективные и диффузионные потоки в уравнении (3.6) умножаются
на функцию Хе. Уравнение для диссипативной функции во внешней
области потока имеет вид (3.6), а во внутренней области сводится
к уравнению [17]
<к (	к3'2\
<и~ а\е 1е )'
которое имеет точное решение
к3/2
е(1) = —	е(0) ехр(-ог).
Постоянная а ~ 1 контролирует разницу между е и /с3/2/1е.
Линейные масштабы. Линейные масштабы 1^ и 1е находятся при
помощи модели пути смешения Прандтля с учетом поправки Ван Дри-

ста [328] (при удалении от стенки масштабы изменяются по экспонен¬
циальному закону).
В отличие от модели Ван Дриста, в которой в качестве характерной
скорости используется скорость в параллельном стенке направлении,
в двухслойной модели используется величина к[/2 (для отрывных те¬
чений возможна ситуация, когда скорость обращается в ноль). Линей¬
ные масштабы пропорциональны характерному масштабу турбулентных
вихрей вблизи стенки 1У = ху и находятся из соотношений [109, 328]
между подобластями располагается там, где Iм ~ 0,94см, и вязкие
эффекты пренебрежимо малы.
В модели [332] в качестве линейного масштаба скорости исполь¬
зуется величина (г^2)1/2 (среднеквадратическая величина скорости,
нормальной к стенке), а не /с1/2, как в модели [289, 328]. Турбулентная
вязкость вычисляется по формуле [332]
Линейные масштабы рассчитываются на основе результатов прямого
численного моделирования полностью развитого турбулентного тече¬
ния в канале [332]:
Для нахождения среднеквадратического значения скорости в попереч¬
ном направлении используется полуэмпирическое соотношение
Стыковка подобластей производится при Кеу* = 80.
Поведение демпфирующих функций, используемых в различных
моделях, показано на рис. 3.5. Значки • соответствуют данным прямого
численного моделирования (для линии /) [27].
= С1У 1 - ехр
Здесь Лм = 50-70, Ае = 2с*, С1 = хсм3/,\ х = 0,42. Обычно граница
Диссипативная функция находится из соотношения
к2>1/2*
е к ■
'€
1^ = 0,33 у,
,	1.3	у
1е 1,0 + 2№/{{т#У/*уУ

Рис. 3.5. Демпфирующие функции для линейных масштабов I/х (а) и 1е (б),
используемые в моделях [289] (линия /) и [332] (линия 2)
Граничные условия. В качестве граничного условия для кинетиче¬
ской энергии турбулентности на стенке принимается условие Неймана
(дк/ду = 0). Вблизи стенки ~ ху, поэтому е — к3/2/(ху). Гранично¬
го условия для диссипативной функции на стенке не требуется.
В модели [197] на стенке полагается к = с^1//2/и*, где
На практике 8 <	<	12,	и указанное условие выставляется в узле,
ближайшем к стенке.
Учет сжимаемости. Для учета эффектов сжимаемости использу¬
ются соотношения [172], корректирующие линейные масштабы турбу¬
лентности:
/ =
1	при у+ ^ 6,+,
{у+/(1+)2 при у+ < с1+.
В качестве масштаба скорости используется величина (р/р™)’/2&1//2
вместо /с1/2. Турбулентное и локальное числа Рейнольдса вычисляются
по формулам
Вблизи стенки Ке* = ху+/см и Кеу — см 1'4у+.

3.4.	Метод пристеночных функций
Пристеночные функции представляют собой набор полуэмпириче-
ских формул, которые связывают искомые функции в пристеночном
контрольном объеме сетки с соответствующими величинами на стенке.
Достоинство метода пристеночных функций состоит в экономии вы¬
числительных ресурсов и возможности учета влияния различных фак¬
торов (например, шероховатости поверхности) за счет использования
эмпирической информации.
3.4.1.	Структура пограничного слоя. В турбулентном погра¬
ничном слое обычно выделяется несколько характерных подобластей
(рис. 3.6), используя безразмерное расстояние от стенки у+ = уит/у,
безразмерную скорость потока и+ = и/ит и безразмерную темпера¬
туру Т+ = (Тад — Т)/Тг, выраженные в пристеночных единицах, где
ит = (т„/р)[/2 — динамическая скорость, Тт — дш/(рсрит) — динами¬
ческая температура, т71} — напряжение трения на стенке, Тю — темпе¬
ратура стенки. Характеристики турбулентности также представляются
в безразмерном виде (к+ = к/и2, е+ = е-и/иАт).
Пристеночная область потока разделяется на внешнюю (ои!ег
ге^юп) и внутреннюю (шпег ге^юп) подобласти [56]. Граница меж¬
ду подобластями располагается примерно на расстоянии у+ ~ 300 от
стенки.
Область закона следа и область перемежаемости объединяются во
внешнюю область турбулентного пограничного слоя, которая занимает
порядка 80% от толщины всего слоя. Внешний слой является областью
и+
1
/
/
/
/
К
/ и+=у+ ^
/ ,<
/ ,и»
/
X *
/
/
/
/
Внутренняя
Внешняя
у область
область
и+ =2,5 1п у + +5,45у'
у/Ь
-0,2
Вязкий подслой
Буферный слой
Логариф¬
мический
слой
у~<-\^5	у~^~-60	у~^~гч/ 250
1п у+
Рис. 3.6. Структура турбулентного пограничного слоя

полностью развитого турбулентного течения, свойства которого зависят
от предыстории потока. Полное затухание возмущений во внешней об¬
ласти происходит на расстоянии, во много раз превышающем линейный
масштаб турбулентности.
Вязкий подслой (0 < у+ < 5, У15соиз зиЫауег), переходная область
(5 < у+ < 30, Ьи^ег или ЫепЛп^ 1ауег) и область логарифмическо¬
го профиля скорости (30 < у+ < 300, тег!1а1 зиЫауег или 1о^-1а\у)
составляют внутреннюю область пограничного слоя (область закона
стенки). На плоской пластине она занимает примерно 20% от толщины
пограничного слоя и в ней генерируется до 80% энергии турбулент¬
ности. В вязком подслое поток является практически ламинарным,
и вязкие напряжения доминируют над турбулентными. В переходном
слое вязкие и турбулентные напряжения имеют одинаковый порядок.
Распределения сдвиговых напряжений вблизи стенки, полученные
на основе прямого численного моделирования полностью развитого
турбулентного течения в канале [100, 266], показаны на рис. 3.7.
Максимум производства турбулентности имеет место в буферном
слое на расстоянии примерно у+ ~ 12 от стенки (рис. 3.8), демонстри¬
руя слабую зависимость от числа Рейнольдса [266]. В связи с сильным
изменением слагаемых, описывающих турбулентный перенос вблизи
стенки, и отсутствием общего подхода к моделированию турбулентно¬
сти в переходной области, первый расчетный узел располагается либо
в вязком подслое (низкорейнольдсовые модели турбулентности), либо
в области логарифмического профиля скорости (метод пристеночных
функций).
Во внутренней области профиль скорости сравнительно слабо за¬
висит от числа Рейнольдса, градиента давления и других внешних
условий, что служит основой для построения универсальных соот¬
Рис. 3.7. Распределения полных
(линия /), вязких (линия 2) и тур¬
булентных (линия 3) напряжений
вблизи стенки при Яет = 395
Рис. 3.8. Распределения слагаемых,
описывающих производство турбу¬
лентности (линия /) и диссипа¬
цию (линия 2), вблизи стенки при
Кет = 395

ношений (пристеночных функций), связывающих параметры течения
с расстоянием от стенки. Наряду с универсальностью профиля скоро¬
сти во внутренней области, метод пристеночных функций опирается
на гипотезу о локальном равновесии энергии турбулентных пульсаций
(производство турбулентности уравновешивается диссипацией) и свой¬
ство локальной изотропности диссипирующих вихрей.
В методе пристеночных функций внутренний слой (вязкий подслой
и переходная область пограничного слоя) не разрешается, а описы¬
вается полуэмпирическими формулами. Использование пристеночных
функций освобождает от необходимости модификации моделей турбу¬
лентности для расчета характеристик течения в пристеночной области.
В другом подходе полуэмпирические модели турбулентности моди¬
фицируются таким образом, чтобы разрешить всю пристеночную об¬
ласть, включая вязкий подслой, при условии обеспечения необходимого
разрешения сетки в пограничном слое. Низкорейнольдсовые модели
справедливы для расчета турбулентных течений во всей области (об¬
ласть течения, удаленная от твердых границ, и пристеночная область),
различаются формой записи источниковых членов в уравнениях пере¬
носа и граничными условиями на стенке [27].
3.4.2.	Закон стенки. В вязком подслое вязкие напряжения до¬
минируют над рейнольдсовыми, и имеет место линейная зависимость
скорости от расстояния до стенки и+ = у+ (при 0 ^ у+ < 11).
Распределения характеристик потока в вязком подслое описываются
соотношениями [100]
и+ = у+; Т+ = Рг у+;
к+ = с\у+2', е+ — С2-
Здесь с\ =0,1, сг = 0,2.
Приведенные соотношения дают хорошее приближение для ско¬
рости, температуры и скорости диссипации до у+ < 10, в то время
как уровень кинетической энергии турбулентности оказывается завы¬
шенным (рис. 3.9). Сплошные линии показывают результаты прямого
численного моделирования турбулентного течения в канале [100, 266],
пунктирные линии соответствуют модельным соотношениям.
В логарифмическом слое рейнольдсовые напряжения намного пре¬
вышают вязкие напряжения, а профиль скорости описывается логариф¬
мическим законом и+ = (1/х)1п Еу+ (при 11 ^ у+ < 0,2<5, где 8 —
толщина пограничного слоя). Для гладкой стенки Е = 8,8.
Распределения характеристик потока в логарифмическом слое опи¬
сываются соотношениями [100]
и+ = — 1пу+ + В\ Т+
н
и+ — _!_•	<г+
К 1/2.	6
Сц
— — \пу+ + Вт;
Хт
V
итху

Рис. 3.9. Распределения скорости (линии /), температуры (линии 2), кинети¬
ческой энергии турбулентности (линии 3) и скорости ее диссипации (линии 4)
вблизи стенки при К,ет = 395
Здесь х= 0,41, В = 5,25 (динамический пограничный слой) и хт =
= Рг*/х = 0,48, Вт = 3,9 (тепловой пограничный слой). Для повыше¬
ния точности расчетов в буферном слое используется корреляционная
зависимость [100]
нт = 0,33
1 — ехр ( —
+ 0,15.
Постоянные В и Вт связаны при помощи соотношения [202]
1	(Рг
Вт = — 1п В + Р ( ——
ХТ	\Рг4
где
ню
= 9,24
Рг
Р^
3/4
1
1 + 0,28 схр
0,007
Рг
Приведенные соотношения дают хорошее приближение для скоро¬
сти и температуры, в то время соотношения для кинетической энергии
турбулентности и скорости ее диссипации являются менее точными,
давая ошибку порядка 25% при у+ ~ 100 в сравнении с данными
прямого численного моделирования (рис. 3.10). Сплошные линии пока¬
зывают результаты прямого численного моделирования турбулентного
течения в канале [100, 266], пунктирные линии соответствуют модель¬
ным соотношениям.
В буферном слое вязкие и рейнольдсовые напряжения имеют оди¬
наковый порядок. Сшивая профили скорости в вязком подслое и ло¬
гарифмическом слое, нетрудно получить, что и+ = А\пу+ + В (при

и +, Т+, А;+, 10е:+
Рис. 3.10. Распределения скорости (линии /), температуры (линии 2), кинети¬
ческой энергии турбулентности (линии <3) и скорости ее диссипации (линии 4)
вблизи стенки при Кег = 395
5 < у+ < 30), где А — 4,94, В — —2,96. Во многих случаях буферной
зоной пренебрегают, полагая, сопряжение вязкого подслоя и логариф¬
мической области происходит при у+ = 11 (для теплового пограничного
слоя — при у+ = 13,2).
Предположение о постоянстве турбулентного числа Прандтля вы¬
полняется лишь на достаточном удалении от стенки в области лога¬
рифмического профиля скорости, где Рг* ~ 0,8 (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Распределения турбулентной вязкости (линии /), температуропро¬
водности (линии 2) и числа Прандтдя (линии 3) вблизи стенки при Кет = 395
Распределение скорости вблизи стенки (5 <У+ < 30), включая пе¬
реходную область, удовлетворительно описывается законом Рейхардта
(КекНапЙ’з 1а^) [56]
и
= - (1 + яу+) + 7,1
к
1-ехр (-	-	ур	ехр	(-0,33у+)
. (3.10)

Закон стенки рассматривается как решение уравнений движения
в турбулентном пограничном слое, полученное при использовании мо¬
дели пути смешения Прандтля в предположении, что конвективные
члены и градиент давления пренебрежимо малы. Во многих случаях
наблюдается также почти универсальный характер распределения тем¬
пературы, и закон стенки используется для задания граничных условий
на внутренней границе при решении уравнения изменения энергии.
Обычно считается, что закон стенки выполняется при 30 <У+ <
< 200, и первый от стенки узел располагается в этом интервале.
Конкретная реализация подхода зависит от выбранной модели тур¬
булентности и используемой разностной схемы, требуя итерационной
процедуры для нахождения пристеночных сдвиговых напряжений на
стенке.
3.4.3. Особенности реализации. Распределение сдвиговых на¬
пряжений полагается однородным в пределах пристеночного контроль¬
ного объема. Сдвиговые напряжения на стенке вычисляются по форму¬
ле тю = 11еАи/Ау, где Аи и А у — приращения скорости и расстояния
между стенкой и пристеночным узлом. Учитывая, что /хе = рКс/и+2,
где Ке = рАиАу/ц, = и+у+, получим тю = рАи2 /и+2. При использова¬
нии /с-е-модели сдвиговые напряжения и число Рейнольдса выражают¬
ся через кинетическую энергию турбулентности:
рс^4к1/2Аи	рс]/4к1/2Ау
Ту, =—,	, Не =	.
-\п(ЕКе)	М
к
Скорость рассчитывается с использованием логарифмического закона
стенки (ЗраМт^’з [огтиЫюп):
у+ = и+ +
ехр (хи+)— 1 — хи+— ^(>ги+)2 —
I	о
ехр {—кВ),
(3.11)
где В = 5,3.
Для решения нелинейного уравнения (3.11) применяется итераци¬
онный метод Ньютона. Вид расчетного соотношения зависит от числа
Рейнольдса.
При Ке ^ 140 распределение скорости описывается соотношением
0 = и+ +
ехр (хи+) — 1 — ки+ - ^(х-и+)2 — ^(хи+)3
х ехр(-яВ) —	(3.12)
и+
Итерации начинаются с и+ = Ке1/2 (в ламинарном подслое имеет место
линейная связь и+ = у+).

При Ке > 140 скорость находится из распределения, которое полу¬
чается при помощи взятия натурального логарифма от (3.11), а именно
0 = и+
В - —1п
х
1 + хи+ + \ {хи+)2 + \(ни+)ъ
Ке	1
х ехр(—яВ)—— — и+>. (3.13)
и+	)
Для решения нелинейного алгебраического уравнения (3.13) применя¬
ется метод Ньютона. В качестве начального приближения используется
соотношение и+ = В + (1/х)1пКе. Соотношение (3.13) дает более
быструю сходимость метода Ньютона, чем соотношение (3.11).
Профиль температуры вблизи стенки имеет вид
У+ =	+	ехр	\-к(В	+	Р)]	х
ехр
/ хк+ \	хк+	1	/	хк+	\	2	1	/	як+	\	3
чр*\г "	.
(3.14)
(3.15)
где
'-«(ё-ойГ
Тепловой поток к стенке находится из соотношений
_ А к _ ( ц. щ ^ Ак
Яш — Р^т I Яю
Рг Рг<) Ау'
Приравнивая приведенные соотношения, получим формулу для расчета
турбулентной вязкости
/ Яе
\Н = Рг* (
1
и+к+ Рг
д.
Вместо соотношения (3.15) используется уравнение, которое реша¬
ется при помощи метода Ньютона:
/г+
0 = —	Ь ехр [~>с(В + Р)] х
Рг*
(хк+\	хк+	1	(хк+\2	1	(х/1+\3
'б1йг;.
Ке
и+
Скорость выражается из закона стенки. Безразмерная температура
определяется по формуле Т+ = (Тш - Т)/Тт, где Тт = я-ш/{ст>Рит)-

3.5. Слабые граничные условия
Расчеты турбулентных течений на неструктурированных сетках
в совокупности с методом пристеночных функций демонстрируют су¬
щественную зависимость решения от шага сетки вблизи стенки. Для
устранения или смягчения сеточной зависимости решения используют¬
ся слабые граничные условия [11, 21].
В методе пристеночных функций на стенке используются гранич¬
ные условия непротекания и прилипания для нормальной и касатель¬
ной скоростей (уп — у-г = 0).
Несмотря на то что постановка условия скольжения потока на
стенке ут Ф 0 (слабые граничные условия) противоречит физической
реальности (разреженные течения не рассматриваются), такой подход
используется в вычислительной практике, но при дискретизации урав¬
нений Навье-Стокса при помощи метода конечных элементов [124].
Влияние стенки на поток учитывается в виде сеточных напряжений
сдвига и дополнительной сеточной генерации турбулентности за счет
отличия профиля касательной скорости от логарифмического распреде¬
ления вблизи стенки [11, 21].
При постановке слабых граничных условий условие непротекания
для нормальной скорости сохраняется (уп = 0), а касательная скорость
рассчитывается, исходя из сдвиговых напряжений на стенке (ут ф 0),
распределение которых полагается однородным в пределах контроль¬
ного объема и рассчитывается по формуле = цеАд8/ А у, где А у —
расстояние от центра контрольного объема до стенки, Ад — разность
касательных скоростей между пристеночным узлом и стенкой, 8 —
площадь грани, — эффективная вязкость.
Слабые граничные условия реализуются через расчет касательной
скорости на стенке [11, 21], которая добавляется в невязку, обуслов¬
ленную дискретизацией невязких потоков через грани пристеночного
контрольного объема, требуя сравнительно небольших модификаций
кода [13, 18].
Касательные скорости на стенке находятся из соотношений
А у	А у	А у
1/т 1 — ит2	Т~х »	Ут 1 Ут2	Ту	,	11) ^ |	^т2	>
(1е	Це	[1с
где
и-г2 ^т1	Ут2	Ут1	Шт2	“Ш-г	)
Тх = Тп	Ад~’	Ту = Т”	Ад	'	Т* = Т”	Ад^'
Составляющие касательной скорости в локальной системе координат
{ит,'Ут,гит} связаны с декартовыми составляющими скорости {и,у,ъи}
при помощи соотношений ит = и — ьппх> ут = у — ьппу, ют — и> — ьппг,
где уп = ипх упу + тп2 представляет собой скорость по нормали
к грани контрольного объема. В методе пристеночных функций ит\ —
= ьт\ - и)т\ = 0.

У
л;
о*
Стенка
Рис. 3.12. Пристеночный контрольный объем (а) и профиль скорости в погра¬
ничном слое (б)
В модифицированном подходе логарифмический профиль скорости
продолжается вплоть до стенки (вязкий подслой не разрешается, как и
в методе пристеночных функций). Касательная скорость на стенке по¬
лучается при помощи осреднения по логарифмическому распределению
скорости в пристеночном контрольном объеме (на рис. 3.12 эта область
обозначена штриховкой, Ау — пристеночный шаг сетки).
Касательная скорость на стенке находится из соотношений
итХ — иь-
ит2 ит 1
А
>т\
щ-
Ут2 ~ Ут\
Ад
1 = Щ-
Ад
Полученные значения используются для расчета невязки, обусловлен¬
ной дискретизацией невязких потоков. Скорость потока в пограничном
слое щ — ри+ь/рАу, выраженная в пристеночных единицах, рассчи¬
тывается с использованием закона стенки (3.12) и теоремы о среднем:
24 хЕ
(хи+)4,
(3.16)
где у+ = Ке/и+. Соотношение (3.16) получается при помощи интегри¬
рования распределения (3.12) в пределах пристеночного контрольного
объема с последующим использованием соотношения (3.11) для упро¬
щения. Решение нелинейного уравнения, определяющего и+, произво¬
дится при помощи метода Ньютона.
С программной точки зрения двух подходов к реализации сла¬
бых граничных условий отличие заключается лишь в способе расчета
касательной скорости на стенке — по явным формулам в исходном
и с использованием логарифмического профиля скорости в модифици¬
рованном подходах.
Слабые граничные условия обладают рядом преимуществ перед
методом пристеночных функций, к которым можно отнести сравни¬
тельно простой подход к программной реализации при использовании
различных моделей турбулентности, использование более грубой сетки

в пристеночной области, смягчение сеточной зависимости решения.
Основной недостаток слабых граничных условий состоит в том, что
они носят численный характер и лишены физической обоснованности.
При этом следует отметить, что и пристеночные функции достаточно
часто используются в ситуациях, в которых закон стенки неприменим
(например, для расчета пограничных слоев, подверженных влиянию
градиента давления, или в случае, когда значения пристеночной коор¬
динаты у+ находятся ниже или выше рекомендованного значения).
3.6.	Низкорейнольдсовые модели турбулентности
Результаты прямого численного моделирования полностью разви¬
того турбулентного течения в канале используются для сравнения
с выражениями для демпфирующих функций и источниковых членов,
постулируемыми в низкорейнольдсовых версиях к-е модели турбу¬
лентности [27]. Указываются модели, имеющие удовлетворительное
согласование с результатами прямого численного моделировании.
Стандартная к-е модель [233], описываемая уравнениями (3.5)
и (3.6), справедлива для полностью развитого турбулентного потока
и неточно описывает течение в пристеночной области (при у+ < 10),
где турбулентные флуктуации подавляются стенкой. Для расчета при¬
стеночных течений к-е модель дополняется методом пристеночных
функций, требующим организации итерационного процесса для нахож¬
дения динамической скорости с приемлемой степенью точности.
Низкорейнольдсовые версии к-е модели обеспечивают описание
потока вплоть до стенки и устраняют недостатки модели [233], но
требуют использования подробной сетки вблизи стенки (у+ < 1) из-за
высоких градиентов диссипативной функции.
В уравнения для кинетической энергии турбулентности и скоро¬
сти ее диссипации включаются дополнительные члены, описывающие
молекулярный перенос, которые не учитываются при высоких числах
Рейнольдса. Модель турбулентности видоизменяется за счет замены
постоянных функциональными зависимостями от турбулентного числа
Рейнольдса.
Уравнения Рейнольдса (3.3) в совокупности с уравнениями к-е
модели турбулентности (3.5) и (3.6) записываются в виде обобщенного
уравнения переноса
где Ф = р, ы, Т, к, е. Выражения для коэффициента переноса Гф
и источникового члена 5ф в уравнении (3.17) приводятся в табл. 3.2.
Турбулентная вязкость вычисляется по формуле Колмогорова-
Прандтля
(3.17)

Таблица 3.2. Выражения для коэффициентов
переноса и источниковых членов
ф
Гф
8ф
1
0
0
ы
Ц
др д Г, ч9г;г1
■а^ + э^Г + м‘)эг']
Т
/2 111
Рг + Рг {
0
к
. Р'1
<Ук
Рк ~ Ек
€
Д Ч
СГе
| (Св|/в1 Ль - Се2/е2Ек) + Ее
Член производства турбулентности имеет вид
дуг
дХу'
Постоянные модели турбулентности связаны посредством соотношения
&е(Се2 ~ Се1) ц2 _ .
X2	"	-
В формулу (3.18) вводится демпфирующая функция /д, а в урав¬
нениях для кинетической энергии турбулентности и скорости ее
диссипации используются модифицированные диссипативные члены
Еь — ре + Ик и Е1г, а также демпфирующие функции и /е2, завися¬
щие от турбулентного и локального чисел Рейнольдса
р/с2
Не* ——	>	К.07/	——
11Е	/х
где у — расстояние от центра контрольного объема до стенки.
Функция /м служит ограничителем турбулентной вязкости. Функ¬
ции /е| и /г2 учитывают увеличение члена, описывающего порождение
скорости диссипации в пристеночной области, а также обеспечивают
ограниченность производной диссипативной функции на стенке.
Использование модифицированных диссипативных членов диктует¬
ся тем, что скорость диссипации принимает ненулевое значение на
стенке, в то время как энергия пульсаций на стенке равняется нулю,
поэтому в стандартной модели е2/к —> оо. Для устранения этого недо¬
статка диссипативный член в моделях [206, 207, 232] при Ке{ —> 0
представляется в виде
Р =
( ду
М
+
дул
V дхдХг
-\рк6ц
Ъдхк 3 Зр 3

Из уравнения переноса кинетической энергии турбулентности для вяз¬
кого подслоя следует, что
дх2	\	дХ]
При к —► 0 получим, что Ек = 0 на стенке. Модификация источниковых
членов устраняет сингулярность в уравнениях модели турбулентности.
Модификация диссипативного слагаемого проводится скорее по вычис¬
лительным, нежели по физическим соображениям.
Низкорейнольдсовые модели турбулентности различаются демпфи¬
рующими функциями, выражениями для модифицированных источни¬
ковых членов, значениями постоянных, а также граничными условия¬
ми. Различные низкорейнольдсовые версии к-е модели турбулентности
приводятся в приложении.
Сравним результаты прямого численного моделирования полностью
развитого турбулентного течения в канале с выражениями для демп¬
фирующих функций и источниковых членов, постулируемыми в низко-
рейнольдсовых версиях к-е модели турбулентности.
В начальный момент времени газ покоится. В направлении оси х за¬
даются периодические граничные условия. На стенках канала выстав¬
ляются граничные условия прилипания и непротекания для скорости
и фиксируется температура стенки (Гш = 288 К).
Параметрам потока во входном сечении канала присваиваются
следующие значения: ро = 1,18 кг/м3, по = 180 м/с, ро = 1,013 х
х 105 Па, /к = 0,038975 Па-с. Характерным параметром задачи явля¬
ется число Рейнольдса Не = рощк/щь, построенное по полуширине
канала и параметрам потока во входном сечении, или число Рей¬
нольдса Кет = роитЬ,/р,о, построенное по динамической скорости. При
выбранных параметрах Не = 5450 и Кет = 360, что соответствует
ит = 11,84 м/с.
Расчеты проводятся на сетке 210 х 130 х 130 со сгущением узлов
к стенкам канала. Максимальные шаги по координатным направлени¬
ям составляют Ах = 4,8 • 10-4 м и А у = Аг = 8 • 10_3 м. Выбранные
шаги сетки оказываются меньше как колмогоровского масштаба длины
1к = (г^/е)1/4, так и масштаба и/и2, построенного по динамической
скорости.
—«■зам**
Рис. 3.13. Вихревая картина течения в канале при I = 0,85 с

Шаг по времени выбирается равным АЬ = 1,8 • 10-5 с. Для получе¬
ния статистически достоверной осредненной картины течения делается
50000 шагов по времени.
Картина течения в канале,
обработанная в виде в линий
равных значений вихря скоро¬
сти, показана на рис. 3.13.
Распределение кинетиче¬
ской энергии турбулентных
пульсаций по частотам показа¬
но на рис. 3.14. Прямая линия
соответствует закону Колмо¬
горова-Обухова.
Профиль продольной ско¬
рости в поперечном сечении
канала приведен на рис.3.15
(пунктирной линией показан
профиль скорости ламинарного
течения). Распределение скоро¬
сти около стенки хорошо со¬
гласуется с законом Рейхардта
(3.10), построенным на основе
Рис. 3.14. Спектральная плотность кине¬
тической энергии турбулентности
экспериментальных данных и охватывающим вязкий подслой, буфер¬
ную и логарифмическую области пограничного слоя (рис. 3.16). Пунк¬
тирная и штрихпунктирная линии соответствуют линейному распреде¬
лению скорости в вязком подслое и логарифмическому распределению
в турбулентной области пограничного слоя соответственно.
Рис. 3.15. Профиль скорости в по¬
перечном сечении канала (сплош¬
ная линия) в сравнении с данны¬
ми [56] (значки •)
+ 102
Рис. 3.16. Профиль скорости в по¬
граничном слое (сплошная линия)
в сравнении с законом Рейхард¬
та [56] (значки •)

41й
Распределение турбулентной вязкости в пристеночной области по¬
казано на рис. 3.17 в сравнении с данными [100, 266] при Кет = 395.
Результаты прямого численного моделирования сравниваются с дан¬
ными, полученными на основе различных низкорейнольдсовых моде¬
лей турбулентности, на рис. 3.18-
3.23. С данными прямого чис¬
ленного моделирования согласу¬
ется поведение демпфирующей
функции /м в моделях [282,
284, 361] (рис. 3.19) и в моде¬
ли [57] (рис. 3.20), а демпфи¬
рующих функций /е! И /е2 —
в модели [411]. Вблизи стенки
указанные модели предсказывают
корректное поведение турбулент¬
ной вязкости (^ ~ у+3) и огра¬
ниченность диссипативной функ¬
ции (е —» еш при у+ -> 0) [108].
Модели [282-284] имеют особен¬
ность при у+ = 0, предсказывая
нереалистичный минимум тепло¬
вого потока вблизи точки присо¬
единения потока [191, 285]. Вид
функций /е[ и /е2 оказывается менее критичным по отношению к ре¬
зультатам численного моделирования, чем представление демпфирую¬
щей функции для турбулентной вязкости [191, 285, 303].
Рис. 3.17. Профиль турбулентной вяз¬
кости около стенки (сплошная линия)
в сравнении данными прямого числен¬
ного моделирования (значки •)
Рис. 3.18. Сравнение с данными
прямого численного моделирования
(значки •): / — модель [232]; 2 —
модели [136, 190, 206, 207, 377]; 3 —
модель [229]; 4 — модель [330]; 5 —
модель [283]
Рис. 3.19. Сравнение с данными
прямого численного моделирования
(значки •): 1 — модель [411]; 2 —
модель [284]; 3 — модель [361]; 4 —
модель [282]

Рис. 3.20. Сравнение с данными
прямого численного моделирования
(значки •): / — модель [166]; 2 —
модель [243]; 3 — модель [107]; 4 —
модель [57]
1л
Рис. 3.21. Сравнение с данными
прямого численного моделирования
(значки •): / — модель [229]; 2 —
модель [136]; 3 — модель [411]
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
/е2
/е2
/Г
1
1
. 0,8
/ [
0,6
- / \ и А‘3
/ II
/ Л/
/ 21
0,4
- / /1/
у /
0,2
\)
	^ 1 	1	»	1
0.
Цг'
о
У
Рис. 3.22. Сравнение с данны¬
ми прямого численного модели¬
рования (значки •): 1 — моде¬
ли [206, 207, 232, 283]; 2 - мо¬
дель [229]; 3 — модели [190, 377]
^	^	и
Рис. 3.23. Сравнение с данными
прямого численного моделирования
(значки •): 1 — модель [361]; 2 —
модель [282]; 3 — модель [284]; 4 —
модель [411]; 5 — модель [57, 58];
6 — модель [107]
Модели [136, 190, 206, 207, 229, 232, 377] дают завышенный
уровень кинетической энергии турбулентности вблизи стенки. С дру¬
гой стороны, модели [282, 284] приводят к заниженной турбулентной
вязкости в пристеночной области.
Модифицированный диссипативный член Ек обычно используется
во всей вычислительной области без каких-либо ограничений. Расчеты
показывают, что слагаемое Ик является значимым только в пристеноч¬
ной области (при 0 ^ у+ ^ 10), в которой дк{/2/ду ^ 0. Слагаемое Ек
становится идентичным диссипативной функции при у+ > 15, поэтому

модификация источникового члена в уравнении для диссипативной
функции учитывается до тех пор, пока дк1^2/ду ^ 0, в противном
случае полагается = 0.
3.7.	Турбулентный пограничный слой
на плоской пластине
Ламинарное течение несжимаемой жидкости вдоль тонкой плоской
пластины является простейшим примером применения уравнений по¬
граничного слоя [56].
При помощи преобразования координат решение уравнения изме¬
нения количества движения сводятся к интегрированию нелинейного
обыкновенного дифференциального уравнения 3-го порядка (задача
Блазиуса). Решение для скорости позволяет вычислить местный коэф¬
фициент трения [56]
С/ = 0,664 Ке“1/2.
Используя автомодельное решения для скорости, получается подобное
распределение температуры в пограничном слое (теплом, возникающим
вследствие трения, пренебрегается).
Уравнения несжимаемого ламинарного пограничного слоя преоб¬
разуются к уравнению теплопроводности при помощи подходящего
выбора независимых переменных (преобразование Мизеса). Прибли¬
женные способы решения уравнений несжимаемого пограничного слоя
основаны на интегральном соотношении Кармана [56].
Простейшим способом учета влияния числа Маха и теплопередачи
на сопротивление является введение эффективной температуры (в этом
случае законы сопротивления, полученные для несжимаемого течения,
сохраняются и для сжимаемого течения). В случае плоского сжимае¬
мого пограничного слоя на теле произвольной формы при Рг = 1 суще¬
ствует простая связь между распределениями скорости и температуры
(преобразование Крокко). Приближенные способы расчета сжимаемого
пограничного слоя основаны на интегральных соотношениях. Много¬
образие расчетных методик объясняется большим числом параметров,
определяющим сжимаемый ламинарный пограничный слой, по сравне¬
нию с пограничным слоем в несжимаемой жидкости. Разработанные
методы применимы к теплоизолированной стенке, а также к случаю
обтекания с теплопередачей.
На развитие пограничного слоя сильное влияние оказывают про¬
филь передней кромки пластины и слабый градиент давления внешнего
течения.
Переход течения в пограничном слое из ламинарной формы в турбу¬
лентную происходит при Ксх = 3 • 105. В области чисел Рейнольдса от
Кех = 3 • 105 до 6- 105 возможна как ламинарная, так и турбулентная
формы течения [56].

Расчет сопротивления пластины, обтекаемой в продольном направ¬
лении потоком несжимаемой жидкости, на основании закона степени
1/7 для распределения скорости, справедливого при умеренно большйх
числах Рейнольдса (5 • 105 < Нех < Ю7), дает соотношение [56]
С/ = 0,0592 Ке“1/5.
Формула справедлива при условии, что пограничный слой является
турбулентным, начиная от передней кромки пластины.
Используя логарифмическое распределение скорости в погранич¬
ном слое, справедливое при произвольно большйх числах Рейнольдса
(К.ех < 109), получается интерполяционное соотношение [56]
С/= (218Ке* - 0,65Г2'3.
Для сжимаемого турбулентного пограничного слоя на плоской пла¬
стине локальное число Нуссельта находится из соотношения [322]
N11* = 0,0296 Не®-8 Рг0’6
Коэффициент трения находится из соотношения
С/ = 0,0296 Ке“0,2.
Корреляционные формулы применимы для воздуха (Рг = 0,7) при
10* < Ке < 107. Теплофизические свойства воздуха берутся при усло¬
виях в невозмущенном потоке.
Результаты физического эксперимента [346] при 105 < Ке < 4 • 106
обобщаются зависимостью
14ц* = 0,0236 Яе^'8.
В ламинарном и турбулентном течении вдоль плоской пластины
профили скорости и температуры тождественно совпадают (при усло¬
вии, что Рг = 1 и Рг4 = 1 и не учитывается тепло, возникающее вслед¬
ствие трения). Аналогия Рейнольдса дает следующую связь между
числом Нуссельта и коэффициентом трения:
= Щ- Ке*.
Результаты расчетов распределений скорости в пограничном слое на
плоской пластине, обтекаемой в продольном направлении равномерным
потоком сжимаемой жидкости, а также распределений коэффициентов
трения и теплоотдачи, сравниваются с данными [397, 412].
Начало системы координат располагается в передней точке пласти¬
ны, а ось х направлена вдоль направления невозмущенного потока,

имеющего скорость Длина расчетной области, представляющей
собой прямолинейный канал, составляет 100 мм, а ее ширина — 20 мм.
Расчеты проводятся на структурированной сетке 35 х 32 со сгущением
узлов к передней кромке и поверхности пластины (рис. 3.24). При этом
у+ ~ 8, что сопоставимо с сеткой, используемой в [412] (значки •).
10
8
б
4
2
0
У+
Входная
граница
И = СОП51
Выходная
граница
Стенка
0	0,025	0.05	0,075	0,1
х, м
Рис. 3.24. Расчетная сетка и распределение координаты у+ вдоль пластины
Во входном сечении задаются полное давление, полная температура
и характеристики турбулентности (рооо = 6,67 • 105 Па, Тооо = 300 К,
коо — 2 м2/с2, Еж = 200 м2/с3, что соответствует 17оо = 200 м/с
и Моо = 0,5). В выходном сечении задается статическое давление
(р = 5,56 • 105 Па). Поверхность пластины считается теплоизолиро¬
ванной. Верхняя пластина перемещается вдоль оси х со скоростью
невозмущенного потока. В направлении оси 2 используются периодиче¬
ские граничные условия. Число Рейнольдса, рассчитанное по скорости
невозмущенного потока и длине пластине, равняется 1,38 • 106.
Ход сходимости итерационного процесса показана на рис. 3.25.
Сплошная линия показывает изменение невязки для характеристик
потока, а пунктирная линия — для характеристик турбулентности.
Для достижения заданного уровня невязки (Я ГЧУ 10 16) требуется 2309
многосеточных циклов при использовании метода пристеночных функ¬
ций и 2138 многосеточных циклов при постановке слабых граничных
условий (в расчетах используется У-цикл и 4 уровня сетки).
Профиль скорости в сечении х = 0,05 м приведен на рис. 3.26
в сравнении с данными [397] (значки •). Сплошная линия соответству¬
ет расчету по к-е модели при использовании пристеночных функций,
а значки ■ — расчету по к-е модели при использовании слабых гра¬
ничных условий. Полученные результаты хорошо согласуются с дан¬
ными [397], за исключением области, лежащей на большом удалении
от стенки (при у+ > 100).

Распределение коэффициента трения С/ = 2тш/р1и%0 вдоль пласти¬
ны показано на рис. 3.27. Расчеты дают намного более низкие значения
коэффициента трения вблизи передней кромки пластины и более вы¬
сокие значения вдали от нее по сравнению с данными [397].
Касательная скорость на стенке принимает малые положительные
значения, составляя около 1 % от скорости потока на внешней границе
пограничного слоя (рис. 3.28).
Распределения локального числа Нуссельта N11 = цшх/(ХАТ), где
АТ = Тооо - Т-и,, приводятся на рис. 3.29. Кривые / и 2 соответствуют
результатам расчетов по к-Е модели и модели Спаларта-Аллмараса
при использовании жестких граничных условий (в сочетании с методом
пристеночных функций), значки о и □ — результатам расчетов при
использовании слабых граничных условий, значки • — данным [397].
Рис. 3.25. Изменение невязки в зависимости от числа итераций для метода
пристеночных функций (а) и слабых граничных условий (б)
Рис. 3.26. Профиль скорости в пограничном слое

и} м/с
Рис. 3.27. Распределение коэффициен- Рис. 3.28. Распределение касатель-
та трения вдоль пластины	ной скорости (скорость скольже¬
ния) вдоль пластины
N4- 105
Рис. 3.29. Распределения числа Нуссельта вдоль пластины
Расчеты, как при использовании метода пристеночных функций,
так и слабых граничных условий, дают более высокие значения ко¬
эффициента теплоотдачи вблизи передней кромки пластины по срав¬
нению с данными измерений. Однако, в целом, согласование расчет¬
ных и экспериментальных данных достаточно хорошее, демонстрируя
слабую зависимость результатов численного моделирования от модели
турбулентности и подхода к моделированию течения в пристеночной
области.
3.8.	Влияние градиента давления и вдува
на турбулентный теплообмен плоской пластины
Рассмотрим влияние продольного градиента давления и лока¬
лизованного вдува на турбулентный теплообмен плоской пласти¬
ны [9, И, 17]. Изменения структуры течения, характеристики тепло¬
обмена и эффективность охлаждения пластины исследуются в зависи¬

мости от величины и знака продольного градиента давления, а также
параметров, характеризующих вдув газа в пограничный слой. Результа¬
ты расчетов, полученные в рамках различных моделей турбулентности,
сравниваются с данными физического эксперимента и имеющимися
корреляционными зависимостями.
3.8.1.	Теплообмен в пограничном слое. Исследования турбу¬
лентного пограничного слоя на стенке с понижением или повышением
давления в направлении течения важны для расчета сопротивления
и теплоотдачи крыла самолета или лопатки турбины, а также харак¬
теристик течения в диффузоре. Локализованный или распределенный
вдув газа в пограничный слой используется для тепловой защиты
поверхности, обтекаемой высокотемпературным потоком [162].
Ламинарное течение несжимаемой жидкости вдоль тонкой плоской
пластины представляет собой один из примеров точного решения урав¬
нений пограничного слоя [56]. Для приближенного расчета плоского
несжимаемого пограничного слоя с наличием градиента давления вдоль
обтекаемой стенки используется метод Польгаузена, а в случае плоско¬
го сжимаемого пограничного слоя — метод Крокко [56]. При некоторых
ограничениях посредством преобразования Дородницына уравнениям
сжимаемого пограничного слоя с градиентом давления придается почти
такой же вид, как в несжимаемом течении.
Для расчета турбулентного пограничного слоя с градиентом давле¬
ния находят применение полуэмпирические подходы — методы Прандт-
ля, Кармана и Рейхардта, основанные на теоремах импульса и энер¬
гии [56].
Результаты физических экспериментов свидетельствуют об умень¬
шении коэффициента теплоотдачи плоской пластины при наличии ло¬
кализованного вдува [181, 212, 345, 372] (эффективность охлаждения
зависит от особенностей подвода инжектируемого газа), что объясняет¬
ся реламинаризацией турбулентного пограничного слоя вниз по потоку
от точки вдува [56, 181].
Дальнейшее снижение тепловых потоков к поверхности пластины
возможно за счет создания продольного градиента давления. Благопри¬
ятный градиент давления (д,р/(1х < 0) приводит к снижению тепловых
потоков к поверхности пластины по сравнению со случаем безгради-
ентного течения [181, 345], оказывая достаточно сильное влияние на
профиль скорости в пограничном слое и сравнительно слабое влияние
на распределение температуры [372]. Измерения не выявляют суще¬
ственного влияния положительного градиента давления {&р/д,х > 0) на
коэффициент теплоотдачи [162, 181].
Решение задачи зависит от локального числа Рейнольдса, парамет¬
ра ускорения, температурного параметра и параметра вдува:
т) Роо^оо*^ |.у. V (I	Тооо Тог	рг^г
Кс =	, К = -рГ-и00х, в = —	—, С =	.
/хоо	и^ (1	Т0оо - Тт	роио
Индекс г соответствует параметрам вдуваемого газа.

Локальное число Нуссельта находится из соотношения
где Те — температура стенки, при которой тепловой поток к поверхно¬
сти пластины равен нулю. Коэффициент теплопроводности берется при
температуре во входном сечении расчетной области.
Для расчета теплового потока к поверхности пластины использует¬
ся корреляционная зависимость [212]
Для численного моделирования турбулентного теплообмена при на¬
личии неблагоприятного градиента давления используются различные
модели турбулентности, в частности, алгебраическая модель [30]
и модель у2-/ [242]. В работе [38] предложены физические и матема¬
тические модели динамического и теплового пограничных слоев, позво¬
ляющие определить совместное воздействие отрицательного градиента
давления и отсоса пограничного слоя на начальном участке.
3.8.2.	Расчетная область и параметры задачи. Геометрическая
модель воспроизводит условия течения в межлопаточном канале газо¬
турбинной установки. Типичное распределение давления по поверхно¬
сти профиля показано на рис. 3.30. При х/з ^ 0,89 (под 5 понимается
N11* = 0,0287 Кех Ке"0’2 Рг"0*6.
Интегральное число Рейнольдса вычисляется по формуле
X
Ке = — РосУ-оо
V
о
Р/Ро
О
0	0,2	0,4	0,6	0,8	,	1
Х/5
Рис. 3.30. Распределение давления по
поверхности профиля. Участок 1 со¬
ответствует благоприятному, а участок
4 — неблагоприятному градиенту давле¬
ния

расстояние от передней кромки профиля, а под х — расстояние от
точки инжекции) имеет место обратный градиент давления. Макси¬
мальное давление наблюдается на передней подветренной поверхности
профиля, где происходит ускорение потока от дозвуковых до сверх¬
звуковых скоростей. На нижней поверхности профиля имеет место
положительный градиент давления.
Распределения давления вдоль поверхности пластины, обтекае¬
мой потоком вязкого сжимаемого газа, приведены на рис. 3.31, а для
условий измерений [372]. Кривая / соответствует неблагоприятному
(с1р/с1х > 0, участок 4 на рис. 3.30, а кривые 2-4 — благоприятному
{&р/6х < 0, кривая 3 соответствует участку 1 на рис. 3.30) градиенту
давления. Распределение параметра ускорения потока в продольном
направлении показано на рис. 3.31, б.
0,8
0,6
0,4
0,2
0
20	40	60	80 100 120 140	20	40	60	80 100 120 140
а:,мм	;с,мм
Рис. 3.31. Распределения давления (а) и параметра ускорения (б) вдоль по¬
верхности пластины
Расчетная область, показанная на рис. 3.32 (длины приводятся
в мм), представляет собой криволинейный канал, нижняя граница
которого представляет собой поверхность пластины, а верхняя граница
состоит из отрезков прямых и дуг окружностей и строится таким
образом, чтобы воспроизвести градиент давления, создаваемый экспе¬
риментальной установкой [372]. Фрагменты а-г соответствуют кривым
1-4 на рис. 3.31. Последняя секция на фрагменте в (при х > 120 мм)
делается суживающейся для того, чтобы гарантировать сходимость
численного решения. При заданных параметрах течение в выходном
сечении является сверхзвуковым, поэтому особенности течения вниз
по потоку от указанного сечения не оказывают влияния на параметры
вверх по потоку (регистрация теплового потока в [372] проводилась
при х < 120 мм).
Начало декартовой системы координат выбирается в передней точке
пластины. Ось х направлена вдоль пластины. Вдув газа производится
УРо
К• 10'6

б]
Рис. 3.32. Геометрия расчетной области. На вынесенном фрагменте показана
детальная геометрия расчетной области для варианта 3
через щель шириной 0,5 мм под углом 30° к направлению потока.
В точке вдува Яе = 2,7 • 107 и М = 0,5, а максимальная величина
параметра ускорения изменяется от К = 2,62 • 10-6 в варианте 1 до
-0,22- 10_ь в варианте 4 (рис. 3.31, б). В случае неблагоприятного
градиента давления течение тормозится от М = 0,5 до 0,4, в то время
как для градиента давления, описываемого кривой / на рис. 3.31, а,
поток ускоряется от М = 0,5 до 1,7.
Принимается, что в начальный момент времени газ покоится (ух =
= Уу = 0,р = 1,013- 105 Па, Т = 288 К).
Во входном сечении задаются полное давление (рооо = 3,66 х
х 105 Па), температура торможения (Тоос = 380 К), турбулентная вяз¬
кость (йооо = 7,1 • 10"3 м2/с) или кинетическая энергия турбулент¬
ности и скорость ее диссипации (кооо = 2 м2/с2, еооо = 200 м2/с3),
а в выходном сечении — статическое давление (роо = 1,013 • 105 Па).
Верхняя стенка считается теплоизолированной (дТ/дп = 0). Пластина
имеет постоянную температуру (Тш = 300 К). Для вдуваемого газа
^ = 300-350 К и С = 0-1,2. В качестве рабочей среды используется
воздух при дооо = 1,78 • 10-5 кг/(м • с).
В расчетах используется несколько сеток, характеризуемых различ¬
ными значениями у+ вдоль поверхности пластины (рис. 3.33). При 40
(сетка 1), 60 (сетка 2), 80 (сетка 3) и 100 (сетка 4) узлах поперек
канала сетка содержит 2800, 4200, 7200 и 20000 узлов. Сетка 4 имеет
достаточно низкие значения у+ вблизи стенки, и для описания течения
используется двухслойная модель турбулентности.

Рис. 3.33. Распределения координаты у+ вдоль сеток 1 (линия /), 2 (линия 2),
3 (линия 3) и 4 (линия 4)
Распределения числа Нуссельта показаны на рис. 3.34 и рис. 3.35
для метода пристеночных функций и слабых граничных условий (ва¬
риант 3, распределение давления описывается кривой 3 на рис. 3.31, а).
Линии 1-3 соответствуют расчетам на сетках с 40, 60 и 80 узлами
в поперечном направлении, линия 4 — расчетам по низкорейнольдсовой
версии модели Спаларта-Аллмараса или двуслойной модели на сетке
со 100 узлами в направлении оси у, а значки • — данным измере¬
ний [372].
N4-103
N4-103
X, мм
Рис. 3.34. Распределения локального числа Нуссельта вдоль пластины для
к-е модели (а) и модели Спаларта-Аллмараса (б) при использовании метода
пристеночных функций

N11-103
X, мм
X, мм
Рис. 3.35. Распределения локального числа Нуссельта вдоль пластины для
к-е модели (а) и модели Спаларта-Аллмараса (б) при постановке слабых
граничных условий
При удалении от переднего края пластины число Нуссельта сначала
уменьшается (минимум имеет место при х ~ 38 мм), а затем снова
достигает максимума). Распределения, описываемые кривыми / на
рис. 3.34, дают существенную погрешность в положении локального
максимума числа Нуссельта, что объясняется низкими значениями
у+ около стенки. Точность резуль¬
татов, полученных на основе модели
Спаларта-Аллмараса и к-е модели
с пристеночными функциями, следу¬
ет признать неудовлетворительной.
В то же время двуслойная модель
дает результаты, достаточно хорошо
согласующиеся с данными физиче¬
ского эксперимента [372], но требует
увеличения узлов сетки и времени
счета на 20% [9]. Слабые граничные
условия показывают хорошие пока¬
затели в смысле скорости сходимо¬
сти итерационного процесса и удо¬
влетворительные результаты в смыс¬
ле точности получаемых результа¬
тов, за исключением самой грубой
сетки (кривые / на рис. 3.35).
Результаты расчетов на основе
двуслойной модели турбулентности,
приведены на рис. 3.36 (используется
сетка 4). При удалении от переднего края пластины число Нуссельта
сначала уменьшается (минимум имеет место при х ~ 38 мм), но в слу¬
чае благоприятного градиента давления снова достигает максимума
X, мм
Рис. 3.36. Распределения локаль¬
ного числа Нуссельта вдоль пла¬
стины. Линии 1-3 соответствуют
благоприятному, линия 4 — небла¬
гоприятному, а линия 5 — нулево¬
му градиенту давления

X, мм
X, мм
Рис. 3.37. Влияние вдува на распределение локального числа Нуссельта вдоль
пластины в вариантах 1 (а) и 4 (б) при в = 1,3, Та/Тоос = 0,82 иС = 0 (/);
0,15 (2); 0,25 (3); 0,35 {4)\ 0,59 (5); 1,20 (6)
Рис. 3.38. Влияние вдува на эффективность охлаждения при То^/Тооо = 0,82
и х/к — 8 (а); 14 (б) для вариантов 1 (кривая /) и 4 (кривая 3). Кривая 2
соответствует нулевому градиенту давления
(кривые 1-3). При неблагоприятном и нулевом градиентах давления
(кривые 4 и 5) зависимости числа Нуссельта от продольной координаты
является монотонно убывающими. Результаты расчетов по двуслойной
модели хорошо согласуются с корреляционной зависимостью [212].
В случае безградиентного течения и вдува с поверхности пластины
число Нуссельта имеет максимум в окрестности точки вдува для всех
отношений температуры вдуваемого газа к температуре во входном
сечении (параметр ТогДооо)- Вниз по потоку от точки вдува число
Нуссельта стремится к соответствующему значению при отсутствии
вдува (рис. 3.37). В случае градиентного течения для варианта 1 макси¬
мальное снижение теплового потока имеет место при С = 0,35 (число
Нуссельта уменьшается примерно на 22 % по сравнению с вариантом
расчета без вдува). При наличии обратного градиента давления (вари¬
ант 4) максимальное охлаждение пластины достигается при С = 0,25
(примерно на 39%).

Зависимость эффективности охлаждения поверхности пластины от
входных параметров задачи является качественно одинаковой во всех
расчетных вариантах (рис. 3.38). При малых скоростях вдува газа
в пограничный слой влияние градиента давления на эффективность
охлаждения оказывается достаточно малым.
3.9.	Турбулентное течение
в межлопаточном канале компрессора
Рассмотрим течение в межлопаточном канале низкоскоростного
компрессора и исследуем сеточную зависимость решения и влияние
пристеночного шага сетки на точность расчетов при использовании
метода пристеночных функций и слабых граничных условий [21].
Расчетная область, показанная на рис. 3.39, ограничена входным
и выходным сечениями межлопаточного канала, поверхностью профи¬
ля, стенками канала и периодическими границами (течение направлено
вдоль оси х).
Рис. 3.39. Геометрия расчетной области
Во входном сечении задаются радиальные профили полного давле¬
ния, полной температуры и углов, определяющих направление течения
(рис. 3.40, а-г), а также характеристики турбулентности (ц*, = 1,76 х
х 10~4 м2/с или коо = Ю-4 м2/м2, €оо = 10_3 м2/с3 в зависимости от
используемой модели турбулентности). На выходной границе фиксиру¬
ется распределение статического давления (рис. 3.40, д). На поверхно¬
сти профиля выставляются граничные условия прилипания и непро-
текания, а на стенках межлопаточного канала — условия скольжения
(невязкие стенки). Поверхность профиля считается теплоизолирован.-
ной. В окружном направлении используются периодические граничные
условия.
Расчеты проводятся на двух сетках с областью О-типа около про¬
филя, характеризуемых приблизительно одинаковым количеством яче-

Рис. 3.40. Радиальные профили полного давления (а), полной температуры
(б) и углов, определяющих направление потока (в и г) во входном сечении,
и профиль статического давления в выходном сечении (д)
ек, но различными шагами сетки вблизи стенки. Фрагменты сеток
и распределения универсальной координаты у+ показаны на рис. 3.41
и рис. 3.42 (координата 5 отсчитывается вдоль поверхности профиля).
Сетки 1 и 2 содержат по 16302 и 15518 ячеек, причем 7872 и
7480 ячеек располагается на границе. На входной и выходной границах
размещается по 64 и 44 ячеек. Периодические границы содержат по
127 ячеек. Стенки межлопаточного канала содержат 7872 ячеек для
сетки 1 и 7480 ячеек для сетки 2. На поверхности профиля в обоих
случаях располагается 196 ячеек. Величина у+ изменяется от 0,2
Рис. 3.41. Сетки 1 (а) и 2 (б) в окрестности задней кромки профиля

О 0,2	0,4	0,6	0,8	1	5
Рис. 3.42. Распределение пристеночного шага сетки для сеток 1 (линия /)
и 2 (линия 2)
до 2 для сетки 1 и от 0,8 до 24 для сетки 2 (кривые / и 2 на
рис. 3.42). Сетка 1 имеет приблизительно равномерное распределение
у+ на подветренной и надветренной поверхностях профиля (при этом
у+ ~ 1, что находится ниже границы, обычно используемой в расчетах
на основе метода пристеночных функций). Для достижения сходимо¬
сти (Я. ~ 10-16) делается 5000 многосеточных циклов (используется
У-цикл и 4 уровня сетки). Пристеночный шаг, реализующийся на сетке
1,	позволяет использовать двуслойную модель.
Результаты, относящиеся к сходимости численного решения, при¬
ведены на рис. 3.43. Кривые 1 и 2 показывают результаты расчетов
на сетке 1, кривые 3 и 4 — результаты расчетов на сетке 2 при
Рис. 3.43. Изменение невязки в зависимости от числа итераций при использо¬
вании модели Спаларта-Аллмараса (а) и к-е модели (б)

Таблица 3.3. Уровень невязки и число итераций
Сетка
5А-модель
к-е модель
я,
я2
N
я,
я2
N
Сетка 1 +
пристеночные функции
-15,13
-18,50
5000
-16,01
-20,52
2059
Сетка 1 +
слабые граничные условия
-12,29
-18,25
5000
-16,02
-20,53
2073
Сетка 2+
пристеночные функции
-16,00
-19,84
961
-16,01
-20,64
881
Сетка 2+
слабые граничные условия
-16,00
-19,75
1030
-16,00
-20,64
888
использовании метода пристеночных функций и слабых граничных
условий (некоторые линии сливаются), а кривые 5 и 6 — результаты,
полученные на основе двуслойной модели на сетках 1 и 2. Сплошные
линии соответствуют невязке, полученной в результате дискретизации
уравнения неразрывности, уравнений изменения количества движения
и уравнения изменения энергии, а штрихпунктирные линии — невязке,
обусловленной дискретизацией уравнений модели турбулентности.
Результаты численного моделирования на сетках 1 и 2 обобщаются
в табл. 3.3. Модель Спаларта-Аллмараса не позволяет достичь задан¬
ного уровня невязки за 5000 итераций на сетке 1 как при использова¬
нии метода пристеночных функций, так и слабых граничных условий.
Для к-е модели сходимость на сетке 1 достигается за 2059 и 2073
многосеточных циклов. Наиболее быстрая сходимость имеет место при
использовании к-е модели на сетке 2 — число многосеточных циклов
составляет 881 для метода пристеночных функций и 888 для слабых
граничных условий. Модель Спаларта-Аллмараса требует несколько
Рис. 3.44. Изменение потерь в выходном сечении в зависимости от числа
итераций для модели Спаларта-Аллмараса (а) и к-е модели {б)

га, кг/с	га,	кг/с
Рис. 3.45. Изменение удельного расхода в выходном сечении в зависимости от
числа итераций для модели Спаларта-Аллмараса (а) и к-е модели (б)
большего числа многосеточных циклов — 961 и 1030 соответственно.
Для достижения сходимости на основе двуслойной модели требуется
1677 многосеточных циклов (используется сетка 1).
Изменения потерь полного давления и удельного массового расхода
рабочей среды в выходном сечении межлопаточного канала компрессо¬
ра в зависимости от числа многосеточных циклов показаны на рис. 3.44
и рис. 3.45 для различных моделей турбулентности и подходов к по¬
становке граничных условий на профиле (условные обозначения те же,
что и на рис. 3.43).
Данные, соответствующие установившемуся решению задачи, обоб¬
щены в табл. 3.4. Следует отметить разницу в потерях полного давле¬
ния в выходном сечении канала, полученных на основе модели Спа¬
ларта-Аллмараса и к-е модели с пристеночными функциями.
Таблица 3.4. Потери и удельный расход в выходном сечении
Сетка
Пристеночное моделирование
5А-модель
к-е модель
Ь
771
Ь
771
1
Пристеночные функции
0,04712
0,8342
0,09710
0,7854
1
Слабые граничные условия
0,04715
0,8312
0,09715
0,7854
2
Пристеночные функции
0,05707
0,8130
0,03960
0,8305
2
Слабые граничные условия
0,06268
0,8123
0,04324
0,8315
Расчеты по двуслойной модели дают удельный массовый расход,
хорошо согласующийся с другими моделями (тп = 0,7829 кг/с, что
дает погрешность в 6,5% и 0,3% относительно данных, полученных
на основе модели Спаларта-Аллмараса и к-е модели с пристеноч¬
ными функциями). Вместе с тем, данные по потерям полного дав¬

ления в выходном сечении оказываются существенно завышенными
(Ь = 0,10303%, что дает погрешность 54,3% и 6,5%).
Распределения статического давления по поверхности профиля,
приведенные на рис. 3.46-3.48, показывают существенное влияние при¬
стеночного шага сетки и способа постановки граничных условий на
результаты расчетов вблизи задней кромки профиля.
Пристеночные функции и слабые граничные условия дают при¬
близительно одинаковые результаты на сетке 1 как для модели Спа¬
ларта-Аллмараса, так и для к-е модели.
При использовании сетки 2 (сетка с большим пристеночным шагом)
и метода пристеночных функций обращает на себя внимание петле¬
образное распределение статического давления в окрестности задней
кромки профиля (рис. 3.46 и рис. 3.47), напоминающее по форме ры-
1,065
р 105, Па
р -105, Па
1,035 -
			Л, 2 ^
б
А
*
3
III]
1
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
5
0,9 0,92 0,94 0,96 0,98 1	1,02
5
Рис. 3.46. Распределения давления по поверхности профиля (а) и вблизи его
задней кромки (б) для модели Спаларта-Аллмараса
1,065
р -105, Па
1,035-
1,02
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
5
р-105, Па
б
3
1111
1
0,9 0,92 0,94 0,96 0,98 1	1,02
5
Рис. 3.47. Распределения давления по поверхности профиля (а) и вблизи его
задней кромки (б) для к-е модели

1,065
1,05
1,035
р 105, Па
р -105, Па
а
1,044
					 А б
■—
-
1,04
V
Г
1,036
-
-
кУ/
1,032
"
1
, , 1 I	1
1 028
Г 1 1 1 1
0,9 0,92 0,94 0,96 0,98	1	1,02
5
Рис. 3.48. Распределения давления по поверхности профиля (а) и вблизи его
задней кромки (б) для двуслойной модели
бий хвост (ПзЫаШп^). Расчеты на основе к-е модели дают также
немонотонное распределение давления на верхней поверхности профи¬
ля (дугообразное распределение давления, описываемое кривой 3 на
рис. 3.47).
Использование сетки 2 и слабых граничных условий не позволяет
полностью устранить «эффект рыбьего хвоста», но приводит к его
снижению и делает возможным применение более грубой сетки около
стенки, чем в случае пристеночных функций.
Двуслойная модель позволяет улучшить результаты расчетов, полу¬
ченные на основе к-е модели с пристеночными функциями. В то время
как метод пристеночных функций дает немонотонное распределение
давления вблизи задней кромки профиля (кривая 3 на рис. 3.47), двух¬
слойная модель предсказывает распределение давления, согласующееся
с расчетами на основе других подходов.
Осевая и окружная скорости, а также угол поворота потока (3 =
= агс1ё(^/ух) приведены в табл. 3.5 для выходного сечения канала.
Расчеты предсказывают схожие значения локальных характеристик
потока на сетке 1 независимо от способа пристеночного моделирова¬
ния. Расчеты при постановке слабых граничных условий дают несколь-
Таблица 3.5. Скорости и угол направления потока в выходном сечении
Сетка
Пристеночное
моделирование
5А-модель
к-е модель
Ух
г'в
0
'Ох
ьо
а
1
Пристеночные функции
34,81
16,18
24,94
34,53
18,29
27,91
1
Слабые граничные условия
34,80
16,18
24,94
34,53
18,29
27,91
2
Пристеночные функции
35,03
17,89
27,05
35,16
17,11
25,94
2
Слабые граничные условия
34,81
17,55
26,75
34,61
16,58
25,60

ко меньшие значения скорости и угла на сетке 2, чем расчеты на
основе пристеночных функций (различие составляет 0,25%). Наиболее
важное значение имеет пристеночное разрешение сетки, давая разницу
в осевой скорости 0,2%, разницу в окружной скорости 1,5% и разницу
в угле, определяющем направление потока, 2,1%, на сетках 1 и 2
с пристеночными функциями. Слабые граничные условия на сетках 1
и 2 дают разницу 0,2%, 1,3% и 1,8% соответственно.
Результаты расчетов, полученные на основе двуслойной моде¬
ли турбулентности (табл. 3.6), демонстрируют существенную разни¬
цу в локальных характеристиках потока, давая максимальные значе¬
ния тангенциальной скорости {ув — 18,15 м/с) и угла поворота по¬
тока (а = 27,72°) среди моделей турбулентности и подходов к по¬
становке граничных условий на профиле. Величина осевой скорости
(ух = 34,55 м/с) хорошо согласуются с другими моделями.
Таблица 3.6. Результаты расчетов на основе двухслойной модели
Сетка
Я,
я2
N
Ь
7П
Ух
Ув
0
Сетка 1
-16,00
-20,54
1677
0,10303
0,7829
34,55
18,15
27,71
Сетка 2
-16,01
-19,63
619
0,05226
0,8369
33.99
15,42
24,40
Пристеночное разрешение сетки вблизи задней кромки профиля,
метод сопряжения структурированной сетки О-типа в пограничном
слое с сеткой во внешней области, а также способ постановки гра¬
ничных условий оказывают большое влияние на качество результатов
численного моделирования, в частности, на распределение давления по
поверхности профиля вблизи его задней кромки, а следовательно, и на
структуру течения в ближнем следе и распределение полного давления
в выходном сечении межлопаточного канала.

Глава 4
СОПРЯЖЕННОЕ
ТЕПЛОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
КОМПОНЕНТОВ ГАЗОВЫХ ТУРБИН
Сопряженный тепловой анализ (соирЫ 1Негта1 апа1у515) использу¬
ет задание результатов одного анализа в качестве нагрузок для другого
и играет важную роль в процессе проектирования и оптимизации мно¬
гих технических устройств, включая газовые турбины, компрессоры
и теплообменные системы. Исследование температурного воздействия
потока на узлы конструкции позволяет определить потенциально про¬
блемные места и заранее принять меры по обеспечению их надежности
и работоспособности.
Тепловой анализ заключается в расчете распределения температуры
и тепловых параметров в системе. В его основе лежит уравнение
теплового баланса, полученное в соответствии с принципом сохране¬
ния энергии, для дискретизации которого обычно используется метод
конечных элементов. В дополнение к расчету температурного поля,
в результате теплового анализа определяются плотность теплового
потока на границе системы и коэффициенты теплоотдачи (с учетом
заданной температуры окружающей среды).
Течение вязкой сжимаемой жидкости описывается осредненными по
Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса, замкнутыми при помощи той
или иной модели турбулентности, для дискретизации которых обычно
используется метод конечных объемов. В результате интегрирования
уравнений Рейнольдса находятся распределения скорости, давления
и температуры внутри и на границах расчетной области.
В данной главе рассматриваются вопросы, связанные с исследовани¬
ем сопряженного теплообмена при движении вязкой сжимаемой жидко¬
сти в полости, ограниченной неподвижными и подвижными стенками,
в условиях вынужденной конвекции, а также разработка и реализация
программного обеспечения, предназначенного для численного решения
задач сопряженного теплового анализа.
Обсуждаются дискретизация уравнений, описывающих распределе¬
ние температуры внутри твердого тела и движение жидкости, реали¬
зация упрощенного подхода к расчету температурного поля в жидко¬
сти, основанного на интегрировании уравнения изменения температуры
при замороженном поле скорости, а также автоматическое построение

неструктурированной сетки в области, занятой жидкостью, и дру¬
гие детали численной реализации. Для решения системы разностных
уравнений, полученной в результате конечно-объемной дискретизации
осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса, используется
многосеточный метод и обобщенный метод взвешенных невязок.
Для контроля и изменения шага интегрирования по времени вво¬
дится параметр точности по температуре, позволяющий реализовать
гибкое управление вычислительным процессом.
Возможности подхода демонстрируются на примере решения ряда
задач, связанных с сопряженным тепловым анализом компонент газо¬
вых турбин. Результаты расчетов сравниваются- с теоретическими за¬
висимостями и данными измерений. Проводится сравнение ускорений
вычислительного алгоритма, полученных при использовании полного
и упрощенного подходов к решению задачи.
4.1.	Подходы к сопряженному тепловому
моделированию
Разница температур металла в контрольных точках, полученных
в результате численного и физического эксперимента, не должна пре¬
вышать ±5 К, что дает относительную погрешность порядка 1 % и на¬
ходится в пределах точности измерений [144].
На практике сопряжение температурных полей в твердом теле
и жидкости, а также передача тепловых нагрузок между средами осу¬
ществляется при помощи нескольких подходов. Каждый подход имеет
свои преимущества и недостатки, а также области применения.
В прямом методе (соп)и{*а!е те1Нос1) используется сопряженный тип
элемента, содержащий необходимые степени свободы, а управление
сопряжением достигается при помощи вычисления матриц элемен¬
та или векторов нагрузки элемента. Сопряженный тепловой анализ
проводится при помощи одного программного модуля, позволяющего
рассчитать поле температуры как внутри твердого тела, так и в жид¬
кости. Такой подход реализуется в работах [87, 326] и успешно при¬
меняется для сопряженного теплового анализа компонентов газовых
турбин [88, 226, 293]. Расчеты ограничиваются либо стационарными,
либо сравнительно простыми нестационарными режимами работы, по¬
скольку включение нестационарных расчетов поля течения жидкости
является достаточно затратным с вычислительной точки зрения (для
обеспечения сходимости поле течения жидкости рассчитывается мно¬
гократно на каждом шаге по времени).
Для снижения требований к вычислительным ресурсам находит
применение другой подход (поп-соир1ес1 те1Ьос1), в котором расчеты по¬
ля течения жидкости проводятся в стационарной постановке и только
в ключевых точках цикла нагружения. На основе полученных данных
строятся полуэмпирические корреляционные соотношения, которые ис¬
пользуются для постановки тепловых граничных условий на поверх¬

ности, разделяющей жидкость и твердое тело (в том числе находит
применение метод аналогии Рейнольдса). Такой подход демонстрирует
хорошие показатели производительности и не накладывает ограниче¬
ний на постановку задачи [238, 342]. Однако успех его применения
в существенной степени ограничивается качеством построенных кор¬
реляционных соотношений и опирается на опыт пользователя. В связи
с ограниченной областью применимости критериальных соотношений,
распространение подхода на широкий спектр условий представляется
проблематичным.
В последовательном методе (соирЫ те1Ьос!) расчеты поля течения
жидкости и температурного поля в твердом теле проводятся один за
другим с последующей передачей нагрузок между двумя расчетны¬
ми областями через сетку и соответствующие граничные условия на
границе раздела сред. В случае теплового анализа взаимодействия
жидкость-твердое тело требуется учет передачи теплового потока от
жидкости к твердому телу и температуры на границе раздела. Для
моделирования течения жидкости и расчета тепловых нагрузок в твер¬
дом теле используются различные модули: конечно-элементный мо¬
дуль для расчета температурного поля в твердом теле (Ртйе Е1етеп!
Апа1у515, РЕА-модуль) и модуль расчета характеристик течения жид¬
кости (СотриШюпа1 Р1шс1 Оупагшсз, СРЕ)-модуль). Процедура об¬
мена граничными значениями между различными модулями требует
реализации соответствующей коммуникационной подпрограммы (р1и^-
ш). В случае несовпадения конечно-элементной (обычно используются
ячейки треугольной формы) и конечно-объемной (используются как
структурированные, так и неструктурированные сетки) сеток на гра¬
нице раздела сред применяется интерполяция граничных значений.
Такой подход реализуется в работах [25, 28, 193, 241, 265, 368, 387]
и успешно применяется для решения прикладных задач различного
класса.
Для ситуаций, которые не выражают высокую степень нелиней¬
ности взаимодействия, последовательный метод представляется более
эффективным и гибким, позволяя выполнить два анализа независимо
друг от друга с их последующей итерационной увязкой [241, 265, 387].
Помимо этого последовательный подход позволяет сравнительно про¬
сто учесть различные механизмы обмена теплом между жидкостью
и твердым телом (конвективный, кондуктивный, теплообмен излучени¬
ем). Сопряжение на каждом шаге по времени реализуется при помощи
выполнения итераций между различными расчетными модулями до тех
пор, пока не достигнется заданный уровень невязки [25, 28, 193, 368].
При этом обычно считается, что время перестройки температур¬
ного поля в жидкости намного меньше времени перестройки тем¬
пературного поля в твердом теле (течение успевает подстраиваться
к изменению граничных условий). Для каждой характерной точки или
участка цикла нагружения, характеризуемого постоянством некоторых
параметров (например, угловой скорости вращения ротора), строится

отдельная СРЭ-модель, и расчеты поля течения жидкости проводятся
в стационарной постановке. Имеется принципиальная возможность ис¬
пользовать одну СРО-модель для различных точек цикла нагружения,
но это требует проведения дополнительных итераций для получения
приемлемого поля течения жидкости.
Особенности реализации последовательного подхода к сопряженно¬
му тепловому моделированию в областях, образованных подвижными
(ротор) и неподвижными (статор) стенками, рассматриваются в рабо¬
тах [25, 28, 368]. В отличие от общепринятого подхода [241, 265, 387],
когда между различными расчетными модулями передаются темпера¬
туры жидкости и металла, в подходе [25, 28, 368] температура металла
передается от РЕА-модуля к СРО-модулю, а в обратном направлении —
тепловой поток и температура жидкости. Такая реализация позволяет
стабилизировать численные расчеты и избежать проблем, связанных
с расходимостью итерационной процедуры [25, 193, 368].
Использование схемы сопряженного теплового анализа, разработан¬
ной в [25], подразумевает, что геометрия области, занятой жидкостью,
определяется дважды: один раз в качестве составляющей РЕА-модели
(геометрия импортируется, например, из файла в формате 10Е5), а дру¬
гой — в качестве составляющей СРЕ)-модели. При этом расчетная сетка
и граничные условия, извлекаемые из цикла нагружения, для СРЭ-
модели задаются вручную. Для избежания дублирования информации
и уменьшения времени, необходимого для задания входных условий
и данных, требуется разработка подпрограммы, осуществляющей из¬
влечение СРО-области из имеющейся конечно-элементной модели без
участия пользователя или при его минимальном вмешательстве и ав¬
томатическую генерацию сетки в области, занятой жидкостью, а также
построение СРЭ-модели для каждой точки цикла нагружения.
Во многих задачах, представляющих практический интерес, форма
расчетной области является достаточно сложной, в связи с чем постро¬
ение структурированных и блочных сеток становится трудоемким и
сложным. Несмотря на то что использование неструктурированных се¬
ток приводит к увеличению вычислительной работы на каждом шаге по
времени по сравнению со структурированными сетками, это позволяет
произвести автоматическую генерацию сетки в области произвольной
геометрической конфигурации, а при необходимости — сравнительно
просто реализовать адаптацию сетки к решению.
Для сокращения времени на СРО-расчеты, реализуемые на каждом
шаге по времени, допускается решение не всех уравнений, описыва¬
ющих течение жидкости, а только уравнения изменения температуры
жидкости (расчет температурного поля жидкости реализуется при за¬
мороженном поле скорости). Обновление поля скорости производится
лишь в начале каждого шага по времени (для этого делается 1 ите¬
рация). Эффективность упрощенного подхода в существенной степе¬
ни определяется способом решения системы разностных уравнений,
полученной в результате конечно-объемной дискретизации уравнения

изменения температуры. Для ее решения применяется многосеточный
метод (МиШ-Опс! Ме1Ьос1, МОМ) и обобщенный метод взвешенных
невязок (ОепегаПгес! Мт1та1 Кез1с1иа1, ОМКЕ5), который является
одним из проекционных методов, построенных на базе подпространств
Крылова.
4.2.	Схема сопряженного теплового анализа
Для проведения теплового сопряженного анализа на основе после¬
довательного подхода требуется конечно-элементный модуль расчета
распределений температуры и тепловых потоков в твердом теле (РЕА-
модуль), модуль расчета течения жидкости (СРО-модуль), генераторы
расчетных сеток в обеих областях и средства коммуникации между
двумя расчетными модулями [28].
4.2.1.	Расчетные модули и передача нагрузок между ними.
К сеточным генераторам особых требований не предъявляется. Для по¬
строения конечно-элементной сетки в твердом теле и конечно-разност¬
ной сетки (структурированной, неструктурированной или гибридной)
в области, занятой жидкостью, используется один и тот же сеточный
генератор (например, коммерческий сеточный генератор ОагпЫ1, Апзуз
1СЕМ СРО или какой-либо другой).
В то же время на расчетные модули накладываются определенные
требования. Оба расчетных модуля должны функционировать в пакет¬
ном режиме, когда им на вход подается файл, содержащий исходные
данные (файл сценария), а на выходе получаются файлы, содержащие
распределения искомых функций (наличие графического интерфейса
представляется необязательным). Кроме того, СРО-модуль в качестве
граничного условия для уравнения энергии должен поддерживать зада¬
ние профиля температуры на стенке в виде последовательности коор¬
динат и соответствующих им значений температуры {хг.у^, гг,Тг}, где
индекс г относится к граничному узлу. Последовательность координат
и температур хранится в отдельном файле, имя которого указывается
в файле сценария. Помимо задания распределения температуры вдоль
границы модели требуется сохранение профилей статического давления
и теплового потока на стенке, а также площади поверхности присте¬
ночных ячеек расчетной сетки. Для уменьшения расчетного времени
допускается решение только уравнения энергии при замороженном
поле скорости, давления и характеристик турбулентности (для их об¬
новления делается 1 итерация на каждом временном шаге).
Схему сопряженного теплового анализа поясняет рис. 4.1 (индексы
/ и т относятся к жидкости и твердому телу). В каждой временной
точке цикла нагружения температура металла передается из РЕА-
модуля в СРО-модуль. Решается задача расчета течения жидкости
(выполняется заданное число итераций или многосеточных циклов),
и полученные распределения теплового потока передаются из СРО-

Начало расчета в даннай момент времени
Шаг 1
Температура Гт1
Итерации
Температура Тт1
-«*
Тепловой поток д^
Тепловой поток д^
Шаг 2
Температура Т^
Итерации
Температура Тт2

Тепловой поток о™
Тепловой поток <зу2
I
С*
		| Температура Ттдг
Температура
	Тепловой поток д^
Итерации гч
Тепловой поток д^с
Проверка условия сходимости
тах1 Ттм - Ттн \ \ < е
Конец расчета в данный момент времени
Рис. 4.1. Общая схема расчета
модуля в РЕА-модуль. Выполняется решение уравнения теплового ба¬
ланса и находится распределение температуры металла. Итерационный
процесс продолжается до выполнения критерия сходимости в каждой
временной точке. Сходимость обменного процесса контролируется по
возмущениям невязок решаемых уравнений в отдельных подзадачах.
Проверка сходимости основывается на температурах и тепловых
потоках. Задается типичное значение желаемого параметра и величи¬
на допуска этого параметра. Для температур сравнивается изменение
температуры узла на двух последовательных итерациях с критерием
сходимости. Для тепловых потоков сравнивается несбалансированный
вектор нагрузки с критерием сходимости. Несбалансированный вектор
нагрузки определяется как разница между заданными тепловыми по¬
токами и рассчитанными тепловыми потоками.
Плотность теплового потока и коэффициенты теплоотдачи задаются
на внешних границах модели. Коэффициент теплоотдачи на границе
жидкости с твердой зоной является определяемым параметром, а не
граничным условием.
Оценка коэффициента теплоотдачи производится при помощи двух
последовательных запусков СРО-модуля. Распределения температуры
на границе раздела сред, полученные в результате работы РЕА-модуля,
используется в качестве граничного условия для СРО-модуля. Про¬

водится расчет поля течения жидкости (выполняется заданное коли¬
чество итераций) и получаются распределения температуры и теп¬
лового потока на границе раздела сред , <71). После этого СРЭ-
модуль запускается снова, но температура на границе раздела сред
увеличивается в каждом граничном узле сетки на заданную величину,
например, на АТ = 20 К. В результате расчета получается новое
распределение температуры и теплового потока на границе систе¬
мы (Т2,<72)- После этого коэффициент теплоотдачи рассчитывается по
формуле о; = (<71 — <72)/АТ. При <72 > <71 (отрицательный коэффици¬
ент теплоотдачи) коэффициенту теплоотдачи присваивается значение
а = 104 Вт/(м2-К). Полученное значение передается в РЕА-модуль
вместе с температурой жидкости, которая определяется соотношением
7/ = Т\ + д\/а.
Программный модуль решения задачи теплообмена в конце каждой
итерации записывает файлы, содержащие температуру поверхности
твердых элементов, а модуль расчета характеристик жидкости — фай¬
лы, содержащие тепловые потоки на границе раздела сред и темпе¬
ратуры (имена файлов задаются в начале расчета и в дальнейшем не
изменяются). Далее организуется перекрестное чтение файлов и пе-
резаполнение обновляемых граничных условий, включающее поиск
ближайших соседних узлов и интерполяцию.
На каждом шаге теплового анализа, когда решаются СРЭ-модели,
соответствующие начальной и конечной точкам интервала времени,
в течение которого происходит изменение нагрузки, их обновление
производится вместе с профилями температуры на стенке и темпе¬
ратурами на входной границе, полученными из решения уравнения
теплового баланса для твердого тела в тот же самый момент времени.
Тепловые потоки, коэффициенты теплоотдачи и средние давления для
обеих моделей (или множества моделей для начальной и конечной
точек цикла нагружения) линейно интерполируются во времени.
В момент времени I модели СРЭ1 и СР02 решаются с профилями
температуры на стенке и температурами на входной границе, соответ¬
ствующими тепловому анализу в тот же самый момент времени. При
этом нагрузки (например, угловая скорость вращения ротора) для каж¬
дой модели берутся в соответствующий момент времени (в моменты
времени 2а и 1ь). Тепловой поток в момент времени I рассчитывается
исходя из тепловых потоков, соответствующих моделям СР01 и СРЭ2,
по интерполяционной формуле
_ Ч ?(*-<а) + <?*(<& - О
41	Ц-Ьа
Другие величины в момент времени I (коэффициент теплоотдачи, мас¬
совый расход, среднее статическое давление и температура) рассчиты¬
ваются таким же способом.
На каждом шаге по времени производится вызов подпрограммы,
отвечающей за обмен граничными условиями между расчетными моду¬

лями. При ее первом вызове в начальный момент времени производится
копирование СРЭ-моделей в рабочий директорий, расчет площадей
приграничных ячеек для всех поверхностей, на которых выставляются
сопряженные граничные условия.
При вызове подпрограммы на каждой РЕА-итерации производится
проверка величины изменения температуры металла с предыдущей
итерации. Если это изменение превышает заданную величину, то про¬
изводится обновление всех СРЕ)-моделей путем вызова соответству¬
ющего расчетного модуля. В противном случае необходимые данные
извлекаются из предыдущего СРО-решения.
При необходимости производится вызов СРЭ-модуля и обновление
всех СРО-моделей с соответствующими граничными условиями на вхо¬
де и стенках расчетной области, которые были получены в результате
теплового анализа. Поскольку значения коэффициента теплоотдачи на
каждой РЕА-итерации не требуется, его оценка производится только
в начале расчета, соответствующего данному шагу по времени. При
этом обновляется только одна СРО-модель, определяющая тепловой
поток <71. Для расчета температуры жидкости Т/ используется ве¬
личина коэффициента теплоотдачи, соответствующая началу шага по
времени. Необходимость проведения только одного СРЭ-расчета для
получения теплового потока, передаваемого в РЕА-модуль, позволяет
существенно сократить время счета.
4.2.2.	Подготовительные этапы и расчет. Перед началом сопря¬
женного теплового анализа происходит вызов подпрограммы, которая
извлекает область, занятую жидкостью, граничные условия и дру¬
гие необходимые параметры (в частности, число областей, занятых
жидкостью, и число СРЭ-моделей) из имеющейся конечно-элементной
модели, производит построение расчетной сетки, вызывает СРЭ-модуль
и рассчитывает поля скорости и температуры, которые используются
в качестве входных данных для последующего расчета (на подготови¬
тельном этапе стенки модели обычно считаются теплоизолированны¬
ми). Особенности реализации схемы сопряженного теплового модели¬
рования обсуждаются в [25, 28, 368].
Схема работы коммуникационной подпрограммы заключается в по¬
следовательном исполнении следующих шагов (рис. 4.2).
1.	Извлечение данных из РЕА-модели (число, имена и идентифи¬
каторы всех областей, занятых жидкостью, их топология и границы
СРЭ-областей, характерные параметры цикла нагружения, используе¬
мые для постановки граничных условий).
2.	Выделение входной и выходной границ каждой области, занятой
жидкостью (эти данные не содержатся в РЕА-модели и определяются
пользователем вручную).
3.	Подготовка входных данных для сеточного генератора (распре¬
деление узлов по границам, сгущение узлов). Данные записываются
в файлы (для каждой СРО-модели используется отдельный файл).

Г.	Г 		1
1	Имя	Ю	модели	'
1 			 			 1
Построение сетки
РЕА-модуль
—►
Р1и&-ш
-►
СРЭ-модуль
Рис. 4.2. Схема сопряженного теплового анализа

4.	Подготовка входных данных для СРЭ-модуля (начальные и гра¬
ничные условия, свойства рабочей среды). Данные записываются
в файлы (для каждой СРО-модели используется отдельный файл).
5.	Вызов сеточного генератора и СРО-модуля. Построение сетки
и подготовка данных для сопряженного теплового анализа.
6.	Сопряженный тепловой анализ по схеме [25].
Результатом работы коммуникационной подпрограммы является на¬
бор СРЭ-моделей, используемых в качестве входных данных для со¬
пряженного теплового анализа [25].
Конечно-элементные расчеты обычно проводятся в осесимметрич¬
ной постановке (трехмерные модели используются сравнительно ред¬
ко), а расчеты поля течения жидкости — в осесимметричной или
трехмерной постановке с заданием периодических граничных условий
в окружном направлении. При передаче данных в РЕА-модуль осу¬
ществляется осреднение температуры и теплового потока в окружном
направлении. Полностью трехмерная постановка задачи является до¬
вольно дорогой с вычислительной точки зрения.
При реализации последовательного подхода обычно передаются
температура на границе раздела сред от одного расчетного модуля
к другому и тепловой поток в обратном направлении. Во многих слу¬
чаях такой подход вызывает проблемы со сходимостью итерационной
процедуры [193, 368]. В разработанном подходе на каждой итерации
между расчетными модулями передаются коэффициент теплоотдачи
и температура стенки. Из РЕА-модели в СРО-модель передается тем¬
пература на входной границе расчетной области, извлекаемая из цикла
нагружения, а из СРО-модели в РЕА-модель — массовый расход,
давление и температура на выходной границе.
4.3.	Цикл нагружения
Решение задачи осуществляется на интервале времени [0, *]. На¬
грузки задаются в дискретных временных точках (гатр рот!). В рас¬
четах компонентов газовых турбин в качестве нагрузок обычно вы¬
ступают скорость вращения ротора и/или температура во входном
сечении (рис. 4.3, а). Для каждого шага нагружения задаются величина
нагрузки и время.
В принципе, для проведения сопряженного теплового анализа до¬
статочно построить одну СРО-модель, а при достижении момента вре¬
мени, соответствующего изменению нагрузки (точка излома), извлечь
значение нагрузки из цикла нагружения и использовать его при поста¬
новке граничных условий для последующего расчета. Однако на прак¬
тике более удобным представляется построить отдельную СРО-модель
(и провести соответствующие расчеты, достижения полной сходимости
не требуется) для каждой временной точки цикла нагружения. При
этом каждой СРО-модели соответствуют свои файлы сценария и ис¬
ходных данных, а также файлы с результатами расчетов. Для удобства

Рис. 4.3. Цикл нагружения (а) и интерполяция нагрузок (б)
хранения результатов и именования файлов для каждой СРО-модели
отводится отдельный директорий (каждая СРЭ-модель содержит файл
сценария, файл начальных данных, файлы сеток различного уровня,
файлы выходных данных, файлы с распределениями нагрузок на гра¬
ницах расчетной области).
Между различными временными точками для расчета нагрузок
используется линейная интерполяция (рис. 4.3, б). В случае, если те¬
кущий момент времени Ь находится в интервале [1аЛь], где 1а и 1ь —
начальный и конечный момент времени, соответствующие двум раз¬
личным СРО-моделям (СРЭ1 и СРБ2), производится обновление по¬
лей течения, соответствующих обеим моделям. Такая ситуация имеет
место в период изменения скорости вращения (ускорение или замед¬
ление) или другого параметра цикла нагружения (наклонные участки
на ломанной цикла нагружения). Поскольку для расчета коэффици¬
ента теплоотдачи требуется оценка двух значений тепловых потоков
Цикл нагружения
	►
тк
Номер точки Время Номер списка
Рк
1 ц щ
щ
2 ^ Щ
Список параметров щ
4 «4 П3
Параметр Значение
...
Список параметров
Параметр Значение
Список параметров щ
Параметр Значение
Рис. 4.4. Реализация цикла нагружения

(<?1 и 92), то СРО-модуль вызывается 4 раза для двух различных
моделей (СРЭ1 и СРЭ2).
Программную реализацию цикла нагружения поясняет рис. 4.4.
Каждой временной точке цикла нагружения (колонка 1) сопоставляют¬
ся значения времени (колонка 2) и условный номер списка параметров
(колонка 3). Список параметров содержит как тепловые нагрузки и
угловую скорость вращения, так и ряд других параметров, характеризу¬
ющих рабочий цикл данного изделия. Список параметров заполняется
в виде: имя параметра и его значение. Имя параметра состоит из
условного обозначения (например, Т для температуры, Р для давления,
IV	для угловой скорости вращения), к которому добавляется номер
соответствующей области (присваивание номера области производится
при построении конечно-элементной сетки).
Одинаковые значения номеров списков параметров, указанных
пользователем для двух различных моментов времени, соответствуют
прямолинейному участку на кривой цикла нагружения (рис. 4.3, а).
Нарушение теплового равновесия между жидкостью и твердым
телом возникает в результате изменения параметров цикла нагружения
или граничных условий задачи.
4.4.1.	Распределение температуры внутри твердого тела. В де¬
картовой системе координат уравнение баланса энергии для твердого
тела, учитывающее анизотропию его теплофизических свойств, имеет
Здесь р, с, А — плотность, удельная теплоемкость и теплопроводность
твердого тела. Источниковый член 8 учитывает внутренние источники
тепла (в расчетах 5 = 0).
В качестве материала ротора (подвижная стенка) принимается ти¬
тан, а в качестве материала статора (неподвижная стенка) — сталь.
Теплофизические свойства — справочные, с учетом их зависимости от
температуры.
Решение уравнения (4.1) ищется на интервале времени I е (0,2/]
в области П. В качестве начальных условий задается однородное рас¬
пределение температуры внутри тела Т(0) = Тто (в расчетах принима¬
ется, что Тто = 300 К, но начальная температура может варьироваться
в зависимости от вида цикла нагружения).
В целом граничные условия на несопряженных границах расчет¬
ной области характеризуются довольно большим разнообразием, и их
задание представляет собой самостоятельную задачу. Для постановки
граничных условий используются корреляционные соотношения для
коэффициента теплоотдачи и экспериментальные данные, полученные'
4.4.	Основные расчетные соотношения
вид

для модельных конфигураций. Температура компонентов газовых тур¬
бин задается относительно температуры на выходе из компрессора
низкого давления (или другой характерной температуры).
Граничные условия Дирихле и Неймана выставляются на границах
расчетной области, которые не находятся в контакте с жидкостью, при
I	^ 0. Тепловое состояние на несопряженной границе твердого тела
представляется формулой, отражающей структуру граничных условий
3-го рода,
™ »дт
аТ + (3—- = 7.
ох
Соответствующий выбор коэффициентов а, (3 и 7 позволяет реализо¬
вать требуемое граничное условие по температуре (условие Дирихле),
тепловому потоку (условие Неймана) или их комбинации (условие 3-го
рода).
4.4.2.	Поле течения жидкости. Течение вязкой сжимаемой жид¬
кости описывается при помощи осредненных по Рейнольдсу уравнений
Навье-Стокса и уравнений к-е модели турбулентности, которые в де¬
картовой системе координат (х, у, г) записываются в виде
дРг
д<2	дРх	дРу
—-- ч—- ч—- н
д1	дх	ду	дг
= Н.
(4.2)
Уравнение (4.2) дополняется уравнением состояния совершенного газа
Р = (7 - 1)р
1
6 ~ 2
у1 + V2 +	-	ш2г2
Вектор консервативных переменных ф и вектора потоков Рх, Ру, Р2
имеют следующий вид:
( р \
рух
РУу
руг
ре
рк
\ ре I
(
Ру =
\
(	рух	\
рУт.Ух “Ь Р Т~хх
рУх1)у Т~ху
Рг. ~	рУхУг	Тгг
(рС Р^)Ух Ух^хх Уу1~ху Уг^хг "Ь Ях
рУхк Осх
\	рУхе	~ Рх	)
РУу	\
рУуУх Тух
РУуУу "Ь Р ~' туу
(рв р)Ьу “ ‘УхТух УуТуу 1)%Ту2 "1“ (%у
рууе -ру	)

/
рУг
\
рУг1)х Т2.x
рУгУу — Т2у
Р* =	рУгУг	+	Р~Тгг
(ре + р)у2 - ухт2х - Уутгу - у2т22 + д2
ругк - а2
\	ру2е	~р2	]
Неинерциальность системы отсчета учитывается при помощи введения
в источниковый член Н кориолисовой и центробежной силы:
/ о \
О
ри)(уи> + 2 ь2)
Н — рш(гы — 2ьу)
О
Р — ре
\ се1е(Р~ се2ре)/к )
Здесь й — время; р — плотность; г — радиус вращения; ух, уу, у2 —
составляющие скорости в координатных направлениях х, у, г; и —
угловая скорость; р — давление; е — полная энергия единицы массы;
Т — температура; к — кинетическая энергия турбулентности; е —
скорость диссипации; 7 — отношение удельных теплоемкостей.
Компоненты тензора вязких напряжений и составляющие вектора
теплового потока находятся из соотношений
л дТ
Яг — Ае г.
дХг
Эффективная вязкость ре вычисляется как сумма молекулярной р
и турбулентной рь вязкостей, а эффективная теплопроводность Ае вы¬
ражается через вязкость и число Прандтля:
ре — р + Р1, Ае — ср
где ср — теплоемкость при постоянном давлении. Для получения
значений молекулярной вязкости в зависимости от температуры ис¬
пользуется закон Сазерленда (для воздуха Рг = 0,72, Рг« = 0,9).
Диффузионные слагаемые в уравнениях к-е модели турбулентности
находятся из соотношений
«»= // +
рЛ дк_
о к ) дХг ’
Рг ~ ( М +
рЛ де_
(Те ) дХг '
Для расчета члена производства турбулентности используется соотно¬
шение, записанное с учетом поправки Като-Лаундера [211]:
Р = й|5||П|.	|5|	=	(25У 5У)'/2,	|П|	=	(2ПУ	Пу)
1/2

Компоненты тензора скоростей деформаций и тензора вращения имеют
вид
о. -1(^1- —
у 2 \ дху дхг)’ %э 2 \ дху дхг)
Турбулентная вязкость вычисляется по формуле Колмогорова-Прандт-
ля цъ = Сцрк2/е. Постоянным модели турбулентности присваивают¬
ся следующие значения: см = 0,09, сгк — 1,0, сге = 1,3, се\ = 1,44,
се 2 = 1,92.
Характеристики турбулентности на стенке находятся при помощи
метода пристеночных функций или слабых граничных условий [II, 21].
4.4.3.	Граничные условия. Система охлаждения двигателя мо¬
делируется эквивалентной гидравлической сетью. Параметры среды
в околодисковых полостях определяются из решения системы одномер¬
ных дифференциальных уравнений неразрывности, количества движе¬
ния, энергии и состояния с использованием критериальных соотноше¬
ний для коэффициентов трения и теплоотдачи на вращающихся и непо¬
движных поверхностях, полученных для модельных геометрических
конфигураций (пластина, диск, цилиндр). Стационарные и нестацио¬
нарные распределения температуры находятся из решения уравнения
теплопроводности.
На границе раздела сред в каждый момент времени выполняют¬
ся граничные условия 4-го рода. В результате расчета определяется
значение температуры, которое обеспечивает выполнение условия сов¬
падения значений тепловых потоков в твердом теле и жидкости.
4.5.	Численная реализация
Рассмотрим особенности реализации метода конечных элементов
и метода конечных объемов для интегрирования уравнений (4.1)
и (4.2), описывающих распределение температуры внутри твердого тела
и жидкости. Уравнение (4.1) является частным случаем уравнения
(4.2). Большинство коммерческих СРО-пакетов позволяют рассчиты¬
вать как поле течения жидкости, так и распределение температуры
внутри твердого тела.
4.5.1.	Метод конечных элементов. Метод конечных элементов
для решения задач теплообмена является достаточно хорошо разрабо¬
танным, а процедура дискретизации уравнения изменения температуры
во многом стандартизирована [419].
Расчетная область разбивается на N конечных элементов срав¬
нительно простой геометрической формы (обычно на треугольники).
Предполагается, что в каждом конечном элементе е = 1,2,...,ТУ рас¬
пределение температуры подчиняется соотношению Т = МеТе, где
Ме — функции формы, вид которых зависит от формы элемента (по по¬
вторяющимся индексам проводится суммирование). Распределение тем¬
пературы в расчетной области описывается соотношением Т = А^Т^,

где учитывает вклад всех функций формы в узле з, а X) представ¬
ляет собой температуру в узле 3.
Применяя метод взвешенных невязок к уравнению (4.1), получим
уравнение [419]
СТ + ЛТ = <2,	(4.3)
где С — матрица теплоемкости (зресШс Неа! та^пх); Л — матрица
теплопроводности (сопс!ис{т1:у та*пх); Т — вектор узловых значений
температуры; ф — вектор узловых значений теплового потока.
Поскольку коэффициенты уравнения (4.3) зависят от температуры,
то его дискретизация по времени дает следующее нелинейное урав¬
нение:
'§-(«-в)Л
{§1 + 9А)тп+' =
тп + д,	(4.4)
где = Ьп+* — Ьп. Верхний индекс п относится к слою по времени.
Параметр в определяет тип разностной схемы. Значение в = 0 соответ¬
ствует явной разностной схеме, применение которой на практике огра¬
ничивается условием устойчивости. При 9 = 1/2 получается центри¬
рованная разностная схема, которая является безусловно устойчивой
для линейных задач, но при нелинейных граничных условиях приводит
к возникновению нефизических осцилляций решения. Значение в = 1
соответствует полностью неявной схеме. В расчетах используется зна¬
чение 9 — 0,8.
Коэффициенты уравнения (4.4) вычисляются при температуре
Тп + 9(Тп+1 — Тп), а для его решения используется итерационный
метод Ньютона. Для экономии процессорного времени, упрощения
реализации и ускорения сходимости метода Ньютона производными
по температуре от теплофизических свойств металла при вычислении
якобиана пренебрегается. Невязка уравнения (4.4) находится из
соотношения
Н = д + ^(Гп - Тп+|) - Л[(1 - 9)Тп + 9Тп+1].	(4.5)
С учетом сделанных предположений якобиан примет вид
дН д(2 С
дТп+1	дТп+1 Аг
-9А.
В качестве начального приближения решения на итерации п+ 1 ис¬
пользуется линейная экстраполяция температуры с предыдущего шага
по времени (экстраполяции температуры не производится на первом
шаге по времени каждого участка цикла нагружения). Правая часть
уравнения (4.4), учитывающая внутренние источники тепла, рассчи¬
тывается в момент времени 1п + 9АЬ. Невязка на каждой итерации
вычисляется по формуле (4.5). Итерации заканчиваются, если невязка

не превышает заданной точности (в расчетах 10 3). Для обновления
решения используется метод нижней релаксации
тп+'=т‘-а{ш^) '*•
где Т* — температура, соответствующая решению уравнения (4.5);
а — коэффициент релаксации (в расчетах полагается, что а = 0,5).
Для предобусловливания применяется метод сопряженных градиентов
(Соп^а1е ОгасПеп*, СО).
4.5.2.	Метод конечных объемов. Для дискретизации уравнений
Навье-Стокса и уравнений к-е модели турбулентности, записанных
в виде (4.2), используется метод конечных объемов [13, 18, 26]. Для
дискретизации по времени применяется метод Рунге-Кутты 5-го поряд¬
ка, а для дискретизации по пространству — схема М1]ЗСЬ (невязкие
потоки) и схема С05-2 (вязкие потоки). Для решения системы раз¬
ностных уравнений используется многосеточный метод (4 уровня сетки
и У-цикл).
Расчеты поля течения жидкости запускаются либо в последова¬
тельном, либо в параллельном режиме (это касается как расчетов,
используемых в качестве входных данных для сопряженного теплового
анализа, при теплоизолированных стенках модели, так и СРО-расчетов
на каждом шаге по времени в сопряженном тепловом анализе). В па¬
раллельном случае окончание СРО-расчета на каждом шаге по времени
(удаление задачи из списка) контролируется при помощи специальной
подпрограммы (конкретная реализация зависит от архитектуры вычис¬
лительной системы).
4.5.3.	Итерационная процедура. Уравнения сохранения энергии
для твердого тела (4.1) и жидкости (4.2) решаются при граничных
условиях 1-го рода, а температу¬
ра поверхности определяется из ра¬
венства тепловых потоков и уточ¬
няется в результате итераций.
Согласование значений искомых
функций на шаге по времени обес¬
печивается при помощи простых
итераций, (рис. 4.5, а и б соответ¬
ствуют различным подходам к пе¬
редаче тепловых нагрузок меж¬
ду СРЭ- и РЕА-модулями). При
этом уточняются значения функ¬
ций, которые зависят от темпера¬
туры, и значение температуры гра¬
ницы раздела. Итерации на данном шаге по времени заканчиваются,
когда рассогласование температур металла и жидкости на границе раз¬
Рис. 4.5. Реализация итерационной
процедуры

дела оказывается ниже заданной величины. В расчетах используется
значение 0,25ДТ, где ДГ — параметр точности по температуре.
Обычно такой подход приводит к медленной сходимости или
неустойчивости итерационного процесса при большйх градиентах тем¬
пературы, поэтому используется реализация итерационной процедуры,
основанная на передаче температуры металла от РЕА-модуля к СРО-
модулю и теплового потока и температуры жидкости от СРО-модуля
к РЕА-модулю [25, 28, 368].
4.5.4.	Интерполяция граничных значений. Граничные значения
интерполируются дважды, что требуется для передачи температуры ме¬
талла из РЕА-модуля в СРО-модуль (рис.4.6, а) и передачи теплового
потока в обратном направлении (рис. 4.6, б).
Для всех границ СРО-области каждый граничный узел рассмат¬
ривается по очереди (рис. 4.6, а). Находятся ближайшие к нему узлы
в РЕА-области (с каждой стороны), и температура металла из най¬
денных узлов интерполируется в узел, принадлежащий СРО-области.
Такой подход обеспечивает гладкий и непрерывный профиль темпера¬
туры металла в граничных узлах, принадлежащих СРО-области.
При интерполяции теплового потока предполагается, что гранич¬
ные узлы в РЕА-области располагаются на большем удалении друг
от друга, чем узлы в СРО-области (как правило, это так, поскольку
конечно-разностная сетка в СРО-области всегда имеет большее число
узлов, чем конечно-элементная сетка в РЕА-области, что требуется для
получения достаточно точных результатов при моделировании турбу¬
лентных течений).
Граничные узлы в СРО-области также рассматриваются по очереди
(рис. 4.6,6). Находится узел в РЕА-области, ближайший к данному
узлу в СРО-области. После этого все узлы в СРО-области, связанные
с одним узлом в РЕА-области, объединяются в группу (она содержит
к узлов из СРО-области). Поскольку каждый граничный узел в СРО-
области имеет некоторые связанные с ним площадь грани и значение
теплового потока, представляется возможным передать тепловой поток
в граничные узлы РЕА-области, учитывая его распределение между
граничными узлами (некоторым интегральным образом). Для этого
находится общая площадь граничных граней <5е и общая мощность
Ре (произведение теплового потока на площадь), связанные с узлами
в СРЕ)-области, которые используются для интерполяции теплового
потока в данный узел РЕА-области. Указанные параметры рассчиты¬
ваются путем суммирования соответствующих значений для каждого
узла в СРО-области:
к	к
г=1	г—1

Тепловой поток
Рис. 4.6. Интерполяция температуры (а) и теплового потока (б) на границе
раздела сред

Величина теплового потока от жидкости к твердому телу, передава¬
емая в соответствующий граничный узел РЕА-области, находится из
соотношения д = Рц/5^.
4.5.5.	Управление шагом по времени. Неявная схема, использу¬
емая для интегрирования уравнения (4.1), является безусловно устой¬
чивой, поэтому шаг интегрирования по времени выбирается, исходя из
заданной точности расчета температуры. ’
Для управления шагом интегрирования уравнения (4.1) по времени
используется параметр точности по температуре АТ (Мте з1еррт§
ассигасу). По умолчанию используется значение 5 К, но оно не явля¬
ется универсальным и зависит от конкретной задачи. Для сопряжен¬
ного теплового анализа компонентов газовых турбин и компрессоров
используется значение 2 К.
Для изменения величины шага интегрирования по времени исполь¬
зуется алгоритм, основанный на линейной и параболической интерпо¬
ляции температуры во времени. Для каждого узла конечно-элементной
сетки извлекается температура в текущий и два предыдущих момен¬
та времени (рис. 4.7). Полученные три временные точки соединяются
прямыми и параболой. Ошибка рассчитывается в точке 1т — 9А1 по
формуле
6Т =
{выу
Тз — Т2 Тг — Т\
- *2	1*2	—	и
где А1 = 1з- <2-
Такой подход требует гладкого изменения решения и является
неприменимым в характерных точках цикла нагружения (в начале
каждого участка). На первом шаге
каждого участка цикла нагружения
шаг по времени не рассчитывается.
В случае, если Грешность расчета
температуры оказывается неудовле¬
творительной в конце второго шага
по времени, шаг по времени умень¬
шается в 2 раза и расчет повторяется
с начальной точки.
В качестве начального приближе¬
ния шаг по времени полагается рав¬
ным 1/4 интервала времени между
узловыми точками цикла нагружения
Д2о1 (начало расчета) или берется с
предыдущего участка цикла нагру¬
жения Д^ог (продолжение расчета)
Рис. 4.7. Управление шагом по
времени
А1сиг = пип {0,25Д^о|, Д*02}•
Например, для интервала времени [0,60] промежуточные расчеты про¬
водятся в моменты времени 15, 30, 45 и 60 с. При неудовлетвори¬

тельной точности шаг по времени уменьшается в 2 раза, и расчет
повторяется в момент времени 7,5 с.
Температура рассчитывается на двух последовательных слоях по
времени с шагом А2Сиг- При отсутствии причин для ограничения шага
интегрирования по времени дальнейший расчет производится с шагом
А2ор1, который оценивается исходя из скорости сходимости итерацион¬
ного процесса и погрешности расчета температуры. Причинами огра¬
ничения шага интегрирования по времени служат слишком медленная
сходимость итераций (медленное уменьшение невязки) и невыполнение
условия точности по температуре на слое по времени.
Новый шаг интегрирования по времени (ор^тит Мте з1ер) выби¬
рается из условия
Для избежания слишком малого шага по времени в конце данного
временного участка цикла нагружения производится его выравнивание
таким образом, чтобы в оставшемся интервале времени укладывалось
целое число шагов.
Шаг по времени А2оры зависит от погрешности расчета температу¬
ры на предыдущем шаге по времени и значения параметра точности по
температуре, заданного пользователем
При условии 6Т > 2АТ (полученное изменение температуры на слое
по времени находится за пределами указанной пользователем степени
точности по температуре) шаг по времени уменьшается в 2 раза.
При выборе и п,го шага по времени учитывается также возмож¬
ность его ограничения из-за слишком медленной скорости итерацион¬
ной процедуры, которая призвана согласовать значения температуры
металла и температуры жидкости на границе раздела. Шаг по времени
АЦ^г находится из соотношения
где щ — число итераций на данном слое по времени; ггтах — макси¬
мальное число итераций на каждом слое по времени, заданное поль¬
зователем (обычно птах = 20). Шаг по времени уменьшается в 2 раза
при достижении максимального числа итераций (при щ = птах).
4.5.6.	Адаптация сетки. Точность расчета температуры в узлах
конечно-элементной сетки контролируется при помощи соответству¬
ющего параметра (геПпетеп! ассигасу). По умолчанию используется
значение 5 К.
А20р1 — гшп |А20р(;1, А20р^2}>

Точки интегрирования
Рис. 4.8. Оценка пространственной точности решения
Рассмотрим две соседние ячейки конечно-элементной сетки
(рис. 4.8). Температура в каждой ячейке рассчитывается не в узловых
точках ячейки, а в точках интегрирования (т^гаМоп рот! или (Заизз
роЫ), после чего производится экстраполяция температуры в узловые
точки ячейки. Ошибка оценивается, исходя из разности температур,
полученной в результате экстраполяции температуры в узлы
конечно-элементной сетки из двух соседних ячеек. В случае, если
ошибка в узле сетки превосходит заданную величину, производится
дробление ячейки на две (адаптация сетки к решению) и расчет
повторяется.
При проведении сопряженных тепловых расчетов опция, связанная
с адаптацией сетки, выключается.
4.5.7.	Учет трехмерных эффектов. Для сокращения временных
затрат расчеты проводятся в осесимметричной постановке. Трехмерные
эффекты в осесимметричной модели либо не учитываются, либо учи¬
тываются приближенным способом ({Ыскпезз ргорег1:у).
Рассмотрим некоторый компонент системы с п отверстиями круг¬
лой формы и толщиной I (рис. 4.9). Каждое отверстие имеет диа¬
метр <2 = г0 — Г{, а объем, занимаемый п отверстиями, равняется
У\ = (тгё2/4)Ьп. Объем материала, заключенный между радиусами г*
и г0, составляет У% — тс(г2 — г2)1. Тогда относительный объем воздуха
и материала равняются = У\/Уг и = 1 - <^а. Трехмерность модели
учитывается при помощи увеличения смоченной длины на величину
в = 27ггт^т, где гт = (п + г0)!2-
Рис. 4.9. Учет трехмерных эффектов в осесимметричной модели

Площадь, смоченная жидкостью, равняется 5) = 27т(г* + га)Ь + 291.
Действительная смоченная площадь п отверстий составляет 52 = тгд,пЬ,
что дает поправочный коэффициент / = 82/8\.
При <1 «С гт ошибка, связанная с приближенным учетом трехмер¬
ного характера модели, является достаточно малой.
4.6.	Расчет коэффициента теплоотдачи
На область применимости подхода и его точность существенное
влияние оказывают метод расчета коэффициента теплоотдачи и выбор
температуры жидкости.
На практике для расчета коэффициента теплоотдачи использует¬
ся несколько подходов, различающихся способом выбора температуры
жидкости и передачей полученного зна¬
чения между СРЭ- и РЕА-модулями
(рис.4.10).
Обычно коэффициент теплоотдачи
в расчете на единицу площади находится
из соотношения (сопуеп!юпа1 те1Ьос!)
а= Т}-Тт
Плотность теплового потока извлека¬
ется из расчета поля течения жидкости.
Локальная температура металла Тт является известной величиной
и используется в качестве граничного условия (температура Тт либо
является постоянной, либо зависит от входных условий и параметров
цикла нагружения). Для неодномерных течений выбор температуры
Т/ не является очевидным и однозначным. Кроме того, а —> оо при
Ту — Тт —► 0, что приводит к проблемам со сходимостью итерационной
процедуры в сопряженных расчетах.
В рамках аналогии Рейнольдса (КеупоМз апа1о§у) используется
допущение о подобии динамического и теплового пограничных слоев
и считается, что
N11 _ С/
КеРг “ 2 ’
где С/ — коэффициент трения. Подобие распределений скорости и тем¬
пературы имеет место при Рг = 1 и Рг* = 1. В общем случае подход
приводит к погрешностям в определении коэффициента теплоотдачи
и не имеет строгого обоснования.
В качестве температуры жидкости обычно выбирается средне-взве-
шенное значение (осреднение проводится по направлению, нормаль¬
ному к стенке), или локальная адиабатическая температура (асНаЬаМс
1ешрега1;иге) стенки (температура, при которой тепловой поток в стенку
равняется нулю). Учитывая, что пограничный слой оказывает слабое
Рис. 4.10. Вычисление коэф¬
фициента теплоотдачи

влияние на температуру жидкости, температура потока экстраполиру¬
ется из внешней области на стенку или используется температура на
внешней границе пограничного слоя. В случае сжимаемых течений ло¬
кальная адиабатическая температура стенки оказывается ниже темпе¬
ратуры на внешней границе пограничного слоя, поэтому используется
температура восстановления (гесоуегу 1етрега1:иге).
Для решения широкого круга задач требуется такой выбор темпе¬
ратуры жидкости, который не ограничивается какими-либо частными
условиями.
В другом подходе (1\У0-гип те!Нос1) коэффициент теплоотдачи оце¬
нивается при помощи двух последовательных расчетов поля течения
жидкости и вычисляется по формуле
_	92	-	91
Тт2 ~ Тт\
Сначала проводится расчет поля течения жидкости при температуре
Тт\, а затем при температуре Тт2 = Тт\ +20 (приращение может
принимать и другие значения). В этом случае температура Т/ не
используется и находится из соотношения
Г/ = -+7’„|.
а
Недостаток подхода связан с отсутствием физической интерпретации
температуры Т/, а также с возможным появлением отрицательных
значений	коэффициента теплоотдачи, приводящим к проблемам	со
сходимостью	итерационной процедуры [193, 368]. Тем	нее	менее,
данный подход является предпочтительным с той точки зрения, что
он не вовлекает температуру жидкости в вычисление коэффициента
теплоотдачи. Рассчитанный тепловой поток и температура жидкости
рассматриваются совместно (пара этих значений передается из СРО-
в РЕА-модуль).
В модифицированном подходе (гпосНПеб соир1ес! те1:Нос1) учитывает¬
ся изменение температуры жидкости между двумя последовательными
расчетами:
_ 	92 - 91		92 - <?1
{Т/2 — Т{\) — (Тт2 — Тт\) АТ/— АТт
Данный подход требует определения направления, нормального к стен¬
ке, что затрудняет его автоматизацию.
В качестве температуры жидкости используется также температура,
взятая в пристеночном контрольном объеме сетки (пеаг-\уа11 те!Ьо(1).
При этом необходимо, чтобы у+ < 30-100. Использование подхода
затрудняется тем, что в эксперименте обычно измеряется температура
за пределами пограничного слоя.

4.7. Тепловые граничные условия
Для теплового анализа используются различные граничные усло¬
вия, отражающие различные особенности теплового взаимодействия
металла и жидкости и учитывающие различные механизмы теплообме¬
на (рис. 4.11).
ДХ1
Рис. 4.11. Теплообмен за счет теплопроводности (а), конвективный теплообмен
(б), теплообмен излучением (в) и тепловой контакт (г)
Тип «сопуес(т& гопе». Величина или пространственно-временное
распределение температуры жидкости предполагается известным. При
этом считается, что жидкость обладает бесконечно большой теплоем¬
костью, вследствие чего температура жидкости не изменяется, несмот¬
ря на теплообмен между жидкостью и металлом.
В качестве входных параметров задаются температура жидкости,
давление и коэффициент теплоотдачи.
Согласно закону Фурье, тепловой поток за счет теплопроводности
пропорционален градиенту температуры и площади (рис. 4.11, а):
АТ
« = Ад!5-
Тепловой поток между жидкостью и стенкой находится из соотно¬
шения (рис. 4.11, б)
д = а(Т{-Т„)3,	(4.6)
где Тц, — локальная температура стенки; Ту — заданная температура
жидкости.
Используется в том случае, когда распределение температуры жид¬
кости является известным. Температура стенки полагается равной за¬
данному значению, а коэффициенту теплоотдачи присваивается боль¬
шое значение, например, 5 • 103 Вт/(мм2* К).
Тип «1Негта1 уо!с1». Распределение температуры жидкости пред¬
полагается известным и является приблизительно равномерным. При
этом считается, что жидкость обладает пренебрежимо малой теплоем¬
костью, в связи с чем установление теплового равновесия с окружаю¬
щей средой происходит практически мгновенно.
Входными параметрами являются мощность внешнего теплового
источника, давление, коэффициент теплоотдачи и скорость закрутки.

Условие теплового баланса дает
а(Т„-Т,)й8 + 1Р = 0,	(4.7)
где Тт — локальная температура стенки; Т/ — заданная температу¬
ра жидкости. Мощность внешнего источника рассчитывается, исходя
из заданного массового расхода жидкости и температуры соседней
границы:
/ т	т	ч
Ж = т I
Ср с1Тт
При малых изменениях теплоемкости имеем
\У = сргп (Тт - Ту).
Находит применение в кавернах, где отсутствует (или является
малым) сквозное течение жидкости, а также в областях, где картина
потока является неизвестной и изменяется во времени, или для частич¬
ного или полного восстановления теплообмена между компонентами,
которые термически разделены.
Тип «1Негта1 з^геат». Учитывает течение жидкости, обладающей
конечной теплоемкостью, и изменение температуры жидкости вдоль
границы за счет конвекции и дополнительных источников тепла (ад¬
вективное течение).
Входными параметрами являются массовый расход жидкости, вход¬
ная температура, мощность дополнительных источников тепла вдоль
границы (например, вследствие дополнительного сопротивления среды,
вызванного вращением), давление, коэффициент теплоотдачи, скорость
закрутки.
Изменение температуры жидкости вдоль границы находится из ре¬
шения уравнения, учитывающего конвективный теплообмен и наличие
дополнительных тепловых источников:
Ср7^=[ж + а(Гш_Т/)]^,	(4.8)
где тп — удельный массовый расход; IV — удельная мощность внешних
источников тепла. Координата 5 отсчитывается вдоль поверхности.
Представляет собой наиболее распространенный тип тепловых гра¬
ничных условий и используется для расчета температуры жидкости,
расход которой является известным (расход находится из решения га¬
зодинамической задачи без учета сопряженного теплообмена с твердым
телом). Входная температура того участка, который является продол¬

жением двух или более участков границы с данным типом граничных
условий, находится из условия теплового баланса
Пренебрежение изменением теплоемкости дает следующее соотноше¬
ние для расчета температуры смешения:
Индекс т соответствует параметрам участка границы, полученным
в результате смешения границ г = 1,2, ...,ЛГ, где N — число участков.
Тип «{Ьегта! <1ис{». Учитывает изменение температуры жидкости
в случае ее адвективного течения между двумя участками границы,
расположенными на малом удалении дуг от друга (например, тече¬
ние в канале). Является полностью эквивалентным условию «И1еггпа1
з1геат», но допускает переход тепла от одной границы канала к другой
и обратно.
Входными параметрами являются массовый расход жидкости, вход¬
ная температура, мощность дополнительных источников тепла вдоль
границы, давление, коэффициент теплоотдачи, скорость закрутки. При
этом мощность дополнительных тепловых источников, давление и ко¬
эффициент теплоотдачи определяются для двух участков границы.
Изменение температуры жидкости рассчитывается при помощи со¬
отношения (4.8).
Находит применение при решении двумерных задач в областях типа
каналов, где теплообмен между участками границы происходит за счет
турбулентного перемешивания. В трехмерных задачах не используется
и заменяется условием «1:Ьегта1 з^геат».
Тип «ех!егпа1 гасНаИоп». Учитывает теплообмен излучением меж¬
ду участком границы и внешним источником, который не является ча¬
стью модели. При этом считается, что изменение температуры границы
не оказывает влияние на температуру удаленного источника.
В качестве входных данных задаются степень черноты поверхности
границы и температура удаленного источника.
Для расчета температуры используется соотношение (рис.4.11,в)
где а — постоянная Стефана-Больцмана.
Учитывается в случае, когда имеются большйе перепады темпера¬
тур между стенкой и окружающей средой.
Тип «т4егпа1 гасНаКоп». Учитывает теплообмен излучением меж¬
ду различными участками границы модели (в том числе с учетом
затенения различных участков).
(срГпТ), + (срТпТ)2 -(-... = (сртТ)т.
д = есг{Т?-Т^),
(4.9)

Входным параметром является степень черноты поверхности. Фак¬
торы затенения рассчитываются автоматически исходя из геометриче¬
ской модели.
Для расчета теплового потока используется соотношение
Фактор /12 определяет затенение участка границы.
Находит применение при больших перепадах температур между
различными компонентами модели. Наибольшее влияние оказывает
при низкой интенсивности конвективного теплообмена и высокой тем¬
пературе поверхности.
Тип «1Ьегша1 соп1:ас1». Позволяет частично или полностью вос¬
становить проводимость некоторого участка границы, принадлежащего
одновременно двум подобластям модели. При этом учитывается, что
контактные поверхности не являются идеальными (шероховатость, ок¬
сидная пленка).
Участок границы требует задания коэффициента тепловой проводи¬
мости ({Негта1 ге5151:апсе).
Тепловой поток находится из соотношения
где С — теплопроводность; АТ — разность температур вдоль границы
раздела.
Для шероховатой стенки теплопроводность рассчитывается по фор¬
муле
где 771 — средний наклон шероховатости, характеризующий форму
поверхности (теап азрегНу з!оре); к — средняя проводимость поверх¬
ности (гпеап сопйисИуКу); а — шероховатость материала (гои^Нпезз
оГ та(епа1); Р — контактное давление (соп1ас! ргеззиге); Н — микро-
твердость по Виккерсу (У1скегз гшсго-Нагс1пе55). Для простоты влияние
нагрузок на проводимость не учитывается (пластические деформации
изменяют величину постоянных). На практике С = 1-5 Вт/(м2К).
Находит применение для постановки граничных условий на внут¬
ренних линиях модели. Узлы, лежащие на внутренней линии, являются
общими для двух подобластей, но с вычислительной точки зрения рас¬
сматриваются независимо, в связи с чем они не обмениваются инфор¬
мацией друг с другом, и теплообмена между участками не происходит
(4.10)
где
д = САТ8,
(4.11)

(подобласти модели термически разделены). Другая область исполь-
зования связана с необходимостью обеспечения теплообмена между
подобластями, которые должны находиться в контакте друг с другом,
но по некоторым причинам оказываются разделенными малым зазором
(турбинный диск и лопатки турбины, сетки для которых строятся
независимо, а затем объединяются в одну модель).
4.7.1.	Входные данные. Для всех типов тепловых граничных
условий задаются рабочая среда, начальная и конечная точки границы,
а также ряд других данных.
Температура, давление и массовый расход жидкости в межлопаточ¬
ном канале рассчитываются при помощи соответствующих газодинами¬
ческих пакетов. Для системы охлаждения задается температура жид¬
кости в межлопаточном канале, а распределение температуры внутри
системы находится с учетом масштабных множителей (используется
не абсолютная температура, а температура компонентов, определяемая
относительно температуры в межлопаточном канале) и заданных гра¬
ничных условий для каждой точки цикла нагружения. Такой подход
позволяет построить модель, не зависящую от формы цикла нагруже¬
ния, параметры которого могут варьироваться в зависимости от цели
моделирования.
Для расчета массового расхода жидкости используются различные
подходы. Картина линий тока позволяет определить положение рецир¬
куляционных зон (поток не пересекает линии тока) и направление
течения. В простейшем случае расход жидкости рассчитывается как
разность между минимальной и максимальной координатами области,
в которой имеет место течение жидкости (в осесимметричном случае
результат умножается на 2-к). В другом случае используется ряд сече¬
ний, ориентированных по нормали к направлению потока (для их пози¬
ционирования используется картина линий тока). Расход вычисляется
при помощи интегрирования распределения скорости вдоль каждой
контрольной поверхности.
Давление используется также для последующего термомеханиче¬
ского расчета конструкции (при сопряженном тепловом моделировании
не используется).
При ненулевой скорости закрутки используется абсолютная полная
температура в случае неподвижой системы координат и относительная
полная температура в случае вращающейся системы координат.
Коэффициент теплоотдачи рассчитывается при помощи одной из
встроенных корреляционных формул с учетом температуры, давления
и массового расхода жидкости в данный момент времени. Имеющиеся
соотношения позволяют вычислить коэффициент теплоотдачи для есте¬
ственной (пластины и цилиндры) и вынужденной (пластины и каналы,
вращающиеся течения, взаимодействие струи с преградой, лабиринт¬
ные уплотнения) конвекции. В качестве рабочей среды предполагается
воздух (теплофизические свойства — справочные).

В случае естественной конвекции (например, в междисковых кавер¬
нах) коэффициент теплоотдачи (число Нуссельта) является функцией
числа Рейнольдса и числа Грасгофа, Ии =/(Ке, Ог) (или числа Рэ¬
лея, поскольку Ка = Сг • Рг). Для вращающихся компонентов турбины
гравитационный член в числе Грасгофа заменяется величиной уско¬
рения гш2.
В случае вынужденной конвекции число Нуссельта является функ¬
цией числа Рейнольдса и числа Прандтля, Ыи =/(Ке, Рг). При этом
существует некоторое критическое число Рейнольдса, соответствующее
переходу ламинарного режима течения в турбулентный. Число Рей¬
нольдса вычисляется по скорости на внешней границе пограничного
слоя (пластины), средней скорости во входном сечении (каналы) или
угловой скорости вращения (вращающиеся системы). В качестве ха¬
рактерного линейного размера используется длина пластины, гидрав¬
лический диаметр, толщина вытеснения или радиус.
4.8.	Построение неструктурированной сетки
Построение сетки в области, занятой жидкостью, включает из¬
влечение необходимых данных из РЕА-модели (топология области,
параметры цикла нагружения) и их передачу сеточному генератору,
который осуществляет триангуляцию расчетной области и проверяет
критерии качества сетки (положительность контрольных объемов, вы-
тянутость и скошенность ячеек).
4.8.1.	Границы области. Каждая область, занятая жидкостью,
ограничена стенками и границами, через которые жидкость поступает
и покидает расчетную область.
Стенка состоит из набора геометрических примитивов с сопря¬
женными граничными условиями (стенки из РЕА-модели с другим
типом граничных условий не образуют границ СРО-модели). Каждой
стенке присваивается два идентификатора, первый из которых указы¬
вает на порядковый номер СРО-области, а второй — на порядковый
номер стенки в пределах области. Геометрические примитивы с оди¬
наковыми значениями первого и второго аргументов образуют стенку
СРО-модели (границу с одинаковыми граничными условиями). Номер
модели, соответствующий горизонтальному участку цикла нагружения,
не включается в число идентификаторов, поскольку все СрЬ-модели
имеют одинаковую геометрию, но, возможно, различную сетку.
Поддерживаются следующие геометрические примитивы: прямые,
дуги окружностей и кривые, представляемые М1ШВ5-сплайнами (Ыоп-
ШИогт КаНопа1 В-5р1те). Прямые задаются координатами начальной
и конечной точек, дуги окружностей — радиусом и углами, а М1ШВ5-
сплайны — степенью р, контрольными точками (их число составляет
п = р + I) и узловым вектором (кпо! уес^ог), имеющим р + п— 1
компонентов.

Входные и выходные границы области не распознаются автомати¬
чески и указываются пользователем при помощи соответствующего
графического интерфейса (считается, что входные и выходные границы
представляются прямыми линиями). При этом из РЕА-модели извлека¬
ются узлы, ближайшие к тем, которые были указаны пользователем.
После извлечения области, занятой жидкостью, из РЕА-модели прове¬
ряется ее замкнутость.
4.8.2.	Распределение узлов на границе. Положение узлов сетки
внутри области контролируется распределением узлов на ее границах.
При решении задач, в которых расчетными величинами являются ка¬
сательное напряжение на стенке или тепловой поток, важно контроли¬
ровать значение у+ = ритут/р., где ит = {тю/р)[/2, тю — напряжение
трения на стенке.
Узлы вдоль стенки распределяются равномерно, а расстояние между
сеточными узлами по нормали к стенке изменяется по закону гео¬
метрической прогрессии. К каждой стенке пристыкуется пограничный
слой, толщина которого управляется положением пристеночого узла,
числом сеточных линий в пограничном слое и скоростью его роста.
Пограничный слой не пристыкуется к стенке, если примыкающие к ней
входная или выходная границы слишком малы (происходит смыкание
пограничных слоев на смежных границах, что приводит к возникнове¬
нию отрицательных контрольных объемов).
Для расчета расстояния от центра пристеночного контрольного объ¬
ема до стенки используется полуэмпирическое соотношение, построен¬
ное на основе обработки расчетных и экспериментальных данных:
_ Го, 1^	при Ееы < 106,
Уь} = [ОДО при Ееы > 107,
где Ееы = риг2/}!, 6 = 0,525гЕе“0,2. Для стационарных границ (при
и> = 0) задается число Рейнольдса по умолчанию (Ееы = 106). При про¬
межуточных числах Рейнольдса используется линейная интерполяция
_	,	Уь>2 ~ Уи>1 (г, _	у-, _	\
Ухи — УюI Н" -г-.	0	(Кс^, К,еш 1 у,
К,еы2 — Кеы1
где ую| и ую2 — значения, соответствующие нижней (Ееш| = 106)
и верхней (Ее^г = 107) границам изменения числа Рейнольдса.
Применяется также и другой подход, основанный на полуэмпири-
ческом соотношении для коэффициента поверхностного трения
_ 2у+Р
Уш С/Ее'

д2(ь,Ую)
9(Ьуу,)
(кую)
Рис. 4.12. Построение сетки около стенки (а) и входной границы (б)
Входным параметром является число Рейнольдса Не = р1Ю/[1, где
V	и В — характерная скорость и характерный линейный размер.
Коэффициент трения С/ = 2тю/р172 рассчитывается по формуле
0,455
1	1п2(0,06Ке)
Для уменьшения или увеличения величины ую вводится контроль¬
ный коэффициент к. Величина кую дает размер грани пристеночного
контрольного объема по нормали к стенке (рис. 4.12, а). Последующие
узлы в направлении, нормальном к стенке, размещаются по закону гео¬
метрической прогрессии. Толщина пограничного слоя, присоединенного
к стенке, находится из соотношения
Пг
^2 (/г^)рп,
71=0
где пг — число узлов поперек слоя, д — скорость роста (по умолчанию
д = 1,2). Узлы вдоль стенки располагаются равномерно, и их число
полагается равным пю = 1/{уу>1), где I — длина границы, / — кон¬
трольный коэффициент (изначально считается, что пристеночный кон¬
трольный объем имеет форму квадрата). Пристеночный контрольный
объем имеет размер (куш) х {/у-ш). Подходящий выбор коэффициентов
к и / позволяет избежать сильно растянутых ячеек сетки в погранич¬
ном слое.
Узлы на входных и выходных границах размещаются равномерно
между пограничными слоями на соседних стенках (рис. 4.12, б). Число
узлов на входной или выходной границе полагается равным п — I//,
где I — длина границы, / — контрольный коэффициент. Если длина
границы оказывается слишком малой, то число узлов считается фик¬
сированным (по умолчанию используется 8 узлов).
4.8.3.	Расчетная модель. Построение СРЭ-модели включает за¬
дание свойств рабочей среды, а также постановку начальных и гранич¬
ных условий. Рабочая среда — воздух. Теплофизические свойства —
У У У УУ У У УУ У У УУ У У УУ У У

справочные с учетом их зависимости от температуры (ср = сопн!;, вяз¬
кость р находится из закона Сазерленда, Л = Ср/х/Рг).
Для скорости на стенке используются граничные условия прилипа¬
ния и непротекания. Стенка считается теплоизолированной. Для на¬
хождения характеристик турбулентности на стенке используется метод
пристеночных функций или слабые граничные условия [11, 21].
На входной границе задается массовый расход или полное давление
(тип граничных условий определяется пользователем при помощи со¬
ответствующего графического интерфейса), температура торможения,
направление потока в виде значений осевой ух, радиальной уг и тан¬
генциальной Ув скорости или соответствующих углов а = атс1%(уг/ух)
и Р = агсХ>&{ув/ух), а также характеристики турбулентности.
На выходной границе фиксируется либо статическое давление, либо
массовый расход. Течение на выходе считается по нормали к границе.
4.9.	Ускорение счета
Для сокращения затрат процессорного времени реализуется рас¬
чет температурного поля жидкости при замороженном поле скорости.
Физическим обоснованием упрощенного подхода служит то, что поле
плотности, рассчитанное при различных тепловых условиях на стенках
(условие теплоизолированности или условие фиксированной темпера¬
туры), изменяется сравнительно слабо.
4.9.1.	Уравнение изменения температуры. Для нахождения
распределения температуры вместо уравнения изменения полной энер¬
гии используется уравнение изменения температуры как более простое
по форме и структуре (при А = сопзЪ это уравнение является ли¬
нейным).
Решение уравнения изменения температуры реализуется при по¬
мощи общего расчетного модуля [13, 18], устанавливая блокировку
решения других уравнений.
Для решения системы разностных уравнений, полученных в резуль¬
тате конечно-объемной дискретизации уравнения изменения темпера¬
туры, используется многосеточный метод [18] и метод ОМКЕ5 [341].
Вычислительная эффективность того или иного алгоритма характе¬
ризуется его ускорением 3, равным отношению времени, затраченного
на сопряженный тепловой анализ при решении всех уравнений, описы¬
вающих течение жидкости, ко времени, необходимому на расчет при
решении уравнения изменения температуры тем или иным методом.
Данный параметр дает лишь косвенное представление об эффек¬
тивности алгоритма, поскольку для расчета поля течения жидкости на
основе решения уравнения (4.2) и на основе решения уравнения изме¬
нения температуры обычно используется различное число итераций на
шаге по времени.

4.9.2.	Метод решения. Среди итерационных методов решения си¬
стем разностных уравнений широкое распространение получили мето¬
ды релаксационного типа (методы Якоби, Гаусса-Зейделя, релаксации
и их модификации). Теория сходимости этих методов основана на по¬
нятии регулярного расщепления матриц и хорошо развита [341]. Мень¬
шее распространение получили методы, основанные на проектировании
на последовательность подпространств Крылова (Кгу1оу зиЬзрасе).
Проекционные методы численно устойчивы благодаря использова¬
нию техники ортогонализации, сохраняют исходную структурную раз¬
реженность матрицы (базовой операцией является умножение матрицы
на вектор), позволяют контролировать точность в ходе итерационных
вычислений, а также применимы как для решения задач, в которых
матрица системы задана в явной форме, так и для решения задач,
в которых матрица доступна только через операцию умножения на
вектор.
В методе ОМКЕ5 решение системы линейных уравнений Ах = Ь
(матрица А размерности п х п считается обратимой) заменяется век¬
тором хт е Кт, где Ктп — подпространство Крылова размерности пг,
который минимизирует норму невязки ||Ахш — Ь||.
Последовательность Крылова, порожденная матрицей А и век¬
тором х, представляет собой последовательность векторов х, Ах,
А2х, ...,Атх. Под подпространствами Крылова степени тп понимается
линейная оболочка подсистем последовательности Крылова
Кт(А,х) = зрап{х, Ах, А2х, ..., Лт-|х}.
Вычислительный алгоритм включает в себя построение ортонор-
мированного базиса в подпространстве Крылова, решение проблемы
наименьших квадратов (1еаз1-5диаге5 ргоЫет) и вычисление корректи¬
рующей поправки, а также ряд дополнительных шагов, направленных
на ускорение сходимости и повышение эффективности (например, пре-
добусловл и ва н и е).
Метод СМКЕ5 строит ортогональный базис подпространства Кры¬
лова для некоторого начального вектора го с поиском решения в рамках
этого подпространства. В отличие от случая с симметричной положи¬
тельно определенной матрицей, при несимметричной матрице невоз¬
можно построить ортогональный базис с использованием коротких
рекуррентных соотношений [341].
Для построения ортогонального базиса используется метод Арноль-
ди (АгпоМ1 КегаМоп) [341], который позволяет преобразовать исходную
матрицу плотной структуры в форму Хессенберга (НеззепЬег^ Гогт).
Каждый новый вектор ортогонализируется (ог^Но^опаМгаКоп ргосебиге)
по отношению к предыдущим при помощи модифицированного метода
Грама-Шмидта (МобШеб (Згат-ЗсНгшсК, М05) [341]. Метод М05
требует 2т2п операций, а требования к памяти оцениваются как
(т + 1)п. Для решения проблемы наименьших квадратов матрица

в форме Хессенберга преобразуется к верхнетреугольному виду, ис¬
пользуя метод вращений Гивенса (Спуепз гоШюп).
Матрично-векторное произведение вычисляется при помощи оценки
невязки возмущенного решения [68]
(дк\ _ д(д + еУ)-д(д)
<г
где Я — невязка; ф — вектор неизвестных; V — вектор; е — малая
величина.
Стоимость отдельной итерации линейно растет с ее номером, а об¬
щая трудоемкость алгоритма растет пропорционально квадрату числа
итераций. Для повышения эффективности метод ОМКЕ5 перезапуска¬
ется после нескольких итераций (гез1аг11п§ ор^оп), при этом ОМКЕ5
(&) обозначает, что алгоритм перезапускается после каждых к итера¬
ций. Слишком малые значения к приводят к медленной сходимости
(с точки зрения числа итераций) или ее отсутствию. Слишком болыийе
к приводят к быстрой сходимости с точки зрения числа итераций,
но к высоким затратам процессорного времени, связанным с поиском
ортогонального базиса подпространства Крылова [341].
Во многих случаях метод ОМКЕ5 является чувствительным к чис¬
лу предобусловленности якобиана [341]. Практически применяемые
алгоритмы представляют собой комбинацию методов подпространств
Крылова и предобусловливания (ргесоп<1Шопт§г), которое является
вспомогательной операцией, направленной на улучшение вычислитель¬
ных свойств исходной матрицы без искажения конечного результата.
В качестве предобусловливания используется многосеточный метод,
особенности реализации которого приводятся в [18]. Параметры мно¬
госеточного метода, в частности, число уровней сетки, число многосе¬
точных циклов на каждой ОМКЕЗ-итерации (в расчетах используется
У-цикл и 4 вложенных сеточных уровня) оказывают влияние на ско¬
рость сходимости.
С точки зрения программной реализации получается два вложен¬
ных цикла и два множества невязок. Внешний цикл связан с полу¬
чением решения уравнения изменения температуры во времени (он
дает истинную невязку решения уравнения изменения температуры),
а внутренний цикл — с решением системы разностных уравнений
методом ОМКЕ5. Внешний цикл проводится до тех пор, пока не до-
стигнется заданный уровень невязки (в расчетах Я ~ 10“|б) или число
итераций (многосеточных циклов), указанное пользователем. Число
шагов во внутреннем цикле равняется числу векторов (размерности)
подпространства Крылова. Согласно теории, невязка во внутреннем
итерационном цикле уменьшается монотонно (в отличие от невязки
во внешнем итерационном цикле, которая может иметь немонотонное
поведение).
Для оценки характеристик эффективности и производительности
метода (ЗМКЕ5 расчеты проводятся для различной размерности под¬

пространства Крылова и различного числа ОМКЕЗ-итераций на каж¬
дом конечно-элементном шаге интегрирования по времени.
4.9.3.	Тестовый пример. Тестирование разработанной процеду¬
ры, реализующей расчет температурного поля при замороженном поле
скорости, проводится на примере расчета турбулентного погранично¬
го слоя на плоской пластине с отрицательным градиентом давле¬
ния [9, 372].
Расчетная область представляет собой криволинейный канал дли¬
ной 157,22 мм и шириной 21,77 мм во входном сечении [9]. Нижняя
стенка является поверхностью пластины, а верхняя стенка состоит из
отрезков прямых и дуг окружностей и строится таким образом, что¬
бы воспроизвести градиент давления, создаваемый экспериментальной
установкой [372].
Во входном сечении задаются полное давление и полная темпера¬
тура (ро = 3,66 • 105 Па, То — 365 К), кинетическая энергия турбу¬
лентности и скорость ее диссипации {ко = 2 м2/с2, е:о = 200 м2/с3),
а в выходном сечении фиксируется статическое давление (р = 1,013 х
х 105 Па). Верхняя стенка считается теплоизолированной. Пластина
имеет постоянную температуру (Тю — 300 К).
Расчеты проводятся на сетке 90 х 80. При этом координата у+
имеет приблизительно постоянное значение вдоль пластины (у+ ~ 22).
Сначала рассчитывается поле течения жидкости, считая, что по¬
верхность пластины является теплоизолированной (дТ/ду = 0), а затем
решается уравнение изменения температуры при замороженном поле
скорости и заданном значении температуры стенки (Тш — 300 К).
Распределения локального числа Нуссельта N11 = <?^/(ЛДТ) вдоль по¬
верхности пластины приводятся на рис. 4.13. Сплошная линия показы¬
вает результаты расчетов по полным уравнениями Навье-Стокса [9],
N11 • 103
Рис. 4.13. Распределения локального числа Нуссельта вдоль пластины

замкнутым при помощи к-е модели турбулентности, значки □ соот¬
ветствуют решению задачи при замороженном поле скорости, а значки
• — данным физического эксперимен¬
та [372]. Различие результатов, по¬
лученных в рамках полной постанов¬
ки задачи и при решении уравне¬
ния изменения температуры, состав¬
ляет около 5%.
Для улучшения качества числен¬
ного решения целесообразно исполь¬
зовать двухслойную модель турбу¬
лентности, как это рекомендуется
в работе [9].
Изменение невязки в зависимо¬
сти от числа итераций показывает
рис. 4.14 (заданный уровень невязки
во всех расчетных вариантах равня¬
ется 10-15). Линия / соответствует
решению задачи в полной постановке,
а линии 2 и 3 — решению уравнения
изменения температуры при помощи
многосеточного подхода и метода ОМКЕ5. Уравнения решаются в без¬
размерном виде, что позволяет объединить невязки, возникающие в ре¬
зультате дискретизации различных уравнений. Несмотря на то, что
метод СМКЕ5 дает существенный выигрыш в числе итераций (число
итераций уменьшается с 1500 в многосеточном подходе до 190 в методе
ОМКЕ5), ускорение алгоритма составляет 1,2, поскольку нахождение
векторов подпространства Крылова является достаточно затратным
с вычислительной точки зрения (в расчетах к = 4). Тем не менее, это
может дать существенный выигрыш во времени в сопряженном теп¬
ловом анализе, поскольку расчеты поля течения жидкости проводятся
многократно на каждом конечно-элементном шаге по времени.
4.10.	Течение и теплообмен в круглой трубе
Стационарное ламинарное плоское течение в канале, ограниченном
двумя плоскими стенками, или осесимметричное течение в прямоли¬
нейной круглой трубе (течение Пуазейля) являются примерами точного
решения уравнений Навье-Стокса, дающим параболическое распреде¬
ление скорости в поперечном сечении [56].
Во входном сечении профиль скорости имеет прямоугольную форму,
а затем под действием трения постепенно вытягивается и на некотором
расстоянии от входного сечения принимает форму параболы. На на¬
чальном участке канала или трубы, следующем за входным сечением,
образуется пограничный слой. По мере развития потока пограничные
слои на стенках смыкаются, и распределение скорости определяется
Рис. 4.14. Изменение невязки
в зависимости от числа итера¬
ций при использовании различ¬
ных методов решения системы
разностных уравнений

численно. Длина начального участка при ламинарном течении состав¬
ляет 0,03.0Не (при турбулентном течении длина начального участка
существенно короче).
Течение определяется перепадом давления, а максимум скорости
имеется на линии или оси симметрии. При ламинарном течении пе¬
репад давления, под действием которого развивается течение, про¬
порционален первой степени скорости потока, а при турбулентном
течении — квадрату средней скорости. Решение уравнения энергии
показывает, что распределение температуры описывается кривой 4-го
порядка, а максимум повышения температуры имеет место в середине
канала или трубы.
Перепад давления связывается со средней скоростью течения по¬
средством коэффициента сопротивления Л, который определяется со¬
отношением
где П и Ь — диаметр и длина трубы, С/ — средняя скорость.
Ламинарная форма течения существует при Не < 2300, где Не =
= р1Ю/р. При более высоких числах Рейнольдса течение является
турбулентным.
При ламинарном течении в круглой трубе решение Пуазейля для
распределения скорости дает следующее значение коэффициента со¬
противления [56]:
В турбулентном режиме течения коэффициент сопротивления опре¬
деляется в соответствии с законом Блазиуса:
который приводит к закону степени 1/7 для распределения скорости
и оказывается применимым при Не < 105 [56].
В общем случае коэффициент сопротивления гладкой трубы рассчи¬
тывается исходя из универсального логарифмического распределения
скорости, который дает (закон Прандтля):
Закон Прандтля применяется при Не < 3.4 • 106.
Результаты измерений теплообменных параметров для ламинарно¬
го режима течения (при Ее < 2,1 • 103) обобщаются зависимостью
^В. - А Етт2
Ь В 2	’
А = 0,3164 Ее_1/4,
(Е. N. $1ес1ег, О.Е.Та1е, 1936)

Формула применима на тепловом участке трубы при х/В < 0,33 Ес Рг
(для динамического участка х/1) < 0,05Ее). В длинных трубах за
пределами входного участка в области полностью развитого течения
число Нуссельта остается приблизительно постоянным. При постоян¬
ной температуре стенки 1Чи —► 3,66, а при фиксированном тепловом
потоке к стенке N11 —> 4,36. Изменение вязкости в зависимости от
температуры оказывает слабое влияние на число Нуссельта.
Для турбулентного режима течения соотношение для расчета числа
Нуссельта имеет вид (Р. \У.	Ь.	М.	К. ВоеЙег, 1930)
N11 = 0,023 Ее0-8 Рг0'4.
Формула применима при Ее > 105, но используется и при более низких
числах Рейнольдса. Имеются и другие корреляционные формулы, при¬
менимые в более широком диапазоне параметров (Ш. Ыиппег, 1958).
Рассмотрим сопряженный теплообмен в трубе с круглой формой по¬
перечного сечения в плане. Геометрическая модель и область, занятая
жидкостью, приводятся на рис. 4.15. Отношение наружного радиуса
трубы к внутреннему составляет т0/гг = 2, где Г{ = 0,015 м, а длина
трубы — Ь — 1м (при этом Ь/В = 60).
		“	“1
Л
Г1*
1
у////4/////^////////////////л
*—Г
Уу/
.р2	рЗ_
Т; Т
тъ,
Рис. 4.15. Геометрическая модель (а) и область, занятая жидкостью (б)
В качестве характерного параметра цикла нагружения, показанного
на рис. 4.16, выступает температура во входном сечении области, заня¬
той жидкостью.
К трубе пристыкуются дополнительные блоки длиной I = 0,08 м
(блоки 1 и 2), чтобы осуществить передачу температуры металла и
жидкости между различными частями расчетной области. Темпера¬
тура, присваиваемая блоку 1, извлекается из цикла нагружения для
данного момента времени и используется для задания полной тем¬
пературы во входном сечении области, занятой жидкостью. Блоку 2
присваивается температура, полученная в выходном сечении области,
занятой жидкостью, в данный момент времени.
Расчет температурного поля металла проводится в двумерной по¬
становке, а расчет поля течения жидкости — в двух- (использует¬
ся свойство вращательной периодичности) и трехмерной постановке.
Конечно-элементная сетка содержит 91 ячейку треугольной формы

и>,
400
300
0 60 Ьс 10000
Рис. 4.16. Цикл нагружения
и 282 узла. Двумерная структурированная конечно-разностная сетка
содержит 17 000 ячеек, причем на стенке трубы размещается 1000
ячеек, а на входной и выходной границах — по 17 ячеек. Трехмерная
структурированная сетка получается при помощи вращения двумерной
сетки вокруг оси симметрии на угол 45° {расчетная область представ¬
ляет собой 1/4 полной модели). В окружном направлении размещается
12 ячеек сетки и выставляются периодические граничные условия.
Величина у+ изменяется от 185 во входном сечении до 120 в выходном
сечении трубы (рис. 4.17).
На внутренней поверхности трубы выставляются сопряженные гра¬
ничные условия, а на ее внешней поверхности фиксируются темпе¬
ратура и коэффициент теплоотдачи, равные 300 К и 103 Вт/(м2*К).
На входной границе расчетной области задаются массовый расход
(тп = 0,2 кг/с), температура торможения (она изменяется в соответ-
у+
180
160
140
120
0	0,2	0,4	0,6	0,8	х м 1
Рис. 4.17. Распределение координаты у+ вдоль стенки трубы

Рис. 4.18. Профили осевой скорости в выходном сечении трубы
ствии с заданным циклом нагружения, То = 300 К при Ь = 0) и харак¬
теристики турбулентности (степень турбулентности и гидравлический
диаметр равняются 10% и 0,015 м). На выходной границе фиксируется
статическое давление (р — 1,013 • 105 Па). Число Рейнольдса, рассчи¬
танное по параметрам во входном сечении, составляет 4,55 • 105, что
соответствует турбулентному режиму течения.
В качестве начального поля температуры принимается распределе¬
ние, полученное для случая теплоизолированной стенки трубы (полная
температура во входном сечении равняется 400 К). Профиль осевой
скорости в выходном сечении трубы показывает рис. 4.18 (результаты
нормируются на скорость на оси трубы V). Сплошная линия и значки о
соответствуют результатам расчетов в двух- и трехмерной постановке,
а значки • — результатам измерений [56].
На каждом шаге по времени число итераций для расчета поля те¬
чения жидкости в каверне полагается равным 200. Условие сходимости
контролируется по разности температур на границе раздела, которая
равняется 4 К. Повторный расчет поля течения жидкости на данном
шаге по времени не производится, если разница температуры металла
и жидкости на границе раздела не превышает 1 К.
Результаты расчетов в виде значений температур металла в кон¬
трольных точках (рис. 4.15, а) в момент времени, соответствующий
концу цикла нагружения, приводятся в табл. 4.1. Строки 1 и 2 показы-
Таблица 4.1. Температура металла в контрольных точках
№
Точка
Р1
р2
рз
р4
р5
рб
1
348,94
334,04
330,86
328,27
327,70
327,11
2
348,95
333,98
330,87
329,02
327,58
326,89
3
349,08
334,06
330.92
329,09
327,66
326,87

Т, К	<7-Ю4,	Вт/м2
Рис. 4.19. Распределения температуры (а) и теплового потока (б) по длине
трубы, соответствующие конечному моменту времени
вают результаты расчетов в двумерной постановке при решении всех
уравнений, описывающих течение жидкости, и при решении уравнения
изменения температуры жидкости. Строка 3 соответствует решению
задачи в трехмерной постановке при замороженном поле скорости
(трехмерные расчеты на основе решения всех уравнений, описывающих
течение жидкости, не производились). Во всех случаях имеет место
хорошее согласование результатов расчетов (их различие составляет
менее 1 К).
Распределения температуры и теплового потока по внутренней по¬
верхности трубы показывает рис. 4.19. Сплошные линии и значки о
соответствуют результатам расчетов в двумерной постановке при реше¬
нии всех уравнений, описывающих течение жидкости, и при решении
Г, К
Рис. 4.20. Изменение температуры металла в контрольных точках во времени.
Кривые /, 2, 3 соответствуют точкам р1, р2 и рб

уравнения изменения температуры, а значки □ — результатам рас¬
чета в трехмерной постановке при замороженном поле скорости. За
исключением начального участка трубы порядка 2,5/, труба является
практически равномерно прогретой по длине (температура изменяется
не более, чем на 5 К).
Изменения температуры металла в контрольных точках во времени
показаны на рис. 4.20 (обозначения те же, что и на рис. 4.19). Имеет
место хорошее согласование результатов, полученных на основе раз¬
личных подходов и моделей, описывающих течение жидкости в трубе.
Приведенные данные показывают, что установление поля температуры
происходит через 250 с (длина цикла нагружения составляет 104 с).
В трехмерной постановке (при использовании периодических гра¬
ничных условий) решение задачи требует приблизительно в 26 раз
больше процессорного времени, чем в двумерной. Для двумерной по¬
становки задачи при замороженном поле скорости ускорение решения
задачи составляет 1,77 (для решения уравнения изменения температу¬
ры используется многосеточный подход).
4.11.	Сопряженный теплообмен диска
при осевом подводе рабочего тела
Рассмотрим сопряженный теплообмен неподвижного диска (статор)
и диска, вращающего с постоянной угловой скоростью, при осевом
подводе рабочего тела [66] (рис.4.21).
Диск турбины вращается с угловой скоростью, изменяющейся от
0 до 1395 1/с за 60 с. Максимальная толщина конечно-элементной
области составляет I = 0,025 м, а ее минимальный и максимальный
радиусы — Гг = 0,106 м и г0 = 0,292 м. Максимальная протяженность
в радиальном направлении области, занятой жидкостью, равняется
гт = 0,292 м.
Цикл нагружения показан на рис. 4.22. Нагрузкой, изменяющейся
во времени, является угловая скорость вращения ротора.
Конечно-элементная сетка содержит 722 ячеек треугольной формы
и 1617 узлов (рис. 4.23, а). Блочная структурированная конечно-раз-
ностная сетка содержит 11948 ячеек (рис. 4.23, б), при этом на входной
и выходной границах размещается по 94 и 17 ячеек, а на поверхности
ротора и статора — по 410 и 275 ячеек. Координата у+ изменяется от
22 до 110 на поверхности ротора.
На внешней поверхности ротора ставятся сопряженные граничные
условия, а на внешней поверхности статора фиксируется температу¬
ра. На входной границе задается скорость (ух = 1,85 м/с, течение
по нормали к границе), температура (Т = 471 К) и характеристики
турбулентности (степень турбулентности составляет 0,5%, а масштаб
турбулентности — 0,01 м). На выходной границе фиксируется ста¬
тическое давление [р = 3,45 • 105 Па). Температура статора полагает¬
ся теплоизолированной с равномерным распределением температуры

Рис. 4.21. Геометрическая модель (а) и геометрия области, занятой жидко¬
стью (б)
и>, 1/с
^ 1 „
2
2 ^ - СГБ-модель
О 60	^	с	10000
Рис. 4.22. Цикл нагружения
(Т = 376 К). Линейное число Рейнольдса, рассчитанное по скоро¬
сти во входном сечении, составляет 3,67 • 104, а вращательное число
Рейнольдса, рассчитанное по скорости вращения ротора, равняется
5,09- 106, что соответствует турбулентному режиму течения.
В качестве начального поля температуры принимается распределе¬
ние, полученное для случая теплоизолированной поверхности ротора.

Рис. 4.23. Конечно-элементная (а)
и конечно-разностная (б) сетки
Рис. 4.24. Линии тока
Г, К
Картина линий тока показана на рис. 4.24, а распределение температу¬
ры по поверхности ротора — на рис. 4.25.
На каждом шаге по времени число итераций для расчета поля тече¬
ния жидкости полагается равным 200. Условие сходимости контроли¬
руется по разности температур на гра¬
нице раздела, которая полагается рав¬
ной 2 К. Максимальная разность тем¬
ператур металла и жидкости на грани¬
це раздела сред устанавливается рав¬
ной 0,5 К.
Результаты расчетов, обработан¬
ные в виде значений температуры ме¬
талла в контрольных точках, при¬
водятся в табл. 4.2, а также на
рис. 4.26. Строка 1 соответствует ре¬
шению всех уравнений, описывающих
течение жидкости (сплошная линия
на рис. 4.26), а строка 2 — решению
задачи при замороженном поле скорости (значки о на рис.4.26). Полу¬
ченные значения температуры менее чем на 1 К отличаются от данных
измерений [66] (значки •).
Изменение температуры в контрольных точках во времени показано
на рис. 4.27 (обозначения те же, что и на рис. 4.26). Расхождение меж¬
ду расчетными и экспериментальными данными не превышает 3,5%.
Рис. 4.25. Распределение темпе¬
ратуры по поверхности ротора

Таблица 4.2. Температура металла в контрольных точках
№
Точка
Р1
р2
РЗ
р4
р5
рб
1
443,28
431,27
430,21
431,24
434,59
441,72
2
443,26
431,25
430,21
431,28
434,71
441,93
Г, К
440
420
400
д, Вт/(м2-К)
а 6
8 б
К Л
-2
- ^ У\
-3
- .4
0 \
-4
о
% 00
-
-5
\ 1
0 V
°о
-6
X. У °
о
1111
-7
1111
90	120	150	180	210	240	90	120	150	180	210	240
Г, М	Гу	м
Рис. 4.26. Распределения температуры и теплового потока по поверхности
ротора, соответствующие конечному моменту времени
Для выхода температуры на стационарный режим требуется примерно
600 с (расчеты проводятся на более длинном интервале времени).
Ротор и статор являются практически равномерно прогретыми по
радиальной координате.
Т, К
Рис. 4.27. Изменение.температуры металла в контрольных точках во времени.
Кривые 1-6 соответствуют точкам р1-р6 на поверхности ротора

Оценка коэффициента момента дает значение 2,153- 10_3 при от¬
сутствии теплообмена и значение 2,276 • 10_3 при учете сопряженного
теплообмена, что приблизительно на 40% ниже значения, соответству¬
ющего свободному вращающемуся диску.
Ускорение решения задачи при использовании многосеточного под¬
хода для решения уравнения изменения температуры жидкости состав¬
ляет 1,84.

Глава 5
ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕН В КАВЕРНАХ
МОДЕЛЬНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ
Полости различных типов находят широкое применение в качестве
теплопередающих, теплоизолирующих и технологических элементов
в технических устройствах различного назначения, включая газовые
турбины и компрессоры, чем объясняется устойчивый интерес к ис¬
следованию структуры течения и теплообмена при взаимодействии
потока жидкости с ограниченным объемом в условиях вынужденной
конвекции.
В газовых турбинах и компрессорах каверны ограничены непо¬
движными (статор) и подвижными (ротор) стенками с осевым или
радиальным подводом рабочего тела.
Расход воздуха, подаваемого в каверну, является одним из важных
параметров, оказывающих влияние на потери полного давления в меж-
лопаточном канале и долговечность конструкции. Уменьшение расхода
охладителя приводит к проникновению горячего газа из межлопаточ-
ного канала в каверну и дополнительному нагреву турбинных дисков,
а его увеличение — к проникновению холодного газа из каверны
в межлопаточный канал и уменьшению температуры рабочей среды,
что негативным образом сказывается на показателях эффективности.
С практической точки зрения требуется найти минимальный расход
охладителя (зеаПп^), обеспечивающий надлежащее охлаждение вра¬
щающихся компонентов конструкции и высокие выходные параметры
устройства.
В данной главе рассматриваются течения и сопряженный теплооб¬
мен в кавернах газовых турбин и компрессоров, имеющих упрощен¬
ную геометрическую конфигурацию, а также течения, индуцированные
вращением дисков. Выделяются конфигурации каверн, характерные
для внутренней воздуховодной системы газотурбинных двигателей,
и зависимость основных режимов течения в каверне от входных па¬
раметров задачи. Приводятся критериальные соотношения для расчета
интегральных характеристик течения и теплообмена.
Проводится численное моделирование течения около свободного
вращающегося диска, течения между двумя дисками, вращающими¬
ся в одном направлении, течения, индуцированного вращением диска

в закрытой осесимметричной каверне. Результаты расчетов локальных
и интегральных характеристик течения и теплообмена в кавернах,
ограниченных подвижными и неподвижными стенками, сравниваются
с данными физического эксперимента, критериальными зависимостями
и имеющимися результатами численного моделирования, полученными
на основе различных моделей турбулентности.
Газодинамические расчеты без учета сопряженного теплообмена
используются для выбора подходящего типа тепловых граничных усло¬
вий, направления течения, массового расхода жидкости, распределения
коэффициента теплоотдачи по границам модели и дополнительных
тепловых источников. Поле течения, рассчитанное для теплоизолиро¬
ванных стенок модели, служит в качестве исходных данных для мо¬
делирования сопряженного теплообмена компонентов газовых турбин
и компрессоров.
5.1.	Входные и выходные параметры задачи
Приводятся основные характеристики и параметры эффективности
газовых турбин и компрессоров.
5.1.1.	Основные параметры. Режим течения во вращающейся
системе с осевым подводом рабочей среды определяется линейным
и вращательным числами Рейнольдса:
„	2	руг	п ри>г2
Кех — 	, Неы —	,
/х	//
где г — локальный радиус; ш — угловая скорость вращения.
Структура течения в каверне в существенной степени зависит от
параметра турбулентности (1игЬи1еп1 По\у рагате1:ег) [375]
= Су/ Ке,
-0.8
где С\у =т/(^Ь) представляет собой безразмерный массовый расход
(Пом КеупоМз питЬег), Ь — радиус диска.
Относительная скорость закрутки потока во входном сечении (Ые!
5М1г1 [гасИоп) определяется соотношением
/5- = —
нг —	.	>
ШО
где у&ь — тангенциальная скорость при г = Ь.
5.1.2.	Потери полного давления. Потери полного давления в га¬
зовых турбинах связаны с формированием пограничных слоев на стен¬
ках, возникновением ударно-волновых структур и скачков уплотнения
при сверхзвуковых числах Маха, смешением потоков позади лопаток
турбины, возникновением вторичных течений. Величина потерь зави¬

сит от многих факторов, в частности, параметров потока на входе
в межлопаточный канал, угла установки лопаток, формы профиля
и многих других [46, 216].
Экспериментальные исследования [184, 304] позволили выяснить
механизмы потерь и выявить роль отдельных факторов.
Теоретическое нахождение потерь энергии, вызываемых прохожде¬
нием потока через решетку профилей, сводится к определению по¬
тенциального распределения давления вдоль контура лопатки, расчету
ламинарного и турбулентного пограничных слоев на контуре лопатки,
вычислению потерь энергии вследствие турбулентного перемешивания
в спутном течении позади решетки [46].
Современные методы вычислительной газовой динамики поз¬
воляют провести расчетные оценки на основе комплексного под-
В одномерном случае коэффициент потерь полного давления вычис¬
ляется по формуле [216]
Индексы 1 и 2 соответствуют входному и выходному сечениям расчет¬
ной области.
Соотношения (5.1) и (5.2) дают одинаковые значения для несжима¬
емого течения. Разница между ними увеличивается по мере возраста¬
ния числа Маха на входе в межлопаточный канал (при М = 0,4 она
достигает 4%).
Для несжимаемых течений коэффициент потерь полного давления
связывается с коэффициентом давления:
где 5 — площадь поперечного сечения. Коэффициент давления выра¬
жается через разность статических давлений и скоростной напор:
хода [19, 221, 391].
Р01 - Р02
(5.1)
или
^ _ Р01 - Р02
(5.2)
Р01 - РI
Р2 - Р\
В общем случае для расчета потерь полного давления используется
соотношение типа (5.2), выраженное через средние по поперечному
сечению величины [216]:

5	5
Интегрирование производится по всем входным и выходным сечениям
модели (с учетом границ, через которые осуществляется подвод охла¬
ждающего воздуха).
5.1.3.	Показатели эффективности. Показатель эффективности
определяется как отношение действительной выходной мощности
к идеальной максимальной мощности, соответствующей течению без
потерь (изэнтропическое течение).
Сопоставляя индекс гз изэнтропическому течению, идеальная мощ¬
ность находится из соотношения
— Ср 7Н(То\ ^02,15)1
(5.3)
где га — удельный массовый расход; Го — полная температура. Индек¬
сы 1 и 2 соответствуют входному и выходному сечениям межлопаточ-
ного канала. Учитывая, что в изэнтропическом течении температура
и давление связаны при помощи соотношения
Тр2,15 _
Го,
после подстановки в (5.3) получим
IV1$ — Ср 771 То 1
Р02
Р01
у— 1
У
1 - —
Р02
Р01
г-1
7
(5.4)
Действительная выходная мощность рассчитывается с использова¬
нием энтальпии (еп1Ьа1ру Ьазес! те1Ьос1) или крутящего момента ротора
({огцие Ьазес! те^Ьос!).
При использовании энтальпии показатель эффективности находит¬
ся из соотношения
7)1 =
То\ - То2
То\ — То2,гэ
= 11-^
Го,
1_,М
Ро\
у-1
7
-1
(5.5)
При охлаждении турбинных дисков имеется два различных потока,
входящих в расчетную область и связанных с течением в межлопаточ-
ном канале и течением охладителя в каверне (холодному газу сопостав¬
ляется индекс с). Максимальная мощность на выходе получается в том
случае, когда два потока расширяются независимо и изэнтропически
к выходному давлению;

Используя уравнение неразрывности, для показателя эффективности
получим следующее соотношение:
VI	= [(1 ~ д)То\ + 6Тос - Т02] х
х (1 -ВД,
_ (
\Р01 /
7
Г-1
+ 6Тос
1_|
т
-1
, (5.7)
где
6 =
тп.
т 1 + тс
Определяя действительную мощность на выходе как произведение
крутящего момента на угловую скорость вращения, IV = Ми>, показа¬
тель эффективности найдем из соотношения
Ми)
у— 1
т =
Ср 7711 Х()|
1-|'Я“У
т)
-1
С учетом потока охладителя в каверне получим
'*	*ч	-1
Ми> Г . _
7)2 = 	< т\ Г01
Ср {
1
Р01
+ ТПС Тос
(5.8)
(5.9)
При малом расходе охлаждающего воздуха (при тс —» 0) соотноше¬
ния (5.5) и (5.7), а также соотношения (5.8) и (5.9) дают одинаковые
значения эффективности.
5.2.	Основные конфигурации каверн
Роторы газовых турбин содержат диски, ось вращения которых
направлена по нормали к их плоскости.
Течения в компонентах газовых турбин, индуцированные вращени¬
ем диска, удобно разделить на ряд характерных конфигураций, каждая
из которых учитывает те или иные условия и геометрические особен¬
ности реальной конструкции (рис. 5.1).
Простейшей геометрической конфигурацией ротора газовой турби¬
ны является диск, вращающийся в неограниченной массе жидкости
с постоянной угловой скоростью (1гее го1а1т§ сПзс). Конфигурация,
состоящая их двух коаксильных дисков (рис. 5.1, а, б), один из кото¬
рых является неподвижным, а другой вращается с постоянной угло¬
вой скоростью, используется в качестве основы для моделирования
течений в кавернах, ограниченных ротором и статором (го!ог-51а!ог
сауйу). В реальных конфигурациях учитываются влияние корпуса
(рис. 5.1, в-д), внешнее течение в осевом направлении (рис. 5.1, е), ла¬
биринтные уплотнения, конфигурация зазора между ротором и ста¬
тором.

ч
ч
ч
чччччч
т
ч
/
ч
ч
ч
ч
ч
/
ч
ч
ч
ч
ч
о.
о
ч
/
ч
ч
ч
ч
ч
о.
о
ч
/
а.
о
ч
О-
о
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ь
о
сх
н
со
н
о
ч
ч
/
/
н
о
а.
ч
ч
н
та
н
о
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
/
ч
ч
ч
ч
ч
ч
/
ч
ч
ч
ч
ч
ч
/
ч
Е
ч
ч
-Г
ч
ч
-С
/
ч
ч
771'
и)
в
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
^ ~т
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
Кч
д
кЧЧЧЧЧЧ
ткчччм
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ЕХ^
Рис. 5.1. Характерные конфигурации каверн
Выбор конфигурации зазора между ротором и статором, обеспечи¬
вающей оптимальные показатели эффективности, является самостоя¬
тельной задачей [298, 299].
Течения между параллельными вращающимися дисками
(рис. 5.1, а) и течение, индуцированное вращением диска в корпусе
(рис. 5.1, б), относятся к системам, в которых отсутствует приток
рабочей среды извне (го1ог-зЫог зузкш \\а*Н по зирегрозес! Пош).
В системах, показанных на рис. 5.1, в—е, имеет место осевой или
радиальный подвод рабочего тела или его вытекание из каверны по
радиусу.
Результаты работ [298, 299] показывают, что основными параметра¬
ми, определяющими структуру течения в каверне, являются величина
закрутки потока во входном сечении /3*, безразмерный массовый рас¬
ход Су/, вращательное число Рейнольдса Ке^, параметр турбулент¬
ности А*.
5.3.	Течение, индуцированное вращением диска
Простейшей моделью ротора газовой турбины является диск, равно¬
мерно вращающийся вокруг оси, нормальной к его плоскости, в неогра¬
ниченной массе вязкой несжимаемой жидкости (рис. 5.2).
5.3.1.	Ламинарное течение. Течение вблизи плоского диска ра¬
диусом Ь, равномерно вращающегося в покоящейся жидкости с посто¬

янной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
диска, является одним из примеров точного решения уравнений На-
вье-Стокса [56].
В результате относительного движения диска и жидкости воз¬
никают вязкие напряжения, которые стремятся заставить жидкость
вращаться вместе с диском. Слой жидкости,
прилегающий к диску, увлекается им вслед¬
ствие трения и под действием центробежной
силы отбрасывается наружу. В соответствии
с законом сохранения массы, радиальное те¬
чение вблизи диска сопровождается осевым
течением, направленным по нормали к плос¬
кости диска. Взамен отброшенной жидкости
к диску притекает в осевом направлении но¬
вая жидкость, которая также увлекается дис¬
ком и отбрасывается наружу. Имеется полно¬
стью трехмерное течение (скорость в погра¬
ничном слое имеет окружную и радиальную
компоненты).
Введем цилиндрические координаты г, <р,
г, а составляющие скорости в радиальном
г, окружном 1р и осевом 2: направлении обозначим через и, V и ш.
Плоскость 2 = 0 совместим с диском. Вследствие осевой симметрии все
производные по координате (р в уравнениях Навье-Стокса выпадают.
Течение описывается уравнениями неразрывности и изменения ко¬
личества движения с граничными условиями прилипания и непротека-
ния на поверхности диска (и = 0, г; = по, = 0 при г = 0) и условиями
покоя жидкости на удаленной границе (и = 0, V — 0 при г = оо).
Найдем оценку для толщины (5 слоя жидкости, увлекаемого диском
вследствие трения (Ь. РгапсШ, 1949). Для частицы жидкости, находя¬
щейся в увлеченном вследствие трения слое на расстоянии г от оси,
центробежная сила, приходящаяся на единицу объема, равняется рги)2.
На объем, имеющий основание с площадью йг йз и высоту <5, действует
центробежная сила рги)26 (1г йз. На основание того же элемента объема
действует касательное напряжение т^, направление которого совпадает
с направлением движения жидкости, оттекающей вдоль вращающейся
плоскости от оси вращения. Считая, что это направление образует
с окружным направлением угол в, радиальная составляющая касатель¬
ного напряжения уравновешивается центробежной силой
тю зт в йг д,з = рги25 (1г д,з.
Окружная составляющая касательного напряжения пропорциональна
градиенту окружной скорости около стенки:
Рис. 5.2. Течение жид¬
кости, индуцированное
вращением диска

Исключая Тц,, получим
62 ^ — Ь$9.
и>
Принимая, что направление скольжения потока вдоль стенки не зави¬
сит от радиуса, для толщины слоя, увлекаемого вращающейся плоско¬
стью вследствие трения, получим оценку
Для касательного напряжения на стенке имеет место оценка
Ти, ртиР~Ь ~ рги>
Момент сопротивления вращению стенки равняется произведению ка¬
сательного напряжения на стенке, площади стенки и плеча:
М ~ ТщЬ3 ~ рЪАш(уи^2,
где Ь — радиус диска.
Для интегрирования основных уравнений вводится безразмерное
расстояние от стенки = г(ш/и)х/2, а скорости и давление представ¬
ляются в следующем виде:
и = ги>Р((3), у = ги>С((), ш = (ии>)^2Н(^), р = рии)Р(0,
что приводит к решению следующей системы обыкновенных диффе¬
ренциальных уравнений [56]:
2Р + Н' = 0;	(5.10)
Р2 + Р'Н -О2 - Р" = 0;	(5.11)
2РО + НС' - С" = 0;	(5.12)
Р'2 + НН' - Н" = 0.	(5.13)
Граничные условия для уравнений (5.10)—(5.13) имеют вид
Р = 0,	0=1, Н = 0, Р = 0 при С = 0;
Р = 0,	0 = 0 при С = °°-
Из уравнения неразрывности (5.10) и уравнений изменения количе¬
ства движения (5.11) и (5.12) для направлений, параллельных стенке,
определяется поле скорости, а затем из уравнения движения (5.13)
для направления, нормального к стенке, вычисляется распределение
давления.

о	12	3	4
С
Рис. 5.3. Распределения осевой (кривая /), радиальной (кривая 2) и окружной
(кривая 3) скорости вблизи диска, вращающегося в неподвижной жидкости
Решение системы нелинейных уравнений (5.10)—(5.13) приближен¬
ным способом получено Карманом (ТЬ. Кагтап, 1921), а численное
решение при помощи метода сращиваемых асимптотических разложе¬
ний — Кохрэном (Ш. О. СосЬгап, 1934). Решение системы уравнений
(5.10)-(5.13) в табличном виде приводится в [56].
Распределения скорости, приведенные на рис. 5.3, показывают, что
вращение диска сопровождается осевым движением жидкости к его
поверхности, которое препятствует распространению завихренности
вдаль от диска.
Расстояние от вращающейся стенки, на котором окружная скорость
течения понижается до 1/2, 1/10 и 1/20 окружной скорости стенки,
равняется (\А^. О. СосНгап, 1934)
Полагая, что 6 <С Ь, вычислим момент сопротивления диска. Кольцо
шириной б,г и радиусом г дает момент сопротивления
Момент сопротивления всего диска, смачиваемого жидкостью с одной
стороны, равняется
о
Окружная составляющая касательного напряжения на стенке находит¬
ся из соотношения
ЛМ = — 27г гд,ггт21р.
я
М = — 27г г2 тгч> Лг.

После подстановки в выражение для момента и умножения на 2 по¬
лучим момент сопротивления диска, смачиваемого жидкостью с обеих
сторон:
2	М = -тгрЪ\иш3)1/20({0) = 0,616тгрЬ4(1/ы3)1/2,
где С'(0) = —0,616 (табличное значение из [56]).
Для коэффициента момента См = АМ {(ри>2Ъъ) имеет место соотно¬
шение [56]
2тгС"(0у/2
См ~	&ц,1/2	•
После введения числа Рейнольдса Ке^, = К2ш/и получим
См = 3,87Ке^0'5.	(5.14)
Соотношение (5.14) согласуется с данными измерений до К.еы = 3 • 105
(Т. ТЬеойогзоп, А. Ке^^ег, 1944). При больших числах Рейнольдса около
диска возникает турбулентное течение.
Вне вихревого слоя осевая скорость остается приблизительно по¬
стоянной и равной 0,886(1/и;)]/2. Секундный объем жидкости, отбра¬
сываемый наружу вследствие центробежного эффекта с одной стороны
диска, равняется [56]
тп = 2ттЬ
и = 0,88б7г Ъ3ш Не.. *^2.
Безразмерный расход жидкости Су/ = гп/(рЪ), вовлеченной во враща¬
тельное движение, равняется
Сц/ = 0,886тг Ке°;5.
Такой же секундный расход притекает к диску в осевом направлении.
Поскольку давление около диска имеет одинаковый порядок с вели¬
чиной риш, то при малой вязкости оно изменяется мало и только
в направлении, нормальном к стенке, а в радиальном направлении
остается постоянным [56].
Решение уравнений Навье-Стокса для течения около вращающего¬
ся диска обладает свойствами, характерными для пограничного слоя.
В предельном случае малой вязкости область течения, на которую
распространяется влияние трения, заключена в тонком слое вблизи
стенки, в то время как во всем остальном пространстве течение
происходит практически так же, как в отсутствие трения (в случае
потенциального течения).
Задача обобщается на случай, когда жидкость на бесконечности
вращается с угловой скоростью зш (квазитвердое вращение) отно¬

сительно оси диска. В этом случае уравнение (5.11) заменяется на
уравнение [335]
Р2 + Р'Н -С2 - Р" + з2 = 0.
Граничное условие для функции С(С) на бесконечности принимает вид
С'(оо) = 5. Численные решения для случая вращения жидкости и диска
в одну и ту же сторону (при 5 > 0) имеют место при любых значениях
5	[8]. В случае вращения жидкости и диска в противоположные сто¬
роны (при 5 < —0,2) решения, имеющие физический смысл, возможны
только при применении равномерно распределенного отсасывания в на¬
правлении, перпендикулярном к плоскости диска [56].
Имеются решения уравнений Навье-Стокса для течения между
двумя дисками, вращающимися в противоположные стороны [70],
и в случае равномерно распределенного отсасывания жидкости от
диска [366].
5.3.2.	Турбулентное течение. Начиная с числа Рейнольдса
Яе^ = 3 • 105, течение около вращающегося диска становится
турбулентным [171]. Для расчетов используется закон турбулентного
трения при продольном обтекании пластины (закон сопротивления,
который следует из закона степени 1/7 для распределения скорости).
Для частицы жидкости, вращающейся вместе с пограничным слоем
на расстоянии г от оси, центробежная сила, действующая на единицу
объема, равна ргш2, а на объем с основанием дгйз и высотой § —
ргш26 &г йз. Радиальная составляющая касательного напряжения урав¬
новешивается центробежной силой, что дает уравнение
где 0 — угол, который образует касательное напряжение с окруж¬
ным направлением. Окружная составляющая касательного напряжения
определяется из закона трения для плоской пластины, в котором ско¬
рость набегающего потока заменяется на окружную скорость [56]:
Исключая тю, найдем оценку для толщины пограничного слоя
В то время как при ламинарном течении толщина пограничного
слоя остается постоянной вдоль радиуса, при турбулентном течении
она увеличивается по мере удаления от оси вращения пропорцио¬
нально г3/5.
тш зш в Лгйз = рти)2(5 с1г с1з,
1/5

Для момента сопротивления, обусловленного силами трения, полу¬
чим
Приближенный подход к расчету турбулентного пограничного слоя
на свободном вращающемся диске основан на теореме импульсов
(ТН.Кагтап, 1921). Принимается, что окружая скорость в пограничном
слое изменяется в соответствии с законом степени 1/7. Для обуслов¬
ленного трением момента сопротивления диска, смоченного с обеих
сторон, имеется формула [56]
Имеется хорошее согласование расчетов по формуле (5.15) с данными
измерений при > 3 • 105. При Ке^ > 106 точность формулы (5.15)
составляет около 10%.
Оценка толщины пограничного слоя дается формулой
Для расхода жидкости, притекающей к диску в осевом направле¬
нии, имеется оценка [56]
Вместо закона степени 1/7 для оценки момента используется также
логарифмический профиль скорости в пограничном слое:
Логарифмический закон для распределения скорости дает формулу,
совпадающую по структуре с универсальным законом сопротивления
для течения в трубе (5. Оо1с151е1П, 1935)
Коэффициента момента находится из соотношения
См = 0,146 Ке"0'2.
(5.15)
<5 = 0,526г
т = 0,21963ыКе^0*2.
Безразмерная величина расхода равняется
Су, = 0,219Ке°’8.
-^ = 1,97]8 (ае^2)+0,03.
С Т. л
м
(5.16)

Численные множители и слагаемые в (5.16) получаются из условия
наилучшего согласования с результатами измерений. Коэффициент мо¬
мента, рассчитанный по формуле (5.16) с учетом логарифмического
распределения скорости, лучше согласуется с данными измерений, чем
при степенном (Т. ТЬео^огзоп, А. Ке^ег, 1944).
Согласно [146], толщина пограничного слоя находится из соотно¬
шения
<5 = г[0,05 + 5(1§ Ке^) ’ ].
Коэффициент момента рассчитывается по формуле
См = 0,491 (1п Ке0
-2.58
При этом считается, что С\у = Си/*, а профиль скорости удовлетворяет
закону степени 1/7. Поскольку Си/* = 0,219 Ке°’8, то А* = 0,2.
Критическое число Рейнольдса
находится из соотношения [171]
Кс.
- ] =3 - 105.
Неустойчивость течения, заключаю¬
щаяся в формировании серии вих¬
ревых образований в пограничном
слое, возникает при Кеы ~ 1,9 • 105.
Сравнение различных формул для
коэффициента момента свободно¬
го вращающегося диска показыва¬
ет рис. 5.4. Кривая / соответствует
зависимости (5.14) для ламинарно¬
го течения, кривая 2 — зависимо¬
сти (5.15) для турбулентного тече¬
ния, кривая 3 — зависимости (5.16)
для турбулентного течения.
5.3.3.	Корреляционные формулы. Локальное число Нуссельта
на поверхности диска вычисляется по формуле
Рис. 5.4. Коэффициент момента
сопротивления диска, вращающе¬
гося в неподвижной жидкости
N11 =
Чъ>Г
\(Ту} Т-ща')
Среднее число Нуссельта находится из соотношения
{Яги)&
(Ки) =
Х(ТШ Тада)
где (дш) — взвешенно-среднее теплового потока. Температура стенки
берется в точке г, а температура Тша — при г = а, где а — радиус
вала.

Адиабатическая температура стенки равняется
(о
ТЬ}{г)=Тгп{Ъ) + КК—^-.
1Ср
Фактор восстановления выражается через число Прандтля К = Рг1у/3
(Рг = 0,7 для воздуха).
Распределение температуры поверхности диска обычно представля¬
ется в следующем виде [146]:
Т„-Г0о = /г\п
Тшь - Тоо \Ь/
где Тш — температура стенки в точке г; Ти1ь — температура диска при
г = Ь, Тоо — характерная температура жидкости. Для изотермической
поверхности п = 0, а в случае линейного распределения температуры
диска вдоль радиуса — п = 1.
Число Нуссельта на поверхности диска находится при помощи кор¬
реляционной зависимости [290]:
—	ламинарный режим
N11 = 0,616 Не®’5 Рг0’33;
—	турбулентный режим
N11 = 0,026 Не°,8Рг0'6;
—	уточненная формула для турбулентного режима
N11 = 0,0197(п + 2,6)0,2 Ке™ Рг0-6.
Для учета свободной конвекции в ламинарном режиме используется
корреляционная формула для изотермического свободного вращающе¬
гося диска [325]
{N11) = 0,4(Сгх + Яе^)0,25,
где (N11) = (д)х/(ХАТ) — среднее число Нуссельта; Сгх =	—
— Тоо)х3/и2 — число Грасгофа. Под х = г/Ъ понимается безразмерная
радиальная координата.
Для вращающегося диска с ненулевым радиусом вала а имеет место
следующее соотношение, полученное на основе метода интегральных
соотношений [113]:
Су/а _ .	/а\5
Су, ~	\ь) •
Среднее число Нуссельта вычисляется по формуле

где
<№д)о = 0,017 ае«
Индекс а относится к валу. Число Нуссельта (N11)0 соответствует
значениям п = 1 и Рг = 0,69.
Предполагая квадратичное распределение температуры вдоль ра¬
диуса диска и используя аналогию Рейнольдса, решение уравнения
энергии дает связь между средним числом Нуссельта, вращательным
числом Рейнольдса и коэффициентом момента в ламинарном и турбу¬
лентном режимах [213]:
(Ки)рг=1 = — ЯеыСм-
7Г
Для произвольного числа Прандтля аналогия Рейнольдса дает следую¬
щее соотношение [146]:
(№.)рг/| = Рг^Ми^,.
Для степенного распределения температуры вдоль радиуса, Т~
~ сгп, имеются следующие формулы для расчета локального и средне¬
го числа Нуссельта:
N11 = 0,0197 (п + 2.6)0,2 (ж2Ее„)°'в Рг0,6;
<Ш> = °’°197(^1рЕе"8Рг0'6'
Здесь х = г/6. Приведенные соотношения дают хорошее согласование
с данными измерений в ламинарном режиме при Яеш < 3 • 105 [123].
Учет вязкой диссипации в случае сжимаемого течения приводит
к следующему соотношению для коэффициента момента [296]:
См = 0,0655 Ке“0186.
При 106 < Яе^ < 107 формула имеет точность 5%. На основе аналогии
Рейнольдса получена формула
(N11) =0,0171 Яе^;814.
По сравнению с данными измерений и решением [146] среднее число
Нуссельта получается несколько завышенным.
Используя метод интегральных соотношений [112, 113], локальное
число Нуссельта при произвольном распределении температуры стенки
и произвольном числе Прандтля вычисляется по формуле [298]

где АТ = Ти1 — Тоо. Считается, что распределение скорости подчиняет¬
ся закону степени 1/7.
Полагая, что профиль скорости удовлетворяет закону степени 1/7,
учет ненулевого радиуса вала приводит к соотношению [61]
Приведенные формулы оказываются верными для вращающейся кони¬
ческой поверхности.
Численные расчеты на основе схемы ячеек Келлера в рамках урав¬
нений пограничного слоя для ламинарного и турбулентного режимов
течения около свободного вращающегося диска проводятся в [294]
для 0,1 < Рг < 10 и -3 ^ п ^ 3. Результаты численных расчетов при
1,88 ^ Яе^/Ю6 ^ 3,20, Рг = 0,71, п = 0,1 хорошо согласуются с дан¬
ными измерений [290], соответствующими увеличению или уменьше¬
нию температуры вдоль радиуса диска. Имеется хорошее согласование
результатов расчетов с данными измерений и для других значений
показателя степени п.
5.3.4.	Численное моделирование течения около свободного
вращающегося диска. Рассмотрим теплообмен плоского диска, рав¬
номерно вращающегося с угловой скоростью и) вокруг оси, перпен¬
дикулярной к его плоскости. Для замыкания уравнений Рейнольдса
применяется к-е модель турбулентности с поправкой Като-Лаундера.
Геометрическая модель представляет собой сектор с углом рас¬
твора 3° (рис. 5.5). Внутренний радиус диска составляет г* = 76 мм,
внешний — г0 = 475 мм, а его ширина — I = 35 мм. Протяженность
расчетной области выбирается равной тд — 2г0.
Диск имеет постоянную температуру Тш = 420 К и вращается
с угловой скоростью ш = 200 с-1 (Явц, = 3,1 • 106). На поверхности
вала задаются условия скольжения (невязкая стенка). Жидкость вдали
от диска принимается покоящейся. На удаленной границе фиксируются
статическое давление (р00 = 1,013- 105 Па) и характеристики турбу¬
лентности (коо = 1 м2/с2, боо = 10 м2/с3). В окружном направлении
выставляются периодические граничные условия.
Расчеты проводятся на грубой и подробной сетках, содержащих
22062 и 43062 узлов соответственно. Для грубой сетки у+ — 8-75
N11 = 0,0188 Рг0'6(х2Яеи;)а8а:0-65АТ0'25(Ф + В) °'2Ф.
Здесь
X
1.25
ДТ1,2522,25<&г; В = 0,174

Рис. 5.5. Геометрия расчетной области
(3 узла размещается при у+ < 18), а для подробной сетки — у+ = 3-29
(при этом у+ ~ 10 на 1/3 поверхности диска). Обе сетки в окружном
направлении имеют один слой ячеек. Свойства сеток приведены в
табл. 5.1, а грубая сетка показана на рис. 5.6.
Число Нуссельта рассчитывается по формуле = <э'г1,г/(А00ДТ).
При высоких числах Рейнольдса, когда становится существенным на¬
грев диска за счет трения, при определении перепада температур АТ
вместо температуры стенки Ту, используется адиабатическая темпера¬
тура диска.
Таблица 5.1. Сетки различной разрешающей способности
Граница
Грубая сетка
Подробная сетка
Диск
40
60
Внешняя граница
30
40
Вал
160
280
Периодические границы
10800
21200
Удаленная граница
190
220
Общее число узлов
22062
43062
Ш1П2/+
8,34
3,25
шах у+
75,01
29,21
Рис. 5.6. Грубая сетка около диска

Результаты расчетов по к-е модели приведены на рис. 5.7 в срав¬
нении с экспериментальными данными [290] (значки •) и данными
теории [146] (значки о), основанной на аналогии Рейнольдса между
переносом импульса и тепла
при квадратичном распределе¬
нии температуры вдоль радиу¬
са. Кривые 1 и 2 соответству¬
ют грубой, а кривые 3 и 4 —
подробной сетке. Кривые / и 3
получены на основе метода при¬
стеночных функций, а кривые 2
и 4 — при постановке слабых
граничных условий.
Результаты численного мо¬
делирования на грубой сетке
недооценивают число Нуссельта
на 25-30%, а на подробной —
на 10-25%. При использовании
метода пристеночных функций
и слабых граничных условий
расхождение результатов по максимальному значению числа Нуссельта
составляет 2-8 %.
Теория предсказывает монотонное распределение температуры
вдоль радиуса [146]. Результаты расчетов достаточно хорошо
совпадают с теоретической зависимостью при г/го < 0,9. Немонотонное
распределение числа Нуссельта объясняется концевыми эффектами и
формированием зоны рециркуляционного течения при г/го > 0,9.
Профили тангенциальной скорости в относительной системе коор¬
динат приведены на рис. 5.8. Пунктирная линия соответствует лога-
щ/щ-
30
20
10
°10~1 10° 101 102 у+ 103 10-1 10° 101 102 у+ 103
Рис. 5.8. Профили скорости в пограничном слое при расчете на грубой (а)
и подробной (б) сетке для г — 0,15 (/); 0,3 (2); 0,45 м (3)
N11,
• 103
2,8
<
1
2Д
1
О
1,4
оу 1
О*/
0,7
Щ
•
0
•1111111
0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	г/г0
Рис. 5.7. Распределения локального
числа Нуссельта вдоль радиуса диска

рифмическому распределению скорости, а штрихпунктирная линия —
линейному профилю скорости в вязком подслое. Распределения, по¬
лученные на подробной сетке, хорошо согласуются с теоретическим
распределением (закон стенки).
5.3.5.	Сопряженный теплообмен свободного вращающегося
диска. Диск радиусом г = 0,3 м и толщиной 5 = 0,01 м вращается
с угловой скоростью и в неограниченной массе вязкой несжимаемой
жидкости. Размер расчетной области полагается равным I = 3г
(рис. 5.9).
К
б	Р4
рз<;
рН
р1Л
Рис. 5.9. Геометрическая модель (а) и положение контрольных точек на по¬
верхности диска (б)
Цикл нагружения показан на рис. 5.10. Нагрузкой, изменяющейся
во времени, является угловая скорость вращения диска. Для расчетов
используются две модели, соответствующие различным угловым скоро¬
стям вращения диска (500 с-1 в точках 2 и 3 и 1000 с-1 в точках 4 и 5
цикла нагружения). Вращательные числа Рейнольдса для моделей 1
и 2 составляют 3,11 • 106 и 6,21 • 106, что соответствует турбулентному
режиму течения.
Конечно-элементная сетка содержит 32 ячейки треугольной формы
и 99 узлов (рис. 5.9, б). Для моделей 1 и 2 используется одна и та же
блочная структурированная конечно-разностная сетка, показанная на
рис. 5.11 (сетка построена для условий модели 2, но для сокращения
времени на подготовку исходных данных используется для обеих мо¬
делей). Сетка состоит из двух блоков. Блок сетки, примыкающий к по¬
верхности диска, содержит 4372 ячеек, а соседний с ним блок — 3803
ячеек (утолщенные линии на рисунке показывают границу сопряжения
между блоками сетки). На поверхности диска размещается 96 узлов.
Вдоль поверхности диска координата у+ изменяется практически по
линейной зависимости (рис. 5.12).

о», 1/с
1
2
3
4
/
4^. зг 5
СРБ-модель 2
/
2^
СРБ-модель 1
^	Ы
О 10	1000010010	1с	20000
Рис. 5.10. Цикл нагружения
Рис. 5.11. Расчетная сетка в области, занятой жидкостью
Для расчетов используется двухслойная модель турбулентности [9]
(к-е модель во внешней области пограничного слоя и к-1 модель в его
внутренней области).
На поверхности диска ставятся сопряженные граничные условия.
На удаленных границах расчетной "Области фиксируются статическое
давление (рж — 1,013 • 105 Па), температура (Тх, = 300 К) и харак¬
теристики турбулентности (степень турбулентности составляет 10%,
а масштаб турбулентности — 0,3 м).
В качестве начального поля температуры принимается распреде¬
ление, полученное для случая теплоизолированной поверхности дис¬

ка. Для момента, индуцированного
вращением диска, расчеты дают значе¬
ния, примерно на 3-6% отличающиеся
от данных измерений и корреляцион¬
ной зависимости [290].
Распределения температуры (для
случая теплоизолированной поверхно¬
сти диска) и теплового потока (для
случая постоянной температуры дис¬
ка Ты = 400 К) по поверхности дис¬
ка приводятся на рис. 5.13. Результаты
расчетов имеют удовлетворительное
согласование с теоретическими данны¬
ми [146] и корреляционной зависимо¬
стью [290]. Рассогласование данных
на рис. 5.13, б объясняется влиянием
концевых эффектов (при увеличении угловой скорости вращения диска
это влияние возрастает).
Для модели 2 (при и) = 1000 с-1) момент, индуцированный враще¬
нием диска, равняется М — 4,71 Н-м, а мощность, затрачиваемая на
поддержание вращения IV = 4,71 кВ, что дает погрешность порядка
6% относительно корреляционной зависимости [290], согласно которой
= 5,02 кВ. Рассогласование данных объясняется влиянием эффектов
сжимаемости, которые не учитываются в расчетной модели.
На каждом шаге по времени число итераций для расчета поля
течения жидкости полагается равным 200 (для обеих моделей). Усло¬
вие сходимости контролируется по разности температур на границе
раздела, которая равняется 2 К. Повторный расчет поля течения жид-
г, м
Рис. 5.12. Распределения коор¬
динаты у+ вдоль радиуса для
модели 1 (линия /) и модели 2
(линия 2)
Т, К
N11 • 103
Рис. 5.13. Распределения температуры (а) и теплового потока (б) по поверхно¬
сти диска для модели 1 (линия 1) и модели 2 (линия 2). Значки • соответству¬
ют расчету по зависимости [290]

Таблица 5.2. Температура металла в контрольных точках
Время, с
0
Контрольная точка
Р1
р2
рЗ
р4
Температура, К
300,00
300,00
300,00
300,00
Погрешность, %
0
0
0
0
Время, с
10000
Контрольная точка
Р1
р2
рЗ
р4
Температура, К
300,54
301,51
304,87
309,57
Погрешность, %
0,1800
0,1347
0,1487
0,1191
Время, с
20 000
Контрольная точка
Р1
р2
рЗ
р4
Температура, К
301,58
305,69
319,42
339,27
Погрешность, %
0,5133
0,3655
0,4345
0,2434
кости на данном шаге по времени не производится, если разница
температуры металла и жидкости на границе раздела не превышает
0,5 К.
Различие результатов, полученных при решении всех уравнений,
описывающих течение жидкости (линии 1 и 2 на рис. 5.14 соответ¬
ствуют точкам 1 и 2 цикла нагру¬
жения), и при решении уравнения
изменения температуры (значки
о), составляет не более 0,25 К.
Значки • соответствуют расче¬
ту по теоретической зависимо¬
сти [146]. При этом диск является
практически равномерно прогре¬
тым по толщине (рис. 5.15).
Результаты расчетов, обрабо¬
танные в виде значений темпе¬
ратуры в контрольных точках и
ее отклонения от теоретического
значения, приводятся в табл.5.2
и на рис. 5.14 для моментов вре¬
мени, соответствующих постоян¬
ной величине нагрузки.
Полученные значения коэффи¬
циента момента приводятся в табл. 5.3 в сравнении с данными [146]
(погрешность <5|) и [290] (погрешность <%). Строки 1 и 3 соответствуют
теплоизолированной поверхности диска, а строки 2 и 4 — результатам
сопряженного теплового моделирования (в конце цикла нагружения).
Следует отметить, что корреляционные зависимости [146, 290] полу¬
чены для случая теплоизолированной поверхности диска.
Рис. 5.14. Распределения температу¬
ры по поверхности диска, полученные
на основе различных подходов

г, к
309 С}
308 О
307 М
306 К
305 I
304 С
303 Е
302
301
С
А
Г, К
334 <Э
330 О
326 М
322 К
318 I
314 С
310 Е
306
302
С
А
4
Рис. 5.15. Линии уровня темпера¬
туры, соответствующие точкам 3
и 5 цикла нагружения
Г, К
Рис. 5.16. Изменение температуры
металла в контрольных точках во
времени. Кривые 1-4 соответствуют
точкам р 1 —р4 на поверхности диска
Таблица 5.3. Коэффициент момента
№
Модель
со
О
О
5.. %
<52, %
1
1
3,815
3,07
6,06
2
1
3,803
3,38
6,35
3
2
3,286
6,17
7,96
4
2
3,284
6,23
8,01
Изменение температуры металла в контрольных точках во времени
показывает рис. 5.16. Имеется хорошее согласование данных, рассчи¬
танных на основе различных подходов.
Ускорение решения задачи составляет 2.16 (для решения уравнения
изменения температуры используется многосеточный метод).
5.4.	Течение между двумя коаксильными
вращающимися дисками
Использование свойства симметрии течения, индуцированного вра¬
щением двух дисков (рис. 5.1, а), позволяют сформулировать и изучить
ряд задач, решения которых обладают рядом специфических свойств

и обобщают решение Кармана для свободного вращающегося дис¬
ка [295, 415].
Задача об осесимметричном течении вязкой несжимаемой жидко¬
сти, заполняющей полупространство над вращающимся твердым дис¬
ком бесконечного радиуса, поставлена и решена Карманом (ТН. Каг-
тап, 1921), а ее численное решение получено Кохраном (Ш. О.СосН-
гап, 1934).
Неединственность решения задачи о взаимодействии вращающейся
на бесконечности жидкости с покоящейся плоскостью обнаружена Бе-
девадтом (II. Т. Вбйе'ууасК, 1940). Последующие исследования показали,
что множественность решений и их изолированность друг от друга яв¬
ляются отличительной особенностью течений данного типа. Наиболее
полно этой свойство изучено применительно к задаче о течении жид¬
кости между двумя равномерно вращающимися угловыми скоростями
и)1 и и)2 бесконечными дисками (считается, что шг ф 0), отстоящими
один от другого на расстояние к (задача сформулирована в [70]).
Роль параметров играют отношение угловых скоростей вращения
дисков 5 =ш\/и)2 € [—1,1] (при 5 < 0 диски вращаются в разных
направлениях, при з = 0 один из дисков покоится, при з > 0 диски вра¬
щаются в одну сторону) и число Рейнольдса Ке^ =о>2^2/^- Параметр,
связанный с радиальным градиентом давления, не оказывает влияния
на решение.
Решение Бэтчелора [70] показывает, что при О 0 в слое между
дисками жидкость находится в состоянии твердотельного вращения,
а вблизи дисков образуются пограничные слои.
Иной вывод получен Стюартсоном [367] при изучении движения
жидкости между покоящимся и вращающимся дисками, а также при
вращении дисков в противоположные стороны. В основной массе жид¬
кости вращение практически отсутствует, локализуясь в пограничных
слоях вблизи вращающихся дисков. При з = — 1 решение Стюартсона
является симметричным относительно середины слоя.
Дальнейшие исследования показали существование обоих режимов.
При з = 0 в работе [335] обнаружено течение типа Бэтчелора с твер-
дотельно вращающимся ядром, а в работе [258] для случая 5 = — 1
в предположении симметрии течения относительно середины зазора
между дисками теоретически доказано существование и единствен¬
ность симметричного решения Стюартсона.
В работах [260, 286] на основе численных расчетов обнаружены
оба решения для случая 5 = 0. Существование решения с твердотельно
вращающимся ядром при всех числах Рейнольдса установлено в [260],
в то время как решение Стюартсона реализуется лишь при некотором
конечном значении этого параметра. Результаты исследований, пред¬
ставленные в [286], указывают на устойчивость решения Бэтчелора.
С ростом числа Рейнольдса появляются новые решения более слож¬
ной структуры [80, 228, 260, 286]. При высоких числах Рейнольдса

возникает течение, обладающее большей по сравнению с угловыми
скоростями вращения дисков угловой скоростью вращения ядра [305].
Эти результаты подтверждаются расчетами [189], выполненными для
фиксированного числа Рейнольдса (Ке^ = 625) во всем диапазоне
изменения параметра 5 и обнаруживающими 20 различных ветвей
решения. Результаты расчетов течения между вращающимися дисками
при — 1 ^ 5 ^ 1 и Ке^ = 0— 103 приводятся в [96]. Утверждается, что
найдено 19 ветвей решения, причем обнаружена только одна бифур¬
кация от симметричного режима Стюартсона к паре несимметричных
решений, имеющая место при вращении дисков в противоположном
направлении и К.еы = 119,8. Все остальные ветви решения изолированы
друг от друга, что нетипично для гидродинамики. При произвольном
отношении угловых скоростей решение существует и единственно толь¬
ко до Ке^ < 55, а при больших числах Рейнольдса решение является
всегда не единственным. Анализ устойчивости, проведенный в [286],
установил неустойчивость решения Стюартсона и устойчивость тече¬
ния, предсказанного Бэтчелором.
Наличие множества изолированных решений задачи при достаточно
высоких числах Рейнольдса привело к изучению вопроса о реализуе¬
мости того или иного решения в условиях течения, индуцированного
вращением диска конечного радиуса. Существенным фактором, опре¬
деляющим результаты такого рода исследований, оказались граничные
условия, реализующиеся в эксперименте или задаваемые в численных
расчетах на боковой цилиндрической поверхности, ограничивающей
зазор между дисками.
Физический [370] и численный [141] эксперименты проведены
в условиях, когда на торце зазора выполнялись условия прилипания
и непротекания. Ограниченные возможности численного метода [141]
не позволили выполнить расчеты при числах Рейнольдса, для кото¬
рых автомодельное решение предсказывает множественность режимов.
Затруднения вызвали также расчеты при малом отношении ширины
зазора к радиусу диска Н/Ь вследствие необходимости использования
подробной сетки. Тем не менее результаты [141] указывают на то, что
в приосевой области численное решение близко к автомодельному. Для
расчетов при большйх числах Рейнольдса и малых Н/Ь используется
приближенная модель погранслойного характера [96], в которой на
торце задаются условия, моделирующие твердый цилиндр (закрытый
торец) и влияние большой массы жидкости, в которую погружены
диски (открытые торцы). Необходимо отметить специальный характер
сформулированных краевых условий, ориентированный на фильтрацию
решений, не имеющих физического смысла.
Результаты работы [96] находятся в хорошем согласовании с лабо¬
раторными и численными экспериментами [141, 370, 371]. С ростом
числа Рейнольдса краевые эффекты все глубже проникают внутрь
слоя. В результате этого автомодельное течение оказывается локали¬
зованным в узкой приосевой области. Влияние торцов в некоторых

расчетах влечет за собой полное исчезновение автомодельной зоны и
потерю осевой симметрии. Выбор типа торцевых условий оказывает
существенное влияние на то, какой автомодельный режим формируется
у оси симметрии. В условиях открытого торца наблюдается течение
Стюартсона [367], а при закрытом торце — режим Бэтчелора [70]. Сме¬
на режима течения при 5 = — 1, симметричного относительно середины
слоя, несимметричным режимом течения, предсказанная в [96], имеет
место, однако это происходит при числах Рейнольдса, превышающих
значение, найденное теоретически (Ке^ = 119,8).
Множественность и изолированность решений имеет место не толь¬
ко в задаче о течении между вращающимися дисками, но и в других
задачах, близких по содержанию. Например, аналогичными свойствами
обладает задача о течении между пористым неподвижным и враща¬
ющимся дисками [31] (простейшая модель платформы на воздушной
подушке), при решении которой обнаружена осесимметричная бифур¬
кация вращения. Подробное обсуждение проблемы неединственности
решения этой задачи и постановка торцевых граничных условий при¬
водится в работе [167]. Другим примером неединственности изолиро¬
ванных решений является задача, в которой один из дисков заменяется
свободной поверхностью [359, 393].
В нестационарной постановке задача о движении в слое жидкости
со свободной поверхностью, растекающейся (собирающейся) по вра¬
щающемуся диску, сформулирована в [40]. В случае, когда скорость
вращения диска изменяется обратно пропорционально времени, задача
допускает введение автомодельной переменной, сводящей проблему
к исследованию системы обыкновенных дифференциальных уравне¬
ний [37]. Выявлена немонотонность зависимости толщины слоя от на¬
чальной угловой скорости вращения диска. При небольших начальных
угловых скоростях толщина слоя увеличивается, но, начиная с неко¬
торого значения, жидкость радиально растекается по диску, вызывая
сужение слоя. В обоих случаях вблизи свободной поверхности среда
обладает большей угловой скоростью, чем диск, и вращается в проти¬
воположном ему направлении. При больших скоростях вращения диска
(большйе числа Рейнольдса) обнаружены две непересекающиеся ветви
решения. Автомодельное решение существует только до определенно¬
го значения параметра, характеризующего отношение толщины слоя
к скорости вращения диска.
Получены решения задач о течении жидкости вблизи вращающего¬
ся диска, перемещающегося в собственной плоскости [337], вращении
диска в сдвиговом потоке [392, 394, 395], течении, индуцированном
несоосным вращением двух дисков [81, 135, 152]. Проницаемость экс¬
центрических дисков учитывается в работе [319]. Работа [153] посвя¬
щена решению нестационарной задачи о течении между смещенными
дисками. Исследованию частично инвариантных решений уравнений
Навье-Стокса методами теории групп Ли посвящена работа [39].

Прямое численное моделирование течения между двумя дисками,
вращающимися с различными скоростями, и исследование картины
перехода проводится в работах [347, 380, 381] на основе спектрального
метода. Результаты расчетов показывают, что неустойчивость тече¬
ния возникает в слое Экмана (Ектап 1ауег) на вращающемся диске
и слое Бедевадта (Вбс1е>уасЙ 1ауег) на неподвижном диске в виде
кольцевых и спиралевидных вихрей, соответствующих неустойчивости
типов 1 и II.
Неустойчивость типа I Отазас! т51аЫН1у) связана с появлением
точки перегиба на профиле радиальной скорости. Неустойчивость типа
II появляется при сравнительно низких числах Рейнольдса и обуслов¬
лена влиянием кориолисовых сил и сил вязкости.
Картина неустойчивости зависит от относительной ширины каверны
Ь = (6 — а)/з, параметра кривизны Я = (6 + а)/{Ь — а), а также относи¬
тельной скорости вращения дисков, где Ь — радиус диска, а — радиус
вала (для цилиндрической каверны а = 0, что дает Ь = Ь/з и К = 1).
Зависимость критического числа Рейнольдса от относительной ско¬
рости вращения дисков, построенная по данным работы [381], показана
на рис. 5.17. Критическое число Рейнольдса составляет Не* = 2,7 • 104
при « = 0 и Ке* = 9,8 • 104 при 5 = 0,5. Для дисков, вращающихся
в противоположные стороны, течение является более неустойчивым,
так что Ке* = 2,35 • 104 при 5 = —0,2. В пограничном слое на стацио¬
нарном или медленно вращающемся диске возникают неустойчивости,
связанные с появлением двумерных вихрей, перемещающихся по на¬
правлению к оси вращения (или валу), и трехмерных спиралевидных
вихрей, перемещающихся в противоположном направлении [380, 381].
Исследование неизотермического течения и картины неустойчиво¬
сти проводится в работе [380] при Ь = 9 и Я = 1,5-3 в рамках
приближения Буссинеска, что ограничивает применимость полученных
результатов значениями \В\ < 0,1, где В = /3(72 - Т\) — тепловое
число Россби (1Негта1 КоззЬу питЬег). Индексы 1 и 2 соответствуют
поверхностям ротора и статора.
Рис. 5.17. Зависимость критического числа Рейнольдса от относительной ско¬
рости вращения дисков при Ь = 5 и К = 3 [381]

Несмотря на то, что влияние теплового числа Россби на основное
течение в каверне сказывается в малой степени, имеется его суще¬
ственное влияние на критическое число Рейнольдса.
При В < О (Т\ > Тг, горячий ротор, холодный статор) в каверне воз¬
никает вторичное течение жидкости, противоположное направлению
основного потока. При В > О (Т\ < Тг, холодный ротор, горячий статор)
жидкость около вращающегося диска оказывается холоднее, чем около
неподвижного диска, и вторичное течение, индуцированное силами
плавучести, накладывается на основное течение в каверне, которое
является вращательным. В случае, когда В < 0, течение является более
устойчивым, что выражается в более высоких критических числах
Рейнольдса [380].
Картина перехода остается примерно такой же, как и при течении
несжимаемой жидкости, и характеризуется двумерными цилиндриче¬
скими вихрями при сравнительно низких числах Рейнольдса и трех¬
мерными спиралевидными вихрями при высоких числах Рейнольдса.
Число спиралевидных вихрей уменьшается при увеличении теплового
числа Россби.
Пограничные слои на вращающемся и неподвижном диске разделе¬
ны слоем жидкости, который вращается как твердое тело (в этом слое
тангенциальная скорость остается постоянной, а радиальная скорость
равняется нулю). Тангенциальная скорость в ядре потока составляет
54% от угловой скорости вращения диска в ламинарном режиме и 51 %
в турбулентном [295].
Коэффициент момента для несжимаемой жидкости вычисляется по
формулам [354]:
—	ламинарный режим (малые С)
= 2.50 КС1;
—	турбулентный режим
См = 0,0245С?°’25 Яе^1.
Для турбулентного течения между вращающимся и неподвижным
дисками безразмерная тангенциальная скорость в невязком ядре пото¬
ка равняется 0,426 [298] (при отсутствии осевого подвода рабочей сре¬
ды Су/ = 0). Из уравнения сохранения момента количества движения
следует, что относительная тангенциальная скорость в невязком ядре
увеличивается при увеличении расхода газа, подводимого к системе
в осевом направлении.
Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в каверне,
образованной двумя равномерно вращающимися дисками радиусом
6 = 0,443 м со скоростью ш = 10 с-1 вокруг оси, перпендикулярной их
плоскости (рис. 5.18). Ширина каверны составляет 5 = 0,62 м. Вариант
1	соответствует расчету течения в каверне без осевого подвода жидко-

сти. В варианте 2 жидкости подводится через щель радиусом с = 6/10
по нормали к границе.
Расчеты проводятся на структурированной сетке, имеющей размер¬
ность 72 х 102. Вдоль поверхности диска у+ < 1 (рис. 5.19), и для
моделирования турбулентности используется двуслойная модель.
На стенках задаются граничные условия прилипания и непротека-
ния. На входной границе каверны фиксируется скорость [и = 1,15 м/с)
и характеристики турбулентности (степень турбулентности и гидравли¬
ческий диаметр равняются 2,6% и 0,886 м), а на выходной границе —
статическое давление (р = 1,013 • 105 Па).
Линии тока в каверне показывает рис. 5.20 для обоих расчетных
вариантов. В случае 1 течение является симметричным относительно
середины зазора между дисками (рис. 5.20, а). Наличие осевого подво¬
да рабочего тела в случае 2 приводит к возмущению картины течения
и формированию зоны рециркуляционного течения в нижней части
каверны (рис. 5.20, б), которая отсутствует в случае 1.
Распределения радиальной и тангенциальной скорости приведены
на рис. 5.21 (вариант 1) и рис. 5.22 (вариант 2).
В то время как распределение радиальной скорости в случае 1
является симметричным относительно середины зазора между дис¬
ками (рис. 5.21, а), в случае 2 симметрия распределения радиальной

Рис. 5.20. Линии тока в вариантах 1 (а) и 2 (б)
ьг/ (и}Г)	щ/(иг)
Рис. 5.21. Распределения радиальной (а) и тангенциальной (б) скорости при
г/Ъ = 0.2 (/); 0,3 (2); 0,4 (<?) для варианта 1
скорости имеет место лишь на достаточно большом удалении от оси
вращения при г/Ъ > 0,3 (рис. 5.22, а). В обоих случаях при г/Ъ > 0,3 на¬
блюдается подобие распределений безразмерной радиальной скорости,
которое нарушается лишь в центральной части каверны, где существу¬
ет слабое течение жидкости по направлению к оси вращения.
В каверне существует невязкое ядро, в котором жидкость враща¬
ется как квазитвердое тело. Распределения тангенциальной скорости
являются симметричными в обоих расчетных вариантах (рис. 5.21, б
и рис. 5.22,б), за исключением случая 2, когда в сечениях по ради-

V^/{ы^)	ьв/(иг)
Рис. 5.22. Распределения радиальной (а) и тангенциальной (б) скорости при
г/Ь = 0.2 (/); 0,3 (2); 0,4 (3) для варианта 2
альной координате, лежащих на малом удалении от оси вращения,
сказывается влияние осевого подвода рабочего тела.
5.5.	Диск, вращающийся в корпусе
Рабочие колеса турбомашин обычно вращаются в довольно узких
кожухах (епс1озес1 го!а1т^ сПзс), ширина которых мала по сравнению
с радиусом диска (рис. 5.1, б). Использование приближения свободного
вращающегося диска приводит к большим погрешностям в случае
малых зазоров между статором и ротором.
5.5.1.	Геометрия и характерные параметры. Рассмотрим тече¬
ние вязкой сжимаемой жидкости, индуцированное вращением диска
радиуса Ь с постоянной угловой скоростью и вокруг оси, перпендику¬
лярной к плоскости диска (рис. 5.23).

Структура течения зависит от относительной ширины каверны,
числа Рейнольдса и числа Маха:
Ром_
[(7- 1)срТ0]'/2'
Вместо относительного размера каверны и числа Рейнольдса использу¬
ется также число Экмана
При исследовании теплообмена к этим параметрам добавляются от¬
носительный перепад температур между ротором и статором и число
Прандтля:
Индексы 0 и 1 относятся к параметрам торможения и поверхности
статора соответственно.
На практике С 1, Ек 1, М2 <С 1 (изменения плотности связа¬
ны, в основном, с перепадом температуры). При этом
Характерный перепад давлений, возникающий за счет центробежных
эффектов, имеет порядок
При малых а влиянием сил плавучести пренебрегается (силы плавуче¬
сти имеют порядок величины рода).
5.5.2.	Режимы течения. В зависимости от относительной ве¬
личины зазора О = з/Ь между корпусом (статор) и диском (ротор)
и числа Рейнольдса Ней, = шЬ2/и, вычисленным по угловой скорости
вращения а; и радиусу диска 6, выделяется 4 характерных режима
течения (рис. 5.24).
Режим I соответствует достаточно малым зазорам, когда толщины
ламинарных пограничных слоев на статоре и роторе составляют около
полуширины продольного размера каверны (пограничные слои на ста¬
торе и роторе сливаются), а действие вязких сил распространяется на
всю расчетную область. При этом окружная скорость в промежутке
между вращающимся диском и стенками неподвижного корпуса рас¬
пределяется так же, как и в течении Куэтта [56].
При большей ширине щели между статором и ротором течение
в каверне имеет существенно иной характер.
а

В режиме II ламинарные пограничные слои на статоре и роторе
разделяются слоем жидкости, в котором влияние вязкости является
достаточно малым. Между пограничными слоями находится слой жид¬
кости, который вращается с угловой скоростью, приблизительно равной
половине угловой скорости вращения диска. В отличие от режима I,
тангенциальная скорость в ядре потока не зависит от осевой коорди¬
наты, а радиальная скорость прак¬
тически равняется нулю. Жид¬
кость в пограничном слое диска
отбрасывается под действием цен¬
тробежной силы наружу, а в по¬
граничном слое на поверхности
неподвижного корпуса наоборот,
движется к центру.
Режимы III и IV эквиваленты
режимам I и II за тем исключени¬
ем, что пограничные слои на ста¬
торе и роторе являются турбулент¬
ными.
В режимах II и IV основной
вклад в изменение скорости дви¬
жения жидкости вносят слои Эк-
мана, образующиеся на стенках, ортогональных к оси вращения.
Толщина слоя, увлекаемого вращающимся диском, не зависит от
1 /2
радиальной координаты <5 ~ (^/^)	[298]	(толщина	пограничного
слоя определяется как расстояние от диска, на котором тангенциаль¬
ная составляющая скорости составляет около 5% от скорости на его
поверхности). В то время как в ламинарном режиме толщина погра¬
ничного слоя постоянна вдоль радиуса, в турбулентном потоке (при
Ке^, > 3 • 105) она увеличивается по мере удаления от оси вращения
I	/5
и оценивается как 5 = 0,526 г3/5(г//и;)	[179]. Для толщины экма-
новского слоя имеется оценка <5 ~и*/2ш [56], где и* — динамическая
скорость, 2а; — параметр Кориолиса. Нетрудно показать, что граница
между режимами I и II удовлетворительно описывается зависимостью
СКсУ2 = 2,24, а граница между режимами III и IV — зависимостью
СКсУ5 = 0,5 (рис. 5.24).
Толщина пограничного слоя на роторе и статоре увеличивается при
увеличении радиуса. Средняя тангенциальная скорость в ядре потока
уменьшается от 48% до 38% от угловой скорости вращения диска
при увеличении относительной ширины каверны от 0,025 до 0,3 при
фиксированном числе Рейнольдса.
Разделение структуры течения на 4 режима довольно условно,
поскольку ламинарный и турбулентный режимы течения могут сосу¬
ществовать [145].
0,1
з/Ь
0,05
0
103 104 105 10б 107 108 Кеы
Рис. 5.24. Режимы течения в каверне
с вращающимся диском

Для системы статор-ротор критическое число Рейнольдса оказыва¬
ется несколько меньшим (Яс^,* = 1,5- 105}, чем для свободного враща¬
ющегося диска (Яеы* = 2,8 • 105) [132, 298], а турбулизация течения
начинается около поверхности статора [145].
Для свободного вращающегося полированного диска точка перехо¬
да соответствует значению (г/Ь)2Яеи; = 3,1 • 105, а полностью развитое
турбулентное течение возникает при (г/6)2Яеш > 7 • 104 [298]. Течение
становится полностью турбулентным при [132, 223]
(3,87 • 102 С-10/9,	если	а <0,0111,
Яеш >	< 6,97 • 106С16/15,	если	0,0111^0^	0,0233,
^1,26-Ю5,	если	С > 0,0233.
5.5.3.	Коэффициент момента. Для диска, вращающегося в кор¬
пусе, имеются простые корреляционные соотношения, позволяющие
вычислить коэффициент момента сопротивления вращению диска.
В ламинарном течении около вращающегося диска (при Яе^, < 105)
и малой ширине щели между корпусом и диском получается точное
решение [56]. При з < 5 (ширина щели меньше толщины пограничного
слоя) распределение окружной скорости в промежутках между враща¬
ющимся диском и стенками неподвижного корпуса такое же, как и при
течении Куэтта (по линейному закону), поэтому касательное напряже¬
ние на расстоянии г от оси находится из соотношения тш = гиц/з.
Момент сил трения для одной стороны диска равняется
ь
М = 2тг
о , 7Г ОЖ&4
ТшГ аг — —
Коэффициент момента сил трения находится из соотношения
См = -^-.	(5.17)
СЯе^,
В случае ползущего течения (малые числа Рейнольдса) в зазоре
между диском и цилиндрической стенкой корпуса для коэффициента
момента сопротивления получается формула (С. 5сНгтпес1еп, 1928)
См= К
Яеы
Коэффициент К зависит от з/Ь и а/Ь, где 5 — продольный зазор
между диском и корпусом, а — радиальный зазор между диском
и корпусом. При а/Ь < 0,1 для коэффициента момента получаются
значения, намного более высокие, чем по формуле (5.17), в то время
как при больших а/Ъ формула (5.17) сохраняет свою применимость
(К = 2ж/С).

При большой ширине щели между диском и корпусом течение около
диска имеет существенно иной характер (Р. ЗсНиНг-Огипоу/, 1935). При
в > <5 (ширина щели намного больше толщины пограничного слоя)
на каждой стороне диска и на каждой стороне корпуса образуется
пограничный слой. Жидкость в пограничных слоях на вращающемся
диске отбрасывается под действием центробежной силы наружу, а в по¬
граничном слое на стенке неподвижного корпуса движется снаружи
к центру. Между каждой парой пограничных слоев находится слой
жидкости, в котором радиальная скорость является незначительной
и который вращается с угловой скоростью, равной приблизительно
половине угловой скорости вращения диска.
Для момента сил трения диска, смоченного жидкостью с обеих
сторон, получается формула [56]
/ \ 1/2
2	М = 1,334
Коэффициент момента сопротивления равняется
См = 2,67 Не,;1'2.	(5.18)
Соотношение (5.18) совпадает по структуре с формулой (5.14) для
свободного диска, но имеет несколько иной численный множитель. За¬
висимость (5.18) при Нвц, = 1,3 ■ 104 хорошо стыкуется с зависимостью
(5.17), которая совпадает с измерениями до Кеш = 2 • 105.
При числах Рейнольдса Ке^ > 3 • 105 течение около диска, враща¬
ющегося в кожухе, становится турбулентным.
Для приближенного расчета течения при з » 6 используется закон
степени 1/7 для распределения скорости в окружном направлении
(Р. ЗсНиНг-Огипоу/, 1935). При турбулентном течении жидкость между
каждой парой пограничных слоев вращается, как и при ламинарном
течении, с угловой скоростью, равной половине угловой скорости вра¬
щения диска. Для коэффициента момента сопротивления получается
формула
См = 0,0622 Ке~1/5.	(5.19)
Формула (5.19) дает значения, приблизительно на 17% меньшие, чем
результаты измерений, что объясняется грубым допущением, положен¬
ным в основу приближенного расчета [56].
Для малых С имеются следующие соотношения для расчета ко¬
эффициента момента в ламинарном и турбулентном режимах тече¬
ния [354]:
_|2,5(7Яе“1	в режиме I,
М 10,0245 С1/4 Ке^1 в режиме III.
Для оценки коэффициента момента во всех режимах течения при
Кс^ < 107 имеются следующие зависимости [132, 196], объединяю-

щие теоретические решения и данные измерений (для одной сторо¬
ны диска):
См ~ <
1гС~' Яе^1
^ОС^Яе"1/2
0,040 (?-'/6Яе^1/4
0,051 С?1/10 Яе^1/5
в режиме I,
в режиме II,
в режиме III,
в режиме IV.
(5.20)
Скорректированные зависимости, полученные в работе [223], отлича¬
ются от соотношений (5.20) только постоянными множителями (0,036
в режиме III и 0,0545 в режиме IV).
В режиме III коэффициент момента сравнительно сильно зави¬
сит от расстояния между статором и ротором. В режиме IV при
большйх С коэффициент момента стремится к предельному значению
для свободного вращающегося диска [298]. Минимальное значение
момента соответствует точке перехода от режима III к режиму IV
(при О* = 0,211 Не“3/16). Критическая величина зазора зависит от
температуры [79].
Влияние шероховатости на коэффициент момента становится важ¬
ным при к8/Ъ > 180/Яеш [298], где к6 — высота шероховатости. В этом
случае коэффициент момента практически не зависит от числа Рей¬
нольдса [132, 223]:
См = —5,37 1§	-3.4С'/4.
100-См
Не считая случая малой ширины
щели между диском и корпусом, из
формул (5.18) и (5.19) следует, что
момент сил трения практически не
зависит от ширины кожуха. Срав¬
нение момента сил трения для дис¬
ка в корпусе, вычисленного по фор¬
мулам (5.18) и (5.19), с моментом
для свободного диска, полученного
по формулам (5.15) и (5.16), показы¬
вает, что для свободного диска мо¬
мент сопротивления больше, чем для
диска в кожухе (рис. 5.25). Кривая 1
соответствует зависимости (5.17) для
ламинарного течения (при С = 0,02),
кривая 2 — зависимости (5.18) для
ламинарного течения, кривая 3 — за¬
висимости (5.19) для турбулентного
течения. Штриховые кривые 4 и 5 соответствуют теоретическим зави¬
симостям для свободного вращающегося диска.
Рис. 5.25. Коэффициент момента
сопротивления диска, вращающе¬
гося внутри корпуса

Причина меньшего момента сил трения в кожухе объясняется тем,
что жидкость между пограничными слоями с каждой стороны диска
вращается с угловой скоростью в 2 раза меньшей, чем угловая скорость
диска. Вследствие этого градиент окружной скорости в направлении,
перпендикулярном к поверхности диска, приблизительно в 2 раза мень¬
ше, чем в случае свободного диска, что приводит к меньшему уровню
сил трения для диска в кожухе, чем для свободного вращающегося
диска [56].
5.5.4.	Теплообмен. Данные измерений показывают, что при
С~0,01 и Неы = (2-150) • 104 локальное число Нуссельта остается
практически постоянным по поверхности диска [179] (отклонение от
среднего значения составляет около 6%) и превышает соответствую¬
щее максимальное значение для свободного диска.
Влияние статора состоит в уменьшении тепловых потоков к по¬
верхности диска во всех режимах течения по сравнению со случаем
свободного диска [224]. Конечный размер диска приводит к возникно¬
вению неустойчивости течения [325].
Исследование влияния относительной ширины каверны на тепло¬
обмен проводится в [296]. При малых С, соответствующих слитым
пограничным слоям (режимы 1 и III), сдвиговые напряжения и уровень
тепловых потоков оказываются выше по сравнению со свободным дис¬
ком. При увеличении относительной ширины каверны и возникновении
ядра потока уровень тепловых потоков уменьшается до 1/2 от величи¬
ны, соответствующей свободному вращающемуся диску. Дальнейшее
увеличении зазора между ротором и статором приводит к ослаблению
влияния статора, и коэффициент теплоотдачи монотонно возрастает до
значения, соответствующего свободному диску.
Для системы, состоящей из изотермического статора и теплоизоли¬
рованного ротора, в режиме I среднее число Нуссельта на поверхности
статора практически не зависит от числа Рейнольдса (N11) ~ 1/С. Для
режима III имеется корреляционная зависимость [223, 298]
(N11) = 9,8 • 10_3 С-0,25 Не®’75.
При этом температура ротора изменяется по квадратичной зависимости
Гг(г) = Т] + сг2. В режимах II и IV среднее число Нуссельта возрас¬
тает с увеличением зазора между статором и ротором. Минимальное
значение среднего числа Нуссельта соответствует точке перехода от
режима III к режиму IV (при С* = 1,05 Не^0,2).
Влияние радиального изменения температуры стенки на теплообмен
при центробежном турбулентном течении в зазоре между параллельны¬
ми вращающимися дисками рассматривается в работе [55]. Изменение
температуры стенки оказывает существенное влияние на теплообмен
в слоях экмановского типа, приводя к возникновению зоны с обратным
направлением теплового потока на периферии полости при отрицатель¬
ном и приблизительно постоянном градиентах температуры диска.

При С <С 1 и Ке^, » 1 для расчета распределений скорости и темпе¬
ратуры в каверне получены интегральные соотношения [79, 137, 145].
В работе [414] рассматривается теплообмен в открытой каверне
с вращающимся диском при Не^ = (1,42-3,33) • 105. Диск считается
теплоизолированным, а статор нагретым. Для расчетов использует¬
ся КЫО-версия к-е модели турбулентности. Получены зависимости
локального числа Нуссельта от числа Рейнольдса и относительной
величины зазора между статором и ротором. При малых С зависимость
локального числа Нуссельта от числа Рейнольдса является монотонно
убывающей. При увеличении С кривая имеет максимум, при этом вли¬
яние числа Рейнольдса на теплообмен уменьшается. Получена также
корреляционная зависимость среднего числа Нуссельта на поверхности
статора от относительной ширины каверны и числа Рейнольдса. Для
данного числа Рейнольдса имеется значение С, соответствующее мак¬
симуму среднего числа Нуссельта, который смещается к поверхности
ротора при увеличении числа Рейнольдса.
5.5.5.	Численные исследования. Примеры использования неко¬
торых моделей турбулентности приводятся в литературе [15, 16, 145,
148, 192, 274, 390].
Применение стандартной к-е модели [233] и модели к-а> [400] при¬
водит к достаточно большим погрешностям в распределениях скорости
в центральной части каверны и завышенным толщинам пограничных
слоев на статоре и роторе [192]. Низкорейнольдсовая версия к-е моде¬
ли обнаруживает нереалистичные тенденции к ламинаризации течения
в каверне [274]. Модификация Лаундера-Шармы модели к-е также не
всегда дает приемлемые результаты [145].
Для увеличения точности расчетов используются эмпирические по¬
правки в уравнении для скорости диссипации кинетической энергии
турбулентности [145], двухслойная модель турбулентности [15, 16, 192,
390, 414], а также модель переноса напряжений Рейнольдса [148].
Двуслойная модель пограничного слоя позволяет получить корректные
оценки коэффициента момента в случае, когда поверхность ротора яв¬
ляется теплоизолированной, а статора — изотермической [79]. Вместе
с тем модели переноса рейнольдсовых напряжений требуют уточнений
для пристенных течений при наличии вращения [49].
Прямое численное моделирование течения несжимаемой жидкости
в зазоре между корпусом и вращающимся диском проводится в [196]
(используются переменные: функция тока, завихренность, окружная
скорость). Расчеты ограничиваются достаточно большими зазорами
между статором и ротором и проводятся в осесимметричной постанов¬
ке, что ставит вопрос о правомерности постановки задачи и точности
получаемых результатов.
В работе [405] рассчитывается пограничный слой на вращающемся
диске при помощи метода крупных вихрей, а в [413] проводится мо¬

делирования течения, индуцированного вращением диска в открытой
каверне, с учетом деформации диска.
5.5.6.	Результаты расчетов. Рассмотрим турбулентное течение и
теплообмен в закрытой осесимметричной каверне с вращающимся дис¬
ком. Характеристики течения и теплообмена исследуются в зависимо¬
сти от относительной величины зазора между неподвижным корпусом
и вращающимся диском и числа Рейнольдса. Проводится сравнение
локальных и интегральных характеристик потока и теплообмена, по¬
лученных на основе различных моделей турбулентности, с данными
физического эксперимента и имеющимися корреляционными зависимо¬
стями.
Радиус диска, ширина каверны и зазор между диском и корпу¬
сом полагаются равными 6 = 0,498 м, 5 = 0,03185 м и с = 0,002 м
(относительная ширина каверны составляет С = 0,0637). Вал имеет
радиус а = 0,05 м. Для улучшения сходимости численного решения
малый зазор вводится между валом и статором (е = 0,002 м). Рабочая
среда — воздух. Угловая скорость вращения диска полагается равной
и> = 257 с-1, что дает вращательное число Рейнольдса, соответствую¬
щее данным измерений [132] (Не^ = 4,4- 106). При условиях задачи
Ек = 5,6 • 10-5, Ес = 0,32, а = 0,17.
На поверхности статора и ротора выставляются граничные условия
непротекания и прилипания для нормальной и тангенциальной скоро¬
сти. На поверхности ротора, статора и вала фиксируется температура
стенки (Т^ = 300 К). На входной границе задаются полное давление
и полная температура (ро = 1,013 • 105 Па, То = 288 К), а также
турбулентная вязкость щ = 8,8 • 10-5 м2/с (при использовании моде¬
ли Спаларта-Аллмараса) или кинетическая энергия турбулентности
и скорость ее диссипации ко — 0,25 м2/с2, ео = 0,04 м2/с3 (при исполь¬
зовании к-е модели). Скорость потока на входной границе составляет
порядка 5 м/с. На выходной границе каверны фиксируется статическое
давление (р = 1,027 • 105 Па).
Расчеты проводятся на двух сетках. Сетка 1 содержит 4400 ячеек.
На поверхности ротора и статора размещается по 105 граней, на
поверхности вала и корпуса — по 40 граней, на входной и выход¬
ной границах — по 5 граней. Координата у+ изменяется от 7,5 до
53,6 на поверхности ротора и от 4,4 до 44,8 на поверхности статора.
Сетка 1 используется в расчетах на основе к-е модели и модели
Спаларта-Аллмараса с пристеночными функциями. Сетка 2 содержит
22 500 ячеек. На поверхности ротора и статора размещается по 225
граней, на поверхности вала и корпуса — по 90 граней, на входной
и выходной границах — по 25 граней. На поверхности ротора и статора
у+ < 1. Сетка 2 используется в расчетах на основе двухслойной модели
и низкорейнольдсовой версии модели Спаларта-Аллмараса.
Профили радиальной и тангенциальной скоростей, полученные на
основе различных моделей турбулентности, в сравнении с эксперимен-

ут/{иг)
ув/{ит)
ОД
1
Рис. 5.26. Распределения радиальной (а) и тангенциальной (б) скоростей в ка¬
верне при т/Ь = 0,765
тальными данными [132] приведены на рис. 5.26. Сплошная и пунк¬
тирная линии соответствуют результатам расчетов на основе к-е мо¬
дели и модели Спаларта-Аллмараса. Значки о показывают результаты
расчетов по двухслойной модели турбулентности, значки □ — моди¬
фицированной модели Спаларта-Аллмараса, а значки • соответствуют
данным физического эксперимента [132].
Полученные распределения достаточно хорошо согласуются с экс¬
периментальными измерениями, за исключением ядра потока, где ра¬
диальная скорость, согласно [132], отлична от нуля. Расчеты по к-е
модели дают заниженные значения радиальной скорости вблизи стато¬
ра и ротора, а также завышенную толщину пограничного слоя.
Распределения скорости в различных поперечных сечениях по ра¬
диальной координате, полученные на основе к-е модели турбулентно¬
сти с поправками на вращение и кривизну линий тока, показаны на
рис. 5.27.
Вращение оказывает существенное влияние на характеристики тур¬
булентности (рис. 5.28). Распределение кинетической энергии турбу¬
лентности имеет два максимума около поверхности статора и рото¬
ра. В пограничном слое статора максимум генерации кинетической
энергии турбулентности располагается на расстоянии у+ ~ 22 от по¬
верхности, а в пограничном слое ротора — на расстоянии у+ ~ 6.
В ядре потока, где градиенты средней скорости течения отсутству¬
ют, генерации турбулентности не происходит. Максимум кинетической
энергии турбулентности в пограничном слое ротора примерно в 2 раза
превышает соответствующее значение в пограничном слое статора.
Основной вклад в баланс кинетической энергии турбулентности
вносят пульсации тангенциальной скорости. Вклад пульсаций осевой
и радиальной скорости примерно одинаков. При Ясш = 106 максимум
пульсаций тангенциальной скорости в 8-10 раз, а при Яе^ = 3 • 104

УтЦшЬ)
ув/{ыЬ)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
гцц
_1	I	I	1_
0,2	0,4	0,6	0,8	х/з
Рис. 5.27. Распределения радиальной (а) и тангенциальной (б) скорости в ка¬
верне при г/6 = 0,5 (/); 0,6 (2); 0,765 (3); 0,9 (4)
к/ (и'г)2
Рис. 5.28. Распределения кинетической энергии турбулентности в зазоре меж¬
ду статором и ротором при т/Ь = 0,765 (обозначения те же, что на рис. 5.26)
примерно в 2 раза превышает соответствующие значения для осевой
и радиальной скоростей. Максимум пульсаций радиальной и окружной
скоростей располагается на расстоянии у+ ~ 15 от поверхности ротора.
Максимум осевой скорости расположен примерно в 10 раз дальше от
стенки.
Поскольку давление около диска имеет одинаковый порядок с ве¬
личиной рощш, то при малой вязкости оно изменяется незначительно,
и притом только в направлении, нормальном к стенке. В радиальном
направлении давление остается практически постоянным.
Распределения температуры в различных радиальных сечениях
сравнительно слабо отличаются друг от друга (рис. 5.29). Температура

(Тг1)/Т1
Рис. 5.29. Распределения температу¬
ры в зазоре между ротором и стато¬
ром при т/Ь = 0,4 (/); 0,6 (2); 0,765
(3); 0,9 (4)
т2/т0
Рис. 5.30. Распределения темпера¬
туры по поверхности ротора при
Т, = 350 (/); 400 (2); 450 К (3)
статора оказывает слабое влияние на распределения скорости и ха¬
рактеристик турбулентности. Температура ротора при этом изменяется
по зависимости, близкой к параболической (рис. 5.30), что согласуется
с данными [179].
Распределение локального числа Нуссельта по поверхности статора
показано на рис. 5.31. Влияние числа Рейнольдса и относительной ве¬
личины зазора между статором и ротором на распределение локального
числа Нуссельта по поверхности статора сказывается неоднозначным
1Чи
Рис. 5.31. Распределения локального числа Нуссельта по поверхности статора
(обозначения те же, что на рис. 5.26)

N11	Ни
О 0,2	0,4	0,6	0,8	1	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
г/Ь	г/Ь
Рис. 5.32. Распределения локального числа Нуссельта по поверхности статора
при Яе„, = 1,42 • 105 (а); 2,10 • 105 (б); 2,94 • 105 (е); 3,33 • 105 (г). Кривые 1-3
соответствуют значениям С = 0,1 (/); 0,15 (2); 0,2 (3)
образом (рис. 5.32 и рис.5.33), используется к-е модель с поправками
на вращение и кривизну линий тока). Под г понимается модифици¬
рованная радиальная координата (г - а)/(Ъ — а). При малых С зави¬
симость 1^и(Ке) является монотонно возрастающей. При увеличении
относительной ширины каверны кривая имеет максимум, при этом
влияние числа Рейнольдса на теплообмен уменьшается.
Зависимость среднего числа Нуссельта на поверхности статора от
относительной ширины каверны приведена на рис. 5.34 для различ¬
ных чисел Рейнольдса. Пунктирная линия соответствует зависимости
максимального значения числа Нуссельта от величины зазора между
ротором и статором. Для данного числа Рейнольдса имеется значение
С, соответствующее максимуму среднего числа Нуссельта, который
смещается к поверхности ротора при увеличении числа Рейнольдса.
Момент трения находится при помощи интегрирования касательных
напряжений по поверхности диска. Коэффициент момента сопротивле¬
ния ротора, смачиваемого жидкостью с двух сторон, рассчитывается

N11
800
800
600
400
200
№1
С. _1 1 1 1
в
г
>
! 1 1 1
I * II
0,2 0,4 0,6 0,8 ]
т/Ь
0
1—1
00
О
?о
Л
о
сч
о
Рис. 5.33. Распределения локального числа Нуссельта по поверхности статора
при О = 0,05 (о); 0,1 (б); 0,15 (в); 0,2 (г). Кривые 1-3 соответствуют значениям
Кеы = 2,10 • 105 (/); 2,94 • 105 (2); 3,33 • Ю5 (3) '
по соотношению
См =
4 М
рш2Ь^
= 47Г
а/Ь
т*в . ( Г
рш2 Ъ2 \Ь
Плотность и вязкость при оценке момента предполагаются постоянны¬
ми. Поскольку наибольший вклад в момент дают точки, лежащие на
большом удалении от оси симметрии, то плотность и вязкость берутся
в узлах на вершине диска. Учет изменения плотности и вязкости по
пространственной координате приводит к изменению момента прибли¬
зительно на 1,5%.
Результаты расчетов по различным моделям турбулентности при¬
ведены в табл. 5.4 (при Тч = 450 К). Наилучшее согласование с дан¬
ными физического эксперимента дает двуслойная к-е/к-1 модель тур¬
булентности (при увеличении затрат процессорного времени). Стан¬
дартная к-е модель в сочетании с методом пристеночных функций
дает наибольшую погрешность относительно данных [132]. Введение

N11
Рис. 5.34. Зависимость среднего числа Нуссельта на поверхности статора от
относительной ширины каверны при Ееы = 105 (1); 2 • 105 (2); 4 • 105; 8 • 105
поправки на кривизну линий тока незначительно улучшает результаты
расчетов. Результаты расчетов по низкорейнольдсовой версии модели
Спаларта-Аллмараса имеют наименьшую погрешность относительно
данных [223] (то же самое касается и модели Спаларта-Аллмараса,
реализованной в пакете Пиеп!). Применение слабых граничных усло¬
вий приводит к улучшению результатов численного моделирования,
полученных на основе к-е модели турбулентности.
Зависимость коэффициента момента от относительной ширины ка¬
верны имеет минимум (рис. 5.35, Ее^ = 2,5 • 106). Кривые / и 2 соот¬
ветствуют корреляционным зависимостям [132] и [223], значки • —
результатам численного моделирования. Критическая величина зазора
зависит от температуры (С* = 0.0132 при Тг = 300 К и С* = 0,0145
при Тг = 400 К).
Таблица 5.4. Момент и коэффициент момента,
рассчитанные на основе различных моделей турбулентности
Модель
к-е + КЬ
к-е + Е1
5А1
5А2
к-е/к-1
5А1/ЫШ
Пристеночные функции
%[ 132]
+3,65
+3,62
-2,19
-2,09
-4,86
-6,55
% [223]
+9,84
+9,82
+4,36
+4,46
+ 1,87
+0,29
Слабые граничные условия
% [ 132]
-2,45
-2,44
-8,69
-8,68
-2,08
-5,77
% [223]
+4,13
+4,12
-1,71
-1,70
+4,48
+ 1,02
Пакет Р1иеп{
% [ 132]
-1,86
—
-2,35
-1,49
-2,71
-5,23
% [223]
+4,68
—
+4,22
+5,03
+3,89
+ 1,52

Рис. 5.35. Зависимость коэффициента момента от относительной величины
зазора между статором и ротором при Тг = 300 К (а) и Тч = 400 К (б)
5.5.7.	Сеточная зависимость решения. Для исследования сеточ¬
ной зависимости решения используется трехмерная модель, представ¬
ляющая собой сектор с углом раствора 3° с постановкой периодических
граничных условий в окружном на¬
правлении.
Расчеты на основе к-е модели
проводятся на сетках, содержащих
11000 (сетка 1), 165000 (сетка 2)
и 234 000 (сетка 3) ячеек. В окруж¬
ном направлении сетки содержат по
25 ячеек. Для сеток 1, 2 и 3 мак¬
симальные значения координаты у+
составляют 82, 28 и 8 соответствен¬
но (рис. 5.36).
Сходимость итерационного про¬
цесса на подробной сетке показана
на рис. 5.37 (кривые 1 и 2 относят¬
ся к уравнениям изменения количе¬
ства движения и уравнениям моде¬
ли турбулентности). Использование
слабых граничных условий позволяет сгладить осцилляции, имеющие
место в расчете на основе метода пристеночных функций, а также
достичь более низкого уровня невязки за меньшее число итераций
(многосеточных циклов).
Профили радиальной и тангенциальной скорости в контрольном
сечении г = 0,385 м достаточно хорошо согласуются с расчетными
данными [16] и данными физического эксперимента [132]. Слабое
рассогласование наблюдается в невязком ядре потока, где радиальная
скорость, согласно [132], отлична от нуля.
Радиальная скорость принимает малые положительные значения на
вращающемся диске (скорость скольжения при использовании слабых
Рис. 5.36. Распределения коорди¬
наты у+ вдоль радиуса диска
для сеток различной разрешающей
способности

Рис. 5.37. Изменение уровня невязки в зависимости от числа итераций для
метода пристеночных функций (а) и слабых граничных условий (б)
граничных условий). Тангенциальная скорость на роторе изменяется
от 0 при г = 0,05 м до 0,4387 м/с при г = 0,5 м, а ее максимальная
величина составляет около 1,12% от скорости вращения диска.
Результаты расчетов приведены в табл. 5.5 в сравнении с корреля¬
ционными зависимостями [132, 223]. Постановка слабых граничных
условий позволяет получить достаточно точные результаты на грубой
сетке (погрешность составляет 5,56% против 11,1% для метода при¬
стеночных функций). Результаты расчетов на промежуточной сетке
дают приблизительно одинаковую точность (4,50% против 5,70%). На
подробной сетке метод пристеночных функций обеспечивает лучшее
согласование с экспериментом по сравнению со слабыми граничными
условиями (1,3% против 4,34% для слабых граничных условий).
Таблица 5.5. Результаты расчета коэффициента момента
на различных сетках
Погреш¬
ность, %
Пристеночные функции
Слабые граничные условия
Сетка 1
Сетка 2
Сетка 3
Сетка 1
Сетка 2
Сетка 3
%[132]
% [223]
+4,14
+ 10,30
+2,44
+8,70
-0,84
+5,64
-2,25
+4,31
-2,29
+4,27
-1,73
+4,80
При использовании двуслойной модели (результаты приведены
в [16]) погрешность составляет 2,95% относительно данных [132]
и 9,35% относительно данных [223].
5.6.	Каверна с осевым подводом газа
Структура системы с осевым подводом охлаждающего газа
(го^ог-зЫог 5уз1ет зирегрозес! тПо\у) показана на рис. 5.1, г.
Увеличение массового расхода или вращательного числа Рейнольд¬
са приводит к увеличению коэффициента момента, в то время как уве¬
личение относительной ширины каверны дает обратный эффект [75].

Для низких скоростей или высоких расходов влияние зазора становит¬
ся пренебрежимо малым. Давление на поверхности диска уменьшается
по направлению к его центру. Уменьшение ширины каверны, увеличе¬
ние скорости вращения и расхода приводят к увеличению разницы дав¬
лений, что вызывает увеличение тангенциальной скорости жидкости
в ядре потока. Использование метода интегральных соотношений при¬
водит к следующему соотношению для расчета минимального расхода
газа, предотвращающего радиальный подвод рабочего тела к системе
из окружающей среды:
Су/
= 2л\
Визуализация ламинарного и турбулентного течений показывает
наличие радиальной критической точки на поверхности ротора [318].
Ниже критической точки тангенциальная скорость в ядре потока выше
скорости вращения диска. В зависимости от параметров задачи выде¬
ляется 3 режима течения: «Пош с1огтипа1ес1» (радиальная критическая
точка находится на вершине диске), «гоЫюпа1 с!от1па1ес1» (критиче¬
ская точка располагается на вале), переходный режим (комбинация
двух указанных режимов). Начальная закрутка потока оказывает су¬
щественное влияние на структуру течения около вершины диска, но
ослабевает по мере приближения к валу (увеличение расхода оказывает
противоположное влияние).
При увеличении расхода рабочего тела коэффициент момента ста¬
тора стремится к постоянной величине, в то время как коэффициент
момента ротора монотонно уменьшается [169].
В работе [133] проведены измерения характеристик потока в ка¬
верне до Ке^ ^ 5,1 • 105 для реальной геометрии зазора между вра¬
щающимся диском (ротор) и неподвижным корпусом (статор). Для
определения эффективности охлаждения использовалась концентрация
пассивного скаляра. Результаты физического эксперимента согласуют¬
ся с имеющимися данными, а закрутка потока на входе оказывает
слабое влияние на характеристики течения в каверне. Эффективность
осевого и радиального (перехлест) зазоров примерно одинакова. Ре¬
зультаты измерений при Сс = 0,005 достаточно хорошо согласуются
с данными [312], в то время как при Сс = 0,0025 между ними имеются
существенные отличия.
При отсутствии внешнего потока эффективность охлаждения, опре¬
деленная по концентрации пассивного скаляра, связывается с парамет¬
ром турбулентности
0=1- ехр ( - аА*),
где А* = СшКс"0,8.
Структура течения в каверне зависит от числа Россби Ко =
= Угь/{шЪ). Увеличение числа Россби приводит к увеличению размера
вихря в каверне [137] и уровня теплоотдачи [145].

Численные расчеты приводят к заниженным значениям теплового
потока почти на 20% по сравнению с данными измерений, что свя¬
зывается с заниженным уровнем скорости диссипации в пограничном
слое на поверхности статора [230].
5.7.	Каверны с осевым и радиальным вытеканием
Системы с осевым и радиальным вытеканием рабочего тела
(го^ог-зЫог 5уз1ет мйЬ зирегрозеё оиШоу/ оГ соо1ап!) показаны на
рис. 5.1, в и рис. 5.1, д. Газ (например, охладитель) подается в каверну
через зазор между статором и вращающимся валом. Структура течения
зависит от вращательного числа Рейнольдса К,еы = шЬ2/и, линейного
числа Рейнольдса Яех = ПВ/у и числа Россби Ко = V /\и)а).
5.7.1.	Система с осевым вытеканием. Данные измерений срав¬
ниваются с расчетами на основе метода интегральных соотношений
в работе [76]. Уменьшение расхода или увеличение вращательного
числа Рейнольдса приводит к увеличению уровня тангенциальной ско¬
рости в каверне. При увеличении относительной ширины каверны
размер невязкого ядра уменьшается. Коэффициент момента увеличива¬
ется при увеличении расхода, приближаясь к значению, соответству¬
ющему свободному вращающемуся диску. Узкие каверны дают более
высокие значения коэффициента момента по сравнению с широкими.
Распределение давления, полученное при помощи метода интегральных
соотношений, согласуется с данными измерений только в достаточно
широких кавернах.
Структура изотермического и неизотермического течений в каверне
исследуется в работе [157] при а/Ь = 0,1. При отсутствии вращения
в каверне образуется один или более (в зависимости от относительной
ширины каверны) тороидальных осесимметричных вихрей. Влияние
вращения приводит к подавлению тороидальных вихрей и дестабили¬
зации течения, что заключается в возникновении ряда осесимметрич¬
ных и несимметричных режимов течения. Нагрев приводит к более
глубокому проникновению осевого потока воздуха в каверну. Получен¬
ные данные подтверждают наблюдения [85] для каверны при С = 0,2
и а/Ь = 0,3.
В работе [158] проводятся измерения теплового потока при
2- 105 < Ке,, < 5- 106, 2 • 104 ^ Кех < 1,6- 105, С = 0,138, а/Ъ = 0,1.
Температура диска либо увеличивается, либо уменьшается с радиусом.
Для симметрично нагретой каверны (оба диска имеют одинаковое рас¬
пределение температуры по радиусу) распределение числа Нуссельта
по поверхности диска является одинаковым. В случае несимметричного
нагрева распределение числа Нуссельта по поверхности нагретого
диска остается таким же, как и в случае симметричного нагрева, в то
время как уровень числа Нуссельта на поверхности холодного диска
оказывается ниже. Распределение числа Нуссельта по поверхности

диска следует за распределением температуры диска (при увеличении
температуры диска с радиусом число Нуссельта также увеличивается
и наоборот).
В случае симметричного нагрева каверны с распределением темпе¬
ратуры, возрастающей по радиальной координате, распределение числа
Нуссельта дается формулой
N11^ = 0,0054Ке°>3 Сг°'25.
Число Нуссельта и число Грасгофа находятся из соотношений
м„	ЯУ	г_	сАДО’’*,	-	Г*) у3
= 1[Ъ-ЪУ в1у =	?	■
где у = 6 — г, Тг — температура воздуха на входе в каверну. Приведен¬
ное соотношение учитывает ламинарную свободную конвекцию возду¬
ха в узкой каверне (С = 0,138), что подтверждается данными [247].
Данные измерений теплового потока в широкой каверне (О = 0,36,
а/Ъ = 0,1) приводятся в [244]. Увеличение относительной ширины
каверны (с С = 0,133 до 0,36) приводит к увеличению уровня тепло¬
вого потока. При 4 < Но < 5 имеется существенное увеличение (в 3
раза), при Ко < 4 — результаты остаются примерно такими же, а при
Ко > 5 — имеется сравнительно слабое увеличение числа Нуссельта
(в 2 раза) при увеличении ширины каверны.
Результаты измерений [101] при 1,9 • 106 < Кеы ^ 5,6 • 106,
2,7 • 104 < Кех ^ 9,5 • 104, О = 0,256, а/Ь = 0,286, учитывающие
конечный размер вала, согласуются с корреляционной формулой [158].
Численные расчеты [245, 246, 378, 379] дают результаты, находя¬
щиеся в качественном соответствии с данными измерений.
5.7.2.	Система с радиальным вытеканием. Влияние корпуса
приводит к уменьшению коэффициента момента по сравнению со слу¬
чаем, когда корпус отсутствует.
Работа [75] посвящена исследованию течения и теплообмена в ка¬
верне при отсутствии корпуса (ипзНгоисЫ (Пзс сауНу), а в ис¬
следовании [77] учитывается радиальное вытекание рабочего тела
(зЬгоис!ес1 сПзс сауМу). Данные измерений при С = 0,004 сравнивают¬
ся с расчетными данными. При увеличении относительной ширины
каверны согласие результатов расчетов с данными измерений ухуд¬
шается [75].
При наличии вытекающего потока коэффициент момента увеличи¬
вается, что объясняется увеличением углового момента и сдвиговых
напряжений в узких кавернах. Наличие корпуса приводит к увеличе¬
нию давления в каверне. При г/Ь < 0,8 корпус (зазор между статором
и ротором) оказывает слабое влияние на градиент статического дав¬
ления. Получена корреляционная формула для минимального расхода
охладителя, позволяющего предотвратить затекание горячего газа из

межлопаточного канала в каверну. Расход линейно зависит от ширины
осевого зазора и вращательного числа Рейнольдса:
Сиошп = 0,61 Ос Яеш,
где Ос = зс/Ь, а под зс понимается величина зазора.
Другие эмпирические данные в более широком диапазоне парамет¬
ров, основанные на измерении давления и визуализации течения, дают
соотношение [297]
С№.тш =0,140“-“ Ее„.
Уточненная формула, полученная в [298], имеет вид
Сж.т|„ = 0,028 с?-291 Ке°-949.
При увеличении массового расхода охладителя тангенциальная
скорость в невязком ядре потока и радиальный градиент давления
уменьшаются [298]. При вращении диска в закрытой осесимметричной
каверне угловая скорость вращения ядра потока составляет 0,30а; в ла¬
минарном режиме и 0,43а; в турбулентном режиме, где ш — угловая
скорость вращения диска.
Исследование формы зазора на расход охладителя проводится в ра¬
боте [313]. Подчеркивается необходимость наличия радиального зазора
между корпусом и ротором, а не только осевого. Наличие радиального
зазора приводит к увеличению давления в каверне при увеличении
скорости вращения ротора (ргеззиге туегзюп еГСес!) по сравнению со
случаем плоского осевого зазора, когда давление в каверне уменьша¬
ется при увеличении скорости вращения. Это противоречит данным
измерений [384]. Результаты исследования [82] указывают на то, что
двойной излом в зазоре оказывается лучше, чем один [83].
Метод интегральных соотношений для анализа структуры течения
в каверне развивается в [111]. Полученные результаты сравниваются
с данными измерений [115].
В работе [131] приводятся данные измерений при Яеш ^ 3 • 106 по
исследованию влияния осесимметричного внешнего потока на эффек¬
тивность охлаждения для двух конфигураций зазора: конфигурация
А (ир51теат у/Ьее15расе) и конфигурация В (с1о\уп51:геат у/Ьее1зрасе).
В обоих случаях конфигурация зазора сохраняется одинаковой, а раз¬
личным является его положением в осевом направлении. В случае А
зазор располагается посередине каверны (течение слева направо, ста¬
тор слева, ротор справа), а в случае В — зазор находится у поверхности
ротора (течение слева направо, статор справа, ротор слева). Измерения
давления показывают, что расход С\^.ттп Для конфигурации А меньше,
чем для конфигурации В. С другой стороны, измерения концентрации
пассивного скаляра показали обратную ситуацию — расход С'и/.тт для
конфигурации А больше, чем для конфигурации В. Предполагается,
что такое поведение вызывается взаимодействием внешнего потока
с газом, покидающим каверну.

Данные исследования [82] при Кеы ^ 1,52 • 106 указывают на то,
что картина течения в существенной степени зависит от величины
осевого зазора и вращательного числа Рейнольдса и в меньшей степени
от ширины зазора между дисками.
Аналогия Рейнольдса для расчета коэффициента момента и харак¬
теристик теплообмена развивается в работе [296]. Увеличение зазора
между дисками приводит к уменьшению коэффициента теплоотдачи
ротора, в то время как момент сравнительно слабо зависит от ширины
каверны. Коэффициент теплоотдачи увеличивается при увеличении
числа Рейнольдса и расхода газа.
При отсутствии корпуса среднее число Нуссельта сравнительно
слабо зависит от скорости вращения при больших расходах охладителя
и малых числах Рейнольдса [296]. При высоких числах Рейнольдса
коэффициент теплоотдачи приближается к значению, соответствующе¬
му свободному вращающемуся диску. Распределение среднего числа
Нуссельта при Су//(2пСКъш) > 1,7 и С < 1,05Кс“0,2 дается формулой
/С \0,8
(]Ми) = 0,0145^ ~ 1
При С > 1,05 Ке^0,2 среднее число Нуссельта не зависит от величины
зазора между ротором и статором. Наличие корпуса приводит к уве¬
личению числа Нуссельта примерно на 20%. При отсутствии корпуса
качественная зависимость среднего числа Нуссельта от расхода рабо¬
чего тела и ширины каверны сохраняется:
(N11) = 0,76СЙ?7С-°-32.
Приведенная зависимость находит подтверждение при 0,02 < С < 0,08,
2	< Слу/Ю4 < 6, Неш < 3 • 106.
Результаты исследования [103] показывают, что течение в ка¬
верне является несимметричным при стационарных граничных усло¬
виях и фиксированной геометрии. Распределение давления в каверне,
полученное в нестационарной постановке (при С = 0,016 и 0,031),
лучше согласуется с данными измерений, чем стационарные расчеты.
Однако с увеличением ширины каверны течение имеет тенденцию
к стабилизации, и результаты согласуются с данными [75]. Возмуще¬
ния, индуцированные в каверне, оказывают существенное влияние на
средние значения параметров потока и теплообмена.
5.8.	Влияние внешнего осевого потока
на течение и теплообмен в каверне
Конфигурация каверны при наличии внешнего осесимметричного
потока (го1ог-51а1:ог сауЛу \уЛ:Н ех1:егпа1 Пом) показана на рис.5.1,е
и учитывает основные особенности реальных течений в кавернах газо¬
вых турбин и компрессоров [102].

Наличие внешнего осевого потока приводит к формированию в цен¬
тральной части каверны тороидального вихря, а структура течения во
внешней части каверны подвержена влиянию сил плавучести. Течение
в каверне носит нестационарный пространственный характер, на что
указывают результаты исследований [298, 299].
Течение при наличии выходящего радиального потока охладителя
является более устойчивым, а течение в каверне при этом являет¬
ся стационарным и осесимметричным [299]. Усиление влияния сил
плавучести происходит при уменьшении расхода охладителя. Течение
в каверне при этом теряет устойчивость.
Измерения для случая осесимметричного внешнего течения прово¬
дятся в [59] при Яву = (3-10) • 105. Минимальный расход охладителя,
который требуется для предотвращения затекания газа из внешнего
потока в каверну, зависит от отношения расхода охладителя к расходу
газа в канале, формы корпуса в выходном сечении и ширины зазора,
через который происходит вытекание газа из каверны, но не от скоро¬
сти вращения [218].
В работах [310, 311] выделяются «гоЫюп <1огшпа1е6> режим те¬
чения при малых отношениях линейного и вращательного чисел Рей¬
нольдса (параметр Яех/Яеы) и «?1о\у (1отта1е(1» режим течения при
высоких отношениях Яех/Яеы. Переход от одного режима к другому
связывается с ростом влияния несимметрии распределения давления
в окружном направлении.
Радиальный зазор представляется более эффективным в отношении
предотвращения затекания газа из внешнего потока в каверну, чем
осевой [310, 311]. Различные подходы к определению эффективности
охлаждения основаны на визуализации картины течения, измерении
давления и концентрации пассивного скаляра. При обычной конфи¬
гурации зазора увеличение угловой скорости вращения ротора при¬
водит к уменьшению давления в каверне. Для радиального зазора,
когда имеется перехлест верхних краев статора и ротора, имеет место
«рге55иге-1пуег510п» эффект, когда давление в междисковом простран¬
стве возрастает при увеличении скорости вращения.
Исследования [310-312] проводились как для случая осесиммет¬
ричного распределения давления во внешнем потоке, так и для слу¬
чая, когда имеется несимметрия распределения давления в окруж¬
ном направлении. Для случая симметричного распределения давления
в окружном направлении и малых отношений Яех/Яеы безразмерный
расход Сил пип увеличивается при увеличении вращательного числа
Рейнольдса. При увеличении линейного числа Рейнольдса (осевой ско¬
рости внешнего потока) в междисковом зазоре образуется отрывная
зона, которая препятствует проникновению горячего газа из кана¬
ла в каверну, что приводит к уменьшению параметра С^<т\.п. Для
несимметричного распределения давления в окружном направлении
тенденция является обратной, так что безразмерный расход Си^тт
увеличивается по линейному закону при увеличении линейного числа

Рейнольдса. Критическое отношение Кег/Ке^, при котором С-м,тт
становится независимым от вращательного числа Рейнольдса, рав¬
няется 0,5.
Несимметрия распределения давления в канале играет основную
роль в инжекции горячего газа в каверну [312].
Для «По^ с]ош1па1ес]» режима течения увеличение параметра
Дртах, равного разности максимального и минимального давлений
в окружном направлении в канале, приводит к увеличению расхода
охладителя. Минимальный расход рабочего тела находится из
соотношения
С\\/
, 1ШП
= 2 тгЯ-СУ^.
где К = (2С)]/2С<1, К = 0,6. Безразмерный перепад давления находит¬
ся из соотношения
р 	 рАртах62 _ 1	о	(-1	_ 2Дртах
тах —	2	— 2 Р»тах х* ^р.тах —
Здесь Сд — коэффициент потерь; Ц — осевая скорость в канале.
Геометрия зазора между ротором и статором не учитывается.
Для «гоШюп с!отта1е(Ь режима течения влияние несимметрии
давления в канале является незначительным, поэтому имеет место
степенная зависимость
Си/,гшп ^ С™ Ке™.
Для конфигурации зазора с перехлестом ротора и статора (оуег-
1аррт^ зеа1 ^еоте^гу) в работах [310, 311] приводится формула
Си/.тш =0,025 С0-295 Ке°-9.
Корреляционные соотношения, полученные в работах [310-312],
улучшены в работе [92] на основе данных измерений.
Направляющие лопатки и лопатки ротора учитываются в рабо¬
те [170, 178], а расчеты проводятся при Кеы = 3 • 10б. Эффектив¬
ность охлаждения (она определяется при помощи измерения давления
и концентрации пассивного скаляра) определяется внешним течением
и его особенностями. На инжекцию газа в каверну оказывают влияние
распределение давления в окружном направлении на задней кромке
лопатки статора и ширина зазора между дисками. Инжекция газа
в каверну возникает даже в том случае, когда статическое давление
в каверне больше среднего статического давления во внешнем потоке.
Данные исследования [170] указывают на то, что учет роторных лопа¬
ток приводит к уменьшению инжекции газа в каверну.
Измерения концентрации пассивного скаляра и расчетные исследо¬
вания проводятся в работе [116] на основе полной модели и в рабо¬
те [186] на основе модели с приближенным представлением лопаток

статора. В обеих работах получено хорошее согласование расчетов по
полной и упрощенной моделям, несмотря на получающийся несколько
завышенный расход охладителя по сравнению с данными измерений.
Для расчета расхода охлаждающего воздуха несимметрия течения
в канале оказывается более важной по сравнению со следами за лопат¬
ками и вторичными течениями.
Метод интегральных соотношений, который учитывает несиммет-
рию давления в канале, развивается в работе [74]. Применение раз¬
работанной модели к расчету течения в неглубокой каверне приводит
к высоким расходам газа, поступающего из канала в каверну, по
сравнению с глубокими кавернами [73].
Исследование влияния геометрии каверны на расход газа, втека¬
ющего через зазор между ротором и статором, проводится в рабо¬
те [385]. Для уменьшения расхода предлагается использовать сотовид¬
ную поверхность статора (НопеусотЬ). Минимальный расход охладите¬
ля в этом случае уменьшается на 63% по сравнению со случаем, когда
поверхность статора является гладкой.
В работе [149] исследуется влияние охлаждения лопаток на ин-
жекцию газа в каверну. В случае, когда охлаждение производится при
помощи вдува через отверстия в центральной части статора или сопла
предварительной закрутки (рге-з^1г1 погг1е) на периферии статора,
расход Су/, тт является независимым от радиального расположения
входной границы. В случае комбинированной системы охлаждения
ситуация осложняется.
Измерения и расчеты с учетом потока охладителя, а также раз¬
личные конфигурации зазора исследуются в [86]. Для расчета эф¬
фективности охлаждения используются измерения давления, концен¬
трации пассивного скаляра и скорости. Делается заключение о том,
что в реальных системах 100% эффективность недостижима (даже
при большйх расходах охладителя), поскольку этому препятствует
градиент давления в окружном направлении, который имеет в межло¬
паточном канале. Увеличение вращательного числа Рейнольдса приво¬
дит к увеличению расхода газа, инжектируемого из межлопаточного
канала в каверну, вследствие увеличения несимметрии распределения
давления в окружном направлении [89].
Измерения и численные расчеты с учетом и без учета лопаток
проводятся в работе [85]. В случае простого осевого зазора между
дисками (ротор и статор являются плоскими) учет лопаток приводит
к существенному уменьшению эффективности охлаждения, в то время
как наличие выступа на поверхности статора и в случае плоского
ротора приводит к увеличению эффективности.
Малые изменения расхода охладителя (порядка 1 %) оказывают
существенное влияние на показатели производительности [256, 257].
Поток охладителя приводит к большим локальным возмущениям пол¬
ного давления в межлопаточном канале, хотя среднее распределение
слабо зависит от наличия охладителя и его расхода.

ротор
статор
ротор
статор
ротор
статор
ротор
статор
Рис. 5.38. Различные конфигурации зазора между ротором и статором
Измерения и расчеты для одноступенчатой турбины, приведенные
в [185], имеют плохое согласование по распределению статического
давления (используется к-е модель и модель Спаларта-Аллмараса).
Различные конфигурации зазора между ротором и статором и их
эффективность на основе данных измерений (для расчета эффектив¬
ности используется концентрация пассивного скаляра) и результатов
численного моделирования исследуются в [374] (влияние лопаток не
учитывается). Расчеты проводятся для четырех конфигураций кавер¬
ны, различающихся геометрией зазора между ротором и статором
(рис.5.38). Конфигурация а соответствует Т-образному зазору на по¬
верхности ротора (Т-оп го*ог), конфигурации бив- Т-образному
зазору на поверхности ротора или статора с перехлестом (Т-оп го1ог
\уйЬ оуег1ар Т-оп зЫог или Т-оп зЫог \уКН оуеНар Т-оп го!ог),
конфигурация г — зазору в форме рыбьего рта (ПзЬ тои1Ь оп го!ог
\уИН оуеНар Т-оп $1а1ог).
Конфигурация г наименее подвержена влиянию перехлеста зазора
между дисками, в то время как для конфигурации а это влияние яв¬
ляется максимальным, а конфигурация в является достаточно чувстви¬
тельной к наличию перехлеста. Малая эффективность конфигурации б
является следствием большой ширины междискового зазора, несмотря
на то, что инжекция газа в каверну практически отсутствует.
Результаты нестационарных трехмерных расчетов достаточно хоро¬
шо согласуются с данными измерений [340]. В работе [204] нестаци¬
онарные расчеты проводятся в двумерной постановке, но учитывается
несимметрия давления в межлопаточном канале.
Расчеты [264] проводятся на основе различных моделей: стационар¬
ная модель с плоскостью смешения в задней части каверны (модель 1),
стационарная модель с плоскостью смешения в передней части каверны
(модель 2), нестационарная модель. Во всех случаях используется

модель турбулентности Спаларта-Аллмараса. Модели 1 и 2 позволяют
учесть осцилляции давления в каверне и проникновение газа из меж-
лопаточного канала вглубь каверны.
5.9.	Лабиринтные уплотнения
Лабиринтные уплотнения (1аЬупп1Н зеа1) являются основным спо¬
собом предотвращения протечек рабочего тела через зазоры между
корпусом и вращающимся компонентом в тех местах, где контактные
уплотнения неприменимы или являются нежелательными, обеспечивая
минимальное аэродинамическое воздействие на ротор и сохранение
стабильных расходных характеристик в процессе эксплуатации.
Уменьшение протечек рабочего тела на 1 % приводит к увеличению
производительности на 0,5% [364].
Лабиринтное уплотнение состоит из множества витков, которые
насаживаются плотно на вращающемся валу или неподвижном соеди¬
нении. Иногда для уменьшения протечек канавки делают на внешней
и на внутренней частях уплотне¬
ния. Между витками резьбы ла¬
биринта и трущейся поверхностью
сохраняется небольшой зазор. Схе¬
матическое изображение двух ос¬
новных конфигураций показывает
рис. 5.39.
При течении жидкости через
лабиринтное уплотнение происхо¬
дит скачок статического давления
и увеличение кинетической энер¬
гии, При расширении потока кине¬
тическая энергия переходит обрат¬
но в работу статического давления,
но основные потери связаны с вяз¬
кой диссипацией. Ряд витков используется для того, чтобы избежать
большой разницы статического давления в случае, когда необходимо
сохранить достаточно большой зазор (например тогда, когда малый
зазор между компонентами может привести к их повреждению или при
перемещении поверхности).
В лабиринте с неподвижными стенками энтальпия потока сохра¬
няется. При движении одной из поверхностей температура жидкости
увеличивается вследствие вязкого нагрева, поэтому сохранение посто¬
янного расхода через уплотнение является желательным для предот¬
вращения нагрева жидкости и элементов конструкции.
Расчет протечек через лабиринтные уплотнения обычно производит¬
ся по методике, позволяющей учесть число дросселей, наклон, форму
и остроту кромок гребней, а также размеры уплотнительных камер.
Рис. 5.39. Конфигурации «э^га^Ы»
(а) и «51еррес1» (б) лабиринтных
уплотнений

Теоретическое (используется уравнение Сан-Венана) и эксперимен¬
тальное исследования влияния отношения величины зазора к высоте
зуба проведено Эгли (А. Е^П, 1935). Конфигурация «51еррес1» показы¬
вает лучшие показатели в отношении предотвращения протечек (почти
вся кинетическая энергия диссипирует) по сравнению с конфигурацией
«5{га1§Ы:» (часть кинетической энергии передается от одного витка
к другому). Расход жидкости через уплотнение зависит только от отно¬
шения высоты витка к ширине зазора, поэтому при заданном перепаде
давления конфигурация «з^га^Ы» потребует большего числа витков,
чем конфигурация «з1еррес1» (при одинаковой геометрии). Расход через
уплотнение приблизительно пропорционален п-1/2, где п — число
зубьев. Теоретические исследования подтверждается расчетами [323],
за исключением очень тонких витков, приводящих в высокому уровню
турбулентности.
Качественные особенности потока для конфигурации «з^еррес!» та¬
кие же, что для конфигурации «з1га1^Ы» [273]. Наилучшие результа¬
ты дает конфигурация, в которой витки центрированы относительно
корпуса — верхней фаски (в этом случае перепад давления между со¬
седними витками является одинаковым). При увеличении числа витков
выше 8 эффективность конфигурации практически не изменяется. Из¬
мерения для воды и воздуха в безразмерных переменных в отношении
перепада давления дают результаты, не зависящие от числа Рейнольдса
(кинематической вязкости). Это подтверждает то, что основную роль
играет уровень турбулентности, а не вязкие эффекты.
В работе [364] рассматривается возможность использования по¬
ристых, непористых и истираемых материалов, а также сотовидных
материалов (НопеусотЬ) для изготовления лабиринтных уплотнений.
Применение пористых материалов приводит к увеличению протечек
на 60%. Непористые материалы дают тот же самый или несколько
меньший уровень протечек при более грубой обработке поверхности
(примерно на 7%). Сотовидные материалы являются неэффективными
при малых зазорах.
Расчеты, проведенные в [324] для сжимаемой жидкости и для
конфигураций «!ее1Ь-оп-го1ог» (витки на роторе) и «1ее1Н-оп-зЫог»
(витки на статоре), показывают, что конфигурация «1ее1Н-оп-го{ог»
дает эффективность приблизительно на 10% больше, а также более
высокие тангенциальные скорости в каверне.
Влияние кончика зуба и формы канавки исследуется в работе [421].
Закругление кончика зуба в конфигурации «з!еррес1» приводит к увели¬
чению протечек на 35% по сравнению со случаем, когда грань является
острой (на 15% для конфигурации «з1га1^ЬЪ>). Наличие канавок на
поверхности статора также приводит к увеличению протечек, но не
настолько существенному (особенно при такой же ширине зазора).
Результаты [255] показывают, что увеличение тангенциальной ско¬
рости на входе в уплотнение от нуля до скорости вращения ротора
приводит к уменьшению разницы температуры вдоль уплотнения с 56 К

до 23 К для сотовидной поверхности статора и с 48 К до 5 К для
гладкой поверхности. Шероховатость ротора оказывает более сильное
влияние на уровень теплообмена по сравнению с поверхностью статора.
В работе [262] обнаружена существенная зависимость теплообмена
в уплотнении от величины протечек для его различных конфигураций.
Измерения [403] показывают, что средний уровень теплоотдачи на
роторе и статоре примерно одинаковый и имеет тенденцию к увели¬
чению при возрастании перепада давления. Самый высокий уровень
теплоотдачи имеет место на вершине витка. Расчеты дают хорошие
результаты по теплообмену для статора, но для ротора уровень тепло¬
отдачи получается завышенным почти в 2 раза. При постоянном уровне
протечек увеличение скорости вращения ротора приводит к увеличе¬
нию среднего коэффициента теплоотдачи как на поверхности ротора,
так и на поверхности статора.
Современные материалы и технологии позволяют изготавливать бо¬
лее эффективные и надежные лабиринтно-щеточные уплотнения (ЬгизН
зеа!), обеспечивающие повышение эффективности турбины и ее ком¬
понентов на 1,5-2%.
Сотовые уплотнения имеют большйе объемные потери, требуя боль¬
шйх зазоров между вращающимся и неподвижным компонентами для
предотвращения задирания, а также склонны к засорению и имеют
высокую стоимость.
Уплотнения сетчатого типа представляет собой цельную конструк¬
цию с отверстиями большего размера, чем на уплотнениях сотового
типа, сокращая, но не исключая возможность засорения, имеют вы¬
сокую стоимость и менее эффективны в сравнении с лабиринтными
уплотнениями.
Для повышения эффективности лабиринтных уплотнений в них
выполняются лунки, позволяющие предотвратить возникновение цир¬
куляционных аэродинамических сил и снизить протечки в уплотнениях
путем использования различных конструктивных решений. Принцип
работы лунковых уплотнений имеет ряд преимуществ по сравнению
с сотовыми, сетчатыми и лабиринтными. В узкой кольцевой щели
происходит торможение рабочей среды с последующим расширением
в смежной камере большого объема. При движении рабочей среды
вдоль щели между уплотнением и валом давление дросселируется
на уплотняющих гребнях. Рабочая среда проходит через серповид¬
ные лунки, которые препятствуют ее окружному перетоку. Снижение
окружной скорости потока повышает гидравлическое сопротивление
щели и одновременно снижает циркуляционные силы, вызывающие
прецессионное движение ротора (вибрацию). Лабиринтные гребни, об¬
разованные рядами серповидных лунок, имеют повышенную прочность
и жесткость. Серповидная форма лунок предотвращает отложение твер¬
дых взвешенных частиц. Лунковые уплотнения обладают высокими
демпфирующими свойствами и свойством самоочистки.

Многоблочные вычислительные технологии, предназначенные для
решения задач вихревой интенсификации теплообмена, а также резуль¬
таты их верификации и численных исследований развиваются в рабо¬
тах [49, 52] (для решения задач, связанных с расчетами внутренних
течений в компонентах газовых турбин, эти технологии пока не при¬
менялись).
5.10.	Течение и теплообмен в каверне
с осевым подводом рабочего тела
Рассмотрим расчет температурных полей металла и жидкости в ка¬
верне, ограниченной вращающимся (ротор) и неподвижным (статор)
дисками (рис. 5.40, а). Геометрия области, занятой жидкостью, а также
положение точек, в которых контролируется температура в физическом
эксперименте [66, 67], показаны на рис. 5.40, б. Внутренний и внешний
радиусы каверны равняются г* = 0,2 ми г0 = 0,3 м, а ширина кавер¬
ны — 5 = 0,025 м. Толщина стенок составляет 5 мм.
Рис. 5.40. Геометрическая модель (а) и область, занятая жидкостью (б)
Блоки 1 и 2 расчетной области представляют собой ротор и статор.
Блоки 3 и 4 являются фиктивными и пристыкуются к расчетной обла¬
сти для того, чтобы реализовать передачу температуры между метал¬
лом и жидкостью. Температура блока 3 полагается равной температуре,
извлекаемой из цикла нагружения, и используется в качестве теплово¬
го граничного условия на входной границе СРО-области. Температура

и» 1/с
60 , 10000
2, с
Рис. 5.41. Цикл нагружения
выходной границы, полученная в результате решения СРЭ-задачи, ис¬
пользуется для задания граничного условия на поверхности блока 4.
Цикл нагружения показан на рис. 5.41 (варьируемым параметром
является угловая скорость вращения ротора). Ротор, неподвижный
в начальный момент времени, за 60 с разгоняется до скорости 800 с-1.
Температура ротора изменяется от 300 К в начале расчета до 800 К
через 60 с, а температура статора — от 300 до 500 К за тот же ин¬
тервал времени. Температура блока 3 (полная температура на входной
границе) изменяется от 300 К в начале расчета до 680 К через 60 с.
Длительный интервал времени используется для того, чтобы позволить
температуре металла выйти на стационарный режим.
Используется два варианта расчетов, в одном из которых каверна
представляется в виде двумерной осесимметричной области, а в дру¬
гом — в виде сектора с углом раствора 5° с постановкой периодических
граничных условий в окружном направлении.
Конечно-элементная сетка содержит 117 ячеек треугольной формы
и 361 узел (рис. 5.42). Двумерная структурированная конечно-разност-
ная сетка, приведенная на рис. 5.43, а, содержит 5078 ячеек (198 ячеек
на поверхности ротора, 157 ячеек на поверхности статора, 5 ячеек на
входной и 12 ячеек на выходной границах), а двумерная неструктури¬
рованная сетка, показанная на рис. 5.43, б, содержит 8360 ячеек (177
ячеек на поверхности ротора, 153 ячеек на поверхности статора, по 8
ячеек на входной и выходной границах). Для структурированной сетки
координата у+ изменяется от 36 до 82 на поверхности ротора и от 20
до 58 на поверхности статора (рис. 5.44, а), а для неструктурированной
сетки — от 18 до 40 на поверхности ротора и от 12 до 35 на поверхно¬
сти статора (рис. 5.44, б).
Трехмерная структурированная сетка получается путем поворота
двумерной сетки вокруг оси симметрии на соответствующий угол.
В окружном направлении размещается 7 расчетных ячеек (рис. 5.45).

Рис. 5.42. Конечно-элемент-	Рис. 5.43. Структурированная (а)
пая сетка	и неструктурированная (б) сетки
в области, занятой жидкостью
г, м
г, м
Рис. 5.44. Распределения координаты у+ на поверхности ротора (линия /)
и статора (линия 2) для структурированной (а) и неструктурированной (б)
сеток
На внутренней поверхности ротора и статора выставляются сопря¬
женные граничные условия. На внешней поверхности ротора задается
тепловой поток, а коэффициент теплоотдачи вычисляется по корре¬
ляционной зависимости для свободного вращающегося диска [290]
(угловая скорость извлекается из цикла нагружения для заданного
момента времени). Внешняя поверхность статора считается теплоизо¬
лированной.
Для скорости на поверхностях ротора и статора выставляются
граничные условия прилипания и непротекания. На входной границе

каверны	задаются	массовый	расход (га = 0,8	кг/с),	температура тор¬
можения	(То = 300 К при I	— 0 и То = 680	К при	^ ^ 60 с, между
указанными временными точками температура изменяется по линейной
зависимости), направление потока, кинетическая энергия турбулент¬
ности и	скорость	ее диссипации (к = 10~3	м2/с2,	е = 10-2 м2/с3).
Угол закрутки	потока	а = агс 1%(ув/ух)
на входной границе равняется 31,61°.
На выходной границе каверны фикси¬
руется статическое давление (р = 8,5 х
х 105 Па). Линейное и вращательное
числа Рейнольдса, рассчитанные по па¬
раметрам во входном сечении и угловой
скорости вращения ротора, равняются
3,42 • 104 и 9,54 • 106, что соответствует
турбулентному режиму течения.
В качестве начального поля темпе¬
ратуры принимается распределение, по¬
лученное для теплоизолированных сте¬
нок каверны (рис. 5.46). Сплошные ли¬
нии соответствует решению задачив
полной постановке, а значки о и □ —
распределению температуры, получен¬
ному при замороженном поле скорости.
Различие результатов, полученных на
основе двух подходов к расчету рас¬
пределения температуры, является ма¬
лым и составляет от 1 до 3 К для
Рис. 5.45.	Сетка в трехмерном	структурированной сетки. Для неструк-
случае	турированной сетки различие результа¬
тов несколько выше, но не превосходит
5 К. На неструктурированной сетке отсутствует характерный излом
в распределении температуры, имеющийся на структурированной сетке
в месте сгущения сеточных линий при г ~ 0,22 м (рис. 5.46, а).
Распределения тангенциальной скорости в зазоре между ротором
и статором, показанные на рис. 5.47, свидетельствуют о существовании
невязкого ядра, вращающегося как квазитвердое тело и, имеют типич¬
ный характер для систем подобного класса [298, 299].
Жидкость, поступающая в каверну, достигает поверхности ротора
и растекается вдоль радиуса (рис. 5.48). Часть жидкости покидает
каверну через выходное сечение, а часть формирует циркуляционное
течение внутри каверны с замкнутыми линиями тока. Центральный
вихрь занимает практически весь объем каверны. В окрестности угло¬
вых точек, образованных изломом поверхности статора, формируются
вторичные вихри меньшей интенсивности.
Изменение невязки в зависимости от числа итераций показывает
рис. 5.49. Линия / соответствует решению всех уравнений, а линии 2

г, к
I	I	-	I	-	-	/	-	- } -
Г, м
Рис. 5.46. Распределения температуры по поверхности ротора (линия /, значки
о) и статора (линия 2, значки □) для структурированной (а) и неструктуриро¬
ванной (б) сеток
щ/{иг)
1|
0,8
0,6
0,4
0
	Д
0,2	0,4	0,6	0,8	х/8 ^
Рис. 5.47. Распределения тангенциальной скорости в поперечных сечениях при
г = 0,23 (/); 0,25 (2); 0,27 (3); 0,29 м (4)
и 3 — решению уравнения изменения температуры при помощи мно¬
госеточного подхода и метода ОМКЕ5. Уровень сходимости является
одинаковым в обоих случаях (К ~ 10-16). Метод ОМКЕ5 позволяет
получить выигрыш как в числе итераций (на структурированной сетке
в 5 раз, а на неструктурированной — в 8 раз), так и в ускорении счета
(1,2 на структурированной и 2,2 на неструктурированной сетке).
На каждом шаге по времени число итераций для расчета поля
течения жидкости в каверне полагается равным 100. Такое же число
итераций используется и для решения уравнения изменения темпера¬
туры при замороженном поле скорости при помощи многосеточного
подхода. При использовании ОМКЕЗ-подхода число итераций на шаге
по времени устанавливается равным 10 (основной расчетный вариант).
Условие сходимости контролируется по разности температур на грани¬
це раздела, которая равняется 2 К. Максимальная разность температур
металла и жидкости на границе раздела сред полагается равной 0,5 К

Рис. 5.48. Линии тока в каверне
Рис. 5.49. Изменение невязки в зависимости от числа итераций на структури¬
рованной (а) и неструктурированной (б) сетках
(если разность температур менее заданной величины, то уравнения
в СРЭ-области не решаются).
Результаты расчетов в виде значений температур металла в кон¬
трольных точках приводятся в табл. 5.6. Строки 2, 4 и 6 соответствуют
структурированной, а строки 3, 5 и 7 — неструктурированной сетке.
Результаты расчетов, приведенные в строках 6 и 7, получены при замо¬
роженном поле скорости. Результаты расчетов, проведенных на основе
СРО-модуля [18] (строки 4—7), сравниваются с данными физического
эксперимента [66] (строка 1), а также с данными, полученными при
использовании в качестве СРО-модуля коммерческого пакета Р1иеп1:
(строки 2 и 3).

Таблица 5.6. Температура металла в контрольных точках
№
Ротор
Статор
г1
г2
гЗ
г4
г5
51
$2
53
54
55
Эксперимент [66]
1
719,24
722,07
726,24
731,45
734,84
556,28
590,23
585,40
581,40
623,89
Расчеты при помощи пакета Р1иеп1
2
723,01
725.89
730,01
735,01
738,50
551,04
586,61
581,73
577,75
620,74
3
723,60
729,01
731,91
736,73
740,15
554,39
584.91
578,38
574,18
619.82
Расчеты при помощи модуля [18
4
719,72
723,12
728,41
734,95
732,30
552,45
590,99
586,05
581,42
621,96
5
728,25
727,56
730,36
735,67
736,07
550,33
579.75
579,23
579,19
618,84
6
719,80
723,31
728,79
735,42
735,45
550,65
590,06
585,16
580,58
622,42
7
728,52
728,12
731,01
736,18
739,99
548,78
578,72
578,27
578,38
618,96
Распределения температуры, соответствующие конечному моменту
времени, приведены на рис. 5.50. Линии 1 и 2 соответствуют рас¬
чету при помощи СРО-модуля [18], а линии 3 и 4 — расчету при
помощи пакета Р1иеп{ (все результаты получены при решении всех
уравнений, описывающих течение жидкости). Различие результатов
расчетов, полученных на структурированной и неструктурированной
сетках, находится в разумных пределах, а сами результаты хорошо
согласуются с данными физического эксперимента [66].
Результаты расчетов в трехмерной постановке приводятся
в табл. 5.7 (решаются все уравнения, описывающие течение жидкости).
Расчетные данные, полученные на основе пакета Р1иеп1 (строка 2) и
модуля [18] (строка 3) хорошо согласуются с данными измерений [66]
(строка 1).
Т, К	Г,	К
Рис. 5.50. Распределения температуры по поверхности ротора (а) и статора (б)
для структурированной (линии / и 3) и неструктурированной (линии 2 и 4)
сеток в конце цикла нагружения

Таблица 5.7. Температура металла в контрольных точках
№
Ротор
Статор
г1
г2
гЗ
г4
г5
$1
52
53
54
55
1
719,24
722,07
726,24
731,45
734,84
556,28
590,23
585,40
581,40
623,89
2
721,53
725,62
731,60
736,36
738,22
555,49
586,10
579,37
575,97
619,19
3
724,39
727,43
729,00
731,90
729,95
559,69
585,63
583,73
582,81
623,78
Результаты расчетов температурного поля металла, обработанные
в виде линий равных значений, показывает рис. 5.51. Неравномерность
распределения температуры по толщине ротора и статора является
достаточно малой.
В случае трехмерной геометрии области, занятой жидкостью, мак¬
симальное отличие результатов расчетов, выполненных при помощи
пакета Р1иеп1:, от данных измерений [66] составляет 5 К для ротора
и 6 К для статора (строка 2). Различие температур металла, рассчи¬
танных при помощи СРЭ-модуля [18], составляет 5 К в контрольных
точках г1 и г2, расположенных на поверхности ротора, и в точке з2 на
поверхности статора (строка 3).
Изменение температуры ротора и статора в контрольных точках во
времени показаны на рис. 5.52-5.54 (до момента времени I = 200 с,
после этого температура выходит на стационарный режим). Линии 1
и 2 соответствуют структурированной сетке, значки о и □ — неструкту¬
Г, К
760
X
740
XV
720
V
700
Ц
680
Т
660
3
640
К
620
600
р
580
О
560
N
540
М
520
Ь
500
К
480
л
460
I
440
Н
420
С
400
Г
380
Е
360
Б
340
С
320
В
300
А
рно. 5.51. Линии уровня температуры

г, к
Рис. 5.52. Изменение температуры ротора (линия /, значки о, •) и статора
(линия 2, значки □, ■) в точках г1 и з1 во времени
Т, К
Рис. 5.53. Изменение температуры ротора (линия /, значки о, •) и статора
(линия 2, значки □, ■) в точках гЗ и зЗ во времени
рированной сетке, а значки • и ■ — экспериментальным данным [66].
Согласование результатов численного моделирования с данными изме¬
рений является хорошим во всех контрольных точках.
Распределения теплового потока по поверхности ротора и статора
в конечный момент времени показывает рис. 5.55. Имеет место хорошее
согласование результатов расчетов на структурированной и неструкту¬
рированной сетках.
Сопряженные расчеты проводятся как при решении всех уравне¬
ний, описывающих течение жидкости в каверне, так и при решении
уравнения изменения температуры различными методами. Некоторые
результаты расчетов при замороженном поле скорости и использовании
многосеточного метода приводятся в табл. 5.6 (строки 6 и 7).

т, к
Рис. 5.54. Изменение температуры ротора (линия /, значки о, •) и статора
(линия 2, значки □, ■) в точках г5 и з5 во времени
<7 • 105, Вт/м2
г, м
Рис. 5.55. Распределения теплового потока по поверхности ротора (линия /,
значки •) и статора (линия 2, значки о), полученные на структурированной
(линии / и 2) и неструктурированной (значки • и о) сетках, в конце цикла
нагружения
Ускорение алгоритма и число шагов по времени при различном
числе итераций для расчета температурного поля жидкости на шаге
интегрирования по времени и различных методах решения уравнения
изменения температуры приводятся в табл. 5.8 (колонки 1 и 2 соот¬
ветствуют участкам 1 и 2 цикла нагружения). В качестве основного
варианта, относительно которого рассчитывается ускорение, принима¬
ются данные, полученные при решении всех уравнений, описывающих
течение жидкости, и числе итераций, равном 100.

Таблица 5.8. Ускорение счета при использовании различных подходов
№
Метод
решения
Число
итераций
Структурированная
сетка
Неструктурированная
сетка
Ускорение
Число шагов
по времени
Ускорение
Число шагов
по времени
1
2
I
2
1
МОМ
10
3,23
30
26
10,13
26
24
2
МОМ
25
1,78
22
24
5,10
23
23
3
МОМ
50
1,56
18
21
3,08
18
21
4
ОМКЕ5
1
6,26
25
24
9,17
32
24
5
ОМКЕ5
2
3,15
28
25
6,07
27
24
6
ОМКЕ5
5
1,91
17
22
3,23
17
22
7
ОМКЕ5
10
1,18
15
23
2,02
17
21
При использовании для решения уравнения изменения температуры
жидкости метода ОМНЕ5 и уменьшении числа итераций на шаге
по времени от 50 до 1 температура металла в контрольных точках
изменяется не более, чем на 0,5 К. Решение задачи в полной постановке
или при использовании многосеточного метода для решения уравнения
изменения температуры жидкости демонстрируют более сильную чув¬
ствительность к изменения числа итераций на шаге по времени. В этих
случаях при уменьшении числа итераций (многосеточных циклов) со
100 до 10 температура металла в контрольных точках модели изменя¬
ется на 1,2 и 0,8 К.
В основном расчетном варианте параметр точности равняется 2 К.
Для проверки корректности решения используются различные зна¬
чения параметра точности по температуре (число итераций на шаге
по времени поддерживается одинаковым). При изменении параметра
точности от 2 К до 0,5 К (уменьшение) и от 2 К до 10 К (увеличе¬
ние) решение изменяется не более, чем на 0,25 К (изменяется число
итераций, необходимых для согласования полей температуры металла
и жидкости на границе раздела на шаге по времени, а также число
шагов по времени и, как следствие, общее время счета).
Увеличение размерности (числа векторов) подпространства Крылова
выше 4-х приводит к существенному увеличению расчетного времени.
5.11.	Теплообмен вращающегося диска с отверстиями
Рассмотрим систему, состоящую из вращающегося диска, имеюще¬
го 24 отверстия, расположенных на равном угловом удалении друг от
друга, и вала (рис. 5.56).
5.11.1.	Тепловое моделирование. В расчетах используется осе¬
симметричная (рис. 5.57) или трехмерная модель в виде сектора с углом
раствора 15° (рис. 5.58). Внутренний и внешний радиусы вала состав¬

Рис. 5.56. Твердотельная модель
ляют Ги = 0,1 м и г30 = 0,12 м, а внутренний и внешний радиусы дис¬
ка — гаг = 0,14 м и гао = 0,3 м соответственно. Радиус отверстия и ра¬
диальная координата его центра равняются гн = 0,01 мигт = 0,26 м,
а толщина диска и длина расчетной области — $ = 0,03 ми I = 0,23 м
соответственно.
Цикл нагружения, используемый для двумерного и трехмерного
теплового моделирования, показан на рис. 5.59. Длина цикла состав¬
ляет 3000 с. Варьируемыми параметрами цикла нагружения являются
угловые скорости вращения диска и вала. Цикл нагружения включает
два участка ускорения вращения диска и вала (участок между точками
1 и 2, 3 и 4), участок замедления вращения (участок между точками
5 и 6) и 3 участка, характеризуемых постоянной скоростью вращения
диска и вала (участки между точками 2 и 3, 4 и 5, 6 и 7).
В двумерном случае конечно-элементная сетка содержит 87 ячеек
треугольной формы и 235 узлов (рис. 5.60), а в трехмерном случае —
2170 ячеек и 4804 узлов (рис. 5.61).
Постановку граничных условий для теплового моделирования по¬
ясняет рис. 5.62. Тепловые граничные условия являются идентичными

Рис. 5.58. Трехмерная геометрическая модель
а», 1/с
1000
700
450
'ч
/
4 5
\
/
2 3
/
4 х2 5
\
6 7
1
2 3
6 7
0 60 1000 1010	2000	2010	3000
I, с
Рис. 5.59. Цикл нагружения. Кривые 1 и 2 соответствуют угловым скоростям
вращения ротора и вала
в двух- и трехмерном случаях (в двумерном случае граничные условия
применяются к ребрам, а в трехмерном случае — к граням).
На границах 1, 2 и 3 учитывается конвекция жидкости при извест¬
ной температуре стенки, которая извлекается из цикла нагружения для
данного момента времени. Коэффициент теплоотдачи вычисляется при
помощи корреляционной зависимости для свободного вращающегося
диска. Считается, что при Кеш < 2,4 • 105 реализуется ламинарный
режим течения, а при Неш >3-105 — турбулентный. В промежут¬
ке между указанными предельными значениями используется линей¬
ная интерполяция. Параметром корреляции является скорость враще¬
ния диска.

Рис. 5.60. Конечно-элементная сетка в двумерном случае
Рис. 5.61. Консчио'Элемеитная сетка в трехмерном случае
При постановке граничных условий на границах 4 и 5 учитывается
механизм формирования адвективного течения жидкости во враща¬
ющемся горизонтальном слое при наличии вдоль границы градиента
температуры. Массовый расход жидкости, входящей в кольцевой зазор
между диском и валом, температура и давление извлекаются из цикла
нагружения. Коэффициент теплоотдачи рассчитывается по корреляци¬
онной зависимости для вынужденной конвекции жидкости в кольцевом
зазоре, параметрами которой являются площадь поперечного сечения,
гидравлический диаметр и длина.
На границе 6 задается коэффициент теплоотдачи, который находит¬
ся из корреляционной зависимости для случая свободно-конвективного
движения жидкости на вертикальной пластине. Аргументом корреля-

ции является длина пластины. В качестве температуры стенки задается
температура, полученная на границе 10.
Коэффициент теплоотдачи на границе 7 рассчитывается по кор¬
реляционной зависимости для свободного вращающегося диска (как
и на границах 1-3). Температура границы получается в результате
смешения потоков, движущихся вдоль границ 4 и 5 и границы 6.
Для постановки граничных условий на внутренней поверхности от¬
верстия (границы 8 и 9) и расчета коэффициента теплоотдачи исполь¬
зуется корреляционная зависимость для вынужденной конвекции жид¬
кости в горизонтальном канале. Аргументами корреляции являются
площадь проходного сечения, гидравлический диаметр, длина канала
и расход жидкости. Расход жидкости (в данном случае 1/24 полного
440
Рис. 5.63. Линии уровня температуры металла при I — 1000 с (точка 3)

730
1
Рис. 5.64. Линии уровня температуры металла при I = 2000 с (точка 5)
Рис. 5.65. Линии уровня температуры металла при Ь = 3000 с (точка 7)
расхода), температура и давление извлекаются из цикла нагружения
для данного момента времени.
При формулировке граничных условий на границе 10 считается,
что жидкость, обтекающая данную поверхность, имеет пренебрежи¬
мо малую теплоемкость. Коэффициент теплоотдачи рассчитывается
по корреляционной зависимости для свободной конвекции жидко¬
сти в горизонтальном цилиндре. Аргументом корреляции является
число Грасгофа, вычисленное по характерному диаметру и скорости
вращения.
450
445

т, к
Рис. 5.66. Распределения темпера¬
туры вдоль поверхности диска и
вала в момент времени 1000 с
Г, К
Рис. 5.67. Распределения темпе¬
ратуры вдоль поверхности диска
и вала в момент времени 2000 с
В трехмерном случае в окружном направлении используются пе¬
риодические граничные условия. При передаче данных от трехмерной
СРБ-модели к двумерной РЕА-моде-
ли производится осреднение парамет¬
ров потока в окружном направлении.
Результаты расчетов двумерного
теплового моделирования, обработан¬
ные в виде линий уровня темпера¬
туры металла, показаны на рис. 5.63,
рис. 5.64 и рис. 5.65 в моменты време¬
ни, соответствующие постоянной уг¬
ловой скорости вращения диска и ва¬
ла (точки 3, 5 и 7 цикла нагру¬
жения). Во всех случаях вал име¬
ет практически равномерное распре¬
деление температуры. Наиболее на¬
гретые области диска соответствуют
точкам, удаленным от оси вращения.
В начальный момент времени
^ = 0 металл имеет равномерное рас¬
пределение температуры (Тшо = 300 К). Распределения температуры
вдоль внешней поверхности вала (линия /), внутренней и внешней
поверхности диска (линии 2 и 3) приведены на рис. 5.66, рис. 5.67
и рис. 5.68. Под I понимается расстояние, отсчитываемое вдоль стенки,
начиная от левой границы расчетной области. Излом на кривой соот¬
ветствует угловой точке модели.
Положение контрольных точек на поверхности диска и вала, в ко¬
торых контролируется температура, поясняет рис. 5.69.
Т, К
Рис. 5.68. Распределения темпе¬
ратуры вдоль поверхности диска
и вала в момент времени 3000 с

Рис. 5.69. Положение контрольных точек
Г, К	Г, К
Рис. 5.70. Зависимости температуры металла в контрольных точках з1 (линия
/), Л (линия 2), (13 (линия 3), 64 (линия 4), (15 (линия 5) от времени в двух-
(а) и трехмерном (б) случаях
Г, К	Г,	К
Рис. 5.71. Зависимости температуры металла в контрольных точках 67 (линия
/), (18 (линия 2), Ы (линия 3), Ь2 (линия 4), ЬЗ (линия 5) от времени в двух-
(а) и трехмерном ( б) случаях

Временные зависимости температуры металла в контрольных точ¬
ках показаны на рис. 5.70 и рис. 5.71 (результаты расчетов в точках
51-вЗ, с11 и (12, (18 и (19, ЬЗ и Ь4 практически совпадают и потому не
показаны на рисунках). Имеет место хорошее согласование результа¬
тов, полученных в двух- и трехмерной постановках задачи. При этом
максимальное отличие температур металла в контрольных точках не
превышает 2 К (кривые 3 и 4 на рис. 5.71).
5.11.2.	Сопряженный теплообмен. Области, занятые жидко¬
стью, показаны на рис. 5.72 (используются трехмерные модели с углом
раствора 15°). Область 1 (рис. 5.72, а) учитывает течение жидкости
в зазоре между ротором и валом, а область 2 (рис. 5.72, б) — влия¬
ние внешнего потока на теплообмен вращающегося диска и течение
в отверстии. Для передачи граничных условий ко входному сечению
каждой области пристыкуется дополнительный блок длиной 1/3, где
I	— протяженность расчетной области.
Рис. 5.72. Области, занятые жидкостью
ы, 1/с
^ 1 ^
в 2 ^
'Ж
2-__ ^3
1 !И;-мппе.пи ^
/
0 60 2000
I, с
Рис. 5.73. Цикл нагружения. Кривые / и 2 соответствуют угловым скоростям
вращения ротора и вала

Цикл нагружения, используемый для сопряженного теплового мо¬
делирования, показан на рис. 5.73. Ротор и вал, неподвижные в на¬
чальный момент времени, за 60 с разгоняются до скорости 1000 с-1
и 700 с-1 соответственно. Температура торможения во входном сече¬
нии области 1 уменьшается от 500 К при 2 = 0 до 450 при I = 60 с,
а температура торможения во входном сечении области 2 возрастает от
500 К при 2 = 0 до 700 К при 2 = 60 с. Длительный интервал времени
(2/ = 2000 с) используется для того, чтобы позволить температуре
металла выйти на стационарный режим.
Структурированная конечно-разностная сетка, используемая в об¬
ласти 1 (рис. 5.74), содержит 12 768 ячеек и 14 820 узлов (на внут¬
ренней поверхности ротора и поверхности вала размещается по 741
грани, входная и выходная границы области содержат по 228 граней).
Структурированная конечно-разностная сетка, используемая в области
2	(рис. 5.75), содержит 303471 ячеек и 320 512 узлов (на внешней
поверхности ротора размещается 1862 граней, а на левой и правой
поверхностях диска — по 3162 граней, входная и выходная границы
области содержат по 3591 грани).
Распределения координаты у+ вдоль внутренней и внешней по¬
верхности ротора и поверхности вала показывает рис. 5.76. На всех
поверхностях координата у+ изменяется в диапазоне, приемлемом для
использования метода пристеночных функций (35 < у+ < 175). На
левой и правой поверхностях диска координата у+ имеет практически
равномерное распределение {у+ ~ 120).
Рис. 5.75. Структурированная сетка в области 2

У+
Рис. 5.76. Распределения координаты у+ на внутренней (линия /) и внешней
(линия 2) поверхности ротора и поверхности вала (линия 3)
На внутренней и внешней поверхностях ротора, поверхности вала,
а также левой и правой поверхности диска выставляются сопряженные
граничные условия. Другие стенки модели считаются теплоизолиро¬
ванными.
Для скорости на поверхности ротора, вала и диска выставляются
граничные условия прилипания и непротекания. На верхней и нижней
поверхностях блоков, пристыкуемых ко входному сечению области 1,
а также ко входному и выходному сечениям области 2, используются
условия скольжения. На входных границах задаются массовый расход
(тп = 0,63 кг/с для области 1 и га = 2,25 кг/с для области 2) и
температура торможения (То = 500 К для области 1 и То = 700 К
для области 2), а на выходных границах фиксируется статическое
давление (р = 5 • 105 Па для области 1 и р = 10б Па для области
2). Направление потока принимается по нормали к входной границе.
Характеристикам турбулентности на входных границах присваиваются
значения к = 10-3 м2/с2 и е = 10-2 м2/с3. В окружном направлении
используются периодические граничные условия.
Линейное и вращательное числа Рейнольдса, рассчитанные по па¬
раметрам во входном сечении и угловой скорости вращения ротора,
равняются 8,89 • 105 и 1,51 • 104 для области 1 и 4,12 • 104 и 5,98 • 104
для области 2, что соответствует турбулентному режиму течения.
В качестве начального поля температуры принимается распределе¬
ние, полученное для случая теплоизолированных стенок каверны.
Линии уровня температуры в поперечном сечении области 1 при
х = 0,1 м показаны на рис. 5.77. За исключением небольшого на¬
чального участка, обусловленного влиянием условий течения на входе
в расчетную область, распределение температуры является практиче¬
ски равномерным по поперечному сечению. Это позволяет использовать
для моделирования сопряженного теплообмена в области 1 двумерную
модель.

г,
К
12
510
11
509,09
10
508,18
09
507,27
08
506,36
07
505,45
06
504,55
05
503,64
04
502,73
03
501,82
02
500,91
01
500
Рис. 5.77. Линии уровня температуры в поперечном сечении области 1 при
х = 0,1 м
м/с
15
120
14
111,4
13
102,9
12
94,3
11
85,7
10
77,1
09
68,6
08
60,0
07
51,4
06
42,9
05
34,3
04
25,7
03
17,1
02
8,6
01
0
Рис. 5.78. Линии уровня осевой скорости в серединном сечении отверстия при
х = 0,215 м
Рис. 5.79. Линии тока в меридиональном сечении области 2
Течение в отверстии является практически симметричным. Слабая
несимметрия течения имеет место лишь в верхней и нижней областях
(рис. 5.78).
В нижней каверне за отверстием образуется рециркуляционная зона
(рис. 5.79). Вторичный вихрь имеет место в верхней части каверны.

т, к	г,	к
Рис. 5.80. Зависимости температуры металла в контрольных точках з1 (линия
/), сЛ (линия 2), с13 (линия 3), с14 (линия 4) от времени в двух- (а) и трехмер¬
ном (б) случаях
Г, К	Т,	К
Рис. 5.81. Зависимости температуры металла в контрольных точках &7 (линия
/), (18 (линия 2), Ы (линия 3), Ь2 (линия 4), ЬЗ (линия 5) от времени в двух-
(а) и трехмерном (6) случаях
На каждом шаге по времени число итераций для расчета поля
течения жидкости в каверне полагается равным 100 для обеих моде¬
лей. Условие сходимости контролируется по разности температур на
границе раздела, которая равняется 1 К.
Зависимости температуры металла в контрольных точках от време¬
ни, полученные на основе двух- и трехмерного сопряженного тепло¬
вого анализа, показаны на рис. 5.80 и рис. 5.81 (результаты расчетов
в точках з1 —зЗ, <11 и с12, с14 и с15, с!8 и (19, ЬЗ и Ь4 практически
совпадают и потому не приводятся). Имеет место достаточно хоро¬
шее согласование расчетов в двух- и трехмерной постановках. Наи¬
большее расхождение результатов расчетов наблюдается в точках Ы

т, к	т,	к
/, мм	/,	мм
Рис. 5.82. Распределения температуры вдоль поверхности диска и вала в двух-
(а) и трехмерном (б) случаях
и 52 (рис. 5.81). Результаты численного моделирования, приведенные
на рис. 5.80 и рис. 5.81, согласуются с данными, полученными для
полного цикла нагружения и показанными на рис. 5.70 и рис. 5.71 (для
интервала времени 1000 < Ь < 2000 с). Ошибка расчета температуры,
соответствующая стационарным условиям (горизонтальный участок
цикла нагружения), не превышает 1 К.
Распределения температуры вдоль внешней поверхности вала (ли¬
ния /), внутренней и внешней поверхности диска (линии 2 и 3) при¬
ведены на рис. 5.82. Результаты расчетов в сопряженной постановке
достаточно хорошо согласуются с данными на рис. 5.67.

Глава 6
ТЕЧЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕН В КАВЕРНАХ
ГАЗОВЫХ ТУРБИН
Газотурбинные двигатели представляют собой сложные и наукоем¬
кие изделия, в которых наиболее термонапряженным элементом кон¬
струкции является диск турбины высокого давления, непосредственно
подверженный воздействию горячих газов из камеры сгорания.
Стремление к повышению показателей производительности газовых
турбин обусловливает увеличение температуры и давления на входе
в межлопаточный канал, что приводит к необходимости точного и по¬
дробного расчета температурного поля.
Традиционные методики не позволяют провести совместный учет
особенностей газодинамических процессов при обтекании и внутрен¬
нем охлаждении лопаток ротора и теплопроводности в теле лопатки
(сопряженные задачи теплообмена), поэтому при проектировании но¬
вых изделий имеется риск получения неточных или неверных решений.
Интенсивно развиваются методы моделирования, основанные на
современных компьютерных технологиях и математических моделях
процессов переноса и предназначенные для расчетов теплового состоя¬
ния компонентов газовых турбин в сопряженной постановке, что подра¬
зумевает расчет теплообмена на границе между жидкостью и твердым
телом при граничных.условиях четвертого рода (условия сопряжения).
Появляется возможность использования полной трехмерной геометри¬
ческой модели того или иного компонента и области, занятой жидко¬
стью, и отпадает необходимость упрощения физических моделей взаи¬
модействия газа с металлическими деталями конструкции, основанных
на применении метода интегральных соотношений или корреляцион¬
ных зависимостей для характеристик теплоотдачи.
Модели теплового состояния в сопряженной постановке лишены
недостатков, присущих традиционным методикам (зонные модели),
и потенциально обладают высокой точностью и информативностью.
В данной главе разрабатываются двух- и трехмерные модели теп¬
лового состояния стенок каверн внутренней водуховодной системы
газотурбинного двигателя в сопряженной постановке. Моделирование

теплового состояния дисков и околодисковых статорных деталей ос¬
новано на решении нелинейной сопряженной задачи теплопроводности
методом конечных элементов в осесимметричной постановке. Расчеты
гидравлической сети, эквивалентной системе охлаждения, и граничных
условий теплообмена проводятся с использованием обобщенных экспе¬
риментальных данных. Течение жидкости описывается осредненными
по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса, замкнутыми при помощи
к-е модели турбулентности, в двух- и трехмерной постановке.
Приводится решение ряда задач сопряженного теплового анализа
компонентов газотурбинных двигателей (каверна турбины низкого дав¬
ления, камера предварительной закрутки потока, коническая каверна).
На основе результатов численного моделирования определяются рас¬
пределения расходов охлаждающего воздуха и его параметров в си¬
стеме охлаждения двигателя на стационарных и переходных режимах
работы, распределения коэффициентов теплоотдачи на поверхности
роторных и статорных деталей, а также распределение температуры
рабочего тела на поверхностях ротора и статора и поле температуры
ротора и статора по узлам расчетной модели на всех режимах работы
газотурбинного двигателя.
6.1.	Влияние вдува на течение и потери
полного давления в межлопаточном канале
Рассматривается влияние массового расхода охладителя на потери
полного давления в межлопаточном канале газовой турбины. Течение
описывается осредненными по Рейнольдсу уравнениями Навье-Стокса,
для замыкания которых используются модель Спаларта-Аллмараса
и к-е модель с поправками на кривизну линий тока и вращение. Про¬
водится сравнение результатов численного моделирования, полученных
в рамках различных моделей.
6.1.1.	Выбор модели турбулентности. Взаимодействие основно¬
го потока в межлопаточном канале с поперечным потоком из каверны,
образованной зазором между статором и ротором, представляет инте¬
рес для задач охлаждения лопаток газовых турбин.
Традиционно во многих исследованиях используется к-е модель
для расчета течения в каверне и модель Спаларта-Аллмараса или
модель пути смешения для расчета течения в межлопаточном канале.
Расчеты течений в каверне с учетом вращения одной из ее стенок
показали, что к-е модель с пристеночными функциями и двуслой¬
ная модель турбулентности позволяют получить достаточно точные
результаты [10, 19, 389]. Исключение составляет случай малых чи¬
сел Рейнольдса, что связывается с недостатками метода пристеночных
функций. Двуслойная модель требует большего числа узлов сетки,
а при расчете геометрически сложных течений возникает проблема
стыковки внешней и внутренней подобластей пограничного слоя. Полу¬

ченные результаты согласуются с данными физического эксперимента
и подтверждаются другими расчетами [351, 352]. Сравнение резуль¬
татов, полученных на основе различных моделей, в частности, моде¬
ли Спаларта-Аллмараса, модели к-е и 55Т-модели [261], позволяет
сделать вывод о том, что выбор модели турбулентности не является
принципиальным для расчета течения в каверне [201].
Для расчетов течений в межлопаточном канале широкое примене¬
ние находят модели пути смешения [321] и модель Спаларта-Аллмара¬
са [348], а также двухпараметрические модели турбулентности, такие,
как к-е [233] и к-ш [401]. Для расширения границ применимости этих
моделей используются поправки на кривизну линий тока и вращение.
Например, в работе [222] учитывается поправка на кривизну линий
тока в к-и> модели. В работе [306] проводится сравнение результа¬
тов на основе модели Спаларта-Аллмараса [357], 55Т-модели [261]
и У2Р-модели [259] применительно к течению в ступени газовой тур¬
бины. Показывается чувствительность результатов численного модели¬
рования к выбору модели турбулентности. Различие результатов связы¬
вается с ламинарно-турбулентным переходом на поверхности профиля.
Исследования течений в канале с инжекцией охлаждающего газа
из каверны концентрируются, в основном, на расчете потерь полно¬
го давления. Данные численных и физических экспериментов пока¬
зывают, что сравнительно малые расходы рабочего тела из каверны
приводят к формированию нестационарного течения в межлопаточном
канале [95, 103, 198, 336, 338]. В некоторых случаях к-е модель
дает результаты, согласующиеся с экспериментом [103, 198]. В рабо¬
тах [94, 95] отмечается рассогласование экспериментальных данных
и результатов расчетов с использованием модели Спаларта-Аллмараса.
В выводах работ [110, 336] указывается, что для получения точных
расчетных данных требуется совместный расчет течений в межлоиа-
точном канале и каверне.
6.1.2.	Расчетная область. Расчетная область, показанная на
рис. 6.1 и рис. 6.2, ограничена поверхностью профиля, стенками меж-
лопаточного канала, периодическими поверхностями (не показаны на
рисунке), входной и выходной границами канала, а также входным
сечением и стенками каверны. Направления потока, поступающего
в расчетную область, показаны стрелками.
На входной границе межлопаточного канала задаются полное дав¬
ление (ро = 2,7 • 105 Па), полная температура (То = 407 К), турбулент¬
ная вязкость (щ — 10-3 м2/с) или кинетическая энергия турбулентно¬
сти и скорость ее диссипации (ко — 10-4 м2/с2, ео — 10_3 м2/с3). Поток
считается параллельным оси х. На выходной границе фиксируется
статическое давление [р = 1,6 • 105 Па).
На входной границе каверны задаются полное давление {ро —
= 1,5 • 105 Па), полная температура (То = 336 К), углы, определяю¬
щие направление потока (а = 90°, (3 = 83°), турбулентная вязкость

т
Рис. 6.1. Геометрия расчетной области
Рис. 6.2. Расчетная сетка и геометрия каверны
(йо = 10_3 м2/с) или кинетическая энергия турбулентности и скорость
ее диссипации (ко = Ю-4 м2/с2, го = 10-3 м2/с3).
Граничные условия непротекания и прилипания, а также темпера¬
тура (Ту, = 400 К) выставляются на поверхности профиля и стенках
межлопаточного канала. Скорость вращения (ш = —1295 рад/с) и тем¬
пература (Ти, = 400 К) задаются на стенке каверны. Периодические
граничные условия выставляются в окружном направлении.
В качестве начальных условий задаются плотность (р= 1,18 кг/м3),
статическое давление (р = 2,2 • 105 Па) и декартовые составляющие
скорости (ис = 100 м/с, уу = уг = 0). В качестве рабочей среды прини¬
мается воздух (теплофизические свойства — справочные).
6.1.3.	Результаты расчетов. Расчеты проводятся на структури¬
рованной сетке, содержащей 795038 ячеек, из которых 87 300 ячеек
располагается на границе. Входные границы канала и каверны со¬
держат 1000 и 880 ячеек, выходная граница канала — 4000 ячеек,
периодические границы — по 11001 ячеек, подветреная и надветреная

поверхности профиля — 7950 и 6950 ячеек, вал и поверхность корпу¬
са — 21 267 и 10276 ячеек, а вращающаяся стенка каверны — 12584
ячеек. Координата у+ изменяется от 8 до 120 (максимальные значения
достигаются на вращающейся стенке каверны).
Радиальные распределения коэффициента давления по поверхности
неподвижной стенки каверны показаны на рис. 6.3 для различных
моделей турбулентности. Коэффициент давления рассчитывается по
формуле
2 \р(г) -р(г«)]
р{г*)(гни)2
где гя — радиус каверны; г* — радиальная координата точки отсчета
= 0,96). Плотность в точке г*/^ = 0,96 рассчитывается по
локальным значениям давления и температуры. Символы о соответ¬
ствуют к-е модели с поправ¬
кой Като-Лаундера (модель КЕ2),
символы □ — модели Спалар¬
та-Аллмараса (модель ЗА1), сим¬
волы • — данным физического экс¬
перимента [164]. Поправки на кри¬
визну линий тока и вращение ока¬
зывают пренебрежимо малое вли¬
яние на распределение давления
(это касается как к-е модели, так
и модели Спаларта-Аллмараса).
Положения секущих плоско¬
стей поясняет рис. 6.4. Радиальные
распределения угла закрутки пото¬
ка в абсолютной системе координат
приведены на рис. 6.5 (проводит¬
ся осреднение по окружной коор¬
динате). Символы о соответствуют
стандартной к~е модели (модель КЕ1), • — к-е модели с поправкой на
кривизну линий тока (модель КЕЗ), V — модели Спаларта-Аллмараса,
А — модифицированной модели Спаларта-Аллмараса (модель 5А2),
□	— данным физического эксперимента [164]. Результаты расчетов по
различным моделям турбулентности находятся в приемлемом согласо¬
вании друг с другом.
Распределения углов, определяющих направление потока в середин¬
ной плоскости выходного сечения межлопаточного канала, показаны на
рис. 6.6 (скорости и углы определяются в абсолютной системе отсчета).
Символы о соответствуют к-е модели с поправкой Като-Лаундера,
символы • — к-е модели с поправкой на кривизну линий тока, символы
□	— модели Спаларта-Аллмараса. В отличие от распределений, осред-
ненных в окружном направлении (рис. 6.5), имеет место достаточно
большой разброс результатов, соответствующих различным моделям.
-0,02
-0,04
-0,06
-0,08
-ОД
0,8	0,84	0,88	0,92 0,96 г/гн
Рис. 6.3. Радиальные распределения
коэффициента давления по поверх¬
ности неподвижной стенки каверны

а
б
в
и?
и?
Рис. 6.4. Геометрия расчетной области (а) и положение секущих плоскостей
при ж = 0м(б)и2 = 0,005 м (б)
Рис. 6.5. Радиальные распределения углов закрутки потока, осредненных
в окружном направлении, при х = 0 (а) и х = 0,005 м (б)
Рис. 6.6. Радиальные распределения углов, определяющих направление потока
в серединной плоскости выходного сечения межлопаточного канала
Максимальные потери полного давления в выходном сечении со¬
ответствуют области смешения потоков позади задней кромки профи¬
ля (рис. 6.7). Максимальное значения полного давления в выходном
сечении, полученное на основе стандартной к-е модели, ниже по

Ро • ю5, Па
1	5	9	13	17	21	25	29	33
2,00 2,33 2,67 2,95 3,25 3,33 3,38 3,50 3,83
Рис. 6.7. Линии уровня полного давления в выходном сечении
сравнению с другими моделями турбулентности (результаты на рис. 6.7
соответствуют к-е модели с поправкой на кривизну линий тока).
Расходы через различные сечения каверны и потери полного дав¬
ления приведены в табл.6.1 (после 60000 многосеточных циклов), где
те — полный расход; т* и т0 — расходы через входное и выходное се¬
чения каверны; тс — расход охладителя (рис. 6.1). В отличие от других
моделей, уровень сходимости стандартной к-е модели представляется
неудовлетворительным.
Сравнение результатов, полученных при помощи различных вер¬
сий модели Спаларта-Аллмараса, показывает, что увеличение расхода
охладителя на 0,27% приводит к изменению полного расхода на 0,56%
Таблица 6.1. Расходы через различные сечения каверны
и потери полного давления
Модель
7Пе, КГ/С
ГГЦ,
кг/с
та
кг/с
тс,
кг/с
Ь, %
Я\
я2
5А1
4,4548
1,0-
10-8
2,35
10-2
2,48
10-2
1,84
-11,16
-15,88
5А2
4,4586
4,0-
10-8
2,36
10-2
2,49
10-2
1,85
-10,89
-15,42
КЕ1
4,4482
1,2 -
10~8
2,55
10-2
2,31
10“2
3,30
-9,91
-11,17
КЕ2
4,4518
1,2-
10-8
2,35
10-2
2,31
10-2
2,17
-9,76
-11,86
КЕЗ
4,4841
2,2-
10-8
2,39
10-2
2,50
10-2
1,39
-11,03
-14,75
[164]
4,4798
4,8-
10-5
1,33
10"2
1,27
10-2
1,34
-14,56
-16,56

от полного расхода и увеличению потерь на 0,5% от полного давления
на входе в канал. Потери составляют 2,1% от скоростного напора
на выходе. Чувствительность результатов расчетов к выбору модели
турбулентности проявляется в том, что модели к-е дают максимум
расхода во входном сечении каверны и коэффициента потерь среди
всех моделей турбулентности.
Результаты, полученные на основе к-е модели с поправкой
Като-Лаундера и без нее, согласуются между собой, за исключением
коэффициента потерь (разница составляет 51,6%). Однако уровень
сходимости стандартной к-е существенно хуже, чем других моделей
турбулентности.
Серия расчетов производится для различных значений массового
расхода охладителя. Для замыкания используются к-е модель с по¬
правкой Като-Лаундера, к-е модель с поправкой на кривизну линий
тока и модифицированная модель Спаларта-Аллмараса. Полученные
результаты приведены в табл. 6.2. При увеличении расхода вдуваемого
газа от 1,38% до 1,76% от полного расхода все модели турбулент¬
ности указывают на изменение коэффициента потерь приблизительно
на 0,5%. При уменьшении расхода инжектируемого газа до 0,52% от
полного расхода к-е модель с поправкой Като-Лаундера демонстрирует
существенно меньшее изменение коэффициента потерь по сравнению
с другими моделями турбулентности.
Таблица 6.2. Влияние расхода охладителя
на потери полного давления
Модель
те, кг/с
гщ,
кг/с
т0
.кг/с
ГПс,
кг/с
Ь, %
Я,
я2
гпс = 0,52 %
ТПе
5А2
4,4573
3,6 -
10"8
2,37
• 10"2
2,48-
10-2
1,85
-10,56
-15,12
КЕ2
4,4521
1,1
10-8
2,49
• 10"2
2,38 •
10"2
2,15
-9,72
-11,54
КЕЗ
4,4564
2,1
10"8
2,41
• 10"2
2,51 •
10-2
1,42
-12,16
-14,62
тпг —
1,38%
ТПр
5А2
4,5049
4,5
10"8
5,54
• 10"2
6.18 •
10"2
3,10
-10,19
-14,85
КЕ2
4,5285
2,0
10"8
5,94
• ю-2
6,40-
Ю-2
2,58
-10,26
-9,87
КЕЗ
4,4843
3,2
10-8
5,82
• 10"2
6,57 •
10-2
2,40
-10,24
-14,48
тпс =
1,76%
ТПе
5А2
4,5254
5,7
10~8
7,83
•10-2
8,89-
10~2
3,64
-10,06
-14,30
КЕ2
4,5513
3,7
10"8
8,00
• 10"2
8,69-
10-2
3,19
-10,25
-9,15
КЕЗ
4,5386
4,0
ю-8
7,88
• 10-2
8,92-
10-2
2,94
-10,13
-13,27
Влияние поправки на кривизну линий тока поясняет рис. 6.8, кото¬
рый показывает линии уровня кинетической энергии турбулентности
в серединном сечении межлопаточного канала (при постоянном значе¬
нии координаты г = 0,16 м). Уровень кинетической энергии турбулент-

Рис. 6.8. Линии уровня кинетической энергии турбулентности в серединном
сечении, полученные на основе к-е модели (а) и к-е модели с поправкой на
кривизну линий тока (б)
ности остается практически нулевым в большей части расчетной обла¬
сти (вдали от профиля). Вблизи передней кромки профиля стандартная
к-е модель, в которой слагаемое, описывающее производство турбу¬
лентности, рассчитывается на основе инварианта тензора скоростей
деформаций, дает завышенный уровень турбулентности из-за чрез¬
мерной генерации турбулентности. Введение поправки Като-Лаундера
позволяет уменьшить генерацию турбулентности, тем не менее, ее уро¬
вень остается достаточно высоким. Завышенный уровень кинетической
энергии турбулентности сносится вниз по течению и увеличивается
вследствие высоких значений компонентов тензора скоростей деформа¬
ций и ускорения потока вдоль поверхности разрежения профиля. Такой
эффект связан с представлением члена производства турбулентности
в уравнениях к-е модели, в которой он вычисляется на основе инва¬
рианта тензора скоростей деформаций. Поправка на кривизну линий
тока подавляет нефизически высокий уровень кинетической энергии
турбулентности вблизи передней кромки профиля. В результате уро¬
вень турбулентности остается низким во всей вычислительной области,
исключая зону отрыва потока. Такое поведение кинетической энергии
турбулентности подтверждается данными работы [306], в которой ис¬
пользуются 55Т-модель и У2Р-модель.
6.1.4. Формирование и структура вторичных течений. Вторич¬
ные течения представляют собой один из основных факторов, ока¬
зывающих влияние на потери полного давления (до 30% от общих
потерь полного давления в ступени газовой турбины) и показатели
производительности (эффективность уменьшается приблизительно на
3%), а также приводят к увеличению теплового потока к поверхно¬
сти лопатки и стенкам меж лопаточного канала [64, 360]. Вторичные
течения формируются в окрестности поверхности, образованной пе¬
ресечением профиля со стенками меж лопаточного канала, вследствие

взаимодействия подковообразного вихря, образующегося вверх по по¬
току от передней кромки профиля, с вихревыми структурами, развива¬
ющимися в канале из-за кривизны поверхности профиля и градиента
давления [271]. Кривизна профиля и градиент давления в канале при¬
водят к миграции подковообразного вихря в поперечном направлении
(относительно потока в канале).
Для понимания структуры, особенностей формирования вторич¬
ных течений и их визуализации необходимы данные о распределении
статического давления (рис. 6.9) и поверхностного трения (рис. 6.10)
в пограничных слоях, формирующихся на профиле и ограничивающих
поверхностях [10]. Для расчетов используется к-е модель с поправкой
на кривизну линий тока. Приведенные результаты показывают области
течения с низким уровнем поверхностного трения, соответствующим
его торможению. Поток не способен преодолеть неблагоприятный гра¬
диент давления в пограничном слое, вследствие чего происходит отрыв
и взаимодействие оторвавшегося пограничного слоя с вихрем, сфор¬
мированным отрывом потока от стенки межлопаточного канала. Полу¬
ченные распределения качественно согласуются с результатами [306],
основанными на 55Т-модели и У2Р-модели.
р • 105, Па
Рис. 6.9. Линии уровня статического давления на поверхности разрежения
профиля

Рис. 6.10. Линии уровня сдвиговых напряжений на поверхности разрежения
профиля, полученные по к-е модели (а), к-е модели с поправкой на кривизну
линий тока (б), модели Спаларта-Аллмараса (в), модифицированной модели
Спаларта-Аллмараса (г)
Расчеты с использованием модели Спаларта-Аллмараса дают наи¬
более низкий уровень напряжения поверхностного трения, в то время
как к-е модель приводит к его наивысшим значениям. Такое поведение
объясняется завышенным уровнем кинетической энергии турбулентно¬
сти в свободном потоке. Косвенным признаком отрыва потока служит
резкое увеличение напряжения трения на поверхности профиля. Дан¬
ные, приведенные на рис. 6.10, показывают, что модель Спаларта-Алл¬
мараса и к-е модель предсказывают отрыв потока вблизи передней
кромки профиля. В то же время к-е модель с поправкой на кривизну
линий тока дает отрыв потока в серединной части профиля, на что
указывает существенное увеличение напряжения поверхностного тре¬
ния в этой области.
Интересно отметить, что эффекты, связанные с чувствительностью
распределения напряжения поверхностного трения к выбору модели
турбулентности, наблюдаются при использовании более сложных мо¬
делей турбулентности, в частности 5$Т-модели и У2Р-модели [306].
Области потока с максимальным уровнем завихренности, распо¬
ложенные в окрестности передней кромки профиля на поверхности
разрежения профиля, соответствуют области течения с максимальными
потерями полного давления. Расчеты с использованием к-е модели
со стандартным представлением члена производства турбулентности
приводят к наибольшим потерям полного давления, что объясняется

завышенным уровнем кинетической энергии турбулентности и завы¬
шенной толщиной пограничного слоя.
Исследование топологических особенностей течения и типа особых
точек на поверхности разрежения профиля и стенках межлопаточно¬
го канала показывает, что около передней кромки профиля форми¬
руется седловая точка, соответствующая зарождению подковообраз¬
ного вихря.
6.2.	Течение и теплообмен в каверне,
образованной зазором между ротором и статором
Проводится численное моделирования турбулентного течения и со¬
пряженного теплообмена в каверне, образованной зазором между ро¬
тором и статором. Исследуется влияние массового расхода охладителя
на структуру течения и эффективность охлаждения стенок ротора и
статора. Результаты расчетов сравниваются с имеющимися данными
физического эксперимента.
6.2.1.	Течения и теплообмен во вращающихся кавернах. Меж¬
ду статором и ротором всегда имеется осевой зазор (пт зеа1), через
который горячий газ из межлопаточного канала проникает в каверну
(рис. 6.11). В соответствии с направлением потока в межлопаточном
канале, каверна разделяется на две каверны, находящиеся вверх и вниз
по потоку, разделенные лабиринтным уплотнением, предотвращающим
перетекание газа между ними.
Для защиты поверхности ротора от теплового воздействия горя¬
чего газа производится отбор холодного газа из компрессора и его
инжекция в каверну. В каверне происходит смешение горячего газа,
проникающего из межлопаточного канала, и холодного газа, который
подается из компрессора. Проникновение горячего газа из основного
потока через зазор в каверну приводит к уменьшению расхода рабочей
Д
Каверна
Охладитель
Охладитель
Рис. 6.11. Участок межлопаточного канала, ограниченный направляющими
и роторными лопатками (1игЫпе зШог дуеП)

среды в межлопаточном канале. Поток из каверны, находящейся вниз
по потоку, протекает в каверну, находяющуюся вверх потоку, и посту¬
пает обратно в межлопаточный канал (для уменьшения таких протечек
используется лабиринтное уплотнение между двумя кавернами). Из-за
проникновения холодного газа из каверны в основной поток происхо¬
дит понижение температуры рабочей среды в межлопаточном канале,
что отрицательным образом сказывается на показателях эффективно¬
сти. В связи с этим возникает необходимость определения расхода
охладителя, который обеспечивает надлежащую тепловую защиту кон¬
структивных элементов газовой турбины и сохранение показателей ее
эффективности на нужном уровне.
Газ из межлопаточного канала проникает в каверну вследствие
действия различных факторов, среди которых следует отметить враще¬
ние ротора [310-312], приводящее к понижению давлению в каверне
и дополнительной инжекции горячего газа из межлопаточного канала
в каверну (жидкость в пограничном слое ротора отбрасывается под
действием центробежной силы наружу, а в пограничном слое статора
движется к центру); несимметричность распределения статического
давления в окружном направлении в межлопаточном канале [111, 116],
связанная со следами за направляющими лопатками; нестационарные
эффекты взаимодействия направляющих и роторных лопаток [170].
В имеющихся публикациях [21, 63, 65, 77, 85, 90, 91, 95, 111, 116,
143, 170, 186, 227, 298, 310-312, 320, 339, 343, 373, 420] рассмат¬
риваются различные геометрические конфигурации каверны и зазора
между ротором и статором, обеспечивающие оптимальные характе¬
ристики производительности газовой турбины, а также математиче¬
ские модели разного уровня сложности (осесимметричные трехмерные,
стационарные нестационарные) и модели турбулентности. Наиболее
популярными моделями турбулентности являются к-е модель, модель
Спаларта-Аллмараса и 55Т-модель.
Простейшей конфигурацией, воспроизводящей основные особенно¬
сти течения в каверне газовой турбины, является течение в откры¬
той осесимметричной каверне, ограниченной вращающимся и непо¬
движным дисками [298]. При достаточно большйх осевых зазорах
пограничные слои на роторе и статоре разделены слоем жидкости,
в котором влияние вязкости является пренебрежимо малым, а сама
жидкость вращается как твердое тело с угловой скоростью, равной
0,3а; в ламинарном режиме и 0,43а; в турбулентном, где и> — угловая
скорость вращения диска.
С точки зрения эффективности наилучшим вариантом зазора между
ротором и статором является тот, в котором верхний край статора
находится немного выше верхнего края ротора с небольшим перехле¬
стом между ними [310-312] (выбор произведен среди 7 различных
геометрических конфигураций каверны, наличие внешнего потока не
учитывается). Дополнительный механизм, позволяющий минимизиро¬
вать тепловое воздействие рабочего тела на стенки каверны, состоит

в ее разделении на подсекции за счет создания осевых зазоров в объеме
каверны.
На течение в каверне существенное влияние оказывает несиммет¬
ричность распределения давления в межлопаточном канале. В зависи¬
мости от соотношения между линейным и вращательным числами Рей¬
нольдса выделяют два характерных режима течения [298, 310-312].
При малых отношениях Кех/Ееа; течение контролируется вращени¬
ем диска (го1:а1юп-(1от!па1ес1 ге^те), а при больших отношениях
Квх/Кви, — условиями течения в межлопаточном канале (ех!егпа1-
йотта^ес! ге^ше). При больших Кех/Яе^ инжекция горячего газа
из межлопаточного канала в каверну зависит от вращательного чис¬
ла Рейнольдса, а его расход пропорционален линейному числу Рей¬
нольдса [298].
Для учета эффектов взаимодействия потока, поступающего в ка¬
верну из межлопаточного канала, с потоком охладителя имеется
ряд корреляционных зависимостей для характеристик теплообме¬
на [77, 111, 116, 310-312, 343], построенных на'основе данных
физического эксперимента. В работе [77] построена корреляционная
зависимость, дающая минимальное значение безразмерного расхода
охладителя, позволяющее предотвратить инжекцию горячего газа из
межлопаточного канала в каверну. Для уточнения используется инте¬
гральное уравнение сохранения количества движения и эмпирическая
модель течения в осевом зазоре [111]. Эмпирические соотношения для
расходов газа, покидающего и поступающего в каверну из межлопа¬
точного канала, приводятся в работе [343].
Несмотря на простоту и эффективность, одномерные математиче¬
ские модели [227, 320] не позволяют получить детальной информации
о	поле течения газа в каверне и характеристиках теплообмена в широ¬
ком диапазоне параметров задачи.
Одномерная модель, учитывающая протечки между корпусом и дис¬
ком, построена в работе [399]. Использование этой модели позволяет
повысить точность расчета приращения давления в ступени компрес¬
сора и распределения полного давления в окружном направлении по
сравнению со случаем, когда протечки игнорируются.
В модели [72] считается, что основное влияние на поток оказы¬
вает каверна, находящаяся вниз по потоку (лабиринтное уплотнение
не включается в модель), что позволяет получить корреляционную
формулу для коэффициента момента для различных входных условий
и геометрии каверны.
Результаты трехмерных расчетов показывают, что наиболее чув¬
ствительным элементом к изменению входных условий задачи явля¬
ется ширина зазора в лабиринтном уплотнении [183]. Существенное
влияние на производительность оказывает тангенциальная скорость
потока, выходящего из каверны, находящейся вверх по потоку. Глубина
каверны оказывает сравнительно слабое влияние на распределение
температуры. Несимметрия потока в межлопаточном канале, связанная

с влиянием лопаток ротора и статора, сказывается на течении в каверне
на радиальном расстоянии, приблизительно равном 10% от высоты
лопаток.
Осесимметричная и трехмерная модели в несжимаемой и сжимае¬
мой постановке для исследования влияния геометрии лопаток ротора
и корпуса на величину протечек используются в работах [300-302]
(конфигурация лабиринтного уплотнения поддерживается неизменной).
Рассматриваются обе каверны, разделенные лабиринтным уплотнением
(лабиринтное уплотнение имеет конфигурацию «51га1'^Н1»). Увеличение
тангенциальной скорости в каверне, находящейся вниз по потоку, при¬
водит к уменьшению протечек. Уровень тепловых потоков в каверне,
находящейся вниз по потоку, выше, чем в каверне, находящейся вверх
по потоку. Максимальное число Нуссельта имеет место на оребре-
нии лабиринтного уплотнения. Течение в каверне, находящейся вверх
по потоку, является практически осесимметричным, в то время как
течение в каверне, находящейся вниз по потоку, носит трехмерный
характер.
Измерения характеристик потока в двуступенчатом компрессоре
и трехмерные расчеты в стационарной постановке показывают, что те¬
чение в каверне является практически осесимметричным, а его струк¬
тура в существенной степени определения скоростью вращения [344].
При увеличение угловой скорости вращения влияние потока в межло-
паточном канале на течение в каверне усиливается. На поверхности
диска, находящегося вниз по потоку ((1ои'П51геаш го!ог сНзс), имеется
радиальная точка торможения, которая при увеличении скорости вра¬
щения ротора перемещается вглубь каверны.
В работах [65] и [143] приводятся экспериментальные и расчетные
данные по характеристикам потока и теплообмена в двуступенчатой
турбине с учетом влияния направляющих и роторных лопаток. Расчеты
проводятся при помощи модели турбулентности Спаларта-Аллмараса
в стационарной и нестационарной постановках на сетке, содержащей
приблизительно 2 • 106 узлов. Несмотря на некоторое рассогласова¬
ние расчетных данных по эффективности охлаждения, полученных
в стационарной и нестационарной постановках, обе модели указывают
на одинаковые тенденции изменения эффективности охлаждения при
варьировании параметров задачи.
Различные геометрические модели ступени газовой турбины рас¬
сматриваются в работах [111, 116]. Во всех случаях используется
одна и та же геометрическая конфигурация каверны и межлопаточного
канала. В моделях 1 и 2 учитывается влияние либо направляющих
лопаток, либо лопаток ротора, а расчеты проводятся в стационарной
постановке. В моделях 3 и 4 учитывается влияние как направляющих,
так и роторных лопаток. В случае 3 расчеты проводятся в стационарной
постановке, а в случае 4 — нестационарной. Направляющие и ротор¬
ные лопатки воспроизводятся в упрощенной форме, позволяя учесть
несимметричность распределения давления в следе за ними [111, 116].

Наилучшее согласование с данными измерений дает модель 4, требуя
при этом наибольших затрат компьютерного времени. Несимметрия
распределения давления в межлопаточном канале, создаваемая ротор¬
ными лопатками (модель 2), оказывает большее влияние на степень
охлаждения, чем следы за направляющими лопатками (модель 1).
Эффекты, связанные с вращением ротора, имеют лишь второстепенное
влияние на эффективность охлаждения [111, 116].
Данные [111, 116] подтверждаются результатами [85] и [339], по¬
лученными в стационарной и нестационарной постановках с учетом
взаимодействия направляющих и роторных лопаток. Направляющие
лопатки незначительно изменяют структуру течения в каверне, приво¬
дя к некоторому уменьшению показателя эффективности [373].
Расчеты [420] проводятся в нестационарной постановке либо для
полной геометрической модели без учета направляющих и роторных
лопаток (модель 1), либо для 1/15 модели с постановкой периодических
граничных условий в окружном направлении с учетом (модель 2)
и без учета (модель 3) влияния направляющих и роторных лопаток.
Удовлетворительное согласование с данными измерений получено лишь
для модели 2 при достаточно высоких массовых расходах охладителя.
При малых расходах охладителя результаты расчетов по моделям 2
и 3 являются неудовлетворительными. Для расчетов используются к-е
модель турбулентности и 55Т-модель. Результаты численного моде¬
лирования демонстрируют слабую чувствительность к выбору модели
турбулентности [63, 420].
Данные по потерям полного давления в межлопаточном канале
газовой турбины и влиянию на них расхода газа, вдуваемого из ка¬
верны, приводятся в работе [21]. Численные расчеты проводятся при
помощи нескольких моделей турбулентности, исследуется их точность
и показатели производительности.
В отличие от работы [420], расчеты [186] имеют хорошее согласо¬
вание с данными измерений лишь при малых расходах охладителя.
Некоторые данные указывают на то, что в зазоре между ротором
и статором имеют место сложные нестационарные эффекты [95].
При проектировании современных высокотехнологических изделий,
к которым относятся газовые турбины, важным является интеграция
газодинамических расчетов с тепловыми конечно-элементными расче¬
тами и учет влияния сопряженного теплообмена в каверне, образо¬
ванной зазором между ротором и статором, на эффективность охлаж¬
дения.
6.2.2.	Геометрия каверны. Рассмотрим каверну, образованную
зазором между ротором и статором и показанную на рис. 6.12
(с1о\уп51геат з!а1ог у/е11 сауКу). Засечки и стрелки указывают границу
контакта металла и жидкости. Геометрия осевого зазора между рото¬
ром и статором выбирается, исходя из рекомендаций работы [310-312],
и используемой для численных расчетов в работе [65].

Основной поток
в межлопаточном канале
Корпус
Рис. 6.13. Область, занятая жидкостью, и граничные условия
Конечно-элементные расчеты проводятся в осесимметричной поста¬
новке, а расчеты поля течения жидкости — в трехмерной постановке
с использованием периодических граничных условий в окружном на¬
правлении (рис. 6.13).

Внутренний и внешний радиусы каверны равняются г* = 0,152 м
и т0 = 0,178 м. Линия корпуса наклонена к оси симметрии под углом
6°. Для условий задачи Ке^ = 8,89 * 104 и Ке^ = 9,85 • 105, что соот¬
ветствует турбулентному режиму течения.
Течение в межлопаточном канале не рассчитывается. Для уменьше¬
ния затрат процессорного времени направляющие и роторные лопатки
не включаются в геометрическую модель (полная модель содержит 39
направлению лопаток и 78 роторных лопаток). Для учета неравномер¬
ности потока в межлопаточном канале к каверне пристыкуется допол¬
нительный блок, имеющий трапециидальную форму в меридианальном
сечении, верхняя стенка которого является неподвижной (корпус).
Несимметричность распределения статического давления в межлопа¬
точном канале учитывается при помощи соответствующей постановки
граничных условий.
6.2.3.	Расчетные сетки. Конечно-элементная сетка содержит
4949 ячеек треугольной формы и 11 259 узлов (рис.6.14). При гене¬
рации конечно-элементной сетки задается отношение радиусов окруж¬
ностей, описанной и вписанной в треугольник, равное 5, а также
ограничивается максимальный размер грани ячейки.
«.‘аЛ».*.*I * /■•■'■У
Рис. 6.14. Конечно-элементная сетка
Для расчета поля течения жидкости в каверне используется трех¬
мерная модель, представляющая собой сектор с углом раствора 9,23°
(1/39 полной модели). Блочно-структурированная сетка, используемая
для расчета поля течения жидкости в каверне, содержит 312 876 ячеек
(сетка разбивается на 11 блоков), при этом в окружном направлении
размещается 18 ячеек (рис. 6.15). Поверхность ротора содержит 8820
граней, а поверхность статора — 7560 граней.

Рис. 6.15. Конечно-разностная сетка в серединном сечении каверны
Координата у+ изменяется от 15 до 100 на поверхности ротора и от
20 до 150 на поверхности статора. Минимальные значения координаты
у+ достигаются вблизи входного сечения каверны, плавно возрастая
затем до своих предельных значений вблизи выходного сечения.
6.2.4.	Начальные и граничные условия. Решение нестационар¬
ного уравнения теплопроводности, описывающего распределение тем¬
пературы металла, ищется на интервале времени I € (0,103] с. Урав¬
нение, описывающее течение жидкости, решается на каждой итерации
с шагом по времени, равным 2 • 10~6 с.
В качестве начального поля температуры жидкости для сопряжен¬
ного теплового моделирования принимается распределение, полученное
для теплоизолированных стенок каверны. В начальный момент времени
ротор и статор считаются равномерно прогретыми {Тто = 300 К).
На внешних границах ротора и статора задаются коэффициенты
теплоотдачи а = 400 Вт/(м2*К) и распределения температуры, по¬
казанные на рис. 6.16 и полученные в результате теплового расчета
других компонентов газовой турбины. В качестве пространственной

координаты используется параметр, изменяющийся от 0 до 1 и отсчи¬
тываемый вдоль внешнего контура модели (значение 0 соответствует
входной границе каверны, а значе¬
ние 1 — границе сопряжения кавер¬
ны с межлопаточным каналом).
Изменение коэффициента теп¬
лоотдачи, задаваемого на внешних
границах статора и ротора, вплоть
до а = 105 Вт/(м2- К) оказывает
слабое влияние на распределение
температуры по границе контакта
жидкости и металла (различие ре¬
зультатов по температуре не превы¬
шает 3 К).
На входной границе блока,
представляющего собой часть меж¬
лопаточного канала, задаются мас¬
совый расход (те = 4,89 кг/с), на¬
правление потока, температура тор¬
можения (То = 432 К), а также характеристики турбулентности (сте¬
пень турбулентности составляет 10%, а гидравлический диаметр —
0,064 м).
Для учета несимметричности потока во входном сечении расчет¬
ной области, вызванной направляющими лопатками, которые имеются
в реальной конструкции, но не учитываются в геометрической модели,
используется подход [116], основанный на обработке эксперименталь¬
ных и расчетных данных.
На средние значения давления (р), а также осевой и тангенциаль¬
ной скорости (ух) и (ув), рассчитанные без использования допущения
о	симметрии потока в межлопаточном канале, накладываются возму¬
щения вида
р = {р) + ^Арсоз(Л/'0) ехр	;
Ух — (их) — 4 — сов(N9 + А) ехр ( — И-
2 рч	\	г
Щ = (М -4— зт(ДО0 + А) ехр (- ТУ- ).
2	РЯ	\	г/
Предполагается, что при движении газа от входного сечения межлопа¬
точного канала (индекс г) к задней кромке лопатки (индекс е) давление
изменяется по экспоненциальному закону
Рис. 6.16. Распределения темпера¬
туры на внешней поверхности рото¬
ра (линия 1) и статора (линия 2)

Средняя скорость потока вычисляется по формуле
я = {(ух)2 + Ы2 + Ы2)1/2-
Здесь А — угол установки лопатки (А = 70°); N — число направляю¬
щих лопаток (А^ = 39).
В расчетах при массовом расходе те = 4,89 кг/с принимается, что
(г>х) = 123,5 м/с и (г»#) = 252,7 м/с, а среднее значение радиальной
скорости полагается равным нулю (уг) = 0. Число Маха на входе
в межлопаточный канал достигает М = 0,67. Под Аре понимается
амплитуда изменения давления в окружном направлении во входном
сечении, которая выбирается, исходя из данных физического экспери¬
мента, а при их отсутствии обычно принимается, что Аре составляет
приблизительно 20-30% от давления на задней кромке лопатки [116]
(в расчетах Аре = 1,143 • 104 Па).
При постановке граничных условий на входной границе каверны
считается, что газ из межлопаточного канала не проникает ко входному
сечению каверны или не успевает обмениваться теплом с холодным
газом, поступающим в каверну. При этом задаются массовый расход,
который является параметром расчета, направление потока (углы рас¬
считываются, исходя из составляющих скорости), полная температура
(То = 300 К) и характеристики турбулентности (степень турбулентно¬
сти составляет 3%, а гидравлический диаметр — 0,0072 м). Нижняя
граница расхода охлаждающего воздуха тс = 3,06 • 10-6 кг/с соот¬
ветствует отсутствию вдува холодного газа (случай 1), а при расходе
тс = 7,34 • 10_3 кг/с газ из межлопаточного канала не проникает
в каверну (случай 2). Осевая скорость изменяется в соответствии
с заданным массовым расходом во входном сечении каверны (ух = 0
в случае 1 и ьх — 5,61 м/с в случае 2). Тангенциальная скорость пола¬
гается равной среднему значению и)Гг/2, где и — 1110 с-1 представляет
собой угловую скорость вращения ротора, что дает и$ = 62,94 м/с
в случаях 1 и 2.
Градиент давления на выходной границе канала находится из соот¬
ношения др/дг — ру^/г (вкладом производной дуТ/дг пренебрегается).
В качестве точки отсчета используется давление в нижней точке вы¬
ходной границы {р — 1,12 • 105 Па).
На неподвижной стенке, ограничивающей блок, который присты¬
куется к каверне и моделирует течение в межлопаточном канале,
используются граничные условия прилипания и непротекания. Верх¬
няя стенка корпуса считается теплоизолированной (тепловое состояние
корпуса не рассматривается).
6.2.5.	Результаты расчетов. В качестве начального приближения
рассчитывается поле течения жидкости в каверне при теплоизолиро¬
ванной поверхности ротора и статора, а затем — температурное поле

металла и жидкости с итерационной увязкой температуры на границе
раздела сред.
Течение в каверне. Результаты расчетов, приведенные на рис. 6.17
для случая 2, показывают, что течение в каверне носит нестационар¬
ный характер. Точка I располагается за пределами каверны в меж-
лопаточном канале близко к поверхности статора (х = 1,84806 м,
г = 0,14194 м, в = -0,00848). Точка 2 располагается в выходном
сечении каверны. Точка 3 располагается приблизительно в середине
каверны близко к поверхности статора (х = 1,83363 м, г = 0,12916 м,
в = -0,00896).
р • 105, Па
1,125
1,115
1,105
1,095
1,085
1,075
0с
Рис. 6.17. Изменение давления в контрольных точках во времени
Во всех трех точках имеют место осцилляции давления около сред¬
него значения. Амплитуда осцилляций давления является наибольшей
в точке 2 (Ар = 684 Па), расположенной в выходном сечении каверны.
Амплитуды осцилляций давления в точках 2 и 3 имеют существенно
меньшие значения (Ар = 242 Па в точке 1 и Ар = 25 Па в точке 3).
При этом частоты колебаний давления принимают приблизительно оди¬
наковые значения во всех контрольных точках (/ = 7010 Гц в точке 1,
/ = 6995 Гц в точке 2, / = 6970 Гц в точке 3). Это свидетельству¬
ет о том, что осцилляции появляются в выходном сечении каверны
и распространяются в окружающей жидкости, постепенно затухая при
удалении от выходного сечения каверны.
Появление периодических осцилляций давления в контрольных точ¬
ках внутри каверны может служить одним из критериев сходимости
итерационного процесса.
Линии тока в каверне показывает рис. 6.18 при тс = 0,01 кг/с.
Жидкость из входного сечения каверны проникает в пограничный слой
на роторе и течет вдоль радиуса, покидая каверну через ее выходное
сечение и поступая в межлопаточный канал. Основной вихрь занимает
практически весь объем каверны. Вторичный вихрь образуется в ниж¬
ней части каверны вблизи излома поверхности статора. При данном

Рис. 6.18. Линии тока в каверне
расходе охладителя газ из межлопаточного канала практически не
поступает в каверну.
При уменьшении массового расхода охладителя (от тс = 0,01 кг/с
до тс = 10-6 кг/с) вихревая картина течения в каверне изменяется
достаточно слабо. Интенсивность основного вихря уменьшается, но его
положение остается практически неизменным, демонстрируя лишь сла¬
бое смещение в нижнюю часть каверны. Основные отличия в вихревых
картинах течения в случаях 1 (отсутствие охлаждения) и 2 (высокий
массовый расход охладителя) состоят в том, что в случае 1 отсутствует
рециркуляционная зона в выходном сечении каверны.
Результаты расчетов коэффициента давления на поверхности ста¬
тора в сравнении с данными физического эксперимента приводятся на
рис. 6.19. Коэффициент давления рассчитывается по формуле
г = 2[(р(0) - (рЫ)]
Р (Р(г*))(гни)2
где г* — радиальная координата точки, принятой за точку отсчета
(г* = 0,96гь, гн — внешний радиус каверны). Значение безразмерной
радиальной координаты г/гн = ,1 соответствует выходному сечению
каверны. По мере приближения ко входному сечению каверны, че¬
рез которое производится вдув охладителя, согласование расчетных
и экспериментальных данных несколько ухудшается, что объясняется
влиянием условий во входном сечении.
В физическом эксперименте для расчета локальной эффективности
охлаждения (зеа1 еШс!епсу) обычно используется концентрация пас¬

сивного скаляра [143]
Ф =
с(г) - С€
Сс Се
Индексы ей с соответствуют межлопаточному каналу и потоку охла¬
дителя.
При отсутствии опции для решения уравнения переноса пассивного
скаляра в численном эксперименте для вычисления эффективности
охлаждения используются массовые
расходы газа через осевой зазор
между ротором и статором [95]:
Г] =
{тс)
(т0) + (т) ’
Рис. 6.19. Сравнение распределе¬
ния коэффициента давления по
поверхности статора (значки о)
с данными [65] (значки •)
где (тпс) — средний расход охлади¬
теля во входном сечении каверны,
(тг) — средний расход рабочей сре¬
ды, проникающей в каверну из меж-
лопаточного канала, (тп0) — сред¬
ний расход рабочей среды, покидаю¬
щей каверну и поступающей в меж-
лопаточный канал. Угловые скобки
соответствуют осреднению массово¬
го расхода во времени:
(то) =
тсИ,
где Т — период осреднения. Учитывая условие сохранения расхода
('ТПо) = (тПг) + (ГПС), получим
Т] — \ — (Г71г)/{т0).
При этом г] = 0 при отсутствии охлаждения (тос = 0) и г) —* 1 при
увеличении расхода охладителя (тс —>• оо). Расходы газа, проникаю¬
щего в каверну из межлопаточного канала и покидающего каверну,
находятся из соотношений
1
ггц - -
т°~ 2
/>(|у • п| — V • п) С13]
•	п| + V • п) <13.
Здесь п — вектор внешней единичной нормали; 3 — площадь вы¬
ходного сечения каверны, представляющего собой круговой цилиндр
с радиусом основания 0,15 м.

Результаты расчетов по эффективности охлаждения достаточно
хорошо согласуются с данными физического эксперимента [116]
(рис. 6.20). Приводится лишь
участок изменения массового
расхода охладителя, соответ¬
ствующий данным измерений.
Максимальная погрешность рас¬
четных и экспериментальных
данных составляет 7,56%.
Подход, используемый для
расчета эффективности охла¬
ждения, не учитывает возмож¬
ность ре-инжекции охладителя
в каверну. На практике это при¬
водит к более низким значе¬
ниям эффективности охлажде¬
ния по сравнению с данными
физического эксперимента, осно¬
ванными на расчете эффектив¬
ности охлаждения по концен¬
трации пассивного скаляра [95].
Качественное поведение эффек¬
тивности охлаждения, характеризуемой параметрами ф и г], является
одинаковым, однако количественное сравнение расчетных и экспери¬
ментальных данных по эффективности охлаждения, вычисленной на
основе концентрации пассивного скаляра и расходов газа через осевой
зазор, представляется затруднительным.
Сопряженный теплообмен. Условие сходимости контролируется
по разности температур металла и жидкости на границе раздела [23]
(ДТ = 0,5 К).
Результаты расчетов, приведенные на рис. 6.21 и соответствующие
конечному моменту времени (Ь/ — 103 с), показывают, что массовый
расход охладителя оказывает существенное влияние на распределение
температуры как по поверхности ротора и статора, так и в объеме
каверны. Символы о и • соответствуют случаю 1 (тпс = 10_6 кг/с, охла¬
ждение отсутствует), а сплошные линии — случаю 2 (тс = 0,01 кг/с).
Пространственная координата изменяется от 0 до 1 вдоль внутреннего
контура модели (пояснения приводятся на рис. 6.13).
При увеличении массового расхода охладителя температуры ротора
и статора уменьшаются. Для ротора изменение температуры поверх¬
ности составляет от 21 до 38 К, а для статора — от 19 до 33 К.
В серединной точке каверны температура уменьшается с 419 К в случае
1 до 385 К в случае 2.
Результаты расчетов для случая 2, обработанные в виде линий
равных значений температуры, показывает рис. 6.22. При уменьшении
Рис. 6.20. Зависимость эффективно¬
сти охлаждения от массового расхо¬
да охладителя. Кривая 1 соответствует
расчетным данным, а кривая 2 — дан¬
ным измерений [116]

т, к
Рис. 6.21. Распределения температуры вдоль поверхности ротора (кривая /,
значки •) и статора (кривая 2, значки о)
х^
V \
Я
т
Рис. 6.22. Линии уровня температуры металла
массового расхода охладителя неравномерность распределения темпе¬
ратуры по толщине ротора и статора возрастает.
Учет сопряженного теплообмена между жидкостью и металлом при¬
водит к тому, что максимальное отличие температуры границы раздела
от результатов, полученных в несопряженной постановке задачи, до¬
стигает 9 К для статора и 7 К для ротора.
Показатель тепловой эффективности охлаждения (1Ьегта1 еШа'еп-
су) рассчитывается исходя из температуры стенки каверны в некоторой

тс, кг/с
Рис. 6.23. Зависимость тепловой эффективности охлаждения от массового
расхода охладителя. Кривая / соответствует поверхности статора, а кривая 2 —
поверхности ротора
точке:
Ге ~ ТШ(Г)
*	Те - Тс '
где Те — температура газа во входном сечении межлопаточного канала;
Тс — температура охладителя во входном сечении каверны.
Результаты расчетов тепловой эффективности охлаждения приво¬
дятся на рис. 6.23 (температура берется в точке г/гп = 0,9767). По¬
лученные данные показывают, что эффективность охлаждения поверх¬
ности статора меньше, чем поверхности ротора, и это расхождение
возрастает при увеличении массового расхода охладителя. Массовый
расход охладителя находится в диапазоне (0-3)%тпс.
6.3.	Течение и сопряженный теплообмен
в каверне турбины низкого давления
Рассмотрим течение и сопряженный теплообмен в каверне турби¬
ны низкого давления газотурбинного двигателя Тгеп1 700 (рис. 6.24).
Область, занятая жидкостью, и граничные условия приводятся на
рис. 6.25. Каверна ограничена диском турбины промежуточного давле¬
ния (1РТ сПзс, ш5), двумя дисками турбины низкого давления (ЬРТ1
сНбс и ЬРТ2 сН$с, \уЗ и \у2), валом турбины промежуточного давления
(1РТ зЬаН:, лу6), валом турбины низкого давления (ЬРТ зЬаМ, V/1)
и стенкой корпуса (Сазт^, >у4). Характерные радиусы каверны равня¬
ются г3/г* = 1,13 и гь/п = 3,54, где п = 0,074 м.
Цикл нагружения (рис. 6.26) содержит 2 горизонтальных участ¬
ка, соответствующих постоянной угловой скорости вращения рото¬
ра. Изменения угловой скорости происходят в интервалах времени
[310,350] с и [1640, 1652] с. Создаются две СРЭ-модели, различающи¬
еся размерностью сеток (толщина пограничного слоя, пристыкуемого

Рис. 6.24. Геометрическая модель и область, занятая жидкостью
о4 у/4
Стенки	Входные границы
VI и = 92,7 360,2 И т = 0,0167 0,106
Т = 400 600 т = 395	705
у/2 и> = 92,7 360,2	12 т = 0,394 1,894
Т = 420 660 т = 380	640
»3ш = 92,7 360,2
«4 и = 0
Т = 470 800
*5 и = 352,6 706,6
Т = 450 700
»6ы = 352,6 706,6
Т = 450 700
Т = 420 680
Выходные границы
о1	р = 1,13-Ю5 4,82-Ю5
02	тп = 0,097 0,725
03	тп = 0,107 0,662
04	т — 0,006 0,058
Рис. 6.25. Область, занятая жидкостью, и граничные условия
к стенке, зависит от скорости вращения), а также граничными услови¬
ями на стенках, входных и выходных границах.
Конечно-элементная сетка содержит 8318 ячеек треугольной формы
и 20444 узлов (рис. 6.27). Расчеты поля течения жидкости проводятся
как на структурированной, так и неструктурированной сетках. Струк¬
турированная конечно-разностная сетка содержит 37 662 и 66372 ячеек
для моделей 1 и 2, а неструктурированная сетка — 39580 ячеек для
модели 1 и 43317 ячеек для модели 2. Для неструктурированной сетки
минимальное и максимальное значения координаты у+ составляют 4
и 22 для модели 1, а для модели 2 — 6 и 55 (для структурированной
сетки эти значения несколько выше — координата у+ изменяется от 15
до 100 для обеих моделей). Фрагменты структурированной и неструк¬
турированной сеток для модели 1 приводятся на рис. 6.28.
Постановку граничных условий иллюстрирует рис. 6.25 (слева ука¬
зывается значение для модели 1, а справа — для модели 2). Начальное

и>, 1/с
1
2 ;
* 4
4^. жЪ
СРБ-модель 2
/
2^ ^з
СРБ-модель 1
О 310 350	1640	1652	2477
I, с
Рис. 6.26. Цикл нагружения
Рис. 6.27. Конечно-элементная сетка
давление в каверне полагается равным 1,13 • 105 Па для модели 1
и 4,82 • 105 Па для модели 2. На входных границах каверны задаются
массовый расход, температура торможения и характеристики турбу¬
лентности {к = 10_3 м2/с2, е = 10-2 м2/с3). На выходной границе
каверны фиксируется массовый расход или статическое давление (тече¬
ние по нормали к выходной границе). Линейное и вращательное числа
Рейнольдса, рассчитанные по параметрам в сечении \2 и угловой ско¬
рости вращения ротора, равняются 7,07 • 104 и 2,97 • 105 для модели 1
и 2,39 • 105 и 2,04 • 106 для модели 2, что соответствует турбулентному
режиму течения.
В качестве начального поля температуры принимается распреде¬
ление, полученное для случая теплоизолированных стенок каверны.
Основные отличия в картине линий тока для моделей 1 и 2 заключа¬
ются в интенсивности вихревых структур в основной части каверны
и ее угловых областях (рис. 6.29). Положение вихревых структур при

Рис. 6.28. Фрагменты структурированной (а) и неструктурированной (б) сеток
около дисков ЬРТ1 и ЬРТ2
Рис. 6.29. Линии тока в каверне для модели 1 (а) и модели 2 (б)
переходе от модели 1 к модели 2 практически не изменяется (модели
отличаются угловыми скоростями вращения диска и граничными усло¬
виями на входе в каверну).
Распределения температуры по поверхности стенок каверны для
моделей 1 и 2 не отличаются в качественном отношении, давая пара¬
болическое распределение температуры стенок каверны по радиусу.
На каждом шаге по времени число итераций для расчета поля
течения жидкости в каверне полагается равным 100 для обеих моделей.
Условие сходимости контролируется по разности температур на грани¬
це раздела, которая равняется 1 К. Максимальная разность температур
металла и жидкости на границе раздела полагается равной 1 К.
Результаты расчетов в виде значений температур металла в кон¬
трольных точках в моменты времени, соответствующие концам участ¬
ков 1, 2 и 3 цикла нагружения, приводятся в табл. 6.3. Колонка 1
соответствует данным физического эксперимента [67], а колонки 2
и 3 — расчетам на структурированной и неструктурированной сетках.
Расхождение результатов, полученных при помощи различных СРО-
модулей, достигает 16 К и слабо зависит от типа используемой сетки.

Таблица 6.3. Температура металла в контрольных точках
Расчеты при помощи модуля [18
Точка
Участок 1
Участок 2
Участок 3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
М1
388,91
374,21
383,88
407,32
391,06
391,06
659,85
657,75
644,03
М2
374,64
366,66
373,11
392,58
384,18
384,18
650,76
643,62
653,45
М3
369,68
361,97
370,03
379,72
371,42
371,42
651,23
648,86
656,67
Расчеты
при помощи пакета Р1иеп1
Точка
Участок 1
Участок 2
Участок 3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
М1
388.91
393,49
387,57
407,32
408,09
408,92
659,85
660,65
660,26
М2
374,64
377,48
375,91
392,58
394,25
396,94
650.76
651,05
651,22
М3
369,68
371,64
372,13
379,72
380,76
382,89
651,23
651,55
651,19
Изменение температуры в контрольных точках во времени приво¬
дятся на рис. 6.30-6.32. Линии 1 и 2 показывают результаты расчетов
на структурированной сетке при помощи пакета Р1иеп{ и модуля [18],
а значки о и □ — соответствующие результаты на неструктурированной
сетке. Значки • соответствуют данным физического эксперимента [67].
Обращает на себя внимание расхождение расчетных и эксперимен¬
тальных данных в точке М2 (рис. 6.31). Возможно, это объясняется
неточностью измерений, поскольку результаты расчетов по различным
СРО-модулям согласуются между собой.
Распределения температуры и теплового потока в конце цикла на¬
гружения показаны на рис. 6.33.
Сопряженные расчеты проводились как при решении всех урав¬
нений, описывающих течение жидкости в каверне, так и при реше-
Т, К
Рис. 6.30. Изменение температуры в точке М1 во времени

т, к
Рис. 6.31. Изменение температуры в точке М2 во времени
Т, К
Рис. 6.32. Изменение температуры в точке М3 во времени
нии только уравнения изменения температуры при замороженном поле
скорости. При этом использовалось различное число многосеточных
итераций на шаге по времени — 300 итераций для модели 1 и 60
итераций для модели 2. Ускорение счета в этом случае составляет
3,1,	а при 50 итерациях на шаг по времени для обеих моделей —
1,2 (в обоих случаях для решения системы разностных уравнений
используется многосеточный метод).
Влияние параметра точности по температуре на результаты расче¬
тов в контрольных точках обобщаются в табл. 6.4. Для решения урав¬
нения изменения температуры жидкости используется метод ОМНЕ5.
Результаты в колонке 1 соответствуют 2 итерациям для модели 1
и 5 итерациям для модели 2 на каждом конечно-элементном шаге по
времени (вариант 1), результаты в колонке 2-5 итерациям для моделей
1	и 2 (вариант 2), результаты в колонке 3-8 и 10 итерациям для
моделей 1 и 2 (вариант 3).

Т, К	?-Ю5,	Вт/м2
Рис. 6.33. Распределения температуры (а) и теплового потока (б) на стенках
\у5 (линия /), \у6 (линия 2), \уЗ (линия 3), \у2 (линия 4), (линия 5) в конце
цикла нагружения
Таблица 6.4. Влияние параметра точности на температуру металла
Параметр точности 5 К
Точка
Участок 1
Участок 2
Участок 3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
М1
М2
М3
376,75
364,80
361,38
380,01
370,27
384,81
384,01
372,36
367,14
426,91
388,15
382,64
351,12
396,20
390,02
404,01
391,25
376,00
662,53
653,81
652,80
662,43
653,73
652,54
663,54
654,08
653,58
Параметр точности 1 К
Точка
Участок 1
Участок 2
Участок 3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
М1
М2
М3
378,09
368,60
362,13
382,57
371,23
365,60
385,54
372,91
367,60
408,73
387,41
375,76
411,85
389,55
378,91
401,28
390,54
374,90
663,26
654,06
653,56
663,26
654,06
653,56
663,41
654,07
653,65
Результаты расчетов для вариантов 1 и 2 при АТ = 5 К являются
неудовлетворительными. Согласование с данными измерений требует
уменьшения параметра по температуре и увеличения числа итераций
для расчета поля течения жидкости в каверне.
Уменьшение параметра точности по температуре с 5 до 1 К приво¬
дит почти к двукратному увеличению числа шагов по времени и, как
следствие, падению ускорения алгоритма. В варианте 1 ускорение
алгоритма уменьшается с 3,84 до 2,28 при уменьшении параметра
точности по температуре с 5 до 1 К, в варианте 2 — с 3,60 до 2,13,
а в варианте 3 — с 2,01 до 1,21.

т, к
700
600
500
400
300
0	500	1000	1500	2000	2500	0	500	1000	1500 2000 2500
с	I,	с
Рис. 6.34. Изменение температуры в контрольных точках во времени. Параметр
точности по температуре принимает значения 5 К (а) и 1 К (б)
Т, К
23 773
21	759
19 745
17 731
15 717
13 703
11	689
9	675
7	661
5	654
3	647
1	640
Рис. 6.35. Линии уровня температуры в каверне в конце цикла нагружения
Поскольку параметр точности по температуре связывается с шагом
по времени, то он оказывает существенное влияние на распределение
температуры металла в контрольных точках (рис. 6.34). В то время
как распределения температуры в точках М2 и М3 (кривые 2 и 3)
практически не изменяются при уменьшении параметра точности с 5
до 1 К, поведение температуры в точке М1 (кривые /) изменяется ка¬
чественным образом (уменьшается или исчезает «горка» при I < 500 с).
Линии уровня температуры в области, занятой жидкостью, в ко¬
нечный момент времени показаны на рис. 6.35. Перепад температур
в объеме каверны достигает 130 К.

6.4.	Течение и сопряженный теплообмен
в каверне компрессора
Рассмотрим каверну компрессора высокого давления газотурбинно¬
го двигателя У2500 (рис. 6.36). Область, занятая жидкостью, и гра¬
ничные условия приводятся на рис. 6.37. Отношение внешнего и внут¬
реннего радиусов каверны составляет г0/п = 1,5. Для учета нерав¬
номерности течения в межлопаточном канале и во входном сечении
каверны к ней пристыкуется дополнительный блок трапециидальной
формы в меридиональном сечении, ограниченный сверху неподвижной
стенкой (корпус).
Цикл нагружения, показанный на рис. 6.38, содержит 2 горизон¬
тальных участка, соответствующих различным угловым скоростям вра¬
щения ротора. Создаются две СРЕ)-модели, различающиеся размер¬
ностью сеток, а также граничными условиями на стенках, входных
и выходных границах.
Конечно-элементная сетка содержит 6740 ячеек треугольной формы
и 16 225 узлов (рис. 6.39). Расчеты поля течения жидкости проводятся
на структурированной сетке, которая содержит 14142 ячеек для модели
Рис. 6.36. Геометрическая модель и область, занятая жидкостью
\у1
Стенки
Входные границы
»1 и = 0
Ц тп= 7,18 36,81
00
I'-
II
848
Т = 475 840
»2 ш = 0
Выходные границы
Т= 478
848
о1 р = 2,86-105 2,38-Ю5
\уЗ ш = 922
1456
о2 771 = 0,023 0,14
Г= 472
858
оЗ тп — 0,06 0,29
у/4 ш = 922
1456
Т= 472
843
»5и = 922
1456
Т = 472
843
*б ч> = 922
1456
Т = 465
838
«г7 ш - 922
1456
Т= 470
815
Рис. 6.37. Область, занятая жидкостью, и граничные условия

Ы, 1/с
1456
922
О
О 92	3878	3884	.	5668
I, с
Рис. 6.38. Цикл нагружения
2^!
Рис. 6.39. Конечно-элементная сетка
1	(рис. 6.40) и 32093 ячеек для модели 2. Координата у+ изменяется
от 18 до 120 для модели 1 и от 10 до 160 для модели 2 (эти значения
находятся в пределах, допустимых для использования метода присте¬
ночных функций).
Постановку граничных условий иллюстрирует рис. 6.37 (слева ука¬
зывается значение для модели 1, а справа — для модели 2). Начальное
давление в каверне полагается равным 2,86 • 105 Па для модели 1
и 2,38 • 106 Па для модели 2. На входных границах каверны за¬
даются массовый расход, температура торможения и характеристики
турбулентности. На выходной границе каверны фиксируется массовый
расход или статическое давление и направление течения по нормали
к границе. Линейное и вращательное числа Рейнольдса, рассчитанные
по параметрам во входном сечении 12 и скорости вращения ротора,
равняются 3,53 • 105 и 4,32 • 106 для модели 1 и 1,26 • 106 и 2,27 • 107
для модели 2, что соответствует турбулентному режиму течения.
В качестве начального поля температуры принимается распределе¬
ние, полученное для случая теплоизолированных стенок каверны. Кар¬
тины линий тока, полученные для моделей 1 и 2, различаются интен¬
сивностью вихревых структур, формирующихся в каверне (рис. 6.41).
Обращает на себя внимание некоторое смещение вихрей в верхней
части каверны к ее правой стенке, а также дробление вихревой струк¬
туры в нижней части каверны при переходе от модели 1 к модели 2.
1
« 2 .
3 « 4 >
4Х Уь
' СРЭ-модель 2
1
СРБ-модель 1

Рис. 6.40. Конечно-разностная сетка
На каждом шаге по времени число итераций для расчета поля
течения жидкости в каверне полагается равным 200 (для обеих мо¬
делей). Условие сходимости контролируется по разности температур
на границе раздела, которая полагается равной 5 К. Максимальная

Таблица 6.5. Температура металла в контрольных точках
Точка
Участок 1
Участок 2
Участок 3
1
2
1
2
1
2
М1
М2
М3
472,68
469,92
476,40
470,92
468,12
473,83
606,60
604,88
599,72
604,75
601,51
598,73
842,64
833.60
846.61
839.12
831,97
841.13
Т, К
800
700
600
500
400
300
0	1000	2000	3000	4000	5000	*, с
Рис. 6.42. Изменение температуры в точке М1 во времени
Т, К
800
700
600
500
400
300.
О	1000	2000	3000	4000	5000	Ь, с
Рис. 6.43. Изменение температуры в точке М2 во времени
разность температур металла и жидкости на границе раздела сред
устанавливается равной 0,5 К.

Рис. 6.44. Изменение температуры в точке М3 во времени
Т, К
25
950
23
910
21
870
19
830
17
790
15
750
13
710
11
670
9
630
7
590
5
550
3
510
1
470
Рис. 6.45. Линии уровня температуры в каверне в конце цикла нагружения
Результаты расчетов в виде значений температур металла в кон¬
трольных точках в моменты времени, соответствующие концам участ¬
ков 1, 2 и 3 цикла нагружения, приводятся в табл. 6.5. Колонка 1
соответствует данным физического эксперимента [333], а колонка 2 —
расчету на структурированной сетке при помощи модуля [18]. Макси¬
мальное рассогласование расчетных и экспериментальных данных не
превышает 5,5 К.

Сравнение результатов расчетов, полученных при помощи моду¬
ля [18] (сплошная линия), с данными измерений [333] (значки •)
показывает рис. 6.42-6.44. Имеет место хорошее согласование расчет¬
ных и экспериментальных данных в течение всего периода работы
двигателя.
Линии уровня температуры в области, занятой жидкостью, в ко¬
нечный момент времени показаны на рис. 6.45. Перепад температур
в объеме каверны достигает 200 К.
6.5.	Течение и теплообмен
в камере предварительной закрутки
В каверну, ограниченную статором и диском турбины высокого
давления, воздух поступает через ряд сопел предварительной закрутки
(рге-5Улг1 поггк), расположенных на поверхности статора и ориентиро¬
ванных под некоторым углом к оси вращения. Ускоряясь и расширяясь
в сопле, газ получает ненулевую скорость в окружном направлении, что
приводит к уменьшению относительной полной температуры рабочего
тела перед его подачей к лопаткам через ряд отверстий в роторе
(гесе1'уег Ьо1е). Сопла предварительной закрутки обычно располагаются
ниже по радиусу, чем отверстия в турбинном диске.
6.5.1.	Параметры эффективности. Показателем эффективности
камеры предварительной закрутки является степень уменьшения тем¬
пературы воздуха, поступающего к лопаткам ротора, а также коэффи¬
циенты потерь сопел предварительной закрутки и отверстий в диске
турбины.
Относительная скорость закрутки (5\\пг1 га!ю) определяется как
отношение тангенциальной скорости охлаждающего газа к танген¬
циальной скорости ротора, вычисленному при значении радиальной
координаты, соответствующей положению выходного сечения сопла:
урсо8а _ И|-51|
Ц~ ~
где ур — средняя скорость в выходном сечении сопла; а — угол
установки сопла (рис. 6.46).
Скоростная эффективность системы (рге-5шг1 уе1осИу еШаепсу)
определяется как отношение действительной скорости в выходном се¬
чении сопла к скорости, соответствующей течению без потерь (изэн-
тропические условия)
% _ ^
ург ^15,1
где Ура и ург — действительная и идеальная скорости охлаждающего
газа в выходном сечении сопла, рассчитываемые исходя из температу-

ры в приемном отверстии и перепада давления
вдоль сопла. Скорости ура и ург находятся из
соотношения
Ура
— ^ср(^Ш	^03,г) + Ц2	_ у,( тур \ 1/2
птт	»	^рг	М(^/ьТ2г)	)
2II соза
где М — число Маха; То\ — полная темпера¬
тура во входном сечении сопла; Т02 — полная
температура в выходном сечении сопла; Тоз,г —
относительная полная температура в приемном
отверстии; — идеальная статическая темпе¬
ратура в выходном сечении сопла.
Результаты расчетов иногда обрабатываются
в виде степени повышения температуры
АТа =
2ср(То. аьз1 Г0,гс12) 2СрАТ
Рис. 6.46. Направле¬
ние потока
(иг)*
где То,аЪз1 —■ полная температура во входном сечении сопла, измерен¬
ная в неподвижной системе координат; То,ге12 — полная температура
во входном сечении приемного отверстия, измеренная в системе коор¬
динат, вращающейся с угловой скоростью вращения ротора.
Используя условие теплового баланса в системе, степень повыше¬
ния температуры связывается с моментом сопротивления статора
2срАТ
(иг)2
2Р
шг2тп
- 1-
иг
АТа = 25
1.
В идеализированных условиях И = 0. В неподвижной системе коорди¬
нат, пренебрегая разницей в радиальном положении сопел и приемных
отверстий, уравнение сохранения момента количества движения при¬
водит к соотношению [117]
ГПг(у01ТП-1Х - У0,1п) = м + Б,
где Ув,т\х — тангенциальная скорость при условии полного смешения
потоков; тп — удельный массовый расход. Для расчета моментов ста¬
тора и ротора используются следующие соотношения [117]
ГЛ	Л	Р^в,	Ш1Х
о = —АдГСр—-—;
П/Г	л р\шт Уд, гшх|(^?' Ив, ггпх)
1у1 — А'рТ'Ср	“	‘	.
Здесь А — площадь. Индексы 5 и г соответствуют статору и ротору.
Для простоты расчетов полагается, что С/ = 0,0534Ке^0,2. Приведен¬

ные соотношения позволяют определить М, И и уд>т-1Х, на основе
которых рассчитывается степень повышения температуры в системе.
Адиабатическая эффективность определяется как безразмерное из¬
менение полной температуры между соплом предварительной закрутки
в неподвижной системе координат и приемными отверстиями во враща¬
ющейся системе координат. Теоретические соотношения получаются на
основе 1-го закона термодинамики [210] (для камер типа «соуег-р1а1е»),
[239] (для камер типа «сПгесМгапз^ег»).
Коэффициент потерь определяется как отношение идеальной тан¬
генциальной относительной скорости охлаждающего газа, полученной
для течения без потерь в сопле и каверне г^.и*, к идеальной скорости
в выходном сечении приемного отверстия ьХ2г18. Действительная ско¬
рость в каверне меньше идеальной скорости, рассчитанной в условиях
изэнтропического расширения газа в каверне.
Теоретические соотношения для расчета коэффициента потерь по¬
лучены в работе [407] с использованием уравнения теплового баланса.
Коэффициент потерь (сНзсЬаг§е соеШаеп!) рассчитывается как от¬
ношение действительного массового расхода через приемные отверстия
к массовому расходу в изэнтропических условиях [307]:
Плотность и скорость газа в выходном сечении приемного отверстия
находятся из соотношений
Здесь т — расход через приемное отверстие (полный расход, деленный
на число приемных отверстий); Аз — площадь поперечного сечения
приемного отверстия; ро\ — полное давление на входе в сопло; рог —
полное давление в выходном сечении сопла; р2 — статическое давление
в каверне; рз — статическое давление в выходном сечении приемного
отверстия. Для простоты полагается, что рог = Ро\-
6.5.2.	Структура и режимы течения. Существенное влияние на
показатели эффективности камеры предварительной закрутки оказыва¬
ет горячий газ, поступающий в каверну через зазоры между статором
и ротором. Для предотвращения поступления в камеру предваритель¬
ной закрутки горячего воздуха (этот газ имеет низкую тангенциальную
скорость и высокую относительную полную температуру), а также
перетекания воздуха внутри каверны из ее нижней части в верхнюю,
используются лабиринтные уплотнения.
Увеличение относительной полной температуры воздуха на 10-20 К
достаточно для того, чтобы уменьшить жизненный цикл компонентов
турбины примерно на 50%.
т	т
ГПг рЗгУЭгЛз'

На практике используется 2 типа камер предварительной закрутки:
тип «сПгесМгапзГег» и тип «соуег-рЫе».
Течения и теплообмен в камере предварительной закрутки, в ко¬
торой сопла и отверстия во вращающемся диске располагаются при
одном и том же значении радиальной координаты, изучаются в рабо¬
тах [163, 402]. Имеется полное смешение потоков, поступающих через
сопла предварительной закрутки, с радиальным течением в каверне,
что приводит к существенным потерям полного давления. Осесиммет¬
ричная постановка задачи в [402] позволила получить приемлемые
результаты в части каверны, расположенной ниже сопел предваритель¬
ной закрутки, но не позволила исследовать трехмерные особенности
течения, связанные с взаимодействием дискретных сопловых струй.
Измерения скорости, давления и температуры, а также характе¬
ристики эффективности (коэффициенты потерь в соплах и дисковых
отверстиях) камеры предварительной закрутки типа «сПгесМгапзГег»,
проводятся в работе [142], а камеры типа «соуег-р1а1:е» — в рабо¬
те [210]. Для анализа течения в камере типа «соуег-р1а1:е» используется
модель свободного вихря, на основе которой показано, что имеется
оптимальное значение угла установки сопла предварительной закрутки
(рге-5АУ1г1 гаМо), при котором среднее число Нуссельта на поверхности
вращающегося диска является минимальным.
Измерения статического и полного давления, а также коэффици¬
ентов теплоотдачи представлены в работе [407] для камеры предвари¬
тельной закрутки, имеющей 24 сопла, наклоненных под углом 20° к оси
вращения, и 60 приемных отверстий в турбинном диске, ось которых
параллельна оси вращения диска. Трехмерные расчеты для идеализи¬
рованной конфигурации каверны проводятся при 0,78 < Кеы/106 < 1,2,
0,6 < Си^/Ю4 < 2,8, 0, И < А* < 0,36, 0,5 <&< 3,0.
Результаты, полученные в работе [407], показывают, что структура
течения в камере предварительной закрутки имеет черты той, которая
наблюдается в системах, образованных неподвижным и вращающимся
дисками [298, 299]. Течение в каверне определяется степенью закрутки
потока (рге-5\У1г! гаМо) и параметром турбулентности (1игЬи1еп1 Г1о\у
рагате1ег). Потери полного давления, обусловленные смешением пото¬
ков, поступающих из сопел и рециркуляционного течения в каверне,
возникают между входным сечением сопла и серединным сечением ка¬
верны и возрастают при увеличении степени закрутки потока. Распре¬
деление теплового потока по поверхности ротора является практически
осесимметричным, за исключением малой области в окрестности при¬
емных отверстий, что соответствует результатам работы [317], в кото¬
рой минимум теплового потока наблюдается в области взаимодействия
сопловой струи с поверхностью диска.
Измерения и расчеты, проведенные в работе [240], показали, что
малая область с достаточно высоким значением теплового потока
расположена в окрестности приемных отверстий и обусловлена вза¬

имодействием потоков из сопел с радиальным течением в каверне.
Адиабатическая эффективность, полученная по результатам численных
расчетов, достаточно хорошо согласуется с теоретическим значением,
а коэффициент потерь для приемных отверстий достигает максимума
при некоторой критической степени закрутки потока.
Измерения эффективности закрутки и коэффициентов потерь для
конфигурации камеры предварительной закрутки, близкой к той, ко¬
торая используется в газотурбинных двигателях, проведены в рабо¬
те [307]. Полученные результаты показывают, что скоростная эффек¬
тивность увеличивается при увеличении степени закрутки, приводя
к уменьшению температуры газа, поступающего к лопаткам ротора.
Увеличение расхода газа, поступающего в каверну через лабиринтные
уплотнения, приводит к уменьшению эффективности. Коэффициент по¬
терь приемных отверстий возрастает при увеличении степени закрутки
потока и уменьшается при увеличении расхода рабочего тела через
лабиринтное уплотнение.
Теоретические модели развиваются в работах [78, 117, 150]. Точ¬
ность одномерной модели [78] оказалась неудовлетворительной (прием¬
лемые результаты получены только в отношении перепада давлений во
входном и выходном сечениях). В модели [117] используется условие
баланса момента количества движения при условии полного смешения
потоков в каверне. Модель [150] построена на основе метода инте¬
гральных соотношений и аналогии Рейнольдса и предназначена для
расчета температуры газа в приемных отверстиях (учитывается как
течение в каверне, так и течение, индуцированное вдувом из сопел
предварительной закрутки).
Численные расчеты на основе трехмерной модели, проведенные
в работах [114, 121], находятся в хорошем согласии с результатами
измерений [163].
В работе [239] исследуется влияние радиального расположения
сопел предварительной закрутки на показатели эффективности (тип
«сПгесМгапзГег») на основе трехмерной модели течения в совокупности
с $5Т-моделью турбулентности. Расчеты проводятся в стационарной
постановке для значений г*/г0 = 0,8, 0,9 и 1,0 (под г* и г0 понимаются
радиальные координаты, соответствующие положению входного сече¬
ния сопла и выходному сечению приемного отверстия), 0,5 < & < 2,0,
0,12 < А* < 0,36. Вращательное число Рейнольдса в каждом случае
поддерживается постоянным (Кеы = 106). Показатели эффективно¬
сти камеры предварительной закрутки характеризуются коэффициен¬
том потерь приемных отверстий и адиабатической эффективностью
системы.
Коэффициент потерь достигает максимума, когда ядро потока вра¬
щается с той же самой угловой скоростью, что и приемные отверстия
(это условие реализуется при увеличении отношения гг/г0 и при до¬
статочно малых относительных скоростях закрутки).

Зависимость адиабатической эффективности системы от относи¬
тельной скорости закрутки является практически линейной и слабо
зависит от угловой скорости вращения невязкого ядра потока. При
фиксированной относительной скорости закрутки адиабатическая эф¬
фективность возрастает при увеличении отношения радиусов.
Результаты расчетов в нестационарной постановке на основе модели
Спаларта-Аллмараса приводятся в работе [122] (тип «сПгес! 1гап5Гег»)
и сравниваются с имеющимися экспериментальными данными по ко¬
эффициентам потерь в сопле и приемных отверстиях.
Новая конфигурация камеры предварительной закрутки, осно¬
ванная на результатах вычислительного эксперимента, предлагается
в [353], позволяя получить выигрыш в относительной полной тем¬
пературе рабочего тела, достигающего поверхности диска турбины
высокого давления, до 20 К.
6.6.	Течение и теплообмен в конической каверне
Коническая каверна турбины высокого давления (НР йпуе сопе
сауНу) формируется коническим валом (сошса1 зЬаП или ёпуе сопе),
соединяющим компрессор и турбину высокого давления, и внутренней
поверхностью камеры сгорания и используется для доставки воздуха
от последней ступени компрессора к лопаткам турбины, а также для
вентиляции внутренних полостей двигателя, предотвращая их от чрез¬
мерного нагрева. Она представляет собой один из теплонапряженных
(температуры достигают 900 К при угловой скорости вращения 104
об/мин) и неохлаждаемых компонентов газотурбинного двигателя,
Данные физического эксперимента показывают существование в ко¬
нической каверне с радиальным вытеканием вихрей Тейлора, которые
подавляются при расширении зазора между ротором и статором, увели¬
чении числа Рейнольдса или расхода газа, подаваемого в каверну [406].
Картина линий тока в конической каверне, полученная расчетным
путем в работе [253] при тех же параметрах, что и измерения [406],
показывает, что структура течения в каверне имеет черты, присущие
классическим течениям во вращающихся системах, исследованным
в [298, 299]. На поверхностях ротора и статора образуются погранич¬
ные слои, разделенные слоем жидкости, который вращается как квази-
твердое тело.
Структура течения изучается для случаев наличия (случай 1) и от¬
сутствия (случай 2) входного осевого потока рабочего тела. В случае 1
измерения [248] указывают на присутствие в каверне комбинированно¬
го вихря, в то время как в случае 2 формируется только вынужденный
вихрь. Эти данные подтверждаются результатами работ [161, 195, 263].
Данные измерений и результаты численных расчетов в стационар¬
ной осесимметричной постановке представлены в работе [375] при
0,2 ^ Ке^/107 ^ 2, 0 ^ С^/Ю5 ^1,7, 0 ^ А,, ^ 0,8, 0,3 ^ А ^ 0,5.

Для получения подходящих значений параметра турбулентности из¬
меняется расходный параметр, в то время как число Рейнольдса под¬
держивается постоянным (это требуется для того, чтобы получить
приемлемые значения универсальной пристеночной координаты у+).
Расчеты приводят к заниженному уровню скорости в ядре потока.
Согласование расчетных и экспериментальных данных улучшается при
уменьшении параметра турбулентности. Переход от режима течения,
обусловленного вращением, к режиму течения, определяемому осевым
подводом рабочего тела, происходит при А* = 0,1.
При относительно малых расходах рабочей среды (Яе^ = 3 • 106,
С\\г = 8000, А* = 0,5, /Зг = 0,3) во входном сечении каверны форми¬
руется рециркуляционная зона, обусловленная действием на основной
поток в межлопаточном канале центробежных сил, формирующими
течение в каверне [248, 375]. Рециркуляционная зона подавляется при
увеличении расхода в межлопаточном канале и полностью исчезает
при Яви, = 2 • 106, Сцг = 81000, А* = 0,8, Д = 0,3 [375].
Толщины пограничных слоев на вращающейся и неподвижной ко¬
нических поверхностях находятся из соотношений [194, 298]
где х — координата, отсчитываемая вдоль поверхности. Для вращаю¬
щейся поверхности считается, что угловая скорость вращения невязко¬
го ядра составляет 0,6 от угловой скорости вращения ротора.
Безразмерный расход жидкости, притекающей к поверхности сво¬
бодного вращающегося конуса, находится из соотношения
Для конической каверны, имеющей внешний радиус 6 и угол наклона
9 (рис. 6.47), вращательное число Рейнольдса определяется соотно¬
шением
Локальное число Нуссельта для конической поверхности определя¬
ется соотношением	„ „
где <? — плотность теплового потока. Теплофизические свойства ра¬
бочей среды берутся при средней температуре во входном сечении.
Характерный перепад температур вычисляется как разность средней
температуры во входном и выходном сечениях и температуры стенки:
<5г = 0,08598г(а:2Яеи1) °*2,	=	0,37хЯс"°'2
N11 = 	—
АДГ ап 0’
&Т=1-(Тг+Т0)-Ти),

I/ <=>
и)
О-
* X
Рис. 6.47. Коническая каверна
где Тг и Тс — температуры во входном и выходном сечениях; Ти
температура стенки.
Среднее число Нуссельта рассчитывается по формуле
где
(N11) =
(Яы)г
Л(ДТ) 5111 0’
(я-ш) —
Ь2 — а2
дгдг, (АТ) =
Ь2 — а2
АТ г йг.
Локальное число Нуссельта для свободного конуса вычисляется
с использованием аналогии Рейнольдса (Рг = 1, п = 2), которая для
турбулентного режима течения (при Кеш > 3 • 105) приводит к соотно¬
шению [112]
N11 = 0,0197 (п+2,6)0,2 (г2 Кеы) 0,8рг0,6
1+0,0871 -
5п
(51П в)
-0.8
(6.1)
где а — внутренний радиус конуса. Вращательное число Рейнольдса
определяется при в = 90° (как для свободного вращающегося диска).
Показатель степени ть определяет закон изменения температуры стенки
Ту, - Тоо ~хп, где Тю — температура поверхности, Тто — температура
в свободном потоке, а х = г/6. Соотношение (6.1) представляет собой
решение, полученное для свободного вращающегося диска в турбулент¬
ном режиме, умноженное на поправочный множитель в квадратных
скобках, учитывающий ненулевой радиус вала.
При наличии осевого подвода рабочей среды к системе, образо¬
ванной вращающейся конической поверхностью и валом, выделяют
два характерных режима течения в зависимости от числа Россби
Ко = и/(и>а) [248], где V = ш/(р5) — средняя скорость во входном

сечении, имеющем площадь 5. Для удобства вводится также число
плавучести Во = Ко/((ЗАТ)1^2.
При КоД/ЗДТ)1/2 < 6 реализуется режим течения, определяемый
действием сил плавучести, индуцированных вращением (Ьиоуапсу или
гоЫюпаПу ёотта^ес! ге§1те). При вращении конической поверхности
и вала в одну сторону уровень теплообмена на конической поверхности
выше, чем при их вращении в противоположные стороны. Увеличение
линейного и вращательного чисел Рейнольдса приводит к увеличе¬
нию тепловых потоков к поверхности конуса. При Ко/((ЗАТ) */2>6
(1Нгои^НПо\у с1отта1ес1 ге^те) течение определяется, в основном, осе¬
вым подводом рабочего тела, а уровень тепловых потоков сравнитель¬
но слабо зависит от направления вращения конической поверхности
и вала. Распределение локального числа Нуссельта имеет максимум
около внутреннего радиуса конической поверхности, что связывается
с влиянием осевого подвода рабочей среды к системе.
В зависимости от числа плавучести, число Нуссельта находится из
следующих соотношений:
—	при КоД/ЗДТ)1/2 < 6 (режим течения, определяемый силами
плавучести)
Ии = 0,0243Ке°'086 Сг0,326х_1,89(х_'1 - I)-0,022;
—	при Ко/(0АТ)]/2 > 6 (режим течения, определяемый осевым
подводом рабочего тела)
Ии = 8,93 • 10"5 Не!'301 аГ3'523.
Числа Рейнольдса и Грасгофа определяются соотношениями
_ рПй ^ и>2гзтв/3 АТ(г/5т9)3
Не = 	, Ьг =	х	.
V1
Линейное число Рейнольдса вычисляется по ширине зазора, образован¬
ным внутренним радиусом конической поверхности и радиусом вала
(о?/2 = а — с). Под х понимается безразмерная радиальная координа¬
та (х = г/Ь), а под АТ — разница температур жидкости и стенки
{АТ = Т1-Тп>).
Данные измерений показывают, что при Ко/(/?(ДГ))’/2 < 6, уве¬
личение (3(АТ), Кеы или Кех приводит к увеличению среднего числа
Нуссельта на конической поверхности, причем (Ии) (,в(АТ))1/*. За-
висимость среднего числа Нуссельта от линейного числа Рейнольдса
является сравнительно слабой. При Ко/(/?(ДТ))*/2 > 6 следует, что
(1Чи)/КеУ3 ~ сопзЬ, а среднее число Нуссельта слабо зависит от угло¬
вой скорости вращения.
При низких вращательных числах Рейнольдса или Грасгофа тече¬
ние в каверне содержит нестационарные крупномасштабные вихревые

структуры, вытянутые в радиальном направлении [214, 246]. Моде¬
лирование крупных вихрей течения и теплообмена во вращающейся
каверне с осевым подводом рабочего тела (примером является каверна,
образованная соседними дисками компрессора) дает результаты, лучше
согласующиеся с данными измерений, чем к-е модель [369]. Прибли¬
женная модель, учитывающая силы плавучести, индуцированные вра¬
щением, и наличие рециркуляционного течения в каверне, построена
в работе [214].
6.7.	Течения и теплообмен в компонентах
газотурбинного двигателя
Рассмотрим течения и сопряженный теплообмен в камере предва¬
рительной закрутки потока (рге-5Ш1г1 сЬашЬег) и конической каверне
(йпуе сопе сауКу) газотурбинного двигателя Тгеп{ 900 (используется
полномасштабная модель двигателя).
6.7.1.	Модель и цикл нагружения. Твердотельная осесиммет¬
ричная модель газотурбинного двигателя показана на рис. 6.48 (ком¬
прессор высокого давления состоит из 6 ступеней, но для простоты
в модель включаются только последние 2 ступени). Камера предвари¬
тельной закрутки состоит из двух сегментов, разделенных лабиринт¬
ным уплотнением, и включает сопла на поверхности статора и прием¬
ные отверстия на поверхности ротора. Коническая каверна ограничена
ванная дисками / низкого	ванная	диском	\
компрессора / давления	и	валом	'
/	Внутренняя	Вал турбины
Коническая каверна	коническая	промежуточного
каверна	давления
Рис. 6.48. Осесимметричная модель двигателя

т, к
800
600
400
200
50000	52000	54000	г	с	56000
Рис. 6.49. Изменение температуры во входном (линия /) и выходном (линия 2)
сечениях компрессора
/2
-
-
• *
стенкой камеры сгорания, валом, соединяющим компрессор и турбину
высокого давления, и диском турбины высокого давления.
Зависимости температуры потока на входе и выходе из компрессора
высокого давления от времени приводятся на рис. 6.49 (другие темпе¬
ратуры задаются относительно температуры потока на входе в ком¬
прессор, используя масштабные множители).
Полный цикл нагружения, используемый для моделирования тепло¬
вого состояния стенок внутренней воздуховодной системы двигателя,
показан на рис. 6.50 и включает 17 точек (гагпр рот*), характери¬
зуемых различными угловыми скоростями вращения ротора турбины
высокого давления и вала турбины промежуточного давления.
Тепловые расчеты проводятся на интервале времени длиной
в 6000 с, начиная с условий, характеризуемых нулевой угловой ско¬
ростью вращения подвижных компонентов двигателя (для исключения
и>, 1 /с
1/с
800
51000	53000	55000
2, с
Рис. 6.50. Цикл нагружения для ротора турбины высокого давления (а) и вала
турбины промежуточного давления (б)

неопределенностей в соответствующих корреляционных соотношениях
для угловой скорости вращения задается значение порядка 1 с-1)
и низкой температурой на входе в компрессор высокого давления
(ЮЬЕ-условия). Максимальные угловые скорости вращения ротора
турбины высокого давления (порядка 1139 с-1) и вала турбины про¬
межуточного давления (порядка 774 с-1) достигаются приблизительно
через 2000 с после начала работы двигателя (Мах1гпит Таке-СШ,
МТО-условия). Температуры во входном и выходном сечениях
компрессора высокого давления при этом составляют около 520 К
и 830 К.
Для сокращения затрат процессорного времени в сопряженных
тепловых расчетах используется модифицированный цикл нагруже¬
ния, показанный на рис. 6.51. Расчет начинается в момент времени
I	= 52557 с, начиная с ШЬЕ-условий (неподвижный ротор), и за¬
канчивается через 1000 с (считается, что этого интервала времени
достаточно для выхода двигателя на стационарный режим работы).
Для выбора приемлемого шага интегрирования по времени выделяется
участок цикла нагружения длиной в 10 с, за который параметры
двигателя достигают параметров, соответствующих МТО-условиям его
работы.
а», 1 /с
Рис. 6.51. Цикл нагружения, используемый в сопряженной постановке задачи
Конечно-элементная сетка содержит 13 148 ячеек треугольной фор¬
мы и 30672 узлов (рис. 6.52). Блочно-структурированные сетки для
областей, занятых жидкостью, строятся для МТО-условий (при ш =
= 1139 с-1), что позволяет получить приемлемые значения универсаль¬
ной пристеночной координаты для использования метода пристеночных
функций.
Параметр точности по температуре полагается равным 2 К (как для
тепловых расчетов, так и для расчетов в сопряженной постановке).
Число итераций для расчета поля течения жидкости изменяется от
250. Коэффициент теплоотдачи пересчитывается на каждой итерации,

Рис. 6.52. Конечно-элементная сетка
соответствующей расчету поля течения жидкости, для избежания его
отрицательных значений на границе раздела металла и жидкости,
приводящих к медленной сходимости итерационной процедуры.
Предварительные расчеты показали, что решение уравнения изме¬
нения температуры жидкости при замороженном поле скорости приво¬
дит к расходимости итерационной процедуры, поэтому решаются все
уравнения, описывающие течение жидкости в камере предварительной
закрутки потока и конической каверне. Используется к-е модель с по¬
правкой Като-Лаундера и метод пристеночных функций. В качестве
начального поля температуры в областях, занятых жидкостью, исполь¬
зуется распределение, соответствующее теплоизолированным стенкам
модели.
6.7.2.	Камера предварительной закрутки. Часть газотурбинно¬
го двигателя, включающая в себя камеру предварительной закрутки
потока (сопло предварительной закрутки, приемные отверстия и ка¬
верна, ограниченная статором и диском турбины высокого давления),
показана на рис. 6.53. Конструкция турбины высокого давления содер¬
жит 38 сопел предварительной закрутки и 152 приемных отверстий.
В расчетах используется трехмерная модель области, занятой жид¬
костью (рис. 6.54), представляющая собой 1/38 полной модели (сектор
с углом 9,47°) и содержащая 1 сопло и 4 приемных отверстия. Взаи¬
модействие подвижных и неподвижных компонентов учитывается при
помощи поверхности смешения, расположенной немного выше выход¬
ного сечения сопла.
Конфигурацию трехмерных деталей расчетной модели (сопло пред¬
варительной закрутки и приемные отверстия) поясняет рис. 6.55.
Геометрия камеры предварительной закрутки характеризуется внут¬
ренним и внешним радиусами (а = 215,90 мм, 6 = 296,45 мм, а/Ъ =
= 0,7283). Каверна состоит из двух сегментов, разделенных внутрен¬
ним лабиринтным уплотнением. Максимальная ширина нижнего сег¬

Канал подвода газа к лоткам
Рис. 6.53. Камера предварительной закрутки
Статор Каналы подвода газа
Выходная
граница
Приемное
отверстие
Периодические
границы
Сопло
Рис. 6.54. Область, занятая жидкостью
мента расчетной области составляет 17,94 мм, а ее верхнего сегмента —
22,30 мм. Входное сечение сопла предварительной закрутки потока
имеет круглую форму поперечного сечения в плане с радиусом 3,5 мм,
а его выходное сечение — эллиптическую форму поперечного сечения
в плане. Для создания надлежащей закрутки потока сопло наклонено

Рис. 6.55. Трехмерные детали расчетной модели
под углом а — 65° к оси вращения диска. Диаметр поперечного сечения
приемного отверстия равняется 7 мм. Отношение длины приемного
отверстия к его диаметру составляет 0,6208. Центр выходного сечения
	 сопла располагается при г/Ь — 0,9216, а центр
входного сечения приемных отверстий при
г/Ь = 0,9795.
Тангенциальная скорость газа на выходе из
сопла составляет 300,70 м/с, а тангенциаль¬
ная скорость ротора при значении радиальной
координаты, соответствующей положению вход¬
ного сечения приемных отверстий, равняется
311,29 м/с (относительная скорость закрутки со¬
ставляет 0,966). Для МТО-условий линейное чис¬
ло Рейнольдса, вычисленное по диаметру и скоро¬
сти в выходном сечении сопла, равняется 1,45 х
х 106, а вращательное число Рейнольдса, вычис¬
ленное по диаметру и скорости во входном сече¬
нии приемных отверстий — 2,27 • 107.
Блочно-структурированная сетка в области,
занятой жидкостью, содержит 2778455 узлов и
2661415 ячеек и разделяется на два сегмента,
разделенных плоскостью смешения, которая па¬
раллельная оси вращения и располагается вы¬
ше сопла предварительной закрутки. Нижний
(тЬоагс! зесНоп) и верхний (ои1:Ъоагс1 зесИоп) сег¬
менты содержат по 1037 012 и 1624 403 ячеек
соответственно. Сетка в меридианальном сечении
расчетной области, проходящем через приемное
отверстие, показана на рис. 6.56, а некоторые ее
детали — на рис. 6.57.
Поверхности ротора и статора содержат по 80479 и 39470 граней,
поверхность сопла предварительной закрутки и приемных отверстий —
по 2304 и 4304 граней. На входных границах каверны размещается
312 (лабиринтное уплотнение в нижнем сегменте) и 864 (входное
сечение сопла) граней. Границы, через которые газ покидает расчетную
область, содержат 762 (лабиринтное уплотнение в верхнем сегменте)
Рис. 6.56. Сетка
в меридиональном
сечении

Рис. 6.57. Детали сетки
и 1456 граней (выходные сечения каналов для подачи охлаждающего
воздуха к лопаткам ротора). Периодические границы модели содержат
по 30072 граней.
Для условий работы турбины, характеризуемых максимальной уг¬
ловой скоростью вращения ротора (МТО-условия), универсальная при¬
стеночная координата изменяется от 20 до 500 на поверхности ротора
и от 12 до 450 на поверхности статора. Координата у+ имеет прак¬
тически равномерное распределение на поверхности ротора в нижнем
сегменте модели (у+ ~ 80) и почти равномерное распределение в ее
верхнем сегменте \у+ ~ 100) с увеличением значений универсальной
пристеночной координаты до у+ ~ 130 вблизи выходного сечения ка¬
верны, сформированного лабиринтным уплотнением. На боковой по¬
верхности приемного отверстия у+ ~ 180. На поверхности статора
у+ ~ 90 за исключением участка поверхности, примыкающего к верх¬
нему лабиринтному уплотнению, где универсальная пристеночная ко¬
ордината увеличивается до 160. Максимальные значения координаты
у+ достигаются на боковых стенках каналов, служащих для подачи
охлаждающего воздуха к лопаткам ротора турбины высокого давления
(ротор), и боковой поверхности сопла (статор). Применение грубой
сетки в этих областях (координата у+ находится за пределами диапа¬
зона, допустимого для использования метода пристеночных функций)
определено тем, что они не включаются в модель сопряженного теп¬
лообмена (стенки считаются теплоизолированными) и не оказывают
существенного влияния на распределения температуры и тепловых
потоков по поверхности диска турбины высокого давления.
Модель имеет две входных (лабиринтное уплотнение в нижнем
сегменте каверны, сопло предварительной закрутки потока) и три вы¬
ходных границы (лабиринтное уплотнение в верхнем сегменте, коль¬

цевой зазор с радиальный вытеканием рабочего тела, каналы подачи
охлаждающего воздуха в лопаткам ротора). Характеристики потока на
входных и выходных границах задаются в соответствии с данными
сетевой модели [177].
На входных границах по221е-з.п1е{: (входное сечение сопла пред¬
варительной закрутки потока) и 1смег-зеа1 (лабиринтное уплотне¬
ние в нижнем сегменте модели) фиксируется массовый расход, полная
температура и углы, определяющие направление потока (табл. 6.6). Ки¬
нетическая энергия турбулентности и скорость ее диссипации на вход¬
ных границах полагаются равными 10-3 м2/с2 и 10-2 м2/с3. В сопря¬
женной постановке задачи полная температура на входных границах
каверны изменяется в соответствии с заданным циклом нагружения.
Таблица 6.6. Входные граничные условия
Граница
Массовый расход
Полная температура
Избыточное давление
Угол между г»х и г»
Угол между уу и у
Угол между Уг И V
по221е-1п1е1:
0,150474 кг/с
(х38 = 5,718 кг/с)
899 К
4,125- 10б Па
+ со5 (65°) = 0,4226
0
- ёш (65°) = 0,9063
Граница
Массовый расход
Полная температура
Избыточное давление
Угол между ьх и V
Угол между уг и у
Угол между ьв и у
1сжег-зеа1
0.023974 кг/с
(х 38 = 0,911 кг/с)
924 К
3,559 • 106 Па
± соз (64,00°) = +0,4383
0
±51п (64,00°) = -0,8988
На выходных границах иррег-зеа1 (лабиринтное уплотнение
в верхнем сегменте модели) и гас!-ои*:1е*: (радиальное вытекание
газа через кольцевой зазор) фиксируется массовый расход и полная
температура, а на границе ЪискеЪ-дгосл/е-ои-ь (канал подачи га¬
за к лопаткам турбины) задается статическое давление (табл. 6.7).
Статическое давление на границе Ъиске'Ь-дгос^е-ои'Ь выбирается
таким образом, чтобы через эту границу покидало приблизительно
76% рабочего тела от его общего расхода. Течение на выходе считается
по нормали к границе.
Струя газа, вытекающая из сопла предварительной закрутки, рас¬
ширяется в каверне, образованной зазором между ротором и статором.
Скорость струи, максимум которой имеет место в выходном сечении
сопла, уменьшается по мере проникновения струи в каверну, а ее на-

Таблица 6.7. Выходные граничные условия
Граница
Статическое давление
ЪискеЪ-дгосгуе-оиЪ
2,651 • 10б Па
Граница
Массовый расход
Полная температура
Избыточное давление
иррег-зеа1
0,019316 кг/с
(х38 = 0,734008 кг/с)
909 К
2,807- 10б Па
Граница
Массовый расход
Полная температура
Избыточное давление
гай-оиЫеЪ
0,009210 кг/с
(х38 = 0,350 кг/с)
926 К
2,696 - 106 Па
правление изменяется (направление струи отклоняется от геометриче¬
ского угла наклона сопла к оси вращения) вследствие смешения струи
с течением, формирующимся в каверне, и вращения диска. Области
течения с низким уровнем тангенциальной скорости располагаются
между выходными сечениями сопел.
В зависимости от ширины зазора между ротором и статором про¬
цесс смешения либо полностью завершается в каверне, либо происхо¬
дит взаимодействие струйного потока с пограничным слоем на враща¬
ющемся диске. В первом случае на входе в приемное отверстие форми¬
руется течение с приблизительно равномерным профилем скорости. Во
втором случае некоторая часть струйного потока входит в приемные
отверстия напрямую, а другая часть соударяется с противоположной
стенкой каверны в промежутке между соседними приемными отверсти¬
ями и растекается по радиусу, взаимодействуя с пограничным слоем на
роторе. Скорость вращения приемных отверстий превышает скорость
вращения невязкого ядра, формирующегося в каверне, поэтому струя
входит в приемные отверстия под острым углом, что приводит к отрыву
потока от передней кромки отверстия и созданию рециркуляционной
зоны внутри него.
Структура течения и размер рециркуляционной зоны в приемном от¬
верстии зависят от относительной скорости закрутки потока на выходе
из сопла, определяемой разностью давлений в его входном и выходном
сечениях и угловой скоростью вращения ротора.
Малые отношения давлений (порядка 1,5) и скорости вращения
ротора приводят к формированию рециркуляционных зон большого
размера вследствие высоких относительных скоростей закрутки. При
увеличении скорости вращения ротора относительная скорость закрут¬
ки уменьшается, приводя к сокращению размера рециркуляционной
зоны внутри приемного отверстия. Дальнейшее увеличение скорости
вращения приводит к полному исчезновению отрывной зоны.

Линии тока течения жидкости в плоскости, проходящей через при¬
емное отверстие, показаны на рис. 6.58. В нижнем сегменте модели
рециркуляционная зона занимает практически весь объем каверны.
Вторичный вихрь в нижнем сегменте фор¬
мируется вблизи входного сечения кавер¬
ны. Структура течения в верхнем сегмен¬
те каверны является более сложной и со¬
держит ряд вихревых структур различ¬
ной интенсивности, находящихся вблизи
внутреннего лабиринтного уплотнения ка¬
верны и ее выходного сечения.
В нижней части каверны (ниже вы¬
ходного сечения сопла) статическое дав¬
ление является практически постоянным
(рис. 6.59), а скорость потока равняет¬
ся нулю (за исключением нижней вход¬
ной границы, сформированной лабиринт¬
ным уплотнением). Течение в верхней ча¬
сти каверны характеризуется слабым ра¬
диальным градиентом давления. Градиент
давления в окружном направлении прак¬
тически отсутствует.
Уровень статического давления в ка¬
верне сравнительно ненамного превосхо¬
дит его уровень в выходных сечениях
приемных отверстий (для уменьшения по¬
терь суммарная площадь выходных се¬
чений приемных отверстий делается на¬
много большей, чем суммарная площадь
выходных сечений сопел предварительной
закрутки потока).
Поток, входящий в каверну через
нижнее лабиринтное уплотнение и сопла
Рис. 6.58. Линии тока предварительной закрутки, пересекает за¬
зор, сформированный неподвижным и по¬
движным компонентами системы, и получает закрутку в направлении
вращения ротора (рис. 6.60). Взаимодействие потока, поступающего
в каверну через нижнее лабиринтное уплотнение, с потоком из сопла
приводит к уменьшению скорости закрутки в ядре потока.
Контрольные сечения, соответствующие различным значениям ра¬
диальной координаты, показаны на рис. 6.61.
Распределения относительной тангенциальной скорости в контроль¬
ных сечениях приводятся на рис. 6.62 (0 соответствует отсутствию вра¬
щения жидкости, а 1 — вращению жидкости с угловой скоростью вра¬
щения ротора), а распределения радиальной скорости — на рис. 6.63.
В нижней части каверны течение имеет структуру, соответствую¬

Рис. 6.59. Линии уровня стати¬
ческого давления
Рис. 6.60. Линии уровня
тангенциальной скорости
щую классическим вращающимся систе¬
мам [298, 299] (рис. 6.62, а). В верхнем
сегменте модели взаимодействие течения
в каверне с потоком газа, поступающего
из сопла, приводит к отклонению распре¬
делений тангенциальной скорости от рас¬
пределений, соответствующих вынужден¬
ным вихревым течениям (рис. 6.62, б).
Распределения температуры по по¬
верхности ротора и статора показывают
рис. 6.64 и рис. 6.65. Имеет место суще¬
ственное уменьшение температуры ротора
в верхнем сегменте каверны. Температура
вблизи внутреннего и верхнего лабиринт¬
ных уплотнений увеличивается прибли¬
зительно на 65 К по сравнению с тем¬
пературой газа, поступающего из сопла
в каверну.
Влияние относительной скорости за¬
крутки потока на степень повышения тем¬
пературы и параметр эффективности ка¬
меры предварительной закрутки показы¬
вает рис. 6.66. Сплошная линия соответствует идеальной зависимости,
символы □ — результатам расчетов, символы о — данным физического
г = 284 мм
г = 278 мм
г = 266 мм
г = 262 мм
г = 247 мм
г = 240 мм
г — 234 мм
г = 221 мм
Рис. 6.61. Положения кон¬
трольных сечений по ради¬
альной координате

4,085	4,09	4,095	4,1	4,105	4,072
г, м
4,08	4,088	4,096
г, м
Рис. 6.62. Распределения тангенциальной скорости при г = 221 (/); 234 (2);
240 (3); 247 (4); 262 (5); 266 (6); 278 (7); 284 мм (5)
Уг, м/с	уг,	м/с
г, м	г,	м
Рис. 6.63. Распределения радиальной скорости при г = 221 (/); 234 (2); 240
(3); 247 (4); 262 (5); 266 (6); 278 (7); 284 мм (5)
эксперимента, полученным в университете Сассекса [307], символы •
и ■ — экспериментальным и расчетным данным, полученным в универ¬
ситете Карлсруе [163]. Результаты расчетов имеют удовлетворительное
согласовании с данными [307]. Отличия от расчетных и эксперимен¬
тальных данных [163] объясняются различиями в геометрических мо¬
делях и входных условиях задачи.
Моменты ротора и статора зависят от относительной скорости
закрутки (рис. 6.67). Символы о соответствуют результатам расче¬
тов, символы • — расчетным данным, полученным в университете
Карлсруе [163], символы ■ — расчетным данным [307], получен-

Рис. 6.64. Линии уровня температуры ротора
Г, К
950
944
938
932
926
920
914
908
902
896
890
Рис. 6.65. Линии уровня температуры статора
ным в университете Сассекса на основе упрощенной геометрической
модели.
Результаты тепловых расчетов, полученные для полного цикла на¬
гружения (рис. 6.50) и показанные на рис. 6.68-6.70 (линии), доста¬
точно хорошо согласуются с данными физического эксперимента [177]
(символы •).
Результаты сопряженных тепловых расчетов для цикла нагруже¬
ния, соответствующего МТО-условиям (рис. 6.51), обработаны в виде

дт,
3
а
1
б
0,8
° □ п
О *Р0°<Р00°
°оо°8%
пО°
X
О
О
0,6
О
8
8
/ □ © О
/V •
/ *
0,4
° л • "• ••• •
О О / • •• 9а*
У •
• •
"/ оо •
••1 •
0,2
V
□
«
1 1 1 1 1 1
1 1 1
0,4 0,6 0,8	1	1,2	1,4	1,6	1,8	0	0,5	1	1,5	2
0	Р
Рис. 6.66. Зависимость степени повышения температуры (а) и параметра эф¬
фективности (б) от относительной скорости закрутки потока во входном сече¬
нии сопла
М
О
0
Рис. 6.67. Зависимость момента ротора (а) и статора (б) от относительной
скорости закрутки потока во входном сечении сопла
зависимостей температуры металла в контрольных точках от времени
и показаны на рис. 6.71. Во всех случаях имеет место выход темпера¬
туры на стационарный режим.
Сравнение результатов сопряженного теплового анализа с тепловы¬
ми расчетами на основе сетевой модели для момента времени, соответ¬
ствующего МТО-условиями (выход двигателя на стационарный режим
работы), приводится в табл. 6.8.
Сопряженные тепловые расчеты предсказывают более низкие тем¬
пературы металла в контрольных точках по сравнению с сетевой моде-

т, к
800
600
400
200
50000	52000	54000, „ 56000 50000	52000	54000	,	„	56000
I, С	I,	С
Рис. 6.68. Изменение температуры металла в точке МН1РЫ (а) и точке
М6415 (б)
Т, К
800
600
400
200
50000	52000	54000	56000 50000	52000	54000	56000
I, с	г,	с
Рис. 6.69. Изменение температуры металла в точке М6418 (а) и точке
МН1МУ (б)
Таблица 6.8. Сравнение температур металла в контрольных точках
Точка
Температура, К
(полный цикл)
Температура, К
(МТО-условия)
Погрешность, %
МН1РЫ
879,611
870,204
-1,06
М6415
901,937
890,672
-1,27
М6418
931,288
911,008
-2,23
МН1МУ
819,322
815,358
-0,48
МН1Р5
855,136
852,563
-0,30
лью. Наибольшие различия результатов расчетов в сопряженной поста¬
новке и по сетевой модели имеют место в точке М6418 (относитель¬
ная погрешность составляет 2,23%), расположенной на поверхности
турбинного диска, что объясняется достаточно грубым разрешением

г, к
I, с
Рис. 6.70. Изменение температуры металла в точке МН1Р5
Т, К
I, с
Рис. 6.71. Изменение температуры металла в точках МН1РЫ (линия /), М6415
(линия 2), М6418 (линия 5), МН1МУ (линия 4), МН1Р5 (линия 5)
конечно-разностной сетки в этой области. На границах модели, пред¬
ставляющих собой каналы подвода рабочего тела к лопаткам турби¬
ны высокого давления, используются теплоизолированные граничные
условия.
6.7.3. Коническая каверна. Часть газотурбинного двигателя,
включающая коническую каверну, сформированную валом и диском
турбины высокого давления, а также стенкой камеры сгорания, пока¬
зана на рис. 6.72.
В расчетах используются как осесимметричная, так и трехмерная
модель области, занятой жидкостью (рис. 6.73), представляющая собой
1/24 полной модели (сектор с углом 15°).

Стенка корпуса
Входная^^ ^-Выходная граница
граница
Коническая каверна Ротор
Мини-диск'
Выходная
граница
Диск турбины
Рис. 6.72. Коническая каверна
Входная граница
канала
Выходная
граница
Выходная граница
канала'
Рис. 6.73. Область, занятая жидкостью
Конфигурацию трехмерных деталей расчетной модели (болты
и фланец) поясняет рис. 6.74.

а) Болты
б) Фланец
Рис. 6.74. Трехмерные детали расчетной модели
Геометрия каверны характеризуется внутренним и внешним ра¬
диусами (а = 154 мм, Ъ = 295,22 мм, а/Ъ = 0,5216). Протяженность
каверны в осевом направлении составляет 443,25 мм, а ширина ее сег¬
ментов, разделенных фланцем, равняется 243,5 мм и 199,75 мм. Угол
наклона конической поверхности изменяется в осевом направлении.
Для простоты оценок в расчетах используется его взвешенно-среднее
значение, равное 9 = 28°.
Для МТО-условий относительная скорость закрутки потока во
входном сечении каверны составляет = 0,6248, вращательное число
Рейнольдса Ке^, = 6,08 • 107, безразмерный удельный массовый расход
0^ = 8,9 • 104, параметр турбулентности А* = 0,0528. Входные пара¬
метры задачи соответствуют «го1а1юпа11у-с1отта1:ес1» режиму течения
в каверне [375] (структура течения определяется вращением потока).
Расчеты проводятся для осесимметричной модели (модель 1), трех¬
мерной модели, не включающей трехмерные детали расчетной области
(модель 2, игнорируется наличие болтов во фланце), и трехмерной
модели с учетом трехмерных деталей (модель 3). Течение в межло-
паточном канале не рассчитывается. Для учета особенностей течения
в межлопаточном канале к модели пристыкуется дополнительный блок,
имеющий трапециидальную форму поперечного сечения в плане, на
входной и выходной границах которого задаются граничные условия
в виде распределений составляющих скорости и полной температуры
потока. Стенка корпуса считается теплоизолированной.
Для модели 1 используется блочно-структурированная сетка, со¬
держащая 39000 ячеек, а для модели 2 — сетка с 2 миллионами яче¬
ек. Блочно-структурированная сетка для модели 3 содержит 2087643
узлов и 2006300 ячеек. Сетка в меридианальном сечении расчетной
области показана на рис. 6.75, а некоторые ее детали — на рис. 6.76.
Для сетки 3, которая используется в сопряженных тепловых расче¬
тах, поверхности ротора и статора содержат по 28 116 и 29348 граней,
поверхность болтов и фланца — 10660 граней, стенка корпуса —
2068 граней. На входной границе межлопаточного канала размещается
2024 граней. Границы, через которые газ покидает расчетную область,
содержат 2024 (выходное сечение межлопаточного канала) и 741 (ла-

Рис. 6.75. Сетка в меридианальном сечении
Рис. 6.76. Детали сетки
биринтное уплотнение) граней. Периодические границы содержат по
43459 граней.
Для условий работы турбины, характеризуемых максимальной уг¬
ловой скоростью вращения ротора (МТО-условия), универсальная при¬
стеночная координата изменяется от 30 до 120 на поверхностях ротора
и статора лишь с несколькими ячейками, находящимися вне указанно¬
го интервала и расположенными вблизи поверхности фланца (статор).
В двумерном случае сеточная зависимость решения проверяется
при помощи расчетов на более подробной сетке со сгущением узлов
в осевом и радиальном направлениях и содержащей 107000 ячеек.
Измельчение сетки приводит к изменению момента ротора прибли¬
зительно на +1,3% без существенных различий в распределениях
скорости и давления в контрольных сечениях.
Для проверки сеточной зависимости решения в трехмерном случае
изменяется лишь число узлов сетки в окружном направлении. Подроб¬
ная сетка содержит около 3 миллионов ячеек, что приводит к измене¬
нию момента ротора на 0,6% без значимых различий в распределениях
параметров потока в контрольных сечениях.
Коническая каверна имеет одну входную (входное сечение межло-
паточного канала) и две выходные границы (выходное сечение межло-
паточного канала и лабиринтное уплотнение, которое предотвращает
перетекание газа в камеру предварительной закрутки потока)..

Таблица 6.9. Входные граничные условия
Граница
ЛпЛеЪ
Массовый расход
4,0701 кг/с
(х24 = 97,6824 кг/с)
Полная температура
рис. 6.77, а
Избыточное давление
2,70- 106 Па
Осевая скорость
рис. 6.77,6
Радиальная скорость
рис. 6.77, в
Тангенциальная скорость
рис. 6.77, г
На входной границе л.п1е-Ь (входное сечение межлопаточного ка¬
нала) фиксируется массовый расход, а также задаются радиальные
профили полной температуры, осевой, радиальной и тангенциальной
скоростей (табл. 6.9). Кинетическая энергия турбулентности и скорость
ее диссипации на входных границах полагаются равными 10-3 м2/с2
и 10-2 м2/с3. В сопряженной постановке задачи полная температура
на входной границе изменяется в соответствии с заданным циклом
нагружения.
На выходной границе оиЪ1е!:-зеа1 (лабиринтное уплотнение, от¬
деляющее каверну от камеры предварительной закрутки) фиксируется
массовый расход и полная температура, а на границе ои*:1е1: (выход¬
ное сечение межлопаточного канала) фиксируется статическое давле¬
ние (табл. 6.10). Течение на выходе считается по нормали к границе.
В отличие от болтов, находящихся вблизи входного сечения ка¬
верны, фланец оказывает существенное влияние на структуру течения
в тангенциальном направлении (рис. 6.78), приводя к отрыву потока.
Структура течения в конической каверне имеет черты класси¬
ческих систем, образованных неподвижным и вращающимся дис¬
ками [298, 299].
Линии уровня относительной тангенциальной и радиальной ско¬
ростей показаны на рис. 6.79 (0 соответствует отсутствию вращения
жидкости, а 1 — вращению жидкости с угловой скоростью враще¬
ния ротора) и рис. 6.80. Распределения тангенциальной и радиальной
скорости, полученные в рамках двух- и трехмерной модели, имеют
Таблица 6.10. Выходные граничные условия
Граница
Статическое давление
оиНеЪ
2,70- 10б Па
Граница
Массовый расход
Полная температура
Избыточное давление
оиЪ1е1:-8еа1
0,041798 кг/с
(х24 = 1,003152 кг/с)
850 К
2,70 • 10е Па

Рис. 6.77. Профиль полной температуры (а), осевой скорости (б), радиальной
скорости (в) и тангенциальной скорости (г) во входном сечении
Рис. 6.78. Линии уровня тангенциальной скорости в плоскости, проходящей
через фланец

ОД
Рис. 6.79. Линии уровня относительной тангенциальной скорости в двух- (а)
и трехмерном (б) случаях
м/с
20
12,11
6,84
1,58
-3,68
-8,95
-14,21
-19,47
-24,74
-30
Рис. 6.80. Линии уровня радиальной скорости в двух- (а) и трехмерном (б)
случаях
существенные различия как в количественном, так и в качественном
отношении.
Качественное различие результатов численных расчетов в двух-
и трехмерной постановке показывает рис. 6.81 и линии тока, приведен¬
ные на рис. 6.82. Газ, поступающий в каверну по радиусу, движется
вдоль конической поверхности примерно посередине между ее внутрен¬
ним и внешним радиусами. В сегменте каверны, находящемся слева

Рис. 6.81. Направления течения и линии уровня осевой скорости в двух- (а)
и трехмерном (б) случаях
от фланца, образуется невязкое ядро, а справа от него формируется
рециркуляционная зона, занимающая практически весь объем каверны.
Контрольные сечения, соответствующие различным сечениям по
осевой координате, показаны на рис. 6.83.
Распределения относительной тангенциальной скорости приведены
на рис. 6.84. Линии соответствуют результатам расчетов по двумерной

Рис. 6.83. Положения контрольных сечений по осевой координате
модели, а символы — расчетам по трехмерной модели, не учитывающей
наличия фланца и болтов. Расчеты достаточно хорошо воспроизводят
профиль тангенциальной скорости, соответствующий комбинированно¬
му вихрю. Уровень тангенциальной скорости в невязком ядре потока,
полученный в рамках двумерной модели, в сечениях, лежащих слева от
фланца, оказывается ниже, а в сечениях, лежащих справа от фланца,
выше, по сравнению с распределениями, рассчитанными по трехмерной
модели.
Тангенциальная скорость в контрольных сечениях, лежащих слева
от фланца, оказывается выше теоретического значения /3* = 0,426 [298,
299], что объясняется влиянием внешнего осевого потока в межлопа-
точном канале.
г, м
0,
0,27
0,15
11
ч/ О 6вС
Г
су/ О П □
-
О ГфО о о
/О 1 о
/ I п
О (
▼ ▼ ▼▼▼Ли!
у./ о
• Г» ОО о
■
/х *
ОО о
0 0.2
0,4	0,6
0
0,8
г, м
0,27
0,24
0,21
0,18
0,15
/5
б
♦
-6'
1 у У о о 1ГЛ
> $ / о оо 08
ЮОаЬ
НО
	1	 1
1
0 0,2
0,4	0,6
0
0,8
Рис. 6.84. Распределения относительной тангенциальной скорости при
х = 3700 (/. о); 3750 (2, □); 3800 (3, V); 3850 (4, 0); 3900 (5, 0); 3950 (6, V);
4000 (7. □); 4050 мм (8, о)

г, м
Рис. 6.85. Распределения осевой скорости при х = 3700 (/, о); 3750 (2, □);
3800 (3, V); 3850 {4, 0); 3900 (5, 0); 3950 (6, V); 4000 (7, □); 4050 мм (5, о)
Распределения осевой скорости, приведенные на рис. 6.85, показы¬
вают, что по мере продвижения по осевой координате слева направо
невязкое ядро, в котором жидкость вращается как квазитвердое те¬
ло, перестает существовать, а пограничные слои на роторе и статоре
сливаются {такое поведение согласуется с профилями тангенциальной
скорости, приведенными на рис.6.84).
Присутствие болтов во фланце замедляет течение, приводя к фор¬
мированию радиального градиента давления (рис. 6.86) и радиальному
течению газа, направленному внутрь каверны (рис. 6.87).
Градиент давления в осевом направлении практически отсутствует
(рис. 6.88). На формирование течения в большей части каверны опреде¬
ляющее влияние оказывают эффекты, связанные с вращением потока,
а не силы давления.
Распределения температуры ротора и статора приведены на
рис. 6.89 для различных расчетных моделей. Учет трехмерных деталей
Рис. 6.86. Распределения статического давления при х = 3850 (/); 3890 мм (2)

м/с	Уд,	М/с
Рис. 6.87. Распределения радиальной (а) и тангенциальной (б) скорости при
х = 3850 (/); 3890 мм (2)
Рис. 6.88. Линии уровня статического давления в двух- (а) и трехмерном (б)
случаях
модели (модель 3) приводит к увеличению температуры ротора
приблизительно на 10 К по сравнению со случаем, когда эти детали
не учитываются (модель 2), и на 8 К по сравнению с расчетами на
основе двумерной модели (модель 1). Для статора различие температур
относительно модели 3 составляет 5 К (модель 2) и 4 К (модель 1).
Для расчета дополнительного сопротивления, вызванного враще¬
нием ротора, он разделяется на ряд контрольных сечений (рис. 6.90).
В трехмерном случае мощность, затрачиваемая на поддержание враще¬
ние, существенное выше, чем в двумерном случае. Разница достигает
80% (53,8 кВт в трехмерном случае и 29,8 кВт в двумерном). Получен¬
ные значения оказываются меньше, чем для свободного вращающегося

г, к
Рис. 6.89. Распределения температуры ротора (а) и статора (б) в двух- (ли¬
ния /) и трехмерных случаях без учета (линия 2) и с учетом (линия 3)
трехмерных деталей
IV, кВт/м2
О 0,02
0,1 Л< 0,14
Рис. 6.90. Мощность, затрачива¬
емая на поддержание вращения,
в двух- (линия 1) и трехмерном
(линия 2) случаях
Рис. 6.91. Зависимость коэффициен¬
та момента ротора от безразмерного
массового расхода при = 210 (/);
470 (2) с”1
диска, и близки к тем, которые имеют место для диска, вращающегося
в корпусе [132].
При изменении угловой скорости вращения турбинного диска коэф-
О 9
фициент момента, обработанный в виде зависимости СмКс^ от пара¬
метра турбулентности А* = Сц//Ке°’8, где Сиг = т/(цЬ) представляет
собой безразмерный массовый расход, изменяется сравнительно слабо
(рис. 6.91).
Результаты теплового анализа, полученные для полного цикла на¬
гружения (рис. 6.50) и показанные на рис.6.92 (линии), хорошо согла¬
суются с данными физического эксперимента [177] (символы •).
Результаты сопряженных тепловых расчетов для цикла нагруже¬
ния, соответствующего МТО-условиям (рис. 6.51), обработаны в виде

50000	52000	54000	56000 50000	52000	54000	56000
I, с	I,	с
Рис. 6.92. Изменение температуры металла в точке М4362 (а) и точке
МН1РН (б)
зависимостей температуры метал¬
ла в контрольных точках от вре¬
мени и показаны на рис. 6.93. Во
всех случаях имеет место выход
температуры на стационарный ре¬
жим.
Сравнение результатов сопря¬
женного теплового анализа с теп¬
ловыми расчетами на основе се¬
тевой модели для момента време¬
ни, соответствующего МТО-усло-
виями (выход двигателя на ста¬
ционарный режим работы), приво¬
дится в табл.6.11.
Как и для камеры предварительной закрутки потока, сопряженные
тепловые расчеты предсказывают более низкие температуры металла
в контрольных точках по сравнению с сетевой моделью. Наибольшие
различия результатов расчетов в сопряженной постановке и по сетевой
модели имеют место в точке МН1РН (относительная погрешность
составляет 2,35%), расположенной на поверхности турбинного диска
вблизи выходного сечения каверны (лабиринтное уплотнение).
Таблица 6.11. Сравнение температур металла
в контрольных точках
Рис. 6.93. Изменение температуры
металла в точках М4362 (линия I)
и МН1РН (линия 2)
Точка
Температура, К
Температура, К
Погрешность, %
(полный цикл)
(МТО-условия)
М4362
841,158
837,644
-0,42
МН1РН
851,932
831,817
-2,35

Заключение
Двигателестроение относится к одной из науко- и капиталоемких
отраслей энергетического и транспортного машиностроения. Растущие
требования к эффективности и надежности газотурбинных двигателей,
а также расширение диапазона параметров и условий эксплуатации
создают предпосылки для их конструктивного и технологического со¬
вершенствования.
При выполнении исследовательских, проектных и проверочных рас¬
четов течений и теплообмена в проточной части и внутренней воздухо¬
водной системе газотурбинных двигателей и их компонентов широкое
применение находят методы вычислительной газовой динамики и теп¬
лофизики.
Применение методов вычислительной газовой динамики и теп¬
лофизики, а также возможностей, предоставляемых современными
многопроцессорными компьютерными системами, позволяет построить
и реализовать модели турбулентных течений и теплообмена вязкого
сжимаемого газа в областях сложной геометрической конфигурации,
характерных для межлопаточных каналов и каверн газовых турбин
и компрессоров.
В книге рассмотрены вопросы, связанные с математическим мо¬
делированием турбулентных течений и теплообмена вязкого сжима¬
емого газа в областях, образованных неподвижными и подвижными
стенками.
Обобщен опыт численного решения осредненных по Рейнольдсу
уравнений Навье-Стокса при помощи метода конечных объемов на
неструктурированных сетках, поддержки численных расчетов (созда¬
ние геометрической модели, построение сетки), а также реализации
отдельных компонентов вычислительного алгоритма с использовани¬
ем средств современных информационных технологий (дискретизация
уравнений и расчетных соотношений, многосеточный метод решения
системы разностных уравнений, предобусловливание уравнений На¬
вье-Стокса, ускорение решения задач сопряженного теплообмена).
Приведены результаты расчетов течений и теплообмена в кавер¬
нах, имеющих модельную или упрощенную конфигурации, а также
результаты, полученные при использовании полномасштабной модели
газотурбинного двигателя или его отдельных компонентов. Результаты
расчетов локальных и интегральных характеристик течения и теплооб¬
мена сопоставлены с решениями тестовых задач, имеющимися данны¬
ми физических и вычислительных экспериментов, а также с расчетами
по корреляционным зависимостям.
Изучены основные режимы течения и теплообмена во вращающихся
полостях с осевым или радиальным подводом рабочего тела, а также
из зависимость от входных условий задачи. Получены распределения

расходов рабочего тела и его параметров в системе охлаждения двига¬
теля на стационарных и переходных режимах работы, распределения
температуры и коэффициентов теплоотдачи воздуха на поверхности
подвижных и неподвижных деталей, а также поля температур ротора
и статора по узлам расчетной модели во всех режимах работы дви¬
гателя.
Разработанные математические модели и численные методы реали¬
зованы в виде программного комплекса, который является инструмен¬
том расчета внутренних турбулентных течений и теплообмена в межло-
паточных каналах и вращающихся кавернах газовых турбин и компрес¬
соров, и допускает включение в состав систем автоматизированного
проектирования.
Результаты решения тестовых задач представляют интерес для по¬
строения и обоснования новых моделей турбулентности, что является
необходимым элементом совершенствования методов моделирования
внутренних турбулентных течений.
Полученные результаты имеют значение для повышения эф¬
фективности газотурбинных двигателей и их компонентов, расчета
напряженно-деформированного состояния и прочностного анализа.
Модели и программный код использовались для расчетов течений
и теплообмена в межлопаточных каналах и кавернах газотурбинных
двигателей.
Авторы выражают надежду, что данная книга вызовет интерес
у научных сотрудников, аспирантов и студентов, занимающихся ма¬
тематическим моделированием течений и теплообмена во вращающих¬
ся системах, и придаст стимул дальнейшим исследованиям в этой
области.

Приложение А.
Линеаризация уравнений Навье-Стокса
Рассматриваются особенности дискретизации уравнений Навье-
Стокса в примитивных, консервативных и симметризованных перемен¬
ных. Приводятся матрицы перехода от одних переменных к другим,
а также структура невязкого якобиана при использовании различных
переменных и соотношения для расчета невязких потоков в консерва¬
тивных переменных.
А.1. Примитивные, консервативные
и симметризованные переменные
Вектора примитивных, консервативных и симметризованных пере¬
менных имеют следующий вид:
V =
р \
Ух
Уу
Ух
\ Р )
( Р \
рУх
рУу
рУг
\ ре )
<Ш =
( Лр/рс \
с1ух
в,Уу
<1у2
\ ф — /
где р — плотность; ух, уу, у2 — скорости в координатных направлениях
х, у, г\р — давление; е — полная энергия единицы массы; с — скорость
звука.
Уравнение состояния совершенного газа имеет вид
Р={7“
где 7 — отношение удельных теплоемкостей. Величина скорости рас¬
считывается по формуле
Я2 = у1 + у\ + у\ - и>2г2,
где и — угловая скорость вращения; г — радиус.
Матрицы перехода имеют следующий вид:
—	матрица перехода от консервативных переменных к примитивным
дО
( 1
0
0
0
0
\
Ух
Р
0
0
0
Уу
0
р
0
0
Уг
0
0
р
0
\я2/2
рУх
руу
рУг
1/(7 -
1) /

—	матрица перехода от симметризованных переменных к консерва¬
тивным
дП
N = —
<9(5
/
71/2р
0
0
0
0
\
11/2РУх
рс
0
0
0
1
11>2РУУ
0
рс
0
0
с
11/2рУг
0
0
рс
0
1
7
рС1)х
рСЮу
рСОг
(*)
1/2
р)
—	матрица перехода от симметризованных переменных к прими¬
тивным
Ь =
№
дУ
/71/2- ООО
О
о
о
рс_
,,‘/2
1 0 0
О 1 О
О 0 1
ООО
1/2
рс
А.2. Линеаризация уравнений
в консервативных переменных
Линеаризуя уравнения Навье-Стокса, записанные в консерватив¬
ных переменных, получим
^ +	0 = У(ДУС).	(А.1)
Перепишем уравнение (А.1) в проекциях на оси декартовой системы
координат:
П+аП+аП + аП-^п дЛ + о д-9. + в дА\ +
дь +Лхдх + Уду + гдг ~ дх\ихх дх + ху ду + хг дг ) +
д ( дО дО дО\ д (^ дО дО дО\
(А.2)
Невязкий якобиан находится из соотношения

Матрицы Ах, Ау и Аг имеют вид
Ах =
(
2 4
—УхУу
-ЬхЬг
1
(3-7)1^
Уу
Ьг
^ [—7е+(7— 1)<72]г)х	<?2) ~(7“ 0*4 (1“7)«*«у (1~7)«*«*	7*>х	у
0
О
(1-7Н	(!~7К
г>х	О
О	Ух
0 \
7 - 1
О
О
Лу =
О
—УхУу
^ 7 2	2
—УуУг
О
Уу
(1-7>г
о
1
Ух
(З-7 >„
■Уг
7-1
О	\
О
(1-7>г	7	~	1
г>„	О
^[-7е+(7-092]% (1-7)»х1>у (7^--Цц— 92)-(7 - О^у 0 ”7)«у^* т«у
А2 =
/
О
-УхУг
-УуУг
1-7
г>2
О
О
о
1
ух
(1-7>х	(1-7Н
(3-7)«.
7-1
7 “
^(-7е+(7-092]^ (1-7)«*«* (1-7)«»«* (те--^-в2) “(7 -	7^	у
Представим якобиан в виде А = КАЬ, где Л — диагональная матри¬
ца, составленная из собственных чисел якобиана, айиЬ - матрицы,
составленные из его правых и левых собственных векторов (при этом
Ь = Я-1). Решая характеристическое уравнение с1еЬ(.А — XI) = 0, най¬
дем собственные числа якобиана. Матрица Л имеет вид
Л =
/
Уп-С
0
0
0
0
\
0
уп + с
0
0
0
0
0
Уп
0
0
0
0
0
Уп
0
V
0
0
0
0
Уп
/
Правые собственные вектора
Я= {/?!, #2, -йз» ■&*» Я5}» гДе
образуют столбцы матрицы
Я] =
( 1 \
ух — спх
*1)у	СТЬу
У2 — СП2
\ Но- сьп )
К2 =
( 1 \
Ух + СПХ
Уу + СПу
У г + СП2
\ Но + суп )

Лз =
ухпх
'УуТЬх “Ь ^^2
СТЬу
И4 =
V Я27^ + с(УуПг-У2Пу) )
Пу
УхПу - СП г
УуПу
У2Т1у “Ь СПх
\ Я2^ +с(угпх-ухп2) у
Я5 =
Т1г
Ухп2 + сПу
НуТЬ^ С77*х
УгПг
\я2^- + с{ухПу - УуТЬх)
Левые собственные вектора образуют строки матрицы Ь =
= {Ь[, 1,2, Ьг, -^4. -^5} , где
Ь‘ = 2
/ (7- 1)я2/2 + суп \
-[(7 - \)ух + спх}
-	[(7 ~ 1Н + спу]
-[(7 - \)уг + сп2]
V	7-1	)
** = 2
( (7- 0<?2/2 — суп \
-[(7- 1 )ух - спх]
-[(7-	~	с^у]
-[(7 - 1)уя ~ сп2]
V	7-1	/
/ [с2 - (7 - 1)д2/2]па; + фг% - ууп2) \
(7 -
(7 - 1 )уупх + сп2
(7 - 1 )угпх - спу
\	-(7-1)™*	/
и =
/ [с2 - (7 - 1)дг2/2]пу + с{ухпг - угпх) \
(7 -	-	спг
(7- 1)иуПу
(7 - 1)г»гпу +спх
-(7- 1 )пу
Ьъ =
( [с2 - (7 - 1)д2/2]п2 + с{уутьх - ухпу) \
(7 - \)ухп2 4- спу
(7	1	СПХ
(7 - 1)и2пг
V	(7	1	)™г
Здесь к — энтальпия. Индекс 0 соответствует параметрам в точке
торможения.

А.З. Линеаризация уравнений
в примитивных переменных
Переходя в уравнении (АЛ) к примитивным переменным, получим
дУ
М— + АМЧУ = V (ЯМУУ).
Домножая слева на М имеем
дУ
(А.З)
+
+ (М~[АМ)	=	У[{М~хОМ)ЧУ}
Перепишем уравнение (А.З) в проекциях на оси декартовой системы
координат:
^ + Ах^~ + АУ^- +	= ^-(охх ^ + Оху ^ + 01г ^) +
01	ох	ду	дг	ох \ ох	оу	ог)
1-у {пххж+°хуЩ+1,г‘Щ)
Невязкий якобиан находится из соотношения
ЯР1 дР* ЯР?
А = ^5х + ^8у + ^82 = А*8х + АУ8у + А*5г.
Связь якобианов в примитивных и консервативных переменных уста¬
навливается при помощи соотношений
Ах = М~1АхМ, Ау = М~] АуМ, Аг=М~[АгМ,
где
/
Ух
р
0
0
0
\
0
Ух
0
0
Ур
Ах =
0
0
Ух
0
0
0
0
0
ух
0
\
0
рс2
0
0
Ух
(
Уу
0
р
0
0
\
0
Уу
0
0
0
Ау =
0
0
Уу
0
1 /р
0
0
0
Уу
0
\
0
0
рс2
0
Уу
(
Ух
0
0
р
0
\
0
Уг
0
0
0
Аг =
0
0
Уг
0
0
0
0
0
Ух
1/р
\
0
0
0
рс2
Уг
I

Матрица А имеет вид
( Уп
р8х
рЗу
рЗг
0 \
0
Уп
0
0
8х/р
А =
0
0
Уп
0
Зу/ Р
0
0
0
Уп
8г/р
^ 0
рс28х
рс28у
рс23г
Уп /
Здесь уп = ух8х + уу8у + уг8г. Площади соответствующих граней кон¬
трольного объема находятся из соотношений
8Х = 8пх, 8У — 8пу, 82 = 5пг, 52 = 52 + 82 + 52,
где пх, пу, п2 — проекции внешней единичной нормали к грани
контрольного объема на оси декартовой системы координат.
Представим якобиан в виде А = ЯАЬ, где Л — диагональная матри¬
ца, составленная из собственных чисел якобиана, а К и Ь — матрицы,
составленные из его правых и левых собственных векторов (при этом
Ь = Я~1). Решая характеристическое уравнение с!е1;(.А — XI) = 0, най¬
дем собственные числа якобиана. Матрица Л имеет вид
/
Уп
0
0
0
0
\
0
Уп
0
0
0
0
0
Уп
0
0
0
0
0
Уп +С
0
V
0
0
0
0
Уп
с/
Правые собственные вектора образуют столбцы матрицы
/
пх
Пу
п2
Р
р
\
0
-спг
СПу
спх
-спх
спг
0
-спх
СПу
— СПу
— СПу
спх
0
СПг
— СП 2
V
0
0
0
рс2
рс2
/
Левые собственные вектора образуют строки матрицы
/ 2 с2пх
Ь =
О
2сп,
•2сп-и —2пт \
2с2 пу
—2сп2
0
2 спх
2 пу
2с2пг
2 спу
—2 спх
0
-2пг
0
спх
спу
спг
'/Р
\ 0
-спх
—спу
— СП 2
1/Р

При этом имеет место соотношение
|Л|Ь-' =
/ О
О
2(?пх\ьп\
о .	.
2с гау|ип|
\ 2<?пг\уп\
1
—рспх\уп — с\ —рспу\уп —с\	—рспг\уп—с\
рспх\у-п+с\ рспу\уп+с\ рспг\уп+с\
О	2рспг\утх\	-2рспу\у-п\
-2рсПъ\уп\	О	2рспх\уп\
2рспу\уп\ -2рспх\у„\	О
|г»п - с| \
|г>п + с|
2пх \ у-п |
—2пу\уп\
-2пг\уп\ )
Для вязких потоков имеем
/
0
0 0
0
0 \
/°
0
0
0
°\
Бхх - -
0
2ц + А 0
0
0
, иху = -
0
0
А
0
0
0
0 11
0
0
0
р
0
0
0
Р
0
0 0
Р
0
р
0
0
0
0
0
V
1Р-Р
Рг Р
0 0
0
7 Р
Рг /
\0
0
0
0
о/
/
0
0
0
0
0 ^
/°
0
0
0
°\
руу _ 1
0
Р-
0
0
0
, Г)хг = -
0
0
0
А
0
0
0
2р + А
0
0
0
0
0
0
0
Р
0
0
0
р
0
Р
0
д
0
0
0
V
1Р-Р
Ргр
0
0
0
1Р
Рг
\0
0
0
0
0 /
(
0
0
0 0
0 >
/0
0
0
0
°\
игг=~
0
V
0 0
0
, оуг = -
0
0
0
0
0
0
0
/л 0
0
0
0
0
А
0
р
0
0
0 2р + X
0
Р
0
0
р
0
0
0
\
7 РР
Ргр
0
0 0
7 Р
Рг
, 0
0
0
о/
Здесь Л — второй коэффициент вязкости.
А.4. Линеаризация уравнений
в симметризованных переменных
Невязкий якобиан в симметризованных переменных находится из
соотношения

Матрицы Ах, Ау и Аг имеют вид
Ат, —
V,
7
А, =
7
с
Т/2
О
о
о
у
о
с
Т/2
О
о
с
1/2
7 7
'Ух
О
о
с
Т/2
1
О
7
=
о
о
с
Л/2
V
о
о
о
о о
уг О
О уг
О о
о о
иу
0
1	\ I/2
7
с
Т/2
О
о
_ 1\ 1/2
7 /
Для вязких потоков имеем
(°
О
О
О
О
\
О
2(1 + Л
О
О
О
I
О
О
м
О
О
Р
0
О
О
м
О
\°
О
О
О
7М
Рг
)
( О
О
О
О
О
\
1
О
м
О
О
О
О
О
2(1 Ч- Л
О
О
Р
О
О
О
д
О
О
О
О
О
7М
\
Рг
О
О
О
/7-П
1/2
1
\ 7 у
I
О
О
О
О
Ух
0
О
О
О
0
(7-1)
1/2
1 1
V 7 /
1
ь
О
0
Уу
7
О
о
о
14 1/2
-) с
N
уг
( 0
0
0
0
°\
1
О
0
Л
0
0
О
м
0
0
0
Р
О
0
0
0
0
^0
0
0
0
ч
пхг = -
(°
0
0
0
°\
1
0
0
0
Л
0
0
0
0
0
0
р
0
м
0
0
0
^0
0
0
0
0/

В22 = -
/ООО о
О	р,	о	о
О	О	ц	о
О	О	О	2/л + Л
уО	о	о	о
О N
о
о
о
Рг /
/о	о	о	о	0\
0	0	0	0	0
о	о	о	л	о
О	0	р	о	о
\о	о	о	о	о/
Используя симметризованные переменные, нетрудно показать, что
диссипативная матрица
( вхх
Асу
А
и =
ВуХ
Вуу
А
\ Дгх
Агу
А
является симметричной и образует положительно определенную квад¬
ратичную форму, если /х^0, А^0и2// + ЗА^0.
А.5. Расчет невязких потоков
Приведем соотношения, необходимые для дискретизации уравнения
(А.З) на неструктурированной сетке. Вводя обозначение 5У = Уг — У^,
получим
( (с2 6р — 8р) пх + сп2 $Уу — спу 5ь'г ^
(с2 5р - &р) пу - спг 8ух + спх 6ь<г
(с2 8р — 6р) пг + спу 8ух — спх дъ'у
^(8р +рс 8 уп)
\
—	(бр-рсбУп)
/
Здесь 8уп = 8ухпх + 5уупу + 8у2пг.
Конвективный член в уравнении (А.З) находится из соотношения
(А • \7)У = (Я\А\Ь)8У, дискретизация которого дает
(К\А\Ь)5У =
I	(с28р - <5р)|г>п| + ^(<5р + рс5уп)\уп +	с\ + ~(8р - рс6уп)\уп - с\
<?{8ух - пх<5г1п)|г>п| + ~^{8р + рс8уп)\Уп	+ с\ -	<^-{5р - рс6уп)\уп	-	с|
2	р	2р
с2(8уу -	+ рс6уп)\ьп	+с| -	^4<5р - рс5уп)\Уп	-	с|
ср	&р
с^(5у2 — пх5уп)\уп\ +	+ рс8уп)\уп	+ с|	7Г^(&Р ~ рс&Уп)\ип	-	с|
2	р	1р
с2	с2
—	(5р + рсбуп)\уп + с\ - — (6р - рс8уп)\уп - с\

Вводя обозначения
<И =
аг =
(8р - рс8уп),
2	(8р + рс8уп),
2
\уп + с
аз = -|ип|(<*р - с26р),
получим
(Н\А\Ь)8У =
(
СП
а\ + а2 + аз
{а2-а\) + с1(6ух-пх6уГ1)\уп\
^ {а2-а[) + с2(8уу-пу6уг1)\уп\
Р
^ (аг—а1) + с2(<5г>2 —пг<5г>п)|г>п|
(а1 + аг)с2
/
/	0123	\
(^12Пх + е^*)/р
{(1\2Пу + е8угу)/р
(«й\2П2+е8уьг)/р
\	(а[ + аг)(т2	)
Соотношение для расчета вектора невязких потоков примет вид
(
Г1 =
а 123
атУх + д,\2пх + ез 8у1х
а123 уу + й\2Пу 4- ез8Уу
атУг + ^12П.г + ез 8угг
^ 0123у + ^12^71 + е3(ух8у*х + уу8у1 + уг8у*) +	у
Здесь 0123 = а1 + аг + аз, ^12 = (аг — а1)с, е = р<?\уп\■ Приращения
скорости вычисляются по формулам 8у^ = 8ух — 8уппх, 8Уу = 8уу —
-	8уппу, 8у1г = 8у2 - 8уппг.

Приложение Б.
Предобусловливание уравнений Навье-Стокса
Приводятся соотношения для дискретизации и расчета невязких
потоков при использовании блочного предобусловливания уравнений
Навье-Стокса (при моделировании низкоскоростных течений сжимае¬
мого газа).
Б.1. Собственные вектора якобиана
Приведем структуру матрицы Т (используются консервативные
переменные, индекс с) и матрицы Т-1 (используются примитивные
переменные, индекс р) в регулярном случае (предобусловливание не
используется) и при использовании предобусловливания.
1.	Регулярный случай
Гс =
( 1
Ух ~
СПх
Уу СПу
Уг — СП*
к -
СУп
1
Ух +
СПХ
Уу + спу
+ СП2
к +
СУп
Т1х
УХТ1Х УуПх “I- СПг
УгТ1х — СТЪу
2 Т1х ,
ьп~2+
у'ГЬг ~
- УгПу)
Пу
УхПу
~ СП г
У у
Уг'Пу ”Н СПх
+ с(у2пх -
- Ухпг)
^ Пг
УхПг "1“ С71у УуПг СТЪХ
УгТЬг
2 ^2 /
уп-2~+с(у:
- УуПх)
( 0
рспх/ 2
рсПу/2
рСПг/2
1/2
\
1
0
-рспх/2
—рспу12
-рспг/2
1/2
Т~ 1
V
1
=
(?ПХ
0
рспг
-репу
ТЬх
С
(?пу
-реп.г/ 2
0
рспх
—пу
\ с2пг
репу
—рспт
0
—пг
/
2. При использовании предобусловливания
( 5+ Ух8+ — 2с2ПхЕ УуЗ+ — 2с2ПуЕ Уг8+ — 2с2П2Е
2 се	2 се	2	се	2 се
з~ ухз~+2с2пхе уу8~+2 с2пуе угв~+2 с2пге
2 се
2 се
7%х	'Ох'Пх
Т1у
2 се
уупх + сп г
УуПу
2 се
/15+ — 2с? це	\
2сё
кз~ + 2с?де
2сё
УгПх — СПу	-У^Пх+С^уПг-У^П,^
УгПу - СПХ	^ УпПУ+с(УгПх-УхТ1-)
^Пг УхПг + СПу УуПх — СПх	УгПг	~	У^Пг+С^Пу-УуП:г)^

( 0
—рз спх
—рз спу
— рз СП г
с
2т
2 т
2т
4т
0
рз+спх
рз+спу
рз+спг
с
2т
2т
2т
Ат
&пх
0
реп 2
—рСПу
-Па
<?Пу
-реп г
0
рспх
—пг
\ С2пг
рСПу
-рспх
0
~П;
т~' = —
Р с2
Здесь 5+ = т + (1 — е)уп, з = г — (1 — е)ьп.
Б.2. Расчет невязких потоков
Переменные вычисляются в серединной точке грани а = (а* + а^)/2.
Приращения примитивных переменных находятся из соотношения
51 а — а у ау .
Для увеличения порядка точности до 2-го используется соотношение
62а = 3161а — з 2
где Ьг(а) — псевдо-лапласиан переменной а в узле г. Ограничители
выбираются в следующем виде:
51 = ПШ1 <1,52
\Ш\
+
\ш\
.	52=61(1-51).
|-Мр) + 2р*| \Ьз(р) + 2рз\ш
Полагается, что 51 = 1 и ег = 8. В узлах, лежащих на стенке, 51 = 1.
Таблица Б.1. Вычисление невязких потоков
Величина
Регулярный случай
Предобусловливание
А,
уп - с
(1 +е)уп/2 - т/2
Аг
Уп + с
(1 + е)уп /2 + т/2
Аз
Уп
Уп
а|
|А||(6р - ребьп)/2
|А) |(<5р — з~ р8уп/2)
а-2
|А2|(5р + рс6уп)/2
|А2|(<5р + з+р6уп/2)
аз
-|А3|(«р - сЧр)
-|А3|(5р - (?8р)
а|2з
&1 + 0,2 + 0-3
(5+а| + з~а,2)/(2те) + аз
Ь\23
(а! + аг)/г + д2аз/2
(5+а,| + 8~а,2)Ъ,/(2те) + с^а^/2
й\2
(02 - аОс
02 — а|
е
рс21 Аз I
рс2|А3|

Соотношение для расчета вектора невязких потоков имеет вид
(приводится только соотношение для расчета сглаживающего члена, на
дискретизацию которого оказывает влияние предобусловливание)
2 \А№ ~ 30 =
_1_
№
(	0-123	\
^123 Ух +^12^х + е8уЬх
0-123 Ъу + ^12 Пу + (5 У1у
<3-123 Уг + <^12 Пг + е8у\
\ Ьт + с1\2Уп + ед8д )
Приращения составляющих скорости вычисляются по формулам 8у1х =
= 8ух — 8уппх, 8уьу = 8уу — 8уппу, 8ьгх = 8ьг - 8уппг, 484 = ух8у\. +
+ уу8уу + у28у1- Соотношения для других величин и коэффициентов
приводятся в таблице.

Приложение В.
Низкорейнольдсовые модели турбулентности
Низкорейнольдсовые версии к-е модели турбулентности различаю
ся формой записи источниковых членов, демпфирующими функцияь
и граничными условиями на стенке [11, 27] и приводятся в таблице.
Таблица В.1. Коэффициенты и граничные условия

Модель [206, 207]:
,	(	-2,5	\
1ц = ехр
1	+Ке1/50/’
/е1 = 1;	/е2	=	1	0,3ехр (— Ке2);
дк1/2
Ик = -2(1
дХг
тр п I
Ее — 2(1(1г
ч дХ] дхк
Модель [232]:
Г _ Г -3,4	1.
Д 0ХР Ц1+Ке{/50)2]’
/«1 = 1;	/е2 = 1 - 0,3ехр (-Ке2);
Ее = 2(1(11
д\г
дх-) дхк
Модель [229]:
/„ = [1-ехр(-0,0165Ке„)]г(1 + |^;
/«1 = 1 +	'■	/«2=1-	ехр	(-	Ее?);
Вк =0; Ее = 0.
Модель [190, 377]:
^ = ехр(тТа^75о);
/«1	= 1;	Лг = [1	- 0,3ехр(—Ке^)] [1 - ехр(-Кс?)];
И к	= 0;	Ее = 0.
Множитель 1 - ехр Ке2^ в функции /е2 применяется при у+ ^ 5.
Модель [361]:
/'‘=ехр(1+Ш*ь(^):
/«1 = 1:	/«2	= {1 - |	ехр	[ - (^)2]} [1 - ехр (-	|^)]2;
Ик = 0;	Ее	= 0.

Модель [136]:
/д ехр (|+Ке(/50)2 ’
/е2 = [1 -0,27ехр(-В4)][1 -ехр(-н4)];
В к = 0; Ее — 0.
Модель [283]:
Ок = 0; Ее — 0.
Модель [330]:
/„ = 1 - ехр ( - 0,0002 у+ - 0,00065 у+2);
/«1 = 1; /<2=1;
Эк = 0; Ее = 0.
/е\ = 1;	/е2	=	1	-	0,3ехр (- Не2);
Модель [282]:
!е\ = 1;
Бк = 0; Ее = 0.
Модель [284]:
!е\ = 1;
/„ = {1 - 0.3ехр [- (||)2]} [1 - ехр (- ^)]2;

Модель [411]:
/, = (1 + ^)*
х [1 — ехр ( — 1,5 ■ 10~4 Ее, - 5,0 • 10~7Ее^ — 1,0- КГ^Не*)] '/2;
=	+ Я^р) 1 Л2 = (' +	1
Эк = 0; Ее = о.
Модель [166]:
1 — ехр Ке/ )
/е\ — 1!	/е2	=	11
Ик = 0; Ее = 0.
Модель [57, 58]:
/„ = [1 - ехр (- ^)]2{1 + ^ ехр [- (^)2] };
/,1 = 1;	/й=	[1-ехр(-|^)]2{1-0,Зехр[-(!^)2]};
Ик = 0; Ее = 0.
Модель [107]:
/„ = [ 1 - ехр (- 0,0215 Ее„)]:2 (1 +	;
Д| = 1; /й = [1-0,01 ехр (-Ее?)] [1 - ехр (-0.0631 Ке„)];
Вк = 0; Ее — 0.
Модель [243]:
/„ = [1 - ехр (- 0,0198 Ее»)] (*1 + ^Х.
Л1 = 1;	/е2	= 1;
Ик =0; Ее = 0.
Модель [119]:
/д ~ 1»	/е1 = 1^	/е2	=	1!
Ок = 2^4:
Уп
в' = 2^ехр(-т)'

Список литературы
1.	Андерсон Д., Таннехилл Дж., Ллетчер Р. Вычислительная гидромехани¬
ка и теплообмен. — М.: Мир, 1990. — 726 с.
2.	Андрианов А.Н., Ефимкин К.Н. Подход к параллельной реализации
численных методов на неструктурированных сетках // Вычислительные
методы и программирование. 2007. Т. 8, №1. С. 6-17.
3.	Астраханцев Г. П. Об одном релаксационном методе // Журнал вы¬
числительной математики и математической физики. 1971. Т. 11, №2.
С.439-448.
4.Бахвалов	Н.В. О сходимости одного релаксационного метода для эл¬
липтического оператора с естественными ограничениями // Журнал вы¬
числительной математики и математической физики. 1966. Т. 6, №5.
С.101-135.
5.	Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных
сред. — М.: Физматлит, 1994. — 394 с.
6.	Богод А. Б., Замтфорт Б. С., Иванов М. Я., Крайко А. Н. Об использова¬
нии процесса установления по времени при решении задач стационарного
обтекания газом решеток профилей // Известия АН СССР. МЖГ. 1974.
№4. С. 118-123.
7.	Бондаренко Ю.А., Башу ров В. В., Янилкин Ю.В. Математические мо¬
дели и численные методы для решения задач нестационарной газовой
газодинамики. Обзор зарубежной литературы. Препринт РФЯЦ ВНИИ-
ЭФ. 2003. №88-2003. 54 с.
8.	Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.
9.	Волков К. И. Влияние градиента давления и локализованного вдува на
турбулентный теплообмен плоской пластины // Теплофизика высоких
температур. 2006. Т. 44, №3. С. 24-32.
10. Волков К.Н. Влияние поперечного потока вдуваемого газа на формиро¬
вание и структуру вторичных течений в межлопаточном канале газовой
турбины // Инженерно-физический журнал. 2008. Т. 81, №4. С. 721-731.
11	.Волков К.Н. Граничные условия на стснкс и сеточная зависимость ре¬
шения в расчетах турбулентных течений на неструктурированных сет¬
ках // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7, №1.
С. 211-223.
12.Волков	К.Н. Дискретизация конвективных потоков в уравнениях На¬
вье-Стокса на основе разностных схем высокой разрешающей способ¬
ности // Вычислительные методы и программирование. 2004. Т. 5, №1.
С. 129-145.
13.	Волков К.Н. Дискретизация уравнений Навье-Стокса на неструктури¬
рованной сетке при помощи метода контрольного объема и разностных
схем повышенной разрешающей способности // Журнал вычислительной
математики и математической физики. 2008. Т. 48, №7. С. 1250-1273.
14.	Волков К. Н. Дискретизация уравнений Навье-Стокса на подвижных
неструктурированных сетках // Вычислительные методы и программиро¬
вание. 2008. Т. 9, № 1. С. 256-273.

15.	Волков К. Н. Моделирование турбулентного течения и теплообмена в осе¬
симметричной каверне с вращающимся диском // Математическое моде¬
лирование. 2006. Т. 18, №2. С. 72-88.
16.Волков	К.Н. Момент сопротивления диска, вращающегося в закрытой
осесимметричной каверне // Прикладная механика и техническая физика.
2006.	Т. 47, № 1. С. 153-160.
17.	Волков К.Н. Применение двухслойной модели турбулентности для рас¬
чета пограничного слоя с градиентом давления // Инженерно-физ. журн.
2007.	Т. 80, №1. С. 90-99.
18.	Волков К. Н. Применение метода контрольного объема для решения задач
механики жидкости и газа на неструктурированных сетках // Вычисли¬
тельные методы и программирование. 2005. Т. 6, № 1. С. 43-60.
19.	Волков К.Н. Применение методов численного моделирования для оценок
потерь полного давления в газовых турбинах // Инженерно-физ. журн.
2007. Т. 80, №5. С. 55-63.
20.	Волков К. Н. Применение средств параллельного программирования для
решения задач механики жидкости и газа на многопроцессорных вы¬
числительных системах // Вычислительные методы и программирование.
2006.	Т. 7, №1. С. 69-84.
21.	Волков К.Н. Пристеночное моделирование в расчетах турбулентных те¬
чений на неструктурированных сетках // Теплофизика и аэромеханика.
2007.	Т. 14, № 1. С. 113-129.
22.Волков	К.Н. Разностные схемы расчета потоков повышенной разреша¬
ющей способности и их применение для решения задач газовой дина¬
мики // Вычислительные методы и программирование. 2005. Т. 6. №1.
С. 146-167.
23.	Волков К. Н. Разработка и реализация алгоритмов численного решения
задач механики жидкости и газа // Вычислительные методы и програм¬
мирование. 2005. Т. 8, № 1. С. 40-56.
24.	Волков К. Н. Реализация схемы расщепления на разнесенной сетке для
расчета нестационарных течений вязкой несжимаемой жидкости // Вы¬
числительные методы и программирование. 2005. Т. 6, №1. С. 269-282.
25.	Волков К.Н. Решение задач сопряженного теплообмена и передача теп¬
ловых нагрузок между жидкостью и твердым телом // Вычислительные
методы и программирование. 2007. Т. 8, №1. С. 265-274.
26.	Волков К. Н. Решение нестационарных задач механики жидкости и газа
на неструктурированных сетках // Математическое моделирование. 2006.
Т. 18, №7. С. 3-24.
27.Волков	К.Н. Сравнение низкорейнольдсовых моделей турбулентности
с данными прямого численного моделирования течения в канале // Теп¬
лофизика и аэромеханика. 2005. Т. 12, №3. С. 365-378.
28.	Волков К. Н. Ускорение решения задач сопряженного теплообмена на
неструктурированных сетках // Вычислительные методы и программиро¬
вание. 2009. Т. 10, № 1. С. 184-201.
29.	Волков К. Н., Емельянов В. Н. Моделирование крупных вихрей в расчетах
турбулентных течений. — М.: Физматлит, 2008. — 364 с.
30.	Гарбарук А. В., Лапин Ю.В., Стрелец М.Х. Турбулентный пограничный
слой при одновременном влиянии продольного градиента давления, вдува

(отсоса) и поперечной кривизны поверхности // Теплофизика высоких
температур. 2002. Т. 40, №3. С. 523-529.
31.	Гольдштик М. А., Штерн В.Н., Яворский И. И. Вязкие течения с пара¬
доксальными свойствами. — М.: Наука, 1989. — 336 с.
32.	Зибаров А. В., Бабаев Д. Б., Шадский А. М. ОазОупагшсзТоо14.0: передо¬
вые СРВ-технологии для персонального компьютера // САПР и графика.
2000.	№ 10. С. 44-50.
33.	Иванов И.Э., Крюков И. А., Терехов Я. В. Объектно-ориентированная
программная система подготовки данных и визуализации результатов га¬
зодинамических расчетов // Математическое моделирование. 2001. Т. 13,
№7. С. 110-115.
34.	Иванов И.Э., Крюков И. А., Терехов И. В. Особенности построения про¬
граммной среды обеспечения газодинамических расчетов // Математиче¬
ское моделирование. 2002. Т. 14, №8. С. 28-30.
35.	Копысов С. П., Красноперое И. В., Рычков В. И. Объектно-ориентирован¬
ный метод декомпозиции области // Вычислительные методы и програм¬
мирование. 2003. Т. 4, №1. С. 1-18.
36.	Кутлер П. Перспективы развития теоретической и прикладной вычис¬
лительной аэродинамики // Аэрокосмическая техника. 1985. Т. 3, №8.
С. 11-28.
37.	Лаврентьева О. М. Течение вязкой жидкости в слое на вращающейся
плоскости // Прикладная механика и техническая физика. 1989. Т. 5,
№5. С. 41-48.
38.	Леонтьев А. И., Шитов Е.В., Герасимов А. В. Модель турбулентности
к-е для расчета градиентных пристенных течений // Доклады РАН. 1996.
Т. 41, №10. С. 480-484.
39.	Мелеихко С. В., Пухначев В. В. Об одном классе частично инвариантных
решений уравнений Навье-Стокса // Прикладная механика и техниче¬
ская физика. 1999. Т. 40, №2. С. 24-33.
40.	Пухначев В. В. Неустановившиеся движения вязкой жидкости со свобод¬
ной границей, описываемое частично инвариантными решениями уравне¬
ний Навье-Стокса // Динамика сплошной среды. — Новосибирск: Изд-во
ИГ СО АН СССР, 1972. - Т. 10. - С. 125-137.
41.	Саблин М.Н. Программная реализация алгоритмов численного решения
операторно-разностных задач двумерной газовой динамики с использова¬
нием системы классов С++ // Вычислительные методы и программиро¬
вание. 2006. Т. 7, № 1. С. 19-29.
42.	Семенов В. А. Объектная систематизация и парадигмы вычислительной
математики // Программирование. 1997, №4. С. 14-25.
43.	Скворцов А. В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне //
Вычислительные методы и программирование. 2002. Т.З, №1. С. 14-39.
44.	Смирнов Е.М., Зайцев Д. К. Метод конечных объемов в приложении
к задачам гидрогазодинамики и теплообмена в областях сложной геомет¬
рии // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2004, №2. С. 70-81.
45.	Смирнов Е.М., Кириллов А. И., Рис В. В. Опыт численного анализа
пространственных турбулентных течений в турбомашинах // Научно-тех¬
нические ведомости СПбГТУ. 2004, №2. С. 55-70.

46.	Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. — М.: Физматгиз,
1962.	- 486 с.
47.	Тарнавский Г. А., Алиев А. В. Математическое моделирование: основные
сегменты, их особенности и проблемы // Вычислительные методы и про¬
граммирование. 2007. Т. 8. С. 297-310.
48.	Турбулентные сдвиговые течения/Под ред. П. Дж. Брэдшоу, Ф. Дурста,
Б. Е. Лаундера. — М.: Машиностроение, 1983. — 422 с.
49.	Управление обтеканием тел с вихревыми ячейками в приложении к ле¬
тательным аппаратам интегральной компоновки (численное и физическое
моделирование)/Под ред. А. В. Ермишина и С. А. Исаева. — М.: Изд-во
МГУ, 2001. - 360 с.
50.	Федоренко Р. П. Релаксационный метод решения разностных эллиптиче¬
ских уравнений // Журнал вычислительной математики и математической
физики. 1961. Т. 1, №5. С. 922-927.
51.	Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. — М.: Мир,
1991.
52.	Численное моделирование вихревой интенсификации теплообмена в паке¬
тах труб/ Быстров Ю. А., Исаев С. А., Кудрявцев Н. А., Леонтьев А. И. —
СПб: Судостроение, 2005. — 392 с.
53.	Численное решение многомерных задач газовой динамики/Под ред.
С. К. Годунова. — М.: Наука, 1976. — 400 с.
54.	Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных по¬
токов/Липанов А. М., Кисаров Ю.Ф., Ключников И. Г. — Екатеринбург:
Изд-во УрО РАН, 2001. - 160 с.
55.	Шевчук И. В. Турбулентный теплообмен вращающегося диска при посто¬
янной температуре или плотности теплового потока на стенке // Тепло¬
физика высоких температур. 2000. Т. 38, №3. С. 521-523.
56.	Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974. — 711 с.
57.	АЬе К., КопйоН Т., Ыа§апо У. А пем 1игЬи1епсе тос!е1 Гог ргесЛсип^ Пшс1
Ном ап<1 Ьеа1 {гапзГег т зерагаПп^ апс! геаМасЫп^ Помз. I. Пом Пе1с!
са1си1а1юпз // 1п1егп. Л. о! Неа! апс! Мазз ТгапзГег. 1994. V. 37, N0. 1.
Р. 139-151.
58.	АЬе К., КопйоН Т., Ыа^апо Т. А пем 1игЬи1епсе тос1е1 Гог ргесЛсШд Пшс!
Пом апс! Ьеа1 {гапзГег т зерагаМп^ апс1 геаМасЫп^ Иомз. II. ТЬегта) Пе1с1
са1си1аИопз // 1п1егп. Л. оГ Неа! апс! Мазз Тгапз1ег. 1995. V. 37, N0. 10.
Р. 1467-1481.
59.	АЬе Т., КгкисЫ У., ТакеисЫ Н. Ап туезИ^аИоп о! 1игЫпе (Нзс сооПп^
(ехрептеп1а1 туезИ^аИоп апс! оЬзегуаМоп оГ Но* ^аз Пом т!о а \\Нее1
зрасе) // Ргос. о! 1Ье 131Н С1МАС Соп^гезз, Укппа, Аиз1па, 1979.
N0. ОТ-ЗО.
60.	АОАКЭ Пшс! Эупагтсз Рапе1. Тез! сазез [ог 1тлзс1с1 Пом Пе1с! те1Нос!5 //
АОАКЭ АсМзогу Керогаз. 1986. N0. АК-211.
61.	А1ехюи А., НШз М.У., 1<ощС.А., Тигпег А.В., МШшагсИ. А. Неа! 1гапз[ег
т Ы^Ь-ргеззиге сотргеззог &аз 1игЫпе т!егпа1 а!г зузктз: а го1а11п^
сНзс-сопе сау^у мИЬ ах1а1 ^Нгои^НПом // ЕхрептепЫ Неа! ТгапзГег. 2000.
V. 13. N0. 4. Р. 299-328.

62.	АИтагаз 5. Апа1уз]5 оГ зетытрНсй ргесопсШюпегз Гог тиШдпс! зо1и1юп
о? {Не 20 сотргеззМе №у!ег-51окез еяиа1юпз // А1АА Рарег. 1995.
Ыо.95-1651.
63.	АпйгеШ А., Оа 5одНе Р., РассЫт В., 2,ессЫ 5. ТигЫпе зШог ше11
СРО з^исПез: еГГес1з оГ сауИу сооПп^ а1г Иоау // А5МЕ Рарег. 2008.
N0.012008-51067.
64.	Аипрари N.. Уо11по Р., Р1аск К., 51ойс1агй Р. 5есопс1агу Г1оау теазигегпеп^з
ш а 1игЫпе разза^е \лп1Н епс!^а11 По^ тосНПсаНоп // А5МЕ Рарег. 2000.
N0.01-2000-0212.
65.	АШе[ К МЛ., СНет 1.Ж, НШв N.1., Вгигйоп 1.Ь. ТигЫпе з!а1ог-^е11
По\у тос!еШп§ // Ргос. оГ 1Ье 8*Н 1п1егп. Зутрозшт оп ЕхрептепЫ апс!
СотриШюпа1 Аего1Негтос1упаггпс5 о! 1п1егпа1 Р1о^з, Ьуоп, Ргапсе, Ли1у
2007.	N0.15А1Р8-008.
66.	Вагпез С. 1п1е§[га1 1ез1 р1ап Гог 1Не 5С03 р1и§-т 5С89 // КоПз-Коусе
ТесНшса1 Эез^п Керог!. 2004. N0. Э^99645.
67.	Вагпез С. Тпа1з 1е51 р1ап Гог 1Не 5С03 р1и^-т 5С89 // КоПз-Коусе
ТесНтса! Оез^п Керог1. 2004. N0. ОН599646.
68.	*ехШВаг{Н Т. Л., Ьт1оп 5. Ап ипз1гис1игес1 тезН №ш!оп зоЬег Гог
сотрге551Ые Пшс! Г1о^ апё Из рага11е1 1тр1етеп1а1;юп // А1АА Рарег. 1995.
N0.95-0221.
69.	ВагИг Т.}. Азрес1з оГ ипз1гис1игес! ^пйз апс! ГтИе-уо1ите зо^егз Гог {Не
Еи1ег апс! №у|ег-51окез е^иа^^оп5 // УК1 Ьес^иге ЗепеБ. Ве1^шт, Уоп
Кагтап 1пзШи1е Гог Р1шс! Эупагшсз, 1994. N0.1994-05. 152 р.
70.	Ва1сНе1ог С. К. N0^ оп а с!азз оГ зоЫюпз оГ *Не №у1ег-51окез е^иаиоп5
гергезепКп^ з1еас1у поп-го1а1юпа11у зутте1пс Г1о^ // (Зиаг1ег1у Л. оГ
МесНашсз апс! АррНес! Ма1Нетаисз. 1951. V. 4. Р. 29-41.
71.	Вайпа /.Г. 1_!пз1еа(1у Еи1ег аИоП зоМюпз изт^ ипз1гис1игес! с!упагтс
тезНез // А1АА У 1990. У28, N0.8. Р. 1381-1288.
72.	Вау1еу Р./., СН'ййз Р.Р.Ы. А1г 1етрега1иге пзез т сотргеззог апс! ТигЫпе
зЫог \уе11з // А5МЕ Рарег. 1994. N0.94-ОТ-185.
73.	Вау1еу Р./., СЫЫз Р.Р.Ы. Са1си1а1к>п оГ Но! ^аз т^геБЗ апс! е^гезз га1ез
ш 1игЬо-тасНте лл^Ьее! Брасез // Ргос. оГ 1Не 2пс1 Еигореап СопГ. оп
ТигЬотасЫпегу апс1 ТНегтойупагтсз, Ап^егреп, Ве1^шт, МагсН 5-7,
1997. Р. 521-528.
74.	Вау1еу Р.1., СЫЫз Р.Р.Ы. РгесИсИоп оГ т^гезз га!ез 1о 1игЬте апс!
сотргеззог ^Нее1 зрасез // 1п{егп. .1. оГ Неа! апс1 Р1и!с1 Р1<т 1997. V. 18,
N0.2. Р. 218-228.
1Ъ.Вау1еу Р.1., Сопьиау I. Р1шс1 ГпсИоп апс! 1еакаде Ье1^ееп а зШюпагу
апс! го^аПп^ с!1зс // 3. оГ МесЬашса! Епд1пеег1пд 5с1епсе. 1964. V. 6.
Р. 164-172.
76.	Вау1еу Р.1., Ошеп /.М. Р1о\у Ье1^ееп а гоШт{г апс! з^а^опагу сПзс //
АегопаиИса1 Риаг1ег1у. 1969. V. 20. Р. 333-354.
77.	Вау1еу Р.1., Ошеп /. М. ТНе Пи1с! бупагшсз оГ а зНгоис!ес1 сИзс зуз1ет
а гасИа! ои^По^ оГ соо1ап! // 3. оГ Еп^теегт^ Гог Оаз ТигЬ1пез апс! Ро^ег.
1970. V. 92. Р. 335-341.
78.	Вепга Р.-К., ОоНтеп Я./., ЗсНпеьйег О. АррИсаМоп оГ ап епНапсес! Ю
пе^огк тос!е1 1о са1си1а4;е !Не Пош ргорег^ез оГ а рге-з\У1г1 зесопс!агу а^г
зуз^ет. А5МЕ Рарег. 2008. N0. СТ2008-50442.

79.	ВегеИа С. Р., МаЦа Е. Р1о\у апд Неа1 1гапзГег т сауШез Ье1\уееп го1ог апс1
зШог сЛзкз // 1п1егпа1юпа1 Лоигпа! о! Неа! апс! Мазз ТгапзГег. 2003. V. 46.
Ыо. 15. Р. 2715-2726.
80.	Вегкег К. А пе\у зо1и1юп оГ Иге №у1ег-51окез еяиаКоп Гог {Не тоНоп о! а
Пшс! сопЫпес! Ье^ееп 1\уо рагаПе! р1а!ез гоЫт§[ аЬои! Ше загпе ах1з //
АгсЫуез о! МесЬашсз. 1979. V.31. Р.265-280.
81.	Вегкег К. Ап ехас* зоМюп оГ Ше 1Чау1ег-$1оке5 ециаИоп — Ше уог*ех
\у1Ш сигуШпеаг ах1з // 1п1егп. Л. о! Еп^пееппд Заепсе. 1982. V. 20, N0.2.
Р. 217-230.
82.	Вкаюпат 5.Н., КкИпат V.!., Тза1 Ь. С., КкойайасИ У.М., ОоойИпц У. 5.,
№а§§ои 1. ЕГГесИуе зеаПп^ о! а сПзк сауИу изтд а йоиЫе 1ооШес1 пт зеа1.
А5МЕ Рарег. 1992. N0.92-01-379.
83.	Вкжпат 5.Н., КкойайасИ У.М., ОоосШпц У. 5., ИРа&доИ У. Ап Ехрептеп-
Ы з1ис1у о! Ишё По\у т сПзк сауШез // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1992. V. 114,
N0.2. Р. 454-461.
84.	В1от /\У. СопзМегаКопз оп Ше зргтд апа1о^у // 1п!егп. Л. Гог Ыитепса!
Ме1Нос18 т Еп^теепп^. 2000. V. 32, N0.6. Р. 647-668.
85.	Вокп О.Е., Оеи1зск О.Ы., 51топ В., ВигккагсИ С. Р1о\у у1зиаПза{|оп т
а гоЫт§г сауКу \у1Ш ах1а! Шгои§гЬНо\у. А5МЕ Рарег. 2000. N0.2000-
ОТ-280.
86.	Вокп А, 1окапп Е., Кгицег I). ЕхрептепЫ апс! питепса! 1пуези§а1юп5
о! аегос1упагтс азрес!з о! Но1 даз т^езМоп т го!ог-з1а1ог зуз1етз \у|'Ш
зирептрозес1 сооПпд тазз По\у. А5МЕ Рарег. 1995. N0.95-01-143.
87.	Вокп й., Кгицег V., КизХегег К. Со^ида^е Ьеа* 1;гапзГег: ап ас1 уапсес!
сотриШ1опа1 теШос! Гог Ше сооПпд ёез^п о! тосЗегп ^аз ШгЫпе Ыас1е5
апй уапез // Неа! ТгапзГег т Оаз ТигЫпез. 5оиШатр1оп: \У1Т Ргезз, 2001.
Р. 58-108.
88.	Вокп й., Кеп У., Киз1егег К. Соп]ида1е Ьеа* {гапзГег апа1уз1з Гог П1гп
сооПп^ сопП^ига1юпз \мШ сШГегеп* Ьо1е ^еоте1пез. А5МЕ Рарег. 2003.
N0. 2003-СТ-38369.
89.	Вокп й., Рийг'твк'1 В., ЫогЬег1 5. 1пПиепсе оГ пт зеа! ^еоте!гу оп Но1 ^аз
шцезНоп т1о Иге ирз^геат сауЛу оГ ап ах1а1 1игЫпе з!аде. А5М.Е Рарег.
1999. N0.99-01-248.
90.	Вокп /}., КиАгтзЫ В., ЫогЬеН 5., ОагЫег №. 1пПиепсе оГ пт зеа!
деоше1гу оп Ьо1 даз 1пдез1]оп 1п1о Ше ирз!геат сауНу о! ап ах1а! 1игЫпе
з!а^е. А5МЕ Рарег. 2000. N0.2000-01-284.
91.	Вокп О., Кийг'тзЫ В., ЗШгкеп N.. Саг1пег ЕхрептепЫ апс! питепса!
туезИдаИоп о! Ше тПиепсе о! го1ог Ыайез оп Но! даз 1П^езИ0П т1о
Ше ирз1геат сауИу о! ап ах!а! ШгЫпе з1а^е. А5МЕ Рарег. 2000.
N0.2000-СТ-284.
92.	Вокп О., Го/// М. 1тргоуес1 1огти1аШп 1о с!е1еггтпе т1п1тит зеаМп^
По\у Сш, тт Гог йЛГегеп! зеаПп^ С0п[|^ига110пз. А5МЕ Рарег. 2003.
N0. СТ2003-38465.
93.	ВоМаззо С. ОеЪогт й., Зегга К. ТЬе Ьа11-уег1ех шеШос!: А пе\у з1шр1е
апа!о^у гпеШос! Гог ипз1гис1игес! йупатк тезНез // Сотри1ег МеШойз т
АррПес! МесЬашсз апс! Епд1пеег1п§. 2005. V. 194, N0.39-41. Р. 4244-4264.

94.	Воийе1 У., Аи1е} V. N. й., Скеш У. И/., НШз N. У., СепШНотте О. Ыитепса!
51ти1аШп оГ пт зеа! Пемз т ах1а1{игЫпез // АегопаиМса! Л. 2005. V. 109,
Ыо. 1098. Р. 373-383.
95.	Воийе1 НШз N.^., СНеш I. Ж Ыитепса1 51ти1а11оп оГ 1Ье Г1о\у т^егасиоп
Ье1\уееп ГигЫпе тат аппи1из апй Й15С сауШез. А5МЕ Рарег. 2006.
N0. ОТ-2006-90307.
96.	Вгайу У. У7., Оиг1о[зку I.. Оп го1аИп^ (Пзк По\у // Л. о? Р1и1с1 МесЬашсз.
1987.	V. 175. Р. 363-394.
97.	Вгай$к(№ Р. ЕГГес1з оГ з^геатНпе сигуа^иге оп 1игЬи1еп1 Иоу/. АОАКОо-
^гарЬ. 1973. Ыо. 169. 80 р.
98.	ВгайвНат) Р. ТНе апа1о^у Ье*\уееп з^геатПпе сигуа^иге апс! Ьиоуапсу т
1:игЬи1еп1 зЬеаг Г1о\у // Л. оГ Р1игс1 МесЬатсз. 1969. V. 36. Р. 177-197.
99.	ВгапсН А. МиШ-1еуе1 айар^уе зоШИопз 1о Ьоипс1агу уа!ие ргоЫетз //
Ма!Ьета1|сз оГ Сотри1аиоп. 1977. V. 31. Р. 46-50.
100.	ВгейЬегд У. Оп 1Ье ^а11 Ьоип^агу сопсШюп Гог 1игЬи1епсе тос1е1 // Керог!
оГ СЬа1тегз 11туегз11у оГ Тес1то1о§у. 2000. N0.00/4.
101. ВигккагсН С., Мауег А., Ке'йе Е. Тгагшеп! 1Ьегша1 ЬеЬауюиг оГ
а сотргеззог го!ог хуКЬ ах1а1 сооПп^ а!г Г1о\у апс! со-го1аИп^ ог
соп{га-го!а1тд зЬаП // АОА1Ш Керог!. 1993. N0. СР-527. Р. 21.1-21.9.
102.	СатЬеИ Э.А. Оаз 1игЫпе зеаМп^ зуз1ет (1ез1§т // АОА1Ш Керог!. 1978.
N0. СР-237. Р. 18.1-18.16.
103.	Сао С., Скет У. №.. МИИп§1оп Р.К., Ноцц 8.1. 1п1егас1юп о! пт зеа! апс1
аппи1из По\уз т ап ах1а1 Г1о\у {игЬте // Л. оГ Епдтееппд Гог Оаз ТигЫпез
апс! Ро^ег. 2003. V. 126, N0.4. Р. 786-793.
104.	Сагз1епв V., Кетте К., ЗсктШ 8. Соир1ес1 31ти1аИоп оГ Г1о\у-з{гис1иге
т1егас*юп т 1игЬотасЫпегу // Аегозрасе Заепсе апс! ТесЬпо1о§у. 2003.
V. 7, N0.4. Р. 298-306.
105.	СеИк /., 2кап§ Ж. М. Са1си1аИоп оГ питепса1 ипсег1ат!у изт^ ШсЬагйзоп
ех1гаро1а*юп: аррПсаиоп 1о зоте 31тр1е 1игЬи1еп1 Г1о\у са1си1а1юпз // Л. оГ
РМйз Еп(*теепп^. 1995. V. 117, N0.3. Р. 439-445.
106.	СкакгжаНку 8. К., Озкег 8. А пе\у с1азз оГ Ы^Ь-ассигасу ТУО зсЬешез
Гог ЬурегЬоМс сопзегуаМоп 1а\уз. А1АА Рарег. 1985. N0.85-0363.
107.	Скапц К. С., Нзьек Ж О., Скеп С. 8. А тосШес! 1о\у-Кеупо1с15-гштЬег
1игЬи1епсе тос1е1 аррНсаЫе 1о гес1гси1а!1пд По\у т р!ре ехрапз1оп // Л. о!
Р1шс15 Епд1пееппд. 1995. V. 117, N0.3. Р. 417-423.
108.	Скартап Э.К., Кикп С. й. ТНе ПтШпдг ЬеЬау1ог оГ 1игЬи1епсе пеаг
а \уа11 // Л. оГ Р1и1с1 МесЬап1сз. 1986. V. 170. Р. 265-292.
109.	Скеп Н.С., Ра(е1 У.С. Ыеаг-\уа11 1игЬи1епсе тос!е1з Гог сотр1ех Г1о\уз
»пс1и(1т^ зерага^оп. А1АА Л. 1988. V. 26, N0. 6. Р. 641-648.
110.	Скеггу О., УРаШа А., Веасоск П., 8иЬгататап М., УШ Р. Апа1у11са1
туезИ^аИоп оГ а 1о\у ргеззиге ТигЫпе \уЦЬ апй \У1Шои! По\ура1Ь епс!\уа11
^арз, зеа1з апс! с1еагапсе Геа1игез. А5МЕ Рарег. 2005. N0.01-2005-68492.
111.	Скеы> 7. Ш. А 1Ьеоге11са1 з1ис!у оГ 1пдгез5 Гог зЬгои^ей го!а1т^ (Изс зуз1егпз
\уЛЬ гасИа! ои1Г1о\у // Л. оГ ТигЬотасЬ1пегу. 1991. V. 113, N0. 1. Р. 91-97.
112.	Скехю У. Ш. Мотеп! соеГПс1еп15 апс! Г1о\у епГгаттеп! га!е Гог а сопе го1а*т&
т ап 1пПп^е епу|гоптеп1. КоИз-Коусе 1п1егпа1 КероП. 1985. Ыо.Т500225.
113.	Скет У. ТЬе еГГес! оГ ЬиЬ гасКиз оп 1Ке Г1о\у с!ие 1о а го^аИпд (Изк // Л.
оГ ТигЬотасЫпегу. 1988. V. 110. Р. 417—418.

114.	СНет 1.Ж, С1атроИ Р., НШз N.1., 5сап1оп Т. Рге-змгЫ сооПпд а\г
йеПуегу зуз{ет регГогтапсе. А5МЕ Рарег. 2005. Ыо. СТ2005-68323.
115.	СНет У. Ж, ОайкаН 5., Тигпег А. В. К1т зеаИп^ оГ го{ог-з{а{ог \уНее1
зрасез 1П {Не аЬзепсе оГ ех{егпа1 Г1о\у // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1992. V. 114,
N0.2. Р. 433-438.
116.	СНет У. Ш., Сгееп Т., Тигпег А. В. К1т зеаКпд оГ го{ог-з{а{ог \уНее! зрасез
т {Не ргезепсе оГ ех{егпа1 Пои/. А5МЕ Рарег. 1994. N0.94-ОТ-126.
117.	СНет У. 1^., НШз N. ]., КНаШоь 5., 5сап1оп Т., Тигпег А. В. Меазигетеп{
ап<1 апа1у515 оГ Г1о\у т а рге-з^гЫ сооНп^ а1г ёеПуегу зуз{ет. А5МЕ
Рарег. 2003. N0. СТ2003-38084.
118.	СНет У. Ж, НШз N.1., Уо1коь К.Ы. УегШса{юп апс! уаПсЫюп оГ СЕР
гезиНз Гог {игЬотасНтегу аррПсаИопз // Ргос. оГ {Не 8{Н \Уог1й Сопдгезз
оп СотриЫюпа! МесНатсз (\УССМ8) апс! {Не 5{Н Еигореап Соп^гезз оп
Сотри{а{юпа1 Ме{Нос1з т АррПес! Заепсез апй Еп^теепп^ (ЕССОМА5
2008), Уетсе, На1у, 30 Липе — 4 Ли1у, 2008.
119.	СЫеп К. У. РгеШс{юпз оГ сНаппе! апс! Ьоипс1агу-1ауег По\уз м{Н а 1о\у-
КеупоШз питЬег {игЬи1епсе тос1е1 // А1АА Л. 1982. V. 20. N0.1. Р. 33-38.
120.	СЫепц С. С., Ьаипйег В.Е. Оп {Не са1си1а{юп оГ 1игЬи1еп1 Неа{ 1гапзрог{
с1о\уп-з{геат Ггот ап аЬгир{ р1ре ехрапзюп // №тепса1 Неа1 ТгапзГег.
1980.	У.З, N0.3. Р. 189-207.
121.	С1атро11 Р., СНет У. Ж, ЗНаНраг 5., ШИосд Е. Аи{ота{1с ор{1ггп2а{юп оГ
рге-з\У1г1 по221е ёез^п. А5МЕ Рарег. 2006. N0.012006-90249.
122.	С'штроИ Р., НШз МУ., СНет Зсап1оп Т. Шз{еас1у питепса! З1гпи-
1аИоп оГ {Не Г1о\у т а сИгес! {гапзГег рге-зчпг! зуз{ет. А5МЕ Рарег. 2008.
N0.012008-51198. 9 р.
123.	СоЬЬ Е. С., Заипйегз О. А. Неа{ {гапзГег Ггот а го{а{тд сПзк // Ргос. о! 1Не
Коуа! 5ос1е{у оГ Ьопйоп. А. 1956. V. 236. Р. 343-351.
124.	СоШз 5.5. 01зсоп{тиоиз Оа1егкт теШойз Гог {игЬи1епсе з1ти1а1!оп.
3{ап!огс111шуег51{у, Сеп{ег Гог ТигЬи1епсе КезеагсН, 2002. 12 р.
125.	Соок Р.Н., МсОопаШ М. А., Р1гтт С. N. АегоГоП КАЕ2822 — ргеззиге
сНзШЬиИоп апс! Ьоипйагу 1ауег апс! \уаке теазигетеп{з. АОАКЭ АсЫзогу
Керог{з. 1979. №.АК-138.
126.	Согга1 Р., СНзЬег( Р. А питепса1 туез{1да{юп оп {Не тПиепсе оГ 1а1ега1
Ьоипёапез т Ппеаг У1Ьга{т^ сазсайез // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 2003.
V. 125, N0.7. Р. 433-441.
127.	Сгат1еу Е.Р., ОисНагте Е.Н. Рагате{пс 1гепс1з т {Не ИиМег оГ ас!уапсес1
{игЬоргорз. А5МЕ Рарег. 1989. N0.89-01-280.
128.	Сгитр1оп Р.1. А се11 уег!ех те{Нос1 Гог 3(1 №у|'ег-5{окез зо1и1юпз.
ТесНтса1 Керог{ оГ ОхГогс! ишуегзЛу СотриШд ЬаЬога{огу. 1993.
N0. NА-93/09.
129.	СгитрШ Р.1., МоШег Р., СИез М. В. Ап ипз{гис{игес! а1§оп{Нт Гог Н|§Н
Кеупо1с15 питЬег По\У5 оп Н^Н1у з{ге{сНес! ^Г1с1з // Nитег^са1 Ме{Нос15 т
Ьаттаг апс! ТигЬи1еп{ Р1о\уз. — Ртепс1де Ргезз, 1997. — Р. 561-572.
130.	Оас1ез-Мапат У., ШИас О. С., СНот У. 5., ВгайзНат Р. №тепса1/ехре-
птеп1а1 з!ис1у оГ а мп^ир уог{ех 1п {Не пеаг ПеИ. А1АА Л. 1995. V. 33.
N0.9. Р. 1561-1568.

131.	йайккап 5., Тигпег А. В., Скеш У. № Рег1огшапсе о! гас11а1 с1еагапсе пт
зеа1з 1п 1Ье ир51геаш апс1 с1отупз1геат го1ог-зЫог \уЬее1зрасе5. А5МЕ
Рарег. 1991, N0.91-01-32.
132.	ИаИу У. Г., Месе Р. СЬатЬег сНтепзюп еГГес!з оп т(1исе(1 По\у ап(1 Гпс-
1юпа1 гез1з1апсе о! епс1озес1 гоЫтд сНзсз // Л. о! Ваз1с Епшпеегтд. 1960.
V. 82. Р. 217-232.
133.	Оап1е1в Ж А., 1окпзоп В. V., СгаЬег О. У., Магйп У?. У. Шт зеа) ехрептепЬ
апс! апа1уз15 Гог {игЫпе аррНсаМопз. А5МЕ Рарег. 1990. N0.90-01-131.
134.	Оагто[а1 ДА., ЗсктМ Р.У. ТЬе 1трог1апсе о! е^епуесЬгз Гог 1оса1 рге-
сопсШюпегз о! 1Ье Еи1ег еяиаИопз // Л. оГ Сотри!. РЬуз. 1996. V. 127,
N0.2. Р. 728-756.
135.	Оаиепкаиег Е. С., Ма}<1а1ап1 У. Ехас! зе1Г-51гт1агКу зо1иНоп о! 1Ье №у1г-
51окез е^иа^^оп5 Гог а рогоиз сЬаппе1 \уИЬ ог!Ьо^опа11у тоут^ \уа11з //
РНуз1сз оГ Р1иЁ(1з. 2003. V. 15, N0.6. Р. 1485-1495.
136.	ОаюШоп У.. Са1си1а{шп оГ 1Ье 1игЬи1еп1 Ьиоуапсу-ёпуел Г1о\у т а гес!ап-
ди1аг сауЦу изт^ ап еГПаеп! зо1уег апс! сШГегеп! 1о\у Кеупо1с15 питЬег
к-е 1игЬи1епсе тос!е15 // №тепса1 Неа1 ТгапзГег. 1990. V. 18. Р. 129-147.
137.	ОеЬиску Р., Оутеп1 А., Мике И., Мьскеаи Р. КасИа! 1пПом ЬеГтуееп а го-
1а1шд ап<1 а зШюпагу с11зс // Еиг. Л. оГ МесЬатсз. В/РЫёз. 1998. V. 17,
N0.6. Р. 791-810.
138.	Оеск 3., й^еаи Р., й’Езртеу Р., СиШеп Р. Оеуе1оршеп1 апс! аррПсаУоп
оГ 5ра1аг1-А11тагаз опе^иа!юп 1игЬи1епсе тоде! 1о 1Ьгее-(Итепз10па1
зирегзошс сотр!ех сопП^ига^опз // Аегозрасе Заепсе апс1 ТесЬпоЬ^у.
2002. У.6, N0.3. Р. 171-183.
139.	Оецапй С., Рагка1 С. А 1Ьгее-сПтепзюпа1 !огз1опа1 зрпп^ апаЬ&у теГЬос!
Гог ипз1гис1игес1 йупагтс тезНез // Сотри1егз апс1 51гис1игез. 2002. V. 80,
N0.3-4. Р. 305-316.
140.	йе1егу У., Меаиге О. А йе^айес! ехрептепЫ апа1уз15 оГ Ше Г1о\у т а ЫдЫу
1оас1ес1 Пхей сошргеззог сазсайе: 1Не 150-сазсас1е со-орега^уе рго^гатте
оп сос!е уаПйаКоп // Аегозрасе 5аепсе апс! ТесЬпо1о^у. 2003. V. 7, N0.1.
Р. 1-9.
141.	Оцк51га О., Нец5? О.]. Р. ТЬе Г1о\у Ье^ееп {мо Гт^е го!аГт^ (Изкз епс1о-
зей Ьу а су1т(1ег // Л. оГ Р1шс1 МесЬатсз. 1983. V. 123. Р. 123-154.
142.	йШтап М., Оеьз Т., Зскгатт V., К'ып 5.,	5. 013сЬаг^е соеГПс1еп1з
о! а рге-з>у]г1 зуз^ет 1П зесопйагу а!г зуз^етз. А5МЕ Рарег. 2001.
N0. 2001-СТ-0122.
143.	01хоп ]., Вгип1оп /.А., 5сап1оп Г.У., №о11еском>зк1 С., §1е{ап1$ V.,
СЫ1й$ Р. Р. N. ТигЫпе з1а1ог \уе11 Ьеа1 1гапзГег апс! сооИпд Г1о\у ор^гтза-
Хюп. А5МЕ Рарег. 2006. N0. СТ2006-90306.
144.	01хоп У. Л., УегсИссЫо У. Л., ВепИо й., Каг1 А., Ткат К. М. Кесеп! с!еуе-
1ортеп1з т ^аз 1игЬ]пе сотропеп! 1етрега1иге ргесИсМоп теНюйз, из1пд
сотри^аиопа! Пи1(1 ёупагтисз апс1 орИт12а1[оп 1оо1з, т со^'ипсМоп у/^Ь
тоге сопуеп!юпа1 Г^пЛе е1етеп! апа1уз1'з 1есЬп1циез // Ро^ег апё Епег^у.
2004. V. 218, N0.4. Р. 241-255.
145.	О/'аош М., Оутегй А., ОеЬиску Р. Неа! 1гапз1ег т а го^ог-з^а^ог зуз1ет
\уЦЬ а гаЙ1а1 1пПоу/ // Еиг. Л. оГ МесЬап1СЗ. В/Р1и1(15. 2001. V. 20, N0.3.
Р. 371-398.

146.	Оог[тап Ь.А. Нус!гос1упагтс гез1з*апсе апс! Ьеа! 1озз оГ го!а1т§ зоПс15. —
ЕсНпЬиг§;Ь: ОПуег&Воус!, 1963. — 312 р.
147.	ОиЬо'1$-Ре1епп У., Ре§оп Р. 1тргоут§ тос!и1ап1у т оЬ]ес{-опеп!ес1
ПпКе е1етеп! рго^гаттт^ // СоттишсаНопз т Ыитег1са1 МеИюс1з т
Еп^теепп^. 1997. V. 13, N0.3. Р. 193-198.
148.	Е1епа Ь., ЗсЫезШ Р. ТигЬи1епсе тос!еНп§ оГ го1а1!п§ сопПпес! По\уз //
1п*егп. Л. оГ Неа! Р1шс1 Р1ош. 1996. V. 17, Ио.З. Р. 283-289.
149.	Е1-0ип Т.. В., Ые11ег Р.Н., Тигпег А. В. 5еа1т§; о? а зЬгоидес! пйог-зЫог
зуз^ет \уКЬ ргез^Н соо1ап! // Л. о! ТигЬотасЫпегу. 1988. V. 110.
Р. 218-228.
150.	Е1-Оип 2,. В., ОхюепЗ.М. Рге-зулг1 Ыайе-сооПп^ еГГесиуепезз т ап асПаЬа{1с
го*ог-зЫог зузкт // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1989. V. 111. Р. 522-529.
151.	Еригеапи В.1., На11 К. С., Ооюе11 Е.Н. Кес1исес1-огс1ег тсс1е15 оГ ипз1еас1у
У15соиз По^з т ТигЬотасЫпегу из1п§: У15Соиз-тУ1зас! соирПпд // Л. оГ
Р1и1с35 апс! 51гис1игез. 2001. V. 15, N0.2. Р. 255-273.
152.	Егйо^ап М.Е. Р1о\у с!ие 1о ессеп1пс гоЫтд а рогоиз Лзк апс! а Ишс! а!
тПпИу // Л. оГ АррМес1 МесЬатсз. 1976. V. 43. Р.203-204.
153.	Егйоцап М.Е. Р1о\у тйисес! Ьу поп-соах1а1 го1а1юп оГ а Лзк ехесиГт^
поп-1огз!опа1 озсШаШпз апс! а Пшс! гоШт§; а! тПпНу // 1п1егп. Л. оГ
Еп§[теепп§ Заепсе. 2000. V. 38, N0.2. Р. 175-196.
154.	Еиегз /., Реаке N. Оп зоипс1 ^епегай'оп Ьу ТЬе т1егас*юп ЬеЫееп ТигЬи-
1епсе апс! а сазсас1е оГ аИоПз поп-ишГогт теап Г1о\у // Л. оГ Р1ш<!
МесЬатсз. 2002. У.463. Р. 25-52.
155.	РагНШ С., Ое§апй С., КооЬиз В., Ьезотпе М. Тогзюпа1 зрпп^ Гог 1\уо-
(Итеп51опа1 с1упагтс ипз1гис1игес! Ишс! тезЬез // Сотри1ег Ме1Нос15 т
АррПес! МесЬатсз апс! Еп§гтеепп§[. 1998. V. 163, N0. 1-4. Р. 231-245.
156.	РагНМ С., Сеигаше Р., Сгапйтоп1 С. ТЬе сНзсге1е §еоте*пс сопзегуаПоп
1аи/ апс! 1Ье попНпеаг зТаЬШТу о? АЬЕ зсЬетез Гог 1Ье зоЫШп оГ Пош
ргоЫетз оп тоут^ ^Г1с1з // Л. оГ Сотри!. РНуз. 2001. V. 174, N0.2.
Р. 669-694.
157.	РагШпц Р. Р., 1оп§ С. А., Отеп У. М., РтсотЬе 1.Р. Ко1а1т§ сауЛу
ах1а1 1Ьгои^ЬПо^ оГ сооПпд а!г: Неа! {гапзГег // Л. оГ ТигЬотасЫпегу.
1992. V. 114, N0.1. Р. 229-236.
158.	РагИгт§ Р. Р., Ьоп§ С. А., Оюеп У. М., РтсотЬе У. Р. Ко1а1тд сауИу \уКЬ
ах!а1 *Ьгои^ЬГ1о\у оГ сооПп^ а1г: Р1оу/ з!гис1иге // Л. оГ ТигЬотасЫпегу.
1992.	V. 114, N0.2. Р. 237-246.
159.	Ргапзвоп Т.Н., Уегйоп ].М. 51апс1агс1 сопПдига^опз Гог ипз!еас1у По\у
Шгои^Ь у^ЬгаИпд ах1а1-Г1оу/ ТигЬотасЫпе-сазсаёез // 11пз1еас1у Аегос1упа-
гтсз, АегоасоизИсз апс! Аегое1а5Ис1'1у оГ ТигЬотасЫпез апс! РгореПегз. —
N6^ Уогк: Зргт^ег Уег1а§, 1993. — Р. 859-889.
160.	Сайа1а М. 5., МоиаННейу М. Р., №ап§ I. Оп Ше тезН то^оп Гог АЬЕ
тосГеМп^ оГ те1а1 Гогт^п^ ргосеззез // РтИе Е1етеп1з 1П Апа1уз1з апс]
Оез^п. 2002, У.38, N0.5. Р. 435-459.
161.	Сап X., Мьггаее /., Огюеп У. М., Реев й.А. 5., УРИзоп М. Р1о\у т а го1а1т^
сауИу хуйЬ а репрНега1 1п1е1 апс! оиНе! оГ сооМп^ а1г. А5МЕ Рарег. 1996.
N0. 96-СГГ-309.
162.	Оаг§ У.К. Неа1 1гапзГег гезеагсЬ оп даз 1игЫпе а1гГо11з а! NА5А ОКС //
1п1егп. Л. оГ Неа! апс! Р1и1с! Р!ош. 2002. V. 23, N0.2. Р. 109-136.

163.	Ое/5 Т., ОШтапп М., йиИепкор[ К. СооПпдг а!г 1етрега1иге гедисМоп т
а сНгес! 1гапзГег рге-змг! зуз^ет. А5МЕ Рарег. 2003. N0. ОТ2003-38231.
164.	СепШкотте О., НШв N.1., Скетю У. ПР., Тигпег А. В. Меазигетеп! апс!
апа1уз1з оГ т^езИоп {Нгои^Ь а {игЬте пт зеа! // Л. оГ ТигЬотасЫпегу.
2003. V. 125, N0.3. Р. 505-512.
165.	ОНез М. В. Моп-геПесйгщ Ьоипс1агу сопйёНопб Гог Еи1ег е^иа^^оп
са1си1аИопз. А1АА Рарег. 1989. N0.89-1942-СР.
166.	ОоШЬегд I)., Арз1еу О. А ша11-(Ш1апсе-Гтее 1о\у-Ке к-е 1игЬи1епсе тос1е1 //
Сотри^ег Ме1Ьос15 т АррПес! МесЬашсз алс! Еп^пеегт^. 1997. V. 145,
N0.3-4. Р. 227-238.
167.	ОоЫзкйк М. А., Зжогзку Ы.]. Оп 1Не Г1о\у Ье1\уееп а рогоиз гоЫтд Й1зк
апс! р1апе // Л. о! Р1ик1 МесЬашсз. 1989. V. 207. Р. 1-19.
168.	Согйп1ег К.Е., МеШИе к. В. Тгапзотс ЛиМег 51ти1аМоп5 изтдг ап 1трПсИ
аегое1аз11с зо!уег // А1АА Л. оГ АхгсгаЯ;. 2000. V. 37, N0. 5. Р. 872-879.
169.	СгаЬег О.]., БапШз №. А., Зокпзоп В. V. 01зк ритртд 1ез1. А|г Рогсе
АегопаиМса! ЬаЬогак>гу Керог!. 1987. N0. АР\УАЬ-ТК-87-2050.
170.	Сгееп Т., Тигпег А. В. 1п&ез11оп 1п1о 1Ье ирз1геат \уЬее1зрасе оГ ап ах1а1
ГигЫпе з!а§;е // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1994. V. 116, N0.2. Р. 327-332.
171.	Сгецогу Ы., ЗЫаг1 У. Т., УРа1кег И?. 5. Оп 1Ье з!аЬШ(у оГ 1Ьгее-с!1теп5юпа1
Ьоипс!агу 1ауегз \У|ЧЬ аррНса1!оп 1о 1Ье Ио\у с!ие 1о а го1а1т^ сИзс //
РЬПозорЬ. Тгапзас^опз оГ 1Не Коуа! 5оае1у. А. 1955. V. 248. Р. 155-199.
172.	Сиегеп§аг й., Ргапсевсайо У., ОиШагй Н., йиззаице 1.-Р. УапаНопз оп
а к-е *игЬи1епсе тос!е1 Гог зирегзотс Ьоипйагу 1ауег сотриЫюпБ // Еиг.
Л. оГ МесЬашсз. В/Р1шсЬ. 1999. V. 18, N0.4. Р. 713-738.
173.	Ошс!е Гог {Ье уегШсаНоп апс! уаНсЫтп оГ сотри1аКопа1 Пшс! ёупагтсз
51ти1а1юпз. А1АА Керог*. 1998. N0.0-077-1998.
174.	СиШаЫ И., Рагка( С. Оп 1:Ье з^дпШсапсе оГ 1Ье деоте^пс сопзегуаиоп 1аш
Гог По\у сотри1а1юпз оп тоут^ тезЬез // Сотри1ег Ме^Ьойз т АррИес!
МесЬашсз апс! Еп^пеепп^. 2000. V. 190, N0.11-12. Р. 1467-1482.
175.	ИаЬег Я., Зкеркагй М. 5., АЬе1 У./\, СаИацкег К.Н., СгеепЬег§ Э.Р.
А депега1 1\уо-с11тепзюпа1 ^гарЫса1 ГтМе-е1етеп1 ргергосеззог иППгШ^
сНзсге!е 1гапзГтие шаррт^з // Ыегп. Л. Гог Ыитепса! Ме^Ьодз т Еп^-
пеегт^. 1981. V. 17, N0.7. Р. 1015-1044.
176.	НаскЬизск 1Г. МиШ^пс! теШой апс! аррИса^оп. — ВегПп: 5рг1п^ег Уег1а^,
1985. - 377 р.
177.	Иа11х1!)ог1к Е. Тгеп! 900 — а!г зуз1ет 6а\а 1:гапзГег герог!. Еп1гу 1п1о зетсе
з1апс!агс1 // КоИз-Коусе ТесЬп1са1 Керог!. 2005. Nо.Р5^48011.
178.	НатпаЬе К1$Ыйа К. Шт зеа1 ехрег1гпеп:з апс! апа1уз1з оГ а го*ог-зЫог
зуз^егп	поп-ах1зутше!г1С тат Г1о^. А5МЕ Рарег. 1992.
N0.92-01-160.
179.	Нагтапй 5., УРа1е1 В., йезтеI В. Ьоса! сопуес^уе Неа! ехсНап^ез Ггот а
го^ог Гас^п^ а з1а1ог // 1п1егп. Л. оГ ТЬегта! 5с1епсез. 2000. V. 39, N0.3.
Р. 404-413.
180.	Наи)ог1к О. С., Е1 Такгу 5.Н., НиеЫег Ж. 5. А ^1оЬа1 арргоасЬ 1о еггог
езМтаИоп апс! рНуз!са1 с!1а§поз^сз 1п гпи111сКтеп51опа1 сотри*аиопа1 Пшс!
с1упат!сз // 1п*егп. Л. оГ №тепса1 МеНюйз Гог Неа( апс1 Р1шс! Р1о\у. 1993.
V. 17, N0.1. Р. 75-97.

198.	^акоЬу Р., ИпйЫай К., Ьагззоп йе УИо ВоНп Б., Еипске У., Оес-
кег А. Митепса1 51ти1а{юп о! *Не ипз^еайу Поу/ Пе1с1 т ап ах1а1 ^аз 1игЫпе
пт зеа1 сопП^игаМоп. А5МЕ Рарег. 2004. N0. СТ-2004-53829. 10 р.
199.	Мтезоп А. Тгапзотс аегоГоП са1си1а{юпз изт^ {Не Еи1ег ециа^опз // Ргос.
оГ 1МА СопГ. оп Китепса1 Ме^Нойз т Аегопаи11са1 Р1шс! Оупагтсз, МагсН
1981.	— КеасПп^, Цп^ес! Кт§с1от: Асайепйс Ргезз, 1982. — Р. 289-308.
200.1атезоп А., ЗсНтШ И/., Тигке1 Е. Митепса1 зо1и{юпз оГ Ше Еи1ег ециа-
Иопз Ьу КпКе уо1ите те^Ноёз изт^ Кип^е-КиНа !|гпе-з1еррт§г зсНетез.
А1АА Рарег. 1981. N0.81-1259.
201.	ЗагготЬек К., Ооктап И.]., Вепга Е.-К., ЗсНеШег О. Р1о^ апа1уз15 т ^аз
1игЫпе рге-зидг! сооПп^ а!г зуз^етз — уапаНоп оГ ^еоте^пс рагате1егз.
А5МЕ Рарег. 2006. N0. ОТ-2006-90445.
202.	]ауаШ1еке С. I. V. ТНе шПиепсе оГ РгапсШ питЬег апс! зигГасе гои^Ьпезз
оп {Не гез1з1апсе оГ 1Не 1аттаг зиЫауег 1о шотеп1;ит апс! Неа! {гапзГег //
Рго^гезз 1п Неа* апс! Мазз ТгапзГег. 1969, N0. 1. Р. 193-329.
203.	Да V?., Ыакатига У. 1псотргезз1Ые Г1о\у зо!уег оГ агЬНгагу тоут§[ Ьо-
сПез \уйН п^с! зигГасе // Л5МЕ 1п1егп. Л. Зепез В. 1996. V. 39, N0.2.
Р. 315-325.
204.1оНпзоп В. Vм ВоНп /)., ]акоЬу Р., Сипа1 О. А теМюд Гог езИтаПп^ 1Ье
тПиепсе оГ Мте-с!ерепс1еп1 уапе апс! ЬЫе ргеззиге ПеМз оп {игЫпе пт
зеа1 шдезИоп. А5МЕ Рарег. 2006. N0. СТ2006-90853.
205.	]оНпзоп А. А., Тегйиуаг Т.Е. $1ти1аИоп оГ тиШр1е зрНегез ГаШпд т
а НцшсМШес! 1иЬе // Сотри1ег МеШойз т АррНес! МесНашсз апс! Епдте-
ег!пд. 1996. V. 134, N0.3-4 Р. 351-373.
206.	]опез Ш.Р., Ьаипйег В. Е. ТНе са1си1аКоп оГ 1о\у-Кеупо1<!5 питЬег рНепо-
тепа а Ьуо-еяиаМоп то(1е1 оГ 1игЬи1епсе // 1п1егп. Л. оГ Неа* апс!
Мазз ТгапзГег. 1973. V. 16, N0.6. Р. 1119-1130.
207.	Уопез Ш Р., Еаипйег В. Е. ТНе ргесйс{юп оГ 1атшап2а(юп шИН а 1\уо^иа-
Моп тойе! оГ 1:игЬи1епсе // 1п1егп. Л. оГ Неа! апс! Мазз ТгапзГег. 1972.
V. 15, N0.2. Р. 301-314.
208.	]оп§еп Т., Магх У. Р. Оез^п оГ ап ипсопёШопаПу з!аЫе, роз1Иуе зсЬете
Гог 1Ье к-е апс! 1^о-1ауег 1игЬи1епсе тос!е15 // Сотри!егз апс! Р1и!с!5. 1997.
V. 26, N0.5. Р. 469-485.
209.	]оШргазай С., МаипрИз О. У., Саицкеу О. А. Н1дЬег-огс!ег Ите т^е&гаИоп
зсЬетез Гог 1Ье ипз1еас1у Нау1ег-$1окез е^иа1^оп5 оп ипз{гис!игес!
тезЬез // Л. оГ Сотри1а{юпа1 РНуз^сз. 2003. V. 191, N0.2. Р. 542-566.
210.	КагаЬау Н., Ш1зоп М., Оюеп У.М. Ргес!1с110П5 оГ еГГес* оГ з\У1г1 оп Поу/
апё Ьеа{ ГгапзГег т а гоЫт^ сауЛу // 1п1егп. Л. оГ Неа1 апс! Р1и1с! Р1о\^.
2001.	V. 22, N0.2. Р. 143-155.
211.	Ка(о М., Еаипйег В.Е. ТНе тос!е11тд оГ 1игЬи1еп{ Пош агоипс! з1а{1опагу
апс! у1Ьгаип^ з^иаге суПпйегз // Ргос. оГ {Не 91Н 5утроз1ит оп ТигЬи1еп1
ЗЬеаг Р1о\уз, Куо1о, Ларап, Аи^из! 16-18, 1993. V. 9. Р. 10.4.1-10.4.6.
212.	Кауз И7. М., Сга^огй М.Е. СопуесНуе Неа* апс! тазз ГгапзГег. — №\лг
Уогк: МсОга\у-НШ, 1980. — 262 р.
213.	КШе11.А. Неа*тд оГ а У15Соиз Пяи1с! Ьу а гоШтд с!!5с // АррНес! МесЬа-
п!сз апс! ТесНп^са! РНузкз. 1947. V. 11, N0.5. Р. 611-614.
214.	КЩоИ А. 8. Р., СНет У. МоёеШп^ оГ Ьиоуапсу-аГГес1ес! Г1о\у 1п со-гоГа-
Ип^ Й15С сауШез. А5МЕ Рарег. 2009. N0. СТ2009-59214.

215.	К1т Н., Ркойе Э.Ь БумгПп^ зШеагпПпе-сигуаШге 1аиг оГ Ше \уа11 Ггот а
поуе1 рег1игЬа!юп апа1уз]з // Штепса! Неа* ТгапзГег. 1999. V. 36, N0.3.
Р. 331-350.
216.	К1ет А. СЬагас^епзисз оГ сотЬизШг сЛГГизегз // Рго^гезз т Аегозрасе
Заепсез. 1995. V.31, N0.3. Р. 171-271.
217.	КоЬауавЫ Н. Аппи1аг сазсайе з!ис!у о! 1о\у Ьаск-ргеззиге зирегзошс Гап
ЬЫе ПиИег. А5МЕ Рарег. 1989, N0.89-ОТ-297.
218.	КоЬауазЫ N.. Ма1зита1о М., ЗЫгиуа М. Ап ехрептепЫ туезИ^аМоп о!
а ^аз 1игЫпе Й1зк сооПп^ зуз1ет // Л. оГ Егщтееппд Гог Оаз ТигЬтсз апс!
Ромег. 1984. V. 106, N0.1. Р. 136-141.
219.	КооЬиз В., Рагка1 С. 5есопс1-огс1ег Ите-ассига{е апс! ^еотеМсаПу соп-
зегуа^уе 1'трНсК зсНетез Гог Г1о\у сотриШюпз оп ипз1гисШгес! с!упагтс
тезНез // Сотри1ег МеШойз т АррПес! МесЬатсз апс! Еп^теепп^. 1999.
V. 170, N0.1-2. Р. 103-129.
220.	КоиЬо&апшз И.О., АОгапазЬай'ьз А.Ы., С1аппако§1ои К.С. Опе- апс! *у/о-
ециаНоп 1игЬи1епсе тос1е15 Гог Ше ргесНс^оп оГ сотр1ех сазсас!е Г1оу/$ изтд
ипз^гисйлгес! |*пс!з // Сотри1егз апс! Р1шс1$. 2003. V. 32, N0.3. Р. 403-430.
221.	КоШтоза Р., МсОшгк /.У. СРО ргесПсиопз о! 1оЬес1 гшхег регГогтапсе //
Сотри^ег МеШос1з т АррМес! МесЬатсз апс! Епдтеепгщ. 1995. V. 122,
N0. 1-4. Р. 131-144.
222.	Коги1оь1с О., РоЬег Т. МосГеШп^ оГ з1геат1те сигуаШге еГГес1з т ШгЬо-
тасЫпегу По\уз. А5МЕ Рарег. 2006, N0.01-2006-90265.
223.	КгеИН Р. СопуесИоп Ьеа! {гапзГег т го1а*тд зузктз // Ас1уапсез т Неа1
ТгапзГег. 1968. V. 5. Р. 129-251.
224.	КгеИН, Р., йоицНтап, Е., Ког1оы>зк1, Н. Мазз апс! Ьеа1 1гапзГег Ггот ап
епс1озес! гоЫтд сИзс мШ апс! м!Шои1 зоигсе Г1о\у // Л. оГ Неа! ТгапзГег.
1963.	V. 81. Р. 153-163.
225.	Ки^коV А. Р., Мектей О. ОрИса1 теазигетеп1з оГ ипс!ис1ес1 Гап ПиНег.
А5МЕ Рарег. 1991. ^.91-ОТ-19.
226.	Киз1егег К., Вокп й, Зи§то1о Т., Тапака Р. Соп]и§га1е са1си1аПопз Гог
а П1т-соо1ес! ЬЫе ипс!ег сПГГегеп! орегаМп^ сопсШюпз. А5МЕ Рарег. 2004.
N0.2004-0^53719.
227.	Ки1г К.]., Зреег Т. М. 51ти!аМоп оГ Ше зесопс!агу а1г зуз!ет оГ аего
еп&тез. А5МЕ Рарег. 1992. N0. 92-ОТ-68.
228.	1*а1 С.-У., Ра]'а§ора1 К.Р., Згеп А.X. Азутте1пс Пом Ье1\уееп рага11е1
гоЫт^ сИзкз // Л. оГ Р1и1с! МесЬатсз. 1984. V. 146. Р. 203-225.
229.	1ат С. К. С., ВгетпИогз1 К. А тос!Шес! Гогт оГ Ше к-е тос!е1 Гог ргесНс1т^
ма11 1игЬи1епсе // Л. оГ РМдз Епдтееппд. 1981. V. 103. Р. 456-460.
230.	1*о.гоиске Е., Оезрог1ез 5., й^аош М., ОеЬиску Р., Ра1е IА сотЫпес!
ехрег1теп1а1 апс! питег1са1 1пуез{1да1юп оГ Ше Г1о\у т а Ьеа1ес! го1ог/з1а1ог
сауЦу, м1Ш а гасПа1 1пПом. А5МЕ Рарег. 1999. N0.99-0^170.
231.	Ьаипйег В.Е., Рпййт С. И., Зкагта В.1. ТЬе са!си1аиоп оГ 1игЬи1еп1
Ьоипйагу 1ауегз оп зртпт^ апс! сигуес! зигГасез // Л. оГ Р1шс!5 Еп§1пеег)п§.
1977. V. 102. Р. 231-239.
232.	1*аип(1ег В.Е., Зкагта В.1. АррПсаМоп оГ Ше епегду-сП551ра1юп тос1е1 оГ
1игЬи1епсе 1о Ше сакиЫюп оГ Поу/ пеаг а зртпт^ сИзк .// Ьеиег5 т Неа{
апс! Мазз ТгапзГег. 1974. V. 1. Р. 131-138.

233.	Еаипйег В.Е., 5раШт§ И. В. ТНе питепса1 сотриЫюп оГ 1игЬи!еп1
Поу/з // Сотри1ег МеШойз т АррНес! МесНап1сз апс! Еп^тееНп^. 1974.
V. 3, N0.2. Р. 269-289.
234.	Еашепсе С., Зругорои1о$ Е., кеййу Т. $.К. 11пз1еас!у сазсас!е аегос!упагтс
гезропзе изт^ а тиЖрЬузкз 31ти1а1юп сос!е. ЫА5А Керог1. 2000. Ыо.ТМ
2000-209635.
235.	Ееопагд. В. Р. А з1аЫе апс! ассига^е сопуесЦуе тос!е11т^ ргосес!иге Ьазес! оп
^иас!^аис ирз1геат т1егро1а1юп // Сотри1ег Ме1Ьос!5 т АррНес! МесНатсз
ап<! Епдтееппд. 1979. V. 19, N0.3. Р. 293-312.
236.	1езсНг1пег М. А., Кой'1 Ж. Са1си1а1юп оГ аппи1аг апс! 1и/т рагаИе! ]е1;з изтд
уапоиз сПзсгейгаМоп зсЬетез апс! 1игЬи1еп1-тос!е1 уапаКопз // Л. оГ Р1и1с15
Еп^тееппд. 1981. V. 103. Р. 353-360.
237.	Ьезотпе М., РагНа1 С. Оеоте1пс сопзегуаНоп 1а^з [ог По^ ргоЫетз
тоутд Ьоипйапез апс! <!еГогтаЫе тезНез, апс! Ше1г 1трас1 оп аегое!азис
сотриЫюпз // Сотри1ег Ме^Ьойз т АррНес! МесЬатсз апс1 Еп^теегт^.
1996. V. 134, Ыо. 1-2. Р. 71-90.
238.	1едо15 А. V., Ргоотз ].1. А поп-соир1ес! СРЭ-РЕ ргосес1иге 1о еуа1иа1е
иппйа^е апс! ЬеаГ {гапзГег т го!ог-з1а1ог сауШез. А5МЕ Рарег. 2004.
Ыо. СТ2004-53246.
239.	Ьетз Р., Ш1зоп М., Ьоск О., Отеп ].М. ЕГГес{ оГ гас]|а1 1оса1юп
оГ погг1е5 оп регГогтапсе оГ рге-з\У1г! зуз^етз. А5МЕ Рарег. 2008.
N0.012008-50295.
240.	1*етз Р., Ш1зоп М., Ьоск С., Огюеп У. М. РЬуз1са1 т1егрге1аИоп оГ Ио^ апс!
Ггеа! 1гапзГег т рге-з\У1г1 зуз^етз. А5МЕ Рарег. 2006. N0. СТ-2006-90132.
241.	И Н., КаззаЬ А. /. А СоирЫ РУМ/ВЕМ арргоасЬ 1о согци^а(е Ьеа! 1гапз-
Гег т 1игЫпе ЬЫез. А1АА Рарег. 1994. N0.94-1981.
242.	Ыеп Р. 5., КаШгт О., йигЫп Р. А. КАЫ5 тос!е1тд Гог сотргеззМе апс)
1гапзШопа1 По\^5. — 51апГоп! УтуегзЛу, Сеп1ег Гог ТигЬи1епсе КезеагсЬ,
1998. - Р. 267-286.
243.	Цеп Р. 5., ЕезсНг'тег М. А. СотриШюпа! тос!е1Нп^ оГ а ГгапзШопа! 30
1игЫпе-сазсас1е Г1о\у изтдг а тосНПес! 1о\у-Ке к-е тос!е1 апс! а тиШ-Ыоск
зсНете // 1п1:егп. Л. оГ Сотри!. Р1шс1 Оупагтсз. 1999. V. 12, N0.1. Р. 1-15.
244.	Ьопд С. А. 01зс Неа1 {гапзГсг т а гоШт^ сауНу \уКН ап ах1а1 11иои^ЬГ1о\у
оГ сооНпд а!г // 1п1егп. Л. оГ Неа* апс1 Р1шс! Р1ом. 1994. V. 15, N0.4.
Р. 307-316.
245.	Ьопц С. А., Могзе А. Р., Тискег Р. С. Меазигетеп! апс1 сотри!а11оп оГ
Неа1 (гапзГег 1п	ргеззиге	сотргеззог с!гит деоте1г1ез	ах1а1
ШгоидЬГ1о\у // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1997. V. 119, N0.1. Р. 51-60.
246.	Ьопц С. А., Тискег Р. С. Ыитепса1 сотри1а1юп оГ 1ат1паг По\у 1П а Ьеа1ес!
го1а!1пд сауку \У11Ь ап ах!а1 ^ЬгоидЬПо^ оГ а1Г // 1п^егп. Л. оГ Штепса!
Ме1Ьос!з Гог Неа! апс! Р1ш<! Р1о\у. 1994. У.4, N0.4. Р. 347-365.
247.	Ьоп§ С. А., Тискег Р. О. ЗЬгоис! Ьеа* 1гап$Гег теазигетепГз Ггот а гоЫт§
сауЛу у/ЛЬ ап ах1а! 1ЬгоидЬПо\у оГ а1г // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1994. V. 116,
N0.3. Р. 525-534.
248.	1*опц С.А., Тигпег А.В., Ка1з С., ТНатп К.М., Уегй'ьссЫо /.А Меази-
гетеп! апс! СРЭ ргейтсИоп оГ 1Не Г1о\у	ап Н. Р. сотргеззог <3пуе
сопе // Л. оГ ТигЬотасЬтегу. 2003. V. 125, N0. 1. Р. 165-172.

249.	Ьикзск Р. Рага11е1 апс! сПз{пЬи{ес! 1тр1етепЫюп оГ 1аг^е тйи5{па1 аррП-
саМопз // Ри{иге Оепега{юп Сотри{ег 5уз{етз. 2000. V. 16. Р. 649-663.
250.	Магкои О. А., МоигоиИз 7.. 5., Скагтрьз Д. С., РарайгакаЫз М. ТНе ог!Но-
5еш1-{0Г510па1 (05Т) Бргш^ апа!оду теШос! Гог ЗЭ тегЬ тоут^ Ьоипс!агу
ргоЫетз // Сотри{ег Ме{Нос)5 т АррПес! МесНашсэ апс! Епдтееппд.
2007. V. 196, Ыо.4-6. Р. 747-765.
251.	МаопрИз ДУ. МиШ^пй 5{га{е{*1ез Гог у^зсоиз Ио\у зокегз оп аш5о{гор1С
ипз1гис{игес1 тезЬеБ // Л. оГ Сотри1. РНу5. 1998. V. 145, N0.1. Р. 141-165.
252.	МаопрИз Д. У., Уапд 2. Сопз{гис{юп оГ {Ье Й!зсге{е деоте{пс сопзегуаиоп
1а\у Гог Ы^Ь-огёег Ите-ассига1е 51гтш1а{10пз оп с1упат1с тезНез // Л. оГ
Сотри{. РЬуз. 2006. У.213, N0.2. Р. 557-573.
253.	Мау Ы.Е., Скехю У. Ж., 1атез Р. Ж Са1си1а{юп оГ {игЬи1еп{ Г1о\у Гог
ап епсЬзес! го{а{т§[ сопе // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1994. V. 116, N0.3.
Р. 548-554.
254.	МсВеап /., Ыи Р., Ноипдап К., Ткотрзоп М. 51гтш1а{юпз оГ аегое1аз1ю1у
ж ап аппи1аг сазсайе изшд а рагаПе! Шгее-сИгпеп510па1 №У1ег-${окез
зо1уег. А5МЕ Рарег. 2002. N0. ОТ-2002-30366.
255.	МсСгеекап Ж. Р., Ко 8.Н. Ро^ег сПзз^раКоп т зтоо{Ь апс! ЬопеусотЬ
1аЬугт{Ь 5еа15. А5МЕ Рарег. 1989. N0.89-ОТ-220.
256.	МсЕеап С., Сатс'1 С. Матз{геат аегоёупапис еГГес{з с!ие 1о \уЬее1 зрасе
соо1ап{ ^есНоп т а Ы^Ь ргеБзиге {игЫпе з1а§е. I. 5{а{юпагу Ггаше
теазигетеЫз // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 2001. V. 123, N0.4. Р. 687-696.
257.	Мс1^еап С., Сата С. Матз1геат аегойупапж еГГес!з гёие {о \уЬее! зрасе
соо)ап{ ^'есНоп т а ЫдЬ ргеззиге {игЫпе 5{а^е. II. Ко{а{юпа1 Ггате
теазигетеЫз // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 2001. V. 123, N0.4. Р. 697-703.
258.	МсЕеой У. В., РаНег 5. V. Оп {Не Пош ЬеЫ-ееп {\уо соиЫег-гоЫт^ тПпКе
р1апе Й15кз // АгсЫуе Гог Ка{юпа1 МесНатсз апс! Апа1уз15. 1974. V. 54,
N0.2. Р. 301-327.
259.	МесИс 0., ОигЫп Р. А. То\уагйз 1тргоуес! ргесИс{юп оГ Ьеа{ {гапзГег оп
{игЫпе Ыаскз // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 2002. V. 124, N0.2. Р. 187-192.
260.	Ме11ог О. Скарр1е Я. У., $1окез У.К. Оп {Не Г1о\у Ье{\уееп а го{а{1‘п^ апс!
зЫюпагу сНэк // Л. оГ Р1шё МесЬашс5. 1968. V. 31. Р. 95-112.
261.	МепЬег Р. Я. Т\уо-ециа{юп ес1с!у У15соз|{у {игЬи!епсе тойе15 Гог еп&теепп^
аррПса{юпз // А1АА Л. 1994. V. 32, N0.8. Р. 1598-1605.
262.	МШтагй ].А.Л Ейтюагйз М. Р. Мп^аде НеаМп^ оГ а1г ра5зт§ {Ьгои^Н 1аЬу-
п'п{Ь зеа!з. А5МЕ Рарег. 1994. N0.94-01-56.
263.	Мьггаее /., Сап X., ЖИзоп М., Отеп У. М. Неа{ {гапзГег т а гоЫтд сауЛу
\У1{Ь а рег'фЬега! тГ1о\у апс! оиШо\у оГ сооПпд а!г // Л. оГ ТигЬотасЫпегу.
1998. V. 120, N0.4. Р. 818-823.
264.	М1ггато§каёат А.У., НеШапё С., Могпз М. С., Зтоке У., Ма1ак М.,
Нохюе У. 30 СРО т^ез^оп еуа1иа{юп оГ а Ы^Н ргеззиге {игЫпе пт зеа!
с!15к саУ1{у. А5МЕ Рарег. 2008. N0.012008-50531.
265.	ЛИггатодкаёат А. V., Х'шо 2. Ркт апй Неа{ {гапзГег 1П ап тс!из1па[
го{ог-з{а{ог Г1т зеаПп^ саУ1'{у // Л. оГ Еп§теепп§[ Гог Оаз ТигЫпез апс!
Рошег. 2002. V. 124, N0.1. Р. 125-132.
266.	Мо1п Р., Макезк К. 01гес{ питепса! 51ти]а{юл: А {оо1 т {игЬи1епсе
гезеагсН // Аппиа! Кеу1е\у оГ Р1и1Й МесЬап1С5. 1998. V. 30. Р. 539-578.

267.	Мошег Р., СИез М. В. Сотрге531Ые №У1ег-5!окез ециа!юп5 Гог 1о\у МасЬ
питЬег аррПсаКопз // Ргос. оГ ЕССОМА5 СРО СопГ., $\уапзеа, ШКес!
Кт§с1от, 5ер1. 4-7, 2001. 14 р.
268.	МоШег Р., ОНез М. В. Ргесопс1Шопес) Еи1ег апс) №у1ег-51окез са1си1а!юпз
оп ипз!гис1:игес1 дгЫз // Ргос. оГ ГЬе 61Ь 1СРО СопГ. оп Штепса! Ме!Ьойз
Гог Р1шс1 Оупагш'сз, ОхГогс!, 1Ж, 31 МагсЬ — 3 Арп1 1998. 30 р.
269.	Мошег Р., ОНез М. В. 51аЬШ!у апа1уз15 оГ ргесопйШопей арргох1та1:юп5 оГ
!Ье Еи1ег ечиаМопз оп ип51гис!игес1 тезЬез // Л. оГ Сотри!а1юпа1 РЬу51С5.
2002.	V. 178, N0.2. Р. 498-519.
270.	Мошег Р., МйИег /-/)., СИез М. В. Её^е-Ьазес! тиШ^гМ апс! ргесопсИШ-
шп§ Гог ЬуЬпс! &пс15 // А1АА Л. 2002. V. 40, N0.10. Р. 1954-1960.
271.	Мооп У./., Кок 5,-Р. Соип1ег-го1а!т{* 5{геат\У1зе уогГех Гогта!юп т 1Ье
1игЬте сазсаёе \уИЬ епс!\уа11 Гепсе // Сотри!егз апс! РМёз. 2001. V. 30,
N0.4. Р. 473-490.
272.	Мог§ап К., Репге У., Реио ]., Наззап О. ТЬе сотри!а!юп оГ {Ьгее
с^тепзюпа! Г1о\уз изтд ип51гис1иге(1 дгШз // Сотри1ег Ме1Ьос15 т АррПес!
МесЬашсБ апс! Епдтееппд. 1991. V. 87, N0.3. Р. 335-352.
273.	Могпзоп О.Ь., СЫ й. 1псотргезз1Ые Г1о^ т 51еррес1 1аЬугт1Н зеа1з. А5МЕ
Рарег. 1985. ^.85-РЕ-4.
274.	Могзе А. Р. Степса! ргес31с1:10п оГ 1игЬи1еп{ Г1о\у т гоЫтд сауШез // Л.
оГ ТигЬотасЬтегу. 1988. V. 110, N0.2. Р. 202-212.
275.	Миск К. С., НоЦтап Р. И., Вгайзкат Р. ТЬе еГГес! оГ сопсауе БигГасе сиг-
уа!иге оп 1игЬи1еп! Ьоипёагу 1ауегз // Л. оГ Р)ш<1 МесЬатсз. 1985. V. 161.
Р. 347-369.
276.	Микипёа О. Р., ВоШто Е.й., Нз1ек 8.Н. В1з!пЬи!ес1 ГтИе е1етеп!
сотриШюпз изт^ оЬ]ес!-опеп!ес1 ^есЬп^^ие5 // Еп^пееппд \уМЬ Сотри-
1егз. 1998. V. 14, N0.1. Р. 59-72.
277.	МиШег Ж А. А Ы§Ь-гезо1и1юп Еи1ег зо1уег Ьазес) оп тиШ&пс!, зепи-
соагзепт^ апс! с1еГ1ес! соггесИоп // Л. оГ Сотри!. РЬуБ. 1992. V. 100, N0.1.
Р. 91-104.
278.	МиШег Ж А. А пе\у тиШдпй арргоасЬ 1о сопуесПоп ргоЫетз // Л. оГ
Сотри!. РЬуз. 1989. У.83, N0.2. Р. 303-323.
279.	МйИег СИез М. В. Ес^е-Ьазес! тиИ^гШ зсЬетез Гог ЬуЬпс! ^пёз //
Нитепса! МеШоск Гог Р1и(с1 Оупагшсз. 1998. V. 6. Р. 425-432.
280.	Мип1ке О., Ьап^апдеп Н.Р. РтНе е1етеп! апй оЬ]есГ-опеп1ес1 1тр1етеп-
1а1юп ^есЬп^^ие5 т сотри!а1юпа1 Г1шс1 Йупагшсз // Сотри!ег МеШойз т
АррПеё МесЬашсБ алё Еп^пееппд. 2000. V. 190, N0.8-10. Р. 865-888.
281.	Мигауата М., ЫакаказЫ КМа1зизкта К. Ш51гис1игес1 с1упат1с тезЬ
Гог 1аг^е тоуетеп! апс! с!еГогта!10п. А1АА Рарег. 2002, N0.2002-0122.
282.	Муопд И. К., Каза§1 N. А пе\у арргоасЬ 1о !Ье 1тргоуетеп! оГ к-е
!игЬи1епсе тойе1 Гог \уа!1-Ьоипс1ес1 зЬеаг По^б // Л5МЕ 1п1егп. Л. Зепез II.
1990. У.ЗЗ. Р. 63-72.
283.	Л^ало У., ШзЫйа М. 1тргоуес1 Гогт оГ 1Ье к-е то<1е1 Гог \уа11 !игЬи!еп!
зЬеаг Г1о\УЗ // Л. оГ Р1и1с15 Епдтееппд. 1987. V. 109, N0.2. Р. 156-160.
284.	Шдапо К, Та§ата М. Ап 1тргоуес! к-е тос!е1 Гог Ьоипйагу 1ауег Г1о\уз //
Л. оГ Р1ис15 Еп^пеегт^. 1990. V. 112, N0.1. Р. 33-39.

285.	Ыацапо У., Зктайа М. Оеуе1ортеп1: оГ а 1\уо-ециаТюп Ьеа! 1гапзГег
тос1е1 Ьазес! оп сПгес* 51ти1а1юпз о! 1игЬи1епТ Г1о\уз \уИЬ сШГегеп! Ргапс! 1:1
пишЬегБ // РЬузкз о\ Р1шс15. 1996. У.8, N0. 12. Р. 3379-3402.
286.	А1§иуеп N.0., РМаиИ У. Я., Р1огеп1 Р. МиШр1е 5о1иМопз Гог По^ Ье1\уееп
соах1а! с! 15кз // Л. оГ РМс! МесЬатсз. 1975. V. 68. Р. 369-388.
287.	Ы1е1зеп Е.1., Апйегзоп ’ЧУ.К. Кесеп! тргоуетепТБ т аегойупагшс с1ез1ёп
орИгтнгаИоп оп ип51гис1игес1 тезЬез. А1АА Рарег. 2001. N0.2001-0596.
288.	ЫИззоп Н., йауШзоп Ь. АррПсаШп о! ап апди1аг тотеп!иш Ьа1апсе
теТЬос! Гог туезНдаМпд питепса! ассигасу т 5\У1гПпд По\у // Л. оГ Р1шс15
Епдтеегтд. 2003. V. 125, N0.4. Р. 723-730.
289.	Ыогпз Ь.Н., РеупоЫз Ш.С. ТигЬи1еп1: сЬаппе1 Г1о\у \уКЬ а тоутд у/ауу
Ьоипйагу. НерогТ оГ 51апГогс1 1ЛтуегБИу. 1975. N0. РМ-10.
290.	ЫогОггор А., Ошп 1.М. Неа1 {гапзГег теазигетепТз т го!а1тд-сП5с
зуБТетБ. I. ТЬе Ггее сПзс // 1п1егп. Л. оГ Неа1 апс! Р1шс1 Р1о\у. 1988. У.9,
N0.1. Р. 19-26.
291.	ОЬегкатр/ ЖЬ., ЫоИпег Р. С. 1ззие5 т сотр1Йа1:юпа1 Ишс! дупагтсз сойе
уегШсаИоп апс! уаИс1а1юп // А1АА Л. 1998. V. 36, N0.5. Р. 687-695.
292.	ОЬегкатр/ МР.Ь., Тгисапо Т. С. УегШсаИол апс! уаМ^аИоп т сотри!а(юпа1
Пий) йупагтнсз // Ргодгезз т Аегозрасе Заепсез. 2002. V. 38, N0.3.
Р. 209-272.
293.	ОШа У., Уаташак1 5. Соп^аТе Ьеа! ТгапзГег апа1уз1з оГ 1игЬте
го1ог-з*а1ог 5у51етз. А5МЕ Рарег. 2002. N0. 2002-01-30615.
294.	Оп§ а., Ошеп ].М. Воип(1агу-1ауег По^з т го1а!тд сауШе5. А5МЕ
Рарег. 1988, N0.88-ОТ-292.
295.	Ошеп У. М. Ап арргохтаТе зо1и!(оп Гог 1Ье Г1о\у ЬеТшееп а гоТаПп^ апсЗ
а зЫюпагу сйбс // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1988. V. 111. Р. 323-332.
296.	Ошеп У. М., Наупез С. М., Вау1еу Р. У. Неа1 {гапзГег Ггот ап а!г соо1есЗ
го!а1тд (Нзк // Ргос. оГ 1Ье Коуа1 5оае1у оГ Ьопскт. А. 1974. V. 336.
Р. 453-473.
297.	Ошеп У. М., Ркайке II. Р. Ап туезМ^аИоп оГ т^гезз Гог а з1тр1е зНгоис1ес1
го!а{т& Й15С 5уз1ет. АМ5Е Рарег. 1980. N0.80-01-49.
298.	Ошеп 1.М., Ко^егз Р.Н. Р1о\у апс! Ьеа1 ТгапБГег т го1а1тд сИзс 5узу1ет5.
Ко1ог-51а1ог зуз1етз. — ТаипТоп: КезеагсЬ 81исКе5 Ргезз, 1989.
299.	Ошеп У.М., Ро§егз Р.И. Р1о^ апс! Ьеа{ ТгапзГег 1П го1а11п^-с115с зу51сгпз.
Но1а1т^ сауЛ^ез. — ТаипТоп: КезеагсЬ ЗТи&ез Ргез5, 1995.
300.	Ог1игк И. К., СЫЫз Р.Р.Ы., Титег А. В. №тепса1 зо1и1юп оГ По\у апс)
Ьеа! 1гап5Гег 1п ах1а1 согпргеззог з!а1ог лллеПз // Ргос. оГ *Ье 51Н 1ЛК Nа^^опа1
Неа{ ТгапзГег СопГегепсе, Ни^Ьу, 11п]1ес1 Ктдс1от, 5ер1. 17-18, 1997. 8 р.
301.	Ог1игк Н.К., Тигпег А. В., СНИйз Р.Р.Ы. №тепса! ргесЯсиоп оГ ах1а!
сотрге55ог 51аТог \уе11 Г1о\уз // Ргос. оГ 1п1егп. 5утро5шт оп А^уапсез 1п
СотриТаТюпа! Неа! ТгапзГег, Сезте, 1гт1г, Тигкеу, Мау 26-30, 1997. 8 р.
302.	ОгШгк И. К., СЫШз Р. Р. М., Тигпег А. В., Наптз У. М., Тигпег У. Я.
А 1Ьгее сПгпеп510па1 сотриЫюпа! з1ис1у оГ \утс1аде ЬеаНпд \уИЫп ап ах1а1
сотргеззог з1а1ог \уеП. А8МЕ Рарег. 1998. N0.98-01-119.
303.	РаШ КС., РосН и^., §скеиегег О. ТигЬи1епсе тойе1з Гог пеаг-\уа!1 апс!
1о\у-НеупоМз питЬег Г1о\уз: А геу1е\у // А1АА Л. 1985. V. 23. N0.9.
Р. 1308-1318.

304.	Раупе 8./., АтзшогОг Р.№., МШег Я./., М055 Р. №., Нагиеу N. №.
11пз!еас!у 1о55 ш а Ы^Ь ргеззиге !игЬше з!аде // 1п!егп. Л. оГ Неа! апс!
Р1шс! Р1<ж. 2003. V. 24, N0. 5. Р. 698-708.
305.	Реагзоп С. Е. Митепса! зоМюпб Гог !Ье !1‘те-с!ерепс1еп! У1Бсоиз По\у
Ье!\уееп !\уо го!а!тд соах!а! сНгкБ // Л. о! Р1шс1 МесЬашсБ. 1965. V. 21.
Р. 623-633.
306.	Рестк П., Р1еппдег Р., 8ат №. 1\[итепса1 туе51ща!тп оГ !Ье зесопйагу
Пом о! а 1гап5отс !игЬте 5!аде и5тд уапоиз !игЬи1епсе с1о5иге5. А5МЕ
Рарег. 2005. N0. ОТ-2005-68754.
307.	Реп§2., Ыет Р., Ьоп§ С. А., СНИйз Р. Р. N. Ап ехрептепЫ туези^аКоп оГ
а ЫдЬ гас!ш5 рге-з\У1г1 сооНпд 5уз!ет // Ргос. о! !Ье 8!Ь 1п!егл. Зутрозшт
оп Ехрептеп!а1 апё Сотри!а!юпа1 Аего!Ьегтос!упа1ШС5 о! 1п!егпа1 Р1о\У5,
Ьуоп, Ргапсе, Ли1у 2007. N0.15А1Р8-004.
308.	Регыге /., Реио Могдап К. РтИе е1етеп! тиШ^пё 5о1и!юп оГ Еи1ег
По\уз ра5! тз!а!1ес! аего-еп^пез // Сотри!. МесЬашсз. 1993. V. 11,
Ыо.5-6. Р. 433-451.
309.	Резкт А. Р., Нагйт С. Р. Ап оЬ]ес!-опеп!ес! арргоасЬ !о ^епега! ригрозе
Пшс! йупагшсБ 5о1!\уаге // Сотри!ег5 апс! СЬегтиса! Епдтеепп^. 1996.
V. 20, N0.8. Р. 1043-1058.
310.	РНайке II. Р., Охюеп ].М. Аегойупагшс азрес! оГ 1Ье зеаПп^ оГ ^аз-!игЫпе
го!ог-5!а!ог 5уз!етз. I. ТЬе ЬеЬауюиг о! 51тр1е БНгоийеё гоЫт^-сПзк
5у51ет5 ш а ^и^е5сеп! епукоптеп! // 1п!егп. Л. о! Неа! апс! Р1иМ Р1оил
1988.	V. 9, N0.2. Р. 98-105.
311.	РНайке II. Р., Ошеп 1.М. Аегойупатк аБрес! о? !Ье БеаПпд о! даБ-!игЬте
го!ог-Б!а!ог зу51етз. II. ТЬе регГогтапсе о? 51тр1е Беа1Б т а диав!-
ах1Бутте!пс ех!егпа1 По\у // 1п!егп. Л. оГ Неа! апс! Р1шс1 Р1о\у. 1988. V. 9,
N0.2. Р. 106-112.
312.	РНайке и. Р., Охюеп У. М. Аегойупапис аврес! о[ !Ье БеаИп^ о! даз-!игЫпе
го!ог-Б!а!ог Бу5!етз. III. ТЬе еНес! оГ поп-ах1зутте!пс ех!егпа! Ио\у оп
Беа! регГогтапсе // 1п!егп. Л. оГ Неа! апё Р1шс! Р1о\у. 1988. V. 9, N0.2.
Р. 113-117.
313 .РНайке II. Р., Охюеп У. М. Ап туез!1^а!юп о! тдгезз Гог ап а1г-соо1е<1
5ЬгоисЫ го!а!1п^ сМзк 5у5!ет ип!Ь гасНа1 с1еагапсе 5еа|5. А5МЕ Рарег.
1982.	N0.82-0^145.
314.	Рьегсе N. А., СИез М. В. РгесопсШюпес! ти1!1^г1с! те!Ьос! 1ог сотргеБ51Ые
По\у са1си1а!10ПБ оп з!ге!сЬес! тезЬев // Л. оГ Сотри!. РНуБ. 1997. V. 136,
N0.2. Р. 425-445.
315.	Рьегсе МЛ., СИез М. В. Ргесопс1Шопт^ сотргеББ^Ые По^ са1си1аИопБ оп
Б!ге!сЬес! теБЬеБ. А1АА Рарег. 1996. N0.96-0889.
316.	Р'ьегсе N.А., ОИез М. В., ]атезоп А., МагИпеШ Ь. Ассе1ега!т^ !Ьгее-
йтепБЮпа! NаV^ег-51оке5 са1си1а!юпз // А1АА Рарег. 1997. N0.97-1953.
317.	РНЬгои) Р., КагаЬау Н., №Изоп М., Охюеп 1.М. Неа! !гап51ег т а соуег-
р1а!е рге-з\У1г! го1а!1П5-с!15с 5у5!ет // Л. о[ ТигЬотасЫпегу. 1999. V. 121,
N0.2. Р. 249-256.
318.	РтсотЬе У./?. Р1о\у У15иаПза!10п апс! уе1оа!у теазигетеп!з т а го!ог-
5!а!ог БуБ!ет \м!!Ь а {огсес! гасИа! 1пПо\у. 11п!УегБ1!у о! Зиззех ТесЬшса!
^!ез. 1989. N0.88/ТРМКС/ТN61.

319.	Ра]а§ора1 К. Р. А с1а55 о! ехас{ боЫюпб {о {Не №у1ег-${оке5 е^иа{^оп$ //
1л{егп. Л. о! Еп^шеепп^ 5с1епсе. 1984. V. 22, N0.4. Р. 451-458.
320.	Ре1скег1 А. 1апззеп М. СооПпд апс] БеаПпд а'\г зуз^егл т 1пс1из1г1а1 ^ав
{игЬте епдтеБ. А5МЕ Рарег. 1996. 96-ОТ-256.
321.	РеШ К.,Оеп1оп РиИап С., Сигйз Е., Еоп§1еу ]. ТНе еГГес! о! 5{а{ог-го{ог
НиЬ зеаПп^ оп {Не тат5{геагп аегоёупаписБ оГ а {игЬте. А5МЕ Рарег.
2006. N0. СТ-2006-90838.
322.	РеупоШз №. С., Кауз №.М., КИпе З.У. Неа{ {гапБ^ег т {Не 1игЬи1еп1
1псотргез51Ые Ьоипс!агу 1ауег // ИА5А Мето. 1958. N0.12-1-58Ш.
323.	Ркойе /).!., Н1ЬЬз Р.1. Тоо1Н {Ыскпезв еНес{ оп {Не регЬггпапсе оГ даз
1аЬугт{Ь зеа!5 // Л. о! ТпЬо1оцу. 1992. V. 114, N0.4. Р. 790-795.
324.	Ркоёе И. Ь., Мш7 О. Н. СотриШюп оГ сауКу-Ьу-сауЦу По\у с1еуе!ортеп{ т
^епепс 1аЬугт{Н 5еа1з // Л. о! ТпЬо1о§у. 1992. V. 114, N0.1. Р. 47-51.
325.	Рьскагёзоп Е. А, Заипйегз О. А. ЗШсНез оГ По\у апс! Неа{ {гапзГег а5Бос1а{ес1
\мИН а гоЫш^ сйбс // Л. о! МесНатса1 Епдтееппд Заепсе. 1963. V. 5.
Р. 336-342.
326.	Р1§Ьу й.Е., Ьерьсоьзку /. Согц'и^е Неа{ {гапБГег апа1у515 оГ т{егпаПу
соо1ес) сопП^ига{юп5. А5МЕ Рарег. 2001. N0.2001-СТ-0405.
327.	Роаске Р./. УегШсаИоп оГ сойеБ апс! са1си1а1юп5 // А1АА Л. 1998. V. 36,
N0.5. Р. 696-702.
328.	РосН Г Ехрепепсе ш{Н {^о-1ауег тос!е15 сотЫптд {Не к-е то<Зе1 \у|{Н
опе-ециаИоп тос1е1 пеаг и/аН. А1АА Рарег. 1991. N0.91-0216.
329.	РосН Ж 1пПиепсе о! Ьиоуапсу апс! гоЫюп оп ециаНопБ [ог {Не 1игЬи1еп1
1еп^{Н 5са1е // Ргос. оГ {Не 2пс! Зутро51ит оп ТигЬи1еп{ ЗНеаг Р1о\уб,
Ьопс!оп, Епд1апс!, Ли1у 2-4, 1979.
330.	РосН \Г. Оп {Не 51ти1а1юп оГ {игЬи1еп{ По^ ра5{ ЫиГГ ЬосНеБ // Л. оГ Штс!
Еп^теегтд апс! 1пс1и5{па1 АегоёупагшсБ. 1993. V. 46-47. Р. 3-19.
331.	РосН Ж 51ти1а{юп о! {игЬи1епсе т ргасИса1 Пои/ са1си1а!юп5 // Ргос.
оГ Еиг. Соп^геББ оп Сотри{а{юпа1 Ме1Нос15 т АррНес! Заепсез апс]
Епдтеепп^, Вагсе1опа, Зрат, 5ер{. 11-14, 2000. 22 р.
332.	РосН Мапзоиг М. М., М1ске1азз1 V. Опе-ециа1юп пеаг-ига11 {игЬЫепсе
шойеПп^ \^1{Н 1Не аШ о( ё1гес{ 51ши1а{1оп с!а{а // Л. оГ Р1и1с!5 Епдтеег1П2
1993.	V. 115, N0.2. Р. 196-205.
333.	Койпциег 10.	У2500-А1 НРС12 оГКаке сауЦу ЗСОЗ/П-иЕМТ
соирПп^ те{Нос! апа1у515. КоНв-Ноусе ТесНп1са1 ОеБ^п Керог!. 2003.
№.ОН595154.
334.	кое Р. I. Арргох1та1е Кгетапп зокега рагате!ег уес1огз апс] сПуег^епсе
БсНетеБ// Л. о! Сотри!. РНуз. 1981. У43, N0.2. Р.357-372.
335.	Нодегз М. О., Ьаисе С. N. ТНе гоШюпаПу 5утте!г1с По^ о[ а У15соиБ Пи1с1
т 1:Не ргеБепсе о! ап 1пПпЛе го1а1т^ с!|5к // Л. оГ Р1шс! МееНап1С5. 1960.
V. 7. Р. 617-631.
336.	Коз1с В., Оеп1оп 1.Э., РиИап С. ТНе 1трог{апсе о! БНгоис! 1еака^е
тос!еШпд т тиШБ^а^е {игЫпе По\у са!си1а110П5. А5МЕ Рарег. 2005.
N0. СТ-2005-68459.
337.	РоИ М, 1еи)е11еп Ж. 3. Воипёагу 1ауегз сЗие {о {Не согпЫпес! еГГес{5
оГ го{а{1оп апс! {гэпбЫшп // РНу51С5 оГ Р1и1с!5. 1967. V. 10, N0.9.
Р. 1867-1873.

338.Роу	к. Р., Репц /., Ыаггагу, ЗаигаЬк Р., РаоИИо Р.Е. Ехрептеп1зоп
т^еБГюп ШгоидЬ ах1а1-Г1ом 1игЫпе пт зеа1з. А5МЕ Рарег. 2004.
N0. СТ-2004-53394.
339.Роу	Р. Р., Хи О., Репд I. 31ис1у о! тат-з*геат §а5 шдезИоп т
а го{ог-51а1ог сПзк сауИу. А1АА Рарег. 2000. N0.2000-3372.
340. Роу Р. Р., 2кои О.	Оапезап 8., иУап§ С. Т., РаоИИо Р. Е. ТНе Пом
Пе1с! апс! гпат ^а5 т§е51юп т а го!ог-зШог сауЯу. А5МЕ Рарег. 2007.
N0. ОТ2007-27671.
341.	Заай У. ИегаИуе теШойз Гог зрагзе Нпеаг зуз^етз. — 5оае1у Гог 1пс!и51па1
апс! АррЦес! МаШетаМсз, 2003. — 448 р.
342.	Заипйегз К., АИгаёек 8., Ьетз Ь. V., Ргоьтз /. ТЬе изе оГ СРО *о
депега1е Неа! 1гапзГег Ьоипйагу сопсШюпб Гог а го1ог-51а1ог сауКу т а
сотргеззог (1гит Шегта! тос!е1. А5МЕ Рарег. 2007. N0.012007-28333.
343. 8сап1оп Т., Ш1кез	Вокп Э., СепШкотте О. А 51тр1е теШос! Гог
езПта{т§ тдезИоп оГ аппи1и5 даэ т!о а 1игЫпе го!ог-з1а1ог сауИу
т 1Ье ргезепсе оГ ех1егпа1 рге55иге уапа{юп5. А5МЕ Рарег. 2004.
N0. СТ2004-53097.
344.	ЗсоИ Р.М., СкИйз Р.Р.Ы., НШ$ N.1,, МШшагй ].А. КасИа! тПом 1п1о
1Не йомпз1геат сауЛу оГ а сотргеззог зЫог ме11. А5МЕ Рарег. 2000,
N0.2000-СТ-0507.
345.	ЗеЬап Р. А., Васк Ь.Н. ЕГГШуепезз апс! Неа! {гапзГег Гог а 1игЬи1еп!
Ьоипйагу 1ауег мНЬ 1ап§еп1:1а1 т]ес1юп апс! уапаЫе Ггеез^геат уе1осИу //
Л. оГ Неа* ТгапзГег. 1973. У.84. Р. 229-238.
346.	ЗеЬап Р. А., Оои§Му 0.1*. Неа! ТгапзГег {о 1игЬи1еп1 Ьоипйагу 1ауегз мЛН
уапаЫе Ггеез1геат уе1оа1у // Л. оГ Неа1 ТгапзГег. 1956. V. 78. Р. 217.
347.	Зегге Е., Воп!оих Р., Ко1агЬа Р. №тепса1 з1ти1а{юп оГ Ше 1гапзШоп т
Шгее-сПтеп5юпа1 гоШт^ Помз мНЬ ма11з: Воипёагу 1ауегз тз^аЬПКу //
1п1ет. Л. оГ Р1ик! Оупагшсз. 2001. V. 5. Р. 17-30.
348.	Зкакраг 5., 01асске /X, ЬархюоНк Ь МиШ-оЬ]ес11Уе йез^п апс!
ор^гтпзаИоп оГ Ьураз5 ои*1е! дшс!е уапез. А5МЕ Рарег. 2003,
N0. СТ-2003-38700.
349.	ЗтИк N.11. Ехр1ога1огу туезМдаМоп оГ 1аттаг-Ьоипс!агу-1ауег 05сП1а1юпз
оп а гоШт^ сЛзс. NАСА Тес1ш1са1 N0163. 1947, N0.1227.
350.	ЗтИз А.]., Уоипд 5. Т. В., Вгайзкаги Р. ТЬе еГГес* оГ зНог* гедюпз оГ ЫдЬ
зигГасе сигуа!иге оп 1игЬи1еп! Ьоипс!агу 1ауегз // Л. оГ Р1шс1 МесНашс5.
1979. V. 94. Р. 209-242.
351.	ЗтоиХ Р. О. 1СА5-ОТ — Е1Л гезеагсН т1о §а5 1игЫпе Ыегпа1 а1г зуз*ет
регГогтапсе // А1г апс! Зрасе Еигоре. 2001. V. 3, N0.3-4. Р. 166-169.
352.	8тои1 Р. й., Скеш /. Г., СкИйз Р. Р. N. 1СА5-ОТ: А Еигореап со11аЬога1!уе
гезеагсЬ рго^гатте оп т^егпа! сооНп§ а!г 5уз{етз Гог даз 1игЬте5. А5МЕ
Рарег. 2002, N0. ОТ-2002-30479.
353.	ЗпошзШ С.й., Уоипд С. АррПсаКоп оГ СРЭ \о аззезз Ше регГогтапсе оГ а
поуе! рге-з\У1г1 сопПдигаиоп. А5МЕ Рарег. 2008. N0. СТ2008-50684.
354.	Зоо З.Ь. Ьаттаг Пом оуег ап епс!озес! гоШтд сИзс // Тгап5асиоп5 оГ
А5МЕ. 1958. У.80. Р. 287-296.
355.	ЗоиИ М., 2о1ез1о У.Р. АгЬЛгагу Ьа^гал^ап-ЕШепап апс! Ггее 5игГасе
шеШоёз т Г1и1с1 тесНапгсз // Сотри1ег Ме1Нос15 1п АррПес) МесНап1С5 апс!
Епетееппд. 2001. V. 191, N0.3-5. Р. 451-466.

356. 8ра1аг1 Р. /?. 31:га1;е^1е5 [ог !игЬи!епсе гтюс)е1Пп^ апс! 51ши1аИоп5 // 1п1егп.
Л. оГ Неа* апс! Р1и!сЗ Р1оил 2000. У.21, N0.3. Р. 252-263.
357.5ра1аг1 Р. К., АИтагаз З.к. А опе ециаИоп 1игЬи1епсе тос1е1 Гог
аегоёупагтпс По\уз. А1АА Рарег. 1992, N0.92-0439.
358.5ра1аг1 Р. К., 1ои ЖН., 31геШз М., АПтагаз 8. Я. Соттеп15 оп 1Не
Геа51ЬШ1у оГ ЬЕ5 Гог \уш^з, апс! оп а ЬуЬпй КА^/ЬЕ5 арргоасЬ // Ргос.
оГ 1Ье Ы АР05К 1п1егп. СопГ. оп 0^/ЬЕ5, Киз1оп, Ьошз1апа, Аи^из!
4-8, 1997. Ьошз1апа ТесЬтса1 11шуег5Йу, 1997. Р. 137-148.
359.	Зрагготи Е.М., Сге&§ I.1. А 1Ьеогу оГ гоЫт^ сопс!еп5аГюп // Л. оГ Неа1
ТгапзГег. 1959. V. 81. Р. 113-120.
360.	ЗрепсегМ.С., 1опез Т.У. Епс1\уа11 Ьеа1 ТгапзГег теазигешепГз т ап аппи1аг
сазсас)е оГ погг1е ^и!с!е уапе5 а! епдте гергезеп1а11Уе КеупоШз апс! МасЬ
питЬегз // 1п*егп. Л. оГ Неа! апс! Р1шс1 Р1о\у. 1996. V. 17, N0. 2. Р. 139-147.
361.	5рег1а1е С. О., АЫй К., Апйегзоп Е. С. А сгШса1 еуа1иа1юп оГ 1\уо-ериа!]опз
тойе1з Гог пеаг луа11 1игЬи1епсе. 1СА5Е Керог*. 1990. N0.90-46.
362.	81егп Р., Щ1зоп Я. У., Со1етап Н.№., Ра1егзоп Е.Р. СотргеЬепз1Ус
арргоасЬ 1о уепПсаМоп апй уаПсЫтп оГ СРО 51тиЫюп5. I. Ме1Ьос!о1оду
апс! ргосес!иге5 // Л. оГ РМёз Епдтееппд. 2001. V. 123, N0.4. Р. 793-802.
363.	31егп Р., Ш1зоп Я.У., Со1етап Н. 1^., РаХегзоп Е.Р. СотргеЬеп51Уе
арргоасЬ 1о уег1Пса1:10п апс! уаПс!а1юп оГ СРБ 51ши1а1юпз. II. АррНсаШп
Гог КАЫ5 з^тиЫюп оГ саг^о/соп1атег 5Ыр // Л. оГ Р1и!с35 Еп^тееппд.
2001. V. 123, N0.4. Р. 803-810.
364.51оскег Н.Ь. Ое!егтт!пд апс! 1шргоУ1П0 1аЬупп1Ь 5еа1 регГогтапсе т
сиггеп! апс) Ы^Ь регГогтапсе адуапсес! даз 1игЫпе5. АОАКЕ) Керог1. 1978.
N0. СР-237. Р. 13.1-13.22.
365.	81ге1е1з М. Ое1асЬес1 есМу зтиЫюп оГ таз51уе1у зерага!ес1 Г1о\у5. А1АА
Рарег. 2001. N0.2001-0879.
366.	31иаг1 У. Т. Оп !Ье еГГес!з оГ иЫГогт БисКоп оп *Ье з^еаёу Г1о\у йие 1о а
го1а1т§ сПзк // (Зиаг1ег1у Л. оГ МесНашсБ апс! АррНес! Ма{Ьета11сз. 1954.
V. 7. Р. 446-457.
367.	31ехюаг1зоп К. Оп 1Ье По\у Ье1\уееп 1\уо гоЫтд соах1а1 сПБкБ // Ргос. оГ
1Ье СатЬпс1§;е РЫ1о5орЫса1 5оае1у. 1953. V. 5. Р. 333-341.
368.	8ип 2,.,	Скеы) У. 1^., НШз N.^., Уо1коь	К.Ы., Вагпез	С У. ЕШаеп!
РЕА/СРЭ ГЬегта1 соирПп^ Гог еп^теегт^ аррПсаГюпБ. А5МЕ Рарег. 2008.
N0. СТ2008-50638.
369.	8ип 2.,	КЩоИ А., Ск&ю У. И?’., НШз МУ. Степса!	51ти1аИоп	оГ
па1ига! сопуесМоп т з1а1юпагу апс1 гоГаМп^ сауШез. А5МЕ Рарег. 2004.
N0. СТ2004-53528.
370.	Згеп А.7,., СИгоп А., ЗскпеШег 5.У., Каи[тап Н.Ы. Р1о\у Ье!\уееп гоГа1т5
сИзкз. I. Ваз1С Г1о\у // Л. оГ Р1и1с1 МесЬатсз. 1983. V. 134. Р. 103-131.
371.	Згеп А.Т., СНгоп А., Зс/гпеШег 5.У., Каи[тап Н.Ы. Р1о\у Ье1\уееп гоШт^
Й1'зкз. II.	51аЬШ1у // Л. оГ Р1и1<1 МесНашсз.	1983. V. 134. Р.	133-154.
372.	Теекагат	А./.Н., Рог1к С.]. Р., 1опез Т. У.	РПт сооПпд 1П	1Ье ргезепсе	оГ
тат5*геат ргезгиге дгасИеп!з // Л. оГ ТигЬотасЬтегу. 1991. V. 113, N0. 3.
Р. 484-492.
373.	ТегатасЫ К., НатаЬе М., МапаЬе Т., УападШат N. ЕхрептепЫ апс!
питепса! туезМ^аМоп оГ зеа1т§ регГогтапсе оГ 1игЬте пт зеа1з // Ргос.

оГ {Не 1п1егп. Оа5 ТигЬше СопдгеБЗ, Токуо, Ларап, Ыоу. 2-7, 2003. Рарег
N0. Т5-025.
374.	ТегатасЫ К., МапаЬе Т., Уапа^Шаш №, Ри/Чтига Т. ЕГГес! оГ ^еоте!гу
апс! Пп оуег1ар оп зеаПп^ регГогтапсе оГ птз зеа!з. А1АА Рарег. 2002.
N0.2002-3938.
375.	ТНат К. М., Ьоп% С. Д., Тигпег А. В., й1хоп 1.А. Сотри!а!юп оГ 1Ье Г1о\у
т а Н.Р. сотргеззог ёпуе сопе сауЛу // Ргос. оГ !Не 1п!егп. Оаз ТигЫпе
Соп^гезз, Токуо, Ларап, ГМоу. 2-7, 2003. N0. Т5-024.
376.	Ткотаз Р. й., ЬотЬагй С. К. Оеоте!пс сопзегуа!юп 1а\у апё 115 аррНса!юп
{о Г1о\у сотриШюпз оп тоутд §пс!5 // А1АА Л. 1979. V. 17, N0.10.
Р. 1030-1037.
377.	То иУ. М., НитрНгеу У. А. С. Ыитепса! згаиЫюп оГ Ьиоуап! !игЬи!еп! Пом.
I. Ргее сопуес!юп а1оп^ а Неа!ес1, уегМса!, Па1 р1а!е // 1п!егп. Л. оГ Неа!
апс! Ма55 ТгапзГег. 1986. V. 29, N0.4. Р. 573-592.
378.	Тискег Р. С., Ьоп§ С. А. СРО ргесНс!юп оГ уог!ех Ьгеакс)о\Уп т а го!а!т§[
сауЦу и/НН ап ах1а! 1Ьгои^ЬПо\у оГ а1г // 1п!егп. Соттишса!юп5 т Неа1
апс! Маз5 ТгапзГег. 1995. V. 22, N0.5. Р. 639-648.
379.	Тискег Р. С., Ьоп§ С. А. №тепса1 туе5!1^а1юп т!о тИиепсе оГ деоте!гу
оп По\м т а го1а1т^ сауМу \уИН ап ах1а1 !Нгои^ЬГ1ом // 1п!егп.
СоттитсаМопз т Неа! апс! Ма55 ТгапзГег. 1996. V. 23, N0.3. Р. 335-344.
380.	ТиИзгка-ЗгпИко Е., ШеИпзШ А. 1пз!аЬШ!у оГ !Не Пом т го!а!шд сауКу //
Л. оГ ТНеоге!1са1 апс! АррНес! МесЬашсз. 2007. V. 45,.N0.3. Р. 685-704.
381.	ТиИзгка-ЗгпИко Е., Х.1еИпзк1 А. №тепса1 туезИ^а!юп оГ 1гапзШопа1
Пом т со- апс! соип!ег-го!а!тд аппи1аг сауИу // Л. оГ ТНеогеМса! апс!
АррНес! МесЬаш'с5. 2006. V. 44, N0.2. Р. 405-420.
382.	Тигке1 Е. РгесопсШюшпд-зриагес! те!Нос!5 Гог тиЖсНтепзюпа! аегойупа-
гшсб. А1АА Рарег. 1997. N0.97-2025.
383.	Тигке1 Е., УаЛза V., Райезр1е1 к. РгесопсШюшп^ те!Ьоёз Гог 1ом-зреес!
По\У5. А1АА Рарег. 1996. N0.96-2640.
384.	Тигпег А. В., Ск'ййз Р. К. N. Н1дН Кеупо1с!5 питЬег регГогтапсе о! а го!ог-
з!а!ог пт зеа1. 5ЕКС Огап! Керог!. 1995. N0.08/020127.
385.	1/гкап Т., Ырз1е1п N. У. ЕГГес1з оГ НопеусотЬ зЬарес! ма11з оп Ше Г1о\у
гедше Ье!мееп а го!а!тд сИзк апс! а з!а!юпагу ллла11 // Ргос. оГ !Не XXXI
1п!егп. Оаз ТигЫпе СопГегепсе апс! ЕхЫЬП, Оие5зе1с!огГ, Оегтапу, Липе
8-12, 1986. V. 108, N0.3. Р. 553-561.
386.	Уепка(акпзкпап V., МаопрИз У).У. 1трНси те!Ьос1 Гог !Не сотри!а!юп оГ
ип51еайу Помз оп ип5!гис!игес! §;пс!5 // Л. оГ Сотри!. РНуз. 1996. V. 127,
N0.2. Р. 380-397.
387.	УегсИссЫо У. Л., Скехю У. НШз N.1. Соир1ес! ПиШ/зоНс! Неа! !гапзГег
сотри!а!юп Гог 1игЬте сИзсз. А5МЕ Рарег. 2001. N0.2001-0т-0123.
388.	Уегёоп 1.М., Сазраг У. Д. А Ппеапгес! ипз!еас1у аегойупагшс апа1у515 Гог
!гапзоп1С сазсас!е5 // Л. оГ Р1и1с! МесНашсБ. 1984. V. 149. Р. 403-429.
389.	У1гг О. Р., Скеи) У. №.. Соир1апё У. АррПса!10п оГ сотри!а!юпа1 Пи^ё
с!упат1сз 1о 1игЬ1пе сПзс сауШе5 // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1994. V. 116,
N0.4. Р. 701-708.
390.	Уо1коь К.№, НШз N.^., Скеш У. №. 51ти1а1юп оГ !игЬи1еп! По\уз 1п 1игЫпе
Ыайе ра55а§ез апс! с!|5с сау1'!1ез. А5МЕ Рарег. 2008. N0. СТ2008-50672.

391.	Шкег А. О., йептап Р. А., МсСшгк У. У. Ехрептеп1а1 апс! сотри1а1юпа1
5!ис!у о! ЬуЬпй сПГГиБегБ Гог ^эб 1игЫпе сотЬиз^огБ // Л. оГ Еп^'пееппд Гог
Оаз ТигЬтеБ апс! Ро\мег. 2004. Уо1. 126, N0.4. Р. 717-725.
392.	Шапд С. У. РЫМ с1упагтс5 оГ ГЬе с!гси1аг рогоиБ зПдег // Л. оГ АррПей
МесЬашсз. 1974. V. 41. Р. 343-347.
393.	№ап§ С. У. МеШпд Ггот а НопгопЫ гоГаИпд сИзк // Л. оГ АррМес!
МесЬашсБ. 1989. V. 56. Р. 47-50.
394.	и?ап§ С. У. 5Ьеаг Г1о\у оуег а го!а!тд р1а1е // АррПес! ЗаепМПс КезеагсЬ.
1989. V. 46, N0.1. Р. 89-96.
395.	иУап§ С. У, 8ка1ак Р. РЫМ йупагшсБ оГ а 1оп^ рогоиБ з1Мег // Л. оГ АррНей
МесЬап1С5. 1975. V. 42. Р. 893-894.
396.	ИРаШпаЬе Т., Ка}1 5. ТНеогеИса! з!ис!у оп {Не ип51еас!у аегос!упаш1с
сЬагас^епзИсз оГ ап озсШаИп^ сазсаёе Ир с1еагапсе (т 1Не са5е оГ
а поп-1оаёес1 са5сас!е) // Л5МЕ 1п1егп. Л. 1989. V. 32, N0.3. Р. 1-12.
397.	Шед/гагсИ К., ТШтап Ж. Оп 1Ье 1игЬи1еп1 Гпс1юп 1ауег Гог пзтд ргеззиге.
ЫАСА Керог!. 1951. Ыо.ТМ-1314.
398.	иЯ?/55 У., 5тИН Ж Ргесоп<ЗКк>пт§; аррНей 1о уапаЫе апс! сопз1ап! йепзИу
Ио^б // А1АА Л. 1995. V. 33, N0.11. Р. 2050-2062.
399.	ШеИЬогп 5. /?., То1сЫп$ку /., ОкизЫ Т. Н. МойеШп^ зЬгоиёес! зЫог сау^у
Г1о\уб т ах!а1 Полд^ сотргеззогз. А5МЕ Рарег. 1999. N0.99-01-75.
400.	Ш1сох й. С. А 1иго^иа{юп 1игЬи1епсе тойе! Гог ша!1-Ьоипс1ес1 апс! Ггее-
зЬеаг Г1о\уз. А1АА Рарег. 1993. N0.93-2905.
401.	УРИсох Э. С. ТигЬи1епсе тойеНп^ Гог СРО. Сапас1а, ЭС\У 1пйи5{пе5, 1998.
362 р.
402.	Ш1зоп М., РИЬгот К., Отюеп У. М. Р1о\у апс1 Неа1 {гапзГег т а рге-зу/1г1
го!ог-5Шог зу5*ет // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 1997. V. 119, N0.3. Р. 364-373.
403.	ШШ& 5., 1асоЬвеп К., 8скеШп@ I)., Кт 8. Неа! {гапзГег т зГеррес!
1аЬупп!Ь зеа1з // Л. оГ Епдтеепп^ Гог Оэб ТигЬтеБ апс! Ро\уег. 1988.
V. 110, N0.1. Р. 63-69.
404.	ЧРоЦзЫет М. ТЬе уе1осИу апс) 1ешрега1иге сНзШЬиНоп оГ опе-сПгпепзюпа!
Г1о\у м/'ЛН 1игЬи1епсе аидтеЫаИоп апс! ргеззиге ^гасПеЫ ,// 1п1сгп. Л. оГ
Неа! апс1 Маз5 ТгапзГег. 1969. V. 12, N0.3. Р. 301-318.
405.	иУи X., Здшгез К. В. РгесИсИоп апс! шуеБи^аНоп оГ !Ье 1игЬи1еп1 Поу/ оусг
а го1аИп^ сИзк // Л. оГ РЫМ МесЬашсз. 2000. V. 413. Р. 231-264.
406.	Уатайа У., Но М. РпсГюпа! ге5151апсе оГ епс!оБес1 гоЫш^ сопез
\у|1Н Бирегрозес! Шгои^ЬПо^ // Л. оГ Р1иМз Епдтеепп^. 1979. V. 101.
Р. 259-264.
407.	Уап У., Раггапек-Согй М., Ьоск О. О., Ш1зоп М., Отеп У. М. РЫМ
сГупагтисБ оГ а рге-змг! гоГог-зЫог зуз^ет // Л. оГ ТигЬотасЫпегу. 2003.
V. 125, N0.4. Р. 641-647.
408.	Уатато1о К., Татйа У. 5е1Г-ехсНес1 озсПЫюп оГ 1гапБотс По\у агоипс! ап
а1гГоП т 1\уо-сИтеп5юпа1 сКаппе!. А5МЕ Рарег. 1989. N0.89-01-58.
409.	Уап 5., Ма ф. Ж Nите^^са1 51ти]а1юп оГ Ги11у попПпеаг 1п1егасиоп
Ье1\уееп БГеер \уауез апс! 2П ПоаНпд Ьой1е5 и5тд 1Не РАЬЕ-Р1:М
теГНоа // Л. оГ Сотри!. РЬуз. 2007. V. 221, N0. 1. Р. 666-692.
410.	Уап§ 1. ШБкис^игес! с!упагтпс теБЬеБ и/ЛН Ы^Ьег-огйег Ите Не^гаиоп
зсЬетез Гог !Ье ипБ1еас1у №У1ег-$1окез е^иа^^оп5. А1АА Рарег. 2005.
N0.2005-1222.

411.	Уапд 2., 5/пУг Т.Н. А ОаШеап апй {епзопа! туапап* к-е тос1е1 Гог пеаг
май 1игЬи1епсе. NА5А Керог!. 1993, N0. ТМ-106263.
412.	Уойег Б. А., Сеог&асИз N.1. 1тр1етепШюп апс1 уаПсЫюп оГ 1Ье СЫеп
к-е 1игЬи1епсе тойе1 т {Не	№У1ег-51окез сойе. А1АА Рарег. 1999,
N0.99-0745.
413.	Уиап 7..Х., Ьио А.С.1., Уап X. А1гПом ргеБьиге апй зЬеаг 1огсе5 оп
а гоШтд, (1е?огтес1 (1|зк т ап ореп БНгоис! // Соттитсаиопз т №пПпеаг
Заепсе апй №тепса1 51'ти1аШп. 2004. V. 9, N0.5. Р. 481-497.
414.	Уиап 2..Х., Замеь М., Уап X. Т. ТигЬи1еп1 Неа! {гапзГег оп 1Ье зЫюпагу
сНзк ш а го!ог-зШог зуз1ет // 1п1егп. Л. оГ Неа1 апс! Мазз Тгапз!ег. 2003.
V. 46, N0.13. Р. 2307-2218.
415.	2,апйЬег%еп Р.]., йЦк$1га А Уоп Кагшап 5М1гНп§ Иомз // Аппиа1 Кеу1ем
оГ Р1шс1 МесНашсз. 1987. V. 19. Р. 465-491.
416.	2,еп& О., ЕШег С. к. А зетМогзюпа1 зрпп^ апа1о^у тос!е1 Гог ирсШт^
ипз1гисШге<1 тезНе5 т 30 тоутд йотатз // РтНе Е1етеп1з т Апа1уз15
апс1 Эез^п. 2005. V. 41. N0. 11-12. Р. 1118-1139.
417.	Екапд 1.Р., №ап§ 2./ А Ыоск ИЛ-505 (трМсИ с1иа1 ите-з^еррт^
а1§гогИНт Гог ЬуЬг1й гёупагтс те5Нез // Сотри1егз апй Р1иШ5. 2004. V. 33,
N0.7. Р. 891-916.
418.	2кои 5., 2кеп§ X., Нои А., Ьи У. 1п1егас!юп оГ ипз1еас1у зерага*ес! Пом
оуег тиШ-ЬосПез тоутд ге1а*1Уе1у т Ше зате Пом ПеМ // Л. о! 5оипс1 апс!
МЬгаИоп. 2005. V. 288. Р. 981-1009.
419.	7,1епк1ет1сг О. С. ТНе ПпКе е1етеп! те!Нос1т еп^теегтд 5спепсе. Ьопёоп,
МсОгам-НШ Ес1иса1юп, 1977. 520 р.
420.	Иегег ОеУИо I., ЦпйЫай К., Ьагзаоп /., Вокп Л, Рипске У., Оескег
А. Штепса! 51ти1аИоп о! 1Не ипз!еас1у Пом ПеШ т ап ах1а1 даз 1игЫпе
пт зеа! сопИдгигаНоп. А5МЕ Рарег. 2004. N0.012004-53829.
421.	7.ттегтап Н., Каттегег А., УРоЩ К.Н. РегГогтапсе оГ могп 1аЬугт1Н
5еа1з. А5МЕ Рарег. 1994. N0.94-07-131.